system: [SYSTEM]

user: 2. 考虑非均质和混凝土拉伸损伤性能的梁理论 传统的钢筋混凝土梁，相应的分析模型如图1所示。图1(a)为梁的受力，图1(b)为沿着高度方向，应变的分布情况，图1(c)对应钢筋和混凝土上的分布以及应力分布。保持钢筋截面面积不变，将受拉钢筋等效为等强度的钢筋层。 图1. 钢筋混凝土梁分析模型示意图 对于混凝土，采用Mazars提出的标量损伤模型 [ 4 ] ，该模型认为峰值以前，混凝土即使存在损伤，应力应变近似服从线性分布；峰值以后，应变增长而应力呈指数函数下降，相应的表达式如式(1)所示： σ i = { E c e ε i   E c e ε i   ( 1 − D ) ( ε i   ≤ ε p ) ( ε p   < ε i   ≤ ε u ) (1) D = 1 − K 0 ( 1 − A ) ε − A exp [ B ( ε − K 0 ) ] (2) 式中， E c e 为混凝土的弹性模量，依据文献 [ 9 ] ，取 E c e ( t ) = 5000 f ′ c ( t ) ， f ′ c ( t ) 为时间t时混凝土柱体的抗压强度，当混凝土龄期超过28天时，可取第28天时柱体达到的抗压强度值 f ′ c ( 28 ) 计算。 i = t or c 分别为受拉或受压状态， D 为损伤，采用公式(2)计算， K 0 、 A 和 B 均为材料常数，由混凝土单轴试验确定； ε p 为混凝土单轴应力–应变曲线的峰值应变， ε u 为混凝土单轴应力–应变曲线的极限应变。 对于钢筋，采用理想弹塑性模型，如式(3)所示： σ s = { E s ε s E s   ε y ( ε s ≤ ε y ) ( ε s > ε y ) (3) 其中， ε y 为钢筋材料的屈服应变， E s 为钢筋弹性模量。 根据配筋率不变原则，将钢筋等效为等强度的单层板，不考虑钢筋和混凝土相对滑移，该钢筋层满足经典板理论中的直法线假设、等法线假设、平面假设和线弹性小变形假设 [ 10 ] 。受载后的截面上的应变可表示为： ε = − ε T y c ( y − y c ) (4) 式中， ε 为梁截面任意一点的应变； ε T 为混凝土顶端压应变； y c 为中性轴到混凝土顶端的距离。 用应力所表示的梁截面的力的平衡方程可表示为： N = ∫ A c σ c d A c + ∫ A t σ t d A t + σ s b w = 0 (5) 式中， σ c 、 σ t 及 σ s b w 分别表示受压区混凝土、受拉区混凝土和等效钢筋的应力， A c 、 A t 及bw分别为三者的面积。 用应力所表示的梁截面的矩的平衡方程可表示为： M = ∫ A c σ c y d A c + ∫ A t σ t y d A t + σ s b w ( h − c − w 2 ) = 0 (6) 将钢筋混凝土梁从完好到破坏的服役过程分为四个典型阶段加以考虑： 1) 拉伸区混凝土处于弹性阶段，即 ε < ε t p 时，结合式(1)、(2)~(6)可得中性轴距离混凝土顶端的距离 y c 的值： y c = − ( h E t + w E s ) + ( h E t + w E s ) 2 − [ 2 w ( c − h ) E s − h 2 E t ] ( E c − E t ) E c − E t (7) M = − ε T b 6 y c [ E t ( h − y c ) 2 ( 2 h + y c ) − E c y c 3 +   6 E s w ( c − h ) ( c − h + y c ) ] 2) 拉伸区混凝土开始开裂，钢筋的应力不超过屈服极限，即 ε t ≥ ε t p 且 ε s ≥ ε s y 时，记混凝土受拉区开裂厚度为t，根据平面假设： t = ( ε t p ε T − 1 ) y c + h 。