DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 5. 理论概述 5.1. 信用卡欺诈检测模型 5.1.1. SVDD模型适用分析 改进的支持向量机SVDD是根据传统的支持向量机SVM改进而来，其基本思想是为输入的样本计算出一个球状的决策边界，称为超球体 [ 4 ] ，它将整个空间划分为两部分： 1) 接受部分：指超球体边界内空间，即合法的信用卡交易行为； 2) 拒绝部分：指超球体边界外空间，即信用卡欺诈交易行为。 这就使得SVDD具有一类样本的分类特征，在训练过程中通过控制超球体的范围和大小，使球面内的样本保持该类别的特殊属性。 对于信用卡欺诈交易的案例数据，本问题的超球体维数为29维(即28维的主成分，加1维度的金额)。SVDD的超球体如图2所示。 对于无标签的信用卡欺诈检测问题，SVDD模型的适用性有如下的几点特征： 1) 无标签数据的处理：对无标签数据的处理问题，SVDD模型可以做到描述无标签数据的多类分类； 2) 数据类别不均衡问题：由于信用卡欺诈数据的比例占校园内消费总体数据的极小，SVDD可以采用分类精度对数据不均衡的机器学习问题； 3) 算法运行速度快：SVDD算法结合k-means聚类算法，进行“分治”并行计算加快了算法的运行速度。 5.1.2. SVDD多类描述原理 1) SVDD的训练方法 假设空间中存在样本集 X = [ x i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ] ，SVDD目标需要找到一个超球体，使得x i 尽可能的包含在超球体内。设超球体的中心为a和半径为R，则寻找的超球面应满足 ( x i − a ) ( x i − a ) T ≤ R 2 (4) 由于要使超球的半径最小，我们记(4)式为 min f ( R ， a ) = R 2 (5) 为增强分类的鲁棒性，我们引入松弛因子 ξ i ≥ 0 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，同时引入控制错分样本惩罚程度的惩罚系数C，使得(5)式变为 min f ( R ， a ， ξ ) = R 2 + C ∑ i = 1 n ξ i (6) Table 3 Favorable information for data mining (before processing 数据挖掘信息 举例 持卡人用户信息 持卡人卡号、身份证号、学历、职业、年收入等 交易记录历史数据 交易日期、交易金额、交易类型等 表3. 数据挖掘的有利信息(处理前) 图2. 超球体示意图(以二维空间为例) 其约束条件为 s.t. ( x i − a ) ( x i − a ) T ≤ R 2 + ξ i ，且 ξ i ≥ 0 式(6)是一个考虑中心a和半径R的二次规划问题，我们引入拉格朗日算子，建立拉格朗日函数，对于n维问题有 L ( R ， a ， ξ ， α ， γ ) = R 2 + C ∑ i = 1 n ξ i − ∑ i = 1 n α i [ R 2 + ξ i − ( x i 2 − 2 a x i + a 2 ) ] − ∑ i = 1 n γ i ξ i (7) 由于要求得L关于R，a， ξ 的最小值，对式(7)求其偏导并令其为0，得 ∂ L ∂ R = 0 ，                     ∑ i = 1 n α i = 1 ∂ L ∂ a = 0 ，                   a = ∑ i = 1 n α i x i ∂ L ∂ ξ = 0 ，                   C − α i − γ i = 0 将上述得到的条件重新带入式(7)中，得到最终的优化问题为 L ( R ， a ， ξ ， α ， γ ) = ∑ i = 1 n α i ( x i ⋅ x i ) − ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n α i α j ( x i ⋅ x j ) (8) 其约束条件为 s . t .                     0 ≤ α i ≤ C ，     ∑ i = 1 n α i = 1 (9) 2) SVDD的识别方法 假设z为测试样本，当下式满足时即判定z为正常类别，即落在超球体内部，否则为异常类别 [ 5 ] ‖ z − a ‖ 2 = ( a ⋅ a ) 2 − 2 ∑ i = 1 n α i ( a ⋅ x i ) + ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n α i α j ( x i ⋅ x j ) ≤ R 2 (10) 利用指示函数对(10)式进行判断 f SVDD ( z ， a ， R ) = I ( ‖ z − a ‖ 2 ≤ R 2 ) = I { ( a ⋅ a ) 2 − 2 ∑ i = 1 n α i ( a ⋅ x i ) + ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n α i α j ( x i ⋅ x j ) ≤ R 2 } (11) 这里指示函数I的定义为 I ( A ) = { 1 ，             if   A       is       true 0 ，             otherwise (12) 这即是我们最终检测信用卡是否存在欺诈交易行为的准则，也是数据集class字段中0与1的来源。 3) 核函数的引入 当输入空间的样本点不满足球状分布时，可以通过引入核函数使其映射到高维空间，在此映射法则下于高维空间中进行求解。也就是将式(18)中的内积变换为 x i ⋅ x j → φ ( x i ) φ ( x j ) = K ( x i ， x j ) (13) 引入核函数后 f SVDD ( z ， a ， R ) = I ( ‖ φ ( z ) − φ ( a ) ‖ 2 ≤ R 2 ) = I { K ( a ， a ) 2 − 2 ∑ i = 1 n α i K ( a ， x i ) + ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n α i α j K ( x i ， x j ) ≤ R 2 } (14) 核函数的几何意义如图3所示。常用的核函数形式有 1) 线性核函数： K ( x ， y ) = x ⋅ y 2) 多项式核函数： K ( x ， y ) = ( x ⋅ y + 1 ) d ， d = 1 ， 2 ， ⋯ 3) 高斯核函数： K ( x ， y ) = e − ‖ x − y ‖ 2 2 σ 2 (15) 为了提高算法的分类准确率，我们在求解过程中采用的核函数为高斯核函数。
