DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 5. 时间序列模型建立 5.1. 序列平稳性检验 若一个随机过程的统计特性不随时间的推移而变化，则称它为平稳随机过程。平稳性是一些时间序列具有的统计特征，对数据进行平稳性检验是分析时间序列的关键步骤。平稳时间序列有两种定义，根据限制条件的严格程度，分为严平稳时间序列和宽平稳时间序列。对序列的平稳性有两种检验方法，一种是根据时序图和自相关图显示的特征做出判断的图检验方法；一种是构造检验统计量进行假设检验的方法。 时序图检验 从图1中我们可以看出，该序列具有明显的增长趋势，为非平稳序列。根据图2，图3，自相关拖尾，偏自相关一阶截尾。随着人们生活条件的改善，越来越多的人饮食结构不健康，生活习惯不规律，亚健康成为当代人的常态，高血压等慢性疾病患病率持续增加，时序图反映的趋势是符合现实情况的。 图1. 浦东新区2010至2014年高血压发病数时序图 图2. 自相关图 图3. 偏自相关图 5.2. 不同模型的比较 5.2.1. 线性拟合 [ 2 ] 原序列表现出明显线性趋势，首先对其线性拟合，图4中红线为拟合的线性趋势部分，去趋势后残差白噪声检验结果p值等于0.3621，说明残差序列为白噪声，信息提取比较完全，同时得到趋势部分x t = 0.3479t + 3.9784，用原序列减去趋势部分得到随机部分ε如图5，随机部分ε仍然为非平稳序列，一阶差分后，使用arima模型进行识别，识别结果为ARMA (0，1，2)，因此序列可表示为x t = 0.3479t + 3.9784 + ε，预测结果如表1，图6。 5.2.2. 季节模型 在提取线性趋势后对随机部分建立ARMA模型的基础上，我们发现，序列具有明显的季节周期性特征，于是我们考虑使用季节模型对序列进行建模 [ 3 ]。 图4. 线性趋势提取 图5. 随机部分时序图 Table 1 Comparison between ARMA model prediction results and actual value 一月 二月 三月 四月 五月 六月 预测值 (24.05， 30) (22.23， 28.39) (26.39， 32.83) (22.45， 29.17) (23.85， 30.83) (23.09， 30.33) 实际值 24.87 22.39 29.69 20.76 21.77 21.94 表1. ARMA模型预测结果与实际值对比 图6. ARMA模型预测结果 图7为2010到2014年间高血压就诊数的叠加曲线图，图中黑色为2010年数据，红色为2011，蓝色为2012，绿色为2013，紫色为2014，折线图直观表现出，所有年度曲线都位于之前年度的上方，即每一年的高血压患病数都在稳定增加，所有年份一年之中就诊数量在一月到三月之间达到一个高峰，随后大幅度下降，在十月之前保持缓慢的持续增长，十月之后开始大幅度增长，由此可以判断浦东新区高血压就诊人数具有明显季节周期特征，所以我们尝试使用季节模型对序列进行拟合。 图7. 2010~2014年度高血压发病人数叠加曲线 一阶差分如图8，图9，可以看出，一阶差分序列仍具有周期特征，自相关函数一阶拖尾，偏自相关二阶拖尾。因为数据为一年中十二个月月份数据，我们考虑采用一阶十二次差分。 对原序列进行一阶十二次差分，得到序列已无明显周期特征白噪声检验LB统计量p值等于1.438e−5，小于0.05，说明该序列为非白噪声序列。 由图10，图11，一阶十二次差分序列自相关一阶拖尾，偏自相关一阶截尾，识别为自回归模型arima (1，1，0) 12。 建立季节模型Sarma (0，1，2) × (1，1，0) 12，其中原序列为arima (0，1，2)，差分序列为arima (1，1，0)，我们以十二个月为期，s = 12，建立季节模型 s a r i m a ( p ， 0 ， 1 ， 2 ， P = 1 ， D = 1 ， Q = 0 ， S = 12 ) ，并预测十二期值。 图8. 一阶差分序列自相关图 图9. 一阶差分序列偏自相关图 图10. 一阶十二次差分序列自相关图 图11. 一阶十二次差分序列偏自相关图 得到季节自回归系数sar1 = −0.338，移动平均系数ma1 = −0.8696，ma2 = 0.5952，标准差为1.923，AIC = 174.84，根据图12，残差acf始终在二倍标准差范围内，残差白噪声检验也始终大于p值0.05所以季节模型对序列拟合程度较高，误差较小。季节模型预测结果如图13。 图12. 季节模型检验图 图13. 季节模型十二期序列值预测 5.2.3. Holt-Winters指数平滑 [ 4 ] Holt-Winters指数平滑相对于简单指数平滑和Holt线性指数平滑考虑了季节因素的影响，相比简单指数平滑和Holt线性平滑更适用于高血压就诊人数序列的拟合。拟合曲线如图14，图14中黑色曲线为原序列，红色曲线为指数平滑后消除趋势的拟合曲线，二者重合度较高，拟合效果较好。并在此基础上做12期预测。图15中蓝色折线为12期预测值，深灰色部分为百分之九十五的置信区间，浅灰色部分为百分之八十的置信区间，将Holt-Winters模型与季节模型对比，可以看出，Holt-Winters模型与季节乘法模型预测结果比较相似，所谓我们可以认为这两种模型的拟合以及预测结果具有较高的置信度。 图14. Holt-Winters指数平滑结果 图15. Holt-Winters指数平滑预测值 5.3. 预测分析 我们将60期数据以年为单位分割发现，在12个月的周期内，一到三月间往往是一个周期中数据峰值的位置，随后有一个明显的回落，但是根据图16，将五个周期的序列叠加对比，一月和三月都处于相对接近峰值的位置，但二月的数据却大多出现反常的回落，主要表现为前三个月往往呈“V”字型。我们认为这与中国传统春节有关，农历新年往往在公历一，二月份之间，这期间人们的饮食往往偏向高油高盐，饮酒，吸烟行为明显大量增加，且春节期间人们常常通宵娱乐，此类行为少则持续三五天，多则半个月以上，我们认为，春节期间的大量不健康的饮食和生活行为导致了前三个月的就诊数较多，随后快速回落。其中数据在二月附近出现反常，我们认为是春节期间就诊人数减少，我们收集的医院社区有记录的就诊人数，本身就不能完全代表高血压患病真实情况，而春节期间的就诊记录数据，由于假期更无法准确代表真实情况。因此得出结论，反常回落处的数据应该与前后一个月的数据接近，总体呈增长趋势。因此，春节期间高血压患病增多是我国的特殊国情。 图16. 2010~2014年度高血压发病人数叠加曲线 综上所述，结合提取趋势后的ARMA模型，季节模型和Holt-Winters指数平滑的预测，我们认为浦东地区的高血压患病人数在未来的一段时间仍将呈线性增长趋势，周期内波动情况同前五个周期规律一致。
