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user: 4. 实例 例1 考虑方程： [ ( 1 + sin 2 π t ) y ′ 1 + α y ′ 2 ] ′ + 4 π sin π t cos π t y ′ 1 + α y ′ 2 + q ( t ) y + t 2 y y ′ 2 = 0 (4.1) 其中 y ∈ R ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ， α ≥ 0 为常数， q ∈ C ( [ 0 ， 1 ] ; [ 0 ， + ∞ ) ) ，满足 q ( t ) > 4 π 2 sin 2 π t ， t ∈ ( 0 ， 1 ) 。 记 p ( t ) = 1 + sin 2 π t ， ϕ ( y ) = 1 ， k ( v ) = v 1 + α v 2 ， r ( t ) = 4 π sin π t cos π t ， f ( t ， u ， v ) = − t 2 u v 2 ，则 f ∈ C ( [ 0 ， 1 ] × R × R ; R ) ， p ∈ C 1 ( [ 0 ， 1 ] ; R + ) ， r ∈ C ( [ 0 ， 1 ] ; R ) ， k ， ϕ ∈ C 1 ( R ; R ) ，且 f ( t ， u ， v ) u = − t 2 v 2 ≤ 0 ( u ≠ 0 ) . 取 C 1 = C 2 = C 3 = 1 ，则条件(A1)、(A2)满足。取 x ( t ) = sin 2 π t ，则 x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0 。 对 t ∈ [ 0 ， 1 ] ，有 [ 4 C 2 C 1 p ( t ) q ( t ) + C 3 ( C 1 − C 2 ) r 2 ( t ) ] x 2 − C 3 C 1 [ 2 C 2 p ( t ) x ′ − r ( t ) x ] 2 = 4 q ( t ) ( 1 + sin 2 π t ) sin 4 π t − [ 4 π ( 1 + sin 2 π t ) sin π t cos π t − 4 π sin π t cos π t sin 2 π t ] 2 = 4 sin 2 π t [ q ( t ) ( 1 + sin 2 π t ) sin 2 π t − 4 π 2 cos 2 π t ] ≥ 4 sin 2 π t [ q ( t ) sin 2 π t − 4 π 2 ] ≥ 0 ， 且等号当且仅当 t = 0 ， 1 时成立。由推论1知，方程(4.1)的非平凡解 y ( t ) 在 [ 0 ， 1 ] 至少有一个零点。 例2 考虑以下方程： ( 2 + cos 2 π t 1 + cos 2 π t ⋅ 1 + y 2 2 + y 2 ⋅ y ′ 2 1 + α y ′ 2 ) ′ + t 2 y ′ 2 1 + α y ′ 2 + q ( t ) y + y 3 − t 2 y ′ 2 1 + α y ′ 2 = 0 (4.2) 其中 y ∈ R ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ， α ≥ 0 为常数。 q ∈ C ( [ 0 ， 1 ] ; [ 0 ， + ∞ ) ) ，满足 q ( t ) > 3 π 2 sin 2 π t ， t ∈ ( 0 ， 1 ) 。 记 p ( t ) = 2 + cos 2 π t 1 + cos 2 π t ， ϕ ( y ) = 1 + y 2 2 + y 2 ， k ( v ) = v 2 1 + α v 2 ， r ( t ) = t 2 ， f ( t ， u ， v ) = − u 3 − t 2 v 2 1 + a v 2 ，则 f ∈ C ( [ 0 ， 1 ] × R × R ; R ) ， p ∈ C 1 ( [ 0 ， 1 ] ; R + ) ， r ∈ C ( [ 0 ， 1 ] ; R ) ， k ， ϕ ∈ C 1 ( R ; R ) ，且 1 2 ≤ ϕ ( y ) = 1 + y 2 2 + y 2 ≤ 1 ， r ( t ) k ( v ) − f ( t ， u ， v ) u = u 2 1 + α v 2 ≥ 0   ( u ≠ 0 ) 。 取 C 1 = 1 2 ， C 2 = C 3 = 1 ，则条件(A1)、(A2)满足。