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user: 3. 确定性系统分析 令 X t = ( x t ， y t ， z t ， u F ， t ， u C ， t ， m t ， α C ， t ， U F ， t ， U C ， t ) ′ ，模型的确定性系统为： F : R 9 → R 9 ，即 X t = F ( X t − 1 ) ， F 1 ( X t − 1 ) = k R 1 − m t − 1 F 7 ( X t − 1 ) α F + 1 + m t − 1 ( F 7 ( X t − 1 ) α F − 1 ) x t − 1 ， F 2 ( X t − 1 ) = x t − 1 ， F 3 ( X t − 1 ) = y t − 1 ， F 4 ( X t − 1 ) = U F ， t − 1 ， F 5 ( X t − 1 ) u C ， t = U C ， t − 1 ， F 6 ( X t − 1 ) = tanh [ β γ 2 α F σ 2 ( R y t − 1 − x t − 1 ) ( R y t − 1 + k z t − 1 − R y t − 1 F 7 ( X t − 1 ) α F ) − β c 2 + β η 2 ( u F ， t − 1 − u C ， t − 1 ) ] + δ m t − 1 ， F 7 ( X t − 1 ) = ( 1 − ϖ ) α ¯ C exp [ τ ( x t − 1 − R y t − 1 ) ] + ϖ α C ， t − 1 ， F 8 ( X t − 1 ) = γ α F σ 2 R x t − 1 ( R x t − 1 − F 1 ( X t − 1 ) ) − c + η U F ， t − 1 ， F 9 ( X t − 1 ) = γ F 7 ( X t − 1 ) σ 2 ( k y t − 1 − R x t − 1 ) ( F 1 ( X t − 1 ) − R x t − 1 ) + η U C ， t − 1 . X * = ( x * ， y * ， z * ， u F * ， u C * ， m * ， α C * ， U F * ， U C * ) T 为其平衡解，满足 X * = F ( X * ) ，即为以下等式： { x ∗ = k R 1 − m ∗ α C ∗ α F + 1 + m ∗ ( α C ∗ α F − 1 ) x ∗ ， y ∗ = x ∗ ， z ∗ = y ∗ ， u F ∗ = U F ∗ ， u C ∗ = U C ∗ ， m ∗ = 1 1 − δ tanh [ β γ 2 α F σ 2 ( R − 1 ) ( R + k − R α C ∗ α F ) ( x ∗ ) 2 − β c 2 + β η 2 ( u F ∗ − u C ∗ ) ] ， α C ∗ = α ¯ C exp [ τ ( 1 − R ) x ∗ ] ， U F ∗ = 1 1 − η [ γ α F σ 2 R ( R − 1 ) ( x ∗ ) 2 − c ] ， U C ∗ = 1 1 − η γ α C ∗ σ 2 ( k − R ) ( 1 − R ) ( x ∗ ) 2 . (2.1) 定理1 (平衡解的存在性)： 令 m e q = tanh ( β c 2 ( η − 1 ) ) ， α C e q = α ¯ C ， u F e q = U F e q = c η − 1 ， u C e q = U C e q = 0 ， ± x ∗ 为下式的解(若存在) m ∗ = 1 1 − δ tanh [ β γ 2 α F σ 2 ( R − 1 ) ( R + k − R α C ∗ α F ) ( x ∗ ) 2 − β c 2 + β η 2 ( u F ∗ − u C ∗ ) ] (2.2) 1、当 0 < k < R 时， X 0 为唯一的平衡解， X 0 = ( 0 ， 0 ， 0 ， u F e q ， 0 ， m e q ， α C e q ， U F e q ， 0 ) ； 2、当 k > R ( α C ∗ α F + 1 ) ， R > 1 时， (1) 若 α C ∗ α F < 1 时，存在平衡解 X 0 ， X 1 ， X 1 = ( x ∗ ， x ∗ ， x ∗ ， u F ∗ ， u C ∗ ， m ∗ ， α C ∗ ， U F ∗ ， U C ∗ ) ； (2) 若 α C ∗ α F > 1 时，存在平衡解 X 0 ， X 2 ， X 2 = ( − x ∗ ， − x ∗ ， − x ∗ ， u F ∗ ， u C ∗ ， m ∗ ， α C ∗ ， U F ∗ ， U C ∗ ) ； 3、当 R < k < R ( α C ∗ α F + 1 ) 时， (1) m ∗ < m e q 时， X 0 是唯一的平衡解； (2) m ∗ > m e q 时，若 α C ∗ α ¯ C < 1 ，则存在平衡解 X 0 ， X 1 ；若 α C ∗ α ¯ C > 1 ，则存在平衡解 X 0 ， X 2 。 