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user: 3. 模型建立及求解 3.1. 时序散点模型与三维曲面模型 用2010~2017年美国Drug Reports数据的比例建立时序散点图，然后对筛选后剩下州的时序散点图进行四次拟合得到拟合曲线，再通过截距判断最早发生的州位置；然后用2010~2017年该州的各县Drug Report数据占总县Drug Report的比例，用制图软件建立位置、时间、比例三维曲面图，通过峰值的高低判断县位置。并通过图形分析随着时间的推移，报告的五个州及其县之间的合成阿片和吗啡事件(病例)的特点。 首先，分析吗啡时序散点图1与图2，可以看出KENTUCKY、VIRGINIA、WEST VIRGINIA三个州Drug Report数据占五个州总Drug Reports数据的比例每年都相对比较低，大多数仅占10%以内，而PENNSYLVANIA和OHIO两州Drug Report数据占五个州总Drug Reports数据的比例高达35%以上。因此，从概率上来讲KENTUCKY、VIRGINIA、WEST VIRGINIA三个州不太可能为最早发生吗啡使用的具体位置。由拟合曲线图可以清晰的看到PENNSYLVANIA的截距在0.5左右，而OHIO的截距在0.35左右，两者相差0.15，从而可以确定PENNSYLVANIA州为最早发生吗啡使用的位置。 图1. PENNSYLVANIA吗啡时序离散拟合图 图2. OHIO吗啡时序离散拟合图 然后运用相同的方法，由于VIRGINIA和WEST VIRGINIA两个州Drug Report数据占五个州总Drug Reports数据的比例与PENNSYLVANIA、OHIO、KENTUCKY三个州相比要低的多，所以仅对PENNSYLVANIA、OHIO、KENTUCKY三个州所对应的散点图进行四次拟合，如图3，图4，图5所示。 因此可以确定五大州中最早发生的为PENNSYLVANIA。再将PENNSYLVANIA州的各个县建立位置、时间、比例三维立体曲面模型，如图6所示，判断PENNSYLVANIA的具体位置。 图3. KY合成阿片时序离散拟合图 图4. PENNSYLVANIA合成阿片时序离散拟合图 图5. OHIO合成阿片时间序列离散拟合图 图6. PENNSYLVANIA三维立体曲面模型 3.2. 小世界网络模型与无标度网络模型 基于上诉分析，将阿片药物传播系统抽象成基本复杂网络。对于基本的复杂网络，小世界性和无标度性，其中小世界网络具有较短的平均距离和较大的聚集系数；同时在基恩复杂网络中大部分的节点只有少数点链路，同时某些节点却拥有着与其他节点大量的链接，表现在无标度性上的就是幂律分布，综合考虑阿片药物传播系统类似网络的增长特性、同时系统中新节点更倾向与那些具有高度的“大”节点相连接的优先连接特性。因此，阿片药物传播系统类似的基本复杂网络主要包括小世界网络与无标度网络两种网络模型。 复杂网络中的多种形式的传播现象都可以看作是服从某一规律的传播行为。实际的复杂网络系统的构成元素众多、组织因素庞大、这导致信息在网络上的传播规律过程是十分复杂的，因此还需构建小世界网络模型和无标度网络模型来解释传播行为规律并且解决文中的相关问题，并将本部分中阿片药物的扩散传播抽象为感染传播模型。 3.3. SIR模型 SIR模型是用来描述疾病传播过程中被感染个体在治愈后具有免疫力，因而成为健康个体并且不会被传染，或者难以治愈而死亡，从而移除传播系统不再感染其他个体。 SIR模型中，文中所要研究的美国五大州各个县的个体主要被分为三类：易染者S (易染个体)、感染者I (染病个体)、恢复者R (免疫个体)。在初始条件下，通常认为系统中一个或者少数几个处于感染状态，其余个体处于易感染的状态。一般情况下，SIR模型传播规则如图7所示。 