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user: 2. 动态相耦合的GP方程组 我们考虑处于旋转状态下的双原子–玻色爱因斯坦凝聚体(比如铷87原子及其同位素)。用来描述该双原子–玻色爱因斯坦凝聚体的数学模型便是以下相耦合的GP方程组 [ 23 ] i ℏ ∂ ψ 1 ∂ t = ( − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V 1 ( x ) − ℏ Ω L z + g 11 | ψ 1 | 2 + g 12 | ψ 2 | 2 ) ψ 1 − ℏ ω R ψ 2 (2.1) i ℏ ∂ ψ 2 ∂ t = ( − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V 2 ( x ) − ℏ Ω L z + g 21 | ψ 1 | 2 + g 22 | ψ 2 | 2 ) ψ 2 − ℏ ω R ψ 1 (2.2) 这里 ψ j = ψ j ( x ， t ) ， j = 1 ， 2   ( x = ( x ， y ， z ) ∈ R 3 ) 是描述双原子–玻色爱因斯坦凝聚体的两个玻动函数。 m 是 87 Rb原子的质量，调和磁势井函数 V j ( x ) ( j = 1 ， 2 ) 用 V j ( x ) = m 2 ( ω x ， j 2 ( x − x j ) 2 + ω y ， j 2 ( y − y j ) 2 + ω z ， j 2 ( z − z j ) 2 ) 来表示。 α j ( α = x ， y ， z ) 是 α 轴在上磁势井的中心。角动量转动项为 Ω L z = − i Ω ( x ∂ y − y ∂ x ) 。双原子内部以及双原子之间的键力分别用 g j j = 4 π ℏ 2 a j j / m   ( j = 1 ， 2 ) 和 g j l = 4 π ℏ 2 a j l / m   ( j ≠ l = 1 ， 2 ) 来表示。方程组(2.1) (2.2)中的最后一项表示由外部力场引起的Josephson耦合力，并且这里的 ω R 是Rabi频率。该相耦合的GP方程组(2.1)~(2.2)保持系统的全部粒子数 N : = N ( ψ 1 ， ψ 2 ) = ∑ j = 1 2 ∫ R 3 | ψ j ( x ， t ) | 2 d x = N 1 + N 2 (2.3) 不变。这里 N j = ∫ R 3 | ψ j ( x ， t ) | 2 d x 是双原子之一的粒子数， N = N 1 + N 2 是玻色爱因斯坦双原子总粒子数。该相耦合的GP方程组(2.1)~(2.2)也保持系统的能量 E ( ψ 1 ， ψ 2 ) = ∫ R 3 ∑ j = 1 2 [ ℏ 2 2 m | ∇ ψ j | 2 + V j | ψ j | 2 − Ω ψ ¯ j L z ψ j + 1 2 ( g j 1 | ψ 1 | 2 + g j 2 | ψ 2 | 2 ) | ψ j | 2 d x ]     − ∫ R 3 ℏ ω R ( ψ ¯ 2 ψ 1 + ψ ¯ 1 ψ 2 ) d x 不变。 2.1. 无量纲形式的GP方程组 GP方程组(2.1)~(2.2)不大方便直接用于数值模拟。如果我们引入： t ˜ = ω x ， 1 t ， x ˜ = x a 0 ， ψ ˜ j ( x ˜ ， t ˜ ) = a 0 3 / 2 N ψ j ( x ， t ) ， Ω ˜ = Ω ω x ， 1 ， a 0 = ℏ m ω x ， 1 ， λ ˜ = ω R ω x ， 1 和 α ˜ j = α j a 0 ( α = x ， y ， z )。 (2.4) 事实上这里我们取 1 / ω x ， 1 和 a 0 分别作为时间及长度的无量纲单位。把参数(2.4)代入方程组(2.1)~(2.2)中，并且在方程组(2.1)~(2.2)的两边都乘以 1 m ω x ， 1 2 ( N a 0 ) 1 / 2 。