system: [SYSTEM]

user: 2. 局部稳定性和Hopf分支 现在主要讨论系统(1)正平衡点的稳定性和Hopf分支的存在性。 首先对系统(1)进行换元变形： u ( t ) = x ( t ) − x * ， v ( t ) = y ( t ) − y * ， w ( t ) = z ( t ) − z * ，将正平衡点 E 2 = ( x * ， y * ， z * ) 转化到原点，然后将系统(1)线性化处理，则系统(1)可以转化为： d U d t = M U ( t ) + N U ( t − τ 1 ) + O U ( t − τ 2 ) ， (3) 其中： U ( t ) = [ u ， v ， w ] T ， M = ( m i j ) 3 × 3 ， N = ( n i j ) 3 × 3 ， O = ( o i j ) 3 × 3 ， m 11 = − b 1 − a 1 c 1 z * ( c 1 + x * ) 2 ， m 13 = − a 1 x * c 1 + x * ， m 22 = − b 2 − a 2 c 2 z * ( c 2 + y * ) 2 ， m 23 = − a 2 y * c 2 + y * ， n 31 = e 1 a 1 c 1 z * ( c 1 + x * ) 2 ， n 32 = e 2 a 2 c 2 z * ( c 2 + y * ) 2 ， 其他 m i j = 0 ， n i j = 0 ， o i j = 0 。 由于 | λ E − A | = 0 ，可得： | λ − a 11 0 − a 13 0 λ − a 22 − a 23 − a 31 ⋅ e − λ τ 1 − a 32 ⋅ e − λ τ 2 λ | = 0 ， (4) 其中： a 11 = − b 1 − a 1 c 1 z * ( c 1 + x * ) 2 ， a 13 = − a 1 x * c 1 + x * ， a 22 = − b 2 − a 2 c 2 z * ( c 2 + y * ) 2 ， a 23 = − a 2 y * c 2 + y * ， a 31 = e 1 a 1 c 1 z * ( c 1 + x * ) 2 ， a 32 = e 2 a 2 c 2 z * ( c 2 + y * ) 2 ， 系统(3)对应的特征方程如下： λ 3 + A λ 2 + B λ + ( C + D λ ) e − λ τ 1 + ( E + F λ ) e − λ τ 2 = 0 ， (5) 其中： A = − ( a 11 + a 22 ) ， B = a 11 a 22 ， B = a 11 a 22 ， D = − a 13 a 31 ， D = − a 13 a 31 ， D = − a 13 a 31 . 下面分五种情况进行讨论： 第一种情况： τ 1 = τ 2 = 0 。 定理2.1： τ 1 = τ 2 = 0 时，满足条件 ( H 1 ) ： A 11 > 0 ， A 11 A 12 > A 13 时，系统正平衡点 E 2 = ( x * ， y * ， z * ) 是局部稳定的。 证明：当 τ 1 = τ 2 = 0 时，方程(5)可以转化为： λ 3 + A 11 λ 2 + A 12 λ + A 13 = 0 ， (6) 其中： A 11 = A ， A 12 = B + D + F ， A 13 = C + E . 根据Routh-Hurwitz判据，满足条件 ( H 1 ) ： A 11 > 0 ， A 11 A 12 > A 13 时， E 2 = ( x * ， y * ， z * ) 是局部渐近稳定的。 第二种情况： τ 1 > 0 ，   τ 2 = 0 。 定理2.2： τ 1 > 0 ，   τ 2 = 0 时，满足条件： 1) ( H 21 ) ：文献 [ 22 ] 中定理(2.1)情况(i)，(iii)成立； 2) ( H 22 ) ： f ′ 1 ( ω 10 2 ) ≠ 0 ， A 21 2 − 2 A 22 > 0 ， A 22 2 − 2 A 21 A 23 > 0 。 系统正平衡点 E 2 = ( x * ， y * ， z * ) 在 τ 1 ∈ [ 0 ，   τ 10 ) 是局部渐近稳定的，并且当 τ 1 = τ 10 时出现Hopf分支。 