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user: 2. 正文 2.1. 基本引理 [ 2 ] 引理2.1：幂级数 ∑ n = 0 ∞     a n x n 的和函数 s ( x ) 在其收敛域上可积，并且逐项可积。 引理2.2：如果交错级数 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 u n 满足条件： u n ≥ u n + 1 ； lim n → ∞ u n = 0 ， 则级数收敛，且其和 s ≤ u 1 ，其余项 r n 的绝对值 | r n | ≤ u n + 1 。 引理2.3：若函数 f ( x ， μ ) 与 f ′ μ ( x ， μ ) 在区域D： a ≤ x < + ∞ ， α ≤ μ ≤ β 上连续且无穷积分 φ ( μ ) = ∫ a + ∞ f ( x ， μ ) d x 在区间 [ α ， β ] 上收敛，且无穷积分 ∫ a + ∞ f ′ μ ( x ， μ ) d x 在区间 [ α ， β ] 上一致收敛，则函数 φ ( μ ) 在区间 [ α ， β ] 上可导，且 φ ′ ( μ ) = ∫ a + ∞ f ′ μ ( x ， μ ) d x 。 引理2.4：设函数 f ( x ) 在区间 ( a ， b ] 上连续，且 f ( x ) ≥ 0 ， x = a 为 f ( x ) 的瑕点，如果存在常数 0 < q < 1 使得 lim x → a + ( x − a ) q f ( x ) 存在，则反常积分 ∫ a b f ( x ) d x 收敛； 如果 lim x → a + ( x − a ) f ( x ) = d > 0 ，（或 lim x → a + ( x − a ) f ( x ) = + ∞ )，则反常积分 ∫ a b f ( x ) d x 发散。 引理2.5：设函数 f ( x ) 在区间 [ a ， + ∞ ) ( a > 0 ) 上连续，且 f ( x ) ≥ x ，如果存在常数 M > 0 且 p > 0 ，使得 f ( x ) ≤ M x p ( a ≤ x < + ∞ ) ，则反常积分 ∫ a + ∞ f ( x ) d x 收敛；如果存在常数 N > 0 ，使得 f ( x ) ≥ N x ( a ≤ x < + ∞ ) ，则反常积分 ∫ a + ∞ f ( x ) d x 发散。 2.2. “积不出”函数的定积分的近似值与广义积分的值 例2.1：计算定积分 I ( y ) = ∫ 0 y   e − x 2 d x ( y > 0 ) 的近似值。 解：函数 e − x 2 的幂级数展开式为： e − x 2 = 1 − x 2 + x 2 2 ! − x 3 3 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x n n ! + ⋯   ( − ∞ < x < + ∞ ) 由引理(2.1) I ( y ) = y − y 3 3 ⋅ 1 ! + y 5 5 ⋅ 2 ! − y 7 7 ⋅ 3 ! + ⋯ + ( − 1 ) n y 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ⋅ n ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n y 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ⋅ n !   ( 0 < y < + ∞ ) 由引理(2.2)， I ( y ) 的近似值 I * ( y ) = ∑ n = 0 k ( − 1 ) n y 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ⋅ n ! ，误差 | r 2 k + 1 | < y 2 k + 3 ( 2 k + 3 ) ( k + 1 ) ! 。 用Matlab计算得 I * ( 2 2 ) = 0.60501 ， I * ( 2 ) = 0.84590 ， I * ( 3 2 2 ) = 0.88622 ，其中 | r | < 10 − 5 。且有函数图像如图1所示： 图1. I * ( y ) 的函数图像 因为广义积分 I = ∫ 0 + ∞   e − x 2 d x = π 2 ，注意到$ | I ( 3 2 2 ) − I | < 10 − 5 ，我们从数值上验证了正态分布的“ 3 σ 定律” [ 3 ]。 例2.2：计算定积分 I ( y ) = ∫ 0 y sin x x d x 的近似值，讨论广义积分 I = ∫ 0 + ∞ sin x x d x 的敛散性并求其值。 解：1 ° ∵ lim x → 0 sin x x = 1 ∴ I ( y ) 不是瑕积。 ∵ s i n x x 是偶函数，不妨设 y > 0 ，函数 s i n x x 的幂级数展开式为： sin x x = 1 − x 2 3 ! + x 4 5 ! − x 6 7 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n + 1 ) + ⋯   ( − ∞ < x < + ∞ ) 由引理(2.1) I ( y ) = y − y 3 3 ⋅ 3 ! + y 5 5 ⋅ 5 ! − y 7 7 ⋅ 7 ! + ⋯ + ( − 1 ) n y 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ⋅ ( 2 n + 1 ) ! + ⋯   ( − ∞ < y < + ∞ ) 由引理(2.2)， I ( y ) 的近似值 I * ( y ) = ∑ n = 0 k ( − 1 ) n y 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ! ，误差 | r 2 k + 1 | < y 2 k + 3 ( 2 k + 3 ) ( 2 k + 3 ) ! 。 2 ° 判定广义积分 I = ∫ 0 + ∞ sin x x d x 的敛散性，并求其值。 ∵ | ∫ 0 a sin x d x | ≤ 2 ， 1 x → 0 ( x → + ∞ ) 且 1 x 递减，由Dirichlet判别法 [ 4 ] 知I是收敛的， 由Abel判别法 [ 4 ] 知含参量积分 I ( t ) = ∫ 0 + ∞   e − t x sin x x d x 在 t ∈ [ 0， + ∞ ) 上一致收敛。 