DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 3. 举例应用 例3.1：考虑下面的系统 x ′ ( t ) = − ( 16 + 1 100 sin 2 ( t ) ) x ( t ) 12 + 1 100 sin 2 ( t ) + x ( t ) + 80 + cos 2 ( t ) 100 ∫ 0 1 e s x ( t − s ) e − x ( t − s ) d s     + 80 + cos 2 ( 2 t ) 100 ∫ 0 1 e s x ( t − s ) e − x ( t − s ) d s 由上式可知， a ( t ) = 16 + 1 100 sin 2 ( t ) ， b ( t ) = 12 + 1 100 sin 2 ( t ) ， β 1 ( t ) = 80 + cos 2 ( t ) 100 ， β 2 ( t ) = 80 + cos 2 ( 2 t ) 100 ， σ 1 ( t ) = σ 2 ( t ) = 1 ， K 1 ( s ) = K 2 ( s ) = e s 。 则 r = 1 ， a + = 16.01 ， a − = 16 ， b + = 12.01 ， b − = 12 ， β 1 + = β 2 + = 4 5 ， β 1 − = β 2 − = 81 100 。 取 K = 0.9 ， λ = 0.4 ， μ = 0.94 ，由计算可知， k ≈ 0.72154 ， k ˜ ≈ 1.34228 。 sup t ∈ R ∑ j = 1 m β j ( t ) ( b ( t ) + K ) a ( t ) K e ∫ 0 σ j ( t ) K j ( s ) d s = sup t ∈ R { 80 + cos 2 ( t ) 100 ( 12 + 1 100 sin 2 ( t ) + 9 10 ) 16 + 1 100 sin 2 ( t ) 9 10 e ∫ 0 1 e s d s + 80 + cos 2 ( 2 t ) 100 ( 12 + 1 100 sin 2 ( t ) + 9 10 ) 16 + 1 100 sin 2 ( t ) 9 10 e ∫ 0 1 e s d s } < 0.54 < 1 inf t ∈ R ∑ j = 1 m β j ( t ) b ( t ) a ( t ) e k ∫ 0 σ j ( t ) K j ( s ) d s = inf t ∈ R { 80 + cos 2 ( t ) 100 ( 12 + 1 100 sin 2 ( t ) ) ( 16 + 1 100 sin 2 ( t ) ) e k ∫ 0 1 e s d s + 80 + cos 2 ( 2 t ) 100 ( 12 + 1 100 sin 2 ( t ) ) ( 16 + 1 100 sin 2 ( t ) ) e k ∫ 0 1 e s d s } > 1.07 > 1 sup t ∈ R { ∑ j = 1 m β j ( t ) ( b ( t ) + K ) 2 a ( t ) b ( t ) e 2 ∫ 0 σ j ( t ) K j ( s ) e s d s } = sup t ∈ R { ( 80 + cos 2 ( t ) 100 + 80 + cos 2 ( 2 t ) 100 ) ( 12 + 1 100 sin 2 ( t ) + 9 10 ) 2 ( ( 16 + 1 100 sin 2 ( t ) ) ( 12 + 1 100 sin 2 ( t ) ) − 2 5 ( 12 + 1 100 sin 2 ( t ) + 9 10 ) 2 ) e 2 ∫ 0 1 e 2 s d s } < 0.94 < 1 综上，满足定理2.1的全部条件，所以上述系统存在唯一的全局指数稳定的正2π-周期解。
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user: 摘 要 Boosting是十分有效的序列集成算法，在实践中有着广泛的应用。本文着重研究的XGBoost算法针对快速并行树结构进行了优化，并且在分布环境下容错，这使得它可以精确快速处理亿级数据、给出可靠的结果。本文分别通过模拟分析和实证分析，对比GBDT和RF算法验证了XGBoost的优良特性。 关键词 :XGBoost， GBDT， RF Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 机器学习已经被广泛应用于解决各种各样的现实问题，由于现实问题往往都十分的复杂，因此仅仅用一个单一的学习器或模型得到的结果往往不尽如人意。实践证明，集成学习相较于单一学习器往往能得到更为准确的结果。所谓集成学习，就是通过组合多个学习器以期得到一个更好更全面的学习器。集成方法可以分为两类：一是并行集成方法(Bagging)，其中参与训练的基学习器并行生成，并行集成方法的原理是利用基学习器之间的独立性，通过平均可以显著降低错误。二是序列集成方法(Boosting)，其中参与训练的基学习器按照顺序生成，序列集成方法的原理是利用基学习器之间的依赖关系，通过对之前训练中错误标记的样本赋值较高的权重，可以提高整体的预测效果。从偏差方差分解角度看，Bagging主要关注降低方差，Boosting主要关注降低方差。本文主要研究Boosting相关方法及应用。 Schapire [ 1 ] 于1990年对“弱学习是否等价于强学习”这个理论问题给出构造性证明，这也是最初的Boosting算法。一年后，Schapire提出了一种更为高效的Boosting算法，但这两种算法都需要知道弱学习器的学习正确率的下限，难以应用实际问题。1997年，Schapire [ 2 ] 提出了AdaBoost算法，能够更好地利用弱学习器的优势，同时也摆脱了对弱学习器先验知识的依赖。AdaBoost算法的很多变体都是对损失函数做了改变，比如LogitBoost考虑了log损失函数、L2Boost考虑L2损失函数等。2001年，Freund [ 3 ] 将梯度下降的思想引入Boosting算法，提出了Gradient Boosting算法，其思想在函数空间以负的梯度方向优化损失函数，可以认为是AdaBoost的推广。 然而，现有的树模型Boosting算法仍局限于计算百万量级的数据，尽管已有一些关于如何并行算法的研究，但是关于同时优化系统和算法使之能用于计算亿级数据的研究很少。本文主要研究的XGBoost正是这样一种可以用于处理亿级数据可靠的机器学习方法。 本文分为五个部分：第一节引言部分简单介绍了Boosting及相关的研究进展；第二节简单概括了Boosting的基本思想，详细说明XGBboost的原理及改进优化之处；第三节详细说明XGBoost求解的基本算法；第四节模拟分析，把XGBoost用于模拟数据并于GBDT、RF进行比较分析；第五节实证分析，把XGBoost用于真实数据并评价其效果。
