system: [SYSTEM]

user: 3. 数学推导与分析 下面将分成 τ = 0 和 τ > 0 来讨论系统周期解的情况。首先，讨论了在 τ = 0 情况下半平凡周期解的存在性和稳定性，以及附近的分支行为。 3.1. 情况 τ = 0 很容易看出当且仅当 τ = 0 时系统(2)的半平凡周期解存在。因此，可以通过令 τ = 0 来开始研究。 定理3.1：系统(2)存在周期为T的半平凡周期解，其中 T = ln ( ( 1 − ( 1 − α ) h ) ( m h − 1 ) m ( 1 − α ) m − 1 / ( 1 − h ) ( m ( 1 − α ) h − 1 ) m ) / ( m − 1 ) . 证明：当 τ = 0 ，系统(2)变为如下形式： { d x d t = x ( 1 − x ) ( m x − 1 ) − x y d y d t = e x y − d y } x ≠ h Δ x = − α x Δ y = β y } x = h (9) 令 y ( t ) = 0 对于任意的 t ∈ [ 0 ， ∞ ) ；则从系统(9)变为(10)， { d x d t = x ( 1 − x ) ( m x − 1 ) ， x ≠ h Δ x = − α x ， x = h (10) 令 x 0 = x ( 0 ) = ( 1 − α ) h ，系统(10)的解为 x ( t ) = I ( t ) ，其中 I ( t ) 是方程 ( m I ( t ) − 1 ) m I ( t ) m − 1 ( 1 − I ( t ) ) = c exp [ ( m − 1 ) ( t − n T ) ] 的解。 令 T = ln ( ( 1 − ( 1 − α ) h ) ( m h − 1 ) m ( 1 − α ) m − 1 ( 1 − h ) ( m ( 1 − α ) h − 1 ) m ) 1 m − 1 ，则 x ( T ) = h ， x ( T + ) = ( 1 − α ) h ，因此，系统(9)有如下的半平凡周期解： { x ( t ) = I ( t ) y ( t ) = 0 ， (11) 其中 t ∈ ( n T ， ( n + 1 ) T ] ， n ∈ N ，把半平凡周期解记为 ( ξ ( t ) ， 0 ) 。 现在讨论这个半平凡周期解的稳定性，利用引理2.2，可以得到关于系统(9)半平凡周期解的存在性和稳定性。 定理3.2：半平凡周期解(11)称为轨道渐近稳定的，如果它满足 0 < β < ( 1 − ∂ ) d M 2 − 1 − 1 (12) 且 M 2 = ( 1 − h 1 − ( 1 − α ) h ) d − e m − 1 ( m h − 1 m ( 1 − ∂ ) h − 1 ) e − d m m − 1 . 证明：令 P ( x ， y ) = x ( 1 − x ) ( m x − 1 ) − x y ， Q ( x ， y ) = e x y − d y ， α ( x ， y ) = − ∂ x ， β ( x ， y ) = β y ， ϕ ( x ， y ) = x − h ， ( ξ ( T ) ， η ( T ) ) = ( h ， 0 ) ， ( ξ ( T + ) ， η ( T + ) ) = ( ( 1 − α ) h ， 0 ) . 借助于引理2.2，通过计算得到 ∂ P ∂ x = − 3 m x 2 + ( 2 m + 2 ) x − 1 − y ， ∂ Q ∂ y = e x − d ∂ α ∂ x = − α ， ∂ α ∂ y = 0 ， ∂ β ∂ x = 0 ， ∂ β ∂ x = β ， ∂ ϕ ∂ x = 1 ， ∂ ϕ ∂ y = 0 Δ 1 = P + ( ( ∂ β / ∂ y ) ( ∂ ϕ / ∂ x ) − ( ∂ β / ∂ x ) ( ∂ ϕ / ∂ y ) + ∂ ϕ / ∂ x ) P ( ∂ ϕ / ∂ x ) + Q ( ∂ ϕ / ∂ y )     + Q + ( ( ∂ α / ∂ x ) ( ∂ ϕ / ∂ y ) − ( ∂ α / ∂ y ) ( ∂ ϕ / ∂ x ) + ∂ ϕ / ∂ y ) P ( ∂ ϕ / ∂ x ) + Q ( ∂ ϕ / ∂ y ) = P + ( 1 + β ) P = ( 1 + β ) P ( ξ ( T + ) ， η ( T + ) ) P ( ξ ( T ) ， η ( T ) ) = ( 1 + β ) ( 1 − α ) ( 1 − ( 1 − α ) h ) ( m ( 1 − α ) h − 1 ) ( 1 − h ) ( m h − 1 ) (13) 此外有， exp [ ∫ 0 T ( ∂ P ∂ x ( ξ ( t ) ， η ( t ) ) + ∂ Q ∂ y ( ξ ( t ) ， η ( t ) ) ) d t ] = exp [ ∫ 0 T ( − 3 m x 2 + ( 2 m + 2 + e ) x − 1 − d ) d t ] = ( 1 − α ) − d − 1 M 1 ，(14) 其中 M 1 = ( 1 − h 1 − ( 1 − α ) h ) λ ( m h − 1 m ( 1 − α ) h − 1 ) γ ， λ = m + d − e − 1 m − 1 ， γ = e − d m + m − 1 m − 1 . 因此，得到Floquet乘子 μ 如下所示： μ = ∏ k = 1 n Δ k exp [ ∫ 0 T ( ∂ P ∂ x ( ξ ( t ) ， η ( t ) ) + ∂ Q ∂ y ( ξ ( t ) ， η ( t ) ) ) d t ] ， = ( 1 + β ) ( 1 − α ) ( 1 − ( 1 − α ) h ) ( m ( 1 − α ) h − 1 ) ( 1 − h ) ( m h − 1 ) ( 1 − α ) − d − 1 M 1 = ( 1 + β ) ( 1 − α ) − d M 2 (15) 其中 M 2 = ( 1 − h 1 − ( 1 − α ) h ) d − e m − 1 ( m h − 1 m ( 1 − α ) h − 1 ) e − d m m − 1 . 因此，当且仅当(12)成立时，有 | μ | < 1 成立。证毕。 注3.3：令 β * = ( 1 − α ) d M 2 − 1 − 1 ，当 β = β * 时，有 | μ | = 1 ，此时系统可能会发生分岔。因此，当 β > β * 时，系统(2)可能会出现一个正周期解。因此，接下来讨论系统的分支情况。 首先，在 τ = 0 时，考Poincaré映射(4)，令 u = y k + 且 u ≥ 0 ，u是一个充分小的非负数。这个映射就可以写成如下形式 u ↦ ( 1 + β ) f ( u ) ≡ Z ( u ， β ) ， (16) 其中，函数 Z ( u ， β ) 是依赖于u和 β 的连续可微函数，且 f ( 0 ) = 0 ，则 lim u → 0 + f ( u ) = f ( 0 ) = 0 。 其次，为了讨论映射(16)的分岔，利用引理2.3，得到以下定理。 定理3.4：当 β = β * ， τ = 0 ， h < x * 时，系统(2)发生跨临界分支，当参数 β 由 β < β * 变化到 β = β * 时，系统出现了一个正不动点。相应的，当 β ∈ ( β * ， β * + δ ) 时，系统(9)有一个稳定的正周期解，其中 δ > 0 。 证明：首先，需要计算出在 u = 0 处， f ′ ( u ) 和 f ″ ( u ) 的值，其中 0 ≤ u ≤ u 0 ， u 0 = ( 1 − ( 1 − α ) h ) ( m ( 1 − α ) h − 1 ) 。 令 d y d x = F 2 ( x ， y ) F 1 ( x ， y ) (17) 其中： F 1 ( x ， y ) = x ( 1 − x ) ( m x − 1 ) − x y (18) F 2 ( x ， y ) = e x y − d y . 令 ( x ， y ( x ; x 0 ， y 0 ) ) 为系统(17)的任意一条轨线，且 x 0 = ( 1 − α ) h ， y 0 = u ， 0 ≤ u ≤ u 0 ，则有 y ( x ; ( 1 − α ) h ， u ) ≡ y ( x ， u ) ， ( 1 − α ) h ≤ x ≤ h ， 0 ≤ u ≤ u 0 (19) 由表达式(19)，可得 ∂ y ( x ， u ) ∂ u = exp [ ∫ ( 1 − α ) h x ∂ ∂ y ( F 2 ( v ， y ( v ， u ) ) F 1 ( v ， y ( v ， u ) ) ) d