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user: 2. 复合材料的本构关系 在外荷载作用以及温度变化情况下，随着复合材料发生形变，由于增强颗粒脱粘损伤及基体内部孔洞的出现，材料的弹性性能会因此减弱。因此损伤后复合材料的弹性模量、体积模量和剪切模量将不能再用未损伤的材料模量表示，需采用“有效弹性模量”这一概念描述复合材料损伤后的力学性能。 调查研究显示单向对齐颗粒的显微结构(例如形状以及体积分数)和损坏方式产生对复合材料的有效热响应以及力学响应的影响 [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] 。如图1所示，纵横比l的增强颗粒，在一定的负载限度内，增强颗粒受高应力的作用产生破裂或者脱粘情况。因此，增强颗粒的平均应力在发生破裂和脱粘的时候将会完全释放出来。诚然，增强颗粒的承载能力随着其平均应力释放而减少。图1表示，在无限大弹性体内的椭圆形增强颗粒受外部应力s的情况，根据Eshelby’s等效夹杂方法，椭圆形的增强颗粒承载应力是均匀的并且表达式为 [ 13 ] [ 14 ] σ p = L 0 ( S − I ) [ ( L 1 − L 0 ) S + L 0 ] − 1 L 1 × ( S − I ) − 1 L 0 − 1 σ (1) 式中L 0 ——基体弹性刚度张量；L 1 ——增强颗粒弹性刚度张量；S——Eshelby’s张量，为颗粒形状与基体材料泊松比的函数；I——单位刚度矩阵。 Cho [ 1 ] 用有限元方法研究了一个椭圆形颗粒沿着xy-平面发生断裂时的应力分布以及平均应力，如图1(b)所示。然而，损坏颗粒的应力分布是非常复杂的，它的平均应力表达式可以如下表示 [ 13 ] [ 14 ] σ ¯ c p = k σ p (2) 式中σ p ——完整颗粒的承载应力；k——损坏颗粒平均应力与完整颗粒承载应力之间的关系系数。 σ cp ——损坏颗粒的平均应力，若应力写成如下的矩阵形式， σ p = ⌊ σ x p ， σ y p ， σ z p ， τ y z p ， τ z x p ， τ x y p ⌋ ， σ ¯ c p = ⌊ σ ¯ x c p ， σ ¯ y c p ， σ ¯ z c p ， τ ¯ y z c p ， τ ¯ z x c p ， τ ¯ x y c p ⌋ (3) 图1. (a) 基体中完整颗粒受力情况；(b) 基体中脱粘颗粒受力情况 则椭圆形颗粒的有效系数k以矩阵形式表达 [ 13 ] [ 14 ] ， k = [ 1 0 h 13 0 0 0 0 1 h 13 0 0 0 0 0 1 + h 33 0 0 0 0 0 0 1 + h 44 0 0 0 0 0 0 1 + h 44 0 0 0 0 0 0 1 ] (4) 矩阵中三个系数h 13 ，h 33 ，h 44 是包含夹杂颗粒纵横比以及夹杂颗粒与基体弹性模量的函数。这里的颗粒可以是扁平形状或者扁长形状，也可以是球形的。 在复合材料中，基体发生的应变是弹塑性的，而增强颗粒一般是发生弹性应变。根据胡克定律，可以得出基体和增强颗粒的应力应变关系 [ 9 ] ， σ = L i ( E i ， v i ) [ ε − N i T ] (5) 当i为0时表示基体，1时表示增强颗粒。 式(5)中 L i ( E i ， v i ) ——弹性刚度张量；E i ——杨氏模量；ν i ——泊松比；T——温度；N i ——温度膨胀系数。 其中， N 0 = α 0 δ i j N 1 = α 1 δ i j } N 0 = 0 N 1 = 0 } (6) 式中δ ij ——克罗内克函数。对于正应力关系式 N i = α i δ i j ，对于剪切应力 N i = 0 。 