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user: 3. 主要结论 定理3.1 S B ， B + ≠ ∅ 当且仅当存在 L > 0 ， K 1 > 0 ， K 2 > 0 使得 ∫ t 0 ∞ f ( s ， L + ∫ t 0 s g ( u ， K 1 ) Δ u ) Δ s < ∞ (3.1) 和 ∫ t 0 ∞ g ( s ， K 2 ) Δ s < ∞ (3.2) 成立。 证明：先证必要性，假设 S B ， B + ≠ ∅ 即存在 ( x ， y ) ∈ S B ， B + ，则 x ， y 均为终于正的并且单调递增，当 t → ∞ 时，有 x → c ， y → d ，其中 0 < c ， d < ∞ 。故存在 t 1 ≥ t 0 ，使得当 t ≥ t 1 时，有 c 2 ≤ x ( t ) ≤ c 成立。 由 g ( t ， u ) 关于u的单调性和对(1.1)的第二个方程由 t 1 到t进行积分，得 y ( t ) = y ( t 1 ) + ∫ t 1 t g ( s ， x ( s ) ) Δ s ≥ y ( t 1 ) + ∫ t 1 t g ( s ， c 2 ) Δ s (3.3) 当 t → ∞ 时，可得 ∫ t 1 ∞ g ( s ， c 2 ) Δ s ≤ d − y ( t 1 ) < ∞ 对(1.1)的第一个方程由 t 1 到t进行积分并利用(3.3)式，可得 c ≥ x ( t ) ≥ x ( t 1 ) + ∫ t 1 t f ( s ， y ( t 1 ) + ∫ t 1 s g ( u ， c 2 ) Δ u ) Δ s 当 t → ∞ 时，有 ∫ t 1 t f ( s ， y ( t 1 ) + ∫ t 1 s g ( u ， c 2 ) Δ u ) Δ s ≤ c − x ( t 1 ) < ∞ 再证充分性，假设(3.1)式和(3.2)式成立，则存在 t 1 ≥ t 0 ， L > 0 ， K 1 > 0 ， K 2 > 0 使得 ∫ t 1 ∞ f ( s ， L + ∫ t 1 s g ( u ， K 1 ) Δ u ) Δ s < K 1 2 和 ∫ t 0 ∞ g ( s ， K 1 ) Δ s < ∞ 成立，其中 K 1 = K 2 。 设X是 [ t 1 ， ∞ ) T 上全体连续有界实值函数构成的，且以最大模为范数 ‖ x ‖ = sup t ≥ t 1 | x ( t ) | ，即X为巴拿赫空间。定义X的子集Y如下： Y = { x ( t ) ∈ X : K 1 2 ≤ x ( t ) ≤ K 1 ， t ≥ t 1 } 显然，Y是X的一个非空的有界凸闭子集。定义如下一个算子 F : Y → X ， ( F x ) ( t ) = K 1 − ∫ t ∞ f ( s ， L + ∫ t 1 s g ( u ， x ( u ) ) Δ u ) Δ s 接下来，我们将要证明F满足引理2.2的条件： 1) 先证F为自映射算子， K 1 ≥ ( F x ) ( t ) ≥ K 1 − ∫ t ∞ f ( s ， L + ∫ t 1 s g ( u ， K 1 ) Δ u ) Δ s ≥ K 1 2 2) 再证F在Y上连续，取Y上的一组函数列 x n ，使得 x n → x ， x ∈ Y 有 | ( F x n ) ( t ) − ( F x ) ( t ) | ≤ ∫ t ∞ | f ( s ， L + ∫ t 1 s g ( u ， x n ( u ) ) Δ u ) − f ( s ， L + ∫ t 1 s g ( u ， x ( u ) ) Δ u ) | Δ s 由f，g的连续性和Lebesgue控制收敛定理可得，当 n → ∞ 时， F x n → F x 即F在Y上连续。 3) 最后证明FY相对紧致，由于 0 < ( F x ) Δ ( t ) ≤ f ( t ， L + ∫ t 1 t g ( u ， K 1 ) Δ u ) < ∞ 故FY相对紧致。 由引理2.2得，存在 x ¯ ∈ Y 使得 x ¯ = F x ¯ ，故有 x ¯ ( t ) = K 1 − ∫ t ∞ f ( s ， L + ∫ t 1 s g ( u ， x ¯ ( u ) ) Δ u ) Δ s 和 x ¯ Δ ( t ) = f ( t ， L + ∫ t 1 t g ( u ， x ¯ ( u ) ) Δ u ) 令 y ¯ ( t ) = L + ∫ t 1 t g ( u ， x ¯ ( u ) ) Δ u 当 t → ∞ 时，有 x ¯ ( t ) → K 1 ， y ¯ ( t ) → β ，其中 0 < K 1 ， β < ∞ ，故 ( x ¯ ， y ¯ ) 是(1.1)的非振荡，因此 S B ， B + ≠ ∅ ，证毕。 