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user: 3. 直觉模糊环境下的概念格及其属性约简 本节主要是论述直觉模糊集和概念格相结合的相关理论方法。并通过例题对相关理论作了进一步分析，尤其对属性约简的理论进行了深入地探讨，进一步深化了对直觉模糊概念格的理论理解，为应用该方法解决实际问题奠定了理论基础。 定义3.1. [ 17 ] 一个三元组 ( U ， A ， I ˜ ) 称为形式背景，如果 U = { x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n } 是一个对象集， x i ( i ≤ n ) 为一个对象； A = { a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a m } 是一个属性集， a j ( j ≤ m ) 为一个属性；且 I ˜ 是 U × A 一个直觉模糊集，其中 I ˜ = { 〈 ( x ， a ) ， μ I ˜ ( x ， a ) ， γ I ˜ ( x ， a ) 〉 | ( x ， a ) ∈ U × A } ， μ I ˜ : U × A → [ 0 ， 1 ] 和 γ I ˜ : U × A → [ 0 ， 1 ] 。 I ˜ 的补集表示 ∼ I ˜ = { 〈 ( x ， a ) ， γ I ˜ ( x ， a ) ， μ I ˜ ( x ， a ) 〉 | ( x ， a ) ∈ U × A } 。 我们规定 I ˜ ( x ， a ) = 〈 μ I ˜ ( x ， a ) ， γ I ˜ ( x ， a ) 〉 ， V = { I ˜ ( x ， a ) | x ∈ U ， a ∈ A } 。 假设 I ˜ ( x ， a ) ， I ˜ ( y ， a ) ∈ V ，得出 I ˜ ( x ， a ) ≥ I ˜ ( y ， a ) ⇔ μ I ˜ ( x ， a ) ≥ μ I ˜ ( y ， a ) ∧ γ I ˜ ( x ， a ) ≤ γ I ˜ ( y ， a ) 在形式背景 ( U ， A ， I ˜ ) 下，对于 X ⊆ U ， B ⊆ A 和 A ˜ ， B ˜ ∈ I F ( U ) ，其中 ∀ b ， B ˜ ( b ) ， A ˜ ( b ) ∈ { I ˜ ( x ， b ) | ∀ x ∈ U } ， V b ∈ { I ˜ ( x ， b ) | ∀ x ∈ U } 。 一对算子定义为： X * = A ˜ = { 〈 a ， μ X ∗ ( a ) ， γ X ∗ ( a ) 〉 | a ∈ A } ， 其中 A ˜ 1 ( a ) = 〈 ∧ ∀ x ∈ X μ I ˜ ( x ， a ) ， ∨ ∀ x ∈ X γ I ˜ ( x ， a ) 〉   ( a ∈ A ) ；我们规定 ∅ * = A ˜ = { 〈 a ， 1 ， 0 〉 | a ∈ A } 。 B ˜ * = { x ∈ U | I ˜ ( x ， b ) ≥ B ˜ ( b ) ， ∀ b ∈ B } ， 其中 I ˜ ( x ， b ) ∈ V 。 b ∉ B 表示 B ˜ ( b ) = 〈 0 ， 1 〉 。 ∀ x ∈ U ，我们用 x ∗ 和 a ∗ 分别代替 { x } ∗ 和 { a } ∗ ，且对于 B ⊆ A 有以下表示形式： U B = { A ˜ | A ˜ ( b ) = I ˜ ( x ， b ) ， x ∈ U ， b ∈ B } . 类似经典形式背景，假设 ( U ， A ， I ˜ ) 是一个形式背景， X 1 ， X 2 ， X ⊆ U ， B 1 ， B 2 ， B ⊆ A ，则有以下基本性质成立。 性质3.1. [ 17 ] 设 ( U ， A ， I ˜ ) 为直觉模糊形式背景， X 1 ， X 2 ， X ⊆ U ， B 1 ， B 2 ， B ⊆ A ，那么可得以下性质。 (1) X 1 ⊆ X 2 ⇒ X 2 * ⊆ X 1 * ， B ˜ 1 ⊆ B ˜ 2 ⇒ B ˜ 2 * ⊆ B ˜ 1 * 。 (2) X ⊆ X * * ， B ˜ ⊆ B ˜ * * 。 (3) X * = X * * * ， B ˜ * = B ˜ * * * 。 (4) X ⊆ B ˜ * ⇔ B ˜ ⊆ X * 。 (5) ( X 1 ∪ X 2 ) * = X 1 * ∩ X 2 * ， ( B ˜ 1 ∪ B ˜ 2 ) * = B ˜ 1 * ∩ B ˜ 2 * 。 (6) ( X 1 ∩ X 2 ) * ⊇ X 1 * ∪ X 2 * ， ( B ˜ 1 ∩ B ˜ 2 ) * ⊇ B ˜ 1 * ∪ B ˜ 2 * 。 证明：(1) 记 X 1 * = A ˜ 1 ， X 2 * = A ˜ 2 ，则对于任意 a ∈ A ， A ˜ 1 ( a ) = 〈 ∧ ∀ x ∈ X 1 μ I ˜ ( x ， a ) ， ∨ ∀ x ∈ X 1 γ I ˜ ( x ， a ) 〉 ， A ˜ 2 ( a ) = 〈 ∧ ∀ x ∈ X 2 μ I ˜ ( x ， a ) ， ∨ ∀ x ∈ X 2 γ I ˜ ( x ， a ) 〉 . 因为 X 1 ⊆ X 2 ，即有 A ˜ 1 ( a ) ≥ A ˜ 2 ( a ) 。综上， A ˜ 2 ⊆ A ˜ 1 ，即 X 2 * ⊆ X 1 * 。 