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user: 2. 预备知识 在本节中，我们将介绍细胞自动机，符号系统和拓扑熵的概念。首先说明一些动力系统中的记号： 我们用 ( X ， T ) 表示拓扑动力系统，即X是一个紧致度量空间， T : X → X 是连续映射；用 α ， β 等表示X的开覆盖。记 α ∨ β = { A ∩ B : A ∈ α ， B ∈ β } ，则 α ∨ β 也是X的开覆盖。 2.1. 符号系统 2.1.1. 一维符号系统 设整数 k ≥ 2 ，任取k个不同符号，例如取 0 ， 1 ， ⋯ ， k − 1 ，记 S = { 0 ， 1 ， ⋯ ， k − 1 } ，称S为k个符号组成的 状态空间，其中每一个符号也称作状态。赋S以离散拓扑，则S为紧致拓扑空间 [ 14 ] 。 作拓扑积 S Z = ∏ − ∞ + ∞ S = { x = ( ⋯ ， x − 1 ， x 0 * ， x 1 ， ⋯ ) : x i ∈ S ， ∀ i ∈ Z } ， 这里的Z表示全体整数的集合，记号*表示x中第0个符号(坐标)所在的位置。 对 ∀ x = ( ⋯ ， x − 1 ， x 0 * ， x 1 ， ⋯ ) ，   y = ( ⋯ ， y − 1 ， y 0 * ， y 1 ， ⋯ ) ∈ S Z ，定义 d ( x ， y ) = ∑ i = − ∞ ∞ ρ ( x i ， y i ) 2 | i | ， 其中 ρ ( x i ， y i ) = { 0 ， x i = y i ， 1 ， x i ≠ y i . 容易证明，d是 S Z 上的度量，且它诱导的拓扑与乘积拓扑等价。文 [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] 中证明了 ( S Z ， d ) 是 一个完备的，完全不连通的紧致空间。称 S Z 为一维k-符号序列空间，简称为一维符号空间。 在 S Z 上定义位移映射： σ : S Z → S Z ( ⋯ ， x − 1 ， x 0 ∗ ， x 1 ， ⋯ ) ↦ ( ⋯ ， x 0 ， x 1 ∗ ， x 2 ， ⋯ ) 即在 σ 的作用下， S Z 中点的坐标依次向左移动一位，因此，也称 σ 为左移映射。称 ( S Z ， σ ) 为S上的一维符号系统。 2.1.2. 二维符号系统 仍记 S = { 0 ， 1 ， ⋯ ， k − 1 } 为 k ( k ≥ 2 ) 个符号组成的集合，记 S Z 2 = { x = ( x i ， j ) : x i ， j ∈ S ， ( i ， j ) ∈ Z 2 } 。对于每一个 x = ( x i ， j ) ∈ S Z 2 ，用记号*表示第(0， 0)个符号(因子)所在的位置，即 x = ( x i ， j ) = ( ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ x 1 ， − 1 x 1 ， 0 x 1 ， 1 ⋯ ⋯ x 0 ， − 1 x 0 ， 0 ∗ x 0 ， 1 ⋯ ⋯ x − 1 ， − 1 x − 1 ， 0 x − 1 ， 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ) 在 S Z 2 中定义距离为 d ( x ， y ) = max ( i ， j ) ∈ Z 2 { 1 max { | i | ， | j | } + 1 : x i ， j ≠ y i ， j } 。 显然上述定义是合理的。文 [ 17 ] 证明了度量空间 ( S Z 2 ， d ) 是紧致的、完备的、完全不连通的Huasdorff 空间，并称 S Z 2 为二维k-符号序列空间，简称二维符号空间。 分别对两个坐标定义位移映射 σ 1 ， σ 2 为 [ σ 1 ( x ) ] j 1 ， j 2 = x j 1 + 1 ， j 2 ， [ σ 2 ( x ) ] j 1 ， j 2 = x j 1 ， j 2 + 1 。其中 [ σ i ( x ) ] j 1 ， j 2 表示 σ i ( x ) 中 ( j 1 ， j 2 ) 位置的元素 ( i = 1 ， 2 ) 。称 ( S Z 2 ; σ 1 ， σ 2 ) 为S上的二维符号系统。类似地，可以定义d维符号系统。 2.2. CA的定义 细胞自动机(Cellular Automata，简称CA)是一类时间、空间和状态均离散的数学模型。构成细胞自动机的四个基本要素分别是：细胞(cell)、网格(lattice)、邻域(neighborhood)和规则(rule) [ 18 ] 。最简单的情况下细胞可以取0和1两个状态；网格是指细胞活动的空间；邻域一般指某个细胞自身及其直接相邻的细胞，常见的邻域有Neumann邻域和Moore邻域 [ 7 ] ；规则则规定了细胞间的相互作用方式。 