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user: 2. 预备知识 引理2.1 [ 9 ] (Rabinowitz全局分歧定理)设E是Banach空间，考虑方程 x = μ L x + N ( μ ， x ) ，         μ ∈ ℝ ，         x ∈ E (2.1) 假定： (A1) 算子 L : E → E 为线性紧算子； (A2) 非线性算子 N : ℝ × E → E 全连续，且 lim x → 0 ‖ N ( μ ， x ) ‖ ‖ x ‖ = 0 ； (A3) μ 0 为L在E中的本征值，且其代数重数 χ ( μ 0 ) 为奇数，其中 χ ( μ 0 ) = dim { ∪ m = 1 ∞ ker ( ( I − μ 0 L ) m ) } 记 C ( μ 0 ) 为(2.1)式的非平凡解的闭包中包含点 C ( μ 0 ) 的连通分支，则有以下两种情形之一出现： i) C ( μ 0 ) 无界； ii) C ( μ 0 ) 还连接 ( μ ˜ ， 0 ) ， μ ˜ 是不同于 μ 0 的本征值。 引理2.2 [ 9 ] (Krein-Rutman定理)设E是一个Banach空间，记 L ( E ) 为有界线性算子 T : E → E 的全体 在范数 ‖ T ‖ = sup { ‖ T x ‖ | ‖ x ‖ = 1 } 下构成的Banach空间， r ( T ) = sup { | λ | | λ ∈ ρ ( T ) } 是T的谱半径。 K ⊂ X 是 一个锥，满足 K \ K ¯ = E ，设 T ∈ L ( E ) 是一个紧的正算子，且 r ( T ) > 0 ，则 r ( T ) 是T的具有正特征函数的特征值。 引理2.3 [ 2 ] 假设 h ( t ) ∈ C ( [ 0 ， 1 ] ， ℝ ) ，若 0 < η < 1 ， 1 < α < 1 η ，则线性边值问题 { − u ( 3 ) ( t ) = h ( t ) ，       t ∈ [ 0 ， 1 ] ， u ( 0 ) = u ′ ( 0 ) = 0 ，                             u ′ ( 1 ) = α u ′ ( η ) (2.2) 存在唯一解 u ( t ) ，且 u ( t ) = ∫ 0 1 G ( t ， s ) h ( s ) d s . (2.3) 其中 G ( t ， s ) = 1 2 ( 1 − α η ) { ( 2 t s − s 2 ) ( 1 − α η ) + t 2 s ( α − 1 ) ，                         s ≤ min { η ， t } ， t 2 ( 1 − α η ) + t 2 s ( α − 1 ) ，                                                               t ≤ s ≤ η ， ( 2 t s − s 2 ) ( 1 − α η ) + t 2 ( α η − s ) ，                       η ≤ s ≤ t ， t 2 ( 1 − s ) ，                                                                                                                                                                                   max { η ， t } ≤ s . 引理2.4 [ 2 ] 令 0 < η < 1 且 1 < α < 1 η ，则有 0 ≤ G ( t ， s ) ≤ g 0 ( s ) = 1 + α 1 − α η s ( 1 − s ) ， ∀ ( t ， s ) ∈ [ 0 ， 1 ] × [ 0 ， 1 ] . (2.4) 引理2.5 [ 2 ] 令 0 < η < 1 且 1 < α < 1 η ，则有 G ( t ， s ) ≥ κ 0 g 0 ( s ) ，                   ∀ ( t ， s ) ∈ [ η α ， η ] × [ 0 ， 1 ] ， (2.5) 其中 0 < κ 0 = η 2 2 α 2 ( 1 + α ) min { α − 1 ， 1 } < 1 。 