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user: 2. SK-KP方程的Lump解 为了讨论(1)中的Lump解，我们假设方程(2)中的f为： f = g 2 + h 2 + a 9 ， (3) 其中， g = a 1 x + a 2 y + a 3 t + a 4 ， h = a 5 x + a 6 y + a 7 t + a 8 ， a i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 9 ) 都是实数。将(3)代入式(2)，得到了关于 a i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 9 ) 的代数方程组。在求解该代数方程组，得到以下七组解和相应的方程(1)的Lump解： 第一组： a 1 = a 1 ， a 2 = 0 ， a 3 = 0 ， a 4 = a 4 ， a 5 = a 5 ， a 6 = 0 ， a 7 = 0 ， a 8 = a 8 ， a 9 = a 9 (4) 其中 a i ( i = 1 ， 4 ， 5 ， 8 ， 9 ) 是任意实数，对应SK-KP方程的lump解如下： u ( x ， y ， t ) = p q (5) 这里 p = 2 ( 2 ( a 1 2 + a 5 2 ) ( ( a 1 x + a 4 ) 2 + ( a 5 x + a 8 ) 2 + a 9 ) − 4 ( a 1 2 x + a 5 ( a 5 x + a 8 ) + a 4 a 1 ) 2 ) ， q = ( ( a 1 x + a 4 ) 2 + ( a 5 x + a 8 ) 2 + a 9 ) 2 . 第二组：当 a 7 ≠ 0 时， a 1 = 0 ， a 2 = 0 ， a 3 = 0 ， a 4 = a 4 ， a 5 = − a 6 2 a 7 ， a 6 = a 6 ， a 7 = a 7 ， a 8 = a 8 ， a 9 = a 9 (6) 相应方程的解如下： u ( x ， y ， t ) = 4 a 6 2 ( − ( a 7 t − a 6 2 x a 7 + a 6 y + a 8 ) 2 + a 4 2 + a 9 ) a 7 2 ( ( a 7 t − a 6 2 x a 7 + a 6 y + a 8 ) 2 + a 4 2 + a 9 ) . (7) 第三组： a 1 = a 1 ， a 2 = 0 ， a 3 = a 3 ， a 4 = a 4 ， a 5 = − a 1 a 7 a 3 ， a 6 = − a 1 a 7 2 a 3 + a 3 ， a 7 = a 7 ， a 8 = a 8 ， a 9 = 0 (8) 其中 a 3 ≠ 0 ， a 1 ≥ 0 。相应的lump解为： u ( x ， y ， t ) = p q (9) 这里 p = 4 a 1 2 [ a 3 2 ( a 3 2 + a 7 2 ) ( ( x a 1 + t a 3 + a 4 ) 2 + ( x a 1 a 7 + y a 1 a 3 a 3 + a 7 2 a 3 − a 3 ( t a 7 + a 8 ) ) 2 a 3 2 )         − 2 ( x a 1 ( a 3 2 + a 7 2 ) + y a 1 a 3 a 7 a 3 + a 7 2 a 3 + a 3 ( t a 3 2 + a 3 a 4 − a 7 ( t a 7 + a 8 ) ) ) 2 ] ， q = a 3 4 ( ( x a 1 + t a 3 + a 4 ) 2 + ( x a 1 a 7 + y a 1 a 3 a 3 + a 7 2 a 3 − a 3 ( t a 7 + a 8 ) ) 2 a 3 2 ) 2 . 第四组：当 a 3 ≠ 0 ， a 1 ≥ 0 时， a 1 = a 1 ， a 2 = 0 ， a 3 = a 3 ， a 4 = a 4 ， a 5 = − a 1 a 7 a 3 ， a 6 = a 1 a 7 2 a 3 + a 3 ， a 7 = a 7 ， a 8 = a 8 ， a 9 = 0 方程的解为： u ( x ， y ， t ) = p q 这里 p = 4 a 1 2 [ a 3 2 ( a 3 2 + a 7 2 ) ( ( x a 1 + t a 3 + a 4 ) 2 + ( − x a 1 a 7 + y a 1 a 3 a 3 + a 7 2 a 3 + a 3 ( t a 7 + a 8 ) ) 2 a 3 2 )                 − 2 ( x a 1 ( a 3 2 + a 7 2 ) − y a 1 a 3 a 7 a 3 + a 7 2 a 3 + a 3 ( t a 3 2 + a 3 a 4 − a 7 ( t a 7 + a 8 ) ) ) 2 ] ， q = a 3 4 ( ( x a 1 + t a 3 + a 4 ) 2 + ( − x a 1 a 7 + y a 1 a 3 a 3 + a 7 2 a 3 + a 3 ( t a 7 + a 8 ) ) 2 a 3 2 ) 2 . 