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user: 2. MUPVRPSDP问题描述及数学模型 该VRPSDP问题可以定义为一个完全图 G = ( N ， A ) ，其中 N = { 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， ⋯ ， n + m } 表示节点集，它由车场集 O = { 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n } (表示有n个车场)和仓库集 W = { n + 1 ， ⋯ ， n + m } (表示有m个仓库)两个子集共同构成，同时W又可分为供应仓库集S与需求仓库集D，即 N = O ∪ W ， W = S ∪ D ；若网络中的原料种类为 R = { 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， r } (共r种原料)，则 S = { S 0 ， S 1 ， S 2 ， ⋯ ， S r } 、 D = { D 0 ， D 1 ， D 2 ， ⋯ ， D r } ，其中 S r 表示原料r的供应仓库集合， D r 表示原料r的需求仓库集合； A = { ( i ， j ) : i ， j ∈ N ， i ≠ j } 表示弧集。该网络中的每个仓库不但可以供应一种或多种原料，也可以需求一种或多种原料。因此，集合N中的每个节点i都包含多个非负权值属性，这些属性包括对原料r的需求数量 d i r 和可供应数量 s i r 。对于O中的节点i而言，需求数量 d i r 和可供应数量 s i r 均为零，即 d i r = 0 ， s i r = 0 。集合A中的每条弧 ( i ， j ) 都包含非负属性值 c i j ， c i j 表示节点i与节点j之间的运输距离。 K = { 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， L } (共有L辆车)表示所有的配送车辆集合，集合K中的每辆车k都包含两个非负权值属性，即车辆k的最大载重量 Q k 和最长行驶时间 T k 。 假设所有车辆的可工作时间 T k 相同、行驶速度 V k 相同、车容量 Q k 相同，即 T k = T ， V k = V ， Q k = Q ；每个仓库的装卸时间为0。令 K i 表示分配给车场i的车辆集合； L i j r k 表示车辆k在弧 ( i ， j ) 上运输原料r的数量； y i j 为0~1变量，当 y i j = 1 时，表示节点i，j属于同一卷烟厂，由于每个卷烟厂都有唯一的车场，因此，也可认为节点i，j同属一个车场，否则， y i j = 0 ；同样地， z o k 也是0~1变量，当 z o k = 1 时，表示车辆k属于车场o，否则 z o k = 0 。最后，引入决策变量 q i r k 及 x i j k 。当 i ∈ S r 时， q i r k 表示车辆k在仓库i装载原料r的数量；当 i ∈ D r 时， q i r k 表示车辆k在仓库i卸载原料r的数量。 x i j k 为如下0~1变量：值为1时，表示车辆k经过弧 ( i ， j ) ；否则值为0。基于上述约束条件，该VRPSDP问题的数学模型可描述为： 目标函数： min P ∑ k ∈ K ∑ r ∈ R ∑ i ∈ N ∑ j ∈ N ， j ≠ i c i j L i j r k (1) 约束条件： ∑ j ∈ S x i j k y i j z i k ≤ 1             ∀ i ∈ O ， k ∈ K (2) ∑ j ∈ D x j i k z i k ≤ 1                 ∀ i ∈ O ， k ∈ K (3) L o j r k = L j o r k = 0             ∀ o ∈ O ， j ∈ W ， k ∈ K ， r ∈ R (4) x o i o j k = 0             ∀ o i ， o j ∈ O ( i ≠ j ) ， k ∈ K (5) ∑ i ∈ O   z i k = 1                   ∀ k ∈ K (6) ∑ i ∈ O   y i j = 1                     ∀ j ∈ W (7) ∑ k ∈ K ∑ j ∈ W x i j k ≤ | K i |                     ∀ i ∈ O (8) ∑ i ∈ N   x i i k = 0                 ∀ k ∈ K (9) ∑ i ∈ W x i j k ≤ 1                   ∀ k ∈ K ， ∀ j ∈ W ( i ≠ j ) (10) ∑ k ∈ K q i r k ≤ s i r               ∀ i ∈ S ， r ∈ R (11) ∑ k ∈ K q i r k = d i r                 ∀ i ∈ D ， r ∈ R (12) ∑ r ∈ R L i j r k ≤ Q x i j k                 ∀ i ， j ∈ N ( i ≠ j ) ， k ∈ K (13) L i j r k − x i j k q j r k = x i j k L j p r k ∑ p ∈ N ， p ≠ j x j p k                 ∀ i ∈ N ， j ∈ D r ( i ≠ j ) ， k ∈ K ， r ∈ R (14) L i j r k + x i j k q j r k = x i j k L j p r k ∑ p ∈ N ， p ≠ j x j p k                 ∀ i ∈ N ， j ∈ S r ( i ≠ j ) ， k ∈ K ， r ∈ R (15) ∑ k ∈ K ∑ i ∈ S q i r k = ∑ k ∈ K ∑ j ∈ D q j r k                 ∀ r ∈ R (16) ∑ i ∈ N ∑ j ∈ N ， j ≠ i x i j k c i j / V ≤ T                 ∀ k ∈ K (17) L i j r k ≥ 0               ∀ i ， j ∈ N ( i ≠ j ) ， k ∈ K ， r ∈ R (18) q i r k ≥ 0                 ∀ i ∈ N ， k ∈ K ， r ∈ R (19) 在上述模型中，式(1)为目标函数，表示结算运费最小，其中P为结算单价(吨公里)；式(2)~(4)表示所有配送车辆必须空车从所属车场出发，并首先访问属于同一卷烟厂的仓库，访问若干仓库后最终空车回到所属车场；式(5)表示配送车辆不能直接从车场行驶到车场；式(6)表示每一部配送车辆都只属于某一个车场；式(7)表示每个仓库只属于某一个烟厂；式(8)表示每个车场参与配送的车辆数目不能超过其所拥有的车辆总数；式(9)表示任意仓库不能被同一辆车连续访问两次；式(10)表示每个仓库的需求可以不用一次满足，即同一需求仓库可以被不同的车辆访问，但最多只能被同一辆车访问一次；式(11)表示所有配送车辆在某供应仓库装载的某原料数量不得超过该供应仓库对该原料的可供应量；式(12)表示所有需求仓库的需求量都必须得到满足；式(13)表示任一路径中连接两个仓库的任一路段上车辆的装载量都不得超过该配送车辆的最大装载量，同时也表明当 x i j k = 0 时必有 L i j r k = 0 ；式(14)、(15)分别表示配送车辆访问需求仓库和供应仓库后，装载量保持平衡；式(16)表示任一原料在其需求仓库的所有卸载量等于其供应仓库的所有装载量；式(17)表示任意车辆的行驶时间不得超过其可工作时间；式(18)、(19)为非负约束。