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user: 4. 定理1.2的证明 我们定义 A : W 0 1 ， p ( Ω ) → W − 1 ， P ′ ( Ω ) : = ( W 0 1 ， p ( Ω ) ) * ，且对所有的 u ， η ∈ W 0 1 ， P ( Ω ) ，非线性映射定义为 〈 A ( u ) ， η 〉 = ∫ Ω | ∇ u | p − 2 ∇ u ∇ η ， 且该映射满足如下性质(参考文献 [ 13 ] )： 命题4.1：映射 A : W 0 1 ， p ( Ω ) → W − 1 ， P ′ ( Ω ) 是有界的、连续的和严格单调的，并且为 ( S ) + 型，即若 u n → w u 在 W 0 1 ， p ( Ω ) 上成立和 lim sup n → ∞ 〈 A ( u n ) ， u n − u 〉 ≤ 0 成立，则在 W 0 1 ， P ( Ω ) 上有 u n → u 。 现在，结合引理3.2中 v _ ∈ C 0 1 ( Ω ¯ ) ，我们可定义Carathéodory函数 h ^ : Ω × ℝ → ℝ 为： h ^ ( x ， s ) = { b ( x ) ( g ( v _ ( x ) ) ) − γ g ′ ( v _ ( x ) ) + f ( x ， g ( v _ ( x ) ) ) g ′ ( v _ ( x ) ) ， s < v _ ( x ) ， b ( x ) ( g ( s ) ) − γ g ′ ( s ) + f ( x ， g ( s ) ) g ′ ( s ) ， s ≥ v _ ( x ) ， (4.1) 同时考虑如下辅助问题 { − Δ p v = h ^ ( x ， v ) x ∈ Ω ， v = 0 x ∈ ∂ Ω ， (4.2) 且(4.2)式对应能量泛函 Φ ^ : W 0 1 ， p ( Ω ) → ℝ 由下式给定 Φ ^ ( v ) = 1 p ∫ Ω | ∇ v | p − ∫ Ω H ^ ( x ， v ) ， (4.3) 其中 H ^ ( x ， s ) = ∫ 0 s h ^ ( x ， t ) d t 。根据 h ^ ( x ， s ) 定义，当 s < v _ ( x ) 时，我们有 | h ^ ( x ， s ) | ≤ b ( x ) ( g ( v _ ) ) − γ g ′ ( v _ ) + M 1 . 运用引理2.2-(5)和(10)、引理2.3-(1)和(f 2 )，当 s ≥ v _ ( x ) 时，有 | h ^ ( x ， s ) | ≤ b ( x ) ( g ( v _ ) ) − γ g ′ ( v _ ) + C * ( 1 + a 1 ( x ) | s | r − 2 2 ) . 因此，对几乎处处 x ∈ Ω 和任意 s ∈ ℝ ，可得 | h ^ ( x ， s ) | ≤ b ( x ) ( g ( v _ ) ) − γ g ′ ( v _ ) + C * * ( 1 + a 1 ( x ) | s | r − 2 2 ) ， | H ^ ( x ， s ) | ≤ l 1 ( x ) s + C * * a 1 ( x ) | s | r 2 ， (4.4) 其中 l 1 ( x ) = b ( x ) ( g ( v _ ) ) − γ g ′ ( v _ ) + C * * 且 l 1 ( x ) ∈ L q ( Ω ) 。基于前面所做的工作，我们可立即得出 Φ ^ ∈ C 1 ( W 0 1 ， p ( Ω ) ， ℝ ) ，且 Φ ^ 的任意一个临界点都对应方程(4.2)的一个弱解。 引理4.2：假设条件(b 1 )和(f 1 )~(f 3 )成立，则泛函 Φ ^ 在任意 c ∈ ℝ 水平满足Palais-Smale条件。 证明：设序列 { v n } ⊂ W 0 1 ， p ( Ω ) ，且同时满足 Φ ^ ( v n ) → c ， Φ ^ ′ ( v n ) → 0 。由 h ^ ( x ， s ) 定义，经过一些简单的计算，当 s < v _ ( x ) 时，我们可得 h ^ ( x ， s ) s − θ H ^ ( x ， s ) ≥ ( 1 − θ ) s ( b ( x ) ( g ( v _ ) ) − γ g ′ ( v _ ) + M 1 ) . (4.5) 接下来，针对 s ≥ v _ ( x ) 的情况，我们将从以下三种情形考虑： 0 < γ < 1 ，     γ = 1 和 γ > 1 。 情形1： 0 < γ < 1 。 令 m 0 = esssup ( x ， s ) ∈ Ω × ( 0 ， s 0 ) | f ( x ， s ) | 和 M 0 = esssup ( x ， s ) ∈ Ω × ( 0 ， s 0 ) | F ( x ， s ) | 。