system: [SYSTEM]

user: 4. 定理证明 定理2.1的证明：我们利用算子 P ρ ¯ 作用到 ρ ε u ε 上有如下分解 ρ ε u ε = P ρ ¯ ( ρ ε u ε ) + Q ρ ¯ ( ρ ε u ε ) = P ρ ¯ ( ρ ε u ε ) + ρ ¯ ∇ ψ ε 。利用 [ 25 ] 中方法易证当 ε 趋于0时 P ρ ¯ ( ρ ε u ε ) → ρ ¯ u ， (4.1) 在 L 2 ( ( 0 ， T ) × Ω ) 中强收敛，并且 ρ ¯ ∇ ψ ε → 0 ， (4.2) 在 L 2 ( ( 0 ， T ) × Ω ) 中弱收敛，其中 div ( ρ ¯ u ) = 0 。 在证明极限过程时的主要困难是包含 ρ ¯ ∇ ψ ε 和 ϕ ε 的非线性极限。 由于 γ ρ ε 2 ( γ − 1 ) ∇ ( ρ γ − 1 − ρ ¯ γ − 1 ) = 1 ε 2 ∇ ρ γ − γ ε 2 ( γ − 1 ) ρ ∇ ρ ¯ γ − 1 = ∇ π ε + 1 ε 2 ( ∇ ρ ¯ γ + γ ∇ ( ρ ¯ γ − 1 ( ρ − ρ ¯ ) ) ) − γ ε 2 ( γ − 1 ) ( ρ − ρ ¯ ) ∇ ρ ¯ γ − 1 − 1 ε 2 ∇ ρ ¯ γ = ∇ π ε + 1 ε 2 γ ∇ ( ρ ¯ γ − 1 ( ρ − ρ ¯ ) ) − γ ε 2 ( γ − 1 ) ( ρ − ρ ¯ ) ∇ ρ ¯ γ − 1 = ∇ π ε + 1 ε 2 γ ( γ − 1 ) ρ ¯ γ − 2 ∇ ρ ¯ ( ρ − ρ ¯ ) + γ ε 2 ρ ¯ γ − 1 ∇ ( ρ − ρ ¯ ) − γ ε 2 ( ρ − ρ ¯ ) ρ ¯ γ − 2 ∇ ρ ¯ = ∇ π ε + γ ( γ − 1 ) ε 2 ( γ − 2 ) ρ ¯ ∇ ρ ¯ γ − 2 ( ρ − ρ ¯ ) + γ ε 2 ρ ¯ ∇ ( ρ ¯ γ − 2 ( ρ − ρ ¯ ) ) − γ ε 2 ( ρ − ρ ¯ ) ∇ ρ ¯ γ − 2 ρ ¯ − γ ε 2 ( γ − 2 ) ( ρ − ρ ¯ ) ρ ¯ ∇ ρ ¯ γ − 2 = ∇ π ε + γ ε ρ ¯ ∇ ( ρ ¯ γ − 2 ϕ ε ) (4.3) (1.1) 2 可重写为： ( ρ ε u ε ) t + div ( ρ ε u ε ⊗ u ε ) − μ Δ u ε − ξ ∇ div u ε + ∇ π ε + γ ε ρ ¯ ∇ ( ρ ¯ γ − 2 ϕ ε ) = 0 .(4.4) 取试验函数 f ∈ C 0 1 ( [ 0 ， T ] ; D ( Ω ) ) 使得 div ( f ) = 0 ，则 − ∫ 0 T ∫ Ω ( ρ ε u ε ) ∂ t f ρ ¯ d x d s − ∫ 0 T ∫ Ω ( ρ ε u ε ⊗ u ε ) : ∇ ( f ρ ¯ ) d x d s + ∫ 0 T ∫ Ω μ ∇ u ε ∇ ( f ρ ¯ ) + ξ div ( u ε ) div ( f ρ ¯ ) − π ε div ( f ρ ¯ ) d x d s = ∫ Ω m 0 ε f ( t = 0 ) ρ ¯ d x (4.5) 线性项易取极限，下证非线性项的极限，即证当 ε → 0 时 − ∫ 0 T ∫ Ω ( ρ ε u ε ⊗ u ε ) : ∇ ( f ρ ¯ ) + π ε div ( f ρ ¯ ) d x d s → − ∫ 0 T ∫ Ω ρ ¯ u ⊗ u : ∇ ( f ρ ¯ ) d x d s . (4.6) 引理4.1：在定理2.1的假设下，有 div ( ρ ε u ε ⊗ u ε ) + ∇ π ε → div ( ρ ¯ u ⊗ u ) + ρ ¯ ∇ P (4.7) 在分布意义下弱收敛，其中 P 是分布函数。 此章余下部分证明此引理。 