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user: 4. 双正交二维四向加细函数和小波 定理5：如果二维四向加细函数是正交的，那么应该满足下列等式 〈 Φ ( x ， y ) ， Φ ( x − k ， y − l ) 〉 = δ 0， k δ 0， l I r ，   〈 Φ ( x ， y ) ， Φ ( k − x ， y − l ) 〉 = O r ， 〈 Φ ( x ， y ) ， Φ ( x − k ， l − y ) 〉 = O r ，           〈 Φ ( x ， y ) ， Φ ( k − x ， l − y ) 〉 = O r . 定理6：如果二维四向加细函数 Φ ( x ， y ) 和 Φ ˜ ( x ， y ) 是双正交的，那么应该满足下列等式 〈 Φ ( x ， y ) ， Φ ˜ ( x − k ， y − l ) 〉 = δ 0， k δ 0， l I r ，   〈 Φ ( x ， y ) ， Φ ˜ ( k − x ， y − l ) 〉 = O r ， 〈 Φ ( x ， y ) ， Φ ˜ ( x − k ， l − y ) 〉 = O r ，           〈 Φ ( x ， y ) ， Φ ˜ ( k − x ， l − y ) 〉 = O r . 定理7：如果二维四向加细函数 Φ ( x ， y ) 和 Φ ˜ ( x ， y ) 是双正交的尺度函数，那么它的双正面具，正负面具和双负面具符号都应该满足 ( ∑ k ， l = 0 a − 1 { P + ， + ( p 1 ， p 2 ) P ˜ + ， + ( − p 1 ， − p 2 ) + P − ， + ( p 1 ， p 2 ) P ˜ − ， + ( − p 1 ， − p 2 )     + P + ， − ( p 1 ， p 2 ) P ˜ + ， − ( − p 1 ， − p 2 ) + P − ， − ( p 1 ， p 2 ) P ˜ − ， − ( − p 1 ， − p 2 ) } = I r ∑ k ， l = 0 a − 1 { P + ， + ( p 1 ， p 2 ) P ˜ + ， − ( − p 1 ， p 2 ) + P + ， − ( p 1 ， p 2 ) P ˜ + ， + ( − p 1 ， p 2 )     + P − ， + ( p 1 ， p 2 ) P ˜ − ， − ( − p 1 ， p 2 ) + P − ， − ( p 1 ， p 2 ) P ˜ − ， + ( − p 1 ， p 2 ) } = O r ∑ k ， l = 0 a − 1 { P + ， + ( p 1 ， p 2 ) P ˜ − ， + ( p 1 ， − p 2 ) + P + ， − ( p 1 ， p 2 ) P ˜ − ， − ( p 1 ， − p 2 )     + P − ， + ( p 1 ， p 2 ) P ˜ + ， + ( p 1 ， − p 2 ) + P − ， − ( p 1 ， p 2 ) P ˜ + ， − ( p 1 ， − p 2 ) } = O r ∑ k ， l = 0 a − 1 { P + ， + ( p 1 ， p 2 ) P ˜ − ， − ( p 1 ， p 2 ) + P + ， − ( p 1 ， p 2 ) P ˜ − ， + ( p 1 ， p 2 )     + P − ， + ( p 1 ， p 2 ) P ˜ + ， − ( p 1 ， p 2 ) + P − ， − ( p 1 ， p 2 ) P ˜ + ， + ( p 1 ， p 2 ) } = O r (15) 其中： p 1 = ω 1 + 2 k π a ； p 2 = ω 2 + 2 l π a 。 证明：由文献 [ 7 ] 的定理1以及本文定理5定理6正交双正交定义易证。 假设 Φ ( x ， y ) 和 Φ ˜ ( x ， y ) 是双正交二维四向加细函数，对任意的 j ∈ Z ，定义 V j + 1 = V j ⊕ W j ，其中 W j 是 V j 在 V j + 1 中的正交补。那么当 j ≠ k 时，就有 W j ⊥ W k 并且 L 2 ( R ) = ⊕ j ∈ Z W j ，其中 W j = ⊕ h = 1 a − 1 { W j h ，1 ⊕ W j h ，2 ⊕ W j h ，3 } ， W j h ，1 ⊥ W j h ，2 ， W j h ，1 ⊥ W j h ，1 ， W j h ，2 ⊥ W j h ，3 。 