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user: 3. 收敛性和误差估计 这一部分，近似解 的收敛性和误差估计是重点。首先，我们给出一个引理如下： 引理1：如果有以下条件 ‖ K x ( i ) ( x ， y ) ‖ ∞ = max a ≤ x ， y ≤ b | K x ( i ) ( x ， y ) | = P i < + ∞ ‖ d n + 1 Ω d y n + 1 ‖ ∞ = max a ≤ y ≤ b | d n + 1 Ω d y n + 1 | = N 0 < + ∞ ， 满足 0 < h < 1 ， ‖ ( k i n φ ) ( x ) − ( k i φ ) ( x ) ‖ ∞ ≤ P i N 0 ( b − a ) ( n + 2 ) ! h n + 1 → 0 ， n → + ∞ (15) 对于一个固定的n， ‖ ( k i n φ ) ( x ) − ( k i φ ) ( x ) ‖ ∞ ≤ P i N 0 ( b − a ) ( n + 2 ) ! h n + 1 → 0 ， h → 0 ， (16) 其中 i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。 证明：运用等式(7) (10) (11) (12)得到 ‖ ( k i n φ ) ( x ) − ( k i φ ) ( x ) ‖ ∞ = h ‖ ∑ k = 0 m − 1 ∫ 0 1 K x i ( x ， x k + h ξ ) ( h ξ ) n + 1 ( n + 1 ) ! d n + 1 Ω d y n + 1 | y = x k d ξ ‖ ∞ ≤ h m P i N 0 ∫ 0 1 ( h ξ ) n + 1 ( n + 1 ) ! d ξ = m P i N 0 ( n + 2 ) ! h n + 2 = P i N 0 ( b − a ) ( n + 2 ) ! h n + 1 (17) 在考虑 0 < h < 1 的情况下，当 n → + ∞ 时我们有 ‖ ( k n φ ) ( x ) − ( k φ ) ( x ) ‖ ∞ → 0 ，对于一个固定的n，当 h → 0 时有 ‖ ( k n φ ) ( x ) − ( k φ ) ( x ) ‖ ∞ → 0 。因此引理得证。 另一方面，算子 k 0 − n 的一个序列数值积分被定义为 ( k 0 − n φ ) ( x ) = h ∑ k = 0 m − 1 ∑ j = 0 n h j j ! d j Ω d y j | ( x k ， φ k ( j ) ) ∫ 0 1 K ( x ， x k + h ξ ) ξ j d ξ ， (18) 基于引理1，可以很容易得到 ‖ φ ( x ) − φ m ， n ( x ) ‖ ∞ = ‖ ( k 0 φ ) ( x ) − ( k 0 − n φ ) ( x ) ‖ ∞ = ‖ ( k 0 φ ) ( x ) − ( k 0 n φ ) ( x ) + ( k 0 n φ ) ( x ) − ( k 0 − n φ ) ( x ) ‖ ∞ ≤ ‖ ( k 0 φ ) ( x ) − ( k 0 n φ ) ( x ) ‖ ∞ + ‖ ( k 0 n φ ) ( x ) − ( k 0 − n φ ) ( x ) ‖ ∞ ≤ P 0 N 0 ( b − a ) h n + 1 ( n + 2 ) ! + ‖ ( k 0 n φ ) ( x ) − ( k 0 − n φ ) ( x ) ‖ ∞ (19) 另外，我们重写等式(13)为 Φ ˜ = W ( Φ ˜ ) + F ， (20) 这里 W ( Φ ˜ ) = [ ω l ( i ) ( Φ ˜ ) ] m ( n + 1 ) × 1 ， F = [ f ( i ) ( x l ) ] m ( n + 1 ) × 1 = [ f ( 0 ) ( x 0 ) ， f ( 0 ) ( x 1 ) ， ⋯ ， f ( n ) ( x m − 1 ) ] T ， Φ ˜ = [ φ k ( j ) ] m ( n + 1 ) × 1 = [ φ 0 ( 0 ) ， φ 1 ( 0 ) ， ⋯ ， φ m − 1 ( n ) ] T ， 和 ω l ( i ) ( Φ ˜ ) = h ∑ k = 0 m − 1 ∑ j = 0 n h j j ! d j Ω d y j | ( x k ， φ k ( j ) ) ∫ 0 1 K x ( i ) ( x l ， x k + h ξ ) ξ j d ξ ， 其中 i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n 和 l = 0 ， 1 ， ⋯ ， ( m − 1 ) 。 