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user: 2. 模型假设 设 ( Ω ， F ， P ) 是完备的概率空间， F : = { F � } t ≥ 0 右连续， W 0 ( t ) 和 W 1 ( t ) 是两个独立的标准布朗运动， N 1 ( t ) 和 N 2 ( t ) 是两个泊松过程， { Y i ， i ≥ 1 } 和 { Z i ， i ≥ 1 } 是两个随机变量。 2.1. 盈余过程 假设保险公司的盈余过程服从经典的Cram’er-Lundberg风险模型： d R ( t ) = c d t − d ( ∑ i = 1 N 1 ( t )     Y i ) ， 其中c是保费率， ∑ i = 1 N 1 ( t ) Y i 是复合泊松过程，表示在 [ 0 ， T ] 区间上的累计索赔。 { N 1 ( t ) } t ≥ 0 是强度为 λ 1 > 0 的齐次泊松过程。 { Y i ， i ≥ 1 } 是正的独立同分布的随机变量，其分布函数为F(y)。令 { Y i ， i ≥ 1 } 的一阶矩为 E [ Y i ] = μ Y ，二阶矩为 E [ Y i 2 ] = σ Y 2 。我们用期望值法计算保费，即 c = ( 1 + θ ) λ 1 μ Y ，其中 θ > 0 是保险公司的安全荷载。 假设保险公司可以购买比例再保险对冲风险。令 π q ( t ) ≥ 0 为再保险比例水平，根据期望值原则，再保费为 ( 1 − π q ( t ) ) ( 1 + η ) λ 1 μ Y ，其中 η > 0 是再保险公司的安全荷载。考虑再保险后的盈余过程为： d R ( t ) = [ ( θ − η ) + ( 1 + η ) π q ( t ) ] λ 1 μ Y d t − π q ( t ) d ∑ i = 1 N 1 ( t )     Y i . (1) 2.2. 金融市场 在金融市场中，保险公司为了增加财富，将资产投资于一种无风险资产、一种风险资产和CDS债券。假设风险资产的价格B(t)满足： { d B ( t ) = r B ( t ) d t ， t ∈ [ 0 ， T ] ， B ( 0 ) = b 0 > 0. (2) 其中，r > 0是无风险资产利率。假设风险资产S t 的价格过程满足跳扩散风险模型 { d S ( t ) = S ( t − ) [ μ d t + σ d W ( t ) + ∑ i = 1 N 2 ( t )     Z i ] ，   t ∈ [ 0 ， T ] ， S ( 0 ) = s 0 . (3) 其中漂移系数μ和扩散系数σ都是正的常数；W(t)是标准布朗运动； ∑ i = 1 N 2 ( t ) Z i 是复合泊松过程，表示在[0， t]区间上风险资产发生跳的累计数量； { N 2 ( t ) } t ≥ 0 是强度为 λ 2 > 0 的齐次泊松过程。 { Z ， i ≥ 1 } 是正的独立同分布的随机变量，其分布函数为G(z)。令 { Z i ， i ≥ 1 } 的一阶矩为 E [ Z i ] = μ Y ，二阶矩为 E [ Z i 2 ] = σ z 2 。 接下来，我们考虑CDS。记H(t)是违约过程。如果保险公司在t时刻发生违约，则H(t) = 1；否则H(t) = 0。定义违约时间： τ = inf { t ≥ 0 : H ( t ) = 1 } . 根据Zhao Hui [ 5 ] 提出的结论，违约前和违约后的CDS价格如下： Φ ( t ， 0 ) = ν − h L r + h [ exp − ( r + h ) ( T 1 − t ) ] 和 Φ ( t ， 1 ) = L (4) CDS的市场价格C(t)为： C ( t ) = ( 1 − H ( t ) ) Φ ( t ， H ( t ) ) ， 0 ≤ t ≤ T 1 . (5) 其中， Φ ( t ， H ( t ) ) 是违约前t时刻的市场价格，T 1 是CDS的交割期。H(t)是在风险中性测度S下，强度为h的泊松过程。 记保险公司因保护买方收到CDS的累计分红过程D(t)为： D ( t ) = L H ( t ) − ν ∫ 0 t ( 1 − H ( s ) ) d s . (6) 当违约发生时， ν ∫ 0 t ( 1 − H ( s ) ) 是保险公司给再保险公司的累计支出。根据鞅的定义可知， ξ p ( t ) : = H ( t ) − ∫ 0 t ( 1 − H ( s ) ) h p d s . (7) 是一个鞅。记h p 是违约过程H在实际测度P下的强度。则CDS在P下的价格满足： { d C ( t ) = ( 1 − H ( t ) ) [ r Φ ( t ， H ( t ) ) + ( ν − h L ) ] d t + Φ ( t ， H ( t ) ) ( h − h p ) d t − Φ ( t ， H ( t − ) ) d ξ p ( t ) ， C ( 0 ) = ( 1 − H ( 0 ) ) Φ ( 0 ， H ( 0 ) ) . (8) 其中， ν > 0 是保险公司付给买方支付的差价； L > 0 是当违约发生时，卖方支付给保险公司的损失率。 记 X π ( t ) 是保险公司的全部财富， π 1 ( t ) 是在t时刻投资在风险资产的财富， π 2 ( t ) 是在t时刻投资在CDS的财富比例，则 X π ( t ) − π 1 ( t ) − π 2 ( t ) C ( t ) 是在t时刻投资在无风险资产的财富。