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user: 2. 基于LIB-SVM的控制系统中极点配置问题的故障诊断方法 基于LIB-SVM的状态反馈系统故障诊断的系统原理示如图1。 通过本文提出的方法，可以很好的判断出系统执行器或者传感器出故障的通道，从而切换相应的单通道控制器，使得系统继续保持稳态，达到可靠控制的目的，有效的降低了传统多通道控制器带来的技术难题，并且有效的降低了控制系统的能耗和保守性。 故障诊断系统部件如图2所示，首先通过状态观测器采集到系统的状态信息，下一步将状态信息传入极点观测器，估算出此时的极点位置。最后再由极点分类器根据极点的位置，判断是否有故障，若极点全部在所要配置的区域内，则暂不对其进行控制；若至少有一个极点跳出所配置的区域，则对其进行故障诊断判断出现故障的通道，之后切换相应的单通道故障控制器，使得系统极点重新配置到所要求区域。 图1. 基于LIB-SVM的状态反馈系统故障诊断的系统原理 图2. 故障诊断系统结构图 2.1. 状态观测器设计 引理1 [ 18 ] ：给定n维线性定常系统 { x ˙ = A x + B u y = C x (1) 式中，x为n维状态向量，u为p维输入向量，y为q维输出向量，矩阵A，B，C为具有相应维数的实常量矩阵。若此系统是状态完全能观测的，则状态向量 x ( t ) 可有输入u和输出y的相应信息构造出来。 状态向量x的重构问题实质上就是根据可直接测量的u和y以及矩阵A，B，C来确定或者产生 x ( t ) 的估计值 x ^ ( t ) 。将输入 u ( t ) 和输出 y ( t ) 都利用起来设计状态观测器，如图3。 因为 y ^ ( t ) − y ( t ) = C [ x ^ ( t ) − x ( t ) ] (2) 所以图3中的状态观测器的动态方程可写成 x ^ ˙ = ( A − E C ) x ^ + B u + E (3) 由式(3)所表述的动态系统（即状态观测器）所得到的 x ^ ( t ) 是与 x ( t ) 的维数相同的，故称它为全维观测器。全维观测器是有两个输入 u ( t ) 和输出 y ( t ) ，一个输入为状态的估计值 x ^ ( t ) 的动态系统。 2.2. 极点观测器设计 2.2.1. 问题描述 设给定自治系统： x ˙ = A x ( t ) ，     x ( t ) = [ x 1 ( t ) ⋯ x n ( t ) ] T ，     x ˙ ( t ) = [ x ˙ 1 ( t ) ⋯ x ˙ n ( t ) ] T (4) 图3. 全维状态观测器结构图 在已知系统状态可测，通过系统的状态估算系统n阶矩阵A，其中， x ( t ) ∈ R n 为状态， Δ t 为采样时间间隔，采样初始时间为 t 0 ，采集n + 1个状态值，如下： x ′ 0 = x ( t 0 ) ，   x ′ 1 = x ( t 0 + Δ t ) ，   x ′ 2 = x ( t 0 + 2 Δ t ) ， ⋯ ， x ′ n = x ( t 0 + n Δ t ) 2.2.2主要结果 设 x = x ( t ) ，则 d x ( t ) = x ˙ ( t ) d t ，可以得到近似计算公式 Δ x = x ˙ ( t ) Δ t (5) 其中 Δ t 越小近似程度越高，通过n + 1个状态值，确定n个状态改变量，设 Δ x i = x ˙ ( t 0 + i Δ t ) − x ˙ ( t 0 + ( i − 1 ) Δ t ) (6) 也就是， Δ x 1 = x 1 − x 0 = x ( t 0 + Δ t ) − x (t0) Δ x 2 = x 2 − x 1 = x ( t 0 + 2 Δ t ) − x ( t 0 + Δ t ) ⋯ Δ x n = x n − x n − 1 = x ( t 0 + n Δ t ) − x ( t 0 + ( n − 1 ) Δ t ) 根据(5)和(6)式，可以得到 Δ x i = x ˙ ( t 0 + ( i − 1 ) Δ t ) Δ t 根据(6)和上式可得，其中 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n Δ x i = A x ( t 0 + ( i − 1 ) Δ t ) Δ t (7) 以(7)作为矩阵的第 列，可有如下 [ Δ x 1 Δ x 2 ⋯ Δ x n ] = A [ x ( t 0 ) x ( t 0 + Δ t ) ⋯ x ( t 0 + n Δ t ) ] Δ t 设n阶矩阵 Δ X = [ Δ x 1 Δ x 2 ⋯ Δ x n ] X = [ x ( t 0 ) x ( t 0 + Δ t ) ⋯ x ( t 0 + n Δ t ) ] Δ t 若 X 可逆，则得到系统矩阵的估算矩阵 Δ X ≈ A X ， A ≈ Δ X X − 1 (8) 通过系统仿真发现，t的初值对系统矩阵A无影响， Δ t 取值越小，估算出来的A越准确。 2.3. 极点分类器设计 2.3.1. 极点分类器预测模型设计 LIBSVM是中国台湾大学林智仁教授等开发设计的软件对SVM所涉及的参数调节相对比较少，并且提供了很多的默认参数，利用这些默认参数可以解决很多问题。支持向量C-SVC基本原理如下： 给定训练向量集 x i ∈ R n ，   i = 1 ， ⋯ ， l ，其中 l 为样本数，将其分成两类 y ∈ R l ， y i ∈ { 1 ， − 1 } ，来对下式进行计算： min w ， b ， ξ 1 2 w T w + C ∑ i = 1 l     ξ i s .t .     