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user: 4. 主要定理证明 定理4.1：设 f : X → X 为同胚映射，其中X为局部紧致的度量空间。若对 ∀ x ∈ X ， ω ( x ) ≠ ϕ ， K ⊂ X 为紧致强不变集，且存在一个紧致邻域Q，使得 Q \ K 包含不完整负轨道，则K是渐进稳定集。 首先证明K是稳定的。如果K是不稳定的，则存在K的一个开邻域U，使得 K ⊂ U 且对任意的开邻域 V ⊃ K ，存在 x ∈ V 以及 n ∈ N ，使得 f n ( x ) ∉ U 。 因为Q是K的一个紧致邻域，则存在Q的一个序列 { x k } k ，使得： • ∃ n k ≥ 0 ， f n k ( x k ) ∉ U ； • lim x k = x ∈ K 。 则序列 { x k } k 包含一个子序列，仍记为 { x k } k ， s . t . f n k − 1 ( x k ) → y 0 ，其中 y 0 ∈ Q 且 f ( y 0 ) ∉ U ，因为K强不变，因此有 y 0 ∉ K 。同样，序列 { x k } k 包含一个子序列，再一次记为 { x k } k ， s . t . f n k − 2 ( x k ) → y 1 ，其中 f ( y 1 ) = y 0 且 y 1 ∈ Q \ K ( n ≥ 1 ) ，以同样的方式进行，可以构造一个无限序列( y n )，使得 f ( y n ) = y n − 1 且 y n ∈ Q \ K ( n ≥ 1 ) ，与假设矛盾。 因此，对K中的任意开邻域U，存在K的开邻域V，并且使得 K ⊂ V ⊂ U ，对 ∀ x ∈ V 以及 n ≥ 0 ，有 f n ( x ) ∈ U 。 为了完成证明，接着证明K为吸引子。因为有 ω ( x ) ≠ ϕ ，因此只需证明对 ∀ x ∈ V ， ω ( x ) ⊂ K 即可，若不是，即存在 x ∈ V ，使得 ω ( x ) ⊄ K 。则存在 x ∈ V \ K 且存在一个开集W，使得 K ⊂ W ⊂ V ，对无穷多的n，有 f n ( x ) ∉ W 。因此存在 n k → ∞ 使得 f n k ( x ) → y 0 ，其中 y 0 ∈ Q | W 。因为 y 0 ∈ ω ( x ) 且 ω ( x ) 强不变，所以有 y 0 ∈ f ( ω ( x ) ) 则存在一个点 y 1 ∈ ω ( x ) ，使得 f ( y 1 ) = y 0 ，同样 y 1 ∈ Q | K 。照这样进行，再一次得到矛盾。综上得到K是渐进稳定集。 定理4.2：设集合X为局部紧致的度量空间， f : X → X 同胚。若X的每一个有界闭集都是紧致的，且 K ⊂ X 为吸引子，则 K ˜ 是渐进稳定的，其中 K ˜ 与K有相同的吸引域。更多的，K是渐近稳定的当且仅当 K ˜ = K 。 证明：由定义知 K ˜ = { x ∈ Α ( K ) : α ( x ) ∩ K ≠ ϕ } ，可知 K ˜ 强不变。现在证明 K ˜ 是紧致的。 由引理3.1可知，存在K的一个紧致邻域Q，使得 f ( Q ) ⊂ Q 。断言 f − 1 ( Q c ) ⊂ Q c ，这是因为 f ( Q ) ⊂ Q ， Q ⊂ f − 1 ( Q ) ，因此 Q c ⊃ [ f − 1 ( Q ) ] c ，要证 f − 1 ( Q c ) ⊂ Q c ，只需证明 f − 1 ( Q c ) ⊂ [ f − 1 ( Q ) ] c 。 对 ∀ y ∈ f − 1 ( Q c ) ，则 ∃ x ∈ Q c ， s . t . f − 1 ( x ) = y ，又因为 x ∈ Q c ，所以 x ∉ Q ，则 f − 1 ( x ) ∉ f − 1 ( Q ) ，因此 f − 1 ( x ) ∈ [ f − 1 ( Q ) ] c ，因此有 f − 1 ( Q c ) ⊂ Q c ，从而得证。且则 (这是因为 ∀ x ∈ Q c ，所以有 f − n ( x ) ∈ Q c 。令 B = { f − n ( x ) ; n ≥ 0 } ，所以 α ( x ) ⊂ B ¯ ⊂ Q c ¯ ⊂ [ int ( Q ) ] c ¯ = [ int ( Q ) ] c ，固有 α ( x ) ⊂ [ int ( Q ) ] c ，所以 α ( x ) ∩ K = ϕ ，因此有 x ∉ K ˜ ，则 x ∈ K ˜ c ，于是 Q c ⊂ K ˜ c ，则有 K ˜ ⊂ Q )。因此 K ˜ 有界。接着证明 K ˜ c 是开集。 设 p ∈ K ˜ c ，由引理3.4，存在 n ≥ 0 ，使得 f − n ( p ) ∈ Q c ，设V为p的一个邻域，由 f − n 的连续性知有 f − n ( V ) ⊂ Q c 。因为对 ∀ x ∈ V ，有 f − n ( x ) ∈ f − n ( V ) ⊂ Q c ，令 B = { f − n ( x ) ; n ≥ 0 } ，则 α ( x ) ⊂ B ¯ ⊂ Q c ¯ ，所以 ∀ x ∈ V 有 α ( x ) ⊂ Q c ¯ 。所以有 V ⊂ K ˜ c (若不然，则存在 x ∈ V 且 x ∉ K ˜ c ，即有 x ∈ K ˜ ，因为 K ˜ 强不变，所以对任意 n ≥ 0 ，有 f − n ( x ) ∈ K ˜ ⊂ Q ，矛盾。)。