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user: 3. 主要结果 为了表述需要，我们给出下面的一些记号：  ；  ； ； ；  ； ； ；  ， ， ， 。 由中国剩余定理，我们可以定义一个从 到 的同构，记为 。 定理3.1令k，l，m为不同的奇素数，并且q为一个素数的幂次。根据 ， ， ， ，那么 ， ， ， 并 且所有不同的q模klm的分圆陪集为 ， ， ， ， ， ， ， . 其中 ， ， ， ， ， ， ， 。 证明假设 ，其中 都为整数且满足 ， ， 。因此存在整数v， ，使得 . 由 是一个同构，我们能得到下面的条件： (1) (2) 因为 ，由条件(1)可得 。因此 。再根据 可得 。由此可得， 。因此 ，从而 。同样地，由条件(2)得到 。因此 。由于 ，我们可以得到 。由此可得， 。因此 。再根据 和 可以得到 。由于 ，所以 。把 代入 可得 ，由此可得 。再根据 可得 。 那么 ， ， ， 为q模klm的互不相同的陪集。同理可证 ， ， ， ， ， ， 也为q模klm的互不相同的陪集。 下面假设 ，其中 ， ， ， ， 。因此存在整数 ， ，使得 . 由 是一个同构，我们能得到下面的条件： (3) (4) (5) 由条件(3)可得到 ，因此 。再根据 可得 。由此可得， 。因此 ，从而 。 由条件(4)可得到 ，因此 。再根据 可得 。由 此可得， 。因此 ，从而 。又因为 ，所以 。再根据 ，可得 。 由条件(5)可得到 ，因此 。再根据 可得 。 且由此可得 。因此 。再由 与 可得 。从而由 ，可得 。 我们根据 并且 ，可得 。再根据 可得 。从而我们得到 ， ， ， ， ， ， ， 均为q模klm不同的陪集，其中 ， ， ， ， ， ， ， 。由于 从而，我们就得到了所有q模klm的分圆陪集。 我们记 ， ， ， ， ， ， 。则 ， ， ， ， ， ， ， 为所有q模klm的分圆陪集，其中 ， ， ， ， ， ， 。 为方便陈述，我们记 ，则 定理3.2令k，l，m为不同的奇素数，并且q为一个素数的幂次。则由 ， ， 可得 。 1) 若 ， 。则所有不同的 模lm的分圆陪集为 ， ， ， . 2) 若 ， 。则所有不同的 模lm的分圆陪集为 ， ， ， . 3) 若 ， 。则所有不同的 模lm的分圆陪集为 ， ， ， . 其中 ， ， ， 。 证明：假设 ，其中 都为整数且满足 ， ， ， 。那么存在整数s， 使得 。 因为 是一个同构，我们可以得到下面的条件： 1) 2) 因为 ，由条件1)可得 。因此 。再根据 可得 。更进一步地可得， 。所以 ，从而 。 由条件2)可得， 。因此 。再根据 可得 。更进一步地可得， 。所以 。又因为 且 ，所以 。而 ，所以 。 把 ， ， 代入到1)和2)中，我们可以得到 ， . 又因为 ，从而可以得到 。所以 。又由于 ，我们可以得到 ，因此 。再根据 可得 。再把 代入 可得 ，从而 。再根据 ，可得 。 从而我们说明了 ， ， ， ， 为 模lm的互不相同的陪集。 并且对于情况(1)，我们有 . 从而当 ， 时， ， ， ， 为所有不同的 模lm的分圆陪集，其中 ， ， ， 。 同理可证情况(2)和情况(3)。 定理3.3令k，l，m，p为不同的奇素数，并且p为 的特征。假设 ， 。那么对任意的 我们有 ，其中 。而且 1) 当 ，即 时， 其中 并且满足 。 2) 当 时， (2.1)若 ，则 . 其中 ， ， ， 。 并且满足 ， ， 和 分别为 中的 次和 次单位根。 (2.2)当 时，则有 i) 若 ， 则 . 其中 ， ， ， 。 ii) 若 ， 。则 . 其中 ， 。 iii) 若 ， 。则 . 证明：1) 若 ，即 ，由命题2.2(1)可得 ，所以存在 使得 。又因为 ，所以 . 2) 当 时，令 ，其中 。 则由命题2.2 (1)可得 ，所以存在 使得 。令 ，则 且 。因此 . 又因为 ，由引理2.3可知 ，所以存在 使得 且 。 