DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 3. 分析与讨论 在本文的研究中，我们考虑两个非相互作用的两能级原子，它们分别被放置在两个空间分离的热库中，并且独立地与具有相同特征的热库相互作用，原子之间没有直接的相互作用。根据一般量子库理论 [ 24 ]，我们可以推导出两能级原子与它们的局部热库相互作用的约化密度矩阵的运动方程： ρ ˙ = ∑ i = 1 ， 2 { − 1 2 γ i ( n i + 1 ) [ σ + i σ − i ρ − 2 σ − i ρ σ + i + ρ σ + i σ − i ]     − 1 2 γ i n i [ σ − i σ + i ρ − 2 σ + i ρ σ − i + ρ σ − i σ + i ] } (12) 其中 n i ( i = 1 ， 2 ) 是局部热库的平均热光子数， γ i 是原子 i ( i = 1 ， 2 ) 的自发辐射率， σ ± i 是原子i的上升( σ + i )和下降( σ − i )算符，这里我们假设二能级原子和热库之间的关联时间比二能级原子动态演化的特征时间短得多，因此马尔可夫近似是有效的。等式(12)的解取决于两能级原子的初始状态。选取二量子体系中的基矢为 | 00 〉 ， | 01 〉 ， | 10 〉 ， | 11 〉 ，我们考虑下面的二量子比特初始态： ρ A B ( 0 ) = ( 1 − P ) | 11 〉 〈 11 | + P | φ + 〉 〈 φ + | (13) 其中 | φ + 〉 = 1 / 2 ( | 10 〉 + | 01 〉 ) ，并且有 0 ≤ P ≤ 1 。在这种状态下，Bell态 | φ + 〉 和激发态 | 11 〉 是混合的。当 P = 0 时，该状态是可分离态，当 P = 1 时，该状态是最大纠缠态 ρ A B ( 0 ) = | φ + 〉 〈 φ + | 。为了简单起见，我们假定 n 1 = n 2 = n 并且 γ 1 = γ 2 = γ 。主方程(12)的解的矩阵元由下式给出： ρ 11 ( t ) = 1 2 ( 2 n + 1 ) 2 { 2 n 2 − 2 n [ P ( 2 n + 1 ) − 2 ( n + 1 ) ] e − ( 2 n + 1 ) γ t     − [ P ( n + 1 ) ( 4 n + 2 ) − 2 ( n + 1 ) 2 ] e − 2 ( 2 n + 1 ) γ t } ρ 22 ( t ) = ρ 33 ( t ) = 1 2 ( 2 n + 1 ) 2 { 2 n ( n + 1 ) − [ P ( 2 n + 1 ) − 2 ( n + 1 ) ] e − ( 2 n + 1 ) γ t                                                 + [ P ( n + 1 ) ( 4 n + 2 ) − 2 ( n + 1 ) 2 ] e − 2 ( 2 n + 1 ) γ t } ρ 44 ( t ) = 1 2 ( 2 n + 1 ) 2 { 2 ( n + 1 ) 2 + 2 ( n + 1 ) [ P ( 2 n + 1 ) − 2 ( n + 1 ) ] e − ( 2 n + 1 ) γ t     − [ P ( n + 1 ) ( 4 n + 2 ) − 2 ( n + 1 ) 2 ] e − 2 ( 2 n + 1 ) γ t } ρ 23 ( t ) = ρ 32 ( t ) = P 2 e − ( 2 n + 1 ) γ t (14) 除此以外其他矩阵元均为零。 为了研究耗散环境中弱测量下的超量子失协的动力学演化行为，我们将通过上述耗散模型研究测量强度参数和热效应对于量子关联的影响。在下面的讨论中，我们将强测量下的量子失协和弱测量下的超量子失协的动力学绘制成标度时间 γ t 的函数进行分析。根据上面的分析，我们可以画出量子失协和超量子失协的演化如下所示： 图1. 二原子量子失协与超量子失协的动力学演化。实线(红色)代表超量子失协，虚线(蓝色)代表量子失协。其中参数P = 0.5，x = 1 (a) n = 0.01；(b) n = 1；(c) n = 5 图2. 二原子量子失协与超量子失协的动力学演化。实线(红色)代表超量子失协，虚线(蓝色)代表量子失协。其中参数n = 0.1，x = 1 (a) P = 0.1；(b) P = 0.3；(c) P = 0.99 图3. 二原子量子失协与超量子失协的动力学演化。实线(红色)代表超量子失协，虚线(蓝色)代表量子失协。其中参数P = 0.5，n = 0.1 (a ) x = 0.1；(b ) x = 1；(c ) x = 5 在图1中，当混合程度P和测量强度参数x取固定值，只改变平均热光子数n的取值，图中的曲线显示了标准量子失协和弱测量下的超量子失协的时间演化过程。首先，我们注意到两个量子关联都消失在渐近极限中，这是因为量子系统与其耗散环境产生了相互作用。当n取值很小，即耗散效应较弱时，两种关联的差异较大，衰减较慢。随着平均热光子数n的取值逐渐增大，耗散效应逐渐增强，两种关联的差异逐渐减小，并且衰减速度加快。 在图2中，将平均热光子数n和测量强度x取固定值，只改变混合程度P的值，我们发现，随着P值的增加，关联时间和初始值都在增加，衰减速度减慢。当P取值较小时，此时的系统接近于可分离态，两种关联的差异很小，而随着混合程度增大时，两种关联差异逐渐变大，且主要表现在初始时刻，这就说明混合程度的改变影响了两关联的初始值，随着混合程度逐渐增加，两种关联的差异也逐渐变大，衰减速度逐渐减慢。但是混合程度只取决于我们所选取的初始状态，并不是主要的影响因素，我们更多考虑外部环境和测量强度对两种关联的影响。 图3中我们考虑测量强度对于关联演化的影响。在这种情况下，我们固定混合程度P和平均热光子数n的值，只改变测量强度x的值。当x取值比较小时，两种关联的差异比较大，逐渐增大测量强度x的值，我们发现，随着x的增加两条曲线逐渐靠近，并且增大到某个值时，两条曲线近似重合，当 x → ∞ 时，重合曲线不再发生变化，弱测量下的量子失协会成为Von Neumann测量下的量子失协，此时，弱测量就转化成了强测量。此外，我们注意到，图1和图2中不论P和n如何改变，量子失协总是小于超量子失协，并且清楚地表明，尽管量子失协和超量子失协之间存在差异，但两种失协的动力学在性质上表现出相似的行为。 一般来说，图1，图2和图3中的所有曲线都表明，在热环境下，两个量子关联都趋向于在渐近极限内消失。很明显，在热环境中，量子关联很容易被破坏，因此，我们可以推断出量子关联可以通过增加热场参数来消除。此外，我们在所有图中观察到，弱测量下的超量子失协总是大于标准的量子失协，这就意味着弱测量比强测量(投影测量)能捕获更多的两体量子系统的量子关联。换句话说，如果我们对一个系统进行微弱的量子测量，那么在子系统之间会有更多的量子关联，这些就可以用于实际应用。此外，我们所研究得到的这些结果还表明测量确实改变了量子失协的动力学行为。
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user: 4. 结论 在本文中，我们研究了耦合到独立热库的两个原子在弱测量下的超量子失协和强测量下的量子失协的动力学行为。主要通过改变测量强度参数和平均热光子数的值，讨论了它们的变化对量子关联的影响。从结果可以看出，随着耗散效应逐渐变弱，强测量下的量子失协与弱测量下的超量子失协之间的差异趋于增大，并且两种量子关联都消失在渐近极限内。我们特别研究了弱测量在两个量子比特量子失协演化过程中的作用。结果表明，强测量下的量子失协和弱测量下的量子失协的差异随着测量强度参数的减小而增大，这就意味着量子失协的动力学行为对测量强度参数很敏感，并且弱测量比强测量能捕获更多的两体量子系统的量子关联。
