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user: 3. 语义球型模糊集 本节分别主要介绍语义球型模糊集和语义球型模糊元的定义和相关性质。 定义3.1 假设U是一个有限非空论域， S = { s m | s 0 ≤ s m ≤ s q ， m ∈ [ 0 ， q ] } 是一个连续语义术语集，A是定义在U上的一个语义球型模糊集，则语义球型模糊集A可以表示为如下的形式： A = { 〈 x ， ( s a ( x ) ， s b ( x ) ， s c ( x ) ) 〉 | x ∈ U } (3.1) 其中，映射 s a : U → S [ 0 ， q ] ，映射 s b : U → S [ 0 ， q ] 和映射 s c : U → S [ 0 ， q ] 分别称为语义球型模糊集A的语义隶属函数、语义中立函数和语义非隶属函数， s a ( x ) 、 s b ( x ) 和 s c ( x ) 分别称为x对A的语义隶属度、语义中立度和语义非隶属度。且对于任意的x属于U，满足 0 ≤ a 2 + b 2 + c 2 ≤ q 2 ，则 s d ( x ) = s q 2 − ( a 2 + b 2 + c 2 ) 称为x对A的语义弃权度。此外，为了便于表述与计算，我们将论域U上的所有语义球型模糊集所构成的集合记做 L S F ( U ) ，且称三元组 T A = ( s a ， s b ， s c ) 为语义球型模糊集A的一个语义球型模糊元。 基于定义3.1，我们将首先定义语义球型模糊集的基本运算，然后给出语义球型模糊集的一些重要性质以及相关证明。 定义3.2 假设 M = { 〈 x ， ( s a 1 ( x ) ， s b 1 ( x ) ， s c 1 ( x ) ) 〉 | x ∈ U } 和 N = { 〈 x ， ( s a 2 ( x ) ， s b 2 ( x ) ， s c 2 ( x ) ) 〉 | x ∈ U } 是定义在论域U上的任意两个语义球型模糊集，则有如下定义： (1) 若对于任意x属于U，都有 s a 1 ( x ) ≤ s a 2 ( x ) 、 s b 1 ( x ) ≤ s b 2 ( x ) 和 s c 1 ( x ) ≥ s c 2 ( x ) 成立，则 M ⊆ N ； (2) 若对于任意x属于U， M ⊆ N 和 N ⊆ M 同时成立，则 M = N ； (3) M ∪ N = { 〈 x ， ( ∨ ( s a 1 ( x ) ， s a 2 ( x ) ) ， ∧ ( s b 1 ( x ) ， s b 2 ( x ) ) ， ∧ ( s c 1 ( x ) ， s c 2 ( x ) ) ) 〉 | x ∈ U } ； (4) M ∩ N = { 〈 x ， ( ∧ ( s a 1 ( x ) ， s a 2 ( x ) ) ， ∧ ( s b 1 ( x ) ， s b 2 ( x ) ) ， ∨ ( s c 1 ( x ) ， s c 2 ( x ) ) ) 〉 | x ∈ U } ； (5) M c = { 〈 x ， ( s c 1 ( x ) ， s b 1 ( x ) ， s a 1 ( x ) ) 〉 | x ∈ U } ， M c 称为语义球型模糊集M的补集。 语义球型模糊集的交、并、补运算满足下列定理给出的基本运算法则。 定理3.1 假设 M = { 〈 x ， ( s a 1 ( x ) ， s b 1 ( x ) ， s c 1 ( x ) ) 〉 | x ∈ U } 、 N = { 〈 x ， ( s a 2 ( x ) ， s b 2 ( x ) ， s c 2 ( x ) ) 〉 | x ∈ U } 和 K = { 〈 x ， ( s a 3 ( x ) ， s b 3 ( x ) ， s c 3 ( x ) ) 〉 | x ∈ U } 是定义在论域U上的任意三个语义球型模糊集，则如下结论成立： (1) 传递性：若 M ⊆ N 且 N ⊆ K ，则 M ⊆ K ； (2) 交换律： M ∪ N = N ∪ M 且 M ∩ N = N ∩ M ； (3) 结合律： M ∪ ( N ∪ K ) = ( M ∪ N ) ∪ K 且 M ∩ ( N ∩ K ) = ( M ∩ N ) ∩ K ； (4) 分配律： M ∪ ( N ∩ K ) = ( M ∪ N ) ∩ ( M ∪ K ) 且 M ∩ ( N ∪ K ) = ( M ∩ N ) ∪ ( M ∩ K ) ； (5) 德摩根率： ( M ∪ N ) c = M c ∩ N c 且 ( M ∩ N ) c = M c ∪ N c ； (6) 等幂率： M ∪ M = M 且 M ∩ M = M ； (7) 吸收率： ( M ∪ N ) ∩ M = M 且 ( M ∩ N ) ∪ M = M 。 