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user: 3. 自由半群作用的拓扑r压 在这一章中，我们介绍了自由半群作用的拓扑r压的定义，并给出了这个概念的一些性质。 设 f 0 ， ⋯ ， f m − 1 是在紧致度量空间 ( X ， d ) 上的连续自映射。对 x ∈ X ， w ∈ F m + ， ε > 0 以及 0 < r < 1 ，令 B ( x ， w ， ε ， r ， f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ) = { y ∈ X : 1 | w | C a r d { w ′ : d ( f w ′ x ， f w ′ y ) < ε ， w ′ ≤ w } > 1 − r } . 若X的子集F满足，对任意 x ∈ X ，存在 y ∈ F ，使得 x ∈ B ( y ， w ， ε ， r ， f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ) ，则称F是X的 ( w ， ε ， r ， f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ) 张成集，令 Q w ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε ， r ) = inf { ∑ x ∈ F e ( S w φ ) ( x ) : F   是   X   的 一 个 ( w ， ε ， r ， f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ) 张 成 集 } Q n ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε ， r ) = 1 m n ∑ | w | = n Q w ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε ， r ) . 注3.1：设 r w ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， ε ， r ) 表示紧致度量空间X的 ( w ， ε ， r ， f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ) 张成集的最小基数，令 r n ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， ε ， r ) = 1 m n ∑ | w | = n r w ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， ε ， r ) . 1) 若 ε 1 < ε 2 ，有 Q w ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε 1 ， r ) ≥ Q w ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε 2 ， r ) 。因此， Q n ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε 1 ， r ) ≥ Q n ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε 2 ， r ) . 2) 0 < Q w ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε ， r ) ≤ ‖ e S w φ ‖ r w ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， ε ， r ) 。因此， 0 < Q n ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε ， r ) ≤ e n ‖ φ ‖ r n ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， ε ， r ) . 3) Q w ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， 0 ， ε ， r ) = r w ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， ε ， r ) ，因此， Q n ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， 0 ， ε ， r ) = r n ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， ε ， r ) . 定义 3.1:对于 0 < r < 1 ， φ ∈ C ( X ， ℝ ) ，自由半群作用的拓扑r压定义为 P r ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ) = lim ε → 0 lim sup n → ∞ 1 n log Q n ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε ， r ) . 有时候为了强调度量d的，我们可以写成 P r ， d ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ) 。 注3.2：显然 P ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ) ≥ P r ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ) ，若 m = 1 ，它与文 [ 18 ] 中定义的拓扑r压相一致，若 φ = 0 ，它与文 [ 17 ] 中定义的自由半群作用的拓扑r熵一致。 现在我们简单介绍一下分离集。 若X的子集E满足对任意 x ， y ∈ X ， x ≠ y ，使得 1 | w | C a r d { w ′ : d ( f w ′ x ， f w ′ y ) ≥ ε ， w ′ ≤ w } > r . 