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user: 4. 主要结果 定理1 假如存在实对称矩阵 P i ∈ ℜ n × n ，适当维数的实矩阵 R i ， Q i ， W ， S 1 ， S 2 ， S 3 ， O ∈ ℜ n × n ，且 M 1 ， M 2 ， M 3 是任意维的矩阵，则系统(1)渐近稳定。 Φ = [ ϕ 11 ϕ 12 ϕ 13 ϕ 14 W ϕ 16 ϕ 17 ∗ ϕ 22 ϕ 23 ϕ 24 0 0 ϕ 27 ∗ ∗ ϕ 33 ϕ 34 0 ϕ 36 0 ∗ ∗ ∗ ϕ 44 0 0 ϕ 47 ∗ ∗ ∗ ∗ − W 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ϕ 66 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ϕ 77 ] < 0 (8) ∑ j = U k i λ i j ( Q j − Q i ) < 0 ; ∑ j = U k i λ i j ( R j − R i ) < 0 ， P j − P i ≤ 0 ， j ∈ U u k i ， j ≠ i ; Q j − Q i ≤ 0 ， j ∈ U u k i ， j ≠ i ; Q j − Q i ≥ 0 ， j ∈ U k i ， j = i ; R j − R i ≤ 0 ， j ∈ U u k i ， j ≠ i ; R j − R i ≥ 0 ， j ∈ U k i ， j = i . 其中 ϕ 11 = P i A i + A i T P i + Q i + h S 1 − 1 − μ 2 h S 3 − W − ( h 0 4 4 + h 0 2 ) T + r O + M 1 A i + ∑ j = 1 N λ i j ( P j − P i ) ， ϕ 12 = h S 2 − M 1 + A i T M 2 ， ϕ 13 = P i B i + 1 − μ 2 h S 3 + M 1 B i ， ϕ 14 = P i C i + M 1 C i + A i T M 3 ， ϕ 16 = − 1 − μ 2 h S 2 T + h 0 2 T ， ϕ 17 = P i D i + M 1 D i ， ϕ 22 = R i + τ 2 W − M 2 ， ϕ 23 = B i T M 2 ， ϕ 24 = C i T M 2 − M 3 ， ϕ 27 = D i T M 2 ， ϕ 33 = − ( 1 − μ 2 ) Q i ， ϕ 34 = B i T M 3 ， ϕ 36 = 1 − μ 2 h S 2 T ， ϕ 44 = − ( 1 − μ 1 ) R i + 2 M 3 C i ， ϕ 47 = M 3 D i ， ϕ 66 = − 1 − μ 2 h S 1 ， ϕ 77 = − 1 r O . 证明：构造李雅普诺夫函数 V ( x t ， t ， r t ) = ∑ n = 1 7 V n ( x t ， t ， r t ) (9) 其中 V 1 ( x t ， t ， r t ) = x T ( t ) P i x (t) V 2 ( x t ， t ， r t ) = ∫ t − h ( t ) t x T ( s ) Q i x ( s ) d s V 3 ( x t ， t ， r t ) = ∫ t − τ ( t ) t x ˙ T ( s ) R i x ˙ ( s ) d s V 4 ( x t ， t ， r t ) = ∫ t − h ( t ) t ( h ( t ) − t + s ) ξ T ( s ) S ξ ( s ) d s V 5 ( x t ， t ， r t ) = ∫ − τ ( t ) t ∫ t + θ t x ˙ T ( s ) τ ( t ) W x ˙ ( s ) d s d θ V 6 ( x t ， t ， r t ) = h 0 2 2 ∫ − h 0 0 ∫ θ 0 ∫ t + λ t x T ( s ) T x ( s ) d s d θ d λ V 7 ( x t ， t ， r t ) = ∫ − r t ∫ t + θ t x T ( s ) O x ( s ) d s d θ 注意： ξ ( t ) = [ x T ( t ) x ˙ T ( t ) ] T 由引理1可得 L V 1 ( x t ， t ， i ) = 2 x T ( t ) P i x ˙ ( t ) + x T ( t ) ∑ j = 1 N λ i j P j x ( t ) = 2 x T ( t ) P i [ A i x ( t ) + B i x ( t − h ( t ) ) + C i x ˙ ( t − τ ( t ) ) + D i ∫ t − r