证明 (1) 传递性：根据定义3.2，由 M ⊆ N 可得对于任意x属于U，都有 s a 1 ( x ) ≤ s a 2 ( x ) 、 s b 1 ( x ) ≤ s b 2 ( x ) 和 s c 1 ( x ) ≥ s c 2 ( x ) 成立。而由 N ⊆ K 可得对于任意x属于U，都有 s a 2 ( x ) ≤ s a 3 ( x ) 、 s b 2 ( x ) ≤ s b 3 ( x ) 和 s c 2 ( x ) ≥ s c 3 ( x ) 成立。则可得对于任意x属于U，都有 s a 1 ( x ) ≤ s a 3 ( x ) 、 s b 1 ( x ) ≤ s b 3 ( x ) 和 s c 1 ( x ) ≥ s c 3 ( x ) 成立，即 M ⊆ K 成立。 (2) 交换律：根据定义3.2可得： M ∪ N = { 〈 x ， ( ∨ ( s a 1 ( x ) ， s a 2 ( x ) ) ， ∧ ( s b 1 ( x ) ， s b 2 ( x ) ) ， ∧ ( s c 1 ( x ) ， s c 2 ( x ) ) ) 〉 | x ∈ U } N ∪ M = { 〈 x ， ( ∨ ( s a 2 ( x ) ， s a 1 ( x ) ) ， ∧ ( s b 2 ( x ) ， s b 1 ( x ) ) ， ∧ ( s c 2 ( x ) ， s c 1 ( x ) ) ) 〉 | x ∈ U } 显然， M ∪ N = N ∪ M 成立。同理可得 M ∩ N = N ∩ M 成立。 (3) 结合律：根据定义3.2可得： M ∪ ( N ∪ K ) = { 〈 x ， ( s a 1 ( x ) ， s b 1 ( x ) ， s c 1 ( x ) ) 〉 | x ∈ U }       ∪ { 〈 x ， ( ∨ ( s a 2 ( x ) ， s a 3 ( x ) ) ， ∧ ( s b 2 ( x ) ， s b 3 ( x ) ) ， ∧ ( s c 2 ( x ) ， s c 3 ( x ) ) ) 〉 | x ∈ U } = { 〈 x ， ( ∨ ( s a 1 ( x ) ， s a 2 ( x ) ， s a 3 ( x ) ) ， ∧ ( s b 1 ( x ) ， s b 2 ( x ) ， s b 3 ( x ) ) ，       ∧ ( s c 1 ( x ) ， s c 2 ( x ) ， s c 3 ( x ) ) ) 〉 | x ∈ U } ( M ∪ N ) ∪ K = { 〈 x ， ( ∨ ( s a 1 ( x ) ， s a 2 ( x ) ) ， ∧ ( s b 1 ( x ) ， s b 2 ( x ) ) ， ∧ ( s c 1 ( x ) ， s c 2 ( x ) ) ) 〉 | x ∈ U }       ∪ { 〈 x ， ( s a 3 ( x ) ， s b 3 ( x ) ， s c 3 ( x ) ) 〉 | x ∈ U } = { 〈 x ， ( ∨ ( s a 1 ( x ) ， s a 2 ( x ) ， s a 3 ( x ) ) ， ∧ ( s b 1 ( x ) ， s b 2 ( x ) ， s b 3 ( x ) ) ，       ∧ ( s c 1 ( x ) ， s c 2 ( x ) ， s c 3 ( x ) ) ) 〉 | x ∈ U } 显然， M ∪ ( N ∪ K ) = ( M ∪ N ) ∪ K 成立。同理可得 M ∩ ( N ∩ K ) = ( M ∩ N ) ∩ K 成立。 同理，根据定义3.2易证(4)、(5)、(6)、(7)。 接下来，我们将首先定义语义球型模糊元的基本运算，然后给出语义球型模糊元的一些重要性质以及相关证明。 