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user: 2. 欧式期权定价公式 在FMLS框架下，股票价格可以被下面的随机过程所驱动 [ 6 ] S T = S t exp [ ( r − D ) τ ] exp ( − ν τ + σ L τ α ， − 1 ) ， (1) 其中r和D分别表示无风险利率和股票的连续红利率，为了方便探讨本文假设 D = 0 ， σ 是一个非负实数， τ = T − t ， L τ α ， − 1 是一个 α 稳态的随机变量，并且 L τ α ， − 1 ~ L α ( 0 ， τ α ， − 1 ) ， ν 是凸性调整且 ν = − σ α sec ( α π / 2 ) 。 根据(1)式，结合文献 α 稳态的随机变量的性质 [ 6 ] 可以得到股票价格对数收益 x τ = ln ( S T / S t ) 的特征函数 Φ F M L S ( ω ; t ， T ) = E ˜ t [ exp ( i ω ln ( S T / S t ) ) ] = exp [ i ω ( r − ν ) τ − ( i ω σ ) α τ sec α π 2 ] ， (2) 其中 E ˜ t [ • ] 为风险中性下的条件期望算子。 设K欧式期权的执行价格， Y τ 是如下的FMLS过程 Y τ = ν τ + σ L τ α ， − 1 ， (3) 那么股票的驱动方程(1)式可以转化成下面的形式： S T = K e X T ， (4) 其中， X T = X t + r τ + Y τ ，   X t = ln ( S t / K ) 。 设 C ( t ， X t ) 表示欧式看涨期权在时刻t的价值，根据欧式期权的定价原理可知 C ( t ， X t ) = e − r ( T − t ) E ˜ t [ ( S T − K ) + ] = K E ˜ t [ ( e X T − r τ − e − r τ ) + ] = K ∫ − ∞ ∞ ( e y − r τ − e − r τ ) + f X t ( y ) d y ， (5) 其中， f X t ( • ) 是给定时刻t的信息 X t ，随机变量 X T 的条件密度函数。由随机变量 X T 的定义可知，随机变量 X T 的条件特征函数 Φ X ( ω ; t ， T ) 可以表示为 Φ X ( ω ; t ， T ) = E ˜ t [ exp ( i ω X T ) ] = exp [ i ω ( r τ + X t ) ] E ˜ t [ exp ( i ω Y τ ) ] ， 再由(2)式可得 Φ X ( ω ;   t ，   T ) = exp [ i ω ( r τ + X t ) ] exp [ i ω ν τ − ( i ω σ ) α τ sec α π 2 ] . (6) 下面我们将以定理的形式给出FMLS框架下欧式看涨期权的定价公式。 定理1假设股票价格 S t 在风险中性测度下满足(4)式，那么以K为执行价格，T为到期日的欧式看涨期权在t时刻的价格 C ( t ， X t ) 可以表示为 C ( t ， X t ) = K e − r τ π ∫ 0 ∞ R { Φ X ( ω − i − i α ¯ ; t ， T ) ( i ω + 1 + α ¯ ) ( i ω + α ¯ ) } d ω ， (7) 其中 τ = T − t 表示期权合约的剩余时间， R { z } 表示复数z的实部， α ¯ > 0 。 证明 定义一个新函数 p ( x ) = e ( 1 + α ¯ ) x ( e x − e − r τ ) + ， 其中 α ¯ 是一个大于零的常数且 x ∈ R ，那么 ( e x − r τ − e − r τ ) + = e ( 1 + α ¯ ) ( τ r − x ) e ( 1 + α ¯ ) ( x − τ r ) ( e x − r τ − e − r τ ) + = e ( 1 + α ¯ ) ( τ r − x ) e ( 1 + α ¯ ) ( x − τ r ) ( e − ( r τ − x ) − e − r τ ) + = p ( r τ − x ) e ( 1 + α ¯ ) ( y − r τ ) ， 若令函数 h ( x ) = e ( 1 + α ¯ ) x f X t ( x ) ， 那么(5)式可以表示为 C ( t ， X t ) = K ∫ − ∞ ∞ p ( r τ − y ) e ( 1 + α ¯ ) ( y − r τ ) f X t ( y ) d y = K e − r τ ( 1 + α ¯ ) ∫ − ∞ ∞ p ( r τ − y ) h ( y ) d y = K e − r τ ( 1 + α ¯ ) ( p ∗ h ) ( r τ ) ， 注意，在 α ¯ > 0 的情况下，函数 p ( x ) = e ( 1 + α ¯ ) x ( e − x − e − r τ ) + 是绝对可积的，那么根据卷积定理 [ 12 ] 有 F ( p ∗ h ) = F ( p ) ∗ F (h) 其中 F ( • ) 表示Fourier变换。于是在(8)式两边同时做Fourier变换，经过简单积分计算可得 F [ C ( t ， X t ) K e r τ ( 1 + α ¯ ) ] ( ω ) = F ( p ) ( ω ) F ( h ) ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ e i ω x p ( x ) d x ∫ − ∞ ∞ e i ω x h ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ e i ω x e ( 1 + α ¯ ) x ( e − x − e − r τ ) + d x ∫ − ∞ ∞ e i ω x e ( 1 + α ¯ ) x f X t ( x ) d x = ∫ − ∞ r τ e i ω x e ( 1 + α ¯ ) x ( e − x − e − r τ ) d x ∫ − ∞ ∞ e i ω x e ( 1 + α ¯ ) x f X t ( x ) d x = e r τ ( 1 + α ¯ ) x Φ X ( ω − i − i α ¯ ; t ， T ) ( i ω + 1 + i α ¯ ) ( i ω + i α ¯ ) ， 上式中的倒数第二个等号应用了Fourier变换的位移性质。