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user: 3. 相关定义 空间并置模式 [ 1 ]：给定一个空间特征集 O = { o 1 ， o 2 ， ⋯ ， o n } ，对应空间实例集合 S = S 1 ∪ S 2 ∪ ⋯ ∪ S n ，其中S i 是特征o i (1 ≤ i ≤ n)的实例集合，以及距离阈值d。如果两个实例s i ， s j Î S的欧几里得距离小于等于距离阈值d，则称两个实例满足邻近关系R，即R(s i ， s j )。一个空间特征集O的k阶子集 c = { o 1 ， o 2 ， ⋯ ， o k } ( c ⊆ O ， k = | c | )称为k阶并置模式。为衡量c的频繁程度，引入模式的行实例和表实例：若实例集 I = { s 1 ， s 2 ， ⋯ ， s k } ( I ⊆ S )包含c中所有特征且I中的任一子集都不包含c的所有特征，并且I在邻近关系R下形成团关系，则称I为c的一个行实例，记为R(c)，c的所有行实例组成c的表实例，记为T(c)。 在空间并置模式中特征的参与率PR(c， o u )定义为模式c中特征o u 的实例在c的表实例中不重复出现的个数与o u 总实例个数之比，即 P R ( c ， o u ) = | π o u ( T ( c ) ) | | T ( o u ) | (1) 其中p是关系的投影操作。 模式c的参与度PI(c)定义为模式c中所有特征参与率的最小值，即 P I ( c ) = min u = 1 k { P R ( c ， o u ) } (2) 给定参与度阈值min_prev，当PI(c) ≥ min_prev，则称模式c为频繁并置模式。 如图1所示，图中有三个空间特征A、B和C，设距离阈值d = 100，参与度阈值min_prev = 0.3，则实例A 1 和B 1 满足邻近关系R(A 1 ， B 1 )，模式{A， B， C}的表实例 T ( { A ， B ， C } ) = { { A 1 ， B 1 ， C 2 } ， { A 3 ， B 2 ， C 3 } ， { A 4 ， B 4 ， C 2 } } ，模式{A， B， C}的参与度为 P I ( { A ， B ， C } ) = min ( 0. 43 ， 0. 5 ， 0. 5 ) = 0. 42 ，则模式{A， B， C}是一个频繁并置模式。 定义1 模糊邻近关系(FNR)：以空间实例集S中两两实例间的欧氏距离D作为论域 D = [ 0 ， ∞ ) ，模糊邻近关系(FNR)是基于距离D的邻近关系的集合。空间任意两个实例s i 和s j 间的欧氏距离记为d，给定下面映射关系：FNR: D  [0， 1]， d  µ(s i ， s j )，则称µ确定了D上的一个模糊子集FNR，µ为FNR的隶属函数，µ(s i ， s j )为距离d对FNR的隶属度，也称邻近度。空间实例集S中的任意两个实例s i 和s j 的模糊邻近关系FNR表示为： FNR = { μ ( s i ， s j ) | s i ， s j ∈ S } (3) 给定用户自定义距离阈值d 1 ， d 2 ，其中µ(s i ， s j )定义为： μ ( s i ， s j ) = { 1 ， d ≤ d 1 1 − d − d 1 d 2 − d 1 ， d 1 < d ≤ d 2 0 ， d > d 2 (4) 例1：空间特征A、B和C的实例分布如图1所示，给定距离阈值d 1 = 100， d 2 = 300，选取任意两个空间实例A 1 和B 1 ，假设A 1 和B 1 的欧式距离dist(A 1 ， B 1 ) = 140，则A 1 和B 1 的模糊邻近度µ(A 1 ， B 1 ) = 0.8。 图1. 空间特征及其实例分布 定义2 FNR的α-截集：给定用户自定义的邻近度阈值α，模糊邻近关系FNR的α-截集FNR α 定义为实例s i 和s j 邻近度µ (s i ， s j )不小于α的FNR的子集，即 FNR α = { μ ( s i ， s j ) | s i ， s j ∈ S ，   μ ( s i ， s j ) ≥ α } (5) 其中µ(s i ， s j ) ≥ α表示为实例s i 和s j 满足α邻近关系，也可表示为µ α (s i ， s j )。 