DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 4. 结论与讨论 受访者对江汉区绿色生态系统有较高支付意愿，支付意愿率73.5%。不愿支付的主要原因是受访者对城市生态系统保护的主体界定模糊不清，确实城市生态系统的建设发展主要是政府的职责，但是个人也是城市生态系统的重要守护者。此外就是距离较远，可达性较差，未来可以在居民社区或者社区附近建立特色口袋公园，惠及城市居民。 Spearman秩相关分析和二元Logistic、有序Ordinal回归分析结果基本一致。人们的支付意愿和支付金额不仅仅是收入水平的体现，还与年龄、受教育程度、满意度、再次游憩意愿有关。就江汉区而言，再次游憩对人们的支付意愿有正影响，年龄、满意度对其有负影响，居民的满意度对支付金额有负影响。城市居民是城市绿色生态系统的受益者，公众的直接或间接参与具有积极的作用，通过宣传和正确引导，提高全社会居民对城市绿色生态系统服务价值的认知，唤醒人们的环境责任意识。 受访居民平均支付意愿164.92~224.54元∙年 −1 ∙人 −1 ，江汉区绿色生态系统游憩服务价值为17.76~24.17亿元。随着社会的进步，居民的支付意愿会增加，城市绿色生态系统具有较大的潜在的游憩价值。 本文运用CVM方法，建立假想市场进行价值评估，但受访者的支付意愿受到经济水平、社会环境等不确定因素的影响，计算得出的价值与实际会存在一定偏差，但不影响我们对城市绿色生态系统游憩服务价值的理解和认识。同时，人们收入水平、受教育程度、满意度、再次游憩意愿等影响居民的支付意愿，因此评估结果具有时效性，未来还需进行长期的调查和进一步研究，分析城市绿色生态系统游憩价值的趋势。
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user: 摘 要 针对单相并网逆变器，基于传统的三相锁相环的闭环结构，文章提出了一种软件锁相环的实现方法。首先分析了锁相环的基本原理，推导了数学模型，在此基础上给出了该锁相环的软件设计方法。利用PSIM软件对电网电压幅值、频率和相位发生变化以及含高次谐波的影响做了仿真，结果表明该软件锁相环能有效、快速实现电网周期内任意时刻的锁相，不需等待电网过零点时刻的检测信号来锁相。分别采用TI公司的DSP TMS320F28035和TMS320F2808编程实现文中所提出软件锁相环的算法，并分别应用于500 W双通道单相光伏并网微逆变器和5 kW单相光伏并网逆变器中，结果表明所提出的软件锁相环能很好地实现电网电压相位的跟踪和频率的锁定，验证了所提出锁相环实现方法的正确性。 关键词 :软件锁相环，数学模型，并网逆变器，DSP Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 随着新能源技术的发展，光伏并网逆变器进入了一个快速增长的阶段，对于并网电流的进网电流品质、相关标准都给出了严格的规定和限制。其中，并网逆变器的进网电流频率和相位必须与电网同步，这是满足并网标准的关键技术。然而，要保证进网电流能够精确、快速跟踪电网电压的相位和频率，锁相环(PLL， Phase Locked Loop)必不可少 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]。 软件锁相较传统的硬件锁相，锁相速度快且不用搭建硬件电路 [ 6 ]，可为并网逆变器节省成本。目前采用较多的PLL技术一般采用过零检测锁相法，虽然结构简单容易实现，但其动态性能不好，且对过零点电压要求比较高 [ 7 ]，因此也限制了PLL的速度。文献 [ 8 ] 提到同时调频调相、多周期调节锁相方法，但这些方法只在电网电压过零点时，利用数字信号处理器(DSP， Digital Signal Processor)对电网过零点进行捕获，从而进行相位校正，不具有实时控制效果，另外占用了DSP中的3个定时器和2个捕获单元。文中提出一种单相并网逆变器软件PLL控制方法，在电网电压相位、频率和幅值发生变化时可有效、快速实现周期内任意时刻的锁相，而不需等待检测电网过零点，可有效实现并网电流与电网频率相位同步，程序代码简单，可移植性高。文中的方法通过PSIM软件仿真并运用在500 W双通道单相并网微逆变器和5 kW单相并网逆变器中，得到预期效果。
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user: 2. 软件PLL原理 2.1. PLL原理 文中借鉴三相PLL的闭环结构，提出单相软件锁相环架构，是通过构建两个虚拟的αβ正交信号来实现，其中令v α = v grid ，v β = 0，再经过Park变换得到v d ，v q [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]，则： { v d = v α ⋅ cos θ + v β ⋅ sin θ v q = v β ⋅ cos θ − v α ⋅ sin θ (1) θ表示锁相环得到的相位角，v grid 表示电网电压。 { v d = v grid ⋅ cos θ v q = − v grid ⋅ sin θ (2) 令电网电压 v grid = V grid ⋅ sin φ ，其中V grid 表示电网电压幅值， φ 表示电网电压相位，代入(2)式得到： { v d = V grid ⋅ sin φ ⋅ cos θ v q = − V grid ⋅ sin φ ⋅ sin θ (3) 利用三角函数积化和差公式得到： { v d = V grid 2 ⋅ [ sin ( φ − θ ) + sin ( φ + θ ) ] v q = V grid 2 ⋅ [ cos ( φ + θ ) − cos ( φ − θ ) ] (4) 如(4)式，当锁相成功时， θ = φ 则 sin ( φ − θ ) = 0 ，故若消除上式中的 sin ( φ + θ ) ，即控制 sin ( φ − θ ) = 0 便可实现锁相。为此对v q 求偏导得到如下(5)式，其中 ω f f = 2 π f 。 (5) (6) d v q d t = d v q d φ ⋅ d φ d t + d v q d θ ⋅ d θ d t (7) 若系统稳定，则可近似认为 ω ′ f f = ω f f ，整理(7)式得到： d v q d t = V grid 2 ⋅ [ − sin ( φ + θ ) ] ⋅ ( 2 ⋅ ω f f ) (8) 将式(8)代入(4)式，得到如下所式且令： ω e r r = d v q d t ⋅ 1 2 ω f f + v d = V grid 2 ⋅ sin ( φ − θ ) (9) 如图1所示，将ω err 作为工频角速度误差送到PI调节器的输入端，PI调节器的输出为ω ff ，对ω ff 进行积分运算，可得到PLL的相位角输出量，PI调节器稳定控制后知ω err 等于零，即经锁相环得到了跟电网一致的工频角速度。图1中 mod ( 2 π ) 表示锁相环以2π为一个周期输出相位角θ。 2.2. 软件PLL的实现方法 从PLL控制框图1可以看到，PI调节器的输出ω ff 需要进行积分运算，但在实际编程过程中，实现积分环节十分复杂。因角弧度 很小时存在 sin ( Δ ω ) 与 Δ ω 近似相等。因此具体实现时，可将电网周期N等分，从而得到固定的步进值 ω = 2 π / N ，在软件中断中叠加固定的弧度 来实现相位角的输出 [ 14 ]。如图2所示为相位叠加示意图。 图1. 锁相环控制框图 图2. 相位叠加示意图 如图3所示为PLL程序实现流程框图： 图3. PLL程序流程框图 v q 对时间的微分在程序中是这样实现的：在s域，v q 对时间的微分可以用 s ⋅ v q 表示，对于 s ⋅ v q 进行离散化可以得到如下式子： (10) 其中f s 为采样频率，进一步可以得到： 1 2 ω f f G ( z ) = f s 2 ω f f ⋅ ( v q − v q ⋅ z − 1 ) (11) 得到最终表达式： f s 2 ω f f ( v q ( k ) − v q ( k − 1 ) ) (12) 在此基础上，程序中对其进行了一阶低通滤波： (13)
