system: [SYSTEM]

user: 3. 异构群体信息下基于后悔理论的前置仓选址模型 针对异构决策信息环境下的前置仓备选地点选择问题，本节提出了基于后悔理论的前置仓选址模型。首先，给出了将梯形区间二型模糊数、影像模糊数和区间语言术语统一转化为区间二元语义的方法；然后，采用后悔效用距离和TOPSIS法确定各前置仓备选地点与正理想方案的相对贴近度，实现备选地点的排序及择优。 3.1. 异构信息的转化 对于异构评价信息环境下的前置仓选址问题，设 A = { A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A m } 为m个前置仓备选地点集， C = { C 1 ， C 2 ， ⋯ ， C n } 为评价指标集， w = ( w 1 ， w 2 ， ⋯ ， w n ) T 为指标集对应的权重向量，并满足 0 ≤ w j ≤ 1 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，且 ∑ j = 1 n w j = 1 。决策者组成的集合记为 D = { D 1 ， D 2 ， ⋯ ， D L } 。由于不同的知识背景和信息偏 好，决策者可能对备选地点给出不同形式的评价信息，这里考虑梯形区间二型模糊数、影像模糊数及多粒度区间语言术语三种评价信息表达形式。根据评价信息表达形式，决策者集合可分类为 D = { D 1 ， ⋯ ， D l 1 ， D l 1 + 1 ， ⋯ ， D l 2 ， D l 2 + 1 ， ⋯ ， D L } ，其中， D l ( l = 1 ， 2 ， ⋯ ， l 1 ) 表示给出的评价信息为梯形区间二型模糊数的决策者， D l ( l = l 1 + 1 ， l 1 + 2 ， ⋯ ， l 2 ) 表示给出的评价信息为影像模糊数的决策者， D l ( l = l 2 + 1 ， l 2 + 2 ， ⋯ ， L ) 表示给出的评价信息为多粒度区间语言术语的决策者。决策者 D l ( l = 1 ， 2 ， ⋯ ， L ) 给出备选地点 A i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 在指标 C j ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 下的评价值记为 e i j l ，其中 e i j l ( l = 1 ， 2 ， ⋯ ， l 1 ) 表示梯形区间二型模糊数， e i j l ( l = l 1 + 1 ， l 1 + 2 ， ⋯ ， l 2 ) 表示影像模糊数， e i j l ( l = l 2 + 1 ， l 2 + 2 ， ⋯ ， L ) 表示多粒度区间语言术语。 为处理异构评价信息，本文将梯形区间二型模糊数、影像模糊数和多粒度区间语言术语统一转化为区间二元语义 S ˜ i j = [ ( s i j L ， α i j L ) ， ( s i j U ， α i j U ) ] ，其中， s i j L 、 s i j L 为基础语言术语集 S = { s 0 ， s 1 ， ⋯ ， s g } 中的元素， α i j L ， α i j U ∈ [ − 0.5 ， 0.5 ) 。本文采用基础语言术语集 S = { s 0 ( 极 低 ) ， s 1 ( 很 低 ) ， s 2 ( 低 ) ， s 3 ( 一 般 ) ， s 4 ( 高 ) ， s 5 ( 很 高 ) ， s 6 ( 极 高 ) } ，其中各语言术语对应的三角模糊数隶属度函数如图2所示。 图2. 语言术语集S的隶属函数 1) 梯形区间二型模糊数转化为区间二元语义 假设备选地点 A i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 在指标 C j ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 上评价值为梯形区间二型模糊数 e i j l = 〈 ( a 1 i j L ， a 2 i j L ， a 3 i j L ， a 4 i j L ， h 1 i j L ， h 2 i j L ) ， ( a 1 i j U ， a 2 i j U ， a 3 i j U ， a 4 i j U ， h 1 i j U ， h 2 i j U ) 〉 ( l = 1 ， 2 ， ⋯ ， l 1 ) ， S = { s 0 ， s 1 ， ⋯ ， s g } 为基础语言术语集。