例2：给定邻近度阈值α = 0.1， A 1 和B 1 的邻近度为0.8，那么空间实例A 1 和B 1 满足α邻近关系，即µ 0.1 (A 1 ， B 1 )。 基于模糊邻近关系的并置模式c的一个模糊行实例FR是空间实例集，即FR Í S。FR具备以下特征：1) 在a邻近关系下形成团；2) FR包含了模式c中的所有特征；3) 没有任意一个FR的子集可以包含c中所有的特征。模式c的模糊表实例是所有模糊行实例的集合，记为 F T ( c ) = { F R 1 ， F R 2 ， ⋯ ， F R m } 。 例3：如图1空间实例集中，{A 1 ， B 1 ， C 2 }是并置模式{A， B， C}的一个模糊行实例，模式{A， B， C}的模糊表实例为 FT ( { A ， B ， C } ) = { { A 1 ， B 1 ， C 2 } ， { A 3 ， B 2 ， C 3 } ， { A 4 ， B 4 ， C 2 } } 。 定义3 模糊星型邻居(FSN)：给定一个度量实例模糊邻近关系的隶属函数m，一个空间实例s，它的特征类型是 o ∈ O ，实例s的模糊星型邻居定义为它本身和其所有特征类型大于它的模糊邻居的邻近度大于等于α的空间实例的集合，即 FSN ( s ) = { ( s i | = s ∨ μ ( s ， s i ) ≥ α ) } (6) 其中，s称为中心实例。 根据图1中空间实例分布及实例间模糊邻近度，可以列出如图2的空间特征A和B的实例的模糊星型邻居集。 图2. 图1中特征A， B的星型邻居集 传统并置模式挖掘中，使用模式中特征参与率的最小值作为模式的参与度，进而来衡量模式的频繁性。在频繁模式的一个行实例中两两实例都满足距离阈值d，某一个特征的一个实例在模式中的参与率的贡献为“1”。没有出现在行实例中的实例贡献为“0”。但是实际中，实例对于特征参与率的贡献是一个模糊的概念，为此，引入下面实例的模糊行实例贡献度和实例的模式贡献度概念。 定义4 实例的模糊行实例贡献度：给定一个k阶并置模式c，及其模糊表实例 F T ( c ) = { F R 1 ， F R 2 ， ⋯ ， F R m } ，其任一模糊行实例 F R = { s 1 ， s 2 ， ⋯ ， s k } ( F R ∈ F T ( c ) )，对于FR中的任一实例 s i ∈ F R ，s i 在模糊行实例FR中的贡献定义为s i 与FR中其它实例之间的模糊邻近度的最小值，即 F R _Contri ( F R ， s i ) = Min s j ∈ F R ， i ≠ j ( μ ( s i ， s j ) ) (7) 由于空间的连续性，相同的实例往往会参与在不同的行实例中，因此出现在多个模糊行实例中的同一实例将出现多个贡献度，为此，我们给出实例的模式贡献度。 定义5 实例的模式贡献度：给定一个k阶并置模式c及其模糊表实例 F T ( c ) = { F R 1 ， F R 2 ， ⋯ ， F R m } ，对任一实例 s i ∈ F T ( c ) ，s i 在 F T ( c ) 中所属行实例集定义为 F T _ s i ( c ) = { F R 1 ， F R 2 ， ⋯ ， F R h } ( m ≤ h ， F T _ s i ( c ) ⊆ F T ( c ) )，则s i 对模式的贡献度定义为s i 对其所属模糊行实例的贡献的最大值，即： C o n t r i ( F T ( c ) ， s i ) = Max F R ∈ F T _ s i ( c ) ( F R _ C o n t r i ( F R ， s i ) ) (8) 例4：图1中并置模式{A， B， C}的模糊行实例{A 1 ， B 1 ， C 2 }中实例C 2 的模糊行实例贡献度为 F R _ C o n t r i ( { A 1 ， B 1 ， C 2 } ， C 2 ) = min { m ( A 1 ， C 2 ) ， m ( B 1 ， C 2 ) } = min { 0.8 ， 1 } = 0.8 。实例C 2 的模式贡献度为 C o n t r i ( { { A 1 ， B 1 ， C 2 } ， { A 4 ， B 4 ， C 2 } } ， C 2 ) = Max { 0. 8 ， 0. 5 } = 0. 8 。 相对于传统并置模式的参与率和参与度，基于实例在模糊行实例中的贡献定义模糊参与率和模糊参与度以衡量模式的频繁性。 