system: [SYSTEM]

user: 2. 一致持久性 定义1 系统(1)的解是一致持久的，如果存在正常数 m i ， M i ( i = 1 ， 2 ) ，对任意 φ ∈ C + 有 m 1 ≤ lim inf t → ∞ x ( t ， 0 ， φ ) ≤ lim sup t → ∞ x ( t ， 0 ， φ ) ≤ M 1 ， m 2 ≤ lim inf t → ∞ y ( t ， 0 ， φ ) ≤ lim sup t → ∞ y ( t ， 0 ， φ ) ≤ M 2 . 为了本节主要结果的证明，先给出以下两个引理： 引理1 x ( t ) ， y ( t ) 是定义在 [ T ， + ∞ ) 上的非负函数，如果 x ′ ≤ x ( m − n x ) K + a y ，(2) 则 lim sup t → ∞ x ≤ m n ， 其中 m ， n ， K ， a 为正常数。 证明：令 g ( t ) = K + a y ，显然 g ( t ) ≥ K 。 由比较原理知： x ≤ [ e − ∫ T t m g ( s ) d s ( ∫ T t n g ( u ) e ∫ T u m g ( s ) d s d u + c ˜ ) ] − 1 ， 其中 c ˜ = 1 x ( T ) − 1 ，令 t → + ∞ ， lim sup t → ∞ x ≤ m n 。 引理2 x ( t ) ， y ( t ) 是定义在 [ T ， + ∞ ) 上的非负函数，如果 x ′ ≥ x ( m − n x ) K + a y ， (3) 则 lim inf t → ∞ x ≥ m n ， 其中 m ， n ， K ， a 为正常数。 证明类似于引理1，从略。 引理3 ∃ M 1 ， M 2 > 0 ，使得 ∀ φ ∈ C + ， lim sup t → ∞ x ( t ， 0 ， φ ) ≤ M 1 ， lim sup t → ∞ y ( t ， 0 ， φ ) ≤ M 2 。其中 M 1 = { r 1 ∗ K 1 ∗ exp ( r 1 ∗ τ 1 u ) r 1 ∗ ， r 1 ∗ a 1 ∗ < K 1 ∗ b 1 ∗ ( r 1 ∗ a 1 ∗ + K 1 ∗ b 1 ∗ ) 2 exp ( r 1 ∗ τ 1 u ) 4 a 1 ∗ b 1 ∗ r 1 ∗ ， r 1 ∗ a 1 ∗ ≥ K 1 ∗ b 1 ∗ ， M 2 = { r 2 ∗ K 2 ∗ exp ( r 2 ∗ τ 2 u ) r 2 ∗ ， r 2 ∗ a 2 ∗ < K 2 ∗ b 2 ∗ ( r 2 ∗ a 2 ∗ + K 2 ∗ b 2 ∗ ) 2 exp ( r 2 ∗ τ 2 u ) 4 a 2 ∗ b 2 ∗ r 2 ∗ ， r 2 ∗ a 2 ∗ ≥ K 2 ∗ b 2 ∗ . 证明：记 x ( t ) = x ( t ， 0 ， φ ) ， y ( t ) = y ( t ， 0 ， φ ) 。下面考虑两种情况： 情形(1)： r 1 ∗ a 1 ∗ < K 1 ∗ b 1 * 时， ∃ ε 0 > 0 ，当 ε ∈ ( 0 ， ε 0 ) 时，有 ( r 1 ∗ + ε ) ( a 1 ∗ + ε ) < ( K 1 ∗ + ε ) ( b 1 * − ε ) . (4) ∀ ε ∈ ( 0 ， ε 0 ) ， ∃ T 1 > 0 使得当 t > T 1 时： r 1 ∗ − ε < r 1 ( t ) < r 1 ∗ + ε ，     K 1 ∗ − ε < K 1 ( t ) < K 1 ∗ + ε (5) a 1 ∗ − ε < a 1 ( t ) < a 1 ∗ + ε ，     b 1 ∗ − ε < b 1 ( t ) < b 1 ∗ + ε (6) 当 t > T 1 时，由(1)和(5)知 x ′ ( t ) ≤ ( r 1 ∗ + ε ) x ( t ) . 从而 x ( t ) ≤ x ( t − τ 1 ( t ) ) exp ( ( r 1 ∗ + ε ) τ 1 u ) . 