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user: 2. 平面双线摆模型 本文中考虑的双线摆模型如图1所示。双线摆由两条弦和一块刚体构成，其中弦代表悬索，刚体代表桥面板。两条悬索的长度都为 L 1 ，忽略悬索的伸长和质量。桥面板的质量为M，长度为 2 L 2 。桥面板的质心在C点，为简单起见，假设行人行走产生的竖向和侧向力都作用在C点。在O点建立直角坐标系，两条悬索和x轴的初始夹角为 θ 0 ，假设桥摆动的某一时刻悬索和初始时刻的夹角分别为 θ 1 和 θ 2 。选择 θ 1 作为广义坐标，下列几何关系满足， 图1. 平面双线摆模型 [ 2 L 2 + 2 L 1 cos θ 0 − L 1 cos ( θ 0 − θ 2 ) − L 1 cos ( θ 0 + θ 1 ) ] 2 + L 1 2 [ sin ( θ 0 − θ 2 ) − sin ( θ 0 + θ 1 ) ] 2 = ( 2 L 2 ) 2 . (1) 在(1)中将 θ 1 视为 θ 2 的函数并对 θ 2 求导，得 d θ 2 d θ 1 = 2 ( L 1 cos θ 0 + L 2 ) sin ( θ 0 + θ 1 ) − p 2 ( L 1 cos θ 0 + L 2 ) sin ( θ 0 − θ 2 ) − p ， (2) 其中 p = L 1 sin ( 2 θ 0 + θ 1 − θ 2 ) 。 桥摆动过程中质心C的坐标可以写为 x C = x + 1 x 2 2 ， y C = y + 1 y 2 2 ， 其中， x 1 = L 1 cos ( θ 0 + θ 1 ) ， x 2 = 2 ( L 1 cos θ 0 + L 2 ) − L 1 cos ( θ 0 − θ 2 ) ， y 1 = L 1 sin ( θ 0 + θ 1 ) ， y 2 = L 1 sin ( θ 0 − θ 2 ) 。 假设质心C点的旋转角为 θ C ，则 θ C 应该满足 sin θ C = L 1 ( sin ( θ 0 − θ 2 ) − sin ( θ 0 + θ 1 ) ) / ( 2 L 2 ) . 平面双线摆系统的动能和势能可以写为 T = 1 2 m ( x ˙ C 2 + y ˙ C 2 ) + 1 2 J C θ ˙ C 2 = 1 2 ( m P 1 ( θ 1 ， θ 2 ) + J C P 2 ( θ 1 ， θ 2 ) ) θ ˙ 1 2 ， V = − m g y C = − m g L 1 2 [ sin ( θ 0 + θ 1 ) + sin ( θ 0 − θ 2 ) ] ， (3) 其中“·”表示对时间t的求导， J C 表示桥面的转动惯量，并且 P 1 ( θ 1 ， θ 2 ) = L 1 2 4 [ 1 + ( d θ 2 d θ 1 ) 2 − 2 cos ( 2 θ 0 + θ 1 − θ 2 ) d θ 2 d θ 1 ] ， P 2 ( θ 1 ， θ 2 ) = [ L 1 sin ( 2 θ 0 + θ 1 − θ 2 ) 2 ( L 1 cos θ 0 + L 2 ) sin ( θ 0 − θ 2 ) − L 1 sin ( 2 θ 0 + θ 1 − θ 2 ) ] 2 . 根据(3)，系统的Lagrange函数可以写为 L = T − V 。将其带入Lagrange方程，可以得到 θ ¨ 1 + W ( θ 1 ， θ ˙ 1 ， θ 2 ) = Q ， (4) 其中 W ( θ 1 ， θ ˙ 1 ， θ 2 ) = [ m ( ∂ P 1 ∂ θ 1 + ∂ P 1 ∂ θ 2 d θ 2 d θ 1 ) + J C ( ∂ P 2 ∂ θ 1 + ∂ P 2 ∂ θ 2 d θ 2 d θ 1 ) ] 2 [ m P 1 ( θ 1 ， θ 2 ) + J C P 2 ( θ 1 ， θ 2 ) ] θ ˙ 1 2 − m g L 1 [ cos ( θ 0 + θ 1 ) − cos ( θ 0 − θ 2 ) d θ 2 d θ 1 ] 2 [ m P 1 ( θ 1 ， θ 2 ) + J C P 2 ( θ 1 ， θ 2 ) ] ， Q代表广义力，由三部分构成 Q = Q V + Q L + Q R ，其中 Q V = F V ( t ) L 1 [ cos ( θ 0 + θ 1 ) − cos ( θ 0 − θ 2 ) d θ 2 d θ 1 ] 2 [ m P 1 ( θ 1 ， θ 2 ) + J C P 2 ( θ 1 ， θ 2 ) ] ， Q L = − F L ( t ) L 1 [ sin ( θ 0 + θ 1 ) + sin ( θ 0 − θ 2 ) d θ 2 d θ 1 ] 2 [ m P 1 ( θ 1 ， θ 2 ) + J C P 2 ( θ 1 ， θ 2 ) ] ， Q R = − C L L 1 2 [ sin ( θ 0 + θ 1 ) + sin ( θ 0 − θ 2 ) d θ 2 d θ 1 ] 2 4 [ m P 1 ( θ 1 ， θ 2 ) + J C P 2 ( θ 1 ， θ 2 ) ] θ ˙ 1 − C V L 1 2 [ cos ( θ 0 + θ 1 ) − cos ( θ 0 − θ 2 ) d θ 2 d θ 1 ] 2 4 [ m P 1 ( θ 1 ， θ 2 ) + J C P 2 ( θ 1 ， θ 2 ) ] θ ˙ 1 − C θ C P 2 ( θ 1 ， θ 2 ) m P 1 ( θ 1 ， θ 2 ) + J C P 2 ( θ 1 ， θ 2 ) θ ˙ 1 . θ 1 = θ 2 = 0 显然是系统(4)的平衡位置。考虑 θ 1 ， 2 很小，只在0附近发生微小的变化。将(4)在平衡位置附近线性化，可得 θ ¨ 1 + 2 α 1 θ ˙ 1 + ( α 2 + α 3 F L ( t ) + α 4 F V ( t ) ) θ 1 = α 5 F L ( t ) ， (5) 其中 α 1 = 1 2 C L L 2 2 sin 2 θ 0 + C θ C cos 2 θ 0 m L 2 2 sin 2 θ 0 + J C cos 2 θ 0 ， α 2 = m g ( L 2 + L 1 cos 3 θ 0 ) ( L 2 + L 1 − L 1 cos θ 0 ) 2 m L 1 L 2 sin 3 θ 0 ( L 2 + L 1 − L 1 cos θ 0 ) 2 + J C L 1 L 2 sin θ 0 cos 2 θ 0 ， α 3 = L 2 cos θ 0 ( L 2 + L 1 cos θ 0 ) L 1 ( m L 2 2 sin 2 θ 0 + J C cos 2 θ 0 ) ， α 4 = L 2 ( L 2 + L 1 cos 3 θ 0 ) L 1 sin θ 0 ( m L 2 2 sin 2 θ 0 + J C cos 2 θ 0 ) ， α 5 = − L 2 2 sin θ 0 L 1 ( m L 2 2 sin 2 θ 0 + J C cos 2 θ 0 ) . 定义平面双线摆系统的自振圆频率为 ω ，则在(5)中令 α 1 ， 3 ， 4 ， 5 = 0 ，可得 ω = α 2 。当 θ 0 = π / 2 时，圆频率退化为 ω = g / L 1 。这表明双线摆模型控制方程(5)是正确的。 行人产生的竖向力 F V ( t ) 和侧向力 F L ( t ) 采用文献 [ 10 ] 建议的简谐表达形式， F i ( t ) = λ α i g m p ( x ) cos ( Ω i t ) ， i = V ， L ， 其中 λ 是桥上行人同步行走占总人数的百分比， m p ( x ) 是同步行人沿桥长度方向上的线密度， α i 是动载因子， g 是重力加速度， Ω V ， L 是行人行走力的主频率。考虑到竖向频率为侧向频率的一倍，将 F V ， L ( t ) 的表达式带入(5)，并重新对时间进行标度 τ = Ω L t ，(5)可以写为 θ ¨ 1 + 2 ξ θ ˙ 1 + ( υ − ε cos τ − η cos ( 2 τ ) ) θ 1 = κ ε cos τ ， (6) 其中“·”表示对时间 τ 的求导，且 ξ = α 1 Ω L ， υ = α 2 Ω L 2 = ω 2 Ω L 2 ， ε = α 3 λ α L g m p ( x ) Ω L 2 ， η = α 4 λ α V g m p ( x ) Ω L 2 ， μ = Ω V Ω L ， κ = − L 2 sin 2 θ 0 L 2 + L 1 cos 3 θ 0 . 在(6)中引入变换 θ 1 ( t ) = e − ξ t y ( t ) ，(6)可以写为 y ¨ + ( δ - ψ ( τ ) ) y = κ ε cos τ ， (7) 其中 δ = υ − ξ 2 ， ψ ( τ ) = ε cos τ + η cos ( 2 τ ) 。 (7)是2次简谐模式的Hill方程。由(5)和(6)可知，参数 ε 和 η 都是小参数。下节中将讨论(7)的通解。