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user: 4. 应用研究 4.1. 研究区域 长江上游汇集众多支流，主要是左岸的雅砻江、岷江、沱江和嘉陵江，右岸的乌江。雅砻江汇入金沙江，因此，本研究考虑了金沙江，而不考虑雅砻江。金沙江、岷江、沱江、嘉陵江、乌江从上游到下游的五个测站分别是屏山、高场、李家庄、北碚、武隆，采用各站1951年至2007年的日平均流量数据进行计算。采用年最大取样方法，应用最大熵原理方法获得边缘分布。Kendall和Pearson相关系数的计算结果如表1所示。 假设边缘分布是正态分布，通过正态分布和POME方法估计河流的边缘概率密度函数，如图1所示，可以看出，对于岷江和乌江，POME估计的分布所拟合经验分布的效果优于正态分布，两江数据表现出较高的峰度和偏度，所以在这种情况下，正态分布的假设是不合适的，然而，线性相关方法主要取决于边缘分布是正态分布的假设，因此，选择POME方法获得边缘分布是更加合理的。 Table 1 Dependence measures for the upper Yangtze River， China， based on annual maximum dat 河流 金沙江 嘉陵江 岷江 沱江 乌江 金沙江 1.00 −0.08 0.11 0.13 0.12 嘉陵江 −0.12 1.00 0.03 0.18 −0.15 岷江 0.16 0.13 1.00 0.36 0.01 沱江 0.19 0.37 0.50 1.00 −0.05 乌江 0.16 −0.26 −0.02 −0.10 1.00 表1. 上游长江年最大值的相关性 注：右上角元素是Kendall相关系数；左下角元素是Pearson相关系数。 图1. 通过POME方法和正态分布拟合的结果 4.2. 拟合优度检验 本文利用AIC准则对所生成的联合分布进行拟合优度检验，结果可以判断Copula能否可以很好的体现出变量之间的相关性，其中最小AIC为Copula函数选取的重要依据。AIC可以通过计算极大似然值或函数的均方误差来得到 [ 7 ] ，在一般情况下，AIC可以表示为： AIC = 2 k − 2 ln ( L ) (10) 式中：k为统计模型中的参数的数量，L为估计模型的极大似然值。 4.3. 双变量模型 首先，确定长江上游任何两条河流的联合分布，根据该区域的5条河流，建立了10个双变量联合分布。Gumbel、Clayton、Frank、Normal和Student t Copula分别用于模拟五个站之间的相关关系。利用伪极大似然法估计这些Copula的参数，AIC值用于选择最合适的Copula函数。 所选的Copula和它们的参数如表2。一般来说，阿基米德Copula比椭圆Copula能更好的拟合联合分布函数。由Genest等人定义的Cramer-von Mises函数S n (2009)用于拟合优度检验，计算其相应的P值，如表2所示，结果表明所选择的双变量Copula可用于模拟站点之间的相关关系。 分别用多重积分法和蒙特卡罗法计算Copula熵，对于第一种方法，采用Berntsen等人在1991年提出的多重积分法进行计算；对于第二种方法，产生10000对u，并计算 ln [ c ( u ) ] 的平均值，这两种方法的计算结果如表3 Table 2 Selections of copulas and determination of the parameter 参数 Copula 金沙江 嘉陵江 岷江 沱江 乌江 金沙江 — Frank Clayton Clayton Clayton 嘉陵江 −0.74(0.71) — Gumbel Gumbel Normal 岷江 0.41(0.60) 1.09(0.10) — Clayton t 沱江 0.43(0.49) 1.23(0.94) 1.21(0.38) — Frank 乌江 0.30(0.39) −0.25(0.91) 0.04， 2.0(0.81) −0.45(0.94) — 表2. Copula的选择和参数的确定 注：右上角元素是选择的Copula；左下角元素是相对应的参数；括号中的值为P值。 Table 3 Total correlation values of two tributaries in upstream Yangtze Rive 总相关性 金沙江 嘉陵江 岷江 沱江 乌江 金沙江 1 0.008 0.053 0.057 0.032 嘉陵江 0.009 1 0.013 0.056 0.032 岷江 0.049 0.014 1 0.245 0.083 沱江 0.055 0.054 0.235 1 0.003 乌江 0.033 0.033 0.085 0.004 1 表3. 长江上游两条支流的总相关值 注：右上角元素是多重积分法的值；左下角元素是蒙特卡罗法的值。 所示，结果表明两种计算结果相似。从表3中还可看出，总相关值并不大。与Pearson和Kendall相关性系数相比，Copula熵计算出的总相关性都为大于0的值，且一般小于前两种方法估计的值，根据总相关性的定义，Copula熵计算出的值更加可靠。对于Normal Copula，总相关可以表示为 [ 8 ] ： I N = − 1 2 log ( 1 − ρ 2 ) (11) 式中：ρ是Pearson相关系数。 为了评估所提出方法的合理性，采用等式(11)和提出的两种方法分别计算Normal Copula的总相关性。对于双变量的情况，可以采用Pearson相关系数来估计Normal Copula的参数，这三种方法的计算结果如表4所示，结果表明通过这三种方法计算的总相关性非常接近。因此，对特定情况的分析，可以证明所提出的方法是合理的，并且可以用于相关性的分析计算。 4.4. 多变量模型 阿基米德类的三维Gumbel、Clayton和Frank Copula以及椭圆类的Normal Copula和t Copula可用于模拟三个站之间的相关性特征。由于不对称的阿基米德Copula只能模拟正相关，对有负相关的情况，只能采用Normal Copula和t Copula建立联合分布。