代入(1)，由(5)及(6)得当 t > T 1 时， d x d t ≤ x ( t ) [ ( r 1 ∗ + ε ) − ( r 1 ∗ − ε ) x ( t ) exp ( − ( r 1 ∗ + ε ) τ 1 u ) ( K 1 ∗ + ε ) + ( a 1 ∗ + ε ) y ( t ) − ( b 1 * − ε ) y ( t ) ] = x ( t ) g 1 ( ε ) + g 2 ( ε ) y ( t ) − g 3 ( ε ) y 2 ( t ) − g 4 ( ε ) x ( t ) ( K 1 ∗ + ε ) + ( a 1 ∗ + ε ) y ( t ) 其中 g 1 ( ε ) = ( r 1 ∗ + ε ) ( K 1 ∗ + ε ) ， g 2 ( ε ) = ( r 1 ∗ + ε ) ( a 1 ∗ + ε ) − ( K 1 ∗ + ε ) ( b 1 * − ε ) ， g 3 ( ε ) = ( a 1 ∗ + ε ) ( b 1 * − ε ) ， g 4 ( ε ) = ( r 1 * − ε ) exp ( − ( r 1 ∗ + ε ) τ 1 u ) 从而 x ′ ≤ x ( t ) g 1 ( ε ) − g 4 ( ε ) x ( t ) ( K 1 ∗ + ε ) + ( a 1 ∗ + ε ) y ( t ) . 由 ε 的任意性及引理1， lim sup t → ∞ x ( t ) ≤ r 1 ∗ K 1 ∗ exp ( r 1 ∗ τ 1 u ) r 1 * = M 1 . 情形(2)： r 1 ∗ a 1 ∗ ≥ K 1 ∗ b 1 * 时， ∀ ε > 0 ， ∃ T 2 > 0 ，当 t > T 2 时(4)与(5)成立。此时有： x ′ ≤ x ( t ) g 1 ( ε ) + g 2 ( ε ) y ( t ) − g 3 ( ε ) y 2 ( t ) − g 4 ( ε ) x ( t ) ( K 1 ∗ + ε ) + ( a 1 ∗ + ε ) y ( t ) = x ( t ) g 1 ( ε ) − g 3 ( ε ) ( y ( t ) − g 2 ( ε ) 2 g 3 ( ε ) ) 2 + g 2 2 ( ε ) 4 g 3 ( ε ) − g 4 ( ε ) x ( t ) ( K 1 ∗ + ε ) + ( a 1 ∗ + ε ) y ( t ) ≤ x ( t ) g 1 ( ε ) + g 2 2 ( ε ) 4 g 3 ( ε ) − g 4 ( ε ) x ( t ) ( K 1 ∗ + ε ) + ( a 1 ∗ + ε ) y ( t ) 由 ε 的任意性及引理1， lim sup t → ∞ x ( t ) ≤ ( r 1 ∗ a 1 ∗ + K 1 ∗ b 1 * ) 2 exp ( r 1 ∗ τ 1 u ) 4 a 1 ∗ b 1 * r 1 * = M 1 . 综上所述： lim sup t → ∞ x ( t ) ≤ M 1 = { r 1 ∗ K 1 ∗ exp ( r 1 ∗ τ 1 u ) r 1 * ， r 1 ∗ a 1 ∗ < K 1 ∗ b 1 * ( r 1 ∗ a 1 ∗ + K 1 ∗ b 1 * ) 2 exp ( r 1 ∗ τ 1 u ) 4 a 1 ∗ b 1 * r 1 * ， r 1 ∗ a 1 ∗ ≥ K 1 ∗ b 1 * . 同理可得 lim sup t → ∞ y ( t ) ≤ M 2 = { r 2 ∗ K 2 ∗ exp ( r 2 ∗ τ 2 u ) r 2 * ， r 2 ∗ a 2 ∗ < K 2 ∗ b 2 * ( r 2 ∗ a 2 ∗ + K 2 ∗ b 2 * ) 2 exp ( r 2 ∗ τ 2 u ) 4 a 2 ∗ b 2 * r 2 * ， r 2 ∗ a 2 ∗ ≥ K 2 ∗ b 2 * . 引理4 记 s 1 = r 2 ∗ K 2 ∗ exp ( r 2 ∗ τ 2 u ) r 2 * ， s 2 = r 1 ∗ K 1 ∗ exp ( r 1 ∗ τ 1 u ) r 1 * 。当 r i * − b i ∗ s i > 0   ( i = 1 ， 2 ) (7) 时， ∃ η i > 0 ( i = 1 ， 2 ) ，使得 ∀ φ ∈ C + ， lim sup t → ∞ x ( t ， 0 ， φ ) ≥ η 1 ， lim sup t → ∞ y ( t ， 0 ， φ ) ≥ η 2 。 