I = I ( 0 ) = lim t → 0 + I ( t ) ，由Weierstrass判别法 [ 4 ] 知 ∫ 0 + ∞   e − t x s i n x x d x 在 [ t 0 ， + ∞ ) 上一致收敛 ( t 0 > 0 ) 。 根据引理(2.3)利用Dirichlet判别法 [ 4 ]，考虑 I ( u ) = ∫ a u   f ( x ) d x 在 ( a ， + ∞ ) 上有界， g ( x ) 在 [ a ， + ∞ ) 上 当 x → + ∞ 时单调趋于0，则 ∫ a + ∞ f ( x ) g ( x ) d x 收敛。 I ′ ( t ) = − ∫ 0 + ∞   e − t x sin x d x = e − t x ( t sin x + cos x ) 1 + t 2 | 0 + ∞ = − 1 1 + t 2 ，则 I ( t ) = − arctan t + C 。 又 | I ( t ) | = | ∫ 0 + ∞   e − t x sin x x d x | ≤ ∫ 0 + ∞   e − t x d x = 1 t → 0   ( t → + ∞ ) ，即 lim t → + ∞ I ( t ) = 0 ， C = π 2 ， 故 I ( t ) = − arctan t + π 2 ， I = I ( 0 ) = π 2 。 用Matlab计算得 I * ( π ) = 1.85193 ， I * ( 2 π ) = 1.41815 ， I * ( 3 π ) = 1.67476 ， I * ( 4 π ) = 1.49216 ，这里 | r | < 10 − 5 ，并给出了 I * ( y ) 的函数图像，如图2所示。 例2.3：计算定积分 I ( y ) = ∫ e y 1 ln x d x 的近似值 ( y > e ) ，讨论广义积分 I 1 = ∫ e + ∞ 1 ln x d x ， I 2 = ∫ 0 1 1 ln x d x ， I 3 = ∫ 1 2 1 ln x d x 的敛散性。 解：1 ° I ( y ) = ∫ e y 1 ln x d x   = t = ln x   ∫ 1 ln y 1 t ⋅ e t d t ， e t t 的幂级数展开式为： 图2. I * ( y ) 的函数图像 e t t = 1 t + 1 + t 2 + t 2 3 ! + ⋯ + t n − 1 n ! + ⋯ ( − ∞ < t < 0 或 0 < t < + ∞ )。 由(2.1) I ( y ) = ∫ 1 ln y ( 1 t + 1 + t 2 ! + t 2 3 ! + ⋯ + t n − 1 n ! + ⋯ ) d t = ln ln y + ( ln y − 1 ) + ∑ n = 2 ∞ ( ln y ) n − 1 n ⋅ n !   ( e < y ) I * ( y ) = ln ln y + ( ln y − 1 ) + ∑ n = 2 k ( ln y ) n − 1 n ⋅ n ! 不能估算误差。 用Matlab计算得到 I * ( e ) = 0 ， I * ( e 2 ) = 3.059116 ， I * ( e 3 ) = 8.038714 ， I * ( e 4 ) = 17.735756 ，从计算结果可以看出 I * ( y ) 的值增大速度较快，导致 ∫ e + ∞ 1 l n x d x 发散。以下为 I * ( y ) 的函数图像，如图3所示。 2 ° 讨论 I 1 ， I 2 ， I 3 的敛散性， 1 ln x > 1 x ( e ≤ x < + ∞ ) ，由引理(2.5)知， I 1 发散。 ∵ lim x → 0 1 l n x = 0 ， lim x → 1 1 ln x = ∞ ， ∴ I 2 中仅 x = 1 为瑕点。而 lim x → 1 − ( 1 − x ) 1 ln x = 1 > 0 ，由引理(2.4)知 I 2 发散。类似地，由引理(2.4)知 I 3 发散。 例2.4：计算定积分 I ( y ) = ∫ 0 y 1 1 + x 4 d x 的近似值，并讨论广义积分 I = ∫ 0 + ∞ 1 1 + x 4 d x 的敛散性。 解：1 ° 函数 1 1 + x 4 的幂级数展开式为： 图3. I * ( y ) 的函数图像 1 1 + x 4 = 1 − 1 2 x 4 + 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 x 8 − 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 x 12 + 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 x 16 + ⋯ + ( − 1 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! x 4 n + ⋯       ( x ∈ [ 0 ， 1 ] ) 由引理(2.1) I ( y ) = y + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! ( 4 n + 1 ) ( 2 n ) ! 1 y 4 n + 1 ( 0 ≤ y ≤ 1 ) ，由引理(2.2) I ( y ) 的近似值 I * ( y ) = y + ∑ n = 1 k ( − 1 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! ( 4 n + 1 ) ( 2 n ) ! 1 y 4 n + 1 ，误差 | r 4 k + 1 | ≤ ( 2 k + 1 ) ! ! ( 4 k + 5 ) ⋅ ( 2 k + 2 ) ! ! y 4 k + 5 。用Matlab计算得 I * ( 1 2 ) = 0.49695 ， I * ( 1 ) = 0.92778 ，这里 | r | < 10 − 5 ，且有 I * ( y ) 的图像，如图4所示。 图4. I * ( y ) 的函数图像 2 ° ∵ 1 1 + x 4 < 1 x 2 x ∈ ( 0， + ∞ ) 由引理(2.4)广义积分 ∫ 0 + ∞ 1 1 + x 4 d x 收敛。令 I 1 = ∫ 0 1 1 1 + x 4 d x ， I 2 = ∫ 1 + ∞ 1 1 + x 4 d x ，由定积分估值定理知 2 2 < I 1 < 1 ，由不等式性质得 ∫ 1 + ∞ 2 2 ⋅ 1 x 2 d x < I 2 < ∫ 1 + ∞ 1 x 2 d x ，即 2 2 < I 2 < 1 。 故 2 < I = I 1 + I 2 < 2 。