不失一般性，根据条件(f 3 )我们假设 s 0 > g ( ‖ v _ ‖ ∞ ) ，则当 v _ ( x ) ≤ s < g − 1 ( s 0 ) 时，由引理2.2-(6)和引理2.3-(1)，可以推出 h ^ ( x ， s ) s − θ H ^ ( x ， s ) ≥ − m 0 s 0 − θ m 0 s − 3 − γ 1 − γ θ b ( x ) ( g ( v _ ) ) − γ g ′ ( v _ ) s − 2 θ M 0 . (4.6) 当 s ≥ g − 1 ( s 0 ) 时，根据条件(f 3 )，进一步得到 h ^ ( x ， s ) s − θ H ^ ( x ， s ) ≥ − θ m 0 s − 3 − γ 1 − γ θ b ( x ) ( g ( v _ ) ) − γ g ′ ( v _ ) s − θ M 0 . (4.7) 结合(4.5)~(4.7)式和 b ( x ) ( g ( v _ ) ) − γ g ′ ( v _ ) ∈ L q ( Ω ) ，可知对几乎处处 x ∈ Ω 和所有 s ∈ ℝ ，有 h ^ ( x ， s ) s − θ H ^ ( x ， s ) ≥ − C 1 − C 2 ω 1 ( x ) s ， 其中 ω 1 ( x ) ∈ L q ( Ω ) 。因此可得 C + o n ( 1 ) ‖ v n ‖ ≥ θ Φ ^ ( v n ) − 〈 Φ ^ ′ ( v n ) ， v n 〉 = ( θ p − 1 ) ‖ v n ‖ p + ∫ Ω ( h ^ ( x ， v n ) v n − θ H ^ ( x ， v n ) ) ， 最终得到 C + C 1 | Ω | + C 2 ‖ ω 1 ‖ q ‖ v n ‖ + o n ( 1 ) ‖ v n ‖ ≥ ( θ p − 1 ) ‖ v n ‖ p . 情形2： γ > 1 。 此与情形1方法类似，在此省略详细论述。 情形3： γ = 1 。 利用引理2.3-(1)和引理2.2-(2)，当 v _ ( x ) ≤ s < g − 1 ( s 0 ) 时，推出 h ^ ( x ， s ) s − θ H ^ ( x ， s ) ≥ − 2 θ b ( x ) ( g ( v _ ) ) − 1 g ′ ( v _ ) s − ( 1 + θ ) m 0 s − 2 θ M 0 . (4.8) 若 s ≥ g − 1 ( s 0 ) ，利用(f 3 )即得 h ^ ( x ， s ) s − θ H ^ ( x ， s ) ≥ − 2 θ b ( x ) ( g ( v _ ) ) − 1 g ′ ( v _ ) s − θ m 0 s − θ M 0 . (4.9) 结合(4.5)、(4.8)和(4.9)式，运用与情形1相同方法可得出 C + C 1 | Ω | + C 2 ‖ ω 1 ‖ q ‖ v n ‖ + o n ( 1 ) ‖ v n ‖ ≥ ( θ p − 1 ) ‖ v n ‖ p . 综合情形1~情形3来看，可推出对所有 γ > 0 ， { v n } 在 W 0 1 ， p ( Ω ) 上有界，因此 { v n → w v ( 在 W 0 1 ， p ( Ω ) 中 ) ， v n → v ( 在 L σ ( Ω ) 中 ， 1 ≤ σ < p * ) ， v n → v a . e . x ∈ Ω . (4.10) 进一步，对任意给定的 η ∈ W 0 1 ， p ( Ω ) ，可知 o n ( 1 ) = 〈 Φ ^ ′ ( v n ) ， η 〉 = ∫ Ω | ∇ v n | p − 2 ∇ v n ∇ η − ∫ Ω h ^ ( x ， v n ) η . 选定 η = v n − v ∈ W 0 1 ， p ( Ω ) ，得到 o n ( 1 ) = 〈 Φ ^ ′ ( v n ) ， v n − v 〉 = ∫ Ω | ∇ v n | p − 2 ∇ v n ∇ ( v n − v ) − ∫ Ω h ^ ( x ， v n ) ( v n − v ) . (4.11) 另一方面，我们有 | ∫ Ω h ^ ( x ， v n ) ( v n − v ) | ≤ ∫ Ω | b ( x ) ( g ( v _ ) ) − γ g ′ ( v _ ) + C 1 ( 1 + a 1 ( x ) ) | v n | r − 2 2 | | v n − v | ≤ ‖ b ( x ) ( g ( v _ ) ) − γ g ′ ( v _ ) ‖ q ‖ v n − v ‖ q q − 1 + C ‖ v n ‖ r − 1 r − 1 2 ‖ v n − v ‖ 2 ( r − 1 ) r + C ‖ v n − v ‖ 1 . 因为 2 p < r < 2 p * ，     1 < p < N < q ，容易看出 r − 1 ≤ p * ，   2 ( r − 1 ) r < p * 且 q q − 1 < p * 。