证明：由(7)知存在 η 1 > 0 ，使得 ( r 1 * − b 1 ∗ s 1 ( η 1 ) ) K 1 * exp ( r 1 * − r 1 ∗ M 1 K 1 * − b 1 ∗ s 1 ( η 1 ) ) τ 1 l r 1 ∗ > η 1 . (8) 其中 s 1 ( η 1 ) = r 2 ∗ ( K 2 ∗ + a 2 ∗ η 1 ) exp ( r 2 ∗ τ 2 u ) r 2 * 。 我们断言：对这个 η 1 ，对任意 φ ∈ C + ，有 lim sup t → ∞ x ( t ， 0 ， φ ) ≥ η 1 。 若 ∃ φ ∈ C + ，使得 lim sup t → ∞ x ( t ， 0 ， φ ) < η 1 。记 x ( t ) = x ( t ， 0 ， φ ) ， y ( t ) = y ( t ， 0 ， φ ) 。则存在 ε 0 > 0 ，使得当 ε ∈ ( 0 ， ε 0 ) 时， ∃ T 3 > 0 ，当 T 3 > 0 时有(5)与(6)成立且 x ( t ) < η 1 + ε 。 由(1)得： d y d t ≤ y ( t ) ( r 2 ∗ + ε ) ， y ( t ) ≤ y ( t − τ 2 ( t ) ) exp ( ( r 2 ∗ + ε ) τ 2 u ) . (9) 由(1)，(9)得：当 t > T 时有 d y d t ≤ y ( t ) ( ( r 2 ∗ + ε ) − ( r 2 * − ε ) exp ( − ( r 2 ∗ + ε ) τ 2 u ) y ( t ) ( K 2 ∗ + ε ) + ( a 2 ∗ + ε ) ( η 1 + ε ) ) . 由比较原理及 ε 的任意性可知： lim sup t → ∞ y ( t ) ≤ r 2 ∗ ( K 2 ∗ + a 2 ∗ η 1 ) exp ( r 2 ∗ τ 2 u ) r 2 * = s 1 ( η 1 ) . (10) 由(1)，(10)得： ∃ T 1 > T ，当 t > T 1 时 d x d t ≥ x ( t ) ( ( r 1 * − ε ) − ( r 1 ∗ + ε ) M 1 ( K 1 * − ε ) − ( b 1 ∗ + ε ) ( s 1 ( η 1 ) + ε ) ) ， x ( t ) ≥ x ( t − τ 1 ( t ) ) exp ( ( r 1 * − ε ) − ( r 1 ∗ + ε ) ( M 1 + ε ) ( K 1 * − ε ) − ( b 1 ∗ + ε ) ( s 1 ( η 1 ) + ε ) ) τ 1 l . (11) 由(1)，(11)得： d x d t ≥ x ( t ) ( ( r 1 * − ε ) − h ( ε ) x ( t ) K 1 * − ε − ( b 1 ∗ + ε ) ( s 1 ( η 1 ) + ε ) ) ， 其中 h ( ε ) = ( r 1 ∗ + ε ) exp ( − ( ( r 1 * − ε ) − ( r 1 ∗ + ε ) ( M 1 + ε ) K 1 * − ε − ( b 1 ∗ + ε ) ( s 1 ( η 1 ) + ε ) ) τ 1 l ) 由比较原理及 ε 的任意性可知： lim inf t → ∞ x ( t ) ≥ ( r 1 * − b 1 ∗ s 1 ( η 1 ) ) K 1 * exp ( r 1 * − r 1 ∗ M 1 K 1 * − b 1 ∗ s 1 ( η 1 ) ) τ 1 l r 1 ∗ > η 1 . 这与(8)及假设 lim sup t → ∞ x ( t ， 0 ， φ ) < η 1 矛盾。从而 lim sup t → ∞ x ( t ， 0 ， φ ) ≥ η 1 。同理存在 η 2 > 0 ，使得 ∀ φ ∈ C + ， lim sup t → ∞ y ( t ， 0 ， φ ) ≥ η 2 。 定理1 当(7)成立时，系统(1)的解是一致持久的。 