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user: 2. 预备知识 2.1. 四元数代数 一个四元数 q 可被表示如下形式： q = q 1 + q 2 i + q 3 j + q 4 k ， 其中 q 1 ， q 2 ， q 3 ， q 4 ∈ R ， i ， j ， k 是虚数单位，且满足 i 2 = j 2 = k 2 = i j k = − 1 ， i j = − j i = k ， j k = − k j = i ， k i = − i k = j ， q 1 为四元数 q 的实部，记为 R e ( q ) = q 1 ； q 2 i + q 3 j + q 4 k 称为四元数 q 的虚部，记为 I m ( q ) = q 2 i + q 3 j + q 4 k 。由此我们可知四元数乘法不可交换。定义另外一个四元数 p = p 1 + p 2 i + p 3 j + p 4 k ， 则四元数 p ， q 的和与乘积分别定义为 p + q = ( p 1 + q 1 ) + ( p 2 + q 2 ) i + ( p 3 + q 3 ) j + ( p 4 + q 4 ) k ， p q = ( p 1 q 1 − p 2 q 2 − p 3 q 3 − p 4 q 4 ) + ( p 1 q 2 + p 2 q 1 + p 3 q 4 − p 4 q 3 ) i + ( p 1 q 3 + p 3 q 1 + p 4 q 2 − p 2 q 4 ) j + ( p 1 q 4 + p 4 q 1 + p 2 q 3 − p 3 q 2 ) k . 用 p ∗ = p ¯ = p 1 − p 2 i − p 3 j − p 4 k 表示 p 的共轭转置，并且 p 的模表示为 | p | = p p * = p 1 2 + p 2 2 + p 3 2 + p 4 2 . 令 u = ( u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u n ) T ∈ ℚ n ，则 u 的模可表示为 | u | = ( | u 1 | ， | u 2 | ， ⋯ ， | u n | ) T ， u 的范数表示为 ‖ u ‖ = ∑ i = 1 n | u i | 2 . 注：本文用 R m × n 、 ℂ m × n 、 ℚ m × n 分别表示 m × n 维实值、复值、四元数值矩阵， A − B ≥ ( > ) 0 即 A − B 是半正定(正定)矩阵。 2.2. 系统表示及基本引理 本文考虑如下一类四元数值时滞神经网络模型： s ˙ ( t ) = − A s ( t ) + B f ( s ( t ) ) + C g ( s ( t − τ ) ) + J ， (1) 其中 s ( t ) = ( s 1 ( t ) ， ⋯ ， s n ( t ) ) T ∈ ℚ n 是神经元的状态变量，对角矩阵 A ∈ ℝ n × n 表示神经元的自反馈系数矩阵且 A > 0 ，矩阵 B ， C ∈ ℚ n × n 分别表示神经元之间的与时滞无关、与时滞有关的权值矩阵， f ( s ( ⋅ ) ) = ( f 1 ( s 1 ( ⋅ ) ) ， ⋯ ， f n ( s n ( ⋅ ) ) ) T ∈ ℚ n 和 g ( s ( ⋅ ) ) = ( g 1 ( s 1 ( ⋅ ) ) ， ⋯ ， g n ( s n ( ⋅ ) ) ) T ： ℚ n → ℚ n 分别表示没有时滞和有时滞的激活函数， J = ( J 1 ， ⋯ ， J n ) T ∈ ℚ n 表示系统外部输入， τ 是信号传输时滞且 τ ≥ 0 。 系统(1)的初始值是 s ( t ) = ϕ ( v ) ， ϕ ( v ) 在 v ∈ [ − τ ， 0 ] 上有界且连续。 以系统(1)为驱动系统，设计相应的响应系统如下所示： s ˜ ˙ ( t ) = − A s ˜ ( t ) + B f ( s ˜ ( t ) ) + C g ( s ˜ ( t − τ ) ) + J + U ( t ) ， (2) 其中 s ˜ ( t ) = ( s ˜ 1 ( t ) ， ⋯ ， s ˜ n ( t ) ) T ∈ ℚ n 表示相应系统神经元状态变量， U ( t ) = ( U 1 ( t ) ， U 2 ( t ) ， ⋯ ， U n ( t ) ) ∈ ℚ n 是实现驱动系统(1)和响应系统(2)指数反同步的控制器。 系统(2)的初始值是 s ˜ ( t ) = ϕ ˜ ( v ) ， ϕ ˜ ( v ) 在 v ∈ [ − τ ， 0 ] 上有界且连续。 本文给出下列假设： 假设1 为方便计算，设激活函数 f ( ⋅ ) ， g ( ⋅ ) 对 ∀ x ∈ Q n 可以分解成如下形式： f ( x ) = f R ( x R ) + f I ( x I ) i + f J ( x J ) j + f K ( x K ) k ， g ( x ) = g R ( x R ) + g I ( x I ) i + g J ( x J ) j + g K ( x K ) k ， 其中 f μ ( x μ ) : ℝ n → ℝ n ( μ = R ， I ， J ， K ) 。 