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user: 3. 应用 在这一节中，我们将利用首次积分法来详细求解两个非线性薛定谔方程的精确解。 首先我们考虑方程(1)。假设方程(1)的解满足如下形式 u ( x ， t ) = φ ( ξ ) e i ( x − ω t ) . (10) 其中 ξ = x − λ t ，这里 λ ， ω 是实参数。 将方程(10)代入(1)中，并令虚部和实部分别为零，整理可得 ( 2 r 2 − λ − s 0 ) φ ′ − 3 s 2 φ 2 φ ′ = 0 ， (11) r 2 φ ″ + ( ω + s 0 − r 2 ) φ − ( c 3 + s 2 ) φ 3 + c 5 φ 5 = 0. (12) 将方程(11)积分一次代入(12)得 φ ″ + ω + r 2 − λ r 2 φ + c 3 r 2 φ 3 + c 5 r 2 φ 5 = 0. (13) 为了计算简便，我们定义： k 1 = − ω + r 2 − λ r 2 ， k 2 = − c 3 r 2 及 k 3 = − c 5 r 2 。 根据方程(13)和(8)我们得 { X ′ ( ξ ) = Y ( ξ ) ， Y ′ ( ξ ) = k 1 X ( ξ ) + k 2 X ( ξ ) 3 + k 3 X ( ξ ) 5 . (14) 其次，我们考虑方程(2)。假设方程(2)的解满足如下形式 q ( x ， t ) = ϕ ( ξ ) e i ( k x − ω t ) . (15) 其中 ξ = β x − λ t ，这里 β ， λ ， k ， ω 是实参数。 将方程(15)代入(2)中，并令虚部和实部为零，整理可得 − 4 b k β 3 ϕ ″ + ( − λ + 2 a β k + 4 b β k 3 ) ϕ ′ = 0. (16) − b β 4 ϕ ( 4 ) + ( a β 2 + b β 2 k 2 ) ϕ ″ + ( ω − a k 2 − b k 4 ) ϕ + c ϕ 3 + d c ϕ 5 = 0. (17) 对(16)微分一次代入(17)中，令 p 1 = − λ + 2 a β k + 4 b β k 3 ， p 2 = a β 2 + b β 2 k 2 ， p 3 = ω − a k 2 − b k 4 。则 ϕ ″ − 4 b k p 3 β 3 p 1 b β 4 − 4 p 2 b k β 3 ϕ − 4 b c k β 3 p 1 b β 4 − 4 p 2 b k β 3 ϕ 3 − 4 b c d k β 3 p 1 b β 4 − 4 p 2 b k β 3 ϕ 5 = 0. (18) 根据方程(18)和(8)我们得 { X ′ ( ξ ) = Y ( ξ ) ， Y ′ ( ξ ) = 4 b k p 3 β 3 p 1 b β 4 − 4 p 2 b k β 3 X ( ξ ) + 4 b c k β 3 p 1 b β 4 − 4 p 2 b k β 3 X ( ξ ) 3 + 4 b c d k β 3 p 1 b β 4 − 4 p 2 b k β 3 X ( ξ ) 5 . (19) 这里如果我们仍然定义 k 1 = 4 b k p 3 β 3 p 1 b β 4 − 4 p 2 b k β 3 ， k 2 = 4 b c k β 3 p 1 b β 4 − 4 p 2 b k β 3 ， k 3 = 4 b c d k β 3 p 1 b β 4 − 4 p 2 b k β 3 方程(19)和(14)有相同的首次积分，要找到它们的精确解，我们仅需讨论其中一个方程即可，下面我们将给出对方程(14)的求解过程。 现在，根据除法原理，我们假设 X = X ( ξ ) 和 Y = Y ( ξ ) 是方程(14)的非平凡解。且 P ( X ， Y ) = ∑ i = 0 m a i ( X ) Y i . (20) 在复数域 C ( X ， Y ) 中是一个不可约多项式，即 P ( X ( ξ ) ， Y ( ξ ) ) = ∑ i = 0 m a i ( X ( ξ ) ) Y ( ξ ) i = 0. (21) 这里 a i ( X ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 是X的多项式以及 a m ( X ) ≠ 0 。