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user: 3. 主要结果 引理 [ 7 ] 在 E F C Q ( s ， t ) 中二进制字符串最低位为0的点的度为 s + 2 ；二进制字符串最低位为1的点的度为 t + 2 。 定理1： E F C Q ( s ， t ) 是正则的，若 s = t ， s ≥ 1 ， t ≥ 1 。 E F C Q ( s ， t ) 是非正则的，若 s ≠ t ， s ≥ 1 ， t ≥ 1 。 证明：K. Bhavani在文献 [ 7 ] 中证明了 E F C Q ( s ， t ) 的度。在 E F C Q ( s ， t ) 中二进制字符串最低位为0的点的度为 s + 2 ；二进制字符串最低位为1的点的度为 t + 2 。故当 s = t 时，在 E F C Q ( s ， t ) 中，对任意 v ∈ V ，都有 deg ( v ) = s + 2 。根据定义3， E F C Q ( s ， t ) 是正则的。同理，当 s ≠ t 时， E F C Q ( s ， t ) 是非正则的。 定理2： E F C Q ( s ， t ) 是Hamilton图。 证明：周东仿在文献 [ 9 ] 中，提出了Hamiltonian cycle算法，通过调用这个算法可以得到 E C Q ( s ， t ) 上的一个Hamilton圈。由于 E F C Q ( s ， t ) 是在 E C Q ( s ， t ) 的基础上在互补的两个点上增加一条补边所得，根据定义2， E F C Q ( s ， t ) 是Hamilton图。 定理3：1) E F C Q ( 1 ， 1 ) 是Hamilton可分解的。 2) E F C Q ( 2 ， 2 ) 是Hamilton可分解的。 证明1)：在 E F C Q ( 1 ， 1 ) 中， deg ( E F C Q ( 1 ， 1 ) ) = 3 ， E F C Q ( 1 ， 1 ) 是正则图。则根据定义5可知 E F C Q ( 1 ， 1 ) 能被划分成1个边不交的Hamilton圈和1个完美对集的并(如图1)。 图1. E F C Q ( 1 ， 1 ) 的图表示 E F C Q ( 1 ， 1 ) 中的Hamilton圈为： 100-101-111-110-010-011-001-000-100 E F C Q ( 1 ， 1 ) 中的完美对集为： 100-011， 101-010， 111-000， 110-001 证明2)：在 E F C Q ( 2 ， 2 ) 中， deg ( E F C Q ( 2 ， 2 ) ) = 4 ， E F C Q ( 2 ， 2 ) 是正则图。则根据定义5可知 E F C Q ( 2 ， 2 ) 能被划分成2个边不交的Hamilton圈(如图2)。 E F C Q ( 2 ， 2 ) 中的Hamilton圈 H 1 为： 01000-01001-01011-01010-11010-11011-11001-11000-10000-10001-10011-10010-00010-00011-00111-00110-01110-01111-01101-01100-11100-11101-11111-11110-10110-10111-10101-10100-00100-00101-00001-00000-01000 E F C Q ( 2 ， 2 ) 中的Hamilton圈 H 2 为： 01000-11000-00111-00101-11010-10010-01101-01001-10110-00110-11001-11101-00010-01010-10101-10001-01110-11110-00001-00011-11100-10100-01011-01111-10000-00000-11111-11011-00100-01100-10011-10111-01000 图2. E F C Q ( 2 ， 2 ) 的图表示 定理4 1) E F C Q ( 3 ， 3 ) 可以分解为24个8圈16个4圈和一个完美对集并。 2) E F C Q ( 3 ， 3 ) 可以分解为32个4圈16个8圈和一个完美对集并。 3) E F C Q ( 3 ， 3 ) 可以分解为一个Hamilton圈22个4圈5个8圈和一个完美对集的并(如图3)。 图3是 E C Q ( 3 ， 3 ) ， E F C Q ( 3 ， 3 ) 是在它的基础上增加补边，连接 E C Q ( 3 ， 3 ) 中互补的两个点所得。 证明1)：令 a 2 ∈ { 0 ， 1 } ， E F C Q ( 3 ， 3 ) 中有24个8圈其中16个可以表示为： a 2 001011-a 2 001010-a 2 011010-a 2 011011-a 2 011111-a 2 011110-a 2 001110-a 2 001111-a 2 001011； a 2 001001-a 2 001000-a 2 011000-a 2 011001-a 2 011101-a 2 011100-a 2 001100-a 2 001101-a 2 001001； a 2 000011-a 2 000010-a 2 010010-a 2 010011-a 2 010111-a 2 010110-a 2 000110-a 2 000111-a 2 000011； a 2 000001-a 2 000000-a 2 010000-a 2 010001-a 2 010101-a 2 010100-a 2 000100-a 2 000101-a 2 000001； a 2 101011-a 2 101010-a 2 111010-a 2 111011-a 2 111111-a 2 111110-a 2 101110-a 2 101111-a 2 