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user: 6. 风险评估 根据SVDD理论建立适用于本数据的信用卡欺诈风险的识别模型，信用卡欺诈风险控制的总体流程图如图4所示。 图3. 核函数的几何意义示意图 图4. 信用卡欺诈风险控制的总体流程图 6.1. 参数确定 6.1.1. 核函数K的确定 选取SVDD模型的核函数为高斯径向基核函数，选取核函数的调节参数的值为0.5，则式(14)中的高斯核函数可表示为 K ( x i ， x j ) = e − ‖ x i − x j ‖ 2 0.5 2 (16) 6.1.2. 惩罚系数C的确定 惩罚系数C用来平衡超球体积大小和正常样本上的错误率，实际应用中一般通过程序调试不断改进该系数值，但也可按照下式计算 C = 1 v l (17) 式中，l是样本个数，v是用户设置的参数，其表示目标类上错分率的上界，也是支持向量占训练样本的百分率的下界。 针对选取的20，000训练样本，我们取用户设置参数 v = 0.002 ，因此由公式(17)得惩罚系数C值为0.25。 6.1.3. 消费金额的范围约束 消费金额Amount是体现交易是否存在异常的重要的即时信息，由于所给数据中消费金额相比较于28个主成分而言，其数值变化范围明显大于28个主成分间的数值范围，在模型求解中严重影响超球体的半径，增加了模型的误差。 为此，通过改变消费金额的数量级，将消费金额约束在合理的变化范围内，即新的消费金额数据为 A m o u n t ′ = A m o u n t × 0 .01 (18) 式中，Amount'为经过范围约束后的消费金额，Amount为消费金额的原数据。 6.2. 模型求解 将主成分分析提取得到的28个主成分，和消费金额Amount数据组合后，得到一个29维的特征向量，即样本数据应该满足 x i ∈ R 29 。则式(14)具体变为 min f ( R ， a ， ξ ) = R 2 + 0.25 ∑ i = 1 29 ξ i ，   ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 29 )   (19) s . t .                   ( x i − a ) ( x i − a ) T ≤ R 2 + ξ i ， 且 ξ i ≥ 0 利用MATLAB求解最优超球面，得到29维的最优超球面中心a和半径R为 { a = ( − 22.37 ， − 4.29 ， − 19.34 ， 7.13 ， − 15.19 ， − 0.49 ， − 5.35 ， 9.25 ， − 1.89 ， − 5.76 ， 2.55 ， − 1.81 ， 1.26 ， − 1.49 ，                                       0.10 ， − 2.25 ， − 5.22 ， − 1.87 ， − 1.20 ， 8.77 ， 3.25 ， − 3.17 ， − 4.16 ， 0.14 ， − 0.21 ， − 0.72 ， − 0.07 ， 0.87 ， 39.89 ) R = 47.1386 其中，中心a为29维向量，即 a ∈ R 29 。则得到最终识别函数为 f SVDD ( z ， a ， R ) = I { K ( a ， a ) 2 − 2 ∑ i = 1 29 α i K ( a ， x i ) + ∑ i = 1 29 ∑ j = 1 29 α i α j K ( x i ， x j ) ≤ 47.1386 2 } (20)
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user: 7. 模型检验 在进行模型训练时选取的训练样本为无欺诈消费数据，为了检验所得训练模型的准确性，我们将Class = 1的欺诈消费数据(共483条)代入SVDD模型中进行识别，比较模型识别结果与数据真实结果的吻合度，以此检验模型的准确性。其中吻合度的定义为 μ = m m 0 (21) 式中，m 0 为原始欺诈事件数，m为模型识别欺诈事件数。 由表4可知，将483条欺诈消费数据代入识别后，有456个样本点在超平面外，即模型识别出456条欺诈消费数据，吻合度高达94.41%，说明建立的模型有较高准确性。
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user: 8. 风险对策 风险管理是识别面临风险，并采取适当措施使得损失或破坏的概率降低的系统方法。选择有效的风险管理方法来处理和避免风险的产生，对信用卡交易及欺诈事故处理有着重要意义。 8.1. 风险的处理方法与对策 从宏观角度看，一个完善有效的信用卡风险管理策略应该包括市场策略、信贷政策、利润评估、风险监控和风险评价等多个方面(表5)。 8.2. 风险管控模型的构建 在完成信用卡欺诈的风险识别和检测后，建立风险管控的概率模型和反欺诈模型来对信用卡欺诈行为进行管理与控制。 Table 4 The result of matchin 原始欺诈消费事件 识别出欺诈消费事件 吻合度 483 456 94.41% 表4. 吻合度结果 Table 5 Risk treatment methods and Countermeasure 编号 处理方法 具体对策 1 妥善的市场管理 1) 明确的市场定位，清晰的客户群体，针对性的需求分析； 2) 根据本行的优势和客户信用，分析信用卡办理风险； 3) 在信用卡发行、推广和客户选择中最大化的化解风险交易。 2 合理的信贷政策 1) 发卡银行采取正确的信用额度、还款周期、可透支金额等； 2) 做好信用监督和交易监控； 3) 在给予信用政策和风险管控之间寻找最佳平衡点。 3 准确的利润评估 1) 做好信用卡的利润与风险评估，预测收益风险； 2) 估算信用卡发行利润，确定措施可行性。 4 建立风险预警 在动态交易中进行风险监督和预警，利用已有数据库及时对信用卡新增交易行为进行风险预测与识别。 5 风险信息共享 建立各家银行间的风险信息共享体系，对欺诈案件的协助调查、立案通报，各成员银行之间应该给予充分的风险信息共享，追查和跟踪风险。 6 用户行为评分 1) 建立信用卡用户行为评分体系，对信用卡进行有效的跟踪和监控； 2) 利用历史消费记录等信息对用户潜在风险进行评估； 3) 对持卡人的实时交易行为进行跟踪与监控，预防风险。 表5. 风险处理方法和对策 8.2.1. 信用卡欺诈管控的概率模型 在考虑可能导致信用卡欺诈风险发生的因素和情况下，我们建立了风险欺诈管控的概率模型，使欺诈行为发生的概率低于允许概率，即 P = a ⋅ f i ⋅ λ ⋅ ϕ ≤ [ P 0 ] (22) 式中，P为发生欺诈风险的概率，[P 0 ]为允许概率，a为概率调节系数， ϕ 为本次消费金额， λ 为信贷程度。 根据风险约束机制的相关要求，设定信用卡欺诈交易行为的发生概率应该约束在0.8%以内，从而保证信用卡消费支付的正常交易。 8.2.2. 信用卡交易的反欺诈系统 1) 银行交易系统 信用卡风险的检测和识别一般在银行的中央计算机中进行。中央计算机完成数据提取、数据筛选、欺诈分析和反欺诈处理等过程，其中数据筛选、数据分析和发欺诈处理时银行反欺诈系统的核心功能(图5)。 2) 反欺诈系统的设计 中央计算机在获取用户信息之后，首先对数据进行筛选，再利用数据挖掘技术进行欺诈分析，最终结果通过接口层返回交易前台 [ 6 ]。如果系统判定为欺诈交易，前台的图形用户接口会显示警告。反欺诈系统的设计流程如图6所示。