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user: 摘要 通过对西宁盆地广泛分布的黄土状盐渍土进行筛分试验，获得5组不同粒径(<0.1 mm， 0.1~0.25 mm， 0.25~0.5 mm， 0.5~1.0 mm和1.0~2.0 mm)的土体，在土体中加入不同质量硫酸钠(Na 2 SO 4 )以配制成不同粒径、不同含盐量(0.0%、0.5%、1.0%、3.0%、6.0%、9.0%和12.0%)的盐渍土试样，通过室内直剪试验对上述试样进行剪切试验，试验结果表明：1) 含盐量和土体粒径对盐渍土抗剪强度指标和试样变形破坏产生显著影响，对于5种不同粒径盐渍土，其抗剪强度指标均随含盐量增加表现出先减小后增加变化特征，黏聚力和内摩擦角最小值所对应含盐量均为1%~3%；2) 对于粘聚力，当含盐量小于等于6%时，粘聚力随粒径增加表现出降低的变化特征，当含盐量为9%和12%时，粘聚力则表现出增加的变化特征；3) 对于内摩擦角，当含盐量为0.0%~3.0%时，土体黏聚力随粒径增大表现出增加的变化趋势，当含盐量为6.0%、9.0%和12.0%时，其内摩擦角则随粒径增加表现出先增加后减小的变化特征；4) 随含盐量逐渐增加，盐渍土剪应力–应变关系表现出盐渍土由弹塑性逐渐过渡至脆性的材料特性；5) 对于粒径较小(<0.5 mm)的盐渍土，随着含盐量逐渐增加，盐渍土的变形和破坏特征表现为由弹塑性变形破坏过渡至脆性变形破坏的变化规律，对于粒径较大盐渍土(>0.5 m)，其破坏特征主要以脆性破坏为主。该研究结果对于揭示青藏高原东北部盐渍土地区边坡水土流失、边坡失稳机理具有重要的理论研究价值，同时也对该区及地质特征与气候特征与该区相似的区域水土流失、滑坡等地质灾害的科学防治和边坡治理具有实际指导意义。
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user: 1. 前言 盐渍土是指易溶盐含量超过0.3%的各类土体，广泛分布于我国西北干旱、半干旱地区以及东部滨海地区 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]。受盐分、温度、含盐量、含水率、盐分类型、颗粒组成等多种因素影响，盐渍土物理力学、变形和破坏特性较为复杂 [ 5 ] - [ 10 ]。其中，粒径和含盐量是影响盐渍土物理力学、变形和破坏特性最基本的因素 [ 10 ] - [ 20 ]。如于天佑等(2019) [ 9 ] 指出细粒(0.005~0.05 mm)硫酸盐渍土冻胀行为与其温度、水分和含盐量密切相关；张莎莎等(2010) [ 10 ] 发现粗粒盐渍土(粗砂)在降温阶段会同时产生盐胀和溶陷，且溶陷量大于盐胀量导致的土体结构变化是粗粒盐渍土冻胀破坏的主要原因；Hu et al. (2011) [ 11 ]、Zhi et al. (2014) [ 12 ] 研究了水盐运移与土壤颗粒级配间关系，发现土体粒径是影响盐渍土物理特性的重要因素。由此可见，关于盐渍土粒径对其物理力学特性方面的研究，主要集中于盐渍土冻胀破坏特性、水盐运移及溶陷性等方面，而关于盐渍土粒径对其抗剪强度以及在剪切作用下变形破坏方面的研究却相对较少 [ 7 ]；此外，相关研究表明当盐渍土盐含量超过某阈值时，土体抗剪强度表现出降低或升高的变化趋势 [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]，而不同粒径下盐渍土抗剪强度指标是否遵循该变化趋势则需进一步探讨。因此，本研究选取广泛分布于青藏高原东北部西宁盆地的黄土状土为研究对象，通过对土体进行筛分试验以获得不同粒径的土体，并在该土体中加入不等量Na 2 SO 4 粉末以配制成不同含盐量的人工制备盐渍土试样，进而在该基础上，借助于直剪试验获得该盐渍土试样的抗剪强度指标并观察其破坏特性，最后分析了土粒级配和含盐量对人工制备盐渍土抗剪强度指标以及破坏特征的影响，该研究结果为进一步揭示青海东北部盐渍土地区水土流失和边坡失稳机理提供理论依据，同时也对该区水土流失、滑坡等地质灾害的科学防治和边坡治理提供科学指导。
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user: 2. 研究方法与材料 2.1. 研究区概况 研究区西宁盆地位于青藏高原东北部与黄土高原西缘交接地带，地形由高山区、低山丘陵和湟水河谷组成，地势由盆地外围向中心地区逐渐降低，属于典型的山间河谷地貌，地形较为破碎，土体类型以黄土及类黄土为主 [ 21 ] - [ 27 ]，黄土高陡边坡较为发育，生态环境脆弱，使得区内地质灾害频发，给当地居民生命及财产安全带来较大隐患 [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]。相关调查结果表明，区内主要地质灾害为水土流失、滑坡、崩塌和土体盐渍化 [ 21 ] - [ 27 ]。其中，水土流失面积为7623.9 km 2 ，主要分布于湟水河流域 [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]；滑坡和崩塌分别为63处和22处 [ 22 ]，主要分布于湟水河干流及主支流两侧丘陵区边缘与河谷区边缘的过渡地带 [ 22 ]；土体盐渍化主要分布于西宁盆地南山区、机场、东部河谷阶地、低山丘陵地区，以及西宁东出口前倾斜平原区一带，区内土体盐渍化类型以硫酸盐渍土为主，程度为中–强 [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]。此外，区内植被较为稀疏，裸露边坡中的细粒土经流水和风力搬运而发生位移，并重堆积于边坡底部，而粗颗粒土因其自重相对较大不易被营力搬运而滞留原位，这必将导致边坡土体颗粒级配发生改变，从而导致边坡土体物理力学特性产生不同程度变化，进而为水土流失、滑坡、崩塌、滑坡等地质灾害的进一步发展提供基础。 2.2. 研究方法 为探讨颗粒级配对盐渍土抗剪强度影响，将采集于研究区的黄土状土碾散，并放置于105℃的烘箱中烘烤24 h，然后分别过孔径为2.0 mm、1.0 mm、0.5 mm、0.25 mm、0.1 mm的土工筛，获得粒径为 < 0.1 mm、0.1~0.25 mm、0.25~0.5 mm、0.5~1.0 mm和1.0~2.0 mm的土体，并将筛得的土体分别放置于铁盘中待用。区内土体实测含水率为9.5%~12.98%，故将重塑盐渍土试样含水率设定为12%。区内土体含盐量主要为0.0%~6.0%，个别区域为13.0%，故将重塑盐渍土含盐量设定为0.0%、0.5%、1.0%、3.0%、6.0%、9.0%和12.0%；在上述试样中，重塑盐渍土加水量、加盐量和土体质量以及试样制备过程按照《土工试验方法标准》相关规定进行设置。待所有样品制备完毕后，将试样保存于密封性良好的环刀中养护24 h，以确保重塑盐渍土中盐分能充分结晶，待养护完毕后依据规范《土工试验方法标准》相关规定开展室内直剪试验。