证明：在(3.10)中，因 θ 1 > 1 ，知可用 γ ( γ − 1 ) 2 ρ ¯ γ − 2 ϕ ε 2 代替 π ε 。因在 L ∞ ( ( 0 ， T ) ; L γ ( Ω ) ) 中 ρ ε ρ ¯ → 1 ，则可用 ρ ε u ε ⊗ ρ ε u ε ρ ¯ 代替 ρ ε u ε ⊗ u ε 取极限。 ρ ε u ε ⊗ ρ ε u ε = P ρ ¯ ( ρ ε u ε ) ⊗ ρ ε u ε + Q ρ ¯ ( ρ ε u ε ) ⊗ P ρ ¯ ( ρ ε u ε ) + Q ρ ¯ ( ρ ε u ε ) ⊗ Q ρ ¯ ( ρ ε u ε ) . (4.8) 由(4.1)~(4.2)知弱收敛 P ρ ¯ ( ρ ε u ε ) ⊗ ρ ε u ε → ( ρ u ) ⊗ ( ρ u ) ，     Q ρ ¯ ( ρ ε u ε ) ⊗ P ρ ¯ ( ρ ε u ε ) → 0. (4.9) 用 ( I − P ρ ¯ ) 作用(4.4)，并结合质量守恒方程可得方程组 { ∂ t ρ ¯ ∇ ψ ε + γ ε ρ ¯ ∇ ( ρ ¯ γ − 2 ϕ ε ) = ρ ¯ F ε ， ε ∂ t ϕ ε + div ( ρ ¯ ∇ ψ ε ) = 0 ， (4.10) 其中， F ε = ( I − P ρ ¯ ) ( μ Δ u ε + ξ ∇ div u ε − div ( ρ ε u ε ⊗ u ε ) − ∇ π ε ) 对所有的 s > 0 在 L 1 ( ( 0 ， T ) ; H s ) 中有界。 证明极限收敛需下面引理。 引理4.2：在假设 ϕ ε 和 ψ ε 在 L ∞ ( ( 0 ， T ) ; H s ( Ω ) ) 中有界， F ε 对所有的 s > 0 在 L 1 ( ( 0 ， T ) ; H s ) 中有界，并且(3.6)~(3.10)成立，则 div ( ρ ¯ ∇ ψ ε ⊗ ∇ ψ ε ) + γ 2 ∇ ( ρ ¯ γ − 2 ϕ ε 2 ) → ρ ¯ ∇ P (4.11) 在分布函数空间中弱收敛。 证明： div ( ρ ¯ ∇ ψ ε ⊗ ∇ ψ ε ) = ρ ¯ ∇ | ∇ ψ ε | 2 2 + div ( ρ ¯ ∇ ψ ε ) ∇ ψ ε = ρ ¯ ∇ | ∇ ψ ε | 2 2 − ε ∂ t ϕ ε ∇ ψ ε = ρ ¯ ∇ | ∇ ψ ε | 2 2 − ε ∂ t ( ϕ ε ∇ ψ ε ) + ε ϕ ε ∂ t ( ∇ ψ ε ) = ρ ¯ ∇ | ∇ ψ ε | 2 2 − ε ∂ t ( ϕ ε ∇ ψ ε ) − γ ρ ¯ ∇ ( ρ ¯ γ − 2 ϕ ε ) + ε ϕ ε F ε . (4.12) 简单的计算知 ρ ¯ ∇ ( ρ ¯ γ − 2 ϕ ε ) = ( 2 − γ ) ρ ¯ ∇ ( ρ ¯ γ − 3 ϕ ε 2 2 ) + ( ( γ − 1 ) ρ ¯ γ − 2 ϕ ε 2 2 ) . (4.13) 则 div ( ρ ¯ ∇ ψ ε ⊗ ψ ε ) + γ ( γ − 1 ) 2 ∇ ( ρ ¯ γ − 2 ϕ ε 2 ) = ρ ¯ ∇ ( | ∇ ψ ε | 2 2 + γ ( γ − 2 ) 2 ρ ¯ γ − 3 ϕ ε 2 2 ) − ε ∂ t ( ϕ ε ∇ ψ ε ) + ε ϕ ε F ε . (4.14) 取极限之后我们可完成引理的证明。 现在，定义 χ δ ( x ) = δ − N χ ( x δ ) ，其中 χ 是试验函数，紧支在 R N 的球上，并且 ∫ R N χ d x = 1 ，定义 R δ u = χ δ ∗ u 。假设 对于 ϕ ε 的空间紧性我们有如下引理。 引理4.3：在定理2.1的假设下，对每个 p > 1 ，当 δ → 0 时有 ϕ ε 在 L P ( L 2 ) 空间中对 ε 是一致紧的，即 ‖ ϕ ε ( t ， ⋅ ) ∗ χ δ − ϕ ε ( t ， ⋅ ) ‖ L P ( L 2 ) → 0 ， (4.15) 对 ε 是一致的。 