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user: 2. 预备知识 这节，我们介绍一些关于次线性期望的基本概念和性质，其中的细节读者们可以参考 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]。如果想要了解次线性期望发展的概况可以参考 [ 7 ]。 2.1. 次线性期望的一些基本的概念 定义2.1 Ω 是一个给定的集合， H 是一个定义在 Ω 实值函数的线性空间并且满足：对所有的常数 c ∈ H 还满足：若 X ∈ H ，则 | X | ∈ H 。那么 H 就认为是一个“随机变量”的空间。而在这个空间上的次线性期望 E 是一个泛函 E ： H ↦ ℝ 。对 X ， Y ∈ H ，满足以下性质： (1) 单调性： E [ X ] ≥ E [ Y ] ，若 X ≥ Y ； (2) 保常数性： E [ c ] = c ， ∀ c ∈ ℝ ； (3) 次可加性： E [ X + Y ] ≤ E [ X ] + E [ Y ] ； (4) 正齐次性： E [ λ X ] = λ E [ X ] ， ∀ λ ≥ 0 ； 三元组 ( Ω ， H ， E ) 称为一个次线性期望空间， X ∈ H 称为 ( Ω ， H ) 上的一个随机变量。我们一般称 Y = ( Y 1 ， ⋯ ， Y d ) ， Y i ∈ H 是 ( Ω ， H ) 上的一个d-维随机向量。 现在我们考虑一个随机变量空间 H 满足若 X i ∈ H ， i = 1 ， ⋯ ， d ，则 这里 C b ， Lip ( ℝ d ) 是在 ℝ d 上所有有界Lipschitz连续的函数组成的空间。 定义2.2一个m-维随机向量 Y = ( Y 1 ， ⋯ ， Y m ) 称独立于另一个n-维随机向量 X = ( X 1 ， ⋯ ， X n ) ，如果对每一个 φ ∈ C b ， Lip ( ℝ n × ℝ m ) ， E [ φ ( X 1 ) ] = E [ E [ φ ( x ， Y ) ] x = X ] 令 X 1 和 X 2 是定义在各自的次线性期望空间 ( Ω 1 ， H 1 ， E 1 ) ， ( Ω 2 ， H 2 ， E 2 ) 上的n-维随机向量。我们称它们是同分布的，记为 X 1 = d X 2 ，若对每个 φ ∈ C b ， Lip ( ℝ n ) 都有 E 1 [ φ ( X 1 ) ] = E 2 [ φ ( X 2 ) ] 若 X ， X ¯ 是两个在 ( Ω ， H ， E ) 上的n-维随机向量，如果 X ¯ 与X同分布并且独立于X，则称 X ¯ 是X的独立拷贝。 定义2.3 (G-正态分布)一个在次线性空间 ( Ω ， H ， E ) 上的d-维随机向量 X = ( X 1 ， ⋯ ， X d ) 称为G-正态分布，若对每个 a ， b ≥ 0 我们有 a X + b X ¯ = d a 2 + b 2 X 其中 X ¯ 是X的独立拷贝。 现在我们给出一个G-正态分布随机向量X的一个描述性性质。 引理2.1 X是一个d-维正态随机向量，则X的分布由下式刻画： u ( t ， x ) = E [ ϕ ( x + t X ) ] ，     ϕ ∈ C b ， Lip ( ℝ d ) . u ( t ， x ) 定义在 [ 0 ， ∞ ] × ℝ d 上是如下G-热方程的唯一粘性解 [ 8 ]： { ∂ t u − G ( D 2 u ) = 0 ， u ( 0 ， x ) = φ ( x ) ， (2.1.1) 其中 D 2 u 是u的Hessian矩阵， G : S ( d ) → ℝ d 定义为： G ( A ) : = E [ 1 2 ( A X ， X ) ] ，     A ∈ S ( d ) ， S ( d ) 是一个 d × d 对称矩阵空间。在标量情况下， G ( α ) = 1 2 ( σ ¯ 2 α + − σ _ 2 α − ) ， α ∈ ℝ ，其中， σ ¯ 2 : = E [ X 2 ] ，   σ _ 2 : = − E [ − X 2 ] 定义2.4 (G-布朗运动)一个在次线性期望空间 ( Ω ， H ， E ) 上的d-维随机过程 ( B t ) t ≥ 0 称为G-布朗运动，若满足下列性质： (i) B 0 ( ω ) = 0 ； (ii) 对每个 t ， s ≥ 0 ， B t + s − B t 和 B s 是同分布的并且 B t + s − B t 独立于 ( B t 1 ， B t 2 ， ⋯ ， B t n ) ，对每个 n ∈ ℕ ， 0 ≤ t 1 ≤ ⋯ ≤ t n ≤ t ； (iii) lim t ↓ 0 E [ | B t | 3 ] t − 1 = 0 ； 此外，如果 E [ B t ] = E [ − B t ] = 0 ，则 ( B t ) t ≥ 0 称为一个对称的G-布朗运动。 