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user: 4. 结论 1) 土体含盐量可对土体抗剪强度指标产生显著性影响，表现为对于同一粒径的土体，随含盐量的增加，盐渍土黏聚力和内摩擦角均呈先减小后增加的变化特征，且5种不同粒径条件下的盐渍土黏聚力和内摩擦角所对应的含盐量阈值为1.0%、3.0%。 2) 土体粒径为影响盐渍土抗剪强度指标的另一重要因素，随土体粒径增加，7种不同含盐量的土体黏聚力表现出两种截然不同的变化特征，即当含盐量小于6.0%时，随着土体粒径逐渐增加，土体黏聚力呈线性降低的变化特征；当含盐量大于6.0%时，土体黏聚力随粒径增加表现出增加的变化特征。 3) 5种颗粒级配条件下，7个含盐量梯度的盐渍土内摩擦角表现出2种变化特征，即当含盐量为0.0%~3.0%时，土体内摩擦角随粒径增加呈增加的变化特征，当含盐量为6.0%~12.0%时，内摩擦角随粒径增加呈先增加后减小的变化特征。 4) 随含盐量由0.0%增至12.0%，盐渍土剪应力–应变关系表现出由“非结构性土”向“结构性土”过渡的变化特征。当含盐量低于6.0%时，应力–应变关系以“理想弹–塑性模型”、“弱硬化塑性破坏模型”、“线性强化弹塑性模型”、“强硬化塑性模型”为主；含盐量高于6.0%时，应力–应变关系以“弱软化脆性破坏”和“强硬化塑性破坏”为主。 5) 对于粒径较小(<0.5 mm)的盐渍土，随着含盐量逐渐增加，盐渍土的变形和破坏特征表现为由弹塑性变形破坏过渡至脆性变形破坏的变化规律，其中，当含盐量低于6.0%时，盐渍土变形和破坏属于弹塑性变形和破坏范畴，当含盐量大于6.0%时，盐渍土变形和破坏属于脆性变形和破坏范畴；对于粒径较大盐渍土(>0.5 m)，其破坏特征主要以脆性破坏为主。
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user: 摘要 为解决基层部队对在职士官人才培训需求的测算问题，基于关联度分析方法，找出影响培训需求数量的主要因素，并利用这些影响因素的数据，通过建立数学模型，预测本部门士官人才培训需求数量。
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user: 1. 引言 随着军队院校教育转型的深入，士官教育模式也随之有了较大转变，由原来单一的学历教育模式转变为任职教育和职业技术教育并存的多元化模式。目前的初中级士官教育有直招士官的任职教育和大专士官的职业技术教育两种，中高级士官教育是晋升培训性质的任职教育 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]。在这种逐级晋级培训体系中，在职士官每年究竟需要安排多少人员参加晋级培训，所以需要对潜艇士官人才培训需求进行分析测算，解决基层部队对在职士官人才培训需求的测算问题。 在职士官人才培训需求测算是指通过对培训需求进行分析，找出影响培训需求数量的主要因素，通过构建需求测算模型，预测以后的人才培训需求数量。 影响士官人才培训需求的因素很多，这些因素之间没有确定的数量关系，所以这些因素处在一个灰色系统中。根据灰色系统理论，要对系统中的因素进行分析，可以采用关联度分析方法。作为一个发展变化的系统，关联分析实际上是动态过程发展态势的量化比较分析。所谓发展态势比较，也就是系统各时期有关统计数据的几何关系的比较。几何形状越接近，则发展态势越接近，关联程度也就越大。
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user: 2. 影响因素分析与衡量 下面的定义给出了一种来衡量因素间关联程度大小的计算方法。 定义1 [ 4 ] 选取参考数列 X 0 = { X 0 ( k ) | k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n } = ( X 0 ( 1 ) ， X 0 ( 2 ) ， ⋯ ， X 0 ( n ) ) ，其中k表示时刻。假设有m个比较数列， X i = { X i ( k ) | k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n } = ( X i ( 1 ) ， X i ( 2 ) ， ⋯ ， X i ( n ) ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ， 则称 ξ i ( k ) = min i ′ min k ′ | X 0 ( k ′ ) − X i ′ ( k ′ ) | + ρ max i max k | X 0 ( k ) − X i ( k ) | | X 0 ( k ) − X i ( k ) | + ρ max i max k | X 0 ( k ) − X i ( k ) | (2.1) 为比较数列 X i 对参考数列 X 0 在k时刻的关联系数。其中， k ′ = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， i ′ = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ，分辨系数 ρ ∈ [ 0 ， 1 ] 。 定义2 [ 4 ] 称 r i = 1 n ∑ k = 1 n ξ i ( k ) (2.2) 为数列 X i 对参考数列 X 0 的关联度。 通过(2.1)和(2.2)的计算，就可以计算出哪些因素是主要影响因素。例如，影响部队某潜艇支队士官培训人数的因素有培训意愿数、自然减员人数(包括退休、转业、死亡等要素)、现有岗位的需求量、规模扩大需求量和技术发展的需求量，假设2010~2014年每年士官培训人数和各影响因素数时间序列资料如下，见表1，现对士官培训人数进行因素分析。 Table 1 Number of trainees and influencing factor 指标 2015 2016 2017 2018 2019 士官培训人数 X 0 a 01 a 02 a 03 a 04 a 05 培训意愿数 X 1 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 自然减员人数 X 2 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 现有岗位需求量 X 3 a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 规模扩大需求量 X 4 a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 技术发展需求量 X 5 a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 表1. 培训人数及影响因素表 表中的 a 01 ~ a 55 ，作为指标分量，都是确定的数，是状态函数 X i ( t ) ， i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 在年份t的函数值。例如， a 01 = X 0 ( 2015 ) 表示2015年的士官培训人数，不同部队单位有相应的数值。显然，选取士官培训人数作为参考数列，即 X 0 = ( a 01 ， a 02 ， a 03 ， a 04 ， a 05 ) 有5个比较数列，即 X 1 = ( a 11 ， a 12 ， a 13 ， a 14 ， a 15 ) X 2 = ( a 21 ， a 22 ， a 23 ， a 24 ， a 25 ) X 3 = ( a 31 ， a 32 ， a 33 ， a 34 ， a 35 ) X 4 = ( a 41 ， a 42 ， a 43 ， a 44 ， a 45 ) X 5 = ( a 51 ， a 52 ， a 53 ， a 54 ， a 55 ) 将以上数列代入式子(2.1)和(2.2)，可以求出各数列的关联度 r 1 ~ r 5 ，根据它们的大小就可以判断出影响潜艇士官人才培训需求人数的主要因素。 通过对往年的各因素数据的分析，不仅可以找出影响士官人才培训需求人数的主要因素，还可以通过构建培训需求测算模型，从而预测以后年份的培训需求人数。