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user: 6. 模型评价 6.1. 模型优点 (1) 采用三种模型对同一序列进行分析，相互对照补充，使结论更加完整准确。 (2) 反馈得到春节期间医疗卫生系统信息记录存在的缺陷，对卫生系统信息工作的改进有所帮助。 (3) 分析得到高血压发病周期性变化规律，对预防高血压，以及统筹调配医疗资源，研究高血压的病理等具有现实的参考价值。 6.2. 模型缺点 我们将预测结果同2015年真实数据进行对比，发现预测值整体偏高，只有部分数据落在置信度百分之九十五的预测区间，两种方法预测结果与实际值对比如表2，说明模型存在部分缺陷，这可能是由于数据不完整，在处理数据时插值的问题，也表明在此基础上模型还具有改进的空间。 Table 2 Comparison of seasonal model and Holt winters smoothing prediction result 季节模型 Holt-Winters 实际值 2015.1 (26.14， 28.9) (26.63， 30.35) 24.87 2015.2 (23.67， 26.45) (21.52， 25.42) 22.39 2015.3 (30.03， 33.49) (29.92， 34.41) 29.69 2015.4 (23.03， 26.99) (21.02， 25.27) 20.76 2015.5 (24.25， 28.67) (23.15， 27.76) 21.77 2015.6 (23.63， 28.45) (21.45， 26.13) 21.94 表2. 季节模型与Holt-Winters平滑预测结果对比
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user: 7. 总结 本文收集了2010至2014年间浦东新区的高血压发病就诊月度数据共60期，分别采用提取趋势后的ARMA模型，季节模型，Holt-Winters指数平滑进行建模，在此基础上对序列进行分析，并预测12期序列值，该模型很好地揭示了高血压发病的季节性规律，以及总体趋势，预测结果具有较高的置信度。
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user: 摘要 在添加官方媒体对谣言传播易感染者影响下的确定性方程中，考虑影响因子 γ 受环境噪声的扰动，建立官方媒体影响下的随机微分方程，并研究了在无谣言平衡点和正平衡点附近的渐近性质。证明了该随机微分方程的正解存在唯一性。然后，定义了新的基本再生数 ℜ ′ 0 ，并证明了满足一定条件时，系统的解在无谣言平衡点附近是渐近稳定的；而当满足另外四点要求时，系统的解在正谣言平衡点附近是渐近稳定的。
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user: 1. 引言 2019年10月开始报道武汉不明原因的肺炎，再到后面陆续大量的病人被确诊，网络上各种关于新冠的谣言顿时成为微博、微信和抖音等热门话题。2020年1月31日，世界卫生组织在新闻发布会上正式宣布：新冠疫情被列入“国际关注的突发公共卫生事件”，瞬间网络上就有营销博主称这意味着中国将被列入“疫区国”，这引起民众极大的恐慌；更有盐水漱口能预防感染、电风扇对手和脸部吹30秒能消毒、吃维生素C能预防新冠病毒等谣言，这些迅速在网络平台，特别在是长辈群里传播，造成维生素C等无明显作用药物的哄抢。由于网络的便捷、对用户的评论和发表言论的管理较为松懈，就会大大降低网络消息的真实性，极大地影响了社会的稳定。 1965年Daley和Kendall [ 1 ] 在其论文中利用新的方法——“任意常数扩散原理”，首次研究得到：从表面上看，谣言与流行病两者之间有着相似之处，提出了谣言传播模型，这个模型就是“D-K”模型。1973年Maki和Thomson [ 2 ] 在D-K模型的基础上，认为第一个人知道并传播谣言，才会有可能知道谣言并不传播谣言，得到了M-T模型，该模型认为这类人不会受到谣言的干扰。2001年，Zanette [ 3 ] 在《在小世界网络上传播的关键行为》文章中首次用实验数据证明了一个类似流行病的模型，这个模型可以被解释为谣言传播模型，而且得到了该模型传播的临界指数，研究了临界点的随机性与网络的连通性之间的关系。 Zhao [ 4 ] 在《社交网络中的谣言传播模式》指出：当考虑到遗忘与记忆机制的相互作用时，谣言传播模型与流行病传播模型就会存在显著差异，于是提出新的谣言传播模型SIHR模型。该模型考虑到人群中的无知者到顽抗者的过程与一种新型冬眠者的相关联系，然后对方程的稳态进行分析，并研究了在传播率、窒息率、遗忘率和网络平均程度不同状态下的最终传播规模，得到了谣言传播的阈值。最后通过龙格–库塔方法进行数值模拟。Zhu等 [ 5 ] 在最基础的SIR模型上，改进了新的谣言传播模型，用于研究复杂社会网络中的谣言传播问题。该论文中考虑连通性随环境的扰动，建立了均匀网络和非均匀网络中谣言传播的随机微分方程，分析新建模型解的性质以及该系统的稳定性。最后通过数据模拟给出了均匀网络下谣言扩散的阈值，并发现在异质网络中无谣言传播的阈值。 Liu等 [ 6 ] 提出了一种新的异质网络谣言传播模型，分析了系统的全局动力学行为，给出了该系统的谣言传播的阈值。陈安等 [ 7 ] 人以新冠肺炎为例，建立了以SEIR为基础的伪科学网络谣言传播模型，通过具体的数值分析，分析了伪科学网络谣言传播在本次新冠疫情期间的传播特点，给出了理论性的建议。 从谣言传播的研究结果来看，这些模型主要分为三种：第一种是基于传染病模型的改进，第二种是在复杂网络或者小世界网络上的谣言传播模型，第三种是以伪科学这类谣言传播的相关模型。实际上，谣言的传播还与媒体的报道效果以及媒体的官方性有关，其中媒体的相关报道对谣言传播起到了至关重要的作用。宋雪等 [ 8 ] [ 9 ] 对受媒体正面报道和负面报道的谣言传播模型进行了研究，定义了系统的阈值，讨论了系统平衡点附近的动力学行为。在赵敏 [ 10 ] 的确定性模型中，考虑到官方媒体宣传的影响因素，因此原本的易感人群可分为两类，一是未受到官方媒体宣传影响的易感人群，二是受到官方媒体宣传的易感人群，建立了如下的微分方程： { d S u ( t ) d t = q Λ − β S u ( t ) I ( t ) − γ S u ( t ) d S e ( t ) d t = ( 1 − q ) Λ − β σ S e ( t ) I ( t ) − γ S u ( t ) − μ S e ( t ) d I ( t ) d t = β S u ( t ) I ( t ) + β σ S e ( t ) I ( t ) − γ I ( t ) − μ I ( t ) d R ( t ) d t = μ S e ( t ) + μ I ( t ) − γ R ( t ) (1) 其中： S u ( t ) 表示易感人群中未受官方媒体影响下的人群数量； S e ( t ) 表示易感人群中受官方媒体影响下的人群数量； I ( t ) 表示谣言传播者的数量； R ( t ) 表示谣言免疫者的数量； Λ 表示该系统原有的总人数； σ 表示媒体宣传程度的有效性； γ 表示影响因子：当到达一定时间段的时候，系统里面的人对社会状况的认知会发生改变，从而影响系统中的四类人离开此系统。