对于基体的弹塑性变形，可以用普朗德尔罗斯方程写成接近于弹性变形的形式 [ 9 ] σ = L 0 ( E ′ 0 ， v ′ 0 ) [ ε − N 0 T ] (7) 式中 L 0 ( E ′ 0 ， v ′ 0 ) 是由式(5)中 L 0 ( E 0 ， v 0 ) 的E 0 和ν 0 分别换成 E ′ 0 和 v ′ 0 得出的。 E ′ 0 和 v ′ 0 是弹塑性变形下的杨氏模量和泊松比 [ 9 ] ， E ′ 0 = E 0 1 + E 0 H ′ ，   v ′ 0 = v 0 + E 0 2 H ′ 1 + E 0 H ′ (8) 其中 H ′ = σ e / ξ e ——基体的变形硬化比。 σ e = ( 3 / 2 σ i j σ i j ) 1 / 2 ，     ξ e = ( 2 / 3 ξ i j ξ i j ) (9) 式中σ e ——冯’米塞斯等效应力；ξ e ——冯’米塞斯等效应变。公式(7)只能应用于单调比例荷载的情况。 在本文的分析研究中，复合材料中基体相和颗粒相的体积含量分别为C 0 和C p ，有 C 0 + C p = 1 。在损伤过程中，完整颗粒、部分脱粘颗粒与完全脱粘颗粒的体积含量分别记作C 1 ，C 2 和C 3 。根据Eshelby的等效变换理论和Mori-Tanaka的均匀化方法，可以得出复合材料中基体、完整颗粒、部分脱粘颗粒以及完全脱粘颗粒的应力表达式，基体的平均应力应变关系式 [ 9 ] ， σ ¯ ( 0 ) = σ + σ ˜ = L 0 ε ¯ ( 0 ) = L 0 ( ε ¯ 0 − N 0 T + ε ˜ ) (10) 式中 σ ¯ ( 0 ) ——基体的平均弹性应力； σ ——复合材料的应力； σ ˜ ——扰动应力(基体与纯基体材料的应力差)； ε ¯ ( 0 ) ——基体平均弹性应变； ε ¯ 0 ——复合材料的平均应变； ε ˜ ——扰动应变(基体与纯基体材料的应变差)。 完整颗粒的平均应力应变关系表达式， σ ¯ ( 1 ) = σ ¯ ( 0 ) + σ ¯ 1 p t = L 1 ( ε ¯ 0 − N 1 T + ε ˜ + ε ¯ 1 p t ) = L 0 ( ε ¯ 0 − N 0 T + ε ˜ + ε ¯ 1 p t − ε ¯ 1 * ) (11) 式中 σ ¯ ( 1 ) ——完整颗粒平均应力； σ ¯ 1 p t ——基体与完整颗粒在荷载作用下产生的扰动应力； ε ¯ 1 p t ——基体与完整颗粒在荷载作用下产生的扰动应变。 部分脱粘颗粒的平均应力应变表达式 [ 13 ] [ 14 ] ， k σ ¯ ( 1 ) = σ ¯ ( 0 ) + σ ¯ 2 p t = k L 1 ( ε ¯ 0 − N 1 T + ε ˜ + ε ¯ 2 p t ) = L 0 ( ε ¯ 0 − N 0 T + ε ˜ + ε ¯ 2 p t − ε ¯ 2 * ) (12) 式中 σ ¯ 2 p t ——基体与部分脱粘颗粒产生的扰动应力； ε ¯ 2 p t ——基体与部分脱粘颗粒产生的扰动应变。其中 O < k < I ， 同理可得出完全脱粘颗粒的应力应变表达式 [ 13 ] [ 14 ] ， k σ ¯ ( 1 ) = σ ¯ ( 0 ) + σ ¯ 3 p t = k L 1 ( ε ¯ 0 − N 1 T + ε ˜ + ε ¯ 3 p t ) = L 0 ( ε ¯ 0 − N 0 T + ε ˜ + ε ¯ 3 p t − ε ¯ 3 * ) (13) 式中 σ ¯ 3 p t ——基体与脱粘颗粒产生的扰动应力； ε ¯ 3 p t ——基体与脱粘颗粒产生的扰动应变。其中 k = O 。 