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user: 3. 主要定理及其证明 在本文中， K n i 表示有 n i 个顶点的完全图，其中 1 ≤ i ≤ k 。一条xy-路是一条起始于x，终止于y的路。对于一条路P来说，其中 x ， y ∈ V ( P ) ，我们用 x P y 去表示P上连接 x ， y 的子路。 定理3.1：对于任意两个完全图 K n 1 与 K n 2 ，有 κ 3 ( K n 1 □ K n 2 ) = n 1 + n 2 − 3 。 证明：根据 n 1 与 n 2 的取值情况，考虑如下三种情形。 情形1： n 1 = n 2 = 2 。 因为 n 1 = n 2 = 2 ，所以两个完全图都是 K 2 。显然， κ 3 ( K 2 □ K 2 ) = κ 3 ( C 4 ) = 1 = 2 + 2 − 3 。 情形2： n 1 ≥ 3 ， n 2 = 2 。 由引理2.2知， κ 3 ( K n 1 □ K 2 ) ≤ δ ( K n 1 □ K 2 ) − 1 = n 1 − 1 ，故只需证 κ 3 ( K n 1 □ K 2 ) ≥ n 1 − 1 。令 V ( K n 1 ) = { u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u n 1 } ， V ( K 2 ) = { v 1 ， v 2 } ， S = { x ， y ， z } ⊆ V ( K n 1 □ K 2 ) 。下面分两种子情形讨论。 子情形2.1： S ⊆ K n 1 v i ， i = 1 ， 2 。 不失一般性，假设 S ⊆ K n 1 v 1 。由定理2.1知， ，故在 K n 1 中有 n 1 − 2 棵内部不交的S-斯坦纳树，记作 T 1 ， T 2 ， ⋯ ， T n 1 − 2 。令 T n 1 − 1 = T 1 v 2 ∪ x x v 2 ∪ y y v 2 ∪ z z v 2 。显然， T 1 ， T 2 ， ⋯ ， T n 1 − 1 是 n 1 − 1 棵内部不交的S-斯坦纳树。 子情形2.2：S中的某两个顶点属于某个 K n 1 v i ， i = 1 ， 2 。 不失一般性，假设 x ， y ∈ K n 1 v 1 ， z ∈ K n 1 v 2 。因为 κ ( K n 1 ) = n 1 − 1 ， K n 1 v i ≅ K n 1 ， i = 1 ， 2 ，所以由定理2.3知，在 K n 1 v 1 中存在 n 1 − 1 条内部不交的xy-路 ， 1 ≤ i ≤ n 1 − 1 ，在 K n 1 v 2 中存在 n 1 − 1 条内部不交的 x v 2 z -路 Q i ， 1 ≤ i ≤ n 1 − 1 。令 x i 是在 P i 上的x的邻点。令 T i = P i ∪ x i v 2 Q i z ∪ x i v 2 x i ， 1 ≤ i ≤ n 1 − 1 。显然， T 1 ， T 2 ， ⋯ ， T n 1 − 1 是 n 1 − 1 棵内部不交的S-斯坦纳树。 情形3： n 1 ≥ 3 ， n 2 ≥ 3 。 由引理2.2知， κ 3 ( K n 1 □ K n 2 ) ≤ δ ( K n 1 □ K n 2 ) − 1 = n 1 + n 2 − 3 ，故只需证 κ 3 ( K n 1 □ K n 2 ) ≥ n 1 + n 2 − 3 。令 V ( K n 1 ) = { u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u n 1 } ， V ( K n 2 ) = { v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v n 2 } ， S = { x ， y ， z } ⊆ V ( K n 1 □ K n 2 ) 。下面分三种子情形讨论。 子情形3.1： S ⊆ K n 1 v i ， 1 ≤ i ≤ n 2 。 因为此情形与子情形2.1的讨论类似，所以留给读者证明。 