system: [SYSTEM]

user: 3. 主要结果的证明 我们首先给出微分算子 L − α / 2 − e − t L L − α / 2 的核估计，它对于证明主要结果有很重要的作用。 引理3.1 假设收缩半群 e − t L 的核 P t ( g ， h ) 满足Gaussian上界(1.1)。那么对于 0 < α < 1 ，与微分算子 L − α / 2 − e − t L L − α / 2 相关的核 K α ， t ( g ， h ) 满足 | K α ， t ( g ， h ) | ≤ C t | g h − 1 | Q − α + 2 。 证明：根据 [ 10 ] Page 258，令 f α ， t ( z ) = z − α / 2 ( 1 − e − t z ) 。我们首先用半群 e − z L 表示算子 f α ， t ( L ) 。 f α ， t ( L ) 定义为 f α ， t ( L ) = 1 2 π i ∫ γ ( L - λ I ) − 1 f α ， t ( λ ) d λ ，其中 γ = γ + ∪ γ − ，当 t ≥ 0 时， γ + ( t ) = t e i v ，当 t < 0 时， γ − ( t ) = − t e − i v ，并且 v > π / 2 。 对于 λ ∈ γ ，令 ( L - λ I ) − 1 = ∫ 0 ∞ e λ s e − s L d s 。改变积分顺序得 f α ， t ( L ) = ∫ 0 ∞ e − s L n ( s ) d s ，其中 n ( s ) = 1 2 π i ∫ γ e λ s f α ， t ( λ ) d λ 。因此， f α ， t ( L ) 的核 K α ， t ( g ， h ) 可以表示为 K α ， t ( g ， h ) = ∫ 0 ∞ P s ( g ， h ) n ( s ) d s 。 由(1.1)可得 | K α ， t ( g ， h ) | ≤ C ∫ 0 ∞ s − Q / 2 e − c | g h − 1 | / s ( ∫ 0 ∞ | e s λ λ − α / 2 ( 1 − e − t λ ) | d | λ | ) d s 。 (3.1) 注意到，当 t | λ | > 1 时， | 1 − e − t λ | ≤ c 且当 t | λ | ≤ 1 时， | 1 − e − t λ | ≤ c t | λ | 。对应于 t | λ | > 1 和 t | λ | ≤ 1 上的积分，我们将(3.1)中右边积分分为第一部分 A 1 和第二部分 A 2 。那么， A 1 ≤ C ∫ 0 ∞ s − Q / 2 e − c | g h − 1 | / s ∫ 1 / t ∞ e − β s v v − α / 2 d v d s ， β > 0 。令 u = t v 和 h = s / t ，我们有 A 1 ≤ C t − Q / 2 ∫ 0 ∞ h − Q / 2 e − c | g h − 1 | 2 / t h ∫ 1 ∞ e − β h u u − α / 2 t α / 2 d u d h ≤ C t ( α − Q ) / 2 ∫ 0 ∞ h ( α − Q − 2 ) / 2 e − c | g h − 1 | 2 / t h d h h ≤ C t | g h − 1 | Q − α + 2 。 与 A 1 相类似，我们得到 A 2 ≤ C ∫ 0 ∞ s − Q / 2 e − c | g h − 1 | 2 / s ∫ 0 1 / t e − β s v v − α / 2 ( t v ) d v d s ≤ C t ( α − Q ) / 2 ∫ 0 ∞ h − Q / 2 e − c | g h − 1 | 2 / t h ∫ 0 1 e − β h u u ( 2 − α ) / 2 d u d h ≤ C t ( α − Q ) / 2 ∫ 0 ∞ h ( α − Q − 2 ) / 2 e − c | g h − 1 | 2 / t h d h h ≤ C t | g h − 1 | Q − α + 2 。 结合 A 1 和 A 2 ，我们完成了引理3.1的证明。 下面，我们给出主要结果及其证明。 定理3.2 假设收缩半群 e − t L 的核 P t ( g ， h ) 满足Gaussian上界(1.1)。