由以上定义可得，若 a ∈ B i   ( i = 1 ， 2 ) ，那么 B ˜ i ( a ) = A ˜ ( a ) ，否则 B ˜ i ( a ) = 〈 0 ， 1 〉 ；所以，对 I ˜ ( x ， b ) ∈ V ，有 B ˜ 1 * = { x ∈ U | I ˜ ( x ， b ) ≥ B ˜ 1 ( b ) ， ∀ b ∈ A } ， B ˜ 2 * = { x ∈ U | I ˜ ( x ， b ) ≥ B ˜ 2 ( b ) ， ∀ b ∈ A } 。由 B ˜ 1 ⊆ B ˜ 2 可得 B ˜ 1 ( b ) ≤ B ˜ 2 ( b ) 。那么对于任意的 I ˜ ( x ， b ) ∈ V ， I ˜ ( x ， b ) ≥ B ˜ 2 ( b ) 蕴含 I ˜ ( x ， b ) ≥ B ˜ 1 ( b ) 。因此，若 x ∈ B ˜ 2 * ，那么 x ∈ B ˜ 1 * ，即 B ˜ 2 * ⊆ B ˜ 1 * 。 (2) 一方面，设 X * = A ˜ ，那么 X * * = A ˜ * = { x ∈ U | I ˜ ( x ， a ) ≥ A ˜ ( a ) ， ∀ a ∈ A } ，其中 A ˜ ( a ) = ∧ { I ˜ ( x ， a ) | ∀ x ∈ X } = 〈 ∧ μ I ˜ ( x ， a ) ， ∨ γ I ˜ ( x ， a ) 〉 ， ∀ x ∈ X 。若 x ∈ X ，那么 I ˜ ( x ， a ) ≥ 〈 ∧ μ I ˜ ( x ， a ) ， ∨ γ I ˜ ( x ， a ) 〉 = A ˜ ( a ) 。因此， x ∈ X * * ，即 X ⊆ X * * 。 另一方面，设 B ˜ ⊆ U B ，那么记 B ˜ = { 〈 μ I ˜ ( x ， b ) ， γ I ˜ ( x ， b ) 〉 | b ∈ A } ，其中对于 b ∈ A − B ， B ˜ ( b ) = 〈 0 ， 1 〉 。由上可得 B ˜ * = { x ∈ U | I ˜ ( x ， b ) ≥ B ˜ ( b ) ， ∀ b ∈ A } ，即对任意的 x ∈ B ˜ * 和 b ∈ B ， I ˜ ( x ， b ) ≥ B ˜ ( b ) 成立。因此， B ˜ * * ( b ) = 〈 ∧ μ I ˜ ( x ， b ) ， ∨ γ I ˜ ( x ， b ) 〉 ≥ B ˜ ( b ) 。综上， B ˜ ⊆ B ˜ * * 。 (3) 由(1)和(2)中的结论易证。 (4) 由(1)可得 X ⊆ B ˜ * ⇒ B ˜ * * ⊆ X * ，由(2)可得 B ˜ ⊆ B ˜ * * ；因此， B ˜ ⊆ X * 。 (5) 显然 ( B ˜ 1 ∪ B ˜ 2 ) * ⊆ B ˜ 1 * ∩ B ˜ 2 * 。而且， ∀ x ∈ B ˜ 1 ∗ ∩ B ˜ 2 ∗ ⇔ x ∈ B ˜ 1 ∗ ∧ x ∈ B ˜ 2 ∗ ⇔ I ˜ ( x ， b ) ≥ B ˜ ( b ) ， ∀ b ∈ B 1 ∧ I ˜ ( x ， b ) ≥ B ˜ ( b ) ， ∀ b ∈ B 2 ⇔ I ˜ ( x ， b ) ≥ B ˜ ( b ) ， ∀ b ∈ B 1 ∪ B 2 ⇔ x ∈ ( B ˜ 1 ∪ B ˜ 2 ) ∗ ⇒ B ˜ 1 ∗ ∩ B ˜ 2 ∗ ⊆ ( B ˜ 1 ∪ B ˜ 2 ) ∗ 。因此， ( B ˜ 1 ∪ B ˜ 2 ) ∗ = B ˜ 1 ∗ ∩ B ˜ 2 ∗ 。同理可得 ( X 1 ∪ X 2 ) ∗ = X 1 ∗ ∩ X 2 ∗ 。 (6) 很容易由(1)证得此结论。 下面我们通过下述例题对以上知识作一详细阐述。 例 3.1. 表1给出一个直觉模糊形式背景，其中 X = { x 1 ， x 2 ， x 4 } ， B ˜ = { ( a ， 0.2 ， 0.6 ) ， ( b ， 0.3 ， 0.5 ) ， ( c ， 0.6 ， 0.2 ) ， ( d ， 0.8 ， 0.1 ) } ∈ I F ( B ) 其中 B = { a ， b ， c ， d } ⊂ A ，从定义的形式可以得出： Table 1 Given an intuitionistic fuzzy formal contex a b c d e x 1 〈 0.0 ， 1.0 〉 〈 0.9 ， 0.0 〉 〈 0.5 ， 0.4 〉 〈 0.7 ， 0.2 〉 〈 0.9 ， 0.1 〉 x 2 〈 1.0 ， 0.0 〉 〈 0.7 ， 0.2 〉 〈 0.6 ， 0.3 〉 〈 0.9 ， 0.1 〉 〈 0.7 ， 0.2 〉 x 3 〈 1.0 ， 0.0 〉 〈 0.2 ， 0.8 〉 〈 0.5 ， 0.4 〉 〈 0.5 ， 0.4 〉 〈 0.7 ， 0.2 〉 x 4 〈 0.5 ， 0.5 〉 〈 0.5 ， 0.5 〉 〈 0.3 ， 0.6 〉 〈 0.5 ， 0.4 〉 〈 0.8 ， 0.2 〉 表1. 