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user: 1. 引言 本文研究如下具有对数非线性项的四阶抛物型方程： { u t + Δ 2 u − d i v ( | ∇ u | p − 2 ) = | u | p − 2 u log | u | ， ( x ， t ) ∈ Ω × ( 0 ， T ) ， u = ∂ u ∂ υ = 0 ， ( x ， t ) ∈ Ω × ( 0 ， T ) ， u ( x ， 0 ) = u 0 ( x ) ， x ∈ Ω . (1) 其中 Ω ∈ R N ( N ≥ 1 ) 是有光滑边界的有界域， T ∈ ( 0 ， + ∞ ] ， υ 是 ∂ Ω 上的外法向量并且参数p满足下面的条件： Ω ∈ R N ( N ≥ 1 ) { 2 < p < ∞ ， N = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 2 < p < 2 N N − 4 ， N ≥ 5. (2) 具有对数源的四阶抛物型微分方程近年来在工程技术、生物数学、材料科学及物理学中有重要应用( [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] )。Sattinger [ 4 ]，Payne、Sattinger [ 5 ] 首先提出并建立了势阱法，此后势阱法成为研究非线性发展方程初边值问题解的全局存在性重要工具，之后被Liu、Zhao [ 6 ] 进一步完善。近年来，具有对数源的偏微分方程被许多作者广泛研究( [ 7 ] [ 8 ] )，特别的，通过运用修正的势阱法和对数Sobolev不等式，Liao、Li [ 8 ] 研究了(1)在不同初始能量条件下解的性质，此外，本文借鉴了( [ 9 ] [ 10 ] )中的一些方法。 在本文中，我们应用文献 [ 8 ] 的一些记号，定义 ( ⋅ ， ⋅ ) 为 L 2 ( Ω ) 中的内积， ( u ， v ) = ∫ Ω u ( x ) v ( x ) d x ，   ∀ u ， v ∈ L 2 ( Ω ) ‖ ⋅ ‖ p 和 ‖ ⋅ ‖ H 0 2 ( Ω ) 分别为 L p ( Ω ) 和 H 0 2 ( Ω ) 的范数，即： ‖ u ‖ p = { ( ∫ Ω | u ( x ) | p d x ) 1 p ， 1 ≤ p < ∞ ， ess sup x ∈ Ω | u ( x ) | ， p = ∞ ，     ∀ u ∈ L p ( Ω ) . ‖ u ‖ H 0 2 ( Ω ) = ‖ u ‖ 2 2 + ‖ ∇ u ‖ 2 2 + ‖ Δ u ‖ 2 2 ，   ∀ u ∈ H 0 2 ( Ω ) . (3) 由 [ 8 ] 知 H 0 2 ( Ω ) 是一个内积为 ( ⋅ ， ⋅ ) H 0 2 ( Ω ) 的Hilbert空间，内积定义如下 ( u ， v ) H 0 2 ( Ω ) = ( Δ u ， Δ v ) ，   ∀ u ， v ∈ H 0 2 ( Ω ) ， 由上式我们可知| ‖ Δ ( ⋅ ) ‖ 2 是 ‖ ⋅ ‖ H 0 2 ( Ω ) 的等价范数。因此在下面的证明中，我们记 H 0 2 ( Ω ) 中的范数为： ‖ u ‖ H 0 2 ( Ω ) = ‖ Δ u ‖ 2 ， ∀ u ∈ H 0 2 ( Ω ) . (4) 对任意 u ∈ H 0 2 ( Ω ) ，定义泛函： J ( u ) = 1 2 ‖ Δ u ‖ 2 2 + 1 p ‖ ∇ u ‖ p p − 1 p ∫ Ω | u | p log | u | d x + 1 p 2 ‖ u ‖ p p ， (5) I ( u ) = ‖ Δ u ‖ 2 2 + ‖ ∇ u ‖ p p − ∫ Ω | u | p log | u | d x . (6) 由p满足条件(2)知函数 J ( u ) 和 I ( u ) 在 H 0 2 ( Ω ) 上有定义且连续，并满足下面的关系式： J ( u ) = 