在公式(11)，(12)和(13)中， ε ¯ r * 是Eshelby等效转换应变，且有 σ = L 0 ( ε ¯ 0 − N 0 T ) (14) σ ˜ = L 0 ε ˜ (15) 同时扰动应变 ε ¯ r p t 可以转换成Eshelby等效转换应变 ε ¯ r * ， ε ¯ r p t = S ε ¯ r * (16) 其中r = 1，2，3，S——Eshelby张量。因此， σ ¯ r p t = L 0 ( S − I ) ε ¯ r * (17) 这里可以写出复合材料的平均应力 σ ¯ ，以及扰动应力 σ ˜ 的表达式 σ ¯ = C 0 σ ¯ ( 0 ) + C 1 σ ¯ ( 1 ) + C 2 k σ ¯ ( 1 ) (18) σ ˜ = − C 1 σ ¯ 1 p t − C 2 σ ¯ 2 p t − C 3 σ ¯ 3 p t (19) I是四阶单位矩阵。把式(15)和(17)代入到式(19)中可得出扰动应变 ε ˜ 的表达式， ε ˜ = ( I − S ) ( C 1 ε ¯ 1 * + C 2 ε ¯ 2 * + C 3 ε ¯ 3 * ) (20) 综上，式(16)和(20)代入到式(11)，(12)及(13)中，则可以求出Eshelby等效转换应变 ε ¯ r * 的表达式， ε ¯ 1 * = { X 1 − 1 Y 1 + X 1 − 1 Y 1 ( S − I ) P − 1 C 3 [ I − ( S − I ) Q 1 ] } ( L 0 − 1 σ + α 0 T δ i j ) + X 1 − 1 Y 1 ( S − I ) P − 1 L 0 − 1 C 3 σ ¯ ( 1 )     − { A 1 − 1 M 1 + A 1 − 1 B 1 ( S − I ) P − 1 C 3 [ α 0 − ( S − I ) Q 1 ] } T δ i j (21) ε ¯ 2 * = { X 2 − 1 Y 2 + X 2 − 1 Y 2 ( S − I ) P − 1 C 3 [ I − ( S − I ) Q 1 ] } ( L 0 − 1 σ + α 0 T δ i j ) − X 2 − 1 Y 2 ( S − I ) P − 1 L 0 − 1 C 3 σ ¯ ( 1 )     + { X 2 − 1 M 2 − X 2 − 1 Y 2 ( S − I ) P − 1 C 3 [ α 0 − ( S − I ) Q 2 ] } T δ i j (22) ε ¯ 3 * = P − 1 [ ( S − I ) Q 1 − I ] ( L 0 − 1 σ + α 0 T δ i j ) − P − 1 L 0 − 1 σ ¯ ( 1 ) + P − 1 [ α 0 − ( S − I ) Q 2 ] T δ i j (23) 以上公式中： Q 1 = C 1 X 1 − 1 Y 1 + C 2 X 2 − 1 Y 2 Q 2 = C 1 X 1 − 1 M 1 − C 2 X 2 − 1 M 2 X 1 = ( L 1 − L 0 ) − 1 G 1 − C 2 G 3 − 1 G 2 Y 1 = − C 2 G 3 − 1 ( k L 1 − L 0 ) − I X 2 = [ G 1 − 1 ( L 1 − L 0 ) C 2 − G 2 − 1 G 3 ] ( I − S ) Y 2 = − G 2 − 1 ( k L 1 − L 0 ) − G 1 − 1 ( L 1 − L 0 ) M 1 = C 2 G 3 − 1 ( k L 1 N 1 − L 0 N 0 ) − ( L 1 − L 0 ) − 1 ( L 1 N 1 − L 0 N 0 ) M 2 = G 1 − 1 ( L 1 N 1 − L 0 N 0 ) − G 2 − 1 ( k L 1 N 1 − L 0 N 0 ) P = ( S − I ) C 1 X 1 − 1 Y 