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user: 2. 几个引理 引理1 [ 9 ] ：设 f ( z ) 是 { z | | z | < R } 内的亚纯函数。若 f ( 0 ) ≠ 0 ， ∞ ，则对于 0 < r < ρ < R 有 m ( r ， f ′ f ) ≤ 4 log + T ( ρ ， f ) + 4 log + ρ + 3 log + 1 ρ − r + 2 log + 1 r + 4 log + log + 1 | f ( 0 ) | + 10 。 引理2 [ 9 ] ：对于 x > 0 ， A ≥ e ，则有 log x + A log + log + 1 x ≤ log + x + A ( log A − 1 ) 。 引理3 [ 4 ] ：设 f ( z ) 为复平面上的超越亚纯函数。若 0 < δ < 1 ，当 r k → + ∞ ( k → ∞ ) 时， T ( r k ， f ) = ( 2 2 − δ ) k ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ) ，则集合 { a : Δ 1 ) ( a ， f ) > δ } 含于集 { a : 1 − lim _ k → ∞ N 1 ) ( r k ， a ) T ( r k ， f ) > δ 2 } 。 证：如果对某个复数a有 Δ 1 ) ( a ， f ) > δ ，则一定存在一列 ρ 趋于 ∞ ，使得对每个 ρ 都有 T ( ρ ， f ) − N 1 ) ( ρ ， a ) > δ ′ T ( ρ ， f ) ，     ( δ ′ > δ ) 。 对于每个 ρ 都存在相应的k，使得 r k ≤ ρ < r k + 1 ，则 T ( r k ， f ) − N 1 ) ( r k ， a ) ≥ 2 − δ 2 T ( r k + 1 ， f ) − N 1 ) ( ρ ， a ) ≥ 2 − δ 2 T ( ρ ， f ) − N 1 ) ( ρ ， a ) = 1 2 { 2 [ T ( ρ ， f ) − N 1 ) ( ρ ， a ) ] − δ T ( ρ ， f ) } ≥ δ ′ 2 T ( r k ， f ) ≥ δ 2 T ( r k ， f ) 于是存在一列值 r k 使得上式成立。证毕。 引理4 [ 4 ] ：设 f ( z ) 为复平面上的亚纯函数， a ν ( ν = 1 ， 2 ， ⋯ ， q ) 为q个判别的有穷复数，记 d = min 1 ≤ μ < ν ≤ q | a μ − a ν | 。如果 f ( 0 ) ≠ 0 ， a ν ， ∞ ； f ′ ( 0 ) ≠ 0 ，则有 ∑ ν = 1 q { T ( r ， f ) − N 1 ) ( r ， a ν ) } ≤ 4 T ( r ， f ) + S ( r ， f ) 。 其中 S ( r ， f ) = 2 m ( r ， f ′ f ) + 2 m ( r ， ∑ ν = 1 q f ′ f − a ν ) + ∑ ν = 1 q log | f ( 0 ) − a ν | + 2 log 1 | f ′ ( 0 ) | + ∑ ν = 1 q log + | a ν | + 2 q log + 3 q d + ( q + 2 ) log 2 证：根据Nevanlinna第二基本定理 [ 8 ] ∑ ν = 1 q m ( r ， a ν ) ≤ 2 T ( r ， f ) − N 1 ( r ) + S 1 ( r ， f ) 。 其中 N 1 ( r ) = 2 N ( r ， f ) − N ( r ， f ′ ) + N ( r ， 1 f ′ ) ， S 1 ( r ， f ) = m ( r ， f ′ f ) + m ( r ， ∑ ν = 1 q f ′ f − a ν ) + log 1 | f ′ ( 0 ) | + q log + 3 q d + log 2 。 (1) 可得到 ∑ ν = 1 q T ( r ， 1 f − a ν ) ≤ 2 T ( r ， f ) + ∑ ν = 1 q N ¯ ( r ， a ν ) + S 1 ( r ， f ) 。 设 N ( 2 ( r ， a ) = N ( r ， a ) − N 1 ) ( r ， a ) ，以及 N ¯ ( 2 ( r ， a ) = N ¯ ( r ， a ) − N 1 ) ( r ， a ) ，可以得到 N ¯ ( 2 ( r ， a ) ≤ 1 2 N ( 2 ( r ， a ) 。则有 N ¯ ( r ， a ν ) = N 1 ) ( r ， a ν ) + N ¯ ( 2 ( r ， a ν ) ≤ N 1 ) ( r ， a ν ) + 1 2 N ( 2 ( r ， a v ) ≤ 1 2 N 1 ) ( r ， a ν ) + 1 2 T ( r ， 1 f − a ν ) ，   ( ν = 1 ， 2 ， ⋯ ， q ) 。 从而可得 ∑ ν = 1 q { T ( r ， 1 f − a ν ) − N 1 ) ( r ， a ν ) } ≤ 4 T ( r ， f ) + 2 S 1 ( r ， f ) ， (2) 且 T ( r ， 1 f − a ν ) = T ( r ， f − a ν ) + log 1 | f ( 0 ) − a ν | ≥ T ( r ， f ) − log + | a ν | − log 2 + log 1 | f ( 0 ) − a v | ， (3) 将(1)和(3)带入(2)，即可得到引理4的结论。