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user: 3. 培训需求测算模型构建 3.1. 前提假设 1. 稳定性假设 为了更好的进行模拟，排除政策不确定性的影响，本研究假设潜艇士官培训政策在较长时间内不会有根本性的改变。 2. 政策执行程度假设 假设相关人员都能严格执行培训政策，以保证相关数据的持续性和稳定性。 3. 整体性假设 研究的主要目的是对某年人才培训需求的整体进行测算、预测，是对某单位某年涉及到的所有潜艇岗位专业的整体性测算，不是针对具体到某个专业的培训需求测算。 3.2. 影响因素数据的获取 影响潜艇士官人才培训需求的主要因素有培训意愿数、自然减员人数、现有岗位的需求量、规模扩大需求量和技术发展的需求量。 1. 培训意愿数 X 1 ( t ) 培训意愿数 X 1 ( t ) 可以通过调查统计数据的方法获取。通过随机抽取100名士官，问卷调查获得已参加过培训、确定要参加培训和打算要接受培训的人数，从而计算出各自所占比率，然后根据总人数计算出 X 1 ( t ) 。 2. 自然减员需求数 X 2 ( t ) 自然减员因素包括退休 X 21 ( t ) 、转业 X 22 ( t ) 和死亡 X 23 ( t ) 等要素。对每个要素人员的数量的计算根据本单位历史统计数据得出年平均率，而后进行推算。计算公式如下：例如，退休减员的数量 = 目前在岗人数 * 平均退休率 * 预测期间。最后可得自然减员需求量 X 2 ( t ) = X 21 ( t ) + X 22 ( t ) + X 23 ( t ) 3. 现有岗位的需求量 X 3 ( t ) 岗位的需求量 X 3 ( t ) = ∑ i = 1 n X 3 i 。这里假设共有n个岗位。 X 3 i 为各岗位、各专业的定员人数，计算方法采用劳动效率法计算，即 X 3 i = 总 工 作 量 / 人 均 劳 动 率 = ∑ i = 1 m ( 业 务 i × 平 均 处 理 时 间 ) 人 均 工 作 时 间 × 出 勤 率 × 工 时 利 用 率 4. 规模扩大需求量 X 4 ( t ) 规模扩大需求量 X 4 ( t ) 一般采用一元线性回归模型。一元线性回归方程为： X 4 ( t ) = a + b X ，式中： X 4 ( t ) 为所需人员数；X为相关变量；a、b为模型系数。 5. 技术发展的需求量( X 5 ( t ) ) 影响武器装备技术发展的因素处于一个灰色系统中，这些因素对技术发展的影响导致了对人才培训需求的影响。人才培训对技术发展的需求数量可以采用建立在灰色系统理论基础上的灰色基本预测模型GM (1， 1)进行预测。 灰色系统模型，实际上是通过一定的方法对原始的数据序列进行处理，使之呈现一定的规律性，然后利用微分方程拟合，并由外延进行预测。 3.3. 培训需求测算模型 潜艇士官人才培训需求与上述五个因素之间的关系用对数线性函数表示如下： X ( t ) ：t年潜艇士官人才培训需求。 X 1 ( t ) ：t年人才培训需求意愿数。 X 2 ( t ) ：t年自然减员需求数。 X 3 ( t ) ：t年自然减员需求数。 X 4 ( t ) ：t年规模扩大需求量。 X 5 ( t ) ：t年技术发展的需求量。 ln ( X ( t ) ) = a 1 ln ( X 1 ( t ) ) + a 2 ln ( X 2 ( t ) ) + a 3 ln ( X 3 ( t ) ) + a 4 ln ( X 4 ( t ) ) + a 5 ln ( X 5 ( t ) ) + a 6 (2.3) 其中的 a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 5 ， a 6 是待估算的参数。根据往年的经验数据，代入(2.3)式就可以求出一定拟合度的测算模型。从而可以预测以后年份的培训需求。 在对培训需求分析后，采用关联度分析的方法，利用关联度计算模型判断影响士官人才培训需求数量的主要因素，并利用这些影响因素的数据，通过建立相应的数学模型，预测本部门潜艇士官人才培训需求数量。
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user: 摘要 给定一个有限群G，群G上的简化幂图是以G的所有元素为顶点集合的一个简单图，其中两个不同的顶点x和y相邻当且仅当 〈 x 〉 ⊂ 〈 y 〉 或 〈 y 〉 ⊂ 〈 x 〉 。本文将给出14阶以内的非交换群的简化幂图的结构。此外本文也求了这些群简化幂图的独立数、团数以及彩虹连通数。
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user: 1. 引言 本文所涉及的任一图均为一个简单图，即没有重边和自环的无向图。设 Γ 是一个图， Γ 的顶点集和边集分别用 V ( Γ ) 和 E ( Γ ) 表示。如果 V ( Γ ) 的一个子集U中任意两个顶点在 Γ 中都不能相连，则称U为 Γ 的一个独立集。如果向某个独立集中添加任一个在该独立集之外的顶点之后，新构成的集合不再是 Γ 的独立集，则原独立集称为是图 Γ 的一个极大独立集。具有最大基数的独立集的基数称为图 Γ 的独立数。如果 V ( Γ ) 的一个子集C中任意两个顶点在 Γ 中都相连，则称C为 Γ 的一团。具有最大基数的团的大小称为 Γ 的团数。 群上的凯莱图有非常悠久的研究历史，环上的零因子图是近二十年来的一个研究热门课题。研究群或某个代数系统上的图是近些年来的一个新的研究方向。一方面可以根据图的一些性质决定群或代数系统的结构，另一方面，研究这些图在自动化理论的应用。到目前为止，结合图跟环或群然后研究这些图的论文已经不胜枚举，除了前面提到的凯莱图与零因子图以外，如群的共轭类图和素图等，以及环的单位凯莱图等。 本文所涉及的群均为有限群。设G是一个群且 g ∈ G ，g的阶 o ( g ) 是最小的正整数n使得 g n = e ，其中e是G的单位元。给定一个群G，G上幂图是一个以G为顶点集合的简单图，其中两个元素之间有边的充分必要条件是在G中这两个元素一个可以写成另外一个的幂。在2000年，Kelarev和Quinn [ 1 ] 首次引入了群的有向幂图，在2009年，Chakrabarty、Ghosh和Sen [ 2 ] 首次引入了群的无向幂图，也简称为群的幂图。近十多年来，学者对幂图的研究非常活跃，看综述文章 [ 3 ]。为了减少群幂图中的一些边，Rajkumar和Anitha [ 4 ] 介绍了群G的简化幂图 R P ( G ) ，该图是以G的所有元素为顶点集合的一个简单图，其中两个不同的元素 x ， y 相连接的充分必要条件是 〈 x 〉 ⊂ 〈 y 〉 或 〈 y 〉 ⊂ 〈 x 〉 ， 其中 〈 x 〉 表示由元素x生成的的循环子群。换句话说，群G的简化幂图是从群G的幂图中删除所有满足条件 〈 x 〉 = 〈 y 〉 的边 { x ， y } 。因此 R P ( G ) 是群G的幂图的一个生成子图。在 [ 4 ] 中，这两位学者主要研究了群的简化幂图的图理论性质对群结构的影响。 在图理论中，寻找图的具有最大基数的独立集被称为最大独立集问题。众所周知，计算一个图的独立数问题和计算图的团数问题均是NP-困难的。本文将给出14阶以内的非交换群的简化幂图的结构。此外本文也求了这些群简化幂图的独立数、团数以及彩虹连通数。
