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user: 3. 机械臂设计 3.1. 机械臂结构设计 3.1.1. 机械臂结构设计 本文设计了一款3自由度机械臂 [ 10 ]，2个旋转自由度是连接滚珠丝杆和大臂之间的旋转自由度以及大臂和小臂之间的旋转自由度；所述机械臂的滑动自由度是连接大臂和滚珠丝杆之间的滑动自由度。机械臂的具体参数如下表2所示： Table 2 Manipulator parameter tabl 自由度 机械臂 3个，包含2个转动自由度和1个移动自由度 长度(mm) 驱动 执行方式 机械臂大臂 360 电机 带传动 机械臂小臂 360 电机 带传动 机械臂抓手 80 电机 表2. 机械臂参数表 使用solidworks制图软件建立机械臂三维模型图(见下图8)。 图8. 机械臂立体示意图 机械臂的工作方式如下(图9)。 图9. 机械臂运作流程图 3.1.2. 机械臂机械手指设计 为了能够满足抓取交通锥环以及交通锥末节槽口，机械手指的形状如图10所示，抓手材料为304不锈钢，手指外钩长度为8 cm，与内钩的夹角为30˚。本次设计的专用交通锥一个的重量约为2 KG，所以单侧手指在a点处承受的压力约为10 N。手指部分最容易出现危险截面，对该手指进行有限元分析，分析结果如图11。手指材料选用304不锈钢，304不锈钢的最大屈服应力为2.068e+008 N/m 2 ，手指危险截面段即红色部分的屈服应力为1.579e+008 N/m 2 ，显然手指部分选用的材料符合设计要求。 图10. 机械手指 图11. 机械手指应力图 3.2. 运动学分析 3.2.1. D-H坐标法 D-H法 [ 11 ] 实际上就是将杆与杆之间通过数学表达式关联起来，通过建立D-H坐标系得到各个运动杆件之间的坐标关系，通过引入一系列的规则来确定固定于机器人各个连杆上的坐标系的位姿，然后构造相邻坐标系的齐次变换。通过几何学理论可以得到：空间中的两条直线m和n互为异面，m可以绕x轴旋转θ，然后绕z轴旋转α，最后在Z轴、X轴分别平移a、d，使直线m和直线l重合。用矩阵表示如下： 绕Z轴旋转θ： G 1 = [ cos θ − sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] (1) 绕X轴旋转α： G 2 = [ 1 0 0 0 0 cos α − sin α 0 0 sin α cos α 0 0 0 0 1 ] (2) 沿Z轴平移d： G 3 = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 d 0 0 0 1 ] (3) 沿X轴平移a： G 4 = [ 1 0 0 a 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] (4) 可以用矩阵 G · = G 1 G 2 G 3 G 4 ，来表示相邻两杆之间的关系，得到末端执行器相对坐标系原点的位姿 [ 12 ] ： T n m = G • G • • (5) 由式(1)、(2)、(3)、(4)可得末端执行器的位姿矩阵为： G n n − 1 = G 1 G 2 G 3 G 4 = [ cos θ − sin θ cos α sin θ sin α a cos θ sin θ cos θ cos α − cos θ sin α a sin θ 0 sin α cos α d 0 0 0 1 ] (6) 3.2.2. 运动学分析 根据机器人机构学理论 [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] 以及D-H法建立机械臂机构简图(图12)： 图12. D-H机械臂坐标系机构简图 D-H参数表如下表3所示： Table 3 D-H parameter tabl 关节序号 连杆扭转α 连杆长度a 连杆偏移d 关节转角θ 1 90 l 0 0 θ 1 2 0 l 1 0 θ 2 3 0 l 2 0 θ 3 表3. D-H参数表 3.2.3. 正运动学分析 将表中关节序号1的参数带入式(6)中可得： G n n − 1 = G 1 G 2 G 3 G 4 = [ cos θ 1 − sin θ 1 cos 90 sin θ 1 sin 90 l 0 cos θ 1 sin θ 1 cos θ 1 cos 90 − cos θ 1 sin 90 l 0 sin θ 1 0 sin 90 cos 90 0 0 0 0 1 ] (7) 由式(7)可得坐标系(X 0 Y 0 Z 0 )到坐标系(X 1 Y 1 Z 1 )的变化矩阵： G 1 0 = G 1 G 2 G 3 G 4 = [ cos θ 1 0 sin θ 1 l 0 cos θ 1 sin θ 1 0 − cos θ 1 l 0 sin θ 1 0 1 0 0 0 0 0 1 ] (8) 将表中关节序号2的参数带入式(6)中可得： G n n − 1 = G 1 G 2 G 3 G 4 = [ cos θ 2 − sin θ 2 cos 0 sin θ 2 sin 0 l 1 cos θ 2 sin θ 2 cos θ 2 cos 