定义3.3 假设 T 1 = ( s a 1 ， s b 1 ， s c 1 ) 、 T 2 = ( s a 2 ， s b 2 ， s c 2 ) 是任意两个语义球型模糊元， λ 是任意正实数，则任意两个语义球型模糊元 T 1 、 T 2 之间的基本运算规则定义如下： (1) T 1 ⊕ T 2 = ( s a 1 2 + a 2 2 − a 1 2 a 2 2 / q 2 ， s b 1 b 2 / q ， s c 1 c 2 / q ) ； (2) T 1 ⊗ T 2 = ( s a 1 a 2 / q ， s b 1 2 + b 2 2 − b 1 2 b 2 2 / q 2 ， s c 1 2 + c 2 2 − c 1 2 c 2 2 / q 2 ) ； (3) λ T 1 = ( s q 2 − q 2 ( 1 − a 1 2 / q 2 ) λ ， s q ( b 1 / q ) λ ， s q ( c 1 / q ) λ ) ； (4) T 1 λ = ( s q ( a 1 / q ) λ ， s q 2 − q 2 ( 1 − b 1 2 / q 2 ) λ ， s q 2 − q 2 ( 1 − c 1 2 / q 2 ) λ ) 。 基于上述定义的语义球型模糊元的相关运算，我们可以得到如下的重要性质。 定理3.2 假设 T = ( s a ， s b ， s c ) 、 T 1 = ( s a 1 ， s b 1 ， s c 1 ) 和 T 2 = ( s a 2 ， s b 2 ， s c 2 ) 是任意三个语义球型模糊元， λ 、 λ 1 和 λ 2 是任意三个正实数，则如下的性质成立： (1) T 1 ⊕ T 2 = T 2 ⊕ T 1 ； (2) T 1 ⊗ T 2 = T 2 ⊗ T 1 ； (3) ( T 1 ⊕ T 2 ) ⊕ T = T 1 ⊕ ( T 2 ⊕ T ) ； (4) ( T 1 ⊗ T 2 ) ⊗ T = T 1 ⊗ ( T 2 ⊗ T ) ； (5) λ ( T 1 ⊕ T 2 ) = λ T 1 ⊕ λ T 2 ； (6) ( λ 1 + λ 2 ) T = λ 1 T ⊕ λ 2 T ； (7) ( T 1 ⊗ T 2 ) λ = T 1 λ ⊗ T 2 λ ； (8) T λ 1 ⊗ T λ 2 = T ( λ 1 + λ 2 ) 。 我们仅给出性质(1)、(3)、(5)、(7)的证明，性质(2)、(4)、(6)、(8)的证明同理可得。 证明 (1) 由定义3.2可得： T 1 ⊕ T 2 = ( s a 1 2 + a 2 2 − a 1 2 a 2 2 / q 2 ， s b 1 b 2 / q ， s c 1 c 2 / q ) T 2 ⊕ T 1 = ( s a 1 2 + a 2 2 − a 1 2 a 2 2 / q 2 ， s b 1 b 2 / q ， s c 1 c 2 / q ) 可以看出， T 1 ⊕ T 2 = T 2 ⊕ T 1 成立。 (3) 由定义3.2可得： ( T 1 ⊕ T 2 ) ⊕ T = ( s a 1 2 + a 2 2 − a 1 2 a 2 2 / q 2 ， s b 1 b 2 / q ， s c 1 c 2 / q ) ⊕ ( s a ， s b ， s c ) = ( s a 2 + a 1 2 + a 2 2 − a 1 2 a 2 2 / q 2 − a 2 q 2 ( a 1 2 + a 2 2 − a 1 2 a 2 2 / q 2 ) ， s b b 1 b 2 / q 2 ， s c c 1 c 2 / q 2 ) T 1 ⊕ ( T 2 ⊕ T ) = ( s a 1 ， s b 1 ， s c 1 ) ⊕ ( s a 2 2 + a 2 − a 2 2 a 2 / q 2 ， s b 2 b / q ， s c 2 c / q ) = ( s a 2 + a 1 2 + a 2 2 − a 1 2 a 2 2 / q 2 − a 2 q 2 ( a 1 2 + a 2 2 − a 1 2 a 2 2 / q 2 ) ， s b b 1 b 2 / q 2 ， s c c 1 c 2 / q 2 ) 可以看出， ( T 1 ⊕ T 2 ) ⊕ T = T 1 ⊕ ( T 2 ⊕ T ) 成立。 (5) 由定义3.2可得： λ ( T 1 ⊕ T 2 ) = λ ( s a 1 2 + a 2 2 − a 1 2 a 2 2 / q 2 ， s b 1 b 2 / q ， s c 1 c 2 / q ) = ( s q 2 − q 2 ( 1 − a 1 2 + a 2 2 − a 1 2 a 2 2 / q 2 q 2 ) λ ， s q ( b 1 b 2 / q ) λ ， s q ( c 1 c 2 / q ) λ ) λ T 1 ⊕ λ T 2 = ( s q 2 − q 2 ( 1 − a 1 2 / q 2 ) λ ， s q ( b 1 / q ) λ ， s q ( c 1 / q ) λ ) ⊕ ( s q 2 − q 2 ( 1 − a 2 2 / q 2 ) λ ， s q ( b 2 / q ) λ ， s q ( c 2 / q ) λ ) = ( s q 2 − q 2 ( 1 − a 1 2 + a 2 2 − a 1 2 a 2 2 / q 2 q 2 ) λ ， s q ( b 1 b 2 / q ) λ ， s q ( c 1 c 2 / q ) λ ) 可以看出， λ ( T 1 ⊕ T 2 ) = λ T 1 ⊕ λ T 2 成立。 (7) 由定义3.2可得： ( T 1 ⊕ T 2 ) λ = ( s a 1 a 2 / q ， s b 1 2 + b 2 2 − b 1 2 b 2 2 / q 2 ， s c 1 2 + c 2 2 − c 1 2 c 2 2 / q 2 ) λ = ( s q ( a 1 a 2 / q ) λ ， s q 2 − q 2 ( 1 − b 1 2 + b 2 2 − b 1 2 b 2 2 / q 2 q 2 ) λ ， s q 2 − q 2 ( 1 − c 1 2 + c 2 2 − c 1 2 c 2 2 / q 2 q 2 ) λ ) T 1 λ ⊗ T 2 λ = ( s q ( a 1 / q ) λ ， s q 2 − q 2 ( 1 − b 1 2 / q 2 ) λ ， s q 2 − q 2 ( 1 − c 1 2 / q 2 ) λ )     ⊗ ( s q ( a 2 / q ) λ ， s q 2 − q 2 ( 1 − b 2 2 / q 2 ) λ ， s q 2 − q 2 ( 1 − c 2 2 / q 2 ) λ ) = ( s q ( a 1 a 2 / q ) λ ， s q 2 − q 2 ( 1 − b 1 2 + b 2 2 − b 1 2 b 2 2 / q 2 q 2 ) λ ， s q 2 − q 2 ( 1 − c 1 2 + c 2 2 − c 1 2 c 2 2 / q 2 q 2 ) λ ) 可以看出， ( T 1 ⊗ T 2 ) λ = T 1 λ ⊗ T 2 λ 成立。 最后，我们将介绍基于得分函数和精度函数的语义球型模糊元的比较方法。 定义3.4 假设 T = ( s a ， s b ， s c ) 是一个语义球型模糊元，则T的得分函数 S ( T ) 定义如下： S ( T ) = s q 2 + a 2 − c 2 / 2 (3.2) 定义3.5 假设 T = ( s a ， s b ， s c ) 是一个语义球型模糊元，则T的精度函数 A ( T ) 定义如下： A ( T ) = s a 2 + b 2 + c 2 (3.3) 基于定义3.4和定义3.5中给出的语义球型模糊元的得分函数和精度函数，我们给出比较任意两个语义球型模糊元的一般性方法如下： 定理3.3 假设 T 1 = ( s a 1 ， s b 1 ， s c 1 ) 和 T 2 = ( s a 2 ， s b 2 ， s c 2 ) 是任意两个语义球型模糊元。则： (1) 若 S ( T 1 ) > S ( T 2 ) ，则 T 1 > T 2 ； (2) 若 S ( T 1 ) < S ( T 2 ) ，则 T 1 < T 2 ； (3) 若 S ( T 1 ) = S ( T 2 ) 且 A ( T 1 ) > A ( T 2 ) ，则 T 1 > T 2 ； (4) 若 S ( T 1 ) = S ( T 2 ) 且 A ( T 1 ) < A ( T 2 ) ，则 T 1 < T 2 ； (5) 若 S ( T 1 ) = S ( T 2 ) 且 A ( T 1 ) = A ( T 2 ) ，则 T 1 = T 2 。