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user: 3. 双4维时空的建立及量子现象对主观依赖性的消除 采用量子化的光(非连续光)观察微观客体，描述时空应该与牛顿、狭义相对论有区别。微观量子客体与宏观客体一样，一定存在自身的空间分布。在微观认知领域，人们实际已经进入微观客体内部观察量子现象，“点模型”隐藏的空间自由度对描述的量子现象有影响，如若仍然忽略不计，就会体现为量子现象对主观的依赖性。量子力学中点模型不适用，微观量子客体空间分布应该是量子力学时空的一部分，采用场物质球模型，建立双4维复数时空，就可以做到这一点。“场物质球”及由此产生的“物质波场”是“粒子和波” 的统一。球面曲率的大小描述粒子性，曲率的变化描述波动性，物质波就描述在量子力学时空中 [ 1 ]。微观客体之间的相互作用通过规范场作用体现。 3.1. 微观客体的几何描述 研究表明，现代物理学不可能把微观客体的空间坐标定位得比康普顿波长更小 [ 10 ]，而这正是双4维时空量子力学创建场物质球模型的实验基础。微观客体是“转动的场物质球”。其状态： 1) 静态几何描述：曲率半径由 R 0 = ℏ / m 0 c (1) 定义。m 0 ——物质场静质量，R 0 呈现静态微观客体“内在”物质波场分布的广延性。而曲率K 0 由 K 0 = 1 / R 0 = m 0 c / ℏ (2) 定义。呈现静态微观客体“表面”的弯曲程度。R 0 、K 0 是一个相对任何静止参考系的不变量，与空间位置无关。它是一个不可直接观察量，但真实存在，类似物理本体，K 0 称为该微观客体的量子曲率。 2) 动态几何描述：曲率半径由 R 1 = ℏ / m c (3) 定义。曲率由 k 1 = 1 / R 1 = m c / ℏ (4) 定义。m——运动质量，质量m增大，曲率半径减小，曲率增大。运动场物质球是一个形体可变动的量子客体，在平动与自旋中，保证球的边缘线速不超过光速，与相对论协调。它是物理理论中的物理实体(相互作用实在论中称为现象实体) [ 1 ]。 3) 三维空间映射：曲率半径由 R i = ℏ / m v i (5) 定义。曲率由 k i = m v i / ℏ (6) 定义。 p i = m v i 是相对论动量，三维空间可观察量。 可见，微观客体在三维可观察空间的‘映射’，其曲率半径既可以非常之大，也可以非常之小，类似于对波长的理解 [ 1 ]。它与微观客体自身空间结构R 0 、R 1 不等同，类似一种“影象”。如果微观客体的动量、能量是在电磁场中获得的，我们称其为电磁性曲率或电磁性量子曲率。 4) 转动频率：由 v 0 = E 0 / h ， ν 1 = E / h ， ( ν i = E i / h ) (7) 定义， E 0 = m 0 c 2 ， E = m c 2 ，( E i = m 0 v i 2 / 2 或 E i = m v i 2 / 2 )与量子力学及相对论的基本假设一致。 5) 场物质密度：由 η = m / V = η ( k ) (8) 定义。V为场物质球体积， V = V ( R ) ， R = R ( k ) ，物质场密度η是曲率k的函数， K = k 0 ，k 1 ，k i ，( k 1 − k i = K 0 )。可以证明：场物质球V减小，k增大，物质场密度η升高；场物质球V增大，k减小，物质场密度η降低， η ( k ) 与k正相关。 但按我们的理解，R 0 、R 1 应该不小于普朗克长度，小于普朗克长度以下的物理理论，目前我们还不知道该怎么建立。因此在现有理论中场物质球的场物质密度、能量密度都不可能无穷大。回避了点粒子理论的无穷大困难。 3.2. 质点模型隐藏的空间自由度 曲率矢量k的分量k 1 、 k i ( i = 2 ， 3 ， 4 ) 构成的四维曲率坐标 k ( k 1 ， − k 2 ， − k 3 ， − k 4 ) 是微观客体质点模型隐藏的空间自由度，其中， k 1 = m c / ℏ ， k i = p i / ℏ = m v i / ℏ 。 微观客体的曲率半径和曲率抽象，体现了微观客体的几何结构和运动状态。R 0 、K 0 不可直接观察；R i 、k i 有可观察现象对应，映射到三维空间；R 1 、k 1 是联系R 0 、K 0 和R i 、k i 的桥梁，在光锥面上。