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user: 3. 强解存在的定义 定义3.1. 给定一个时间 T ∈ ( 0 ， T ∗ ) ， 称为上述拉格朗日坐标下的液晶方程组(**)的一个强解，如果它满足以下条件： inf y ∈ Ω 1 ， t ∈ ( 0 ， T ) J ( y ， t ) > 0 ，     P ≥ 0     on     Ω 1 × ( 0 ， T ) ； ； ρ 0 u ∈ C ( [ 0 ， T ] ; L 2 ) ，     u y ∈ L ∞ ( [ 0 ， T ] ; L 2 ) ，     ( ρ 0 u t ， u y y ρ 0 ) ∈ L 2 ( [ 0 ， T ] ; L 2 ) ； ； P ∈ C ( [ 0 ， T ] ; L 2 ) ，     P y ρ 0 ∈ L ∞ ( [ 0 ， T ] ; L 2 ) ，     P t ∈ L 4 ( [ 0 ， T ] ; L 2 ) 命题3.1. 方程组(**)存在系统的初始能量 E 0 ，且J存在上界 J ¯ 和下界 。 证明：将(**) 2 两边乘上u，并对所得方程做关于y在 Ω 1 上的积分得： ∫ Ω 1 ( 1 2 ρ 0 u 2 ) t d y + ∫ Ω 1 μ ( u y ) 2 J d y − ∫ Ω 1 P u y d y + ∫ Ω 1 ( n y J ) y n y J u d y = 0 (3.1.3) 又 ( J P ) t = J t P + J P t = P u y + J P t ； 再由(**)4得： 于是有： ∫ R ( 1 2 ρ 0 u 2 + J P γ − 1 ) t d y − ∫ R J | n t | 2 d y + ∫ R ( n y J ) y n y J u d y = 0 (3.1.4) 将(**)3两边乘上 1 J ( n y J ) y + | n y J | 2 n ，并对所得方程做关于y在 Ω 1 上的积分得： ∫ R J | n t | 2 d y = ∫ R n t ( n y J ) y d y + ∫ R J n t n | n y J | 2 由 | n ˜ | 2 = | n | 2 = | n ˜ | = 1 知， n t n = n y n = 0 于是 ∫ R J | n t | 2 d y = − ∫ R ( 1 2 ( n y ) 2 J ) t d y + ∫ R ( n y J ) y n y J u d y (3.1.5) 把(3.1.5)式代入(3.1.4)式得 (3.1.6) 对(3.1.6)式关于t在 [ 0 ， t ] 上积分得： ∫ R ( 1 2 ρ 0 u 2 + J P γ − 1 + 1 2 ( n y ) 2 J ) d y − ∫ R ( 1 2 ρ 0 u 0 2 + P 0 γ − 1 + 1 2 ( n 0 y ) 2 ) d y = 0 (3.1.7) 于是可以定义 为系统的初始能量。 然后来证明J存在上界： 由 J t = u y 得： ，进一步有 | ln J | t = u y J ，两边同时在 ( 0 ， t ) 上积分得： ln J − ln J 0 = ∫ 0 t u y J d t ，于是有 J = J 0 e ∫ 0 t u y J d t ≤ J 0 e ∫ 0 t ‖ u y J ‖ L ∞ d t ≤ C ，定义J的上界为 J ¯ 。 