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user: 2. 转换波 首先，我们给出以下变换 [ 1 ] u = 6 ( ln f ) x x ， (2) 其中， f = f ( x ， y ， t ) 是一个未知的实函数。将方程(2)代入方程(1)，得到双线性式 [ 1 ]： ( D x 6 + 5 D x 3 D y − 5 D y 2 + D x D t ) f ⋅ f = 0. (3) 其中， D x ， D y 和 D t 表示Hirota双线性算子被定义为 [ 15 ] D x m D y n D t s f ⋅ g = ( ∂ ∂ x − ∂ ∂ x ′ ) m ( ∂ ∂ y − ∂ ∂ y ′ ) n ( ∂ ∂ t − ∂ ∂ t ′ ) s f ( x ， y ， t ) ⋅ g ( x ′ ， y ′ ， t ′ ) | ( x = x ′ ， y = y ′ ， t = t ′ ) 它的N-孤立波解为 u N = 6 ( ln f N ( x ， y ， t ) ) x x ，   f N = ∑ μ = 0 ， 1 exp ( ∑ i = 1 N μ i η i + ∑ i < j ( N ) μ i μ j A i j ) ， (4) 其中， η i = k i ( x + l i y + ω i t ) + η i ( 0 ) ，   ω i = − k i 4 − 5 k i 2 l i + 5 l i 2 ， e A i j = k i 4 − 3 k i 3 k j + k j 4 + ( l i − l j ) 2 − 3 k i k j ( k j 2 + l i + l j ) + k i 2 ( 4 k j 2 + 2 l i + l j ) + k j 2 ( l i + 2 l j ) k i 4 + 3 k i 3 k j + k j 4 + ( l i − l j ) 2 + 3 k i k j ( k j 2 + l i + l j ) + k i 2 ( 4 k j 2 + 2 l i + l j ) + k j 2 ( l i + 2 l j ) (5) k i ， l i ， ω i 和 η i ( 0 ) 是自由常数。 考虑 N = 2 ，取 k i ， l i 和 η i ( 0 ) 为复常数，即 k 1 = m 1 + i n 1 = k 2 * ，   l 1 = p 1 + i q 1 = l 2 * ，   η 1 ( 0 ) = ln λ 1 2 + δ 1 + i γ 1 = ( η 2 ( 0 ) ) * ， (6) 其中， ∗ 表示复共轭， m 1 ， n 1 ， p 1 ， q 1 ， λ 1 ( > 0 ) ， δ 1 和 γ 1 是实值的。把上式代入(4)，我们得到 f 2 为 f 2 ~ 2 λ 2 cosh ( ξ 1 + ln λ 2 ) + λ 1 cos Λ 1 ， (7) 其中， ξ 1 = m 1 x + ( m 1 p 1 − n 1 q 1 ) y + ( m 1 ω 1 R − n 1 ω 1 I ) t + δ 1 ， (8) Λ 1 = n 1 x + ( m 1 q 1 + n 1 p 1 ) y + ( m 1 ω 1 I + n 1 ω 1 R ) t + γ 1 ， (9) K 1 = 3 n 1 4 − m 1 2 n 1 2 − 3 n 1 2 p 1 − m 1 n 1 q 1 − q 1 2 3 m 1 4 − m 1 2 n 1 2 + 3 m 1 2 p 1 − m 1 n 1 q 1 − q 1 2 ， (10) λ 2 = 1 4 λ 1 2 K 1 ， (11) ω 1 R = − m 1 4 + 6 m 1 2 n 1 2 − n 1 4 − 5 m 1 2 p 1 + 5 n 1 2 p 1 + 5 p 1 2 + 10 m 1 n 1 q 1 − 5 q 1 2 ， ω 