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user: 3. 改进的区间Krawczyk算子 区间参数非线性方程组(2)等价于 x = p ( x ) = x − C f ( x ) ， 其中c为非奇异点矩阵，通常取 C = { m ( F ′ ( [ x ] ) ) } − 1 。 定义1：对任意区间向量 [ x ] ∈ I R n ，点向量 c ∈ [ x ] ，非奇异矩阵 C ∈ R n × n ， F ′ ( [ x ] ) 为区间函数 f ( x ) 导数的区间扩展，区间映射 K ( [ x ] ， c ) = c − C f ( c ) + ( I − C F ′ ( [ x ] ) ) ( [ x ] − c ) 称为改进的区间Krawczyk算子，c通常取区间向量 [ x ] 的中点。 定理1：假设区间参数非线性函数 f : D ⊂ R n → R n 连续可微， x ∗ 为区间参数非线性方程组(2)的任意实数解。则 1) 如果 x ∗ ∈ [ x ] ，则 x ∗ ∈ K ( [ x ] ， c ) ； 2) 如果 K ( [ x ] ， c ) ∩ [ x ] = ∅ ，则区间 [ x ] 不含有区间参数非线性方程组(2)的任何解； 3) 如果 K ( [ x ] ， c ) ⊆ [ x ] ，则 [ x ] 一定包含区间参数非线性方程组(2)的一个解。 证明： Table 1 The comparison for effectiveness of interval extensio [ x ] F N ( [ x ] ) F o ( [ x ] ， c _ ， c ¯ ) F N ( [ x ] ) ∩ F o ( [ x ] ， c _ ， c ¯ ) ( [ 0.5 ， 1.5 ] [ 1.5 ， 2.5 ] ) ( [ − 2.8501 ， 5.2501 ] [ − 3.3501 ， 3.8501 ] ) ( [ − 7.2501 ， 9.6501 ] [ − 2.8501 ， 2.3501 ] ) ( [ − 2.8501 ， 5.2501 ] [ − 2.8501 ， 2.3501 ] ) ( [ − 0.5 ， 0.5 ] [ − 0.5 ， 0.5 ] ) ( [ − 5.1251 ， − 4.5999 ] [ − 3.3501 ， 1.3501 ] ) ( [ − 5.1251 ， − 4.5999 ] [ − 3.3501 ， 1.3501 ] ) ( [ − 5.1251 ， − 4.5999 ] [ − 3.3501 ， 1.3501 ] ) 表1. 区间扩展有效性比较 1) 由于 x ∗ 为区间参数非线性方程组(2)的一个解，则存在 f ( x ) ∈ f ( x ) 使得 f ( x ) ∈ f ( x ) ，故 x ∗ = x ∗ − C f ( x ∗ ) = c − C f ( c ) + x ∗ − c − C ( f ( x ∗ ) − f ( c ) ) = c − C f ( c ) + x ∗ − c − C f ′ ( c + θ ( x ∗ − c ) ) ( x ∗ − c ) = c − C f ( c ) + ( I − C f ′ ( c + θ ( x ∗ − c ) ) ) ( x ∗ − c ) ∈ c − C f ( c ) + ( I − C F ′ ( [ x ] ) ) ( [ x ] − c ) ⊆ K ( [ x ] ， c ) . 2) 假设 x ∗ ∈ [ x ] 为区间参数非线性方程组(2)的一个解，由(1)可知 x ∗ ∈ K ( [ x ] ， c ) 这与条件相矛盾。所以 [ x ] 不包含区间参数非线性方程组(2)的解。 3) 对于任意的 f ( x ) ∈ f ( x ) ，定义 p 1 ( x ) = x − C f ( x ) ，则 p 1 ( x ) = c − C f ( c ) + x − c − C ( f ( x ) − f ( c ) ) = c − C f ( c ) + x − c − C f ′ ( c + θ ( x − c ) ) ( x − c ) = c − C f ( c ) + ( I − C f ' ( c + θ ( x − c ) ) ) ( x − c ) . 因为 x ， c ∈ [ x ] ，故 c + θ ( x − c ) ∈ [ x ] ，所以 p 1 ( x ) ∈ c − C f ( c ) + ( I − C F ′ ( [ x ] ) ) ( x − c ) ⊆ K ( [ x ] ， c ) . 因为 p ( x ) 在区间向量 [ x ] 内连续且 [ x ] 为非空有界闭凸集，如果 K ( [ x ] ， c ) ⊆ [ x ] ，则 { p 1 ( x ) : x ∈ [ x ] } ⊆ [ x ] ，由Brouwer不动点定理可知至少存在 p 1 ( x ) 的一个不动点 x ∗ ∈ [ x ] 使得 C f ( x ∗ ) = 0 。又因为C为非奇异矩阵，所以 f ( x ∗ ) = 0 ，即 [ x ] 一定包含非线性方程组 f ( x ) = 0 的一个解，最后可得 [ x ] 至少包含区间参数非线性方程组(2)的一个解。 命题1：设p为区间参数非线性方程组(1)中的区间参数，如果 ω ( P ) = 0 ，则改进的区间Krawczyk算子等价于区间Krawczyk算子。 很显然，改进的Krawczyk算子 K ( [ x ] ， c ) 是映射 p ( x ) 的区间扩展。基于Baumann的中点c的取值方法和引理1，定义 K ( [ x ] ， c _ ， c ¯ ) = [ x ] − C F ( [ x ] ， c _ ， c ¯ ) = [ x ] − C ( F N ( [ x ] ) ) ∩ F o ( [ x ] ， c ¯ ， c _ ) = [ x ] − C ( F N [ x ] ) ∩ F M ( [ x ] ， c _ ) ∩ F M ( [ x ] ， c ¯ ) 其中 c _ 与 c ¯ 的定义见(3)和(4)。同时 K ( [ x ] ， c _ ， c ¯ ) 与改进的Krawczyk算子具有相同的性质。 定理2：假设区间参数非线性函数 f : D ⊂ R n → R n 连续可微， x ∗ 为区间参数非线性方程组(2)的任一实数解。则 1) K ( [ x ] ， c ) ⊇ K ( [ x ] ， c _ ， c ¯ ) ； 2) 如果 x ∗ ∈ [ x ] ，则 K ( [ x ] ， c _ ， c ¯ ) ； 3) 如果 K ( [ x ] ， c _ ， c ¯ ) ∩ [ x ] = ∅ ，则区间 [ x ] 内不含有区间参数非线性方程组(2)的任何解； 4) 如果 K ( [ x ] ， c _ ， c ¯ ) ⊆ [ x ] ，则 [ x ] 一定包含区间参数非线性方程组(2)的一个解。 证明： 1) 因为 K ( [ x ] ， c ) = c − C f ( c ) + ( I − C F ′ ( [ x ] ) ) ( [ x ] − c ) = [ x ] − C ( f ( c ) + F ′ ( [ x ] ) ( [ x ] − c ) ) = [ x ] − C F M ( [ x ] ， c ) ， 由式(5)可知 F M ( [ x ] ， c ) ⊇ F o ( [ x ] ， c _ ， c ¯ ) ∩ F N ( [ x ] ) ， 所以 K ( [ x ] ， c ) ⊇ K ( [ x ] ， c _ ， c ¯ ) . 2)、3)、4)的证明与定理1的证明类似，不再赘述。