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user: 3. 模型的建立与求解 3.1. 一维分段热传导方程的建立 设 u ( x ， t ) 温度关于位置x和时间t的二元函数。推导一维分段热传导方程需要依据Fourier实验定律： 在 Δ t 时间内，通过面积元s流入小体积元的热量Q与沿面积元外法线方向的温度变化率 ∂ u ∂ n 成正比。 因为热量传导的方向共线，所以在本文中只考虑一维情况，所以在 Δ t 时间内，通过面积元s流入小 体积元的热量Q与沿长度微元法线方向 ∂ u ∂ x 成正比。 现考虑长度微元 Δ x ，如果温度 u ( x + Δ x ， t ) > u ( x ， t ) ，那么 Δ Q 将是负值。规定热量从x处流向 x + Δ x 处的方向为正向，如果 x + Δ x 处的温度高于x处的温度，则热量必然会从 x + Δ x 处流向x处，让 Δ x → 0 ， 差商项 u ( x + Δ x ) − u ( x ) Δ x 将接近 ∂ u ∂ x 。 定义 x = 0 处为第I层与外界接触的位置。 长度微元吸收的热量： Q 吸 = − k ∂ u ∂ x ⋅ s ⋅ Δ t (1) 长度微元放出的热量： Q 放 = − k ∂ u ∂ x | x + Δ x ⋅ s ⋅ Δ t (2) 由(1)、(2)得出长度微元在 Δ t 时间内获得的热量为： Q 吸 − Q 放 = k ( ∂ u ∂ x | x + Δ x − ∂ u ∂ x ) ⋅ s ⋅ Δ t (3) 又由热量计算公式 Q = c ⋅ m ⋅ Δ t ，得： Q 吸 − Q 放 = c ⋅ Δ m ( u ( x ， t + Δ t ) − u ( x ， t ) ) = k ∂ 2 u ∂ x 2 ⋅ Δ x ⋅ s (4) 其中： Δ m = ρ ⋅ s ⋅ Δ x 联立(3)、(4)解得 ∂ u ∂ t = α i 2 ∂ 2 u ∂ x 2   ( i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) (5) 其中 α i = { k 1 / ( ρ 1 c 1 )   i ∈ [ 0 ， n 1 ] k 2 / ( ρ 2 c 2 ) i ∈ [ n 1 ， n 1 + n 2 ] k 3 / ( ρ 3 c 3 )   i ∈ [ n 1 + n 2 ， n 1 + n 2 + n 3 ] k 4 / ( ρ 4 c 4 ) i ∈ [ n 1 + n 2 + n 3 ， n ] (6) 由题目信息可以得出条件： 据Fourier实验定律得： d u d x | x = d = − λ ( u ( d ， t ) − 37 ) (7) λ 为第IV层向第V层(皮肤外侧到体内温度恒定为37℃的区域)传导热量的比例系数。 t = 0 时，第I层到第V层的温度都为37℃： u ( x ， 0 ) = 37 ， 0 ≤ x ≤ d (8) t > 0 时，外界温度突变为75℃： u ( 0 ， t ) = 75 ， t > 0 (9) 综上所述，我们建立的一维分段热传导方程为： { ∂ u ∂ t = α i 2 ∂ 2 u ∂ x 2 ， i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 u ( x ， 0 ) = 37 ， 0 ≤ x ≤ d u ( 0 ， t ) = 75 ， t ≥ 0 d u d x | x = d = − λ ( u ( d ， t ) − 37 ) (10) 其中 α i 如上文所述。 3.2. 有限差分法简化热传导方程 求解一维热传导方程的方法主要为有限差分法和有限元法 [ 8 ] [ 9 ] 。有限差分法的基本理论是使用有限个网格节点构成的细小网格来替代连续的定解区域，将热传导方程和定解条件使用差商来近似，于是方程和定解条件就可以使用有限差分方程组进行近似计算。有限差分法理论成熟、可以选择精度，而且易于编程，所以选择有限差分法来求解上文建立的数学模型。 首先将x离散化，取步长为 Δ x = 10 − 4   m 。 第I层被分为 n 1 个小格 n 1 = x 1 Δ x ；第II层被分为 n 2 个小格 n 2 = x 2 Δ x 。 第III层被分为 n 3 个小格 n 3 = x 3 Δ x ；第IV层被分为 n 4 个小格 n 4 = x 4 Δ x 。 定义辅助函数 u i ( t ) = u ( i ( Δ x ) ， t ) ，i为位置x被划分的第i个小格。 