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user: 1. 引言 在生态动力系统中，环境对于人口模型的影响不可忽视，Nicholson飞蝇模型便是考虑了环境因素的模型。在文献 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] 中，作者研究了具有线性死亡密度的Nicholson飞蝇模型。在文献 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] 中，作者考虑了具有非线性死亡密度的Nicholson飞蝇模型，为了更精确地描述其发展规律，文献 [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] 研究了具有离散时滞的Nicholson飞蝇模型。随着对此类模型更深入的研究，发现分布时滞更符合真实环境下的模型。在该文中，我们研究一类具有非线性死亡密度连续分布时滞的Nicholson飞蝇模型正周期解的全局指数稳定性。 在文献 [ 7 ] 中，作者考虑了离散时滞的Nicholson飞蝇模型的概周期解及其指数稳定性，在文献 [ 4 ] 中，作者研究了非线性死亡密度函数为 a ( t ) − b ( t ) e − x 的Nicholson飞蝇模型。该文研究的是非线性死亡密度函数为 a ( t ) x b ( t ) + x 具有连续分布时滞的另一类Nicholson飞蝇模型。 该文考虑下面的具有连续分布时滞的Nicholson飞蝇模型 x ′ ( t ) = − a ( t ) x ( t ) b ( t ) + x ( t ) + ∑ j = 1 m β j ( t ) ∫ 0 σ j ( t ) K j ( s ) x ( t − s ) e − x ( t − s ) d s (1.1) 其中a，b， β j : R → ( 0 ， + ∞ ) 是连续的T-周期函数， K j ( ⋅ ) > 0 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 为连续时滞核函数。 定义 g + = sup t ∈ R g ( t ) ， g − = inf t ∈ R g ( t ) ， r = max 1 ≤ j ≤ m σ j + > 0 。 设 C = C ( [ − r ， 0 ] ， R ) 是 [ − r ， 0 ] 上全体连续函数的集合组成的Banach空间，赋予上确界范数 ‖   ⋅   ‖ ， C + = C ( [ − r ， 0 ] ， R + ) ，定义 x t ( θ ) = x ( t + θ ) ， θ ∈ [ − r ， 0 ] ，初始条件为 x t 0 = φ ， φ ∈ C + ， φ ( 0 ) > 0 。 结合 1 − x e x 的单调性可知，存在 k ∈ ( 0 ， 1 ) 使得 1 − k e k = 1 e 2 (1.2) 显然 sup x ≥ k | 1 − x e x | = 1 e 2 (1.3) 由 x e − x 在 [ 0 ， 1 ] 上单调递增，在 [ 1 ， + ∞ ) 上单调递减，则存在唯一的 k ˜ ∈ ( 1 ， + ∞ ) ，使得 k e − k = k ˜ e − k ˜ (1.4) 引理1.1：假设存在 K ∈ ( k ， k ˜ ] 使得 { sup t ∈ R ∑ j = 1 m β j ( t ) ( b ( t ) + K ) a ( t ) K e ∫ 0 σ j ( t ) K j ( s ) d s < 1 ， inf t ∈ R ∑ j = 1 m β j ( t ) b ( t ) a ( t ) e k ∫ 0 σ j ( t ) K j ( s ) d s > 1 ， (1.5) 成立，则系统(1.1)的解 x ( t ; t 0 ， φ ) 在 [ t 0 ， η ( φ ) ) 上是有界的，且系统(1.1)是持久的。 证明：令 x ( t ) = x ( t ; t 0 ， φ ) ，因为 φ ∈ C + ，由引理5.2.1 [ 10 ] 有 x t ( t 0 ， φ ) ∈ C + ， ∀ t ∈ [ t 0 ， η ( φ ) ) 。