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user: 2. 主要结果及证明 设 A i ， A j ⊆ X n ，对任意 x ∈ A i ， y ∈ A j ，都有 x < y ，记作 A i < A j 。 设 1 ≤ k ≤ n ， α ∈ O R n ( k ) ，记： p α ( k ) = { y ∈ i m ( α ) : y < k } ， p α ( k ) = | p α ( k ) | ； Q α ( k ) = { y ∈ i m ( α ) : y < k } ， q α ( k ) = | Q α ( k ) | ； 易知，对于 A 1 < A 2 < ⋯ < A p α ( k ) < K α < B 1 < B 2 < ⋯ < B q α ( k ) ( K α 表示 α 中k所在的核类)，半群 OR n (k) 的元素 α 有如下标准表示： 情形1：元素 α ∈ O n ( k ) ： ( A i a i | a i ∈ P α ( k ) i = 1 ， 2 ， ⋯ ， p α ( k ) K α k B j b j | b j ∈ Q α ( k ) j = 1 ， 2 ， ⋯ ， q α (k)) 注1：当 P α ( k ) = 0 时， K α 是 α 中最小的核类；当 q α ( k ) = 0 时， K α 是 α 中最大的核类。 情形2：元素 α ∈ R n ( k ) ： ( A i a i | a i ∈ Q α ( k ) i = 1 ， 2 ， ⋯ ， q α ( k ) K α k B j b j | b j ∈ P α ( k ) j = 1 ， 2 ， ⋯ ， p α (k)) 注2：当 q α ( k ) = 0 时， K α 是 α 中最小的核类；当 P α ( k ) = 0 时， K α 是 α 中最大的核类。 定理1：设 α ， β ∈ O R n ( k ) ，则 α L β ⇔ i m ( α ) = i m ( β ) 。 证明：假设 ( α ， β ) ∈ L ，则存在 δ ， γ ∈ O R n ( k ) ，使得 α = δ β 且 β = γ α ，于是 X n α = ( X n δ ) β 且 X n β = ( X n γ ) α ，从而 i m ( α ) ⊆ i m ( β ) 且 i m ( β ) ⊆ i m ( α ) 。因此 i m ( α ) = i m ( β ) 。反之，假设 i m ( α ) = i m ( β ) ， ∀ x ∈ X n ，令 x δ = { min ( x α ) β − 1 ，     x ∈ X n \ { k } ， k ，                                       x = k ; x γ = { min ( x β ) α − 1 ，     x ∈ X n \ { k } ， k ，                                       x = k ; 则显然 α = δ β 且 β = γ α 。且 δ ， γ ∈ O R n ( k ) 。因此， ( α ， β ) ∈ L 。 定理2：设 α ， β ∈ O R n ( k ) ，则 α R β ⇔ k e r ( α ) = k e r ( β ) 。 证明：假设 ( α ， β ) ∈ R ，则存在 δ ， γ ∈ O R n ( k ) ，使 α = β δ ， β = α γ 。任取 ( x ， y ) ∈ k e r ( α ) ，若 x α = y α ，则 x β = ( x α ) γ = ( y α ) γ = y β ，从而 。由 x ， y 的任意性可得， k e r ( α ) ⊆ k e r ( β ) 。同理可证得， k e r ( α ) ⊇ k e r ( β ) 。因此， k e r ( α ) = k e r ( β ) 。反之，假设 k e r ( α ) = k e r ( β ) 。不妨设 α = ( A 1 A 2 ⋯ A l K α B 1 B 2 ⋯ B m a 1 a 2 ⋯ a l k b 1 b 2 ⋯ b m ) β = ( A 1 A 2 ⋯ A l K α B 1 B 2 ⋯ B m a ˜ 1 a ˜ 2 ⋯ a ˜ l k b ˜ 1 b ˜ 2 ⋯ b ˜ m ) 其中， A 1 < A 2 < ⋯ < A l < K α < ⋯ < B 1 < B 2 < ⋯ < B m 。下面分四种情形讨论： 情形1：设 α ， β ∈ O n ( k ) ，则 a 1 < ⋯ < k < ⋯ < b m ， a ˜ 1 < ⋯ < k < ⋯ < b ˜ m 令 δ = ( [ 1 ， a ˜ 1 ] ( a ˜ 1 ， a ˜ 2 ] ⋯ ( a ˜ l ， k ] ( k ， b ˜ 1 ] ⋯ ( b ˜ m − 1 ， n ] a 1 a 2 ⋯ k b 1 ⋯ b m ) γ = ( [ 1 ， a 1 ] ( a 1 ， a 2 ] ⋯ ( a l ， k ] ( k ， b ˜ 1 ] ⋯ ( b m − 1 ， n ] a ˜ 1 a ˜ 2 ⋯ k b 1 ⋯ b ˜ m ) 从而存在 δ ， γ ∈ O R n ( k ) ，使 α = β δ ， β = α γ 。 