t x ( s ) d s ] + x T ( t ) ∑ j = 1 N λ i j P j x ( t ) = x T ( t ) [ P i A i + A i T P i ] x ( t ) + 2 x T ( t ) P i B i x ( t − h ( t ) ) + 2 x T ( t ) P i C i x ˙ ( t − τ ( t ) )     + 2 x T ( t ) P i D i ∫ t − r t x ( s ) d s + x T ( t ) ∑ j = 1 N λ i j P j x ( t ) (10) L V 2 ( x t ， t ， i ) = x T ( t ) Q i x ( t ) − ( 1 − h ˙ ( t ) ) x T ( t − h ( t ) ) Q i x ( t − h ( t ) ) + ∫ t − h ( t ) t x T ( s ) ( ∑ j = 1 N λ i j Q j ) x ( s ) d s ≤ x T ( t ) Q i x ( t ) − ( 1 − μ 2 ) x T ( t − h ( t ) ) Q i x ( t − h ( t ) ) + ∫ t − h ( t ) t x T ( s ) ( ∑ j = 1 N λ i j Q j ) x ( s ) d s (11) L V 3 ( x t ， t ， i ) = x ˙ T ( t ) R i x ˙ ( t ) − ( 1 − τ ˙ ( t ) ) x ˙ T ( t − τ ( t ) ) R i x ˙ ( t − τ ( t ) ) + ∫ t − τ ( t ) t x T ( s ) ( ∑ j = 1 N λ i j R j ) x ( s ) d s ≤ x ˙ T ( t ) R i x ˙ ( t ) − ( 1 − μ 1 ) x ˙ T ( t − τ ( t ) ) R i x ˙ ( t − τ ( t ) ) + ∫ t − τ ( t ) t x T ( s ) ( ∑ j = 1 N λ i j R j ) x ( s ) d s (12) L V 4 ( x t ， t ， i ) = h ( t ) ξ T ( t ) S ξ ( t ) − ( 1 − h ˙ ( t ) ) ∫ t − h ( t ) t ξ T ( s ) S ξ ( s ) d s ≤ h [ x ( t ) x ˙ ( t ) ] T [ S 1 S 2 S 2 T S 3 ] [ x ( t ) x ˙ ( t ) ]     − 1 − μ 2 h [ ∫ t − h ( t ) t ( x ( s ) x ˙ ( s ) ) d s ] T [ S 1 S 2 S 2 T S 3 ] [ ∫ t − h ( t ) t ( x ( s ) x ˙ ( s ) ) d s ] ≤ h [ x ( t ) x ˙ ( t ) ] T [ S 1 S 2 S 2 T S 3 ] [ x ( t ) x ˙ ( t ) ]     − 1 − μ 2 h [ ∫ t − h ( t ) t x ( s ) d s x ( t ) − x ( t − h ( t ) ) ] T [ S 1 S 2 S 2 T S 3 ] [ ∫ t − h ( t ) t x ( s ) d s x ( t ) − x ( t − h ( t ) ) ] 由引理3可得 L V 4 ( x t ， t ， i ) ≤ x ( t ) T ( h S 1 − 1 − μ 2 h S 3 ) x ( t ) + x ˙ T ( t ) h S 2 T x ( t ) + x ( t ) T h S 2 x ˙ ( t ) + x ˙ T ( t ) h S 3 x ˙ ( t )       − ( ∫ t − h ( t ) t x T ( s ) d s ) ( 1 − μ 2 h S 1 ) ( ∫ t − h ( t ) t x ( s ) d s ) − x ( t ) T ( 1 − μ 2 h S 2 T ) ( ∫ t − h ( t ) t x ( s ) d s )       + x T ( t − h ( t ) ) ( 1 − μ 2 h S 2 T ) ( ∫ t − h ( t ) t x ( s ) d s ) − ( ∫ t − h ( t ) t x T ( s ) d s ) ( 1 − μ 2 h S 2 ) x ( t )       + ( ∫ t − h ( t ) t x T ( s ) d s ) ( 1 − μ 2 h S 2 ) x ( t − h ( t ) ) + x T ( t ) ( 1 − μ 2 h S 3 ) x ( t − h ( t ) )       + x T ( t − h ( t ) ) ( 