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user: 3. PLL仿真 3.1. 软件PLL仿真 为验证上述PLL控制方法的有效性，利用Power Simulation (PSIM)软件对文中的软件PLL方法进行仿真，仿真条件如下：电网幅值V grid = 314 V，电网频率f = 50 Hz，N = 400，ω = 2π/N = 0.0154 rad，采样频率f s = 20 kHz，文中提出的算法在仿真模块MCU中实现，将模块组合用来实现模拟电网的变化，如图4是为锁相环仿真电路图。 图4. 锁相环仿真电路图 电网幅值突变仿真波形如图5所示：在0.4 s时，电网从幅值314 V突变到200 V，到0.6 s时恢复正常，可以看到PLL输出与电网相位一致，实现准确锁相。实际50 Hz的电力系统，频率在49.42~50.42之间变化。电网频率突变仿真：频率在0.4 s时突变为48 Hz，在0.6 s时由48 Hz突变为51 Hz，波形如图6所示。 电网相位突变仿真：相位在0.4 s时滞后π/6，在0.6 s恢复正常，波形如图7所示，锁相环在一个电网周期内成功锁上。电网含高次谐波分量时仿真：在1 s时电网电压叠加高次谐波，波形如图8所示，锁相环相位输出没有受到影响，一直跟随电网电压相位，说明本软件锁相环还具有滤除高频谐波的作用。 文中提出的软件PLL控制方法经PSIM仿真验证，能在电网电压幅值，频率，相位突变时，能高效、快速实现锁相，同时本软件锁相环还具有滤除高频谐波的作用，更能保证逆变器并网时的安全性。为了更进一步验证文中提出的PLL控制算法在光伏并网逆变器系统里的可移植性，将此算法运用到双通道反激型并网微逆变器和H6桥型5 kW单相并网逆变器系统中，首先对PSIM软件对两种逆变器系统建模仿真，后通过相应的实验来验证 [ 15 ] [ 16 ]。 图5. 电压突变仿真图 图6. 频率突变仿真图 图7. 相位突变仿真图 图8. 含高次谐波锁相仿真图 3.2. 双通道微逆变器的仿真实现软件PLL算法 微逆变器主电路仿真模型 [ 17 ] [ 18 ] 如下图9所示，图10为微逆变器输出电流和电网电压波形。为了方便显示，电网电压缩小了200倍。可以看到输出电流的相位可以很好地跟踪电网电压的相位，证明了文中提出的软件PLL算法可行性。 3.3. H6桥逆变器中的软件PLL算法 使用PSIM软件搭建H6桥型单相并网逆变器系统仿真模型如图11，仿真模型主要由光伏组件作为直流输入源，H6桥逆变器模块，电网模块及逆变器控制模块组成。对仿真模型仿真运行，得到系统仿真波形如图12所示。可以看到输出电流的相位可以很好地跟踪电网电压的相位，证明了文中提出的软件PLL算法可行性。 图9. 微逆变器系统仿真模型 图10. 仿真波形 图11. 单相并网逆变器系统仿真模型 图12. 仿真波形
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user: 4. 实验结果与分析 分别在500 W双通道微逆变器系统和5 kW单相光伏并网逆变器系统中使用文中的软件锁相环方法，前者采用TMS320F28035为主控芯片，后者采用TMS320F2808为主控芯片。电网频率由_IQ(15)表示，表示的最小精度为1/32768 = 3e −5 。锁相程序放在50 μs的中断中，每次中断一次加角弧度 ω + Δ ω ，ω = 0.0154 rad。通过配置DSP的CpuTimer0寄存器，得到想要的采样频率20 kHz，在中断发生以后，DSP进行如下步骤：使能A/D口对电网电压进行采样，进行park变换，通过PI控制器、积分部分的运算和输出步进角，然后等待下一次的中断。PI控制器的参数k α ，k β 由仿真得到。如图13所示是利用调压器产生的电网电压测试锁相环控制效果，上位机显示的波形，其中 sin ( θ ) 放大了100倍。图14是双通道微逆变器的实验样机，图15所示是500 W双通道微逆变器系统实际并网工作的波形，图16是5 kW单相光伏并网逆变器的实验样机，图17是实际并网工作的波形图。从两者的并网实验结果波形图可以看到并网电流与电网相位一致，实验结果表明软件锁相环能有效、快速地跟踪电网相位、频率，达到预期的控制效果，同时验证了文中提出的软件PLL程序算法的可移植性。 图13. 锁相环锁相波形 图14. 双通道微逆变器的实验样机 图15. 并网实验波形 图16. 5 kW单相并网逆变器样机 图17. 并网实验波形 针对单相光伏并网逆变器的应用，文中提出一种新型软件锁相环的实现方法，在电网电压幅值、频率发生变化时可有效、快速、高精度实现周期内任意时刻的锁相，而不需等待检测电网过零点，可有效实现并网电流与电网锁相，提高了并网逆变器锁相精度和安全稳定性，省去了硬件电路，从而提高了并网逆变器系统的性价比，同时程序代码简单，可移植性高。在500 W双通道光伏微逆变器和5 kW单相光伏并网逆变器上验证了软件锁相环控制方法的正确性和锁相环程序代码的可移植性。
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user: 摘 要 目的：探讨手术室护理路径在腹腔镜子宫肌瘤剔除术中的临床应用效果及其对应激反应的影响。方法：选取于2015年2月至2017年5月期间我院拟实施腹腔镜子宫肌瘤剔除手术的94例患者，分为两组，每组47例。47例对照组患者在围术期采用传统护理手段进行护理，47例观察组患者在围术期采用手术室护理路径进行护理，分析比较两组患者的应激反应、住院时间、治疗费用及护理满意度。结果：T 1 时，观察组患者应激反应的各项指标(T、HR、MAP、血糖、血浆皮质醇)均明显低于对照组患者，差异具有统计学意义(P < 0.05)；与对照组患者相比，观察组患者的住院时间、治疗费用均明显降低(P < 0.05)，护理满意度明显提高(P < 0.05)。结论：围术期内，将手术室护理路径应用于腹腔镜子宫肌瘤剔除术，可有效缓解术中应激反应，大幅提高患者满意度，并明显降低住院时间及治疗费用。 关键词 :手术室护理路径，腹腔镜，子宫肌瘤剔除术，护理效果，应激反应 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 子宫肌瘤是一种良性肿瘤，临床治疗多以手术为主。腹腔镜子宫肌瘤剔除术具有无需开腹、术后恢复快等优点，其临床应用日益广泛 [ 1 ] 。适度应激反应对于机体来说是有益的，而强烈的应激反应则会导致病理状态的产生。在CO 2 气腹等因素条件下，腹腔镜子宫肌瘤剔除术患者的内分泌等生理功能易受到影响，产生应激反应，因而适当减弱手术所引起的应激反应，将有助于患者安全度过围术期，利于患者的术后恢复 [ 2 ] [ 3 ] 。手术室护理路径是一种重要的临床护理路径，随着医学技术的进步和医疗模式的转变，临床上越来越推行这种护理方法 [ 4 ] 。据有关研究证明，对行腹腔镜术的患者采用手术室护理，有促进手术预后的作用 [ 5 ] [ 6 ] 。本文分析了腹腔镜子宫肌瘤剔除术中，采用手术室护理路径进行护理的临床护理效果及其对术中应激反应的影响，目的在于研究手术室护理路径的临床应用价值。
