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user: 4. 定理1.1的证明 由命题3.1，我们只需要构造一个可容许的扇形下解，具体构造如下。与 [ 7 ] 类似，我们引入以下符号 v 1 = ( α ， β ) v − = ( v − 1 ， v − 2 ) v + = ( v + 1 ， v + 2 ) u 1 = ( γ 1 γ 2 γ 2 − γ 1 ) 那么可容许扇下解的定义就可以转化为以下代数恒等式和不等式集。 命题4.1 [ 7 ] 设 P − ， P 1 ， P + 为定义2.3中规定的扇形分区。常数 v 1 ， v − ， v + ， u 1 ， ρ − ， ρ + ， ρ 1 定义了一个可容许的扇形下解，当且仅当下列恒等式和不等式成立： 1) 左界面Rankine-Hugoniot条件： v − ( ρ − − ρ 1 ) = ρ − v − 2 − ρ 1 β (27) v − ( ρ − v − 1 − ρ 1 α ) = ρ − v − 1 v − 2 − ρ 1 γ 2 (28) v − ( ρ − v − 2 − ρ 1 β ) = ρ − v − 2 2 + ρ 1 γ 1 + p ( ρ − ) − p ( ρ 1 ) − ρ 1 C 2 (29) 2) 右界面Rankine-Hugoniot条件： v + ( ρ 1 − ρ + ) = ρ 1 β − ρ + v + 2 (30) v + ( ρ 1 α − ρ + v + 1 ) = ρ 1 γ 2 − ρ + v + 1 v + 2 (31) v + ( ρ 1 β − ρ + v + 2 ) = − ρ 1 γ 1 − ρ + v + 2 2 + + p ( ρ 1 ) − p ( ρ + ) + ρ 1 C 2 (32) 3) 下解条件： α 2 + β 2 < C (33) ( C 2 − α 2 + γ 1 ) ( C 2 − β 2 − γ 1 ) − ( γ 2 − α β ) 2 > 0 (34) 4) 左界面可容许性条件： v − ( ρ − ε ( ρ − ) − ρ 1 ε ( ρ 1 ) ) + v − ( ρ − | v − | 2 2 − ρ 1 C 2 ) ≤ [ ( ρ − ε ( ρ − ) + p ( ρ − ) ) v − 2 − ( ρ 1 ε ( ρ 1 ) + p ( ρ 1 ) ) β ] + ( ρ − v − 2 | v − | 2 2 − ρ 1 β C 2 ) (35) 5) 右界面可容许性条件： v + ( ρ 1 ε ( ρ 1 ) − ρ + ε ( ρ + ) ) + v + ( ρ 1 C 2 − ρ + | v + | 2 2 ) ≤ [ ( ρ 1 ε ( ρ 1 ) + p ( ρ 1 ) ) β − ( ρ 1 ε ( ρ + ) + p ( ρ + ) ) v + 2 ] + ( ρ 1 β C 2 − ρ + v + 2 | v + | 2 2 ) (36) 如文献 [ 7 ] 所述，这些方程与不等式可以进一步简化。 引理4.1令 v − 1 = v + 1 ，那么就有 α = v − 1 = v + 1 和 γ 2 = α β 。 引理4.2 [ 7 ] 下解存在的必要条件是 C 2 − γ 1 > β 2 。 令 ε 1 = C 2 − γ 1 − β 2 ， ε 2 = C − α 2 − β 2 − ε 1 ，那么通过以上引理可以得到 ε 1 > 0 。 引理4.3 [ 7 ] 在 v − 1 = v + 1 = α 的情况下，利用上述符号 ε 1 ， ε 2 ，代数恒等式和不等式集(27)~(36)等价于 1) 左界面Rankine-Hugoniot条件： v − ( ρ − − ρ 1 ) = ρ − v − 2 − ρ 1 β (37) v − ( ρ − v − 2 − ρ 1 β ) = ρ − v − 2 2 − ρ 1 ( β 2 + ε 1 ) + p ( ρ − ) − p ( ρ 1 ) (38) 2) 右界面Rankine-Hugoniot条件： v + ( ρ 1 − ρ + ) = ρ 1 β − ρ + v + 2 (39) v + ( ρ 1 β − ρ + v + 2 ) = ρ 1 ( β 2 + ε 1 ) − ρ + v + 2 2 + p ( ρ 1 ) − p ( ρ + ) (40) 3) 下解条件： ε 1 > 0 (41) ε 2 > 0 (42) 4) 左界面可容许性条件： ( β − v − 2 ) ( p ( ρ − ) + p ( ρ 1 ) − 2 ρ − ρ 1 ε ( ρ − ) − ε ( ρ 1 ) ρ − − ρ 1 ) ≤ ε 1 ρ 1 ( v − 2 + β ) − ( ε 1 + ε 2 ) ρ − ρ 1 ( β − v − 2 ) ρ − − ρ 1 (43) 5) 右界面可容许性条件： ( v + 2 − β ) ( p ( ρ 1 ) + p ( ρ + ) − 2 ρ 1 ρ + ε ( ρ 1 ) − ε ( ρ + ) ρ 1 − ρ + ) ≤ − ε 1 ρ 1 ( v + 2 + β ) + ( ε 1 + ε 2 ) ρ 1 ρ + ( v + 2 − β ) ρ 1 − ρ + ; (44) 证明详见文献 [ 7 ]。