DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 4. 基于属性偏序结构图提取关联规则的原理及方法 在Apriori算法中，频繁项的提取是关联规则提取的关键步骤，Apriori算法的总体性能主要由这一步决定。而由数据集产生的频繁项集数目往往会非常大，导致挖掘过程比较繁琐，生成大量冗余规则。本节提出基于属性偏序结构图的关联规则提取方法，从属性偏序结构图中寻找相同支持度下的最大频繁项目集，减少频繁项目集数量，提高关联规则挖掘效率，并获得无冗余的关联规则。下面从构图原理和数学角度说明从属性偏序结构图中提取频繁项的合理性和科学性。 根据属性偏序结构图的构图步骤step 2，计算最大共有属性 M 0 下所有共有属性集合 { m 11 ， m 12 ， ⋯ ， m 1 p } 和独有属性集合 { s 11 ， s 12 ， ⋯ ， s 1 q } 及其对应二元组 { C m 1 ， C m 2 ， ⋯ ， C m p } 和 { C s 1 ， C s 2 ， ⋯ ， C s q } ，并与最大共有属性的结点 C 0 间绘制有向边，说明属性偏序结构图是以属性覆盖对象的程度为偏序进行构图，所以相同支持度下的最大频繁项目集必定含于属性偏序结构图的结点中。如果该层有序对结点与最大共有属性的结点 间满足关系 ∪ i = 1 p g ( m 1 i ) ∪ ∪ i = 1 q g ( m 1 i ) = U ，则进入下一步。这保证了覆盖对象的全面性。也就是说形式背景 相同支持度下的最大频繁项目集必定包含属性集 { m 11 ， m 12 ， ⋯ ， m 1 p } 或 { s 11 ， s 12 ， ⋯ ， s 1 p } 中的元素。属性偏序结构图体现的是自下而上的属性聚合模式，所以可以从上到下扫描属性偏序结构图提取频繁项，即可得到相同支持度下的最大频繁项目集，进而提取无冗余的关联规则。 本文提出的基于属性偏序结构图的关联规则提取按照以下步骤进行。 Step 1：设置最小支持度 min _ s u p ，对形式背景进行第一遍扫描，生成频繁1-项集； Step 2：由形式背景生成对应的属性偏序结构图，记最大共有属性 M 0 下所有共有属性集合和独有属性集合分别为 { m 11 ， m 12 ， ⋯ ， m 1 p } 和 { s 11 ， s 12 ， ⋯ ， s 1 q } ； Step 3：在属性偏序结构图中由上到下依次寻找包含 { m 11 ， m 12 ， ⋯ ， m 1 p } 或 { s 11 ， s 12 ， ⋯ ， s 1 q } 的频繁项集并提取对象支持集； Step 4：设置最小支持度 min _ c o n f ，依据挖掘的频繁项目集提取强关联规则并计算相应的置信度。
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user: 5. 例子说明 例1．表1给出了一个形式背景 ( U ， A ， I ) ，对象集(事物集) U = { 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 } ，属性集 A = { a ， b ， c ， d ， e ， f ， g } 。它们之间的二元关系I如表1所示。表中的1表示对象具有某属性，0表示对象不具有某属性。利用本文所提方法进行关联规则提取步骤如下。 Step 1：设最小支持度 min _ s u p = 2 / 7 ，对形式背景进行第一遍扫描，得到频繁1-项集，见表2。 Step 2：由表1给出的形式背景生成对应的属性偏序结构图 ℜ ，如图1所示。 Step 3：提取属性偏序结构图中的频繁项。由图1可知结点(a， 1234)，(c， 6)和(d， 5)位于属性偏序结构 Table 1 A formal context ( U ， A ， I X\A a b c d e 1 1 1 1 0 0 2 1 1 1 0 1 3 1 0 1 0 0 4 1 1 0 0 1 5 0 0 0 1 0 6 0 0 1 0 0 7 1 1 0 1 0 表1. 形式背景 ( U ， A ， I ) Table 2 Frequent 1-item 频繁项集 支持度 a 5/7 b 4/7 c 4/7 d 2/7 e 2/7 表2. 频繁1-项集 图1. 属性偏序结构图 ℜ ℜ 的第二层，对应的属性分别为a，c，d。在图1中逐层向下搜索寻找相同支持度下的最大频繁项集，得到相同支持度下的最大频繁项集及其支持度如图2所示。 图2. 从属性偏序结构图中提取的频繁项集 Step 4：设 min _ c o n f = 80 % ，结合表1表2的频繁项集进行关联规则提取，得到关联规则，并计算其置信度如下： b ⇒ a ， c o n f i d e n c e ( b ⇒ a ) = s u p p o r t ( a b ) s u p p o r t ( b ) = 100 % ； a ⇒ b ， c o n f i d e n c e ( a ⇒ b ) = s u p p o r t ( a b ) s u p p o r t ( a ) = 80 % ； b c ⇒ a ， c o n f i d e n c e ( b c ⇒ a ) = s u p p o r t ( a b c ) s u p p o r t ( b c ) = 100 % ； e ⇒ a b ， c o n f i d e n c e ( e ⇒ a b ) = s u p p o r t ( a b e ) s u p p o r t ( e ) = 100 % 。
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user: 6. 结果对比分析 关联规则挖掘方法中，最典型的关联规则提取方法是Apriori算法。它是一种逐层搜索的迭代方法。扫描数据库直接得到频繁1-项集，在得到频繁1-项集的基础上寻找频繁2-项集。如此循环，在得到k-项集的基础上得到(k + 1)-项集，直到无法找出高频项集，停止迭代。根据频繁项集，导出所有的关联规则。 在设置同样的最小支持度 min _ s u p 和最小置信度 min _ c o n f 时，利用传统的Apriori算法产生的频繁项集及支持度如表3所示。 根据表3中的频繁项集，提取出的关联规则及置信度如表4所示。 对比可知，Apriori算法得到频繁项目集为11个，在属性偏序结构图中利用本文提出的方法得到的频繁项目集为9个。频繁项目集个数缩减了2个，在一定程度上起到了减少提取关联规则计算时间的作用。基于属性偏序结构图的关联规则提取方法获得的关联规则为 b ⇒ a ， a ⇒ b ， b c ⇒ a ， e ⇒ a b 。与Apriori算法比较减少2个关联规则 e ⇒ a ， e ⇒ b 。而关联规则 e ⇒ a ， e ⇒ b 是所获得的关联规则 e ⇒ a b 的冗余规则，可根据定理2证明。 Apriori算法的不足之处在于，每次寻求频繁k-项集都需要扫描一次数据库，需要对数据库进行反复扫描，占用了大量的时间和空间，并且生成大量的冗余规则。本文提出的方法通过对属性偏序结构图的频繁模式的遍历操作，代替了Apriori算法中对形式背景的多次扫描。