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user: 3. 直觉积性判断矩阵对数一致性及其检验与修正算法 3.1. 直觉积性判断矩阵对数一致性 本节给出直觉积性判断矩阵对数一致性。首先，我们给出如下引理： 引理3.1：对 x ， y ∈ [ − 1 ， 1 ] ，有 1) μ ( x ， y ) = ( 1 + x ) ( 3 − y ) − 4 4 − ( 1 + x ) ( 1 + y ) ∈ [ − 1 ， 1 ] ； 2) μ ( x ， y ) + μ ( y ， x ) ≤ 0 。 证明：1)由于 x ， y ∈ [ − 1 ， 1 ] ，我们有 ( 1 + x ) ( 3 − y ) − 4 + 4 − ( 1 + x ) ( 1 + y ) = 2 ( 1 + x ) ( 1 − y ) ， 4 − ( 1 + x ) ( 1 + y ) - ( 1 + x ) ( 3 − y ) + 4 = 4 ( 1 − x ) ≥ 0 ， 4 − ( 1 + x ) ( 1 + y ) ≥ 0 ， 所以 μ ( x ， y ) ∈ [ − 1 ， 1 ] ； 2) μ ( x ， y ) + μ ( y ， x ) = ( 1 + x ) ( 3 − y ) − 4 4 − ( 1 + x ) ( 1 + y ) + ( 1 + y ) ( 3 − x ) − 4 4 − ( 1 + x ) ( 1 + y ) = − 2 ( 1 − x ) ( 1 − y ) 4 − ( 1 + x ) ( 1 + y ) ≤ 0 。 定义3.1：设 为直觉积性判断矩阵，对所有 i j k 如果满足 i ( log 9 ρ i j + 1 ) ( log 9 ρ j k + 1 ) ( log 9 ρ k i + 1 ) = ( log 9 ρ j i + 1 ) ( log 9 ρ k j + 1 ) ( log 9 ρ i k + 1 ) ， 则称 P 具有对数一致性。 众所周知，具有一致性的判断矩阵与排序向量之间有密切的关系，我们给出直觉积性排序向量的概念以确定具有对数一致性的直觉积性判断矩阵与直觉积性排序向量之间的联系。 定义3.2：称 ω = ( ω 1 ， ω 2 ， ⋯ ， ω n ) 为直觉积性排序向量，其中 ω i = ( ρ i ， σ i ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n )为直觉积性数。 定理3.2：设 ω = ( ω 1 ， ω 2 ， ⋯ ， ω n ) 为直觉积性排序向量，则 P ^ = ( p ^ i j ) ，其中 ρ ^ i j = 9 ( 1 + log 9 ρ i ) ( 3 − log 9 ρ j ) − 4 4 − ( 1 + log 9 ρ i ) ( 1 + log 9 ρ j ) 且 σ ^ i j = 9 ( 1 + log 9 ρ j ) ( 3 − log 9 ρ i ) − 4 4 − ( 1 + log 9 ρ i ) ( 1 + log 9 ρ j ) ， i ≠ j ， ρ ^ i i = σ ^ i i = 1 ，为直觉积性对数一致性判断矩阵。 证明：首先证明 P ^ 为直觉积性判断矩阵。由于 ρ i ， ρ j ∈ [ 1 9 ， 9 ] ，由引理3.1不难验证 ρ ^ i j ， σ ^ i j ∈ [ 1 9 ， 9 ] 且 ρ ^ i j σ ^ i j ≤ 1 ，因此 p ^ i j 为直觉积性数。显然 ρ ^ i j = σ ^ j i ， σ ^ i j = ρ ^ j i ，所以， 为直觉积性判断矩阵。