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user: 4. 次优化解法 由于最优化算法的求解过程多次调用CVX工具箱，且多次迭代带来了巨大的计算复杂度，为了算法的现实可行性，本节中分别为两个时隙中设计了一种次优化解法，与最优化解法对比性能，方便在实践中酌情运用次优化方案。 4.1. 通过奇异值分解(SVD)设计第一时隙中次优化预编码矩阵 在第一时隙中，假设信道状态已知，源端节点通过预编码矩阵 F ∈ ℂ M × M 将信号发送给中继节点，中继节点处接收的信号可以表示为： y R = P s h F x + n (13) 中继节点遵循DF转发协议，接下来讨论在中继节点接收机处通过奇异值分解以解码源端信号。 首先对信道矩阵做奇异值分解 h = U D W H ，根据酉矩阵的性质，设计预编码矩阵 F = W 。在中继节点的信号接收端使用均衡矩阵 G = U H 以解码来自源端的信号，通过解码处理后，接收信号可以表示为： r = G ( P s h F x + n ) = D x + U H n (14) 接下来，通过功率分配因子 ρ ( 0 < ρ < 1 ) 对中继节点的功率进行分配， ρ 部分用于解码信号， 1 − ρ 部分用于能量收集，则中继节点从源端节点处收集到的能量为： P = ζ ( 1 − ρ ) P s | h F | 2 (15) 其中 ζ ( 0 < ζ < 1 ) 表示中继节点处的能量转换效率。中继节点利用 ρ 部分功率对源端信号进行译码处理后的信号表示为： (16) 从源端节点到中继节点的信噪比为： S N R = ρ P s | h F | 2 σ R 2 (17) 此时，第一时隙的优化问题P1-1可被描述为： P1-1 : max ρ           ζ ( 1 − ρ ) P s | h F | 2                       ( 18 - 1 )                   s .t         ρ P s | h F | 2 σ R 2 ≥ ψ                                 ( 18 - 2 )                                   ζ ( 1 − ρ ) P s | h F | 2 ≤ P s       ( 18 - 3 )                                   0 < ρ < 1                                               ( 18 - 4 ) (18) 可以看出，P1-1的优化目标为最大化一个凹函数，且所有限定条件均为关于未知变量 ρ 的线性函数，由此可推出P1-1是一个凸优化问题，最优解可以通过KKT条件来求出。 令 ρ *   and   λ * ，   ν * 分别是(18-2)和(18-3)的拉格朗日乘子，问题P1-1的KKT条件为： ∇ ρ L ( ρ ， λ ， ν ) | ρ * ， λ * ， ν * = 0 (19) { λ * ( ρ P s | h F | 2 σ R 2 − ψ ) = 0 ν * ( ς ( 1 − ρ ) P s | h F | 2 − P s ) = 0 (20) (21) { ρ * P s | h F | 2 σ R 2 − ψ ≥ 0 ς ( 1 − ρ * ) P s | h F | 2 − P s ≤ 0 (22) P1-1的拉格朗日表达式 L ( • ) 为： L ( ρ ， λ ， ν ) = ς ( 1 − ρ ) P s | h F | 2 − λ ( ρ P s | h F | 2 σ R 2 − ψ )     + ν ( ς ( 1 − ρ ) P s | h F | 2 − P s ) (23) 由于 P = ζ ( 1 − ρ ) P s | h F | 2 表示在第一时隙期间中继节点收获的能量，且 P > 0 ，只有当 ν * = 0 且 ς ( 1 − ρ * ) P s | h F | 2 − P s ≤ 0 时，KKT条件成立。对等式(23)求导后，有： ∇ ρ L ( ρ ， λ ， ν ) | ρ * ， λ * ， ν * = − ς P s | h F | 2 + λ * P s | h F | 2 σ R 2 = 0 (24) 如果 λ * = 0 ，等式(24)转换为 − ς P s | h F | 2 = 0 ，当且仅当 ς = 0 时成立，而这显然是没有意义的。因此可以排除。 如果 λ * > 0 ，有 λ * ( ρ P s | h F | 2 σ R 2 − ψ ) = 0 ，此时P1-1的解为： ρ = ψ σ R 2 P s | h F | 2 。 综合考虑各种情况，这种情况是合理的，由此给出问题P1-1的最优解为 ρ ^ = ψ σ R 2 P s | h F | 2 。 