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user: 3. 梯度估计 在这章我们会证明定理1.1。首先需要得出两个公式。 引理3.1：假设 ( M n ， g ) 是一个 n -维黎曼流形，它满足在 B ( x ¯ ， 2 ρ ) ( ρ ≥ 1 )上，对于 K ≥ 0 ，有 R i c f ≥ − ( n − 1 ) K 。函数 u ( x ) 是公式(1.3)的一个正解。如果 h : = log u ，我们有： Δ f h = p h + q − | ∇ h | 2 ， (3.1) 并且 1 2 Δ f | ∇ h | 2 ≥ 1 2 n ( Δ f h ) 2 − 1 n 〈 ∇ h ， ∇ f 〉 2 + p | ∇ h | 2 + R i c f ( ∇ h ， ∇ h ) + h 〈 ∇ p ， ∇ h 〉 + 〈 ∇ q ， ∇ h 〉 − 〈 ∇ h ， ∇ | ∇ h | 2 〉 . (3.2) 证明：通过 ∇ h = ∇ u u 和(1.3)，我们有 Δ f h = Δ f u u − | ∇ u | 2 u 2 = p h + q − | ∇ h | 2 . 根据柯西不等式，可以得出 ( Δ f h ) 2 = ( Δ h − 〈 ∇ h ， ∇ f 〉 ) 2 ≤ 2 ( Δ h ) 2 + 2 ∇ 〈 h ， ∇ f 〉 2 ≤ 2 n | Hessh | 2 + 2 〈 ∇ h ， ∇ f 〉 2 ， 也就是， | Hessh | 2 ≥ 1 2 n ( Δ f h ) 2 − 1 n 〈 ∇ h ， ∇ f 〉 2 . (3.3) 通过直接计算可以得到 1 2 Δ f | ∇ h | 2 = | Hessh | 2 + 〈 Δ ∇ h ， ∇ h 〉 − 1 2 〈 ∇ | ∇ f | 2 ， ∇ f 〉 = | Hessh | 2 + 〈 ∇ Δ h ， ∇ h 〉 + R i c ( ∇ h ， ∇ h ) − Hessh ( ∇ h ， ∇ f ) = | Hessh | 2 + 〈 ∇ Δ f h ， ∇ h 〉 + R i c f ( ∇ h ， ∇ h ) ≥ | Hessh | 2 + 〈 ∇ ( p h + q − | ∇ h | 2 ) ， ∇ h 〉 + R i c f ( ∇ h ， ∇ h ) = | Hessh | 2 + [ p − ( n − 1 ) K ] | ∇ h | 2 + h 〈 ∇ p ， ∇ h 〉 + 〈 ∇ q ， ∇ h 〉 − 〈 ∇ h ， ∇ | ∇ h | 2 〉 ≥ 1 2 n ( Δ f h ) 2 − 1 n 〈 ∇ h ， ∇ f 〉 2 + p | ∇ h | 2 + R i c f ( ∇ h ， ∇ h ) + h 〈 ∇ p ， ∇ h 〉 + 〈 ∇ q ， ∇ h 〉 − 〈 ∇ h ， ∇ | ∇ h | 2 〉 . 第二个等式用到了Bochner公式，最后不等式用到了公式(3.3)。 现在开始证明定理1.1。 定理3.2：假设 ( M n ， g ) 是一个 n -维黎曼流形，它满足在 B ( x ¯ ， 2 ρ ) ( ρ ≥ 1 )上，对于 K ≥ 0 ，有 R i c f ≥ − ( n − 1 ) K 。函数 u ( x ) 是公式(1.3)的一个正解。对于任意的常数 0 < ε < 1 ，在 B ( x ¯ ， ρ ) ¯ 上，有： | ∇ u | u ≤ 2 n 1 − ε [ | α | C 1 + ( n − 1 ) K ( 2 ρ − 1 ) C 1 2 ρ + C 2 2 ρ 2 + ( 2 n + ε ) C 1 2 ε ρ 2 + D θ 1 + σ 1 + η 1 2 n + θ 1 + ( n − 1 ) K + D θ 2 + σ 2 2 ] 1 2 + n ( θ 2 + σ 2 ) 1 − ε 4 ， (3.4) 特别地，在 B ( x ¯ ， 1 ) ¯ 上 | ∇ u | u ≤ 2 n [ D θ 1 + σ 1 n + η 1 2 n + θ 1 + ( n − 1 ) K + D θ 2 2 + σ 2 2 ] 1 2 + n ( D θ 2 + σ 2 ) 4 . (3.5) 在 B ( x ¯ ， 2 ρ ) 上，对于正常值 D ， θ 1 ， θ 2 ， σ 1 ， σ 2 ， η 1 ，我们假设 α : = max ∂ B ( x ¯ ， 1 ) Δ f r ， u ≤ e D ， | p | ≤ θ 1 ， | ∇ p | ≤ θ 2 ， | q | ≤ σ 1 ， | ∇ q | ≤ m a 2 ， | ∇ f | ≤ η 1 。 证明：与第二部分中的内容类似，选择cut-off函数 φ ，我们有 1 2 Δ f ( φ | ∇ h | 2 ) = 1 2 ( Δ f φ ) | ∇ h | 2 + φ 2 Δ f | ∇ h | 2 + 〈 ∇ φ ， ∇ | ∇ h | 2 〉 ≥ 1 2 ( Δ f φ ) | ∇ h | 2 + φ 2 n ( p h + q − | ∇ h | 2 ) 2 − φ n 〈 ∇ h ， ∇ f 〉 2 + [ p − ( n − 1 ) K ] φ | ∇ h | 2 ] + φ h 〈 ∇ p ， ∇ h 〉 + φ 〈 ∇ q ， ∇ h 〉 − 〈 ∇ h ， ∇ ( φ | ∇ h | 2 ) 〉 + | ∇ h | 2 〈 ∇ φ ， ∇ h 〉 + 1 φ 〈 ∇ φ ， ∇ ( φ | ∇ h | 2 ) 〉 − | ∇ h | 2 φ | ∇ h | 2 ， (3.6) 这里用到了引理1。 定义 G : = ( φ | ∇ h | 2 ) ，假设 x 1 是 G 的最大值点。我们可以分两种情况讨论： 情况1： x 1 ∈ B ( x ¯ ， ρ ) ¯ \ B ( x ¯ ， ) 1 。这种情况下，为了简便我们记 A : = C 1 2 ρ [ α + ( n − 1 ) K ( 2 ρ − 1 ) ] + C 2 2 ρ 2 . 在点 x 1 ，在公式(3.6)两边同时乘以 φ ，应用公式(2.4)，对于任意的 0 < ε < 1 ，可以得到 0 ≥ − A G + φ 2 2 n ( p h + q − | ∇ h | 2 ) 2 − φ n | ∇ f | 2 G + [ p − ( n − 1 ) K ] φ G − φ 3 2 h | ∇ p | G 1 2 − φ 3 2 | ∇ q | G 1 2 − | ∇ φ | φ 1 / 2 G 3 2 − | ∇ φ | 2 φ G ≥ − A G − φ 2 n ( p h + q ) | ∇ h | 2 + G 2 2 n − | ∇ f | 2 n G − [ | p | + ( n − 1 ) K ] G − | h | | ∇ p | 2 ( 1 + G ) − | ∇ q | 2 ( 1 + G ) − C 1 ρ G 3 2 − C 1 2 ρ 2 G ≥ 1 − ε 2 n G 2 − [ A + | p h + q | n + | ∇ f | 2 n + | p | + ( n − 1 ) K + | h | | ∇ p | 2 + | ∇ q | 2 + 2 n C 1 2 ε ρ 2 + C 1 2 ρ 2 ] G − | h | | ∇ p | + | ∇ q | 2 ， (3.7) 这里用到了柯西不等式和公式(2.1)。 