由 a ( t ) x ( t ) b ( t ) + x ( t ) ≤ a ( t ) x ( t ) b ( t ) ，对 t ∈ R ， x ≥ 0 ，我们有 x ′ ( t ) = − a ( t ) x ( t ) b ( t ) + x ( t ) + ∑ j = 1 m β j ( t ) ∫ 0 σ j ( t ) K j ( s ) x ( t − s ) e − x ( t − s ) d s ≥ − a ( t ) x ( t ) b ( t ) + ∑ j = 1 m β j ( t ) ∫ 0 σ j ( t ) K j ( s ) x ( t − s ) e − x ( t − s ) d s ， 已知 x ( t 0 ) = φ ( 0 ) > 0 ，对上式积分有 x ( t ) ≥ e − ∫ t o t a ( s ) b ( s ) d s ∫ t 0 t e ∫ t o s a ( τ ) b ( τ ) d τ ∑ j = 1 m β j ( s ) ∫ 0 σ j ( s ) K j ( τ ) x ( s − τ ) e − x ( s − τ ) d τ d s + x ( t 0 ) e − ∫ t o t a ( s ) b ( s ) d s > 0 ，     ∀ t ∈ [ t 0 ， η ( φ ) ) 。 定义 N ( t ) = max { γ : γ ≤ t ， x ( γ ) = max t 0 − r ≤ s ≤ t x ( s ) } ， ∀ t ∈ [ t 0 ， η ( φ ) ) 。 下证 x ( t ) 在 [ t 0 ， η ( φ ) ) 上是有界的。 否则，当 t → η ( φ ) 时， N ( t ) → η ( φ ) ，有 lim t → η ( φ ) x ( N ( t ) ) = + ∞ 。则存在序列 { t n } n = 1 + ∞ ，使得 lim n → + ∞ t n = η ( φ ) ， lim n → + ∞ x ( N ( t n ) ) = + ∞ 。 另一方面， x ( N ( t ) ) = max t 0 − r ≤ s ≤ t x ( s ) ，则 x ′ ( N ( t ) ) ≥ 0 ， N ( t ) > t 0 。 因此， 0 ≤ x ′ ( N ( t ) ) = − a ( N ( t ) ) x ( N ( t ) ) b ( N ( t ) ) + x ( N ( t ) ) + ∑ j = 1 m β j ( N ( t ) ) ∫ 0 σ j ( N ( t ) ) K j ( s ) x ( N ( t ) − s ) e − x ( N ( t ) − s ) d s ， 即 a ( N ( t ) ) x ( N ( t ) ) b ( N ( t ) ) + x ( N ( t ) ) ≤ ∑ j = 1 m β j ( N ( t ) ) ∫ 0 σ j ( N ( t ) ) K j ( s ) x ( N ( t ) − s ) e − x ( N ( t ) − s ) d s ， 由 sup x ≥ 0 x e − x = 1 e ，有 a ( N ( t n ) ) x ( N ( t n ) ) b ( N ( t n ) ) + x ( N ( t n ) ) ≤ ∑ j = 1 m β j ( N ( t n ) ) ∫ 0 σ j ( N ( t n ) ) K j ( s ) d s 1 e ， 则 x ( N ( t n ) ) b ( N ( t n ) ) + x ( N ( t n ) ) ≤ ∑ j = 1 m β j ( N ( t n ) ) a ( N ( t n ) ) e ∫ 0 σ j ( N ( t n ) ) K j ( s ) d s ≤ sup t ∈ R ∑ j = 1 m β j ( t ) a ( t ) e ∫ 0 σ j ( t ) K j ( s ) d s ， 令 n → + ∞ ，有 1 ≤ sup t ∈ R ∑ j = 1 m β j ( t ) a ( t ) e ∫ 0 σ j ( t ) K j ( s ) d s ， 与(1.5)矛盾。因此， x ( t ) 在 [ t 0 ， η ( φ ) ) 上是有界的。由 [ 11 ] 中的定理2.3.1知， η ( φ ) = + ∞ 。 下证 x ( t ) < K ， ∀ t ∈ [ t 1 ， + ∞ ) ， t 1 > t 0 。