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user: 2. 配电网谐波状态估计方法 谐波状态估计与传统状态估计存在一些区别，不是简单的传统状态估计在谐波领域的拓展。尤其是同步相量量测技术的发展，使得谐波状态估计与传统状态估计的量测量类型发生了变化，从而使谐波状态估计在估计理论、数学模型及求解算法方面与传统状态估计有很大的区别。 传统状态估计选用节点的电压幅值、支路电流、节点注入有功、无功功率作为量测量，而谐波状态估计以节点电压、支路电流和节点注入电流为量测量，以节点电压为状态量。由于量测量的选取不同，谐波状态估计数学模型也需要重新建立 [ 5 ] [ 6 ] 。 2.1. 网络谐波模型的数学描述 根据网络中各节点、各元件之间的连接关系以及各元件的谐波模型，形成整个电网的节点谐波导纳矩阵。假设某连通的电力网络的节点数是n，支路数是b（包括接地支路）。对于频率为f的某次谐波，该网络的支路谐波导纳矩阵y f 有如下形式 [ 7 ] ： y f = ( y 11 y 12 ⋯ y 1 b y 21 y 22 ⋯ y 2 b ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ y b 1 y b 2 ⋯ y b b ) (1) 其中，矩阵元素 y i j 的下标 i ， j 表示支路编号。当 i ≠ j 时， y i j 表示第i条支路的自导纳，当 i ≠ j 时， y i j 表示第i条支路和第j条支路之间的互导纳。 对每条支路规定了正方向后，则其节-支关联矩阵A的阶次是 N × b ，A中的元素定义为：当节点i是支路k的发点， a i k = 1 ；当节点i是支路k的收点， a i k = − 1 ；当节点i不是支路k的端点， a i k = 0 。 据此定义，A由图1所示： 图1. 节支关联矩阵A 矩阵A有b个列矢量，每一列与一条支路对应，表示该支路与哪两个节点相关联，所以每一个列只有1和-1两个非零元素，其余元素都为0，非零元素的正负表示支路的方向。上式只给出了第k条支路中非零元的情况。A中有 N + 1 个行矢量，每一行与一个节点对应，表示该节点与哪些支路相关联，因此每行中非零元素的数目就等于该节点的度。 利用节点-支路关联矩阵和支路导纳矩阵求解节点导纳矩阵的公式为： Y = A y b A T (2) 矩阵A反映了网络的拓扑约束， y b 反映了网络的支路特性约束，所以节点导纳矩阵集中了网络两种约束的全部信息。每次谐波都对应一个独立的支路导纳矩阵和节点导纳矩阵。 2.2. 谐波状态估计的数学模型 在一定的量测配置条件下，谐波状态估计利用网络谐波模型建立起各个谐波量测量和状态量之间的联系，即形成谐波状态估计的各个量测方程，量测方程的组合构成了谐波状态估计的数学模型。以谐波量测装置测量的谐波电压、谐波电流相量作为量测量，建立的谐波状态估计数学模型是线性的 [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] ，因此，在电网络的拓扑结构、支路参数以及量测装置安装布局已知的条件下，谐波状态估计的数学模型为： Z = H X + ε (3) 式(3)中：Z为m维量测量，通过量测装置直接读取；H为量测矩阵，表示谐波量测量和状态量之间的函数关系，与线路的拓扑结构、线路的参数以及量测装置的安装布点有关； ε 为量测误差；X为待解的n维状态量。 2.3. 谐波状态估计相量量测方程 谐波状态估计量测方程主要包括电压量测方程、节点注入量测方程、支路量测方程，这是谐波状态估计与传统状态估计数学模型的主要区别 [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] 。 1) 电压量测方程 电压量测主要是指量测量为节点的电压向量。由于谐波状态估计选择节点谐波电压作为待求解的状态量，故电压量测方程也可称为自量测方程，其方程可表示为： U ˙ m ， i ( h ) = I U ˙ T ， i ( h ) + η i ( h ) (4) 其中： U ˙ m ， i ( h ) 表示i节点h次谐波电压量测量； U ˙ T ， i ( h ) 表示i节点h次谐波电压状态量； I表示适当维数的单位矩阵； η i ( h ) 表示i节点h次谐波电压量测误差。 