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user: 3. 主要结果及其证明 对 ∀ k > 0 ，取 C ( I ， X ) 中非空有界闭凸集 Ω k = { x ∈ C ( I ， X ) | ‖ x ‖ C ≤ k } . 根据假设条件，对 ∀ x a ∈ X ，定义控制函数如下： u ( t ) = B * T q * ( a − t ) ( Γ 0 a ) − 1 P ( x ) ， (3) 其中 Γ 0 a = ∫ 0 a ( a − s ) q − 1 T q ( a − s ) B B * T q * ( a − s ) d s ， P ( x ) = x a − S q ( a ) ∫ 0 a g ( s ， x ( s ) ) d s − ∫ 0 a ( a − s ) q − 1 T q ( a − s ) f ( s ， x ( s ) ) d s . 引理3.1 对 ∀ γ > 0 及 ∀ x ∈ Ω k ，有 ‖ u ( t ) ‖ ≤ q M M B γ Γ ( 1 + q ) [ ‖ x a ‖ + a M k L 1 + a M sup t ∈ I ‖ g ( t ， 0 ) ‖ + a q M k Γ ( 1 + q ) ‖ ψ ‖ C ] ， 其中 M B = ‖ B ‖ 。 证明：利用引理2.1，引理2.3，以及假设条件(H 2 )，(H 3 )，通过直接计算即可得所求结论，因此我们在此省略细节。 如果 x ( t ; u ) 是控制系统(1)相应于控制函数u的mild解。则由定义2.4可知， x ( t ; u ) = S q ( t ) ∫ 0 a g ( s ， x ( s ) ) d s + ∫ 0 t ( t − s ) q − 1 T q ( t − s ) [ f ( s ， x ( s ) ) + B u ( s ) ] d s ， t ∈ I . 当 t = a 时，由(3)式，有 x ( a ) = x ( a ; u ) = S q ( a ) ∫ 0 a g ( s ， x ( s ) ) d s + ∫ 0 a ( a − s ) q − 1 T q ( a − s ) [ f ( s ， x ( s ) ) + B u ( s ) ] d s = S q ( a ) ∫ 0 a g ( s ， x ( s ) ) d s + ∫ 0 a ( a − s ) q − 1 T q ( a − s ) f ( s ， x ( s ) ) d s         + ∫ 0 a ( a − s ) q − 1 T q ( a − s ) B u ( s ) d s = S q ( a ) ∫ 0 a g ( s ， x ( s ) ) d s + ∫ 0 a ( a − s ) q − 1 T q ( a − s ) f ( s ， x ( s ) ) d s         + ∫ 0 a ( a − s ) q − 1 T q ( a − s ) B B * T q * ( a − s ) ( Γ 0 a ) − 1 P ( x ) d s = x a 故控制系统(1)在I上精确可控。 因此，要证明控制系统(1)精确可控，只需证明控制系统(1)存在相应于控制函数u的mild解。接下来，我们根据假设条件，运用Sadovskii不动点定理证明控制系统(1) mild解的存在性。 定理3.1 设条件(H 1 )~(H 4 )满足。如果不等式 ( 1 + q a q M 2 M B 2 γ ( Γ ( 1 + q ) ) 2 ) ( a M L 1 + a q M Γ ( 1 + q ) ‖ ψ ‖ C ) < 1 (4) 成立，则方程(1)在区间I上精确可控。 证明：定义算子 F : C ( I ， X ) → C ( I ， X ) ，如下： ( F x ) ( t ) = S q ( t ) ∫ 0 a g ( s ， x ( s ) ) d s + ∫ 0 t ( t − s ) q − 1 T q ( t − s ) [ f ( s ， x ( s ) ) + B u ( s ) ] d s . 要证明方程(1)在区间I上精确可控，只需要利用上面控制函数证明算子F有不动点。 首先证明：存在 k > 0 ，使得 F ( Ω k ) ⊂ Ω k 。