子情形3.2：S中的某两个顶点属于某个 K n 1 v i ， 1 ≤ i ≤ n 2 。 因为此情形与子情形2.2的讨论类似，所以留给读者证明。 子情形3.3：S中的三个顶点分别属于不同的 K n 1 v i ， 1 ≤ i ≤ n 2 。 不失一般性，设 x ∈ K n 1 v 1 ， y ∈ K n 1 v 2 ， z ∈ K n 1 v 3 。下面分三种情形讨论。 如果 S ⊆ K n 2 u i ，不妨设 S ⊆ K n 2 u 1 。由定理2.1知， κ 3 ( K n 2 u 1 ) = n 2 − 2 ，所以在 K n 2 u 1 中有 n 2 − 2 棵内部不交的S-斯坦纳树，记作 T 1 ， T 2 ， ⋯ ， T n 2 − 2 。令 T ′ i = T 1 u i ∪ x x u i ∪ y y u i ∪ z z u i ， 2 ≤ i ≤ n 1 。显然， T 1 ， T 2 ， ⋯ ， T n 2 − 2 ， T ′ 2 ， ⋯ ， T ′ n 1 是 n 1 + n 2 − 3 棵内部不交的S-斯坦纳树。 如果 x ， y ∈ K n 2 u s ， z ∈ K n 2 u t ， 其中 s ≠ t 。因为 κ ( K n 1 ) = n 1 − 1 ， K n 1 v 1 ≅ K n 1 ，所以由定理2.3知，在 K n 1 v 1 中存在 n 1 − 1 条内部不交的 x z v 1 -路 P i ， 1 ≤ i ≤ n 1 − 1 。因为 K n 1 是简单图，所以在 K n 1 v 1 中可以找到 n 1 − 2 条长度至少为2的 x z v 1 -路 P i ， 1 ≤ i ≤ n 1 − 2 。令 x i 是在 P i 上的x的邻点， T i = x P i x i ∪ x i v 2 P i v 2 y ∪ x i v 3 P i v 3 z ∪ x i v 2 x i ∪ x i v 2 x i v 3 ， 1 ≤ i ≤ n 1 − 2 ； T n 1 − 1 = P n 1 − 1 ∪ P n 1 − 1 v 2 ∪ z v 1 z v 2 ∪ z v 2 z ； T n 1 = x y ∪ y y v 3 ∪ P n 1 − 1 v 3 ； T ′ j = x v j x ∪ x v j y ∪ z v j z ∪ P 1 v j ， 4 ≤ j ≤ n 2 。显然， T 1 ， T 2 ， ⋯ ， T n 1 ， T ′ 4 ， ⋯ ， T ′ n 2 是 n 1 + n 2 − 3 棵内部不交的S-斯坦纳树。 如果 x ∈ K n 2 u r ， y ∈ K n 2 u s ， z ∈ K n 2 u t ，其中 r ， s ， t 不相等。当 n 1 = n 2 = 3 时，由引理2.7知， κ 3 ( K 3 □ K 3 ) = κ 3 ( C 3 □ C 3 ) = 3 ，故定理成立。当 n 1 ≥ 4 和 n 2 ≥ 3 时，令 w i 是在图 K n 1 v 1 中除顶点 y v 1 与 z v 1 外的x的邻点，则 T i = x w i ∪ w i w i v 2 ∪ w i v 2 w i v 3 ∪ w i v 2 y ∪ w i v 3 z ， 1 ≤ i ≤ n 1 − 3 。令 T ′ 1 = x y v 1 ∪ y v 1 z v 1 ∪ y y v 1 ∪ z z v 1 ； T ′ 2 = x x v 2 ∪ x v 2 y ∪ y z v 2 ∪ z v 2 z ； T ′ 3 = x x v 3 ∪ x v 3 y v 3 ∪ y v 3 z ∪ y v 3 y ； T ′ j = x x v j ∪ y y v j ∪ z z v j ∪ x v j y v j ∪ y v j z v j ， 4 ≤ j ≤ n 2 。显然， T 1 ， T 2 ， ⋯ ， T n 1 − 3 ， T ′ 1 ， ⋯ ， T ′ n 2 是 n 1 + n 2 − 3 棵内部不交的S-斯坦纳树。 定理3.2：对于任意 k ( k ≥ 2 ) 个完全图，有 κ 3 ( K n 1 □ K n 2 □ ⋯ □ K n k ) = ∑ i = 1 k n i − k − 1 。 