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user: 4. 数值计算及分析 4.1. 不可变刚度模型 系统开始时的动能经过一个缓冲后坐过程后，转化为两个阻尼器以及橡胶垫的弹性势能。即有能量守恒关系式： 1 2 m v 2 = k 1 ( s + Δ x ) 2 + 1 2 k 0 Δ x 2 − k 1 s 2 (3) m、v、s已知，m = 8 kg，v = 4 m/s，s = 5 mm，确定k 0 ，k 1 ，通过式(1)、(3)即可求得∆x，F m 。 1) 固定k 0 改变k 1 表1和图4表明随着k 1 的增大，后坐力会不断增大，并且呈线性关系增长，而缓冲位移是减小的。阻尼器刚度k 1 的增大，由于能量守恒导致缓冲位移∆x的减小，但是k 1 的变化量大于∆x的变化量，因此阻尼器中的弹力依然会增大，在电磁铆枪缓冲复进过程中由于力的相互作用，弹力转成后坐力，复进开始时的后坐力即最大后坐力，所以最大后坐力是随着k 1 增大而增大。如果k 1 过小，会导致缓冲位移过大，会大大增加电铆枪外壳质量，因此在承载范围内，适当减小k 1 。所以k 1 取值定为：110 N/mm。 Table 1 The effect of k1 on recoil forces and buffering displacemen 阻尼器刚度k 1 /(N∙mm − 1 ) 橡胶垫刚度k 0 /(N∙mm − 1 ) 缓冲位移Δx/mm 最大后坐力F m /N 90 5 21.9 4948.7 100 5 20.6 5219.2 110 5 19.5 5478.1 120 5 18.5 5727.1 130 5 17.6 5967.4 表1. k 1 对后坐力及缓冲位移影响 图4. F m -k 1 关系曲线图 2) 固定k 1 改变k 0 表2和图5表明随着k 0 的增大，缓冲位移没有明显变化，但后坐力是不断增大的。橡胶垫刚度k 0 的增大，由于橡胶垫刚度的取值变化不明显，导致缓冲位移∆x几乎不变，而橡胶垫的弹力跟橡胶垫刚度是成正相关关系，因此弹力增大。在电磁铆枪缓冲复进过程中由于力的相互作用，橡胶垫的弹力会转成后坐力，复进开始时的后坐力即为最大后坐力，因此k 0 的增大会导致最大后坐力的增大。而如果k 0 过小，橡胶垫相当于一个刚体，那么就没有任何研究的意义。所以k 0 取值定为：5 N/mm。 Table 2 The effect of k0 on recoil forces and buffering displacemen 阻尼器刚度k 1 /(N∙mm − 1 ) 橡胶垫刚度k 0 /(N∙mm − 1 ) 缓冲位移Δx/mm 最大后坐力F m /N 110 1 19.6 4931.2 110 3 19.5 5454.7 110 5 19.5 5478.1 110 7 19.4 5501.5 110 9 19.3 5524.7 表2. k 0 对后坐力及缓冲位移影响 图5. F m -k 0 关系曲线图 4.2. 可变刚度模型 当后坐力达到后置阻尼器的压力时，则有： k 1 s 1 + k 1 d = k 2 s 2 (4) 求解可得： d = k 2 k 1 s 2 − s 1 (5) 两阻尼器串联共同作用时，前置阻尼器与后置阻尼器的弹力相等，有： { k 1 x 1 = k 2 x 2 x 1 + x 2 = x x = Δ x − d (6) 可得： { x 1 = k 2 k 1 + k 2 x x 2 = k 1 k 1 + k 2 x (7) 电铆枪后坐时的动能转化为阻尼器以及阻尼器垫的弹性势能，经过一个缓冲后坐过程后，由于电铆枪两边的结构都设有阻尼器，根据能量守恒定律有： E = E 1 + E 2 + E 3 + E 4 (8) 其中系统总能量 E = 1 2 m v 2 ；仅前置阻尼器工作的阻尼器获得的弹性势能为： E 1 = k 1 [ ( s 1 + d ) 2 − s 1 2 ] ；两阻尼器串联工作的阻尼器获得的弹性势能为： E 2 = k 1 [ ( s 1 + d + x 1 ) 2 − ( s 1 + d ) 2 ] ；后置阻尼器工作的阻尼器获得的弹性势能为： E 3 = k 2 [ ( s 2 + x 2 ) 2 − s 2 2 ] ；以及橡胶垫获得的总弹性势能为： E 4 = 1 2 k 0 Δ x 2 。