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user: 3. 三次PH-DP过渡曲线的构造 本节讨论了用三次PH-DP曲线构造两个相不包含圆之间的G 2 连续过渡曲线的存在性。通过计算得出C型过渡曲线的条件，并证明过渡曲线的唯一性，最后给出了数值例子。 定理2 当两个圆互相包含时，即 r < r 0 − r 1 时，控制多边形顶角的余弦范围 0 < cos θ < λ 且 λ = r 1 r 0 4 ，则(2)式定义的曲线为C型过渡曲线。 证明：将(4)式带入到(2)式中，得到 P ( t ) 的参数表达式为 P ( t ) = ( x ( t ) ， y ( t ) ) = P 0 ( 1 − t ) 3 + P 1 t ( 1 − t ) ( 2 − t ) + P 2 t ( 1 − t ) ( 1 + t ) + P 3 t 3 其中 x ( t ) = L 0 t ( 1 − t ) ( 2 − t ) + ( L 0 + L 1 cos θ ) t ( 1 − t ) ( 1 + t ) + ( L 0 + L 1 cos θ + L 2 cos 2 θ ) t 3 y ( t ) = L 1 sin θ t ( 1 − t ) ( 1 + t ) + ( L 1 sin θ + L 2 sin 2 θ ) t 3 曲线的曲率为 k ( t ) = L 0 L 2 sin θ ( 2 L 0 ( 1 − t ) 2 + 3 L 0 L 2 cos θ t ( 1 − t ) + 2 L 2 t 2 ) 2 将 t = 0 ， 1 带入 k 0 = k ( 0 ) = L 0 L 2 sin θ 4 L 0 2 k 1 = k ( 1 ) = L 0 L 2 sin θ 4 L 2 2 当 0 < θ < π 2 时， k 0 和 k 1 同号，即两圆互不包含时的过渡曲线是C的，对曲率求导，得到PH-DP曲线的曲率导数为 k ′ ( t ) = 6 L 0 L 2 sin θ ( ( L 0 L 2 cos θ − 4 3 L 0 ) ( 1 − t ) + ( L 2 − L 0 L 2 cos θ ) t ) 2 L 0 ( 1 − t ) 2 + 3 L 0 L 2 cos θ t ( 1 − t ) + 2 L 2 t 2 将 t = 0 ， 1 带入 k ′ ( 0 ) = − 6 L 0 L 2 sin θ ( L 0 L 2 cos θ − 4 3 L 0 ) 8 L 0 3 k ′ ( 1 ) = − 6 L 0 L 2 sin θ ( L 2 − L 0 L 2 cos θ ) 8 L 2 3 当 0 < λ < 1 ， 0 < θ < arccos λ 时 k ′ ( 0 ) ⋅ k ′ ( 1 ) < 0 此时PH-DP曲线构造的过渡曲线是C型的，且其内部含有较少的曲率极值点。 下面讨论三次PH-DP过渡曲线的唯一性。 定理3 若所构造的过渡曲线满足下面的条件，则该曲线是唯一的。 0.5176 < λ < 1 且 r 0 − r 1 < r < q ( λ ) ( r 0 − r 1 ) 其中 q ( λ ) = 9 − 8 λ 2 + 14 λ 4 − 8 λ 6 + 9 λ 8 3 ( 1 − λ 4 ) 证明 设三次带参数PH曲线的两端点分别为 P 0 和 P 3 ， P 0 的曲率圆心以及曲率半径分别为 C 0 和 r 0 ， P 3 的曲率圆心以及曲率半径分别为 C 1 和 r 1 ，则两个圆之间的圆心距向量为 C 1 − C 0 = ( P 3 ( 1 ) − r 1 sin 2 θ ， P 3 ( 2 ) + r 1 cos 2 θ − r 0 ) 。 