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user: 3. 主要结果 定义3.1. A是unital的C * -代数，若对于任意 ε > 0 ， 0 < σ 4 < σ 3 < σ 2 < σ 1 < 1 ，任意有限集 F ⊂ A 包含非零正元a，任意 n ∈ ℕ + ，存在C * -子代数 B ∈ C 0 以及投射 p ∈ A ， p = I B 满足： (1) 任给 x ∈ F ， ‖ p x − x p ‖ ≤ ε ； (2) 任给 x ∈ F ， p x p ∈ ε B ； (3) n [ 1 − p ] ≤ [ p ] ， n [ f σ 2 σ 1 ( ( 1 − p ) a ( 1 − p ) ) ] ≤ [ f σ 4 σ 3 ( p a p ) ] 。 则称 G T R ( A ) ≤ 1 。 当A是non-unital的C * -代数时，若 G T R ( A ˜ ) ≤ 1 ，则称 G T R ( A ) ≤ 1 。 注3.2. 若X是有限维紧的Hausdorff空间则 C ( X ) 亦为有限维空间，所以 C ( X ) ∈ C 0 ，因此 G T R ( C ( X ) ) ≤ 1 。 定理3.3. 设 A 1 ， A 2 是unital C * -代数，若 G T R ( A i ) ≤ 1 ( i = 1 ， 2 ) ，则 G T R ( A 1 ⊕ A 2 ) ≤ 1 。 证明. 任意 ε > 0 ， ， n ∈ N + 以及任意有限集 F = { ( a 1 ， b 1 ) ， ⋯ ， ( a t ， b t ) ， ( a ， b ) } ⊂ A 1 ⊕ A 2 ，其中 ，所以 a ， b ≥ 0 。令 G 1 = { a 1 ， ⋯ ， a t ， a } ， G 2 = { b 1 ， ⋯ ， b t ， b } ，则由 G T R ( A i ) ≤ 1 ( i = 1 ， 2 ) 知对上述 ε ， σ i 分别存在 B 1 ， B 2 ∈ C 0 ， ， ， p i = I B i 满足： (1) 任给 x ∈ G i ， ； (2) 任给 x ∈ G i ， p i x p i ∈ ε B i ； (3) n [ 1 − p 1 ] ≤ [ p 1 ] ， n [ f σ 2 σ 1 ( ( 1 − p 1 ) a ( 1 − p 1 ) ) ] ≤ [ f σ 4 σ 3 ( p 1 a p 1 ) ] ； (4) n [ 1 − p 2 ] ≤ [ p 2 ] ， n [ f σ 2 σ 1 ( ( 1 − p 2 ) b ( 1 − p 2 ) ) ] ≤ [ f σ 4 σ 3 ( p 2 b p 2 ) ] 。 令 B = B 1 ⊕ B 2 ，下证 B ∈ C 0 。 因为存在有限维代数 F 1 ， F 2 及同态 ϕ 0 ， ϕ 1 : F 1 → F 2 使得 B 1 = { ( f ， a ) ∈ C ( [ 0 ， 1 ] ， F 2 ) ⊕ F 1 : f ( 0 ) = ϕ 0 ( a ) ， f ( 1 ) = ϕ 1 ( a ) } 及有限维代数 G 1 ， G 2 及同态 φ 0 ， φ 1 : G 1 → G 2 使得 B 2 = { ( g ， b ) ∈ C ( [ 0 ， 1 ] ， G 2 ) ⊕ G 1 : g ( 0 ) = φ 0 ( b ) ， g ( 1 ) = φ 1 ( b ) } 。 令 E 1 = F 1 ⊕ G 1 ， E 2 = F 2 ⊕ G 2 则 E 1 ， 是有限维代数， ψ 0 = ϕ 0 ⊕ φ 0 ， ψ 1 = ϕ 1 ⊕ φ 1 ，是 ψ 0 ， ψ 1 从 E 1 到 E 2 的同态且 C = { ( h ， e ) ∈ C ( [ 0 ， 1 ] ， F 2 ⊕ G 2 ) ⊕ ( F 1 ⊕ G 1 ) : h ( 0 ) = ψ 0 ( e ) ， h ( 1 ) = ψ 1 } ，则 ，且 p = ( p 1 ， p 2 ) = I B ，所以 (1) 任给 x ∈ F ， ‖ p x − x p ‖ = ‖ p 1 a i − a i p 1 ‖ + ‖ p 2 b i − b i p 2 ‖ < 2 ε ； (2) 因为存在 c i ， c ∈ B 1 ， d i ， d ∈ B 2 ( i = 1， ⋯ ， t ) 使得 ‖ p 1 a i p 1 − c i ‖ < ε ， ‖ p 2 b i p 2 − d i ‖ < ε ，   ‖ p 1 a p 1 − c ‖ < ε ， ‖ p 2 b p 2 − d ‖ < ε 所以 ‖ p ( a i ， b i ) p − ( c i ， d i ) ‖ = ‖ p 1 a i p 1 − c i ‖ + ‖ p 2 b i p 2 − d i ‖ < 2 ε ( i = 1 ， ⋯ ， t ) ， ‖ p ( a ， b ) p − ( c ， d ) ‖ = ‖ p 1 a p 1 − c ‖ + ‖ p 2 b p 2 − d ‖ < 2 ε . 