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user: 4. 主要结果的证明 在本节中，我们首先给出引理1.1的证明。 引理1.1的证明：首先证明 S − ϕ 中的约束条件可以转化为 V ¯ − ϕ ( K ， E ) = 1 ，即满足极值问题 S − ϕ 的椭球 E 0 必须满足 V ¯ − ϕ ( K ， E 0 ) = 1 。事实上，设 E ∈ E n 且 V ¯ − ϕ ( K ， E ) < 1 。由(14)式知 V ¯ − ϕ ( K ， V ¯ − ϕ ( K ， E ) E ) = 1 。因为 ω n | V ¯ − ϕ ( K ， E ) E | = ω n V ¯ − ϕ ( K ， E ) n | E | > ω n | E | ， 这意味着E不是 S − ϕ 的解答。 现在设 E ′ ∈ E n 且 | E ′ | ≤ ω n 。由(14)式知 V ¯ − ϕ ( K ， V ¯ − ϕ ( K ， E ′ ) E ′ ) = 1 ，因此 V ¯ − ϕ ( K ， E ′ ) E ′ 满足 S − ϕ 的约束条件。又因为 E 0 是极值问题 S − ϕ 的解答，则有 | V ¯ − ϕ ( K ， E ′ ) E ′ | ≥ | E 0 | 。因此，由假设 | E ′ | ≤ ω n ，事实 V ¯ − ϕ ( K ， E 0 ) = 1 和(14)式，我们有 V ¯ − ϕ ( K ， E ′ ) ≥ ( | E 0 | | E ′ | ) 1 n ≥ ( | E 0 | ω n ) 1 n = V ¯ − ϕ ( K ， E 0 ) ( | E 0 | ω n ) 1 n = V ¯ − ϕ ( K ， ( ω n | E 0 | ) 1 n E 0 ) ， 这说明 ( ω n / | E 0 | ) 1 n E 0 是 S ¯ − ϕ 的解。 反之，设 E ∈ E n 被 V ¯ − ϕ ( K ， E ) ≤ 1 所控制。因为 ( ω n / | E | ) 1 n E 满足 S ¯ − ϕ 的约束条件，而 E 1 是满足约束条件 | E 1 | = ω n 的 S ¯ − ϕ 的解，于是有 | V ¯ − ϕ ( K ， E 1 ) E 1 | = V ¯ − ϕ ( K ， E 1 ) n | E 1 | ≤ V ¯ − ϕ ( K ， ( ω n | E | ) 1 n E ) n | E 1 | = | E | ω n V ¯ − ϕ ( K ， E ) n | E 1 | = | E | V ¯ − ϕ ( K ， E ) n ≤ | E | . 因此 | V ¯ − ϕ ( K ， E 1 ) E 1 | ≤ | E | ，即 ω n | V ¯ − ϕ ( K ， E 1 ) E 1 | ≥ ω n | E | ， 这说明 V ¯ − ϕ ( K ， E 1 ) E 1 是 S − ϕ 的解。证毕。 著名的Blaschke选择定理表明，如果 { K i } 是一族满足条件 r B 2 n ⊆ K i ⊆ R B 2 n 的凸体，其中r和R为两个给定的常数且 0 < r < R < ∞ ，那么 { K i } 一定有一个收敛到某一凸体K的子列 { K i k } 。 假设X是 ℝ n 中的一个有界集，定义它的通径(diameter)为 diam ( X ) = sup { | x − y | : x ， y ∈ X } ， 其中 | x − y | 表示x和y之间的由欧氏范数诱导出的欧氏距离。 引理4.1：若 ϕ ∈ C ， K ∈ K o n ，那么 S − ϕ 和 S ¯ − ϕ 的解存在。 证明：设 K ∈ K o n ，则K满足 r K B 2 n ⊆ K ⊆ R K B 2 n 。则由(2)式知 r K ≤ ρ K ( u ) ≤ R K 。设 { E i } ⊂ E n 是一族非退化的原点对称椭球，根据Blaschke选择定理，我们只需证明存在常数 M ≥ 2 r K c ϕ > 0 使得 2 r K c ϕ B 2 n ⊆ E i ⊆ M B 2 n ，其中 c ϕ 满足 ϕ ( c ϕ ) = 1 。根据凸体的通径定义和径向函数的定义，易知对于所有的 u ∈ S n − 1 ，有 ρ E i ( u ) ≤ 1 2 diam ( E i ) . 