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user: 2. 小阶数的非交换群的简化幂图 本节将给出14阶以内的非交换群的简化幂图的结构。从有限群的分类可知，所有14阶以内的非交换群有 S 3 ， D 4 ， Q 8 ， D 5 ， A 4 ， D 6 ， Q 12 ， D 7 ，其中 Q 8 ， A 4 ， Q 12 分别是8阶的四元数群、4次交错群和12阶双循环群。下面是对14阶以内的非交换群的简化幂图的简短描述。 (i) S 3 = { e ， ( 12 ) ， ( 13 ) ， ( 23 ) ， ( 123 ) ， ( 132 ) } ，其中 ( 12 ) 2 = ( 13 ) 2 = ( 23 ) 2 = e ， ( 123 ) 2 = ( 132 ) ， ( 132 ) 2 = ( 123 ) ， ( 123 ) 3 = ( 132 ) 3 = e 。因此 { ( 12 ) ， ( 13 ) ， ( 23 ) } 中每个元素的阶是2，同理(123)和(132)的阶是3。因此可得出 S 3 的简化幂图 R P ( S 3 ) 如图1所示。 图1. R P ( S 3 ) (ii) D 4 = { e ， a ， a 2 ， a 3 ， b ， a b ， a 2 b ， a 3 b } ，其中 o ( a ) = 4 ， o ( b ) = 2 ， b a = a 3 b 。一个简单的计算表明 o ( a 3 ) = 4 ， o ( a 2 ) = o ( a b ) = o ( a 2 b ) = o ( a 3 b ) = 2 。我们可以得出：所有的 { b ， a b ， a 2 b ， a 3 b } 都只与e相邻，因此可得出 D 4 的简化幂图 R P ( D 4 ) 如图2所示。从图2可以求出 D 4 的团数为3，独立数为6。 图2. R P ( D 4 ) (iii) Q 8 = { e ， a ， a 2 ， a 3 ， b ， a b ， a 2 b ， a 3 b } ，式中 o ( a ) = 4 ， a 2 = b 2 ， b a = a 3 b 。很容易验证， b 2 = ( a 3 ) 2 = ( a b ) 2 = ( a 2 b ) 2 = ( a 3 b ) 2 = a 2 ， o ( a 2 ) = 2 。这些结果表明，除了e和 a 2 的阶为2外，每个元素的阶数都是4。 { e ， a ， a 2 ， a 3 } ， { e ， b ， a 2 ， a 2 b } ， { e ， a b ， a 2 ， a 3 b } 都是 Q 8 的循环子群，阶数为4。因此可得出 Q 8 的简化幂图 R P ( Q 8 ) 如图3所示。从图3可以求出 Q 8 的团数为4，独立数为6。 (iv) D 5 = { e ， a ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， b ， a b ， a 2 b ， a 3 b ， a 4 b } ，其中 o ( a ) = 5 ， o ( b ) = 2 ， b a = a 4 b 。简单计算表明， o ( a 2 ) = o ( a 3 ) = o ( a 4 ) = 5 ， o ( a b ) = o ( a 2 b ) = o ( a 3 b ) = o ( a 4 b ) = 2 。我们可以得出：所有 { b ， a b ， a 2 b ， a 3 b ， a 4 b } 只与e相邻，因此可得出 D 5 的简化幂图 R P ( D 5 ) 如图4所示。从图4可以求出 D 5 的团数为2，独立数为9。 (v) A 4 = { e ， ( 123 ) ， ( 132 ) ， ( 124 ) ， ( 142 ) ， ( 134 ) ， ( 143 ) ， ( 234 ) ， ( 243 ) ， ( 12 ) ( 34 ) ， ( 13 ) ( 24 ) ， ( 14 ) ( 23 ) } ，其中 o ( ( 12 ) ( 34 ) ) = o ( ( 13 ) ( 24 ) ) = o ( ( 14 ) ( 23 ) ) = 2 ，且 { e ， ( 123 ) ， ( 132 ) } ， { e ， ( 124 ) ， ( 142 ) } ， { e ， ( 134 ) ， ( 143 ) } ， { e ， ( 234 ) ， ( 243 ) } 都是3阶 A 4 的循环子群。所以可得 A 4 简化幂图 R P ( A 4 ) ，如图5所示。 图3. R P ( Q 8 ) 图4. R P ( D 5 ) 图5. R P ( A 4 ) (vi) D 6 = { e ， a ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 5 ， b ， a b ， a 2 b ， a 3 b ， a 4 b ， a 5 b } ，其中 o ( a ) = 6 ， o ( b ) = 2 ， b a = a 5 b 。简单的计算表明， o ( a 3 ) = o ( a b ) = o ( a 2 b ) = o ( a 3 b ) = o ( a 5 b ) = 2 ， o ( a 2 ) = o ( a 4 ) = 3 ， o ( a 5 ) = 6 ， ( a 5 ) 3 = a 3 。因此所有的 { b ， a b ， a 2 b ， a 3 b ， a 4 b ， a 5 b } 都只与e相邻， a 3 与所有的 { e ， a ， a 5 } 相邻。所以可得 D 6 简化幂图 R P ( D 6 ) ，如图6所示。 (vii) Q 12 = { e ， a ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 5 ， b ， a b ， a 2 b ， a 3 b ， a 4 b ， a 5 b } ，其中 o ( a ) = 6 ， a 3 = b 2 ， b a = a 5 b 。很容易验证 o ( b ) = o ( a b ) = o ( a 2 b ) = o ( a 3 b ) = o ( a 4 b ) = o ( a 5 b ) = 4 ， o ( a 2 ) = 3 ， o ( a 3 ) = 2 ， o ( a 5 ) = 6 ， ( a 5 ) 3 = a 3 。所以可得 Q 12 简化幂图 R P ( Q 12 ) ，如图7所示。 图6. R P ( D 6 ) 图7. R P ( Q 12 ) (viii) D 7 = { e ， a ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 5 ， a 6 ， b ， a b ， a 2 b ， a 3 b ， a 4 b ， a 5 b ， a 6 b } ，其中 o ( a ) = 7 ， o ( b ) = 2 ， b a = a 6 b 。简单计算表明， o ( a 2 ) = o ( a 3 ) = o ( a 4 ) = o ( a 6 ) = 7 ， o ( a b ) = o ( a 2 b ) = o ( a 3 b ) = o ( a 4 b ) = o ( a 5 b ) = o ( a 6 b ) = 2 。所以可得 D 7 简化幂图 R P ( D 7 ) ，如图8所示。 图8. R P ( D 7 )