则称E是X的 ( w ， ε ， r ， f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ) 分离集。 故 Q w s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε ， r ) = sup { ∑ x ∈ E e ( S w φ ) ( x ) : E   是   X   的 ( w ， ε ， r ， f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ) 分 离 集 } Q n s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε ， r ) = 1 m n ∑ | w | = n Q w s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε ， r ) . 注3.3：若 ε 1 < ε 2 有 Q w s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε 1 ， r ) ≥ Q w s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε 2 ， r ) ，则 Q n s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε 1 ， r ) ≥ Q n s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε 2 ， r ) . 故 P r s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ) = lim ε → 0 lim sup n → ∞ 1 n log Q n s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε ， r ) . 有时候为了强调度量d的，我们可以写成 P r ， d s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ) 。 引理3.1：对任意 n ≥ 1 ， ε > 0 ， 0 < r < 1 ，有 1) Q n ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε ， r ) ≤ Q n s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε ， r ) ， 2) 令 M = max x ∈ X | φ ( x ) | ，若 δ = sup { | φ ( x ) − φ ( y ) | : d ( x ， y ) ≤ ε } ，则 Q n s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， 2 ε ， 2 r ) ≤ e n δ + 2 n r M Q n ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε ， r ) . 证明：1) 假设E是X一个具有最大基数的 ( w ， ε ， r ， f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ) 分离集，则E也是X的一个 ( w ， ε ， r ， f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ) 张成集。 假设E不是X一个 ( w ， ε ， r ， f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ) 张成集，则至少存在一个点 x ∈ X ，使得对所有 y ∈ E ，有 1 | w | C a r d { w ′ : d ( f w ′ x ， f w ′ y ) < ε ， w ′ ≤ w } < 1 − r ， 即 1 | w | C a r d { w ′ : d ( f w ′ x ， f w ′ y ) ≥ ε ， w ′ ≤ w } > r ， 这与最大基数的分离集相矛盾。 我们由此得到一个 ( w ， ε ， r ， f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ) 分离集必然是 ( w ， ε ， r ， f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ) 张成集，则有 Q w ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε ， r ) ≤ Q w s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε ， r ) . 故 Q n ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε ， r ) ≤ Q n s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε ， r ) . 2) 为了证明这个结果，我们先假设E是X的一个 ( w ， 2 ε ， 2 r ， f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ) 分离集，F是X的一个 ( w ， 2 ε ， 2 r ， f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ) 张成集。定义映射 ϕ : E → F ，映射 ϕ 满足任意 x ∈ E ， ϕ ( x ) ∈ F ，使得 x ∈ B ( ϕ ( x ) ， w ， ε ， r ， f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ) 。我们可知 ϕ ( x ) 是单射(详细可见文 [ 17 ] )。令 z ∈ E ，使得 S w φ ( ϕ ( z ) ) − S w φ ( z ) = min x ∈ E { S w φ ( ϕ ( x ) ) − S w φ ( x ) } . 