作者研究了模型(1)的无谣言平衡点和正平衡点附近的动力学行为。 结合上述分析，本文在官方媒体影响下的谣言传播模型的基础上，考虑影响因子 γ 随环境变化而发生改变，不再是个固定的数值。所以，本文考虑把影响因子 γ 添加一个随机扰动项，即 γ → γ + σ 1 B ( t ) ，那么就能得到如下随机微分方程为： { d S u ( t ) = ( q Λ − β S u ( t ) I ( t ) − γ S u ( t ) ) d t − σ 1 S u ( t ) d B ( t ) d S e ( t ) = ( ( 1 − q ) Λ − β σ S e ( t ) I ( t ) − γ S e ( t ) − μ S e ( t ) ) d t − σ 1 S e ( t ) d B ( t ) d I ( t ) = ( β S u ( t ) I ( t ) + β σ S e ( t ) I ( t ) − γ I ( t ) − μ I ( t ) ) d t − σ 1 I ( t ) d B ( t ) d R ( t ) = ( μ S e ( t ) + μ I ( t ) − γ R ( t ) ) d t − σ 1 R ( t ) d B ( t ) (2) 根据确定性模型的假设 [ 10 ]，这里也有如下规定： 1) 在这个系统中的所有人都将被认为是易感人群； 2) 这里 Λ 表示的是整个系统的总人数，那么在这个系统中， q Λ 表示最初该系统中受到官方媒体影响的易感人群的数量，而 ( 1 − q ) Λ 就表示该系统中未受官方媒体影响的易感人群最初数量； 3) 受官方媒体影响的易感者以 σ β 的概率变成为谣言传播者，未受官方媒体影响的易感人群以概率 β 转化为谣言传播者； 4) 一段时间后，考虑系统中有一定比例 γ 的人会由于社会认知等原因而离开系统； 5) 在谣言传播的整个过程中，会因为其他因素或环境等变化等影响，受到官方媒体影响的易感者和谣言传播者这两类人的数量，将会以概率 μ 转变成谣言免疫者。 上述过程就可以用如下文献 [ 10 ] 流程图表示(图1)： 图1. 谣言传播过程示意图
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user: 2. 正解的存在唯一性 在研究系统(2)的动力学行为之前，首先需要研究其正解的存在唯一性，这样才能保证方程的现实意义。显然系统(2)的系数是局部李普希兹连续的，但不满足线性增长条件，因此一般的存在唯一性将不再适用于此过程的证明，于是这里采用构造李雅普诺夫函数的方法进行正解存在唯一性的证明。 定理1对于任意给定的初值 ( S u ( 0 ) ， S e ( 0 ) ， I ( 0 ) ， R ( 0 ) ) 系统存在唯一正解 ( S u ( t ) ， S e ( t ) ， I ( t ) ， R ( t ) ) 对所有 t ≥ 0 ，并且解以概率1存在。 证明 显然随机微分方程组(2)的系统满足局部 李普希兹条件。对任意给定的初值，有最大的唯一解 ( S u ( t ) ， S e ( t ) ， I ( t ) ， R ( t ) ) ∈ [ 0， τ ε ) ，其中 τ ε 是爆破时间，令 k 0 充分大，且 k 0 > 0 ，对 ( S u ( 0 ) ， S e ( 0 ) ， I ( 0 ) ， R ( 0 ) ) 在 [ 1 k 0 ， k 0 ) 中。对每个正数 k > k 0 ，定义停时 τ k = inf { t ∈ [ 0 ，   τ e ) : S u ( t ) 或 S e ( t ) 或 I ( t ) 或 R ( t ) ∉ ( 1 k ，   k ) } 。当 k → ∞ 时， τ k 单调增长，令 τ ∞ ≜ lim k → ∞ τ k ，显然 τ ∞ ≤ τ ε a . s . 。因此只需证 τ ∞ = ∞ a . s . 。否则，存在常数 T > 0 ， k 1 > k 0 ， ε ∈ ( 0 ， 1 ) 使得 P ( Ω k ) ≥ ε ，对所有的 k > k 1 成立，其中 Ω k = { τ k ≤ T } 。 构造李雅普诺夫函数 V ( S u ( t ) ， S e ( t ) ， I ( t ) ， R ( t ) ) = S u + a − a ln S u a + S e + a − a ln S e a + I + 1 − ln I + R + 1 − ln R ， 根据伊藤公式得到 L V = ( 1 − a S u ) ( q Λ − β S u I − γ S u ) + a 2 σ 1 2 + ( 1 − a S e ) ( ( 1 − q ) Λ − β σ S e I − γ S e − μ S e ) + a 2 σ 1 2           + ( 1 − 1 I ) ( β S u I + β σ S e I − γ I − μ I ) + 1 2 σ 1 2 + ( 1 − 1 R ) ( μ S e + μ I − γ R ) + 1 2 σ 1 2       ≤ Λ − γ S u − γ S e − γ I − γ R + a β I + 2 a γ + a σ 1 2 + a β σ I + σ 1 2 + a μ + μ + 2 γ       ≤ Λ + 2 a γ + a σ 1 2 + σ 1 2 + a μ + μ + 2 γ + ( 2 a β − γ ) I 。 令 2 a β − γ = 0 ， 则 a = γ 2 β ， 因此 L V ≤ Q ，其中 Q = Λ + 2 a γ + a σ 1 2 + σ 1 2 + a μ + μ + 2 γ 。 由 E V ( S u ( T ∧ τ k ) ， S e ( T ∧ τ k ) ， I ( T ∧ τ k ) ， R ( T ∧ τ k ) ) ≤ V 0 + E ∫ 0 T ∧ τ k Q d s ， 得 E V ( S u ( T ∧ τ k ) ， S e ( T ∧ τ k ) ， I ( T ∧ τ k ) ， R ( T ∧ τ k ) ) ≤ V 0 + Q T ， 在Ω k 内， τ k ≤ T 且 S u ( τ k ) ， S e ( τ k ) ， I ( τ k ) ， R ( τ k ) 至少有一个等于k或 1 k ，有 V ( S u ( τ k ) ， S e ( τ k ) ， I ( τ k ) ， R ( τ k ) ) ≥ ( k + 1 − ln k ) ∧ ( 1 k + 1 + ln k ) ∧ ( k + a − a ln k a ) ∧ ( 1 k + a + a ln k a ) ， 因此可以得到： V 0 + Q T ≥ E [ 1 Ω k V ( S u ( τ k ) ， S e ( τ k ) ， I ( τ k ) ， R ( τ k ) ) ] ≥ P ( Ω k ) ( k + 1 − ln k ) ∧ ( 1 k + 1 + ln k ) ∧ ( k + a − a ln k a ) ∧ ( 1 k + a + a ln k a ) 。 