利用多重积分法计算得到的总相关性结果如表5所示，表中是具有代表性的组合情况，结果表明，当选择不同的Copula函数时，总相关值存在差异，因此，选择合适的Copula函数对于估计变量之间的总相关性是十分重要的。 建立四条河流的联合分布，由于复杂的相关性结构，采用椭圆Copula，即Normal Copula和t Copula。利用伪极大似然法估计参数，估计的参数如表6所示。从表6可以看出，金沙江、岷江、沱江和嘉陵江的最大总相关性为0.36。由于金沙江、岷江、嘉陵江、沱江河流存在较大相关性，因此，这几天河流有洪水遭遇的可能， Table 4 Comparisons of total correlation of Gaussian correlated variables in different method ρ − 1 2 ln ( 1 − ρ 2 ) 方法 多重积分法 蒙特卡罗法 −0.9 0.8304 0.8305 0.8395 −0.7 0.3367 0.3276 0.3373 −0.5 0.1438 0.1438 0.1306 −0.3 0.0472 0.0472 0.0474 −0.1 0.0050 0.0050 0.0055 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.1 0.0050 0.0050 0.0053 0.3 0.0472 0.0472 0.0448 0.5 0.1438 0.1438 0.1473 0.7 0.3367 0.3276 0.3276 0.9 0.8304 0.8305 0.8305 表4. 不同方法中相关变量之间的总相关性的比较 Table 5 Total correlation analysis of trivariate joint distributio 编号 河流 Copula θ1 ρ1 θ2 ρ1 ρ3 υ AIC 总相关 1 金沙江 嘉陵江 岷江 Normal −0.12 0.23 0.12 1.58 0.05 t −0.13 0.23 0.1 16.97 1.53 0.05 2 金沙江 岷江 沱江 Gumbel 1.17 1.17 0.01 0.1 1.06 1.53 −2.14 0.19 Frank 1.41 1.41 −0.57 0.076 0.68 3.75 −2.34 0.17 Clay 0.52 0.52 −2.36 0.19 0.32 1.19 −3.16 0.28 Normal 0.24 0.28 0.59 −1.94 0.26 t 0.22 0.23 0.57 7.7 −1.99 0.25 3 金沙江 沱江 乌江 Normal 0.28 0.22 −0.009 0.87 0.07 t 0.26 0.22 −0.02 65.51 0.90 0.06 4 嘉陵江 岷江 沱江 Gumbel 1.24 1.24 −1.65 0.16 1.15 1.53 −2.49 0.22 Frank 1.73 1.73 −1.37 0.11 0.99 3.73 −2.44 0.18 Clay 0.48 0.48 −1.86 0.17 0.24 1.21 −3.01 0.27 Normal 0.14 0.34 0.58 −2.10 0.27 t 0.07 0.32 0.56 5.42 −2.22 0.29 5 嘉陵江 沱江 乌江 Normal 0.35 −0.25 −0.03 0.10 0.1 t 0.33 −0.24 −0.03 26.73 0.09 0.1 表5. 三维联合分布的总相关性分析 注：v表示这些模型的最大似然值，下同。 Table 6 Total correlation analysis of four-dimensional joint distributio 编号 河流 Copula ρ 1 ρ 2 ρ 3 ρ 4 ρ 5 ρ 6 υ AIC 总相关性 1 金沙江 嘉陵江 岷江 沱江 Normal −0.11 0.24 0.27 0.13 0.34 0.58 0.48 0.33 t −0.13 0.24 0.25 0.09 0.33 0.57 7.94 1.39 0.36 2 金沙江 嘉陵江 岷江 乌江 Normal −0.13 0.23 0.22 0.12 −0.25 0.04 3.09 0.10 t −0.13 0.22 0.17 0.08 −0.24 0.05 11.24 3.91 0.10 3 金沙江 嘉陵江 沱江 乌江 Normal −0.12 0.27 0.22 0.34 −0.25 −0.02 1.87 0.18 t −0.12 0.26 0.21 0.33 −0.25 −0.03 57.63 2.88 0.19 4 嘉陵江 岷江 沱江 乌江 Normal 0.13 0.34 −0.25 0.58 0.03 −0.03 0.68 0.31 t 0.06 0.29 −0.22 0.56 0.04 −0.03 5.49 1.47 0.29 5 金沙江 岷江 沱江 乌江 Normal 0.24 0.28 0.22 0.59 0.04 −0.01 0.87 0.29 t 0.21 0.21 0.17 0.58 0.08 −0.04 5.81 1.68 0.31 表6. 四维联合分布的总相关性分析 Table 7 Total correlation analysis of five-dimensional joint distributio Copula ρ 1 ρ 2 ρ 3 ρ 4 ρ 5 ρ 6 ρ 7 ρ 8 ρ 9 ρ 10 υ AIC 总相 关性 Normal −0.11 0.24 0.27 0.22 0.13 0.33 −0.25 0.59 0.03 −0.02 4.21 0.39 t −0.13 0.23 0.25 0.17 0.09 0.31 −0.24 0.57 0.06 −0.03 8.86 5.11 0.39 表7. 五维联合分布的总相关性分析 且对三峡的防洪构成了威胁。 建立了五条河流的联合分布，使用椭圆Copula，估计的参数如表7所示。计算的Normal Copula和t copula的总相关值为0.39，大于四变量总相关值。