方程(21)称为(14)的首次积分。定义 P ( X ( ξ ) ， Y ( ξ ) ) 关于X和Y的多项式，且 d P d ξ | ( 20 ) = 0 。根据除法定理，我们可以看到在复数域 C ( X ， Y ) 中存在一个多项式 H ( X ， Y ) = h ( X ) + g ( X ) Y ，使得 d P d ξ | ( 20 ) = ( d P d X d X d ξ + d P d Y d Y d ξ ) | ( 20 ) = ( h ( X ) + g ( X ) Y ) ( ∑ i = 0 m a i ( X ) Y i ) . (22) 3.1. 情形一 在方程(21)中我们假设 m = 1 ，即方程(22)可以被写成 ∑ i = 0 1 a ′ i ( X ) Y i + 1 + ∑ i = 0 1 i a i ( X ) Y i − 1 ( Y ′ ( ξ ) ) = ( h ( X ) + g ( X ) Y ) ( ∑ i = 0 1 a i ( X ) Y i ) . (23) 然后，在方程(23)中通过比较两边 Y i ( i = 2 ， 1 ， 0 ) 的系数，我们得到 a ′ 1 ( X ) = g ( X ) a 1 ( X ) ， (24) a ′ 0 ( X ) = h ( X ) a 1 ( X ) + g ( X ) a 0 ( X ) ， (25) a 1 ( X ) ( k 1 X + k 2 X 3 + k 5 X 5 ) = h ( X ) a 0 ( X ) . (26) 因为 a i ( x ) ( i = 0 ， 1 ) 是X的一个多项式，从方程(24)中我们得出 a 1 ( X ) 是一个常数，且 g ( X ) = 0 。为了便于计算，我们令 a 1 ( X ) = 1 。平衡 h ( X ) 和 a 0 ( X ) 的阶数，我们得出 deg ( h ( x ) ) = 2 。假设 h ( X ) = A X 2 + B X + C ，这里的 A ≠ 0 ，那么 a 0 ( X ) = 1 3 A X 3 + 1 2 B X 2 + C X + D . (27) 其中D是任意的积分常数。将 a 0 ( X ) ， a 1 ( X ) ， h ( X ) 代入方程(26)中，通过比较系数得到如下代数方程组 { 1 3 A 2 = k 3 5 6 A B = 0 4 3 A C + 1 2 B 2 = k 2 A D + 3 2 B C = 0 B D + C 2 = k 1 C D = 0 (28) 用Maple求解它们，可得到 D = 0 ， B = 0 ， A = ± 3 k 3 ， C = ± k 1 ， (29) 这里 k 1 ， k 3 < 0 且满足约束条件 k 1 k 3 = 3 16 k 2 2 . (30) 把条件(29)代入(21)中，得 Y = − 1 3 A X 3 − C X . (31) 再由方程(8)有 φ ′ ( ξ ) = − 1 3 A φ ( ξ ) 3 − C φ ( ξ ) . (32) 为了求解(32)的解，我们引入伯努利方程 [ 17 ] 有 Z ′ = a Z + b Z p ， (33) 这里 a ， b ， p ∈ R ， a b ≠ 0 ， p ≠ 1 。则方程(33)有如下形式的解 Z ( ξ ) = [ − a / b ξ 0 e a ( 1 − p ) + 1 ] 1 p − 1 ， (34) = { { − a 2 b [ 1 + tanh ( a ( p − 1 ) 2 ξ − ln ξ 0 2 ) ] } 1 p − 1 if   ξ 0 > 0 ， { − a 2 b [ 1 + coth ( a ( p − 1 ) 2 ξ − ln ( − ξ 0 ) 2 ) ] } 1 p − 1 if   ξ 0 < 0 ， { − a b } 1 p − 1 if   ξ 0 = 0. (35) 这里 ξ 0 为任意常数。