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user: 2. 相关引理及主要结果 文献 [ 1 ] 中给出了一个泛函分析里的关于Hilbert空间 H 上的两个自伴算子测不准原理的一般性结果： 定理1：设 A 和 B 为Hilbert空间 H 上的可能无界的自伴算子，则对于任意的 f ∈ D o m ( A B ) ∩ D o m ( B A ) 和任意 a ， b ∈ ℝ 有 ‖ ( A − a ) f ‖ ‖ ( B − b ) f ‖ ≥ 1 2 | 〈 [ A ， B ] f ， f 〉 | (2.1) 其中 [ A ， B ] = A B − B A 为 A 和 B 的换位子。等式成立当且仅当 ( A − a ) f 和 ( B − b ) f 相差一个纯虚数倍。 证明：详见 [ 1 ] 第27页。 在文献 [ 3 ] 中，陈泳和朱克和两位教授将定理1与海森堡测不准原理结合起来，得到了Fock空间 F 2 中的两个自伴算子的测不准原理。 定理2：令 f ∈ F 2 ，则对所有 a ， b ∈ ℝ 有 ‖ f ′ + z f − a f ‖ ‖ f ′ − z f + i b f ‖ ≥ ‖ f ‖ 2 等式成立当且仅当存在正实数 c 和复数 C 1 使得 f ( z ) = C 1 exp ( c − 1 2 ( c + 1 ) z 2 + a − i b c c + 1 z ) 证明：详见 [ 3 ] 中定理4的证明。 定理2中主要讨论了空间 F 2 上的由甄灭算子和产生算子构造的两个自伴算子，而这在 F α 2 上不再适用，因为在 F α 2 中，甄灭算子的对偶算子不再是产生算子了，稍作改变，我们得到： 引理1：对任意的 α > 0 ，令 T : F α 2 → F α 2 为微分算子的常数倍，即 T f = 1 α f ′ 。则其对偶算子 T * 为 ( T * f ) ( z ) = z f ( z ) 。 证明：设 F α 2 中的标准正交基为 e n ( z ) = α n n ! z n ，   n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ 可设 F α 2 中稠密的两个多项式分别为 f = ∑ n = 0 ∞ a n e n ，     g = ∑ n = 0 ∞ b n e n 则 T f ( z ) = 1 α d d z ∑ n = 0 ∞ a n α n n ! z n = 1 α ∑ n = 1 ∞ a n α n n ! n z n − 1 = ∑ n = 0 ∞ 1 α n + 1 a n + 1 e n (z) 另外 z g ( z ) = ∑ n = 0 ∞ b n α n n ! z n + 1 = ∑ n = 1 ∞ b n − 1 α n − 1 ( n − 1 ) ! z n = ∑ n = 1 ∞ n α b n − 1 e n (z) 于是 〈 T f ， g 〉 = ∑ n = 0 ∞ 1 α n + 1 a n + 1 b ¯ n = ∑ n = 1 ∞ a n n α b n − 1 ¯ = 〈 f ， z g 〉 = 〈 f ， T * g 〉 证毕。 从定理1我们知道，如果有两个自伴算子 A 和 B 使得 [ A ， B ] 为恒等算子的常数倍，则可得到测不准原理。故我们考虑利用引理1中的算子 T 和 T * 来构造这样两个自伴算子。 直接计算可知，对所有 f ∈ F α 2 有： [ T ， T * ] f = ( T T * − T * T ) f = ( z f ) ′ α − z f ′ α = f α 因此我们考虑 F α 2 上的如下两个自伴算子： A = T + T * ，     B = i ( T − T * ) 即 A f ( z ) = 1 α f ′ ( z ) + z f ( z ) ，     B f ( z ) = i ( 1 α f ′ ( z ) − z f ( z ) ) (2.2) 由 [ 1 ] 知，若 1 α f ′ ∈ F α 2 ，则 A f 和 B f 的定义都是合理的，若 1 α f ′ + z f 和 1 α f ′ − z f 都属于 F α 2 ，则 1 α f ′ 和 z f 显然也都在 F α 2 中，于是 A 和 B 的定义域的交集包含那些使得 1 α f ′ (或 z f )仍旧在 F α 2 中的 f 。