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user: 3. 基于合作博弈的再生水定价与补贴模型构建 3.1. 再生水定价的影响因素分析 再生水价格，是指再生水作为一种商品所具有的价格，是再生水厂商向用户提供再生水产品以及相应的配套服务所获得的每单位水量的收入。要制定合理的价格，就要充分考虑各种因素的影响，而这些影响因素可归纳为生产成本、自来水价格、供求关系和政策补贴等四个方面，分析如下： 生产成本。再生水作为市场的供给方，生产成本是关注的焦点。再生水的生产成本包括：药剂费、设备运行维护费、动力费用，固定资产折旧、工资福利、运输管理费用及其他。 自来水价格。再生水作为自来水的替代品，其价格会受到自来水价格的直接影响。自来水价格越高，再生水与自来水的价格差越大，再生水的需求量越大，利用度越高。反之，如果自来水价格较低，再生水厂为了增大市场需求，会相应降低再生水价格，其利润空间会随之降低，甚至导致无利润。 供求关系。再生水价格的确定要受到供求关系的制约。如果再生水的供给量大于需求量，再生水价格就会降低；如果再生水的需求量大于供给量，再生水的价格就会上升。 政策补贴。再生水作为具有显著正外部性的产品，当产业发展陷入困境时需要政府支持。政府应对再生水产业提供财政补贴，采取鼓励和扶持的政策，能够直接降低再生水的成本，使得再生水在价格上具有竞争优势。 3.2. 再生水与自来水的市场价格竞争模型构建 再生水作为自来水的替代水源，与自来水存在显著的质量差异，若在此市场中不具备价格优势，则再生水市场很难存活。据此我们从再生水与自来水市场价格竞争的角度，用消费者的效用函数对此进行分析。以下在吴艳 [ 8 ] 等的研究基础上引入具有产品质量差异的扩展Hotelling模型，建立自来水和自来水的替代品再生水的纵向差异化双寡头垄断市场的价格竞争模型，用来分析再生水需求和竞争均衡价格，使其为再生水定价提供理论支撑。 3.2.1. 引入具有产品质量差异的扩展Hotelling模型 (一) 模型假设 假设在一个长度为1的“线性城市”中，存在一个由厂商1自来水厂和厂商2再生水厂构成的双寡头垄断市场。厂商1与厂商2在线性空间中随机分布，分别定位于 处，满足 (图1)。它们分别向市场提供具有纵向差异的产品自来水和再生水，用 表示自来水价格， 表示再生水价格。 假设市场为理想市场，消费者在区间 上均匀分布，并且消费者的总需求标准化为1，每次只购买1单位商品。由于再生水与自来水的替代性，引入替代系数 ， 。设水资源的客观效用为 ，则再生水的客观效用为 。由于水资源不可或缺，即 足够大能覆盖整个水资源市场。在此城市模型中，消费者居住位置为 。 (二) 模型分析 在线性城市模型中，消费者对两厂商1、2产品的偏好由其在城市中居住的位置 来表示，消费者与厂商所在地之间的距离表示购买产品的运输成本。 表示消费者的主观偏好，即对水质的重视程度， 。位于 的消费者购买厂商1的产品即自来水获得的总效用除了客观效用 之外，还要承担运输成本带来的效用损失 ；若消费者转向购买厂商2的产品即再生水，获得的总效用除了再生水的客观效用 外，还要承担效用损失 。当 表明此时消费者认为自来水与再生水是同质的，即购买再生水的效用损失为0；当 表明消费者十分在意水质，这是购买再生水的效用损失为 。另外消费者还需要承担转移成本 ，即购买自来水的消费者转而购买再生水发生的成本，该成本取决于将自来水输水管网转换为再生水输水管网需要多支付的费用，用再生水企业建造管网的成本V 管 和自来水与再生水的运输管网的共用度 衡量。转移成本可表示为： (1) 当 ，表示再生水管网和自来水管网完全不能共用；当 时，表示再生水管网和自来水管网可以完全共用。而在一般情况下，为了保证水质的安全，管网不可完全共用，即 只能小于1。