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user: 3. 小阶数的非交换群的简化幂图的一些参数 在图 Γ 上定义一个边染色 ζ : E ( Γ ) → { 1 ， 2 ， ⋯ ， k } ， k ∈ N ，其中相邻的边可以被染成相同的颜色。如果在该染色 ζ 之下，一条路P上的任两条边的颜色都不同，则P称为一条彩虹路。如果对于图 Γ 的任两个不同的顶点u和v，均存在一条彩虹路连接这两个顶点，则 Γ 称为一个彩虹连通图，并且 ζ 称为 Γ 的一个彩虹k-染色。使得 Γ 彩虹连通的最少的颜色数称为 Γ 的彩虹连通数。 本节根据图数、独立数以及彩虹连通数的定义，得到14阶以内的非交换群对应的简化幂图的这些参数值(见表1)。 Table 1 Reduced power graphs corresponding to non-commutative groups of order 1 幂图 顶点 团数 独立数 彩虹连通数 R P ( S 3 ) { e ， ( 12 ) ， ( 13 ) ， ( 23 ) ， ( 123 ) ， ( 132 ) } 2 5 5 R P ( D 4 ) { e ， a ， a 2 ， a 3 ， b ， a b ， a 2 b ， a 3 b } 3 6 4 R P ( Q 8 ) { e ， a ， a 2 ， a 3 ， b ， a b ， a 2 b ， a 3 b } 3 6 4 R P ( D 5 ) { e ， a ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， b ， a b ， a 2 b ， a 3 b ， a 4 b } 2 9 9 R P ( A 4 ) { e ， ( 123 ) ， ( 132 ) ， ( 124 ) ， ( 142 ) ， ( 134 ) ， ( 143 ) ， ( 234 ) ， ( 243 ) ， ( 12 ) ( 34 ) ， ( 13 ) ( 24 ) ， ( 14 ) ( 23 ) } 2 11 11 R P ( D 6 ) { e ， a ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 5 ， b ， a b ， a 2 b ， a 3 b ， a 4 b ， a 5 b } 3 9 6 R P ( Q 12 ) { e ， a ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 5 ， b ， a b ， a 2 b ， a 3 b ， a 4 b ， a 5 b } 3 8 4 R P ( D 7 ) { e ， a ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 5 ， a 6 ， b ， a b ， a 2 b ， a 3 b ， a 4 b ， a 5 b ， a 6 b } 2 13 13 表1. 14阶以内的非交换群对应的简化幂图
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user: 摘要 本文在运用晶格动力学和Hardy能量通量公式得到单原子层薄膜的晶格振动的频率、原子位移、原子动量、晶格振动能量，非和谐势能和能量通量等公式，在此基础上运用Green函数理论和Green-Kubo公式推导单原子层薄膜的声子谱线宽度公式和热传导系数公式，结果表明单原子层薄膜的热传导系数为所有声子的热传导系数之和，而单个声子的热传导系数与其速度、声子能量、声子寿命或自由程密切相关。
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user: 1. 引言 以石墨烯为代表的单原子层薄膜，由于独特的结构和各种优异的性质，在诸多领域中具有广阔的应用前景，已成为研究热点 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]。随着制造工艺与技术的进步，微米纳米电子器件的集成度进一步提高，从而导致其热效应愈加严重，散热问题更加突出。单原子层薄膜是新型纳米电子器件中的重要材料，由于它们的性质与大块材料截然不同，因此我们必须对它们的热传导性质进行深入研究，这对于纳米电子器件的散热设计有着非常重要的意义。 国内外已经有许多关于单原子层薄膜热学性质理论研究的报导，其中分子动力学模拟是一种常用方法。分子动力学模拟 [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] 建立在牛顿力学的基础上，通过对多原子的运动方程进行求解来计算热性质。例如李保文等人 [ 5 ] 用分子动力学模拟方法研究了石墨烯的热传导率，发现石墨烯的热导率随着其尺寸长度的增加而增加。但分子动力学存在一些局限性，如，由于纳米电子器件的材料尺寸很小，再加上低温等因素，肯定会存在量子效应，而由于分子动力学一般不考虑量子效应，必然会带来较大的计算误差；分子动力学模拟的计算量非常大，计算时间长，对计算机要求高；分子动力学只能得到数值计算结果，难以根本上从数值计算结果中分析物理机制。 本文将推导单原子层薄膜的热传导系数公式。首先求解晶格动力学问题，得到晶格振动频率、原子位移、原子动量、晶格振动能量、群速度和非和谐势能公式；然后将非和谐势能作为微扰，利用Green函数理论，推导声子线宽公式；最后根据Hardy能量通量公式推导单原子层薄膜的能量通量公式，再结合Green-Kubo公式得到其热传导系数公式，为对单原子层薄膜的热传导性质进行数值计算做准备。
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user: 2. 单原子层薄膜的晶格动力学理论 设单原子层薄膜具有正方结构，晶格常数为a。在x和y方向都有N个质量为m的原子，并采用玻恩–卡曼循环边界条件。为了方便计算，原子间的相互作用采用M-P模型 [ 6 ]，即只考虑最近邻原子间的相互作用，并且原子间径向力常数与切向力常数相同，表示为k。设原子在薄膜中所处的位置为 l a ，其中， l = ( l x ， l y ) 。在和谐近似下，求解晶格动力学问题，可得以下声子频率、晶格振动能量、原子位移和动量公式。 ω k 2 = 2 k m ( 2 − cos k x a − cos k y a ) (1) H = ∑ k σ ( a k σ + a k σ + 1 2 ) ℏ ω k (2) u σ ( l ) = 1 N ∑ k σ ℏ 2 m ω k A k σ e i a k → ⋅ l → (3) p σ ( l ) = − i N ∑ k σ ℏ m ω k 2 B k σ e i a k → ⋅ l → (4) 其中， k 为波矢， σ 为晶格振动的偏振方向即声子的偏振方向， ω k 为晶格振动频率，其中 a k σ + 、 a k σ 表示声子的产生与湮灭算符， a k σ + a k σ 是声子数算符，用 n k σ 表示， A k σ = a k σ + a − k σ + ， B k σ = a k σ − a − k σ + 。根据晶格动力学计算可知，在M-P模型中，单原子薄膜有三个声学支，对应晶格振动的三个不同的偏振方向， σ 可为x、y和z，但不论声子偏振方向为何，晶格振动频率即声子频率只取决于波矢 k 而与声子偏振方向无关，因此根据玻色统计可知，声子布居数 n ¯ k σ 也只与波矢有关而与偏振方向无关，可记为 n ¯ k 。 热传导性质与原子间的非和谐势能有关，通常只需计算三阶非和谐势能，在M-P模型下，三阶非和谐势能为 H ′ σ = δ 6 ∑ l x ， l y { [ u σ ( l x ， l y ) − u σ ( l x − 1 ， l y ) ] 3 + [ u σ ( l x ， l y + 1 ) − u σ ( l x ， l y ) ] 3 } (5) 其中， δ 为三阶力常数。将晶格原子位移公式代入(5)式中，可得 H ′ σ = ∑ k k ′ k ″     V ( k ， k ′ ， k ″ ) A σ ( k ) A σ ( k ′ ) A σ ( k ″ ) (6) 其中，当对于所有的 σ = x ， y ， z ，都有 ( k + k ′ + k ″ ) σ a 为2π的整数倍时， Δ ( k + k ′ + k ″ ) 为1，其它时候为0。 V ( k ， k ′ ， k ″ ) = 2 δ 2 ℏ 3 9 N 2 m 3 Δ ( k + k ′ + k ″ ) ω ( k ) ω ( k ′ ) ω ( k ″ ) | ∑ η = x ， y sin k η a 2 sin k ′ η a 2 sin k ″ η a 2 e − i ( k η + k ′ η + k ″ η ) a / 2 | 2 (7)
