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user: 2. 具有时滞的对称耦合神经元网络的同步 假设神经元经过时滞 τ 后接收到来自周围神经元的信号，则其动力模型可由下列微分系统给出： { x ˙ i 1 = f 1 ( X i ) + f ( t ) + g ∑ j = 1 ， i ≠ j N a i j ( x j 1 ( t − τ ) − x i 1 ( t ) ) ， x ˙ i 2 = f 2 ( X i ) ，             ⋮ x ˙ i n = f n ( X i ) ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N . (1) 这里 X i = ( x i 1 ， x i 2 ， ⋯ ， x i n ) T ∈ R n × 1 是第i个耦合神经元的状态变量， x i 1 是膜电位，其它 x j 1 ( j ≥ 2 ) 用于描述离子通道动力学。外激励 f ( t ) 是依赖时间的连续函数， g > 0 是耦合强度。耦合矩阵 A = ( a i j ) m × m = B + C ∈ R m × m 代表了N个耦合神经元相互的连接形式，如果第i个神经元连接到第j个神经元上，则 a i j = a j i = 1 ，否则 a i j = a j i = 0 。这里 m = N × n ， B = [ B 1 0 ⋯ 0 0 B 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ B N ] m × m ， B i = [ a i i 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ] n × n ， C = [ C 11 C 12 ⋯ C 1 N C 21 C 22 ⋯ C 2 N ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ C N 1 C N 2 ⋯ C N N ] m × m ， C i i = [ 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ] n × n ， C i j = [ a i j 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ] n × n ( i ， j = 1 ， ⋯ ， N ， i ≠ j ) . 根据神经元对称耗散连接的特性，矩阵A的一些性质可总结如下： 1) 矩阵A是一个对称的不可约的矩阵； 2) 矩阵A的非对角线元素， a i j ( i ≠ j ) 取值是1或0； 3) 矩阵A的元素满足 a i i = − ∑ j = 1 ， i ≠ j N a i j ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N . 记 X = ( X 1 ， X 2 ， ⋯ ， X N ) T ∈ R m × 1 ， F i ( X ， t ) = ( f 1 ( X i ) + f ( t ) ， f 2 ( X i ) ， ⋯ ， f n ( X i ) ) ∈ R 1 × n ， F ( X ， t ) = ( F 1 ( X 1 ) ， F 2 ( X 2 ) ， ⋯ ， F n ( X N ) ) T ∈ R m × 1 ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ， 则系统(1)可写为 X ˙ ( t ) = F ( X ( t ) ) + g B X ( t ) + g C X ( t − τ ) (2) 下面我们将给出具有时滞的对称电耦合神经元网络同步稳定性的一个判别准则。首先我们给出耦合系统(2)同步的定义。 定义：如果耦合系统(2)的状态变量满足关系 X 1 ( t ) = X 2 ( t ) = ⋯ = X N ( t ) = s ( t ) ，     t → ∞ ， (3) 则称耦合系统(2)达到同步状态，这里 s ( t ) 是耦合强度 g = 0 时系统(2) 中单个神经元的解。 定理1：给定耦合系统(2)，如果存在 g > 0 使得对所有的 s ( t ) ， ( D F ( s ( t ) ) ) T + D F ( s ( t ) ) + g ( B T + B + I + C C T ) 是负定的，那么耦合系统(2)的同步状态(3)能达到，这里 D F ( s ( t ) ) 是向量函数 F ( X ( t ) ) 在同步流形 s ( t ) 处的Jacobi矩阵。 证明：为了证明系统(2)的同步状态(3)的稳定性，我们引入微小的摄动 η i ， 令 X i = s ( t ) + η i ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ， 在同步流形 s ( t ) 处，线性化系统(2)，我们得出下面方程 η ˙ ( t ) = [ D F ( s ( t ) ) ] η ( t ) + g B η ( t ) + g C η ( t − τ ) ， (4) 这里 η = ( η 1 ， η 2 ， ⋯ ， η N ) T ∈ R m × 1 ， D F ( s ( t ) ) 是向量函数 F ( X ( t ) ) 在同步流形 s ( t ) 处的Jacobian矩阵。 引入Lyapunov-Krasovskii泛函 V ( t ) = η T ( t ) η ( t ) + g ∫ t − τ t η T ( ξ ) η ( ξ ) d ξ ，则 V ˙ ( t ) = η ˙ T ( t ) η ( t ) + η T ( t ) η ˙ ( t ) + g [ η T ( t ) η ( t ) − η T ( t − τ ) η ( t − τ ) ] = [ η T ( t ) ( D F ( s ( t ) ) ) T + g η T ( t ) B T + g η T ( t − τ ) C T ] η ( t )     + η T ( t ) [ D F ( s ( t ) ) η ( t ) + g B η ( t ) + g C η ( t − τ ) ]     + g [ η T ( t ) η ( t ) − η T ( t − τ ) η ( t − τ ) ] = η T ( t ) [ ( D F ( s ( t ) ) ) T + D F ( s ( t ) ) + g ( B T + B + I + C C T ] η ( t )     − g [ C T η ( t ) − η ( t − τ ) ] T [ C T η − η ( t − τ ) ] < 0 由Lyapunov-Krasovskii定理 [ 10 ] 可知，系统(2)是渐近稳定的。证毕！ 令 M ( s ( t ) ) = D F ( s ( t ) ) = ( m i j ) m × m ∈ R m × m ，则 M ( s ( t ) ) = ( M i i ) m × m 是对角块矩阵，且 M 11 = M 22 = ⋯ = M N N = D F 1 ( s ( t ) ) ∈ R n × n ， 我们有下面推论： 推论1：如果 m 1 i + m i 1 = 0 ，且 μ i + g λ i < 0 ， ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) ，则系统(2)是渐近稳定的。这里 μ i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 是矩阵M(s(t))的特征值， λ i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 是矩阵 B T + B + I + C C T 的特征值。 证明：因为矩阵 B ， I ， C ， M T + M 都是对称矩阵，故当 m 1 i + m i 1 = 0 时， ( M T + M ) ( B T + B + I + C C T ) = ( B T + B + I + C C T ) ( M T + M ) 这表明矩阵 M T + M 与 B T + B + I + C C T 可交换，从而两矩阵可同步对角化，因此存在正交矩阵Q，使得 Q [ ( M T + M ) + g ( B T + B + I + C C T ) ] Q T = diag ( μ 1 + g λ 1 ， μ 2 + g λ 2 ， ⋯ ， μ m + g λ m ) ， 这里 μ i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 是矩阵M(s(t))的特征值， λ i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 是矩阵 B T + B + I + C C T 的特征值。 由条件 μ i + g λ i < 0 ， ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 可知， ( M T + M ) + g ( B T + B + I + C C T ) 是负定的，故根据定理1可知，系统(2)是渐近稳定的。证毕！