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user: 3. 主要结果 我们的讨论的主要依赖于对正多面体的旋转轴的分类。下面我们依次对正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体确定其旋转轴的类型，然后确定在相应子图上的诱导作用，最后利用Pólya定理得到这些正多面体的着色公式。 1) 正四面体：由表1知正四面体的顶点数、边数及面数分别为4，6，4。图形结构如图1所示。我们给图形顶点标上数字标号，4个顶点如图依次记为1，2，3，4；6条边依次记为： e 1 ( 1   2 ) ， e 2 ( 1   3 ) ， e 3 ( 1   4 ) ， e 4 ( 2   3 ) ， e 5 ( 2   4 ) ， e 6 ( 3   4 ) 。4个面依次记为： u 1 ( 123 ) ， u 2 ( 124 ) ， u 3 ( 134 ) ， u 4 ( 2   3   4 ) 。 图1. 正四面体结构图 正四面体的旋转轴可分为两类： I类为过一顶点与底面中心的连线为轴，旋转120˚和240˚，取旋转群中元素为通过顶点1和其对面 u 4 ( 2   3   4 ) 中心的连线旋转120˚，其点置换 ( 1 ) ( 2   3   4 ) 是1 1 3 1 型置换，对应的边置换为 ( e 1 e 2 e 3 ) ( e 4 e 6 e 5 ) 是3 2 型置换，对应的面置换为 ( u 4 ) ( u 1 u 2 u 3 ) 是1 1 3 1 型置换，有四条类似轴，两种转角，共8个元素； Ⅱ类为过两条对边中点连线的轴，旋转180˚，以 e 1 ( 1   2 ) 与其对边 e 6 ( 3   4 ) 的中点连线为轴旋转180˚为例，其点置换 ( 1   2 ) ( 3   4 ) 是2 2 型置换，求得对应的边置换为 ( e 1 ) ( e 6 ) ( e 2 e 5 ) ( e 3 e 4 ) 是1 2 2 2 型置换，对应的面置换为 ( u 1 u 2 ) ( u 3 u 4 ) 是2 2 型置换，有三组对边，一种转角，共3个元素。 加上单位元，点置换群 V 4 有1 4 型1个，1 1 3 1 型8个，2 2 型3个；边置换群 E 4 有1 6 型1个，3 2 型8个，1 2 2 2 型3个；面置换群 U 4 有1 4 型1个，1 1 3 1 型8个，2 2 型3个；对每个类型置换计算不动点数，由Pólya定理即可得到正四面体的m种颜色的顶点、边、面着色公式为： N V 4 = 1 12 ( m 4 + 11 m 2 ) ， N E 4 = 1 12 ( m 6 + 3 m 4 + 8 m 2 ) ， N U 4 = 1 12 ( m 4 + 11 m 2 ) 如果我们考虑正四面体旋转群G作用在包含正四面体顶点和边的集合 W = { 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， e 1 ， e 2 ， e 3 ， e 4 ， e 5 ， e 6 } 上，导出的群称为点边置换群 V E 4 ，则I类旋转为过一顶点与底面中心的连线为轴，旋转120˚和240˚，取G中元素 g 1 为通过顶点1和其对面u 4 (2 3 4)中心的连线旋转120˚，作用在集合W上，得到的置换表示称为点边置换，得到 g ^ 1 = ( 1 ) ( 2   3   4 ) ( e 1 e 2 e 3 ) ( e 4 e 6 e 5 ) 是1 1 3 3 型置换，有四条类似轴，两种转角，共8个元素；II类旋转为过两条对边中点连线的轴，旋转180˚，取G中元素 g 2 为以 e 1 ( 1   2 ) 与其对边 e 6 ( 3   4 ) 的中点连线为轴旋转180˚，得到 g ^ 2 = ( 1   2 ) ( 3   4 ) ( e 1 ) ( e 6 ) ( e 2 e 5 ) ( e 3 e 4 ) 是1 2 2 4 型置换，有三组对边，一种转角，共3个元素；加上单位元，则点边置换群 V E 4 有1 10 型1个，1 1 3 3 型8个，1 2 2 4 型3个。