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user: 3. 公理化模糊集合的数学性质 3.1. 公理化模糊集合的序关系 在下文中，若无特殊说明， U ˜ 均表示论域 U = [ a ， b ] ⊂ ℝ 上的模糊划分， F ( U ˜ ) 表示由 U ˜ 生成的模糊隶属空间。 当用准确的实数表示事物的属性时，我们可以通过实数的自然序关系对事物的属性进行排序，例如两个人的身高，我们可以直接通过身高的数值来进行排序。当使用自然语言表示事物的属性时，我们将自然语言转化为对应的公理化模糊集，公理化模糊集表示了自然语言表示的类，隶属度函数满足严格的公理化定义。我们若需要对相应的属性进行排序，则会涉及到公理化模糊集的序关系。 基于以上背景，我们定义公理化模糊集上的序关系，为了定义模糊集合的序关系，下面我们首先计算同一模糊隶属空间中的模糊集合的数字特征，然后再根据所得到的实数值的自然序对模糊集合进行排序。 定义3.1 设 A ∈ F ( U ˜ ) ，定义A的模糊均值 m v ( A ) 为： m v ( A ) = ∫ a b x u A ( x ) d x ∫ a b u A ( x ) d x 。 在公理化模糊集合的框架下，A的隶属度函数 u A ( x ) 为一个连续函数，我们可以直接计算它的积分来得到这个公理化模糊集的模糊均值。 例3.1 假设四川某地的男子身高范围为 [ 0 ， 3 00 ] ，单位为cm，则在论域 [ 0 ， 3 00 ] 上建立模糊划分，生成 { u A 1 ( x ) ， u A 2 ( x ) ， u A 3 ( x ) } 三个基本模糊隶属度函数，分别代表模糊集{“矮”，“中”，“高”}，图像如图1所示。 μ A 1 ( x ) = { − 1 150 x + 1 ， x ∈ [ 0 ， 150 ] ， 0 ， 其 它 。 μ A 2 ( x ) = { 1 150 x ， x ∈ [ 0 ， 150 ] ， − 1 150 x + 2 ， x ∈ [ 150 ， 300 ] ， 0 ， 其 它 。 μ A 3 ( x ) = { 1 150 x − 1 ， x ∈ [ 150 ， 300 ] ， 0 ， 其 它 。 图1. 身高隶属度函数图 可以计算上述模糊集的模糊均值，计算可得， m v ( A 1 ) = 50 ， m v ( A 2 ) = 150 ， m v ( A 3 ) = 250 。 对于 F ( U ˜ ) 中的元素，我们可以通过模糊均值将公理化模糊集合去模糊化，这个数字特征可以近似看作这个公理化模糊集合所代表的类的精确数字表示。例如在本例子中150可以看作代表中的身高数字。 定义3.2 设 A ， B ∈ F ( U ˜ ) ，定义 F ( U ˜ ) 上的序关系 ≤ 为： A ≤ B 当 且 仅 当 m v ( A ) ≤ m v ( B ) 。 例3.2 在例3.1中，计算出的身高{矮，中，高}的模糊均值为， m v ( A 1 ) = 50 ， m v ( A 2 ) = 150 ， m v ( A 3 ) = 250 于是可知， A 3 ≥ A 2 ≥ A 1 。 3.2. 公理化模糊集合的投影相似度 在计算分量为实数的向量模长时，我们通过模长公式来计算向量的模长，若向量的分量为公理化模糊集合，公理化模糊集合不能直接进行运算，我们可以将公理化模糊集合去模糊化，通过计算模糊均值的方法将公理化模糊集的向量转化为实数向量。 定义3.3 设向量 α 有设向量 α 有 m 个分量，并且向量的分量由公理化模糊集表示，其中 α 表示为 ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x m ) ，令 α ′ = ( m v ( x 1 ) ， m v ( x 2 ) ， ⋯ ， m v ( x m ) ) ， 定义向量 α 的模长 ‖ α ‖ 为： α = α ′ = ∑ j = 1 m ( m v ( x j ) ) 2 ， 有了向量的模长，我们可以继续计算向量的余弦值。 定义3.4 设两个向量 α ， β 有 m 个分量，并且向量的分量由公理化模糊集表示，其中 α 表示为 ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x m ) ， β 表示为 ( y 1 ， y ， 2 ， ⋯ ， y m ) 。