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user: 2. 主要结果的证明 首先介绍有限维空间的Kolmogorov ( n ， δ ) -宽度的相关结论。 令 ℝ m = { x = ( x 1 ， ⋯ ， x m ) | x i ∈ ℝ ， i = 1 ， ⋯ ， m } 。 设 1 ≤ p ≤ ∞ ， x = ( x 1 ， ⋯ ， x m ) ∈ ℝ m ， ‖ x ‖ l p m = { ( ∑ n = 1 m | x n | p ) 1 p ， 1 ≤ p < ∞ max 1 ≤ n ≤ m | x n | ， p = ∞ 则 ‖ ⋅ ‖ l p m 为 ℝ m 上的范数， l p m 表示 ℝ m 按范数 ‖ ⋅ ‖ l p m 所构成的Banach空间。 记 B p m 为 l p m 的单位球，则易知 { e ′ n } n = 1 m 为 l p m 的基，其中 e ′ n = ( 0 ， ⋯ ， 1 ， ⋯ ， 0 ) ∈ ℝ m 引理1 [ 8 ] [ 10 ]：(1)设 1 ≤ p < q ≤ ∞ ， n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ，则 d n ( B p m ， l q m ) = { ( m − n ) 1 q − 1 p ，     0 ≤ n ≤ m 0 ，             n > m 1 ≤ q ≤ 2 ， 2 n ≤ m ， δ ∈ ( 0 ， δ ] ，则有 d n ， δ ( ℝ m ， γ ， l q m ) ≻ ≺ m 1 q − 1 2 m + ln 1 δ . 首先建立离散化定理： 定理2：设 1 ≤ q < p ≤ 2 ， r > 1 q − 1 p ，非负整数序列 { n k } k = 1 ∞ 满足 ，且 ∑ k = 1 ∞ n k ≤ n 。则 d n ， δ ( I p ， q : l p ， r → l q ， μ ) ≻ ≺ ∑ n = 1 ∞ 2 − ( ρ 2 + r ) k d n k ， δ ( I k : ℝ m k → l q m k ， γ m k ) . 为了证明定理2，我们先介绍一些记号：对 ∀ k ∈ ℕ ，其中 ℕ ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ } ，记 S k = { n ∈ ℕ | 2 k − 1 ≤ n < 2 k } ，则 ∀ k ， k ′ ∈ ℕ ，且 k ≠ k ′ ，有 S k ∩ S k ′ = ∅ ， ℕ = ∪ k = 1 ∞ S k ，用 m k 表示 S k 中元素的个数，则 m k = | S k | = 2 k − 1 。 ∀ x = { x n } n = 1 ∞ ∈ l p ，有 x = ∑ n = 1 ∞ x n e n 这里 ，且 { e n } n = 1 ∞ 为 l p ( 1 ≤ p ) ≤ ∞ 的Schauder基。 对于 ∀ k ∈ ℕ ，记 F k = s p a n { e n | n ∈ S k } ，则 dim F n = m k = 2 k − 1 。 令 I k : F k → ℝ m k x = ∑ n ∈ S k x n e n ↦ ∑ j = 1 m x 2 k − 1 + j − 1 ⋅ e ′ 2 k − 1 + j − 1 则 ，有 ‖ x ‖ l p ， r = ( ∑ n ∈ S k | n r ⋅ x n | p ) 1 p ≻ ≺ ( ∑ n ∈ S k | 2 r k ⋅ x n | p ) 1 p = 2 r ⋅ k ( ∑ n ∈ S k | x n | p ) 1 p = 2 r k ‖ I k x ‖ l p m k (1) 且 ‖ x ‖ l p = ( ∑ n ∈ S k | x n | p ) 1 p = ‖ I k x ‖ l p m k (2) 从而 I k 为 l p ∩ F k 到 l p m k 上的等距同构映射。 据Gaussian测度 μ 的定义，在 ℝ m 中赋予标准Guassiam测度 γ = γ m ， γ ( G ) = ( 2 π ) − m 2 ∫ G exp ( − 1 2 ‖ x ‖ 2 2 ) d x 对 ∀ n ∈ S k ，记 ρ > 0 σ n = 〈 c μ e n ， e n 〉 = λ n = n − ρ ， c μ 为所对应特征向量， e k = { 0 ， ⋯ ， 1 ↓ k ， 0 ， ⋯ } 。 则可知： 1 2 k ρ < σ n ≤ 2 ρ 2 k ρ ，   C μ e k = λ k e k 记 σ = 1 2 k ρ ， σ ′ = 2 ρ 2 k ρ 于是 λ k = k − ρ 。 