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user: 3. 群体感应研究中的数学模型 为了研究细菌中的群体感应机制，人们对细菌中的群体感应体系建立模型，运用数学的方法来分析研究细菌群体感应机制。本文概述了野生细菌中的群体感应系统模型及人工合成的细菌群体感应系统模型，其中野生细菌中的群体感应系统模型又分革兰氏阴性菌、革兰氏阳性菌、革兰氏阳性菌和阴性菌共有的群体感应系统三类，分别详细讨论了几种具有代表性的细菌中的群体感应系统模型。 3.1. 革兰氏阴性菌中的群体感应模型 革兰氏阴性菌包括许多种细菌，例如铜绿假单胞菌、苜蓿根瘤菌(Sinorhizobium meliloti)、恶臭假单胞菌(Pseudomonas putida)、豆科植物根瘤菌(Rhizobium leguminosarum)、根癌土壤杆菌(Agrobacterium tumefaciens)等，下面我们选取一些典型的革兰氏阴性菌作为代表来分别介绍它们的群体感应体系。 3.1.1. Dockery模型 2001年，基于已知的生物化学中对信号机制极其重要的自诱导因子的调节，Dockery等 [ 54 ] 针对铜绿假单胞菌中的群体感应系统建立了一个数学模型。Dockery等的模型中只考虑Las系统，信号网络见图4。 图4. 铜绿假单胞菌中rhl基因调控系统示意图 [ 54 ] 铜绿假单胞菌主要有两个信号传导系统，即LasR-LasI和RhlR-RhlI。lasR是编码AI合成酶的基因，后者合成AI分子N-3-氧化癸酰-L-高丝氨酸内酯(3-oxo-C12-HSL)。lasR编码转录活化因子R蛋白(LasR)，后者的N端结合信号物质AI，而C端则与DNA结合，AI复合物可以调节铜绿假单胞菌中lasR、lasA、aprA和toxA等毒力基因的表达，从而影响其致病力，也可以调节lasI基因的表达，来形成一种自我反馈。该复合物还调控rsaL基因的表达，其产物可以抑制lasI基因的表达，对数量感知系统是一种负向调节。 在RhlR-RhlI系统中，rhlR编码转录活化因子RhlR，rhlI则编码AI合成酶，合成信号物质N-丁基-L-高丝氨酸内酯(C4-HSL)，RhlR-C4-HSL复合物可以调节rhlAB、lasB、aprA稳定期δ因子、Rpos以及次级代谢产物绿脓菌素和氰化物的产生。 Dockery等建立了一个偏微分方程来研究细胞外空间的自诱导因子的非均匀分布， d A d t = F ( A ) + δ ρ ( E − A ) ∂ E ∂ t = ∂ 2 E ∂ x 2 + δ 1 − ρ ( A − E ) − k E E E x ( L ， t ) + α E ( L ， t ) = 0 E x ( 0 ， t ) = 0 (3.1) 其中方程(3.1)中的因子ρ和另一个因子1 − ρ是区分内部空间和外部空间体积不同的必要参考因子，A是细胞生成自诱导因子的浓度，E细胞外的自诱导因子的浓度， k E 是细胞外自诱导因子的降解速率。Dockery等假设细胞占据的一维区域0< x < L，在细胞区域的边界x = L，他们假设有大量自诱导因子转移到流体中。边界条件方程中的α是一个正参数。 通过这个模型，Dockery等提出群体感应是通过两个稳定解之间的生化开关工作的，一个是低水平的自诱导因子，一个是高水平的自诱导因子。 3.1.2. Chen模型 2004年，Chen等 [ 55 ] 以rhlI缺失突变株为研究对象，研究了自诱导因子PAI2对铜绿假单胞菌产生鼠李糖脂(RL)的影响。他们建立了一个模型来描述由rhl群体感应系统调控的RL生成动力学：首先，PAI2与RhlR蛋白结合；其次，激活的复合物RhlR:PAI2触发编码鼠李糖基转移酶的rhlAB操纵子的转录(和表达)；最后，该酶催化RL的合成。该模型较好地描述了实验结果。模型的预测如下：在加入PAI2后，诱导酶的合成速率最高。随着自诱导剂的降解，诱导酶的合成速率随时间的延长而减小。然而，酶的浓度仍在不断增加，直到在自体酶耗尽时到达最大值。PAI2的添加浓度越高，酶的初始合成速率越高，诱导的合成时间也越长。随着酶浓度的增加，RL的产率也随之增加，导致RL浓度的加速上升。