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user: 3. 基于圆弧滑动算例的方法验证 选用1987年澳大利亚计算机协会(ACADS)设计的10个标准测试问题中的三个，EX1a，EX1c和EX5c做为测试本文算法可行性的算例 [ 17 ] ，在本文中对应编号为TE1，TE2和TE3。分别为无渗流均质边坡(TE1)、无渗流非均质边坡(TE2)和有自由水面均质边坡(TE3)。文献 [ 17 ] 推荐的TE1，TE2和TE3安全系数参考答案分别为1.00、1.39、1.59。 图5. 单峰值区间的确定 3.1. 经典算例介绍 三个算例几何模型和网格见图6所示，其中TE1和TE2的几何模型相同，并且坡内无渗流；TE3为坡内有自由水面的均质边坡，左侧坡外基坑中水位高程为26.0 m，右侧水位为33.0 m。三个算例模型的网格尺寸均约为1.0 m。在图6中，多段线 和多段线 分别表示圆弧形滑动面滑入点和滑出点的变动区间。 三个算例的土层材料参数分别见表1、表2和表3。 土层材料采用线弹性模型，荷载一次施加，采用有限元计算获得TE1的竖直方向正应力如图7所示，竖直方向正应力大小基本与土层的埋深成正比。由于TE2中土体的容重，与TE1的相差不大，且两个算例中土体的弹性模量和泊松比均相同，因此，采用线弹性模型计算的TE2的应力结果和TE1基本类似。 计算得到TE3稳定渗流情况下的边坡孔隙水压力以及相应的竖向有效正应力等值线分别见图8、图9。 3.2. 下降差分格式有效性验证 对于优化变量范围均为[0， 1]的优化问题，选择一系列均匀分布的初始滑弧是很容易的。各算例分别采用中心差分格式和下降差分格式，选取了4个初始优化点进行优化，其优化轨迹如图10所示。差分步长 取0.01，移动步长 取0.1，收敛误差标准取0.001。由于基于有限元应力结果计算滑弧安全系数时，只需要通过插值即可获得滑弧上的应力，因而与基于条分法的常规极限平衡法相比，搜索过程费时很短。一个搜索路径的计算时间在普通台式机上(主频2.66 GH，内存3.50 GB)小于3 s。图中的安全系数等值线图是根据滑入滑出点归一化坐标 和 按0.01间隔取所有点，通过一维优化基于获得每个点的最小安全系数而绘制的。这些等直线给出了边坡圆弧滑动安全系数的整个信息，是为了帮助理解搜索有效性和效率而单独计算给出的，搜索过程独立于此。采用下降差分格式计算的4个搜索的终点在3个算例中都几乎重合，安全系数分别是0.987，1.365和1.539，与参考答案的比较见表4。而采用中心差分格式计算的No. 2搜索在TE1和TE2中都与其他搜索终止于不同点。其原因将在下节讨论。 3.3. 两种差分格式搜索结果的比较 3个算例两种差分格式搜索结果的比较分别列于表5、表6和表7。下降差分格式不同搜索路径的终点和安全系数都比中心差分格式的结果更靠近。下降差分格式所得安全系数结果的最大差异在TE1、TE2 图6. 三个算例的几何模型和网格(a) TE1，(b) TE2和(c) TE3 图7. TE1的竖直方向正应力(kPa) 图8. TE3的孔隙水压力(kPa) 图9. TE3的竖直方向有效正应力(kPa) 图10. 算例(a) TE1，(b) TE2和TE3中几个起点的搜索路径 Table 1 Geotechnical parameters for TE 20.0 3.0 19.6 1.0 × 10 4 0.25 表1. TE1土层的材料参数表 Table 2 Geotechnical parameters for TE 土层编号 Layer 1 19.5 0.0 38.0 1.0 × 10 4 0.25 Layer 2 19.5 5.3 23.0 1.0 × 10 4 0.25 Layer 3 19.5 7.2 20.0 1.0 × 10 4 0.25 表2. TE2土层的材料参数表 Table 3 Geotechnical parameters for TE 20.0 11.0 28.0 1.5 × 10 4 0.25 5.0 × 10 −8 表3. TE3土层的材料参数表 Table 4 Comparison of the factors of safety by this study and the reference answer 算例 TE1 TE2 TE3 本文 0.987 1.365 1.539 参考答案(Chen， 2003) 1.00 1.39 1.59 表4. 计算所得安全系数与参考答案的比较 Table 5 Comparison of the search results with the two difference schemes in TE 搜索号 下降差分格式 中心差分格式 临界滑动面 ( ， ， h/m) 安全系数 临界滑动面 ( ， ， h/m) 安全系数 No. 1 (0.554， 0.310， 2.674) 0.9880 (0.551， 0.372， 2.314) 1.0096 No. 2 (0.552， 0.311， 2.762) 0.9877 (0.552， 0.653， 1.335) 1.1811 No. 3 (0.552， 0.311， 2.799) 0.9877 (0.551， 0.311， 2.766) 0.9876 No. 4 (0.552， 0.310， 2.803) 0.9872 (0.552， 0.311， 2.802) 0.9875 表5. TE1中2种差分格式搜索结果的比较 Table 6 Comparison of the search results with the two difference schemes in TE 搜索号 下降差分格式 中心差分格式 临界滑动面 ( ， ， h/m) 安全系数 临界滑动面 ( ， ， h/m) 安全系数 No. 1 (0.550， 0.279， 4.822) 1.3650 (0.551， 0.277， 4.914) 1.3656 No. 2 (0.551， 0.280， 4.820) 1.3650 (0.501， 0.477， 1.000) 1.5711 No. 3 (0.553， 0.278， 4.822) 1.3651 (0.552， 0.279， 4.820) 1.3649 No. 4 (0.550， 0.280， 4.820) 1.3650 (0.555， 0.280， 4.817) 1.3659 表6. TE2中2种差分格式搜索结果的比较 和TE3中分别为0.0008，0.0001和0.0000。