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user: 4. 数值实验 在这一节中，我们给出了一些数值例子，以便更好地解释使用不同的初始条件和参数的上述分析结果。 例1 考虑以下形式的Brusselator模型 [ 3 ]： { ∂ u ∂ t = Δ u 1 u − ( β + 1 ) u + u 2 v + α ， ( x ， t ) ∈ Ω × [ 0 ， T ] ∂ v ∂ t = Δ u 2 v + β u − u 2 v ， ( x ， t ) ∈ Ω × [ 0 ， T ] ∂ u ∂ n = ∂ v ∂ n = 0 ， ( x ， t ) ∈ ∂ Ω × [ 0 ， T ] u ( x ， 0 ) = ψ 1 ( x ) ， v ( x ， 0 ) = ψ 2 ( x ) ， x ∈ Ω (12) 这里 α ， β > 0 ， u 1 ， u 2 为常数， t ∈ R + 为时间变量， x ， y ∈ R 是空间变量， u ， v 是t与 x ， y 的函数。其中 u 1 = 0.0025 ， u 2 = 0.0032 ， α = 2 ， β = 1 ， v = o n e s ( N ) ，固定一个初始条件，当u变化时模拟的结果见图1~10，具体初始条件见表1。 例2：考虑以下形式的Brusselator模型 [ 3 ]： { ∂ u ∂ t = Δ ( u 11 u + u 12 v ) − ( β + 1 ) u + u 2 v + α ， ( x ， t ) ∈ Ω × [ 0 ， T ] ∂ v ∂ t = Δ ( u 21 u + u 22 v ) + β u − u 2 v ， ( x ， t ) ∈ Ω × [ 0 ， T ] ∂ u ∂ n = ∂ v ∂ n = 0 ， ( x ， t ) ∈ ∂ Ω × [ 0 ， T ] u ( x ， 0 ) = ψ 1 ( x ) ， v ( x ， 0 ) = ψ 2 ( x ) ， x ∈ Ω (13) 这里 α ， β > 0 ， u 11 ， u 12 ， u 21 ， u 22 为常数， t ∈ R + 为时间变量， x ， y ∈ R 是空间变量， u ， v 是t与 x ， y 的函数。其中 u 11 = 0.4 ， u 12 = 22.2665 ， u 21 = 0.02 ， u 22 = 2 ， α = 6 ， β = 1 ；本文方法得到的数值结果见图11~22，具体的初始条件见表2。 图1. 例1初始条件为 u = sin ( 1000000 ( ( x − 1 / 3 ) 2 − ( y − 1 / 2 ) 2 ) ) 的数值解 图2. 例1初始条件为 u = sin ( 1000000 ( ( x − 1 / 3 ) 2 − ( y − 1 / 2 ) 2 ) ) 的斑图 图3. 例1初始条件是 u = sin ( 1000 ( ( x − 1 / 3 ) 2 − ( y − 1 / 2 ) 2 ) ) 的数值解 图4. 例1初始条件是 u = sin ( 1000 ( ( x − 1 / 3 ) 2 − ( y − 1 / 2 ) 2 ) ) 的斑图 图5. 例1初始条件是 u = sech ( 100 ( ( x − 1 / 3 ) 2 − ( y − 1 / 2 ) 2 ) ) 的数值解 图6. 例1初始条件是 u = sech ( 100 ( ( x − 1 / 3 ) 2 − ( y − 1 / 2 ) 2 ) ) 的的斑图 图7. 例1初始条件是 u = sech ( x 2 / 0.02 − 2 π y 2 / 0.01 ) 的数值解 图8. 例1初始条件是 u = sech ( x 2 / 0.02 − 2 π y 2 / 0.01 ) 的斑图 图9. 例1初始条件是 u = 12 / 25 + sin ( π x 2 − 510 ) + cos ( π y − 220 ) 的数值解 图10. 