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user: 2. 椅式双排桩平面杆系有限元模型 2.1. 基本假定及力学模型 1) 忽略桩土竖向摩擦效应及空间效应，假设椅式双排桩和连梁为平面刚架体系； 2) 为充分发挥椅式双排桩超静定结构特性，不至于使椅式双排桩形成类似于锚拉结构，双排桩净距 B < H 2 tan ( 45 ∘ − φ / 2 ) 。式中： H 2 为基坑开挖深度(m)； φ 为前、后排桩间土的内摩擦角(˚)，对于层状地基采用加权平均内摩擦角； 3) 假设椅式双排桩桩底为铰支或嵌固； 4) 基于椅式双排桩的整体刚度、桩及桩间面板对双排桩之间土体的约束，近似将桩间土视为侧限条件下无限长弹性土体，则作用在前、后排桩上的土压力为 [ 11 ] σ = μ γ z / ( 1 − μ ) 。式中： μ 、 γ 分别为桩间土的泊松比及重度(kN/m 3 )；z为计算点的深度(m)。 5) 在椅式双排桩支护高度范围内，假设桩间土作用于基坑开挖面以上前、后排桩上的土压力为三角形分布，即基坑开挖面处的土压力强度为 p 1 = μ γ H 2 / ( 1 − μ ) ；桩间土作用在基坑开挖面以下前排桩上的土压力为矩形分布，其土压力强度为 p 1 = μ γ H 2 / ( 1 − μ ) 。如图1所示。 6) 结合对悬臂桩土压力分布规律研究，假定作用在椅式双排桩支护结构的后排桩上的土压力可按以下分布形式确定，坑底以上土压力( p 2 )呈三角形或梯形分布，最大值在坑底，坑底至桩底的土压力( p 3 )呈矩形分布。如图1所示。 p 2 = ( γ z + q ) K a − 2 c K a (1) p 3 = ( γ H + q ) K a − 2 c K a (2) 式中：z为计算点至地表的距离(m)；q为地面超载(kN/m 2 )； c ， γ 为坑底以上土的内聚力(kPa)和土的重度(kN/m 3 )，对于层状地基取土的加权平均内聚力和加权平均重度； K a 为主动土压力系数， K a = tan 2 ( 45 − φ / 2 ) ， φ 为坑底以上土的摩擦角(0)，对于层状地基采用加权平均内摩擦角；H为基坑开挖深度(m)， H = H 1 + H 2 ， H 1 为后排桩悬臂高度； H 2 为双排桩支护高度(m)。 将基坑开挖面以下前、后排桩的嵌固段视为弹性地基梁；将开挖面以上的双排桩及连系梁形成的结构视为平面刚架。计算简图如图1所示。 图1. 计算简图 2.2. 椅式双排桩平面杆系有限元模型建立 1) 坑底以下锚固段传递矩阵 对于在水平荷载作用下的单桩以竖向为z轴，以水平方向为x轴，则采用m法求解水平受荷载桩的控制微分方程为： E I d 4 x d z 4 + B m z x = p (3) 式中：E为桩身材料弹性模量(MPa)；I为桩的截面惯性矩(m 4 )；x为桩的横向位移(m)；z为计算点的深度(m)；B为桩的计算宽度(m)；m为地基系数比例系数；p为作用在桩上的土压力(kN/m)。 式(3)是一个变系数的常微分方程，为方便求解，将锚固段分成n段，每段的地基系数 K = m z 用 m z i 代替， z i 为第i段中点的深度(m)。则式(3)变为如下形式的常系数常微分方程： E I d 4 x d z 4 + 4 α i 4 x = p i (4) 式中： α i 为桩的变形系数， α i = m z i B / ( 4 E I ) 4 ， p i 为作用在第i段上土压力(kN/m)。 由微分方程理论可得式(4)的解为： x i = x i − 1 A 1 z + φ ϕ i − 1 α i B 1 z + M i − 1 α i 2 E I C 1 z + Q i − 1 α i 3 E I D 1 z + p i 4 α i 4 φ i = α i [ x i − 1 A 2 z + φ i − 1 α i B 2 z + M i − 1 α i 2 E I C 2 z + Q i − 1 α i 3 E I D 2 z ] M i α i 2 E I = x i − 1 A 3 z + φ i − 1 α i B 3 z + M i − 1 α i 2 E I C 3 z + Q i − 1 α i 3 E I D 3 z Q i α i 3 E I = x i − 1 A 4 z + φ i − 1 α i B 4 z + M i − 1 α i 2 E I C 4 z + Q i − 1 α i 3 E I D 4 z } (5) 式中： x i ， φ i ， M i ， Q i 分别为锚固段桩身i截面的位移(m)、转角(rad)、弯矩(kN∙m)和剪力(kN)； p i 为作用在第i段上土压力(kN/m)。 