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user: 2. Hilbert紧空间与场方程的联系 考虑Schwarzschild度规下的时空方程 [ 1 ]： d s 2 = e ν d t 2 − e λ d r 2 − r 2 ( d θ 2 + sin 2 θ d φ 2 ) 取Hilbert空间中的点坐标 x μ = ( c t ， − r ， − θ ， − φ ) (1) 显然 x μ ∈ H 。由于Hilbert空间存在可数的处处稠密集，若M为H的子集，U为 x μ 的邻域，于是有 [ M ] = M ∩ U ， M ， U ⊂ S ，所以 [ M ] = S ，因此S为稠密集 [ 2 ]。 因为 S ， U ⊂ H ，其中 U ⊂ S ，并且H是线性拓扑空间，所以子空间S和U也同样如此 [ 3 ]。对于 y μ ∈ S − U 必存在两个线性拓扑空间的线性算子 A : H → S − U ，使得 A x μ = y μ (2) 这里算子 A ∈ D A ，且 D A 是线性流形。 因此，在所确定的线性空间中存在一点 x n ，使得 ‖ x μ − x n ‖ = ‖ A x μ − x n ‖ 现在考虑弱拓扑的情况，当 n → ∞ 时， x n → 0 为空间H的零邻域系 [ 3 ]， x n 不与距离的中点重合的情况下， x μ 和 y μ 是非对称的，从而有非零的参数 ± L ，使得 2 ‖ x μ ‖ ± L = ‖ A x μ − x μ ‖ 于是就有 2 c 2 t 2 + r 2 + θ 2 + φ 2 ± L = ( A − 1 ) c 2 t 2 + r 2 + θ 2 + φ 2 由 L : = c 2 t 2 + r 2 + θ 2 + φ 2 ⇒ 2 L ± L = ( A − 1 ) L 得到 A = ± L L + 3 ，再由式(1)和式(2)得到 y μ = ( ± L L + 3 ) ( c t ， − r ， − θ ， − φ ) 由此得到方程： d s ′ 2 = g ′ μ ν d x μ d x ν 其中的度规为 g ′ μ ν = ( ± L L + 3 ) [ e ν 0 − e λ − r 2 0 − r 2 sin 2 θ ] g ′ μ ν = ( ± L L + 3 ) [ e − ν 0 − e − λ − r − 2 0 − r − 2 sin − 2 θ ] 根据Einstein场方程 R ′ μ ν − 1 2 g ′ μ ν R ′ = κ T ′ μ ν 其中Ricci张量为 R ′ μ ν = 1 − g ′ ∂ α ( − g ′ Γ μ ν α ) − ∂ μ ν ( ln − g ′ − Γ μ β α Γ ν α β ) 并且由Christoffel记号的关系 Γ μ ν α = 1 2 g ′ α β Γ β μ ν = 1 2 g ′ α β ( ∂ g ′ β μ ∂ x ν + ∂ g ′ β ν ∂ x μ − ∂ g ′ μ ν ∂ x β ) 其中 g ′ = det ( g ′ μ ν ) ，经过计算得到 R ′ = g ′ μ ν R μ ν = e − λ [ ν ″ − 1 2 ν ′ λ ′ + 1 2 ν ′ 2 − 2 r ( λ ′ − ν ′ ) + 2 r 2 ] − 2 r 2 R ′ 11 = ( ± L L + 3 ) ( − 1 2 ν ″ + 1 4 ν ′ λ ′ − 1 4 ν ′ 2 + λ ′ r ) R ′ 22 = ( ± L L + 3 ) { − e − λ [ 1 + 1 2 r ( ν ′ − λ ′ ) ] + 1 } R ′ 33 = ( ± L L + 3 ) { − e − λ [ 1 + 1 2 r ( ν ′ − λ ′ ) ] sin 2 θ + sin 2 θ } R ′ 00 = ( ± L