若R 0 、K 0 不存在，则R 1 、k 1 ，R i 、k i 不存在。R 0 、K 0 是洛伦兹变换不变量，是一切物理现象之源，可承担物理学中“物理本体”角色。在相互作用实在论中，我们称其为“自在实体”——不可直接观察量 [ 1 ]。 场物质球曲率半径R (或曲率k)的变化，必然带来微观客体球内场物质密度分布的变化，这将为我们理解波函数的物质实在性提供基础。 3.3. 场物质球的坐标复空间与曲率复空间描述 [ 1 ] 1) 坐标复空间 Z = x + i y = r e i α r = r ( x ， y ) ， r = ( x 2 + y 2 ) 1 / 2 (9) 描述球心在坐标原点的复空间球面坐标。 若上述复数的模r，由微观客体曲率半径R定义，令 r = R ，则上述复空间的球面坐标，描述一半径为R的场物质球球面坐标，且 R = R ( x ， y ) ， R = ( x 2 + y 2 ) 1 / 2 (10) 静态微观客体： R = R 0 = ℏ / m 0 c ；运动微观客体： R = R 1 = ℏ / m c ；三维空间的映射： R = R 1 = ℏ / m c i 。场物质球描述于坐标复空间。 2) 曲率复空间 引入曲率复空间： W = 1 / Z * = u ( x ， y ) + i v ( x ， y ) = ( 1 / r ) e i α = k e i α (11) W是Z的映射空间，描述球心在坐标原点，模为 k ( x ， y ) = 1 / r 的曲率球球面坐标。同样，若k由微观客体场物质球的曲率 k = 1 / R 定义，则曲率复空间W描述半径为R的场物质球的曲率球球面坐标。静态微观客体： k = K 0 = 1 / R 0 ，运动微观客体： k = k 1 = 1 / R 1 ，三维空间的映射： k = K i = 1 / R i 。 对于Z空间，物质波场在球内，球外是空的，宏观大尺度下可简化成质点；而对于映射空间W，物质波场通过曲率映射到球外，呈全域空间分布，球内是空的。相对于场物质球，Z空间与W空间相互映射，描述同一物质波场，类似对偶假设。量子力学中的所有波函数都描述在这一空间中。 量子力学中波函数的全空间分布特性，就是在这种空间转换中不知不觉完成的。电子全空间分布在4维实空间不是真实的，是内、外部空间转换，理论描述中数学物理应用方便的需要，也是描述量子现象的需要。 在实时空，我们用质点的运动描述物体的轨道运动或概率分布；而在复空间，则用曲率半径R和曲率k的运动和变化描述微观客体的物质波。物质波是微观客体内部场物质密度或空间结构的波动运动。这就是微观客体不作轨道运动的物理意义。 曲率k的引入是对波矢物理意义的拓展，是物质的几何化，是对点模型隐藏空间自由度的揭示，可归于量子力学描述时空的属性。物质波场的运动状态与微观客体受到的相互作用相关，由规范场来讨论。 3.4. 物质波的生成与双4维时空 1) 物质波的生成及其波函数 微观客体内部场物质的旋转运动，在曲率复空间表示为 W = 1 / Z * = u + i v = k e i ω t (12) k = 1 / R ，ω为微观客体内部场物质旋转的角频率。 理论上，旋转场物质球是旋转矢量场的物理原型，也是传统量子力学定义希尔伯特空间旋转矢量和彭罗斯扭曲子空间的物理原型。自旋是场物质球的基本性质，它是狄拉克方程自旋解的物理基础。场物质球描述转化为旋转矢量场描述。 设静态微观客体自身的坐标系为 K 0 ( x 0 ， t 0 ) ，“静态微观客体内部场物质的旋转运动——自旋”，以自身坐标系的时间t 0 为自由变量的场物质运动方程是 ψ 0 = A 0 exp ( i ω 0 t 0 ) (13) 式中， ω 0 ＝ m 0 c 2 / ℏ 。 