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user: 3. 结果与分析 3.1. ARIMA模型的建立 绘制时序图是对时间序列数据进行分析的第一步。该序列的时序图如图1所示。 图1. 澳元兑美元汇率时序图 观察时序图可知，该序列有显著的趋势，为典型的非平稳序列。下面对该序列进行一阶差分，以提取序列的确定性趋势信息。差分后的时序图如图2所示。 图2. 澳元兑美元汇率1阶差分后序列时序图 差分后序列已经没有非常明显的趋势特征，为进一步确定差分后序列的平稳性，下面对差分后的序列进行平稳白噪声(ADF)检验，检验结果见表1。 Table 1 First order difference sequence ADF test result 类型 延迟阶数 τ 统计量的值 P值 类型一 0 −69.1 0.01 1 −51.5 0.01 2 −41.2 0.01 类型二 0 −69.2 0.01 1 −51.5 0.01 2 −41.2 0.01 类型三 0 −69.2 0.01 1 −51.5 0.01 2 −41.2 0.01 表1. 一阶差分序列ADF检验结果 检验结果显示，该序列所有统计量的P值均小于给定的显著性水平 α = 0.05 ，所以可以认定一阶差分后的序列实现了平稳。下面对一阶差分后的序列进行纯随机性检验，检验结果如表2所示。 Table 2 Test results of pure randomness of first order difference sequence 延迟阶数 纯随机性检验 LB检验统计量的值 P值 6 16.157 0.01293 12 26.808 0.008235 18 34.988 0.009484 表2. 一阶差分序列纯随机性检验结果 检验结果显示，各阶延迟下LB统计量的P值都小于给定的显著性水平 α = 0.05 ，所以认为一阶差分后的序列为平稳非白噪声序列。下面对一阶差分后序列拟合ARMA模型，图3和图4为一阶差分序列的自相关系数图和偏自相关系数图。 图3. 一阶差分序列自相关系数图 图4. 一阶差分序列偏自相关系数图 根据图3和图4所表现出的特征，可以认为一阶差分后序列的自相关系数和偏自相关系数均表现出拖尾的性质，因此，对差分后的序列尝试拟合ARMA (1， 1)模型，即对原序列尝试拟合ARIMA (1， 1， 1)模型，运行结果如表3。 Table 3 ARIMA(1，1，1) model parameter estimatio 参数 估计值 ar1 −0.59 ma1 0.62 σ 2 2.105 × 10 −5 表3. ARIMA(1，1，1)模型参数估计 根据公式 Φ ( B ) ∇ d x t = Θ ( B ) ε t ，计算可得如下模型结构： x t = 0.41 x t − 1 + 0.59 x t − 2 + ε t − 0.62 ε t − 1 ， ε t ~ N ( 0 ， 2.105 × 10 − 5 ) 对ARIMA模型的拟合结果进行残差白噪声检验和参数显著性检验，检验结果见表4。 Table 4 Checklist of fitting result 残差白噪声检验 参数显著性检验 延迟阶数 LB统计量 P值 参数 P值 6 9.1469 0.1655 ϕ 1 0.0006551223 12 19.162 0.08469 θ 1 0.0001963824 表4. 拟合结果检验表 根据以上检验结果可知，模型通过了检验，可以用来进行下一步的预测。预测未来10日的汇率数值，结果如下： 0.6635970 0.6636576 0.6636220 0.6636429 0.6636306 0.6636378 0.6636336 0.6636361 0.6636346 0.6636355 查阅当时的真实汇率数据，发现该模型的拟合结果与真实数据基本吻合，预测效果较好。 3.2. GARCH模型的建立 集群效应是经济和金融领域常见的现象 [ 2 ]。集群效应的存在意味着方差非齐，此时就不符合ARIMA模型中方差齐性的假设，导致得到的置信区间达不到要求。根据一阶差分后的序列的时序图，可以看出存在集群效应，下面对该数据拟合GARCH模型 [ 3 ]。 首先对一阶差分后的序列进行PP检验，检验结果如下(表5)： Table 5 PP test result Dickey-Fuller Truncation lag parameter p-value −69.144 10 0.01 表5. PP检验结果 P值等于0.01，这说明差分后序列可视为平稳序列，接下来对差分后序列进行纯随机性检验，检验结果同表2，同时考察差分后序列的自相关系数大小，结果如下(表6)： Table 6 Autocorrelation coefficients of each order of dela 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.000 0.022 −0.041 0.007 −0.006 −0.014 0.028 0.001 −0.015 0.034 0.016 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 0.018 0.012 −0.022 0.004 −0.010 −0.024 0.015 0.014 0.026 0.002 0.036 22 23 24 −0.020 0.004 0.002 表6. 