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user: 1. 引言 脉冲效应指在一定时间内状态突然发生改变，脉冲微分方程广泛应用于种群生物学，医学，工程，化学等领域 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] 。耦合积分-微分方程也广泛应用于生物和环境科学的许多领域。该文中，我们研究一类具有脉冲的非线性耦合积分-微分方程周期解和渐近周期解的存在性。 在文献 [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] 中，作者研究了Volterra积分–微分方程线性系统渐近周期解的存在性。在文献 [ 10 ] 中，作者考虑了无脉冲时周期解和渐近周期解的存在性，该文改进了文献 [ 10 ] 中的一些条件，进而得到周期解和渐近周期解的存在性结果。 该文考虑下面的耦合Volterra脉冲微分方程 { x ′ ( t ) = h 1 ( t ) x ( t ) + h 2 ( t ) y ( t ) + ∫ − ∞ t a ( t ， s ) f ( x ( s ) ， y ( s ) ) ， t ≠ t k y ′ ( t ) = p 1 ( t ) y ( t ) + p 2 ( t ) x ( t ) + ∫ − ∞ t b ( t ， s ) g ( x ( s ) ， y ( s ) ) ， t ≠ t k x ( t k + ) = x ( t k ) + I k ( x ( t k ) ) ， t = t k y ( t k + ) = y ( t k ) + J k ( y ( t k ) ) ， t = t k (1.1) 其中a，b，f，g， h i ， p i ， i = 1 ， 2 ， I k ， J k ， k ∈ N + 是连续函数。 假设存在一个正常数 T > 0 ，使得对 ∀ t ， s ∈ R 有 a ( t + T ， s + T ) = a ( t ， s ) ，   b ( t + T ， s + T ) = b ( t ， s ) ， p i ( t + T ) = p i ( t ) ，   h i ( t + T ) = h i ( t ) ，   i = 1 ， 2 (1.2) 且存在常数 q > 0 ，使得 t k + q = t k + T ，   I k + q ( ⋅ ) = I k ( ⋅ ) ，   J k + q ( ⋅ ) = J k ( ⋅ ) ，   k ∈ N + (1.3) 此外，假设 ∫ 0 T h 1 ( s ) d s ≠ 0 ，   ∫ 0 T p 1 ( s ) d s ≠ 0 (1.4) 定义 P T = { ( φ ， ψ ) ( t + T ) = ( φ ， ψ ) ( t ) } ，其中 φ ， ψ 是实值连续函数。定义范数 ‖ ( x ， y ) ‖ = max { max t ∈ [ 0 ， T ] | x ( t ) | ， max t ∈ [ 0 ， T ] | y ( t ) | } 那么， P T 是Banach空间。 引理1.1 假设(1.2)~(1.4)成立，如果 ( x ， y ) ∈ P T ，那么 x ( t ) 和 y ( t ) 是(1.1)的一个周期解当且仅当 x ( t ) = { x ∗ ( t ) ，                   t ∈ [ 0 ， T ] x ∗ ( t − n T ) ，       t ∈ [ n T ， ( n + 1 ) T ] y ( t ) = { y ∗ ( t ) ，                     t ∈ [ 0 ， T ] y ∗ ( t − n T ) ，       t ∈ [ n T ， ( n + 1 ) T ] 其中 x * ( t ) = ∫ 0 T G 1 ( t ， s ) ( h 2 ( s ) y ( s ) + ∫ − ∞ s a ( s ， u ) f ( x ( u ) ， y ( u ) ) d u ) d s + ∑ 0 < t k < T G 1 ( t ， t k ) I k ( x ( t k ) ) G 1 ( t ， s ) = 1 1 − e ∫ 0 T h 1 ( s ) d s { e ∫ s t h 1 ( u ) d u ，         0 ≤ s < t ≤ T e ∫ s t + T h 1 ( u ) d u ，     0 ≤ t ≤ s ≤ T y * ( t ) = ∫ 0 T G 2 ( t ， s ) ( p 2 ( s ) x ( s ) + ∫ − ∞ s b ( s ， u ) g ( x ( u ) ， y ( u ) ) d u ) d s + ∑ 0 < t k < T G 2 ( t ， t k ) J k ( y ( t k ) ) G 2 ( t ， s ) = 1 1 − e ∫ 0 T p 1 ( s ) d s { e ∫ s t p 1 ( u ) d u ，         0 ≤ s < t ≤ T e ∫ s t + T p 1 ( u ) d u ，     0 ≤ t ≤ s ≤ T 证明：设 ( x ， y ) ∈ P T 是(1.1)的解，对(1.1)的第一个方程从 [ 0 ， t ] 积分得 x ( t ) e − ∫ 0 t h 1 ( s ) d s − x ( 0 ) = ∫ 0 t e − ∫ 0 s h 1 ( u ) d u ( h 2 ( s ) y ( s ) + ∫ − ∞ s a ( s ， u ) f ( x ( u ) ， y ( u ) ) d u ) d s     + ∑ 0 < t k < t e − ∫ 0 t k h 1 ( s ) d s I k ( x ( t k ) ) 由 x ( 0 ) = x ( T ) 得 x * ( t ) = x ( 0 ) e ∫ 0 t h 1 ( u ) d u + ∫ 0 t e ∫ 0 t h 1 ( u ) d u ( h 2 ( s ) y ( s ) + ∫ − ∞ s a ( s ， u ) f ( x ( u ) ， y ( u ) ) d u ) d s + ∑ 0 < t k < T e ∫ t k t h 1 ( s ) d s I k ( x ( t k ) ) = 1 1 − e ∫ 0 T h 1 ( s ) d s ∫ 0 t e ∫ s t h 1 ( u ) d u ( h 2 ( s ) y ( s ) + ∫ − ∞ s a ( s ， u ) f ( x ( u ) ， y ( u ) ) d u ) d s     + e ∫ 0 T h 1 ( s ) d s 1 − e ∫ 0 T h 1 ( s ) d s ∫ t T e ∫ s t h 1 ( u ) d u ( h 2 ( s ) y ( s ) + ∫ − ∞ s a ( s ， u ) f ( x ( u ) ， y ( u ) ) d u ) d s     + 1 1 − e ∫ 0 T h 1 ( s ) d s ∑ 0 < t k < t e ∫ t k t h 1 ( s ) d s I k ( x ( t k ) ) + e ∫ 0 T h 1 ( s ) d s 1 − e ∫ 0 T h 1 ( s ) d s ∑ t < t k < T e ∫ t k t h 1 ( s ) d s I k ( x ( t k ) ) = ∫ 0 T G 1 ( t ， s ) ( h 2 ( s ) y ( s ) + ∫ − ∞ s a ( s ， u ) f ( x ( u ) ， y ( u ) ) d u ) d s + ∑ 0 < t k < T G 1 ( t ， t k ) I k ( x ( t k ) ) 同理可证， y * ( t ) = ∫ 0 T G 2 ( t ， s ) ( p 2 ( s ) x ( s ) + ∫ − ∞ s b ( s ， u ) g ( x ( u ) ， y ( u ) ) d u ) d s + ∑ 0 < t k < T G 2 ( t ， t k ) J k ( y ( t k ) ) 反之亦然，因此，引理1.1得证。