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user: 3. 主要结果 令 x ( t ， ψ ) 为方程(1)满足初始条件 ψ ( ⋅ ) ∈ C ( [ − L ，0 ] ; R ) 的解，则(1)的相应部分解过程为 x t ( ψ ) = x ( t + θ ; ψ ) ， − L ≤ θ ≤ 0 ， t ≥ 0 。于是 x t ( ψ ) ， t ≥ 0 的转移概率 P ( ψ ， t ， ⋅ ) ， ψ ∈ C ( [ − L ，0 ] ; R ) 是一个齐次的马尔科夫过程(参考Mohammed Mohammed [ 25 ] )。在本节中，将研究方程(1)的部分解过程 x t ( ψ ) 的分布稳定性。 定义1. 如果存在一个 C ( [ − L ，0 ] ; R ) 上的概率测度 π ( ⋅ ) ，使得对任意的 ψ ∈ C ( [ − L ，0 ] ; R ) ，当 t → ∞ 时， x t ( ψ ) 的概率转移函数 P ( ψ ， t ， ⋅ ) 弱收敛到 π ( ⋅ ) 。则方程(1)的部分解过程 x t ( ψ ) ， t ≥ 0 为依分布意义下渐近稳定的分布。 引理 1 假设(H1)-(H5)成立，则对于任意 ψ ∈ C ( [ − L ，0 ] ; R ) ，有 sup 0 ≤ t < ∞ E ‖ x t ( ψ ) ‖ < ∞ . (3) 证明：利用文献 [ 22 ] 的方法，定义连续函数 a ( t ) : [ 0， ∞ ] → [ 0， ∞ ] ， a ( t ) = { f ( x ( t ) ) x ( t ) ， x ( t ) ≠ 0 ， μ ，       x ( t ) = 0. 由假设(H4)，则方程(1)满足： d x ( t ) = − m a ( t ) x ( t ) d t + d ( ∫ − L 0 q ( s ) ∫ t + s t f ( x ( u ) ) d u d s ) + d Z t ， t ≥ 0. (4) 利用变量替换以及分步积分，则方程(1)可写成如下形式： x ( t ) = e − ∫ 0 t m a ( u ) d u ( ψ ( 0 ) − ∫ − L 0 q ( s ) ∫ t + s t f ( ψ ( u ) ) d u d s )     + ∫ − L 0 q ( s ) ∫ t + s t f ( x ( u ) ) d u d s     − ∫ 0 t e − ∫ v t m a ( s ) d s m a ( v ) ∫ − L 0 q ( s ) ∫ v + s v f ( x ( u ) ) d u d s d v     + ∫ 0 t e − ∫ s t m a ( u ) d u d Z ( s )     . 于是 E | x ( t ) | ≤ E | e − ∫ 0 t m a ( u ) d u ( ψ ( 0 ) − ∫ − L 0 q ( s ) ∫ t + s t f ( ψ ( u ) ) d u d s ) |     + E | ∫ − L 0 q ( s ) ∫ t + s t f ( x ( u ) ) d u d s |     + E | ∫ 0 t e − ∫ v t m a ( s ) d s m a ( v ) ∫ − L 0 q ( s ) ∫ v + s v f ( x ( u ) ) d u d s d v |     + ∫ 0 t e − ∫ s t m a ( u ) d u d Z ( s ) : = I 1 ( t ) + I 2 ( t ) + I 3 ( t ) + I 4 ( t ) . (5) 对于 I 1 ( t ) 有： I 1 ( t ) ≤ e − ∫ 0 t m a ( u ) d u ( 1 + K L m ) ‖ ψ 0 ‖ ， (6) 由(H3)得： I 2 ( t ) ≤ K | ∫ − L 0 q ( s ) ∫ t + s t E | x ( u ) | d u d s | ≤ ( K ∫ − L 0 | s q ( s ) | d s ) ⋅ sup − L ≤ θ ≤ 0 E | x ( t + θ ) | ， (7) 类似地， I 3 ( t ) = E | ∫ 0 t e − ∫ v t m a ( s ) d s m a ( v ) ∫ − L 0 q ( s ) ∫ v + s v f ( x ( u ) ) d u d s d v | ≤ K E ( ∫ 0 t e − ∫ v t m a ( s ) d s m a ( v ) ∫ − L 0 | q ( s ) | ∫ v + s v E | x ( u ) | d u d s d v ) ≤ ( K ∫ − L 0 | s q ( s ) | d s ) ⋅ ∫ 0 t e − ∫ v t m a ( s ) d s m a ( v ) sup − L ≤ θ ≤ 0 E | x ( v + θ ) | d v . (8) 对于 I 4 ，令 { ξ k } k ∈ N 为一个定义在某一个正态分布 N ( 0，1 ) 的概率空间 { Ω ′ ， F ′ ， P ′ } 上的独立随机变量序列， { C k } k ∈ N 是一个实数序列，则 E ′ | ∑ k = 1 ∞   C k ξ k | p = A p ( ∑ k = 1 ∞ | C k | 2 ) p 2 ， A p : = ∫ R | x | p 2 π e − x 2 2 d x . 则 I 4 ( t ) = E | ∫ 0 t e − ∫ s t m a ( u ) d u d Z ( s ) | = ( E E ′ | ∑ k = 1 ∞     ξ k ∫ 0 t e − ∫ s t m a ( u ) d u d W S s | p ) 1 p = ( E ′ E | ∑ k = 1 ∞     ξ k ∫ 0 t e − ∫ s t m a ( u ) d u d W S s | p ) 1 p ≤ ( C E ′ ∫ 0 t ( ∑ k = 1 ∞     ξ k 2 e − 2 ∫ s t m a ( u ) d u ) α 2 d s ) p α ≤ ( C ∫ 0 t e − α ∫ s t m a ( u ) d u d s ) 1 α ≤ ( C ∫ 0 t e − α λ ( t − s ) d s ) 1 α ≤ [ C α λ ( 1 − e − α λ t ) ] 1 α . (9) 对于 t ≥ 0 ，将(6)~(9)代入(5)，可以得到： E | x ( t ) | ≤ e − ∫ 0 t m a ( u ) d u ( 1 + K L m ) ‖ ψ 0 ‖ + ( K ∫ − L 0 | s q ( s ) | d s ) ⋅ sup − L ≤ θ ≤ 0 E | x ( t + θ ) |     + ( K ∫ − L 0 | s q ( s ) | d s ) ⋅ ∫ 0 t e − ∫ v t m a ( s ) d s m a ( v ) sup − L ≤ θ ≤ 0 E | x ( v + θ ) | d v     + [ C α λ ( 1 − e − α λ t ) ] 1 α . (10) 令 η 1 : = ( 1 + K L m ) ‖ ψ 0 ‖ ， η 2 = η 3 : = K ∫ − L 0 | s q ( s ) | d s ， η 4 = ( C ∫ 0 t e − α ∫ s t m a ( u ) d u d s ) 1 α 。 由假设(H5)可知 ρ = η 2 + η 3 = K ∫ − L 0 | s q ( s ) | d s < 1 。 另一方面，由(H1)和(H3)有， H : = sup t ≥ 0 ∫ t − L t a ( s ) d s ≥ 2 λ L 存在，并且 lim t → ∞ ∫ 0 t a ( s ) d s = ∞ 。则对 ∀ ψ ∈ C ( [ − L ，0 ] ; R ) ，存在 N > 0 ， λ 1 ∈ ( 0 ， 1 ) ，使得 ‖ ψ 0 ‖ < N 以及 η 1 N + e η 1 2 λ L η 2 + e 2 λ 2 L η 3 1 − λ 1 < 1 成立。 由文献 [ 22 ] 中的引理3.1，可得 E | x ( t ) | ≤ N e − λ 1 ∫ 0 t m a ( v ) d v + ( 1 − ρ ) − 1 η 4 ， t ≥ 0. (11) 这说明 x ( t ) 是有界的。 接下来我们还需要证明部分解过程 x t ( ψ ) 的有界性。由α-稳定过程的自相似性，对于任意 n ≥ 1 。 