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user: 3. 恒幅载荷下纤维金属层板的疲劳裂纹扩展行为预测模型 3.1. 唯象模型 唯象模型主要包括应力强度修正因子β FML 、柔度法、裂纹张开位移和桥接应力的线性关系、裂纹扩展速率和有效应力的关系、等效裂纹长度l 0 等理论。 Toi [ 29 ] 最早提出了应力强度修正因子β FML 理论。他将纤维金属层板看成一个统一的金属结构，认为GLARE层板的所有疲劳特性都可以由修正因子β FML 计算得到，并给出： (1) 其中，β geom 是几何修正因子。并且，Toi认为修正因子β FML 只是裂纹长度a的函数： (2) 这一观点一经提出便得到了质疑，一些学者[ 30 ] [ 31 ] 指出β FML 不仅与裂纹长度有关，还取决于施加载荷，裂纹形态等多种因素。Takamatsu等人[ 32 ] [ 33 ] 通过试验证明β FML 与应力水平有较大关系，因此对式(2)进行了修正： (3) 修正后的公式仍然具有很大的局限性，Alderliesten [ 30 ] 强调层板的铺层结构、层板各层的残余应力以及初始锯切切口长度等都应被考虑在内。并且，无论是Toi模型还是修正后的Takamatsu模型都很难将其实际应用于纤维金属层板，这是由于修正因子β FML 理论的前提是将纤维金属层板看作一个统一的金属结构，而实际上并非如此。 Cox [ 34 ] 提出了两种经验方法，一种是他假定桥接应力与裂纹张开位移之间是线性关系；另一种是认为裂纹扩展速率与施加的应力之间的关系为： (4) 其中，Δσ a 为所施加的远程应力幅，f s 是唯一的材料特征函数。在对Toi模型的讨论中已经指出，纤维金属层板的裂纹扩展行为是由很多参数共同决定的，无法仅用一个函数f s 来描述。 郭亚军和吴学仁 [ 35 ] [ 36 ] 以纤维金属层板疲劳裂纹稳定扩展的特性为基础，提出了等效裂纹长度l 0 的概念。根据裂纹扩展速率方程，层板经过一定的循环次数后，其有效应力强度因子幅值ΔK eff 为常数: (5) 其中ΔS为远程应力幅。由于ΔK eff 在疲劳过程中为常数，所以l 0 (即等效裂纹长度)在疲劳过程中保持不变： (6) 式中F为裂纹构形因子；γ为层板的归一化有效应力强度因子幅(层板内铝合金层感受到的应力强度因子幅ΔK eff 与远程应力强度因子幅ΔK之比)，可由试验中测得的疲劳裂纹扩展速率反推求得，即： (7) 该模型不需要计算层板的桥接应力，也不需要研究层板的分层扩展，而是从纤维金属层板裂纹稳定扩展的特性出发建立的。而略显不足的是，对每种不同级别和铺层的GLARE层板，l 0 都要分别确定 [ 30 ] 。 唯象模型都是解析运算，计算工作量小，它的提出使得纤维金属层板的疲劳裂纹扩展速率与寿命预测变得跟金属材料一样方便。然而，唯象模型的简单运算并不能很好地反映出纤维金属层板疲劳过程中的复杂机制。 3.2. 基于断裂力学的分析模型 较为典型的基于断裂力学的分析模型有Marissen模型 [ 37 ] (1988年)、郭—吴模型 [ 38 ] (1998年)和Alderliesten模型 [ 39 ] (2007年)。 1988年，Marissen [ 37 ] 发展了一种二维分析方法来描述和预测ARALL层板的疲劳裂纹扩展行为，他主要从层板的分层扩展和胶粘剂的剪切变形两方面研究。该模型利用Paris公式来描述ARALL层板的疲劳裂纹扩展行为，并且认为外层铝合金板裂纹尖端的有效应力强度因子与裂纹张开位移直接相关： (8) 其中，K t，al 是由外层铝合金板的远程加载应力和固化过程中产生的残余应力共同决定的应力强度因子： (9) K ad 是由胶粘剂剪切变形引起的应力强度因子： (10) 式中的C d 、C s 和C ad，d 分别为裂纹桥接分层、锯切尺寸和胶粘剂剪切变形的修正因子，h为材料性能参数，S al ，0 是应力强度因子为0时的远程加载应力。同时，Marissen选用能量释放率描述分层扩展，分层扩展速率db/dN与能量释放率G的关系为： (11) 式中，C d ，n d ，k均为材料性能常数。 为简化模型便于分析计算，Marissen假设分层形状和裂纹张开形状都是椭圆形，但在GLARE层板中该假设不成立 [ 40 ] [ 41 ] 。对于ARALL层板，芳纶纤维与铝合金板之间具有一定厚度的胶粘剂层，然而GLARE层板中玻璃纤维与铝合金板之间并没有该胶粘剂层 [ 42 ] ，因此，Marissen模型并不适用于GLARE层板。 1998年，郭亚军和吴学仁 [ 38 ] 在Marissen模型的基础上发展了应用于GLARE层板的疲劳裂纹扩展预测模型。