1 p I ( u ) + 1 p 2 ‖ u ‖ p p + p − 2 2 p ‖ Δ u ‖ 2 2 . (7) 定义(1)的Nehari流形 N = { u ∈ H 0 2 ( Ω ) | I ( u ) = 0 ， ‖ Δ u ‖ 2 ≠ 0 } . (8) 令 W = { u ∈ H 0 2 ( Ω ) | I ( u ) > 0 ， J ( u ) < d } ∪ { 0 } ， (9) V = { u ∈ H 0 2 ( Ω ) | I ( u ) < 0 ， J ( u ) < d } ， (10) 分别为(1)对应的位势阱和阱外集合。 其中， d = inf u ∈ N J ( u ) (11) 为势阱W的深度。 首先，我们回忆问题(1)弱解的定义： 定义1. 设函数 u = u ( x ， t ) ∈ L ∞ ( 0 ， T ; H 0 2 ( Ω ) ) 且 u t ∈ L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) ，称函数u为问题(1)的弱解。若 u ( x ， 0 ) = u 0 ( x ) 且满足： ( u t ， ϕ ) + ( Δ u ， Δ ϕ ) + ( | ∇ u | p − 2 ∇ u ， ∇ ϕ ) = ( | u | p − 2 u log | u | ， ϕ ) ，     a . e . ，   t > 0 ，   ∀ ϕ ∈ H 0 2 ( Ω ) ， (12) 和 ∫ 0 t ‖ u τ ‖ 2 2 d τ + J ( u ) = J ( u 0 ) ( ⋅ ， ⋅ ) ， a . e . t > 0. (13) 若对任意 T > 0 ，上述式子成立，则称u是问题(1)的一个全局弱解。 当 J ( u 0 ) < d 时，文献 [ 8 ] 给出了如下结论： 定理1. ( [ 8 ] 定理3.3) 设p满足条件(2)， u 0 ∈ H 0 2 ( Ω ) 。若 J ( u 0 ) < d ， I ( u 0 ) > 0 ，则问题(1)有一个全局弱解 u ∈ L ∞ ( 0 ， T ; H 0 2 ( Ω ) ) ， u t ∈ L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 且 u ( t ) ∈ W 对任意 0 ≤ t < T 成立。此外，假如u是问题(1)在满足条件 0 < J ( u 0 ) < d ， I ( u 0 ) > 0 下的一个全局弱解，则有 ‖ u ‖ W 0 1 ， p 2 ≤ ‖ u 0 ‖ W 2 1 ， p 2 ( 2 2 + ω ( p − 2 ) t ) 2 / ( p − 2 ) ， ∀ t ≥ 0. 定理2. ( [ 8 ] 定理3.4) 设p满足条件(2)， u 0 ∈ H 0 2 ( Ω ) 。如果u是问题(1)在 J ( u 0 ) < d ， I ( u 0 ) < 0 的 一个弱解，则存在有限时间 T ∗ > 0 使得u满足 lim t → T ∗ ∫ 0 t ‖ u ‖ 2 2 d τ = + ∞ ，且 T * 满足 T ∗ ≤ t ∗ + M ∗ ( p / 2 − 1 ) M ′ ( t ∗ ) 其中 M ( t ) = ∫ 0 t ‖ u ‖ 2 2 d τ ，   ∀ t ≥ 0. t ∗ : = max { 2 p J ( u ( 0 ) ) p − 2 2 S 2 C ∗ ， ( p ‖ u 0 ‖ 2 2 p − 2 4 S 2 C ∗ 2 ) 1 / 2 } 通过对上述结论的分析，我们有如下两个问题： (i) 问题1只考虑了u按 ‖ u ‖ W 0 1 ， p 的渐近性，能否求出u在 ‖ ⋅ ‖ H 0 2 ( Ω ) 下，即 ‖ Δ u ‖ 2 的渐近性？(ii) 问题2只考虑了爆破时间T的上界，能否求出爆破时间T的下界？ 本文主要回答上述两个问题。 