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user: 3. 系统队长的性能指标 设 ρ ≺ 1 ， ( Q ， J ) 表示过程 { Q ( t ) ， J ( t ) } 的稳态极限，记它的分布为 ， π k = ( π k 0 ， π k 1 ， π k 2 ) ， k ≥ 1 ， π k j = P { Q = k ， J = j } = lim t → ∞ P { Q ( t ) = k ， J ( t ) = j } ， ( k ， j ) ∈ Ω 定理3当 ρ = λ p μ + ε ≺ 1 时， ( Q ， J ) 的稳态分布是 当 k ≥ N − 1 时， π k 0 = π N − 1 ， 0 r 1 k − N + 1 ， π k 1 = r 2 r 1 − r 3 ( r 1 k − N + 1 − r 3 k − N + 1 ) π N − 1 ， 0 + r 3 k − N + 1 π N − 1 ， 1 + r 4 r 3 − r 5 ( r 3 k − N + 1 − r 5 k − N + 1 ) π N − 1 ， 2 ， (4) π k 2 = π N − 1 ， 2 r 5 k − N + 1 ; 当 k ≺ N − 1 时， π k 0 = α ( p μ + ε ) λ π 11 ， (5) π k 1 = 1 − ρ k 1 − ρ π 11 ，其中 ρ = λ p μ + ε ， (6) π k 2 = π 12 − ( π 12 − π 02 ) 1 − q k 1 − q ，其中 q = λ p η + ε ； (7) π N − 1 ， 0 = π N − 2 ， 0 ， (8) π N − 1 ， 1 = λ p μ + ε π N − 2 ， 1 + λ p μ + ε π N − 1 ， 0 + r 4 π N − 1 ， 2 ， (9) π N − 1 ， 2 = λ λ + p η + ε − ( p η + ε ) r 5 π N − 2 ， 2 ; (10) π 02 = β ( p μ + ε ) λ − ( p η + ε ) K π 11 ， (11) π 12 = K π 02 ， (12) 其中 K = q N − 1 ( q − r 5 ) − q ( 1 − r 5 ) q N − 1 ( q − r 5 ) − ( 1 − r 5 ) ，并且 π 11 可以通过正规化条件获得。 证明：利用矩阵几何解的方法(参考文献 [ 12 ] )，我们可以得到 π k = ( π k 0 ， π k 1 ， π k 2 ) = π N − 1 R k − N + 1 = ( π N − 1 ， 0 ， π N − 1 ， 1 ， π N − 1 ， 2 ) R k − N + 1 ， k ≥ N − 1 . (13) 当 k ≥ N − 1 时， R k − N + 1 = [ r 1 k − N + 1 r 2 r 1 − r 3 ( r 1 k − N + 1 − r 3 k − N + 1 ) 0 0 r 3 k − N + 1 0 0 r 4 r 3 − r 5 ( r 3 k − N + 1 − r 5 k − N + 1 ) r 5 k − N + 1 ] (14) 将 R k − N + 1 代入上述方程中，我们可以得到(4)。同时， π 0 ， π 1 ， ⋯ ， π N − 1 满足 ( π 0 ， π 1 ， ⋯ ， π N − 1 ) B [ R ] = 0 ，(15) 其中， B [ R ] = 0 1 2 ⋮ N − 2 N − 1 [ A 00 C 0 B 0 A 0 C B A 0 C ⋱ ⋱ ⋱ B A 0 C B A 0 + R B ] (16) A 0 + R B = [ − λ λ 0 0 − ( p μ + ε ) 0 0 θ r 5 1 − r 5 − ( λ + p η + ε ) + ( p η + ε ) r 5 ] 因此，我们可以得到 − λ π 00 + α ( p μ + ε ) π 11 = 0 ， (17) λ π 00 − λ π 10 = 0 ， (18) λ π k − 1 ， 0 − λ π k 0 = 0 ， ( 1 ≤ k ≤ N − 2 ) ， (19) − ( λ + p