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user: 2. 变分框架与预备引理 定义Hilbert空间 及该空间的内积为 H m ( ℝ N ) = { u ∈ L 2 ( ℝ N ) | D α u ∈ L 2 ( ℝ N ) ， | α | ≤ m } 和 〈 u ， v 〉 H m = ∑ | α | ≤ m ∫ ℝ 3 D α u D α v d x ， 并赋予范数 ‖ u ‖ H m = 〈 u ， v 〉 H m 1 2 = ( ∑ | α | ≤ m ∫ ℝ N | D α u | 2 d x ) 1 2 . 由条件(V)知，存在常数 V 0 ≥ 0 ，使得对任意 x ∈ ℝ 3 ，都有 V ˜ ( x ) = V ( x ) + V 0 ≥ 1 。 下面定义空间 E = { u ∈ H 2 ( ℝ 3 ) : ∫ ℝ 3 V ˜ ( x ) u 2 d x < ∞ } ， 其范数定义为 ‖ u ‖ = ( ∫ ℝ 3 ( | Δ u | 2 + | ∇ u | 2 + V ˜ ( x ) u 2 ) d x ) 1 2 . 对任意的 ( u ， v ) ， ( φ ， ψ ) ∈ E × E ，在 E × E 上内积和范数分别定义为 〈 ( u ， v ) ， ( φ ， ψ ) 〉 = 〈 u ， φ 〉 + 〈 v ， ψ 〉 和 ‖ ( u ， v ) ‖ = ( ‖ u ‖ 2 + ‖ v ‖ 2 ) 1 2 . 设 X = E × E ，则对任意 s ∈ ( 2 ， ∞ ) ，有 。令 Φ ( u ， v ) = 1 2 ∫ ℝ 3 ( | Δ u | 2 + | ∇ u | 2 + V ( x ) u 2 ) d x + 1 4 ( ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u 2 ) | ∇ u | 2 d x ) 2     + 1 2 ∫ ℝ 3 ( | Δ v | 2 + | ∇ v | 2 + V ( x ) v 2 ) d x + 1 4 ( ∫ K 3 ( 1 + 2 v 2 ) | ∇ v | 2 d x ) 2 − ∫ ℝ 3 F ( x ， u ， v ) d x (2.1) 根据文献 [ 10 ] 中引理2.2知 ∫ ℝ 3 u 2 | ∇ u | 2 d x ，结合假设(V)和(F 1 )知泛函 Φ ( u ， v ) ∈ C 1 ( X ， ℝ ) 。 对任意 ( φ ， ψ ) ∈ X ，有 〈 Φ ′ ( u ， v ) ， ( φ ， ψ ) 〉 = ∫ ℝ 3 ( Δ u Δ φ + ∇ u ∇ φ + V ( x ) u φ ) d x         + ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u 2 ) | ∇ u | 2 d x ∫ ℝ 3 ( ∇ u ∇ φ + 2 u φ | ∇ u | 2 + 2 u 2 ∇ u ∇ φ ) d x + ∫ ℝ 3 ( Δ v Δ ψ + ∇ v ∇ ψ + V ( x ) v ψ ) d x         + ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 v 2 ) | ∇ v | 2 d x ∫ ℝ 3 ( ∇ v ∇ ψ + 2 v ψ | ∇ v | 2 + 2 v 2 ∇ v ∇ ψ ) d x − ∫ ℝ 3 φ F u ( x ， u ， v ) + ψ F v ( x ， u ， v ) d x (2.2) 由变分理论知，泛函 Φ ( u ， v ) 的临界点即为问题(1.1)的弱解。 定义2.1：序列 { ( u n ， v n ) } ⊂ X 被称为 ( C ) c 序列当且仅当 { ( u n ， v n ) } 满足：当 n → ∞ 时，有 Φ ( u n ， v n ) → c 且 。若泛函 Φ ( u n ， v n ) 对应的任意 ( C ) c 序列都有X中的强收敛子列，则称泛函 Φ ( u n ， v n ) 满足 ( C ) c 条件。 引理2.2：若假设(V)、(F 1 )成立，则泛函 Φ ( u n ， v n ) 对应的任意有界 ( C ) c 序列都有强收敛子列。 证明：令 { ( u n ， v n ) } ⊂ X 为泛函 Φ ( u n ， v n ) 的任一有界 ( C ) c 序列，则有 Φ ( u n ， v n ) → c ，   ‖ Φ ′ ( u n ， v n ) ‖ ( 1 + ‖ ( u n ， v n ) ‖ ) → 0 (2.3) 由于 ‖ ( u n ， v n ) ‖ < ∞ ，则在X中存在弱收敛子列，不妨仍记为 { ( u n ， v n ) } 。