system: [SYSTEM]

user: 2. 持久性和全局吸引性 为了后续的证明，我们给出一些定义和引理。 定义2.1 [ 9 ] 假设 X ( n ) = ( x 1 ( n ) ， x 2 ( n ) ， u 1 ( n ) ， u 2 ( n ) ) T 是系统(2)的任一解，若下列条件成立 0 < inf n ∈ z x i ( n ) ≤ sup n ∈ z x i ( n ) < + ∞ ，     0 < inf n ∈ z u i ( n ) ≤ sup n ∈ z u i ( n ) < + ∞ ，     i = 1 ， 2. 则 X ( n ) 称为Z上的严格正解。 引理2.1 [ 10 ] 设 { x ( n ) } 满足 x ( n ) > 0 ，且对 n ∈ N 有 x ( n + 1 ) ≤ x ( n ) exp { a ( n ) − b ( n ) x ( n ) } ， 其中 a ( n ) ， b ( n ) 是具有正的上下界的非负序列，则 lim sup n → + ∞ x ( n ) ≤ exp ( a u − 1 ) b l . 引理2.2 [ 10 ] 设 { x ( n ) } 满足 x ( n + 1 ) ≥ x ( n ) exp { a ( n ) − b ( n ) x ( n ) } ， n ≥ N 0 ， N 0 ∈ N ， lim sup n → + ∞ x ( n ) ≤ x * 且 x ( N 0 ) > 0 ，其中 a ( n ) ， b ( n ) 为非负序列且有正的上下界，则 lim inf n → ∞ x ( n ) ≥ min { a l b u exp ( a l − b u x * ) ， a l b u } . 引理2.3 [ 11 ] 假设 A > 0 ， y ( 0 ) > 0 且 y ( n + 1 ) ≤ A y ( n ) + B ( n ) ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ，则有 y ( n ) ≤ A k y ( n − k ) + ∑ i = 0 k − 1 A i B ( n − i − 1 )     ，     k ≤ n . 特别地，若 A < 1 且B有上界M，则 lim sup n → + ∞ y ( n ) ≤ M 1 − A 。 引理2.4 [ 11 ] 假设 A > 0 ， y ( 0 ) > 0 且 y ( n + 1 ) ≥ A y ( n ) + B ( n ) ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ，则有 y ( n ) ≥ A k y ( n − k ) + ∑ i = 0 k − 1 A i B ( n − i − 1 )     ，     k ≤ n   . 特别地，若 A < 1 且B有下界 m * ，则 lim inf n → + ∞ y ( n ) ≥ m * 1 − A 。 定理 2.1 若条件(H 1 ) r 1 l α 1 l > ( b 1 u − r 1 l γ 1 l ) M 2 + c 1 u N 1 ( α 1 l + γ 1 l M 2 ) ， r 2 l α 2 l > ( b 2 u − r 2 l γ 2 l ) M 1 + c 2 u N 2 ( α 2 l + γ 2 l M 1 ) ， 成立，则系统(2)是永久持续生存的，即对系统(2)的任一正解 ( x 1 ( n ) ， x 2 ( n ) ， u 1 ( n ) ， u 2 ( n ) ) T ，均满足： m i ≤ lim inf n → + ∞ x i ( n ) ≤ lim sup n → + ∞ x i ( n ) ≤ M i ， n i ≤ lim inf n → + ∞ u i ( n ) ≤ lim sup n → + ∞ u i ( n ) ≤ N i ， (3) 其中 m i ， n i ， M i ， N i ， i = 1 ， 2 是与解无关的常数。 