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user: 4. 收集信号与正交变换 我们在特定变换下合成稀疏信号，这些合成信号，可以精确控制自身的稀疏程度，当构造的信号足够稀疏时，与普通路由方案相比，压缩感知取得了实质性的收益。然而，真正的信号问题是找到一个很好的转换，在某一特定域中对它们进行稀疏处理，我们对比了几种不同的正交变换，并将其用于压缩感知。 4.1. 收集信号 信号收集包括两部分内容：真实信号和人工合成信号。从自然界中收集到的信号大都可以进行稀疏表示，但是我们很难收集到特定信号，所以设计了人工合成信号对压缩感知性能进行了研究。 4.1.1. 真实信号 我们还采集了来自不同环境现象的真实信号。我们在自然环境中随机部署具有100个Zigbee节点的Zigbee网络，包括温湿度传感器、空气质量传感器、光敏传感器，用于采集真实信号。Zigbee是一种无线自组织网络通信技术，由Zigbee联盟制定。它是基于IEEE 802.15.4标准下的低功耗局域网协议，其特点为近距离、高容量、低成本、低速率、低功耗，主要用于距离短、功耗低且传输速率不高的各种电子设备之间，进行数据传输。它可以工作在2.4 GHz (全球流行)、868 MHz (欧洲流行)和915 MHz (美国流行) 3个频段上，分别具有最高250 kbit/s、20 kbit/s和40 kbit/s的传输速率，其传输距离在10 m~75 m的范围内。 真实物联网信号 x = { x 1 ， x 2 ， ⋯ } T 构成如下(图2)： x T = { x T 1 ， x T 2 ， ⋯ ， x T 100 } T 表示100个温度传感器节点采集到的数据， x T i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 100 表示第i个节点采集到的数据。 x H = { x H 1 ， x H 2 ， ⋯ ， x H 100 } T 表示100个湿度传感器节点采集到的物联网数据， x H i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 100 表示第i个节点采集到的数据。 x A = { x A 1 ， x A 2 ， ⋯ ， x A 100 } T 表示100个空气质量传感器节点采集到的物联网数据， x A i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 100 表示第i个节点采集到的数据。 x P = { x P 1 ， x P 2 ， ⋯ ， x P 100 } T 表示100个光敏传感器节点采集到的物联网数据， x P i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 100 表示第i个节点采集到的数据。 图2. 不同场景的采样信号，每一个采样号包括4种数据，分别为温度、湿度、空气质量、光敏 4.1.2. 人工合成信号 在自然间中很难采集到特定的信号，所以我们需要设计人工合成信号来对压缩感知的性能进行研究。在自然间中很难采集到特定的信号，所以我们需要设计人工合成信号来对压缩感知的性能进行研究。我们将信号x用矩阵的形式表示，通过构建频域中的二维离散信号x来构建的信号 [ 7 ] 矩阵。信号x的构建如下： 第一步：定义K，令 K = N ，其中N是二维信号中数值的总量。构建初始信号 x 1 ∈ R K × K ，它的项记为 ， ∀ p ， q = 1 ， 2 ， ⋯ ， K ，则有 x 1 ( p ， q ) = x 0 + ξ (4-1) 其中 x 0 数值可以在区间 [ 0 ， 1 ] 内随机选取，又因为信号往往会存在一些噪声信号，因此引入常数 ξ ∈ [ 0 ， 0.01 ] 。 第二步：定义一个二维的频率掩模函数 F m ∈ R K × K ，在位置 ( p ， q ) 的取值分下面两种情况，当 p + q ≤ p l o w 或者 p + q > p h i g h 时为1，当 p l o w < p + q ≤ p h i g h 时为0。函数定义如下： F m ( p ， q ) = d e f { 1             p + q ≤ p l o w       or     p + q > p h i g h 0           p l o w < p + q ≤ p h i g h (4-2) 第三步：通过 x 1 ( p ， q ) 和 做乘积来获得信号 x 2 ∈ R K × K ，它的项 x 2 ( p ， q ) 构成如下： x 2 ( p ， q ) = x 1 ( p ， q ) F m ( p ， q ) (4-3) 4.2. 几种经典的正交变换 在压缩感知中信号必须在某种变换下可以稀疏表示，信号的稀疏表示就是将信号投影到正交变换基，其大部分变换系数的绝对值很小或者为零，所得到的变换向量是稀疏的。下面介绍几种经典的正交变换。 4.2.1. 离散傅里叶变换 离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，缩写为DFT)，是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式，将信号的时域采样变换为其离散时间傅里叶变换的频域采样。 