system: [SYSTEM]

user: 3. 统一(r， s)相对微分熵的计算 定理3.1：当 r > 0 ， r ≠ 1 ， s = 0 时，在Haar分布的双体纯态上取部分迹所诱导的随机密度矩阵的特征值的联合分布相对于其对角元的联合分布的统一(r， s)相对微分熵为 h r ( p | | ψ ) = ( r − 1 ) − 1 [ r ln C p + ( 1 − r ) ln C ψ + ln I m ( ( 1 − m ) r + n − 1 ， r ) − ln Γ ( m n ) ] 证明： h r ( p | | ψ ) = − ( 1 − r ) − 1 ln ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ p ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ( p ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) / ψ ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ) r − 1 ∏ k = 1 m d λ k ) = ( r − 1 ) − 1 ln ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ p r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ψ 1 − r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ∏ k = 1 m d λ k ) 令 F r ( t ) = ( r − 1 ) − 1 ln ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ δ ( t − ∑ j = 1 m λ j ) p r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ψ 1 − r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ∏ k = 1 m d λ k ) 对 F r ( t ) 应用Laplace变换 ( t → s ) ，则有 F ˜ r ( s ) = ( r − 1 ) − 1 ln ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ exp ( − s ∑ j = 1 m λ j ) p r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ψ 1 − r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ∏ k = 1 m d λ k ) 令 λ k = μ k s ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m C p C q exp ( ∑ i = 1 m μ m ) q ( μ 1 ， ⋯ μ m ) = p ( μ 1 ， ⋯ μ m ) ， p ( μ 1 s ， ⋯ ， μ m s ) = s m − n m p ( μ 1 ， ⋯ ， μ m ) 再由式(1)和式(3)联立得到 p ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) = s m − m n C p ∏ 1 ≤ i < j ≤ m ( μ i − μ j ) 2 ∏ k = 1 m μ k n − m (11) ψ ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) = s m − m n C ψ ∏ j = 1 m μ j n − 1 (12) 则 F ˜ r ( s ) = ( r − 1 ) − 1 ln ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ exp ( − s ∑ j = 1 m λ j ) ( s m − m n C p ∏ 1 ≤ i < j ≤ m ( μ i − μ j ) 2 ∏ k = 1 m μ k n − m ) r ( s m − m n C ψ ∏ j = 1 m μ j n − 1 ) 1 − r ∏ k = 1 m d μ k s ) = ( r − 1 ) − 1 ln ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ s − m n C p r C ψ 1 − r ∏ 1 ≤ i < j ≤ m ( μ i − μ j ) 2 r exp ( − ∑ j = 1 m μ j ) ∏ k = 1 m μ k ( 1 − m ) r + n − 1 d μ k ) = ( r − 1 ) − 1 ln ( s − m n C p r C ψ 1 − r I m ( ( 1 − m ) r + n − 1 ， r ) ) 由于 L − 1 { s − m } ( t ) = t m − 1 Γ ( m ) (13) 所以 L − 1 { s − m n } ( t ) = t m n − 1 Γ ( m n ) (14) F r ( t ) = ( r − 1 ) − 1 ln ( t m n − 1 Γ ( m n ) C p r C ψ 1 − r I m ( ( 1 − m ) r + n − 1 ， r ) ) 那么得到 h r ( p | | ψ ) = F r ( 1 ) = ( r − 1 ) − 1 ln ( C p r C ψ 1 − r Γ ( m n ) I m ( ( 1 − m ) r + n − 1 ， r ) ) = ( r − 