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user: 2. 资料及干预 2.1. 一般资料 经我院伦理委员会同意，将2015年2月至2017年5月在我院实施子宫肌瘤腹腔镜剔除术的94例患者作为研究对象。纳入标准：①患者具备腹腔镜子宫肌瘤剔除术的手术指征；②患者自愿参与本研究；③患者签订知情同意书。排除标准：排除合并有糖尿病、心血管疾病、内分泌疾病或造血功能疾病的患者 [ 7 ] 。按随机数字表法将所有患者随机分为观察组和对照组，每组47名。经统计学分析，两组患者的性别、年龄等一般资料的差异均无统计学意义(P > 0.05)，具有可比性。 2.2. 研究方法 2.2.1. 对照组 采用传统护理模式进行护理。 2.2.2. 观察组 采取系统的手术护理路径进行护理，具体方法如下：1) 确立手术室护理小组，并依据患者病情的具体状况，拟定合适的手术室护理流程表，确定每项护理工作的详细时间及顺序，护理的具体内容有护理方法、治疗方式、入院指导、心理疏导和疾病教育及出院指导等。2) 术前护理：护理人员对患者实施入院评估，主动向患者介绍疾病知识、手术方式和术后注意事项，对产生不良情绪的患者进行心理疏导，检查手术部位备皮情况，保证患者做好术前休息。3) 术中护理：保证室内温度、湿度适宜，保持安静的环境，减轻患者的紧张情绪。手术过程中护理人员应密切观察手术进展，积极配合麻醉师及医生。同时关注患者的生命体征变化，对术中的突发状况进行冷静处理。4) 术后护理：手术完成后，将患者转入复苏室，并密切检测患者的生命体征；转入普通病房，协助患者制定饮食方案；密切观察患者腹壁穿刺口的愈合状况，术后2天回访，对患者的术后恢复情况进行全面评估。5) 出院指导：护理人员对术后恢复状况良好的患者进行出院指导 [ 8 ] [ 9 ] 。 2.3. 评价指标 为比较两组患者围术期应激反应的强弱，分别于术前1 d (T 0 )，气腹后10 min (T 1 )和术毕(T 2 )三个时间点，对患者各项应激反应指标进行观察和记录，应激反应的指标包括体温(temperature， T)、心率(heartrate， HR)、平均动脉压(mean arterial pressure， MAP)、血糖及血浆皮质醇。为分析两组患者在两种护理条件下的护理效果差异，详细记录患者的住院时间及治疗费用，并在出院当天调查患者对护理服务的满意度。满意度调查的评分标准为满意(80~100分)、较满意(60~80分)和不满意(60分以下)，满分为100分。 2.4. 统计学方法 将本研究的数据录入SPSS 13.0统计学软件进行分析，计量资料行t检验，计数资料行x 2 检验。如P < 0.05，则差异具有统计学意义。
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user: 3. 结果 3.1. 应激反应比较 两组患者T 1 时的T、血糖、MAP、HR、血浆皮质醇均较T 0 时明显升高(P < 0.05)；观察组患者T 1 时的T、血糖、MAP、HR、血浆皮质醇均明显低于对照组(P < 0.05) (见表1)。 Table 1 Comparison of changes of T， blood glucose， MAP， HR and plasma cortisol between the two groups ( x ¯ ± s 指标 观察组(n = 47) 对照组(n = 47) T 0 T 1 T 2 T 0 T 1 T 2 体温(℃) 36.3 ± 3.8 36.5 ± 4.5 a 36.5 ± 4.5 36.4 ± 4.0 37.6 ± 3.0 b 37.2 ± 3.1 血糖(mg/dL) 5.3 ± 0.1 5.4 ± 0.2 a 5.3 ± 0.2 5.3 ± 0.1 5.7 ± 0.2 b 5.5 ± 0.1 平均动脉压(Kpa) 11.4 ± 0.7 12.5 ± 0.8 a 11.6 ± 0.8 11.3 ± 0.8 15.4 ± 0.9 b 13.2 ± 0.8 血浆皮质醇(ng/L) 105.2 ± 14.8 132.7 ± 14.4 a 111.2 ± 11.3 104.7 ± 23.1 174.5 ± 17.4 b 132.4 ± 14.1 心率(次/min) 78.6 ± 3.3 79.2 ± 3.9 a 78.6 ± 3.6 78.2 ± 3.5 86.5 ± 4.5 b 83.2 ± 4.4 表1. 两组患者T、血糖、MAP、HR及血浆皮质醇变化比较( x ¯ ± s ) 注：与对照组相同时间点相比较， a P < 0.05；组内与T 0 比较， b P < 0.05。 3.2. 住院时间及治疗费用比较 与对照组相比，观察组患者的住院时间和治疗费用均明显降低(P < 0.05) (见表2)。 Table 2 Comparison of hospitalization time and treatment cost between the two groups ( x ¯ ± s 项目 n 住院时间(d) 治疗费用(千元) 观察组 47 8.0 ± 1.2 14.5 ± 1.2 对照组 47 9.5 ± 1.5 16.5 ± 2.4 t 5.353 5.110 P <0.001 <0.001 表2. 两组患者住院时间及治疗费用比较( x ¯ ± s ) 3.3. 护理满意度比较 观察组中，满意43例，较满意3例，不满意1例，满意度为97.9%；对照组中，满意34例，较满意6例，不满意7例，满意度85.1%，观察组患者的护理满意度明显高于对照组(x 2 = 6.552， P = 0.038)。