所以 p x p ∈ 2 ε B (任给 x ∈ F )。 (3) n [ ( I A 1 ， I A 2 ) − ( p 1 ， p 2 ) ] = n ( [ I A 1 − p 1 ] + [ I A 2 − p 2 ] ) ≤ [ p 1 ] + [ p 2 ] = [ p 1 + p 2 ] n [ f σ 2 σ 1 ( ( 1 − p ) ( a ， b ) ( 1 − p ) ) ] = n ( [ f σ 2 σ 1 ( ( 1 A 1 − p 1 ) a ( 1 A 1 − p 1 ) ) ] + [ f σ 2 σ 1 ( ( 1 A 2 − p 2 ) b ( 1 A 2 − p 2 ) ) ] ) ≤ [ f σ 4 σ 3 ( p 1 a p 1 ) ] + [ f σ 4 σ 3 ( p 2 b p 2 ) ] = [ f σ 4 σ 3 ( p ( a ， b ) p ) ] 综上得 G T R ( A 1 ⊕ A 2 ) ≤ 1 。 □ 注3.4. 设 { A 1 ， ⋯ ， A n } 是任意有限个C * -代数，若对于任意i， G T R ( A i ) ≤ 1 ，则 G T R ( ⊕ i = 1 n A i ) ≤ 1 。特殊的，当A是unital C * -代数时，因为 A ˜ ≅ A ⊕ C ，所以 G T R ( A ) ≤ 1 当且仅当 G T R ( A ˜ ) ≤ 1 。 定理3.5. 令A是unital C * -代数，若任意 ε > 0 ，任意有限集 F ⊂ A ，存在unital C * -子代数 B ⊂ A 满足 G T R ( B ) ≤ 1 且 F ⊂ ε B ， I B = I A ，则 G T R ( A ) ≤ 1 。 特殊的，对 A = lim → A n ，其中 ，则 G T R ( A ) ≤ 1 。 证明. 任意 ε > 0 ， 0 < σ 4 < σ 3 < σ 2 < σ 1 < 1 ， n ∈ N + ，任意有限集 F = { a 1 ， ⋯ ， a t ， a } ，其中 a ≥ 0 。令 σ 3 < d 4 < d 3 < d 2 < d 1 < σ 2 ，则由 [ 3 ] 引理2.8知存在 δ 1 = δ ( d 1 ， d 2 ) ， δ 2 = δ ( σ 3 ， σ 4 ) 满足引理2.8不妨设 ε < min { δ 1 ， δ 2 } ，对于 η = ε / 3 由条件知存在unital C * -子代数 B ⊂ A ， G T R ( B ) ≤ 1 且 F ⊂ η B ，所以对于任意i，存在 b i ∈ B 使 ‖ a i − b i ‖ < η ，存在 b ∈ B + ，使 ‖ a − b ‖ < η 。令 G = { b 1 ， ⋯ ， b t ， b } ，则由 G T R ( B ) ≤ 1 知对上述 ε ， d i 以及 G 存在 C ∈ C 0 ， C ⊂ B ， p ∈ P ( B ) ， p = I C 满足： (1) 任给 x ∈ G ， ‖ p x − x p ‖ < ε / 3 ； (2) 任给 x ∈ G ， ； (3) n [ 1 − p ] ≤ [ p ] ， n [ f d 2 d 1 ( ( 1 − p ) b ( 1 − p ) ) ] ≤ [ f d 4 d 3 ( p b p ) ] ， 所以 (1') 任意 0 ≤ i ≤ t ， ‖ p a i − a i p ‖ ≤ ‖ p a i − p b i ‖ + ‖ p b i − b i p ‖ + ‖ b i p − a i p ‖ ≤ η + η + η = ε . ‖ p a − a p ‖ ≤ ‖ p a − p b ‖ + ‖ p b − b p ‖ + ‖ b p − a p ‖ ≤ η + η + η = ε (2') 因为对于任意的i，存在 c i ∈ C 使得 ‖ p b i p − c i ‖ ≤ η ，则 ‖ p a i p − c i ‖ ≤ ‖ p a i p − p b i p ‖ + ‖ p b i p − c i ‖ ≤ η + η = 2 η ≤ ε . 同理因为存在 c ∈ C ，满足 ‖ p b p − c ‖ ≤ η ，所以 ‖ p a p − c ‖ ≤ ‖ p a p − p b p ‖ + ‖ p b p − c ‖ ≤ η + η = 2 η ≤ ε . 因此任给 x ∈ F ， p x p ∈ ε C 。 因为 ‖ a − b ‖ ≤ η ，所以 ‖ p a p − p b p ‖ ≤ ε ， ，且因为 ε < min { δ 1 ， δ 2 } ， 所以由 [ 3 ] 引理2.8知 n [ f σ 2 σ 1 ( ( 1 − p ) a ( 1 − p ) ) ] ≤ n [ f d 2 d 1 ( ( 1 − p ) a ( 1 − p ) ) ] ≤ [ f d 4 d 3 ( p a p ) ] ≤ [ f σ 4 σ 3 ( p a p ) ] . 综上得 G T R ( A ) ≤ 1 。 □ 定义3.6. 