为了将梯形区间二型模糊数 e i j l 转化为区间二元语义 S ˜ i j l ，首先通过映射 τ 将梯形区间二型模糊数 e i j l 转化为区间二维语义集 τ ( e i j l ) ： τ : [ 0 ， 1 ] → F ( S ) ， τ ( e i j l ) = { [ ( s l L ， w l L ) ， ( s k U ， w k U ) ] | k ， l ∈ { 0 ， ⋯ ， g } } ， (16) w k U = max y min { μ e i j l ( y ) ， μ S k ( y ) } ， (17) w l L = max y min { μ e i j l ( y ) ， μ S l ( y ) } ， (18) 其中， μ e i j l ( y ) ， μ S k ( y ) ， μ S l ( y ) 为梯形区间二型模糊数 e i j l 和基础语言术语S的隶属函数， y ∈ [ 0 ， 1 ] 。 然后，利用映射 χ 和区间二元语义逆算子将梯形区间二型模糊数 e i j l 对应的区间二维语义集 τ ( e i j l ) = { [ ( s l L ， w l L ) ， ( s k U ， w k U ) ] } 转化为区间二元语义 S ˜ i j l ： χ : F ( S ) → [ 0 ， g ] ， χ ( τ ( e i j l ) ) = χ { [ ( s l L ， w l L ) ， ( s k U ， w k U ) ] / k ， l ∈ { 0 ， ⋯ ， g } } = [ ∑ j = 0 g j L w j L ( ∑ j = 0 g w j L ) − 1 ， ∑ j = 0 g j U w j U ( ∑ j = 0 g w j U ) − 1 ] = [ β 1 ， β 2 ] ， (19) S ˜ i j l = Δ ( [ β 1 ， β 2 ] ) = [ ( s i ， α i ) ， ( s j ， α j ) ] ， (20) 其中，式(20)可以由定义15确定。 例1. 若梯形区间二型模糊数 e i j l = 〈 ( 0.08 ， 0.25 ， 0.42 ， 0.60 ; 1 ， 1 ) ， ( 0.15 ， 0.25 ， 0.42 ， 0.55 ; 0.8 ， 0.8 ) 〉 ，基础语言术语集 S = { s 0 ， s 1 ， ⋯ ， s 6 } 及其各语言术语对应的隶属度函数见图2， e i j l 与S之间的关系如图3所示。 图3. 梯形区间二型模糊数 e i j l 与语言术语集S之间的关系 首先，利用式(16)~(18)将梯形区间二型模糊数 e i j l 转化为区间二维语义集： τ ( e i j l ) = τ ( 〈 ( 0.08 ， 0.25 ， 0.42 ， 0.60 ; 1 ， 1 ) ， ( 0.15 ， 0.25 ， 0.42 ， 0.55 ; 0.8 ， 0.8 ) 〉 )                                                   = { [ ( s 0 L ， 0.124 ) ， ( s 0 U ， 0.247 ) ] ， [ ( s 1 L ， 0.621 ) ， ( s 1 U ， 0.715 ) ] ，                                                                           [ ( s 2 L ， 0.724 ) ， ( s 2 U ， 1 ) ] ， [ ( s 3 L ， 0.621 ) ， ( s 3 U ， 0.715 ) ] ，                                                                           [ ( s 4 L ， 0.124 ) ， ( s 4 U ， 0.247 ) ] ， [ ( s 5 L ， 0 ) ， ( s 5 U ， 0 ) ] ， [ ( s 6 L ， 0 ) ， ( s 6 U ， 0 ) ] } 然后，利用式(19)和(20)将区间二维语义集 