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user: 1. 引言 考虑如下一类三阶半线性时滞微分方程 [ r ( t ) | u ″ ( t ) | θ − 1 u ″ ( t ) ] ′ + q ( t ) | x ( τ ( t ) ) | θ − 1 x ( τ ( t ) ) = 0 ， t ≥ t 0 (E) 的振动性。 假设以下条件都成立 ( H 1 ) : u ( t ) = x ( t ) + p ( t ) x ( σ ( t ) ) ; ( H 2 ) : r ( t ) ， σ ( t ) ∈ C r d ( [ t 0 ， ∞ ) ， ( 0 ， ∞ ) ) ， p ， q ， τ ∈ ( [ t 0 ， ∞ ) ， R ) ; ( H 3 ) : τ ( t ) ≤ t ， σ ( t ) ≤ t ， σ ′ ( t ) > 0 ， τ ′ ( t ) > 0 ， lim t → ∞ σ ( t ) = lim t → ∞ τ ( t ) = + ∞ ; ( H 4 ) : 0 ≤ p ( t ) ≤ p 0 ≤ 1 ， q ( t ) > 0 ， r ( t ) > 0 ， r ′ ( t ) > 0. 一般来说，若连续可微函数 x ( t ) 在定义域内是满足方程(E)有无穷多个零点的解，则说方程(E)是振动 的；若方程最终是一个正解或者负解，则说方程(E)是非振动的。对于 Ω ( t ) = ∫ t + ∞ 1 r 1 θ ( s ) d s ，若 Ω ( t ) = ∞ ， 则称它是正则的，否则为收敛。 最近几年，微分方程这一理论在应用数学领域中已取得了迅速的发展和广泛的应用，他可以描述金融、经济、化学反应过程的稳定性的研究、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、人口统计、传播传染病过程等问题。很多学者对三阶半线性微分方程的振动性做了深入的研究，同时也获得了许多成果，如文 [ 1 ] - [ 13 ]。 在2017年，在文献 [ 2 ] 中，建立了方程(E)的所有解振动或者收敛到零的若干新的振动准则如下： 定理A：假设条件(H 1 )~(H 5 )及(3) [ 2 ] 式成立，如果 lim sup t → ∞ ∫ T t [ ρ ( s ) Q 1 ( s ) ( γ δ ( s ) ) β − ( Q 2 ( s ) λ + 1 ) λ + 1 ρ ( s ) r ( s ) ( m δ ′ ( s ) ) λ ] d s = + ∞ 则式(1)的解 x ( t ) 振动，或者 lim t → ∞ x ( t ) = 0 。 定理B：假设条件(H 1 )~(H 5 )及(3) [ 2 ] 式成立，如果 lim sup t → ∞ 1 H ( t ， T ) ∫ T t [ H ( t ， s ) ρ ( s ) Q 1 ( s ) ( γ δ ( s ) ) β − ( | h ( t ， s ) | λ + 1 ) λ + 1 ρ ( s ) r ( s ) m λ ( δ ′ ( s ) ) λ ] d s = + ∞ 则式(1)的解 x ( t ) 振动，或者 lim t → ∞ x ( t ) = 0 。 最近文献 [ 13 ] 研究了式(1)在 β > α 情况下的振动性，得到的主要结果有： 定理C：若存在函数 ρ ∈ C 1 ( [ t 0 ， ∞ ) ， ( 0 ， ∞ ) ) ，满足 A 1 ( t ) > 0 和(2.1) [ 13 ] 式，且 lim sup t → ∞ ∫ t 0 t [ ρ ( s ) A ( s ) − L ρ ( s ) r ( s ) ( A 1 ( s ) α + 1 ) α + 1 ] d s = + ∞ . 则式(1)的解 x ( t ) 振动，或者当 t → ∞ 时， x ( t ) → 0 。 