当 k → ∞ 时，   V 0 + Q T = ∞ ，这与 V 0 + Q T < ∞ 产生矛盾，因此 τ ∞ = ∞ a . s 。 系统(1)的边界平衡点为 E 0 = ( q Λ γ ， ( 1 − q ) Λ γ + μ ， 0 ， μ Λ ( 1 − q ) γ ( γ + μ ) ) ，其含义是指网络中没有谣言进行传播，也叫做无谣言传播平衡点。在文献 [ 10 ] 中，研究了此无谣言传播平衡点的存在性，并定义了基本再生数 ℜ ′ 0 ，当 ℜ ′ 0 < 1 时，系统(1)的谣言传播就会逐渐消失。那么，在随机微分方程中，考虑了噪声的影响，边界平衡点仍然存在，那么是否可以定义新的基本再生数，使得满足相应条件时，边界平衡点仍具有某种性质？下面本文研究系统(2)在边界平衡点附近解的性态。
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user: 5. 小结 本文介绍的是官方媒体影响下的随机谣言传播模型。在受官方媒体影响下的确定性谣言传播模型中，存在影响因子 γ ，受时间推移、社会认知等因素而使得模型中的四类人以 γ 比例的数量离开系统，其中文中仍然将影响因子 γ 作为固定的数值，但实际上影响因子很容易受到环境的改变而发生变化，因此用某个常数值来代替影响因子将不再适用于现实环境，于是本章建立新的随机微分方程，将影响因子考虑环境噪声的影响，即 γ → γ + σ B ˙ ( t ) ，然后分析其动力学行为。由于确定性模型的平衡点不在满足随机微分方程，但这类平衡点在系统(2)中的性质仍值得研究。最后发现，当满足三点要求时，即1) ℜ ′ 0 < 1 ，2) ( 1 + c 1 ) σ 1 2 < c 1 ( γ + μ ) + γ ；3) 2 σ 1 2 + 1 2 < 2 γ 其中 c 1 = 2 γ 2 β q Λ σ > 0 时，系统(2)的解在无谣言传播点附近是渐近稳定的。相比与确定性模型得到的条件时，即当 σ 1 ≠ 0 ，随机模型还需要满足(2)、(3)两点，这两点是对白噪声的限制，因此控制白噪声 σ 1 的大小能够限制谣言传播的水平，甚至消失。当 σ 1 = 0 时，此时没有白噪声的影响，与确定性模型结论保持一致。在讨论正平衡点附近的渐近性态时，本章发现，当满足以下四点条件，即1) ℜ ′ 0 > 1 ；2) 4 γ − b β 2 > 0 ；3) 2 γ − σ 1 2 > 0 ；4) 2 γ + d γ − σ 1 2 − d σ 1 2 2 > 0 时，系 统(2)的解在正平衡点是渐近稳定的，这说明相比于确定性模型的结论，随机模型增加了白噪声的影响，就需要满足另外的三个条件使得谣言传播在一个稳定的值附近波动。若没有白噪声的影响，就没有对 σ 1 的限制，则与确定性模型的结论保持一致。
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user: 摘要 本文探讨了以自蔓延高温合成技术制造的J55钢级为基管的陶瓷内衬油管为研究对象，通过自行设计开发的全尺寸拉伸测试方法对带接箍连接陶瓷内衬油管进行模拟井下工况受力情况。模拟了陶瓷内衬油管在井下受力的过程，克服了小试样研究井下力学性能的局限性。研究了陶瓷内衬油管的全尺寸拉伸后样品的表面状态，明确了全尺寸拉伸标准方法与关键参数。系统阐述了全尺寸拉伸评价测试的具体方法，为今后陶瓷内衬油管的质量控制提供借鉴。为陶瓷内衬油管的规范化应用提供了科学的评价依据以及为油田的选用产品提供了可靠的质量控制方法。
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user: 1. 前言 随着我国油气开发的深入以及开发时间的延长，油水井的状况越来越复杂，腐蚀、结垢、出砂等成为油水井管理的难题，井况日趋恶化，油管使用寿命减短，废旧油管的淘汰数量增多。近年采油单位由于管漏、管脱、结垢等造成的重复作业工作量每年约上百次，约占作业工作量的40%以上[ 1 ] [ 2 ]。各油田不断探索和开展废旧油管的再制造修复。近几年发展起来的离心自蔓延高温合成法(SHS)将氧化铝陶瓷(α-Al 2 O 3 )内衬制备在油管内壁，生产出的陶瓷内衬复合油管具有优良的耐蚀性、耐磨性、隔热性等特点，为解决以上问题提供了新途径[ 3 ] [ 4 ]。该方法工艺简单灵活、设备要求不高、生产率高、成本低，陶瓷内衬复合油管在油田开采领域具有极大的应用潜力和前景[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]。极大提高了油管的防腐、防垢、防蜡、耐磨等性能，修复后的油管综合使用寿命是普通新防腐油管的3倍以上，延长了油管的使用寿命。油田80%的废旧油管再制造后重复利用，降低了油水井生产成本，为油田采出水回注井的精细管理，提质增效开辟了新的有效途径和方法[ 2 ] [ 3 ]。目前陶瓷内衬油管已经在靖边油田得到良好的应用。利用油管内衬金属陶瓷再制造技术，可提高油水井的检串周期、降低作业频次、减少油管投入成本，具有极大的社会效益和经济效益[ 1 ]。 当前没有成熟的试验方法来评价陶瓷内衬油管的井下受力情况，油田用户无法掌握陶瓷内衬油管的实际应用过程的力学性能。限制了该类管材的进一步推广。因此，本文采用离心SHS法制备了陶瓷内衬J55钢复合油管，选择了油田用户迫切关心的含接箍连接方式的复合油管为研究对象，研究了复合油管的全尺寸拉伸方法。通过有效模拟复合油管在井下的受力情况，为陶瓷内衬油管的规范化应用提供科学的评价方法。
