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user: 3. 主要结果 定理3.1 假设 g k = g 1 ( k ) + g 2 ( k ) ， g 1 ( k ) = ∑ j = 0 ∞ a j ( k ) z j ， g 2 ( k ) = ∑ j = 0 ∞ b j ( k ) z j ∈ H ∞ ( D ) ； f ∈ L ∞ ( D ， d A ) 且 f k ( r e i θ ) = ∑ p < 0 f p ( k ) ( r ) e i p θ ( 1 ≤ k ≤ N ) 。若 ∑ k = 1 N T f k T g k = 0 ，则 。 证明：对 1 ≤ k ≤ N ， T f k T g k k ω ( z ) = T f k T g k ( 1 ) + g k ( 2 ) ¯ k ω ( z ) = T f k T g k ( 1 ) k ω ( z ) + T f k T g k ( 2 ) ¯ k ω ( z ) = T f g k ( 1 ) k ω ( z ) + g 2 ( k ) ( ω ) ¯   T f k k ω ( z ) . 进而， 〈 ∑ k = 1 N T f k T g k k ω ， k ω 〉 = ∑ k = 1 N 〈 T f k T g k k ω ， k ω 〉 = ∑ k = 1 N [ 〈 T f k g k ( 1 ) k ω ， k ω 〉 + g 2 ( k ) ( ω ) ¯ 〈 T f k k ω ， k ω 〉 ] = ∑ k = 1 N [ B ( f k g 1 ( k ) ) + g 2 ( k ) ¯ B f k ] ( ω ) . 由 ∑ k = 1 N T f k T g k = 0 ，得 . 由引理2.2，令 ω = R e i θ ，得 B ( f k ) ( ω ) = 2 ( 1 − R 2 ) 2 ∑ P = − ∞ + ∞ R ( p ) [ ∑ n = 1 ∞ n ( n + | p | ) f ^ p k ( 2 n + | p | ) R 2 n − 1 ] e i p θ ， 而 f k ( 1 ≤ k ≤ N ) 的极分解式中关于 e i θ 的负幂项系数为0，故系数函数对应的Mellin变换为0，进而关于 e i p θ ( p ≥ 0 ) 的系数为0，即 B ( f k ) ( ω ) = 2 ( 1 − R 2 ) 2 ∑ p < 0 R | p | [ ∑ n = 1 ∞ n ( n + | p | ) f ^ p ( k ) ( 2 n + | p | ) R 2 n − 2 ] e i p θ ， 进而 B ( f k ) 具有性质(N) ( 1 ≤ k ≤ N )。 另一方面，记 g 2 ( k ) ¯ ( R e i θ ) = ∑ n ≥ 0 b n ( k ) ¯ R n e − i n θ = ∑ n ≤ 0 b − n ( k ) ¯ R − n e i n θ ， R e i θ ∈ D ， 1 ≤ k ≤ N ， 综上， g 2 ( k ) ¯ B ( f k ) 具有性质(N)，因而 ∑ k = 1 N g 2 ( k ) ¯ B ( f k ) 具有性质(N)。由 ∑ k = 1 N B ( f k g 1 ( k ) ) = − ∑ k = 1 N g 2 ( k ) ¯ B ( f k ) ，则 ∑ k = 1 N B ( f k g 1 ( k ) ) 具有性质(N)，往证 ∑ k = 1 N f k g 1 ( k ) 具有性质(N)。 