假设2 对 ∀ s 1 ， s 2 ∈ ℚ n ，激活函数 f ( ⋅ ) ， g ( ⋅ ) 满足Lipschitz条件，即存在常数 l p ( μ ) > 0 ， m p ( μ ) > 0 使得： | f p ( μ ) ( s 1 ( μ ) ) + f p ( μ ) ( s 2 ( μ ) ) | ≤ l p ( μ ) | s 1 ( μ ) + s 2 ( μ ) | ， | g p ( μ ) ( s 1 ( μ ) ) + g p ( μ ) ( s 2 ( μ ) ) | ≤ m p ( μ ) | s 1 ( μ ) + s 2 ( μ ) | ， (3) 成立，其中 p = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， μ = r ， i ， j ， k 。 引理1 [ 6 ] 假设存在正数 k 1 、 k 2 满足 k 1 > k 2 > 0 ， p ( t ) 是非负函数且满足 D + p ( t ) ≤ − k 1 p ( t ) + k 2 p ˜ ( t ) ， 其中 p ˜ ( t ) = sup t − τ ≤ s ≤ t { p ( s ) } ，则 p ( t ) ≤ p ˜ ( t 0 ) e − λ ( t − t 0 ) ， t ≥ t 0 ， 成立，其中 λ 是方程 λ = k 1 − k 2 e λ τ 的唯一解。 引理2 [ 11 ] 假设 Ω 1 、 Ω 2 、 Ω 3 均是任意维数的实矩阵，且 Ω 3 > 0 ，则对 x ， y ∈ R n 有 2 x T Ω 1 T Ω 2 y ≤ x T Ω 1 T Ω 3 Ω 1 x + y T Ω 2 T Ω 3 − 1 Ω 2 y 成立。 定义系统反同步误差信号为 e ( t ) = s ( t ) + s ˜ ( t ) ，因此有 e ˙ ( t ) = − A e ( t ) + B f ˜ ( e ( t ) ) + C g ˜ ( e ( t − τ ( t ) ) ) + U ( t ) ， (4) 其中 f ˜ ( e ( t ) ) = f ( s ˜ ( t ) ) + f ( s ( t ) ) ， g ˜ ( e ( t − τ ( t ) ) ) = g ( s ˜ ( t − τ ( t ) ) ) + g ( s ( t − τ ( t ) ) ) ， e ( v ) = ϕ ˜ ( v ) + ϕ ( v ) 是误差系统(4)的初始值。 类比文献 [ 12 ] 中指数反同步的定义，引入下面定义： 定义1 如果存在常数 M > 0 ， κ > 0 使得误差满足下列不等式： ‖ e ( t ) ‖ ≤ M sup − τ ≤ s ≤ 0 ‖ e ( s ) ‖ exp ( − κ t ) ， 则称驱动系统(1)和响应系统(2)是全局指数反同步的。 利用四元数运算法则，式(4)所示误差系统可以分解为如下等价的实值系统： e ˙ R ( t ) = − A e R + B R f ˜ R ( e R ( t ) ) − B I f ˜ I ( e I ( t ) ) − B J f ˜ J ( e J ( t ) ) − B K f ˜ K ( e K ( t ) ) + C R g ˜ R ( e R ( t − τ ) ) − C I g ˜ I ( e I ( t − τ ) ) − C J g ˜ J ( e J ( t − τ ) ) − C K g ˜ K ( e K ( t − τ ) ) + U R ( t ) ， e ˙ I ( t ) = − A e I + B R f ˜ I ( e I ( t ) ) + B I f ˜ R ( e R ( t ) ) + B J f ˜ K ( e K ( t ) ) − B K f ˜ J ( e J ( t ) ) + C R g ˜ I ( e I ( t − τ ) ) + C I g ˜ R ( e R ( t − τ ) ) + C J g ˜ K ( e K ( t − τ ) ) − C K g ˜ J ( e J ( t − τ ) ) + U I ( t ) ， e ˙ J ( t ) = − A e J + B R f ˜ J ( e J ( t ) ) + B J f ˜ R ( e R ( t ) ) − B I f ˜ K ( e K ( t ) ) + B K f ˜ I ( e I ( t ) ) + C R g ˜ J ( e J ( t − τ ) ) + C J g ˜ R ( e R ( t − τ ) ) − C I g ˜ K ( e K ( t − τ ) ) + C K g ˜ I ( e I ( t − τ ) ) + U J ( t ) ， e ˙ K ( t ) = − A e K + B R f ˜ K ( e K ( t ) ) + B K f ˜ R ( e R ( t ) ) + B I f ˜ J ( e J ( t ) ) − B J f ˜ I ( e I ( t ) ) + C R g ˜ K ( e K ( t − τ ) ) + C K g ˜ R ( e R ( t − τ ) ) + C I g ˜ J ( e J ( t − τ ) ) − C J g ˜ I ( e I ( t − τ ) ) + U K ( t ) . (5)