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user: 3. 声子Green函数 在考虑三阶非和谐势能的情况下声子Green函数 [ 7 ] G k σ ， k ′ σ ′ A A ( ω ) = ω k δ k ， − k ′ δ σ ， σ ′ π [ ω 2 − ω k 2 − 2 ω k M k σ ( ω ) ] (8) 其中 M k σ ( ω ) = 18 π ℏ 2 ∑ k 1 k 2 q 1 q 2 V 3 ( k 1 ， k 2 ， k ) V 3 ( q 1 ， q 2 ， − k ) 〈 A k 1 σ ( t ) A k 2 σ ( t ) ， A q 1 σ ( t ′ ) A q 2 σ ( t ′ ) ω 〉 (9) 根据解耦公式 [ 8 ]，并考虑到声子存在线宽的情况下有以下相关函数 〈 a k σ + ( t ) a k ′ σ ′ ( 0 ) 〉 = δ k k ′ δ σ σ ′ n k e i ω k t − Γ k σ | t | (10) 〈 a k σ ( t ) a k ′ σ ′ + ( 0 ) 〉 = δ k k ′ δ σ σ ′ ( n k + 1 ) e i ω k t − Γ k σ | t | (11) 可得 M k σ ( ω ) = 36 ℏ 2 ∑ k 1 k 2 ∑ ± [ ( n ¯ k 2 + 1 2 ) ± ( n ¯ k 1 + 1 2 ) ] | V ( k 1 ; k 2 ; − k ) | 2 ( ω k 1 ± ω k 2 ) [ ω + i ( Γ k 1 σ + Γ k 2 σ ) ] 2 − ( ω k 1 ± ω k 2 ) 2 (12) 可以将 M k σ ( ω ) 分解为实部和虚部之和，即 M k σ ( ω ) = Δ k σ − i Γ k σ 。声子Green函数极点的实部表示声子频谱，极点的虚部则表示声子谱线宽度 [ 7 ] Γ k σ = 72 ℏ 2 ∑ k 1 k 2 ∑ ± [ ( n ¯ k 2 + 1 2 ) ± ( n ¯ k 1 + 1 2 ) ] ω ( ω k 1 ± ω k 2 ) ( Γ k 1 σ + Γ k 2 σ ) | V ( k 1 ; k 2 ; − k ) | 2 [ ω 2 − ( ω k 1 ± ω k 2 ) ] 2 + [ 2 ω ( Γ k 1 σ + Γ k 2 σ ) ] 2 (13) 上式是声子谱线宽度的迭代计算公式，设置声子谱线宽度的迭代初值后，经过有限次迭代计算，就可以得到声子谱线宽度的准确计算结果。由于在M-P模型中声子频率、布居数及 | V ( k 1 ; k 2 ; − k ) | 等与偏振方向无关，所以上式迭代计算的结果 Γ k σ 即声子线宽也与偏振方向无关，而只与其波矢有关，因此可将(10)式、(11)式及上式中的 Γ k σ 、 Γ k 1 σ 和 Γ k 2 σ 分别记为 Γ k 、 Γ k 1 和 Γ k 2 。 若将(13)式中的 Γ k 1 + Γ k 2 取为0 + ，(13)式就可变为Maradudin的声子线宽公式 [ 6 ]，Maradudin在进行数值计算时，用一个常数取代0 + ，如果常数选择太小，声子之间不会进行足够的碰撞，如果选择较大，则可能让一些本来无法碰撞的声子发生碰撞，从而产生误差。Turney [ 9 ] 等人建议选择 Γ k + Γ k 1 + Γ k 2 替代Maradudin声子线宽公式中的0 + ，相当于在(13)式中用 Γ k + Γ k 1 + Γ k 2 代替 Γ k 1 + Γ k 2 ，肯定会带来热传导系数计算结果的误差。(13)式是我们经过严密的推导得到的，很明显比Maradudin和Turney等人的公式更为合理。
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user: 4. 单原子层薄膜的能量通量公式 可用Green-Kubo公式 [ 10 ] 计算 方向的热传导系数 κ x κ x = k B β 2 V ∫ − ∞ ∞ d t 〈 S x ( t ′ ) S x ( t ) 〉 (14) 其中， S x ( t ) 为x方向的能量通量。 在固体物理中广泛运用Hardy能量通量公式 [ 11 ] 计算能量通量 S = 1 2 i ℏ m ∑ i ， j [ R ( i ) − R ( j ) ] ∑ σ { p σ ( i ) [ p σ ( i ) ， V j ] + [ p σ ( i ) ， V j ] p σ ( i ) } (15) 其中， V j 表示与原子 j = ( l x ， l y ) 有关的相互作用势能，原子i的平衡位置和动量分别用 R ( i ) 和 p ( i ) 表示，动量在 σ 方向分量的算符定义为 p σ ( i ) = − i ℏ ∂ / ∂ u σ ( i ) 。 现根据Hardy公式求解x方向的能量通量 S x 。由于 S x 只与 [ R ( i ) − R ( j ) ] 在x方向分量有关，所以在计算 S x 时，原子i只能是j水平方向上的相邻原子 i 1 = ( l x − 1 ， l y ) ， i 2 = ( l x + 1 ， l y ) 。由(15)式，得 S x = a 2 m ∑ σ { ∑ j i 1 [ p σ ( i 1 ) ∂ V j ∂ u σ ( i 1 ) + ∂ V j ∂ u σ ( i 1 ) p σ ( i 1 ) ] − ∑ j i 2 [ p σ ( i 2 ) ∂ V j ∂ u σ ( i 2 ) + ∂ V j ∂ u σ ( i 2 ) p σ ( i 2 ) ] } (16) 其中 V j σ = 1 2 ∑ σ 1 2 k { [ u σ ( i 1 ) − u σ ( j ) ] 2 + [ u σ ( i 2 ) − u σ ( j ) ] 2 } (17) 其中，第一个1/2是因为对j求和计算总的系统势能时，对所有原子间相互作用势能重复计算了一次。将(17)式代入(16)式中，并利用(3)式和声子产生和消灭算符的性质，得 S x = ∑ k σ n k σ ℏ ω k v k x (18) 其中， v k x = ∂ ω k / ∂ k x ，为声子在x方向上的群速度。将(1)式两边对 k x 求导，根据群速度的定义，可得 v k x = k a m ω k sin k x a (19) 可知，在M-P模型中声子群速只取决于其波矢，而与其偏振无关。 由(18)可知，晶格振动的能量通量等于不同模态的所有声子能量通量之和，某种模态的声子能量通量等于该模态的声子数、单个声子的能量和声子群速度的乘积。