当PAI2耗尽时，RL浓度的增加呈线性增长。根据所得到的最佳拟合模型参数也得出了以下结论：对于更加复杂的细胞内RhlR蛋白，需要1.61 μM PAI2，即野生型PAO1固定相培养中PAI2浓度的一半左右。另一方面，以其最大速率的一半激活鼠李糖基转移酶合成将需要39%的RLR与PAI2的结合。培养基中的最大RL产率为0.042 g/L h，完全诱导培养至少需要1.61 h才能将该酶合成到产生RL所需的水平。 3.1.3. Melke模型 2010年，Melke等用生长的微小菌落的细胞模型在单细胞水平上来研究群体感应机制 [ 56 ] 。他们发现菌落确实有一个细胞密度依赖的行为，并且高度依赖于局部细胞群集和群体进化空间的几何形状。他们分析了信号网络的两个正反馈回路，找到多稳区、展示群体感应机制取决于不同的模型参数。该信号网络如图5。 图5. 费氏弧菌中的群体感应信号网络 [ 56 ] 在该信号网络中，LuxI蛋白合成的信号分子可以穿透细胞膜，通过结合到LuxR蛋白上来激活LuxR蛋白，激活的LuxR蛋白可以形成复合体来诱导信号分子和LuxR蛋白的合成。 细胞之间信号交流的模型如下： 根据Fick定律，用一个有限差分形式的正态扩散方程对细胞外介质区域的扩散进行了模拟，给出了一个元素i的导数： d A e i d t = D v e ∑ j ∈ N ( i ) a i j A e j − A e i d i j 其中 d A d t = a v b j A d A e d t = − a v e j A j A = − p i n A + p o u t A e . (3.2) 其中A代表自诱导因子，可以渗出细菌细胞外。A e 是细菌中心附近元素浓度。 v b 、 v e 是细菌和元素的体积，a是细菌的表面积。N(i)代表元素i的附近元素，a ij 是元素i和j之间的区域，d ij 是两个元素之间的距离。 j A 代表自诱导因子A的流量， p i n A 是流进细胞内的自诱导因子A， p o u t A e 是流出细胞外的自诱导因子A。Melke等的模型仅从LuxR、AHL、LuxR-AHL来建立数学模型研究群体感应机制。 Melke等发现，在细菌本身产生自诱导因子的自然环境中，相比于引入外部诱导因子的环境的交换能力，会导致更多的参数约束。以细胞为基础的模型也允许调查混合细胞群，在混合细胞群体中不产生诱导因子的细胞更具有适应性，但是在竞争中仍不能完全超越产生诱导因子的细胞。 3.1.4. Mcintosh模型 2013年，Mcintosh等 [ 57 ] 基于微分方程系统，对苜蓿根瘤菌中的群体感应建立了一个最小的数学模型，并对其做了随机模拟，随机模型中复合体ExpR/AHL的量不同于确定性模型，通过与确定性模型的对比表明该体系对于ExpR的总量是非常敏感的。该群体感应的参与因子有ExpR，SinR，SinI和该系统的信号分子AHL，信号网络图见图6。 根据微生物实验，该数学模型如下： d R i d t = α 1 1 β 3 C i + 1 − γ 1 R i d I i d t = α 2 β 1 R i β 1 R i + 1 ( 1 + α 2 β 2 C i β 2 C i + 1 ) − γ 2 I i d A i i d t = α 3 I i − δ 1 A i i + δ 2 A o − α 4 ( E ¯ − C i ) − γ 3 A i i + γ 4 C i d A O d t = B ( δ 1 A i i − δ 2 A o ) − γ 3 A O d C i d t = α 4 A i i ( E ¯ − C i ) − γ 4 C i . (3.3) 其中方程(3.3)中的 R i 是细胞i内的SinR的数量， I i 是细胞i中的SinI的数量， C i 是细胞i中的ExpR/AHL复合物的数量， A i i 是细胞i内的AHL的数量， A O 是培养基中的AHL的数量，B是群体的细胞总数。因为他们假设ExpR不被降解，所以有一个常数 ，ExpR的分子数为 E ¯ − C i ， α i (i = 2~4)、 β i (i = 1~2)、 δ i (i = 1~2)、 γ i (i = 2~4) 是速率常数。 