在提取的频繁项目集的过程中， Table 3 Frequent items and support degrees are based on Apriori algorith 频繁项集 支持度 频繁项集 支持度 a 5/7 ac 3/7 b 4/7 ae 2/7 c 4/7 be 2/7 d 2/7 abc 2/7 e 2/7 abe 2/7 ab 4/7 表3. Apriori算法产生的频繁项集及支持度 Table 4 Association rules and confidence are based on Apriori algorith 关联规则 置信度 关联规则 置信度 b ⇒ a 100% e ⇒ a b 100% a ⇒ b 80% e ⇒ a 100% b c ⇒ a 100% e ⇒ b 100% 表4. Apriori算法产生的关联规则及置信度 获得的频繁项目集是相同支持度下的最大频繁项目集，从而在属性偏序结构图中寻找频繁项目集比Apriori算法挖掘频繁项目集个数有所缩减，同时更具有代表性，在已有的频繁项目集下生成的关联规则是无冗余的关联规则。除此之外，本文提出的基于属性偏序结构图的关联规则提取方法，使关联关系通过属性偏序结构图的结点的泛化与特化关系直观地体现出来，可读性比较强。如关联规则 b ⇒ a ，对应于属性偏序结构图中的关联结点为 ( a b ， 1247 ) ， ( a b c ， 12 ) ， ( a b c e ， 2 ) ， ( a b e ， 4 ) ，标记出对应关联结点和关联路径，有助于用户理解所提取的关联规则，便于对关联规则进行深入分析。
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user: 7. 总结 本文首先证明了提取相同支持度下的最大频繁项目集即可得到无冗余关联规则。在分析属性偏序结构图的构图原理的基础上，从数学角度说明在属性偏序结构图中提取相同支持度下的最大频繁项目集的合理性和科学性，进而提出了基于属性偏序结构图的关联规则提取方法，获得无冗余的关联规则，实现频繁项分层的关联规则可视化展示。结合对象和属性两个角度从全局的知识背景中去分析关联关系，提高了对潜在知识和非关联关系的利用和发掘程度。将关联规则转换成属性偏序结构图中的知识表示形式，具有较强的可读性，有助于用户对关联规则进行深入分析和研究。
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user: 摘要 本文构建了一类带有时滞效应的修正的Leslie-Gower捕食者–食饵模型，旨在研究时滞效应对捕食者–食饵模型动力学性质的影响。运用时滞微分方程理论，分析了模型中由时滞导致的Hopf分岔的存在性。借助于中心流形定理和规范型理论进一步推导Hopf分岔的方向以及周期解的稳定性。此外，数值模拟揭示了种群的密度与平衡点的稳定性对Allee效应、食饵避难以及时滞的变化具有一定的敏感性。
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user: 1. 引言 由于捕食现象在自然界中的重要性和普遍存在性，捕食者和食饵种群之间的动力学性质一直是生物数学领域研究的重要课题之一。在过去的几十年里，捕食者–食饵模型被广泛的研究并得到了许多有趣的结果 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]。例如Leslie [ 5 ] 和Gower [ 6 ] 建立了如下经典的Leslie-Gower捕食模型： { d u d t = u ( r 1 − a 1 u − c 1 v ) d v d t = v ( r 2 − c 2 v u ) (1.1) 其中， c 2 v u 为Leslie-Gower项。众多学者对模型(1.1)做了改进和研究 [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]，如Aziz-Alaoui和Okiye 考虑到捕食者在其偏好食饵种群缺乏的区域会转向其他食饵种群，从而提出了修正的Leslie-Gower捕食者–食饵模型 [ 10 ]。该模型使得经典的Leslie-Gower模型的局限性得到修正，从而吸引了众多研究者的关注 [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]。基于修正的Leslie-Gower模型，许多不同的因素如脉冲、扩散、随机等被引入模型中进行研究得到了大量的研究成果 [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]。特别地，Ningjin等人 [ 18 ] 将时滞因素引入修正的Leslie-Gower捕食者–食饵模型中，通过分析平衡点的全局渐近稳定性，发现时滞会导致正平衡点失稳。 事实上，时滞在种群的动力学研究中非常常见。在自然界中，生物种群对于某些环境的变化或者种群之间的相互作用无法做出即时的反应，如从捕食者捕获食饵到转化为自身的能量需要一定的时间即消化时滞、从幼体的孕育到出生过程存在妊娠周期即妊娠时滞。为了刻画过去的状态对捕食者–食饵种群的影响，人们在捕食者–食饵模型中引入时滞项。1948年，Wright首次提出时滞的概念并将时滞引入模型中 [ 19 ]，直到1973年May将时滞项纳入捕食者–食饵模型中研究，结果表明时滞会改变系统的稳定性 [ 20 ]。此后，对于时滞的研究吸引了众多学者的兴趣。Yafia等人 [ 21 ] 在带有时滞的修正的Leslie-Gower模型中，证明了极限环的存在性。Celik等人 [ 22 ] 证明了由时滞导致的Hopf分岔，并进一步推导了分岔的方向与周期解的稳定性。Shu等人 [ 23 ] 研究了由时滞导致的稳定性转换、多重失稳与混沌现象。这些研究成果表明时滞效应在种群动力学研究中不容忽视，带有时滞因素的模型动力学性质也更加复杂。 此外，现实生态系统中还存在许多影响捕食者和食饵种群互作关系的因素如Allee效应与食饵避难等。大量的研究表明Allee效应能够丰富模型的动力学性质 [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]；食饵种群的避难行为会影响系统的稳定性与种群密度的变化 [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]。然而，目前综合考虑Allee效应、食饵避难与时滞因素的研究工作较少。因此，为了研究这些不同因素对捕食者–食饵模型动力学性质的重要影响，本文建立了如下带有时滞的修正的Leslie-Gower模型： { d u d t = u ( r 1 − a 1 u − h b + u − c 1 ( 1 − m ) v ) d v d t = v ( r 2 − c 2 v ( t − τ ) ( 1 − m ) u ( t − τ ) + k ) (1.2) 这里， τ 为考虑捕食者种群妊娠期的时滞，u和v分别表示食饵和捕食者种群的密度， r 1 为食饵种群的内禀增长率， r 2 为捕食者种群的内禀增长率， a 1 表示食饵种群内部的竞争引起的内禀增长率的减少，h和b为Allee效应常数， c 1 表示捕食者对食饵的捕食率，m代表食饵避难率并且 m ∈ ( 0 ， 1 ) ，k表示环境为捕食者种群所提供的保护。 h u b + u 为加性Allee效应， c 2 v ( 1 − m ) u + k 是考虑了食饵避难效应的修正的Leslie-Gower项。 本文主要内容组织如下：第二部分为模型的动力学性质分析主要包括正平衡点的存在性与稳定性、Hopf分岔分析以及分岔的方向与周期解的稳定性；第三部分为数值模拟主要包括时序图、相图以及敏感性分析；第四部分为本文的主要结论。