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user: 2. Boosting 2.1. Boosting Boosting分类器 [ 4 ] 属于集成学习模型，它基本思想是把多个“弱”分类器结合成一个“强”分类器，所谓的“弱”分类器是指错误率仅仅只比随意猜测低一点的分类器，也就是说将许多分类准确率较低的分类器组合起来，成为一个准确率很高的分类器，个体分类器间存在强依赖关系，意思是说每次迭代生成的新的分类器都是在上一个分类器的基础上生成的。通常分类器采用分类回归决策树，每次生成新的决策树时，根据已有决策树的分类效果对样本分布进行调整，给分对的样本较小的权重、给分错的样本较大的权重，使得之前分错的样本在后续得到更多的关注，然后基于调整后的样本分布来训练生成下一个新的决策树。Boosting最初是为解决分类问题而提出的，现在也可以用于解决回归问题。 2.2. XGBoost 与传统Boosting生成新决策树时对分类正确、错误的样本进行加权有着很大的区别，Friedman提出的GBDT在生成每一个决策树是采用梯度下降的思想，即每一次的生成新的决策树是为了减少上一次的残差，通过在残差减少的梯度方向上建立一个新的决策树来进一步消除残差。 陈天奇 [ 5 ] 提出的集成学习算法XGBoost (eXtreme Gradient Boost)在Gradient Boost的基础上进行了改进，在损失函数中用二次泰勒展开、增加了正则化项，使得模型更简单、减小过拟合的可能。XGBoost能自动利用CPU的多线程进行并行，同时优化了算法、能分布式处理高维稀疏特征，使之更精确、计算速度可以比同类算法快十倍以上、且具有广泛适用性。 2.3. XGBoost原理 对于有n个观测m个特征的数据集 D = { ( x i ， y i ) } ( | D | = n ， x i ∈ ℝ m ， y i ∈ ℝ ) ，预测结果是由K个决策树加合模型得到的 y ^ i = ϕ ( x i ) = ∑ k = 1 K f k ( x i ) ， f k ∈ F (1) 其中 F = { f ( x ) = ω q ( x ) } ( q : ℝ m → T ， ω ∈ ℝ T ) 为决策树空间，q代表每棵树的结构，T为叶节点数， ω 为权重。可以得到正则化损失函数 L ( ϕ ) = ∑ i l ( y ^ i ， y i ) + ∑ k Ω (fk) Ω ( f ) = γ T + 1 2 λ ‖ ω ‖ 2 (2) 其中， Ω 为惩罚项控制模型的复杂度，同时使 ω 更光滑从而避免过拟合。如果是回归问题，损失函数l通常可以用平方误差 ( y − y ^ ) 2 或绝对误差 | y − y ^ | ；如果是分类问题即 y i ∈ { − 1 ， 1 } ，损失函数l可以是指数损失准则 [ 6 ] e − y y ^ ，或者负二项对数似然函数 [ 7 ] log ( 1 + e − 2 y y ^ ) 。类似的这种正则化方法已经被用于正则化贪心森林(RGF) [ 8 ] 。通过最小化正则化损失函数(2)得到最优参数 P * ，继而可以得到既简单又精确的模型 f * ( x ) ，即 P * = arg min P L (ϕ) f * ( x ) = f ( x ， P * ) 除了在损失函数中增加正则化项以外，还可以采用其他两种方法以避免过拟合。其一是收缩方法 [ 9 ] ，与随机优化中的学习率类似，收缩减少了每棵树的影响，并为将来的树留出改进模型的空间；其二是列(特征)子抽样，这一方法已被用于随机森林 [ 10 ] 中，在实际应用中，列子抽样避免过拟合的效果要比行子抽样的效果好，同时也能提高计算速度。
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user: 3. 基本算法 显然，无法直接通过运算计算出 f * ( x ) 的解，因此就需要用到优化的方法。上一节中已经提到 f ( x ) 为决策树模型，给出权重 和树结构q即可确定一颗决策树，而树结构q实质上就是划分分裂节点的问题，因而求解 f * ( x ) 可以转化成寻找最优权重 ω * 和划分分裂节点的问题。具体过程如下： 设 y ^ i ( t ) 为第i个实例在第t次迭代时的预测值，贪心的增加 f t 使得能最大程度的改善模型，于是要最小化如下损失函数 L ( t ) = ∑ i = 1 n l ( y i ， y ^ i ( t − 1 ) + f t ( x i ) ) + Ω ( f t ) (3) 用泰勒二次展开来估计，得到近似损失函数 L ( t ) ≅ ∑ i = 1 n [ l ( y i ， y ^ i ( t − 1 ) ) + g i f t ( x i ) + 1 2 h i f t 2 ( x i ) ] + Ω ( f t ) (4) 其中， g i = ∂ y ^ i ( t − 1 ) l ( y i ， y ^ i ( t − 1 ) ) ， h i = ∂ y ^ i ( t − 1 ) 2 l ( y i ， y ^ i ( t − 1 ) ) 为梯度。将常数项去掉，得到在第t次迭代时简化的损失函数 L ˜ ( t ) = ∑ i = 1 n [ g i f t ( x i ) + 1 2 h i f t 2 ( x i ) ] + Ω ( f t ) (5) 令 I j = { i | q ( x i ) = j } 为叶节点的实例集。将(5)中 Ω 展开得到 L ˜ ( t ) = ∑ i = 1 n [ g i f t ( x i ) + 1 2 h i f t 2 ( x i ) ] + γ T + 1 2 λ ∑ j = 1 T   ω j 2 = ∑ j = 1 T [ ( ∑ i ∈ I j g i ) ω j + 1 2 ( ∑ i ∈ I j h i + λ ) ω j 2 ] + γ T (6) 固定 q ( x ) 可以得到叶节点j的最优 ω j * ω j * = − ∑ i ∈ I j   g i ∑ i ∈ I j   h i + λ (7) 将(7)代入(6)得 L ˜ ( t ) ( q ) = − 1 2 ∑ j = 1 T ( ∑ i ∈ I j   g i ) 2 ∑ i ∈ I j   h i + λ + γ T (8) (8)可用于评价一棵树结构q的好坏。假设分裂后分别分到左和右的实例集为 I L 和 I R ，令 I = I L + I R ，可以得到分裂减少的损失 L s p l i t = 1 2 [ ∑ j = 1 T ( ∑ i ∈ I L   g i ) 2 ∑ i ∈ I L   h i + λ + ∑ j = 1 T ( ∑ i ∈ I R   g i ) 2 ∑ i ∈ I R   h i + λ − ∑ j = 1 T ( ∑ i ∈ I   g i ) 2 ∑ i ∈ I   h i + λ ] − γ (9) 通常用贪心算法找到的使 L s p l i t 最大的划分节点，即为要寻找寻找最优分裂节点。
