system: [SYSTEM]

user: 2. 持久性 本节我们将给出一组保证系统(2.1)持久的充分性条件。 引理2.1. 系统(1)的第一个方程等价于方程 x 1 ( t ) = ∫ t − τ t b ( s ) e − ∫ s t d 1 ( u ) d u x 2 ( s ) d s . (2) 证明 方程(2)两边关于t求导，有 x ˙ 1 ( t ) = b ( t ) e − ∫ t t d 1 ( u ) d u x 2 ( t ) − b ( t − τ ) e − ∫ t − τ t d 1 ( u ) d u x 2 ( t − τ )     + ∫ t − τ t b ( s ) e − ∫ s t d 1 ( u ) d u x 2 ( s ) d s ( − ∫ s t d 1 ( u ) d u ) ′ t = b ( t ) x 2 ( t ) − b ( t − τ ) e − ∫ t − τ t d 1 ( u ) d u x 2 ( t − τ )     + ∫ t − τ t b ( s ) e − ∫ s t d 1 ( u ) d u x 2 ( s ) d s ( − d 1 ( t ) ) = b ( t ) x 2 − d 1 ( t ) x 1 − b ( t − τ ) e − ∫ t − τ t d 1 ( s ) d s x 2 ( t − τ ) . (3) 引理证毕。 定理2.1. 假设(H)成立，进一步假设 b L e − d 1 U τ > c U M 3 ， (4) 成立，那么系统(1)是持久的，其中M 3 由(8)所定义。 注记2.1. 由于M 3 是由后文所定义，条件(4)看上去很简洁，但却并不直观。在将M 3 和M 2 代入(4)后，我们可以得到如下推论。 推论2.1. 假设(H)成立，进一步假设 b L e − d 1 U τ f L a L > c U e 1 U b U e − d 1 L τ ， (5) 成立，那么系统(1)是持久的。 注记2.2. 一个非常有趣的事实：假设系统(2.1)的系数都是常数，则条件(5)等价于 f a > c e 1 (6) 这一条件刚好就是丁孝全和程述汉 [ 3 ] 一文中保证系统正平衡点全局稳定的充分性条件。 定理2.1的证明将由以下两个定理来完成。 定理2.2. 设 ( x 1 ( t ) ， x 2 ( t ) ， u ( t ) ) T 为系统(1)的任一正解，则有： lim sup t → + ∞ x 1 ( t ) ≤ M 1 ，     lim sup t → + ∞ x 2 ( t ) ≤ M 2 ，     lim sup t → + ∞ u ( t ) ≤ M 3 . (7) 其中： M 1 = b U e − d 1 L τ τ M 2 ，     M 2 = b U e − d 1 L τ a L ，     M 3 = e 1 U M 2 f L . (8) 证明。设 ( x 1 ( t ) ， x 2 ( t ) ， u ( t ) ) T 为系统(1)的任一正解，由系统(1)的第二个方程可知： x ′ 2 ( t ) = b ( t − τ ) e − ∫ t − τ t d 1 ( s ) d s x 2 ( t − τ ) − a ( t ) x 2 2 ( t ) − c ( t ) x 2 ( t ) u ( t ) ≤ b ( t − τ ) e − ∫ t − τ t d 1 ( s ) d s x 2 ( t − τ ) − a ( t ) x 2 2 ( t ) ≤ b U e − d 1 L τ x 2 ( t − τ ) − a L x 2 2 ( t ) . (9) 由此可知： lim sup t → + ∞ x 2 ( t ) ≤ b U e − d 1 L τ a L = d e f M 2 . (10) 对任给的足够小的正数 ε 1 > 0 ，由(10)可知存在 T 1 > 0 ，当 ∀ t > T 1 时，有 x 2 ( t ) < M 2 + ε 1 . (11) 当 ∀ t > T 1 时，由系统(1)的第三个方程有 u ˙ ( t ) = − f ( t ) u ( t ) + e 1 ( t ) x 2 ( t ) ≤ − f L u ( t ) + e 1 U ( M 2 + ε 1 ) . (12) 由此可知有 lim sup t → + ∞ u ( t ) ≤ e 1 U ( M 2 + ε 1 ) f L . (13) 注意到 ε 1 是任意的足够小的正数，上式中令 ε 1 → 0 ，可只有 lim sup t → + ∞ u ( t ) ≤ e 1 U M 2 f L = d e f M 3 . (14) 由引理2.1可知有 x 1 ( t ) = ∫ t − τ t b ( s ) e − ∫ s t d 1 ( u ) d u x 2 ( s ) d s . (15) (15)结合(11)可知当 ∀ t > T 1 + τ 时，有 x 1 ( t ) ≤ b U e − d 1 L τ τ ( M 2 + ε 1 ) . (16) 注意到 ε 1 是任意的足够小的正数，上式中令 ε 1 → 0 ，那么有 lim sup t → + ∞ x 1 ( t ) ≤ b U e − d 1 L τ τ M 2 . (17) 定理2.2证毕。 