如果有r个小波函数 ψ 1 ( x ) ， ψ 2 ( x ) ， ⋯ ， ψ r ( x ) ，则记 Ψ h ， i ( x ) = [ ψ 1 ( x ) ， ψ 2 ( x ) ， ⋯ ， ψ r ( x ) ] T ，则通过张量积的构造就有 Ψ h ， i ( x ， y ) = Ψ h ， i ( x ) ψ ( y ) = [ Ψ 1 ( x ， y ) ， Ψ 2 ( x ， y ) ， ⋯ ， Ψ r ( x ， y ) ] T 和 Ψ ˜ h ， i ( x ， y ) = [ Ψ ˜ 1 ( x ， y ) ， Ψ ˜ 2 ( x ， y ) ， ⋯ ， Ψ ˜ r ( x ， y ) ] T ( h = 1 ， 2 ， ⋯ ， a − 1 ;   i = 1 ， 2 ， 3 ) ，使得集合 { Ψ h ， i ( x − k ， y − l ) ， Ψ h ， i ( x − k ， l − y ) ， Ψ h ， i ( k − x ， y − l ) ， Ψ h ， i ( k − x ， l − y ) : k ， l ∈ Z ，   h = 1，2， ⋯ ， a − 1 ;   i = 1，2，3 } 和集合 { Ψ ˜ h ， i ( x − k ， y − l ) ， Ψ ˜ h ， i ( x − k ， l − y ) ， Ψ ˜ h ， i ( k − x ， y − l ) ， Ψ ˜ h ， i ( k − x ， l − y ) : k ， l ∈ Z ，   h = 1，2， ⋯ ， a − 1 ;   i = 1，2，3 } 构成 W 0 的一组双正交基，则 Ψ h ， i ( x ， y ) 和 Ψ ˜ h ， i ( x ， y ) 是与 Φ ( x ， y ) 和 Φ ˜ ( x ， y ) 对应的双正交二维四向多小波函数，应该满足 Φ ˜ ( x ， y ) ， Ψ h ， i ( x − k ， y − l ) = 〈 Φ ˜ ( x ， y ) ， Ψ h ， i ( x − k ， l − y ) 〉 = O r ， Φ ( x ， y ) ， Ψ ˜ h ， i ( k − x ， y − l ) = 〈 Φ ( x ， y ) ， Ψ ˜ h ， i ( k − x ， l − y ) 〉 = O r ， Φ ˜ ( x ， y ) ， Ψ h ， i ( k − x ， y − l ) = 〈 Φ ˜ ( x ， y ) ， Ψ h ， i ( k − x ， l − y ) 〉 = O r ， 〈 Ψ n ， m ( x ， y ) ， Ψ ˜ s ， t ( x − k ， y − l ) 〉 = δ n ， s δ m ， t δ 0， k δ 0， l I r ， 〈 Ψ n ， m ( x ， y ) ， Ψ ˜ s ， t ( x − k ， l − y ) 〉 = O r ， 〈 Ψ ˜ n ， m ( x ， y ) ， Ψ ˜ s ， t ( x − k ， y − l ) 〉 = δ n ， s δ m ， t δ 0， k δ 0， l I r ， 〈 Ψ ˜ n ， m ( x ， y ) ， Ψ ˜ s ， t ( x − k ， l − y ) 〉 = O r ， 〈 Ψ n ， m ( x ， y ) ， Ψ s ， t ( k − x ， y − l ) 〉 = O r ， 〈 Ψ n ， m ( x ， y ) ， Ψ s ， t ( k − x ， l − y ) 〉 = O r ， 〈 Ψ ˜ n ， m ( x ， y ) ， Ψ ˜ s ， t ( k − x ， y − l ) 〉 = O r ， 〈 Ψ ˜ n ， m ( x ， y ) ， Ψ ˜ s ， t ( k − x ， l − y ) 〉 = O r ， (16) 其中： h ， n ， s = 1 ， 2 ， ⋯ ， a − 1 ;   i ， m ， t = 1 ， 2 ， 3 。 假如 Ψ h ， i ( x ， y ) 是 Φ ( x ， y ) 对应的多小波函数，相应的 Ψ ˜ h ， i ( x ， y ) 是 Φ ˜ ( x ， y ) 对应的多小波函数，那么就存在 { Q k ， l h ， i ， + ， + } k ， l ∈ Z ， { Q k ， l h ， i ， + ， − } k ， l ∈ Z ， { Q k ， l h ， i ， − ， + } k ， l ∈ Z ， { Q k ， l h ， i ， − ， − } k ， l ∈ Z 和 { Q ˜ k ， l h ， i ， + ， + } k ， l ∈ Z ， { Q ˜ k ， l h ， i ， + ， − } k ， l ∈ Z ， { Q ˜ k ， l h ， r ， − ， + } k ， l ∈ Z ， { Q ˜ k ， l h ， i ， − ， − } k ， l ∈ Z ，满足 Ψ h ， i ( x ， y ) = ∑ k ， l     Q k ， l h ， i ， + ， + Φ ( a x − k ， a y − l ) + ∑ k ， l     Q k ， l h ， i ， + ， − Φ ( a x − k ， l − a y )     + ∑ k ， l     Q k ， l h ， i ， − ， + Φ ( k − a x ， a y − l ) + ∑ k ， l     Q k ， l h ， i ， − ， − Φ ( k − a x ， l − a y ) ; (17) Ψ ˜ h ， i ( x ， y ) = ∑ k ， l     Q ˜ k ， l h ， i ， + ， + Φ ˜ ( a x − k ， a y − l ) + ∑ k ， l     Q ˜ k ， l h ， i ， + ， − Φ ˜ ( a x − k ， l − a y )     + ∑ k ， l     Q ˜ k ， l h ， i ， − ， + Φ ˜ ( k − a x ， a y − l ) + ∑ k ， l     Q ˜ k ， l h ， i ， − ， − Φ ˜ ( k − a x ， l − a y ) . (18) 对(17)式和(18)式两边做Fourier变换 Ψ ^ h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) = Q h ， i ， + ， + ( ω 1 a ， ω 2 a ) Φ ^ ( ω 1 a ， ω 2 a ) + Q h ， i ， + ， − ( ω 1 a ， ω 2 a ) Φ ^ ( ω 1 a ， − ω 2 a )     + Q h ， i ， − ， + ( ω 1 a ， ω 2 a ) Φ ^ ( − ω 1 a ， ω 2 a ) + Q h ， i ， − ， − ( ω 1 a ， ω 2 a ) Φ ^ ( − ω 1 a ， − ω 2 a ) ; Ψ ˜ ^ h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) = Q ˜ h ， i ， + ， + ( ω 1 a ， ω 2 a ) Φ ^ ( ω 1 a ， ω 2 a ) + Q ˜ h ， i ， + ， − ( ω 1 a ， ω 2 a ) Φ ^ ( ω 1 a ， − ω 2 a )     + Q ˜ h ， i ， − ， + ( ω 1 a ， ω 2 a ) Φ ^ ( − ω 1 a ， ω 2 a ) + Q ˜ h ， i ， − ， − ( ω 1 a ， ω 2 a ) Φ ^ ( − ω 1 a ， − ω 2 a ) ; 其中 Q h ， i ， + ， + ( ω 1 a ， ω 2 a ) = 1 a 2 ∑ k ， l     Q k ， l h ， i ， + ， + e − i ( ω 1 k a + ω 2 l a ) ，   Q h ， i ， + ， − ( ω 1 a ， ω 2 a ) = 1 a 2 ∑ k ， l     Q k ， l h ， i ， + ， − e − i ( ω 1 k a + ω 2 l a ) ， Q h ， i ， − ， + ( ω 1 a ， ω 2 a ) = 1 a 2 ∑ k ， l     Q k ， l h ， i ， − ， + e − i ( ω 1 k a + ω 2 l a ) ，   Q h ， i ， − ， − ( ω 1 a ， ω 2 a ) = 1 a 2 ∑ k ， l     Q k ， l h ， i ， − ， − e − i ( ω 1 k a + ω 2 l a ) ， ( h = 1 ， 2 ， ⋯ ， a − 1 ;   i = 1 ， 2 ， 3 ) 为 Ψ h ， i ( x ， y ) 的双正，正负，双负面具符号。 Q ˜ h ， i ， + ， + ( ω 1 a ， ω 2 a ) = 1 a 2 ∑ k ， l     Q ˜ k ， l h ， i ， + ， + e − i ( ω 1 k a + ω 2 l a ) ，   Q ˜ h ， i ， + ， − ( ω 1 a ， ω 2 a ) = 1 a 2 ∑ k ， l     Q ˜ k ， l h ， i ， + ， − e − i ( ω 1 k a + ω 2 l a ) ， Q ˜ h ， i ， − ， + ( ω 1 a ， ω 2 a ) = 1 a 2 ∑ k ， l     Q ˜ k ， l h ， i ， − ， + e − i ( ω 1 k a + ω 2 l a ) ，   Q ˜ h ， i ， − ， − ( ω 1 a ， ω 2 a ) = 1 a 2 ∑ k ， l     Q ˜ k ， l h ， i ， − ， − e − i ( ω 1 k a + ω 2 l a ) ， ( h = 1 ， 2 ， ⋯ ， a − 1 ;   i = 1 ， 2 ， 3 ) 为 Ψ ˜ h ， i ( x ， y ) 的双正，正负，双负面具符号。 定理8：若 Φ ( x ， y ) 和 Φ ˜ ( x ， y ) 是双正交二维四向多加细函数， Ψ h ， i ( x ， y ) 和 Ψ ˜ h ， i ( x ， y ) 是相应的双正交二维四向多小波函数，则它们的面具符号满足 (19) (20) 其中： h ， m ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， a − 1 ;   i ， s ， t = 1 ， 2 ， 3 ; p 1 = ω 1 + 2 k π a ; p 2 = ω 2 + 2 l π a 。 证明：根据(16)式的正交性易得。