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user: 3. 模型建立 3.1. 热传递模型 图2表示了热防护服–空气层–皮肤系统 [ 1 ]，其中热防护服由三种织物材料构成，记为I、II、III层，织物层与皮肤间存在一定空隙，是空气层，记为IV层。 图2. 热防护服–空气层–皮肤系统 对于热防护服–空气层–皮肤系统的相关假设做如下说明： · 热传递的方向垂直于皮肤，属于一维非稳态导热情况。 · 外界辐射进入第I层织物后被大量阻隔，因此忽略各织物层之间和空气层的热辐射。 · 空气层厚度值不超过6.4 mm，不考虑热对流的影响。 3.1.1. 传热微分方程的推导 热防护服的应用中，主要考虑热传导和热辐射两种热传递形式 [ 1 ]。其中热传导是由于温差而引起的能量转移，可由傅里叶定律 [ 2 ] 给出；热辐射包括吸收辐射和反射辐射，可由能量守恒定律 [ 2 ] 给出。 能量守恒定律 每一层织物的能量变化包括该层能量的吸收与反射，吸收率与反射率和为1，且内部无热源。令 e ( x ， t ) 为热能密度， ϕ ( x ， t ) 为热通量，由能量守恒可得 ∂ e ∂ t = − ∂ ϕ ∂ x 。 (1) 令 ρ ( x ) 为质量密度，单位质量的热能为 c ( x ) T ( x ， t ) ，则单位体积的热能可以表示为 e ( x ， t ) = ρ ( x ) c ( x ) T ( x ， t ) 。 (2) 根据式(1)和式(2)消去热能密度 ρ 后，得到能量守恒定律方程为 ρ c ∂ T ∂ t = ∂ ϕ ∂ x ， (3) 其中 ρ 为织物的密度，c为织物的比热，T为温度， ϕ 为热辐射通量。 傅里叶定律 傅里叶定律表明在单位时间内的导热过程中，通过给定截面的导热量与该截面面积和截面法向上的温度变化成正比，其公式表示为 ϕ = − k ∂ T ∂ x ， (4) 其中，k为织物的热传导率，T为温度。 传热微分方程 由于热传递方向为垂直于皮肤方向，因此可将传热方向视为一维方向。将傅里叶定律(4)代入能量守恒定律方程(3)，得到一维方向的传热微分方程 ρ c ∂ T ∂ t = ∂ ∂ x ( k ∂ T ∂ x ) 。 (5) 3.1.2. 热防护服织物层中的热传递 由于只考虑一维的热传递，因此织物材料中的辐射能量在x点的热能一部分向左，一部分向右。令 e L 表示热能密度， ϕ L 表示在x点处向左辐射的总热辐射通量，由能量守恒定律可知 ∂ e L ∂ t = − ∂ ϕ L ∂ x 。 若暂时不考虑向右辐射的热量，则x点处的净热能通量为 β ( σ T 4 − ϕ L ) ，其中 β 为一般材料单位面积的吸收能力， σ 为斯蒂芬–波尔兹曼常数，其值等于 5.67 × 10 − 8 W / ( m 2 ⋅ K 4 ) 。因此 β ( σ T 4 − ϕ L ) 是热能密度，则 β ( σ T 4 − ϕ L ) = − ∂ ϕ L ∂ x ， 即 ∂ ϕ L ∂ x = β ϕ L − β σ T 4 。 (6) 同理，若暂时不考虑向左侧的热量，则x点处的净热能通量为 β ( σ T 4 + ϕ R ) ，从而得到 β ( σ T 4 + ϕ R ) = ∂ ϕ R ∂ x ， 即 ∂ ϕ R ∂ x = β ϕ R + β σ T 4 。 (7) 为更好地展示第I~IV层的热传递过程，用图3来表示。 图3. I层~IV层的热传递示意图 第I层织物的传热方程： 由于不考虑热对流的影响，因此第I层织物仅受环境的热传导和热辐射影响。令 k I 表示第I层织物的热传导率， t exp 表示高温作业的时间，则第I层织物的传热方程可表示为 ρ I c I ∂ T ∂ t = ∂ ∂ x ( k I ∂ T ∂ x ) + ∂ ϕ L ∂ x − ∂ ϕ R ∂ x ， ( x ， t ) ∈ ( 0 ， L I ) × ( 0 ， t exp ) ， (8) 其中， L I 为第I层织物的厚度， ρ I 为第I层织物的密度， c I 为第I层织物的比热， k I 表示第I层织物的热传导率， ϕ L 、 ϕ R 分别为向左和向右的辐射量，T为温度。 第II层织物的传热方程： 由于第I层织物阻挡掉了外界的大部分辐射，因此第II层织物主要受热传导影响，故第II层织物的传热方程表示为 ρ II c II ∂ T ∂ t = ∂ ∂ x ( k II ∂ T ∂ x ) ， ( x ， t ) ∈ ( L I ， L I + L II ) × ( 0 ， t exp ) ， (9) 其中， L II 为第II层织物的厚度， ρ II 为第II层织物的密度， c II 为第II层织物的比热， k II 表示第II层织物的热传导率。 