system: [SYSTEM]

user: 3. 主要结论 定理1 考虑系统(1)，如果存在矩阵 P i > 0 ， R i > 0 ， M i > 0 ， W 1 > 0 ， W 2 > 0 ， Q 1 > 0 ， Q 2 > 0 ，任意矩阵 P i ∈ R n ， R i ∈ R n × n ， T i ∈ R n × n ，满足以下的线性矩阵不等式 ϕ i = [ φ 11 φ 12 A i T N 3 φ 14 A i T N 5 A i T N 6 φ 17 φ 18 A i T N 9 φ 1 ， 10 * φ 22 − N 3 − N 4 − N 5 − N 6 φ 27 φ 28 − N 9 − N 10 * * − R 11 i 0 − R 12 i 0 N 3 T B i N 3 T C i 0 0 * * * φ 44 0 − M 12 i N 4 T B i N 4 T C i 0 6 h 2 Q 1 * * * * − R 22 i 0 N 5 T B i N 5 T C i 0 0 * * * * * − M 22 i N 6 T B i N 6 T C i 0 0 * * * * * * φ 77 φ 78 B i T N 9 B i T N 10 * * * * * * * φ 88 C i T N 9 C i T N 10 * * * * * * * * − 1 τ W 1 0 * * * * * * * * * − 12 h 3 Q 1 ] < 0 (9) R i = [ R 11 i R 12 i * R 22 i ] ， M i = [ M 11 i M 12 i * M 22 i ] (10) ∑ j ∈ U k i λ i j ( R j − S i ) < W 1 (11) ∑ j ∈ U k i λ i j ( M j − T i ) < Q 1 (12) P j − T i ≤ 0 ， j ∈ U u k i ， j ≠ i (13) R j − S i ≤ 0 ， j ∈ U u k i ， j ≠ i (14) M j − H i ≤ 0 ， j ∈ U u k i ， j ≠ i (15) P j − T i ≥ 0 ， j ∈ U u k i ， j = i (16) R j − S i ≥ 0 ， j ∈ U u k i ， j = i (17) M j − H i ≥ 0 ， j ∈ U u k i ， j = i (18) 其中 φ 11 = P i A i + A i T P i + R 11 i + M 11 i + τ W 1 − 4 h Q 1 + Q 2 + N 1 T A i + A i T N 1 + ∑ j ∈ U k i λ i j ( P j − T i ) ， φ 12 = R 12 i + M 12 i + A i T N 2 − N 1 T ， φ 14 = − 2 h Q 1 + A i T N 4 ， φ 17 = P i B i + A i T N 7 + N 1 T B i ， φ 18 = P i C i + A i T N 8 + N 1 T C i ， φ 1 ， 10 = 6 h 2 Q 1 + A i T N 10 ， φ 22 = R 22 i + M 22 i + h Q 1 + W 2 − N 2 T − N 2 ， φ 27 = − N 7 + N 2 T B i ， φ 28 = − N 8 + N 2 T C i ， φ 44 = − M 11 i − 4 h Q 1 ， φ 77 = − ( 1 − μ 2 ) Q 2 + N 7 T B i + B i T N 7 ， φ 78 = B i T N 8 + N 7 T C i ， φ 88 = − ( 1 − μ 1 ) W 2 + N 8 T C i + C i T N 8 ， 则称系统(1)是随机稳定系统。 证明：构造一个随机李雅普诺夫泛函 V ( x t ， t ， r t ) = ∑ i = 1 7 V i ( x t ， t ， r t ) 其中 V 1 ( x t ， t ， r t ) = x T ( t ) P ( r t ) x ( t ) ， V 2 ( x t ， t ， r t ) = ∫ t − τ t [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] T R ( r t ) [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] d s ， V 3 ( x t ， t ， r t ) = ∫ t − h t [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] T M ( r t ) [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] d s ， V 4 ( x t ， t ， r t ) = ∫ − τ 0 ∫ t + θ t x T ( s ) W 1 x ( s ) d s d θ ， V 5 ( x t ， t ， r t ) = ∫ − h 0 ∫ t + θ t x ˙ T ( s ) Q 1 x ˙ ( s ) d s d θ ， V 6 ( x t ， t ， r t ) = ∫ t − τ ( t ) t x ˙ T ( s ) W 2 x ˙ ( s ) d s ， V 7 ( x t ， t ， r t ) = ∫ t − h ( t ) t x T ( s ) Q 2 x ( s ) d s ， 这儿的 都是适当维数的正定矩阵。