下证， P 为对数一致的， ( log 9 ρ ^ i j + 1 ) ( log 9 ρ ^ j k + 1 ) ( log 9 ρ ^ k i + 1 ) = ( 1 + log 9 ρ i ) ( 2 − 2 log 9 ρ j ) 4 − ( 1 + log 9 ρ i ) ( 1 + log 9 ρ j ) ( 1 + log 9 ρ j ) ( 2 − 2 log 9 ρ k ) 4 − ( 1 + log 9 ρ j ) ( 1 + log 9 ρ k ) ( 1 + log 9 ρ k ) ( 2 − 2 log 9 ρ i ) 4 − ( 1 + log 9 ρ k ) ( 1 + log 9 ρ i ) = ( 1 + log 9 ρ j ) ( 2 − 2 log 9 ρ i ) 4 − ( 1 + log 9 ρ i ) ( 1 + log 9 ρ j ) ( 1 + log 9 ρ k ) ( 2 − 2 log 9 ρ j ) 4 − ( 1 + log 9 ρ j ) ( 1 + log 9 ρ k ) ( 1 + log 9 ρ i ) ( 2 − 2 log 9 ρ k ) 4 − ( 1 + log 9 ρ k ) ( 1 + log 9 ρ i ) = ( log 9 ρ ^ j i + 1 ) ( log 9 ρ ^ k j + 1 ) ( log 9 ρ ^ i k + 1 ) 所以 P ^ 为对数一致的。综上， P ^ 为直觉积性对数一致性判断矩阵。 3.2. 单个直觉积性判断矩阵对数一致性判断与修正算法 在实际决策中，决策者给出的直觉积性判断矩阵往往不能满足上述对数一致性要求，通常要求其具有可接受的一致性，即，决策者提供的直觉积性判断矩阵与直觉积性对数一致性判断矩阵之间的偏差可接受，否则对其进行修正，使其具有可接受一致性。修正的原则是既要达到一致性要求，又要尽可能的保留决策者最初的判断信息。 定义3.3：设 P 为直觉积性判断矩阵， P ^ 为直觉积性对数一致性判断矩阵，如果对给定阈值 a ∈ [ 0 ， 1 ] ，有 D ( P ， P ^ ) < a ，则称 P 具有可接受对数一致性。 对给定直觉积性判断矩阵 P ，我们给出如下检验与修正单个直觉积性判断矩阵对数一致性算法。主要包括如下步骤： 步骤1：建立数学模型 min D ( P ， P ^ ) 确定排序向量 ω 和相应的直觉积性对数一致性判断矩阵 P ^ ； 步骤2：计算 D = D ( P ， P ^ ) ，如果 D < a ，则具有可接受对数一致性，转向步骤4；否则，不具有可接受对数一致性，从而需要对 P 进行修正，转下一步； 步骤3：计算 P ， P ^ 对应位置上元素之间的距离测度 d i j = d ( p i j ， p ^ i j ) ，如果 ，则修正 为 p ˜ i j ，修正后的直觉积性判断矩阵记为 P ˜ ，转向步骤1； 步骤4：由定义2.2计算排序。 容易验证上述算法具有收敛性。 注：上述算法的优点是在对不具有对数一致性的直觉积性判断矩阵进行修正的同时还尽可能的保留决策者最初的判断信息。 例3.1：设决策者提供直觉积性判断矩阵 P = ( ( 1 ， 1 ) ( 2 ， 2 / 5 ) ( 1 / 4 ， 5 / 3 ) ( 1 / 2 ， 2 ) ( 2 / 5 ， 2 ) ( 1 ， 1 ) ( 2 ， 1 / 3 ) ( 8 / 7 ， 1 / 3 ) ( 5 / 3 ， 1 / 4 ) ( 1 / 3 ， 2 ) ( 1 ， 1 ) ( 5 ， 1 / 7 ) ( 2 ， 1 / 2 ) ( 1 / 3 ， 8 / 7 ) ( 1 / 7 ， 5 ) ( 1 ， 1 ) ) ， 步骤1：取 a = 0.1 ，建立数学模型 min D ( P ， P ^ ) ，可以确定排序向量 ω = ( ( 1.06 ， 0.915 ) ， ( 2.218 ， 0.415 ) ， ( 3.238 ， 0.309 ) ， ( 1.029 ， 0.966 ) ) 和相应的直觉积性对数一致性判断矩阵 P ^ = ( ( 1 ， 1 ) ( 0. 