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user: 9. 风险对策 本文首先基于数据挖掘和主成分分析方法，建立了信用卡欺诈交易识别的SVDD改进支持向量机模型，对欺诈交易进行识别和评估，且提出了对信用卡欺诈风险管控的模型和对策。 图5. 银行交易系统 图6. 反欺诈系统设计 9.1. 检测模型的建立 在数据预处理、数据挖掘和主成分分析的基础上，通过考虑无标签数据的处理和数据类别不均衡问题，我们建立了SVDD模型对信用卡欺诈进行识别和检测。通过概率方法选取样本，引入核函数之后，选取惩罚系数和松弛因子建立起对风险识别的SVDD模型，以超球体为判别原则进行多分类。 9.2. 风险识别 在模型建立的基础上，通过求解得到超球体的半径和中心，以在超球体内的样本数据为接受数据，即交易合法数据；以超过超球体之外的数据为拒绝数据，即信用卡交易欺诈数据。通过，通过SVDD模型的指示函数对样本数据进行判断，最终识别本次交易是否存在欺诈行为。 9.3. 风险管控 通过分析风险的成因，我们建立了欺诈风险的概率模型，并提出了银行反欺诈系统的设计方法。分析所见模型的局限性和缺点，相应地提出了拓展建议。最后我们提出了针对信用卡交易风险的处理方法和对策。
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user: 摘 要 能量生产和使用是任何经济的主要部分。加利福尼亚州(CA)，亚利桑那州(AZ)，新墨西哥州(NM)和德克萨斯州(TX)希望形成一个现实的新的能源契约，其重点在于提高清洁和可再生能源的利用。本文认为确定能源概况就是对重要数据进行选择与汇总，同时实现数据的可视化，定性得出各州的能源概况。进而本文对其进行纵向分析，致力于发现其历史演变规律并对未来值进行预测。 关键词 :数据检验，纵向分析，ARIMA模型，归一化处理 Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 问题的引出 能量生产和使用是任何经济的主要部分。在美国，能源政策的许多层面被分散到国家层面。另外，各州不同的地质条件和产业也影响着能源的使用和生产。在1970年美国西部的12个州成立了西部州际能源契约组织(WIEC)，其任务重在促进各州之间的合作。州际契约是两个或两个以上州之间的合同安排，这些州之间就具体的政策问题达成一致，并采取一套标准或就某一地区或国家事务相互合作。沿美国和墨西哥的边境，有四个州：加利福尼亚州(CA)、亚利桑那州(AZ)、新墨西哥州(NM)和德克萨斯州(TX)，四州希望形成一个现实的新能源契约，其重点在于提高清洁、可再生能源的利用。本文将进行数据 [ 1 ] 分析和建模来发掘各州的能源概况，并进行相关的预测。 问题一：依据相关数据，为四个州分别创建相应的能源概况。 问题二：建立一个模型来尝试描述1960年至2009年四个州中每个州的能源状况是如何演变的并作预测。 问题三：确定2009年四个州中哪些州具有“最好”的清洁可再生能源使用情况。 本文数据详见： http://www.comap.com/undergraduate/contests/mcm/contests/2018/problems/2018_MCM-ICM_Problems.zip。
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user: 2. 符号说明 表1是文章中的符号说明。
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user: 3. 原始数据检验 原始数据中的异常值可能会对模型产生不利影响，因此本文首先检查数据。考虑到后面涉及的数据格式： ， 所以，本文对公示左右两侧的误差进行检验 error = ∑ M S N i − ( M S N 1 + M S N 2 + ⋯ + M S N n ) ∑ M S N ， 部分误差结果如表2所示。 Table 1 Symbol description tabl 符号 含义 MSN 各量值的代码，如TETCB，FFTCB等 TETCB 能源消费总量(Total energy consumption (Billion Btu)) FFTCB 化石燃料消费总量(Fossil fuels， total consumption (Billion Btu)) NUETB 核电产生的电力(Electricity produced from nuclear power (Billion Btu)) RETCB 可再生能源总消耗量(Renewable energy total consumption (Billion Btu)) ELNIB 净进口电量(Net imports of electricity into the United States (Billion Btu)) ELISB 净州际电力销售额和相关损失(Net interstate sales of electricity and associated losses (Billion Btu)) CLTCB 煤炭消费总量(Coal total consumption (Billion Btu)) PMTCB 不包括燃料乙醇的所有石油产品总消费量(All petroleum products total consumption excluding fuel ethanol (Billion Btu)) NNTCB 天然气总消费量(Natural gas total consumption (Billion Btu)) TETGR 每美元实际国内生产总值消耗的能源总量(Total energy consumed per dollar of real gross domestic product) TETPB 人均能源消费总量(Total energy consumption per capita (Billion Btu)) ZZ 美国州代码(US state codes) 表1. 