因此，当 r t = i ∈ η ， P r t = P i ， R r t = R i ， M r t = M i 时，利用弱无穷小算子L对 V k ( x t ， t ， i ) ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， 7 ) 中的随机过程 x ( t ) 进行计算，我们得到 L V 1 ( x t ， t ， i ) = 2 x T ( t ) P i x ˙ ( t ) + x T ( t ) ∑ j = 1 N λ i j P j x ( t ) = 2 x T ( t ) P i [ A i x ( t ) + B i x ( t − h ( t ) ) + C i x ˙ ( t − τ ( t ) ) ] + x T ( t ) ∑ j = 1 N λ i j P j x ( t ) = x T ( t ) [ P i A i + A i T P i ] x ( t ) + 2 x T ( t ) P i B i x ( t − h ( t ) )       + 2 x T ( t ) P i C i x ˙ ( t − τ ( t ) ) + x T ( t ) ∑ j = 1 N λ i j P j x (t) L V 2 ( x t ， t ， i ) = lim Δ → 0 + 1 Δ [ ε ( ∫ t + Δ − τ t + Δ [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] T R ( r t ) [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] d s ) | ( x ( t ) ， r t = i ) − V 2 ( x t ， t ， i ) ] = lim Δ → 0 + 1 Δ [ ( ∫ t + Δ − τ t + Δ [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] T ∑ j = 1 N P r ( r t + Δ = j | r t = i ) R j [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] d s ) | ( x ( t ) ， r t = i ) − V 2 ( x t ， t ， i ) ] = [ x ( t ) x ˙ ( t ) ] T [ R 11 i R 12 i * R 22 i ] [ x ( t ) x ˙ ( t ) ] − [ x ( t − τ ) x ˙ ( t − τ ) ] T [ R 11 i R 12 i * R 22 i ] [ x ( t − τ ) x ˙ ( t − τ ) ] + ∫ t − τ t [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] T ∑ j = 1 N λ i j R j [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] d s L V 3 ( x t ， t ， i ) = [ x ( t ) x ˙ ( t ) ] T [ M 11 i M 12 i * M 22 i ] [ x ( t ) x ˙ ( t ) ] − [ x ( t − h ) x ˙ ( t − h ) ] T [ M 11 i M 12 i * M 22 i ] [ x ( t − h ) x ˙ ( t − h ) ]     + ∫ t − h t [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] T ∑ j = 1 N λ i j R j [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] d s 由于 ∑ j = 1 N λ i j = 0 ，则对于任意矩阵 T i = T i T ∈ R n ， S i = S i T ∈ R n × n ， H i = H i T ∈ R n × n ，满足以下的零方程 − x T ( t ) ( ∑ j = 1 N λ i j T i ) x ( t ) = 0 ， ∀ i ∈ η (19) (20) − ∫ t − h t [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] T ( ∑ j = 1 N λ i j