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user: 3. 实例研究 雅砻江是金沙江最大的支流，是中国水能资源最富集的河流之一。全长1571 km，流域面积13.6万km²，河口多年平均流量为1910 m³/s，年径流量近600亿m³，占长江上游总水量的13.3%。其干流共规划了22级水电站，总装机容量约为3000万kw，年发电量约为1500亿kw·h。雅砻江下游河段是其目前水电开发的重点河段，有锦屏一级、锦屏二级、官地、二滩、桐子林五大电站。九龙河是雅砻江下游左岸的一级支流，发源于九龙县北端与康定县交界处，全长128 km，由北向南至文家坪注入雅砻江。其水能资源丰富，最高流量200 m³/s，理论蕴藏发电量103.9万kw。 锦屏一级电站(锦西水库)和官地水库构成的梯级水库群系统中，上游有雅砻江汇入锦西水库，区间还有九龙河汇入官地水库，两条径流汇入使得梯级水库群存在多重不确定性，基于此，本文以锦西入库径流预报误差和九龙河区间入流预报误差作为研究对象，构建联合分布进行分析，以期为水库制作准确调度方案提供一定的参考依据。 3.1. 确定边缘分布 数据采用2013年6月~2014年6月锦西入库和九龙河日径流预报过程中预见期为6 h的预报值和实测值，采用均值、标准差和确定性系数三个指标作为统计量描述，对两条径流(下文简称锦西入库和区间入流)预报误差的样本做统计分析。由公式(4)、(5)、(6)计算可得各指标的结果见表1。 Table 1 Statistical description of runoff prediction errors in Jinxi reservoir inflow and interval inflo 径流序列 序列长度 均值 μ 标准差 σ 确定性系数R² 锦西入库 673 0.5577 7.7427 0.9720 区间入流 673 4.5347 27.4853 0.9107 表1. 锦西水库入库和区间入流的径流预报误差的统计描述量 对两条径流预报误差序列数据分别建立频率分布直方图，根据分布情况选用不同分布曲线对其进行拟合，分别得到两条径流预报误差的拟合效果图，见图1、图2。 图1. 锦西水库入库径流预报误差分布拟合 图2. 区间入流径流预报误差分布拟合 由图1锦西水库入库预报误差的频率分布直方图中可以看出，频率分布直方图呈现中间高两边低，选用满足此类描述的分布，如正态分布、logistic分布、t分布和stable分布对其进行拟合，可以初步看到拟合效果好的分布情况依次是t分布 > stable分布 > logistic分布 > 正态分布。图2中区间入流预报误差的频率直方图也大致满足中间高两边低，同样选取4种分布对其序列进行拟合，可以看出logistic分布对于峰值的拟合优于其他3个分布曲线。由公式(7)、(8)计算判定系数和均方根误差再次判断各曲线的拟合效果，计算结果见表2。 Table 2 Applicability judgment table for each distribution curve of Jinxi inflow and interval inflow runoff forecast erro 分布曲线 正态分布 t分布 Logistic分布 Stable分布 锦西入库 判定系数 η COD 0.6213 0.9349 0.7356 0.9059 均方误差 ε RMSE 0.0399 0.0260 0.0332 0.0283 区间入流 判定系数 η COD 0.9510 0.9613 0.9739 0.9720 均方误差 ε RMSE 0.0115 0.0100 0.0096 0.0098 表2. 锦西水库入库和区间入流径流预报误差的各分布曲线适用性判定表 对于锦西入库径流预报误差序列，由表2可以看出，判定系数t分布0.9349 > stable分布0.9059 > logistic分布0.7356 > 正态分布0.6213，均方根误差t分布0.026 < stable分布0.0283 < logistic分布0.0332 < 正态分布0.0399，由判定系数越大越好和均方根误差越小越好这一判定依据，可以得到拟合效果好的分布依次是t分布 > stable分布 > logistic分布 > 正态分布，这与图2得到的结论是相同的，所以可以得到锦西入库径流预报误差服从t分布。类似的，对于九龙河区间入流预报误差序列，由表2可以看到logistic分布的判定系数最大，均方根误差最小，所以得到九龙河区间入流预报误差服从logistic分布。 锦西入库、九龙河区入流径流预报误差拟合的4个分布曲线的参数见表3。 Table 3 The distribution parameter table of runoff forecast error of Jinxi inflow and interval inflo 参数 正态分布 t分布 Logistic分布 Stable分布 锦西入库 μ = 0.5577 σ = 7.7427 μ = 0.0786 σ = 2.6587 n = 1.3928 μ = 0.4263 σ = 3.5098 α = 1.1396 β = 0.1726 γ = 2.3844 δ = 0.0206 区间入流 μ = 4.5347 σ = 27.4853 μ = 4.4982 σ = 27.2984 n = 165.2543 μ = 3.8171 σ = 15.6066 α = 1.9741 β = 1.0000 γ = 19.2281 δ = 3.9273 表3. 