system: [SYSTEM]

user: 4. 几种计算态矢量与相位的方法 1) 使用不变量理论， 但不使用幺正变换方法： 我们的讨论是以三生成元哈密顿量体系(磁场中的自旋磁矩粒子)为例。设Lewis-Riesenfeld不变量算符 I ( t ) 空间矢量可以写为 l ( t ) = [ sin λ ( t ) cos γ ( t ) ， sin λ ( t ) sin γ ( t ) ， cos λ ( t ) ] ，那么不变量算符 I ( t ) 可以写为 I ( t ) = l ( t ) ⋅ J = 1 2 sin λ ( t ) exp [ − i γ ( t ) ] J + + 1 2 sin λ ( t ) exp [ i γ ( t ) ] J − + cos λ ( t ) J 3 ， 其中算符 J ± = J 1 ± i J 2 。在下面的计算中我们针对自旋1/2的自旋角动量算符( J = σ / 2 = ( σ 1 / 2 ， σ 2 / 2 ， σ 3 / 2 ) ， σ i 为三个泡利矩阵)。众所周知， l ( t ) ⋅ J 的本征值方程 l ( t ) ⋅ J | Ψ ( t ) 〉 I = σ | Ψ ( t ) 〉 I 很容易求解(可见一般量子力学书籍中的自旋章节 [ 55 ] )。如果 J 3 的本征值只有两个( σ = ± 1 / 2 )，那么 l ( t ) ⋅ J 的两个本征态矢量是 | Ψ ( t ) 〉 + = ( cos λ ( t ) 2 sin λ ( t ) 2 e i γ ( t ) ) ， | Ψ ( t ) 〉 − = ( − sin λ ( t ) 2 e − i γ ( t ) cos λ ( t ) 2 ) 。 这组解满足完备性条件： | Ψ ( t ) 〉 + + 〈 Ψ ( t ) | + | Ψ ( t ) 〉 − − 〈 Ψ ( t ) | = I 2 × 2 ( I 2 × 2 是二维单位矩阵)。这个量子系统的哈密顿量算符可以写为 H ( t ) = ℏ ω ( t ) ⋅ J ，其中 ω ( t ) 是含时任意矢量参数， 我们可以取作 ω ( t ) = ω 0 ( t ) [ sin θ ( t ) cos φ ( t ) ， sin θ ( t ) sin φ ( t ) ， cos θ ( t ) ] 。 在矩阵表示下，这个哈密顿量算符可以写为 H ( t ) = 1 2 ℏ ω 0 ( t ) ( cos θ ( t ) e − i φ ( t ) sin θ ( t ) e i φ ( t ) sin θ ( t ) − cos θ ( t ) ) 。 下面我们来计算哈密顿量算符的期待值(在不变量本征态 | Ψ ( t ) 〉 + 下)： + 〈 Ψ ( t ) | H ( t ) | Ψ ( t ) 〉 + = 1 2 ℏ ω 0 ( t ) ( cos λ ( t ) 2 sin λ ( t ) 2 e − i γ ( t ) ) ( cos θ ( t ) e − i φ ( t ) sin θ ( t ) e i φ ( t ) sin θ ( t ) − cos θ ( t ) ) ( cos λ ( t ) 2 sin λ ( t ) 2 e i γ ( t ) ) = 1 2 ℏ ω 0 ( t ) [ cos θ ( t ) cos λ ( t ) + sin θ ( t ) sin λ ( t ) cos ( γ − φ ) ] 。 不变量本征态 | Ψ ( t ) 〉 + 的时间导数是 ∂ ∂ t | Ψ ( t ) 〉 + = ∂ ∂ t ( cos λ ( t ) 2 sin λ ( t ) 2 e i γ ( t ) ) = ( − λ ˙ ( t ) 1 2 sin λ ( t ) 2 λ ˙ ( t ) 1 2 cos λ ( t ) 2 e i γ ( t ) + i γ ˙ ( t ) sin λ ( t ) 2 e i γ ( t ) ) 。 