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user: 2. 广义Klein-Gordon方程行波解 广义Klein-Gordon方程为 u t t − a 2 u x x + b u + f u 2 − k u 3 = 0 (4) a ， b ， f 和k都为常数， u ( x ， t ) 是未知函数。引入波动变量 ξ = x − c t ，则方程(4)转化为 b u + f u 2 − k u 3 + ( c 2 − a 2 ) u ξ ξ = 0 (5) 则平衡 u ξ ξ 和 u 3 后有 N + 2 = 3 N ，解得 N = 1 。因此，(2)可表示为 u ( ξ ) = a 1 ( ξ ) y ( μ ξ ) + a 0 ( ξ ) (6) 将(6)代入到方程(5)中，并计算 y ( μ ξ ) 的系数，就可得出关于 a 1 ( ξ ) ， a 0 ( ξ ) ，c和 μ 的方程组 { y 3 : − k a 1 3 ( ξ ) + 2 μ 2 ( c 2 − a 2 ) a 1 ( ξ ) A 2 ( μ ξ ) = 0 y 2 : f a 1 2 ( ξ ) − 3 k a 0 ( ξ ) a 1 2 ( ξ ) + ( c 2 − a 2 ) [ 2 μ a ′ 1 ( ξ ) A ( μ ξ ) + μ 2 a 1 ( ξ ) ( A ′ ( μ ξ ) + 3 A ( μ ξ ) B ( μ ξ ) ) ] = 0 y 1 : b a 1 ( ξ ) + 2 f a 0 ( ξ ) a 1 ( ξ ) − 3 k a 0 2 ( ξ ) a 1 ( ξ ) + ( c 2 − a 2 ) [ a ″ 1 ( ξ ) + 2 μ a ′ 1 ( ξ ) B ( μ ξ )             + μ 2 a 1 ( ξ ) ( B ′ ( μ ξ ) + 2 A ( μ ξ ) C ( μ ξ ) + B 2 ( μ ξ ) ) ] = 0 y 0 : b a 0 ( ξ ) + f a 0 2 ( ξ ) − 3 k a 0 3 ( ξ ) + ( c 2 − a 2 ) [ a ″ 0 ( ξ ) + 2 μ a ′ 1 ( ξ ) C ( μ ξ )             + μ 2 a 1 ( ξ ) ( C ′ ( μ ξ ) + B ( μ ξ ) C ( μ ξ ) ) ] = 0 (7) 上述代数系统依赖于黎卡提方程中系数 A ( t ) ， B ( t ) 和 C ( t ) 的选择，下面我们选取系数 A ( t ) ， B ( t ) 和 C ( t ) 的一些特殊情况，基于这些选择和上述方程组我们构造了推广的Klein-Gordon方程(4)的特殊精确解 [ 4 ]。 1) 如果我们取 A ( t ) = − 1 ， B ( t ) = 0 ， C ( t ) = 1 ，则可得到黎卡提方程 d d t y ( t ) = − y 2 ( t ) + 1 ，解为 y ( t ) = tanh ( t ) 。这时解方程组(7)得 { a 0 = f 3 k a 1 = ± 3 k b + f 2 3 k 2 μ 2 = 3 k b + f 2 6 k ( c 2 − a 2 ) ， ( c ≠ a ) (8) 和 { a 0 = 2 f 3 k a 1 = ± b k μ 2 = b 2 ( c 2 − a 2 ) ， ( c ≠ a ) (9) 其中c为任意常数。根据(9)可把解(6)写为 u ( x ， t ) = ± 3 k b + f 2 3 k 2 y ( μ ξ ) + f 3 k (10) 和 u ( x ， t ) = ± b k y ( μ ξ ) + 2 f 3 k (11) 当 3 k b + f 2 6 k ( c 2 − a 2 ) > 0 时，有纽结解 u 1 ( x ， t ) = ± 3 k b + f 2 3 k 2 tanh ( 3 k b + f 2 6 k ( c 2 − a 2 ) ( x − c t ) ) + f 3 k (12) 当 k ， b ， f ， c 取1，a取0时，解(12)的图像为图1。 图1. 解(12)的图像 当 3 k b + f 2 6 k ( c 2 − a 2 ) < 0 时，有复周期解 u 2 ( x ， t ) = ± i 3 k b + f 2 3 k 2 tan ( 3 k b + f 2 6 k ( a 2 − c 2 ) ( x − c t ) ) + f 3 k (13) 当 b 2 ( c 2 − a 2 ) > 0 时，有纽结解 u 3 ( x ， t ) = ± b k tanh ( b 2 ( c 2 − a 2 ) ( x − c t ) ) + 2 f 3 k (14) 当 k ， b ， f ， c 取1，a取0时，解(14)的图像为图2。 图2. 解(14)的图像 当 b 2 ( c 2 − a 2 ) < 0 时，有复周期解 u 4 ( x ， t ) = ± i b k tan ( b 2 ( a 2 − c 2 ) ( x − c t ) ) + 2 f 3 k (15) 如果我们用黎卡提方程 d d t y ( t ) = − y 2 ( t ) + 1 的解 y ( t ) = coth ( t ) ，则 当 3 k b + f 2 6 k ( c 2 − a 2 ) > 0 时，有纽结解 u 5 ( x ， t ) = ± 3 k b + f 2 3 k 2 coth ( 3 k b + f 2 6 k ( c 2 − a 2 ) ( x − c t ) ) + f 3 k (16) 当 k ， b ， f ， c 取1，a取0时，解(16)的图像为图3。 