设 V ¯ − ϕ ( K ， E i ) = λ i 。由(11)式， ϕ 的单调递增性，Jensen不等式以及星体的极坐标体积公式(8)，得到 ϕ ( c ϕ ) = 1 = 1 n | K | ∫ S n − 1 ϕ ( ρ K ( u ) λ i ρ E i ( u ) ) ρ K n ( u ) d S ( u )       ≥ 1 n | K | ∫ S n − 1 ϕ ( 2 r K λ i diam ( E i ) ) ρ K n ( u ) d S ( u )       ≥ ( 1 n | K | ∫ S n − 1 2 r K ρ K n ( u ) λ i diam ( E i ) d S ( u ) )       = ϕ ( 2 r K λ i diam ( E i ) ) ， 这个不等式意味着 diam ( E i ) ≥ 2 r K λ i c ϕ = 2 r K V ¯ − ϕ ( K ， E i ) c ϕ ， 因此，由 S − ϕ 的约束条件 V ¯ − ϕ ( K ， E i ) ≤ 1 ，可得 diam ( E i ) ≥ 2 r K c ϕ ， 即 E i ⊇ 2 r K c ϕ B 2 n ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ . 另一方面，设 ε = { E ′ i : | E ′ i | = ω n ， E ′ i ∈ E n } ⊆ E n ⊂ ( K o n ， δ ) ，则 ε 是度量空间 ( K o n ， δ ) 中的紧集。因此存在通用常数 R E 使得对于任意 E ′ i ∈ ε 有 E ′ i ⊆ R E B 2 n 。令 E i = V ¯ − ϕ ( K ， E ′ i ) E ′ i ，显然 E i 满足 S − ϕ 的约束条件，且 E i ⊆ V ¯ − ϕ ( K ， E ′ i ) R E B 2 n . 固定 K ∈ K o n 。由引理3.3知 V ¯ − ϕ ( K ， E ′ i ) 是紧集 ε 上的连续泛函，故存在正数 M 0 > 0 使得对于任意 E ′ i ∈ ε 有 V ¯ − ϕ ( K ， E ′ i ) ≤ M 0 。由此，并结合上式即得 E i ⊆ M B 2 n ， 这里 M = M 0 R E 。 这样，满足 S − ϕ 的椭球序列 { E i } 的通径是一致有界的，因而有下确界，那么 S − ϕ 的存在性可由Blaschke选择定理保证。由于 S − ϕ 和 S ¯ − ϕ 的解只差一个有限的标量因子，因此 S ¯ − ϕ 的解的存在性也能保证。 由于 S − ϕ 和 S ¯ − ϕ 的解的存在性已经建立，那么现在只需证明解的唯一性和其特征表示。注意 S − ϕ 和 S ¯ − ϕ 的解只差一个标量因子，所以我们只需证明 S − ϕ 的解情形。 由引理3.5中 V ¯ − ϕ ( K ， L ) 的仿射性质，我们可以假设K的 S − ϕ 的解的椭球为欧氏单位球 B 2 n ，那么极值问题 S − ϕ 可描述为：对于 T ∈ GL ( n ) ，   det ( T ) ≥ 1 ，使得 V ¯ − ϕ ( K ， T B 2 n ) ≥ V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) . (17) 这个又等价于 1 | K | ∫ S n − 1 ϕ ( ρ K ( u ) V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) ρ T B 2 n ( u ) ) ρ K n ( u ) d S ( u ) ≥ 1 | K | ∫ S n − 1 ϕ ( ρ K ( u ) V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) ρ B 2 n ( u ) ) ρ K n ( u ) d S ( u ) . (18) 事实上，由引理3.1知，(17)式藴涵着 T B 2 n ⊆ B 2 n ，即 ρ T B 2 n ( u ) ≤ ρ B 2 n ( u ) 。由此和 ϕ 在区间 ( 0 ， ∞ ) 上的单调递增性，我们立即知道(18)式成立。 为了建立 S − ϕ 极值问题的特征性质，我们需要引进一些定义和记号。