证毕。 引理5：设 f ( z ) 是复平面上满足 lim ¯ r → ∞ log T ( r + 1 T ( r ， f ) ， f ) log T ( r ， f ) < + ∞ 的亚纯函数， a ν ( ν = 1 ， 2 ， ⋯ ， q ; q > 4 ) 为q个互相判别的有穷复数， d = min 1 ≤ μ < ν ≤ q | a μ − a ν | 。如果 f ( 0 ) ≠ 0 ， a ν ， ∞ ； f ′ ( 0 ) ≠ 0 ，则存在充分大的正数 r 0 ，且 r 0 > max { e ， | f ( 0 ) | ， 1 | f ( 0 ) | ， 1 | f ′ ( 0 ) | } ，使得当 r ≥ r 0 时，有 ∑ ν = 1 q { T ( r ， f ) − N 1 ) ( r ， a ν ) } ≤ 4 T ( r ， f ) + 2 ( q + 1 ) ( 4 M + 7 ) log T ( r ， f ) + [ ( 8 M + 71 ) q + 48 ] log r                                                                     + 8 ( M + 2 ) ∑ ν = 1 q log + | a ν | + 2 q log + 3 q d 。 证：由引理4可得，我们只要对其中的 S ( r ， f ) 进行适当的估计即可。 由于 lim ¯ r → ∞ log T ( r + 1 T ( r ， f ) ， f ) log T ( r ， f ) < + ∞ ， 不妨设 lim ¯ r → ∞ log T ( r + 1 T ( r ， f ) ， f ) log T ( r ， f ) = M ， M > 0 为常数。 当r充分大时， log T ( r + 1 T ( r ， f ) ， f ) log T ( r ， f ) < M + 1 ，故 log T ( r + 1 T ( r ， f ) ， f ) < ( M + 1 ) log T ( r ， f ) 。取 r 0 适当大使得 r 0 > max { e ， | f ( 0 ) | ， 1 | f ( 0 ) | ， 1 | f ′ ( 0 ) | } ，且 T ( r ， f ) ≥ 1 。当 r 0 < r < R = r + 1 T ( r ， f ) 时，根据引理1可得 m ( r ， f ′ f ) ≤ 4 log + T ( R ， f ) + 4 log + R + 3 log + 1 R − r + 2 log + 1 r + 4 log + log + 1 | f ( 0 ) | + 10 ≤ 4 ( M + 1 ) log + T ( r ， f ) + 4 log + ( r + 1 T ( r ， f ) ) + 3 log + T ( r ， f ) + 2 log + 1 r + 4 log + log + 1 | f ( 0 ) | + 10 ≤ 4 ( M + 1 ) log + T ( r ， f ) + 18 log + r + 3 log + T ( r ， f ) + 4 log + log + 1 | f ( 0 ) | = 4 ( M + 7 ) log T ( r ， f ) + 18 log r + 4 log + log + 1 | f ( 0 ) | 对于项 m ( r ， ∑ ν = 1 q f ′ f − a ν ) ，有 m ( r ， ∑ ν = 1 q f ′ f − a ν ) ≤ ∑ ν = 1 q m ( r ， f ′ f − a v ) + log q ≤ ( 4 M + 7 ) q log T ( r ， f ) + ( 4 M + 7 ) ∑ ν = 1 q log + | a ν | + ( 4 M + 7 ) q log 2     + 18 q log r + 4 ∑ ν = 1 q log + log + 1 | f ( 0 ) − a ν | + log q ≤ ( 4 M + 7 ) q log T ( r ， f ) + 4 ∑ ν = 1 q log + log + 1 | f ( 0 ) − a ν | + ( 4 M + 7 ) ∑ ν = 1 q log + | a ν | + ( 4 M + 25 ) q log r + log q 由 r > r 0 ，且 r 0 > max { e ， | f ( 0 ) | ， 1 | f ( 0 ) | ， 1 | f ′ ( 0 ) | } ，可以看出 8 log + log + 1 | f ( 0 ) | ≤ 8 log + 1 | f ( 0 ) | ≤ 8 log r ， ( r ≥ r 0 ) ， log 1 | f ′ ( 0 ) | ≤ log r ， log | f ( 0 ) − a ν | + 8 log + log + 1 | f ( 0 ) − a v | ≤ log + | f ( 0 ) − a ν | + 8 ( log 8 − 1 ) ≤ log + | f ( 0 ) | + log + | a ν | + 17 < 18 log r + log + | a ν | ， ( r ≥ r 0 ) 。 