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user: 3. 定理1.1的证明 为了研究初值问题(1)整体解的存在性，需用到如下引理。 引理3.1 [ 7 ] (Sobolev对数不等式)设 s > d 2 ，   f ∈ H s ( R d ) ，则以下不等式成立： ‖ f ‖ L ∞ ≤ C ( s ) ( 1 + ‖ f ‖ H d 2 ) log 1 2 ( e + ‖ f ‖ H s ) . 为了证明初值问题(1)存在整体解，设 [ 0 ，   T * ) 是初值问题(1)的解存在的最大时间区间，只需证明 T * = + ∞ 。用反证法，假设 T * < + ∞ 。在初值问题(1)中的方程两边分别与 u ，   b ，   θ 作内积，用类似于引理2.3的证明方法，得 ‖ ( u ， b ， θ ) ‖ L ∞ ( 0 ， T ∗ ; L 2 ) + ‖ ( ∇ u ， ∇ b ， ∇ θ ) ‖ L 2 ( 0 ， T ∗ ; L 2 ) ≤ C ( s ) ‖ ( u 0 ， b 0 ， θ 0 ) ‖ L 2 . (30) 在初值问题(1)中的方程两边分别与 Δ u ，   Δ b 和 Δ θ 作内积，再将左右两边分别相加，得 1 2 d d t ( ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ ∇ b ‖ L 2 2 + ‖ ∇ θ ‖ L 2 2 ) + ‖ Δ u ‖ L 2 2 + ‖ Δ b ‖ L 2 2 + ‖ Δ θ ‖ L 2 2 = ( − u ⋅ ∇ u ， Δ u ) + ( − u ⋅ ∇ b ， Δ b ) + ( − u ⋅ ∇ θ ， Δ θ ) + ( θ e 2 ， Δ u ) ≜ ∑ n = 1 4 G n . (31) 由Gagliardo-Nirenberg不等式及Young不等式，得 | G 1 | ≤ ‖ u ⋅ ∇ u ‖ L 2 ‖ Δ u ‖ L 2 ≤ C ( s ) ‖ u ‖ L 4 ‖ ∇ u ‖ L 4 ‖ Δ u ‖ L 2 ≤ 1 4 ‖ Δ u ‖ L 2 2 + C ( s ) ( ‖ u ‖ L 2 2 ‖ ∇ u ‖ L 2 4 ) ， (32) 类似地，有 | G 2 | ≤ ‖ u ⋅ ∇ b ‖ L 2 ‖ Δ b ‖ L 2 ≤ 1 2 ‖ Δ b ‖ L 2 2 + C ( s ) ( ‖ u ‖ L 2 2 ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ‖ ∇ b ‖ L 2 2 ) ， (33) | G 3 | ≤ ‖ u ⋅ ∇ θ ‖ L 2 ‖ Δ θ ‖ L 2 ≤ 1 2 ‖ Δ θ ‖ L 2 2 + C ( s ) ( ‖ u ‖ L 2 2 ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ‖ ∇ θ ‖ L 2 2 ) ， (34) | G 4 | ≤ ‖ θ e 2 ‖ L 2 ‖ Δ u ‖ L 2 ≤ 1 4 ‖ Δ u ‖ L 2 2 + C ( s ) ‖ θ ‖ L 2 2 ， (35) 结合(31)~(35)知，存在 C = C ( s ) ，使得 d d t ( ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ ∇ b ‖ L 2 2 + ‖ ∇ θ ‖ L 2 2 ) + ‖ Δ u ‖ L 2 2 + ‖ Δ b ‖ L 2 2 + ‖ Δ θ ‖ L 2 2 ≤ C ( ‖ u ‖ L 2 2 ‖ ∇ u ‖ L 2 4 + ‖ u ‖ L 2 2 ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ‖ ∇ b ‖ L 2 2 + ‖ u ‖ L 2 2 ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ‖ ∇ θ ‖ L 2 2 + ‖ θ ‖ L 2 2 ) ≤ C ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ( ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ ∇ b ‖ L 2 2 + ‖ ∇ θ ‖ L 2 2 ) + ‖ θ ‖ L 2 2 . 由Gronwall不等式及(30)得， ( u ， b ， θ ) 在 L 2 ( 0 ， T ; H 2 ( R 2 ) ) 中有界。 