接下来在上式两边同时作Fourier逆变换 C ( t ， X t ) = K e − r τ 2π ∫ − ∞ ∞ Φ X ( ω − i − i α ¯ ; t ， T ) ( i ω + 1 + i α ¯ ) ( i ω + i α ¯ ) d ω = K e − r τ 2π [ ∫ 0 ∞ Φ X ( ω − i − i α ¯ ; t ， T ) ( i ω + 1 + i α ¯ ) ( i ω + i α ¯ ) d ω + ∫ − ∞ 0 Φ X ( ω − i − i α ¯ ; t ， T ) ( i ω + 1 + i α ¯ ) ( i ω + i α ¯ ) d ω ] = K e − r τ 2π [ ∫ 0 ∞ Φ X ( ω − i − i α ¯ ; t ， T ) ( i ω + 1 + i α ¯ ) ( i ω + i α ¯ ) d ω − ∫ ∞ 0 Φ X ( − ω − i − i α ¯ ; t ， T ) ( − i ω + 1 + i α ¯ ) ( − i ω + i α ¯ ) d ω ] = K e − r τ 2π ∫ 0 ∞ [ Φ X ( ω − i − i α ¯ ; t ， T ) ( i ω + 1 + i α ¯ ) ( i ω + i α ¯ ) + Φ X ( − ω − i − i α ¯ ; t ， T ) ( − i ω + 1 + i α ¯ ) ( − i ω + i α ¯ ) ] d ω ， 另外，因为 X t 是映射到实空间的随机变量，那么根据文献 [ 13 ] 可知函数 Φ X 的实部关于 ω 是一个偶函数，虚部关于 ω 是一个奇函数，所以不难发现上式第二个等号右边中括号内是两个共轭复数。于是 C ( t ， X t ) = K e − r τ 2π ∫ 0 ∞ [ Φ X ( ω − i − i α ¯ ; t ， T ) ( i ω + 1 + i α ¯ ) ( i ω + i α ¯ ) + Φ X ( − ω − i − i α ¯ ; t ， T ) ( − i ω + 1 + i α ¯ ) ( − i ω + i α ¯ ) ] d ω = K e − r τ π ∫ 0 ∞ R { Φ X ( ω − i − i α ¯ ; t ， T ) ( i ω + 1 + i α ¯ ) ( i ω + i α ¯ ) } d ω . 下面我们将确定定价公式(7)中的参数 α ¯ 。根据文献 [ 13 ] 的结论可知，在公式(7)中参数 α ¯ 必须要让函数 Φ X ( ω − i − i α ¯ ; t ， T ) 有意义或者不等式 E ˜ t [ S T 1 + α ¯ ] < ∞ 成立，因为在FMLS框架下的资产价格是存在任何阶矩的，所以对于任意的 α ¯ ，不等式 E ˜ t [ S T 1 + α ¯ ] < ∞ 都是成立的，此时按照文献 [ 13 ] 的做法，本文取 α ¯ = 1.5 。 因为本文的理论推导是在假设市场是无套利的前提下的，那么欧式期权的平价公式是成立的，所以对于FMLS框架下欧式看跌期权的定价公式我们直接利用平价公式求得，即 C ( t ， X t ) + K e − r τ = P ( t ， X t ) + S t . 因为 S t = K exp ( X t ) ，所以欧式看跌期权在时刻t的价格为 P ( t ， X t ) = C ( t ， X t ) + K e − r τ − K exp ( X t ) . (8) 因为在定价公式(7)中含有一个无穷积分，所以无法在计算上实现，这就需要对该公式中的无穷积分做近似处理。首先，假设A为截断积分的上限， C ^ ( t ， X t ) 表示用截断后的公式所计算出来的值，那么如果要是截断误差不高于任意大于0的数 ε ，即 | C ( t ， X t ) − C ^ ( t ， X t ) | ≤ K e − r τ π ∫ 0 ∞ | R { Φ X ( ω − i − i α ¯ ; t ， T ) ( i ω + 1 + i α ¯ ) ( i ω + i α ¯ ) } | d ω ≤ K e − r τ π ∫ A ∞ E ˜ t [ e ( 1 + α ¯ ) Y T ] ( α ¯ 2 + α ¯ − ω ) + ( 1 + 2 α ¯ 2 ) ω 2 d ω ≤ K e − r τ E ˜ t [ e ( 1 + α ¯ ) Y T ] π ∫ A ∞ 1 ω 2 d ω = K e − r τ E ˜ t [ e ( 1 + α ¯ ) Y T ] A π < ε ， 所以只要积分上限A满足 A > K e − r τ E ˜ t [ e ( 1 + α ¯ ) Y T ] ε π ， 那么欧式看涨期权定价公式(7)的截断误差就不会大于 ε ，那么这时FMLS框架欧式看涨期权的定价公式可以用下面的式子进行近似计算 C ( t ， X t ) = K e − r τ π ∫ 0 A R { Φ X ( ω − i − i α ¯ ; t ， T ) ( i ω + 1 + α ¯ ) ( i ω + α ¯ ) } d ω (9) 其次，我们用梯形公式对(9)进行计算。本文取 A = M η ，令 ω j = ( j − 1 ) η ，且 j = 1 ， 2 ， ⋯ ， M + 1 ，那么(9)式又可以由下面的式子近似地表示 C ( t ， X t ) ≈ K e − r τ π ∑ j = 1 M + 1 R { Φ X ( ω j − i − i α ¯ ; t ， T ) ( i ω j + 1 + α ¯ ) ( i ω j + α ¯ ) } η . (10)