令 A = { w ′ : d ( f w ′ z ， f w ′ ϕ ( z ) ) < ε ， w ′ ≤ w } ，有 C a r d   A > | w | ( 1 − r ) ，记 C a r d   A = | w | ( 1 − r ) ⋅ k ，其中 1 < k ≤ 1 1 − r 。故 ∑ y ∈ F e S w φ ( y ) ≥ ∑ y ∈ ϕ E e S w φ ( y ) = ∑ x ∈ E e S w φ ( ϕ ( x ) ) − S w φ ( x ) e S w φ ( x ) ≥ min x ∈ E { e S w φ ( ϕ ( x ) ) − S w φ ( x ) } ∑ x ∈ E e S w φ ( x ) = e S w φ ( ϕ ( z ) ) − S w φ ( z ) ∑ x ∈ E e S w φ ( z ) ≥ e − | w | ( 1 − r ) k δ − | w | ( 1 − ( 1 − r ) ⋅ k ) ⋅ 2 M ∑ x ∈ E e S w φ ( x ) ≥ e − | w | δ − | w | r ⋅ 2 M ∑ x ∈ E e S w φ ( x ) . 因此 Q w s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， 2 ε ， 2 r ) ≤ e | w | δ + 2 | w | r M Q w ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε ， r ) . 故 Q n s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， 2 ε ， 2 r ) ≤ e n δ + 2 n r M Q n ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε ， r ) . 定理3.2：设 ( X ， d ) 是紧致度量空间， f 0 ， ⋯ ， f m − 1 是X到自身的连续映射，且 φ ∈ C ( X ， ℝ ) ，有 P 2 r s ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ) − 2 M r ≤ P r ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ) ≤ P r s ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ) . 证明：显然由引理3.1可推得定理3.2。 注3.4：若 m = 1 ，由定理1.3和定理3.2可得 lim r → 0 P r s ( f ， φ ) = lim r → 0 P r ( f ， φ ) = P ( f ， φ ) 。 现在我们来研究 P r ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， ⋅ ) 和 P r s ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， ⋅ ) 的相关性质。 定理3.3：设 f i : X → X ， i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m − 1 是紧致度量空间 ( X ， d ) 上的连续映射。若 φ ， ψ ∈ C ( X ， ℝ ) ， ε > 0 ， 0 < r < 1 ，且 c ∈ ℝ ，则有下面的成立 1) P r ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， 0 ) = h r ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ) 。 2) φ ≤ ψ 可得 P r ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ) ≤ P r ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， ψ ) ，特别地 h r ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ) + inf φ ≤ P r ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ) ≤ h r ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ) + sup φ . 3) P r ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， ⋅ ) 要么是有限值，要么是无穷。 4) | P r s ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε ) − P r s ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， ψ ， ε ) | ≤ ‖ φ − ψ ‖ 。因此若 P r s ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， ⋅ ) < ∞ ，则 | P r s ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ) − P r s ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， ψ ) | ≤ ‖ φ − ψ ‖ 。 5) P r s ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， ⋅ ， ε ) 是凸的，且若 P r s ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， ⋅ ) < ∞ ，则 P r s ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， ⋅ ) 也是凸的。 6) P r ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ + c ) = P r ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ) + c 。 