反设不真，则对 ∀ k ≥ 0 ，存在 x ∈ Ω k ，使得对 t ∈ I ，有 ‖ ( F x ) ( t ) ‖ > k 。由假设条件(H 2 )，(H 3 )及引理2.1，引理2.3，引理3.1可知，对 ∀ t ∈ I ，有 k < ‖ ( F x ) ( t ) ‖ = ‖ S q ( t ) ∫ 0 a g ( s ， x ( s ) ) d s + ∫ 0 t ( t − s ) q − 1 T q ( t − s ) f ( s ， x ( s ) ) d s     + ∫ 0 t ( t − s ) q − 1 T q ( t − s ) B u ( s ) d s ‖ ≤ ‖ S q ( t ) ∫ 0 a g ( s ， x ( s ) ) d s ‖ + ‖ ∫ 0 t ( t − s ) q − 1 T q ( t − s ) f ( s ， x ( s ) ) d s ‖     + ‖ ∫ 0 t ( t − s ) q − 1 T q ( t − s ) B u ( s ) d s ‖ ≤ a M L I k + a M sup t ∈ I ‖ g ( t ， 0 ) ‖ + a q M k Γ ( 1 + q ) ‖ ψ ‖ C + a q M B M Γ ( 1 + q ) ‖ u ( t ) ‖ ≤ ( 1 + q a q M 2 M B 2 γ ( Γ ( 1 + q ) ) 2 ) ( a M k L 1 + a M sup t ∈ I ‖ g ( t ， 0 ) ‖ + a q M k Γ ( 1 + q ) ‖ ψ ‖ C )       + q a q M 2 M B 2 γ ( Γ ( 1 + q ) ) 2 ‖ x a ‖ 两边同除以k并且当 k → ∞ 时取极限可得， 1 ≤ ( 1 + q a q M 2 M B 2 γ ( Γ ( 1 + q ) ) 2 ) ( a M L 1 + a q M Γ ( 1 + q ) ‖ ψ ‖ C ) ， 这与(4)式矛盾，因此存在 k > 0 ，使得 ‖ F x ‖ C = max t ∈ I ‖ ( F x ) ( t ) ‖ ≤ k 。故 F ( Ω k ) ⊂ Ω k 。 接下来，在 Ω k 上定义算子 ( F 1 x ) ( t ) = S q ( t ) ∫ 0 a g ( s ， x ( s ) ) d s 和 ( F 2 x ) ( t ) = ∫ 0 t ( t − s ) q − 1 T q ( t − s ) [ f ( s ， x ( s ) ) + B u ( s ) ] d s ， 则对 ∀ x ∈ Ω k ， ( F x ) ( t ) = ( F 1 x ) ( t ) + ( F 2 x ) ( t ) ， t ∈ I 。 先证明 F 1 : Ω k → C ( I ， X ) 是压缩映射。因为对 ，结合条件(H 2 )可知， ‖ ( F 1 x ) ( t ) − ( F 1 y ) ( t ) ‖ = ‖ S q ( t ) ∫ 0 a g ( s ， x ( s ) ) d s − S q ( t ) ∫ 0 a g ( s ， y ( s ) ) d s ‖ ≤ a M L 1 ‖ x − y ‖ C . 由(4)式知， a M L 1 < 1 。所以， F 1 在 Ω k 上是压缩映射。 再证明 F 2 在 Ω k 上是全连续映射。因为 F 2 显然是连续算子，所以仅需证明 F 2 ( Ω k ) 是相对紧集。对 ∀ x ∈ Ω k ，定义 W = { F 2 x | x ∈ Ω k } 和 W ( t ) = { ( F 2 x ) ( t ) | x ∈ Ω k } 。根据Ascoli-Arela定理，只需证明集合W在 C ( I ， X ) 中等度连续， W ( t ) 在X中相对紧。首先证明集合W等度连续。