这样， + 〈 Ψ ( t ) | ∂ ∂ t | Ψ ( t ) 〉 + 等于 + 〈 Ψ ( t ) | ∂ ∂ t | Ψ ( t ) 〉 + = ( cos λ ( t ) 2 sin λ ( t ) 2 e − i γ ( t ) ) ( − λ ˙ ( t ) 1 2 sin λ ( t ) 2 λ ˙ ( t ) 1 2 cos λ ( t ) 2 e i γ ( t ) + i γ ˙ ( t ) sin λ ( t ) 2 e i γ ( t ) ) = i γ ˙ ( t ) sin 2 λ ( t ) 2 = i 2 γ ˙ ( t ) ( 1 − cos λ ( t ) ) 。 于是含时Schrödinger方程(对应不变量本征态 | Ψ ( t ) 〉 + )的解的相位变化率是 + 〈 Ψ ( t ) | H ( t ) | Ψ ( t ) 〉 + − i ℏ + 〈 Ψ ( t ) | ∂ ∂ t | Ψ ( t ) 〉 + = 1 2 ℏ ω 0 ( t ) [ cos θ ( t ) cos λ ( t ) + sin θ ( t ) sin λ ( t ) cos ( γ − φ ) ] + 1 2 ℏ γ ˙ ( t ) ( 1 − cos λ ( t ) ) 。 我们也可以求解哈密顿量的另一个期待值(在不变量算符另一个本征态 | Ψ ( t ) 〉 − 下)以及Schrödinger方程的解的相位，这个相位是上述情形相位的−1倍(过程略)。 2) 使用幺正变换方法 [ 26 ]，但避用Baker-Campbell-Hausdorff公式： 下面的式子对于我们的计算用处很大，所以我们先列出来： exp ( i n ⋅ σ θ ) = cos θ + i n ⋅ σ sin θ = ( cos θ + i n 3 sin θ i ( n 1 − i n 2 ) sin θ i ( n 1 + i n 2 ) sin θ cos θ − i n 3 sin θ ) ， 其中单位矢量 n 满足： n ⋅ n = n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 = 1 。 我们来考虑一个如下的幺正变换(这是与不变量有关的幺正变换 [ 26 ] ) exp [ α ( σ 1 + i σ 2 ) − α * ( σ 1 − i σ 2 ) ] = exp { i [ 1 i ( α − α * ) σ 1 + ( α + α * ) σ 2 ] } 。与上面的式子比较，我们可以得到 n 1 θ = 1 i ( α − α * ) ， n 2 θ = α + α * ， n 3 = 0 ，其中 θ = − ( α − α * ) 2 + ( α + α * ) 2 = 2 α * α ， n 1 = − i ( α − α * ) 2 α * α ， n 2 = α + α * 2 α * α 。于是我们得到如下两个关系： n 1 + i n 2 = − i ( α − α * ) 2 α * α + i α + α * 2 α * α = i α * α * α ， n 1 − i n 2 = − i ( α − α * ) 2 α * α − i α + α * 2 α * α = − i α α * α 。 这样 exp [ α ( σ 1 + i σ 2 ) − α * ( σ 1 − i σ 2 ) ] 可以写为矩阵形式 exp [ α ( σ 1 + i σ 2 ) − α * ( σ 1 − i σ 2 ) ] = ( cos θ i ( n 1 − i n 2 ) sin θ i ( n 1 + i n 2 ) sin θ cos θ ) = ( cos ( 2 α * α ) α α * α sin ( 2 α * α ) − α * α * α sin ( 2 α * α ) cos ( 2 α * α ) ) 。 我们因此可以定义：取 λ 为正数，且将 α * 、 α 参数化，即 α = − λ 4 e − i γ ， α * = − λ 4 e i γ ，我们就有幺正变换 exp [ − λ 2 e − i γ ( σ 1 + i σ 2 2 ) − ( − λ 2 e i γ ) ( σ 1 − i σ 2 2 ) ] = ( cos λ 2 − e − i γ sin λ 2 e i γ sin λ 2 cos λ 2 ) 。 注意不变量算符 [ 24 ] 与哈密顿量算符都是同一组闭合(完备)生成元的线性叠加 [ 26 ]。