7) P r s ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ + ψ ) ≤ P r s ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ) + P r s ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， ψ ) + log m 。 8) 若 c ≥ 1 ，有 P r s ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， c φ ) ≤ c P r s ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ) + ( c − 1 ) log m ；若 c < 1 ，有 P r s ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， c φ ) ≥ c P r s ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ) + ( c − 1 ) log m 。 9) − 2 log m − P r s ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， | φ | ) ≤ P r s ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ) ≤ P r s ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， | φ | ) 。 证明：定理(1)~(8)的证明类似于文 [ 10 ] 中Lin等人的证明，因此我们省略证明。然后证明(9) 对于 w ∈ F m + ，设E是X的一个 ( w ， ε ， r ， f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ) 分离集，由于 − | φ | ≤ φ ≤ | φ | ，故 ∑ x ∈ E e ( S w ( − | φ | ) ) ( x ) ≤ ∑ x ∈ E e ( S w φ ) ( x ) ≤ ∑ x ∈ E e ( S w | φ | ) ( x ) . 因此 Q w s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， − | φ | ， ε ， r ) ≤ Q w s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε ， r ) ≤ Q w s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， | φ | ， ε ， r ) . Q n s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， − | φ | ， ε ， r ) ≤ Q n s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ， ε ， r ) ≤ Q n s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， | φ | ， ε ， r ) . 则 P r s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， − | φ | ) ≤ P r s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ) ≤ P r s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， | φ | ) . 由(8)我们可以得到 − P r s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， | φ | ) − 2 log m ≤ P r s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， − | φ | ) . 因此 − P r s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， | φ | ) − 2 log m ≤ P r s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ) ≤ P r s ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， | φ | ) . 现在我们来研究一下 P r ( f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 ， ⋅ ) 关于 f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 的性质。 定理3.4：若 ( X 1 ， d 1 ) ， ( X 2 ， d 2 ) 都是紧致度量空间。假设 f 0 ， f 1 ， ⋯ ， f m − 1 是 X 1 上的连续映射， g 0 ， g 1 ， ⋯ ， g m − 1 是 X 2 上的连续映射。当 π : X 1 → X 2 是一个连续满射，对任意 0 ≤ i ≤ m − 1 使得 π ∘ f i = g i ∘ π ，则有 P r ( g 0 ， ⋯ ， g m − 1 ， φ ) ≤ P r ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ∘ π ) ， ∀ φ ∈ C ( X 2 ， ℝ ) . 若 π 是同胚的，则有 P r ( g 0 ， ⋯ ， g m − 1 ， φ ) = P r ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ∘ π ) . 证明：设 ε > 0 ，取 δ > 0 使得 d 1 ( x ， y ) < δ 可得 d 2 ( π ( x ) ， π ( y ) ) < ε 。