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user: 2. 多维项目反应理论的计量模型 Bock，Horst，McDonald，Samejima等学者的研究工作，推动了MIRT的发展。MIRT的数学表达式包括多个描述测验中体现的被试知识和能力特征的参数，以及项目难度和区分度等题目特性的参数  (Reckase， 2009) 。MIRT建立的是被试在多维空间中的位置与其项目作答概率之间的关系。根据能力各维度 之间的关系，目前有两种主要的MIRT模型。 如果模型基于 各维度的线性组合，这种线性组合可用在正态肩形函数或逻辑斯蒂克函数中，并通过这些函数来表示对某反应的概率。这意味着同样的总和可由很多种 维度的组合得到。如果某一个 维度值较低，其它值相当高的维度 仍然可以使总和维持不变。具有这种性质的模型一般被称为“补偿模型”(compensatory models)。 另一种模型的特点是，每一个题目涉及的认知任务可以分割成几个部分构成，每一个部分的作答概率可以使用单维IRT模型表示。而正确回答题目的概率则是每一部分概率的乘积。事实上，正确作答项目的概率肯定不会高于作答每一部分的最大概率，这降低了高维度值 对低维度值 的补偿。这类模型被称为“非补偿模型”(noncompensatory models)。但一个高维度值的 确实能产生相对较高的作答概率，有一定程度的补偿作用，所以  Reckase (2009) 也把这种模型称为“部分补偿模型”(partially compensatory models)。 除了补偿和非补偿这种分类，MIRT也可以根据题目记分的形式分为二分模型和多级模型。下面结合这两种分类方法，对MIRT模型进行介绍。 2.1. 二分法记分的MIRT模型 由于探讨二分数据因素结构的需要，二分数据的MIRT模型通过扩展二分UIRT的形式开始出现  (Yao， Schwarz， 2006) 。 2.1.1. 补偿模型 2参数逻辑斯蒂克模型(M-2PL)的多维扩展形式可表示为： 其中，e的指数部分向量 和 的运算方式是： 其中m为维度个数。该指数部分是向量 元素的线性组合，参数d是截距项，向量 的元素作为斜率参数。 显然，MIRT的被试参数和项目参数要比同样形式的UIRT多很多，但由于补偿模型的各 元素之间有互补关系，所以可将各 元素视为一个整体，与其对应的项目参数可以多维项目参数的形式表示。  Reckase (1985) 提出多维项目区分度(Multidimensional Item Discrimination， MDISC)和多维项目难度(Multidimensional Item Difficulty， MID)的表达式： 和 的值和UIRT模型中的a参数和b参数有相同的解释。在M-2PL中， 是 空间中，从原点出发到项目反应概率曲面上最大斜率点的方向斜率，是各维度综合区分能力的体现。 是 空间从原点沿最大斜率点的方向到作答概率0.5的等高线的距离。 在多维3参数逻辑斯蒂克模型(M-3PL)中，伪猜测参数 的意义变为 向量各维度值都极低时的答对概率  (Reckase， McKinley， 1991) 。M-3PL 的形式为： 此外，在二分法记分的多维扩展模型中，还有多维Rasch模型  (Adams， Wilson， Wang， 1997) 、多维正态肩形模型  (Bock， Schilling， 2003) 。这些多维模型都是补偿模型，也可用于探索性或验证性非线性因素分析。 2.1.2. 非补偿模型 补偿模型的特点是，即使另外 个维度值都很低，被试如果在m维度上值很高，那么仍然可以在项目上有很高的正确作答概率。但有些题目不符合上述情况，如做一道数学题需要数学计算和阅读两种能力，数学计算能力很高的人如读不懂题目，仍然无法答对题目。根据这种情况，  Sympson (1978) 提出了下面的多维模型。 上式中，连乘部分采用的是2参数逻辑斯蒂克模型，连乘的每一部分各代表成功完成项目的一个维度任务的概率，项目的这些维度任务被认为是相互独立的，所以项目的答对概率采取了乘积的形式。但Sympson认为每个题目只有一个非零的下渐近线 ，对每个题目不同的维度任务来说，没有相应的“伪猜测参数”。 