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user: 3. 项给定团数的图的Wiener指数极图 定理 1设 G ∈ H ( K l ， H ) ，那么 W ( G ) ≤ W ( K l u P n − l + 1 ) 且等号成立当且仅当 G ≅ K l u P n − l + 1 。 证明：我们选择 G ∈ H ( K l ， H ) 使得 W ( G ) 尽可能大。 断言1 如果 G ∈ H ( K l ， H ) 是具有最大Wiener指数的图，那么 G ∈ H ( K l ， T ) 。 断言1的证明：否则，我们假设 G ∉ H ( K l ， T ) ，那么存在一个圈 C ⊆ G 且有 x y ∈ E ( C ) ，但 x y ∉ E ( K l ) 。设 G ′ = G \ x y 为图G删除边xy那么 G ′ ∈ H ( K l ， H ) 。由引理6有。这与G的选择矛盾，所以断言1成立。 断言2 如果 G ∈ H ( K l ， H ) 是具有最大Wiener指数的图，那么 G ∈ H ( K l ， P ) 。 断言2的证明：由断言1有 G ∈ H ( K l ， T ) 。由引理4有 G ∈ H ( K l ， P ) 。所以断言2成立。 断言3 如果 G ∈ H ( K l ， H ) 是具有最大Wiener指数的图，那么 G ≅ K l u P n − l + 1 。 断言3的证明：否则，我们假设G不同构 K l u P n − l + 1 。由断言2有 G ∈ H ( K l ， P ) 。设 V ( K l ) = { v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v l } ， G = H ( K l ; P k 1 ， P k 2 ， ⋯ ， P k l ) 。那么G至少有两条阶大于1的路 P k i ， P k j 附在团 K l 的两个不同的顶点 v i ， v j ( 1 ≤ i ≠ j ≤ l ) 上。令 H = G \ ( ( P k i − { v i } ) ∪ ( P k j − { v j } ) ) ， G 2 = H v i P k i w P k j G 1 = P k i v i H v j P k j = G ，由引 理7有 W ( G ) = W ( G 1 ) < W ( G 2 ) 。这与G的选择矛盾，因此我们有 G ≅ K l u P n − l + 1 。 综上所述知定理成立。 定理2 如果 G ∈ H ( K l ， H ) 是具有最小Wiener指数的图，那么G是Tuŕan图。 证明：我们选择 G ∈ H ( K l ， H ) 使得 W ( G ) 尽可能小。由G的团数为l，因而G中至少有一个团 K l ， 不妨设为 K l 1 ， V ( K l 1 ) = { u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u l } 。设 G 1 = G − V ( K l 1 ) 。下面我们先证明三个断言： 断言1 在G中， V ( G 1 ) 中每个点至多与 V ( K l 1 ) 中 l − 1 个顶点都相邻。 断言1的证明：否则，G中有完全图 K l + 1 ，与G的团数为 l 矛盾，所以断言1成立。 断言2 如果 1 ≤ n − l < l ，则 G 1 是一个完全图 K n − l 。 断言2的证明：否则，设 G 1 中最大完全图为 K r 1 ， r 1 < n − l 。由断言1知 G 1 中每个顶点与 K l 1 中至少一个顶点距离大于等2。设 G 2 = G 1 − V ( K r 1 ) ，由 K r 1 为 G 1 中最大完全图，所以 V ( G 2 ) 中每个点至多与 V ( K r 1 ) 中 r 1 − 1 个点都相邻(否则， G 1 中有更大的完全图，矛盾)，也即 G 2 中每个顶点与 K r 1 中至少一个顶 点距离大于等于2。因此我们有 W ( G ) ≥ ( n 2 ) + n − l + n − l − r 1 > ( n 2 ) + n − l = W ( T l ， n ) ， 这与G的选择矛盾，所以断言2成立。 断言3 如果 l ≤ n − l ，则 G 1 中含阶数最大为l的完全图 K l 。 断言3的证明：否则，如果 G 1 中不含完全图 K l ，设 G 1 中最大完全图为 K r 1 ( r 1 < l ) ，设 G 2 = G 1 − V ( K r 1 ) ， G 2 中最大完全图为 K r 2 ( r 2 ≤ r 1 ) ，依此类推，设 G k = G k − 1 − V ( K r k − 1 ) ， G k 中最大完全图为 K r k ( k ≥ ⌊ n l ⌋ + 1 ， r k ≤ r k − 1 ) 。由断言1知 G 1 中每个顶点与 K l 1 中至少一个顶点的距离大于等于2，由 K r 1 为 G 1 中最大完全图，所以 V ( G i + 1 ) 中每个顶点至多与 V ( K r 1 ) 中 r 1 − 1 个点都相邻，也即 G 2 中每个顶点与 K r 1 中至少一个顶点的距离大于等于2。