对于N点序列 ，它的离散傅里叶变换为： X [ k ] = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) e − i 2π N n k = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) W N n k ，       n ， k = 0 ， 1 ， ⋯ ， N − 1 ，   W N = e − i 2π N (4-4) 其中e是自然对数底数，i是虚数单位。将上述变换写成矩阵形式： [ X ( 0 ) X ( 1 ) X ( 2 ) ⋮ X ( N − 1 ) ] = [ 1 1 1 ⋯ 1 1 W N 1 W N 2 ⋯ W N ( N − 1 ) 1 W N 2 W N 4 ⋯ W N 2 ( N − 1 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 W N ( N − 1 ) W N 2 ( N − 1 ) ⋯ W N ( N − 1 ) ( N − 1 ) ] [ x ( 0 ) x ( 1 ) x ( 2 ) ⋮ x ( N − 1 ) ] 即 X = W N x ，其中 W N 为变换矩阵，将变换矩阵 W N 乘以一个系数 1 / N 使其变为正交矩阵可得离散傅里叶变换基(矩阵)： W ˜ N = 1 N [ 1 1 1 ⋯ 1 1 W N 1 W N 2 ⋯ W N ( N − 1 ) 1 W N 2 W N 4 ⋯ W N 2 ( N − 1 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 W N ( N − 1 ) W N 2 ( N − 1 ) ⋯ W N ( N − 1 ) ( N − 1 ) ] (4-5) 4.2.2. 离散余弦变换 离散余弦变换(DCT)是与傅里叶变换相关的另一种变换，它类似于离散傅里叶变换(DFT)，但是只使用实部，不需要考虑虚部。离散余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里叶变换，这个离散傅里叶变换是对一个实偶函数进行的。大多数的自然信号的能量都集中在离散余弦变换后的低频部分，而且当信号具有接近马尔可夫过程的统计特性时，离散余弦变换的效果能够接近理论上的最佳变换——Kahunen-Loeve变换(K-L变换)。 离散余弦变换是一种线性的可逆函数 F : R N → R N (R表示实数的集合)，或者等价于一个 {\displaystyle n\times n}的方阵，根据下列公式，把N个实数 x 0 ， x 1 ， ⋯ ， x N − 1 变换到另外N个实数 f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f N − 1 ： f m = 1 2 ( x 0 + ( − 1 ) m x N − 1 ) + ∑ k = 1 N − 2 x k cos [ π N − 1 m k ] ，                 k = 0 ， 1 ， ⋯ ， N (4-6) 给上式中的 x 0 和 x N − 1 分别乘以 2 ，相应的给 和 f N − 1 乘以 1 / 2 ，则可以将上述变换转化为正交矩阵： C ˜ N = 1 N [ 1 1 ⋯ 1 2 cos ( π 2 N ) 2 cos ( 3 π 2 N ) ⋯ 2 cos ( ( 2 N − 1 ) π 2 N ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 2 cos ( ( N − 1 ) π 2 N ) 2 cos ( 3 ( N − 1 ) π 2 N ) ⋯ 2 cos ( ( N − 1 ) ( 2 N − 1 ) π 2 N ) ] (4-7) 4.2.3. 小波变换 小波变换(wavelet transform，WT)继承和发展了短时傅立叶变换(STFT)局部化的思想，STFT是给信号加窗，分段做FFT；而小波变换并没有采用窗的思想，更没有做傅里叶变换，它直接把傅里叶变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基，提供了一个随频率改变的“时间-频率”窗口，通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，能对时间频率的局部化分析，通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节。 设 f ( t ) 是平方可积函数 f ( t ) ∈ L 2 ( R ) ， ψ ( t ) 是基本小波或母小波函数，则小波变换公式如下： W T ( a ， τ ) = 1 a ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ψ ( t − τ a ) d t (4-8) 其中，尺度因子a控制小波函数的伸缩，对应于频率(成反比)，平移因子 τ 控制小波函数的平移，对应于时间。设有母小波 ψ ( t ) ，记 ψ j ， k ( t ) = 2 j / 2 ψ ( 2 j t − k ) ，其中j，k为任意的整数。