由(4.10)式可得 lim n → ∞ ∫ Ω h ^ ( x ， v n ) ( v n − v ) = 0. (4.12) 因此，由(4.11)和(4.12)式推出 lim n → ∞ 〈 A ( v n ) ， v n − v 〉 = 0. 运用命题4.1进一步得到在 W 0 1 ， P ( Ω ) 上， v n → v 成立。证毕。 引理4.3：假设条件(b 1 )和(f 1 )~(f 3 )成立，则存在 α 1 > 0 使得 ‖ a 1 ‖ ∞ ≤ α 1 时，下列事实成立： 1) 存在 R 1 > 0 ，   ρ > 0 使得 inf v ∈ ∂ B R 1 ( 0 ) Φ ^ ( v ) ≥ ρ ； 2) 存在 e ∈ W 0 1 ， p ( Ω ) \ B R 1 ( 0 ) 使得 Φ ^ ( e ) < 0 。 证明：根据(4.4)式，若 v ∈ W 0 1 ， p ( Ω ) ，则有 ∫ Ω H ^ ( x ， v ) ≤ ‖ l 1 ‖ q ‖ v ‖ q q − 1 + C ‖ a 1 ‖ ∞ ‖ v ‖ r 2 r 2 . 因此，根据Sobolev嵌入不等式可得 Φ ^ ( v ) ≥ 1 p ‖ v ‖ p − C 1 ‖ l 1 ‖ q ‖ v ‖ + C 2 ‖ a 1 ‖ ∞ ‖ v ‖ r 2 . 选定 R 1 > 0 使得 R 1 p p − C 1 ‖ l 1 ‖ q R 1 ≥ 2 。再令 α 1 = 1 4 C 2 R 1 − r 2 ，对所有 v ∈ ∂ B R 1 ( 0 ) ，当 ‖ a 1 ‖ ∞ ≤ α 1 时，有 Φ ^ ( v ) ≥ 1 。 针对结论(2)，由(f 2 )和(f 3 )不难发现，存在 Q ∈ L ∞ ( Ω ) ，使得对几乎处处 x ∈ Ω 和任意 s ≥ 0 ，有 F ( x ， s ) ≥ F ( x ， s 0 ) s 0 2 θ s 2 θ − Q ( x ) . (4.13) 进一步，当 s ≥ 1 时，对几乎处处 x ∈ Ω 可推出 H ^ ( x ， s v _ ) ≥ H ^ ( x ， v _ ) + F ( x ， g ( s v _ ) ) − F ( x ， g ( v ) ) . 因此，由引理2.2-(9)可知，当 s ≥ 1 时，有 Φ ^ ( s v _ ) ≤ s p p ‖ v _ ‖ p − s θ s 0 2 θ ∫ Ω F ( x ， s 0 ) ( g ( v _ ) ) 2 θ − C * . (4.14) 因为 θ > p ，由(4.14)式可知，当 s → ∞ 时， Φ ^ ( s v _ ) → − ∞ 。因此，选定 e : = s * v _ ，当 s * > 0 充分大时可得 Φ ^ ( s * v _ ) < 0 。证毕。 定理1.2的证明根据引理4.2、引理4.3和山路引理 [ 14 ] 可知，泛函 Φ ^ 有一个临界点 v ^ ∈ W 0 1 ， p ( Ω ) ，且同时满足 Φ ^ ( v ^ ) ≥ 1 和 v ^ 为方程(4.2)的一个弱解。 接下来，我们进一步证明对几乎处处 x ∈ Ω ，均有 v _ ≤ v ^ 。 事实上，取 φ = ( v _ − v ^ ) + 作为方程(4.2)的弱解定义式中的测试函数，得到 ∫ Ω | ∇ v ^ | p − 2 ∇ v ^ ∇ ( v _ − v ^ ) + = ∫ { v ^ ≤ v _ } h ^ ( x ， v ^ ) ( v _ − v ^ ) + ≥ ∫ Ω | ∇ v _ | p − 2 ∇ v _ ∇ ( v _ − v ^ ) + . 由算子的单调性可知，对几乎处处 x ∈ Ω ，均有 ( v _ − v ^ ) + = 0 ，即对几乎处处 x ∈ Ω ， v _ ≤ v ^ 成立。 进一步，根据 H ^ ( x ， s ) 定义和 Φ ˜ ( v ˜ ) = inf Γ Φ ˜ ( v ) ，我们可得 Φ ^ ( v ˜ ) = Φ ˜ ( v ˜ ) ≤ Φ ˜ ( v _ ) = Φ ^ ( v _ ) ， (4.15) 且 Φ ^ ( v _ ) = 1 p ‖ v _ ‖ p − ∫ Ω b ( x ) ( g ( v _ ) ) − γ g ′ ( v _ ) v _ + f ( x ， g ( v _ ) ) g ′ ( v _ ) v _ ≤ ( 1 p − 1 ) ‖ v _ ‖ p < 0. (4.16) 结合(4.15)、(4.16)式和 Φ ^ ( v ^ ) ≥ 1 ，可知 Φ ^ ( v ˜ ) < 0 < Φ ^ ( v ^ ) 。 最后，由(4.1)式中 h ^ ( x ， s ) 定义，当 s ≥ v _ ( x ) 时，可以推出 v ^ 为方程(1.5)的一个正弱解，从而 u = g ( v ^ ) 为原方程(1.1)的一个正弱解。 取 v ˜ 替换(4.1)式中的 v _ ，运用与上述证明相同的方法，我们可进一步推出，对几乎处处 x ∈ Ω ，均成立 v ˜ ≤ v ^ 。