system: [SYSTEM]

user: 2. 一类2 × 2分块矩阵的广义逆 2.1. 逆矩阵的基本概念 块矩阵 [ 5 ] 的逆矩阵有多种，例如减号逆，加号逆 [ 6 ]，最小二乘广义逆 [ 7 ]，自反广义逆和最小范数广义逆 [ 8 ]。在本文中，我们考虑四分块矩阵的减号逆 [ 9 ]。 对于矩阵 A ∈ F m × n ，我们考虑以下公式： A X A = A ， ∀ A ∈ F m × n (1) 对于一个 m × n 的矩阵A，如果存在一个矩阵X满足(1)，那么矩阵X称为A矩阵的减号逆 A − 1 ，对任意的 A ∈ F m × n ， A − 1 存在。 2.2. 2 × 2分块矩阵减号逆 在求解如下离散方程组(2)时 [ 10 ]，会涉及到分块矩阵的求逆问题 [ 11 ] (2) 我们考虑以下 2 × 2 块矩阵的广义逆，设系数矩阵T为 T = [ A C T C B ] (3) 设矩阵T减号逆为 [ X 1 X 2 X 3 X 4 ] 方程(2)中U，P未知，系数矩阵T和右端项F已知，有 { A U − C T P = 0 ， C U − B P = F . (4) 根据减号逆的性质有 [ A C T C B ] [ X 1 X 2 X 3 X 4 ] [ A C T C B ] = [ A C T C B ] ， 从而 { A X 1 A + A X 2 C + C T X 3 A + C T X 4 C = A ， A X 1 C T + A X 2 B + C T X 3 C T + C T X 4 B = C T ， C X 1 A + C X 2 C + B X 3 A + B X 4 C = C ， C X 1 C T + C X 2 B + B X 3 C T + B X 4 B = B . (5) 在(5)中的第1、3个等式左右同乘以U，第2、4个等式左右同乘以P有 { A X 1 A U + A X 2 C U + C T X 3 A U + C T X 4 C U = A U ， A X 1 C T P + A X 2 B P + C T X 3 C T P + C T X 4 B P = C T P ， C X 1 A U + C X 2 C U + B X 3 A U + B X 4 C U = C U ， C X 1 C T P + C X 2 B P + B X 3 C T P + B X 4 B P = B P . (6) 因为 A U − C T P = 0 ， C U − B P = F ，可得 { A X 1 C T P + A X 2 C U + C T X 3 C T P + C T X 4 C U = A U ， A X 1 C T P + A X 2 B P + C T X 3 C T P + C T X 4 B P = C T P ， C X 1 C T P + C X 2 C U + B X 3 C T P + B X 4 C U = C U ， C X 1 C T P + C X 2 B P + B X 3 C T P + B X 4 B P = B P . (7) 在(7)中第一个等式减去第二个等式，第三个等式减去第四个等式得 { A X 2 F + C T X 4 F = 0 ， C X 2 F + B X 4 F = 0. (8) 化成矩阵形式得 ( A C T 0 0 0 0 C B ) [ X 2 0 0 0 0 X 4 0 0 0 0 X 2 0 0 0 0 X 4 ] [ F 0 F 0 0 F 0 F ] = [ 0 0 0 F ] (9) 下面讨论 ( A C T 0 0 0 0 C B ) − 的求解： 设 A ∈ C p × m ， C ∈ C q × m ，形如 ( A ⋮ C T ) 的矩阵叫做列分块矩阵，以下讨论列分块矩阵的减号逆。 对矩阵 ( A ⋮ C T ) 作初等变换 [ 7 ] 有 ( A − E m ) ( A ⋮ C T ) ( E p − A − C T 0 E q ) = ( A − A A − ( E n − A − A ) C T A ( E n − A − A ) C T ) ， (10) 令 D 1 = ( E n − A − A ) C T ， H = ( A − A A − ( E n − A − A ) C T A ( E n − A − A ) C T ) ， 有 A A − D 1 = D 1 = A A − ( E n − A A − ) C T = ( A A − − A A − A A − ) C T = ( A A − − A A − ) C T = 0 ， 令 X = ( E 0 − D 1 − A D 1 − ) ，有 H X H = ( A − A A − ( E n − A A − ) C T A ( E n − A A − ) C T ) ( E 0 − D 1 − A D 1 − ) ( A − A A − ( E n − A A − ) C T A ( E n − A A − ) C T ) = ( A − A A − D 1 A D 1 ) ( E 0 − D 1 − A D 1 − ) ( A − A A − D 1 A D 1 ) = ( ( A − A − A − D 1 D 1 − A ) A − A + A − D 1 D 1 − A ( A − A − A − D 1 D 1 − A ) A − D 1 + A − D 1 D 1 − D 1 ( A − D 1 D 1 − A ) A − A + D 1 D 1 − A ( A − D 1 D 1 − A ) A − D 1 + D 1 D 1 − D 1 ) = ( A − A A − D 1 A D 1 ) = H 又 ( A − E m ) 为列满秩阵， ( E p − A − C T 0 E q ) 为可逆阵。 又有 ( A ⋮ C T ) ( E p − A − C T 0 E q ) X ( A − E m ) ( A ⋮ C T ) = ( A ⋮ C T ) ， (11) 所以有 ( A ⋮ C T ) − = ( E p − A − C T 0 E q ) X ( A − E m ) = ( A − − A − C T D 1 − ( E m − A A − ) D 1 − ( E m − A A − ) ) .(12) 同理有 ( C ⋮ B ) − = ( C − − C − B D 2 − ( E m − C C − ) D 2 − ( E m − C C − ) ) ， (13) 其中 D 1 = ( E n − A A − ) C T ， D 2 = ( E n − C C − ) B 。 然后有 [ A C T 0 0 0 0 C B ] − = [ ( A C T ) − 0 0 ( C B ) − ] 即 [ A C T 0 0 0 0 C B ] − = [ ( A − − A − C T D 1 − ( E m − A A − ) D 1 − ( E m − A A − ) ) 0 0 ( C − − C − B D 2 − ( E m − C C − ) D 2 − ( E m − C C − ) ) ] 同理得 [ F 0 F 0 0 F 0 F ] − = [ [ F F ] − 0 0 [ F F ] − ]                                           = [ [ F − 0 ] 0 0 [ F − 0 ] ] . (14) 因此有 [ X 2 0 0 0 0 X 4 0 0 0 0 X 2 0 0 0 0 X 4 ] = ( A C T 0 0 0 0 C B ) − [ 0 0 0 F ] [ F 0 F 0 0 F 0 F ] − = [ ( A − − A − C T D 1 − ( E m − A A − ) D 1 − ( E m − A A − ) ) 0 0 ( C − − C − B D 2 − ( E m − C C − ) D 2 − ( E m − C C − ) ) ] [ 0 0 0 F ] [ [ F − 0 ] 0 0 [ F − 0 ] ] 设   X 2 = ( C − − C − B D 2 − ( E m − C C − ) ) F F − ， X 4 = ( D 2 − ( E m − C C − ) ) F F − 。 然后有 [ A C T 0 0 0 0 0 0 0 0 A C T 0 0 0 0 0 0 0 0 C B 0 0 0 0 0 0 0 0 C B ] [ X 1 0 0 0 0 0 0 0 0 X 3 0 0 0 0 0 0 0 0 X 1 0 0 0 0 0 0 0 0 X 3 0 0 0 0 0 0 0 0 X 1 0 0 0 0 0 0 0 0 X 3 0 0 0 0 0 0 0 0 X 1 0 0 0 0 0 0 0 0 X 3 ] [ A 0 0 0 A 0 0 0 0 C T 0 0 0 C T 0 0 0 0 A 0 0 0 A 0 0 0 0 C T 0 0 0 C T ] = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( C − − C − B D 2 − ( E m − C C − ) ) F F − 0 0 0 0 D 2 − ( E m − C C − ) F F − ] = [ A − A X 2 C − C T X 4 C 0 0 0 0 C T − A X 2 B − C T X 4 B 0 0 0 0 C − C X 2 C − B X 4 C 0 0 0 0 B − C X 2 B − B X 4 B ] .