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user: 2. 定理1.1的证明 定理1.1的必要性证明通过简单计算即可得到，充分性部分的证明由以下几个引理构成，第一个引理是显然的，其中 gcd ( x ， y ) 表示x和y的最大公约数。 引理2.1：设u，v，x和y是正整数。如果 gcd ( u x ， v y ) = 1 ，则 gcd ( u v ， u x + v y ) = 1 。 引理2.2：设s是任意正整数。如果lK m ，n 存在K 2，4 -因子分解，则lsK m ，n 存在K 2，4 -因子分解。 证明：重复lK m ，n 的K 2，4 -因子分解s次即得lsK m ，n 的K 2，4 -因子分解。 引理2.3：设s是任意正整数。如果lK m ，n 存在K 2，4 -因子分解，则lK ms ，ns 存在K 2，4 -因子分解。 证明：由于K s ，s 是可1-因子分解的(参见 [ 2 ] )，可设 { F i : 1 ≤ i ≤ s } 是它的一个1-因子分解。对于每一个1 £ i £ s，用lK m ，n 代替F i 的每条边，即得到lK ms ，ns 的一个支撑子图G i ，且 G i ( 1 ≤ i ≤ s ) 边集的并为lK ms ，ns 。由于lK m ，n 是可K 2，4 -因子分解的，因而G i 也是可K 2，4 -因子分解的。所以lK ms ，ns 存在K 2，4 -因子分解。 由引理2.3我们易得当m = 2n或n = 2m时，lK m ，n 存在K 2，4 -因子分解。因此下面我们只需考虑m < 2n且n < 2m时的情形。在这种情形下，我们令 a = ( 2 n − m ) / 6 ， b = ( 2 m − n ) / 6 ， t = ( m + n ) / 6 和 r = 3 λ m n / [ 4 ( m + n ) ] 。由定理1.1的条件(1)~(4)可知a，b，t，r是整数，且0 < a < m，0 < b < n。于是有2a + 4b = m，4a + 2b = n。进而可得 r = λ ( a + b ) + λ a b / [ 2 ( a + b ) ] 。设 z = λ a b / [ 2 ( a + b ) ] ，它也是整数。设 gcd ( 2 a ， 4 b ) = d ，2a = dp，4b = dq，其中 gcd ( p ， q ) = 1 。因此 z = λ d p q / [ 4 ( 2 p + q ) ] 。于是我们可得下列各式： d = 4 ( 2 p + q ) z / ( λ p q ) m = 4 ( p + q ) ( 2 p + q ) z / ( λ p q ) n = 2 ( 4 p + q ) ( 2 p + q ) z / ( λ p q ) r = ( p + q ) ( 4 p + q ) z / ( λ p q ) a = 2 p ( 2 p + q ) z / ( λ p q ) b = q ( 2 p + q ) z / ( λ p q ) 则有以下引理 引理2.4：1) 如果 gcd ( p ， 4 ) = 1 ， gcd ( q ， 16 ) = 1 ，设 gcd ( 2 p + q ， l ) = γ ，则 d = 4 ( 2 p + q ) s / γ ， m = 4 ( p + q ) ( 2 p + q ) s / γ ， n = 2 ( 4 p + q ) ( 2 p + q ) s / γ ， r = ( p + q ) ( 4 p + q ) s λ / γ ， a = 2 p ( 2 p + q ) s / γ ， b = q ( 2 p + q ) s / γ 其中s是正整数。 2) 如果 ， gcd ( q ， 16 ) = 1 ，设 q = 2 q 1 ，设 gcd ( 2 ( p + q 1 ) ， λ ) = γ ，则 d = 4 ( p + q 1 ) s / γ ， m = 4 ( p + 2 q 1 ) ( p + q 1 ) s / γ ， n = 4 ( 2 p + q 1 ) ( p + q 1 ) s / γ ， r = ( p + 2 q 1 ) ( 2 p + q 1 ) s λ / γ ， a = 2 p ( p + q 1 ) s / γ ， b = 2 q 1 ( p + q 1 ) s / γ 其中s是正整数。 3) 如果 gcd ( p ， 4 ) = 1 ， gcd ( q ， 16 ) = 4 ，设 q = 4 q 2 ，设 gcd ( p + 2 q 2 ， l ) = γ ，则 d = 2 ( p + 2 q 2 ) s / γ ， m = 2 ( p + 4 q 2 ) ( p + 2 q 2 ) s / γ ， n = 4 ( p + q 2 ) ( p + 2 q 2 ) s / γ ， r = ( p + 4 q 2 ) ( p + q 2 ) s λ / γ ， a = p ( p + 2 q 2 ) s / γ ， b = 2 q 2 ( p + 2 q 2 ) s / γ 其中s是正整数。 