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user: 3. 外压失稳研究进展 3.1. 理论计算及标准 目前，大部分的理论计算的临界失稳公式都是根据Mises公式推导得到的 [ 6 ] ，在Mises公式中，见式(1)： p c r = δ c E R o ( n 2 − 1 ) [ 1 + ( n l π R o ) 2 ] 2 + 0.73 E ( δ c 2 R o ) 3 × [ 2 n 2 − 1 − μ 1 + ( n l π R o ) 2 + ( n 2 − 1 ) ] (1) 式中P cr ——临界外压力，MPa；δ e ——圆筒有效厚度，mm； R 0 ——圆筒外半径，mm；E——材料弹性模量，MPa； μ——泊松比；l——圆筒的长度；n——圆筒曲屈时形成的波形数目。 常用的压力容器设计标准中对外压球壳的许用外压都给出了理论计算方法，主要包括GB150、JB4732、ASMEVIII-1、ASMEVIII-2、EN13445-3和ΓOCT14249。 利用上述标准方法，取某标准椭圆封头进行许用外压力计算，结果见表1，最大值是最小值的3.17倍。GB150、JB4732、ASMEVIII-1、ASMEVIII-2中外压球壳的计算方法偏于保守，EN13445-3和ΓOCT14249的计算方法则更接近于实际。因为ΓOCT14249中将弹性范围内的临界应力与超过弹性极限的临界应力综合在一个解析式中求解；EN13445-3在外压计算时，弹性稳定基于小变形理论基础，直接采用Mises公式计算得到理论许用外压，塑性失稳以塑性变形计算 [ 3 ]。 李金科等也发现，在外压薄壁圆筒的计算时，因各标准计算方法均由Mises公式演变而来，所以计算结果差距不大；但是对于厚壁圆筒，由于对非线性弹性阶段弹性模量E的处理方式不同，计算结果差别较大，GB 150-1998在外压厚壁圆筒计算方面是偏保守的 [ 13 ]。 葛玖浩等通过对比各国压力容器设计标准关于压力容器稳定性的计算方法，选择了基于EN13445标准，构建针对深水外压容器的稳定性分析与校核的相关方法和步骤。研究发现，在工作容积不变的情况下，当长径比变大，临界失稳压力呈线性增长；随着径厚比的增大，临界失稳压力减小且呈指数关系。他们还开展2000 m深海外压容器高压舱外压试验(如图1)，试验结果与分析结果较吻合 [ 14 ]。 3.2. 仿真分析 3.2.1. 有限元法 随着仿真分析软件的不断成熟，利用有限元方法进行容器的失稳成为近年来研究的重点，常用的计算软件有ANSYS、ABAQUS、Marc等。有限元提供了特征值分析、几何非线性和双非线性三种计算方式。图2中给出了结构屈曲过程示意图 [ 15 ]。将压力容器看作各向同性壳体结构，通过特征值屈曲分析计算可以得到结构的弹性稳定性。但在外压作用下，结构刚度矩阵奇异，在未达到分叉载荷时刚度较高，达到分叉载荷后刚度较低。 图1. 压力容器内压失稳变形图 Table 1 The allowable external pressure of ellipsoidal head by different standar 标准 GB150 JB4732 ASMEVIII-1 ASMEVIII-2 EN13445-3 ΓOCT14249 计算结果/MPa 0.2 0.2 0.12 0.17 0.38 0.28 表1. 不同标准对同一标准椭圆封头的许用外压计算结果 图2. 结构屈曲过程示意图 c) 当圆筒同时承受轴向压力和外压时，取β cr 的最小值。 3) 斜率法非线性屈曲分析 对于非线性分析，还有一种更加直接的计算方法。该方法以特征值屈曲模块为初始缺陷，最大载荷取1.2倍的特征值屈曲载荷 [ 5 ]。将计算结果以曲线形式表现出来，取最大位移点位移为横坐标，对应载荷为纵坐标。采用两倍弹性斜率法，得到临界载荷，一般认为采用这种方法得到的稳定性安全系数为3，斜率法分析原理如图3所示。 1) 特征值(线性屈曲)分析 特征值分析(即线性屈曲分析)用于预测理想弹性结构的理论屈曲强度，其计算结果与3.1节中的米西斯公式计算结果相当 [ 5 ]。特征值屈曲分析的原理是：基于线弹性的特征值屈曲响应分析中，结构屈曲的临界载荷可表示为式(2) [ 16 ]： P c r = λ i ⋅ P Q (2) 式中P Q 为作用载荷；λ i 为屈曲特征值。λ i 计算方程为式(3)： ( [ K L ] + λ i [ K G ] ) ⋅ { δ } = 0 (3) 式中：[K L ]为结构总体弹性刚度矩阵，即小位移的线性刚度矩阵；[K G ]为结构总体几何刚度矩阵，也称初始应力刚度矩阵；{δ}是特征位移向量。 线性屈曲的有限元其实就是在整体线性结构刚度基础上加上初始应力刚度后，得到结构屈曲的最小临界载荷。 