H i ) [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] d s = 0 ， ∀ i ∈ η (21) 其中 S i = [ S 11 i S 12 i * S 22 i ] ， H i = [ H 11 i H 12 i * H 22 i ] (22) 则由(19)~(22)式，可以得到以下等式 L V 1 ( x t ， t ， i ) = x T ( t ) [ P i A i + A i T P i ] x ( t ) + 2 x T ( t ) P i B i x ( t − h ( t ) ) + 2 x T ( t ) P i C i x ˙ ( t − τ ( t ) )     + x T ( t ) ∑ j ∈ U k i λ i j ( P j − T i ) x ( t ) + x T ( t ) ∑ j ∈ U u k i λ i j ( P j − T i ) x ( t ) (23) L V 2 ( x t ， t ， i ) = [ x ( t ) x ˙ ( t ) ] T [ R 11 i R 12 i * R 22 i ] [ x ( t ) x ˙ ( t ) ] − [ x ( t − τ ) x ˙ ( t − τ ) ] T [ R 11 i R 12 i * R 22 i ] [ x ( t − τ ) x ˙ ( t − τ ) ]     + ∫ t − τ t [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] T ∑ j ∈ U k i λ i j ( R j − S i ) [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] d s + ∫ t − τ t [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] T ∑ j ∈ U u k i λ i j ( R j − S i ) [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] d s (24) L V 3 ( x t ， t ， i ) = [ x ( t ) x ˙ ( t ) ] T [ M 11 i M 12 i * M 22 i ] [ x ( t ) x ˙ ( t ) ] − [ x ( t − h ) x ˙ ( t − h ) ] T [ M 11 i M 12 i * M 22 i ] [ x ( t − h ) x ˙ ( t − h ) ]     + ∫ t − h t [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] T ∑ j ∈ U k i λ i j ( M j − H i ) [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] d s + ∫ t − h t [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] T ∑ j ∈ U u k i λ i j ( M j − H i ) [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] d s (25) L V 4 ( x t ， t ， i ) = τ x T ( t ) W 1 x ( t ) − x T ( t ) W 1 x ( t ) + x T ( t − τ ) W 1 x ( t − τ ) = τ x T ( t ) W 1 x ( t ) − ∫ t − τ t x T ( s ) W 1 x ( s ) d s 由引理1有 − ∫ t − τ t x T ( s ) W 1 x ( s ) d s ≤ − 1 τ [ ∫ t − τ t x ( s ) d s ] T W 1 [ ∫ t − τ t x ( s ) d s ] 故 L V 4 ( x t ， t ， i ) = τ x T ( t ) W 1 x ( t ) − ∫ t − τ t x T ( s ) W 1 x ( s ) d s ≤ τ x T ( t ) W 1 x ( t ) − 1 τ [ ∫ t − τ t x ( s ) d s ] T W 1 [ ∫ t − τ t x ( s ) d s ] (26) L V 5 ( x t ， t ， i ) = h x ˙ T ( t ) Q 1 x ˙ ( t ) − x ˙ T ( t ) Q 1 x ˙ ( t ) + x ˙ T ( t − h ) Q 1 x ( t − h ) = h x ˙ T ( t ) Q 1 x ˙ ( t ) − ∫ t − h t x ˙ T ( s ) Q 1 x ˙ ( s ) d s 由引理2有 − ∫ t − h t x ˙ T ( s ) Q 1 x ˙ ( s ) d s ≤ − 1 h [ x ( t ) − x ( t − h ) ] T Q 1 [ x ( t ) − x ( t − h ) ]     − 3 h [ x ( t ) + x ( t − h ) − 2 h ∫ t − h t x ( s ) d s ] T Q 1 [ x ( t ) + x ( t − h ) − 2 h ∫ t − h t x ( s ) d s ] 故 L V 5 ( x t ， t ， i ) = h x ˙ T ( t ) Q 1 x ˙ ( t ) − ∫ t − h t x ˙ T ( s ) Q 1 x ˙ ( s ) d s ≤ h x ˙ T ( t ) Q 1 x ˙ ( t ) − 1 h [ x ( t ) − x ( t − h ) ] T Q 1 [ x ( t ) − x ( t − h ) ]     − 3 h [ x ( t ) + x ( t − h ) − 2 h ∫ t − h t x ( s ) d s ] T Q 1 [ x ( t ) + x ( t − h ) − 2 h ∫ t − h t x ( s ) d s ] (27) L V 6 ( x t ， t ， i ) = x ˙ T ( t ) W 2 x ˙ ( t ) − ( 1 − τ ˙ ( t ) ) x ˙ T ( t − τ ( t ) ) W 2 x ˙ ( t − τ ( t ) ) ≤ x ˙ T ( t ) W 2 x ˙ ( t ) − ( 1 − μ 1 ) x ˙ T ( t − τ ( t ) ) W 2 x ˙ ( t − τ ( t ) ) (28) L V 7 ( x t ， t ， i ) = x T ( t ) Q 2 x ( t ) − ( 1 − h ˙ ( t ) ) x T ( t − h ( t ) ) Q 2 x ( t − h ( t ) ) ≤ x T ( t ) Q 2 x ( t ) − ( 1 − μ 2 ) x T ( t − h ( t ) ) Q 2 x ( t − h ( t ) ) (29) 因此，存在适当维数的矩阵 N k ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， 10 ) ，满足下面的式子 2 ξ T ( t ) N T [ − x ˙ ( t ) + A i x ( t ) + B i x ( t − h ( t ) ) + C i x ˙ ( t − τ ( t ) ) ] = 0 (30) 其中 N = [ N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 N 7 N 8 N 9 N 10 ] (31) ξ T ( t ) = [ x T ( t ) x ˙ T ( t ) x T ( t − τ ) x T ( t − h ) x ˙ T ( t − τ ) x ˙ T ( t − h )                         x T ( t − h ( t ) ) x ˙ T ( t − τ ( t ) ) ∫ t − τ t x T ( s ) d s ∫ t − h t x T ( s ) d s ] (32) 综上所述，由(11)，(12)和(23)~(32)，我们有 L V ( x t ， t ， i ) = ∑ j = 1 7 L V j ( x t ， t ， i ) ≤ ξ T ( t ) ϕ i ξ ( t ) + x T ( t ) ∑ j = U u k i λ i j ( P j − T i ) x ( t )     + ∫ t − τ t [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] T ∑ j = U u k i λ i j ( R j − S i ) [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] d s     + ∫ t − h t [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] T ∑ j = U u k i λ i j ( M j − H i ) [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] d s (33) 这儿的 ξ T ( t ) 同(32)式相同， ϕ i 见定理1中的定义。值得注意的是 λ i i = − ∑ j = 1 ， j ≠ i N λ i j ，且对于 ∀ i ≠ j 都有 λ i j ≥ 0 ，所以对于 ∀ i ∈ η 有 λ i i < 0 。因此，若 i ∈ U k i ，则由(9)~(15)式可得其充分条件 L V ( x t ， t ， i ) < 0 (34) 另一方面，若 i ∈ U u k i ，则由(9)~(18)式也可得式(34)成立，即 ε { ∫ 0 ∞ ‖ x ( t ) ‖ 2 d t | φ ， r 0 } < ∞ (35) 则由定义1可得系统(1)是随机稳定的。 