Mcintosh等指出群体感应系统经历三个阶段：在细菌密度比较低时，所有产生的AHL迅速离开细胞；在中等细胞密度时，AHL的浓度增加的很缓慢，AHL的浓度随着细胞密度的增加而积累，AHL还可以被运回细胞去调节自身的生成等从而形成一个正反馈回路；如果细胞数相当多，AHL的生成就会关闭。 3.1.5. Barbarossa模型 2016年，Barbarossa 等 [ 58 ] 针对连续培养基中的恶臭假单胞菌中的群体感应系统提出了一种简单的时滞微分方程(Delay differential equations，简称DDES)，它是由于信号分子降解酶的作用产生了一个负反馈，从而有延迟而产生的时滞。这个群体感应系统包含一个正反馈和一(延迟)的负反馈机制。他们的研究结果展示了一些时滞微分方程解的基本性质，例如存在性、唯一性和非负性。最后一个性质对生物中的数学模型非常重要，在建立时滞微分方程时经常违背。研究了解的定性行为，特别是定态及其稳定性，结果表明，对于参数值的选择，系统对时滞给出稳定切换；另一方面，当时滞设为零时，可能会出现关于一个负反馈参数的霍普夫分歧。模型参数与实验数据吻合，表明时滞系统足以解释和预测生物观测值。 图6. 苜蓿根瘤菌中的群体感应信号网络 [ 57 ] 3.1.6. Marenda模型 考虑到边界条件，2016年，Marenda等 [ 59 ] 建立了数学模型来模拟在开放的边界扩展系统中细菌群体感应对细胞密度的调控。完整的群体感应系统模型包括信号分子动力学、群体感应的激活和着色分子的生成和动力学，分别介绍如下： 信号分子动力学：豆科植物根瘤菌在密度为 ρ P 时，在每个细胞中以速率常数 生成信号分子AHL，均匀覆盖悬浮的根癌土壤杆菌传感器的密度为 ρ R 时可以检测到信号分子的存在。在时间t，距离底座距离为x处的信号分子的浓度C遵循下面的方程 ∂ C ( x ， t ) ∂ t = α ρ P + D s ∂ 2 C ( x ， t ) ∂ x 2 − k b ( ρ P ) C ( x ， t ) − k b ( ρ R ) C ( x ， t ) − k e C ( x ， t ) (3.4) D s 是琼脂内信号分子的扩散常数，k e 是细胞外环境中的化学降解速率， k b ( ρ ) 是生物降解速率，假设这些参数对于生产和报告菌株是一样的。为了满足边界条件，他们假设 ∂ C ( x ， t ) | x = 0 = 0 ∂ C ( x ， t ) ∂ x | x = h = 0 (3.5) 群体感应的激活：信号分子绑定到启动子上，可以激活群体感应启动子，从而诱导感应菌中β半乳糖苷的生成。这个过程可以用一个简单的化学反应： m A H L + T − = T + 来模拟。这意味着平衡时激活细菌细胞所占的比例 f ( C ( x ， t ) ) 可以用希尔方程表示： f ( C ( x ， t ) ) = C ( x ， t ) m C ( x ， t ) m + C * m (3.6) 其中m是协同性参数，C * 是群体感应的阈值，他们希望小时间间隔 Δ t 内产生的酶量 Δ E 等价于启动子的启动能力，在他们的假设下：通过最大的启动能力、最大启动子活性A，它和希尔方程成比例 [ 49 ] 。 着色分子的生成和动力学：β半乳糖苷酶(E)分解X-gal分子(S)来生成观测的绿色分子(P)。Marenda等用下面的酶促反应来模拟这个过程。 E + S ⇄ k − 1 k 1 E S → k 2 E + P (3.7) 在同样的边界条件下，S和P像AHL一样遵从扩散法则，但是以不同的扩散常数D x 扩散，这些分子浓度随时间的变化可用如下方程描述： ∂ [ E ] ∂ t = A f ( x ， t ) − k 1 [ S ] [ E ] + k − 1 [ E S ] + k 2 [ E S ] ∂ [ S ] ∂ t = − k 1 [ S ] [ E ] + k − 1 [ E S ] + D x ∂ 2 [ S ] ∂ x 2 ∂ [ E S ] ∂ t = k 1 [ S ] [ E ] − k − 1 [ E S ] − k 2 [ E S ] ∂ [ P ] ∂ t = k 2 [ E S ] + D x ∂ 2 [ P ] ∂ x 2 (3.8) 方程(3.8)通过有限差分方法数值求解 [ 30 ] 。