证明：对k用归纳法。因为图的笛卡尔积满足交换律和结合律，所以可设 n 1 ≤ n 2 ≤ ⋯ ≤ n k 。如果 n k = 2 ，那么 K n 1 □ K n 2 □ ⋯ □ K n k 是超立方体 Q k ，由定理2.5与引理2.6知，定理成立。 接下来只讨论 n k ≥ 3 即可。当 k = 2 时，由定理3.1知，定理成立；假设对于任意不超过 k − 1 个完全图的笛卡尔积，定理都成立，即 κ 3 ( K n 1 □ K n 2 □ ⋯ □ K n k − 1 ) = ∑ i = 1 k − 1 n i − k 成立；现在证明对于任意k个完全图的笛卡尔积，定理成立。由引理2.2知， κ 3 ( K n 1 □ K n 2 □ ⋯ □ K n k ) ≤ δ ( K n 1 □ K n 2 □ ⋯ □ K n k ) − 1 = ∑ i = 1 k n i − k − 1 ，故只需证 κ 3 ( K n 1 □ K n 2 □ ⋯ □ K n k ) ≥ ∑ i = 1 k n i − k − 1 。为了简便，令图G表示图 K n 1 □ K n 2 □ ⋯ □ K n k − 1 ， a = ∑ i = 1 k − 1 n i − k ， b = ∑ i = 1 k n i − k − 1 。令 V ( G ) = { u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u n } ， V ( K n k ) = { v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v n k } ， S = { x ， y ， z } ⊆ V ( G □ K n k ) 。考虑如下三种情形。 情形1： S ⊆ G v i ， 1 ≤ i ≤ n k 。 不失一般性，假设 S ⊆ G v 1 。由归纳假设知，在 G v 1 中可以找到a棵内部不交的S-斯坦纳树，记作 T 1 ， T 2 ， ⋯ ， T a 。我们只需在 G v 1 外找 n k − 1 棵内部不交的S-斯坦纳树，令 T ′ i = T 1 v i ∪ x x v i ∪ y y v i ∪ z z v i ， 2 ≤ i ≤ n k 。显然， T 1 ， T 2 ， ⋯ ， T a ， T ′ 2 ， ⋯ ， T ′ n k 是b棵内部不交的S-斯坦纳树。 情形2：S中的某两个顶点属于某个 G v i ， 1 ≤ i ≤ n k 。 不失一般性，假设 x ， y ∈ G v 1 ， z ∈ G v 2 。下面分两种子情形讨论。 子情形2.1： | z v 1 ∩ { x ， y } | = 0 。 因为 κ ( G ) = δ ( G ) = a + 1 ， G v i ≅ G ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n k ，所以由定理2.3知，在 G v 1 中存在 a + 1 条内部不交的xy-路 P i ， 1 ≤ i ≤ a + 1 ，在 G v 2 中存在 a + 1 条内部不交的 x v 2 z -路 Q i ， 1 ≤ i ≤ a + 1 。令 x i 是在 P i 上的x的邻点。在 G v j 中任取一棵 { x v j ， y v j ， z v j } -斯坦纳树 R v j ， 3 ≤ j ≤ n k 。令 T i = P i ∪ x i v 2 Q i z ∪ x i v 2 x i ， 1 ≤ i ≤ a + 1 ； T ′ j = R v j ∪ x x v j ∪ y y v j ∪ z z v j ， 3 ≤ j ≤ n k 。显然， T 1 ， T 2 ， ⋯ ， T a + 1 ， T ′ 3 ， ⋯ ， T ′ n k 是b棵内部不交的S-斯坦纳树。 子情形2.2： | z v 1 ∩ { x ， y } | = 1 。 不失一般性，假设 z v 1 = y 。