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user: 2. 几个辅助结果 引理1 [ 4 ] ：设函数 f ( z ) 于开平面亚纯， 为正整数，则 f ( z ) 与 f ( n ) ( z ) 有相同的级与下级。 引理2 [ 5 ] ：若 是非常数亚纯函数，且 ，那么 . 特别的，若非常数亚纯函数 f ( z ) 的级 ρ f < 1 ，则有 。 引理3 [ 6 ] ：若 ψ j ( z )   ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ) 为区域 上 k 个亚纯函数，且 ψ 1 ， ψ 2 ， ⋯ ， ψ k 线性无关，那么 ψ 1 ， ψ 2 ， ⋯ ， ψ k 的Wronskian行列式 W ( ψ 1 ， ψ 2 ， ⋯ ， ψ k ) ≜ | ψ 1 ⋯ ψ k ψ ′ 1 ⋯ ψ ′ k ⋮ ⋱ ⋮ ψ 1 ( k − 1 ) ⋯ ψ k ( k − 1 ) | ≡ 0 . 引理4：若非常数亚纯函数 无公共单级极点，且 f ( z ) ， g ( z ) ， h ( z ) ， w ( z ) 满足函数方程 f 15 + g 15 + h 15 + w 15 = 1 ， (2) 令 τ = | f 3 g 3 h 3 w 3 f 2 f ′ g 2 g ′ h 2 h ′ w 2 w ′ 14 f ( f ′ ) 2 + f 2 f ″ 14 g ( g ′ ) 2 + g 2 g ″ 14 h ( h ′ ) 2 + h 2 h ″ 14 w ( w ′ ) 2 + w 2 w ″ L 3 ( f ) L 3 ( g ) L 3 ( h ) L 3 ( w ) | ， 其中 L 3 ( μ ) = 182 ( μ ′ ) 3 + 42 μ μ ′ μ ″ + μ 2 μ ‴ ，( μ 为非常数亚纯函数)。 则 τ 是整函数。 引理4的证明： 因为非常数亚纯函数 f ， g ， h ， w 满足函数方程(2)，则 f 15 ， g 15 ， h 15 ， w 15 线性无关。事实上，若 f 15 ， g 15 ， h 15 ， w 15 线性相关，则 f ， g ， h ， w 中至少有一个为常数函数，矛盾。结合引理3，则有： W ( f 15 ， g 15 ， h 15 ， w 15 ) = | f 15 g 15 h 15 w 15 15 f 14 f ′ 15 g 14 g ′ 15 h 14 h ′ 15 w 14 w ′ L 1 ( f ) L 1 ( g ) L 1 ( h ) L 1 ( w ) L 2 ( f ) L 2 ( g ) L 2 ( h ) L 2 ( w ) | = 3375 f 12 g 12 h 12 w 12 τ ≡ 0 (3) 其中 L 1 ( μ ) = 210 μ 13 ( μ ′ ) 2 + 15 μ 14 μ ″ ； L 2 ( μ ) = 2730 μ 12 ( μ ′ ) 3 + 630 μ 13 μ ′ μ ″ + 15 μ 14 μ ‴ ，(其中 μ 为非常数亚纯函数)。 故 τ ≡ 0 。此外，结合函数方程 f 15 + g 15 + h 15 + w 15 = 1 以及伏朗斯基行列式的特点可得到： W ( f 15 ， g 15 ， h 15 ， w 15 ) = | 15 g 14 g ′ 15 h 14 h ′ 15 w 14 w ′ L 1 ( g ) L 1 ( h ) L 1 ( w ) L 2 ( g ) L 2 ( h ) L 2 ( w ) | = 3375 g 12 h 12 w 12 | g 2 g ′ h 2 h ′ w 2 w ′ 14 g ( g ′ ) 2 + g 2 g ″ 14 h ( h ′ ) 2 + h 2 h ″ 14 w ( w ′ ) 2 + w 2 w ″ L 3 ( g ) L 3 ( h ) L 3 ( w ) | (4) 其中 L 3 ( μ ) = 182 ( μ ′ ) 3 + 42 μ μ ′ μ ″ + μ 2 μ ‴ ，(其中 μ 为非常数亚纯函数)。 