给定一个直觉模糊形式背景 X * = A ˜ = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.5 ， 0.5 ) ， ( c ， 0.3 ， 0.6 ) ， ( d ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( e ， 0.7 ， 0.2 ) } B ˜ * = { x 2 } 以表1中数据为例，我们对性质3.1作详细地分析： (1) 取 X 1 = { x 1 } ， X 2 = { x 1 ， x 2 } ，满足 X 1 ⊆ X 2 ，得： X 1 ∗ = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.9 ， 0.0 ) ， ( c ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( d ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( e ， 0.9 ， 0.1 ) } ， X 2 ∗ = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( c ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( d ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( e ， 0.7 ， 0.2 ) } ， X 2 * ⊆ X 1 * 显然成立。取 B ˜ 1 = { ( a ， 0.2 ， 0.5 ) ， ( b ， 0.2 ， 0.6 ) ， ( c ， 0.1 ， 0.8 ) ， ( d ， 0.4 ， 0.6 ) ， ( e ， 0.3 ， 0.4 ) } ； B ˜ 2 = { ( a ， 0.6 ， 0.3 ) ， ( b ， 0.5 ， 0.2 ) ， ( c ， 0.4 ， 0.3 ) ， ( d ， 0.5 ， 0.5 ) ， ( e ， 0.6 ， 0.3 ) } ；满足 B ˜ 1 ⊆ B ˜ 2 ，且有 B ˜ 1 ∗ = { x 2 ， x 4 } ， B ˜ 2 ∗ = { x 2 } ，则 B ˜ 2 ∗ ⊆ B ˜ 1 ∗ 成立。 (2) X = { x 1 ， x 2 } ， X 2 ∗ ∗ = { x 1 ， x 2 } ， X ⊆ X * * ； B ˜ = { ( a ， 0.2 ， 0.5 ) ， ( b ， 0.2 ， 0.6 ) ， ( c ， 0.1 ， 0.8 ) ， ( d ， 0.4 ， 0.6 ) ， ( e ， 0.3 ， 0.4 ) } ； B ˜ * * = { ( a ， 0.5 ， 0.5 ) ， ( b ， 0.5 ， 0.5 ) ， ( c ， 0.3 ， 0.6 ) ， ( d ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( e ， 0.7 ， 0.2 ) } ； B ˜ ⊆ B ˜ * * 。 (3) X 2 ∗ = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( c ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( d ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( e ， 0.7 ， 0.2 ) } ， X 2 ∗ ∗ ∗ = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( c ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( d ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( e ， 0.7 ， 0.2 ) } ， X * = X * * * ； B ˜ 1 ∗ = { x 2 ， x 4 } ， B ˜ 1 ∗ ∗ ∗ = { x 2 ， x 4 } ，则 B ˜ 1 ∗ = B ˜ 1 ∗ ∗ ∗ 。 (4) X 3 = { x 4 } ， B ˜ 1 ∗ = { x 2 ， x 4 } ， X 3 ⊆ B ˜ 1 ∗ ， B ˜ 1 = { ( a ， 0.2 ， 0.5 ) ， ( b ， 0.2 ， 0.6 ) ， ( c ， 0.1 ， 0.8 ) ， ( d ， 0.4 ， 0.6 ) ， ( e ， 0.3 ， 0.4 ) } ， X 3 ∗ = { ( a ， 0.5 ， 0.5 ) ， ( b ， 0.5 ， 0.5 ) ， ( c ， 0.3 ， 0.6 ) ， ( d ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( e ， 0.8 ， 0.2 ) } ， B ˜ 1 ⊆ X 3 ∗ 。 (5) ( X 1 ∪ X 2 ) * = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( c ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( d ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( e ， 0.7 ， 0.2 ) } ， X 1 ∗ = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.9 ， 0.0 ) ， ( c ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( d ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( e ， 0.9 ， 