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user: 3. 主要结论 3.1. 弱解的存在性 定理1若 u 0 ∈ S 2 ， u 1 ， θ 0 ∈ H 0 1 ( 0 ， L ) ，且假设(h1)~(h4)成立，则存在 使得 u ∈ L ∞ ( 0 ， T ; S 2 ) ， u t ∈ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ) ， θ ∈ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ) ， T > 0 。且在下述定义下满足方程(1)，即对几乎处处的 t ∈ ( 0 ， T ) 有 { d d t ( u t ， ω ) + ( u x x ， ω x x ) − ∫ 0 t k 1 ( t − τ ) ( u x x ， ω x x ) d τ + M ( ‖ u x ( t ) ‖ 2 2 ) ( u x ， ω x ) + α ( θ x x ， ω ) = ( q ( x ) ， ω ) d d t ( θ ， ω ˜ ) + ( θ x ， ω ˜ x ) + ∫ 0 t k 2 ( t − τ ) ( θ x ， ω ˜ x ) d τ − α ( u x x t ， ω ˜ ) = 0 ， ∀ ω ∈ S 2 ， ω ˜ ∈ H 0 1 (5) 证明：1) 构造近似解：设 { ω j } j = 1 ∞ 和 分别是 S 2 和 H 0 1 的标准正交基，使得 u 0 ， u 1 ∈ s p a n { ω 1 ， ω 2 } ， θ 0 = ω ˜ 1 ，记 u m ( x ， t ) = ∑ j = 1 m r j ( t ) ω j ( x ) ， θ m ( t ) = ∑ j = 1 m h j ( t ) ω ˜ j ( x ) 其中 r j ( t ) ， h j ( t ) 为未知函数，仿(5)作如下关于 u m ( x ， t ) 的方程组 { ( u t t m ， ω j ) + ( u x x m ， ω j x x ) − ∫ 0 t k 1 ( t − τ ) ( u x x m ， ω j x x ) d τ + M ( ‖ u x m ( t ) ‖ 2 2 ) ( u x m ， ω j x ) + α ( θ x x m ， ω j ) = ( q ( x ) ， ω j ) ( θ t m ， ω ˜ j ) + ( θ x m ， ω ˜ j x ) + ∫ 0 t k 2 ( t − τ ) ( θ x m ， ω ˜ j x ) d τ − α ( u x x t m ， ω ˜ j ) = 0 (6) 另外有 { u m ( x ， 0 ) = u 0 m → u 0 ∈ S 2 u t m ( x ， 0 ) = u 1 m → u 1 ∈ L 2 θ m ( x ， 0 ) = θ 0 m → θ 0 ∈ L 2 (7) 根据常微分的解的存在唯一性理论可知，方程(6) (7)存在唯一解，下面进行先验估计。 2) 先验估计 以下讨论中C表示与 m ， T 无关的常数，它在不同的地方代表不同的表达式中可能有不同的值。 记 ( k ∘ φ ) ( t ) = ∫ 0 t k ( t − τ ) ∫ 0 L | φ ( t ) − φ ( τ ) | d x d τ (8) 令方程组(6)中两式分别与 r j t 和 h j 做积，并对 j = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， m 求和，得 ( u t t m ， u t m ) + ( u x x m ， u t x x m ) − ∫ 0 t k 1 ( t − τ ) ( u x x m ( τ ) ， u t x x m ( t ) ) d τ   + M ( ‖ u x m ( t ) ‖ 2 2 ) ( u x m ， u t x m ) + α ( θ x x m ， u t m ) = ( q ( x ) ， u t m ) (9) ( θ t m ， θ m ) + ( θ x m ， θ x m ) + ∫ 0 t k 2 ( t − τ ) ( θ x m ( τ ) ， θ x m ( t ) ) d τ − α ( u x x t m ， θ x m ) = 0 (10) 两式相加，并从0到t积分所得两式相加，由假设(h1)及(8)式，得 F m ( t ) + ( k 1 ∘ u x x m ) ( t ) + ∫ 0 t [ k 1 ( s ) ‖ u x x m ‖ 2 2 − ( k ′ 1 ∘ u x x m ) ( s ) ] d s   + 2 ∫ 0 t [ ∫ 0 s k 2 ( s − τ ) ( θ x m ( τ ) ， θ x m ( s ) ) d τ ] d s + 2 ∫ 0 t ‖ θ x m ( s ) ‖ 2 2 d s = F m ( 0 ) + ∫ 0 t ( q ( x ) ， u t m ) d s (11) 其中 F m ( t ) = ‖ u t m ‖ 2 2 + ‖ u x x m ‖ 2 2 + M ^ ( ‖ u x m ‖ 2 2 ) + ‖ θ m ‖ 2 2 − ∫ 0 t k 1 ( s ) d s ‖ u x x m ‖ 2 2 F m ( 0 ) = ‖ u 1 m ‖ 2 2 + ‖ u 0 x x m ‖ 2 2 + M ^ ( ‖ u 0 x m ‖ 2 2 ) + ‖ θ 0 m ‖ 2 2 − ∫ 0 t k 1 ( s ) d s ‖ u 0 x x m ‖ 2 2 结合假设(h3)，由Schwarz不等式和Young不等，得到 | ∫ 0 s k 2 ( s − τ ) ( θ x m ( τ ) ， θ x m ( s ) ) d τ | = | ∫ 0 L ∫ 0 s k 2 ( s − τ ) θ x m ( τ ) θ x m ( s ) d τ d x | ≤ η ‖ θ x m ( s ) ‖ 2 2 + 1 4 η ∫ 0 L [ ∫ 0 s k 2 ( s − τ ) θ x m ( τ ) d τ ] 2 d x ≤ η ‖ θ x m ( s ) ‖ 2 2 + 1 4 η ∫ 0 s k 2 ( τ ) d τ ∫ 0 s k 2 ( s − τ ) ∫ 0 L | θ x m ( τ ) | 2 d x d τ ≤ η ‖ θ x m ( s ) ‖ 2 2 + ( 1 − l ) k 2 ( 0 ) 4 η ∫ 0 s ‖ θ x m ( τ ) ‖ 2 2 d τ (12) 其中 0 < η < 1 。则 | 2 ∫ 0 t [ ∫ 0 s k 2 ( s − τ ) ( θ x m ( τ ) ， θ x m ( s ) ) d τ ] d s | ≤ 2 η ∫ 0 t ‖ θ x m ( s ) ‖ 2 2 d s (13) 由假设(h4)，得 2 ∫ 0 t ( q ( x ) ， u t m ( s ) ) d s ≤ 2 ∫ 0 t [ ‖ q ( x ) ‖ ⋅ ‖ u t m ( s ) ‖ ] d s ≤ ‖ q ( x ) ‖ 2 2 + ∫ 0 t F m ( s ) d s (14) 由(12)~(14)，得 F m ( t ) + 2 ( 1 − η ) ∫ 0 t ‖ θ x m ( s ) ‖ 2 2 d s ≤ F m ( 0 ) + ‖ q ( x ) ‖ 2 2 + C ∫ 0 t F m ( s ) d s (15) 故由Gronwall引理可得 F m ( t ) + 2 ( 1 − η ) ∫ 0 t ‖ θ x m ( s ) ‖ 2 d s ≤ ( F m ( 0 ) + ‖ q ( x ) ‖ 2 2 ) e C t 因此得到 ‖ u t m ‖ ≤ C ， ‖ u x x m ‖ ≤ C ， ‖ θ m ‖ ≤ C ， ∫ 0 t ‖ θ x m ( s ) ‖ 2 2 d s < C . 由于上述关于t一致有界，故对 ∀ T ， t ∈ ( 0 ， T ) 内均成立。由Poincare不等式可得 ‖ u m ‖ ≤ C 。 