(15) 用同样的方法有 [ X 1 0 0 X 3 ] = [ A C T ] ( A − A X 2 C − C T X 4 C ) [ A A ] − = ( A − − A − C T D 1 − ( E m − A A − ) D 1 − ( E m − A A − ) ) ( A − A X 2 C − C T X 4 C ) [ A − 0 ] = [ ( A − − A − C T D 1 − ( E m − A A − ) ) ( A − A X 2 C − C T X 4 C ) A − 0 ( D 1 − ( E m − A A − ) ) ( A − A X 2 C − C T X 4 C ) A − 0 ] (16) 然后设 X 1 = ( A − − A − C T D 1 − ( E m − A A − ) ) ( A − A X 2 C − C T X 4 C ) A − = M ( A − A ( C − − C − B D 2 − ( E m − C C − ) ) F F − C − C T ( D 2 − ( E m − C C − ) ) F F − C ) A − (17) X 3 = 0 ， 其中 M = ( A − − A − C T D 1 − ( E m − A A − ) ) 。 因此，有以下公式 [ A C T C B ] − = [ X 1 X 2 X 3 X 4 ] = [ X 1 ( C − − C − B D 2 − ( E m − C C − ) ) F F − 0 ( D 2 − ( E m − C C − ) ) F F − ] (18) 其中 X 1 = ( A − − A − C T D 1 − ( E m − A A − ) ) ( A − A ( C − − C − B D 2 − ( E m − C C − ) ) F F − C − C T ( D 2 − ( E m − C C − ) ) F F − C ) A − D 1 = ( E n − A A − ) C T ， D 2 = ( E n − C C − ) B ， 从而可得 [ U − P ] = [ A C T C B ] − [ 0 F ] 。 2.3. 初等变换法 [ 12 ] 对于任意一个分块矩阵A，它的减号逆 总存在，不一定唯一，并且 A − = { A T ( A A T ) − 1 ，                                                                                                                                       当 R ( A ) = m ; ( A A T ) − 1 A T ，                                                                                                                                         当 R ( A ) = n ;   C T ( C C T ) ( D D − 1 ) D T ，                                                         当 A = D C 为 A 满 秩 分 解 式 时 . 是A的一个减号逆。设A是 m × n 矩阵， R ( A ) = r ，则存在可逆的m阶方阵P和n阶方阵Q，使 A = P [ E r 0 0 0 ] Q ，即 P − 1 A Q − 1 = [ E r 0 0 0 ] = D ，令 P − 1 = P l ⋯ P 1 ， Q − 1 = Q 1 ⋯ Q S ， P i ， Q j ( i = 1 ， ⋯ ， l ; j = 1 ， ⋯ ， s ) 都是初等矩阵。则有 P − 1 A Q − 1 = P l ⋯ P 1 T Q 1 ⋯ Q s = [ E r 0 0 0 ] ， P − 1 = P l ⋯ P 1 = P l ⋯ P ⋅ E m ， Q − 1 = Q 1 ⋯ Q s = E n ⋅ Q 1 ⋯ Q s . 这一过程可对下面分块矩阵施行初等变换完成 [ T m × n E m E n 0 ] → 初 等 行 变 换 [ P − 1 T m × n P − 1 E n 0 ] → 初 等 列 变 换 [ P − 1 T m × n Q − 1 P − 1 Q − 1 0 ] = [ [ E r 0 0 0 ] P − 1 Q − 1 0 ] 因此 A − = Q − 1 D T P − 1 ， G = Q − 1 [ E r C D I ] P − 1 是A的全部广义逆，其中C，D，I分别为任意的 r × ( m − r ) ， ( n − r ) × r ， ( n − r ) × ( m − r ) 矩阵。