system: [SYSTEM]

user: 3. 主要结果 在这一节里，我们讨论添加偏移量是2n阶中心差分时，所构造的细分格式能否达到最高阶求和规则的问题。 给定第 k − 1 层上的控制顶点集合 P k − 1 = { p j k − 1 ∈ ℝ d } j ∈ ℤ ，在顶点 p j k − 1 处的2n阶中心差分是 δ 2 n p j k − 1 = ∑ i = 0 2 n ( − 1 ) i ( 2 n i ) p j + n − i k − 1 例如在 p j k − 1 处的二阶中心差分是 δ 2 p j k − 1 = p j − 1 k − 1 − 2 p j k − 1 + p j + 1 k − 1 ，四阶中心差分是 δ 4 p j k − 1 = p j − 2 k − 1 − 4 p j − 1 k − 1 + 6 p j k − 1 − 4 p j + 1 k − 1 + p j + 2 k − 1 。 添加偏移量的方法是在原细分格式的基础上添加偏移量。在给定原细分格式 p m i + l k = ∑ j ∈ ℤ   a m i + l − m j p j k − 1 ，     i ∈ ℤ ，   l = 0 ， 1 ， ⋯ ， m − 1 的顶点 p m i + l k 处添加2n阶中心差分 ∑ j ∈ ℤ c m i + l − m j δ 2 n p j k − 1 ，即 p m i + l k = ∑ j ∈ ℤ a m i + l − m j p j k − 1 + ∑ j ∈ ℤ c m i + l − m j δ 2 n p j k − 1 相应的生成函数变为原生成函数加上对应偏移量的Laurent多项式 d ˜ ( z ) = ∑ l = 0 m − 1 ∑ j ∈ ℤ c m i + l − m j z m i + l − m j − m n ( 1 − z m ) 2 n 。 (2) 下面我们分析 d ˜ ( z ) 在满足限定条件时，所含自由系数的个数。 引理3.1若对称的Laurent多项式 d ˜ ( z ) = ∑ l = 0 m − 1 ∑ j ∈ ℤ c m i + l − m j z m i + l − m j − m n ( 1 − z m ) 2 n 的最高幂次是r，则 d ˜ ( z ) 中自由系数个数是 r − n m + 1 。 证： d ˜ ( z ) = ∑ l = 0 m − 1 ∑ j ∈ ℤ   c m i + l − m j z m i + l − m j − m n ( 1 − z m ) 2 n = ∑ l = 0 m − 1 ∑ j ∈ ℤ   c m i + l − m j z m i + l − m j − m n ( 1 − z ) 2 n ( 1 + z + ⋯ + z m − 1 ) 2 n = z − m n ( 1 − z ) 2 n ( 1 + z + ⋯ + z m − 1 ) 2 n ∑ l = 0 m − 1 ∑ j ∈ ℤ   c m i + l − m j z m i + l − m j 。 因为 d ˜ ( z ) 和 z − m n ( 1 − z ) 2 n ( 1 + z + ⋯ + z m − 1 ) 2 n 是对称的Laurent多项式，所以 ∑ l = 0 m − 1 ∑ j ∈ ℤ c m i + l − m j z m i + l − m j 也 是对称的Laurent多项式。注意到 d ˜ ( z ) 的最高次数是 m i + l − m j 的最大值与 n m 的和。因此当限制 d ˜ ( z ) 的最高次数是r时，此时 c m i + l − m j 中下标 m i + l − m j 的最大值是 r − n m 。因此， d ˜ ( z ) 具有的自由系数个数是 r − n m + 1 。证毕。 由引理3.1可知，当给定m重的细分生成函数 a ˜ ( z ) 后，如果限定 d ˜ ( z ) 的最高幂次是r，则组成 d ˜ ( z ) 的中心差分的阶数应小于等于2r/m。 下面的定理给出了当采用中心差分形式的偏移量能够达到最高阶求和规则的 a ˜ ( z ) 的形式。 定理3.2若限定m重对称的细分掩模 a ˜ ( z ) 和2n阶中心差分形式的偏移量 d ˜ ( z ) 的最高幂次是r，且 a ˜ ( z ) + d ˜ ( z ) 能具有支撑在 [ − r ， r ] 上生成函数的最高阶求和规则，则 a ˜ ( z ) 至少具有2n阶求和规则。设 b ˜ ( z ) 是支撑在 [ − r ， r ] 的对称生成函数中求和规则最高，则 a ˜ ( z ) 具有形式 a ˜ ( z ) = b ˜ ( z ) − z − m n ( 1 − z ) 2 n ( 1 + z + ⋯ + z m − 1 ) 2 n ∑ l = 0 m − 1 ∑ j ∈ ℤ c m i + l − m j z m i + l − m j ，系数 { c m i + l − m j ， j ∈ ℤ } 自由的个数为 r − n m + 1 。 证：根据文献 [ 8 ] 中的定理2.1，在 [ − r ， r ] 上存在具有最高阶求和规则的对称的生成函数，记为 b ˜ ( z ) ，则当限定采用的偏移量是2n阶中心差分时， a ˜ ( z ) = b ˜ ( z ) − d ˜ ( z ) .     