L + 3 ) [ e ν − λ ( 1 2 ν ″ − 1 4 ν ′ λ ′ + 1 4 ν ′ 2 + ν ′ r ) ] 由此可推出 κ T ′ 00 = R ′ 00 − 1 2 g ′ 00 R ′ = ( ± L L + 3 ) { e ν − λ ( 1 2 ν ″ − 1 4 ν ′ λ ′ + 1 4 ν ′ 2 + ν ′ r )     − 1 2 e ν − λ [ ν ″ − 1 2 ν ′ λ ′ + 1 2 ν ′ 2 − 2 r ( λ ′ − ν ′ ) + 2 r 2 ] − e ν r 2 } = ( ± L L + 3 ) [ e ν − λ ν ′ r + e ν − λ r ( λ ′ − ν ′ ) − 2 e ν − λ r 2 − e ν r 2 ] κ T ′ 11 = R ′ 11 − 1 2 g ′ 11 R ′ = ( ± L L + 3 ) ( − 1 2 ν ″ + 1 4 ν ′ λ ′ − 1 4 ν ′ 2 + λ ′ r + 1 2 ν ″     − 1 4 ν ′ λ ′ + 1 4 ν ′ 2 − λ ′ − ν ′ r + 1 r 2 − e λ r 2 ) = ( ± L L + 3 ) ( ν ′ r + 1 − e λ r 2 ) κ T ′ 22 = R ′ 22 − 1 2 g ′ 22 R ′ = ( ± L L + 3 ) ( − e − λ − e − λ r ( ν ′ − λ ′ ) 2 + 1 + 1 2 r e − λ − 1 4 e − λ ν ′ λ ′     + 1 4 e − λ ν ′ 2 − e − λ λ ′ + e − λ ν ′ + e − λ r + 1 r ) κ T ′ 33 = R ′ 33 − 1 2 g ′ 33 R ′ = ( ± L L + 3 ) { e − λ sin 2 θ − 1 2 r ( ν ′ − λ ′ ) e − λ sin 2 θ + sin 2 θ     + 1 2 r 2 sin 2 θ [ e − λ ν ″ − 1 2 e − λ ν ′ λ ′ + 1 2 e − λ ν ′ 2 − 2 r e − λ ( λ ′ − ν ′ ) + 2 r 2 e − λ − 2 r 2 ] } = ( ± L L + 3 ) [ 1 2 r ( ν ′ − λ ′ ) e − λ sin 2 θ + 1 2 r 2 e − λ ν ″ sin 2 θ     − 1 4 r 2 e − λ ν ′ λ ′ sin 2 θ + 1 4 e − λ r 2 ν ′ 2 sin 2 θ ] 对于场方程 R ′ μ ν = κ ( T ′ μ ν − 1 2 g ′ μ ν T ′ ) 取最低近似，即 T ′ = T ′ μ ν g ′ μ ν ≅ T ′ μ ν η ′ μ ν ≅ T ′ 00 η ′ 00 = T ′ 00 。 所以有 η ′ μ ν 下的弱引力场： R ′ μ ν = κ ( T ′ μ ν − 1 2 η ′ μ ν T ′ ) ，其中 | g ′ μ ν − η ′ μ ν | ≪ 1 ，所以 | g μ ν − η μ ν | ≪ 1 L L + 3 ，由于 κ T ′ = κ T ′ 00 = ( ± L L + 3 ) [ e ν − λ ν ′ r + e ν − λ r ( λ ′ − ν ′ ) − 2 e ν − λ r 2 − e ν r 2 ] 其中Einstein场方程常数为 κ = 8 π G c 4 。所以 T ′ = ( ± L L + 3 ) c 4 8 π G ( e ν − λ r λ ″ − 2 e ν − λ + e ν r 2 ) (3) 这里令 T = e ν − λ r λ ″ − 2 e ν − λ + e ν r 2 ，所以式(3)变为 T ′ = ( ± L L + 3 ) c 4 8 π G T 。