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user: 2. 预备知识 本节先给出一些基本概念、定理与符号，以备后用。 设 A = ( a i j ) ∈ R m × n ，如果对于所有的 i = 1 ， ⋯ ， m ; j = 1 ， ⋯ ， n 都有 a i j > 0   ( a i j ≥ 0 ) ，则称 A 为正(非负)矩阵，记为 A > O   ( A ≥ O ) 。 定义2.1. [ 6 ] 设 A = ( a i j ) ∈ R n × n ，如果对于所有的 1 ≤ i ， j ≤ n ， i ≠ j 都有 a i j ≤ 0 ，则 A 称为Z-矩阵。如果 A 是Z-矩阵且 A − 1 ≥ O ，则称 A 为M-矩阵。 定义2.2. [ 7 ] 设 A = ( a i j ) ∈ R n × n ，将 A 分裂为 A = A z + A r ，其中 A z = [ a 11 − β 1 A a 12 − β 1 A ⋯ a 1 n − β 1 A a 21 − β 2 A a 22 − β 2 A ⋯ a 2 n − β 2 A ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 − β n A a n 2 − β n A ⋯ a n n − β n A ] ， A r = [ β 1 A β 1 A ⋯ β 1 A β 2 A β 2 A ⋯ β 2 A ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ β n A β n A ⋯ β n A ] (1) β i A = max { 0 ， a i j | ∀ j ≠ i } 。显然 A z 是Z-矩阵， A r 是秩1非负矩阵。若 A z 为M-矩阵，则称 A 为MB-矩阵。 定义2.3. [ 2 ] 设 A ∈ R n 1 × n 1 ，   B ∈ R n 2 × n 2 ， k 是整数且 1 ≤ k ≤ min { n 1 ， n 2 } ， n = n 1 + n 2 − k ， A ， B 分块如下： A = [ A 11 A 12 A 21 A 22 ] ， B = [ B 11 B 12 B 21 B 22 ] (2) 其中 A 22 ， B 11 都是 k 阶方阵。定义矩阵 M = [ A 11 A 12 O A 21 A 22 + B 11 B 12 O B 21 B 22 ] ∈ R n × n (3) 称其为 A 和 B 的 n ( n = n 1 + n 2 − k ) 阶k-子直和，记为 M = A ⊕ k B 。 将 A = ( a i j ) ∈ R n 1 × n 1 ，   B = ( b i j ) ∈ R n 2 × n 2 和 M = ( m i j ) ∈ R n × n 按定义2.2中的(1)式分别分裂为： A = A z + A r ， B = B z + B r ， M = A ⊕ k B = M z + M r 将 A z ， A r ， B z ， B r 按(2)式分块为： A z = [ A 11 z A 12 z A 21 z A 22 z ] ， A r = [ A 11 r A 12 r A 21 r A 22 r ] ， B z = [ B 11 z B 12 z B 21 z B 22 z ] ， B r = [ B 11 r B 12 r B 21 r B 22 r ] 定义矩阵 M ¯ = [ A 11 z A 12 z − A 13 r A 21 z − B 13 r A 22 z + B 11 z B 12 z − A 23 r − B 23 r B 21 z B 22 z ] ∈ R n × n (4) 其中 A 11 z ∈ R ( n 1 − k ) × ( n 1 − k ) ， A 12 z ∈ R ( n 1 − k ) × k ， A 21 z ∈ R k × ( n 1 − k ) ， A 22 z ∈ R k × k ， B 11 z ∈ R k × k ， B 12 z ∈ R k × ( n − n 1 ) ， B 21 z ∈ R ( n − n 1 ) × k ， B 22 z ∈ R ( n − n 1 ) × ( n − n 1 ) ， A 11 r ∈ R ( n 1 − k ) × ( n 1 − k ) ， A 12 r ∈ R ( n 1 − k ) × k ， A 13 r ∈ R ( n 1 − k ) ( n − n 1 ) 的第i行为 ( β i A ， β i A ， ⋯ ， β i A ) ， A 21 r ∈ R k × ( n 1 − k ) ， A 22 r ∈ R k × k ， A 23 r ∈ R k × ( n − n 1 ) 的第i行为 ( β i A ， β i A ， ⋯ ， β i A ) ， B 11 r ∈ R k × k ， B 12 r ∈ R k × ( n − n 1 ) ， B 13 r ∈ R k × ( n 1 − k ) 的第i行为 ( β i B ， β i B ， ⋯ ， β i B ) ， B 21 r ∈ R ( n − n 1 ) × k ， B 22 r ∈ R ( n − n 1 ) × ( n − n 1 ) ， B 23 r ∈ R ( n − n 1 ) × ( n 1 − k ) 的第i行为 ( β i B ， β i B ， ⋯ ， β i B ) 。 容易验证这里的 M ¯ 就是 [ 5 ] 中的 M ¯ ，于是由文献 [ 5 ] 知 M z ≥ M ¯ ，且都为Z-矩阵。 当 A z ， B z 为非奇异矩阵时，将 ( A z ) − 1 ， ( B z ) − 1 按(2)分块为： ( A z ) − 1 = [ A 11 z ^ A 12 z ^ A 21 z ^ A 22 z ^ ] ， ( B z ) − 1 = [ B 11 z ^ B 12 z ^ B 21 z ^ B 22 z ^ ] (*) 其中 A 11 z ^ ∈ R ( n 1 − k ) × ( n 1 − k ) ， A 12 z ^ ∈ R ( n 1 − k ) × k ， A 21 z ^ ∈ R k × ( n 1 − k ) ， A 22 z ^ ∈ R k × k ， B 11 z ^ ∈ R k × k ， B 12 z ^ ∈ R k × ( n − n 1 ) ， B 21 z ^ ∈ R ( n − n 1 ) × k ， B 22 z ^ ∈ R ( n − n 1 ) × ( n − n 1 ) 。 定理2.1. [ 2 ] 设 A = [ a i j ] ∈ R n × n ，则如下3款成立： 1) 当 A 为非奇异M-矩阵时，其主对角元为正。 2) 当 A 为非奇异M-矩阵， B = [ b i j ] 为Z-矩阵且 B ≥ A 时， B 为非奇异M-矩阵。 3) A 为非奇异M-矩阵的充要条件为 A 的每一个主子矩阵为非奇异M-矩阵。 引理2.1. [ 8 ] 设 A = [ D E F G ] 非奇异，其中 D ∈ R ( n − k ) × ( n − k ) ， G ∈ R k × k ， E ∈ R ( n − k ) × k ， F ∈ R k × ( m − k ) 。则 1) 若 D 非奇异且 D − 1 ≥ 0 ， − E ≥ 0 ， − F ≥ 0 ，则 A − 1 ≥ 0 当且仅当 ( A / D ) − 1 ≥ 0 ； 2) 若 G − 1 ≥ 0 ， − E ≥ 0 ， − F ≥ 0 ，则 A − 1 ≥ 0 当且仅当 ( A / G ) − 1 ≥ 0 。 这里 A / D 表示矩阵 A 内 D 的Schur补。