由Pólya定理即可得到正四面体的m种颜色的点边着色公式为： N V E 4 = 1 12 ( m 10 + 3 m 6 + 8 m 4 ) 所以我们可以类似的得出正四面体的点面置换群 V U 4 有1 8 型1个，1 2 3 2 型8个，2 4 型3个；边面置换群 E U 4 有1 10 型1个，1 1 3 3 型8个，1 2 2 4 型3个；点边面置换群 V E U 4 有1 14 型1个，1 2 3 4 型8个，1 2 2 6 型3个；由Pólya定理即可得到正四面体的m种颜色的点面、边面和点边面着色公式分别为： N V U 4 = 1 12 ( m 8 + 11 m 4 ) ， N E U 4 = 1 12 ( m 10 + 3 m 6 + 8 m 4 ) ， N V E U 4 = 1 12 ( m 14 + 3 m 8 + 8 m 6 ) 2) 正六面体：由表1知正六面体的顶点数、边数及面数分别为8，12，6。图形结构如图2所示。我们给图形顶点标上数字标号，8个顶点如图依次记为 1 ， 2 ， ⋯ ， 8 表示。12条边依次记为： e 1 ( 1   2 ) ， e 2 ( 2   3 ) ， e 3 ( 3   4 ) ， e 4 ( 1   4 ) ， e 5 ( 5   6 ) ， e 6 ( 6   7 ) ， e 7 ( 7   8 ) ， e 8 ( 5   8 ) ， e 9 ( 1   5 ) ， e 10 ( 2   6 ) ， e 11 ( 3   7 ) ， e 12 ( 4   8 ) 。6个面依次记为： u 1 ( 1   2   3   4 ) ， u 2 ( 5   6   7   8 ) ， u 3 ( 1   2   5   6 ) ， u 4 ( 3   4   7   8 ) ， u 5 ( 1   4   5   8 ) ， u 6 ( 2   3   6   7 ) 。 图2. 正六面体结构图 正六面体的旋转轴可分为三类： I类为过对面中心的连线为轴，旋转90˚、180˚和270˚，(a) 取旋转群中元素为通过面 u 1 ( 1   2   3   4 ) 和其对面 u 2 ( 5   6   7   8 ) 中心的连线旋转90˚，其点置换 ( 1   2   3   4 ) ( 5   6   7   8 ) 是4 2 型置换，边置换为 ( e 1 e 2 e 3 e 4 ) ( e 5 e 6 e 7 e 8 ) ( e 9 e 10 e 11 e 12 ) 是4 3 型置换，对应的面置换为 ( u 1 ) ( u 2 ) ( u 3 u 6 u 4 u 5 ) 是1 2 4 1 型置换，有三组对面，90˚、270˚两种转角，共6个元素；(b) 取旋转群中元素为通过面 u 1 ( 1   2   3   4 ) 和其对面 u 2 ( 5   6   7   8 ) 中心的连线旋转180˚时，其点置换 ( 1   3 ) ( 2   4 ) ( 5   7 ) ( 6   8 ) 是2 4 型置换，边置换为 ( e 1 e 3 ) ( e 2 e 4 ) ( e 5 e 7 ) ( e 6 e 8 ) ( e 9 e 11 ) ( e 10 e 12 ) 是2 6 型置换，对应的面置换为 ( u 1 ) ( u 2 ) ( u 3 u 4 ) ( u 5 u 6 ) 是1 2 2 2 型置换，有三组对面，180˚两种转角，共3个元素； II类为过对角点连线为轴，旋转120˚和240˚，取旋转群中元素为 ( 1   7 ) 为对角点的连线为轴顺时针旋转120˚，其点置换 ( 1 ) ( 7 ) ( 2   4   5 ) ( 3   8   6 ) 是1 2 3 2 型置换，诱导出对应的边置换为 ( e 1 e 4 e 9 ) ( e 6 e 11 e 7 ) ( e 2 e 12 e 5 ) ( e 3 e 8 e 10 ) 是3 4 型置换，对应的面置换为 ( u 1 u 5 