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user: 4. 讨论 对子宫肌瘤等妇科类疾病患者来说，运用腹腔镜手术进行治疗时，可能会涉及到患者的隐私，因而应对护理措施进行充分合理的制定。而腹腔镜作为一种微创手术，在对患者的护理过程中，需要配合更为细致的护理措施，从而更好地促进患者预后 [ 10 ] [ 11 ] 。手术室护理路径作为一种以患者为核心的优质护理，不但促进了医护人员与患者的沟通，加强了医护人员之间的协作，还有利于规范护理服务，提升了护理质量 [ 12 ] 。 4.1. 对应激反应的影响 腹腔镜术中，由于手术、不良情绪等内外界刺激因素影响，患者血中促肾上腺皮质激素浓度迅速升高，体内皮质激素浓度水平升高，产生应激反应，再加上恐惧、紧张等心理因素的影响，因此术中CO 2 气腹等因素均可能引起患者的多种生理功能失调，进而导致强烈的应激反应，影响患者围术期的恢复状况 [ 13 ] 。 本研究结果显示，观察组患者的应激反应明显轻于对照组，充分证明了手术室护理路径在腹腔镜子宫肌瘤剔除术中的应用价值。T 0 时，两组患者应激反应各项指标均升高，但对照组患者的应激反应指标升高幅度大于观察组患者。分析原因：1) 术中CO 2 气腹时，CO 2 吸收入血，机体内CO 2 浓度升高，机体对内外界刺激的敏感性增加，应激反应增强，肾上腺素、去甲肾上腺素等激素分泌增加，引起体内血流动力学的改变，HR和MAP均明显升高；2) 术前的心理疏导和健康教育可减少患者对手术的恐惧感，减少不良心理因素对手术的影响，促使患者积极应对术中应激反应 [ 14 ] 。因此，在腹腔镜子宫肌瘤剔除术中，手术室护理路径能够有效减轻患者的应激反应，这将有利于患者安全度过手术期。 4.2. 对护理效果的影响 医护人员通过有计划地进行护理工作，更好地规范了护理服务，从而使医护人员能够有计划地进行临床护理工作 [ 15 ] 。本研究结果显示，相较于对照组患者，观察组患者的住院时间及医疗费用均明显降低，且患者的护理满意度也有大幅提升。分析原因：医护人员有计划、有规范性地进行护理服务，从而规避了因护理不到位、检查不及时、住院时间安排不得当等原因所造成的住院时间的延长 [ 16 ] 。手术室护理路径增强了医护人员之间的相互协作，减少了不必要的医疗操作，有效提高了工作效率，进而降低了患者的医疗费用。护理质量的提升及住院时间、医疗费用的降低也带来了患者护理服务满意度的提升。 因此，综上所述，在腹腔镜子宫肌瘤剔除术中，按照手术室护理路径对患者进行护理服务，可有效减轻术中应激反应，大幅提高患者的护理满意度，并明显降低住院时间及治疗费用，值得推广使用。
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user: 利益冲突 无。
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user: 摘 要 构造一个随机金融系统，对其动力学性质进行分析，基于随机灵敏度函数技术合成一个随机灵敏度矩阵，针对随机系统产生的偏离确定吸引子的随机吸引子，设计一个反馈调节部分稳定随机系统的平衡点，围绕平衡点，新的调节器可以降低随机系统的灵敏度并且抑制随机振荡。 关键词 :随机灵敏度函数，金融混沌，反馈控制 Copyright © 2019 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 金融系统是一个多要素且极复杂的非线性系统。由于参数的改变可能使系统出现混沌状态，使得很多金融问题变得更加复杂，如金融市场出现停滞、失控甚至引发金融危机等现象。非线性经济动力学理论分析有助于预测和解决经济市场中存在的一些非线性问题，对于非线性经济学领域的研究具有重要的理论和实践意义。众所周知，不受控制的随机扰动是任何实际系统的必然属性，特别是在经济学中，即使是非线性系统中的弱噪声也能显著地改变其动态特性。因此，分析随机扰动的影响是现代经济动力学理论中的一个具有挑战性的问题。加入随机干扰可能会引发各种现象，例如规则与混沌的相互转换、随机分岔、随机共振以及噪声诱导转换 [ 1 ]。对于吸引子附近的概率分布，KFP方程给出了最详细的概率描述。然而，即使是对于最简单的情况，直接使用这个方程也是非常困难的。我们采用拟势函数的小噪声分布密度，根据其渐进分析 [ 2 ]。利用随机灵敏度函数(SSF)方法，构造连续和离散时间系统的随机吸引子的概率描述。 一维的带有切线和危机分岔离散时间系统中应用SSF技术，通过置信区间给出了随机平衡中随机状态的偏差的构造性描述。置信区间大小由噪声强度、随机灵敏度值和基准概率定义。对引发间歇性的参数进行分析，得到相应噪声强度阈值 [ 3 ] [ 4 ]。 对二维的卡尔多商业离散系统和Brusselater系统的研究广泛地应用了SSF技术，充分研究了其系统状态的相互转化 [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]。 在三维情形，当随机Lorenz系统和Rossler系统出现倍周期分岔时，利用SSF技术有效分析了其附近的混沌现象 [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]。然而在金融模型中还未应用过这个方法对吸引子进行概率描述，本文中将SSF技术应用到改进的三维金融模型中，利用可达性条件设计控制器来控制随机吸引子到平衡点。
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user: 2. 一类确定性金融系统的参数分析 2.1. 一类金融系统的改进 本文研究如下金融系统 [ 11 ] ： { x ˙ = z + ( y − a ) x y ˙ = 1 − b y − x 2 z ˙ = − x − c z (1) 其中 x 代表利率， y 代表投资需求， z 代表价格指数， a 表示储蓄量， 表示单位投资成本， c 表示商品需求弹性。经过研究以及数值模拟发现，当 a = 0.9 ， b = 0.2 ， c = 1.2 时，金融系统出现混沌吸引子，能够反映经济的一些变化规律，在系统(1)的基础上，发现影响利率变化的因素除了投资需求、价格指数外，还与平均利润率有关，且平均利润率与利率成正比例关系。考虑到利率 x 变化与物价价格有可能会出现弹性正比关系，并发现调整弹性系数，也能使金融系统出现的混沌状态消失，达到稳定状态，或周期状态。对系统(1)中第一个方程做了改进，即在利率 x 原始变化中，于价格指数 z 前引入权值参数 r ，构造如下改进的金融混沌系统： { x ˙ = r z + ( y − a ) x + k x y ˙ = 1 − b y − x 2 z ˙ = − x − c z (2) 2.2. 确定性系统局部稳定性与分岔 令系统(2)左端为零，经过计算可以得到：当 r ≥ c / b − a c + k c 时，系统(2)有唯一平衡点；当 r < c / b − a c + k c 时，系统(2)有三个平衡点，分别为 E 1 = ( 0 ， 1 b ， 0 ) E 2 = ( 1 − b r c − a b + k b ， r c + a − k ， − 1 c 1 − b r c − a b + k b ) E 3 = ( − 1 − b r c − a b + k b ， r c + a − k ， 1 c 1 − b r c − a b + k b ) 2.2.1. 平衡点E 1 的pitchfork分岔与Hopf分岔 将平衡点 E 1 = ( 0 ， 1 b ， 0 ) 代入Jacobi矩阵可以得到特征方程 F 1 ( λ ) = ( λ + b ) [ ( 1 b − a + k − λ ) ( c + λ ) − r ] = 0 根据Routh-Hurwitz定理，结合用中心流行定理与分岔的判定定理，可以得到如下结论。 