对 ∀ t 1 ， t 2 ∈ I ，满足 0 ≤ t 1 < t 2 ≤ a 及 ∀ x ∈ Ω k ，有 ‖ ( F 2 x ) ( t 2 ) − ( F 2 x ) ( t 1 ) ‖ = ‖ ∫ 0 t 2 ( t 2 − s ) q − 1 T q ( t 2 − s ) [ f ( s ， x ( s ) ) + B u ( s ) ] d s       − ∫ 0 t 1 ( t 1 − s ) q − 1 T q ( t 1 − s ) [ f ( s ， x ( s ) ) + B u ( s ) ] d s ‖ ≤ ‖ ∫ 0 t 1 [ ( t 2 − s ) q − 1 − ( t 1 − s ) q − 1 ] T q ( t 2 − s ) [ f ( s ， x ( s ) ) + B u ( s ) ] d s ‖       + ‖ ∫ 0 t 1 ( t 1 − s ) q − 1 [ T q ( t 2 − s ) − T q ( t 1 − s ) ] [ f ( s ， x ( s ) ) + B u ( s ) ] d s ‖       + ‖ ∫ t 1 t 2 ( t 2 − s ) q − 1 T q ( t 2 − s ) [ f ( s ， x ( s ) ) + B u ( s ) ] d s ‖ ≜ J 1 + J 2 + J 3 其中 J 1 = ‖ ∫ 0 t 1 [ ( t 2 − s ) q − 1 − ( t 1 − s ) q − 1 ] T q ( t 2 − s ) [ f ( s ， x ( s ) ) + B u ( s ) ] d s ‖ ; J 2 = ‖ ∫ 0 t 1 ( t 1 − s ) q − 1 [ T q ( t 2 − s ) − T q ( t 1 − s ) ] [ f ( s ， x ( s ) ) + B u ( s ) ] d s ‖ ; J 3 = ‖ ∫ t 1 t 2 ( t 2 − s ) q − 1 T q ( t 2 − s ) [ f ( s ， x ( s ) ) + B u ( s ) ] d s ‖ . 因为 J 1 ≤ M Γ ( 1 + q ) [ k ‖ ψ ‖ C + M B ‖ u ( t ) ‖ ] [ ( t 2 q − t 1 q ) − ( t 2 − t 1 ) q ] ， J 3 ≤ M Γ ( 1 + q ) [ k ‖ ψ ‖ C + M B ‖ u ( t ) ‖ ] ( t 2 − t 1 ) q . 又对 ∀ 0 < ε < t 1 ，有 J 2 ≤ sup s ∈ [ 0 ， t 1 − ε ] ‖ T q ( t 2 − s ) − T q ( t 1 − s ) ‖ ‖ ∫ 0 t 1 − ε ( t 1 − s ) q − 1 [ f ( s ， x ( s ) ) + B u ( s ) ] d s ‖     + ‖ ∫ t 1 − ε t 1 ( t 1 − s ) q − 1 [ T q ( t 2 − s ) − T q ( t 1 − s ) ] [ f ( s ， x ( s ) ) + B u ( s ) ] d s ‖ ≤ 1 q [ k ‖ ψ ‖ C + M B ‖ u ( t ) ‖ ] ( t 1 q − ε q ) sup s ∈ [ 0 ， t 1 − ε ] ‖ T q ( t 2 − s ) − T q ( t 1 − s ) ‖     + 2 M Γ ( 1 + q ) [ k ‖ ψ ‖ C + M B ‖ u ( t ) ‖ ] ε q . 所以，当 t 2 − t 1 → 0 ， ε → 0 时， J 1 ， J 2 ， J 3 → 0 。所以集合W等度连续。 再证明对 ∀ t ∈ [ 0 ， a ] ，集合 W ( t ) = { ( F 2 x ) ( t ) | x ( ⋅ ) ∈ Ω k } 在X中相对紧。显然当 t = 0 时， W ( 0 ) = { 0 } 在X中相对紧，因此只需考虑 t ∈ ( 0 ， a ] 。对 ∀ 0 < η < t ， δ > 0 定义 W η ， δ ( t ) = { ( F 2 ， η ， δ x ) ( t ) | x ( ⋅ ) ∈ Ω k } ， 其中 ( F 2 ， η ， δ ) ( t ) = ∫ 0 t − η ∫ δ ∞ ( t − s ) q − 1 θ ξ q ( θ ) q T ( ( t − s ) q θ ) [ f ( s ， x ( s ) ) + B u ( s ) ] d θ d s . 由条件(H 4 )可知，集合 W η ， δ ( t ) 在X中相对紧。