如果函数族 { ψ j ， k ( t ) = 2 j / 2 ψ ( 2 j t − k ) | j ， k ∈ Z } 构成空间 L 2 ( R ) 的标准正交基，则称 ψ ( t ) 是正交小波。Haar函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简单的一个小波函数，它是支撑域在 t ∈ [ 0 ， 1 ] 范围内的单个矩形波，其母小波为 (4-9) 其对应的缩放方程式为： ψ ( t ) = { 1                     0 ≤ t ≤ 1 0                   otherwise (4-10) 4.3. 设计正交变换 在压缩感知中，已有的变换并不能达到我们对信号稀疏性的要求，因此我们设计了如下的正交变换。 4.3.1. Row-trans变换 第一步：将采集到的信号写成矩阵的形式，合成信号可以省略此步骤，对于真实信号 ，作如下变换，得到矩阵 ψ 1 ∈ R K × K ，其中 K = N ： (4-11) 第二步：将 ψ 1 ∈ R K × K 中的项成对相减取其绝对值，构成矩阵 ψ 2 ∈ R K × K ，其中的项记为 ψ 2 ( i ， j ) ： ψ 2 = [ x 1 x 2 ⋯ x K | x 2 K − x 1 | | x 2 K − 1 − x 2 K − 2 | ⋯ | x K + 1 − x K | | x 2 K + 1 − x 2 k | | x 2 K + 2 − x 2 K − 1 | ⋯ | x 3 K − x K + 1 | ⋮ ⋮ ⋮ | x ( K − 1 ) K − x ( K − 3 ) K | | x ( K − 1 ) K − 1 − x ( K − 3 ) K + 1 | ⋯ | x ( K − 2 ) K + 1 − x ( K − 2 ) K | | x ( K − 1 ) K + 1 − x ( K − 1 ) K | | x ( K − 1 ) K + 2 − x ( K − 1 ) K − 1 | ⋯ | x N − x N − 2 K | ] (4-12) 第三步：给 ψ 2 ∈ R K × K 中的每一项均乘以其倒数得到 ψ 3 ∈ R K × K ： ψ 3 ( i ， j ) = ψ 2 ( i ， j ) × 1 ψ 2 ( i ， j ) (4-13) 第四步：给 ψ 3 ∈ R K × K 做Householder变换，得到变换矩阵 ψ 4 ∈ R K × K ； 第五步：构造变换矩阵 ψ ∈ R N × N ： (4-14) 其中I表示单位矩阵。 证明：因为 ψ 4 ∈ R K × K 是Householder变换，故满足正交性，即 ψ 4 T ψ 4 = E ，其中E是单位矩阵，故 ψ T ψ = [ ψ 4 I ] T [ ψ 4 I ] = [ ψ 4 T ψ 4 I T I ] = E 故此得证矩阵 ψ ∈ R N × N 是正交变换。 4.3.2. Col-trans变换 第一步：将采集到的信号写成矩阵的形式，合成信号可以省略此步骤，对于真实信号 x = { x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x N } T ∈ R N ，作如下变换，得到矩阵 ψ 1 ∈ R K × K ，其中 K = N ： ψ 1 = [ x 1 x 2 ⋯ x K x 2 K x 2 K − 1 ⋯ x K + 1 x 2 K + 1 x 2 K + 2 ⋯ x 3 K ⋮ ⋮ ⋮ x ( K − 1 ) K x ( K − 1 ) K − 1 ⋯ x ( K − 2 ) K x ( K − 1 ) K + 1 x ( K − 1 ) K + 2 ⋯ x N ] (4-15) 第二步：将 ψ 1 ∈ R K × K 中的项成对相减取其绝对值，构成矩阵 ，其中的项记为 ψ 2 ( i ， j ) ： ψ 2 = [ x 1 | x 2 − x 1 | ⋯ | x K − x K − 1 | x 2 K | x 2 K − 1 − x 2 K | ⋯ | x K + 1 − x K + 2 | x 2 K + 1 | x 2 K + 2 − x 2 K + 1 | ⋯ | x 3 K − x 3 K − 1 | ⋮ ⋮ ⋮ x ( K − 1 ) K | x ( K − 1 ) K − 1 − x ( K − 1 ) K | ⋯ | x ( K − 2 ) K + 1 − x ( K − 2 ) K + 2 | x ( K − 1 ) K + 1 | x ( K − 1 ) K + 2 − x ( K − 1 ) K + 1 | ⋯ | x N − x N − 1 | ] (4-16) 第三步：给 ψ 2 ∈ R K × K 中的每一项均乘以其倒数得到 ψ 3 ∈ R K × K ： ψ 3 ( i ， j ) = ψ 2 ( i ， j ) × 1 ψ 2 ( i ， j ) (4-17) 第四步：给 ψ 3 ∈ R K × K 做Householder变换，得到变换矩阵 ψ 4 ∈ R K × K ； 第五步：构造变换矩阵 ψ ∈ R N × N ： (4-18) 其中I表示单位矩阵。