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user: 2. 时均流速垂向分布形式研究进展 2.1. 冠层之上的对数流速分布规律 在冠层以上流动区域内，有研究者观测到时均流速垂向分布仍然符合某种形式的基于Nikuradse水力粗糙度修正的对数规律(公式(1))，他们认为植物冠层的存在使对数分布的零起点位置上移，此外公式中的水力当量粗糙度 ( z 0 ) 和积分常数 ( C ) 也发生变化。因此在Nikuradse公式 [ 28 ] 增加零平面位移参数 ( d ) [ 27 ] (公式(2))，并将公式中的 z 0 和C加以修正，再辅以植物冠层波动修正项 [ 25 ] ，通常可以得到与观测值吻合较好的对数分布表达式， u u * = 1 k ln z z 0 + C (1) u u * = 1 k ln z − d z 0 + C (2) 式(1) (2)中 代表水流中某点的垂向位置高度坐标；u代表对应于 点位置处的时均流速； u * 代表水流的剪切流速；k代表Karman常数； z 0 代表水力当量粗糙度；C代表积分常数；d代表零平面位移。 这类研究的关键在于确定植物冠层对3个参数 z 0 、d和 C 的影响。较早的研究认为植物冠层的存在使流速分布的起始零平面从底床附近抬升至冠层顶部附近，因而将冠层的几何高度 ( h p ) 合成为某种函数形式的粗糙长度参数 ( f ( h p ) ) ，并将该参数放在Nikuradse公式中作为零平面位移d (公式3)，然后通过调整积分常数C使公式与实测值吻合 [ 1 ] [ 3 ] [ 9 ] [ 13 ] [ 27 ] 。 u u * = 1 k ln z − f ( h p ) z 0 + C (3) 公式(3)中没有直接反映淹没水生植物冠层对 z 0 的影响，它通过调整C将 z 0 对流速的影响反映出来。 进一步的研究认为在含淹没水生植物冠层的水流中， z 0 由无植物情况下的砾石级尺度增加至冠层高度(h p )尺度，因而假定 z 0 = g ( h p ) 并将其直接代入Nikuradse公式中(公式4) (图1)。然而影响 z 0 的主要因素除了冠层的几何高度，还有植物的分布密度、分布模式、植物形态、及其动态弯曲和波动特征。甚至有研究表明，这些因素的总和可以使 z 0 达到h p 的4倍以上。 u u * = 1 k ln z − f ( h p ) g ( h p ) + C (4) 图1. 冠层之上对数流速分布示意图 针对植物多因素对 z 0 的影响，有研究者尝试使用新的反映水力当量粗糙度的尺度。例如：Christensen (1985) [ 1 ] 保持了Nikuradse公式中的积分常数值C = 8.5，将零平面位移提高至弯曲植物冠层顶部，把冠层以上因受植物影响而改变的流速完全由 z 0 来表达。该方法通过调整 z 0 可以得到与实测数据吻合较好的时均流速分布曲线，然而由于 z 0 是通过调试的方法确定，因此实际使用中只能根据经验估计其值。Stephan & Gutknecht (2002) [ 25 ] 定性地分析了 z 0 和 的关系，他们对三种柔性淹没水生植物进行了室内水槽实验研究，将波动冠层的平均高度作为h p ，分析得出 z 0 与h p 具有同阶数值，且 z 0 随着h p 的增加而升高。 理论上，从植物冠层内部较小的定常流速高度以上直到与冠层之上剪切流衔接的区域内，上述对数流速分布律适用。然而，实际上其适用范围可向上延伸至接近水面附近，如：Nezu & Sanjou (2008) [ 29 ] 观测到其向上延伸到2倍以上冠层高度处。 综上所述，对于淹没水生植物冠层以上区域的水流，时均流速的对数流速分布规律仍然适用，但公式中各参数的准确确定处于探索阶段。对于 z 0 ，d和C的确定，目前仍主要依靠经验方法，其精确取值需要大量的实测数据进行统计分析，理论分析工作也有待进一步开展。 2.2. 