若微观客体(K 0 系)以速度v相对坐标系 K ( x ， t ) (观测系)沿x轴正方向匀速运动，利用洛仑兹变换 [ 1 ]： t 0 = ( t − v x / c 2 ) / ( 1 － v 2 / c 2 ) 1 / 2 ，代入式(13)得 Ψ = A exp { i ω 0 ( t − v x / c 2 ) / ( 1 − v 2 / c 2 ) 1 / 2 } = A exp { − i ( p ⋅ x − E t ) / ℏ } = A exp { − i ( k μ x μ ) } (14) 其中 ω = ω 0 / ( 1 − v 2 / c 2 ) 1 / 2 = m c 2 / ℏ ， ω t = E t / ℏ ， E = m c 2 ， p = m v i ， k i = p i / ℏ ， k 1 = m c / ℏ 。 x 1 = c t ， i = 2 ， 3 ， 4 ， k μ = k 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， k μ x μ 称为双4维复时空 W ( x ， k ) 。 (14)式与传统量子力学自由粒子“点模型”波函数假设数学形式完全一样，但物理意义明确。物质波的本质是旋转场物质的波动运动，是物理波！自由微观客体的状态波函数是平面物质波。振幅A是常数(归一化因子)。 可以证明，物质密度与概率密度正相关。场物质球模型暗示，可寻求物质波与概率现象之间合乎逻辑的内在联系。更为可喜的是，波函数的物理实在性，2017年已经由史保森等人的“量子螺旋双缝实验”所证实 [ 11 ]。 其实，“静态”转动场物质球波函数就是自旋波函数。数学上可以证明，复相空间 k μ x μ 即为物质波所在时空 W ( x ， k ) 。物质波是物理波，相对论与量子力学从物理模型源头就得到统一。费曼路径积分的传播子就在这一时空中运行，史保森等人的实验是可信的。 2) 双4维时空的物质波波动方程 双4维时空 W ( x ， k ) 描述的物质波波函数 ψ ( x ， k ) ＝ A ( x ， k ) exp ( − i k μ x μ ) (15) 定态情况下， A ( x ， k ) 仅与三维空间坐标和三维曲率坐标有关。 A ( x ， k ) = ∑ 0 ∞ C n A n ( x ， k ) ， k μ = k 2 ， 3 ， 4 x μ = x 2 ， 3 ， 4 物质波的振幅，是空间坐标x与微观客体自身空间结构k的函数。利用威格纳“星号﹡”乘运算数学方法，它满足如下微分方程 H ( x ， k ) exp [ ( i / 2 ) ( ∂ ↼ x ∂ ⇀ k − ∂ ↼ k ∂ ⇀ x ) ] A ( x ， k ) = H ( x ， k ) ﹡ A ( x ， k ) = E A ( x ， k ) (16) 式中， H ( x ， k ) 是体系的经典哈密顿函数。*运算是Moyal乘积。 物理系统总体波函数波长可以通过广义德布罗意关系式定义，同样适用于物质波的波动运动。 上式中Moyal乘积中的导数是普通导数，运算于双3维时空(6维)，如果 ( ∂ ↼ x ∂ ⇀ k − ∂ ↼ k ∂ ⇀ x ) 对双4维时空求导， H ( x ， k ) 是体系的含时相对论哈密顿函数，微分算子采用狄拉克算子形式，将得到含时相对论动力学微分方程。 3) 物质波 ψ ( x ， k ) 与概率函数 ψ ( x ) 、物质密度函数 Φ ( k ) 双4维时空中点 W ( x ， k ) 表示： 矢量： K ( k 1 ， k 2 ， k 3 ， k 4 ) 描述微观客体自身空间结构，呈现微观客体的存在形态及物质密度分布； 矢量： X ( x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ) 描述微观客体在4维实部时空的所在位置，有不确定性，不确定性(或概率属性)与微观客体空间分布及物质密度分布有关。 a) ψ ( x ， k ) 与 ψ ( x ) 及 Φ ( k ) 的映射关系 [ 1 ]：利用 A ( x ， k ) = ∫ − ∞ ∞ d ξ e − i ξ k ψ * [ x － ( 1 / 2 ) ξ ] ψ [ x + ( 1 / 2 ) ξ ] A ( x ， k ) = ∫ − ∞ ∞ d ξ e − i ξ x Φ * [ k － ( 1 / 2 ) ξ ] Φ [ k + ( 1 / 2 ) ξ ] 对振幅 A ( x ， k ) 的积分运算中： 消去变量k， A ( x ， k ) 映射到双4维时空的实部，得到微观客体在坐标点x上的概率密度分布函数 ρ ( x ) ∫ − ∞ ∞ A ( x ， k ) d k = ψ ( x ) * ψ ( x ) = | ψ ( x ) | 2 = ρ ( x ) (17) 归一化采用： ∫ τ c ρ ( x ) d τ = ∫ τ c | ψ ( x ) | 2 d τ = 1 (18) 消去变量k，实际物理意义是将微观客体在双4维时空中虚部的场物质密度，转换成双4维时空实部的概率属性(物质告诉时空如何具有概率属性，且时空告诉物质如何作概率运动)。