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user: 6. 数值结果及讨论 利用上述理论，参考论文 [ 14 ] 给出具体计算实例，得到计算结果。计算中取以下物理常数： λ = 7.59 × 10 9 N / m 2 ， μ T = 1.89 × 10 9 N / m 2 ， μ L = 2.45 × 10 9 N / m 2 ， ξ = − 1.28 × 10 9 N / m 2 ， ζ = 0.32 × 10 9 N / m 2 ， ρ = 7800   kg / m 2 ， α t = 1.78 × 10 − 5 N / m 2 ， k = 386 ， C e = 383.1 ， τ 0 = 0.02 ， a = 1 ， T 0 = 293   K ， p = 2 ， f = 1 ， ω = ω 0 + i ς ， ω 0 = 2 ， ς = 1 ， μ = 3.86 × 10 10 kg / m ⋅ s 2 取计算时间 t = 0. 9 ，得出了不同分数阶参数下，无量纲温度、应力和位移的分布。选取分数阶参数值为 α = 0 .4 ， α = 0 .6 和 α = 1 ，同时计算不同角速度 Ω ( Ω = 0 ， Ω = 0.5 ， Ω = 1 ) 和不同 y ( y = 1 ， y = 1.5 ， y = 2 ) 时，得到了对应无量纲位移、应力和温度的无量纲分布，如图2~19所示。 图2~7给出了 y = 1 ， Ω = 0.5 ，并且考虑三个不同的 α ( α = 0.4 ， α = 0.6 ， α = 1 ) 值计算得到无量纲位移、温度和应力在x轴上的分布。 图8~13给出了 y = 1 ， α = 0.5 时，根据三个不同的 Ω ( Ω = 0 ， Ω = 0.5 ， Ω = 1 ) 值，得到无量纲位移、温度和应力在x轴上的分布。图14~19给出了 Ω = 0. 5 ， α = 0.5 时，考虑三个不同的 y ( y = 1 ， y = 1.5 ， y = 2 ) 值，无量纲应力、位移和温度在x轴上的变化。 图2. α 取不同值，无量纲位移u在x轴上的分布 图3. α 取不同值，无量纲位移v在x轴上的分布 图4. α 取不同值，无量纲温度 θ 在x轴上的分布 图5. α 取不同值，无量纲应力 σ x x 在x轴上的分布 图6. α 取不同值，无量纲应力 σ y y 在x轴上的分布 图7. α 取不同值，无量纲应力 σ x y 在x轴上的分布 图8. Ω 取不同值，无量纲位移u在x轴上的分布 图9. Ω 取不同值，无量纲位移v在x轴上的分布 图10. Ω 取不同值，量纲温度 θ 在x轴上的分布 图11. Ω 取不同值，无量纲应力 σ x x 在x轴上的分布 图12. Ω 取不同值，无量纲应力 σ y y 在x轴上的分布 图13. Ω 取不同值，无量纲应力 σ x y 在x轴上的分布 图14. y取不同值，无量纲位移u在x轴上的分布 图15. y取不同值，无量纲位移v在x轴上的分布 图16. y取不同值，无量纲温度 θ 在x轴上的分布 图17. y取不同值，无量纲应力 σ x x 在x轴上的分布 图18. y取不同值，无量纲应力 σ y y 在x轴上的分布 图19. y取不同值，无量纲应力 σ x y 在x轴上的分布 图2所示，分数阶参数取不同值，无量纲位移u沿x轴的分布。可知位移u在边界上有最大值，说明在裂纹开始处的位移u最大，然后随着x值增加逐渐减小，最终收敛于零。由局部放大图可知，同一位置处，分数阶参数的值越小，预测得到的位移u的数值也越小，说明不同分数阶参数的值对位移u的预测结果不同。图3显示无量纲位移v在x轴上的分布，由图观察可知位移v在边界处取得最小值，在x轴上呈波动趋势，最终收敛于零。分数阶参数值越大，预测的位移v的值越小。正是由于各向异性纤维增强材料在两个方向上的材料特性不同，可知该纤维增强材料更倾向于抵抗垂直位移，因此该材料在两个方向上的位移分布表现不同。 图4显示分数阶参数不同，无量纲温度 θ 在x轴上的分布情况。可知温度 θ 在边界上取得最大值，随着x值的增加逐渐减小，最终收敛于零，这是由于边界处距离热源最近，随着x远离热源，温度逐渐减小。并且在x取相同值，分数阶参数越大时预测的温度值越高。图5显示分数阶参数不同，无量纲应力 σ x x 沿x轴的分布。由图可知，在边界处应力 σ x x 取得最大值，随着远离边界应力 σ x x 逐渐减小，在 x ≈ 0.75 处，达到最小值，然后逐渐增加，最后收敛于零；在相同位置处，分数阶参数值越大预测的应力 σ x x 值也越大。 图6显示不同分数阶参数下，无量纲应力 σ y y 沿x轴的分布，由图能够看出应力 σ y y 在边界处取得最大值，然后随着x远离边界而逐渐减小，在 x ≈ 1 .2 处达到最小值，随后逐渐增加，最终收敛于零。在 x ≈ 1 附近，分数阶参数值越大，所预测的应力 σ y y 值越小。将应力 σ y y 与应力 σ x x 的分布对比，可知由于在两个方向上的材料特性不同，造成应力在两个方向上的分布不同。