101011； a 2 101001-a 2 101000-a 2 111000-a 2 111001-a 2 111101-a 2 111100-a 2 101100-a 2 101101-a 2 101001； a 2 100011-a 2 100010-a 2 110010-a 2 110011-a 2 110111-a 2 110110-a 2 100110-a 2 100111-a 2 100011； a 2 100001-a 2 100000-a 2 110000-a 2 110001-a 2 110101-a 2 110100-a 2 100100-a 2 100101-a 2 100001； 令 a 2 a 1 a 0 ∈ { 000 ， 001 ， 010 ， 011 ， 100 ， 101 ， 110 ， 111 } ，24个8圈中剩余8个8圈可以表示为： a 2 a 1 a 0 1101 - a 2 a 1 a 0 1111 - a 2 a 1 a 0 0011 - a 2 a 1 a 0 0001 - a 2 a 1 a 0 1001 - a 2 a 1 a 0 1011 - a 2 a 1 a 0 0111 - a 2 a 1 a 0 0101 - a 2 a 1 a 0 1101 图3. E C Q ( 3 ， 3 ) 的图表示 令 b 2 b 1 b 0 c ∈ { 1000 ， 1100 ， 0000 ， 0100 } ， b ′ 2 b ′ 1 b ′ 0 c ′ ∈ { 1010 ， 1110 ， 0010 ， 0110 } E F C Q ( 3 ， 3 ) 中有16个4圈可以表示为： 000 b 2 b 1 b 0 c - 010 b 2 b 1 b 0 c - 110 b 2 b 1 b 0 c - 100 b 2 b 1 b 0 c - 000 b 2 b 1 b 0 c 001 b 2 b 1 b 0 c - 011 b 2 b 1 b 0 c - 101 b 2 b 1 b 0 c - 111 b 2 b 1 b 0 c - 001 b 2 b 1 b 0 c 000 b ′ 2 b ′ 1 b ′ 0 c ′ - 010 b ′ 2 b ′ 1 b ′ 0 c ′ - 110 b ′ 2 b ′ 1 b ′ 0 c ′ - 100 b ′ 2 b ′ 1 b ′ 0 c ′ - 000 b ′ 2 b ′ 1 b ′ 0 c ′ 001 b ′ 2 b ′ 1 b ′ 0 c ′ - 011 b ′ 2 b ′ 1 b ′ 0 c ′ - 101 b ′ 2 b ′ 1 b ′ 0 c ′ - 111 b ′ 2 b ′ 1 b ′ 0 c ′ - 001 b ′ 2 b ′ 1 b ′ 0 c ′ E F C Q ( 3 ， 3 ) 中的完美对集为M： 0001000-1110111， 0001001-1110110， 0001011-1110100， 0001010-1110101， 0001100-1110011， 0001101-1110010， 0001111-1110000， 0001110-1110001， 0000000-1111111， 0000001-1111110， 0000011-1111100， 0000010-1111101， 0000100-1111011， 0000101-1111010， 0000111-1111000， 0000110-1111001， 0011000-1100111， 0011001-1100110， 0011011-1100100， 0011010-1100101， 0011100-1100011， 0011101-1100010， 0011111-1100000， 0011110-1100001， 0010000-1101111， 0010001-1101110， 0010011-1101100， 0010010-1101101， 0010100-1101011， 0010101-1101010， 0010111-1101000， 0010110-1101001， 0101000-1010111， 0101001-1010110， 0101011-1010100， 0101010-1010101， 0101100-1010011， 0101101-1010010， 0101111-1010000， 0101110-1010001， 0100000-1011111， 0100001-1011110， 0100011-1011100， 0100010-1011101， 0100100-1011011， 0100101-1011010， 0100111-1011000， 0100110-1011001， 0111000-1000111， 0111001-1000110， 0111011-1000100， 0111010-1000101， 0111100-1000011， 0111101-1000010， 0111111-1000000， 0111110-1000001， 0110000-1001111， 0110001-1001110， 0110011-1001100， 0110010-1001101， 0110100-1001011， 0110101-1001010， 0110111-1001000， 0110110-1001001. 即： E F C Q ( 3 ， 3 ) 可以分解为24个8圈16个4圈和一个完美对集M的并。 证明2)：令 a 2 a 1 a 0 ∈ { 000 ， 010 ， 100 ， 110 } ， a ′ 2 a ′ 1 a ′ 0 ∈ { 001 ， 011 ， 101 ， 111 } 。 