system: [SYSTEM]

user: 3. 结论 定理3.1 令X是n-巴拿赫空间，那么可以推得 E ( e r ( ∇ m ) ， ‖ ⋅ ， ⋯ ， ⋅ ‖ ) 也是n-巴拿赫空间。对于任意的 z 1 ， z 2 ， ⋯ ， z n ∈ X ， x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n 线性无关，其范数定义形式为 f ( x ) = ∑ k = 1 m ‖ e r x k ， z 1 ， ⋯ ， z n − 1 ‖ + h ( e r ( ∇ m x k ) ) ，如果 x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n 线性相关，那么 ‖ x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ‖ E ∇ m = 0 。 证明：首先容易证得 E ( e r ( ∇ m ) ， ‖ ⋅ ， ⋯ ， ⋅ ‖ ) 是一个度量空间，所以我们可以在空间 E ( e r ( ∇ m ) ， ‖ ⋅ ， ⋯ ， ⋅ ‖ ) 中选柯西列 ( e r x s ) s = 1 ∞ ，对于任意的 s ∈ N ，都有 x s = ( x i s ) i = 1 ∞ = ( x 1 s ， x 2 s ， x 3 s ， ⋯ ) 。对于任意给定的 ε ，存在 n 0 使得当 s ， t ≥ n 0 时 ‖ e r x s − e r x t ， u 2 ， ⋯ ， u n ‖ E ∇ m < ε ，对于任意的 u 2 ， ⋯ ， u n ∈ E ( e r ( ∇ m ) ， ‖ ⋅ ， ⋯ ， ⋅ ‖ ) ，可得 ∑ k = 1 m ‖ e r x k − e r x k t ， z 1 ， ⋯ ， z n − 1 ‖ + h ( e r ( ∇ m x k ) ) < ε ，那么也就有 ∑ k = 1 m ‖ e r x k − e r x k t ， z 1 ， ⋯ ， z n − 1 ‖ < ε   和   h ( e r ( ∇ m x k ) ) < ε 成立。因此，对于所有的k，由 ∑ k = 1 m ‖ e r x k − e r x k t ， z 1 ， ⋯ ， z n − 1 ‖ < ε 可得 ( e r x k s ) 是X中的柯西列，又因为X是n-巴拿赫空间，所以 ( e r x k s ) 在X中收敛，即 lim s → ∞ e r x k s = e r x k 。 接下来，由 h ( e r ( ∇ m x k ) ) < ε 可知 e r ( ∇ m x k ) 是E中柯西列，且是完备的，对于所有的 k ∈ N ，有 lim s → ∞ e r ( ∇ m x k ) = y k ，特别地，当 k = 1 时， lim s → ∞ e r ( ∇ m x k ) = lim s → ∞ ∑ v = 0 n ( n v ) ( 1 − r ) n − v r v x 1 + m v = y 1 ， lim s → ∞ e r x k s = e r x k ，其中 k = 1 + m v ， v = 0 ， 1 ， ⋯ ， n − 1. 最后，有 lim s → ∞ e r x 1 + m v s = e r x 1 + m ，也就等价于 ∑ k = 1 m | e r x r s − e r x k t | + h ( e r ∇ m ( x k s − x k t ) ) < ε ⇒ lim s → ∞ ∑ k = 1 m | e r x r s − e r x k t | + h ( e r ∇ m ( x k s − x k t ) ) < ε ⇒ ∑ k = 1 m | e r x r s − e r x k t | + h ( e r ∇ m ( x k s − x k t ) ) ≤ ε 其中 u 2 ， ⋯ ， u n ∈ E ( e r ( ∇ m ) ， ‖ ⋅ ， ⋯ ， ⋅ ‖ ) ， f ( e r x s − e r x ) ≤ ε 。