符号说明表 Table 2 Raw data test result MSN公式 误差(最大值，%) T E T C B C A = F F T C B C A + N U E T B C A + R E T C B C A + E L N I B C A + E L I S B C A 0.08 T E T C B A Z = F F T C B A Z + N U E T B A Z + R E T C B A Z + E L N I B A Z + E L I S B A Z 0.06 T E T C B N M = F F T C B N M + N U E T B N M + R E T C B N M + E L N I B N M + E L I S B N M 0.01 T E T C B T X = F F T C B T X + N U E T B T X + R E T C B T X + E L N I B T X + E L I S B T X 0.665 表2. 原始数据检验结果 结合概率论与数理统计的知识，从表2的结果可以看出，误差明显低于1%，所以本文认为原始数据足够可信。 需要指出的是，本文承认原始数据与实际情况之间可能存在差异，但后文的模型是建立在公式的加和关系(即能源结构的组成关系)上，而非原始数据，所以本文进行了上述检验。
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user: 5. 结语 本文对重要数据进行选择与汇总，并实现可视化，从而发现各州定性的能源概况。进一步的，本文对其进行纵向分析，考察其历史演变规律并对未来值进行了预测。
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user: 摘 要 封闭式小区使得城市路网密度降低，道路可达性降低，破坏了城市系统中的微循环环节。若小区开放，小区内部新开放的车道与周边道路构成道路网，因此会影响周边道路通行能力。本文选取周边道路网、交叉口交通状况、道路通行能力，作为研究道路通行状态的三项主指标来建立评价指标体系。其中周边道路网从车辆饱和度、平均延误和车辆通行能力来衡量，交叉口交通状况从平均车头间距、车辆平均行进速度和车辆通行能力进行评价，道路通行能力用车辆通行能力和车辆平均行进速度这两个指标评定。为研究小区开放对周边道路的影响，本文将道路交通图类比成电路图，利用车辆饱和度定量分析小区开放前和小区开放后的不同。最后利用VISSIM交通仿真软件验证结果。 关键词 :周边道路网，交叉口交通状况，道路通行能力，电路图，交通仿真 Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 我国国务院于2016年2月21日发布的《关于进一步加强城市规划建设管理工作的若干意见》文件，引起了社会的广泛关注，讨论的焦点主要是关于小区开放究竟是利大于弊还是弊大于利。文献 [ 1 ] 针对道路的通行能力，提出了道路通行能力的计算方法。文献 [ 2 ] 通过建立城市支路阻抗分析模型—BPR综合模型，利用Braess判断公式对小区开放进行了可行性判断，并用案例进行了分析。文献 [ 3 ] 提出了创新性的城市饱和度评价模型，得到了小区开放前后的差异性。文献 [ 4 ] 它研究了道路规划、交通管理和道路网给出了交通特性分析、道路通行能力分析、交通流理论，使交通通行更加安全、有效、方便。目前，对于小区开放前后道路通行能力的变化的研究，定性分析较多，定量分析很少，整体性不够，缺少仿真性模拟。本文将交通路网和电路图进行类比，定量分析小区开放对道路交通的影响，并进行了交通模拟仿真。 为研究开放小区对周边道路通行的影响，本文利用周边道路网、交叉口交通状况、道路通行能力三项主体指标，六项具体指标来进行评定小区开放对路况的影响，得出影响因素最大的具体指标。然后利用电路模拟小区开放前后道路通行状况的变化，具体道路通行状况的变化利用车辆通过小区的时间长短来判定。最后利用VISSIM交通仿真模拟软件模拟出小区开放前后道路通行的模拟情况。
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user: 2. 确定指标体系 由于小区开放后会增加车流量，其对于交通的影响也是多层面的，因此选取评价标准的时候要考虑到很多方面，我们以周边道路网，交叉口交通状况，道路通行能力为主要研究对象，以车辆饱和度、平均延误、平均车头间距、车辆平均行进速度、车辆通行能力这五个指标(这五个指标的定义，我们均采用文献 [ 2 ] 的定义方式)为基础用层次分析法 [ 5 ] 来分析小区开放对其周围道路通行所产生的影响，我们建立层次结构如下： 2.1. 车辆饱和度 令V表示道路的实际交通量，C表示道路的最大车流量，则车辆饱和度X定义为(参见 [ 2 ] ) X = V C (1) 车辆饱和度是反映道路服务水平的重要指标之一，饱和度值越高，代表道路服务水平越低。由于道路服务水平、拥挤程度受多方面因素的制约。若饱和度大于1，则表明此时交通处于拥堵状态；若饱和度小于1，则出现局部时间以及空间的过饱和现象。我国一般根据饱和度值将道路拥挤程度、服务水平分为如下四级见表1 (参见 [ 6 ] )。 2.2. 平均延误 交通延误是指车辆在行驶中，由于受到驾驶员无法控制的或意外的其他车辆的干扰或交通控制设施等的阻碍所损失的时间，包括：固定延误，运行延误，停车延误，排队延误，引道延误等，由于小区大部分的进出口都是道路的交叉口，因此本文采用交叉口平均延误。令T表示红绿灯信号周期长度，t表示有效绿灯时间，X表示车辆饱和度，交通延误用D表示，其计算方法我们采用 [ 2 ] 的计算公式： D = 0.5 T ( 1 − t T ) 1 − [ min ( 1 ， X ) t T ] (2) 2.3. 平均车头间距与车辆平均行进速度 车辆平均行进速度表示单位时间内车辆行驶的快慢和方向。车头间距是位于同一车道上处于行驶状态下，对前后邻近两辆车辆车头之间一种距离的度量。我们用h表示平均车头时距，用 V ¯ 表示车辆行驶平均速度，则计算公式如下(参见 [ 2 ] ) H = h 3.6 V ¯ (3) 2.4. 车辆通行能力 车辆通行能力是指在一定道路和交通条件下，单位时间内通过某一断面的最大车辆数 其大小直接影响着道路所承受压力的能力。一般分为车辆基本通行能力，车辆可通行能力和实际通行能力。车辆基本通行能力可有下式给出(参见 [ 2 ] ) N 1 = 1000 V ¯ H (4) 车辆的可通行能力可计算为： N 2 = N 1 ⋅ γ ⋅ η ⋅ α Table 1 Vehicle saturation leve 级别 车辆饱和度X的值 道路通畅情况 一级 0至0.6之间 道路交通顺畅，服务水平好 二级 0.6至0.8之间 道路稍有拥堵，服务水平较高 三级 0.8至1.0之间 道路拥堵，服务水平较差 四级 大于1.0 道路严重拥堵，服务水平极差 表1. 车辆饱和度级别 其中 γ 代表自行车影响系数， η 代表车道宽度影响系数， α 代表交叉口影响系数。车辆的实际通行能力 N 3 = δ N 2 ， δ 表示修正系数。