设A是unital C * -代数，若对于任意 ε > 0 ， 0 < σ 4 < σ 3 < σ 2 < σ 1 < 1 ，任意有限集 F ⊂ A 包含非零正元a，存在C * -子代数 B ∈ C 0 以及投射 p ∈ A ， p = I B 满足： (1) 任给 x ∈ F ， ‖ p x − x p ‖ ≤ ε ； (2) 任给 x ∈ F ， ； (3) [ f σ 2 σ 1 ( ( 1 − p ) a ( 1 − p ) ) ] ≤ [ f σ 4 σ 3 ( p a p ) ， 则称 G T R w ( A ) ≤ 1 。 当A是non-unital的C * -代数时，若 G T R w ( A ˜ ) ≤ 1 则称 G T R w ( A ) ≤ 1 。 引理3.7. 设A为C * -代数，若 G T R w ( A ) ≤ 1 ，则对任意 有 G T R w ( p A p ) ≤ 1 。 证明. 任意 ， 0 < σ 4 < σ 3 < d 4 < d 3 < d 2 < d 1 < σ 2 < σ 1 < 1 ，令 δ 1 = δ ( σ 3 ， σ 4 ) ， ， δ 3 = δ ( d 1 ， d 2 ) ，令 δ = m i n { δ 1 ， δ 2 ， δ 3 } ， 。 对于任意有限集 F ⊂ p A p ， b ∈ ( p A p ) + ，且 b ∈ F ，令 G = F ∪ { p } ，对于上述 η ， d i 以及 G 由 G T R w ( A ) ≤ 1 知存在C * -子代数 C ⊂ A ， C ∈ C 0 ， q ∈ P ( A ) ， q = I C 满足： (1) 任给 x ∈ G ， ‖ q x − x q ‖ < η ； (2) 任给 x ∈ G ， q x q ∈ η C ； (3) [ f d 2 d 1 ( ( 1 − q ) b ( 1 − q ) ) ] ≤ [ f d 4 d 3 ( q b q ) ] ， 由此得 ‖ p q p − ( p q p ) 2 ‖ = ‖ p q p − p q p q + p q p q − p q p q p ‖ ≤ ‖ p q p − p q p q ‖ + ‖ p q p q − p q p q p ‖ ≤ ‖ p q ‖ ‖ p q − q p ‖ + ‖ p q p ‖ ‖ p q − q p ‖ ≤ ‖ q p − p q ‖ + ‖ p q − q p ‖ = 2 ‖ p q − q p ‖ < 2 η 同理 。 由 [ 4 ] 引理2.5.5知存在投射 p 1 ∈ C * ( p q p ) ， p ′ 2 ∈ C * ( q p q ) 满足 ‖ p q p − p 1 ‖ ≤ 4 η ， ‖ q p q − p ′ 2 ‖ < 4 η 。由(2)知存在 c ∈ C s a ， ‖ p ′ 2 − c ‖ ≤ 5 η ，所以由 [ 4 ] 引理2.5.4知存在 p 2 ∈ C * ( c ) ⊂ C ，使 ‖ p 2 − p ′ 2 ‖ ≤ 10 η 。则由 [ 4 ] 引理2.5.1知存在 u ∈ U(A) 满足 p 1 = u p 2 u * 且 ‖ u − 1 ‖ < 2 ‖ p 1 − p 1 ‖ 20 η 。 令 B = p 1 ( u C u * ) p 1 ，则由 [ 3 ] 知 B ∈ C 0 ，且 I B = p 1 满足： (1') 任给 x ∈ F )， ‖ p 1 x − x p 1 ‖ = ε ； (2') 任给 x ∈ F )， p 1 x p 1 ∈ ε B ； (3') [ f σ 2 σ 1 ( ( p − p 1 ) b ( p − p 1 ) ) ] ≤ [ f σ 4 σ 3 ( p 1 b p 1 ) ] ， 所以 。 □ 定理3.8. 设A是unital C * -代数，则 当且仅当 G T R w ( A ) ≤ 1 。 证明. 设 G T R w ( A ) ≤ 1 ，则对于任意 ε > 0 ， 0 < σ 4 < σ 3 < σ 2 < σ 1 < 1 ， n ∈ N + ，以及任意有限集 F = { b 1 ， ⋯ ， b t ， b } ⊂ A ，其中 b ≥ 0 ，则由 G T R w 定义知当 n = 1 时结论成立。下对n运用数学归纳法，假设 n = j 时结论成立，下证 n = j + 1 时结论成立。 取 d i 满足 σ 3 < d 6 < d 5 < d 4 < d 3 < d 2 < d 1 < σ 2 ，由则由 [ 3 ] 引理2.9知存在 δ 1 = δ ( σ 3 ， σ 4 ) ， δ 2 = δ ( d 3 ， d 4 ， 2 ) ， δ 3 = δ ( d 5 ， d 6 ， 2 ) 满足引理2.9，令 δ = m i n { δ 1 ， δ 2 ， δ 3 ， ε } ，则由归纳假设知存在C * -子代数 B 1 ∈ C 0 ， p 1 ∈ P ( A ) ， p = I B 1 满足： (1) 任给 x ∈ F ， ‖ p 1 x − x p 1 ‖ ≤ δ / 4 ； (2) 任给 x ∈ F ， ； (3) j [ 1 − p 1 ] ≤ [ p 1 ] ， j [ f d 4 d 3 ( ( 1 − p 1 ) b ( 1 − p 1 ) ) ] ≤ [ f d 6 d 5 ( p 1 b p 1 ) ] 。 