若T是一非奇异的 n × n 矩阵，那么T能表示成 T = R A ，其中R是对称正定矩阵，A是正交矩阵 [ 3 ]。于是我们可把一个 n × n 对称矩阵 T = ( a i j ) n × n 看成是点 ( a 11 ， ⋯ ， a 1 n ， a 22 ， ⋯ ， a 2 n ， ⋯ ， a n n ) t ∈ ℝ 1 2 n ( n + 1 ) . 这样所有 n × n 对称正定矩阵可表示成一开凸锥 P ⊂ ℝ 1 2 n ( n + 1 ) ，其顶点在 ℝ 1 2 n ( n + 1 ) 的原点O。由于 ℝ n 中的非奇异线性变换可看成一非奇异的 n × n 矩阵，那么由上面的论述可知，在正交变换下， S − ϕ 极值问题可以建立在 P 上。设 ϕ ∈ C 和 K ∈ K o n ，考虑到(18)式，我们定义泛函 F : P → ℝ 为 F ( K ， A B 2 n ) = 1 n | K | ∫ S n − 1 ϕ ( ρ K ( u ) | A u | V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) ) ρ K n ( u ) d S (u) 对于任意 A ∈ P 。引理3.3和 ϕ ∈ C 说明泛函F是连续的。显然 F ( K ， B 2 n ) = 1 。 引理4.2：若 ϕ ∈ C 以及 K ∈ K o n ，那么 F = F ( A ) = { A ∈ P : F ( K ， A B 2 n ) ≤ F ( K ， B 2 n ) } 是一闭凸区域，且在边界点 I n 的邻域内光滑。而且 1 n | K | V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) ∫ S n − 1 ϕ ′ ( ρ K ( u ) V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) ) ρ K n + 1 ( u ) u ⊗ u d S ( u ) ≠ O 是 F 在 I n 的外法向量。 证明：F的定义和 ϕ 的严格单调性意味着F在 P 中通过顶点O的每一条射线 { t A : t ≥ 0 } 上是由0到 ∞ 严格递增的，又由F的连续性可得 F 是 P 中的一闭区域。 为了证明区域 F 是凸的和光滑的，只需证明函数F是凸的和光滑的。 事实上，设 A ， B ∈ P ，   0 ≤ α ≤ 1 ，那么由 ϕ ∈ C 的单调性和凸性，我们有 F ( K ， ( ( 1 − α ) A + α B ) B 2 n ) = 1 n | K | ∫ S n − 1 ϕ ( ρ K ( u ) | ( ( 1 − α ) A + α B ) u | V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) ) ρ K n ( u ) d S ( u ) ≤ 1 n | K | ∫ S n − 1 ϕ ( ρ K ( u ) ( ( 1 − α ) | A u | + α | B u | ) V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) ) ρ K n ( u ) d S ( u ) ≤ 1 − α n | K | ∫ S n − 1 ϕ ( ρ K ( u ) | A u | V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) ) ρ K n ( u ) d S ( u ) + α n | K | ∫ S n − 1 ϕ ( ρ K ( u ) | B u | V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) ) ρ K n ( u ) d S ( u ) = ( 1 − α ) F ( K ， A B 2 n ) + α F ( K ， B B 2 n ) . 则F在 P 中是凸的。 由于F是凸的，为了证明F是光滑的，只需证明对任意 A ∈ P ，F关于A的表值 a i k 的偏导数存在 [ 31 ]。假设 h ∈ ℝ 是一有界数，令矩阵 A ( h ) 和A具有相同的表值，除了 a i k + h 代换 a i k 。