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user: 3. 定理1.1的证明 令 { e j } 是E的一组正交基，定义 ，则 E = H = Y k ⊕ z k ，   X = ( Y k × Y k ) ⊕ ( Z k × Z k ) 。 那么我们有下面的引理： 引理3.1：若条件(V)成立，则对 2 ≤ s < ∞ ，当 k → ∞ 时，有 β k ( s ) = sup ( u ， v ) ∈ Z k × Z k ， ‖ ( u ， v ) ‖ = 1 ‖ ( u ， v ) ‖ s → 0. (3.1) 证明：由 Z k + 1 ⊂ Z k 知， 0 < β k + 1 < β k 。因此，存在 β ≥ 0 ，使得当 k → ∞ 时，有 β k → β 。对每一个 k ≥ 0 ，都存在 ( u k ， v k ) ∈ Z k × Z k ，使得 ‖ ( u k ， v k ) ‖ = 1 且 。由 Z k 的定义知，在E中 u k ⇀ 0 。再由Sobolev嵌入定理知，对 2 ≤ s < ∞ ，有 u k → 0 于 L s ( ℝ 3 ) 。同理可得对 2 ≤ s < ∞ ，有 v k → 0 于 L s ( ℝ 3 ) 。因此，当 k → ∞ 时，有 β k ( s ) → 0 。证毕。 引理3.2：假设条件(V)、(F 1 )成立，则存在 r k > 0 ，使得当 k → ∞ 时，有 inf ( u ， v ) ∈ Z k × Z k ， ‖ ( u ， v ) ‖ = r k Φ ( u ， v ) → ∞ 。 证明：由(2.1)和(F 1 )知，对任意 ( u ， v ) ∈ X ，有 Φ ( u ， v ) = 1 2 ‖ ( u ， v ) ‖ 2 + 1 4 ( ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u 2 ) | ∇ u | 2 d x ) 2 + 1 4 ( ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 v 2 ) | ∇ v | 2 d x ) 2     − V 0 2 ‖ ( u ， v ) ‖ 2 2 − ∫ ℝ 3 F ( x ， u ， v ) d x ≥ 1 2 ‖ ( u ， v ) ‖ 2 − V 0 2 ‖ ( u ， v ) ‖ 2 2 − ∫ ℝ 3 C ( | ( u ， v ) | 2 + | ( u ， v ) | p + | ( u ， v ) | q ) d x = 1 2 ‖ ( u ， v ) ‖ 2 − V 0 + C 2 ‖ ( u ， v ) ‖ 2 2 − C ( ‖ ( u ， v ) ‖ p p + ‖ ( u ， v ) ‖ p p ) (3.2) 根据引理3.1知 ‖ ( u ， v ) ‖ 2 2 ≤ β k 2 ( 2 ) ‖ ( u ， v ) ‖ 2 ， ‖ ( u ， v ) ‖ p p ≤ β k p ( p ) ‖ ( u ， v ) ‖ p ， ‖ ( u ， v ) ‖ q q ≤ β k q ( q ) ‖ ( u ， v ) ‖ q 因此 Φ ( u ， v ) ≥ ( 1 2 − V 0 + C 2 β k 2 ( 2 ) ) ‖ ( u ， v ) ‖ 2 − C β k p ( p ) ‖ ( u ， v ) ‖ p − C β k q ( q ) ‖ ( u ， v ) ‖ q . 由于当 k → ∞ 时，有 β k ( 2 ) → 0 ，结合引理3.1知，存在 k 1 ∈ ℕ ，使得当 k ≥ k 1 时，有 V 0 + C 2 β k 2 ( 2 ) ≤ 1 4 . 故当 k ≥ k 1 时，有 Φ ( u ， v ) ≥ 1 4 ‖ ( u ， v ) ‖ 2 − C β k p ( p ) ‖ ( u ， v ) ‖ p − C β k q ( q ) ‖ ( u ， v ) ‖ q . 取 r k = ( p 8 C ( β k p ( p ) + β k q ( q ) ) ) 1 max { p ， q } − 2 ，由引理3.1知，当 k → ∞ 时，有 r k → 0 。