接下来，我们采用类似于的符号，将上述方程简化，并以 ρ 1 为参数求解： R : = ρ − − ρ + (45) A : = ρ − v − 2 − ρ + v + 2 (46) H : = ρ − v − 2 2 − ρ + v + 2 2 + p ( ρ − ) − p ( ρ + ) (47) 将式子(37)与(39)相加得到 v − = A − v + ( ρ 1 − ρ + ) ρ − − ρ 1 (48) 将式子(38)与(40)相加得到 v − 2 ( ρ − − ρ 1 ) + v + 2 ( ρ 1 − ρ + ) = H (49) 我们考虑两种情况： R = 0 和 R ≠ 0 。 1) R ≠ 0 。通过(48)和(49)可以得到 v + 的两个解： v + = A R ± 1 R ( A 2 − R H ) ρ 1 − ρ − ρ 1 − ρ + (50) 我们选择合适的符号，即 v − < v + ，令 B : = A 2 − R H 以及 u : = v + 2 − v − 2 ，可以得到： B = ρ − ρ + u 2 − ( ρ − − ρ + ) ( p ( ρ − ) − p ( ρ + ) ) (51) 由定理1.1所给条件可以得到 B > 0 。令 ρ 1 > max ( ρ − ， ρ + ) ，可以得到 v − = A R − B R ρ 1 − ρ + ρ 1 − ρ − v + = A R − B R ρ 1 − ρ − ρ 1 − ρ + 当 R > 0 时，通过(37)和(38)可以表示 ε 1 ： ε 1 = ( ρ + u R + B R ρ 1 − ρ + ρ 1 − ρ − ) 2 ρ − ( ρ 1 − ρ − ) ρ 1 2 − p ( ρ 1 ) − p ( ρ − ) ρ 1 (52) 同时，当 R < 0 时，通过(39)和(40)可以表示 ε 1 ： ε 1 = ( ρ − u R + B R ρ 1 − ρ − ρ 1 − ρ + ) 2 ρ + ( ρ 1 − ρ + ) ρ 1 2 − p ( ρ 1 ) − p ( ρ + ) ρ 1 (53) 由于上述对称性，接下来我们主要考虑 R > 0 的情况。 2) R = 0 ，即 ρ − = ρ + ，类似可得 v − = v − 2 + v + 2 2 − ρ − | u | 2 ( ρ 1 − ρ − ) (54) v + = v − 2 + v + 2 2 + ρ − | u | 2 ( ρ 1 − ρ − ) (55) β = v − 2 + v + 2 2 (56) ε 1 = ρ − u 2 4 ( ρ 1 − ρ − ) − p ( ρ 1 ) − p ( ρ − ) ρ 1 (57) 与文献 [ 7 ] 中引理4.5类似，我们需要如下重要引理。 引理4.4存在唯一的 ρ max = ρ max ( ρ − ， ρ + ， u ) 使得 ε 1 > 0 ρ 1 ∈ ( max { ρ − ， ρ + } ， ρ max ) (58) ε 1 < 0 ρ 1 ∈ ( ρ max ， ρ * ) (59) 而且 ρ max = ρ m ，其中 ( ρ m ， ρ m v m ) 是引理3.2给出的连接左状态 ( ρ − ， ρ − v − 2 ) 和右状态 ( ρ + ， ρ + v + 2 ) 的自相似解的中间状态。 注4.1该引理的证明与压强项的形式有关，因此与 [ 7 ] 的证明略有不同。 证明： 当 R = 0 时，此时 ε 1 用(57)表示，可以看出 ε 1 是严格递减的。且当 ρ 1 → ρ − 时， ε 1 趋向于 + ∞ ；当 ρ 1 → ρ * 时， ε 1 趋向于 − ∞ ，从而结论得证。 当 R > 0 时，此时 ε 1 用(52)表示。因为涉及压强的最后一项明显单调递增，且 ρ 1 = ρ − 时， ε 1 > 0 ，因此只需证明前一项在 ( ρ − ， ρ * ) 内严格递减。 先假设 u 2 ≥ p ( ρ − ) − p ( ρ + ) ρ + 即 B ≥ ρ + | u | 。