第III层织物的传热方程： 同理，第III层织物的传热方程表示为 ρ III c III ∂ T ∂ t = ∂ ∂ x ( k III ∂ T ∂ x ) ， ( x ， t ) ∈ ( L I + L II ， L I + L II + L III ) × ( 0 ， t exp ) ， (10) 其中， L III 为第III层织物的厚度， ρ III 为第III层织物的密度， c III 为第III层织物的比热， k III 表示第III层织物的热传导率。 为表达方便，令 L 2 = L I + L II ， L 3 = L I + L II + L III ， L 4 = L I + L II + L III + L IV 。 初始条件1： 将第I、II、III层看作一个整体织物层，则其初始条件为 T ( x ， 0 ) = T 1 ( x ) ， x ∈ ( 0 ， L 3 ) 。 (11) 边界条件1： 整个织物层的边界条件为 − k I ∂ T ∂ x | x = L 3 = q I | x = 0 ， (12) − k III ∂ T ∂ x | x = L 3 = ( q IV − k IV ∂ T ∂ x ) | x = L 3 ， (13) ( 1 − ξ 1 ) ϕ L ( 0 ， t ) + ξ 1 σ t T 4 ( 0 ， t ) = ϕ R ( 0 ， t ) ， 其中， q I 为第I层的热辐射热流密度， q IV 为第IV层空气的热辐射热流密度， k IV 为空气的热传导率， ξ 1 为第I层左侧的辐射率。 边界条件2： 第I层与第II层之间的边界条件为 T I | x = L I = T II | x = L I ， − k I ∂ T ∂ x | x = L I = − k II ∂ T ∂ x | x = L I ， (14) ( 1 − ξ 2 ) ϕ L ( L I ， t ) + ξ 2 σ t T 4 ( L I ， t ) = ϕ R ( L I ， t ) ， 其中， ξ 2 为第I层右侧的辐射率。 边界条件3： 第II层与第III层之间的接触面应满足 T II | x = L 2 = T III | x = L 2 ， − k II ∂ T ∂ x | x = L 2 = − k III ∂ T ∂ x | x = L 2 。(15) 3.1.3. 热防护服空气层中的热传递 第IV层织物的传热方程： 第IV层为织物层与皮肤之间的空气层，考虑到假人皮肤对第IV层会进行热辐射，故将第IV层的热能加上皮肤对其辐射的热能，即为热传递总热能，由此得到热传递模型为 ρ IV c IV ∂ T ∂ t = ∂ ∂ x ( k IV ∂ T ∂ x ) − ∂ q IV ∂ x ， ( x ， t ) ∈ ( L 3 ， L 4 ) × ( 0 ， t exp ) ， (16) 其中， ρ IV 为空气的密度， c IV 为空气的比热， k IV 为空气的热传导率， q IV 为空气的热辐射热流密度。 由于第IV层厚度狭小，可以假设其热传导是稳态的，因此可以将上述热传递模型解耦为 k IV ∂ T ∂ x | x = L 3 = k IV ∂ T ∂ x | x = L 4 = h IV ( T | x = L 3 − T | x = L 4 ) ， (17) q IV | x = L 3 = q IV | x = L 4 = σ ( T 4 | x = L 3 − T 4 | x = L 4 ) 1 ε III + 1 ε IV − 1 ， (18) 其中， h IV 为外界环境到第I层的热对流系数， ε III 、 ε IV 分别为第III层和第IV层的反射率。 初始条件2： 空气层的初始条件为 T ( x ， 0 ) = T 1 ( x ) ， x ∈ ( 0 ， L 4 ) 。 3.2. 最优厚度模型 针对第II层织物材料的最优厚度问题，可以将其看作一个优化问题，采用线性规划的方法构建最优厚度模型。可以利用安全风险系数 [ 3 ] 来构建相关函数表达式，并根据最小二乘法 [ 4 ] 计算皮肤外侧温度在满足条件的情况下，尽可能在高温环境坚持更长时间的最优解，并得到第II层的最优厚度。 I. 决策变量 分析题意可知，皮肤外侧温度随第II层厚度和时间的变化而变化，因此引入决策变量为第II层织物材料的厚度，即 L II 。 II. 目标函数 查阅相关资料可知，人体烧伤程度分为一级烧伤、二级烧伤和三级烧伤 [ 5 ] 等，其中，当皮肤温度达到44℃时，造成一级烧伤，而一级烧伤仅在表皮层发生热损伤，因此在安全范围内；当皮肤温度达到47℃时，造成二级烧伤，二级及以上烧伤均超出安全范围。 令P为频数因子， Δ E 为皮肤的活化能，t表示到达44℃后的持续时间，则人体皮肤距离二级烧伤可用安全风险系数(惩罚函数) f表示为 f ( t ) = ∫ 0 t P e − Δ E R T ( x ， t ) d t ， (19) 其中，R为理想气体常数，T为皮肤处的温度。