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user: 3. 本文的主要内容 本节我们分三部分介绍。 3.1. 局部存在性与唯一性 定理3.1：(局部存在性与唯一性)在初始条件(1.3)的条件下，若取某个小值 T 0 > 0 ，则对任意 p > 5 ，系统(1.2)存在唯一的强解 ( a ， υ ， ω ) ∈ ( C 2 + l ， 1 + l 2 ( Q T 0 ¯ ) ) 3 成立。而且 a ≥ 0 ， υ ≥ 0 ， 0 ≤ ω ≤ 1. 证明：通过调用已建立的Banach不动点定理以及应用标准抛物线正则性理论(参见 [ 10 ] )，可以很容易地验证经典解的局部存在性、唯一性和可扩展性准则(参见参考文献 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] )。同时，在最大值原理的帮助下，我们也可以验证解的非负性。 3.2. 在二维和三维空间中的L ∞ 先验估计 引理3.1：假设 ( a ， υ ， ω ) ∈ ( C 2 ， 1 ( Q T ) ) 3 ( T > T 0 ) 是系统(1.2)的解，那么，对所有时间 t ∈ ( 0 ， T ) ，成立 ‖ a ( t ) ‖ L 1 ( Ω ) ≤ u ( t ) L 1 ( Ω ) ≤ max ( ‖ u 0 ‖ L 1 ( Ω ) ， | Ω | ) ， ‖ υ ( t ) ‖ L 1 ( Ω ) ≤ ‖ υ 0 ‖ L 1 ( Ω ) + max ( ‖ u 0 ‖ L 1 ( Ω ) ， | Ω | ) . 证明：主要利用霍尔德不等式和柯西-施瓦兹不等式，可以很容易的验证上述引理成立。 引理3.2：在初始条件(1.3)的条件下，假设 υ 0 ∈ W ∞ 1 ( Ω ) ， ‖ u ‖ L q ( Ω ) ≤ C ，那么对所有时间 t ∈ ( 0 ， T ) ， 1) 对于 1 ≤ q < n ，当 p < q n n − q ，我们有 ‖ υ ( t ) ‖ W p 1 ( Ω ) ≤ C ； 2) 对于 q = n ，对任意 q < ∞ ， ‖ υ ( t ) ‖ W p 1 ( Ω ) ≤ C 均成立； 3) 对于 q > n ，当 q = ∞ 时， ‖ υ ( t ) ‖ W p 1 ( Ω ) ≤ C 仍然成立； 4) 对于 1 ≤ q < ∞ ，当 r > q 且满足 1 r + 2 n > 1 q 时，成立 ‖ υ ( t ) ‖ L r ( Ω ) ≤ C 。 引理3.3：假设 ( a ， υ ， ω ) ∈ ( C 2 ， 1 ( Q T ) ) 3 ( T > T 0 ) 是系统(1.2)的解，且 μ ≥ ξ η 。那么对所有时间 t ∈ ( 0 ， T ) ，下面估计成立： ‖ a ( t ) ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ C ， ‖ υ ( t ) ‖ W ∞ 1 ( Ω ) ≤ C . 详细的证明过程我们可参考文献 [ 1 ] 。 3.3. 在二维和三维空间中关于 ‖ ∇ ω ‖ L q ( Ω ) 的先验估计 在二维空间中，关于 ‖ ∇ ω ‖ L q ( Ω ) 的先验估计在文献 [ 1 ] 中给出了详细的证明，现在我们给出在三维空间中，关于 ‖ ∇ ω ‖ L q ( Ω ) 的先验估计。两者的区别在于估计 ∫ 0 T ‖ Δ a ( t ) ‖ L 2 ( Ω ) 2 d t 的证明过程不同。 引理3.4：假设 ( a ， υ ， ω ) ∈ ( C 2 ， 1 ( Q T ) ) 3 ( T > T 0 ) 是系统(1.2)的解，那么对所有时间 t ∈ ( 0 ， T ) ，成立 ‖ ∇ ω ( t ) ‖ L p ( Ω ) p ≤ e c 3 t [ c 4 + c 5 ∫ 0 t ‖ ∇ a ( s ) ‖ L p ( Ω ) p d s ] ; ‖ ∇ a ( t ) ‖ L 2 ( Ω ) ≤ c 6 e ξ η t . ‖ a t ‖ L 2 ( Q T ) ≤ C t + C e ξ η t . 详细的证明过程我们可参考文献 [ 1 ] [ 2 ] 。 引理3.5：假设 ( a ， υ ， ω ) ∈ ( C 2 ， 1 ( Q T ) ) 3 ( T > T 0 ) 是系统(1.2)的解，在三维空间中有 ∫ 0 T ‖ Δ a ( t ) ‖ L 2 ( Ω ) 2 d t ≤ C ( t ) . 证明：因为 a t = Δ a + ξ ∇ ω ⋅ ∇ a + h ( x ， t ) ，其中 h ( x ， t ) = ξ a υ ω + a ( μ − ξ η ω ) ( 1 − ω − e ξ ω a ) . 