定义6 模糊参与率(FPR)和模糊参与度(FPI)：给定一个并置模式 c = { o 1 ， o 2 ， ⋯ ， o k } ，其空间特征 o i ∈ c (1 ≤ i ≤ k)的模糊参与率定义为o i 参与在c中的所有实例对模式的贡献度之和与其总实例个数的比率，即 F P R ( c ， o i ) = ∑ C o n t r i ( F T ( c ) ， s i ) | F T ( { o i } ) | ，   ( s i ∈ F T ( c ) ) (9) 模式 c = { o 1 ， o 2 ， ⋯ ， o k } 的模糊参与度(FPI)是模式c中所有特征的模糊参与率最小值，即 F P I ( c ) = min 1 ≤ i ≤ k { F P R ( c ， o i ) } (10) 给定一个用户自定义的最小模糊参与度阈值min_fprev，对于任何一个模式c，如果FPI(c) ≥ min_fprev，则模式c是一个模糊频繁并置模式。 例5：图1通过计算特征A， B， C在模式{A， B， C}中的模糊参与率分别为： F P R ( { A ， B ， C } ， A ) = ( 0. 8 + 0. 8 + 0. 5 ) / 7 = 0. 3 ， F P R ( { A ， B ， C } ， B ) = 0. 37 ， F P R ( { A ， B ， C } ， C ) = 0. 4 ，所以模式 F P I ( { A ， B ， C } ) = min ( 0. 33 ， 0. 37 ， 0. 58 ) = 0. 3 。 定义7 模糊损失率(FLR)与模糊损失度(FLI)：给定一个频繁并置模式 c k = { o 1 ， o 2 ， ⋯ ， o k } (k > 2)及其c k 的一个k − 1阶子模式c k −1 ，对于c k −1 及c k 中的任意一个特征o i (o i Î c k −1 & o i Î c k )，o i 由c k −1 到c k 的模糊损失率定义为： F L R ( c k − 1 ， c k ， o i ) = F P R ( c k − 1 ， o i ) − F P R ( c k ， o i ) (11) 模式由c k −1 到c k 的模糊损失度是c k −1 中的特征到c k 的模糊损失率的最小值 F L I ( c k − 1 ， c k ) = min { F L R ( c ， k − 1 c k ， o i ) } ，   o i ∈ c k − 1 (12) 模式c k −1 到c k 的模糊损失度 F L I ( c k − 1 ， c k ) 表示模式c k −1 中不与特征 o k ( o k = c k − c k − 1 ) 的实例满足邻近度阈值α的团实例的数量，当特征 o k ( o k = c k − c k − 1 ) 加入到模式c k −1 中形成高阶模式c k 时，模式c k −1 所损失的实例贡献度；损失的实例贡献度越高，特征o k 对模式c k −1 的影响程度越低，特征o k 对模式c k −1 中特征的主导性越差。由此，给出特征影响度的定义。 定义8 模糊影响度(FII)：给定一个频繁co-location模式 c k = { o 1 ， o 2 ， ⋯ ， o k } (k > 2)，特征 o i ( o i ∈ c k ， 1 ≤ i ≤ k ) ，c k 的一个k − 1阶子模式 c k − 1 ( o i ∉ c k − 1 ) ，则o i 在模式c k 中的模糊影响度定义为1减模式c k −1 到c k 模糊损失度，即 F I I ( c k ， o i ) = 1 − F L I ( c k − 1 ， c k ) (13) 其中 o i = c k − c k − 1 ，特征模糊影响度 F I I ( c k ， o i ) 代表了特征o i 对频繁模式c k 中其它特征的影响， F I I ( c k ， o i ) 越大，越多c k 中的特征实例被特征o i 的实例主导。 例6：给定a = 0.1，则特征A从{A， B}到{A， B， C}的模糊损失率为： F L R ( { A ， B } ， { A ， B ， C } ， A ) = 0. 1 ， F L R ( { A ， B } ， { A ， B ， C } ， B ) = 0.0 3 ，则{A， B}到{A， B， C}的模糊损失度为： F L I ( { A ， B } ， { A ， B ， C } ) = 0.0 3 。