其中， [ E ] 、 [ S ] 、 [ E S ] 、 [ P ] 种物质的浓度， k 1 、 k − 1 、 k 2 都是速率常数。 在Marenda等的工作中，他们展示了另一个方面的依赖性，即远离开放边界的系统空间扩展。这里提出的模型强调了信号扩散和信号退化在调整空间扩展对群体感应激活的影响中的关键作用。 3.2. 革兰氏阳性菌中的群体感应模型 3.2.1. Karlsson模型 为了更好地理解肺炎双球菌(Streptococcus pneumoniae)中的群体感应系统，2006年，Karlsson等 [ 60 ] 针对图7中的肺炎双球菌中群体感应调节ComABCDE的通路建立了一个数学模型。 群体感应信号分子是一个称为CSP (能力刺激肽)的十七肽，是由ComC通过分裂生成并由转运蛋白ComAB 输出到细胞外的。CSP在细胞外积累并由组氨酸激酶ComD识别，ComD通过结合CSP自磷酸化。然后ComD通过将磷酸集团转移到它的同源响应调节子ComE上来进一步转移信号。结合了磷酸集团的ComE可以诱导和增强其同源调节子ComE作为转录激活因子促进comAB、comCDE和 comX的表达 [ 61 ] 。一组具有特定功能的基因的转录翻译取决于ComE的激活。在图中，信号流用实线表示，虚线表示信号间的影响。 d X C o m D d t = β C o m D n + v max C o m D n ( X C o m E ~ P X C o m E ~ P + n v int k C o m D ) − δ C o m D X C o m D − α X C o m D C S P + γ X C o m D P d X C o m D P d t = α X C o m D C S P − γ X C o m D P − δ C o m D P X C o m D P d X C o m E d t = β C o m E n + v max C o m E n ( X C o m E ~ P X C o m E ~ P + n v int k C o m E ) − δ C o m E X C o m E − λ n v int X C o m E X C o m D P + ρ X C o m E ~ P d X C o m E ~ P d t = λ n v int X C o m E X C o m D P − ρ X C o m E ~ P − δ C o m E ~ P X C o m E ~ P (3.9) 其中方程(3.9)中的X是各种物质的总量， β 、 α 、 γ 、 ρ 、 δ C o m D 、 δ C o m E 都是速率常数， v max 是最大的细胞合成速率， 是细胞体积， 是局部细胞密度， 是磷酸化速率。 通过分析模型，Karlsson等认为关闭感受态可能发生在comCDE操纵子上的转录水平上。由于引入一个假定的ComX依赖性抑制因子，从而抑制comCDE和comX的表达，建立的数学模型证明感受态是呈波浪形出现的 [ 3 ] 。实验研究也证实了肺炎双球菌间歇培养中的感受态周期的出现。 虽然对肺炎双球菌中群体感应的研究已经有很多年了，但是其中的负反馈调节一直没有发现明确的机制。在该篇文章中，Karlsson等不仅研究了诱发感受态的群体感应，而且还指出了该系统中突然关闭的过程中可能的信号分子机制，他们认为肺炎双球菌中感受态系统中下降调节在转录水平上是由一个假定的抑制因子抑制comCDE和comX的表达。从而导致感受态成波浪形出现。 图7. 肺炎双球菌中群体感应调节ComABCDE的通路 [ 60 ] 3.2.2. Koerber模型 为了研究金黄色葡萄球菌(Staphylococcus aureus)毒力因子的产生机理，Koerber等建立了确定性和随机性模型 [ 62 ] 。图8是金黄色葡萄球菌中的群体感应原理图： AgrD通过AgrB的处理生成AIP，生成的AIP可以被分泌到细胞外。AgrC是AIP的接受体，并使AgrA磷酸化，然后与SarA作用促进启动子P2和P3调节ageBDCA和RNAIII的表达 [ 63 ] 。 