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user: 6. 模型的建立与求解 6.1. 问题一的模型建立与求解 6.1.1. 建模的前期准备工作 1) 关于数据来源的说明 在参考文献 [ 2 ] 中给出了2010~2017年宏观经济指标的情况，在参考文献 [ 1 ] 中给出了各省份各项存贷款历史数据，在参考文献 [ 3 ] 中给出了各分行存贷款利率水平，所有数据均来源于相应的官方网站。 2) 建立评价指标 商业银行在全国存款总额中所占比例相对稳定，每年可增长的存款量受限于社会资金总量的增长情况。参考文献 [ 2 ] 中给出了各季度影响宏观经济总量即存款增量的相关指标，为了更加准确的得到各项相关指标对经济总量的影响情况并且希望利用较少的新变量代替原来较多的旧变量，同时这些新变量尽可能反应宏观经济总量的变化情况，故可以利用主成分分析方法筛选出主成分来简化问题 [ 2 ] 。 3) 标幺值预分析 由于影响存款量的因素的量纲不同，我们想要把他们放在一个图中考虑，所以引入标幺值的概念，假设以各因素2010到2017年各季度的加权平均值作为基准值，则可以在一个图里分析各因素的变化趋势。各因素的变化趋势分析见图1。 图1. 分析各因素的变化趋势 由图1可以看出在给出的因素中，大多因素比较稳定，但也有少量因素起伏较大如PPI (注：图1未画出)。因此无法判断哪些是影响存款总额的主要因素，接下来引入主成分分析方法来确定主要因素。 4) 主成分分析确定主要因素 设 X 1 ， X 2 ， ⋯ ， X 20 为参考文献 [ 2 ] 中影响宏观经济总量的20个因素。记 X = ( X 1 ， X 2 ， ⋯ ， X 20 ) T ， E ( X ) = ( E ( X 1 ) ， E ( X 2 ) ， ⋯ ， E ( X 20 ) ) T 。 另设 x i = ( x i 1 ， x i 2 ， ⋯ ， x i 20 ) T ， ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 30 ) 为取自总体 X = ( X 1 ， X 2 ， ⋯ ， X 20 ) T 的一个容量为30的简单随机样本。设 S 20 × 20 为样本协方差矩阵，其特征值 λ ^ 1 ≥ λ ^ 2 ≥ ⋯ ≥ λ ^ 20 ≥ 0 ，相应的单位正交特征向量 e ^ 1 ， e ^ 2 ， ⋯ ， e ^ 20 ，则第k个样本主成分表式为 y k = e ^ T = e ^ k 1 x 1 + e ^ k 2 x 2 + ⋯ + e ^ k 20 x 20 (1) 当依此代入观测值 x i = ( x i 1 ， x i 2 ， ⋯ ， x i 20 ) T ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 30 ) 时，便得到第k个样本主成分的30个观测值。这时 y k 的样本方差为： V a r ( y k ) = e ^ k T S e ^ k = λ ^ k (2) 样本总方差为： ∑ k = 1 20   V a r ( y k ) = ∑ k = 1 20 s k k = ∑ k = 1 20 λ ^ i (3) 则第k个主成分 Y k 的贡献率为 λ ^ k / ∑ i = 1 20   λ ^ i ，前m 个样品主成分分析的累计贡献率为 ∑ k = 1 m   λ ^ n / ∑ i = 1 20   λ ^ i 。 5) 确定主要成分 确定主要成分见表2。 Table 2 Determine the main component GDP:当季同比(%) 0.4415 国房景气指数:季(%) 0.7084 CPI:同比:季(%) 0.8455 70 个大中城市新建住宅价格指数:同比:季(%) 0.9241 工业增加值:同比:季 (%) 0.9539 固定资产投资完成额:实际当季同比(%) 0.9682 PPI:全部工业品:同比:季(%) 0.9772 固定资产投资价格指数:季 0.9829 中国大宗商品价格指数:总指数:季 0.9871 铁路货运量:同比:季 (%) 0.9906 M1:同比:季(%) 0.9933 金融机构人民币各项存款余额(亿元) 0.9955 M2:同比:季(%) 0.9972 短期贷款利率:6个月至1年(含) (%) 0.9984 城镇居民人均消费性支出(%) 0.999 定期存款利率:1年(整存整取) (%) 0.9995 城镇居民人均可支配收入(%) 0.9997 银行间同业拆借:加权平均利率:1天:季均(%) 0.9999 房地产开发投资完成额:实际当季同比(%) 0.9999 银行间同业拆借:加权平均利率:1年:季均(%) 1 表2. 