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user: 3. 主要结果 定理3.1：设 ( X ， ρ 1 ) ， ( Y ， ρ 2 ) 是两个完备度量空间， { X : w n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 } 和 { Y : w ′ n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 是两个双曲迭代函数系， w i 压缩比为 c i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 ， w ′ n 的压缩比为 d j ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 ，令 w i × w ′ j ( x ， y ) = ( w i ( x ) ， w ′ j ( y ) ) ， ∀ ( x ， y ) ∈ X × Y ，则 { X × Y : w i × w ′ j ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 是完备度量空间 ( X × Y ， d ) 上的双曲迭代函数系。 证明：由于 d ( w i × w ′ j ( x ， y ) ， w i × w ′ j ( x ′ ， y ′ ) ) = d { ( w i ( x ) ， w ′ j ( y ) ) ， ( w i ( x ′ ) ， w ′ j ( y ′ ) ) } = max { ρ 1 ( w i ( x ) ， w i ( x ′ ) ) ， ρ 2 ( w ′ j ( y ) ， w ′ j ( y ′ ) ) } ≤ max { c i ρ 1 ( x ， x ′ ) ， d j ρ 2 ( y ， y ′ ) | 1 ≤ i ≤ N 1 ， 1 ≤ j ≤ N 2 } ≤ max { c i ， d j | 1 ≤ i ≤ N 1 ， 1 ≤ j ≤ N 2 } ⋅ max { ρ 1 ( x ， x ′ ) ， ρ 2 ( y ， y ′ ) | 1 ≤ i ≤ N 1 ， 1 ≤ j ≤ N 2 } = max { c i ， d j | 1 ≤ i ≤ N 1 ， 1 ≤ j ≤ N 2 } ⋅ d ( ( x ， y ) ， ( x ′ ， y ′ ) ) 所以 w i × w ′ j 是压缩映射， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 。由引理4知 ( X × Y ， d ) 是完备的，因此定理得证。 称定理3.1中的双曲迭代函数系 { X × Y : w i × w ′ j ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 为双曲迭代函数系 { X : w n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 } 和 { Y : w ′ n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 的乘积。 关于两个迭代函数系的乘积，有以下的性质： 定理3.2：(影象定理)，设A是完备度量空间上的双曲迭代函数系 { X : w n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 } 的吸引子，B是完备度量空间上的双曲迭代函数系 { Y : w ′ n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 的吸引子，则 A × B 是这两个IFS的乘积的吸引子；反之，C是这两个IFS乘积的吸引子，则 P 1 ( C ) 是 { X : w n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 } 的吸引子， P 2 ( C ) 是 { Y : w ′ n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 的吸引子，其中 P 1 : X × Y → Y ， P 2 : X × Y → X 为自然投影。 证明：1) W ′ ( A ) = ∪ i = 1 N 1 w i ( A ) ， ∀ A ∈ F ( X ) ， W ″ ( B ) = ∪ j = 1 N 2 w ′ j ( B ) ， ∀ B ∈ F ( Y ) ，则 W ′ × W ″ ( A × B ) = W ′ ( A ) × W ″ ( B ) = A × B 。于是定理的前半部分得证。 2) W = W ′ × W ″ ，其中 W ′ 和 W ″ 同(1)中的定义，则 W ( C ) = W ′ × W ″ ( C ) = C ，从而 P 1 ( W ( C ) ) = P 1 ( C ) ， P 2 ( W ( C ) ) = P 2 ( C ) ，又由于 C = ∪ ( x ， y ) ∈ C { ( x ， y ) } ，所以 W ( C ) = ∪ ( x ， y ) ∈ C W { ( x ， y ) } = ∪ ( x ， y ) ∈ C W ′ ( { x } ) × W ″ ( { y } ) ， 因而有： P 1 ( W ( C ) ) = ∪ ( x ， y ) ∈ C W ′ ( { x } ) = ∪ ( x ， y ) ∈ C ∪ i = 1 N 1 { w i ( x ) } = W ′ ( P 1 ( C ) ) = P 1 ( C ) ，同理可证得： P 2 ( W ( C ) ) = W ″ ( P 2 ( C ) ) = P 2 ( C ) 。由于吸引子是唯一的不动点，所以有 A = P 1 ( C ) ， B = P 2 ( C ) 。 注记3.1：定理3.2的证明，用到以下的结果： F ( X × Y ) = F ( X ) × F ( Y ) 。事实上，设 C ∈ F ( X × Y ) ，则 P 1 ( C ) ∈ F ( X ) ， P 2 ( C ) ∈ F ( Y ) ；反之，若 A ∈ F ( X ) ， B ∈ F ( Y ) ，则有 A × B 为 X × Y 的紧子集且非空，即 A × B ∈ F ( X × Y ) 。 注记3.2： { X : w n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 } 与 { Y : w ′ n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 的乘积的压缩比是两IFS的压缩比的最大值。 注记3.3：以上的定理及定义，可推广到任意有限多个的情形。 