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user: 2. 预备知识 引理2.1：令H，K是G的子群，则有下列结论成立。 1) 若H是G中S-置换子群，则H是G的次正规子群。若 H ≤ K ，则H是K中S-置换子群。 2) 若K是H中的G-不变子群，则H/K是G/K中S-置换子群当且仅当H是G中S-置换子群。 3) 若H，K是G中S-置换子群并且 H K = K H ，则HK也是G中S-置换子群。 4) 若P是G中的p-子群，则P是G中S-置换子群当且仅当 P ≤ O p ( G ) 且 O p ( G ) ≤ N G ( P ) 。 5) 若H，K是G中S-置换子群，则 H ∩ K 也是G中S-置换子群。 6) 若H是G中S-置换子群，则 H / C o r e G ( H ) 是幂零子群，这里 C o r e G ( H ) = ∩ x ∈ G H x 。 7) 若H是G中S-置换子群，若 C o r e G ( H ) = 1 时，则 H ≤ F ( G ) ；若H是可解群时，则 H ∩ F ( G ) ≻ 1 。 证明：这些陈述是已知的，参见 [ 3 ] [ 4 ] 和( [ 5 ] ，第一章，第二节)。 引理2.2 [ 6 ] ：假设H是G中SS-拟正规子群， K ≤ G ，且N是G的一个正规子群。则 1) 若 H ≤ K ，则H是K中的SS-拟正规子群。 2) HN/N是G/N中SS-拟正规子群。 3) 若 N ≤ K 且K/N是G/N中SS-拟正规子群，则K是G中SS-拟正规子群。 4) 若K是G中拟正规子群，则HK是G中SS-拟正规子群。 引理2.3 [ 6 ] ：令H是G的一个幂零子群。则有如下结论等价。 1) H是G中S-置换子群。 2) H ≤ F ( G ) 且H是G中SS-拟正规子群。 定义2.1 [ 7 ] ：假设N存在一个G-不变子群链 1 < N 0 < N 1 < ⋯ < N t = N ，且任意的 N i + 1 / N i 都是素数阶，则称N是G-超可解群。根据Jordan-Holder定理，一个G-不变子群N是G-超可解群当且仅当N以下的G-主因子都是素数阶的。 引理2.4 [ 8 ] ：假设N是G的正规子群，若N是G-超可解群，则 G / C G ( N ) 是超可解群。 引理2.5：令F是G中正规幂零子群且n是正整数。如果F的任意权重为n的子群H是G中SS-拟正规子群。则有下列结论成立。 1) 假设 Φ ( F ) = 1 且 ω ( F ) ≥ n + 1 。则F的所有子群是G中S-置换子群。 2) 假设E是F中的一个极小G-不变子群。则 ω ( E ) ≤ n 。如果 ω ( F ) ≥ n + 1 ，则 ω ( E ) = 1 或 ω ( E ) ≤ n − 1 。 证明： 1) 因为F幂零群且 Φ ( F ) = 1 ，则F可以表示成一些素数阶子群的直积形式。令M是F的子群。若 ω ( M ) < n ，则M可由F的一些权重为n的子群 D i 的交生成；若 ω ( M ) ≥ n 则M可由F的一些权重为n子群 K j 的直积生成。根据条件知 D i 和 K j 在G中SS-拟正规，因为 D i < F ≤ F ( G ) 且 K j < F ≤ F ( G ) ，所以 D i ≤ F ( G ) 且 K j ≤ F ( G ) ，则根据引理2.3知 D i 和 K j 是G中S-置换子群。所以根据引理2.1 3) 5)知M是G中S-置换子群，所以F的所有子群是G中S-置换子群。 2) 由条件知E是一个初等交换p-群。假设结论是错误的，则 ω ( E ) ≥ n 根据结论1)知E的所有子群在G中S-置换。令 1 ≠ x ∈ E 使得x中心化G的一个Sylow p-子群。因为 〈 x 〉 在G中S-置换，则根据引理2.1 4)知 N G ( 〈 x 〉 ) = G ，因此 〈 x 〉 ⊲ G ，矛盾。所以 ω ( E ) ≤ n 。 如果 ω ( F ) ≥ n + 1 ，假设结论错误，则 ω ( E ) = n ≥ 2 。令A/E是F/E的极小子群，则A不是循环群且A的所有极大子群在G中S-置换。根据引理2.1 3)知A在G中S-置换，则F/E的任意极小子群在G/E中S-置换。根据2)第一部分条件知F/E中有一个G/E-不变子群B/E且 ω ( B ) = n + 1 。因为B是非循环群，所以 Φ ( B ) < E 。再根据E的极小正规性知 Φ ( B ) = 1 。因为 ω ( B ) = n + 1 ，根据1)知B的所有极小子群在G中S-置换，又 ω ( E ) ≤ n 知 ω ( E ) = 1 ，矛盾。 □ 引理2.6 [ 2 ] ：假设F是G的正规幂零子群，且 ω ( F ) ≥ n + 1 其中n是正整数。设F的任意权重为n的子群H是G中S-置换子群，则 1) n ≥ 2 ，则F是G-超可解群。 2) n = 1 ，若F的任意4阶循环子群(如果存在)在G中S-置换，则F是G-超可解群。 引理2.7：假设F是G的正规幂零子群，且 ω ( F ) ≥ n + 1 其中n是正整数。设F的任意权重为n的子群H是G中SS-拟正规子群，则 1) n ≥ 2 ，则F是G-超可解群。 2) n = 1 ，若F的任意4阶循环子群(如果存在)在G中S-置换，则F是G-超可解群。 证明：因为F是G中正规幂零子群，所以 F ≤ F ( G ) ，又 H ≤ F ，所以 H ≤ F ( G ) ，因为H是G中SS-拟正规子群，则根据引理2.3知H是G中S-置换子群。这时根据引理2.6立得上述结论。 □ 引理2.8 [ 8 ] ：如果交换群A忠实且不可约作用在 p m 阶初等交换群V上，则A是循环群且m是最小正整数k使得 | A | | p k − 1 成立。 引理2.9：假设G满足条件1.1，令V是G的极小正规子群。若 | V | = p n 且 n ≥ 2 ，则 G = V ⋊ A 是可解的Frobenius群，A是G的奇数阶超可解补群，V是G的核，而且V是G中唯一权重为n的子群。 证明：假设 | V | = p n 且 n ≥ 2 ，所以 V ≤ F ( G ) 。若 ω ( F ( G ) ) > n ，则根据引理2.7可知 F ( G ) 是G-超可解群且 ω ( V ) = 1 ，矛盾，所以 V = F ( G ) 。假设G中存在p-子群P，使得 V < P 且 ω ( P ) = n + 1 ，这里P不是循环群，假设P中可找到两个不同的极大子群 P 1 和 P 2 。因为 P 1 和 P 2 是P的极大子群，所以 ω ( P 1 ) = ω ( P 2 ) = n ，所以 P 1 和 P 2 是G中SS-拟正规子群。根据引理2.2 4)可知 P = P 1 P 2 是G中SS-拟正规子群，所以 P ≤ F ( G ) ，矛盾。所以 V ∈ S y l p ( G ) ，因此存在G的极大子群A使得 G = V ⋊ A 。 假设群A存在p-元x，使x中心化V的非单位元，则 V = [ V ， 〈 x 〉 ] × C V ( x ) 。于是令D是 C V ( x ) 的极大子群，因为 〈 x 〉 [ V ， 〈 x 〉 ] D ∈ M i n n ( G ) ，所以 〈 X 〉 [ V ， 〈 x 〉 ] D 在G中SS-拟正规，又因为 〈 X 〉 [ V ， 〈 x 〉 ] D ≤ F ( G ) ，所以 〈 X 〉 [ V ， 〈 x 〉 ] D 在G中S-置换，则根据引理2.1 5)可知 D [ V ， 〈 x 〉 ] 是G中S-置换子群，又根据引理2.1 4)知 D [ V ， 〈 x 〉 ] 是G中正规子群，矛盾。因此G是有核V和补群A的Frobenius群。 假设A是偶数阶群，令D是A的2阶子群。因为V是完全可约 F p [ D ] -模，且根据引理2.8知所有不可约 F p [ D ] -模的次数为1，这就意味着V有极大的D-不变子群 A 0 ，而 A 0 = D A 0 ∩ V 是G的正规子群，矛盾，因此A是奇数阶。所以A是奇数阶Frobenius补群，当A所有的Sylow子群是循环群时，A是超可解群，同时G是可解群。 假设D是G中权重为n的子群。则D在G中SS-拟正规。因为 1 < F ( D ) < F ( G ) ，所以 F ( D ) = D ∩ F ( G ) = D ∩ V 根据引理2.3知 D ∩ V 在G中S-置换且 V ∈ S y l p ( G ) ，根据引理2.1 4)知 F ( D ) = D ∩ F ( G ) 在G中正规，所以 V = F ( G ) = D 。 □ 引理2.10：令p是奇素数，假设G的任意p阶子群在G中SS-拟正规。则 G / O p ′ ( G ) 是超可解群。如果G满足条件1.1且 n = 1 则 G / O 2 ( G ) 是超可解群。 证明：假设 p | | G | 且 O p ′ ( G ) = 1 。因为G的任意p阶子群在G中SS-拟正规，又G的p阶子群包含在 O p ( G ) 中，所以 1 < 〈 x ∈ G | o ( x ) = p 〉 ≤ O p ( G ) 。显然根据引理2.7 2)知 O p ( G ) 是G-超可解群。