为了描述一个细菌从内涵体的逃逸过程，Koerber等假设是由于agr群体感应调节系统控制的细菌酶(蛋白酶和脂肪酶)破坏了内涵体的体壁 [ 57 ] 。Koerber等的模型把agr网络的细节简化成封装的“黑盒子”模型，假定其中所有的内在遗传机制是非常迅速的。基于该模型，Koerber等能够确定封闭形式渐近和数值解法在生物学相关的细菌的上下游调节速率的渐近极限，它们的速率都要小于1。 3.3. 革兰氏阳性菌和阴性菌的共有的群体感应模型 哈氏弧菌中的群体感应系统信号网络如图9所示：哈氏弧菌分泌和检测三种不同的信号分子的密度，它们分别是CAI-1，HAI-1和AI-2。细菌密度低时，磷酸转移网络转移磷酸集团到LuxU蛋白，然后LuxU蛋白把磷酸集团转移给LuxO，磷酸化的LuxO促进Qrrs sRNAs的生成。sRNAs负责LuxR转录后的表达。在高细菌密度时，磷酸集团在网络中流向减少sRNAs生成的方向，结果产生高浓度的LuxR蛋白，激活发光。哈氏弧菌中的AI-2信号分子是在LuxS蛋白的参与下生成的，细胞外的AI-2和跨膜的LuxP蛋白结合，传导信号给LuxQ双组分激酶/磷酸酶。最终启动lux操纵子产生荧光。 3.3.1. Banik模型 2009年，Banik等 [ 64 ] 建立了一个简单的模型来研究信号分子在群体感应中传导的通路，分析了控制系统反应的关键的无量纲参数。这些参数是利用不同突变株的发光表型的实验数据来估计的。相应的模型预测与不作为确定参数输入的实验结果相一致。此外，提出的框架可以预测发光表型的变化和网络结构的扰动。对于信号分子绑定到它的同源受体上的过程，一般用如下动力学反应方程来表示 图8. 金黄色葡萄球菌中agr系统的原理图 [ 62 ] 图9. 哈氏弧菌中的群体感应基因网络 [ 64 ] S k i + A I i ⇄ k − 1 k 1 S p i (3.10) 其中 S k i 是激酶模式下的传感器蛋白， S p i 是磷酸酶模式下的传感器蛋白， A I i 是自诱导因子。考虑到结合的协同效应，Banik等认为激酶/磷酸酶分数是 [ S k i ] = ( 1 − g i ) c i [ S 0 ] [ S p i ] = g i c i [ S 0 ] (3.11) 其中的 [ S k i ] 、 [ S p i ] 分别表示激酶模式下和磷酸酶模式下的传感器蛋白的浓度， [ S 0 ] 是一些参考浓度。其中 [ S k i ] + [ S p i ] = c i [ S 0 ] [ S p i ] = g i c i [ S 0 ] g i = a i n / ( 1 + a i n ) a i = [ A I i ] / κ i κ i = k − i / κ i (3.12) 希尔系数n = 1时对应反应方程(3.10)，较高的n值对应于激酶到磷酸酶的更尖锐的转换。 κ i 是绑定常数，[AI i ]对应于群体密度， a i 是传感器激酶强度参数， c i 、 g i 是比例参数。 3.3.2. 其他模型 此外，Hunter [ 65 ] [ 66 ] [ 67 ] 等的工作用大量数据更详细的支撑了V. harveyi中的sRNA循环模型。Hunter等通过对比分析V. harveyi和V. cholerae中的群体感应机制，便于人们更好的理解V. harveyi中的群体感应调节机制。Fenley等也是通过对比V. harveyi和V. cholerae中的群体感应机制，来研究V. harveyi中的群体感应调节机制。Long [ 68 ] ，Teng [ 69 ] [ 70 ] 等在单个细胞水平上研究了V. harveyi中的群体感应调节机制。 3.4. 人工构建的群体感应系统模型 为了更方便地研究细菌群体感应机制，研究人员人工构建了典型的几种细菌中的群体感应体系，并把它植入便于研究且易得的大肠杆菌细胞中去更加深入地研究细菌群体感应机制。由于自诱导因子AHL是整个群体感应系统中最重要的组分，考虑到模型中对自诱导因子AHL考虑的精细程度，我们依次介绍了一些数学模型，这些数学模型从只考虑AHL到考虑细胞内外的AHL，再到考虑细胞膜上的AHL，由简到精地对群体感应体系中的AHL进行建模研究。 