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user: 3. 模型 3.1. Jarque-Bera正态性检验 Jarque-Bera正态性检验(Jorion， 2007 [ 10 ] ; Alexander， 2008 [ 11 ] )是为正态分布而设计的一种统计检验方法。假设 表示样本序列 的Jarque-Bera统计量，那么，对于大样本，在零假设为正态分布条件下，统计量 将收敛于一个自由度为2的卡方分布： ， (2) Table 1 Variable definitions for Shanghai Composite Index， Shenzhen Component Index， return indices， residuals of AR models， dynamic conditional variances and standard residuals of GARCH model 代号 数据来源 股票指数 股票市场 价格指数 收益指数 AR模型误差 GARCH标准误差 异方差 1 中证指数 上证综指 上海证券交易所 2 中证指数 深证成指 深圳证券交易所 表1. 上证综指和深证成指股票价格指数、收益指数、以及AR自回归模型的误差项、GARCH异方差项、标准误差项变量定义 备注: 1) 上证综指市场代码为SH000001，深证成指市场代码为SZ399001；2) 表示上证综指， 表示深证成指。 这里， 表示样本序列的偏度(skewness)统计量，对于大样本，在零假设为正态分布条件下，均值为0，标准方差为 ； 表示样本序列的峰度(kurtosis)统计量，对于大样本情况，在零假设为正态分布条件下，均值为3，标准方差为 ； 是样本序列的大小。估计值 和 定义如下： (3) (4) (5) 3.2. Ljung-Box自相关性检验 假设样本序列 是一个独立同分布(iid)时间序列，Box & Pierce (1970) [ 12 ] 提出了一个统计量 来检验时间序列 是否为自相关序列，零假设为 ；备择假设为 ， 。统计量 渐近地趋向于自由度为 的卡方分布。 ， (6) Ljung & Box (1978) [ 13 ] 对统计量 进行了修改，而创造出了一个新的统计量 ，以增加对于有限样本检验的力度。检验时间序列 是否为自相关序列，拒绝零假设 的条件是 ，当 ， (7) 这里， 是自由度为 的卡方分布，置信度水平为 ； 是 与滞后 阶变量 之间的自相关系数(autocorrelation coefficient， AC)。 当 被定义为一个平稳序列时，一般会有 ， ， ， 。如果对于 ， ，那么，平稳序列 就不是序列自相关的(Tsay， 2005) [ 14 ] 。假如滞后阶数 ，则自相关系数由下式得到： ， (8) 如果变量 是序列自相关的，则具有 阶滞后项的 自相关模型为(Tsay， 2005) [ 14 ] ： (9) 变量 是序列 与滞后 阶的序列 之间的偏相关系数(partial autocorrelation， PAC)。 3.3. ADF单位根检验 单位根检验就是测试一个时间序列 是否为平稳序列。一个时间序列 是平稳的，当且仅当其 阶自相关模型 具有性质：如果 ，那么 ，且 ， ， ，对于任何的 ，都有 ；相反地，如果 ，那么序列 就是非平稳序列或者是一个随机游走过程。为了检验单位根，假设零假设为 ，备择假设为 。Dickey-Fuller检验方法 (Dickey &Fuller，1979) [ 15 ] 通常被用来作为单位根检验的工具，也称为DF检验，DF统计量定义如下： ， (10) ， (11) 增强ADF检验(Dickey&Fuller， 1981) [ 16 ] ，也称为ADF检验(Augmented Dickey Fuller)，是单位根检验最常用的形式，其零假设为 ，共有三种ADF检验模式： (12) (13) (14) 当进行ADF检验时，按照模式3、模式2、模式1的顺序进行检验比较好(Jeffrey， 2000) [ 17 ] 。