取 x ( t ) = sin π t ，则 x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0 ，且 q ( t ) x 2 − p ( t ) C 2 C 3 x ′ 2 = q ( t ) sin 2 π t − ( 2 + cos 2 π t 1 + cos 2 π t ) π 2 cos 2 π t ≥ q ( t ) sin 2 π t − 3 π 2 ≥ 0 且等号当且仅当 t = 0 ， 1 时成立，由推论2知，方程(4.2)的非平凡解 y ( t ) 在 [ 0 ， 1 ] 至少有一个零点。 例3 考虑方程： [ ( 1 + sin 2 π t ) y ′ 1 + α y ′ 2 ] ′ − 2π sin π t cos π t y ′ 1 + α y ′ 2 + q ( t ) y + t 2 y y ′ 2 = 0 ， (4.3) 其中 y ∈ R ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ， α ≥ 0 为常数， q ∈ C ( [ 0 ， 1 ] ; [ 0 ， + ∞ ) ) ，满足 q ( t ) ≥ π 2 ( 4 + cot 2 π t ) ，   t ∈ ( 0 ， 1 ) . 记 p ( t ) = 1 + sin 2 π t ， ϕ ( y ) = 1 ， k ( v ) = v 1 + α v 2 ， r ( t ) = − 2 π sin π t cos π t ， f ( t ， u ， v ) = − t 2 u v ，则 f ∈ C ( [ 0 ， 1 ] × R × R ; R ) ， p ∈ C 1 ( [ 0 ， 1 ] ; R + ) ， r ∈ C ( [ 0 ， 1 ] ; R ) ， k ， ϕ ∈ C 1 ( R ; R ) ，且 f ( t ， u ， v ) u = − t 2 v 2 ≤ 0 ， u ≠ 0. 取 C 1 = C 2 = C 3 = 1 ，则条件(A1)、(A2)成立。取 x ( t ) = sin π t ，则 x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0 。 取 R ( t ) = − 1 t ， Φ ( t ) = t 2 ，则 Q ( t ) = Φ ( t ) [ q ( t ) − C 3 ( C 2 − C 1 ) 4 C 1 C 2 r 2 ( t ) p ( t ) − r ( t ) C 2 R ( t ) + p ( t ) C 2 C 3 R 2 ( t ) − ( p ( t ) R ( t ) ) ′ ] ≥ t 2 [ π 2 ( 4 + cot 2 π t ) − 2π sin π t cos π t t + 1 + sin 2 π t t 2 − ( 1 + sin 2 π t − t ) ′ ] = t 2 π 2 ( 4 + cot 2 π t ) R ¯ ( t ) = 2 R ( t ) C 2 C 3 + Φ ′ ( t ) Φ ( t ) − r ( t ) C 2 p ( t ) = − 2 t + 2 t t 2 − − 2 π sin π t cos π t 1 + sin 2 π t = 2 π sin π t cos π t 1 + sin 2 π t 从而对 t ∈ ( 0 ， 1 ) ， Q ( t ) x 2 − C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) [ x ′ + 1 2 x R ¯ ( t ) ] 2 ≥ t 2 π 2 ( 4 + cot 2 π t ) sin 2 π t − ( 1 + sin 2 π t ) t 2 ( π cos π t + sin π t 2 ⋅ 2 π sin π t cos π t 1 + sin 2 π t ) 2 = t 2 π 2 ( 4 + cot 2 π t ) sin 2 π t − ( 1 + sin 2 π t ) t 2 [ π 2 cos 2 π t + 2 π 2 sin 2 π t cos 2 π t 1 + sin 2 π t + π 2 sin 4 π t cos 2 π t ( 1 + sin 2 π t ) 2 ] = t 2 π 2 sin 2 π t { ( 4 + cot 2 π t ) − ( 1 + sin 2 π t ) [ cot 2 π t + 2 cos 2 π t 1 + sin 2 π t + sin 2 π t cos 2 π t ( 1 + sin 2 π t ) 2 ] } ≥ 2 t 2 π 2 sin 2 π t { 3 + cot 2 π t − [ cot 2 π t + 3 ] } = 0 而当 t = 0 ， 1 时不等式仍成立，且等号在 [ 0 ， 1 ] 的任意子区间上不恒成立。由推论3知，方程(4.3)的非平凡解 y ( t ) 在 [ 0 ， 1 ] 至少有一个零点。