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user: 2. 口碑传播模型 在社交网络中进行口碑传播，如果某一个消费者从没有听闻或接触过某产品，那么该消费者通过与其朋友或邻居进行交流，通过朋友或邻居的口碑，那么该消费者就有可能去购买产品甚至是参与口碑传播。假定市场中潜在消费者是否会购买某新产品，取决于该消费者对该产品的感知阈值 θ i ，即该消费者的好友中购买该产品并通过口碑告知该消费者的比例。这意味着，当消费者的朋友中已经有足够多的人购买了产品，该消费者就会去购买产品。由于消费者对于质量的偏好、知识以及需求等方面的异质性，导致感知阈值 θ i 呈均匀分布 θ i ~ U [ 0 ， 1 ] 。然而在不同时刻消费者的朋友中向其传播口碑的人数是不同的，这就是该消费者的感知值，用 θ i t 表示。但是购买产品之后，并不是所有的消费者都会购买，消费者以 β 的概率进行口碑传播。同样，消费者是否会继续口碑传播，取决于该消费者的停播阈值 α i ，即该消费者向其朋友传播口碑时，朋友中已经购买产品的比例。这意味着，当消费者的朋友中已经有足够多的人购买了产品，该消费者就会失去口碑传播的动力。假设停播阈值 α i 同样呈均匀分布 α i ~ U [ 0 ， 1 ] 。同理，在不同时刻，消费者在传播口碑时所获悉的朋友中购买的人数是不同的，这就是该消费者的停播值，用 α i t 表示。 在此基本情景下，考虑在产品的销售季到来之前，企业通过免费试用产品使部分人体验了该产品，使得有关该新产品的口碑出现在市场。现对该模型作如下假设。 2.1. 模型假设 (1) 市场中有N个消费者 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ，组成无标度的社交网络，下标i则表示为不同的消费者，他们沿着一个有N个节点的无向图相互连接。该社交网络具有严重的异质性，即各个节点之间的连接状况具有严重的不均匀性。对于个体 i ∈ N ，其社交互动水平用k表示，称为度数，即在社交网络上该消费者有k个朋友。 (2) 将网络中抽象成节点的消费者分为以下四种状态： ① 状态S—未接收到口碑，但有概率会接收到口碑； ② 状态SI—接收到口碑并以一定概率购买产品，但不确定是否传播口碑； ③ 状态IR—接收到口碑并购买产品，且确定传播口碑； ④ 状态R—接收到口碑并购买产品，且不会传播口碑。 (3) 口碑传播的状态转移规则。当口碑在社交网络上传播时，状态S、状态SI、状态IR、状态R四类消费者的转换情况如图1所示。借鉴SIR传播模型，假定口碑由源头节点(即一开始被广告或免费体验产品的消费者)发起，口碑传播的过程：当处于状态I的消费者(口碑传播者，即活跃的消费者，这里包括状态SI和状态IR)试图向其相连的节点(即该消费者的社会关系)传播口碑时，若未达到停播阈值 α i 时，会向其相连的节点继续传播口碑，使得状态S的消费者(不了解这款产品的潜在消费者)以感知率 γ 达到及超过其感知阈值 θ i ，从而购买产品，进入SI状态，进而以口碑传播率 β 进入IR状态变成传播者。其他则以免疫率 μ 进入状态R(免疫节点，即不再进行口碑传播)，且 β + μ = 1 ；若处于状态IR的消费者以口碑停播率 ω 达到停播阈值 α i 时，传播者将立即进入状态R，停止进行口碑传播。值得说明的是，这里的参数对应于网络上的所有消费者。 图1. 口碑传播状态转移规则 文章用感知阈值 θ i 描述消费者对口碑的感知敏感度，用停播阈值 α i 描述消费者对口碑的停播敏感度。则根据假设(3)，网络上所有消费者的状态转移时的数学表达式为 P S → SI = { γ ， 若 θ i t ≥ θ i 0 ， 若 θ i t < θ i ， P SI → IR = { β ， 若 θ i t ≥ θ i 0 ， 若 θ i t < θ i P SI → R = { μ ， 若 θ i t ≥ θ i 0 ， 若 θ i t < θ i ， P IR → R = { ω ， 若 α i t ≥ α i 0 ， 若 α i t < α i (1) 其中， θ i t 和 α i t 分别表示t时示刻时，某消费者的感知值和停播值。 