u 3 ) ( u 2 u 6 u 4 ) 是3 2 型置换，有六组对角点，120˚和240˚两种转角，共8个元素； III类为对边中点的连线为旋转轴，旋转180˚，取旋转群中元素为边 e 9 ( 1   5 ) 和其对边 e 11 ( 3   7 ) 中点连线为轴旋转180˚，其点置换 ( 1   5 ) ( 3   7 ) ( 2   8 ) ( 4   6 ) 是2 4 型置换，诱导出对应的边置换 ( e 9 ) ( e 11 ) ( e 1 e 8 ) ( e 2 e 7 ) ( e 3 e 6 ) ( e 4 e 5 ) ( e 10 e 12 ) 是1 2 2 5 型置换，对应的面置换为 ( u 1 u 2 ) ( u 3 u 5 ) ( u 4 u 6 ) 是2 3 型置换，有6组对边，1种转角，共6个元素。 加上单位元，点置换群有1 8 型1个，1 2 3 2 型8个，4 2 型6个，2 4 型9个；边置换群有1 12 型1个，3 4 型8个，4 3 型6个，2 6 型3个，1 2 2 5 型6个；面置换群有1 6 型1个，3 2 型8个，1 2 4 1 型6个，1 2 2 2 型3个，2 3 型6个；对每个类型置换计算不动点数，由Pólya定理即可得到正六面体的m种颜色的点、边和面着色公式分别为： ， N E 6 = 1 24 ( m 12 + 6 m 7 + 3 m 6 + 8 m 4 + 6 m 3 ) ， N U 6 = 1 24 ( m 6 + 3 m 4 + 12 m 3 + 8 m 2 ) 由点、边、面的置换群类型及个数，可得出正六面体的点边置换群 V E 6 有1 20 型1个，4 5 型6个，2 10 型3个，1 2 3 6 型8个，1 2 2 9 型6个；点面置换群 V U 6 有1 14 型1个，1 2 4 3 型6个，1 2 3 4 型8个，1 2 2 6 型3个，2 7 型6个；边面置换群 E U 6 有1 18 型1个，1 2 4 4 型6个，1 2 2 8 型9个，3 6 型8个；点边面置换群 V E U 6 有1 26 型1个，1 2 4 6 型6个，1 2 2 12 型9个，1 2 3 8 型8个；由Pólya定理即可得到正六面体的m种颜色的点边、点面、边面和点边面着色公式分别为： N V E 6 = 1 24 ( m 20 + 6 m 11 + 3 m 10 + 8 m 8 + 6 m 5 ) ， N V U 6 = 1 24 ( m 14 + 3 m 8 + 6 m 7 + 8 m 6 + 6 m 5 ) N E U 6 = 1 24 ( m 18 + 9 m 10 + 14 m 6 ) ， N V E U 6 = 1 24 ( m 26 + 9 m 14 + 8 m 10 + 6 m 8 ) 3) 正八面体：由表1知正八面体的顶点数、边数及面数分别为6，12，8。图形结构如图3所示。我们给图形顶点标上数字标号，6个顶点如图依次记为 1 ， 2 ， ⋯ ， 6 。12条边依次记为: e 1 ( 1   3 ) ， e 2 ( 1   4 ) ， e 3 ( 1   5 ) ， e 4 ( 1   6 ) ， e 5 ( 2   3 ) ， e 6 ( 2   4 ) ， e 7 ( 2   5 ) ， e 8 ( 2   6 ) ， e 9 ( 3   4 ) ， e 10 ( 4   5 ) ， e 11 ( 5   6 ) ， e 12 ( 3   6 ) 。8个面依次记为： u 1 ( 1   3   4 ) ， u 2 ( 1   4   5 ) ， u 3 ( 1   5   6 ) ， u 4 ( 1   3   6 ) ， u 5 ( 2   3   4 ) ， u 6 ( 2   4   5 ) ， u 7 ( 2   5   6 ) ， u 8 ( 2   3   6 ) 。 