336 ， 1 .0 45 ) ( 0. 264 ， 1 . 667 ) ( 0. 5 ， 0. 48 ) ( 1 .0 45 ， 0. 336 ) ( 1 ， 1 ) ( 0. 478 ， 1 .0 57 ) ( 1 .0 61 ， 0. 328 ) ( 1 . 667 ， 0. 264 ) ( 1 .0 57 ， 0. 478 ) ( 1 ， 1 ) ( 1 . 691 ， 0. 259 ) ( 0. 48 ， 0. 5 ) ( 0. 328 ， 1 .0 61 ) ( 0. 259 ， 1 . 691 ) ( 1 ， 1 ) ) ； 步骤2：计算 D = D ( P ， P ^ ) = 0.163 > 0.1 ，所以 P 不具有可接受对数一致性，从而需要对 P 进行修正，转下一步； 步骤3：计算 P ， P ^ 对应位置上元素之间的距离测度 d i j = d ( p i j ， p ^ i j ) ，有 d 12 = 0.312 > D ， d 13 = 0.006 ， d 14 = 0.162 ， d 23 = 0.294 > D ， d 24 = 0.01 ， d 34 = 0.191 > D ， 修正 p 12 ， p 23 ， p 34 为 p ˜ 12 ， p ˜ 23 ， p ˜ 34 ，修正后的直觉积性判断矩阵记为 P ˜ ； 步骤4：建立数学模型 min D ( P ˜ ， P ^ ) ，可以确定排序向量 ω = ( ( 0.98 ， 0.77 ) ， ( 2.21 ， 0.36 ) ， ( 2.4 ， 0.29 ) ， ( 0.95 ， 0.68 ) ) 和相应的直觉积性对数一致性判断矩阵 P ^ = ( ( 1 ， 1 ) ( 0. 318 ， 1 .0 81 ) ( 0. 3 0 3 ， 1 . 188 ) ( 0. 484 ， 0. 462 ) ( 1 .0 81 ， 0. 318 ) ( 1 ， 1 ) ( 0. 619 ， 0. 722 ) ( 1 . 1 ， 0. 31 ) ( 1 . 188 ， 0. 3 0 3 ) ( 0. 722 ， 0. 619 ) ( 1 ， 1 ) ( 1 . 2 0 9 ， 0. 296 ) ( 0. 462 ， 0. 484 ) ( 0. 31 ， 1 . 1 ) ( 0. 296 ， 1 . 2 0 9 ) ( 1 ， 1 ) ) 修正后的直觉积性判断矩阵 P ˜ = ( ( 1 ， 1 ) ( 0. 318 ， 1 .0 68 ) ( 1 / 4 ， 5 / 3 ) ( 1 / 2 ， 2 ) ( 1 .0 68 ， 0. 318 ) ( 1 ， 1 ) ( 0. 62 0 ， 0. 722 ) ( 8 / 7 ， 1 / 3 ) ( 5 / 3 ， 1 / 4 ) ( 0. 722 ， 0. 62 0 ) ( 1 ， 1 ) ( 1 . 2 09 ， 0. 2957 ) ( 2 ， 1 / 2 ) ( 1 / 3 ， 8 / 7 ) ( 0. 2957 ， 1 . 2 09 ) ( 1 ， 1 ) ) ， 步骤5：计算 D = D ( P ˜ ， P ^ ) = 0.041 ，所以 P ˜ 具有可接受对数一致性。 