它们都低于设定的收敛误差0.001。中心差分格式的最大差异在TE1、TE2和TE3中分别为0.1936、0.2062和0.0003。TE1和TE2中分别是给定收敛误差的194和206倍，TE3中则低于收敛误差。 图10中两种差分格式的搜索路径在等值线顺直的部位差异小，而等值线弯曲的部位差异大。下降差分格式中搜索方向近似于等值线梯度方向，而中心差分格式在搜索起点在等值线形成沟谷处则与梯度方向差异很大。如图10(c)中No. 2搜索路径所示，中心差分计算的梯度方向与实际梯度方向误差很大。 TE1和TE2中采用中心差分格式没有找到最小值的No. 2搜索路径终点的搜索信息如图11所示。两个例子中中心差分格式搜索落入一个等高线凹形区域O点，安全系数沿着中心差分格式计算出来的方向安全系数不下降。图中点A，B，C，D和O后面括号里的数字是这些点的安全系数。它们表明TE1中O点不是极值，TE2中O点靠近一个局部极值点。用下降差分格式的搜索路径在TE1中通过了O点附近区域，在TE2中在局部极值点跳出来了搜索得以继续。显然与下降差分格式结合的改进的梯度方法是精确的且有能力跳出局部极值，而与中心差分格式结合则不是精确的，甚至会陷入局部极值。 3.4. 收敛准则的验证 TE1、TE2、TE3几个收敛误差值下最小安全系数分别列于表8、表9和表10。不妨将 等于0.0001的最小计算结果当作真实值，表中括号内的数值为 大于0.0001时的计算误差。不同搜索路径所得结果的误差均小于给定误差标准。表明所给的收敛准则是合适的。 Table 7 Comparison of the search results with the two difference schemes in TE 搜索号 下降差分格式 中心差分格式 临界滑动面 (s 1 ， s 2 ， h/m) 安全系数 临界滑动面 (s 1 ，s 2 ， h/m) 安全系数 No. 1 (0.551， 0.277， 4.310) 1.5395 (0.550， 0.272， 4.323) 1.5398 No. 2 (0.552， 0.278， 4.309) 1.5395 (0.550， 0.277， 4.312) 1.5395 No. 3 (0.551， 0.277， 4.311) 1.5395 (0.551， 0.274， 4.318) 1.5397 No. 4 (0.552， 0.277， 4.311) 1.5395 (0.551， 0.272， 4.322) 1.5398 表7. TE3中2种差分格式搜索结果的比较 Table 8 Comparison of the minimum factors of safety under several convergence standards in TE 搜索号 最小安全系数(误差) ε = 0.1 ε = 0.01 ε = 0.001 ε = 0.0001 No. 1 0.9875 (0.00) 0.9875 (0.000) 0.9880 (0.0008) 0.98717 No. 2 0.9877 (0.00) 0.9877 (0.001) 0.9877 (0.0005) 0.98718 No. 3 0.9875 (0.00) 0.9875 (0.000) 0.9877 (0.0005) 0.98716 No. 4 0.9873 (0.00) 0.9873 (0.000) 0.9872 (0.0000) 0.98717 表8. TE1中几个收敛标准下的安全系数最小值比较 Table 9 Comparison of the minimum factors of safety under several convergence standards in TE 搜索号 最小安全系数(误差) ε = 0.1 ε = 0.01 ε = 0.001 ε = 0.0001 No. 1 1.3709 (0.01) 1.3655 (0.001) 1.3650 (0.0006) 1.36442 No. 2 1.3715 (0.01) 1.3657 (0.001) 1.3650 (0.0006) 1.36442 No. 3 1.3708 (0.01) 1.3656 (0.001) 1.3651 (0.0006) 1.36442 No. 4 1.3709 (0.01) 1.3656 (0.001) 1.3650 (0.0006) 1.36443 表9. TE2中几个收敛标准下的安全系数最小值比较 Table 1 0 Comparison of the minimum factors of safety under several convergence standards in TE 搜索号 最小安全系数 (误差) No. 1 1.5396 (0.00) 1.5395 (0.000) 1.5395 (0.0000) 1.53945 No. 2 1.5396 (0.00) 1.5395 (0.000) 1.5395 (0.0001) 1.53944 No. 3 1.5394 (0.00) 1.5395 (0.000) 1.5395 (0.0000) 1.53945 No. 4 1.5395 (0.00) 1.5395 (0.000) 1.5395 (0.0000) 1.53945 表10. TE3中几个收敛标准下的安全系数最小值比较 图11. (a) TE1和(b) TE1中No. 2路径中心差分法搜索信息