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user: 3. 相关引理 引理3.1：设 f : X → X 同胚，其中X为局部紧致的度量空间，假设 K ⊂ X 为全局吸引子，设 Q 1 ⊃ K 为一紧致邻域，则存在紧致邻域 Q 2 ，使得 Q 1 ⊂ Q 2 且 f ( Q 2 ) ⊂ Q 2 。。 证明：设 x ∈ Q 1 ，则由K为全局吸引子，因此由K的定义，设 n x ≥ 1 为第一个自然数使得 f n x ( x ) ∈ int ( Q 1 ) 。则由 f n x 的连续性知，存在x的一个δ-邻域 S ( x ， δ ) ，使得 f n x ( S ( x ， δ ) ¯ ) ⊂ int Q 1 。由X为局部紧致的，由X的定义可知，存在x的一个紧致邻域 B ′ x ，令 B x = B ′ x ∩ S ( x ， δ ) ¯ ，则 B x 是闭集且 B x ⊂ B ′ x ，因此由紧致集的闭子集还是紧致集知 B x 是x的一个紧致邻域。又 f : X → X 同胚，则知f是一一映射，所以有 f n x ( B x ) = f n x ( B ′ x ) ∩ f n x ( S x ¯ ) 且 f n x ( B x ) ⊂ f n x ( S x ¯ ) ，则 f n x ( B x ) ⊂ int Q 1 。再由邻域的定义知，存 在开集 C x 使得 x ∈ C x ⊂ B x ，所以有 ∪ x ∈ Q 1 C x ⊃ Q 1 ，于是存在 x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x k ∈ Q 1 ，使得 Q 1 ⊂ ∪ i = 1 k C x i ⊂ ∪ i = 1 k B x i 。定义 Q 2 = ∪ i = 1 k ( ∪ j = 0 n x i f j ( B x i ) ) 由 B x i 是紧致集且因为 f : X → X 同胚，所以有 f : X → X 为连续映射，从而 f j ( B x i ) 是紧致集，且 ∪ i = 1 k ( ∪ j = 0 n x i f j ( B x i ) ) 是紧致集，即 Q 2 是紧致集。断言， f ( Q 2 ) ⊂ Q 2 。证明如下，要证明 f ( Q 2 ) ⊂ Q 2 ，只需要证明 ∪ i = 1 k f n x i + 1 ( B x i ) ⊂ Q 2 。对 ∀ x ∈ ∪ i = 1 k f n x i + 1 ( B x i ) ，存在 i 0 ，使得 x ∈ f n x i 0 ( B x i 0 ) ，从而存在 z ∈ B x i 0 ，使得 f n x i 0 + 1 ( z ) = x 。记 s = f n x i 0 ( z ) ，所以有 f ( s ) = x ，且 s = f n x i 0 ( z ) ∈ f n x 0 ( B x i 0 ) ⊂ Q 1 。又因为 Q 1 ⊂ ∪ i = 1 k C x i ⊂ ∪ i = 1 k B x i ，所以存在 i 1 ，使得 s ∈ B x i 1 ，从而 f ( s ) ∈ f ( B x i 1 ) ，于是有 x = f ( s ) ∈ f ( B x i 1 ) ⊂ ∪ j = 0 n x i f j ( B x i 1 ) ⊂ Q 2 ， 即有 f ( Q 2 ) ⊂ Q 2 。 引理3.2：设 f : X → X 同胚，其中X为局部紧致度量空间。假设 K ⊂ X 为吸引子，如果能够找到K的一个紧致邻域Q，使得对任意开邻域 U ⊃ K ，存在正整数N，对 ∀ n ≥ N ，有 f n ( Q ) ⊂ U ，那么K是渐进稳定的。 证明：由于 K ⊂ X 为吸引子，要证明K是渐进稳定的，只需要证明K是稳定的即可，如果K不是稳定的，则存在K的一个开邻域U，对K的任意开邻域V，存在 x ∈ V 以及 n k ≥ 0 ，使得 f n k ( x ) ∉ U 。设Q是K的紧致邻域，则存在Q中的一个序列 { x k } ，使得： • 存在 n k ，有 f n k ( x k ) ∉ U ； • lim x k = x ∈ K 。 则可知，对所有k，有 n k < N 。因此，存在m，令 n k = m ，则 m < N 。又因为K强不变，所以有 f m ( x k ) → f m ( x ) ∈ K ，于是从 f m ( x k ) → f m ( x ) ∈ K ⊂ U 可知，U是 f m ( x ) 的一个开邻域，由邻域的充 分必要条件可知，存在 f m ( x ) 的一个ε-邻域 B ( f m ( x ) ， ε ) ，又因为 lim k → ∞ f m ( x k ) = f m ( x ) ，所以同样取上述 的 ε ，存在N，当 n > N 时，有 d ( f m ( x k ) ， f m ( x ) ) < ε ，所以有 f m ( x ) ∈ U 。