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user: 2. 预备知识 下面介绍一些模糊数学和分数阶模糊微积分的一些概念。 定义1： [ 14 ] [ 15 ] 记 E n = { u | u : R n → [ 0 ， 1 ] } 满足以下性质： 1) u 是正规的模糊集，既存在 x 0 ∈ R n 使得 u ( x 0 ) = 1 ； 2) u 是凸函数集，即 u ( λ x 1 + ( 1 − λ ) x 2 ) > min { u ( x 1 ) ， u ( x 2 ) } ，   ∀ x 1 ，   x 2 ∈ R ，     ∀ λ ∈ [ 0 ， 1 ] ; 3) u 是上半连续函数； 4) [ u ] 0 = c l { x ∈ R n | u ( x ) > 0 } 是紧集； 此外，如果 u ∈ E 且 0 ≤ α ≤ 1 ，则 u 的 α 阶截集被定义为： [ u ] α = { r ∈ R | u ( r ) ≥ α ， 0 < α ≤ 1 c l ( s u p p u ) ，     α = 0 很容易发现 u 的 α 截集是闭集和有界的，为此我们用区间 [ u _ ( α ) ， u ¯ ( α ) ] 来表示， u _ ( α ) 即 [ u ] α 的左端点， u ¯ ( α ) 是 [ α ] α 右端点。 定义2： [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] 对 u ∈ E 1 ， u = ( u _ ( α ) ， u ¯ ( α ) ) ，则 u _ ( α ) ， u ¯ ( α ) 均为 [ 0 ， 1 ] 上的函数且满足： u _ ( α ) 单调非降左连续； u ¯ ( α ) 单调非增连续； u _ ( α ) ≤ u ¯ ( α ) ; u _ ( α ) ， u ¯ ( α ) 在 r = 0 处连续； 记 [ u ] α = c l { x ∈ R | u ( x ) ≥ α } ( 0 < α ≤ 1 ) ， u _ ( α ) = min [ u ] α ，   u ¯ ( α ) = max [ u ] α ，     α ∈ [ 0 ， 1 ] ， 则 u _ ( α ) 和 u ¯ ( α ) 在 [ 0 ， 1 ] 上连续。 基于Zadeh扩张原理的和、差及乘运算将分别记为 ⊕ ， ⊖ ， ⊗ 。则有： u ⊕ v = ( u _ + v _ ， u ¯ + v ¯ ) u ⊖ v = ( u _ − v ¯ ， u ¯ − v _ ) k ⊗ u = { ( k u _ ， k u ¯ ) ， k ≥ 0 ( k u ¯ ， k u _ ) ， k < 0 定义3： [ 2 ] 若 f : ( a ， b ) → E ，存在 x 0 ∈ ( a ， b ) ，且 f ′ ( x 0 ) ∈ E ，那么可以称 f 在 x 0 是广义的强可微，且对 ∀ h → 0 ， h > 0 ， ∃ f ( x 0 + h ) ⊖ f ( x 0 ) 和 ∃ f ( x 0 ) ⊖ f ( x 0 − h ) ，满足： lim h → 0 f ( x 0 + h ) ⊖ f ( x 0 ) h = lim h → 0 f ( x 0 ) ⊖ f ( x 0 − h ) h = f ′ ( x 0 ) (2) 或 lim h → 0 f ( x 0 + h ) ⊖ f ( x 0 ) h = lim h → 0 f ( x 0 ) ⊖ f ( x 0 − h ) − h = f ′ ( x 0 ) (3) 或 lim h → 0 f ( x 0 ) ⊖ f ( x 0 + h ) − h = lim h → 0 f ( x 0 − h ) ⊖ f ( x 0 ) − h = f ′ ( x 0 ) (4) 或 lim h → 0 f ( x 0 ) ⊖ f ( x 0 + h ) − h = lim h → 0 f ( x 0 ) ⊖ f ( x 0 − h ) h = f ′ ( x 0 ) (5) 定理1： [ 18 ] 若 f ( x ) = ( f _ ( x ， α ) ， f ¯ ( x ， α ) ) 是定义在 [ a ， ∞ ) 上的模糊函数，对 ∀ α ∈ [ 0 ， 1 ] ， ∀ b ≥ a ， f _ ( x ， α ) ， f ¯ ( x ， a ) 都是在 [ a ， b ] 是可积的。