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user: 4. 模拟分析 本节通过模拟数据验证XGBoost在大数据量下的计算快、预测结果精确的特点。同时，也引入GBDT(梯度决策树)和RF(随机森林)两种算法与XGBoost进行比较，其中GBDT是上文提到的将梯度下降算法与CART决策树相结合的一种Boosting算法，而RF是将随机选择特征引入CART决策树生成过 程的优化的Bagging算法。所有的模拟计算均采用R语言进行。假设设计矩阵 X n × p 是由p个独立生成的服从 N ( 0 ， 1 ) 的 X 1 ， X 2 ， ⋯ ， X p 组成，通过逻辑变换 π = e X β + ε 1 + e X β + ε 得到概率 π ，其中 β ~ N ( 0 ， 1 ) ， ε ~ N ( 0 ， 1 ) 。 π 大于0.5将对应标签记为1， π 小于0.5则记为0。 4.1. 模型评价依据 关于模型效果的评价，主要考虑两个方面： 1) 模型训练时间。模型训练时间或者运行时间越短，说明该算法收敛速度越快、高效。反之则说明收敛速度慢。 2) 预测的准确性。为了评价模型预测结果，采用错误率作为评价标准： e r r = 1 n ∑ i = 1 n I ( y i ≠ y ^ i ) 其中n为观测数， y i 为真实结果， y ^ i 为模型预测结果，I为示性函数，将计算得出的err作为错误率。显然，err越小意味着该模型预测结果越准确。 4.2. 结果分析 为保证结果的可比性，调节使三种算法的参数尽量保持一致，得到三组结果如下表1： Table 1 Simulation result 模型 运行时长/s 错误率 XGBoost 0.251 0.1688 GBDT 0.465 0.5071 RF 17.487 0.4138 表1. 模拟数据结果 结果表明，XGBoost在模拟数据上的表现明显优于GBDT和RF。不仅模型训练时间最短，预测结果也是最精确的。
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user: 5. 实证分析 5.1. 数据来源 所用的数据是阿里云天池大赛提供的优惠券使用预测数据集。该数据提供了用户在2016年1月1日至2016年6月30日之间真实线上线下消费行为，以及用户在2016年7月领取优惠券后15天以内的使用情况。共有三个数据集(表2)： Table 2 Dataset informatio 数据集 观测数 变量数 Offline_train 1754884 7 Offline_test 113640 6 On_line_train 11429826 7 表2. 数据集信息 本节用到是Offline_train数据集中2016年4月14日至2016年6月15日的384，627条数据。原始数据中包含7个特征，具体如下表3。 5.2. 特征工程 由于原始数据其特征的复杂性与特殊性，无法直接用于建模。因此为了最大程度地提取有效信息以 Table 3 Data informatio Field Description User_id 用户ID Merchant_id 商户ID Coupon_id 优惠券ID：null表示无优惠券消费 Discount_rate 优惠率：折扣率或者满减 Distance 用户经常活动的地点离该商铺的最近门店距离 Date_received 领取优惠券日期 Date 消费日期 表3.数据信息 供算法和模型使用，需进行特征工程的步骤。所谓的特征工程指的是把原始数据转变为模型的训练数据的过程，它的目的就是获取更好的训练数据特征，使得机器学习模型的性能得到提升。 本节在特征构建过程中主要用了两类方法： 1) 非数值型变量处理，比如“Date”有无日期转化为标签消费券核销或消费券未核销，根据“Date”和“Date_received”计算领券日期与消费日期相差的天数等。 2) 属性分割和结合的方法，组合二个、三个不同的属性构造新的特征，从而增加特征的复杂度使之能够解决复杂的问题。比如“Discount_rate”可以拆分为该店有满减活动或者打折活动，根据“Date”和“Coupon_id”可以计算出每种优惠券的核销率等。 主要思路是从五个角度分别提取特征，即从“商家”、“用户”、“优惠券”、“商家和用户”，“其他”这五个角度分别进行属性处理、组合与分割，最后再经过筛选得出50个用于建模的特征。 5.3. 模型构建 为了预测用户领取优惠券以后15以内的消费情况，将这384，627条数据、50个特征用XGBoost进行训练。首先，数据划分为训练集与测试集两部分以供训练模型和调参，其中训练集占70%，测试集占30%。然后，根据第2、3两节中的原理和算法进行模型训练。 5.4. 结果分析 为保证结果的可比性，使三种算法的参数尽量保持一致，得到三组结果如下表4： Table 4 Coupon data result 模型 运行时长/s 错误率 XGBoost 6.703 0.0784 GBDT 15.867 0.0894 RF 1322.855 0.0801 表4. 优惠券数据结果 结果表明，无论是从运行时长还是预测结果的准确性来看，XGBoost的表现均明显优于其他两种模型。
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user: 6. 结语 本文首先概述了XGBoost的基本原理和算法，以及相关优化改进之处，使之成为更为高效、精确的机器学习方法。然后通过随机模拟将XGBoost、GBDT、RF在模拟数据上的表现进行对比，验证了上述优点。最后用阿里天池提供的真实数据，对数据进行处理和特征工程后，分别用XGBoost、GBDT、RF建模并比较三者在运行时间、预测精确性上的表现，结果表明XGBoost可以在最短的时间内给出最精确的预测结果。综合来看，XGBoost在大样本且数据稀疏的情况下有十分优秀的表现。但是，本文没有继续对模型进行优化，未来可以进一步改进模型或者通过模型平均的方法来改进预测精度。
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user: 致 谢 首先，感谢我的导师徐礼文老师在我的写作过程中多加提点。然后，要感谢我的师姐以及同学在我的学习过程中给予了我莫大的帮助。最后，感谢我的父母给予我生活和精神上的支持。
