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user: 2. 求解计算 2.1. 模态分析 2.1.1. 模态分析基本理论 模态分析可以用来确定机构的振动特性，可以通过模态分析确定自然频率、振型和振型参与系数。 有限元动力学分析的基本方程为： [ M ] { u ¨ } + [ C ] { u ˙ } + [ K ] { u } = R 式中： [ K ] ——刚度矩阵； [ M ] ——质量矩阵； [ C ] ——阻尼矩阵； { u ¨ } 、 { u ˙ } 、 { u } 分别是有限元分割体的加速度、速度和唯一向量表示；R是外载荷向量。 固有频率和振型是系统的固有属性，外载荷的施加与否不影响其结果，故取 R = 0 。在完全展开状态下，阻尼对于完全展开时的结构作用影响可以忽略，故也取 [ C ] = 0 ，此时可以得到完全展开结构自由振动方程为： [ M ] { u ¨ } + [ K ] { u } = 0 线性系统的简谐形式为： { u ¨ } = { ϕ } i cos ω i t 可得到在模态分析中，振动频率和模态的计算依据方程为： ( [ K ] − ω 1 2 [ M ] ) { ϕ i } = 0 2.1.2. 自由模态 在自由模态分析的过程中，可重复折展类球面天线支撑机构的有限元模型的边界设置为结构无约束状态。斜拉索的主要作用是在完全展开的情况下提供索拉力，使得结构整体更加稳定，但有无斜拉索对整体机构的运动没有影响，故针对天线支撑机构在完全展开状态下有无斜拉索分别作出自由模态分析 [ 4 ]。 机构完全展开后，其理论口径为1054 mm，在无斜拉索自由模态的情况下得到天线支撑机构的前10阶的固有频率如表2所示。 得到其前8阶振型图如图2所示。 Table 2 The first 8 natural frequencies in free mode without slant pull elemen 阶数 1 2 3 4 频率(Hz) 31.972 32.044 49.509 49.943 阶数 5 6 7 8 频率(Hz) 50.295 50.670 67.675 67.907 表2. 无斜拉素自由模态下前8阶固有频率 图2. 无斜拉索自由模态下前8阶振型图 对于有斜拉索的可重复折展类球面天线支撑机构模型，斜拉索设置为40Cr材料，预紧力为200 N。相对预应变待求方程为： F = E A λ 0 式中： E ——斜拉索材料的弹性模量； A ——斜拉索设计的横截面积(不考虑拉伸导致的变形)； λ 0 ——相对预应变； F ——拉力。 计算得所添加的相对预应变为： 加入斜拉索单元后进行自由模态分析，得到其前8阶的固有频率如表3所示。 Table 3 The first 8 natural frequencies in free mode with slant pull elemen 阶数 1 2 3 4 频率(Hz) 37.728 37.802 58.740 59.007 阶数 5 6 7 8 频率(Hz) 62.592 76.560 76.765 79.457 表3. 有斜拉素自由模态下前8阶固有频率 得到其前8阶振型图3所示。 图3. 有斜拉索自由模态下前8阶振型图 针对前6阶进行讨论可以看出，添加斜拉索对于机构完全展开后的稳定性较为明显的提升。由上述图表可以看出，可重复折展类球面天线支撑机构第1阶和第2阶、第3阶和第4阶、第5阶和第6阶、第7阶和第8阶的固有频率均较密集。针对其前6阶振型进行讨论，前4阶振型分别表现为整体扭转，第5阶和第6阶振型表现为二级折展模块的各模块绕着各自中心铰接处往复摆动。 2.1.3. 约束模态 根据天线支撑机构在实际作业时，其一级折展单元铰接处与航天器的连接为移动副，所以约束模态的边界条件为一级折展单元的中心铰接块全约束。 在无斜拉索的情况下得到可重复折展类球面天线支撑机构前10阶的固有频率频率与振型描述如表4所示。 Table 4 The first 10 natural frequencies in Constraint modal without slant pull elemen 阶数 1 2 3 4 5 频率(Hz) 13.031 13.064 25.404 27.225 28.017 振型描述 z向左右平移 x向左右平移 y向扭转 + 平移 y向平移 z轴扭转 阶数 6 7 8 9 10 频率(Hz) 28.083 31.973 32.045 49.531 49.956 振型描述 x轴扭转 反射面上下弯曲 反射面上下弯曲 反射面内侧弯曲 反射面内侧弯曲 + 扭转 表4. 