证明：由(2.1)第一式可知 x ∗ = 0 恒成立，当 x ∗ ≠ 0 时，可解得 m ∗ = 1 − 2 R α C ∗ α F k + R ( α C ∗ α F − 1 ) ， α C ∗ = 1 − m ∗ 1 + m ∗ ( k R − 1 ) α F 。 1、 0 < k < R 时， R α C ∗ α F k + R ( α C ∗ α F − 1 ) > R α C ∗ α F R + R ( α C ∗ α F − 1 ) = 1 ，则 m ∗ < − 1 ，又由(2.1)第7式可知 α C ∗ > 0 ，但是 α C ∗ = 1 − m ∗ 1 + m ∗ ( k R − 1 ) α F < 0 ，两者相矛盾，故此时只有平衡解 X 0 。 2、 k > R ( α C ∗ α F + 1 ) ， R > 1 时， 0 < m ∗ < 1 且 α C ∗ > 0 ，因此(2.2)式存在两个平衡解 ± x ∗ ，有(2.1)第7式可知 x ∗ = ln α C ∗ α ¯ C τ ( 1 − R ) ， (1) 若 α C ∗ α F < 1 时， ln α C ∗ α ¯ C < 0 ，所以 x ∗ > 0 ，则存在平衡解 X 0 ， X 1 ； (2) 若 α C ∗ α F > 1 时， ln α C ∗ α ¯ C > 0 ，所以 x ∗ < 0 ，则存在平衡解 X 0 ， X 2 ； 3、 R < k < R ( α C ∗ α F + 1 ) 时， − 1 < m ∗ < 0 ， (1) m ∗ < m e q 时，方程(2.2)无解，故只有平衡解 X 0 ； (2) m ∗ > m e q 时，方程(2.2)有解，又由(2.1)第7式得 x ∗ = ln α C ∗ α ¯ C τ ( 1 − R ) ，若 α C ∗ α ¯ C < 1 ， ln α C ∗ α ¯ C < 0 ，则存在平衡解 X 0 ， X 1 ；若 α C ∗ α ¯ C > 1 ， ln α C ∗ α ¯ C > 0 ，所以 x ∗ < 0 ，则存在平衡解 X 0 ， X 2 。 定理2 (稳定性) 1、 0 < k < R ， ϖ < 1 ， δ < 1 ， η < 1 时，基本平衡解 X 0 是渐近稳定的； 2、 k > R ( α C ∗ α F + 1 ) ，或 ϖ < 1 或 δ > 1 或 η > 1 时，基本平衡解 X 0 不稳定； 3、 R < k < R ( α C ∗ α F + 1 ) 且 ϖ < 1 ， δ < 1 ， η < 1 时， 若 m ∗ < m e q ， α C ∗ α ¯ C < 1 时，基本平衡解 X 0 是渐近稳定的； 4、当 ϖ < 1 ， δ < 1 ， η < 1 ， k R 1 − m e q α ¯ C α F + 1 + m e q ( α ¯ C α F − 1 ) = 1 时，出现音叉分支，当 0 < β < β ∗ 时，基本平衡解 X 0 稳定，当 β > β ∗ 时，基本平衡解 X 0 不稳定， β ∗ = η − 1 c ln [ α F α ¯ C ( 1 − k R − α ¯ C α F ) ] 。 证明：由定理1， X 0 是系统的基本平衡解，则在 X 0 处： ∂ F 1 ∂ x = k R 1 − m e q α ¯ C α F + 1 + m e q ( α ¯ C α F − 1 ) = A ， ∂ F 1 ∂ X = 0 ， ∂ F 2 ∂ x = 1 ， ∂ F 2 ∂ X = 0 ， ∂ F 3 ∂ y = 1 ， ∂ F 3 ∂ X = 0 ， ∂ F 4 ∂ U F = 1 ， ∂ F 4 ∂ X = 0 ， ∂ F 5 ∂ U C = 1 ， ∂ F 5 ∂ X = 0 ， ∂ F 6 ∂ u F = β η 2 tan h ′ ( θ ) = B ， ∂ F 6 ∂ m = δ ， ∂ F 6 ∂ u C = − β η 2 tan h ′ ( θ ) = C ， ∂ F 6 ∂ X = 0 ， ∂ F 7 ∂ x = τ ( 1 − ϖ ) α ¯ C = D ， ∂ F 7 ∂ α C = ϖ ， ∂ F 7 ∂ y = − τ R ( 1 − ϖ ) α ¯ C = E ， ∂ F 7 ∂ X = 0 ， ∂ F 8 ∂ U F = η ， ∂ F 8 ∂ X = 0 ， ∂ F 9 ∂ U C = η ， ∂ F 9 ∂ X = 0 . 