4) 如果 gcd ( p ， 4 ) = 1 ， gcd ( q ， 16 ) = 8 ，设 q = 8 q 3 ，设 gcd ( p + 4 q 3 ， λ ) = γ ，则 d = 2 ( p + 4 q 3 ) s / γ ， m = 2 ( p + 8 q 3 ) ( p + 4 q 3 ) s / γ ， n = 4 ( p + 2 q 3 ) ( p + 4 q 3 ) s / γ ， r = ( p + 8 q 3 ) ( p + 2 q 3 ) s λ / γ ， a = p ( p + 4 q 3 ) s / γ ， b = 4 q 3 ( p + 4 q 3 ) s / γ 其中s是正整数。 5) 如果 gcd ( p ， 4 ) = 1 ， gcd ( q ， 16 ) = 16 ，设 q = 16 q 4 ，设 gcd ( p + 8 q 4 ， λ ) = γ ，则 d = 2 ( p + 4 q 4 ) s / γ ， m = 2 ( p + 16 q 4 ) ( p + 8 q 4 ) s / γ ， n = 4 ( p + 4 q 4 ) ( p + 8 q 4 ) s / γ ， r = ( p + 16 q 4 ) ( p + 4 q 4 ) s λ / γ ， a = p ( p + 8 q 4 ) s / γ ， b = 8 q 4 ( p + 8 q 4 ) s / γ 其中s是正整数。 6) 如果 gcd ( p ， 4 ) = 2 ， gcd ( q ， 16 ) = 1 ，设 p = 2 p 1 ，设 gcd ( 4 p 1 + q ， λ ) = γ ，则 d = 4 ( 4 p 1 + q ) s / γ ， m = 4 ( 2 p 1 + q ) ( 4 p 1 + q ) s / γ ， n = 2 ( 8 p 1 + q ) ( 4 p 1 + q ) s / γ ， r = ( 2 p 1 + q ) ( 8 p 1 + q ) s λ / γ ， a = 4 p 1 ( 4 p 1 + q ) s / γ ， b = q ( 4 p 1 + q ) s / γ 其中s是正整数。 7) 如果 gcd ( p ， 4 ) = 4 ， gcd ( q ， 16 ) = 1 ，设 p = 4 p 2 ，设 gcd ( 8 p 2 + q ， λ ) = γ ，则 d = 4 ( 8 p 2 + q ) s / γ ， m = 4 ( 4 p 2 + q ) ( 8 p 2 + q ) s / γ ， n = 2 ( 16 p 2 + q ) ( 8 p 2 + q ) s / γ ， r = ( 4 p 2 + q ) ( 16 p 2 + q ) s λ / γ ， a = 8 p 2 ( 8 p 2 + q ) s / γ ， b = q ( 8 p 2 + q ) s / γ 其中s是正整数。 证明：1) 由条件我们有 gcd ( p ， 4 ) = gcd ( q ， 16 ) = gcd ( p ， q ) = 1 ，因此 gcd ( 4 p ， q ) = 1 。此时 r = ( p + q ) ( 4 p + q ) z / ( p q ) 。根据引理2.1，我们有 gcd ( p q ， p + q ) = gcd ( p q ， 4 p + q ) = 1 。所以 z / ( p q ) 是正整数。令 z ′ = z / ( p q ) 。设 gcd ( 2 p ( 2 p + q ) ， λ ) = γ 1 ， gcd ( q ( 2 p + q ) ， λ ) = γ 2 。由 a = 2 p ( 2 p + q ) z ′ / λ ， b = q ( 2 p + q ) z ′ / λ 。我们知 z ′ γ 1 / λ 和 z ′ γ 2 / λ 是正整数。因为 ，所以 z ′ γ / λ 是正整数，这里 gcd ( 2 p + q ， λ ) = γ 。令 s = z ′ γ / λ ，即得(1)中的等式。 (2)~(7)中各式的证明类似于(1)。 引理2.5：对于任意正整数γ，p和q，如果 m = 4 ( p + q ) ( 2 p + q ) / γ ， n = 2 ( 4 p + q ) ( 2 p + q ) / γ ，则当 ( 2 p + q ) / γ 是正整数时，γK m ，n 存在K 2，4 -因子分解。 证明：记 a = 2 p ( 2 p + q ) / γ ， b = q ( 2 p + q ) / γ ， r = ( p + q ) ( 4 p + q ) ， r １ = p + q 和 r 2 = 4 p + q 。