定理D：若存在函数 ρ ∈ C 1 ( [ t 0 ， ∞ ) ， ( 0 ， ∞ ) ) ，使(2.1) [ 13 ] 式成立，且满足 lim t → ∞ ∫ t 0 t ( γ σ ( s ) ) β A 3 ( s ) d s = ∞ . 则式(1)的解 x ( t ) 振动，或者当 t → ∞ 时， x ( t ) → 0 。 本文研究了方程(E)的振动性准则，参考了文献 [ 1 ] [ 2 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]，在文献 [ 2 ] [ 9 ] [ 13 ] 的启发下，应用Riccati变换和经典不等式等方法构造不同的函数，建立该类微分方程的一些新的振动性理论，获得合理的结果，并将举例说明主要结果的应用及其先进性。 引理1 [ 1 ]：如果 x ( t ) 是方程(E)的非振动正解，则 u ( t ) 只有以下两种情况： 1) u ( t ) > 0 ， u ′ ( t ) > 0 ， u ″ ( t ) > 0 ； 2) u ( t ) > 0 ， u ′ ( t ) < 0 ， u ″ ( t ) > 0 。 引理2 [ 2 ]：设 x ( t ) 是方程(E)的非振动正解，且 u ( t ) > 0 ， u ′ ( t ) > 0 ， u ″ ( t ) > 0 ，则 [ r ( t ) ( u ″ ( t ) ) θ ] ′ + Q ( t ) u θ ( τ ( t ) ) ≤ 0 其中 Q ( t ) = q ( t ) [ ( 1 − p ( τ ( t ) ) ) ] θ 。 证明：由 u ( t ) = x ( t ) + p ( t ) x ( σ ( t ) ) ，可得 x ( t ) = u ( t ) − p ( t ) x ( σ ( t ) ) ，利用条件(H 2 )，(H 3 )及 u ′ ( t ) > 0 可得， x ( t ) = u ( t ) − p ( t ) x ( σ ( t ) ) ≥ u ( t ) ( 1 − p ( t ) ) ， x ( τ ( t ) ) θ ≥ u ( τ ( t ) ) θ ( 1 − p ( τ ( t ) ) ) θ ， (1) 根据(1)和方程(E)可得 [ r ( t ) ( u ″ ( t ) ) θ ] ′ + Q ( t ) u θ ( τ ( t ) ) ≤ 0 ， 其中 Q ( t ) = q ( t ) [ ( 1 − p ( τ ( t ) ) ) ] θ 。 引理3 [ 9 ]：存在 t 1 ∈ [ t 0 ， + ∞ ) ，假设 x ( t ) 为方程(E)在 t ∈ [ t 1 ， + ∞ ) 上的一个非振动正解，满足 u ( t ) > 0 ， u ′ ( t ) < 0 ， u ″ ( t ) > 0 ，且有 lim t → ∞ 1 2 ∫ t 0 t L 1 θ ∫ μ + ∞ ( 1 r ( υ ) ∫ v ∞ q ( s ) d s ) 1 θ d υ d μ = ∞ 则有 lim t → ∞ x ( t ) = 0 。 引理4 [ 10 ]：设 z ( t ) > 0 ， z ′ ( t ) > 0 ， z ″ ( t ) ≤ 0 ， t ≥ t 0 ，则对任一 α ∈ ( 0 ， 1 ) ，存在 T α ≥ t 0 ，使得 z ( τ ( t ) ) ≥ γ τ ( t ) t z ( t ) ， t ≥ T α 。 引理5 [ 11 ]：假设 f ( y ) = B y − A y θ + 1 θ ， A > 0 ， B > 0 ，则 当且仅当 处有最大值 . 引理6设存在 ， ，假设 为方程(E)在 上的一个非振动正解，满足 ，则对任一 ，存在 ，使得 证明：由于 ， ，则有 (2) 将(2)在 上对t积分，且令 ，得 (3) 由引理4，令 ，对任一 ，存在 ，使得 (4) 将(4)代入(3)中，得 即 (5)