令 G m ( z ) = ∏ j = 1 m ( 1 − z 4 j ( j + 1 ) ) ，由引理2.3， G m ( Δ ˜ ) B ( ∑ k = 1 N f k g 1 ( k ) ) 在 L 1 ( D ， d A ) 范数下收敛到 ∑ k = 1 N f k g 1 ( k ) ，对 ∑ k = 1 N B ( f k g 1 ( k ) ) = − ∑ k = 1 N g 2 ( k ) ¯ B ( f k ) 两边求不变Laplacian变换 Δ ˜ 得， Δ ˜ B ( ∑ k = 1 N f k g 1 ( k ) ) = − Δ ˜ [ ∑ k = 1 N g 2 ( k ) ¯ B ( f k ) ] = − ∑ k = 1 N Δ ˜ [ g 2 ( k ) ¯ B ( f k ) ] . 计算可得， Δ ˜ [ g 2 ( k ) ¯ B ( f k ) ] = ( 1 − | z | 2 ) g 2 ( k ) ¯ ( 1 − | z | 2 ) ∂ ∂ z B ( f k ) + g 2 ( k ) ¯ Δ ˜ B ( f k ) . 由 g 2 ( k ) 解析，故 具有性质(N)； 又 ( 1 − | z | 2 ) ∂ ∂ z B ( f k ) = ( 1 − | z | 2 ) ∂ ∂ z [ ( 1 − | z | 2 ) 2 ∫ D f k ( ξ ) ( 1 − ξ ¯ z ) 3 ( 1 − ξ z ¯ ) 2 d A ( ξ ) ] = ( − 2 z ¯ ) ( 1 − | z | 2 ) 2 ∫ D f k ( ξ ) | 1 − ξ ¯ z | 4 d A ( ξ ) + ( 1 − | z | 2 ) 3 ∫ D 2 ξ ¯ f k ( ξ ) ( 1 − ξ ¯ z ) 3 ( 1 − ξ z ¯ ) 2 d A ( ξ ) 因为 B ( f k ) 具有性质(N)。故 ( − 2 z ¯ ) B ( f k ) 极分解表达式中有 e − i 2 θ ， e − i 3 θ ， ⋯ ， e − i p θ ， ⋯ ( p ≥ 2 )。 ∫ D 2 ξ ¯ f k ( ξ ) ( 1 − ξ ¯ z ) 3 ( 1 − ξ z ¯ ) 2 d A ( ξ ) = ∫ 0 1 ∫ 0 2 π ( 2 r e − i θ ) ( ∑ p < 0 f p ( k ) ( r ) e i p θ ) [ ∑ n = 0 ∞ 1 2 ( n + 1 ) ( n + 2 ) z n r n e − i n θ ] [ ∑ m = 0 ∞ ( m + 1 ) z ¯ m r m e i m θ ] r π d r d θ = ∑ p < 0 ∑ m ， n = 0 ∞ ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( m + 1 ) z n z ¯ m ∫ 0 1 r 2 + m + n f p ( k ) ( r ) d r 1 π ∫ 0 2 π e i [ − ( n + 1 ) + p + m ] d θ = ∑ p < 0 ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 2 − p ) z n z ¯ ( n + 1 ) − p f ^ p ( k ) ( 2 n + 4 − p ) 所以 Δ ˜ [ g 2 ( k ) ¯ B ( f k ) ] 具有性质(N)。 = ( − 2 z ¯ ) ( 1 − | z | 2 ) 2 B ( f k ) ( z ) + ( 1 − | z | 2 ) 3 ∫ D 2 ξ ¯ f k ( ξ ) ( 1 − ξ ¯ z ) 3 ( 1 − ξ z ¯ ) 2 d A ( ξ ) Δ ˜ B ( f k ) ( z ) = Δ ˜ 〈 f k k z ， k z 〉 = Δ ˜ ∫ D f k ( ξ ) ( 1 − z ξ ¯ ) 2 ( 1 − z ¯ ξ ) 2 d A ( ξ ) = ( 1 − | z | 2 ) 2 ∫ D f k ( ξ ) ⋅ ∂ ∂ z [ 1 ( 1 − z ξ ¯ ) 2 ] ⋅ ∂ ∂ z [ 1 ( 1 − z ¯ ξ ) 2 ] d A ( ξ ) = ( 1 − | z | 2 ) 2 ∫ D f k ( ξ ) 2 ξ ¯ ( 1 − z ξ ¯ ) 3 ⋅ 2 ξ ( 1 − z ¯ ξ ) 3 d A ( ξ ) = ( 1 − | z | 2 ) 2 ∫ 0 1 ∫ 0 2 π 4 r 2 ( ∑ p < 0 f p ( k ) ( r ) e i p θ ) [ ∑ n = 0 ∞ 1 2 ( n + 1 ) ( n + 2 ) z ¯ n r n e i n θ ]         × [ ∑ m = 0 ∞ 1 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) z ¯ m r m e − i m θ ] r π d r d θ = ( 1 − | z | 2 ) 2 ∑ p < 0 ∑ m ， n = 0 ∞ ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( m + 1 ) ( m + 2 ) z ¯ n z m ∫ 0 1 r n + m + 3 f p ( k ) ( r ) d r 1 π ∫ 0 2 π e i ( n − m ) + p d θ = ( 1 − | z | 2 ) 2 ∑ p < 0 ∑ m = 0 ∞ ( − p + m + 2 ) ( m + 1 ) ( m + 2 ) z ¯ ( − p ) + m z m f ^ p ( k ) ( 2 m − p + 4 ) 进一步， g 2 ( k ) ¯ Δ ˜ B ( f k ) 具有性质(N)。其极分解为关于 e − i 2 θ ， e − i 3 θ ， ⋯ ， e − i p θ ( p ≥ 2 ) ， ⋯ 的表达式。综合以上计算结果， Δ ˜ [ g 2 ( k ) ¯ B ( f k ) ] 具有性质(N)。且极分解表达式的首项为关于 Δ ˜ [ g 2 ( k ) ¯ B ( f k ) ] 的单项式。进而 − ∑ k = 1 N Δ ˜ ( g 2 ( k ) ¯ B ( f k ) ) 具有性质(N)且首项为关于 e − i 2 θ 的单项式。 下证 Δ ˜ g 2 ( k ) ¯ B ( f k ) ∈ L 2 ( D ， d A )   ( 1 ≤ k ≤ N ) 。 因为 g 2 ( k ) 为Bloch函数，故 ( 1 − | z | 2 ) g 2 ( k ) ¯ 有界。因为Berezin变换把 L 2 ( D ， d A ) 映成 L 2 ( D ， d A ) 。故 − 2 z ¯ B ( f k ) ∈ L 2 ( D ， d A )   ( 1 ≤ k ≤ N ) 。 另一方面， ( 1 − | z | 2 ) 3 | ∫ D ξ ¯ f ( ξ ) ( 1 − ξ ¯ z ) 3 ( 1 − ξ z ¯ ) 2 d A ( ξ ) | ≤ ( 1 − | z | 2 ) 3 ∫ D | f ( ξ ) | ( 1 − ξ ¯ z ) 3 ( 1 − ξ z ¯ ) 2 d A ( ξ ) ≤ ( 1 − | z | 2 ) 3 ∫ D | f ( ξ ) | ( 1 − | z | ) ( 1 − ξ ¯ z ) 4 d A ( ξ ) ≤ 2 B ( | f | ) ( z ) 故 ( 1 − | z | 2 ) ∂ ∂ z B ( f ) ∈ L 2 ( D ， d A ) 。 Δ ˜ B ( f k ) ( z ) = ( 1 − | z | 2 ) 2 ∂ ∂ z ∂ ∂ z B ( f k ) ( z ) = ( 1 − | z | 2 ) ∂ ∂ z ¯ [ − 2 z ¯ B ( f k ) ( z ) + 2 ( 1 − | z | 2 ) 3 ∫ D ξ ¯ f ( ξ ) ( 1 − ξ ¯ z ) 3 ( 1 − ξ z ¯ ) 2 d A ( ξ ) ] = ( 1 − | z | 2 ) [ ( − 2 ) B ( f k ) ( z ) + ( − 2 z ¯ ) ∂ ∂ z ¯ B f k ( z )     + ( − 6 z ) ( 1 − | z | 2 ) ∫ D ξ ¯ f ( ξ ) ( 1 − ξ ¯ z ) 3 ( 1 − ξ z ¯ ) 2 d A ( ξ )     + 2 ( 1 − | z | 2 ) 3 ∫ D 2 | ξ | 2 f ( ξ ) | 1 − ξ ¯ z | 6 d A ( ξ ) ] = ( − 2 ) ( 1 − | z | 2 ) B ( f k ) ( z ) + ( − 2 z ¯ ) ( 1 − | z | 2 ) ∂ ∂ z B ( f k ) ( z )       + ( − 6 z ) ( 1 − | z | 2 ) 3 ∫ D ξ ¯ f ( ξ ) ( 1 − ξ ¯ z ) 3 ( 1 − ξ z ¯ ) 2 d A ( ξ )       + 2 ( 1 − | z | 2 ) 4 ∫ D 2 | ξ | 2 f ( ξ ) | 1 − ξ ¯ z | 6 d A ( ξ ) 由前面已证结果中的前三项都在 L 2 ( D ， d A ) 中，而 | ( 1 − | z | 2 ) 4 ∫ D 2 | ξ | 2 f k ( ξ ) | 1 − ξ ¯ z | 6 d A ( ξ ) | ≤ 2 ( 1 − | z | 2 ) 4 ∫ D | f k ( ξ ) | ( 1 − | z | ) 2 | 1 − ξ ¯ z | 4 d A ( ξ ) ≤ 8 ( 1 − | z | 2 ) 2 ∫ D | f k ( ξ ) | | 1 − ξ ¯ z | 4 d A ( s ) = 8 B | f k | ( z ) . 所以 Δ ˜ [ g 2 ( k ) ¯ B ( f k ) ] ∈ L 2 ( D ， d A )   ( 1 ≤ k ≤ N ) ，故 。 进一步可知， F m ( z ) = G m ( Δ ˜ ) B [ ∑ k = 1 N f k g 1 ( h ) ] ∈ L 2 ( D ， d A ) 且具有性质(N)。进而，在 L 1 ( D ， d A ) 中， F m ( z ) 依范数收敛 ( f g 1 ) ( z ) ，而 ∑ k = 1 N f k g 1 ( k ) 的极分解式中，只有 e i k θ 负幂项，进而 f g 1 具有性质(N)。而 ∑ k = 1 N f k g 1 ( k ) ( z ) = ∑ p < 0 ∑ j ≥ 0 ∑ k = 1 N a j ( k ) f p ( k ) r j e i ( j + p ) θ ( z = r e i θ ) 只有负幂项，即当 j + p ≤ 0 时，有 ∑ k = 1 N [ ∑ p < 0 f p ( k ) ( r ) ] [ ∑ 0 ≤ j ≤ − p a j ( k ) r j ] ≡ 0 ，     ( 0 ≤ r < 1 ) 上面证明了某一类符号的Toeplitz算子有限乘积有限和为零算子的必要条件。下面我们来思考其逆否命题是否成立。 推论3.2 假设 g k = g 1 ( k ) + g 2 ( k ) ¯ ，其中 g 1 ( k ) ( z ) = ∑ a j ( k ) z j ， g 2 ( k ) ( z ) = ∑ b j ( k ) z j ∈ H ( D ) ， f k ( r e i θ ) = ∑ p < 0 f p ( k ) ( r ) e i p θ ( 1 ≤ k ≤ N ) 。若 ∑ k = 1 N [ ∑ P < 0 f p ( k ) ( r ) ] [ ∑ 0 ≤ j ≤ p a j ( k ) r j ] ≠ 0 ，则 ∑ k = 1 N T f k T g k ≠ 0 。 例3.1 若 f ( z ) = z 2 z ¯ 4 + z z ¯ 4 ， g = g 1 + g 2 ¯ ，其中 g 1 ( z ) = 1 + z ， g 2 ( z ) ∈ H ∞ ( D ) ，则 T f T g ≠ 0 。