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user: 3. 数值模拟 本节利用数值模拟研究时滞、Allee效应以及食饵避难对模型动力学性质的影响。给定部分参数取值如下： r 1 = 0.6 ， r 2 = 0.3 ， c 1 = 0.1 ， c 2 = 0.1 ， k = 0.1 ， a 1 = 0.01 ， b = 0.7. 此时，时滞参数的临界值和正平衡点为分别为 τ 0 = 1.7529 ， E 5 = ( 6.0051 ， 9.3076 ) 。 在第2节的分析表明时滞会导致平衡点 E 5 失稳，其对应的数值模拟结果分别如图1和图2所示。由图1和图2可以看出当时滞参数小于临界值时( τ = 1.5 < τ 0 )，平衡点 E 5 是稳定的；当时滞参数大于临界值时( τ = 1.9 > τ 0 )， E 5 不稳定且模型中存在稳定的极限环。 图1. m = 0.5 ， h = 0.5 ， τ = 1.5 。(a) 时序图；(b) 相图 图2. m = 0.5 ， h = 0.5 ， τ = 1.9 。(a) 时序图；(b) 相图 图3表明，平衡点 E 5 的稳定性关于时滞参数 τ 值的变化是敏感的。由图可以看出，当时滞参数低于临界值时，正平衡点是稳定的；当时滞参数超过临界值时，正平衡点失去稳定性，并且 τ 值的增大会增强种群密度振荡的幅度。 此外，为了进一步讨论Allee效应常数h和食饵避难项m对模型(1.2)的影响，分别对模型(1.2)关于参数h和m进行了敏感性分析。从图4中可以看出，捕食者种群密度对参数h和m的变化是敏感的。图4(a)中随着参数h值增大时，平衡点由不稳定的状态转为稳定的状态，即参数h值越大越有利于平衡点的稳定。而图4(b)显示，较大或较小参数m值有利于平衡点的稳定，处于中间范围的参数m值会导致种群密度的振荡。当参数m的值逐渐增大，稳定的平衡点由Hopf分岔变得不稳定，随着m值继续增大，平衡点再次经历Hopf分岔最终变为稳定。 图3. 敏感性分析： m = 0.5 ， h = 0.5 。蓝线为稳定平衡点，红线表示捕食者种群最大和最小密度，“Hb”为Hopf分岔点 图4. (a) 敏感性分析： m = 0.5 ， τ = 1.8 ；(b) 敏感性分析： h = 0.5 ， τ = 1.8 。其中绿线为稳定平衡点，红色虚线表示平衡点是不稳定的，蓝线表示捕食者种群的最大和最小密度，“Hb”为Hopf分岔点
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user: 4. 结论 本文建立了一类带有时滞的修正的Leslie-Gower捕食模型，旨在研究时滞效应对模型动力学性质的影响。首先，给出了模型(1.2)中正平衡点的存在性与稳定性分析。其次，证明了模型(1.2)在正平衡点处经历Hopf分岔，进而产生周期解，并进一步计算了Hopf分岔的方向以及周期解的稳定性。最后，利用数值模拟揭示了时滞使正平衡点发生失稳，并且时滞参数的增大会加剧种群密度的振荡幅度。此外，敏感性分析显示，种群的密度变化与平衡点的稳定性对Allee效应参数和食饵避难参数的变化具有一定的敏感性。因此，本文结果表明时滞、Allee效应以及食饵避难的共同作用使模型的动力学性质更加复杂。
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user: 摘要 社会工作作为一项专业的助人活动，起源于西方，使很多受边缘化群体的生活质量得到了改善。为解决我国弱势群体的困境，我国也逐渐开展专业社会工作，帮助服务对象摆脱困境。随着社会工作不断发展进步，在专业工作应用中使用较为广泛的赋权理论也更加受到专家学者的重视。赋权理论强调对个体或群体赋权可以使得服务对象获取生活必需的资源，提高控制生活的能力，消除无权感。我国赋权理论的研究大多是以赋权理论核心概念研究、介入群体研究等方面作为切入点进行赋权理论的应用研究，通过对赋权理论的研究进行梳理，系统地介绍我国学者对社会工作赋权理论的研究现状，为促进社会工作赋权理论在我国的良性发展提供思路，促进我国专业社会工作的发展与完善。
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user: 1. 引言 赋权理论也译作增能理论，始于20世纪70年代的西方。但直到Solomon在他的《黑人赋权：受压迫社区中的社会工作》这本著作中，提出了对受到歧视的美国非洲裔黑人进行增能 [ 1 ]，她认为是由于个体或社会群体的无力感才导致了负面评价，而不是受害者本身。正是这本书的出版，为赋权理论的实践提供了依据及框架，并且在20世纪80年代得到了良好的发展，被广泛应用在社会工作实践当中。赋权理论起源于西方，经过不断发展，形成较为完备的理论体系。赋权既是一种理论，也是一种方法。为社会工作者展开救助提供了理论支持。而我国专业社会工作起步较晚，正处于社会工作专业化和本土化的探索时期，社会工作系统尚不成熟。近年来，随着我国社会工作专业的不断发展，赋权理论在我国社会工作的应用领域也越来越广泛。因此本文将通过梳理我国专家学者对赋权理论的核心概念研究、社会工作介入不同群体研究，以此对赋权理论的发展进行综述。
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user: 2. 赋权理论核心概念定义研究 赋权理论的核心就是赋权。要充分理解赋权理论的内涵，首先要对赋权这个概念进行界定。许多专家学者对“赋权”这一概念进行阐述，不同的学者对赋权的概念又不同的理解与见地。Solomon认为赋权意味着个体出于一定需要从而获取必要的资源的过程，这种需要是能够掌控自己的生活以及对生活环境产生影响的需要。陈树强 [ 2 ] 强调赋权的核心在于使个体由被动的弱者向主动的强者转变，并需要通过为个体提供必要资源及培养和提升能力。Greene等人 [ 3 ] 提出，赋权在个体、团体及社区中具有多种表现形式，主要有自尊、生存能力、自我效能、高度自决以及内部控制。不同的学者对“赋权”的解释略有不同，但大多都强调使个人能够主动地控制自身的生活发展。这种“主动”包含了个人可利用资源的丰富、利用资源能力的提升以及社会参与度的提升。在我国，大陆学者将赋权理解为提高个体能力、促进资源重新分布。港台学者将赋权等同于“个人成长”较为常见。赋权既是社会工作者介入的目标，也是服务对象成长的过程。由学者的研究可以得出，赋权并不是强制性的施加，而是帮助服务对象激发潜能，促进服务对象的发展，逃脱被指责的状态，树立服务对象美好生活的信心，提高服务对象的生活品质，从而促进服务对象的社会参与。而且赋权理论本身强调的是服务对象是有能力的，能力得不到发挥是由于环境或制度的压迫而造成的，这一含义也在各专家学者的诠释中得到了很好的体现。在我看来，赋权的概念与“授人以鱼不如授人以渔”十分相似，如若仅仅强加资源于服务对象身上，不管是对服务对象的发展以及社会资源的利用效率来讲都是有所损害的，一是服务对象的问题不能根除，二是服务对象本身没有能力运用，是对资源的浪费，更加不必提及拓展资源。赋权本身的含义就是不能只顾服务对象的今天，要为服务对象未来的长远发展考虑。赋权不仅是赋权理论的核心概念，也是赋权理论的主要方法。综上所述，赋权的内涵是丰富的，是多维度的，既包含了社会工作介入的方法，又包含了社会工作介入的目标。赋权核心概念的清晰界定有利于社会工作者充分理解该理论的丰富内涵，便于利用理论更好地开展工作。
