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user: 3. 非对易格与引力场 测不准原理为： Δ r Δ p ≈ ℏ ，   Δ t Δ E ≈ ℏ 。4维空时中测不准关系给出了一个半径为 ( Δ r ， Δ t ) 的区域。由于测不准原理的限制，一个粒子探测器只能测得粒子是否在此区域内，而无法精确测得粒子位于此区域中的哪一点。从数学上说粒子探测器无法辨别此区域内不同的点。 在广义相对论中，根据引力场的标架表述，局部惯性系张成引力场的余切空间(可参阅文献 [ 3 ] 第十二章第5节)。从量子论中力学量算符表示的角度来看，余切空间对应于能量-动量，因此惯性系与能量-动量相关。我们假设受到测不准原理的限制，在惯性系中无法精确地测量一个空时点，对空时点测量的精确度只能精确到一个半径为 ( Δ r ， Δ t ) 的区域。考虑到在量子论的意义上空时在尺度为Planck长度 l p 和Planck时间 t p 以内的涨落，我们假设在惯性系中对空时点测量的精确度原则上只能达到Planck长度 l p 和 图1. 非对易格 P 6 ( S 1 ) 的Hasse图 图2. 非对易格 P ( R 1 ) 的Hasse图 图3. .偏序集 ∨ Planck时间 t p 的精度，因此在引力场中我们试取此测不准区域的半径为Planck长度 l p 和Planck时间 t p ： ( Δ r ， Δ t ) = ( l p ， t p ) 。 根据上述假设，我们首先研究1维空时的模型。设x为1维空时的坐标系，a和b为空时中的两个点。令空时为平坦的，我们可以选择一个整体的惯性系 ξ ( x ) 。类似于量子论中的算符表示，也可将1维空时的整体惯性系算符记为 ξ ^ 。在不考虑测不准原理的情况下，算符 ξ ^ 与整体惯性系 ξ ( x ) 没有区别。 ξ ^ 在任一点X处的本征值即为 ξ ( x ) 在该点的值 ξ ( X ) 。 现在对惯性系 ξ ( x ) 引入测不准原理。引入测不准原理后惯性系 ξ ( x ) 将受到测不准原理的限制，因此 ξ ( a ) 无法精确地对应于点a，而只能对应于点a的一个半径为 l p 的邻域， ξ ( b ) 也同样如此。与上节所讨论的数学模型做类比， ξ ( a ) 和 ξ ( b ) 类似于粒子探测器 U 1 ， U 2 ， U 3 。因此由于测不准原理的作用，由惯性系张成的1维空间的几何为非对易格。非对易格的基本单位为偏序集 ∨ ，因此算符 ξ ^ 的本征值对应于偏序集 ∨ 。 如果点a和点b之间的距离小于Planck长度 l p ，那么由于测不准原理的限制我们无法通过惯性系来区分点a和点b。因此对于惯性系来说如果点a和点b是相邻的，那么a和b之间的距离为 l p 。 将偏序集 ∨ 的双臂分别对应于 ξ ( a ) 和 ξ ( b ) ，如图3。在偏序集 ∨ 上， ξ ^ ( ∨ ) 的本征值为： λ ( ξ ^ ( ∨ ) ) = ξ ( a )   or   ξ ( b ) (3.1) 上式可理解为：在区间 ( a ， b ) 内，探测器 ξ ( a ) 和 ξ ( b ) 均可探测到粒子。 点a和点b之间的距离为 l p 。 l p 是坐标系x中的量，在惯性系 ξ ( x ) 中， l p 应写为如下形式： l p → l p ⋅ d ξ ( x ) d x (3.2) 由此可得到如下关系式： ξ ( b ) = ξ ( a ) ± l p ⋅ d ξ ( x ) d x | x = a (3.3) 由式(3.1)和式(3.3})可得整体惯性系本征值的一般形式： λ ( ξ ^ ) | X = ξ ( X ) ± l p ⋅ d ξ ( x ) d x | x = X (3.4) 其中 l p 等于0或 l p 。 