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user: 3. 均值效应量的极大似然估计 根据之前的假设效应量 D i 服从正态分布且每个研究的操作组和对照组是独立的，因此关于 μ C ， μ T ， σ C 2 ， σ T 2 ， τ C 2 ， τ T 2 的似然函数为： L ( μ ， D i ， S i ) = L ( μ C ， X ¯ i C ， S i C ) L ( μ T ， X ¯ i T ， S i T ) = ∏ i = 1 k 1 2 π d e t ( S i C ) 1 2 exp { − ( X ¯ i C − μ C ) T ( S i C ) − 1 ( X ¯ i C − μ C ) 2 }     ⋅ ∏ i = 1 k 1 2 π d e t ( S i T ) 1 2 exp { − ( X ¯ i T − μ T ) T ( S i T ) − 1 ( X ¯ i T − μ T ) 2 } 其中 μ C = ( μ 1 C μ 2 C ) ， μ T = ( μ 1 T μ 2 T ) ， S i C = ( σ C 2 w i 1 C 0 0 τ C 2 w i 2 C ) ， S i T = ( σ T 2 w i 1 T 0 0 τ T 2 w i 2 T ) 。由操作组和对照组的独立性，可以分别计算其极大似然估计。操作组和对照组所对应的对数似然函数分别为： L ( μ C ， X ¯ i C ， S i C ) = − k ln ( 2π ) − 1 2 ∑ i = 1 k ln [ d e t ( S i C ) ] − 1 2 ∑ i = 1 k ( X ¯ i C − μ C ) T ( S i C ) − 1 ( X ¯ i C − μ C ) 2 ， L ( μ T ， X ¯ i T ， S i T ) = − k ln ( 2π ) − 1 2 ∑ i = 1 k ln [ d e t ( S i T ) ] − 1 2 ∑ i = 1 k ( X ¯ i T − μ T ) T ( S i T ) − 1 ( X ¯ i T − μ T ) 2 . 因为操作组和对照组所对应的对数似然函数与基于均差估计二变量Meta-分析的未知相等方差模型中的似然函数相同，因此通过类似的计算可以给出参数 μ C ， μ T ， σ C 2 ， σ T 2 ， τ C 2 ， τ T 2 的极大似然估计量及其部分性质； 定理3.1：设效应量 D i 服从 N ( ( μ 1 μ 2 ) ， ( σ C 2 w i 1 C + σ T 2 w i 1 T 0 0 τ C 2 w i 2 C + τ T 2 w i 2 T ) ) 的正态分布，则 1) μ 的极大似然估计量的分量为： μ ^ 1 = μ ^ 1 T − μ ^ 1 C = ∑ i = 1 k X ¯ i 1 T w i 1 T ∑ i = 1 k 1 w i 1 T − ∑ i = 1 k X ¯ i 1 C w i 1 C ∑ i = 1 k 1 w i 1 C ，     μ ^ 2 = μ ^ 2 T − μ ^ 2 C = ∑ i = 1 k X ¯ i 2 T w i 2 T ∑ i = 1 k 1 w i 2 T − ∑ i = 1 k X ¯ i 2 C w i 2 C ∑ i = 1 k 1 w i 2 C . 2) σ 2 ， τ 2 的极大似然估计量分别为： σ ^ C M L 2 = 1 k ∑ i = 1 k ( X ¯ i 1 C − μ ^ 1 C ) 2 w i 1 C ，   τ ^ C M L 2 = 1 k ∑ i = 1 k ( X ¯ i 2 C − μ ^ 1 C ) 2 w i 2 C ; σ ^ T M L 2 = 1 k ∑ i = 1 k ( X ¯ i 1 T − μ ^ 1 T ) 2 w i 1 C ，   τ ^ T M L 2 = 1 k ∑ i = 1 k ( X ¯ i 2 T − μ ^ 1 T ) 2 w i 2 T . 