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user: 3. 首次积分法的应用 在这一节中，我们运用首次积分法来求解非线性高阶薛定谔方程的精确解。首先，我们对(1)做一个变换 q ( z ， t ) = u ( ξ ) e i ( k z + w t ) ，     ξ = t + c z (9) 这里t，c是实参数。 将方程(9)代入(1)中，然后令实部和虚部分别为零，可得 ( 1 − 3 a 1 w ) u ″ + ( a 1 w 3 − w 2 − k ) u + ( 2 − a 2 w ) u 3 + ( a 4 − a 3 w ) u 5 = 0 (10) a 1 u ‴ + ( 2 w − 3 a 1 w 2 + c ) u ′ + 3 a 2 u 2 u ′ + 5 a 3 u 4 u ′ = 0 (11) 将方程(11)积分一次代入(10)得 a 1 u ‴ + ( 2 w − 3 a 1 w 2 + c ) u + a 2 u 3 + a 3 u 5 = 0 (12) 为了计算简便，可令： k 1 = 2 w − 3 a 1 w 2 + c a 1 ， k 2 = a 2 a 1 ， k 3 = a 3 a 1 (13) u ″ + k 1 u + k 2 u 2 + k 3 u 3 = 0 (14) 由方程(7) (9) (14)可得 { X ′ ( ξ ) = Y ( ξ ) ， Y ′ ( ξ ) = k 1 X ( ξ ) + k 2 X ( ξ ) 3 + k 3 X ( ξ ) 5 . (15) 根据除法原理，我们可以假设 X = X ( ξ ) 和 Y = Y ( ξ ) 是方程(14)的非平凡解。并且 P ( X ， Y ) = ∑ i = 0 m a i ( X ) Y i . (16) 在复数域上 C ( X ， Y ) 是不可约多项式，即 P ( X ( ξ ) ， Y ( ξ ) ) = ∑ i = 0 m a i ( X ( ξ ) ) Y ( ξ ) i = 0. (17) 在这里 a i ( X ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 是X的多项式且 a m ( X ) ≠ 0 。方程(17)称为(15)的首次积分。定义： P ( X ( ξ ) ， Y ( ξ ) ) 是关于X和Y的多项式，且 d P d ξ | ( 20 ) = 0 。由除法定理可以得到，在复数域 C ( X ， Y ) 上存在一个多项式 H ( X ， Y ) = h ( X ) + g ( X ) Y ，使得 d P d ξ | ( 20 ) = ( d P d X d X d ξ + d P d Y d Y d ξ ) | ( 20 ) = ( h ( X ) + g ( X ) Y ) ( ∑ i = 0 m a i ( X ) Y i ) . (18) 3.1. 情形一 在方程(17)中假设 m = 1 ，然后方程(18)可以表示成 ∑ i = 0 1 a ′ i ( X ) Y i + 1 + ∑ i = 0 1 i a i ( X ) Y i − 1 ( Y ′ ( ξ ) ) = ( h ( X ) + g ( X ) Y ) ( ∑ i = 0 1 a i ( X ) Y i ) . (19) 然后，从方程(19)中通过比较两边 Y i ( i = 2 ， 1 ， 0 ) 的系数，可以得到 a ′ 1 ( X ) = g ( X ) a 1 ( X ) ， (20) a ′ 0 ( X ) = h ( X ) a 1 ( X ) + g ( X ) a 0 ( X ) ， (21) a 1 ( X ) ( k 1 X + k 2 X 3 + k 5 X 5 ) = h ( X ) a 0 ( X ) . (22) 由于 a i ( x ) ( i = 0 ， 1 ) 是X的一个多项式，从方程(20)中我们可以得出 a 1 ( X ) 是一个常数，并且 g ( X ) = 0 。为了方便计算，我们可以令 a 1 ( X ) = 1 。然后通过平衡 h ( X ) 和 a 0 ( X ) 的阶数，可以得出 deg ( h ( x ) ) = 2 。假设 h ( X ) = A X 2 + B X + C ，这里的 A ≠ 0 ，那么 a 0 ( X ) = 1 3 A X 3 + 1 2 B X 2 + C X + D . (23) 这里D是积分常数。然后将 a 0 ( X ) ， a 1 ( X ) ， h ( X ) 代入方程(23)中，我们通过比较系数最后得到如下代数方程组 { 1 3 A 2 = k 3 5 6 A B = 0 4 3 A C + 1 2 B 2 = k 2 A D + 3 2 B C = 0 B D + C 2 = k 1 C D = 0 (24) 我们用Maple求解它们，可以得到 D = 0 ， B = 0 ， A = ± 3 k 3 ， C = ± k 1 ， (25) 这里 k 1 ， k 3 < 0 ，并且满足条件 k 1 k 3 = 3 16 k 2 2 . (26) 将条件(25)代入(17)中，可得 Y = − 1 3 A X 3 − C X . (27) 然后由方程(7)有 φ ′ ( ξ ) = − 1 3 A φ ( ξ ) 3 − C φ ( ξ ) . (28) 我们为了得到(28)的解，引入伯努利方程(14)有 Z ′ = a Z + b Z p ， (29) 这里 a ， b ， p ∈ R ， a b ≠ 0 ， p ≠ 1 。