定理3.3设 ( X ， ρ 1 ) ， ( Y ， ρ 2 ) 是两个完备度量空间， { X : w n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 } 和 { Y : w ′ n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 是两个双曲迭代函数系，他们的乘积为： { X × Y : w i × w ′ j ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 则有： 1) { X × Y : w i × w ′ j ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 是全不连通的当且仅当 { X : w n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 } 与 { Y : w ′ n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 都是全不连通的。 2)若 { X × Y : w i × w ′ j ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 是刚触及的，则在两个曲线迭代函数系 { X : w n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 } 与 { Y : w ′ n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 中，至少有一个也是刚触及的。 3) { X : w n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 } 与 { Y : w ′ n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 均是刚触及的，则 { X × Y : w i × w ′ j ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 也是刚触及的。 证明：设A是 { X : w n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 } 的吸引子，B是 { Y : w ′ n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 的吸引子，则 A × B 是完备度量空间 ( X × Y ， d ) 上的 IFS： { X × Y : w i × w ′ j ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 的吸引子，于是有： Φ ( σ ， n ， ( x ， y ) ) = w ¯ σ 1 ∘ w ¯ σ 2 ∘ ⋯ ∘ w ¯ σ n ( x ， y ) ，其中 Σ = { x : x = x 1 x 2 ⋯ x i ⋯ ， ∀ i ∈ N ， x i ∈ { ( 1 ， 1 ) ， ( 1 ， 2 ) ， ⋯ ， ( N 1 ， N 2 ) } } ，同时要求 { ( i ， j ) : i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 以字典顺序关系作为此集合的偏序关系， w ¯ σ 1 = w p 1 ( σ 1 ) × w ′ p 2 ( σ 1 ) ， p 1 ， p 2 为自然投射，所以有： w ¯ σ 1 ∘ w ¯ σ 2 = ( w p 1 ( σ 1 ) ∘ w p 1 ( σ 2 ) ) × ( w ′ p 2 ( σ 1 ) ∘ w ′ p 2 ( σ 2 ) ) ，由引理5知： Φ ( σ ) = lim n → ∞ Φ ( σ ， n ， ( x ， y ) ) 存在，且 Φ ( σ ) 与 ( x ， y ) 的选择无关以及 Φ : Σ → A 是连续满射。 1) 若 { X × Y : w i × w ′ j ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 是 全不连通的，则 ∀ ( a ， b ) ∈ A × B ， Φ − 1 ( a ， b ) = { σ } 是单点集，由于 Φ ( σ ， n ， ( x ， y ) ) = Φ 1 ( σ ′ ， n ， x ) × Φ 2 ( σ ″ ， n ， y ) ，其中 σ ′ = σ ′ 1 ∘ σ ′ 2 ∘ ⋯ ∘ σ ′ i ∘ ⋯ ， σ ′ i = p 1 ( σ i ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ σ ″ = σ ″ 1 ∘ σ ″ 2 ∘ ⋯ ∘ σ ″ j ∘ ⋯ ， σ ″ j = p 2 ( σ j ) ， j = 1 ， 2 ， ⋯ 所以 Φ ( σ ) = lim n → ∞ [ Φ 1 ( σ ′ ， n ， x ) × Φ 2 ( σ ″ ， n ， x ) ] = Φ 1 ( σ ′ ) × Φ 2 ( σ ″ ) ，其中： Φ 1 ( σ 1 ) = lim n → ∞ Φ 1 ( σ ′ ， n ， x ) ， Φ 2 ( σ 2 ) = lim n → ∞ Φ 2 ( σ ″ ， n ， y ) ， Φ 1 ( σ ′ ， n ， x ) = w σ ′ 1 ∘ w σ ′ 2 ∘ ⋯ ∘ w σ ′ n ( x ) ， Φ 2 ( σ ″ ， n ， y ) = w ′ σ ″ 1 ∘ w ′ σ ″ 2 ∘ ⋯ ∘ w ′ σ ″ n ( y ) ， 则 ∀ ( a ， b ) ∈ A × B ， { σ } = Φ − 1 ( a ， b ) 是单点集当且仅当 { σ ′ } = Φ 1 − 1 ( a ) 和 { σ ″ } = Φ 2 − 1 ( b ) 也是单点集，因此结论(1)得证。 2) 由1)知 { X × Y : w i × w ′ j ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 不是全不连通的当且仅当 { X : w n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 } 或 { Y : w ′ n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 不是全不连通的。