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user: 5. 采用全向STBC预编码的系统性能分析 5.1. 峰均比(PAPR)的分析 在OFDM通信系统中，降低子载波调制后信号的峰均比是一个重要的问题，因此我们至少应保证经过预编码矩阵映射后信号峰均比不会增加。考虑 N c 个信息符号，码元周期为 1 / T ，经过 N c 个相互正交的子载波调制后其峰均比可表示为： PAPR n ， befor = max 0 ≤ t ≤ T { | ∑ k = 0 N c − 1 x n ( k ) e 2 π j k t / T | 2 } E { | ∑ k = 0 N c − 1 x n ( k ) e 2 π j k t / T | 2 } (45) 经过预编码后的峰均比可表示为： PAPR m ， after = max 0 ≤ t ≤ T { | ∑ k = 0 N c − 1 [ Q ] m ， : x ( k ) e 2 π j k t / T | 2 } E { | ∑ k = 0 N c − 1 [ Q ] m ， : x ( k ) e 2 π j k t / T | 2 } (46) 其中 x ( k ) 为低维符号矩阵 X 的某一列向量的第k个分量。下面我们推导经过预编码后PAPR降低的充分条件。一方面由子载波的正交性容易验证： E { | ∑ k = 0 N c − 1 x n ( k ) e 2 π j k t / T | 2 } = ∑ k = 1 N c − 1 | x n ( k ) | 2 (47) E { | ∑ k = 0 N c − 1 [ Q ] m ， : x ( k ) e 2 π j k t / T | 2 } = ∑ k = 1 N c − 1 | [ Q ] m ， : x ( k ) | 2 (48) 另一方面我们有： | ∑ k = 1 N c − 1 [ Q ] m ， : x ( k ) e 2 π j k t / T | = | | ∑ k = 0 N c − 1 ( ∑ n = 0 N − 1 w m ， n x n ( k ) ) e 2 π j k t T | = | ∑ n = 0 N − 1   w m ， n ∑ k = 0 N c − 1 x n ( k ) e 2 π j k t / T ︸ f n ( t ) | ≤ | ∑ n = 0 N − 1   w m ， n 2 | | ∑ n = 0 N − 1   f n 2 ( t ) | ≤ | ∑ n = 0 N − 1   w m ， n 2 | ∑ n = 0 N − 1 | f n ( t ) | 2 (49) 其中第一个不等号利用了复数域的柯西不等式，第二个不等号利用了复数的三角不等式。注意到 max 0 ≤ t ≤ T | f 1 ( t ) | = max 0 ≤ t ≤ T | f 2 ( t ) | = ⋯ = max 0 ≤ t ≤ T | f N ( t ) | ，同时设 [ W ] m ， : 有 R m 个非零元素，结合(29) (30) (33)可得 PAPR m ， after ≤ PAPR n ， befor 的一个充分条件为： | ∑ n = 0 N − 1   w m ， n 2 | ≤ R m N ⋅ | λ ( M ) | 2 (50) 由此易知，为达到不增加PAPR的目的，只需使式(21)所提OP矩阵乘一归一化常数1/4即可，这对全向性能没有任何影响。特别地，若，则由(47) (48)可直接验证 PAPR m ， after = PAPR n ， befor ，显然式(39)中提出的构造能保持峰均比。 5.2. 误码率(BER)的分析 考虑欲发送的符号矩阵为 X ，被误判决为 X ′ 的概率，其中 X ≠ X ′ ∈ C ， C 为码本集合。利用文献 [ 10 ] 给出的定义，可以得到： ℙ ( X → X ′ | H ) = E { Q ( tr [ H H W ( X − X ′ ) ( X − X ′ ) H W H H 2 σ n 2 ] ) } ≤ E { exp ( − 1 2 tr [ H H W ( X − X ′ ) ( X − X ′ ) H W H H 2 σ n 2 ] ) } = E { exp ( − 1 4 M σ n 2 tr [ S 1 S 2 ] ) } ≤ E { exp ( − 1 4 M σ n 2 tr [ S 2 ] λ min ( S 1 ) ) } = ∫ − ∞ + ∞ exp ( − 1 4 M σ n 2 tr [ S 2 ] t ) × d [ 1 − ∫ t + ∞ ⋯ ∫ t + ∞ L ( λ 1 ， λ 2 ， ⋯ ， λ K ) d λ 1 ⋯ d λ K ] d t d t (51) 其中 S 1 = H H H ， S 2 = W ( X − X ′ ) ( X − X ′ ) H W H ， Q ( x ) ≜ 1 2 π ∫ x + ∞ e − t 2 / 2 d t 为高斯补误差函数， λ 1 ， λ 2 ， ⋯ ， λ K 为 S 1 的 个特征值， L ( ⋅ ) 为其联合概率密度函数。 