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user: 3. 我国赋权理论介入不同服务对象群体的研究 赋权的理念最早可以追溯至18世纪的英国睦邻友好互助组织 [ 4 ]，随着自助观念不断深入人心，赋权的对象也由贫穷人群向女性、非裔美国人等被边缘化的群体扩大，赋权范围的扩大与社会工作的服务对象的扩展有很大的相关性。对研究赋权理论介入的学者观点进行综述前，首先要对服务对象群体进行分类。服务对象群体的分类方式主要有以下三种，分别是生理特点、所遇到的问题与困难、经历的相似性。按照生理特点分为儿童群体、青少年群体、老年群体及妇女群体；按照所遇到的问题与困难则有失独、失业、失孤群体；按照经历的相似性则有学生、医务人员、企业人员等群体。不同群体所遇到的问题不同，需要社会工作介入并连接的资源也有很大区别，因此，许多专家学者都以不同群体的独特性以及现实需要作为切入点，以此进行社会工作赋权理论应用于不同群体的研究。我国社会工作起步较晚，随着社会工作的发展，社会工作相关理论也引起了学者的重视。关于赋权理论研究较早的文献是2003年陈树强发表在社会学研究上的文献，提出增权理论是社会工作的一种新视角。在知网中搜索增权理论最早出现的我国本土的文章是2004年发表的与青少年群体以及老年社会工作相关的。而我国的青少年社会工作研究也恰恰于2003年开始兴起。2003年以前，青少年社会工作方面的文献主要是关于香港地区青少年社会工作的研究，通过对香港地区青少年社会工作的学习，2003年以来，逐渐出现对大陆地区青少年社会工作的探索，例如晋源军的青少年社会工作专业化与职业化初探、董明伟关于预防和青少年犯罪的文章。由此可见，在青少年社会工作探索初期，赋权理论就对指导实践提供了很好的思路及视角。同时，随着青少年社会工作和老年社会工作的不断推进，赋权理论作为帮助弱势群体较为有效的方法，应用较多，关于青少年及老年群体领域的赋权理论应用研究也逐渐丰富。社会工作专业化进程不断推进，赋权理论得到了越来越多的实证，积累了许多实践经验，关于赋权理论的研究也越来越呈现出“百家争鸣”的景象。陆玉林在中国青年政治学院特开辟关于青少年研究的专栏，用来梳理我国专家学者对青少年赋权的研究进展。黄肖静在期刊中发表的述评对赋权理论的核心概念、青少年赋权的内在意义以及为什么要对青少年赋权和怎么样对青少年进行赋权进行了清晰地阐述。青少年群体属于弱势群体，需要给予特殊关照和福利照顾。黄肖静 [ 5 ] 认为青少年赋权具有不同的层次，通过分析不同层次的赋权内涵及赋权必要性，以此期望青少年赋权的研究的进步与完善。陆玉林等人 [ 6 ] 针对城市中的弱势青少年群体的赋权进行研究，提出城市中的弱势青少年群体由于条件影响，需主要通过家庭、同辈、社区各个网络的互动来提高城市弱势青少年群体的能力。张长伟 [ 7 ] 则利用赋权理论视角为解决高校贫困学生因家庭经济困难而产生抑郁情绪的“心理贫困”问题。贫困青少年群体承载着双重压力，既有处于青少年时期可能无法处理的难题，也有因贫困而加深的困境。因此，张长伟的研究有利于赋权理论内涵的丰富，有利于更好的指导具体实践。近年来，关于赋权理论介入青少年群体的研究更加注重群体细化，更加注重特殊情境下的青少年群体，例如对贫困大学生的赋权研究逐渐丰富，梁德友 [ 8 ] 提出对贫困大学生的能力赋权，韩丽 [ 9 ] 等人提出在赋权视角下研究帮扶贫困大学生的路径分析以及近年来更加关注贫困大学生的就业问题与心理问题。赋权理论对帮助青少年群体摆脱困境的分析、实践与研究都是基于青少年群体是一般意义上的弱势群体来展开的。但在研究过程中并不能单一的借鉴赋权理论对一般弱势群体的介入过程而展开讨论。事物既有其共性，也有其特性。青少年群体作为弱势群体中较为活跃，且较容易在行为和思想上做出改变的群体，赋权过程较为多变。且随着社会不断发展进步，青少年群体的特点与遇到的问题也在不断发生变化，需要更多专家学者对青少年社会工作实践不断进行深入研究与探讨，不断丰富其工作方法，推动赋权理论在社会工作中的应用。 关于赋权老年群体的研究，有一定的特殊性。由于处在老年人口不断增多的社会背景下，我国针对老年群体的社会工作介入研究相对其他群体的介入研究稍早一些。而针对老年群体赋权的研究则比老年社会工作开始的时间晚很多。而针对老年人群体赋权主要是注重解决老年人因年龄而引发的一系列健康问题以及由健康问题产生的连锁问题。其中孙琼如 [ 10 ] 针对老年受虐待的问题展开讨论，提出基于赋权理论视角结合小组工作方法对受到虐待的老年人群体增能，使受到上海的老年人从中获取资源、提高能力。付再学 [ 11 ] 认为赋权理论可以为老年社会工作提供新思路，创新养老机构的服务模式，从而更好的为老年人提供服务。王英和谭琳 [ 12 ] 则为老年人群体赋权增能提供了新思路，通过建立适合老年人学习的老年教育制度，以此提升老年人控制自己生活的能力，促进老年人的社会参与。随着学者对老年人的社会参与越来越重视，薛泽林 [ 13 ] 提出老年人也在社区秩序重新构建的过程中发挥了一定的作用，需通过对老年人进行赋权增能，相对提高治理能力，促进老年人的社区参与，同时为社区秩序的重构提供新途径。以上学者对赋权理论介入老年群体的研究，都很好的体现了赋权理论的假设，认为个体有能力解决自身所遇到的难题，目前无法充分调动资源解决难题是由于收到了生活环境及制度的压迫，对个体进行赋权，需要联系服务对象的生活环境综合考虑，这一点在促进老年人社区参与中得到了很好的体现。 关于赋权理论介入妇女群体的研究起步较晚，刘梦、陈丽云 [ 14 ] 根据实践经验，将赋权理论引入到妇女小组工作中，探索小组工作本土化的路径。何俊 [ 15 ] 则对可持续发展中的大背景下，妇女为什么需要进行赋权，以及如果不对妇女赋权会产生什么样的连锁问题，以引起社会工作者对赋权理论介入妇女社会工作的重视与反思。在对老年人进行赋权增能时，不少研究者提出老年教育的方法。在妇女赋权的研究中，也有不少学者认为提高妇女受教育水平可以提高妇女的权能。史静寰 [ 16 ] 就通过对中国妇女教育研究的综述提出教育可以提高妇女的能力水平，改善妇女的生活水平。 儿童社会工作也是社会工作中非常重要的一部分。姚进忠和巨东红 [ 17 ] 首先注意到了留守儿童的赋权问题，他们认为由于城市化的进程而导致留守儿童急需社会支持，因此提出建构支持网络对该群体进行立体赋权的概念。值得注意的是，儿童的增能往往是与妇女赋权放在一起进行讨论的，因为儿童的生理特点决定了依赖的主要对象是母亲。妇女能力的提升，能够大大地降低儿童在成长过程中产生的无权感。