引理2.6 [ 2 ] Green函数 G ( t ， s ) 的一阶导数为 ∂ G ∂ t ( t ， s ) = 1 1 − α η { s ( 1 − α η ) + t s ( α − 1 ) ，                                     s ≤ min { η ， t } ， t ( 1 − α η ) + t s ( α − 1 ) ，                 t ≤ s ≤ η ， s ( 1 − α η ) + t ( α η − s ) ，             η ≤ s ≤ t ， t ( 1 − s ) ，                                                                                                                     max { η ， t } ≤ s . 设 0 < η < 1 且 1 < α < 1 η ，则有 i) 0 ≤ ∂ G ∂ t ( t ， s ) ≤ g 1 ( s ) = 1 − s 1 − α η ， ∀ ( t ， s ) ∈ [ 0 ， 1 ] × [ 0 ， 1 ] ； ii) ∂ G ∂ t ( t ， s ) ≥ κ 1 g 1 ( s ) ， ∀ ( t ， s ) ∈ [ η α ， η ] × [ 0 ， 1 ] ， 0 < κ 1 = η < 1 。 设 Y = C [ 0 ， 1 ] ， E = C 1 ( [ 0 ， 1 ] ， ℝ ) 分别在范数 ‖ u ‖ ∞ = max t ∈ [ 0 ， 1 ] | x ( t ) | 和 ‖ u ‖ = max { ‖ u ‖ ∞ ， ‖ u ′ ‖ ∞ } 下构成Banach空间。我们定义锥 K = { u ∈ E : u ( t ) ≥ 0 ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ， u ′ ( t ) ≥ 0 ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ， min t ∈ [ η α ， η ] u ( t ) ≥ κ 0 ‖ u ‖ ∞ ， min t ∈ [ η α ， η ] u ′ ( t ) ≥ κ 1 ‖ u ′ ‖ ∞ } . 定义积分算子 T : E → E ， T u ( t ) = λ ∫ 0 1 G ( t ， s ) f ( s ， u ( s ) ， u ′ ( s ) ) d s ， t ∈ [ 0 ， 1 ] . 引理2.7 假设(H1)-(H2)成立，则 T : K → K 是全连续算子。 证明 先证对任意 u ∈ K ，有 T u ∈ K 。 显然， T u ( t ) ≥ 0 ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ，根据引理2.4可得 T u ( t ) = λ ∫ 0 1 G ( t ， s ) f ( s ， u ( s ) ， u ′ ( s ) ) d s ≤ λ ∫ 0 1 g 0 ( s ) f ( s ， u ( s ) ， u ′ ( s ) ) d s . 则有 ‖ T u ‖ ∞ ≤ λ ∫ 0 1 g 0 ( s ) f ( s ， u ( s ) ， u ′ ( s ) ) d s . 所以，对 t ∈ [ η α ， η ] ，由引理2.4及引理2.5，我们有 T u ( t ) = λ ∫ 0 1 G ( t ， s ) f ( s ， u ( s ) ， u ′ ( s ) ) d s ≥ λ ∫ 0 1 κ 0 g 0 ( s ) f ( s ， u ( s ) ， u ′ ( s ) ) d s ≥ κ 0 ‖ T u ‖ ∞ ， 可推得 min t ∈ [ η α ， η ] T u ( t ) ≥ κ 0 ‖ T u ‖ ∞ . 其次，由于 ∂ G ∂ t ( t ， s ) ≥ 0 ， ( t ， s ) ∈ [ 0 ， 1 ] × [ 0 ， 1 ] ，可直接证得 ( T u ) ′ ( t ) ≤ λ ∫ 0 1 ∂ G ∂ t ( t ， s ) f ( s ， u ( s ) ， u ′ ( s ) ) d s . 根据引理2.6，可得 ( T u ) ′ ( t ) ≤ λ ∫ 0 1 g 1 ( s ) f ( s ， u ( s ) ， u ′ ( s ) ) d s ， (2.6) 对(2.6)式取上确界， t ∈ [ 0 ， 1 ] ， ‖ ( T u ) ′ ‖ ∞ ≤ λ ∫ 0 1 g 1 ( s ) f ( s ， u ( s ) ， u ′ ( s ) ) d s . 