定理1：当 r = c b − a c + k c 且 c > 1 b − a + k 时，金融系统在平衡点 E 1 处经历pitchfork分岔。即当 r ≥ c b − a c + k c 且 c > 1 b − a + k 时，系统(2)有唯一平衡点 ，且此时平衡点 E 1 为局部渐进稳定的；当 r < c b − a c + k c 且 c > 1 b − a + k 时，系统(2)增加两个稳定平衡点 E 2 和 E 3 ，即系统(2)有三个平衡点，此时平衡点 E 1 由稳定变为不稳定。 定理2：当 c = 1 b − a + k 且 r > c b − a c + k c 时，系统(2)在平衡点 E 1 处经历Hopf分岔。 为了验证定理1和定理2的理论结果，现取参数a = 9.6，b = 0.1，k = 0.5，计算可得 ;当 c = 10 9 > 0.9 ， c b − a c + k c = 1 ，所以，当 r = 1.120 > 1 时满足定理1中 r ≥ c b − a c + k c 且 c > 1 b − a + k 的条件，平衡点 ( 0 ， 1 b ， 0 ) = ( 0 ， 10 ， 0 ) 是局部稳定， r = 0.978 < 1 时，系统有两个稳定的平衡点；如果 ， b ， k 不变，取 c = 0.9 = 1 b − a + k ， r = 1.120 > 0.81 时，金融系统(2)在平衡点 ( 0 ， 1 b ， 0 ) = ( 0 ， 10 ， 0 ) 经历Hopf分岔，出现周期轨。 2.2.2. 平衡点E 2 和E 3 的Hopf分岔 将平衡点 E 2 和 代入Jacobi矩阵，可得特征方程 F 2 ， 3 ( λ ) = λ 3 + p λ 2 + q λ + s = 0 其中， p = b + c − r c 。 q = 2 k b + b c + 2 − 3 b r c − 2 a b s = 2 k b c + 2 c − 2 b r − 2 a b c 由Routh-Hurwitz定理和Hopf分岔定理可知： 定理3：当 r < c 2 + b c ， r < k c + c b − a c ， r < − B − B 2 − 4 C 2 (或 r > − B + B 2 − 4 C 2 )时， E 2 和 E 3 局部渐进稳定。当 ，金融系统(2)在 E 2 和 E 3 处同时经历Hopf分岔。其中 B = 2 a b c − 3 b 2 c − 2 c − 2 k b c 3 b C = 2 b c 2 + b 2 c 3 + b c 4 − 2 a b 2 c 2 + 2 k b 2 c 2 3 b 固参 ，取初值 ( 0.01 ， 10.01 ， − 0.01 ) ，确定性系统吸引子的轨迹如图1所示。 图1. 确定系系统吸引子 由图1可以看到，当 r = 0.978 时，系统出现两个稳定的平衡点，当 r = 0.9132 时，系统在平衡点 E 2 和 E 3 处同时发生Hopf分岔形成了两个周期轨，当 r = 0.8 时，系统出现混沌吸引子，当 r = 2 时，系统只有一个稳定的平衡点。
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user: 3. 随机平衡点的灵敏度 在系统(2)中加入标准的维纳过程可以得到以下随机系统 { x ˙ = r z + ( y − a ) x + k x + ε w ˙ 1 y ˙ = 1 − b y − x 2 + ε w ˙ 2 z ˙ = − x − c z + ε w ˙ 3 (3) 在系统(3)中， ε 为噪声强度， w i ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 为标准的维纳过程。 由图2和图1对比可以看出随机系统的轨迹离开确定吸引子，但是在其周围形成随机吸引子，一般随机可能会引起系统状态的转换。比如当时，可以看出系统有从周期态向混沌态过渡的趋势。 图2. 随机金融系统的随机吸引子( ε = 0.0001 ) 将系统(3)表为如下形式： x ˙ = f ( x ) d t + ε σ w ˙ (4) x 是一个3维向量， w ( t ) 是一个3维维纳过程， ε 是强度参数。 在本文中我们取 σ = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] 当 ε = 0 ，假设系统(4)有指数稳定的平衡点，这样随机系统(4)的随机轨迹就会离开平衡位置并在其周围形成带有平稳概率分布 ρ t ( x ， ε ) 的随机吸引子(如图2)， ρ t ( x ， ε ) 是Fokker-Planck方程的解，但是即使在二维的情况下，这个方程也很难获得解析解。对于小噪声，我们可以得到 ρ t ( x ， ε ) 的近似 ρ t * ( x ， ε ) ，基于拟势函数 [ 12 ]。 v ( x ) = − lim ε → 0 ε 2 log ρ ( x ， ε ) 函数 在平衡点附近有指数的高斯近似 ρ t * ( x ， ε ) 。 ρ t ( x ， ε ) ≈ ρ t ∗ ( x ， ε ) = N ∗ exp ( − ( x − x ¯ ) T W − 1 ( x − x ¯ ) 2 ε 2 ) 其中拟势函数 v ( x ) = 1 2 ( x − x ¯ ) T W − 1 ( x − x ¯ ) ，矩阵 W ( t ) 是随机系统的随机灵敏度矩阵。矩阵 W 是正定对称矩阵，且是下面矩阵方程的解 [ 13 ] A W + W A T + S = 0 (5) 在(5)中， A = ∂ f ∂ x ( x ¯ ) ， S = σ σ T ，对于指数稳定平衡点 x ¯ ，矩阵 A 的所有特征值 λ i 满足 Re λ i < 0 ，上述矩阵方程有唯一解。由高斯近似可以得到： W 的迹越小， ρ t * ( x ， ε ) 越小，则 ρ t ( x ， ε ) 越小，所以随机轨迹越趋近于平衡位置。反之 W 的迹越大，则随机轨迹越远离平衡位置。由矩阵方程(5)可以解出随机灵敏度矩阵，当 时，矩阵为 W = [ 445.4985 − 165.9164 − 393.8766 − 165.9164 153.3293 166.0713 − 393.8766 166.0713 354.9389 ] 定义 d ( r ) = t r W ( r ) = w 11 ( r ) + w 22 ( r ) + w 33 ( r ) ，我们将 d ( r ) 作为衡量随机灵感度的指标， d ( 0.978 ) = 953.7667 ，显然这个值非常大，这也是随机轨迹紊乱的原因(如图2)，为了平衡随机系统中的紊乱轨迹并抑制其混沌状态，下一节我们设计一类控制器来控制随机金融系统，并计算出控制器的随机灵敏度矩阵。