上面已经选取 λ 与 γ 是不变量算符的参数，即 I ( t ) = l ( t ) ⋅ J = 1 2 sin λ ( t ) exp [ − i γ ( t ) ] J + + 1 2 sin λ ( t ) exp [ i γ ( t ) ] J − + cos λ ( t ) J 3 = 1 2 ( cos λ e − i γ sin λ e i γ sin λ − cos λ ) 。 根据已有经验，在这个问题中，与不变量有关的幺正变换(此问题的幺正变换思想源泉见文献 [ 26 ] )应当就是 V = ( cos λ 2 − e − i γ sin λ 2 e i γ sin λ 2 cos λ 2 ) ， V + = ( cos λ 2 e − i γ sin λ 2 − e i γ sin λ 2 cos λ 2 ) 。 这是一个么正变换算符，满足 V + V = I 2 × 2 (单位矩阵)。 下面我们来计算不变量算符I的幺正变换。计算如下： V + I V = ( cos λ 2 e − i γ sin λ 2 − e i γ sin λ 2 cos λ 2 ) 1 2 ( cos λ e − i γ sin λ e i γ sin λ − cos λ ) ( cos λ 2 − e − i γ sin λ 2 e i γ sin λ 2 cos λ 2 ) = 1 2 ( cos λ 2 e − i γ sin λ 2 − e i γ sin λ 2 cos λ 2 ) ( cos λ cos λ 2 + sin λ sin λ 2 − e − i γ cos λ sin λ 2 + e − i γ sin λ cos λ 2 e i γ sin λ cos λ 2 − e i γ cos λ sin λ 2 − sin λ sin λ 2 − cos λ cos λ 2 ) = 1 2 ( cos λ 2 e − i γ sin λ 2 − e i γ sin λ 2 cos λ 2 ) ( cos λ 2 e − i γ sin λ 2 e i γ sin λ 2 − cos λ 2 ) = 1 2 ( 1 0 0 − 1 ) 由此看出，不变量算符I变为了SU(2)群第三个生成元(此为文献 [ 26 ] 关于改造不变量算符的思想要旨之一)。么正变换将含时不变量I变为了不含时的不变量 V + I V ，并且不变量也被对角化了 [ 26 ]。 哈密顿量H的幺正变换为： H V = V + H V − V + i ℏ ∂ ∂ t V ，其中 V + H V = ( cos λ 2 e − i γ sin λ 2 − e i γ sin λ 2 cos λ 2 ) 1 2 ℏ ω 0 ( t ) ( cos θ e − i φ sin θ e i φ sin θ − cos θ ) ( cos λ 2 − e − i γ sin λ 2 e i γ sin λ 2 cos λ 2 ) = 1 2 ℏ ω 0 ( t ) ( cos λ 2 e − i γ sin λ 2 − e i γ sin λ 2 cos λ 2 ) ( cos θ cos λ 2 + e − i ( φ − γ ) sin θ sin λ 2 − e − i γ cos θ sin λ 2 + e − i φ sin θ cos λ 2 e i φ sin θ cos λ 2 − e i γ cos θ sin λ 2 − e i ( φ − γ ) sin θ sin λ 2 − cos θ cos λ 2 ) = 1 2 ℏ ω 0 ( t ) ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) 其中矩阵元的各个元素为 a 11 = cos λ 2 ( cos θ cos λ 2 + e − i ( φ − γ ) sin θ sin λ 2 ) + e − i γ sin λ 2 ( e i φ sin θ cos λ 2 − e i γ cos θ sin λ 2 ) ， a 12 = cos λ 2 ( − e − i γ cos θ sin λ 2 + e − i φ sin θ cos λ 2 ) + e − i γ sin λ 2 ( − e i ( φ − γ ) sin θ sin