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user: 2. 几个重要的引理 引理2.1. 若条件(F 1 )~(F 3 )成立，则有： (f 1 ) lim s → 0 f ˜ s 3 = 0 ； (f 2 ) lim s → ∞ f ˜ s q − 1 = 0 ； (f 3 ) f ˜ | s | 3 是关于 s ∈ ℝ \ { 0 } 的增函数。 证明：令 s = G ( t ) ，可以得到， lim s → 0 f ˜ s 3 = lim s → 0 f ( G − 1 ( s ) ) g ( G − 1 ( s ) ) s 3 = lim t → 0 f ( t ) g ( t ) G 3 ( t ) = 0 ， 所以条件(f 1 )成立。 lim s → ∞ f ˜ s q − 1 = lim s → 0 f ( G − 1 ( s ) ) g ( G − 1 ( s ) ) s q − 1 = lim t → 0 f ( t ) g ( t ) G q − 1 ( t ) = 0 ， 所以条件(f 2 )成立。 f ˜ | s | 3 = f ( G − 1 ( s ) ) g ( G − 1 ( s ) ) | s | 3 = f ( t ) g ( t ) G 3 ( t ) ， 所以条件(f 3 )成立。 引理2.2 [ 10 ]. 对任意的 v ∈ H 0 1 ( Ω ) ，有下列性质： 1) 存在 C > 0 使得 ∫ Ω ϕ v v 2 d x ≤ C ‖ v ‖ 4 ， ∀ v ∈ H 0 1 ( Ω ) ； 2) ϕ v ≥ 0 ， ∀ v ∈ H 0 1 ( Ω ) ； 3) ϕ t v = t 2 ϕ v ， ∀ t > 0 ， v ∈ H 0 1 ( Ω ) ； 4) 如果 v n → 弱 v 在 H 0 1 ( Ω ) ，则 ϕ v n → 弱 ϕ v 在 H 0 1 ( Ω ) ，且 lim n → ∞ ∫ Ω ϕ v n v n 2 d x = ∫ Ω ϕ v v 2 d x . 令 v ∈ H 0 1 ( Ω ) 且 v ± ≠ 0 ，定义函数 ψ v : [ 0 ， ∞ ) × [ 0 ， ∞ ) → ℝ 和映射 W v : [ 0 ， ∞ ) × [ 0 ， ∞ ) → ℝ 2 如下： ψ v ( s ， t ) = J λ μ ( s v + + t v − ) ， W v ( s ， t ) = ( 〈 ( J λ μ ) ′ ( s v + + t v − ) ， s v + 〉 ， 〈 ( J λ μ ) ′ ( s v + + t v − ) ， t v − 〉 ) 引理2.3. 假如系统(1.10)满足条件(f 1 )~(f 3 )，如果 v ∈ H 0 1 ( Ω ) 且 v ± ≠ 0 ，则 ψ v 有以下两条性质： 1) ( s ， t ) 关于 s ， t > 0 是 ψ v 的临界点当且仅当 s v + + t v − ∈ M λ μ ； 2) 函数 ψ v 关于 ( 0 ， ∞ ) × ( 0 ， ∞ ) 有唯一的临界点 ( s v ， t v ) ，也是 ψ v 在 [ 0 ， ∞ ) × [ 0 ， ∞ ) 唯一的最大值点；而且，如果 〈 ( J λ μ ) ′ ( v ) ， v ± 〉 ≤ 0 ，则 0 < s v ， t v ≤ 1 。 证明：引理2.3与文献 [ 17 ] [ 22 ] 证明类似，这里就不再详细证明了。 引理2.4. 若 c λ μ = inf v ∈ M λ μ J λ μ ( v ) ，则可以得到 lim μ → ∞ c λ μ = 0 . 证明：引理2.4与文献 [ 22 ] 证明过程类似，这里不再详细介绍。 引理2.5存在 μ * > 0 使得 μ ≥ μ * ，下确界 c λ μ 是可达的。 证明：根据 c λ μ 的定义，存在极小化序列 { v n } ⊂ Μ λ μ 使得 lim n → ∞ J λ μ ( v n ) = c λ μ . 显然地， v ∈ H 0 1 ( Ω ) { v n } 在 H 0 1 ( Ω ) 里是有界的，存在 { v n } 的子列，不妨仍用 { v n } 表示，存在使得 v n ⇀ v 。 