如果一个水平变量是平稳的，它就是一个 变量；如果一个变量的 阶差分是平稳的，它将是一个 变量。 3.4. 长期协整关系检验 假设两个时间序列 ， ，那么，如果存在一个线性组合 ，满足 ， ，则 (Li & Ye， 2000) [ 18 ] 。当两个序列 ， ， ，都是非平稳序列，如果存在一个线性组合 ， ， ，那么，它们的线性组合 就是一个 阶协整向量，服从 ；如果 ，那么，线性组合 就是一个平稳序列或者协整序列(cointegration)。协整关系就是多个非平稳序列所组成的一个线性组合的长期平稳均衡关系(Engle & Granger， 1987) [ 19 ] 。 Engle & Granger (1987) [ 19 ] 建立了一个两步法协整检验方法，以两个时间序列之间的协整关系为例：第一，建立一个普通最小二乘(OLS)回归模型 ；第二，检验其误差项序列 是否在 或 检验下是平稳序列。由于最小二乘回归运算对于序列的平稳性有影响，所以，Jeffrey (2000) [ 17 ] 建议使用一个更高的标准，Davidson & MacKinnon (1993) [ 20 ] 门限值标准被推荐用来进行平稳性检验，即在1%、5%、10%概率水平下， 统计量的取值不能小于−4.32、−3.78、−3.50的绝对值。 Johansen & Juselius协整检验(Johansen， 1988 [ 21 ] ; Johansen & Juselius， 1990 [ 22 ] )是另外一种协整检验方法，该检验方法的关键是：当 时，通过检验矩阵 的秩或者阶数，来检验是否存在 。如果矩阵 的秩是 ，即 ，那么，就存在 个协整关系。特征值(eigen value)检验和迹统计(trace static)检验是Johansen & Juselius协整检验的两种方法。其中： ，或 (15) 这里， 是一个列向量， 和 是两个相关系数矩阵。 3.5. 短期协整关系检验 如果长期协整关系模型的误差项是 ，并且是一个平稳序列， ，那么，协整模型与向量误差修正模型(VECM) 之间具有同构关系(Engle & Granger， 1987) [ 23 ] 。VECM向量误差修正模型主要揭示时间序列模型的长期误差是如何通过短期关系来得到修正的。VECM向量误差修正模型一般形式： (16) VECM向量误差修正模型不仅可以揭示两个时间变量之间是否存在短期协整关系，也可以被用来检验两个时间变量之间是否存在短期Granger因果关系。 3.6. 选择优化滞后阶数 有三种信息准则被用来检验回归模型滞后阶数的长度，分别是：Akaike信息准则 (AIC)、Schwarz信息准则 (SIC)、Hannan-Quinn信息准则(HIC)。与SIC、HIC相比，AIC是一个更好的信息准则，特别是对于滞后阶数长度较小的模型更具优势(Liew， 2004)。滞后阶数 的选择将按照使AIC统计量最小的原则选取(Liew， 2004) [ 24 ] ： ，其中 (17) 3.7. Granger因果检验 Granger因果关系(Granger， 1980) [ 19 ] 揭示的是：一个时间序列 在与时间 相关的信息集 已知的条件下，是否对另外一个时间序列 具有影响？根据Jeffrey (2000) [ 17 ] 的论述，假设信息集 和 是两个与时间 相关的信息集，如果能够显著检验到存在关系 ，或 ，那么， 就可以说时间序列 是时间序列 的一个Granger原因。通常，VAR向量自回归模型是检验两个时间序列之间是否存在Granger因果关系的好方法(Jeffrey， 2000) [ 17 ] 。 3.8. GARCH(1，1)模型 广义自回归条件异方差GARCH模型是处理单变量时间序列异方差问题的通用工具。