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user: 3. 基于对应分析与典型相关分析的数据处理与解读 3.1. 对应分析原理 设有n个样品，每个样品有p个变量，即数据矩阵为： X = ( x i j ) n × p (3.1.1) 行和、列和与总和： x i . = ∑ j = 1 p x i j ， x . j = ∑ i = 1 n x i j ， x .. = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 p x i j (3.1.2) 对数据矩阵X作对应分析的具体步骤： 1) 由数据矩阵X计算规格化的概率矩阵 P = ( p i j ) n × p 。 2) 计算过渡矩阵 Z = ( z i j ) = [ ( p i j − p i . p . j ) / p i . p . j ] n × p = ( x i j − x i . x . j / x .. x i . x . j ) n × p (3.1.3) 3) 进行因子分析 a) R型因子分析：计算协方差矩阵 A = Z T Z 的特征值 λ 1 ， λ 2 ， ⋯ ， λ p ，按照累积百分比 ∑ i = 1 m λ i / ∑ i = 1 p λ i ≥ 85 % ，取前m个特征值 λ 1 ， λ 2 ， ⋯ ， λ m ，并计算对应的单位特征向量 u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u m ，得到因子荷载矩阵： F = [ u 11 λ 1 u 12 λ 2 ⋯ u 1 m λ m u 21 λ 1 u 22 λ 2 ⋯ u 2 m λ m ⋮ ⋮ ⋮ u p 1 λ 1 u p 2 λ 2 ⋯ u p m λ m ] (3.1.4) b) Q型因子分析：由上述求得的特征值，计算 B = Z Z T 所对应的单位特征向量 v i = 1 λ i Z u i ，得到因子荷载矩阵 G = [ v 11 λ 1 v 12 λ 2 ⋯ v 1 m λ m v 21 λ 1 v 22 λ 2 ⋯ v 2 m λ m ⋮ ⋮ ⋮ v p 1 λ 1 v p 2 λ 2 ⋯ v p m λ m ] (3.1.5) c) 在同一坐标轴上作变量点图与样品点图：分析变量点之间的关系；分析样品点之间的关系；同时综合分析变量点和样品点之间的关系。 3.2. 典型相关分析原理 假设有两组变量，一组变量为 x = ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x p ) T ，另一组变量为 y = ( y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y q ) T ，且 p ≤ q ，变量x与变量y的协方差阵为： Σ = C o v ( x ， y ) = [ V a r ( x ) C o v ( x ， y ) C o v ( y ， x ) V a r ( y ) ] = [ Σ 11 Σ 12 Σ 21 Σ 22 ] (3.2.1) 为研究变量x与变量y之间的线性相关关系，我们考虑它们之间的线性组合： { u = a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a p x p = a T x v = b 1 y 1 + b 2 y 2 + ⋯ + b q y q = b T y (3.2.2) u和v的方差和协方差分别为： V a r ( u ) = V a r ( a T x ) = a T V a r ( x ) a = a T Σ 11 a V a r ( v ) = V a r ( b T y ) = b T V a r ( y ) b = b T Σ 22 b C o v ( u ， v ) = C o v ( a T x ， b T y ) = a T C o v ( x ， y ) b = a T Σ 12 b (3.2.3) 两个新变量u和v之间的相关系数(即典型相关系数)为： ρ = C o r r ( u ， v ) = C o r r ( a T x ， b T y ) = a T Σ 12 b ( a T Σ 11 a ) ( b T Σ 22 b ) (3.2.4) 由于变量u和v乘以不为零常数不改变它们之间的相关性，即对任意常数 c ≠ 0 ，有 C o r r ( c u ， c v ) = C o r r ( u ， v ) ，所以通常需对a和b附加约束条件，使变量a和b唯一，最好的约束条件是： { V a r ( u ) = V a r ( a T x ) = a T V a r ( x ) a = a T Σ 11 a = 1 V a r ( v ) = V a r ( b T y ) = b T V a r ( y ) b = b T Σ 22 b = 1 (3.2.5) 也即在约束条件下求a和b，由式： G = a T Σ 12 b − λ 2 ( a T Σ 11 a − 1 ) − μ 2 ( b T Σ 22 b − 1 ) (3.2.6) 通过拉格朗日乘数法，分别对向量a和b求导，并令其为0，经计算整理后，得： { a T Σ 12 b = λ ⋅ a T Σ 11 a = λ b T Σ 21 a = μ ⋅ b T Σ 22 a = μ (3.2.7) 但 ( b T Σ 21 a ) T = a T Σ 21 b = ρ ，所以 λ = μ = ρ ，即 λ 恰好就是u和v的相关系数。 