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user: 2. 垂心球球心间存在间距公式的证明 4球正交，根据勾股4态 [ 3 ]，以及垂心四面体垂心的性质 [ 4 ] 共有15点垂心球球心(4点与球心共点、6点为2球心间连线的射影点、4点为3球心所围面的垂心、1点4球心所围体的垂心)，15个垂心球间距数量根据等差求和公式为： S n = n ( n + 1 ) 2 ， 1 + 2 + ⋯ + 13 + 14 = 14 ( 14 + 1 ) 2 = 105 共有105个间距，这105个间距可摆脱坐标，直接用同构的垂心球球心间距公式计算： 2.1. 3个公式(2点垂心距离；同态重心与垂心间距；垂心球半径) 2.1.1. 正交4球间15点垂心任意2点距离公式 定义：正交4球心间勾股4态存在15点垂心，任意2垂心间距的平方，等于2垂心球半径的平方和与2倍的2垂心球的平方积与2垂心球交集垂心球平方的倒数积之差。其公式为： | H i H j | 2 = r H i 2 + r H j 2 − 2 r H i 2 r H j 2 ( r H i ∩ H j 2 ) − 1 (1) (这里： | H i H j | 2 为15点中任意2点垂心距离的平方， r H i 2 + r H j 2 为2垂心球的平方和， ( r H i ∩ H j 2 ) − 1 为交集垂心球的平方的倒数；下标：H为垂心， i ， j ∈ A ， B ， C ， D ， ⋯ ) 2.1.2. 正交4球间15组垂心与重心的间距公式 定义：正交4球心间勾股4态存在15点垂心和15个重心，同态的15组垂心与重心的间距为：相对应的重心球半径 [ 5 ] 与垂心球半径的平方差。其公式为： | G i H i | 2 = r G i 2 − r H i 2 (2) (这里： | G i H i | 2 为同态15组重心与垂心间任意一组间距的平方； r G i 2 − r H i 2 为同态重心球半径与垂心球半径的平方差，下标：G为重心、H为垂心， i ∈ A ， B ， C ， D ， ⋯ ) 2.1.3. 一至四维同构的垂心球半径平方公式 定义：一至四维垂心球的平方等于并集球球心间无系数的场方程 [ 3 ] 的倒数与并集一维球半径平方积。其公式为： r H i 2 = ( − 1 ) n | 0 1 1 1 1 ⋯ 1 1 0 r 2 2 r 3 2 r 4 2 ⋯ r n 2 1 r 1 2 0 r 3 2 r 4 2 ⋯ r n 2 1 r 1 2 r 2 2 0 r 4 2 ⋯ r n 2 1 r 1 2 r 2 2 r 3 2 0 ⋯ r n 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 r 1 2 r 2 2 r 3 2 r 4 2 ⋯ 0 | − 1 | 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 r 1 2 0 0 0 ⋯ 0 0 0 r 2 2 0 0 ⋯ 0 0 0 0 r 3 2 0 ⋯ 0 0 0 0 0 r 4 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 0 ⋯ r n 2 | (3) 这里下标 i ∈ A ， B ， C ， D ， ⋯ ； 1 ∈ A ， 2 ∈ B ， 3 ∈ C ， 4 ∈ D ， ⋯ ；上标 n = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， ⋯ 。 例： · 4个一维垂心球： r H A 2 = ( − 1 ) 1 | 0 1 1 0 | − 1 | 1 0 0 a 2 | = a 2 因球心与垂心共点，4个一维垂心球平方分别为： a 2 ， b 2 ， c 2 ， d 2 ； · 6个二维垂心球： r H A B 2 = ( − 1 ) 2 | 0 1 1 1 0 b 2 1 a 2 0 | − 1 | 1 0 0 0 a 2 0 0 0 b 2 | = a 2 b 2 a 2 + b 2 6个二维垂心至两端相关球面距离的乘积为： a 2 b 2 a 2 + b 2 ， a 2 c 2 a 2 + c 2 ， b 2 c 2 b 2 + c 2 ， a 2 d 2 a 2 + d 2 ， b 2 d 2 b 2 + d 2 ， c 2 d 2 c 2 + d 2 · 4个三维垂心球： 4个三维垂心至3球面2交点距离的乘积为： a 2 b 2 c 2 s A B C 2 ， a 2 b 2 d 2 s A B D 2 ， a 2 c 2 d 2 s A C D 2 ， b 2 c 2 d 2 s B C D 2 ， 这里： s A B C 2 = a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ， s A B D 