当 a 2 a 1 a 0 = 000 时，同一个圈内 a ′ 2 a ′ 1 a ′ 0 = 001 ； a 2 a 1 a 0 = 010 时，同一个圈内 a ′ 2 a ′ 1 a ′ 0 = 011 ；当 a 2 a 1 a 0 = 100 时，同一个圈内 a ′ 2 a ′ 1 a ′ 0 = 101 ； a 2 a 1 a 0 = 110 时，同一个圈内 a ′ 2 a ′ 1 a ′ 0 = 111 。 E F C Q ( 3 ， 3 ) 中的16个8圈可以表示为： a 2 a 1 a 0 1000 - a 2 a 1 a 0 1001 - a 2 a 1 a 0 1011 - a 2 a 1 a 0 1010 - a ′ 2 a ′ 1 a ′ 0 1010 - a ′ 2 a ′ 1 a ′ 0 1011 - a ′ 2 a ′ 1 a ′ 0 1001 - a ′ 2 a ′ 1 a ′ 0 1000 - a 2 a 1 a 0 1000 ； a 2 a 1 a 0 1100 - a 2 a 1 a 0 1101 - a 2 a 1 a 0 1111 - a 2 a 1 a 0 1110 - a ′ 2 a ′ 1 a ′ 0 1110 - a ′ 2 a ′ 1 a ′ 0 1111 - a ′ 2 a ′ 1 a ′ 0 1101 - a ′ 2 a ′ 1 a ′ 0 1100 - a 2 a 1 a 0 1100 ； a 2 a 1 a 0 0000 - a 2 a 1 a 0 0001 - a 2 a 1 a 0 0011 - a 2 a 1 a 0 0010 - a ′ 2 a ′ 1 a ′ 0 0010 - a ′ 2 a ′ 1 a ′ 0 0011 - a ′ 2 a ′ 1 a ′ 0 0001- a ′ 2 a ′ 1 a ′ 0 0000 - a 2 a 1 a 0 0000 ； a 2 a 1 a 0 0100 - a 2 a 1 a 0 0101 - a 2 a 1 a 0 0111 - a 2 a 1 a 0 0110 - a ′ 2 a ′ 1 a ′ 0 0110 - a ′ 2 a ′ 1 a ′ 0 0111 - a ′ 2 a ′ 1 a ′ 0 0101 - a ′ 2 a ′ 1 a ′ 0 0100 - a 2 a 1 a 0 0100 ； 令 a 2 a 1 a 0 ∈ { 000 ， 001 ， 010 ， 011 ， 100 ， 101 ， 110 ， 111 } ， E F C Q ( 3 ， 3 ) 中的32个4圈其中16个可以表示为： a 2 a 1 a 0 1001 - a 2 a 1 a 0 1101 - a 2 a 1 a 0 0101 - a 2 a 1 a 0 0001 - a 2 a 1 a 0 1001 ； a 2 a 1 a 0 1011 - a 2 a 1 a 0 0111 - a 2 a 1 a 0 0011 - a 2 a 1 a 0 1111 - a 2 a 1 a 0 1011 。 E F C Q ( 3 ， 3 ) 中有32个4圈剩余的16个和定理4 1)的证明中所找到的16个4圈相同。 完美对集为 E F C Q ( 3 ， 3 ) 中的对集M。 即： E F C Q ( 3 ， 3 ) 可以分解为16个8圈32个4圈和一个完美对集M的并。 证明3)： E F C Q ( 3 ， 3 ) 是一个Hamilton图，则可以找到 E F C Q ( 3 ， 3 ) 中有一个Hamilton圈H 0011010-0011011-0010111-0010110-0000110-0000111-0000101-0000100-0010100-0010101-0010001-0010000-0000000-0000001-0000011-0000010-0010010-0010011-0011111-0011110-0001110-0001111-0001101-0001100-0011100-0011101-0011001-0011000-0001000-0001001-0001011-0001010-0101010-0101011-0101001-0101000-0111000-0111001-0111101-0111100-0101100-0101101-0101111-0101110-0111110-0111111-0110011-0110010-0100010-0100011-0100001-0100000-0110000-0110001-0110101-0110100-0100100-0100101-0100111-0100110-0110110-0110111-0111011-0111010-1011010-1011011-1010111-1010110-1000110-1000111-1000101-1000100-1010100-1010101-1010001-1010000-1000000-1000001-1000011-1000010-1010010-1010011-1011111-1011110-1001110-1001111-1001101-1001100-1011100-1011101-1011001-1011000-1001000-1001001-1001011-1001010-1101010-1101011-1101001-1101000-1111000-1111001-1111101-1111100-1101100-1101101-1101111-1101110-1111110-1111111-1110011-1110010-1100010-1100011-1100001-1100000-1110000-1110001-1110101-1110100-1100100-1100101-1100111-1100110-1110110-1110111-1111011-1111010-0011010 除去H所占用的边， E F C Q ( 3 ， 3 ) 中剩余的边可以分解为的5个8圈22个4圈和一个完美对集的并。 