那么由Cauchy-Schwarz不等式，对任意 u ∈ S n − 1 有 | | A ( h ) u | − | A u | | ≤ | A ( h ) u − A u | ≤ | A ( h ) − A | | u | ≤ | h | . 再由 ϕ ∈ C 的凸性， ϕ ( 0 ) = 0 ， V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) 和 ρ K ( u ) 的有界性，可得函数 ϕ ( ρ K ( u ) | A ( ⋅ ) u | V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) ) : ℝ → [ 0 ， ∞ ) 在 ℝ 的每一个有界集上是Lipschitz的。因此， ϕ ( ρ K ( u ) | A ( h ) u | V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) ) − ϕ ( ρ K ( u ) | A u | V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) ) h (19) 在 S n − 1 上有界。 由于 ϕ 是凸的，那么它在 t ∈ [ 0 ， ∞ ) 几乎处处可微 [ 30 ] [ 31 ]。又因为A是一非奇异矩阵，则 ϕ 在 t = ρ K ( u ) | A u | V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) 几乎处处对所有的 u ∈ S n − 1 可微。基本的计算可得，对几乎所有的 u ∈ S n − 1 ， lim h → ∞ ϕ ( ρ K ( u ) | A ( h ) u | V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) ) − ϕ ( ρ K ( u ) | A u | V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) ) h = ϕ ′ ( ρ K ( u ) | A u | V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) ) ( ( ∑ j = 1 n a i j u j ) u k + ( ∑ j = 1 n a k j u j ) u i ) | A u | V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) ρ K − 1 ( u ) . (20) 由(19)式，(20)式和Lebesgue有界收敛定理，我们得到F关于 a i k ( = a k i ) 的偏导数表达式： ∂ F ( K ， A B 2 n ) ∂ a i k = 1 n | K | ∫ S n − 1 ϕ ′ ( ρ K ( u ) | A u | V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) ) ( ( ∑ j = 1 n a i j u j ) u k + ( ∑ j = 1 n a k j u j ) u i ) | A u | V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) ρ K n + 1 ( u ) d S ( u ) ， 对于 A ∈ P 。 这样，F关于 a i k 的所有偏导数存在。由于F是凸的，则F是光滑的。令 A = I n ，那么F关于 I n 的梯度可写成： ∇ F ( K ， I n B 2 n ) = 1 n | K | V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) ∫ S n − 1 ϕ ′ ( ρ K ( u ) V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) ) ρ K n + 1 ( u ) u ⊗ u d S ( u ) . (21) 显然 ∇ F ( K ， I n B 2 n ) ≠ O 。由于 F 是闭凸的光滑区域，再结合隐函数存在定理我们便得到所需要的结果。 由(18)式和F的定义，我们可以把优化问题 S − ϕ 转化为如下极值问题：函数F达到最小值当且仅当 A = I n ，也就是说， B 2 n 是F的最小值位置。 