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user: 4. 动态库存常规控制问题——控制论的应用 现代控制论是从五十年代末、六十年代初发展起来，近来已开始应用于经济系统和管理科学。这是因为它是解决动态管理决策的一个有力工具，例如上述稳态库存问题中，若每次定购量和周期是“动态”的话，用自动控制理论中的动态规划法以及最大值原理都可以得到解决，甚至于70年代末才应用于管理的现代控制论中极点配置，观测器和线性多变量调节器原理也都可以用于解决这类库存控制问题，这里只是简单地介绍一下最大值原理法和动态规划法在库存管理问题中的应用 [ 5 ] [ 6 ]。 4.1. 动态管理决策过程的数学模型建立 动态管理决策是一个微分方程或差分方程，因应首先搞清楚状态变量，控制变量和外加变量。例如在订购–库存模型中，库存量是状态变量，订货量是决策变量，而需求量则是外部环境对订购库存系统的外加变量。订购量决定着系统状态的变化。之后，可用两种方法来描述系统，一种是黑箱法，其离散时间系统差分方程是： Y t = f 1 ( Y t − 1 ⋯ Y t − i ⋅ X t ⋯ X t − j )       ( i ≥ 0 ，   j ≤ t ) (1) 另一种是现代控制理论中的状态变量法，即：输入–状态–输出的状态空间表示法，如图3。 图3. 状态空间的表示法 离散时间系统的标准式为： { z t + 1 = ψ ( z t ⋅ x t ) Y t = ϕ ( z t ⋅ x t ) (2) 如果给定向量初值 Z t o 和输入变量值 X t o ， X t o + 1 ， ⋯ ， X t ，则由(2)式可以唯一确定状态向量 Z t o + 1 ， ⋯ ， Z t 和输出向量 Y t o ， Y t o + 1 ， ⋯ ， Y t 的值了。例如： 在订购库存模型中，库存量的变化率 d I ( t ) d t 等于订购率P(t)减去需求率S(t)，即： d I ( t ) d t = p ( t ) − s ( t ) (3) 其离散型形式就是差分方程(1)的特例： I ( K + 1 ) = I ( K ) + P ( K ) − S ( K ) (3) 1 4.2. 求解订购–库存模型的方法 求解此模型最优控制论有三种方法，即可用动态规则划法，最大值原理变分法及线性多变量调节器来求解。下面介绍变分法和动态规划方法。 订购–库存模型公式： { d I ( t ) d t = p ( t ) − s ( t ) I ( t o ) = I O ( 初 始 库 存 量 ) (4) 决策目标可有两种，所以目标求解也有两种目标函数： ① 订购率P(t)，使订购费用C(p，t)和储存费用H(I，t)总和为最小。 即总费用： J 1 = ∫ t o t f [ c ( p ， t ) + H ( I ， t ) ] d t 最小 (4) 1 ② 求订购率P(t)，使它接近于理想的订购率Pd，即：使库存量I(t)尽量接近理想库存量Id。当系统处于理想稳定状态时，有： { p ( t ) = p d I ( t ) = I d 成立 当外界条件变化，平衡将会破坏，则希望通过控制P(t)使系统尽量返回到理想平衡状态。 即： J 2 = ∫ t o t f [ h ( I ( t ) − I d ) 2 + c ( p ( t ) − p d ) 2 ] d t 最小 (5) 式中，h、C常数为加权系统。 从以上模型中可以看出，该管理系统的状态方程(4)是一个线性微分方程，而目标函数(4)，或(5)则是一个二次型。所以这是一个线性二次型管理问题的求解，求最优管理决策P(t)使J(p)最小。 解出方程(4)、(5)的解为： u * ( t ) = p ( t ) − p d = − p 20 ⋅ I ( t ) + 1 2 c ξ ( t ) = 1 2 c ξ ( t ) − K ⋅ t h [ K ( t f − t ) ] ⋅ I (t) 其中： ξ ( t ) 是方程 { d ξ ( t ) d t = 1 2 c p 1 ξ + p 1 ( p d − s ( t ) ) − 2 h j d ξ ( t f ) = 0 的解， k = k c ⋅ t h = e x − e x e x + e x (双曲正切函数) 所以最优订购率函数为： P ( t ) = 1 2 c ξ ( t ) − K ⋅ t h [ k ( t f − t ) ] ⋅ I ( t ) + p d 由上式可见，最优订购率P(t)是由理想订购率Pd根据两个因素加以校正的，第一项依赖于原问题中给定的量，第二项依赖于现在的库存量。从直观上我们知道当库存量上升时，订购率下降，即与第二项上升时，第一项下降相一致。 