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user: 摘 要 基于利用生态学理论研究企业竞争的模型和方法，本文通过改进LV模型，研究区域物流运输系统中的车辆竞争问题。首先，我们以两家实力相当的运输车队为研究对象，建立了车辆动态竞争模型。其次，根据对平衡点的类型分析，得出两家车队的数量变化规律。由于竞争系统的扰动，我们得到了一个稳定的极限环，并对极限环的产生做出了合理解释。本文利用数值模拟对模型进行检验，保证了模型的合理性。最后，结合社会经济发展规律，对区域物流中运输车队的发展做出相关判断和预测。 关键词 :车辆动态竞争系统，模型，动力学分析，极限环 Copyright © 2019 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 随着现代物流的蓬勃发展，物流运输问题逐渐成为了学术界的热点问题。在区域物流运输中，物流运输方式以卡车运输为主，在争抢客户和竞争资源时运输车队间产生了激烈竞争，因此研究车辆动态竞争系统显得尤为重要。由于车队服务对象不固定，不再是一家物流企业，而是同时服务于多家物流公司，在研究车辆动态竞争系统中，发现该系统与生物种群竞争关系有相似之处，从而进一步揭示了生物体的研究为经济社会发展的研究提供了科学方法。 文献 [ 1 ] 中针对两家实力相当的企业，建立了具有下临界点的企业竞争模型，考虑到企业产出水平具有最低限度，一旦低于该水平，企业将无法生存下去，并且企业还受到最大容纳量和经济社会环境的制约。在文献 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] 中，都对物流运输系统以及车辆路径进行了动力学的研究，但仍有可以改进物流运输以及车辆调度的地方。在文献 [ 5 ] 中，作者给出一类企业竞争模型的分析方法，通过微分方程平衡点分析的方法给出可靠性的结论。类比于企业竞争模型，这些因素也同样应用到车辆动态竞争系统中来。本文将从两个物流运输车队之间的竞争入手，运用所学的微分方程知识，在动力学的视角下研究车辆运输系统的竞争状况。
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user: 2. 车辆动态竞争系统模型的构建 20世纪20年代，意大利生物学家U. D’Ancona在研究鱼类变化规律时，得到了第一次世界大战期间意大利Finme港收购站的软骨食肉鱼收购量的数据，并拿去请教了当时的同事，数学家V. Volterra。在假设种群数量的变化只依赖于两个种群的规模，不受其他种群和环境状态的影响的条件下，Volterra以此得到了捕食种群与食饵种群相互作用的数学模型，之后又得到了两种群相互作用的Lotka-Volterra模型，其一般形式为： { d x d t = x ( a 1 + b 1 x + c 1 y ) d y d t = y ( a 2 + b 2 x + c 2 y ) ， (2.1) 其中，x，y的系数都是常数， a 1 和 a 2 分别表示两种群的内禀增长率； b 1 和 c 2 分别反映两种群的密度制约因素，称为种内作用系数； c 1 和 b 2 分别表示两种群相互作用的因素，称为种间作用系数 [ 6 ] 。 鉴于上述模型可以用来描述种群的捕食与被捕食、竞争和互惠关系，但车辆动态竞争系统处于动态的变化中，在自身的发展和竞争中还受到经济等客观因素的制约，L-V模型的理论和方法不能满足研究的现实需要。因此，本文在改进Lotka-Volterra模型的基础上，首先讨论两家物流运输车队在发展初期的竞争关系，先做出以下假设： 设x和y分别代表两个车队进行物流运输服务的车辆数，是关于时间t的函数，假设随着经济社会的发展，在相当长的一段时间内，两家车队服务车辆的数量是逐渐上升的，并假设 r 1 和 r 2 分别是两家运输车队车辆使用数的增长率，考虑到区域物流货物的有限存储量，令M和N分别为区域物流运输中车辆的最大容纳量(饱和度)，不妨假设 M > N 。由于物流运输是多家车队的博弈，在两家车辆竞争过程中，双方由于自身经济的困难限制了自身的发展，为对方提供了额外的竞争空间，设x和y失去的运输服务数量分别为 − k 1 y 和 − k 2 x ，由于两家是竞争关系，假设两家车队x和y的竞争系数分别为 − l 1 x y 和 − l 2 x y ，这里 l 1 = r 1 M ， l 2 = r 2 N ，因为我们主要研究的是两家车队的竞争，所以在发展初期两家的竞争更多地以扩大自己的队伍为主，两家运输车队的车辆服务数量均有所增加，同时，双方在发展中也相互抗衡。由于问题的实际背景，我们仅在 R + 2 = { ( x ， y ) | x ≥ 0 ， y ≥ 0 } 内讨论该问题。因此，建立了如下的车辆竞争动态系统： { d x d t = r 1 x ( 1 − x M ) − l 1 x y − k 1 y d y d t = r 2 y ( 1 − y N ) − l 2 x y − k 2 x ， (2.2) 这里 r 1 、 r 2 、 l 1 、 l 2 、 k 1 、 k 2 均大于0。
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user: 3. 车辆动态竞争系统平衡点分析 我们已经建立了车辆动态竞争模型，接下来进一步探讨模型的平衡点及其稳定性的情况，尝试揭示出车辆竞争关系间的内在作用机理。首先，将系统(3.2)变形为： { d x d t = r 1 x − k 1 y − r 1 x 2 M − r 1 M x y d y d t = − k 2 x + r 2 y − r 2 y 2 N − r 2 x y N ， (3.1) 令 { r 1 x − k 1 y − r 1 x 2 M − r 1 x y M = 0 − k 2 x + r 2 y − r 2 y 2 N − r 2 x y N = 0 ， (3.2) 解得系统(3.2)的平衡点为 O ( 0 ， 0 ) ， A ( M ， 0 ) ， B ( 0 ， N ) ，下面对三个平衡点进行动力学性质分析。 3.1. 平衡点为原点的动力学分析 当平衡点为 O ( 0 ， 0 ) 时，则(3.1)的近似线性系统为： { d x d t = r 1 x − k 1 y d y d t = r 2 y − k 2 x 。 (3.3) 因为 r 1 ， r 2 ， k 1 和 k 2 均为正数，我们假定系数矩阵为非奇异矩阵，则该系统的特征方程为： ( λ − r 1 ) ( λ − r 2 ) − k 1 k 2 = 0 。记 Δ = ( r 1 + r 2 ) 2 − 4 ( r 1 r 2 − k 1 k 2 ) = ( r 1 − r 2 ) 2 + 4 k 1 k 2 > 0 ，那么，特征根为： λ 1 = r 1 + r 2 + ( r 1 − r 2 ) 2 + 4 k 1 k 2 2 ， λ 2 = r 1 + r 2 − ( r 1 − r 2 ) 2 + 4 k 1 k 2 2 ， λ 1 > 0 是显然成立的，那么我们只需对 λ 2 讨论即可。 当 r 1 r 2 > k 1 k 2 时， λ 2 > 0 ，此时 λ 1 > λ 2 > 0 ，平衡点 O ( 0 ， 0 ) 为不稳定结点，此时两家车队的服务数量都在增加，说明在两家车队在竞争中相互促进发展。当 r 1 r 2 < k 1 k 2 时，说明车辆运输企业在发展到一定阶段时，自身的增长率远小于竞争系数，主要通过竞争来壮大自己的实力和服务队伍。因此 λ 2 < 0 < λ 1 ，平衡点变为鞍点，此时一方物流运输车队服务数量的增加，将会导致另一方服务数量的减少，呈现出一方吞并的发展趋势。 3.2. 平衡点不为原点时的动力学分析 [ 7 ] 记 X ( x ， y ) = r 1 x ( 1 − x M ) − k 1 y − r 1 M x y ， Y ( x ， y ) = r 2 y ( 1 − y N ) − k 2 x − r 2 N x y 。