正八面体的轴旋转可分为三类： I类为过对面中心的连线为轴，旋转120˚和240˚，取旋转群中元素为通过面 u 1 ( 1   3   4 ) 和其对面 u 7 ( 2   5   6 ) 中心的连线为轴旋转120˚，其点置换 ( 1   3   4 ) ( 2   5   6 ) 是3 2 型置换，诱导出对应的边置换为 ( e 1 e 9 e 2 ) ( e 7 e 11 e 8 ) ( e 3 e 12 e 6 ) ( e 4 e 5 e 10 ) 是3 4 型置换，对应的面置换为 ( u 1 ) ( u 7 ) ( u 2 u 4 u 5 ) ( u 3 u 8 u 6 ) 是1 2 3 2 型置换，有四组对面，两种转角，共8个元素； II类为过对顶点的连线为轴，旋转90˚、180˚和270˚，(a) 取旋转群中元素为(1 2)为对顶点的连线为轴顺时针旋转90˚，其点置换 ( 1 ) ( 2 ) ( 3   4   5   6 ) 是1 2 4 1 型置换，诱导出对应的边置换为 ( e 1 e 2 e 3 e 4 ) ( e 5 e 6 e 7 e 8 ) ( e 9 e 10 e 11 e 12 ) 是4 3 型置换，对应的面置换为 ( u 1 u 2 u 3 u 4 ) ( u 5 u 6 u 7 u 8 ) 是4 2 型置换，有三组对顶点，90˚和270˚两种转角，共6个元素；(b) 以 ( 1   2 ) 为对顶点的连线为轴旋转180˚为例，其点置换 ( 1 ) ( 2 ) ( 3   5 ) ( 4   6 ) 是1 2 2 2 型置换，对应的边置换为 ( e 1 e 3 ) ( e 2 e 4 ) ( e 5 e 7 ) ( e 6 e 8 ) ( e 9 e 11 ) ( e 10 e 12 ) 是2 6 型置换，对应的面置换为 ( u 1 u 3 ) ( u 2 u 4 ) ( u 6 u 8 ) 是2 4 型置换，有三组对顶点，一种转角，共3个元素； 图3. 正八面体结构图 III类为对边中点的连线为旋转轴，旋转180˚，取旋转群中元素为边 e 12 ( 3   6 ) 和其对边 e 10 ( 4   5 ) 的中点连线为轴旋转180˚，则其点置换 ( 3   6 ) ( 4   5 ) ( 1   2 ) 是2 3 型置换，诱导出对应的边置换 ( e 10 ) ( e 12 ) ( e 1 e 8 ) ( e 2 e 7 ) ( e 3 e 6 ) ( e 4 e 5 ) ( e 9 e 11 ) 是1 2 2 5 型置换，诱导出对应的面置换为 ( u 1 u 7 ) ( u 2 u 6 ) ( u 3 u 5 ) ( u 4 u 8 ) 是2 4 型置换，有6组对边，1种转角，共6个元素。 加上单位元，点置换群有1 6 型1个，3 2 型8个，1 2 4 1 型6个，1 2 2 2 型3个，2 3 型6个；边置换群有1 12 型1个，3 4 型8个，4 3 型6个，2 6 型3个，1 2 2 5 型6个；面置换群有1 8 型1个，1 2 3 2 型8个，4 2 型6个，2 4 型9个；对每个类型置换计算不动点数，由Pólya定理即可得到正八面体的m种颜色的顶点、边、面着色公式为： N V 8 = 1 24 ( m 6 + 3 m 4 + 12 m 3 + 8 m 2 ) ， N E 8 = 1 24 ( m 12 + 6 m 7 + 3 m 6 + 8 m 4 + 6 m 3 ) ， N U 8 = 1 24 ( m 8 + 17 m 4 + 6 m 2 ) 由点、边、面的置换群类型及个数，可得出正八面体的点边置换群 V E 8 有1 18 型1个，1 2 4 4 型6个，1 2 2 8 型9个，3 6 型8个；点面置换群 V U 8 有1 14 型1个，1 2 4 3 型6个，1 2 3 4 型8个，1 2 2 6 型3个，2 7 型6个；边面置换群 E U 8 有1 20 型1个，4 5 型6个，2 10 型3个，1 2 3 6 型8个，1 2 2 9 型6个；点边面置换群 V E U 8 有1 26 型1个，1 2 4 6 型6个，1 2 2 12 型9个，1 2 3 8 型8个；由Pólya定理即可得到正八面体的m种颜色的点边、点面、边面和点边面着色公式分别为： N V E 8 = 1 24 ( m 18 + 9 m 10 + 14 m 6 ) ， N V U 8 = 1 24 ( m 14 + 3 m 8 + 6 m 7 + 8 m 6 + 6 m 5 ) N E U 8 = 1 24 ( m 20 + 6 m 11 + 3 m 10 + 8 m 8 + 6 m 5 ) ， N V E U 8 = 1 24 ( m 26 + 9 m 14 + 8 m 10 + 6 m 8 ) 4) 正十二面体：由表1知正十二面体的顶点数、边数及面数分别为20，30，12。