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user: 3. 建立数学模型 数控切削粗加工阶段，一般以高生产率为主，加工参数的选择也一般遵循保证最大生产效率和最低加工成本的原则，但往往也会受到机床和刀具性能及相关参数的限制和约束，因此，选择最优数控加工参数可以被看做为是一个受约束的多目标优化问题。 3.1. 设计变量 在明确机床刀具参数、机床参数和工件参数的情况下，进给量f、切削速度v、切削深度a p 对生产效率的影响最大 [ 14 ] 。由于a p 是取决于零件的切削余量，同时a p 对刀具耐用度的影响不大，为此可将a p 当作是常量。由此可得，待优化的设计变量为切削速度和进给量 [ 15 ] 。本文以螺旋铣削加工为例，其切削运动由两种进给运动合成，即刀具主轴的轴向进给运动和刀具的切向进给运动。因此，设计变量即待优化的参数为：切削速度 v ( m / min ) ，每齿进给量 f ( mm / 齿 ) ，其表达式为 X = ( x 1 ， x 2 ) = ( v ， f ) 。 3.2. 目标函数 优化切削参数的主要目的是为了实现对成本的控制和提高生产效率，但刀具磨损和失效对成本的影响最大。因此，选择切削效率、刀具耐用度和加工成本作为优化目标。 切削时间越少，则切削的效率就越高，切削效率 E ( v ， f ) 可表示为 E ( v ， f ) = 1 t m = 1000 v f Z π d L (1) 式中 t m 为切削时间， s ； d 为工件直径， mm ； v 为切削速度， m / min ； L 为工件切削长度， mm ； f 为每齿进给量， mm / 齿 ； Z 为刀具齿数。 根据金属切削理论 [ 16 ] ，刀具耐用度 T ( v ， f ) 表示为 T ( v ， f ) = C ε v α f β a p γ (2) 式中， C ε 为耐用度系数，由工件材料、刀具材料和其他切削条件等确定；指数 α 、 β 、 γ 分别表示 v 、 f 、 a p 影响刀具耐用度的程度，其值需要通过实验或根据经验定性确定。 单件工序成本 = 加工费用 + 换刀费用 + 刀具使用成本 + 辅助费用，公式如下 C ( v ， f ) = t m ⋅ M + t c t ⋅ t m T ( v ， f ) ⋅ M + t m T ( v ， f ) ⋅ C t + t o t ⋅ M (3) 式中， t m 为工序切削加工工时， M 为单位时间内工序分摊的企业费用， t c t 为一次换刀所需时间， C t 为刀具成本， t o t 为除换刀以外的辅助时间。 3.3. 约束参数 在数控加工时，对切削用量产生影响的因素包括切削力、机床功率和表面精度等，这些因素形成了参数优化的约束条件。 常用的约束条件表示如下 [ 17 ] ： 1) 主切削力约束 h 1 ( v ， f ) = F Z − F Z max = 9.81 C F Z a p x F Z f y F Z ( 60 v ) n F Z K F Z − F Z max ≤ 0 (4) 式中 F Z 为主切削力， N ； F Z max 为最大主切削力允许值， N ；系数 C F Z 由被加工材料和切削条件决定； x F Z 、 y F Z 、 n F Z 为 a p 、 f 、 v 的指数；加工设备和工具参数，以及加工实际条件与经验公式条件不匹配的情况下，切削力的修正系数为 K F Z 。 2) 机床功率约束 h 2 ( v ， f ) = F z v 60000 − η P max = π d n F Z − η P max ≤ 0 (5) 式中， η 为机床效率； P max 为机床最大功率， KW 。 3) 工件表面粗糙度约束 h 3 ( v ， f ) = f 2 / ( 8 r ε ) − R max ≤ 0 (6) 式中， r ε 为刀尖圆弧半径， mm ； R max 为工件表面轮廓最大高度允许值， mm 。 4) 切削用量范围约束 大量的实践研究证明，刀具的工作寿命受切削速度的影响最大，每齿进给量次之，轴向切削深度对刀具寿命的影响作用最小。在加工铝合金产品时，只有提高切削扭矩，并保持较低的切削速度才能保证切削质量，正常情况下，切削速度小于100 r/min，螺旋铣刀的直径范围为6 mm~10 mm，因此机床主轴转速范围为2000 r/min~5000 r/min，每齿进给量的变化范围为0.1 mm/齿~0.3 mm/齿 [ 18 ] 。在进行螺旋铣削过程中，因为铣平面切削力较小 [ 19 ] ，因此在进行切削参数优化时，切削力及机床功率的约束条件可以被忽略，而以加工表面粗糙度为主要约束条件。 