结合公式(5)和(8)，得： A 1 s 1 2 + B 1 s 1 + C 1 = 0 (9) 其中 A 1 = k 1 k 2 k 1 + k 2 − k 1 ， B 1 = 2 k 1 k 2 k 1 + k 2 ( Δ x + s 2 ) ， C 1 = [ k 2 2 k 1 − k 2 2 k 1 + k 2 ( 2 + k 2 k 1 ) ] s 2 2 + k 1 k 2 k 1 + k 2 ( 2 s 2 Δ x + Δ x 2 ) + 1 2 k 0 Δ x 2 − E ； 或得： A 2 s 2 2 + B 2 s 2 + C 2 = 0 (10) 其中 A 2 = k 2 2 k 1 − k 2 2 k 1 + k 2 ( 2 + k 2 k 1 ) ， B 2 = 2 k 1 k 2 k 1 + k 2 ( s 1 + Δ x ) C 2 = ( k 1 k 2 k 1 + k 2 − k 1 ) s 1 2 + 2 Δ x k 1 k 2 k 1 + k 2 ( 1 2 Δ x + s 1 ) + 1 2 k 0 Δ x 2 − E 。 已知k 0 、k 1 、k 2 、∆x、m、v，则s 1 、s 2 二者之间确定一个变量的值，通过式(9)或(10)可以将另一个变量的值即可求出。 质量m = 8 kg，初速度v = 4 m/s，缓冲位移∆x = 19.5 mm，橡胶垫刚度k 0 = 5 N/mm。为了方便进行后面的对比分析，由于后置阻尼器预压力大于前置阻尼器预压力，故前置阻尼器刚度k 1 = 110 N/mm，设定后置阻尼器刚度k 2 = 220 N/mm。为了与不可变刚度模型进行对比分析，那么s 1 和s 2 之间，必须有一个值为5 mm。 1) 已知前置阻尼器预压缩量s 1 为5 mm，求s 2 。 通过数值计算，得s 2 = 12.2 mm，d = 19.5mm。d的值几乎接近∆x的值，相当于后置阻尼器几乎没有起作用，那么就没有必要作进一步的研究了。 2) 已知后置阻尼器预压缩量s 2 为5 mm，求s 1 。 通过数值计算，得s 1 = 7.4 mm，d = 2.6 mm。可继续进行研究。 因此m = 8 kg，v = 4 m/s，s 2 = 5 mm，∆x = 19.5 mm，k 0 = 5 N/mm，k 1 = 110 N/mm。确定k 2 ，通过式(2)、(9)，即可求得d，s 1 ，F m 。 表3和图6表明随着k 2 的增大，前置阻尼器工作行程和最大后坐力不断增大的，而前置阻尼器预压缩量相反。k 2 增大的由于能量守恒会导致s 1 的减小，由于前置阻尼器经过一个工作行程后的压力须达到后置阻尼器的预压力，因此d是增大的，同时后座力中后置阻尼器占主导作用，因此最大后坐力也是增大的。如果k 2 过小，会导致前置阻尼器工作行程太小，此时前置阻尼器几乎不起作用；而k 2 过大的话，会造成后坐力太大。所以k 2 定值为：220 N/mm。 Table 3 The effect of k2 on recoil forces and buffering displacemen 阻尼器刚度k 2 /(N∙mm − 1 ) 前置阻尼器工作行程d/mm 前置阻尼器预压缩量s 1 /mm 最大后坐力F m /N 200 0.96 8.12 4720.6 220 2.55 7.45 4776.9 250 4.64 6.72 4861.3 300 7.68 5.96 4993.4 370 11.44 5.38 5157.2 表3. k 2 对后坐力及缓冲位移影响 图6. F m -k 2 关系曲线图 4.3. 对比分析 将不可变刚度模型和可变刚度模型对比，在缓冲位移相同的情况下，结合前面内容，可确定各参数的值，分别代入式(1)和式(2)得到函数式。通过Python编程来模拟函数的图象，以及通过MATLAB对函数极限值进行求解，得到图7、图8和表4。 由表4和图7、图8可见： 1) 在缓冲位移小于10 mm时，可变刚度模型的后坐力大于不可变刚度模型，而在大于10 mm时，结果则相反。 2) 在缓冲位移不变的情况下，不可变刚度模型最大后坐力为5478.1N，可变刚度模型最大后坐力为4776.9N，降低了12.8%。 3) 可变刚度模型的缓冲时间比不可变刚度模型多22.9 ms，增加了4.9%。 图7. 两种模型的F-x关系曲线 图8. 两种模型的x-t关系曲线图 Table 4 Data of two model 模型 缓冲位移∆x/mm 缓冲时间t/ms 最大后坐力F m /N 不可变刚度 19.5 467.6 5478.1 可变刚度 19.5 490.5 4776.9 表4. 两种模型数据 可变刚度模型的刚度数值大小在缓冲位移刚好为d时发生改变，此时系统刚度不再是前置阻尼器刚度，而是串联阻尼器刚度；由于前置阻尼器的弹力达到了后置阻尼器的预压力，两阻尼器形成串联，总阻尼器刚度会变小，因此在缓冲位移相同的情况下，可变刚度模型最大后坐力较不可变刚度模型要小很多。同时，后坐力的减小会导致缓冲加速度减小，在整个缓冲后坐过程中缓冲位移无发生变化，因此可变刚度模型的阻尼器工作时间比不可变刚度模型要长。可见，可变刚度模型更具有缓冲减震的优越性。