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user: 3. 利用弱形式方程数值求解复杂光子晶体能带 利用上一部分介绍的COMSOL弱形式方法，我们可以开展对复杂光子晶体的能带计算。弱形式方程是一般有限元计算的通常手法，并非仅仅适用于COMSOL Multiphysics。相信如果可以将这一方法整合并优化，独立于COMSOL单独运行，会对电磁波相关问题具有很大的价值。 我们首先研究了简单无色散正方晶格光子晶体。我们所研究的光子晶体系统参考了Huang等的论文 [ 10 ] 。通过调控光子晶体柱的占空比，通过实现偶然简并，在此光子晶体的布里渊中心( 点)具有类狄拉克锥能带结构。而且在狄拉克点频率，此光子晶体可以等效为介电常数和磁导率同时为零的材料，具有很大的应用价值。图2(a)是我们重复引文 [ 10 ] ，利用COMSOL内置改变波矢 求解本征频率模块计算的光子晶体能带结构。具体原胞结构见图(2)插入图。相对介电常数 ，相对磁导率 ，其光子晶体半径 ，a为光子晶体晶格常数。图2(b)中插入了正方晶格第一布里渊区的示意图，其高对称点坐标为 。在Transverse Magnetic (TM)模式即电场沿z方向下，用上述的弱形式方程方法可以通过改变频率 来求解对应的本征波矢 ，结果见图2(b)。图2(b)和图2(a)完全一致，证明了此种弱形式求解方法的正确性。图2(b)中能带曲线存在间断点，是由于求解方法导致的。为了快速求解我们把波矢的本征值设置在一个较低的数量，而当能带纵向比较平缓时，频率对应纵向本征值 分布的数量会大大减小，这个时候我们需要在这个平缓能带范围内减小频率步长便能求解到相对较为连贯的能带，但是会大大增加计算时间。 3.1. 等频率曲线计算中的应用 光在光子晶体中的传播和光子晶体的等频率曲线息息相关 [ 11 ] 。通过设计光子晶体结构来实现各种形状的等频率曲线，从而控制光的传播路径，实现了包括电磁波定向发射 [ 12 ] ，超透明 [ 13 ] 等各种新奇的 图2. (a) 传统方法计算出的正方晶格光子晶体的能带图；(b) 弱形式方法计算出的同样结构光子晶体能带图 功能。传统上，对等频率曲线的求解需要扫描整个布里渊区范围内所有 下频率f的本征值，再整理所求解数据将感兴趣的频率范围内的值提取出来才能将整个频率范围的等频率曲线画出，计算量相当繁复。而使用弱形式求解我们可以针对特定工作频率f快速求解出最简布里渊区范围内所有波矢k的本征值，从而得到在此频率下的等频率曲线。利用弱形式方程的方法，我们可以很容易优化所需的等频率曲线并实现各种应用。利用我们发展的方法，我们求解了图2正方晶格光子晶体在 点附近的等频率曲线。其计算结果如图3所示。 图3中不同的颜色代表不同的频率值f下的计算结果，随着频率的变化等频率曲线在 相交于一点，且在这个频率附近等频率曲线都呈现为圆形。这样的能带具有狄拉克锥能带结构类似的形状，也和引文 [ 8 ] 的预言一样。 也与图2中我们计算的正方晶格光子晶体体能带结构 点处的狄拉克点频率值完全一致，再一次验证了我们这种算法的正确性。为了方便显示，和平带相关的波矢并没有画出.这样计算每个频率下等频率曲线时间用i5-6300HQ配置电脑用时1.426 s，相比对全布里渊区所有波矢k求解减少90%以上的时间。 3.2. 色散负背景材料能带计算中的应用 我们进一步将这种弱形式求解方法用于研究具有色散负背景材料的光子晶体能带计算。Haldane等已经用二维蜂巢晶格光子晶体实现了与石墨烯能带结构相似具有狄拉克色散关系的二维光子晶体拓扑能带 [ 3 ] 。后来Plotnik等人 [ 14 ] 利用蜂巢晶格波导阵列，排列组成“光子石墨烯”，在光子石墨烯的Zigzag和Bearded界面上观测到了电子最近邻紧束缚模型预言的在石墨烯相同界面上应该存在的界面态。除此之外，还在Bearded界面首次观测到了另一种新的界面态，并用考虑了次近邻耦合的紧束缚模型进行解释。课题组邵越同学研究了类似的蜂巢晶格光子晶体柱结构，但在Bearded界面上并没有看到类似的现象 [ 15 ] 。