定义一个辅助函数 ε ˜ 1 ( ρ 1 ) : = ( B 1 − ρ + ρ 1 − ρ + | u | 1 − ρ − ρ 1 ) 2 由假设 B ≥ ρ + | u | 可知，对于所有 ρ 1 > ρ − ， f ( ρ 1 ) = B 1 − ρ + ρ 1 − ρ + | u | 1 − ρ − ρ 1 明显为正。注意到 ρ − ρ + | u | 2 − ( ρ − − ρ + ) ( p ( ρ − ) − p ( ρ + ) ) = B < ρ − 2 | u | 2 可以得在 ( ρ − ， ρ * ) 上， f ′ ( ρ 1 ) < 0 。因此，在 ( ρ − ， ρ * ) 上， ε ˜ 1 ( ρ 1 ) 和 ε 1 ( ρ 1 ) 单调递减。注意到 ρ 1 → ρ * 时， ε 1 趋向于 − ∞ ，即有 ρ 1 → ρ * 时， ε 1 ( ρ 1 ) < 0 。 另一方面，假设 u 2 < p ( ρ − ) − p ( ρ + ) ρ + 即 B < ρ + | u | ，那么存在 ρ ˜ 使得 B 1 − ρ + ρ ˜ = ρ + | u | 1 − ρ − ρ ˜ 在区间 ( ρ − ， ρ ˜ ) 内的证明与上一段的证明相似。同时，由于 ε 1 ( ρ ˜ ) = − p ( ρ ˜ ) − p ( ρ − ) ρ ˜ < 0 ，故只需证明 ε 1 ( ρ ) 在 ( ρ ˜ ， ρ * ) 内始终为负，也就是 ( ρ + | u | − B ρ 1 − ρ + ρ 1 − ρ − ) 2 < p ( ρ 1 ) − p ( ρ − ) ρ 1 − ρ − ρ 1 R 2 ρ − 对于某个 ξ ∈ ( ρ + ， ρ − ) ，有 p ( ρ − ) − p ( ρ + ) = p ′ ( ξ ) ( ρ − − ρ + ) ，于是容易证明 ( ρ + | u | − B ) 2 ≤ sup | u | ( ρ + | u | − B ) 2 = ρ + ρ − ( p ( ρ − ) − p ( ρ + ) ) ( ρ − − ρ + ) = ρ + ρ − p ′ ( ξ ) R 2 < p ′ ( ρ − ) R 2 所以 ( ρ + | u | − B ρ 1 − ρ + ρ 1 − ρ − ) 2 < ( ρ + | u | − B ) 2 < p ′ ( ρ − ) R 2 < p ( ρ 1 ) − p ( ρ − ) ρ 1 − ρ − ρ 1 R 2 ρ − 证毕。 由于(52)和(53)中 ρ + ， ρ − 的对称性， R < 0 的情况可以用同样的方法证得。 引理4.5 [ 7 ] 对于任意的 u < − ( ρ − − ρ + ) ( p ( ρ − ) p ( ρ + ) ) ρ − ρ + 和任意的 ρ 1 ∈ ( max ( ρ − ， ρ + ) ， ρ max ) 则有 v − 2 − v − > 0 (60) v + − v + 2 > 0 (61) 该证明详见 [ 7 ]。由(37)和(39)可以得到 β − v − = ρ − ρ 1 ( v − 2 − v − ) (62) v − 2 − β = ρ 1 = ρ − ρ 1 ( v − 2 − v − ) (63) v + − β = ρ + ρ 1 ( v + − v + 2 ) (64) β − v + 2 = ρ 1 − ρ + ρ 1 ( v + − v + 2 ) (65) 因此，在区间 ( max { ρ − ， ρ + } ， ρ max ) 内，(62)~(65)等式左边都为正。我们令 P ( r ， s ) : = p ( r ) + p ( s ) − 2 r s ε ( r ) − ε ( s ) r − s 由引理3.1，可知 P ( r ， s ) > 0 (当 r ≠ s )，于是我们可以将(43)改写为 ( v − − v − 2 ) ρ 1 − ρ − ρ 1 P ( ρ − ， ρ 1 ) ≤ ε 1 ρ 1 ( v − 2 + β ) + ( ε 1 + ε 2 ) ρ − ( v − − v − 2 ) 通过简单计算我们可以得到 ( ε 1 + ε 2 ) ρ − ( v − 2 − v − ) ≤ ε 1 ρ 1 ( v − 2 + β ) + ( v − 2 − v − ) ρ 1 − ρ − ρ 1 P ( ρ − ， ρ 1 ) 因此 ε 2 < P ( ρ − ， ρ 1 ) ( ρ 1 − ρ − ) ρ 1 ρ − + ε 1 ρ 1 ( v − 2 + v − ) ρ − ( v − 2 − v − ) (66) 同样地，可以由(44)得到 ε 2 < P ( ρ + ， ρ 1 ) ( ρ 1 − ρ + ) ρ 1 ρ + − ε 1 ρ 1 ( v + 2 + v + ) ρ − ( v + 2 − v + ) (67) 从而定理1.1结论在 ρ 1 = ρ max 时成立，在 ρ max 的邻域上利用连续性则可证明定理1.1。