2) 节点注入电流量测方程 基于基尔霍夫电流定律(KCL)，可知通过节点电流注入量测得到的量测值等于该节点各支路电流注入的相量之和，其方程可表示为： I ˙ m ， i ( h ) = ∑ j = 1 n Y i j ( h ) U ˙ T ， j ( h ) + η i ( h ) (5) 其中： I ˙ m ， i ( h ) 表示i节点h次谐波注入电流量测量，中间节点的谐波注入电流值为0； U ˙ T ， j ( h ) 表示j节点h次谐波电压状态量； Y i j 表示节点导纳矩阵中对应节点i和j的分块导纳矩阵元素； n表示网络节点总数。 3) 支路量测方程 流过支路的电流等于支路两端的电压与支路导纳的乘积，其方程可表示为： I ˙ i ， j = Y i ， j ( U ˙ i − U ˙ j ) + η i ， j (6) 其中： I ˙ i ， j 为节点i到j之间支路的电流， U ˙ i 和 U ˙ j 为节点i和节点j的节点电压， Y i j 对应节点i和j之间的导纳矩阵。考虑到油田线路属于配电网，故在等效线路模型时只考虑电阻和电抗。 4) 考虑基波电流比值的节点注入电流量测方程 基于油田负荷运行监测系统数据，能够实时获取负荷运行信息，即某些支路虽然没有安装谐波量测装置，但可以获得其基波电流。利用各支路基波电流与节点注入基波电流之比等于各支路谐波电流与节点注入谐波电流之比，得到考虑基波电流比值的节点注入电流量测方程： I ˙ m ， i ( h ) = I ˙ m ， j ( h ) + I ˙ m ， k ( h ) I ˙ m ， j ( h ) I ˙ m ， i ( h ) = I ˙ m ， j ( 1 ) I ˙ m ， i ( 1 ) I ˙ m ， k ( h ) I ˙ m ， i ( h ) = I ˙ m ， k ( 1 ) I ˙ m ， i ( 1 ) (7) 其中： I ˙ m ， i ( h ) 表示i节点h次谐波注入电流量测量； I ˙ m ， j ( h ) 和 I ˙ m ， k ( h ) 表示节点i到j和k之间支路的h次谐波电流； I ˙ m ， j ( 1 ) 和 I ˙ m ， k ( 1 ) 表示节点i到j和k之间支路的基波电流； I ˙ m ， i ( 1 ) 表示节点i基波电流注入量。 2.4. 谐波状态估计求解方法 本文采用最小二乘法进行谐波状态估计。最小二乘法由数学家高斯于1795在研究星体运行轨道时提出的。由于最小二乘法要求系统的先验统计知识少，算法简单，计算量小，收敛性能好，因而被广泛应用于系统辨识、状态估计、自适应信号处理、自适应滤波、自校正控制等领域。它是以量测值和量测估计值之差的平方和最小为目标准则的估计方法 [ 9 ] 。 对于谐波状态估计数学模型： Z = H x + ε (8) 式中：H为 ( m × n ) 参数矩阵，其元素为 h i j ； ε 为 ( m × 1 ) 估计误差矩阵。 利用最小二乘法建立目标函数： J ( X ) = ( Z − H X ) T ( Z − H X ) (9) 对目标函J(X)求导，并让该值为0，即： ∂ J ( X ) ∂ X = 0 (10) 通过计算式(9)，便可以求解出状态估计量X。 最小二乘解可以归为以下三类 [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] ： 1) 矩阵H正定；有唯一解 x * = H − 1 z (11) 2) 矩阵H超定；最小二乘误差解有唯一表示 x * = ( H T H ) − 1 H T z = H + z (12) 其中 H + 是Moore-Penrose广义伪逆。 3) 矩阵H欠定，最小2-范数 ‖ x ‖ 2 2 的唯一解： x * = H T ( H H T ) − 1 z = H + z (13) 谐波状态估计建模及求解过程如图2所示： 图2. 谐波状态估计建模及求解流程图