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user: 2. 预备知识 先给出文章要提到的记号： C N 表示N维复欧几里德空间。 I 表示 r × r 阶单位矩阵， O 表示 r × r 阶零矩阵， T 表示向量或矩阵的转置，向量值函数信号空间 L 2 ( R ， C N ) ≜ L 2 可以表示为 L 2 ( R ， C N ) ≜ { F ( t ) = ( f 1 ( t ) ， f 2 ( t ) ， ⋯ ， f N ( t ) ) T : t ∈ R ， f k ( t ) ∈ L 2 ( R ) ， k = 1，2， ⋯ ， N } ，(根据文献 [ 4 ] )对于 F ( t ) ∈ L 2 ( R ， C N ) 它的积分和Fourier变换分别定义为 ∫ R     F ( t ) d t ≜ [ ∫ R     f 1 ( t ) d t ， ∫ R     f 2 ( t ) d t ， ⋯ ， ∫ R     f N ( t ) d t ] T 和 F ( ω ) ≜ [ ∫ R     f 1 ( t ) e − i ω t d t ， ∫ R     f 2 ( t ) e − i ω t d t ， ⋯ ， ∫ R     f N ( t ) e − i ω t d t ] T 若F和G都是一元函数空间，它们两个的基底分别为 { f k ( x ) } k ∈ Z 和 { g k ( x ) } k ∈ Z ，二元函数空间H表示为 H = F ⊗ G 是F和G的张量积空间，H的基底可以表示为 { f k ( x ) g k ( x ) } k ∈ Z 。 定义 { V j } 的张量积空间为 V j 2 = V j ⊗ V j = { f k ( x ) g k ( x ) } f ( x ) ， g ( x ) ∈ V j ，而 { V j } 表示为由一元尺度函数 φ 生成的一个正交多分辨分析。那么关于二元函数 f ( x ， y ) ∈ L 2 ( R 2 ) ，引入记号 φ ( x ， y ) = φ ( x ) φ ( y ) 。 二维四向加细尺度函数 基于双向尺度函数的概念，现在假设有 r + 1 个双向尺度函数 φ 1 ( x ) ， φ 2 ( x ) ， ⋯ ， φ r ( x ) ， φ ( y ) ∈ L 2 ( R ) ，记 Φ ( x ) = [ φ 1 ( x ) ， φ 2 ( x ) ， ⋯ ， φ r ( x ) ] T ，那么通过 Φ ( x ) 和 φ ( y ) 的张量积来构造二维四向多尺度函数。假设双向加细函数 φ i ( x ) 和 φ ( y ) 都符合细分方程 φ i ( x ) = ∑ k     P 1， k + φ i ( a x − k ) + ∑ k     P 1， k − φ i ( k − a x ) ，   i = 1， ⋯ ， r φ ( y ) = ∑ k     P 2， k + φ ( a y − k ) + ∑ k     P 2， k − φ ( k − a y ) 设 Φ ( x ， y ) = φ i ( x ) φ ( y ) ，就能得出 Φ ( x ， y ) = { ∑ k     P 1， k + φ i ( a x − k ) + ∑ k     P 1， k − φ i ( k − a x ) } ⊗ { ∑ l     P 2， l + φ ( a y − l ) + ∑ l     P 2， l − φ ( l − a y ) } = ∑ k ， l     P 1， k + P 2， l + φ i ( a x − k ) φ ( a y − l ) + ∑ k ， l     P 1， k + P 2， l − φ i ( a x − k ) φ ( l − a y )     + ∑ k ， l     P 1， k − P 2， l + φ i ( k − a x ) φ ( a y − l ) + ∑ k ， l     P 1， k − P 2， l − φ i ( k − a x ) φ ( l − a y ) = ∑ k ， l     P 1， k + P 2， l + φ ( a x − k ， a y − l ) + ∑ k ， l     P 1， k + P 2， l − φ ( a x − k ， l − a y )     + ∑ k ， l     P 1， k − P 2， l + φ ( k − a x ， a y − l ) + ∑ k ， l     P 1， k − P 2， l − φ ( k − a x ， l − a y ) . 