下面的引理给出了对称G-布朗运动的刻画。 引理2.2令 ( B t ) t ≥ 0 是一个在次线性期望空间 ( Ω ， H ， E ) 上的 ℝ d -值对称G-布朗运动。则对每一个固定的 φ ∈ C b ， Lip ( ℝ d ) ，函数 u ( t ， x ) : = E [ φ ( x + B t ) ] ，   ( t ， x ) ∈ [ 0 ， ∞ ) × ℝ d 是下列偏微分方程的粘性解 u ( t ， x ) : = E [ φ ( x + B t ) ] ，   ( t ， x ) ∈ [ 0 ， ∞ ) × ℝ d 这里 G ( A ) = 1 2 E [ 〈 A B 1 ， B 1 〉 ] ，   A ∈ S ( d ) 特别地， B 1 是G-正态分布并且 B t = d t B 1 。 引理2.3设 ( B t ) t ≥ 0 为定义在次线性期望空间 ( Ω ， H ， E ) 上的一个对称的一维布朗运动，则 B t t = d N ( 0 ， [ σ _ 2 ， σ ¯ 2 ] ) 其中 σ ¯ 2 : = E [ X 2 ] ， σ _ 2 : = − E [ − X 2 ] 。 2.2. G-随机积分 对 T ∈ ℝ + ，一个 [ 0 ， T ] 的划分 π T 是一个有序且有限的子集 π T = t 1 ， ⋯ ， t N 使得 0 = t 0 < t 1 < ⋯ < t N = T 。令 p ≥ 1 是固定的，定义 其中， L G p ( F t ) = ξ ∈ L G 1 ( F t ) ;   E ( | ξ | p ) < ∞ 。对于 η t = ∑ j = 0 N − 1 ξ j ( ω ) I [ t j ， t j + 1 ) ( t ) ∈ M G p ， 0 ( 0 ， T ) ，设 E ^ T ( η ) : = 1 T ∫ 0 T E ( η t ) d t = 1 T ∑ j = 0 N − 1 E ( ξ j ) ( t j + 1 − t j ) . 则 E ^ T : M G p ， 0 ( 0 ， T ) ↦ ℝ 形成一个次线性期望空间。对每个 p ≥ 1 ， M G p ( 0 ， T ) 记为 M G p ， 0 ( 0 ， T ) 的完备化空间在模 ‖ η ‖ M G p ( 0 ， T ) = 1 T ( ∫ 0 T E ( | η t | p ) d t ) 1 / p 的意义下。 对每个 η ∈ M G 2 ， 0 ( 0 ， T ) 有如下形式： η t ( ω ) = ∑ j = 0 N − 1 ξ j ( ω ) I [ t j ， t j + 1 ) ( t ) ， 定义： I ( η ) = ∫ 0 T η ( s ) d B s a : = ∑ j = 0 N − 1 ξ j ( B t j + 1 a − B t j a ) . 映射 I : M G 2 ， 0 ( 0 ， T ) ↦ L G 2 ( F T ) 可被连续延拓到 I : M G 2 ( 0 ， T ) ↦ L G 2 ( F T ) 。对每个 η ∈ M G 2 ( 0 ， T ) ，G-随机积分定义为 ∫ 0 T η ( s ) d B s a : = I ( η ) (2.2.1) 2.3. G-布朗运动的二次变差过程 定义映射 M G 0 ， 1 ( 0 ， T ) ↦ L G 1 ( F T ) 如下： Q 0 ， T ( η ) = ∫ 0 T η ( s ) d 〈 B a 〉 s : = ∑ k = 0 N − 1 ξ k ( 〈 B a 〉 t k + 1 − 〈 B a 〉 t k ) . 那么 Q 0 ， T 可被唯一延拓到 M G 1 ( 0 ， T ) ，我们仍然记这个映射为 ∫ 0 T η ( s ) d 〈 B a 〉 s = Q 0 ， T ( η ) ，       η ∈ M G 1 ( 0 ， T ) . 性质2.1对每个 η ∈ M G 2 ( 0 ， T ) ，我们有 E [ ∫ 0 T η t d B t a ] = 0 (2.2.2) E [ ( ∫ 0 T η t d B t a ) 2 ] ≤ σ a a T 2 E [ ∫ 0 t η t 2 d t ] (2.2.3) 这里， ( B t ) t ≥ 0 是一个d-维的G-布朗运动。