1 ) − 1 [ r ln C p + ( 1 − r ) ln C ψ + ln I m ( ( 1 − m ) r + n − 1 ， r ) − ln Γ ( m n ) ] (15) 注1：当 r → 1 时， lim r → 1 h r ( p | | ψ ) = − ln ( ∏ k = 1 m k ! ( n − k ) ! ) − m ψ ( 2 ) + m ln Γ ( n ) − ∑ k = n − m n − 1 ( n − k − 1 ) ψ ( k + 1 ) + ∑ k = 1 m k ψ ( k + 1 ) 证明： 由式(10)得到 ∂ ln I m ( ( 1 − m ) r + n − 1 ， r ) ∂ r | r = 1 = 1 I m ( ( 1 − m ) r + n − 1 ， r ) ∂ I m ( ( 1 − m ) r + n − 1 ， r ) ∂ r | r = 1                                                                               = ( 1 − m ) × ∑ k = 0 m − 1 ψ ( ( 1 − m ) r + n + k r ) − m ψ ( 1 + r )                                                                                   + ∑ k = 1 m − 1 k ψ ( ( 1 − m ) r + n + k r ) + ∑ k = 1 m k ψ ( 1 + k r ) | r = 1                                                                               = ∑ k = 0 m − 1 ( 1 − m + n + k ) × ψ ( 1 − m + n + k ) − m ψ ( 2 ) + ∑ k = 1 m k ψ ( 1 + k ) (16) 把式(2)、式(4)、式(6)、式(8)、式(16)代入式(15)得到 lim r → 1 h r ( p | | ψ ) = ( r − 1 ) − 1 [ r ln C p + ( 1 − r ) ln C ψ + ln I m ( ( 1 − m ) r + n − 1 ， r ) − ln Γ ( m n ) ] = ln C p − ln C ψ + ∂ ln I m ( ( 1 − m ) r + n − 1 ， r ) ∂ r | r = 1 = − ln ( ∏ k = 1 m k ! ( n − k ) ! ) − m ψ ( 2 ) + m ln Γ ( n )     − ∑ k = n − m n − 1 ( n − k − 1 ) ψ ( k + 1 ) + ∑ k = 1 m k ψ ( k + 1 ) 定理3.2：当 r > 0 ， r ≠ 1 ， s = 1 时，在Haar分布的双体纯态上取部分迹所诱导的随机密度矩阵的特征值的联合分布相对于其对角元的联合分布的统一(r， s)相对微分熵为 h r ( p | | ψ ) = ( r − 1 ) − 1 ( C p r C ψ 1 − r Γ ( m n ) I m ( ( 1 − m ) r + n − 1 ， r ) − 1 ) 证明： h r ( p | | ψ ) = − ( 1 − r ) − 1 ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ p ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ( p ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) / ψ ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ) r − 1 ∏ k = 1 m d λ k − 1 ) = ( r − 1 ) − 1 ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ p r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ψ 1 − r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ∏ k = 1 m d λ k − 1 ) 令 F r ( t ) = ( r − 1 ) − 1 ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ δ ( t − ∑ j = 1 m λ j ) p r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ψ 1 − r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ∏ k = 1 m d λ k − 1 ) 对 F r ( t ) 应用Laplace变换 ( t → s ) ，则有 F ˜ r ( s ) = ( r − 1 ) − 1 ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ exp ( − s ∑ j = 1 m λ j ) p r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ψ 1 − r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ∏ k = 1 m d λ k − 1 ) 把式(7)、式(11)、式(12)代入上式得到 F ˜ r ( s ) = ( r − 1 ) − 1 ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ exp ( − s ∑ j = 1 m λ j ) ( s m − m n C p ∏ 1 ≤ i < j ≤ m ( μ i − μ j ) 2 ∏ k = 1 m μ k n − m ) r ( s m − m n C ψ ∏ j = 1 m μ j n − 1 ) 1 − r ∏ k = 1 m d μ k s − 1 ) = ( r − 1 ) − 1 ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ s − m n C p r C ψ 1 − r ∏ 1 ≤ i < j ≤ m ( μ i − μ j ) 2 r exp ( − ∑ j = 1 m μ j ) ∏ k = 1 m μ k ( 1 − m ) r + n − 1 d μ k − 1 ) = ( r − 1 ) − 1 ( s − m n C p r C ψ 1 − r I m ( ( 1 − m ) r + n − 1 ， r ) − 1 ) 把式(14)代入上式得到 F r ( t ) = ( r − 1 ) − 1 ( t m n − 1 Γ ( m n ) C p r C ψ 1 − r I m ( ( 1 − m ) r + n − 1 ， r ) − 1 ) 那么 h r ( p | | ψ ) = F r ( 1 ) = ( r − 1 ) − 1 ( C p r C ψ 1 − r Γ ( m n ) I m ( ( 1 − m ) r + n − 1 ， r ) − 1 ) (17) 注2：当 r → 1 时， lim r → 1 h r ( p | | ψ ) = − ln ( ∏ k = 1 m k ! ( n − k ) ! ) − m ψ ( 2 ) + m ln Γ ( n )     − ∑ k = n − m n − 1 ( n − k − 1 ) ψ ( k + 1 ) + ∑ k = 1 m k ψ ( k + 1 ) 证明： 由式(10)，我们得到 ∂ I m ( ( 1 − m ) r + n − 1 ， r ) ∂ r | r = 1 = I m ( ( 1 − m ) r + n − 1 ， r ) [ ( 1 − m ) × ∑ k = 0 m − 1 ψ ( ( 1 − m ) r + n + k r ) − m ψ ( 1 + r )     + ∑ k = 1 m − 1 k ψ ( ( 1 − m ) r + n + k r ) + ∑ k = 1 m k ψ ( 1 + k r ) ] | r = 1 = I m ( n − m ， 1 ) [ ∑ k = 0 m − 1 ( 1 − m + n + k ) × ψ ( 1 − m + n + k ) − m ψ ( 2 ) + ∑ k = 1 m k ψ ( 1 + k ) ] (18) 把式(2)、式(4)、式(6)、式(8)、式(18)代入式(17)得到 lim r → 1 h r ( p | | ψ ) = [ ln C p C p r C ψ 1 − r I m ( ( 1 − m ) r + n − 1 ， r ) Γ ( m n ) − ln C ψ C p r C ψ 1 − r I m ( ( 1 − m ) r + n − 1 ， r ) Γ ( m n )     + C p r C ψ 1 − r Γ ( m n ) ∂ I m ( ( 1 − m ) r + n − 1 ， r ) ∂ r ] | r = 1 = ln C p − ln C ψ + C p Γ ( m n ) ∂ I m ( ( 1 − m ) r + n − 1 ， r ) ∂ r | r = 1 = − ln ( ∏ k = 1 m k ! ( n − k ) ! ) − m ψ ( 2 ) + m ln Γ ( n ) − ∑ k = n − m n − 1 ( n − k − 1 ) ψ ( k + 1 ) + ∑ k = 1 m k ψ ( k + 1 ) 定理3.3：当 r > 0 ， r ≠ 1 ， s = 1 / r 时，在Haar分布的双体纯态上取部分迹所诱导的随机密度矩阵的特征值的联合分布相对于其对角元的联合分布的统一(r， s)相对微分熵为 h r ( p | | ψ ) = ( 1 − r ) − 1 [ C p C ψ r − 1 Γ ( m n r ) ( I m ( n − 1 − m − 1 r ， 1 r ) ) r − 1 ] 证明： h r ( p | | ψ ) = − ( r − 1 ) − 1 [ ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ p ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ( p ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) / ψ ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ) 1 / r − 1 ∏ k = 1 m d λ k ) r − 1 ] = ( 1 − r ) − 1 [ ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ p 1 / r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ψ 1 − 1 / r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ∏ k = 1 m d λ k ) r − 1 ] 令 F r ( t ) = ( 1 − r ) − 1 [ ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ δ ( t − ∑ j = 1 m λ j ) p 1 / r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ψ 1 − 1 / r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ∏ k = 1 m d λ k ) r − 1 ] 对 F r ( t ) 应用Laplace变换 ( t → s ) ，则有 F ˜ r ( s ) = ( 1 − r ) − 1 [ ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ exp ( − s ∑ j = 1 m λ j ) p 1 / r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ψ 1 − 1 / r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ∏ k = 1 m d λ k ) r − 1 ] 把式(7)、式(11)、式(12) 代入上式得到 F ˜ r ( s ) = ( 1 − r ) − 1 [ ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ exp ( − s ∑ j = 1 m λ j ) ( s m − m n C p ∏ 1 ≤ i < j ≤ m ( μ i − μ j ) 2 ∏ k = 1 m μ k n − m ) 1 / r ( s m − m n C ψ ∏ j = 1 m μ j n − 1 ) 1 − 1 / r ∏ k = 1 m d μ k s ) r − 1 ] = ( 1 − r ) − 1 [ ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ s − m n C p 1 / r C ψ 1 − 1 / r ∏ 1 ≤ i < j ≤ m ( μ i − μ j ) 2 / r exp ( − ∑ j = 1 m μ j ) ∏ k = 1 m μ k n − 1 + ( 1 − m ) / r d μ k ) r − 1 ] = ( 1 − r ) − 1 [ s − m n r C p C ψ r − 1 ( I m ( n − 1 + ( 1 − m ) / r ， 1 / r ) ) r − 1 ] 由式(13)得到 L - 1 { s − m n r } ( t ) = t m n r − 1 Γ ( m n r ) (19) F r ( t ) = ( 1 − r ) − 1 [ t m n r − 1 Γ ( m n r ) C p C ψ r − 1 ( I m ( n − 1 + ( 1 − m ) / r ， 1 / r ) ) r − 1 ] 那么 h r ( p | | ψ ) = F r ( 1 ) = ( 1 − r ) − 1 [ C p C ψ r − 1 Γ ( m n r ) ( I m ( n − 1 + ( 1 − m ) / r ， 1 / r ) ) r − 1 ] (20) 注3：当 r → 1 时， lim r → 1 h r ( p | | ψ ) = − ln ( ∏ k = 1 m k ! ( n − k ) ! ) − m ψ ( 2 ) + m ln Γ ( n ) − ln Γ ( m n ) − m n ψ ( m n )     − ∑ k = n − m n − 1 ( n − k − 1 ) ψ ( k + 1 ) + ∑ k = 1 m k ψ ( k + 1 ) 证明： 令 I m ( α ( r ) ， β ( r ) ) r = y 那么对等式两边取以e为底的对数得到 r ln I m ( α ( r ) ， β ( r ) ) = ln y 再对r求导得到 ln I m ( α ( r ) ， β ( r ) ) + r I m ( α ( r ) ， β ( r ) ) ∂ I m ( α ( r ) ， β ( r ) ) ∂ r = y ′ y y ′ = y [ ln I m ( α ( r ) ， β ( r ) ) + r I m ( α ( r ) ， β ( r ) ) ∂ I m ( α ( r ) ， β ( r ) ) ∂ r ] (21) 由式(21)得到 ∂ ( I m ( n − 1 + ( 1 − m ) / r ， 1 / r ) ) r ∂ r = ( I m ( n − 1 + ( 1 − m ) / r ， 1 / r ) ) r [ ln I m ( n − 1 + ( 1 − m ) / r ， 1 / r )     + r I m ( n − 1 + ( 1 − m ) / r ， 1 / r ) × ∂ I m ( n − 1 + ( 1 − m ) / r ， 1 / r ) ∂ r ] (22) 由式(10)得到 ∂ I m ( n − 1 + ( 1 − m ) / r ， 1 / r ) ∂ r | r = 1 = I m ( n − 1 + ( 1 − m ) / r ， 1 / r ) [ m − 1 r 2 ∑ k = 0 m − 1 ψ ( n + ( 1 − m ) / r + k / r )       − 1 r 2 ∑ k = 1 m − 1 k ψ ( n + ( 1 − m ) / r + k / r ) − 1 r 2 ∑ k = 1 m k ψ ( 1 + k / r ) + 1 r 2 m ψ ( 1 + 1 / r ) ] | r = 1 = I m ( n − m ， 1 ) [ ∑ k = n − m n − 1 ( 1 + k − n ) ψ ( k + 1 ) − ∑ k = 1 m k ψ ( 1 + k ) + m ψ ( 2 ) ] (23) 