我们可以得到 1 − ε 2 n G 2 ( x 1 ) ≤ [ A + D θ 1 + σ 1 n + η 1 2 n + θ 1 + ( n − 1 ) K + D θ 2 2 + σ 2 2 + 2 n C 1 2 ε ρ 2 + C 1 2 ρ 2 ] G ( x 1 ) + D θ 2 + σ 2 2 ， (3.8) 即在点 x 1 ，有 G 2 ( x 1 ) ≤ 2 n 1 − ε [ A + D θ 1 + σ 1 n + η 1 2 n + θ 1 + ( n − 1 ) K + D θ 2 2 + σ 2 2 + 2 n C 1 2 ε ρ 2 + C 1 2 ρ 2 ] G ( x 1 ) + n ( D θ 2 + σ 2 ) 1 − ε . (3.9) 回想这样一个结论：对于一些 a 0 ， a 1 ， a 2 ≥ 0 ，如果 a 0 2 ≤ a 1 + a 0 a 2 ，则 a 0 ≤ a 2 2 + a 1 + a 2 2 4 ≤ a 2 2 + a 1 + a 2 2 = a 2 + a 1 . 因此，我们可以从公式(3.9)得出 G ( x 1 ) 的一个上界。在点 x 1 ， G ( x 1 ) ≤ 2 n 1 − ε [ A + D θ 1 + σ 1 n + η 1 2 n + θ 1 + ( n − 1 ) K + D θ 2 2 + σ 2 2 + 2 n C 1 2 ε ρ 2 + C 1 2 ρ 2 ] + ( n ( D θ 2 + σ 2 ) 1 − ε ) 1 2 . (3.10) 注意到 s u p x ∈ B ( x ¯ ， ρ ) ¯ | ∇ h | 2 = s u p x ∈ B ( x ¯ ， ρ ) ¯ ( φ | ∇ h | 2 ) ≤ G ( x 1 ) ， 从公式(3.10)可得，在 B ( x ¯ ， ρ ) ¯ 上： | ∇ u | u ≤ 2 n 1 − ε [ A + D θ 1 + σ 1 n + η 1 2 n + θ 1 + ( n − 1 ) K + D θ 2 2 + σ 2 2 + 2 n C 1 2 ε ρ 2 + C 1 2 ρ 2 ] 1 2 + ( n ( D θ 2 + σ 2 ) 1 − ε ) 1 4 . (3.11) 情况2： x 1 ∈ B ( x ¯ ， 1 ) ¯ 。在这种情况下， φ ( x 1 ) = 1 ，且 ∇ φ ( x 1 ) = Δ f φ ( x 1 ) = 0 。 运用公式(3.6)，在点 x 1 有： 0 ≥ 1 2 n ( p h + q − G ) 2 − | ∇ f | 2 G n + [ p − ( n − 1 ) K ] G − h | ∇ p | G 1 2 − | ∇ q | G 1 2 ≥ − 1 n ( p h + q ) G + G 2 2 n − | ∇ f | 2 n G − | p | G − ( n − 1 ) K G − | h | | ∇ p | 2 ( 1 + G ) − | ∇ q | 2 ( 1 + G ) = G 2 2 n − [ | p h + q | n + | ∇ f | 2 n + | p | + ( n − 1 ) K + | h | | ∇ p | 2 + | ∇ q | 2 ] G − | h | | ∇ p | + | ∇ q | 2 . (3.12) 另外，我们得到 G 2 ( x 1 ) ≤ 2 n [ | p h + q | n + | ∇ f | 2 n + | p | + ( n − 1 ) K + | h | | ∇ p | 2 + | ∇ q | 2 ] G + n ( | h | | ∇ p | + | ∇ q | ) ≤ 2 n [ D θ 1 + σ 1 n + η 1 2 n + θ 1 + ( n − 1 ) K + D θ 2 2 + σ 2 2 ] G ( x 1 ) + n ( D θ 2 + σ 2 ) . (3.13) 与情况1的证明过程类似，可以从公式(3.13)推出 | ∇ u | u 的上界。在 B ( x ¯ ， ρ ) ¯ 上， | ∇ u | u ≤ 2 n [ D θ 1 + σ 1 n + η 1 2 n + θ 1 + ( n − 1 ) K + D θ 2 2 + σ 2 2 ] 1 2 + [ n ( D θ 2 + σ 2 ) ] 1 4 . (3.14) 根据公式(3.11)和(3.14)，很快能得到公式(3.4)和(3.5)。