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user: 2. 全尺寸拉伸试验过程 2.1. 样品概况 (1) 样品制备 样品制备采用松原大多油田配套产业有限公司提供的普通J55钢油管，规格为73 × 5.5 mm。试验用氧化铁粉(粒径约75 μm)、铝粉(粒径19~23 μm)、硅粉(粒径约5 μm)。采用离心SHS法制备陶瓷内衬J55钢复合油管，按质量比3:1称取氧化铁粉和铝粉，并添加少量硅粉，混合均匀形成铝热剂，放入200℃烘箱中烘干后，将其置入经热解除油、喷砂矫直处理的J55油管中，铝热剂用量控制在1.1 g∙cm −2 内；将装好铝热剂的J55油管放入离心机并调整油管中心，启动离心机待其转速达到2400 r∙min −1 时点燃铝热剂，反应完成后平稳降低离心机转速至停止，自然冷却后得到复合油管备用，制备过程见图1。 (2) 样品结构 陶瓷内衬油管结构见图2。陶瓷内衬油管端面图见图3。采用符合标准规定的连接用接箍，为确保接箍和油管密封防腐，接箍内部内嵌非金属保护环与油管管端配合。带接箍的陶瓷内衬油管结构示意图见图4，带内嵌非金属保护环的接箍图见图3。 图1. 陶瓷内衬油管制备过程示意图 图2. 陶瓷内衬油管结构示意图 图3. 陶瓷内衬油管端面与内嵌非金属保护环的接箍图。(a) 陶瓷内衬油管端面图；(b) 带内嵌非金属保护环的接箍图 图4. 带接箍连接陶瓷内衬油管结构示意图 (3) 样品要求 样品长度为3 m，接箍位于样品中部。样品的两端需提前制备便于插入拉伸销子的孔，或者留有便于安装拉伸模具的至少30 mm长度的空白区域。样品的数量每组不少于3个，并保证同批有3个有效试样。所有用于试验的试样均应准备一定数量的备用试样，这些试样可用于预演试验、或用于替换正式试验中途失败的正式试样。 2.2. 实验室环境条件 温度：(23 ± 2)℃；相对湿度：(50 ± 10)%。若不具备实验室标准环境条件时，选择接近实验室标准环境条件的实验室环境条件。 2.3. 试验设备 采用复合加载试验机或者其他可以进行金属油管拉伸的试验机。试验机要求如下： (1) 试验机载荷相对误差不应超过±1%。 (2) 能获得恒定的试验速度。当试验速度不大于10 mm/mm时，误差不应超过20%；当试验速度大于10 mm/mm时，误差不应超过10%。 (3) 试验设备定期经具有相应资格的计量部门进行校准。 (4) 夹持装置应具有足够强度和尺寸加工精度。在拉力作用下，不使试样在夹持段内破坏，且应尽量避免与试样产生相对位移。 2.4. 试验步骤 (1) 样品状态调节 试验前，样品需在实验室标准环境条件下至少放置24 h。或者特殊状态调节条件按客户而定。 (2) 试样的外观检查 试验前，试样需经外观检查，对所有进行全尺寸拉伸价试验的试样进行超声波、磁粉或电磁探伤，检查其是否存在缺陷，采用内窥镜对整个样品进行检测。如有缺陷，应予以作废，含接箍连接的试样应额外对接箍部分进行缺陷检查。 (3) 样品尺寸检验 按规定的标准进行试验前后测量试样的几何尺寸，并记录全部数据。这些测量项目包括试样的平均外径、壁厚、长度、内径、内衬层壁厚、不圆度、拉伸伸长长度等尺寸，试样尺寸测量精确到0.01 mm。 (4) 将装好样品的夹持装置安装在试验机的两夹头间。试样中心线与试验机的中心线应重合，不允许偏心加载，陶瓷内衬油管全尺寸拉伸见图5。 (5) 在管体外表面固定听诊器探测头，另一端与试验员相连接。管体内部可安装摄像头，进行试验过程影响采集。管体外安装引伸计。 图5. 陶瓷内衬油管试样与全尺寸拉伸图示 (6) 根据用户井深的情况，计算实际使用井深条件下复合管承受的拉力。设定该拉力值为该试验最大极限值，或不设定最大极限值。 (7) 按照标准规定进行设定试验加载速度，均匀、连续加载。 (8) 当听到第1声陶瓷内衬层断裂声音时，记录此时加载力值。不间断加载，直至试样拉伸破坏，陶瓷发生大量碎裂脱落为止，记录载荷最大值。结合复合管内部的影像采集，进行失效载荷判断。 (9) 若试样破坏在夹持段内或有明显缺陷处，应予作废。同批有效试样不足3个时，应重新做试验。 (10) 若达到设定的最大极限值，仍未听到陶瓷断裂声音或观察到其他失效现象，则试验结束。 (11) 试验结束后，卸下试样，采用内窥镜进行复合管内表面与接箍检测，检测复合管内表面与接箍是否存在裂纹以及管材裂纹位置与裂纹程度。 (12) 拉伸断裂强度按公式(1)计算。 σ k = P k /S (1) 式中： σ k ——断裂强度(MPa)； P k ——断裂载荷(N)； S——陶瓷内衬管的横截面积(mm 2 )。 (12) 试验报告 试验结果应以报告形式给出，除有特殊要求外，一般试验报告应包括以下内容：制造商、试样类型(是否含接箍)、试验时间及地点、试验操作者、试样尺寸、试验温度和加载速率、是否失效以及失效位置、失效载荷、试样变形情况与裂纹情况。
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user: 3. 全尺寸拉伸试验方法探讨 通过自行设计开发的全尺寸拉伸测试方法对带接箍连接陶瓷内衬油管可以完全模拟井下工况受力情况。该测试方法不仅可以掌握陶瓷内衬油管的失效载荷，也能够模拟在一定井深条件下陶瓷内衬油管受力的情况，克服了小试样研究井下力学性能的局限性。针对陶瓷内衬油管产品的特性，该文的测试方法与常规油管的全尺寸拉伸有以下创新：(1) 采用听诊器进行分辨细微的陶瓷破裂声。该方法是第一时间掌握陶瓷失效载荷的有效手段。(2) 通过全尺寸拉伸过程中管体内部与接箍状态的影像记录，进行实时掌握试样的状态。(3) 对复合油管与接箍部分采用无损探伤加内窥镜的方式进行试验前产品状态确定，尤其对接箍与陶瓷层过渡部位进行检测，检查是否有陶瓷裂纹或有碎块脱落，若没有该现象，则可以判断该接箍与复合油管结合有效，对腐蚀介质有一定的防护作用。(4) 可测试试样是否能应用于实际工况井深，若试样达到井深对应的拉力仍未出现裂纹或失效，则判断该复合油管具备油井应用的前提条件。(5) 通过规定陶瓷复合油管夹持位置至少具备便于安装拉伸模具30 mm长度的空白区域来减少夹持模具对陶瓷内衬层的破坏以及影响失效载荷的判断。陶瓷内衬油管失效图见图6。 图6. 陶瓷内衬油管失效图。(a) 微裂纹；(b) 接箍内非金属环未匹配；(c) 环裂纹；(d) 碎块脱落
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user: 4. 结论与建议 对于模拟陶瓷内衬油管在井下工况受力情况，本文针对陶瓷内衬油管产品的特性设计开发的全尺寸拉伸测试方法是有效的。尤其是可以为用户提供了在一定井深条件下陶瓷内衬油管是否能够使用的充分的依据。本文测试的陶瓷内衬油管在模拟3000米井深的拉力条件下未发生裂纹，因此，可以初步判定该类产品可以在3000米井深以内的油田进行推广应用。建议进一步完善全尺寸陶瓷内衬油管全尺寸拉伸系统，包括加持试样、内窥镜、引伸计等。尽快建立全尺寸陶瓷内衬油管的拉伸评价方法与标准，为今后陶瓷内衬油管的质量控制提供依据。加强全尺寸陶瓷内衬油管的全尺寸拉伸评价研究。不断的为陶瓷内衬油管的质量控制提供更可靠的方法。
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user: 摘要 构建一类新的拟合效果更好的洛伦兹曲线模型，并针对1977年美国收入分配分组数据进行数值实验。实验结果表明，该类模型拟合效果较好。