那么， ∂ X ∂ x = r 1 − 2 r 1 M x − r 1 M y ， ∂ X ∂ y = − k 1 − r 1 x M ， ∂ Y ∂ x = − k 2 − r 2 N y ， ∂ Y ∂ y = r 2 − 2 r 2 y N − r 2 x N 。 1) 当平衡点为 A ( M ， 0 ) 时，系统(3.1)的线性近似系统的系数矩阵为 A 1 = ( − r 1 − k 2 − k 1 − r 1 r 2 ( 1 − M / N ) ) ， 特征方程为 λ 2 + ( r 1 − r 2 + r 2 M / N ) λ − r 1 r 2 ( 1 − M / N ) − k 2 ( r 1 + k 1 ) = 0 。 记 Δ = ( r 1 + r 2 ) 2 + r 2 M N ( r 2 M N − 2 r 1 − 2 r 2 ) + 4 k 2 ( r 1 + k 1 ) 。下面对平衡点的类型进行分析： ① 当 Δ > 0 时，此时有两个互异的特征根 μ 1 ， μ 2 ，即 μ 1 = ( − r 2 M / N + r 2 − r 1 ) + Δ 2 ， μ 2 = ( − r 2 M / N + r 2 − r 1 ) − Δ 2 。 这里 μ 2 < 0 < μ 1 ，该平衡点为鞍点，此时，两家车队中一方的服务车辆数逐渐减少，另一方的服务数量在缓慢增加，逐渐趋于饱和状态。 ② 当 Δ = 0 时，方程的特征根为两个相等的实根 μ 1 = μ 2 = − r 2 M / N + r 2 − r 1 2 < 0 。此时 A ( M ， 0 ) 为稳定的临界结点，对应的轨线都趋近于 A ( M ， 0 ) ，说明竞争中x处于优势状态，y则处于劣势。 ③ 当 Δ < 0 时，方程的特征根 η 1 ， η 2 为共轭虚根，则 η 1 = ( − r 2 M / N + r 2 − r 1 ) + i − Δ 2 ， η 2 = ( − r 2 M / N + r 2 − r 1 ) − i − Δ 2 。 由于实部小于零，该平衡点为稳定焦点，当时间t趋于无穷大时，轨线趋近于 A ( M ， 0 ) 。 2) 当平衡点为 B ( 0 ， N ) 时，系统(3.1)线性近似系统的系数矩阵为： B 1 = ( r 1 ( 1 − N / M ) − k 2 − r 2 − k 1 − r 2 ) 。 特征方程为： λ 2 + ( r 2 − r 1 + r 1 N / M ) λ − r 1 r 2 ( 1 − N / M ) − k 1 ( k 2 + r 2 ) = 0 ，记 Δ = ( r 2 − r 1 + r 1 N / M ) 2 + 4 r 1 r 2 ( 1 − N / M ) + 4 k 1 k 2 。 由于 r 1 ， r 2 ， k 1 ， k 2 > 0 ， M > N ，所以这里 Δ > 0 ，并设两个特征根分别为 φ 1 ， φ 2 则可以得到 φ 1 = ( r 1 − r 2 − r 1 N / M ) + Δ 2 ， φ 2 = ( r 1 − r 2 − r 1 N / M ) − Δ 2 。 此时 φ 2 < 0 < φ 1 ， B ( 0 ， N ) 为鞍点，由鞍点附近的轨线知y的服务车辆数先趋近于N，随着竞争对手的进一步发展，y的数量会减少。
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user: 4. 车辆动态竞争系统中的扰动与极限环 4.1. 扰动的车辆竞争动力学模型 由于两家车队处于动态竞争系统中，车队的发展一方面受到对手的排斥作用，另一方面还受到经济社会发展因素的制约，自身也存在抑制因素，这使得不同的运输车队虽然发展不均衡，但是在竞争系统内部存在着稳定的作用机制。进一步考虑系统(2.2)。 当两家车队在进行激烈竞争时，双方的主要矛盾是争夺对方的市场占有量，此时双方的内禀增长率在竞争系统中大致相等，我们假设此时 r 1 = r 2 = h 。由于双方的竞争，车队拥有的数量难以达到环境容纳量，可以将M， N也在车辆动态竞争系统中忽略，将双方的竞争作用函数加以改进，得到如下的动力系统： { d x d t = h x − k y − m x ( x 2 + y 2 ) d y d t = k x + h y − m y ( x 2 + y 2 ) 。 (4.1) 这里 h ， k ， m > 0 。 利用前面平衡点分析的方法，我们可以得出原点O为系统(4.1)唯一的平衡点，并且该平衡点为不稳定的焦点，说明两家车队在激烈竞争时，原点附近的轨线为对数螺线族，并成逆时针方向远离原点。 若将系统(4.1)进一步表示为： { d x d t = − k y − m x ( x 2 + y 2 − h m ) d y d t = k x − m y ( x 2 + y 2 − h m ) 。 (4.2) 将方程(4.2)的第一个方程两端乘以x，第二个方程两端乘以y，然后两式相加得到 x d x d t + y d y d t = − m ( x 2 + y 2 ) ( x 2 + y 2 − h m ) 。 (4.3) 利用极坐标变换 x = r cos θ ， y = r sin θ ，由 x 2 + y 2 = r 2 得 d r d t = − m r ( r 2 − h m ) 。 (4.4) 其次，再将方程组(4.2)的第一个方程两端乘以y，第二个方程两端乘以x，然后两式相减，得到 y d x d t − x d y d t = − h ( x 2 + y 2 ) 。 (4.5) 由 θ = arctan y x ，对两边进行微分得到 d θ d t = k ，于是原方程(4.1)经变换化为 { d r d t = − m r ( r 2 − h m ) d θ d t = k 。 (4.6) 从而可以得出(4.6)式有两个特解： r = 0 ， r = h m 。其中 r = 0 对应系统(4.1)的平衡点，而 r = h m 对应系统(4.1)的一个周期解，它对应的闭轨线是以原点为中心，以 r = h m 为半径的圆 [ 8 ] 。 4.2. 极限环分析 在相平面上，以原点为圆心，任意作一个半径为r的圆，考察方程组通过这个圆上任一点 P ( r ， θ ) 的轨线的走向： 当 r = r 1 < h m 时， d r d t = − m r 1 ( r 1 2 − h m ) > 0 ，r是t的递增函数； d θ d t | θ = θ * = k > 0 ， θ 是t的递增函数。因此，随着t的增大，轨线按照逆时针方向从圆 r = r 1 上走出圆外。 当 r = r 2 > h m 时， d r d t = − m r 2 ( r 2 2 − h m ) < 0 ，r是t的递减函数； d θ d t | θ = θ * = k > 0 ， θ 是t的递增函数。因此，随着t的增大，轨线按逆时针方向从圆 r = r 2 上走进圆内。 综上所述得如下结论： ① 原方程组(4.2)有周期解： r = h m ， θ = k ( t − t 0 ) ( t > t 0 ) ； ② 闭轨线 r = h m 是孤立的，因而它是一个极限环； ③ 此极限环的内外侧轨线均逆时针趋近于它，因而是一个稳定的极限环 [ 9 ] 。 