主干道修正系数一般取0.8，次干道修正系数一般取0.85 (参见 [ 7 ] ) 2.5. 构造判别矩阵 根据层次结构图1，我们逐层构造判别矩阵。首先，对于影响周边道路通行能力而言 交 叉 口 交 通 状 况 对 周 边 道 路 通 行 能 力 的 影 响 能 力 周 边 道 路 网 对 周 边 道 路 通 行 能 力 的 影 响 能 力 = 3 1 道 路 通 行 能 力 对 周 边 道 路 通 行 能 力 的 影 响 能 力 周 边 道 路 网 对 周 边 道 路 通 行 能 力 的 影 响 能 力 = 4 1 道 路 通 行 能 力 对 周 边 道 路 通 行 能 力 的 影 响 能 力 交 叉 口 交 通 状 况 对 周 边 道 路 通 行 能 力 的 影 响 能 力 = 4 3 即目标层对准则层的矩阵为： M = ( 1 3 4 1 2 1 4 3 1 4 3 4 1 ) 在一个以小汽车为主导的路口，信号灯周期一般 T = 90   s ，在这个周期内有效绿灯时间 t = 30   s (参见 [ 3 ] )则根据平均延误公式(2)，当车辆饱和度X为0.6时，平均延误 D = 37 .5   s ，当车辆饱和度 X = 0 .8 时，平均延误 D = 40 .9   s 。当饱和度变化0.2，平均延误变化接近4，则饱和度变化0.1，平均延误变化接近2，因此，我们令 图1. 层次结构图 车 辆 通 行 能 力 对 周 边 道 路 网 的 影 响 能 力 车 辆 饱 和 度 对 周 边 道 路 网 的 影 响 能 力 = 5 1 车 辆 通 行 能 力 对 周 边 道 路 网 的 影 响 能 力 平 均 延 误 对 周 边 道 路 网 的 影 响 能 力 = 5 2 因此构造周边道路网对方案层的判别矩阵为： C 1 = ( 1 2 5 1 2 1 5 2 1 5 2 5 1 ) 在构造交叉口交通状况对方案层的判别矩阵时，主要以平均车头间距和车辆平均行进速度赋值依据 [ 2 ] 。当平均行进速度为 V ¯ = 50 ( km / h ) 时，根据(3)~(4)，我们可计算出基本通行能力 N 1 = 1700 [pcu(km∙ln)]和平均车头间距 H = 29 .4   m 、平均车头时距 h = 2.12   s ；当平均行进速度为 V ¯ = 40 ( km / h ) 时，算出 N 1 = 1650 [pcu(km∙ln)]，和 H = 24 .24   m 、 h = 2 .18   s ；即当平均行进速度变化10 (km/h)时，平均车头间距近似变化5 m，因此，得 车 辆 平 均 行 进 速 度 对 交 叉 口 交 通 状 况 的 影 响 能 力 平 均 车 头 间 距 对 交 叉 口 交 通 状 况 的 影 响 能 力 = 2 1 。 根据表2，我们得到 车 辆 通 行 能 力 对 交 叉 口 交 通 状 况 的 影 响 能 力 车 辆 平 均 行 进 速 度 对 交 叉 口 交 通 状 况 的 影 响 能 力 = 10 1 。因此，交叉口交通状况对方案层的判别矩阵为： C 2 = ( 1 2 10 1 2 1 5 1 10 1 5 1 ) 同时，根据交叉口交通状况对方案层的判别矩阵中得出： 车 辆 通 行 能 力 对 道 路 通 行 能 力 的 影 响 能 力 车 辆 平 均 行 进 速 度 对 道 路 通 行 能 力 的 影 响 能 力 = 5 1 因此道路通行能力对方案层的判别矩阵为： C 3 = ( 1 5 1 5 1 ) 将图1和上述判别矩阵输入到yaahp软件中，我们得到 这说明车辆饱和度对周边道路通行能力的影响最大。因此，在小区开放对路况的影响时，我们只考虑车辆饱和度这个变量(表3)。
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user: 3. 电路模拟 电路图是人们为了简化实际电路而画的图形。通常电路中有电流、导线、开关、等元素，开关闭合电路连通有电流流过 [ 8 ] 。而交通道路图中，有车流、干路、信号灯等元素，因此本文将交通道路图模拟成电路图。二者的元素的队形关系如表4。 Table 2 Recommended value of lane traffic capacity (Code for design of urban road engineering 2012 平均速度 V ¯ (km/h) 50 40 30 20 基本通行能力 N 1 [pcu(km.ln)] 1700 1650 1600 1400 可通行能力 N 2 [pcu(km.ln)] 1400 1300 1300 1100 表2. 车道通行能力建议值(2012版《城市道路工程设计规范》) Table 3 The effect of five finger marks on the traffic capacity of the surrounding road 指标 影响能力结果 车辆饱和度 0.3715 平均延误 0.1858 车辆通行能力 0.1138 平均车头间距 0.1316 平均行进速度 0.1974 表3. 五指标对周围道路通行能力影响结果 Table 4 The correspondence between the circuit diagram and the traffic diagra 电路图元素 交通图元素 电路 道路 电流 车流 电路开关 红绿信号灯 导线 干路 电压 U 车辆饱和度X 电容C 平均行进速度 电流量 q = c U 车流量 Q = V ¯ X 表4. 电路图与交通图的元素对应关系 下面，用电路模拟的方式研究开放小区对道路通行状况的影响。图2是我们考虑的一种未开放小区的道路情况，假设车辆从A行驶到B，即电流从A流向B，导线相当于小区周围的主干路和次干路，车辆饱和度X相当于电压U，而车俩平均行进速度 V ¯ 相当于电容C，则对应的电路图如图3。这里假设主干路可以被充分利用，即车流饱和度达到最理想的状态且保持不变。 在图2中，由于小区没有打开，中间没有可以供外来车辆通过的道路时，从A通过主干路到两个支路a，b最后到达B。则在电路中，设电压不变为U，电容为 C 1 、 C 2 电流量为 q 1 、 q 2 于是有： q 1 = U ⋅ C 1 q 2 = U ⋅ C 2 类比考虑道路上从A到B只有两条条路可以通过，此时单位时间内通过的车辆数为： Q 1 = V ¯ 1 ⋅ X 1 Q 2 = V ¯ 2 ⋅ X 1 那么t时间通过的车辆总数为： Q 0 = t ⋅ ( Q 1 + Q 2 ) 当小区被打开时，从小区内多了一条可以通过的路，如图4，此时其对应的电路图为图5。 由于车辆饱和度保持不变，这时小区周围主干路上的车流量依然是Q，而小区内的一条路c相当于电路中的一条支路c，有分流作用，在车辆饱和度不变的情况下，它的车流量为 Q 3 = V ¯ 3 ⋅ X 1 。那么t时间内，从A到B的车辆总数会有所增加，从原来的 Q 0 到 Q ′ 则： 图2. 小区开放前的交通图 图3. 小区开放前的交通对应的电路图 图4. 小区开放后的交通图 Q ′ = Q 1 + Q 2 + Q 3 (5) 从时间上看若有 Q ′ 数量的车从A到B，小区没有打开时只有通过主干路的两条支路可以走，当车流量为 Q 1 + Q 2 时所用时间： (6) 若小区开放以后，增加的支路c分担了干路上的车流量。各条路上能够通过的车流量不变，增加一条路会增加整个道路的车流量，则所用时间： t ′ = Q ′ Q 1 + Q 2 + Q 3 (7)