令 α ′ = ( m v ( x 1 ) ， m v ( x 2 ) ， ⋯ ， m v ( x m ) ) ； β ′ = ( m v ( y 1 ) ， m v ( y 2 ) ， ⋯ ， m v ( y m ) ) 。 定义向量 α ， β 的余弦值 cos ( α ， β ) 为： cos ( α ， β ) = cos ( α ′ ， β ′ ) = α ′ β ′ α β 。 若两个向量的夹角越小，我们认为这两个向量越接近，但若是两个向量的方向一致，而模长相差很大，则这两个向量的差异也很大。在考虑两个向量的差异值时，我们需要综合考虑向量的模长与余弦值。就产生了投影法。 定义3.5 设两个向量 α ， β 有 m 个分量，并且向量的分量由公理化模糊集表示，其中 α 表示为 ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x m ) ，相应 β 表示为 ( y 1 ， y ， 2 ， ⋯ ， y m ) 。定义向量 α 在向量 β 上的投影 D β ( α ) 为： D β ( α ) = cos ( α ， β ) ‖ α ‖ 。 现有的投影法中，假设两个向量有两个分量 α 、 β ，我们考虑向量 α 相似于向量 β 的程度时，可以通过计算向量 α 投影在向量 β 上的长度来计算，如图2所示。 图2. 向量投影图示 向量 α 投影在向量 β 上的长度越大则向量 α 与 β 的相似程度越高。 现假设有三个向量 α ， β ， γ ，如图3所示， 图3. 向量投影比较 向量 α 投影在向量 β 的长度很长，向量 γ 与向量 β 更接近，我们在考虑两个向量的差异时，通过向量投影到另一向量的长度与被投影向量的模长做差，若是差值越大，则认为向量差异越大。通过这种方法，可知图3中三个向量的差异大小被成功区分。 定义3.6 设两个向量 α ， β 有 m 个分量，并且向量的分量由公理化模糊集表示，其中 α 表示为 ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x m ) ，相应 β 表示为 ( y 1 ， y ， 2 ， ⋯ ， y m ) 。定义向量 α 相似于 β 的相似度 S β ( α ) 为： S β ( α ) = 1 1 + | D β ( α ) − ‖ β ‖ | 。 当且仅当向量 α 投影在向量 β 长度为向量 β 的模长时，相似度为最大值1。 例3.3 若评价某班同学通过同学们的学习成绩和综合成绩来评价，语数外总分学习成绩的范围为[0， 300]，综合成绩的分数范围为[0， 100]，建立学习成绩论域的模糊划分 ( u A 1 ( x ) ， u A 1 ( x ) ， u A 1 ( x ) ) ，分别对应自然语言{差、良、优}，综合成绩论域的模糊划分为 ( u B 1 ( x ) ， u B 2 ( x ) ， u B 3 ( x ) ) ，分别对应自然语言{低，中等，高}。隶属度函数如下所示： μ A 1 ( x ) = { − 1 150 x + 1 ，   x ∈ [ 0 ， 150 ] ， 0 ， 其 它 。 μ A 2 ( x ) = { 1 150 x ， x ∈ [ 0 ， 150 ] ， − 1 150 x + 2 ，   x ∈ [ 150 ， 300 ] ， 0 ， 其 它 。 μ A 3 ( x ) = { 1 150 x − 1 ，   x ∈ [ 150 ， 300 ] ， 0 ， 其 它 。 μ B 1 ( x ) = { − 1 50 x + 1 ，       x ∈ [ 0 ， 50 ] ， 0 ， 其 它 。 μ B 2 ( x ) = { 1 50 x ，     x ∈ [ 0 ， 50 ] ， − 1 50 x + 2 ，     x ∈ [ 50 ， 100 ] ， 0 ， 其 它 。 μ B 3 ( x ) = { 1 50 x − 1 ，     x ∈ [ 50 ， 100 ] ， 0 ， 其 它 。 现有甲、乙、丙三名同学，他们的评价为，甲(优，高)，乙(优，中等)，丙(差，低)，分别甲相似于的程度与丙相似于乙的程度。 S 乙 ( 甲 ) = 1 1 + | D 乙 ( 甲 ) − ‖ 乙 ‖ | = 0.1694 ， S 乙 ( 丙 ) = 1 1 + | D 乙 ( 丙 ) − ‖ 乙 ‖ | = 0.0063 。 从结果来看，甲与乙更加接近，与预期期望一致，证明了投影相似度的有效性。