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user: 2. 准备工作 在这部分，我们将给出证明所需的引理。 引理2.1 [ 13 ] E ⊂ ℝ n 为一可测集，有一族球 { B λ } 覆盖E，即 E ⊂ ∪ λ B λ ，假如 sup λ { d i a m ( B λ ) } < ∞ ，则存在互不相交的可数子集 { B λ k } k = 1 ∞ ，使得 E ⊂ ∪ k 5 B λ k 。 另外，我们需要以下的Hardy不等式 [ 15 ] 和反Hölder不等式 [ 16 ]。 引理2.2 可测函数 g : [ 0 ， + ∞ ) → [ 0 ， + ∞ ) 使得 ∫ 0 ∞ g ( λ ) d λ < ∞ ，那么对于任意的 α ≥ 1 和 r > 0 都有 ∫ 0 ∞ λ r ( ∫ λ ∞ g ( μ ) d μ ) α d λ λ ≤ ( α r ) α ∫ 0 ∞ λ r [ λ g ( λ ) ] α d λ λ . 引理2.3 若 g : [ 0 ， + ∞ ) → [ 0 ， + ∞ ) 是一个不增可测函数，其中 α 1 ≤ α 2 ≤ ∞ ， r > 0 ，那么 (1) 当 α 2 < ∞ 时，有 [ ∫ λ ∞ [ μ r g ( μ ) ] α 2 d μ μ ] 1 α 2 ≤ ε λ r g ( λ ) + C ε α 2 α 1 − 1 [ ∫ λ ∞ [ μ r g ( μ ) ] α 1 d μ μ ] 1 α 1 ，对每个 ε ∈ ( 0 ， 1 ] 和任意 λ ≥ 0 成立。 (2) 当 α 2 = ∞ 时，有 sup μ > λ [ μ r g ( μ ) ] ≤ ε λ r g ( λ ) + C ( ∫ λ ∞ [ μ r g ( μ ) ] α 1 d μ μ ) 1 α 1 ，其中当 α 2 < ∞ 时，常数C依赖于 α 1 ， α 2 ， r ；当 α 2 = ∞ 时，常数 C ≡ C ( α 1 ， r ) 。 现在定义 λ 0 2 = ∫ ℝ n | T ε f | 2 d x + 1 δ 2 ∫ ℝ n | f | 2 d x ， (2.1) 其中 δ ∈ ( 0 ， 1 ) 是一个充分小且待定的一个数。记 f λ = f / ( λ 0 λ ) 且 T ε f λ = T ε f / ( λ 0 λ ) ，对任意 λ > 0 。 (2.2) 引理2.4 对 λ > 0 ，则存在一族互不相交的球 { B ρ i ( x i ) } i ≥ 1 ，其中 x i ∈ E λ ( 1 ) : = { x ∈ ℝ n : | T ε f λ | > 1 } ， 0 < ρ i = ρ i ( x i ， λ ) ≤ ρ 0 ，且满足 λ 2 | B ρ 0 | = 1 使得 J λ [ B ρ i ( x i ) ] = 1 ， J λ [ B ρ ( x i ) ] < 1 ， (2.3) 对任意的 ρ > ρ i 成立，且 E λ ( 1 ) ⊂ ∪ i ≥ 1 B 5 ρ i ( x i ) ， (2.4) 其中 J λ [ B ρ ( x ) ] = 1 | B ρ ( x ) | ∫ B ρ ( x ) | T ε f λ | 2 d x + 1 δ 2 | B ρ ( x ) | ∫ B ρ ( x ) | f λ | 2 d x ， (2.5) 对任意的 λ > 0 和 ℝ n 中任意的球 B ρ ( x ) 成立。另外，我们还可得 ∑ i = 1 ∞ ( ∫ B 5 ρ i ( x i ) | f λ | 2 d x ) ≤ 8 δ 2 ⋅ 5 n μ 2 ( ∫ μ 4 ∞ t | { x ∈ ℝ n : | T ε f | > t } | d t + 1 δ 2 ∫ μ δ 4 ∞ t | { x ∈ ℝ n : | f | > t } | d t ) . (2.6) 证明. 1. 