3.4.1. Nilsson模型 1983年，Lee等从基因层面利用分子机理模型分析了生长速率对重组大肠杆菌种群生产力的影响 [ 71 ] 。2001年，Nilsson等 [ 72 ] 建立了一个数学模型来模拟细胞内和膜上的信号分子AHL的浓度随时间的变化。他们的模型如下： d η b c d t = h ( C b c ) N ( t ) − Δ b f d η b f d t = Δ b c − Δ b f N ( t ) = K 1 + ( K N 0 − 1 ) e − ρ t Δ b f = α A b c ( C b f − C b c ) C b c = η b c 4 π r b c 3 3 N ( t ) C b f = η b f V int V int = V b f − V b c (3.13) η b c 是细胞内AHL的总量， η b f 是细胞膜内AHL的总量。 4 π r b c 3 / 3 代表所有细胞的总体积， h ( C b c ) 表示AHL的净产率， N ( t ) 表示以时间以t为函数的细胞数， Δ b c 表示AHL扩散出细胞内的净扩散速率， Δ b f 表示AHL扩散出细菌细胞膜外的净扩散速率。K (0 < K)对应于细菌达到渐近细胞密度时的细菌密度(例如“固定相”)的密度 N ( K ) ， N 0 是种群中细菌的初始密度，而 ρ (0 < ρ ) 是内在增长率， ρ 是一个种群参数，因此是整个细菌种群中细胞分裂率的平均值。 α 是通透性常数， A b c 是单个细菌的表面积， C b f 是细胞膜内AHL的浓度， C b c 是细菌内的AHL的浓度， V int 是细胞膜的总体积， V b f 是细菌的总体积， V b c 是细胞内的总体积， γ 是决定细胞密度的一个参数。 AHL浓度随时间的改变可以反映群体生长速率、AHL扩散速率和自身诱导速率。Nilsson等模拟的结果显示单个细菌内的信号分子浓度在细菌生长初始阶段会成倍增加，接着达到一个稳定的平衡期，然后会有一个下降阶段，接着达到第二个稳定平衡期。开始细胞内部高浓度的AHL积累是由于信号分子扩散到细胞外的速率低，细菌生长速率低，自诱导因子分泌速率高。相反的，平衡稳定期时，细菌生长速率高，自诱导因子分泌速率低，信号分子扩散到细胞外的速率高。这些结果表明AHL介导的表达可以在相对较低的细胞密度和低水平的外部环境中的AHL浓度下发生。 3.4.2. You模型 2003年，Ojalvo等 [ 73 ] 利用群体感应耦合模拟了一种合成的多细胞时钟。Marguet等 [ 74 ] 用数学模型分析了怎么通过扩散损耗减少群体感应里的噪声。 You等 [ 48 ] 在2004年发表在Nature期刊上的文章通过模型证明了luxI/luxR 基因与目的基因这两个片段可以互相耦合，并通过细胞交流的方式调控群体密度。You等合成的群体感应网络见图10，模型如下： d N d t = k N ( 1 − N / N m ) − d E N (3.14) d E d t = k E A − d E E (3.15) d A d t = v A N − d A A (3.16) 这些方程可以模拟图10中回路的功能，公式(3.14)代表细胞数N的生长和死亡，公式(3.15)和公式(3.16)分别表示致死蛋白E和自诱导因子A的生成和降解。他们假设：(3.14)如果没植入的基因片段，细胞密度的生长会有一个固有的生长速率k(h −1 )和环境的最大承载能力N m (h −1 )，它们可以通过实验测得；2) 对于受植入基因片段调控的细胞生长，细胞的死亡以速率常数d (nM −1 ∙h −1 )正比于细胞内致死蛋白的浓度(E，nM)；3) E的生成速率与自诱导因子A的浓度(A，nM)成比例，速率常数为k E (h −1 )；4) 信号分子的生成速率与细胞数成比例，速率常数为v A (nM∙ml∙h −1 )；5) d E (h −1 )和d A (h −1 )分别代表致死蛋白和自诱导因子A的降解速率常数。 这篇文章预测并验证了以下结论： 1) 作者构建的系统在合适的参数值下可以达到稳定的菌群密度。 