步骤6：计算得分 s ( x 1 ) = 1.28 ， s ( x 2 ) = 0.35 ， s ( x 3 ) = 6.19 ， s ( x 4 ) = 0.15 ，因此排序为 x 3 ≻ x 1 ≻ x 2 ≻ x 4 。 3.3. 多个直觉积性判断矩阵对数一致性检验与修正算法 为了适应群体决策需要，我们给出多个直觉积性判断矩阵的对数一致性检验与修正算法。 定义4.1：设 为 n 个直觉积性判断矩阵， P ^ 为具有对数一致性的直觉积性判断矩阵。如果 D ( P i ， P ^ ) < a ，则称 P 1 ， P 2 ， ⋯ ， P n 相对 P ^ 具有群体可接受对数一致性。 我们提供如下算法来实现多个直觉进行判断矩阵对数一致性的检验与修正： 步骤1：建立数学模型 min 1 n ∑ i = 1 n D ( P i ， P ^ ) 确定排序向量 ω 和直觉积性对数一致性判断矩阵 P ^ ，如果 D ( P i ， P ^ ) < a ，则转到步骤4；否则，不满足群体对数一致性，需要对 P 1 ， P 2 ， ⋯ ， P n 中某些矩阵进行修正，转到下一步； 步骤2：记 D = 1 n ∑ i = 1 n D ( P i ， P ^ ) ，挑选直觉积性判断矩阵 P t 使得 D ( P t ， P ^ ) > D ； 步骤3：计算 P t ， P ^ 相应位置上元素 p i j t ， p ^ i j t 之间的距离 d i j t = ( p i j t ， p ^ i j t ) ，如果 d i j t > D ，则将修正 P t 中的元素 p i j t 为 p ˜ i j t ，相应直觉积性判断矩阵记为 P ˜ t ，转向步骤1； 步骤4：计算直觉积性对数一致性判断矩阵 P ^ 排序向量 ω 的得分值，进行排序。 与单个直觉积性判断矩阵对数一致性检验与修正算法类似，这里多个直觉积性判断矩阵对数一致性检验与修正算法也具有收敛性。 注：上述算法优点在于能够在修正对数一致性的同时，尽可能的保留了决策者最初的判断信息。 例3.2：设在一群体决策过程中三位专家给出的直觉积性判断矩阵 P 1 ， P 2 ， P 3 如下： P 1 = ( ( 1 ， 1 ) ( 2 ， 2 / 5 ) ( 1 / 4 ， 5 / 3 ) ( 1 / 2 ， 2 ) ( 2 / 5 ， 2 ) ( 1 ， 1 ) ( 2 ， 1 / 3 ) ( 8 / 7 ， 1 / 3 ) ( 5 / 3 ， 1 / 4 ) ( 1 / 3 ， 2 ) ( 1 ， 1 ) ( 5 ， 1 / 7 ) ( 2 ， 1 / 2 ) ( 1 / 3 ， 8 / 7 ) ( 1 / 7 ， 5 ) ( 1 ， 1 ) ) ， P 2 = ( ( 1 ， 1 ) ( 1 / 2 ， 6 / 5 ) ( 1 ， 2 / 3 ) ( 1 / 7 ， 3 ) ( 6 / 5 ， 1 / 2 ) ( 1 ， 1 ) ( 2 ， 1 / 5 ) ( 1 / 4 ， 2 / 3 ) ( 2 / 3 ， 1 ) ( 1 / 5 ， 2 ) ( 1 ， 1 ) ( 3 / 4 ， 1 ) ( 3 ， 1 / 7 ) ( 2 / 3 ， 1 / 4 ) ( 1 ， 3 / 4 ) ( 1 ， 1 ) ) ， P 3 = ( ( 1 ， 1 ) ( 1 / 3 ， 3 / 2 ) ( 1 ， 3 / 5 ) ( 1 / 3 ， 3 ) ( 3 / 2 ， 1 / 3 ) ( 1 ， 1 ) ( 2 ， 2 / 5 ) ( 1 ， 6 / 7 ) ( 3 / 5 ， 1 ) ( 2 / 5 ， 2 ) ( 1 ， 1 ) ( 1 / 3 ， 2 ) ( 3 ， 1 / 3 ) ( 6 / 7 ， 1 ) ( 2 ， 1 / 3 ) ( 1 ， 1 ) ) 。 