又因为 ‖ ( F 2 x ) ( t ) − ( F 2 ， η ， δ x ) ( t ) ‖ ≤ q ‖ ∫ 0 t ∫ 0 δ ( t − s ) q − 1 θ ξ q ( θ ) T ( ( t − s ) q θ ) [ f ( s ， x ( s ) ) + B u ( s ) ] d s d θ ‖ + q ‖ ∫ t − η t ∫ δ ∞ ( t − s ) q − 1 θ ξ q ( θ ) T ( ( t − s ) q θ ) [ f ( s ， x ( s ) ) + B u ( s ) ] d s d θ ‖ ≤ ( k ‖ ψ ‖ C + M B ‖ u ( t ) ‖ ) M t q ∫ 0 δ θ ξ q ( θ ) d θ + M Γ ( 1 + q ) ( k ‖ ψ ‖ C + M B ‖ u ( t ) ‖ ) η q → 0 ，     ( η → 0 + ， δ → 0 + ) . 所以，当 t ∈ ( 0 ， a ] 时，存在一个相对紧集 W η ， δ ( t ) 任意接近于 W ( t ) ，故集合 W ( t ) 在X中相对紧。综上所述，对 ∀ t ∈ I ，集合 W ( t ) 在X中相对紧。因此，由Ascoli-Arela定理可知， F 2 ( Ω k ) 是相对紧集。由引理2.4的(i)知， β ( F 2 ( Ω k ) ) = 0 。又因为 F 1 是压缩的，则 β ( F 1 ( Ω k ) ) < β ( Ω k ) ，故由引理2.4的(iii)，有 β ( F ( Ω k ) ) ≤ β ( F 1 ( Ω k ) ) + β ( F 2 ( Ω k ) ) < β ( Ω k ) . 所以，由定义2.6知，F是凝聚映射。由Sadovskii不动点定理(见引理2.8)可知，算子F在 Ω k 上有不动点 x ∈ C ( I ， X ) 。该不动点即为系统(1)的mild解且满足 x ( a ) = x a 。故系统(1)在I上精确可控。证毕。 因为条件(H 4 )在应用中不易验证，所以我们假设 f ( t ， x ) 满足如下应用比较广泛的非紧性测度条件： (H 5 ) 对 ∀ t ∈ I ， D ⊂ Χ 为非空有界集，存在常数 L 2 > 0 ，使得 β ( f ( t ， D ) ) ≤ L 2 β ( D ) . 则可得系统(1)的如下可控性结果： 定理3.2 设条件(H 1 )~(H 3 )及条件(H 5 )满足。如果不等式条件(4)及 M * : = ( 1 + 2 q a q M 2 M B 2 γ ( Γ ( 1 + q ) ) 2 ) ( a M L 1 + a q M L 2 Γ ( 1 + q ) ) < 1 4 (5) 成立，则系统(1)在区间I上精确可控。 证明：由定理3.1的证明可知，存在 k > 0 ，使得 F ( Ω k ) ⊂ Ω k 。下面利用条件(H 5 )证明算子 F : Ω k → Ω k 是凝聚映射。由引理2.7，取 Ω ′ k = { x n | n ∈ Ν } ⊂ Ω k ，使得 β ( Ω k ) ≤ 2 β ( Ω ′ k ) . (6) 由非紧性测度的性质及假设条件(H 2 )可知， β ( g ( t ， D ) ) ≤ L 1 β ( D ) 其中 D ⊂ X 为非空有界集。 对 ∀ x a ∈ X ，因为 u n ( t ) = B * T q * ( a − t ) ( Γ 0 a ) − 1 P ( x n ) ， 其中 Γ 0 a = ∫ 0 a ( a − s ) q − 1 T q ( a − s ) B B * T q * ( a − s ) d s P ( x n ) = x a − S q ( a ) ∫ 0 a g ( s ， x n ( s ) ) d s − ∫ 0 a ( a − s ) q − 1 T q ( a − s ) f ( s ， x n ( s ) ) d s . 所以，对 ∀ γ > 0 ，有 β ( { u n ( t ) : n ∈ N } ) ≤ q M M B γ Γ ( 1 + q ) β ( { P ( x n ) : n ∈ N } ) ≤ q M M B γ Γ ( 1 + q ) ( 2 a M L 1 + 2 a q M L 2 Γ ( 1 + q ) ) β C ( Ω k ) . 