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user: 2. 弧微分等价代换定理的一般性论证 2.1. 平面光滑曲线弧微分在平面及空间坐标下的表述 如图1所示，在平面坐标xoy内，光滑曲线C是y = f(x)在x = a到x = b之间的图象，在曲线C上取点A作为度量弧长的起点，并规定依x增大的方向作为弧的正向，C上已知点P(x，y)及邻点 Q ( x + Δ x ， y + Δ y ) ，s表示曲线弧 A P ⌢ 的长度，即 s = A P ⌢ 显然，弧长s是随着x的确定而确定，因此弧长s是x的函数，记作 s = s (x) 连OP、OQ、PQ(=Δs)；其极坐标： ∠ P O x = Φ ， ∠ P O Q = Δ Φ ， | O P | = ρ ， | O Q | = ρ + Δ ρ ， x = ρ cos Φ ， 图1. 弧微分等价代换 x + Δ x = ( ρ + Δ ρ ) cos ( Φ + Δ Φ ) ， y = ρ sin Φ ， y + Δ y = ( ρ + Δ ρ ) sin ( Φ + Δ Φ ) [ 5 ] ，过P作 P D ′ ⊥ O Q ∩ D ′ ；在立体坐标系中有任一关系点 ，G在xoy平面内的投影为G'， | G G ′ | = h ，连GP、GQ，过P作 P D ⊥ G Q ∩ D ， | G P | = l ， | G Q | = l + Δ l ， ∠ G ′ G P = θ ， ∠ P G Q = Δ θ ， l = l ( θ ) [ 5 ] 。 讨论弧微分等价代换定理，即 d s ( θ ) = d s ( ϕ ) 成立。 1)：直角坐标xoy中(注意弦 | P Q | 和Δx、Δy组成的小直角三角形)， ∵ Δ s = | P Q | = ( x + Δ x − x ) 2 + ( y + Δ y − y ) 2 = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 [ 6 ] [ 7 ] ， ∴ d s = ( lim Δ x → 0 | P Q | Δ x ) d x = [ lim Δ y → 0 ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 Δ x ] d x = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 = 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x (1) 2)：极坐标下，对 x = ρ ( ϕ ) cos ϕ 求微分，得 d x = ρ ′ ( ϕ ) cos ϕ d ϕ − ρ ( ϕ ) sin ϕ d ϕ ， 对 y = ρ ( ϕ ) sin ϕ 求微分，得 d y = ρ ′ ( ϕ ) sin ϕ d ϕ + ρ ( ϕ ) cos ϕ d ϕ ， ∴ d s = ( d x ) 2 + ( d y ) 2               = [ ρ ′ ( ϕ ) cos ϕ d ϕ − ρ ( ϕ ) sin ϕ d ϕ ] 2 + [ ρ ′ ( ϕ ) sin ϕ d ϕ + ρ ( ϕ ) cos ϕ d ϕ ] 2               = [ ρ ′ ( ϕ ) ] 2 + ρ 2 ( ϕ )   d ϕ (2) 结果：式(1) = 式(2)。 3) 求弧微分ds(Φ) (参考图1) ① 求微小弦的改变量： 在微小RtΔPD'Q中， ∵ | P D ′ | = ρ sin Δ ϕ ， | Q D ′ | = | O Q | − | O D ′ | = ρ + Δ ρ − ρ cos Δ ϕ = Δ ρ + ρ ( 1 − cos Δ ϕ ) ， ∴ | P Q | = Δ s = | Q D ′ | 2 + | P D ′ | 2 = [ Δ ρ + ρ ( 1 − cos Δ ϕ ) ] 2 + ( ρ sin Δ ϕ ) 2 [ 5 ] 。 ② d s ( ϕ ) = ( lim Δ ϕ → 0 Δ s Δ ϕ ) d ϕ = [ lim Δ ϕ → 0 [ Δ ρ + ρ ( 1 − cos Δ ϕ ) ] 2 + ( ρ sin Δ ϕ ) 2 Δ ϕ ] d ϕ = [ d ρ ( ϕ ) ] 2 ( d ϕ ) 2 + ρ 2 ( ϕ ) d ϕ = [ ρ ′ ( ϕ ) ] 2 + ρ 2 ( ϕ ) d ϕ (3) 结果：式(3) = 式(2)。 