2) 在植入合成基因片段的体系中，致死蛋白的生成速率受信号分子合成的制约。 3) 稳定时的菌体密度和信号分子的降解速率常数成比例。 4) 当环境中的pH改变时，细胞内的致死蛋白的量保持稳定。 图10. 通过细胞间交流、负反馈回路感应和传播来调控细胞密度的群体调控网络 [ 48 ] 所有细胞成分都表现出细胞内噪声是由于单个分子的随机产生和消亡以及环境扰动引起的细胞外噪声而产生的。基因调控，尤其是转录调控、选择性剪接、翻译、扩散和化学修饰反应，都是随机涨落的过程。这样的随机噪声不仅会影响整个系统的动态，也可以被活的有机体利用以积极促进某些功能，如：促进合作行为和沟通。 3.4.3. Chen模型 Chen等 [ 75 ] 在2005年提供了一个通用的模型和分析工具，用来分析细胞内和细胞外的随机波动对多系统的合作行为。他们建模时都有考虑细胞外环境中的信号分子，分析了信号在细胞间传递的机制。下面我们以Chen等的模型详细介绍建立模型研究群体感应机制时怎么考虑信号分子从细胞内流出细胞外的过程。 Chen等的工作将信号分子的扩散也考虑进模型中，进一步分析了群体感应机制的作用机理，他们用合成基因网络构成的多系统来证明噪声、延迟和耦合对集体动力学的影响。这些结果对理解噪音在合作动力学中的重要作用奠定了理论和定量基础，例如细胞间的交流。他们构建的信号网络见图11。 该模型考虑如下反应： L u x I → k a L u x I + A I A I + A I ⇄ k − 1 k 1 A I 2 L u x R + L u x R ⇄ k − 2 k 2 L u x R 2 A I 2 + L u x R 2 ⇄ k − 3 k 3 A L A L + D N A ⇄ k − 4 k 4 A L D D N A → k m m R N A L u x I + m R N A L u x R + D N A (3.17) 其中AI 2 和LuxR 2 分别代表AI和LuxR的二聚体，AL和ALD分别代表AI 2 - LuxR 2 和AI 2 -LuxR 2 - DNA的复合体。反应方程(3.17)表示AI的生成、蛋白的多聚化和多聚体绑定到DNA的过程。 图11. 一个双基因模型的基因调控网络 [ 75 ] A L D → α k m m R N A L u x I + m R N A L u x R + A L D m R N A L u x I → k p i L u x I + m R N A L u x I m R N A L u x R → k p r L u x I + m R N A L u x R (3.18) A I ⇄ d υ / V d Y withfeedbackdelay τ (3.19) A I ⇄ σ 2 υ / ( 2 Y ) σ 2 υ / ( 2 A I ) Y (3.20) 反应方程(3.18)涉及到单个细胞中的转录、翻译和降解。在细胞群体中，AI可以自由进出细胞间，对于扩散过程，可以用时间延迟来近似模拟。这样的过程可以用反应方程(3.19)来表示，其中d是细胞和环境间的扩散速率或耦合系数，Y是环境中的AI。 ν = v ¯ A ， V = V ¯ A ，其中 v ¯ 、 V ¯ 分别是单个细胞的体积和总的环境体积，A是阿伏伽德罗常数。细胞外的噪音对AI扩散的影响可以用反应方程(3.20)描述。 σ 2 是噪音强度。Chen等用这个模型解释了噪声可以诱发多细胞体系的合作行为。 3.4.4. Li模型 2006年，Li等 [ 49 ] 为了研究大肠杆菌中的AI-2信号通路，建立了一个随机模型。对于生物系统，若具有非常低的物种浓度(或数量)和缓慢的反应速率，由于固有的随机事件，随机波动可能存在。反过来也可以产生显著的系统行为变异，特别是随机建模时。由于AI-2的浓度非常低，所以Li等建立了一个随机模型来研究AI-2信号通路。 Li等通过研究AI-2的合成、提取和调控，提出了一些可检测的假设，得出了以下结论：1) 当细胞生长在葡萄糖存在的环境中，mRNA的转录和蛋白水平上AI-2的合成、Pfs和LuxS都不能显著提升AI-2的浓度；2) 在葡萄糖的存在下，这种合成途径伴随着代谢通量的增加，只是部分地解释了这种差异。