τ ( e i j l ) 转化为区间二元语义： χ ( τ ( e i j l ) ) = [ 0 × 0.124 + 1 × 0.621 + 2 × 0.724 + 3 × 0.621 + 4 × 0.124 + 5 × 0 + 6 × 0 0.124 + 0.621 + 0.724 + 0.621 + 0.124 ，                                                                                     0 × 0.247 + 1 × 0.715 + 2 × 1 + 3 × 0.715 + 4 × 0.247 + 5 × 0 + 6 × 0 0.247 + 0.715 + 1 + 0.715 + 0.247 ]                                                                 = [ 1.65 ， 1.73 ] 由定义15可知， S ˜ i j l = Δ ( [ 1.65 ， 1.73 ] ) = [ ( s 2 ， − 0.35 ) ， ( s 2 ， − 0.27 ) ] ，则梯形区间二型模糊数 e i j l 对应的区间二元语义为 [ ( s 2 ， − 0.35 ) ， ( s 2 ， − 0.27 ) ] 。 2) 影像模糊数转化为区间二元语义 假设备选地点 A i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 在指标 C j ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 上的评价值为影像模糊数 e i j l = 〈 μ i j ， η i j ， ν i j 〉 ( l = l 1 + 1 ， l 1 + 2 ， ⋯ ， l 2 ) ， S = { s 0 ， s 1 ， ⋯ ， s g } 为基础语言术语集。影像模糊数反映了决策者支持、中立和反对等方面的态度。依照支持及不反对程度，影像模糊数 e i j l 可以对应于 [ μ i j ， 1 − ν i j − η i j ] 和 [ μ i j ， 1 − ν i j ] 两个区间，根据这两个区间可以将其转化为相应的区间二元语义。为了将影像模糊数 e i j l 转化为区间二元语义 S ˜ i j l ，首先通过映射 τ 将影像模糊数 e i j l 转化为区间二维语义集 τ ( e i j l ) ： τ : [ 0 ， 1 ] → F ( S ) ， τ ( e i j l ) = { [ ( s l L ， w l L ) ， ( s k U ， w k U ) ] | k ， l ∈ { 0 ， ⋯ ， g } } ， (21) w k U = max y min { μ T ( y ) ， μ S k ( y ) } ， (22) w l L = max y min { μ T ( y ) ， μ S l ( y ) } ， (23) 其中， μ e i j l ( y ) ， μ S k ( y ) ， μ S l ( y ) 为影像模糊数 e i j l 和基础语言术语集S的隶属函数。 然后，利用式(19)和(20)将影像模糊数 e i j l 对应的区间二维语义集 τ ( e i j l ) = { [ ( s l L ， w l L ) ， ( s k U ， w k U ) ] } 转化为区间二元语义 S ˜ i j l 。 例2. 若影像模糊数 e i j l = 〈 0.3 ， 0.2 ， 0.4 〉 ，基础语言术语集 S = { s 0 ， s 1 ， ⋯ ， s 6 } 及其各语言术语对应的隶属度函数见图2， e i j l 与S之间的关系如图4所示。 