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user: 4. 水库运用期的设计洪水研究内容和方法 我国现有《规范》制定了水库建设期的设计洪水，无法回答上述科学问题。因此有必要在综述分析比较现有方法的基础上，探讨理论依据充分、方案切实可行、易于推广应用的水库运用期的设计洪水计算理论和方法，指导水库调度运行和科学管理。 4.1. 研究内容 梯级水库群调度运行期的设计洪水计算，一般都要涉及到推求受上游水库调蓄影响后的设计洪水。由上、下两个水库组成的梯级水库是最常见的，具有一定的代表性，因为多级水库可以看成是两级水库的各种组合。当干支流串联水库并联到一起，即形成了混联梯级水库群，因此，本项目的研究对象可归纳为以下四种类型： 1) 两串联水库均不承担下游防护对象的防洪任务。如图2(a)所示，B水库的洪水是经A水库调洪后的下泄洪水与区间Y的洪水组合而形成的，所以在进行B水库的防洪设计时，就需要推求B受A水库调洪影响后的设计洪水。 2) 两串联水库下游有防洪对象。如图2(b)所示，如果所要设计的工程是A水库工程，为研究A、B两个梯级水库对防护对象C的防洪效果，就需要推求C断面受上游A、B两水库调洪综合影响后的设计洪水；如果所要设计的工程是B水库工程，就需要推求B受A水库调洪影响的设计洪水，同时还要推求C断面受A、B两水库调洪共同影响的设计洪水。 3) 两串联水库之间有防洪对象。如图2(c)所示，在设计A水库时，为研究A水库对防护对象C的防洪作用，需要推求C断面受A水库调洪影响后的设计洪水。在设计B水库时，就需要推求B受A水库调洪影响后的设计洪水。 图2. 梯级水库群及承担防洪任务示意图 4) 梯级水库群下游有防洪对象。如图2(d)所示，当两条河流上的梯级水库共同承担C断面的防洪任务时，需要推求C断面受上游干流A~B梯级水库和支流A ’ ~B ’ 梯级水库组成的混联水库群联合调蓄影响后的设计洪水。 结合具体的研究对象，项目的主要研究内容可分为以下几个部分。 1) 研究流域洪水遭遇特性与地区组成规律。从气候成因角度，结合统计学的方法，分析流域暴雨洪水特性、以及上下游范围内暴雨洪水的各种成因、地域分布、强度、时间的分布；分析上下游洪水遭遇特性，以及遭遇时洪峰、洪量组成规律，全面揭示流域洪水的地区组成规律。 2) 研究梯级水库设计洪水地区组成方案。要分析梯级水库调蓄作用对下游断面洪水的影响效果，首先要拟定下游防洪断面以上水库断面及区间的洪水地区组成方案。研究采用规范规定的地区组成方法确定梯级水库各断面洪量分配方案，重点探讨研究具有统计基础、切实可行的地区组成新方案，多方案相互比较分析。 3) 研究受梯级水库群影响的设计洪水计算新方法。结合拟定的设计洪水地区组成新方案，根据梯级水库的防洪调度规则，分析得到下游防洪断面受梯级调蓄影响后的设计洪水，分析梯级水库对流域洪水的削减作用，以及对下游断面防洪标准和防洪风险的影响。 4) 研究梯级水库调蓄对下游已建水库运行管理的影响。根据计算得到的受梯级水库调蓄影响后的设计洪水，进一步分析梯级水库对河川径流及洪水时空分配过程的影响，为下游已建水库的防洪调度和运行管理提供更全面准确的信息，为流域梯级规划提供技术支撑。 5) 根据水库运用期的设计洪水，通过调洪演算推求水库运用期的汛限水位，分析防洪风险和兴利效益的增量，指导梯级水库群调度方案编制和运行。 4.2. 研究方法 基于还原后的天然流量系列，采用最可能地区组成法构建天然状态下梯级水库群设计洪水计算模块(见图3)，分别推求各水库控制断面的设计洪水及特征值。 图3. 水库运用期设计洪水计算流程图 1) 应用基于Copula函数的多变量联合分布理论和方法，用来处理、分析、研究流域梯级水库断面与各区间洪水的时空相关性及组成规律。 2) 通过对各种方法计算结果的分析比较，提出理论依据充分、切实可行的水库运用期设计洪水的新理论和新方法，并论证方法的合理性和实用价值。 4.3. 关键技术 研究的关键是寻找洪水遭遇特性与地区组成规律。如何从气候成因角度，结合统计学的方法，分析流域暴雨洪水特性、以及上下游范围内暴雨洪水的各种成因、地域分布、强度、时间的分布；分析上下游洪水遭遇特性，以及遭遇时洪峰、洪量组成规律，全面揭示流域洪水的地区组成规律。探讨梯级水库设计洪水地区组成的不同方案，分析梯级水库调蓄作用对下游断面洪水的影响效果，重点探讨研究具有统计基础、切实可行的地区组成新方案。下面给出最可能地区组成法的研究思路和方法： 1) 梯级水库设计洪水的最可能地区组成法 梯级水库如图4所示，C为设计断面，其上游有n个水库 A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A n − 1 ， A n ；n个区间流域 B 1 ， B 2 ， ⋯ ， B n − 1 ， B n 。随机变量X、Y i 和Z分别表示水库A 1 、区间流域B i 和断面C的天然来水量，取值依次为x、y i 和z ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n )。 