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user: 4. 证明曲面为柱面的方法解析 证明一个曲面 Σ 为柱面，亦有三种解题思路： 思路一判断方程是否只含有两个自变量，或通过坐标变换 [ 1 ] [ 2 ] (仿射坐标变换 3 或直角坐标变换)转化成只含有两个自变量的方程，若是则完成证明； 思路二类似于锥面的解析法二，将证明题转化为计算题。分三步：找出母线方向；找一条准线；求柱面方程，判断所求柱面方程与已知曲面方程的一致。思路三直线参数与恒等式结合法，类似于例1中的方法二； 思路三直线参数与恒等式结合法，类似于例1中的方法二。曲面 Σ : F ( x ， y ， z ) = 0 是柱面的充要条件是存在一个固定方向 X : Y : Z 使得对曲面上任意一点 M 0 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) ，直线 L : { x = x 0 + X t ， y = y 0 + Y t ， z = z 0 + Z t   t ∈ ℝ 上的点都在曲面 Σ 上 [ 1 ] [ 2 ]，即 F ( x 0 + X t ， y 0 + Y t ， z 0 + Z t ) = 0 是一个关于t的恒等式。这种思路的关键是找出这样的固定方向 X : Y : Z 。 例4证明：在右手直角坐标系 I : [ O ; e 1 ， e 2 ， e 3 ] 中，曲面 Σ : ( x − 2 y − 2 z + 2 ) ( 2 x + y − z ) = 1 表示的图形是柱面，并求出它的母线方向。 证明： 方法一坐标变换法。在进行坐标变换时，尽可能利用右手直角坐标变换使得曲面方程在新的仿射标架 II : [ O ′ ; e ′ 1 ， e ′ 2 ， e ′ 3 ] 中只含两个自变量。 令 { x ′ = x − 2 y − 2 z + 2 y ′ = 2 x + y − z z ′ = z ，则 { x = 1 5 ( x ′ + y ′ + 4 z ′ − 2 ) y = 1 5 ( − 2 x ′ + y ′ − 3 z ′ ) + 4 5 z = z ′ (8) 其中，从标架I到标架II的点坐标变换公式(8)中右端 x ′ ， y ′ ， z ′ 的系数分别构成了基向量 e ′ 1 = 1 5 ( 1 − 2 0 ) ， e ′ 2 = 1 5 ( 1 1 0 ) ， e ′ 3 = 1 5 ( 4 − 3 5 ) ，它们是仿射标架 II : [ O ′ ; e ′ 1 ， e ′ 2 ， e ′ 3 ] 的基向量 e ′ 1 ， e ′ 2 ， e ′ 3 在原来的右手直角标架 [ O ; e 1 ， e 2 ， e 3 ] 中的坐标。 在新仿射标架 II : [ O ′ ; e ′ 1 ， e ′ 2 ， e ′ 3 ] 下，曲面 Σ 的方程为 x ′ y ′ = 1 ，它是一个母线方向为 v = 5 e ′ 3 = ( 4 ， − 3 ， 5 ) T ，准线为 C : { x ′ y ′ = 1 z ′ = 0 的柱面。在原右手直角标架 I : [ O ; e 1 ， e 2 ， e 3 ] 下，柱面 Σ 的母线方向为 ( 4 ， − 3 ， 5 ) T ，其中一条准线为 C : { ( x − 2 y − 2 z + 2 ) ( 2 x + y − z ) = 1 z = 0 方法二 因式分解法，将证明题转化为计算题。 直线 4 { x − 2 y − 2 z + 2 = 1 ， 2 x + y − z = 1 的一个方向向量为 ν = ( | − 2 − 2 1 − 1 | ， − | 1 − 2 2 − 1 | ， | 1 − 2 2 1 | ) T = ( 4 ， − 3 ， 5 ) T ， 下面求以曲线 C : { ( x − 2 y − 2 z + 2 ) ( 2 x + y − z ) = 0 ， z = 0 (9) 为准线，以 ν = ( 4 ， − 3 ， 5 ) T 为母线方向的柱面 Σ 1 的方程。 