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user: 2. 新五维超混沌系统的动力学特性分析 2.1. 数学模型 新五维超混沌系统的数学模型如下所示 [ 10 ] d x d t = a ( y − x ) ， d y d t = ( c − a ) x + c y + w − x z ， d z d t = − b z + x y ， d v d t = m w ， d w d t = − y − h v ， (1) 其中， x ， y ， z ， v ， w ∈ ℝ 为系统的状态变量， a = 23 ， b = 3 ， c = 18 ， m = 12 ， h = 4 为新五维超混沌系统(1)的典型参数。 2.2. 对称性 将系统(1)中的x、y、v、w替换为 − x 、 − y 、 − v 、 − w ，可得 d ( − x ) d t = a [ ( − y ) − ( − x ) ] ， d ( − y ) d t = ( c − a ) ( − x ) + c ( − y ) + ( − w ) − ( − x ) z ， d ( + z ) d t = − b z + ( − x ) ( − y ) ， d ( − v ) d t = m ( − w ) ， d ( − w ) d t = − ( − y ) − h ( − v ) ， → d x d t = a ( y − x ) ， d y d t = ( c − a ) x + c y + w − x z ， d z d t = − b z + x y ， d v d t = m w ， d w d t = − y − h v ， 即通过坐标变换 ( x ， y ， z ， v ， w ) → ( − x ， − y ， z ， − v ， − w ) ，系统(1)的数学模型不发生改变，故新五维超混沌系统(1)关于z轴对称。 2.3. 耗散性 新五维超混沌系统(1)满足如下等式 ∇ V = ∂ x ˙ ∂ x + ∂ y ˙ ∂ y + ∂ z ˙ ∂ z + ∂ v ˙ ∂ v + ∂ w ˙ ∂ w = − ( a + b − c ) = − 8 < 0 ， 则新五维超混沌系统(1)是耗散的，系统状态的变化是有界的。 2.4. 平衡点分析 令式(1)的右边为0，可得新五维超混沌系统(1)的平衡状态方程为 a ( y − x ) = 0 ， ( c − a ) x + c y + w − x z = 0 ， − b z + x y = 0 ， m w = 0 ， − y − h v = 0 ， (2) 解方程组(2)，令 x o = y o = b ( 2 c − a ) ， z o = 2 c − a ， v o = − b ( 2 c − a ) h ， 可得新五维超混沌系统(1)共有3个平衡点，分别为 S 1 = ( 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ) ， S 1 = ( 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ) ， S 2 = ( x o ， y o ， z o ， v o ， w o ) ， → S 2 = ( 39 ， 39 ， 13 ， − 39 4 ， 0 ) ， S 3 = ( − x o ， − y o ， z o ， − v o ， − w o ) ， S 3 = ( − 39 ， − 39 ， 13 ， 39 4 ， 0 ) ， 现以平衡点 S 1 = ( 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ) 为例对平衡点处的相关特性进行分析。通过在平衡点 S 1 = ( 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ) 处对系统(1)进行线性化，得其Jacobian矩阵为 J = [ − a a 0 0 0 c − a c 0 0 1 0 0 − b 0 0 0 0 0 0 m 0 − 1 0 − h 0 ] ， 其特征方程为 f ( s ) = ( s + b ) [ s 4 + ( a − c ) s 3 + ( a 2 − 2 a c + m h + 1 ) s 2 + ( a m h + a − c m h ) s + a m h ( a − 2 c ) ] = 0 ， 将 a = 23 ， b = 3 ， c = 18 ， m = 12 ， h = 4 代入上式，求得其特征根分别为 s 1 = − 3.0000 ， s 2 = − 19.9753 ， s 3 = 14.9115 ， s 4 ， 5 = 0.0319 ± 6.9414 j ， 其中， s 1 ， s 2 < 0 ， s 3 > 0 ， Re [ s 4 ， 5 ] > 0 ，有3个位于复平面右半平面的特征根，故平衡点 S 1 = ( 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ) 为一不稳定平衡点。