所以根据引理2.4知 G / C G ( O p ( G ) ) 超可解。因为 C G ( O p ( G ) ) 中任意p阶子群在 C G ( O p ( G ) ) 的中心里，根据Huppert在( [ 8 ] ，第四章，定理5.5)知 C G ( O p ( G ) ) 是p-幂零群，所以G是p-可解群。因为 O p ′ ( G ) = 1 ，所以 C G ( O p ( G ) ) ≤ O p ( G ) 。因此 C G ( O p ( G ) ) 是超可解群，所以G是超可解群。 若G满足条件1.1且 n = 1 ，因为 O 2 ( G ) = ∩ p 是 奇 数 ( O p ′ ( G ) ) = 1 ，所以 G / O 2 ( G ) 是超可解群。□ 引理2.11：假设G是满足条件1.1的可解群，且 n ≥ 2 。若G有权重为 n − 1 的极小正规子群D，则G/D是超可解群。 证明：假设G有不同于D的极小正规子群E，则 D E = D × E ，根据引理2.7，可知 ω ( E ) = 1 。根据引理2.2的2)知G/E中所有恰 ( n − 1 ) -极小子群是G/E中SS-拟正规子群，若G/E中有权重为 n − 1 ≥ 1 的极小正规子群DE/E，根据引理2.9知 ( G / E ) / ( D E / E ) ≅ G / D E ≅ ( G / D ) / ( D E / D ) 是超可解群，又因为 ω ( D E / E ) = 1 ，所以G/D是超可解群。假设D是G唯一的极小正规子群，且 | D | = p n − 1 ( ≥ p 2 ) 因此 F ( G ) 是p-群，若 Φ ( G ) > 1 ，取p-元 x ∈ G ，因为 D ≤ Φ ( G ) ，所以 〈 x 〉 D 是G中SS-拟正规子群，因此 〈 x 〉 D / D ≤ F ( G / D ) = F ( G ) / D ，所以 x ∈ F ( G ) ，矛盾。若 Φ ( G ) = 1 ，则根据引理2.9知 G = D ⋊ A ，这里 D = F ( G ) 且A是G的极大子群。根据引理2.9知 D ∈ S y l p ( G ) ，根据引理2.10知若A中所有的极小子群是SS-拟正规的，则 A / O 2 ( A ) 是超可解群。 假设A不是超可解群，为方便证明，我们令 O = O 2 ( A ) 不是G-超可解群，又因为O不是循环群，且令B是O的4阶子群，因为D是完全可约 F p [ B ] -模，根据引理2.8知，所有不可约 F p [ B ] -模的维数是1或2。假设D有子群是1维的不可约 F p [ B ] -模，则D有极大B-不变子群 D 1 ，显然 B D 1 是G中SS-拟正规子群，因为 D 1 < D = F ( G ) 且 B ≤ O ≤ F ( G ) ，所以 B D 1 ≤ F ( G ) ，所以 B D 1 在G中S-置换。又因为 D 1 = B D 1 ∩ D ，所以 D 1 是G中S-置换子群，根据2.1 4)知 D 1 ⊲ G ，矛盾。因此D所有的不可约 F p [ B ] -模子群都是2维的，因为若 B ≅ ℤ 2 × ℤ 2 ，则所有不可约 F p [ B ] -模是1维，因此O没有 ℤ 2 × ℤ 2 类型的子群。又因为O不是G-超可解群，所以O是四元数群，且 O / O ′ ≅ ℤ 2 × ℤ 2 是A-主因子。因为 A u t ( ℤ 2 × ℤ 2 ) 是6阶的且A不可约作用在 O / O ′ 上，所以 3 | | A | 。令 ℤ 3 是A的3阶子群， ℤ 4 是O的4阶子群。因为 ℤ 3 是A中SS-拟正规子群， ℤ 3 ℤ 4 = ℤ 3 × ℤ 4 是12阶循环群，又因为D是 { 2 ， 3 } ′ -群，所以D是完全可约 ℤ 3 ℤ 4 -模。取 D = D 1 × D 2 ，这里 D 1 ， D 2 是 ℤ 3 ℤ 4 -模且 D 1 是不可约的，所以 12 | ( p 2 − 1 ) 。因为 D 1 是2维的不可约 ℤ 4 -模，所以 | D 1 | = p 2 ，所以 ω ( ℤ 3 ℤ 4 D 2 ) = n 且 ℤ 3 ℤ 4 D 2 是G中SS-拟正规子群。因为 ℤ 3 ℤ 4 ≤ F ( G ) 且 D 2 ≤ D ≤ F ( G ) ，所以 ℤ 3 ℤ 4 D 2 是G中S-置换子群。若 D 2 > 1 则 D 2 = ℤ 3 ℤ 4 D 2 ∩ D 在G中S-置换子群，所以根据引理2.1 4)知 D 2 ⊲ G ，矛盾。若 D 2 = 1 ，则 ℤ 3 ℤ 4 是G中S-置换子群，所以根据引理2.1 7)知 ℤ 3 ℤ 4 ∩ D > 1 ，矛盾。 □