通过以下步骤对 P 1 ， P 2 ， P 3 的对数一致性进行检验与修正： 步骤1：建立数学模型 min 1 3 ∑ i = 1 3 D ( P i ， P ^ ) 确定排序向量 ω 和直觉积性对数一致性判断矩阵 P ^ ，我们有 ω = ( ( 2.016 ， 0.184 ) ， ( 4.226 ， 0.163 ) ， ( 2.016 ， 0.29 ) ， ( 3.738 ， 0.243 ) ) P ^ = ( ( 1 ， 1 ) ( 0. 333 ， 1 . 7 0 2 ) ( 0. 637 ， 0. 637 ) ( 0. 379 ， 1 . 4 0 1 ) ( 1 . 7 0 2 ， 0. 333 ) ( 1 ， 1 ) ( 1 . 7 0 2 ， 0. 333 ) ( 0. 959 ， 0. 667 ) ( 0. 637 ， 0. 637 ) ( 0. 333 ， 1 . 7 0 2 ) ( 1 ， 1 ) ( 0. 379 ， 1 . 4 0 1 ) ( 1 . 4 0 1 ， 0. 379 ) ( 0. 667 ， 0. 959 ) ( 1 . 4 0 1 ， 0. 379 ) ( 1 ， 1 ) ) D ( P 1 ， P ^ ) = 0.221 ， D ( P 2 ， P ^ ) = 0. 114 ， D ( P 3 ， P ^ ) = 0.0 5 ； 步骤2：计算 D = 0.129 ， D ( P 1 ， P ^ ) = 0.221 > D ，因此需对 P 1 进行修正； 步骤3：计算 P 1 ， P ^ 对应位置上元素之间的距离测度 d i j 1 = d ( p i j 1 ， p ^ i j ) ，有 d 121 = 0.369 > D ， d 131 = 0.216 > D ， d 141 = 0.072 ， d 231 = 0.018 ， d 241 = 0.099 ， d 341 = 0.553 > D ， 修正 p 121 ， p 131 ， p 341 为 p ˜ 121 ， p ˜ 131 ， p ˜ 341 ，修正后的直觉积性判断矩阵记为 P ˜ 1 ； 步骤4：建立数学模型 确定排序向量 ω 和直觉积性对数一致性判断矩阵 P ^ ，我们有 ω = ( ( 1.454 ， 0.374 ) ， ( 3.503 ， 0.143 ) ， ( 1.305 ， 0.755 ) ， ( 3.172 ， 0.293 ) ) P ^ = ( ( 1 ， 1 ) ( 0. 3 0 9 ， 1 . 571 ) ( 0. 597 ， 0. 5 0 8 ) ( 0. 334 ， 1 . 369 ) ( 1 . 571 ， 0. 3 0 9 ) ( 1 ， 1 ) ( 1 . 668 ， 0. 286 ) ( 0. 856 ， 0. 668 ) ( 0. 5 0 8 ， 0. 597 ) ( 0. 286 ， 1 . 668 ) ( 1 ， 1 ) ( 0. 3 0 8 ， 1 . 456 ) ( 1 . 369 ， 0. 334 ) ( 0. 668 ， 0. 856 ) ( 1 . 456 ， 0. 3 0 8 ) ( 1 ， 1 ) ) ， 修正后的直觉积性判断矩阵 P ˜ 1 = ( ( 1 ， 1 ) ( 0. 3 09 ， 1 . 58 ) ( 0. 597 ， 0. 5 0 8 ) ( 1 / 2 ， 2 ) ( 1 . 58 ， 0. 3 09 ) ( 1 ， 1 ) ( 2 ， 1 / 3 ) ( 8 / 7 ， 1 / 3 ) ( 0. 