因为 H 0 1 ( Ω ) → L p ( Ω ) 是紧嵌入，所以对于 p ∈ ( 2 ， 6 ) ，有 v n → v 在 L p ( Ω ) 上， v n ( x ) → v ( x ) 几乎处处都在 x ∈ Ω 上。 因此， v n ± ⇀ v ± 在 H 0 1 ( Ω ) 上， v n ± → v ± 在 L p ( Ω ) 上， v n ± → v ± 几乎处处都在 x ∈ Ω 上。 记 β : = 1 3 S 3 2 ，其中 S : = inf v ∈ H 0 1 ( Ω ) \ { 0 } ‖ v ‖ 2 ( ∫ Ω | v | 6 d x ) 1 3 。 根据引理2.4，存在 μ * > 0 使得 μ ≥ μ * ， c λ μ < β 。固定 μ ≥ μ * ，由引理2.3对于任意的 s ， t ≥ 0 有 J λ μ ( s v n + + t v n − ) ≤ J λ μ ( v n ) . 因此，通过Brezis-Lieb引理，Fatou引理，得到 lim inf n → ∞ J λ μ ( s v n + + t v n − ) = s 2 2 lim n → ∞ ( ‖ v n + − v + ‖ 2 + ‖ v + ‖ 2 ) + t 2 2 lim n → ∞ ( ‖ v n − − v − ‖ 2 + ‖ v − ‖ 2 )     + λ s 4 4 lim inf n → ∞ ∫ Ω ϕ v n + | v n + | 2 d x + λ t 4 4 lim inf n → ∞ ∫ Ω ϕ v n − | v n − | 2 d x     − s 6 6 lim n → ∞ ( | v n + − v + | 6 6 + | v + | 6 6 ) + t 6 6 lim n → ∞ ( | v n − − v − | 6 6 + | v − | 6 6 ) − μ ∫ Ω F ˜ ( s u + ) d x − μ ∫ Ω F ˜ ( t v − ) d x + λ s 2 t 2 4 lim inf n → ∞ ∫ Ω ϕ v n + | v n − | 2 d x + λ s 2 t 2 4 lim inf n → ∞ ∫ Ω ϕ v n − | v n + | 2 d x ≥ J λ μ ( s v + + t v − ) + s 2 2 lim n → ∞ ‖ v n + − v + ‖ 2 + t 2 2 lim n → ∞ ‖ v n − − v − ‖ 2     − s 6 6 lim n → ∞ | v n + − v + | 6 6 − t 6 6 lim n → ∞ | v n − − v − | 6 6 ≥ J λ μ ( s v + + t v − ) + s 2 2 A 1 − s 6 6 B 1 + t 2 2 A 2 − t 6 6 B 2 ， 其中， A 1 = lim n → ∞ ‖ v n + − v + ‖ 2 ，     A 2 = lim n → ∞ ‖ v n − − v − ‖ 2 ， B 1 = lim n → ∞ | v n + − v + | 6 6 ，     B 2 = lim n → ∞ | v n − − v − | 6 6 . 按照上述事实，对任意的 s ≥ 0 ， t ≥ 0 ，可以得到 J λ μ ( s v + + t v − ) + s 2 2 A 1 − s 6 6 B 1 + t 2 2 A 2 − t 6 6 B 2 ≤ c λ μ (2.1) 首先，证明 v ± ≠ 0 。 因为 v − ≠ 0 的证明过程与 v + ≠ 0 一样，所以我们只需证明 v + ≠ 0 。不妨假设 v + = 0 ，分两种情况进行讨论。 第一种情况： B 1 = 0 。 当 A 1 = 0 ，也就是， v n + → v + 在 H 0 1 ( Ω ) 。在引理2.3，我们得到 ‖ v + ‖ > 0 ，与我们的假设相矛盾。当 A 1 > 0 ，按照(2.1)，对任意的 s ≥ 0 ，则有 s 2 2 A 1 ≤ c λ μ 这是不可能的，得到矛盾。 第二种情况： B 1 > 0 。 根据 S 的定义，推出 β = 1 3 S 3 2 ≤ 1 3 ( A 1 ( B 1 ) 1 3 ) 3 2 . 