其余2个平衡点的分析方法与此处相同，各平衡点的性质分别如表1中所示。 Table 1 Properties of equilibrium points of the novel 5D hyperchaotic syste 平衡点 Jacobian矩阵的特征根 性质 S 1 = ( 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ) s 1 = − 3.0000 ， s 2 = − 19.9753 ， s 3 = 14.9115 ， s 4 ， 5 = 0.0319 ± 6.9414 j . 不稳定 S 2 = ( 39 ， 39 ， 13 ， − 39 4 ， 0 ) s 1 = − 13.6752 ， s 2 ， 3 = − 0.0096 ± 6.8659 j ， s 3 ， 4 = 2.8472 ± 11.2014 j . 不稳定 S 3 = ( − 39 ， − 39 ， 13 ， 39 4 ， 0 ) 不稳定 表1. 新五维超混沌系统各平衡点的性质 2.5. 初值敏感性 将新五维超混沌系统(1)的状态变量的初值分别设定为 X 01 = ( x 0 ， y 0 ， z 0 ， v 01 ， w 0 ) = ( 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ) 和 X 02 = ( x 0 ， y 0 ， z 0 ， v 02 ， w 0 ) = ( 1 ， 1 ， 1 ， 1.00001 ， 1 ) ，并保持其他条件均不变，利用Matlab数值仿真软件，绘制出新五维超混沌系统(1)在不同初值下的解曲线，如图1中所示。 图1. 新五维超混沌系统(1)在不同初值下的解曲线：(a) t-x；(b) t-y；(c) t-z；(d) t-v；(e) t-w 从图1中可以看出，仅仅是将新五维超混沌系统(1)中v的初值变化了0.01‰，其他条件均保持不变，经过很短的一段时间后，系统解曲线的变化明显，说明新五维超混沌系统(1)具有初值敏感性，而初值敏感性同样也是超混沌运动的一个重要特征。 2.6. 新五维超混沌系统的超混沌吸引子 令新五维超混沌系统(1)的初值为 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ， v 0 ， w 0 ) = ( 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ) ，借由Matlab数值仿真软件，计算出系统的Lyapunov指数分别为 λ 1 = 0.8732 > 0 ， λ 2 = 0.1282 > 0 ， λ 3 = − 0.0013 ≈ 0 ， λ 4 = − 0.5770 < 0 ， λ 5 = − 8.4231 < 0 ， 系统有两个正的Lyapunov指数、一个等于零的Lyapunov指数和两个负的Lyapunov指数，说明此时新五维超混沌系统(1)可产生超混沌运动。由此可计算出新五维超混沌系统(1)的Lyapunov维数 d L 为 d L = j + ∑ i = 1 j λ i | λ j + 1 | = 4 + 0.8732 + 0.1282 + ( − 0.0013 ) + ( − 0.5770 ) 8.4231 = 4.0502 ， (3) 其中， j 是使 ∑ i = 1 j λ i > 0 的最大整数 [ 11 ] 。由式(3)可知，新五维超混沌系统(1)的维数是三维以上的分维数。利用Matlab数值仿真软件，绘制出新五维超混沌系统(1)各相轨迹的曲线，如图2中(a1)~(a10)中所示。 图2. 新五维超混沌系统(1)的数值仿真相轨迹曲线：(a1) x-y；(a2) x-z；(a3) x-v；(a4) x-w；(a5) y-z；(a6) y-v；(a7) y-w；(a8) z-v；(a9) z-w；(a10) v-w 2.7. 小结 由上述分析可知，由于新五维超混沌系统(1)具有耗散性，因此，做超混沌运动的新五维超混沌系统(1)从整体来说是稳定的，吸引子外的一切轨线都要收缩进入到吸引子中。但就局部而言，由于新五维超混沌系统(1)的3个平衡点均是不稳定的平衡点，吸引子内的运动又是不稳定的，相邻轨道要相互排斥而按指数形式分离，从而不具有轨道稳定性且具有初值敏感性。所以，新五维超混沌系统(1)的超混沌吸引子是整体稳定性和局部不稳定性的矛盾结合体 [ 11 ] ，这使得系统的超混沌运动既不同于系统渐近稳定时收敛于某一平衡点，也不同于系统不稳定时的发散运动，而兼具有界性、初值敏感性、自相似性、分数维和遍历性，因此，超混沌吸引子具有复杂结构。