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user: 3. 波动方程模型以及全局吸引子的构造 给定 θ ∈ [ 0 ， 1 ] ， η > 0 ，考虑如下波动方程： { u t t + η ( − Δ ) θ u t + ( − Δ ) u = f ( u ) ，     t > 0 ， x ∈ Ω ， u ( x ， 0 ) = u 0 ( x ) ， u t ( 0 ， x ) = v 0 ( x ) ，   x ∈ Ω ， u ( x ， t ) = 0 ，                                                               t ≥ 0 ， x ∈ ∂ Ω ， (3.1) 其中 Ω 是 ℝ n ( n ≥ 3 ) 中有界光滑定义域。 令 A = − Δ 是带有Dirichlet边界条件，易知A是正定的、自伴算子且有定义域 D ( A ) = H 2 ( Ω ) ∩ H 0 1 ( Ω ) ，因此 − A 在 X = L 2 上生成了一个解析半群(具体可参见 [ 4 ] ， 6.5节)。记 X α 是与算子A相关的分数阶空间，也就是 X α = D ( A α ) 且赋予了图像范数，详细可见( [ 4 ] ， 6.4节)，并且记 X 0 = X ， X 1 2 = H 0 1 ( Ω ) ， X 1 = H 2 ( Ω ) ∩ H 0 1 ( Ω ) 。 问题(3.1)可以写成一个发展方程的形式且定义在空间 Y = X 1 2 × X 中( [ 1 ] [ 4 ] )： { d d t [ u v ] + A ( θ ) [ u v ] = F ( [ u v ] ) ， t > 0 ， [ u ( 0 ) v ( 0 ) ] = [ u 0 v 0 ] ∈ Y (3.2) 其中 A ( θ ) : D ( A ( θ ) ) ⊂ Y → Y 和 F 有如下形式： D ( A ( θ ) ) = Y ( θ ) 1 = { [ φ ξ ] : φ ∈ X 3 2 − θ ， ξ ∈ X 1 2 ， A 1 − θ φ + η ξ ∈ X θ } ，对于 θ ∈ [ 0 ， 1 ] ， A ( θ ) [ φ ξ ] = [ 0 − I A η A θ ] [ φ ξ ] = [ − ξ A θ ( A 1 − θ φ + η ξ ) ] ，对 [ φ ξ ] ∈ D ( A ( θ ) ) 和 F ( [ u v ] ) = [ 0 F ( u ) ] ， 且F是与f有关的Nemytskii算子，即 F ( u ) ( x ) = f ( u ( x ) ) ， x ∈ Ω 。在Y中关于(3.2)的线性问题变为： { u t t + η A θ u t + A u = 0 ， t > 0 ， u ( 0 ) = u 0 ， u t ( 0 ) = v 0 ， 当 θ = 0 时对应于弱阻尼波动方程，当 θ = ( 0 ， 1 ] 时对应于强阻尼波动方程。对每个 θ = [ 0 ， 1 ] ，算子 − A ( θ ) 生成了一个强连续的半群 { e − A ( θ ) t : t ≥ 0 } ⊆ L ( Y ) 。若 θ = 0 ， { e − A ( 0 ) t : t ≥ 0 } 可以成为一个群，对于 θ > 0 ， { e − A ( θ ) t : t ≥ 0 } 不能成为一个群，但是可以用如下方式描述： 1) 若 θ ∈ ( 0 ， 1 2 ) ， − A ( θ ) 生成了一个Gevrey类 δ > 1 2 θ 的半群，因此它是可微的(参见 [ 5 ] )， 2) 若 θ ∈ [ 1 2 ， 1 ] ， − A ( θ ) 生成了一个解析半群(参见 [ 6 ] )。