因为引理3.3，得到 h ( x ， t ) 满足 ‖ h ( x ， t ) ‖ L ∞ ( Ω ) = ‖ ξ a υ ω + a ( μ − ξ η ω ) ( 1 − ω − e ξ ω a ) ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ ξ ‖ a ‖ L ∞ ( Ω ) ‖ υ ‖ L ∞ ( Ω ) + μ ‖ a ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ c 7 . 结合引理3.4，我们得到对任意 0 < t ≤ T ， ∫ 0 t ‖ Δ a ‖ L 2 ( Ω ) 2 d s ≤ c 8 T + c 9 e 2 ξ η T + 2 ξ 2 ∫ 0 t ‖ ∇ ω ⋅ ∇ a ‖ L 2 ( Ω ) 2 d s . (3.1) 我们需要进一步估计上式右边最后一项，该项来源于趋同化项。利用霍尔德不等式、引理3.4、柯西不等式以及对任意 x ， y ≥ 0 成立 ( x + y ) 1 2 ≤ x 1 2 + y 1 2 ，我们得到对任意 0 < t ≤ T ， ∫ 0 t ‖ ∇ ω ⋅ ∇ a ‖ L 2 ( Ω ) 2 d s ≤ t c 10 e c 11 T ∫ 0 t ‖ ∇ a ‖ L 4 ( Ω ) 4 d s + c 12 T e c 13 T . (3.2) 下一步，我们估计积分 ∫ 0 t ‖ ∇ a ‖ L 4 ( Ω ) 4 d s 。利用Gagliardo-Nirenberg 不等式，在三维空间中我们有 ∫ 0 t ‖ ∇ a ‖ L 4 ( Ω ) 4 d s ≤ ∫ 0 t ( c 14 ‖ Δ a ‖ L 2 ( Ω ) 2 ‖ a ‖ L ∞ ( Ω ) 2 + c 15 ‖ a ‖ L ∞ ( Ω ) 4 ) d s ≤ c 16 ∫ 0 t ‖ Δ a ‖ L 2 ( Ω ) 2 d s + c 17 t . (3.3) 把(3.3)插入(3.2)，得到对任意 0 < t ≤ T ，成立 ∫ 0 t ‖ ∇ ω ⋅ ∇ a ‖ L 2 ( Ω ) 2 d s ≤ t c 18 e c 19 T ∫ 0 t ‖ Δ a ‖ L 2 ( Ω ) 2 d s + T c 20 ( 1 + T ) e c 19 T . (3.4) 把(3.4)插入(3.1)，得到对任意 0 < t ≤ T ，成立 ∫ 0 t ‖ Δ a ‖ L 2 ( Ω ) 2 d s ≤ 2 ξ 2 t c 18 e c 19 T ∫ 0 t ‖ Δ a ‖ L 2 ( Ω ) 2 d s + A 1 ( T ) ， 其中 A 1 ( T ) = c 8 T + c 9 e 2 ξ η T + 2 ξ 2 T c 20 ( 1 + T ) e c 19 T 。 因此， ( 1 − 2 ξ 2 t c 18 e c 19 T ) ∫ 0 t ‖ Δ a ‖ L 2 ( Ω ) 2 d s ≤ A 1 ( T ) . 取 t 1 = 1 ( 4 ξ 2 c 18 e c 19 T ) 2 ，上式化为 ∫ 0 t ‖ Δ a ‖ L 2 ( Ω ) 2 d s ≤ 2 A 1 ( T ) . (3.5) (1)如果 t 1 ≥ T ，那么定理得证； (2)如果 t 1 < T ，我们取 t 0 = t 1 作为初始时间，重复上述过程。因为 t 1 仅仅依赖于T，通过有限步，我们可以将估计(3.5)延展到区间 [ 0 ， T ] 上，那么定理得证。 引理3.6：假设 ( a ， υ ， ω ) ∈ ( C 2 ， 1 ( Q T ) ) 3 ( T > T 0 ) 是系统(1.2)的解，在三维空间中，对任意 p > 2 ，成立 ∫ 0 T ‖ ∇ a ‖ L p ( Ω ) d t ≤ A 2 ( T ) . 注意：在三维空间中( n = 3 )，利用Gagliardo-Nirenberg不等式，我们有 ‖ ∇ a ‖ L p ( Ω ) ≤ ‖ Δ a ‖ L 2 ( Ω ) θ ‖ ∇ a ‖ L 2 ( Ω ) 1 − θ + ‖ ∇ a ‖ L 2 ( Ω ) ， 其中 0 < θ = 3 ( 1 2 − 1 p ) < 1 ， ( p > 2 ) . 利用Young不等式，椭圆 L p 估计( [ 10 ] 中推论9.10)，我们推出 ∫ 0 T ‖ ∇ a ‖ L p ( Ω ) d t ≤ ∫ 0 T ‖ Δ a ‖ L 2 ( Ω ) θ ‖ ∇ a ‖ L 2 ( Ω ) 1 − θ d t + ∫ 0 T ‖ ∇ a ‖ L 2 ( Ω ) d t ≤ c 21 ∫ 0 T ‖ Δ a ‖ L 2 ( Ω ) d t + c 22 ∫ 0 T ‖ ∇ a ‖ L 2 ( Ω ) d t ≤ c 23 ∫ 0 T ‖ Δ a ‖ L 2 ( Ω ) 2 d t + c 24 T + c 22 ∫ 0 T ‖ ∇ a ‖ L 2 ( Ω ) d t ≤ A 2 ( T ) . 引理得证。