2.2. 模型建立 为了刻画口碑传播过程，用 S ( t ) ， S I ( t ) ， I R ( t ) 和 R ( t ) 分别表示t时刻 处于状态S、状态SI、状态IR和状态R的消费者数目，所以有 N = S ( t ) + S I ( t ) + I R ( t ) + R ( t ) ，N是该网络上的消费者总数目。同时，记t时刻处于不同状态 的网络消费者比例分别是 { s ( t ) = S ( t ) / N s i ( t ) = S I ( t ) / N i r ( t ) = I R ( t ) / N r ( t ) = R ( t ) / N (2) 建立口碑传播动力学模型，则S、SI、IR、R四种状态下的消费者随时间的变化率可以用如下所示的微分方程组表示： { d s d t = − γ s ( t ) s i ( t ) d s i d t = − γ s ( t ) s i ( t ) − β s i ( t ) i r ( t ) − μ s i ( t ) d i r d t = β s i ( t ) i r ( t ) − ω i r ( t ) d r d t = μ s i ( t ) + ω i r ( t ) (3) 由微分方程组(3)，假设各个状态一开始的比例为 s i ( 0 ) = 10 − 6 ， i r ( 0 ) = 10 − 3 ，之所以这样设置，是因为这里假定是企业在一开始通过营销努力(sales efforts)，比如免费试用产品等措施，使得市场上一开始就有了少数的购买产品并且传播口碑的消费者，仿真也是从此刻开始。因此，可得 s ( 0 ) = 1 − 10 − 6 − 10 − 3 。并且设置各个状态之间的转换比率为 γ = 0.561 ， β = 0.862 ， μ = 0.139 ， ω = 0.01 ，将时间步长设置为 t = 400 ，仿真过程如图2所示。 图2. SIR模型的口碑传播仿真 由图2可以看出，在口碑传播的过程中，当传播开始不久后，状态S的消费者迅速减少，状态R的消费者迅速增加，即当产品刚发布不久之后，此时的口碑传播是最有效且最迅速的。同时，状态SI的消费者也迅速增加，然而当状态S的消费者与状态R的消费者的相等时，状态SI的消费者开始迅速减少。此时状态IR的消费者也开始缓慢增加，直到状态SI的消费者趋向于0时，状态IR的消费者开始减少直至趋向于0。即当口碑传播结束时，网络上仅存在状态S与状态R的消费者，这表明了网络中总有不能达到其感知阈值的消费者，但是随着时间的增加，状态I的消费者都能达到其停播阈值，从而都进入状态R。 每一模拟时间步t 中处于状态I和状态R的消费者数目之和是口碑的传播规模，体现口碑的潜在积极影响，即口碑传播的覆盖率 λ 定义为状态I节点与R节点之和占所有节点的比例，即： λ = ( I ( t ) + R ( t ) ) / N = 1 − S ( t ) / N (4) 本模型的主要参数说明如表1所示。 Table 1 Description of main parameters of the mode 参数 参数定义 参数说明 θ i 感知阈值 接收口碑与购买的临界值 θ i t 感知值 t 时刻时的感知值，随时间t变化 α i 停播阈值 停止口碑传播的临界值 α i t 停播值 t时刻时的停播值，随时间t变化 γ 感知率 所有消费者中超过感知阈值的概率 β 口碑传播率 购买产品的消费者中参与口碑传播的概率 μ 免疫率 购买产品的消费者中不参与口碑传播的概率 ω 口碑停播率 参与口碑传播的消费者中最后停止传播的概率 λ 覆盖率 购买产品的消费者所占的比例 k 度数 某消费者的朋友的个数 ρ i k 购买比例 某消费者的朋友中购买产品的比例 表1. 模型主要参数说明