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user: 4. 实例分析 为了验证我们提出的组合模型COM-T的有效性，我们将改进后的与时间步长有关的模型COM-T跟考虑所有时间的信息的模型COM进行分析比较，这里分别取步长T = 3，4，5进行讨论。本文这里使用的基模型有三个，分别是G-O模型、M-O模型和Duane模型。将本文所提出的两个组合模型与基模型，以及等权重线性组合模型ELC模型进行比较，其中 ELC = ∑ i = 1 M f i / M ， f i 是各失效时间预测函数。两个由前t次失效时间数据求出的组合模型COM-T、COM对第t + 1次失效的预测是： s ^ ( t + 1 ) = ∑ i = 1 M p i ( t ) f i ( t ) 其中 M = 3 表示模型个数， p i ( t ) 表示在对第t + 1次失效预测时第i个模型所占的权重值。 4.1. 评判指标 对于模型的好坏的评估，我们需要一些指标来进行比较评判。本文使用软件可靠性中常用的几个指标如下： 相对误差RE(relative error)： RE = 1 n ∑ i = 1 n | y ^ i − y i y i | 均方误差MSE(mean square error)： MSE = 1 n ∑ i = 1 n ( y ^ i − y i ) 2 相对均方误差RMSE(relative mean square error)： RMSE = 1 n ∑ i = 1 n ( y ^ i − y i y i ) 2 其中， y i 表示数据的真实值，而 y ^ i 表示数据的预测值。这三个值越小，就说明预测值与真实值的差越小，也就是模型的预测效果更好。 4.2. 模型比较 本文使用来自文献 [ 11 ] 和文献 [ 12 ] 的两个失效时间间隔数据，对模型短时间的预测效果进行分析评判。其中数据集1有61个失效时间间隔数据，而数据集2有101个失效时间间隔数据。我们将最后五个数据作为测试集，将之前的所有数据作为训练集，分别对两组数据进行分析。 4.2.1 . 数据集1 对给定的失效时间间隔数据，先使用极大似然估计法求出各个基模型的参数值，如表2所示，再给出基模型以及ELC的失效数–失效时间在训练集上的拟合曲线，如图1所示。 Table 2 Parameters of basic models in dataset 模型 参数1 参数2 G-O模型 123.3 0.0001364 M-O模型 0.01770 0.01156 Duane模型 0.05239 0.8300 表2. 数据集1的基模型参数 图1. 数据集1基模型失效数拟合曲线 数据集1所得出的COM-T模型对于不同的T = 3，4，5以及COM模型接下来五次失效时间预测时的各个基模型的权重值如表3所示。 Table 3 The weights of basic models in five predictions in dataset 第一次失效预测 G-O模型 M-O模型 Duane模型 COM 0.198 0.276 0.526 COM-T = 3 0.312 0.313 0.375 COM-T = 4 0.263 0.263 0.474 COM-T = 5 0.330 0.328 0.342 第二次失效预测 G-O模型 M-O模型 Duane模型 COM 0.181 0.261 0.558 COM-T = 3 0.330 0.338 0.332 COM-T = 4 0.291 0.303 0.406 COM-T = 5 0.242 0.250 0.508 第三次失效预测 G-O模型 M-O模型 Duane模型 COM 0.174 0.260 0.566 COM-T = 3 0.318 0.325 0.357 COM-T = 4 0.321 0.340 0.339 COM-T = 5 0.282 0.304 0.414 第四次失效预测 G-O模型 M-O模型 Duane模型 COM 0.108 0.182 0.710 COM-T = 3 0.213 0.258 0.529 COM-T = 4 0.227 0.260 0.513 COM-T = 5 0.231 0.276 0.493 第五次失效预测 G-O模型 M-O模型 Duane模型 COM 0.187 0.290 0.523 COM-T = 3 0.336 0.361 0.303 COM-T = 4 0.316 0.351 0.333 COM-T = 5 0.331 0.350 0.319 表3. 数据集1的基模型在五次预测中的权重值 再通过求得的权重得出各模型的预测值，并计算出各个评判指标。结果如图2以及表4所示。 图2. 数据集1中的各模型的失效时间预测结果 Table 4 Judge index of each model in dateset 评判指标 RE MSE RMSE G-O 0.152 287 0.0832 M-O 0.140 263 0.0781 Duane 0.123 303 0.0753 COM 0.113 259 0.0698 COM-T = 3 0.117 258 0.0710 COM-T = 4 0.111 253 0.0706 COM-T = 5 0.109 243 0.0687 ELC 0.113 264 0.0723 表4. 