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user: 2. 定理的证明 2.1. 浅水波方程(1)的精确解——试探方程法 令 u ( x ， t ) = φ ( ξ ) ， ξ = x − c t (4) 将(4)代入(1)得 − c φ ′ + c φ ‴ + 3 φ φ ′ − 2 φ ′ φ ″ − φ φ ‴ = 0 (5) 两边积分得 − 2 c φ + 2 c φ ″ + 3 φ 2 − 2 φ φ ″ − φ ′ 2 = 2 A (6) 其中A为积分常数。(6)式两边同时乘以 φ ′ 积分得： ( φ − c ) φ ′ 2 = φ 3 − c φ 2 − 2 A φ − B (7) 其中B为积分常数。根据(7)式，我们不妨假设 φ ′ 2 = a 0 + a 1 φ + a 2 φ 2 (8) 其中 a 0 ， a 1 ， a 2 待定的常数，并将其代入到方程(7)中去，整理并求解得： { a 2 = 1 a 1 = 0 a 0 = − 2 A c a 0 = B 又由(8)可得 2 φ ″ = a 1 + 2 a 2 φ (9) 将 a 1 和 a 2 代入到(9)中去，求解可得： φ = c 1 e ξ + c 2 e − ξ (10) 其中 c 1 ， c 2 为任意的常数。 定理1 浅水波方程(1)具有如下精确解： u ( x ， t ) = c 1 e ( x − c t ) + c 2 e − ( x − c t ) (11) 取 c 1 = 0 ， c 2 = 1 ，运用mathematica数学软件可得如图1所示的波形图： 图1. c 1 = 0 ， c 2 = 1 时的波形图 注：类似可得浅水波方程的推广形式(2)具有如下形式 u ( x ， t ) = c 1 e ( x − c t ) + c 2 e − ( x − c t ) (12) 的精确解，其中 c 1 ， c 2 为任意常数。 2.2. 修正的KdV方程的精确解——双曲正切函数展开法 令 u ( x ， t ) = φ ( ξ ) ， ξ = k x − c t (13) 在此变换下，我们有 − c u ′ + α u 2 u ′ + k 2 u ‴ = 0 (14) 假设方程(3)具有如下双曲正切函数多项式形式的解 u ( ξ ) = ∑ i = 0 m a i f i ， f = tanh ( ξ ) (15) 其中系数 a i ( i = 0 ， ⋯ ， m ) 为待定参数。根据双曲正切函数的性质，我们有： f ′ = 1 − f 2 (16) 平衡方程(14)中线性最高阶导数项 k 2 u ‴ 与最高阶非线性项 α u 2 u ′ 的幂次，根据齐次平衡原则有 2 m + m + 1 = m + 3 ，从而 m = 1 将上式代入到(15)中，从而方程(3)的拟解的形式为 u = a 0 + a 1 f (17) 将其代入到方程(14)中，整理得： − c a 1 − 2 k 2 a 1 + α a 0 2 a 1 + 2 α a 0 a 1 2 f + ( c a 1 + 8 k 2 a 1 − α a 0 2 a 1 + α a 1 3 ) f 2 − 2 α a 0 a 1 2 f 3 + ( − 6 k 2 a 1 − α a 1 3 ) f 4 = 0 由 f ， f 2 ， f 3 ， f 4 线性无关，我们有如下代数方程组成立： { − c a 1 − 2 k 2 a 1 + α a 0 2 a 1 = 0 2 α a 0 a 1 2 = 0 c a 1 + 8 k 2 a 1 − α a 0 2 a 1 + α a 1 3 = 0 − 6 k 2 a 1 − α a 1 3 = 0 (18) 求解该方程组得： (1) a 1 = 3 c α ， k = i c 2 ， (2) a 1 = 3 c α ， k = − i c 2 ， (3) a 1 = − 3 c α ， k = − i c 2 ， (4) a 1 = − 3 c α ， k = i c 2 ， 其中 ( a 0 = 0 ) 。 将其代入到方程(3)中，整理可得该方程的精确解如下： u ( x ， t ) = ± 3 c α tanh ( ξ ) . (19) 其中 α 为任意常数，c为波速。 定理2 修正的KdV方程方程(3)具有如下形式： u ( x ， t ) = ± 3 c α tanh ( k x − c t ) (20) 的精确解。 运用mathematica数学软件作图可得如图2所示的波形图： 图2. α = 3 c 时的波形图 2.3. 修正的KdV方程的精确解——Jacobi椭圆函数展开法 对于方程(3)，我们假设其行波解为： u ( ξ ) = ∑ i = 0 m a i S i (21) 其中 S = s n ( ξ ， r ) 。这里正整数m和实常数 a i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ， a m ≠ 0 ) 待定。 平衡方程(3)中线性最高阶导数项与非线性项的次数，得 m + 3 = 3 m + 1 ，即 m = 1 ，于是方程(3)的解可设为： u = a 0 + a 1 S (22) 可验证方程(3)各项的秩全为奇数(秩同类)，从而有： S ′ = C D ， C ′ = − S D ， D ′ = − r 2 S C ， u ′ = a 1 S ′ u ″ = − a 1 S D 2 − a 1 r 2 S C 2 ， u ‴ = C D ( − a 1 − a 1 r 2 + 6 a 1 r 2 S 2 ) . (23) 其中 C = c n ( ξ ， r ) ， D = d n ( ξ ， r ) 。 将(23)式代入到方程(3)中并整理得： C D ( − c a 1 − k 2 a 1 − k 2 r 2 a 1 + α a 0 2 a 1 + 2 α a 0 a 1 2 S + ( 6 k 2 r 2 a 1 + α a 1 3 ) S 2 ) = 0 (24) 由 1 ， S ， S 2 线性无关，我们得到一个非线性的代数方程组如下： { − c a 1 − k 2 a 1 − k 2 r 2 a 1 + α a 0 2 a 1 = 0 2 α a 0 a 1 2 = 0 6 k 2 r 2 a 1 + α a 1 3 = 0 (25) 求解得： a 1 = − 6 c + c − 1 − r 2 α ， k = − c − 1 − r 2 ，或 a 1 = − 6 c + c − 1 − r 2 α ， k = c − 1 − r 2 或 a 1 = 6 c + c − 1 − r 2 α ， k = − c − 1 − r 2 ，或 a 1 = 6 c + c − 1 − r 2 α ， k = c − 1 − r 2 其中 a 0 = 0 。 将上式代入到方程(3)中，可得椭圆正弦周期波解： u ( x ， t ) = ± 6 c + c − 1 − r 2 α s n ( ξ ， r ) . (26) 在(26)中令 r → 1 ，可以得到方程(3)的孤立波解： u ( x ， t ) = ± 6 c 2 α s n ( ξ ， 1 ) . (27) 其中 α 为任意常数，c为波速。 定理3修正的KdV方程方程(3)具有如下形式的椭圆正弦周期波解： u ( x ， t ) = ± 6 c + c − 1 − r 2 α s n ( ( x ， t ) ， r ) . (28) 令 r → 1 ，方程(3)的孤立波解为： u ( x ， t ) = ± 6 c 2 α s n ( ( x ， t ) ， 1 ) . (29) 其中 α 为任意常数，c为波速。 运用mathematica数学软件作图可得如图3所示的波形图： 图3. α = 3 c 时的波形图