证明：当 τ 1 > 0 ，   τ 2 = 0 时，方程(5)可以转化为： λ 3 + A 21 λ 2 + A 22 λ + A 23 + ( B 21 λ + B 22 ) e − λ τ 1 = 0 ， (7) 其中： A 21 = − ( a 11 + a 22 ) ， A 22 = a 11 a 22 − a 23 a 32 ， A 23 = a 23 a 32 a 11 ， B 21 = − a 13 a 31 ， B 22 = a 13 a 31 a 22 ， 假设 λ = i ω 1 ( ω 1 > 0 ) 是方程(7)的纯虚根，将其代入并且分离实部和虚部可得： { − ω 1 3 + A 22 ω 1 + B 21 ω 1 cos ( ω 1 τ 1 ) − B 22 sin ( ω 1 τ 1 ) = 0 − A 21 ω 1 2 + A 23 + B 21 ω 1 sin ( ω 1 τ 1 ) + B 22 cos ( ω 1 τ 1 ) = 0 ， (8) 将(8)中两个方程平方然后相加，可得： ω 1 6 + E 21 ω 1 4 + E 22 ω 1 2 + E 23 = 0 ，(9) 其中： E 21 = A 21 2 − 2 A 22 ， E 22 = A 22 2 − B 21 2 − 2 A 21 A 23 ， E 23 = A 23 2 − B 22 2 . 假设 v 1 = ω 1 2 ，则方程(9)可以转化为： v 1 3 + E 21 v 1 2 + E 22 v 1 + E 23 = 0 . (10) 接下来定义一个函数： f 1 ( v 1 ) = v 1 3 + E 21 v 1 2 + E 22 v 1 + E 23 . (11) 假设 ( H 21 ) ：文献 [ 22 ] 中定理(2.1)情况(i)，(iii)成立，则 f 1 ( v 1 ) 至少有一个正根，不失一般性，假设方程(11)的根为 v 11 ，   v 12 ，   v 13 ，则有 ω 1 k = v 1 k ，   ( k = 1 ，   2 ，   3 ) 由(8)可得： cos ( ω 1 τ 1 ) = B 21 ω 1 4 + ( B 22 A 21 − B 21 A 22 ) ω 1 2 − B 22 A 23 B 21 2 ω 1 2 + B 22 2 ， (12) sin ( ω 1 τ 1 ) = ( B 21 A 21 − B 22 ) ω 1 3 + ( B 22 A 22 − B 21 A 23 ) ω 1 B 21 2 ω 1 2 + B 22 2 ， (13) 由(12)和(13) 可得： φ 1 = { 2 π − arccos [ B 21 ω 1 4 + ( B 22 A 21 − B 21 A 22 ) ω 1 2 − B 22 A 23 B 21 2 ω 1 2 + B 22 2 ] ，     if   ( 13 ) < 0 cos [ B 21 ω 1 4 + ( B 22 A 21 − B 21 A 22 ) ω 1 2 − B 22 A 23 B 21 2 ω 1 2 + B 22 2 ] ，     if   ( 13 ) ≥ 0 ， (14) τ 1 k j = 1 ω 1 k ( φ 1 + 2 j π ) ， ( j = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， k = 1 ， 2 ， 3 ) ，(15) 定义 τ 10 = min ( τ 1 k ( 0 ) | k = 1 ， 2 ， 3 ) ，令 λ ( τ 1 ) = α ( τ 1 ) + i ω 1 ( τ 1 ) 是特征方程(7)的一个根，且近于 τ 1 = τ 10 ，并且满足 α ( τ 10 ) = 0 ， ω 1 ( τ 10 ) = ω 10 。对关于 τ 1 的特征方程(7)两边进行求导，得到： ( d λ d τ 1 ) − 1 = 3 λ 2 + 2 A 21 λ + A 22 − λ ( λ 3 + A 21 λ 2 + A 22 λ + A 23 ) + B 21 B 21 λ 2 + B 22 λ − τ 1 λ ， (16) 则 ( d Re ( λ ) d τ 1 ) λ = i ω 10 − 1 = 3 ω 10 6 + 2 ( A 21 2 − 2 A 22 ) ω 10 4 + ( A 22 2 − B 21 2 − 2 A 21 A 23 ) ω 10 2 ω 10 8 + ( A 21 2 − 2 A 22 ) ω 10 6 + ( A 22 2 − 2 A 21 A 23 ) ω 10 4 + A 23 2 ω 10 2 = 1 ω 10 2 ( f ′ 1 ( ω 10 2 ) ω 10 6 + ( A 21 2 − 2 A 22 ) ω 10 4 + ( A 22 2 − 2 A 21 A 23 ) ω 10 2 + A 23 2 ) ， (17) 得知当 ( H 22 ) ： f ′ 1 ( ω 10 2 ) ≠ 0 ， A 21 2 − 2 A 22 > 0 ， A 22 2 − 2 A 21 A 23 > 0 成立时， Re ( d λ d τ 1 ) λ = i ω 10 − 1 ≠ 0 。