并令Ｘ和Y是γK m ，n 两个部分点集 X = { x i ， j | 1 ≤ i ≤ r 1 ， 1 ≤ j ≤ 4 ( 2 p + q ) / γ } ， Y = { y i ， j | 1 ≤ i ≤ r 2 ， 1 ≤ j ≤ 2 ( 2 p + q ) / γ } 。 我们将构作γK m ，n 的一个K 2，4 -因子分解。我们约定x i，j 和y i，j 的第一个下标分别在 和 { 1 ， 2 ， ⋯ ， r 2 } 中进行模r 1 和模r 2 的运算，它们的第二个下标分别在 { 1，2， ⋯ ，4 ( 2 p + q ) / γ } 和 { { 1，2， ⋯ ，2 ( 2 p + q ) / γ } 中进行模 4 ( 2 p + q ) / γ 和模 的运算。 对于每一个正整数i，x，y，z，1 £ I £ p，0 £ x £ 1和0 £ y £ 3，令 f ( x ) = 2 ( 2 p + q ) x / γ ， g ( i ， y ) = 4 ( i − 1 ) + y + 1 ， h ( i ， y ) = 4 ( i − 1 ) + y 并构作如下边集 E i = { x i ， f ( x ) + j y g ( i ， y ) ， h ( i ， y ) + j : 1 ≤ j ≤ 2 ( 2 p + q ) / γ ， 0 ≤ x ≤ 1 ， 0 ≤ y ≤ 3 } 。 对于每一个正整数i，x，y，z，1 £ i £ q和0 £ x，y，z £ 1，令 u ( x ， y ) = ( 2 p + q ) ( 2 x + y ) / γ ， v ( i ， y ， z ) = 4 p + 2 ( i − 1 ) + ( 2 p + q ) y / γ + z 并构作如下边集 E p + i = { x p + i ， u ( x ， y ) + j y 4 p + i ， v ( i ， y ， z ) + j : 1 ≤ j ≤ 2 ( 2 p + q ) / γ ， 0 ≤ x ， y ， z ≤ 1 } 。 令 F = ∪ 1 ≤ i ≤ p + q E i ，则图F就是γK m ，n 的一个K 2，4 -因子。定义 X ∪ Y 到 X ∪ Y 上的双射 σ : σ ( x i ， j ) = x i + 1 ， j ， σ ( y i ， j ) = y i + 1 ， j 。对于每一个 i ∈ { 1，2， ⋯ ， r 1 } 和每一个 j ∈ { 1，2， ⋯ ， r 2 } ，令 F i ， j = { s i ( x j ) s j ( y j ) | x ∈ X . y ∈ Y ， x y ∈ F } 。 易证每一个图 F i ， j ( 1 ≤ i ≤ r 1 ， 1 ≤ i ≤ r 2 ) 都是γK m ，n 的K 2，4 -因子。于它们边集的并构成γK m ，n ，因此 { F i ， j | 1 ≤ i ≤ r 1 ， 1 ≤ i ≤ r 2 } 就是γK m ，n 的一个K 2，4 -因子分解。 引理得证。 以下引理的证明同引理2.5相类似，因此我们只写出其中X，Y，E i 和 E p + i 的表达式。 引理2.6：对于任意正整数γ，p和q，如果 m = 4 ( p + 2 q ) ( p + q ) / γ ， n = 4 ( 2 p + q ) ( p + q ) / γ ，则当 ( 2 p + q ) / γ 是正整数时，γK m ，n 存在K 2，4 -因子分解。 证明：记 a = 2 p ( p + q ) / γ ， b = 2 q ( p + q ) / γ ， r = ( p + 2 q ) ( 2 p + q ) ， r 1 = p + 2 q 和 r 2 = 2 p + q 。并令 X = { x i ， j | 1 ≤ i ≤ r 1 ，1 ≤ j ≤ 4 ( p + q ) / γ } ， Y = { y i ， j | 1 ≤ i ≤ r 2 ， 1 ≤ j ≤ 4 ( p + q ) / γ } 。 对于每一个正整数i，x，y，z，1 £ i £ p，0 £ x，y，z £ 1，令 f ( x ) = 2 ( p + q ) x / γ ， g ( i ， y ) = 2 ( i − 1 ) + y + 1 ， h ( i ， y ， z ) = 4 ( i − 1 ) + y + 4 ( p + q ) z / γ 并构作如下边集 E i = { x i ， f ( x ) + j y g ( i ， y ) ， h ( i ， y ， z ) + j : 1 ≤ j ≤ 2 ( p + q ) / γ ， 0 ≤ x ， y ， z ≤ 1 } 。 对于每一个正整数i，x，y，z，1 £ i £ q，0 £ x，y，z £ 1，令 f ( x ) = 2 ( p + q ) x / γ ， g ( i ， y ) = 2 ( i − 1 ) + y + 1 ， u ( i ， y ， z ) = 2 p + 2 ( p + q ) z / γ + 2 ( i − 1 ) + y + 1 并构作如下边集 E p + i = { x p + g ( i ， y ) ， f ( x ) + j y 2 p + i ， u ( i ， y ， z ) + j : 1 ≤ j ≤ 2 ( p + q ) / γ ， 0 ≤ x ， y ， z ≤ 1 } 。 