证明 由(H 1 )，存在任意小的正数 ε ，使得 r 1 l α 1 l > ( b 1 u − r 1 l γ 1 l ) ( M 2 + ε ) + c 1 u ( N 1 + ε ) ( α 1 l + γ 1 l ( M 2 + ε ) ) ， r 2 l α 2 l > ( b 2 u − r 2 l γ 2 l ) ( M 1 + ε ) + c 2 u ( N 2 + ε ) ( α 2 l + γ 2 l ( M 1 + ε ) ) 从而有 r 1 l − b 1 u ( M 2 + ε ) α 1 l + γ 1 l ( M 2 + ε ) − c 1 u ( N 1 + ε ) > 0 ， r 2 l − b 2 u ( M 1 + ε ) α 2 l + γ 2 l ( M 1 + ε ) − c 2 u ( N 2 + ε ) > 0 ， (4) 设 ( x 1 ( n ) ， x 2 ( n ) ， u 1 ( n ) ， u 2 ( n ) ) T 是系统(2)的任一解，则由系统(2)的前两个方程可得 x i ( n + 1 ) ≤ x i ( n ) exp { r i ( n ) − a i ( n ) x i ( n ) } 应用引理2.1，可得 lim sup k → + ∞ x i ( k ) ≤ 1 a i l exp { r i u − 1 } ≜ M i ， i = 1 ， 2. (5) 故对上述的正数 ε ，存在 K 1 > 0 ，当 n ≥ K 1 时，有 x i ( n ) ≤ M i + ε ， i = 1 ， 2. (6) 将上式代入模型(2)的后两个方程可得 u i ( n + 1 ) ≤ ( 1 − e i l ) u i ( n ) + d i ( n ) ( M i + ε ) ， i = 1 ， 2. 利用引理2.3，则有 lim sup n → + ∞ u i ( n ) ≤ d i u ( M i + ε ) e i l ， i = 1 ， 2. 对于上面的不等式，因为 ε 的任意性，可令 ε → 0 ，从而得到 lim sup n → + ∞ u i ( n ) ≤ d i u M i e i l = d e f N i ，     i = 1 ， 2. (7) 显然，存在 K 2 > K 1 ，且满足当 n ≥ K 2 时， u i ( n ) ≤ N i + ε ，     i = 1 ， 2. (8) 将(6)和(8)代入模型(2)的第一个方程可得 x 1 ( n + 1 ) ≥ x 1 ( n ) exp { r 1 ( n ) − a 1 ( n ) x 1 ( n ) − b 1 ( n ) x 2 ( n ) α 1 ( n ) + γ 1 ( n ) x 2 ( n ) − c 1 ( n ) u 1 ( n ) } ≥ x 1 ( n ) exp { r 1 l − a 1 u x 1 ( n ) − b 1 u ( M 2 + ε ) α 1 l + γ 1 l ( M 2 + ε ) − c 1 u ( N 1 + ε ) } = x 1 ( n ) exp { A 1 ε − a 1 u x 1 ( n ) } ， ( n ≥ K 2 ) (9) 其中 A 1 ε = r 1 l − b 1 u ( M 2 + ε ) α 1 l + γ 1 l ( M 2 + ε ) − c 1 u ( N 1 + ε ) 。应用引理2.2有 lim inf n → + ∞ x 1 ( n ) ≥ min { A 1 ε a 1 u exp ( A 1 ε − a 1 u M 1 ) ， A 1 ε a 1 u } 在上面的不等式中，令 ε → 0 得到 lim inf n → + ∞ x 1 ( n ) ≥ min { A 1 a 1 u exp ( A 1 − a 1 u M 1 ) ， A 1 a 1 u } ≜ m 1 (10) 其中 A 1 = r 1 l − b 1 u M 2 α 1 l + γ 1 l M 2 − c 1 u N 1 。 