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user: 4. 结论 1) 从车流量角度考虑，由公式(5)可以看出小区从“封闭式”变为“开放式”道路数量增加，整个小区车道的车流量增加。这样可以缓解小区周边道路的交通压力，让人们的出行更加方便快捷。 图5. 小区开放后的交通对应的电路图 图6. 小区开放前道路交通状况仿真模拟图 图7. 小区开放后道路交通状况仿真模拟图 2) 从行程时间角度考虑，也就是道路的可通行能力上讲，比较公式(6)和公式(7)，小区开放后，通过一定数量车辆所用的时间减少，这会提高效率，让人们的延误时间变短。 3) 小区道路数量增加会提高附近路段的可达性，即从A到B的途径增多。
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user: 5. 最后利用VISSIM交通仿真软件验证 我们利用VISSIM交通仿真软件 [ 9 ] 画出小区开放前周边道路车辆通行的状态，如图6。可以看到当小区没有开放时，由主干路A来的车要到达主干路B只能通过小区上下两条支路a，b因此两条支路车辆较多。 小区开放后周边道路车辆通行的状态，如图7。可以看出当小区开放后，由主干路A来的车要到达主干路B不仅能通过小区上下两条支路a，b还能通过小区中间开放的支路c，可以看出支路c开放后，支路a，b的车流量减少缓解了支路a，b通行的压力而且时间变短，途径增多。
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user: 摘 要 本文应用排队论的相关理论优化超市的收银服务系统，通过收集、整理得到超市的一些相关数据，将M/M/C排队模型应用到乌鲁木齐市的某超市的收银服务系统中，依据实际数据，优化了不同时段开放的收银台台数，并从超市和顾客两个角度得到最优的收银台个数，以降低超市成本，提高顾客的满意度。 关键词 :排队论，随机服务系统，M/M/C排队模型 Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 背景 排队论的基本思想是从1910年丹麦电话工程师爱尔朗在解决自动电话问题时形成的，50年代初，美国数学家费勒提出关于生灭过程的研究，英国数学家肯德尔提出嵌入马尔科夫链理论，以及排队论的分类方法，为排队论奠定了理论基础 [ 1 ] 。如今，排队论作为运筹学的一个重要分支，它的应用在我们生活中处处可见，比如说，超市的收银服务系统就是一个随机服务系统。本文就是在用排队论的相关知识来优化超市的收银服务系统，使超市合理利用资源，节约运营成本。 现在大大小小的超市数不胜数，人们除了关心商品的价格和质量问题，在激烈的市场竞争中，在商品的质量和价格基本相同的条件下，顾客对于超市的服务质量要求也越来越高，所以从超市的角度研究如何提高服务质量，吸引更多的顾客很重要。超市的收银台作为服务人员和顾客的接触点，收银台过多，虽然可以提高顾客的满意度，但是不利于超市的成本最优，甚至导致资源浪费，收银台过少，就会出现顾客结账拥挤状态，这不是人们理想的购物环境，可能会导致顾客流失。因此，优化收银台台数，既能降低超市的成本支出，提高服务质量，又能提高顾客的满意度，优化购物环境，吸引更多的客户，提高超市整体效益。本文应用排队论理论来考虑超市收银台数最优设计问题，通过建立超市排队系统优化模型，以乌鲁木齐市某好家乡超市为例，优化忙期和非忙期各个不同时段开放的服务台数，给商家提供合理建议。
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user: 2. 预备知识 从排队论的相关参数和排队系统的运行指标等介绍了一些预备知识并在此基础上对M/M/C排队模型进行了系统介绍，为后面的研究做基础工作。 2.1. 运行指标 平均队长/人：系统内顾客数的数学期望，记作 L s ；平均排队长/人：系统内等待服务的顾客数的数学期望，记作 L q ；平均逗留时间/min：顾客在系统内逗留时间的数学期望，记作 W s ；平均等待时间/min：指一个顾客在排队系统中排队等待时间的数学期望，记作 W q ；平均忙期/min：指服务机构连续繁忙时间长度的数学期望，记为 T b [ 2 ] 。 2.2. M/M/C排队模型系统介绍 2.2.1. M/M/C排队系统的相关指标 设 λ 表示单位时间内顾客的平均到达数， 表示单位时间内被服务完离去的平均顾客数，可得 1 λ 表示相邻两个人到达的平均间隔时间， 1 μ 表示对每个人的服务时间。相关公式有： L s = λ W s 或 W s = L s λ 。 L q = λ W q 或 W q = L q λ 。 ， L s = L q + λ μ 。 ， L q = ∑ n = S + 1 ∞ ( n − S ) 。 只要求得 P n 的值就可得 、 L q 、 W s 、 W q 。 令， ρ n = λ n μ ， ρ = λ μ 。 当整个排队系统稳定时，即 ρ n < 1 ，顾客在系统是中的平均等待时间为 W q = ρ n λ ( 1 − ρ n ) 2 ρ n ， 平均等待队长为 L q = ρ n ( 1 − ρ n ) 2 ρ n 。 设顾客所允许的最长平均等待时间为 T ϖ ，所能允许的最长队长为 L ϖ ，所能容忍的系统中最长平均等待队长为 n L w ，可得 { ρ n = λ n μ < 1 W q = ρ n λ ( 1 − ρ n ) 2 ρ n ≤ T w L q = ρ n ( 1 − ρ n ) 2 ρ n ≤ n L w n 的最小取值就是服务台数量的最优数，为 n * = min { n | ρ n = λ n μ < 1 ， W q = ρ n λ ( 1 − ρ n ) 2 ρ n ≤ T w ， L q = ρ n ( 1 − ρ n ) 2 ρ n ≤ n L w } 由上可得 W q = ρ n ∗ λ ( 1 − ρ n ∗ ) 2 ρ n ∗ ， L q = ρ n ∗ λ ( 1 − ρ n ∗ ) 2 ρ n 。 2.2.2. 泊松分布 在排队论中常常用到最简单流这个概念。指的是一段时间内，有k个顾客到达服务系统的概率服从泊松分布，即 ν k ( t ) = e − λ t ( λ t ) k k ！     ( k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ) 当 k = 0 时有 v 0 ( t ) = e − λ t 。 2.2.3. 负指数分布 若用 f ( t ) 代表依次服务完毕离去的两个顾客的间隔时间t的概率密度函数( t ≥ 0 )，用 F ( t ) 代表t的概率分布函数，则有 f ( t ) = μ e − μ t F ( t ) = P { T ≤ t } = ∫ 0 t μ e − μ t d t = − ∫ 0 t d [ e − μ t ] = 1 − e − μ t