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user: 1. 引言 洛伦兹曲线作为刻画社会收入分配的不平等程度或贫富差距程度的一个有效工具，洛伦兹曲线得到了广泛而深入的研究。到目前为止，已经发现了几十种洛伦兹曲线模型用以拟合分组形式的收入分配数据。文献 [ 1 ] 列出了直到迄今为止的数理经济理论界发现的所有洛伦兹曲线模型，并进行了比较。随后不少人 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] 陆续提出了若干新模型。已有的这些模型存在诸多问题：例如拟合效果欠佳，不能提供整个[0， 1]区间上的良好逼近(例如见 [ 6 ] [ 7 ] )，有些模型甚至不满足洛伦兹曲线的条件(见 [ 1 ] [ 7 ] )。数理经济学界仍在积极寻找拟合效果良好的模型，任何新模型对收入分配分析都具有重要意义。 设收入分配的概率密度函数为 f ( x ) ，对应的概率分布函数为 F ( x ) ，则 p = F ( x ) 表示收入低于或等于x的人口比例。记收入低于或等于x的人口群体拥有收入占总收入的比例为 L ( p ) ，则 L ( p ) = 1 μ ∫ 0 x t f ( t ) d t p = F ( x ) ，其中 μ 为平均收入。记 F ( x ) 的反函数为，则 F − 1 ( p ) L ( p ) = 1 μ ∫ 0 p F − 1 ( q ) d q 。因此，只要知道收入分配的统计分布，就可以得到相应的洛伦兹曲线。可以通过入户调查来获取家庭收入和消费等数据，用 p i 表示的是低收入群体的累计人口比例， L i 表示的是该群体拥有的总收入比例，则其形式为 { ( p i ， L i ) } i = 1 n 。用最小二乘法对数据进行拟合，通过拟合来确定 L ( p ， τ ) 参数向量 τ 的估值 τ ^ 。最后使用 L ( p ， τ ^ ) = L ^ ( p ) 来近似描述收入分配情况。 L ( p ， τ ) 是定义在区间 [ 0 ， 1 ] 上取值于区间 [ 0 ， 1 ] 的函数，并且满足 L ( 0 ， τ ) = 0 ，     L ( 1 ， τ ) = 1 ，     L ′ ( p ， τ ) ≥ 0 ，     L ″ ( p ， τ ) ≥ 0. (1) 即 L ( p ，   τ ) 是 [ 0 ， 1 ] 上关于p的凸增函数。
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user: 2. 构建洛伦兹曲线模型 文献 [ 8 ] 提出了形如 G ( p ) = p e a ( 1 − p ) ， a < 0 的指数洛伦兹曲线模型。容易验证，当 a > 1 4 时， G ( p ) 为 [ 0 ， 1 ] 上的凹函数，不满足洛伦兹曲线条件。最近， [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] 提出了 H ( p ) = f ( p ) g ( p ) 形式的凹凸组合的洛伦兹曲线模型，其中 f ( p ) 为凹函数， g ( p ) 为凸函数。因此，一个自然的想法能否将 G ( p ) = p e a ( 1 − p ) ， ( a > 1 4 ) 与某些凸函数进行组合。得到拟合效果更好的一类新的洛伦兹曲线模型。为此，我们考虑将其与幂函数组合，得到 H ( p ) = p α e a ( 1 − p ) 形式的洛伦兹曲线模型。 定理1 当 1 4 ≤ a ≤ 1 ， α ≥ 2 a + 1 + 4 a 2 + 1 2 时， H ( p ) 满足洛伦兹曲线条件。 证明 为了证明 H ( p ) 满足洛伦兹曲线条件，需验证 H ( p ) 满足(1)式。显然， H ( 0 ) = 0 ， H ( 1 ) = 1 。 H ′ ( p ) = α p α − 1 e a ( 1 − p ) + p α ( − a ) e a ( 1 − p ) = ( α p α − 1 − a p α ) e a ( 1 − p ) = e a ( 1 − p ) p α − 1 ( α − a p ) . 当 1 4 ≤ a ≤ 1 ， p ∈ [ 0 ，   1 ] ， α ≥ 2 a + 1 + 4 a 2 + 1 2 时，易知 H ′ ( p ) ≥ 0. H ″ ( p ) = ( − a ) e a ( 1 − p ) p α − 1 ( α − a p ) + e a ( 1 − p ) ( α − 1 ) p ( α − 2 ) ( α − a p ) + e a ( 1 − p ) p ( α − 1 ) ( α − a )                     = e a ( 1 − p ) p α − 2 ( − a p ( α − a p ) + ( α − 1 ) ( α − a p ) + p ( α − a ) )                     = e a ( 1 − p ) p α − 2 ( − a p α + a 2 p 2 + α 2 − α a p − α + a p + α p − a p )                     = e a ( 1 − p ) p α − 2 ( − 2 a p α + a 2 p 2 + α 2 − α + α p )                     = e a ( 1 − p ) p α − 2 ( a 2 − ( 2 a p + 1 ) α + a 2 p 2 + α p ) . 因为 p ∈ [ 0 ，   1 ] ， 1 4 ≤ a ≤ 1 时，所以当 α ≥ 2 a + 1 + 4 a 2 + 1 2 时， H ″ ( p ) ≥ 0 ，定理证毕。
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user: 3. 数值实验 利用Basmann (1990)实例分析中所给出的1977年美国100个分位点的详细收入分配分组数据对周递芝(2018)中 J ( p ) = p α sin ( π 2 p ) ， ( α > 1 + π 2 ) 以及我们的 H ( p ) = p α e a ( 1 − p ) ， ( α > 2 a + 1 + 4 a 2 + 1 2 ，   1 4 ≤ a ≤ 1 ) 进行数值实验，并比较。定义残差平方和为 S S R = ∑ i = 1 n [ L ( p ， τ ^ ) − L i ] 2 ，最大绝对误差 M A S = max 1 ≤ i ≤ n   | L ( p ，   τ ^ ) − L i | ，基尼系数 G = 1 − 2 ∫ 0 1 L ( p ) d p 。借助Lingo11和matlab得出的实验结果见表1。 Table 1 Test results of mean square error of income group data of the United States in 197 SSR MAS G J ( p ) 0.1191427E-02 0.8428122 0.339733 H ( P ) 0.8449939E-03 0.0530572 0.378377 表1. 1977年美国收入分组数据均方误差检验结果 通过数值实验结果的比对， H ( p ) 的残差平方和和最大绝对误差都是最小，这表明了我们构建的新模型拟合效果有了很大的改善，该模型的拟合精度更高，适应性更强。因此，我们构造的洛伦兹曲线模型是对既有洛伦兹曲线模型的有效拓展。
