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user: 3. 研究结果分析 3.1. 文献作者分析 通过对核心期刊作者分析可以了解与该方面相关的研究学者情况。对276篇文献的作者进行统计，统计出频次排名前10的作者，见表1。核心期刊发刊量最多的作者是喻平，占总量的3.99%，其次是朱立明9篇，再次是章建跃7篇。前10位作者10年共发文60篇，占总发文量的21.7%，人均发文量为6篇，但每年人均发文量仅为1，2篇，数量极少，产量较低。 Table 1 Ranking of core literature author 序号 姓名 出现频次 1 喻平 11 2 朱立明 9 3 章建跃 7 4 马云鹏 6 5 史宁中 6 6 鲍建生 6 7 王尚志 5 8 吕世虎 4 9 李尚志 3 10 苏耀忠 3 总计 60 表1. 核心文献作者发文排名 3.2. 高被引次数论文统计 论文引用次数可作为研究热点指标之一，高被引频次论文在该领域内具有较高的质量、研究价值以及影响力。根据276篇文献被引次数，统计出排名前十的文献，见表2。马云鹏、史宁中、喻平所发论文被引用次数位列前三，马云鹏所写的《关于数学核心素养的几个问题》被引次数高达682。从表中数据看来，大部分引用核心期刊的内容基于数学核心素养所引发的思考。 Table 2 Top ten cited literature 序号 文献名 作者 年份 被引频次 1 关于数学核心素养的几个问题 马云鹏 2015 682 2 学科核心素养的培养与教学 史宁中 2017 348 3 数学核心素养评价的一个框架 喻平 2017 281 4 数学教育视角下的“核心素养” 郑毓信 2016 272 5 中国学生发展的数学核心素养概念界定及养成途径 孔凡哲；史宁中 2017 263 6 基于深化课程改革的数学核心素养体系构建 朱立明 2016 244 7 高中数学教材落实核心素养的几点思想 章建跃 2016 230 8 小学数学核心素养培养的思考与实践 徐国明 2016 216 9 基于数学核心素养的小学数学教师课程体系建构 李星云 2016 187 10 从学科核心素养与学科育人价值看数学基本思想 曹培英 2015 284 表2. 被引频次文献前十名 3.3. 核心文献作者单位统计 通过对276篇论文的作者所属单位进行统计，可以知道大概了解哪些高校对数学核心素养研究更为深刻，对作者单位进行排序，截取前十位，结果见表3。由表3可见，东北师范大学、华东师范大学、南京师范大学、唐山师范学院、首都师范学院、北京师范大学、华中师范大学等高校对数学核心素养有较深入的研究。 Table 3 Top ten rankings of author’s unit frequenc 序号 作者单位 出现频次 所占百分比 1 东北师范大学教育学部 10 2.60% 2 华东师范大学数学科学学院 10 2.60% 3 南京师范大学课程与教学研究所 9 2.34% 4 山西省教育科学研究所 6 1.56% 5 唐山师范学院教育学院 6 1.56% 6 人民教育出版社 6 1.56% 7 首都师范大学 6 1.56% 8 北京师范大学数学科学学院 5 1.30% 9 南京师范大学教育科学学院 5 1.30% 10 华中师范大学数学与统计学学院 5 1.30% 总计 68 17.71% 表3. 作者单位出现频次前十排名 3.4. 高频关键词词频统计 经过对相似关键词的修改合并，并去除非专业词汇，最终276篇文献得出关键词总频次为1309，对高频关键词进行排序，截取出现频次大于4次的关键词，结果见表4。从表中可见，28个高频关键词总频次为445次，占关键词出现总频次的34.0%。其中，前十位关键词频次均大于8，这一结果初步说明，数学核心素养研究的主要内容是小学数学，多与数学抽象、数学教育、数学知识、数学文化等内容展开研究分析。 