由引理3.7只对于C * -代数 ( 1 − p 1 ) A ( 1 − p 1 ) ，有限集 G = ( 1 − p 1 ) F ( 1 − p 1 ) 存在C * -子代数 B 2 ∈ C 0 ， p 2 ∈ ( 1 − p 1 ) A ( 1 − p 1 ) ， p 2 = I B 2 满足： (1') 任给 x ∈ G ， ‖ p 2 x − x p 2 ‖ ≤ δ / 4 ； (2') 任给 x ∈ G ， p 2 x p 2 ∈ δ / 4 B 2 ； (3') [ f σ 2 σ 1 ( ( 1 − p 1 − p 2 ) b ( 1 − p 1 − p 2 ) ) ] ≤ [ f d 2 d 1 ( p 2 b p 2 ) ] 。 令 B = B 1 + B 2 ， p = p 1 + p 2 ，则由定理1的证明知 B ∈ C 0 ，且 I B = p ，经过简单的计算可知 (a) 任给 x ∈ F ， ‖ p x − x p ‖ < ε ； (b) 任给 x ∈ F ， p x p ∈ ε B ； (c) 。 由(3')知 [ 1 − p ] ≤ [ p 2 ] ，又因为 ，所以 H e r ( 1 − p ) ⊂ H e r ( 1 − p 1 ) ，则由 [ 5 ] 定理3.3知 [ 1 − p ] ≤ [ 1 − p 1 ] ，所以 ( j + 1 ) [ 1 − p ] = j [ 1 − p ] + [ 1 − p ] ≤ j [ 1 − p 1 ] + [ p 2 ] ≤ [ p 1 ] + [ p 2 ] = [ p ] 综上得 G T R ( A ) ≤ 1 。 □ 附注3.9. 由引理3.7和定理3.8知若 G T R ( A ) ≤ 1 ，B是A的单位遗传子代数，则 G T R ( B ) ≤ 1 。特殊的，对于A的单位理想I有 G T R ( I ) ≤ 1 。 定理3.10. 设A是unital C * -代数，则 G T R ( A ) ≤ 1 当且仅当任意 n ∈ N + ， G T R ( M n ( A ) ) ≤ 1 。 证明. 若 G T R ( M n ( A ) ) ≤ 1 ，由于 A ⊳ M n ( A ) ，所以由注3.9知 G T R ( A ) ≤ 1 。 若 G T R ( A ) ≤ 1 ，则任意 ε > 0 ， 0 < σ 4 < σ 3 < σ 2 < σ 1 < 1 ，以及任意有限集 F ⊂ M n ( A ) 且存在 b ∈ M n ( A ) + ， b ∈ F 。设 { e i j } 1 ≤ i ， j ≤ n 是 M n ( A ) 的标准正交基，不妨认为 I A = e 11 ，取 d i 满足 σ 3 < d 4 < d 3 < d 2 < d 1 < σ 2 ，设 F 1 = F ∪ { f σ 2 σ 1 ( b ) ， f σ 4 σ 3 ( b ) ， f d 2 d 1 ( b ) } 以及任意取定 δ > 0 ，令 G = { a i j : ( a i j ) ∈ F 1 } ，则存在C * -代数 C 0 ⊂ A ， ， ， p = I C 0 ，满足： (1) 任给 x ∈ G ， ‖ p x − x p ‖ < δ / 4 n 2 ； (2) 任给 x ∈ G ， p x p ∈ δ / 4 n 2 C 0 ； (3) n [ 1 − p ] ≤ [ p ] 。 由(3)知 n [ 1 − p ] ≤ [ p ] ≤ [ I A ] 。 令 P 1 = d i a g ( p ， ⋯ ， p ) ， C 1 = M n ( C 0 ) ，则 P = I C 1 ，且 (1') 任给 x ∈ F 1 ， ‖ P 1 x − x P 1 ‖ < δ / 4 ； (2') 任给 x ∈ F 1 ， P 1 x P 1 ∈ δ / 4 C 1 ； (3') [ 1 − P 1 ] ≤ [ P 1 ] ， [ 1 − P 1 ] ≤ [ e 11 ] 。 令 B = ( 1 − P 1 ) M n ( A ) ( 1 − P 1 ) ，则由(3')知存在部分等距元 v ∈ M n ( A ) ，满足 v v * = P 1 ， v * v ≤ e 11 ，又因为我们将 I A 看做 e 11 ，所以 v * B v 是A的单位遗传子代数。令 G 1 = { ( 1 − P 1 ) x ( 1 − P 1 ) : x ∈ F } ，则由引理3.7知存在C * -子代数 C 2 ⊂ B ， C 2 ∈ C 0 以及投射 P 2 ≤ 1 − P 且 P 2 = I C 2 满足： (1') 任给 x ∈ G 1 ， ‖ P 2 x − x P 2 ‖ < 1 / 4 δ ； (2') 任给 x ∈ G 1 ， P 2 x P 2 ∈ 1 / 4 C ； (3') 。 