system: [SYSTEM]

user: 2. 观测器和控制器设计 首先，我们设计系统(1.2)的观测器如下： { x ^ ˙ 1 ( t ) = x ^ 2 ( t ) + q 1 ( x ^ 1 ( t ) − x 1 ( t ) ) ， t > 0 ， x ^ ˙ 2 ( t ) = a 2 x ^ 1 ( t ) + q 2 ( x ^ 1 ( t ) − x 1 ( t ) ) + b u ^ ( x 0 ， t ) ， t > 0 ， u ^ t t ( x ， t ) = u ^ x x ( x ， t ) ， t > 0 ， u ^ ( 0 ， t ) = 0 ， t ≥ 0 ， u ^ x ( 1 ， t ) = U ( t ) − k ( u ^ t ( 1 ， t ) − u t ( 1 ， t ) ) ， t ≥ 0 ， x ^ 1 ( 0 ) = x ^ 10 ， x ^ 2 ( 0 ) = x ^ 20 ， u ^ ( x ， 0 ) = u ^ 0 ( x ) ， u ^ t ( x ， 0 ) = u ^ 1 ( x ) ， (2.1) 其中 k > 0 ， q 1 ， q 2 是待定的设计参数。令 x ˜ = x ^ − x 和 u ˜ = u ^ − u 代表误差，则 x ˜ 和 u ˜ 满足 { x ˜ ˙ 1 ( t ) = x ˜ 2 ( t ) + q 1 x ˜ 1 ( t ) ， t > 0 ， x ˜ ˙ 2 ( t ) = a 2 x ˜ 1 ( t ) + q 2 x ˜ 1 ( t ) + b u ˜ ( x 0 ， t ) ， t > 0 ， u ˜ t t ( x ， t ) = u ˜ x x ( x ， t ) ， t > 0 ， u ˜ ( 0 ， t ) = 0 ， t ≥ 0 ， u ˜ x ( 1 ， t ) = − k u ˜ t ( 1 ， t ) ， t ≥ 0 ， x ˜ 1 ( 0 ) = x ^ 10 − x 10 ， x ˜ 2 ( 0 ) = x ^ 20 − x 20 ， u ˜ ( x ， 0 ) = u ^ 0 ( x ) − u 0 ( x ) ， u ˜ t ( x ， 0 ) = u ˜ 1 ( x ) − u 1 ( x ) . (2.2) 我们定义状态空间： Η = { ( f ， g ) Τ ∈ H 1 ( 0 ， 1 ) × L 2 ( 0 ， 1 ) | f ( 0 ) = 0 } 内积诱导的范数如下： ‖ ( f ， g ) Τ ‖ Η 2 = ∫ 0 1 ( | f ′ ( x ) | 2 + | g ( x ) | 2 ) d x . 众所周知， u ˜ -部分在状态空间中具有唯一的指数稳定解。即在此范数意义下，存在常数 M > 0 ， δ > 0 ，有 ‖ ( u ˜ ( ⋅ ， t ) ， u ˜ t ( ⋅ ， t ) ) Τ ‖ Η ≤ M e − δ t ‖ ( u ˜ ( ⋅ ， 0 ) ， u ˜ t ( ⋅ ， 0 ) ) Τ ‖ Η . (2.3) 利用庞加莱不等式，我们有 | u ˜ ( x 0 ， t ) | ≤ ‖ ( u ˜ ( ⋅ ， t ) ， u ˜ t ( ⋅ ， t ) ) Τ ‖ Η ≤ M e − δ t ‖ ( u ˜ ( ⋅ ， 0 ) ， u ˜ t ( ⋅ ， 0 ) ) Τ ‖ Η . (2.4) 对于系统(2.2)中的ODE-部分，这里存在唯一解 ( x ˜ 1 ， x ˜ 2 ) Τ = e A 1 t ( x ˜ 1 ( 0 ) ， x ˜ 2 ( 0 ) ) Τ + ∫ 0 t e A 1 ( t − s ) B u ˜ ( x 0 ， s ) d s ， 其中 A 1 = ( q 1 1 a 2 + q 2 0 ) ， (2.5) q 1 < 0 ， q 2 < − a 2 是可调常数。很明显，对于这样选择的参数， A 1 是Hurwitz的。从而 ( x ˜ 1 ， x ˜ 2 ) Τ 是指数稳定的。因此我们有如下引理： 引理2.1：假设 q 1 < 0 ， q 2 < − a 2 ， k > 0 ，那么对任意的初值 ( x ˜ 10 ， x ˜ 20 ， u ˜ 0 ， u ˜ 1 ) Τ ∈ C 2 × Η ，系统(2.2)都有唯一的弱解 ( x ˜ 1 ( t ) ， x ˜ 2 ( t ) ， u ˜ ( ⋅ ， t ) ， u ˜ t ( ⋅ ， t ) ) Τ ∈ C ( 0 ， ∞ ; C 2 × Η ) ，并且系统(2.2)的解是指数稳定的。 