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user: 1. 引言 假设 { Z ( t ) ; t ≥ 0 } 的取值为非负整数，用 Z ( t ) 表示t时刻超临界分枝过程的粒子数，则从一个祖先出发的过程可以用以下递归关系表示： Z ( t ) = ∑ i = 1 Z ( t − s ) Z t − s i ( s ) + Y t − s ( s ) ，   t > 0 ，   s ≥ 0 ，   Z ( 0 ) = 1 ， (1.1) 其中 Z t − s i ( s ) 表示t-s时刻第i个个体在t时刻产生的粒子数， { Z t − s i ( s ) ; t − s > 0 ， i ≥ 1 } 是独立同分布的随机变量，并且具有相同的母函数 F ( s ， t ) = ∑ k = 0 ∞ p k ( t ) s k ， s ∈ [ 0 ， 1 ] ； { Y t − s ( s ) ; s ≥ 0 } 也是i.i.d。并且具有相同的母函数 H ( s ， t ) = ∑ k = 0 ∞ h k ( t ) s k ， s ∈ [ 0 ， 1 ] 。此外 { Y ( s ) ; s ≥ 0 } 和 { Z i ( s ) ; s > 0 ， i ≥ 1 } 独立。由于我们考虑的是上临界的情况，即是 m : = ∑ k = 1 ∞ k p k ，其中 p k = lim t → ∞ p k ( t ) 。根据Harris变换 [ 1 ]，我们可以把 p 0 > 0 转化为 p 0 = 0 的情况。所以不失一般性，在之后的文章中我们假设 p 0 = 0 。 特别地，如果 Y ( s ) ≡ 0 ，即没有移民加入的情形，那么 { Z ( t ) ; t ≥ 0 } 退化为上临界分枝过程，记为 { X ( t ) ; t ≥ 0 } ，根据 [ 2 ] 可知，存在非负的规范化序列 C ( t ) 使得 W ( t ) : = X ( t ) C ( t ) → a .s . W ，   当 t → ∞ (1.2) 其中 { W ( t ) ; t ≥ 0 } 是一个鞅。 如果考虑加入移民，即存在一些时刻s，使得 Y ( s ) ≠ 0 。根据Seneta [ 3 ] 可知，对于(1.2.1)定义的带移民的超临界分枝过程 { Z ( t ) ; t ≥ 0 } ，仍存在非负的规范化序列 C ( t ) 使得 V ( t ) : = Z ( t ) C ( t ) → V   a . s . ， 当 t → ∞ (1.3) 而且，文献 [ 3 ] 中还提出超临界分枝过程和带移民的超临界分枝过程的 C ( t ) 是相同的，并且满足对 ∀ ε ∈ ( 0 ， λ − 1 ) 都存在着与 ε 相关的整数 N ( ε ) > 0 ，满足 C ( 0 ) = 1 ， C ( t ) → ∞ ， C ( t + s ) C ( t ) → m ( s ) ， t → ∞ ， c 1 ( e λ 1 + ε ) ≤ C ( t ) ≤ c 2 e λ t ， t ≥ N ( ε ) . (1.4) 其中 c 1 ， c 2 为非负常数。本文中我们取 C ( t ) = e λ t 。 注1.1根据 [ 3 ] 只要移民满足 E log Y < ∞ 总能找到规范化函数 C ( t ) ，使其满足式(1.3)，而不用对移民分布做任何限制。所以我们默认本文中所取得 C ( t ) 都满足式(1.3)。 为了研究方面，我们引入 Z ( t ) 的Q-矩阵 Q = ( q i j ; i ， j ∈ Z + ) 。 q i j : = { i b j − i + 1 + a j − i if   i ≥ 0 ， j ≥ i ， i b 0 if   i ≥ 0 ， j = i − 1 ， 0 otherwise . 其中： b j ≥ 0 ( j ≠ 1 ) ， 0 < − b 1 = ∑ j ≠ 1 b j < ∞ ， a j ≥ 0 ( j ≠ 0 ) ， 0 < − a 0 = ∑ j ≠ 0 a j < ∞ 。 