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user: 4. 几点讨论 通过前面的分析，得到了材料结构在理想弹塑性状态下的全状态函数的控制方程，并依据全状态函数求得了状态路径方程和本构关系。通过对控制方程的分析，求得了某些特殊形式的解析解，如平面形式、圆柱面形式和球面形式的解。由此加深了对材料结构全状态函数理论的认识。主要可以表现在以下几个方面。 4.1. 理想材料全状态函数的特征 理想弹塑性材料的全状态函数，具有一些独特的特征，这些特征主要可以表现在以下几个方面： (1) 曲面特征 可以发现对于理想弹塑性材料，根据控制方程组(3)求得的平面解、圆柱面解和球形解，都具有凸曲面特征。分析控制方程组(3)和形成控制方程组的泛函方程(2)，以及其物理本质，可以发现材料结构的变化，应遵守一条原理：也就是状态变化的惯性原理。材料结构在受到外部环境作用时，总是在努力地保持其原有的状态，在不能保持其原有状态的情况下，将以最小的变化来适应外部环境的影响。对于理想弹塑性材料，结构的变化主要发生在全状态函数面上，全状态函数面的内部为材料的弹性结构状态。在外力的作用下，材料将尽可能大的保持这个弹性结构，而使全状态函数面达到最小，也就是尽可能小地发生变化。也可以理解为，在全状态函数面一定的情况下，使材料的弹性内核尽可能地大。由此可知，全状态函数面在一定的条件下为凸曲面函数。这与经典弹塑性理论中，假定材料的强度曲面为凸曲面的思想是一致的。 (2) 应力坐标旋转、平移的影响 根据控制方程(3)，得到的平面形式、柱面和球面形式的解，在应力坐标旋转、平移的变换下，其状态曲面的形态并不发生改变，将仍然保持其平面、柱面和球面形态。对于控制方程组(3)中，发生变化的主要是材料结构极限弹性能密度函数U的形式。在不同的变换下，U的形式将发生变化。通过分析可以发现，只要保持U函数在变化中其形态不发生改变，其解的形态将也不发生变化，只要将原解的形式， 转换到新方向上即可。如圆柱面形式的解，圆柱的轴心平行于 轴时， 函数是一平行于 平面的圆，当将圆柱面轴转到与等倾轴重合时，在等倾面上 函数应该还是一个圆。如果坐标进行平移变换，则 变换为 ，新的平移后的 圆柱面仍然是方程(3)的解。这揭示出一个信息：方程组(3)中的材料结构极限弹性能密度函数，其实质不是由材料的绝对强度值所决定，而是强度能量密度的变化值或相对值。这一特点使我们联想到材料的刚度位移，并不产生应变的道理。也就是说，应力强度值的变化，如果是统一增加，均匀变化，将不引起强度能量密度函数的形态变化，对方程的解也将不发生影响。所以，材料结构极限弹性能密度函数其实质是弹性能密度的变化率函数。另外也告诉我们，材料的结构特征不变，特别是理想弹塑性材料，材料结构极限弹性能密度函数在形态上不应变化。如前面讨论到的常数特征和圆柱特征，这种形态特征，在坐标的平移和旋转中是不变的。对于具有相同形态特征的材料结构极限弹性能密度函数的材料，可以通过各种不同的坐标变换，适用不同的强度边界条件，从而得到不同表达形式的全状态函数解。也可以说，这就是我们可以构造出无数材料的强度准则的原因。 (3) 对称轴和对称点特征 由于理想结构性材料具有各向同性，强度为常量的特点，对全状态函数必然存在一个对称轴或对称点。在复杂应力状态下，全状态函数的曲面可能有两种形态：一种是开口形态，如棱柱面或圆柱面；另一种是封闭形态。对于开口形态，要保持其“强度”不变，只能是剪应力强度。这样就形成不同形态的柱面形态，而由于材料的各向同性，柱面形态必然是对称的，必然存在一个对称轴，只能是对称形式的柱面。对于封闭的全状态函数，由于各向同性会存在一个对称原点，对于平面形式的解，在应力空间中就是立方体形态，曲面形式的解可以是圆球面形态。 4.2. 影响全状态函数特征的因素 从前面的分析可知，影响全状态函数特征的因素主要有三个：一是控制偏微分方程组(3)；二是材料结构极限弹性能密度函数；三是边界条件。 (1) 控制偏微分方程组 控制偏微分方程组(3)是一组非线性偏微分方程。