1 ( S − I ) C 3 + ( S − I ) C 2 X 2 − 1 Y 2 ( S − I ) C 3 + ( S − I ) ( 1 − C 3 ) G 1 = L 0 + ( L 1 − L 0 ) S + ( L 1 − L 0 ) ( I − S ) C 1 G 2 = k L 1 S + ( k L 1 − L 0 ) ( I − S ) C 1 G 3 = L 0 + ( k L 1 − L 0 ) C 2 复合材料的平均应力 σ ¯ 可以写成如下形式， σ ¯ = C 0 σ ¯ ( 0 ) + C 1 σ ¯ ( 1 ) + C 2 k σ ¯ ( 1 ) = ( 1 − C 3 ) σ − L 0 ( S − I ) C 3 [ ( 1 − C 3 ) ε ¯ 3 * + C 1 ε ¯ 1 * + C 2 ε ¯ 2 * ] (24) 复合材料平均应变 ε ¯ 也可以求出， ε ¯ = C 0 ( ε ¯ ( 0 ) + ε ˜ ) + C 1 ( ε ¯ ( 0 ) + ε ˜ + ε ¯ 1 p t )     + C 2 ( ε ¯ ( 0 ) + ε ˜ + ε ¯ 2 p t ) + C 3 ( ε ¯ ( 0 ) + ε ˜ + ε ¯ 3 p t ) = ε ¯ ( 0 ) + ε ˜ + C 1 ε ¯ 1 * + C 2 ε ¯ 2 * + C 3 ε ¯ 3 * (25) 把式(16)和(20)代入上面式(25)中，可得出 σ ¯ 与 ε ¯ 的关系式， ε ¯ = L − 1 σ ¯ + [ Q 1 ( S − I ) − I ] P − 1 C 2 L 0 − 1 k σ ( 1 ) − α T δ i j = ε ¯ s + ε ¯ d + ε ¯ T (26) 其中 L = L 0 ( I + Q 1 ) − [ Q 1 ( S − I ) − I ] P − 1 C 2 [ ( S − I ) Q 1 − I ] (27) α = [ Q 1 ( S − I ) − I ] P − 1 C 2 [ α 0 − ( S − I ) Q 2 ] + Q 2     − [ Q 1 ( S − I − I ) ] P − 1 [ ( S − I ) Q 1 − I ] C 2 − α 0 ( I + Q 1 ) (28) 式中 ε ¯ s = L − 1 σ ¯ ——因外部荷载引起的应变； ε ¯ d = [ Q 1 ( S − I ) − I ] P − 1 C 2 L 0 − 1 k σ ( 1 ) ——颗粒脱粘引起的应变； ε ¯ T = − α T δ i j ——温度变化引起的应变。 由式(10)可以得出基体的平均应力， σ ¯ ( 0 ) = L 0 ( I − S ) × { ( ( I + Q 1 ) − [ Q 1 ( S − I ) − I ] P − 1 × [ ( S − I ) Q 1 − I ] C 2     + ( I − S ) − 1 S ) L 0 − 1 σ + [ Q 1 ( S − I ) − I ] P − 1 C 2 L 0 − 1 ( I − k ) σ ( 1 )     − ( Q 2 + [ Q 1 ( S − I ) − I ] P − 1 C 2 × [ α 0 I − ( S − I ) Q 2 ]     + α 0 ( ( I + Q 1 ) − [ Q 1 ( S − I ) − I ] P − 1 × [ ( S − I ) Q 1 − I ] C 2 − I ) ) } T δ i j (29) 进一步，可以由得出完整颗粒与脱粘颗粒的平均应力， { σ ¯ ( 0 ) = σ + σ ˜ + σ ¯ 1 p t σ ¯ ( 2 ) = k σ ¯ ( 1 ) (30)