其中所分解的5个8圈为： 0011001-0011011-0011111-0011101-0010101-0010111-0010011-0010001-0011001； 0111001-0111011-0111111-0111101-0110101-0110111-0110011-0110001-0111001； 1011001-1011011-1011111-1011101-1010101-1010111-1010011-1010001-1011001； 1111001-1111011-1111111-1111101-1110101-1110111-1110011-1110001-1111001； 0001010-0011010-0111010-0101010-1101010-1111010-1011010-1001010-0001010。 E F C Q ( 3 ， 3 ) 中的22个4圈，其中14个4圈为定理4 1)证明中所找到的16个4圈中除去两个4圈0001010-0101010-1101010-1001010-0001010；0011010-0111010-1011010-1111010-0011010所得。 令 a 2 a 1 a 0 ∈ { 000 ， 010 ， 100 ， 110 } ，22个4圈中剩余的8个4圈则可以表示为： a 2 a 1 a 0 1001 - a 2 a 1 a 0 1101 - a 2 a 1 a 0 0101 - a 2 a 1 a 0 0001 - a 2 a 1 a 0 1001 ； a 2 a 1 a 0 1011 - a 2 a 1 a 0 0111 - a 2 a 1 a 0 0011 - a 2 a 1 a 0 1111 - a 2 a 1 a 0 1011 。 完美对集为 E F C Q ( 3 ， 3 ) 中的对集M。 即： E F C Q ( 3 ， 3 ) 可以分解为一个Hamilton圈5个8圈22个4圈和一个完美对集M的并。 定理5 1) E F C Q ( 1 ， 1 ) 可以分解为一个Hamilton圈和1个完美对集的并。 2) E F C Q ( 2 ， 2 ) 可以分解为一个Hamilton圈和2个完美对集的并。 3) E F C Q ( 3 ， 3 ) 可以分解为一个Hamilton圈和3个完美对集的并。 证明1)：根据定理3 1)的证明，显然可得。 证明2)：根据定理3 2)的证明， E F C Q ( 2 ， 2 ) 中有一个Hamilton圈为 H 1 。 它的完美对集为 M 1 ， M 2 M 1 : 01000-11000， 01100-00100， 00000-10000， 11100-10100， 01010-00010， 01110-11110， 00110-10110， 11010-10010， 01001-01101， 01011-01111， 00001-00011， 00101-00111， 11001-11101， 11011-11111， 10001-10101， 10011-10111. M 2 : 01000-10111， 01001-10110， 01011-10100， 01010-10101， 01100-10011， 01101-10010， 01111-10000， 01110-10001， 00000-11111， 00001-11110， 00011-11100， 00010-11101， 00100-11011， 00101-11010， 00111-11000， 00110-11001. 证明3)：根据定理2， E F C Q ( 3 ， 3 ) 是一个Hamilton图。已知 E F C Q ( 3 ， 3 ) 中有一个Hamilton圈H。除去H所包含的边，将剩余的边割裂为九块 E a ， E b ， E c ， E d ， E e ， E f ， E g ， E h ， E i ， E a : 0001000-0101000， 0001100-0101100， 0000000-0100000， 0000100-0100100， 0011000-0111000， 0011100-0111100， 0010000-0110000， 0010100-0110100， 1001000-1101000， 1001100-1101100， 1000000-1100000， 1000100-1100100， 1011000-1111000， 1011100-1111100， 1010000-1110000， 1010100-1110100. E b : 0001010-0011010， 0001110-0101110， 0000010-0100010， 0000110-0100110， 0011110-0111110， 0010010-0110010， 0010110-0110110， 0101010-0111010， 1001010-1011010， 1001110-1101110， 1000010-1100010， 1000110-1100110， 1011110-1111110， 1010010-1110010， 1010110-1110110， 1101010-1111010. E c : 0001000-1001000， 0001100-1001100， 0000000-1000000， 0000100-1000100， 0011000-1111000， 0011100-1111100， 0010000-1110000， 0010100-1110100， 0101000-1101000， 0101100-1101100， 0100000-1100000， 0100100-1100100， 0111000-1011000， 0111100-1011100， 0110000-1010000， 