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user: 3. 解的性质 接下来考虑每种情况下解的性质。 情况1：当 Δ = 0 时，若 p = 0 ，则 q = 0 ， μ 1 = μ 2 = μ 3 = 0 ，即 λ 1 = λ 2 = λ 3 = − a 3 = − c a = − 3 c b ， λ ∈ R 。 引理6对于任意的 t ∈ [ 0 ， 2 π ] ，由 c > 0 ，可得 r 1 ( t ) > 0 。 证明：由于 λ 1 = λ 2 = λ 3 = − a 3 = − c a = − 3 c b ，且 c > 0 ，因此 a > 0 ， b > 0 ，此时 λ < 0 ，在 r 1 ( t ) 中， e λ t [ ( e 2 π λ ( 2 π − t ) + t ) 2 + e 2 π λ 4 π 2 ] > 0 ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] ， 由 λ < 0 可得 2 ( 1 − e 2 π λ ) 3 > 0 。综上所述 r 1 ( t ) > 0 。 证毕。 情况2：当 Δ = ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 = 0 时，若 p < 0 ，则 0 < | q | = 2 − ( p 3 ) 3 ( < 1 − 16 p ( 1 − 4 p ) 24 3 ) ，此时 μ 1 = − 4 q 3 ， μ 2 = μ 3 = 4 q 3 2 ， μ 1 ， μ 2 ， μ 3 ∈ R 。 引理7 若 q > 0 ，则 r 2 ( t ) > 0 ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] 。 证明：由于 Δ = 0 ，且 p < 0 ，则 0 < | q | = 2 − ( p 3 ) 3 ，此时 μ 1 = − 4 q 3 ， μ 2 = μ 3 = 4 q 3 2 ， μ 1 ， μ 2 ， μ 3 ∈ R ，因此，当 0 < p ( < 1 − 16 p ( 1 − 4 p ) 24 3 ) 时，有 μ 1 < 0 ， μ 2 = μ 3 > 0 成立。所以 e μ 1 t ( 1 − e 2 π μ 1 ) ( μ 1 − μ 2 ) 2 > 0 ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] ， 根据 μ 1 < 0 ， μ 2 = μ 3 > 0 可得 1 − e 2 π μ 2 < 0 ， − e 2 π μ 2 2 π ( μ 1 − μ 2 ) > 0 ， t ( μ 1 − μ 2 ) − 1 < 0 ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] ， 因此 ( 1 − e 2 π μ 2 ) ( t ( μ 1 − μ 2 ) − 1 ) − e 2 π μ 2 2 π ( μ 1 − μ 2 ) > 0 ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] . 综上所述 r 2 ( t ) = e μ 2 t [ ( 1 − e 2 π μ 2 ) ( t ( μ 1 − μ 2 ) − 1 ) − e 2 π μ 2 2 π ( μ 1 − μ 2 ) ] ( 1 − e 2 π μ 2 ) 2 ( μ 1 − μ 2 ) 2 + e μ 1 t ( 1 − e 2 π μ 1 ) ( μ 1 − μ 2 ) 2 > 0 ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] . 证毕。 情况3：当 Δ = ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 < 0 时，有 p < 0 ，且 0 < | q | < 2 − ( p 3 ) 3 ( < 1 − 16 p ( 1 − 4 p ) 24 3 ) ，其中 μ 1 = − 2 − 3 p 3 cos θ 3 ， μ 2 = − 3 p 3 ( cos θ 3 + 3 sin θ 3 ) ， μ 3 = − 3 p 3 ( cos θ 3 − 3 sin θ 3 ) 。通过简单计算可知，当 θ ∈ ( 0 ， π 2 ) 时， μ 1 < 0 ， μ 2 > μ 3 > 0 ；当 θ ∈ ( π 2 ， π ) 时， μ 2 > 0 ， μ 1 < μ 3 < 0 。 为了方便描述，我们定义 g 1 ( t ) = e μ 1 t ( μ 1 − μ 2 ) ( μ 1 − μ 3 ) ( 1 − e 2 π μ 1 ) ， g 2 ( t ) = e μ 2 t ( μ 2 − μ 1 ) ( μ 2 − μ 3 ) ( 1 − e 2 π μ 2 ) ， g 3 ( t ) = e μ 3 t ( μ 3 − μ 1 ) ( μ 3 − μ 1 ) ( 1 − e 2 π μ 3 ) ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] . 