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user: 5. 弧微分等价代换定理在圆盘线圈磁场解析解算法中的应用 5.1. 弧微分等价代换定理对圆环电流磁场解析解解算法的回顾 5.1.1. 圆环电流任一电流元在空间点轴向(dB z )、径向(dB r )、周向(dB γ )磁场的微分. 圆盘线圈在电机、射频识别、电磁炉等技术中应用广泛，结合该算法应用于求圆盘线圈磁场的解析解，以再次验证弧微分等价代换定理。如图2，半径为R的单一圆环电流⊙O上任一 P ( R cos ϕ 0 ， R sin ϕ 0 ， 0 ) 点取得电流元I′ds，其空间任一待求磁场点 G ( r cos γ ， r sin γ ， h ) 位于与⊙O同圆心轴、距离⊙O环面为h、半径为r的平行圆⊙O′周上，⊙O上P点切线AD交x、y轴于A、D， ∠ D P G = α ， ∠ P O A = Φ 0 ， ∠ P O G ′ = Φ ， ∠ O ′ = ∠ G ′ O A = γ ， | G P | = l ， | G G ′ | = h ， ∠ G ′ G P = θ ，有cosθ = h/ℓ，使用弧微分等价代换定理，先讨论圆环电流空间G点处的径向 ( d B r ) 、轴向 ( d B z ) 、周向 ( d B γ ) 磁场的解析解算法，再求圆盘线圈磁场的解析解。 由比奥─萨伐尔定律： d B = μ 0 4π I ′ d s × l ，即 d B = μ 0 I ′ 4π sin α l 2 d s ，其中ds = RdΦ，ℓ = h/cosθ， sin α = h 2 + ( r cos ϕ − R ) 2 h 2 + R 2 + r 2 − 2 R r cos ϕ 。有 d B = μ 0 I ′ 4π sin α l 2 d s = μ 0 I ′ 4π h 2 + ( r cos ϕ − R ) 2 [ h 2 + R 2 + r 2 − 2 R r cos ϕ ] 3 / 2 d s ( ϕ ) ，dB方向：I′ds × ℓ。 在平行⊙O'周P点有(矢量和)： d B = d B z ( 轴 向 ) + d B r ( 径 向 ) + d B γ ( 周 向 ) ，且 d B z = μ 0 I ′ 4π h 2 + ( r cos ϕ − R ) 2 [ h 2 + R 2 + r 2 − 2 R r cos ϕ ] 3 / 2 cos ( d B ， d B z ) d s ( ϕ ) = μ 0 I ′ 4π r cos ϕ − R [ h 2 + R 2 + r 2 − 2 R r cos ϕ ] 3 / 2 d s (ϕ) 图2. 圆盘线圈的磁场 d B r = μ 0 I ′ 4π h 2 + ( r cos ϕ − R ) 2 [ h 2 + R 2 + r 2 − 2 R r cos ϕ ] 3 / 2 cos ( d B ， d B r ) d s ( ϕ ) = μ 0 I ′ h 4π cos ϕ [ h 2 + R 2 + r 2 − 2 R r cos ϕ ] 3 / 2 d s (ϕ) d B γ = μ 0 I ′ 4π h 2 + ( r cos ϕ − R ) 2 [ h 2 + R 2 + r 2 − 2 R r cos ϕ ] 3 / 2 cos ( d B ， d B γ ) d s ( ϕ ) = μ 0 I ′ 4π − h sin ϕ [ h 2 + R 2 + r 2 − 2 R r cos ϕ ] 3 / 2 d s (ϕ) 5.1.2. 