因为 是一个有限循环群，所以存在整数 使得 ，并且 满足 。根据 可得 . 又因为 ，所以存在整数 和 使得 。因此可得 . (2.1)当 ，则所有不同的 模lm的分圆陪集仍为 ， ， ， ，其中 ， ， 。则 . 所以 . 令 ， 。则 . 因此 . 令 。那么对所有的 ， ，且 。又因为 ，故当j取遍 时， 取遍 。令 ， ， ， 。 显然为 上的不可约多项式。因为 ，则当 取遍 ，j取遍 时， 取遍 的所有根。因为 ，且 。因此 仍然为 的根，从而我们可得 是 在 上的极小多项式，故 为 上的不可约多项式。同理可证 和 均为 上的不可约多项式。从而 . 为 在 上的不可约分解。 (2.2)当 时， i) 若 ， 则所有不同的 模lm的分圆陪集为 ， ， ， ，其中 ， ， ， 。所以 . 从而 . 令 ， ， ， . 同(2.1)可说明 与 均在 不可约。令 为 的一个根，则 。因为 ，所以 。因此 为 的一个根。 根据数学归纳法可得 为 在 上的极小多项式，故 在 不可约。同理可证 也为 上的不可约多项式。从而 . ii) 若 ， 。则所有不同的模的分圆陪集为 ， ， ， ，其中 ， ， ， 。则 令 ， . 类似可证 与 均为 上的不可约多项式。从而 . iii) 若 ， 。则所有不同的 模lm的分圆陪集为 ， ， ， ，其中 ， ， ， 。则 . 定理3.4令k，l，m，p为不同的奇素数，并且p为 的特征。假设 。则 其中 并且满足 。 证明：因为 ，则 。从而根据命题2.2(2) 可得 ，所以存在 使得 。又因为 ，所以 定理3.5令k，l，m，p为不同的奇素数，并且p为 的特征。假设 ， ， 。那么对任意的 我们有 ，其中 。而且 1) 当 ，即 时， 其中 并且满足 。 2) 当 ， 并且 。则 . 其中 并且满足 ， 为 中的 次单位根， 。 证明(1)与定理3.3(1)的证明类似。 (2)当 ， 并且 。我们有 。根据命题2.2(2)可得 ，所以存在 使得 。同时我们有 . 令 ，则 。从而 . 令 ， ，则 且 。则 . 因为 。所以存在 使得 。从而我们可以得到 . 所以 . 定理3.6令k，l，m，p为不同的奇素数，并且p为 的特征。假设 ， ， 。那么对任意的 我们有 ，其中 。而且 1) 当 ，即 时， 其中 并且满足 。 2) 当 ， 并且 。那么 . 其中 并且满足 。 3) 当 ， 并且 。那么 . 其中 并且满足 。 证明(1)与定理3.3(1)的证明类似。 (2)当 ， 并且 。我们有 。根据命题2.2可得 ，所以存在 使得 。同时我们有 . 令 ，则 。因此可得 . 又因为 ，所以 。再根据引理2.4可知多项式 在 不可约。所以 . (3)若 ， 并且 。那么 ，所以存在 使得 。同时我们有 . 并且可得 。又因为 ，所以 。再根据引理2.5可知多项式 在不可约。所以 . 定理3.7令C是在 上长度为 的 常循环码。在定理3.3的条件下，有下面的结论成立： 1) 当 时。记 ，则 . 对于任意的 ， ， ， ， ， ， ，都有 。 2) 当 时， (2.1)若 ，则 . 对于任意的 ， ， 都有 。 (2.2)当 时，则有 i) 若 ， 则 . 对于任意的 ， ， ， 都有 。 ii) 若 ， 。则 . 对于任意的 ， ， ， 都有 。 iii) 若 ， 。则 . 对于任意的 ， ， ， 都有 。 定理3.8令C是在 上长度为 的 常循环码。在定理3.4的条件下，记 ，有下面的结论成立： . 对于任意的 ， ， ， ， ， ， ，都有 。 定理3.9令C是在 上长度为 的 常循环码。在定理3.5的条件下，有下面的结论成立： 1) 当 时， . 其中 。的 ， ， ， ， ， ， ，都有 。 2) 当 ， 并且 。则 . 对于任意的 ， ， 都有 。 定理3.10令C是在 上长度为 的 常循环码。在定理3.6的条件下，有下面的结论成立： 1) 当 时， . 其中 。且 ， ， ， ， ， ， ，都有 。 2) 当 ， 并且 。那么 . 对于任意的 都有 。 3) 当 ， 并且 。那么 . 对于任意的 都有 。