锦西入库、区间入流的径流预报误差各分布参数表 设锦西入库和区间入流的径流预报误差分别为x，y。由表3可以得到，锦西入库径流预报误差服从的t分布参数分别为 μ = 0.0786 ， σ = 2.6587 ， n = 1.3928 ，可以得到t分布表达式如下： F ( x ) = x − 0.0786 2.6587 ∼ t ( 1.3928 ) (11) 九龙河区间入流预报误差服从的logistic分布参数 μ = 3.8171 ， σ = 15.6066 ，可以得到分布函数和密度函数分别如下： F ( y ) = 1 1 + e − y − 3.8171 15.6066 (12) f ( y ) = e − y − 3.8171 15.6066 15.6066 ( 1 + e − y − 3.8171 15.6066 ) 2 (13) 3.2. Copula函数构造联合分布 根据得到的锦西入库径流预报误差服从的t分布、九龙河区间入流径流预报误差服从的logistic分布采用copula函数构造联合分布。 为了研究两条径流预报误差的相关性，采用t检验进行检验。计算锦西入库(x)和九龙河区间入流(y)两条径流预报误差序列的相关系数r，其计算公式如下： r = ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) ( y i − y ¯ ) ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 2 ∑ i = 1 n ( y i − y ¯ ) 2 = n ∑ i = 1 n x i y i − ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n x i 2 − ( ∑ i = 1 n x i ) 2 ⋅ n ∑ i = 1 n y i 2 − ( ∑ i = 1 n y i ) 2 (14) 通过计算可以得到r = 0.1423，然后根据t检验构造统计量见式(15)： t = r n − 2 1 − r 2 (15) 指定置信度 α = 0.1 ，由t分布表中查得临界值 t α = 1.288 ，由(15)计算得到 t = 3.76 > t α ，所以，可以认为x和y不独立，即锦西入库和区间入流的径流预报误差两个序列并不独立，具有一定的相关性。 在此基础上选择常用的三种阿基米德Copula函数：GH Copula、Clayton Copula和Frank Copula函数，对两个径流序列构造联合分布。利用Matlab得到三个Copula函数下的联合分布函数图和密度函数图如下，见图3~5。 图3. GH copula的分布函数图和密度函数图 图4. Clayton copula的分布函数图和密度函数图 图5. Frank copula的分布函数图和密度函数图 采用极大似然法估计得到的3个Copula函数的参数，以及采用离差平方和最小准则(OLS)和AIC信息准则法对联合分布的适用性判定的结果见表4。 Table 4 Table of copula function parameter values and applicability judgmen Copula函数 GH copula Clayton copula Frank copula 参数估计值 2.6583 2.1839 15.7759 OLS 0.0147 0.0128 0.0175 AIC −5675.3065 −5862.2452 −5444.6998 表4. Copula函数参数值及适用性判定表 采用OLS和AIC准则值均为最小为判断依据，由表4可以得到，3个Copula函数的拟合情况分别为Clayton copula > GH copula > Frank copula。因此选用Clayton copula构造联合分布，其参数值 θ = 2.1839 ，相应的分布函数和密度函数分别如下式： C C l ( u ， v ; θ ) = ( u − 2.1839 + v − 2.1839 − 1 ) − 1 2.1839 (16) c C l ( u ， v ; θ ) = ( 1 + 2.1839 ) ( u v ) − 2.1839 − 1 ( u − 2.1839 + v − 2.1839 − 1 ) − 2 − 1 2.1839 (17) 式中： u ， v 分别为x和y的边缘分布函数即 F ( x ) ， F ( y ) 。 3.3. 随机模拟 由Clayton copula函数模拟5000次锦西入库和九龙河区间入流的径流预报误差作为模拟值，并计算模拟值与实际值的特征值见表5。 Table 5 Comparison table between the simulated value and the actual value of the forecast error of Jinxi inflow and interval inflo 序列 均值 变差系数 偏差系数 实际值 模拟值 实际值 模拟值 实际值 模拟值 锦西入库 0.5577 0.5048 13.8823 11.4024 −0.1805 −0.2010 区间入流 4.5347 4.7538 6.0612 6.8314 0.2220 0.1837 表5. 锦西入库和区间入流误差模拟值与实际值特征值对比表 由表5可以看出实际值与模拟值相差不大，表明构造的联合分布可以用来模拟梯级水库群中两条径流汇入的预报误差的实际情况，以此来表征整个系统输入的不确定性。将模拟值与预报值叠加，可以产生一系列考虑径流预报误差的模拟值，能得到更接近实际的来水径流过程。