下面我们来估计定理2的上界： 即：设 1 ≤ q < p ≤ 2 ， r > 1 q − 1 p ，n为自然数，则 ∀ δ ∈ ( 0 ， 1 2 ] ，对任意满足条件 0 ≤ n k ≤ m q ， ∑ k = 1 ∞ n k ≤ n ， ∑ k = 1 ∞ δ n ≤ δ 的数列 { n k } ， { δ k } ，这里 ( n k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ) δ k ≥ 0 ，有 d n ， δ ( I p ， γ : l p ， γ → l p μ ) ≪ ∑ k = 1 ∞ 2 − ( p 2 + r ) k d n ， δ ( I k : ℝ m k → l q m k ， γ m k ) 证明： ∀ k ∈ ℕ ， x ∈ B l p ， r ∩ F k ，有 1 ≥ ‖ x ‖ l p ， r ≫ 2 γ k ⋅ ‖ I k x ‖ l p m k ∀ y ∈ F k 由(2)式有 ‖ y ‖ l q = ‖ I k y ‖ l q m k d n k ( B p ， r ∩ F k ， l q ∩ F k ) ≪ 2 − r k ⋅ d n ( B p m k ， l q m k ) 对于 ∀ k ∈ ℕ ，由Kolmogorov- ( n ， δ ) 宽度的定义，可知存在 l q m k 上的一个秩不大于 n k 的恒等算子 I n k ，使得 γ { y ∈ ℝ m k | ‖ I p ， r k y − I n k y ‖ l q m k > 2 − r k d n ， δ ( I k : ℝ m k → l q m k ， γ ) } ≤ δ k 对于 ∀ y ∈ ℝ m k ，有 ‖ I p ， r k y − I n k y ‖ l q m k = ‖ I k I p ， r y − I n k y ‖ q 令 G k = { x ∈ l 2 | ‖ I p ， r k I k − 1 n k x − T n k I k − 1 n k x ‖ q > σ 1 2 2 − r k d n ， δ ( I k : ℝ m k → l q m k ， γ ) } 由Gaussian测度 μ 和标准Gaussian测度 γ 的定义可得 μ ( G k ) = γ m k { y ∈ ℝ m k | ‖ I p ， r k ( y 2 k − 1 σ 2 k − 1 1 2 ， ⋯ ， y 2 k − 1 σ 2 k − 1 1 2 ) − I n k ( y 2 k − 1 σ 2 k − 1 1 2 ， ⋯ ， y 2 k − 1 σ 2 k − 1 1 2 ) ‖ l q m k > σ 1 2 2 − r k d n k ， δ k ( I k : ℝ n k → l q m k ， γ m k ) } ≤ v { y ∈ ℝ m k | ‖ I p ， r k ( y 2 k − 1 ， ⋯ ， y 2 k − 1 ) − I n k ( y 2 k − 1 σ 1 2 ， ⋯ ， y 2 k − 1 σ 1 2 ) ‖ l q m k > σ 1 2 2 − r k d n k ， δ k ( I k : ℝ m k → l q m k ， v m k ) } ≤ δ k 令 G = ∪ k G k ， I n = ∑ k I n k ，则 μ ( G ) ≤ ∑ k μ ( G k ) ≤ ∑ k δ k ≤ δ r a n k   I n ≤ n 从而有： d n ， δ ( I p ， r : l p → l q ， μ ) ≪ sup x ∈ l p / G ‖ I p ， r x − I n x ‖ q ≪ sup x ∈ { n k x } / { G k } ∑ k ‖ I p ， r ， k I k − 1 n k x − I n k I k − 1 n k x ‖ q ≪ ∑ k = 1 ∞ sup x ∈ { n k x } / G k ‖ I p ， r ， n k I k − 1 n k x − I n k I k − 1 n k x ‖ ≪ ∑ k = 1 ∞ 2 − ( r + ρ 2 ) k ⋅ d n ， δ ( I k : ℝ m k → l q m k ， γ m k ) 现在，我们再来估计定理2的下界： 即：设 1 ≤ q ≤ 2 ， δ ∈ ( 0 ， 1 2 ] ， r > 1 q − 1 p ， n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ，则有 d n ， δ ( I ρ ， γ : l p ， r → l q ， μ ) ≫ 2 − ( ρ 2 + γ ) k ⋅ d n ， δ ( I k : ℝ m k → l q m k ， γ m k ) 其中 n ≻ ≺ 2 k ≫ 2 n 。 证明： ∀ x ∈ B p m k ， 1 ≥ ‖ x ‖ l p m k ≥ 2 r k ‖ I k − 1 x ‖ l p ， r ，对 ∀ y ∈ l q m k ，则有 ‖ y ‖ l p m k = ‖ I k − 1 y ‖ l q 由 I p 为 F k ∩ l 2 到 l q 上的恒等算子，有 μ { x ∈ F k ∩ l 2 : ‖ I p x − y ‖ > 2 r k d n ， δ } ≤ δ 其中 d n ， δ = d n ， δ ( I p ， r : l p ， r → l q ， μ ) 。 