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user: 3. 犹豫模糊不确定语言多属性群决策方法 本节主要介绍犹豫模糊不确定语言Shapley Choquet算术平均算子(HFULSCA)和犹豫模糊不确定语言Shapley Choquet几何平均算子(HFULSCG)及其相关的一些性质。之后，将会介绍用于度量犹豫模糊不确定语言集距离的距离测度，即基于Shapley Choquet积分的汉明距离。最后，在以上研究的基础上，提出在犹豫模糊不确定语言环境下的TOPSIS多属性决策方法，为之后的实证分析提供理论支持。 3.1. Shapley Choquet积分算子 定义3.1：设 a ˜ i = 〈 [ s θ ( a i ) ， s τ ( a i ) ] ， h ( a i ) 〉 ( i = 1 ， 2 ， ... ， n ) 为犹豫模糊不确定语言集， g λ 为论域 A = { a ˜ 1 ， a ˜ 2 ， ⋯ ， a ˜ n } 上的 λ -模糊测度，则 a ˜ i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 的犹豫模糊不确定语言Shapley Choquet算术平均算子可表示为 H F U L S C A g λ ( a ˜ 1 ， a ˜ 2 ， ⋯ ， a ˜ n ) = ⊕ i = 1 n ( a ˜ ( i ) ) ( ρ A ( i ) s h ( g λ ， N ) − ρ A ( i + 1 ) s h ( g λ ， N ) ) (3.1) 其中， ( ( 1 ) ， ( 2 ) ， ⋯ ， ( n ) ) 表示 ( 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 的一个置换，使得 a ˜ ( 1 ) ≤ a ˜ ( 2 ) ≤ ⋯ ≤ a ˜ ( n ) ，且 A ( i ) = { a ˜ ( i ) ， a ˜ ( i + 1 ) ， ⋯ ， a ˜ ( n ) } ， A ( n + 1 ) = ∅ 。 定理3.1：设 a ˜ i = 〈 [ s θ ( a i ) ， s τ ( a i ) ] ， h ( a i ) 〉 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 为犹豫模糊不确定语言集， g λ 为论域 A = { a ˜ 1 ， a ˜ 2 ， ⋯ ， a ˜ n } 上的 λ -模糊测度，则利用犹豫模糊不确定语言Shapley Choquet算术平均算子对决策信息进行集结，所得的结果仍然是一个犹豫模糊不确定语言元，即 H F U L S C A g λ ( a ˜ 1 ， a ˜ 2 ， ⋯ ， a ˜ n ) = 〈 [ s ∑ i = 1 n θ ( a i ) ( ρ A ( i ) s h ( g λ ， N ) − ρ A ( i + 1 ) s h ( g λ ， N ) ) ， s ∑ i = 1 n τ ( a i ) ( ρ A ( i ) s h ( g λ ， N ) − ρ A ( i + 1 ) s h ( g λ ， N ) ) ] ， ( ∪ γ ( a ( i ) ) ∈ h ( a ( i ) ) ( 1 − ∏ i = 1 n ( 1 − γ ( a ( i ) ) ) ( ρ A ( i ) s h ( g λ ， N ) − ρ A ( i + 1 ) s h ( g λ ， N ) ) ) 〉 (3.2) 其中， ( ( 1 ) ， ( 2 ) ， ⋯ ， ( n ) ) 表示 ( 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 的一个置换，使得 a ˜ ( 1 ) ≤ a ˜ ( 2 ) ≤ ⋯ ≤ a ˜ ( n ) ，且 A ( i ) = { a ˜ ( i ) ， a ˜ ( i + 1 ) ， ⋯ ， a ˜ ( n ) } ， A ( n + 1 ) = ∅ 。 