system: [SYSTEM]

user: 2. 预备知识 2.1 非均匀复数的定义 考虑到复数在各个领域的广泛应用，我们对复数单位做进一步推广，定义非均匀复数，细节见文献 [ 1 ]。 定义集合 C K = { z | z = a + j b } ，其中 a ， b 为实数R， j 2 = − k ， k ≥ 0 . 在 C K 中引入数乘 z = a + j b ， z ∈ C K ， m ∈ R ， m z = m a + j m b ， 在 C K 中引入加法 z 1 = a 1 + j b 1 ， z 2 = a 2 + j b 2 ， z 1 ∈ C K ， z 2 ∈ C K ， z 1 + z 2 = ( a 1 + a 2 ) + j ( b 1 + b 2 ) . 定理2.1 [ 1 ] 在上面的数乘、加法和乘法运算下， C K 为R上的一个域，称为非均匀复数域。 2.2. 非均匀复变函数的微分 非均匀复变函数的定义，导数和解析性等概念，类似于复变函数的情况，具体见文献 [ 1 ]。 定义2.2 设g：从 C K 到 C K 的映射，则称 g ( z ) 为 C K 上的非均匀复函数。 定义2.3 设函数 w = g ( z ) 在点的邻域内或者包含 z 0 的区域D内有定义，考虑比值 Δ w Δ z = g ( z ) − g ( z 0 ) z − z 0 = g ( z 0 + Δ z ) − g ( z 0 ) Δ z                               ( Δ z ≠ 0 ) 如果当z按照任意方式趋于 z 0 时，即当 Δ z 按照任意方式趋于0时，比值 Δ w / Δ z 的极限都存在，且其值有限，则称此极限为函数 g ( z ) 在 z 0 的导数，并记为 g ′ ( z 0 ) ，即 g ′ ( z 0 ) = lim Δ z → 0 Δ w Δ z = lim Δ z → 0 g ( z ) − g ( z 0 ) z − z 0 ， 这时称函数 g ( z ) 于点 z 0 可导。 ZHO定义2.4 如果函数 w = g ( z ) 在区域D内可微，则称 g ( z ) 为区域D内的解析函数，或称函数 g ( z ) 在区域D内解析。函数在某点解析，是指在该点的某一个邻域内是解析的：函数在某个闭域解析，是指在包含该闭域的某区域内解析。 2.3. 非均匀复变函数的积分 非均匀复变函数的积分见文献 [ 2 ]。 定义2.5 设非均匀复数域 Z k 上的有向曲线C： z = z ( t )     ( α ≤ t ≤ β ) 以 a = z ( α ) 为起点， b = z ( β ) 为终点， g ( z ) 沿C有定义，顺着C从a到b的方向在C上取分点： a = z 0 ， z 1 ， ⋯ ， z n − 1 ， z n = b ，这样可以将曲线C划分为n个弧段，在从 z t − 1 到 z t 的每一个弧段上任取一点 ξ t ，那么 S n = ∑ t = 1 n g ( ξ t ) Δ z t ，   Δ z t = z t − z t − 1 当分点增多时，弧段逐渐加细，如果和数 S n 极限存在且为S，则称 g ( z ) 沿C(从a到b)可积，S为其上的积分，记号为 ∫ C g ( z ) d z ，其中C为积分路径。 定理2.6 [ 2 ] 设函数 g ( z ) 在非均匀复数域 C K 上的单连通区域D内解析， C j 为D内任一条周线，则有， ∫ C j g ( z ) d z = 0 。 定理2.7 [ 2 ] 设区域D的边界是非均匀复数域 C K 上周线(复周线) C j ，函数 g ( z ) 在D内解析，在 D ¯ = D + C j 上连续，则有 g ( z ) = 1 2 π i ∫ C j g ( ξ ) ξ − z d ξ     ( z ∈ D ) 2.4. 非均匀幂级数 非均匀的幂级数主要参考文献 [ 3 ]。 定理2.8 [ 3 ] 非均匀幂级数 ∑ n = 0 ∞ c n ( z − a ) n 在其收敛椭圆域 T : | z − a | k < R 内绝对且内闭一致收敛到解析函数 g ( z ) ，即 g ( z ) = ∑ n = 0 ∞ c n ( z − a ) n 而且在T内，幂级数(2.1)可以逐项求导，即 g ( p ) ( z ) = c p p ! + c p + 1 ( p + 1 ) P ( p − 1 ) ⋯ 2 ( z − a ) + ⋯   + c n n ( n − 1 ) ⋯ ( n − p + 1 ) ( z − a ) p + ⋯ 同时(2.1)和(2.2)的收敛椭圆半径R相同，其中的系数 c p 满足关系 c p = g ( p ) ( a ) p !     ( p = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ) 定理2.9 [ 3 ]：设函数 g ( z ) 是区域D内的非均匀解析函数， a ∈ D ，则只要椭圆 T : | z − a | k < R 且 T ⊂ D 内，则 g ( z ) 在T内能展开成非均匀幂级数： g ( z ) = ∑ n = 0 ∞ c n ( z − a ) n ， 其中系数 c p = g ( p ) ( a ) p ! = 1 2 π i ∫ T ρ g ( ξ ) d ξ ( ξ − a ) n + 1     ( p = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ) ， ( T ρ = | ξ − a | k = ρ ， ρ < R ) 且展开是唯一的。 2.5. 非均匀复级数洛朗级数的展开和孤立奇点的分类 本节主要罗列洛朗级数的展开和孤立奇点的分类的一些结果，见文献 [ 4 ]。 设 ⋯ ， c − n ， ⋯ ， c 0 ， c 1 ， ⋯ ， c n ， ⋯ 和a是非均匀复常数，我们称下面的级数 ⋯ + c − n ( z − a ) − n + ⋯ + c − 1 ( z − a ) − 1 + c 0 + c 1 ( z − a ) + ⋯ + c n ( z − a ) n + ⋯ 为非均匀双边幂级数，简记为 ∑ n = − ∞ + ∞ c n ( z − a ) n 。 定理2.10 [ 4 ] 若(3.2)式收敛椭圆半径为R，且 r < R ，则非均匀双边幂级数(3.1)在椭圆环 r < | z − a | k < R 内绝对收敛且内闭一致收敛到解析函数 g ( z ) 。 定理2.11 [ 4 ] 若非均匀函数 g ( z ) 在椭圆环 H : r < | z − a | k < R 内非均匀解析函数，则 g ( z ) 在H内一定能展开成双边幂级数： ∑ n = − ∞ + ∞ c n ( z − a ) n 其中系数 c n = 1 2 π i ∫ T ρ g ( ξ ) d ξ ( ξ − a ) n + 1   ( n = 0 ， ± 1 ， ± 2 ， ⋯ ) ， ( T ρ = | ξ − a | k = ρ ， r < ρ < R ) 且展开是唯一的。 定义2.12 [ 4 ] 若非均匀解析函数 g ( z ) 在点a不是非均匀解析函数，但a的任何邻域都有 g ( z ) 的非均匀解析点，则称a为 g ( z ) 的非均匀奇点。设函数非均匀函数 g ( z ) 在a点的去心椭圆域 U ∘ ( a ) = { Z | 0 < | Z − a | k < r } 内解析且a为非均匀奇点，则称a为 g ( z ) 的非均匀孤立奇点。 由定理2.11， g ( z ) 在 U ∘ ( a ) = { Z | 0 < | Z − a | k < r } 内展开成幂级数形式 ∑ n = − ∞ + ∞ c n ( z − a ) n 。 定义2.13 [ 4 ] 设a为 g ( z ) 的非均匀孤立奇点。 1) 若 g ( z ) 在a的主要部分为零，则称a为 g ( z ) 的非均匀可去奇点。 2) 若 g ( z ) 的主要部分为有限项： c − m ( z − a ) m + c − m + 1 ( z − a ) m − 1 + ⋯ + c − 1 z − a 且 c − m ≠ 0 ，则称a为 g ( z ) 的m阶非均匀极点，若 m = 1 则称a为非均匀单极点。 (3)若 g ( z ) 在a的主要部分为无限项，则称a为 g ( z ) 的非均匀本质奇点。 在文献 [ 4 ] 中，作者给出三类非均匀奇点的等价性刻画。 定理2.14 [ 4 ] 设a为 g ( z ) 的非均匀可去奇点，则下面三条都可以作为非均匀可去奇点的定义 1) g ( z ) 在a的主要部分为零。 2) lim z → a g ( z ) = b ( ≠ ∞ ) 。 3) g ( z ) 在a的某邻域内有界。 定理2.15 [ 4 ] 设a为 g ( z ) 的m阶非均匀极点，则下面三条都可以作为m阶非均匀极点的定义 1) g ( z ) 在a的主要部分为 c − m ( z − a ) m + c − m + 1 ( z − a ) m − 1 + ⋯ + c − 1 z − a ，且 c − m ≠ 0 2) g ( z ) 在a的邻域内可以表示为， g ( z ) = ω ( z ) ( z − a ) m 且 ω ( z ) ( ω ( a ) ≠ 0 ) 为a的邻域内的非均匀解析函数。 3) f ( z ) = 1 g ( z ) 以点a为m阶零点。 