于是得证 K ˜ c ，则 K ˜ 是闭集。再由定理的条件知， K ˜ 是紧致集。由K和 K ˜ 定义可知，对 ∀ x ∈ K ，因为 f ( K ) = K ，则 ∃ y ∈ K ， s . t . f ( y ) = x ，因此 y = f − 1 ( x ) ，所以 f − n ( x ) = f − n + 1 ( y ) ∈ K ，令 B = { f − n ( x ) ; n ≥ 0 } ，则 α ( x ) ⊂ B ¯ ⊂ K ，所以有 α ( x ) ∩ K ≠ ϕ ，于是有 x ∈ K ˜ ，因此， K ⊂ K ˜ 。所以 K ˜ 为吸引子。 下面证明 K ˜ 是渐近稳定的。因为已经证明 K ˜ 为吸引子，要证明 K ˜ 是渐近稳定的，只需要证明 K ˜ 是稳定的即可。假设不是，则存在 K ˜ 的一个开邻域U，使得对 K ˜ 的任意开邻域V， ∃ x ∈ V 以及 n x ≥ 0 ， s . t . f n x ( x ) ∉ U 。 设Q为 K ˜ 的一个紧致且正不变邻域，则存在Q的一个序列 { x k } k 使得 • 存在 n k ≥ 0 ，使得 f n k ( x k ) ∉ U ； • lim x k = x ∈ K ˜ 。 以上成立是因为，取 V 1 ⊂ U ， V 1 ⊃ K ˜ ， ∃ x 1 ∈ V 1 ， n 1 > 0 ， s . t . f n 1 ( x 1 ) ∉ U ，令 r 1 = d ( x 1 ， K ˜ ) 为 V 1 的半径，在这里我们由定理条件知道 V 1 ¯ 是紧集； 取 V 2 = ∪ x ∈ K ˜ B ( x ， r 1 2 ) ， ∃ x 2 ∈ V 2 ， n 2 > 0 ， s . t . f n 2 ( x 2 ) ∉ U ，令 r 2 = d ( x 2 ， K ˜ ) 为 V 2 的半径，在这里我们知道 V 2 ¯ 是紧集； V 3 = ∪ x ∈ K ˜ B ( x ， r 2 2 ) ， ∃ x 3 ∈ V 3 ， n 3 > 0 ， s . t . f n 3 ( x 3 ) ∉ U ； ⋮ 因此存在一个子序列 { x k } k ， ∃ n k > 0 ， s . t . f n k ( x k ) ∉ U 。 第二条，如果 x ∉ K ˜ ，首先我们由第一条的分析可知 d ( x k ， K ˜ ) → 0 ，因为 x ∉ K ˜ ，所以有 r = d ( x ， K ˜ ) > 0 ， 又因为 lim x k = x ，由极限的定义可知，取 ， ∃ N ，当 k > N ， s . t . d ( x k ， x ) < ε ，对 ∀ y ∈ K ˜ ，由三角不等式， d ( x k ， y ) + d ( x k ， x ) > d ( x ， y ) ∴ d ( x k ， y ) > d ( x ， y ) − d ( x k ， x ) ≥ r 2 ∴ d ( x k ， K ˜ ) ≥ r 2 与 d ( x k ， K ˜ ) → 0 矛盾。 因为 x k ∈ Q 且Q正不变，有 f n k ( x k ) → y ∈ Q \ U (如果需要取 { x k } k 的子序列)。这里显然有 y ∈ Q ，我们证明 y ∉ U ，假设 y ∈ U ，则由y是U的内点，则存在一个ε-邻域，同样取这ε， ∃ N ，当 n k > N 时， d ( f n k ( x k ) ， y ) < ε ，即 f n k ( x k ) ⊂ B ( y ， ε ) ⊂ U ，与 f n k ( x k ) ∉ U 矛盾。 由引理3.4，存在 j > 0 且存在y的一个邻域V，使得 f − j ( y ) ∈ Q c 且由 连续性有 f − j ( V ) ⊂ Q c 。 断言序列 n k → ∞ 。假设 ( n k ) 有界，取子序列 { x k i } i ， s . t . x k i → x 且对一些常数n有 f n ( x k ) → y ，因此 y = f n ( x ) ，这与 K ˜ 强不变矛盾。因为 y ∈ V ，取 ε > 0 ，使得 B ( y ， ε ) ⊂ V ，存在N，使得当 n k > N 时， d ( f n k ( x k ) ， y ) < ε ，蕴含 f n k ( x k ) ∈ V ，所以设 k 0 ∈ N ， ∀ k > k 0 ，存在N，当 n k > N 时有 f n k ( x k ) ∈ V 。则 f n k − j ( x k ) ∈ Q c ，且因为序列 ( n k ) 无界，存在一些k，使得 n k − j > 0 与Q正不变矛盾，因此 K ˜ 是渐近稳定的。 显然当 K ˜ = K ，则K是渐近稳定的。下证反向。 假设 K ˜ ≠ K ，则由 ，存在 ，则 α ( x ) ∩ K ≠ ϕ ，所以对 ∀ ε ，设 B ε = { y ∈ X ， d ( y ， K ) < ε } ， ∃ y ∈ α ( x ) ∩ K ， ∴ B ( y ， ε ) ⊂ B ε ， 又因为 y ∈ α ( x ) ， ∴ ∃ n k → ∞ ， s . t . f − n k ( x ) → y ，所以， ∃ N ，当 n k > N 时， d ( f − n k ( x ) ， y ) < ε ，即 B ε = { y ∈ X ; d ( y ， K ) < ε } 包含一些x的原像，这与K的稳定性矛盾。证完。