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user: 3. 主要结果 定理若存在一个函数 V ∈ C 1 ， 2 ( [ t 0 − τ ， ∞ ) × R n ， R + ) 和正常数 C 1 ， C 2 和 λ 满足 (i) 对 ∀ ( t ， X ) ∈ [ t 0 − τ ， ∞ ) × R n ， C 1 | X | p ≤ V ( t ， X ) ≤ C 2 | X | p ； (ii) 对所有的 k ∈ N 和 X ∈ L F t p ( [ − τ ， + ∞ ] ; R n ) ， V ( t k ， X + I k ( t k ， X ) ) ≤ d k V ( t k − ， X ) ， 其中， ln d k ≤ − λ ( t k + 1 − t k ) ； (iii) 对所有的 t ≥ t 0 ， t ≠ t k ， k ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ } 和 φ ∈ L F 0 p ( [ − τ ， 0 ] ; R n ) ， E ^ L V ( t ， φ ) ≤ ( − λ + λ 1 ( t ) ) E ^ V ( t ， φ ( 0 ) ) ， E ^ L V ( t ， φ ) ≤ ( − λ + λ 1 ( t ) ) E ^ V ( t ， φ ( 0 ) ) ， 当 θ ∈ [ − τ ， 0 ] ， E ^ V ( t + θ ， φ ) < q E ^ V ( t ， φ ( 0 ) ) (这里 q ≥ γ e λ τ )， γ = max k ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ } { 1 d k } ， λ 1 ( t ) : [ t 0 ， ∞ ) → R ， λ 1 ( t ) 在 [ t k ， t k + 1 ) 上是连续的，对所有的 k ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ } ， lim t − t k − λ 1 ( t ) = λ ( t k − ) ，且 ∫ t 0 + ∞ λ 1 + ( s ) d s < ∞ (这里 λ 1 + ( s ) = max { λ 1 ( s ) ， 0 } )，则方程(2.1)的平凡解是p-阶矩指数稳定的。 证 取正数且满足 0 < C 2 e λ ( t 1 − t 0 ) ≤ M ≤ C 2 γ e λ τ 。根据条件(i)可推出 E ^ V ( t ， X ( t ) ) ≤ C 2 E ^ | X ( t ) | p ≤ C 2 E ^ ‖ ξ ‖ p ≤ M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t 1 − t 0 ) ， t ∈ [ t 0 − τ ， t 0 ) . (3.1) 接下来证明 E ^ V ( t ， X ( t ) ) ≤ M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t k − t 0 ) e ∫ t 0 t λ 1 + ( s ) d s ， t ∈ [ t k ， t k + 1 ) ，   k ∈ N . (3.2) 成立。为了证明(3.2)成立，需先证明 E ^ V ( t ， X ( t ) ) ≤ M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t 1 − t 0 ) e ∫ t 0 t λ 1 + ( s ) d s ，   t ∈ [ t 0 ， t 1 ) ， (3.3) 成立。接下来利用反证法证明(3.3)成立。假设(3.3)不成立，则存在 t ∈ [ t 0 ， t 1 ) 满足 E ^ V ( t ， X ( t ) ) > M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t 1 − t 0 ) e ∫ t 0 t λ 1 + ( s ) d s . 令 t 1 ∗ = inf { t ∈ [ t 0 ， t 1 ) : E ^ V ( t ， X ( t ) ) > M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t 1 − t 0 ) e ∫ t 0 t λ 1 + ( s ) d s } 。注意 E ^ V ( t ， X ( t ) ) 在 [ t 0 ， t 1 ) 是连续的，故 t 1 ∗ ∈ [ t 0 ， t 1 ) 且 E V ( t 1 ∗ ， X ( t 1 ∗ ) ) = M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t 1 − t 0 ) e ∫ t 0 t 1 ∗ λ 1 + ( s ) d s (3.4) E ^ V ( t ， X ( t ) ) < M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t 1 − t 0 ) e ∫ t 0 t λ 1 + ( s ) d s ，   t ∈ [ t 0 − τ ， t 1 ∗ ) . (3.5) 而且存在一个序列 { t n } n ≥ 1 ( t n ↓ t 1 ∗ )使得 E ^ V ( t n ， X ( t n ) ) > M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t 1 − t 0 ) e ∫ t 0 t n λ 1 + ( s ) d s ，   t n ∈ [ t 1 ∗ ， t 1 ) ， (3.6) 和 E ^ V ( t 1 ∗ + θ ， X ( t 1 ∗ + θ ) ) ≤ M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t 1 − t 0 ) e ∫ t 0 t 1 ∗ + θ λ 1 + ( s ) d s ≤ M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t 1 − t 0 ) e ∫ t 0 t 1 ∗ λ 1 + ( s ) d s < q E ^ V ( t 1 ∗ ， X ( t 1 ∗ ) ) . (3.7) 成立。