1969年，数学家G. A. Hedlund给出如下细胞自动机的定义 [ 2 ] ： 定义2.1 设f是 S Z 上的连续映射，如果紧致系统 ( S Z ， f ) 满足条件 f ∘ σ L = σ L ∘ f ，则称f是一个一 维细胞自动机，其中 S Z 表示定义在状态集S上的符号空间， σ L 为左移映射。 类似于一维细胞自动机的定义方式，我们可以定义高维细胞自动机。 定义2.2 设f是 S Z d 上的连续映射，如果紧致系统 ( S Z d ， f ) 满足条件 f ∘ σ i = σ i ∘ f ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， d ) ，则称f是一个d维细胞自动机，其中 S Z d 表示定义在状态集S上的d维符号空间， σ i 为第i个坐标上的位移映射，即 [ σ i ( x ) ] j 1 ， ⋯ ， j i ， ⋯ ， j d = x j 1 ， ⋯ ， j i + 1 ， ⋯ ， j d ， ∀ x ∈ S Z d ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， d 。其中 [ σ i ( x ) ] j 1 ， ⋯ ， j i ， ⋯ ， j d 表示 σ i ( x ) 中 ( j 1 ， ⋯ ， j i ， ⋯ ， j d ) 位置的元素。 2.3. 拓扑熵的定义 动力系统中拓扑熵的定义有多种方法，这里我们用开覆盖来定义 [ 19 ] 。 设 ( X ， T 1 ) 是一个拓扑动力系统， α 是X的一个开覆盖，用 N ( α ) 表示 α 的子覆盖的基数的下确界，即 N ( α ) = inf { β : β 是 α 的子覆盖}。因为X是紧致的，所以 N ( α ) 是一个正整数。定义开覆盖 α 的拓扑熵为 H ( α ) = log N ( α ) 。 定义2.3 设 ( X ， T ) 是一个拓扑动力系统， α 是X的一个开覆盖，定义T关于 α 的拓扑熵为 h ( T ， α ) = lim n → ∞ 1 n H ( ∨ i = 0 n − 1 T − i α ) ，T的拓扑熵为 h ( T ) = h ( X ， T ) = sup α h ( T ， α ) ，其中 α 取遍X的开覆盖。 下面给出与拓扑熵相关的几个命题： 命题2.1 设 ( X ， T 1 ) ， ( X ， T 2 ) 是两个拓扑动力系统且拓扑共轭(即存在同胚映射 π : X → Y ，使得 π ∘ T 1 = T 2 ∘ π )，则 h ( T 1 ) = h ( T 2 ) 。也就是说拓扑熵是一个拓扑共轭不变量。 命题2.2 设 ( X ， σ ) 是一维符号系统，则 h ( σ ) = log k 。 命题2.3 设 ( X ， σ ) 是一维符号系统。如果 X 1 是X的闭子集，且 σ ( X 1 ) = X 1 ，那么 σ 限制在 X 1 上的拓扑熵为： h ( σ | X 1 ) = lim n → ∞ 1 n log θ n ( X 1 ) ， 其中 θ n ( X 1 ) 表示使得集合 { ( x i ) − ∞ + ∞ ∈ X 1 : x j = i j ， j = 0 ， 1 ， ⋯ ， n − 1 } 非空的n-元组 [ i 0 ， i 1 ， ⋯ ， i n − 1 ] 的个数。 类似于命题2.3中一维符号系统拓扑熵的定义方式，Berger在文 [ 20 ] 中给出了二维符号系统拓扑熵的如下定义： 定义2.4 设 ( X ; σ 1 ， σ 2 ) 是一个二维符号动力系统，Y是X的子系统，定义 ( Y ; σ 1 ， σ 2 ) 的拓扑熵为 h ( Y ; σ 1 ， σ 2 ) = lim n → ∞ 1 n 2 log θ n × n ( Y ) ， 其中 θ n × n ( Y ) 表示使得集合 { x i ， j ∈ Y : x i ， j = a i ， j ， i ， j = 0 ， 1 ， ⋯ ， n − 1 } 非空的 n × n -元组 [ a 0 ， 0 ⋯ a 0 ， n − 1 ⋮ ⋱ ⋮ a n − 1 ， 0 ⋯ a n − 1 ， n − 1 ] 的个数。 根据Berger的定义，显然有 θ n × n ( X ) = k ( n 2 ) ，因此 h ( X ; σ 1 ， σ 2 ) = log k 。 命题2.4 设 ( X ; f 1 ， f 2 ) 和 ( Y ; g 1 ， g 2 ) 是两个二维符号系统且拓扑共轭，即存在X到Y的同胚映射 π ，使得 π ∘ f 1 = g 1 ∘ π ， 。那么， h ( X ; f 1 ， f 2 ) = h ( Y ; g 1 ， g 2 ) [ 20 ] 。也就是说，Berger定义的拓扑熵也是一个共轭不变量。