证毕。 第三种情况： τ 2 > 0 ，   τ 1 = 0 。 定理2.3： τ 2 > 0 ，   τ 1 = 0 时，满足条件： 1) ( H 21 ) ：同定理2.2； 2) ( H 32 ) ： f ′ 2 ( ω 20 2 ) ≠ 0 ， A 31 2 − 2 A 32 > 0 ， A 32 2 − 2 A 31 A 33 > 0 。 系统正平衡点 E 2 = ( x * ， y * ， z * ) 在 τ 2 ∈ [ 0 ，   τ 20 ) 是局部渐近稳定的，并且当 τ 2 = τ 20 时出现Hopf分支。 证明：当 τ 2 > 0 ，   τ 1 = 0 时，方程(5)可以转化为： λ 3 + A 31 λ 2 + A 32 λ + A 33 + ( B 31 λ + B 32 ) e − λ τ 2 = 0 ， (18) 其中： A 31 = − ( a 11 + a 22 ) ， A 32 = a 11 a 22 − a 13 a 31 ， A 33 = a 13 a 31 a 22 ， B 31 = − a 23 a 32 ， B 32 = a 23 a 32 a 11 ， 假设 λ = i ω 2 ( ω 2 > 0 ) 是方程(18)的根，将其代入并且分离实部和虚部可得： { − ω 2 3 + A 32 ω 2 + B 31 ω 2 cos ( ω 2 τ 2 ) − B 32 sin ( ω 2 τ 2 ) = 0 − A 31 ω 2 2 + A 33 + B 31 ω 2 sin ( ω 2 τ 2 ) + B 32 cos ( ω 2 τ 2 ) = 0 ， (19) 将(19)中两个方程平方然后相加，可得： ω 2 6 + E 31 ω 2 4 + E 32 ω 2 2 + E 33 = 0 ， (20) 其中： E 31 = A 31 2 − 2 A 32 ， E 32 = A 32 2 − B 31 2 − 2 A 31 A 33 ， E 33 = A 33 2 − B 32 2 . 假设 v 2 = ω 2 2 ，则方程(20)可以转化为： v 2 3 + E 31 v 2 2 + E 32 v 2 + E 33 = 0 . (21) 定义一个函数： f 2 ( v 2 ) = v 2 3 + E 31 v 2 2 + E 32 v 2 + E 33 . (22) 假设 ( H 21 ) 成立，则方程(22)至少有一个正根，不失一般性，将方程(22)的正根记为 v 21 ，   v 22 ，   v 23 ，则有 ω 2 k = v 2 k ，   ( k = 1 ，   2 ，   3 ) 。根据(19)可得： cos ( ω 2 τ 2 ) = B 31 ω 2 4 + ( B 32 A 31 − B 31 A 32 ) ω 2 2 − B 32 A 33 B 31 2 ω 2 2 + B 32 2 ， (23) sin ( ω 2 τ 2 ) = ( B 31 A 31 − B 32 ) ω 2 3 + ( B 32 A 32 − B 31 A 33 ) ω 2 B 31 2 ω 2 2 + B 32 2 ， (24) 由(23)和(24)可得： φ 2 = { 2 π − arccos [ B 31 ω 2 4 + ( B 32 A 31 − B 31 A 32 ) ω 2 2 − B 32 A 33 B 31 2 ω 2 2 + B 32 2 ] ，     if   ( 24 ) < 0 cos [ B 31 ω 2 4 + ( B 32 A 31 − B 31 A 32 ) ω 2 2 − B 32 A 33 B 31 2 ω 2 2 + B 32 2 ] ，     if   ( 24 ) ≥ 0 ， τ 2 k j = 1 ω 2 k ( φ 2 + 2 j π ) ， ( j = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， k = 1 ， 2 ， 3 ) . (25) 定义 τ 20 = min ( τ 2 k ( 0 ) | k = 1 ， 2 ， 3 ) ，令 λ ( τ 2 ) = α ( τ 2 ) + i ω 2 ( τ 2 ) 是特征方程(18)的一个根，且近于 τ 2 = τ 20 ，并且满足 α ( τ 20 ) = 0 ， ω 2 ( τ 20 ) = ω 20 。