具有拐点的流速分布规律研究 除冠层之上的对数流速分布律外，另一种观点是针对全水深范围的具有拐点的反正切 [ 15 ] 或双曲形分布 [ 20 ] 。该分布规律的主要依据是：在植物冠层顶部以下区域内，水流因受到冠层的阻力作用而使流速较小；在冠层以上区域内，因植物阻力的突然消失而使流速急剧增加；因而在这两层水体之间，必然存在一个流速分布的拐点 [ 22 ] ，这个拐点正是反正切或双曲形分布的主要特征(图2)。 图2. 具有拐点的流速分布 对于时均流速分布在含植物水流中的变化，其根源在于植物冠层的存在使水流的紊动特征发生了变化，因而由紊动剪切所导致的动量扩散发生了本质变化，最终改变了流速分布形态。因此，有研究尝试从紊动混合的角度去分析流速分布。一些研究者根据实测资料得出 [ 3 ] ：在冠层之上区域内紊动混合长度 ( l ) 的值与水流所在位置点到冠层顶部的距离呈正比，即 l ∝ ( z − z p ) ；并且冠层顶部位置处l的值最小。他们基于这2项特征提出了一些l的经验表达式，但由于缺乏进一步的限制条件来支撑微分式的定解，因而没有进一步推导出时均流速分布公式。 Carollo et al. (2002) [ 15 ] 在上述基本特征的基础上，再根据含淹没植物冠层水流紊动的新特征做出2项新的假定：剪切应力在冠层顶部达到最大值，即剪切应力 ( τ ) 对垂向位置坐标 ( z ) 的一阶导数为零；流速分布在冠层顶部出现拐点，即流速 ( u ) 对z的二阶导数为零。他们进一步以满足这2项假定为前提条件，提出一个新的Plandtl混合长度参数(公式(5))， l = [ k l ( z − z p ) 2 + l 0 ] τ τ max (5) 式(5)中 k l 代表数值常数； z p 代表冠层顶部处的位置高度； l 0 代表冠层顶部处的混合长度； τ 代表对应于位置高度 的剪切应力； τ max 代表垂向最大剪切应力，发生在冠层顶部位置。公式(5)也同时满足文献 [ 1 ] [ 3 ] 提出的关于柔性植物冠层之上水流区域内l的基本特征。 Carollo et al. (2002) [ 15 ] 由公式(5)对z的全微分，以他们所提出的2项新假定为定解条件，推导出时均流速垂向分布的4系数表达式， u max u * = b 0 + b 1 arctan ( 1 − a 1 a 2 ) (6) 式(6)中 u max 代表时均流速在垂向分布上的最大值； b 0 ， b 1 ， a 1 ， a 2 分别是4个系数。 表达式(6)是典型的反正切分布形式，其中4个系数对于分布曲线均有明确的几何涵义，因而也具有明确的物理涵义。其中 a 1 和 b 0 分别表征分布曲线在垂向和水平方向上的过渡，即植物冠层之内和之上两层水流之间的衔接处的弯曲程度； a 2 表征曲线的陡度，即冠层之上流速的增加速率； b 1 表征两条垂向渐近线的距离，即植物冠层之内和之上两个水流区域内的最大流速的差值。 公式(6)不仅表达了植物冠层之上的水流分布，也表达了冠层之内的流速分布，并且两层分布之间的衔接具有平滑的拐点，是属于全水深范围内的表达式。相对比而言，对数流速分布公式只能表达冠层之上的流速分布，对于冠层之内的分布没有涉及。 大多关于含淹没水生植物冠层的水动力特征的研究，都认可其时均流速分布在冠层顶部附近具有拐点 [ 20 ] ，也有研究认可双曲型分布 [ 22 ] 。Guo & Zhang (2016) [ 26 ] 通过解析的方法推导出冠层之上的双曲正弦和双曲余弦分布形态。这些函数表达式，通过调节其中的各参数都能得到与实测值较好的吻合效果，但公式中各项的物理含义有待进一步探讨。 2.3. 分段叠加混合分布规律 通常研究者认为时均流速的对数分布规律是属于边界层紊动垂向混合的结果，而具有拐点的反正切或双曲形分布规律是属于混合层紊动垂向掺混的结果。前者的实质是将淹没水生植物冠层当作水流的粗糙边界层，冠层之上的边界层紊动大涡不冠层内部穿透，因而忽略冠层内外两层水体的互相掺混；后者的实质是将植物冠层当作可供水流通过的粗糙孔隙介质，在冠层内、外两层流速不同的水体互相掺混产生混合层紊动大涡，从而引起其上区域内的动量交换。