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user: 2. 基本理论 2.1. Pair Copula理论 在此，简单介绍copula的基本知识，以二元copula为例。 定义1.1 [ 11 ] ：若二元函数 C ( u ， v ) 满足 1) C的定义域： U = ( u ， v ) ∈ [ 0 ， 1 ] 2 ； 2) C ( u ， v ) 有零基面且是二维递增的； 3) 对于U中的任意两点 u ， v ，有 C ( u ， 0 ) = 0 = C ( 0 ， v ) ， C ( u ， 1 ) = u ， C ( 1 ， v ) = v 4) 对于U中的任意四个点 u 1 ， u 2 ， v 1 ， v 2 ，如果 u 1 ≤ u 2 ， v 1 ≤ v 2 ，则 C ( u 2 ， u 2 ) − C ( u 2 ， v 1 ) − C ( u 1 ， v 2 ) = C ( u 1 ， v 1 ) ≥ 0 则称函数 C ( u ， v ) 为Copula函数。 定理1.1：(Sklar定理) [ 12 ] 设二维随机变量 ( X 1 ， X 2 ) 的联合分布为 F ( x 1 ， x 2 ) ，边缘分布分别为 F 1 ( x 1 ) 、 F 2 ( x 2 ) ，则对 ∀ ( x 1 ， x 2 ) ∈ R 2 ，存在一个Copula函数C，使得 F ( x 1 ， x 2 ) = C ( F 1 ( x 1 ) ， F ( x 2 ) ) (1) 若 F 1 ( x 1 ) 、 F 2 ( x 2 ) 都是连续的，那么C是唯一存在的；反之，若 F 1 ( x 1 ) 、 F 2 ( x 2 ) 是一元分布函数， C ( u 1 ， u 2 ) 为对应的Copula函数，那么(1)式定义的 F ( x 1 ， x 2 ) 函数是一个多元联合分布函数，边缘分布为 F 1 ( x 1 ) 、 F 2 ( x 2 ) 。这个定理描述了Copula函数和边缘分布函数的关系，指出可以通过一个Copula连接函数将一个多维联合概率分布函数同其对应的一维边缘概率分布函数结合起来。 Aas和Czado (2009) [ 7 ] 在文章中详细介绍了Pair-Copula的相关理论，认为多元变量联合密度函数按照某种结构可分解为一系列Pair-Copula密度函数和边缘分布函数的乘积。对于n维随机变量向量 X = ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ) ，根据条件密度函数性质，X的联合密度函数可表示为 f ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ) = f n ( x n ) ⋅ f ( x n − 1 | x n ) ⋅ f ( x n − 2 | x n − 1 ， x n ) ⋅ ⋯ ⋅ f ( x 1 | x 2 ， ⋯ ， x n ) (2) 根据定理1.1，多元变量联合分布函数的密度函数可表示为 f ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ) = c 12 ⋯ n ( F 1 ( x 1 ) ， F 2 ( x 2 ) ， ⋯ ， F n ( x n ) ) ⋅ f 1 ( x 1 ) ⋅ ⋯ ⋅ f n ( x n ) (3) 其中， c 12 ⋯ n 为n维Copula密度函数， f i ( x i ) 为边缘密度函数。 进而推导可得，任一条件密度函数可分解为二元Copula与条件密度函数，表达式为： f ( x | v ) = c x v j | v − j ( F ( x | v − j ) ， F ( v j | v − j ) ) ⋅ f ( x | v − j ) (4) 其中， v j 为n维向量v中的任一分量， v − j 为v除去 v j 的 n − 1 维分量， F ( x | v ) 为条件边际分布函数。对于任意的j， c x v j | v − j ( ⋅ | ⋅ ) 是二元Pair-Copula密度函数，有 f ( x | v ) = ∂ C x v j | v − j ( F ( x | v − j ) ， F ( v j | v − j ) ) ∂ F ( v j | v − j ) (5) 2.2. 藤Copula理论 Vine-Copula实质是将传统的多元Copula以藤图的结构形式将多维Copula分解成一系列的二维或者条件二维Copula。正则藤(Regular Vine)最先在2001年由Bedford和Cooke [ 5 ] 提出，后在2006年由Kurowicka和Cooke [ 13 ] 做了详细的描述。在n元联合分布中，n维变量的藤主要是指一类树的集合，树j ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 2 ) 的边是树 j + 1 的节点，每棵树的边数都取最大。其中，最特殊的两类藤是Canonical-Vine(在文中简称C-Vine)和D-Vine两种藤。C-Vine的每一棵树T j 只有单一的点连接到 n − j 条边上，反观D-Vine，树中的任意一个结点最多和2条边相连。图1和图2分别是四维C藤、D藤各类结构的示意图。 按照C-Vine结构分解的n维变量，密度函数为 f ( x 1 ， ⋯ ， x n ) = ∏ k = 1 n f ( x k ) ∏ j = 1 n − 1 ∏ i = 1 n − 1 c j ， j + i | 1 ， ⋯ ， j − 1 ( F ( x j | x 1 ， ⋯ ， x j − 1 ) ， F ( x j + i | x 1 ， ⋯ ， x j − 1 ) ) (6) 按照D-Vine结构分解的n维变量，密度函数为 f ( x 1 ， ⋯ ， x n ) = ∏ k = 1 n f ( x k ) ∏ j = 1 n − 1 ∏ i = 1 n − 1 c i ， i + j | i + 1 ， ⋯ ， i + j − 1 ( F ( x i | x i + 1 ， ⋯ ， x i + j − 1 ) ， F ( x j + i | x i + 1 ， ⋯ ， x i + j − 1 ) ) (7) 其中， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 2 为树的标号，i表示每棵树的边。 2.3. 风险度量工具VaR VaR(Value at Risk)即在险价值，是风险测度的一个重要工具，用于表示市场正常波动在一定的置信水平下，投资者持有的证券或者资产组合在未来一定时间内可能产生的最大损失。公式表示为 Pr ( Δ P Δ t ≤ VaR ) = α (8) 图1. C-Vine树形示意图 图2. D-Vine树形示意图 其中， Δ P Δ t = P ( t + Δ t ) − P ( t ) ，表示在 Δ t 的持有期下某一资产的损失额， α 为置信水平。 2.4. 建模步骤 本文通过构建Vine-Copula模型，运用ARCH效应检验、GARCH建模等方法度量上证四大行业板块指数组合的相依性风险。建模步骤如下： 1) 求出各行业指数的日收盘价各自对应的对数收益率，并做出时序图； 2) 为了解四个收益率序列的总体情况，对其做基本描述性统计分析和平稳性检验； 3) 对收益率序列做ARCH效应检验，检验序列的异方差性，根据检验结果建立GARCH类模型； 4) 考虑t分布和偏t (skew-t，以下简称st)分布拟合序列的残差分布，并最终通过标准化GARCH-t和GARCH-st建模后的残差序列，进行概率积分变换，得到各样本的累积分布，再用K-S检验进行筛选； 5) 建立Vine-Copula模型，并通过极大似然值、AIC和BIC准则选择合适的C-Vine或D-Vine结构； 6) 利用蒙特卡罗方法计算在给定置信水平下投资组合的VaR，并做Kupiec返回检验。