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user: 4. 离散梯度格式下的随机共形动量演化规律 众所周知，构造出可以保持原始系统物理性质的数值格式具有重要意义，因此，在本节中，提出了一种数值格式，可以保持随机共形动量演化规律，下面我们就先来介绍一下这种数值格式。 在本篇论文中，我们考虑一种均匀的网格 ( x j ， t n ) ，时间步长 Δ t = T N T ，空间步长 Δ x = x R − x L N X ，这里 N X 和 N T 分别为沿空间方向和时间方向的子区间数， x j + 1 = x j + Δ x ， t n + 1 = t n + Δ t ， u j n = u ( x j ， t n ) ， χ ˙ j n 为 χ ˙ 的离散形式 χ ˙ j n = W ( x j ， t n + 1 ) − W ( x j ， t n ) Δ t ， 此外，我们需要引入微分算子 D r 1 t r 2 z n = e r 1 Δ t z n + 1 − e − r 2 Δ t z n Δ t ，     D x z j = z j + 1 − z j Δ x ， 以及平均算子 A r 1 t r 2 z n = e r 1 Δ t z n + 1 + e − r 2 Δ t z n 2 ，     A x z j = z j + 1 + z j 2 ， 移位算子 T t z = z j n + 1 ，     T x z = z j + 1 n ， 和定义离散梯度 ∇ ¯ S ( z ^ ， z ) ，作为连续函数满足下面的条件 lim z ^ → z ∇ ¯ S ( z ^ ， z ) = ∇ ¯ S ( z ， z ) = ∇ S ( z ) ， 为了方便，我们将在论文中使用一些缩写 D t r = D 0 t r ， D r t = D r t 0 ， D t = D 0 t 0 ， A t r = A 0 t r ， A r t = A r t 0 和 A t = A 0 t 0 。 引理1 算子之间的互换，例如 A r 1 t r 2 A x u = A x A r 1 t r 2 u ，     D r 1 t r 2 A x u = A x D r 1 t r 2 u ，     A r 1 t r 2 D x u = D x A r 1 t r 2 u . 引理2 算子 D r 1 t r 2 ， D x ， A r 1 t r 2 和 A x 满足离散乘法法则 D 2 r 1 t 2 r 2 〈 u ， v 〉 = 〈 D r 1 t r 2 u ， A r 1 t r 2 v 〉 + 〈 A r 1 t r 2 u ， D r 1 t r 2 v 〉 ， D x 〈 u ， v 〉 = 〈 D x u ， A x v 〉 + 〈 A x u ， D x v 〉 . 在时间方向和空间方向上使用共形隐式中点格式 [ 4 ]，我们能够得到方程(3)的离散梯度格式 M ( D t a A x z j n ) + K ( D x A t a z j n ) = ∇ ¯ S 0 ( A t a T x z j n ， A t a z j n ) + ∇ ¯ S 1 ( A t a T x z j n ， A t a z j n ) χ ˙ 1 j n + ∇ ¯ S 2 ( A t a T x z j n ， A t a z j n ) χ ˙ 2 j n (5) 定理2 随机共形离散梯度格式(5)保持离散的随机共形动量演化规律 D x [ S 0 ( A t a z j n ) + 1 2 〈 D t a z j n ， M A t a z j n 〉 ] + D t 2 a ( 1 2 〈 A x z j n ， M D x z j n 〉 ) = − 〈 D x A t a z j n ， ∇ S 1 ( A t a z j n ) χ ˙ 1 j n + ∇ S 2 ( A t a z j n ) χ ˙ 2 j n 〉 . 证明：将等式(5)与 D x A t a z j n 做内积 〈 D x A t a z j n ， M D t a A x z j n 〉 + 〈 D x A t a z j n ， K D x A t a z j n 〉 = 〈 D x A t a z j n ， ∇ ¯ S 0 ( A t a T x z j n ， A t a z j n ) 〉 + 〈 D x A t a z j n ， ∇ ¯ S 1 ( A t a T x z j n ， A t a z j n ) χ ˙ 1 j n 〉     + 〈 D x A t a z j n ， ∇ ¯ S 2 ( A t a T x z j n ， A t a z j n ) χ ˙ 2 j n 〉 ， 其中 〈 D x A t a z j n ， K D x A t a z j n 〉 = 0 ，上式等价于 〈 D x A t a z j n ， M D t a A x z j n 〉 = 〈 D x A t a z j n ， ∇ S 0 ( A t a z j n ) 〉 + 〈 D x A t a z j n ， ∇ S 1 ( A t a z j n ) χ ˙ 1 j n 〉 + 〈 D x A t a z j n ， ∇ S 2 ( A t a z j n ) χ ˙ 2 j n 〉 ， 又由于 〈 D x A t a z j n ， M D t a A x z j n 〉 = − 〈 D t a A x z j n ， M D x A t a z j n 〉 ，可得 〈 D x A t a z j n ， ∇ S 0 ( A t a z j n ) 〉 + 〈 D t a A x z j n ， M D x A t a z j n 〉 = − 〈 D x A t a z j n ， ∇ S 1 ( A t a z j n ) χ ˙ 1 j n 〉 − 〈 D x A t a z j n ， ∇ S 2 ( A t a z j n ) χ ˙ 2 j n 〉 . 故我们只需要证明 〈 D x A t a z j n ， ∇ S 0 ( A t a z j n ) 〉 + 〈 D t a A x z j n ， M D x A t a z j n 〉 = D x [ S 0 ( A t a z j n ) + 1 2 〈 D t a z j n ， M A t a z j n 〉 ] + D t 2 a ( 1 2 〈 A x z j n ， M D x z j n 〉 ) ， 我们注意到 〈 D x A t a z j n ， ∇ S 0 ( A t a z j n ) 〉 = D x S 0 ( A t a z j n ) ，然后应用引理2得到 2 〈 D t a A x z j n ， M D x A t a z j n 〉 = 〈 D t a A x z j n ， M D x A t a z j n 〉 + 〈 A t a A x z j n ， M D x D t a z j n 〉   − 〈 A t a A x z j n ， M D x D t a z j n 〉 + 〈 D t a A x z j n ， M D x A t a z j n 〉 = 〈 D t a A x z j n ， M D x A t a z j n 〉 + 〈 A t a A x z j n ， M D x D t a z j n 〉   + 〈 D x D t a z j n ， M A x A t a z j n 〉 + 〈 D t a A x z j n ， M D x A t a z j n 〉 = D t 2 a 〈 A x z j n ， M D x z j n 〉 + D x 〈 D t a z j n ， M A t a z j n 〉 因此我们有 D x [ S 0 ( A t a z j n ) + 1 2 〈 D t a z j n ， M A t a z j n 〉 ] + D t 2 a ( 1 2 〈 A x z j n ， M D x z j n 〉 ) + 〈 D x A t a z j n ， ∇ S 1 ( A t a z j n ) χ ˙ 1 j n + ∇ S 2 ( A t a z j n ) χ ˙ 2 j n 〉 = 0 证明完毕。