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user: 3. 主要结果 引理3.1：设K是一个域，A是一个有限维K-代数，F是K上的一个可分域扩张，M是一个 A ⊗ K F 模，m是正整数。则 1) 如果X是m-倾斜A-模，则 X ⊗ K F 是m-倾斜 A ⊗ K F -模。 2) 如果Y是m-倾斜A-模，则Y是m-倾斜 A ⊗ K F -模。 证明：首先，由( [ 4 ] ，引理3.5)得 A ⊗ K F 是有限维K-代数。 1) 由m-倾斜代数的定义，结论显然成立。 2) 设 ( F : K ) = n 。 我们先证明必要性。 a) 设M是一个m-倾斜 A ⊗ K F -模，则由引理2.1可得 p d A M = p d A ⊗ K F M ≤ m 。 b) 设I是 Y A ⊗ K F 的一个内射分解，则对于任意正整数i，则我们有以下同构 E x t A ⊗ K F i ( Y ， Y ) ⊗ K F ≅ H − i ( H o m A ⊗ K F ( Y ， I ) ) ⊗ K F ≅ H − i ( H o m A ⊗ K F ( Y ， I ⊗ K F ) ) ≅ H − i ( H o m A ⊗ K F ( Y ， H o m A ( A ⊗ K F ， I ) ) ) ≅ H − i ( H o m A ( Y A ⊗ K F ( A ⊗ K F ) ， I ) ) ≅ H − i ( H o m A ( Y ， I ) ) ≅ E x t A i ( Y ， Y ) 。 因为对于任意正整数i， E x t A ⊗ K F i ( Y ， Y ) = 0 ，故 E x t A i ( Y ， Y ) ≅ E x t A ⊗ K F i ( Y ， Y ) ⊗ K F = 0 。 c) 由m-倾斜模的定义可得 mod ( A ⊗ K F ) 正合列 0 → A ⊗ K F → Y ′ 0 → Y ′ 1 → ⋯ → Y ′ m → 0 ， 其中，所有 Y ′ i ∈ a d d A ⊗ K F Y 。显然，上面的正合列也是mod A中的正合列。 因为A是A-模 A ⊗ K F 的直和项，我们有正合列： 0 → A → Y 0 → Y 1 → ⋯ → Y m → 0 。 其中， Y i ∈ a d d A Y ， i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， m 。 综合a)，b)，c)，由m-倾斜模的定义可知，Y是一个m-倾斜A-模。 再证充分性。假设Y是一个m-倾斜A-模。因为 p d A Y ≤ m ，由引理2.1可得 p d A ⊗ K F Y ≤ m 。 对于任意正整数i，因为 E x t A i ( Y ， Y ) = 0 ，所以 E x t A ⊗ K F i ( Y ⊗ K F ， Y ⊗ K F ) ≅ E x t A i ( Y ， Y ) ⊗ K F = 0 根据m-倾斜模的定义，我们有正合列 0 → A → Y 0 → Y 1 → ⋯ → Y m → 0 其中， Y i ∈ a d d A Y ， i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， m 。 用正变函子-⊗ K F到上述正合列中，可得 mod ( A ⊗ K F ) 中的正合列 0 → A ⊗ K F → Y 0 ⊗ K F → Y 1 ⊗ K F → ⋯ → Y m ⊗ K F → 0 。 另一方面，因为 ( F : K ) = n ，我们有 ( A ⊗ K F ， A ⊗ K F ) -双模同构 ( A ⊗ K F ) ⊗ K F ≅ ( A ⊗ K F ) ⊗ A ⊗ K F ( ( A ⊗ K F ) ⊗ K F ) ≅ ( A ⊗ K F ) n 。 从而可得 A ⊗ K F -模同构 Y ⊗ K F ≅ Y ⊗ A ⊗ K F ( A ⊗ K F ) ⊗ K F ≅ Y ⊗ A ⊗ K F ( ( A ⊗ K F ) ⊗ K F ) ≅ Y n 因此， Y i ⊗ K F ∈ a d d A ⊗ K F Y ， i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， m 。