1 − μ 2 h S 3 ) x ( t ) − x T ( t − h ( t ) ) ( 1 − μ 2 h S 3 ) x ( t − h ( t ) ) (14) L V 5 ( x t ， t ， i ) = τ 2 ( t ) x ˙ T ( t ) W x ˙ ( t ) − ∫ t − τ ( t ) t x ˙ T ( s ) τ W x ˙ ( s ) d s 由引理2可得 L V 5 ( x t ， t ， i ) ≤ τ 2 x ˙ T ( t ) W x ˙ ( t ) + [ x T ( t ) x T ( t − τ ( t ) ) ] [ − W W W − W ] [ x ( t ) x ( t − τ ( t ) ) ] = τ 2 x ˙ T ( t ) W x ˙ ( t ) + x T ( t ) ( − W ) x ( t ) + x T ( t − τ ( t ) ) W x ( t )     + x T ( t ) W x ( t − τ ( t ) ) + x T ( t − τ ( t ) ) ( − W ) x ( t − τ ( t ) ) (15) L V 6 ( x t ， t ， i ) = ( h 0 2 ) 2 4 x T ( t ) T x ( t ) − h 0 2 2 ∫ − τ 0 0 ∫ t + θ t x T ( s ) T x ( s ) d s d θ ≤ h 0 4 4 x T ( t ) T x ( t ) − [ h 0 x T ( t ) − ( ∫ t − h ( t ) t x T ( s ) d s ) T ( h 0 x ( t ) − ∫ t − h ( t ) t x ( s ) d s ) ] ≤ x T ( t ) ( h 0 4 4 T − h 0 2 T ) x ( t ) + x T ( t ) ( h 0 2 T ) ( ∫ t − h ( t ) t x ( s ) d s )     + ( ∫ t − h ( t ) t x T ( s ) d s ) ( h 0 2 T ) x ( t ) − ( ∫ t − h ( t ) t x T ( s ) d s ) T ( ∫ t − h ( t ) t x ( s ) d s ) (16) (17) 对于任意矩阵 M 1 ， M 2 ， M 3 ，有以下等式成立 0 = [ x T ( t ) x ˙ T ( t ) x ˙ T ( t − τ ( t ) ) ] [ M 1 M 2 M 3 ]     × [ − x ˙ ( t ) + A ( r t ， t ) x ( t ) + B ( r t ， t ) x ( t − h ( t ) ) + C ( r t ， t ) x ˙ ( t − τ ( t ) ) + D ( r t ， t ) ∫ t − r t x ( s ) d s ] (18) 由条件 − ∑ j = 1 ， j ≠ i N λ i j = 0 ，有以下矩阵等式成立 − x T ( t ) ( ∑ j = 1 N λ i j P i ) x ( t ) = 0 ， ∀ i ∈ ξ (19) − ∫ t − h ( t ) t x T ( s ) ( ∑ j = 1 N λ i j Q i ) x ( t ) d s = 0 ， ∀ i ∈ ξ (20) − ∫ t − τ ( t ) t x T ( s ) ( ∑ j = 1 N λ i j R i ) x ( t ) d s = 0 ， ∀ i ∈ ξ (21) 由以上(10)~(21)可得 L V ( x t ， t ， i ) = ∑ n = 1 7 L V n ( x t ， t ， i ) ≤ Ψ T ( t ) Φ Ψ ( t ) + x T ( t ) ∑ j ∈ U u k i λ i j ( P j − P i ) x ( s ) + ∫ t − h ( t ) t x T ( s ) ∑ j ∈ U k i λ i j ( Q j − Q i ) x ( s ) d s     + ∫ t − h ( t ) t x T ( s ) ∑ j ∈ U u k i λ i j ( Q j − Q i ) x ( s ) d s + ∫ t − τ ( t ) t x T ( s ) ∑ j ∈ U k i λ i j ( R j − R i ) x ( s ) d s     + ∫ t − τ ( t ) t x T ( s ) ∑ j ∈ U u k i λ i j ( R j − R i ) x ( s ) d s 其中 Ψ T ( t ) = [ x T ( t ) x ˙ T ( t ) x T ( t − h ( t ) ) x ˙ T ( t − τ ( t ) ) x T ( t − τ ( t ) ) ∫ t − h ( t ) t x T ( s ) d s ∫ t − r t x T ( s ) d s ] 所以有系统(1)的稳定条件 L V ( x t ， t ， i ) ≤ 0 ，即 ∫ t = 0 ∞ E { ‖ x ( t ， x 0 ) ‖ δ } d t < ∞ (22) 则系统(1)是渐近稳定的。 