0.1 ) } ， X 2 ∗ = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( c ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( d ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( e ， 0.7 ， 0.2 ) } ， X 1 * ∩ X 2 * = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( c ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( d ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( e ， 0.7 ， 0.2 ) } ， ( X 1 ∪ X 2 ) * = X 1 * ∩ X 2 * 。 (6) ( X 1 ∩ X 2 ) * = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.9 ， 0.0 ) ， ( c ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( d ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( e ， 0.9 ， 0.1 ) } ， X 1 ∗ = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.9 ， 0.0 ) ， ( c ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( d ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( e ， 0.9 ， 0.1 ) } ， X 2 ∗ = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( c ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( d ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( e ， 0.7 ， 0.2 ) } ， X 1 * ∪ X 2 * = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.9 ， 0.0 ) ， ( c ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( d ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( e ， 0.9 ， 0.1 ) } ， ( X 1 ∩ X 2 ) * ⊇ X 1 * ∪ X 2 * 。 假设 ( U ， A ， I ˜ ) 是一个形式背景， X ⊆ U ， B ⊆ A 。二元组 ( X ， B ˜ ) 是一个直觉模糊概念(简称概念)如果 X * = B ˜ 且 X = B ˜ * 。X和 B ˜ 分别叫做 ( X ， B ˜ ) 的外延和内涵。 根据上述，显然 ( X * * ， X * ) 和 ( B ˜ * ， B ˜ * * ) 都是概念。 直觉模糊概念格 L ( U ， A ， I ˜ ) 是指代了所有的直觉模糊集 ( U ， A ， I ˜ ) ，定义为： ( X 1 ， B ˜ 1 ) ≤ ( X 2 ， B ˜ 2 ) ⇔ X 1 ⊆ X 2 ⇔ B ˜ 1 ⊇ B ˜ 2 。 如果 ( X 1 ， B ˜ 1 ) 和 ( X 2 ， B ˜ 2 ) 是直觉模糊形式背景 ( U ， A ， I ˜ ) 下的两个概念，则 ( X 1 ∩ X 2 ， ( B 1 ∪ B 2 ) * * ) 和 ( ( X 1 ∪ X 2 ) * * ， B 1 ∩ B 2 ) 两个都是概念。 因此，综合上述若给出： ( X 1 ， B ˜ 1 ) ∧ ( X 2 ， B ˜ 2 ) = ( X 1 ∩ X 2 ， ( B ˜ 1 ∪ B ˜ 2 ) * * ) ， ( X 1 ， B ˜ 1 ) ∨ ( X 2 ， B ˜ 2 ) = ( ( X 1 ∪ X 2 ) * * ， B 1 ∩ B ˜ 2 ) . 此时直觉模糊概念格 L ( U ， A ， I ˜ ) 是一个完备格。 例3.2. 在上例中，根据定义得到了直觉模糊形式背景下的所有概念。下面为了简化表示，我们用 ⋯ i ， ⋯ j ⋯ 表示概念中的对象集 { ⋯ x i ， ⋯ x j ⋯ } 。它们是 ( 1 ， A ˜ 1 ) ， ( 2 ， A ˜ 2 ) ， ( 4 ， A ˜ 3 ) ， ( 12 ， A ˜ 4 ) ， ( 14 ， A ˜ 5 ) ， ( 23 ， A ˜ 6 ) ， ( 24 ， A ˜ 7 ) ， ( 234 ， A ˜ 8 ) ， ( 124 ， A ˜ 9 ) ， ( 123 ， A ˜ 10 ) ， ( 1234 ， A ˜ 11 ) ( ∅ ， A ˜ ) 分别标记为：FC1，FC2，FC3，FC4，FC5，FC6，FC7，FC8，FC9，FC10，FC11，FC12。