图形结构如图4所示。我们给图形顶点标上数字标号，20个顶点如图依次记为 1 ， 2 ， ⋯ ， 20 。30条边依次记为： e 1 ( 1   2 ) ， e 2 ( 18   19 ) ， e 3 ( 2   3 ) ， e 4 ( 19   20 ) ， e 5 ( 34 ) ， e 6 ( 16   20 ) ， e 7 ( 45 ) ， e 8 ( 16   17 ) ， e 9 ( 5   1 ) ， e 10 ( 17   18 ) ， e 11 ( 2   7 ) ， e 12 ( 14   19 ) ， e 13 ( 16 ) ， e 14 ( 13   18 ) ， e 15 ( 5   10 ) ， e 16 ( 17   12 ) ， e 17 ( 4   9 ) ， e 18 ( 11   16 ) ， e 19 ( 3   8 ) ， e 20 ( 15   20 ) ， e 21 ( 6   11 ) ， e 22 ( 9   13 ) ， e 23 ( 6   15 ) ， e 24 ( 8   13 ) ， e 25 ( 15   10 ) ， e 26 ( 8   12 ) ， e 27 ( 14   10 ) ， e 28 ( 7   12 ) ， e 29 ( 9   14 ) ， e 30 ( 7   11 ) 。12个面依次记为： u 1 ( 1   2   3   4   5 ) ， u 2 ( 16   17   18   19   20 ) ， u 3 ( 1   2   7   6   11 ) ， u 5 ( 13   18   19   14   9 ) ， u 5 ( 1   5   10   15   6 ) ， u 6 ( 8   12   17   18   13 ) ， u 7 ( 5   4   9   14   10 ) ， u 8 ( 7   11   16   17   12 ) ， u 9 ( 3   4   9   13   8 ) ， u 10 ( 16   20   15   6   11 ) ， u 11 ( 2   3   8   12   7 ) ， u 12 ( 10   14   19   20   15 ) 。 图4. 正十二面体结构图 正十二面体的旋转轴可分为三类： I类为过对面中心的连线为旋转轴，旋转72˚、144˚、216˚和288˚，取正十二面体旋转群中元素为通过面 u 1 ( 1   2   3   4   5 ) 和其对面 u 2 ( 16   17   18   19   20 ) 的中心的连线为轴旋转72˚，则其点置换 ( 1   2   3   4   5 ) ( 6   7   8   9   10 ) ( 11   12   13   14   15 ) ( 16   17   18   19   20 ) 是5 4 型置换，诱导出对应的边置换为 ( e 1 e 3 e 5 e 7 e 9 ) ( e 2 e 4 e 6 e 8 e 10 ) ( e 11 e 19 e 17 e 15 e 13 ) ( e 12 e 20 e 18 e 16 e 14 ) ( e 21 e 28 e 24 e 29 e 25 ) ( e 30 e 26 e 22 e 27 e 23 ) 是5 6 型置换，对应的面置换为 ( u 1 ) ( u 2 ) ( u 3 u 11 u 9 u 7 u 5 ) ( u 4 u 12 u 10 u 8 u 6 ) 是1 2 5 2 型置换，有六组对面，四种转角，共24个元素； II类为过对角点连线为轴，旋转120˚和240˚，取旋转群中元素为(6 13)对顶点连线为轴旋转120˚，点置换 ( 6 ) ( 13 ) ( 1   11   15 ) ( 5   7   20 ) ( 3   14   17 ) ( 10   12   16 ) ( 8   9   18 ) ( 4   12   19 ) 1 2 3 6 型置换，边置换 ( e 1 e 18 e 25 ) ( e 2 e 17 e 16 ) ( e 3 e 8 e 27 ) ( e 4 e 7 e 28 ) ( e 5 e 16 e 12 ) ( e 6 e 15 e 11 ) ( e 9 e 30 e 20 ) ( e 19 e 10 e 29 ) ( e 13 e 21 e 23 ) ( e 14 e 22 e 24 ) 是3 10 型置换，边置换为 ( u 1 u 9 u 7 u 5 u 3 ) ( u 2 u 10 u 8 u 6 u 4 ) ( u 18 u 11 u 15 u 19 u 14 ) ( u 20 u 13 u 17 u 12 u 10 ) 是5 4 型置换，有十组对顶点，两种转角，共20个元素； III类为对边中点的连线为旋转轴，旋转180˚，取旋转群中元素边 e 1 ( 1   2 ) 和其对边 e 4 ( 19   20 ) 中点连线为轴旋转180˚，其点置换 ( 1   2 ) ( 19   20 ) ( 3   5 ) ( 4   6 ) ( 7   8 ) ( 9   11 ) ( 10   12 ) ( 13   14 ) ( 15   17 ) ( 16   18 ) 是2 10 型置换，类似可得对应的边置换是1 2 2 14 型置换，求得对应的面置换为是2 6 型置换，有15组对边，一种转角，共15个元素。 加上单位元，点置换群有1 20 型1个，1 2 3 6 型20个，5 4 型24个，2 10 型15个；边置换群有1 30 型1个，3 10 型20个，5 6 型24个，1 2 2 14 型15个；面置换群有1 12 型1个，3 4 型20个，1 2 5 2 型24个，2 6 型15个对每个类型置换计算不动点数，由Pólya定理即可得到正二十面体的m种颜色的顶点、边、面着色公式为： N V 12 = 1 60 ( m 20 + 15 m 10 + 20 m 8 + 24 m 4 ) ， N E 12 = 1 60 ( m 30 + 15 m 16 + 20 m 10 + 24 m 6 ) ， N U 12 = 1 60 ( m 12 + 15 m 6 + 44 m 4 ) 由点、边、面的置换群类型及个数，可得出正十二面体的点边置换群 V E 12 有1 50 型1个，1 2 3 16 型20个，5 10 型24个，1 2 2 24 型15个；点面置换群 V U 12 有1 32 型1个，1 2 3 10 型20个，1 2 5 6 型24个，1 2 5 6 型20个，2 16 型15个；边面置换群 E U 12 有1 42 型1个，3 14 型20个，1 2 5 8 型24个，1 2 2 20 型15个；点边面置换群 V E U 12 有1 62 型1个，1 2 5 12 型24个，1 2 3 20 型20个，1 2 2 30 型15个；由Pólya定理即可得到正二十面体的m种颜色的点边、点面、边面和点边面着色公式分别为： N V E 12 = 1 60 ( m 50 + 15 m 26 + 20 m 18 + 24 m 10 ) ， N V U 12 = 1 60 ( m 32 + 15 m 16 + 20 m 12 + 24 m 8 ) N E U 12 = 1 60 ( m 42 + 15 m 22 + 20 m 14 + 24 m 10 ) ， N V E U 12 = 1 60 ( m 62 + 15 m 32 + 20 m 22 + 24 m 14 ) 5) 正二十面体：由表1知正十二面体的顶点数、边数及面数分别为12，30，20。