system: [SYSTEM]

user: 2. 主要引理 本文用C表示复数域。对于正整数n，用 C n 表示n维复Euclidean空间，即 C n = { z = ( z 1 ， ⋯ ， z n ) : z j ∈ C ; j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n } . 记 C n 中的两个点 z = ( z 1 ， ⋯ ， z n ) 和 w = ( w 1 ， ⋯ ， w n ) 距离为 | z − w | = ∑ j = 1 n | z j − w j | 2 . 用 B n 来表示 C n 中的开单位球，即 B n = { z ∈ C n : | z | < 1 } . 如果记 z j = x j + i y j ，其中 x j ， y j 分别为复数 z j 的实部和虚部，我们用dV来表示 B n 上的Lebesgue测度，即 d V = d x 1 d y 1 ⋯ d x n d y n . 记dv为 B n 上单位化的Lebesgue测度，即对于 C n 中的可测集E，有 ∫ E d v = ∫ E d V ∫ B n d V . 本文考虑的权函数 u ( z ) 是 B n 上的非负可测函数，并且 ∫ B n u d v < ∞ 。当 p ≥ 1 时，单位球 B n 上的加权p次可积函数空间 L p ( u ) 定义如下： { f 可 测 : ‖ f ‖ L p ( u ) : = ( ∫ B n | f ( z ) | p u ( z ) d v ( z ) ) 1 / p < ∞ } . 易知 L p ( u ) 按范数 ‖ ⋅ ‖ L p ( u ) 构成一个Banach空间。当权函数 u ≡ 1 时， L p ( 1 ) 为单位球上经典的p次可积函数空间 L p ( B n ) 。本文用 H ( B n ) 表示 B n 上全体全纯函数所构成的函数空间。定义单位球上的加权Bergman空间如下： A 2 ( u ) = L 2 ( u ) ∩ H ( B n ) . 当权函数 u ≡ 1 时， A 2 ( 1 ) 为单位球上的经典不加权Bergman空间，即为 A 2 ( B n ) 。 如果 f ， g ∈ A 2 ( B n ) ，记 〈 f ， g 〉 A 2 = ∫ B n f ( z ) g ( z ) ¯   d v ( z ) . 易知范数 ‖ f ‖ A 2 2 = 〈 f ， f 〉 A 2 ，且 A 2 ( B n ) 是以 〈 ⋅ ， ⋅ 〉 A 2 为内积构成的一个Hilbert空间。 对于非零点 a ∈ B n ，记 C n 中由a生成的子空间为 [ a ] = { λ a : λ ∈ C n } 。设 P a 是从 C n 到 [ a ] 上的正交投影，即 P a ( z ) = 〈 z ， a 〉 〈 a ， a 〉 a . 对于任意的 z ∈ B n ，约定 P 0 ( z ) = 0 。令 Q a ( z ) = z − P a ( z ) ，它是从 C n 到 [ a ] 的正交补上的正交投影。设 s a = ( 1 − | a | 2 ) 1 / 2 ，记单位球 B n 上的对合自同构为 Φ a ( z ) = a − P a ( z ) − s a Q a ( z ) 1 − 〈 z ， a 〉 . 映射 Φ a 是 B n 到自身的一个双全纯映射，满足以下4条性质： 1) Φ a ( 0 ) = a ， Φ a ( a ) = 0 ; 2) Φ a ( Φ a ( z ) ) = z ; 3) 1 − | Φ a ( z ) | 2 = ( 1 − | a | 2 ) ( 1 − | z | 2 ) | 1 − 〈 z ， a 〉 | 2 ; 4) 1 − 〈 Φ a ( z ) ， Φ a ( w ) 〉 = ( 1 − 〈 a ， a 〉 ) ( 1 − 〈 z ， w 〉 ) ( 1 − 〈 z ， a 〉 ) ( 1 − 〈 a ， w 〉 ) . 伪双曲度量函数 ρ : B n × B n → [ 0 ， 1 ) 定义为 ρ ( z ， w ) = | Φ z ( w ) | ， 记以a为心 r > 0 为半径的伪双曲球为 B ρ ( a ， r ) = { z ∈ B n : ρ ( z ， a ) < r } ， 单位球 B n 上的Bergman度量函数 β : B n × B n → [ 0 ， ∞ ) 可以用对合自同构定义如下 β ( z ， w ) = 1 2 log 1 + | Φ z ( w ) | 1 − | Φ z ( w ) | . 记以z为心 r > 0 为半径的Bergman度量球为 B β ( z ， r ) = { w ∈ B n : β ( z ， w ) < r } . 对于非零的 z ∈ B n ，定义Carleson帐篷 T z 为 { w ∈ B n : | 1 − 〈 z ， w 〉 | z | | < 1 − | z | } ， 其中 〈 z ， w 〉 = ∑ j = 1 n z j w j ¯ 。