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user: 摘要 基于预先处理得到的前九个月销售量数据性质离散∞，通过建立灰色预测GM(1，1)模型，预测后三个月的销售量并进行误差分析。再结合主成分分析，通过降维来更好地突出模型的优点，提出主成分回归–灰色预测模型，减少了回归分析所需要考虑的变量个数，并使预测结果具有较好的准确性，具有较好应用前景。本文结合主成分分析、灰色预测的优点，通过降维将粗糙但相关性高的成分组合，预测销售量，给出进货建议。
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user: 1. 引言 随着我国经济发展，消费市场的逐步发展，市场上的消费模式不断变化，逐渐由“以物为主”转变成“以客为主”的销售模式 [ 1 ]。消费者的需求日趋多样化、个性化，对应的市场供应也需调整。在此类销售模式和这类特殊需求的推动下，新零售企业的生产模式逐步向多品种、小批量迈进，这让商场内零售店铺里的饰品和玩具等种类变得更加琳琅满目，然而需求小众，单品的购买量小 [ 2 ]。要求门店种类繁多，数量少。本文要解决的具体问题是以种类为层级给出按月精准需求预测，并给出商场进货建议。
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user: 2. 数据来源 本文用到的数据来自某大型商贸平台给定区域内2018~2019年不同销售小类的产品销售信息，本文预测给定区域内目标小类在2019年10月1日后3个月中每个月的销售量，与实际比较后，给出每个月预测值的平均绝对百分比误差(MAPE)。其中，目标小类为历史销售时间处于2019年6月1日至2019年10月1日内且累计销售额排名前10的小类。本文最后给出了部分数据样表。
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user: 5. 结果分析 发现经过主成分分析回归预测，和灰色预测GM(1，1)模型比较，发现基于主成分分析的回归预测后的灰色预测能够校正主成分分析中的个别偏大误差，得出的模型结合两种模型的优点可以用于预测销售量，在进货上根据预测值进货、备货。
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user: 摘要 给定一组数据(例如一些点及相应点处的函数值)，找到未知函数的表达公式——函数逼近问题是数学与工程应用中的一个基本问题。传统的数值方法多采用多项式插值法(例如拉格朗日插值法、牛顿插值法、三次样条法等)，本文通过构造前馈神经网络函数得到未知函数的表达式，讨论其处理函数逼近问题的优缺点。具体说来，先介绍训练多元函数的前馈神经网络的详细计算过程，然后分析隐含层节点数目对该网络的精度影响问题。最后通过数值计算结果证实前馈神经网络可用来逼近一元函数、二元函数、三元函数，能够达到较高的计算精度。本文的讨论适用于其他类人工神经网络在四元或四元以上的多元函数逼近问题的研究，也有助于理解相关人工神经网络的基本性质与作用。
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user: 1. 引言 给定一组数据，找到能代表该数组的函数表达式是数学与工程应用中的一个基本问题。函数逼近问题能够应用于解决地震勘探、信号处理、物理探矿等方面的实际问题 [ 1 ]。随着计算机技术的不断发展，人工神经网络已经成为简便的计算工具。人工神经网络处理数据具有计算简便、耗时短、精度高等优点 [ 2 ]，很多大数据复杂计算问题应用人工神经网络来解决。前馈神经网络作为人工神经网络的一个重要分支，研究它在多元函数逼近中的应用，一方面可解决前述基本问题，另一方面，通过研究该基本问题可验证它的性能、掌握训练神经网络的主要步骤。 由于人工神经网络解决函数逼近问题时便捷、精准的特点，在上世纪，人们就开始了对它的研究。早在20世纪90年代，国外的学者们就已经开始了对人工神经网络解决函数逼近问题的早期探索。在1993年，Bulsari A. [ 3 ] 提出了利用前馈神经网络解决一些特殊函数的逼近问题，并选用Sigmoid函数作为网络的传递函数来构造函数逼近网络。在1998年，Suzuki和Shin [ 4 ] 证明了三层人工神经网络可以应用于三角函数、分段线性函数的逼近问题。同年，Twomey J. M.和Smith A. E. [ 5 ] 应用人工神经网络可以解决数据不足时的函数逼近问题。随后，在2005年，Ferrari S.和Stengel R. F. [ 6 ] 利用前馈神经网络解决非线性函数逼近问题。在2013年，S. Yao、C. J. Wei和Z. Y. He [ 7 ] 将前馈神经网络中的RBF网络、BP网络和GRNN网络的性能进行比较，分析得出RBF网络在函数逼近中的精度和速度方面最优。 国内学者在20世纪末开始对人工神经网络解决函数逼近的问题进行研究。在1997年，韦岗、李华和徐秉铮 [ 8 ] 首次证明了前馈神经网络的隐含层神经元数目足够多时，其多维函数逼近能力与维数无关。该定理大大简化了前馈多层神经网络函数逼近问题的分析难度。在2005年，王强、余岳峰和张浩炯 [ 9 ] 以一个一维非线性函数为例论述了一个单隐层的前馈神经网络解决函数逼近问题的过程。随后，在2009年，侯木舟 [ 10 ] 提出了前馈多层神经网络函数逼近问题在股市数据预测、环境数据预测、EGG信号预测等方面的应用问题。在2016年，李鹏柱 [ 11 ] 研究了前馈神经网络的函数逼近中优化激活函数和固定权值的问题。 本文的研究建立在前人的研究基础上，主要有下述贡献点：寻找前馈神经网络中最适隐含层节点数目来增加网络的逼近精度；提出一种新的训练方法——贝叶斯归一化法 [ 12 ]，将参数映射到小范围内，使得求解极小值问题的收敛速度更快捷；最后总结了所构造的网络在所有函数逼近问题中的普遍应用的可能性。