对每个给定的 a ∈ ℝ d ，我们记 B t a : = 〈 a ， B t 〉 ，则 ( B t ) t ≥ 0 是一维的 G a -布朗运动， G t α = 1 2 ( σ a a T 2 α + − σ − a a T 2 α − ) ，其中 σ a a T 2 = 2 G ( a a T ) ， σ − a a T 2 = − 2 G ( − a a T ) 。 令 a = ( a 1 ， ⋯ ， a d ) T ， a ¯ = ( a ¯ 1 ， ⋯ ， a ¯ d ) T 是给定的两个在 ℝ d 上的向量，则 B a 和 B a ¯ 的协变差过程定义为 〈 B a ， B a ¯ 〉 t : = 1 4 ( 〈 B a + B a ¯ 〉 t − 〈 B a − B a ¯ 〉 t ) 。 2.4. 关于二次变差的随机积分 定义一个映射 M G 0 ， 1 ( 0 ， T ) ↦ L G 1 ( F T ) 如下： Q 0 ， T ( η ) = ∫ 0 T η ( s ) d 〈 B a 〉 s : = ∑ k = 0 N − 1 ξ k ( 〈 B a 〉 t k + 1 − 〈 B a 〉 t k ) 则 Q 0 ， T 可以唯一地延拓到 M G 1 ( 0 ， T ) ，我们仍然记这个映射为 ∫ 0 T η ( s ) d 〈 B a 〉 s = Q 0 ， T ( η ) ，       η ∈ M G 1 ( 0 ， T ) 定理2.1 (G-itô公式)令 α v ， β v j ， η v i j ∈ M G 2 ( 0 ， T ) ， v = 1 ， ⋯ ， n ， i ， j = 1 ， ⋯ ， d 是有界的过程并且考虑 X t v = X 0 v + ∫ 0 t α s v d s + ∑ i ， j = 1 d ∫ 0 t η s v i j d 〈 B i ， B j 〉 s + ∑ j = 1 d ∫ 0 t β s v j d B s j 其中 X 0 v ， v = 1 ， ⋯ ， n 是一个常数。 ϕ ∈ C 2 ( ℝ n ) 是一个实值函数并且导数有界使得 ∂ x μ x v 2 ϕ μ ， v = 1 n 是一致Lipschitz连续的，那么对每个 t ∈ [ 0 ， T ] ，在 L G 2 ( F t ) 中 ϕ ( X t ) − ϕ ( X s ) = ∑ v = 1 n ∑ j = 1 d ∫ s t ∂ x v ϕ ( X u ) β u v j d B u j + ∑ v = 1 n ∫ s t ∂ x v ϕ ( X u ) α u v d u     + 1 2 ∑ μ ， v = 1 n ∑ i ， j = 1 d ∫ s t ∂ x μ x v 2 ϕ ( X u ) β u μ i β u v j d 〈 B i ， B j 〉 u (2.4.1) 注意：在Gao [ 9 ] 中，该定理的条件更弱一些。 性质2.2令 η ∈ M G 2 ( 0 ， T ) ，则 E [ ( ∫ 0 T η t d B t ) 2 ] = E [ ∫ 0 T η t 2 d 〈 B 〉 t ] 性质2.3对每个 η ∈ M G 1 ( 0 ， T ) ， E [ | Q 0 ， T ( η ) | ] ≤ σ ¯ 2 E [ ∫ 0 T | η t | d t ] 2.5. 拟必然分析理论 P是一个在 Ω 上的Wiener测度。记 A 0 ， ∞ Γ 是在 [ 0 ， + ∞ ] 所有 Γ -值的 F t ， t ≥ 0 适应过程组成的集合即 θ t ， t ≥ 0 ∈ A 0 ， ∞ Γ 当且仅当 θ t 是 F t : = σ ( ω s ， s ≤ t ) 可测的并且 θ t ∈ Γ 对每个 t ≥ 0 。令 P θ 是过程 ∫ 0 t θ s d ω s ， t ≥ 0 在Wiener测度P下的一个分布。 定义2.5 (Choquet容度)我们记 P = P θ : θ ∈ A 0 ， ∞ Γ 并且定义 C ¯ ( A ) : = sup θ ∈ A 0 ， ∞ Γ P θ ( A ) ， A ∈ B ( Ω ) ，则 P 是紧的并且 C ¯ ( ⋅ ) 是一个Choquet溶度。 定义2.6 (拟必然)集合A称为polar集，若 C ¯ ( A ) = 0 。如果一个性质是在 A C 上满足，那么我们这个性质是拟必然成立的。