其次，当 τ ( t ) = τ ， h ( t ) = h 时，系统可转变为如下的一个时不变的中立型马尔科夫跳跃系统 { x ˙ ( t ) − C ( r t ) x ˙ ( t − τ ) = A ( r t ) x ( t ) + B ( r t ) x ( t − h ) x ( t 0 + θ ) = 0 ， ∀ θ ∈ [ − ρ ， 0 ] (36) 推论1 考虑系统(36)，如果存在矩阵 P i > 0 ， R i > 0 ， M i > 0 ， W 1 > 0 ， Q 1 > 0 ，任意矩阵 P i ∈ R n ， R i ∈ R n × n ， T i ∈ R n × n ，满足以下的线性矩阵不等式 ψ i = [ ψ 11 ψ 12 A i T N 3 ψ 14 ψ 15 A i T N 6 A i T N 9 ψ 18 * ψ 22 − N 3 ψ 24 ψ 25 − N 6 − N 9 − N 10 * * − R 11 i N 3 T B i φ 35 0 0 0 * * * ψ 44 ψ 45 ψ 46 B i T N 9 ψ 48 * * * * ψ 55 C i T N 6 C i T N 9 C i T N 10 * * * * * − M 22 i 0 0 * * * * * * − 1 τ W 1 0 * * * * * * * − 12 h 3 Q 1 ] < 0 (37) R i = [ R 11 i R 12 i * R 22 i ] ， M i = [ M 11 i M 12 i * M 22 i ] (38) ∑ j ∈ U k i λ i j ( R j − S i ) < W 1 (39) ∑ j ∈ U k i λ i j ( M j − T i ) < Q 1 (40) P j − T i ≤ 0 ， j ∈ U u k i ， j ≠ i (41) R j − S i ≤ 0 ， j ∈ U u k i ， j ≠ i (42) M j − H i ≤ 0 ， j ∈ U u k i ， j ≠ i (43) P j − T i ≥ 0 ， j ∈ U u k i ， j = i (44) R j − S i ≥ 0 ， j ∈ U u k i ， j = i (45) M j − H i ≥ 0 ， j ∈ U u k i ， j = i (46) 其中 ψ 11 = P i A i + A i T P i + R 11 i + M 11 i + τ W 1 − 4 h Q 1 + N 1 T A i + A i T N 1 + ∑ j ∈ U k i λ i j ( P j − T i ) ， ψ 12 = R 12 i + M 12 i + A i T N 2 − N 1 T ， ψ 14 = − 2 h Q 1 + P i B i + A i T N 4 + N 1 T B i ， ψ 15 = P i C i + A i T N 5 + N 1 T C i ， ψ 18 = 6 h 2 Q 1 + A i T N 10 ， ψ 22 = R 22 i + M 22 i + h Q 1 − N 2 T − N 2 ， ψ 24 = − N 4 + N 2 T B i ， ψ 25 = − N 5 + N 2 T C i ， ψ 35 = − R 12 i + N 3 T C i ， ψ 44 = − M 11 i − 4 h Q 1 + N 4 T B i + B i T N 4 ， ψ 45 = B i T N 5 + N 4 T C i ， ψ 46 = − M 12 i + B i T N 6 ， ψ 48 = 6 h 2 Q 1 + A i T N 10 ， ψ 55 = − M 22 i + N 5 T C i + C i T N 5 ， 则称系统(36)是随机稳定系统。 证明：构造一个随机的李雅普诺夫泛函 V ( x t ， t ， r t ) = x T ( t ) P ( r t ) x ( t ) + ∫ t − τ t [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] T R r t [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] d s + ∫ t − h t [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] T M r t [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] d s     + ∫ − τ 0 ∫ t + θ t x T ( s ) W 1 x ( s ) d s d θ + ∫ − h 0 ∫ t + θ t x ˙ T ( s ) Q 1 x ˙ ( s ) d s d θ 这儿的 P r t ， R r t ， M r t ， W 1 ， Q 1 ， r t ∈ η 都是适当维数的正定矩阵，它的证明过程与定理(1)的证明类似，因此此处省略。 