system: [SYSTEM]

user: 3. 最优策略模型构建与求解 3.1. 完全信息条件下最优微分收益模型构建与求解 完全信息条件下，创业投资企业与创业企业之间的信息完全对称，即不存在任何一方利用信息优势获取额外利益，双方将从社会整体利益最大化的角度来选择各自的努力水平，虽然完全信息状态仅为一种理想状态，却成为了分析的可比状态。 定理1 完全信息条件下，双方协同合作时整个创业链的最优利润函数为： V * ( H ) = d r + θ H + [ c ( r + θ ) + δ d ] 2 4 r ( r + θ ) 2 p V 1 2 p E 1 2 。(1) 证明：完全信息条件下，VC与创业企业双方的目标一致，均以整体利益最大化为目标，双方的共同目标函数如下： π E = ∫ 0 + ∞ e − r t { [ c ( e V e E ) 1 2 + d ⋅ H ( t ) ] − 1 2 p V e V 2 − 1 2 p E e E 2 } d t 。 假设最优收益函数 V ( H ) 满足如下的HJB方程： r ⋅ V ( H ) = max e V ≥ 0 e E ≥ 0 { [ c ( e V e E ) 1 2 ] + d ⋅ H ( t ) − 1 2 p V e V 2 − 1 2 p E e E 2 + V ′ ( H ) [ δ ( e V e E ) 1 2 − θ H ] } 。 上式对 e V 和 e E 求一阶导数后，并运用赵黎明(2016)方法求出整个创业链最优利润函数为： V * ( H ) = d r + θ H + [ c ( r + θ ) + δ d ] 2 4 r ( r + θ ) 2 p V 1 2 p E 1 2 ， 定理1中(1)式得以证明。 3.2. VC和创业企业不合作的最优微分收益模型构建与求解 在不完全信息条件下，当创业企业与创业投资企业均无主动权，双方地位均等时，此时，双方将会以各自利益最大化为原则进行决策，根据理性的创业投资企业和创业企业都将不会向对方提供激励因子，因此， τ = ρ = 0 。 定理2 在不完全信息双方地位对等条件下，创业投资企业、创业企业及整个创业链的最优利润函数分别为： V 1 * * ( H ) = d η r + θ ⋅ H + 3 η 3 2 ( 1 − η ) 1 2 [ c ( r + θ ) + d δ ] 2 8 r ( r + θ ) 2 p V 1 2 p E 1 2 ， (2) V 2 * * ( H ) = d ( 1 − η ) r + θ ⋅ H + 3 η 1 2 ( 1 − η ) 3 2 [ c ( r + θ ) + d δ ] 2 8 r ( r + θ ) 2 p V 1 2 p E 1 2 ， (3) V * * ( H ) = d r + θ ⋅ H + 3 η 1 2 ( 1 − η ) 1 2 [ c ( r + θ ) + d δ ] 2 8 r ( r + θ ) 2 p V 1 2 p E 1 2 。 (4) 证明：为得到此博弈的古诺均衡解，首先，假设存在连续有界的微分收益函数 V i ( H ) ， i ∈ ( V ， E ) 对所有的 H ≥ 0 都满足Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)方程： r ⋅ V 1 ( H ) = max η ≥ 0 { η [ c ⋅ ( e V e E ) 1 2 + d ⋅ H ] − 1 2 p V e V 2 + V ′ 1 ( H ) [ δ ⋅ ( e V e E ) 1 2 − θ ⋅ H ] } ， S . T . : e V ∈ arg max V 1 ( H ) ， e E ∈ arg max V 2 ( H ) ， (5) r ⋅ V 2 ( H ) = max η ≥ 0 { ( 1 − η ) [ c ⋅ ( e V e E ) 1 2 + d ⋅ H ] − 1 2 p E e E 2 + V ′ 2 ( H ) [ δ ⋅ ( e V e E ) 1 2 − θ ⋅ H ] } ， S . T . : e V ∈ arg max V 1 ( H ) ， e E ∈ arg max V 2 ( H ) 。 (6) 为使创业企业利益最大化，(5)式和(6)式分别对 e V ， e E 求一阶偏导， 求得唯一一组符合条件的正实数解如下： e V = [ c ( 1 − η ) + δ ⋅ V ′ 2 ( H ) ] 1 4 ⋅ [ c η + δ ⋅ V ′ 1 ( H ) ] 3 4 2 p V 3 4 p E 1 4 ， (7) e E = [ c ( 1 − η ) + δ ⋅ V ′ 2 ( H ) ] 3 4 ⋅ [ c η + δ ⋅ V ′ 1 ( H ) ] 1 4 2 p V 1 4 p E 3 4 。 (8) 将(5)式、(6)式再对H对一阶偏导后再与(7)式、(8)式联立得： r ⋅ V ′ 1 ( H ) = [ d η − θ ⋅ V ′ 1 ( H ) ] ⋅ H + 3 ⋅ [ c η + δ ⋅ V ′ 1 ( H ) ] 3 2 ⋅ [ c ( 1 − η ) + δ ⋅ V ′ 2 ( H ) ] 1 2 8 p V 1 2 p E 1 2 ，(9) r ⋅ V ′ 2 ( H ) = [ d ( 1 − η ) − θ ⋅ V ′ 2 ( H ) ] ⋅ H + 3 ⋅ [ c η + δ ⋅ V ′ 1 ( H ) ] 1 2 ⋅ [ c ( 1 − η ) + δ ⋅ V ′ 2 ( H ) ] 3 2 8 V 1 2 p E 1 2 。 (10) 与完全信息条件下协同合作最优策略解法相同，求得创业投资机构与创业企业的最优努力函数分别为： V 1 * * ( H ) = d η r + θ ⋅ H + 3 η 3 2 ( 1 − η ) 1 2 [ c ( r + θ ) + d δ ] 2 8 r ( r + θ ) 2 p V 1 2 p E 1 2 ， V 2 * * ( H ) = d ( 1 − η ) r + θ ⋅ H + 3 η 1 2 ( 1 − η ) 3 2 [ c ( r + θ ) + d δ ] 2 8 r ( r + θ ) 2 p V 1 2 p E 1 2 。 整个创业链的最优利润函数为： V * * ( H ) = d r + θ ⋅ H + 3 η 1 2 ( 1 − η ) 1 2 [ c ( r + θ ) + d δ ] 2 8 r ( r + θ ) 2 p V 1 2 p E 1 2 。 定理2中(2)式、(3)式、(4)式得以证明。 3.3. 不完全信息条件下VC Stackelberg博弈模型建立与求解 创业投资家先选择投资的资本以及给创业企业家的激励因子，创业企业家在观测到创业投资家的行动后，据总资本及激励要求制定相应的项目实施方案，此时，相当于在创业企业与创业投资机构之间建立了以创业投资企业为领导者而创业企业为追随者的Stackelberg主从博弈模型，通过逆向归纳法对模型进行分析，得出双方最优努力水平及最优收益函数，同时讨论了创业投资家的持股比例对于“激励因子”的影响。 定理3 在Stackelberg主从博弈模型下，创业投资企业提供给创业企业的最优激励因子为： τ * * * = 7 η − 3 1 + 3 η ，其中， 3 7 < η < 1 。 (11) 创业投资企业和创业企业以及整个创业链的最优利润函数分别为： V 1 * * * ( H ) = d η r + θ ⋅ H + ( 1 + 3 η ) 2 [ c ( r + θ ) + d δ ] 2 64 r ( r + θ ) 2 p V 1 2 p E 1 2 ， (12) V 2 * * * ( H ) = d ( 1 − η ) r + θ ⋅ H + 3 ( 1 − η ) ( 1 + 3 η ) [ c ( r + θ ) + d δ ] 2 32 r ( r + θ ) 2 p V 1 2 p E 1 2 ，(13) V * * * ( H ) = d r + θ ⋅ H + ( 7 − 3 η ) ( 1 + 3 η ) [ c ( r + θ ) + d δ ] 2 64 r ( r + θ ) 2 p V 1 2 p E 1 2 。(14) 证明：采用逆向归纳法得到此博弈的Stackelberg均衡解，分别求出创业企业和创业投资机构的最优收益。创业企业的最优收益： r ⋅ V 2 ( H ) = max e E ≥ 0 { ( 1 − η ) [ c ⋅ ( e V e E ) 1 2 + d ⋅ H ] − 1 2 ( 1 − τ ) p E e E 2 + V ′ 2 ( H ) [ δ ⋅ ( e V e E ) 1 2 − θ ⋅ H ] } ， (15) (15)式对 e E 求一阶导数，并令其等于零，可以求得： e E = e V 1 3 [ δ ⋅ V ′ 2 ( H ) − c η + c ] 2 3 4 1 3 p E 2 3 ( 1 − τ ) 2 3 。 (16) 创业投资企业预测到创业企业的努力水平反应式，于是创业投资机构将依据创业企业努力水平的反应函数来选择自己的最优努力水平。创业投资机构的HJB方程为： r ⋅ V 1 ( H ) = max e V ≥ 0 0 < τ < 1 { η [ c ⋅ ( e V e E ) 1 2 + d ⋅ H ] − 1 2 p V e V 2 − 1 2 τ p E e E 2 + V 1 ′ ( H ) [ δ ⋅ ( e V e E ) 1 2 − θ ⋅ H ] } 。 (17) 将(16)式代入(17)式，并分别对 e V 、 τ 求一阶导。 数并令其等于零，得到创业投资企业和创业企业的最优努力水平以及最优激励因子，最终得到唯一一组符合条件的正实数解，即不完全信息条件下由创业投资企业主导型的博弈双方均衡时最优策略分别为： 创业投资企业与创业企业的最优努力水平策略分别为： e V * * * = ( 1 + 3 η ) [ c ( r + θ ) + d δ ] 8 ( r + θ ) p V 3 4 p E 1 4 ， e E * * * = ( 1 + 3 η ) [ c ( r + θ ) + d δ ] 8 ( r + θ ) p V 1 4 p E 3 4 。 