把式(2)、式(4)、式(6)、式(8)、式(22)、式(23)代入式(20)得到 lim r → 1 h r ( p | | ψ ) = − [ C p C ψ r − 1 ln C ψ Γ ( m n r ) ( I m ( n − 1 + ( 1 − m ) / r ， 1 / r ) ) r     + C p C ψ r − 1 ψ ( m n r ) m n Γ ( m n r ) ( I m ( n − 1 + ( 1 − m ) / r ， 1 / r ) ) r     + C p C ψ r − 1 Γ ( m n r ) ∂ ( I m ( n − 1 + ( 1 − m ) / r ， 1 / r ) ) r ∂ r ] | r = 1 = − [ ln C p − ln C ψ + C p Γ ( m n ) ∂ ( I m ( n − 1 + ( 1 − m ) / r ， 1 / r ) ) r ∂ r ] | r = 1 = − ln ( ∏ k = 1 m k ! ( n − k ) ! ) − m ψ ( 2 ) + m ln Γ ( n ) − ln Γ ( m n ) − m n ψ ( m n )       − ∑ k = n − m n − 1 ( n − k − 1 ) ψ ( k + 1 ) + ∑ k = 1 m k ψ ( k + 1 ) 定理3.4：当 r > 0 ， r ≠ 1 ， s = 0 时，在Haar分布的双体纯态上其对角元的联合分布相对于取部分迹所诱导的随机密度矩阵的联合分布的统一(r， s)相对微分熵为 h r ( ψ | | p ) = ( r − 1 ) − 1 [ r ln C ψ + ( 1 − r ) ln C p + ln I m ( ( m − 1 ) r − m + n ， 1 − r ) − ln Γ ( m n ) ] 证明： h r ( ψ | | p ) = − ( 1 − r ) − 1 ln ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ ψ ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ( ψ ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) / p ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ) r − 1 ∏ k = 1 m d λ k ) = ( r − 1 ) − 1 ln ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ ψ r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) p 1 − r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ∏ k = 1 m d λ k ) 令 F ′ r ( t ) = ( r − 1 ) − 1 ln ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ δ ( t − ∑ j = 1 m λ j ) ψ r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) p 1 − r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ∏ k = 1 m d λ k ) 对 F ′ r ( t ) 应用Laplace变换 ( t → s ) ，则有 F ′ ˜ r ( s ) = ( r − 1 ) − 1 ln ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ exp ( − s ∑ j = 1 m λ j ) ψ r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) p 1 − r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ∏ k = 1 m d λ k ) 把式(7)、式(11)、式(12)代入上式得到 F ′ ˜ r ( s ) = ( r − 1 ) − 1 ln ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ exp ( − s ∑ j = 1 m λ j ) ( s m − m n C p ∏ 1 ≤ i < j ≤ m ( μ i − μ j ) 2 ∏ k = 1 m μ k n − m ) 1 − r ( s m − m n C ψ ∏ j = 1 m μ j n − 1 ) r ∏ k = 1 m d μ k s ) = ( r − 1 ) − 1 ln ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ s − m n C ψ r C p 1 − r ∏ 1 ≤ i < j ≤ m ( μ i − μ j ) 2 ( 1 − r ) exp ( − ∑ j = 1 m μ j ) ∏ k = 1 m μ k ( m − 1 ) r − m + n d μ k ) = ( r − 1 ) − 1 ln ( s − m n C ψ r C p 1 − r I m ( ( m − 1 ) r − m + n ， 1 − r ) ) 把式(14)代入上式得到 F ′ r ( t ) = ( r − 1 ) − 1 ln ( t m n − 1 Γ ( m n ) C ψ r C p 1 − r I m ( ( m − 1 ) r + n − m ， 1 − r ) ) 那么 h r ( ψ | | p ) = F ′ r ( 1 ) = ( r − 1 ) − 1 ln ( C ψ r C p 1 − r Γ ( m n ) I m ( ( m − 1 ) r + n − m ， 1 − r ) ) = ( r − 1 ) − 1 [ r ln C ψ + ( 1 − r ) ln C p + ln I m ( ( m − 1 ) r + n − m ， 1 − r ) − ln Γ ( m n ) ] (24) 注4：当 r → 1 时， lim r → 1 h r ( ψ | | p ) = ln ( ∏ k = 1 m k ! ( n − k ) ! ) − m ln Γ ( n ) + m 2 − m 2 ψ ( n ) + m − m 2 2 ψ (1) 证明： 由式(10)，我们得到 ∂ ln I m ( ( m − 1 ) r + n − m ， 1 − r ) ∂ r | r = 1 = 1 I m ( ( m − 1 ) r + n − m ， 1 − r ) ∂ I m ( ( m − 1 ) r + n − m ， 1 − r ) ∂ r | r = 1                                                                                         = ( m − 1 ) × ∑ k = 0 m − 1 ψ ( ( m − 1 ) r + n − m + 1 + k ( 1 − r ) ) + m ψ ( 1 + ( 1 − r ) )                                                                                               − ∑ k = 1 m − 1 k ψ ( ( m − 1 ) r + n − m + 1 + k ( 1 − r ) ) − ∑ k = 1 m k ψ ( 1 + k ( 1 − r ) ) | r = 1                                                                                         = ( m − 1 ) × m ψ ( n ) − m 2 + m 2 ψ ( 1 ) + m ψ ( 1 ) (25) 把式(2)、式(4)、式(6)、式(8)、式(25)代入式(24)得到 lim r → 1 h r ( ψ | | p ) = ( r − 1 ) − 1 [ r ln C p + ( 1 − r ) ln C ψ + ln I m ( ( m − 1 ) r + n − m ， 1 − r ) − ln Γ ( m n ) ] = ln C ψ − ln C p + ∂ ln I m ( ( m − 1 ) r + n − m ， 1 − r ) ∂ r | r = 1 = ln ( ∏ k = 1 m k ! ( n − k ) ! ) − m ln Γ ( n ) + m 2 − m 2 ψ ( n ) + m − m 2 2 ψ (1) 定理3.5：当 r > 0 ， r ≠ 1 ， s = 1 时，在Haar分布的双体纯态上其对角元的联合分布相对于取部分迹所诱导的随机密度矩阵的联合分布的统一(r， s)相对微分熵为 h r ( ψ | | p ) = ( r − 1 ) − 1 [ C ψ r C p 1 − r Γ ( m n ) I m ( ( m − 1 ) r + n − m ， 1 − r ) − 1 ] 证明： h r ( ψ | | p ) = − ( 1 − r ) − 1 [ ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ ψ ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ( ψ ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) / p ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ) r − 1 ∏ k = 1 m d λ k − 1 ] = ( r − 1 ) − 1 [ ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ ψ r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) p 1 − r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ∏ k = 1 m d λ k − 1 ] 令 F r ′ ( t ) = ( r − 1 ) − 1 [ ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ δ ( t − ∑ j = 1 m λ j ) ψ r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) p 1 − r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ∏ k = 1 m d λ k − 1 ] 对 F r ′ ( t ) 应用Laplace变换 ( t → s ) ，则有 F ˜ r ′ ( s ) = ( r − 1 ) − 1 [ ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ exp ( − s ∑ j = 1 m λ j ) ψ r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) p 1 − r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ∏ k = 1 m d λ k − 