2 = a 2 b 2 + a 2 d 2 + b 2 d 2 ， s A C D 2 = a 2 c 2 + a 2 d 2 + c 2 d 2 ， s B C D 2 = b 2 c 2 + b 2 d 2 + c 2 d 2 (下同) · 1个四维垂心球， r H 2 = ( − 1 ) 4 | 0 1 1 1 1 1 0 b 2 c 2 d 2 1 a 2 0 c 2 d 2 1 a 2 b 2 0 d 2 1 a 2 b 2 c 2 0 | − 1 | 1 0 0 0 0 0 a 2 0 0 0 0 0 b 2 0 0 0 0 0 c 2 0 0 0 0 0 d 2 | = a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 这里： v 2 = a 2 b 2 c 2 + a 2 b 2 d 2 + a 2 c 2 d 2 + b 2 c 2 d 2 (下同) 其四维垂心至4组3球面2交点距离距离的乘积为： 。 2.2. 在欧氏空间，建立正交4球间15点垂心，以及8点3球面交点，共23点坐标 建立坐标的目的，主要用于验证公式(1)，最终达到摆脱坐标，用垂心球公式计算垂心间距。 2.2.1. 设15点垂心以及8点3球面交点坐标及垂心球半径符号 所设：一至三维垂心坐标(除了H外)见图1，以及垂心球半径见表1。 图1. 点、线、面3态垂心坐标符号展开图 2.2.2. 计算15点垂心坐标和8点球面交点坐标 · 4点一维球垂心坐标，因球的球心与垂心共点。4球心即4垂心 A ， B ， C ， D 坐标。详见表1。 · 6点二维线垂心坐标计算： 例：计算 H A B 坐标。 建立 球心2点直线参数方程为： x − a 0 − a = y − 0 b − 0 = z − 0 0 − 0 = t ， ⇒ H A B ( x ， y ， z ) { x = a − a t y = b t z = 0 t Table 1 15-Point projective coordinates and the square of radius of projective spher 序 子集态 坐标符号 分坐标X 分坐标Y 分坐标Z 维数 垂心球半径符号 垂心球半径平方 1 点 A a 0 0 1 r A a 2 2 点 B 0 b 0 1 r B b 2 3 点 C 0 0 c 1 r C c 2 4 点 D bct act abt 1 r D d 2 5 线 H AB a b 2 a 2 + b 2 a 2 b a 2 + b 2 0 2 r H A B a 2 b 2 a 2 + b 2 6 线 H AC a c 2 a 2 + c 2 0 a 2 c a 2 + c 2 2 r H A C a 2 c 2 a 2 + c 2 7 线 H BC 0 b c 2 b 2 + c 2 b 2 c b 2 + c 2 2 r H B C b 2 c 2 b 2 + c 2 8 线 H AD − a v t a 2 + d 2 a 3 c t a 2 + d 2 a 3 b t a 2 + d 2 2 r H A D a 2 d 2 a 2 + d 2 9 线 H BD b 3 c t b 2 + d 2 − b v t b 2 + d 2 a b 3 t b 2 + d 2 2 r H B D b 2 d 2 b 2 + d 2 10 线 H CD b c 3 t c 2 + d 2 a c 3 t c 2 + d 2 − c v t c 2 + d 2 2 r H A C D c 2 d 2 c 2 + d 2 11 面 H ABC a 2 b c 2 s A B C 2 a 2 b 2 c s A B C 2 3 r H A B C a 2 b 2 c 2 s A B C 2 12 面 H ABD − a b 2 v t s A B D 2 − a 2 b v t s A B D 2 a 3 b 3 t s A B D 2 3 r H A B D a 2 b 2 d 2 s A B D 2 13 面 H ACD − a c 2 v t s A C D 2 a 3 c 3 t s A C D 2 − a 2 c v t s A C D 2 3 r H A C D a 2 c 2 d 2 s A C D 2 14 面 H BCD − b c 2 v t s B C D 2 − b 2 c v t s B C D 2 3 r H B C D b 2 c 2 d 2 s B C D 2 15 体 H − a b 2 c 2 t v − a 2 b c 2 t v − a 2 b 2 c t v 4 r H a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 表1. 15点垂心坐标和对映的垂心球半径的平方 表内：D坐标在第7象限。 ， v = a 2 b 2 c 2 + a 2 b 2 d 2 + a 2 c 2 d 2 + b 2 c 2 d 2 = 6 V A B C D ； s A B C 2 = a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ； s A B D 2 = a 2 b 2 + a 2 d 2 + b 2 d 2 ； s A C D 2 = a 2 c 2 + a 2 d 2 + c 2 d 2 ; s B C D 2 = b 2 c 2 + b 2 d 2 + c 2 d 2 。 建立 A ， B 参数球面联立方程，求参数t为： { [ a − ( a − a t ) ] 2 + ( 0 − b t ) 2 + ( 0 − 0 t ) 2 = a 2 [ 0 − ( a − a t ) ] 2 + ( b − b t ) 2 + ( 0 − 0 t ) 2 = b 2 ⇒ t = a 2 a 2 + b 2 将参数t代入上式： H A B ( x ， y ， z ) { x = a − a t = a − a a 2 a 2 + b 2 = a b 2 a 2 + b 2 y = b a 2 a 2 + b 2 = a 2 b a 2 + b 2 z = 0 a 2 a 2 + b 2 = 0 ⇒得坐标： H A B ( a b 2 a 2 + b 2 ， a 2 b a 2 + b 2 ， 0 ) 同理：可得其它5点 H A C ， H B C ， H A D ， H B D ， H C D 坐标。详见表1； · 4点三维面垂心坐标(见表1)计算：(8点3球面交点坐标见表2) 例：计算 H A B C 和 D − ， D + 三点坐标。 根据A，B，C联立3球面方程可得球面2交点，以及2点间中点为该平面的垂心 H A B C 坐标： { ( a − x ) 2 + ( 0 − y ) 2 + ( 0 − z ) 2 = a 2 ( 0 − x ) 2 + ( b − y ) 2 + ( 0 − z ) 2 = b 2 ( 0 − x ) 2 + ( 0 − y ) 2 + ( c − z ) 2 = c 2 ⇒得 D − = { x = 0 y = 0 z = 0 ， D + = { x = 2 a b 2 c 2 s A B C 2 y = 2 a 2 b c 2 s A B C 2 z = 2 a 2 b 2 c s A B C 2 ， H A B C = { x = a b 2 c 2 s A B C 2 y = a 2 b c 2 s A B C 2 z = a 2 b 2 c s A B C 2 式内： s A B C 2 = a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ； s A B D 2 = a 2 b 2 + a 2 d 2 + b 2 d 2 ； s A C D 2 = a 2 c 2 + a 2 d 2 + c 2 d 2 ； s B C D 2 = b 2 c 2 + b 2 d 2 + c 2 d 2 ；下同。 (上述3点与过D的垂线共线，近D点的内凹点为 D − ，远D点的外凸点为，坐标 H A B C = D − + D + 2 ) 同理可得其它9点 A − ， A + ， H B C D ， B − ， B + ， H A C D ， C − ， C + ， H A B D 坐标。详见表1。 · 球心构成的垂心四面体的垂心坐标计算：设：H坐标为： H ( x ， y ， z ) 建立 A ， H B C D 2点直线参数方程： Table 2 The projective spheres at the intersection point of eight spheres are all zero relative to the projective spheres at the intersection of three sphere center 序 正交球 球面交点坐标 分坐标x 分坐标y 分坐标z 垂心球 距对点 1 ABC D − 0 0 0 0 近 2 ABC D + − 2 a b 2 c 2 t v − a b c − 2 a 2 b c 2 t v − a b c 0 远 3 ABD C − − a b 2 c 2 t v + a b d − a b 2 c 2 t v + a b d − a b c ( a b c + a b d + v ) t d ( v + a b d ) 0 近 4 ABD C + − a b 2 c 2 t v − a b d − a 2 b c 2 t v − a b d 0 远 5 ACD B − − a b 2 c 2 t v + a c d − a b c ( a b c + a c d + v ) t d ( v + a c d ) − a 2 b 2 c t v + a c d 0 近 6 ACD − a b 2 c 2 t v − a c d a b c ( a b c − a c d + v ) t d ( v − a c d ) − a 2 b 2 c t v − a c d 0 远 7 BCD A − − a b c ( a b c + b c d + v ) t d ( v + b c d ) − a 2 b c 2 t v + b c d − a 2 b 2 c t v + b c d 0 近 8 BCD A + a b c ( a b c − b c d + v ) t d ( v − b c d ) − a 2 b c 2 t v − b c d − a 2 b 2 c t v − b c d 0 远 表2. 