定义3.2：设 a ˜ i = 〈 [ s θ ( a i ) ， s τ ( a i ) ] ， h ( a i ) 〉 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 为犹豫模糊不确定语言集， g λ 为论域 A = { a ˜ 1 ， a ˜ 2 ， ⋯ ， a ˜ n } 上的 λ -模糊测度，则 a ˜ i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 的犹豫模糊不确定语言Shapley Choquet几何平均算子可表示为 H F U L S C G g λ ( a ˜ 1 ， a ˜ 2 ， ⋯ ， a ˜ n ) = ⊗ i = 1 n ( a ˜ ( a i ) ) ρ A ( i ) s h ( g λ ， N ) − ρ A ( i + 1 ) s h ( g λ ， N ) (3.3) 其中， ( ( 1 ) ， ( 2 ) ， ⋯ ， ( n ) ) 表示 ( 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 的一个置换，使得 a ˜ ( 1 ) ≤ a ˜ ( 2 ) ≤ ⋯ ≤ a ˜ ( n ) ，且 A ( i ) = { a ˜ ( i ) ， a ˜ ( i + 1 ) ， ⋯ ， a ˜ ( n ) } ， A ( n + 1 ) = ∅ 。 定理3.2：设 a ˜ i = 〈 [ s θ ( a i ) ， s τ ( a i ) ] ， h ( a i ) 〉 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 为犹豫模糊不确定语言集， g λ 为论域 A = { a ˜ 1 ， a ˜ 2 ， ⋯ ， a ˜ n } 上的 λ -模糊测度，则利用犹豫模糊不确定语言Shapley Choquet几何平均算子对决策信息进行集结，所得的结果仍然是一个犹豫模糊不确定语言元，即 H F U L S C G g λ ( a ˜ 1 ， a ˜ 2 ， ⋯ ， a ˜ n ) = 〈 [ s ∏ i = 1 n θ ( a i ) ( ρ A ( i ) s h ( g λ ， N ) − ρ A ( i + 1 ) s h ( g λ ， N ) ) ， s ∏ i = 1 n τ ( a i ) ( ρ A ( i ) s h ( g λ ， N ) − ρ A ( i + 1 ) s h ( g λ ， N ) ) ] ， ( ∪ γ ( a ( i ) ) ∈ h ( a ( i ) ) ∏ i = 1 n γ ( a ( i ) ) ( ρ A ( i ) s h ( g λ ， N ) − ρ A ( i + 1 ) s h ( g λ ， N ) ) ) 〉 (3.4) 其中， ( ( 1 ) ， ( 2 ) ， ⋯ ， ( n ) ) 表示 ( 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 的一个置换，使得 a ˜ ( 1 ) ≤ a ˜ ( 2 ) ≤ ⋯ ≤ a ˜ ( n ) ，且 A ( i ) = { a ˜ ( i ) ， a ˜ ( i + 1 ) ， ⋯ ， a ˜ ( n ) } ， A ( n + 1 ) = ∅ 。 3.2. 犹豫模糊不确定语言集的距离测度 结合Shapley Choquet积分，本小节中提出了犹豫模糊不确定语言集的距离测度，用以测量任意两个犹豫模糊不确定语言集的距离，为之后提出的多属性决策TOPSIS方法奠定基础。 定义3.3：设 a ˜ = 〈 [ s θ ( a ) ， s τ ( a ) ] ， h ( a ) 〉 和 为任意的两个犹豫模糊不确定语言元，则其汉明距离可以定义为 。 (3.5) 进一步分析研究，结合Shapley Choquet积分，本文给出了基于Shapley Choquet积分的犹豫模糊不确定语言集的汉明距离。 设论域为 ，两个犹豫模糊不确定语言集 和 ，分别由两组犹豫模糊不确定语言元 和 构成， 为论域 上的Shapley模糊测度，则犹豫模糊不确定语言集 和 的基于Shapley Choquet积分的汉明距离可以表示为 (3.6) 其中， 为犹豫模糊不确定语言元之间的距离，可以由式(3.5)计算得出。 是关于 上的 的一个置换，以使得 ，且 ， 。 3.3. 基于Shapley Choquet积分的群决策TOPSIS方法 3.3.1. 问题描述 考虑一个犹豫模糊不确定语言环境下的群决策问题。设 、 和 分别为方案集、属性集和决策专家集。