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user: 2. 数学模型 2.1. 控制方程 通过建立蓄洪区退洪、长江河道行洪和分洪区分洪的数学物理方程，采用二维浅水波方程组研究多股洪水汇合流问题。浅水波方程组采用以水位和单宽流量为变量的守恒形式，即： ∂ U ∂ t + ∂ F ∂ x + ∂ G ∂ y = S (1) 式中t代表时间，x和y分别表示空间变量。U表示物理守恒变量， F ( U ) 、 G ( U ) 分别为x和y方向的通量，S表示源项： U = ( H q x q y ) ，   F = ( q x q x 2 h + 1 2 g H 2 − g b H q x q y h ) G = ( q y q x q y h q y 2 h + 1 2 g H 2 − g b H ) S = S b + S f = ( 0 − g H ∂ b ∂ x − g H ∂ b ∂ y ) + ( 0 − g ρ τ x − g ρ τ y ) 其中 q x = h u ， q y = h v 表示x，y方向的单宽流量，u，v分别表示x，y两个方向上的流速， H = h + b 为自由流表面高程，h为水深， b ( x ， y ) 为河道地形函数。源项S由两部分构成： 则表示地形底坡； S f 表示摩阻底坡，根据经验公式给出： τ x = ρ C f u u 2 + v 2 ， τ y = ρ C f y u 2 + v 2 。其中， C f = g n m 2 / h 1 / 3 为谢才系数， n m 为曼宁系数。为简化模型，本文不考虑与地球自转相关的科氏力。 2.2. 计算方法 本研究采用三角形网格处理计算区域，计算方法采用有限体积法模拟区域水位、水流、流量和流态。考虑到问题物理区域的复杂性，采用三角网格离散计算区域，三角形网格和物理量布置如图1a所示。数值计算方法采用目前比较成熟的方法，可满足计算精度和稳定性要求。计算方法构造如下： 引入算子 ∇ = ∂ ∂ t i + ∂ ∂ t j 将浅水波方程改写成向量形式： ∂ U ∂ t + ∇ ⋅ E = S (2) 其中 E = ( F ， G ) T ，对上式在控制区域上积分得： ∂ ∂ t ∬ V U d V + ∬ V ∇ ⋅ E d V = ∬ V S ( x ， y ， U ) d V 利用格林公式得： ∂ ∂ t ∬ V U ( x ， t ) d V + ∮ V E ⋅ n T d ζ = ∬ V S ( x ， y ， U ) d V 其中， n = ( cos θ ， sin θ ) ⊤ 为单元边界的单位外法向量。半离散有限体积法： ∂ U i ∂ t + 1 | V i | ∑ j = 1 3 ∫ L j cos θ j F ( U ) + sin θ j G ( U ) d ς = S i (3) 模拟的是守恒量的单元积分平均值： U i = 1 | V i | ∬ V j U ( x ， y ， t ) d V 其中 | V i | 为计算单元 V i 的面积， S i = 1 | V i | ∬ V i S ( x ， y ， U ) d V 为源项为单元平均。这样，问题等价于给出单 元法向通量和源项的近似，进而求解一个关于时间的常微分方程。根据二维浅水波方程组法向通量的旋转不变性，可以将转化成一个一维的Riemann问题近似解 [ 12 ] (图1b)： 图1. Riemann问题近似解的结构 U ˜ t + F ( U ˜ ) x = 0 U ˜ ( x ˜ ， 0 ) = { U ˜ L       x ˜ < 0 U ˜ R       x ˜ > 0 旋转矩阵 T ( θ ) 定义为： T ( θ ) = ( 1 0 0 0 cos θ sin θ 0 − sin θ cos θ ) (4) 其中， U ˜ 为U旋转后的量，通量函数 F ( U ˜ ) 满足 E ( U ) ⋅ n = T − 1 ( θ ) F ( U ˜ ) 。进一步，采用时间向前差分离散得： U i n + 1 = U i n − Δ t | V i | ∑ j = 1 3 T − 1 ( θ i ， j ) F ( U ˜ i ， j ) | L i ， j | + Δ t S i (5) 上式中源项采用中心差分进行离散，基于局部Riemann问题自相似解波系结构分析，采用TVD-WAF格式给出数值通量为： F W A F = 1 2 ( c 4 F R + c 0 F L ) − 1 2 ∑ k = 1 N s i g n ( c k ) ϕ ( r k ， | c k | ) Δ F k (6) 其中 Δ F k 为第k个波处的数值通量的跳量， c k 为波 S k 的Courant数： (7) 通量限制器 ϕ ( r ( k ) ， c k ) = { 1 r ( k ) ≤ 0 1 − ( 1 − | c k | ) r ( k ) ( 1 + r ( k ) ) 1 + r ( k ) × r ( k ) r ( k ) > 0 ，其中变量 r ( k ) 为： r ( k ) = { p i ( k ) − p i − 1 ( k ) p i + 1 ( k ) − p i ( k ) S k ≥ 0 p i + 2 ( k ) − p i + 1 ( k ) p i + 1 ( k ) − p i ( k ) S k < 0 (8) 上式中变量p为 p ( k ) = H ， ， p ( 2 ) = q y 。