延迟各阶的自相关系数 LB检验的P值都极小，所以白噪声检验结果是该序列为非白噪声序列，但延迟各阶的自相关系数显示序列值之间的相关性很小，综合考虑，可以认为差分后序列近似为纯随机序列。至此，认为汇率的均值模型为ARIMA (0， 1， 0)模型，即随机游走模型： x t = x t − 1 + ε t 下面对差分后的序列进行条件异方差检验(表7)。 Table 7 Conditional heteroscedasticity test result Portmanteau-Q test Lagrange-Multiplier test order PQ p.value order LM p.value 4 27.4 1.63e−05 4 48690 0 8 37.0 1.14e−05 8 21738 0 12 39.5 8，58e−05 12 14309 0 16 40.1 7.55e−04 16 10680 0 20 40.8 4.01e−03 20 8522 0 24 41.0 1.68e−02 24 7071 0 表7. 条件异方差检验结果 Q检验和LM检验均显著拒绝方差齐性假定，可以认为残差平方序列中蕴含显著的相关信息，值得拟合条件异方差模型进行提取。 下面拟合GARCH (1， 1)模型，运行结果如下(表8)： Table 8 Parameter estimation of GARCH (1， 1) model and significance test result 估计值 标准差 t统计量 P值 omega 0.00000 0.000000 0.10904 0.91317 alpha1 0.07185 0.000036 1973.65680 0.00000 beta1 0.90489 0.000457 1981.05410 0.00000 表8. GARCH (1， 1)模型参数估计值及显著性检验结果 由表8可以发现omega没有通过显著性检验，可以剔除。模型输出的信息量为： Information Criteria ------------------------------------ Akaike −8.0918 Bayes −8.0879 Shibata −8.0918 Hannan-Quinn −8.0905 至此，基于条件最小二乘估计方法，得到的拟合模型如下： { x t = x t − 1 + ε t ε t = h t e t ， e t ~ N ( 0 ， 1 ) h t = 0.0719 ε t − 1 2 + 0.9049 h t − 1 GARCH模型通常认为序列服从正态分布，但在某些情况下序列未必服从正态分布，下面对这个分布假定进行检验。画出模型残差序列的QQ图和直方图如图5和图6。 从QQ图可以看到残差序列的真实分位点偏离正态参考线，且残差直方图显示序列观察值比标准正态分布高耸，这说明序列并不服从正态分布假定。下面尝试将正态分布改为t分布，结果如表9。 模型输出的信息量为： Information Criteria ------------------------------------ Akaike −8.3075 Bayes −8.3023 Shibata −8.3075 Hannan-Quinn −8.3057 图5. 模型残差QQ图 图6. 模型残差直方图 Table 9 The GARCH(1，1) parameter estimation and significance test results after changing to t distributio 估计值 标准差 t统计量 P值 omega 0.000001 0.000000 1.4798 0.13893 alpha1 0.141788 0.018557 7.6406 0.00000 beta1 0.839067 0.014567 57.6008 0.00000 表9. 改为t分布后GARCH(1，1)参数估计值及显著性检验结果 此时可以发现，模型的AIC和BIC信息量都比之前要小，拟合效果较之前略优，拟合模型为： { x t = x t − 1 + ε t ε t = h t e t ， e t ~ t ( 4.5341 ) h t = 0.14179 ε t − 1 2 + 0.83907 h t − 1 以上两种模型的显著性检验分别如下(表10~13)： Table 1 0 White noise test results of standardized residual sequenc 统计量的值 P值 Lag [ 1 ] 6.764 0.009301 Lag [ 2 * ( p + q ) + ( p + q ) − 1 ] [ 2 ] 6.898 0.012690 Lag [ 4 * ( p + q ) + ( p + q ) − 1 ] [ 5 ] 7.228 0.045637 表10. 