如果用 G ( s ， t ) 来表示带移民的超临界分枝过程 { Z ( t ) ; t ≥ 0 } 的母函数，则 G ( s ， t ) = G 1 ( s ， t ) = F ( s ， t ) H ( s ， t ) ，   t > 0 ，   s ∈ [ 0 ， 1 ] ， (1.5) 而且 G ( s ， 0 ) = F ( s ， 0 ) = s 。 为了叙述的方便，下面我们回忆 G ( s ， t ) 已知的衰减速率和收敛性质： 命题1.1 (Liu [ 4 ] 和Ney [ 5 ] )假设 m > 1 ，定义 R ( s ， t ) : = H ( s ， t ) e a 0 t ， Q ( s ， t ) : = F ( s ， t ) e b 1 t 。 当 t → ∞ 时， ϱ ( s ， t ) : = G ( s ， t ) e ( a 0 + b 1 ) t = R ( s ， t ) Q ( s ， t ) ↗ R ( s ) Q ( s ) = : ϱ ( s ) ， (1.6) 上述的收敛对任意的 s ∈ K 是一致的，K为 [ 0 ， 1 ) 上的任一闭子区间。并且 R ( s ) 和 Q ( s ) 分别满足下列泛函方程： G ( s ) R ( F ( s ) ) = e a 0 R ( s ) ， 0 ≤ s < 1 ， R ( 0 ) = 1 ， R ( 1 ) = ∞ ； Q ( F ( s ) ) = e b 1 Q ( s ) ， 0 ≤ s < 1 ， Q ( 0 ) = 0 ， Q ( 1 ) = ∞ 。 另外， R ( s ) 和 Q ( s ) 可以分别表示为级数 R ( s ) = ∑ k = 0 ∞ q k s k 和 Q ( s ) = ∑ k = 0 ∞ v k s k 。 由于直接求 Z ( t + s ) / Z ( t ) 的大偏差有些困难，所以在本章的证明中，我们做如下变换： K ( t ) = e − λ t [ Z ( t ) − e λ ( t + 1 ) − 1 e λ − 1 e a + λ ] ， (1.7) 其中 0 < a = λ e λ − 1 < ∞ 。 本节我们主要研究 { Z ( t ) ; t ≥ 0 } 其中引入的移民不全为0。我们关心粒子数 Z ( t ) 的大偏差，即在 { b k ; k ≥ 0 } 和 { a k ; k ≥ 0 } 满足多种矩条件下，对于 α > 0 ，和 ε > 0 时研究下列式子的大偏差， P ( | K ( t ) − K | > ε ) ，   t → ∞ . 下面是本文的主要定理。 定理1.1 假设对于 θ 0 > 1 ， B ( θ 0 ) < ∞ 和 A ( θ 0 ) < ∞ 。则对于一些 ε > 0 我们有 lim t → ∞ e − ( b 1 + a 0 ) t P ( | Z ( t + v ) Z ( t ) − e λ v | > ε | Z ( 0 ) = 1 ) = ∑ l = 1 ∞ ϕ ( v ， l ， ε ) ρ l < ∞ ， (1.8) 其中， ϕ ( v ， l ， ε ) = P ( | X l ¯ ( v ) + Y ( v ) l − e λ v | > ε ) ， X l ¯ ( v ) = ∑ j = 1 l X j ( v ) l ， { ρ l } 是引理2.2中定义的。 定理1.2 假设对于固定的 ε > 0 和 v > 0 ，存在常数 C ε ( v ) ，在 r > 0 和 l ≥ 1 时满足 λ r > − ( b 1 + a 0 ) 和 ϕ ( v ， l ， ε ) ≤ l − r ⋅ C ε ( v ) ，则(1.8)成立。 推论1.1 假设对于 b 1 < a 0 和 δ > 0 ， E [ Z 2 + δ ( 1 ) ] < ∞ ，则(1.8)成立。 定理1.3 假设对于 θ 0 > 0 和 v > 0 ， E ( e θ 0 Z ( v ) | Z ( 0 ) = 1 ) < ∞ ，则存在 θ 1 > 0 满足 C 1 = sup t ≥ 0 E [ e θ 1 K ( t ) ] < ∞ . 定理1.4假设对于 θ 0 > 0 和 v > 0 ， E ( e θ 0 Z ( v ) | Z ( 0 ) = 1 ) < ∞ ，则存在 C 2 和 ξ > 0 满足 P ( | K ( t ) − K | > ε ) ≤ C 2 e − ξ ε 2 / 3 e λ t / 3 .