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user: 4. 随机系统的稳定控制 考虑随机受控金融系统 x ˙ = f ( x ， u ) + ε σ w ˙ (6) 我们采用常规反馈控制器 ， K = ( k 1 ， k 2 ， k 3 ) 即 u = k 1 ( x 1 − x ¯ ) + k 2 ( y 1 − y ¯ ) + k 3 ( z 1 − z ¯ ) 。 由于在随机系统中无法直接描述概率分布，我们引入第一近似系统 [ 10 ] ，系统(4)的第一近似系统为 d z = A z + ε σ w ˙ 其中 z ( t ) = x − x ¯ 。 所以对应于系统(6)的第一近似系统为 d z = ( A + B K ) z d t + ε σ w ˙ 其中 B = ∂ f ∂ u 。 因为系统(4)的随机灵敏度矩阵由矩阵方程(5)解出，要解系统(6)的随机灵敏度矩阵 W ，由方程(5)可以推出 ( A + B K ) W + W ( A + B K ) T + S = 0 (7) M 是随机灵敏度矩阵的集合，其中元素满足对称和正定性。 Φ = { K | Re λ i ( A + B K ) < 1 } ， λ i ( A ) 是矩阵A的特征值。 定义1：充分随机可控：如果 ，那么系统(6)是充分随机可控的。 定义2：可达：如果对于一些 K ∈ Φ 满足 W K = W ¯ 成立，对于系统(6)来说，元素 W ¯ ∈ M 可达。 对于本文所研究的系统， r a n k B = 1 < 3 ，那么系统(6)就不是充分随机可控的，这样就需要描绘可达性条件，我们用投影矩阵 P 1 = B B + ， P 2 = I − P 1 ， 是 B 的伪逆矩阵。因为 r a n k B < 3 ，那么 P 2 ≠ 0 ，所以考虑矩阵函数 H ( W ) = S + A W + W A T ，有以下方程成立 P 2 H ( ( W ) P 2 = 0 (8) 矩阵 由以下得出 K = K ¯ + C ， K ¯ = B + H ( W ) ( 1 2 P 1 − I ) W − 1 (9) C是满足 B C W + W C T B T = 0 任意的 1 × 3 矩阵。 引理1当 r a n k B = 1 ，矩阵 W ∈ M 是可达的当且仅当条件(8)成立且满足 A + B K ¯ ∈ Φ [ 9 ]。
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user: 5. 随机受控金融系统的数值模拟 { x ˙ = r z + ( y − a ) x + k x + u + ε w ˙ 1 y ˙ = 1 − b y − x 2 + ε w ˙ 2 z ˙ = − x − c z + ε w ˙ 3 (10) E ( w i ( t ) − w i ( s ) ) = 0 ， E ( w i ( t ) − w i ( s ) ) 2 = | t − s | ， u 是控制部分。由图3可以看出在 [ 0.5 ， 0.55 ] 和 [ 0.9 ， 0.99 ] 之间，平衡点 的随机灵敏度非常大。 接下来考虑带有控制的系统(10)，控制的目的是稳定平衡点 E 2 ，使得在区间 [ 0.5 ， 2 ] 内，所有的随机状态都集中在平衡点小邻域内。我们的方法是为 合成随机灵敏度矩阵 W 。 反馈控制器的系数 k 1 ， k 2 ， k 3 取决于满足(9)的随机灵敏度矩阵 ，对于系统(10) 我们有 A = [ y ¯ − a + k x ¯ r − 2 x ¯ − b 0 − 1 0 − c ] ， B = [ 1 0 0 ] ， K = [ k 1 k 2 k 3 ] ， S = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] ， 图3. 非受控金融系统的平衡点 E 2 的随机灵敏度 P 1 = [ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] ， P 2 = [ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ] ， W = [ w 11 w 12 w 13 w 12 w 22 w 23 w 13 w 23 w 33 ] . 由可达性条件可以得到 { − 4 x ¯ w 12 − 2 b w 22 + 1 = 0 − 2 w 13 − 2 c w 33 + 1 = 0 − 2 x ¯ w 13 − w 12 − ( b + c ) w 23 = 0 这里，五个元素有三个方程，由于参数可以自由选择，所以我们可以固定 w 13 = 0.2 ， w 23 = 0 ，所以就有显示公式 w 12 = − 0.4 x ¯ ， w 22 = 1 + 1.6 x ¯ 2 2 b ， w 33 = 3 10 c 再由W的正定性，有 w 11 > 0.32 b x ¯ 2 1 + 1.6 x ¯ 2 ≈ 0.00006 ， w 11 > 0.1482 ，所以我们选取 w 11 = 1 所以我们想要得到的随机灵敏度矩阵就可以表示为 W = [ 1 − 0.4 x ¯ 0.2 − 0.4 x ¯ 1 + 1.6 x ¯ 2 2 b 0 0.2 0 3 10 c ] 可以发现受控系统的随机灵敏度矩阵远远小于非受控系统的随机灵敏度矩阵，由图4可以看出受控系统的 d ( r ) 在整个 [ 0.5 ， 0.99 ] 上保持在6.5左右。 图4. 受控金融系统的平衡点 E 2 的随机灵敏度 接下来验证受控系统的随机灵敏度可以抑制随机振荡，由引理和(10)可以得到控制器的系数 k 1 ， k 2 ， k 3 当 r = 0.9132 时， K = [ − 2.3746 ， 2.2492 ， 4.7637 ] ， 当 r = 0.978 时， K = [ − 2.5057 ， 1.1175 ， 4.7528 ] ， 当 时， K = [ − 2.1411 ， 3.4952 ， 4.7794 ] 。 将每个 K 带入到相对应 r 值的系统中，系统稳定在 E 2 ，由图5可以看到，加入控制器后随机轨迹的 x 坐标稳定在一个常数。 图5. 随机轨迹x坐标的随机振荡的稳定
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user: 6. 结论 1) 不加控制项的随机系统的随机轨迹会发散在平衡位置周围，加入控制项后，可以将随机轨迹稳定在平衡位置的小邻域内。 2) 加入控制项后可以实现随机振荡的稳定，并且其稳定性的实现是由于受控系统平衡位置的随机灵敏度的降低。