0110100-1010100. E d : 0001010-1001010， 0001110-1001110， 0000010-1000010， 0000110-1000110， 0011010-0111010， 0011110-1111110， 0010010-1110010， 0010110-1110110， 0101010-1101010， 0101110-1101110， 0100010-1100010， 0100110-1100110， 0111110-1011110， 0110010-1010010， 0110110-1010110， 1011010-1111010. E e : 0001001-0001101， 0000001-0000101， 0011101-0010101， 0011001-0010001， 0011011-0011111， 0010011-0010111， 0101001-0101101， 0100001-0100101， 0111101-0110101， 0111001-0110001， 0111011-0111111， 0110011-0110111， 1001001-1001101， 1000001-1000101， 1011101-1010101， 1011001-1010001， 1011011-1011111， 1010011-1010111， 1101001-1101101， 1100001-1100101， 1111101-1110101， 1111001-1110001， 1111011-1111111， 1110011-1110111. E f : 0001101-0000101， 0001001-0000001， 0011001-0011011， 0011101-0011111， 0010001-0010011， 0010101-0010111， 0101101-0100101， 0101001-0100001， 0111001-0111011， 0111101-0111111， 0110001-0110011， 0110101-0110111， 1001101-1000101， 1001001-1000001， 1011001-1011011， 1011101-1011111， 1010001-1010011， 1010101-1010111， 1101101-1100101， 1101001-1100001， 1111001-1111011， 1111101-1111111， 1110001-1110011， 1110101-1110111. E g : 0001011-0001111， 0000011-0000111， 0100011-0100111， 0101011-0101111， 1001011-1001111， 1000011-1000111， 1101011-1101111， 1100011-1100111. E h : 0001111-0000011， 0001011-0000111， 0101111-0100011， 0101011-0100111， 1001111-1000011， 1001011-1000111， 1101111-1100011， 1101011-1100111. E i = E ( M ) 我们所割裂的九块，可以组成17种完美对集分别为： M 1 ， M 2 ， M 3 ， M 4 ， M 5 ， M 6 ， M 7 ， M 8 ， M 9 ， M 10 ， M 11 ， M 12 ， M 13 ， M 14 ， M 15 ， M 16 ， M M 1 = ( E a ∪ E b ∪ E e ∪ E g ) ， M 2 = ( E a ∪ E b ∪ E f ∪ E h ) ， M 3 = ( E a ∪ E b ∪ E e ∪ E h ) ， M 4 = ( E a ∪ E b ∪ E f ∪ E g ) ， M 5 = ( E c ∪ E d ∪ E f ∪ E h ) ， M 6 = ( E c ∪ E d ∪ E e ∪ E g ) M 7 = ( E c ∪ E d ∪ E e ∪ E h ) ， M 8 = ( E c ∪ E d ∪ E f ∪ E g ) ， M 9 = ( E c ∪ E b ∪ E e ∪ E g ) M 10 = ( E c ∪ E b ∪ E f ∪ E h ) ， M 11 = ( E c ∪ E b ∪ E e ∪ E h ) ， M 12 = ( E c ∪ E b ∪ E f ∪ E g ) M 13 = ( E a ∪ E d ∪ E f ∪ E h ) ， M 14 = ( E a ∪ E d ∪ E e ∪ E g ) ， M 15 = ( E a ∪ E d ∪ E e ∪ E h ) M 16 = ( E a ∪ E d ∪ E f ∪ E g ) E ( E F C Q ( 3 ， 3 ) ) = E ( H ) ∪ E ( M ) ∪ E ( M 1 ) ∪ E ( M 5 ) = E ( H ) ∪ E ( M ) ∪ E ( M 2 ) ∪ E ( M 6 ) = E ( H ) ∪ E ( M ) ∪ E ( M 3 ) ∪ E ( M 8 ) = E ( H ) ∪ E ( M ) ∪ E ( M 4 ) ∪ E ( M 7 ) = E ( H ) ∪ E ( M ) ∪ E ( M 9 ) ∪ E ( M 13 ) = E ( H ) ∪ E ( M ) ∪ E ( M 10 ) ∪ E ( M 14 ) = E ( H ) ∪ E ( M ) ∪ E ( M 11 ) ∪ E ( M 16 ) = E ( H ) ∪ E ( M ) ∪ E ( M 12 ) ∪ E ( M 15 ) 即： E F C Q ( 3 ， 3 ) 可以分解为一个Hamilton圈和三个完美对集的并。