情形2：设 α ， β ∈ R n ( k ) ，则 a 1 > ⋯ > k > ⋯ > b m ， a ˜ 1 > ⋯ > k > ⋯ > b ˜ m 令 δ = ( [ 1 ， b ˜ m ] ⋯ ( b ˜ 1 ， k ] ( k ， a ˜ l ] ⋯ ( a ˜ 2 ， n ] b m ⋯ k a l ⋯ a 1 ) γ = ( [ 1 ， b m ] ⋯ ( b 1 ， k ] ( k ， a l ] ⋯ ( a 1 ， n ] b ˜ m ⋯ k a ˜ l ⋯ a ˜ 1 ) 从而存在 δ ， γ ∈ O R n ( k ) ，使 α = β δ ， β = α γ 。 情形3：设 α ∈ O n ( k ) ， β ∈ R n ( k ) ，则 a 1 < ⋯ < k < ⋯ < b m ， a ˜ 1 > ⋯ > k > ⋯ > b ˜ m 。 令 δ = ( [ 1 ， b ˜ m ] ⋯ ( b ˜ 1 ， k ] ( k ， a ˜ l ] ⋯ ( a ˜ 2 ， n ] b m ⋯ k a l ⋯ a 1 ) γ = ( [ 1 ， a 1 ] ( a 1 ， a 2 ] ⋯ ( a l ， k ] ( k ， b 1 ] ⋯ ( b m − 1 ， n ] a ˜ 1 a ˜ 2 ⋯ k b ˜ 1 ⋯ b ˜ m ) 从而存在 δ ， γ ∈ O R n ( k ) ，使 α = β δ ， β = α γ 。 情形4：设 α ∈ R n ( k ) ， β ∈ O n ( k ) ，则 a 1 > ⋯ > k > ⋯ > b m ， a ˜ 1 < ⋯ < k < ⋯ < b ˜ m ， δ = ( [ 1 ， a ˜ 1 ] ( a ˜ 1 ， a ˜ 2 ] ⋯ ( a ˜ l ， k ] ( k ， b ˜ 1 ] ⋯ ( b ˜ m − 1 ， n ] a 1 a 2 ⋯ k b 1 ⋯ b m ) γ = ( [ 1 ， b m ] ⋯ ( b 1 ， k ] ( k ， a l ] ⋯ ( a 1 ， n ] b ˜ m ⋯ k a ˜ l ⋯ a ˜ 1 ) ， 从而存在 δ ， γ ∈ O R n ( k ) ，使 α = β δ ， β = α γ 。 综上， ( α ， β ) ∈ R 。 定理3：设 α ∈ O R n ( k ) ， α D β ⇔ | i m ( α ) | = | i m ( β ) | ， p α ( k ) = p β ( k ) 或 p α ( k ) = q β ( k ) 。 证明：必要性 先证 ( α ， β ) ∈ D ⇒ | i m ( α ) | = | i m ( β ) | 。 假设 ( α ， β ) ∈ D ，则存在 γ ∈ O R n ( k ) ，使得 α L γ 且 γ R β 。由定理(1) (2)可得， i m ( α ) = i m ( γ ) ， k e r ( γ ) = k e r ( β ) ，从而 | i m ( α ) | = | i m ( γ ) | = | X n / k e r ( γ ) | = | X n / k e r ( β ) | = | i m ( β ) | 。 再证 ( α ， β ) ∈ D ⇒ p α ( k ) = p β ( k ) 或 p α ( k ) = q β ( k ) 。 假设 ( α ， β ) ∈ D ，则存在 γ ∈ O R n ( k ) ，使得 α L γ 且 γ R β 。则 i m ( α ) = i m ( γ ) ， k e r ( γ ) = k e r ( β ) ，分以下八种情形： 情形1：设 α ， β ， γ ∈ O n ( k ) ，则 p α ( k ) = p γ ( k ) = p β ( k ) ； 情形2：设 α ， γ ∈ O n ( k ) ， β ∈ R n ( k ) ，则 p α ( k ) = p γ ( k ) = q β ( k ) ； 情形3：设 α ， β ∈ O n ( k ) ， γ ∈ R n ( k ) ，则 p α ( k ) = p γ ( k ) = q β ( k ) ； 情形4：设 β ， γ ∈ O n ( k ) ， α ∈ R n ( k ) ，则 p α ( k ) = p γ ( k ) = p β ( k ) ； 情形5：设 α ， β ， γ ∈ R n ( k ) ，则 p α ( k ) = p γ ( k ) = p β ( k ) ； 情形6：设 α ， γ ∈ R n ( k ) ， β ∈ O n ( k ) ，则 p α ( k ) = p γ ( k ) = q β ( k ) ； 情形7：设 α ， β ∈ R n ( k ) ， γ ∈ O n ( k ) ，则 p α ( k ) = p γ ( k ) = q β ( k ) ； 情形8：设 β ， γ ∈ R n ( k ) ， α ∈ O n ( k ) ，则 p α ( k ) = p γ ( k ) = q β ( k ) 。 