system: [SYSTEM]

user: 4. 求解稳健最优问题 在这一节中，我们求解出了违约前和违约后的稳健最优投资策略和均衡值函数的表达式。我们选取了模糊厌恶的偏好参数， ψ 1 = β 1 、 ψ 2 = β 2 、 ψ 3 = β 3 和 ψ 4 = β 4 。 4.1. 违约后的情况：z = 1 在这种违约已经发生的情况下，CDS不再是可投资的资产，即投资在CDS上的资产为0。 定理4.1 保险公司违约后的最优投资和再保险策略为： π q * = − μ Y + ( 1 + η ) μ Y e − β 3 ( μ Y π q * e r ( T − t ) + γ σ Y 2 π q * 2 e 2 r ( T − t ) 2 ) γ σ Y 2 e − r ( T − t ) ， (27) π 1 * = e − r ( T − t ) β 1 + γ + { u − r σ 2 + λ 2 ( μ Z − γ σ z 2 π 1 * e r ( T − t ) ) e β 4 ( − μ Z π 1 * e r ( T − t ) + γ σ z 2 π 1 * 2 e 2 r ( T − t ) 2 ) σ 2 } . (28) 相应的均衡值函数为： W ( t ， x ， 1 ) = V ( t ， x ， 1 ) = A ( t ) x + B ( t ) 其中， B ( t ) = ( θ − η ) λ 1 μ Y r ( 1 − e r ( T − t ) ) + ∫ t T l 1 ( s ) d s + ∫ t T l 2 ( s ) d s ， (29) A ( t ) = e r ( T − t ) ， (30) l 1 ( s ) = ( 1 + η ) π q * λ 1 μ Y e r ( T − s ) + λ 1 β 3 ( 1 − e β 3 ( μ Y π q * e r ( T − s ) + γ σ Y 2 π q * 2 e 2 r ( T − s ) 2 ) ) ， (31) l 2 ( s ) = ( μ − r ) π 1 * e r ( T − s ) − β 1 + γ 2 π 1 * 2 σ 2 e 2 r ( T − s ) + λ 2 β 4 ( 1 − e β 4 ( − μ z π 1 * e r ( T − s ) + γ σ z 2 π 1 * 2 e 2 r ( T − s ) 2 ) ) ， (32) 终端盈余的期望函数为： E t ， x ， 1 Q ϕ * [ X π * ( T ) ] = g ( t ， x ， 1 ) = A ¯ ( t ) x + B ¯ ( t ) ， 其中， A ¯ ( t ) = e r ( T − t ) ， (33) B ¯ ( t ) = 1 r ( θ − η ) λ 1 μ Y ( 1 − e r ( T − t ) ) + ∫ t T l 1 ¯ ( s ) d s + ∫ t T l 2 ¯ ( s ) d s ， (34) 其中， l 1 ¯ ( s ) = ( 1 + η ) π q * λ 1 μ Y e r ( T − s ) + π q * λ 1 μ Z e r ( T − s ) e β 3 ( μ Y π q * e r ( T − s ) + γ σ Y 2 π q * 2 e 2 r ( T − s ) 2 ) ， (35) l 2 ¯ ( s ) = ( μ − r ) π 1 * e r ( T − s ) − π 1 * 2 σ 2 β 1 e 2 r ( T − s ) + π 1 * λ 2 μ Z e r ( T − s ) e β 4 ( − μ z π 1 * e r ( T − s ) + γ σ z 2 π 1 * 2 e 2 r ( T − s ) 2 ) . (36) 4.2. 违约前的情况：Z = 0 定理4.2 当违约发生前，稳健最优投资再保险策略为： π q * = − μ Y + ( 1 + η ) μ Y e − β 3 ( μ Y π q * e r ( T − t ) + γ σ Y 2 π q * 2 e 2 r ( T − t ) 2 ) γ σ Y 2 e − r ( T − t ) ， (37) π 1 * = e − r ( T − t ) β 1 + γ + { u − r σ 2 + λ 2 ( μ Z − γ σ z 2 π 1 * e r ( T − t ) ) e β 4 ( − μ Z π 1 * e r ( T − t ) + γ σ z 2 π 1 * 2 e 2 r ( T − t ) 2 ) σ 2 } ， (38) π 2 * = − e − β 2 ( γ 2 ( ( L − Φ ( t ， 