因为 κ ( G ) = δ ( G ) = a + 1 ， G v 1 ≅ G ，所以由定理2.3知，在 中存在 a + 1 条内部不交的xy-路 P i ， 1 ≤ i ≤ a + 1 。令 x i 是在 P i 上的x的邻点。令 T i = P i ∪ x i v 2 P i v 2 z ∪ x i v 2 x i ， 1 ≤ i ≤ a + 1 ； T ′ j = P 1 v j ∪ x x v j ∪ y y v j ∪ z y v j ， 3 ≤ j ≤ n k 。显然， T 1 ， T 2 ， ⋯ ， T a + 1 ， T ′ 3 ， ⋯ ， T ′ n k 是b棵内部不交的S-斯坦纳树。 情形3：S中的三个顶点分别属于不同的 G v i ， 1 ≤ i ≤ n k 。 不失一般性，假设 x ∈ G v 1 ， y ∈ G v 2 ， z ∈ G v 3 。下面分三种子情形讨论。 子情形3.1： S ⊆ K n k u i ， 1 ≤ i ≤ n 。 不失一般性，假设 S ⊆ K n k u 1 。因为 κ ( G ) = δ ( G ) = a + 1 ，所以在 G v 1 中，顶点x有 a + 1 个邻点，记作 x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x a + 1 。令 T i = x x i ∪ y x i v 2 ∪ z x i v 3 ∪ x i x i v 2 ∪ x i v 2 x i v 3 ， 1 ≤ i ≤ a + 1 。又因为 K n k 是完全图，所以由定理2.1知， κ 3 ( K n k ) = n k − 2 ，故在 K n k u 1 中有 n k − 2 棵内部不交的S-斯坦纳树，记作 T ′ 1 ， ⋯ ， T ′ n k − 2 。显然， T 1 ， T 2 ， ⋯ ， T a + 1 ， T ′ 1 ， ⋯ ， T ′ n k − 2 是b棵内部不交的S-斯坦纳树。 子情形3.2： x ， y ∈ K n k u s ， z ∈ K n k u t ， s ≠ t 。 因为 κ ( G ) = δ ( G ) = a + 1 ， G v 1 ≅ G ，所以由定理2.3知，在 G v 1 中存在 a + 1 条内部不交的 x z v 1 -路 P i ， 1 ≤ i ≤ a + 1 。因为图G是简单图，所以在 G v 1 中可以找到a条长度至少为2的 x z v 1 -路 P i ， 1 ≤ i ≤ a 。令 x i 是在 P i 上的x的邻点。令 T i = x P i x i ∪ x i v 2 P i v 2 y ∪ x i v 3 P i v 3 z ∪ x i v 2 x i ∪ x i v 2 x i v 3 ， 1 ≤ i ≤ a ； T a + 1 = P a + 1 v 2 ∪ x y ∪ z z v 2 ； T a + 2 = x x v 3 ∪ y x v 3 ∪ P a + 1 v 3 ； T ′ j = P 1 v j ∪ x v j x ∪ x v j y ∪ z v j z ， 4 ≤ j ≤ n k 。显然， T 1 ， T 2 ， ⋯ ， T a + 2 ， T ′ 4 ， ⋯ ， T ′ n k 是b棵内部不交的S-斯坦纳树。 子情形3.3： x ∈ K n k u i ， y ∈ K n k u l ， z ∈ K n k u m ，其中 i ， l ， m 不相等。 令 x = ( u i ， v 1 ) ， y = ( u l ， v 2 ) ， z = ( u m ， v 3 ) ， S ′ = { ( u c ， v j ) | c = i ， l ， m ; j = 1 ， 2 ， 3 } 。考虑如下两种情况。 如果在G中， u i ， u l ， u m 中的某两个顶点不相邻。不失一般性，假设在G中 u i ， u l 不相邻。因为 κ ( G ) = δ ( G ) = a + 1 ，所以在G中存在 a + 1 条内部不交的 u i u l -路，记作 P j ，设 u i j 是 u i 的邻点， 1 ≤ j ≤ a + 1 。假设 u m 不在 P j 上， 1 ≤ j ≤ a 。