由Lagrange中值定理得出当满足 2 ≤ i ≤ n − 1 的微分方程： u i + 1 ( t ) − u i ( t ) = u ( ( i + 1 ) ( Δ x ) ， t ) − u ( i ( Δ x ) ， t ) ≈ ∂ u ∂ x | ( i + 1 / 2 ) Δ x ( t ) Δ x (11) u i ( t ) − u i − 1 ( t ) = u ( i ( Δ x ) ， t ) − u ( ( i − 1 ) ( Δ x ) ， t ) ≈ ∂ u ∂ x | ( i − 1 / 2 ) Δ x ( t ) Δ x (12) u i + 1 ( t ) + u i − 1 ( t ) − 2 u i ( t ) ≈ ∂ 2 u ∂ x 2 | i Δ x ⋅ ( Δ x ) 2 (13) 原方程为 ∂ u ∂ t = α 2 ∂ 2 u ∂ x 2 (14) 将原方程离散化，x替换为 i Δ x 得出： ∂ u i ( t ) ∂ t = α i 2 u i + 1 ( t ) + u i − 1 ( t ) − 2 u i ( t ) ( Δ x ) 2 (15) 又因为 ∂ u i ( t ) ∂ t = u i ( t j + 1 ) − u i ( t j ) Δ t = α i 2 ( Δ x ) 2 [ u i + 1 ( t j ) + u i − 1 ( t j ) − 2 u i ( t j ) ] (16) 结合边值条件最终得到： 我们分三类进行讨论 i) 第1个小格满足的方程为： u 1 ( t 1 ) = u 1 ( t 0 ) + α 1 2 ( Δ x ) 2 ( u 2 ( t 0 ) + 75 − 2 u 1 ( t 0 ) ) Δ t (17) 其中： u 1 ( t 0 ) = 37 ， u 2 ( t 0 ) 为第I层第2个小格在 t = 0 的温度 ii) 第2到第 n − 1 个小格满足的方程为： u i ( t j + 1 ) = u i ( t j ) + α i 2 ( Δ x ) 2 [ u i + 1 ( t j ) + u i − 1 ( t j ) − 2 u i ( t j ) ] ⋅ Δ t (18) iii) 第n个小格(也即最后一个小格)满足的方程为 u n ( t j + 1 ) = u n ( t j ) + α 4 2 ( Δ x ) 2 ( u n − 1 ( t j ) − u n ( t j ) − β ( u n ( t j ) − 37 ) ) Δ t (19) 由题意给出如下定解条件： d u d x | x = d = − λ ( u ( d ， t ) − 37 ) (20) λ 为第IV层向第V层传导热量的比例系数 t = 0 时，第I层到第V层的温度恒为37℃ u ( x ， 0 ) = 37 ， 0 ≤ x ≤ d (21) 环境温度为75℃ u ( 0 ， t ) = 75 ， t > 0 (22) 通过上述递推关系，可建立如下映射关系，进而求得方程的解： ( 37 37 ⋮ 37 ) → u i ( t ) ( u 1 ( t 1 ) u 2 ( t 1 ) ⋮ u d ( t 1 ) ) → u i ( t ) ⋯ → u i ( t ) ( u 1 ( t n ) u 2 ( t n ) ⋮ u d ( t n ) ) (23) 综上所述，得出用有限差分法简化的热传导方程 { u 1 ( t 1 ) = u 1 ( t 0 ) + α 1 2 ( Δ x ) 2 ( u 2 ( t 0 ) − 2 u 1 ( t 0 ) + 75 ) Δ t u i ( t j + 1 ) = u i ( t j ) + α i 2 ( Δ x ) 2 [ u i + 1 ( t j ) + u i − 1 ( t j ) − 2 u i ( t j ) ] ⋅ Δ t u n ( t j + 1 ) = u n ( t j ) + α 4 2 ( Δ x ) 2 ( u n − 1 ( t j ) − u n ( t j ) − β ( u n ( t j ) − 37 ) ) Δ t (24) 其对应的边界条件为 { u ( x ， 0 ) = 37 ， 0 ≤ x ≤ d u ( 0 ， t ) = 75 ， t > 0 d u d x | x = d = − λ ( u ( d ， t ) − 37 ) (25) 3.3. 问题一的求解 使用(17)、(18)、(19)式和(20)、(21)、(22)初值条件，取定不同的 β 值，得出第n层0-5400，步长为1( Δ t = 1   s )秒时各时刻所对应的温度值，这一温度值是理论所得的温度值；结合附件中实际测量的温度值，计算二者之间距离和的最小值来确定最佳的 β ，距离最小值往往很难确定，根据最小二乘原理，将距离转化为二者差的平方，二者差的平方和最小时对应的 β 值即为最优解，记为 β 0 。 