system: [SYSTEM]

user: 2. 过指定顶点的三次有理B样条曲线及其性质 定义1 设 r ( t ) = ∑ i = 0 3 N i ， 3 ( t ) V i + 1 和 r ( t ) = ∑ j = 0 3 N j ， 3 ( t ) ω j V i + j ∑ j = 0 3 N j ， 3 ( t ) ω j 分别称为三次均匀B样条函数和三次均匀有理B样条函数。其中 N 0 ， 3 ( t ) ， N 1 ， 3 ( t ) ， N 2 ， 3 ( t ) ， N 3 ， 3 ( t ) 为三次均匀B样条基， V 0 ， V 1 ， V 2 ， V 3 为特征多边形的顶点。令 N j ， 3 ( t ， w 0 ) = N j ， 3 w j ( j = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ) ，则三次均匀有理B样条曲线可表示为 r ( t ) = ∑ j = 0 3 N j ， 3 ( t ， ω j ) V i + j ∑ j = 0 3 N j ， 3 ( t ， ω j ) 设 P 0 ， P 1 ， P 2 ， P 3 是给定的三次均匀B样条曲线的控制多边形的顶点，构造一段实际控制顶点为 V 0 ， V 1 ， V 2 ， V 3 的三次均匀有理B样条曲线，使得端点是 P 0 和 P 3 ，且 P 0 和 P 3 处的切线分别为 P 1 − P 0 和 P 3 − P 2 ，则 { r ( 0 ) = P 0 ， r ( 1 ) = P 3 ， r ′ ( 0 ) = P 1 − P 0 ， r ′ ( 1 ) = P 3 − P 2 . 代入后得 { V 0 = ( 25 w 0 + 16 w 1 − 17 P 0 w 2 ) P 0 + ( − 7 w 0 − 28 w 1 − 7 w 2 ) P 1 + ( 2 w 1 + 8 w 2 + 2 w 3 ) P 2 + ( 10 w 1 + 16 w 2 − 2 w 3 ) P 3 18 w 0 ， V 1 = − ( 2 w 0 − 16 w 1 − 10 w 2 ) P 0 + ( − 2 w 0 − 8 w 1 − 2 w 2 ) P 1 + ( w 1 + 4 w 2 + w 2 ) P 2 + ( 5 w 3 + 5 w 1 + 8 w 2 − w 3 ) P 3 18 w 1 ， V 2 = ( w 0 − 8 w 1 − 5 w 2 ) P 0 + ( − w 0 − 4 w 1 − w 2 ) P 1 + ( 2 w 1 + 8 w 2 + 2 w 3 ) P 2 + ( 10 w 1 + 16 P 3 w 2 − 2 w 3 ) P 3 18 w 2 ， V 3 = − ( 2 w 0 − 16 w 1 − 10 w 2 ) P 0 + ( − 2 w 0 − 8 w 1 − 2 w 2 ) P 1 + ( 7 w 1 + 28 w 2 + 7 w 3 ) P 2 + ( 17 w 1 − 16 w 2 − 25 w 3 ) P 3 18 w 3 . (1) 将 P 0 ， P 1 ， P 2 ， P 3 的坐标 ( P 1 ， j ， P 2 ， j ， P 3 ， j ) ( j = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ) ，代入，可得所求三次均匀有理B样条曲线的实际控制顶点 V 0 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) ， V 1 ( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ， V 2 ( x 2 ， y 2 ， z 2 ) ， V 3 ( x 3 ， y 3 ， z 3 ) ，则所求三次均匀有理B样条曲线的参数表达式为 { x ( t ， w ) = ∑ j = 0 3 N j ， 3 ( t ， w j ) x j ∑ j = 0 3 N j ， 3 ( t ， w j ) ， y ( t ， w ) = ∑ j = 0 3 N j ， 3 ( t ， w j ) y j ∑ j = 0 3 N j ， 3 ( t ， w j ) ， z ( t ， w ) = ∑ j = 0 3 N j ， 3 ( t ， w j ) z j ∑ j = 0 3 N j ， 3 ( t ， w j ) . t ∈ [ 0 ， 1 ] 例1 设 P 0 ( 3 ， − 3 ， 0 ) ， P 1 ( 3 ， 0 ， 0 ) ， P 2 ( 0 ， 4 ， 0 ) ， P 3 ( 0 ， 4 ， 3 ) 是给定的点，由式子可以得到端点为 P 0 和 P 3 ，且 P 0 和 P 3 处的切线分别为 P 1 − P 0 和 P 3 − P 2 的实际控制顶点为 V 0 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) ， V 1 ( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ， V 2 ( x 2 ， y 2 ， z 2 ) ， V 3 ( x 3 ， y 3 ， z 3 ) 的三次均匀有理B样条曲线。其中 V 0 ， V 1 ， V 2 ， V 3 的坐标可表示为： { x 0 = 54 ω 0 − 36 ω 1 − 72 ω 2 18 ω 0 ， y 0 = − 75 ω 0 + 147 ω 2 18 ω 0 ， z 0 = 30 ω 1 + 48 ω 2 − 6 ω 3 18 ω 0 . { x 1 = 4 ω 1 + 2 ω 2 ω 1 ， y 1 = − − 6 ω 0 + 72 ω 1 + 78 ω 2 18 ω 1 ， z 1 = − 15 ω 1 + 24 ω 2 − 3 ω 3 18 ω 1 . { x 2 = − 2 ω 1 + ω 2 ω 2 ， y 2 = − 3 ω 0 + 72 ω 1 + 111 ω 2 18 ω 2 ， z 2 = 30 ω 1 + 48 ω 2 − 6 ω 3 18 ω 2 . { x 3 = 4 ω 1 + 2 ω 2 ω 3 ， y 3 = 6 ω 0 − 144 ω 1 − 78 ω 2 + 72 3 18 ω 3 ， z 0 = − 51 ω 1 + 48 ω 2 + 75 ω 3 18 ω 3 . 其中 ω 0 ， ω 1 ， ω 2 ， ω 3 是权因子。可设 ω 0 = ω 3 ，有以下性质： (1) 当 | ω 0 | = | ω 1 | = | ω 2 | = | ω 3 | ≥ 1 或 ω 0 ， ω 1 ， ω 2 ， ω 3 < 0 时，是一条过 P 0 和 P 3 ，且 P 0 和 P 3 处的切线分别为 P 1 − P 0 和 P 3 − P 2 的实际控制顶点为 V 0 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) ， V 1 ( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ， V 2 ( x 2 ， y 2 ， z 2 ) ， V 3 ( x 3 ， y 3 ， z 3 ) 的三次均匀B样条曲线。 (2) 当 ω 0 = ω 3 = 1 ， 0 < ω 1 ， ω 2 < 1 时，是一条过 P 0 和 P 3 ，且 P 0 和 P 3 处的切线分别为 P 1 − P 0 和 P 3 − P 2 的实际控制顶点为 V 0 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) ， V 1 ( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ， V 2 ( x 2 ， y 2 ， z 2 ) ， V 3 ( x 3 ， y 3 ， z 3 ) 的三次有理B样条曲线， ω 1 ， ω 2 越小，曲线越靠近控制多边形的边 P 1 P 2 。 下图1分别为 ω 0 = ω 1 = ω 2 = ω 3 = 1 ， ω 0 = ω 3 = 1 ， ω 1 = ω 2 = 1 10 ， ω 0 = ω 3 = 1 ， ω 1 = ω 2 = 1 20 ， ω 0 = ω 3 = 1 ， ω 1 = ω 2 = 1 30 和 ω 0 = ω 3 = 1 ， ω 1 = ω 2 = 1 50 时，过 P 0 和 P 3 ，且 P 0 和 P 3 处的切线分别为 P 1 − P 0 和 P 3 − P 2 的有理B样条曲线， 0 < ω 1 ， ω 2 < 1 越小曲线越靠近控制多边形的边 P 1 P 2 。 图1. 权因子 ω 0 ， ω 1 ， ω 2 ， ω 3 取不同值时，对有理B样条曲线的调节功能