5 0 8 ， 0. 597 ) ( 1 / 3 ， 2 ) ( 1 ， 1 ) ( 0. 3 0 8，1 . 5 0 6 ) ( 2 ， 1 / 2 ) ( 1 / 3 ， 8 / 7 ) ( 1 . 5 0 6 ， 0. 3 0 8 ) ( 1 ， 1 ) ) ， D ( P ˜ 1 ， P ^ ) = 0.041 ， D ( P 2 ， P ^ ) = 0. 118 ， D ( P 3 ， P ^ ) = 0.0 55 ； 步骤5：计算 D = 0.0 71 ， D ( P 2 ， P ^ ) = 0. 118 > D ，因此需对 P 2 进行修正； 步骤6：计算 P 2 ， P ^ 对应位置上元素之间的距离测度 d i j 2 = d ( p i j 2 ， p ^ i j ) ，有 d 122 = 0.086 ， d 132 = 0.09 ， d 142 = 0.186 > D ， d 232 = 0.061 ， d 242 = 0.14 > D ， d 342 = 0.144 > D ， 修正 p 142 ， p 242 ， p 342 为 p ˜ 142 ， p ˜ 242 ， p ˜ 342 ，修正后的直觉积性判断矩阵记为 P ˜ 2 ； 步骤7：建立数学模型 min 1 3 ( D ( P ˜ 1 ， P ^ ) + D ( P ˜ 2 ， P ^ ) + D ( P 3 ， P ^ ) ) 确定排序向量 ω 和直觉积性对数一致性判断矩阵 P ^ ，我们有 ω = ( ( 1.17 ， 0.642 ) ， ( 3.103 ， 0.188 ) ， ( 0.677 ， 1.478 ) ， ( 1.916 ， 0.512 ) ) P ^ = ( ( 1 ， 1 ) ( 0. 29 ， 1 . 499 ) ( 0. 657 ， 0. 326 ) ( 0. 395 ， 0. 842 ) ( 1 . 499 ， 0. 29 ) ( 1 ， 1 ) ( 1 . 916 ， 0. 21 ) ( 1 . 111 ， 0. 431 ) ( 0. 326 ， 0. 657 ) ( 0. 21 ， 1 . 916 ) ( 1 ， 1 ) ( 0. 264 ， 1 .0 93 ) ( 0. 842 ， 0. 395 ) ( 0. 431 ， 1 . 111 ) ( 1 .0 93 ， 0. 264 ) ( 1 ， 1 ) ) ， P ˜ 2 = ( ( 1 ， 1 ) ( 1 / 2 ， 6 / 5 ) ( 1 ， 2 / 3 ) ( 0. 395 ， 0. 837 ) ( 6 / 5 ， 1 / 2 ) ( 1 ， 1 ) ( 2 ， 1 / 5 ) ( 1 . 11 1 ， 0. 431 ) ( 2 / 3 ， 1 ) ( 1 / 5 ， 2 ) ( 1 ， 1 ) ( 0. 264 ， 1 .0 9 3 ) ( 0. 837 ， 0. 395 ) ( 0. 431 ， 1 . 11 1 ) ( 1 .0 9 3 ， 0. 264 ) ( 1 ， 1 ) ) ， D ( P ˜ 1 ， P ^ ) = 0.0 57 ， D ( P ˜ 2 ， P ^ ) = 0.0 38 ， D ( P 3 ， P ^ ) = 0.0 93 所以，修正后的直觉积性判断矩阵 P ˜ 1 ， P ˜ 2 ， P 3 具有可接受对数一致性。 步骤8：计算得分 s ( x 1 ) = 1.82 ， s ( x 2 ) = 0.21 ， s ( x 3 ) = 16.47 ， s ( x 4 ) = 0.28 ，因此排序为 x 3 ≻ x 1 ≻ x 4 ≻ x 2 。