因此存在 ( u ， v ) ∈ X ，使得 ( u n ， v n ) ⇀ ( u ， v ) 于   X ， ( u n ， v n ) → ( u ， v ) 于   L s ( ℝ 3 )   ( 2 ≤ s < + ∞ ) ， ( u n ， v n ) → ( u ， v )   a . e .   于   ℝ 3 (2.4) 通过计算可得 〈 Φ ′ ( u n ， v n ) − Φ ′ ( u ， v ) ， ( u n − u ， 0 ) 〉 = ‖ u n − u ‖ 2 − V 0 ∫ ℝ 3 | u n − u | 2 d x     + ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | ∇ u n | 2 d x ∫ ℝ 3 ( ∇ u n ∇ ( u n − u ) + 2 u n ( u n − u ) | ∇ u n | 2 + 2 u n 2 ∇ u n ∇ ( u n − u ) ) d x     − ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u 2 ) | ∇ u | 2 d x ∫ ℝ 3 ( ∇ u ∇ ( u n − u ) + 2 u ( u n − u ) | ∇ u | 2 + 2 u 2 ∇ u ∇ ( u n − u ) ) d x     − ∫ ℝ 3 ( F u ( x ， u n ， v n ) − F u ( x ， u ， v ) ) ( u n − u ) d x = ‖ u n − u ‖ 2 − V 0 ∫ ℝ 3 | u n − u | 2 d x     + ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | ∇ u n | 2 d x ∫ ℝ 3 ( ∇ u n ∇ ( u n − u ) + 2 u n ( u n − u ) | ∇ u n | 2 + 2 u n 2 ∇ u n ∇ ( u n − u ) ) d x     − ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | ∇ u n | 2 d x ∫ ℝ 3 ( ∇ u ∇ ( u n − u ) + 2 u ( u n − u ) | ∇ u n | 2 + 2 u n 2 ∇ u ∇ ( u n − u ) ) d x     + ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | ∇ u n | 2 d x ∫ ℝ 3 ( ∇ u ∇ ( u n − u ) + 2 u ( u n − u ) | ∇ u n | 2 + 2 u n 2 ∇ u ∇ ( u n − u ) ) d x     − ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u 2 ) | ∇ u | 2 d x ∫ ℝ 3 ( ∇ u ∇ ( u n − u ) + 2 u ( u n − u ) | ∇ u | 2 + 2 u 2 ∇ u ∇ ( u n − u ) ) d x     − ∫ ℝ 3 ( F u ( x ， u n ， v n ) − F u ( x ， u ， v ) ) ( u n − u ) d x = ‖ u n − u ‖ 2 − V 0 ∫ ℝ 3 | u n − u | 2 d x     + ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | ∇ u n | 2 d x ∫ ℝ 3 ( | ∇ ( u n − u ) | 2 + 2 | ( u n − u ) | 2 | ∇ u n | 2 + 2 u n 2 | ∇ ( u n − u ) | 2 ) d x     + ( ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | ∇ u n | 2 d x − ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u 2 ) | ∇ u | 2 d x ) ∫ ℝ 3 ∇ u ∇ ( u n − u ) d x     + ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | ∇ u n | 2 d x ∫ ℝ 3 2 u ( u n − u ) | ∇ u n | 2 d x − ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u 2 ) | ∇ u | 2 d x ∫ ℝ 3 2 u ( u n − u ) | ∇ u | 2 d