从而说明两家运输车队处于一个相对稳定的动态竞争环境中，双方的竞争虽然激烈，但增长率具有周期性分布的特点，双方经过一段时间的竞争，运输车辆数的增长稳定分布在极限环附近。在经济社会发展稳定的前提下，双方的竞争促进了彼此的发展。 4.3. 数值模拟 针对上面讨论的情形，参照文献 [ 10 ] ，我们根据当地车辆竞争系统中的情形，对系统中的参数进行赋值，设 k = 3 ， h = 2 ， m = 0.5 ，利用MATLAB软件做出了系统的轨线分布图，可以清楚地看到极限环内外侧的轨线分布情况，如图1、图2所示。 图1. 极限环外侧轨线分布图 图2. 极限环内侧轨线分布图 由图形可以看出，数值模拟的结果与前面讨论的情形一致，从而说明平衡点O是一个不稳定的焦点，当两家车队进行激烈竞争时，双方的相互对抗催生出一个极限环，两家车队在此极限环上共存，并一直展开竞争。并且根据轨线的分布情况我们得出该极限环是一个稳定的极限环，说明在激烈的车辆动态竞争系统中，两家车队存在长期的竞争并一直维持下去。
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user: 5. 结论 本文通过建立车辆动态竞争系统的动力学模型，分析得到了两家车队之间竞争的内在机理，运用微分方程定性理论，得出一些反映出车队发展前景的数学结论，对物流运输提供一些参考性的意见。 首先，两家物流运输公司在发展初期，主要受到经济社会发展水平和自身抑制因素的制约，双方的增长率会有所不同，当经济发展良好时，双方会抓住发展机遇，抢夺对方物流市场，并不断壮大成为有竞争力的运输公司。然而在区域物流中，允许物流运输车辆数的最大容纳量限制了车队不能无限制壮大，在发展后期，两家实力相当的运输车队展开竞争，主要以抢占对方的市场为主要竞争手段，从而出现了稳定极限环现象。在一段时间内，双方竞争一直存在，在自身发展的同时也推动了竞争对手的发展。 因此，车辆物流运输企业的发展主要依赖于自身的内禀增长率h和两者竞争的抑制系数m，当实力相当的两家企业尽可能地提高自身增长率和减少对手的牵制时，这样会实现极限环的跃升，极限环越大，对企业的竞争越有利，发展的空间也更加广阔。
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user: 摘 要 Jones多项式是纽结理论中重要的不变量之一。若两个链环投影图的Jones多项式的不同，则这两个投影图对应着不同的链环，这是研究纽结和链环分类问题的重要方法。Brunnian link是一类既特殊又简单的链环，本文研究一类特殊的Brunnian链 B ( c 1 ， c 2 ， ⋯ ， c n ) 环，本论文给出了 B ( c 1 ， c 2 ， ⋯ ， c n ) 的Jones多项式的计算公式。 关键词 :排叉结，琼斯多项式，拧数，Brunnian link Copyright © 2019 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 纽结理论是数学中拓扑学的一个分支 [ 1 ] ，纽结的等价分类问题在纽结领域中十分重要 [ 2 ] 。人们通过寻找纽结不变量来解决纽结的等价问题，常见的纽结不变量有三色性、交叉数、解结数、桥数、纽结多项式、纽结群等。 本文研究了一类特殊的Brunnian链环 B ( c 1 ， c 2 ， ⋯ ， c n ) ，并给出了这类链环的Jones多项式的计算公式。为实现 B ( c 1 ， c 2 ， ⋯ ， c n ) 的多Jones项式的计算，一方面，通过计算 B ( c 1 ) 、 B ( c 1 ， c 2 ) 的尖括号多项式，逐步递推进而得到 B ( c 1 ， c 2 ， ⋯ ， c n ) 尖括号多项式的计算公式。另一方面，通过对给定向的 B ( c 1 ， c 2 ， ⋯ ， c n ) 进行区域划分，用枚举法找到拧数的计算规律，进而给出了 B ( c 1 ， c 2 ， ⋯ ， c n ) 拧数的计算公式。结合以上两方面得出了 的Jones多项式的计算公式。 本文的创新之处在于对原有的连通和的定义进行推广，以特定的弧段去做连通，由 B ( 0 ) 构造 B ( 0 ， 0 ) ，再由 B ( 0 ， 0 ) 构造 B ( 0 ， 0 ， 0 ) ，进而可找到 B ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) 的计算规律，从而大大简化了计算过程。
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user: 2. 预备知识 2.1. 纽结及投影图 把嵌入到三维欧式空间 R 3 中或者球面 S 3 中的单位圆周 S 1 称为纽结，设K是 S 3 中的简单闭曲线，且 K ≅ S 1 ，称K是一个纽结 [ 3 ] 。 若给定纽结一个方向便可得到一个定向纽结。 选择一个恰当的平面，将三维空间中的纽结正则投影到平面上，且满足： ①只有有限多个交叉点； ②每个交叉点都是二重点； ③在每个二重点处，上下两线的投影都是互相穿越交叉的则称为纽结投影图。注意，平面的选择不同随之投影图不唯一。 2.2. 链环 将若干互不相交的圆周 S i 1 ( 1 ≤ i ≤ n ， n > 1 ) 嵌入到三维欧式空间 R 3 中或者球面 S 3 中，由这些圆周形成的空间图形称为链环，记为 L = K 1 ∪ K 2 ∪ ⋯ ∪ K n 。其中 K i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 称为L的一个分支，n为 链环的分支数 [ 4 ] 。 若通过和痕后所有的 K i 都是平凡纽结，则此时称L为平凡链环；若给定每个分支一个方向，便可得到一个定向链环。 2.3. Reidemeister Move (R变换) Reidemeister变换是改变纽结的正则投影图的三种方式，每一种都会改变交叉点之间的关系 [ 1 ] RI变换： RII变换： RIII变换： 纽结经过Reidemeister变换后纽结的拓扑性质不变，这是一个等价变换。虽然一个纽结有很多个投影图，但这些投影图之间是等价的。之后提到的有关纽结的投影图都指的是正则投影。一个投影图在等价意义下唯一确定一个纽结 [ 5 ] 。 2.4. 纽结连通和 设纽结 K 1 和 K 2 ，各取一个走向，将其放在一个平面的两侧，分别把它们的一小段(哪一小段均可)拽向分隔平面，在平面处接通使走向协调，便得到两个有向纽结的和，又称为连通和，记作 K 1 # K 2 . 2.5. 尖括号多项式 1) 介绍A通道、B通道： 对于上图的交叉点，其中，A通道：若由上行线到下行线逆时针旋转所经过的区域称为A通道，反之，B通道：若由上行线到下行线顺时针旋转所经过的区域称为B通道。 尖括号多项式满足如下的拆接关系： 2.6. 拧数 对于一个链环L的有向投影图，称全体交叉点的的+1和−1的总和为L的拧数。对于每一个交叉点处，有从上行线的箭头转到下行线的箭头的最小转角是逆时针记为+1；从上行线的箭头转到下行线的箭头的最小转角是顺时针记为−1 [ 3 ] 。 