因此对所有足够大的k，有 f m ( x k ) ∈ U ，这与假设矛盾。因此K是稳定的，从而得到K是渐进稳定集。 推论3.3：设 f : X → X 同胚，X为局部紧致的度量空间，假设 K ⊂ X 为全局渐进稳定集，则存在一个紧致邻域 Q ⊃ K ，使得对每一个开邻域 U ⊃ K ，存在一个正整数N，对 ∀ n ≥ N 使得 f n ( Q ) ⊂ U 。 证明：由K为全局渐进稳定集，则K为全局吸引子，由全局吸引子的定义， ∃ U 0 ⊃ K ，使得对 ∀ x ∈ U 0 ，有 ω ( x ) ≠ ϕ 且 ω ( x ) ⊂ K 。对 ∀ x ∈ K ，由X为局部紧致的度量空间，因此由其定义可知，存在 R x 为x的紧致邻域，所以 R x 为紧集，又 R x 是一个邻域，由邻域的定义，存在开集 S x ，使得 x ∈ S x ⊂ R x ，所以有 ∪ x ∈ K S x ⊃ K ，从而存在 x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x t ，使得 ∪ i = 1 t S x i ⊃ K ，于是有 ∪ i = 1 t R x i ⊃ ∪ i = 1 t S x i ⊃ K 。因为 R x i 是紧致集，所以 ∪ i = 1 t R x i 也紧致。因此令 Q = ∪ i = 1 t R x i 。设U为K的任意开邻域，使得 K ⊂ U ⊂ Q ，且由稳定性的定义可知：存在K的开邻域V，使得 K ⊂ V ⊂ U ，对 ∀ x ∈ V 以及 n ∈ N 有 f n ( x ) ∈ U 。对 ∀ x ∈ Q ，   ∃ n ( x ) ∈ N ，   s . t . f n ( x ) ( x ) ∈ V (因为 ω ( x ) ⊂ K )。由 f n ( x ) 的连续性，因此存在x的开邻域 W x ，使得 f n ( x ) ( W x ) ⊂ V 。则 { W x } x ∈ Q 为Q的 一个开覆盖，因为 ∪ x ∈ Q W x ⊃ Q ，所以存在 x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x l ∈ Q ，使得 ∪ i = 1 l W x i ⊃ Q ，取 N = max { n ( x 1 ) ， ⋯ ， n ( x l ) } ， 则对 ∀ x ∈ Q ，由 f n ( x ) ( W x ) ⊂ V 可知，当 n ( x i ) ≤ N ，有 f n ( x i ) ( x ) ∈ V ，则 f n ( x i ) ( x ) 的轨道包含于U，因此对所有 n ≥ N ，有 f n ( x ) ∈ U 。对 ∀ y ∈ f n ( Q ) ，存在 x ∈ Q ，使得 f n ( x ) = y ，因为 x ∈ Q ，则当 n ≥ N 时，有 f n ( x ) ∈ U ，从而得到 f n ( Q ) ⊂ U 。 引理3.4：集合X为局部紧致的度量空间。设 f : X → X 为同胚映射，且设 K ⊂ X 为全局吸引子。取 ∀ x ∈ X ，要么 x ∈ K ˜ ，要么 α ( x ) = ϕ (i.e. x的负轨道远离任何紧致集) 证明：设 x ∈ X ，假设 α ( x ) ≠ ϕ ，取 y ∈ α ( x ) ，由K是全局吸引子，则 ω ( y ) ≠ ϕ ， ω ( y ) ⊂ K 且 ω ( y ) ⊂ α ( x ) (因为 α ( x ) 强不变，则 f n ( y ) ∈ α ( x ) 。令 B = { f n ( y ) ; n ≥ 0 } ，则 ω ( y ) ⊂ B ¯ ⊂ α ( x ) ，所以 ω ( y ) ⊂ α (x)) ∴ α ( x ) ∩ K ≠ ϕ ，因此 x ∈ K ˜ 。 命题3.5：设 f : X → X 同胚，其中X为局部紧致度量空间，假设 K ⊂ X 为吸引子且如果存在K的紧致邻域Q，使得 1) f ( Q ) ⊂ Q 。 2) ∩ n ≥ 0 f n ( Q ) ⊂ K 。 那么K是渐进稳定集。 证明：因为 f ( Q ) ⊂ Q ，所以对 n ≥ 0 ，有 f n ( Q ) ⊂ Q 。所以紧致集 { f n ( Q ) ， n ≥ 0 } 形成一个递减序列。再者，因为 ∩ n ≥ 0 f n ( Q ) ⊂ K ，因此 ∃ N ，当 n ≥ N 时，有 f n ( Q ) ⊂ K ，因此令U为K的任何邻域， ∃ N ，当 n ≥ N 时， f n ( Q ) ⊂ U ，再由引理3.2可知K是渐进稳定集。 推论 3.6：设 f : X → X 同胚，其中X为局部紧致度量空间，假设 K ⊂ X 为吸引子且如果存在K的紧致邻域Q，使得 。 那么 ∩ n ≥ 0 f n ( Q ) = K 是渐进稳定集。 证明：由 ∩ n ≥ 0 f n ( Q ) = K 蕴含 ∩ n ≥ 0 f n ( Q ) ⊂ K ，则由命题3.5可知 ∩ n ≥ 0 f n ( Q ) = K 是渐进稳定集。