当 f < 0.53 时，人体皮肤未被烧伤；当 0.53 ≤ f < 1 时，造成一级烧伤；当 f ≥ 1 时，造成二级烧伤。 由于只有一个决策变量 L II ，因此将 f ( t ) 替换为 f ( L II ， t ) ，用 f ( L II ， t ) 作为安全风险系数的函数表达式。为使安全风险系数尽可能小，需要求 f ( L II ， t ) 的最小值。 由题意可知，皮肤温度不能超过47℃，即不造成二级烧伤，因此不考虑 f > 1 的情况，则f与 f * = 1 围成的面积越大，安全风险系数越低，其中 f * 表示恰好造成二级烧伤。由此得到目标函数为 J ( L II ) = ∫ 0 t | f ( L II ， t ) − f * | 2 d t 该反问题可转化为一个最小二乘问题，将安全风险系数和温度的组合离散为若干个点，即 ( T i ， f j ) ，其中， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 。由此得到离散的目标函数为 J ( L II * ) = min J ( L II ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m ( f i j − f * ) 2 ， 其中， L II * 为最优厚度。 III. 约束条件 由于不考虑 f > 1 的情况，因此约束条件为 f ( L II ， t ) ≤ 1 。 而60分钟内，皮肤温度超过44℃的时间不能超过5分钟，故有 t ≤ 5 。 由于第II层的厚度范围为0.6~25 mm，则 0.6 ≤ L II ≤ 25 。 IV. 最终模型 根据上述目标函数、约束条件可得第II层织物材料的最优厚度模型为 min J ( L II ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m ( f i j − f * ) 2 s . t .         f ( L II ， t ) ≤ 1                   t ≤ 5                 0.6 ≤ L II ≤ 25 。 (21) 3.3. 双变量优化模型 由于有第II层和第IV层的厚度这两个变量，因此可以看作一个双变量优化问题，运用线性规划的方法构建第II、第IV层的双变量优化模型。 可以利用设计反问题 [ 4 ] 的方法，用安全风险系数来表示皮肤温度，通过求解安全风险系数来计算满足条件的最优厚度。 I. 决策变量 分析题意可知，皮肤外侧温度受第II、第IV层织物材料厚度的影响，因此引入决策变量为第II、IV层织物材料的厚度，即 L II 、 L IV 。 II. 目标函数 已知安全风险系数f可表示为 f ( t ) = ∫ 0 t P e − Δ E R T ( x ， t ) d t ， 其中，P为频数因子， Δ E 为皮肤的活化能，t为到达44℃后的持续时间，R为理想气体常数，T为皮肤处的温度。当 f < 0.53 时，人体皮肤未被烧伤；当 0.53 ≤ f < 1 时，造成一级烧伤；当 f ≥ 1 时，造成二级烧伤。 由于决策变量为 L II 和 L IV ，因此将 f ( t ) 替换为 f ( L ， t ) ，其中 L = ( L II ， L IV ) ，用 f ( L ， t ) 作为安全风险系数的函数表达式。为使烧伤的风险尽可能小，需要求 f ( L ， t ) 的最小值。 由题意可知，皮肤温度不能超过47℃，即不造成二级烧伤，因此不考虑 f > 1 的情况，则f与 f = 1 围成的面积越大，安全风险系数越低，由此得到目标函数为 J ( L ) = ∫ 0 t | f ( L ， t ) − 1 | 2 d t ，(22) 将式(21)积分形式转化为离散形式，得到离散的目标函数为 J ( L ) = 1 N ∑ j = 1 N | f ( L ， t ) − 1 | 2 III. 约束条件 由于不考虑 f > 1 的情况，因此约束条件为 f ( L ， t ) ≤ 1 。 而80分钟内，皮肤温度超过44℃的时间不能超过5分钟，故有 t ≤ 5 。 由于第II层的厚度范围为0.6~25 mm，第IV层的厚度范围为0.6~6.4 mm，则 0.6 ≤ L II ≤ 25 ， 0.6 ≤ L IV ≤ 6.4 。 IV. 最终模型 根据上述目标函数、约束条件可得第II、IV层织物材料的双变量优化模型为 min J ( L ) = 1 N ∑ j = 1 N | f ( L ， t ) − f * | 2 s . t .       f ( L ， t ) ≤ 1               t ≤ 5               0.6 ≤ L II ≤ 25               0.6 ≤ L IV ≤ 6.4 。 (23)