证明：要证存在 m 1 > 0 使得 ∀ φ ∈ C + ， lim inf t → ∞ x ( t ， 0 ， φ ) > m 1 . (12) 由(7)知，存在 ε > 0 ，使得 ( r 2 * − ε ) − ( r 1 ∗ + ε ) ε ( K 1 * − ε ) − ( b 2 ∗ + ε ) ( r 1 * − ε ( r 1 ∗ + ε ) ( K 1 ∗ + ε ) exp ( ( r 1 ∗ + ε ) ( τ 1 u + ε ) ) ) − 1 > 0 . (13) 对这个 ε > 0 ， ∃ T 1 使得当 t > T 1 时(5)与(6)成立。若(12)不成立，则存在 φ n ∈ C + 使得 lim inf t → ∞ x ( t ， 0 ， φ n ) < 1 n 2 。存在 N 0 > 0 使得 1 N 0 < η 1 ( η 1 为引理4所给)。当 n > N 0 时，由引理4，存在 0 < τ 1 ( n ) < t 1 ( n ) < τ 2 ( n ) < ⋯ < τ k ( n ) < t k ( n ) < ⋯ 使得 lim k → ∞ τ k ( n ) = ∞ ， x ( τ k ( n ) ， 0 ， φ n ) = 1 n ，     x ( t k ( n ) ， 0 ， φ n ) = 1 n 2 . (14) 且 1 n 2 < x ( t ， 0 ， φ n ) < 1 n ， τ k ( n ) < t < t k ( n ) 。由引理3，存在 T ( φ n ) > 0 使得当 t > T ( φ n ) 时 x ( t ， 0 ， φ n ) < 2 M 1 ， y ( t ， 0 ， φ n ) < 2 M 2 。从而当 t > T ( φ n ) + τ 时有 x ′ ( t ， 0 ， φ n ) > x ( t ， 0 ， φ n ) ( − 2 r 1 u M 1 K 1 l − 2 b 1 u M 2 ) ≜ − β 1 x ( t ， 0 ， φ n ) . (15) 存在 K 1 ( n ) ，当 k > K 1 ( n ) 时 τ k ( n ) > max ( T ( φ n ) ， T 1 ) 。由(14)与(15)知 t k ( n ) − τ k ( n ) > ln n β 1 ，     k > K 1 ( n ) . 由(1)知 y ′ ( t ， 0 ， φ n ) < ( r 2 * + ε ) y ( t ， 0 ， φ n ) ， t ≥ T 1 。 从而 y ( t ， 0 ， φ n ) ≤ y ( t − τ 2 ( t ) ， 0 ， φ n ) exp ( r 2 * + ε ) ( τ 2 * + ε ) 。故有 ∀ t ∈ ( τ k ( n ) ， t k ( n ) ) ， y ′ ( t ， 0 ， φ n ) ≤ y ( t ， 0 ， φ n ) ( ( r 2 * + ε ) − ( r 2 * − ε ) exp − ( r 2 * + ε ) ( τ 2 * + ε ) ( K 2 * + ε ) + ( a 2 * + ε ) 1 n y ( t ， 0 ， φ n ) ) . 由此得 y ( t ， 0 ， φ n ) ≤ ( ( 1 y ( τ k ( n ) ) − ( r 2 * − ε ) exp − ( r 2 * + ε ) ( τ 2 * + ε ) ( r 2 * + ε ) ( ( K 2 * + ε ) + ( a 2 * + ε ) 1 n ) ) exp − ( r 2 * + ε ) ( t − τ k ( n ) )     + ( r 2 * − ε ) exp − ( r 2 * + ε ) ( τ 2 * + ε ) ( r 2 * + ε ) ( ( K 2 * + ε ) + ( a 2 * + ε ) 1 n ) ) − 1 (16) 当 k > K 1 ( n ) 且 t − τ k ( n ) > t k ( n ) − τ k ( n ) 2 > ln n 2 β 1 时，由于 lim n → ∞ ( 1 2 M 2 − ( r 2 * − ε ) exp − ( r 2 ∗ + ε ) ( τ 2 ∗ + ε ) ( r 2 ∗ + ε ) ( ( K 2 ∗ + ε ) + ( a 2 ∗ + ε ) 1 n ) ) 1 n r 2 * + ε 2 β = 0 . 