y i ( w T ∅ ( x i ) + b ) ≥ 1 − ξ i ξ i ≥ 0 ，   i = 1 ， ⋯ ， l 上述问题的对偶问题是： min α 1 2 α T Q α + e T α s .t .     y T α = 0 0 ≤ α i ≤ C ，   i = 1 ， ⋯ ， l 其中e为任意向量， C > 0 ，Q为 l × l 的半正定矩阵， Q i j ≡ y i y j K ( x i ， x j ) ， K ( x i ， x j ) ≡ ∅ ( x i ) T ∅ ( x j ) 为核函数。这里的训练集向量 x i 被函数 ∅ 映射到高维空间中。 其决策函数为： sgn ( ∑ i = 1 l     y i α i K ( x i ， x ) + b ) 本文中基于支持向量机方法的极点分类预测仿真实验是利用Libsvm软件包，在matlab中实现的。在进行预测仿真时，首先要采集n个不同通道出现故障时的极点位置数据，把这些数据分成n类。然后对所有数据进行标准化处理，对于每个通道的故障数据，选取其中的一半作为训练集进行建模，另一半数据作为预测的测试集。具体的建模过程如图4所示。 极点数据分类步骤： 1) 收集数据：收集故障部件n条通道分别出现故障时的极点数据，对数据进行标准化处理； 2) 划分训练集与测试集：分别选取n条通道故障时极点数据的一半作为训练集，另一半作为测试集； 3) 将Accuracy作为评价标准，首先建立粗糙预测模型； 4) 参数寻优：采用网格搜寻法，选取最佳的参数c和g，建立模型； 5) 提取模型：提取使Accuracy达到最高的参数c和g，作为预测模型的最终参数建立极点分类模型。 其中参数c表示C-SVC的损失函数，参数g表示核函数中的gamma函数设置(本文中采用的是RBF核函数)。 图4. 建模流程 2.3.2. 极点分类处理 定义1：对复平面中的区域D，如果存在一个对称矩阵 L ∈ R m × m 和矩阵 M ∈ R m × m ，使得 D = { s ∈ C : L + s M + s ¯ M T < 0 } 则称D是一个线性矩阵不等式区域(简记为LMI区域)。矩阵值函数 f D ( z ) = L + s M + s ¯ M T 称为LMI区域D的特征函数。 定义2：对复平面中给定的LMI区域D和矩阵 A ∈ R n × n ，如果矩阵A的所有特征值都位于区域D中，即 σ ( A ) ⊂ D ，则称矩阵A是D-稳定的。 基于以上两个定义，设极点观测器观测到的极点集为 λ = λ 1 ， λ 2 ， ⋯ ， λ n   ( n = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ，若 ∀ λ i ∉ D ，说明所配置的极点跳出了配置区域D，那么我们认为系统出现故障。此时，对观测到的极点进行故障分类，然后切换相应的单通道控制器。若极点仍在所配置区域D内，即使有出现故障的趋势，我们依然认为其稳定，暂不切换控制器，这样使得系统具有一定的鲁棒性。 2.4. 单通道控制器的设计 问题描述 考虑线性定常系统： { x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) y ( t ) = C x ( t ) (9) 其中， x ( t ) ∈ R n 是状态标量， u ( t ) ∈ R m 是控制变量， y ( t ) ∈ R p 是输出变量，A，B是适维矩阵，C是适维行满秩矩阵。 执行器连续增益故障矩阵模型描述为： u f ( t ) = F a u ( t ) (10) 其中， u ( t ) ∈ R p 为系统的控制输入变量， u f ( t ) ∈ R 为考虑执行器故障系统的输入变量。 引理2：给定的LMI区域 D = { s ∈ C : L + s M + s ¯ M T < 0 } ，则实对称矩阵 A ∈ R n × n 是D稳定的充分必要条件是存在一个对称正定实矩阵 X ∈ R n × n 使得 M D ( A ， X ) < 0 其中： M D ( A ， X ) = L ⊗ X + M ⊗ ( A X ) + M T ⊗ ( A X ) T 引理3：根据引理1矩阵 A 的所有特征值均在半径为r，中心在 ( − q ， 0 ) 的圆盘中的充分必要条件是存在对称正定矩阵 X ，使得 [ − r X A X + q X X A T + q X − r X ] < 0 引理4：在考虑执行器故障时对单故障进行处理(凸组合法)，设 φ a i 1 = diag ( 1 ， ⋯ ， 1 ， f ¯ a i ， 1 ， ⋯ ， 1 ) ， φ a i 2 = diag ( 1 ， ⋯ ， 1 ， f ¯ a i ， 1 ， ⋯ ， 1 ) ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， p 设集合 Λ a = { F a i | F a i = diag ( 1 ， ⋯ ， 1 ， f ¯ a i ， 1 ， ⋯ ， 1 ) ， f ¯ a i ≤ f a i ≤ f ¯ a i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， p } 这样由(11)描述的执行器故障矩阵 F a ∈ Λ a 。存在正整数 i ，使得 F a = F a i 。显然 F a i 是在 φ a i 1 和 φ a i 2 为顶点构成的凸集合中。因此，总可以找到 α a i j ≥ 0 ， j = 1 ， 2 满足 ∑ j = 1 2 α s i j = 1 使得 F a i = ∑ j = 1 2 α a i j φ a i j