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user: 4. 我国赋权理论的研究展望 在百度学术中输入赋权理论后的结果中不难发现，我国学者对于赋权理论的应用群体研究正逐渐向慢性病患者的研究方向迈进，许多关于赋权理论对医务人员以及处于康复期的病患的应用研究正逐渐增加，并受到越来越多学者的重视。社会不断进步，食品安全，饮食生活习惯不规律，使得慢性病患者群体不断飙升，因此，许多专家提升慢性病患者在康复期间的自我管理状况时会将赋权理论得以运用的进步运用赋权理论进行分析。在此之前，并不是没有相关研究，而是近几年来关于患者赋权的研究更加集中与密集。由此可见，赋权理论在医学领域的应用的优势逐渐被大家所认知，但赋权理论介入医务社会工作的文献较少。因此，社会工作者应当加强赋权理论医务社会工作领域中的应用研究。 学者对赋权理论应用群体的研究正在不断细化，不断深化理论的逻辑，并将这套逻辑更好的运用在实践中。由原来的广泛群体研究逐渐变化为针对某一群体的某一热点问题进行研究，逐渐从一般弱势群体的研究向当代新出现的弱势群体以及失权困境进行研究。值得注意的是不仅要研究容易引起话题讨论的特殊群体，更要注重研究意义，研究的实用性。赋权理论现在大概停留在一种视角，而随着更多学者的研究，赋权理论应当逐渐形成一种工作模式。
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user: 5. 总结与讨论 通过对赋权理论核心概念的研究综述，不难发现，赋权的内涵非常丰富，这也是赋权理论受到重视的原因。值得注意的是，赋权不等于使能。使能是另一种对服务对象的压迫，这种压迫不利于服务对象的内控，丧失了社会工作介入的意义。当然，具体应当在什么情况下需要帮助服务对象做出正确的决定，应当在社会工作伦理当中有所体现。社会工作伦理中的部分原则就是来源于赋权理论的假设，比如每个人都是有价值的等等。而我国社会工作专业伦理的发展也需要更多的理论指导实践后，针对出现的问题做出总结，促进专业伦理的发展。因此，赋权理论的研究不仅可以促进社会工作专业方法及工作效果的提升，也可以为社会工作专业伦理的发展提供经验。社会工作专业伦理的发展又能反过来很好地规范社会工作者在对服务对象进行增能赋权时的专业行为。每一个专业领域的发展都是环环相扣，相互促进的。甚至由于赋权理论起源的特殊性，需要借鉴其他领域对赋权理论的应用进行探索与反思。赋权理论的介入过程研究应当更加细致与完善，应当建立完备的操作体系。好比酿造葡萄酒的工艺一般，每一个环节都应具有准确又科学的操作指南，指导工作人员的行动，根据其流程所得出的结果虽不可能百分百相同，毕竟人人都存在其特性，但达成目标的基本方向应当相差无几。赋权理论的研究对社会工作在我国的专业化发展具有重要的意义，需要更多社会工作者的努力实践与探索。
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user: 摘要 自然对流是流体流动和传热的最重要形式之一，如今在矩形腔体对流换热的研究中，科学家进行一系列理论和实验数值求解来探究对流传热中的传热规律和流体运动过程，本文对最近一段时间的矩形腔内自然对流研究以及对这些研究的数值实验技术进行归纳总结。这些研究在各种参数(如瑞利数和普朗特数，腔体倾角，热特性等)的影响下，并考虑了具有不同初始条件和边界条件，热源位置以及流体介质和壁的辐射特性的腔体外壁的多种配置。最后，为所研究矩形腔体内自然对流传热领域的未来研究提供了一些建议。
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user: 1. 引言 腔体内流体自然对流传热广泛存在于自然界和实际生产生活中，小到对纳米流体在腔体中流动和电子电路的设计，大到对航天器材和核反应堆隔热设计等大型科技与工业领域 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]，利用腔体内流体传热特性在腔体的热设计过程中提供参考。当流体内部产生一定的密度梯度，例如由于不同的金属离子密度或者是外力的施与引起流体的密度不均，会发生传质进一步引起流体的对流 [ 5 ]，这里面不同流体的传热特性和运动规律会因外部环境的不同而发生改变，因此受到了大家长时间的广泛关注。 腔体内对流传热可以通过相似原理和量纲分析实现无量纲运算，而他们的主要理论 [ 6 ] 形成于19世纪末到20世纪初，为了减少实验次数并能获得通用性规律，相似原理及量纲分析应运而生，通过有限次数的实验测定得出具有一定通用性的换热规律。上世纪中期，Batchelor [ 7 ] 研究了长方形中流体受到浮力产生的二维对流运动，其中两个长边保持在不同的温度下。几年后，Poots [ 8 ] 数值研究了封闭的水平、斜面和垂直气体层中的层流自由对流。Poots的主要成果是发展了一种以涉及正交近似多项式的双膨胀形式获得二维控制方程解的方法。Wilkes与Churchill [ 9 ] 和De Vahl Davis [ 10 ] 在等温边界条件下进行了研究，对不同长宽比空腔的问题进行了数值研究。 在以往的文献综述中，Das等人 [ 11 ] 对各种形状的腔体结构内自然对流进行了详细的综述。该文总结了三角形、梯形、平行四边形围护结构以及呈弧形和波浪形的壁面、充满流体或多孔介质的围护结构中自然对流传热的研究。Bair等人 [ 12 ] 介绍了并联二极管腔内自然对流的一些研究成果的综述。他们研究了大量的不同形状和倾斜度的腔体的相关参数，例如初始条件、热边界条件、流体和辐射特性的性质、热源分布。同样地，Biswal和Basak [ 13 ] 对各种腔体结构自然对流过程中的熵产生分析工作进行了详细的回顾，涉及不同的实际应用，而Vanaki等 [ 14 ] 对纳米流体的对流传热进行了综述。 在腔体内对流传热，科学家们需要通过数值计算 [ 15 ] 可以研究不同物理情境下，利用这些控制方程无量纲化后得到的特征数来反映相似的传热现象。应该提到的是，腔体环境中发生的大多数流动都是由浮力引起的。在许多实际情况下，雷诺数(即浮力和粘性力的比值)经常超过临界值，流体流动变得湍急。而这些场景的实现是需要一定的数值计算方法来完成计算机模拟，如今在强大的计算机技术背景下，通过数值模拟计算方法计算复杂的对流传热体系。在侧加热矩形腔体中，内部流体因为水平温度梯度的影响使得流体密度产生梯度，进而发生由浮力驱动的对流现象 [ 16 ]。科研人员利用相对应的理论基础为各种数值模拟研究提供研究方法，本文将在接下来的内容中介绍在矩形腔体内对流传热的数值研究方法进展。
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user: 3. 总结 本文对矩形腔体内自然对流进行了一系列回顾，总结过去人们关于在矩形腔体内对流数值计算的方法，主要有四种模拟传热和流体流动的常用方法：有限差分法、有限元法、有限体积法、格子玻尔兹曼法。从最早的有限差分法开始，人们利用其解决一些基础的流体传热问题，随着精度的要求和在复杂边界上的求解，人们在有限差分法的基础上提出了有限元法，它很有效地解决了在复杂边界上算力，流体传热领域可以考虑更多样的传热问题。但有限元法在解决三维方腔内流体传热问题时，会出现在边界处产生一些奇点和报错，随着时间的推进，科学家进一步总结开发有限体积法来解决三维腔体内的流体传热问题，该方法可以应用到大尺度的流体传热的三维模型中去。随着研究的进步发展，人们也开始了对于小尺度矩形腔体内流体传热进行研究，利用有限体积法会在物理问题的解释中出现错误，因为其基本是考虑连续性流体，所以科学家进一步开发了格子玻尔兹曼法，它可以模拟绝大多数在小尺度的腔体内流体传热问题，且很好地解释具体小尺度流体传热现象。 这些方法针对矩形腔体所具有不同的几何形状参数，或者矩形腔体的初始条件和边界条件的不同，科学家们研究了矩形腔体内不同初始条件或者参数的流体传热问题，总结了有价值的实验规律和流体运动现象。而且在研究中人们那也关注了流体种类对流体传热的影响，纳米流体在腔体内的流体传热研究也是热门领域。因此，我们总结前人的工作对未来矩形腔体内对流传热的研究是具有指导意义的，同时人们对数值模拟方法的进步，也在做着自己的迭代，推陈出新。关于矩形腔体内的对流传热在未来还有很大研究的空间，特别是在三维腔体体系对流体流动和传热的影响仍需要探究，并要深入分析对流热的机理，总结归纳三维腔体不同参数维度的条件下流体动力学相图也是仍待研究的。
