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user: 11. 引力时空的平坦性 爱因斯坦广义相对论的一个广为传播的概念，就是引力使时空弯曲，或者时空弯曲产生引力。时空弯曲概念的理由之一是，物体的运动轨迹由短程线方程描述，而短程线方程是曲线，所以时空是弯曲的。另一个理由是，广义相对论的数学基础是黎曼几何–曲面几何。爱因斯坦的引力场方程中的里奇张量就是从时空曲率张量收缩而成的。 第一个理由显然不能成立，因为运动轨迹的弯曲并不意味着时空的弯曲。物体的运动轨迹可以是直线，也可以是曲线。垂直落下的物体的运动轨迹是一条直线；炮弹的运动轨迹是抛物线，行星的运动轨迹是圆或椭圆。描绘这些不同的曲线方程就是运动方程–规定某一物体在某一时间所在的空间坐标关系的方程。显然，运动方程式中所规定的时空关系仅仅是某一物体可能经过的时空坐标点的关系，而不影响整个宇宙的时空结构。在广义相对论中，运动方程就是黎曼空间中的短程线方程。这一短程线方程中的空间和时间变量只是受引力作用的物体所能经历的空间和时间坐标，而不是整个宇宙的空间和时间。短程线方程规定的时间和空间坐标的关系，只描述物体运动轨迹的几何性质，不描述宇宙空间的几何性质。 认为引力使时空弯曲的另一个理由也不成立。爱因斯坦的引力场方程中的时间和空间变量描述的是引力场的势的空间分布和时变特性。这一点，在上述爱因斯坦场方程的线性近似中看的十分清楚：引力场的时空度规元素中的引力修正量h在线性近似下过渡到经典的引力势。爱因斯坦场方程中规定的时空关系和曲面几何特性，可以联系于等位面的弯曲的几何特性和时变特性，但等位面的弯曲不是宇宙时空的几何特性。 我们有非常基本的理由否认时空的弯曲。众所周知，在宇宙时空中，既有引力作用，也有电磁作用和核作用。引力场由万有引力场方程描述，电磁波由麦克斯韦场方程描述。麦克斯韦方程的度规张量是平坦的闵可夫斯基度规。如果时间和空间被弯曲了，则整个麦克斯韦方程组都要被扭曲了。即是说，时空弯曲的理论本质上决定了引力和电磁作用力的耦合。可是我们没有任何万有引力和电磁力耦合的证据。 引力作用下的时空到底是弯曲的还是平坦的可以通过直接计算时空度规的黎曼曲率来决定。如果时空度规的黎曼曲率不等于零，时空就是弯曲的；如果时空度规的黎曼曲率等于零，时空就是平坦的。我们已经知道爱因斯坦的两个精确解，就是施瓦兹查尔德解和科尔解。2014年，我算出了这两个度规的黎曼曲率，结果发现，施瓦兹查尔德度规和科尔度规的黎曼曲率都等于零。不仅如此，这两个度规的里齐张量的所有分量也都等于零。所以，引力下的时空的平坦性是可以用数学严格证明的。具体计算参看拙作 [ 14 ] [ 15 ] 。 在论证科尔度规的平坦性一文中，我还纠正了一个许多教科书中长期传抄的一个错误概念，就是黎曼曲面的曲率必须由黎曼张量而不是由黎曼曲率来量度。我在论文中举了两个例子--三维空间中的二维球面和四维空间中的三维超球面--来具体说明黎曼曲率标量才是黎曼曲面的曲率的正确量度，而不是黎曼张量。 如果只考虑真空的情形，时空的平坦性很容易得到一般性的严格证明。在真空中，能动量张量为零，方程式(1)简单地成为： (29) 将方程式乘以g μ v 并进行指标收缩，注意g μ v R μ v = R以及g μ v R μ v = 4，我们有： (30) 将(30)代入(29)得 (31) 方程式(30) (31)表示真空中的时空黎曼曲率和里奇张量严格地等于零。即是说，真空中的时空是严格平坦的。按照广义相对论的解释，时空曲率为零意味着引力场为零。可是我们知道的物理事实是，只要有质量在，它的引力场在真空中就不等于零。事实显然和广义相对论相矛盾。 许多学界同仁认为时空平坦的充要条件是黎曼张量等于零，这是不对的。黎曼张量等于零是时空平坦的充分条件，但不是必要条件。事实上，文献 [ 14 ] 和 [ 15 ] 证明了，施瓦兹查尔德度规和科而度规的黎曼曲率和里奇张量都等于零，但是黎曼张量有的分量不等于零。有的朋友认为，只要黎曼张量有的分量不为零，就说明时空在有的方向是弯曲的。