在经整理可得： { A a = λ 2 a B b = λ 2 b (3.2.8) λ 2 既是A的特征根又是B的特征根，a和b是其相应的特征向量。 一对典型变量为： { u i = a i 1 x 1 + a i 2 x 2 + ⋯ + a i p x p = a i T x v i = b i 1 y 1 + b i 2 y 2 + ⋯ + b i p y p = b i T y (3.2.9) 3.3. 基于对应分析研究城市与空气质量之间的关系 根据对应分析结果，如图1所示。可以看出：北京、郑州、济南三个城市2015年全年的空气污染情况大致相同，处于轻度污染、中度污染和重度污染之间。乌鲁木齐、石家庄、西安、呼和浩特等城市，空气质量主要处于良和轻度污染之间。南昌、拉萨、贵阳、昆明、哈尔滨，这些城市的全年空气质量大致处于优与良之间。而海口与福州全年空气质量主要为优。 图1. 全国主要城市空气污染情况对应分析图 根据这些城市具体情况分析，大致得出以下结论：一、沿海城市空气污染程度明显好于非沿海城市，说明当前来讲，大气扩散条件的好坏，会影响到城市的空气质量。二、依据库兹涅兹曲线(以人均财富增长为横坐标，以环境污染指标分配为纵坐标，二者关系遵循倒U型曲线规律) [ 4 ] 。若以成都为例，成都在2015年人均GDP已进入“发达国家”水平，所以成都空气质量应该较好，但实际情况是处于良与轻度污染之间。这说明成都存在人均财富分配不均衡，或者政府的环境治理政策存在问题。三、根据城市污染情况，也可看出不同产业和能源结构对城市污染具有很大影响。如郑州以煤炭为主要能源来源 [ 5 ] ，对空气质量影响明显，空气质量长期处于污染分类中。而昆明则以旅游为主要产业，在空气质量方面具有明显优势 [ 2 ] 。同时一些城市，如长沙，处于产业优化升级阶段，存在经济发展与工业废气呈负相关的关系 [ 6 ] 。 3.4. 基于典型相关分析研究主要城市废气排放对空气质量指标的影响 1) 在对城市废气排放与空气中CO、SO 2 和NO 2 等指标进行典型相关分析，相关性如下表4所示，发现两者并不存在直接的相关关系。这与一般的认知并不相符，经分析后认为，由于选取全国31个主要城市，存在有不同的区位条件，因此存在大气扩散条件不同的因素，而在空气质量中，这也是很重要的影响因素 [ 7 ] 。所以判断，空气质量受不同城市的风力等大气扩散条件影响。 Table 4 Canonical correlation analysi Cor 0.70509305 0.57147715 0.51233040 0.31907401 0.30930536 0.06903309 表4. 典型相关分析 2) 鉴于城市区位扩散条件的影响，于是对空气中CO、SO 2 、NO 2 和PM 2.5 、PM 10 等空气指标进行典型性相关分析，由于这些数据是直接决定空气质量的指标，所以不存在受不可控因素干扰检验的可能。经检验前两列典型相关变量相关系数显著，但根据相关性结果看，第一组相关性较好，结果如下表5~7所示。 Table 5 Canonical correlation analysi Cor 0.9112689 0.5584002 表5. 典型相关分析相关性 Table 6 Canonical correlation analysis for U xcoef [，1] [，2] PM 2.5 0.009718337 0.357534 PM 10 0.174149964 −0.3124048 表6. U i 典型相关变量结果 Table 7 Canonical correlation analysis for V ycoef [，1] [，2] [，3] [，4] SO 2 0.05071641 0.001070345 0.20030323 −0.006962014 CO 0.09547422 −0.188519541 −0.118225765 −0.064796227 NO 2 0.07978821 0.20400649 −0.029710909 0.09247478 O 3 0.01023794 −0.012659033 −0.005763517 −0.202667627 表7. V i 典型相关变量结果 可得出前两对典型相关变量来的表达式： 第一组典型相关变量表达式： U 1 = 0.009718337 X 1 + 0.174149964 X 2 V 1 = 0.05071641 Y 1 + 0.09547422 Y 2 + 0.07978821 Y 3 + 0.01023794 Y 4 第二组典型相关变量表达式： U 1 = 0.357534 X 1 − 0.3124048 X 2 V 1 = 0.001070345 Y 1 − 0.188519541 Y 2 + 0.20400649 Y 3 − 0.012659033 Y 4 根据典型荷载系数，可以看出PM 10 的荷载系数较大，说明在空气中颗粒物主要是这个范围内的影响较大。再根据 V 1 中各个变量的荷载系数，可以看出CO、NO 2 、SO 2 依次对PM 2.5 、PM 10 影响较大，这与贺祥 [ 3 ] 在对长三角洲主要城市空气污染物浓度变化对PM 2.5 影响较大是相符合的。说明在大气污染治理中，如何控制CO、NO 2 、SO 2 这三种主要污染物的排放，是治理大气污染的关键。