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user: 2. 模型构建 2.1. 模型假设与符号表示 根据易腐品的特点和实际联合补货问题，本文的基本假设如下： 1) 不考虑补货提前期，即补货提前期为0。 2) 不允许缺货。 3) 产品i的整体变质率满足三参数的Weibull分布。其中，三参数Weibull分布的概率密度函数、累 积分布函数分别满足 f ( t ) = α β ( t − γ ) β − 1 e − α ( t − γ ) β 、 F ( t ) = 1 − e − α ( t − γ ) β ，α、β和γ分别巍峨Weibull函数的尺度因子、形状以你自己和位置因子。其对变质率刻画的函数为： θ ( t ) = f ( t ) 1 − F ( t ) = α β ( t − γ ) β − 1 ，其中 α > 0 ， 1 < β ≤ 2 ， γ > 0 ，产品一旦发生变质，不采取任何补救措施，且不进入下游流通。 4) 由于 γ > 0 ，产品i进入库存内会存在一个固定的非变质期 t d i ，在 [ 0 ， t d i ] 时段内，产品不发生变质，经过 t d i 后，产品i的变质率满足 θ ( t ) = α β t β − 1 。式中，α、β、γ分别为变质率的尺度因子、形状因子和位 置因子。 5) 采用周期性查看库存策略，所有产品采用 [ T ， S ] 补货策略，即存在一个基本补货周期T，每个基本周期对所有产品都进行一次库存检查，产品一个补货成本。每一个产品i在此基础上有一个独立的补货周期 ，且 T i 是基本补货周期T的整数( k i )倍，所以 T i = k i T 。且在 i ∈ [ 1 ， n ] 中，存在一个 k i = 1 ，且 T > 0 。 6) 需求随着时间递增，产品i在t时刻的需求函数可表示为： D i ( t ) = A e m t ，其中m > 0。 其他符号的释义如表1所示： Table 1 Symbolic interpretatio 符号 释义 n 产品种类数 h i 产品i的平均库存持有成本 S 每次补货的主要订货成本 s i 产品i补货时的次要订货成本 c i 产品i的变质成本 I 1 i ( t ) [ 0 ， t d i ] 内，产品i的库存水平 I 2 i ( t ) 经过 t d i 后，产品i的库存水平 Q i 一个补货周期内产品i的补货量 表1. 符号释义 2.2. 数学模型 如前文所述，每一个产品在 [ 0 ， t d i ] 时段内不会发生变质，经过 t d i 后，产品开始变质且满足一定的变质率。因此对于每一个产品i，根据不同的 t d i 和 的值，其库存水平会存在以下两种不同的情况： 图1. t d i < T i 时，库存随时间变化曲线 图2. t d i > T i 时，库存随时间变化曲线 我们针对以上两种情况，分别建立不同的联合采购模型 情况1 (图1)：当 t d i < T i 时，在 [ 0 ， t d i ] 内，产品i的库存水平下降仅仅是因为当期内的用户需求，所以在产品非变质的时候，产品i的库存水平满足： d I 1 i ( t ) d t = − A e m t ， 0 < t ≤ t d i (1) 在 t = 0 的时刻，库存水平为 Q i ，基于此求解(1)式，可得： I 1 i ( t ) = Q i − A m ( e m t − 1 ) ， 0 < t ≤ t d i (2) 当经过 t d i 后，产品i库存水平下降不仅是当期用户的需求，还有产品随时间的变质，所以在产品开始变质后，产品i的库存水平满足： d I 2 i ( t ) d t = − A e m t − θ ( t ) I 2 i ( t ) ， t d i < t ≤ T i (3) 在 t = T i 时间，库存下降为0，基于此求解(3)式，可得： I 2 i ( t ) = A e − α t β ∫ t T i e m u + α u β d u ， t d i < t ≤ T i (4) 在 t = t d i 时，由函数的连续性可知， I 1 i ( t ) = I 2 i ( t ) ，联合(2)和(4)，可得： Q i = A e − α t d i β ∫ t d i T i e m u + α u β d u + A m ( e m t d i − 1 ) (5) 将(5)带入(1)式，可得： I 1 i ( t ) = A e − α t d i β ∫ t d i T i e m u + α u β d u + A m ( e m t d i − e m t ) ， 0 < t ≤ t d i (6) 基于以上式子，我们可以知道单位时间内所有产品的平均库存持有成本为： H C 1 = ∑ i = 1 n h i T i [ ∫ 0 t d i I 1 i ( t ) d t + ∫ t d i T i I 2 i ( t ) d t ] (7) 单位时间内所有产品的平均变质成本为： D C 1 = ∑ i = 1 n c i T i [ I 2 i ( t d i ) − ∫ t d i T i A e m t d t ] (8) 单位时间内所有产品的总订货成本为： O C 1 = 1 T ( S + ∑ i = 1 n s i k i ) (9) 将(4)式和(6)式代入(7)式和(8)式，可得： H C 1 = A ∑ i = 1 n h i T i [ t d i e − α t d i β ∫ t d i T i e m u + α u β d u + 1 m ( t d i e m t d i − 1 m e m t d i + 1 m )                     + ∫ t d i T i e − α t β ∫ t T i e m u + α u β d u d t ] (10) (11) 根据以上推论，我们可得在情况1下，单位时间内的总成本为： T C 1 = H C 1 + D C 1 + O C 1 T C 1 = A { ∑ i = 1 n h i T i [ t d i e − α t d i β ∫ t d i T i e m u + α u β d u + 1 m ( t d i e m t d i − 1 m e m t d i + 1 m )       + ∫ t d i T i e − α t β ∫ t T i e m u + α u β d u d t ] + ∑ i = 1 n c i T i [ e − α t d i β ∫ t d i T i e m u + α u β d u − 1 m ( e m T i − e m t d i ) ] }     + 1 T ( S + ∑ i = 1 n s i k i ) (12) 情况2 (图2)：当 t d i > T i 时，产品的补货周期小于产品的非变质期，在该种情况下，不需要考虑产品的变质情况，模型如下： d I 1 i ( t ) d t = − A e m t ， 0 < t ≤ T i (13) 且在 T i 时刻，库存下降为0，基于此求解(13)式，可得： I 1 i ( t ) = A m ( e m T i − e m t ) (14) 单位时间内所有产品的平均库存持有成本为： H C 2 = ∫ 0 T i A m ( e m T i − e m t ) d t = A m ( T i e m T i − 1 m e m T i + 1 m ) (15) O C 2 = 1 T ( S + ∑ i = 1 n s i k i ) (16) T C 2 = H C 2 + O C 2 = A m ( T i e m T i − 1 m e m T i + 1 m ) + 1 T ( S + ∑ i = 1 n s i k i ) (17) 根据以上公式可以看出，两种情况下的成本结构有相似的地方，且情况1下的 T C 1 更具有普遍性，所以我们接下来的研究更着重分析情况1下的决策变量。