首先，利用式(21)~(23)将影像模糊数 e i j l 转化为区间二维语义集： τ ( e i j l ) = τ ( 〈 0.3 ， 0.2 ， 0.4 〉 ) = { [ ( s 0 L ， 0 ) ， ( s 0 U ， 0 ) ] ， [ ( s 1 L ， 0.30 ) ， ( s 1 U ， 0.30 ) ] ， [ ( s 2 L ， 1 ) ， ( s 2 U ， 1 ) ] ， [ ( s 3 L ， 0.625 ) ， ( s 3 U ， 1 ) ] ，       [ ( s 4 L ， 0 ) ， ( s 4 U ， 0.210 ) ] ， [ ( s 5 L ， 0 ) ， ( s 5 U ， 0 ) ] ， [ ( s 6 L ， 0 ) ， ( s 6 U ， 0 ) ] } 然后，利用式(19)和(20)将区间二维语义集 τ ( e i j l ) 转化为区间二元语义： χ ( τ ( e i j l ) ) = [ 0 × 0 + 1 × 0.30 + 2 × 1 + 3 × 0.625 + 4 × 0 + 5 × 0 + 6 × 0 0.30 + 1 + 0.625 ，                                                                                                       0 × 0 + 1 × 0.30 + 2 × 1 + 3 × 1 + 4 × 0.210 + 5 × 0 + 6 × 0 0.30 + 1 + 1 + 0.210 ]                                                                                 = [ 2.17 ， 2.45 ] 由定义15可知， S ˜ i j l = Δ ( [ 2.17 ， 2.45 ] ) = [ ( s 2 ， 0.17 ) ， ( s 2 ， 0.45 ) ] ，则影像模糊数 e i j l 对应的区间二元语义为 [ ( s 2 ， 0.17 ) ， ( s 2 ， 0.45 ) ] 。 图4. 影像模糊数 e i j l 与语言术语集S之间的关系 3) 多粒度区间语言术语转化为区间二元语义 假设备选地点 A i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 在指标 C j ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 上的评价值为区间语言术语 e i j l = [ s β L l ， s β U l ] ( l = l 2 + 1 ， l 2 + 2 ， ⋯ ， L ) 。当区间语言术语 e i j l 所属的语言术语集与基础语言术语集S的粒度相同时，可直接根据定义14进行转换。当两者的粒度不同时，可以利用下面方法将不同语言粒度的语言评价信息转化为相同粒度。假设 S = { s 0 ， s 1 ， ⋯ ， s g } 是给定的基础语言术语集，其粒度为g+1， S ′ = { s 0 ， s 1 ， ⋯ ， s k } 是区间语言术语 e i j l 所属的语言术语集，其粒度为k+1，则通过映射TF可以将区间语言术语 e i j l 转为基于粒度为g+1的区间语言术语： S ′ [ 0 ， k ] → S [ 0 ， g ] . T F ( [ s β L l ， s β U l ] ) = ( I − 1 [ I ( s β L l ) g k ] ， I − 1 [ I ( s β U l ) g k ] ) = ( I − 1 [ β g k ] ， I − 1 [ β g k ] ) = [ s α L l ， s α U l ] ， (24) S ˜ i j l = Δ ( [ s α L l ， s α U l ] ) = [ ( s α L l ， 0 ) ， ( s α U l ， 0 ) ] ， (25) 其中， I ( . ) 和 I − 1 ( . ) 是语言术语与语言术语下标值的转化与逆向转化函数。 3.2. 区间二元语义后悔效用的确定 在决策问题中，决策者会将所选方案的结果与其它备选方案的结果进行比较，若选择其它方案会带来更好的结果，则决策者会感到后悔，反之则感到欣喜。效用函数是衡量各个方案结果的常见度量，常为非减实值函数，即较大的评价值会得到较大的效用值。本文采用HARA效用函数 [ 18 ] 定义区间二元语义信息的效用值，并以此对各个方案进行选择。 