0 ) ) π 2 * e r ( T − t ) + B ¯ ( t ) − b ¯ ( t ) ) 2 − ( ( L − Φ ( t ， 0 ) ) π 2 * e r ( T − t ) + B ( t ) − b ( t ) ) ) γ ( L − Φ ( t ， 0 ) ) ( 1 + μ ) e − r ( T − t ) + e − r ( T − t ) γ ( L − Φ ) − B ¯ − b ¯ L − Φ e − r ( T − t ) . (39) 相应的均衡值函数是： W ( t ， x ， 0 ) = V ( t ， x ， 0 ) = a ( t ) x + b ( t ) ， 其中，a(t)和b(t)满足： a ( t ) = e r ( T − t ) ， (40) b ( t ) = 1 r ( θ − η ) λ 1 μ Y ( 1 − e r ( T − t ) )               + ∫ t T m 1 ( s ) d s + ∫ t T m 2 ( s ) d s + ∫ t T m 3 ( s ) d s ， (41) 其中， m 1 ( s ) = ( 1 + η ) π q * λ 1 μ Y e r ( T − s ) + λ 1 β 3 ( 1 − e β 3 ( μ Y π q * e r ( T − s ) + γ σ Y 2 π q * 2 e 2 r ( T − s ) 2 ) ) ， (42) m 2 ( s ) = ( μ − r ) π 1 * e r ( T − s ) − β 1 + γ 2 π 1 * 2 σ 2 e 2 r ( T − s ) + λ 2 β 4 ( 1 − e β 4 ( − μ z π 1 * e r ( T − s ) + γ σ z 2 π 1 * 2 e 2 r ( T − s ) 2 ) ) ， (43) m 3 ( s ) = h p β 2 ( 1 − e − β 2 ( γ 2 ( ( L − Φ ( t ， 0 ) ) π 2 * e r ( T − t ) + B ¯ ( t ) − b ¯ ( t ) ) 2 − ( ( L − Φ ( t ， 0 ) ) π 2 * e r ( T − t ) + B ( t ) − b ( t ) ) ) ) + h p 1 − u ( Φ ( t ， 0 ) − L ) π 2 * e r ( T − s ) . (44) 终端盈余的期望函数为： E t ， x ， 0 Q ϕ * [ X π * ( T ) ] = g ( t ， x ， 1 ) = a ¯ ( t ) x + b ¯ ( t ) ， 其中， a ¯ ( t ) = e r ( T − t ) ， (45) b ¯ ( t ) = 1 r ( θ − η ) λ 1 μ Y ( 1 − e r ( T − t ) ) + ∫ t T m ¯ 1 ( s ) d s + ∫ t T m ¯ 2 ( s ) d s + ∫ t T m ¯ 3 ( s ) d s ， (46) 其中， m ¯ 1 ( s ) = ( 1 + η ) π q * λ 1 μ Y e r ( T − s ) + π q * λ 1 μ Z e r ( T − s ) e β 3 ( μ Y π q * e r ( T − s ) + γ σ Y 2 π q * 2 e 2 r ( T − s ) 2 ) ， (47) m ¯ 2 ( s ) = ( μ − r ) π 1 * e r ( T − s ) − π 1 * 2 σ 2 β 1 e 2 r ( T − s ) + π 1 * λ 2 μ Z e r ( T − s ) e β 4 ( − μ z π 1 * e r ( T − s ) + γ σ z 2 π 1 * 2 e 2 r ( T − s ) 2 ) ， (48) m ¯ 3 ( s ) = ( h p ) 2 1 − u ( Φ ( t ， 0 ) − L ) π 2 * e r ( T − s ) ( ( L − Φ ( t ， 0 ) ) π 2 * e r ( T − t ) + B ( t ) − b ( t ) )                       + h p 1 − u ( Φ ( t ， 0 ) − L ) π 2 * e r ( T − s ) e − β 2 ( γ 2 ( ( L − Φ ( t ， 0 ) ) π 2 * e r ( T − t ) + B ¯ ( t ) − b ¯ ( t ) ) 2 − ( ( L − Φ ( t ， 0 ) ) π 2 * e r ( T − t ) + B ( t ) − b ( t ) ) ) . (19)