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user: 3. 定理2.1的证明 首先我们在方程(1.1) 1 的左右两边同时作用 ∇ ，再与 ∇ u 作内积，同样的在方程(1.1) 2 两边同时作用 ∇ ，与 ∇ θ 作内积，利用 d i v u = 0 的条件，把两式相加后可以得到 d d t ( ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ ∇ θ ‖ L 2 2 ) + 2 ( ‖ Λ 1 + α u ‖ L 2 2 + ‖ Λ 1 + β u ‖ L 2 2 ) = 2 ∫ ℝ 3 ∇ θ ⋅ ∇ u d x − 2 ∫ ℝ 3 ∇ ( u ⋅ ∇ u ) ⋅ ∇ u d x − 2 ∫ ℝ 3 ∇ ( u ⋅ ∇ θ ) ⋅ ∇ θ d x = M 1 + M 2 + M 3 (3.1) 接下来我们分别来估计 M 1 ， M 2 ， M 3 这三项。对于 M 1 ，我们应用Plancherel定理，Holder不等式和 Young不等式 ( a b ≤ 1 3 a 2 + 3 4 b 2 ) 可得到 M 1 ≤ 2 ‖ Λ 1 − α θ ‖ L 2 ‖ Λ 1 + α u ‖ L 2 ≤ 2 3 ‖ Λ 1 − α θ ‖ L 2 2 + 3 2 ‖ Λ 1 + α u ‖ L 2 2 (3.2) 对于 M 2 ，由于 ∫ ℝ 3 ∇ ( u ⋅ ∇ u ) ⋅ ∇ u d x = ∫ ℝ 3 ( ∇ u : ∇ u ) ⋅ ∇ u d x + ∫ ℝ 3 ( u ⋅ ∇ ∇ u ) ⋅ ∇ u d x = ∫ ℝ 3 ( ∇ u : ∇ u ) ⋅ ∇ u d x (3.3) 我们应用Holder不等式，Young不等式，G-N不等式及引理2.1可得 M 2 ≤ C | ∫ ℝ 3 ( ∇ u : ∇ u ) ⋅ ∇ u d x | ≤ C ‖ ∇ u : Λ 1 − α u ‖ L 2 ‖ Λ 1 + α u ‖ L 2 ≤ C ‖ ∇ u ‖ X ˙ − γ ‖ Λ 1 − α u ‖ H ˙ γ ‖ Λ 1 + α u ‖ L 2 ≤ C ‖ ∇ u ‖ X ˙ − γ ‖ ∇ u ‖ L 2 2 − γ α ‖ Λ 1 + α u ‖ L 2 γ α ≤ C ‖ ∇ u ‖ X ˙ − γ 2 α 2 α − γ ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + 1 4 ‖ Λ 1 + α u ‖ L 2 2 ≤ C ‖ ∇ u ‖ X ˙ − γ 2 α 2 α − γ 1 + ln ( e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ) ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ( 1 + ln ( e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ) ) + 1 4 ‖ Λ 1 + α u ‖ L 2 2 (3.4) 对于 M 3 ，我们用相同的做法可以得到 M 3 ≤ C | ∫ ℝ 3 ( ∇ u : ∇ θ ) ⋅ ∇ θ d x | ≤ C ‖ ∇ u ‖ X ˙ − γ 2 β 2 β − γ 1 + ln ( e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ) ‖ ∇ θ ‖ L 2 2 ( 1 + ln ( e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ) ) + 1 4 ‖ Λ 1 + β θ ‖ L 2 2 (3.5) 然后我们将式子(3.2)，(3.4)和(3.5)代入(3.1)，化简整理可以得到 d d t ( ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ ∇ θ ‖ L 2 2 ) + 1 4 ‖ Λ 1 + α u ‖ L 2 2 + 7 4 ‖ Λ 1 + β θ ‖ L 2 2 ≤ 2 3 ‖ Λ 1 − α θ ‖ L 2 2 + C ‖ ∇ u ‖ X ˙ − γ 2 α 2 α − γ 1 + ln ( e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ) ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ( 1 + ln ( e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ) )       + C ‖ ∇ u ‖ X ˙ − γ 2 β 2 β − γ 1 + ln ( e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ) ‖ ∇ θ ‖ L 2 2 ( 1 + ln ( e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ) ) (3.6) 