定义16：若 S ˜ = [ ( s L ， α L ) ， ( s U ， α U ) ] 为一个区间二元语义，则其HARA效用值可定义为 U ( S ˜ ) = 1 − γ 2 β γ ( ( β 1 − γ Δ − 1 ( s L ， α L ) + ρ ) γ + ( β 1 − γ Δ − 1 ( s U ， α U ) + ρ ) γ ) 1 γ ， (26) 其中， Δ − 1 ( s L ， α L ) ， Δ − 1 ( s U ， α U ) 是二元语义对应的实数值，可通过定义15确定； β > 0 ， ρ > 0 ， γ ∈ ( − ∞ ， 0 ) ∪ ( 0 ， 1 ) 为HARA效用函数的参数值 [ 18 ]。 在区间二元语义效用值基础上，为确定区间二元语义的后悔效用，首先要构造后悔–欣喜函数 R ( Δ v ) 。由于决策者对于后悔和欣喜都是风险规避的，函数 R ( Δ v ) 是单调递增的凹函数，根据文献 [ 19 ] 中的后悔–欣喜函数，区间二元语义的后悔效用定义如下。 定义17：对于任意两个区间二元语义 S ˜ = [ ( s L ， α L ) ， ( s U ， α U ) ] 和 S ˜ 0 = [ ( s 0 L ， α 0 L ) ， ( s 0 U ， α 0 U ) ] ，则 S ˜ 相对于 S ˜ 0 的区间二元语义后悔效用可定义为： H ( S ˜ ， S ˜ 0 ) = U ( S ˜ ) + ( 1 − exp ( − δ Δ ( U ( S ˜ ) ， U ( S ˜ 0 ) ) ) ) ， (27) 其中， U ( S ˜ ) 为区间二元语义的HARA效用值， Δ ( U ( S ˜ ) ， U ( S ˜ 0 ) ) = U ( S ˜ ) − U ( S ˜ 0 ) 为两个区间二元语义的效用值偏差， 1 − exp ( − δ Δ ( U ( S ˜ ) ， U ( S ˜ 0 ) ) ) 为决策者的后悔规避函数， δ > 0 为后悔规避系数，且 δ 越大，决策者的后悔规避程度越大 [ 16 ] [ 20 ]。 基于后悔效用，两个区间二元语义之间的后悔效用距离定义如下。 定义18：对于任意两个区间二元语义 S ˜ 1 = [ ( s 1 L ， α 1 L ) ， ( s 1 U ， α 1 U ) ] 和 S ˜ 2 = [ ( s 2 L ， α 2 L ) ， ( s 2 U ， α 2 U ) ] ，则它们之间的后悔效用距离为 d ( S ˜ 1 ， S ˜ 2 ) = | H ( S ˜ 1 ， S ˜ 2 ) − H ( S ˜ 2 ， S ˜ 1 ) | ， (28) 其中， H ( S ˜ 1 ， S ˜ 2 ) ， H ( S ˜ 2 ， S ˜ 1 ) 分别为 S ˜ 1 相对于 S ˜ 2 和 S ˜ 2 相对于 S ˜ 1 的后悔感知效用，可利用式(27)求得。当两者的后悔规避系数 δ 1 和 δ 2 相同时， H ( S ˜ 1 ， S ˜ 2 ) − H ( S ˜ 2 ， S ˜ 1 ) 为两个区间二元语义 S ˜ 1 和 的HARA效用差值。 3.3. 异构群体信息下基于后悔理论的前置仓备选地点选择 针对梯形区间二型模糊数、影像模糊数、多粒度区间语言术语等形式的评价信息，基于后悔理论的前置仓备选地点选择方法的步骤如下： 步骤1. 构建异构决策矩阵。假设各个决策者以梯形区间二型模糊数、影像模糊数和区间语言术语给 出评价信息，构建异构决策矩阵 。 步骤2. 将异构决策矩阵转化为区间二元语义决策矩阵。利用3.1小节的异构信息转化方法将各个决 策者给出的异构决策矩阵 统一转化为区间二元语义决策矩阵 ，其中 为区间二元语义。 步骤3. 确定群体区间二元语义决策矩阵。利用式(29)的区间二元语义加权集成算子，将区间二元语 义决策矩阵 集结为群体区间二元语义决策矩阵 。 ， (29) 其中，L为决策者的数量。 步骤4. 根据式(30)和(31)确定群体区间二元语义决策矩阵 的正理想方案 和负理想方案 。 ， (30) ， (31) 其中， ， ， 。 步骤5. 利用式(28)分别计算在指标 下各备选地点 相对于正理想方案 和负理想方案 的后悔效用距离，构建后悔效用距离矩阵 和 。 步骤6. 利用式(32)和(33)分别对各备选地点 在所有指标下相对于正、负理想方案的后悔效用距离进行集结。 ， (32) ， (33) 其中，w j 为指标C j 的权重，并满足 ， ，且 。 步骤7. 利用式(34)计算各备选地点 相对于正理想方案的相对贴近系数。 。 (34) 步骤8. 按照相对贴近系数R i 由大到小的顺序对所有备选地点 进行排序，从而选择出最佳的前置仓备选地点。