1 I = − 4 m 1 3 n 1 + 4 m 1 n 1 3 − 10 m 1 n 1 p 1 − 5 m 1 2 q 1 + 5 n 1 2 q 1 + 10 p 1 q 1 ， (12) 我们把方程(7)带入方程(4)得到呼吸波解 u = 24 λ 2 m 1 2 − 6 λ 1 2 n 1 2 + 12 λ 1 λ 2 ( m 1 2 − n 1 2 ) cosh ( ξ 1 + ln λ 2 ) cos Λ 1 ( 2 λ 2 cosh ( ξ 1 + ln λ 2 ) + λ 1 cos Λ 1 ) 2 + 24 m 1 n 1 λ 1 λ 2 sinh ( ξ 1 + ln λ 2 ) sin Λ 1 ( 2 λ 2 cosh ( ξ 1 + ln λ 2 ) + λ 1 cos Λ 1 ) 2 . (13) 呼吸波解由双曲函数以及三角函数组成。双曲函数和三角函数分别决定孤立波源和周期波源的行为。因此，呼吸波可以被认为是它们的非线性组合。当波数满足 | m 1 m 1 p 1 − n 1 q 1 n 1 m 1 q 1 + n 1 p 1 | = 0. 即 q 1 = 0. (14) 此时，呼吸波发展成了另一种叫做转换波的波。在这种情况下，方程(7)中的函数 f 2 被改写为 f 2 = 2 λ 2 cosh ( ξ 1 * + ln λ 2 ) + λ 1 cos Λ 1 * ， (15) 其中， ξ 1 * = m 1 x + m 1 p 1 y + ( m 1 ω 1 R * − n 1 ω 1 I * ) t + δ 1 ， (16) Λ 1 * = n 1 x + n 1 p 1 y + ( m 1 ω 1 I * + n 1 ω 1 R * ) t + γ 1 ， (17) K 1 ∗ = 3 n 1 4 − m 1 2 n 1 2 − 3 n 1 2 p 1 3 m 1 4 − m 1 2 n 1 2 + 3 m 1 2 p 1 ，     λ 2 = 1 4 λ 1 2 K 1 * ， (18) ω 1 R ∗ = − m 1 4 + 6 m 1 2 n 1 2 − n 1 4 − 5 m 1 2 p 1 + 5 n 1 2 p 1 + 5 p 1 2 ， ω 1 I ∗ = − 4 m 1 3 n 1 + 4 m 1 n 1 3 − 10 m 1 n 1 p 1 ， (19) 我们将方程(15)代入方程(4)得到转换波解的表达式为 u = 24 λ 2 m 1 2 − 6 λ 1 2 n 1 2 + 12 λ 1 λ 2 ( m 1 2 − n 1 2 ) cosh ( ξ 1 * + ln λ 2 ) cos Λ 1 * ( 2 λ 2 cosh ( ξ 1 * + ln λ 2 ) + λ 1 cos Λ 1 * ) 2 + 24 m 1 n 1 λ 1 sinh λ 2 ( ξ 1 * + ln λ 2 ) sin Λ 1 * ( 2 λ 2 cosh ( ξ 1 * + ln λ 2 ) + λ 1 cos Λ 1 * ) 2 . (20) 当参数满足一定的物理条件时，转换波可以被展示为M型孤子(见图1)、振荡W型(M型)孤子(见图2，图3)、多峰孤子(见图4)。(a)表示几种转换波的三维结构，(b)表示它们在y = 0处的截面图。 图1. M型孤子。参数为 m 1 = 1 ， n 1 = 1.5 ， p 1 = 1 ， δ 1 = 0 ， γ 1 = 0 ， λ 1 = 2 图2. 振荡W型孤子。参数为 m 1 = 0.4 ， n 1 = 1.2 ， p 1 = 1 ， δ 1 = 0 ， γ 1 = 0 ， λ 1 = 2 。 图3. 振荡M型孤子。参数为 m 1 = 0.55 ， n 1 = 1.2 ， p 1 = 1 ， δ 1 = 0 ， γ 1 = 0 ， λ 1 = 2 图4. 多峰孤子。参数为 m 1 = 0.3 ， n 1 = 1.5 ， p 1 = 1 ， δ 1 = 0 ， γ 1 = 0 ， λ 1 = 2