从而根据适合的 { P l ， k + ， + } ， { P l ， k + ， − } ， { P l ， k − ， + } ， { P l ， k − ， − } ，就有 Φ ( x ， y ) = ∑ k ， l     P l ， k + ， + φ ( a x − k ， a y − l ) + ∑ k ， l     P l ， k + ， − φ ( a x − k ， l − a y )       + ∑ k ， l     P l ， k − ， + φ ( k − a x ， a y − l ) + ∑ k ， l     P l ， k − ， − φ ( k − a x ， l − a y ) . 令 Φ ( x ， y ) = Φ ( x ) ⋅ φ ( y ) ，则 Φ ( x ， y ) = [ Φ 1 ( x ， y ) ， Φ 2 ( x ， y ) ， ⋯ ， Φ r ( x ， y ) ] T 那么就可以有a尺度多小波细分方程 Φ ( x ， y ) = ∑ k ， l     P l ， k + ， + Φ ( a x − k ， a y − l ) + ∑ k ， l     P l ， k + ， − Φ ( a x − k ， l − a y )     + ∑ k ， l     P l ， k − ， + Φ ( k − a x ， a y − l ) + ∑ k ， l     P l ， k − ， − Φ ( k − a x ， l − a y ) . (1) 接下来对(1)式进行Fourier变换就可以有 Φ ^ ( ω 1 ， ω 2 ) = P + ， + ( ω 1 a ， ω 2 a ) Φ ^ ( ω 1 a ， ω 2 a ) + P + ， − ( ω 1 a ， ω 2 a ) Φ ^ ( ω 1 a ， − ω 2 a )     + P − ， + ( ω 1 a ， ω 2 a ) Φ ^ ( − ω 1 a ， ω 2 a ) + P − ， − ( ω 1 a ， ω 2 a ) Φ ^ ( − ω 1 a ， − ω 2 a ) ， (2) 其中 P + ， + ( ω 1 a ， ω 2 a ) = 1 a 2 ∑ k ， l     P k ， l + ， + e − i ( ω 1 k a + ω 2 l a ) ， P + ， − ( ω 1 a ， ω 2 a ) = 1 a 2 ∑ k ， l     P k ， l + ， − e − i ( ω 1 k a + ω 2 l a ) ， P − ， + ( ω 1 a ， ω 2 a ) = 1 a 2 ∑ k ， l     P k ， l − ， + e − i ( ω 1 k a + ω 2 l a ) ， P − ， − ( ω 1 a ， ω 2 a ) = 1 a 2 ∑ k ， l     P k ， l − ， − e − i ( ω 1 k a + ω 2 l a ) ， 令 P k ， l − ， + = [ P 1， k ， l − ， + P r ， k ， l − ， + 0 P r 2 ， k ， l − ， + ] ， P k ， l − ， − = [ P 1， k ， l − ， − P r ， k ， l − ， − 0 P r 2 ， k ， l − ， − ] ， 为双正，正负和双负矩阵符号。下面对(1)进行变形有 Φ ( x ， − y ) = ∑ k ， l     P l ， k + ， + Φ ( x ) ( a x − k ， − a y − l ) + ∑ k ， l     P l ， k + ， − Φ ( x ) ( a x − k ， l + a y )     + ∑ k ， l     P l ， k − ， + Φ ( x ) ( k − a x ， − a y − l ) + ∑ k ， l     P l ， k − ， − Φ ( x ) ( k − a x ， l + a y ) . (3) Φ ( − x ， y ) = ∑ k ， l     P l ， k + ， + Φ ( x ) ( − a x − k ， a y − l ) + ∑ k ， l     P l ， k + ， − Φ ( x ) ( − a x − k ， l − a y )     + ∑ k ， l     P l ， k − ， + Φ ( x ) ( a x + k ， a y − l ) + ∑ k ， l     P l ， k − ， − Φ ( x ) ( a x + k ， l − a y ) . (4) Φ ( − x ， − y ) = ∑ k ， l     P l ， k + ， + Φ ( x ) ( − a x − k ， − a y − l ) + ∑ k ， l     P l ， k + ， − Φ ( x ) ( − a x − k ， l + a y )     + ∑ k ， l     P l ， k − ， + Φ ( x ) ( a x + k ， − a y − l ) + ∑ k ， l     P l ， k − ， − Φ ( x ) ( a x + k ， l + a y ) . (5) 下面对(3)~(5)式都进行Fourier变换就有 Φ ^ ( ω 1 ， − ω 2 ) = P + ， + ( ω 1 a ， − ω 2 a ) Φ ^ ( ω 1 a ， − ω 2 a ) + P + ， − ( ω 1 a ， − ω 2 a ) Φ ^ ( ω 1 a ， ω 2 a )     + P − ， + ( ω 1 a ， − ω 2 a ) Φ ^ ( − ω 1 a ， − ω 2 a ) + P − ， − ( ω 1 a ， − ω 2 a ) Φ ^ ( − ω 1 a ， ω 2 a ) ， (6) Φ ^ ( − ω 1 ， ω 2 ) = P + ， + ( − ω 1 a ， ω 2 a ) Φ ^ ( − ω 1 a ， ω 2 a ) + P + ， − ( − ω 1 a ， ω 2 a ) Φ ^ ( − ω 1 a ， − ω 2 a )     + P − ， + ( − ω 1 a ， ω 2 a ) Φ ^ ( ω 1 a ， ω 2 a ) + P − ， − ( − ω 1 a ， ω 2 a ) Φ ^ ( ω 1 a ， − ω 2 a ) ， (7) Φ ^ ( − ω 1 ， − ω 2 ) = P + ， + ( − ω 1 a ， − ω 2 a ) Φ ^ ( − ω 1 a ， − ω 2 a ) + P + ， − ( − ω 1 a ， − ω 2 a ) Φ ^ ( − ω 1 a ， ω 2 a )     + P − ， + ( − ω 1 a ， − ω 2 a ) Φ ^ ( ω 1 a ， − ω 2 a ) + P − ， − ( − ω 1 a ， − ω 2 a ) Φ ^ ( ω 1 a ， ω 2 a ) ， (8) 根据(2)(6)~(8)式可以有，令 Γ ( x ， y ) = [ Φ ( x ， y ) ， Φ ( x ， − y ) ， Φ ( − x ， y ) ， Φ ( − x ， − y ) ] T ， Γ ^ ( ω 1 ， ω 2 ) = [ P + ， + ( ω 1 a ， ω 2 a ) P + ， − ( ω 1 a ， ω 2 a ) P − ， + ( ω 1 a ， ω 2 a ) P − ， − ( ω 1 a ， ω 2 a ) P + ， − ( ω 1 a ， − ω 2 a ) P + ， + ( ω 1 a ， − ω 2 a ) P − ， − ( ω 1 a ， − ω 2 a ) P − ， + ( ω 1 a ， − ω 2 a ) P − ， + ( − ω 1 a ， ω 2 a ) P − ， − ( − ω 1 a ， ω 2 a ) P + ， + ( − ω 1 a ， ω 2 a ) P + ， − ( − ω 1 a ， ω 2 a ) P − ， − ( − ω 1 a ， − ω 2 a ) P − ， + ( − ω 1 a ， − ω 2 a ) P + ， − ( − ω 1 a ， − ω 2 a ) P + ， + ( − ω 1 a ， − ω 2 a ) ] Γ ^ ( ω 1 a ， ω 2 a ) ， (9) 方程(2)有解，当且仅当式(9)有解。 设 Γ ( x ， y ) = ∑ k ， l [ P k ， l + ， + P k ， l + ， − P k ， l − ， + P k ， l − ， − P k ， − l + ， − P k ， − l + ， + P k ， − l − ， − P k ， − l − ， + P − k ， l − ， + P − k ， l − ， − P − k ， l + ， + P − k ， l + ， − P − k ， − l − ， − P − k ， − l − ， + P − k ， − l + ， − P − k ， − l + ， + ] Γ ( a x − k ， a y − l ) ， (10) 则(9)式为 Γ ( x ， y ) 在频域里的a尺度加密方程，它的加细面具符号为 P ( ω 1 ， ω 2 ) = [ P + ， + ( ω 1 a ， ω 2 a ) P + ， − ( ω 1 a ， ω 2 a ) P − ， + ( ω 1 a ， ω 2 a ) P − ， − ( ω 1 a ， ω 2 a ) P + ， − ( ω 1 a ， − ω 2 a ) P + ， + ( ω 1 a ， − ω 2 a ) P − ， − ( ω 1 a ， − ω 2 a ) P − ， + ( ω 1 a ， − ω 2 a ) P − ， + ( − ω 1 a ， ω 2 a ) P − ， − ( − ω 1 a ， ω 2 a ) P + ， + ( − ω 1 a ， ω 2 a ) P + ， − ( − ω 1 a ， ω 