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user: 3. 多物品联合订购的库存控制模型 3.1. 问题描述 企业在实际采购中，往往是对多种物品同时进行采购。假设每一次的订单需要采购多种物品，各物品都会产生相应的订购费用，此外，企业还会向供应商支付一个固定的订货费用，这个固定的订货费用只与订货的次数有关，与每一次订货的量及品类无关。因此，企业在进行物品采购的时候，可以通过多物品的联合订购来减少订货的固定成本，同时还会有利于运输调度的规划。 通常来讲，多物品联合订货方式分为以下两种： 1) 所有物品同时订货 在每一次的订货中，对所有产品同时进行订货，然后在全月总成本最小的基础上，确定最佳的订货频次，进而得出每种产品的订货批量。 2) 部分物品同时订货 这种方法从产品需求的高低出发，利用高需求的产品和低需求的产品在订货频次上的差异，有选择地进行分组联合订货。 3.2. 多物品分组联合订货模型 1) 参数定义 e i ：第i种产品的额外订购费用； g i ：第i种产品的单位购买成本； h：库存持有成本与购买成本之比； A：订货成本，与订货次数有关； D i ：第i种产品的月平均需求； Q i ：第i种产品的订货量； 2) 模型的假设条件 a) 当产品的补货量不是整数时，向上取整； b) 每种产品的需求确定且为固定不变地常数； c) 以月为周期计算； d) 不考虑缺货。 如果对所有产品同时订购，那么所有产品订货周期均为T。订购时第i种产品的订货批量为 Q i = D i T (1) 第i种产品的平均库存为 I ¯ i = Q i 2 = D i T 2 (2) 订购n种产品的平均总费用为 A T C 1 ( T ) = A + ∑ i = 1 n e i T + ∑ i = 1 n D i × T × h × g i 2 (3) 求解的目标是确定单位时间平均总费用最小时的最优订购周期 T * 。 由于 ∂ 2 A T C ( T ) ∂ T 2 ＞ 0 ，因此，令 ∂ A T C ( T ) ∂ T = 0 可得最优订购周期 T * = 2 ( A + ∑ i = 1 n e i ) h ∑ i = 1 n D i g i (4) 将(4)式代入(3)式得 A T C 1 * = 2 ( A + ∑ i = 1 n e i ) h ∑ i = 1 n D i g i (5) 而在实际订购中，考虑到不同产品实际生产中的需求不一，订货频率也存在一定的差异，因此考虑选择订货频率相接近的产品进行联合订货。具体步骤如下： 第一步，首先找到订货最为频繁的产品，将其订货周期定为基本订货周期T； 第二步，其他产品的订货周期均视为T的m i 倍，m i 取整。故第i种产品的订货量应为 Q i = D i × m i × T i = 1 ， 2 ， ... ， n (6) 第i种产品的平均库存 I ¯ i = Q i 2 = D i × m i × T 2 (7) 对n种产品联合订货时，全月总成本 = 全月订货成本 + 全月库存持有成本 E A T C ( T ， m 1 ， ⋯ ， m n ) = ( A + ∑ i = 1 n e i m i ) × D i Q i + ∑ i = 1 n D i × m i × T × h × g i 2 = ( A + ∑ i = 1 n e i m i ) T + ∑ i = 1 n D i × m i × T × h × g i 2 (8) 对式(8)求偏导，过程如下 一阶偏导： ∂ E A T C ( T ， m 1 ， ⋯ ， m n ) ∂ T = − A + ∑ i = 1 n e i m i T 2 + ∑ i = 1 n D i × m i × T × h × g i 2 (9) 二阶偏导： ∂ 2 E A T C ( T ， m 1 ， ⋯ ， m n ) ∂ T 2 = 2 × ( A + ∑ i = 1 n e i m i ) T 2 > 0 (10) 从式(10)中可以看出，二阶偏导大于零，也就说明全月总成本 E A T C ( T ， m 1 ， ⋯ ， m n ) 是一个上凹函数，在式(9)取零时，总成本的期望最小。