数据集1中的各模型的评价指标 事实上，结合预测结果与判别指标，可以发现，对于本文所使用的的数据集1，组合模型的各个指标都是优于基模型的。在T = 3时，基于步长的组合模型在T = 3时的相对误差RE以及相对均方误差RMSE略高于原COM模型，但是在T = 5时却在三个指标上都优于COM模型。这说明选择的步长T的取值不同，其与COM模型的优劣也会不同。当T = 3时我们忽略了太多的信息以致于预测的效果不理想，所以在利用更多的信息时，预测的效果会有显著提升。对于ELC模型，明显能看出其相对误差RE相较于COM模型以及COM-T = 3模型表现较好，这是由其取值平均的特性导致的。而另外的两个指标上其表现就不如其他的组合模型了。 4.2.2 . 数据集2 与数据集1的方法相同，我们先求出基模型的参数如表5所示，再给出失效时间的拟合曲线如图3所示。 Table 5 Parameters of basic models in dataset 模型 参数1 参数2 G-O模型 323.1 0.000362 M-O模型 0.1177 0.003594 Duane模型 0.1523 0.9368 表5. 数据集2的基模型参数 我们通过观察拟合曲线，不难发现Duane模型在失效时间400~800时的拟合偏差较大，但是在接近我们测试集的时间终点时，它又有较高的拟合精度。从直觉上，如果我们使用COM组合模型，考虑所有过去的时间信息，很有可能会被这段时间的信息所影响从而较大的改变该模型所占的权重。表6也说明了这一点。 Table 6 The weights of basic models in five predictions in dataset 第一次失效预测 G-O模型 M-O模型 Duane模型 COM 0.623 0.377 2.15e−05 COM-T = 3 0.155 0.204 0.641 COM-T = 4 0.171 0.226 0.603 COM-T = 5 0.196 0.257 0.547 第二次失效预测 G-O模型 M-O模型 Duane模型 COM 0.586 0.414 4.54e−05 COM-T = 3 0.230 0.287 0.483 COM-T = 4 0.084 0.130 0.786 COM-T = 5 0.096 0.147 0.757 第三次失效预测 G-O模型 M-O模型 Duane模型 COM 0.575 0.425 4.28e−05 COM-T = 3 0.220 0.281 0.499 COM-T = 4 0.231 0.302 0.467 COM-T = 5 0.086 0.140 0.774 第四次失效预测 G-O模型 M-O模型 Duane模型 COM 0.550 0.450 5.76e−05 COM-T = 3 0.186 0.251 0.563 COM-T = 4 0.178 0.253 0.569 COM-T = 5 0.189 0.273 0.538 第五次失效预测 G-O模型 M-O模型 Duane模型 COM 0.587 0.413 1.89e−05 COM-T = 3 0.414 0.142 0.174 COM-T = 4 0.323 0.375 0.302 COM-T = 5 0.312 0.380 0.307 表6. 数据集2的基模型在五次预测中的权重值 图3. 数据集2基模型失效数拟合曲线 可以看出COM模型在预测过程中，基模型Duane模型的权重值基本上为0，也就是直接忽略掉了该模型所蕴含的信息。那么，我们通过预测效果图4以及评判指标表7来判断一下COM模型的预测效果： 图4. 数据集2中的各模型的失效时间预测结果 Table 7 Judge index of each model in dataset 评判指标 RE MSE RMSE G-O 0.128 2.62 0.0656 M-O 0.117 2.43 0.0617 Duane 0.100 2.96 0.0571 COM 0.124 2.54 0.0640 COM-T = 3 0.0890 2.25 0.0528 COM-T = 4 0.0938 2.32 0.0539 COM-T = 5 0.0865 2.21 0.0526 ELC 0.113 2.35 0.0562 表7. 数据集2中的各模型的评价指标 显然，在忽略掉了Duane模型之后，COM模型的实质上变成了G-O模型以及M-O模型的组合。但是实际上在预测效果上Duane模型也有其自身的优势，COM模型由于其权重受长时间以前的影响较大，更新缓慢，导致了预测效果并不佳。对比考虑时间步长的COM-T模型，在T = 3，4，5的情况下，他们的三个评判指标RE，MSE，RMSE都是优于其他所有模型的。其中在T = 5时预测效果最好。这也印证了本文所提出的基于时间步长的改良组合模型的有效性。