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user: 6. 数值例子 考虑如下数值例子，其中参数取值为 p = 10 ， c = 4 ， h = 3 ， v = 2 ，市场对产品的需求x服从 [ 0 ， 200 ] 的均匀分布，均值 μ = 100 。 供应链系统的最优订购量和期望利润为： Q c ∗ = 163.6364 ， E ∏ c ∗ = 436.3637 。假设在批发价契约 ( w = 6 ) 下，零售商资金无限时零售商和供应商的期望利润分别作为各自保留利润，则 Q r ∗ = 127.2727 ， M r ∗ = E ∏ r ∗ = 145.4545 ， M s ∗ = E ∏ s * = 254.5455 。当零售商资金有限且受资金限制时(即 w Q r ∗ > B )，若 B = 70 ，则 Q r ∗ ∗ = 11 .6667 ， E ∏ r ∗ ∗ = − 222.0764 ， E ∏ s ∗ ∗ = 23.3333 ；若 B = 215 ，则 Q r ∗ ∗ = 35.8333 ， E ∏ r ∗ ∗ = − 84.4774 ， E ∏ s ∗ ∗ = 71.6667 ；若 B = 360 ，则 Q r ∗ ∗ = 60 ， E ∏ r ∗ ∗ = 21 ， E ∏ s ∗ ∗ = 120 ，显然 Q r ∗ > Q r ∗ ∗ ， M r ∗ > E ∏ r ∗ ∗ ， M s ∗ > E ∏ s ∗ ∗ ，即零售商受资金限制时，最优订购量变小，零售商和供应商的期望利润均减少。 批发价和收益共享契约的情形： 情形1： φ p + h ≥ w s ≥ φ v 若 B = 70 ，由 w s ≤ B / Q c ∗ 可得： w s ≤ 0.4278 ，再由(10)式可得 φ ≤ − 0.0341 ，即：零售商分享的收益为负；由(12)式可得： w s 1 = 2.1235 ， min { B / Q c ∗ ， w s 2 } = 0.4278 ，此时， w s 为空集；则批发价和收益共享契约既无法使供应链得到协调也无法使供应链成员达到双赢。 若 B = 215 ，取 w s = 1.30 时，由(10)式可得 φ = 0.2184 ，由(8)式可得： Q r 1 0 = 163.6364 ，满足 w s Q r 1 0 ≤ B ，于是， Q r 1 ∗ = Q r 1 0 = Q c ∗ ；由图1中可以看出，供应链系统和资金有限的零售商的期望利润在 Q = 163.6364 均达到最优，由此验证定理3(1)的结论；由(12)式可得： w s 1 = 2.1235 ， min { B / Q c ∗ ， w s 2 } = 1.3139 ，此时， w s 为空集，则批发价和收益共享契约无法使供应链成员达到双赢。 若 B = 360 ，取 w s = 2.15 时，由(10)式可得 φ = 0.4474 ，由(8)可得： Q r 1 0 = 163.6364 ，满足 w s Q r 1 0 ≤ B ，于是， Q r 1 ∗ = Q r 1 0 = Q c ∗ ，从图1中可以看出，供应链系统和资金有限的零售商的期望利润在 Q = 163.6364 均达到最优，由此验证定理3(i)的结论。 由(12)式可得： w s 1 = 2.1235 ， min { B / Q c ∗ ， w s 2 } = 2.2002 。在 [ 2.1107 ， 2.2264 ] 内以0.0128为间隔对 w s 取值，由(10)式得出 φ ，并计算零售商和供应商的期望利润，结果如表1。 由表1可知：1) 在批发价和收益共享契约下，当 w s 在适当的区间 [ 2.1235 ， 2.2002 ] 内取值且 ( w s ， φ ) 满足(10)式，有 Π r 1 ∗ − M r ∗ ≥ 0 ， Π s 1 ∗ − M s ∗ > 0 ，即： E ∏ r 1 ∗ ≥ M r ∗ ， E ∏ s 1 ∗ > M s ∗ ，且 w s Q r 1 ∗ ≤ B ，由此验证了定理4(1)的结论。2) 随着 w s 增大， φ 增大， w s Q r 1 ∗ 增大， E ∏ r 1 ∗ 逐渐增大， E ∏ s 1 ∗ 逐渐减小；当 w s > 2.2002 时，随着 w s 增大， w s Q r 1 ∗ > B ，无法协调供应链。 图1. 