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user: 4. 总结 本文主要是利用排队论的知识对超市收银服务系统建立相应的数学模型，根据实际情况对收银服务系统进行优化，得出超市开放收银台的最佳数目，分别计算在不同服务台的情况下系统的相关指标，进而根据实际情况对系统进行最优化设计。得到了在不同时间段系统达到最佳运营状态的服务台数。但是其中有不足： 1) 虽然是采用随机的方法调查抽取的实际数据，但是调查数据仍然有很大的主观因素，而且对服务时间的调查存在一定的误差。在对系统进行优化时，本文只考虑顾客的平均等待时间这一种情况，而实际中，顾客在不同时间段的等待时间可能会不同，需要进一步的研究。因此数据的采集和分析还需要更严谨的数学研究过程。 2) 本文是在一般的情况下建立模型的，特殊情况没考虑。比如说开业前和倒闭时。 该模型具有一定的普遍性，能够应用到其他领域，而且对其他的模型应用也能起到一定的启示作用。
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user: 摘 要 本文研究了一类的形如 的差分潘勒韦方程，其中 h ( z ) ∈ S ( w ) 为有理函数，得到以下结论：1) 若w只有有限个零点和极点，则 ρ ( w ) ∈ { 1 ， 2 } 且 w = R e a 2 z 2 + a 1 z + a 0 ，其中R为有理函数， a 0 ， a 1 ， a 2 为常数， a 1 ， a 2 不同时为0；2) 若w有无穷多个零点或极点，则 ρ ( w ) ≥ m a x { λ ( w ) ， λ ( 1 / w ) } ≥ 1 。 关键词 :差分潘勒韦方程，增长级，极点，零点 Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 在本文中，亚纯函数是指该函数在整个复平面上亚纯。在下文中，假定所有读者都熟悉亚纯函数的Nevanlinna理论和潘勒韦方程理论及其基本记号 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] 。特别地，对亚纯函数f，分别用 N ( r ， f ) ， m ( r ， f ) ， T ( r ， f ) ， λ ( r ， f ) ， λ ( r ， 1 / f ) ， ρ ( f ) 和 ρ 2 ( f ) 表示f的极点计数函数，均值函数，特征函数，零点收敛指数，极点收敛指数，增长级和超级。如果g满足 T ( r ， g ) = o ( T ( r ， f ) )   ( r → + ∞ ， r ∉ E ) ，其中E为对数测度有限的集合，则称g为f的小函数。用 S ( f ) 表示f的所有小函数之集。 微分潘勒韦方程是一类物理背景深厚、应用广泛的重要方程。人们开展相关的研究已有一百多年，并取得了极其丰富的成果。近十多年来，人们通过引入Nevanlinna理论深入研究复域差分、差分方程，并取得了一些优秀的成果 [ 4 ] - [ 11 ] 。这其中的奠基性工作由Halburd和Korhonen [ 12 ] 以及Chiang和Feng [ 13 ] 分别独立给出。事实上，他们的研究成果，促进了差分的Nevanlinna理论的建立以及差分潘勒韦方程的发展。另一项重要的工作是Halburd和Korhonen [ 5 ] ，以及Ronkainen [ 7 ] 对非线性差分方程的分类工作。他们给出了几类差分Riccati方程和差分潘勒韦方程 [ 5 ] [ 7 ] 。在此仅给出以下与本文密切相关的结果。 定理A [ 7 ] ：假设方程 w ( z + 1 ) w ( z − 1 ) = R ( z ， f ) (1) 有超级小于1的可容许解w，其中 R ( z ， w ) 关于z亚纯且为w的有理函数，则或者w满足差分Riccati方程 w ( z + 1 ) = α ( z ) w ( z ) + β ( z ) w ( z ) + γ ( z ) ， 其中 α ( z ) ， β ( z ) ， γ ( z ) ∈ S ( w ) 为代数体函数，或者方程(1)等价于以下形式之一： w ( z + 1 ) w ( z − 1 ) = η ( z ) w 2 ( z ) − λ ( z ) w ( z ) + μ ( z ) ( w ( z ) − 1 ) ( w ( z ) − ν ( z ) ) ， (2a) w ( z + 1 ) w ( z − 1 ) = η ( z ) w 2 ( z ) − λ ( z ) w ( z ) w ( z ) − 1 ， (2b) w ( z + 1 ) w ( z − 1 ) = η ( z ) ( w ( z ) − λ ( z ) ) w ( z ) − 1 ， (2c) w ( z + 1 ) w ( z − 1 ) = h ( z ) w m ( z ) . (2d) 在(2a)中，系数满足 κ 2 ( z ) μ ( z + 1 ) μ ( z − 1 ) = μ 2 ( z ) ， λ ( z + 1 ) μ ( z ) = κ ( z ) λ ( z − 1 ) μ ( z + 1 ) ， κ ( z ) λ ( z + 2 ) λ ( z − 1 ) = κ ( z − 1 ) λ ( z ) λ ( z + 1 ) ， 和以下情况之一：1) η ≡ 1 ， ν ( z + 1 ) ν ( z − 1 ) = 1 ， κ ( z ) = ν ( z ) ；2) η ( z + 1 ) = η ( z − 1 ) = ν ( z ) ， κ ≡ 1 。 在(2b)中，系数满足 η ( z ) η ( z + 1 ) = 1 和 λ ( z + 2 ) λ ( z − 1 ) = λ ( z ) λ ( z + 1 ) 。 