system: [SYSTEM]

user: 6. 刘慈欣椭球 图4. 刘慈欣椭球太空城 伯纳尔球体虽然提供了很大的居住空间，但在两极附近区域由于模拟重力方向与地面不垂直而形成斜坡，使得宜居区所占比例不够大，这时可以考虑其它形状，比如椭球体，以扩大宜居区面积比例。在刘慈欣所著《三体Ⅲ》中描述到 [ 8 ]：“在球形或椭球形城市构型中，在重力方向上赤道是最低处，城市的水体自然集中于此，形成一个环绕城市中部的水环，成为城市的一条波光粼粼的腰带”。在旋转中轴线上为失重区，可作为其它用途 [ 8 ]：“在欧洲四号的长轴线上建设了所有太空城中最高或最长的建筑物，它长四十千米，连接椭球体的南北极，本身就形成了一根长轴。由于内部处于失重状态，主要用作太空港和商业娱乐区”。 如图4所示，椭圆绕长轴旋转可形成椭球体，椭圆的参数方程设为 { x = b cos φ y = a sin φ (10) 其中 a > b ，微分可得 d x = − b sin φ d φ ， d y = a cos φ d φ ，过椭圆上某点的切线斜率为 d y d x = a cos φ d φ − b sin φ d φ = − a b ctg φ (11) 而法线斜率为 − d x d y = − − b sin φ d φ a cos φ d φ = b a tg φ (12) 仍取法线为30˚方向，则有 b a tg φ = tg 30 ∘ = 3 3 tg φ = a b ⋅ 3 3 (13) 若取 a / b = 3 ，则 tg φ = 1 ， φ = 45 ∘ ，此时实际仰角为 tg − 1 ( y / x ) = tg − 1 3 = 60 ∘ 。若取 a / b = 3 ，则 tg φ = 3 ， φ = 60 ∘ ，此时实际仰角为 tg − 1 ( y / x ) = tg − 1 3 3 = 79.1 ∘ 。 根据对称性，椭圆的周长为在第一象限部分的4倍 L = 4 ∫ 0 π / 2 d x 2 + d y 2 = 4 ∫ 0 π / 2 b 2 sin 2 φ + a 2 cos 2 φ d φ = 4 ∫ 0 π / 2 a 2 − ( a 2 − b 2 ) sin 2 φ d φ 令偏心率 e = a 2 − b 2 a 2 = 1 − ( b a ) 2 ，则 L = 4 a ∫ 0 π / 2 1 − a 2 − b 2 a 2 sin 2 φ d φ = 4 a ∫ 0 π / 2 1 − e 2 sin 2 φ d φ (14) 此为椭圆积分，虽不能用初等函数表示，但有精度很高的拉马努金近似公式 L = π ( a + b ) ( 1 + 3 h 10 + 4 − 3 h ) ， h = ( a − b ) 2 ( a + b ) 2 (15) 取 b = 1000   m ， a = 3 b = 1732   m ，计算得 h = 7 − 4 3 ， L = 8737.6   m 。假设椭球体内气压为均匀，切出半个长轴椭球，根据力的平衡条件，有： L t ⋅ σ p = π a b ⋅ p σ p = π a b L t p (16) 假设壁厚为1 m，代入有 σ p = 3.14 × 1732 × 1000 / 8737.6 / 1 × 0.1 = 62.24   MPa 。 在赤道处旋转半径最大，离心力也最大，如果不考虑变形协调，可能产生的最大应力为 σ 0 = ρ ω 2 r 2 = 2.7 × 10 3 × 9.8 × 1000   Pa = 26.46   MPa 。可以看到，此时气压产生的附加应力已超过自身结构离心力产生的应力。再考虑有效载荷的离心力产生的附加应力，若球体内有效载荷线质量密度为 m ¯ ，赤道处产生的附加应力最大，等效内压力为 p e = m ¯ ω 2 r ，产生应力为 σ e = p e r / t = m ¯ ω 2 r 2 / t (17) 假定有效载荷线质量密度 m ¯ = 2 × 10 3 kg / m ，则有效载荷的离心力产生的附加应力为 σ e = 2 × 10 3 × 9.8 × 1000 / 1 = 19.6 × 10 6     Pa = 19.6   MPa 。总应力 σ = σ 0 + σ e + σ p = 26.46 + 19.6 + 62.24 = 108.3   MPa ，工程上仍较为可行。 现在计算适宜居住的面积，如图4所示，对旋转得到的某个环带，环带周长为 2 π b cos φ ，在环带某点处的切线方向长度为 d x 2 + d y 2 = b 2 sin 2 φ + a 2 cos 2 φ d φ ，环带的面积为两者之积，于是对上半部分椭球体表面从0积分到 φ 为 S = ∫ 0 φ 2 π b cos φ ⋅ b 2 sin 2 φ + a 2 cos 2 φ d φ = 2 π a b ∫ 0 φ b 2 a 2 sin 2 φ + cos 2 φ d ( sin φ ) 令 γ = sin φ ，有 S = 2 π a b ∫ 0 sin φ b 2 a 2 γ 2 + ( 1 − γ 2 ) d γ = 2 π a b ∫ 0 sin φ 1 − a 2 − b 2 a 2 γ 2 d γ 再令 a 2 − b 2 a 2 γ = e γ = sin β ，则 d γ = 1 e cos β d β ，代入有 S = 2 π a b ∫ 0 arcsin ( e sin φ ) 1 e cos 2 β d β = 2 π a b e [ 1 2 β + 1 4 sin 2 β ] 0 arcsin ( e sin φ ) S = π a b e ( arcsin ( e sin φ ) + e sin φ 1 − e 2 sin 2 φ ) (18) 若令 φ = 90 ∘ ，就得到长轴椭球上半表面积为 S = π a b e ( arcsin ( e ) + e 1 − e 2 ) = π b 2 + π a b ⋅ arcsin ( e ) / e (19) 在偏心率 e = 0 时椭球体退化为球体， a = b = r ，利用极限定义可得 S = 2 π r 2 ，此即上半球体表面积。 取 b = 1000   m ， a = 3 b = 1732   m ， φ = 45 ∘ ，代入有 e = 2 / 3 ， e sin φ = 1 / 3 ，整个椭球体表面积为 2 ( 3.14 + 3.14 × 3 / 2 × arcsin 2 / 3 ) × 1000 2     m 2 = 19.01   km 2 ，坡度较缓的宜居面积为 2 ( 3.14 + 3.14 × 3 / 2 × arcsin 1 / 3 ) × 1000 2     m 2 = 14.48   km 2 ，利用率为76%。按人口密度8000人/km 2 计算，可居住 14.48 × 8000 = 115840 人，即超过11万人。 取 b = 1000   m ， a = 3 b = 3000   m ， φ = 60 ∘ ，代入有 e = 8 / 9 ， e sin φ = 2 / 3 ，整个椭球体表面积为 2 ( 3.14 + 3.14 × 9 / 2 2 × arcsin 8 / 9 ) × 1000 2 = 30.88   km 2 ，宜居面积为 2 ( 3.14 × 3 / 2 + 3.14 × 9 / 2 2 × arcsin 2 / 3 ) × 1000 2     m 2 = 28.51   km 2 ，利用率为92%。按人口密度8000人/km 2 计算，可居住 28.51 × 8000 = 228080 人，即超过22万人。 可以看到，将伯纳尔球体变为绕长轴旋转的椭球体后，便于利用的较平坦居住区面积比例增大，如果希望居住区完全平坦，太空城市则可采用奥尼尔圆筒构型。