首先考虑下面的特征值问题： { Δ 2 u = λ u if     x ∈ Ω ， u = ∂ u ∂ n = 0 if     x ∈ ∂ Ω . (14) 由 [ 11 ] 知(14)的第一特征值 λ 1 > 0 是正的，记为 λ 1 = inf 0 ≠ u ∈ H 0 2 ( Ω ) ‖ Δ u ‖ 2 2 ‖ u ‖ 2 2 ， (15) 我们有如下结论。 定理3. 设p满足条件(2)且 u ∈ H 0 2 ( Ω ) 。如果 0 < J ( u 0 ) < d 0 且 I ( u 0 ) > 0 ，则问题(1)的解 u ( t ) 关于t全局存在，且满足： ‖ Δ u ‖ 2 2 ≤ 2 p p − 2 [ J ( u 0 ) + ‖ u 0 ‖ 2 2 ] exp [ − β λ 1 ( p − 2 ) λ 1 ( p − 2 ) + 2 p t ] 定理4. 设p满足条件(2)且 u ∈ H 0 2 ( Ω ) 。如果 0 < J ( u 0 ) < d 0 且 I ( u 0 ) < 0 ，则问题(1)的弱解在有限时 间T爆破，即 lim t → T ∫ 0 t ‖ u ‖ 2 2 d τ = + ∞ ，且 T > ‖ u 0 ‖ 2 2 − 2 Γ 2 Γ C ˜ ( Γ − 1 ) . 其中 Γ = θ ( p + ρ 1 ) 2 − ( 1 − θ ) ( p + ρ 1 ) > 1 ， C ˜ = ( C ^ p + ρ 1 ρ 1 ( 1 − θ ) ( p + ρ 1 ) 2 ) 2 2 − ( 1 − θ ) ( p + ρ 1 ) ， C ^ = sup H 0 2 ( Ω ) ∖ { 0 } ‖ u ‖ p + ρ 1 ‖ Δ u ‖ 2 1 − θ ‖ u ‖ 2 θ ∈ ( 0 ， ∞ ) ， θ = 2 ∗ ⋅ 2 − 2 ( p + ρ 1 ) 2 ∗ ( p + ρ 1 ) − 2 ( p + ρ 1 ) ∈ ( 0 ， 1 ) ， 2 ∗ = 2 N N − 4 . 注：上述式中的 θ ， C ^ ， Γ 是有意义的，且满足 θ ∈ ( 0 ， 1 ) ， Γ > 1 。事实上，1. 由于 ρ 1 ∈ ( 0 ， 2 ∗ − p ) ， p ∈ ( 2 ， 2 ∗ ) ，我们有 p + ρ 1 < 2 ∗ ， 故 θ > 0 。另外，由 p + ρ 1 > 2 ，知 2 ⋅ 2 ∗ < 2 ∗ ( p + ρ 1 ) ，即 2 ⋅ 2 ∗ − 2 ( p + ρ 1 ) < 2 ∗ ( p + ρ 1 ) − 2 ( p + ρ 1 ) ，因此 θ < 1 。 2. 由插值不等式及 2 < p + ρ 1 < 2 ∗ 知存在常数C使得 ‖ u ‖ p + ρ 1 ≤ C ‖ u ‖ 2 ∗ 1 − θ ‖ u ‖ 2 θ ， 由 H 0 2 ( Ω ) 可嵌入 L 2 ∗ ( Ω ) ，则存在常数 S 2 ∗ 满足 S 2 ∗ = sup 0 ≠ u ∈ H 0 2 ( Ω ) ‖ u ‖ 2 ∗ ‖ Δ u ‖ 2 . 则 ‖ u ‖ p + ρ 1 ≤ C S 2 ∗ 1 − θ ‖ Δ u ‖ 2 1 − θ ‖ u ‖ 2 θ . 其中 θ 满足 1 p + ρ 1 = 1 − θ 2 ∗ + θ 2 . 因此， C ^ = C S 2 ∗ 1 − θ 是有意义的。 3. 我们证明 Γ > 1 ，事实上，由 Γ 和 θ 的定义，直接计算，我们有 Γ = 2 ( 2 ∗ − p − ρ 1 ) 2 ( 2 ∗ − 2 ) − 2 ∗ ( p + ρ 1 − 2 ) (16) 又因 ρ 1 < 2 ∗ − p ，我们有 2 ∗ ( p + ρ 1 − 2 ) < 2 ( 2 ∗ − 2 ) ， 再由 p + ρ 1 < 2 ∗ 和(16)，有 Γ > 1 ⇔ 2 ( 2 ∗ − p − ρ 1 ) > 2 ( 2 ∗ − 2 ) − 2 ∗ ( p + ρ 1 − 2 )               ⇔ 2 ∗ ( p + ρ 1 − 2 ) > 2 ( 2 ∗ − 2 ) − 2 ( 2 ∗ − p − ρ 1 ) = 2 ( p + ρ 1 − 2 ) . (17)