并且，从等式(4)和(8)，可得到 Φ = W ( Φ ) + F + R ， (21) 这里 Φ = [ φ j ( x k ) ] m ( n + 1 ) × 1 = [ φ ( 0 ) ( x 0 ) ， φ ( 0 ) ( x 1 ) ， ⋯ ， φ ( n ) ( x m − 1 ) ] T ， R = [ r s ] m ( n + 1 ) × 1 ， 和 r 0 = h ∑ k = 0 m − 1 ∫ 0 1 K ( x 0 ， x k + h ξ ) R n ( θ k ， h ， ξ ) d ξ ， r 1 = h ∑ k = 0 m − 1 ∫ 0 1 K ( x 1 ， x k + h ξ ) R n ( θ k ， h ， ξ ) d ξ ， ⋯ r m ( n + 1 ) − 1 = h ∑ k = 0 m − 1 ∫ 0 1 K x ( n ) ( x m − 1 ， x k + h ξ ) R n ( θ k ， h ， ξ ) d ξ ， 现在假定非线性系统(13)有唯一解，可以使用迭代法 [ 8 ] 并满足以下收缩条件 ‖ W ( Φ ) − W ( Φ ˜ ) ‖ ∞ ≤ α ‖ Φ − Φ ˜ ‖ ∞ ， (22) 其中 0 < α < 1 。之后应用等式(20)和(24)得 ‖ Φ − Φ ˜ ‖ ∞ ≤ ‖ W ( Φ ) − W ( Φ ˜ ) ‖ ∞ + ‖ R ‖ ∞ ， (23) 进一步得 ‖ Φ − Φ ˜ ‖ ∞ ≤ 1 1 − α ‖ R ‖ ∞ = 1 1 − α max 0 ≤ s ≤ m ( n + 1 ) | r s | ≤ 1 1 − α P N 0 ( b − a ) ( n + 2 ) ! h n + 1 ， (24) 这里 P = max i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n p i 。 把式(24)代入式(19)得 ‖ φ ( x ) − φ m ， n ( x ) ‖ ∞ ≤ P 0 N 0 ( b − a ) ( n + 2 ) ! h n + 1 + 1 1 − α P N 0 ( b − a ) ( n + 2 ) ! h n + 1 = N 0 ( b − a ) h n + 1 ( n + 2 ) ! ( P 0 + P 1 − α ) ， (25) 从式(25)可知当 n → + ∞ ， 0 < h < 1 或对于固定的一个n当 m → + ∞ ( i . e .   h → 0 ) 时，总有 ‖ φ ( x ) − φ m ， n ( x ) ‖ ∞ → + ∞ 。最后，基于以上分析，我们有下面定理： 定理2：如果有以下条件 ‖ K x ( i ) ( x ， y ) ‖ ∞ = max a ≤ x ， y ≤ b | K x ( i ) ( x ， y ) | = P i < + ∞ ‖ d n + 1 Ω d y n + 1 ‖ ∞ = max a ≤ y ≤ b | d n + 1 Ω d y n + 1 | = N 0 < + ∞ ， ‖ W ( Φ ) − W ( Φ ˜ ) ‖ ∞ ≤ α ‖ Φ − Φ ˜ ‖ ∞ ， i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，式(14)的近似解 φ m ， n ( x ) 收敛到精确解 φ ( x ) 。即得 lim n → + ∞ ‖ φ m ， n ( x ) − φ ( x ) ‖ ∞ = 0 ， 0 < h < 1 ， 对一个固定的n有 lim h → 0 ‖ φ m ， n ( x ) − φ ( x ) ‖ ∞ = 0 ， 此外，还可以得到以下误差估计 ‖ φ ( x ) − φ m ， n ( x ) ‖ ∞ ≤ N 0 ( b − a ) h n + 1 ( n + 2 ) ! ( P 0 + P 1 − α ) ， 其中 P = max i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n p i 。 定理2表明，可以选择 m ( i . e   h ) 和n的两个可行值来得到精确解的近似解。