标准化残差序列的白噪声检验结果 Table 1 1 White noise test results of standardized residual-squared sequence 统计量的值 P值 Lag [ 1 ] 0.004587 0.9460 Lag [ 2 * ( p + q ) + ( p + q ) − 1 ] [ 5 ] 0.034013 0.9998 Lag [ 4 * ( p + q ) + ( p + q ) − 1 ] [ 9 ] 0.114961 1.0000 表11. 标准化残差平方序列的白噪声检验结果 Table 1 2 The white noise test results of standardized residual sequence after t distribution is change 统计量的值 P值 Lag [ 1 ] 7.000 0.008151 Lag [ 2 * ( p + q ) + ( p + q ) − 1 ] [ 2 ] 7.031 0.011699 Lag [ 4 * ( p + q ) + ( p + q ) − 1 ] [ 5 ] 7.222 0.045813 表12. 改为t分布后标准化残差序列的白噪声检验结果 Table 1 3 The white noise test results of standardized residual-square sequence after t distributio 统计量的值 P值 Lag [ 1 ] 0.01478 0.9032 Lag [ 2 * ( p + q ) + ( p + q ) − 1 ] [ 5 ] 0.06022 0.9993 Lag [ 4 * ( p + q ) + ( p + q ) − 1 ] [ 9 ] 0.13577 1.0000 表13. 改为t分布后标准化残差平方序列的白噪声检验结果 通过检验可以发现，在显著性水平 α = 0.05 下拟合的均值模型并未通过显著性检验，是选择的均值模型没能充分地提取序列中蕴含的水平信息，但对波动信息的提取非常充分，下面尝试对均值模型进行改进，我们仍改用ARIMA (1， 1， 1)模型提取水平信息，得到最终模型： { x t = 0.41 x t − 1 + 0.59 x t − 2 + ε t − 0.62 ε t − 1 ε t = h t e t ， e t ~ N ( 0 ， 1 ) h t = 0.069 ε t − 1 2 + 0.91 h t − 1 均值模型的结构已在ARIMA建模时说明。下面对模型进行检验，由表14和表15可知此时模型通过了显著性检验。 Table 1 4 The white noise test results of the standardized residual sequence after the improved mean model were obtaine 统计量的值 P值 Lag [ 1 ] 1.602 0.20560 Lag [ 2 * ( p + q ) + ( p + q ) − 1 ] [ 5 ] 3.066 0.43070 Lag [ 4 * ( p + q ) + ( p + q ) − 1 ] [ 9 ] 7.919 0.06172 表14. 改进均值模型后标准化残差序列白噪声检验结果 Table 1 5 Standardized white noise test results of residual-square sequence after improved mean mode 统计量的值 P值 Lag [ 1 ] 0.003579 0.9523 Lag [ 2 * ( p + q ) + ( p + q ) − 1 ] [ 5 ] 0.030399 0.9998 Lag [ 4 * ( p + q ) + ( p + q ) − 1 ] [ 9 ] 0.105900 1.0000 表15. 改进均值模型后标准化残差平方序列白噪声检验结果 图7给出的是分别在方差齐性假定下得到的95%的置信区间和最终拟合的GARCH (1， 1)模型拟合的条件异方差得到的95%的置信区间，当序列大幅波动时，条件异方差模型的置信区间大于方差齐性置信区间；而在序列小值波动时，条件异方差模型的置信区间小于方差齐性置信区间，更接近序列的真实波动情况，对序列的预测更加准确，更能提供有用可信的信息。 图7. 条件异方差和无条件异方差的比较示意图 使用该模型预测未来10日的汇率数据，结果如下(表16)： Table 1 6 95% confidence interval for the next 10 issue 序号 预测值 标准差 置信区间下限 置信区间上限 1 0.6637 0.00349 0.6569 0.6705 2 0.6637 0.00491 0.6541 0.6733 3 0.6637 0.00599 0.6520 0.6754 4 0.6637 0.00688 0.6502 0.6772 5 0.6637 0.00765 0.6487 0.6787 6 0.6637 0.00833 0.6474 0.6800 7 0.6637 0.00895 0.6462 0.6812 8 0.6637 0.00952 0.6450 0.6824 9 0.6637 0.01004 0.6440 0.6834 10 0.6637 0.01053 0.6431 0.6843 表16. 未来10期95%置信区间