设 G ′ k = { y ∈ ℝ m k | ‖ I p ， k y − I n k y ‖ l q m k > σ ′ − 1 2 2 r k d n ， δ } ，则有 γ ( G k ′ ) = γ { y ∈ ℝ m k | ‖ I p ， k y − I k I n k I k − 1 y ‖ l q m k > σ ′ 1 2 2 r k d n ， δ } = γ { y ∈ ℝ m k | ‖ I p ， k y σ ′ 1 2 − I k I n k I k − 1 y ⋅ σ ′ − 1 2 ‖ l q m k > 2 r k d n ， δ } ≤ γ { y ∈ ℝ m k | ‖ I p ， k ( y 2 k − 1 σ ′ − 1 2 ， ⋯ ， y 2 k − 1 σ ′ − 1 2 ) − I k I n k I k − 1 ( y 2 k − 1 σ ′ − 1 2 ， ⋯ ， y 2 k − 1 σ ′ − 1 2 ) ‖ l q m k > 2 r k d n ， δ } = μ { x ∈ F k ∩ l q m k : ‖ I p x − y ‖ q > 2 r k d n ， δ } ≤ δ 所以 d n ， δ ( I p ， k : ℝ m k → l q m k ， γ m k ) ≤ sup y ∈ ℝ m k / G ′ k ‖ I p ， k y − I n k y ‖ l q m k ≪ 2 ( ρ 2 + r ) k d n ， δ 即： d n ， δ ( I p ， r : l p ， r → l q ， γ ) ≥ 2 − ( ρ 2 + r ) k ⋅ d n ， δ ( I k : ℝ m k → l q m k ， γ m k ) 综上可知，定理2得证。 有了离散化定理2，下面我们来证明本文的主定理即定理1。 证明：首先建立数列： n k = { m k   k ≤ k ′ [ 2 β ( k − k ′ ) ⋅ n ]   k > k ′ ， δ = { 0   k ≤ k ′ 2 k − k ′ δ   k > k ′ 其中 k ′ = [ log 2 n ] + 1 且 0 < β < ρ − 1 q ，则 ∑ k = 1 ∞ n k ≪ ∑ 0 < k ≤ k ′ 2 k − 1 + n ∑ k > k ′ 2 β ( k ′ − k ) ≪ n ∑ k = 1 ∞ δ k ≪ δ ∑ k > k ′ 2 k ′ − k ≪ δ 下面我们来证明定理1的上界： d n ， δ ( I p ， r : l p ， r → l q ， μ ) ≪ ∑ k = 1 ∞ 2 − ( ρ 2 + r ) k ⋅ d n ， δ ( I k : ℝ m k → l q m k ， γ m k ) ≪ ∑ k > k ′ 2 − ( ρ 2 + r ) k ⋅ [ m k 1 q ( ( 1 + 1 n k ln 1 δ k ) ln e m k n k ) ] 1 2 ≪ ∑ k > k ′ 2 − ( ρ 2 + r ) k ⋅ [ m k 1 q ( ln e m k n k ) 1 2 ] + [ ∑ k > k ′ 2 − ( ρ 2 + r ) k m 1 q ⋅ 1 n k ln 1 δ k ln e m k n k ] 1 2 ≪ 2 k ′ ( − ρ 2 − r + 1 q ) ⋅ 2 ( − ρ 2 − r + 1 q ) + 2 k ′ ( − ρ 2 − r + 1 q ) 1 n ln 1 δ ≪ n − ( − ρ − 1 2 − r + 1 q − 1 2 ) 1 + 1 n ln 1 δ = n − ρ 2 − r + 1 q 1 + 1 n ln 1 δ 即得到定理的上界 下面再来证明主定理1的下界： 设 k = [ log 2 n ] + 3 ，则 m k ≥ 2 n ，且 2 k ≫ n 于是 d n ， δ ( I p ， r : l p ， r → l q ， μ ) ≥ 2 − ( ρ 2 + r ) k ⋅ d n k ， δ k ( I k : ℝ m k → l q m k ， γ m k ) ≫ 2 − ( ρ 2 + r ) k ⋅ m k 1 q 1 + ( 1 m k ) ln 1 δ k ≫ 2 − ( ρ 2 + r ) k + k q ⋅ 1 + ( 1 n ) ln 1 δ ≫ n − ρ 2 − r + 1 q ⋅ 1 + 1 n ln 1 δ 于是得到 d n ， δ ( I p ， r : l p ， r → l q ， μ ) ≻ ≺ n − ρ 2 − r + 1 q 1 + 1 n ln 1 δ . 综上可知，定理1得证。