圆环电流在空间点的轴向(B z )、径向(B x )、周向(B γ )磁场的解析式 任一待球磁场点G、RtΔGG′P、圆环电流及其电流元I′ds之间满足弧微分等价代换定理的条件，即 d s = R d ϕ = h cos 2 θ d θ ， 并 l 2 = h 2 + R 2 + r 2 − 2 R r cos Φ = h 2 / cos 2 θ ， 分别求得： B z = ∮ μ 0 I ′ 4π r cos ϕ − R [ h 2 + R 2 + r 2 − 2 R r cos ϕ ] 3 / 2 d s ( ϕ ) = μ 0 I ′ 4π 2 ∫ θ 1 = arcsin R − r h 2 + ( R − r ) 2 θ 2 = arcsin R + r h 2 + ( R + r ) 2 r 2 R r [ h 2 + R 2 + r 2 − ( h cos θ ) 2 ] − R ( h cos θ ) 3 h cos 2 θ d θ = μ 0 I ′ 4 π R h 2 { ( h 2 + r 2 − R 2 ) [ R + r h 2 + ( R + r ) 2 − R − r h 2 + ( R − r ) 2 ]     − h 2 ln | h 2 + ( R + r ) 2 + ( R + r ) h 2 + ( R − r ) 2 + ( R − r ) | } [ 2 ] B r = μ 0 I ′ h 4 π ∮ cos ϕ [ h 2 + R 2 + r 2 − 2 R r cos ϕ ] 3 / 2 d ( R ϕ ) = μ 0 I ′ 4 π 2 R r h 2 ∫ θ 1 = arcsin R − r h 2 + ( R − r ) 2 θ 2 = arcsin R + r h 2 + ( R + r ) 2 [ ( h 2 + R 2 + r 2 ) cos θ − h 2 1 cos θ ] d θ = μ 0 I ′ 4 π R r h { ( h 2 + R 2 + r 2 ) [ R + r h 2 + ( R + r ) 2 − R − r h 2 + ( R − r ) 2 ]     − h 2 ln | h 2 + ( R + r ) 2 + ( R + r ) h 2 + ( R − r ) 2 + ( R − r ) | } [ 2 ] B γ = ∫ − π π μ 0 I ′ R 4π − h sin ϕ [ h 2 + R 2 + r 2 − 2 R r cos ϕ ] 3 / 2 d ϕ = 0 [ 2 ] . 5.2. 弧微分等价代换定理对圆盘线圈磁场的解析算法 如图2所示，使用微元法，对内、外半径为R 1 、R 2 的圆盘线圈在任一待求磁场点G处的磁场，采用半径分别为R 1 、R 2 的2个实芯圆盘线圈在G点产生磁场的差值算法的路子；R 1 →R 2 上单位厚度电流环数为m(=M/R x )，R x 是实芯圆盘线圈的半径，M是该实芯圆盘线圈总的电流匝数，在R x 处选取线圈元素dR x ，dR x 电流环个数为 m I ′ d R x = M I ′ d R x / R x = I R x d R x / R x ，I Rx (=MI′)是通过实芯圆盘线圈的总电流强度。探讨该圆盘线圈外与其同圆心轴的平行圆⊙O′周上任一待求磁场点G的轴向B z 、径向B r 、周向B γ 磁场算法。[I是R 1 →R 2 上的面电流；有 I 1 = R 1 I / ( R 2 − R 1 ) ； I 2 = R 2 I / ( R 2 − R 1 ) ]。 5.2.1. 圆盘线圈轴向磁场的解析解 B z ( R x ) = μ 0 I R x 4 π h 2 ∫ R 1 R 2 1 R x 2 { ( h 2 + r 2 − R x 2 ) [ R x + r h 2 + ( R x + r ) 2 − R x − r h 2 + ( R x − r ) 2 ]     − h 2 ln | h 2 + ( R x + r ) 2 + ( R x + r ) h 2 + ( R x − r ) 2 + ( R x − r ) | } d R x = μ 0 4 π h 2 R 2 I R 2 − R 1 { − R 2 + r R 2 h 2 + ( R 2 + r ) 2     + R 2 − r R 2 h 2 + ( R 2 − r ) 2 + h 2 R 2 ln | h 2 + ( R 2 + r ) 2 + R 2 + r h 2 + ( R 2 − r ) 2 + R 2 − r | }     − μ 0 4 π h 2 R 1 I R 