8点3球面交点坐标，相对于3球心交平面的一至三维垂心球，球面8交点的垂心球均为零 表内：下标：−内凹为负，+外凸为正； t = − d 2 v + a b c ， v = a 2 b 2 c 2 + a 2 b 2 d 2 + a 2 c 2 d 2 + b 2 c 2 d 2 = 6 V A B C D 。 x − a b 3 c 3 t s B C D 2 − a = y − 0 − b c 2 v t s B C D 2 − 0 = z − 0 − b 2 c v t s B C D 2 − 0 = t 1 ， ⇒ { x = a + ( b 3 c 3 t s B C D 2 − a ) t 1 y = 0 + ( − b c 2 v t s B C D 2 − 0 ) t 1 z = 0 + ( − b 2 c v t s B C D 2 − 0 ) t 1 (4) 这里： t = − d 2 v + a b c ； v = a 2 b 2 c 2 + a 2 b 2 d 2 + a 2 c 2 d 2 + b 2 c 2 d 2 ；下同 建立 B ， H A C D 2点直线参数方程： x − 0 − a c 2 v t s A C D 2 − 0 = y − b a 3 c 3 t s A C D 2 − b = z − 0 − a 2 c v t s A C D 2 − 0 = t 2 ， ⇒ { x = 0 + ( − a c 2 v t s A C D 2 − 0 ) t 2 y = b + ( a 3 c 3 t s A C D 2 − b ) t 2 z = 0 + ( − a 2 c v t s A C D 2 − 0 ) t 2 (5) 2参数方程，公式(4)与公式(5)之差为公式(6)，求参数 t 1 ， t 2 。 { 0 = a + ( b 3 c 3 t s B C D 2 − a ) t 1 − [ 0 + ( − a c 2 v s A C D 2 − 0 ) t 2 ] 0 = 0 + ( − b c 2 v t s B C D 2 − 0 ) t 1 − [ b + ( a 3 c 3 t s A C D 2 − b ) t 2 ] 0 = 0 + ( − b 2 c v t s B C D 2 − 0 ) t 1 − [ 0 + ( − a 2 c v t s A C D 2 − 0 ) t 2 ] ⇒得 { t 1 = 1 − b 2 c 2 d 2 v 2 t 2 = 1 − a 2 c 2 d 2 v 2 (6) 再将求得的参数 t 1 代回公式(3)； { x = a + ( b 3 c 3 t s B C D 2 − a ) ( 1 − b 2 c 2 d 2 v 2 ) = − a b 2 c 2 t v y = 0 + ( − b c 2 v t s B C D 2 − 0 ) ( 1 − b 2 c 2 d 2 v 2 ) = − a 2 b c 2 t v z = 0 + ( − b 2 c v t s B C D 2 − 0 ) ( 1 − b 2 c 2 d 2 v 2 ) = − a 2 b 2 c t v 或将参数 t 2 代回公式(5)， { x = 0 + ( − a c 2 v t s A C D 2 − 0 ) ( 1 − a 2 c 2 d 2 v 2 ) = − a b 2 c 2 t v y = b + ( a 3 c 3 t s A C D 2 − b ) ( 1 − a 2 c 2 d 2 v 2 ) = − a 2 b c 2 t v z = 0 + ( − a 2 c v t s A C D 2 − 0 ) ( 1 − a 2 c 2 d 2 v 2 ) = − a 2 b 2 c t v 均得相同的垂心坐标： H ( − a b 2 c 2 t v ， − a 2 b c 2 t v ， − a 2 b 2 c t v ) 。 2.2.3. 根据正交4球心勾股4态 [ 3 ] (点、线、面、体)的垂心代数坐标及对应的垂心球半径的平方列表 根据正交4球心构成的垂心四面体性质 [ 4 ]，计算得出的(点、线、面、体)的15点垂心垂心坐标及对映的垂心球半径平方列表1；以及8点3球面交点坐标均为8原点列表2如下。