因此， ( e r x s − e r x ) ∈ E ( e r ( ∇ m ) ， ‖ ⋅ ， ⋯ ， ⋅ ‖ ) 。根据 E ( e r ( ∇ m ) ， ‖ ⋅ ， ⋯ ， ⋅ ‖ ) 是线性空间，可以得出 e r x = e r x s − ( e r x s − e r x ) ∈ E ( e r ( ∇ m ) ， ‖ ⋅ ， ⋯ ， ⋅ ‖ ) 。最终证得 E ( e r ( ∇ m ) ， ‖ ⋅ ， ⋯ ， ⋅ ‖ ) 是完备的n-赋范空间。 推论3.2 如果X是n-巴拿赫空间，那 E p ( e p r ( ∇ m ) ， ‖ ⋅ ， ⋯ ， ⋅ ‖ ) ， E c ( e c r ( ∇ m ) ， ‖ ⋅ ， ⋯ ， ⋅ ‖ ) ， E ∞ ( e ∞ r ( ∇ m ) ， ‖ ⋅ ， ⋯ ， ⋅ ‖ ) ， E 0 ( e 0 r ( ∇ m ) ， ‖ ⋅ ， ⋯ ， ⋅ ‖ ) 是n-BK空间。 定理3.3 空间 E ( e r ( ∇ m − 1 ) ， ‖ ⋅ ， ⋯ ， ⋅ ‖ ) ⊂ E ( e r ( ∇ m ) ， ‖ ⋅ ， ⋯ ， ⋅ ‖ ) ，或者 E ( e r ( ∇ i ) ， ‖ ⋅ ， ⋯ ， ⋅ ‖ ) ⊂ E ( e r ( ∇ m ) ， ‖ ⋅ ， ⋯ ， ⋅ ‖ ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 。其中 E = E p ， E c ， E ∞ ， E 0 。 证明：下面以 E = E p 为例进行推导，令 x = ( x k ) ∈ E p ( e p r ( ∇ m − 1 ) ， ‖ ⋅ ， ⋯ ， ⋅ ‖ ) . 对于非零的 z 1 ， ⋯ ， z n − 1 ∈ X 可以得到 lim i = 1 ∞ ( ‖ 1 i | ∑ k = 1 i e p r ( ∇ m − 1 x k ) | ， z 1 ， ⋯ ， z n − 1 ‖ ) < ∞ ，接下来，进一步可以推得 ‖ 1 i | ∑ k = 1 i e p r ( ∇ m x k ) | ， z 1 ， ⋯ ， z n − 1 ‖ ≤ ‖ 1 i | ∑ k = 1 i e p r ( ∇ m − 1 x k ) | ， z 1 ， ⋯ ， z n − 1 ‖ + ‖ 1 i | ∑ k = 1 i e p r ( ∇ m − 1 x k + 1 ) | ， z 1 ， ⋯ ， z n − 1 ‖ . 根据不等关系式 | a + b | p ≤ 2 p ( | a | p + | b | p ) ，其中 1 ≤ p < ∞ ，上面不等式化简： ( ‖ 1 i | ∑ k = 1 i e p r ( ∇ m x k ) | ， z 1 ， ⋯ ， z n − 1 ‖ ) p ≤ 2 p ( ‖ 1 i | ∑ k = 1 i e p r ( ∇ m − 1 x k ) | ， z 1 ， ⋯ ， z n − 1 ‖ ) p + ( ‖ 1 i | ∑ k = 1 i e p r ( ∇ m − 1 x k + 1 ) | ， z 1 ， ⋯ ， z n − 1 ‖ ) p . 那么，对于任意得正整数r，可以得到 ∑ i = 1 r ( ‖ 1 i | ∑ k = 1 i e p r ( ∇ m x k ) | ， z 1 ， ⋯ ， z n − 1 ‖ ) p ≤ 2 p ∑ i = 1 r ( ‖ 1 i | ∑ k = 1 i e p r ( ∇ m − 1 x k ) | ， z 1 ， ⋯ ， z n − 1 ‖ ) p + ∑ i = 1 r ( ‖ 1 i | ∑ k = 1 i e p r ( ∇ m − 1 x k + 1 ) | ， z 1 ， ⋯ ， z n − 1 ‖ ) p . 最后，令 r → ∞ ，得到结果 ∑ i = 1 r ( ‖ 1 i | ∑ k = 1 i e p r ( ∇ m x k ) | ， z 1 ， ⋯ ， z n − 1 ‖ ) p < ∞ 。也就是说 E ( e r ( ∇ m − 1 ) ， ‖ ⋅ ， ⋯ ， ⋅ ‖ ) ⊂ E ( e r ( ∇ m ) ， ‖ ⋅ ， ⋯ ， ⋅ ‖ ) 。