受文献 [ 1 ] 的状态反馈控制器的启发，我们设计输出反馈控制器如下： U ( t ) = ∫ 0 1 [ c l y y ( 1 ， y ) + k x ( 1 ， y ) ] u ^ ( y ， t ) d y − c l y ( 1 ， 1 ) u ^ ( 1 ， t ) + ∫ 0 x 0 [ p ′ 1 ( 1 ) q 1 ( y ) + c p ( 1 ) q ( y ) ] u ^ t ( y ， t ) d y + ϕ ′ ( 1 ) X ^ ( t ) + ∫ 0 x 0 [ p ′ ( 1 ) q ( y ) + c p 1 ( 1 ) q ″ 1 ( y ) ] u ^ ( y ， t ) d y + c ϕ ( 1 ) A X ^ ( t ) + ∫ 0 1 [ l x ( 1 ， y ) + c k ( 1 ， y ) ] u ^ t ( y ， t ) d y + c u t ( 1 ， t ) ， (2.6) 其中 c > 0 是给定常数， k ( x ， y ) ， l ( x ， y ) ， p ( x ) ， p 1 ( x ) ， q ( y ) ， q 1 ( y ) 和 ϕ ( x ) 满足 { k ( x ， y ) = − ξ η ( 1 − e 2 λ x 0 ) ( e λ ( x − y ) − e − λ ( x − y ) ) ) ， l ( x ， y ) = − ξ 1 η 1 ( 1 − e 2 λ 1 x 0 ) ( e λ 1 ( x − y ) − e − λ 1 ( x − y ) ) ， p ( x ) = ξ e λ x − ξ e − λ x ， q ( y ) = η e λ y − η e − λ ( 2 x 0 − y ) ， p 1 ( x ) = ξ 1 e λ 1 x − ξ 1 e − λ 1 x ， q 1 ( y ) = η 1 e λ 1 y − η 1 e − λ 1 ( 2 x 0 − y ) ， ϕ ( x ) = e λ 1 x − e − λ 1 x e λ 1 x 0 − e − λ 1 x 0 K ， ξ η = K A B 2 λ e λ x 0 ( e λ x 0 − e − λ x 0 ) ， ξ 1 η 1 = K B 2 λ 1 e λ 1 x 0 ( e λ 1 x 0 − e − λ 1 x 0 ) λ = λ 1 = a . (2.7) 这些函数在文献 [ 1 ] 中方程(16)~(20)已给出。 在控制器(2.6)之下，我们得到系统(1.2)的闭环系统为： { X ˙ ( t ) = A X ( t ) + B u ( x 0 ， t ) ， t > 0 ， u t t ( x ， t ) = u x x ( x ， t ) ， x ∈ ( 0 ， 1 ) ， t > 0 ， u ( 0 ， t ) = 0 ， t > 0 ， u x ( 1 ， t ) = ∫ 0 1 [ c l y y ( 1 ， y ) + k x ( 1 ， y ) ] u ^ ( y ， t ) d y − c l y ( 1 ， 1 ) u ^ ( 1 ， t ) + ∫ 0 x 0 [ p ′ 1 ( 1 ) q 1 ( y ) + c p ( 1 ) q ( y ) ] u ^ t ( y ， t ) d y + ϕ ′ ( 1 ) X ^ ( t ) + ∫ 0 x 0 [ p ′ ( 1 ) q ( y ) + c p 1 ( 1 ) q ″ 1 ( y ) ] u ^ ( y ， t ) d y + c ϕ ( 1 ) A X ^ ( t ) + ∫ 0 1 [ l x ( 1 ， y ) + c k ( 1 ， y ) ] u ^ t ( y ， t ) d y + c u t ( 1 ， t ) ， t > 0 ， x ^ ˙ 1 ( t ) = x ^ 2 ( t ) + q 1 ( x ^ 1 ( t ) − x 1 ( t ) ) ， t > 0 ， x ^ ˙ 2 ( t ) = a 2 x ^ 1 ( t ) + q 2 ( x ^ 1 ( t ) − x 1 ( t ) ) + b u ^ ( x 0 ， t ) ， t > 0 ， u ^ t t ( x ， t ) = u ^ x x ( x ， t ) ， t > 0 ， u ^ ( 0 ， t ) = 0 ， t ≥ 0 ， u ^ x ( 1 ， t ) = u x ( 1 ， t ) − k ( u ^ t ( 1 ， t ) − u t ( 1 ， t ) ) ， t ≥ 0 ， (2.8) 这里为了简便我们省略初值。