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user: 3. p-带小波紧框架的构造 在本节中，我们主要根据酉扩展定理给出离散有限支撑序列 { a l } l = 1 M − 1 ∈ l 2 ( Ζ ) 通过(5)式所定义的小波系统形成 L 2 ( R ) 小波紧框架的充分条件。 定理3.1：设 a ∈ l 2 ( Ζ ) 为一个有限支撑序列，由离散序列a来定义离散序列 a l ( m ) = a ( m ) e − i 2 π l m / M ， l = 0 ， 1 ， ⋯ ， M − 1 ，然后根据(1)式和(3)式分别定义细分函数 φ 和函数族 Ψ = { ψ l } l = 1 M − 1 ，则若满足： i) M ≥ N ； ii) ∑ k ∈ Ω j | a ( k ) | 2 = 1 p M ， ∀ Ω j = ( p Ζ + j ) ∩ [ 0 ， N − 1 ] ， j ∈ Ζ / p Ζ ； iii) ∑ k ∈ Ω j a ( k ) = 1 p ； 则由(1)式所定义的细分函数 φ 生成空间 L 2 ( R ) 的一个多分辨分析，且根据(3)式和(5)式定义的小波系 Χ ( Ψ ) 形成 L 2 ( R ) 的一个小波紧框架。 为了证明定理3.1给出以下的引理。 记 G ( ξ ) = [ a ^ 0 ( ξ ) a ^ 1 ( ξ ) ⋯ a ^ M − 1 ( ξ ) a ^ 0 ( ξ + 2 π p ) a ^ 1 ( ξ + 2 π p ) ⋯ a ^ M − 1 ( ξ + 2 π p ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a ^ 0 ( ξ + 2 π ( p − 1 ) p ) a ^ 1 ( ξ + 2 π ( p − 1 ) p ) ⋯ a ^ M − 1 ( ξ + 2 π ( p − 1 ) p ) ] 引理3.1：设面具 { a 0 ， a 1 ， ⋯ ， a M − 1 } 满足(6)式，则对 ∀ ξ ∈ R 有 ∑ k = 0 p − 1 | a ^ l ( ξ + 2 π k p ) | 2 ≤ 1 ， l = 0 ， 1 ， ⋯ ， M − 1 (8) 证明：面具 { a 0 ， a 1 ， ⋯ ， a M − 1 } 满足(6)式，即 G ( ξ ) G ∗ ( ξ ) = Ι p ，其中 G ∗ ( ξ ) 表示矩阵 G ( ξ ) 的共轭转置。根据矩阵的相关性质，我们只需证明对 l = 0 时成立即可。 记 G 0 ( ξ ) = [ a ^ 1 ( ξ ) a ^ 2 ( ξ ) ⋯ a ^ M − 1 ( ξ ) a ^ 1 ( ξ + 2 π p ) a ^ 2 ( ξ + 2 π p ) ⋯ a ^ M − 1 ( ξ + 2 π p ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a ^ 1 ( ξ + 2 π ( p − 1 ) p ) a ^ 2 ( ξ + 2 π ( p − 1 ) p ) ⋯ a ^ M − 1 ( ξ + 2 π ( p − 1 ) p ) ] 且记 α = ( a ^ 0 ( ξ ) ， a ^ 0 ( ξ + 2 π p ) ， ⋯ ， a ^ 0 ( ξ + 2 π ( p − 1 ) p ) ) T ，则可得 G 0 ( ξ ) G 0 ∗ ( ξ ) = Ι p − α α T = ( β 1 ， β 2 ， ⋯ ， β p ) 其中 { β 1 = ( 1 − | a ^ 0 ( ξ ) | 2 ， − a ^ 0 ( ξ + 2 π p ) a ^ 0 ( ξ ) ¯ ， ⋯ ， − a ^ 0 ( ξ + 2 π ( p − 1 ) p ) a ^ 0 ( ξ ) ¯ ) T β 2 = ( − a ^ 0 ( ξ ) a ^ 0 ( ξ + 2 π p ) ¯ ， 1 − | a ^ 0 ( ξ + 2 π p ) | 2 ， ⋯ ， − a ^ 0 ( ξ + 2 π ( p − 1 ) p ) a ^ 0 ( ξ + 2 π p ) ¯ ) T                                                                                             ⋮ β p = ( − a ^ 0 ( ξ ) a ^ 0 ( ξ + 2 π ( p − 1 ) p ) ¯ ， − a ^ 0 ( ξ + 2 π p ) a ^ 0 ( ξ + 2 π ( p − 1 ) p ) ¯ ， ⋯ ， 1 − | a ^ 0 ( ξ + 2 π ( p − 1 ) p ) | 2 ) T 计算可知，矩阵 G ( ξ ) G ∗ ( ξ ) 的p个特征值分别为 λ 1 = λ 2 = ⋯ = λ p − 1 = 1 ， λ p = 1 − ∑ k = 0 p − 1 | a ^ l ( ξ + 2 π k p ) | 2 。 又因为矩阵 G ( ξ ) G ∗ ( ξ ) 为一个半正定矩阵，从而有 λ p ≥ 0 ，即 l = 0 时(8)式成立。 引理3.2：设 a ∈ l 2 ( Ζ ) 为一个有限支撑序列，即 a ( m ) = 0 ， ∀ m ∉ [ 0 ， N − 1 ] ∩ Ζ ，且可由序列 a ∈ l 2 ( Ζ ) 定义M个离散紧支撑序列，即 a l ( m ) = a ( m ) e − i 2 π l m / M ， l = 0 ， 1 ， ⋯ ， M − 1 且如果满足： i) M ≥ N ； ii) ∑ k ∈ Ω j | a ( k ) | 2 = 1 p M ， ∀ Ω j = ( p Ζ + j ) ∩ [ 0 ， N − 1 ] ， j ∈ Ζ / p Ζ ； 则有定义的离散序列 a l ( m ) ， l = 0 ， 1 ， ⋯ ， M − 1 满足 ∑ l = 0 M − 1 ∑ k ∈ Ω j a l ( k ) a l ( k + m ) ¯ = 1 p δ m ， 0 。 证明： ∀ m ∉ [ 0 ， N − 1 ] ∩ Ζ ，由 a ( m ) = 0 可得 对 ∀ m ∉ [ 0 ， N − 1 ] ∩ Ζ ， a l ( m ) = a ( m ) e − i 2 π l m / M = 0 ， l = 0 ， 1 ， ⋯ ， M − 1 。则有 ∀ m ∉ [ 1 − N ， N − 1 ] ， ∑ l = 0 M − 1 ∑ k ∈ Ω j a l ( k ) a l ( k + m ) ¯ = 0 若 1 ≤ m ≤ N − 1 (或 1 − N ≤ m ≤ − 1 )，由(i) M ≥ N 可知 ∑ l = 0 M − 1 e − i 2 π l m / M = 0 则当 1 ≤ m ≤ N − 1 (或 1 − N ≤ m ≤ − 1 )时， ∑ l = 0 M − 1 ∑ k ∈ Ω j a l ( k ) a l ( k + m ) ¯ = ∑ k ∈ Ω j ∑ l = 0 M − 1 a l ( k ) a l ( k + m ) ¯ = ∑ k ∈ Ω j a l ( k ) a l ( k + m ) ¯ ∑ l = 0 M − 1 e − i 2 π l m / M = 0 下面考虑当 m = 0 时， ∑ l = 0 M − 1 ∑ k ∈ Ω j a l ( k ) a l ( k + m ) ¯ = ∑ k ∈ Ω j ∑ l = 0 M − 1 a l ( k ) a l ( k + m ) ¯ = ∑ k ∈ Ω j a l ( k ) a l ( k + m ) ¯ ∑ l = 0 M − 1 e − i 2 π l m / M = M ∑ k ∈ Ω j | a ( k ) | 2 由(ii) ∑ k ∈ Ω j | a ( k ) | 2 = 1 p M 可得 ∑ l = 0 M − 1 ∑ k ∈ Ω j a l ( k ) a l ( k + m ) ¯ = 1 p 即证 ∑ l = 0 M − 1 ∑ k ∈ Ω j a l ( k ) a l ( k + m ) ¯ = 1 p δ m ， 0 ， l = 0 ， 1 ， ⋯ ， M − 1 。 引理3.3：设序列 a ∈ l 2 ( Ζ ) 为一个有限支撑序列，对于 ∀ Ω j = ( p Ζ + j ) ∩ [ 0 ， N − 1 ] ， j ∈ Ζ / p Ζ ，满足 ∑ k ∈ Ω j a ( k ) = 1 p ，定义离散序列 a l ( m ) = a ( m ) e − i 2 π l m / M ， l = 0 ， 1 ， ⋯ ， M − 1 ，且满足(6)式，则根据定义的细分函数 φ ∈ L 2 ( R ) 且满足 φ ^ ( 0 ) = 1 。 证明：根据定义有 ∑ k ∈ Ω j a 0 ( k ) = ∑ k ∈ Ω j a ( k ) = 1 p ，则可知 ∑ k ∈ Ζ a 0 ( k ) = 1 ，又由 a 0 有限支撑，从而得 a ^ 0 ( 0 ) = 1 ，即存在唯一紧支撑细分函数 φ 满足 φ ^ ( 0 ) = 1 ，且其傅里叶变换为 φ ^ ( ξ ) = ∏ j = 0 ∞ a ^ 0 ( p − j ξ ) 。 下面定义函数列 { f ^ n } n ∈ N f ^ n ( ξ ) = a ^ 0 ( p − 1 ξ ) f ^ n − 1 ( p − 1 ξ ) = ∏ j = 1 n a ^ 0 ( p − j ξ ) f ^ 0 ( p − j ξ ) 其中 f ^ 0 = 1 [ − π ， π ] ，且 { f ^ n } n ∈ N 的依点列收敛到 φ ^ 。 ‖ f ^ n ‖ 2 = ∫ − π p n π p n | ∏ j = 1 n a ^ 0 ( p − j ξ ) | 2 d ξ = ∫ 0 2 π p n | ∏ j = 1 n a ^ 0 ( p − j ξ ) | 2 d ξ = ∑ μ = 0 p − 1 ∫ 2 π μ p n − 1 2 π ( μ + 1 ) p n | ∏ j = 1 n a ^ 0 ( p − j ξ ) | 2 d ξ = ∑ μ = 0 p − 1 ∫ 0 2 π p n − 1 | ∏ j = 1 n a ^ 0 ( p − j ξ + p n − j − 1 2 π μ ) | 2 d ξ = ∫ 0 2 π p n − 1 | ∏ j = 1 n a ^ 0 ( p − j ξ ) | 2 ( ∑ μ = 0 p − 1 | a ^ 0 ( p − n ξ + 2 π μ p ) | 2 ) d ξ 根据引理3.1，当 l = 0 时，即有 ∑ k = 0 p − 1 | a ^ 0 ( ξ + 2 π k p ) | 2 ≤ 1 ， 从而 ‖ f ^ n ‖ 2 ≤ ∫ 0 2 π p n − 1 | ∏ j = 1 n a ^ 0 ( p − j ξ ) | 2 d ξ = ‖ f ^ n − 1 ‖ 2 根据归纳法，得 ‖ f ^ n ‖ 2 ≤ ‖ f ^ 0 ‖ 2 = 2 π ， ∀ n ≥ 0 因为 { f ^ n } n ∈ N 依点列收敛到 φ ^ ，根据法图引理可得 ‖ φ ^ ‖ 2 ≤ lim inf n → ∞ ‖ f ^ n ‖ 2 ≤ 2 π ，即证 φ ∈ L 2 ( R ) 。 利用以上三个引理和定理2.2易证定理3.1。