证明：只证明 p = 2 时结论成立，对其他情形可同样证明。取 B = B r ⊂ Ω 。在 W − 1 ， r ( B ) 中引进算子 S ，对 g ∈ W − 1 ， r ( B ) ，定义 S ( g ) = p ，其中 ( u ， p ) 是Stokes方程的解 { − Δ u + ρ ¯ ∇ p = g ，     div ( ρ ¯ u ) = 0 ，     x ∈ B ，     ∫ B p d x = 0 ， u = 0 ， on x ∈ ∂ B . (4.16) 令 R ˜ δ = I − R δ 。用 S 作用(4.4)后得到的式子再用 R ˜ δ 作用得 ∂ t R ˜ δ S ( ρ ε u ε ) + R ˜ δ S div ( ρ ε u ε ⊗ u ε ) + R ˜ δ h + γ ε R ˜ δ f ε + R ˜ δ S ( ∇ π ε ) = 0. (4.17) 其中 h = S ( − μ Δ u ε − ξ ∇ div u ε ) 。 令 f ε = ρ ¯ γ − 2 ϕ ε ，可得 ∂ t R ˜ δ f ε + 1 ε ρ ¯ γ − 2 div ( R ˜ δ ρ ε u ε ) + 1 ε [ R ˜ δ ， ρ ¯ γ − 2 div ] ( ρ ε u ε ) = 0. (4.18) 由(4.7)~(4.8)得 ∂ t ( R ˜ δ f ε R ˜ δ S ( ρ ε u ε ) ) + 1 ε ρ ¯ γ − 2 div ( R ˜ δ ( ρ ε u ε ) R ˜ δ S ( ρ ε u ε ) ) − 1 ε ρ ¯ γ − 2 R ˜ δ ( ρ ε u ε ) ⋅ ∇ R ˜ δ S ( ρ ε u ε ) + 1 ε [ R ˜ δ ， ρ ¯ γ − 2 div ] ( ρ ε u ε ) R ˜ δ S ( ρ ε u ε ) + R ˜ δ f ε ( R ˜ δ S div ( ρ ε u ε ⊗ u ε ) + R ˜ δ h ) + γ ε | R ˜ δ f ε | 2 + R ˜ δ f ε R ˜ δ S ( ∇ π ε ) = 0. (4.19) 考虑试验函数 Φ ( t ， x ) 在 B r 2 × [ 0 ， T ] 上有支集，并且在 B r 4 × [ 0 ， T ] 有 Φ ( t ， x ) = 1 ，我们断定，当 ε → 0 时， ∫ 0 T ∫ B r 2 γ | R ˜ δ f ε | 2 d x d s → 0 ， (4.20) 对 ε 是一致的。 事实上，用 ε Φ 乘(4.19)，然后对 t ， x 在 [ 0 ， T ] × B r 2 上积分得 ∫ 0 T ∫ B r 2 γ Φ | R ˜ δ f ε | 2 d x d s = ε ∫ B r 2 ( R ˜ δ f 0 ε R ˜ δ S ( m 0 ε ) ) d x + ∫ 0 T ∫ B r 2 ( R ˜ δ ( ρ ε u ε ) R ˜ δ S ( ρ ε u ε ) ) : ∇ ( ρ ¯ γ − 2 Φ ) d x d s     + ∫ 0 T ∫ B r 2 ( Φ ρ ¯ γ − 2 R ˜ δ ( ρ ε u ε ) ⋅ ∇ R ˜ δ S ( ρ ε u ε ) − [ R ˜ δ ， ρ ¯ γ − 2 div ] ( ρ ε u ε ) R ˜ δ S ( ρ ε u ε ) ) d x d s     − ε ∫ 0 T ∫ B r 2 Φ ( R ˜ δ f ε ( R ˜ δ S div ( ρ ε u ε ⊗ u ε ) + R ˜ δ h ) + R ˜ δ f ε R ˜ δ S ( ∇ π ε ) ) d x d s . (4.21) 利用 p ε u ε 在 L 2 ( L 2 ) 中的空间紧性， γ > N 和引理3.2得上式右端项当 δ → 0 时对 ε 一致趋向于 0 。