定理2.3. 设 ( x 1 ( t ) ， x 2 ( t ) ， u ( t ) ) T 为系统(1)的任一正解，假设(H)和(4)成立，则有 lim inf t → + ∞ x 1 ( t ) ≥ m 1 ，     lim inf t → + ∞ x 2 ( t ) ≥ m 2 ，     lim inf t → + ∞ u ( t ) ≥ m 3 . (18) 其中 m 1 = b L e − d 1 U τ τ m 2 ，     m 2 = b L e − d 1 U τ − c U M 3 a L ，     m 3 = e 1 L m 2 f U . (19) 证明。设 ( x 1 ( t ) ， x 2 ( t ) ， u ( t ) ) T 为系统(1)的任一正解，由定理条件 b L e − d 1 U τ > c U M 3 可知对足够小的正数 ε 2 > 0 ，有 b L e − d 1 U τ > c U ( M 3 + ε 2 ) (20) 成立。由(14)可知对满足(20)的充分小的正数 ε 2 > 0 ，存在充分大的 T 2 > T 1 ，当 ∀ t > T 2 时，有 u ( t ) < M 3 + ε 2 (21) 当 ∀ t > T 2 时，由系统(1)的第二个方程有 x ˙ 2 ( t ) = b ( t − τ ) e − ∫ t − τ t d 1 ( s ) d s x 2 ( t − τ ) − a ( t ) x 2 2 ( t ) − c ( t ) x 2 ( t ) u ( t ) ≥ b ( t − τ ) e − ∫ t − τ t d 1 ( s ) d s x 2 ( t − τ ) − a ( t ) x 2 2 ( t ) − c ( t ) x 2 ( t ) ( M 3 + ε 2 ) ≥ b L e − d 1 U τ x 2 ( t − τ ) − a U x 2 2 ( t ) − c U ( M 3 + ε 2 ) x 2 ( t ) . (22) 由此可知 lim inf t → + ∞ x 2 ( t ) ≥ b L e − d 1 U τ − c U ( M 3 + ε 2 ) a U . (23) 注意到 ε 2 > 0 是任意小的正数，在上式中令 ε 2 → 0 立即可得 lim inf t → + ∞ x 2 ( t ) ≥ b L e − d 1 U τ − c U M 3 a U = d e f m 2 . (24) 对任给的足够小的正数 ε 3 > 0 (不妨设 ε 3 < 1 2 m 2 )，由(24)可知存在 T 3 > T 2 ，当 ∀ t > T 3 时，有 x 2 ( t ) ≥ m 2 − ε 3 (25) 对于系统(1)的第三个方程，当 ∀ t > T 3 时，有 u ˙ ( t ) = − f ( t ) u ( t ) + e 1 ( t ) x 2 ( t ) ≥ − f U u ( t ) + e 1 L ( m 2 − ε 3 ) . (26) 由此可知， lim inf t → + ∞ u ( t ) ≥ e 1 L ( m 2 − ε 3 ) f U . (27) 注意到 ε 3 是任意的足够小的正数，上式中令 ε 3 → 0 ，可知有 lim inf t → + ∞ u ( t ) ≥ e 1 L m 2 f U = d e f m 3 . (28) 由引理2.1可知有 x 1 ( t ) = ∫ t − τ t b ( s ) e − ∫ s t d 1 ( u ) d u x 2 ( s ) d s . (29) (15)结合(25)可知当 ∀ t > T 3 + τ 时，有 x 1 ( t ) ≥ b L e − d 1 U τ τ ( m 2 − ε 3 ) . (30) 注意到 ε 3 是任意的足够小的正数，上式中令 ε 3 → 0 ，那么有 lim inf t → + ∞ x 1 ( t ) ≥ b L e − d 1 U τ τ m 2 . (31) 定理2.3证毕。 定理2.1的证明. 定理2.1是定理2.2和2.3的直接推论，证毕。