第五组：当 a 6 ≠ 0 和 a 6 ≠ 0 时， a 1 = − a 2 a 6 a 7 ， a 2 = a 2 ， a 3 = a 2 a 7 a 6 ， a 4 = a 4 ， a 5 = − a 6 2 a 7 ， a 6 = a 6 ， a 7 = a 7 ， a 8 = a 8 ， a 9 = a 9 方程的解为： u ( x ， y ， t ) = p q 其中， p = − 4 [ 2 a 2 3 a 4 a 6 a 7 ( − x a 6 2 + y a 6 a 7 + t a 7 2 ) + a 2 4 ( − x a 6 2 + y a 6 a 7 + t a 7 2 ) 2     + 2 a 2 a 4 a 6 3 a 7 ( − x a 6 2 + y a 6 a 7 + a 7 ( t a 7 + 2 a 8 ) ) + a 2 2 a 6 2 ( 2 x 2 a 6 4 − 4 x y a 6 3 a 7     + 2 y a 6 a 7 2 ( 2 t a 7 + a 8 ) − 2 a 6 2 a 7 ( ( 2 t x − y 2 ) a 7 + x a 8 ) + a 7 2 ( a 4 2 + 2 t 2 a 7 2 + 2 t a 7 a 8 − a 8 2 − a 9 ) )     + a 6 4 ( x 2 a 6 4 − 2 x y a 6 3 a 7 + 2 y a 6 a 7 2 ( t a 7 + a 8 ) + a 6 2 a 7 ( ( − 2 t x + y 2 ) a 7 − 2 x a 8 )     + a 7 2 ( − a 4 2 + t 2 a 7 2 + 2 t a 7 a 8 + a 8 2 − a 9 ) ) ] ， q = a 7 4 ( ( a 4 a 6 a 7 + a 2 ( − x a 6 2 + y a 6 a 7 + t a 7 2 ) ) 2 a 6 2 a 7 2 + ( y a 6 − x a 6 2 a 7 + t a 7 + a 8 ) 2 + a 9 ) 2 . 第六组：当 a 3 ≠ 0 时， a 1 = − a 2 2 a 3 ， a 2 = a 2 ， a 3 = a 3 ， a 4 = a 4 ， a 5 = 0 ， a 6 = 0 ， a 7 = 0 ， a 8 = a 8 ， a 9 = a 9 方程的解为： u ( x ， y ， t ) = 4 a 2 2 ( − ( a 3 t − a 2 2 x a 3 + a 2 y + a 4 ) 2 + a 8 2 + a 9 ) a 3 2 ( ( a 3 t − a 2 2 x a 3 + a 2 y + a 4 ) 2 + a 8 2 + a 9 ) 2 . 第七组：当 a 3 2 + a 7 2 ≠ 0 时， a 1 = − a 3 a 2 2 − 2 a 6 a 7 a 2 + a 3 a 6 2 a 3 2 + a 7 2 ， a 2 = a 2 ， a 3 = a 3 ， a 4 = a 4 ， a 5 = a 7 a 2 2 − 2 a 3 a 6 a 2 − a 7 a 6 2 a 3 2 + a 7 2 ， a 6 = a 6 ， a 7 = a 7 ， a 8 = a 8 ， a 9 = 0 方程的解为： u ( x ， y ， t ) = p q ， 其中， p = 4 { − 2 [ − x a 2 4 + y a 2 3 a 3 + a 2 2 ( t a 3 2 + a 3 a 4 − 2 x a 6 2 + y a 6 a 7 − a 7 ( t a 7 + a 8 ) )     + a 6 2 ( − t a 3 2 − a 3 a 4 − x a 6 2 + y a 6 a 7 + a 7 ( t a 7 + a 8 ) ) + a 2 a 6 ( 2 a 4 a 7 + a 3 ( y a 6 + 4 t a 7 + 2 a 8 ) ) ] 2     + ( a 2 2 + a 6 2 ) 2 [ ( x 2 a − 2 4 2 x y a 2 3 a 3 + t 2 a 3 4 + 2 t a 3 3 a 4 + x 2 a 6 4 − 2 x y a 6 3 a 7 + a 4 2 a 7 2 − 2 t x a 6 2 a 7 2     + y 2 a 6 2 a 7 2 + 2 t y a 6 a 7 3 + t 2 a 7 4 + 2 a 3 a 4 ( x a 6 2 + t a 7 2 ) − 2 x a 6 2 a 7 a 8 + 2 y a 6 a 7 2 a 8 + 2 t a 7 3 a 8 + a 7 2 a 8 2 + a 3 2 ( a 4 2 + ( 2 t x + y 2 ) a 6 2 + 2 t 2 a 7 2 + 2 t a 7 a 8 + a 8 2 + 2 y a 6 ( t a 7 + a 8 ) )   + a 2 2 ( ( − 2 t x + y 2 ) a 3 2 − 2 x a 3 a 4 + 2 x 2 a 6 2 − 2 x y a 6 a 7 + a 7 ( ( 2 t x + y 2 ) a 7 + 2 x a 8 ) )   + 2 a 2 ( t y a 3 3 + y a 3 2 a 4 + a 4 a 7 ( − 2 x a 6 + y a 7 ) − a 3 ( x y a 6 2 − t y a 7 2 + 2 x a 6 ( 2 t a 7 + a 8 ) ) ) ] } q = ( a 3 2 + a 7 2 ) 2 [ ( − x a 2 2 a 3 + t a 3 3 + a 3 2 a 4 + a 4 a 7 2 + a 3 ( x a 6 2 + t a 7 2 ) + a 2 ( y a 3 2 + a 7 ( − 2 x a 6 + y a 7 ) ) ) 2 ( a 3 2 + a 7 2 ) 2     + ( y a 6 + t a 7 + x ( − 2 a 2 a 3 a 6 + a 2 2 a 7 − a 6 2 a 7 ) a 3 2 + a 7 2 + a 8 ) 2 ] 2 .