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user: 2. 预备知识 2.1. 语言术语集 语言术语集是由一系列具有评价功能的语言术语组成的集合，如“差”“中”“好”等，决策者可使用这些术语表达其对方案的评价，语言术语集一般由奇数个术语组成，其定义如下： 定义1： [ 13 ] [ 14 ] ： S = { s t | t = 0 ， 1 ， ⋯ ， τ } ( τ 是正整数)是一个由奇数个语言术语组成的有限组合，对于任意两个语言术语 s α ， s β ∈ S ，给定 λ 1 ， λ 2 ∈ [ 0 ， 1 ] ，存在以下运算定律： 1) S α ⊕ S β = S α + β ； 2) λ S α = S λ α ； 3) λ ( S α + S β ) = λ S α + λ S β ； 4) λ 1 S α + λ 2 S β = S λ 1 α + λ 2 β 。 2.2. 概率语言术语集 为了帮助决策者更加准确地评价方案，Pang等提出了概率语言术语集，要求决策者在利用语言术语评价方案同时，需给出其对每个语言术语的偏好。概率语言术语集相关定义如下： 定义2 [ 9 ] ： S = { s t | t = 0 ， 1 ， ⋯ ， τ } ( τ 是正整数)是一个语言术语集，相应的概率语言术语集可被定义为： L ( p ) = { L ( k ) ( p ( k ) ) | L k ∈ S ， p ( k ) ≥ 0 ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， # L ( p ) ， ∑ k = 1 # L ( p ) p ( k ) ≤ 1 } 其中， L ( k ) ( p ( k ) ) 中 L ( k ) 是一个语言术语， p ( k ) 是它的概率； # L ( p ) 是这个语言术语集中语言术语的个数，即 L ( k ) 的个数。 定义3 [ 9 ] ：对于一个给定的概率语言术语集 L ( p ) 且 ∑ k = 1 # L ( p ) p ( k ) < 1 ，其对应的标准化概率语言术语集为： L ¯ ( p ) = { L ( k ) p ¯ ( k ) | k = 1 ， 2 ， ⋯ ， # L ( p ) } ，其中， p ¯ ( k ) = p ( k ) ∑ k = 1 # L ( p ) p ( k ) 。 对两个或两个以上概率语言术语集进行标准化操作时，在概率语言术语集中语言术语个数不同时，根据其中最多语言术语的个数，需补充其他概率语言术语集，规则是：添加概率语言术语集中下标最小的语言术语，并规定其概率为零，使所有的概率语言术语集中语言术语个数相同。下文中概率语言术语集假设已经过标准化处理。 例1：假设 S = { s 0 ， s 1 ， s 2 ， s 3 ， s 4 } ，两个概率语言术语集分别为 L 1 ( p ) = { s 1 ( 0.4 ) ， s 2 ( 0.2 ) ， s 3 ( 0.2 ) } 和 L 2 ( p ) = { s 0 ( 0.6 ) ， s 2 ( 0.4 ) } ，根据定义3， L ¯ 1 ( p ) = { s 1 ( 0.5 ) ， s 2 ( 0.25 ) ， s 3 ( 0.25 ) } ，因为 # L 1 ( p ) > # L 2 ( p ) ，则在 L 2 ( p ) 补充其中下标最小的语言术语 s 0 ，使 L 1 ( p ) 和 L 2 ( p ) 中语言术语个数相同，即 L ¯ 2 ( p ) = { s 0 ( 0.6 ) ， s 2 ( 0.4 ) ， s 0 ( 0 ) } 。 定义4 [ 9 ] [ 10 ] [ 15 ] ：对于任意给定的三个标准化概率语言术语集 L ( p ) = { L k ( p ( k ) ) | k = 1 ， 2 ， ⋯ ， # L ( p ) } ， L 1 ( p ) = { L 1 ( k 1 ) ( p 1 ( k 1 ) ) | k 1 = 1 ， 2 ， ⋯ ， # L 1 ( p ) } ， L 2 ( p ) = { L 2 ( k 2 ) ( p 2 ( k 2 ) ) | k 2 = 1 ， 2 ， ⋯ ， # L 2 ( p ) } ， γ ∈ [ 0 ， 1 ] ， λ 是正实数， η ( k ) ∈ g ( L ( p ) ) ， η 1 ( k 1 ) ∈ g ( L 1 ( p ) ) ， η 2 ( k 2 ) ∈ g ( L 2 ( p ) ) ，且 k = 1 ， 2 ， ⋯ ， # L ( p ) ， k 1 = 1 ， 2 ， ⋯ ， # L 1 ( p ) ， k 2 = 1 ， 2 ， ⋯ ， # L 2 ( p ) ，其中等价转换函数g的定义如下： g : [ 0 ， τ ] → [ 0 ， 1 ] ， g ( L ( p ) ) = { r ( k ) τ ( p ( k ) ) } = L γ ( p ) ， γ ∈ [ 0 ， 1 ] g − 1 : [ 0 ， 1 ] → [ 0 ， τ ] ， g − 1 ( L γ ( p ) ) = { s γ τ ( p ( γ ) ) | γ ∈ [ 0 ， 1 ] } = L (p) 其中， η ( k ) = r ( k ) τ ， r ( k ) 是语言术语 L ( k ) 的下标。 