4) 求弧微分ds(θ)(参考图1) ① 求微小弦的改变量： 在空间坐标系中，注意小RtΔPDQ， ∵ | P D | = l sin Δ θ ， | Q D | = | G Q | − | G D | = l + Δ l − l cos Δ θ = Δ l + l ( 1 − cos Δ θ ) ， ∴ | P Q | = Δ s ( θ ) = | Q D | 2 + | P D | 2 = [ Δ l + l ( 1 − cos Δ θ ) ] 2 + ( l sin Δ θ ) 2 [ 5 ] 。 ② d s ( θ ) = [ lim Δ θ → 0 Δ s ( θ ) Δ θ ] d θ = [ lim Δ θ → 0 [ Δ l + l ( 1 − cos Δ θ ) ] 2 + ( l sin Δ θ ) 2 Δ θ ] d θ = [ d l ( θ ) ] 2 ( d θ ) 2 + l 2 ( θ ) d θ = [ l ′ ( θ ) ] 2 + l 2 ( θ ) d θ (4) 2.2. 弧微分等价代换定理，即证明 d s ( θ ) = d s ( ϕ ) 成立 如图1，在ΔPD'Q中， | P Q | = Δ s ( ϕ ) = | Q D ′ | 2 + | P D ′ | 2 = [ Δ ρ + ρ ( 1 − cos Δ ϕ ) ] 2 + ( ρ sin Δ ϕ ) 2 ， 在ΔPDQ中， | P Q | = Δ s ( θ ) = | Q D | 2 + | P D | 2 = [ Δ l + l ( 1 − cos Δ θ ) ] 2 + ( l sin Δ θ ) 2 ， 因 | P Q | ( = Δs)是小RtΔPD'Q和小RtΔPDQ公共斜边，所以 Δ s ( θ ) = Δ s ( Φ ) [ = | P Q | ] . 令函数 Z = Δ s ( ϕ ) − Δ s ( θ ) = [ Δ ρ + ρ ( 1 − cos Δ ϕ ) ] 2 + ( ρ sin Δ ϕ ) 2 − [ Δ l + l ( 1 − cos Δ θ ) ] 2 + ( l sin Δ θ ) 2 = 0 函数Z对Δs(Φ)和Δs(θ)的偏导数： ∂ Z ∂ Δ s ( ϕ ) = lim Δ ϕ → 0 Δ s Δ ϕ = lim Δ ϕ → 0 [ Δ ρ + ρ ( 1 − cos Δ ϕ ) ] 2 + ( ρ sin Δ ϕ ) 2 Δ ϕ = ( d ρ d ϕ ) 2 + ρ 2 [ 8 ] [ 9 ] ， ∂ Z ∂ Δ s ( θ ) = lim Δ θ → 0 Δ s Δ θ = lim Δ θ → 0 [ Δ l + l ( 1 − cos Δ θ ) ] 2 + ( l sin Δ θ ) 2 Δ θ = ( d l d θ ) 2 + l 2 [ 8 ] [ 9 ] 。 函数Z的全微分：因为 Z = Δ s ( Φ ) − Δ s ( θ ) = 0 ， 且 d Z | [ Δ s ( ϕ ) ， Δ s ( θ ) ] = ∂ Z ∂ Δ s ( ϕ ) d ϕ − ∂ Z ∂ Δ s ( θ ) d θ = ( d ρ d ϕ ) 2 + ρ 2 d ϕ − ( d l d θ ) 2 + l 2 d θ = 0 ， 即 ( d ρ d ϕ ) 2 + ρ 2 d ϕ = ( d l d θ ) 2 + l 2 d θ ， 所以 d s ( Φ ) = d s ( θ ) [即式(4)=式(3)]成立。 说明：在空间坐标系中，因 | G G ′ | = h 是函数y = f(x)的曲线C所在平面的已知垂线，沿曲线C，当Q→P(或 P Q ⌢ → 0 )时，直角ΔGG'Q→直角ΔGG'P(全等)，即ΔGG'Q和ΔGG'P各自所在的平面趋向于同一极限，有GQ→GP(且 G P ⊂ Δ G G ′ P 所在平面)、 θ + Δ θ → ∠ Q G G ′ 。 且ΔGG'P中，ℓ = h/cosθ，则 d s ( θ ) = ( d l d θ ) 2 + l 2 d θ = ( d h cos θ ) 2 ( d θ ) 2 + ( h cos θ ) 2 d θ = h cos 2 θ d θ [ 2 ] 。