2.7. Jones多项式 设 是 S 3 中的定向环链。因此，有Jones多项式 V ( L ) 与之对应，且满足下列条件： 1) V ( L ) 是合痕不变量； 2)有拆接公式： t V ( L + ) + t − 1 V ( L − ) = ( t 1 2 − t − 1 2 ) V ( L 0 ) 。 3) V ( Ο ) = 1 。 在(2)式中 L + ， L − ， L 0 是三个只在一个交叉点不同的环链，也就是它们分别是正交叉点、负交叉点和保持定向的拆接。 2.8. 引理1 设 T ( s ) 是一个排叉结如下图，当s为奇数时， T ( s ) 是一个纽结，当s为偶数时， T ( s ) 是一个两分支的链环，并且有 ε ( s ) = s | s | 则 [ 4 ] ： 〈 T ( s ) 〉 = [ ∑ i = 1 | s | − 1 A − ε ( s ) ( 2 − i ) ( − A 3 ) ε ( s ) i − s ] − A s + 2 ε (s) 2.9. 引理2 定义 T ( Z ) 是一个如下图的排叉结，含 | Z | 个交叉点，由尖括号多项式的运算法则从最右面的交叉点开始打开可得 〈 T ( | Z | = n ) 〉 = ( − A 3 ) Z Z > 0 Z < 0 2.10. 引理3 定义具有 n ( n ∈ N ∗ ) 个半扭转的横向排列称为一个 c t ( 1 ≤ t ≤ n ) 。其中 c i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 表示 | c i | 个横向半扭转 [ 6 ] 。 当 c i > 0 时表示正的半扭转，当 c i < 0 时表示负的半扭转。 B ( c 1 ， c 2 ， ⋯ ， c n ) 如图所示。 当 c i = 0 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 时，此时 B ( c 1 ， c 2 ， ⋯ ， c n ) 变成 B ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) 。这时所有的半扭转消失，如图所示 [ 6 ] 。 当 n = 1 时， B ( c 1 ， c 2 ， ⋯ ， c n ) 变成 B ( c 1 ) ，是构成 B ( c 1 ， c 2 ， ⋯ ， c n ) 的单位元素，也可以理解为由 B ( 0 ) 加入 | c 1 | 个半扭转得到的，如图所示。
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user: 关于国内高校食堂设计的研究：文献综述 ——基于数学模型的食堂设计研究 高渝淳，尹楷，罗添，李阳，张慧 中国海洋大学，山东 青岛 收稿日期：2019
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user: 摘 要 目前国内高校的食堂设计模式大都相同，高校食堂由于其自身的性质与面向群体的特殊性，与普通餐厅有一定的差别。就餐时间集中、面向群体几乎都为大学生等特点使得在设计高校食堂时，要从不同层面仔细考量。本文就国内研究与此题有关的文献，综述在食堂设计方面需要考量的因素、存在的问题及目前已有的研究结果，对之进行相应的评述并就某些细节提出建议。 关键词 :高校食堂设计，排队论，最短路 Copyright © 2019 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 食堂是高校中非常重要的一个部门，目前国内高校发展模式大致相同，而国内外的各方面仍存在很大差异，国外能够借鉴的经验不多。国内高校需要从不同的角度来入手、发展和解决，而有了数学工具的帮助，这会使得设计方案更加科学，但目前而言还未有较为完整的设计、调整方案。 高校食堂要满足大学生这一广大青年群体的需求，必然要同时具备美观性与实用性。关于美观性和创新性，有许多高校建成了各种主题餐厅，环境十分怡人。但是在实用性方面，还存在很多问题，尤其是在提高就餐者的就餐感受方面，还有许多可以改进之处。 影响就餐感受的因素有很多，包括餐厅的自主特色服务创新、餐厅工作人员的素质、点餐过程是否快捷舒适、菜品是否能适应众多学生的口味以及是否能对就餐者的反馈做出快速应答等 [ 1 ] 。 值得一提的是，目前高校的食堂以两层建筑为主，因为两层建筑既能保证在就餐高峰期人流量的承载，也不会消耗太多成本。 食堂舒适度是食堂设计需要考量的最重要的因素，而食堂舒适度又可以细化为很多方面。目前对于食堂的设计，大多偏重于体验感与服务质量，较少从数学角度量化分析如何能够降低食堂的拥堵程度。目前与食堂规划有关的文章多集中在排队论与对函数的检验和对实际数据的模拟方面，较少研究规定面积的设计规划问题。
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user: 2. 原因 已有一些文献对食堂出现拥挤情况的原因做出了分析，可以主要概括为两类因素：服务与设施。服务包括卫生条件、服务人员素质与效率等；设施包括窗口设计、桌椅摆放是否合理，餐厅面积大小是否与在校人员数目相适应等。除此之外，就餐者个人的行为也对食堂的拥挤程度产生影响。影响因素很多，关于如何确定主要因素这一问题，已有文献使用ISM法进行处理 [ 2 ] ，分析食堂产生拥挤情况的原因，提出合理规划建议。
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user: 3. 起点：窗口–排队论 3.1. 基本模型 就餐过程包括排队过程、寻找座位的过程、就餐过程及离去。对食堂用数学方法进行整体规划主要从顾客就餐的两个大的步骤入手，其中之一是排队打饭过程，目前的研究表明：单队多服务台的服务效果要明显好于多个单队单服务台，但由于菜品各不相同，人力安排也有其限制等原因，食堂并不能完全采用单队多服务台的模式。单队单服务台的情况较为简单，本文主结合文献给出目前现有的队长无限制的单队多服务台的基本模型 [ 3 ] 。可以先应用队长无限制的模型看是否可以，再根据实际情况改变为队长有限制的模型。 此系统具有这样的特点：系统的服务速率与系统中的顾客数有关。当系统中的顾客数不大于服务台的个数，系统中的顾客全部在服务台中。而在现实情况中，用户在点餐完成后，即使顾客数并没有大于服务台的个数，也有可能需要在一旁等候取餐，而在这一模型中忽略了此种情况。 该模型中用到的几个字符与指标如下 L ：平均队长； L q ：平均等待队长； W ：平均逗留时间； W q ：平均等待时间； λ ：顾客到达的平均速率，即单位时间内平均到达的顾客数； 1 λ ：平均到达时间间隔； μ ：平均服务速率，即单位时间内服务完毕离去的顾客数； 1 μ ：平均服务时间； s ：系统中的服务台个数； ρ ：服务强度，即每个服务台单位时间内的平均服务时间，一般有 ρ = λ μ ； P n = P { N = n } ：稳态系统任一时刻状态n的概率；特别当 n = 0 时， ，即稳态系统所有服务台全部空闲的概率。 