引理2.7：对于任意正整数γ，p和q，如果 m = 2 ( p + 8 q ) ( p + 4 q ) / γ ， n = 4 ( p + 2 q ) ( p + 4 q ) / γ 。则当 ( p + 4 q ) / γ 是正整数时，γK m ，n 存在K 2，4 -因子分解。 证明：记 a = p ( p + 4 q ) / γ ， b = 4 q ( p + 4 q ) / γ ， r = ( p + 8 q ) ( p + 2 q ) ， r 1 = p + 8 q 和 r 2 = p + 2 q 。并令 X = { x i ， j | 1 ≤ i ≤ r 1 ，1 ≤ j ≤ 2 ( p + 4 q ) / γ } ， Y = { y i ， j | 1 ≤ i ≤ r 2 ，1 ≤ j ≤ 4 ( p + 4 q ) / γ } 。 对于每一个正整数i，x，y，1 £ i £ p，0 £ x £ 1和0 £ y £ 3，令 f ( x ) = ( p + 4 q ) x / γ ， g ( i ， y ) = i − 1 + ( p + 4 q ) y ，并构作如下边集 E i = { x i ， f ( x ) + j y i ， g ( i ， y ) + j : 1 ≤ j ≤ ( p + 4 q ) / γ ， 0 ≤ x ≤ 1 ， 0 ≤ y ≤ 3 } 。 对于每一个正整数i，x，y，z，w，1 £ i £ q，0 £ y，w £ 1和0 £ x，z £ 3，令 h ( i ， x ， y ) = p + 8 ( i − 1 ) + 2 x + y ， u ( i ， x ， w ) = p + 4 ( i − 1 ) + x + ( p + 4 q ) w / γ 并构作如下边集 E p + i = { x h ( i ， x ， y ) ， ( p + 4 q ) z / γ + j y p + 2 ( i − 1 ) + y ， u ( i ， x ， w ) + j : 1 ≤ j ≤ ( p + 4 q ) / γ ， 0 ≤ y ， w ≤ 1 和 0 ≤ x ， z ≤ 3 } 。 引理2.8：对于任意正整数γ，p和q，如果 m = 2 ( p + 16 q ) ( p + 8 q ) / γ ， n = 4 ( p + 4 q ) ( p + 8 q ) / γ 。则当 ( p + 8 q ) / γ 是正整数时，γK m ，n 存在K 2，4 -因子分解。 证明：记 a = p ( p + 8 q ) / γ ， b = 8 q ( p + 8 q ) / γ ， r = ( p + 16 q ) ( p + 4 q ) ， 和 r 2 = p + 4 q 。并令 X = { x i ， j | 1 ≤ i ≤ r 1 ，1 ≤ j ≤ 2 ( p + 8 q ) / γ } ， Y = { y i ， j | 1 ≤ i ≤ r 2 ，1 ≤ j ≤ 4 ( p + 8 q ) / γ } 。 对于每一个正整数i，x，y，满足1 £ i £ p，0 £ x £ 1和0 £ y £ 3，令 f ( x ) = ( p + 8 q ) x / γ ， g ( i ， y ) = ( p + 8 q ) y / γ + i − 1 ，并构作如下边集 E i = { x i ， f ( x ) + j y i ， g ( i ， y ) + 1 : 1 ≤ j ≤ ( p + 8 q ) / γ ， 0 ≤ x ≤ 1， 0 ≤ y ≤ 3 } 。 对于每一个正整数i，x，y，z，s，t，且1 £ i £ q，0 £ x £ 3，0 £ y，z，s，t £ 1，令 h ( i ， x ， y ， z ) = p + 16 ( i − 1 ) + 4 x + 2 y + z + 1 ， u ( s ) = ( p + 8 q ) s / γ ， v ( i ， x ) = p + 4 ( i − 1 ) + x + 1 ， w ( i ， x ， y ， t ) = p + 8 ( i − 1 ) + 2 x + y + 1 + ( p + 8 q ) y / γ + ( p + 8 q ) t / γ 并构作如下边集 E p + i = { x h ( i ， x ， y ， z ) ， u ( s ) + j y v ( i ， x ) ， w ( i ， x ， y ， t ) + j : 1 ≤ j ≤ ( p + 8 q ) / γ ， 0 ≤ x ≤ 3 ， 0 ≤ y ， z ， s ， t ≤ 1 } 。 定理1.1的证明：定理1.1必要性的证明显然。结合引理2.2和引理2.8，即可完成定理1.1充分性的证明。