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user: 3. 分数阶Chen混沌系统 3.1. 分数阶Chen混沌系统 下面给出分数阶Chen混沌自治系统的模型描述，其中 x ( t ) = [ x 1 ( t ) ， x 2 ( t ) ， x 3 ( t ) ] T 为混沌系统的状态变量，a、b和c表示混沌系统的参数， α 表示分数阶阶数且满足 0 < α ≤ 1 ： { D α x 1 ( t ) = a ( x 2 ( t ) − x 1 ( t ) ) ， D α x 2 ( t ) = ( c − a ) x 1 ( t ) − x 1 ( t ) x 3 ( t ) + c x 2 ( t ) ， D α x 3 ( t ) = − b x 3 ( t ) + x 1 ( t ) x 2 ( t ) . (5) 其中， a = 35 ， b = 3 ， c = 28 时，取 α = 0.95 时，初值 x ( 0 ) = [ − 9 − 5 14 ] T 时相应的分数阶Chen系统的状态轨迹如图1所示。 图1. 分数阶Chen混沌系统的仿真曲线 3.2. 分数阶Chen混沌系统的Takagi-Sugeno模糊模型 本节给出分数阶Chen混沌自治系统的分数阶Takagi-Sugeno模糊模型。取 x 1 ∈ [ − d ， d ] ， d > 0 ，根据混沌系统的有界性可知此假设是合理的。选择 x 1 ( t ) 作为模糊规则的前件变量，分数阶Chen混沌系统可以表示成如下形式的分数阶Takagi-Sugeno模糊模型： Rule 1: If x 1 ( t ) is F 1 ( x 1 ( t ) ) ， then D α x ( t ) = A 1 x ( t ) ; Rule 2: If x 1 ( t ) is F 2 ( x 1 ( t ) ) ， then D α x ( t ) = A 2 x ( t ) . 其中 x ( t ) = [ x 1 ( t ) ， x 2 ( t ) ， x 3 ( t ) ] T ， A 1 = [ − a a 0 c − a c − d 0 d − b ] ， A 2 = [ − a a 0 c − a c d 0 − d − b ] 对应隶属度函数为： F 1 ( x 1 ( t ) ) = ( 1 / 2 ) ( 1 − x 1 ( t ) / d ) F 2 ( x 1 ( t ) ) = ( 1 / 2 ) ( 1 + x 1 ( t ) / d ) 分数阶Chen混沌系统的全局分数阶Takagi-Sugeno模糊模型可表示为： D α x ( t ) = ∑ i = 1 2 F i ( z ( t ) ) A i x ( t ) (6) 且 { ∑ i = 1 2 F i ( x 1 ( t ) ) = 1 F i ( x 1 ( t ) ) ≥ 0 3.3. 基于分数阶Takagi-Sugeno模糊系统的分数阶Chen混沌系统的控制 本节考虑基于分数阶Takagi-Sugeno模糊模型的分数阶Chen混沌系统的控制问题，即讨论分数阶混沌系统的镇定问题。假设对分数阶Chen混沌系统施加控制输入如下： { D α x 1 ( t ) = a ( x 2 ( t ) − x 1 ( t ) ) ， D α x 2 ( t ) = ( c − a ) x 1 ( t ) − x 1 ( t ) x 3 ( t ) + c x 2 ( t ) + u ( t ) ， D α x 3 ( t ) = − b x 3 ( t ) + x 1 ( t ) x 2 ( t ) . (7) 根据对分数阶Chen混沌系统的建模过程可得，对系统施加控制后其分数阶Takagi-Sugeno模糊模型为： Rule 1: If x 1 ( t ) is F 1 ( x 1 ( t ) ) ， then D α x ( t ) = A 1 x ( t ) + B 1 u ( t ) ; Rule 2: If x 1 ( t ) is F 2 ( x 1 ( t ) ) ， then D α x ( t ) = A 2 x ( t ) + B 2 u ( t ) . 其中， B 1 = B 2 = [ 010 ] T 。 利用PDC设计模糊控制器，考虑以下模糊控制规则： Rule 1: If x 1 ( t ) is F 1 ( x 1 ( t ) ) ， then u ( t ) = − K 1 x ( t ) ; Rule 2: If x 1 ( t ) is F 2 ( x 1 ( t ) ) ， then u ( t ) = − K 2 x ( t ) . 则系统的模糊控制器总输出为： u ( t ) = − ∑ i = 1 2 F i ( x 1 ( t ) ) K i x ( t ) ，     i = 1 ， 2 (8) 将上面给出的控制律带入，则相应的分数阶Takagi-Sugeno模糊闭环系统可表述为： D α x ( t ) = ∑ i = 1 r ∑ j = 1 r h i ( z ( t ) ) ( A i − B i K j ) x ( t ) (9) 根据引理1，如果存在一个对称正定矩阵Q，矩阵 M 1 及 M 2 ，使得下面的LMIs成立，则分数阶Takagi-Sugeno模糊闭环系统是渐进稳定的，其中状态反馈增益矩阵 K i = M i Q − 1 ( i = 1 ， 2 )。 A 1 Q − B 1 M 1 + ( A 1 Q − B 1 M 1 ) T < 0 A 2 Q − B 2 M 2 + ( A 2 Q − B 2 M 2 ) T < 0 A 1 Q − B 1 M 2 + A 2 Q − B 2 M 1 + ( A 1 Q − B 1 M 2 + A 2 Q − B 2 M 1 ) T < 0 (10) 由前面的讨论可知，当存在对称正定矩阵Q，矩阵 M 1 及 M 2 ，使得以上线性矩阵不等式成立时，分数阶Chen混沌系统是可镇定的。将参数 a = 35 ， b = 3 ， c = 28 ，并选 d = 30 带入 A 1 、 A 2 ，应用Matlab求解上述的线性矩阵不等式，可以得到如下的可行解： Q = [ 0. 1782 0.0 213 − 0.00 49 0.0 213 0. 4162 0.000 4 − 0.00 49 0.000 4 0. 5926 ] M 1 = [ 12 . 8975 16 . 4537 − 2 . 9931 ] M 2 = [ 13 .0 224 16 . 2451 5 . 2164 ] 又由于状态反馈增益矩阵 K i = M i Q − 1 ( i = 1 ， 2 )，可得 K 1 = [ 67 . 9598 36 .0 6 0 1 − 4 . 511 0 ] K 2 = [ 69 . 1121 35 . 4868 9 . 352 0 ] 根据并行分布补偿原理知， u ( t ) = − ∑ i = 1 2 F i ( x 1 ( t ) ) K i x ( t ) ，     i = 1 ， 2 将反馈增益带入，计算出系统的模糊控制器总输入 u ( t ) ，代入分数阶Chen混沌系统，对分数阶不确定Chen混沌系统进行稳定化控制。当 α = 0.95 时，初值取 x ( 0 ) = [ − 9 − 5 14 ] T 做分数阶Chen混沌系统(7)的仿真图，图2是加了控制后的分数阶Chen混沌系统的状态曲线，图3是系统的控制曲线，可以看到分数阶Chen混沌系统的状态曲线和控制曲线很快趋向于原点。此时，在控制器的作用下分数阶Chen混沌系统是可镇定的。 图2. 添加了控制后的分数阶Chen混沌系统的状态曲线 图3. 分数阶Chen混沌系统的控制曲线