受上游 A 1 -A 2 - ⋯ -A n − 1 -A n 梯级水库的影响，分析断面C设计洪水的地区组成需要研究天然情况下水库A 1 断面和n个区间 B 1 ， B 2 ， ⋯ ， B n − 1 ， B n 共(n + 1)个部分洪水的组合。由于河网调节等因素的影响，往往难以推求设计洪峰流量的地区组成，且对调洪能力大的水库，洪量起主要作用。因此，通常将断面C某一设计频率p的时段洪量z p 分配给上游(n + 1)个组成部分，以研究梯级水库的调洪作用。由水量平衡原理得： x + ∑ i = 1 n y i = z p (1) 式中：z p 为断面C的天然设计洪量，x、y i 分别为水库A 1 、区间B i 相应的天然洪量。 设计洪水的地区组成本质上是给定断面C的设计洪量z p ，在满足式(1)约束条件下分配z p ，得到组合 ( x ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n − 1 ， y n ) 。得到洪量分配结果后，可以从实际系列中选择有代表性的典型年，放大该典型年各分 区的洪水过程线可得各分区相应的设计洪水过程线，然后输入到 A 1 -A 2 - ⋯ -A n − 1 -A n 梯级水库系统进行调洪演算，就可以推求出同一频率p断面C受上游梯级水库调蓄影响的设计洪水值。 理论上，满足式(1)约束的洪量组合 ( x ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n − 1 ， y n ) 有无数种可能，但不同组合推求的断面C受上游梯 级水库影响的设计洪水值不同。因此，如何选择合理的地区组成方法来计算洪量组合至关重要。同频率地区组成法是目前使用最为广泛的方法，但该法只是一种人为假设，是否符合流域洪水地区组成规律，要视分区与设计断面洪水的相关性密切程度而定。此外，随水库数量的增加，需要拟定的地区组成方案数呈指数倍增长，计算工作量将急剧增加，难以满足复杂梯级水库设计洪水计算的实际需要。 在工程设计中，人们通过对实际发生洪水的时空特性规律分析，通常关心最可能发生且对下游防洪较不利的地区组成形式。因此，为了避免组合的任意性和盲目性，从发生可能性最大的角度，推导梯级水库设计洪水的最可能地区组成计算通式。 图4. 梯级水库示意图 不同洪量组合发生的相对可能性大小，可以用X和Y i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n )的联合概率密度函数值 f ( x ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n − 1 ， y n ) 大小来度量。联合概率密度函数值越大，表明该种地区组成发生的可能性越大。欲得到最可能地区组成，即为求解 f ( x ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n − 1 ， y n ) 在满足式(1)条件下的最大值，即 max     f ( x ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n − 1 ， y n ) s .t .     x + ∑ i = 1 n y i = z p } (2) X和Y i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n )的联合分布函数用 F ( x ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n − 1 ， y n ) 表示，表达式如下： F ( x ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n − 1 ， y n ) = P ( X ≤ x ， Y 1 ≤ y 1 ， ⋯ ， Y n ≤ y n ) (3) 相应的概率密度函数为： f ( x ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n − 1 ， y n ) = ∂ n + 1 F ( x ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n − 1 ， y n ) / ∂ x ∂ y 1 ⋯ ∂ y n (4) 我国一般假定X和Y i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n )均服从P-III型分布 [ 1 ] ，且各变量之间还存在一定的相关性。若用传统办法来确定(n + 1)个随机变量的联合概率分布函数和相应的密度函数解析表达式，是非常困难的。近年来Copula函数理论的应用和日趋完善使之成为可能，它能够灵活地构造具有任意边缘分布的多变量联合分布 [ 10 ] 。 