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user: 2. 格子Boltzmann模型 2.1. 描述流动的双组份格子Boltzmann模型 离散速度模型采用Watari和Tsutahara [ 19 ] 提出的D2V33模型，该模型具有33个离散速度， v 0 = 0 ， v k i = v k [ c o s ( i π / 4 ) ， s i n ( i π / 4 ) ] ，下标 k = 1 ， 2 ， 3 ， 4 代表第 k 组粒子速度是 v k ； i = 1 ， ⋯ ， 8 表示粒子速度方向。在本文的数值模拟中， v 1 = 1.00 、 v 2 = 1.92 、 v 3 = 2.99 、 v 4 = 4.49 。该离散速度模型能够满足恢复Navier-Stokes方程所需的七阶各向同性。 分布函数 f k i σ 遵循以下格子Boltzmann方程： ∂ f k i σ ∂ t + v k i ⋅ ∂ f k i σ ∂ r = − 1 τ σ [ f k i σ − f k i σ ， e q ] . (1) 其中， σ ∈ ( r ， p ) ，分别表示反应物和产物； r 和 τ σ 分别表示空间坐标和 σ 组份的松弛因子， f k i σ ， e q 为 σ 组份的局域平衡态分布函数。 定义 σ 组份的粒子质量为 m σ ，则 σ 组份的局部密度为 ρ σ = m σ ∑ k i f k i σ . (2) 定义 σ 组份的局部动力学速度为 n σ u σ = ∑ k i f k i σ v k i ， (3) 其中 n σ 为粒子数密度。局域平均密度为 u = ρ r u r + ρ p u p ρ r + ρ p . (4) 定义 σ 组份的温度为 ρ σ T σ = P σ = e t h e r m σ = m σ ∑ k i 1 2 v v i 2 f k i σ − 1 2 ρ 2 ( u σ ) 2 ， (5) 其中 e t h e r m σ 和 P σ 为 σ 组份的内能和压力。局域平均温度 T = ρ r T r + ρ p T p ρ r + ρ p . (6) σ 组份的局域平衡态分布函数 f k i σ ， e q 由下式给出 f k i σ ， e q = n σ F k { [ 1 − u 2 2 θ σ + u 4 8 ( θ σ ) 2 ] + v k i ε u ε θ σ ( 1 − u 2 2 θ σ ) + v k i ε v k i π u ε u π 2 ( θ σ ) 2 ( 1 − u 2 2 θ σ )     + v k i ε v k i π v k i υ u ε u π u υ 6 ( θ σ ) 3 + v k i ε v k i π v k i υ v k i ξ u ε u π u υ u ξ 24 ( θ σ ) 4 } ， (7) 其中， θ σ = T / m σ ，权重因子 F k 和 F 0 与文献 [ 15 ] [ 20 ] 一致。 式(2)、(3)和(5)分别为密度、动量和能量的定义，其分布函数 f k i σ 可用局域平衡态分布函数 f k i σ ， e q 替代。此外，局域平衡态分布函数 f k i σ ， e q 还需满足以下矩关系 m σ ∑ k i v k i α v k i β f k i σ ， e q = e t h e r m σ δ α β + ρ σ u α σ u β σ ， (8) m σ ∑ k i v k i α v k i β v k i γ f k i σ ， e q = e t h e r m σ ( u γ σ δ α β + u α σ δ β γ + u β σ δ γ α ) + ρ σ u α σ u β σ u γ σ ， (9) m σ ∑ k i 1 2 v k 2 v k i α f k i σ ， e q = 2 e t h e r m σ u α σ + 1 2 ρ σ ( u σ ) 2 u α σ ， (10) m σ ∑ k i 1 2 v k 2 v k i α v k i β f k i σ ， e q = [ 2 T σ m σ + 1 2 ( u σ ) 2 ] e t h e r m σ δ α β + [ 3 e t h e r m σ + 1 2 ρ σ ( u σ ) 2 ] u α σ u β σ ， (11) 反应物和产物的密度、速度和压力分别从(2)、(3)和(5)式中求出。当反应物和产物处于局域平衡态时，通过(6)式计算反应物和产物的 f k i σ ， e q ，并在求解过程中使用相同的 u 和 T 。两个组份的分布函数不是相互独立的，而是通过碰撞项互相耦合。两个格子Boltzmann方程的耦合是通过在求解 f k i σ ， e q 过程中引入相同的 u 和 T 实现的。 