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user: 4. 模型的建立与求解 4.1. 问题一 分析题目可知，本题研究的是一种二维CT系统，它是利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像。附录1是两个均匀介质组成的标定模板的吸收率数据，与之对应的附录2是用二维CT系统测量的接收信息，由此可以由吸收率和接收信息的对应关系得到CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向。 4.1.1. 探测器单元距离的确定 通过对附录2中180个探测方向接收信息的数据分析得到图2。 180个探测方向经过均匀的小圆介质时的有接收信息的探测器个数N固定，即： N = 29 由已知标定模板的几何信息可得到小圆介质的直径 d c = 8   mm 图1. 符号说明图 图2. 探测方向接收信息示意图 平行入射的X射线垂直于探测器平面，每个探测器单元看成一个接收点，且等距排列。由 D 1 = d c N (1) 解得，探测器单元之间的距离 D = 0.2759   mm 4.1.2. 旋转中心和X射线180个方向的确定 以正方形托盘的几何中心为坐标原点O，以椭圆的长轴为y轴，椭圆的短轴为x轴，在标定模板上建立如图3所示坐标系： 设O'点为旋转中心，且某一过CT旋转中心的射线所在直线为： y = k x + b 。 当斜率为k的多条X射线射入椭圆时，记与椭圆相切的两条直线为 l ′ ， l ″ 。记两切线的距离为d。坐标原点到一条切线的距离为d'，与x轴夹角为 θ 。利用两切线距离和椭圆方程联立方程组 { d = 2 | 40 2 y 0 | 64 2 x 0 2 9 2 y 0 2 + 1 x 0 2 15 2 + y 0 2 40 2 = 1 (2) 得到切点 ( x 0 ， y 0 ) ，进而得到切线的斜率k和与x轴的夹角 θ θ = arctan ( 64 x 0 9 y 0 ) (3) 进而求得一条切线方程为 y = 64 x 0 9 y 0 x + d ′ cos θ (4) 1) 求旋转中心的确定 为了减小误差，我们将探测得到的180个数据采用系统抽样的方法选取20条不同方向的角度数据(表1)。 通过上述方法求得20条切线，两两求其交点，然后计算横纵坐标的平均值，得到旋转中心为(−9.2427， 5.7939)。 2) X射线180个方向的确定 图3. 坐标系示意图 通过上述方法求得各个方向的射线与x轴的夹角 θ ，然后求相邻两个角度的差即为转动一次所转的角度。最终得到如下表2所示的该CT系统使用的X射线的180个方向。该方向表示该次旋转的X射线与所建立坐标系x轴的夹角(图4)。 由以上数据可以得出，X射线的每次探测所转的角度并不均匀，180次探测总共转过了179.0247°，平均每次绕逆时针旋转0.9946°。 4.2. 问题二 CT图像重建算法有二维傅里叶变换法、反投影法、迭代法、拟合逼近法等，其中较常用的有反投影法中的滤波反投影算法(FBP)和代数重建算法(ART) [ 1 ] 。基于问题一的模板，我们用这两种方法对图形进行重建，然后比较这两种算法的优劣，选择一种较优方法解决问题二。 Table 1 20 public tangential angle 旋转次序 角度 旋转次序 角度 1 −51.0650 … … 10 −41.8242 100 39.2217 19 −38.4592 109 37.6796 28 −33.5866 118 47.4204 37 −24.9076 127 56.8348 46 −16.3204 136 64.7967 55 −7.2688 145 70.5342 64 −5.1380 154 71.6144 73 12.6172 163 112.5657 82 20.7057 172 120.0007 … … 91 29.9981 表1. 20条公切线倾斜角 Table 2 CT system rotation angl 旋转次序 角度 旋转次序 角度 1 −51.0650 … … 2 −49.7522 171 118.7321 3 −49.4255 172 120.0007 4 −48.4280 173 120.9502 5 −47.0809 174 121.8991 6 −46.0605 175 122.8484 7 −45.0229 176 123.7993 8 −43.9739 177 124.4344 9 −42.9076 178 125.7092 10 −41.8242 179 126.6701 … … 180 127.9597 表2. CT系统旋转角度 图4. CT系统旋转示意图 4.2.1. 