由上述知，效应量满足正态分布合并效应量均值估计量分量的具体形式，可以得到合并效应量均值估计量的如下性质： 性质3.1：设效应量 D i 服从 N ( ( μ 1 μ 2 ) ， ( σ C 2 w i 1 C + σ T 2 w i 1 T 0 0 τ C 2 w i 2 C + τ T 2 w i 2 T ) ) 的正态分布，那么 μ 的极大似然估计量的分量为： μ ^ 1 = μ ^ 1 T − μ ^ 1 C = ∑ i = 1 k X ¯ i 1 T w i 1 T ∑ i = 1 k 1 w i 1 T − ∑ i = 1 k X ¯ i 1 C w i 1 C ∑ i = 1 k 1 w i 1 C ，     μ ^ 2 = μ ^ 2 T − μ ^ 2 C = ∑ i = 1 k X ¯ i 2 T w i 2 T ∑ i = 1 k 1 w i 2 T − ∑ i = 1 k X ¯ i 2 C w i 2 C ∑ i = 1 k 1 w i 2 C . 则 μ ^ M L 对于 μ 是无偏的。 证明：要证明估计量的无偏性，需证等式 E ( μ ^ M L ) = μ 成立。根据我们给出的效应量 D i 服从正态分布的合并效应量均值估计量分量的具体形式，我们需要证明 E ( μ ^ 1 T − μ ^ 1 C ) = μ 1 T − μ 1 C ， E ( μ ^ 2 T − μ ^ 2 C ) = μ 2 T − μ 2 C 。因为 E ( X ¯ i 1 C ) = μ 1 C ， E ( X ¯ i 1 T ) = μ 1 T ， E ( X ¯ i 2 C ) = μ 2 C ， E ( X ¯ i 2 T ) = μ 2 T ，所以 E ( μ ^ 1 T − μ ^ 1 C ) = E { ∑ i = 1 k X ¯ i 1 T w i 1 T ∑ i = 1 k 1 w i 1 T − ∑ i = 1 k X ¯ i 1 C w i 1 C ∑ i = 1 k 1 w i 1 C } = E { ∑ i = 1 k X ¯ i 1 T w i 1 T ∑ i = 1 k 1 w i 1 T } − E { ∑ i = 1 k X ¯ i 1 C w i 1 C ∑ i = 1 k 1 w i 1 C } = ∑ i = 1 k E { X ¯ i 1 T } w i 1 T ∑ i = 1 k 1 w i 1 T − ∑ i = 1 k E { X ¯ i 1 C } w i 1 C ∑ i = 1 k 1 w i 1 C = ∑ i = 1 k μ 1 T w i 1 T ∑ i = 1 k 1 w i 1 T − ∑ i = 1 k μ 1 C w i 1 C ∑ i = 1 k 1 w i 1 C = μ 1 T − μ 1 C E ( μ ^ 2 T − μ ^ 2 C ) = E { ∑ i = 1 k X ¯ i 2 T w i 2 T ∑ i = 1 k 1 w i 2 T − ∑ i = 1 k X ¯ i 2 C w i 1 C ∑ i = 1 k 1 w i 2 C } = E { ∑ i = 1 k X ¯ i 2 T w i 2 T ∑ i = 1 k 1 w i 2 T } − E { ∑ i = 1 k X ¯ i 2 C w i 2 C ∑ i = 1 k 1 w i 2 C } = ∑ i = 1 k E { X ¯ i 2 T } w i 2 T ∑ i = 1 k 1 w i 2 T − ∑ i = 1 k E { X ¯ i 2 C } w i 2 C ∑ i = 1 k 1 w i 2 C = ∑ i = 1 k μ 1 T w i 2 T ∑ i = 1 k 1 w i 2 T − ∑ i = 1 k μ 1 C w i 2 C ∑ i = 1 k 1 w i 2 C = μ 2 T − μ 2 C 综上所述， μ ^ M L 对于 μ 是无偏的。