在(2c)中，系数满足 1) η ≡ 1 ，且 λ ( z ) = λ ( z + 1 ) λ ( z − 1 ) 或 λ ( z + 3 ) λ ( z − 3 ) = λ ( z + 2 ) λ ( z − 2 ) 成立； 2) λ ( z + 1 ) λ ( z − 1 ) = λ ( z + 2 ) λ ( z − 2 ) ，   η ( z + 1 ) λ ( z + 1 ) = λ ( z + 2 ) η ( z − 1 ) ，   η ( z ) η ( z − 1 ) = η ( z + 2 ) η ( z + 3 ) ； 3) η ( z + 2 ) η ( z − 2 ) = η ( z ) η ( z − 1 ) ，   λ ( z ) = η ( z − 1 ) ； 4) λ ( z + 3 ) λ ( z − 3 ) = λ ( z + 2 ) λ ( z − 2 ) λ ( z ) ，   η ( z ) λ ( z ) = η ( z + 2 ) η ( z − 2 ) 。 在(2d)中， h ( z ) ∈ S ( w ) 且 m ∈ ℤ ， | m | ≤ 2 。 在定理A中，方程(2a)~(2d)均为第三类差分潘勒韦方程。蓝双婷和陈宗煊 [ 8 ] [ 9 ] ，张继龙和仪洪勋 [ 10 ] [ 11 ] 在一些特殊的系数条件下进行了研究，并得到一些很好的结果。本文考虑(2d)在 m = 2 且系数为有理函数的情况，即以下形式的第三类差分潘勒韦方程 w ( z + 1 ) w ( z − 1 ) = h ( z ) w 2 ( z ) ， (3) 其中， h ( z ) ∈ S ( w ) 为有理函数，得到了以下结果： 定理1：设w为方程(3)的有限级亚纯解，其中 h ( z ) ∈ S ( w ) 为有理函数，则以下结论成立： 1) 若w只有有限个零点和极点，则 ρ ( w ) ∈ { 1 ， 2 } 且 w = R e a 2 z 2 + a 1 z + a 0 ，其中R为有理函数， a 0 ， a 1 ， a 2 为常数， a 1 ， a 2 不同时为0； 2) 若w有无穷多个零点或极点，则 。 注：方程(3)可能有级为无穷且超级为1的亚纯解；而在不考虑条件 h ( z ) ∈ S ( w ) 时，方程(3)可能既有超越亚纯函数解，又有有理函数解，例如方程 w ( z + 1 ) w ( z − 1 ) = z 2 − 1 z 2 w 2 (z) 的其中五个解为 w 1 = z e e 2 π i z ， w 2 = z ， w 3 = z e z ， w 4 = z sin ( 2 π z ) ， w 5 = z / sin ( 2 π z ) 。这里 w 2 是有理函数解，而 ρ ( w 1 ) = + ∞ ，   ρ ( w 2 ) = ρ ( w 3 ) = ρ ( w 4 ) = ρ ( w 5 ) = ρ 2 ( w 1 ) = 1 ;   λ ( 1 / w 4 ) = ρ ( w 4 ) ;   λ ( w 5 ) = ρ ( w 5 ) .
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user: 2. 引理 引理1 [ 14 ] ：假设 f ( z ) 为有限级的亚纯函数，级为 ρ ( f ) 。若在 z = 0 处， f ( z ) = c k z k + c k + 1 z k + 1 + ⋯ ，   c k ≠ 0 ， k ∈ ℤ ， 则 f ( z ) = z k e Q ( z ) P 1 ( z ) P 2 ( z ) ， 其中 P 1 ( z ) ， P 2 ( z ) 分别为 f ( z ) 非零零点和极点的典型乘积， Q 2 ( z ) 为次数不超过 ρ ( f ) 的多项式。 引理2：假设w为方程(3)的非常数亚纯解， h ( z ) ∈ S ( w ) ，则w为超越亚纯函数。 证明：利用反证法，假设w为方程(1)的有理函数解，则w至少有一个零点或极点， T ( r ， w ) = O ( log r ) 。由 h ( z ) ∈ S ( w ) 可知 h ( z ) 为常数函数，且 h ( z ) ≡ lim z → ∞ w ( z + 1 ) w ( z − 1 ) w 2 ( z ) = 1. 这表明 w ( z + 1 ) w ( z − 1 ) = w 2 ( z ) . (4) 为方便计，不妨设0为 w ( z ) 的 k 1 ≥ 1 阶零点(事实上，若 为 w ( z ) 的 k 1 阶零点，则0为 w 1 ( z ) = w ( z + z 1 ) 的k阶零点，若 z 2 为 w ( z ) 的 k 1 阶零点，则0为 w 1 ( z ) = 1 / w ( z + z 0 ) 的 k 1 阶零点)。则由(4)可知， w ( 1 ) w ( − 1 ) = w 2 ( 0 ) 。下面分三种情况进行讨论。 情况1：−1为 w ( z ) 的 l 1 ≥ 1 阶零点。此时由 w 2 ( − 2 ) = w ( − 1 ) w ( − 3 ) ，可知： 子情况1.1：−2既不是 w ( z ) 的零点也不是 w ( z ) 的极点，则−3为 w ( z ) 的 l 1 阶极点。再由 w 2 ( − 3 ) = w ( − 2 ) w ( − 4 ) ，可知−4为 w ( z ) 的 2 l 1 阶极点。依次类推， − n ( n = 5 ， 6 ， 7 ， ⋯ ) 均为 w ( z ) 的 ( n − 2 ) l 1 阶极点，这表明w有无穷多个极点，与w为有理函数矛盾。 子情况1.2：−2为 w ( z ) 的 k 2 ≥ 1 阶零点，则 1) 当 2 k 2 − l 1 = 0 时，−3既不是 w ( z ) 的零点也不是 w ( z ) 的极点，类似情况1可得类似的矛盾。 2) 当 2 k 2 − l 1 ≤ − 1 时，−3为 的 l 1 − 2 k 2 阶极点。再由 w 2 ( − 3 ) = w ( − 2 ) w ( − 4 ) ，可知−4为 w ( z ) 的 2 l 1 − 3 k 2 阶极点。依次类推， − n ( n = 5 ， 6 ， 7 ， ⋯ ) 均为 w ( z ) 的 ( n − 2 ) l 1 − ( n − 1 ) k 2 阶极点，这表明w有无穷多个极点，与w为有理函数矛盾。 3) 当 2 k 2 − l 1 ≥ 1 时，−3为 w ( z ) 的 2 k 2 − l 1 阶零点。再由 w 2 ( − 3 ) = w ( − 2 ) w ( − 4 ) ，由(1)和(2)中的讨论可知−4是 w ( z ) 的极点且阶为 3 k 2 − 2 l 1 。依此类推可得， − n ( n = 5 ， 6 ， 7 ， ⋯ ) 均为 w ( z ) 的 ( n − 1 ) k 2 − ( n − 2 ) l 1 阶零点。这表明w有无穷多个零点，与w为有理函数矛盾。 情况2：−1为 w ( z ) 的 l 1 ≥ 1 阶极点。类似子情况1.2中(2)的讨论可得类似的矛盾。 情况3：−1既不是 w ( z ) 的零点也不是 w ( z ) 的极点。类似子情况1.1可得类似的矛盾。 综上所述，引理2得证。