虽然我们也研究了石墨烯结构的光学类比，但实际物理体系和引文 [ 14 ] 有相当的不同。在波导阵列结构，波导之间耦合是通过倏逝波来完成的。这和原子紧束缚近似模型相当类似。而在光子晶体中，光子晶体柱的耦合是靠光/电磁波在背景材料(通常是空气)的传播完成的。耦合的不同，即传播波和倏逝波的不同特性，决定了未能在传统蜂巢光子晶体结构观测到类似的界面态 [ 16 ] 。 图3. 狄拉克锥等频率曲线 如何能够让光子晶体柱之间的耦合也是利用倏逝波的形式来完成呢？如果能够让光子晶体的背景材料的介电常数为负数，那也许就可能利用这样的体系，观测到类比电子紧束缚模型的实验现象。 根据Pendry等人的理论 [ 17 ] ，将细金属柱做周期性阵列时，如果柱半径和占空比都远远小于波长，这样的结构可以等效为超材料，其有效介电常数为 (6) ω p 为有效等离子频率，可以通过计算金属柱阵列的S参数得出。也就是说，如果在光子晶体柱的空气背景中，插入大量细金属柱，就可以在ω < ω p 的频率范围内，用负的有效介电常数材料取代原本的空气背景。根据引文 [ 17 ] 的理论，我们设计使用了晶格常数为4.9205mm，半径为0.00375 mm的金属柱阵列，其等效的等离子频率为17.03 GHz (结构见图4(a))。通过调控金属柱占空比，我们可以轻松的改变等效等离子频率，即调控背景材料的有效介电常数，即光子晶体柱之间的倏矢波耦合系数，从而调控光子晶体能带。 但是，引入大量细小的金属柱阵列会使得模型计算十分复杂。由于每一个金属柱十分细小，网格划分密度很高导致计算量非常大。为了降低计算难度，我们需要将背景替换为如公式(6)的具有色散介电常数，并计算光子晶体能带。因为不同频率下介电常数可变，这是传统光子晶体能带计算方法非常难以完成。利用我们发展的弱形式方程，我们可以计算有效负背景光子晶体能带，并与具有金属柱阵列实际结构下的计算结果相对比，如图4所示。其中光子晶体柱选用的材料具有介电常数e= 8.5，磁导率μ = 1，排列成蜂巢晶格，原胞结构如图4(a)所示，选用的晶格常数a = 17.045 mm，介质柱半径r = 3.75 mm。 图4. (a) 蜂巢晶格光子晶体的原胞结构；(b) 六角晶格光子晶体第一布里渊区示意图；(c) 金属细线背景结构计算与有效介质色散能带计算结果对比 最简布里渊区如图4(b)所示，其高对称点分别为 。对比结果如下，图4(c)中红色点为背景材料为前面述蜂巢晶格金属柱阵列的计算结果，而黑色为使用弱形式计算等效色散背景材料下的计算结果，两者基本一致。 从我们的能带计算结果可以看到，在 ，在此蜂巢晶格光子晶体存在狄拉克点。在此频率，背景的有效介电常数 为负数。 上面的结果证明了弱形式用于计算色散材料的可行性，我们可以继续利用弱形式方程研究据色散背景的光子晶体，计算研究其光子界面态的存在。 我们研究的体系如图5所示。10个周期的蜂巢光子晶体沿y方向排列。在x方向是周期边界，y方向边界为吸收边界。背景摆放了细金属线结构。光子晶体结构和金属线结构的参数和图4相同。在y方向一边为Bearded边界，一边为Zigzag边界。在考虑了具负色散有效介电常数的情况下，我们在体光子晶体能带之外(图5(a)中黑色点)，还得到了局域在边界位置的界面态。图5(a)红色为基于弱形式有效色散介电常数得到的界面态能带，蓝色点为将背景设为 常数时计算得到的界面态。由于界面态色散较平，此时介电常数变化不大，负常数计算界面态也能够定性证明界面态的存在。在波矢范围 范围，界面态局域在Bearded界面上，如图5(b)所示为 时Bearded界面态的本征 图5. (a) 色散有效介电常数背景下蜂巢结构的投影能带；(b) 10个周期蜂巢光子晶体构成的原胞示意图及bearded界面态的本征场图 场图。这是空气背景光子晶体无法得到的 [ 15 ] 。在波矢范围 是局域在Zigzag界面的界面态。 我们研究的金属细线背景，在实验上和课题组现有微波实验平台兼容，完全可以开展进一步的实验研究对此类确定性界面态加以实验观测。