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user: 2. 数量曲率，Ricci曲率及曲率算子的估计 梯度Ricci孤立子为Hamilton-Ricci流的自相似解且对应于奇异模型，因而对于研究Ricci流至关重要。由Hamilton及Perelman的证明可知，任意紧致的Ricci孤立子必为梯度孤立子且任意紧致的稳定或扩张Ricci孤立子必为爱因斯坦的。因此，梯度Ricci孤立子对于研究流形的几何性质也非常重要，本文我们将重点研究梯度Ricci孤立子的几何量。在研究微分流形及Ricci孤立子的几何性质时，自然会想到研究极其重要的几何不变量：曲率及势函数的估计。 梯度Ricci孤立子的曲率对于理解并最终对Ricci孤立子进行分类十分重要。Ricci孤立子的很多分类都是在控制曲率条件下进行的，而且Ricci曲率控制曲率张量，曲率算子也是高维孤立子的分类最有利工具之一，逐点的曲率影响着整体的微分结构。因此我们将分别研究Ricci孤立子的数量曲率、Ricci曲率及曲率算子的估计。 数量曲率作为Ricci曲率的迹是最简单的曲率之一，也是最简单的几何不变量之一。若能得到较好的数量条件将极大简化关于孤立子的研究，首先我们将给出数量曲率的估计结果。数量曲率在无穷远处消失这一特点对于研究奇数维梯度孤立子极为重要。 定理2.1 (Chu [ 8 ] )：设 ( M 3 ， g i j ， f ) 为具有正截面曲率的梯度Ricci孤立子，且其数量曲率在原点 O 处能达到最大值，则数量曲率在无穷远处趋于0。 定理2.2 (Chen [ 9 ] )：令 g i j ( t ) 为非紧致流形上Ricci流的完备古典解，则 g i j ( t ) 的数量曲率对任意 t 均非负。 同时，他证明了完备收缩Ricci孤立子有非负数量曲率 R ≥ 0 。作为对 [ 9 ] 中推论2.3的推广，Zhang [ 10 ] 也有一些关于Ricci流及其解的数量曲率的下界估计： 推论2.3：设 ( M n ， g ( t ) ) ， t ∈ [ α ， β ] 为Ricci流的一个完备解，则在 M × [ α ， β ] 上有： R ≥ − n 2 ( t − α ) . 通过对时间 t 做推广，设 ( M n ， g ( t ) ) ， t ∈ [ − ∞ ， 0 ] 为Ricci流的一个完备解，则在 M × [ − ∞ ， 0 ] 上有： R ≥ 0 。 梯度收缩Ricci孤立子曲率满足一定条件时数量曲率也可以为常数，Naber [ 11 ] 证明了满足 0 ≤ R i c ≤ ρ g 的梯度收缩Ricci孤立子数量曲率为常数。在此基础上，Petersen-Wylie [ 12 ] 证明了具有非负(或非正) Ricci曲率的梯度Ricci孤立子有常数量曲率当且仅当 R i c ( ∇ f ， ∇ f ) = 0 。 推论2.4 (Löpez-Río [ 13 ] )：令 ( M n ， g i j ， f ) 为一个 n 维完备梯度收缩Ricci孤立子，则： 1) ( M n ， g i j ) 有常数量曲率当且仅当 2 | R i c | 2 ≤ R + c | ∇ R | 2 R + 1 ，常数 c ≥ 0 。 2) ( M n ， g i j ) 等距于 R n 当且仅当 2 | R i c | 2 ≤ ( 1 − ε ) R + c | ∇ R | 2 R + 1 ，常数 c ≥ 0 且 ε > 0 。 定理2.5 ( [ 9 ] )：令为一个完备非紧致的梯度Ricci孤立子，则： 1) 若梯度孤立子为稳定或收缩的，则 R ≥ 0 。 2) 若该梯度孤立子为扩张的，则存在仅取决于维数的正常数 C ( n ) 使得 R ≥ − C ( n ) ρ 。 同理，Petersen-Wylie [ 12 ] 还证明了具有常数量曲率的梯度收缩(扩张)孤立子满足 0 ≤ R ≤ n ρ ( n ρ ≤ R ≤ 0 )。作为推广，Naber [ 11 ] 证明了若其数量曲率有界，则 0 ≤ inf M R ≤ n ρ 。此外，若 n ρ ≤ R ，则 M 为爱因斯坦流形。 推论2.6 (Chow-Lu-Yang [ 14 ] )：令 ( M n ， g i j ， f ) 为完备的梯度稳定Ricci孤立子，假设 R i j = − ∇ i ∇ j f 且 R + | ∇ f | 2 = 1 。若 lim x → ∞ f ( x ) = − ∞ 且 f ≤ 0 ，则 R ≥ 1 n 2 + 2 e f . 