由引理2.4知，在G中存在一个从 u m 到 { u i 1 ， u i 2 ， ⋯ ， u i a ， u i } 的 ( a + 1 ) -扇，记作 Q j ，其中有一条 u i j u m -路， 1 ≤ j ≤ a ， Q a + 1 是一条 u m u i -路。令 H j = ( u i u i j ) v 1 ∪ K n k u i j ∪ ( P j − u i ) v 2 ∪ Q j v 3 ， 1 ≤ j ≤ a 。因为每个 H j 有一棵支撑树 T j ， 1 ≤ j ≤ a ，所以我们找到a棵内部不交的S-斯坦纳树，记作 。因为 K n k 是 ( n k − 1 ) -连通的，所以在 K n k 中存在 n k − 1 条内部不交的 v 1 v 2 -路，记作 R j ，设 v i j 是 v 2 的邻点， 1 ≤ j ≤ n k − 1 。又因为 K n k 是完全图，所以可假设 v i 1 ， v i 2 ， ⋯ ， v i n k − 3 ≠ v 1 ， v 3 ，令 v i n k − 2 = v 3 ， v i n k − 1 = v 1 ，故 R n k − 2 − v 2 = v 1 v 3 ， R n k − 1 = v 1 v 2 。 因为 κ ( K n k ) = n k − 1 ，所以在 K n k − v 1 中存在一个从 v 3 到 { v i 1 ， v i 2 ， ⋯ ， v i n k − 3 ， v 2 } 的 ( n k − 2 ) -扇，记作 S j ，其中有一条 v i j v 3 -路， 1 ≤ j ≤ n k − 3 ，有一条 v 2 v 3 -路 S n k − 2 。令 T ′ j = ( R j − v 2 ) u i ∪ ( G − { u i 1 ， u i 2 ， ⋯ ， u i a } ) v i j ∪ ( v i j v 2 ) u l ∪ S j u m ， 1 ≤ j ≤ n k − 3 ； T ′ n k − 2 = ( v 1 v 2 ) u i ∪ ( G − { u i 1 ， u i 2 ， ⋯ ， u i a } ) v 2 ∪ S n k − 2 u m ； T ′ n k − 1 = ( v 1 v 3 ) u i ∪ Q a + 1 v 3 ∪ P a + 1 v 1 ∪ ( v 1 v 2 ) u l 。显然， T 1 ， T 2 ， ⋯ ， T a ， T ′ 1 ， ⋯ ， T ′ n k − 1 是b棵内部不交的S-斯坦纳树(如图1所示)。 图1. 粗实线表示 T j ， 1 ≤ j ≤ a ；细实线表示 T ′ j ， 1 ≤ j ≤ n k − 3 ；细虚线表示 T ′ n k − 2 ；粗虚线表示 T ′ n k − 1 如果在G中， u i ， u l ， u m 两两相邻。由引理2.7知，在 ( G □ K n k ) ( S ′ ) 中有3条内部不交的S-斯坦纳树，记作 T ″ 1 ， T ″ 2 ， T ″ 3 。因为G是 ( a + 1 ) -连通的，所以 κ ( ( G − u m ) − u i u l ) ≥ a − 1 ，故在 ( G − u m ) − u i u l 中存在 a − 1 条内部不交的 u i u l -路，记作 P j 。令 u i j 是 u i 的邻点， 1 ≤ j ≤ a − 1 。由引理2.4知，在 G − u i − u l 中存在一个从 u m 到 { u i 1 ， u i 2 ， ⋯ ， u i a − 1 } 的 ( a − 1 ) -扇。类似于情况1，可以构造 a − 1 棵内部不交的S-斯坦纳树 T 1 ， T 2 ， ⋯ ， T a − 1 。又因为 κ ( K n k ) = n k − 1 ，所以可以构造 n k − 3 棵内部不交的S-斯坦纳树 T ′ 1 ， T ′ 2 ， ⋯ ， T ′ n k − 3 。显然， T 1 ， T 2 ， ⋯ ， T a − 1 ， T ′ 1 ， T ′ 2 ， ⋯ ， T ′ n k − 3 ， T ″ 1 ， T ″ 2 ， T ″ 3 是b棵内部不交的S-斯坦纳树。