优化问题 S − ϕ 的解的唯一性和特征表示可建立如下： 引理4.3：若 ϕ ∈ C 以及 K ∈ K o n ，那么在正交变换下， B 2 n 是F的关于保体积线性变换的唯一的最小值位置。而且， B 2 n 是F的最小值位置当且仅当 I n = β n | K | V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) ∫ S n − 1 ϕ ′ ( ρ K ( u ) V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) ) ρ K n + 1 ( u ) u ⊗ u d S ( u ) (22) 对于适当的 β > 0 。 证明：设 D = { A ∈ P : det ( A ) ≥ 1 } . 那么集合 D 是 P 中闭的、光滑的且具有非空内部的凸集。而且 I n 是 D 在边界点 I n 的内法向量 [ 1 ] [ 2 ]。由引理4.2，区域 F = { A ∈ P : F ( K ， A B 2 n ) ≤ F ( K ， B 2 n ) } 是凸的且在 I n 的邻域内光滑。因此，我们断言区域 D 和 F 在它们的公共边界点 I n 相切。如果断言不成立，那么区域 D 和 F 将有重叠，于是存在一 n × n 矩阵 。由 B 2 n 是F的最小值位置假设，我们得到 F ( K ， B 2 n ) > F ( K ， A ′ B 2 n ) ≥ F ( K ， B 2 n ) ， 这便产生了矛盾。于是区域 D 和 F 在它们的公共边界点 I n 相切，这也意味着 B 2 n 是F的唯一的最小值位置。 如果 B 2 n 是F的最小值位置，那么区域 D 和 F 在它们的公共边界点 I n 相切。这样， F 在 I n 的外法向量 ∇ F ( K ， I n B 2 n ) 是 D 在 I n 的内法向量的倍数。因此由(21)可得 I n = β n | K | V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) ∫ S n − 1 ϕ ′ ( ρ K ( u ) V ¯ − ϕ ( K ， B 2 n ) ) ρ K n + 1 ( u ) u ⊗ u d S (u) 对于适当的 β > 0 。 另一方面，由于 I n 是区域 D 和 F 的公共边界点，由(21)式和(22)式， F 在 I n 的外法向量和 D 在 I n 的内法向量指向相同，那么区域 D 和 F 有公共边界点 I n ，这也意味着 B 2 n 是F的最小值位置。 定理1.1的证明： S ¯ − ϕ 的解的存在性和唯一性已经在引理4.1和引理4.3中建立，下面只需证明(1)式和(22)式的等价性。注意到(13)式和(14)式，我们可限制线性变换 T ∈ GL ( n ) 为 T ∈ SL ( n ) 。 由引理3.5，存在 T ∈ SL ( n ) 使得 V ¯ − ϕ ( K ， E ) = V ¯ − ϕ ( K ， T B 2 n ) = V ¯ − ϕ ( T − 1 K ， B 2 n ) . 设(22)成立，则由(22)式可知 E ∈ E n 是 F ( K ， E ) 的最小值位置当且仅当 I n = β n | K | V ¯ − ϕ ( T − 1 K ， B 2 n ) ∫ S n − 1 ϕ ′ ( ρ T − 1 K ( v ) V ¯ − ϕ ( T = 1 K ， B 2 n ) ) ρ T − 1 K n + 1 ( v ) v ⊗ v d S (v) 对于适当的 β > 0 ，这意味着对任意 x ∈ ℝ n ， | x | 2 = β n | K | V ¯ − ϕ ( K ， E ) ∫ S n − 1 ϕ ′ ( ρ K ( T v ) V ¯ − ϕ ( K ， E ) ) ρ T − 1 K n + 1 ( v ) 〈 x ， v 〉 2 d S ( v ) . (23) 令 〈 T v 〉 = T v | T v | = u ，则 u ∈ S n − 1 。