v ] (20) 和 ∂ 2 y ( x ， u ) ∂ u 2 = ∂ y ( x ， u ) ∂ u ∫ ( 1 − α ) h x ∂ 2 ∂ y 2 ( F 2 ( v ， y ( v ， u ) ) F 1 ( v ， y ( v ， u ) ) ) ∂ y ( v ， u ) ∂ u d v . (21) 显然，可以推断出 ∂ y ( x ， u ) ∂ u > 0 ，且 f ′ ( 0 ) = ∂ y ( h ， 0 ) ∂ u = exp [ ∫ ( 1 − α ) h h ∂ ∂ y ( F 2 ( v ， y ( v ， o ) ) F 1 ( v ， y ( v ， o ) ) ) d v ] . = exp [ ∫ ( 1 − α ) h h e v − d v ( 1 − v ) ( m v − 1 ) d v ] = exp [ ∫ ( 1 − α ) h h ( d v + e − d ( m − 1 ) ( 1 − v ) + m e − d m 2 ( m − 1 ) ( m v − 1 ) ) d v ] = ( 1 − α ) − d ( 1 − h 1 − ( 1 − β ) h ) d − e m − 1 ( m h − 1 m ( 1 − α ) h − 1 ) e − d m m − 1 = ( 1 − α ) − d M 2 (22) 因此，可以得到 f ″ ( 0 ) = f ′ ( 0 ) ∫ ( 1 − α ) h h l ( v ) ∂ y ( v ， 0 ) ∂ u d v ， 其中： l ( v ) = ∂ 2 ∂ y 2 ( F 2 ( v ， y ( v ， 0 ) ) F 1 ( v ， y ( v ， 0 ) ) ) = 2 ( e v − d ) v ( 1 − v ) 2 ( m v − 1 ) 2 ， v ∈ [ ( 1 − α ) h ， h ] . 由假设可知，在区域 Ω 上有 d y < 0 。因此， e v − d < 0 可以确定 l ( v ) < 0 ， v ∈ [ ( 1 − α ) h ， h ] 由此可得， f ″ ( 0 ) < 0 (23) 接下来，验证上述条件是否满足引理2.3。 1) 很容易去证实 Z = ( 0 ， β ) = 0 ， β ∈ ( 0 ， ∞ ) ， (24) 2) 运用表达式(22)， ∂ Z ( 0 ， β ) ∂ u = ( 1 + β ) f ′ ( 0 ) = ( 1 + β ) ( 1 − α ) − d M 2 (25) 进而得到 ∂ Z ( 0 ， β * ) ∂ u = 1 ， 这表明了 ( 0 ， β * ) 为对应于映射(16)的特征值1的不动点。 3) 如果(22)成立 ∂ 2 Z ( 0 ， β * ) ∂ u ∂ β = f ′ ( 0 ) > 0. (26) 4) 最后，不等式(23)表明 ∂ 2 Z ( 0 ， β * ) ∂ u 2 = ( 1 + β ) f ″ ( 0 ) < 0. (27) 显然，上述所有条件都满足引理2.3的要求，因此定理3.4成立。 3.2. 情况 τ > 0 当 τ > 0 时，讨论了周期解的存在性和稳定性。根据系统(2)矢量场的性质，当 x * > h 时，从 ( x 0 ， y 0 ) 出发的轨线可能与脉冲集M相交无限次，且 ( 1 − α ) h < x 0 < h ， 0 < y 0 < ( 1 − ( 1 − α ) h ) ( m ( 1 − α ) h − 1 ) 。 当 ( 1 − α ) h < x * ≤ h 时，从 ( x 0 ， y 0 ) 出发的轨线可能与脉冲集M相交有限次，并且最终趋向于平衡点 E * ，其中， 0 < x 0 < h 。因此，接下来分为两种情况进行讨论：(A)： x * > h ，(B)： ( 1 − α ) h < x * ≤ h 。 3.2.1. 情况(A) x ∗ > h 定理3.5：当 h < x * 时，存在一个 τ 0 > 0 ， β 0 > 0 ，使得 ( 1 + β 0 ) u 0 + τ 0 ≤ ( 1 − ( 1 − α ) h ) ( m ( 1 − α ) h − 1 ) . 此时，系统(2)存在一个正的阶-1周期解。其中， u 0 = f ( ( 1 − ( 1 − α ) h ) ( m ( 1 − α ) h − 1 ) ) . 