接下来证明J存在下界：对(**)3有： ∂ t ( ρ 0 u ) − μ ∂ t y ( ln J ) + P y + ( n y J ) y n y J = 0 (3.1.8) 对(3.1.8)式关于t在 [ 0 ， t ] 上积分，如何再对所得方程关于y在 [ z 0 ， z ] 上积分得： ∫ z 0 z ( ρ 0 u − ρ 0 u 0 ) d y − μ [ ln J ( z ， t ) − ln J ( z 0 ， t ) ] + ∫ 0 t [ P ( z ， τ ) − P ( z 0 ， τ ) ] d τ + 1 2 ∫ 0 t [ ( n y ( z ， t ) J ( z ， t ) ) 2 − ( n y ( z 0 ， t ) J ( z 0 ， t ) ) 2 ] d τ = 0 令 z 0 → − ∞ 得： J → 1 ， P → 0 ， n y → 0 ；于是： ∫ − ∞ z ( ρ 0 u − ρ 0 u 0 ) d y − μ ln J ( z ， t ) + ∫ 0 t P ( z ， τ ) d τ + 1 2 ∫ 0 t ( n y ( z ， t ) J ( z ， t ) ) 2 d τ = 0 J ( z ， t ) ≥ e 1 μ ∫ − ∞ z ( ρ 0 u − ρ 0 u 0 ) d y + ∫ 0 t P ( z ， τ ) d τ + 1 2 ∫ 0 t ( n y ( z ， t ) J ( z ， t ) ) 2 d τ ≥ e 1 μ ∫ − ∞ z ( ρ 0 u − ρ 0 u 0 ) d y | ∫ − ∞ z ( ρ 0 u − ρ 0 u 0 ) d y | ≤ ∫ − ∞ z ρ 0 ( | u | − | u 0 | ) d y ≤ ( ∫ Ω 1 ρ 0 d y ) 1 2 ( ∫ Ω 1 ρ 0 2 ( 2 | u | 2 − 2 | u 0 | 2 ) d y ) 1 2 ≤ ‖ ρ 0 ‖ 1 1 2 ( 4 E 0 ) 1 2 = 2 ‖ ρ 0 ‖ 1 1 2 E 0 1 2 于是 J ≥ e 2 μ ‖ ρ 0 ‖ 1 1 2 E 0 1 2 。 定义J的下界为 J _ = e 2 μ ‖ ρ 0 ‖ 1 1 2 E 0 1 2 。 接下来，定义有效粘性通量G为 G = μ u y J − P ； 命题3.2. 有效粘性通量G有以下估计： sup 0 ≤ t ≤ T ‖ G ‖ 2 2 + ∫ 0 T ‖ G y ρ 0 ‖ 2 2 d t + ( ∫ 0 T ‖ G ‖ ∞ 4 d t ) 1 2 ≤ C e C T ‖ G 0 ‖ 2 2 其中正常数C仅取决于 γ ， μ ， ρ ¯ ， E 0 和 ‖ ρ 0 ‖ L 1 证明：由(**) 3 和(**) 4 可知： G t = μ ( u y J ) t − P t = μ J ( G y ρ 0 ) y − γ u y J G − μ J ( 1 ρ 0 ( n y J ) y ( n y J ) ) − ( γ − 1 ) | n t | 2 (3.1.9) 方程两边同时乘以JG，并在 Ω 1 上做关于y的积分： ∫ Ω 1 J G G t d y − μ ∫ Ω 1 G ( G y ρ 0 ) d y = − γ ∫ Ω 1 u y G 2 d y − μ ∫ Ω 1 G ( 1 ρ 0 ( n y J ) y n y J ) y d y − ( γ − 1 ) ∫ Ω 1 J G | n t | 2 d y (3.1.10) 1 2 d d t ∫ Ω 1 J G 2 d y + μ ∫ Ω 1 ( G y ) 2 ρ 0 d y = ( 1 2 − γ ) ∫ Ω 1 u y G 2 d y − μ ∫ Ω 1 G ( 1 ρ 0 ( n y J ) y n y J ) y d y − ( γ − 1 ) ∫ Ω 1 J G | n t | 2 d y (3.1.11) 对 ( 1 2 − γ ) ∫ Ω 1 u y G 2 d y 的估计，利用Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式得： ( 1 2 − γ ) ∫ Ω 1 u y G 2 d y = ( 2 γ − 1 ) ∫ Ω 1 u G G y d y ≤ C ∫ Ω 1 | u | | G | | G y | d y ≤ C ∫ Ω 1 ρ 0 | u | | G | | G y ρ 0 | d y ≤ C ‖ ρ 0 u ‖ L 2 ‖ G ‖ L ∞ ‖ G y ρ 0 ‖ L 2 ≤ C ‖ ρ 0 u ‖ L 2 ‖ G ‖ L 2 1 2 ‖ G y ρ 0 ‖ L 2 1 ‖ G y ρ 0 ‖ L 2 ≤ C ‖ G ‖ L 2 1 2 ‖ G y ρ 0 ‖ L 2 3 2 ≤ μ 8 ‖ G y ρ 0 ‖ L 2 2 + C ‖ G ‖ L 2 2 (3.1.12) 对 − μ ∫ Ω 1 G ( 1 ρ 0 ( n y J ) y n y J ) y d y 的估计： − μ ∫ R G ( 1 ρ 0 ( n y J ) y n y J ) y d y = μ ∫ R G y ρ 0 1 ρ 0 ( n y J ) y n y J d y ≤ μ 16 ‖ G y ρ 0 ‖ L 2 2 + C ‖ 1 ρ 0 ‖ L 2 2 ‖ n y J ‖ L ∞ 2 ‖ ( n y J ) y ‖ L 2 2 = μ 16 ‖ G y ρ 0 ‖ L 2 2 + C (3.1.13) 由 n t = n ˜ t + u ˜ n ˜ x ， n ˜ t ， n ˜ x ， u ˜ ∈ L t ∞ L x ∞ ( Ω × [ 0 ， T ∗ ] ) ，J有上下界，于是有 ‖ n t ‖ L 2 ( Ω 1 ) 2 ≤ C 。 对 − ( γ − 1 ) ∫ R J G | n t | 2 d y 的估计，利用Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式得： − ( γ − 1 ) ∫ Ω 1 J G | n t | 2 d y ≤ ( γ − 1 ) ∫ Ω 1 J ¯ | G | | n t | 2 d y ≤ ( γ − 1 ) J ¯ ‖ G ‖ L ∞ ‖ n t ‖ L 2 2 ≤ ( γ − 1 ) J ¯ ‖ n t ‖ L 2 2 ‖ G ‖ L 2 1 2 ‖ G y ρ 0 ‖ L 2 1 2 ≤ C ( ( γ − 1 ) J ¯ ‖ n t ‖ L 2 2 ) 2 + C ( ‖ G ‖ L 2 1 2 ‖ G y ρ 0 ‖ L 2 1 2 ) 2 ≤ C + C ‖ G ‖ L 2 2 + μ 16 ‖ G y ρ 0 ‖ L 2 2 (3.1.14) 联立(3.1.9)~(3.1.12)得： d d t ∫ R J G 2 d y + 3 μ 2 ‖ G y ρ 0 ‖ L 2 2 ≤ C ‖ G ‖ L 2 2 + C (3.1.15) 对(3.13)式两边关于t在[0， T]上积分，又由J有上下界可知： ‖ G ‖ L 2 2 ( t ) + ∫ 0 t ‖ G y ρ 0 ‖ L 2 2 d τ ≤ C ( ∫ 0 t ‖ G ‖ L 2 2 d τ + ‖ G 0 ‖ L 2 2 ) + C T (3.1.16) 由Gronwall不等式得： sup 0 ≤ t ≤ T ‖ G ‖ L 2 2 + ∫ 0 T ‖ G y ρ 0 ‖ L 2 2 d t ≤ C e C T ‖ G 0 ‖ L 2 2 + C 2 T (3.1.17) 再由Gagliardo-Nirenberg不等式： ∫ 0 T ‖ G ‖ L ∞ 4 d t ≤ ∫ 0 T ‖ G ‖ L 2 2 ‖ G y ‖ L 2 2 d t ≤ C ( T ) (3.1.18) 其中 C ( T ) 取决于 T ， γ ， μ ， ρ ¯ ， E 0 和 ‖ ρ 0 ‖ 1 等。 