则当 r ≥ r 0 时， S ( r ， f ) 就有如下的估计： S ( r ， f ) = 2 m ( r ， f ′ f ) + 2 m ( r ， ∑ ν = 1 q f ′ f − a ν ) + ∑ ν = 1 q log | f ( 0 ) − a ν |     + 2 log 1 | f ′ ( 0 ) | + ∑ ν = 1 q log + | a ν | + 2 q log + 3 q d + ( q + 2 ) log 2 ≤ 2 [ ( 4 M + 7 ) log T ( r ， f ) + 18 log r + 4 log + log + 1 | f ( 0 ) | ]     + 2 [ ( 4 M + 7 ) q log T ( r ， f ) + 4 ∑ ν = 1 q log + log + 1 | f ( 0 ) − a ν |     + ( 4 M + 7 ) ∑ ν = 1 q log + | a ν | + ( 4 M + 25 ) q log r + log q ] + ∑ ν = 1 q log | f ( 0 ) − a ν | + 2 log 1 | f ′ ( 0 ) | + ∑ ν = 1 q log + | a ν | + 2 q log + 3 q d + ( q + 2 ) log 2 ≤ 2 ( q + 1 ) ( 4 M + 7 ) log T ( r ， f ) + 36 log r + 2 q ( 4 M + 25 ) log r + 10 log r       + 18 q log r + 8 ( M + 2 ) ∑ ν = 1 q log + | a ν | + 2 log q + 2 q log + 3 q d + ( q + 2 ) log r = 2 ( q + 1 ) ( 4 M + 7 ) log T ( r ， f ) + [ ( 8 M + 71 ) q + 48 ] log r       + 8 ( M + 2 ) ∑ ν = 1 q log + | a ν | + 2 q log + 3 q d 证毕。 引理6：设 f ( z ) 是复平面上满足 lim ¯ r → ∞ log T ( r + 1 T ( r ， f ) ， f ) log T ( r ， f ) < + ∞ 的超越亚纯函数。若 0 < δ < 1 ，则存在一个充分大的正数 r ′ 0 ，使得对于每个 r > r ′ 0 ，集合 { a : | a | < r ， T ( r ， f ) − N 1 ) ( r ， a ) > δ 2 T ( r ， f ) } 含于至多 [ 10 δ ] 个半径为 e − δ 36 T ( r ， f ) 的小圆内。 证：由于 f ( z ) 是复平面上的超越亚纯函数，所以 lim r → ∞ log r T ( r ， f ) = 0 ， 显然 lim r → ∞ log T ( r ， f ) T ( r ， f ) = 0 。 我们取 r ′ 0 > r 0 ，且 r > r ′ 0 ，有 2 ( q + 1 ) ( 4 M + 7 ) log T ( r ， f ) T ( r ， f ) + [ ( 16 M + 87 ) q + 48 ] log r T ( r ， f ) + 2 q log + 3 q T ( r ， f ) < 1 3 ， (4) 其中 r 0 由引理5确定。 如果引理6的结论不成立，则必定存在一个正数 r > r ′ 0 和 q = [ 10 δ ] + 1 个点 a ν ( ν = 1 ， 2 ， ⋯ ， q ) 使得 | a ν | ≤ r ， d = min 1 ≤ μ < ν ≤ q | a μ − a ν | ≥ e − δ 36 T ( r ， f ) ， T ( r ， f ) − N 1 ) ( r ， a ν ) > δ 2 T ( r ， f ) ， ( ν = 1 ， 2 ， ⋯ ， q ) 。 由引理5可得 δ q 2 T ( r ， f ) < ∑ ν = 1 q { T ( r ， f ) − N 1 ) ( r ， a ν ) } ≤ 4 T ( r ， f ) + 2 ( q + 1 ) ( 4 M + 7 ) log T ( r ， f ) + [ ( 8 M + 71 ) q + 48 ] log r     + 8 ( M + 2 ) ∑ ν = 1 q log + | a ν | + 2 q log + 3 q d < 4 T ( r ， f ) + 2 ( q + 1 ) ( 4 M + 7 ) log T ( r ， f ) + [ ( 8 M + 71 ) q + 48 ] log r     + 8 q ( M + 2 ) log r + 2 q log + 3 q + 2 q δ 36 T ( r ， f ) ， 于是有 ( 1 2 − 1 18 ) δ ( [ 10 δ ] + 1 ) < 4 + 2 ( q + 1 ) ( 4 M + 7 ) log T ( r ， f ) T ( r ， f )     + [ ( 16 M + 87 ) q + 48 ] log r T ( r ， f ) + 2 q log + 3 q T ( r ， f ) 。 结合(4)和上式可得： 40 9 < 4 + 1 3 ，矛盾。证毕。