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user: 3. 地方病平衡点P * 的稳定性 方程(1)中的一个平衡点总满足 { 0 = Λ − α 0 S − λ S 0 = λ S − ( α 1 + δ 1 ) I 1 0 = δ i − 1 I i − 1 − ( α i + δ i ) I i ， i = 2 ， ⋯ ， n (4) 其中 λ 在(2)中以给出。 无病平衡点 P 0 中的参数值都为正的，接下来我们考虑地方病平衡点的存在。 P * = ( S * ， I 1 * ， ⋯ ， I n * ) ， S * > 0 ， I i * > 0 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n A = ( − α 1 − δ 1 δ 1 − α 2 − δ 2 δ 2 − α 3 − δ 3 ⋱ ⋱ δ n − 1 − α n − δ n ) (5) 矩阵A成立有以下结论： 1) − A 是一个M矩阵 2) − A − 1 存在且是一个非负矩阵 3) 若存在 α > 0 ，有 − A − 1 x ≥ α x ⇒ x ≥ 0 因此可令 β = − ( λ 1 ， λ 2 ， ⋯ ， λ n ) A − 1 ( 1 0 ⋮ 0 ) > 0 (6) 令(1)的基本再生数 R 0 = β Λ α 0 f ( Λ α 0 ) (7) 若 R 0 ≤ 1 ，疾病将会消失。若 R 0 > 1 时，疾病将继续存在于可行域中并且会有一个唯一的地方病平衡点，像这种临界值参数的期望是基本再生数。传染病的平均数且是由无病平衡点在人口方面的单一感染造成的( [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] )。因此将(7)中R 0 定义为基本再生数。R 0 的引出是利用李雅普诺夫函数建立在无病平衡点P 0 的稳定分析(见 [ 5 ] )。其它引出R 0 的方法中，其中有二代模型矩阵在 [ 3 ] 中的方法，在 [ 6 ] 中被引进。这个引出建立在P 0 的线性稳定分析下(见 [ 4 ] )。接下来，给出下一代模型矩阵的方法，与 [ 6 ] 中表示一样，是为了引出与(7)中的相同的基本再生数R 0 。 令 y = ( I 1 ， I 2 ， ⋯ ， I n ， S ) T 因此模型(1)可以写为 y ′ = F ( y ) + V ( y ) ， 其中 F ( y ) = ( λ S 0 ⋮ 0 0 ) ， V ( y ) = ( − ( α 1 + δ 1 ) I 1 δ 1 I 1 − ( α 2 + δ 2 ) I 2 ⋮ δ n − 1 I n − 1 − ( α n + δ n ) I n Λ − α 0 S − λ 0 ) 。 新的无病平衡点 P ˜ 0 = ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ， Λ α 0 ) ， ∂ F ∂ y ( P ˜ 0 ) = ( F n × n 0 0 0 ) ， 其中 F n × n = ( − λ 1 − λ 2 ⋯ − λ n 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … 0 ) g ( Λ α 0 ) ，且 g ( N ) = N f ( N ) 。 此外 ∂ V ∂ y ( P ˜ 0 ) = ( V n × n 0 0 ⋮ − λ 1 g ( Λ α 0 ) ⋯ − λ n g ( Λ α 0 ) − α n ) ， 这里的 V n × n 为矩阵(5)中的A， 有 F V − 1 = ( c 1 c 2 ⋯ c n 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ) g ( Λ α 0 ) 。 在文献 [ 6 ] 中基本再生数为 F V − 1 的谱半径 ρ ( F V − 1 ) ，易得 ρ ( F V − 1 ) = c 1 g ( Λ α 0 ) = β Λ α 0 f ( Λ α 0 ) 与公式(7)给出 R 0 相同。 − A − 1 = ( c 11 0 0 0 c 21 c 22 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ 0 c n 1 c n 2 ⋯ c n n ) (8) 其中 c i j 有以下表示 c i i = 1 α i + δ i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。 c k j = δ k − 1 α k + δ k c ( k − i ) i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ; k = 2 ， ⋯ ， n ; k ≠ i ，所以有 R 0 = ( λ 1 α 1 + δ 1 + λ 2 α 1 + δ 1 δ 1 α 2 + δ 2 + λ n α 1 + δ 1 δ 1 α 2 + δ n ⋯ δ n − 1 α 2 + δ n ) Λ α 0 f ( Λ α 0 ) (9) 定理 假设 f ( N ) ≡ 1 且 R 0 > 1 。则地方病平衡点是渐进稳定的。 证明 对于 P * = ( S * ， I 1 * ， ⋯ ， I n * ) ，重写平衡方程为 { Λ = α 0 S * + ( ∑ i = 1 n λ i I i * ) S * ∑ i = 1 n λ i I i * S * = ( α 1 + δ 1 ) I 1 * δ i − 1 I i − 1 * = ( α i + δ i ) I i * ， i = 2 ， ⋯ ， n (10) 有： S * = ( α 1 + δ 1 ) I 1 * ∑ i = 1 n λ i I i * (11) I i * = δ i − 1 I i − 1 * α i + δ i ， i = 2 ， 3 ， ⋯ ， n (12) 其中 x * = P * = ( S * ， I 1 * ， ⋯ ， I n * ) 并且 b i > 0 且 b i = b i + 1 δ i + λ i S * α i + δ i ， i = 2 ， 3 ， ⋯ ， n − 1 ， b n = λ n s * α n + δ n (13) W ( x ) ≥ 0 ， ∀ x ∈ P 在P的内部且 W ( x ) = 0 ，有 x = x * 。 