以上求解线性二次型问题，解黎卡提方程较为困难。下面举一个实例，来说明最优控制理论中的动态规划法在解二次型问题较为方便。 例：设某单位每年定购备件A类第K季度为X(K)个，费用为ax 2 (K)元，某单位仓库每件备品库存费用为b元。设某单位使用计划如表1。 Table 1 Quarterly demand for a uni 季度 1 2 3 4 需求量(件) 600 700 500 1200 表1. 某单位各季度的需求量 又设第K季度初的库存最为Z(k) (状态变量)，需求量为S(K)，且保证供应，则有状态方程： Z ( K + 1 ) = Z ( K ) + X ( K ) − S ( K ) ，     K = 1 ， 2 ， 3 ， 4 要求边界条件 { Z ( 1 ) = 0     年 初 库 存 为 零 Z ( 5 ) = 0     年 终 库 存 为 零 问题是：求解全年订购计划的最优决策X * (t)，使之能正好满足要求，又使总费用最小，即目标函数为： J min = ∑ k = 1 4 [ a x 2 ( k ) + b z ( k ) ] ，a，b为加权系数 解：最优控制理论的动态规划原理是一个阶段决策问题。目标函数的最小值为： J N * [ Z ( O ) ] = min X ( O ) ， ⋯ ， X ( N − 1 ) J N [ Z ( O ) ， X ( O ) ， ⋯ ， X ( N − 1 ) ] = min X ( O ) { L [ Z ( O ) ， X ( O ) ] + J N * − 1 [ Z ( 1 ) ] } (6) 因此，可由后向前推出 J N * [ Z ( O ) ] 第一步，考虑第四季度的控制，令 a = 0.005 ， b = 1 由方程(6)： J 1 * [ Z ( 4 ) ] = min X ( 4 ) { 0.005 X 2 ( 4 ) + Z ( 4 ) } 又由状态方程： Z ( 5 ) = Z ( 4 ) + X ( 4 ) + 1200 = 0 解出 X * ( 4 ) = 1200 − Z ( 4 ) 代入 ∴ J 1 * [ Z ( 4 ) ] = 0.005 [ 1200 − Z ( 4 ) ] 2 + Z ( 4 )                                   = 0.005 Z 2 ( 4 ) − 11 ⋅ Z ( 4 ) + 7200 第二步，考虑3，4两个季度 ∴ J 2 * [ Z ( 3 ) ] = min X ( 3 ) { 0.005 X 2 ( 3 ) + X ( 3 ) + J 1 * [ Z ( 4 ) ] } 又由状态方程解出 Z ( 4 ) = Z ( 43 ) − 500 代入上式 取导数 第三步，考虑2，3，4季度 同上， 第四步，考虑全过程 由此解出 结论：最优轨线和最优控制序列如表2。 Table 2 Cost comparison of different ordering method 季度(阶段) 1 2 3 4 总费用 订购量X * (1) 600 700 800 900 11，800 (元) 库存状态Z * (i) 0 0 0 300 12，700 (元) 表2. 不同订购方式的费用比较 如果各季度按需求订购，则 。但总费用为 ，比最优决策多用900元。可见最优决策的经济效益是很明显的。 关于订购–库存模型的第三种解法：极点配置法和多变量状态观测器设计法是属于现实订购率和理想订购率偏离时，如何调节系统最优化的问题 [ 7 ]。 4.3. 订购–库存系统稳定性分析 一个控制系统可分为开环和闭环系统。而实际系统中，为了达到稳定态，往往是通过输出反馈来调节输入大小的闭环系统(见图4)，一般对实际库存系统都讨论的是可控、可观测的系统，下面来进行稳定性分析。 李普诺夫对系统的稳定性给出了三种定义：① 稳定；② 渐近稳定；③ 不稳定。 设X为系统平衡态，X 0 为扰动产生时系统的所处状态。 图4. 调节输入大小的闭环系统 当t > t 0 时，系统将运动，从X 0 状态变为X状态有三种趋势，如图6所示。由此定义了系统的三种稳定性，那么，在观测一个系统时，就可以随时间的推移，看到这个系统是停留在所要求的响应附近，还是要发散出去？关于稳定性的判别，所给出的李普诺夫第一、第二法则 [ 3 ]。系统的稳定性问题是控制与调节的基本课题，一般情况下，如果该库存系统是不稳定的，那么就要采取反馈调节等外部措施来使系统恢复到稳定状态，因为在控制理论中，不稳定的系统是不可能工作的。对于图5中C的非稳定情况，系统在发散出去以后，会不会达到一个新的稳定组织？在什么条件下，才可能出现这种组织？回答这些问题已超出了现代控制理论的范围，需要引进新的理论和方法，这就是耗散结构理论。 图5. 系统的稳定性