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user: 2. 桁架模型 2.1. 桁架模型的构成 《断裂与损伤力学》(第二版) [ 6 ] 采用如图1(b)所示桁架模型，模拟边长为2l的介质正方体元(参看图1(a))，设桁架模型边长也为2l，桁架包括棱边杆和面心对角杆两类杆件，其本构关系可表示为： N e i j = K e i j Δ e i j ，       N d i j = K d i j Δ d i j (2.1) 式中， N e i j 与 N d i j 、 K e i j 与 K d i j 、 Δ e i j 与 Δ d i j 均分别为棱边杆与面心杆的轴力、刚度以及伸长量，i、j为杆 图1. 桁架模型示意图。(a) 连续介质单元；(b) 桁架模型 两端点编号，如图1(b)所示。 2.2. 桁架模型与介质单元的变形一致性 2.2.1. 桁架节点和介质单元的位移关系 首先建立桁架模型与介质(正方形)体元的变形一致性，即桁架模型各个节点的位移与介质体元的位移相等。对于介质体元而言，位移分量 u i 与应变分量 ε i j 有如下关系(不考虑刚体位移)： d u i = ε i j d x j (2.2a) 由于介质体元内应变是均匀的，则积分上式有： u i = ε i j x j (2.2b) 根据桁架模型与介质体元变形一致的设定，可得桁架节点位移分量与体元相应应变分量的关系如下： u i 1 = l ( + ε i x + ε i y + ε i z ) ，       u i 2 = l ( − ε i x + ε i y + ε i z ) ，       u i 3 = l ( − ε i x − ε i y + ε i z ) u i 4 = l ( + ε i x − ε i y + ε i z ) ，       u i 5 = l ( + ε i x + ε i y − ε i z ) ，       u i 6 = l ( − ε i x + ε i y − ε i z ) u i 7 = l ( − ε i x − ε i y − ε i z ) ，       u i 8 = l ( + ε i x − ε i y − ε i z ) (2.3) 式中下标i分别指x，y，z轴，上标为顶点编号。 2.2.2. 桁架的虚功原理 根据虚功原理 [ 6 ] ，有 δ W e = δ W i (2.4) 其中，桁架外力虚功 δ W e 为 δ W e = 8 l 3 ( σ x x δ ε x x + σ y y δ ε y y + σ z z δ ε z z ) + 16 l 3 ( σ x y δ ε x y + σ y z δ ε y z + σ z x δ ε z x ) (2.5) 即桁架的外虚功可用介质单元的虚应变能表示。桁架内力虚功 δ W i 为 δ W i = δ W i e + δ W i d (2.6) 其中， δ W i e ， δ W i d 分别是棱边杆与面内杆的内力虚功，即 δ W i e = N 12 δ Δ 12 + N 34 δ Δ 34 + N 56 δ Δ 56 + N 78 δ Δ 78 + N 14 δ Δ 14 + N 23 δ Δ 23 + N 67 δ Δ 67                     + N 58 δ Δ 58 + N 15 δ Δ 15 + N 26 δ Δ 26 + N 37 δ Δ 37 + N 48 δ Δ 48 δ W i d = N 13 δ Δ 13 + N 24 δ Δ 24 + N 57 δ Δ 57 + N 68 δ Δ 68 + N 27 δ Δ 27 + N 36 δ Δ 36 + N 38 δ Δ 38                     + N 47 δ Δ 47 + N 18 δ Δ 18 + N 45 δ Δ 45 + N 16 δ Δ 16 + N 25 δ Δ 25 (2.7) 2.2.3. 