否则 ∃ t 2 ∈ ( t 1 ， + ∞ ) ，使得 x ( t 2 ) = K ， x ( t ) < K ， ∀ t ∈ [ t 1 ， t 2 ) ， 0 ≤ x ′ ( t 2 ) = − a ( t 2 ) x ( t 2 ) b ( t 2 ) + x ( t 2 ) + ∑ j = 1 m β j ( t 2 ) ∫ 0 σ j ( t 2 ) K j ( s ) x ( t 2 − s ) e − x ( t 2 − s ) d s ≤ − a ( t 2 ) K b ( t 2 ) + K + ∑ j = 1 m β j ( t 2 ) ∫ 0 σ j ( t 2 ) K j ( s ) d s 1 e 所以，有 1 ≤ sup t ∈ R ∑ j = 1 m β j ( t 2 ) ( b ( t 2 ) + K ) a ( t 2 ) K e ∫ 0 σ j ( t 2 ) K j ( s ) d s ≤ sup t ∈ R ∑ j = 1 m β j ( t ) ( b ( t ) + K ) a ( t ) K e ∫ 0 σ j ( t ) K j ( s ) d s ， 这与(1.5)矛盾。所以有 lim t → + ∞ sup x ( t ) ≤ K 。 下证 c = lim t → + ∞ inf x ( t ) > k ，首先证明 c > 0 ，否则 c = 0 。 定义 h ( t ) = max { γ : γ ≤ t ， x ( γ ) = min t 0 ≤ s ≤ t x ( s ) } 则有 lim t → + ∞ h ( t ) = + ∞ ， lim t → + ∞ x ( h ( t ) ) = 0 (1.6) 由 h ( t ) 的定义，有 x ( h ( t ) ) = min t 0 ≤ s ≤ t x ( s ) ， x ′ ( h ( t ) ) ≤ 0 ， h ( t ) > t 0 。因此， 0 ≥ x ′ ( h ( t ) ) = − a ( h ( t ) ) x ( h ( t ) ) b ( h ( t ) ) + x ( h ( t ) ) + ∑ j = 1 m β j ( h ( t ) ) ∫ 0 σ j ( h ( t ) ) K j ( s ) x ( h ( t ) − s ) e − x ( h ( t ) − s ) d s ≥ − a ( h ( t ) ) x ( h ( t ) ) b ( h ( t ) ) + ∑ j = 1 m β j ( h ( t ) ) ∫ 0 σ j ( h ( t ) ) K j ( s ) x ( h ( t ) − s ) e − x ( h ( t ) − s ) d s 由第一积分中值定理，有 a ( h ( t ) ) x ( h ( t ) ) b ( h ( t ) ) + x ( h ( t ) ) ≥ ∑ j = 1 m β j ( h ( t ) ) ∫ 0 σ j ( h ( t ) ) K j ( s ) x ( h ( t ) − s ) e − x ( h ( t ) − s ) d s = ∑ j = 1 m β j ( h ( t ) ) ∫ 0 σ j ( h ( t ) ) K j ( s ) d s x ( h ( t ) − τ j ( h ( t ) ) ) e − x ( h ( t ) − τ j ( h ( t ) ) ) 结合(1.6)有 lim t → + ∞ x ( h ( t ) − τ j ( h ( t ) ) ) = 0 ，其中， τ j ( t ) ∈ [ 0 ， σ j ( h ( t ) ) ] ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 。 由系数函数的连续性及周期性，选取序列 { t n } n = 1 + ∞ ，使得 { t n → + ∞ ， x ( h ( t n ) ) → 0 ， a ( h ( t n ) ) → a ∗ b ( h ( t n ) ) → b ∗ ， β j ( h ( t n ) ) → β j ∗ ， σ j ( h ( t n ) ) → σ j ∗ ， τ j ( h ( t n ) ) → τ j ∗ 因此， a ( h ( t n ) ) b ( h ( t n ) ) + x ( h ( t n ) ) ≥ ∑ j = 1 m β j ( h ( t n ) ) ∫ 0 σ j ( h ( t n ) ) K j ( s ) d s x ( h ( t n ) − τ j ( h ( t n ) ) ) x ( h ( t n ) ) e − x ( h ( t n ) − τ j ( h ( t n ) ) ) ≥ ∑ j = 1 m β j ( h ( t ) ) ∫ 0 σ j ( h ( t ) ) K j ( s ) d s   e − x ( h ( t n ) − τ j ( h ( t n ) ) ) 可得， 1 ≥ ∑ j = 1 m β j ( h ( t n ) ) ( b ( h ( t n ) ) + x ( h ( t n ) ) ) a ( h ( t n ) ) ∫ 0 σ j ( h ( t n ) ) K j ( s ) d s   e − x ( h ( t n ) − τ j ( h ( t n ) ) ) 令 n → + ∞ ，有 1 ≥ lim n → + ∞ ∑ j = 1 m β j ( h ( t n ) ) ( b ( h ( t n ) ) + x ( h ( t n ) ) ) a ( h ( t n ) ) ∫ 0 σ j ( h ( t n ) ) K j ( s ) d s   e − x ( h ( t n ) − τ j ( h ( t n ) ) ) ≥ inf t ∈ R ∑ j = 1 m β j ( t ) b ( t ) a ( t ) ∫ 0 σ j ( t ) K j ( s ) d s ， 这与(1.5)矛盾，因此， c > 0 。 下证 c > k ，否则， c ≤ k 。 由波动引理( [ 10 ] Lemma A.1.)可知，存在数列 { t i } i ≥ 1 ，使得 t i → + ∞ ， x ( t i ) → lim t → + ∞ inf x ( t ) ， x ′ ( t i ) → 0 ，当 i → + ∞ 时。 因为 { x t i } 是一致有界且等度连续的，由Ascoli-Arzela定理可知，存在 { t i } i ≥ 1 的子列，不妨仍记为它本身，使得 x t i → φ ∗ ，其中 φ ∗ ∈ C + 。此外， φ ∗ ( 0 ) = c ≤ φ ∗ ( θ ) ≤ K ， θ ∈ [ − r ， 0 ) 。 由第一积分中值定理，有 x ′ ( t ) = − a ( t ) x ( t ) b ( t ) + x ( t ) + ∑ j = 1 m β j ( t ) ∫ 0 σ j ( t ) K j ( s ) d s x ( t − τ j ( t ) ) e − x ( t − τ j ( t ) ) ， 其中， τ j ( t ) ∈ [ 0 ， σ j ( t ) ) ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 。 由上可推导出， c ≤ φ ∗ ( − τ j ∗ ) ≤ K ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 。 x ′ ( t i ) = − a ( t i ) x ( t i ) b ( t i ) + x ( t i ) + ∑ j = 1 m β j ( t i ) ∫ 0 σ j ( t i ) K j ( s ) d s x ( t i − τ j ( t i ) ) e − x ( t i − τ j ( t i ) ) 当 t i → + ∞ 时，有 0 = − a ∗ c b ∗ + c + ∑ j = 1 m β j ∗ ∫ 0 σ j ∗ K j ( s ) d s   φ ∗ ( − τ j ∗ ) e − φ ∗ ( − τ j ∗ ) ≥ − a ∗ c b ∗ + ∑ j = 1 m β j ∗ ∫ 0 σ j ∗ K j ( s ) d s   c e − c 与(1.5)矛盾。所以 c = lim t → + ∞ inf x ( t ) > k 。综上，引理1.1得证。 引理1.2：假设引理1.1的条件成立，且 sup t ∈ R { ∑ j = 1 m β j ( t ) ( b ( t ) + K ) 2 a ( t ) b ( t ) e 2 ∫ 0 σ j ( t ) K j ( s ) e s d s } < 1 (1.7) 设 x ( t ) = x ( t ; t 0 ， φ ) ， x ∗ ( t ) = x ( t ; t 0 ， φ ∗ ) ，则存在正常数 λ ， t ∗ 使得 | x ( t ; t 0 ， φ ) − x ( t ; t 0 ， φ ∗ ) | ≤ L φ ， φ ∗ e − λ t ， t ≥ t ∗ ， 其中， L φ ， φ ∗ = e λ t ∗ ( max t ∈ [ t 0 − r ， t ∗ ] | x ( t ) − x ∗ ( t ) | + 1 ) 。 