令 b ∈ B M O ρ θ ( ℍ n ) 。那么对于 0 < α < Q ， 1 < 1 / p 1 < Q / α 以及 1 / p 2 = 1 / p 1 − α / Q ，我们有 ‖ [ b ， L − α / 2 ] f ‖ L p 2 ( ℍ n ) ≤ C [ b ] θ ‖ f ‖ L p 1 ( ℍ n ) 。 证明：我们分两种情形来证明此定理。 情形一：我们考虑 0 < α < 1 的情形。选择两个大于1的实数r和s使得 r s < p < Q / α 。我们将证明存在一个常数C使得对于所有的 g ∈ ℍ n 和 g ∈ B ，如下不等式成立： 1 | B | ∫ B | ( 1 − e − t B L ) [ b ， L − α / 2 ] f ( h ) | d h ≤ C [ b ] θ ( M s ( L − α / 2 f ) ( g ) + M α ， r s ( f ) ( g ) ) ， (3.2) 其中 t B = r B 2 且 r B 为球B的半径。 由(1.1)，(3.2)和极大函数的有界性可得 ‖ [ b ， L − α / 2 ] f ‖ L p 2 ( ℍ n ) ≤ C ‖ M L # ( [ b ， L − α / 2 ] f ) ( g ) ‖ L p 2 ( ℍ n ) ≤ C [ b ] θ ‖ M s ( L − α / 2 f ) ( g ) ‖ L p 2 ( ℍ n ) + C [ b ] θ ‖ M α ， r s f ( g ) ‖ L p 2 ( ℍ n ) ≤ C [ b ] θ ‖ f ‖ L p 1 ( ℍ n ) ， 其中 1 / p 2 = 1 / p 1 − α / Q 且 1 < 1 / p 1 < Q / α 。 我们现在证明(3.2)。对于 g ∈ ℍ n 和 B = B ( g 0 ， r B ) ，令 f 1 = f χ 2 B 和 f 2 = f − f 1 。我们有 [ b ， L − α / 2 ] f = ( b − b B ) L − α / 2 f − L − α / 2 ( b − b B ) f 1 − L − α / 2 ( b − b B ) f 2 和 e − t B L ( [ b ， L − α / 2 ] f ) = e − t B L { ( b − b B ) L − α / 2 f − L − α / 2 ( b − b B ) f 1 − L − α / 2 ( b − b B ) f 2 } 。 那么 1 | B | ∫ B | [ b ， L − α / 2 ] f ( h ) − e − t B L [ b ， L − α / 2 ] f ( h ) | d h ≤ M 1 + M 2 + M 3 + M 4 + M 5 ， 其中 { M 1 : = 1 | B | ∫ B | ( b ( h ) − b B ) L − α / 2 f ( h ) | d h M 2 : = 1 | B | ∫ B | L − α / 2 ( b ( h ) − b B ) f 1 ( h ) | d h M 3 : = 1 | B | ∫ B | e − t B L ( b ( h ) − b B ) L − α / 2 f ( h ) | d h M 4 : = 1 | B | ∫ B | e − t B L L − α / 2 ( b ( h ) − b B ) L − α / 2 f 1 ( h ) | d h M 5 : = 1 | B | ∫ B | ( L − α / 2 − e − t B L L − α / 2 ) ( b ( h ) − b B ) f 2 ( h ) | d h 令 s ′ 为s的共轭使得 1 / s + 1 / s ′ = 1 。由Hölder不等式和引理2.10可得 M 1 ≤ ( 1 | B | ∫ B | b ( h ) − b B | s ′ d h ) 1 / s ′ ( 1 | B | ∫ B | L − α / 2 f ( h ) | s d h ) 1 / s ≤ C [ b ] θ ( 1 + r / ρ ( g ) ) θ ′ M s ( L − α / 2 f ) ( g ) ≤ C [ b ] θ M s ( L − α / 2 f ) ( g ) 。 