因此位置在 偏好为 的消费者购买产品 的效用为： (2) 令 ，可以得到无差异消费者位于 (3) 假定“线形城市”中消费者的总数 ，则自来水和再生水的需求量分别为： 图1. 自来水和再生水双寡头垄断模型 (4) 由式(4)可以看出影响再生水需求因素包括自来水价格 、再生水价格 、厂商1， 2的选址位置 、消费者对水质的主观偏好系数 、水资源的客观效用 、替代系数 、管网成本 和输水管网共用度 。 (三) 再生水的价格确定 自来水厂商1的生产成本为 ，再生水厂商2的生产成本为 ，双方通过价格决策机制进行市场的竞争博弈，假设两个厂商均为理性经济人，追求利润的最大化。 那么两个厂商的利润最大化问题分别为： (5) 对其利润函数求导，解得水市场最优决策的自来水和再生水的市场均衡价格： (6) 由上式(6)可以看出，水市场达到均衡时，再生水的价格取决于以下几个因素：(1) 替代系数 ， 越大，再生水的价格越高； 越小，再生水的价格越低；(2) 消费者对水质的主观偏好系数 ， 越大，再生水价格越低； 越小，再生水价格越高；(3) 水资源的客观功用 ，效用越大，再生水价格越低，此结论建立在 的基础上；(4) 输水管网共用度 越大，再生水价格越低， 越小，再生水价格越高；(5) 管网成本 越大，再生水的价格越高，管网成本 越小，再生水的价格越低。 3.2.2. 模型简化 (一) 两厂商选址位置确定 由于本文借鉴了企业竞争策略研究的扩展Hotelling模型 [ 9 ] ，在对两企业选址进行利润最大化分析时，得到企业的最优选址决策为 (即产品横向最大化)。故在此基础上对模型进行简化，将厂商1定位于线性空间 的左端点，即 ；厂商2定位于线性空间 的右端点，即 。 (二) 两种极端情况分析 为使自来水与再生水的替代比例更明显，我们对两种极端情况进行分析：情况1是假设再生水对自来水的替代效用 ，即再生水与自来水是同质的；情况2是假设再生水对自来水的替代效用 ，即再生水与自来水的完全不可替代性。两种情况下的消费者对水质的主观偏好系数 为1，并且再生水管网和自来水管网完全不可共用，即 。 (1) 第一种情况 在再生水对自来水的替代效用 ，消费者对水质的主观偏好系数 为1以及再生水管网和自来水管网完全不可共用 的三种假设条件下，自来水与再生水的价格之比为： (7) (2) 第二种情况 在再生水对自来水的替代效用 ，消费者对水质的主观偏好系数 为1以及再生水管网和自来水管网完全不可共用 的三种假设条件下，自来水与再生水的价格之比为： (8) 在公式(8)的测算中，再生水价格与自来水价格的比例关系有水资源带来的客观效用 和输水再生水的管网成本 ，如果不考虑管网成本 ，即假定 ，可以得到与公式(7)相同的比例关系，即再生水价格为自来水价格的1/2。 我们从再生水与自来水的产品差异化竞争模型中得出结论，再生水价格不应高于自来水价格1/2，即 。我们可以利用此结论作为约束条件对下述再生水补贴模型进行分析。 3.3. 基于合作博弈的再生水补贴模型构建 3.3.1. 补贴机制设计 再生水行业中的财政补贴是指让用户以低于市场价格即自来水价格购买再生水所采取的价格支持来降低供水方的成本。在此问题中，会出现三个参与主体，即政府、再生水企业和自来水企业。政府在其目标函数下，选择具体的补贴标准，即设计一个博弈规则。这里政府和再生水企业之间构成一种委托代理关系，政府是委托人，再生水企业是代理人。政府设计补贴机制的目标是使自己的期望效用达到最大化，但同时要面临两个约束条件。第一个约束是选择理性的代理人即再生水企业参与博弈，也就是说，再生水企业接受政府设计机制的条件是在此博弈局里面所获得的效用不小于他不参与博弈的期望效用。即参与约束的条件是 。第二个约束是由于政府与再生水企业之间的信息不对称性，政府无法获得有关企业的有效信息，这就导致了风险规避的再生水企业在获得补贴的过程中，存在着隐藏的行动风险。