这里似乎有一个问题：时空曲率到底应该以黎曼张量来量度呢，还是应该以黎曼曲率标量来量度？ 首先，我们必须明白，一张平坦的黎曼曲面可以在某些方向弯曲。比如说，圆柱面就是弯曲的，一个主轴方向的曲率等于零，另一个主轴方向的曲率等于圆柱半径的倒数。可是它的高斯曲率和黎曼曲率都等于零。即是说，圆柱面在黎曼意义上是平坦的。这如何理解？原来曲面上某一点的曲率的量度是：以此点为中心，以某一无穷小弧长为半径的圆周长与半径的比值。将2π减去这个比值就是曲率。如果如此定义的曲率等于零，曲面在这一点就是平坦的；如果曲率大于零，曲面在这一点就是凸的(球面的)；如果曲率小于零，曲面在这一点就是凹的(双曲的)。 由以上曲率定义可见，黎曼曲面在任何一点的曲率是一个实数，一个标量，而不是矢量，张量。曲面某一点的曲率必须是一个唯一的数值，它或者大于零，或者等于零，或者小于零，而不可能是许多数值。四维时空中的黎曼张量有256个分量，其中有20个分量是独立的 [ 5 ] 。如果以黎曼张量来量度曲率，我们就没有一个唯一的数值来表示该点的曲率。不仅如此，黎曼张量的许多分量甚至量纲都不一样，不是所有分量都有曲率的量纲。所以，黎曼张量不能用来量度曲面的曲率。 那如何理解“平坦”的黎曼曲面沿某一方向的弯曲？还是以圆柱面为例。如果将圆柱面剪开，我们可以将他摊开在一张欧几里得平面上而没有任何皱褶。如果曲面的某一点曲率不等于零，这一点周围的圆周长和直径之间就不符合圆周率，因此延展到欧几里得平面上就一定会产生皱褶。在数学上，曲面的这一特性还可以表示为：如果黎曼曲面上某一点附近的弧长微分服从勾股定理，这一点就是平坦的，否则就是不平坦的。 为什么不等于零的黎曼张量会得到等于零的黎曼曲率呢？这很容易从数学上理解。黎曼曲率是由二阶的里奇张量收缩而得到的，里奇张量又是由四阶的黎曼张量收缩而成。张量的收缩是由一对上下指标相同的张量元素相加求和得到的。黎曼张量里那些上下指标不成对的元素根本就没有包括在收缩过程之中。这是黎曼张量与里奇张量之间，里奇张量与黎曼曲率之间的第一个区别。其次，即使有一对相同上下指标而参与收缩的元素，也可能相互抵消，这是高阶张量和由其收缩而成的低阶张量之间的第二个区别。因为这个关系，平坦的黎曼曲面的黎曼张量不一定等于零。黎曼曲率是从黎曼张量两度收缩而成，但是黎曼张量不等同于黎曼曲率。条条道路通罗马，但是道路并不是罗马城。黎曼曲率是罗马，黎曼张量只是道路。度规张量也是通向曲率的更远一点的道路。 曲率的定义似乎带有一定的主观性。高斯曲率和黎曼曲率就不太一样。你说圆柱面是平坦的，我说是弯曲的。你说时空的弯曲由黎曼曲率量度，我说必须用黎曼张量来量度。你以是否服从微分勾股定理为曲直，我偏要坚持平坦曲面沿任何方向的短程线都必须是直的。这里到底有没有一个判断是非的合理原则Ω数学上，曲率的定义确实有一定的主观性(但不是完全没有客观性)，但是在物理上，特别是在讨论广义相对论中的时空弯曲时，并不是一个主观的见仁见智的问题，而是有基本的根据，那就是爱因斯坦的引力场方程。在这场方程中，时空的曲率是由里奇张量和黎曼曲率而不是由黎曼张量来描述的。只要里奇张量和黎曼曲率等于零，爱因斯坦的时空就是平坦的。 时空曲率必须由一个实标量而不是张量来描述，一直是物理学界的常识共识。在现代宇宙学界，宇宙空间的曲率取决于物质密度参数Ω。如果Ω = 1，时空是平坦的开放的无限的稳定的；如果Ω > 1，时空是球面弯曲的，宇宙是封闭的有限的；如果Ω < 1，时空是双曲的开放的无限的膨胀的。显然，用黎曼张量来描述宇宙时空的曲直是不可能的。根据大爆炸宇宙学的计算，在大爆炸初始，物质密度参数与1的差别不能超过10 −58 ，否则宇宙将不能生存150亿年至今。也就是说，现代宇宙学得到的时空与绝对平坦的时空之间的误差不到10 −58 。我们不妨将这一曲率和光学平坦作一个比较。一个光学平面镜要求凹凸误差在波长的10%以下。对于一个直径1米的平面镜(相当大了)，这就相当于不平坦程度控制在10 −7 。宇宙学要求的曲率比光学平面镜的误差要小50个数量级，空间还是弯曲的吗？