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user: 3. 算法整体框架 本文算法结构框图如图1所示，主要分为三个部分。第一步首先使用不同尺度的高斯模板对原始红外图像进行平滑操作，抑制部分目标信息，得到三个低通滤波图像；第二步使用加速近端梯度法进一步对第一步所得到的三幅图像进行低秩稀疏分解分别得到三个低秩背景矩阵，取三个低秩矩阵相对应位置的最大像素值得到的图像为最终的背景图像；第三步对原始图像与第二步所得到的背景图像进行归一化并作差得到目标显著性图，最后进行阈值分割得到最终的检测结果。 图1. 算法结构框图 3.1. 高斯尺度空间 高斯滤波是对图像进行平滑处理的一种低通滤波器，对图像的处理分为两种：一种是基于模板卷积的空域处理，利用模板在图像上滑动，与原始图像相对应像素值的加权相乘取平均值代替中心位置的像素；另外一种是结合傅里叶变换实现对图像的频率域滤波。本文所使用的是空域滤波。 高斯尺度空间是用原始红外图像与高斯核函数卷积而得 [ 19 ] [ 20 ]，如下： L ( x ， y ， δ ) = F ( x ， y ) ∗ G ( x ， y ， δ ) (2) 式中 F ( x ， y ) 为原始图像， G ( x ， y ， δ ) 为方差为 δ 高斯核模板，也可称为尺度因子， L ( x ， y ， δ ) 为所生成的高斯尺度空间， G ( x ， y ， δ ) 的具体表达如下所示： G ( x ， y ， δ ) = 1 2 π δ 2 e − ( x 2 + y 2 ) / 2 δ (3) 式中 x 2 + y 2 代表着高斯模中一点与模板中心的距离，利用高斯核模板与图像进行卷积可以去除图像的高频成分以及小细节，改善图像的质量。 在高斯模板与图像进行卷积时，当方差 δ 确定，模板尺寸越大，则卷积之后所得的图像越模糊。当模板尺寸大小确定，方差 δ 越大则卷积之后图像越模糊，即小的 δ 度量的是图像的细节信息，大的 δ 度量的是图像的概貌特征。 3.2. 加速近端梯度法 加速近端梯度算法(Accelerated Proximal Gradient， APG) [ 21 ] [ 22 ] 是解决低秩稀疏分解问题的经典算法。将高斯平滑后的图像看做为由背景和目标组成，如下式： (4) 式中H为高斯平滑后的图像，B为背景部分，具有低秩性，H为残留的目标信息，具有稀疏性。结合RPCA问题将式(3)进一步转化为凸优化问题，如下： min ‖ B ‖ ∗ + λ ‖ H ‖ 0     s .t     L = B + H (5) 式中 ‖ B ‖ ∗ 为矩阵的核范数，是矩阵B的奇异值之和； ‖ H ‖ 0 为矩阵的零范数，是矩阵T中非零元素之和。使用APG算法求解该凸优化问题，首先将其转化为无约束优化问题 [ 23 ]： L ( B ， H ， μ ) = μ ( ‖ B ‖ ∗ + λ ‖ H ‖ 1 + 1 2 ‖ L − B − H ‖ F 2 ) (6) 式中 μ 为一个正参数，在求解过程中 μ 的值随着迭代次数的增长而逐渐减小，直到达到其下界 μ ˜ 。简化上式，另 L ( B ， H ， μ ) = g ( B ， H ， μ ) + f ( B ， H ) ，可得： (7) f ( B ， H ) = 1 2 ‖ L − B − H ‖ F 2 (8) 其中式(6)为不可微函数，式(7)是光滑并且具有Lipschitz连续性。引入两个与矩阵L大小相同的两个矩阵 Y B 和 Y H ，做 L ( B ， H ， μ ) 的部分二次逼近为 Q ( B ， H ， μ ， Y B ， Y H ) = g ( B ， H ， μ ) + f ( Y B ， Y H ) + 〈 ∇ f ( Y B ， Y H ) ， ( B − Y B ， H − Y H ) 〉         + 1 2 L f ‖ ( B − Y B ， H − Y H ) ‖ F 2 (9) 进一步求解得： Q ( B ， H ， μ ， Y B ， Y H ) = g ( B ， H ， μ ) + f ( Y B ， Y H ) + 〈 Y B − ( L − Y H ) ， B − Y B 〉         + 〈 Y H − ( L − Y B ) ， H − Y H 〉 + 1 2 L f ‖ B − Y B ‖ F 2 + 1 2 L f ‖ H − Y H ‖ F 2 (10) 由式(10)可以看出该算法的收敛速度很大程度上取决于 Y B ， Y H 的选择，这里令 Y B = Y B k ， Y H = Y H k ， μ = μ k 。 当 H = H k 时，由以上公式可以推导出： B k + 1 = arg min R Q ( B ， H k ， μ k ， Y B k ， Y H k ) = S L f − 1 μ k ( Y B k + L f − 1 ( L − Y B k − Y H k ) ) (11) 当 R = R k + 1 时，可得 H k + 1 = arg min R Q ( B k + 1 ， H k ， μ k ， Y B k ， Y H k ) = S L f − 1 μ k ( Y H k + L f − 1 ( L − Y B k − Y H k ) ) (12) 式中 S L f − 1 μ k [ . ] 是奇异值收缩(Shrinkage)算子，其定义为 [ 24 ]： S ε [ z ] = { z − | ε | ，       if   z > | ε | 0 ，                       if   z ≤ | ε | (13) 设置更新 Y B 和 Y H 时的迭代更新步长参数 t k ： t k + 1 = 1 2 ( 1 + 1 + 4 t k 2 ) (14) 进一步可以得到 Y R 、 Y T 的迭代更新公式： Y B k + 1 = B k + t k + 1 − 1 ( t k − 1 ) ( B k − B k + 1 ) (15) Y H k + 1 = H k + t k − 1 ( t k − 1 ) ( H k − H k + 1 ) (16) 参数 的迭代更新为： μ k + 1 = max ( η μ k ， μ ˜ ) ， μ ˜ > 0 ， 0 < η < 1 (17) 将上述计算应用到对经过高斯平滑后的红外图像进行处理，可以分别得到一个低秩背景 B = B k ，稀疏矩阵 H = H k 。 3.3. 目标的检测 考虑在高斯滤波卷积模板的大小以及方差 δ 不同则对图像的平滑效果不同，且红外图像中小目标的尺寸的不确定性。本文使用三种不同尺度以及不同方差的高斯核模板与图像进行卷积，得到三个不同尺度的高斯空间，模板大小为 d × d ， d = 3 ， 5 ， 7 ，其方差满足 d = 2 2 δ 。 对不同的高斯尺度空间图像进行低秩稀疏分解，取三个尺度所得的低秩矩阵的最大值如式(18)所示： B b ( x ， y ) = max [ B 1 ( x ， y ) ， B 2 ( x ， y ) ， B 3 ( x ， y ) ] (18) 式中 B 1 ( x ， y ) ， B 2 ( x ， y ) ， B 3 ( x ， y ) 分别为所得到的三个尺度空间中的低秩背景图像， B b 是本文算法所得到的最终的背景图像，对原始图像与 B b 进行归一化并做差，得到目标显著性图： H b = L − R b (19) 式中 H b 为所得目标显著性图，对其进行阈值分割，将小于阈值的像素值置零，大于阈值的保留，得到最终的目标检测结果。设阈值为 [ 20 ]： (20) 式中，TH为所计算的阈值， μ 是 H b 的均值，std是 H b 的标准差，k是加权系数。在本文算法中，k取值范围为5至10。