最后，考虑以下不确定中立型马尔科夫跳跃系统 { x ˙ ( t ) − ( C ( r t ) + Δ C ( r t ) ) x ˙ ( t − τ ( t ) ) = ( A ( r t ) + Δ A ( r t ) ) x ( t ) + ( B ( r t ) + Δ B ( r t ) ) x ( t − h ( t ) ) x ( t 0 + θ ) = θ ， ∀ θ ∈ [ − ρ ， 0 ] (47) 其中 Δ A ( r t ) ， Δ B ( r t ) ， Δ C ( r t ) 为不确定的参数矩阵，且可以表示为 [ Δ A ( r t ) Δ B ( r t ) Δ C ( r t ) ] = L r t K r t ( t ) [ F 1 ( r t ) F 2 ( r t ) F 3 ( r t ) ] (48) L r t ， Δ A ( r t ) ， Δ B ( r t ) ， Δ C ( r t ) 是已知的适当维数的模态相关矩阵， K r t ( t ) 是具有勒贝格可测元的时滞未知矩阵函数，且满足 。 通过变换，系统(47)可转化为如下形式 { x ˙ ( t ) − C ( r t ) x ˙ ( t − τ ( t ) ) = A ( r t ) x ( t ) + B ( r t ) x ( t − h ( t ) ) + L i u i z i = F 1 ( r t ) x ( t ) + F 2 ( r t ) x ( t + h ( t ) ) + F 3 ( r t ) x ˙ ( t − τ ( t ) ) (49) 这儿的 u i = K r t ( t ) z i ，而且有下面的不等式成立，即 u i T u i ≤ [ F 1 ( r t ) x ( t ) + F 2 ( r t ) x ( t + h ( t ) ) + F 3 ( r t ) x ˙ ( t − τ ( t ) ) ] T                   ⋅ [ F 1 ( r t ) x ( t ) + F 2 ( r t ) x ( t + h ( t ) ) + F 3 ( r t ) x ˙ ( t − τ ( t ) ) ] (50) 使用与定理1类似的证明方法，我们可以得到定理2。 定理2 考虑系统(50)，如果存在矩阵 P i > 0 ， R i > 0 ， M i > 0 ， W 1 > 0 ， W 2 > 0 ， Q 1 > 0 ， Q 2 > 0 ，任意矩阵 P i ∈ R n ， R i ∈ R n × n ， T i ∈ R n × n ，满足以下的线性矩阵不等式 ϕ ∼ i = [ φ 11 φ 12 A i T N 3 φ 14 A i T N 5 A i T N 6 φ 17 φ 18 A i T N 9 φ 1 ， 10 P i L i ε F 1 i * φ 22 − N 3 − N 4 − N 5 − N 6 φ 27 φ 28 − N 9 − N 10 0 0 * * − R 11 i 0 − R 12 i 0 N 3 T B i N 3 T C i 0 0 0 0 * * * φ 44 0 − M 12 i N 4 T B i N 4 T C i 0 6 h 2 Q 1 0 0 * * * * − R 22 i 0 N 5 T B i N 5 T C i 0 0 0 0 * * * * * − M 22 i N 6 T B i N 6 T C i 0 0 0 0 * * * * * * φ 77 φ 78 B i T N 9 B i T N 10 0 ε F 2 i * * * * * * * φ 88 C i T N 9 C i T N 10 0 ε F 3 i * * * * * * * * − 1 τ W 1 0 0 0 * * * * * * * * * − 12 h 3 Q 1 0 0 * * * * * * * * * * − ε I 0 * * * * * * * * * * * − ε I ] < 0 (51) R i = [ R 11 i R 12 i * R 22 i ] ， M i = [ M 11 i M 12 i * M 22 i ] (52) ∑ j ∈ U k i λ i j ( R j − S i ) < W 1 (53) ∑ j ∈ U k i λ i j ( M j − T i ) < Q 1 (54) P j − T i ≤ 0 ， j ∈ U u k i ， j ≠ i (55) R j − S i ≤ 0 ， j ∈ U u k i ， j ≠ i (56) M j − H i ≤ 0 ， j ∈ U u k i ， j ≠ i (57) P j − T i ≥ 0 ， j ∈ U u k i ， j = i (58) R j − S i ≥ 0 ， j ∈ U u k i ， j = i (59) M j − H i ≥ 0 ， j ∈ U u k i ， j = i (60) 其中 φ i j 同定理1中所定义的相同，则称系统(47)是随机稳定系统。 