命题3.3. 对于命题3.2.中的时间T，有如下估计： ∫ 0 T ( ‖ P t ‖ 2 4 + ‖ ( ρ 0 u t ， u y y ρ 0 ) ‖ 2 2 ) d t ≤ C 其中C是正常数，且仅取决于 γ ， μ ， ρ ¯ ， J _ ， J ¯ ， ‖ J ′ 0 ρ 0 ‖ 2 ， ‖ G 0 ‖ 2 ， ‖ P 0 ‖ 2 和 ‖ P ′ 0 ρ 0 ‖ 2 ，但独立于 ρ _ 。 证明： P t + μ ( u y J ) 2 = γ μ ( u y J ) 2 − γ u y J P + ( γ − 1 ) | n t | 2 = γ u y J G + ( γ − 1 ) | n t | 2 ≤ μ ( u y J ) 2 + γ 2 4 μ G 2 + ( γ − 1 ) | n t | 2 P t ≤ γ 2 4 μ G 2 + ( γ − 1 ) | n t | 2 (3.1.19) 于是： P ≤ P 0 + γ 2 4 μ ∫ 0 t G 2 d t + ( γ − 1 ) ∫ 0 t | n t | 2 d t 由 n t = n ˜ t + u ˜ n ˜ x ， n ˜ t ， n ˜ x ， u ˜ ∈ L t ∞ L x ∞ ( Ω × [ 0 ， T ∗ ] ) ，J有上下界，于是有 。 于是有： ‖ P ‖ q ≤ ‖ P 0 + C ‖ q + γ 2 4 μ ∫ 0 t ‖ G ‖ 2 q 2 d t 当 时： ‖ P ‖ 2 ≤ ‖ P 0 + C ‖ 2 + γ 2 4 μ ∫ 0 t ‖ G ‖ 4 2 d t ≤ C (3.1.20) 当 时： ‖ P ‖ 2 ≤ ‖ P 0 + C ‖ ∞ + γ 2 4 μ ∫ 0 t ‖ G ‖ ∞ 2 d t ≤ C (3.1.21) 于是 sup 0 ≤ t ≤ T ( ‖ P ‖ 2 + ‖ P ‖ ∞ ) ≤ C (3.1.22) 又由 P t + 1 μ ( P + 2 − γ 2 G ) 2 = γ 2 4 μ G 2 + ( γ − 1 ) | n t | 2 (3.1.23) 由(3.1.23)两边对y求导，并对所得方程两边乘以 P y ρ 0 ，然后在R上做关于y的积分，利用Hölder不等式和柯西不等式得： d d t ‖ P y ρ 0 ‖ 2 2 ≤ C ( ‖ P ‖ L ∞ + ‖ G ‖ L ∞ ) ( ‖ P y ρ 0 ‖ L 2 + ‖ G y ρ 0 ‖ L 2 ) ‖ P y ρ 0 ‖ L 2 + ‖ ∂ y | n t | 2 ρ 0 ‖ L 2 ‖ P y ρ 0 ‖ L 2 ≤ C 1 + C 2 ‖ ∂ y | n t | 2 ρ 0 ‖ L 2 2 + C 3 ‖ P y ρ 0 ‖ L 2 2 又由 ‖ ∂ y | n t | 2 ρ 0 ‖ L 2 2 = ∫ Ω 1 4 ( n t ) 2 ( n t y ) 2 ρ 0 d y ≤ 4 ρ 0 ‖ n t ‖ L ∞ 2 ‖ n t y ‖ L 2 2 而 n t = n ˜ t + u ˜ n ˜ x ， n ˜ t ， n ˜ x ， u ˜ ∈ L t ∞ L x ∞ ( Ω × [ 0 ， T ∗ ] ) ，J有上下界，于是有 ‖ n t ‖ L ∞ ( Ω 1 ) 2 ≤ C 。 