令 C = C 1 + C 2 ，易证 C ∈ C 0 ， P = P 1 + P 2 = I C ，当 δ 足够小时，对上述 ε ，有 (a) 任给 x ∈ F ， ‖ P x − x P ‖ < ε ； (b) 任给 x ∈ F ， P x P ∈ ε C ； (c) [ f σ 2 σ 1 ( ( 1 − P ) b ( 1 − P ) ) ] ≤ [ f σ 2 σ 1 ( P b P ) ] 。 综上可得 G T R ( M n ( A ) ) ≤ 1 。 □ 推论3.11. 设A是unital C * 代数， G T R ( A ) ≤ 1 ，则对于任意的AF-代数B，有 G T R ( A ⊗ B ) ≤ 1 。 证明. 由定理3.10知对于任意n有 G T R ( M n ( A ) ) ≤ 1 ，又因为存在正整数列 { n k } 使 A ⊗ B 是 { M n k ( A ) } 的归纳极限，所以由定理3.5知 G T R ( A ⊗ B ) ≤ 1 。 □ 引理3.12. 设A是unital的C * -代数，D是在A中稠密的自伴子代数，若对于任意的 ε > 0 ，任意的 0 < σ 4 < σ 3 < σ 2 < σ 1 < 1 ，任意有限子集 F ⊂ D ， b ∈ D + ，且 b ∈ F ，存在非零投射 及A的C * -子代数 B ∈ C 0 ，且 I B = p ，满足以下条件： (1) 任给 x ∈ F ， ‖ p x − x p ‖ < ε ； (2) 任给 x ∈ F ， p x p ∈ ε B ； (3) [ f σ 2 σ 1 ( ( 1 − p ) b ( 1 − p ) ) ] ≤ [ f σ 4 σ 3 ( p b p ) ] 。 则 G T R ( A ) ≤ 1 。 证明. 首先证明 D + ¯ = A + 。因为D是A的稠密自伴子代数，所以对于任给 a ∈ A + ， σ > 0 存在 d ∈ D 使得 ‖ d − a ‖ < σ 。由 C ( σ ( a ) ) 上的函数演算知 ‖ a * a − d * d ‖ < 2 σ ，即 ‖ a 2 − d * d ‖ < 2 σ ，再用一次 C ( σ ( a ) ) 上的函数演算可知 ‖ a − | d | ‖ < σ ，且 | d | ∈ D + ，所以由 σ 的任意性知 D + ¯ = A + 。 任给 δ > 0 ， 0 < d 4 < d 3 < d 2 < d 1 < 1 ，任意的有限集 F ， a ∈ A + ，且 a ∈ F 。取 σ i 使得 0 < d 4 < d 3 < σ 4 < σ 3 < σ 2 < σ 1 < d 2 < d 1 < 1 ，由 [ 3 ] 引理2.8知，存在 δ 1 = δ ( d 3 ， d 4 ) ， δ 2 = δ ( σ 1 ， σ 2 ) > 0 满足引理2.8的条件，令 ε = m i n { δ ， δ 1 ， δ 2 } ，不妨设 F = { a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a m ， a } 且 ‖ a ‖ ≤ 1 ，由于 F ⊆ A = D ¯ ，所以对于上述 ε > 0 ，分别存在 b i ∈ D ，使得 ‖ a i − b i ‖ < ε / 3 又因为 ，所以存在 b ∈ D + ，使得 ‖ a − b ‖ < ε / 3 且 ‖ b ‖ ≤ 1 。令 G = { b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b m ， b } ⊆ D ，由于D满足题设条件，所以对于 η = ε / 3 及上述 σ i 存在A的C * -子代数 B ∈ C 0 以及非零投射 p = I B 满足下列条件： (1) 任给 x ∈ G ， ‖ p x − x p ‖ < ε / 3 ； (2) 任给 x ∈ G ， p x p ∈ ε / 3 B ； (3) [ f σ 2 σ 1 ( ( 1 − p ) b ( 1 − p ) ) ] ≤ [ f σ 4 σ 3 ( p b p ) ] 。 所以对于任意的i， (1') ‖ p a i − a i p ‖ ≤ ‖ p a i − p b i ‖ + ‖ p b i − b i p ‖ + ‖ b i p − a i p ‖ < ε < δ . (2') 因为对于任意的i，存在 c i ， c ∈ B ，使 ‖ p b i p − c i ‖ l < ε / 3 ， ‖ p b p − c ‖ < ε / 3 ，所以 ‖ p a i p − c i ‖ < ‖ p a i p − p b i p ‖ + ‖ p b i p − c i ‖ < 2 ε / 3 < ε < δ 同理 ‖ p a p − c ‖ < ε < δ 。故 p y p ∈ δ B ，任意 。 (3') 因为 ‖ a − b ‖ < ε / 3 ，所以 ‖ ( 1 − p ) a ( 1 − p ) − ( 1 − p ) b ( 1 − p ) ‖ < δ 2 ， ‖ p a p − p b p ‖ < δ 1 。 