这类方程一般情况下，很难求得其解析形式的解。只有在一些特殊情况下，可以得到一些特定的结果。从方程组(3)中可以看到，方程的左边只与函数的一级导数有关，而与具体的坐标无关。在方程的右边，是材料结构极限弹性能密度函数的偏微分。不同形态的材料结构极限弹性能密度函数，使方程组的解必然有着不同的形态。对于不同的结构性材料，材料结构极限弹性能密度函数会有所不同，其解自然也会有所不同。就是理想状态的结构性材料，对于更复杂的材料结构极限弹性能密度函数，只能通过其他方法，求得其近似解析形式的解或数值解。 (2) 材料结构极限弹性能密度函数 根据前面的讨论可知，材料结构极限弹性能密度函数和相对的能量密度变化有关。对于不同结构性材料，能量密度函数也不同。能量密度函数的形态，反映了结构性材料的重要特征。对于理想弹塑性材料，目前所掌握的主要有两种形态：一种是可导致全状态函数在形态上为开口的能量密度函数；另一种是全状态函数的解的形态为封闭形式的解。可以这样认识这一特征：开口形态的解，反映的是材料的剪切强度特性，与静水压力无关。而封闭形态解的材料结构极限弹性能密度函数，却反映是与静水压力有关的材料的性质(如Rankine准则)。材料结构极限弹性能密度函数的形态特征，往往与全状态函数的特征密切相关。当然边界条件也是影响全状态函数特征的重要因素。 材料结构极限弹性能密度函数影响到全状态函数的特征，其实质是材料特性的反映。而材料的特性又和材料的结构特征密切相关。所以，要掌握材料结构极限弹性能密度函数的形态特征，就需要研究材料的结构特性，特别是材料结构演化过程中的能量密度的变化规律。 (3) 边界条件 影响全状态函数特征的另一重要因素是边界条件。控制偏微分方程组(3)解决的是曲面族的问题，而对于特定的材料，其全状态函数是一特定的曲面，这就要靠边界条件来确定。在多变量，即强度-刚度-结构应变空间中，强度条件可以作为一般性的全状态函数的边界条件，即 而对理想弹塑性材料，其边界条件可以进一步简化，因为这时的全状态函数在形式上是与强度准则一致的。只要给定某些局部的条件，就可确定相应的函数的具体形式。但由于控制偏微分方程组(3)是一组非线性偏微分方程组，求解曲面族的解析表达式是相当困难的，只有在某些特定的条件，才可能得到封闭解的结果。对于这些特殊形式的解，可以通过若干个点来作为其边界条件，来确定其解的具体形式。如平面形式的解，可以通过每个平面三个点的方式来确定，再利用对称原理，就可以将整个的全状态函数面确定下来。对于曲面形式的柱面或球面解，需要的条件更为复杂一些。但无论那种形式的解，边界条件都不会过于复杂，特别是通过实验来确定时，可大大减少实验的数据。 当然边界条件的确定，可以通过理论分析，也可以通过实验来获得。 4.3. 全状态函数理论的意义 本文依据材料结构全状态函数理论的思路与方法，分析了经典弹塑性理论中的典型材料：理想弹塑性材料问题。得到了一些特定情况下特殊解，由此证明了这一理论的作用和意义。使我们大大加深了对这一理论的认识，这主要表现在以下几个方面： (1) 为解决结构性材料问题提出一套新的概念、理论和方法 经典弹塑性力学理论由于是建立在均匀、连续、无限可分的材料假定之上，这是继承了弹性力学的概念。经典理论忽略或简化掉了材料的一个重要特性：结构性。但如果考虑结构性，就完全破坏了弹塑性力学的基础。由于两者的矛盾，经典弹塑性力学理论不可能简单地解决结构性材料的问题。经典弹塑性材料由于其均匀性可以称其为简单材料，具有结构性材料可以称为复杂材料。简单材料与复杂材料的力学基础是矛盾的，但也存在着关联性，这就是复杂材料的极限状态就是简单材料。也可以认为简单材料是复杂材料的一个特例。过去长期以来，我们一直试图以简单材料的理论与方法去解决复杂材料的问题，这相当于用特殊理论与方法去解决一般性问题，这显然是行不通的。 材料结构的强度、弹性模量和几何形态的变化规律，就构成了材料结构在应力-刚度-应变空间中的材料结构全状态函数。材料结构全状态函数全面和整体地反映了材料的力学性能。材料结构全状态函数的实质是在所有可能的状态中，材料弹性结构状态和结构破坏的交界面函数。