1) λ L ( p ) = g − 1 ( ∪ η ( k ) ∈ g ( L ) { ( 1 − ( 1 − η ( k ) ) λ ) ( p ( k ) ) } ) ； 2) L λ ( p ) = g − 1 ( ∪ η ( k ) ∈ g ( L ) { ( η ( k ) ) λ ( p ( k ) ) } ) ； 3) L 1 ( p ) ⊕ L 2 ( p ) = g − 1 ( ∪ η 1 ( k 1 ) ∈ g ( L 1 ( p ) ) ， η 2 ( k 2 ) ∈ g ( L 2 ( p ) ) { ( η 1 ( k 1 ) + η 2 ( k 2 ) − η 1 ( k 1 ) η 2 ( k 2 ) ) ( p 1 ( k 1 ) p 2 ( k 2 ) ) } ) ； 4) L 1 ( p ) ⊖ L 2 ( p ) = g − 1 ( ∪ η 1 ( k 1 ) ∈ g ( L 1 ( p ) ) ， η 2 ( k 2 ) ∈ g ( L 2 ( p ) ) { ∏ ( p 1 ( k 1 ) p 2 ( k 2 ) ) } ) ； 其中， ∏ = { η 1 ( k 1 ) − η 2 ( k 2 ) 1 − η 2 ( k 2 ) ， ( η 1 ( k 1 ) ≥ η 2 ( k 2 ) 且 η 2 ( k 2 ) ≠ 1 ) 0 。 定义5 [ 9 ] ：给定概率语言术语集 L ( p ) = { L k ( p ( k ) ) | k = 1 ， 2 ， ⋯ ， # L ( p ) } ， r ( k ) 是语言术语 L ( k ) 的下标，则 L ( p ) 的得分函数定义为： E ( L ( p ) ) = S α ¯ 其中， α ¯ = ∑ k = 1 # L ( p ) r ( k ) p ( k ) / ∑ k = 1 # L ( p ) p ( k ) 。 根据 E ( L ( p ) ) = S α ¯ 对两个概率语言术语集 L 1 ( p ) ， L 2 ( p ) 进行大小比较，如果 E ( L 1 ( p ) ) > E ( L 2 ( p ) ) ，则称 L 1 ( p ) 优于 L 2 ( p ) ，记作 L 1 ( p ) ≻ L 2 ( p ) ；如果 E ( L 1 ( p ) ) < E ( L 2 ( p ) ) ，则称 L 2 ( p ) 优于 L 1 ( p ) ，记作 L 1 ( p ) ≺ L 2 ( p ) 。 定义6 [ 12 ] ：两个标准化的概率语言术语集 L 1 ( p ) ， L 2 ( p ) 间的距离定义为： d ( L 1 ( p ) ， L 2 ( p ) ) = ∑ k = 1 # L 1 ( p ) ( p 1 ( k ) r 1 ( k ) − p 2 ( k ) r 2 ( k ) ) 2 / # L 1 (p) 其中 r 1 ( k ) 和 r 2 ( k ) 分别是 L 1 ( p ) ， L 2 ( p ) 的下脚标。 基于直觉模糊集和犹豫模糊集集结算子的思想，结合概率语言术语集的运算法则，下面给出概率语言术语集的集结算子。 定义7 [ 16 ] ：设 L j ( p ) = { L j ( k ) ( p j ( k ) ) | k = 1 ， 2 ， ⋯ ， # L j ( p ) } ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 为一组概率语言术语集，集结算子PLWA： L n → L 定义如下： PLWA ( L 1 ( p ) ， ⋯ ， L n ( p ) ) = ∑ j = 1 n w j L j ( p ) = g − 1 ( ∪ η j ( k ) ∈ g ( L j ( p ) ) { ( 1 − ∏ j = 1 n ( 1 − η j ( k ) ) w j ) ( ∏ g = 1 t p j k ) } ) 其中， w j 是 L j ( p ) 的加权向量，集结算子PLWA得到的仍然是一个概率语言术语集。