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user: 3. Möbius立方体的h-好邻条件可诊断度 在本节中，我们将证明我们的主要结论：n-维Möbius立方体在PMC模型和MM*模型下的h-好邻条件诊断度。 定理3.1：n-维M bius立方体在PMC模型和MM*模型下的h-好邻条件诊断度 t h ( M Q n ) 的上界，即 t h ( M Q n ) ≤ 2 h ( n − h ) + 2 h − 1 ， 0 ≤ h ≤ n ，   n ≥ 2 。 证明：设 A = { x = x n − 1 x n − 2 ⋯ x h x h − 1 ⋯ x 0 | x i = 0 ， i ∈ { h ， h + 1 ， ⋯ ， n − 1 } } ， x j ∈ { 0 ， 1 } ， j ∈ { 0 ， 1 ， ⋯ ， h − 1 } 。显 然地， M Q n [ A ] ≅ M Q h ， | A | = 2 h 。由 M Q n 的定义知， A 的所有邻点在 V k 中，这里 V k = { x k | x ∈ A } ， k ∈ { h ， h + 1 ， ⋯ ， n − 1 } 。记 F 1 = ∪ h n − 1 V k ， F 2 = A ∪ F 1 。所以有 | F 1 | = ( n − h ) 2 h ， | F 2 | = ( n − h ) 2 h + 2 h 。由于 A = F 1   Δ   F 2 和 F 1 = N ( A ) ，所以在 F 1 ∪ F 2 ¯ 和 F 1   Δ   F 2 之间不存在边的连接，故根据引理2.2与2.3知， F 1 和 F 2 是不可区分的。如图2所示。 另一方面， M Q n [ A ] ≅ M Q h ，很容易得到 M Q n [ A ] 是h-正则图，所以在A中的每个点至少有h个邻点在A中。记 X = V ( M Q n ) − F 1 ∪ F 2 ，因为 F 1 ⊂ F 2 ，所以 X = V ( M Q n ) − F 2 。现在我们考虑在X中的点，由X的定义知，对 ∀ x ∈ X 有 x i ∈ X ， i ∈ { 0 ， 1 ， ⋯ ， h − 1 } ，即在X中的每个点至少有h个邻点在X中。因此， M Q n − F 1 与 M Q n − F 2 的最小度都至少为h，由定义2.1知， F 1 与 F 2 是两个不同的h-好邻条件故障点割集。 观察到 F 1 和 F 2 是 M Q n 的两个不同的h-好邻条件故障点割集且 | F 1 | = ( n − h ) 2 h ， | F 2 | = ( n − h ) 2 h + 2 h ，但是 F 1 和 F 2 是不可区分的。因此，根据引理2.2与2.3知， M Q n 不是h-好邻条件 2 h ( n − h ) + 2 h -可诊断的。即有 t h ( M Q n ) ≤ 2 h ( n − h ) + 2 h − 1 。因此，定理成立。 上述定理提供了 M Q n 的h-好邻条件可诊断的一个上界。下面我们分别证明在PMC模型和MM*模型下下界是可以达到的。 定理3.2：n-维Möbius立方体在PMC模型下的h-好邻条件诊断度的下界 t h ( M Q n ) ≥ 2 h ( n − h ) + 2 h − 1 ， 0 ≤ h ≤ n − 3 ，   n ≥ 2 。 证明：反证法，假设 t h ( M Q n ) < 2 h ( n − h ) + 2 h − 1 ，则存在两个不可区分的h-好邻条件故障集 F 1 ， F 2 使得 | F 1 | ， | F 2 | ≤ 2 h ( n − h ) + 2 h − 1 。且当 0 ≤ h ≤ n − 3 时，易知 | V ( M Q n ) | − | F 1 ∪ F 2 | ≥ 2 n − 2 ( 2 h ( n − h ) + 2 h − 1 ) > 0 ， 图2. F 1 和 F 2 的说明 所以有 F 1 ∪ F 2 ¯ ≠ ∅ 。因为 F 1 与 F 2 是不可区分的，由引理2.2可知在 F 1   Δ   F 2 和 F 1 ∪ F 2 ¯ 之间是不存在边的连接，因此 N ( F 1   Δ   F 2 ) ⊆ F 1 ∩ F 2 。且又因为 F 1 与 F 2 是两个不同的h-好邻条件故障集，所以 M Q n − F 1 与 M Q n − F 2 的最小度都至少为h，故 F 1 ∩ F 2 是 M Q n 的一个h-好邻条件故障点割集。结合引理2.5和2.6得， M Q n 的最小点割集的基为 ( n − h ) 2 h 。