2) 非线性屈曲分析 非线性屈曲是在线性基础上增加了缺陷和扰动，初始缺陷为特征值屈曲模态 [ 5 ] ，通过逐渐增加载荷的非线性静力分析技术，求得使结构开始变得不稳定时的临界载荷。应用非线性技术，模型中可引入初始缺陷、塑性、间隙、大变形等特征 [ 14 ]。 非线性屈曲的原理是 [ 8 ]：在特征值计算的基础上，采用几何非线性分叉点进行失稳分析，确定失稳载荷，并引入安全系数Φ B ，见式(4)。 Φ B = 1.667 β c r (4) 图3. 斜率法非线性屈曲分析原理图 其中： a) 轴向压缩圆筒，无加强或只有环向加强时，且D 0 /t < 1247时(D 0 和t分别为筒体外径和厚度)，β cr 计算见式(5)。 β c r = 338 389 + D 0 t (5) b) 在外压作用下，无加强或只有环向加强时，β cr = 0.80。 4) 计算实例 在实际使用中，往往只对薄弱部位进行仿真分析，未涉及部位可以通过添加约束的方式，以保证结构计算结果的正确性。本文选取了封头、圆筒、加强筒体和非圆截面筒体四种进行了说明。 a) 封头失稳计算实例 范章等人使用ANSYS有限元法分析了碟形封头在外压作用下的屈曲问题。利用特征值分析得到特征值，使用Newton-Raphson法和弧长法进行非线性屈曲分析，追踪封头发生屈曲失稳过程。碟形封头发生屈曲失稳的拐点是特定截面从受压状态变为一侧受拉，一侧受压的弯曲状态，从的导致出现波纹形变 [ 10 ]。 b) 圆筒失稳计算实例 余军昌等人用ANSYS对外压圆筒壳进行了屈曲分析，分别采取了特征值分析、几何非线性和双非线性进行了计算，并与Mises公式计算结果进行对比。计算得到在薄壁状态下，三种计算结果偏差不大，同时与Mises计算结果相近，但随着壁厚的增加，双非线性的失稳压力明显小于其他几种状态，此时通过简单计算得到的失稳压力已经不能反映真实情况。图4为得到的失稳压力与壁厚关系情况 [ 17 ]。圆筒失稳计算比较常见 [ 18 ] [ 19 ] ，这里就不多再列举。 c) 带加强圈圆筒失稳计算实例 余军昌等人还利用有限元对带有加强圆环的薄壁圆筒进行了分析。带有加强圈的筒体在承受外压时有两种失稳形式，一是加强段筒体失稳，二是整体失稳。通过计算分析发现，加强圈的刚度存在一个临界值，当小于临界值时筒体会发生整体失稳，当大于临界值时提高刚度无法再提高圆筒的抗失稳的能力。图5中为薄壁圆筒局部和整体失稳变图 [ 17 ]。 d) 非圆筒截面的外压失稳计算实例 屠宏斌等利用ANSYS有限元软件对非圆筒截面的SE-东方炉水冷壁进行了特征值和几何与材料双非线性屈曲分析，图6为使用特征值法得到的第一阶屈曲模态 [ 20 ]。发现气化炉水冷壁具有类似圆筒壁的特性，可以通过对应的当量壁厚进行失稳计算；临界失稳压力的主要影响因素为几何偏差，可以通过弹性模量及屈服强度对不同温度下的结果进行关联，得到水冷壁外压临界失稳压力公式。他们提出的周向非均匀壁厚膜式水冷壁外压失稳特性分析方法，可以为类似非均匀圆筒体的外压失稳特性提供计算方法和研究途径。 3.2.2. 有限条法 对于圆柱壳体结构，也可以采用有限条法进行计算。有限条法实际上是一种特殊形式的有限元法，所不同的是标准的有限元法是沿各个方向均采用多项式位移函数，而有限条法只需沿某些方向采用简单多项式，沿其他方向则用连续可微的平滑级数去拟合，当然，这个条件必须以它预先满足条或棱柱的端部边界条件为前提。位移函数一般是以多项式和级数的乘积的形式给出。这样，有限条法可以将一个二维问题缩减为一维问题。对于三维固体和空间结构的静力分析或振动的特征值问题及稳定分析等这一类问题特别常见。有限条法不仅可以极大的减小计算量，而且可以保持一定程度的有限元的优点。 图7是有限条法的基本离散模型和描述 [ 9 ]。如图7(a)所示，将圆柱壳在θ方向离散，如果条数分得足够多，则每一柱壳条可以用矩形板条代替，对于圆环采用直梁单元代替曲梁单元的有效性，在文献 [ 21 ] 中已有证明。即借助于“以直代曲”(这有利于刚体位移得到满足)将圆形的子午线由内接的多边形代替， 图4. 失稳压力与壁厚关系 图5. 加强薄壁圆筒失稳形式 图6. 特征值法下的失稳模态 图7. 有限条分析原理图 于是圆柱壳就离散化为由矩形板条组合的棱柱形的折板结构，如图7(b)。每一个矩形板条都由一个平面应力板条和一个弯曲板条组合而成。该方法适用于变壁厚柱壳在均匀外压下的应力场和位移场分析，而且适用于各种边界条件 [ 22 ]。 侯金华等利用有限条法对容器内衬薄壁柱壳的屈曲问题进行了计算，通过计算得到，对于屈曲波型受不等式约束的圆柱壳失稳问题，长度不同时，屈曲波型基本相同，当径厚比较小时，临界载荷随径厚比增大而迅速降低。另外，采用哈密顿法(Hamilton)进行层合梁(板)稳定性计算，避免了有限元法层间的应力不连续，计算精度大大提高 [ 9 ]。