首先我们给定几个 β 值，观察曲线的大致走向，大致找到误差平方和最小时 β 的取值区间，再在此区间中进一步搜索，找到当 β = 0.01645 时，误差平方和最小。如图1所示，将此时的 β 值记为 β 0 ，此后的计算 β 均取为 β 0 .使用有限差分方程组(13)近似求出温度随位置、时间的分布。 图1. 误差平方和与β的关系 由图1求得当 β = 0.01645 时，误差平方和最小，将此时的 β 值记为 β 0 ，此后的计算 β 均取为 β 0 。使用有限差分方程组(24)近似求出温度随位置、时间的分布，将计算生成的数据保存于文件名“problem1.xlsx”的Excel文件。 3.4. 问题二的求解 当环境温度为65℃，IV层厚度为5.5 mm时，为确定第II层的最优厚度，忽略高温作业专用服的物理性质，仅考虑成本，最优的厚度就是在达到高温防护的目的后，尽可能小的厚度。因而求第II层的最优厚度问题实质上为求一个尽可能小的厚度值。 在(1)所建立模型的基础上，对方程的边值条件进行修改，此处注意到，温度随时间的变化关系是一个增函数，工作60分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47℃，只需令第n个小格在60分钟时温度小于47℃即可。此时，满足 u n ( t 1 ) ≤ T 1 ，其中： t 1 = 3600   s ， T 1 = 47 ˚ C ，为确保超过44℃的时间不超过5分钟，需满足： u n ( t 2 ) ≤ T 2 ，其中： t 2 = 3300   s ， T 2 = 44 ˚ C ，并且满足如下初始条件： { u ( 0 ， t ) = 65 u ( x ， 0 ) = 37 使用二分法求解得出第I层的最优厚度为：8.50 mm。 3.5. 问题三的求解 需要改变第II层和第IV层的厚度，满足一系列条件，进而确定第II层和第IV层的最优厚度。 必须满足的条件有： 1、在环境温度为80℃和工作为30分钟时，一直不能超过47℃。即第n个小分块在30分钟时温度不能超过47℃， u n ( t 1 ) ≤ T 1 ，其中 t 1 = 1800   s ， T 1 = 47 ˚ C . 2、在环境温度为80℃和工作为30分钟时，假人的皮肤外侧温度超过44℃的时间不能超过5分钟。即： u n ( t 2 ) ≤ T 2 ，其中 t 2 = 1500   s ， T 2 = 44 ˚ C . 在满足上述两个条件后，尽可能需要满足的条件有： 3、高温作业专用服的成本最低。因为第IV层是空气，所以成本只与第II层有关。在满足第一和第二个条件时，第II层越薄，高温作业专用服的成本越低。 4、符合人体工程学，既高温作业专用服重量最轻，要使得高温作业专用服尽可能轻，因为第IV层是空气，密度相对于第II层很低，所以高温作业的重量只与第II层有关。在满足第一和第二个条件时，第II层越薄，高温作业专用服的重量越小，所以不妨让第IV层的厚度取最大，即取 x 4 = 6.4   mm ，这样可以最大限度减小第II层的厚度。 综上所述，确定第II层和第 IV 层的最优厚度就转化为：在满足第一和第二个条件的前提下，设定第III层厚度取最大，然后求解第II层的最小厚度，这就将问题三转化为问题二。 并且将最优的厚度仍需满足下面的定解条件： { u ( 0 ， t ) = 80 u ( x ， 0 ) = 37 u n ( t 1 ) ≤ T 1 u n ( t 2 ) ≤ T 2 (26) 其中 t 1 = 1800   s ， T 1 = 47 ˚ C ，其中 t 2 = 1500   s ， T 2 = 44 ˚ C 。 类似于问题二中求解第II层最小厚度的问题，当第IV层的厚度取6.4 mm时，求得第II层的厚度为18.50 mm。 3.6. 灵敏度分析 此处的灵敏度分析用于对上述模型的稳定性进行检验，上文在第IV层厚度取最大值的条件下，求出了第II层的最小厚度，现在考虑逐渐减小第IV层厚度，计算第II层厚度的变化幅度，直到不满足约束条件，则取上一次计算的第II和第IV层厚度。 图2. 温度变化对比图(此时第II层的厚度变化，第IV层厚度不变) 由图2知第II层关于厚度的变化非常敏感，所以第II层的最优厚度为18.50 mm，同样的第IV层关于厚度的变化非常敏感，所以第IV层的最优厚度为6.40 mm。 上文建立的模型非常敏感，主要原因是小分格取得不够细，但是将小分格进一步取细，计算量就会特别大，所以下文进行模型的改进。