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user: 2. 预备知识 记 R = ( − ∞ ， + ∞ ) ， R + = [ 0 ， + ∞ ) 。对任意的 x ∈ R n ， | x | = x T x 表示Euclid范数。若 A 是一个向量或矩阵， 则 A T 代表其转置，且 ‖ A ‖ = λ max ( A A T ) 表示其范数， | A | = trace ( A A T ) 。对 ∀ x ， y ∈ R n ， 〈 x ，   y 〉 或 x T y 表 示 x ， y 的内积。 a ∨ b = max { a ， b } 和 a ∧ b = min { a ， b } 。 关于定义在次线性空间 ( Ω ， H ， E ^ ) 上的G-正态分布、G-期望、G-Brown运动以及相关的Itô积分和二次变差过程的详细介绍，可参阅文献 [ 12 ] [ 13 ]。对 ∀ T ∈ R n ， [ 0 ， T ] 上的一个分割 π T = { t 0 ， t 1 ， ⋯ ， t N } 满足 0 = t 0 < t 1 < t 2 < ⋯ < t N = T ， μ ( π T ) = max { | t i + 1 − t i | : i = 0 ， 1 ， ⋯ ， N − 1 } 。给定 p ≥ 1 ，定义 M G p ， 0 ( [ 0 ， T ] ) = { η t = ∑ j = 0 N − 1 ξ j I [ t j ， t j + 1 ) ( t ) : ξ j ∈ L G p ( Ω t j ) } 。 M G p ( [ 0 ， T ] ) 表示 M G p ， 0 ( [ 0 ， T ] ) 在范数 ‖ η ‖ M G p ， 0 ( [ 0 ， T ] ) = ( 1 T ∫ 0 T E ^ [ | η t | p ] d t ) 1 / p 下的完备空间。 记 N = { 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ } 。 φ ( t + ) 和 φ ( t − ) 分别表示函数 φ ( t ) 在t时刻的右极限和左极限。令 τ > 0 ， P C ( [ − τ ， 0 ] ; R n ) = { φ : [ − τ ， 0 ] → R n | φ ( t + ) = φ ( t ) ， ∀ t ∈ [ − τ ， 0 ) } ，此外在 P C ( [ − τ ， 0 ] ; R n ) 中，除了有限个点 外均有 φ ( t − ) 存在且 φ ( t − ) = φ ( t ) 。对 ∀ p > 0 和 ∀ t ≥ 0 ， P C F t p ( [ − τ ， 0 ] ， R n ) 表示所有 F t -可测的 P C ( [ − τ ， 0 ] ; R n ) -值随机过程。 φ = { φ ( θ ) : − τ ≤ θ ≤ 0 } 满足 sup − τ ≤ θ ≤ 0 E ^ | φ ( θ ) | p < ∞ 。记 P C b ( [ − τ ， 0 ] ; R n ) 是所有有界的 P C ( [ − τ ， 0 ] ; R n ) -值函数的集合。为了方便，定义以下集合： L F 0 p ( [ − τ ， 0 ] ; R n ) = { φ : φ 是 F 0 - 可 测 的 ， P C b ( [ − τ ， 0 ] ; R n ) - 随 机 变 量 ， 满 足 φ ∈ M G p ( [ − τ ， 0 ] ; R n ) } ， L F t p ( [ − τ ， + ∞ ] ; R n ) = { X : X ∈ P C F t p ( [ Ω ， 0 ] ， R n ) ， X   是 左 极 右 连 续 的 满 足   X ∈ M G p ( [ − τ ， + ∞ ] ; R n ) } 。 考虑如下形式的G-Brown运动驱动的脉冲随机泛函微分方程： { d X ( t ) = f ( t ， X t ) d t + h i j ( t ， X t ) d 〈 B i ， B j 〉 t + σ j ( t ， X t ) d B t j ，   t ≠ t k ，   t ≥ t 0 ， Δ X ( t k ) = I k ( t k ， X ( t k − ) ) ，   t = t k ，   k = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， X t 0 = ξ ， (2.1) 初始值 X t 0 = ξ ∈ L F 0 p ( [ − τ ， 0 ] ; R n ) 。 B t = ( B t 1 ， B t 2 ， ⋯ ， B t d ) T 是一个d-维的G-Brown运动。 X t = X ( t + θ ) ∈ P C F t p ( [ − τ ， 0 ] ， R n ) 。 { 〈 B ， B 〉 t } t ≥ 0 是G-Brown运动 { B t } t ≥ 0 的二次变差过程。 f ， h i j ， σ j ∈ [ 0 ， T ] × P C F t p ( [ − τ ， 0 ] ， R n ) → R n 是Borel-可测的，且对所有的 T ∈ R n 和 X ∈ R n ， f ( ⋅ ， X ) ， h i j ( ⋅ ， X ) ， σ j ( ⋅ ， X ) ∈ M G p ( [ − τ ， T ] ， R n ) 。脉冲函数 I k ( t k ， X ( t k − ) ) : R + × R n → R n 表示 X ( t ) 在 t k 时刻的脉冲扰动。发生脉冲时刻的点 t k 满足 0 ≤ t 0 < t 1 < ⋯ < t k < ⋯ ， t k → ∞ (当 k → ∞ 时， t k → ∞ )， X ( t k − ) = lim h → 0 − X ( t k + h ) ， X ( t k + ) = lim h → 0 + X ( t k + h ) ， Δ X ( t k ) = X ( t k ) − X ( t k − ) 。 文中假设函数 f ， h i j ， σ j 以及 I k 满足方程(2.1)解存在唯一的所有条件(见 [ 13 ] )。当方程(2.1)的初始值是 X t 0 时，记方程(2.1)的解 X ( t ) = X ( t ; t 0 ， X t 0 ) 。为了研究方程(2.1)的稳定性，假设对 ∀ t ≥ t 0 ， f ( t ， 0 ) = h i j ( t ， 0 ) = σ ( t ， 0 ) ≡ 0 以及 I k ( t ， 0 ) ≡ 0   ( k = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ) ，则方程(2.1)存在平凡解 X ( t ) ≡ 0 。 注2.1文中采用Einstein记号，也就是在每一项里出现的指标i和j指的是求和，表示如下： ∫ 0 t h i j ( s ， X s ) d 〈 B i ， B j 〉 s : = ∑ i ， j = 1 d ∫ 0 t h i j ( s ， x s ) d 〈 B i ， B j 〉 s ， ∫ 0 t σ j ( s ， x s ) d B s j : = ∑ j = 1 d ∫ 0 t σ j ( s ， x s ) d B s j . 定义2.2 对 ∀ ξ ∈ L F 0 p ( [ − τ ， 0 ] ; R n ) ，若存在一对正常数 λ 和C满足 E ^ | X ( t ; t 0 ， ξ ) | p ≤ C E ^ ‖ ξ ‖ p e − λ ( t − t 0 ) ，   t ≥ t 0 ， 则称方程(2.1)的平凡解是p-阶矩指数稳定的。特别地，当 p = 2 时，通常称方程(2.1)的平凡解是均方指数稳定的。 进一步给出一些符号标记。令 C 1 ， 2 ( [ t 0 − τ ， ∞ ) × R n ， R + ) 是关于变量X二阶连续可导且关于变量t一阶连续可导的全体非负函数 V ( t ， X ) 的集合，即 V t ， V X ， V X X 在 [ t 0 − τ ， ∞ ) × R n 上是连续的，其中 V t ( t ， X ) = ∂ V ( t ， X ) ∂ t ， V X ( t ， X ) = ( ∂ V ( t ， X ) ∂ X 1 ， ∂ V ( t ， X ) ∂ X 2 ， ⋯ ， ∂ V ( t ， X ) ∂ X n ) ， V X X ( t ， X ) = ( ∂ 2 V ( t ， X ) ∂ X i ∂ X j ) n × n 对每一个 V ∈ C 1 ， 2 ( [ t 0 − τ ， ∞ ) × R n ， R + ) ，定义算子： L V ( t ， X t ) = V t ( t ， X ) + 〈 V X ( t ， X ) ， f ( t ， X t ) 〉     + G ( 〈 V X ( t ， X ) ， h ( t ， X t ) 〉 + 〈 V X X ( t ， X ) σ ( t ， X t ) ， σ ( t ， X t ) 〉 ) ， 其中， 〈 V X ( t ， X ) ， h ( t ， X t ) 〉 + 〈 V X X ( t ， X ) σ ( t ， X t ) ， σ ( t ， X t ) 〉 是表达形式如下的对称矩阵: 〈 V X ( t ， X ) ， h ( t ， X t ) 〉 + 〈 V X X ( t ， X ) σ ( t ， X t ) ， σ ( t ， X t ) 〉 : = [ 〈 V X ( t ， X ) ， h i j ( t ， X t ) + h j i ( t ， X t ) 〉 + 〈 V X X ( t ， X ) σ i ( t ， X t ) ， σ j ( t ， X t ) 〉 ] i ， j = 1 d .