确定主要成分 由上表格计算结果表明，GDP的贡献率为0.4415 = 44.15%，GDP和CPI的累计贡献率为0.7084 = 70.84%，GDP，CPI和工业同比增加值达到了0.8455 = 84.55%，实际中可只取前三个主成分。 6.1.2. 预估2018年该商业银行存款总量模型的建立 设Y代表各年份存款总量的变量，它受到非随机变量因素 X 1 (GDP)， X 2 (CPI)， X 3 (工业同比增加值)和随机误差𝜀的影响。则： Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + ε (4) 其中 β 0 ， β 1 ， β 2 ， β 3 是固定的未知参数，称为回归系数，随机误差𝜀均值为0。记： Y = [ y 1 y 2 y 3 ] ， X = [ 1 x 11 x 12 x 13 1 x 21 x 22 x 23 1 x 31 x 32 x 33 ] ， β = [ β 0 β 1 β 2 β 3 ] ， ε = [ ε 1 ε 2 ε 3 ] 则模型的矩阵形式可以表示为： Y = X β + ε (5) 6.1.3. 预估2018年该商业银行存款总量模型的求解 经过matlab仿真求解，求得 β = ( 0     − 6567     5801     11903 ) ，即： Y = − 6567 X 1 + 5801 X 2 + 11903 X 3 + ε (6) 由此可求得2018年该商业银行的存款总量为44，642亿元。存款增量为 44642 − 4288 0 = 1762 亿元。由题意知如暂不考虑备付水平，该商业银行2018年的贷款总额为存款总额减去应缴纳的法定准备金，即 44642 − 44642 ∗ 12 % = 39284 亿元。则贷款增量为： 39284 − 34877 = 4407 亿元。 6.1.4. 模型拟合结果展示 通过以上方法可以预测2018年商业银行的存款总量，将预测的结果进行拟合可以得到图2。 图2. 商业银行存款总量的拟合曲线 从图2我们可以发现存款总量进一步的增加，符合我国良好发展的经济形势，因此可以证实模型结果的正确性。 6.2. 问题二的模型建立与求解 引入净差率的概念： 净差 = 银行当年的存款利率 × 银行当年的存款 − 银行当年的贷款利率 × 银行当年的贷款；利用净差来描述各地分行放款资金吞吐能力以及盈利能力；净差的绝对值可以描述资金吞吐能力，净差的正负代表了银行的盈利能力或亏损能力(由常识我们知道一个银行的存款应当大于贷款；否则这个银行就不正常) [ 1 ] ；当银行的净差率为负时只能有两种情况： 6.2.1. 银行的净差率为负的情况之一 由于国家政策的原因，通过资金投入来刺激经济发展，比如说北京市。 6.2.2. 银行的净差率为负的情况之二 银行处于亏损状态。通过计算我们得到了各个省市的三年的净差，下面以10个省市的净差来分析：10个省市的净差见表3。 Table 3 10 net difference between provinces and municipalitie 2015 2016 2017 北京 15.146 −7.114 −11.681 江苏 116.488 100.537 115.532 广东 60.289 51.6375 67.3974 浙江 73.119 56.9275 68.9048 上海 55.474 42.46 40.4829 山东 25.544 15.03 17.5176 河南 31.636 24.822 28.704 湖北 36.848 30.9688 38.6378 安徽 24.791 19.7488 23.3446 四川 16.807 12.5958 16.832 表3. 10个省市的净差 通过对比我们会发现资金吞吐能力最强的省市：江苏、浙江、广东、上海、湖北；这与我国目前的经济发展是契合的。 在模型二里我们通过前3年的净差用一元二次回归 [ 3 ] 。 p ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x (7) Q ( a 0 ， a 1 ， a 2 ) = ∑ i = 1 m ( p ( x i ) − y i ) 2 = ∑ j = 1 m ( a 0 + a 1 x i + a 2 x i 2 − y i ) 2 (8) { ∂ Q ∂ a 0 = 2 ∑ i = 1 m ( a 0 + a 1 x i + a 2 x i 2 − y i ) = 0 ∂ Q ∂ a 1 = 2 ∑ i = 1 m ( a 0 + a 1 x i + a 2 x i 2 − y i ) x i = 0 ∂ Q ∂ a 2 = 2 ∑ i = 1 m ( a 0 + a 1 x i + a 2 x i 2 − y i ) x i 2 = 0 (9) ( m ∑ i = 1 m x i ∑ i = 1 m x i 2 ∑ i = 1 m x i ∑ i = 1 m x i 2 ∑ i = 1 m x i 3 ∑ i = 1 m x i 2 ∑ i = 1 m x i 3 ∑ i = 1 m x i 4 ) ( a 0 a 1 a 2 ) = ( ∑ i = 1 m y i ∑ i = 1 m x i y i ∑ i = 1 m x i 2 y i ) (10) 来求出回归系数，并预测18年的净差其中ε是随机误差，服从正态分布N(0， n 2 )； p 1 ，p 2 ，p 3 为回归系数，由于权重因子 = 各个省市净差/总净差；所以本文就不展示各个城市的净差了。