过C上一点 M ( x ′ ， y ′ ， 0 ) 的直母线参数方程为 { x = x ′ + 4 t ， y = y ′ − 3 t ， z = 5 t . 故 t = z 5 ， x ′ = x − 4 5 z ， y ′ = y + 3 5 z (10) 将(10)代入(9)的第一个方程，得柱面 Σ 1 的方程 [ ( x − 4 5 z ) − 2 ( y + 3 5 z ) + 2 ] [ 2 ( x − 4 5 z ) + ( y + 3 5 z ) ] = 0 整理得 ( x − 2 y − 2 z + 2 ) ( 2 x + y − z ) = 1 (11) 方程(11)与 Σ 的方程相同，证明了 Σ = Σ 1 是柱面，它的母线方向为 ν = ( 4 ， − 3 ， 5 ) T 。□ 例5证明：在仿射坐标系中，方程 x 2 + y 2 + z 2 + 2 x z − 1 = 0 表示的曲面是柱面。 证明 说明：利用方法三恒等式与直线参数结合法，类似于例1中的方法二。 注意到：曲面 Σ : F ( x ， y ， z ) = 0 是柱面的充要条件是存在一个固定方向 X : Y : Z 使得对曲面上任意一点 M 0 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) ∈ Σ ，直线 L : { x = x 0 + X t ， y = y 0 + Y t ， z = z 0 + Z t   t ∈ ℝ 上的点都在曲面 Σ 上，即 F ( x 0 + X t ， y 0 + Y t ， z 0 + Z t ) = 0 是一个关于t的恒等式。所以我们只需找出这样的方向 X : Y : Z 。 将曲面方程改写成 ( x + z ) 2 + y 2 − 1 = 0 。考虑关于t的方程 ( x 0 + X t + z 0 + Z t ) 2 + ( y 0 + Y t ) 2 − 1 = 0 ， (12) 其中 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) 满足方程 ( x 0 + z 0 ) 2 + y 0 2 − 1 = 0 。整理得 [ ( X + Z ) 2 + Y 2 ] t 2 + 2 [ ( x 0 + z 0 ) ( X + Z ) + y 0 Y ] t = 0 . (13) 当 X + Z = 0 且 Y = 0 ，即 X : Y : Z = 1 : 0 : ( − 1 ) 时，式(13)成为恒等式。因此它是一个柱面，方向为 1 : 0 : ( − 1 ) 。 附注：曲面 Σ 的准线可取 C : { x 2 + y 2 = 1 ， z = 0. 但是平面 y = 0 与柱面的交线 { ( x + z ) 2 = 1 ， y = 0 是两条母线，不能作为准线。□ 例6 证明：在右手直角坐标系中，方程 f ( 2 x + y − 3 z ， x − 2 y ) = 0 表示的图形是柱面。求出它的母线方向；找出它的一条准线。 证明 方法一坐标变换法(使用直角坐标变换) [ 2 ]。 设原右手直角坐标系为 I : [ O ; e 1 ， e 2 ， e 3 ] 。两个平面 π 1 : 2 x + y − 3 z = 0 与 π 2 : x − 2 y = 0 垂直，且都经过原点O。分别以 π 1 ， π 2 为新右手直角坐标系 II : [ O ; e ′ 1 ， e ′ 2 ， e ′ 3 ] 的 y ′ O z ′ 平面 x ′ = 0 和 x ′ O z ′ 平面 y ′ = 0 ，取这两个平面的单位法向量为 e ⇀ ′ 1 ， e ⇀ ′ 2 ，再取 e ′ 3 = e ′ 1 × e ′ 2 ，即 { e ′ 1 = 2 14 e 1 + 1 14 e 2 − 3 14 e 3 ， e ′ 2 = 1 5 e 1 − 2 5 e 2 + 0 e 3 ， e ′ 3 = − 6 70 e 1 − 3 70 e 2 − 5 70 e 3 . 于是，II到I的坐标变换公式为 ( x ′ y ′ z ′ ) = ( 2 14 1 5 − 6 70 1 14 − 2 5 − 3 70 − 3 14 0 − 5 70 ) T ( x y z ) = ( 2 14 1 14 − 3 14 1 5 − 2 5 0 − 6 70 − 3 70 − 5 70 ) ( x y z ) . 