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user: 2. 理论准备 2.1. 前馈神经网络 人工神经网络可分为前馈型和反馈型，相对于反馈型神经网络，前馈型神经网络各网络层的神经元间互不连接 [ 13 ]，即此网络各层之间没有反馈，是一种最简单的神经网络。 前馈神经网络中一般包括多层网络，每层网络有多个神经元。信息输入到输入层，单向传递到隐含层加入权值和阈值，经传递函数运算后到输出层，最后由输出层输出结果 [ 14 ]。 如图1所示，记 w ( 0 ) 为第1层隐含层的权值矩阵， w ( l ) 为第2层隐含层的权值矩阵， w ( l − 1 ) 为第l层隐含层的权值矩阵， w ( l ) 为输出层的权值矩阵；记 b ( 0 ) 为第1层隐含层的阈值矩阵， b ( l ) 为第2层隐含层的阈值矩阵， b ( l − 1 ) 为第l层隐含层的阈值矩阵， b ( l ) 为输出层的阈值矩阵； f ( 0 ) ( ⋅ ) 为第1层隐含层的传递函数， f ( 1 ) ( ⋅ ) 为第2层隐含层的传递函数， f ( l − 1 ) ( ⋅ ) 为第l层隐含层的传递函数，且所有传递函数默认为光滑连续的函数； f ( l ) ( ⋅ ) 为输出层函数 [ 6 ] [ 15 ]。 图1. 前馈神经网络简图 令x为输入数据矩阵，计算该数据传递到第1层隐含层得到输出值为 z ( 1 ) = f ( 0 ) ( w ( 0 ) ∗ x + b ( 0 ) ) (1) 然后经过第2层隐含层得到输出值为 z ( 2 ) = f ( 1 ) ( w ( 1 ) ∗ z ( 1 ) + b ( 1 ) ) (2) 依次向下传递到第l层隐含层得到输出值为 z ( l ) = f ( l − 1 ) ( w ( l − 1 ) ∗ z ( l − 1 ) + b ( l − 1 ) ) (3) 最后传递到输出层输出网络的结果为 y w ， b ( x ) = f ( l ) ( w ( l ) ∗ z ( l ) + b ( l ) ) (4) 前馈神经网络的工作过程分为正向传递学习和反向传递训练两个过程 [ 16 ]，其工作原理主要是对所涉及到的参数进行调整，最终使得网络误差最小。其中正向传递学习过程中，数据通过输入层进入网络，在隐含层中，代入权值和阈值、传递函数运算后，传到输出层。比较输出值和期望值，如若差别很大，则进行反向传递训练过程。在反向传递训练过程中，采用特定的训练方式，不断更新网络的权值和阈值，直到网络的输出与期望输出之间误差最小，最终得到一个精准的前馈神经网络。 2.2. 函数逼近问题 在数学研究和工程应用中存在以下函数逼近问题：已知函数 F ( x ) ，找到某类选定函数中的特定函数 g ( x ) ，使得 g ( x ) 可以在一定意义下近似表示 F ( x ) ，并求出近似误差。在函数逼近问题中，逼近已知函数的函数类是多样化的；即使确定了函数类范围，其中特定逼近函数 g ( x ) 仍然是多种多样的；另外特定逼近函数 g ( x ) 与被逼进函数 F ( x ) 的逼近误差的定义方式也不同。逼近函数有许多方法，包括插值法、线性(或非线性)回归法、基函数展开法、数理统计方法 [ 16 ]。 本文通过构造前馈神经网络函数来讨论函数逼近问题。它可以简单理解为用输入数据多次训练网络逼近函数，从而得到一个精准的神经网络函数，以便后续调用和改进。 2.3. 构造函数的逼近网格 构造逼近函数的前馈神经网络大致分为以下四个步骤： 第一步，给定的一组数据。本文中选取函数定义域中的N个点及点处的函数值作为已知数据： ( x i ， F ( x i ) ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ) 。 第二步，选择前馈神经网络的结构，包括网络层数目，各层神经元的数目，以及传递函数，进而构造出前馈神经网络函数(参见公式(4))。 第三步，训练前馈神经网络的参数。 若前馈神经网络的误差函数 [ 17 ] 定义为 f ( w ， b ) = 1 N ∑ i = 1 N [ y w ， b ( x i ) − F ( x i ) ] 2 (5) 其中， y w ， b ( x ) 为神经网络输出函数，其形式如公式(4)所示。 ( x i ， F ( x i ) ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ) 为给定的N个样本，w为权值矩阵，b为阈值矩阵。 该训练过程的目标是求出特殊的权值矩阵 w * 和阈值矩阵 b * ，使得此时的目标误差函数 f ( w * ， b * ) 最小(接近于0)，输出此时的权值矩阵 w * 和阈值矩阵 b * ，代入激活函数中求得该神经网络函数。训练过程就是利用迭代法求解如下极小值问题： 找特殊的权值矩阵 w * 和阈值矩阵 b * 使得 f ( w * ， b * ) ≤ f ( w ， b ) 对任意的权值矩阵w和阈值矩阵b都成立。 第四步，得出该网络函数表达式 y w * ， b * ( x ) ，并画出所训练的前馈神经网络和原函数的对比图，同时结合网络的输出值的绝对值误差图来分析网络的精度。 注意： (1) 在第二步中，隐含层节点数目多少与网络的逼近精度有关。对于隐含层节点数目，过少会导致网络不拟合函数，而节点数目太多会造成网络的过适性现象，所以可以通过改变其隐含层节点数目来优化网络的效果。本文中各隐含层的传递函数选择“ l o g s i g ( x ) ”函数 [ 5 ]，此函数光滑连续符合网络的传递函数要求，其函数表达式如下： l o g s i g ( x ) = 1 1 + e − x (6) 在隐含层和输出层之间的传递函数选择“ p u r e l i n ( x ) ”函数 [ 5 ]，此函数值可以取任意值，符合网络的输出范围要求。其函数表达式如下： y = x (7) (2) 在第三步中，选择何种求极小值问题的迭代方法也很重要，这会影响整个网络的逼近精度。本文选择MATLAB中的“ t r a i n b r ( x ) ”函数 [ 5 ] 来训练该网络。该函数利用一种随机梯度下降法——贝叶斯归一化法来求解上述极小值问题。在贝叶斯归一化法使用过程中 [ 17 ]，假定网络的权值和阈值是按照指定分布随机可变的，根据贝叶斯法则更新权值和阈值密度函数，再求均方误差函数最小时的权值和阈值。“ t r a i n b r ( x ) ”函数将参数映射到小范围内，使得求解极小值问题的收敛速度更快捷。
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user: 4. 结语 本文通过数值计算结果证实前馈神经网络可用来逼近一元函数、二元函数、三元函数，能够达到较高的计算精度。发现输入样本的数量多少会影响神经网络计算的速度和精度，神经网络隐含层数目也会影响神经网络的逼近精度，建议同时改变输入样本的数量和隐含层数目来增加神经网络的逼近精度。本文的讨论具有一般性，适用于其他类人工神经网络在四元或四元以上的多元函数逼近问题的研究，也有助于理解相关人工神经网络的基本性质与作用。
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user: 摘要 近年来，许多学者通过节点Nehari流形的方法研究了带有非线性项 f ( x ， u ) 的Kirchhoff型方程的变号解的存在性，其中 f ( x ， u ) 具有3阶超线性增长。然而对于 2 < p < 4 情况，由于限制在节点Nehari流形上的Palais-Smale序列是无界的，这样的方法就不能直接应用。在本文中，通过限制Nehari流形的方法，我们致力于研究 2 < p < 4 情况下Kirchhoff型方程的变号解的存在性。