推论2.7 (Munteanu-Wang [ 15 ] )：令 ( M 4 ， g i j ， f ) 为一个具有有界数量曲率的4维梯度收缩Ricci孤立子，则存在常数 C > 0 使得在 M 上有： | ∇ ln R | 2 ≤ C ln ( f + 2 ) . 推论2.8 ( [ 10 ] )：令 ( M n ， g i j ， f ) 为一个完备非紧致的梯度Ricci孤立子，则： 1) 若 ( M n ， g i j ， f ) 为稳定或收缩孤立子，则 R ≥ 0 ； 2) 若 ( M n ， g i j ， f ) 为扩张Ricci孤立子，则 R ≥ − n ρ 2 。此外，若其数量曲率在某点处达到最小值 − n ρ 2 ，则 ( M n ， g i j ) 为爱因斯坦流形。 对于完备梯度扩张Ricci孤立子，则有 R ≥ − n 2 。此外，若存在点 x 0 ∈ M n 使得 R ( x 0 ) = − n 2 ，则 ( M n ， g i j ) 为爱因斯坦流形；Löpez-Río [ 13 ] 中证明了具有非负Ricci张量的完备梯度扩张Ricci孤立子，若 R ∗ = sup M R ≤ 0 ，则数量曲率满足 − n 2 ≤ R ≤ − 1 2 。对于稳定Ricci孤立子，Löpez-Río [ 13 ] 还证明了完备的梯度稳定Ricci孤立子满足 R ∗ = inf M R = 0 。 定理2.9 (Ni [ 16 ] )：令 ( M n ， g i j ， f ) 为一个完备稳定梯度Ricci孤立子，设其Ricci曲率满足 R i j ≥ ε R g i j ， ε > 0 且数量曲率 R ( x ) > 0 ，则存在常数 C > 0 ， a > 0 使得 R ( x ) ≤ C exp ( − a ( r ( x ) + 1 ) ) ， 其中 r ( x ) 为到定点 x 0 ∈ M 的距离函数。 推论2.10 ( [ 9 ] )：令 ( M n ， g i j ， f ) 为一个完备梯度收缩Ricci孤立子，设其满足 R i j + ∇ i ∇ j f = 1 2 g i j 及 R + | ∇ f | 2 − f = 0 ，则： R ( x ) ≤ 1 4 ( r ( x ) + 2 f ( x 0 ) ) 2 . 其中 r ( x ) = d ( x 0 ， x ) 为到定点 x 0 ∈ M 的距离函数。 最近，根据维数及势函数 [ 14 ] 中给出了梯度稳定Ricci孤立子的数量曲率的一个下界，但是由于稳定孤立子的势函数估计暂时没有很好的估计结果，因此该估计结果不能直接用距离函数表示。然而由距离函数，Lόpez-Río [ 17 ] 证明了如下结果： 定理2.11：令 ( M n ， g i j ， f ) 为一个完备稳定Ricci孤立子，且 | R c | 2 ≤ R 2 2 ，则： R ( x ) ≥ k sec h 2 r ( x ) 2 其中 r ( x ) 为到点 O ∈ M 的距离函数，且 k ≤ 1 为仅取决于 O 及 R ( O ) 的常数。 推论2.12：令 ( M n ， g i j ， f ) 为一个具有非负Ricci曲率的完备稳定梯度Ricci孤立子，则： R ( x ) ≥ k sec h 2 r (x) 其中 r ( x ) 为到点 O ∈ M 的距离函数，且 k ≤ 1 为仅取决于 O 及 R ( O ) 的常数。 Ricci曲率条件是研究Ricci孤立子分类的最有力工具之一，通过对Ricci曲率条件的控制可以得到诸多关于孤立子的分类，因此对研究流形的几何性质及拓扑性质都至关重要。另一方面Ricci曲率与黎曼曲率及数量曲率紧密相关，研究Ricci曲率对于研究整体微分流形也有极其重要的意义。 定理2.13 (Zhang [ 18 ] )：任意Weyl张量为零的梯度收缩Ricci孤立子(不必具有有界曲率)满足 R i c ≥ 0 及 | R i j k l | ≤ exp ( a ( d ( p ， x ) 2 + 1 ) ) ，常数 a > 0 。 推论2.14 ( [ 15 ] )：令 ( M 4 ， g i j ， f ) 为一个具有有界数量曲率 S ≤ A 的4维梯度收缩Ricci孤立子，则： 常数 C > 0 且仅取决于 A 及 sup D ( r 0 ) | R m | 。 曲率算子相比于数量曲率及Ricci曲率较为复杂，其估计需要满足其他的条件。对于曲率算子，考虑Weyl张量为零时，Zhang [ 18 ] 证明了任意Weyl张量为零的梯度收缩孤立子(不需要具有有界曲率)必有非负曲率算子。 