注意到 det ( T − 1 ) = 1 ， ( T K ) ∘ = T − t K ∘ 和 | T − 1 u | = h B 2 n ( T − 1 u ) = h T − t B 2 n ( u ) = h ( T B 2 n ) ∘ ( u ) = h E ∘ ( u ) = 1 ρ E ( u ) ， (24) 可得 n | K | V ¯ − ϕ ( K ， E ) | x | 2 = β ∫ S n − 1 ϕ ′ ( ρ K ( T v ) V ¯ − ϕ ( K ， E ) ) ρ K n + 1 ( T v ) 〈 x ， v 〉 2 d S ( v ) = β det ( T − 1 ) ∫ S n − 1 ϕ ′ ( | T − 1 〈 T v 〉 | ρ K ( 〈 T v 〉 ) V ¯ − ϕ ( K ， E ) ) ρ K n + 1 ( 〈 T v 〉 ) | T − 1 〈 T v 〉 | 〈 x ， T − 1 〈 T v 〉 〉 2 d S ( 〈 T v 〉 ) = β ∫ S n − 1 ϕ ′ ( | T − 1 u | ρ K ( u ) V ¯ − ϕ ( K ， E ) ) ρ K n + 1 ( u ) | T − 1 u | 〈 T − t x ， u 〉 2 d S ( u ) = β ∫ S n − 1 ϕ ′ ( ρ K ( u ) ρ E ( u ) V ¯ − ϕ ( K ， E ) ) ρ E ( u ) ρ K n + 1 ( u ) 〈 T − t x ， u 〉 2 d S ( u ) . 由此可知对任意的 x ∈ ℝ n ， n | K | V ¯ − ϕ ( K ， E ) | T t x | 2 = β ∫ S n − 1 ϕ ′ ( ρ K ( u ) ρ E ( u ) V ¯ − ϕ ( K ， E ) ) ρ E ( u ) ρ K n + 1 ( u ) 〈 x ， u 〉 2 d S ( u ) . (25) 由于 | T t x | = h T B 2 n ( x ) = h E ( x ) ，于是，由(25)式可知对任意的 x ∈ ℝ n ，有 h E 2 ( x ) = β n | K | V ¯ − ϕ ( K ， E ) ∫ S n − 1 ϕ ′ ( ρ K ( u ) ρ E ( u ) V ¯ − ϕ ( K ， E ) ) ρ E ( u ) ρ K n + 1 ( u ) 〈 x ， u 〉 2 d S ( u ) ， 即(1)式成立。 反之，若(1)式成立，从而(25)式亦成立，即对任意的 x ∈ ℝ n ， | T t x | 2 = β n | K | V ¯ − ϕ ( K ， E ) ∫ S n − 1 ϕ ′ ( ρ K ( u ) ρ E ( u ) V ¯ − ϕ ( K ， E ) ) ρ E ( u ) ρ K n + 1 ( u ) 〈 x ， u 〉 2 d S ( u ) . 令 v = T − 1 u | T − 1 u | = 〈 T − 1 u 〉 ∈ S n − 1 。利用(24)并注意到 det ( T ) = 1 ，可得 | T t x | 2 = β n | K | V ¯ − ϕ ( K ， E ) ∫ S n − 1 ϕ ′ ( | T − 1 u | ρ K ( u ) V ¯ − ϕ ( K ， E ) ) ρ K n + 1 ( u ) | T − 1 u | 〈 x ， u 〉 2 d S ( u ) = β n | K | V ¯ − ϕ ( K ， E ) ∫ S n − 1 ϕ ′ ( ρ K ( T 〈 T − 1 u 〉 ) V ¯ − ϕ ( K ， E ) ) ρ K n + 1 ( T 〈 T − 1 u 〉 ) 〈 x ， T 〈 T − 1 u 〉 〉 2 det ( T ) d S ( 〈 T − 1 u 〉 ) = β n | K | V ¯ − ϕ ( K ， E ) ∫ S n − 1 ϕ ′ ( ρ K ( T v ) V ¯ − ϕ ( K ， E ) ) ρ K n + 1 ( T v ) 〈 x ， T v 〉 2 det ( T ) d S ( v ) . 这个等价于对任意的 x ∈ ℝ n ， | x | 2 = β n | K | V ¯ − ϕ ( K ， E ) ∫ S n − 1 ϕ ′ ( ρ K ( T v ) V ¯ − ϕ ( K ， E ) ) ρ K n + 1 ( T v ) 〈 x ， v 〉 2 det ( T ) d S ( v ) ， 即(23)式和(22)式同时成立。这就完成了定理1.1的证明。