x     + ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | ∇ u n | 2 d x ∫ ℝ 3 2 u n 2 ∇ u ∇ ( u n − u ) d x − ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u 2 ) | ∇ u | 2 d x ∫ ℝ 3 2 u 2 ∇ u ∇ ( u n − u ) d x     − ∫ ℝ 3 ( F u ( x ， u n ， v n ) − F u ( x ， u ， v ) ) ( u n − u ) d x ≥ ‖ u n − u ‖ 2 − V 0 ∫ ℝ 3 | u n − u | 2 d x     + ( ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | ∇ u n | 2 d x − ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u 2 ) | ∇ u | 2 d x ) ∫ ℝ 3 ∇ u ∇ ( u n − u ) d x     + ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | ∇ u n | 2 d x ∫ ℝ 3 2 u ( u n − u ) | ∇ u n | 2 d x − ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u 2 ) | ∇ u | 2 d x ∫ ℝ 3 2 u ( u n − u ) | ∇ u | 2 d x     + ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | ∇ u n | 2 d x ∫ ℝ 3 2 u n 2 ∇ u ∇ ( u n − u ) d x − ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u 2 ) | ∇ u | 2 d x ∫ ℝ 3 2 u 2 ∇ u ∇ ( u n − u ) d x     − ∫ ℝ 3 ( F u ( x ， u n ， v n ) − F u ( x ， u ， v ) ) ( u n − u ) d x (2.5) 由(2.3)和(2.4)知 ∫ ℝ 3 | u n − u | 2 d x → 0 ，   〈 Φ ′ ( u n ， v n ) − Φ ′ ( u ， v ) ， ( u n − u ， 0 ) 〉 → 0 由 ‖ ( u n ， v n ) ‖ < ∞ 知，当 n → ∞ 时，有 | ( ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | ∇ u n | 2 d x − ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u 2 ) | ∇ u | 2 d x ) ∫ ℝ 3 ∇ u ∇ ( u n − u ) d x | → 0. (2.6) 注意到，对于任意的 s ∈ [ 2 ， 6 ] ，有 ，因此 ∫ ℝ 3 | ∇ u n | 3 d x ≤ ∫ ℝ 3 ( | u n | 2 + ∑ i = 1 3 | ∂ u n ∂ x i | 2 ) 3 2 d x ≤ 4 1 2 ∫ ℝ 3 ( | u n | 3 + ∑ i = 1 3 | ∂ u n ∂ x i | 3 ) d x = 2 ‖ u n ‖ W 1 ， 3 ( ℝ 3 ) 3 ≤ C ‖ u n ‖ 3 (2.7) 结合(2.3)、(2.4)和(2.7)知，当 n → ∞ 时，有 | ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | ∇ u n | 2 d x ∫ ℝ 3 2 u ( u n − u ) | ∇ u n | 2 d x − ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u 2 ) | ∇ u | 2 d x ∫ ℝ 3 2 u ( u n − u ) | ∇ u | 2 d x | ≤ | ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | ∇ u n | 2 d x ∫ ℝ 3 2 u ( u n − u ) | ∇ u n | 2 d x | + | ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u 2 ) | ∇ u | 2 d x ∫ ℝ 3 2 u ( u n − u ) | ∇ u | 2 d x | ≤ C ( ∫ ℝ 3 | u | 6 d x ) 1 6 ( ∫ ℝ 3 | ∇ u n | 3 d x ) 2 3 ( ∫ ℝ 3 | u n − u | 6 d x ) 1 6 + C ( ∫ ℝ 3 | u | 6 d x ) 1 6 ( ∫ ℝ 3 | ∇ u | 3 d x ) 2 3 ( ∫ ℝ 3 | u n − u | 6 d x ) 1 6 ≤ C ‖ u n − u ‖ 6 → 0 (2.8) 根据(2.4)以及Hölder不等式知，当 n → ∞ 时，有 | ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | ∇ u n | 2 d x ∫ ℝ 3 2 u n 2 ∇ u ∇ ( u n − u ) d x − ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u 2 ) | ∇ u | 2 d x ∫ ℝ 3 2 u 2 ∇ u ∇ ( u n − u ) d x | ≤ | ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | ∇ u n | 2 d x ∫ ℝ 3 2 u n 2 ∇ u ∇ ( u n − u ) d x | + | ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u 2 ) | ∇ u | 2 d x ∫ ℝ 3 2 u 2 ∇ u ∇ ( u n − u ) d x | ≤ C ‖ u n 2 ‖ ∞ ∫ ℝ 3 | ∇ u ∇ ( u n − u ) | d x + C ‖ u 2 ‖ ∞ ∫ ℝ 3 | ∇ u ∇ ( u n − u ) | d x ≤ C ‖ u n ‖ ∞ 2 ∫ ℝ 3 | ∇ u ∇ ( u n − u ) | d x + C ‖ u ‖ ∞ 2 ∫ ℝ 3 | ∇ u ∇ ( u n − u ) | d x ≤ C ∫ ℝ 3 | ∇ u ∇ ( u n − u ) | d x → 0 (2.9) 由(F 1 )、(2.4)和Hölder不等式得 | ∫ ℝ 3 ( F u ( x ， u n ， v n ) − F u ( x ， u ， v ) ) ( u n − u ) d x | ≤ C ∫ ℝ 3 ( | ( u n ， v n ) | + | ( u n ， v n ) | p − 1 + | ( u ， v ) | + | ( u ， v ) | p − 1 ) | u n − u | d x ≤ C ( ( ‖ ( u n ， v n ) ‖ 2 + ‖ ( u ， v ) ‖ 2 ) ‖ u n − u ‖ L 2 + ( ‖ ( u n ， v n ) ‖ p p − 1 + ‖ ( u ， v ) ‖ p p − 1 ) ‖ u n − u ‖ p ) → 0 (2.10) 综合上述讨论可以得到，在E中有 u n → u   ( n → ∞ ) 。类似可以得到，在E中有 v n → v   ( n → ∞ ) 。证毕。 引理2.3：假设条件(V)、(F 1 )、(F 3 )~(F 5 )成立，则泛函 Φ 的任意 ( C ) c 序列都有界。 证明：令 { ( u n ， v n ) } ⊂ X 并且满足 Φ ( u n ， v n ) → c ，   ‖ Φ ′ ( u n ， v n ) ‖ ( 1 + ‖ ( u n ， v n ) ‖ ) → 0. (2.11) 用反证法。若当 n → ∞ 时， ‖ ( u n ， v n ) ‖ → ∞ ，则令 ( w n ， z n ) = ( u n ‖ ( u n ， v n ) ‖ ， v n ‖ ( u n ， v n ) ‖ ) ，显然 ‖ ( w n ， z n ) ‖ = 1 。 则在X中存在弱收敛子列(不妨仍记为 { ( w n ， z n ) } )和 ( w ， z ) ∈ X ，使得 ( w n ， z n ) ⇀ ( w ， z ) 于 X ， ( w n ， z n ) → ( w ， z ) 于 L s ( ℝ 3 ) ( 2 ≤ s < + ∞ ) ， ( w n ， z n ) → ( w ， z ) a . e .   