引理8若 Δ < 0 ，且 θ ∈ [ 29 π 64 ， π ] ， θ ≠ π 2 时， r 3 ( t ) > 0 ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] 。 证明：若 Δ < 0 ，则一定有 p < 0 ，由于 θ ∈ ( π 2 ， π ] 时， μ 2 > 0 ， μ 1 < μ 3 < 0 ，则 g ′ 1 ( t ) = μ 1 e μ 1 t ( μ 1 − μ 2 ) ( μ 1 − μ 3 ) ( 1 − e 2 π μ 1 ) < 0 ， g ′ 2 ( t ) = μ 2 e μ 2 t ( μ 2 − μ 1 ) ( μ 2 − μ 3 ) ( 1 − e 2 π μ 2 ) < 0 ， g ′ 3 ( t ) = μ 3 e μ 3 t ( μ 3 − μ 1 ) ( μ 3 − μ 1 ) ( 1 − e 2 π μ 3 ) > 0 ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] . 故 g 1 ( t ) ， g 2 ( t ) ， g 3 ( t ) 均为严格单调函数，且当 t ∈ [ 0 ， 2 π ] 时均无极值点，因此， g 1 ( 2 π ) ≤ g 1 ( t ) ， g 2 ( 2 π ) ≤ g 2 ( t ) ， g 3 ( 0 ) ≤ g 3 ( t ) 成立。所以 g 1 ( 2 π ) + g 2 ( 2 π ) + g 3 ( 0 ) = e 2 π μ 1 ( μ 1 − μ 2 ) ( μ 1 − μ 3 ) ( 1 − e 2 π μ 1 ) + e 2 π μ 2 ( μ 2 − μ 1 ) ( μ 2 − μ 3 ) ( 1 − e 2 π μ 2 ) + 1 ( μ 3 − μ 1 ) ( μ 3 − μ 1 ) ( 1 − e 2 π μ 3 ) ， 其中，合并之后的分母为 ( μ 1 − μ 2 ) ( μ 1 − μ 3 ) ( μ 2 − μ 3 ) ( 1 − e 2 π μ 1 ) ( 1 − e 2 π μ 2 ) ( 1 − e 2 π μ 2 < 0 ) < 0 ， 分子为 3 μ 2 e 2 π μ 1 − 3 μ 1 e 2 π μ 2 − [ 2 ( μ 2 − μ 1 ) e − 2 π μ 3 + ( μ 2 − μ 3 ) e − 2 π μ 2 + ( μ 3 − μ 1 ) ( 1 + e − 2 π μ 1 ) ] < 0 因此 0 < g 1 ( 2 π ) + g 2 ( 2 π ) + g 3 ( 0 ) ≤ r 3 ( t ) ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] . 由于当 θ ∈ [ 29 π 64 ， π 2 ) 时， μ 1 < 0 ， μ 2 > μ 3 > 0 ，因此 g ′ 1 ( t ) < 0 ， g ′ 2 ( t ) < 0 ， g ′ 3 ( t ) < 0 ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] ，故 g 1 ( t ) ， g 2 ( t ) ， g 3 ( t ) 均为单调函数，且当 t ∈ [ 0 ， 2 π ] 时无极值点，此时有 g 1 ( 2 π ) ≤ g 1 ( t ) ， g 2 ( 2 π ) ≤ g 2 ( t ) ， g 3 ( 0 ) ≤ g 3 ( t ) 成立。所以 g 1 ( 2 π ) + g 2 ( 2 π ) + g 3 ( 0 ) = e 2 π μ 1 ( μ 1 − μ 2 ) ( μ 1 − μ 3 ) ( 1 − e 2 π μ 1 ) + e 2 π μ 2 ( μ 2 − μ 1 ) ( μ 2 − μ 3 ) ( 1 − e 2 π μ 2 ) + 1 ( μ 3 − μ 1 ) ( μ 3 − μ 1 ) ( 1 − e 2 π μ 3 ) ， 合并之后的分母为 ( μ 1 − μ 2 ) ( μ 1 − μ 3 ) ( μ 2 − μ 3 ) ( 1 − e 2 π μ 1 ) ( 1 − e 2 π μ 2 ) ( 1 − e 2 π μ 2 < 0 ) > 0 ， 分子为 3 μ 2 e 2 π μ 1 − 3 μ 1 e 2 π μ 2 − [ 2 ( μ 2 − μ 1 ) e − 2 π μ 3 + ( μ 2 − μ 3 ) e − 2 π μ 2 + ( μ 3 − μ 1 ) ( 1 + e − 2 π μ 1 ) ] > 0 因此 0 < g 1 ( 2 π ) + g 2 ( 2 π ) + g 3 ( 0 ) ≤ r 3 ( t ) ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] . 证毕。 情况4：当 Δ = ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 > 0 时，有 μ 1 = − 2 α ， μ 2 = α + β i ， μ 3 = α − β i 。 