存在 N 1 > N 0 ，当 n > N 1 时 1 n < ε 且 | ( 1 2 M 2 − ( r 2 * − ε ) exp − ( r 2 ∗ + ε ) ( τ 2 ∗ + ε ) ( r 2 ∗ + ε ) ( ( K 2 ∗ + ε ) + ( a 2 ∗ + ε ) 1 n ) ) 1 n r 2 * + ε 2 β | < ε . (17) 从而当 n > N 1 ， k > K 1 ( n ) ， t − τ k ( n ) > t k ( n ) − τ k ( n ) 2 时，由(16)与(17)知 y ( t ， 0 ， φ n ) < ( ( r 2 * − ε ) exp − ( r 2 ∗ + ε ) ( τ 2 ∗ + ε ) ( r 2 ∗ + ε ) ( ( K 2 ∗ + ε ) + ( a 2 ∗ + ε ) 1 n ) − ε ) − 1 . 从而由(13)，当 n > N 1 且 k > K 1 ( n ) ， t ∈ ( τ k ( n ) > t k ( n ) − τ k ( n ) 2 ， t k ( n ) ) 时， x ′ ( t ， 0 ， φ n ) > x ( t ， 0 ， φ n ) ( r 1 * − ε − ( r 1 ∗ + ε ) ε K 1 * − ε − ( b 1 ∗ + ε ) ( ( r 2 * − ε ) exp − ( r 2 ∗ + ε ) ( τ 2 ∗ + ε ) ( r 2 ∗ + ε ) ( ( K 2 ∗ + ε ) + ( a 2 ∗ + ε ) ε ) − ε ) − 1 ) > 0 故有 x ( t k ( n ) ， 0 ， φ n ) > x ( τ k ( n ) + t k ( n ) − τ k ( n ) 2 ， 0 ， φ n ) > 1 n 2 。矛盾。故(12)成立。同理，存在 m 2 > 0 使得 ∀ φ ∈ C + ， lim inf t → ∞ y ( t ， 0 ， φ ) > m 2 。 注：当 τ = 0 且 r i ( t ) ， K i ( t ) ， a i ( t ) ， b i ( t ) ， i = 1 ， 2 为常数时，此时定理1的条件 r 1 * − b 1 ∗ r 2 ∗ K 2 ∗ exp ( r 2 ∗ τ 2 u ) r 2 * > 0 ，     r 2 * − b 2 ∗ r 1 ∗ K 1 ∗ exp ( r 1 ∗ τ 1 u ) r 1 * > 0 变为 b 1 K 2 − r 1 < 0 ，     b 2 K 1 − r 2 < 0 . 这与 [ 1 ] 中的一致持久的条件相同，因此，我们的结果是合理的。 下面我们给出一个例子来验证我们的理论结果。 例：考虑系统 x ， y 的一致持久性： { d x d t = x ( t ) [ ( 0.17 + 0.01 sin t ) − ( 0.25 + 0.01 sin t ) x ( t − e − 5 π + π sin t ) 0.9 + 0.1 cos t + ( 0.4 + 0.1 sin t ) y ( t ) − ( 0.11 + 0.01 sin t ) y ( t ) ] d y d t = y ( t ) [ ( 0.22 + 0.01 sin t ) − ( 0.22 + 0.01 sin t ) y ( t − e − 6 π + π cos t ) 1 + 0.1 cos t + ( 0.4 + 0.1 sin t ) x ( t ) − ( 0.15 + 0.01 cos t ) x ( t ) ] 证明：由原方程组可得： r 1 * = 0.18 ， r 1 * = 0.16 ， r 2 * = 0.23 ， r 2 * = 0.21 ， b 1 * = 0.12 ， b 2 * = 0.16 ， K 1 * = 1 ， K 2 * = 1.1 ， τ 1 u = e − 4 π ， τ 2 u = e − 5 π . 带入数值求得 r 1 * − b 1 ∗ r 2 ∗ K 2 ∗ exp ( r 2 ∗ τ 2 u ) r 2 * > 0 ， r 2 * − b 2 ∗ r 1 ∗ K 1 ∗ exp ( r 1 ∗ τ 1 u ) r 1 * > 0 。 根据定理1，从而原方程组是一致持久的。