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user: 3. 模型不确定下的均值–方差问题 我们假设最优问题是传统的均值–方差问题，即： sup 1 π ∈ Π ( t ， x ， z ) J p ( t ， x ， z ， π ) : = sup 1 π ∈ Π ( t ， x ， z ) { E t ， x ， z p [ X π ( T ) ] − γ 2 V a r t ， x ， z p [ X π ( T ) ] } . (12) 其中， E t ， x ， z [ ⋅ ] = E [ ⋅ | X π ( t ) = x ， H ( t = z ) ] ， V a r t ， x ， z [ ⋅ ] = V a r [ ⋅ | X π ( t ) = x ， H ( t = z ) ] ，风险规避系数 γ > 0 。 上述模型(12)忽略了模型不确定，这可能会导致错误定价。接下来，我们考虑最坏情况下的惩罚目标函数： J ( t ， x ， z ， π ) : = inf Q ϕ ∈ � { E t ， x ， z Q ϕ [ ∫ 0 T ( U 1 ( s ) 2 ψ 1 ( s ) + U 2 ( s ) ψ 2 ( s ) + U 3 ( s ) ψ 3 ( s ) + U 4 ( s ) ψ 4 ( s ) ) d s ] + E t ， x ， z Q ϕ [ x π ( T ) ] − γ 2 V a r t ， x ， z Q ϕ [ x π ( T ) ] } . (13) 其中， U 1 ( s ) = ϕ 1 2 ( s ) ; U 2 ( s ) = h p ( ϕ 2 ( s ) ln ϕ 2 ( s ) − ϕ 2 ( s ) + 1 ) ; U 3 ( s ) = λ 1 ( ϕ 3 ( s ) ln ϕ 3 ( s ) − ϕ 3 ( s ) + 1 ) ; U 4 ( s ) = λ 2 ( ϕ 4 ( s ) ln ϕ 4 ( s ) − ϕ 4 ( s ) + 1 ) . (14) (13)式中的 ψ 1 ( t ) ， ψ 2 ( t ) ， ψ 3 ( t ) 和 ψ 4 ( t ) 是在P下非负的风险规避参数。 U 1 ( s ) ， U 2 ( s ) ， U 3 ( s ) 和 U 4 ( s ) 是测量风险模型中具有跳风险的相对熵。则(13)式中的第一项是从参考度量到替代度量的惩罚。保险公司考虑鲁棒性后的均值–方差问题如下： sup π ∈ � ( t ， x ， z ) J ( t ， x ， z ， π ) = sup π ∈ Π ( t ， x ， z ) inf Q ϕ ∈ � { E t ， x ， z Q ϕ [ ∫ 0 T ( U 1 ( s ) 2 ψ 1 ( s ) + U 2 ( s ) ψ 2 ( s ) + U 3 ( s ) ψ 3 ( s ) + U 4 ( s ) ψ 4 ( s ) ) d s ]                                                       + E t ， x ， z Q ϕ [ x π ( t ) ] − γ 2 V a r t ， x ， z Q ϕ [ x π ( t ) ] } . (15) 由于均值–方差是时间不一致的，为了找到时间一致性下的解，我们定义下面的均衡策略和值函数： 定义3.1 对任意的 ( t ， x ， z ) ∈ [ 0 ， T ] × R × { 0 ， 1 } ， ( π ˜ 1 ( t ) ， π ˜ 2 ( t ) ， π ˜ q ( t ) ) ∈ R × R × [ 0 ， D ] 和一个可行策略 π * = { π 1 ( t ) ， π 2 ( t ) ， π q ( t ) } t ∈ [ 0 ， T ] ，定义一个可行策略： π ε ( s ) = { ( π ˜ 1 ( s ) ， π ˜ 2 ( s ) ， π ˜ q ( s ) ) ，     t ≤ s ≤ t + ε . π * ( s ) ，                                                 t + ε ≤ s ≤ T . 如果 lim 1 ε → 0 inf J ( t ， x ， z ， π * ) − J ( t ， x ， z ， π ε ) ε ≥ 0 ，那么 π * 是一个均衡策略； W ( t ， x ， z ) = J ( t ， x ， z ， π * ) 是一个均衡值函数。 