同样的 F L I ( { A ， C } ， { A ， B ， C } ) = 0. 5 ， F L I ( { B ， C } ， { A ， B ， C } ) = 0. 225 。则在频繁co-location模式{A， B， C}中，特征A， B， C对模式的模糊影响度分别为： F I I ( { A ， B ， C } ， A ) = 1 − 0. 225 = 0. 775 ， F I I ( { A ， B ， C } ， B ) = 1 − 0. 5 = 0. 5 ， F I I ( { A ， B ， C } ， C ) = 1 − 0.0 3 = 0. 97 。 定义9 模糊影响比(FIR)：给定一个k (k > 2)阶频繁co-location模式 c k = { o 1 ， o 2 ， ⋯ ， o k } ，特征o i ， o j ( o i ， o j ∈ c k ) 满足FII(c k ， o i ) ≥ FII(c k ， o j )，则o i 对o j 的模糊影响比定义为1减去两个特征的模糊影响度的比值，即 F I R ( o i ， o j ) = 1 − F I I ( c k ， o j ) F I I ( c k ， o i ) (14) 传统主导特征挖掘算法是计算模式中两两特征差异度并设置差异度阈值来度量特征间的差异，但是本文通过模糊实例间的邻近关系，计算特征的差异度值很小，不能有效且明显的看出特征间的影响差异，所以提出了模糊影响比将特征间影响度的差异关系更为明显的表示出来。即模糊影响比指数更好地度量了模式中特征间的影响差异，模糊影响比指数FIR(o i ， o j )越大，特征o i 对特征o j 主导性越强。 例7：在图1中模式{A， B， C}中特征C对特征A的影响比 F I R ( C ， A ) = 1 − 0. 775 / 0. 97 = 0. 2 。特征C对特征 B的影响比 F I R ( C ， B ) = 1 − 0. 5 / 0. 97 = 0. 49 。 定义10 主导特征和含主导特征的并置模式：给定一个k (k > 2)阶频繁并置模式 c k = { o 1 ， o 2 ， ⋯ ， o k } ，最小模糊参与度阈值min_fprev和模糊影响比阈值min_fir，对于o i ， o j Î c k 如果同时满足以下条件：1) FII (c k ， o i ) ≥ FII (c k ， o j )， 2) FIR (o i ， o j ) ≥ min_fir，那么在频繁并置模式中称特征o i 主导特征o j ，且o i 是模式c k 的一个主导特征。对于并置模式c k 如果满足FPI (c k ) ≥ min_fprev，则c k 是一个含主导特征并置模式。 例8：给定模糊影响比阈值min_fir = 0.1，通过计算模式{A， B， C}是含主导特征的并置模式，主导特征为C，可以计算出特征C主导特征A和B的并置。 引理1 反单调性。模糊参与率和模糊参与度随着模式阶的增大而单调非递增。 证明：设有k阶并置模式 c k = { o 1 ， o 2 ， ⋯ ， o k } 和k + 1阶模式c k+ 1 = c k + o k+ 1 ，对于o i Î c k ，如果o i 的某个实例含在c k+ 1 的模糊行实例中，那么该实例也一定包含在c k 的模糊行实例中，反之不然。由于实例的模糊行实例贡献度是指与其它实例间的最小邻近度，实例的模式贡献度是取某个实例重复出现在多个行实例时贡献度的最大值并参与特征的模糊参与率计算，因此o i 的某个实例对o i 在c k+ 1 中的计算模糊参与率时贡献度值一定不大于该实例对o i 在模式c k 中参与模糊参与率计算的贡献值。因此，模糊参与率随着模式阶的增大而单调非递增。因为模糊参与度是取模式中所有特征模糊参与率的最小值，所以模糊参与率也随着模式阶的增大而单调非递增。即证。 定理1 向下闭合性。在基于模糊邻近关系(FNR)的并置模式挖掘中，如果一个并置模式c是频繁的，则它的所有子模式c' Ì c都是频繁的；相反的，如果一个并置模式c是非频繁的，则它的所有超模式c' É c也都是非频繁的。 证明：由引理1可知，并置模式c的模糊参与度不大于其所有子模式的模糊参与度，不小于其超模式的模糊参与度，所以如果并置模式c是频繁的，则其所有子模式一定都是频繁的；如果并置模式c是非频繁的，则其所有超集也一定都是非频繁的。即证。