推论2.15 (Cai [ 19 ] )：令 ( M n ， g i j ， f ) 为一个完备稳定梯度Ricci孤立子，使得 n = 3 或 n ≥ 4 时 ( M n ， g i j ， f ) 均为局部共形平坦的，则对常数 C > 0 ， ( M n ， g i j ) 具有有界非负的曲率算子 0 ≤ R m ≤ C . Munteanu-Wang [ 20 ] 证明了任意具有有界Ricci曲率的梯度收缩Ricci孤立子其黎曼曲率张量增长至多为距离函数的多项式形式即对常数 a > 0 满足： | R m | ( x ) ≤ C ( r ( x ) + 1 ) a ， 维数为3时，曲率算子有界且非负。当维数为4维时，曲率算子不再具有固定的符号，Munteanu-Wang [ 15 ] 证明该结果同样成立。特别地，这表明曲率算子必有界。 定理2.16：令 ( M 4 ， g i j ， f ) 为一个具有有界数量曲率的4维梯度收缩Ricci孤立子，则存在常数 c > 0 使得在流形 M 上有： | R m | ≤ c S . 作为Hamilton在3维情况下曲率逐点估计结果的延伸，他们还得到了具有有界数量曲率的4维梯度收缩Ricci孤立子其曲率算子满足 R m ≥ − ( c ln r ) 1 4 ，其中 r 为到 M 上定点的距离函数。 定理2.17：令 ( M 4 ， g i j ， f ) 为一个4维梯度收缩Ricci孤立子，则对任意常数 c > 0 ，在 M / D ( r 0 ) 上曲率算子满足： | R m | ≤ c ( | ∇ R i c | f + | R i c | 2 + 1 f + | R i c | ) . 对于稳定Ricci孤立子使用类似的方法，由 | ∇ f | 2 替换 f 得同样的结果：完备非紧致的4维梯度稳定Ricci孤立子，存在常数 c > 0 使得 | R m | ≤ c ( | ∇ R i c | | ∇ f | + | R i c | 2 | ∇ f | 2 + | R i c | ) . 推论2.18 ( [ 17 ] )：令 ( M 4 ， g i j ， f ) 为一个完备非紧致的4维梯度稳定Ricci孤立子，具有正Ricci曲率且数量曲率 R 能达到最大值，则存在常数 C > 0 使得曲率算子满足： | R m | ≤ C ( | ∇ R i c | + | R i c | 2 + | R i c | ) . Munteeanu-Wang [ 15 ] 又证明了具有有界数量曲率的4维梯度收缩Ricci孤立子的曲率算子也有上界。 定理2.19：令 ( M 4 ， g i j ， f ) 为一个4维梯度收缩Ricci孤立子，其数量曲率有界即满足 S ≤ A 。则其黎曼曲率张量及协变导数模的形式也有界，即存在仅取决于 A 和 sup D ( r 0 ) | R m | 的常数 C > 0 使得： sup M ( | R m | + | ∇ R m | ) ≤ C . 作为推论，他们还证明了4维梯度收缩Ricci孤立子若其数量曲率有界满足 S ≤ A ，则存在仅取决于 A 和 sup D ( r 0 ) | R m | 的常数 C > 0 使得 sup M | R m | 2 S ≤ C 且 sup M | R m | S ≤ C 。 对曲率算子的协变导数也有类似的估计结果： 推论2.20：令 ( M 4 ， g i j ， f ) 为一个具有有界数量曲率的4维梯度收缩Ricci孤立子，则存在常数 C > 0 使得： sup M | ∇ R m | 2 S ≤ C . 对于梯度稳定Ricci孤立子，Cao-Cui [ 21 ] 得到了一些类似的结果。 推论2.21：令 ( M 4 ， g i j ， f ) 为一个完备非紧致的4维梯度稳定Ricci孤立子，设其具有正Ricci曲率 R i c > 0 且数量曲率在 R 点 x 0 ∈ M 处达到最大值，则 ( M 4 ， g i j ) 有有界黎曼曲率张量，即存在常数 C > 0 ，满足： sup x ∈ M | R m | ≤ C . 推论2.22 ( [ 17 ] )：令 ( M 4 ， g i j ， f ) 为一个非Ricci平坦的4维完备非紧致的梯度稳定Ricci孤立子，假设 lim x → ∞ R ( x ) = 0 ，则对任意 0 < a < 1 ，存在常数 C > 0 使得： | R i c | 2 ≤ C R a ， 且 sup x ∈ M | R m | ≤ C . 进一步若数量曲率至多多项式型衰退，则对任意 0 < a < 1 ，存在常数 C > 0 使得 | R m | 2 ≤ C R a 。 对于复流形上的Kähler-Ricci孤立子 g α β ¯ 也会有对应的的曲率估计，很多结果有待于进一步的证明。同时，在Ricci孤立子上建立较弱曲率条件下一些有意义的几何估计与应用范围更广的几何不变量可以更好的分类一些重要的Ricci孤立子。