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user: 2. 模型描述 设 ( Ω ， ℜ ， P ) 是完备的概率空间， Ω 是所有可能结果的集合， ℜ 是事件的 σ -代数， P : ℜ → [ 0 ， 1 ] 是一个概率测度。记 L 2 ( D ) 空间上的内积和范数分别为 ( ⋅ ， ⋅ ) ， ‖   ⋅   ‖ 。记 W s ， q ( D ) 为 L q ( D ) 空间上具有s阶导数的Sobolev空间，其中s是一个非负整数， 1 ≤ q ≤ + ∞ 。当 q = 2 时，常用 H s ( D ) 来代替 W s ， 2 ( D ) ，特别地， H 0 1 ( D ) 是 H 1 ( D ) 的子空间。 H − 1 ( D ) 是 H 0 1 ( D ) 的对偶空间，其上的范数定义为 ‖ f ‖ − 1 = sup 0 ≠ v ∈ H 0 1 ( D ) ( f ， v ) / ‖ ∇ v ‖ 。对于 1 ≤ p ， r < ∞ ，空间 L p ( Ω ， W s ， q ( D ) ) 包含了所有随机函数 v : Ω × D → R ，它们相对于 ℜ ⊗ B ( D ) σ -代数是可测的，其中 B ( D ) 是D的 σ -代数， L p ( Ω ， W s ， q ( D ) ) 空间上的范数定义为 ‖ v ‖ L p ( Ω ， W s ， q ( D ) ) = ( E [ ‖ v ‖ W s ， q ( D ) p ] ) 1 / p = ( E ( ∑ | α | ≤ s ∫ D | ∂ α v | q d x ) p / q ) 1 / p 和 ‖ v ‖ L ∞ ( Ω ， W s ， q ( D ) ) = ess   sup Ω ‖ v ‖ W s ， q ( D ) . 空间 L r ( L p ( Ω ， W s ， q ( D ) ) ， ( 0 ， T ] ) 包含了所有随机函数 v : Ω × D × [ 0 ， T ] → R ，该空间上的范数同上面定义方式一致 [ 7 ]。 考虑如下一维随机抛物方程最优控制问题： min u ∈ F J ( y ， u ) = 1 2 E ( ∫ 0 T ‖ y − y d ‖ L 2 ( D ) 2 d t ) + α 2 E ( ∫ 0 T ‖ u ‖ L 2 ( D ) 2 d t ) ， (1) 其中 y ， u 满足如下的抛物方程初边值条件： { ∂ t y − ∂ x ( a ( ω ， x ， t ) ∂ x y ( ω ， x ， t ) ) = u ( ω ， x ， t ) ，                           ( ω ， x ， t ) ∈ Ω × D × [ 0 ， T ] ， y ( ω ， a ， t ) = y ( ω ， b ， t ) = 0 ，                                                                                                                                                                             ( ω ， t ) ∈ Ω × [ 0 ， T ] ， y ( ω ， x ， 0 ) = g 0 ( x ) ，                                                                                                                                                                                                                               ( ω ， x ) ∈ Ω × D . (2) 其中 D = [ a ， b ] 表示空间区域， ω ∈ Ω 为随机变量，E表示对随机变量取期望， ∂ t 和 ∂ x 分别表示关于时间和空间的偏导数， y d : D × [ 0 ， T ] → R 给定， α > 0 和 T > 0 分别是一个给定的常数， F ⊂ L 2 ( L 2 ( D ) ， ( 0 ， T ] ) 为凸集。 对任意 t ∈ [ 0 ， T ] ，为了保证问题(1)~(2)解的存在唯一性，假设系数 a ( ω ， x ， t ) 是有界且一致强制的，即存在 a min ， a max ∈ R 使得在 Ω × D × [ 0 ， T ] 上几乎处处成立 a min ≤ a ( ω ， x ， t ) ≤ a max 。 引入下列记号： ( ∂ t y ， v ) = ∫ D ∂ t y v d x ， b ( y ， v ) = ∫ D a ∂ x y ∂ x v d x ， ( u ， v ) = ∫ D u v d x . 其中双线性形式 b : H 0 1 ( D ) × H 0 1 ( D ) → R ，则状态方程(2)的弱形式可以表述为：对于给定的 t > 0 ， ω ∈ Ω ，求 y ( ω ， ⋅ ， t ) ∈ H 0 1 ( D ) ，使得 ( ∂ t y ， v ) + b ( y ， v ) = ( u ， v ) ， ∀ v ∈ H 0 1 ( D ) . 利用Lagrange乘数法可得求解原问题(1)~(2)等价于求 y ( ω ， ⋅ ， t ) ∈ H 0 1 ( D ) ， u ( ω ， ⋅ ， t ) ∈ F ， p ( ω ， ⋅ ， t ) ∈ H 0 1 ( D ) 满足如下最优性系统： { ( ∂ t y ， v ) + b ( y ， v ) = ( u ， v ) ，                                                                                       ∀ v ∈ H 0 1 ， t ∈ ( 0 ， T ] ， y ( ω ， a ， t ) = y ( ω ， b ， t ) = 0 ，                                                                                         ( ω ， t ) ∈ Ω × [ 0 ， T ] ， y ( ω ， x ， 0 ) = g 0 ( x ) ，                                                                                                                         ( ω ， t ) ∈ Ω × D ， − ( ∂ t p ， q ) + b ( q ， p ) = ( y − y d ， q ) ，                             ∀ q ∈ H 0 1 ( D ) ， t ∈ [ 0 ， T ] ， p ( ω ， a ， t ) = p ( ω ， b ， t ) = 0 ，                                                                                         ( ω ， t ) ∈ Ω × [ 0 ， T ] ， p ( ω ， x ， T ) = 0 ，                                                                                                                                                                                 ( ω ， x ， t ) ∈ Ω × D × [ 0 ， T ] ， ∫ 0 T ( p + α u ， w − u ) d t ≥ 0 ，                                                                                                         ∀   w ∈ F .   (3) 由于F为凸集，因此数值求解具有随机系数的抛物型最优控制问题(1)~(2)，就等价于求解最优性系统(3)。问题(3)的求解需要涉及到随机抛物方程的数值模拟，以下首先介绍数值模拟抛物方程定解问题的方法，然后再介绍(3)的计算方法。