3) 收敛： u m → u 在 L ∞ ( 0 ， T ; S 2 ) 弱*收敛 u t m → u t 在 L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ) 弱*收敛 θ m → θ 在 L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ) 弱*收敛 ∫ 0 t ‖ θ x m ( s ) ‖ 2 2 d s 在 L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ) 弱*收敛 u m → u 在 L 2 ( 0 ， T ) 中强收敛且几乎处处收敛 对 ∀ φ ∈ L 1 ( 0 ， T ) ，有 ω φ ∈ L 1 ( 0 ， T ; L 2 ) ，那么有 ∫ 0 T ( u x x m ， ω x x ) φ d t = ∫ 0 T ∫ 0 L u x x m ω x x φ d x d t = ∫ 0 T ( u m ， ω x x x x φ ) d t → ∫ 0 T ( u ， ω x x x x φ ) d t = ∫ 0 T ( u x x ， ω x x ) φ d t 即 ( u x x m ， ω x x ) → ( u x x ， ω x x ) 在 L ∞ ( 0 ， T ) 弱*收敛。 ∫ 0 T ( θ x m ， ω ˜ x ) φ d t = ∫ 0 T ∫ 0 L θ x m ω ˜ x φ d x d t = ∫ 0 T ( θ m ， ω ˜ x x φ ) d t → ∫ 0 T ( θ ， ω ˜ x x φ ) d t = ∫ 0 T ( θ x ， ω ˜ x ) φ d t 即 ( θ x m ， ω x ) → ( θ x ， ω x ) 在 L ∞ ( 0 ， T ) 弱*收敛。 同理可得 ∫ 0 t k 1 ( t − τ ) ( u x x m ， ω x x ) d τ → ∫ 0 t k 1 ( t − τ ) ( u x x ， ω x x ) d τ 在 L ∞ ( 0 ， T ) 弱*收敛。 M ( ‖ u t m ( t ) ‖ 2 2 ) ( u x m ， ω x ) → M ( ‖ u x ( t ) ‖ 2 2 ) ( u x ， ω x ) 在 L ∞ ( 0 ， T ) 弱*收敛。 由以上可知 { ( u t t ， ω ) + ( u x x ， ω x x ) − ∫ 0 t k 1 ( t − τ ) ( u x x ， ω x x ) d τ + M ( ‖ u x ( t ) ‖ 2 2 ) ( u x ， ω x ) = q ( L ) ( θ t ， ω ˜ ) + ( θ x ， ω ˜ x ) − ∫ 0 t k 2 ( t − τ ) ( θ x ， ω ˜ x ) d τ = 0 (16) 成立。定理1证毕。 定理2设 ( u ， θ ) ， ( v ， η ) 是方程(5)的两个解，且 u ， v ∈ L ∞ ( 0 ， T ; S 2 ) ， θ ， η ∈ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ) ， u t ， v t ∈ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ) ，以及假设 ( u ， θ ) ， ( v ， η ) 满足初始条件： u ( x ， 0 ) = u 0 ， u t ( x ， 0 ) = u 1 ， ， v ( x ， 0 ) = v 0 ， v t ( x ， 0 ) = v 1 ， η ( x ， 0 ) = η 0 及 u 0 ， v 0 ∈ S 2 ， θ 0 ， η 0 ∈ L 2 且 u 1 ， v 1 ∈ L 2 ， u 0 ， v 0 ∈ S 2 ，令 ( z ， λ ) = ( u − v ， θ − η ) ，则有 { ( z t t ， ω j ) + ( z x x ， ω j x x ) − ∫ 0 t k 1 ( t − τ ) ( z x x ， ω j x x ) d τ + M ( ‖ z x ( t ) ‖ 2 2 ) ( z x ， ω j x ) + α ( γ x x ， ω j ) = 0 ( γ t ， ω ˜ j ) + ( γ x ， ω ˜ j x ) + ∫ 0 t k 2 ( t − τ ) ( γ x ， ω ˜ j x ) d τ − α ( z t x x ， ω ˜ j ) = 0 证明:与定理1先验估计类似，可得到 ‖ z t ‖ 2 2 + ‖ z x x ‖ 2 2 + ‖ λ ‖ 2 2 ≤ { ‖ u 1 − v 1 ‖ 2 2 + ‖ u 0 x x − v 0 x x ‖ 2 2 + ‖ θ 0 − η 0 ‖ 2 2 } e C t (17) 其中C是关于 ‖ u 1 ‖ ， ‖ v 1 ‖ ， ‖ u 0 x x ‖ ， ‖ v 0 x x ‖ ， ‖ θ 0 ‖ ， ‖ η 0 ‖ 的连续函数。 