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user: 3. 平衡点及稳定性 3.1. 平衡点 系统(2.1)具有平衡点 E 0 ( 0 ， 0 ， 0 ) ， E 1 ( K ， 0 ， 0 ) ， E 2 ( s 2 ， i 2 ， 0 ) ，其中 s 2 = b − r θ β ， i 2 = K β + r θ − b β 。 当 K β + r θ − b > 0 时，系统(2.1)存在边界平衡点 E 2 。当 i = 0 时，系统将退化为一般的捕食–食饵系统，本文将不做讨论。 3.2. 局部稳定性 系统(1.1)满足任意非零初始条件的解， E 0 ( 0 ， 0 ， 0 ) 都是不稳定的 [ 1 ] 。由此可以推广到系统(2.1)上也有同样的结论：系统(2.1)满足任意非零初始条件的解， E 0 ( 0 ， 0 ， 0 ) 都是不稳定的。 系统(2.1)在平衡点 E 1 ( K ， 0 ， 0 ) 的Jacobian矩阵为： J E 1 = ( − r d − r θ − K β − m K α + K 0 K β − ( d + ( 1 − θ ) r ) 0 0 0 ε m K α + K − e ) (3.1) 定义基本再生数 R 1 = K β ( d + ( 1 − θ ) r ) ， R 2 = ε m K e ( α + K ) ，当 R 1 < 1 且 R 2 < 1 时，平衡点 E 1 局部稳定；否则，平衡点 E 1 不稳定。 系统(2.1)在平衡点 E 2 ( s 2 ， i 2 ， 0 ) 的Jacobian矩阵为： J E 2 = ( − ( θ r + ( 1 − θ ) r s 2 K + β i 2 ) b − 2 r θ − ( 1 − θ ) r s 2 K − β s 2 − m s 2 α + K β i 2 − ( 1 − θ ) r i 2 K β s 2 − d − ( 1 − θ ) r − ( 1 − θ ) r K − m i 2 α + K 0 0 ε m K α + K − e ) (3.2) 当 R 1 > 1 且 R 2 < 1 时，由Routh-Hurwitz判据可知 ε m K α + K − e < 0 ，考察以下矩阵： J ˜ E 2 = ( − ( θ r + ( 1 − θ ) r s 2 K + β i 2 ) b − 2 r θ − ( 1 − θ ) r s 2 K − β s 2 β i 2 − ( 1 − θ ) r i 2 K β s 2 − d − ( 1 − θ ) r − ( 1 − θ ) r K ) (3.3) 可知，矩阵 J E 2 的特征值均具有负实部，从而平衡点 E 2 局部稳定；当 R 1 > 1 且 R 2 > 1 时，平衡点 E 2 不稳定。 3.3. 全局稳定性 定理3.1：当 R 1 < 1 且 R 2 < 1 时，平衡点 E 1 在G内全局渐近稳定。 证明：由 H ≤ K ，可得 d i d t ≤ ( K β − ( 1 − θ ) r − d ) i ，又 i ≥ 0 ，则 i ≥ C e ( K β − ( 1 − θ ) r − d ) t   (3.4) 当 t → + ∞ 时， e ( K β − ( 1 − θ ) r − d ) t → 0 ；由 i ≥ 0 和式(3.4)可知 i = 0 ，即 M = { ( s ， i ， y ) : V ˙ = 0 } = { i = 0 } (3.5) 显然，系统(2.1)在M中的最大不变子集就是M本身。由Lasalle不变集原理 [ 2 ] 可知，当 t → + ∞ 时，(2.1)在G中的解都有 i ( t ) → 0 。由此可知系统(2.1)的极限系统为： { d s d t = r s ( 1 − s K ) − m s y α + s d y d t = ( ε m s α + s − e ) y (3.6) 由文献 [ 3 ] ，极限系统理论，直接可以证明该极限系统：当 R 1 < 1 且 R 2 < 1 时，平衡点 E 1 在G内全局渐近稳定。 定理3.2：当 R 1 > 1 且 R 2 < 1 时，平衡点 E 2 在G内全局渐近稳定。 证明：先考虑下面的方程组 { d H d t = r H ( 1 − H K ) d i d t = β s i − ( d + ( 1 − θ ) r H K ) i (3.7) 作变换 x = i H ，得到 { d H d t = r H ( 1 − H K ) d x d t = − ( d + r ) x + ( β + r H K ) H x − β H x 2 (3.8) 方程组(3.8)满足初始条件的解 N = { ( H ， x ) : 0 ≤ x ≤ 1 ， 0 ≤ H ≤ K } 。 由方程组(3.8)的第一个方程可知：满足上述非零初始条件的解都有当 t → + ∞ 时， H ( t ) → K 。 当 R 1 > 1 且t充分大时，极限系统(3.7)在N中的解以 K β + θ r − b K β 为极限。由此可知系统(3.8)的平衡点 ( K ， K β + θ   r − b K β ) 在N中全局渐近稳定，进而有等价系统(3.7)的平衡点 W 2 ( K ， i 2 ) 在G内全局渐近稳定。 对于系统(2.1)，将前两个方程相加得到一个新的方程组 { d H d t = r H ( 1 − H K ) − m H y α + H d i d t = β s i − ( d + ( 1 − θ ) r H K ) i − m i y α + H d y d t = ( ε m H α + H − e ) y (3.9) 根据比较原理可得，方程组(3.9)的解，对 ∀ δ > 0 ，存在T，使得 t > T 时有 i ( t ) ≤ i 1 + δ ，从而当 R 2 < 1 且t充分大时，方程组(3.9)的第三个方程有： d y d t < 0 ，由此可知当t充分大时 y ( t ) → 0 ，也就是说，系统(3.9)有极限系统如下： { d H d t = r H ( 1 − H K ) − m H y α + H d i d t = β s i − ( d + ( 1 − θ ) r H K ) i − m i y α + H (3.10) 与定理3.1的证明类似，系统(3.10)的平衡点 ( K ， i 2 ) 全局渐近稳定，由极限系统理论可知(3.9)的平衡点 ( K ， i 2 ， 0 ) 也全局渐近稳定。 综上所述，当 R 1 > 1 且 R 2 < 1 时，平衡点 E 2 在G内全局渐近稳定。 3.4. 正平衡点及极限环 考虑系统(2.1)的正平衡点 E ∗ 的稳定性，则可将系统(2.1)转化为 { d H d t = r H ( 1 − H K ) − m H y α + H d y d t = ( ε m H α + H − e ) y (3.11) 系统(3.11)可以存在正平衡点 E ¯ ∗ ( H ∗ ， y ∗ ) ( H ∗ = s ∗ + i ∗ > 0 ， y ∗ > 0 ) ，其中 ， 当 ，且 。 由系统(2.1)的前两个方程相减得： (3.12) 所以 (3.13) 代入 ，得 (3.14) 其中 。 所以 (3.15) 再将方程(3.14)化为： (3.16) 当 ，即 时，方程(3.16)存在唯一正根 ；此时，系统(2.1)有唯一的正平衡点 ，其中 。由定理3.1的证明过程可知， (3.17) 那么可以与(3.11)的证明方法类似，根据文献 [ 3 ] ，文献 [ 4 ] 直接得出 时，系统(3.11)在G内至少存在一个包含正平衡点 的稳定极限环。