无斜拉素约束模态下前10阶固有频率及振型描述 对可重复折展类球面天线支撑机构加入斜拉索单元进行约束模态分析，得到其前10阶的其频率及振型描述如表5所示。 Table 5 The first 10 natural frequencies in Constraint modal with slant pull elemen 阶数 1 2 3 4 5 频率(Hz) 14.007 14.005 27.148 31.826 31.885 振型描述 z向左右平移 x向左右平移 y向扭转 y向平移 z轴扭转 阶数 6 7 8 9 10 频率(Hz) 34.059 37.685 37.793 64.858 65.279 振型描述 x轴扭转 反射面上下弯曲 反射面上下弯曲 反射面内侧弯曲 反射面内侧弯曲 + 扭转 表5. 有斜拉素约束模态下前10阶固有频率及振型描述 经过对比和分析，可以看出在约束模态下，阶数之间和自由模态下一样存在着固有频率密集的现象。第1阶和第2阶、第4阶和第5阶之、第6、7、8阶、第9阶和第10阶之间，其固有频率之差都很小。 2.2. 谐响应分析 2.2.1. 谐响应分析基本理论 谐响应分析分析的目的是得到机构在几种频率下响应值对频率的曲线，进而预测结构的持续动力学特征，从而验证其机构的设计能否克服共振、疲劳及其他受迫振动引起的有害效果。 在分析上，机构受迫振动的稳态响应的表现为机构的节点以相同频率振动根据有限元运动基本方程，得到谐响应求解的基本方程： ( − Ω [ M ] + i Ω [ C ] + [ K ] ) ( { u 1 } + i { u 2 } ) = { F 1 } + i { F 2 } 式中： i ——单位复数； Ω = 2 π f ； { u 1 } = { u max cos ϕ } ——实位移矢量； { u 2 } = { u max sin ϕ } ——虚位移矢量； { F 1 } = { F max cos φ } ——实力矢量； { F 2 } = { F max sin φ } ——实力矢量。 在上述表达式中： u max ——最大位移； F max ——力幅值； ϕ ——位移相位偏差； φ ——力相位。 谐响应分析属于线性分析，因此所有的非线性分析的特征可以在计算时将之忽略。 2.2.2. 谐响应分析 根据2.1的分析可以得到，可重复折展类球面天线支撑机构在有斜拉索约束模态下固有频率的变化范围为0到70Hz，故在谐响应分析时在中心加载的频率设置为80Hz。选取结构中3个典型节点作为测试点，节点对应的检测位置如图4所示。 采用模态叠加法得到3个检测节点的响应曲线如图5所示。 由对于天线支撑机构模态分析可知，机构在第2阶、第3阶、第4阶、第5阶、第6阶、第7阶、第8阶的振型图展现的振型均为机构整体的弯曲和扭转。因此选择的3个测试点对第2阶到第8阶的固有频率较敏感，从理论上分析，这是因为外界载荷在机构固有频率附近时，机构的振动更加明显，这些频率响应曲线所展现的结果和约束模态分析的结果一致。 2.3. 材料机构固有频率的影响 对于可重复折展类球面天线支撑机构，选择材料应该在整体稳定性保证的前体现使得机构整体质量最小，据此应该选择密度小而弹性模量、强度和刚度高的材料。符合上述条件的材料主要有金属材料和复合材料，各选择一种典型材料进行分析，碳纤维材料选用M60J。 复合材料碳纤维材料下的机构约束模态下前8阶频率及振型描述如表6所示。 图4. 检测节点位置示意图 图5. 三个测试点的响应曲线 Table 6 The first 8 order natural frequencies and modes of vibration were describe 阶数 1 2 3 4 频率(Hz) 29.327 29.406 57.666 67.590 振型描述 z向左右平移 x向左右平移 y向扭转 y向平移 阶数 5 6 7 8 频率(Hz) 67.713 72.334 80.089 80.322 振型描述 z轴扭转 x轴扭转 反射面上下弯曲 反射面上下弯曲 表6. 有斜拉素碳纤维材料下前8阶固有频率及振型描述 得到复合材料碳纤维材料下的机构的振型图如图6所示。 图6. 有斜拉索碳纤维材料前8阶振型图