λ 2 − cos θ cos λ 2 ) ， a 21 = − e i γ sin λ 2 ( cos θ cos λ 2 + e − i ( φ − γ ) sin θ sin λ 2 ) + cos λ 2 ( e i φ sin θ cos λ 2 − e i γ cos θ sin λ 2 ) ， a 22 = − e i γ sin λ 2 ( − e − i γ cos θ sin λ 2 + e − i φ sin θ cos λ 2 ) + cos λ 2 ( − e i ( φ − γ ) sin θ sin λ 2 − cos θ cos λ 2 ) 进一步可以写为 a 11 = cos θ cos λ + sin θ sin λ cos ( φ − γ ) ， a 12 = − e − i γ cos θ sin λ + e − i γ sin θ ( e − i ( φ − γ ) cos 2 λ 2 − e i ( φ − γ ) sin 2 λ 2 ) ， a 21 = − e i γ cos θ sin λ + e i γ sin θ ( e i ( φ − γ ) cos 2 λ 2 − e − i ( φ − γ ) sin 2 λ 2 ) ， a 22 = − cos θ cos λ − sin θ sin λ cos ( φ − γ ) 矩阵非对角元 a 12 与 a 21 需要特别关心。它们可以写为： a 12 = − e − i γ cos θ sin λ + e − i γ sin θ ( e − i ( φ − γ ) cos 2 λ 2 − e i ( φ − γ ) sin 2 λ 2 ) = − e − i γ cos θ sin λ + e − i γ sin θ ( cos ( φ − γ ) cos 2 λ 2 − i sin ( φ − γ ) cos 2 λ 2     − cos ( φ − γ ) sin 2 λ 2 − i sin ( φ − γ ) sin 2 λ 2 ) = − e − i γ cos θ sin λ + e − i γ sin θ ( cos ( φ − γ ) cos λ − i sin ( φ − γ ) ) ， a 21 = − e i γ cos θ sin λ + e i γ sin θ ( e i ( φ − γ ) cos 2 λ 2 − e − i ( φ − γ ) sin 2 λ 2 ) = − e i γ cos θ sin λ + e i γ sin θ ( cos ( φ − γ ) cos λ + i sin ( φ − γ ) ) 。 我们进一步计算 V + i ∂ ∂ t V (此可以称为“几何相联络”)： V + i ∂ ∂ t V = i ( cos λ 2 e − i γ sin λ 2 − e i γ sin λ 2 cos λ 2 ) ∂ ∂ t ( cos λ 2 − e − i γ sin λ 2 e i γ sin λ 2 cos λ 2 ) = i ( cos λ 2 e − i γ sin λ 2 − e i γ sin λ 2 cos λ 2 ) ( − λ ˙ 2 sin λ 2 i γ ˙ e − i γ sin λ 2 − e − i γ λ ˙ 2 cos λ 2 i γ ˙ e i γ sin λ 2 + e i γ λ ˙ 2 cos λ 2 − λ ˙ 2 sin λ 2 ) = i ( − λ ˙ 2 cos λ 2 sin λ 2 + sin λ 2 ( i γ ˙ sin λ 2 + λ ˙ 2 cos λ 2 ) e − i γ cos λ 2 ( i γ ˙ sin λ 2 − λ ˙ 2 cos λ 2 ) − e − i γ λ ˙ 2 sin 2 λ 2 λ ˙ 2 e i γ sin 2 λ 2 + e i γ cos λ 2 ( i γ ˙ sin λ 2 + λ ˙ 2 cos λ 2 ) − sin λ 2 ( i γ ˙ sin λ 2 − λ ˙ 2 cos λ 2 ) − λ ˙ 2 cos λ 2 sin λ 2 ) = i ( i γ ˙ sin 2 λ 2 i γ ˙ e − i γ cos λ 2 sin λ 2 − e − i γ λ ˙ 2 e i γ λ ˙ 2 + i γ ˙ e i γ cos λ 2 sin λ 2 − i γ ˙ sin 2 λ 2 ) = ( − γ ˙ sin 2 λ 2 − γ ˙ e − i γ cos λ 2 sin λ 2 − i e − i γ λ ˙ 2 i e i γ λ ˙ 2 − γ ˙ e i γ cos λ 2 sin λ 2 γ ˙ sin 2 λ 2 ) 于是 − V + i ∂ ∂ t V 为 − V + i ∂ ∂ t V = ( γ ˙ 1 − cos λ 2 γ ˙ e − i γ 1 2 sin λ + i e − i γ λ ˙ 2 − i e i γ λ ˙ 2 + γ ˙ e i γ 1 2 sin λ − γ ˙ 1 − cos λ 2 ) = 1 2 ( γ ˙ ( 1 − cos λ ) γ ˙ e − i γ sin λ + i e − i γ λ ˙ − i e i γ λ ˙ + γ ˙ e i γ sin λ − γ ˙ ( 1 − cos λ ) ) 那么在幺正变换后的哈密顿量 V + H V − V + i ℏ ∂ ∂ t V 内，矩阵右上角元素为 ℏ [ 1 2 ω 0 ( t ) a 12 + 1 2 ( γ ˙ e − i γ sin λ + i e − i γ λ ˙ ) ] = 1 2 ℏ ω 0 ( t ) [ − e − i γ cos θ sin λ + e − i γ sin θ ( cos ( φ − γ ) cos λ − i sin ( φ − γ ) ) ] + 1 2 ℏ ( γ ˙ e − i γ sin λ + i e − i γ λ ˙ ) 考虑Lewis-Riesenfeld不变量方程 ∂ I ( t ) ∂ t + 1 i ℏ [ I ( t ) ， H ( t ) ] = 0 [ 24 ]，得到一组复杂的非线性方程 λ ˙ = ω 0 ( t ) sin θ sin ( φ − γ ) ， γ ˙ = ω 0 ( t ) [ cos θ − sin θ cot λ cos ( φ − γ ) ] 。 于是我们可以有 γ ˙ e − i γ sin λ + i e − i γ λ ˙ = ω 0 ( t ) [ cos θ − sin θ cot λ cos ( φ − γ ) ] e − i γ sin λ + i e − i γ ω 0 ( t ) sin θ sin ( φ − γ ) = ω 0 ( t ) cos θ e − i γ sin λ − ω 0 ( t ) e − i γ sin θ cos λ cos ( φ − γ ) + i e − i γ ω 0 ( t ) sin θ sin ( φ − γ ) 。 那么可以证明新哈密顿量 V + H V − V + i ℏ ∂ ∂ t V 矩阵右上角元素为零。计算过程如下： 1 2 ω 0 ( t ) a 12 + 1 2 ( γ ˙ e − i γ sin λ + i e − i γ λ ˙ ) = 1 2 ω 0 ( t ) [ − e − i γ cos θ sin λ + e − i γ sin θ ( cos ( φ − γ ) cos λ − i sin ( φ − γ ) ) ] + 1 2 [ ω 0 ( t ) cos θ e − i γ sin λ − ω 0 ( t ) e − i γ sin θ cos λ cos ( φ − γ ) + i e − i γ ω 0 ( t ) sin θ sin ( φ − γ ) ] = 0 。 同理，在新哈密顿量 V + H V − V + i ℏ ∂ ∂ t V 内，矩阵左下角元素也为零。最终我们可以得到幺正变换后的新的哈密顿量为 V + H V − V + i ℏ ∂ ∂ t V = ℏ { ω 0 ( t ) [ cos θ cos λ + sin θ sin λ cos ( φ − γ ) ] + γ ˙ ( 1 − cos λ ) } σ 3 2 。 由此可见，经过么正变换 [ 26 ]，含时哈密顿量变为了一个对角化的简单哈密顿量。 