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user: 摘要 Cantor集是由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入的。因其构思精巧且性质独特，Cantor集应用广泛并且为众多数学问题提供了解决的思路和方法。而Cantor函数是由Cantor集构造的，它的特异性质也可以应用在很多数学问题中。它们特殊奇妙的性质使得其获得无与伦比的魅力，吸引了众多数学工作者对它进行探索和研究。本文从Cantor集与Cantor函数的构造出发，重点探讨了Cantor集与Cantor函数的性质。
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user: 1. 引言 Cantor集是由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入的。因其构思精巧且性质独特，Cantor集应用广泛并且为众多数学问题提供了解决的思路和方法。而且，康托尔和其他数学家通过考虑Cantor集奠定了现代点集拓扑学的基础。而Cantor函数是定义在 [ 0 ， 1 ] 上的一个连续的、单调递增的、几乎处处可微的函数，在实际问题的求解中扮演着重要的角色，而且Cantor函数特殊奇妙的性质使得其获得无与伦比的魅力，吸引了众多数学工作者对它进行探索和研究。如它不满足Newton-Leibniz公式，它可以将疏朗集映成连续区间，它在 [ 0 ， 1 ] 上的导数 Θ ′ ( x ) 几乎处处等于0，即 Θ ′ ( x ) = 0 a.e.于 [ 0 ， 1 ] 且 ∫ [ 0 ， 1 ] Θ ′ ( x ) d m = 0 等。如此多特殊且奇妙的性质使得Cantor函数有着无与伦比的魅力吸引了众多数学工作者对它进行探索和研究。 因此，Cantor集与Cantor函数的研究备受国内外学者的关注。本文从Cantor集与Cantor函数的构造出发，重点探讨了Cantor集与Cantor函数的性质。
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user: 2. Cantor集 2.1. Cantor集构造 Cantor集是数学领域中一个十分重要的点集，也称为Cantor三分集或者Cantor完全集。有界闭区间 [ a ， b ] ( a < b ) 上的Cantor集的构造思想如下： 将有界闭区间 [ a ， b ] 三等分，如图1。 图1. 有界闭区间 [ a ， b ] 三等分示意图 定义算子F： F 1 = F ( [ a ， b ] ) = [ a ， a + b − a 3 ] ∪ [ b − b − a 3 ， b ] ; F 2 = F ( F ( [ a ， b ] ) ) = [ a ， a + b − a 3 2 ] ∪ [ a + 2 ( b − a ) 3 2 ， a + 3 ( b − a ) 3 2 ]                                                         ∪ [ b − 3 ( b − a ) 3 2 ， b − 2 ( b − a ) 3 2 ] ∪ [ b − b − a 3 2 ， b ] . 以此类推得到 F k = F ( F k − 1 ( [ a ， b ] ) ) = [ a ， a + b − a 3 k ] ∪ [ a + 2 ( b − a ) 3 k ， a + 3 ( b − a ) 3 k ] ∪ ⋯   ∪ [ b − ( 3 k − 3 ) ( b − a ) 3 k ， b − ( 3 k − 2 ) ( b − a ) 3 k ] ∪ [ b − ( 3 k − 1 ) ( b − a ) 3 k ， b ] . 这样就得到了集列 { F k ( [ 0 ， 1 ] ) } 。 显然，该集列是递降的，并由单调有界定理知其是收敛集列。 记集列 { F k ( [ 0 ， 1 ] ) } 的极限是Cantor集C，即 C = lim k → ∞ F k ( [ a ， b ] ) . 为Cantor(三分)集，或者Cantor完全集，简称为Cantor集。 称 G ≜ ( [ 0 ， 1 ] \ C ) 为Cantor余集。 2.2. Cantor集性质及证明 以下性质证明中用定义在 [ 0 ， 1 ] 上Cantor函数代替定义在 [ a ， b ] 上Cantor函数，因为有 [ 0 ， 1 ] ~ [ a ， b ] 。其证明过程如下： 注意到 φ ( t ) = ( 1 − t ) a + t b ， t ∈ [ 0 ， 1 ] 是区间 [ 0 ， 1 ] 到区间 [ a ， b ] 的一个一一对应，故区间 [ 0 ， 1 ] 与区间 [ a ， b ] 有相同的基数c。 性质1 Cantor集是有界闭集。 证 对 ∀ i ∈ ℕ + ， F i ( [ 0 ， 1 ] ) 是 2 i 个长度为 3 − i 的互不相交的闭区间的并集，而且由构造过程可知 { F k ( [ 0 ， 1 ] ) } 是一个递降集列，由单调有界定理知该集列收敛，而且其极限集是一个递降闭集列的交，故C是有界闭集。 性质2 Cantor集是非空自密集。 证 设 ∀ x 0 ∈ C ，则 x 0 ∈ F i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ) ，即对每一个i， x 0 属于长度为 1 3 i 的 2 i 个闭区间中的一个。于是，对于 ∀ δ > 0 ， ∃ n ，满足 1 3 i < δ ，使得 F i 中包含 x 0 的闭区间含于 ( x 0 − δ ， x 0 + δ ) 。这个闭区间内有两个端点，它们是C中的点而且总有一个不是 x 0 。因此，说明 x 0 是C的极限点。又由 x 0 的任意性可知 C ′ ⊃ C ，故C为非空自密集。 注：由性质1和性质2可知，Cantor集是完全集。 性质3 Cantor集是疏朗集 [ 1 ]。 证 若想证明C是疏朗集，只需证明C的内部是空集即可。 对任意的点 x 0 ∈ C ，对 ∀ δ > 0 ，取 i ∈ ℕ + ，使得 3 − i < δ 。 由于 F i ( [ 0 ， 1 ] ) 是 2 i 个互不相交的长度为 3 − i 的闭区间的并，故 x 0 的 δ -邻域 ( x 0 − δ ， x 0 + δ ) 内必含有不属于 F i ( [ 0 ， 1 ] ) 的点，从而含有G中的点。 设 ∀ y 0 ∈ ( x 0 − δ ， x 0 + δ ) ∩ G 。因为 y 0 是开集 ( x 0 − δ ， x 0 + δ ) ∩ G 中的点，故存在 ε > 0 ，使得 ∪ ( y 0 ， ε ) ⊂ ( x 0 − δ ， x 0 + δ ) ∩ G ，亦即 ∪ ( y 0 ， ε ) ⊂ ( x 0 − δ ， x 0 + δ ) ， ∪ ( y 0 ， ε ) ∩ C = ∅ 。