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user: 2. 理论基础 2.1. 影像模糊集 影像模糊集(Picture Fuzzy Set)是由Cuòng提出的新型模糊集 [ 15 ]。影像模糊集是对经典模糊集的拓展，它包含支持、反对、中立等三个方面的隶属度，可以更全面地刻画不确定性信息。 定义1 [ 15 ]：设集合X为一给定的论域，则其上的影像模糊集P可定义为： P = { 〈 μ ( x ) ， η ( x ) ， ν ( x ) 〉 | x ∈ X } ， (1) 其中， μ ( x ) ∈ [ 0 ， 1 ] 是 x ∈ P 的支持隶属度， η ( x ) ∈ [ 0 ， 1 ] 是 x ∈ P 的中立隶属度， ν ( x ) ∈ [ 0 ， 1 ] 是 x ∈ P 的反对隶属度， μ ( x ) 、 η ( x ) 和 ν ( x ) 满足约束条件 μ ( x ) + η ( x ) + ν ( x ) ≤ 1 。同时，对于 x ∈ X ， π ( x ) = 1 − μ ( x ) − η ( x ) − ν ( x ) 是 x ∈ P 的拒绝隶属度。当 η ( x ) = 0 时，影像模糊集退化为直觉模糊集。为表示简便，影像模糊数可表示为 p = 〈 μ ， η ， ν 〉 ，其中， μ ∈ [ 0 ， 1 ] ， η ∈ [ 0 ， 1 ] ， ν ∈ [ 0 ， 1 ] 且 π = 1 − μ − η − ν 。影像模糊数中的支持度，反对度，中立度和拒绝度分别表示了决策者在评价过程中支持、反对、中立和拒绝的不同态度。 定义2 [ 16 ]：对于影像模糊数 p = 〈 μ ， η ， ν 〉 ，其得分函数与准确函数可分别定义为： S ( p ) = μ − η − ν ， (2) V ( p ) = μ + η + ν 。 (3) 定义3 [ 16 ]：设 p 1 和 p 2 为任意两个影像模糊数，则依据影像模糊数的得分函数与精确函数可对影像模糊数 p 1 和 p 2 进行排序： 1) 若 S ( p 1 ) < S ( p 2 ) ，则 p 1 < p 2 。 2) 若 S ( p 1 ) > S ( p 2 ) ，则 p 1 > p 2 。 3) 若 S ( p 1 ) = S ( p 2 ) ，则 a) 若 H ( p 1 ) < H ( p 2 ) ，则 p 1 < p 2 ， b) 若 H ( p 1 ) > H ( p 2 ) ，则 p 1 > p 2 ， c) 若 H ( p 1 ) = H ( p 2 ) ，则 p 1 = p 2 。 2.2. 证据推理 证据信息是决策者根据自身的经验、知识等对命题的信任程度的判定。支持度、信度是决策者对命题看法的两个方面，而决策者确定某一命题的支持度或信度的过程称为证据处理 [ 17 ]。 定义4 [ 17 ]：对于某一命题，所有可能的结果集合用Θ表示，则任一命题都对应于Θ的一个子集，称Θ为辨识框架。 若命题所有可能的结果有N个，则可记为 Θ = { θ 1 ， θ 2 ， ⋯ ， θ N } 。Θ中所有可能集合可用幂集 2 Θ 来表示。 定义5 [ 17 ]：设Θ为辨识框架，如果集函数 m : 2 Θ → [ 0 ， 1 ] 满足： 1) m ( ∅ ) = 0 ， 2) ∑ A ⊆ Θ m ( A ) = 1 ， 则称函数m为辨识框架Θ上的基本概率分配， ∀ A ⊂ Θ ， m ( A ) 称为基本信度或质量函数，表示证据支持命题A发生的程度。若 A ⊆ Θ 且 m ( A ) > 0 ，则称A为证据的焦元。 定义6 [ 17 ]：设 m : 2 Θ → [ 0 ， 1 ] 为辨识框架Θ上的基本信度分配， ∀ A ∈ Θ ，则称由 B e l ( A ) = ∑ B ⊂ A m ( B ) ， (4) 所定义的函数 B e l : 2 Θ → [ 0 ， 1 ] 为Θ上的信度函数。 