通过各个省市的净差占总的静差的比例作为我18年30个城市贷款变量的权重因子，30个城市贷款变量的权重因子见表4。 Table 4 30 weighting factors of loan variables in citie 序号 比重 序号 比重 1 0.001348 16 0.022324 2 0.151246 17 0.024653 3 0.101021 18 0.028515 4 0.111665 19 0.017798 5 0.046487 20 0.017953 6 0.03097 21 0.033763 7 0.040621 22 0.019005 8 0.056188 23 0.006039 9 0.03339 24 0.020886 10 0.027721 25 0.016812 11 0.025909 26 0.009116 12 0.023339 27 0.019936 13 0.014642 28 0.019147 14 0.044897 29 0.006273 15 0.023074 30 0.005265 表4. 30个城市贷款变量的权重因子 表中：1、2、3分别代表北京、江苏、广东，其余类推。 通过对30个城市贷款因子进行多元线性规划来求得最大值： 多元线性规划： St: max Z = ∑ i = 1 30 p i × x i (11) { ∑ i = 1 30 x i = 39284 2660 < x 1 < 4660 3500 < x 2 < 4950 2060 < x 3 < 4020 (12) 其中St是各个城市的权重因子(比如S 1 = 0.001348)； x i 代表代号为i的城市的贷款分配量(i = 代表北京)； x i 的范围由三年内的存款量和贷款量决定；原则是 x i 的下限由三年内最低贷款量决定， x i 的上限由最大存款量决定；当然某些地方有政策原因应反过来；包括某些西部地区。这是每个城市对应的贷款分配具体数额：(1代表北京)，每个城市对应的贷款分配具体数额见表5。 Table 5 The specific amount of loan allocation in each cit 序号 分配数额亿元 序号 分配数额亿元 1 2660 16 880 2 4950 17 760 3 4020 18 780 4 3800 19 430 5 3400 20 500 6 2340 21 888 7 1810 22 517 8 1670 23 390 9 1370 24 560 10 1290 25 320 11 1240 26 250 12 1030 27 322 13 617 28 390 14 1010 29 100 15 920 30 70 表5. 每个城市对应的贷款分配具体数额 总和为39，284亿元。 6.3. 问题三的模型建立与求解 通过对模型2的分析我们知道净差越大地方资金的吞吐量越大那么这个地方的资金承受能力就越大，通过查找外部数据，对比了各个省市的GDP增速，GDP增速代表着当地的经济活跃程度，也就意味着更多的企业可能会用到这一笔应急贷款，通过GDP的增速排名和增速比例我们重新调整权重因子在原有贷款的基础上加上这笔钱重新进行分配，调整的原则依据于省市的GDP增速比例，我们认为一个省市的GDP增长越快，那么它对资金的需求就该越大，但由于省市的资金吞吐量并不能正比与它的GDP增长所以我们要综合地去考虑这个问题，我们通过对两个权重再次进行权重分配来调节，对净差决定的权重因子取0.7，对GDP增长率决定的权重因子取0.3，表6是我们外部数据出处：2016年各省区市GDP排名一览见表6。 Table 6 Shows the GDP ranking of each province， region and city in 2016 [4 地区 2016年各省区市GDP(亿元) GDP(总量地位) 2016年GDP增速(%) 排位 广东 79512.05 1 7.5 20 江苏 76086.17 2 7.8 14 山东 67008.19 3 7.6 16 浙江 46484.98 4 7.5 20 河南 40160.01 5 8.1 9 四川 32680.5 6 7.7 15 湖北 32297.91 7 8.1 9 河北 31827.86 8 6.8 26 湖南 31244.68 9 7.9 13 福建 28519.15 10 