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user: 5. 仿真分析 本文采用Matlab R2014a软件实现TEKF算法和STEKF算法。通过利用TEKF算法和STEKF算法对给定的调幅、调相信号以及由Simulink搭建的三相系统整流谐波信号和三相系统故障下的电压暂降信号进行仿真分析，引入均方根误差(root mean square error， RMSE)来衡量估计值与理想值之间的偏差。k时刻的RMSE定义为： σ RMSE ( k ) = 1 k ∑ i = 0 k − 1 ( c i − c i 0 ) 2 (22) 其中， c i 和 c i 0 分别是i时刻的估计值和理想值。RMSE的值表现了从0时刻至 k − 1 时刻的平均估计效果，RMSE的值越小说明算法的估计精度越高。进行仿真时，信号的采样频率 f s = 2.5   kHz ，采样时间间隔 ，基波频率 f 1 = 50   Hz ，基波幅值采用p.u.作为单位。 5.1. 调幅信号的仿真分析 调幅信号的离散表达式为 y k = a k cos ( ω 1 k τ ) 。其中，幅值 a k = 1 + 0.1 cos ( 2 π f a k τ ) ，幅值频率 f a = 5   Hz ，相位 φ k = 0 。 TEKF算法和STEKF算法对调幅信号的仿真情况如图2所示。图2(a)和图2(b)分别为幅值和相位的估计曲线，(c)和(d)分别为幅值和相位的RMSE曲线。由图2可知，STEKF算法仿真得到的幅值和相位曲线与TEKF算法相比更接近于幅值和相位理论值的曲线，从幅值和相位的RMSE曲线可以看出，STEKF的RMSE值明显小于TEKF的RMSE值。表1给出了在t = 0.5 s时两种算法的幅值、相位估计值与误差情况。由表1可知STEKF算法在t = 0.5 s时幅值、相位的绝对误差分别为0.0000 p.u.和0.0002 rad，RMSE 图2. 调幅信号的幅值和相位估计 Table 1 Error analysis of amplitude modulation signal (t = 0.5 s 估计值 绝对误差 RMSE/×10 −3 TEKF 幅值/p.u. 0.8999 0.0001 7.333 相位/rad −0.0004 0.0004 5.279 STEKF 幅值/p.u. 0.9000 0.0000 5.424 相位/rad −0.0002 0.0002 4.618 表1. 调幅信号的误差分析(t = 0.5 s) 值分别为5.424 × 10 −3 和4.618 × 10 −3 ，均比TEKF算法得到的幅值、相位的绝对误差与RMSE小，说明STEKF算法对调幅信号的测量精度更高，稳定性更好。而在仿真的开始阶段，由于初始参数取值的原因，两种算法对原信号的幅值和相位的跟踪情况会出现一定的偏差。 5.2. 调相信号的仿真分析 调相信号的离散表达式为 。其中，幅值 ，相位 ，幅值频率 f φ = 5   Hz 。 图3为TEKF算法和STEKF算法对调相信号的仿真情况。图3(a)和图3(b)分别为幅值和相位的估计曲线，图3(c)和图3(d)分别为幅值和相位的RMSE曲线。由图3可知，两种算法均能准确跟踪调相信号的相位变化，STEKF算法所跟踪的调相信号的幅值比TEKF算法更接近于理论值。根据表2数据，在t = 0.5 s时，STEKF算法得到的幅值、相位绝对误差分别为0.0000 p.u.和0.0003 rad，RMSE值分别为0.603 × 10 −3 和0.872 × 10 −3 ，而TEKF算法得到的幅值、相位绝对误差分别为0.0001 p.u.和0.0009 rad，RMSE值分别为2.616 × 10 −3 和4.934 × 10 −3 ，因此STEKF的误差比TEKF小，说明STEKF算法对调相信号有 图3. 调相信号的幅值和相位估计 Table 2 Error analysis of phase modulation signal (t = 0.5 s 估计值 绝对误差 RMSE/×10 −3 TEKF 幅值/p.u. 1.0001 0.0001 2.616 相位/rad −0.1009 0.0009 4.934 STEKF 幅值/p.u. 1.0000 0.0000 0.603 相位/rad −0.1003 0.0003 0.872 表2. 