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user: 3. 薛定谔方程、波函数的玻恩规则 现在考虑两个任意表象： ( ξ ) 和 ( α ) 之间的变换，这两个表象的参数 ξ ， α 没有关联，彼此独立，它们可以有不同的取值范围，不同的自由度，甚至 ξ 取连续的值，而 α 去分立的值，或 ξ 取分立的值， α 取连续的值。不失一般性，我们假设 ξ 有多个自由度，而 α 有一个自由度.此时我们只需要矩阵力学的a，b两个条件。在 ( ξ ) 表象中动量算符的矩阵元 〈 ξ ′ | η r | ξ ″ 〉 = − i ℏ ∂ ∂ ξ ′ r δ ( ξ ′ 1 − ξ ″ 1 ) δ ( ξ ′ 2 − ξ ″ 2 ) ⋯ δ ( ξ ′ r − ξ ″ r ) ⋯ ≡ − i ℏ ∂ ∂ ξ ′ r δ ( ξ ′ − ξ ″ ) (8) 插入单位算符 I = ∫ | ξ ″ 1 〉 〈 ξ ″ 1 | d ξ ″ 1 | ξ ″ 2 〉 〈 ξ ″ 2 | d ξ ″ 2 ⋯ | ξ ″ r 〉 〈 ξ ″ r | d ξ ″ r ⋯ 可得两种表象中动量算符的矩阵元， 〈 ξ ′ | η r | α ′ 〉 ≡ 〈 ξ ′ 1 | 〈 ξ ′ 2 | ⋯ 〈 ξ ′ r | ⋯ η r | α ′ 〉 = ∫ 〈 ξ ′ 1 | ξ ″ 1 〉 〈 ξ ″ 1 | d ξ ″ 1 〈 ξ ′ 2 | ξ ″ 2 〉 〈 ξ ″ 2 | d ξ ″ 2 ⋯ 〈 ξ ′ r | η r | ξ ″ r 〉 〈 ξ ″ r | ⋯ | α ′ 〉 d ξ ″ r = − i ℏ ∫ δ ( ξ ′ 1 − ξ ″ 1 ) 〈 ξ ″ 1 | d ξ ″ 1 δ ( ξ ′ 2 − ξ ″ 2 ) 〈 ξ ″ 2 | d ξ ″ ⋯ ∂ δ ( ξ ′ r − ξ ″ r ) ∂ ξ ′ r 〈 ξ ″ r | ⋯ | α ′ 〉 d ξ ″ r = − i ℏ 〈 ξ ′ 1 | 〈 ξ ′ 2 | ⋯ ∫ ( − ∂ δ ( ξ ′ r − ξ ″ r ) ∂ ξ ″ r ) 〈 ξ ″ r | ⋯ | α ′ 〉 d ξ ″ r = − i ℏ 〈 ξ ′ 1 | 〈 ξ ′ 2 | ⋯ ∫ δ ( ξ ′ r − ξ ″ r ) ∂ ∂ ξ ″ r 〈 ξ ″ r | ⋯ | α ′ 〉 d ξ ″ r = − i ℏ ∂ 〈 ξ ′ 1 | 〈 ξ ′ 2 | ⋯ 〈 ξ ′ r | ⋯ | α ′ 〉 ∂ ξ ′ r ≡ − i ℏ ∂ 〈 ξ ′ | α ′ 〉 ∂ ξ ′ r (9) 倒数第二步用到了分部积分。(9)式中为 〈 ξ ′ | α ′ 〉 两种表象的变换函数(行和列可能是连续变量的变换矩阵)。