当 w = i 1 i 2 ⋯ i n ∈ F m + ， 0 < r < 1 。若F是 X 1 的一个 ( w ， δ ， r ， f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ) 张成集，则 π ( F ) = { π ( x ) : x ∈ F } 是 X 2 的一个 ( w ， ε ， r ， g 0 ， ⋯ ， g m − 1 ) 张成集。故 ∑ x ∈ F e φ ∘ π ( x ) + φ ∘ π ( f i 1 ( x ) ) + ⋯ + φ ∘ π ( f i n − 1 i n − 2 … i 1 ( x ) ) = ∑ x ∈ F e φ ∘ π ( x ) + φ ∘ g i 1 ∘ π ( x ) + ⋯ + φ ∘ g i n − 1 i n − 2 ⋯ i 1 ∘ π ( x ) ≥ ∑ y ∈ π ( F ) e φ ( y ) + φ ∘ g i 1 ( y ) + ⋯ + φ ∘ g i n − 1 i n − 2 ⋯ i 1 ( y ) ≥ Q w ( g 0 ， ⋯ ， g m − 1 ， φ ， ε ， r ) . 因此，我们有 Q w ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ∘ π ， δ ， r ) ≥ Q w ( g 0 ， ⋯ ， g m − 1 ， φ ， ε ， r ) . 即 Q n ( f 0 ， ⋯ ， f m − 1 ， φ ∘ π ， δ ， r ) ≥ Q n ( g 0 ， ⋯ ， g m − 1 ， φ ， ε ， r ) . 我们再取对数和极限( δ → 0 ，有 ε → 0 )，得到 P r ( f 0 ， ⋯ ， f n − 1 ， φ ∘ π ) ≥ P r ( g 0 ， ⋯ ， g n − 1 ， φ ) . 若 π 是同胚，我们可以应用上面的 f i ， g i ， π ， φ 替换 g i ， f i ， π − 1 ， φ ∘ π 推得 P r ( g 0 ， ⋯ ， g n − 1 ， φ ) ≥ P r ( f 0 ， ⋯ ， f n − 1 ， φ ∘ π ) . 。 定理3.5：设 ( X i ， d i ) 是以 d i 为度量的紧致度量空间，令 F ( i ) ( i = 1 ， 2 ) 是 X i 上的一组有限连续映射，其中 F ( 1 ) = { f 0 ( 1 ) ， ⋯ ， f m − 1 ( 1 ) } ， F ( 2 ) = { f 0 ( 2 ) ， ⋯ ， f k − 1 ( 2 ) } 。 若 φ i ∈ C ( X i ， ℝ ) ， F ( 1 ) 满足 P r ， d 1 s ( F ( 1 ) ， φ 1 ) = lim ε → 0 lim inf n → ∞ 1 n log Q n s ( F ( 1 ) ， φ 1 ， ε ， r ) ，或 F ( 2 ) 满足 P r ， d 2 s ( F ( 2 ) ， φ 2 ) = lim ε → 0 lim inf n → ∞ 1 n log Q n s ( F ( 2 ) ， φ 2 ， ε ， r ) ，则 P r ， d s ( F ( 1 ) × F ( 2 ) ， φ 1 × φ 2 ) ≥ P r ， d 1 s ( F ( 1 ) ， φ 1 ) + P r ， d 2 s ( F ( 2 ) ， φ 2 ) ， 其中 F ( 1 ) × F ( 2 ) = { f × g : f ∈ F ( 1 ) ， g ∈ F ( 2 ) } : = { ( f × g ) 0 ， ⋯ ， ( f × g ) m k − 1 } ，对任意 f × g ∈ F ( 1 ) × F ( 2 ) 有 ( f × g ) ( x 1 ， x 2 ) = ( f ( x 1 ) ， g ( x 2 ) ) ；d是乘积空间 X 1 × X 2 上的度量，其定义为 d ( ( x 1 ， x 2 ) ， ( y 1 ， y 2 ) ) = max { d 1 ( x 1 ， y 1 ) ， d 2 ( x 2 ， y 2 ) } ，其中 φ 1 × φ 2 ∈ C ( X 1 × X 2 ， ℝ ) 定义为 ( φ 1 × φ 2 ) ( x 1 ， x 2 ) = φ 1 ( x 1 ) + φ 2 ( x 2 ) 。 证明：首先 F ( 1 ) × F ( 2 ) 是 X 1 × X 2 上的一组有限连续映射，对任意 ν = p n ⋯ p 1 ∈ F m k + ，存在唯一的 w ( 1 ) = j n ( 1 ) ⋯ j 1 ( 1 ) ∈ F m + 和唯一的 w ( 2 ) = j n ( 2 ) ⋯ j 1 ( 2 ) ∈ F k + 使得对任意 1 ≤ i ≤ n ，满足 ( f × g ) p i = f j i ( 1 ) ( 1 ) × f j i ( 2 ) ( 2 ) 。因此 ( f × g ) ν = f w ( 1 ) ( 1 ) × f w ( 2 ) ( 2 ) 。 另一方面，如果 w ( 1 ) = j n ( 1 ) ⋯ j 1 ( 1 ) ∈ F m + ， w ( 2 ) = j n ( 2 ) ⋯ j 1 ( 2 ) ∈ F k + ，存在唯一 ν = p n ⋯ p 1 ∈ F m k + ，使得对任意 1 ≤ i ≤ n ，满足 f j i ( 1 ) ( 1 ) × f j i ( 2 ) ( 2 ) = ( f × g ) p i ，因此 f w ( 1 ) ( 1 ) × f w ( 2 ) ( 2 ) = ( f × g ) ν 。 因此对任意 n ≥ 1 ，映射 h : ν ↦ ( w ( 1 ) ， w ( 2 ) ) 是一一对应的。 对于 ε > 0 和 ν ∈ F m k + ，存在 w ( 1 ) ∈ F m + 、 w ( 2 ) ∈ F k + 使得 ( f × g ) ν = f w ( 1 ) ( 1 ) × f w ( 2 ) ( 2 ) 。 如果 E 1 是 X 1 的 ( w ( 1 ) ， ε ， r ， F ( 1 ) ) 分离集，对任意的 x 1 ， y 1 ∈ E 1 ，我们有 1 | w ( 1 ) | C a r d { w : d 1 ( f w ( 1 ) x 1 ， f w ( 1 ) y 1 ) ≥ ε ， w ≤ w ( 1 ) } > r . 