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user: 2. 资料与方法 2.1. 数据来源 本研究中所采用的疫情数据主要来源于湖北省卫生健康委员会官方网站，军队及各省援助湖北的批次及人数主要来源于国家及各省的卫生健康委员会官方网站和新华网等媒体公布的数据 [ 9 ] [ 10 ]。湖北省常住人口数量来源于湖北省2019年统计年鉴所公布的2018年底的数据 [ 11 ]。采集数据的区间为2020年1月23日到4月14日。之所以在这个期间采集数据是因为，湖北省各城市在1月23日之后纷纷采取封城的措施控制疫情的发展，人口的流动率稳定，人员之间的接触率也相对稳定 [ 3 ]。而且，军队及各省的援颚医疗队也是在1月23日之后才开始进驻湖北。从本研究搜集的资料来看，最后一批医疗队撤离湖北的时间是在4月12日左右，湖北省的疫情状况也趋于稳定。所以，本研究认为采用1月23日到4月14之间的数据能够更好的估计模型中的参数并揭示医护人员对疫情控制的作用。 2.2. 模型构建 传统的SEIR模型将人群分为S、E、I和R四种类型 [ 12 ]。其中S为易感人群(Susceptible)，表示潜在的可感染的人群，个体在被感染之前都处于易感状态；E为潜伏人群(Exposed)，表示已经被感染，但是还没有表现出感染症状的群体，这类人群也可能对其所接触到的易感人群进行传染；I为感染人群(Infected)代表已经表现出感染症状的人，并且还会以一定的概率感染其他能够接触到的易感人群；R代表移出人群(Removed)，代表不具传染能力的人群，可以具体分为治愈者(Recovered)和死亡者(Death)两种。治愈者表示本身已经具有抗体并且不会再被感染的人群，本研究中统一采用字母R来代表治愈者人群；死亡者表示因为疾病已经死亡的人群，本研究中采用字母D来代表死亡者人群。 为说明医护人员在抗疫中的作用，本研究还引入了医疗处理水平上限M和被援助地区医护人员总量A两个变量。M代表了被援助地区的医疗处理水平的上限，也就是一个区域内最多能够同时治疗的感染者数量，是影响感染人群治愈率的重要因素。A代表为了控制感染人群数量在被援助地区的进一步扩大，其他地区所派遣的援助医护人员的总量。 将S(t)、E(t)、I(t)、R(t)、D(t)和A(t)分别代表时刻t的易感人群数、潜伏人群数、感染人群数、治愈人群数、死亡人群数和新增医护人员数。假设N(t)为该区域t时刻的总人数，必然存在 N ( t ) = S ( t ) + E ( t ) + I ( t ) + R ( t ) − D ( t ) 。 假设易感人群在单位时间内接触到潜伏人群或感染人群并受到感染的概率为β(t)，由于易感人群接触到潜伏人群受感染的概率可能会与接触到感染人群后受感染的概率存在差异，所以设定θ为潜伏者传染率调节因子。由于易感个体在t时刻的比例为S(t)/N(t)，并且时刻t内有I(t)个感染的个体，所以易感人群数目会呈现以下变化： d S d t = d A d t − β ( t ) S ( t ) N ( t ) ( I ( t ) + θ E ( t ) ) 由于采取了封城、追踪隔离等手段，日接触感染率β(t)会逐渐降低。为反应这种变化趋势，本研究采用以下函数来代表β(t)： β ( t ) = β 0 1 + β 1 e c t 潜伏人群会在单位时间内以σ的概率转变为感染者，所以潜伏个体的数目会呈现以下变化： d E d t = β ( t ) S ( t ) N ( t ) ( I ( t ) + θ E ( t ) ) − σ E ( t ) 感染的人群将以r(t)的概率转变为治愈者，并以d的概率死亡，所以感染人群数会呈现以下变化： d I d t = σ E ( t ) − r ( t ) I ( t ) − d I ( t ) 相应的治愈人群和死亡人群的变化趋势如下所示： d R d t = r ( t ) I ( t ) d D d t = d ( t ) I ( t ) 本研究认为r(t)是一个关于医疗处理水平M(t)的函数，并且随着M(t)的增大而增大，并且r(t)会逐渐收敛于一个常数水平。