调相信号的误差分析(t = 0.5 s) 图4. 故障电压信号仿真模型 更好的估计效果。 5.3. 故障电压信号的仿真分析 利用Simulink搭建如图4所示的故障电压仿真模型。该模型模拟了三相电源经过变压器后对三相负载端供电的情况。在t = 0.3 s时刻，系统发生A、B两相短路的故障；在t = 0.7 s时刻，故障消失，系统恢复正常工作状态。分别用TEKF算法和STEKF算法估计负载端的A相电压，得到的结果如图5所示。 图5(a)为故障电压波形，图5(b)和图5(c)分别为幅值估计曲线和RMSE曲线。由图5可知，两种算法均能跟踪故障电压突变信号，电压信号在0.3 s时发生幅值暂降，在0.7 s时恢复。表3为故障电压信号幅值的误差分析。分别计算两种算法在故障开始后的1个周波(t = 0.32 s)与故障结束后的一个周波(t = 0.72 s)时的绝对误差与RMSE值。由表3数据可知，在t = 0.32 s时STEKF得到的幅值绝对误差和RMSE分别为0.001 p.u.与44.12 × 10 −3 ，小于TEKF的幅值绝对误差和RMSE (0.005 p.u.与64.57 × 10 −3 )，而在t = 0.72 s时也可得到相同的结果。因此在故障开始和结束的1个周波内，STEKF的估计结果更接近于理论幅值，其RMSE值比TEKF算法小，说明STEKF对幅值暂降的故障电压信号估计效果更好。 5.4. 含谐波的电压信号的仿真分析 利用Simulink中的通用电桥以及电阻电感串联负载模块可搭建如图6所示的谐波电压仿真模型。其中，负载的阻抗和感抗分别为20 Ω和10 mH。用TEKF算法和STEKF算法对该模型在A相产生的谐波电压信号进行估计，其结果如图7所示。 图7给出了TEKF算法和STEKF算法对基波幅值和5次谐波幅值的估计结果。图7(a)为谐波电压信号的波形，图7(b)和图7(c)分别为基波和5次谐波的幅值估计曲线，图7(d)和图7(e)分别为基波和5次谐波幅值RMSE曲线。由图7的幅值曲线以及RMSE曲线可知，STEKF算法的估计结果接近原信号真实值的速度比TEKF算法快，且由表4的数据可知，在t = 0.5 s时，STEKF估计谐波电压信号基波幅值、5次谐波幅值的绝对误差分别为0.0000 p.u.和0.0000 p.u.，RMSE分别为197.2 × 10 −3 和47.1 × 10 −3 ，均比TEKF估计的基波幅值、5次谐波幅值的绝对误差(0.0074 p.u.和0.0013 p.u.)、RMSE (207.1×10 −3 和50.2×10 −3 )小，因此STEKF算法对含谐波的电压信号的估计效果优于TEKF算法。 对于3次、7次、9次谐波的幅值，用STEKF算法进行估计也可得到相同的结论。受限于篇幅，本文没有给出它们的幅值估计和RMSE曲线，仅在表4中给出它们的数据。 图5. 故障电压信号的幅值估计 Table 3 Error analysis of fault voltage signal amplitud t/s 幅值/p.u. 绝对误差/p.u. RMSE/×10 −3 TEKF 0.32 1.284 0.005 64.57 0.72 1.953 0.004 50.49 STEKF 0.32 1.290 0.001 44.12 0.72 1.948 0.001 42.36 表3. 故障电压信号幅值的误差分析 图6. 谐波电压信号仿真模型 图7. 基波&5次谐波的幅值估计 Table 4 Error analysis of voltage signal amplitude containing harmonic 估计值 绝对误差 RMSE/×10 −3 TEKF 基波幅值/p.u. 8.5446 0.0074 207.1 3次谐波幅值/p.u. 0.0294 0.0029 51.4 5次谐波幅值/p.u. 0.5982 0.0013 50.2 7次谐波幅值/p.u. 0.3165 0.0026 37.7 9次谐波幅值/p.u. 0.0517 0.0013 22.8 STEKF 基波幅值/p.u. 8.5520 0.0000 197.2 3次谐波幅值/p.u. 0.0265 0.0000 50.3 5次谐波幅值/p.u. 0.5995 0.0000 47.1 7次谐波幅值/p.u. 0.3139 0.0000 32.3 9次谐波幅值/p.u. 0.0530 0.0000 18.2 表4. 谐波电压信号幅值的误差分析