2 a ) P − ， − ( − ω 1 a ， ​ − ω 2 a ) P − ， + ( − ω 1 a ， ​ − ω 2 a ) P + ， − ( − ω 1 a ， ​ − ω 2 a ) P + ， + ( − ω 1 a ， ​ − ω 2 a ) ] (11) 定义方程(1)的自相关矩阵符号 Ω ( x ， y ) = ∑ k ， l [ Ω 11 Ω 12 Ω 13 Ω 14 Ω 21 Ω 22 Ω 23 Ω 24 Ω 31 Ω 32 Ω 33 Ω 34 Ω 41 Ω 42 Ω 43 Ω 44 ] e − i ( ω 1 k a + ω 2 l a ) ， 其中 Ω 11 = 〈 Φ ( x ， y ) ， Φ ( x − k ， y − l ) 〉 ; Ω 12 = 〈 Φ ( x ， y ) ， Φ ( x − k ， l − y ) 〉 ; Ω 13 = 〈 Φ ( x ， y ) ， Φ ( k − x ， y − l ) 〉 ; Ω 14 = 〈 Φ ( x ， y ) ， Φ ( k − x ， l − y ) 〉 ; Ω 21 = 〈 Φ ( x ， − y ) ， Φ ( x − k ， y − l ) 〉 ; Ω 22 = 〈 Φ ( x ， − y ) ， Φ ( x − k ， l − y ) 〉 ; Ω 23 = 〈 Φ ( x ， − y ) ， Φ ( k − x ， y − l ) 〉 ; Ω 24 = 〈 Φ ( x ， − y ) ， Φ ( k − x ， l − y ) 〉 ; Ω 31 = 〈 Φ ( − x ， y ) ， Φ ( x − k ， y − l ) 〉 ; Ω 32 = 〈 Φ ( − x ， y ) ， Φ ( x − k ， l − y ) 〉 ; Ω 33 = 〈 Φ ( − x ， y ) ， Φ ( k − x ， y − l ) 〉 ; Ω 34 = 〈 Φ ( − x ， y ) ， Φ ( k − x ， l − y ) 〉 ; Ω 41 = 〈 Φ ( − x ， − y ) ， Φ ( x − k ， y − l ) 〉 ; Ω 42 = 〈 Φ ( − x ， − y ) ， Φ ( x − k ， l − y ) 〉 ; Ω 43 = 〈 Φ ( − x ， − y ) ， Φ ( k − x ， y − l ) 〉 ; Ω 44 = 〈 Φ ( − x ， − y ) ， Φ ( k − x ， l − y ) 〉 . 下面引入变换算子 τ ： τ A ( ( ω 1 ) a ， ( ω 2 ) a ) = ∑ k ， l = 0 a − 1 P ( ω 1 + 2 k π a ， ω 2 + 2 l π a ) A ( ω 1 + 2 k π a ， ω 2 + 2 l π a ) P * ( ω 1 + 2 k π a ， ω 2 + 2 l π a ) ， (12) 其中 A ( ( ω 1 ) a ， ( ω 2 ) a ) 是 P ( ω 1 ， ω 2 ) 的Laurent多项式， P ( ω 1 ， ω 2 ) 由(12)式可知。 关于 Ω ( ω 1 ， ω 2 ) 和 τ 可以有下面的引理。 引理1：矩阵符号 Ω ( ω 1 ， ω 2 ) 和变换算子 τ 的定义如上，那么由Poisson求和公式可得 Ω ( ω 1 ， ω 2 ) = ∑ k ， l [ Φ ( ω 1 + 2 k π a ， ω 2 + 2 l π a ) Φ ( ω 1 + 2 k π a ， − ω 2 − 2 l π a ) Φ ( − ω 1 − 2 k π a ， ω 2 + 2 l π a ) Φ ( − ω 1 − 2 k π a ， − ω 2 − 2 l π a ) ] [ Φ ( ω 1 + 2 k π a ， ω 2 + 2 l π a ) Φ ( ω 1 + 2 k π a ， − ω 2 − 2 l π a ) Φ ( − ω 1 − 2 k π a ， ω 2 + 2 l π a ) Φ ( − ω 1 − 2 k π a ， − ω 2 − 2 l π a ) ] T 进一步，我们可以得出 Ω ( ω 1 ， ω 2 ) 是 τ 相应于特征值为1的特征矩阵。 