因此， | F 1 ∩ F 2 | ≥ κ h ( M Q n ) = ( n − h ) 2 h 。 由于 F 1 是一个h-好邻条件故障集，在 F 2 − F 1 中的任意点至少有h个好邻点在子图 F 2 − F 1 中，即 δ ( F 2 − F 1 ) ≥ h ，结合引理2.5有 | F 2 − F 1 | ≥ 2 h 。此时， | F 2 | = | F 2 − F 1 | + | F 1 ∩ F 2 | ≥ 2 h + ( n − h ) 2 h 矛盾于假设 | F 2 | ≤ 2 h + ( n − h ) 2 h − 1 。因此，定理成立。 定理3.3：n-维Möbius立方体在MM*模型下的h-好邻条件诊断度的下界 t h ( M Q n ) ≥ 2 h ( n − h ) + 2 h − 1 ， 0 ≤ h ≤ n − 3 ，   n ≥ 5 。 证明：反证法，假设 t h ( M Q n ) < 2 h ( n − h ) + 2 h − 1 ，则存在两个不可区分的h-好邻条件故障集 F 1 ， F 2 使得 | F 1 | ， | F 2 | ≤ 2 h ( n − h ) + 2 h − 1 。由引理2.3知，故障集对 ( F 1 ， F 2 ) 不能满足引理2.3的任一条件，故我们将证明以下每一种情况都与假设相矛盾。 情形1： V ( M Q n ) = F 1 ∪ F 2 。 当 n ≥ 5 ， 0 ≤ h ≤ n − 3 时，因为 V ( M Q n ) = F 1 ∪ F 2 ，此时， 2 n = | V ( M Q n ) | = | F 1 ∪ F 2 | ≤ | F 1 | + | F 2 | ≤ 2 ( 2 h ( n − h ) + 2 h − 1 ) ≤ 2 n − 2 这与事实相矛盾。 情形2： V ( M Q n ) ≠ F 1 ∪ F 2 。 在此情形下，我们有 V ( M Q n ) − F 1 ∪ F 2 ≠ ∅ 。设 W 是 V ( M Q n ) − F 1 ∪ F 2 的所有孤立点的集合。则对 ∀ w ∈ W ，有 N M Q n ( w ) ⊆ F 1 ∪ F 2 。下面我们根据h的大小讨论以下两种情形来证明 W = ∅ 成立。 子情形2.1： h = 1 。 反证法，假设 W = ∅ ，则至少存在一个孤立点 w ∈ W 。若 F 1 − F 2 = ∅ ，则有 w ∈ V ( M Q n ) − F 2 ， N M Q n ( w ) ⊆ F 2 。这与 F 2 是h-好邻条件故障集相矛盾，所以 F 1 − F 2 ≠ ∅ 。类似地， F 2 − F 1 ≠ ∅ 。由于 F 1 和 F 2 是两个不可区分的故障集，根据引理2.3得，至多存在一个点 u ∈ F 2 − F 1 使得u与w是相邻的，故恰好存在一个点 u ∈ F 2 − F 1 使得u与w是相邻的。类似地，恰好存在一个点 v ∈ F 1 − F 2 使得v与w是相邻的。因此，W中的任意点存在 n − 2 个邻点在 F 1 ∩ F 2 中。由假设知 | F 2 | ≤ 2 h ( n − h + 1 ) − 1 = 2 n − 1 ，所以有： ∑ w ∈ W | N F 1 ∩ F 2 ( w ) | = | W | ( n − 2 ) ≤ ∑ v ∈ F 1 ∩ F 2 d M Q n ( v ) ≤ | F 1 ∩ F 2 | n ≤ ( | F 2 | − 1 ) n ≤ ( 2 n − 2 ) n 由上可得， | W | ≤ 2 n + 2 。如果 V ( M Q n ) − ( F 1 ∪ F 2 ∪ W ) = ∅ ，则当 n ≥ 5 时， 2 n = | V ( M Q n ) | = | F 1 ∪ F 2 | + | W | ≤ | F 1 | + | F 2 | + | W | ≤ 2 ( 2 n − 1 ) + 2 n + 2 < 2 n 不成立，所以 V ( M Q n ) − ( F 1 ∪ F 2 ∪ W ) ≠ ∅ 。记 H = V ( M Q n ) − ( F 1 ∪ F 2 ∪ W ) ，考虑到在 V ( M Q n ) − ( F 1 ∪ F 2 ) 中的所有孤立点都包含在W中，所以不存在孤立点在H的导出子图 M Q n [ H ] 中。由引理2.3得，在H和 F 1   Δ   F 2 之间不存在边的连接。因为 F 1 和 F 2 都是1-好邻条件故障集，易知 F 1 ∩ F 2 是 -好邻条件故障点割集。由引理2.5和2.6得， | F 1 ∩ F 2 | ≥ 2 n − 2 。注意到 | F 1 | ≤ 2 n − 1 ， | F 2 | ≤ 2 n − 1 且 F 1 − F 2 ≠ ∅ ， F 2 − F 1 ≠ ∅ 。