supp     d ˜ ⊂ [ − r ， r ] ，因此 b ˜ ( z ) 的求和规则至少是2n阶，同时 d ˜ ( z ) 含有因子 ( 1 + z + ⋯ + z m − 1 ) 2 n ，因而 a ˜ ( z ) 至少具有2n阶求和规则。 代入 d ˜ ( z ) 的形式有 a ˜ ( z ) = b ˜ ( z ) − z − m n ( 1 − z ) 2 n ( 1 + z + ⋯ + z m − 1 ) 2 n ∑ l = 0 m − 1 ∑ j ∈ ℤ c m i + l − m j z m i + l − m j ，在对称的 b ˜ ( z ) 固定的情形下，由引理3.1知自由系数个数 { c m i + l − m j ， j ∈ ℤ } 为 r − n m + 1 。 推论3.3在定理3.2的条件下，当 n = 1 时， a ˜ ( z ) 自由系数个数与 d ˜ ( z ) 自由系数个数一致；当 n > 1 时， a ˜ ( z ) 自由系数个数大于 d ˜ ( z ) 自由系数个数。 证：首先 a ˜ ( z ) 自由系数个数是 r − n m + n 。这是因为 a ˜ ( z ) 可分解为 a ˜ ( z ) = m z − n ( m − 1 ) m − 2 n ( 1 + z + ⋯ + z m − 1 ) 2 n a ˜ 1 ( z ) 。由 a ˜ ( z ) 和 m z − n ( m − 1 ) ( 1 + z + ⋯ + z m − 1 ) 2 n 的对称性知 a ˜ 1 ( z ) 也是对称的。易得 a ˜ 1 ( z ) 的最高次数是 r − n ( m − 1 ) = r − n m + n ，而 a ˜ 1 ( z ) 的系数和是1，因此 a ˜ ( z ) 自由系数个数是 r − n m + n . 当 n = 1 即采用二阶中心差分时，对任何对称的细分掩模 a ˜ ( z ) 具有的自由系数个数与 d ˜ ( z ) 自由系数一致。当 n > 1 时， a ˜ ( z ) 自由系数个数是 r − n m + n > r − n m + 1 ，即大于 d ˜ ( z ) 的自由系数个数。证毕。 推论3.2从另一个方面表明若 a ˜ ( z ) 不具有定理3.2中的形式时，则不能通过添加2n阶中心差分的形式得到最高阶求和规则。例对具有四阶求和规则的二重细分生成函数 a ˜ ( z ) = ( 1 + z ) 4 ( 132 − 464 z + 880 z 2 − 1091 z 3 + 880 z 4 − 464 z 5 + 132 z 6 ) 40 z 5 ，最高幂次 r = 5 ，计算知支撑在[−5， 5]上具有最高阶求和规则的逼近型细分和插值型细分的生成函数分别是 ( 1 + z ) 10 512 z 5 和 ( 1 + z ) 6 ( 3 − 18 z + 38 z 2 − 18 z 3 + 3 z 4 ) 256 z 5 。若采用四阶中心差分形式的偏移量 d ˜ ( z ) = ( 1 − z ) 4 ( 1 + z ) 4 ( d 1 + z d 0 + z 2 d 1 ) z 5 ，则无论 d 0 ， d 1 取何值， a ˜ ( z ) + d ˜ ( z ) 都无法得到 ( 1 + z ) 10 512 z 5 或 ( 1 + z ) 6 ( 3 − 18 z + 38 z 2 − 18 z 3 + 3 z 4 ) 256 z 5 。原因在于 ( 1 + z ) 10 512 z 5 − a ˜ ( z ) 和 ( 1 + z ) 6 ( 3 − 18 z + 38 z 2 − 18 z 3 + 3 z 4 ) 256 z 5 − a ˜ ( z ) 中因式 1 − z 的幂次都是2，不是4。 当采用的是2阶中心差分即 n = 1 时，我们可以得到相应的线性方程组的形式： 定理3.4对任意正奇数s和中心对称列向量 b ，且向量 b 所有元素的和为0，系数矩阵 A 满足 A = ( 1 − 2 1 1 − 2 1 ⋱ ⋱ ⋱ 1 − 2 1 1 − 2 1 ) ( s + 2 ) × s ， 则线性方程组 A x = b 有中心对称解。 证：对任意正奇数s，利用中心对称的向量 b ，构造一个Laurent多项式 b ˜ ( z ) = b − ( s + 1 ) z − ( s + 1 ) + ⋯ + b s + 1 z s + 1 。 显然 b ˜ ( z ) 的系数和为0，即 b ˜ ( 1 ) = 0 。 的系数是对称的，由文献 [ 8 ] 知 b ˜ ′ ( 1 ) = 0 。因此 b ˜ ( z ) 含有因子 z − 1 ( 1 − z ) 2 ， b ˜ ( z ) 可以分解为 b ˜ ( z ) = z − 1 ( 1 − z ) 2 ( x − s z − s + ⋯ + x s z s ) 。由 b ˜ ( z ) 的系数对应关系可知， x = ( x − s ， ⋯ ， x s ) T 就是该线性方程组的解。由 b ˜ ( z ) 和 z − 1 ( 1 − z ) 2 的对称性知 x 是中心对称的。