平行束投影及其反演 在理想条件下，探测器的射线穿过厚度为L的均匀固体介质后，由Beer-Lambert定律知，探测器探测到的光子数I满足 [ 2 ] ： I = I 0 exp ( − μ L ) (5) 若介质分布不均匀，则用 μ ( x ) 表示介质在点 x = ( x 1 ， x 2 ) 处对射线的线性衰减系数，通过积分得 I ( L ) = I 0 exp ( − ∫ L μ ( x 1 ， x 2 ) d l ) (6) CT反演问题：利用CT系统的平行束射线探测未知介质，得到未与介质作用的光子数，进而重建介质各点的线性衰减系数 μ ( x 1 ， x 2 ) 的值。因为线性衰减系数与介质的厚度和密度有线性关系，所以可以反映出未知介质的几何形状。 4.2.2. 滤波反投影算法(FPB) 滤波反投影算法的基础是中心切片定理和傅里叶变换法。 1)中心切片定理 密度函数 f ( x ， y ) 在某一方向上的投影函数 P 0 ( P ) 的一维傅立叶变换函数， P ( ρ ) 是原密度函数 f ( x ， y ) 的二位傅里叶函数 F ( ρ ， θ ) 在 ( ρ ， θ ) 平面沿同一方向的直线上的值。 2)傅里叶变换法 极坐标形式的二维逆傅里叶变换为 μ ( x ) = ∫ 0 2π ∫ 0 + ∞ μ ¯ ( ω ϕ ) e i 2 π x ⋅ ( ω ϕ ) ω d ω d φ (7) 其中 μ ¯ ( ω ϕ ) = ∬ R 2 μ ( x ) e − i 2 π x ⋅ ( ω ϕ ) d x (8) 重建公式 μ ( x ) = ∫ 0 n [ ∫ − ∞ + ∞ p ˜ ( k ， b ) | w | W ( ω ) e − i 2 π r w d w ] r = x φ d ϕ (9) 其中 ϕ = ( x ， y ) ， p ˜ ( ω ， φ ) = ∫ − ∞ + ∞ p ( k ， b ) e − i 2 π r ω ， W ( ω ) 是窗口函数。 滤波反投影的重建公式为 μ ( x ) = ∫ 0 π [ ∫ − ∞ + ∞ p ˜ ( ω ， φ ) | ω | W ( ω ) e i 2 π r ω d ω ] r = x ⋅ ϕ d φ (10) 其中 p ˜ ( ω ， φ ) 是 p ( r ， φ ) 关于变量r的Fourier变换，即 p ˜ ( ω ， φ ) = ∫ − ∞ + ∞ p ( r ， φ ) e − i 2 π r ω d r (11) 采用滤波反投影算法(FPB)，结合Matlab编程(程序见附录)可以利用所接收的信息重建标定模板的CT图像，如图5。 4.2.3. 代数重建算法(ART) 代数重建算法重建CT图像的主要步骤： 1) 对X赋值 X = X (0) 2) 沿逐条射线迭代 X ( i ) = X i − 1 + λ ( k ) ( b ‖ A i ‖ − A i ‖ A i ‖ X ( i − 1 ) ) A i T ‖ A i ‖ ，   i = 0 ， 1 ， ⋯ ， I (12) 3) 反复计算(2)式，直到满足一定的收敛条件，比如判断 ‖ A X ( k ) − B ‖ 2 = ∑ i = 1 I ( A i X ( k ) − b i ) 2 是否小于给定的阈值 [ 3 ] 。 采用代数重建算法(ART)，结合Matlab编程(程序见附录)可以利用附录2所给的接收信息重建标定模板的CT图像，如图6。 图5. FPB重建标定模板的CT图像 图6. 代数重建算法标定模板的CT图像 4.2.4. CT重建图像噪声分析 噪声是指在均匀物体影像中CT值在平均值上下的随机涨落，其数值可用CT值的标准偏差SD表示 S D = ∑ i = 1 N ( X i − X ¯ ) 2 N − 1 (13) 其中 N 为像素总数， X i 为每个像素的CT值， X ¯ 为所有像素CT值的平均值。 