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user: 5. 单原子层薄膜的热传导系数公式 将(18)式代入(14)式，得到 κ x = k B ℏ 2 β 2 V ∑ k σ k ′ σ ′ ω k ω k ′ v k x v k ′ x ∫ − ∞ ∞ d t 〈 n k σ ( t ) n k ′ σ ′ ( t ′ ) 〉 (20) 根据解耦公式 [ 8 ]，以及声子算符性质，(20)式可以变为 ∫ − ∞ ∞ d t 〈 n k σ ( t ) n k ′ σ ′ ( t ′ ) 〉 = ∫ − ∞ ∞ d t 〈 a k σ + ( t ) a k ′ σ ′ ( 0 ) 〉 〈 a k σ ( t ) a k ′ σ ′ + ( 0 ) 〉 (21) 再将(10)式和(11)式代入上式，计算可得到热传导系数公式 κ x = k B ℏ 2 β 2 V ∑ k σ ω k 2 ( v k x ) 2 n ¯ k σ ( n ¯ k σ + 1 ) Γ k (22) 其中， 1 / Γ k 为声子寿命 τ k ， v k x / Γ k 为声子自由程 L k x ， n ¯ k σ 为声子布居数。考虑到在M-P模型中，声子频率只与波矢有关而与偏振方向无关，因此上式中声子布居数 n ¯ k σ 也只与波矢有关而与偏振方向无关，可表示为 n ¯ k ，加之考虑到前面得到的声子群速和线宽也与偏振方向无关的结论，所以，上式中各求和项只与波矢有关而与偏振方向无关，可以取消对不同的偏振方向x、y和z的求和，而将对波矢 k 的求和结果直接乘以3倍，最终结果也可表示为 κ x = 3 k B β 2 V ∑ k     ℏ 2 ω k 2 L k x v k x n ¯ k ( n ¯ k + 1 ) (23) 由上式可知，声子对热传导系数的贡献取决于群速度、声子自由程、声子数和单个声子能量，其中，声子自由程与声子谱线宽度和声子寿命密切相关。
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user: 6. 结论 本文运用Hardy能量通量公式，并根据单原子层薄膜的晶格振动频率、群速度、原子位移公式和动量公式推导了单原子层薄膜的晶格振动能量通量公式，在此基础上运用Green函数理论推导了声子线宽公式，该公式相对于Maradudin和Turney等人的公式更为合理，最后用Green-Kubo公式推导了单原子层薄膜的热传导系数公式，为后续的数值计算打下了基础。由于后续的数值计算完全建立在我们已经得到的解析公式基础上，因此对计算的条件要求比较低，计算速度比较快，可以对原子或分子数较大的体系进行模拟计算，同时也适用于存在量子效应的场合，得到的结果误差较小。更重要的是借助于通过晶格动力学推导得到的有关热传导系数的公式，我们可以对各个声子对热传导系数的贡献进行分析，从而更加深入地探究单原子层薄膜中热传导性质的物理机制。
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user: 摘要 本文在先前得到公式的基础上，对单原子层薄膜晶格的声子线宽、声子自由程和声子对热传导系数贡献与其波矢的关系进行了计算，并计算了薄膜热膨胀系数随尺寸的变化规律。计算结果表明，短波矢声子即低频声子具有较长的自由程，对热传导系数的贡献较大。当薄膜尺寸增加时，声子自由程分布越往低波矢区域集中，并且低波矢区域的声子自由程越大，短波矢声子即低频声子对薄膜热传导系数的贡献越大。薄膜尺寸越大，热传导系数越大，并且当尺度N超过40个晶格常数时，其热传导系数与尺寸的对数logN之间存在线性关系，当尺寸趋于无穷时，热传导系数趋于发散，因此大尺寸单原子层薄膜有卓越的散热性能。
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user: 1. 引言 学术界已经有许多用分子动力学方法模拟热传导性质的报导 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]，该方法建立在牛顿力学的基础上，通过对多原子的运动方程进行求解来计算热传导性质。但在参考文献 [ 5 ] 中，我们已经分析过分子动力学存在一些局限性，并通过晶格动力学和和Green函数等理论，推导得到了以下的单原子层薄膜的声子频率、群速度、声子线宽和热传导系数公式 ω k 2 = 2 k m ( 2 − cos k x a − cos k y a ) (1) v k x = k a m ω k sin k x a (2) Γ k = 72 ℏ 2 ∑ k 1 k 2 ∑ ± [ ( n ¯ k 2 + 1 2 ) ± ( n ¯ k 1 + 1 2 ) ] ω ( ω k 1 ± ω k 2 ) ( Γ k 1 + Γ k 2 ) | V ( k 1 ; k 2 ; − k ) | 2 [ ω 2 − ( ω k 1 ± ω k 2 ) ] 2 + [ 2 ω ( Γ k 1 + Γ k 2 ) ] 2 (3) κ x = 3 k B β 2 V ∑ k ℏ 2 ω k 2 L k x v k x n ¯ k ( n ¯ k + 1 ) (4) 本文将用以上公式，对声子频率 ω k 、群速度 v k x 、线宽 Γ k 、自由程 L k x 以及单原子层薄膜沿x方向的热传导系数 κ x 进行计算，探究其热传导的性质及其规律。由于符合M-P模型的材料实际并不存在，它的意义在于结构简单，在这个模型上可以较为方便地研究材料的一些性质，因此这里综合、借鉴了其它一些材料的参数，准备用以下参数进行模拟：a为0.5432 nm，原子质量m为6.63 × 10 −26 kg，线性力常数k为0.1206 N/m，非线性常数 δ 为1.767 × 10 10 N/m。
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user: 2. 声子色散关系与群速度 波矢在单原子层薄膜平面内的 σ 方向波矢分量为 k σ a = 2 π n σ / N ，其中 σ 为x、y， n σ 为 − N / 2 ， − N / 2 + 1 ，   ⋯ ，   − 1 ，   0 ，   1 ，   2 ，   N / 2 − 1 。根据(1)式分别计算尺寸为 N = 40 和80的单原子层薄膜的各个不同波矢的声子频率，并在频率–波矢坐标系中，由这些离散的点连接而成频率–波矢关系曲面，如图1所示。由该图可知，在低频段即短波矢区域，声子频率与波矢 k 大小成正比。由声子频率公式可计算其比例系数为 a k / m ，该比例系数即为低频声子的传播速度。由该图及(1)式还可知，当单原子层薄膜尺寸不同时，由于声子的色散关系并没有发生变化，因此声子频率与波矢关系曲面形状相同，只是曲面上的格点疏密不同。 根据(2)式分别计算尺寸为 N = 40 和80的单原子薄膜的各个不同波矢的声子在x方向的群速度 v k x ，并在群速–波矢坐标系中，将这些离散的点连接而构成群速–波矢关系曲面，如图2所示。由图可知，群速为正或负，分别对应于沿x方向的正向或反向传播，低频声子即短波矢声子的群速度较大。当单原子层薄膜尺寸不同时，由于由(2)式所决定的群速与波矢的关系并没有发生变化，因此声子群速与波矢关系曲面形状相同，只是曲面上的格点疏密不同。 图1. 声子频率与波矢关系 图2. 声子群速度与波矢关系