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user: 3. 具有依赖于状态的随机HCV模型的灭绝性与持久性 在本节，主要研究在状态相关随机环境的影响下，感染肝细胞的灭绝性与持久性，此处主要研究HCV模型(1.3)和(1.5)。正如我们所知的，(1.3)和(1.5)是一种依赖于状态的机制切换扩散。在过去，有学者对其稳定性，遍历性进行研究 [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]，此处不再进行详述。需要注意到，尽管 ( W t ， I t ， V t ) t ≥ 0 与 ( α t ) t ≥ 0 都不是马尔科夫过程，但 ( W t ， I t ， V t ， α t ) t ≥ 0 确是马尔科夫过程。 假设 (M1) 对于所有的 x ∈ ℝ + 3 ，矩阵 Q ( x ) = ( q i j ( x ) ) i ， j ∈ M 是不可约和保守的。 (M2) H : = s u p x ∈ ℝ + 3 m a x i ∈ M q i ( x ) < ∞ ，其中 q i ( x ) : = ∑ j ≠ i     q i j ( x ) 。 与HCV模型(eq1.3)和(1.4)相比较，研究模型(1.3)和(1.5)存在更大的挑战，由于此模型下的 ( α t ) t ≥ 0 不再是一个马尔科夫过程，而是一个跳跃过程，此时经典的连续时间马尔科夫链的遍历定理将不再适用，为了克服这个困难，我们将对 ( α t ) t ≥ 0 进行随机比较。 根据文献 [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] 可以得到引理如下 引理3.1 假设(M1)和(M2)成立，对每个满足 | i − j | ≥ 2 的 i ， j ∈ M ，有 q i ， j ( x ) = 0， x ∈ ℝ 3 。对每个 i ， j ∈ M ，令 q ˜ i j = { inf x ∈ ℝ 3 q i j ( x ) ，     j < i ， sup x ∈ ℝ 3 q i j ( x ) ，     j > i ， − ∑ j ≠ i     q ˜ i j ，               j = i ，     q i j * = { inf x ∈ ℝ 3 q i j ( x ) ，     j < i ， sup x ∈ ℝ 3 q i j ( x ) ，     j > i ， − ∑ j ≠ i     q i j * ，               j = i . 假设 ( q ˜ i j ) 和 ( q i j * ) 是不可约的并且满足 q i ， i + 1 ( x ) + q i + 1， i ( x )   独 立 于 x ，   1 ≤ i ≤ N − 2， q ˜ N − 1， N + q ˜ N ， N − 1 ≤ q N − 1， N ( x ) + q N ， N − 1 ( x ) ，   ∀ x ∈ ℝ 3 ， q N − 1， N * + q N ， N − 1 * ≥ q N − 1， N ( x ) + q N ， N − 1 ( x ) ，   ∀ x ∈ ℝ 3 . (3.1) 则在 M 中存在两个分别具有转移概率矩阵 ( q ˜ i j ) 和 ( q i j * ) 的连续时间马尔科夫链 ( α ˜ t ) ， ( α t * ) ，使得对所有的非减函数 φ : M → ℝ + ，有 ∫ 0 t     φ ( α s * ) d s ≤ ∫ 0 t     φ ( α s ) d s ≤ ∫ 0 t     φ ( α ˜ s ) d s . 定理3.2 若定理2的假设保持不变且引理3.1成立。并进一步假设 (a) 若 i ↦ Φ i * : = Φ i − ( ω i + q i − ν i ) 为非减的，且有 Δ 3 : = ∑ i ∈ M π ˜ i Φ i ∑ i ∈ M π ˜ i ( ω i + q i − ν i ) < 1. (3.2) 则有 lim t → ∞ I t = 0，   a .s . ;   lim t → ∞ V t = 0，   a .s . (3.3) 和 ∑ i ∈ M   π i * S i ≤ lim inf t → ∞ ( 1 t ∫ 0 t { ( b α s − a α s ) W s + b α s W s 2 W max } d s ) ≤ lim sup t → ∞ ( 1 t ∫ 0 t { ( b α s − a α s ) W s + b α s W s 2 W max } d s ) ≤ ∑ i ∈ M   π ˜ i S i . (3.4) (b) 若 i ↦ Φ i * : = Φ i − ( ω i + q i − ν i ) 为非增的，且有 Δ 4 : = ∑ i ∈ M π i * Φ i ∑ i ∈ M π i * ( ω i + q i − ν i ) < 1， (3.5) 则有 lim t → ∞ I t = 0，   a .s . ;   lim t → ∞ V t = 0，   a .s . 和 ∑ i ∈ M     π ˜ i S i ≤ lim inf t → ∞ ( 1 t ∫ 0 t { ( b α s − a α s ) W s + b α s W s 2 W max } d s ) ≤ lim sup t → ∞ ( 1 t ∫ 0 t { ( b α s − a α s ) W s + b α s W s 2 W max } d s ) ≤ ∑ i ∈ M     π i * S i . (3.6) 证明：一旦得到 lim t → ∞ I t = 0 ，   a .s . ，就可以类似地采用定理2.3中的技巧来证明 lim t → ∞ V t = 0， a .s . 所以，我们首先要证明 lim t → ∞ I t = 0 ，   a .s . 。注意到(2.11)式在这里仍然适用。于是利用 i ↦ Φ i * 的非减性质和(3.2)，并使用 引理3.1及连续时间马尔科夫链的遍历定理即得(3.3)。 若 i ↦ Φ i * 是非增的，则对应的 i ↦ − Φ i * 是非减的，根据引理3.1得到 − ∫ 0 t   Φ α s * * d s ≤ − ∫ 0 t   Φ α s * d s ≤ − ∫ 0 t   Φ α ˜ s * d s 于是得到 ∫ 0 t   Φ α ˜ s * d s ≤ ∫ 0 t   Φ α s * d s ≤ ∫ 0 t   Φ α s * * d s 因此，由(3.5)和连续时间马尔科夫链的遍历定理即得(3.3)。 根据(2.2)式，获得 1 t { ∫ 0 t ( b α s − a α s ) W s + b α s W s 2 W max } d s = N 0 − N t t + 1 t ∫ 0 t { S α s − ( ω α s − ν α s ) I s − ( a α s + b α s ) W s I s W max − a α s I s 2 W max + ( 1 − ϵ α s ) p α s I s − c α s V s } d s . 从而，结合(2.5)和(3.3)以及引理3.1和连续时间马尔科夫链的遍历定理，即可推出(3.4)和(3.6)。 定理3.3 假设定理2.3和引理3.1的假设条件成立，并进一步假设 i ↦ Φ i * : = Λ i − ( ω i + q i − ν i ) 为非减的，且有 Δ 5 : = ∑ i ∈ M π i * S i τ ∑ i ∈ M π i * ( ω i + q i − ν i ) > 1 (3.7) 其中 τ 的含义如(2.16)所示；或者 i ↦ Δ i 为非增的，且有 Δ 6 : = ∑ i ∈ M π ˜ i S i τ ∑ i ∈ M π ˜ i ( ω i + q i − ν i ) > 1. (3.8) 则有 lim inf t → ∞ ( 1 t ∫ 0 t I s d s ) > 0 ，   a .s . (3.9) 证明：我们注意到，在目前的框架下(2.24)式仍然成立。于是应用引理3.1和连续时间马尔科夫链的强遍历定理及 i ↦ Φ i * 的非降(或非增)性质和(3.7)或(3.8))式，即得(3.9)。