由 y 0 的任意性知C的内部是空集，即C是疏朗集。 性质4 Cantor余集是开集，因它是 [ a ， b ] 中可列个互不相交的开区间的并，且这些开区间的长度之和为1。 证 事实上， G = ∪ i = 1 ∞ ( [ 0 ， 1 ] \ F i ( [ 0 ， 1 ] ) ) 是可列个互不相交的开区间的并，而 [ 0 ， 1 ] \ F i ( [ 0 ， 1 ] ) 是其中那些长度为 1 3 i 的互不相交的开区间的并，共 2 i − 1 个。它们的长度之和为 2 i − 1 3 i ，故构成G的那些开区间的长度之和为 ∑ i = 1 ∞ 2 i − 1 3 i = 1. 性质5 Cantor集是零测度集。 证 事实上，因为 C = ∩ i = 1 ∞ F i ， 其中的 F i (在构造C的过程中第i步的集合)是 2 i 个长度为 3 − i 的互不相交的闭区间的并集，所以我们有 m * ( C ) ≤ m * ( F i ) ≤ 2 i ⋅ 3 − i ， 从而得知 m ( C ) = m * ( C ) = 0 。故，Cantor集是零测度集。 性质6 Cantor集C具有连续基数c [ 2 ]。 证 若要证明C具有连续基数c，只需证明 C ~ [ 0 ， 1 ] 。 将 [ 0 ， 1 ] 中的点用三进制小数表示，则对 [ 0 ， 1 ] 中任意一点 x ∈ [ 0 ， 1 ] 有 x = 0. a 1 a 2 ⋯ a k ⋯ = a 1 3 + a 2 3 2 + ⋯ + a k 3 k + ⋯ ，其中 a i = 0 ， 1 ， 2 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ， ⋯ ) 。 设 ∀ x 0 ∈ [ 0 ， 1 ] ∩ C 。因 x 0 为C中的点，由Cantor集的构造过程可知，将 x 0 用上述三进制小数表示成 x 0 = 0. b 1 b 2 ⋯ b k ⋯ 具有特点 b i = 0 ， 2 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ， ⋯ ) 。 作映射 φ : C → [ 0 ， 1 ] ， 0. b 1 b 2 ⋯ b k ⋯ ↦ 0. c 1 c 2 ⋯ c k ⋯ ，其中 c i = { 0 ， b i = 0 1 ， b i = 2 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ， ⋯ ) 显然， φ 是C到 [ 0 ， 1 ] 的一个一一对应，则称集合C与集合 [ 0 ， 1 ] 对等。 故知 C ¯ ¯ = [ 0 ， 1 ] ¯ ¯ = c 。
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user: 3. Cantor函数 3.1. Cantor函数构造 定义 Θ ( 0 ) = 0 ， Θ ( 1 ) = 1 ；在 ( 1 3 ， 2 3 ) 上，定义 Θ ( x ) = 1 2 ；在 ( 1 3 2 ， 2 3 2 ) 上，定义 Θ ( x ) = 1 2 2 ；在 ( 7 3 2 ， 8 3 2 ) 上，定义 Θ ( x ) = 3 2 2 。 一般地，对任意自然数k，在 ( 1 3 k ， 2 3 k ) ， ( 7 3 k ， 8 3 k ) ， ( 19 3 k ， 20 3 k ) ， ⋯ ， ( 3 k − 2 3 k ， 3 k − 1 3 k ) 上， Θ ( x ) 的值分别定义为 1 2 k ， 3 2 k ， 5 2 k ， ⋯ ， 2 k − 1 2 k . 当 x ∈ C ， x ∉ { 0 ， 1 } 时，定义 Θ ( x ) = sup { Θ ( t ) | t ∈ G ， t < x } ， 称此函数为Cantor函数。 即 Θ ( x ) = { 0 x = 0 1 x = 1 1 2 x ∈ ( 1 3 ， 2 3 ) 1 2 2 x ∈ ( 1 3 2 ， 2 3 2 ) 3 2 2 x ∈ ( 7 3 2 ， 8 3 2 )   ⋮                   ⋮ 1 2 k x ∈ ( 1 3 k ， 2 3 k ) 3 2 k x ∈ ( 7 3 k ， 8 3 k ) 5 2 k x ∈ ( 19 3 k ， 20 3 k )   ⋮                   ⋮ 2 k − 1 2 k x ∈ ( 3 k − 2 3 k ， 3 k − 1 3 k )   ⋮                   ⋮ sup { Θ ( t ) | t ∈ G ， t < x } x ∈ C ， x ∉ { 0 ， 1 } 3.2. Cantor函数性质及证明 性质1 Cantor函数是 [ 0 ， 1 ] 上连续的单调不减函数 [ 3 ]。 证首先证明Cantor函数是单调不减的，可由上述的Cantor函数构造过程及其定义知，对 ∀ x < y ∈ [ 0 ， 1 ] 有 Θ ( x ) ≤ Θ ( y ) ，故Cantor函数是 [ 0 ， 1 ] 上的单调不减函数。又由Cantor函数的定义可知 Θ ( [ 0 ， 1 ] ) = [ 0 ， 1 ] ，所以Cantor函数不可能有间断点，Cantor函数连续。 性质2 Cantor函数在 [ 0 ， 1 ] 上几乎处处可微。 证 由于Cantor函数 Θ ( x ) 是在闭区间 [ 0 ， 1 ] 上的单调函数，又因为闭区间上的单调函数的不可微点集为零测集 [ 4 ]，所以Cantor函数在 [ 0 ， 1 ] 上的不可微点集是零测集，即Cantor函数在 [ 0 ， 1 ] 上几乎处处可微。 性质3 Cantor函数在 [ 0 ， 1 ] 中的可微点组成的集合的基数为c。 证 Cantor函数在 [ 0 ， 1 ] 中的可微点组成的集合为G，不可微点组成的集合为C。由Cantor集的性质5知 m C = 0 ，易建立集合G与集合 [ 0 ， 1 ] 之间的一一对应。因此， G ¯ ¯ = [ 0 ， 1 ] ¯ ¯ = c 。 性质4 Cantor函数不是绝对连续函数。 证 注意到Cantor函数是依Cantor完全集C的结构构造的， C = lim k → ∞ F k ( [ 0 ， 1 ] ) 。而 F k ( [ 0 ， 1 ] ) 是 2 k 个互不相交的长度为 1 3 k 的闭区间的并，故对任意的 δ > 0 ，存在 k ∈ ℕ + ，使 2 k ⋅ 1 3 k < δ 。 将构成 F k ( [ 0 ， 1 ] ) 的所有闭区间从左到右记为 [ x 1 ， y 1 ] ， [ x 2 ， y 2 ] ， ⋯ ， [ x p ， y p ] ， 其中 p = 2 k ， 0 = x 1 < y 1 ≤ x 2 < y 2 ≤ ⋯ ≤ x p < y p = 1 ， y i − x i = 1 3 k ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， p . 所以 ∑ i = 1 k | y i − x i | = p 3 k = 2 k 3 k < δ . 由于Cantor函数连续，且在Cantor余集G的每个构成区间上都取常值，故 0 = Θ ( x 1 ) < Θ ( y 1 ) = Θ ( x 2 ) < Θ ( y 2 ) = ⋯ = Θ ( x p ) < Θ ( y p ) = 1 ， 因此有 ∑ i = 1 k | Θ ( y i ) − Θ ( x i ) | = 1 > 1 2 = ε 0 . 故Cantor不是绝对连续函数。 注：Cantor函数 Θ ( x ) 在 [ 0 ， 1 ] 上不是常值函数且几乎处处可微，且 Θ ′ ( x ) = 0 a.e.于 [ 0 ， 1 ] ，故Cantor函数是 [ 0 ， 1 ] 上的Lebesgue奇异函数。