为了表达出这种变化趋势，本研究采用Sigmoid函数来表示： r ( t ) = k 1 + ε e − M ( t ) 假设医疗处理水平M是治疗感染者的医护人员总数的函数。ts为被援助地区原有治疗感染者的医护人员总量，A(t)为t时刻其他地区派遣的援助的医护人员总量。需要说明的是本研究中的ts，是指直接参与和治疗普通和重症感染者的医护人员，其他投入到发热病人和疑似病例的医护人员，还有其他在社区、乡镇和农村等基层的一线抗疫人员并不包括在内。虽然这些医务人员同样也为抗疫做出了突出贡献，但本研究更关注的是与治愈率直接相关的医护人员的作用，并且根据相关的报道，几乎所有的援助的医护人员都直接参与治疗普通和重症感染者，所以本研究采用被援助地区原有治疗感染者的医护人员总量ts和其他地区派遣的援助医护人员总量A(t)来反映医疗处理水平。 当医护人员受到感染后，会降低治疗和护理的水平，假设医护人员感染的概率为β M 。本研究认为医护人员数量到医疗处理水平会受到一个调节系数的影响，并且这个调节系数会随着时间的变化逐步的变大，因为医护人员自身的抗疫经验会随着时间的积累而增大，不过这个调节系数也不可能一直增大，这个数值会收敛于一个常数。为表达出这种变化趋势，本研究采用Sigmoid函数来代表医护人员数量到医疗处理水平的调节系数。所以，t时刻被援助地区的医疗处理水平会表现为以下公式： M ( t ) = α 1 + η e − λ t ( t s + A ( t ) ) ( 1 − β M ) 将M(t)代入r(t)中可以得到治愈率随着时间变化的公式，如下所示： r ( t ) = k 1 + ε e − α 1 + η e − λ t ( t s + A ( t ) ) ( 1 − β M ) 对感染者到死亡者的转移率d(t)，本研究利用湖北地区1月23日到4月14日每天新增的死亡病例数除以现有确诊病例数，得到了每天从感染者到死亡者的转移率，发现d(t)随时间的推移会逐渐降低，并逐渐趋于一定的数值。为反应这种变化趋势，本研究采用如下函数来代表： d ( t ) = φ + p e ω t 2.3. 参数估计及模型评价 为估计相关的参数，本研究从湖北省卫生健康委员会网站上获取了2020年1月23日到2020年4月14日每天新增确诊病例数、累计确诊病例数、每天新增治愈病例数、累积治愈病例数，每天新增死亡病例数、累积死亡病例数和现有确诊病例数 [ 10 ]。除此之外，本研究还从国家以及各省的健康卫生委员会网站和新华网等网站上，搜集了2020年1月23日到4月12日之间各省每天支援湖北的医护人员数量以及每天撤离湖北的医护人员数量。 本研究采用2020年1月23日现有确诊病例数、累积治愈病例数、累积死亡病例数和援颚医护人员的数量，分别作为感染人群I(0)、治愈人群R(0)、死亡人群D(0)和援助医护人员的初始数量A(0)。依据湖北省的统计年鉴，2018年底湖北省的常住人口人口规模为5917万人 [ 11 ]，利用该数据减去累积死亡病例数估算了湖北省初始人数N(0)；利用每天新增确诊者数量、新增治愈者数量和新增死亡者数量以及潜伏者到感染者的转移率可以估算潜伏人群初始数量E(0)；最后利用N(0)减去I(0)、R(0)、D(0)和E(0)可以估算出易感人群初始数量S(0)。对应的初始数值如表1所示。 对于潜伏者到感染者的转移率σ，本研究采用白宁等人(2020)所采用的1/7作为参数值 [ 2 ]。对被援助地区原有治疗感染者的医护人员初始总量ts，依据湖北省卫生健康委员会2020年2月1日的报告，总共有80000多医护人员投入到医治工作中 [ 13 ]，所以本研究将ts值设置为80000。对于医护人员的感染率β M ，本研究采用以下的估计方法。依据湖北省卫生健康委员会主任刘英姿在2020年1月29号的估计，湖北全省会有超过17万医护人员参加一线的抗疫活动，这17万医护人员包含了基层的医护人员和治疗感染者的医护人员 [ 13 ]。此外，根据国务院新闻办公室副秘书长丁向阳的汇报，截至2020年3月6日，湖北省有超过3000位医护人员受到感染。所以，本研究利用3000除以170000估算医护人员的感染率为0.0176。 