定理3.2： S B ， ∞ + ≠ ∅ 当且仅当存在 K 1 > 0 ， K 2 > 0 使得 ∫ t 0 ∞ f ( s ， ∫ t 0 s g ( u ， K 1 ) Δ u ) Δ s < ∞ (3.4) 和 ∫ t 0 ∞ g ( s ， K 2 ) Δ s = ∞ (3.5) 成立。 证明：先证必要性，假设 S B ， ∞ + ≠ ∅ 即存在 ( x ， y ) ∈ S B ， ∞ + ，则 x ， y 均为终于正的并且单调递增，当 t → ∞ 时，有 x → c ， y → ∞ ，其中 0 < c < ∞ 。故存在 t 1 ≥ t 0 ，使得当 t ≥ t 1 时，有 c 2 ≤ x ( t ) ≤ c 成立。对(1.1)的第一个方程从 t 1 到t进行积分，得 c 2 ≤ x ( t ) = x ( t 1 ) + ∫ t 1 t f ( s ， y ( s ) ) Δ s ≤ c 当 t → ∞ 时，有 ∫ t 1 ∞ f ( s ， y ( s ) ) Δ s ≤ c − x ( t 1 ) < ∞ (3.6) 由 g ( t ， u ) 关于u的单调性和对(1.1)的第二个方程由 t 1 到t进行积分，得 y ( t 1 ) + ∫ t 1 t g ( s ， c ) Δ s ≥ y ( t ) = y ( t 1 ) + ∫ t 1 t g ( s ， x ( s ) ) Δ s 当 t → ∞ 时，有 ∫ t 1 ∞ g ( s ， c ) Δ s = ∞ (3.7) 由(3.6)和(3.7)可得 ∫ t 1 ∞ f ( s ， ∫ t 1 s g ( u ， c 2 ) Δ u ) Δ s ≤ ∫ t 1 ∞ f ( s ， y ( s ) ) Δ s < ∞ 再证充分性，若(3.4)和(3.5)成立，则存在 t 1 ≥ t 0 ， K 1 > 0 ， K 2 > 0 使得 ∫ t 1 ∞ f ( s ， ∫ t 1 s g ( u ， K 1 ) Δ u ) Δ s < K 和 ∫ t 0 ∞ g ( s ， K 2 ) Δ s = ∞ 成立，其中 K 1 2 = K 2 = K 。设X是 [ t 1 ， ∞ ) T 上全体连续有界实值函数构成的，且以最大模为范数 ‖ x ‖ = sup t ≥ t 1 | x ( t ) | 有序的巴拿赫空间。定义X的子集 Ω 如下： Ω = { x ( t ) ∈ X : K ≤ x ( t ) ≤ 2 K ， t ≥ t 1 } 定义如下一个算子 F : Ω → X ， ( F x ) ( t ) = K + ∫ t 1 t f ( s ， ∫ t 1 s g ( u ， x ( u ) ) Δ u ) Δ s 显然，F是递增的且对任意 Ω 的子集 ω 都有 inf ω ∈ Ω ， sup ω ∈ Ω ，因此 ( Ω ， ≤ ) 是一个完全格。下证 F : Ω → Ω ，由于 K ≤ ( F x ) ( t ) ≤ K + ∫ t 1 t f ( s ， ∫ t 1 s g ( u ， 2 K ) Δ u ) Δ s ≤ 2 K 故F为自映射算子。 由引理2.3得，存在 x ¯ ∈ Ω 使得 x ¯ = F x ¯ ，故有 x ¯ ( t ) = K + ∫ t 1 t f ( s ， ∫ t 1 s g ( u ， x ¯ ( u ) ) Δ u ) Δ s 和 x ¯ Δ ( t ) = f ( t ， ∫ t 1 t g ( u ， x ¯ ( u ) ) Δ u ) 令 y ¯ ( t ) = ∫ t 1 t g ( u ， x ¯ ( u ) ) Δ u 当 t → ∞ 时，有 x ¯ ( t ) → α ， y ¯ ( t ) → ∞ ，其中 0 < α < ∞ ，故 ( x ¯ ， y ¯ ) 是(1.1)的非振荡解，因此 S B ， ∞ + ≠ ∅ ，证毕。 定理3.3： S ∞ ， B + ≠ ∅ 当且仅当存在 K 1 > 0 ， K 2 > 0 使得 ∫ t 0 ∞ g ( s ， ∫ t 0 s f ( u ， K 1 ) Δ u ) Δ s < ∞ 和 ∫ t 0 ∞ f ( s ， K 2 ) Δ s = ∞ 成立。 证明：该证明与定理3.2的证明相似，故省略。