1 ] 把式(7)、式(11)、式(12) 代入上式得到 F ˜ r ′ ( s ) = ( r − 1 ) − 1 [ ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ exp ( − s ∑ j = 1 m λ j ) ( s m − m n C p ∏ 1 ≤ i < j ≤ m ( μ i − μ j ) 2 ∏ k = 1 m μ k n − m ) 1 − r ( s m − m n C ψ ∏ j = 1 m μ j n − 1 ) r ∏ k = 1 m d μ k s − 1 ] = ( r − 1 ) − 1 [ ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ s − m n C ψ r C p 1 − r ∏ 1 ≤ i < j ≤ m ( μ i − μ j ) 2 ( 1 − r ) exp ( − ∑ j = 1 m μ j ) ∏ k = 1 m μ k ( m − 1 ) r + n − m d μ k − 1 ] = ( r − 1 ) − 1 [ s − m n C ψ r C p 1 − r I m ( ( m − 1 ) r + n − m ， 1 − r ) − 1 ] 把式(14)代入上式得到 F r ′ ( t ) = ( r − 1 ) − 1 [ t m n − 1 Γ ( m n ) C ψ r C p 1 − r I m ( ( m − 1 ) r + n − m ， 1 − r ) − 1 ] 那么 h r ′ ( ψ | | p ) = F r ′ ( 1 ) = ( r − 1 ) − 1 [ C ψ r C p 1 − r Γ ( m n ) I m ( ( m − 1 ) r + n − m ， 1 − r ) − 1 ] 注5：当 r → 1 时， lim r → 1 h r ( ψ | | p ) = ln ( ∏ k = 1 m k ! ( n − k ) ! ) − m ln Γ ( n ) + m 2 − m 2 ψ ( n ) + m − m 2 2 ψ ( 1 ) (26) 证明： 由式(10)，我们得到 ∂ I m ( ( m − 1 ) r + n − m ， 1 − r ) ∂ r | r = 1 = I m ( ( m − 1 ) r + n − m ， 1 − r ) [ ( m − 1 ) × ∑ k = 0 m − 1 ψ ( ( m − 1 ) r + n − m + 1 + k ( 1 − r ) ) + m ψ ( 2 − r )       − ∑ k = 1 m − 1 k ψ ( ( m − 1 ) r + n − m + 1 + k ( 1 − r ) ) − ∑ k = 1 m k ψ ( 1 + k ( 1 − r ) ) ] | r = 1 = I m ( n − 1 ， 0 ) [ ∑ k = 0 m − 1 ( m − 1 − k ) × ψ ( n ) + m ψ ( 1 ) − ∑ k = 1 m k ( 1 ) ] (27) 把式(2)、式(4)、式(6)、式(9)、式(27)代入式(26)得到 lim r → 1 h r ( ψ | | p ) = [ ln C ψ C ψ r C p 1 − r I m ( ( m − 1 ) r + n − m ， 1 − r ) Γ ( m n ) − ln C p C ψ r C p 1 − r I m ( ( m − 1 ) r + n − m ， 1 − r ) Γ ( m n )     + C ψ r C p 1 − r Γ ( m n ) ∂ I m ( ( m − 1 ) r + n − m ， 1 − r ) ∂ r ] | r = 1 = ln C ψ I m ( n − 1 ， 0 ) Γ m ( n ) − ln C p I m ( n − 1 ， 0 ) Γ m ( n ) + I m ( n − 1 ， 0 ) Γ m ( n ) ∂ I m ( ( m − 1 ) r + n − m ， 1 − r ) ∂ r | r = 1 = ln ( ∏ k = 1 m k ! ( n − k ) ! ) − m ln Γ ( n ) + m 2 − m 2 ψ ( n ) + m − m 2 2 ψ (1) 定理3.6：当 r > 0 ， r ≠ 1 ， s = 1 / r 时，在Haar分布的双体纯态上取部分迹所诱导的随机密度矩阵的特征值的联合分布相对于其对角元的联合分布的统一(r， s)相对微分熵为 h r ( ψ | | p ) = ( 1 − r ) − 1 [ C ψ C p r − 1 Γ ( m n r ) ( I m ( n − m + m − 1 r ， 1 − 1 r ) ) r − 1 ] 证明： h r ( ψ | | p ) = − ( r − 1 ) − 1 [ ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ ψ ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ( ψ ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) / p ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ) 1 / r − 1 ∏ k = 1 m d λ k ) r − 1 ] = ( 1 − r ) − 1 [ ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ ψ 1 / r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) p 1 − 1 / r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ∏ k = 1 m d λ k ) r − 1 ] 令 F ′ r ( t ) = ( 1 − r ) − 1 [ ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ δ ( t − ∑ j = 1 m λ j ) ψ 1 / r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) p 1 − 1 / r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ∏ k = 1 m d λ k ) r − 1 ] 对 F ′ r ( t ) 应用Laplace变换 ( t → s ) ，则有 F ′ ˜ r ( s ) = ( 1 − r ) − 1 [ ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ exp ( − s ∑ j = 1 m λ j ) ψ 1 / r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) p 1 − 1 / r ( λ 1 ， ⋯ ， λ m ) ∏ k = 1 m d λ k ) r − 1 ] 把式(7)、式(11)、式(12)代入上式得到 F ′ ˜ r ( s ) = ( 1 − r ) − 1 [ ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ exp ( − s ∑ j = 1 m λ j ) ( s m − m n C p ∏ 1 ≤ i < j ≤ m ( μ i − μ j ) 2 ∏ k = 1 m μ k n − m ) 1 − 1 / r ( s m − m n C ψ ∏ j = 1 m μ j n − 1 ) 1 / r ∏ k = 1 m d μ k s ) r − 1 ] = ( 1 − r ) − 1 [ ( ∫ 0 ∞ ⋯ ∫ 0 ∞ s − m n C ψ 1 / r C p 1 − 1 / r ∏ 1 ≤ i < j ≤ m ( μ i − μ j ) 2 ( 1 − 1 / r ) exp ( − ∑ j = 1 m μ j ) ∏ k = 1 m μ j n − m + ( m − 1 ) / r d μ k ) r − 1 ] = ( 1 − r ) − 1 [ s − m n r C ψ C p r − 1 ( I m ( n − m + ( m − 1 ) / r ， 1 − 1 / r ) ) r − 1 ] 把式(19)代入上式得到 F ′ r ( t ) = ( 1 − r ) − 1 [ t m n r − 1 Γ ( m n r ) C ψ C p r − 1 ( I m ( n − m + ( m − 1 ) / r ， 1 − 1 / r ) ) r − 1 ] 那么 h r ( ψ | | p ) = F ′ r ( 1 ) = ( 1 − r ) − 1 [ C ψ C p r − 1 Γ ( m n r ) ( I m ( n − m + ( m − 1 ) / r ， 1 − 1 / r ) ) r − 1 ] (28) 注6：当 r → 1 时， lim r → 1 h r ( ψ | | p ) = ln ( ∏ k = 1 m k ! ( n − k ) ! ) − m ln Γ ( n ) − ln Γ ( m n ) − m n ψ ( m n ) + m 2 − m 2 ψ ( n ) + m − m 2 2 ψ (1) 证明： 由式(21)得到 ∂ ( I m ( n − m + ( m − 1 ) / r ， 1 − 1 / r ) ) r ∂ r = ( I m ( n − m + ( m − 1 ) / r ， 1 − 1 / r ) ) r [ ln I m ( n − m + ( m − 1 ) / r ， 1 − 1 / r )     + r I m ( n − m + ( m − 1 ) / r ， 1 − 1 / r ) × ∂ I m ( n − m + ( m − 1 ) / r ， 1 − 1 / r ) ∂ r ] (29) 由式(10)得到 ∂ I m ( n − m + ( m − 1 ) / r ， 1 − 1 / r ) ∂ r | r = 1 = I m ( n − 1 ， 0 ) [ ( 1 − m ) ∑ k = 0 m − 1 ψ ( n ) + ∑ k = 1 m k ψ ( n ) + ∑ k = 1 m k ψ ( 1 ) − m ψ ( 1 ) ] (30) 把式(2)、式(4)、式(6)、式(9)、式(22)、式(29)、式(30)代入式(28)得到 lim r → 1 h r ( ψ | | p ) = − [ C ψ C p r − 1 ln C p Γ ( m n r ) ( I m ( n − m + ( m − 1 ) / r ， 1 − 1 / r ) ) r       + C ψ C p r − 1 ψ ( m n r ) m n Γ ( m n r ) ( I m ( n − m + ( m − 1 ) / r ， 1 − 1 / r ) ) r         + C ψ C p r − 1 Γ ( m n r ) ∂ ( I m ( n − m + ( m − 1 ) / r ， 1 − 1 / r ) ) r ∂ r ] | r = 1 = − ln ( ∏ k = 1 m k ! ( n − k ) ! ) − m ψ ( 2 ) + m ln Γ ( n ) − ln Γ ( m n ) − m n ψ ( m n )         − ∑ k = n − m n − 1 ( n − k − 1 ) ψ ( k + 1 ) + ∑ k = 1 m k ψ ( k + 1 )