因此由 [ 4 ] 引理2.8知 [ f d 2 d 1 ( ( 1 − p ) a ( 1 − p ) ) ] ≤ [ f σ 2 σ 1 ( ( 1 − p ) b ( 1 − p ) ) ] ， [ f σ 4 σ 3 ( p b p ) ] ≤ [ f d 4 d 3 ( p a p ) ] ， 即 [ f d 2 d 1 ( ( 1 − p ) a ( 1 − p ) ) ] ≤ [ f d 4 d 3 ( p a p ) ] . 因此 G T R ( A ) ≤ 1 。 引理3.13. 设A为unital C * -代数， ξ = { x k } ， η = { y k } ∈ H A 。设 δ > 0 ，若存在 n ∈ ℕ 使得 ‖ ∑ k = n ∞     x k * x k ‖ 1 / 2 ≤ δ ， ‖ ∑ k = n ∞     y k * y k ‖ 1 / 2 ≤ δ ，则 ‖ θ ξ ， η − θ ξ ′ ， η ′ ‖ ≤ δ ( ‖ η ‖ + ‖ ξ ‖ ) . 其中 ξ ′ = ( x 1 ， ⋯ ， x n − 1 ，0 ， ⋯ ) ， η ′ = ( y 1 ， ⋯ ， y n − 1 ，0 ， ⋯ ) 。 证明. 因为 ‖ θ ξ ， η − θ ξ ′ ， η ′ ‖ ≤ ‖ θ ξ ， η − θ ξ ′ ， η ‖ + ‖ θ ξ ′ ， η − θ ξ ′ ， η ′ ‖ ≤ ‖ ξ − ξ ′ ‖ ‖ η ‖ + ‖ ξ ′ ‖ ‖ η − η ′ ‖ = δ ‖ η ‖ + δ ‖ ξ ′ ‖ ≤ δ ( ‖ η ‖ + ‖ ξ ‖ ) □ 引理3.14. 设A为unital C * -代数， G T R ( A ) ≤ 1 ，则 。 证明. 任意取定m，定义 H A 上的投射 p m : H A → H A { a k } ↦ ( a 1 ， ⋯ ， a m ，0 ⋯ ) 则 p m H A ≅ A m ，所以 K ( A m ) ≅ K ( p m H A ) ≅ p m K ( H A ) p m ⊂ K ( H A ) ，因此可以将 K ( A m ) 看作是 K ( H A ) 的C * -子代数。 下面证明 G T R ( K ( H A ) ˜ ) ≤ 1 。设I为 H A 自身上的恒等算子，则 K ( H A ) ˜ ≅ K ( H A ) + ℂ I ，且 F ( H A ) + ℂ I 为 K ( H A ) + ℂ I 的稠密自伴子代数。 对于任意 ε > 0 ， 0 < σ 4 < σ 3 < σ 2 < σ 1 < 1 ，取 满足 0 < σ 4 < σ 3 < d 4 < d 3 < d 2 < d 1 < σ 2 < σ 1 < 1 ，由 [ 3 ] 引理2.8知存在 δ 1 = δ ( σ 3 ， σ 4 ) ， δ 2 = δ ( d 1 ， d 2 ) 满足引理2.8的条件，不妨设 ε ≤ δ i 。 任意有限集 F = { f 1 ， ⋯ ， f t ， f } ⊂ F ( H A ) + ℂ I 。其中 f ≥ 0 ， f i = ∑ j = 1 n i ( θ x i j ， y i j + λ i j I ) ， f = ∑ j = 1 n ( θ x j ， y j + λ j I ) ， x i j ， y i j ， x j ， y j ∈ H A ， λ i j ， λ j ∈ ℂ ， n ， n i ∈ ℕ ， i = 1，2， ⋯ ， t 。 不妨设 ‖ f ‖ ≤ 1 ， x i j = ( x i j k ) ， y i j = ( y i j k ) ， x j = ( a j k ) ， y j = ( b j k ) ，则 ∑ ( x i j k ) * ( x i j k ) ， ∑ ( y i j k ) * ( y i j k ) ， ∑ ( a j k ) * ( a j k ) ， ∑ ( b j k ) * ( b j k ) 在范数拓扑下收敛。 令 l i = m a x { ‖ x i j ‖ ， ‖ y i j ‖ | 1 ≤ j ≤ k i } ， k = m a x { ‖ x j ‖ ， ‖ y j ‖ | 1 ≤ j ≤ n } ， l = m a x { l i | 1 ≤ i ≤ t } 。 且对于任意 δ > 0 ，对每个 i = 1 ， ⋯ ， t ; j = 1 ， ⋯ ， n i 分别存在 N i j ， M i j ， K j 使得 当 时有， ‖ ∑ k ( x i j k ) * x i j k ‖ < δ ， ‖ ∑ k ( y i j k ) * y i j k ‖ < δ ， ‖ ∑ k ( a j k ) * a j k ‖ < δ ， ‖ ∑ k ( b j k ) * b j k ‖ < δ ， 令 N = max { N i j ， M i j ， K j | 1 ≤ j ≤ n i ， 1 ≤ i ≤ t } 设 g i = ∑ j = 1 n i     θ ( x i j 1 ， ⋯ ， x i j N ) ， ( y i j 1 ， ⋯ ， y i j N ) + λ i j I ， g = ∑ j = 1 n     θ ( a j 1 ， ⋯ ， a j N ) ， ( b j 1 ， ⋯ ， b j N ) + λ j I ， 则由引理3.13知 ‖ f − g ‖ ≤ 2 k n δ ， ‖ f i − g i ‖ ≤ 2 l n i δ 。 