对日接触感染率调节系数β 0 、日接触感染率指数调节系数β 1 和日接触感染率时间调节系数c等参数的设定，本研究采用启发式算法进行估计 [ 14 ]。在进行启发式算法之前，本研究首先设定了各个参数的取值范围和参数的粒度。经过反复的模拟实验，本研究发现β 0 、β 1 、c、θ、k、α、λ、φ和ω应该在0到1 之间，ε和η在0到10000之间最有可能得到与实际数据拟合的模型。本研究对各个参数在区间内进行随机采样，其中β 0 、c、θ、k、α、λ、φ和ω的粒度设为0.0001，β 1 的粒度设为0.000001，ε和η的粒度设为1，设置迭代次数为100000，不断地代入到微分方程中求解，并通过均方根误差(RMSE)最小的原则与真实数据进行比对，优化得到该粒度下的最优解参数。最终得到的各个参数如表1所示。 Table 1 The meaning and estimates of parameters and variables in the mode 初始值 含义 参数值 来源 N(0) 被援助地区初始人数 59169952 估计 S(0) 易感人群初始数量 59168646 估计 E(0) 潜伏人群初始数量 805 估计 I(0) 感染人群初始数量 494 [ 10 ] R(0) 治愈人群初始数量 31 [ 10 ] D(0) 死亡人群初始数量 24 [ 10 ] A(0) 援助医护人员初始数量 0 估计 参数 含义 参数值 来源 β 0 日接触感染率调节系数 0.5825 估计 β 1 日接触感染率指数调节系数 0.000647 估计 c 日接触感染率时间调节系数 0.6082 估计 θ 潜伏者接触率调节因子 0.2635 估计 σ 潜伏者到感染者的转移率 1/7 [ 2 ] k 医疗处理治愈率调节系数 0.1592 估计 α 医护人员数量到医疗处理水平收敛调节系数 0.0452 估计 λ 医护人员数量到医疗处理水平的时间调节系数 0.0288 估计 η 医护人员数量到医疗处理水平的指数调节系数 4320 估计 ε 医疗处理治愈率指数调节系数 77 估计 p 感染者到死亡者的转移率调节系数 0.0233 估计 φ 感染者到死亡者的转移率收敛系数 0.0022 估计 ω 感染者到死亡者的转移率时间调节系数 0.2191 估计 ts 被援助地区治疗感染者的医护人员初始总量 80000 [ 13 ] β M 医护人员感染率 0.0176 估计 表1. 模型中参数和变量的意义以及估计值 为进一步验证模型及参数设置的合理性，本研究观察了1月23日到4月14日湖北省现有确诊病例数、累积治愈病例数、累积死亡病例数和每天新增确诊病例数拟合的结果，如图1所示。从图1可知，本研究的模型能够基本上模拟湖北省现有确诊病例数、累积治愈病例数、累积死亡病例数和每天新增确诊病例数的历史变化趋势。特别是对现有确诊病例数拐点的预测时间上，本研究所预测的结果与实际数据是一致的，都是在2月18号和19号左右。接下来本研究将利用该模型探讨援助医疗队在本次疫情控制中的作用。 图1. 湖北省现有确诊病例数、累积治愈病例数、累积死亡病例数和每天新增确诊病例数拟合结果。其中红色星号表示拟合结果，蓝色圆圈表示实际数据 2.4. 参数估计及模型评价 利用所构建的模型，本研究分析了援助医疗队在疫情控制中起到了哪些作用。本研究模拟了，在没有援助医疗队的情况下，现有确诊病例数、累积治愈病例数和累积死亡病例数的变化趋势，结果如图2所示。图2中有援助医疗队的情况，采用的是湖北省1月23日到4月12日之间各省每天援助医疗队进驻湖北的数据。由图2可知，援助医疗队在疫情控制中起到了重要的作用，具体来说，援助医疗队使得现有确诊病例数能够快速减少，并使累积治愈的病例数快速增加，还能减少累积的死亡病例数。通过对比4月12日的模型运行结果可知，在医疗援助的作用下，现有确诊病例数降低了81.85%，累积治愈病例数提升了3.03%，累计死亡病例数降低了24.14%。 图2. 有和无援助医疗队进驻的情况下，现有确诊病例数、累积治愈病例数和累积死亡病例数的对比结果。其中红色星号表示有支援组的模拟数据，黄色菱形表示无支援组的模拟数据