A k z ， B k z ， C k z ， D k z ( k = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 为无量纲影响系数。 A = 1 z cos ( α i z ) ch ( α i z ) B 1 z = [ sin ( α i z ) ch ( α i z ) + cos ( α i z ) sh ( α i z ) ] / 2 C 1 z = sin ( α i z ) sh ( α i z ) / 2 D 1 z = [ sin ( α i z ) ch ( α i z ) − cos ( α i z ) sh ( α i z ) ] / 4 } A 2 z = − 4 D 1 z ; A 3 z = − 4 C 1 z ; A 4 z = − 4 B 1 z B 2 z = A 1 z ; B 3 z = − 4 D 1 z ; B 4 z = − 4 C 1 z C 2 z = B 1 z ; C 3 z = A 1 z ; C 4 z = − 4 D 1 z D 2 z = C 1 z ; D 3 z = B 1 z ; D 4 z = A 1 z } 为便于程序实现，可将式(5)写成矩阵形式如下： { u i } = [ H i ] { u i − 1 } + { P i } (6) 式中： { H i } 为传递矩阵； { u i } = { x i φ i M i Q i } ； { P i } = { p i / ( 4 α i 4 ) 0 0 0 } ； [ H i ] = [ H 1 ] ⋅ [ H 2 ] ⋅ [ H 3 ] 。 [ H 1 ] = [ 1 0 0 0 0 α i 0 0 0 0 α i 2 E I 0 0 0 0 α i 3 E I ] [ H 2 ] = [ A 1 z A 2 z A 3 z A 4 z B 1 z B 2 z B 3 z B 4 z C 1 z C 2 z C 3 z C 4 z D 1 z D 2 z D 3 z D 4 z ] [ H 3 ] = [ 1 0 0 0 0 1 / α i 0 0 0 0 1 / ( α i 2 E I ) 0 0 0 0 1 / ( α i 3 E I ) ] 由式(6)可看出：如果已知 i − 1 截面的内力及位移，就可求出i截面的内力和位移。设锚固段顶(坑底处)的位移及内力为 { u 0 } ，由各段节点处的位移连续性条件及节点力平衡条件可得： { u n } = ∏ i = n 1 [ H i ] { u 0 } + ∏ i = n 2 [ H i ] { P 1 } + ⋯ + ∏ i = n j [ H i ] { P j − 1 }     + ⋯ + ∏ i = n n [ H i ] { P n − 1 } + { P n } (7) 问题的边界条件为： 桩 底 为 铰 支 时 : M n = 0 ， x n = 0 桩 底 为 固 支 时 : x n = 0 ， φ n = 0 } (8) 将式(8)代入式(7)，即可求得锚固段和截面的位移及内力。 2) 坑底以上受荷段刚度矩阵 在椅式双排桩支护结构坑底以上的受荷段，任取一平面刚架单元，在单元局部坐标系下，杆端力及杆端位移关系可写成如下形式： { F } e = [ k ] e { δ } e (9) 式中： { F } e = { Q i M i Q j M j } 为平面刚架杆端节点力列阵； { δ } e = { x i φ i x j φ j } 为平面刚架杆端节点位移列阵； { k } e 为平面刚架单元刚度矩阵。 [ k ] e = [ 12 E I / l 3 6 E I / l 2 − 12 E I / l 3 6 E I / l 2 6 E I / l 2 4 E I / l − 6 E I / l 2 2 E I / l − 12 E I / l 3 − 6 E I / l 2 12 E I / l 3 − 6 E I / l 2 6 E I / L 3 2 E I / l − 6 E I / l 2 4 E I / l ] 由平面刚架单元节点位移连续性条件及平衡条件可得椅式双排桩支护结构坑底以上的受荷段整体刚度方程： { F } = [ k ] { δ } (10) 式中： { F } 为椅式双排桩支护结构坑底以上的受荷段节点荷载列阵； { δ } 为椅式双排桩支护结构坑底以上的受荷段节点位移列阵； { k } 为椅式双排桩支护结构坑底以上的受荷段整体刚度矩阵。 3) 椅式双排桩整体刚度矩阵 采用坑底以下锚固段与坑底以上受荷段交界面处的位移连续性条件及平衡条件，结合式(7) (10)可将椅式双排桩支护结构整体刚度方程写成如下形式： { F } = [ K ] { δ } (11) 式中： { K } 为椅式双排桩支护结构整体刚度矩阵。由式(7) (11)可看出，如果已知椅式双排桩支护结构的节点力，就可求出相应的节点位移。