不妨设 g ≥ 0 ，若不然因为 ‖ f − g ‖ ≤ 2 k n δ ，则由 C ( σ ( f ) ) 上的函数演算知 ‖ f 2 − g * g ‖ ≤ 4 k n δ ，由此得 ，且因为 K ( A N ) + ℂ I 是 K ( H A ) + ℂ I 的C * -子代数知 | g | ∈ K ( A N ) + ℂ I ，因此用 | g | 代替g即可。令 F 0 = { g 1 ， ⋯ ， g t ， g } ，则 F 0 为 K ( A N ) 的有限子集。 因为 K ( A N ) ≅ M N ( A ) 有单位元，所以 K ( A N ) + ℂ I ≅ K ( A N ) ⊕ ℂ ，因此 G T R ( K ( A N ) + ℂ I ) = G T R ( K ( A N ) ⊕ ℂ I ) ≤ 1 ，所以对 δ = m i n { ε / ( 4 l n i + 1 ) ， ε / ( 4 k n + 1 ) | 1 ≤ i ≤ t } 以及上述 d i ， F 0 ，存在 ， B ⊆ K ( A N ) + ℂ I ， p ∈ P ( K ( A N ) + ℂ I ) ，使 p = I B 。 满足： (1) 任给 g i ∈ F 0 ， ‖ p g i − g i p ‖ < δ ； (2) 任给 g i ∈ F 0 ， p g i p ∈ δ B ； (3) [ f d 2 d 1 ( ( 1 − p ) g ( 1 − p ) ) ] ≤ [ f d 4 d 3 ( p g p ) ] 。 则对任意 f i ∈ F ，任给 ε > 0 有 (1') ‖ p f i − f i p ‖ ≤ ‖ p f i − p g i ‖ + ‖ p g i − g i p ‖ + ‖ g i p − f i p ‖ ≤ ‖ f i − g i ‖ + δ + ‖ f i − g i ‖ ≤ 4 l n i δ + δ < ε ‖ p f − f p ‖ ≤ ‖ p f − p g ‖ + ‖ p g − g p ‖ + ‖ g p − f p ‖ ≤ 4 k n δ + δ < ε (2') 因为 p g i p ∈ δ B ，所以存在 c i ∈ B 使 ‖ p g i p − c i ‖ < δ ， i = 1，2， ⋯ ， t 。则 ‖ p f i p − c i ‖ ≤ ‖ p f i p − p g i p ‖ + ‖ p g i p − c i ‖ ≤ ‖ f i − g i ‖ + δ < 2 l i n i δ + δ < ( 4 l n i + 1 ) δ < ε 同理因为 所以存在 c ∈ B 使 ‖ p g p − c ‖ < δ ，则 ‖ p f p − c ‖ ≤ ‖ p f p − p g p ‖ + ‖ p g p − c ‖ ≤ ‖ f − g ‖ + δ < 2 k n δ + δ < ( 4 k n + 1 ) δ < ε 所以 p f i p ， p f p ∈ ε B ， i = 1，2， ⋯ ， t 。 (3') 因为 ，所以有 ‖ ( 1 − p ) g ( 1 − p ) − ( 1 − p ) f ( 1 − p ) ‖ < δ 1 ‖ p g p − p f p ‖ < δ 2 所以由 [ 3 ] 引理2.8知 [ f σ 2 σ 1 ( ( 1 − p ) f ( 1 − p ) ) ] ≤ [ f d 2 d 1 ( ( 1 − p ) g ( 1 − p ) ) ] ; [ f d 4 d 3 ( p g p ) ] ≤ [ f σ 4 σ 3 ( p f p ) ] ， 所以 [ f σ 2 σ 1 ( ( 1 − p ) f ( 1 − p ) ) ] ≤ [ f σ 4 σ 3 ( p f p ) ] . 由上述证明知 F ( H A ) + ℂ I ， K ( H A ) + ℂ I 满足引理3.12的条件，所以可得 G T R ( K ( H A ) ˜ ) ≤ 1 。 □ 引理3.15. 设A是unital C * -代数， T R ( A ) = k ，B是A的 σ p -unital遗传C * -子代数则有 G T R ( B ) ≤ 1 。 证明. 设 { p n } n = 1 ∞ 是B的一列近似单位，其中 p n ∈ P ( B ) 。 对任意的 ε > 0 ， 0 < σ 4 < σ 3 < σ 2 < σ 1 < 1 ，有限集 F ⊆ B ˜ ，不妨设 F = { b 1 + λ 1 ， ⋯ ， b n + λ n ， b + λ } ⊆ B + ℂ ，其中 b + λ ≥ 0 。 