在方程组(1)的两边作用 ∧ s 并分别与 和 ∧ s θ 作内积，再将左右两边分别相加，得到 1 2 d d t ( ‖ ∧ s u ‖ L 2 2 + ‖ ∧ s b ‖ L 2 2 + ‖ ∧ s θ ‖ L 2 2 ) = ( ∧ s ( b ⋅ ∇ b ) ， ∧ s u ) − ( ∧ s ( u ⋅ ∇ u ) ， ∧ s u ) + ( ∧ s ( Δ u ) ， ∧ s u )       + ( ∧ s ( b ⋅ ∇ u ) ， ∧ s b ) − ( ∧ s ( u ⋅ ∇ b ) ， ∧ s b ) + ( ∧ s ( Δ b ) ， ∧ s b )       − ( ∧ s ( u ⋅ ∇ θ ) ， ∧ s θ ) + ( ∧ s ( Δ θ ) ， ∧ s θ ) + ( ∧ s θ e 2 ， ∧ s u ) ≜ ∑ n = 1 9 H n . (36) 类似 I 1 ，   I 2 ，   I 4 ，   I 5 和 I 7 的估计方法，可得关于 H 1 ，   H 2 ，   H 4 ，   H 5 和 H 7 的如下估计， H 1 + H 4 ≤ C ( s ) ( ‖ ∇ u ‖ L ∞ + ‖ ∇ b ‖ L ∞ ) ( ‖ b ‖ H s 2 + ‖ u ‖ H s 2 ) ， (37) H 5 ≤ C ( s ) ‖ ∇ b ‖ L ∞ ( ‖ b ‖ H s 2 + ‖ u ‖ H s 2 ) ， (38) H 7 ≤ C ( s ) ‖ ∇ θ ‖ L ∞ ( ‖ θ ‖ H s 2 + ‖ u ‖ H s 2 ) ， (39) H 2 ≤ C ( s ) ‖ ∇ u ‖ L ∞ ‖ u ‖ H s 2 ， (40) 由Sobolev不等式，得 H 9 ≤ ‖ ∧ s θ e 2 ‖ L 2 ‖ ∧ s u ‖ L 2 ≤ C ( s ) ‖ θ ‖ L 2 ‖ u ‖ H s ≤ C ( s ) ‖ θ ‖ H s ‖ u ‖ H s . (41) 由Green公式，得 (42) 结合(36)~(42)知，存在 C = C ( s ) ，使得， 1 2 d d t ( ‖ u ‖ H s 2 + ‖ b ‖ H s 2 + ‖ θ ‖ H s 2 ) + ( ‖ ∇ u ‖ H s 2 + ‖ ∇ b ‖ H s 2 + ‖ ∇ θ ‖ H s 2 ) ≤ C ( ‖ ∇ u ‖ L ∞ + ‖ ∇ b ‖ L ∞ + ‖ ∇ θ ‖ L ∞ ) ( ‖ u ‖ H s 2 + ‖ b ‖ H s 2 + ‖ θ ‖ H s 2 ) . 由Gronwall不等式，得 ‖ u ‖ H s 2 + ‖ b ‖ H s 2 + ‖ θ ‖ H s 2 ≤ C e ∫ 0 t ( ‖ ∇ u ‖ L ∞ + ‖ ∇ b ‖ L ∞ + ‖ ∇ θ ‖ L ∞ ) d τ ( ‖ u 0 ‖ H s 2 + ‖ b 0 ‖ H s 2 + ‖ θ 0 ‖ H s 2 ) . 由引理3.1可证，对任意 t ∈ [ 0 ，   T * ] ，有 ∫ 0 t ( ‖ ∇ u ‖ L ∞ + ‖ ∇ b ‖ L ∞ + ‖ ∇ θ ‖ L ∞ ) d τ ≤ C ∫ 0 t [ 1 + log ( e + ‖ u ( τ ) ‖ H s 2 + ‖ b ( τ ) ‖ H s 2 + ‖ θ ( τ ) ‖ H s 2 ) ] d τ + C ( u 0 ， b 0 ， θ 0 ， s ， T * ) ， 因此， ‖ u ‖ H s 2 + ‖ b ‖ H s 2 + ‖ θ ‖ H s 2 ≤ C ( ‖ u 0 ‖ H s 2 + ‖ b 0 ‖ H s 2 + ‖ θ 0 ‖ H s 2 ) e ∫ 0 t ( 1 + log ( e + ‖ u ( τ ) ‖ H s 2 + ‖ b ( τ ) ‖ H s 2 + ‖ θ ( τ ) ‖ H s 2 ) ) d τ ， 从而， log ( e + ‖ u ( t ) ‖ H s 2 + ‖ b ( t ) ‖ H s 2 + ‖ θ ( t ) ‖ H s 2 ) ≤ C ( u 0 ， b 0 ， θ 0 ， s ， T * ) + C ∫ 0 t log ( e + ‖ u ( τ ) ‖ H s 2 + ‖ b ( τ ) ‖ H s 2 + ‖ θ ( τ ) ‖ H s 2 ) d τ . 由Gronwall不等式得 ( u ，   b ，   θ ) ∈ L ∞ ( 0 ，   T * ;   H s ( R 2 ) ) 。又由 ( u ，   b ，   θ ) ∈ L 2 ( 0 ，   T * ;   H 2 ( R 2 ) ) 知，解可被延拓到 t = T * 后，这与 ( 0 ，   T * ] 为初值问题(1)的解的最大存在区间的假设相矛盾，因此 T * = ∞ 。定理1.1证毕。