其中 tan h ′ ( θ ) = tan h ′ [ β γ 2 α F σ 2 ( R y − x ) ( R y + k z − R y α C ∗ α F ) + β f ( η ) 2 ( u F − u C ) − β c 2 ] ， 则在 X 0 处的Jacobi矩阵为 J = [ A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 B C δ 0 0 0 D E 0 0 0 0 ϖ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 η 0 0 0 0 0 0 0 0 0 η ] ， 则 | λ E − J | = | 0 λ − A 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 λ 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 λ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 0 0 0 − B − C λ − δ 0 0 0 − D − E 0 0 0 0 λ − ϖ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ − η 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λ − η | = ( λ − A ) ( λ − ϖ ) ( λ − δ ) ( λ − η ) 2 λ 4 = 0 ， 故 λ 1 = A = k R 1 − m e q α ¯ C α F + 1 + m e q ( α ¯ C α F − 1 ) ， λ 2 = ϖ ， λ 3 = δ ， λ 4 ， 5 = η ， λ 6 ， 7 ， 8 ， 9 = 0 ， 1、因为 1 − m e q α ¯ C α F + 1 + m e q ( α ¯ C α F − 1 ) = 1 − m e q α ¯ C α F ( m e q + 1 ) + 1 − m e q < 1 ，所以当 0 < k < R 时， λ 1 < 1 ， ϖ < 1 时， λ 2 < 1 ， δ < 1 时， λ 3 < 1 ， η < 1 时， λ 4 ， 5 < 1 ，故基本平衡解 X 0 是渐近稳定的； 2、 k > R ( α C ∗ α F + 1 ) 时， λ 1 > 1 或 ϖ > 1 时， λ 2 > 1 ， δ > 1 时， λ 3 > 1 ， η > 1 时， λ 4 ， 5 > 1 ， 故基本平衡解 X 0 是不稳定的； 3、 R < k < R ( α C ∗ α F + 1 ) ， m ∗ < m e q 时方程(2.2)无解，若 α C ∗ α ¯ C < 1 ，则 λ 1 < 1 ，且 ϖ < 1 ， δ < 1 ， η < 1 时， λ 2 < 1 ， λ 3 < 1 ， λ 4 ， 5 < 1 ，所以基本平衡解 X 0 是渐近稳定的； 4、 ϖ < 1 ， δ < 1 ， η < 1 ， λ 1 = 1 时，此时特征根都为非负实数，有且仅有可能出现pitchfork分支，即 k R 1 − m e q α ¯ C α F + 1 + m e q ( α ¯ C α F − 1 ) = 1 ，解得 β ∗ = η − 1 c ln ( ( 2 − δ ) ( k R − 1 ) + δ α ¯ C α F δ ( k R − 1 ) + ( 2 − δ ) α ¯ C α F ) ，故当 0 < β < β ∗ 时，基本平衡解 X 0 稳定，当 β > β ∗ 时，基本平衡解 X 0 不稳定。 在下面的模拟中参数取值如下 R = 1.1 ， α F = 1 ， ϖ = 0.1 ， τ = 1 ， α ¯ C = 0.9 ， σ 2 = 1 ， c = 1 ， k = 0.5 ， η = 0.5 ， γ = 0.5 ， δ = 0.2 . 下面研究选择强度β对确定性系统的敏感性，图1表示选择强度β的音叉分支图，如图所示，基本平衡解保持在确定的选择强度 β ∗ 下，当选择强度超过这个临界值时，基本平衡解变的不稳定，引起了混乱的价格波动，这与定理2的结论相一致。 图2画了 ( α C ， t ， x t ) 平面的吸引子，在第一个图中，当记忆参数γ由大变小时，价格和时变的风险厌恶系数波动显著，在第二个图中，对于η，当η由小变大时，价格和时变的风险厌恶系数波动小，这说明代理者考虑对实现利润 π i ， t − 1 的权重变大时，预测未来的价格波动变小，而对于上一期的效用函数 U i ， t − 1 的权重变小时，价格波动感小。 如图3第一个图所示当η变大，即对过去效用函数的记忆权重变大，则β变小，即分支出现的越迟， 故记忆参数η不利于稳定市场。如第二个图所示，图表分析者的趋势推断k，刚开始记忆参数k变大，β变大，当k超过确定的临界值 k ∗ 时，随着k的变大，β变小，即当 0 < k < k ∗ 时，k变大具有稳定市场的作用，当 k > k ∗ 时，k的变大使得分支出现的越早，不利于稳定市场。 图1. β对确定性系统的敏感性 图2. 由γ和η的变化画 ( α C ， t ， x t ) 平面 图3. n和k对β