所以，对 t ∈ [ η α ， η ] ，由引理2.6得 ( T u ) ′ ( t ) ≥ λ ∫ 0 1 κ 1 g 1 ( s ) f ( s ， u ( s ) ， u ′ ( s ) ) d s ≥ κ 1 ‖ ( T u ) ′ ‖ ∞ ， 则 min t ∈ [ η α ， η ] T u ( t ) ≥ κ 1 ‖ ( T u ) ′ ‖ ∞ . 故 min t ∈ [ η α ， η ] T u ( t ) ≥ max { κ 0 ‖ T u ‖ ∞ ， κ 1 ‖ ( T u ) ′ ‖ ∞ } . 所以 T u ∈ K 。 再证T是一个紧算子。设 B = { u ∈ E ; ‖ u ‖ ≤ r ， ∀ r > 0 } 。 下证 T ( B ) 在 C 1 [ 0 ， 1 ] 上一致有界，由于 u ∈ B ，因此存在一个与r有关的函数 ϕ r ( s ) ，使得对任意的 s ∈ [ 0 ， 1 ] ，有 f ( s ， u ( s ) ， u ′ ( s ) ) ≤ ϕ r ( s ) ，所以有 ‖ T u ‖ ∞ = sup t ∈ [ 0 ， 1 ] | λ ∫ 0 1 G ( t ， s ) f ( s ， u ( s ) ， u ′ ( s ) ) d s | ≤ λ ∫ 0 1 g 0 ( s ) f ( s ， u ( s ) ， u ′ ( s ) ) d s ≤ λ ∫ 0 1 g 0 ( s ) ϕ r ( s ) d s : = M 0 ‖ ( T u ) ′ ‖ ∞ = sup t ∈ [ 0 ， 1 ] | λ ∫ 0 1 ∂ G ∂ t ( t ， s ) f ( s ， u ( s ) ， u ′ ( s ) ) d s | ≤ λ ∫ 0 1 g 1 ( s ) f ( s ， u ( s ) ， u ′ ( s ) ) d s ≤ λ ∫ 0 1 g 1 ( s ) ϕ r ( s ) d s : = M 1 则有 ‖ T u ‖ ≤ max { M 0 ， M 1 } ， ∀ u ∈ B . 再证 T ( B ) 在 C 1 [ 0 ， 1 ] 上等度连续，对任意 t 1 ， t 2 ∈ [ 0 ， 1 ] ，不妨设 t 1 < t 2 ，则 | T u ( t 1 ) − T u ( t 2 ) | ≤ λ ∫ 0 1 | G ( t 1 ， s ) − G ( t 2 ， s ) | f ( s ， u ( s ) ， u ′ ( s ) ) d s ≤ λ ∫ 0 1 | G ( t 1 ， s ) − G ( t 2 ， s ) | ϕ r ( s ) d s . 因为 G ( ⋅ ， s ) 连续，则对任意的 ε > 0 ，存在 δ ( ε ) > 0 ，使得当 | t 2 − t 1 | < δ 时，有 | T u ( t 1 ) − T u ( t 2 ) | < ε 。 同样的， | ( T u ) ′ ( t 1 ) − ( T u ) ′ ( t 2 ) | ≤ λ ∫ 0 1 | ∂ G ∂ t ( t 1 ， s ) − ∂ G ∂ t ( t 2 ， s ) | f ( s ， u ( s ) ， u ′ ( s ) ) d s ≤ λ ∫ 0 1 | ∂ G ∂ t ( t 1 ， s ) − ∂ G ∂ t ( t 2 ， s ) | ϕ r ( s ) d s 因为 ∂ G ∂ t ( ⋅ ， s ) 连续，则对任意的 ε > 0 ，存在 δ ( ε ) > 0 ，使得当 | t 2 − t 1 | < δ 时，有 | ( T u ) ′ ( t 1 ) − ( T u ) ′ ( t 2 ) | < ε 。 所以， T ( B ) 在 C [ 0 ， 1 ] 上等度连综上， T : K → K 是全连续算子，结论得证。 引理2.8 假设(H2)-(H3)成立，则线性特征值问题(1.4)具有第一个特征值 λ 1 ( l ， m ) 是简单的，并且对应的特征函数 φ 1 同样为正。 证明 显然，锥K是正规锥且有非空内部， K \ K ¯ = E ，K是一个完全锥。由引理2.7可知，T是一个紧的正算子。进一步，根据引理2.2可知T的谱半径 r ( T ) > 0 是简单特征值，且存在 φ 1 > 0 ，使得 T φ 1 = r ( T ) φ 1 。