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user: 2. 旋转检偏理论简介 2.1. 椭圆偏振光的起偏 一束单色平行光经起偏装置后射出的平面偏振光垂直入射到光轴平行于表面、厚度均匀的晶体上，如图1所示 [ 2 ] 。 图1. 椭圆(圆)偏振光的起偏 如果以虚线(即y轴)表示晶体的光轴，入射平面偏振光的振幅为 E 1 ，强度为 I 1 ，其振动方向和光轴成 α ，则平面偏振光进入晶体后，将分成两个振动方向互相垂直的o光和e光，振幅分别为： E o = E 1 sin α ，   E e = E 1 cos α   . 由于o光和e光在晶体中的传播速度不同，所以随着在晶体中路程的增加，同位相入射到晶体的两束光的位相差也逐渐增大。如果以 n o 和 n e 分别表示o光和e光的主折射率，以 d 表示晶体的厚度，以 λ 表示入射平面偏振光的波长，则经过晶体后，o光和e光的位相差是 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] δ = 2 π λ ( n o − n e ) d (1) 由于o光和e光是两个同频率、有固定位相差、互相垂直的振动，设分别在x，y方向，其振动方程可写成： E x = E o cos ω t   ，   E y = E e cos ( ω t + δ ) 合成振动的轨迹方程为: E x 2 E o 2 + E y 2 E e 2 − 2 E x E y E o E e cos δ = sin 2 δ (2) 上式为椭圆方程的一般表达式 [ 2 ] ，即合成振动的末端的轨迹在与传播方向垂直的平面内呈椭圆形状。它与以 E x = ± E o ， E x = ± E o 为界的矩形相内切，不过其主轴可以是倾斜的。主轴究竟朝哪一边倾斜，以及是左旋还是右旋，与 δ 取值(在哪一象限)有关。对于不同厚度 d 的晶体，o光和e光的位相差是不同的，从晶体出射的o光和e光合成振动的末端在与传播方向垂直的平面内所描绘出的轨迹形状也各不相同。射出晶体之外后两光束速度恢复到一样，合成一般得到椭圆偏振光( δ = ± π / 2 ，相对光轴为正椭圆)，但在一定条件下可成为圆偏振光( δ = ± π / 2 ， α = 45 ∘ )或仍为线偏振光( δ = 0   或者 π ； E o = 0 或 E e = 0 即 α = 0 ∘ 或 90 ∘ ) [ 2 ] 。 2.2. 偏振光的干涉及旋转检偏 平面偏振光通过晶体后，分成2个振动方向互相垂直的o光和e光，虽然从晶体波片出射的两束光在空间没有分开，但它们之间是有位相差 δ 的。由于它们的振动方向不同，不满足相干条件，因而不产生干涉现象。如果把它们的振动分解到同一方向，便可以在这个方向上产生干涉。因此，平面偏振光通过晶体后，另再加一个检偏器(偏振片)，便可使o光和e光沿检偏器偏振化方向(透光方向)的振动分量具有相干性 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] 。 图2(a)和图2(b)中的 P 1 ， P 2 分别表示起偏器和检偏器的偏振化方向，如图所示， P 1 和 P 2 间的夹角为 β ， P 1 和 P 2 与晶体波片的夹角分别为 α 和 β − α ，图2(a)和图2(b)分别表示 0 < β − α < π / 2 和 π / 2 < β − α < π 两种情况，则o光和e光在 P 2 方向上的分量的振幅分别为: E o 2 = { E o sin ( β − α ) = E 1 sin α sin ( β − α ) ，           0 < β − α < π / 2 ， E o sin [ π − ( β − α ) ] = E 1 sin α sin ( β − α ) ，   π / 2 < β − α < π   . (3) E e 2 = { E e cos ( β − α ) = E 1 cos α cos ( β − α ) ，               0 < β − α < π / 2 ， E e cos [ π − ( β − α ) ] = − E 1 cos α cos ( β − α ) ，   π / 2 < β − α < π   . (4) 最后从偏振片 P 2 射出的光线，其强度应为 E o 2 和 E e 2 这两个同方向振动相干叠加的结果。