这样，若 且 ‖ u ‖ = r k ，则当时 k → ∞ ，有 Φ ( u ， v ) ≥ 1 4 ‖ ( u ， v ) ‖ 2 − C β k p ( p ) ‖ ( u ， v ) ‖ p − C β k q ( q ) ‖ ( u ， v ) ‖ q ≥ 1 8 r k 2 → ∞ . 证毕。 引理3.3：假设条件(V)、(F 1 )、(F 3 )成立，则存在 ρ k > 0 ，使得 max ( u ， v ) ∈ Y k × Y k ， ‖ ( u ， v ) ‖ = ρ k Φ ( u ) ≤ 0 。 证明：根据有限维空间的范数等价性知，对任意 ( u ， v ) ∈ Y k × Y k ，存在 τ k > 0 ，使得 ‖ ( u ， v ) ‖ 2 ≤ τ k ‖ ( u ， v ) ‖ 8 2 . (3.3) 由(F 2 )知，对任意的 μ > 0 ，都存在 R μ > 0 ，使得对任意 | ( u ， v ) | ≥ R μ ，有 由(F 1 )知，当 x ∈ ℝ 3 且满足 | ( u ( x ) ， v ( x ) ) | ≤ R μ 时，有 F ( x ， u ， v ) ≥ − C ( | ( u ， v ) | 2 + | ( u ， v ) | p + | ( u ， v ) | q ) ≥ − C ( | ( u ， v ) | 2 + R μ p − 2 | ( u ， v ) | 2 + R u q − 2 | ( u ， v ) | 2 ) ≥ μ | ( u ， v ) | 2 ( | ( u ， v ) | 6 − R μ 6 ) − C ( | ( u ， v ) | 2 + R μ p − 2 | ( u ， v ) | 2 + R μ q − 2 | ( u ， v ) | 2 ) = μ | ( u ， v ) | 8 − C μ | ( u ， v ) | 2 故对任意 ( x ， u ， v ) ∈ ℝ 3 × ℝ 2 ，有 F ( x ， u ， v ) ≥ μ | ( u ， v ) | 8 − C μ | ( u ， v ) | 2 . (3.4) 于是，由(2.1)、(3.3)、(3.4)以及Hölder不等式知，对任意的 ( u ， v ) ∈ Y k × Y k ，有 Φ ( u ， v ) = 1 2 ‖ ( u ， v ) ‖ 2 + 1 4 ( ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u 2 ) | ∇ u | 2 d x ) 2 + 1 4 ( ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 v 2 ) | ∇ v | 2 d x ) 2     − V 0 2 ‖ ( u ， v ) ‖ 2 2 − ∫ ℝ 3 F ( x ， u ， v ) d x ≤ 1 2 ‖ ( u ， v ) ‖ 2 + 1 4 ( ‖ u ‖ 2 + 2 ‖ u ‖ 6 2 ‖ ∇ u ‖ 3 2 ) 2 + 1 4 ( ‖ v ‖ 2 + 2 ‖ v ‖ 6 2 ‖ ∇ v ‖ 3 2 ) 2     − μ ‖ ( u ， v ) ‖ 8 8 + C μ ‖ ( u ， v ) ‖ 2 2 ≤ 1 2 ‖ ( u ， v ) ‖ 2 + 1 4 ( ‖ u ‖ 2 + 2 C ‖ u ‖ 4 ) 2 + 1 4 ( ‖ v ‖ 2 + 2 C ‖ v ‖ 4 ) 2     − μ τ k 4 ‖ ( u ， v ) ‖ 8 + C μ ‖ ( u ， v ) ‖ 2 = ( 1 2 + C μ ) ‖ ( u ， v ) ‖ 2 + 1 4 ‖ ( u ， v ) ‖ 4 + C ‖ ( u ， v ) ‖ 6 − ( μ τ k 4 − C ) ‖ ( u ， v ) ‖ 8 取 μ ≥ C τ k 4 则存在 ρ k > 0 ，使得当 ( u ， v ) ∈ Y k × Y k 且满足 ‖ ( u n ， v n ) ‖ = ρ k 时，都有 Φ ( u ， v ) ≤ 0 。证毕。 定理1.1的证明：显然 Φ ( 0 ， 0 ) = 0 ，由(F 4 )可得 。引理2.2、2.3、3.2和3.3保证了泛函满足Fountain定理的所有条件，因此，问题(1.1)存在无穷多高能量解。