函数W关于 x * = P * 是正定的，归纳(13)有 b i = ∑ k = 1 n λ k I k * S * ( α i + δ i ) I i * ， i = 2 ， 3 ， ⋯ ， n (14) 注意到 d W d t = ( 1 − S * S ) S ′ + ( 1 − I 1 * I 1 ) I ′ 1 + ∑ i = 2 n b i ( 1 − I i * I i ) I 1 * (15) 由(1)可得 ( 1 − S * S ) S ′ = Λ − α 0 S − ∑ i = 1 n λ i I i S − Λ S * S + α 0 S * + ∑ i = 1 n λ i I i S * = 2 α 0 S * + ∑ i = 1 n λ i I i * S * − α 0 S − ∑ i = 1 n λ i I i S − α 0 S * 2 S − ∑ i = 1 n λ i I i * S * 2 S + ∑ i = 1 n λ i I i S * = ( 2 α 0 S * − α 0 S − α 0 S * 2 S ) − ∑ i = 1 n λ i I i S + ∑ i = 1 n λ i I i S * + ∑ i = 1 n λ i I i * S * − ∑ i = 1 n λ i I i * S * 2 S ≤ − ∑ i = 1 n λ i I i S + ∑ i = 1 n λ i I i S * + ∑ i = 1 n λ i I i * S * − ∑ i = 1 n λ i I i * S * 2 S (16) 因为 ( 2 α 0 S * − α 0 S − α 0 S * 2 S ) = α 0 S * ( 2 − S S * − S * S ) ≤ 0 。 我们将(18)中的 Λ 代人到上述推导的第二步中，利用(1)，可得到 ( 1 − I 1 * I 1 ) I ′ 1 = ∑ i = 1 n λ i I i S − ( α 1 + δ 1 ) I 1 − ∑ i = 1 n λ i I i S I 1 * I 1 + ( α 1 + δ 1 ) I 1 * = ∑ i = 1 n λ i I i S − ( α 1 + δ 1 ) I 1 − ∑ i = 1 n λ i I i S I 1 * I 1 + ∑ i = 1 n λ i I i * S * (17) 其中 i = 2 ， 3 ， ⋯ ， n 。由(1)有 b i ( 1 − I 1 * I 1 ) I ′ 1 = b i δ i − 1 I i − 1 − b i ( α i + δ i ) I i − b i δ i − 1 I i − 1 I i * I i + b i ( α i + δ i ) I 1 * (18) ∑ i = 1 n λ i I i S * − ( α 1 + δ 1 ) I 1 + ∑ i = 1 n ( b i δ i − 1 I i − 1 − b i ( α i + δ i ) I i ) = λ 1 I 1 S * − ( α 1 + δ 1 ) I 1 + ∑ i = 2 n ( λ i I i S * + b i δ i − 1 I i − 1 − b i ( α i + δ i ) I i ) = ( λ 1 S * − ( α 1 + δ 1 ) + b 2 δ 1 ) I 1 + ∑ i = 2 n - 1 ( λ i S * + b i + 1 δ i − b i ( α i + δ i ) ) I i + ( λ n S * − b n ( α n + δ n ) ) I n = 0 (19) 用(13)中 δ i 的归纳直接验证上述式子为0。 λ 1 S * − ( α 1 + δ 1 ) + b 2 δ 1 = λ 1 S * + ∑ i = 2 n λ k I k * S * ( α 2 + δ 2 ) I 2 * δ 1 − ( α 1 + δ 1 ) = λ 1 S * + ∑ k = 2 n λ k I k * S * δ 1 δ 1 I 1 * − ( α 1 + δ 1 ) = λ 1 S * + ∑ k = 2 n λ k I k * S * 1 I 1 * − ( α 1 + δ 1 ) = 1 I 1 * [ ∑ k = 1 n λ k I k * S * − ( α 1 + δ 1 ) I 1 * ] = 0 联立(16)~(19)。可简化(15)为 d W d x ≤ ( − ∑ i = 1 n λ i I i * S * S − ∑ i = 1 n λ i I i S I 1 * I 1 − ∑ i = 2 n b i δ i − 1 I i − 1 I i * I i ) + ( ∑ i = 2 n b i ( α i + δ i ) I i * + 2 ∑ i = 1 n λ i I i * S * ) = A + B (20) 由(12)，(14)，有 ∑ i = 2 n b i δ i − 1 I i − 1 I i * I i = ∑ i = 2 n ∑ k = 2 n λ k I k * S * ( α i + δ i ) I i * δ i − 1 I i − 1 I i * I i = ∑ i = 2 n ∑ k = i n λ k I k * S * δ i − 1 I i − 1 ( α i + δ i ) I i = ∑ i = 2 n ∑ k = i n λ k I k * * I i * I i − 1 I i − 1 * I i = ∑ i = 2 n λ i I i * S * ∑ k = 2 i I k * I k − 1 I k I k − 1 * (21) 因此，由(20)，(21)有： d W d t ≤ ∑ i = 2 n [ ( i + 1 ) λ i I i * s * − λ i I i * S * S − λ i I i S I 1 * I 1 − λ i I i * S * ∑ k = 2 i I k * I k − 1 I k I k − 1 * ] = ∑ i = 2 n λ i I i * S * [ ( i + 1 ) − S * S − S I i I 1 * S * I i * I 1 − ∑ k = 2 i I k * I k − 1 I k I k − 1 * ] (22) 对于 ∀ i ，有： − S * S − S I i I 1 * S * I i * I 1 − ∑ k = 2 i I k * I k − 1 I k I k − 1 * ≤ − ( i + 1 ) (23) 因此，对于 I n t Γ 的任意点 ( S ( t ) ， I 1 ( t ) ， I 2 ( t ) ， ⋯ ， I n ( t ) ) ，由(23)可得 d W d t ≤ 0 ，当 d W d t = 0 时，有且只有地方病平衡点 P * 。