8.4 8 上海 27466.15 11 6.8 26 北京 24899.26 12 6.7 28 安徽 24117.87 13 8.7 6 辽宁 22037.88 14 2.5 31 陕西 19165.39 15 7.6 16 内蒙古 18632.57 16 7.2 24 江西 18364.41 17 9 4 广西 18245.07 18 7.3 23 天津 17885.39 19 9 4 重庆 17558.76 20 10.7 1 黑龙江 15386.09 21 6.1 29 吉林 14886.23 22 6.9 25 云南 14869.95 23 8.7 6 山西 12928.34 24 4.5 30 贵州 11734.43 25 10.5 2 新疆 9617.23 26 7.6 16 甘肃 7152.04 27 7.6 16 海南 4044.51 28 7.5 20 宁夏 3150.06 29 8.1 9 青海 2522.49 30 8 12 西藏 1150.071 31 10 3 表6. 2016年各省区市GDP排名一览 [ 4 ] 然后通过对权重因子调整带入模型二，求得重新分配的方案：得到了我们关于净差因素的权重因子和GDP的权重因子及第三次资金分配结果与第二次的对比一览表：净差因素的权重因子和GDP的权重因子及第三次资金分配结果与第二次的对比一览表见表7。 通过表我们可以得到第三次改变的城市有：贵州、江西、云南、吉林、重庆、辽宁由表6中的GDP增速比对这是符合现实的。 6.4. 问题四的模型建立与求解 对于问题四，我们首先用MATLAB的正态检验函数检测各分行净变化量的数据是否服从正态分布 [ 5 ] ，以广东分行的数据为例，检测的图像如图3。 Table 7 Comparison of weighted factors of net difference factors and GDP and the results of the third capital allocation with the secon GDP 影响权重 净差影响权重 第二次分配方案 第三次分配方案 北京 0.029991 0.001348 2660 2660 江苏 0.034915 0.151246 4950 4950 广东 0.033572 0.101021 4020 4020 浙江 0.033572 0.111665 3800 3800 上海 0.030439 0.046487 3400 3400 山东 0.03402 0.03097 2340 2340 河南 0.036258 0.040621 1810 1810 湖北 0.036257833 0.05618817 1670 1670 安徽 0.038944 0.03339 1370 1370 四川 0.034467 0.027721 1290 1290 辽宁 −0.01119 0.025909 1240 890 河北 0.030439 0.023339 1030 1030 重庆 0.047896 0.014642 617 1030 湖南 0.035363 0.044897 1010 1010 山西 0.020143 0.023074 920 920 陕西 0.034019696 0.022323591 880 880 天津 0.040286 0.024653 760 760 广西 0.032677 0.028515 780 780 吉林 0.030886 0.017798 430 464 云南 0.038944 0.017953 500 680 福建 0.037601 0.033763 888 888 江西 0.040286 0.019005 517 650 黑龙江 0.027305 0.006039 390 390 新疆 0.034019696 0.02088566 560 560 贵州 0.047001 0.016812 320 410 甘肃 0.03402 0.009116 250 250 海南 0.033572 0.019936 322 322 内蒙古 0.032229 0.019147 390 390 宁夏 0.036258 0.006273 100 100 青海 0.03581 0.005265 70 70 总和 1 1 39284 39784 表7. 净差因素的权重因子和GDP的权重因子及第三次资金分配结果与第二次的对比一览表 图3. 检测的图像 可以看到，广东分行的净变化量满足正态分布的条件，于是可以拟合出正态分布图像以及每个正态分布函数的总体均值(muhat)和方差(signahat)，如图4所示：正态分布图像以及每个正态分布函数的总体均值(muhat)和方差(signahat)见图4。 图4. 