令 A = { w : d 1 ( f w ( 1 ) x 1 ， f w ( 1 ) y 1 ) ≥ ε ， w ≤ w ( 1 ) } ， 则 C a r d   A > | w ( 1 ) | r 。 类似地，如果 E 2 是 X 1 的 ( w ( 2 ) ， ε ， r ， F ( 2 ) ) 分离集，对任意的 x 2 ， y 2 ∈ E 2 ，我们有 1 | w ( 2 ) | C a r d { w : d 1 ( f w ( 2 ) x 1 ， f w ( 2 ) y 1 ) ≥ ε ， w ≤ w ( 2 ) } > r . 令 B = { w : d 2 ( f w ( 2 ) x 1 ， f w ( 2 ) y 1 ) ≥ ε ， w ≤ w ( 2 ) } ， 则 C a r d   B > | w ( 2 ) | r 。 因此对任意 ν ′ = p k ⋯ p 1 ≤ h − 1 ( w ( 1 ) ， w ( 2 ) ) ， 1 ≤ k ≤ n ，我们有 d ( ( f × g ) ν ′ ( x 1 ， x 2 ) ， ( f × g ) ν ′ ( y 1 ， y 2 ) ) = d ( ( f j k ( 1 ) ⋯ j 1 ( 1 ) ( 1 ) ( x 1 ) ， f j k ( 2 ) ⋯ j 1 ( 2 ) ( 2 ) ( x 2 ) ) ， ( f j k ( 1 ) ⋯ j 1 ( 1 ) ( 1 ) ( y 1 ) ， f j k ( 2 ) ⋯ j 1 ( 2 ) ( 2 ) ( y 2 ) ) ) = max { d 1 ( f j k ( 1 ) ⋯ j 1 ( 1 ) ( 1 ) ( x 1 ) ， f j k ( 1 ) ⋯ j 1 ( 1 ) ( 1 ) ( y 1 ) ) ， d 2 ( f j k ( 2 ) ⋯ j 1 ( 2 ) ( 2 ) ( x 2 ) ， f j k ( 2 ) ⋯ j 1 ( 2 ) ( 2 ) ( y 2 ) ) } . 令 C = { ν ′ : d ( ( f × g ) ν ′ ( x 1 ， x 2 ) ， ( f × g ) ν ′ ( y 1 ， y 2 ) ) ≥ ε ， ν ′ ≤ v } ，其中 ν = h − 1 ( w ( 1 ) ， w ( 2 ) ) ，则 C a r d   C ≥ C a r d   A > | w ( 1 ) | r 和 C a r d   C ≥ C a r d   B > | w ( 2 ) | r . 由于 | w ( 1 ) | = | w ( 2 ) | = | ν | ，则 1 | ν | C a r d { ν ′ : d ( ( f × g ) ν ′ ( x 1 ， x 2 ) ， ( f × g ) ν ′ ( y 1 ， y 2 ) ) ≥ ε ， ν ′ ≤ ν } > r . 因此， E 1 × E 2 是 X 1 × X 2 的一个 ( ν ， ε ， r ， F ( 1 ) × F ( 2 ) ) 分离集。由于 ∑ ( x 1 ， x 2 ) ∈ E 1 × E 2 exp ( ∑ ν ′ ≤ ν ( φ 1 × φ 2 ) ( f × g ) ν ′ ( x 1 ， x 2 ) ) = ( ∑ x 1 ∈ E 1 exp ( ∑ w ′ ≤ w ( 1 ) φ 1 ( f ) w ′ 1 ( x 1 ) ) ) ( ∑ x 2 ∈ E 2 ( ∑ w ′ ≤ w ( 2 ) φ 2 ( g ) w ′ 2 ( x 2 ) ) ) ， 我们得到 Q ν s ( F ( 1 ) × F ( 2 ) ， φ 1 × φ 2 ， ε ， r ) ≥ Q w ( 1 ) s ( F ( 1 ) ， φ 1 ， ε ， r ) ⋅ Q w ( 2 ) s ( F ( 2 ) ， φ 2 ， ε ， r ) . 则有 1 ( m k ) n ∑ | w | = n Q w s ( F ( 1 ) × F ( 2 ) ， φ 1 × φ 2 ， ε ， r ) ≥ 1 ( m k ) n ∑ | w ( 1 ) | = n ， | x ( 2 ) | = n Q w ( 1 ) s ( F ( 1 ) ， φ 1 ， ε ， r ) ⋅ Q w ( 2 ) s ( F ( 2 ) ， φ 2 ， ε ， r ) = 1 m n ∑ | w ( 1 ) | = n Q w ( 1 ) s ( F ( 1 ) ， φ 1 ， ε ， r ) ⋅ 1 k n ∑ | w ( 2 ) | = n Q w ( 2 ) s ( F ( 2 ) ， φ 2 ， ε ， r ) . 因此 Q n s ( F ( 1 ) × F ( 2 ) ， φ 1 × φ 2 ， ε ， r ) ≥ Q n s ( F ( 1 ) ， φ 1 ， ε ， r ) ⋅ Q n s ( F ( 2 ) ， φ 2 ， ε ， r ) . 故 lim sup n → ∞ 1 n log Q n s ( F ( 1 ) × F ( 2 ) ， φ 1 × φ 2 ， ε ， r ) ≥ lim inf n → ∞ 1 n log Q n s ( F ( 1 ) ， φ 1 ， ε ， r ) + lim sup n → ∞ 1 n log Q n s ( F ( 2 ) ， φ 2 ， ε ， r ) . 因为 P r ， d 1 s ( F ( 1 ) ， φ 1 ) = lim ε → 0 lim inf n → ∞ 1 n log Q n s ( F ( 1 ) ， φ 1 ， ε ， r ) ，令 ε → 0 ，可以得到 P r ， d s ( F ( 1 ) × F ( 2 ) ， φ 1 × φ 2 ) ≥ P r ， d 1 s ( F ( 1 ) ， φ 1 ) + P r ， d 2 s ( F ( 2 ) ， φ 2 ) . 类似的方法可以证明 P r ， d 2 s ( F ( 2 ) ， φ 2 ) = lim ε → 0 lim inf n → ∞ 1 n log Q n s ( F ( 2 ) ， φ 2 ， ε ， r ) 的情况。 到目前为止我们还不能证明其另一不等式，即 P r ， d s ( F ( 1 ) × F ( 2 ) ， φ 1 × φ 2 ) ≤ P r ， d 1 s ( F ( 1 ) ， φ 1 ) + P r ， d 2 s ( F ( 2 ) ， φ 2 ) 。