这样我们能得到对象集 { x i ， x j } i j ( i ， j = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 以下同理，如下所示： A ˜ 1 = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.9 ， 0.0 ) ， ( c ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( d ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( e ， 0.9 ， 0.1 ) } ; A ˜ 2 = { ( a ， 1.0 ， 0.0 ) ， ( b ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( c ， 0.6 ， 0.3 ) ， ( d ， 0.9 ， 0.1 ) ， ( e ， 0.7 ， 0.2 ) } ; A ˜ 3 = { ( a ， 0.5 ， 0.5 ) ， ( b ， 0.5 ， 0.5 ) ， ( c ， 0.3 ， 0.6 ) ， ( d ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( e ， 0.8 ， 0.2 ) } ; A ˜ 4 = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( c ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( d ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( e ， 0.7 ， 0.2 ) } ; A ˜ 5 = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.5 ， 0.5 ) ， ( c ， 0.3 ， 0.6 ) ， ( d ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( e ， 0.8 ， 0.2 ) } ; A ˜ 6 = { ( a ， 1.0 ， 0.0 ) ， ( b ， 0.2 ， 0.8 ) ， ( c ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( d ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( e ， 0.7 ， 0.2 ) } ; A ˜ 7 = { ( a ， 0.5 ， 0.5 ) ， ( b ， 0.5 ， 0.5 ) ， ( c ， 0.3 ， 0.6 ) ， ( d ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( e ， 0.7 ， 0.2 ) } ; A ˜ 8 = { ( a ， 0.5 ， 0.5 ) ， ( b ， 0.2 ， 0.8 ) ， ( c ， 0.3 ， 0.6 ) ， ( d ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( e ， 0.7 ， 0.2 ) } ; ; A ˜ 10 = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.2 ， 0.8 ) ， ( c ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( d ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( e ， 0.7 ， 0.2 ) } ; A ˜ 11 = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.2 ， 0.8 ) ， ( c ， 0.3 ， 0.6 ) ， ( d ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( e ， 0.7 ， 0.2 ) } ; A ˜ = { ( a ， 1.0 ， 0.0 ) ， ( b ， 1.0 ， 0.0 ) ， ( c ， 1.0 ， 0.0 ) ， ( d ， 1.0 ， 0.0 ) ， ( e ， 1.0 ， 0.0 ) } . 进一步，我们可以得到表1直觉模糊形式背景下的直觉模糊概念格如图1所示： 图1. 例3.1直觉模糊形式背景下的直觉模糊概念格 定义3.2. [ 17 ] 设和 L ( U ， A 1 ， I ˜ 1 ) ， L ( U ， A 2 ， I ˜ 2 ) 是两个直觉模糊概念格，如果对于任意 ( X ， B ˜ ) ∈ L ( U ， A 2 ， I ˜ 2 ) ，总存在 ( X ′ ， B ′ ˜ ) ∈ L ( U ， A 1 ， I ˜ 1 ) ，使得 X = X ′ 成立，我们称 L ( U ， A 1 ， I ˜ 1 ) 细于 L ( U ， A 2 ， I ˜ 2 ) ，记作 L ( U ， A 1 ， I ˜ 1 ) ≤ L ( U ， A 2 ， I ˜ 2 ) 。 