对 A B ， B A 及他们定义域的交，同样确定为算子 A 和 B 的定义域的交集。 引理2：对任意的 α > 0 ，对上述定义的自伴算子 A 和 B ，有 [ A ， B ] = − 2 α i I ，其中 I 为 F α 2 上的恒等算子， i 为虚数单位。 证明：对所有 f ∈ F α 2 ，由(2.2)式可得 A B − B A = i [ ( T + T * ) ( T − T * ) − ( T − T * ) ( T + T * ) ] = 2 i [ T * T − T T * ] = − 2 α i I 证毕。 下面将给出a-Fock空间 F α 2 上的第一个测不准原理形式。 定理3：对任意的 α > 0 ，令 f ∈ F α 2 ，则对所有 a ， b ∈ ℝ 有 ‖ 1 α f ′ + z f − a f ‖ 2 ， α ‖ 1 α f ′ − z f + i b f ‖ 2 ， α ≥ 1 α ‖ f ‖ 2 ， α 2 (2.3) 等式成立当且仅当存在正实数 c 和复数 C ′ 使得 f ( z ) = C ′ exp ( α ( c − 1 ) 2 ( c + 1 ) z 2 + α ( a − i b c ) c + 1 z ) 证明：因为 a ， b ∈ ℝ ，则由定理1可知 ‖ ( A − a ) f ‖ 2 ， α ‖ ( B − b ) f ‖ 2 ， α ≥ 1 2 | 〈 [ A ， B ] f ， f 〉 | 又因为 ‖ i ( 1 α f ′ − z f ) − b f ‖ 2 ， α = ‖ 1 α f ′ − z f + i b f ‖ 2 ， α 结合引理2可得 ‖ 1 α f ′ + z f − a f ‖ 2 ， α ‖ 1 α f ′ − z f + i b f ‖ 2 ， α ≥ 1 α ‖ f ‖ 2 ， α 2 另外，由定理1可知(2.3)中等式成立当且仅当存在正实数 c 使得 1 α f ′ + z f − a f = i c [ i ( 1 α f ′ − z f ) − b f ] (2.4) 或 i ( 1 α f ′ − z f ) − b f = i c ( 1 α f ′ + z f − a f ) (2.5) 这里，我们先计算(2.4)式有： (2.6) 1) 若 ，则(2.6)只有解 这一零解。 2) 若 ，(2.6)式可变形为 ，则由解常微分方程的初等方法可得(2.6)的一般解为 (2.7) 其中 为任意复常数。 由 [ 1 ] (第38页)知每个 则必满足 (2.8) 因此函数(2.7)在空间 中的一个充要条件是 或 。由于 是实数，后者等价于 或 。而当 时，此时函数(2.7)为 取 ，其中 ，由(2.8)式知其等价于 。 对(2.5)式，同理可以讨论，证毕。 为了给出 上的测不准原理的其他形式，我们还需对函数(2.7)进行一些相关的计算。 由定理3我们知道函数(2.7)在空间 中的充要条件为 或 ，当 即 时，我们可以对函数(2.7)进行一些相关的计算，如范数、內积等，这些计算结果都将在下文推论中用到。由于 ，为了计算的简便，我们可将函数(2.7)的系数 去掉，得到下面一个与函数(2.7)相差复常数倍但形式更简单的函数。即 (2.9) 显然 ，其中 ， 。最后，我们只需将函数(2.9)的相应计算结果代入系数 即可。 为了方便书写，我们将函数(2.9)简记为 (2.10) 其中 (2.11) 由于 ，则 。 我们令 ，其中 。