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user: 3. 主要结果及证明 令 G ⇉ M 是一个李群胚，N是一个 C ∞ 流形，并且 J : N → M 是 C ∞ 映射。 定义3.1 [ 8 ] 李群胚G在流形N上的带有矩映射J的作用是一个 C ∞ 映射 σ : G × J N → N ， ( g ， n ) ↦ g n ，其中 α ( g ) = J ( n ) ，满足以下条件： (1) J ( g n ) = β ( g ) ； (2) ( g h ) n = g ( h n ) ； (3) 1 ( J ( n ) ) n = n 。 定义3.2 [ 8 ] 设 σ : G × J N → N 是李群胚G在辛流形N上的作用，如果 G ⇉ M 是辛群胚，并且作用的图像 u = { ( g ， m ， g m ) ∈ G × N × N | α ( g ) = J ( m ) } 是乘积辛流形 G × N × N ¯ 的拉格朗日子流形，则称 σ 为辛群胚作用。其中 N ¯ 表示辛流形 ( N ， − Ω ) 。 定理3.1 [ 8 ] 令 ( M ， J ) 为辛 Γ -空间，如果u是J的clean值， J − 1 ( u ) / Γ u 为光滑流形使得投射 h u : J − 1 ( u ) → J − 1 ( u ) / Γ u 为浸没映射。那么在 J − 1 ( u ) / Γ u 上存在一个辛结构 Ω u 使得 h u ∗ Ω u = l u ∗ w M ，其中 l u 是 J − 1 ( u ) 到M的包含映射。这里称u为J的clean值，是指 J − 1 ( u ) 为u的 C ∞ 子流形，并且对 ∀ m ∈ J − 1 ( u ) 有 T m J − 1 ( u ) = ker T m J 。 下面开始考虑余切群胚在余切丛上的辛作用，并具体描述辛约化过程。具体来说，假设李群胚 G ⇉ M 光滑作用在流形N上，且有矩映射 J : N → M 。定义映射 J ∗ : T ∗ N → A ∗ G 如下：任取 ( q ， ϕ q ) ∈ T ∗ N ，定 义 J q ∗ ϕ q ∈ ( A ∗ G ) J ( q ) 使得对 ∀ X ∈ ( A G ) J ( q ) = T 1 J ( q ) α − 1 ( J ( q ) ) 有 〈 J q ∗ ϕ q ， X 〉 = 〈 ϕ q ， X # ( q ) 〉 (其中 X # ( q ) ∈ T J ( q ) N 为由X诱导的切向量：任取 α − 1 ( J ( q ) ) ⊂ G 中通过 1 J ( q ) 的 C ∞ 曲线 γ : ( − ε ， ε ) → α − 1 ( J ( q ) ) ， γ ( 0 ) = 1 J ( q ) 使得 d γ ( t ) d t | t = 0 = X ，则 X # ( q ) : = d d t | t = 0 γ ( t ) q ∈ T q N )。定义 J ∗ : T ∗ N → A ∗ G ， ( q ， ϕ q ) ↦ ( J ( q ) ， J q ∗ ϕ q ) ，显然 J ∗ 是光滑的丛映射且使得图表   T ∗ N → A ∗ G ↓ π N ↓ π M N       →     M 可交换，其中 π N ， π M 均为丛投影映射。 定理3.2假设余切群胚 T ∗ G ⇉ A ∗ G 辛作用在余切丛上 T ∗ N 上，且以 J ∗ : T ∗ N → A ∗ G 为矩映射。假设 0 m ∈ A ∗ G 为clean值使得 ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) / G m 为 C ∞ 流形，且 π 0 : ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) → ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) / G m 为浸没映射，假 设m为clean值使得 ( J ) − 1 ( m ) / G m 为 C ∞ 流形，且 π J : J − 1 ( m ) → J − 1 ( m ) / G m 为浸没映射，则约化辛流形 ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) / G m 辛微分同胚于余切丛 T ∗ ( J − 1 ( m ) / G m ) 。 证明：定义光滑映射 φ ¯ 0 : ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) → T ∗ ( J − 1 ( m ) / G m ) 使得对 ∀ v q ∈ T q J − 1 ( m ) ∈ T q N 有 〈 φ ¯ 0 ( ϕ q ) ， T q π J ( v q ) 〉 : = 〈 ϕ q ， v q 〉 。下面说明与 v q 的选取无关，如果 v q ， v ′ q ∈ T q J − 1 ( m ) 使得 T q π J ( v q ) = T q π J ( v ′ q ) ，则 v ′ q − v q = ker T π J ( q ) = T q π J − 1 ( [ q ] ) ，因此 v ′ q − v q = ξ G m # ( q ) ，其中 ξ G m ∈ L i e ( G m ) 。从而 〈 ϕ q ， v ′ q − v q 〉 = 〈 ϕ q ， ξ G m # ( q ) 〉 = 0 ，即 〈 ϕ q ， v ′ q 〉 = 〈 ϕ q ， v q 〉 。 下面说明 φ ¯ 0 是 G m -不变的。对于任意 g ∈ G m ， v q ∈ T q N 有 T g ⋅ q π J ( g ⋅ v q ) = T q π J ( v q ) ，从而 〈 φ ¯ 0 ( g ⋅ ϕ q ) ， T q π J ( v q ) 〉 = 〈 φ ¯ 0 ( g ⋅ ϕ q ) ， T g ⋅ q π J ( g ⋅ v q ) 〉 = 〈 g ⋅ ϕ q ， g ⋅ v q 〉 = 〈 ϕ q ， v q 〉 = 〈 φ ¯ 0 ( ϕ q ) ， T q π J ( v q ) 〉 ，所以对于 任意 g ∈ G m 及任意 ϕ q ∈ ( J ∗ ) − 1 ( ξ ∗ ) ，有 φ ¯ 0 ( g ⋅ ϕ q ) = φ ¯ 0 ( ϕ q ) 。 