system: [SYSTEM]

user: 3. 不变代数曲线法求积分因子 本节我们以一个例子呈现运用不变代数曲线法求解积分因子的计算过程。 例1 d x d t = y ( 1 + a 11 x + a 21 x 2 ) ， (3) d y d t = 4 μ x y + 2 a 11 y 2 − 2 ( 1 + μ 2 ) x 3 + 2 a 21 x y 2 ， 解：设 f ( x ， y ) 为其一条不变代数曲线，则 d f d t | ( 3 ) = ∂ f ∂ x y ( 1 + a 11 x + a 21 x 2 )     + ∂ f ∂ y [ 4 μ x y + 2 a 11 y 2 − 2 ( 1 + μ 2 ) x 3 + 2 a 21 x y 2 ] = h ( x ， y ) f ( x ， y ) 设 f = ∑ k + j = 0 m c k j x k y j ，   h = ∑ k + j = 0 n − 1 d k j x k y j 则 d ∑ k + j = 0 m c k j x k y j d t | ( 36 ) = ∂ ∑ k + j = 0 m c k j x k y j ∂ x y ( 1 + a 11 x + a 21 x 2 )     + ∂ ∑ k + j = 0 m c k j x k y j ∂ y [ 4 μ x y + 2 a 11 y 2 − 2 ( 1 + μ 2 ) x 3 + 2 a 21 x y 2 ] = ∑ k + j = 0 n − 1 d k j x k y j ∑ k + j = 0 m c k j x k y j (4) 在这里我们首先令 ，由题意我们可以知道 n = 3 ，将 m = 2 ， n = 3 代入得 ∑ k + j = 0 2 k c k j x k − 1 y j [ y ( 1 + a 11 x + a 21 x 2 ) ] + ∑ k + j = 0 2 j c k j x k y j − 1 [ 4 μ x y + 2 a 11 y 2 − 2 ( 1 + μ 2 ) x 3 + 2 a 21 x y 2 ] = ∑ k + j = 0 2 d k j x k y j ∑ k + j = 0 2 c k j x k y j (5) 将(5)展开化简并将得到的等式两边对应项的系数进行比较，可以得到一个关于 c k j ， d k j 的线性代数方程组 { d 00 c 00 = 0 d 00 c 10 + d 10 c 00 = 0 d 00 c 20 + d 10 c 10 + d 20 c 00 = 0 d 02 c 02 = 0 c 10 + 2 c 20 = d 00 c 01 + d 01 c 00 c 10 a 11 + 2 c 20 a 11 + 4 c 01 u = d 00 c 11 + d 10 c 01 + d 01 c 10 + d 11 c 00 c 11 + 2 c 01 a 11 = d 00 c 02 + d 01 c 01 + d 02 c 00 c 10 a 21 + 2 c 20 a 21 + 4 c 11 u = d 10 c 11 + d 01 c 20 + d 20 c 01 + d 11 c 10 3 c 11 a 11 + 2 c 01 a 21 + 8 c 02 u = d 10 c 02 + d 01 c 11 + d 02 c 10 + d 11 c 01 3 c 11 a 21 = d 20 c 02 + d 02 c 20 + d 11 c 11 − 2 c 01 − 2 c 01 u 2 = d 10 c 20 + d 20 c 10 4 c 02 a 11 = d 01 c 02 + d 02 c 01 − 4 c 02 − 4 c 02 u 2 = d 20 c 11 + d 11 c 20 4 c 02 a 21 = d 02 c 11 + d 11 c 02 − 2 c 11 − 2 c 11 u 2 = d 20 c 20 解这个方程组，它遵循f和h，解得 { c 00 = 1 c 10 = a 11 c 01 = 0 c 20 = a 21 c 02 = 0 c 11 = 0 (6) 从而可以求得它的一条不变的代数曲线 f 11 = 1 + a 11 x + a 21 x 2 ， 同理可求得当 m = 4 时它的另一条不变代数曲线 f 12 = y 2 − 2 μ x 2 y + x 4 ( 1 + μ 2 ) ， 由两条代数不变曲线的可以构造系统的逆积分因子 I 1 = f 11 f 12 . 系统的相图如下图1所示： 图1. 系统(3)的相图 通过该例我们可以看出，运用不变代数曲线求解积分因子，只牵扯到多项式的运算，可以利用程序方便的实现，其主要困难之处在于不变代数曲线的次数是不确定的。 下列例题求解过程同上。 例2 d x d t = 1 25 y ( 5 + 2 a 11 x − b 02 x ) ( 5 + 3 a 11 x + b 02 x ) ， d y d t = 1 25 ( − 50 x 3 + 25 b 02 y 2 − 2 a 11 2 x y 2 + 7 a 11 b 02 x y 2 − 3 b 02 2 x y 2                 + 100 μ x y + 40 μ a 11 x 2 y − 20 b 02 μ x 2 y − 50 μ 2 x 3 ) . 它有三条不变的代数曲线 f 21 = 5 + 3 a 11 x + b 02 x ， f 22 = 5 + 2 a 11 x − b 02 x ， f 23 = 25 x 4 + 25 y 2 + ( 20 a 11 + 10 b 02 ) x y 2 + ( 4 a 11 2 − 4 a 11 b 02 + b 02 2 ) x 2 y 2                 − 50 μ x 2 y − 20 a 11 x 3 y μ + 10 b 02 x 3 y μ + 25 x 4 μ 2 ， 其逆积分因子 I 2 = f 21 f 22 − 1 f 23 . 例3 d x d t = 1 100 y ( 10 + 6 a 11 x − 3 b 02 x ) ( 10 + 4 a 11 x + 3 b 02 x ) ， d y d t = − 8 x 3 + 4 3 x y + 4 5 3 ( 2 a 11 − b 02 ) x 2 y + b 02 y 2               + 1 5 ( 2 a 11 − b 02 ) b 02 x y 2 + ( 4 a 11 − 17 b 02 ) ( 2 a 11 − b 02 ) 2 3000 3 y 3 ， 它有三条不变的代数曲线 f 31 = 10 + 6 a 11 x − 3 b 02 x ， f 32 = 10 + 4 a 11 x + 3 b 02 x ， f 33 = − 12000 3 x 4 + 18000 x 2 y + 7200 a 11 x 3 y − 3600 b 02 x 3 y − 3000 3 y 2                 − 2400 3 a 11 x y 2 + 1200 3 b 02 x y 2 − 480 3 a 11 2 x 2 y 2 + 480 3 a 11 b 02 x 2 y 2                 − 120 3 a 02 2 x 2 y 2 + 60 a 11 2 y 3 − 60 a 11 b 02 y 3 + 15 b 02 2 y 3                 + 32 a 11 3 x y 3 − 48 a 11 2 b 02 x y 3 + 24 a 11 b 02 2 x y 3 − 4 02 3 x y 3 ， 其逆积分因子 I 3 = f 31 − 1 3 f 32 f 33 . 从次数较低的不变代数曲线开始，计算机程序实现过程： 1) 定义函数 f ( x ， y ) ， h ( x ， y ) ； 2) 计算 d f d t − f ( x ， y ) h ( x ， y ) ； 3) 取出上式的全部系数，令其为零，得到方程组； 4) 求解方程组得到代数不变曲线； 5) 如果没有该次数代数不变曲线，重复计算更高次的代数不变曲线。