E ‖ x n L ( ψ ) ‖ ≤ E sup − L ≤ θ ≤ 0 | e − ∫ ( n − 1 ) L n L + θ m a ( u ) d u ( x ( n − 1 ) L ) − ∫ − L 0 q ( s ) ∫ s + ( n − 1 ) L ( n − 1 ) L f ( x ( u ) ) d u d s |     + E sup − L ≤ θ ≤ 0 | ∫ − L 0 q ( s ) ∫ n L + θ + s n L + θ f ( x ( u ) ) d u d s |     + E sup − L ≤ θ ≤ 0 | ∫ ( n − 1 ) L n L + θ e − ∫ v n L + θ m a ( s ) d s m a ( v ) ∫ − L 0 q ( s ) ∫ v + s v f ( x ( u ) ) d u d s d v |     + E sup − L ≤ θ ≤ 0 | ∫ ( n − 1 ) L n L + θ e − ∫ s n L + θ m a ( u ) d u d Z ( s ) | ≤ ( K ∫ − L 0 | s q ( s ) | d s ) E ‖ x ( n − 1 ) L ( ψ ) ‖ + C ( 1 + sup ( n − 2 ) L ≤ t ≤ n L E | x ( t ， ψ ) |     + E sup ( n − 2 ) L ≤ t ≤ n L | ∫ 0 t e − ∫ s + ( n − 1 ) L t m a ( u ) d u d Z ˜ ( s ) | ) ， (12) 其中 C > 0 时，由自相似性知 Z ˜ = Z ( s + ( n − 1 ) L ) − Z ( ( n − 1 ) L ) 仍然是一个α-稳定过程。 对于 ∀ n ∈ N ，由(11)式，对于某些常数 K 1 > 0 ，都有 sup ( n − 2 ) L ≤ t ≤ n L E | x ( t ， ψ ) | ≤ K ˜ 1 < ∞ ， 并且对于某些常数 K ˜ 2 > 0 ，都有 E sup 0 ≤ t ≤ L | ∫ 0 t e − ∫ s + ( n − 1 ) L t m a ( u ) d u d Z ˜ ( s ) | ≤ C ( α ) = C 2 < ∞ . 从而有 E ‖ x n L ( ψ ) ‖ ≤ ( K ∫ − L 0 | s q ( s ) | d s ) E ‖ x ( n − 1 ) L ( ψ ) ‖ + K ˜ 2 ， K ˜ 2 = C ( 1 + sup ( n − 2 ) L ≤ t ≤ n L E | x ( t ， ψ ) | ) + C 2 . 所以，由条件(H5)，有 K ∫ − L 0 | s q ( s ) | d s = : μ < 1. 于是，对任意的整数 n ≥ 1 ，根据迭代法可得 E ‖ x n L ( ψ ) ‖ ≤ μ E ‖ x ( n − 1 ) L ( ψ ) ‖ + K ˜ 2 ≤ μ ( μ E ‖ x ( n − 1 ) L ( ψ ) ‖ + K ˜ 2 ) ≤ μ n sup − L ≤ θ ≤ 0 | ψ ( θ ) | + K ˜ 2 ( 1 + μ + μ 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + μ n − 1 ) ≤ sup − L ≤ θ ≤ 0 | ψ ( θ ) | + K ˜ 2 1 − μ . (13) 对于任意的 t ≥ 0 ，存在 n ≥ 0 ，使得，当 t ∈ [ n L ， ( n + 1 ) L ] 时， E ‖ x t ( ψ ) ‖ ≤ E ‖ x ( n + 1 ) L ( ψ ) ‖ + E ‖ x n L ( ψ ) ‖ . 这样，根据(13)可以得到如下结论： sup 0 ≤ t < ∞ E ‖ x t ( ψ ) ‖ < ∞ . 引理2. 假设(H1)-(H5)成立，则对于任意有界子集 S ⊂ C ( [ − L ，0 ] ; R ) ，并且 ϕ ， ψ ∈ S ，下述结论成立 lim t → ∞ E | x ( t ， ϕ ) − x ( t ， ψ ) | = 0. (14) 证明. 类似于引理1的证明，首先证明： lim t → ∞ E | x t ( ϕ ) − x t ( ψ ) | = 0 ， (15) 其中 ϕ ， ψ ∈ S 。 