推论方程(1)-(3)的解是唯一的。 证明:由(17)得，当 u 0 = v 0 ， u 1 = v 1 ， θ 0 = η 0 时，得到 ‖ z t ‖ 2 2 + ‖ z x x ‖ 2 2 + ‖ λ ‖ 2 2 ≤ 0 ，则有 ‖ z t ‖ = 0 ， ‖ z x x ‖ = 0 ， ‖ λ ‖ = 0 ，从而有 u = v ， θ = η 。解的唯一性得证。 3.2. 正则性 本节我们假设 (h5) k 1 ( 0 ) = 0 ， k ′ 1 ( 0 ) = 0 ， k ′ 2 ( t ) ≤ 0 ， k ″ 2 ( t ) ≥ 0 。 定理3若 u 0 ∈ S 1 ， u 1 ， θ 0 ∈ S 2 ，且假设(h1)—(h5)成立，则存在唯一的函数 u ≡ u ( x ， t ) ， θ ≡ θ ( x ， t ) 使得 u ∈ L ∞ ( 0 ， T ; S 1 ) ， u t ∈ L ∞ ( 0 ， T ; S 2 ) ， u t t ∈ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ( 0 ， L ) ) ， θ ∈ L ∞ ( 0 ， T ; S 2 ) ， θ t ∈ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ( 0 ， L ) ) ， T > 0 。且在下述定义下满足方程(1)，即对几乎处处的 t ∈ ( 0 ， t ) 有 { ( u t t ， ω ) + ( u x x ， ω x x ) − ∫ 0 t k 1 ( t − τ ) ( u x x ， ω x x ) d τ + M ( ‖ u x ( t ) ‖ 2 2 ) ( u x ， ω x ) + α ( θ x x ， ω ) = ( q ( x ) ， ω ) ( θ t ， ω ˜ ) + ( θ x ， ω ˜ x ) + ∫ 0 t k 2 ( t − τ ) ( θ x ， ω ˜ x ) d τ − α ( u x x t ， ω ˜ ) = 0 ∀ ω ∈ S 1 ， ω ˜ ∈ S 2 (18) 证明：1) 构建近似解:设 { ω j } j = 1 ∞ 和 { ω ˜ j } j = 1 ∞ 分别是 S 1 和 S 2 的标准正交基，使得 u 0 ， u 1 ∈ s p a n { ω 1 ， ω 2 } ， θ 0 = ω ˜ 1 ，记 u m ( x ， t ) = ∑ j = 1 m r j ( t ) ω j ( x ) ， θ m ( t ) = ∑ j = 1 m h j ( t ) ω ˜ j ( x ) 其中 r j ( t ) ， h j ( t ) 为未知函数，仿(5)作如下关于 u m ( x ， t ) 的方程组 { ( u t t m ， ω j ) + ( u x x x x m ， ω j ) − ∫ 0 t k 1 ( t − τ ) ( u x x x x m ， ω j ) d τ − M ( ‖ u x m ( t ) ‖ 2 2 ) ( u x x m ， ω j ) + α ( θ x x m ， ω j ) = ( q ( x ) ， ω j ) ( θ t m ， ω ˜ j ) − ( θ x x m ， ω ˜ j ) − ∫ 0 t k 2 ( t − τ ) ( θ x x m ， ω ˜ j ) d τ − α ( u x x t m ， ω ˜ j ) = 0 (19) 另外有 (20) 根据常微分的解的存在唯一性理论可知，方程(19) (20)存在唯一解，下面进行先验估计。 2) 先验估计 与之前一样可得 ‖ u t m ‖ ≤ C ， ‖ u x x m ‖ ≤ C ， ‖ θ m ‖ ≤ C 。 