在 [ 7 ] 中作者给出了 A ( θ ) 的一个分数次定义域的刻画，也就是分数阶空间 Y ( θ ) α ， α ∈ [ 1 2 ， 1 ] 。 对于Hilbert空间情形 Y = H 0 1 ( Ω ) × L 2 ( Ω ) 在参考文献 [ 2 ] [ 8 ] 中有相应的结果；对于 θ ∈ [ 1 2 ， 1 ] ，这个问题也可以通过空间 W 0 1 ， p ( Ω ) × L p ( Ω ) 来解决(参见 [ 9 ] )。 关于方程(3.1)的局部适定性，如下结果成立： 定理3.1 ( [ 3 ] )若f满足 | f ( u ) − f ( u ′ ) | ≤ c | u − u ′ | ( 1 + | u | ρ − 1 + | u ′ | ρ − 1 ) (3.3) 其中 ρ ≤ n + 2 n − 2 当 θ ∈ [ 1 2 ， 1 ] 和 ρ ≤ n n − 2 当 θ ∈ [ 0 ， 1 2 ) ，那么方程(3.1)在空间 H 0 1 ( Ω ) × L 2 ( Ω ) 是局部适定性的。若 ρ 的条件中严格不等式成立(即次临界增长)，(3.1)的解要么全局存在，要么有限时间在 H 0 1 ( Ω ) × L 2 ( Ω ) 中爆破。 从参考文献 [ 2 ] 的结果，方程(3.1)相关的半群在合适假设下存在全局吸引子，即如下结果成立： 定理3.2 假设f满足(3.3)， ρ < n + 2 n − 2 当 θ ∈ [ 1 2 ， 1 ] 和 ρ < n n − 2 当 θ ∈ [ 0 ， 1 2 ) ，且有耗散条件 lim sup | u | → ∞ f ( u ) u ≤ 0. (3.4) 那么问题(3.1)存在全局吸引子。 对于临界增长情形 ρ = n + 2 n − 2 当 θ = 1 ， ρ = n n − 2 当 θ ∈ [ 0 ， 1 2 ) ，当增加额外假设并确保非线性变分公式的有效性，则可由文献 [ 1 ] 中的方法处理(也可参见 [ 2 ]，4.3节)。 在定理3.2的假设下，可以得到方程(3.1)的全局可解性，且有 d d t ( 1 2 ‖ u t ‖ L 2 ( Ω ) 2 + 1 2 ‖ ∇ u ‖ L 2 ( Ω ) 2 − ∫ Ω ∫ 0 u f ( s ) d s ) = − η ‖ A θ 2 u t ‖ L 2 ( Ω ) 2 ，这表明(3.1)的解满足 ‖ [ u ( t ， u 0 ， v 0 ) v ( t ， u 0 ， v 0 ) ] ‖ Y ≤ c + c ′ L ( [ u 0 v 0 ] ) ≤ C ( ‖ [ u 0 v 0 ] ‖ Y ) (3.5) 其中 c ， c ′ 不依赖于 η 选取， L ( [ w 1 w 2 ] ) = 1 2 ‖ w 2 ‖ L 2 ( Ω ) 2 + 1 2 ‖ ∇ w 1 ‖ L 2 ( Ω ) 2 − ∫ Ω ∫ 0 w 1 f ( s ) d s ， w 1 ， w 2 ∈ Y ， (3.6) 和 C : ℝ + → ℝ + 是局部有界函数且与 η 选取无关。我们记 T ( t ) : Y → Y 是方程(3.1)的解算子。 从估计式(3.5)中，还可以得到Y的有界子集的轨道是有界的。根据 ρ < n n − 2 ，得出映射 F 是紧的。再加上半群 { e − A ( θ ) t : t ≥ 0 } 的指数衰减性，确保了 T = { T ( t ) ， t ≥ 0 } 的渐近紧性(参考定理2.1)， 从而在空间Y中，定理3.2中全局吸引子存在性可由标准的无穷维动力系统吸引子理论得到，见 [ 4 ]。 从以上分析和计算过程来看，对于具体的波动方程模型，根据耗散情形，重点和难点是构造其全局吸引子的存在性，作为强大的理论工具，全局吸引子的应用越来越广泛 [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]。