固定任意的 x ∈ ℝ n 和 ρ ≥ ρ 0 = ρ 0 ( λ ) > 0 且满足 λ 2 | B ρ 0 | = 1 ，利用式(2.2)和式(2.5)，我们有 J λ [ B ρ ( x ) ] ≤ 1 | B ρ ( x ) | ∫ ℝ n | T ε f λ | 2 d x + 1 δ 2 | B ρ ( x ) | ∫ ℝ n | f λ | 2 d x ≤ 1 λ 2 | B ρ ( x ) | ≤ 1 λ 2 | B ρ 0 | = 1 . 因而我们可以得到 sup x ∈ ℝ n sup ρ ≥ ρ 0 J λ [ B ρ ( x ) ] ≤ 1 . (2.7) 对几乎处处 x ∈ E λ ( 1 ) ，利用Lebesgue定理，我们有 lim ρ → 0 J λ [ B ρ ( x ) ] > 1 ，这意味着存在 ρ > 0 ，满足 J λ [ B ρ ( x ) ] > 1 .(2.8) 所以由式(2.7)，我们选取 ρ x ∈ ( 0 ， ρ 0 ] 使得 J λ [ B ρ x ( x ) ] = 1 ， J λ [ B ρ ( x ) ] < 1 ，对任意的 ρ > ρ x 。 由上面可以知道，对几乎处处 x ∈ E λ ( 1 ) ，我们可以找到如上构造的球 B ρ x ( x ) 。因此，利用引理2.1，我们可以找到一族互不相交的球 { B ρ i ( x i ) } i ≥ 1 ，其中 x i ∈ E λ ( 1 ) ，使得 J λ [ B ρ i ( x i ) ] = 1 ， J λ [ B ρ ( x i ) ] < 1 ，对任意的 ρ > ρ i 且 E λ ( 1 ) ⊂ ∪ i ≥ 1 B 5 ρ i ( x i ) 。 2. 现在令 μ = λ λ 0 ，则有 f λ = f / μ ， T ε f λ = T ε f / μ ，对固定的 λ > 0 ，则必有以下式子中的其中一个成立 μ 2 2 ≤ 1 | B ρ i ( x i ) | ∫ B ρ i ( x i ) | T ε f | 2 d x ， μ 2 δ 2 2 ≤ 1 | B ρ i ( x i ) | ∫ B ρ i ( x i ) | f | 2 d x .(2.9) (1) 假设第一种情况成立，则我们有 μ 2 2 | B ρ i ( x i ) | ≤ ∫ B ρ i ( x i ) | T ε f | 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ t | { x ∈ B ρ i ( x i ) : | T ε f | > t } | d t ≤ μ 2 16 | B ρ i ( x i ) | + 2 ∫ μ 4 ∞ t | { x ∈ B ρ i ( x i ) : | T ε f | > t } | d t ， 吸收右边第一项就有 | B ρ i ( x i ) | ≤ 8 μ 2 ∫ μ 4 ∞ t | { x ∈ B ρ i ( x i ) : | T ε f | > t } | d t . (2.10) (2) 假设第二种情况成立，我们可以得到 μ 2 δ 2 2 | B ρ i ( x i ) | ≤ ∫ B ρ i ( x i ) | f | 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ t | { x ∈ B ρ i ( x i ) : | f | > t } | d t ≤ μ 2 δ 2 16 | B ρ i ( x i ) | + 2 ∫ μ δ 4 ∞ t | { x ∈ B ρ i ( x i ) : | f | > t } | d t ， 吸收右边第一项就有 | B ρ i ( x i ) | ≤ 8 μ 2 δ 2 ∫ μ δ 4 ∞ t | { x ∈ B ρ i ( x i ) : | f | > t } | d t . (2.11) 结合(2.10)和(2.11)，我们有 | B ρ i ( x i ) | ≤ 8 μ 2 ∫ μ 4 ∞ t | { x ∈ B ρ i ( x i ) : | T ε f | > t } | d t + 8 μ 2 δ 2 ∫ μ δ 4 ∞ t | { x ∈ B ρ i ( x i ) : | f | > t } | d t . (2.12) 3. 