将 r j = r j t t ( 0 ) ， h j = h j t ( 0 ) 两式分别与方程组(19)中两式做积，对 j = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， m 求和后，得 ‖ u t t m ( 0 ) ‖ 2 2 + ( u x x x x m ( 0 ) ， u t t m ( 0 ) ) − M ( ‖ u x m ( 0 ) ‖ 2 2 ) ( u x x m ( 0 ) ， u t t m ( 0 ) ) + α ( θ x x m ( 0 ) ， u t t m ( 0 ) ) = ( q ( x ) ， u t t m ( 0 ) ) (21) ‖ θ t m ( 0 ) ‖ 2 2 + ( θ x x m ( 0 ) ， θ t m ( 0 ) ) − α ( u x x t m ( 0 ) ， θ t m ( 0 ) ) = 0 (22) 结合假设(h4)应用Schwarz不等式，得 ‖ u t t m ( 0 ) ‖ 2 2 ≤ [ ‖ u 0 x x x x m ‖ + M ( ‖ u 0 x m ‖ 2 2 ) ‖ u 0 x x m ‖ + α ‖ θ 0 x x ‖ + ‖ q ( x ) ‖ ] ‖ u t t m ( 0 ) ‖ (23) ‖ θ t m ( 0 ) ‖ 2 2 ≤ [ ‖ θ 0 x x m ‖ + α ‖ u 1 x x m ‖ ] ‖ θ t m ( 0 ) ‖ (24) 因此得到 u t t t m + u x x x x t m − [ M ′ ( ‖ u x m ( t ) ‖ 2 2 ) + 2 M ( u x m ， u x t m ) ] u x x m − M ( ‖ u x ( t ) ‖ 2 2 ) u x x t m   − ∫ 0 t k ′ 1 ( t − τ ) u x x x x m ( τ ) d τ − k 1 ( 0 ) u x x x x t m + α θ x x t m = 0 (25) θ t t m − θ x x t m − ∫ 0 t k ′ 2 ( t − τ ) θ x x m ( τ ) d τ − k 2 ( 0 ) θ x x m − α u x x t m = 0 (26) (25) (26)两式分别与 u t t m 与 θ t m 做积，并从0到t积分，所得两式相加，结合假设(h1)及(8)式，得 F m ( t ) + 2 ∫ 0 t ∫ 0 s k ′ 1 ( s − τ ) ( u x x x m ( τ ) ， u t t x m ( s ) ) d τ d s − ( k 2 ∘ θ x m ) ( t ) + ∫ 0 t [ − k ′ 2 ( s ) ‖ θ x m ‖ 2 2 + ( k ″ 2 ∘ θ x m ) ( s ) ] d s + 2 ∫ 0 t ‖ θ x t m ‖ 2 2 d s = F m ( 0 ) + ∫ 0 t M ( || u x ( t ) || 2 2 ) ( u x x t m ， u t t m ) + [ M ′ ( ‖ u x ( t ) ‖ 2 2 ) + 2 M ( u x m ， u x t m ) ] ( u x x m ， u t t m ) d s (27) 其中 F m ( t ) = ‖ u t t m ‖ 2 2 + ‖ u x x t m ‖ 2 2 + ‖ θ t m ‖ 2 2 + ‖ θ x m ‖ 2 2 ∫ 0 t k ′ 2 ( τ ) d τ 。 由假设(h1)及定理1结论，并由Schwarz不等式和Young不等式，得到 M ( ‖ u x m ‖ 2 2 ) ( u x x t m ， u t t m ) + [ M ′ ( ‖ u x m ‖ 2 2 ) + 2 M ( u x m ， u x t m ) ] ( u x x m ， u t t m ) ≤ 1 2 σ ( ‖ u x x m ‖ 2 2 + ‖ u t t m ‖ 2 2 ) + 2 M ‖ u x m ‖ 2 2 ⋅ ‖ u x t m ‖ 2 2 ⋅ 1 2 ( ‖ u x x m ‖ 2 2 + ‖ u t t m ‖ 2 2 )         + M ( ‖ u x m ‖ 2 2 ) ⋅ 1 2 ( ‖ u x x t m ‖ 2 2 + ‖ u t t m ‖ 2 2 ) ≤ C ( ‖ u