将方程(1)的左端用Lax-Wendroff有限差分格式离散，右端添加色散项和附加粘性项，并用二阶中心差分格式离散，得到以下形式的有限差分格子Boltzmann方程 [ 20 ] f k i I σ ， n e w = f k i I σ − c k i α 2 ( f k i I + 1 σ − f k i I − 1 σ ) − Δ t τ ( f k i I σ − f k i I σ ， e q ) + c k i α 2 2 ( f k i I + 1 σ − 2 f k i I σ + f k i I − 1 σ )     + c k i α ( 1 − c k i α 2 ) 12 ( f k i I + 2 σ − 2 f k i I + 1 σ + 2 f k i I − 1 σ − f k i I − 2 σ ) + θ α I σ | k α σ | ( 1 − | k α σ | ) 2 ( f k i I + 1 σ − 2 f k i I σ + f k i I − 1 σ ) . (12) 其中， c k i α = v k i α Δ t / Δ r α ， k α σ = u α σ Δ t / Δ r α ， θ α I σ = η σ | P α I + 1 σ − 2 P α I σ + P α I − 1 σ P α I + 1 σ + 2 P α I σ + P α I − 1 σ | ， I − 2 、 I − 1 、 I 、 I + 1 、 I + 2 代表 x 或 y 方向的5个连续点。修正的Lax-Wendroff格式是单调的守恒格式，能够改善数值稳定性。方程(12)的最后一项为附加粘性项，使模型既适用于低速不可压流体，又适用于高Mach系统，使稳定冲击与爆轰问题的模拟成为可能。 2.2. Lee-Tarver反应率函数 爆轰中的化学反应过程是十分复杂的，严格的化学反应动力学研究十分困难。在爆轰的数值模拟中，必须给出化学反应率。选用合适的化学反应率至关重要，因为它决定着计算出来的燃烧和爆轰的点火、发展和传播过程。目前对化学反应过程的模拟还处在使用唯象模型的阶段，Lee-Tarver反应率函数 [ 18 ] 是使用最广泛的化学反应模型之一。作为初步研究，本文的Lee-Tarver反应率函数和初始条件可以写成如下形式： d λ d t = { a ( 1 − λ ) + b ( 1 − λ ) λ ，     T ≥ T t h ， 且 0 ≤ λ ≤ 1 0 ，       其 它 (13) 其中， a 、 b 为常数， T t h 为化学反应的温度阈值。 爆轰化学反应的时间尺度比宏观流动的时间尺度小几个数量级，化学反应区内反应物的性质及化学反应细节极其复杂，使得化学反应流动方程组难以线性化和解耦处理，即化学反应和宏观流动不能用同一时间尺度描述。为此，我们采用算子分裂法求解方程(13)，化学反应的演化过程可以分为以下两步： 第1步，计算对流的贡献 ∂ λ ∂ t + u ∇ λ = 0 ，(14) 可由迎风格式求出 λ I n + 1 − λ I n Δ t = − { u ( λ I n − λ I − 1 n ) Δ x ， u ≥ 0 u ( λ I + 1 n − λ I n ) Δ x ， u < 0 ，(15) 其中， I − 1 、 I 、 I + 1 代表 x 或 y 方向的3个连续点。 第2步，计算化学反应的贡献 ∂ λ ∂ t = a ( 1 − λ ) + b ( 1 − λ ) λ ， (16) 其解析解为 λ I n + 1 = e ( a + b ) Δ t + a ( λ I n − 1 ) / ( a + b λ I n ) e ( a + b ) Δ t + b ( 1 − λ I n ) / ( a + b λ I n ) .(17) 2.3. 化学反应与流动的耦合 在真实的燃烧过程中，化学反应放出的热量和内能是耦合的。化学反应放出热量必然导致内能增加，内能的增加引起压强的变化，进而影响密度和流速的变化。相应地，在我们所构建的格子Boltzmann模型中，总的内能的变化率 e ˙ 包含两部分：化学反应部分 e ˙ c h e m 和原来的热力学部分 e ˙ t h e r m 即 e ˙ = e ˙ t h e r m + e ˙ c h e m ， (18) e ˙ c h e m = λ ˙ ρ Q .(19) 其中， Q 表示单位质量反应物发生化学反应放出的热量，即爆热；局域平局密度 ρ = ρ r + ρ p 。 在格子Boltzmann模拟过程中，首先从方程(5)中得到热力学部分的内能 e t h e r m ，然后通过式(18)-(19)计算总的内能 e ；再用总内能 e 替代 e t h e r m 并更新压力 P 和温度 T ；最后通过下式更新反应物和产物的密度 ρ r ， n e w = ρ r − λ ˙ ρ ，(20) ρ p ， n e w = ρ p + λ ˙ ρ . (21) 通过这样的过程，化学反应能和流场实现了自然耦合。