如果 L ( U ， A 1 ， I ˜ 1 ) ≤ L ( U ， A 2 ， I ˜ 2 ) 且 L ( U ， A 2 ， I ˜ 2 ) ≤ L ( U ， A 1 ， I ˜ 1 ) ，我们就称 L ( U ， A 1 ， I ˜ 1 ) 和 L ( U ， A 2 ， I ˜ 2 ) 等价，且记作 L ( U ， A 1 ， I ˜ 1 ) ≅ L ( U ， A 2 ， I ˜ 2 ) 。我们记所有概念格的集合为： 。 L ( U ， A ， I ˜ ) 中所有内涵的集合定义为： L A ( U ， A ， I ˜ ) = { X | ( X ， B ˜ ) ∈ L ( U ， A ， I ˜ ) } 。 在 ( U ， A ， I ˜ ) 形式背景下，任意 D ⊆ A ，我们记 I ˜ D = I ˜ ∩ I ˜ ′ ，其中 I ˜ ′ 是直觉模糊集 U × D ，上的二元关系，即 I ˜ D = { 〈 ( x ， a ) ， μ I ˜ D ( x ， a ) ， γ I ˜ D ( x ， a ) 〉 | ( x ， a ) ∈ U × D } 。显而易见， ( U ， D ， I ˜ D ) 也是一个形式背景，我们记作一个形式背景下的所有概念 ( U ， D ， I ˜ D ) 。相类似地，对于 ∀ ( X ， B ˜ ) ∈ L ( U ， D ， I ˜ D ) ，如果 a ∈ D ， X ∗ D ( a ) = X ∗ ( a ) ，否则 X ∗ D ( a ) = 〈 0 ， 1 〉 ，并且 B ˜ * D = { x ∈ U | I ˜ ( x ， b ) ≥ B ˜ ( b ) ， ∀ b ∈ D } 。 从定义3.2很容易得出，如果 X ⊆ U ， D ⊆ A 且 B ˜ ∈ I F ( U ) ，此时 X ∗ D ⊆ X ∗ 和 B ˜ ∗ ⊆ B ˜ ∗ D 都成立。下面我们可以通过对表1中的数据分析进一步加深理解。 对于表1，取 X = { x 2 ， x 3 } ⊆ U ， D = { a ， b ， d } ⊆ A 且 B ˜ ∈ I F ( U ) ，此时， X ∗ D = { ( a ， 1.0 ， 0.0 ) ， ( b ， 0.2 ， 0.8 ) ， ( c ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( d ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( e ， 0.0 ， 1.0 ) } ， ， X ∗ D ⊆ X ∗ 成立。另外， B ˜ = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.2 ， 0.8 ) ， ( c ， 0.3 ， 0.6 ) ， ( d ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( e ， 0.7 ， 0.2 ) } ， B ˜ ∗ = { a ， b ， c ， d ， e } ， B ˜ ∗ D = { a ， b ， d } ， 成立。 性质 3.2. [ 17 ] 设 ( U ， A ， I ˜ ) 是形式背景如果 D ⊆ A 且， D ≠ ∅ ，则有以下关系成立 L ( U ， A ， I ˜ ) ≤ L ( U ， D ， I ˜ D ) 。 定义3.3. [ 17 ] 设 ( U ， A ， I ˜ ) 是形式背景， D ⊆ A 。如果存在属性集D满足 L ( U ， D ， I ˜ D ) ≅ L ( U ， A ， I ˜ ) ，且对于任意 d ∈ D ， L ( U ， D − d ， I ˜ D − d ) ≅ L ( U ， A ， I ˜ ) ，则称D是 L ( U ， A ， I ˜ ) 的约简。所有 L ( U ， A ， I ˜ ) 约简的交集称为 ( U ， A ， I ˜ ) 的核心。 事实上，对于任意 L ( U ， A ， I ˜ ) ，必然存在一个约简。在最坏的情况下，属性集全体即为概念格的约简，也就是说任何一个属性都是绝对必要的，每一个属性都是核心的一员。比如在例4.1中，属性集A就是约简。不过，一般来说，约简并不是唯一的，这在例3.2中可得此结论。 与经典形式概念分析一样，在直觉模糊形式背景 ( U ， A ， I ˜ ) 中，它的所有约简为 { D i | D i 是 一 个 属 性 ，   i ∈ τ } ( τ 是一个指标集)，同时可将属性分为4类：绝对必要属性 (核心属性) ；相对必要属性 c : c ∈ ∪ i ∈ τ D i − ∩ i ∈ τ D i ；绝对不必要属性 d : d ∈ A − ∪ i ∈ τ D i ；不必要属性 。与经典概念格理论相似，通过属性约简我们可以得到直觉模糊形式背景下的属性分类。 例 3.3. 对表1所示的形式背景 ( U ， A ， I ˜ ) ，如果把 { d } 从属性集A中除去，我们能得到一个新的形式 背景 ( U ， D 1 ， I ˜ D 1 ) ，其中 D ˜ = A − { d } 。