λ min ( S 1 ) 为 S 1 的最小特征值，第一个不等号由 Q ( x ) ≤ e − x 2 / 2 得到，第二个不等号由引理2得出。 引理2：设 A 为半正定Hermite矩阵， B 为Hermite矩阵，则有： tr ( A B ) ≥ λ min ( B ) tr ( A ) (52) 由(51)式可知，得到误码率上界的关键为求得 λ min ( S 1 ) 的概率密度。我们有： ∫ t + ∞ ⋯ ∫ t + ∞ L ( λ 1 ， λ 2 ， ⋯ ， λ K ) d λ 1 d λ 2 ⋯ d λ K = a 1 ( M ! ) 2 ∫ t + ∞ ⋯ ∫ t + ∞ ∏ j = 1 M exp ( − λ j ) det ( G ) d λ 1 d λ 2 ⋯ d λ K = 1 ( M ! ) 2 det ( S ) (53) 其中： G = [ 1 λ 1 ⋯ λ 1 M − 1 λ 2 λ 2 2 ⋯ λ 2 M ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ λ M M − 1 λ M M ⋯ λ M 2 M − 2 ] (54) 等式(a)由文献 [ 14 ] 给出的引理得到(为简化推导假定 M = K )，且有： S i ， j = ∫ u = t + ∞ exp ( − λ i ) λ i i + j − 2 d u = ϕ ( i + j − 2 ， t ) = ( i + j − 2 ) ! ( 1 − e − t ∑ p = 0 i + j − 2 t p p ! ) (55) 其中 ϕ ( n ， k ) ≜ ∫ u = t + ∞ e − u u k d u 为第二类不完全欧拉积分。注意到 S 为 M × M 的Hankel矩阵，即该矩阵中任意元素总能表示为 S i ， j = f ( i ， j ) 的形式。利用Hankel的性质：其行列式展开中每一项 ∏ i = 1 M f ( s i ， t i ) 均满足 ∑ i = 1 M s i + t i − 2 = M ( M − 1 ) ，经计算可得 det ( S ) 可展开为： det ( S ) = ∑ i = 0 M ∑ j = 0 M ( M − 1 ) c i ， j exp ( − i t ) t j (56) 其中系数 可由下式确定： (57) 将(56)式代入(51)式，经推导可得： (58) 其中 为gamma函数。(58)式给出了采用全向STBC编码的系统误码率上界。容易看到，若STBC编码经过 矩阵映射后满足 充分大，则系统误码率性能将得到显著改善。 5.3. 遍历化信道容量 利用文献 [ 15 ] 的结果，我们给出独立同分布瑞利信道下的信道容量表达式： (59) 其中 ，注意 为正定阵，在(45)的基础上运用阿达玛不等式，可进一步得到遍历化信道容量的上界： (60) 上述不等号取等的充要条件是 为对角阵。利用 和低维符号矩阵的正交性： ， 为对角阵等效于 为对角阵。对式(21)提出的构造，经计算可得： (61) 其中 ， 的定义与(23)式中相同。这就证明了(21)式提出的构造在天线数M趋向于无穷时能渐进地达到上界，根据引理4，对式(28)中提出的OP矩阵也有同样的结论。将(61)式代入(60)式，我们有： (62) 根据(48)式，容易看出 时的STBC全向编码信道容量优于 时的情形。另一方面，由于 且有 (引理3)，显然采用全向编码后将获得信道容量增益，且当天线数较大时尤其明显。 引理3：利用文献 [ 16 ] 的结果，对二次高斯和函数 ，有： (63) 其中 ， 表示勒让德符号，当 互素， 。 引理4：式(28)中的构造能够满足遍历互信息量渐进地达到上界。 证明：只需考虑形如 形式的构造，因为 (64)(65) 其中第二个等号是由于在(28)式中 为恒模序列，第三个等号由 得到。这样，为满足 为对角阵，我们只需满足 为对角阵，而(28)式中的 为正交阵，即证。 5.4. 中断概率 在下行同步传输中，中断概率常被用来考察在一定用户速率要求下信噪比低于门限值的概率。在本文中，我们记门限值为 ，则第k( )个用户发生中断的中断概率的表达式为： (66) 其中 为基站端的发送功率。对(21)式提出的构造， 为一稀疏矩阵，满足： (67) 而 满足： 。利用文献 [ 17 ] 的结果，我们有： (68) 其中 ， ，P为给定的功率约束常数， 。 为 的N个特征值。为计算(68)式，我们给出一个引理： 引理5：见式(71)。 证明： (69) 其中： (70) 将(70)的结果代入(69)，则有： (71) 应用引理3的结果，首先对 作部分分式分解，设 中有 个不同的值 且其代数重数分别为： ，则： (72) 其中： (73) 由(68) (71) (72)式，可得系统中断概率的闭式表达： (74)