图7. SIR模型示意图 记 S ( t ) ， I ( t ) ， R ( t ) 分别表示易感者、感染者、免疫者在美国五大州各个县总个体所占的比例， S 0 ， I 0 ， R 0 表示各初始状态下人数的初值，且均为负数，因此得到了SIR模型的微分方程如下： d S ( t ) d t = − λ S ( t ) I ( t ) ， d I ( t ) d t = λ S ( t ) I ( t ) − μ I ( t ) ， d R ( t ) d t = μ R ( t ) ， S ( t ) + I ( t ) + R ( t ) = 1 ， S ( 0 ) = S 0 ， I ( 0 ) = I 0 ， R ( 0 ) = R 0 . 因此，在基本复杂网络中的k节点条件下，设 S k ( t ) ， I k ( t ) ， R k ( t ) 分别表示在k节点时的易感者、感染者、免疫者在感染点与恢复点在t时刻所占的各个比例： S k ( t ) + I k ( t ) + R k ( t ) = 1. 此时我们取用k节点的传统时间尺度关系式： θ ( t ) = ∑ k ′ P ( k ′ | k ) i k ( t ) . 因此SIR模型的微分方程可变化可得： d S k ( t ) d t = − λ S k ( t ) θ ( t ) ， d I k ( t ) d t = λ k S k ( t ) θ ( t ) − I k ( t ) ， d R k ( t ) d t = I k ( t ) . 初始情况下，当 I 0 → 0 时，可取用 I k ( 0 ) = 0 ， S k ( 0 ) = 1 ，可得 S k ( t ) = e − λ k φ ( t ) ， 并构建 S k ( t ) 辅助函数： φ ( t ) = ∫ 0 t θ ( t ′ ) d t ′ = 1 η ∑ k k P ( k ) r k ( t ) ， 进而可以推导： d φ ( t ) d t = 1 η ∑ k k P ( k ) i k ( t ) ， 即： d φ ( t ) d t = 1 − φ ( t ) − 1 η ∑ k k P ( k ) e − λ k φ ( t ) . 因此本文令 φ ∞ = lim t → ∞ φ ( t ) ，则可以求出： r k ( ∞ ) = 1 − S k ( ∞ ) ， φ ∞ = ∑ k k P ( k ) ( 1 − e − λ k φ ∞ ) . 因此在本题中只需满足 i k ( ∞ ) = 0 ，即可知道： lim t → ∞ d φ ( t ) d t = 0 ， φ ∞ = 1 − 1 η ∑ k k P ( η ) e − λ k φ ∞ . 而根据题目中的已知条件，我们必须满足： d d φ ∞ ( 1 − 1 η ∑ k P ( k ) e − λ k φ ∞ ) | φ ∞ = 0 ≥ 1. 因此可知： 1 η ∑ k P ( k ) ( λ k ) = λ η η 2 ≥ 1. 从而可知，在问题一条件下的阈值是： η c = η η 2 = 0.24. 综上所述，在基本复杂网络中，阿片药物的传播存在一个有限的正的传播临界值 η c ，如果在阿片药物传播过程中，阿片药物的有效传播率大于这个临界值，传播感染将会持续稳定的进行下去，最终情况下，阿片药物的传播将处于一个稳定的平衡状态，即称该基本复杂网路处于激活相态；如果阿片药物的有效传播率小于这个临界值，那么感染源的个数将会受到限制，阿片药物的传播无法大范围的进行传播，此时的基本复杂网络处于吸收相态。因此在阿片药物传播的小世界网络与无标度网络中，存在阈值 η c = 0.24 ，将阿片药物传播网络的激活相态和吸收相态分开。 基于上诉对阈值 η c 的确定，选择合适阈值，针对阿片药物传播系统利用SIR模型演化5年，本文发现，在将来的阿片药物传播感染在美国PENNSYLVANIA 州持续传播，最后并趋近平稳状态。如图8，图9所示。 