此证明了 ϕ ε 关于 x 的局部紧性，即对每一个紧支集函数 Φ ( x ) ∈ C 0 ∞ ( Ω ) ， Φ ϕ ε 在 L 2 ( L 2 ) 空间中是紧的，即 ‖ ϕ ε ( t ， ⋅ ) ∗ χ δ − ϕ ε ( t ， ⋅ ) ‖ L 2 ( L 2 ) → 0 ， (4.22) 利用 ϕ ε 在 L θ + 1 ( θ + 1 > 2 ) 中有界可将局部紧性扩展到整体紧性。利用 ϕ ε 在 L ∞ ( L 2 ) 中有界得到(4.15)成立。证毕。 定义 R δ u = χ δ ∗ u 表明对 u ∈ L 2 ( Ω ) 对空间变量 x 的磨光，其中函数 u 在 x ∈ Ω c 上延拓为0 利用 u ε 在 L 2 ( H 1 ) 中有界和 H 1 → → L 2 推得 u ε 在 L 2 ( L 2 ) 中是紧的，即 ‖ u ε ( t ， ⋅ ) ∗ χ δ − u ε ( t ， ⋅ ) ‖ L 2 ( L 2 ) → 0. (4.23) 然后利用 ρ ε 在 L ∞ ( L γ ) 中收敛到 ρ ¯ 和 γ > N ，可推得 ρ ε u ε 在空间 L 2 ( L 2 ) 中是紧的，即 ‖ ρ ε u ε ( t ， ⋅ ) ∗ χ δ − ρ ε u ε ( t ， ⋅ ) ‖ L 2 ( L 2 ) → 0. (4.24) 取 f 是 C 0 ∞ ( Ω ) 中的试验函数，并且满足 div ( f ) = 0 ，i.e. P ρ ¯ f = f 。由动量方程(4.4)可知：对 0 < s < t ，有 ∫ Ω ( ρ ε u ε ) ( f ρ ¯ ) ( t ) d x − ∫ Ω ( ρ ε u ε ) ( f ρ ¯ ) ( s ) d x = ∫ s t ∫ Ω ( ρ ε u ε ) ∂ t f ρ ¯ d x d s + ∫ s t ∫ Ω ( ρ ε u ε ⊗ u ε ) : ∇ ( f ρ ¯ ) d x d s       − ∫ s t ∫ Ω μ ∇ u ε ∇ ( f ρ ¯ ) + ξ div ( u ε ) div ( f ρ ¯ ) − π ε div ( f ρ ¯ ) d x d s = ∫ s t ∫ Ω ( ρ ε u ε ⊗ u ε ) : ∇ ( f ρ ¯ ) d x d s − ∫ s t ∫ Ω μ ∇ u ε ∇ ( f ρ ¯ ) + ξ div ( u ε ) div ( f ρ ¯ ) − π ε div ( f ρ ¯ ) d x d s . (4.25) 这意味着 P ρ ¯ ( ρ ε u ε ) 在 H − s ( s 足够大)，空间中关于时间是等度连续的。因此，根据 [ 27 ] 中的引理5.1可知， P ρ ¯ ( ρ ε u ε ) → P ρ ¯ ( ρ ¯ u ) 在 L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 中强收敛。 由(4.8)~(4.9)知，仍需 Q ρ ¯ ( ρ ε u ε ) ⊗ Q ρ ¯ ( ρ ε u ε ) 的极限。因当 δ → 0 时，在 L 1 ( L 1 ) 中 Q ρ ¯ ( ρ ε u ε ) ⊗ Q ρ ¯ ( ρ ε u ε ) − Q ρ ¯ R δ ( ρ ε u ε ) ⊗ Q ρ ¯ R δ ( ρ ε u ε ) → 0 ， (4.26) 对 ε 是一致的。因此，我们要证明 Q ρ ¯ R δ ( ρ ε u ε ) ⊗ Q ρ ¯ R δ ( ρ ε u ε ) 的极限，并刻画 div ( Q ρ ¯ R δ ( ρ ε u ε ) ⊗ Q ρ ¯ R δ ( ρ ε u ε ) ρ ¯ ) 的精确表述。 