假设交易策略是一个三维数组 π ( t ) = { π q ( t ) ， π 1 ( t ) ， π 2 ( t ) } t ∈ [ 0 ， T ] ，保险公司考虑 π ( t ) 后的财富过程满足如下方程： d X π ( t ) = d R ( t ) + X π ( t ) − π 1 ( t ) − π 2 ( t ) C ( t ) B ( t ) d B ( t ) + π 1 ( t ) S t d S t + π 2 ( t ) d C ( t ) + π 2 ( t ) d D ( t ) = ( X π ( t ) − π 1 ( t ) − π 2 ( t ) C ( t ) ) r d t + ( μ d t + σ d W ( t ) + d ∑ i = 1 N 2 ( t )     Z i ) π 1 ( t )     + π 2 ( t ) { ( 1 − H ( t ) ) [ r Φ ( t ， H ( t ) ) + ν − h L ] d t + Φ ( t ， H ( t ) ) ( h − h p ) d t }     − π 2 ( t ) Φ ( t ， H ( t − ) ) [ d H ( t ) − ( 1 − H ( t ) ) h p d t ] + π 2 ( t ) L d H ( t ) (9) − π 2 ( t ) ν ( 1 − H ( t ) ) d t + [ ( θ − η ) λ 1 μ Y + π q ( t ) ( 1 + η ) λ 1 μ Y ] d t − π q ( t ) d ∑ i = 1 N 1 ( t )     Y i = { r X π ( t ) + ( μ − r ) π 1 ( t ) + π 2 ( t ) [ Φ ( t ， H ( t ) ) − L ] h p 1 + u + ( θ − η ) λ 1 μ Y + π q ( t ) ( 1 + η ) λ 1 μ Y } d t     + π 2 ( t ) ( L − Φ ( t ， H ( t − ) ) ) d H ( t ) + π 1 ( t ) σ d W ( t ) − ∫ 0 ∞ π q ( t ) y N 1 ( d t ， d y ) + ∫ − 1 ∞ π 1 ( t ) z N 2 ( d t ， d z ) . 根据大数据得出结论，相比起盈利来说，投资人更喜欢规避风险。我们发现参考概率P下的参考模型只是近似于真实模型，通过等价概率测度Q近似测度P： Q : { Q : Q ~ P } 。 接下来定义一个实值的G可料过程 { Λ ϕ ( t ) } t ∈ [ 0 ， T ] Λ ϕ ( t ) = exp { ∫ 0 t ϕ 1 ( s ) d w ( s ) − 1 2 ∫ 0 t ( ϕ 1 ( s ) ) 2 d s + ∫ 0 t ln ϕ 2 ( s ) d H ( s )     + ∫ 0 t ( 1 − ϕ 2 ( s ) ) h p d s + ∫ 0 t ∫ 0 ∞ ( ln ϕ 3 ( s ) N 1 ( d s ， d y ) + ( 1 − ϕ 3 ( s ) ) ν 1 ( d s ， d y ) )     + ∫ 0 t ∫ 0 ∞ ( ln ϕ 4 ( s ) N 2 ( d s ， d z ) + ( 1 − ϕ 4 ( s ) ) ν 2 ( d s ， d z ) ) } . (10) 其中， d Q d P | G t = Λ ϕ ( t ) 。 根据Girsanov’s定理得知， H Q ( t ) 、 N 1 Q ( t ) 和 N 2 Q ( t ) 三个泊松过程的强度分别为 h p ϕ 2 ( t ) 、 λ 1 ϕ 3 ( t ) 和 λ 2 ϕ 4 ( t ) 。则保险公司在Q下的财富过程为： d X π ( t ) = { r X π ( t ) + ( μ − r ) π 1 ( t ) + π 2 ( t ) [ Φ ( t ， H ( t ) ) − L ] h p 1 + u + ( θ − η ) λ 1 μ Y                             + π q ( t ) ( 1 + η ) λ 1 μ Y + π 1 ( t ) σ ϕ 1 ( t ) } d t + π 2 ( t ) ( L − Φ ( t ， H ( t − ) ) ) d H Q ( t )                             + π 1 σ d W Q ( t ) − ∫ 0 ∞ π q ( t ) y N 1 ( d t ， d y ) + ∫ − 1 ∞ π 1 z N 2 ( d t ， d z ) . (11) 其中， d W ( t ) = d W Q ( t ) + ϕ 1 ( t ) d t 。 定义2.1 (可行策略)对任意 t ∈ [ 0 ， T ] ，若交易策略是可行的需满足以下条件： 1) π 2 ( u ) ∈ [ 0 ， D ] ，且 ( π 2 ( u ) ， π 2 ( u ) ， π q ( u ) ) 是G可料的； 2) 对任意 u ∈ [ t ， T ] ， π q ( u ) ≥ 0 ， E Q * [ ∫ t T ( π 1 2 ( u ) + π 2 2 ( u ) π q 2 ( u ) ) ] < ∞ ，其中 Q * 是最坏情况下的等概率测度。 3) ( π ( t ) ， X π ( t ) ) 是随机微分方程(11)的强解。