图7显示分数阶参数不同，无量纲应力 σ x y 的分布，可知应力 σ x y 在边界处取值为零，由于该模型在边界上无切应力，因此满足边界条件，然后随着x远离边界，应力 σ x y 取值逐渐减小，在 x ≈ 0 .25 位置，应力 σ x y 达到最小值，然后逐渐增大，最终收敛于零，并且分数阶参数的值越大，预测的应力 σ x y 值越大。应力 σ x y 的分布趋势，满足各向异性材料的热弹性性质，也满足该模型的边界条件，因此分布情况是合理的。 图2~7表明分数阶参数的不同，对物理量的预测结果不同，即物理量的分布不同。各物理量在x轴上的分布变化，都满足材料特性和边界条件。 图8显示 Ω 取不同值，无量纲位移u沿x轴的分布，位移u始终为正值，并且随着x远离边界逐渐减小，最终收敛于零。在远离边界位置， Ω 值越大预测的位移u的结果越小，这表明旋转效应减小位移u的值。图9显示 Ω 值越大预测的无量纲位移v越小，但是 Ω 取不同值，位移v的分布趋势不变，并且最终都收敛于零，因此旋转角速度的增加，减小位移v的幅值。通过其与图8对比，由于各向异性材料在两个方向上的材料参数不同，因此引起的位移分布不同。图10显示 Ω 取不同值，无量纲温度 θ 的分布无改变，因此旋转效应不影响介质中的温度分布，即温度的分布不受旋转效应的影响。 图11显示 Ω 取不同值，无量纲应力 σ x x 的分布。由图可知， Ω 不改变应力 σ x x 的走势，在 x ≈ 0 .75 处，应力取得最小值，并且 Ω 值越大，应力 σ x x 绝对值越小，旋转效应的存在，减小应力 σ x x 的幅值。图12显示 Ω 取不同值，无量纲应力 σ y y 都在边界位置取得最大值，随着x远离边界，逐渐减小最后收敛于零。在x取值相同时， Ω 值越大，预测应力 σ y y 值也越大。图13显示 Ω 取不同值，无量纲应力 σ x y 沿x轴的分布，由图可知，在边界位置应力 σ x y 为零，之后递减达到最小值后逐渐增加，最终收敛于零， Ω 取不同值，不改变应力 σ x y 的走势，只影响其最小值。随着旋转角速度的增加，应力 σ x y 的振幅减小，说明旋转效应对应力 σ x y 有显著影响。 图8~13表明旋转效应的存在减小应力、位移的振幅，不影响温度的分布，即温度分布不受弹性体旋转的影响，而应力、位移的分布受旋转效应的影响显著。同时，由于两个方向上的材料特性不同，旋转对两个方向上应力、位移的影响也有差别。 图14显示y取不同值，无量纲位移u沿x轴的分布。由图可知，x取相同值，随着y值增加，位移u减小，说明外载荷在距离较远位置对位移产生的影响变小。y取值不同，不改变位移u的分布趋势，随着x远离边界，位移u最终收敛于零。图15显示y取不同值时，无量纲位移v呈先增大后减小的分布趋势，最终收敛于零。在远离边界的位置，y值越大位移v越大，这是由于材料在两个方向上的材料参数不同导致的。图16显示y取不同值，无量纲温度 θ 在x轴上的分布，由图可知，在边界处温度达到最大值，然后减小，最终趋向于零。这是由于在边界处距离热源最近，产生的温度最大。在x取相同位置，y越大的位置，预测的温度 θ 值越大。图17显示y取不同值，无量纲应力 σ x x 沿x轴分布情况。应力 σ x x 在边界位置有最大值，远离边界逐渐减小最终收敛于零。y取不同值，只影响其大小，不影响其分布走势。在x轴相同位置，y取值越小，相应的应力 σ x x 越小。图18显示无量纲应力 σ y y 沿x轴分布，图形分布趋势与应力 σ x x 相似，都是在边界位置取得最大值，之后逐渐减小，最终都收敛于零。在x轴相同位置，y值越大，对应应力 σ y y 值越小。图19显示无量纲应力 σ x y 沿x轴分布趋势。由图可知，在边界位置应力 σ x y 为零，之后逐渐减小，在 x ≈ 0 .4 位置达到最小值，同时y值越小，得到的最小值也越小，最后逐渐增加并收敛于零。应力 σ x y 的分布趋势符合应力 σ x y 边界上为零的边界条件，也符合纤维增强材料中切应力的分布规律。 图14~19表明半无限大纤维增强弹性体的位置不同，各物理量的分布不同，由于外载荷引起的动态响应在传播过程中的不同，弹性体中各物理量的分布与弹性的空间位置有关。 取 Ω = 0 ， α = 0.5 ，在x轴固定位置( x = 1 和 x = 1.4 )，给出无量纲位移u、v和应力 σ x x 随时间t的变化情况，如图20~22所示。 图20. x取不同值，无量纲位移u随时间t的变化 图21. x取不同值，无量纲位移v随时间t的变化 图22. x取不同值，无量纲应力 σ x x 随时间t的变化 如图20所示，在x轴上固定位置，无量纲位移u随时间的变化，从零开始，随时间增加逐渐减小。图21所示，在x轴上固定位置处，无量纲垂直位移v最初为零，随时间t的增加逐渐增大。这是由于在研究的弹性介质中，弹性体在两个方向上的材料特性不同导致的。因此纤维增强弹性体在两个方向上位移表现出不同力学行为。在x轴不同位置，位移随时间变化不同，距离热源越远位置，热膨胀变形时间越晚，相应位移绝对值越小，反映出热波在弹性体中传播速度有限。图22显示x轴固定位置处，无量纲应力 σ x x 随时间的变化。结果表明距离热源较近位置，应力 σ x x 随时间变化梯度较大，但是具有相同变化趋势。 由于时间不同，各物理量的分布不同，因此能够得出弹性体中波的传播速度是有限的，同时各物理量的分布与时间有关。