类似可得，当 n ≥ K 2 时， lim inf n → + ∞ x 2 ( n ) ≥ min { A 2 a 2 u exp ( A 2 − a 2 u M 2 ) ， A 2 a 2 u } ≜ m 2 (11) 其中 A 2 = r 2 l − b 2 u M 1 α 2 l + γ 2 l M 1 − c 2 u N 2 。 由(10) (11)知，对任意的 ε > 0 ，存在 K 3 > K 2 ，当 n ≥ K 3 时，有 x i ( n ) ≥ m i − ε ，     i = 1 ， 2 (12) 将(12)代入系统(2)的后两个方程可得，当 n ≥ K 3 时， u i ( n + 1 ) ≥ ( 1 − e i u ) u i ( n ) + d i ( n ) ( m i − ε ) . 利用引理2.4，则有 lim inf n → + ∞ u i ( n ) ≥ d i l ( m i − ε ) e i u ，     i = 1 ， 2. 令 ε → 0 得到 lim inf n → + ∞ u i ( n ) ≥ d i l m i e i u = d e f n i ，     i = 1 ， 2. (13) 由(5) (7) (10) (11)及(13)可知，系统(2)是永久持续生存的。证毕。 定理2.2 设(H 2 ) λ 1 μ 1 − λ 1 b 1 u β 1 u M 2 E 1 2 − λ 2 b 2 u α 2 u E 2 2 − λ 2 b 2 u γ 2 u M 2 E 2 2 − λ 3 d 1 u > 0 ， λ 2 μ 2 − λ 2 b 2 u γ 2 u M 1 E 2 2 − λ 1 b 1 u α 1 u E 1 2 − λ 1 b 1 u β 1 u M 1 E 1 2 − λ 4 d 2 u > 0 ， λ 3 e 1 l − λ 1 c 1 u > 0 ， λ 4 e 2 l − λ 2 c 2 u > 0 ， 其中 μ i = min { a i l ， 2 M i − a i u } ， E i = α i l + β i l m 1 + γ i l m 2 ， i = 1 ， 2 。 若(H 1 )和(H 2 )同时成立，则对系统(2)的任意两个正解 ( x 1 ( n ) ， x 2 ( n ) ， u 1 ( n ) ， u 2 ( n ) ) T 和 ( x 1 ∗ ( n ) ， x 2 ∗ ( n ) ， u 1 ∗ ( n ) ， u 2 ∗ ( n ) ) T ，必满足 lim n → + ∞ | x i ( n ) − x i ∗ ( n ) | = 0 ， lim n → + ∞ | u i ( n ) − u i ∗ ( n ) | = 0 ， i = 1 ， 2. 即系统(2)具有全局吸引性。 证明 由(H 2 )，存在常数 δ > 0 及充分小的正数 ε ，使下列成立 λ 1 μ 1 ε − λ 1 b 1 u β 1 u ( M 2 + ε ) E 1 ε 2 − λ 2 b 2 u α 2 u E 2 ε 2 − λ 2 b 2 u γ 2 u ( M 2 + ε ) E 2 ε 2 − λ 3 d 1 u > δ ， λ 2 μ 2 ε − λ 2 b 2 u γ 2 u ( M 1 + ε ) E 2 ε 2 − λ 1 b 1 u α 1 u E 1 ε 2 − λ 1 b 1 u β 1 u ( M 1 + ε ) E 1 ε 2 − λ 4 d 2 u > δ ， λ 3 e 1 l − λ 1 c 1 u > δ ， λ 4 e 2 l − λ 2 c 2 u > δ ， 其中 μ i ε = min { a i l ， 2 M i + ε − a i u } ， E i ε = α i l + β i l ( m 1 − ε ) + γ i l ( m 2 − ε ) ， i = 1 ， 2 。 