式(3.4)中 ξ ^ 是1维平坦空时中的整体惯性系算符，因此原来的整体惯性系 ξ ( x ) 受测不准原理的影响仅为物理点X处的惯性系，即点X处的局部惯性系。 现在讨论4维空时。令空时为4维Minkowski空间，在直角坐标系 x μ 中Minkowski度规为： η μ ν = d i a g ( + ， + ， + ， − ) 。为了方便直观取4维球极坐标系 r i = ( r ， θ ， ϕ ， t ) 如下： x 1 = r sin θ cos ϕ x 2 = r sin θ sin ϕ x 3 = r cos θ x 4 = t (3.5) 其中球极坐标系的极点为x， r ∈ [ 0 ， + ∞ ) ，   θ ∈ [ 0 ， π ] ，   ϕ ∈ [ 0 ， 2 π ) ，   t ∈ ( − ∞ ， + ∞ ) 。 4维球极坐标系中的Minkowski度规为： η i j = ( 1 r 2 r 2 sin 2 θ − 1 ) (3.6) 4维Minkowski空时中的整体惯性系算符记为 ξ ^ 。引入测不准原理后，在球极坐标系 r i 的极点x处的惯性系可在 r i 中表示为： λ ( ξ ^ ) = ( λ ( ξ ^ r ) ， λ ( ξ ^ θ ) ， λ ( ξ ^ ϕ ) ， λ ( ξ ^ t ) ) (3.7) 由式(3.4)可知，惯性系的各个分量为： λ ( ξ ^ r ) = ξ r + l p ⋅ ∂ ξ r ∂ r λ ( ξ ^ θ ) = ξ θ λ ( ξ ^ ϕ ) = ξ ϕ λ ( ξ ^ t ) = ξ t + t p ⋅ ∂ ξ t ∂ t (3.8) 其中 ( ξ r ， ξ θ ， ξ ϕ ， ξ t ) 为球极坐标系 r i 的极点x处的局部惯性系。 由于空时为Minkowski空间，可得： λ ( ξ ^ r ) = ξ r + l p ⋅ ∂ ξ r ∂ r = r λ ( ξ ^ θ ) = ξ θ = θ λ ( ξ ^ ϕ ) = ξ ϕ = ϕ λ ( ξ ^ t ) = ξ t + t p ⋅ ∂ ξ t ∂ t = t (3.9) 方程组(3.9)的解为： ξ i = { ξ r = ( r − l p ) + C r exp ( − r l p ) + C ′ r ξ θ = θ + C ′ θ ξ ϕ = ϕ + C ′ ϕ ξ t = ( r − t p ) + C t exp ( − | t | t p ) + C ′ t (3.10) 其中 C r ，   C t 为积分常数， C ′ r ，   C ′ θ ，   C ′ ϕ ，   C ′ t 为任意常数。 由于我们总是要对局部惯性系求导，为了简单起见，可以略去式(3.10)中的任意常数 C ′ r ，   C ′ θ ，   C ′ ϕ ，   C ′ t 。因此方程组(3.9)的解可以简写为： ξ i = { ξ r = r + C r exp ( − r l p ) ξ θ = θ ξ ϕ = ϕ ξ t = t + C t exp ( − | t | t p ) (3.11) 令 C = 1 2 Δ x ， 则当 Δ x → 0 时函数 C exp ( − x Δ x ) 为Dirac-δ函数。由于半径 ( l p ， t p ) 是非常小量，因此式(3.11)近似于4维Dirac-δ函数，所以方程组(3.9)的解可以视为球极坐标系极点处的一个粒子。由于式(3.11)表示极点处的局部惯性系，因此此粒子可理解为位于极点处的一个半经典的引力子。 一个半经典的引力子可诱导出一个度规： g i j ( r ) = η m n ∂ ξ m ∂ r i ∂ ξ n ∂ r j = ( ( 1 − C r l p exp ( − r l p ) ) 2 r 2 r 2 sin 2 θ − ( 1 − C t t p exp ( − | t | t p ) ) 2 ) (3.12)