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user: 2. 三类统计预测模型 在本节中，我们将给出单变量灰色预测模型、多项式趋势曲线模型和指数曲线模型的具体建模步骤。 2.1. 单变量灰色预测模型 设原始数据为 X ( 0 ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) ， x ( 0 ) ( 2 ) ， ⋯ ， x ( 0 ) ( n ) ) ，其中数据 x ( 0 ) ( k ) ≥ 0 ， k ≥ 1 ，则称 X ( 1 ) = ( x ( 1 ) ( 1 ) ， x ( 1 ) ( 2 ) ， ⋯ ， x ( 1 ) ( n ) ) 为序列 X ( 0 ) 的一次累加生成序列，其中有关系表达式 x ( 1 ) ( k ) = ∑ i = 1 k x ( 0 ) ( k ) ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，称 d x ( 1 ) ( t ) d t + a x ( 1 ) ( t ) = b ， (1) 为灰色GM(1，1)模型的白化方程。进一步，称 x ( 0 ) ( k ) + a z ( 1 ) ( k ) = b ， (2) 为灰色GM(1，1)模型的离散差分形式，其中 z ( 1 ) ( k ) = 0.5 x ( 1 ) ( k − 1 ) + 0.5 x ( 1 ) ( k ) 。 由灰色GM(1，1)模型的白化方程，可以得到模型的时间响应函数和还原值的表达式为 x ^ ( 1 ) ( k ) = [ x ( 0 ) ( 1 ) − b a ] e − a ( k − 1 ) + b a ，     k = 1 ， 2 ， … ， (3) x ^ ( 0 ) ( k ) = e a − 1 a ( b − x ( 0 ) ( 1 ) ) e − a ( k − 1 ) ，     k = 1 ， 2 ， … 。(4) 由灰色GM(1，1)模型的离散差分形式，可以推导模型参数的矩阵表达式为 ( a b ) = ( B T B ) − 1 B T Y ， (5) 其中 B = ( − z ( 1 ) ( 2 ) 1 − z ( 1 ) ( 3 ) 1 ⋮ ⋮ − z ( 1 ) ( n ) 1 ) ， Y = ( x ( 0 ) ( 2 ) x ( 0 ) ( 3 ) ⋮ x ( 0 ) ( n ) ) 。 2.2. 多项式趋势曲线模型 由文献 [ 20 ] 的13章可知，多项式趋势曲线模型的一般形式为 x ( 0 ) ( t ) = a k t k + a k − 1 t k − 1 + ⋯ + a 1 t + a 0 ， (6) 其中 a k ≠ 0 。对参数 a k ， a k − 1 ， ⋯ ， a 0 的具体表达式可采用分段求和的思想给出。具体做法是：把用于建模的时间序列分成相等的 ( k + 1 ) 个数组，每个组有m项，即用于建模的数据量为 ( k + 1 ) m 。根据趋势值 x ^ ( 0 ) ( t ) 的 ( k + 1 ) 个局部总和分别等于原序列观察值 x ( 0 ) ( t ) 的 ( k + 1 ) 个局部总和来确定参数 a k ， a k − 1 ， ⋯ ， a 0 。记观察值的 ( k + 1 ) 个局部总和分别为 S 1 ， S 2 ， ⋯ ， S k + 1 ，得 S i = ∑ t = ( i − 1 ) m + 1 i m x ( 0 ) ( t ) ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k + 1 。 (7) 于是，得到如下方程 { S 1 = a k ∑ t = 1 m t k + a k − 1 ∑ t = 1 m t k − 1 + ⋯ + a 1 ∑ t = 1 m t + a 0 m S 2 = a k ∑ t = m + 1 2 m t k + a k − 1 ∑ t = m + 1 2 m t k − 1 + ⋯ + a 1 ∑ t = m + 1 2 m t + a 0 m                 ⋮ S k + 1 = a k ∑ t = k m + 1 ( k + 1 ) m t k + a k − 1 ∑ t = k m + 1 ( k + 1 ) m t k − 1 + ⋯ + a 1 ∑ t = k m + 1 ( k + 1 ) m t + a 0 m . (8) 通过求解矩阵方程(8)，即可得到参数 a k ， a k − 1 ， ⋯ ， a 0 的值，然后代入多项式趋势曲线方程即可对数据进行拟合、预测。 · 当 k = 1 时，求解线性趋势曲线 x ( 0 ) ( t ) = a 1 t + a 0 参数的表达式。首先，有 { S 1 = a 1 ∑ t = 1 m t + a 0 m ， S 2 = a 1 ∑ t = m + 1 2 m t + a 0 m . (9) 通过对方程(9)的求解得到， { a 1 = S 2 − S 1 m 2 ，           a 0 = S 1 m − ( m + 1 ) ( S 2 − S 1 ) 2 m 2 . (10) · 当 k = 2 时，求解线性趋势曲线 x ( 0 ) ( t ) = a 2 t 2 + a 1 t + a 0 参数的表达式。首先，有 { S 1 = a 2 ∑ t = 1 m t 2 + a 1 ∑ t = 1 m t + a 0 m ， S 2 = a 2 ∑ t = m + 1 2 m t 2 + a 1 ∑ t = m + 1 2 m t + a 0 m ， S 3 = a 2 ∑ t = 2 m + 1 3 m t 2 + a 1 ∑ t = 2 m + 1 3 m t + a 0 m . (11) 通过对方程(11)的求解得到， a 2 = ( 6 S 1 − 6 S 3 ) m ( 3 m + 1 ) − ( 6 S 1 − 6 S 2 ) m ( 5 m + 1 ) − 6 m ( m + 1 ) ( S 2 − S 3 ) 2 m 3 ( − 12 m 2 + m + 1 ) ， a 1 = 2 m ( S 1 − S 2 ) ( 38 m 2 + 15 m + 1 ) − 2 m ( S 1 − S 3 ) ( 14 m 2 + 9 m + 1 ) 2 m 3 ( − 12 m 2 + m + 1 )     + 4 m ( S 2 − S 3 ) ( m + 1 ) ( m + 1 2 ) 2 m 3 ( − 12 m 2 + m + 1 ) ， a 0 = − m [ S 1 ( 3 m + 1 ) − S 2 ( m + 1 ) ] ( 38 m 2 + 15 m + 1 ) 2 m 4 ( − 12 m 2 + m + 1 ) + m [ S 1 ( 5 m + 1 ) − S 3 ( m + 1 ) ] ( 14 m 2 + 9 m + 1 ) 2 m 4 ( − 12 m 2 + m + 1 )     − 2 m 2 [ S 2 ( 5 m + 1 ) − S 3 ( 3 m + 1 ) ] ( m + 1 ) ( m + 1 2 ) 2 m 4 ( − 12 m 2 + m + 1 ) 。 2.3. 指数曲线模型 当现象的长期趋势每期大体按照相同的增长速度递增或递减变化时，可用指数曲线模型进行拟合。由文献 [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]，经典的指数曲线方程为 x ( 0 ) ( t ) = a b t 。 (12) 为了估计参数a，b，一般首先将方程(12)两端取对数，得 ln x ( 0 ) ( t ) = ln a + t ln b 。 (13) 然后运用最小二乘法和方程(13)，得到如下方程 { ∑ ln x ( 0 ) ( t ) = n ln a + ( ∑ t ) ln b ∑ t ln x ( 0 ) ( t ) = ( ∑ t ) ln a + ( ∑ t 2 ) ln b   ， (14) 估计出参数 ln a 和 ln b ，再取反对数，即可得到参数a、b的估计值。 2.4. 模型精度的评价准则 在预测模型研究中，有许多评价模型精度的准则，其中百分比误差、平均绝对百分比误差、均方根误差是常用的评价准则，其表达式如下。 · 百分比误差(APE) APE ( k ) = | 1 − x ^ ( 0 ) ( k ) x ( 0 ) ( k ) | × 100 % ，   k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。(15) · 平均绝对百分比误差(MAPE) MAPE = 1 n − 1 ∑ k = 2 n | 1 − x ^ ( 0 ) ( k ) x ( 0 ) ( k ) | × 100 % ， (16) · 均方根误差(RMSPE) RMSPE = 1 n − 1 ∑ k = 2 n ( 1 − x ^ ( 0 ) ( k ) x ( 0 ) ( k ) ) 2 × 100 % 。 (17)