该系统的系统状态 0 ， 1 ， ⋯ ， s ， ⋯ ， n 的稳态概率方程为 λ P 0 = μ P 1 λ P 0 + 2 μ P 2 = ( λ + μ ) P 1 ⋮ λ P s − 1 + s μ P s + 1 = ( λ + s μ ) P s ⋮ λ P n − 1 + s μ P n + 1 = ( λ + s μ ) P n 解之得 P 0 = [ ( ∑ n = 0 s − 1 λ n μ n n ! ) + 1 s ! ( λ μ ) 5 ( 1 1 − ρ ) ] − 1 P n = { λ n μ s n ! P 0 ， 1 ≤ n ≤ s λ n μ s s ! s n − 1 P 0 ， n > s 随后可以得到M/M/s/∞的运行指标 L q = λ s ρ P 0 μ s s ! ( 1 − ρ ) 2 L = L q + λ μ W = L λ W q = L q λ 3.2. 实际应用情况 可以将排队模型对应到食堂的排队情况中，不同的情况对应着不同的模型。 排队过程主要是分为单服务台单队系统、多服务台单队系统、多服务台并联、多服务台串联等多种。各个高校的食堂情况大致属于这几种情况的组合，以中国海洋大学的食堂为例，包括几乎无差别的打饭窗口，以及位于同一层的、他人经营的各种外包风味窗口。与此同时，还有很多特别的餐饮(如：火锅)。 排队系统的多服务台单队模型被应用到很多领域，如医院或银行的叫号系统，实际上就是一种多服务台单队的模型 [ 4 ] [ 5 ] ，这实际上相当于食堂里有多人同时提供服务的一个窗口；而单服务台单队的模型相当于一个普通窗口。食堂中的情况目前普遍是这两种情况，或单一，或组合。
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user: 4. 终点：座位–最短路 二是打完饭菜寻找座位就餐的过程。这一过程可看做将不同的人向各个座位上分配的过程，像此类问题通常选择用最短路算法或网络流来解决，但食堂就餐过程又十分复杂，找到一个好的解决方案十分困难，其中不乏要考虑各个座椅的种类以及人们的个性需求，在座位充足的环境下，很少有人会选择已有他人的桌椅，而在一座难求的情形下，大家就会降低自己的要求，看到空位便会去就座。而除此之外，值得注意的是，人们在选择座位时，往往会根据自己心目中的倾向进行选择，而不是依据所规划出来的最短路算法进行选择。所以，对这一现象的研究不宜采用常规的方法，应当加以改进。同时，占座现象的存在也让人们的选择更加难以捉摸，也使得个体的行为更加复杂，在先去打饭和先去占座之间的权衡在座位不富裕的情况下也成为需要考虑的因素。 现下的规划算法有很多种，如Dijkstra算法、人工势场法、Floyd算法、鲁棒最短路算法、遗传算法、蚁群算法等。每一种路径规划算法都有自身的优缺点，适用的范围也不尽相同，以蚁群算法来说，餐厅问题中，就餐者本身自己做出了选择，规划者应当根据人群的选择来做出规划和改良，提出建议，而蚁群算法更倾向于给出一条最优路径。还有文献使用“ECRS四原则”及模特排时法对整个过程进行处理，主要是提高工作人员服务效率，从流程上入手分析，减少过程中的移动距离，从而减少时间 [ 6 ] 。目前解决此类问题最为普遍使用的是Dijkstra算法，但由于在食堂就餐活动的复杂性(如：排队系统同时输出多个就餐者，他们会同时选择就餐路径)，这些算法很难直接应用，要根据实际问题挑选最适当的算法并加以一定的改善才能解决好目标问题 [ 7 ] 。 4.1. 瓶颈路段 瓶颈路段的识别是解决食堂拥挤问题的重要一环。瓶颈路段的识别大都通过直接观察人流量的大小这一传统方法实现，但在面对复杂的问题时，可能也需要从其他角度重新考虑这一问题。一是可根据某路段所处位置的重要性来分析与判断，在食堂中可体现为进出口附近的路段以及餐具附近的路段等；二是，从路段的稳定性角度来考虑，即道路的鲁棒性，指道路受到干扰时对人流量的影响。基于后者，已经有文献提出了相应的算法。以上两点均可在识别并消除瓶颈路段时予以考量。识别瓶颈路段是解决食堂拥挤问题的一个重要研究方面，由于就餐者的自我选择，使得每一位就餐者都会在内心进行决策从而选择自己的行走路线，虽然单个个体的行为是难以确定的，但是可以寻找集体的共性，结合上述指标，从而找出容易发生堵塞的路段，对其进行优化。 4.2. 座位与窗口数量的匹配 同时从座位和窗口的匹配度也是需要关注的重点。在队长有限的情况下，可将队长人数的限制理解为顾客的最大容忍排队等待的平均队长窗口数，即可应用队长有限的模型计算出不同窗口数条件下的各项指标，对指标进行分析即可知道最佳的窗口数量，从而进行相应的调整。由于国家对高校的就餐位置的数目有一定的限制，所以可以通过调整窗口数量来实现效率的提高。 由文献 [ 8 ] 中知，设食堂中的系统有效服务窗口数为n，平均服务时间为t，食堂现有座位数为N，顾客平均就餐时间为T。把每个窗口合作为都看成2个独立的服务台，则每个窗口的服务速率是1/T，每个座位的人流速率是1/T，当系统处于稳定状态时，两处的流动速度应该相适应，即 n × ( 1 / t ) = N × ( 1 / T ) 通过这方面的考量和改进，可以使窗口数量与座位数量相匹配，使窗口和座位被充分利用。 4.3. 占座现象 对于占座的人和不占座的人，他们承担的成本是不同的。占座者要承担的成本包括在窗口打饭所需要的等待时间、用物品占座所导致的物品丢失的风险等。未占座者则要承担窗口打饭与寻找座位的时间成本与饭菜变凉这一影响就餐体验的因素。一般地，未占座者所承担的成本要高于占座者 [ 9 ] 。在寻找座位的过程中基本上不会出现几个就餐者端着盘子等待另一个就餐者吃完的排队现象。基于前人的研究，现已有几种在特定区域中搜寻空位的模型，在食堂寻找座位的时间与空座位的数量与就餐人员的到达率都有关系，根据食堂的现状，应当作出适当地改进并加以应用。
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user: 5. 其他角度 从学生角度进行对菜品选择的考量，定义排队等候的耐心值，前面的人多，就会缩减耐心值。设耐心值为m，前面每有一个人等待就减少一点耐心值，当耐心值为零时，等待者会离开此队伍。 若学生选多种菜品，假设学生对于每一个窗口的菜品无差异，且菜品对于学生而言的效用水平相同，即无差异曲线为斜向下方的曲线。 预算约束线为 y = b − x ，两者相切点即为最优的数量选择，在切点处 U 1 / P 1 = M U / P 2 即花在每一产品上的每一块钱效用都相等。学生用餐的效用等于用餐时拥有的效用 U 1 减去等待用餐时间内损失的效用 U 2 ，即 U = U 1 + U 2 。而等待时间内耐心值的降低会导致负效用的增加即U会减少， U 2 = m − k 1 × t ， k 1 是系数，t是时间，而时间又和排队人数相关，设人数为n，则消耗时间为 t = k 2 × n ， k 2 为系数，整理可得 U 2 = m − k 1 × k 2 × n ， U = U 1 + m − k 1 × k 2 × n = U 1 + m − k × n ， ( k = k 1 × k 2 ) 该系数取决于窗口的打饭效率和学生配合的效率(图1)。 图1. 示意图