令 1 / w = 1 / r − α / Q 。根据引理2.2和引理2.10，我们有 M 2 ≤ ( 1 | B | ∫ ℍ n | L − α / 2 ( b ( h ) − b B ) f 1 ( h ) | w d h ) 1 / w ≤ C | B | 1 / w ( ∫ B | ( b ( h ) − b B ) f ( h ) | r d h ) 1 / r ≤ C ( 1 | B | ∫ B | b ( h ) − b B | s r ′ d h ) 1 / s r ′ ( 1 | B | 1 − α s r / Q ∫ B | f ( h ) | s r d h ) 1 / s r ≤ C [ b ] θ M α ， r s f ( g ) 。 类似的，我们根据引理2.2，引理2.10和极大函数的有界性可得 M 3 + M 4 ≤ C [ b ] θ M s ( L − α / 2 f ) ( g ) + C [ b ] θ M α ， r s ( f ) ( g ) 。 因为 g ∈ B ( g 0 ， r B ) ， z ∈ 2 k + 1 B \ 2 2 k B ，所以 | g 0 − 1 u | ≈ 2 k r B 。由引理3.1可得 M 5 ≤ 1 | B | ∫ B ∫ ( 2 B ) ∁ | K α ， t B ( h ， z ) | | ( b ( z ) − b B ) f ( z ) | d z d h ≤ C ∑ k = 1 ∞ ∫ 2 k + 1 B \ 2 k B t B | g 0 − 1 z | Q − α + 2 | ( b ( z ) − b B ) f ( z ) | d z ≤ C ∑ k = 1 ∞ 2 − k 1 | 2 k + 1 B | 1 − α / Q ∫ 2 k + 1 B | ( b ( z ) − b B ) f ( z ) | d z ≤ C ∑ k = 1 ∞ 2 − k 1 | 2 k + 1 B | 1 − α / Q ∫ 2 k + 1 B | ( b ( z ) − b 2 k + 1 B ) f ( z ) | d z       + C ∑ k = 1 ∞ 2 − k | b 2 k + 1 B − b B | 1 | 2 k + 1 B | 1 − α / Q ∫ 2 k + 1 B | f ( z ) | d z ≤ C [ b ] θ ∑ k = 1 ∞ k 2 − k ( 1 + 2 k r B / ρ ( g ) ) θ ′ M α ， r s f ( g ) + C ∑ k = 1 ∞ 2 − k M α ， 1 f ( g ) ≤ C [ b ] θ M α ， r s f ( g ) 结合以上五部分，我们得到(3.2)。 情形二：我们考虑 0 < α < Q 的情形。对于任意的 k = 0 ， 1 ， ⋯ ， Q − 1 ，我们将 p 1 ， k ， p 2 ， k 和 p 3 ， k 记为 1 p 1 ， k = 1 p 2 + α k Q 2 ， 1 p 2 ， k = 1 p 1 ， k + α Q 2 ， 1 p 3 ， k = 1 p 2 ， k + α ( Q − 1 − k ) Q 2 。 注意到， [ b ， L − α / 2 ] f = [ b ， ( L − α / 2 Q ) Q ] f = ∑ k = 0 Q − 1 L − α k / 2 Q [ b ， L − α / 2 Q ] L − α ( Q − 1 − k ) / 2 Q f 。由引理2.1和情形一，我们得到 ‖ [ b ， L − α / 2 ] f ‖ L p 2 ( ℍ n ) ≤ ∑ k = 0 Q − 1 ‖ L − α k / 2 Q [ b ， L − α / 2 Q ] L − α ( Q − 1 − k ) / 2 Q f ‖ L p 2 ( ℍ n ) ≤ C [ b ] θ ∑ k = 0 Q − 1 ‖ f ‖ L p 3 ， k ( ℍ n ) ≤ C [ b ] θ ‖ f ‖ L p 1 ( ℍ n ) ， 因为对于任意的 k = 0 ， 1 ， ⋯ ， Q − 1 ，有 1 p 3 ， k = 1 p 2 ， k + α ( Q − 1 − k ) Q 2 = 1 p 2 + α Q = 1 p 1 ，即 p 3 ， k = p 1 。 综上，我们完成了定理3.2的证明。