因此， | F 1 − F 2 | = | F 2 − F 1 | = 1 ，故设 F 1 − F 2 = { v 1 } ， F 2 − F 1 = { v 2 } 。对任意点w，w与 v 1 ， v 2 是相邻的，且有 N F 1 ∩ F 2 ( w ) = d M Q n ( w ) − { v 1 ， v 2 } 。由于 V ( M Q n ) 中任意两个顶点之间至多有两个公共邻点，因此，至多在W中存在两个孤立点。图3给出了W的两种情形。 若 | W | = 1 ，不防设 W = { w } ，则 w 与 v 1 ， v 2 是相邻的。由引理2.4知 M Q n 中无三角且任意两个顶点之间至多有两个公共邻点，故有 N F 1 ∩ F 2 ( w ) ∩ N F 1 ∩ F 2 ( v 1 ) = ∅ ， N F 1 ∩ F 2 ( w ) ∩ N F 1 ∩ F 2 ( v 2 ) = ∅ 和 N F 1 ∩ F 2 ( v 1 ) ∩ N F 1 ∩ F 2 ( v 2 ) ≤ 1 。此时，当 n ≥ 4 时， | F 2 | = | F 1 ∩ F 2 | + | F 2 − F 1 | ≥ | N F 1 ∩ F 2 ( w ) | + | N F 1 ∩ F 2 ( v 1 ) | + | N F 1 ∩ F 2 ( v 2 ) | − 1 + 1 ≥ n − 2 + n − 1 + n − 1 − 1 + 1 > 2 n − 1 这与假设 | F 2 | ≤ 2 n − 1 相矛盾。 若 | W | = 2 ，则 N ( { v 1 ， v 2 } ∪ W ) ⊆ F 1 ∩ F 2 。不妨设 W = { w ， w ′ } ，则 w ′ 与 v 1 ， v 2 是相邻的。因为 M Q n 中任意两个顶点之间至多有两个公共邻点，所以 v 1 ， v 2 ， w ， w ′ 在 F 1 ∩ F 2 中无公共邻点。且当 n ≥ 4 时， 2 n − 1 ≥ | F 2 | = | F 1 ∩ F 2 | + | F 2 − F 1 | ≥ N ( { v 1 ， v 2 } ∪ W ) + 1 ≥ n − 8 + 1 > 2 n − 1 不成立。 子情形2.2： h ≥ 2 。 由于 F 1 是 M Q n 的h-好邻条件故障集，所以对任意的 x ∈ V ( M Q n ) − F 1 有 | N V ( M Q n ) − F 1 ( x ) | ≥ h 。由假设知故障集对 ( F 1 ， F 2 ) 不满足引理2.3的任一条件，所以对于任意点 w ∈ W ，至多存在一个邻点在 F 2 − F 1 中。因此， | N { V ( M Q n ) − F 1 ∪ F 2 } ( w ) | ≥ h − 1 ≥ 1 ，即在 V ( M Q n ) − F 1 ∪ F 2 中的每个点都不是孤立点。 因此， W = ∅ 。 由 W = ∅ 知 V ( M Q n ) − F 1 ∪ F 2 中不存在孤立点，因此 [ V ( M Q n ) − F 1 ∪ F 2 ] 中不存在边 u v 使得 u ( v ) 与 F 1   Δ   F 2 中的某些点是相邻的。否则， F 1 和 F 2 是可区分的，与假设矛盾。因此，在 V ( M Q n ) − F 1 ∪ F 2 和 F 1   Δ   F 2 之间不存在边。考虑到 F 1 和 F 2 是h-好邻条件故障集，易知 F 1 ∩ F 2 是h-好邻条件故障点割集且 δ ( M Q n [ F 2 − F 1 ] ) ≥ h ，结合引理2.5和2.6得， | F 2 − F 1 | ≥ 2 h ， | F 1 ∩ F 2 | ≥ κ h ( M Q n ) = ( n − h ) 2 h 。此时， | F 2 | = | F 2 − F 1 | + | F 1 ∩ F 2 | ≥ 2 h + ( n − h ) 2 h 图3. h = 1 的证明情况说明 这与假设 | F 2 | ≤ 2 h + ( n − h ) 2 h − 1 相矛盾。 综上所述，定理成立。 由定理3.1，3.2和3.3，我们可以立即获得以下定理： 定理3.4：n-维Möbius立方体在PMC模型下的h-好邻条件诊断度 t h ( M Q n ) = 2 h ( n − h ) + 2 h − 1 ， 0 ≤ h ≤ n − 3 ，   n ≥ 2 。 定理3.5：n-维Möbius立方体在MM*模型下的h-好邻条件诊断度 t h ( M Q n ) = 2 h ( n − h ) + 2 h − 1 ， 0 ≤ h ≤ n − 3 ，   n ≥ 5 。