由 n ˜ t = n t − u ˜ n ˜ x 得 n ˜ t x = 1 J ( n t − u ˜ n ˜ x ) y = n t y J − u y J n y J − u J ( n y J ) y = n t y J − u ˜ x n ˜ x − u ˜ n ˜ x x ， 于是有 n t y J ¯ ≤ n t y J = n ˜ t x + u ˜ x n ˜ x + u ˜ n ˜ x x ， 又由 n ˜ t y ∈ L x 2 ( Ω ) ， n ˜ x ∈ L x ∞ ( Ω ) ， n ˜ x x ∈ L x ∞ ( Ω ) ， u ˜ ∈ L x ∞ ( Ω ) ， u ˜ x ∈ L x ∞ ( Ω ) ，J有上下界，于是有 ‖ n t y ‖ L 2 ( Ω 1 ) 2 ≤ C 。 所以得到 d d t ‖ P y ρ 0 ‖ 2 2 ≤ C 4 + C 3 ‖ P y ρ 0 ‖ L 2 2 再由Gronwall不等式得： sup 0 ≤ t ≤ T ‖ P y ρ 0 ‖ 2 2 ≤ C T e C T + ‖ P ′ 0 ρ 0 ‖ 2 e C T ≤ C (3.1.24) 回头看G的定义，我们可以得到： J t = J μ ( G + P ) (3.1.25) 于是有： ‖ J − J 0 ‖ 2 + ‖ J t ‖ 2 = ‖ ∫ 0 t J t d τ ‖ 2 + ‖ J t ‖ 2 ≤ 2 J ¯ μ ( ∫ 0 t ( ‖ G ‖ 2 + ‖ P ‖ 2 ) d τ + ‖ G ‖ 2 + ‖ P ‖ 2 ) 进一步有： sup 0 ≤ t ≤ T ( ‖ J − J 0 ‖ 2 + ‖ J t ‖ 2 ) = C ( γ ， μ ， ρ ¯ ， J _ ， J ¯ ， ‖ G 0 ‖ 2 ， ‖ P 0 ‖ 2 ) (3.1.26) 由(3.23)可得： J ( y ， t ) = exp { 1 μ ∫ 0 t ( G + P ) d τ } J 0 (y) 于是有： J y = ( 1 μ ∫ 0 t ( G y + P y ) d τ J 0 + J ′ 0 ) exp { 1 μ ∫ 0 t ( G + P ) d τ } 进一步有 sup 0 ≤ t ≤ T ‖ J y ρ 0 ‖ L 2 ≤ ( J ¯ μ ∫ 0 T ‖ ( G y ρ 0 + P y ρ 0 ) ‖ L 2 d t + ‖ J ′ 0 ρ 0 ‖ L 2 ) exp { 1 μ ∫ 0 T ‖ ( G + P ) ‖ L ∞ d t } ≤ C (3.1.27) 其中C是正常数，且仅取决于 γ ， μ ， ρ ¯ ， J _ ， J ¯ ， ‖ J ′ 0 ρ 0 ‖ 2 ， ‖ G 0 ‖ 2 ， ‖ P 0 ‖ 2 和 ‖ P ′ 0 ρ 0 ‖ 2 ，但独立于 ρ _ 。 再回过头来去看G的定义，注意到 ρ 0 u t = G y − 1 2 ( ( n y J ) 2 ) y ，又有： sup 0 ≤ t ≤ T ‖ u y ‖ L 2 2 = sup 0 ≤ t ≤ T ‖ J μ ( G + P ) ‖ L 2 2 ≤ C ( γ ， μ ， ρ ¯ ， J _ ， J ¯ ， ‖ G 0 ‖ 2 ， ‖ P 0 ‖ 2 ) (3.1.28) ‖ 1 ρ 0 ( n y J ) y n y J ‖ L 2 2 = ∫ Ω 1 ( 1 ρ 0 ( n y J ) y n y J ) 2 d y ≤ 1 ρ 0 ‖ n y J ‖ L ∞ 2 ‖ ( n y J ) y ‖ L 2 = 1 ρ 0 ‖ n y J ‖ L ∞ 2 ‖ ( n y J ) y J J ‖ L 2 ≤ 1 ρ 0 ‖ n y J ‖ L ∞ 2 ‖ ( n y J ) y J ¯ J ‖ L 2 = J ¯ ρ 0 ‖ n y J ‖ L ∞ 2 ‖ ( n y J ) y 1 J ‖ L 2 又由 n ˜ x ∈ L x ∞ ( Ω ) ， n ˜ x x ∈ L x ∞ ( Ω ) ，J有上下界，可知 ‖ 1 ρ 0 ( n y J ) y n y J ‖ L 2 ( Ω 1 ) 2 ≤ C 。 于是有 ∫ 0 T ‖ ρ 0 u t ‖ L 2 2 d t ≤ ∫ 0 T ‖ G y ρ 0 ‖ L 2 2 d t + ∫ 0 T ‖ 1 ρ 0 ( n y J ) y n y J ‖ L 2 2 d t ≤ C ( γ ， μ ， ρ ¯ ， J _ ， J ¯ ， ‖ G 0 ‖ L 2 ) (3.1.29) 于是有 sup 0 ≤ t ≤ T ‖ ρ 0 u ‖ L 2 ( Ω 1 ) = sup 0 ≤ t ≤ T ‖ ρ 0 u 0 + ∫ 0 t ρ 0 u t d τ ‖ L 2 ( Ω 1 ) 2 ≤ ‖ ρ 0 u 0 ‖ L 2 ( Ω 1 ) 2 + ∫ 0 T ‖ ρ 0 u t ‖ L 2 ( Ω 1 ) d τ ≤ ‖ ρ 0 u 0 ‖ L 2 ( Ω 1 ) 2 + C ( γ ， μ ， ρ ¯ ， J _ ， J ¯ ， ‖ G 0 ‖ L 2 ) 注意到： u y y = [ J μ ( G + P ) ] y = J y μ ( G + P ) + J μ ( G y + P y ) 再由Hölder不等式得： ∫ 0 T 0 ‖ u y y ρ 0 ‖ L 2 2 d t ≤ C ∫ 0 T 0 ( ‖ ( G y ρ 0 ， P y ρ 0 ) ‖ 2 2 + ‖ ( G ， P ) ‖ ∞ 2 ‖ J y ρ 0 ‖ 2 2 ) d t ≤ C (3.1.30) 于是可得： ∫ 0 T ‖ u y y ρ 0 ‖ L 2 2 d t ≤ ∫ 0 T ( ‖ ( G y ρ 0 ， P y ρ 0 ) ‖ L 2 2 + ‖ ( G ， P ) ‖ L ∞ 2 ) d t ≤ C 其中C是正常数，且仅取决于 γ ， μ ， ρ ¯ ， J _ ， J ¯ ， ‖ J ′ 0 ρ 0 ‖ 2 ， ‖ G 0 ‖ 2 ， ‖ P 0 ‖ 2 和 ‖ P ′ 0 ρ 0 ‖ 2 ，但独立于 ρ _ 。 证毕。 上文已经知道 ，接下来由 n ˜ x ∈ L ∞ ( Ω ) ，J有上下界知 n y J ∈ L ∞ ( Ω 1 ) ，又 得 n y ∈ L ∞ ( Ω 1 ) 。 n ˜ x x ∈ L ∞ ( Ω ) ，J有上下界知 ( n y J ) y 1 J ∈ L ∞ ( Ω 1 ) ，又 ( n y J ) y 1 J = n y y J 2 − n y J y J 3 于是有 又由 n ˜ x x ∈ L ∞ ( Ω ) ， n ˜ x ∈ L ∞ ( Ω ) ， J y ∈ L 2 ( Ω 1 ) 得 n y y ∈ L 2 (Ω1) 至此定义3.1的所有要求均已满足，即 ( J ， u ， P ， n ) 是拉格朗日坐标下液晶方程组(**)的一个强解，也就是说原液晶方程组(*)在满足(2.1.5)式条件下，仍然存在强解，则 T ∗ 不是原液晶方程组(*)强解存在的关于时间的最大值。这与 T ∗ 的定义相矛盾，因此(2.1.5 )式是错误的，定理2.1.的证明也就完成了。