0 − cos θ 2 sin 0 l 1 sin θ 2 0 sin 0 cos 0 0 0 0 0 1 ] (9) 由式(9)可得坐标系(X 1 Y 1 Z 1 )到坐标系(X 2 Y 2 Z 2 )的变化矩阵： G 2 1 = G 1 G 2 G 3 G 4 = [ cos θ 2 − sin θ 2 0 l 1 cos θ 2 sin θ 2 cos θ 2 0 l 1 sin θ 2 0 0 1 0 0 0 0 1 ] (10) 将表中关节序号3的参数带入式(6)中可得： G 3 2 = G 1 G 2 G 3 G 4 = [ cos θ 3 − sin θ 3 cos 0 sin θ 3 sin 0 l 2 cos θ 3 sin θ 3 cos θ 3 cos 0 − cos θ 3 sin 0 l 2 sin θ 3 0 sin 0 cos 0 0 0 0 0 1 ] (11) 由式(11)可得坐标系(X 2 Y 2 Z 2 )到坐标系(X 3 Y 3 Z 3 )的变化矩阵： G 3 2 = G 1 G 2 G 3 G 4 = [ cos θ 3 − sin θ 3 0 l 2 cos θ 3 sin θ 3 cos θ 3 0 l 2 sin θ 3 0 0 1 0 0 0 0 1 ] (12) 由式(5)可得末端执行器相对坐标系原点的位姿，在此，令 ，令 cos θ i = c i (其中 i = 1 ， 2 ， 3 )： G 3 1 = G 1 0 G 2 1 G 3 2 = [ • • • l 2 c θ 1 c θ 2 c θ 3 − l 2 c θ 1 s θ 2 s θ 3 + l 1 c θ 1 c θ 2 + l 0 c θ 1 • • • l 2 s θ 1 c θ 2 c θ 3 − l 2 s θ 1 s θ 2 s θ 3 + l 1 s θ 1 c θ 2 + l 0 s θ 1 • • 0 l 2 s θ 2 c θ 3 + l 2 c θ 2 s θ 3 + l 1 s θ 2 0 0 0 1 ] (13) 由式(13)可得到交通锥自动回收及摆放装置机械臂的末端执行器位置的位姿坐标，即交通锥自动回收及摆放装置机械臂的运动学正解： [ P x 3 P y 3 P z 3 ] = [ l 2 c θ 1 c θ 2 c θ 3 − l 2 c θ 1 s θ 2 s θ 3 + l 1 c θ 1 c θ 2 + l 0 c θ 1 l 2 s θ 1 c θ 2 c θ 3 − l 2 s θ 1 s θ 2 s θ 3 + l 1 s θ 1 c θ 2 + l 0 s θ 1 l 2 s θ 2 c θ 3 + l 2 c θ 2 s θ 3 + l 1 s θ 2 ] (14) 3.2.4. 逆运动学分析 逆运动学分析与正运动学相反 [ 17 ]，逆运动学分析即在已知机械臂末端执行机构的位置，通过机械臂关节以及连杆之间的几何关系来求出机械臂各个关节处的转动角度。逆运动学分析可以通过解析法以及数值法来求解，具体的步骤 [ 18 ] 可以参考下表4： Table 4 Inverse kinematic analysis methods [18 步骤 方法 1 确定目标连杆的位姿。 2 设定躯干和目标连杆间关节角的矢量。 3 通过正运动学建模确定目标连杆的位姿。 4 求出目标连杆位姿误差。 5 检查误差是否在允许范围内，当误差超出允许范围时，校正关节角。 6 求出运动学逆解。 表4. 逆运动学分析方法 [ 18 ] 由式(14)可得： { P x 3 = l 2 c θ 1 c θ 2 c θ 3 − l 2 c θ 1 s θ 2 s θ 3 + l 1 c θ 1 c θ 2 + l 0 c θ 1 P y 3 = l 2 s θ 1 c θ 2 c θ 3 − l 2 s θ 1 s θ 2 s θ 3 + l 1 s θ 1 c θ 2 + l 0 s θ 1 P z 3 = l 2 s θ 2 c θ 3 + l 2 c θ 2 s θ 3 + l 1 s θ 2 (15) 其中，关节序号3处是末端执行器抓手，所以θ 3 是已知值，要求的参数中P x 3 、P y 3 、P z 3 、l 1 和l 2 是已知的，l 0 是滚珠丝杆升降机的滑动长度。在此，令 sin θ i = s i ，令 (其中 i = 1 ， 2 ， 3 )。 式(15)中第三式只有一个未知数θ 2 ，即可求出θ 2 的值。式(15)中第一式除以第二式可得θ 1 ： θ 1 = arctan P y 3 P x 3 (16) 由式(15)中的第一式与第二式相加变化后可得l 0 ： l 0 = P x 3 + P y 3 − ( c 1 + s 1 ) ( l 2 c 2 c 3 − l 2 s 2 s 3 + l 1 ) c 1 + s 1 (17) 通过运动学逆解解得机械臂抓手在抓取交通锥时的关节转角大小。 3.3. 小结 本节对整个机械臂容易出现危险截面的手指部分进行了有限元分析，验证了可行性。通过对机械臂的逆运动学分析可以求出机械臂末端执行器到达各个交通锥抓取点时关节转角的大小，验证机械臂末端执行器可以到达各个抓取点以及摆放点的位置，为之后机械臂仿真分析提供理论依据。