在本章节讨论的次优解方案中，第二时隙采用第二章节提出的波束赋形预编码最优解法，以对比性能。 4.2. 通过块对角化(BD)设计第二时隙中次优化预编码矩阵 在第二时隙中，中继节点对译码后的源端节点信号进行预编码处理，预编码矩阵为 W S ∈ ℂ M × N ，从用户j与中继节点之间的信道为 h j ∈ ℂ N × M ，对 h j 其进行SVD分解，可得： h j = U j Λ j [ V j ( 1 ) V j ( 0 ) ] H (25) 矩阵 V j ( 1 ) ∈ ℂ N × M ， V j ( 0 ) ∈ ℂ N × M 分别由非零奇异值和零奇异值对应的右奇异向量组成，且有 。即 V j ( 0 ) 是 h j 的零空间。之后，对 h i V j ( 0 ) 进行SVD分解，可得： h i V j ( 0 ) = U i ( b ) Λ i ( b ) V i ( b ) H (26) 用矩阵 W S = V j ( 0 ) V i ( b ) 对中继节点转发给主用户i的源端节点信号进行预编码处理，可以使得从用户j无法接收此信号，从而达到干扰消除的目的。 同样的，可以设计出R自身需要发送给从用户j信号的预编码矩阵，此时对用户i的信道矩阵 h i 进行SVD分解，可得： h i = U i Λ i [ V i ( 1 ) V i ( 0 ) ] H (27) 信道矩阵 h i 的零空间为 V i ( 0 ) ，对 h j V i ( 0 ) 进行SVD分解，可得： h j V i ( 0 ) = U j ( b ) Λ j ( b ) V j ( b ) H (28) 此时，通过矩阵 W R = V i ( 0 ) V j ( b ) 对中继节点自身需要发送给从用户的信号进行预编码处理，可以使主用户屏蔽掉该信号，从而打扰消除干扰的效果。 接下来，通过对两类信号传输功率进行功率分配，讨论如何在保障主用户i传输速率的情况下，最 大化从用户j的速率。首先给出结合功率分流因数的预编码矩阵 W s = V j ( 0 ) V i ( b ) Φ i 1 2 ， W R = V i ( 0 ) V j ( b ) Φ j 1 2 ，其中 Φ i 1 2 = d i a g ( α 1 ， α 2 ， ⋯ ， α N ) ， Φ j 1 2 = d i a g ( β 1 ， β 2 ， ⋯ ， β N ) ，每个用户的每根天线的功率分配系数一致，有 α 1 = α 2 = ⋯ = α N 和 β 1 = β 2 = ⋯ = β N ，总发射功率限制为： t r ( W S ) + t r ( W R ) ≤ P (29) 考虑在主用户的信号接收机处内置一个滤波矩阵 M i = U i ( b ) H ，此时，主用户i接收到的信号为： y i = M i h i ( W S S i + W R S j ) + n i = M i h i ( V j ( 0 ) V i ( b ) Φ i 1 2 S i + V i ( 0 ) V j ( b ) Φ j 1 2 S j ) + n i = Λ 1 ( b ) Φ i 1 2 S i + n i (30) 主用户i的SINR为： S I N R i = ( Λ i ( b ) ) 2 Φ i σ i 2 (31) 同样的，在从用户的信号接收机处内置一个滤波矩阵 M j = U j ( b ) H ，此时，从用户接收到的信号为： y j = M j h j ( W S S i + W R S j ) + n j = M j h j ( V j ( 0 ) V i ( b ) Φ i 1 2 S i + V i ( 0 ) V j ( b ) Φ j 1 2 S j ) + n j = Λ j ( b ) Φ j 1 2 S j + n j (32) 从用户j的SINR为 S I N R j = ( Λ 2 ( b ) ) 2 Φ j σ j 2 (33) 可以给出第二时隙的次优化目标如下： P2-SubOp :         max Φ i ， Φ j           ( Λ j ( b ) ) 2 Φ j σ j 2                                         s .t .           ( Λ i ( b ) ) 2 Φ i σ i 2 ≥ γ                                                           t r ( W S ) + t r ( W R ) ≤ P                                                         Φ i > 0 ，   Φ j > 0 (34) 可以看出，该问题是一个典型的凸优化问题，通过调用Matlab中的CVX工具箱可以轻松求解，第二时隙的次优化算法于此描述完毕。