3.4. Pareto最优解集 以加工凸轮为例，如图2所示，所选用的数控机床为S56 MAKINO，零件材料为6061铝合金板料。 图2. 凸轮模型 根据优化目标和约束条件，确定优化数学模型。目标函数为: E ( x 1 ， x 2 ) = 1000 x 1 x 2 × Z π × d × L (7) T ( x 1 ， x 2 ) = C Z / a p γ x 1 α x 2 β (8) C ( x 1 ， x 2 ) = t m ⋅ M + t c t ⋅ t m T ( x 1 ， x 2 ) ⋅ M + t m T ( x 1 ， x 2 ) ⋅ C t + t o t ⋅ M (9) 设计变量为： x 1 ( v ) ， x 2 (f) 约束条件为：切削速度 50 m / min ≤ x 1 ≤ 100 m / min 每齿进给量 0 .1mm / 齿 ≤ x 2 ≤ 0 .3mm / 齿 表面粗糙度 3   μm ≤ R a ≤ 8   μm 由切削用量手册，可以得出刀具耐用度系数：C z = 2118，α = 1.5，β = 0.5，γ = 0.5；根据上述分析，a p = 0.15 mm；选用螺旋铣刀参数：齿数Z = 4，刀具直径d = 6 mm；加工零件长度如图2所示凸轮外形轮廓周长L = 80 mm。根据工序切削加工工时 t m 为2 min，单位时间内工序分摊的企业费用 M 为0.625元/min，一次换刀所需时间 t c t 为5 min，刀具成本 C t 为200元，辅助时间 t o t 为30 min。借助MATLAB软件开展计算工作，其各项参数依次为：默认种群范围为60、更迭次数为200、交叉几率为0.8、变异几率为0.05，优化结果如图3和表1所示。 图3. 凸轮切削参数Pareto解集 Table 1 Optimization results of ca 序号 切削速度(m/min) 每齿进给量(mm/齿) 加工效率(min −1 ) 刀具耐用度(min) 加工成本(元) 3 96.166 0.268 68.328 4.3373 112.779 13 50.359 0.106 14.154 18.197 42.1135 19 56.977 0.133 20.205 13.461 49.8934 21 55.499 0.142 20.89 13.589 49.6134 23 68.977 0.249 45.687 7.3951 74.416 24 59.169 0.150 23.523 12.014 53.4952 25 54.734 0.148 64.696 4.7070 105.492 29 79.071 0.156 32.707 7.624 72.78 32 99.349 0.299 78.980 3.9049 123.052 37 50.071 0.101 13.497 18.742 41.4705 45 82.533 0.145 31.737 7.939 72.122 46 75.013 0.178 35.441 7.415 74.268 47 71.745 0.194 36.976 7.9029 70.919 49 59.465 0.141 22.312 12.274 52.7848 50 93.067 0.260 64.262 4.6213 107.078 表1. 凸轮优化结果 原则上，最优解可以是图3中Pareto曲线上的任意点，此时，一般都是基于经验和偏好主观进行选择和决策，并且，在实际切削加工中一般会兼顾三个目标，尽量选择位于中部区域值的状态 [ 20 ] ，即选择加工效率 ≤ 40(min −1 )，刀具耐用度 ≤ 80(min)，加工成本 ≤ 80元的参数，得到表2所示的三组参数，出于实验需求，可将三组数据转化成加工参数。但此种选择和决定最优解集的方式，主观性太强，科学依据缺乏，最重要的是得到的是最优解集，而不是最优解。 Table 2 Selected machining parameters based on experience of ca 序号 切削速度 (m/min) 每齿进给量 (mm/齿) 转速 (r/min) 进给量(mm/min) 加工效率 (min −1 ) 刀具耐用度(min) 加工成本 (元) 29 79.071 0.156 4100 2600 32.707 7.624 72.78 45 82.533 0.145 4300 2500 31.737 7.939 72.122 46 75.013 0.178 3900 2800 35.441 7.415 74.268 表2. 基于经验选择的凸轮加工实验参数