而由上面的正则性讨论可知，在 L 1 ( L 1 ) 中当 ε ， δ 分别趋向于0时有 γ 2 ∇ ( ρ ¯ γ − 2 ( ϕ ε ) 2 ) − γ 2 ∇ ( ρ ¯ γ − 2 ( R δ ϕ ε ) 2 ) → r δ → 0. (4.27) 现在若取(4.14)中 div ( ρ ε u ε ⊗ u ε ) + γ 2 ∇ ( ρ ¯ γ − 2 ( ϕ ε ) 2 ) 的极限，只需证明在 D ′ 中当 ε 趋向于0时有 div ( Q ρ ¯ R δ ( ρ ε u ε ) ⊗ Q ρ ¯ R δ ( ρ ε u ε ) ρ ¯ ) + γ 2 ∇ ( ρ ¯ γ − 2 ( R δ ϕ ε ) 2 ) → ρ ¯ ∇ P + r δ ， (4.28) 其中当 δ → 0 时， r δ 弱收敛到0。 用 R δ 作用(4.10)得 { ∂ t R δ Q ρ ¯ ( ρ ε u ε ) + γ ε ρ ¯ ∇ ( ρ ¯ γ − 2 R δ ϕ ε ) = ρ ¯ F ε ， δ − γ ε [ R δ ， ρ ¯ ∇ ρ ¯ γ − 2 ] ϕ ε ， ε ∂ t R δ ϕ ε + div ( R δ Q ρ ¯ ( ρ ε u ε ) ) = 0 ， (4.29) 其中，对每个 δ > 0 ， F ε ， δ = R δ ( I − P ρ ¯ ) ( μ Δ u ε + ξ ∇ div u ε − div ( ρ ε u ε ⊗ u ε ) − ∇ π ε ) 对所有的 s > 0 在 L 1 ( ( 0 ， T ) ; H s ) 中对 ε 一致有界。下述引理4.4保证了当 δ → 0 时，(4.29)中右端项交换子在 L 2 ( ( 0 ， T ) × Ω ) 关于 ε 一致趋向于0。事实上 [ R δ ， ρ ¯ ∇ ρ ¯ γ − 2 ] ϕ ε = [ R δ ， ρ ¯ ] ∇ ( ρ ¯ γ − 2 ϕ ε ) + ρ ¯ ∇ [ R δ ， ρ ¯ γ − 2 ] ϕ ε ， (4.30) 对于右端两项分别利用引理4.4中的(2)和(1)。 引理4.4：(1) 对 f ∈ L 2 ( R N ) 和 g ∈ C 2 ( R N ) ，有 ‖ R δ ( f g ) − g R δ ( f ) ‖ L 2 ≤ C ‖ f ‖ L 2 δ ， ‖ R δ ( f g ) − g R δ ( f ) ‖ H 1 ≤ C ‖ f ‖ L 2 ， (4.31) 这里 C 只依赖于 g 。而且，在 L 2 ( R N ) 中当 δ → 0 时 R δ ( f g ) − g R δ ( f ) δ → 0 ， (4.32) 并且在 H 1 ( R N ) 中当 δ → 0 时 R δ ( f g ) − g R δ ( f ) → 0. (4.33) (2) 对 f ∈ H − 1 ( R N ) 和 g ∈ L 2 ( R N ) ，有 ‖ R δ ( f g ) − g R δ ( f ) ‖ L 2 ≤ C ‖ f ‖ H − 1 ， (4.34) 并且在 L 2 ( R N ) 中当 δ → 0 时 R δ ( f g ) − g R δ ( f ) δ → 0. (4.35) 此引理的证明可参见 [ 26 ] 。 定义 R δ Q ρ ¯ ( ρ ε u ε ) = ρ ¯ ∇ ψ ε ， δ ， R δ ϕ ε = ϕ ε ， δ 类似于(4.14)的计算可有 div ( ρ ¯ ∇ ψ ε ， δ ⊗ ∇ ψ ε ， δ ) + γ ( γ − 1 ) 2 ∇ ( ρ ¯ γ − 2 ϕ ε ， δ 2 ) = ρ ¯ ∇ ( | ∇ ψ ε ， δ | 2 2 + γ ( γ − 2 ) 2 ρ ¯ γ − 3 ϕ ε ， δ 2 ) − ε ∂ t ( ϕ ε ， δ ∇ ψ ε ， δ )       + ε ϕ ε F ε ， δ + γ ρ ¯ [ R δ ， ρ ¯ ∇ ρ ¯ γ − 2 ] ϕ ε ϕ ε ， δ . (4.36) 在(4.36)中先令 ε → 0 ，再令 δ → 0 可得所需结论。 定理证毕。