对关于 τ 2 的特征方程(18)两边进行求导，得到： ( d λ d τ 2 ) − 1 = 3 λ 2 + 2 A 31 λ + A 32 − λ ( λ 3 + A 31 λ 2 + A 32 λ + A 33 ) + B 31 B 31 λ 2 + B 32 λ − τ 2 λ ， (26) 故 ( d Re ( λ ) d τ 2 ) λ = i ω 20 − 1 = 1 ω 20 2 ( f ′ 2 ( ω 20 2 ) ω 20 6 + ( A 31 2 − 2 A 32 ) ω 20 4 + ( A 32 2 − 2 A 31 A 33 ) ω 20 2 + A 33 2 ) ， (27) 得知当 ( H 32 ) ： f ′ 2 ( ω 20 2 ) ≠ 0 ， A 31 2 − 2 A 32 > 0 ， A 32 2 − 2 A 31 A 33 > 0 ，则 Re ( d λ d τ 2 ) λ = i ω 20 − 1 ≠ 0 。证毕。 第四种情况： τ 1 ∈ ( 0 ，   τ 10 ) ，   τ 2 > 0 。 定理2.4： τ 1 ∈ ( 0 ，   τ 10 ) ，   τ 2 > 0 时，满足条件： 1) ( H 41 ) ：(29)存在有限个正根； 2) ( H 42 ) ： ( A 1 C 1 + B 1 D 1 ) ( ω 20 ∗ 2 + a 11 2 ) − ( A 1 2 + B 1 2 ) ≠ 0 。 系统正平衡点 E 2 = ( x * ， y * ， z * ) 在 τ 2 ∈ [ 0 ，   τ 20 * ) 是局部渐近稳定的，并且当 τ 2 = τ 20 * 时出现Hopf分支。 证明：当 τ 1 ∈ ( 0 ，   τ 10 ) ，   τ 2 > 0 时，将 τ 2 作为参数，假设 λ = i ω 2 * ( ω 2 * > 0 ) 是方程(5)的根，将其代入并且分离实部和虚部可得： { − ω 2 ∗ 3 + a 11 a 22 ω 2 ∗ − [ a 13 a 31 a 22 sin ( ω 2 ∗ τ 1 ) + a 13 a 31 ω 2 ∗ cos ( ω 2 ∗ τ 1 ) ] = a 23 a 32 a 11 sin ( ω 2 ∗ τ 2 ) + a 23 a 32 ω 2 ∗ cos ( ω 2 ∗ τ 2 ) ( a 11 + a 22 ) ω 2 ∗ 2 + + a 13 a 31 a 22 cos ( ω 2 ∗ τ 1 ) − a 13 a 31 ω 2 ∗ sin ( ω 2 ∗ τ 1 ) = − a 23 a 32 a 11 cos ( ω 2 ∗ τ 2 ) + a 23 a 32 ω 2 ∗ sin ( ω 2 ∗ τ 2 ) ， (28) 将(28)两个方程平方然后相加，可得： ω 2 ∗ 6 + E 41 ω 2 ∗ 4 + E 42 ω 2 ∗ 2 + E 43 + E 44 sin ( ω 2 ∗ τ 1 ) + E 45 cos ( ω 2 ∗ τ 1 ) = 0 ， (29) 其中： E 41 = a 11 2 + a 22 2 ， E 42 = a 13 2 a 31 2 − a 23 2 a 32 2 + a 11 2 a 22 2 ， E 43 = a 13 2 a 31 2 a 22 2 − a 23 2 a 32 2 a 11 2 ， E 44 = − 2 a 13 a 31 a 11 ( ω 2 ∗ 3 + a 22 2 ω 2 ∗ ) ， E 45 = 2 a 13 a 31 ( ω 2 ∗ 4 + a 22 2 ω 2 ∗ 2 ) . 假设 ( H 41 ) ：(29)存在有限个正根成立，且记为 。 根据(28)可得： ， ， (30) 定义 ，令 是特征方程(5)的一个根，且近于 ，并且满足 ， 。对关于 的特征方程(5)两边进行求导，得到： ， 其中： ， ， ， . 故 ， (31) 假设当 ： 成立时，则有 。证毕。 第五种情况： 。 定理2.5： 时，满足 1) ：(33)存在有限个正根； 2) ： 。 系统正平衡点 在 是局部渐近稳定的，并且当 时出现Hopf分支。 证明：当 时，将 作为参数，假设 是方程(5)的根，将其代入并且分离实部和虚部可得： ， (32) 将(32)式中两个方程平方然后相加，可得： ， (33) 其中： ， ， ， ， . 假设 ：(33)存在有限个正根成立，且记为 。 根据(32)可得： ， ， (34) 定义 ，令 是特征方程(5)的一个根，且近于 ，并且满足 ， 。对关于 的特征方程(5)两边进行求导，得到： ， 其中： ， ， ， . 故 ， (35) 假设当 ： 成立时，则有 。证毕。