x x m ‖ 2 2 + ‖ u t t m ‖ 2 2 + ‖ u x m ‖ 2 2 + ‖ u x t m ‖ 2 2 + ‖ u x x t m ‖ 2 2 ) ≤ C F m ( t ) (28) 由假设(h5)，及并结合Schwarz不等式和Young不等式，得到 | ∫ 0 s k ′ 1 ( s − τ ) ( u x x x m ( τ ) ， u x t t m ( s ) ) d τ | ≤ | ∫ 0 L ∫ 0 s k ′ 1 ( s − τ ) u x x x m ( τ ) u x t t m ( s ) d τ d x | ≤ η ‖ u x t t m ( s ) ‖ 2 2 + 1 4 η ∫ 0 L ( ∫ 0 s k ′ 1 ( s − τ ) u x x x m ( τ ) d τ ) 2 d x ≤ η ‖ u x t t m ( s ) ‖ 2 2 + 1 4 η ∫ 0 s k ′ 1 ( τ ) d τ ∫ 0 s k ′ 1 ( s − τ ) ∫ 0 L | u x x x m ( τ ) | 2 d x ≤ η ‖ u x t t m ( s ) ‖ 2 2 + ( 1 − l ) k ′ 1 ( 0 ) 4 η ∫ 0 s ‖ u x x x m ( τ ) ‖ 2 2 d τ (29) 其中 0 < η < 1 。故 | ∫ 0 t ∫ 0 s k ′ 1 ( s − τ ) ( u x x x x m ( τ ) ， u x t t m ( s ) ) d s d τ | ≤ 2 η ∫ 0 t ‖ u x t t m ( s ) ‖ 2 2 d s ≤ 2 η ∫ 0 t ‖ F m ( s ) ‖ 2 2 d s (30) 由(28)~(31)，可得 F m ( t ) + 2 ∫ 0 t ‖ θ x t m ‖ 2 2 d s ≤ F m ( 0 ) + C ∫ 0 t F m ( s ) d s (31) 由Gronwall引理，得 F m ( t ) + 2 ∫ 0 t ‖ θ x t m ‖ 2 2 d s ≤ F m ( 0 ) e C t 因此得到 ‖ u t t m ‖ ≤ C ， ‖ u t x x m ‖ ≤ C ， ‖ θ t m ‖ ≤ C ， ∫ 0 t ‖ θ x t m ‖ 2 2 d s ≤ C 又因为 u x x m ( 0 ， t ) = u x x m ( L ， t ) = 0 ，故由罗尔中值定理，有 ∃ ξ 1 ∈ ( 0 ， L ) ，使得 u x x x m ( ξ 1 ， t ) = 0 ， 由Poincare不等式，得 ‖ u x x x m ‖ ≤ 1 2 ‖ u x x x x m ‖ < C 又因为 θ m ( 0 ， t ) = θ m ( L ， t ) = 0 ，故由罗尔中值定理，得 ∃ ξ 2 ∈ ( 0 ， 1 ) ，使得 θ x m ( ξ 1 ， t ) = 0 ， 由Poincare不等式，得 ‖ θ x m ‖ ≤ 1 2 ‖ θ x x m ‖ < C 3) 收敛性： u m → u 在 L ∞ ( 0 ， T ; S 1 ) 弱*收敛。 u t m → u t 在 L ∞ ( 0 ， T ; S 2 ) 弱*收敛。 θ m → θ 在 L ∞ ( 0 ， T ; S 2 ) 弱*收敛。 u m → u 在 H 1 ( 0 ， T ) 中强收敛且几乎处处收敛。 u t t m → u t t 在 L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ) 弱*收敛。 θ t m → θ t 在 L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ) 弱*收敛。 ∫ 0 t θ x t m d s → ∫ 0 t θ x t d s 在 L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ) 弱*收敛 θ m → θ 在 L 2 ( 0 ， T ) 中强收敛且几乎处处收敛。 由定理2的证明可证 ( u ， θ ) 满足初始条件 u ( 0 ) = u 0 ， θ ( 0 ) = θ 0 ， u t ( 0 ) = u 1 。进而可证解是唯一的。证毕。