当 3 k b + f 2 6 k ( c 2 − a 2 ) < 0 时，有复周期解 u 6 ( x ， t ) = ± i 3 k b + f 2 3 k 2 cot ( 3 k b + f 2 6 k ( a 2 − c 2 ) ( x − c t ) ) + f 3 k (17) 图3. 解(16)的图像 当 b 2 ( c 2 − a 2 ) > 0 时，有纽结解 u 7 ( x ， t ) = ± b k coth ( b 2 ( c 2 − a 2 ) ( x − c t ) ) + 2 f 3 k (18) 当 b 2 ( c 2 − a 2 ) < 0 时，有复周期解 u 4 ( x ， t ) = ± i b k cot ( b 2 ( a 2 − c 2 ) ( x − c t ) ) + 2 f 3 k (19) 当±都取+时，行波解与文 [ 5 ] 中采用tanh法得到的行波解相同。 2) 如果我们取 A ( t ) = − 1 ， B ( t ) = − α ， C ( t ) = − β ，则可得到黎卡提方程 d d t y ( t ) = − ( y 2 ( t ) + α y ( t ) + β ) ，解为 y ( t ) = ω ′ ( t ) ω ( t ) ，而 ω ( t ) 是二阶线性微分方程 ω ″ ( t ) + α ω ′ ( t ) + β ω ( t ) = 0 的解(13)。这时解方程组(7)得 { a 0 = f 3 k + α 2 a 1 a 1 = ± 4 ( 3 k b + f 2 ) 3 k 2 ( α 2 − 4 β ) μ 2 = 2 ( 3 k b + f 2 ) 3 k ( c 2 − a 2 ) ( α 2 − 4 β ) (20) 其中 c ， α 和 β ( c ≠ a ， α 2 ≠ 4 β ， k ≠ 0 )为任意常数。这将得到孤波解 如果 ，则我们可得 ω ( t ) = exp ( − α 2 t ) ( C 1 cosh ( α 2 − 4 β 2 t ) + C 2 sinh ( α 2 − 4 β 2 t ) ) 当 ξ = x − c t 时有 u 1 ( x ， t ) = ± 3 k b + f 2 3 k 2 [ C 1 sinh ( 3 k b + f 2 6 k ( c 2 − a 2 ) ξ ) + C 2 cosh ( 3 k b + f 2 6 k ( c 2 − a 2 ) ξ ) C 1 cosh ( 3 k b + f 2 6 k ( c 2 − a 2 ) ξ ) + C 2 sinh ( 3 k b + f 2 6 k ( c 2 − a 2 ) ξ ) ] + f 3 k (21) 当 C 1 取1， C 2 取2， k ， b ， f ， c 取1，a取0时，解(21)的图像为图4。 图4. 解(21)的图像 或 u 2 ( x ， t ) = ± 3 k b + f 2 3 k 2 [ − C 1 sinh ( 3 k b + f 2 6 k ( c 2 − a 2 ) ξ ) + C 2 cosh ( 3 k b + f 2 6 k ( c 2 − a 2 ) ξ ) C 1 cosh ( 3 k b + f 2 6 k ( c 2 − a 2 ) ξ ) − C 2 sinh ( 3 k b + f 2 6 k ( c 2 − a 2 ) ξ ) ] + f 3 k (22) 当 C 1 取1， C 2 取2， k ， b ， f ， c 取1，a取0时，解(22)的图像为图5。 如果 α 2 − 4 β < 0 ，则我们可得 ω ( t ) = e − α 2 t ( C 1 cos ( 4 β − α 2 2 t ) + C 2 sin ( 4 β − α 2 2 t ) ) 当 ξ = x − c t 时有 图5. 解(22)的图像 u 3 ( x ， t ) = ± − 3 k b − f 2 3 k 2 [ − C 1 sin ( 3 k b + f 2 6 k ( a 2 − c 2 ) ξ ) + C 2 cos ( 3 k b + f 2 6 k ( a 2 − c 2 ) ξ ) C 1 cos ( 3 k b + f 2 6 k ( a 2 − c 2 ) ξ ) + C 2 sin ( 3 k b + f 2 6 k ( a 2 − c 2 ) ξ ) ] + f 3 k (23) 或 u 4 ( x ， t ) = ± − 3 k b − f 2 3 k 2 [ C 1 sin ( 3 k b + f 2 6 k ( c 2 − a 2 ) ξ ) + C 2 cos ( 3 k b + f 2 6 k ( c 2 − a 2 ) ξ ) C 1 cos ( 3 k b + f 2 6 k ( c 2 − a 2 ) ξ ) − C 2 sin ( 3 k b + f 2 6 k ( c 2 − a 2 ) ξ ) ] + f 3 k (24) 其中 C 1 ， C 2 为任意常数。