证明：取相集N上的一点 W 1 ( ( 1 − α ) h ， ε ) ，且 ε 是一个充分小的整的常数。从初始点 W 1 出发的轨线与脉冲集M相交于点 V 1 ( h ， ε 1 ) 。在脉冲集M上，轨线受到脉冲作用的影响，与相集N相交于点 W 2 ( ( 1 − α ) h ， ( 1 + β ) ε 1 + τ ) 。而以 W 2 为初始点的轨线与脉冲集M相交于点 V 2 ( h ， ε 2 ) 。如果 ε 是充分小的，那么 ( 1 + β ) ε 1 + τ > ε ，则点 W 2 位于 W 1 的上方，也就是说 ε 2 > ε 1 。由映射(5)可知 ε 2 = F ( β ， τ ， ε 1 ) ，进而得到 ε 1 − F ( β ， τ ， ε 1 ) = ε 1 − ε 2 < 0 (28) 垂直等斜线 y = ( 1 − x ) ( m x − 1 ) 与相集N交于点 A ( ( 1 − α ) h ， ( 1 − ( 1 − α ) h ) ( m h ( 1 − α ) − 1 ) ) ，以A为初始点的轨线与M交于点 U ( h ， u 0 ) ，则 u 0 = f ( ( 1 − ( 1 − α ) h ) ( m h ( 1 − α ) − 1 ) ) ，经过脉冲作用跳跃到相集N上的点 U + ( ( 1 − α ) h ， ( 1 + β ) u 0 + τ ) 处。经过分析，存在一个 τ 0 > 0 ， β 0 > 0 使得 ( 1 + β 0 ) u 0 + τ 0 ≤ ( 1 − ( 1 − α ) h ) ( m ( 1 − α ) h − 1 ) 。此时点 U + 重合于点A，系统(2)存在一个正的阶-1周期解。 当 ( 1 + β 0 ) u 0 + τ 0 > ( 1 − ( 1 − α ) h ) ( m ( 1 − α ) h − 1 ) ，点 U + 位于A之上。由轨线的不相交性可知，经过点 U + 的轨线最终将趋于 E 0 ，则系统不存在周期解。当 ( 1 + β 0 ) u 0 + τ 0 ≤ ( 1 − ( 1 − α ) h ) ( m ( 1 − α ) h − 1 ) 时，点 U + 位于点A的下方。由轨线的不相交性可知，从初始点 U + 出发的轨线与脉冲集M交与点 U 1 ( h ， u 1 ) ，并且点 U 1 ( h ， u 1 ) 位于点U的下方。即 u 1 < u 0 ，则 u 0 − F ( β ， τ ， u 0 ) = u 0 − u 1 > 0. (29) 由不等式(28)和(29)可知，映射(5)有一个不动点，即系统(2)存在一个正的阶-1周期解。 定理3.6：当 h < x * 时，设 ( ξ ( t ) ， η ( t ) ) 为系统(2)的一个正阶-1周期解，并且该周期解的初始值为 ( h ， ω ) ，其中 ω < ( 1 − h ) ( m h − 1 ) 。如果条件 | μ | = ( 1 + β ) ( 1 − α ) Γ exp ( ∫ 0 T ψ ( t ) d t ) < 1 (30) 成立，其中 Γ = ( 1 − ( 1 − α ) h ) ( m ( 1 − α ) h − 1 ) − ( ( 1 + β ) ω + τ ) ( 1 − h ) ( m h − 1 ) − ω ， (31) 那么 ( ξ ( t ) ， η ( t ) ) 为系统(2)的一个正阶-1周期解，并且该周期解是轨道渐近稳定的，具有渐近相位性质。 证明：基于定理3.5的结论，只需证明系统(2)的正阶-1周期解 ( ξ ( t ) ， η ( t ) ) 的稳定性。在下面的讨论中，假设以周期T为周期的周期解过点 W + ( ( 1 − α ) h ， ( 1 + β ) ω + τ ) 和点 W ( h ， ω ) ，其中由于系统(2)的向量场的性质而 ω < ε 1 成立。由于不知道周期T的表达形式，所以用引理2.2讨论这个正周期解的稳定性。