同样的我们得到两种表象中位置算符的矩阵元 〈 ξ ′ | ξ r | α ′ 〉 ≡ 〈 ξ ′ 1 | 〈 ξ ′ 2 | ⋯ 〈 ξ ′ r | ⋯ ξ r | α ′ 〉 = ∫ 〈 ξ ′ 1 | ξ ″ 1 〉 〈 ξ ″ 1 | d ξ ″ 1 〈 ξ ′ 2 | ξ ″ 2 〉 〈 ξ ″ 2 | d ξ ″ 2 ⋯ 〈 ξ ′ r | ξ r | ξ ″ r 〉 〈 ξ ″ r | ⋯ | α ′ 〉 d ξ ″ r = ∫ δ ( ξ ′ 1 − ξ ″ 1 ) 〈 ξ ″ 1 | d ξ ″ 1 δ ( ξ ′ 2 − ξ ″ 2 ) 〈 ξ ″ 2 | d ξ ″ 2 ⋯ ξ ′ r δ ( ξ ′ r − ξ ″ r ) 〈 ξ ″ r | ⋯ | α ′ 〉 d ξ ″ r = 〈 ξ ′ 1 | 〈 ξ ′ 2 | ⋯ ξ ′ r 〈 ξ ′ r | ⋯ | α ′ 〉 ≡ ξ ′ r 〈 ξ ′ | α ′ 〉 (10) 如果 F ( ξ r ， η r ) 是 ξ r 和它们共轭动量 η r 的任何函数，F函数的两种表象的矩阵元为 〈 ξ ′ | F ( ξ r ， η r ) | α ′ 〉 = F ( ξ ′ r ， − i ℏ ∂ ∂ ξ ′ r ) 〈 ξ ′ | α ′ 〉 (11) 如果F在 ( α ) 表象是对角矩阵，即 〈 α ′ | F ( ξ r ， η r ) | α ″ 〉 = F ( α ′ ) δ ( α ′ − α ″ ) ，式中 F ( α ′ ) 是单参数 α ′ 的函数。(11)式插入单位算符 I = ∫ | α ″ 〉 〈 α ″ | d α ″ 可得 F ( ξ ′ r ， − i ℏ ∂ ∂ ξ ′ r ) 〈 ξ ′ | α ′ 〉 = 〈 ξ ′ | F ( ξ r ， η r ) | α ′ 〉 = ∫ 〈 ξ ′ | α ″ 〉 〈 α ″ | F ( ξ r ， η r ) | α ′ 〉 d α ″ = ∫ 〈 ξ ′ | α ″ 〉 F ( α ′ ) δ ( α ′ − α ″ ) d α ″ = F ( α ′ ) 〈 ξ ′ | α ′ 〉 (12) (12)式中取F函数为系统的哈密顿量H，广义位置为真实位置，广义动量为动量，就得到了定态薛定谔方程 H ( q ′ r ， − i ℏ ∂ ∂ q ′ r ) 〈 q ′ | α ′ 〉 = H ( α ′ ) 〈 q ′ | α ′ 〉 (13) 由此我们看到薛定谔方程的本征函数就是两个表象的变换函数，该变换函数能将系统的哈密顿矩阵变换为对角矩阵，其对角元就是系统的能量本征值，其能级指标为 α ′ 。 如果系统的哈密顿量显含时间，则该系统的积分常量，如能量，也会随时间变化。一般情况下哈密顿量矩阵不是对角化的，我们可以用算符 i ℏ ∂ ∂ t 带换积分常量 H ( α ′ ) 得到含时薛定谔方程。假设 q t 为t时刻的位置，一组积分常量 α 可以表示为位置q，动量p和时间t的函数，下面可以证明这个关系 〈 q ′ t | H | α ′ 〉 = i ℏ ∂ ∂ t 〈 q ′ t | α ′ 〉 成立。 设f为的 p t 和 q t 任何函数， p t 和 q t 不显含时间，并要求 α 满足条件 〈 α ′ | d f d t | α ″ 〉 = ∂ ∂ t 〈 α ′ | f | α ″ 〉 ，此时f的海森堡运动方程为 i ℏ d f d t = f H t − H t f 。需要注意的是，三人文章中的海森堡运动方程中哈密顿量是对角的，很容易通过幺正变换得到一般情况下的海森堡运动方程，此时哈密顿量不要求是对角的。