我们规定在0处的Carleson帐篷为 T 0 = B n 。 定义2.1.对于非负函数 u ∈ L 1 ( B n ) ，如果存在 C > 0 ，使得 [ u ] B 2 : = s u p z ∈ B n ∫ T z u d v ∫ T z d v ⋅ ∫ T z u − 1 d v ∫ T z d v < C ， 则称u满足Bekolle-Bonami条件 B 2 ，此时可以简记为 u ∈ B 2 。 定义2.2. 对于非负函数 u ∈ L 1 ( B n ) ，如果存在 C > 0 ，使得 [ u ] C 2 : = sup a ∈ B n ， r > 0 ∫ B β ( a ， r ) u d v ∫ B β ( a ， r ) d v ⋅ ∫ B β ( a ， r ) u − 1 d v ∫ B β ( a ， r ) d v < C ， 则称u满足 C 2 条件，此时可以简记为 u ∈ C 2 。 Luecking在 [ 1 ] 中第322页证明了 B 2 权一定为 C 2 权。 以下结论Luecking在文献 [ 1 ] 中的定理2。1给出证明，这是我们证明本篇文章的主要工具。 定理2.3. 设 u ∈ L 1 ( B n ) 为 B 2 权函数，则加权Bergman空间 A 2 ( u ) 的对偶空间等距同构于加权Bergman空间 A 2 ( u − 1 ) 。相应的配对关系由 〈 f ， g 〉 A 2 = ∫ B n f ( z ) g ( z ) ¯   d v (z) 给出，其中 f ∈ A 2 ( u ) ， g ∈ A 2 ( u − 1 ) 。 设 E ⊂ B n 为可测集，u是权函数，本文为了简洁，记 u ( E ) = ∫ E u d v ，另外记 v o l ( E ) = ∫ E d v 。本文中用C表示绝对常数，每次表示的具体值可以不一样。下面的结论在本文中会反复用到，证明请参考文献 [ 2 ] 中的推论2.21。 引理2.4. 设 s ， t ， r > 0 为三个常数，则存在常数 C > 0 ，当 β ( z ， w ) < r 时，有 C − 1 ≤ v o l ( B β ( z ， t ) ) v o l ( B β ( w ， s ) ) ≤ C . 引理2.5. 设u满足 C 2 条件， r > 0 ， t ， s ∈ ( 0 ， 1 ) 。如果 z ， w ∈ B n ，满足 β ( z ， w ) < r ，则存在两个与z，w无关的常数 c ， C > 0 ，使得 c u ( B β ( z ， t ) ) ≤ u ( B β ( w ， s ) ) ≤ C u ( B β ( z ， t ) ) . 证明。如果 B β ( z ， t ) ⊂ B β ( w ， s ) 时，有 。因为 ，所以 ， (2.1) 根据包含关系 ，有 。再根据Holder不等式 得 . (2.2) 结合不等式(2.1)，得 . 根据引理2.4，可得 . 当 时，同样可得所需结论。下面假设二者互相包含关系均不成立。根据条件 ， ，再根据Bergman度量函数的三角不等式易知 。由上面的证明，可得 . 同理可得 . 所以 . 以下结论由Luecking给出证明，参考文献 [ 1 ] 中引理3.1。 引理2.6. 如果 ， ，则存在与 无关的常数 ，对于 ，使得 . 对于固定的 ，定义 上的泛函 为 ，其中 ，称这个泛函 为点赋值泛函。根据上述引理可知加权Bergman空间 上的点赋值泛函的有界性。 推论2.7. 对于任意的 ， ，点赋值泛函 是 上的有界线性泛函。 证明：根据引理2.6，有 . 记H是一个Hilbert空间，用 表示它的内积。如果集合 ， 记 为A的垂直空间，即 . 我们需要著名的Riesz表示定理(详见文献 [ 10 ] )，如下： Riesz表示定理。设H是Hilbert空间， 是其对偶空间，则对于任意 ，存在唯一一个 ，使得 ， ， 并且 由推论2.7，对于任意 ，点赋值泛函 为内积空间 上的有界线性泛函，再根据Riesz表示定理，存在一个函数 ，使得对于任意的 有 . (2.3) 我们称函数 是 中的再生核。 推论2.8. 设u满足 条件，集合 在 中稠密。 证明：我们只需证 。对于任意的 ，由垂直空间定义我们得到对于任意 ， ，由再生核的定义(2.3)知 ，所以 。 引理2.9. (文献 [ 2 ] 定理2.23)。存在一个正整数N，使得对任意 ，都存在 中的一个序列 ，满足以下三条性质： 1) ; 2) 对于任意 ， ； 3) 对于每个点 在集族 中至多存在N个 包含z。 满足上述引理条件的序列 被称为 的一个r-格。 引理2.10. (文献 [ 1 ] 定理3.12)。设u是满足 条件的权函数， 是 中的一个序列，满足 ，那么存在一个常数 ，使得对于任意的 ， 成立。 引理2.11. (文献 [ 1 ] 定理3.14)。设u是一个 权函数，常数 ， ，则存在 ，对于 中满足以下性质的序列 ： ， 存在一个常数C，使得对于所有 ， 成立。