他们由裂纹张开位移推导出桥接应力关系： (12) 其中COD(x) physical 由桥接纤维的变形、分层前沿胶粘剂的剪切变形和分层区域内金属薄板的变形构成；而COD(x) aluminium 由远程应力引起的裂纹张开位移和桥接应力引起的裂纹张开位移构成。由远程应力σ 0 引起的裂纹张开位移u ∞ (x i )可表示为： (13) 式中，E la 为层板纤维方向的弹性模量，w为试样宽度。将桥接区划分为N个单元杆，第j个杆单元宽度为2w j ，中心点坐标为x j ，作用在此单元的桥接应力用均匀应力σ br，j 表示(相对于整个层板厚度，见图3 [ 15 ] )。对于中心裂纹试样，由桥接应力引起的x j 处的裂纹张开位移u br (x i )可表示为： (14) 其中， 表示第j个杆单元的桥接应力σ br，j 对x i 处裂纹张开位移的权函数， 将桥接应力对分层边界的作用考虑在内。由此，式(12)经过推导得到桥接应力分布控制方程： (15) (16) (17) 式中，P i + D、δ ij 、g ij L j 分别代表桥接纤维伸长、胶粘剂的剪切变形和桥接应力引起的裂纹张开位移。 基于该模型的参数分析表明，影响桥接应力分布的主要因素为分层形状与尺寸以及初始锯切裂纹长度。郭亚军和吴学仁通过大量试验观察，发现GLARE层板疲劳裂纹扩展过程中的分层形状不是椭圆形，而是更接近于三角形，故在其模型计算中假设分层形状为三角形。郭亚军和吴学仁提出的纤维桥接应力分布的计算模型建立在更一般的概念之上，理论基础坚实，计算精度高，是对Marissen模型的实质性改进和发展。 在分层扩展方面，郭亚军和吴学仁沿用了Marissen模型中类似式(11)的关系。不同的是，舍弃了式(11)中的系数k，只保留C d 和n d 两个系数。这是由于对ARALL层板k = 0.69，而对GLARE层板k = 1。 在计算裂纹扩展速率时，郭亚军和吴学仁选用了Walker方程表征扩展速率： 图3. 桥接应力引起的裂纹张开位移 [ 15 ] (18) 式中，C 1 、m 1 、n 1 是试验常数；R c 为考虑残余应力影响后的有效应力比。有效应力强度因子(K eff )采用权函数方法计算，即： (19) 式中，f是无量纲应力强度因子，可用权函数方法求解 [ 43 ] 。 在总结前人经验的基上，Alderliesten [ 39 ] 针对GLARE层板发展了一种新的基于断裂力学的分析模型。大量研究表明 [ 41 ] [ 44 ] - [ 46 ] ，实际的分层形状既不是三角形也不是椭圆形。因此，在计算桥接应力过程中，Alderliesten并没有假设分层形状为椭圆形或三角形，而是将其定义为任意连续形状。实际的分层形状由试验获得的分层扩展性能和裂纹区域真实桥接应力共同决定。 Alderliesten模型中裂纹张开位移关系与郭—吴模型相似，即： (20) 式中，v ∞ (x)为远程应力造成的裂纹面张开位移；v br (x)为桥接应力造成的裂纹面张开位移；δ f (x)为纤维伸长量；δ pp (x)为预浸料层变形量。其不同之处在于，在沿胶粘剂的剪切变形计算中，Alderliesten认为该剪切变形应表征为整个预浸料层的剪切变形，并推导出了相关计算公式 [ 39 ] 。 根据叠加原理，Alderliesten模型认为裂纹尖端的有效应力强度因子是由远程应力和桥接应力共同作用的： (21) 得到有效应力强度因子后，可采用Paris经验公式来表达裂纹扩展速率。 不必规定分层为某一固定形状，而是通过力学模型分析获得，这是Alderliesten模型最大的创新点。 除了以上三种预测模型外，还有很多研究者针对纤维金属层板开展了大量的疲劳裂纹扩展试验并发展了多种基于断裂力学的分析模型 [ 47 ] - [ 54 ] 。 3.3. 有限元模型 相比以上两类模型，有限元模型的发展还处于初级阶段。目前比较具有代表性用来预测纤维金属层板疲劳裂纹扩展行为的有限元模型有Yeh的二维有限元模型 [ 55 ] [ 56 ] 和Burianek的全局–局部有限元模型 [ 57 ] 。 Yeh [ 55 ] [ 56 ] 针对ARALL层板进行分析研究，建立了一个二维有限元模型。模型是由铝合金层的四节点平面应力元和纤维层的二节点桁架单元组成，二者之间用特殊界面单元连接。Yeh指出，这一模型仅适用于拉伸疲劳载荷，对于有压应力存在的情况不适用。 Burianek [ 57 ] 研究了一种三维多级全局–局部有限元模型来预测钛-碳层板的疲劳裂纹扩展速率。与二维有限元模型相比，Burianek认为三维有限元模型考虑了平面应力和平面应变状态，因此比二维模型更为精确。 Alderliesten [ 42 ] 对现有的预测模型进行了对比分析，他认为，唯象模型存在局限性和不精确性，而有限元模型的发展仅处于初级阶段。相比之下，基于断裂力学的分析模型精度更高，理论基础更扎实。因此，在纤维金属层板疲劳裂纹扩展预测模型中，基于断裂力学的分析模型是主流。