结合式(1)~(6)，并忽略方程中含有 ε b = − ε T y c ( h − y c ) 的项，可得中性轴距离混凝土顶端的距离 y c 的值： y c = − B 1 + B 1 2 − 4 A 1 C 1 2 A 1 (8) M = − ε T b 6 y c [ E t ( ε t p / ε T ) 2 ( − 2 ε t p / ε T + 3 ) y c 3   − E c y c 3 + 6 E s w ( c − h ) ( c − h + y c ) ] 式中， A 1 = E c ε T 2 − E t ε t p 2 2 ε T + E t [ K 0 ( 1 − A t ) ( ε t p ε T − 1 ) − A t e B t ( K 0 − ε t p ) ε T B t 2 − A t ε t p e B t ( K 0 − ε t p ) ε T B t ] B 1 = E t K 0 ( 1 − A t ) h + E s w ε T C 1 = E s ( c − h ) w ε T 在给定任意一个混凝土边缘处的压应变 ε T 的值时，即可得到相应的中性轴位置 y c 。 3) 钢筋屈服，顶端混凝土未达到其压应变峰值，即 ε c < ε c p 且 ε s < ε y 时，结合式(1)~(6)，并方程中含有 ε b 的项，可得中性轴距离混凝土顶端的距离 y c 的值： (9) M = E s ε y b w ( h − c ) − ε T b 6 [ E t ( 3 − 2 ε t p / ε T ) ( ε t p / ε T ) 2 y c   2 − E c ( 3 − 2 ε c p / ε T ) ( ε c p / ε T ) 2 y c 2 ] 在给定任意一个混凝土边缘处的压应变 ε T 的值时，即可得到相应的中性轴位置 y c 。 4) 顶端混凝土的应变超过其峰值压应变，即 ε c p < ε c < ε c u 时，记达到峰值压应变的混凝土厚度为p，则根据平截面假设有 p = ( 1 − ε c p ε T ) y c ，结合式(1)~(6)并忽略方程中含有 ε b = − ε T y c ( h − y c ) 的项，可得中性轴距离混凝土顶端的距离 y c 的值： y c = [ − 2 E t ε T K 0 ( 1 − A t ) h − 2 E s ε T ε y w ] / A 2 (10) M = E c ε c p b 2 ( 1 − ε c p ε T ) 2 y c 2 + E s ε y b w ( h − c ) + ε T b 6 [ E c ( 3 − 2 ε c p ε T ) ( ε c p ε T ) 2   − E t ( 3 − 2 ε t p ε T ) ( ε t p ε T ) 2 ] y c 2 式中， A 2 = 2 E t [ K 0 ( 1 − A t ) ( ε t p − ε T ) − A t B t ( 1 B t + ε t p ) e B t ( K 0 − ε t p ) ] + E c ε c p 2 − E t ε t p 2 + 2 E c [ K 0 ( 1 − A c ) ( ε T − ε c p ) + A c B c ( ε c p + 1 B c ) e B t ( K 0 − ε c p ) − A c B c ( ε T + 1 B c ) e B t ( K 0 − ε T ) ] 在给定任意一个混凝土边缘处的压应变 ε T 的值时，即可得到相应的中性轴位置 y c 。 梁的极限弯矩对应于混凝土受压区边缘压应变达到极限压应变 ε c u 的弯矩，结合上述式(10)中和轴 y c 的公式，取 ε T = ε c u ，可得梁的极限弯矩，如式(11)所示： M u = M | ε T = ε c u ， y c = y c u (11) 代入材料力学中纯弯曲变形时的曲率公式，可得： d 2 ω ( x ) d x 2 = − 1 ρ ( x ) = ε T y c = − M ( x ) B ( x ) (12) 因此，对于纯弯曲简支梁，相应的挠度计算公式为： ω ( x ) = M 2 B ( x 2 − l x ) (13) 式(13)给出了等刚度的钢筋混凝土梁的挠度计算公式，式中梁的弯矩M由两部分组成：(1)自重引起的弯矩，记为 M G ；(2)外荷载引起的梁截面的弯矩，记为M F 。 实际上，由于各截面配筋不同，承受的弯矩也不等。弯矩小的截面可能不出现裂纹，其刚度要较弯矩大的开裂截面大，因此沿跨长方向抗弯刚度为变值 [ 7 ] 。同时，混凝土的密实性和开裂等因素对梁的挠度也有影响。因此，本文在公式(13)的基础上考虑了一个修正系数 α ，相应的梁挠度的计算值如式(14)所示： ω ( x ) = α x 2 − l x 2 B M = α x 2 − l x 2 ε T y c (14) 对处于其他受力状态和约束条件的钢筋混凝土梁，可根据最小刚度原则 [ 2 ] 计算梁的挠度。