依此类推，由 K r i 为 G i 中最大完全图，所以 V ( G 2 ) 中每个顶点至多与 V ( K r i ) 中 r i − 1 个顶点都相邻，也即 G i + 1 中每个顶点与 K r i 中至少一个顶点的距离大于等于2，其中 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k − 1 。因此我们有 W ( G ) ≥ ( n 2 ) + n − l + n − l − r 1 + ⋯ + n − l − ∑ i = 1 k − 1 r i > ( n 2 ) + n − l + ⋯ + n − ⌊ n l ⌋ l = W ( T l ， n ) 这与G的选择矛盾，以 G 1 中有完全图 K l 。又因为G的团数为l，所以 G 1 中含有阶数最大为l的完全图。所以断言3成立。 设 n = t l + r ( 0 ≤ r < l ) ，则 t = ⌊ n l ⌋ 。由断言3可知G中有t个顶点互不相交的l团，不妨设为 K l 1 ， K l 2 ， ⋯ ， K l t ， V ( K l 1 ) = { u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u l } ， V ( K l 2 ) = { u l + 1 ， u l + 2 ， ⋯ ， u 2 l } ，…， V ( K l t ) = { u ( t − 1 ) l + 1 ， u ( t − 1 ) l + 2 ， ⋯ ， u t l } 。 根据断言2可知G中有一个与这t个l团顶点都不相交的r团 K r 。 设 V ( K r ) = { u t l + 1 ， u t l + 2 ， ⋯ ， u t l + r − 1 ， u n } 。下面说明这些团之间哪些顶点相邻。 (i) 对前t个l团中任意两个l团必有其中一个团的每个顶点正好与另一个团的 l − 1 个顶点都相邻.根据G的团数为l，则其中任意一个团的每个顶点至多与另一个团的 l − 1 个顶点都相邻。否则，G中存在阶数为 l + 1 的团，这与G的团数为l矛盾。根据 W ( G ) 尽可能小及断言3中类似分析可知，其中任意一个团的每个顶点正好与另一个团的 l − 1 个顶点都相邻。 下面证明t个l团之间哪些顶点相邻。 首先我们考虑 K l 1 ， K l 2 之间哪些顶点相邻。由1)知 K l 1 中每个顶点与 K l 2 中 l − 1 个顶点都相邻，对于 u 1 不失一般性可设 u 1 u l + i ∈ E ( G ) ( 2 ≤ i ≤ l ) ， u 1 u l + 1 ∉ E ( G ) 。对于 u 2 ，必定有 u 2 u l + 1 ∈ E ( G ) 。否则， u l + 1 与 K l 1 中至多 l − 2 个顶点相邻。与(i)矛盾。又因为 u 2 与 K l 2 中 l − 1 个顶点相邻，即 u 2 与 中一个顶点不相邻，不妨设为 u l + 2 ，即 u 2 u l + 2 ∉ E ( G ) 。从而 u 2 u l + i ∈ E ( G ) ( 1 ≤ i ≠ 2 ≤ l ) 。类似讨论可设 u i u l + i ∉ E ( G ) ， u i u l + j ∈ E ( G ) ( 1 ≤ j ≠ i ≤ l ) 。重复上面的讨论，可得 u i u k l + i ∉ E ( G ) ( 1 ≤ k ≤ t − 1 ) 。我们断言对任意 2 ≤ k ≤ t − 1 有 u l + 1 u k l + 1 ∉ E ( G ) 。否则，因为 u l + 1 与 u 2 ， u 3 ， ⋯ ， u l 构成一个l团， u k l + 1 与 u 2 ， u 3 ， ⋯ ， u l 构成一个l团，所以 u l + 1 ， u k l + 1 与 u 2 ， u 3 ， ⋯ ， u l 构成一个 l + 1 团。与G的团数为l矛盾。同理可得 u l + i u k l + i ∉ E ( G ) ( 2 ≤ i ≤ l ) 。 重复上面的讨论，我们对这t个顶点互不相交的l团可设 u k l + i u s l + i ∉ E ( G ) ( 1 ≤ i ≤ l ， 0 ≤ k ≠ s ≤ t − 1 ) ， u k l + i u s l + j ∈ E ( G ) ( 1 ≤ i ≠ j ≤ l ， 0 ≤ k ≠ s ≤ t − 1 ) ， (ii) 类似上面的讨论，可知第 t + 1 个r团 K r 中每个顶点正好与前t个顶点互不相交的l团 K l i ( 1 ≤ i ≤ t ) 的 l − 1 个顶点都相邻。不失一般性可设 u t l + i u s l + i ∉ E ( G ) ( 1 ≤ i ≤ r ， 0 ≤ s ≤ t − 1 ) ， u t l + i u s l + j ∈ E ( G ) ( i ≠ j ， 1 ≤ i ≤ r ， 1 ≤ j ≤ l ， 0 ≤ s ≤ t − 1 ) ， 综上可知 u j ， u l + j ， ⋯ ， u t l + j ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， r ) 构成r个顶点数为 t + 1 的空图 K ¯ t + 1 ， u j ， u l + j ， ⋯ ， u ( t − 1 ) l + j ( j = r + 1 ， r + 2 ， ⋯ ， l ) 构成 l − r 个顶点数为t的空图 K ¯ t 。 因此图G是一个Tuŕan图 T l ， n 。