2) 基于Copula函数推导最可能地区组成计算通式 假设随机变量 X i ( i = 1 ， 2 ， … ， n ) 的边缘分布函数分别为 F X i ( x i ) = P X i ( X i ≤ x i ) ，其中n为随机变量的个数， x i 为随机变量 X i 的取值， H ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ) 为随机变量 X 1 ， X 2 ， ⋯ ， X n 的联合分布函数，则存在唯一的Copula函数使得 [ 15 ] ： H ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ) = C ( F 1 ( x 1 ) ， F 2 ( x 2 ) ， ⋯ ， F n ( x n ) ) = C ( u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u n ) (5) 式中： u i = F X i ( x i ) ，在区间[0，1]上连续。 应用Copula函数建模时，可分为两步：确定随机变量各自的边缘分布；根据各变量的边缘分布，选取适当的Copula函数，准确地描述边缘分布间的相关结构。 借助Copula函数，联合分布函数 F ( x ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n − 1 ， y n ) 可以表示为： F ( x ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n − 1 ， y n ) = C ( u ， v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v n − 1 ， v n ) (6) 式中： C ( u ， v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v n − 1 ， v n ) 为Copula函数； u = F X ( x ) 、 v i = F Y i ( y i ) 分别为水库A 1 、区间B i 洪水的边缘分布函数。 相应的联合概率密度函数： f ( x ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n − 1 ， y n ) = c ( u ， v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v n − 1 ， v n ) f X ( x ) ∏ i = 1 n f Y i ( y i ) (7) 式中： c ( u ， v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v n − 1 ， v n ) = ∂ n + 1 C ( u ， v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v n − 1 ， v n ) / ∂ u ∂ v 1 ∂ v 2 ⋯ ∂ v n − 1 ∂ v n 为Copula函数的密度函数； f X 、 f Y i 分别为X和Y i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n )的概率密度函数。 将 x = z p − ∑ i = 1 n y i 代入 f ( x ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n − 1 ， y n ) 得到： f ( z p − ∑ i = 1 n y i ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n − 1 ， y n ) = c ( F X ( z p − ∑ i = 1 n y i ) ， F Y 1 ( y 1 ) ， F Y 2 ( y 2 ) ， ⋯ ， F Y n − 1 ( y n − 1 ) ， F Y n ( y n ) ) f X ( z p − ∑ i = 1 n y i ) ∏ i = 1 n f Y i ( y i ) (8) 欲使 f ( z p − ∑ i = 1 n y i ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n − 1 ， y n ) 取最大值，需满足： ∂ f ( z p − ∑ i = 1 n y i ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n − 1 ， y n ) / ∂ y i = 0 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) (9) 刘章君等 [ 13 ] 通过推导归纳得出，由n个水库组成的梯级防洪系统设计洪水最可能地区组成的方程组通式为： { c 1 f X ( x ) − c 2 f Y 1 ( y 1 ) + c ⋅ [ f ′ X ( x ) f X ( x ) − f ′ Y 1 ( y 1 ) f Y 1 ( y 1 ) ] = 0 c 1 f X ( x ) − c 3 f Y 2 ( y 2 ) + c ⋅ [ f ′ X ( x ) f X ( x ) − f ′ Y 2 ( y 2 ) f Y 2 ( y 2 ) ] = 