充分性：假设 | i m ( α ) | = | i m ( β ) | = r ，设 α = ( A 1 A 2 ⋯ A l K α B 1 B 2 ⋯ B m a 1 a 2 ⋯ a l k b 1 b 2 ⋯ b m ) β = ( A ˜ 1 A ˜ 2 ⋯ A ˜ l K α B ˜ 1 B ˜ 2 ⋯ B ˜ j a ˜ 1 a ˜ 2 ⋯ a ˜ l k b ˜ 1 b ˜ 2 ⋯ b ˜ j ) 其中， A 1 < A 2 < ⋯ < A l < K α < ⋯ < B 1 < B 2 < ⋯ < B m ， A ˜ 1 < A ˜ 2 < ⋯ < A ˜ i < K β < ⋯ < B ˜ 1 < B ˜ 2 < ⋯ < B ˜ j ， l + m = i + j = r − 1 。 情形1： p α ( k ) = p β ( k ) ，分四种情形： 子情形1：设 α ， β ∈ O n ( k ) ，则 p α ( k ) = p β ( k ) = l = i ， m = j ，令 γ = ( A 1 A 2 ⋯ A l K α B 1 B 2 ⋯ B m a ˜ 1 a ˜ 2 ⋯ a ˜ l k b ˜ 1 b ˜ 2 ⋯ b ˜ j ) ∈ O n (k) 从而存在 γ ∈ O R n ( k ) ，使 α R γ ， γ L β ，即 α D β 。 子情形2： α ， β ∈ R n ( k ) ，则 p α ( k ) = p β ( k ) = m = j ， l = i ，令 γ = ( A 1 A 2 ⋯ A l K α B 1 B 2 ⋯ B m a ˜ 1 a ˜ 2 ⋯ a ˜ l k b ˜ 1 b ˜ 2 ⋯ b ˜ j ) ∈ R n (k) 从而存在 γ ∈ O R n ( k ) ，使 α R γ ， γ L β ，即 α D β 。 子情形3：设 α ∈ O n ( k ) ， β ∈ R n ( k ) ，则 p α ( k ) = p β ( k ) = l = j ， m = i ，令 γ = ( A 1 A 2 ⋯ A l K α B 1 B 2 ⋯ B m b ˜ j b ˜ j − 1 ⋯ b ˜ l k a ˜ i a ˜ i − 1 ⋯ a ˜ 1 ) ∈ O n (k) 从而存在 γ ∈ O R n ( k ) ，使 α R γ ， γ L β ，即 α D β 。 子情形4：设 α ∈ R n ( k ) ， β ∈ O n ( k ) ，则 p α ( k ) = p β ( k ) = m = i ， l = j ，令 γ = ( A 1 A 2 ⋯ A l K α B 1 B 2 ⋯ B m b ˜ j b ˜ j − 1 ⋯ b ˜ l k a ˜ i a ˜ i − 1 ⋯ a ˜ 1 ) ∈ R n (k) 从而存在 γ ∈ O R n ( k ) ，使 α R γ ， γ L β ，即 α D β 。 情形2： p α ( k ) = q β ( k ) ，分四种情形： 子情形1：设 α ， β ∈ O n ( k ) ，则 p α ( k ) = q β ( k ) = l = j ， m = i ，令 γ = ( A 1 A 2 ⋯ A l K α B 1 B 2 ⋯ B m b ˜ j b ˜ j − 1 ⋯ b ˜ l k a ˜ i a ˜ i − 1 ⋯ a ˜ 1 ) ∈ R n (k) 从而存在 γ ∈ O R n ( k ) ，使 α R γ ， γ L β ，即 α D β 。 子情形2：设 α ， β ∈ R n ( k ) ，则 p α ( k ) = q β ( k ) = m = i ， l = j ，令 γ = ( A 1 A 2 ⋯ A l K α B 1 B 2 ⋯ B m b ˜ j b ˜ j − 1 ⋯ b ˜ l k a ˜ i a ˜ i − 1 ⋯ a ˜ 1 ) ∈ O n (k) 从而存在 γ ∈ O R n ( k ) ，使 α R γ ， γ L β ，即 α D β 。 子情形3：设 α ∈ O n ( k ) ， β ∈ R n ( k ) ，则 p α ( k ) = q β ( k ) = l = i ， m = j ，令 γ = ( A 1 A 2 ⋯ A l K α B 1 B 2 ⋯ B m a ˜ 1 a ˜ 2 ⋯ a ˜ l k b ˜ 1 b ˜ 2 ⋯ b ˜ j ) ∈ R n (k) 从而存在 γ ∈ O R n ( k ) ，使 α R γ ， γ L β ，即 α D β 。 子情形4：设 α ∈ R n ( k ) ， β ∈ O n ( k ) ，则 p α ( k ) = q β ( k ) = m = j ， l = i ，令 γ = ( A 1 A 2 ⋯ A l K α B 1 B 2 ⋯ B m a ˜ 1 a ˜ 2 ⋯ a ˜ l k b ˜ 1 b ˜ 2 ⋯ b ˜ j ) ∈ O n (k) 因此， α R γ L β 且 γ ∈ O R n ( k ) ，从而 α D β 。