由此，令 T ( m 1 ， ⋯ ， m n ) 的一阶导数为零，有： − A + ∑ i = 1 n e i m i T 2 + ∑ i = 1 n D i × m i × h × g i i 2 = 0 T ( m 1 ， ⋯ ， m n ) = 2 × ( A + ∑ i = 1 n e i m i ) h × ∑ i = 1 n D i × m i × g i 也就是说，最优订货周期 T * ( m 1 ， ⋯ ， m n ) 为： T * ( m 1 ， ⋯ ， m n ) = 2 × ( A + ∑ i = 1 n e i m i ) h × ∑ i = 1 n D i × m i × g i 将 T * ( m 1 ， ⋯ ， m n ) 的值代入式(8)，化简得 E A T C * ( T ， m 1 ， ⋯ ， m n ) = 2 h ( A + ∑ i = 1 n e i ) ∑ i = 1 n D i × m i × g i (11) 现在只要确定m i ，就能求出全月总成本的最小值。为方便计算，视m i 为任意实数。 通过观察式 (11)， E A T C * ( T ， m 1 ， ⋯ ， m n ) 的最小值可以等价于求解以下式子的最小值： f ( m 1 ， ⋯ ， m n ) = ( A + ∑ i = 1 n e i m i ) × ∑ i = 1 n ( D i × m i × g i ) (12) 对 f ( m 1 ， ⋯ ， m n ) 式中的m i 求导，令偏导等于0得 − e i m i 2 × ∑ i = 1 n ( D i × m i × g i ) + ( A + ∑ i = 1 n e i m i ) × D i × g i = 0 整理得 m i 2 = e i × ∑ i = 1 n D i × m i × g i ( A + ∑ i = 1 n e i m i ) × D i × g i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n (13) 根据式(13)，令 k ≠ i ，有 m k 2 = e k D k × g k × ∑ i = 1 n D i × m i × g i ( A + ∑ i = 1 n e i m i ) ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n (14) 式(13)和式(14)相比得 m i m k = e i D i × g i / e k D k × g k ， i ≠ k 由此可以看出，对于m i 和m k ，如果存在 e k D k × g k < e i D i × g i 则有 m k < m i 由上述推导可以证明，当第i种产品对应的 e i D i × g i 取得最小值时，该种产品的订货周期的倍数m i 也应该是最小的。 基于上述结论，可以对所有产品重新排序，使 e i D i × g i 取得最小值的第i种产品记为1，即 m 1 = 1 .并由式(14)得 m k = e k D k × g k × ∑ i = 1 n D i × m i × g i ( A + ∑ i = 1 n e i m i ) ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n (15) 从式(15)可以看出，等式右侧第二项根式中不存在与m k 有关的量，如果m k 的解存在，可以将此项根式视为一个常量，令 θ = ∑ i = 1 n D i × m i × g i ( A + ∑ i = 1 n e i m i ) (16) 带入式(15)可得 m k = θ e k D k × g k ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n (17) 结合 m 1 = 1 ，可以得到 ∑ i = 1 n D i × m i × g i = D 1 × g 1 + ∑ i = 2 n θ e i D i × g i × D i × g i = D 1 × g 1 + ∑ i = 2 n θ e i × D i × g i (18) 类似地 ∑ i = 1 n e i m i = e 1 + 1 θ × ∑ i = 2 n e i × D i × g i (19) 现在将式(18)和式(19)代入式(16)，得 θ 2 = D 1 × g 1 + θ × ∑ i = 2 n e i × D i × g i A + e 1 + 1 θ × ∑ i = 2 n e i × D i × g i θ = D 1 × g 1 A + e 1 (20) 可以总结出，对于任意的m i ，均有 m i = D 1 × g 1 A + e 1 × e i D i × g i ， i = 1 ， 2 ， ... ， n (21) 注：m i 向上取整。 求解出m i 后，就可以计算最佳订货周期和最佳订货批量，进而计算出最优成本。