选取 d i 满足 σ 3 < d 4 < d 3 < d 2 < d 1 < σ 2 ，则由 [ 3 ] 引理2.8知存在 δ 1 = δ ( σ 3 ， σ 4 ) ， δ 2 = δ ( d 1 ， d 2 ) 满足引理2.8的条件，不妨设 ε < δ i ( i = 1，2 ) 。 由于 { p n } n = 1 ∞ 是B的近似单位，所以对于 存在N使 ‖ b i − p N b i p N ‖ < η ， ‖ b − p N b p N ‖ < η 由B是A的遗传子代数易证 p N B p N 亦为A的unital遗传子代数。所以 G T R ( p N B p N ) ≤ 1 。 对于 G = { p N b 1 p N + λ 1 ， ⋯ ， p N b n p N + λ n ， p N b p N + λ } ⊆ p N B p N + ℂ 。由于 G T R ( p N B p N + ℂ ) = G T R ( p N B p N ) ≤ 1 ，所以对上述 η ， d i ， G 存在 C ∈ C 0 ， C ⊂ p N B p N + C ， q ∈ P ( p N B p N + C ) ， q = I C 。 满足： (1) 任给 x ∈ G ， ‖ q x − x q ‖ < η ； (2) 任给 x ∈ G ， q x q ∈ η C ； (3) 。 则 (1') ‖ q ( b i + λ i ) − ( b i + λ i ) q ‖ ≤ ‖ q ( b i + λ i ) − q ( p N b i p N + λ i ) ‖ + ‖ q ( p N b i p N + λ i ) − ( p N b i p N + λ i ) q ‖         + ‖ ( p N b i p N + λ i ) q − ( b i + λ i ) q ‖ ≤ ‖ q ‖ ‖ ( b i + λ i ) − ( p N b i p N + λ i ) ‖ + η + ‖ q ‖ ‖ ( p N b i p N + λ i ) − ( b i + λ i ) ‖ < η + η + η = 3 η < ε (2') 由(2)知对任给i，存在 c i ， c ∈ C 使 ‖ q ( p N b i p N + λ i ) q − c i ‖ < ε ， ‖ q ( p N b p N + λ ) q − c ‖ < ε 则 ‖ q ( b i + λ i ) q − c i ‖ < ‖ q ( b i + λ i ) q − q ( p N b i p N + λ i ) q ‖ + ‖ q ( p N b i p N + λ i ) q − c i ‖ ≤ η + η = 2 η < ε ‖ q ( b + λ ) q − c ‖ < ‖ q ( b + λ ) q − q ( p N b p N + λ ) q ‖ + ‖ q ( p N b p N + λ ) q − c ‖ ≤ η + η = 2 η < ε (3') 由于 ‖ p N b p N − b ‖ < η ，所以 ‖ ( p N b p N + λ ) − ( b + λ ) ‖ ，所以 ‖ ( 1 − q ) ( p N b p N + λ ) ( 1 − q ) − ( 1 − q ) ( b + λ ) ( 1 − q ) ‖ < η < δ 1 ; ‖ q ( p N b p N + λ ) q − q ( b + λ ) q ‖ < η < δ 2 ， 所以由 [ 3 ] 引理2.8知 [ f σ 2 σ 1 ( ( 1 − q ) ( b + λ ) ( 1 − q ) ) ] ≤ [ f d 2 d 1 ( ( 1 − q ) ( p N b p N + λ ) ( 1 − q ) ) ] ≤ [ f d 4 d 3 ( q ( p N b p N + λ ) q ) ] ≤ [ f σ 4 σ 3 ( q ( b + λ ) q ) ] 所以 T R ( B + ℂ ) ≤ k ，即 T R ( B ) ≤ k 。 □ 定理3.16 设A为C * -代数， G T R ( A ) ≤ 1 ，E是HAM。若 K ( E ) 是 σ p -unital的紧算子理想，则 G T R ( K ( E ) ) ≤ 1 。 证明. 因为 G T R ( A ) = G T R ( A ˜ ) ≤ 1 ，且 K A ( E ) = K A ˜ ( E ) ，所以不妨设A是unital的。 因为 K ( E ) 是 σ p -unital的紧算子理想，所以E是可数生成的HAM。则由 [ 6 ] 定理15.4.6知 E ⊕ H A ≅ H A ，所以 K ( E ) 是 K ( H A ) 的遗传子代数。若 (1) K ( E ) 是unital紧算子理想，则由引理3.9以及定理3.14知 G T R ( K ( E ) ) ≤ 1 。 (2) K ( E ) 是 σ p -unital的紧算子理想，则由引理 G T R ( K ( E ) ) ≤ 1 。