从而可得Y是一个m-倾斜 A ⊗ K F -模。 下面的引理在本文的主要定理的证明中起到十分重要的作用，并且引理本身也是一个十分有趣的结论。 引理3.2：设A是Artin代数，T是有限生成的A-模，使得 E x t A 1 ( T ， T ) = 0 。则 g l . d i m   E n d A T ≤ 1 当且仅当add A T对子模封闭。 证明：先证必要性。要证add A T对子模封闭，只需证明T的有限直和的任意子模仍在add A T中。设M为T t 的任一个子模，其中t是正整数， α : M → T t 是嵌入映射。则范畴((add A T) op ，Ab)中存在一个正合列： 0 → H o m A ( − ， M ) → ( − ， α ) H o m A ( − ， T t ) → H → 0 ， 其中 H = C o k e r ( − ， α ) 。由( [ 9 ] ，引理1.3)可得 H o m A ( − ， M ) ∈ a d d A T ¯ 。因此， H ∈ a d d A T ¯ 。由题设和引理2.4可得 p d a d d A T ¯ H ≤ 1 。 因此， H o m A ( − ， M ) 是范畴 a d d A T ¯ 的投射对象。从而，由Yoneda’s引理得 M ∈ a d d A T 。 下证必要性。对于任意 F ∈ a d d A T ¯ ，mod A中存在态射 f : T 1 → T 2 ，使得 H o m A ( − ， T 1 ) → H o m A ( − ， T 0 ) → F → 0 在 a d d A T ¯ 中正合。 令 T 2 = K e r f ， Y = I m g f ，由题设可得 T 2 ， Y ∈ a d d A T 。 因为 E x t A 1 ( T ， T ) = 0 ，故正合列 0 → T 2 → T 1 → Y → 0 可裂。 因此，序列 0 → H o m A ( − ， T 2 ) → H o m A ( − ， T 1 ) → H o m A ( − ， Y ) → 0 在 a d d A T ¯ 中正合。由此得到 a d d A T ¯ 上的正合列： 0 → H o m A ( − ， T 2 ) → H o m A ( − ， T 1 ) → F → 0 从而 p d a d d A T ¯ F ≤ 1 。由引理2.4可得 g l . d i m E n d A T = g l . d i m a d d A T ¯ ≤ 1 。 定理3.3：设A有限维K-代数，F是K的有限域扩张。则A是倾斜代数当且仅当 A ⊗ K F 是倾斜代数。 证明：先证必要性。因为A是倾斜代数，则存在1-倾斜A-模T，使得End A T是遗传代数。 由引理3.1可知， T ⊗ K F 是1-倾斜 A ⊗ K F -模。 因为 E n d A ⊗ K F ( T ⊗ K F ) ≅ ( E n d A T ) ⊗ K F ，由引理2.1可得 g l . d i m E n d A ⊗ K F ( T ⊗ K F ) = g l . d i m E n d A T ≤ 1 。由倾斜代数的定义可知 A ⊗ K F 是倾斜模。 再证充分性。设 A ⊗ K F 是一个倾斜代数，则存在1-倾斜 A ⊗ K F -模X，使得 E n d A ⊗ K F X 是一个遗传代数，从而 a d d A ⊗ K F X 对子模封闭。又由引理3.1可得X是一个1-倾斜A-模。 以下证明X A 对子模封闭。设N是 X A m 的任一个子模，其中 m ≥ 1 为自然数，则 N ⊗ K F 与 X m ⊗ K F 的一个子模同构。由 A ⊗ K F -模同构 X ⊗ K F ≅ X ⊗ A ⊗ K F ( A ⊗ K F ) ⊗ K F ≅ Y m 可得 ( N ⊗ K F ) A ⊗ K F ∈ a d d A ⊗ K F X ，故 ( N ⊗ K F ) A ∈ a d d A X 。又由引理2.1可得 N A 为 的直和项，从而，我们有 N A ∈ a d d A X 。 由引理3.2可得， E n d A X 是一个遗传代数。因此，A是一个倾斜代数。