Table 4 Keywords with frequency greater than 序号 关键字段 出现频次 序号 关键字段 出现频次 1 数学核心素养 133 16 高中数学 6 2 核心素养 116 17 评价 5 3 数学抽象 24 18 数学教学 5 4 数学教育 14 19 逻辑推理 5 5 小学数学 13 20 数学课程 5 6 数学知识 13 21 数学运算 4 7 数学文化 12 22 高考数学 4 8 中学生 11 23 课堂教学 4 序号 关键字段 出现频次 序号 关键字段 出现频次 1 数学核心素养 133 16 高中数学 6 2 核心素养 116 17 评价 5 3 数学抽象 24 18 数学教学 5 4 数学教育 14 19 逻辑推理 5 5 小学数学 13 20 数学课程 5 6 数学知识 13 21 数学运算 4 7 数学文化 12 22 高考数学 4 8 中学生 11 23 课堂教学 4 表4. 出现频次大于4的关键词 3.5. 高频关键词相异系数矩阵分析 为了更直观地展现出关键词间的关系，将上述得到的40个高频关键词导入SPSS23，进行相异性分析，结果见表5。表5中系数大小代表着关键词之间的距离远近，相异系数的数值越接近0，说明关键词联系越接近；反之，数值越接近于1，相似性越低，说明关键词之间联系越远。由表5可以看出，各个关键词离数学核心素养由近及远依次是：数学文化(0.772)、数学抽象(0.785)、数学教育(0.836)、数学知识(0.854)、核心素养(0.943)、小学数学(0.951)。由此可见，数学核心素养经常与数学文化、数学抽象、数学教育、数学知识等内容结合进行叙述。 Table 5 Difference coefficient matrix of high frequency keywords (part 数学核心素养 核心素养 数学抽象 数学教育 小学数学 数学知识 数学文化 数学核心素养 0.000 0.943 0.785 0.836 0.951 0.854 0.772 核心素养 0.943 0.000 0.792 0.851 0.742 0.820 0.946 数学抽象 0.785 0.792 0.000 0.945 1.000 0.830 1.000 数学教育 0.836 0.851 0.945 0.000 1.000 0.926 0.846 小学数学 0.951 0.742 1.000 1.000 0.000 1.000 1.000 数学知识 0.854 0.820 0.830 0.926 1.000 0.000 0.760 数学文化 0.772 0.946 1.000 0.846 1.000 0.760 0.000 表5. 高频关键词相异系数矩阵(部分) 3.6. 高频关键词聚类分析 为了更直观地展示高频关键词之间的关系，将出现频次大于4的40个高频关键词相异系数矩阵导入SPSS23进行聚类分析，见图1，结合关键词所属领域，可以概括出四大热点研究领域。 研究热点一，通过合理教学方法促进学生数学核心素养的发展。钱建芬认为基于本原问题的教学是发展数学核心素养的教学。基于本原问题的教学是指教师在备课时要基于问题的实际情形进行思考，反映问题的本质，创设问题情境 [ 2 ]。刘亚平、黄晓学认为在教学解题过程，不仅要帮助学生解决疑难，解释数学的本质，更要通过教学促使学生数学核心素养发展，做到学生终身可持续发展。数学建模本质上是一个数学抽象–概括过程，因此进行合理的科学抽象概括，有利于培养学生数学建模素养。数学运算能够促进学生数学运算素养的发展。合情推理有利于学生形成逻辑推理素养 [ 3 ]。陈德燕提出通过探索立体几何图形结构性质过程中，有利于学生形成用逻辑的思维方式推断答案，培养逻辑推理思维，形成理性思维。教师需要提高教育教学能力，改变旧的数学教学理念，与时俱进 [ 4 ]。在各种知识模块中，数学核心素养皆有明显的分布。“函数”内容的学习当中较为明显的体现出数学抽象素养和数学运算素养，而不同得教材版本侧重的核心素养模块也略有不同。在教师教学中要注重对数学核心素养在数学习题中的合理配置，注意承前启后，做到多种核心素养协同发展 [ 5 ]。“数学广角”是数学课本中的扩展题，对学生逻辑思维能力要求比较高，但这种题目能更好地锻炼学生的数学核心素养。“数学广角”的内容一般比较贴近生活的数学问题，教师应科学地安排教学场景，增加学习趣味 [ 6 ]。 