证明：令 y ( t ) = x ( t ) − x ∗ ( t ) ，其中 t ∈ [ t 0 − r ， + ∞ ) ，则有 y ′ ( t ) = − [ a ( t ) x ( t ) b ( t ) + x ( t ) − a ( t ) x ∗ ( t ) b ( t ) + x ∗ ( t ) ]     + ∑ j = 1 m β j ( t ) ∫ 0 σ j ( t ) K j ( s ) [ x ( t − s ) e − x ( t − s ) − x ∗ ( t − s ) e − x ∗ ( t − s ) ] d s 由引理1.1可知，存在 t φ ， φ ∗ > t 0 ， k ≤ x ( t ) ， x ∗ ( t ) ≤ K ， ∀ t ∈ [ t φ ， φ ∗ − r ， + ∞ ) 。 考虑Lyapunov函数 V ( t ) = | y ( t ) | e λ t 。 则 D − ( V ( t ) ) = λ | y ( t ) | e λ t − e λ t a ( t ) x ( t ) ( b ( t ) + x ( t ) ) ( b ( t ) + x ∗ ( t ) ) | x ( t ) − x ∗ ( t ) |     + sgn ( x ( t ) − x ∗ ( t ) ) e λ t ∑ j = 1 m β j ( t ) ∫ 0 σ j ( t ) K j ( s ) [ x ( t − s ) e − x ( t − s ) − x ∗ ( t − s ) e − x ∗ ( t − s ) ] d s 断言 V ( t ) = | y ( t ) | e λ t < L φ ， φ ∗ 。 否则，存在 t ∗ ，使得 V ( t ∗ ) = L φ ， φ ∗ ， V ( t ) < L φ ， φ ∗ ， t ∈ [ t 0 − r ， t ∗ ) ，由条件知，存在 λ ∈ ( 0 ， 1 ] ， 0 < μ < 1 ，且 λ < a ( t ) b ( t ) ( b ( t ) + K ) 2 ，使得 sup t ∈ R { ∑ j = 1 m β j ( t ) ( b ( t ) + K ) 2 ( a ( t ) b ( t ) − λ ( b ( t ) + K ) 2 ) e 2 ∫ 0 σ j ( t ) K j ( s ) e s d s } < μ < 1 则 0 ≤ D − ( V ( t ∗ ) ) = λ V ( t ∗ ) − a ( t ∗ ) b ( t ∗ ) ( b ( t ∗ ) + x ( t ∗ ) ) ( b ( t ∗ ) + x ∗ ( t ∗ ) ) V ( t ∗ )     + sgn ( x ( t ∗ ) − x ∗ ( t ∗ ) ) e λ t ∗ ∑ j = 1 m β j ( t ∗ ) ∫ 0 σ j ( t ∗ ) K j ( s ) [ x ( t ∗ − s ) e − x ( t ∗ − s ) − x ∗ ( t ∗ − s ) e − x ∗ ( t ∗ − s ) ] d s 所以， ( a ( t ∗ ) b ( t ∗ ) ( b ( t ∗ ) + x ( t ∗ ) ) ( b ( t ∗ ) + x ∗ ( t ∗ ) ) − λ ) L φ ， φ ∗ ≤ ∑ j = 1 m β j ( t ∗ ) ∫ 0 σ j ( t ∗ ) K j ( s ) e λ s V ( t ∗ − s ) d s 1 e 2 ≤ ∑ j = 1 m β j ( t ∗ ) ∫ 0 σ j ( t ∗ ) K j ( s ) e s d s 1 e 2 L φ ， φ ∗ 。 因此，有 1 ≤ sup t ∈ R { ∑ j = 1 m β j ( t ) ( b ( t ) + K ) 2 ( a ( t ) b ( t ) − λ ( b ( t ) + K ) 2 ) e 2 ∫ 0 σ j ( t ) K j ( s ) e s d s } 这与(1.7)矛盾。所以， | y ( t ) | < L φ ， φ ∗ e − λ t ， t > t ∗ 。