并且利用微分法，可以得到 ( s ， 0 ) 1 3 ( A 1 ( B 1 ) 1 3 ) 3 2 = max s ≥ 0 { s 2 2 A 1 − s 6 6 B 1 } . 由于 c λ μ < β ，根据(2.1)，就有 β ≤ max s ≥ 0 { s 2 2 A 1 − s 6 6 B 1 } < β ， 产生矛盾。 从上面的两种情况中，证明了 v ± ≠ 0 。 其次，证明： B 1 = B 2 = 0 。 因为 B 2 = 0 证明方法一样，所以只需证明 B 1 = 0 。不妨假设 B 1 > 0 ，分两种情况进行讨论。 第一种情况： B 2 > 0 。 设 s ˜ 和 t ˜ 满足 s ˜ 2 2 A 1 − s ˜ 6 6 B 1 = max s ≥ 0 { s 2 2 A 1 − s 6 6 B 1 } ， t ˜ 2 2 A 2 − t ˜ 6 6 B 2 = max t ≥ 0 { t 2 2 A 2 − t 6 6 B 2 } . 按照 [ 0 ， s ˜ ] × [ 0 ， t ˜ ] 是闭集且 ψ v 是连续的，则存在 ( s v ， t v ) ∈ [ 0 ， s ˜ ] × [ 0 ， t ˜ ] 使得 ψ v ( s v ， t v ) = max ( s ， t ) ∈ [ 0 ， s ˜ ] × [ 0 ， t ˜ ] ψ v ( s ， t ) . 接下来，证明 ( s v ， t v ) ∈ ( 0 ， s ˜ ) × ( 0 ， t ˜ ) 。 可以看出来如果 t 足够小，就可以得到对任意的 s ∈ [ 0 ， s ˜ ] ψ v ( s ， 0 ) = J λ μ ( s v + ) < J λ μ ( s v + ) + J λ μ ( t v − ) ≤ J λ μ ( s v + + t v − ) = ψ v ( s ， t ) ， 因此，存在 t 0 ∈ [ 0 ， t ˜ ] 使得对所有的 s ∈ [ 0 ， s ˜ ] ， ψ v ( s ， 0 ) ≤ ψ v ( s ， t 0 ) 即，当 0 ≤ s ≤ s ˜ 时，不是 ψ v 的最大值点。因此 ( s v ， t v ) ∉ [ 0 ， s ˜ ] × { 0 } 。同理，可以得 ( s v ， t v ) ∉ { 0 } × [ 0 ， t ˜ ] 。 从另一方面来说，很容易证明 s ∈ ( 0 ， s ˜ ] ， t ∈ ( 0 ， t ˜ ] s 2 2 A 1 − t 6 6 B 1 > 0 ， (2.2) t 2 2 A 2 − t 6 6 B 2 > 0 ， (2.3) 则对于任意的 s ∈ [ 0 ， s ˜ ] 和任意的 t ∈ [ 0 ， t ˜ ] ，有 β ≤ s ˜ 2 2 A 1 − s ˜ 6 6 B 1 + t 2 2 A 2 − t 6 6 B 2 ， β ≤ t ˜ 2 2 A 2 − t ˜ 6 6 B 2 + s 2 2 A 1 − s 6 6 B 1 ， 因此，按照(2.1)，则对于所有的 s ∈ [ 0 ， s ˜ ] ， t ∈ [ 0 ， t ˜ ] ， ψ v ( s ， t ˜ ) ≤ 0 ， ψ v ( s ˜ ， t ) ≤ 0 ， 因此， ( s v ， t v ) ∉ { s ˜ } × [ 0 ， t ˜ ] 和 ( s v ， t v ) ∉ [ 0 ， s ˜ ] × { t ˜ } 。 综上所述，得到 ( s v ， t v ) ∈ ( 0 ， s ˜ ) × ( 0 ， t ˜ ) 。由引理2.3知 ( s v ， t v ) 是 ψ v 的临界点。因此， s v v + + t v v − ∈ M λ μ 。 所以，综合(2.1)，(2.2)和(2.3)，就得出 c λ μ ≥ J λ μ ( s v v + + t v v − ) + s v 2 2 A 1 − s v 6 6 B 1 + t v 2 2 A 2 − t v 6 6 B 2 ≥ J λ μ ( s v v + + t v v − ) ≥ c λ μ 产生矛盾，即第一种情况不成立。 第二种情况： B 2 = 0 。 在这种情况下，只需证明最值点在 [ 0 ， s ˜ ] × [ 0 ， ∞ ) 里面。