方案 在属性 下的评价值以犹豫模糊不确定语言元 的形式给出。由此，可以得出犹豫模糊不确定语言决策矩阵 。另外，在实际决策中，决策专家和决策属性的权重信息一般是未知的，或者是部分已知的。在此，假设有关 -模糊测度的信息是部分已知的，且用 和 分别表示已知部分的决策专家和决策属性的 -模糊测度信息。 3.3.2. Shapley模糊测度的确定 如前所述，在多属性决策问题中，Shapley Choquet积分能够灵活地表示和处理属性间有相互作用、相互影响的问题，使决策过程更加合理，决策结果更加科学。本文使用离差最大化方法，通过构建数学模型来客观地确定决策问题中决策专家和决策属性的Shapley模糊测度。 1998年Wang [ 22 ] 率先提出了基于离差最大化的客观赋权方法，即在一个多属性决策问题，就决策属性而言，如果在某一个决策属性下，对于不同的方案，决策专家给出的决策属性值差异很小，则说明该属性无法很好地区分不同方案，从而该属性应该被赋予一个较小的权重。反之，属性应该被赋予较大的权重。 结合Shapley模糊测度，决策专家在属性 下针对不同方案所做出的评价值的总差异可以表示为 (3.7) 其中， 是 与 之间的汉明距离，可以由式(3.5)计算得到， 表示决策专家 在属性 下的Shapley模糊测度。 就所有的决策专家而言，在属性 下某一方案和其他方案之间的总的评估偏差可以表示为 。 (3.8) 为了确定在属性 下，决策专家 的 -模糊测度 ，构建如下的数学模型： (3.9) 其中， 为决策专家 在属性 下的模糊测度的取值范围。 通过求解上述数学模型，可以得到在决策属性 下决策专家的 -模糊测度 ，再根据式(2.6)，即可计算得到在属性 下决策专家的Shapley模糊测度 。 对于决策属性 ，所有方案与其他方案的偏差可以定义为 (3.10) 其中， 表示方案 在属性 下，通过犹豫模糊不确定语言Shapley Choquet算术平均算子或者犹豫模糊不确定语言Shapley Choquet几何平均算子进行集结后的评价值， 表示由式(3.5)计算得到的 与 之间的汉明距离， 为属性集 上的Shapley模糊测度。 在属性 下，一方案与其他方案之间总的偏差可以表示为 。 (3.11) 为了确定在属性 下的 -模糊测度 ，可以构建如下的数学模型： (3.12) 其中， 是属性 的模糊测度的取值范围。 求解上述模型，可以得到在属性集 上的 -模糊测度 。再根据式(2.6)，即可求得在属性集 上的Shapley模糊测度。 3.3.3. 基于Shapley Choquet积分的模糊多属性群决策TOPSIS方法 根据以上分析，利用离差最大化方法可以求得在多属性决策下专家集的Shapley模糊测度。然后，利用犹豫模糊不确定语言Shapley Choquet算术平均算子或者犹豫模糊不确定语言Shapley Choquet几何平均算子，可以将单个的多属性决策矩阵集结为综合的多属性决策矩阵。同时，结合离差最大化方法，通过构建数学模型，可以客观地求解得到属性集的Shapley模糊测度。最后，在犹豫模糊不确定语言环境下使用TOPSIS方法计算每个方案贴近度的取值大小，对方案进行排序。综上提出了基于Shapley Choquet积分的多属性群决策TOPSIS方法。具体步骤表示如下。 第一步，根据式(3.9)，确定在属性 下决策专家集 的 -模糊测度 。 第二步，利用式(2.7)，可以计算得到在属性 下的决策专家集 的Shapley模糊测度 。 第三步，根据定义2.11提出的排序关系，确定在属性 下的决策专家 给出的以犹豫模糊不确定语言元 形式表示的评价值，然后，利用犹豫模糊不确定语言Shapley Choquet算术平均算子或者犹豫模糊不确定语言Shapley Choquet几何平均算子，将所有的个人决策矩阵 集结成综合的决策矩阵 。 第四步，根据式(3.12)，计算得到属性集 下的 -模糊测度 。 第五步，利用式(2.7)，计算得到属性集 的Shapely模糊测度 。 第六步，确定犹豫模糊不确定语言正理想解 ，以及犹豫模糊不确定语言负理想解 ，具体表示如式(3.13)和式(3.14)。 (3.13) (3.14) 第七步，根据式(3.6)，分别计算得到方案 与犹豫模糊不确定语言正理想解 以及方案 与犹豫模糊不确定语言负理想解 的汉明距离。 第八步，计算每一个方案 的相对贴近度 ，即 。 (3.15) 第九步，根据贴近度越大方案越优的原则，对方案 进行排序。