由式(2.3)和式(2.5)知 | B ρ i ( x i ) | = ∫ B ρ i ( x i ) | T ε f λ | 2 d x + 1 δ 2 ∫ B ρ i ( x i ) | f λ | 2 d x ≥ 1 δ 2 ∫ B ρ i ( x i ) | f λ | 2 d x 。 所以我们有 ∫ B 5 ρ i ( x i ) | f λ | 2 d x ≤ δ 2 | B 5 ρ i ( x i ) | = δ 2 5 n | B ρ i ( x i ) | . (2.13) 从而结合式(2.12)和式(2.13)，利用 { B ρ i ( x i ) } 是互不相交的，我们最后可得到式(2.6)。这就完成了我们的证明。 £ 现在我们固定 i ≥ 1 ，令 f λ 1 ( x ) = { f λ ( x ) ， 若 x ∈ B 25 ρ i ( x i ) 0，   若 x ∈ ℝ n \ B 25 ρ i ( x i ) 和 . (2.14) 引理2.5 [ 17 ] 存在 N 1 = N 1 ( n ) > 1 ，使得 | T ε f λ 2 ( x ) | ≤ N 1 对任意的 x ∈ B 5 ρ i ( x i ) 成立。 最后，我们给出以下水平集估计的结果。 引理2.6 假设 λ > 0 ，对任意的 ε > 0 ，存在 δ = δ ( ε ) > 0 使得 T ε f 满足 | { x ∈ ℝ n : | T ε f | > 2 N 1 μ } | ≤ C ( n ) δ 2 μ 2 [ ∫ μ 4 ∞ t | { x ∈ ℝ n : | T ε f | > t } | d t + 1 δ 2 ∫ μ δ 4 ∞ t | { x ∈ ℝ n : | f | > t } | d t ] . (2.15) 证明. 对任意的 μ = λ λ 0 > 0 ，利用式(2.2)，引理2.5和 T ε 是强(2，2)的，我们有 | { x ∈ B 5 ρ i ( x i ) : | T ε f | > 2 N 1 μ } | = | { x ∈ B 5 ρ i ( x i ) : | T ε f λ | > 2 N 1 } | ≤ | { x ∈ B 5 ρ i ( x i ) : | T ε f λ 1 | > N 1 } | + | { x ∈ B 5 ρ i ( x i ) : | T ε f λ 2 | > N 1 } | = | { x ∈ B 5 ρ i ( x i ) : | T ε f λ 1 | > N 1 } | ≤ 1 N 1 2 ∫ B 5 ρ i ( x i ) | T ε f λ 1 | 2 d x ≤ C ( n ) ∫ B 5 ρ i ( x i ) | f λ 1 | 2 d x ≤ C ( n ) ∫ B 5 ρ i ( x i ) | f λ | 2 d x 回顾引理2.4，对任意的 λ > 0 ，我们有 { x ∈ ℝ n : | T ε f λ | > 1 } = E λ ( 1 ) ⊂ ∪ i ≥ 1 B 5 ρ i ( x i ) . (2.16) 所以我们可以得到 | { x ∈ ℝ n : | T ε f | > 2 N 1 μ } | ≤ ∑ i = 1 ∞ | { x ∈ B 5 ρ i ( x i ) : | T ε f | > 2 N 1 μ } | ≤ C ( n ) ∑ i = 1 ∞ ∫ B 5 ρ i ( x i ) | f λ | 2 d x ≤ C ( n ) δ 2 μ 2 [ ∫ μ 4 ∞ t | { x ∈ ℝ n : | T ε f | > t } | d t + 1 δ 2 ∫ μ δ 4 ∞ t | { x ∈ ℝ n : | f | > t } | d t ] . 这就完成了引理2.6的证明。 £