由条件(H 5 )及引理2.6，对 ∀ x ∈ Ω ′ k ，有 β ( F ( Ω ′ k ) ( t ) ) = β ( { S q ( t ) ∫ 0 a g ( s ， x n ( s ) ) d s + ∫ 0 t ( t − s ) q − 1 T q ( t − s ) [ f ( s ， x n ( s ) ) + B u n ( s ) ] d s | n ∈ N } ) ≤ β ( { S q ( t ) ∫ 0 a g ( s ， x n ( s ) ) d s } ) + β ( { ∫ 0 t ( t − s ) q − 1 T q ( t − s ) f ( s ， x n ( s ) ) d s } )     + β ( { ∫ 0 t ( t − s ) q − 1 T q ( t − s ) B u n ( s ) d s } ) ≤ 2 M L 1 ∫ 0 a β ( Ω ′ k ( s ) ) d s + 2 q M L 2 Γ ( 1 + q ) ∫ 0 t ( t − s ) q − 1 β ( Ω ′ k ( s ) ) d s       + q M M B γ Γ ( 1 + q ) ∫ 0 t ( t − s ) q − 1 β ( { u n ( s ) : n ∈ N } ) d s ≤ ( 1 + 2 q a q M 2 M B 2 γ ( Γ ( 1 + q ) ) 2 ) ( 2 a M L 1 + 2 a q M L 2 Γ ( 1 + q ) ) β C ( Ω k ) . 所以，由(6)式和引理2.5可得 β C ( F ( Ω k ) ) ≤ 2 β C ( F ( Ω ′ k ) ) = 2 max t ∈ I β ( F ( Ω ′ k ) ( t ) ) ≤ 4 M * β C ( Ω k ) . 因此，由(5)式可知， 4 M * < 1 。所以，由定义2.6知，算子F是凝聚映射。由Sadovskii不动点定理可知，算子F在 Ω k 上有不动点 x ∈ C ( I ， X ) 。该不动点即为系统(1)的mild解且满足 x ( a ) = x a 。故系统(1)在I上精确可控。证毕。 注3.1 定理3.1和定理3.2都只要求 A : D ( A ) ⊂ X → X 生成的半群 T ( t ) ( t ≥ 0 ) 是等度连续半群，没有假设半群的紧性。因此，我们对非线性项附加了“紧型”条件(H 4 )或者非紧性测度条件(H 5 )来保证解算子的紧性。进而利用凝聚映射的不动点定理证明了控制系统(1)的mild解的存在性。 注3.2 如果非线性项是有界函数，或者满足一次增长条件，即 f ( t ， x ) ≤ C 1 x + C 2 ，其中 C 1 ， C 2 > 0 是常数，则条件(H 3 )自然成立。 例 考虑下列分数阶偏微分系统 { D C 1 2 x ( t ， ω ) = ∂ x ( t ， ω ) ∂ ω + b ( ω ) u ( t ) + f ( t ， x ( t ， ω ) ) ，     ω ∈ [ 0 ， π ] ，     t ∈ [ 0 ， 1 ] x ( t ， 0 ) = x ( t ， π ) = 0 ，     t ∈ [ 0 ， 1 ] x ( 0 ， ω ) = ∫ 0 1 g ( s ， x ( s ， ω ) ) d s ，     ω ∈ [ 0 ， π ] (7) 其中 D C 1 2 是 q = 1 2 阶Caputo型分数阶导数， I : = [ 0 ， 1 ] ， b ( ω ) 为有恰当定义的函数。 取状态空间 X = L 2 ( [ 0 ， π ] ) ， U = X 。设 x ( t ) ( ⋅ ) : = x ( t ， ⋅ ) ， f ( t ， x ( t ) ) ( ⋅ ) : = f ( t ， x ( t ， ⋅ ) ) ， g ( t ， x ( t ) ) ( ⋅ ) : = g ( t ， x ( t ， ⋅ ) ) 。作X中的算子A和B： A x = ∂ x ( t ， ω ) ∂ ω ， D ( A ) = { x ∈ X | x ′ ∈ X ， x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0 } ， B u = b ( ⋅ ) u 则系统(7)可化为形如问题(1)的分数阶发展方程控制系统。由文献 [ 6 ]，A生成X中的等度连续半群 T ( t ) ( t ≥ 0 ) 。 若系统(7)满足条件(H 1 )~(H 4 )，则按照定理3.1，系统(7)在区间I上精确可控。