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user: 摘 要 以Hermite-Gauss节点为配置点，用带松弛因子的Hermite函数谱配置方法求数值解，逼近无界区域上的Kortewego-de Vries方程Cauchy问题的理论解，给出算法格式和相应的数值结果，表明所提算法格式的有效性和高精度。适当地选择松弛因子，使得数值解更好地匹配理论解的渐进行为，所给算法尤其适合于非线性问题。 关键词 :Kortewego-de Vries方程，初值问题，Hermite函数谱配置方法，Hermite-Gauss节点 Copyright © 2019 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 记 R = { x | − ∞ < x < ∞ } ， t > 0 ， u ( x ， t ) 是实值函数。为方便，记 ∂ ∂ x 为 ∂ x 。考虑Kortewego-de Vries方程初值问题 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] { ∂ t u + γ u ∂ x u + ν ∂ x 3 u − μ ∂ x 5 u = 0 ， x ∈ R ， t > 0 ， u ( x ， t ) → 0 ， | x | → ∞ ， t > 0 ， u ( x ， 0 ) = φ ( x ) x ∈ R ， (1) 其中 γ ， ν 和 μ 是常数。文献 [ 4 ] [ 5 ] 研究常微分方程的谱配置方法，文献 [ 6 ] 给出问题(1)的有界区域上混合问题的广义Jacobi逼近，文献 [ 7 ] 考虑了无界区域上三阶KdV方程( γ = 6 ， ν = 1 ， μ = 0 )的Chebyshev-Hermite多项式时空谱配置方法，文献 [ 8 ] 提出了半无界区域上Fisher方程的Laguerre拟谱方法，文献 [ 9 ] 研究统计物理中无界区域上非线性Fokker-Planck方程的Hermite函数谱配点方法。考虑到问题(1)解的行波性态，为更好地吻合理论解在无穷远处的渐进行为，用含有因子 e − ( σ x ) 2 / 2 的插值函数逼近问题的理论解，利用高阶微分矩阵和一阶微分矩阵之间的关系处理高阶微分项，可以方便地构造非常简单的算法格式。
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user: 2. Lagrange插值函数及其微分矩阵 Hermite函数 H ^ n ( y ) 定义为 H ^ n ( y ) = 1 2 n n ! e − y 2 / 2 H n ( y ) ， n ≥ 0 ， y ∈ R . 其中 H n ( y ) 表示 n 阶Hermiter多项式。令 y j ( 0 ≤ j ≤ N ) 是 H N + 1 ( y ) = 0 的根。以 y j 为节点的Hermite函数谱配置方法的Lagrange插值基函数为 [ 6 ] [ 10 ] ϕ j ( y ) = e − y 2 / 2 e − y j 2 / 2 H N + 1 ( y ) ( y − y j ) H N + 1 ' ( y j ) ， j = 0 ， 1 ， ⋯ ， N ， 对任意 u ( y ) ∈ C ( R ) ，其Lagrange插值函数为 p N ( y ) = ∑ j = 0 N u ( y j ) ϕ j ( y ) ， y ∈ R 。对 p N ( y ) 求 m 阶导数得， p N ( m ) ( y ) = ∑ j = 0 N u ( y j ) ϕ j ( m ) ( y ) . 令 D ( m ) = ( ϕ j ( m ) ( y k ) ) 0 ≤ k ， j ≤ N ， D : = D ( 1 ) ， 则由文献 [ 6 ] 中(3.68)和(7.93) ϕ j ( 1 ) ( y k ) = { H ^ N ( y k ) ( y k − y j ) H ^ N ( y j ) ， k ≠ j ， 0 ， k = j . (2) D ( m ) = D m (3) 对那些解随 | x | → ∞ 快速(或慢速)衰减的问题，用上述基函数不一定能得到高精度的数值误差结果。为了改进逼近精度，需要引入带伸缩因子的插值逼近，为此，给出下面的Hermite函数： H n σ ( x ) = H ^ n ( σ x ) . 相应的Lagrange插值基函数为： ϕ j σ ( x ) = e − ( σ x ) 2 / 2 e − ( σ x j ) 2 / 2 H N + 1 ( σ x ) ( x − x j ) H N + 1 ' ( σ x j ) ， j = 0 ， 1 ， ⋯ ， N . 带松弛因子的微分矩阵记为 D σ ( m ) = ( ( ϕ j σ ( y k ) ) ( m ) ) 0 ≤ k ， j ≤ N ， D σ : = D σ ( 1 ) ， 和(2)式类似有： ( ϕ j σ ( x k ) ) ( 1 ) = { H N σ ( x k ) ( x k − x j ) H N σ ( x j ) ， k ≠ j ， 0 ， k = j . 由 ϕ j σ ( x ) = ϕ j ( y ) | y = σ x 和(3)式知 m 阶微分矩阵： D σ ( m ) = D σ m = σ m D m
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user: 3. Kortewego-de Vries方程的Hermite函数谱配置方法 3.1. 三阶Kortewego-de Vries方程配置方法 式(1)中令 γ = ν = 1 和 μ = 0 可得三阶Kortewego-de Vries方程 [ 1 ] ，考虑初值问题： { ∂ t u + u ∂ x u + ∂ x 3 u = 0 ， x ∈ R ， t > 0 ， u ( x ， t ) → 0 ， | x | → ∞ ， t > 0 ， u ( x ， 0 ) = φ ( x ) x ∈ R ， (4) 用 p N σ ( x ， t ) = ∑ j = 0 N u ( x j ， t ) ϕ j σ ( x ) ， x ∈ R ，逼近式(4)的解 u ( x ， t ) ，将其代入式(4)，得 { ∂ t p N σ ( x k ， t ) + p N σ ( x k ， t ) ∂ x p N σ ( x k ， t ) + ∂ x 3 p N σ ( x k ， t ) = 0 ， k = 0 ， 1 ， ⋯ ， N ， t > 0 ， p N σ ( x k ， 0 ) = φ ( x k ) ， k = 0 ， 1 ， ⋯ ， N . (5) 式(5)等价于 { u ′ ( x 0 ， t ) = − ∑ j = 0 N u ( x j ， t ) ( ϕ j σ ( x 0 ) ) ( 3 ) − u ( x 0 ， t ) ∑ j = 0 N u ( x j ， t ) ( ϕ j σ ( x 0 ) ) ( 1 ) ， ⋯ ⋯ ⋯ u ′ ( x N ， t ) = − ∑ j = 0 N u ( x j ， t ) ( ϕ j σ ( x N ) ) ( 3 ) − u ( x N ， t ) ∑ j = 0 N u ( x j ， t ) ( ϕ j σ ( x N ) ) ( 1 ) ， u ( x j ， 0 ) = φ ( x j ) ， j = 0 ， 1 ， ⋯ N . (6) 令 X ( t ) = ( u ( x 0 ， t ) ， u ( x 1 ， t ) ， ⋯ ， u ( x N ， t ) ) T ， X 0 = ( φ ( x 0 ) ， φ ( x 1 ) ， ⋯ ， φ ( x N ) ) T ，式(6)的矩阵形式为 { d X ( t ) d t = − σ 3 D 3 X ( t ) − σ A ( t ) D X ( t ) t > 0 X ( 0 ) = X 0 . (7) 这里矩阵 A ( t ) = ( a i j ( t ) ) ，为 ( N + 1 ) × ( N + 1 ) 矩阵，其元素为 显然， A ( t ) D X ( t ) 是非线性项。 