m = 1 时，称为非均匀简单极点(simple pole)。 由定理2.15 (3)，我们有， 定理2.16 [ 4 ] 设a为 g ( z ) 的非均匀极点的充要条件是 lim z → a g ( z ) = ∞ 。 定理2.17 [ 4 ] 设a为 g ( z ) 的非均匀本质奇点等价于下面的结论： 1) g ( z ) 关于a点展开的主要部分有无穷项。 2) lim z → a g ( z ) ≠ { ∞ b ，即极限不存在。 3) f ( z ) = 1 g ( z ) 以点a为非均匀本质奇点。 下面利用非均匀本质奇点分类推广Weierstrass稠密性定理 定理2.18 (Weierstrass定理)若a为非均匀函数 g ( z ) 的非均匀本质奇点，任给 δ > 0 ，则对任意有限非均匀复数A以及正数 ε > 0 ，在 0 < | z − a | k < δ 内有一点z，使得 | g ( z ) − A | k < ε 成立，即 g ( z ) 在非均匀本质奇点的领域内的取值在C上是稠密的。 证明：假设存在非均匀复数A及 ε > 0 ，在 0 < | z − a | k < δ 内 | g ( z ) − A | k > ε 。于是，令 f ( z ) = g ( z ) − A z − a . f ( z ) 在 0 < | z − a | k < δ 上解析，此时，a为 f ( z ) 的非均匀极点，由其定义 f ( z ) = c − m ( z − a ) m + ⋯ + c − 1 z − a + c 0 + c 1 ( z − a ) + ⋯ ， 于是， g ( z ) = c − m ( z − a ) m − 1 + ⋯ + c − 2 z − a + ( A + c − 1 ) + c 0 ( z − a ) + ⋯ . 由于m是给定的，所以a不是非均匀函数 g ( z ) 的非均匀本质奇点，这与定理的条件矛盾。 2.6. 无穷远点的非均匀孤立奇点 若非均匀解析函数 g ( z ) 只有一个非均匀孤立奇点 z = ∞ 。令 ζ = 1 z ， g ( z ) 的非均匀孤立奇点 z = ∞ 的性质转化到 f ( ζ ) = g ( z ) = g ( 1 ζ ) 在 ζ = 0 的性质。 设 f ( ζ ) 在 ξ = 0 的非均匀洛朗级数展开为： f ( ζ ) = ∑ − ∞ ∞     c − n ζ n = ∑ n = 0 ∞     c − n ζ n + ∑ n = 1 ∞     c n ζ − n = φ ( ζ ) + ψ ( ζ ) . ψ ( ζ ) 均匀解析函数 f ( ζ ) 主要部分， φ ( ζ ) 是其解析部分。 下面利用 f ( ζ ) 在 ξ = 0 的非均匀洛朗级数展开给出非均匀解析函数 g ( z ) 在 z = ∞ 的分类定义： 定义2.19 若 ξ = 0 为 f ( ζ ) 非均匀可去奇点，则称 z = ∞ 为 g ( z ) 的非均匀可去奇点；若 ξ = 0 为 f ( ζ ) 的非均匀m阶极点，则称 z = ∞ 为 g ( z ) 的非均匀m阶极点；若 ξ = 0 为 f ( ζ ) 非均匀本质奇点，则称 z = ∞ 为 g ( z ) 的非均匀本质奇点。 利用文献 [ 3 ] 和定义2.19，在 z = ∞ 处有如下的三类非均匀奇点的等价性刻画： 定理2.20 设 ∞ 为 g ( z ) 的非均匀可去奇点，则下面三条与非均匀可去奇点等价 1) g ( z ) 在 ∞ 的主要部分为零。 2) lim z → ∞ g ( z ) = b ( ≠ ∞ ) 。 3) g ( z ) 在 ∞ 的某邻域内有界。 定理2.21 设 ∞ 为 g ( z ) 的m阶非均匀极点，则下面三条都与m阶非均匀极点等价 1) g ( z ) 在 ∞ 的主要部分为 b 1 z + b 2 z 2 + ⋯ + b m z m ( b m ≠ 0 ) ， 2) g ( z ) 在 ∞ 的邻域内可以表示为， g ( z ) = ω ( z ) z m 且 ω ( z ) ( ω ( ∞ ) ≠ 0 ) 为 ∞ 的邻域内的非均匀解析函数。 3) f ( z ) = 1 g ( z ) 以点 ∞ 为m阶零点。 m = 1 时，称为非均匀单极点。 定理2.22 设 ∞ 为 g ( z ) 的非均匀极点的充要条件是 lim z → ∞ g ( z ) = ∞ 。 定理2.23 设 ∞ 为 g ( z ) 的非均匀本质奇点，则下面条件与非均匀本质奇点等价： 1) g ( z ) 关于 ∞ 点展开的主要部分有无穷项。 2) lim z → ∞ g ( z ) ≠ { b ∞ ，即极限不存在。 3) f ( z ) = 1 g ( z ) 以点 ∞ 为非均匀本质奇点。