在这一界面的内部，材料保持了结构的弹性状态。在界面之外，材料的结构破坏，并不复存在。在界面之上，材料的结构发生演化，从一种状态演化到另一种状态。全状态函数曲面，从目前掌握的知识，推断是一个一定条件下的紧曲面。在掌握了全状态函数的特征后，就可以容易地解决状态路径问题和本构关系问题。 本文用材料结构全状态函数理论，分析经典理论中的弹塑性材料的意义在于证明全状态函数理论的概念与方法，在解决最简单，也就是理想结构状态的材料时，其结论与经典弹塑性理论是一致的和正确的。也就证明了作为一种一般性的理论和方法，可以解决弹塑材料这种特殊问题。从而从某一方面证明了材料结构全状态函数理论的正确性。 (2) 强度、流动法则和本构关系有了统一的理论基础 材料结构全状态函数全面和整体地反映材料性能，对于经典弹塑性理论中的强度理论、流动法则和本构关系也应该能够反映。通过对理想弹塑性材料的分析，完全证实了这一点。材料结构全状态函数是一个应力-刚度-应变空间构成的多维空间的函数。当我们单独考察应力子空间中的全状态函数特征时，全状态函数反映的是材料在复杂应力状态下的强度变化规律。当材料受特定的环境作用时，变化的过程就是结构状态的变化过程。因此，变化是沿全状态函数曲面上进行的一条路径。这条路径的变化，实际上反映的是在特定环境作用下，材料强度和材料的几何状态变化之间的关系。这一点类似于经典弹塑性理论中的流动法则。根据路径的变化，可以进一步分析强度应力和结构应变之间的变化规律，特别是在增量形式下，可以通过路径的切线方程，得到应力强度和结构应变之间的近似关系，这实质上就是增量形式的本构关系。对于某些特定的材料，如本文分析的理想弹塑性材料，可以得到与经典弹塑性理论完全形式上一致的结果。由此可以看到，全状态函数理论将经典弹塑性理论中的强度理论、流动法则和本构关系统一在了一个理论框架之下。 (3) 全状态函数的控制方程、状态路径方程和本构关系构成了理论的核心内容和方法 全状态函数理论在材料结构具有保持其状态不变趋势的假定上，建立了全状态函数的控制偏微分方程组，从而为材料结构全状态函数的求解奠定了基础。在此基础上，通过结构对外界响应假定其遵守最小能量原理，获得了材料结构在特定环境作用下的状态路径方程，为材料各参量的变化规律，建立了约束条件。在路径方程的基础上，通过采用路径切线方程的分析方法，可得到增量形式的本构关系。通过建立起的这样一个完整的分析步骤，使我们对结构性材料的分析，有了完整的分析方法。 通过对理想弹塑性材料的分析，在获得的平面形式、圆柱面形式和球面形式的特定解的特征，得到了与经典弹塑性理论中强度理论完全一致的结果。在路径分析中，得到了与经典弹塑性理论流动法则完全一致的结果。在路径切线方程的分析中，得到了与经典理论中的本构关系完全一致的结果。由此证实，全状态函数的控制方程、路径方程和本构关系构成的这一理论方法是完整的。另外，通过分析可以发现，与经典理论一致的这些结论和结果，分析中都给予了某些特定的约束条件，这告诉我们，约束条件的改变，将可能得到另外一些结果。也就是说，经典理论中的某些结论和结果，是某种情况下的特例。这从另一角度证实了，全状态函数理论具有的普遍意义。 (4) 形成了一条新的分析问题的思路 传统的经典理论的分析方法，大多以具体问题做为分析的出发点，往往局限于材料的某一种状态。全状态函数理论着眼于材料结构状态变化的整体集合，以考察材料结构变化所有的可能状态为出发点，了解和分析结构材料的变化规律和特征。通过建立起这样一种分析的新思路，跳出了过去分析材料特性的方法限制，从而为建立新的分析方法奠定了基础。在掌握了整体的材料结构状态变化规律的基础上，对于材料受到的某环境的特定作用，就可以理解为是结构状态变化的某种特例。具体讲，任何特定环境的作用，导致的材料结构的变化，必然受限于整体的材料结构变化规律。材料结构全状态函数理论建立起了这样一条新的分析思路：全状态函数-----状态路径方程-----本构关系。这实际上是一条从整体到局域，再到点的分析的过程。这一思路类似于数论中集合论，通过对数的大类分析，来掌握具体数的性质。