0                                                           ⋮ c 1 f X ( x ) − c n f Y n − 1 ( y n − 1 ) + c ⋅ [ f ′ X ( x ) f X ( x ) − f ′ Y n − 1 ( y n − 1 ) f Y n − 1 ( y n − 1 ) ] = 0 c 1 f X ( x ) − c n + 1 f Y n ( y n ) + c ⋅ [ f ′ X ( x ) f X ( x ) − f ′ Y n ( y n ) f Y n ( y n ) ] = 0 x + ∑ i = 1 n y i − z p = 0 (10) 式中： c = c ( u ， v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v n − 1 ， v n ) ， c 1 = ∂ c / ∂ u ， c i + 1 = ∂ c / ∂ v i ； f ′ X ， f ′ Y i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 分别为相应概率密度函数的导函数。 若X和Y i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n )均服从P-III分布，则 f ′ X ( x ) = β x α x Γ ( α x ) ( x − γ x ) α x − 2 e − β x ( x − γ x ) [ ( α x − 1 ) − β x ( x − γ x ) ] (11) f ′ Y i ( y i ) = β y i α y i Γ ( α y i ) ( y i − γ y i ) α y i − 2 e − β y i ( y i − γ y i ) [ ( α y i − 1 ) − β y i ( y i − γ y i ) ] (12) 故 f ′ X ( x ) f X ( x ) = α x − 1 x − γ x − β x ， f ′ Y i ( y i ) f Y i ( y i ) = α y i − 1 y i − γ y i − β y i (13) 式中： α x 、 β x 、 γ x 和 α y i 、 β y i 、 γ y i 分别为变量X和Y i 形状、尺度和位置参数。将式(13)代入式(10)，则可表述为： { c 1 f X ( x ) − c 2 f Y 1 ( y 1 ) + c ⋅ [ α x − 1 x − γ x − α y 1 − 1 y 1 − γ y 1 + β y 1 − β x ] = 0 c 1 f X ( x ) − c 3 f Y 2 ( y 2 ) + c ⋅ [ α x − 1 x − γ x − α y 2 − 1 y 2 − γ y 2 + β y 2 − β x ] = 0                                                           ⋮ c 1 f X ( x ) − c n f Y n − 1 ( y n − 1 ) + c ⋅ [ α x − 1 x − γ x − α y n − 1 − 1 y n − 1 − γ y n − 1 + β y n − 1 − β x ] = 0 c 1 f X ( x ) − c n + 1 f Y n ( y n ) + c ⋅ [ α x − 1 x − γ x − α y n − 1 y n − γ y n + β y n − β x ] = 0 x + ∑ i = 1 n y i − z p = 0 (14) 非线性方程组式(14)即为基于Copula函数推求的最可能地区组成法应满足的计算通式。式(14)分别有(n+1)个未知数 x ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n − 1 ， y n 和(n+1)个方程，根据问题的实际意义， f ( x ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n − 1 ， y n ) 的最大值客观上存在且唯一，因此该方程组必定有唯一的解。显然，其最大值不会在边界取得，而是在定义域内部，即 0 < x ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n − 1 ， y n < z p 取得，因此由偏导数为零求解方程组得到的驻点即为最大值点。 由于问题的复杂性，采用数值方法计算非线性方程组(14)的近似解。牛顿法是目前求解非线性方程组最为行之有效的一种算法，具有收敛速度快、算法稳定性强等优点。可将以各分区控制面积占设计断面的比例分配洪量z p 得到的结果作为初始解，采用牛顿迭代法进行迭代求解，得到水库A 1 断面、区间流域B 1 、B 2 …B n-1 、B n 洪水的最可能地区组成 ( x ∗ ， y 1 ∗ ， y 2 ∗ ， ⋯ ， y n − 1 ∗ ， y n ∗ ) 。