桁架的平衡方程(介质应力与桁架内力关系) 将式(2.5)和式(2.6)代入式(2.4)，并考虑到式(2.7)，由应变变分即虚应变 δ ε i j 的独立性，即与介质体元应变相对应的桁架模型变形项的系数，和该介质体元应变项的系数相同，可得： σ x x = 1 l 2 [ 1 4 ( N 12 + N 34 + N 56 + N 78 ) + 2 8 ( N 13 + N 24 + N 16 + N 25 + N 57 + N 68 + N 47 + N 38 ) ] σ y y = 1 l 2 [ 1 4 ( N 14 + N 23 + N 58 + N 67 ) + 2 8 ( N 13 + N 24 + N 57 + N 68 + N 18 + N 45 + N 27 + N 36 ) ] σ z z = 1 l 2 [ 1 4 ( N 15 + N 26 + N 37 + N 48 ) + 2 8 ( N 16 + N 25 + N 47 + N 38 + N 18 + N 45 + N 27 + N 36 ) ] σ y z = 1 l 2 2 8 ( N 18 − N 45 + N 27 − N 36 ) σ z x = 1 l 2 2 8 ( N 16 − N 25 + N 47 − N 38 ) σ x y = 1 l 2 2 8 ( N 13 − N 24 + N 57 − N 68 ) (2.8) 上式即为由虚功原理得到的桁架节点平衡方程，即在变形一致的前提下，桁架模型与介质体元力学行为等价性条件。将式(2.1)代入上式，即可建立模型参数与材料参数的关系，从而实现用桁架模型模拟材料的力学行为。 2.2.4. 桁架模型参数确定的一般方法 参看图1(b)，桁架模型共有12个棱边杆和6个面的12个面内杆。考虑到一般各向异性材料的本构关系 [ 7 ] (如下式所示)， ( σ x x σ y y σ z z σ y z σ x z σ x y ) = ( C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 C 33 C 34 C 35 C 36 C 44 C 45 C 46 sys C 55 C 56 C 66 ) ( ε x x ε y y ε z z ε y z ε x z ε x y ) (2.9) 令每个棱边杆和面内杆的刚度均不相同，该桁架模型共24个独立参数，而一般各向异性材料的本构参数数目为21个。 将式(2.1)代入式(2.8)，化简可得： σ x x = ( 2 K e x + K d y + K d z ) ε x x + K d z ε y y + K d y ε z z + 1 4 ( K 16 − K 25 + K 47 − K 38 ) ε z x     + 1 4 ( K 13 − K 24 + K 57 − K 68 ) ε x y σ y y = ( 2 K e y + K d x + K d z ) ε y y + K d x ε z z + K d z ε x x + 1 4 ( K 13 − K 24 + K 57 − K 68 ) ε x y     + 1 4 ( K 18 − K 45 + K 27 − K 36 ) ε y z σ z z = ( 2 K e z + K d x + K d x ) ε z z + K d y ε x x + K d x ε y y + 1 4 ( K 18 − K 45 + K 27 − K 36 ) ε y z     + 1 4 ( K 16 − K 25 + K 47 − K 38 ) ε z x σ z y = 1 8 ( K 18 − K 45 + K 27 − K 36 ) ( ε y y + ε z z ) + K d x ε z y σ x z = 1 8 ( K 16 − K 25 + K 47 − K 38 ) ( ε x x + ε z z ) + K d y ε x z σ x y = 1 8 ( K 13 − K 24 + K 57 − K 68 ) ( ε x x + ε y y ) + K d z ε x y (2.10) 其中 K e x = 1 4 ( K 12 + K 34 + K 56 + K 78 ) ，       K e y = 1 4 ( K 14 + K 23 + K 58 + K 67 ) K e z = 1 4 ( K 15 + K 26 + K 37 + K 48 ) ，       K d x = 1 4 ( K 18 + K 45 + K 27 + K 36 ) K d y = 1 4 ( K 16 + K 25 + K 47 + K 38 ) ，       K d z = 1 4 ( K 13 + K 24 + K 57 + K 68 ) 桁架模型共24个独立参数，而一般各向异性材料的本构参数数目为21个：桁架模型的24个独立参数分别为12个独立的棱边杆参数和12个独立的面内杆参数，而一般各项异性的参数则是由材料本身的性质所决定了。