于 ℝ 3 利用(F 3 )、(2.1)、(2.2)及(2.11)，有 c + o ( 1 ) = Φ ( u n ， v n ) − 1 8 〈 Φ ′ ( u n ， v n ) ， ( u n ， v n ) 〉 = 3 8 ‖ ( u n ， v n ) ‖ 2 − 3 8 V 0 ∫ ℝ 3 | ( u n ， v n ) | 2 d x       + 1 8 ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | ∇ u n | 2 d x ∫ ℝ 3 | ∇ u n | 2 d x + 1 8 ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 v n 2 ) | ∇ v n | 2 d x ∫ ℝ 3 | ∇ v n | 2 d x       + ∫ ℝ 3 ( 1 8 ( u n F u ( x ， u n ， v n ) − v n F v ( x ， u n ， v n ) ) − F ( x ， u n ， v n ) ) d x ≥ 3 8 ‖ ( u n ， v n ) ‖ 2 − α + 3 V 0 8 ∫ ℝ 3 | ( u n ， v n ) | 2 d x . (2.12) 显然，从上式可得 ‖ ( w n ， z n ) ‖ 2 ≠ 0 。设 Θ : = { x ∈ ℝ 3 : ( w ， z ) ≠ 0 } ，故 meas ( Θ ) > 0 。对 x ∈ Θ ，当 n → ∞ 时，有 | ( u n ， v n ) | → ∞ 。由(F 2 )知，对于 x ∈ Θ ，有 F ( x ， u n ， v n ) | ( u n ， v n ) | 8 | ( w n ， z n ) | 8 → + ∞ ，         n → ∞ ， 由Fatou引理知 ∫ Θ F ( x ， u n ， v n ) | ( u n ， v n ) | 8 | ( w n ， z n ) | 8 d x → + ∞   ，         n → ∞ (2.13) 因此，利用(2.11)和(2.13)式，条件(F 1 )、(F 4 )及 ‖ ( w n ， z n ) ‖ = 1 可得 c + o ( 1 ) ‖ ( u n ， v n ) ‖ 8 = Φ ( u n ， v ) ‖ ( u n ， v n ) ‖ 8 = 1 ‖ ( u n ， v n ) ‖ 8 ( 1 2 ‖ ( u n ， v n ) ‖ 2 + 1 4 ( ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 u n 2 ) | ∇ u n | 2 d x ) 2 + 1 4 ( ∫ ℝ 3 ( 1 + 2 v n 2 ) | ∇ v n | 2 d x ) 2     − ∫ ℝ 3 F ( x ， u n ， v n ) d x − V 0 2 ∫ ℝ 3 | ( u n ， v n ) | 2 d x ) ≤ 1 2 ‖ ( u n ， v n ) ‖ 6 + 1 4 ( ∫ ℝ 3 ( 1 ‖ ( u n ， v n ) ‖ 2 + 2 u n 2 ‖ ( u n ， v n ) ‖ 2 ) | ∇ u n | 2 ‖ ( u n ， v n ) ‖ 2 d x ) 2     + 1 4 ( ∫ ℝ 3 ( 1 ‖ ( u n ， v n ) ‖ 2 + 2 v n 2 ‖ ( u n ， v n ) ‖ 2 ) | ∇ v n | 2 ‖ ( u n ， v n ) ‖ 2 d x ) 2 − ∫ Θ F ( x ， u n ， v n ) | ( u n ， v n ) | 8 | ( w n ， z n ) | 8 d x ≤ 1 2 ‖ ( u n ， v n ) ‖ 6 + 1 4 ( ∫ ℝ 3 ( 1 ‖ ( u n ， v n ) ‖ 2 + 2 w n 2 ) | ∇ w n | 2 d x ) 2     + 1 4 ( ∫ ℝ 3 ( 1 ‖ ( u n ， v n ) ‖ 2 + 2 z n 2 ) | ∇ z n | 2 d x ) 2 − ∫ Θ F ( x ， u n ， v n ) | ( u n ， v n ) | 8 | ( w n ， z n ) | 8 d x → − ∞ ( n → ∞ ) (2.14) 显然上式是矛盾的。因此 { ( u n ， v n ) } 在X中有界。证毕。 下面引理是证明定理1.1的主要依据。 引理2.4 (Fountain定理)：设H是一个实Banach空间，并且 H = ⊕ j ∈ N H j ¯ ，对任意的 j ∈ ℕ ，有 dim ( H j ) < ∞ 。令 Y k = ⊕ j = 1 k H j ，       Z k = ⊕ j = k ∞ H j ¯ ，       k ∈ ℤ . 设 ϕ ∈ C 1 ( H ， ℝ ) 是一个偶泛函。若对任意的 k ∈ ℕ ，都存在 ρ k > r k > 0 ，使得 ( ϕ 1 ) a k : = max u ∈ Y k ， ‖ u ‖ = ρ k ϕ ( u ) ≤ 0 ； ( ϕ 2 ) b k : = inf u ∈ Z k ， ‖ u ‖ = r k ϕ ( u ) → ∞ ，   k → ∞ ； ( ϕ 3 ) 对任意 ， ϕ 满足 条件； 则 ϕ 存在无界临界值序列。