图形结构如图5所示。我们给图形顶点标上数字标号，12个顶点如图依次记为 1 ， 2 ， ⋯ ， 12 。30条边依次记为： e 1 ( 1   2 ) ， e 2 ( 10   12 ) ， e 3 ( 1   3 ) ， e 4 ( 11   12 ) ， e 5 ( 2   3 ) ， e 6 ( 10   11 ) ， e 7 ( 1   4 ) ， e 8 ( 9   12 ) ， e 9 ( 2   4 ) ， e 10 ( 9   10 ) ， e 11 ( 1   8 ) ， e 12 ( 6   12 ) ， e 13 ( 4   8 ) ， e 14 ( 6   9 ) ， e 15 ( 1   5 ) ， e 16 ( 7   12 ) ， e 17 ( 5   8 ) ， e 18 ( 6   7 ) ， e 19 ( 3   5 ) ， e 20 ( 7   11 ) ， e 21 ( 5   9 ) ， e 22 ( 4   7 ) ， e 23 ( 5   10 ) ， e 24 ( 2   7 ) ， e 25 ( 8   11 ) ， e 26 ( 3   6 ) ， e 27 ( 3   9 ) ， e 28 ( 4   11 ) ， e 29 ( 8   10 ) ， e 30 ( 2   6 ) 。20个面依次记为： u 1 ( 1   2   3 ) ， u 2 ( 10   11   12 ) ， u 3 ( 1   2   4 ) ， u 4 ( 9   10   12 ) ， u 5 ( 1   4   8 ) ， u 6 ( 6   9   12 ) ， u 7 ( 1   5   8 ) ， u 8 ( 6   7   12 ) ， u 9 ( 1   3   5 ) ， u 10 ( 7   11   12 ) ， u 11 ( 3   5   9 ) ， u 12 ( 4   7   11 ) ， u 13 ( 5   9   10 ) ， u 14 ( 2   4   7 ) ， u 15 ( 5   8   10 ) ， u 16 ( 2   6   7 ) ， u 17 ( 8   10   11 ) ， u 18 ( 2   3   6 ) ， u 19 ( 4   8   11 ) ， u 20 ( 3   6   9 ) 。 图5. 正十二面体体结构图 正二十面体的轴旋转可分为三类： I类为过对面中心的连线，旋转120˚和240˚，以通过面 u 5 ( 1   4   8 ) 和其对面 u 6 ( 6   9   12 ) 中心的连线旋转120˚为例，其点置换 ( 1   4   8 ) ( 12   9   6 ) ( 5   2   11 ) ( 7   10   3 ) 是3 4 型置换，求得对应的边置换为 ( e 1 e 17 e 28 ) ( e 2 e 18 e 27 ) ( e 3 e 29 e 22 ) ( e 4 e 30 e 21 ) ( e 5 e 23 e 20 ) ( e 6 e 24 e 19 ) ( e 7 e 11 e 13 ) ( e 8 e 12 e 14 ) ( e 9 e 15 e 25 ) ( e 10 e 16 e 26 ) 是3 10 型置换，对应的面置换为 ( u 5 ) ( u 6 ) ( u 1 u 12 u 15 ) ( u 2 u 11 u 16 ) ( u 3 u 19 u 7 ) ( u 4 u 20 u 8 ) ( u 9 u 14 u 17 ) ( u 10 u 13 u 18 ) 是1 2 3 6 型置换，有十组对面，两种转角，共20个元素； II类为过对顶点连线为轴，旋转72˚、144˚、216˚和288˚，以(1 12)为对顶点的连线为轴顺时针旋转72˚为例，其点置换 ( 1 ) ( 12 ) ( 2   3   5   8   4 ) ( 7   6   9   10   11 ) 是1 2 5 2 型置换，诱导出对应的边置换为 ( e 1 e 3 e 15 e 11 e 