根据条件(iii)可得 E ^ L V ( t 1 ∗ ， X t 1 ∗ ) ≤ ( − λ + λ 1 ( t 1 ∗ ) ) E ^ V ( t 1 ∗ ， X ( t 1 ∗ ) ) (3.8) 因为在 [ t 1 * ， t 1 * + h ) 上，方程(2.1)的解 X ( t ) ，函数 V ， L V 是连续的，所以对任意小的数 h > 0 ，有 E ^ L V ( t ， X t ) ≤ ( − λ + λ 1 ( t ) ) E ^ V ( t ， X ( t ) ) ，   t ∈ [ t 1 ∗ ， t 1 ∗ + h ) . (3.9) 利用G-Itô公式，计算出 d ( e λ t V ( t ， X ( t ) ) ) = e λ t [ λ V ( t ， X ( t ) ) + V t ( t ， X ( t ) ) + 〈 V X ( t ， X ( t ) ) ， f ( t ， X t ) 〉 ] d t     + e λ t [ 〈 V X ( t ， X ( t ) ) ， h i j ( t ， X t ) 〉 + 1 2 〈 V X X ( t ， X ( t ) ) σ i ( t ， X t ) ， σ j ( t ， X t ) 〉 ] d 〈 B i ， B j 〉 t     + e λ t 〈 V X ( t ， X ( t ) ) ， σ j ( t ， X t ) 〉 d B t j ， 进而， e λ t V ( t ， X ( t ) ) = e λ t 1 ∗ V ( t 1 ∗ ， X ( t 1 ∗ ) ) + ∫ t 1 ∗ t e λ s ( λ V ( s ， X ( s ) ) + L V ( s ， X s ) ) d s     + M t t 1 ∗ + ∫ t 1 ∗ t e λ s 〈 V X ( s ， X ( s ) ) ， σ ( s ， X s ) 〉 d B s ， (3.10) 其中， M t t 1 * = ∫ s t [ 〈 V X ( s ， X ( s ) ) ， h i j ( s ， X s ) 〉 + 1 2 〈 V X X ( s ， X ( s ) ) σ i ( s ， X s ) ， σ j ( s ， X s ) 〉 ] d 〈 B i ， B j 〉 s     − ∫ s t G ( 〈 V X ( s ， X ( s ) ) ， h ( s ， X s ) 〉 + 〈 V X X ( s ， X ( s ) ) σ ( s ， X s ) ， σ ( s ， X s ) 〉 ) d s . (3.11) 由Peng [ 13 ] 可知 { M t t 1 * } t 1 * ≥ t 是一个G-鞅，因此 E ^ M t t 1 * ≤ 0 。对(3.10)式两边同时取期望并再次利用条件(iii) 可得 E ^ [ e λ t V ( t ， X ( t ) ) ] = E ^ [ e λ t 1 ∗ V ( t 1 ∗ ， X ( t 1 ∗ ) ) ] + E ^ [ ∫ t 1 ∗ t e λ s ( λ V ( s ， X ( s ) ) + L V ( s ， X s ) ) ] d s ≤ E ^ [ e λ t 1 ∗ V ( t 1 ∗ ， X ( t 1 ∗ ) ) ] + ∫ t 1 ∗ t λ 1 ( s ) E ^ ( e λ s V ( s ， X ( s ) ) ) d s . (3.12) 运用Gronwall不等式，进一步得 E ^ [ e λ t V ( t ， X ( t ) ) ] ≤ E ^ [ e λ t 1 ∗ V ( t 1 ∗ ， X ( t 1 ∗ ) ) ] e ∫ t 1 ∗ t λ 1 ( s ) d s ， 即 E ^ [ V ( t ， X ( t ) ) ] ≤ e − λ ( t − t 1 ∗ ) E ^ [ V ( t 1 ∗ ， X ( t 1 ∗ ) ) ] e ∫ t 1 ∗ t λ 1 ( s ) d s ， (3.13) 结合(3.4)可得 E ^ [ V ( t 1 ∗ + h ， X ( t 1 ∗ + h ) ) ] ≤ e − λ h E ^ [ V ( t 1 * ， X ( t 1 * ) ) ] e ∫ t 1 ∗ t λ 1 ( s ) d s ≤ M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t 1 + h − t 0 ) e ∫ t 0 t λ 1 + ( s ) d s < M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t 1 − t 0 ) e ∫ t 0 t λ 1 + ( s ) d s ， (3.14) 这与(3.6)相矛盾，因此对k = 1， E ^ [ V ( t ， X ( t ) ) ] ≤ M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t 1 − t 0 ) e ∫ t 0 t λ 1 + ( s ) d s ，   t ∈ [ t 0 ， t 1 ) 成立。 利用数学归纳法，假设 k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m   ( m ∈ N ) ， E [ V ( t ， X ( t ) ) ] ≤ M E ‖ ξ ‖ p e − λ ( t k − t 0 ) e ∫ t 0 t λ 1 + ( s ) d s ，   t ∈ [ t k − 1 ， t k ) (3.15) 成立。接下来继续证明 E ^ [ V ( t ， X ( t ) ) ] ≤ M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t m + 1 − t 0 ) e ∫ t 0 t λ 1 + ( s ) d s ，   t ∈ [ t m ， t m + 1 ) ， (3.16) 成立。