设分振动 E o 2 和 E e 2 的合振动为 E 2 ，即 E 2 = E o 2 + E e 2   . (5) 此两束光对应的分振动的位相差为 [ 2 ] ： δ 出 = δ 入 + δ + δ 投 (6) 其中 δ 入 表示入射在晶体波片上的线偏振光的o，e投影分量间的相位差， δ 表示在晶体波片传播o光和e光产生的位相差(即式(1))， δ 投 表示o光和e光对 P 2 轴投影引起的位相差，则根据同方向同频率简谐振动合成的原理，合振动 E 2 的振幅为 [ 2 ] [ 10 ] E 2 = E o 2 2 + E e 2 2 + 2 E o 2 E e 2 cos δ 出 (7) 由于入射到晶体波片的光总是线偏振光，入射线偏振光对o轴，e轴投影分量间的相位差 δ 入 = 0 或 π ，在本文的讨论可假定 δ 入 = 0     (即认为初始入射到波片的o光和e光的分振动皆沿o轴和e轴的正向)，故不予考虑。 δ 的取值取决于晶体波片的厚度 d 、入射光波长 λ 以及o光和e光的主折射率差 n o − n e 。图2(a)中o轴和e轴的正向对 P 2 轴的两个投影分量方向相反，则 δ 投 = π ；图2(b)中两个投影分量方向一致，则 δ 投 = 0 。故从偏振片 P 2 射出的两束光对应的分振动的位相差为 δ 出 = δ 入 + δ + δ 投 = 2 π λ ( n o − n e ) d + { π ，       0 < β − α < π / 2 ， 0     ，     π / 2 < β − α < π   . (8) 从而从偏振片 P 2 出射光线的(相对)强度为 图2. 偏振光的相干，电矢量的分解与合成 I 2 I 1 = E 2 2 E 1 2 = E o 2 2 + E e 2 2 + 2 E o 2 E e 2 cos δ 出 E 1 2 = sin 2 α sin 2 ( β − α ) + cos 2 α cos 2 ( β − α )     − 2 sin α sin ( β − α ) cos α cos ( β − α ) cos δ = cos 2 ( β − 2 α ) − sin 2 α sin ( 2 β − 2 α ) cos 2 ( δ / 2 ) = cos 2 β + sin 2 α sin ( 2 β − 2 α ) sin 2 ( δ / 2 ) (9) 上式即为从偏振片 P 2 出射光线的(相对)强度，公式中的两个等式等价，在此列出便于接下来讨论晶体波片为半波片的出射强度轨迹。 利用公式(9)，我们以四分之一晶体为例画出从偏振片 P 2 出射光线的(相对入射线偏振光)强度的图形，分别取不同的对应不同 α 值(即固定偏振片 P 1 与晶体波片的夹角)，偏转偏振片 P 2 即改变 P 1 和 P 2 间的夹角 β ，得到出射光强分布的轨迹以极坐标系表示，如图3所示，轨迹曲线直观地再现了平面偏振光、椭圆偏振光和园偏振光经过检偏器后的光强分布。实验结果表明，光强随角度的分布不是椭圆，而是呈“8”字形状的轨迹，有一个“腰”存在。平面偏振光(椭率最大)“腰”的宽度为零，随着椭率的减小，“腰”的宽度逐渐增大。当变为圆偏振光时，光强随角度的分布呈圆形(见文献 [ 10 ] )。轨迹曲线表明，椭圆偏振光的椭圆轨迹的长轴取向与 α 有关。从实验理论上可知 α 从0˚~45˚~90˚~135˚~180˚的变化过程中，偏振光轨迹是按直线–椭圆–圆–椭圆–直线–椭圆–圆–椭圆–直线的规律变化，且“8”字形状的轨迹沿逆时针方向旋转。从理论出射光强轨迹曲线，可以指导我们给出晶体波片的光轴的取向。 α 在0˚~45˚和135˚~180˚变化范围，“8”字形状的轨迹长段对称轴即为光轴， α 在45˚~135˚范围内“8”字形状的轨迹“腰”的对称线方向为光轴取向，亦即我们通过电光实验偏转偏振片 P 2 可以找出晶体波片的光轴取向。 另外，我们给出一特例：如果晶体波片为半波片即 δ = π ，则出射光为线偏振光，经过偏振片P 2 ，出射光的轨迹图象“8”字形状轨迹的“腰”的宽度皆为零(如可从公式(9)中含有 cos 2 ( δ / 2 ) 的表达式分析得出)，因为线偏振光经半波片认为线偏振光，相对光轴转过2a角，出射“8”字形状的轨迹沿逆时针方向旋转，且“8”字形状轨迹的长轴与极轴(沿极角0˚方向)的夹角的角平分线恰为晶体波片光轴的取向(图4)。