2 − R 1 { − R 1 + r R 1 h 2 + ( R 1 + r ) 2 + R 1 − r R 1 h 2 + ( R 1 − r ) 2 + h 2 R 1 ln | h 2 + ( R 1 + r ) 2 + R 1 + r h 2 + ( R 1 − r ) 2 + R 1 − r | } [ 10 ] [ 11 ] R 1 = 0.8 ， R 2 = 1.0 ， r = 1.01 ；(μ 0 、π、I为常量) h ⊂ { 2 ， 1.5 ， 1.0 ， 0.8 ， 0.6 ， 0.4 ， 0.2 ， 0.01 ， ≠ 0 ， − 0.01 ， − 0.2 ， − 0.4 ， − 0.6 ， − 0.8 ， − 1.0 ， − 1.5 ， − 2 } . [ 4 π / ( μ 0 I ) ] B z ( R 1 → R 2 ) ⊂ { − 0.6558125 ， − 1.326174 ， − 5.508308 ， − 9.985637 ， − 22.920225 ，       − 91.94955 ， − 36013.28 ， − 36013.28 ， − 91.94955 ， − 22.920225 ，       − 9.985637 ， − 5.508308 ， − 1.326174 ， − 0.6558125 } 5.2.2. 圆盘线圈径向磁场的解析解 B r = μ 0 I 4 π r h ∫ R 1 R 2 1 R x 2 { ( h 2 + R x 2 + r 2 ) [ R x + r h 2 + ( R x + r ) 2 − R x − r h 2 + ( R x − r ) 2 ]     − h 2 ln | h 2 + ( R x + r ) 2 + ( R x + r ) h 2 + ( R x − r ) 2 + ( R x − r ) | } d R x = μ 0 4 π r h ( R 2 I R 2 − R 1 ) { R 2 − r R 2 h 2 + ( R 2 + r ) 2     − R 2 + r R 2 h 2 + ( R 2 − r ) 2 + h 2 R 2 ln | h 2 + ( R 2 + r ) 2 + R 2 + r h 2 + ( R 2 − r ) 2 + R 2 − r | }     − μ 0 4 π r h ( R 1 I R 2 − R 1 ) { R 1 − r R 1 h 2 + ( R 1 + r ) 2 − R 1 + r R 1 h 2 + ( R 1 − r ) 2 + h 2 R 1 ln | h 2 + ( R 1 + r ) 2 + R 1 + r h 2 + ( R 1 − r ) 2 + R 1 − r | } [ 10 ] [ 11 ] R 1 = 0.8 ， R 2 = 1.0 ， r = 1.01 ，(μ 0 、π、I为常量)； h ⊂ { 2.0 ， 1.5 ， 1.0 ， 0.8 ， 0.6 ， 0.4 ， 0.2 ， 0.01 ， − 0.01 ， − 0.2 ， − 0.4 ， − 0.6 ， − 0.8 ， − 1.0 ， − 1.5 ， − 2.0 } . [ 4 π / ( μ 0 I ) ] B r ( R 1 → R 2 ) ⊂ { 0.113531 ， 0.268483 ， 0.72033 ， 1.154638 ， 1.999366 ， 2.74873 ，       11.240817 ， 351.712277 ， − 351.712277 ， − 11.240817 ， − 2.74873 ，       − 1.999366 ， − 1.154638 ， − 0.72033 ， − 0.268483 ， − 0.113531 } 5.2.3. 圆盘线圈周向磁场的解析解 因为圆环电流的周向磁场： B γ = ∫ − π π μ 0 I R 4 π − h sin ϕ [ h 2 + R 2 + r 2 − 2 R r cos ϕ ] 3 / 2 d ϕ = 0 所以圆盘线圈电流的周向磁场 B γ ( 盘 ) = 0.