如果我们再去掉所有的~，则我们可以得到以下的三维的无量纲形式的GP方程组： i ∂ ∂ t ψ j ( x ， t ) = ( − 1 2 ∇ 2 − Ω L z + V 2 ， j ( x ) + ∑ l = 1 2 β 2 ， j l | ψ l | 2 ) ψ j ( x ， t ) − λ ψ k ( x ， t ) ，   j = 1 ， 2 (2.5) 并且 k = 2 ，当 j = 1 ； k = 1 当 j = 2 ， V j ( x ) = 1 2 ( γ x ， j 2 ( x − x j ) 2 + γ y ， j 2 ( y − y j ) 2 + γ z ， j 2 ( z − z j ) 2 ) ， γ x ， j = ω x ， j ω x ， 1 ， γ y ， j = ω y ， j ω x ， 1 ， γ z ， j = ω z ， j ω x ， 1 (2.6) β j l = g j l N a 0 3 ℏ ω x ， 1 = 4 π a j l N a 0 ， j ， l = 1 ， 2 。 系统每个粒子的能量成为 E β ( ψ 1 ， ψ 2 ) = ∑ j = 1 2 E β ， j ( ψ 1 ， ψ 2 ) − λ ∫ R 3 ( ψ ¯ 1 ψ 2 + ψ 1 ψ ¯ 2 ) d x (2.7) 这里 β = max 1 ≤ j ， l ≤ 2 | β j l | E β ( ψ 1 ， ψ 2 ) = ∑ l = 1 2 ∫ R 3 [ 1 2 | ∇ ψ j | 2 + V j | ψ j | 2 − Ω ψ ¯ j L z ψ j + 1 2 ∑ l = 1 2 β j l | ψ l | 2 | ψ j | 2 ] d x     − λ ∫ R 3 ( ψ ¯ 1 ψ 2 + ψ 1 ψ ¯ 2 ) d x 2.2. 二维的方程组 方程组(2.5)也可近似地变为二维形式的方程组。在磁势井是圆盘形式时，我们可假设 ψ j ( x ， y ， z ， t ) → ψ j ( x ， y ， t ) ψ h o ( z ) ，这里的 ψ h o ( z ) = γ z ， j 1 / 4 π 1 / 4 e − γ z ， j ( z − z j ) 2 2 。将之代入方程组(2.5)，我们可把偶合的GP方程组(2.5)转化成一个二维的无量纲形式的GP方程组。 i ∂ ∂ t ψ j ( x ， t ) = ( − 1 2 ∇ 2 − Ω L z + V 2 ， j ( x ) + ∑ l = 1 2 β 2 ， j l | ψ l | 2 ) ψ j ( x ， t ) − λ ψ k ( x ， t ) 这里 k = 2 ，当 j = 1 ； k = 1 ，当 j = 2 。 V 2 ， j ( x ) = m j 2 m 1 ( γ x ， j 2 ( x − x j ) 2 + γ y ， j 2 ( y − y j ) 2 ) 。 总之，我们将讨论以下无量纲形式且相耦合的GP方程组， i ∂ ∂ t ψ j ( x ， t ) = ( − 1 2 ∇ 2 − Ω L z + V d ， j ( x ) + ∑ i = 1 2 β d ， j l | φ l | 2 ) ψ j ( x ， t ) − λ ψ k (2.9) 这里 d = 2 或者3， β 3 ， j i = β j l ， V 3 ， j ( x ) = V j ( x ) 。 2.3. GP方程组(2.9)的一些性质 为方便起见，本节我们将讨论GP方程组(2.9)的一些解析性质。 当 λ ≠ 0 时，(2.9)式中两个重要的守恒量。一个是总模量 N ≡ N ( ψ 1 ， ψ 2 ) = ∑ j = 1 2 ∫ R d | ψ j ( x ， t ) | 2 d x = 1 ，   t ≥ 0 ，   j = 1 ， 2 (2.10) 守恒；另一个是总能量 E ≡ E β d ( φ 1 ， φ 2 ) = ∑ j = 1 2 E β d ， j ( φ 1 ， φ 2 ) − λ ∫ ( φ ¯ 1 φ 2 + φ ¯ 2 φ 1 ) d x (2.11) 守恒，这里 β d = max 1 ≤ j ， l ≤ 2 | β d ， j l | ， E β d ， j ( φ 1 ， φ 2 ) = ∫ R d [ 1 2 | ∇ φ j | 2 + V d ， j ( x ) | φ j | 2 + 1 2 ∑ l = 1 2 β d ， j l | φ l | 2 | φ j | 2 − Ω φ ¯ j L z φ j ] d x 。