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user: 3. 主要结果及证明 如同几乎必然收敛的判定一样，在完全收敛的判定中引入单调递减趋于0的实数数列，得到下面的定理。 定理3.1 对随机变量序列 X 1 ， X 2 ， ⋯ 及随机变量X，有 X n → c .c . X 与下式等价 ∃ ε n ↓ 0 ，   s .t .   ∑ n = 1 ∞ P ( | X n − X | > ε n ) < ∞ (14) 证“⟸”：因为存在使(14)式成立的数列 { ε n } ， ε n ↓ 0 ，所以对任意 ε > 0 ，必存在N，当 n > N 时， ε n < ε 。由此得当 n > N 时， P ( | X n − X | > ε ) ≤ P ( | X n − X | > ε n ) ，有 ∑ n = 1 ∞ P ( | X n − X | > ε ) ≤ ∑ n = 1 N P ( | X n − X | > ε ) + ∑ n = N + 1 ∞ P ( | X n − X | > ε n ) ≤ ∑ n = 1 N P ( | X n − X | > ε ) + ∑ n = 1 ∞ P ( | X n − X | > ε n ) < ∞ 得 X n → c .c . X 。 “⟹”：若 X n → c .c . X ，取实数序列 { η n } ， η n ↓ 0 ，则对 η 1 > 0 ，有 M 1 = ∑ n = 1 ∞ P ( | X n − X | > η 1 ) < ∞ 又因为 ∑ n = 1 ∞ P ( | X n − X | > η 2 ) < ∞ 所以存在正整数 N 1 ，使得 ∑ n = N 1 + 1 ∞ P ( | X n − X | > η 2 ) < 1 2 2 所以有 ∑ n = 1 N 1 P ( | X n − X | > η 1 ) + ∑ n = N 1 + 1 ∞ P ( | X n − X | > η 2 ) < M 1 + 1 2 2 同理，对 η k > 0 ，存在正整数 N k − 1 ，使得 ∑ n = N k − 1 + 1 ∞ P ( | X n − X | > η k ) < 1 k 2 对 η k + 1 > 0 ，存在正整数 N k ，且满足 N k − 1 + 1 ≤ N k ，使得 ∑ n = N k + 1 ∞ P ( | X n − X | > η k + 1 ) < 1 ( k + 1 ) 2 所以 ∑ n = N k − 1 + 1 N k P ( | X n − X | > η k ) ≤ ∑ n = N k − 1 + 1 ∞ P ( | X n − X | > η k ) < 1 k 2 令 N 0 = 0 ，有 ∑ k = 1 ∞ ∑ n = N k − 1 + 1 N k P ( | X n − X | > η k ) < M 1 + ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 < ∞ 对每个 k ≥ 1 ，当 N k − 1 + 1 ≤ n ≤ N k 时，取这些 ε n = η k 。由此得 ε n ↓ 0 ，而且满足 ∑ n = 1 ∞ P ( | X n − X | > ε n ) = ∑ k = 1 ∞ ∑ n = N k − 1 + 1 N k P ( | X n − X | > η k ) < M 1 + ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 < ∞ 。 □ 由Borel-Cantelli引理知 X n → c .c . X ⇒ X n → a .s . X ，但 X n → a .s . X ⇒ X n → c .c . X ，如下例。 例3.1 设 ξ ， ξ 1 ， ξ 2 ， ⋯ 是独立同分布的随机变量序列， ξ 服从双边Pareto分布，其密度函数为 f ( x ) = { | x | − 3 ，     当 | x | > 1 0 ，               其 它 则 E | ξ | = 2 < ∞ ， E ( ξ ) = 0 ， E ( ξ 2 ) = ∞ 。令 X n = ξ 1 + ξ 2 ⋯ + ξ n n ，由Kolmogorov强大数定律( [ 1 ] ， p. 295)， X n → a .s . 0 ⇔ E | ξ | < ∞ 且 E ( ξ ) = 0 ；由Hsu-Robbins-Erdos强大数定律( [ 1 ] ，p312)， X n → c .c . 0 ⇔ E ( ξ 2 ) < ∞ 且 E ( ξ ) = 0 。由此知 X n → a .s . 0 ，但 不成立。 由(5)式知 X n → a .s . X ⇒ X n → p X ，但 X n → p X ⇒ X n → a .s . X ，如下面的例子。 例3.2 令随机变量 X n 的分布为 P ( X n = 0 ) = 1 − 1 n ， P ( X n = 1 ) = 1 n ，则对 0 < ε < 1 ，有 P ( | X n − 0 | > ε ) = P ( X n = 1 ) = 1 n → 0 当 n → ∞ ，得 X n → p 0 。