对上述 ε ，根据定理3.1，对系统(2)的任意正解 ( x 1 ( n ) ， x 2 ( n ) ， u 1 ( n ) ， u 2 ( n ) ) T 和 ( x 1 ∗ ( n ) ， x 2 ∗ ( n ) ， u 1 ∗ ( n ) ， u 2 ∗ ( n ) ) T ，存在常数 T 1 > 0 ，对 n ≥ T 1 和 i = 1 ， 2 有 m i − ε ≤ x i ( n ) ， x i ∗ ( n ) ≤ M i + ε ， n i − ε ≤ u i ( n ) ， u i ∗ ( n ) ≤ N i + ε . 定义 V 1 ( n ) = | ln x 1 ( n ) − ln x 1 ∗ ( n ) | 则由模型(2)的第一个方程可得 V 1 ( n + 1 ) = | ln x 1 ( n + 1 ) − ln x 1 ∗ ( n + 1 ) |   ≤ | ln x 1 ( n ) − ln x 1 ∗ ( n ) − a 1 ( n ) ( x 1 ( n ) − x 1 ∗ ( n ) ) | + b 1 ( n ) | x 2 ( n ) α 1 ( n ) + β 1 ( n ) x 1 ( n ) + γ 1 ( n ) x 2 ( n ) − x 2 ∗ ( n ) α 1 ( n ) + β 1 ( n ) x 1 ∗ ( n ) + γ 1 ( n ) x 2 ∗ ( n ) | + c 1 ( n ) | u 1 ( n ) − u 1 ∗ ( n ) | . 由微分中值定理得 ln x 1 ( n ) − ln x 1 ∗ ( n ) = 1 θ 1 ( n ) ( x 1 ( n ) − x 1 ∗ ( n ) ) ， 这里 θ 1 ( n ) 位于 x 1 ( n ) 和 x 1 ∗ ( n ) 之间。从而，有 Δ V 1 ( n ) ≤ − ( 1 θ 1 ( n ) − | 1 θ 1 ( n ) − a 1 ( n ) | ) | x 1 ( n ) − x 1 ∗ ( n ) | + b 1 ( n ) α 1 ( n ) B 1 | x 2 ( n ) − x 2 ∗ ( n ) | + b 1 ( n ) β 1 ( n ) x 2 ( n ) B 1 | x 1 ( n ) − x 1 ∗ ( n ) | + b 1 ( n ) β 1 ( n ) x 1 ( n ) B 1 | x 2 ( n ) − x 2 ∗ ( n ) | + c 1 ( n ) | u 1 ( n ) − u 1 ∗ ( n ) | ≤ − min { a 1 l ， 2 M 1 + ε − a 1 u } | x 1 ( n ) − x 1 ∗ ( n ) | + b 1 u α 1 u E 1 ε 2 | x 2 ( n ) − x 2 * ( n ) | + b 1 u β 1 u ( M 2 + ε ) E 1 ε 2 | x 1 ( n ) − x 1 ∗ ( n ) | + b 1 u β 1 u ( M 1 + ε ) E 1 ε 2 | x 2 ( n ) − x 2 ∗ ( n ) | + c 1 ( n ) | u 1 ( n ) − u 1 ∗ ( n ) | ， (14) 其中 B 1 = ( α 1 ( n ) + β 1 ( n ) x 1 ( n ) + γ 1 ( n ) x 2 ( n ) ) ( α 1 ( n ) + β 1 ( n ) x 1 ∗ ( n ) + γ 1 ( n ) x 2 ∗ ( n ) ) 。 定义 V 2 ( n ) = | ln x 2 ( n ) − ln x 2 ∗ ( n ) | . 与(14)的证明类似 (15) 这里 θ 2 ( n ) 位于 x 2 ( n ) 和 x 2 ∗ ( n ) 之间， B 2 = ( α 2 ( n ) + β 2 ( n ) x 1 ( n ) + γ 2 ( n ) x 2 ( n ) ) ( α 2 ( n ) + β 2 ( n ) x 1 ∗ ( n ) + γ 2 ( n ) x 2 ∗ ( n ) ) . 定义 W i ( n ) = | u i ( n ) − u i ∗ ( n ) | ， i = 1 ， 2. 