定理1：加细方程(1)有紧支撑解当且仅当它的面具符号满足下面情况之一 1) ( ∑ k ， l ( P k ， l + ， + + P k ， l + ， − + P k ， l − ， + + P k ， l − ， − ) = a 2 I ， | ∑ k ， l ( P k ， l + ， + − P k ， l + ， − − P k ， l − ， + + P k ， l − ， − ) | ≤ a 2 ， | ∑ k ， l ( P k ， l + ， + + P k ， l + ， − − P k ， l − ， + − P k ， l − ， − ) | ≤ a 2 ， | ∑ k ， l ( P k ， l + ， + − P k ， l + ， − + P k ， l − ， + − P k ， l − ， − ) | ≤ a 2 ; 2) ( | ∑ k ， l ( P k ， l + ， + + P k ， l + ， − + P k ， l − ， + + P k ， l − ， − ) | ≤ a 2 ， ∑ k ， l ( P k ， l + ， + − P k ， l + ， − − P k ， l − ， + + P k ， l − ， − ) = a 2 I ， | ∑ k ， l ( P k ， l + ， + + P k ， l + ， − − P k ， l − ， + − P k ， l − ， − ) | ≤ a 2 ， | ∑ k ， l ( P k ， l + ， + − P k ， l + ， − + P k ， l − ， + − P k ， l − ， − ) | ≤ a 2 ; 3) ( | ∑ k ， l ( P k ， l + ， + + P k ， l + ， − + P k ， l − ， + + P k ， l − ， − ) | ≤ a 2 ， | ∑ k ， l ( P k ， l + ， + − P k ， l + ， − − P k ， l − ， + + P k ， l − ， − ) | ≤ a 2 ， ∑ k ， l ( P k ， l + ， + + P k ， l + ， − − P k ， l − ， + − P k ， l − ， − ) = a 2 I ， | ∑ k ， l ( P k ， l + ， + − P k ， l + ， − + P k ， l − ， + − P k ， l − ， − ) | ≤ a 2 ; 4) ( | ∑ k ， l ( P k ， l + ， + + P k ， l + ， − + P k ， l − ， + + P k ， l − ， − ) | ≤ a 2 ， | ∑ k ， l ( P k ， l + ， + − P k ， l + ， − − P k ， l − ， + + P k ， l − ， − ) | ≤ a 2 ， | ∑ k ， l ( P k ， l + ， + + P k ， l + ， − − P k ， l − ， + − P k ， l − ， − ) | ≤ a 2 ， ∑ k ， l ( P k ， l + ， + − P k ， l + ， − + P k ， l − ， + − P k ， l − ， − ) = a 2 I ; 证明：根据文献 [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]，方程(10)存在紧支撑分布解当且仅当1是(11)式定义矩阵 P ( 1，1 ) 的一个特征值， P ( 1，1 ) 的其他特征值的模都不大于1。另外， P ( 1，1 ) 的4个特征值分别是 ， 1 a 2 ∑ k ， l ( P k ， l + ， + − P k ， l + ， − − P k ， l − ， + + P k ， l − ， − ) ， 1 a 2 ∑ k ， l ( P k ， l + ， + + P k ， l + ， − − P k ， l − ， + − P k ， l − ， − ) 以及 1 a 2 ∑ k ， l ( P k ， l + ， + − P k ， l + ， − + P k ， l − ， + − P k ， l − ， − ) 。定理易证。 定理2：若要 Φ ( x ， y ) 有紧支撑性，则要证明每个分量是紧支撑的。设 Φ ( x ) = [ φ 1 ( x ) ， φ 2 ( x ) ， ⋯ ， φ r ( x ) ] T ，其中 φ i ( x ) 和 φ ( y ) 是双向细分函数满足 φ i ( x ) = ∑ k = 0 N 1     P k + φ i ( a x − k ) + ∑ k = − N 1 0 P k − φ i ( k − a x ) φ ( y ) = ∑ k = 0 N 2     p k + φ ( a y − k ) + ∑ k = − N 2 0     p k − φ ( k − a y ) 如果 Φ ( x ) 和 φ ( y ) 是紧支撑的，那么可根据 Φ ( x ) 和 φ ( y ) 的张量积生成二维四向加细函数 S u p p   Φ ( x ) ⊆ [ − N 1 a − 1 ， N 1 a − 1 ] ， S u p p   φ ( y ) ⊆ [ − N 2 a − 1 ， N 2 a − 1 ] ，则有 S u p p   Φ ( x ， y ) = Φ ( x ) ⋅ φ ( y ) ⊆ [ − N 1 a − 1 ， N 1 a − 1 ] × [ − N 2 a − 1 ， N 2 a − 1 ] 证明：根据文献 [ 9 ] 中定理4可知。