证明：运用与定理1相似的证明方法，可得到不等式 L V ( x t ， t ， i ) = ∑ j = 1 7 L V j ( x t ， t ， i ) ≤ γ T ( t ) ψ ˜ i γ ( t ) + x T ( t ) ∑ j = U u k i λ i j ( P j − T i ) x ( t )     + ∫ t − τ t [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] T ∑ j = U u k i λ i j ( R j − S i ) [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] d s     + ∫ t − h t [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] T ∑ j = U u k i λ i j ( M j − H i ) [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] d s (61) 其中 γ T ( t ) = [ x T ( t ) x ˙ T ( t ) x T ( t − τ ) x T ( t − h ) x ˙ T ( t − τ ) x ˙ T ( t − h )                         x T ( t − h ( t ) ) x ˙ T ( t − τ ( t ) ) ∫ t − τ t x T ( s ) d s ∫ t − h t x T ( s ) d s u i T ] (62) 及 ψ ˜ i = [ φ 11 φ 12 A i T N 3 φ 14 A i T N 5 A i T N 6 φ 17 φ 18 A i T N 9 φ 1 ， 10 P i L i * φ 22 − N 3 − N 4 − N 5 − N 6 φ 27 φ 28 − N 9 − N 10 0 * * − R 11 i 0 − R 12 i 0 N 3 T B i N 3 T C i 0 0 0 * * * φ 44 0 − M 12 i N 4 T B i N 4 T C i 0 6 h 2 Q 1 0 * * * * − R 22 i 0 N 5 T B i N 5 T C i 0 0 0 * * * * * − M 22 i N 6 T B i N 6 T C i 0 0 * * * * * * φ 77 φ 78 B i T N 9 B i T N 10 0 * * * * * * * φ 88 C i T N 9 C i T N 10 0 * * * * * * * * − 1 τ W 1 0 0 * * * * * * * * * − 12 h 3 Q 1 0 * * * * * * * * * * 0 ] < 0 (63) 其中 φ i j 同定理1中所定义的相同。由(50)式，应用Suchr’s补引理 [ 5 ] ，我们可以找到正实数 ε > 0 ，使得下面不等式成立 L V ( x t ， t ， i ) ≤ γ T ( t ) ψ ˜ i γ ( t ) + x T ( t ) ∑ j = U u k i λ i j ( P j − T i ) x ( t )     + ∫ t − τ t [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] T ∑ j = U u k i λ i j ( R j − S i ) [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] d s     + ∫ t − h t [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] T ∑ j = U u k i λ i j ( M j − H i ) [ x ( s ) x ˙ ( s ) ] d s     + ε { [ F 1 ( r t ) x ( t ) + F 2 ( r t ) x ( t + h ( t ) ) + F 3 ( r t ) x ˙ ( t − τ ( t ) ) ] T     ⋅ [ F 1 ( r t ) x ( t ) + F 2 ( r t ) x ( t + h ( t ) ) + F 3 ( r t ) x ˙ ( t − τ ( t ) ) ] − u i T u i } (64) 这儿的 γ T ( t ) 同(62)式相同， ψ ˜ i 同(63)式相同。值得注意的是， λ i i = − ∑ j = 1 ， j ≠ i N λ i j ，且对于 ∀ i ≠ j 都有 λ i j ≥ 0 ，所以对于 ∀ i ∈ η 有 λ i i < 0 。因此，若 i ∈ U k i ，则由(51)~(57)式可得其充分条件 L V ( x t ， t ， i ) < 0 (65) 另一方面，若 i ∈ U u k i ，则由(51)~(60)式也可得式(65)成立，即 ε { ∫ 0 ∞ ‖ x ( t ) ‖ 2 d t | φ ， r 0 } < ∞ (66) 则由定义1可得系统(47)是随机稳定的。