μ + ε ) π 11 + ( p μ + ε ) π 21 = 0 ， (20) λ π k − 1 ， 1 − ( λ + p μ + ε ) π k 1 + ( p μ + ε ) π k + 1 ， 1 = 0 ， ( 1 ≤ k ≤ N − 2 ) ， (21) − λ π 02 + β ( p μ + ε ) π 11 + ( p η + ε ) π 12 = 0 ， (22) λ π 02 − ( λ + p η + ε ) π 12 + ( p η + ε ) π 22 = 0 ， (23) λ π k − 1 ， 2 − ( λ + p η + ε ) π k 2 + ( p η + ε ) π k + 1 ， 2 = 0 ， ( 1 ≤ k ≤ N − 2 ) ， (24) λ π N − 2 ， 0 − λ π N − 1 ， 0 = 0 ， (25) λ π N − 2 ， 1 + λ π N − 1 ， 0 − ( p μ + ε ) π N − 1 ， 1 + θ r 5 1 − r 5 π N − 1 ， 2 = 0 ， (26) λ π N − 2 ， 2 + [ ( p η + ε ) r 5 − ( λ + p η + ε ) ] π N − 1 ， 2 = 0 . (27) 从(17)式到(19)式，我们通过计算可以得到(5)式。从(20)式到(21)式，我们通过计算得到(6)式。(7)式可以从(23)式到(24)式得到。将 r 5 代入(26)式后，并与(25)式和(27)式一起计算，我们可以得到 π N − 1 ， 0 ， π N − 1 ， 2 和 。通过(7)式、(24)式、(27)式，我们可以得到 π 02 和 π 12 。在(24)式中，让k等于 N − 2 ，利用 π N − 3 ， 2 ， π N − 2 ， 2 和 π N − 1 ， 2 ，(12)式可以表示出来。将(12)式代入(22)式中，我们可以将 π 02 用 π 11 表示出来。最后，我们根据正规化条件 ∑ j = 0 2 ∑ k = 0 ∞ π k j = 1 ， 我们可以求得 π 11 。 证毕。 由定理3的结果可知，系统处于各个状态的概率为 P { I = 0 } = ∑ k = 0 ∞ π k 0 = ∑ k = 0 N − 2 π k 0 + ∑ k = N − 1 ∞ π k 0 = ( α ( p μ + ε ) ( N − 1 ) λ + α ( p μ + ε ) λ ( 1 − r 1 ) ) π 11 ， P { I = 1 } = ∑ k = 1 ∞ π k 1 = ∑ k = 1 N − 2 π k 1 + ∑ k = N − 1 ∞ π k 1 = ( N − 2 ) ( 1 − ρ ) − ρ + ρ N − 2 ( 1 − ρ ) 2 π 11 + r 2 ( 1 − r 2 ) ( 1 − r 1 ) π N − 1 ， 0     + 1 1 − r 3 π N − 1 ， 1 + r 4 ( 1 − r 3 ) ( 1 − r 5 ) π N − 1 ， 2 ， P { I = 2 } = ∑ k = 0 ∞ π k 2 = ∑ k = 0 N − 2 π k 2 + ∑ k = N − 1 ∞ π k 2 = π 02 + ( N − 2 ) π 12 + ( N − 2 ) ( 1 − q ) − q + q N − 2 ( 1 − q ) 2 + 1 1 − r 5 π N − 1 ， 2 . 稳态下系统中的平均顾客数为 E [ L ] = ∑ k = 0 ∞ k ( π k 0 + π k 2 ) + ∑ k = 1 ∞ k π k 1 = ∑ k = 0 N − 2 k ( π k 0 + π k 2 ) + ∑ k = 1 N − 2 k π k 1 + ( 1 − r 3 ) 2 + r 2 ( 2 − r 1 − r 3 ) ( 1 − r 1 ) 2 ( 1 − r 3 ) 2 π N − 1 ， 0     + 1 ( 1 − r 3 ) 2 π N − 1 ， 1 + ( 1 − r 5 ) 2 + r 4 ( 2 − r 5 − r 3 ) ( 1 − r 5 ) 2 ( 1 − r 3 ) 2 π N − 1 ， 2 ， 则系统中顾客的等待时间为 E [ W ] = E [ L ] λ .