图8. SIR演化吗啡 图9. SIR演化合成药物 3.4. SIR模型 基于第二部分中美国人口普查所提供的社会经济数据，本文在第一部分SIR模型的基础上，考虑在阿片药物传播过程中，免疫者可能会丧失免疫能力转化成为易感者，因此本文对模型进行优化，引入SIRS模型，考虑转化概率 δ 的影响。 此时，阿片药物传播系统的传播机理如图10所示： 图10. 阿片药物传播系统的传播机理 其微分方程表达式： d S ( t ) d t = − λ S ( t ) I ( t ) + δ R ( t ) ， d I ( t ) d t = λ S ( t ) I ( t ) − μ I ( t ) ， d R ( t ) d t = μ I ( t ) − δ R ( t ) ， S ( t ) + I ( t ) + R ( t ) = N ( t ) ， S ( 0 ) = S 0 ， I ( 0 ) = I 0 ， R ( 0 ) = R 0 . 由于在阿片药物传播系统中，个体与个体之间的联系并不是单一的相互联系，同时对于个体所在的状态阶段的不同也会有着不同的感染力。 3.5. SInR模型 由于在阿片药物传播系统中未考虑个体之间的差异，而根据美国人口普查所提供的社会经济数据，因此美国五个州各个县中个体及其周围的邻居接触的概率不同从而导致阿片药物传播的概率也不同，同时由于社会经济因素的影响导致美国五个州各个县的个体自身的免疫能力的不同从而导致阿片药物传播概率的不同。 在阿片药物传播系统中，个体在每一个阶段都具有不同的感染传播概率，基于此，本文建立具有多感染传播阶段的SI n R模型进行求解，SI n R模型的工作机理如图11： 图11. SInR模型的工作机理 其微分方程表达式为： d S ( t ) d t = − S ( t ) ∑ n = 1 L β n I n ( t ) ， d I 1 ( t ) d t = S ( t ) ∑ n = 1 L β n I n − λ n I 1 ( t ) ， d I n ( t ) d t = λ n − 1 I n − 1 ( t ) − λ n I n ( t ) ， d R 1 ( t ) d t = λ n I n ( t ) . 在上诉公式中， I n ( t ) 表示阿片药物在第n阶段时产波感染个体的比例，且满足下列条件： S ( t ) + ∑ n = 1 L I n ( t ) + R ( t ) = 1. 若此时在S状况下，阿片药物传播系统复杂网络中，易染者个体i将以概率为 φ ( i ) 被阿片药物感染成I状况(即由S变成 I 1 )，而满足权重关系式： φ ( i ) = k ∑ j w i j β s ( j ) . 根据上诉权重关系，可以确定阿片药物的状态阶段，利用SI n R模型不断进行演化，最终发现直到 n = L ，阿片药物的传播系统保持稳定状态，即假设具有免疫系统的美国五大州各个县的个体也不会被感染。 综上所述，根据SI n R模型的演化，本文发现阿片合成物易于获得和使用广泛是滥用现象出现的主要因素，过去的数据中可以明显的发现18~40岁的年龄段的人群占有阿片上瘾的数量不断增加。现有大量的含有阿片的药物流通在市场上，现行的制度没有明确上瘾的发生条件，处方阿片类药物使用的广泛增加和随之而来的误用造成的最紧迫问题。现在市场上有大量且容易获得的吗啡加剧了对于阿片的上瘾。由于合成阿片的易获得使阿片上瘾有着低龄化的趋势。 因此，综合上诉的分析，我们制定以下策略： 1) 首先加强对含有阿片药物的管制，控制每个患者定期的用量避免上瘾。 2) 严厉打击市场上所有的毒品，防止人们受到毒品的影响。 而根据上诉所建立的模型，计算确定在该策略下阿片药物的有效传播效率，将该效率与第一部分与第二部分时阿片药物感染传播的临界阈值进行对比，可发现，我们制定策略后的传播效率低于临界阈值，即阿片药物传播抽象的基本复杂网络呈现吸收相态，则说明我们策略有效。若要使制定策略成功，必须使制定策略后阿片药物的有效传播效率低于临界阈值 η c 即可，即 0 ≤ ∑ β ≤ 0.24 即可。