若 { X × Y : w i × w ′ j ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 是刚触及的，则存在非空开集 V ⊂ X × Y ，使得： ① w i 1 × w ′ j 1 ( V ) ∩ w i 2 × w ′ j 2 ( V ) = ∅ ， i 1 ， i 2 ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 } ， j 1 ， j 2 ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } ； ② ∪ j = 1 N 2 ∪ i = 1 N 1 w i × w ′ j ( V ) ⊂ V ； 由①有 [ w i 1 ( p 1 ( V ) ) × w ′ j 1 ( p 2 ( V ) ) ] ∩ [ w i 2 ( p 1 ( V ) ) × w ′ j 2 ( p 2 ( V ) ) ] = ∅ ，所以 w i 1 ( p 1 ( V ) ) ∩ w i 2 ( p 1 ( V ) ) = ∅ 或者 w ′ j 1 ( p 2 ( V ) ) ∩ w ′ j 2 ( p 2 ( V ) ) = ∅ ，又 ( i 1 ， j 1 ) ≠ ( i 2 ， j 2 ) ，若 j 1 = j 2 ，则 ∀ i 1 ， i 2 ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 } ，有 w i 1 ( p 1 ( V ) ) ∩ w i 2 ( p 1 ( V ) ) = ∅ ，而 p 1 ( V ) 是X中的非空开集，同理可证得 w ′ j 1 ( p 2 ( V ) ) ∩ w ′ j 2 ( p 2 ( V ) ) = ∅ ， ∀ j 1 ， j 2 ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } ， j 1 ≠ j 2 ，且 p 1 ( V ) 为中的非空开集。 由②有 ∪ j = 1 N 2 ∪ i = 1 N 1 [ w i ( p 1 ( V ) ) × w ′ j ( p 2 ( V ) ) ] ⊂ V ，所以有 ∪ i = 1 N 1 w i ( p 1 ( V ) ) ⊂ p 1 ( V ) ，并且也有 ∪ j = 1 N 2 w ′ j ( p 2 ( V ) ) ⊂ p 2 ( V ) ，因此 { X : w n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 } 或 { Y : w ′ n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 是刚触及的。 3) { X : w n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 } 和 { Y : w ′ n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 是刚触及的，由1)可知： { X × Y : w i × w ′ j ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 不是全不连通的，且存在一个非空开集 V 1 ⊂ X ，使得： ① ∀ i 1 ， i 2 ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 } ， i 1 ≠ i 2 ，有 w i 1 ( V 1 ) ∩ w i 2 ( V 1 ) = ∅ ； ② ∪ i = 1 N 1 w i ( V 1 ) ⊂ V 1 ，从而 w i 1 × w ′ j 1 ( V 1 × V 2 ) ∩ w i 2 × w ′ j 2 ( V 1 × V 2 ) = [ w i 1 ( V 1 ) ∩ w i 2 ( V 1 ) ] × [ w ′ j 1 ( V 2 ) ∩ w ′ j 2 ( V 2 ) ] = ∅ ， ( i 1 ， j 1 ) ≠ ( i 2 ， j 2 ) (因为也存在非空开集 V 2 ⊂ Y ，使得：③ ∀ j 1 ， j 2 ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } ， j 1 ≠ j 2 ，有 w ′ j 1 ( V 2 ) ∩ w ′ j 2 ( V 2 ) = ∅ ；④ ∪ j = 1 N 2 w ′ j ( V 2 ) ⊂ V 2 )，显然 ∪ j = 1 N 2 ∪ i = 1 N 1 w i × w ′ j ( V 1 × V 2 ) ⊂ V 1 × V 2 且 V 1 × V 2 是 X × Y 中的非空开集，因此结论得证。 推论3.1 设 ( X ， ρ 1 ) ， ( Y ， ρ 2 ) 是两个完备度量空间， { X : w n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 } 与 { Y : w ′ n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 是两个双曲迭代函数系，则有 1) 若 { X : w n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 } 与 { Y : w ′ n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 是重叠的，则它们的乘积 也是重叠的。 2) 若 { X × Y : w i × w ′ j ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 是重叠的，则 { X : w n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 } 是重叠的，或者 { Y : w ′ n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 是重叠的。 证明：1) 由定理3.3中的1)可知 { X × Y : w i × w ′ j ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 不是全不连通的，再由定理3.3中的2)知 { X × Y : w i × w ′ j ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 不是刚触及的，因此结论得证。 2) 由定理3.3中的1)可知， { X : w n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 1 } 与 { Y : w ′ n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 2 } 都不是全不连通的，再由定理3.3中的3)知结论成立。