由(3)、(4)可得 τ = 1 f 12 | g 2 g ′ h 2 h ′ w 2 w ′ 14 g ( g ′ ) 2 + g 2 g ″ 14 h ( h ′ ) 2 + h 2 h ″ 14 w ( w ′ ) 2 + w 2 w ″ L 3 ( g ) L 3 ( h ) L 3 ( w ) | (5) 同理，可得： (6) (7) τ = 1 w 12 | f 2 f ′ g 2 g ′ h 2 h ′ 14 f ( f ′ ) 2 + f 2 f ″ 14 g ( g ′ ) 2 + g 2 g ″ 14 h ( h ′ ) 2 + h 2 h ″ L 3 ( f ) L 3 ( g ) L 3 ( h ) | (8) 实际上，因为定义的 τ ( z ) 为涉及 f ， g ， h ， w 的行列式，则若 有极点，其极点只会在 f ， g ， h ， w 的极点处产生，设 z ∞ 为 f ( z ) ， g ( z ) ， h ( z ) ， w ( z ) 的 m ， n ， p ， q 重极点，设 f ， g ， h ， w 在 z ∞ 处的洛朗展开式为 f ( z ) = A ( z − z ∞ ) m ( 1 + o ( 1 ) ) ， ， ， w ( z ) = D ( z − z ∞ ) q ( 1 + o ( 1 ) ) ， 由(2)式成立可知，若继设 max { m ， n ， p ， q } = m ，根据等式两边对称性，则 中至少有两个亚纯函数的极点重数是相同的，不妨设 max { m ， n ， p ， q } = m = n ≥ p ≥ q 。根据(5)式， τ = g 2 g ′ h 2 h ′ w 2 w ′ f 12 | 1 1 1 14 g ′ g + g ″ g ′ 14 h ′ h + h ″ h ′ 14 w ′ w + w ″ w ′ L 4 ( g ) L 4 ( h ) L 4 ( w ) | ， (9) 其中 ，(其中 μ 为非常数亚纯函数)。 而行列式 | 1 1 1 14 g ′ g + g ″ g ′ 14 h ′ h + h ″ h ′ 14 w ′ w + w ″ w ′ L 4 ( g ) L 4 ( h ) L 4 ( w ) | = { [ ( 14 h ′ h + h ″ h ′ ) − ( 14 g ′ g + g ″ g ′ ) ] [ ( 182 ( w ′ w ) 2 + 42 w ″ w + w ‴ w ′ ) − ( 182 ( g ′ g ) 2 + 42 g ″ g + g ‴ g ′ ) ]       − [ ( 14 w ′ w + w ″ w ′ ) − ( 14 g ′ g + g ″ g ′ ) ] [ ( 182 ( h ′ h ) 2 + 42 h ″ h + h ‴ h ′ ) − ( 182 ( g ′ g ) 2 + 42 g ″ g + g ‴ g ′ ) ] } (10) 通过代换 f ， g ， h ， w 的洛朗展开式进行运算可得，上面的行列式实际可以表示为 ，同样通过代换 f ， g ， h ， w 的洛朗展开式计算可得到 g 2 g ′ h 2 h ′ w 2 w ′ f 12 = R ( z − z ∞ ) 12 m − 3 ( n + p + q + 1 ) ( 1 + o ( 1 ) ) (其中 R = − B 3 C 3 D 3 n p q A 12 是常数)，从而由(9)式可知，当 12 m − 3 ( n + p + q + 1 ) ≥ 3 (*) 时， z ∞ 不是 τ 的极点。下面我们将分类讨论如下： I) 若 m = n = p = q ≥ 2 ， 易见此情况下满足(*)式，故此时 z ∞ 不是 τ 的极点。 II) 若 ， 此情况下 q ≥ 2 ， m ≥ 3 ，也是符合(*)式，故此时 z ∞ 不是 τ 的极点。 III) 若 m = n > p ≥ q ≥ 1 ， 此情况下 q ≥ 1 ， p ≥ 1 ， m ≥ 2 ，也是符合(*)式，故此时 z ∞ 不是 τ 的极点。 IV) m = n ≥ p > q ≥ 1 ， 此情况下 q ≥ 1 ， p ≥ 2 ， m ≥ 2 ，符合(*)式，故此时 z ∞ 不是 τ 的极点。 V) m = n ≥ p > q = 0 ， 即在 z ∞ 处函数 解析而另外三个函数不解析，该情况下 q = 0 ， p ≥ 1 ， m = n ≥ 1 ，显然符合(*)式，故此时 z ∞ 不是 τ 的极点。 VI) m = n = p = q = 1 ， 不妨设 z ∞ = 0 为 的公共单级极点，则 f ( z ) ， g ( z ) ， h ( z ) ， w ( z ) 在0处的洛朗展开式为 ， g ( z ) = B z + B 0 + B 1 z + B 2 z 2 + B 3 z 3 + O ( z 4 ) ， h ( z ) = C z + C 0 + C 1 z + C 2 z 2 + C 3 z 3 + O ( z 4 ) ， w ( z ) = D z + D 0 + D 1 z + D 2 z 2 + D 3 z 3 + O ( z 4 ) 。 通过计算可知(10)式在公共单级极点处可能产生一阶极点，从而 在公共单级极点 处可能不解析。 综上所述，若非常数亚纯函数 f ( z ) ， g ( z ) ， h ( z ) ， w ( z ) 无公共单级极点，则 τ 为整函数，引理4得证。