正态分布图像以及每个正态分布函数的总体均值(muhat)和方差(signahat). muhat = −0.9863，sigmahat = 34.4104，下一步即利用概率论与数理统计的知识，算出 的置信区间，易知样本均值 X ¯ 是 μ 的无偏估计，现在要利用 X ¯ 所提供的信息，由 P { θ min < μ < θ max } = 1 − α 来确定 θ min ， θ max ，为此需要把阔行不等式中间的变量化为有确定分布的样本函数，经简单变化得： P { X ¯ − θ max σ / n < X ¯ − μ σ / n < X ¯ − θ min σ / n } = 1 − α (13) 以上样本函数 U = X ¯ − μ σ / n ~   n ( 0 ， 1 ) ，且 n ( 0 ， 1 ) 不依赖于任何未知参数，因此对给定的置信水平 1 − α ，由上 α 上分位点的定义， 有： P { − z α / 2 < X ¯ − μ σ / n < z α / 2 } = 1 − α (14) 若令 X ¯ − θ max σ / n = − z α / 2 ， X ¯ − θ max σ / n = z α / 2 ，可得 的一个置信水平为 1 − α 的区间为： ( X ¯ − σ n z α / 2 ， X ¯ + σ n z α / 2 ) (15) 于是可得广东省在99%置信水平的条件下， μ 的置信区间为(−5.6501， 3.6775)，解得最低的备付金额为5.65亿元。 其他城市的最低的备付金额依照此方法依次计算，计算结果列入总表。另外，部分省市的正态检验函数图像和拟合正态分布图像在参考文献 [ 4 ] 中有体现。 6.5. 问题五的求解 经过以上贷款规模的分配，可知在不考虑其他因素的条件下全行增量存贷款 利息净收入达到最大。但现实中往往还要受到很多其他因素的影响，为了更好的 帮助该银行的分配与决策，现引入某地区不良贷款规模、国际政策导向以及平衡 区域化差异顺应相应国家政策等因素来对模型进行改进。 假设某地区的不良贷款规模占总贷款量的比值为u，则u值越大说明该地区的信用等级越低。对于一些u值较大的省份，要慎重的选择给与他们贷款或者相应的减少贷款量。经过查阅数据显示不良贷款率区间散布：9省市不良贷款率超越2%内蒙古是不良贷款率最高的省份，高达3.97%；福建、浙江、山西、山东、云南、广西、江西和四川的不良贷款率也在2%以上；18省市不良贷款率超越2%除上述银行，不良贷款率较高的省份还有陕西、青海、安徽、黑龙江、湖南、辽宁等，不良率均在1.6%以上；4省市不良贷款率超越2%西藏区域2015年的不良率最低，为0.23%，此外，海南、北京和重庆的不良贷款率别离为0.69%、0.84%和0.99%。因此在2018年可对于一些不良贷款率值较大的省份，要慎重的选择给与他们贷款或者相应的减少贷款量。31家省市商业银行不良贷款率(2016~2017年)见表8。 Table 8 Non-performing loan ratio ranking of 31 provincial and municipal commercial Banks (2016-2017) [6 地区 2017年末(%) 2016年末(%) 不良率变动 广东 1.70 1.90 -0.20 江苏 1.30 1.41 -0.11 山东 2.52 2.10 0.42 浙江 1.84 2.17 -0.53 河南 2.49 2.90 -0.41 四川 2.61 2.52 0.09 湖北 1.56 1.72 -0.16 河北 2.29 2.20 0.09 湖南 --- 1.9 --- 福建 1.93 2.53 -0.60 上海 0.57 0.68 -0.11 北京 0.37 0.60 -0.23 安徽 1.81 1.50 0.25 辽宁 3.69 2.96 0.73 陕西 1.95 2.52 -0.57 内蒙古 3.47 3.47 0.00 江西 2.00 2.20 -0.20 广西 1.70 1.90 -0.20 天津 1.97 1.75 0.22 重庆 1.16 1.14 0.02 黑龙江 3.32 3.46 0.40 吉林 4.31 3.85 0.46 云南 3.35 2.95 0.40 山西 3.50 4.50 -1.00 贵州 2.63 1.86 0.77 新疆 1.42 1.49 -0.07 甘肃 3.51 2.03 1.48 海南 1.50 1.40 0.10 宁夏 1.89 1.78 0.11 青海 2.70 2.10 0.60 西藏 0.33 0.30 0.03 表8. 31家省市商业银行不良贷款率 [ 6 ] (2016~2017年) 若某地区国际政策导向较好，则即便该地区存款较少，也可以加大对该地区的贷款投放量，为未来谋得更好的发展。如一带一路沿线省份(新疆、西藏、贵州、云南、黑龙江、海南、甘肃和内蒙古等)。若某地区由于区域化差异致使该地区较为落后存款量较少，但又由于国家的战略要求要大力发展该地区，则应加大对该地区的贷款投放量，帮助该地区发展。如国家的西部大开发战略，中部崛起战略等。