所以 x ′ = 1 14 ( 2 x + y − 3 z ) ， y ′ = 1 5 ( x − 2 y ) ， z ′ = − 1 70 ( 6 x + 3 y + 5 z ) ， 即有 2 x + y − 3 z = 14 x ′ ， x − 2 y = 5 y ′ . 在新坐标系中，方程 f ( 2 x + y − 3 z ， x − 2 y ) = 0 化为 f ( 14 x ′ ， 5 y ′ ) = 0 。所以它的图形是一个母线平行于 z ′ 轴(即 π 1 ， π 2 的交线)的柱面，母线方向是 e ′ 3 = − 6 70 e 1 − 3 70 e 2 − 5 70 e 3 ∥ 6 e 1 + 3 e 2 + 5 e 3 . 5 在坐标系II中，它的一条准线为 C :     { f ( 14 x ′ ， 5 y ′ ) = 0 ， z ′ = 0. 这条准线在坐标系I中的方程是 C : { f ( 2 x + y − 3 z ， x − 2 y ) = 0 ， 6 x + 3 y + 5 z = 0. □ 方法二 将证明题转化为计算题。找出母线方向和一条准线，求柱面方程。 两个平面 π 1 : 2 x + y − 3 z = 0 与 π 2 : x − 2 y = 0 的交线方向是 6 : 3 : 5 。因此 π : 6 x + 3 y + 5 z = 0 是一个与 π 1 ， π 2 都垂直的平面。考虑以 C : { F ( x ， y ， z ) ≡ f ( 2 x + y − 3 z ， x − 2 y ) = 0 ， 6 x + 3 y + 5 z = 0 为准线，母线方向为 6 : 3 : 5 的柱面 Σ 。设 ∀ M ( x ， y ， z ) ∈ Σ ，过M点的母线与准线C交于点 M 0 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) ，则 { F ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) ≡ f ( 2 x 0 + y 0 − 3 z 0 ， x 0 − 2 y 0 ) = 0 ( 14 ) 6 x 0 + 3 y 0 + 5 z 0 = 0     ( 15 ) x = x 0 + 6 u ，     y = y 0 + 3 u ，     z = z 0 + 5 u ，     u ∈ R       (16) 由(16)得 x 0 = x − 6 u ， y 0 = y − 3 u ， z 0 = z − 5 u (17) 将(17)代入(14)，(15)，得 (I) { F ( x − 6 u ， y − 3 u ， z − 5 u ) ≡ f ( 2 ( x − 6 u ) + ( y − 3 u ) − 3 ( z − 5 u ) ， ( x − 6 u ) − 2 ( y − 3 u ) ) = f ( 2 x + y − 3 z ， x − 2 y ) = 0 ， 6 ( x − 6 u ) + 3 ( y − 3 u ) + 5 ( z − 5 u ) = 0 所以方程组(I)等价于 { f ( 2 x + y − 3 z ， x − 2 y ) = 0 ， 70 u = 6 x + 3 y + 5 z . 由上面第二个方程得 u = ( 6 x + 3 y + 5 z ) / 70 ，代入上面第一个方程得柱面 Σ 的方程 f ( 2 x + y − 3 z ， x − 2 y ) = 0. 这说明方程 f ( 2 x + y − 3 z ， x − 2 y ) = 0 的图形是柱面 Σ ，它的母线方向是 6 : 3 : 5 ，它的一条准线是C。 注 如果题给的两个平面不垂直，则第一种证明方法失效。例如，方程 f ( x + y − 3 z ， x − 2 y ) = 0 表示的图形也是柱面，但是不能通过直角坐标变换来证明，然而可以利用仿射坐标变换来证明。□