利用滤波反投影算法求得： 平均像素 X 1 ¯ = 0.4901 方差 S D 1 = 0.0065 ； 利用代数重建算法求得：平均像素 X 2 ¯ = 0.3136 ，方差 S D 2 = 0.0313 由此可以看出利用FBP反演公式的SD值较小，CT值曲线变化波动较小，重建后的图像的噪声较小(图7)。 4.2.5. 模型求解 通过CT系统重建图像噪声分析可以得出滤波反投影算法，T值曲线变化波动较小，重建后的图像的噪声较小，故将附录3未知介质的接收信息采用滤波反投影算法得到如下的重建图像： 如图8所示，该介质放置于 100 × 100   mm 的正方形模板上，CT旋转中心位于图中白圈所在的位置，图中越偏暖色，吸收强度越强，此处介质密度也越大。该介质在该断层面面呈椭圆形，其中存在两个椭圆形空腔，两个密度较大的椭圆状部分。10个位置处的吸收率如表3所示，该介质的吸收率附在数据文件problem2.xls。 4.3. 问题三 附录5是利用上述CT系统得到的另一个未知介质的接收信息。通过CT系统重建图像噪声分析可以得出滤波反投影算法，重建后的图像的噪声较小，故将附录5未知介质的接收信息采用滤波反投影算法得到如下的重建图像： 图7. CT值变化曲线 图8. 问题二重建图像 Table 3 Absorption rates at 10 locations in question 位置 吸收率 (10， 18) 0.0116 (34.5， 25) 0.5075 (43.5， 33) 0.0000 (45， 75.5) 0.5860 (48.5， 55.5) 0.5079 (50， 75.5) 0.7329 (56， 76.5) 0.6364 (65.5， 37) 0.0026 (79.5， 18) 0.0184 (98.5， 43.5) 0.0134 表3. 问题二中10个位置的吸收率 如图9所示，该介质放置于 100 × 100   mm 的正方形模板上，CT旋转中心位于图中白圈所在的位置，图中越偏暖色，吸收强度越强，此处介质密度也越大。该介质未知介质断层的形状不规则，每点的吸收率分布不均匀。10个位置处的吸收率如表4所示，该介质的吸收率附在数据文件problem3.xls。 图9. 问题三重建图像 Table 4 Absorption rates at 10 locations in problem 位置 吸收率 (10，18) 0.0003 (34.5，25) 1.2443 (43.5，33) 3.5034 (45，75.5) 0.0351 (48.5，55.5) 0.0000 (50，75.5) 1.6485 (56，76.5) 3.0078 (65.5，37) 0.0000 (79.5，18) 3.8206 (98.5，43.5) 0.0000 表4. 问题三中10个位置的吸收率 4.4. 问题四 4.4.1. 问题一中参数标定的精度 为了得到问题一中参数标定的误差，我们以原标定模板中的椭圆和圆的两个中心的距离 Δ x 为参考。通过问题一中的重建公式，可以得到利用滤波反投影算法重建后图像的椭圆和圆中心的坐标，进而求得两个中心的距离 Δ x ′ 。从而得到重建图像和原图像的相对误差 α α = | Δ x ′ − Δ x | Δ x × 100 % 问题一得 Δ x = 45 ， Δ x ′ = 44.7802 ， α = 0.4884 % 。相对误差小于1%，参数标定的精度较高。 4.4.2. 问题一中参数标定的稳定性 为了判断参数标定的稳定性，我们利用刻画均匀物体影像中CT值在平均值上下的随机涨落的噪声指标，其数值可用CT值的标准偏差SD表示 S D = ∑ i = 1 N ( X i − X ¯ ) 2 N − 1 (14) 其中N为像素总数， X i 为每个像素的CT值， X ¯ 为所有像素CT值的平均值。 利用滤波反投影算法所求得平均像素 X 1 ¯ = 0.4901 ，方差 S D 1 = 0.0065 。 4.4.3. 设定新的标定模板 在CT成像系统的接收过程中，必定存在误差。其中误差主要来源于机械误差的精度以及利用标定模板，在成像过程中获取像素坐标时引起的误差。为了改进参数标定的精度和稳定性，我们在Catphan体模的基础上加以改进，得到如下图10所示的新的标定模板。 得 Δ x = 20 ， Δ x ′ = 19.9219 ， α = 0.3906 ， S D 1 = 0.0000 。 新模板的相对误差较原模板的小，因此新模板的参数标定的精度较高，稳定性更高(表5)。