零售商和供应链系统的期望利润曲线 情形2： φ ≥ w s / v 若 B = 70 ，取 w s = 0.4278 ， φ = 0.2200 ，满足 φ ≥ w s / v ；由(7)式可得： Q r 1 ∗ = 163.6364 ，满足 w s Q r 1 ∗ = B ，于是， Q r 1 ∗ = Q c ∗ = B / w s ，由图2可以看出，供应链系统和资金有限的零售商的期望利润在 Q = 163.6364 均达到最优，由此验证定理3(ii)的结论。 由(13)可得： max { w s / v ， φ 1 } = 0.2139 ， φ 2 = 0.2378 。在 [ 0.2099 ， 0.2458 ] 内以0.003983为间隔对 φ 取值，分别计算零售商和供应商的期望利润，结果如表2。 由表2可知：(1)在批发价和收益共享契约下，当 φ 在适当的区间 [ 0.2139 ， 0.2378 ] 内取值，且 ( w s ， φ ) 满足 φ > w s / v 和(11)式时，有 Π r 1 ∗ − M r ∗ > 0 ， Π s 1 ∗ − M s ∗ ≥ 0 ，即： E ∏ r 1 ∗ > M r ∗ ， E ∏ s 1 ∗ ≥ M s ∗ ，由此验证了定理4(2)的结论。(2)随着 φ 增大， E ∏ r 1 ∗ 逐渐增大， E ∏ s 1 ∗ 逐渐减小；当 φ > 0.2378 时，随着 φ 增大，有 Π r 1 ∗ − M r ∗ > 0 ， Π s 1 ∗ − M s ∗ < 0 ，即 E ∏ r 1 ∗ > M r ∗ ， E ∏ s 1 ∗ < M s ∗ ，无法使供应链成员达到双赢。 图2. 零售商和供应链系统的期望利润曲线 Table 1 The impact of w s on φ ， w s Q r 1 ∗ and the expectations of the retailers and supplier w s φ w s Q r 1 ∗ Π r 1 ∗ Π s 1 ∗ Π r 1 ∗ − M r ∗ Π s 1 ∗ − M s ∗ 2.1107 0.4531 345.3873 143.4750 292.8886 −1.9795 38.3432 2.1235 0.4568 347.4819 145.4632 290.9005 0.0086 36.3550 2.1363 0.4605 349.5764 147.4514 288.9123 1.9968 34.3668 2.1492 0.4642 351.6710 149.4395 286.9241 3.9850 32.3786 2.1620 0.4679 353.7655 151.4277 284.9359 5.9732 30.3905 2.1748 0.4717 355.8601 153.4159 282.9477 7.9614 28.4023 2.1876 0.4754 357.9546 155.4041 280.9595 9.9495 26.4141 2.2002 0.4791 359.9999 157.3555 278.9714 11.9377 24.4259 2.2133 0.4828 362.1437 159.3672 276.9698 13.3127 22.4243 2.2264 0.4866 364.2383 161.3540 274.9061 15.8995 20.3606 表1. w s 对 φ 、 w s Q r 1 ∗ 以及零售商和供应商期望利润的影响 Table 2 The impact of φ on the expected profit of the retailer and the supplie w s φ Π r 1 ∗ Π s 1 ∗ Π r 1 ∗ − M r ∗ Π s 1 ∗ − M s ∗ 0.4728 0.2099 151.1461 285.2175 5.6916 30.6721 0.2139 155.5307 280.8329 10.0762 26.2875 0.2179 159.9153 276.4483 14.4608 21.9029 0.2219 164.2999 272.0637 18.8453 17.5183 0.2258 168.6845 267.6792 23.2299 13.1337 0.2298 173.0691 263.2946 27.6145 8.7491 0.2338 177.4537 258.9100 31.9991 4.3645 0.2378 181.8383 254.5254 36.3837 0.0001 0.2418 186.2228 250.1408 40.7683 −4.4047 0.2458 190.6074 245.7562 45.1529 −8.7893 表2. φ 对零售商和供应商的期望利润的影响