然而当随机变量序列 X 1 ， X 2 ， ⋯ 相互独立时，对任意 0 < ε < 1 ， ∑ n = 1 ∞ P ( | X n − 0 | > ε ) = ∑ n = 1 ∞ P ( X n = 1 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = ∞ 由Borel-Cantelli引理知 X n → a .s . 0 不成立。 下面的命题3.2和3.3是两个很强的条件。 命题3.2 设有随机变量序列 X 1 ， X 2 ， ⋯ 及随机变量X，若 ∃ ε k ↓ 0 ，   s .t .   P ( | X n − X | > ε k ) = 0 ，     for   all   ε k (15) 则 。简记为 X n = a .s . X ，   ∀ n 。 证 因 P ( X n ≠ X ) = P ( | X n − X | ≠ 0 ) = P ( ∪ k = 1 ∞ { | X n − X | > ε k } ) ≤ ∑ k = 1 ∞ P ( | X n − X | > ε k ) = 0 所以 P ( X n = X ) = 1 − P ( X n ≠ X ) = 1 − 0 = 1 . □ 易知(15)式⟺ X n = a .s . X ，   ∀ n ，因从右推出左是显然的。 若对任意n，下式成立 ∃ ε n ↓ 0 ，   s .t .   P ( | X n − X | > ε n ) = 0 (16) 则容易知道(16)式比(15)式给的条件稍弱，因 k ≥ n 时， ε k ≤ ε n ，所以(15)式⟹(16)式。然而(16)式⇏(15)式，如下面的例3.3。 例3.3 令随机变量 X n 的分布为 P ( X n = 0 ) = 1 − 1 n ， P ( X n = 1 n ) = 1 n 。令 ，正实数序列 ε 1 ， ε 2 ， ⋯ 取为 ε n = 2 n ，则有(16)式成立。但对任意的正实数序列 ε ′ 1 ， ε ′ 2 ， ⋯ 单调递减以0为极限，知当 ε ′ k ≥ 1 n 时， P ( | X n − 0 | > ε ′ k ) = 0 ；当 ε ′ k < 1 n 时， P ( | X n − 0 | > ε ′ k ) = P ( X n = 1 n ) = 1 n > 0 。对任意给定n必有某些 ε ′ k < 1 n ，所以(15)式不成立。 上面直接由 X n 的分布容易得到 X n → a .s . 0 ，因对样本空间中任意 ω ，有 lim n → ∞ X n ( ω ) = 0 ，所以 P ( lim n → ∞ X n ( ω ) = 0 ) = 1 。 下面命题说明(16)式比完全收敛的条件更强。 命题3.3 设有随机变量序列 X 1 ， X 2 ， ⋯ 及随机变量X，若(16)式成立，则(3)式成立。 证 因存在使(16)式成立的数列 { ε n } ， ，所以对任意 ε > 0 ，必存在N，当 n > N 时， ε n < ε ，由此得到 ∑ n = 1 ∞ P ( | X n − X | > ε ) ≤ ∑ n = 1 N P ( | X n − X | > ε ) + ∑ n = N + 1 ∞ P ( | X n − X | > ε n ) = ∑ n = 1 N P ( | X n − X | > ε ) + 0 < ∞ 得(3)式成立。 □ 由命题3.3知，(16)式成立可得(3)式成立，从而 X n → a .s . X 。不过也很容易地由(16)式直接得到 X n → a .s . X 。因对任意 ε > 0 ，存在N，使得当 m > N 时， ε m < ε ，所以当 n > N 时 P ( ∪ m = n ∞ { | X m − X | > ε } ) ≤ ∑ m = n ∞ P ( | X m − X | > ε ) ≤ ∑ m = n ∞ P ( | X m − X | > ε m ) = 0 从而 lim n → ∞ P ( ∪ m = n ∞ { | X m − X | > ε } ) = 0 得(5)式成立，所以有 X n → a .s . X 。 由命题3.3知，(16)式⟹(3)式，但(3)式⇏(16)式，如下面的例3.4。 例3.4 设有随机变量序列 X 1 ， X 2 ， ⋯ ，其中 X n 的分布律为 P ( X n = 0 ) = 1 − 1 n 2 ，     P ( X n = 1 ) = 1 n 2 则对任意 0 < ε < 1 ，有 ∑ n = 1 ∞ P ( | X n − 0 | > ε ) = ∑ n = 1 ∞ P ( X n = 1 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 < ∞ 所以(3)式成立。然而对任意的正实数序列 ε 1 ， ε 2 ， ⋯ 单调递减以0为极限，存在N，当 n > N 时， ε n < 1 。所以当 n > N 时， P ( | X n − 0 | > ε n ) = P ( X n = 1 ) = 1 n 2 > 0 。由此得(16)式不成立。 由以上命题，有如下结论 X n = a .s . X ⟺(15)⇒(16)⇒(14)⟺ X n → c .c X ⇒ X n → a .s . X ⟺(12)⇒ X n → p X 而且举例说明了上面蕴含关系的相反方向不成立。