创业投资企业提供给创业企业的最优激励因子为： τ * * * = 7 η − 3 1 + 3 η ，其中， 3 7 < η < 1 。 定理3中的(11)式得以证明。 创业投资企业和创业企业以及整个创业链的最优利润函数分别为： V 1 * * * ( H ) = d η r + θ ⋅ H + ( 1 + 3 η ) 2 [ c ( r + θ ) + d δ ] 2 64 r ( r + θ ) 2 p V 1 2 p E 1 2 ， V 2 * * * ( H ) = d ( 1 − η ) r + θ ⋅ H + 3 ( 1 − η ) ( 1 + 3 η ) [ c ( r + θ ) + d δ ] 2 32 r ( r + θ ) 2 p V 1 2 p E 1 2 ， V * * * ( H ) = d r + θ ⋅ H + ( 7 − 3 η ) ( 1 + 3 η ) [ c ( r + θ ) + d δ ] 2 64 r ( r + θ ) 2 p V 1 2 p E 1 2 。 定理3中的(12)式、(13)式、(14)式得以证明。 3.4. 不完全信息条件下创业企业主导型Stackelberg博弈模型建立与求解 创业企业先选择投资的资本，同时提供给创业投资企业的激励因子为 ρ ，创业投资企业在观测到创业企业的行动后，据总资本及激励要求制定相应的项目实施方案，此时，相当于在创业企业与创业投资机构之间建立了以创业企业为领导者而创业投资机构为追随者的Stackelberg主从博弈模型，运用逆向归纳法分析模型，得出双方最优努力水平及最优收益函数，同时讨论了创业投资家的持股比例对于“激励因子”的影响。 定理4 在不完全信息条件下由创业企业主导型的Stackelberg博弈均衡时创业投资企业提供给创业企业的最优激励因子为： ρ * * * * = 4 − 7 η 4 − 3 η ，其中， 0 < η < 4 7 。 (18) 创业投资企业和创业企业以及整个创业链的最优利润函数分别为： V 1 * * * * ( H ) = d η r + θ ⋅ H + 3 η ( 4 − 3 η ) [ c ( r + θ ) + δ d ] 2 32 r ( r + θ ) 2 p V 1 2 p E 1 2 ， (19) V 2 * * * * ( H ) = d ( 1 − η ) r + θ ⋅ H + ( 4 − 3 η ) 2 ⋅ [ c ( r + θ ) + d δ ] 2 64 r ( r + θ ) 2 p V 1 2 p E 1 2 ， (20) V * * * * ( H ) = d r + θ ⋅ H + ( 4 − 3 η ) ( 4 + 3 η ) ⋅ [ c ( r + θ ) + d δ ] 2 64 r ( r + θ ) 2 p V 1 2 p E 1 2 。 (21) 证明：采用逆向归纳法得到此博弈的Stackelberg均衡解，分别求出创业投资机构与创业企业的最优收益。创业投资企业的最优收益为： r ⋅ V 1 ( H ) = max e V ≥ 0 0 < τ < 1 { η [ c ⋅ ( e V e E ) 1 2 + d ⋅ H ] − 1 2 ( 1 − ρ ) p V e V 2 + V ′ 1 ( H ) [ δ ⋅ ( e V e E ) 1 2 − θ ⋅ H ] } 。 (22) 经求解得创业投资企业与创业企业的最优努力水平策略分别为： e V * * * * = ( 4 − 3 η ) [ c ( r + θ ) + d δ ] 8 ( r + θ ) p V 3 4 p E 1 4 ， e E * * * * = ( 4 − 3 η ) [ c ( r + θ ) + d δ ] 8 ( r + θ ) p V 1 4 p E 3 4 。 创业投资企业提供给创业企业的最优激励因子为： ρ 1 * * * * = 4 − 7 η 4 − 3 η ，其中， 0 < η < 4 7 。 定理4中的(18)式得以证明。 创业投资企业和创业企业以及整个创业链的最优利润函数分别为： V 1 * * * * ( H ) = d η r + θ ⋅ H + 3 η ( 4 − 3 η ) [ c ( r + θ ) + δ d ] 2 32 r ( r + θ ) 2 p V 1 2 p E 1 2 ， V 2 * * * * ( H ) = d ( 1 − η ) r + θ ⋅ H + ( 4 − 3 η ) 2 ⋅ [ c ( r + θ ) + d δ ] 2 64 r ( r + θ ) 2 p V 1 2 p E 1 2 ， V * * * * ( H ) = d r + θ ⋅ H + ( 4 − 3 η ) ( 4 + 3 η ) ⋅ [ c ( r + θ ) + d δ ] 2 64 r ( r + θ ) 2 p V 1 2 p E 1 2 。 定理4中的(19)式、(20)式、(21)式得以证明。