这种定理的证明与定理3.1的区别在于 ( ξ ( T ) ， η ( T ) ) = ( h ， ω ) ， ( ξ ( T + ) ， η ( T + ) ) = ( ( 1 − α ) h ， ( 1 + β ) ω + τ ) (32) 而其它的则是一样的，因此 Δ 1 = P + ( ( ∂ β / ∂ y ) ( ∂ ϕ / ∂ x ) − ( ∂ β / ∂ x ) ( ∂ ϕ / ∂ y ) + ∂ ϕ / ∂ x ) P ( ∂ ϕ / ∂ x ) + Q ( ∂ ϕ / ∂ y )     + Q + ( ( ∂ α / ∂ x ) ( ∂ ϕ / ∂ y ) − ( ∂ α / ∂ y ) ( ∂ ϕ / ∂ x ) + ∂ ϕ / ∂ y ) P ( ∂ ϕ / ∂ x ) + Q ( ∂ ϕ / ∂ y ) (33) = P + ( 1 + β ) P = ( 1 + β ) P ( ξ ( T + ) ， η ( T + ) ) P ( ξ ( T ) ， η ( T ) ) = ( 1 + β ) ( 1 − α ) [ ( 1 − ( 1 − α ) h ) ( m ( 1 − α ) h − 1 ) − ( 1 + β ) ω − τ ] ( 1 − h ) ( m h − 1 ) − ω = ( 1 + β ) ( 1 − α ) Γ (34) 令 ψ ( t ) = ∂ P ∂ x ( ξ ( t ) ， η ( t ) ) + ∂ Q ∂ y ( ξ ( t ) ， η ( t ) ) ；则 | μ | = Δ 1 exp ( ∫ 0 T ( ∂ P ∂ x ( ξ ( t ) ， η ( t ) ) + ∂ Q ∂ y ( ξ ( t ) ， η ( t ) ) ) d t ) = ( 1 + β ) ( 1 − α ) Γ exp ( ∫ 0 T ψ ( t ) d t ) (35) 若 | μ | < 1 ，即当 | ( 1 + β ) ( 1 − α ) Γ exp ( ∫ 0 T ψ ( t ) d t ) | < 1 (36) 成立时，这个周期解是稳定的。 注3.7：由此可知，如果存在一个 β ′ > β 0 ，使得当 β = β ′ 时有 | μ | = 1 ，那么系统会发生褶皱分岔。如果发生褶皱分岔，则当 β ′ > β 0 时系统(2)存在一个稳定的正阶-2周期解，且随着 β 的增加，系统(2)的阶-2周期解也可能失去稳定性。 3.2.2. 情况(B) ( 1 − α ) h < x ∗ < h 定理3.8：存在一个 τ 0 > f ( h ) ，使得当 ( 1 + β 0 ) u 0 + τ 0 ≤ ( 1 − ( 1 − α ) h ) ( m ( 1 − α ) h − 1 ) 时，系统(2)存在一个正阶-1或者阶-2周期解，并且该周期解是轨道渐近稳定的。另外，系统不存在阶k ( k ≥ 3 )周期解。 证明：假设一条轨线与脉冲集M相切于点 F ( h ， y 3 ) 与相集N分别交于点 G 1 ( ( 1 − α ) h ， y 1 ) 和点 G 1 ( ( 1 − α ) h ， y 2 ) ，其中 y 3 < ( 1 − h ) ( m h − 1 ) 且 y 2 < ( 1 − ( 1 − α ) h ) ( m ( 1 − α ) h − 1 ) < y 1 。根据轨道的不相交性，对任意属于线段 G 1 G 2 上的点 G 3 ( ( 1 − α ) h ， y ) ，其中 y ∈ ( y 1 ， y 2 ) ，系统(2)通过点 G 3 的轨线随着时间的增加而不会与脉冲集相交，最终趋于稳定的内平衡点 E * ( x * ， y * ) 。也就是说，从脉冲集M上的点 G 3 出发的轨线最终会到达 E * 。很明显，此时系统(2)没有周期解。因此，由于脉冲作用使系统轨线和脉冲集M相交无限次的充分条件是 τ > y 1 ，其中 y 1 与阈值h有关的。 根据定理3.5可知，系统存在阶-1周期解的充分条件为 ( 1 + β 0 ) u 0 + τ 0 ≤ ( 1 − ( 1 − α ) h ) ( m ( 1 − α ) h − 1 ) ，假设 τ 的取值满足条件，另取任意两点 S i ( h ， s i ) 和 R j ( h ， r j ) ，使得 0 < S i < R i < ( 1 − h ) ( m h − 1 ) 。可知这两点经过脉冲作用与相集N的交点为 S i + ( ( 1 − α ) h ， ( 1 + β ) s i + τ ) 和 R j + ( ( 1 − α ) h ， ( 1 + β ) r j + τ ) 均位于点 G ( ( 1 − α ) h ， y 1 ) 的上方，然后从系统的向量场和轨道的不相交性出发，我们可以看到 S i 与 R j 的后继点 S i + 1 ( h ， y i + 1 ) 和 R j + 1 ( h ， y j + 1 ) 的关系为 S i + 1 > R j + 1 。 (37) 对任意的 y 0 ∈ ( ( 1 − h ) ( m h − 1 ) ) ，根据Poincar映射(5)可知 y 1 = F ( β ， τ ， y 0 ) ， y 2 = F ( β ， τ ， y 1 ) 和 y n + 1 = F ( β ， τ ， y n ) ，此时，该系统(2)的周期解的存在情况如下： 1) 若 y 0 = y 1 ，系统(2)存在一个正阶-1周期解； 2) 若 y 0 ≠ y 1 ，在不失一般性的情况下，假设 y 1 < y 0 。因此，若 y 0 = y 2 ，系统(2)存在一个正阶-2周期解； 3) 若 y 0 ≠ y 1 ≠ y 2 ≠ ⋯ ≠ y k − 1 ( k ≥ 3 ) 且 y 0 = y k ，则系统(2)存在一个正阶-k周期解。实际上，这是不可能的，下面我们分两种情况来证明。 ① y 1 < y 0 从(37)中也可以看出， y 0 ， y 1 和 y 2 之间只有两种位置关系： y 2 > y 0 > y 1 和 y 0 > y 2 > y 1 。 1) y 2 > y 0 > y 1 如果 y 2 > y 0 > y 1 成立，那么我们可以得到 y 2 > y 1 > y 3 ，并且 y 2 > y 0 > y 1 > y 3 也是成立的。进一步由(37)可知 y 4 > y 1 > y 3 ，即 y 4 > y 2 > y 0 > y 1 > y 3 。通过归纳可知 0 < ⋯ < y k + 1 < ⋯ < y 3 < y 1 < y 0 < y 2 < y 4 < ⋯ < y 2 k < ⋯ < ( 1 − h ) ( m h − 1 ) (38) 与1)类似有 2) y 0 > y 2 > y 1 由(37)，可知 0 < y 1 < y 3 < ⋯ < y 2 k + 1 < ⋯ < y 2 k < ⋯ < y 4 < y 2 < y 0 < ( 1 − h ) ( m h − 1 ) (39) ② y 0 < y 1 从(37)中也可以看出， y 0 ， y 1 和 y 2 之间只有两种位置关系： y 1 > y 0 > y 2 和 y 1 > y 2 > y 0 。 1) y 1 > y 0 > y 2 若 y 1 > y 0 > y 2 ，我们可知 y 3 > y 1 > y 2 ，进而得出 y 3 > y 1 > y 0 > y 2 。由(37) y 1 > y 2 > y 4 可知， y 5 > y 3 > y 1 > y 0 > y 2 。以此类推，可知 0 < ⋯ < y 2 k < ⋯ < y 4 < y 2 < y 0 < y 1 < y 3 < ⋯ < y 2 k + 1 < ⋯ < ( 1 − h ) ( m h − 1 ) (40) 与1)类似有 2) y 1 > y 2 > y 0 由(37)，可知 0 < y 0 < y 2 < y 4 < ⋯ < y 2 k < ⋯ < y 2 k + 1 < ⋯ < y 5 < y 3 < y 1 < ( 1 − h ) ( m h − 1 ) (41) 如果系统(2)存在阶-k ( k ≥ 3 ) 周期解，则 y 0 ≠ y 1 ≠ y 2 ≠ ⋯ ≠ y k − 1 ， y 0 = y k ，这与(38)-(41)是矛盾的。因此，在系统（2）中没有阶k ( k ≥ 3 ) 周期解。事实上，存在稳定的阶-1或者阶-2周期解。由(39)可知 lim t → ∞ y 2 k + 1 = y * 且 lim t → ∞ y 2 k = y + ，其中 0 < y * < y + < ( 1 − h ) ( m h − 1 ) 。因此 y * = f ( β ， y + ) 且 y + = f ( β ， y * ) 。所以系统(2)在 y 2 > y 0 > y 1 的情况下存在一个稳定的阶-2周期解。类似的，可以得到系统(2)在 y 1 > y 2 > y 0 与 y 0 > y 2 > y 1 的情况下存在一个稳定的阶-1周期解，并且在 y 1 > y 0 > y 2 的情况下有一个稳定的阶-2周期解。 由此可知，在 ( 1 − α ) h < x * < h 这种情况下，系统(2)只存在稳定的阶-1周期解和阶-2周期解。