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user: 4. Cantor集和Cantor函数的应用 Cantor集和Cantor函数的构思巧妙，性质十分特别。Cantor集是Cantor在解三角级数问题时做出来的，它具有若干重要特征。Cantor函数是由Cantor集构造的，它的特异性质也可以应用在很多数学问题中。 4.1. Cantor集可作为否定命题的反例 i) Lebesgue可测集一定是Borel集 [ 5 ]。 Cantor集不为Borel集且它的外测度为零，故为Lebesgue可测集。 ii) 测度为零的集合一定是可列集 [ 6 ]。 因Cantor集 C ¯ ¯ = c ，故其不是可列集且测度为零。 iii) 疏朗集均为孤立点集。 Cantor集为疏朗集，但 C ′ = C 是完全集，故不为孤立点集。 iv) 不含有孤立点的非空闭集一定含有内点。 Cantor是不含有孤立点的非空闭集，但由于其还是疏朗集，故其没有内点。 4.2. Cantor函数可作为否定命题的反例 i) 在连续映射下可测集的象一定可测。 Cantor函数 Θ ( x ) ，令 f ( x ) = x + Θ ( x ) 2 ，则 f : [ 0 ， 1 ] → [ 0 ， 1 ] 为严格单调增的连续函数。并使得 m ( f ( C ) ) = 1 2 ，其中C为Cantor集，取不可测集 W ⊂ f ( C ) ，则有 f − 1 ( W ) ⊂ C 可测，使 f ( f − 1 ( W ) ) = W 不可测。 ii) 在连续映射下可测集的原象一定可测。 上例中的函数f为 [ 0 ， 1 ] 上的同胚映射，且其反函数 f − 1 在 [ 0 ， 1 ] 上连续递增，可以使得可测集 f − 1 ( W ) 的原象W不可测。 iii) 所有连续函数均满足Newton-Leibniz公式。 Cantor函数 Θ ( x ) 不满足Newton-Leibniz公式。Cantor函数 Θ ( x ) 在 [ 0 ， 1 ] 上几乎处处可微，且 Θ ′ ( x ) = 0 a.e.于 [ 0 ， 1 ] ，在 [ 0 ， 1 ] 上几乎处处连续，故R-可积。但是 ∫ 0 1 Θ ′ ( x ) d x = 0 < 1 = Θ ( 1 ) − Θ ( 0 ) . 故不满足Newton-Leibniz公式。
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user: 摘要 实体解析(ER)是数据集成和数据清洗的一个重要步骤。判断记录是否相似可以通过记录的属性(属性值)是否相似来判断。基于规则的实体解析方法，通过制定规则来将每个属性(属性值)的相似度都进行比较(属性匹配规则)，为了减小其求解的搜索空间，属性匹配规则将每个属性都采用相同的相似度算法和阈值来进行比较，这导致实体解析的精度不高。为了提高精度，本文提出一种基于布尔匹配规则的改进的实体解析规则生成算法，与传统的基于属性匹配规则和机器学习的实体解析方法相比，改进的实体匹配规则算法精度更高。本文首先提出一种基于语法约束的布尔匹配规则。在此基础上，本文提出了一种规则合成(Rule Evolution)算法，他可以根据输入的实例验证规则，并自动合成对整个数据集有效的ER规则。在真实数据集和合成数据集上的实验结果表明，我们的方法具有很高的准确性，本文提出的规则在有效性上优于其他可解释规则(如低深度的决策树，其他基于规则的实体解析)。
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user: 1. 引言 实体解析 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] (也称为记录链接或重复记录检测)是识别代表同一真实世界实体的记录的过程。例如，在房地产数据集中，合并两个楼盘表。可能希望合并它们所有的记录。在这种情况下，同一个楼盘可能由多个记录表示，因此必须标识并组合这些匹配的记录。 当今主流的实体解析中基于机器学习(ML)的解决方案通常是首选，当前大多数解决方案是Fellegi-Sunter模型的变体 [ 4 ]，其中实体解析被视为分类问题。这些方法包括基于SVM的方法 [ 5 ]，基于决策树的方法 [ 6 ]，基于聚类的技术 [ 7 ] 和基于马尔可夫逻辑的模型 [ 8 ]。但是，使用ML方法的系统(如支持向量机 [ 5 ] 或模糊匹配 [ 4 ] )不支持可解释性，因为它们的模型由权重和功能参数组成，即使对于专业人员也很难解释。 随着Amazon Mechanical Turk社区中众包工作者的涌现，最近的研究重点已转移到利用人类智慧来帮助验证不确定的记录对。由于众包平台的普及，人们一直在努力利用众包工作者解决实体匹配问题 [ 9 ] [ 10 ]。 最近基于规则的实体解析应用通常希望使用声明性EM规则。这样的规则在数据库社区中也很流行，因为它们为提高执行时的性能提供了巨大的机会，例如 [ 11 ] 中研究的那些规则。但是，这些方法通常假设ER规则是由领域专家给出的 [ 12 ]，通过假设给定的DNFEMrule结构来发现相似性函数及其关联的阈值。然而，由于手写实体解析规则非常耗时和容易出错，本文研究是能否能通过学习正反实例自动生成可解释的ER规则。 布尔匹配规则通常在基于规则的系统中设计和实现。布尔匹配规则对在比较步骤中生成的比较属性的相似性值给出true或false (是或否)决定。因为比较组件通常是ER过程中计算上最昂贵的组件，所以以前的研究通过开发算法来减少必须比较的候选记录对的数量，同时找到所有可能的匹配项。本文为了生成更精确规则，本文提出下面的规则生成方法。首先，引入并构建了基于语法约束的布尔匹配规则。将布尔匹配规则所需的属性匹配规则和布尔匹配规则建模成语法，将所需的实例建模成语法所需的约束。并在求解器中进行合成。为了使布尔匹配规则在求解器中，本文提出了新的ER合成规则算法来自动生成ER规则。此外本文还提出了一种自定义求解器的算法来将自定义求解器发现数值阈值，将通过合成器为元素选择的正示例(E')和反示例(E)分隔开。本文的主要贡献如下： 1) 为了生成简洁可解释的规则，本文提出了一个新的基于语法约束的布尔匹配规则。(第3节) 2) 为了能在求解器中自动合成规则，本文设计了一种新的合成算法Rule Evolution。采用反例引导归纳综合的思想，从少量实例中进行规则合成。(第4节) 3) 反例引导归纳综合使用的合成器(程序)不能进行复杂的数值函数的推理，本文提出了一种自定义求解器算法将自定义求解器发现数值阈值，将通过合成器为元素选择的正示例(E’)和反示例(E)分隔开。(第4节) 4) 通过实验验证了本文的系统在匹配精度明显优于其他可解释模型，但是我们的规则有更少的子句。在精度方面，它也可以与其他不可解释的模型相比较。(第5节)