例1初始条件是 u = 12 / 25 + sin ( π x 2 − 510 ) + cos ( π y − 220 ) 的斑图 Table 1 The different initial conditions corresponding to the numerical solution and pattern in example 1 are shown in Figures 1-1 图 u ( x ， y ， 0 ) 图1和图2 u = sin ( 1000000 ( ( x − 1 / 3 ) 2 − ( y − 1 / 2 ) 2 ) ) 图3和图4 u = sin ( 1000 ( ( x − 1 / 3 ) 2 − ( y − 1 / 2 ) 2 ) ) 图5和图6 u = sech ( 100 ( ( x − 1 / 3 ) 2 − ( y − 1 / 2 ) 2 ) ) 图7和图8 u = sech ( x 2 / 0.02 − 2 π y 2 / 0.01 ) 图9和图10 u = 12 / 25 + sin ( π x 2 − 510 ) + cos ( π y − 220 ) 表1. 例1中数值解和斑图所对应的不同的初始条件在图1~10 图11. 图为例2初始条件是 u = cos ( − π ( ( x − 0.4 ) 2 + ( y + 0.4 ) 2 ) ) + e − sin ( ( x + 0.4 ) 2 + ( y − 0.4 ) 2 ) 的数值解 图12. 例2初始条件是 u = cos ( − π ( ( x − 0.4 ) 2 + ( y + 0.4 ) 2 ) ) + e − sin ( ( x + 0.4 ) 2 + ( y − 0.4 ) 2 ) 的斑图 图13. 例2初始条件是 u = sin ( π ( ( x − 0.4 ) 2 + ( y + 0.4 ) 2 ) ) − sin ( e ( x + 0.4 ) 2 + ( y − 0.4 ) 2 ) 的数值解 图14. 图为例2初始条件是 u = sin ( π ( ( x − 0.4 ) 2 + ( y + 0.4 ) 2 ) ) − sin ( e ( x + 0.4 ) 2 + ( y − 0.4 ) 2 ) 的斑图 图15. 例2初始条件是 u = sech ( π ( − x 2 + y 2 ) ) 的数值解 图16. 图为例2初始条件是 u = sech ( π ( − x 2 + y 2 ) ) 的斑图 图17. 例2初始条件是 u = sin ( π ( − x 2 − y 2 ) ) 的数值解 图18. 图为例2初始条件是 u = sin ( π ( − x 2 − y 2 ) ) 的斑图 图19. 例2初始条件是 u = 12 / 25 − sin ( 10 x 2 − 510 ) + sin ( π y − 220 ) 的数值解 图20. 图为例2初始条件是 u = 12 / 25 − sin ( 10 x 2 − 510 ) + sin ( π y − 220 ) 的斑图 图21. 例2初始条件是 u = 12 / 25 − sin ( π x 2 − 510 ) + sin ( cos ( x 2 + y 2 − 22 ) ) 的数值解 图22. 图为例2初始条件是 u = 12 / 25 − sin ( π x 2 − 510 ) + sin ( cos ( x 2 + y 2 − 22 ) ) 的斑图 Table 2 The different initial conditions corresponding to the numerical solution and pattern in example 2 are shown in Figures 11-2 图 u ( x ， y ， 0 ) 图11和图12 u = cos ( − π ( ( x − 0.4 ) 2 + ( y + 0.4 ) 2 ) ) + e − sin ( ( x + 0.4 ) 2 + ( y − 0.4 ) 2 ) 图13和图14 u = sin ( π ( ( x − 0.4 ) 2 + ( y + 0.4 ) 2 ) ) − sin ( e ( x + 0.4 ) 2 + ( y − 0.4 ) 2 ) 图15和图16 u = sech ( π ( − x 2 + y 2 ) ) 图17和图18 u = sin ( π ( − x 2 − y 2 ) ) 图19和图20 u = 12 / 25 − sin ( 10 x 2 − 510 ) + sin ( π y − 220 ) 图21和图22 u = 12 / 25 − sin ( π x 2 − 510 ) + sin ( cos ( x 2 + y 2 − 22 ) ) 表2. 例2中数值解和斑图所对应的不同的初始条件在图 11~22