3.2. 数值结果 用格式(7)求解式(4)。在时间方向用步长为 τ 的Crank-Nicolson格式离散式(7)，得 { ( I + 1 2 τ σ 3 D ) X ( t + τ ) = ( I − 1 2 τ σ 3 D 3 ) X ( t ) − 1 2 τ σ ( A ( t + τ ) D X ( t + τ ) + A ( t ) D X ( t ) ) ， t = 0 ， τ ， 2 τ ， ⋯ T − τ ， X ( 0 ) = X 0 . (8) 由于式(7)式是关于 X ( t ) 的非线性方程(或关于其分量的非线性方程组)，实际计算时应用解非线性方程(组)的Newton迭代方法，需要计算迭代矩阵。为方便起见，用如下的迭代方法：在时间方向 t + τ 这一层进行迭代： { ( I + 1 2 τ σ 3 D ) X n + 1 ( t + τ ) = ( I − 1 2 τ σ 3 D 3 ) X ( t ) − 1 2 τ σ ( A ( t + τ ) D X n ( t + τ ) + A ( t ) D X ( t ) ) ， t = 0 ， τ ， 2 τ ， ⋯ T − τ ， X ( 0 ) = X 0 . (9) 设定迭代终止条件：对给定的 ε > 0 ，如果 | X n + 1 ( t + τ ) − X n ( t + τ ) | ≤ ε ，即得 t + τ 的值 X ( t + τ ) 。 三阶Kortewego-de Vries方程有精确孤波解 [ 1 ] [ 6 ] ： u = 12 κ sech 2 ( κ ( x − 4 κ 2 t − x 0 ) ) ， (10) 其中 κ 和 x 0 是给定的参数。 用 L ∞ -范数 E N = max 0 ≤ j ≤ N | u ( x j ， t ) − P N σ ( x j ， t ) | 度量数值误差。图1给出 t = 1 和不同 τ ，数值解和理论解的误差 E N 的常用对数 log 10 E N 随 log 10 N 的关系。可以看出，数值误差随 N 的增加及 τ 的减小而快速衰减，空间方向达到谱精度；图2给出 t = 1 和 t = 50 误差，可以看出对较大的 t 所提算法格式仍然有效。 图1. κ = 0.3 ， σ = 0.3 图2. κ = 0.3 ， σ = 0.3 ， τ = 0.001 3.3. 五阶Kortewego-de Vries方程配置方法 用 p N σ ( x ， t ) = ∑ m = 0 N u ( x j ， t ) ϕ j σ ( x ) ， x ∈ R ，逼近式(1)的解，将其代入式(1)，得 { ∂ t p N σ ( x k ， t ) + γ p N σ ( x k ， t ) ∂ x p N σ ( x k ， t ) + ν ∂ x 3 p N σ ( x k ， t ) − μ ∂ x 5 p N σ ( x k ， t ) = 0 ， k = 0 ， 1 ， ⋯ ， N ， t > 0 ， p N σ ( x k ， 0 ) = φ ( x k ) k = 0 ， 1 ， ⋯ ， N . (11) 和式(7)相似，式(11)的矩阵形式为 { d X ( t ) d t = ( μ σ 5 D 5 − ν σ 3 D 3 ) X ( t ) − γ σ A ( t ) D X ( t ) ， t > 0 X ( 0 ) = X 0 . (12)
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user: 4. 数值结果 用格式(12)求解式(1)。在时间方向用步长为 τ 的Crank-Nicolson格式离散式(12)，得 { ( I − 1 2 τ ( μ σ 5 D 5 − ν σ 3 D 3 ) ) X ( t + τ ) = ( I + 1 2 τ ( μ σ 5 D 5 − ν σ 3 D 3 ) ) X ( t ) − 1 2 τ γ σ ( A ( t + τ ) D X ( t + τ ) + A ( t ) D X ( t ) ) ， t = 0 ， τ ， 2 τ ， ⋯ T − τ ， X ( 0 ) = X 0 . (13) 由于式(13)式是关于 X ( t ) 的非线性方程(或关于其分量的非线性方程组)，用类似式(9)的迭代方法：在时间方向 t + τ 这一层进行迭代： { ( I − 1 2 τ ( μ σ 5 D 5 − ν σ 3 D 3 ) ) X n + 1 ( t + τ ) = ( I + 1 2 τ ( μ σ 5 D 5 − ν σ 3 D 3 ) ) X ( t ) − 1 2 τ γ σ ( A ( t + τ ) D X n ( t + τ ) + A ( t ) D X ( t ) ) t = 0 ， τ ， 2 τ ， ⋯ T − τ ， X ( 0 ) = X 0 . (14) 设定迭代终止条件：对给定的 ε > 0 ，如果 | X n + 1 ( t + τ ) − X n ( t + τ ) | ≤ ε ，即得 t + τ 的值 X ( t + τ ) 。 式(1)有精确解 [ 11 ] u ( x ， t ) = η 0 + A sech 4 ( κ ( x − c t − x 0 ) ) ， 其中 x 0 和 η 0 是任意常数， A = 105 ν 2 169 μ γ ， κ = ν 52 μ ， c = γ η 0 + 36 ν 2 169 μ . 用 u ( x ， t ) 作为测试函数，用 E N 度量数值误差。图3给出 t = 1 和不同的 τ 及 log 10 E N 随 log 10 N 的变化关系。可以看出，数值误差随 N 的增加及数值误差 τ 的减小而快速衰减，空间方向达到谱精度；图4给出 t = 1 和不同的伸缩因子 σ 数值误差 log 10 E N 随 log 10 N 的变化关系，可以发现对适当小的 σ 数值误差更小。但如何选取最佳伸缩因子是一个未解决的问题。 图3. σ = 0.365 ， μ = γ = 1 ， ν = 1.1 ， η 0 = 0 图4. τ = 0.001 ， μ = γ = 1 ， ν = 1.1 ， η 0 = 0
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user: 5. 结论 以带松弛因子的Hermite函数配置方法求问题(1) (三阶和五阶)的数值解，逼近无界区域上的KdV方程的理论解。由于基函数含有因子 e − ( σ x ) 2 / 2 ，通过适当选取松弛因子 σ 可以使数值解能更好地吻合理论解在无穷远处的渐进行为，所给算法尤其适合于非线性问题。