另外一些研究者根据冠层内、外两层水流区域内时均流速分布截然不同的特性，试图将流速分布沿垂线方向分段表达，并研究冠层之上这一段的流速分布 [ 25 ] 。Nikora et al. (2013) [ 22 ] 通过叠加的方法满足各段之间相互联系、衔接平滑的特征，因此产生了第三类分布形式，即分段叠加混合分布规律。 Nikora et al. (2013)将边界层紊动和混合层紊动两种观点融合在一起，提出了一种新的适用于全水深范围的分段叠加分布规律。他们将全水深自下而上分为5个区域：受底床面粗糙度影响的边界层区域；冠层以内的定常流速分布区域；冠层顶部存在流速分布拐点的区域；冠层之上的对数分布区域；以及更上层的尾涡影响区域。他们假定各区域对流速分布的影响以线性叠加的方式依次向上层区域传递，因而每一区域内的流速分布均由该区域内的主要影响因素所形成的分布形态线性叠加位于其上的各区域的分布形态而形成(图3)。其解析表达式如下： U f = U N B + U U D + U M L + U L L + U W F (7) 式(7)中 U f 代表时间–空间双平均流速； U N B 代表边界层内流速分布，因其值较小，通常忽略； U U D = ( g S b 0.5 C D a ) 1 / 2 代表冠层内定常流速分布，流速主要取决于植物特性及其阻力特征，其中 g 是重力加 速度， S b 是水流底坡， C D 是植物冠层的阻力系数， a 是未弯曲冠层单位体积内的植物迎水总面积； U M L = ( U i − U U D ) [ 1 + tanh ( z − z i L e ) ] 代表冠层顶部存在拐点的区域内的双曲正切形流速分布，其中 U i 是位 于拐点 z i 处的流速， L e 是紊动混合层的特征长度； U L L = u * 1 k ln ln ( z − d z 0 ) ； U W F = u * 2 Π k sin 2 ( π z 2 H ) 代表 尾涡影响区内的流速分布，其中 Π 是Cole’s紊动强度参数， π 是圆周率， H 是水深。 公式(7)的提出实质是基于两种基本假定：1) 在5个区域内分别存在5种主要紊动模式，即底床面边界层紊动、由植物拖曳力引起的尾涡紊动、混合层大涡紊动、对数层紊动和自由水体内的尾涡紊动；2) 每一区域内的紊动均对其上部各区域内的动量掺混产生直接影响。该公式经过作者和其他研究者获取的数据验证，与实测数据吻合良好。 然而公式(7)存在两个没有解释的问题：1) 根据理论分析和实际观测，各区内产生的紊动除了可以向上传递动量，也可以向下传递动量，特别是在冠层顶部附近的混合层紊动可以穿透植物向下传递动量 [ 30 ] ，而公式(7)在忽略这种向下传递的情况下，仍与众多研究者观测的数据吻合良好，其原因尚未出现明确的解释；2) 各区内产生的紊动可以隔区向上层传递，其传递机理有待进一步揭示。 图3. 分段叠加混合分布规律 [ 21 ] 2.4. 三种流速分布规律的差异性对比 上述三种流速分布规律不仅在公式形式和适用水深范围上有区别，在精度上也有差异：1) 对数流速分布适用于植物冠层以上直至水面的水深范围，公式中的3个可调参数不仅能够调整流速在起始和终止高度处的值，还能够调节流速分布曲线的形状，因而该分布规律可以使公式在其适用范围内整体达到最佳拟合状态；2) 具有拐点的反正切或双曲型分布适用于除底床面附近边界层以外，从边界层顶部至水面的全水深范围，反正切型分布因其公式中最大流速值是根据实测结果给出，而其最大和最小流速差值也能够由参数b 1 准确描述，其它3个参数用来调节曲线的陡度、以及拐点位置和流速值，因而这类分布可以精确地表达水流底端和顶端位置处流速的最大值和最小值，其它高度处则以整体拟合最佳为原则；3) 分段叠加混合型分布适用于从水底至水面的全水深范围，因其公式从水底至水面分为5个区域分别描述，因而在各区内均有较高精度的拟合，在3类分布中属于精度最高的表达形式，其缺点是各段均需确定各自的参数，运用上较为繁琐。