7 ) ( e 5 e 19 e 17 e 13 e 9 ) ( e 2 e 4 e 16 e 12 e 8 ) ( e 6 e 20 e 18 e 14 e 10 ) ( e 30 e 27 e 23 e 25 e 22 ) ( e 26 e 21 e 29 e 28 e 24 ) 是5 6 型置换，对应的面置换为 ( u 1 u 9 u 7 u 5 u 3 ) ( u 2 u 10 u 8 u 6 u 4 ) ( u 18 u 11 u 15 u 19 u 14 ) ( u 20 u 13 u 17 u 12 u 10 ) 是5 4 型置换，有六组对顶点，四种转角，共24个元素； III类为对边中点的连线为旋转轴，旋转180˚，以边 e 13 ( 4   8 ) 和其对边 e 14 ( 6   9 ) 中点连线为轴旋转180˚为例，其点置换 ( 4   8 ) ( 9   6 ) ( 1   11 ) ( 3   12 ) ( 5   7 ) ( 2   10 ) 是2 6 型置换，求得对应的边置换 ( e 13 ) ( e 14 ) ( e 1 e 6 ) ( e 2 e 5 ) ( e 3 e 4 ) ( e 7 e 25 ) ( e 8 e 26 ) ( e 9 e 29 ) ( e 10 e 30 ) ( e 11 e 28 ) ( e 12 e 27 ) ( e 15 e 20 ) ( e 16 e 19 ) ( e 17 e 22 ) ( e 18 e 21 ) ( e 23 e 24 ) 是1 2 2 14 型置换，求得对应的面置换为 ( u 1 u 2 ) ( u 3 u 17 ) ( u 4 u 18 ) ( u 5 u 19 ) ( u 6 u 20 ) ( u 7 u 12 ) ( u 8 u 11 ) ( u 9 u 10 ) ( u 13 u 16 ) ( u 14 u 15 ) 是2 10 型置换，有15组对边，一种转角，共15个元素。 加上单位元，点置换群有1 12 型1个，3 4 型20个，1 2 5 2 型24个，2 6 型15个；边置换群有1 30 型1个，3 10 型20个，5 6 型24个，1 2 2 14 型15个；面置换群有1 20 型1个，1 2 3 6 型20个，5 4 型24个，2 10 型15个；对每个类型置换计算不动点数，由Pólya定理即可得到正二十面体的m种颜色的顶点、边、面着色公式为： N V 20 = 1 60 ( m 12 + 15 m 6 + 44 m 4 ) ， N E 20 = 1 60 ( m 30 + 15 m 16 + 20 m 10 + 24 m 6 ) ， N U 20 = 1 60 ( m 20 + 15 m 10 + 20 m 8 + 24 m 4 ) 由点、边、面的置换群类型及个数，可得出正二十面体的点边置换群 V E 20 有1 42 型1个，3 14 型20个，1 2 5 8 型24个，1 2 2 20 型15个；点面置换群 V U 20 有1 32 型1个，1 2 3 10 型20个，1 2 5 6 型24个，1 2 5 6 型20个，2 16 型15个；边面置换群 E U 20 有1 50 型1个，1 2 3 16 型20个，5 10 型24个，1 2 2 24 型15个；点边面置换群 V E U 20 有1 62 型1个，1 2 5 12 型24个，1 2 3 20 型20个，1 2 2 30 型15个；由Pólya定理即可得到正二十面体的m种颜色的点边、点面、边面和点边面着色公式分别为： N V E 20 = 1 60 ( m 42 + 15 m 22 + 20 m 14 + 24 m 10 ) ， N V U 20 = 1 60 ( m 32 + 15 m 16 + 20 m 12 + 24 m 8 ) N E U 20 = 1 60 ( m 50 + 15 m 26 + 20 m 18 + 24 m 10 ) ， N V E U 20 = 1 60 ( m 62 + 15 m 32 + 20 m 22 + 24 m 14 )