接下来定义无穷小生成元： Λ π ， ϕ ω ( t ， x ， 1 ) = ω t ( t ， x ， 1 ) + [ r x + ( μ − r ) π 1 ( t ) + ( θ − η ) λ 1 μ Y + π q ( t ) ( 1 + η ) λ 1 μ Y + π 1 ( t ) σ ϕ 1 ] ω x ( t ， x ， 1 )   + 1 2 π 1 2 σ 2 ω x x + λ 1 ϕ 3 E Q ϕ [ ω ( t ， x − π q ( y ) ， 1 ) − ω ( t ， x ， 1 ) ]   + λ 2 ϕ 4 E Q ϕ [ ω ( t ， x + π 1 z ， 1 ) − ω ( t ， x ， 1 ) ] ， Λ π ， ϕ ω ( t ， x ， 0 ) = ω t ( t ， x ， 0 ) + [ r x + ( μ − r ) π 1 ( t ) + ( θ − η ) λ 1 μ Y + π q ( t ) ( 1 + η ) λ 1 μ Y + π 1 ( t ) σ ϕ 1 ] ω x ( t ， x ， 0 )   + ( π 2 ( Φ ( t ， 0 ) − L ) h p 1 + u ) ω x ( t ， x ， 0 ) + h p ϕ 2 [ ω ( t ， x + π 2 ( L − Φ ( t ， 0 ) ) ， 1 ) − ω ( t ， x ， 0 ) ]   + λ 1 ϕ 3 E Q ϕ [ ω ( t ， x − π q y ， 1 ) − ω ( t ， x ， 0 ) ] + 1 2 π 1 2 σ 2 ω x x   + λ 2 ϕ 4 E Q ϕ [ ω ( t ， x + π 1 z ， 1 ) − ω ( t ， x ， 0 ) ] . (16) 下面给出了违约后和违约前的有关HJB方程的验证定理。 定理3.1 (违约后的证明定理)当Z = 1时，对任意的 ( t ， x ) ∈ [ 0 ， T ] × R ，如果存在两个实值函数 V ( t ， x ， 1 ) 和 g ( t ， x ， 1 ) 满足下面的扩展的HJB方程： sup π ∈ Π ( t ， x ， z ) inf Q ϕ ∈ � { A π ， ϕ V ( t ， x ， 1 ) − A π ， ϕ γ 2 g 2 ( t ， x ， 1 ) + γ g ( t ， x ， 1 ) A π ， ϕ g ( t ， x ， 1 ) + ϕ 1 2 ( t ) 2 ψ 1 ( t ) + λ 1 ( ϕ 3 ( t ) ln ϕ 3 ( t ) − ϕ 3 ( t ) + 1 ) ψ 3 ( t ) + λ 2 ( ϕ 4 ( t ) ln ϕ 4 ( t ) − ϕ 4 ( t ) + 1 ) ψ 4 ( t ) } . (17) V ( T ， x ， 1 ) = x ， (18) A π * ， ϕ * g ( t ， x ， 1 ) = 0 ， (19) g ( T ， x ， 1 ) = x . (20) 和 ( π ∗ ， ϕ ∗ ) : = arg sup π ∈ Π ( t ， x ， z ) inf Q ϕ ∈ � { A π ， ϕ V ( t ， x ， 1 ) − A π ， ϕ γ 2 g 2 ( t ， x ， 1 ) + γ g ( t ， x ， 1 ) A π ， ϕ g ( t ， x ， 1 )                             + ϕ 1 2 ( t ) 2 ψ 1 ( t ) + λ 1 ( ϕ 3 ( t ) ln ϕ 3 ( t ) − ϕ 3 ( t ) + 1 ) ψ 3 ( t ) + λ 2 ( ϕ 4 ( t ) ln ϕ 4 ( t ) − ϕ 4 ( t ) + 1 ) ψ 4 ( t ) } . (21) 则 π * 是稳健投资再保险策略， W ( t ， x ， 1 ) = V ( t ， x ， 1 ) ， E t ， x ， 1 Q ϕ * [ X π * ( T ) ] = g ( t ， x ， 1 ) 。 定理3.2 (违约前的证明定理) 当Z = 0时，对任意的 ( t ， x ) ∈ [ 0 ， T ] × R ，如果存在两个实值函数 V ( t ， x ， 1 ) 和 g ( t ， x ， 1 ) 满足下面的扩展的HJB方程： sup π ∈ Π ( t ， x ， z ) inf Q ϕ ∈ � { A π ， ϕ V ( t ， x ， 0 ) − A π ， ϕ γ 2 g 2 ( t ， x ， 0 ) + γ g ( t ， x ， 0 ) A π ， ϕ g ( t ， x ， 0 ) + ϕ 1 2 ( t ) 2 ψ 1 ( t ) + h p ( ϕ 2 ( t ) ln ϕ 2 ( t ) − ϕ 2 ( t ) + 1 ) ψ 2 ( t ) + λ 1 ( ϕ 3 ( t ) ln ϕ 3 ( t ) − ϕ 3 ( t ) + 1 ) ψ 3 ( t ) + λ 2 ( ϕ 4 ( t ) ln ϕ 4 ( t ) − ϕ 4 ( t ) + 1 ) ψ 4 ( t ) ， (22) V ( T ， x ， 0 ) = x ， (23) A π * ， ϕ * g ( t ， x ， 0 ) = 0 ， (24) g ( T ， x ， 0 ) = x . (25) 和 (26) 则 π * 是稳健投资再保险策略， W ( t ， x ， 0 ) = V ( t ， x ， 0 ) ， E t ， x ， 1 Q ϕ * [ X π * ( T ) ] = g ( t ， x ， 0 ) 。