其次，考虑以下具有时变时滞和分布时变时滞的中立型Markovian跳跃系统 { x ˙ ( t ) − C ( r t ， t ) x ˙ ( t − τ ( t ) ) = A ( r t ， t ) x ( t ) + B ( r t ， t ) x ( t − h ( t ) ) + D ( r t ， t ) ∫ t − r ( t ) t x ( s ) d s ， x ( t 0 + θ ) = 0 ， ∀ θ ∈ [ 0 ， ρ ] . (23) 推论1 假如存在实对称矩阵 ，适当维数的实矩阵 R i ， Q i ， W ， S 1 ， S 2 ， S 3 ， O ∈ ℜ n × n ，且 M 1 ， M 2 ， M 3 是任意维的矩阵，则系统(23)渐近稳定。 Φ ˜ = [ ϕ ˜ 11 ϕ ˜ 12 ϕ ˜ 13 ϕ ˜ 14 W ϕ ˜ 16 ϕ ˜ 17 ∗ ϕ ˜ 22 ϕ ˜ 23 ϕ ˜ 24 0 0 ϕ ˜ 27 ∗ ∗ ϕ ˜ 33 ϕ ˜ 34 0 ϕ ˜ 36 0 ∗ ∗ ∗ ϕ ˜ 44 0 0 ϕ ˜ 47 ∗ ∗ ∗ ∗ − W 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ϕ ˜ 66 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ϕ ˜ 77 ] < 0 (24) ∑ j = U k i λ i j ( Q j − Q i ) < 0 ; ∑ j = U k i λ i j ( R j − R i ) < 0 ， P j − P i ≤ 0 ， j ∈ U u k i ， j ≠ i ; Q j − Q i ≤ 0 ， j ∈ U u k i ， j ≠ i ; Q j − Q i ≥ 0 ， j ∈ U k i ， j = i ; R j − R i ≤ 0 ， j ∈ U u k i ， j ≠ i ; R j − R i ≥ 0 ， j ∈ U k i ， j = i . 其中 ϕ ˜ 11 = P i A i + A i T P i + Q i + h S 1 − 1 − μ 2 h S 3 − W − ( h 0 4 4 + h 0 2 ) T + r O + M 1 A i + ∑ j = 1 N λ i j ( P j − P i ) ϕ ˜ 12 = h S 2 − M 1 + A i T M 2 ， ϕ ˜ 13 = P i B i + 1 − μ 2 h S 3 + M 1 B i ， ϕ ˜ 14 = P i C i + M 1 C i + A i T M 3 ， ϕ ˜ 16 = − 1 − μ 2 h S 2 T + h 0 2 T ， ϕ ˜ 17 = P i D i + M 1 D i ， ϕ ˜ 22 = R i + τ 2 W − M 2 ， ϕ ˜ 23 = B i T M 2 ， ϕ ˜ 24 = C i T M 2 − M 3 ， ϕ ˜ 27 = D i T M 2 ， ϕ ˜ 33 = − ( 1 − μ 2 ) Q ， ϕ ˜ 34 = B i T M 3 ， ϕ ˜ 36 = 1 − μ 2 h S 2 T ， ϕ ˜ 44 = − ( 1 − μ 1 ) R + 2 M 3 C i ， ϕ ˜ 47 = M 3 D i ， ϕ ˜ 66 = − 1 − μ 2 h S 1 ， ϕ ˜ 77 = − 1 − μ 3 r O . 证明：推论1的证明过程和定理1类似，但需注意系统(23)含有时变时滞和分布时变时滞，此时分布时变时滞 r ( t ) 需满足以下不等式 0 ≤ r ( t ) ≤ τ ， 0 < r ˙ ( t ) ≤ μ 3 < 1. 即(17)式变为 L ˜ V 7 ( x t ， t ， r t ) = r ( t ) x T ( t ) O x ( t ) − ∫ t − r ( t ) t x T ( s ) O x ( s ) d s = r ( t ) x T ( t ) O x ( t ) − 1 − r ˙ ( t ) r ( t ) ( ∫ t − r ( t ) t x T ( s ) d s ) O ( ∫ t − r ( t ) t x ( s ) d s ) ≤ r x T ( t ) O x ( t ) − 1 − μ 3 r ( ∫ t − r ( t ) t x T ( s ) d s ) O ( ∫ t − r ( t ) t x ( s ) d s ) (25)