下面说明 φ ¯ 0 是满射。如果 Γ [ q ] ∈ T [ q ] ∗ ( J − 1 ( m ) / G m ) ，其中 [ q ] : = π J ( q ) 。我们定义 ϕ q ∈ ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) 使得 〈 ϕ q ， v q 〉 : = 〈 Γ [ q ] ， T q π J ( v q ) 〉 ，那么 φ ¯ 0 ( ϕ q ) = Γ [ q ] 。 从而 φ ¯ 0 诱导 C ∞ 满射 φ 0 : ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) / G m → J − 1 ( m ) / G m ，满足 φ 0 ∘ π 0 = φ ¯ 0 (其中 π 0 : ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) → ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) / G m )。 下面说明 φ 0 是单射。取 ϕ q ， ϕ ′ q ∈ ( J ∗ ) − 1 ( ξ ∗ ) 满足 φ ¯ 0 ( ϕ q ) = φ 0 ( π 0 ( ϕ q ) ) = φ 0 ( π 0 ( ϕ ′ q ) ) = φ ¯ 0 ( ϕ ′ q ) 。从而有 g ∈ G m 使得 q ′ = g ⋅ q 。因为 J ∗ ( g ⋅ ϕ q ) = A d g − 1 ∗ J ∗ ( ϕ q ) = 0 可知 g ⋅ α q ， α q ′ ∈ ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) ∩ T q ′ ∗ N 。由于 φ 0 是 G m - 不变的，则 φ ¯ 0 ( g ⋅ ϕ q ) = φ ¯ 0 ( ϕ q ′ ) ，即对于任意 v q ′ ∈ T q ′ N 有 〈 g ⋅ ϕ q ， v q ′ 〉 = 〈 ϕ q ′ ， v q ′ 〉 。因此 ϕ q ′ = g ⋅ ϕ q ，从而 π 0 ( ϕ q ′ ) = π 0 ( ϕ q ) 。 下面说明 φ 0 是辛映射。令 θ c a n 为 T ∗ ( J − 1 ( m ) / G m ) 的典范1-形式， Θ c a n 为 T ∗ J − 1 ( m ) 的典范1-形式， i 0 : ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) → T ∗ J − 1 ( m ) 为包含映射， π 0 : ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) → ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) / G m 为商投影。 π J − 1 ( m ) / G m : T ∗ ( J − 1 ( m ) / G m ) → J − 1 ( m ) / G m 为余切丛投影，显然有 π J − 1 ( m ) / G m ∘ φ ¯ 0 = π J ∘ π J − 1 ( m ) ∘ i 0 。取 ϕ q ∈ ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) ， v ∈ T ϕ q ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) ，则 〈 ( π 0 ∗ φ 0 ∗ θ c a n ) ( ϕ q ) ， v 〉 = 〈 ( φ ¯ 0 ∗ θ c a n ) ϕ q ， v 〉 = 〈 θ c a n ( φ ¯ 0 ( ϕ q ) ) ， T ϕ q φ ¯ 0 ( v ) 〉 = 〈 φ ¯ 0 ( ϕ q ) ， T φ ¯ 0 ( ϕ q ) π ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) ( T ϕ q φ ¯ 0 ( v ) ) 〉 = 〈 φ ¯ 0 ( ϕ q ) ， T ϕ q ( π ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) ∘ φ ¯ 0 ) ( v ) 〉 = 〈 φ ¯ 0 ( ϕ q ) ， T ϕ q ( π J ∘ π J − 1 ( m ) ∘ i 0 ) ( v ) 〉 = 〈 φ ¯ 0 ( ϕ q ) ， T q π J ( T ϕ q π J − 1 ( m ) ( v ) ) 〉 = 〈 ϕ q ， T ϕ q π J − 1 ( m ) ( v ) 〉 = 〈 i 0 ∗ Θ ( ϕ q ) ， v 〉 故 π 0 ∗ φ 0 ∗ θ c a n = i 0 ∗ Θ c a n 。因此 π 0 ∗ φ 0 ∗ w c a n = i 0 ∗ Ω c a n ，其中 w c a n ， Ω c a n 分别为 T ∗ ( J − 1 ( m ) / G m ) ， T ∗ ( J − 1 ( m ) ) 的典范辛形式。由辛约化定理可知， φ 0 ∗ w c a n = Ω 0 ，其中 Ω 0 为 ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) / G m 的约化辛形式。 因此 φ 0 : ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) / G m → T ∗ ( J − 1 ( m ) / G m ) 为光滑辛双射。因为辛映射为浸入映射，故 φ 0 为浸入映射。由维数比较有 dim ( J ∗ ) − 1 ( 0 m ) / G m = 2 dim J − 1 ( m ) − 2 dim G m = dim T ∗ ( J − 1 ( m ) / G m ) ， 故 φ 0 为局部微分同胚映射。又由于 φ 0 为双射，从而 φ 0 为微分同胚映射。