将海森堡方程两边取两种表象的矩阵元，并插入单位算符 I = ∫ | α ″ 〉 〈 α ″ | d α ″ 得 〈 q ′ t | f H t − H t f | α ′ 〉 = i ℏ 〈 q ′ t | d f d t | α ′ 〉 = i ℏ ∫ 〈 q ′ t | α ″ 〉 〈 α ″ | d f d t | α ′ 〉 d α ″ = i ℏ ∫ 〈 q ′ t | α ″ 〉 ∂ ∂ t 〈 α ″ | f | α ′ 〉 d α ″ = i ℏ ∂ ∂ t ∫ 〈 q ′ t | α ″ 〉 〈 α ″ | f | α ′ 〉 d α ″ − i ℏ ∫ ∂ ∂ t 〈 q ′ t | α ″ 〉 〈 α ″ | f | α ′ 〉 d α ″ (14) (14)式收回单位算符 I = ∫ | α ″ 〉 〈 α ″ | d α ″ ，再插入单位算符 I = ∫ | q ″ t 〉 〈 q ″ t | d q ″ t 得 〈 q ′ t | f H t − H t f | α ′ 〉 = i ℏ ∂ ∂ t ∫ 〈 q ′ t | f | q ″ t 〉 〈 q ″ t | α ′ 〉 d q ″ t − i ℏ ∫ ∂ ∂ t 〈 q ′ t | α ″ 〉 〈 α ″ | f | α ′ 〉 d α ″ = i ℏ ∫ 〈 q ′ t | f | q ″ t 〉 ∂ ∂ t 〈 q ″ t | α ′ 〉 d q ″ t − i ℏ ∫ ∂ ∂ t 〈 q ′ t | α ″ 〉 〈 α ″ | f | α ′ 〉 d α ″ (15) 因为f为的 p t 和 q t 任何函数， p t 和 q t 不显含时间， 〈 q ′ t | f | q ″ t 〉 也必然不显含时间，因此最后一行的第一项可以把对时间的偏微分移到积分号里面。另一方面 〈 q ′ t | f H t − H t f | α ′ 〉 = ∫ 〈 q ′ t | f | q ″ t 〉 〈 q ″ t | H t | α ′ 〉 d q ″ t − ∫ 〈 q ′ t | H t | α ″ 〉 〈 α ″ | f | α ′ 〉 d α ″ (16) (16)式与(15)式比较即得 〈 q ′ t | H t | α ′ 〉 = i ℏ ∂ ∂ t 〈 q ′ t | α ′ 〉 ，去掉角标，即 〈 q ′ | H | α ′ 〉 = i ℏ ∂ ∂ t 〈 q ′ | α ′ 〉 。消去定态薛定谔方程中的积分常量得到含时薛定谔方程，事实上 H ( q r ， − i ℏ ∂ ∂ q r ) 〈 q ′ | α ′ 〉 = 〈 q ′ | H ( q r ， p r ) | α ′ 〉 = i ℏ ∂ ∂ t 〈 q ′ | α ′ 〉 (17) (17)式即含时薛定谔方程。 如果用 q t 表示坐标q在时刻t的值，用 α t 表示变量 α (假设是动量p和位置q的函数，p和q不显含时间)在时刻t的值，将单位算符 I = ∫ | α ′ t 〉 〈 α ′ t | d α ′ t 插入变换函数 〈 q ′ | α ′ 〉 得 〈 q ′ t | α ′ 0 〉 = ∫ 〈 q ′ t | α ′ t 〉 〈 α ′ t | α ′ 0 〉 d α ′ t (18) 波函数的玻恩规则知，展开系数 | 〈 α ′ t | α ′ 0 〉 | 2 = 〈 α ′ t | α ′ 0 〉 〈 α ′ 0 | α ′ t 〉 代表概率密度。