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user: 3. 值函数的迭代 在本节，我们主要用一列递增的值函数序列来逼近(2.3)中定义的值函数，在此主要通过迭代算法来寻进行值函数的逼近。 假设对 n ≥ 1 ，定义值函数V n 为： V n ( x ) = sup L ∈ Π x V L n ( x ) ， (8) 其中， V L n ( x ) = E x [ ∫ 0 τ 1 e − δ s d L s + e − δ τ 1 V n − 1 ( X τ 1 L ) 1 { τ 1 ≤ τ } ] . (9) 此时 V 0 = 0 ，在此用1{.}表示示性函数。 在上述表达式中，我们仅考虑当 t ≤ τ 1 时的可行策略 L ∈ Π x ， x ∈ R + 。此时DPP成立。 定理3.1：值函数序列满足 V 0 ≤ V 1 ≤ V 2 ≤ ⋯ ≤ V n ≤ ⋯ ≤ V 。 证明：下面用归纳法证明该结论。 1).由可行分红策略的特征可知： V 1 ( x ) = sup L ∈ Π x ( E x [ ∫ 0 τ 1 e − δ s d L s ] ) . 2) 假设 V n − 2 ≤ V n − 1 ，则 V n ( x ) ≥ sup L ∈ Π x ( E x [ ∫ 0 τ 1 e − δ s d L s + e − δ τ 1 V n − 2 ( X τ 1 L ) 1 { τ 1 ≤ τ } ] ) = V n − 1 ( x ) . 定理3.1得证。 现定义V n 的HJB方程为： max { L n V n ( x ) ， 1 − V x n ( x ) } = 0 ， (10) 其中， L n V n ( x ) = g ( x ) V x n ( x ) − ( λ + δ ) V n ( x ) + λ G V n − 1 ( x ) . 且有 G W ( x ) = ∫ 0 x W ( x − y ) d F y 。 定义3.2：若存在常数 k > 0 ，使得 u ( x ) ≤ x + k 对所有 s ∈ R + 成立，则连续函数具有增长条件(A1)。 定理3.3：满足增长条件(A1)的最优值函数V n 在R + 是递增的、局部Lipschitz的，且有 h ≤ V ( x + h ) − V ( x ) ≤ ( e ( λ + δ ) h / g ( 0 ) − 1 ) V ( x ) . 证明：首先证明不等式的第一部分。给定任意 ε > 0 ，存在可行策略，使得 V L n ( x ) ≥ V n ( x ) − ε 。定义可行策略 L 1 ∈ Π x + h ， h > 0 。支付h作为公司分红后，返回策略L。此时有 V L 1 n ( x + h ) = V L n ( x ) + h . 因此可以得到 L ∈ Π x V n ( x + h ) ≥ V L n ( x ) + h ≥ V n ( x ) + h − ε . 下面证明不等式的另一部分。索赔发生之前，余额由x变成x+h的概率为 e − λ t 。因此有 V ( x + h ) − V ( x ) ≤ ( e ( λ + δ ) t − 1 ) V ( x ) . 因为g是正的、单调递增的，因此 t ≤ h / g ( 0 ) 。因此定理3.3得证。 定理3.4：最优值函数是满足增长条件(A1)的最小粘性上解。 证明：令u是(10)式的非负粘性解，且满足增长条件(A1)， L ∈ Π x 为任意可行策略， X t L 是初始盈余为x的受控盈余过程。由文献 [ 9 ] 引理5.1可知，u n 是连续可微的，且 u ′ n ≥ 1 ，因此有 e − δ ( t ∧ τ 1 ) u n ( X t ∧ τ 1 L ) − u n ( x ) ≤ ∫ 0 t ∧ τ 1 L n ( u n ) ( X s − L ) e − δ s d s + M t ∧ τ 1 − ( ∫ 0 t ∧ τ 1 e − δ s d L s + e − δ ( t ∧ τ 1 ) u n ( X t ∧ τ 1 L ) 1 { t ∧ τ 1 < τ } ) . 其中 M t ∧ τ 1 是零期望鞅。若 x < 0 ，则 u n ( x ) = 0 。对上式取期望可得 E x [ e − δ ( t ∧ τ 1 ) u n ( X t ∧ τ 1 L ) ] − u n ( x ) ≤ E x [ ∫ 0 t ∧ τ 1 L n ( u n ) ( X s − L ) e − δ s d s ] − E x [ ∫ 0 t ∧ τ 1 e − δ s d L s + e − δ ( t ∧ τ 1 ) u n ( X t ∧ τ 1 L ) 1 { t ∧ τ 1 < τ } ] . 因为L t 为非降过程，由极限收敛定理可知 lim t → ∞ E x [ ∫ 0 t ∧ τ 1 e − δ s d L s + e − δ ( t ∧ τ 1 ) u n ( X t ∧ τ 1 L ) 1 { t ∧ τ 1 < τ } ] = V L n . 同时，由边界收敛定理可知 lim t → ∞ E x [ ∫ 0 t ∧ τ 1 L n ( u n ) ( X s − L ) e − δ s d s ] = E x [ ∫ 0 τ 1 L n ( u n ) ( X s − L ) e − δ s d s ] 下面证明 lim t → ∞ sup E x [ ∫ 0 τ 1 L n ( u n ) ( X s − L ) e − δ s d s ] ≤ 0. 对任意 ε > 0 ，存在T使得对任意 n ≥ 1 ， ∫ T ∞ L n ( u n ) ( X s − L ) e − δ s d s ≤ ε 2 . 由文献 [ 9 ] 引理5.1可知，存在足够大的n 0 ，使得对任意 n > n 0 ， ∫ 0 T L n ( u n ) ( X s − L ) e − δ s d s ≤ c n δ ≤ ε 2 . 由增长条件(A1)可知，存在K使得 E x [ e − δ ( t ∧ τ 1 ) u n ( X t ∧ τ 1 L ) ] = E x [ e − δ ( t ∧ τ 1 ) u n ( X t ∧ τ 1 L ) 1 { t < τ 1 } ] + E x [ e − δ ( t ∧ τ 1 ) u n ( X t ∧ τ 1 L ) 1 { t ≥ τ 1 } ] = E x [ e − δ ( t ∧ τ 1 ) u n ( X t ∧ τ 1 L ) 1 { t < τ 1 } ] ≤ ( x + K ) e − δ t . 因此可得 lim t → ∞ E x [ e − δ ( t ∧ τ 1 ) u n ( X t ∧ τ 1 L ) e − δ t ] = 0. 综上所述可得 u ( x ) = lim n → ∞ u n ( x ) ≥ V L n . 因此有 u ( x ) ≥ sup L ∈ Π x V L n = V n . 定理3.5：当n趋近于 ∞ 时， V n → V 。 证明：通过文献 [ 9 ] 引理5.1可知，是V递增的且满足条件(A1)，因此存在 T > 0 使得 e − δ t V ( ϕ x ( t ) ) ≤ ε 3 ， t ≥ T . 定义 k = V ( ϕ x ( t ) ) > 0 ，取 n 0 > 0 ，使得 P ( τ n 0 ≥ T ) ≥ 1 − ε 3 k . 现存在可行策略 L ∈ Π x ，使得 V ( x ) − V L ( x ) ≤ ε 3 . 因此 V ( x ) ≤ V L ( x ) + ε 3 ≤ V n ( x ) + ε . 定理3.5得证。