利用反证法假设(3.16)不成立。令 t 2 ∗ = inf { t ∈ [ t m ， t m + 1 ) : E ^ [ V ( t ， X ( t ) ) ] > M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t m + 1 − t 0 ) e ∫ t 0 t λ 1 + ( s ) d s } . 由条件(ii)和(3.15)，注意到当 t = t m 时，有 E ^ V ( t m ， X ( t m ) ) ≤ d m E ^ V ( t m − ， X ( t m − ) ) ≤ d m M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t m − t 0 ) ≤ e − λ ( t m + 1 − t m ) M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t m − t 0 ) e ∫ t 0 t m λ 1 + ( s ) d s = M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t m + 1 − t 0 ) e ∫ t 0 t m λ 1 + ( s ) d s (3.17) 成立。因为 E ^ V ( t ， X ( t ) ) 在 t ∈ [ t m ， t m + 1 ) 上是连续的，所以可得 t 2 ∗ ∈ [ t m ， t m + 1 ) 且 E ^ [ V ( t 2 ∗ ， X ( t 2 ∗ ) ) ] = M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t m + 1 − t 0 ) e ∫ t 0 t 2 ∗ λ 1 + ( s ) d s ， (3.18) E ^ [ V ( t ， X ( t ) ) ] < M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t m + 1 − t 0 ) e ∫ t 0 t λ 1 + ( s ) d s ，   t ∈ [ t m ， t m + 1 ) . (3.19) 而且存在一个序列 { t n } n ≥ 1 ( t n ↓ t 2 * )满足 E ^ V ( t n ， X ) ( t n ) > M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t m + 1 − t 0 ) e ∫ t 0 t n λ 1 + ( s ) d s ，   t n ∈ [ t 2 ∗ ， t m + 1 ) . (3.20) 对 − τ ≤ θ ≤ 0 ，存在一个整数 j ∈ [ 0 ， k ]   ( k ≤ m ) 满足 t 2 ∗ + θ ∈ [ t j ， t j + 1 ) 。从而 E ^ V ( t 2 ∗ + θ ， X ( t 2 ∗ + θ ) ) ≤ M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t j + 1 − t 0 ) e ∫ t 0 t 2 ∗ + θ λ 1 + ( s ) d s ≤ M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t 2 ∗ + θ − t 0 ) e ∫ t 0 t 2 ∗ λ 1 + ( s ) d s ≤ M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t m + 1 − t 0 + t 2 ∗ − t m + 1 ) e − λ θ e ∫ t 0 t 2 ∗ λ 1 + ( s ) d s ≤ M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t m + 1 − t 0 ) e λ ( t m + 1 − t 2 ∗ ) e λ τ e ∫ t 0 t 2 * λ 1 + ( s ) d s ≤ M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t m + 1 − t 0 ) e λ ( t m + 1 − t m ) e λ τ e ∫ t 0 t 2 * λ 1 + ( s ) d s ≤ γ e λ τ M E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t m + 1 − t 0 ) e ∫ t 0 t 2 ∗ λ 1 + ( s ) d s ≤ q E ^ V ( t 2 ∗ ， X ( t 2 ∗ ) ) . (3.21) 因此，利用条件(iii)得 E ^ L V ( t 2 ∗ ， X t 2 * ) ≤ ( − λ + λ 1 ( t 2 * ) ) E ^ V ( t 2 * ， X ( t 2 * ) ) . (3.22) 接着和前面证明(3.14)和(3.6)的矛盾方法一样，可得出与(3.20)的矛盾，综合说明了(3.16)是成立的。从而通过数学归纳法推出了对所有的 k ∈ N ，(3.2)式是成立的。进一步利用条件(i)得 E ^ | X ( t ) | p ≤ M E ^ ‖ ξ ‖ p C 1 e − λ ( t k − t 0 ) e ∫ t 0 t λ 1 + ( s ) d s ≤ M E ^ ‖ ξ ‖ p C 1 e − λ ( t − t 0 ) e ∫ t 0 t λ 1 + ( s ) d s ≤ M E ^ ‖ ξ ‖ p C 1 e − λ ( t − t 0 ) e ∫ t 0 + ∞ λ 1 + ( s ) d s . 事实上，因 ∫ t 0 + ∞ λ 1 + ( s ) d s < ∞ ，所以存在一个数 C > 0 使得 e ∫ t 0 + ∞ λ 1 + ( s ) d s < C 成立，这蕴含了 E ^ | X ( t ) | p ≤ C M E ^ ‖ ξ ‖ p C 1 e − λ ( t − t 0 ) ，   t ≥ t 0 ， (3.23) 成立。即方程(2.1)的平凡解是p-阶矩指数稳定的。证毕。