对任意的 t ≥ 0 ，可以得到 E | x ( t ， ϕ ) − x ( t ， ψ ) | ≤ E | ∫ 0 t e − ∫ 0 t m a ( u ) d u ( ( ϕ ( 0 ) − ψ ( 0 ) ) − ∫ − L 0 q ( s ) ∫ s 0 [ f ( ϕ ( u ) ) − f ( ψ ( u ) ) ] d u d s ) |       + E | ∫ − L 0 q ( s ) ∫ t + s t [ f ( x ( u ， ϕ ) ) − f ( x ( u ， ψ ) ) ] d u d s |       + E | ∫ 0 t e − ∫ v t m a ( s ) d s m a ( v ) ∫ − L 0 q ( s ) ∫ t + s t [ f ( x ( u ， ϕ ) ) − f ( x ( u ， ψ ) ) ] d u d s d v | ≤ b ˜ 1 e − ∫ 0 t m a ( u ) d u + b ˜ 2 sup − L ≤ θ ≤ 0 E | x ( t + θ ， ϕ ) − x ( t + θ ， ψ ) |       + b ˜ 3 ∫ 0 t e − ∫ v t m a ( s ) d s m a ( v ) sup − L ≤ θ ≤ 0 E | x ( v + θ ， ϕ ) − x ( v + θ ， ψ ) | d v ， 其中 b ˜ 1 = ( 1 + K L m ) | ϕ ( 0 ) − ψ ( 0 ) | ， b ˜ 2 = b ˜ 3 = K ∫ − L 0 | s q ( s ) | d s 。因此，根据引理1，即可得到(15)。 令 t ≥ 2 L ，根据假设(H1)-(H3)得： E sup − L ≤ θ ≤ 0 | x ( t + θ ， ϕ ) − x ( t + θ ， ψ ) | ≤ E sup − L ≤ θ ≤ 0 | e − ∫ t − L t + θ m a ( u ) d u ( x ( t − L ， ϕ ) − x ( t − L ， ψ ) )       − ∫ − L 0 q ( s ) ∫ t − L + s t − L [ f ( x ( u ， ϕ ) ) − f ( x ( u ， ψ ) ) ] d u d s |       + E sup − L ≤ θ ≤ 0 | − ∫ t − L t + θ ∫ t + θ + s t + θ [ f ( x ( u ， ϕ ) ) − f ( x ( u ， ψ ) ) ] d u d s |       + E sup − L ≤ θ ≤ 0 | ∫ t − L t + θ e − ∫ v t + θ m a ( s ) d s m a ( v ) ⋅ ∫ − L 0 q ( s ) ∫ v + s v [ f ( x ( u ， ϕ ) ) − f ( x ( u ， ψ ) ) ] d u dsd v | ≤ E | x ( t − L ， ϕ ) − x ( t − L ， ψ ) | + m K ∫ t − 2 L t − L E | x ( s ， ϕ ) − x ( s ， ψ ) | d s       + m K ∫ t − 2 L t − L E | x ( s ， ϕ ) − x ( s ， ψ ) | d s + K m L ∫ t − 2 L t − L E | x ( u ， ϕ ) − x ( u ， ψ ) | d u     . 于是利用(15)，可得 lim t → ∞ sup − L ≤ θ ≤ 0 | x ( t + θ ， ϕ ) − x ( t + θ ， ψ ) | = 0. (16) 因此， (14)式必定成立，引理证毕。 接下来，讨论方程(1)的部分解过程的分布稳定性。 令 P ( C ( [ − L ，0 ] ; R ) ) 为在 C ( [ − L ，0 ] ; R ) 上的概率测度空间。当 p 1 ， p 2 ∈ P ( C ( [ − L ，0 ] ; R ) ) 时，定义： d L ( p 1 ， p 2 ) = sup f ∈ L | ∫ e f ( Φ ) p 1 ( d ϕ ) − ∫ e f ( ψ ) p 2 ( d Ψ ) | ， 其中，对于任意的 ϕ ， ψ ∈ C ( [ − L ，0 ] ; R ) ，有 L = { f | C ( [ − L ，0 ] ; R ) → R : | f ( ϕ ) − f ( ψ ) | ≤ ‖ ϕ − ψ ‖ ， | f ( ⋅ ) | ≤ 1 } . 参考文献 [ 22 ]，有如下的结果： 引理 3 ( [ 22 ] ) 假设(H1)-(H5)成立，则对于任意的初值 ϕ ∈ C ( [ − L ，0 ] ; R ) ， P ( ϕ ， t ， ⋅ ) : t ≥ 0 是空间 P ( C ( [ − L ，0 ] ; R ) ) 上具有度量 d L 的柯西列。 本文的主要结果如下： 定理1 假设(H1)-(H5)成立，则α-稳定噪声驱动的随机方程(1)的部分解过程 x t ( ψ ) ， t ≥ 0 是分布稳定的。 证明. 类似于文献 [ 22 ] 中定理3.1的证明，可以很类似地得到该定理的证明。证明从略。