图1. 高频关键词聚类结果图 研究热点二，数学核心素养的构建与发展。构建学生的数学核心素养，最关键的是教材、教学内融入数学核心素养思想，教师从关注“教”走向关注学生的“学”，并把数学核心素养概念落实在数学探究活动当中，引导学生在“做”数学的过程中自然而然地获得数学核心素养。数学核心素养构建不是一蹴而就的事情，必须要经历一个漫长的过程，教育工作者要学会帮助学生从已有的知识体系，感受数学的没，培养学生的理性思维，对判断、推理等活动加以自己的理性判断，并且根据数学课程改革的要求，完善教学评价体系。一直以来，教育工作者着重关注数学基础知识与数学基本技能(简称“双基”)，但在新课程改革之下，教育工作者应更加注重数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验(简称“四基”)，即培养数学核心素养夯实数学学习基础的重点从“双基”拓展到了“四基”。学生在学习过程中要形成发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力(简称“四能”)，“四能”的形成有利于促进学生学会数学思考，更加重视理性思维 [ 7 ]。郑强认为，在学习数学过程中，学习中应该通过数学学习，加深对数学知识点的理解，内化为数学文化的成功，最终学习者能够主动地将数学理论应用于实际生活中 [ 8 ]。数学核心生活其实与我们生活息息相关，通过抽象概括，可以将与数学有关外部世界的事物内化为数学内部，形成我们进行数学研究的对象；通过数学建模，可以构建出具有活力的数学模型，塔尖数学与外部世界的桥梁；通过逻辑推理，得到解决数学问题的方法及思维，促进数学自身发展。 研究热点三，数学核心素养的评价体系。国内较早进行数学核心素养评价是参照PISA等国际测评内容而进行的，虽然数学核心素养概念不断发展，国内涌现出一批根据我国学生自身特点进行评价的指标。知识准确性，方向正确性，方法和理性和推理有效性这四个维度可以概括为学生在解答问题是表现出来的数学能力和素养 [ 9 ]。数学课堂是否有效是提高学生数学核心素养的重要途径，潘小明认为要重视数学课堂教学评价，通过正确的评价激励学生的学习，帮助学生认识到自己在数学学习上的不足，深化学生对自身学好数学的自信程度。应该更加关注课堂教学评价的评价方式、评价内容以及评价活动的准备性 [ 10 ]。喻平结合国内外评价体系作出总结，数学核心素养水平根据三种形体进行划分：知识理解、知识迁移、知识创新。通过数学抽象把一个现实问题转化为一个数学问题面对问题进行光斩延伸；数学运算能将数学公式应用于解决实际现实问题，培养学生对公式的灵活运用；直观想象，结合生活经验抽象出数量关系，能够对图形进行变式，提高空间想象能力 [ 11 ]。 研究热点四，基于核心素养背景下，教师的现状及对其要求。能否有效培养学生的数学核心素养，很大程度上取决于教师自身的数学核心素养。在全面深化改革这一社会背景下，对教师的要求也更加严格，教师面临新的挑战，必须调整自己角色，调成课程结构。陈柳娟、林晴岚认为数学核心素养是数学教师教学的统领与主线，并且数学核心素养最终表现为学生能用数学眼光看世界。因此教师要培养学生会用数学的眼光看待师姐，注重基于教学内容的现实生活背景向学生展现数学与实际生活潜移默化的关系 [ 12 ]。目前存在的不足之处包括：部分教师对数学核心素养的认知度较低，教师对数学关键能力的培养重视程度不足，教师对课堂教学中如何渗透数学核心素养的能力不足，对核心素养对学生的教育价值认识模糊不清 [ 13 ]。虽然教师目前对数学核心素养的理解仍处于一个较为模糊的阶段，但这并不碍于教师对如何培养学生的数学核心素养作出详细的教学解析。在教学过程中，不仅仅提高学生对数学的觉悟，也是一个提高教师对数学核心素养关注度的一个重要途径。教学相长，教师在传授知识过程中应该更注重自身对数学核心素养的理解。曾经教师普遍认为“学生基础差，老师要多讲。学生基础好，老师可以少讲。”如今新课程改革，教师应该理清核心素养与自己原有数学知识中的关联与区别，树立各种概念的内涵和外延，学生学习的并不仅仅是一个符号、一个结果。