我们认为，这就是玻恩解释把 | ψ ( x ) | 2 理解为微观客体在实空间x点出现的慨率(或体积内 d τ 出现的概率密度)的依据所在。 消去变量x， A ( x ， k ) 映射到双4维复时空的虚部，进入微观客体内部空间，得到双4维时空由k量度的物质场密度分布函数η ∫ − ∞ ∞ A ( x ， k ) d x = Φ ( k ) * Φ ( k ) = | Φ ( k ) | 2 = η ( k ) (19) 归一化采用： ∫ v c η ( k ) d v = ∫ v c | Φ ( k ) | 2 d v = ∫ v c d v / v = 1 (20) 式(19)中，若k = 常数，表明微观客体形体结构全空间不变，物质密度不变，刚好与全空间概率密度分布不变等价，归一化的物理意义与(18)相同。K = 常数，微观客体不受力，作匀速运动，是平面波，采用 δ 函数归一化。若k ≠ 常数，则P ≠ 常数，动量发生了变化，与时间有关，微观客体在全空间受到了力的作用，形体结构发生了变化，物质密度发生变化，概率密度也将发生变化，这已经不是定态波函数了。 b) ψ ( x ) 与 Φ ( k ) 用傅里叶变换联系 ψ ( x ) = ( 2π ℏ ) ( − 1 / 2 ) ∫ − ∞ ∞ Φ ( k ) exp { i ( k x ) } d ( ℏ k ) (21-1) Φ ( k ) = ( 2π ℏ ) ( − 1 / 2 ) ∫ − ∞ ∞ Φ ( k ) exp { i ( k x ) } d x (21-2) 场物质密度分布与概率密度分布发生了联系，类似一种表象变换。量子力学中 ψ ( x ) 与 Φ ( p ) 之间的傅里叶变换有了新的物理意义。双4维时空实部微观客体概率密度分布可以映射为双4维时空虚部微观客体场物质密度分布；而双4维时空虚部微观客体场物质密度分布也可以映射为双4维时空实部微观客体概率密度分布。傅里叶变换也演变成量子测量中物质波—概率波的变换公式。 量子力学时空 W ( x ， k ) ，x描述微观客体所在位置，有不确定性，k描述微观客体物质密度分布(由结构体现的曲率分布)。微观客体的几何特性演变成描述空间的属性，实现了量子现象的客观描述。而这在传统量子力学中常常被引入主观认知，变成量子现象对主观的依赖性。双4维时空量子力学：曲率的大小描述粒子性，曲率的变化描述波动性；物质告诉时空如何具有概率属性，时空告诉物质如何作概率运动 [ 3 ]。 其实，如果认为时空具有建构特征，而牛顿时空、狭义相对论时空、广义相对论时空，都有将现象对人的主观依赖性归于时空属性的操作成分，那么，双4维时空作为描述量子现象的微观时空，水到渠成。因为，在前述三种经典时空中无法理解的微观客体波粒二重属性及波函数的概率属性(现象对主观的依赖性)，都将归于双4维时空的属性了。人们没有必要再为波粒集微观客体于一身及量子概率的来源而苦恼，因为，在双4维时空中，波粒的统一，奇异的量子概率，已经通过时空曲率坐标k的变化，纳入描述时空——双4维时空，而代表微观客体自身的波函数则是双4维时空中的物理波，当然有实在性。这是解决现有量子力学认知困难的最有趣、简便而又客观的认知模式和时空建构方法。基于此，曹天予的建构结构实在论更加有了结坚实的物理基础。 4) 双4维复时空数学：双4元数复空间、双4维复相空间、双4维复时空 a) 双4元数复空间 定义： Z μ = x μ + i y μ ， Z * μ = x μ − i y μ ， μ = 1 ， 2 ， 3 ， 4 。 