由初始点曲率 k 0 = 1 r 0 = L 0 L 2 sin θ 4 L 0 2 ，末端点曲率 k 1 = 1 r 1 = L 0 L 2 sin θ 4 L 2 2 及 λ = r 0 r 1 4 可得 L 0 = 1 4 λ r 0 sin θ L 2 = 1 4 λ 3 r 0 sin θ 经计算可得 L 1 = 3 8 λ 2 r 0 sin θ 。 构造函数 g ( θ ) = | C 1 − C 0 | 2 − r 2 。令 m = cos θ ，则 0 ≤ m < 1 。将PH-DP曲线的控制点带入 g ( θ ) 得到关于m的四次方程： g ( m ) = − 1 4 λ 4 r 0 2 m 4 + 13 16 λ 3 r 0 2 ( 1 + λ 2 ) m 3 + λ 2 16 r 0 2 ( − 1 + 11 λ − 25 4 ) m 2 − 13 16 λ 3 ( 1 + λ 2 ) m     + 1 64 ( − 64 r 2 + ( 64 − 44 λ 2 + 9 λ 4 − 44 λ 6 + 64 λ 8 ) r 0 2 ) = 0 由于 0 < m = cos θ < λ 。根据零点定理知 g ( 0 ) ⋅ g ( λ ) < 0 时，方程 g ( m ) 有根。把 0 ， λ 带入 g ( m ) 后得 g ( 0 ) = 1 64 ( − 64 r 2 + ( 64 − 44 λ 2 + 9 λ 4 − 44 λ 6 + 64 λ 8 ) r 0 2 ) g ( λ ) = ( 1 − 1 16 λ 2 − 43 64 λ 4 + 299 64 λ 6 − 9 4 λ 8 ) r 0 2 − r 2 整理后分别为： g ( 0 ) = 64 − 44 λ 2 + 9 λ 4 − 44 λ 6 + 64 λ 8 64 ( 1 − λ 4 ) 2 ( r 0 − r 1 ) 2 − r 2 g ( λ ) = 43 + 299 λ 2 − 144 λ 4 64 ( 1 + λ 2 ) 2 ( r 0 − r 1 ) 2 − r 2 由 0 < λ < 1 知 0 < 43 + 299 λ 2 − 144 λ 4 8 ( 1 + λ 2 ) < 1 。因为 r > r 0 − r 1 ，所以 g ( λ ) < 0 。由此得 g ( 0 ) > 0 。 由 g ( 0 ) > 0 得 64 − 44 λ 2 + 9 λ 4 − 44 λ 6 + 64 λ 8 8 ( 1 − λ 4 ) ( r 0 − r 1 ) < 9 − 8 λ 2 + 14 λ 4 − 8 λ 6 + 9 λ 8 3 ( 1 − λ 4 ) ( r 0 − r 1 ) < r 图2. ( r 0 = 1.5 ， r 1 = 1 ) 时的三次PH-DP过渡曲线 图3. ( r 0 = 1.5 ， r 1 = 1 ) 时的三次PH-DP曲线曲率 经计算，当 0.5176 < λ < 1 ， g ( 0 ) > 0 成立，故方程 g ( m ) 此时在 ( 0 ， λ ) 有根。 对方程 g ( m ) 求导得 g ′ ( m ) = − 13 16 λ 3 ( 1 + λ 2 ) + 1 8 λ 4 ( − 25 4 + 11 λ 2 ) h 2 + 39 16 λ 3 ( 1 + λ 2 ) h 2 − λ 4 h 3 g ′ ( 0 ) = − 13 16 λ 3 ( 1 + λ 2 ) < 0 因 g ″ ( 0 ) = 1 8 λ 4 ( − 25 4 + 11 λ 2 ) r 0 2 > 0 ， g ″ ( m ) = 1 32 λ 4 ( − 99 + 104 λ 2 ) > 0 ，所以 g ′ ( m ) 是一个单调递增函数。又因为在 ( 0 ， λ ) 上 g ( m ) = 0 ， g ′ ( m ) < 0 ，所以 g ′ ( m ) 是一个单调递增函数。所以 g ( m ) 有唯一根。