令 a = − C ， b = − 1 3 A ， p = 3 代入方程(35)中有 u ( ξ ) = { { ± 1 2 3 k 1 k 3 [ 1 + tanh ( k 1 ξ − ln ξ 0 2 ) ] } 1 2 if   ξ 0 > 0 ， { ± 1 2 3 k 1 k 3 [ 1 + coth ( k 1 ξ − ln ( − ξ 0 ) 2 ) ] } 1 2 if   ξ 0 < 0 ， { ± 3 k 1 k 3 } 1 2 if   ξ 0 = 0. (36) 则广义非线性薛定谔方程(1)的行波解可写为 u ( x ， t ) = { { ± 1 2 3 k 1 k 3 [ 1 + tanh ( k 1 ( x − λ t ) − ln ξ 0 2 ) ] } 1 2 e ( x − ω t ) if   ξ 0 > 0 ， { ± 1 2 3 k 1 k 3 [ 1 + coth ( k 1 ( x − λ t ) − ln ( − ξ 0 ) 2 ) ] } 1 2 e ( x − ω t ) if   ξ 0 < 0 ， { ± 3 k 1 k 3 } 1 2 e ( x − ω t ) if   ξ 0 = 0. (37) 3.2. 情形二 在方程(21)中我们假设 m = 2 ，通过比较两边 Y i ( i = 2 ， 1 ， 0 ) 系数，我们得到 a ′ 2 ( X ) = g ( X ) a 2 ( X ) ， (38) a ′ 1 ( X ) = h ( X ) a 2 ( X ) + g ( X ) a 1 ( X ) ， (39) a ′ 0 ( X ) + 2 a 2 ( X ) ( k 1 X + k 2 X 3 + k 5 X 5 ) = h ( X ) a 1 ( X ) + g ( X ) a 0 ( X ) ， (40) a 1 ( X ) ( k 1 X + k 2 X 3 + k 5 X 5 ) = h ( X ) a 0 ( X ) . (41) 因为 a i ( x ) ( i = 0 ， 1 ， 2 ) 是X的一个多项式，从方程(38)中我们得出 a 2 ( X ) 是一个常数，且 g ( X ) = 0 。为了便于计算，我们令 a 2 ( X ) = 1 。平衡 h ( X ) ， a 1 ( X ) 和 a 0 ( X ) 的阶数，我们得出 deg ( h ( x ) ) = 2 ， deg ( a 1 ( x ) ) = 3 ， deg ( a 0 ( x ) ) = 6 。假设 h ( X ) = A X 2 + B X + C ，这里的 A ≠ 0 ，那么 a 1 ( X ) = 1 3 A X 3 + 1 2 B X 2 + C X + D . (42) a 0 ( X ) = ( 1 18 A 2 − 1 3 k 3 ) X 6 + ( 1 6 A B ) X 5 + ( 1 3 A C + 1 8 B 2 + 1 2 k 2 ) X 4     + ( 1 3 A D + 1 2 B C ) X 3 + ( 1 2 B D + 1 2 C 2 − k 1 ) X 2 + D C X + E . (43) 其中D是任意的积分常数。将 a 0 ( X ) ， a 1 ( X ) ， a 2 ( X ) ， h ( X ) 代入方程(41)中，通过比较系数得到如下代数方程组 { 1 18 A 3 = 2 3 A k 3 2 9 A 2 B = 5 6 B k 3 7 18 A 2 C + 7 24 A B 2 = 5 6 A k 2 + 4 3 C k 3 1 3 A 2 D + A B C + 1 8 B 2 = B k 2 + D k 3 7 6 A B D + 5 6 A C 2 + 1 8 B 2 C = 4 3 A k 1 + 3 2 C k 2 4 3 A C D + 1 2 D B 2 + B C 2 = 3 2 B k 1 + 2 D k 2 3 2 B C D + 1 2 C 2 + A E = 2 C k 1 D C 2 + B E = D k 1 E C = 0 ， (44) 用Maple求解它们，可得到 D = 0 ， B = 0 ， A = ± 2 3 k 3 ， C = ± 2 k 1 ， (45) 这里 k 1 ， k 3 < 0 且满足约束条件 k 1 k 3 = 3 16 k 2 2 . (46) 把条件(37)代入(21)中，得 Y = − 1 6 A X 3 − 1 2 C X . (47) 再由方程(8)有 φ ′ ( ξ ) = − 1 6 A φ ( ξ ) 3 − 1 2 C φ ( ξ ) . (48) 同理，令 a = − 1 2 C ， b = − 1 6 A ， p = 3 代入方程(34)和(35)中，则方程(48)和(32)有相同的精确解。