system: [SYSTEM]

user: 2. 数学模型 2.1. 二维光子晶体物理特性 本文选择的二维光子晶体具有较大的光子禁带，并且在一定波长条件下会出现完全禁带的效果 [ 9 ]。根据二维光子晶体中介质柱的排列方式，大致可以分为正方形晶格、三角形晶格和蜂窝状晶格。其中，三角形晶格的带隙宽度较大且制造难度也相对较低，可以比较容易的获得较大的带隙。二维光子晶体有两种模式的禁带，即在横电模(TE)下的禁带和在横磁模(TM)下的禁带。本文采用三角形晶格结构的二维光子晶体模型如图1所示，对光子禁带进行研究。 图1. 三角晶格二维光子晶体示意图 三角晶格的晶格周期为a = 850 nm，介质柱的半径为a = 350 nm。该二维光子晶体由折射率不同的介质材料构成，介质柱选择锐钛型TiO 2 ，介电常数为48，选择气孔率为30%的SiO 2 作为背景介质，按照一定的周期排列构成 [ 10 ]。因为环境湿度不同，背景介质SiO 2 的折射率发生变化，和介质柱组成的光子晶体则会构成起始波长、终止波长和禁带宽度变化的二维光子晶体。本论文通过数据模拟分析不同湿度下，二维光子晶体起始波长、终止波长和禁带宽度变化的趋势。采用不同的环境湿度进行软件数值模拟，得到SiO 2 折射率和相对湿度的关系曲线，如图2所示 [ 10 ]。 图2. 折射率与相对湿度关系图 SiO 2 薄膜的折射率随着相对湿度增大而增大。环境的湿度变化可以通过材料的折射率变化来反映。并且，由上图可知在30%~100%的相对湿度范围内，折射率的变化较大，有利于获得折射率与相对湿度的定量关系。折射率和介电常数的数量关系如式(1)。 n 2 = ε (1) 由式(1)可知，环境的湿度变化可以通过光子晶体的介电常数来反应。目前分析光子晶体能带特性的传统的方法有：平面波展开法 [ 11 ] 、传播矩阵法 [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] 、时域有限差分法(Finite difference time domain method，FDTD) [ 15 ] 等。平面波展开法不适用与此三角晶格的研究，传播矩阵法不能从物理概念方面理解 [ 16 ]。因此，本文选用FDTD法进行研究。 2.2. Maxwell方程及其FDTD形式 Maxwell方程为 ∇ × H = ∂ D ∂ t + J (2) ∇ × E = − ∂ B ∂ t − J m (3) 其中， E 为电场强度(V/m)； D 为电通量密度(C/m 2 )； H 为磁场强度(A/m)； B 为磁通量密度(Wb/m 2 )； J 为电流密度(A/m 2 )； J m 为磁流密度(V/m 2 )。 各向同性线性介质中的本构关系为 D = ε E B = μ H J = σ E J m = σ m H } 其中， ε 表示介电示介电(F/m)； μ 表示磁导示磁导(H/m)； σ 表示电示电导(S/m)； σ m 表示导示导磁(Ω/m)。 σ 和 σ m 分别为介质的电损耗和磁损耗，真空中 σ = 0 ， σ m = 0 以及 { ε = ε 0 = 8 .85 × 10 − 12 F / m μ = μ 0 = 4 π × 10 − 7 H / m 对式(1)、(2)进行直角坐标系转化得到式(3)、(4) ∂ H z ∂ y − ∂ H y ∂ z = ε ∂ E x ∂ t + σ E x ∂ H x ∂ z − ∂ H z ∂ x = ε ∂ E y ∂ t + σ E y ∂ H y ∂ x − ∂ H x ∂ y = ε ∂ E z ∂ t + σ E z } (4) ∂ E z ∂ y − ∂ E y ∂ z = − μ ∂ H x ∂ t − σ m H x ∂ E x ∂ z − ∂ E z ∂ x = − μ ∂ H y ∂ t − σ m H y ∂ E y ∂ x − ∂ E x ∂ y = − μ ∂ H z ∂ t − σ m H z } (5) 对式(3)、(4)进行FDTD差分离散，令 f ( x ， y ， z ， t ) 代表 E 或 H 在直角坐标系中某一分量，在时间或空间域中的离散表示为： f ( x ， y ， z ， t ) = f ( i Δ x ， j Δ y ， k Δ z ， n Δ t ) = f n ( i ， j ， k ) (6) 对 f ( x ， y ， z ， t ) 关于时间和空间的以接偏导数取中心差分近似得式(6)。 ∂ f ( x ， y ， z ， t ) ∂ x | x = i Δ x ≈ f n ( i + 1 2 ， j ， k ) − f n ( i − 1 2 ， j ， k ) Δ x ∂ f ( x ， y ， z ， t ) ∂ y | y = j Δ y ≈ f n ( i ， j + 1 2 ， k ) − f n ( i ， j − 1 2 ， k ) Δ y ∂ f ( x ， y ， z ， t ) ∂ z | z = k Δ z ≈ f n ( i ， j ， k + 1 2 ) − f n ( i ， j ， k − 1 2 ) Δ z ∂ f ( x ， y ， z ， t ) ∂ t | t = n Δ t ≈ f n + 1 / 2 ( i ， j ， k ) − f n − 1 / 2 ( i ， j ， k ) Δ t } (7) 在二维情况下，假设与z坐标无关，即 ∂ / ∂ z = 0 。对于在TE模式下 H x = H y = E Z = 0 ，FDTD公式为 E x n + 1 ( i + 1 2 ， j ) = C A ( m ) ⋅ E x n ( i + 1 2 ， j )     + C B ( m ) ⋅ H z n + 1 / 2 ( i + 1 2 ， j + 1 2 ) − H z n + 1 / 2 ( i + 1 2 ， j − 1 2 ) Δ y (8) E y n + 1 ( i ， j + 1 2 ) = C A ( m ) ⋅ E y n ( i ， j + 1 2 )     + C B ( m ) ⋅ H z n + 1 / 2 ( i + 1 2 ， j + 1 2 ) − H z n + 1 / 2 ( i − 1 2 ， j + 1 2 ) Δ x (9) H z n + 1 / 2 ( i + 1 2 ， j + 1 2 ) = C P ( m ) ⋅ H z n − 1 / 2 ( i + 1 2 ， j + 1 2 )     − C Q ( m ) ⋅ [ E y n ( i + 1 ， j + 1 2 ) − E y n ( i ， j + 1 2 ) Δ x     − E y n ( i + 1 2 ， j + 1 ) − E y n ( i + 1 2 ， j ) Δ y ] (10) 对于在TM模式下， E x = E y = H z = 0 ，FDTD公式为 H x n + 1 / 2 ( i ， j + 1 2 ) = C P ( m ) ⋅ H x n − 1 / 2 ( i ， j + 1 2 ) − C Q ( m ) ⋅ E z n ( i ， j + 1 ) − E z n ( i ， j ) Δ y (11) H y n + 1 / 2 ( i + 1 2 ， j ) = C P ( m ) ⋅ H y n − 1 / 2 ( i + 1 2 ， j ) + C Q ( m ) ⋅ E z n ( i + 1 ， j ) − E z n ( i ， j ) Δ y (12) E z n + 1 ( i ， j ) = C A ( m ) ⋅ E z n ( i ， j ) + C B ( m ) ⋅ [ H y n + 1 / 2 ( i + 1 2 ， j ) − H y n + 1 / 2 ( i − 1 2 ， j ) Δ x     − H x n + 1 / 2 ( i ， j + 1 2 ) − H x n + 1 / 2 ( i ， j − 1 2 ) Δ y ] (13) 上述方程的系数分别为 C A ( m ) = 1 − σ ( m ) Δ t 2 ε ( m ) 1 + σ ( m ) Δ t 2 ε ( m ) ， C B ( m ) = Δ t ε ( m ) 1 + σ ( m ) Δ t 2 ε (m) C P ( m ) = 1 − σ m ( m ) Δ t 2 μ ( m ) 1 + σ m ( m ) Δ t 2 μ ( m ) ， C P ( m ) = Δ t μ ( m ) 1 + σ m ( m ) Δ t 2 μ (m) 上述式子中的m随着FDTD方程变化。