假如 ，时间序列变量 代表第 个资产的收益指数， 代表第 个资产与时间 相关的信息集，那么，条件自回归模型AR(1)就可以定义为： ，或 ， ， (18) 当 ， ， ， 时，GARCH(1，1)模型就可以定义为 ， ， ， (19) 这里，长期静态方差是 ，系数 与 满足如下关系式： ， (20) 3.9. DCC-GARCH(1，1)模型 当 时，对于两个误差变量 ，假设 为协方差矩阵， 为相关系数矩阵， 为协方差对角矩阵， 是协方差对角矩阵的逆矩阵，那么，矩阵 、 、 之间具有如下关系： ， ， ， (21) 类似地，当 时，对于两个标准误差变量 ，假设 为协方差矩阵， 为相关系数矩阵， 为协方差对角矩阵， 为协方差对角矩阵的逆矩阵，那么，矩阵 、 、 之间具有如下关系： ， ， ， (22) 因为条件相关系数 ， ，所以，条件相关系数矩阵 与 等价，具有关系 ，正因如此，协方差矩阵 可以表示为： (23) 以上关系式表示，可以把对于AR自回归模型误差项 、 的条件异方差的讨论，转化为对于GARCH模型下标准误差变量 、 的条件异方差的讨论。根据Engle (2002) [ 25 ] 的定义，当考虑条件信息集合时，DCC-GARCH(1，1)模型可以定义为： (24) (25) (26) (27) 得到了方差 和协方差 ，动态条件相关系数(DCC)可以通过如下公式计算： ， ，且 ， (28) 在对参数 进行最大似然估计(MLE)时，必须满足如下条件： ， (29) 3.10. Copula联合分布与尾部依赖关系 Copula函数是用来测定多个变量之间相互依赖关系的一类联合分布函数，由Sklar (1959) [ 26 ] 首次提出。假设变量 和 是两个随机变量，它们的边际分布函数由如下概率函数来决定： ， (30) 显然， ， 。对于任何联合概率函数 ，二元Copula函数 被定义为： (31) 假设随机变量 和 的边际密度函数是 和 ，联合密度分布函数是 ，它们的Copula密度函数是 ，那么： (32) Copula密度函数 与普通概率密度函数 不同，因为Copula密度函数 的值总为正，这就说明Copula密度函数在尾部具有较高的取值，有利于表示尾部依赖关系。对于任何随机变量 和 ，下尾(lower tail)和上尾(upper tail)依赖系数被定义为： ， ， ， (33) ， ， ， (34) 第一，Clayton Copula分布函数。Clayton Copula分布函数(Clayton， 1978) [ 27 ] 关注的重点是下尾依赖关系。当 时，基于Clayton Copula累积分布函数，Clayton Copula密度函数被定义为(Alexander， 2008) [ 11 ] ： (35) Clayton Copula的下尾和上尾依赖系数被定义为： ， ， ; (36) 第二，GumbelCopula分布函数。GumbelCopula分布函数(Gumbel，1960) [ 28 ] 关注的重点是上尾依赖关系。当 时，基于Gumbel Copula累积概率分布函数，Gumbel Copula密度函数可以表示为(Alexander， 2008) [ 11 ] ： (37) ， ， (38) Gumbel Copula的下尾和上尾依赖系数被定义为： ; ， (39) 3.11. 参数的最大似然估计 最大似然估计(MLE)通常被用来估计建立数学模型所必要的参数值。 第一，DCC-GARCH模型参数估计。Engle (2002) [ 25 ] 提出，当使用最大似然估计来获取DCC-GARCH模型参数时，应该从初始误差向量 的联合密度函数出发。其对数MLE方程可以被分解为方差方程和相关系数方程两个部分，例如： 。其中：方差估计方程 可以表示为： (40) 基于标准误差向量 ，相关系数估计方程 可以表示为： (41) 第二，学生t分布函数自由度的估计，按照对数MLE方程： (42) 学生t分布的对数MLE方程也可以通过两个步骤来实现，所有参数估计参照： (43) 第三，其它参数估计。对于其它参数，例如：Gaussian Copula分布函数、Clayton Copula分布函数、Gumbel Copula分布函数，它们都与学生t分布参数估计类似，通过对其密度函数的对数MLE方程进行估计，容易得到它们的参数。