给出相应计算如下： 1) 对函数(2.9)计算 如下： 由(1.2)、(2.10)式得： (2.12) 因为 则进一步计算(2.12)得： 其中 (2.13) 因为 (2.14) 则 (2.15) 最后联立(2.11)、(2.13)和(2.15)式得： (2.16) 2) 对函数(2.9)直接计算 如下： 由(1.1)式和(1)的计算过程可得： 先计算 得： 因为 于是 (2.17) 同理 (2.18) 最后联立(2.11)、(2.17)和(2.18)式有 (2.19) 3) 对函数(2.9)直接计算 如下： 由(1.2)式和(2)的计算过程可得： 先计算 得： 因为 进一步计算 得： 因为 综上 (2.20) 同理 (2.21) 联立(2.11)、(2.20)和(2.21)式得： (2.22) 4) 对函数(2.9)直接计算 和 如下： 因为 同理 由(2.11)、(2.19)和(2.22)得 (2.23) 同理 (2.24) 5) 对函数(2.9)直接计算 和 如下： 由(2.23)和(2.24)直接计算可得： (2.25) (2.26) 6) 对函数(2.9)直接计算 和 如下： 因为 所以由(2.16)、(2.19)式有： (2.27) 同理 (2.28) 直接计算可验证，当 时，以上所有结果就是 中相应的结果。 7) 最后给出最小值讨论。 对任意的 ，固定 ， 为自伴算子，则对任意 ，有 即可得 (2.29) 其中等号成立当且仅当 。 同理 (2.30) 且最小值当 时取得。 若 为 中的单位向量，即 时，可得到如下测不准原理的第一个推论： 推论1对任意的 ，令 为 中的单位向量，则对所有 有 等式成立当且仅当 (2.31) 其中 为正实数， 为复数且 (2.32) 证明：由(2.16)式可得函数(2.31)的范数为： 因为 ，直接计算得： 又因为 ， 为 中的单位向量，则由定理3得： 结合(2.29)和(2.30)对最小值的讨论得： 下面给出等号成立情形的详细证明： 1) 若 不具有(2.31)的形式，则由定理3可知对任意 有 特别的我们令： 则由最小值讨论可得： 此时等号不成立。 2) 若 具有(2.31)的形式，为区别开来我们记为 ，则由定理3可知 (2.33) 利用(2.27)和(2.28)直接计算内积可以得到 即当 时，结合(2.29)、(2.30)式关于最小值问题的讨论可得 即不等式等号成立，证毕。 推论2：若 ，则对任意 有 等号成立当且仅当存在正实数 和复数 使得 (2.34) 证明：在定理3中令 即可，证毕。 推论3：若 ，对任意 有 其中 ，且 。等号成立当且仅当存在正实数 和复数 使得 证明：由推论2可得 等号成立当且仅当 为形如(2.34)且 由(2.25)、(2.26)式及 知此等价于 证毕。 除了以上几种测不准原理的推论形式外，我们还可以给出一些关于角和距离的几何形式的测不准原理如下： 推论4：对任意的 ，令 为 中任何非零函数， 分别为 和 之间的夹角，则对所有 有 等式成立当且仅当 其中 为正实数， 为任意非零复数。 证明：由于 即 (2.35) (2.36) 则由推论1知结论成立，证毕。 联立(2.35)、(2.36)、(2.23)、(2.24)、(2.27)、(2.28)式可分别计算得： 由此可求出此时两夹角 的大小。 推论5：对任意的 ，令 为 中单位向量，则对任意 有 等号成立当且仅当 形如(2.31)且 。 证明：由推论4得 再由推论3的证明方法有 等号成立当且仅当 为形如(2.31)的函数且 由(2.25)、(2.26)式知此等价于 证毕。 推论6：对任意的 ，令 为 中单位向量，则 等成立当且仅当 形如(2.31)且 证明：由推论5中取 即得结论。证毕。 推论7：对任意的 ，令 为 中的非零向量，则对所有 有 其中 为 张成的一维子空间， 为 中 到 的距离。等式成立当且仅当 其中 为正实数， 为非零复数。 证明：因为 。 同理 ，则结论由推论4直接可得，证毕。 注：上述结论中的函数 或 并不一定都属于 ，当 或 不属于 中时，上面所有结论中的每个不等式右边均为无穷大，综上，不等式总是成立的。