因为存在 t 0 ∈ [ 0 ， ∞ ) ，对于任意的 ( s ， t ) ∈ [ 0 ， s ˜ ] × [ t 0 ， ∞ ) 使得 J λ μ ( s v + + t v − ) ≤ 0 ，所以，这有 ( s v ， t v ) ∈ [ 0 ， s ˜ ] × [ 0 ， ∞ ) 满足 ψ v ( s v ， t v ) = max ( s ， t ) ∈ [ 0 ， s ˜ ] × [ 0 ， ∞ ) ψ v ( s ， t ) . 接下来，证明 ( s v ， t v ) ∈ ( 0 ， s ˜ ) × ( 0 ， ∞ ) 。 对于 s ∈ [ 0 ， s ˜ ] 且 t 是足够小，显然有 ψ v ( s ， 0 ) < ψ v ( s ， t ) ，因此有 ( s v ， t v ) ∉ [ 0 ， s ˜ ] × { 0 } 。 与此同时，对于 t ∈ [ 0 ， ∞ ) 且 s 足够小时， ψ v ( 0 ， t ) < ψ v ( s ， t ) ，可以得出 ( s v ， t v ) ∉ { 0 } × [ 0 ， ∞ ) 。 从另一方面来看，显然对任意的 t ∈ [ 0 ， ∞ ) β ≤ s ˜ 2 2 A 1 − s ˜ 6 6 B 1 + t 2 2 A 2 ， 即对任意的 t ∈ [ 0 ， ∞ ) ，有 ψ v ( s ˜ ， t ) ≤ 0 。所以 ( s v ， t v ) ∉ { s ˜ } × [ 0 ， ∞ ) 。通过分析可知 ( s v ， t v ) ∈ ( 0 ， s ˜ ) × ( 0 ， ∞ ) 。也就是说， ( s v ， t v ) 是 ψ v 关于 [ 0 ， s ˜ ] × [ 0 ， ∞ ) 内部的极大值点。因此 s v v + + t v v − ∈ M λ μ 。 因此，根据(2.2)，有 c λ μ ≥ J λ μ ( s v v + + t v v − ) + s v 2 2 A 1 − s u 6 6 B 1 + t v 2 2 A 2 ≥ J λ μ ( s v v + + t v v − ) ≥ c λ μ 这样就得出矛盾，即第二种情况不成立。 所以，从上面的讨论中，可以得到 B 1 = B 2 = 0 。 最后证明 c λ μ 是可达的。 对于 v ± ≠ 0 ，根据引理2.3，存在 s v ， t v > 0 使得 v ˜ : = s v v + + t v v − ∈ M λ μ 。此外，这里我们很容易证明 〈 ( J λ μ ) ′ ( v ) ， v ± 〉 ≤ 0 因此 0 < s v ， t v < 1 。 因为 v n ∈ M λ μ ，结合条件(f 1 )和(f 3 )， B 1 = B 2 = 0 和范数在 H 0 1 ( Ω ) 是弱下半连续的，可得 c λ μ ≤ J λ μ ( v ˜ ) − 1 4 〈 ( J λ μ ) ′ ( v ˜ ) ， v ˜ 〉 = 1 4 ‖ v ˜ ‖ 2 + 1 12 | v ˜ | 6 6 + μ 4 ∫ Ω [ f ˜ ( u ˜ ) v ˜ − 4 F ˜ ( v ˜ ) ] d x = 1 4 ( ‖ s v v + ‖ 2 + ‖ t v v − ‖ 2 ) + 1 12 ( | s v v + | 6 6 + | t v v − | 6 6 ) + μ 4 ∫ Ω [ f ˜ ( s v v + ) ( s v v + ) − 4 F ˜ ( s v v + ) ] d x     + μ 4 ∫ Ω [ f ˜ ( t v v − ) ( t v v − ) − 4 F ˜ ( t v v − ) ] d x ≤ 1 4 ‖ v ‖ 2 + 1 12 | v | 6 6 + μ 4 ∫ Ω [ f ˜ ( v ) v − 4 F ˜ ( v ) ] d x ≤ lim inf n → ∞ [ J λ μ ( v n ) − 1 4 〈 ( J λ μ ) ′ ( v n ) ， v n 〉 ] ≤ lim inf n → ∞ J λ μ ( v n ) = c λ μ 所以， s v = t v = 1 ，并且当 v λ : = v + + v − ∈ M λ μ ， c λ μ 是可达的。