我们可以得到所有概念 ( U ， D 1 ， I ˜ D 1 ) ，它们是 ( 1 ， D ˜ 1 1 ) ， ( 2 ， D ˜ 1 2 ) ， ( 4 ， D ˜ 1 3 ) ， ( 12 ， D ˜ 1 4 ) ， ( 14 ， D ˜ 1 5 ) ， ( 23 ， D ˜ 1 6 ) ， ( 24 ， D ˜ 1 7 ) ， ( 234 ， D ˜ 1 8 ) ， ( 124 ， D ˜ 1 9 ) ， ( 123 ， D ˜ 1 10 ) ， ( 1234 ， D ˜ 1 11 ) ， ( ∅ ， D ˜ 1 ) ；分别记作 FC1′，FC2′，FC3′，FC4′，FC5′，FC6′，FC7′，FC8′，FC9′，FC10′，FC11′，其中 D ˜ 1 1 = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.9 ， 0.0 ) ， ( c ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( e ， 0.9 ， 0.1 ) } ; D ˜ 1 2 = { ( a ， 1.0 ， 0.0 ) ， ( b ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( c ， 0.6 ， 0.3 ) ， ( e ， 0.7 ， 0.2 ) } ; D ˜ 1 3 = { ( a ， 0.5 ， 0.5 ) ， ( b ， 0.5 ， 0.2 ) ， ( c ， 0.3 ， 0.6 ) ， ( e ， 0.8 ， 0.2 ) } ; D ˜ 1 4 = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( c ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( e ， 0.7 ， 0.2 ) } ; D ˜ 1 5 = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.5 ， 0.5 ) ， ( c ， 0.3 ， 0.6 ) ， ( e ， 0.8 ， 0.2 ) } ; D ˜ 1 6 = { ( a ， 1.0 ， 0.0 ) ， ( b ， 0.2 ， 0.8 ) ， ( c ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( e ， 0.7 ， 0.2 ) } ; D ˜ 1 7 = { ( a ， 0.5 ， 0.5 ) ， ( b ， 0.5 ， 0.5 ) ， ( c ， 0.3 ， 0.6 ) ， ( e ， 0.7 ， 0.2 ) } ; D ˜ 1 8 = { ( a ， 0.5 ， 0.5 ) ， ( b ， 0.2 ， 0.8 ) ， ( c ， 0.3 ， 0.6 ) ， ( e ， 0.7 ， 0.2 ) } ; D ˜ 1 9 = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.5 ， 0.5 ) ， ( c ， 0.3 ， 0.6 ) ， ( e ， 0.7 ， 0.2 ) } ; D ˜ 1 10 = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.2 ， 0.8 ) ， ( c ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( e ， 0.7 ， 0.2 ) } ; D ˜ 1 11 = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.2 ， 0.8 ) ， ( c ， 0.3 ， 0.6 ) ， ( e ， 0.7 ， 0.2 ) } ; D ˜ 1 = { ( a ， 1.0 ， 0.0 ) ， ( b ， 1.0 ， 0.0 ) ， ( c ， 1.0 ， 0.0 ) ， ( e ， 1.0 ， 0.0 ) } . 另外，我们可以得到概念格 L ( U ， D 1 ， I ˜ D 1 ) 。从图1、图2和图3，我们可以看出 L ( U ， D 1 ， I ˜ D 1 ) 和 L ( U ， A ， I ˜ ) 是同构的。事实上，我们可以发现 L ( U ， D 1 − b ， I ˜ D 1 − b ) ≅ L ( U ， A ， I ˜ ) ， L ( U ， D 1 − d ， I ˜ D 1 − d ) ≅ L ( U ， A ， I ˜ ) ， L ( U ， D 1 − e ， I ˜ D 1 − e ) ≅ L ( U ， A ， I ˜ ) 。因此， D 1 是 ( U ， A ， I ˜ ) 一个约简。 同样的针对表1所示的形式背景 ( U ， A ， I ˜ ) ，如果把 { e } 从属性集A中除去，我们能得到一个新的形式背景 ( U ， D 2 ， I ˜ D 2 ) ，其中 D ˜ = A − { e } 。我们可以得到所有概念 ( U ， D 2 ， I ˜ D 2 ) ，它们是 ( 1 ， D ˜ 2 1 ) ， ( 2 ， D ˜ 2 2 ) ， ( 4 ， D ˜ 2 3 ) ， ( 12 ， D ˜ 2 4 ) ， ( 14 ， D ˜ 2 5 ) ， ( 23 ， D ˜ 2 6 ) ， ， ( 234 ， D ˜ 2 8 ) ， ( 124 ， D ˜ 2 9 ) ， ( 123 ， D ˜ 2 10 ) ， ( 1234 ， D ˜ 2 11 ) ， ( ∅ ， D ˜ 2 ) ；分别记作FC1ʺ，FC2ʺ，FC3ʺ，FC4ʺ，FC5ʺ，FC6ʺ，FC7ʺ，FC8ʺ，FC9ʺ，FC10ʺ，FC11ʺ，其中 D ˜ 2 1 = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.9 ， 0.0 ) ， ( c ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( d ， 0.7 ， 0.2 ) } D ˜ 2 2 = { ( a ， 1.0 ， 0.0 ) ， ( b ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( c ， 0.6 ， 0.3 ) ， ( d ， 0.9 ， 0.1 ) } D ˜ 2 3 = { ( a ， 0.5 ， 0.5 ) ， ( b ， 0.5 ， 0.2 ) ， ( c ， 0.3 ， 0.6 ) ， ( d ， 0.5 ， 0.4 ) } D ˜ 2 4 = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.7 ， 0.2 ) ， ( c ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( d ， 0.7 ， 0.2 ) } D ˜ 2 5 = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.5 ， 0.5 ) ， ( c ， 0.3 ， 0.6 ) ， ( d ， 0.5 ， 0.4 ) } D ˜ 2 6 = { ( a ， 1.0 ， 0.0 ) ， ( b ， 0.2 ， 0.8 ) ， ( c ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( d ， 0.5 ， 0.4 ) } D ˜ 2 7 = { ( a ， 0.5 ， 0.5 ) ， ( b ， 0.5 ， 0.5 ) ， ( c ， 0.3 ， 0.6 ) ， ( d ， 0.5 ， 0.4 ) } D ˜ 2 8 = { ( a ， 0.5 ， 0.5 ) ， ( b ， 0.2 ， 0.8 ) ， ( c ， 0.3 ， 0.6 ) ， ( d ， 0.5 ， 0.4 ) } D ˜ 2 9 = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.5 ， 0.5 ) ， ( c ， 0.3 ， 0.6 ) ， ( d ， 0.5 ， 0.4 ) } D ˜ 2 10 = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.2 ， 0.8 ) ， ( c ， 0.5 ， 0.4 ) ， ( d ， 0.5 ， 0.4 ) } D ˜ 2 11 = { ( a ， 0.0 ， 1.0 ) ， ( b ， 0.2 ， 0.8 ) ， ( c ， 0.3 ， 0.6 ) ， ( d ， 0.5 ， 0.4 ) } D ˜ 2 = { ( a ， 1.0 ， 0.0 ) ， ( b ， 1.0 ， 0.0 ) ， ( c ， 1.0 ， 0.0 ) ， ( d ， 1.0 ， 0.0 ) } 图2. 例3.3形式背景形成的概念格1 图3. 例3.3形式背景形成的概念格2 对于表1这个例子而言，我们的约简不唯一，存在 D 1 和 D 2 两种且仅有两种约简。通过上述约简过程可得， a ， b ， c 为绝对必要属性，即核心属性； d ， e 为相对必要属性。相应地，我们从下面例4.2可以得到，核心是约简等价于约简唯一。 由定义3.1，很容易得知 L ( U ， D 1 ， I ˜ D 1 ) < L ( U ， A ， I ˜ ) ， L ( U ， D 2 ， I ˜ D 2 ) < L ( U ， A ， I ˜ ) ，说明 L ( U ， D 1 ， I ˜ D 1 ) 和 L ( U ， D 2 ， I ˜ D 2 ) 更细于 L ( U ， D ， I ˜ ) 。 定义.3.4 [ 17 ] 设 ( U ， A ， I ˜ ) 为形式背景，同时 X i ， X j ∈ L U ( U ， A ， I ˜ ) ∪ { { x j } | x j ∈ U } ， x j ∈ U ，我们定义： D ∗ ( X i ， X j ) = { { a ∈ A | μ X i ∗ ( a ) > μ X j ∗ ( a )     or     γ X i ∗ ( a ) < γ X j ∗ ( a ) } ， X i ∈ L U ( U ， A ， I ˜ ) ， X j = { x j } ⊄ X i ∅ 否 则 D ∗ = ( D ∗ ( X i ， X j ) ) | L U ( U ， A ， I ˜ ) ∪ { { x j } | x j ∈ U } | 2 ， 其中 D ∗ ( X i ， X j ) 称为概念 ( X i ， X i * ) 关于对象集 X j 的辨识属性集， D * 称为可辨识矩阵。 根据可辨识矩阵的定义，我们可以得到计算可辨识函数的方法，则 称为直接模糊集的可辨识函数，若记 M ∗ = ∧ { a k | a k ∈ D ∗ ( X i ， X j ) } { ∨ { a k | a k ∈ D ∗ ( X i ， X j ) } } ， D ∗ ( X i ， X j ) ≠ ∅ . 进一步，我们可以得到可辨识函数最小析取范式： M ∗ = ∨ k = 1 p ( ∧ s = 1 q k a s ) ，其中， B k = { a s | s = 1 ， 2 ， ⋯ ， q k } ， 则 { B k | k = 1 ， 2 ， ⋯ ， p } 是形式背景 ( U ， A ， I ˜ ) 下的所有概念的属性约简。