system: [SYSTEM]

user: 3. 定理及其证明 对给定的工件序列 L = { J 1 ， J 2 ， ⋯ ， J n } ，我们首先给出下面的基本不等式： C max OPT ( L ) ≥ max { ∑ j = 1 n p j m + s − 1 ， r j + p j s | j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n } 引理1: 。 证明：由基本不等式知有 r i + p i s ≤ C max OPT ( L ) ， U i ≤ r n ，所以有 U i ≤ C max OPT ( L ) − p n s 。 定理 2：如果 s 1 = s 2 = ⋯ = s m − 1 = 1 ， s m = s > 1 ，则实时在线LS算法有性能比： C max LS ( L ) C max OPT ( L ) ≤ { 2 ，                                                                                                                                                                                                                                                                 s ≤ m − 1 m − 2 1 + m − 1 m + s − 1 min { 3 ， s } ，                                                                   m − 1 m − 2 < s ≤ m − 1 2 + m − 1 m + s − 1 ，                                                                                                                                                                     s > m − 1 证明：我们不妨设J n 的完工时间即为 C max LS ( L ) ，由LS算法，我们有 s H m + p n ≥ s C max LS ( L ) ， H i + p n ≥ C max LS ( L ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 所以 ( m + s − 1 ) C max LS ( L ) ≤ s H m + p n + ( m − 1 ) ∑ i = 1 m − 1 ( H i + p n ) = ∑ j = 1 n p n + ∑ i = 1 m − 1 U i + s U m + ( m − 1 ) p n ≤ ( m + s − 1 ) C max OPT ( L ) + ( m + s − 1 ) ( C max OPT ( L ) − p n s ) + ( m − 1 ) p n = 2 ( m + s − 1 ) C max OPT ( L ) + s ( m − 1 ) − ( s + m − 1 ) s p n 上面第二个不等式由引理1得。 当 s ( m − 1 ) ≤ s + m − 1 时 ( m + s − 1 ) C max LS ( L ) ≤ 2 ( m + s − 1 ) C max OPT ( L ) 即有： C max LS ( L ) C max OPT ( L ) ≤ 2 当 s ( m − 1 ) > s + m − 1 时，由于 C max OPT ( L ) > p n s ，所以有 因而得到 C max LS ( L ) C max OPT ( L ) ≤ { 2 ，                                                                                                                                                 s ≤ m − 1 m − 2 1 + s ( m − 1 ) m + s − 1 ，                                                           s > m − 1 m − 2 (2) 下面我们假设工件t′是最后一个被 LS 算法安排在机器M m 上加工但在OPT算法下没有安排在M m 上的工件的长度。如果这样的t′不存在，则有 H m ≤ C max OPT ( L ) 。如果J n 在OPT算法下安排在机器M m 上，则有 C max LS ( L ) ≤ H m + p n s ≤ C max OPT ( L ) 。 否则J n 在OPT算法下安排在某一机器 M i ( i ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 } ) 上，这时有 p n ≤ C max OPT ( L ) ，并且 C max LS ( L ) ≤ H m + p n s ≤ C max OPT ( L ) + C max OPT ( L ) s ≤ 2 C max OPT ( L ) 。 现在我们假设存在这样的t′，设 S U C ( t ′ ) 表示工件t′之后在机器M m 上加工的工件总长度。显然 S U C ( t ′ ) ≤ s C max OPT ( L ) 且 t ′ ≤ C max OPT ( L ) 。假设在LS算法下工件t′之后M m 上还有空闲，则在OPT算法下从M m 移走工件t′之后不会改变M m 的完工时间，所以 H m ≤ C max O P T ( L ) 。分别讨论最优算法里J n 安排在机器M m 上与不在机器M m 上，我可以用t′不存在时同样的方法可得 C max LS ( L ) ≤ 2 C max OPT ( L ) 。 假设在LS算法下工件t′之后M m 上没有空闲，由LS算法知 H i + t ′ ≥ H m − S U C ( t ′ ) s ，             i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 。 如果J n 在OPT算法下安排在机器M m 上，则 U m + S U C ( t ′ ) + p n s ≤ C max OPT ( L ) 。 所以 H i + C max OPT ( L ) ≥ H i + t ′ ≥ H m − S U C ( t ′ ) s = H m + p n s + U m − s U m + S U C ( t ′ ) + p n s ≥ C max LS ( L ) + U m − C max OPT (L) 整理得 C max LS ( L ) ≤ H i − U m + 2 C max OPT ( L ) 。 若J n 在OPT算法下没有安排在M m 上，则有 p n ≤ C max OPT ( L ) 并且有 C max LS ( L ) ≤ H i + p n ≤ H i + C max OPT ( L ) ≤ H i − U m + 2 C max OPT ( L ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 。 所以不管什么情况都有 C max LS ( L ) ≤ H i − U m + 2 C max OPT ( L ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 。 对于M m 有 s C max LS ( L ) ≤ s H m + p n ，所以 C max LS ( L ) C max OPT ( L ) = s C max LS ( L ) + ( m − 1 ) C max LS ( L ) ( m + s − 1 ) C max OPT ( L ) ≤ s H m + p n + ∑ i = 1 m − 1 H i + 2 ( m − 1 ) C max OPT ( L ) − ( m − 1 ) U m ( m + s − 1 ) C max OPT ( L ) = ( s − m + 1 ) U m + ∑ i = 1 m − 1 U i + ∑ j = 1 n p n + 2 ( m − 1 ) C max OPT ( L ) ( m + s − 1 ) C max OPT ( L ) ≤ { ( s − m + 1 ) C max OPT ( L ) + ( m − 1 ) C max OPT ( L ) + ( m + s − 1 ) C max OPT ( L ) + 2 ( m − 1 ) C max OPT ( L ) ( m + s − 1 ) C max OPT ( L ) ，                   s ≥ m − 1 ( m − 1 ) C max OPT ( L ) + ( m + s − 1 ) C max OPT ( L ) + 2 ( m − 1 ) C max OPT ( L ) ( m + s − 1 ) C max OPT ( L ) ，                                                                                                                                                                                               s < m − 1 ≤ { 2 + m − 1 m + s − 1 ，                                 s > m − 1 1 + 3 ( m − 1 ) m + s − 1 ，                                   s ≤ m − 1 结合(2)定理得证。