如果取 C 1 = 1 ， C 2 = 0 ，则解(3-22) (3-23)可写为纽结解 u 5 ( x ， t ) = ± 3 k b + f 2 3 k 2 tanh ( 3 k b + f 2 6 k ( c 2 − a 2 ) ( x − c t ) ) + f 3 k (25) 且解(23) (24)可写为周期解 u 6 ( x ， t ) = ± − 3 k b − f 2 3 k 2 tan ( 3 k b + f 2 6 k ( a 2 − c 2 ) ( x − c t ) ) + f 3 k (26) 3) 如果我们取 A ( t ) = α ， B ( t ) = 0 ， C ( t ) = β ，则可得到黎卡提方程 d d t y ( t ) = α y 2 ( t ) + β ， 解为 y ( t ) = − 1 α Q ′ ( t ) Q ( t ) ，而 ， J 1 2 ， Y 1 2 是取 1 2 时的贝塞尔函数 [ 6 ]，其中 C 1 ，C 2 是任意常数。这时解方程组(7)得 { a 0 = f 3 k a 1 = ± − α ( 3 k b + f 2 ) 3 k 2 β μ 2 = 3 k b − f 2 6 k α β ( a 2 − c 2 ) (27) 和 (28) 其中 c ， α 和 ( c ≠ a )为任意常数。当解为(27)时，得到行波解 u 1 ( x ， t ) = ± 1 α − α ( 3 k b + f 2 ) 3 k 2 β Q ′ ( 3 k b − f 2 6 k α β ( a 2 − c 2 ) ( x − c t ) ) Q ( 3 k b − f 2 6 k α β ( a 2 − c 2 ) ( x − c t ) ) + f 3 k (29) 或 u 2 ( x ， t ) = ± 1 α − α ( 3 k b + f 2 ) 3 k 2 β Q ′ ( − 3 k b − f 2 6 k α β ( a 2 − c 2 ) ( x − c t ) ) Q ( − 3 k b − f 2 6 k α β ( a 2 − c 2 ) ( x − c t ) ) + f 3 k (30) 当解为(28)时，得到行波解 u 3 ( x ， t ) = ± 1 α − α b k β Q ′ ( b 2 α β ( a 2 − c 2 ) ( x − c t ) ) Q ( b 2 α β ( a 2 − c 2 ) ( x − c t ) ) + 2 f 3 k (31) 或 u 4 ( x ， t ) = ± 1 α − α b k β Q ′ ( − b 2 α β ( a 2 − c 2 ) ( x − c t ) ) Q ( − b 2 α β ( a 2 − c 2 ) ( x − c t ) ) + 2 f 3 k (32) 如果我们取 A ( t ) = 1 ， B ( t ) = 0 ， C ( t ) = − α 2 ，则可得到黎卡提方程 d d t y ( t ) = y 2 ( t ) − α 2 ，解为 y ( t ) = α + 2 α C 1 e 2 α t C 2 − C 1 e 2 α t ，其中 C 1 ， C 2 是任意常数 [ 7 ]。这时解方程组(7)得 { a 0 = f 3 k a 1 = ± 3 k b + f 2 3 k 2 α 2 μ 2 = 3 k b + f 2 6 k α 2 ( c 2 − a 2 ) (33) 和 (34) 其中c和 α ( c ≠ a )为任意常数。当解为(33)时，得到行波解 u 1 ( x ， t ) = ± 3 k b + f 2 3 k 2 α 2 ( α + 2 α C 1 e 2 3 k b + f 2 6 k ( c 2 − a 2 ) ( x − c t ) C 2 − C 1 e 2 3 k b + f 2 6 k ( c 2 − a 2 ) ( x − c t ) ) + f 3 k (35) 当 C 1 ， α 取1， C 2 取2， k ， b ， f ， c 取1，a取0时，解(35)的图像为图6。 图6. 解(35)的图像 或 u 2 ( x ， t ) = ± 3 k b + f 2 3 k 2 α 2 ( α + 2 α C 1 e − 2 3 k b + f 2 6 k ( c 2 − a 2 ) ( x − c t ) C 2 − C 1 e − 2 3 k b + f 2 6 k ( c 2 − a 2 ) ( x − c t ) ) + f 3 k (36) 当解为(34)时，得到行波解 u 3 ( x ， t ) = ± b k α 2 ( α + 2 α C 1 e 2 b 2 ( c 2 − a 2 ) ( x − c t ) C 2 − C 1 e 2 b 2 ( c 2 − a 2 ) ( x − c t ) ) + 2 f 3 k (37) 或 u 4 ( x ， t ) = ± b k α 2 ( α + 2 α C 1 e − 2 b 2 ( c 2 − a 2 ) ( x − c t ) C 2 − C 1 e − 2 b 2 ( c 2 − a 2 ) ( x − c t ) ) + 2 f 3 k (38) 本文主要利用黎卡提方程作为辅助方程，研究了一类波动方程的行波解问题，得到了一些新的行波解的形式。相比原有的方法，该方法更加容易理解与计算。