W ( x ， y ) = 1 / Z * = u ( x ， y ) + i v ( x ， y ) = A e i α 波函数： ψ ( x ， y ) = u ( x ， y ) + i v ( x ， y ) = A ( x ， y ) exp ( − i y μ x μ ) (22) 这里 y μ ， x μ 为双4元数复空间虚、实空间坐标，具有无量纲特性，出现在波函数的相位中。波函数是数学波。 b) 双4维复相空间 由双4元数复空间 Z μ = x μ + i y μ ， Z * μ = x μ − i y μ 形式，可以定义双4维复相空间。当x μ 看成是矢量x的4维分量，y μ 看成是矢量y的4维分量时， x μ = ( x 1 ， − x 2 ， − x 3 ， − x 4 ) ， y μ = ( y 1 ， − y 2 ， − y 3 ， − y 4 ) 则 Z μ = x μ + i y μ 就可以看成是由矢量x、y生成的双4维复相空间。 波函数： ψ ( x ， y ) = u ( x ， y ) + i v ( x ， y ) = A ( x ， y ) exp ( − i y μ x μ ) (23) 式(23)是双4 维复相空间中的波函数，它与波函数(22)形式完全相同，但相空间坐标x μ ，y μ 是矢量x、y的分量，具有矢量x、y的属性，有实在论意义，但必须保证相位角y μ ，x μ 具有无量纲特性。 c) 双4维复时空中的物质波 对双4维复相空间 Z μ = x μ + i y μ 作y = k的变换， y μ = k μ = ( k 1 ， − k 2 ， − k 3 ， − k 4 ) ，y矢量变换成与微观客体曲率k相关的洛伦兹矢量。由是生成了新的具有物理意义的双4 维复相空间： W μ = x μ + i k μ ，因为x μ 中， x 1 = c t ，所以我们称其为双4维复数时空，或简称双4维时空。 X ( x 1 ， − x 2 ， − x 3 ， − x 4 ) ， K ( k 1 ， − k 2 ， − k 3 ， − k 4 ) 波函数： ψ ( x ， k ) = u ( x ， k ) + i v ( x ， k ) = A ( x ， k ) exp ( − i k μ x μ ) (24) 这就是(14)式。由位置矢量x与曲率矢量k的分量构成了一个双4维复时空 W = x μ + i k μ ，物质波就在其中，相位角(k μ x μ )满足无量纲要求。波函数是物理波。 一般称量子力学波函数相空间为数学空间。其实，双4维复相空间是微观客体所在的复空间通过人对运动微观客体的观察，在相互作用中自动显现的描述物质波的真实物理空间。所以我们称其为双4维复时空。即(场物质球 + 复空间) + 观察系 = 物质波 + 双4维复时空。费曼路径积分就在这一空间中进行。 双4维复时空是量子力学的特有空间。微观客体自身的空间结构k μ ，既作为时空坐标进入描述时空，也作为描述自身运动状态的状态参量，呈现在波函数的相位中。量子力学时空是背景相关和背景独立的复合。它是背景相关到背景独立过渡的中间状态。量子场论中的波矢空间，其实就是双4维复时空的虚部空间，是物质和时空的统一，作为特例，量子场论也是背景独立的，且线性而且平直。研究量子力学与引力场的统一，将会从两种背景独立中得到启示。 双4维复时空 W ( x ， k ) 的度规张量 g μ ν = d i a g ( 1 ， − 1 ， − 1 ， − 1 ) ， x 2 = x μ g μ ν x v = x − 1 2 x 2 2 − x 3 2 − x 4 2 ， K 2 = K μ g μ ν K v = k 1 2 − k 2 2 − k 3 2 − k 4 2 ， 以及 | Z | 2 = Z Z * = x 2 + y 2 ， | Z | 2 = Z Z * = x 2 + k 2 都是Lorentz不变量。所以，我们认为 W ( x ， k ) 是 M 4 ( x ) 的复数拓展。狄拉克方程在Lorentz变换中具有不变性。 d K 0 2 = d k 1 2 − d k 2 2 − d k 3 2 − d k 4 2 中的dK 0 是坐标变换中的不变量，它就是人们期待的那个物理本体。 显然，双4维时空中，伽利略变换仍然是洛伦兹变换的特例。经典力学与量子力学的统一，通过物理模型的变化及时空度规的演变得到引领，狄拉克方程不变性也将过渡到薛定谔方程的不变性。