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user: 3. (1+1)维GSWW方程的新精确解 设方程(1)有行波解 u = u ( ξ ) = u ( x − c t ) ，其中 c 是一非零常数，从而方程化为 c u ( 4 ) + c ( α + β ) u ′ u ″ + ( 1 − c ) u ″ = 0 ， 对方程进行积分并化简，可得 u ‴ + 1 2 ( α + β ) ( u ′ ) 2 + 1 − c c u ′ = M (11) 其中 M 为任意常数。设方程(1)的解为 u ( ξ ) = ∑ i = 0 l a i ( k G 2 + h G ′ 2 G 2 + G G ′ + G ′ 2 ) i ，且 G = G ( ξ ) 满足方程 λ 1 G 2 + λ 2 ( G ′ ) 2 + λ 3 G G ″ + λ 4 G G ′ = 0 。利用齐次平衡法有 2 ( l + 1 ) = l + 3 ，得 l = 1 ．则方程(1)的解表示为 u ( ξ ) = a 1 ( k G 2 + h G ′ 2 G 2 + G G ′ + G ′ 2 ) + a 0 (12) 由(12)式可得 u ( ξ ) 的各阶导数，并结合方程(5)式，我们得到，当 h = 1 2 ( 1 ± i 3 ) k 时， u ′ ( ξ ) = a 1 2 k λ 3 ( − λ 1 + 2 ( λ 2 + λ 3 ) − λ 4 ± i 3 ( λ 1 − λ 4 ) ) ( k G 2 + h G ′ 2 G 2 + G G ′ + G ′ 2 ) 2     + a 1 λ 3 ( − 2 ( − λ 1 + λ 2 + λ 3 ) ± i 3 λ 4 ) ( k G 2 + h G ′ 2 G 2 + G G ′ + G ′ 2 )     + k ( − λ 1 + 2 ( λ 2 + λ 3 ) + λ 4 ∓ i 3 ( λ 1 + λ 4 ) ) a 1 2 λ 3 ， + 4 ( 3 λ 1 2 + 3 λ 3 2 − 4 λ 1 λ 3 ) ) ± i 3 λ 4 ( − 36 λ 1 2 − 36 λ 2 2 − 36 λ 3 2 + 11 λ 4 2 − 72 λ 2 λ 3 + 64 λ 1 λ 2 + 64 λ 1 λ 3 ) )     × ( k G 2 + h G ′ 2 G 2 + G G ′ + G ′ 2 ) + k a 1 2 λ 3 3 ( − 6 λ 1 3 + 12 λ 2 3 + 12 λ 3 3 − 5 λ 4 3 + λ 2 2 ( − 26 λ 1 + 36 λ 3 + 36 λ 3 + 6 λ 4 )     − 26 λ 1 λ 3 2 + 22 λ 1 2 λ 3 + λ 4 2 ( 23 λ 1 − 28 λ 3 ) + λ 2 ( 22 λ 1 2 + 36 λ 3 2 − 28 λ 4 2 + 4 λ 4 ( − 7 λ 1 + 3 λ 3 ) − 52 λ 1 λ 3 )     + λ 4 ( 24 λ 1 2 + 6 λ 3 2 − 28 λ 1 λ 3 ) ∓ i 3 ( − 5 λ 4 3 + λ 4 2 ( − 11 λ 1 + 6 λ 3 ) + 6 λ 2 2 ( λ 1 + 3 λ 4 )     − 2 λ 2 ( 5 λ 1 − 6 λ 3 − λ 4 ) ( λ 1 + 3 λ 4 ) + 2 λ 1 ( 3 λ 1 2 + 3 λ 3 2 − 5 λ 1 λ 3 ) + 2 λ 4 ( 6 λ 1 2 + 9 λ 3 2 − 14 λ 1 λ 3 ) ) ) 将上面共轭的 u 及 u ′ ， u ‴ 分别代入(11)式，分别合并 ( k G 2 + h G ′ 2 G 2 + G G ′ + G ′ 2 ) 的同幂次项，令方程的各次幂的系数为零，可得 0次幂的系数： k 3 ( − 2 ( 4 M λ 3 3 − 2 k ( λ 3 2 ( − λ 1 + 2 λ 2 + 2 λ 3 + λ 4 ) + c ( 12 λ 2 3 − 5 λ 4 3 − λ 2 2 ( 26 λ 1 − 36 λ 3 − 6 λ 4 ) + μ 2 ( 23 λ 1 − 28 λ 3 ) + ( − λ 1 + 2 λ 3 ) ( 6 λ 1 2 + 5 λ 3 2 − 10 λ 1 λ 3 ) + λ ( 22 λ 1 2 + 34 λ 3 2 − 28 λ 4 2 + 4 λ 4 ( − 7 λ 1 + 3 λ 3 ) − 52 λ 1 λ 3 ) + λ 4 ( 24 λ 1 2 + 5 λ 3 2 − 28 λ 1 λ 3 ) ) ) a 1 − c k 2 ( α + β ) λ 3 ( − λ 1 2 + 2 λ 2 2 + 2 λ 3 2 − λ 4 2 + 2 λ 2 λ 4 + 4 λ 2 λ 3 + 2 λ 3 λ 4 − 2 λ 1 ( λ 2 + λ 3 + 2 λ 4 ) ) a 1 2 ) ∓   2 i 3 k a 1 ( 2 ( λ 3 2 ( λ 1 + λ 4 ) + c ( − 5 λ 4 3 + λ 4 2 ( − 11 λ 1 + 6 λ 3 ) + 6 λ 2 ( λ 1 + 3 λ 4 ) + 2 λ 2 ( − 5 λ 1 + 6 λ 3 + λ 4 ) ( λ 1 + 3 λ 4 ) + λ 1 ( 6 λ 1 2 + 5 λ 3 2 − 10 λ 1 λ 3 ) + λ 4 ( 12 λ 1 2 + 17 λ 3 2 − 28 λ 3 λ 1 ) ) ) + c k ( α + β ) λ 3 ( − λ 1 + 2 λ 2 + λ 4 + 2 λ 3 ) ( λ 1 + λ 4 ) a 1 ) ) = 0 1次幂的系数： 4 k 3 a 1 ( − 4 ( − λ 1 + λ 2 + λ 3 ) ( λ 3 2 + c ( 12 λ 1 2 + 12 λ 2 2 + 11 λ 3 2 − 29 λ 4 2 + 24 λ 2 λ 3 − 16 λ 1 ( λ 2 + λ 3 ) ) ) −   c k ( α + β ) λ 3 ( 2 λ 1 2 + 4 λ 2 2 + 4 λ 3 2 − 3 λ 4 2 + 2 λ 3 λ 4 + 2 λ 2 ( − 3 λ 1 + 4 λ 3 + λ 4 ) − 5 λ 1 λ 4 − 6 λ 1 λ 3 ) a 1 ±   i 3 ( 2 λ 4 ( λ 3 2 + c ( 36 λ 1 2 + 36 λ 2 2 + 35 λ 3 2 − 11 λ 4 2 + 72 λ 2 λ 3 − 64 λ 1 ( λ 2 + λ 3 ) ) ) + c k ( α + β ) λ 3 ( − 2 λ 1 2 + λ 4 ( 4 λ 2 + 4 λ 3 + λ 4 ) + λ 1 ( 2 λ 2 + 2 λ 3 − 3 λ 4 ) ) a 1 ) ) = 0 2次幂的系数： 4 k 2 a 1 ( ( λ 3 2 ( − λ 1 + 2 λ 2 + 2 λ 3 − λ 4 ) + c ( 72 λ 2 3 + 29 λ 4 3 − 4 λ 2 2 ( 41 λ 1 − 54 λ 3 + 9 λ 4 ) +   λ 4 2 ( 137 λ 1 − 166 λ 3 ) + λ 4 ( − 144 λ 1 2 − 35 λ 3 2 + 172 λ 1 λ 3 ) + ( − λ 1 + 2 λ 3 ) ( 36 λ 1 2 + 35 λ 3 2 − 64 λ 1 λ 3 ) +   2 λ ( 68 λ 1 2 + 107 λ 3 2 − 83 λ 4 2 − 83 λ 4 2 − 36 λ 3 λ 4 + 86 λ 1 λ 4 − 164 λ 1 λ 3 ) ) +   c k ( α + β ) λ 3 ( − 5 λ 4 2 + 6 ( λ 2 + λ 3 ) 2 − 10 λ 1 ( λ 2 + λ 3 ) ∓ i 3 ( λ 3 2 ( − λ 1 + λ 4 ) +   c ( λ 4 ( − 36 λ 1 3 + 108 λ 2 2 + 107 λ 3 2 − 29 λ 4 2 − 36 λ 2 ( − 6 λ 3 + λ 4 ) − 36 λ 3 λ 4 ) − ( 36 λ 2 2 + 172 λ 2 λ 4 + 35 λ 3 2 − 65 λ 4 2 + 72 λ 2 λ 3 + 172 λ 3 λ 4 ) λ 1 + 8 λ 1 2 ( 8 λ 2 + 8 λ 3 + 9 λ 4 ) ) + 6 c k ( α + β ) λ 3 λ 4 ( − λ 1 + λ 2 + λ 3 ) a 1 ) ) = 0 3次幂的系数： 4 c k a 1 ( − 12 ( 4 λ 2 3 + 4 λ 3 3 + 3 λ 4 3 − 8 λ 3 λ 4 2 − 4 λ 3 2 λ 4 + 2 λ 1 ( − 4 λ 3 2 + λ 4 2 + 9 λ 3 λ 4 ) + λ 1 2 ( 2 λ 3 − 11 λ 4 ) +   2 λ 1 3 − 4 λ 2 2 ( 2 λ 1 − 3 λ 3 + λ 4 ) + 2 λ 2 ( λ 1 2 + 6 λ 3 2 − 4 λ 4 2 − 4 λ 3 λ 4 + 9 λ 1 λ 4 − 8 λ 1 λ 3 ) ) −   k ( α + β ) ρ ( 2 λ 1 2 + 4 λ 2 2 + 4 λ 3 2 − 3 λ 4 2 − 2 λ 3 λ 4 + 5 λ 1 λ 4 − 6 λ 1 λ 3 − 2 λ 2 ( 3 λ 1 − 4 λ 3 + λ 4 ) a 1 ±   i 3 ( 12 ( − λ 4 ( − 2 λ 1 3 − 6 λ 2 2 − 6 λ 3 2 + λ 4 2 + 4 λ 2 ( − 3 λ 3 + λ 4 ) + 4 λ 3 λ 4 ) − 2 λ 1 ( 2 λ 2 2 + 2 λ 3 2 − 3 λ 4 2 + 3 λ 2 λ 4 + 4 λ 2 λ 3 + 3 λ 3 λ 4 ) + λ 1 2 ( 6 λ 2 + 6 λ 3 ) ) + k ( α + β ) λ 3 ( 2 λ 1 2 + λ 4 ( 4 λ 2 + 4 λ 3 − λ 4 ) − λ 1 ( 2 λ 2 + 2 λ 3 + 3 λ 4 ) ) a 1 ) ) = 0 4次幂的系数： c a 1 ( 24 ( − 2 λ 1 + λ 2 + λ 3 + λ 4 ) ( − λ 1 + 2 λ 2 + 2 λ 3 − λ 4 ) ( λ 1 + λ 2 + λ 3 − 2 λ 4 ) +   2 k ( α + β ) ρ ( 2 λ 2 2 + 2 λ 3 2 − λ 4 2 − 2 λ 3 λ 4 + 4 λ 1 λ 4 − 2 λ 1 λ 3 − λ 1 2 − 2 λ 2 ( λ 1 − 2 λ 3 + λ 4 ) ) a 1 ∓ 2 i 3 ( − λ 1 + λ 4 ) ( 36 ( λ 2 + λ 3 − λ 4 ) ( − λ 1 + λ 2 + λ 3 ) + k ( α + β ) λ 3 ( − λ 1 + 2 λ 2 + 2 λ 3 − λ 4 ) a 1 ) ) = 0 借助符号计算软件Mathematica，对以上有关 a i 的共轭的两组代数方程组分别进行求解，可得到，当 h = 1 2 ( 1 ± i 3 ) k 且 k ( α + β ) λ 3 ≠ 0 时，有 a 1 = 6 ( − λ 1 + 2 ( λ 2 + λ 3 ) − λ 4 ± i 3 ( λ 1 − λ 4 ) ) k ( α + β ) λ 3 ， c = λ 3 2 Δ + λ 3 2 (13) 这里 Δ = 4 λ 1 ( λ 2 + λ 3 ) − λ 4 2 ，其中 λ 1 ， λ 2 ， λ 4 和 a 0 取任意常数，将(13)式代入(12)式，得到了两组互为共轭的 u ( ξ ) 的表示形式，即 u ( ξ ) = 6 ( − λ 1 + 2 ( λ 2 + λ 3 ) − λ 4 ± i 3 ( λ 1 − λ 4 ) ) k ( α + β ) λ 3 ( k ( G 2 + 1 2 ( 1 ± i 3 ) G ′ 2 ) G 2 + G G ′ + G ′ 2 ) + a 0 这里 k ≠ 0 ， α + β ≠ 0 ， λ 3 ≠ 0 ，其中的G是方程(5)式的解，因此我们得到了(1+1)维GSWW方程以下形式的精确解： ① 当 λ 2 ≠ − λ 3 且 Δ = 4 λ 1 ( λ 2 + λ 3 ) − λ 4 2 > 0 时， ξ = x + λ 3 2 Δ + λ 3 2 t ，由(6)式，可得方程(1)的解为 u ( ξ ) = ( 3 ( − λ 1 + 2 ( λ 2 + λ 3 ) ± i 3 ( λ 1 − λ 4 ) − λ 4 ) ( 2 ( λ 2 + λ 3 ) ( ( 1 ± i 3 ) λ 1 + 2 ( λ 2 + λ 3 ) )     − ( 1 ± i 3 ) Δ sin ( Δ ( C 1 − ξ λ 3 − 1 ) ) λ 4 + cos ( Δ ( C 1 − ξ λ 3 − 1 ) ) ( − 2 ( 1 ± i 3 ) λ 1 ( λ 2 + λ 3 )     + 4 ( λ 2 + λ 3 ) 2 + ( 1 ± i 3 ) λ 4 2 ) ) ) / ( ( α + β ) λ 3 ( Δ sin ( Δ ( − ξ λ 3 − 1 + C 1 ) ) ( λ 2 + λ 3 − λ 4 )     + ( λ 2 + λ 3 ) ( 2 ( λ 1 + λ 2 + λ 3 ) − λ 4 ) + cos ( Δ ( − ξ λ 3 − 1 + C 1 ) ) ( − 2 λ 1 ( λ 2 + λ 3 )     + 2 ( λ 2 + λ 3 ) 2 − ( λ 2 + λ 3 ) λ 4 + λ 4 2 ) ) ) + a 0 此为方程一对共轭的三角函数形式的显式行波解。 ② 当 λ 2 ≠ − λ 3 且 Δ = 4 λ 1 ( λ 2 + λ 3 ) − λ 4 2 < 0 时， ξ = x + λ 3 2 Δ + λ 3 2 t ，由(7)式，可得方程(1)的解为 u ( ξ ) = ( 3 ( − λ 1 + 2 ( λ 2 + λ 3 ) ± i 3 ( λ 1 − λ 4 ) − λ 4 ) ( 2 ( λ 2 + λ 3 ) ( − ( 1 ± i 3 ) λ 1     + 2 ( λ 2 + λ 3 ) + cosh ( Δ ( − ξ λ 3 − 1 + C 1 ) ) ( ( 1 ± i 3 ) λ 1 + 2 ( λ 2 + λ 3 ) )     + ( 1 ± i 3 ) λ 4 ( Δ sinh ( Δ ( − ξ λ 3 − 1 + C 1 ) ) + λ 4 ) ) / ( ( α + β ) λ 3 ( 2 ( λ 2 + λ 3 )     × ( − λ 1 + λ 2 + λ 3 ) − Δ sinh ( Δ ( − ξ λ 3 − 1 + C 1 ) ) ( λ 2 + λ 3 − λ 4 )     + cosh ( Δ ( − ξ λ 3 − 1 + C 1 ) ) ( 2 ( λ 2 + λ 3 ) ( λ 1 + λ 2 + λ 3 ) − 2 ( λ 2 + λ 3 ) λ 4 + λ 4 2 ) ) ) + a 0 此为方程一对共轭的双曲函数形式的显式行波解。 ③ 当 λ 2 ≠ − λ 3 且 Δ = 4 λ 1 ( λ 2 + λ 3 ) − λ 4 2 = 0 ，即 λ 1 = λ 4 2 4 ( λ 2 + λ 3 ) 时， ξ = x + t ，由(8)式，可得方程(1)的解为 u ( ξ ) = ( 3 ( 8 ( λ 2 + λ 3 ) 2 − 4 ( 1 ± i 3 ) ( λ 2 + λ 3 ) λ 4 − ( 1 ∓ i 3 ) λ 4 2 ) ( ξ 2 ( 8 ( λ 2 + λ 3 ) 2 + ( 1 ± i 3 ) λ 4 2 )     + 4 ξ λ 3 ( − ( 1 ± i 3 ) λ 4 + 2 C 1 ( λ 2 + λ 3 ) ( − 8 ( λ 2 + λ 3 ) 2 − ( 1 ± i 3 ) λ 4 2 ) ) + 4 λ 3 2 ( 1 ± i 3 + 4 C 1 ( λ 2 + λ 3 )     + 4 C 1 ( λ 2 + λ 3 ) ( 8 C 1 ( λ 2 + λ 3 ) 3 + ( 1 ± i 3 ) λ 4 + ( 1 ± i 3 ) C 1 ( λ 2 + λ 3 ) λ 4 2 ) ) ) ) / ( 4 ( α + β ) λ 3 ( λ 2 + λ 3 )     × ( ξ 2 ( 4 ( λ 2 + λ 3 ) 2 − 2 ( λ 2 + λ 3 ) λ 4 + λ 4 2 ) + 4 ξ λ 3 ( ( λ 2 + λ 3 ) ( 1 − 8 C 1 ( λ 2 + λ 3 ) 2 ) − λ 4 + 4 C 1 − λ 4     + 4 C 1 ( λ 2 + λ 3 ) 2 λ 4 − 2 C 1 ( λ 2 + λ 3 ) λ 4 2 ) + 4 λ 3 2 ( 1 + 4 C 1 ( λ 2 + λ 3 ) ( ( λ 2 + λ 3 ) ( − 1 + 4 C 1 ( λ 2 + λ 3 ) 2 )     − ( − 1 + 2 C 1 ( λ 2 + λ 3 ) 2 ) λ 4 + C 1 ( λ 2 + λ 3 ) λ 4 2 ) ) ) ) + a 0 此为方程一对共轭的有理函数形式的显式行波解。 ④ 当 λ 2 = − λ 3 ≠ 0 且 λ 4 ≠ 0 时， ξ = x + λ 2 2 λ 2 2 − λ 4 2 t ，由(9)式，可得方程(1)的解为 u ( ξ ) = − 3 ( k ( 1 ∓ i 3 ) ( λ 4 C 1 exp ( ξ λ 2 − 1 λ 4 ) − λ 1 ) 2 + 2 k λ 4 2 ) ( − λ 1 ∓ i 3 ( λ 1 − λ 4 ) − λ 4 ) k ( α + β ) λ 2 ( λ 4 2 C 1 2 exp ( 2 ξ λ 2 − 1 λ 4 ) + ( − 2 λ 1 + λ 4 ) C 1 λ 4 exp ( ξ λ 2 − 1 λ 4 ) + λ 1 2 − λ 1 λ 4 + λ 4 2 ) + a 0 此为方程一对共轭的指数函数形式的显式行波解。 ⑤ 当 λ 2 = − λ 3 ≠ 0 且 λ 4 = 0 时， ξ = x + t ，由(10)式，可得方程(1)的解为 u ( ξ ) = 6 λ 1 ( 2 ξ 2 λ 1 2 + 4 ξ C 1 λ 1 λ 2 + ( 1 ∓ i 3 + 2 C 1 2 ) λ 2 2 ) ( α + β ) λ 2 ( ξ 2 λ 1 2 + ξ ( 1 + 2 C 1 ) λ 1 λ 2 + ( 1 + C 1 + C 1 2 ) λ 2 2 ) + a 0 此为方程另一对共轭的有理函数形式的显式行波解。