当 Δ > 0 时，若 0 ≤ p < 1 16 ，考虑 β = 3 2 − q 2 + ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 + − q 2 − ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 ， 首先，令 s = − q 2 ，并且 φ ( s ) = s + s 2 + ( p 3 ) 3 3 + s − s 2 + ( p 3 ) 3 3 = s + s 2 + ( p 3 ) 3 3 + s 2 − s 2 − ( p 3 ) 3 s + s 2 + ( p 3 ) 3 3 = ( s + s 2 + ( p 3 ) 3 ) 1 3 + p 3 ( s + s 2 + ( p 3 ) 3 ) − 1 3 由上式可知 φ ( s ) 是关于 s 的偶函数。下面考虑当 s ≥ 0 时， φ ( s ) 的性质。 当 p ≥ 0 时，对于所有的 s ≥ 0 来说，都有 φ ( s ) ≥ 0 成。令 δ = ( s + s 2 + ( p 3 ) 3 ) 1 3 ， 通过简单计算可知， δ 是严格关于 s 单调递增的，从而对于 φ 的研究可以转化为 Ψ ( δ ) = δ + p 3 δ 其中 δ ≥ ( p 3 ) 1 2 。 Ψ 是双钩函数，并且在 δ ≥ ( p 3 ) 1 2 是严格单调递增的，因此在 ( p 3 ) 1 2 处取得最小值，即 Ψ ( δ ) min = 2 ( p 3 ) 1 2 由于 0 < p < 1 16 ，则由上式可得 3 ( Ψ ( δ ) min 2 ) 2 = p < 1 16 ，即 β < 1 4 。 另外， φ ( s ) ≤ 1 2 3 等价于 Ψ ( δ ) ≤ 1 2 3 ，因此 ( p 3 ) 1 2 ≤ δ < 1 + ( 1 − 16 p ) 1 2 4 3 ，即 ( 0 ≤ ) s < ( 1 − 4 p ) ( 1 − 16 p ) 1 2 48 3 ，从而 | q | < ( 1 − 4 p ) ( 1 − 16 p ) 1 2 24 3 。 同理，当 p < 0 时， | q | > 2 ( − p 3 ) 3 2 ，此时， φ 可以看作是关于 s ≥ ( − p 3 ) 3 2 ( > 0 ) 的函数，设 δ = ( s + s 2 + ( p 3 ) 3 ) 1 3 ， s ≥ ( p 3 ) 3 2 . 下面讨论 Ψ ( δ ) = δ + p 3 δ ， δ ≥ ( − p 3 ) 1 2 . 由于 δ ≥ ( − p 3 ) 1 2 时， Ψ ( δ ) 是严格单调递增，并且当 δ = ( − p 3 ) 1 2 时， Ψ = 0 ，故 Ψ ( δ ) ≥ 0 ， δ ≥ ( − p 3 ) 1 2 ， 因为 0 < p < 1 16 ，则由上式可得， 3 ( Ψ ( δ ) min 2 ) 2 = p < 1 16 ，即 β < 1 4 。 另外， 0 ≤ φ ( s ) ≤ 1 2 3 等价于 0 ≤ Ψ ( δ ) ≤ 1 2 3 ，因此 ( − p 3 ) 1 2 ≤ δ < 1 + ( 1 − 16 p ) 1 2 4 3 ，即 ( 0 < ) s < ( 1 − 4 p ) ( 1 − 16 p ) 1 2 48 3 ，从而 | q | < ( 1 − 4 p ) ( 1 − 16 p ) 1 2 24 3 。 综上所述，当 Δ > 0 且 p < 1 16 时，有 β < 1 4 ， 0 < | q | < ( 1 − 4 p ) ( 1 − 16 p ) 1 2 24 3 成立。 引理9若 α > 0 ， 0 < β < 1 4 ，则有 r 4 ( t ) > 0 ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] 。 证明：由于 μ 1 = − 2 α < 0 ，则 e − 2 α t ( 1 − e − 4 π α ) ( 9 α 2 + β 2 ) > 0 ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] 。 由于 α > 0 ， 0 < β < 1 4 ，则 1 + e 4 π α − 2 e 2 π α cos ( 2 π β ) ≥ 1 + e 4 π α − 2 e 2 π α = ( 1 − e 2 π α ) 2 > 0 ， 所以 β ( 9 α 2 + β 2 ) ( 1 + e 4 π α − 2 e 2 π α cos ( 2 π β ) ) > 0 ， 因为 α > 0 ， 0 < β < 1 4 且 t ∈ [ 0 ， 2 π ] ，所以有 0 < β ( 2 π − t ) ≤ 2 π β < π 2 ， 0 < β t ≤ 2 π β < π 2 成立，因此， e 2 π α sin ( β ( 2 π − t ) ) + sin ( β t ) > 0 ， e 2 π α cos ( β ( 2 π − t ) ) − cos ( β t ) > 0 ， 故 3 α [ e 2 π α sin ( β ( 2 π − t ) ) + sin ( β t ) ] + β [ e 2 π α cos ( β ( 2 π − t ) ) − cos ( β t ) ] > 0 ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] ， 综上所述 r 4 ( t ) > 0 ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] 。 证毕。