那么方程(29)有如下形式的解 Z ( ξ ) = [ − a / b ξ 0 e a ( 1 − p ) + 1 ] 1 p − 1 ， (30) = { { − a 2 b [ 1 + tanh ( a ( p − 1 ) 2 ξ − ln ξ 0 2 ) ] } 1 p − 1 ξ 0 > 0 ， { − a 2 b [ 1 + coth ( a ( p − 1 ) 2 ξ − ln ( − ξ 0 ) 2 ) ] } 1 p − 1 ξ 0 < 0 ， ( − a b ) 1 p − 1 ξ 0 = 0. (31) 这里 ξ 0 为任意常数。我们将 a = − C ， b = − 1 3 A ， p = 3 代入方程(31)中有 u ( ξ ) = { { ± 1 2 3 k 1 k 3 [ 1 + tanh ( k 1 ξ − ln ξ 0 2 ) ] } 1 2 ξ 0 > 0 ， { ± 1 2 3 k 1 k 3 [ 1 + coth ( k 1 ξ − ln ( − ξ 0 ) 2 ) ] } 1 2 ξ 0 < 0 ， { ± 3 k 1 k 3 } 1 2 ξ 0 = 0. (32) 则非线性高阶薛定谔方程(1)的行波解可表示为 u ( x ， t ) = { { ± 1 2 3 k 1 k 3 [ 1 + tanh ( k 1 ( x − λ t ) − ln ξ 0 2 ) ] } 1 2 e ( x − ω t ) ξ 0 > 0 ， { ± 1 2 3 k 1 k 3 [ 1 + coth ( k 1 ( x − λ t ) − ln ( − ξ 0 ) 2 ) ] } 1 2 e ( x − ω t ) ξ 0 < 0 ， { ± 3 k 1 k 3 } 1 2 e ( x − ω t ) ξ 0 = 0. (33) 3.2. 情形二 在方程(18)中假设 m = 2 ，通过比较两边 Y i ( i = 2 ， 1 ， 0 ) 系数，我们可以得到 a ′ 2 ( X ) = g ( X ) a 2 ( X ) ， (34) a ′ 1 ( X ) = h ( X ) a 2 ( X ) + g ( X ) a 1 ( X ) ， (35) a ′ 0 ( X ) + 2 a 2 ( X ) ( k 1 X + k 2 X 3 + k 5 X 5 ) = h ( X ) a 1 ( X ) + g ( X ) a 0 ( X ) ， (36) a 1 ( X ) ( k 1 X + k 2 X 3 + k 5 X 5 ) = h ( X ) a 0 ( X ) . (37) 由于 a i ( x ) ( i = 0 ， 1 ， 2 ) 是X的一个多项式，我们从方程(34)中可以得出 a 2 ( X ) 是一个常数，且 g ( X ) = 0 。为了方便计算，令 a 2 ( X ) = 1 。通过平衡 h ( X ) ， a 1 ( X ) 和 a 0 ( X ) 的阶数，我们可以得出 deg ( h ( x ) ) = 2 ， deg ( a 1 ( x ) ) = 3 ， deg ( a 0 ( x ) ) = 6 。然后假设 h ( X ) = A X 2 + B X + C ，这里 A ≠ 0 ，有 a 1 ( X ) = 1 3 A X 3 + 1 2 B X 2 + C X + D . (38) a 0 ( X ) = ( 1 18 A 2 − 1 3 k 3 ) X 6 + ( 1 6 A B ) X 5 + ( 1 3 A C + 1 8 B 2 + 1 2 k 2 ) X 4     + ( 1 3 A D + 1 2 B C ) X 3 + ( 1 2 B D + 1 2 C 2 − k 1 ) X 2 + D C X + E . (39) 其中D是积分常数。我们将 a 0 ( X ) ， a 1 ( X ) ， a 2 ( X ) ， h ( X ) 代入方程(37)中，然后通过比较系数可以得到如下代数方程组 { 1 18 A 3 = 2 3 A k 3 2 9 A 2 B = 5 6 B k 3 7 18 A 2 C + 7 24 A B 2 = 5 6 A k 2 + 4 3 C k 3 1 3 A 2 D + A B C + 1 8 B 2 = B k 2 + D k 3 7 6 A B D + 5 6 A C 2 + 1 8 B 2 C = 4 3 A k 1 + 3 2 C k 2 4 3 A C D + 1 2 D B 2 + B C 2 = 3 2 B k 1 + 2 D k 2 3 2 B C D + 1 2 C 2 + A E = 2 C k 1 D C 2 + B E = D k 1 E C = 0 ， (40) 用Maple求解它们，可得到 D = 0 ， B = 0 ， A = ± 2 3 k 3 ， C = ± 2 k 1 ， (41) 这里 k 1 ， k 3 < 0 ，并且满足约束条件 k 1 k 3 = 3 16 k 2 2 . (42) 再把条件(33)代入(17)中，可得 Y = − 1 6 A X 3 − 1 2 C X . (43) 再由方程(7)有 φ ′ ( ξ ) = − 1 6 A φ ( ξ ) 3 − 1 2 C φ ( ξ ) . (44) 同理，我们将 a = − 1 2 C ， b = − 1 6 A ， p = 3 代入方程(30)和(31)中，则方程(44)和(28)有相同的精确解。