3) 既使用幺正变换方法，也使用Baker-Hausdorff公式： 在用与不变量有关的幺正变换计算动力学相位时，需要用到如下的Baker-Hausdorff公式 [ 61 ] e A B e − A = B + [ A ， B ] + 1 2 ! [ A ， [ A ， B ] ] + 1 3 ! [ A ， [ A ， [ A ， B ] ] ] + ⋯ 对于该公式，很多量子力学教材或者习题集均有证明 [ 61 ]。为了方便读者(尤其为了下面需要继续讲 解的计算几何相联络 − V + i ℏ ∂ ∂ t V 的多种方法)，这里简述如下： 设 F ( α ) = e α A B e − α A ， α 为某个实参数。下面我们计算算符 F ( α ) 的一阶、二阶、三阶关于参数 α 的导数 [ 61 ]： d F ( α ) d α = A e α A B e − α A − e α A B e − α A A = [ A ， F ( α ) ] d 2 F ( α ) d α 2 = [ A ， d F ( α ) d α ] = [ A ， [ A ， F ( α ) ] ] ， d 3 F ( α ) d α 3 = [ A ， [ A ， d F ( α ) d α ] ] = [ A ， [ A ， [ A ， F ( α ) ] ] ] ， ⋯ 我们因此可以利用泰勒级数对 F ( α ) 展开，并将上述结果代入泰勒级数，得到 F ( α ) = ∑ n = 0 ∞ α n n ! d n F ( α ) d α n | α = 0 = B + α 1 ! [ A ， B ] + α 2 2 ! [ A ， [ A ， B ] ] + α 3 3 ! [ A ， [ A ， [ A ， B ] ] ] + ⋯ 最后令 α = 1 ，那么就可以得到上式 [ 61 ]。 值得一提的是，算符B并不仅限于矩阵算符，微分算符其实也是允许的。由于在计算几何相位时， 我们需要计算 F ( α ) = e − α L ∂ ∂ t e α L ，为此我们可以计算如下： 设 V = e L ， V + = e − L ，我定义 F ( α ) = e − α L ∂ ∂ t e α L ( α 是参变量，本身不含时间，时间含在矩阵算符L 内。注意：L与 ∂ L / ∂ t 不对易)。下面我们求出 F ( α ) 的一阶、二阶、三阶导数： d F ( α ) d α = − L e − α L ∂ ∂ t e α L + e − α L ∂ ∂ t ( e α L L ) = − L e − α L ∂ ∂ t e α L + ( e − α L ∂ ∂ t e α L ) L + ∂ L ∂ t = [ e − α L ∂ ∂ t e α L ， L ] + ∂ L ∂ t = [ F ( α ) ， L ] + ∂ L ∂ t ， d 2 F ( α ) d α 2 = [ d F ( α ) d α ， L ] = [ [ F ( α ) ， L ] + ∂ L ∂ t ， L ] = [ [ F ( α ) ， L ] ， L ] + [ ∂ L ∂ t ， L ] ， d 3 F ( α ) d α 3 = [ [ d F ( α ) d α ， L ] ， L ] = [ [ [ F ( α ) ， L ] ， L ] ， L ] + [ [ ∂ L ∂ t ， L ] ， L ] ， ⋯ 当 α 趋近于零时， F ( α ) = e − α L ∂ ∂ t e α L → 0 ，上面结果变为 d F ( α ) d α → ∂ L ∂ t ， d 2 F ( α ) d α 2 → [ ∂ L ∂ t ， L ] ， d 3 F ( α ) d α 3 → [ [ ∂ L ∂ t ， L ] ， L ] ， ⋯ 我们可以利用泰勒级数对 F ( α ) 进行展开，并将上述结果代入泰勒级数，得到： F ( α ) = ∑ n = 0 ∞ α n n ! d n F ( α ) d α n | α = 0 = α 1 ! ∂ L ∂ t + α 2 2 ! [ ∂ L ∂ t ， L ] + α 3 3 ! [ [ ∂ L ∂ t ， L ] ， L ] + ⋯ 最终令 α = 1 ，我们就得到 [ 26 ] e − L ∂ ∂ t e L = ∂ L ∂ t + 1 2 ! [ ∂ L ∂ t ， L ] + 1 3 ! [ [ ∂ L ∂ t ， L ] ， L ] + ⋯ 此公式对于计算几何相位或者几何相位联络十分有必要 [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]。 