B e l ( A ) 反映所有A的子集的信度总和。 定义7 [ 17 ]：设Θ为辨识框架，对给定的基本信度分配m， ∀ A ⊂ 2 Θ ， ∀ A ， B ⊂ Θ 则 P l ( A ) = ∑ A ∩ B ≠ ∅ m ( B ) ， (5) 则称 P l ( A ) 为似真度函数，包含了所有与A相容的那些命题集的基本信度，表示不否定A的程度。 由以上定义6和7可知，对 ∀ A ∈ Θ ，有 B e l ( A ) < P l ( A ) ，即 P l ( A ) 是比 B e l ( A ) 更宽松的一种估计。 定义8 [ 17 ]：设 B e l : 2 Θ → [ 0 ， 1 ] 为辨识框架 Θ 上的信度函数，定义 D o u : 2 Θ → [ 0 ， 1 ] ，则有 D o u ( A ) = B e l ( A ¯ ) ， ∀ A ⊆ Θ (6) 则称 D o u 为 B e l 的怀疑度函数， ∀ A ⊆ Θ ， D o u ( A ) 称为A的怀疑度，表示我们怀疑A的程度。 D o u ( ∅ ) = 1 ， D o u ( Θ ) = 0 。对于 ∀ A ⊆ Θ ，称区间 [ B e l ( A ) ， P l ( A ) ] 为证据A的信任区间或称为证据的不确定区间。证据A的区间划分如图1所示。 图1. 证据A的区间划分 Dempster合成规则是证据理论的核心概念之一，可应用于多源证据的融合，其具体定义如下所示。 定理1 [ 17 ]：设 B e l 1 和 B e l 2 是同一识别框架Θ上的两个信度函数， m 1 和 m 2 分别是其对应的基本信度分配，焦元分别是 A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A k 和 B 1 ， B 2 ， ⋯ ， B l ，由下式定义的函数 m : 2 Θ → [ 0 ， 1 ] ： m ( A ) = { 0 ，                                                                 A = ∅ ∑ A i ∩ B j = A m 1 ( A i ) m 2 ( B j ) 1 − K ，       A ≠ ∅ (7) 为两个信度函数合成的Dempster法则。K表示证据间的冲突程度，其确定方法为： K = ∑ A ∩ B = ∅ m 1 ( A i ) m 2 ( B j ) 。 (8) K值越大说明证据之间的冲突越大。当 K = 1 ，则证据 m 1 和 m 2 为完全冲突。 定理2 [ 17 ]：设 B e l 1 ， B e l 2 ， ⋯ ， B e l n 是同一识别框架Θ上的信度函数， m 1 ， m 2 ， ⋯ ， m n 是对应的基本信度分配，如果 B e l 1 ⊕ B e l 2 ⊕ ⋯ ⊕ B e l n 存在且基本信度分配m， ∀ A ⊆ Θ ， A ≠ ∅ ，则有 m ( A ) = K n ∑ A 1 ∩ A 2 ∩ ⋯ ∩ A n = A m 1 ( A 1 ) m 2 ( A 2 ) ⋯ m n ( A n ) ， (9) 为多个信度函数合成的Dempster法则，其中 K n = ( ∑ A 1 ∩ A 2 ∩ ⋯ ∩ A n ≠ ∅ m 1 ( A 1 ) m 2 ( A 2 ) ⋯ m n ( A n ) ) − 1 。 Dempster合成法则具有以下性质 [ 17 ]： 1) 交换律： m 1 ⊕ m 2 = m 2 ⊕ m 1 。 2) 结合律： ( m 1 ⊕ m 2 ) ⊕ m 3 = m 1 ⊕ ( m 2 ⊕ m 3 ) 。 3) 同一性：存在唯一的焦元 m 0 ，对所有的基本信度分配m，有 m ⊕ m 0 = m 。其中， m 0 : 2 Θ → [ 0 ， 1 ] 是空基本信度分配，即 m 0 ( Θ ) = 1 。 4) 极化性： m 1 ⊕ m 2 ≻ m 1 。