则 Δ W i ( n ) ≤ − e i ( n ) | u i ( n ) − u i ∗ ( n ) | + d i ( n ) | x i ( n ) − x i ∗ ( n ) | ≤ − e i l | u i ( n ) − u i ∗ ( n ) | + d i u | x i ( n ) − x i ∗ ( n ) | . (16) 构造李雅普诺夫(Lyapunov)函数 V ( n ) = λ 1 V 1 ( n ) + λ 2 V 2 ( n ) + λ 3 W 1 ( n ) + λ 4 W 2 ( n ) . 由(14) (15) (16)可知，对于任意的 n ≥ T 1 Δ V ( n ) ≤ − ( λ 1 μ 1 ε − λ 1 b 1 u β 1 u ( M 2 + ε ) E 1 ε 2 − λ 2 b 2 u α 2 u E 2 ε 2 − λ 2 b 2 u γ 2 u ( M 2 + ε ) E 2 ε 2 − λ 3 d 1 u ) | x 1 ( n ) − x 1 ∗ ( n ) | − ( λ 2 μ 2 ε − λ 2 b 2 u γ 2 u ( M 1 + ε ) E 2 ε 2 − λ 1 b 1 u α 1 u E 1 ε 2 − λ 1 b 1 u β 2 u ( M 1 + ε ) E 1 ε 2 − λ 4 d 2 u ) | x 2 ( n ) − x 2 ∗ ( n ) | − ( λ 3 e 1 l − λ 1 c 1 u ) | u 1 ( n ) − u 1 ∗ ( n ) | − ( λ 4 e 2 l − λ 2 c 2 u ) | u 2 ( n ) − u 2 ∗ ( n ) | ≤ − δ ( | x 1 ( n ) − x 1 ∗ ( n ) | + | x 2 ( n ) − x 2 ∗ ( n ) | + | u 1 ( n ) − u 1 ∗ ( n ) | + | u 2 ( n ) − u 2 ∗ ( n ) | ) . 把上面的不等式两边同时从 T 1 到k相加，可得 ∑ n = T 1 k ( V ( n + 1 ) − V ( n ) ) ≤ − δ ∑ n = T 1 k ( | x 1 ( n ) − x 1 ∗ ( n ) | + | x 2 ( n ) − x 2 ∗ ( n ) | + | u 1 ( n ) − u 1 ∗ ( n ) | + | u 2 ( n ) − u 2 ∗ ( n ) | )   ， 从而 V ( k + 1 ) + δ ∑ n = T 1 k ( | x 1 ( n ) − x 1 ∗ ( n ) | + | x 2 ( n ) − x 2 ∗ ( n ) | + | u 1 ( n ) − u 1 ∗ ( n ) | + | u 2 ( n ) − u 2 ∗ ( n ) | ) ≤ V ( T 1 ) ， 即 ∑ n = T 1 k ( | x 1 ( n ) − x 1 ∗ ( n ) | + | x 2 ( n ) − x 2 ∗ ( n ) | + | u 1 ( n ) − u 1 ∗ ( n ) | + | u 2 ( n ) − u 2 ∗ ( n ) | ) ≤ V ( T 1 ) δ . 因此， ∑ n = T 1 + ∞ ( | x 1 ( n ) − x 1 ∗ ( n ) | + | x 2 ( n ) − x 2 ∗ ( n ) | + | u 1 ( n ) − u 1 ∗ ( n ) | + | u 2 ( n ) − u 2 ∗ ( n ) | ) ≤ V ( T 1 ) δ < + ∞ ， 由此可得 lim n → + ∞ ( | x 1 ( n ) − x 1 ∗ ( n ) | + | x 2 ( n ) − x 2 ∗ ( n ) | + | u 1 ( n ) − u 1 ∗ ( n ) | + | u 2 ( n ) − u 2 ∗ ( n ) | ) = 0. 故 lim n → + ∞ | x i ( n ) − x i ∗ ( n ) | = 0 ， lim n → + ∞ | u i ( n ) − u i ∗ ( n ) | = 0 ， i = 1 ， 2. 证毕。