与不变量有关的幺正变换方法 [ 26 ]，其用途要旨就在于将不变量算符对角化，最终将哈密顿量对角化，从而获得精确解(解析解)。当然，这个精确解的最终获得，还需要求解一套非线性辅助代数方程( λ ˙ 和 γ ˙ 的方程) [在文献 [ 26 ] 中，这类方程被称呼为辅助方程]。由Lewis-Riesenfeld不变量方程 ∂ I ( t ) ∂ t + 1 i ℏ [ I ( t ) ， H ( t ) ] = 0 [ 24 ] 得到的非线性辅助代数方程是 λ ˙ = ω 0 ( t ) sin θ sin ( φ − γ ) ， γ ˙ = ω 0 ( t ) [ cos θ − sin θ cot λ cos ( φ − γ ) ] 。这实际上是将Lewis-Riesenfeld不变量算符方程代数化 [ 26 ]。该辅助代数方程是关于求解Lewis-Riesenfeld不变量算符 I ( t ) 中的含时参数的方程 [ 24 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]。 在计算几何相位时，总是牵涉到计算规范势算符(或几何相联络) e − L ∂ ∂ t e L 。上面实际上已经有两种方法获得 e − L ∂ ∂ t e L 的展开式：第一法是在 e A B e − A 展开式中，将B看作时间导数算符 ∂ ∂ t ，将算符A看作 − L ，再利用 [ ∂ ∂ t ， L ] = ∂ L ∂ t ；第二法是计算 (最终令 α = 1 )。此外，我们还有两种计算规范势算符 e − L ∂ ∂ t e L 的方法，即(第三法)采用按部就班法(不借助任何技巧)，只要把 e − L ∂ ∂ t e L 中的 e L 与 e − L 各自 利用泰勒级数展开至第四、五项，就可以发现各项规律；还有(第四法)验证法，对于SU(2)群结构的量子系统，可以将么正变换 e L 的指数算符写为 L = i n ⋅ σ θ ( σ 为三个泡利矩阵， n 为三维空间中的某个单位矢量)，那么算符 e L = exp ( i n ⋅ σ θ ) = cos θ + i n ⋅ σ sin θ ， e − L = exp ( − i n ⋅ σ θ ) = cos θ − i n ⋅ σ sin θ ，于是将这些结 果代入规范势算符 e − L ∂ ∂ t e L ，很容易计算下去。总之，对于规范势算符(或几何相联络) e − L ∂ ∂ t e L ，我们其实有多种计算方法。 Schrödinger方程对于态矢量 | Ψ 〉 而言，它是线性方程。但是对于态矢量 | Ψ 〉 内的各个分量而言，它就不一定也能说是线性的，这是因为在二态和多态体系中，态矢量内诸分量之间有耦合，且态矢量还要满足归一化约束条件 〈 Ψ | Ψ 〉 = 1 (从一定意义上讲，这种约束条件也代表一种耦合)。所以，线性的Schrödinger方程也可能表现非线性混沌特点，即态矢量对初始数值具有敏感性(微挠能指数发散)。从根本上讲，这种耦合效应，也与不同时刻的哈密顿量不可对易也有关系。确实如此，如上面由Lewis-Riesenfeld不变量方程得到的辅助代数方程 λ ˙ = ω 0 ( t ) sin θ sin ( φ − γ ) ， γ ˙ = ω 0 ( t ) [ cos θ − sin θ cot λ cos ( φ − γ ) ] 就是这样的非线性方程(值得一提的是，即使避用不变量算符方程 [ 24 ]，仅仅使用Schrödinger方程，也可以得到该组方程。下面一节“对简单系统避用不变量理论和么正变换方法”证明了这个结论)。但这组方程在一定条件下也有定态解，如假设哈密顿量参数 φ 线性( φ = ξ t )且 θ = θ 0 (常数)，那么我们就有解 γ = ξ t ， λ = arctan [ sin θ 0 / ( cos θ 0 − ξ / ω 0 ) ] 。但是一旦 θ ≠ θ 0 ，情况就复杂，一般没有解析解，需要依靠数值计算。由于量子计算中涉及二态体系的演化，因此这种由于参数演化所带来的非线性效应值得研究。