只有当再生水企业从政府的博弈局中所获得的效用不小于从其他行动中所获得的效用时，再生水企业才有可能积极参与博弈。从另一方面看，再生水企业在拿到政府补贴后生产的产品即再生水所得到的利润要大于其获得的补贴水平，才会努力进行产品生产。即此约束为激励相容约束，与再生水企业的努力程度 有关，约束式为 。参考马静 [ 4 ] 等对城市供水补贴的博弈分析，可用图示表示如下，其中政府的期望效用在前，再生水企业的期望效用在后。 3.3.2. 模型构建 (一) 模型假设条件 (1) 政府在制定博弈规则时有短期目标和长期目标之分，短期目标是政府选取一个最大的补贴率使社会福利水平最大化；长期目标是扶持再生水企业的发展，以环境先导为目标，使其能够持续不断的提供再生水产品； (2) 水能源市场的价格完全由市场决定，即市场出清，水资源价格 为供给量 的函数； (3) 在再生水产业发展初期，其成本要高于自来水企业。所以我们利用模型(2-2-1)的分析结论，将 作为第三个约束条件融入模型。 (4) 再生水企业与自来水企业的决策均是理性的，即遵循利润的最大化原则。 (二) 模型建立 再生水企业和自来水企业采取古诺(Cournot)博弈，同时选择自己的产量，自来水企业和再生水企业各自生产q 1 和q 2 ，用Q表示水市场产品的总供给，则市场的出清价格P i 为Q i 的函数，函数表达式： ， 。再假设两企业的边际成本为常数 ，因为此模型不讨论企业的进入壁垒，故忽略对固定成本的研究。两企业的利润分别为 ，函数表达为： (9) (10) 政府所获得的期望效用应为社会总福利。若政府关注短期目标，用 来表示，包括消费者剩余、再生水企业的利润、自来水企业的利润扣除政府对再生水企业的财政补贴；若政府关注长期目标，用 来表示，包括消费者剩余、再生水企业的利润扣除政府对再生水企业的财政补贴。以下为政府的期望效用 函数，其中 表示再生水用户的消费者剩余： (11) (12) (三) 模型分析 政府、再生水企业和自来水企业的博弈过程可分为两个阶段，第一个阶段，政府根据自己的目标选择对再生水企业的最优补贴率；第二个阶段，再生水企业与自来水企业根据政府制定的博弈规则进行产量博弈。由于无法直接确定最优的补贴率，我们首先对再生水企业与自来水企业的产量进行分析，求得子博弈精炼纳什均衡解，然后再确定最优补贴策略。 (1) 政府关注短期目标 若政府更关注于短期目标，那么作为博弈的得益方它的目标是短期内社会的总福利，即使得再生水企业和自来水企业同时达到利润最大化，根据(9) (10)可以得到: 化简可得： (13) (14) 联立(13) (14)可以求出 (15) 根据(15)式我们可以看出，如果政府没有对再生水企业进行补贴，且两企业的边际成本相同，即 。那么两企业的均衡产量均为 ，与古诺的均衡产量结论相同。同时从两个需求函数中我们可以看出，再生水产品的需求量随着政府补贴的提高、再生水成本的下降、自来水成本的上升而增加。根据(15)式，现在我们对最优补贴率进行分析，政府的期望效用函数为： (16) 将(15)式的均衡产量 代入政府的期望效用函数中 (17) 令(17)式对 取一阶导数有： ，解得 (18) 将(18)代入(15)得： (19) 式(19)为在补贴水平为 下，再生水企业和自来水企业的最佳产量。在(16)式的约束条件下，可以计算得出 。 (2) 政府关注长期目标 若政府更关注长期目标，就会以再生水产业持续发展为导向，同时降低环境污染。即不考虑自来水的利润，只追求再生水企业的利润最大化。那么政府的期望效用为(12)式： 将所求(15)式两企业各自的产量代入(12)式中得: (20) 令上式对 取一阶导数，有 ，解得： (21) 将(21)代入(15)式可得： (22) 式(22)为在补贴水平为 下，再生水企业和自来水企业的最佳产量。在(16)式的约束条件下，计算得出 ，所以有 。