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user: 4. (2 + 1)维Broer-Kaup方程的新相互作用解 对于求解(2 + 1)维高阶Broer-Kaup方程的新相互作用解，首先，我们要明确求解的Broer-Kaup方程为： { H t y = H x x y − 2 ( H H x ) y − 2 G x x G t = − G x x − 2 ( G H ) x (4-1) 其次我们对方程(4-1)作如下变换： G = H y (4-2) 将变换(4-2)代入方程(4-1)，我们得到了如下微分方程： H x x + 2 H H x + H t = 0 (4-3) 然后我们再对方程(4-3)作如下变换： H = H ( ξ ) ， ξ = k x + l y + c t ， (4-4) 其中 k ， l ， c 为待定系数。由此，我们得到了一个新的常微分方程： k 2 H ″ + 2 k H H ′ + c H ′ = 0 ， (4-5) 并且我们假设方程(4.5)的解如下所示： { H = ∑ i = 0 m a i f i ( ξ ) G = ∑ i = 0 n b i f i ( ξ ) ， ξ = x + l y + c t ， (4-6) 其中 l ， c 为待定系数。根据齐次平衡法，我们求得 m = 1 ， n = 2 ，所以我们假设方程(4-5)的解如下所示： { H = a 0 + a 1 f ( ξ ) G = b 0 + b 1 f ( ξ ) + b 2 f 2 ( ξ ) ， (4-7) 其中 a 0 ， a 1 ， b 0 ， b 1 ， b 2 是常数，最后我们通过maple软件计算，我们得到以下结果： a 0 = − c 2 ，     a 1 = 1 ，   b 0 = 4 l ，   b 1 = 0 ，   b 2 = − l ，     c = c ，   l = l 因此，我们得到方程(4-1)的相互作用解如下所示： { H 1 = − c 2 + 1 c 1 + c 2 tan ( ξ ) coth ( ξ ) c 1 + c 2 tan ( ξ ) coth ( ξ ) + c 1 tanh ( ξ ) + c 2 tan ( ξ ) + c 3 e − 2 ξ − 1 2     × c 2 ( 1 + tan 2 ( ξ ) ) coth ( ξ ) + c 2 tan ( ξ ) ( 1 − coth 2 ( ξ ) ) c 1 + c 2 tan ( ξ ) coth ( ξ ) + c 1 tanh ( ξ ) + c 2 tan ( ξ ) − ( c 1 + c 2 tan ( ξ ) coth ( ξ ) )     × [ c 2 ( 1 + tan 2 ( ξ ) ) coth ( ξ ) + c 2 tan ( ξ ) ( 1 − coth 2 ( ξ ) ) + c 1 ( 1 − tanh 2 ( ξ ) ) ( c 1 + c 2 tan ( ξ ) coth ( ξ ) + c 1 tanh ( ξ ) + c 2 tan ( ξ ) ) 2     + c 2 ( 1 + tan 2 ( ξ ) ) ( c 1 + c 2 tan ( ξ ) coth ( ξ ) + c 1 tanh ( ξ ) + c 2 tan ( ξ ) ) 2 − 2 c 3 e − 2 ξ ] G 1 = 4 l − l × 1 c 1 + c 2 tan ( ξ ) coth ( ξ ) c 1 + c 2 tan ( ξ ) coth ( ξ ) + c 1 tanh ( ξ ) + c 2 tan ( ξ ) + c 3 e − 2 ξ − 1 2     × c 2 ( 1 + tan 2 ( ξ ) ) coth ( ξ ) + c 2 tan ( ξ ) ( 1 − coth 2 ( ξ ) ) c 1 + c 2 tan ( ξ ) coth ( ξ ) + c 1 tanh ( ξ ) + c 2 tan ( ξ ) − ( c 1 + c 2 tan ( ξ ) coth ( ξ ) )     × [ c 2 ( 1 + tan 2 ( ξ ) ) coth ( ξ ) + c 2 tan ( ξ ) ( 1 − coth 2 ( ξ ) ) + c 1 ( 1 − tanh 2 ( ξ ) ) ( c 1 + c 2 tan ( ξ ) coth ( ξ ) + c 1 tanh ( ξ ) + c 2 tan ( ξ ) ) 2     + c 2 ( 1 + tan 2 ( ξ ) ) ( c 1 + c 2 tan ( ξ ) coth ( ξ ) + c 1 tanh ( ξ ) + c 2 tan ( ξ ) ) 2 − 2 c 3 e − 2 ξ ] (4-8) { H 2 = − c 2 + 1 c 1 tanh ( ξ ) tan ( ξ ) + c 2 c 1 tan ( ξ ) + c 2 coth ( ξ ) + c 1 tanh ( ξ ) tan ( ξ ) + c 2 + c 3 e − 2 ξ − 1 2     × [ c 1 ( 1 − tanh 2 ( ξ ) ) tan ( ξ ) + c 1 tanh ( ξ ) ( 1 + tan 2 ( ξ ) ) c 1 tan ( ξ ) + c 2 coth ( ξ ) + c 1 tanh ( ξ ) tan ( ξ ) + c 2 − ( c 1 tanh ( ξ ) tan ( ξ ) + c 2 )     × c 1 ( 1 + tan 2 ( ξ ) ) + c 2 ( 1 − coth 2 ( ξ ) ) + c 1 ( 1 − tanh 2 ( ξ ) ) tan ( ξ ) ( c 1 tan ( ξ ) + c 2 coth ( ξ ) + c 1 tanh ( ξ ) tan ( ξ ) + c 2 ) 2     + c 1 tanh ( ξ ) ( 1 + tan 2 ( ξ ) ) ( c 1 tan ( ξ ) + c 2 coth ( ξ ) + c 1 tanh ( ξ ) tan ( ξ ) + c 2 ) 2 − 2 c 3 e − 2 ξ ] G 2 = 4 l − l × 1 c 1 tanh ( ξ ) tan ( ξ ) + c 2 c 1 tan ( ξ ) + c 2 coth ( ξ ) + c 1 tanh ( ξ ) tan ( ξ ) + c 2 + c 3 e − 2 ξ − 1 2     × [ c 1 ( 1 − tanh 2 ( ξ ) ) tan ( ξ ) + c 1 tanh ( ξ ) ( 1 + tan 2 ( ξ ) ) c 1 tan ( ξ ) + c 2 coth ( ξ ) + c 1 tanh ( ξ ) tan ( ξ ) + c 2 − ( c 1 tanh ( ξ ) tan ( ξ ) + c 2 )     × c 1 ( 1 + tan 2 ( ξ ) ) + c 2 ( 1 − coth 2 ( ξ ) ) + c 1 ( 1 − tanh 2 ( ξ ) ) tan ( ξ ) ( c 1 tan ( ξ ) + c 2 coth ( ξ ) + c 1 tanh ( ξ ) tan ( ξ ) + c 2 ) 2     + c 1 tanh ( ξ ) ( 1 + tan 2 ( ξ ) ) ( c 1 tan ( ξ ) + c 2 coth ( ξ ) + c 1 tanh ( ξ ) tan ( ξ ) + c 2 ) 2 − 2 c 3 e − 2 ξ ] (4-9) 至此，我们已经求得了非线性Broer-Kaup方程的相互作用解有如(4-8) (4-9)的相互作用解。