式(7)中波系间的数值通量可以有HLLC近似里面求解器给出： [ F h l l c ] ( k ) = [ F h l l ] ( k ) ， k = 1 ， 2 ，       [ F h l l c ] ( 3 ) = { [ F h l l ] ( 1 ) v L S 2 > 0 [ F h l l ] ( 1 ) v R S 2 < 0 (9) 下标 ( k ) 表示通量向量的第k个分量，其中HLL求解器定义为： F h l l = { F L         S 1 ≥ 0 S 2 F L − S 1 F R + S 1 S 2 ( U R − U L ) S 2 − S 1 S 1 < 0 < S 2 F R         S 2 ≤ 0 (10) 其中，左右波速度 S 1 和 S 3 分别为 [ 13 ] ： S 1 = min ( u ˜ L − g h L ， u ˜ s − g h s ) ，     S 3 = max ( u ˜ R + g h R ， u ˜ s + g h s ) (11) 其中 u ˜ s = ( u ˜ L + u ˜ R ) / 2 + g h L − g h R ， g h s = ( g h L + g h R ) / 2 + ( u ˜ L − u ˜ R ) / 4 。接触间断波波速 S 2 的估计： S 2 = S 1 h R ( u ˜ R − S 3 ) − S 3 h L ( u ˜ L − S 1 ) h R ( u ˜ R − S 3 ) − h L ( u ˜ L − S 1 ) (12) 数值计算需要处理动边界问题，及计算单位处理干湿单元的问题。当计算单元边界为干湿边界时，左干河床 S 1 = u ˜ R − 2 g h R ， S 3 = u ˜ R + g h R ；右干河床： S 1 = u ˜ L − g h L ， S 2 = u ˜ L + 2 g h L 。 S 3 会自动和估计的干河床重合。 为了保证数值格式的稳定性，需要在进行计算时调整时间，采用： Δ t = C F L min 1 ≤ i ≤ M min 1 ≤ j ≤ 3 min ( Δ x ˜ i ， j ， 1 ， Δ x ˜ i ， j ， 2 ) max ( S i ， j ， 1 ， S i ， j ， 3 ) (13) 其中 C F L ( 0 < C F L ≤ 1 ) 是Courant数。 为保证数值算法的结构的和谐性，首先用Green公式转化地形源项 S b ，然后利用中矩形公式进行离散。因此， S b 第二、三个分量为： ∬ V i g H ∇ b d x d y = − g H ∑ j = 1 3 ∮ L i ， j ( b j ， 0 ) ⋅ n j d ζ = − g H ∑ j = 1 3 b j ⋅ n j | L i ， j | 可以证明该格式是和谐的 [ 14 ] 。 2.3. 计算条件 1) 计算区域：计算模型要求计算研究区域上下游需要由足够的计算长度，避免进出口条件设置的影响。结合现有河道地形资料，选取洪闸上游约4 km、下游约10 km，共计约14 km为计算区域。河道地形采用工程区附近2011年地形资料。 2) 网格剖分：考虑计算区域边界不规则形，边界条件复杂性，计算方法采用三角形剖分算法将物理区域划分为规则性三角形组成的计算区域，计算网格数为37，082个，为兼顾整个计算区域，同时为提高计算精度，在洪闸、分洪区、蓄洪区出口附近，采用了网格加密处理(如图2)。 图2. 计算区域网格剖分与局部加密剖分图 2.4. 模型率定 模型利用洪闸附近水位~流量关系对计算河道的糙率进行了率定(表1)。通过分析糙率取值范围在0.023~0027。本研究采用河床糙率取值0.025。 Table 1 Model rate tabl 计算流量 设计水位 计算水位 变差(%) 62，990 28.54 28.68 0.5 60，274 28.23 28.47 0.8 56，615 27.76 27.90 0.5 52，423 27.11 26.90 −0.7 47，164 26.30 26.34 0.2 41，348 25.14 25.15 0.04 36，926 24.08 24.06 −0.09 表1. 模型率定表 图3. 流场分布