实际上，上式是在3PL模型的基础上扩展成多维的，后来也有研究者使用了更简化的模型，  Whitely (1980) 称之为多成分潜在特质模型(multicomponent latent trait model， MLTM)，  Maris (1995) 称之为“连接式Rasch模型”(conjunctive Rasch model)，用以表示多个相互独立的认知成分对一个题目作答正确概率的影响，其表达式为： 补偿模型和非补偿模型在人-题交互作用的表达方式上是不同的。非补偿模型使用的题目由不同的维度任务构成，这些不同的维度任务又对应着各自需要的技能或知识，题目的完成依赖于每个维度任务的完成。补偿模型则更侧重整体的作用，所有技能和知识一起对题目的所有方面发生影响。这方面的比较研究不多，如  Bolt和Lall (2003) 发现在英语用法测验中，补偿模型对数据的拟合比非补偿模型好。归根到底，使用哪种模型取决于人们在实际题目上的反应机制。 2.2. 多级记分的MIRT模型 二分法记分的MIRT模型已有多年的发展，但多级记分的MIRT模型的研究相对较晚。到目前为止，有关研究也仅限于补偿模型的探讨。  Muraki和Carlson (1993) 扩展得到了多维等级反应模型，近年还有研究在一套混合记分的测验中综合应用了多维3参数逻辑斯蒂克模型和多维拓广分部评分模型  (Yao， Schwarz， 2006) 。 2.2.1. 多维分部评分模型 多维分部评分模型(MPCM)是将Rasch模型扩展到多维多级的形式  (Kelderman， Rijkes， 1994) ，可表示为： 其中， 是项目i的维度为u、类别为k的难度参数， 是预先确定的项目i在维度为u、类别为k的权重。 2.2.2. 多维拓广分部评分模型 分部评分项目i，能力向量为 的被试，在MGPC中作答类别为k-1的概率为  (Yao， Schwarz， 2006) ： 其中 指被试j对项目i的作答类别。 指维度数为D的项目区分度参数向量。 指阈限参数(或称a参数)，令 。 Yao和Schwarz (2006) 对此类模型考察，其参数估计方法已由体现Rasch模型特色的条件极大似然估计(CML)变成了马尔可夫链-蒙特卡洛方法(MCMC)。Yao和Schwarz分别使用了多维3参数逻辑斯蒂克模型(M-3PL)和多维拓广分部评分模型对多重选择题和论文式题目进行了参数估计。Yao和Schwarz对多维模型的项目参数、项目信息量、测验信息量、拟合评价等问题进行了较全面的计算。 2.2.3. 多维等级反应模型 Muraki和Carlson (1993) 将单维等级反应模型扩展为多维模型，项目反应函数使用的是正态肩形模型的形式。和单维模型一样，多维模型也假定题目作答由一些步骤构成，能做到第k步，必然已经成功完成前k-1步。这类模型也可用于后面类别包括前面所有类别的评定量表。比如，要评定一下在某项目上用的时间，如果某一个评定类别是“用了一个小时”，则意味着所有低于一个小时的类别均包含在内。多维等级反应模型计算被试得k分的概率与单维模型相似，其表达式为： 其中 ， 等级反应模型的正态肩形模型形式是， 将式1-4-24代入1-4-23，可得， 上述各种模型都只适用于某一种情况，如题目二分或题目多级，包括或不包括伪机遇参数等。但实际考试中，为提高测验的有效性，往往将不同类型的题目结合在一起使用。目前单参数逻辑斯蒂克模型和分部评分模型、2参数逻辑斯蒂克模型和等级反应模型等的结合，已用于混合项目类型(mixed item types)的测验  (Baker， Kim， 2004) 。但目前MIRT的混合项目类型的研究较为少见。 杨向东(2010) 认为，现有心理测量学模型，缺少实质理论的支持。他认为，揭示一般规律的认知研究与揭示个别差异的测量学研究相整合，构建认知测量模型(cognitive psychometric model)，是将来模型发展的方向。事实上，前文提到的补偿模型和非补偿模型，在一定程度上也体现了被试问题解决过程的认知模型与心理测量学模型结合的特点。但还需要进一步结合具体领域的认知加工模型，并在测验开发之初就根据认知模型编制测验，在此基础上依据经验数据进行验证。另外，认知测量模型还需逐渐与具体情境结合，以解决复杂认知领域的建模、分析和解释等问题。这里并不是主张抛弃这些心理测量学模型，而是要加强实质性的认知加工模型与心理测量学模型之间的联结。