由基本不等式 1 2 ( a + b ) 2 ≤ a 2 + b 2 ≤ ( a + b ) 2 ，在上式两边同时加上 4 3 ‖ θ ‖ L 2 2 ，又因为 1 − α ≤ 1 + β ，所以 有嵌入关系 H 1 + β ⊂ H 1 − α ，即我们有关系式 2 3 ‖ θ ‖ H 1 + β 2 < 7 4 ‖ Λ 1 + β θ ‖ L 2 2 + 4 3 ‖ θ ‖ L 2 2 ， 2 3 ‖ Λ 1 − α θ ‖ L 2 2 + 4 3 ‖ θ ‖ L 2 2 < 2 3 ‖ θ ‖ H 1 − α 2 + C ≤ 2 3 ‖ θ ‖ H 1 + β 2 + C 则不等式(3.6)可以变成 d d t ( ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ ∇ θ ‖ L 2 2 ) ≤ C ‖ ∇ u ‖ X ˙ − γ 2 α 2 α − γ 1 + ln ( e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ) ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ( 1 + ln ( e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ) )     + C ‖ ∇ u ‖ X ˙ − γ 2 β 2 β − γ 1 + ln ( e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ) ‖ ∇ θ ‖ L 2 2 ( 1 + ln ( e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ) ) + C ≤ C ‖ ∇ u ‖ X ˙ − γ 2 α 2 α − γ + ‖ ∇ u ‖ X ˙ − γ 2 β 2 β − γ 1 + ln ( e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ) ( ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ ∇ θ ‖ L 2 2 ) ( 1 + ln ( e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ ∇ θ ‖ L 2 2 ) ) (3.7) 利用Gronwall不等式，我们可以得出 ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ ∇ θ ‖ L 2 2 ≤ ( ‖ ∇ u 0 ‖ L 2 2 + ‖ ∇ θ 0 ‖ L 2 2 )     × exp { ∫ 0 T ( C ‖ ∇ u ‖ X ˙ − γ 2 α 2 α − γ + ‖ ∇ u ‖ X ˙ − γ 2 β 2 β − γ 1 + ln ( e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ) ( 1 + ln ( e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ ∇ θ ‖ L 2 2 ) ) ) d t } (3.8) 最后我们估计式子 ln ( e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ ∇ θ ‖ L 2 2 ) ，由上式我们可以得到 ln { e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ ∇ θ ‖ L 2 2 } ≤ ln ( e + ‖ ∇ u 0 ‖ L 2 2 + ‖ ∇ θ 0 ‖ L 2 2 )       + ∫ 0 T ( C ‖ ∇ u ‖ X ˙ − γ 2 α 2 α − γ + ‖ ∇ u ‖ X ˙ − γ 2 β 2 β − γ 1 + ln ( e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ) ( 1 + ln ( e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ ∇ θ ‖ L 2 2 ) ) ) d t 最后将上式代入(3.8)中，再次利用Gronwall不等式，可以得出 ln { e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ ∇ θ ‖ L 2 2 } ≤ C ( u 0 ， θ 0 ) exp { ∫ 0 T ‖ ∇ u ‖ X ˙ − γ 2 α 2 α − γ + ‖ ∇ u ‖ X ˙ − γ 2 β 2 β − γ 1 + ln ( e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ) d t } (3.9) 我们得出结论 ess sup 0 < t < T ( ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ ∇ θ ‖ L 2 2 ) < ∞ 。