如果 M _ ( α ) ， M ¯ ( α ) 是正函数， ∫ a b | f _ ( x ， α ) | d x ≤ M _ ( α ) ， ∫ a b | f ¯ ( x ， α ) | d x ≤ M ¯ ( α ) ，那么称 f ( x ) 在 [ a ， ∞ ) 上是模糊可积的，此外： ∫ a ∞ f ( x ) d x = ( ∫ a ∞ f _ ( x ， α ) d x ， ∫ a ∞ f ¯ ( x ， α ) d x ) (6) 注释：如果 f ( t ) = ( f _ ( t ， α ) ， f ¯ ( t ， α ) ) ， f _ ( t ， α ) 和 f ¯ ( t ， α ) 都可微，则有: f ′ ( t ) = ( f _ ( t ， α ) ， f ¯ ( t ， α ) ) ， f ′ ( t ) = ( f ¯ ( t ， α ) ， f _ ( t ， α ) ) ， 分别称为情况(i)和情况(ii)。 定理2：(模糊卷积定理)假设函数 f ( t ) 和 g ( t ) 是定义在 [ 0 ， ∞ ) 上的分段连续函数，并且带有模糊边值，则 L { f ( t ) ∗ g ( t ) } = L { g ( t ) ∗ f ( t ) } = L { f ( t ) } ⋅ L { g ( t ) } (7) 注意到函数的经典模糊Laplace变换表示为： F ^ ( P ; α ) = L { f ( t ; α ) } = [ L ( f _ ( t ; α ) ) ， L ( f ¯ ( t ; α ) ) ] (8) L { f _ ( t ; α ) } = ∫ 0 ∞ e − p t ⊙ f _ ( t ; α ) d t = ∫ 0 ∞ e − p t ⊙ f _ ( t ; α ) d t ; (9) L { f ¯ ( t ; α ) } = ∫ 0 ∞ e − p t ⊙ f ¯ ( t ; α ) d t = ∫ 0 ∞ e − p t ⊙ f ¯ ( t ; α ) d t ; (10) 定理3： [ 19 ] 如果 0 < β < 1 ， J = ( a ， b ] ， f ( x ， α ) = ( f _ ( x ; α ) ， f ¯ ( x ; α ) ) ∈ C ( J ， E ) ，则对任意 0 ≤ α ≤ 1 ，Caputo分数阶导数有： 当 f 是第(i)种的情况时有： ( D c a + β f ) ( x ; α ) = [ D c a + β f _ ( x ; α ) ， D c a + β f ¯ ( x ; α ) ] ; 当 f 是第(ii)种的情况时有： ( D c a + β f ) ( x ; α ) = [ D c a + β f ¯ ( x ; α ) ， D c a + β f _ ( x ; α ) ] ; 这里有： D c a + β f _ ( t ; α ) = 1 Γ ( m − β ) ∫ 0 x f _ m ( τ ) ( x − τ ) β + 1 − m d τ ， m − 1 < α < m ， m ∈ N ， D c a + β f ¯ ( t ; α ) = 1 Γ ( m − β ) ∫ 0 x f ¯ m ( τ ) ( x − τ ) β + 1 − m d τ ， m − 1 < α < m ， m ∈ N ， 定理4： [ 20 ] 如果 f 和 f ′ 在 [ 0 ， ∞ ) 上连续并且带有模糊的初值， f ″ 是在 [ 0 ， ∞ ) 上的分段连续函数并带有模糊的初值，则有： 当 f 和 f ′ 都是第(i)种情况: L [ f ″ ( x ) ] = s 2 L [ f ( x ) ] ⊖ s f ( 0 ) ⊖ f ′ ( 0 ) ， (11) 当 f 是第(i)种情况， f ′ 是第(ii)种情况： L [ f ″ ( x ) ] = − f ′ ( 0 ) ⊖ ( − s 2 ) L [ f ( x ) ] − s f ( 0 ) ， (12) 当 f 和 f ′ 都是第(ii)种情况： L [ f ″ ( x ) ] = s 2 L [ f ( x ) ] ⊖ s f ( 0 ) − f ′ ( 0 ) ， (13) 当 f 是第(ii)种情况， f ′ 是第(i)种情况： L [ f ″ ( x ) ] = − s f ( 0 ) ⊖ ( − s 2 ) L [ f ( x ) ] ⊖ f ′ ( 0 ) (14)