他们预测，高通量的替代途径或其他生物步骤存在于AI-2的合成中；3) 实验结果验证了这一假说。这项工作证实了基于系统的随机模型可以和细胞生理学联系起来。Tian等也有用随机模型来研究群体感应 [ 76 ] 。 3.4.5. Saeidi模型 2013年，Saeidi等 [ 50 ] 人工合成了一个群体感应系统，针对人工合成的群体感应体系来研究铜绿假单胞菌中的群体感应机制，他们的模型从基因层面上更加详细地对细菌群体感应机制进行了模拟。下面我们以Saeidi等的模型为例详细讲解从基因层面建模研究群体感应的过程，他们人工构建的网络如图12所示。 图12阐明了触发作为报告蛋白的荧光蛋白的生成步骤，他们建立了如下方程来描述群体感应体系： d [ m R N A L a s R ] d t = k 1 [ pTetR ] − y 1 [ m R N A L a s R ] (3.21) d [ L a s R ] d t = k 2 [ m R N A L a s R ] − y 2 [ L a s R ] (3.22) 方程(3.21)和方程(3.22)描述了mRNA和LasR蛋白的生成，他们假设mRNA和LasR蛋白的生成遵循质量作用定律，k 1 和k 2 分别代表它们的生成速率常数，y 1 和y 2 分别代表它们的降解速率常数， [ m R N A L a s R ] 、 [ L a s R ] 分别表示这些物质的浓度，接下来所有方程中这样的表达方式都表示该物质的浓度。 d [ L a s R − A H L ] d t = k 1 [ L a s R ] [ A H L ] − k 4 [ L a s R − A H L ] (3.23) 图12. 模拟的群体感应体系的原理图 [ 50 ] d [ A H L ] d t = − k 3 [ L a s R ] [ A H L ] + k 4 [ L a s R − A H L ] (3.24) d [ A . p L u x R ] d t = k 5 [ L a s R − A H L ] [ p L u x R ] − k 6 [ A . p L u x R ] (3.25) 方程(3.23)代表复合体LasR_AHL的生成，复合体的生成速率和LasR、AHL的浓度成比例，其中k 3 表示结合速率常数，k 4 表示分离速率常数。方程(3.24)代表AHL浓度的变化，方程(3.25)表示复合体LasR_AHL绑定到启动子pLuxR上的过程，其中k 5 、k 6 分别代表结合速率常数和分离速率常数，A.pLuxR代表结合了复合体的启动子pLuxR。 d [ G F P ] d t = 1 T ( G F P max − [ G F P ] ) (3.26) 1 T = k 7 + k 8 [ A . p L u x R ] n 1 k 9 n 1 + [ A . p L u x R ] n 1 (3.27) 1 T = k 10 + k 11 [ A . p L u x R ] n 2 k 12 n 2 + [ A . p L u x R ] n 2 (3.28) 方程(3.26)描述了荧光蛋白的生成，他们假设AHL的浓度和启动子pLuxR相比微不足道，而且，因为他们用的质粒是高复制率的质粒，因此，他们认为A.pLuxR的浓度主要取决于AHL的浓度。 在方程(3.26)中，T代表当输出达到最大输出的63.2%时的时间常数，GFP max 是不同AHL浓度下GFP的最大浓度(平衡时GFP的量)。实验结果显示1/T和GFP max 随AHL浓度的变化遵循希尔方程，因此，方程(3.27)和(3.28)表示1/T和GFP max 的浓度随AHL浓度的变化，方程(3.27)和(3.28)是A.pLuxR的函数方程。 Saeidi等的敏感性分析模拟结果表明k 11 、k 12 是体系中最敏感的两个参数，k 7 、k 8 是对达到平衡所需时间影响最大的两个参数。他们的模型可以用来预测目前实验条件(例如温度是37℃)下GFP的产量，未来，这个模型也可以延伸去捕获不同实验条件下的其他特征。这个模型可以为将来CAD(Computer Aided Design，计算机辅助设计)在合成生物学设计中生物部分提供有用的信息。