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user: 3. 一些重要引理 引理3.1. 设 h ∈ L 2 ( Ω ) 则泛函 J V 在 H V ， A ( Ω ) 上弱强制，即当 ‖ u ‖ V ， A → ∞ 时，有 J V → ∞ 且 J V 有下界。 证明：根据(f 1 )与(f 3 )可得出，存在 C 1 ， C 2 > 0 ，使得 F ( t ) ≥ C 1 | t | θ − C 2 . (3.1) 根据(2.2)可知， | ∫ Ω F ( u ) d x | ≥ C 1 ∫ Ω | t | θ d x − C 2 | Ω | (3.2) 其中 | Ω | 为 Ω 的测度。 J V ( u ) = 1 2 ‖ u ‖ V ， A 2 − λ 2 ∫ Ω | u | 2 d x + ∫ Ω F ( u ) d x − 1 2 ∫ Ω | h | 2 d x ≥ 1 2 ‖ u ‖ V ， A 2 − c ( ‖ u ‖ L 2 ( Ω ) 2 + ‖ h ‖ L 2 ( Ω ) 2 ) + C 1 ‖ u ‖ L θ ( Ω ) θ − C 2 | Ω | ≥ 1 2 ‖ u ‖ V ， A 2 − c ( ‖ u ‖ L θ ( Ω ) 2 + ‖ h ‖ L θ ( Ω ) 2 ) + C 1 ‖ u ‖ L θ ( Ω ) θ − C 2 | Ω | (3.3) 当 ‖ u ‖ V ， A 时，有以下两种情况： (i) 若 ‖ u ‖ L θ ( Ω ) 有界，则有 J V ( u ) → ∞ 。 (ii) 若 ‖ u ‖ L θ ( Ω ) → ∞ ，则由 θ > 2 可知 J V ( u ) → ∞ 。 故 J V ( u ) 是弱强制的。此外，由(3.3)可推出 J V ( u ) ≥ − c ( ‖ u ‖ L θ ( Ω ) 2 + ‖ h ‖ L θ ( Ω ) 2 ) + C 1 ‖ u ‖ L θ ( Ω ) θ (3.4) 不等式右边是与 ‖ u ‖ L θ ( Ω ) 有关的函数，因为 θ > 2 ，所以不等式右边是有下界的，故得出 J V 有下界。 因为 J V 是 C 1 连续且下方有界，由文献[ [ 13 ] ， Theorem 2.4]知 J V 存在PS序列。又因为 J V 是弱强制的， 所以PS序列 { u n } 有界。因此有下面引理成立。 引理3.2. 如果序列 { u n } ⊂ H V ， A ( Ω ) 有界且 J ′ V ( u n ) → 0 ，则 { u n } 有收敛子列。 证明：由 { u n } ⊂ H V ， A ( Ω ) ，在子列意义下有 u n → 弱 u 于 H V ， A ( Ω ) 且 u n → u 于 L t ( Ω ) ， ∀ t ∈ ( 1 ， 2 * ) 。 注意到， o n ( 1 ) = 〈 J ′ V ( u n ) ， u n 〉 = ‖ u n ‖ V ， A 2 − λ ∫ Ω u n 2 d x + ∫ Ω f ( u n ) u n d x − ∫ Ω h u n d x . 所以 ‖ u n ‖ V ， A 2 = λ ∫ Ω u n 2 d x + ∫ Ω f ( u n ) u n d x − ∫ Ω h u n d x . (3.5) 此外， o n ( 1 ) = 〈 J ′ V ( u n ) ， u 〉 = 〈 u n ， u 〉 − λ ∫ Ω u n u d x + ∫ Ω f ( u n ) u n d x − ∫ Ω h u n d x . 所以 . (3.6) 此外，由条件(f 1 )及(f 2 )有，对于任意的 ξ > 0 ，存在 C ξ > 0 ，使得 f ( t ) ≤ ξ | t | + C ξ | t | q − 1 ，其中 q ∈ ( 2 ， 2 * ) 。 (3.7) 因为 { u n } 有界，及Hölder不等式，引理2.2以及(3.7)得出， | ∫ Ω f ( u n ) u n d x − ∫ Ω f ( u n ) u d x | ≤ ∫ Ω | f ( u n ) | | u n − u | d x ≤ ∫ Ω ( | u n | + | u n | q − 1 ) | u n − u | d x = ∫ Ω | u n | | u n − u | d x + ∫ Ω | u n | q − 1 | u n − u | d x ≤ ( ∫ Ω | u n | 2 d x ) 1 2 ( ∫ Ω | u n − u | 2 d x ) 1 2         + ( ∫ Ω ( | u n | q − 1 ) q q − 1 d x ) q − 1 q ( ∫ Ω | u n − u | q d x ) 1 q = c ( ( ∫ Ω | u n − u | 2 d x ) 1 2 + ( ∫ Ω | u n − u | q d x ) 1 q ) = o n ( 1 ) (3.8) 结合(3.5)，(3.6)和(3.8)式可知 ‖ u n ‖ V ， A → ‖ u ‖ V ， A 。又因为 u n → 弱 u 于 H V ， A ( Ω ) ，所以有 u n → u 于 H V ， A ( Ω ) 。 我们定义算子 T : H V ， A ( Ω ) → H V ， A ( Ω ) 如下： ( T u ， v ) H V ， A ( Ω ) = ∫ Ω u v ¯ d x ， ∀ u ， v ∈ H V ， A ( Ω ) . 那么算子T是线性的。 引理3.3. 线性算子 T : H V ， A ( Ω ) → H V ， A ( Ω ) 有特征值 λ n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ，且 λ n + 1 > λ n > 0 。且当 n → ∞ 时， λ n → ∞ 。 证明： ( u ， T v ) H V ， A ( Ω ) = ( T u ， v ) H V ， A ( Ω ) ¯ = ∫ Ω v u ¯ d x ¯ = ∫ Ω u v ¯ d x = ( T u ， v ) H V ， A (Ω) 因此T为自伴算子。设 u n → u 于 H V ， A ( Ω ) ，由引理2.2知， u n → u 于 L 2 ( Ω ) 。此时， 当 n → ∞ 时， ( T u n − T u ， v ) H V ， A ( Ω ) = ( T ( u n − u ) ， v ) H V ， A ( Ω ) = ( u n − u ， T v ) H V ， A ( Ω ) → 0 . 所以 T u n → 弱 T u 于 H V ， A ( Ω ) ，从而 { T u n } 在 H V ， A ( Ω ) 中有界。因此 ‖ T u n − T u ‖ V ， A 2 = ( T u n − T u ， T u n − T u ) H V ， A ( Ω ) = ∫ Ω ( u n − u ) ( T u n − T u ¯ ) d x ≤ ‖ u n − u ‖ L 2 ( Ω ) ⋅ c ‖ T u n − T u ‖ V ， A ≤ c ‖ u n − u ‖ L 2 ( Ω ) → 0 因此T为紧算子。另外 ∀ u ∈ H V ， A ( Ω ) \ { 0 } ，有 ( T u ， u ) H V ， A ( Ω ) = ∫ Ω | u | 2 d x > 0 。因此T为正算子。 由 [ 14 ] 中的定理2.2.16，命题2.2.15以及推论2.2.13知，算子T存在一列正的特征值 1 λ n ，及一组对应的 H V ， A ( Ω ) 中的正交基 { φ i } i = 1 ∞ ， 使得 T φ i = 1 λ n φ i 。另外，当 n → ∞ 时， 1 λ n → 0 ，即 λ n → ∞ 。 不妨设 ‖ φ i ‖ V ， A = 1 ，则我们有 1 λ n ‖ φ i ‖ V ， A 2 = 1 λ n ( φ i ， φ i ) H V ， A ( Ω ) = ( A φ i ， φ i ) H V ， A ( Ω ) = ∫ Ω | φ i | 2 d x ⇒ λ n ∫ Ω | φ i | 2 d x = ‖ φ i ‖ V ， A 2 = 1 .