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user: 3. 基于亏量校正方法的恢复型误差估计子 3.1. 恢复型误差估计子 本小节中，我们将构造出一个恢复型误差估计子并分析它的性质。假设 ( u h ， p h ， T h ) 数值结果，我们考虑应力张量 σ : = ∇ u − p I + ∇ T ，和它的有限元近似 σ n h : = ∇ u n h − p n h I + ∇ T n h 。 其中I是 2 × 2 的单位矩阵。Zienkienwicz-Zhu估计子的主要思想是将间断有限元梯度进行恢复得到一个连续的恢复项G (参考 [ 10 ] [ 11 ] )。 在 τ h 中分别定义 N ， N h ， ϕ v 和 ω v 为：在 τ h 中所有顶点的集合，在 τ h 中的在 Ω 内部所有顶点的集合，v ( ∀ v ∈ N )的基函数共享一个顶点v的所有单元的集合 ( ω v : = supp ϕ z ) 。 结合文献 [ 11 ] 中的超收敛片恢复技巧将分片常数张量 σ n h 恢复到连续的从而获得一个恢复应力张量 G ( σ n h ) 。 对任意顶点 v ∈ N 和它的片 ω v ，定义 G ( σ n h ) ( v ) = ∑ T ∈ ω v ( | T | σ n h ) / | ω v | ， 其中 | T | 是三角剖分T的面积。细节可以参考文献 [ 12 ] 。 构造一个恢复型误差估计子。定义局部误差和全局误差： η T : = ‖ σ n h − G ( σ n h ) ‖ T ，   η : = ( ∑ T ∈ τ h η T 2 ) 1 2 . 恢复型误差估计子 η T 有以下几个重要性质。证明方式与文献( [ 12 ] [ 13 ] )相似，不再赘述。 引理3.1：根据上述 σ n h 和 G ( σ n h ) 的定义，存在两个与网格无关的常数 C 1 和 C 2 有 C 1 ( ‖ [ σ n h ⋅ n e ] ‖ S h + ‖ [ p n h ] e ‖ S h + ‖ [ ∇ T n h ] e ‖ S h ) n e ≤ ‖ σ n h − G ( σ n h ) ‖ ≤ C 2 ( ‖ [ σ n h ⋅ n e ] ‖ S h + ‖ [ p n h ] e ‖ S h + ‖ [ ∇ T n h ] e ‖ S h ) . 引理3.2：根据上述 σ n h 和 G ( σ n h ) 的定义，存在一个与网格无关的常数C，可以得到以下 ‖ [ ∇ u h ⋅ n e ] ‖ S h 和 ‖ [ ∇ T h ] e ‖ S h 误差估计 C ( ‖ [ ∇ u n h ⋅ n e ] ‖ S h + ‖ [ p n h ] e ‖ S h + ‖ [ ∇ T n h ] e ‖ S h ) ≤ ‖ [ ∇ σ n h ⋅ n e ] ‖ S h + ‖ [ p n h ] e ‖ S h . 3.2. 可靠性和有效性分析 定理3.1：假设 ( u ， p ， T ) 和 ( u n h ， p n h ， T n h ) 分别是(2.6)和(2.17)的解，存在一个与网格无关的正常数C有 ‖ ∇ ( u − u n h ) ‖ 0 + ‖ p − p n h ‖ 0 + ‖ ∇ ( T − T n h ) ‖ 0 ≤ C ( η + | log h T ， min | 1 2 η 2 ) . 证明：存在一个强制算子 Q h : X × M × W → X h × M h × W h 有 Q h ( v ， q ， s ) = ( I h v ， 0 ， I h s ) . 因此，根据引理3.1，引理3.2，用Cauchy-Schwarz不等式，有 〈 B h ( ( u n h ， p n h ， T n h ) ) ， ( I h d − Q h ) ( v ， q ， s ) 〉 X h × M h × W h = P r a ( u n h ， ( I h d − Q h ) v ) − d ( ( I h d − Q h ) v ， p n h )     + d ( u n h ， ( I h d − Q h ) q ) + b ( u n h ; u n h ， ( I h d − Q h ) v )     + κ a ¯ ( T n h ， ( I h d − Q h ) s ) + b ¯ ( u n h ; T n h ， ( I h d − Q h ) s )     − P r R a ( j T n h ， ( I h d − Q h ) v ) − ( γ ， ( I h d − Q h ) s ) ≤ ∑ e ∈ S h ( [ σ h ⋅ n e ] ， v − I h v ) e + C η ‖ q ‖ 0 + C η ‖ v ‖ 1 + b ( u n h ; u n h ， ( I h d − Q h ) v )     + b ¯ ( u n h ; T n h ， ( I h d − Q h ) s ) + ( γ ， ( I d − Q h ) s ) ≤ C ( η + | log h T ， min | 1 2 η 2 ) ‖ ∇ v ‖ 0 + ‖ q ‖ 0 + ‖ ∇ s ‖ 0 . 根据 B h 的定义，近似解 ( u n h ， p n h ， T n h ) 满足 〈 B h ( ( u n h ， p n h ， T n h ) ) ， Q h ( v ， q ， s ) 〉 X h × M h × W h = 0 。 同时满足 〈 B ( ( u n h ， p n h ， T n h ) ) ， Q h ( v ， q ， s ) 〉 X × M × W = 0 。所以，结合引理，可得一下估计 ‖ ∇ ( u − u n h ) ‖ 0 + ‖ p − p n h ‖ 0 + ‖ ∇ ( T − T n h ) ‖ 0 ≤ C ( η + | log h T ， min | 1 2 η 2 ) . 定理3.1得证。 从引理3.1，可得 η ≤ C ( ‖ [ σ n h ⋅ n e ] ‖ S h + ‖ [ p n h ] e ‖ S h + ‖ [ ∇ T n h ] e ‖ S h ) 。 为了证明恢复型误差估计子 η 的有效性，首先需要估计： ‖ [ σ n h ⋅ n e ] ‖ S h ，   ‖ [ p n h ] e ‖ S h 和 ‖ [ ∇ T n h ] e ‖ S h . 引理3.3：假设 ( u ， p ， T ) 和 ( u n h ， p n h ， T n h ) 分别是(2.6)和(2.17)的解。存在一个与网格无关的正常数C有 ‖ [ σ n h ⋅ n e ] ‖ S h ≤ C ‖ ∇ ( u − u n h ) ‖ 0 + ‖ p − p n h ‖ 0 + ‖ ∇ ( T − T n h ) ‖ 0 . 证明：从 σ n h 的定义出发，可得 ‖ [ σ n h ⋅ n e ] ‖ S h ≤ C ‖ [ ( ∇ u n h − p n h I ) ⋅ n e ] ‖ S h + C ‖ [ ∇ T n h ⋅ n e ] ‖ S h ≤ C ‖ ∇ ( u − u n h ) ‖ 0 + ‖ p − p n h ‖ 0 + ‖ ∇ ( T − T n h ) ‖ 0 . 下面定义插分算子 Π : L 2 ( Ω ) → R 1 ， h ( Ω ) 。用迹不等式有 ‖ [ ∇ T n h ] e ‖ S h ≤ ‖ [ ∇ T n h − Π ∇ T ] e ‖ S h ≤ C ( ‖ ∇ T − ∇ T n h ‖ + ‖ ∇ T − Π ∇ T ‖ ) ≤ C ‖ ∇ ( u − u n h ) ‖ 0 + ‖ p − p n h ‖ 0 + ‖ ∇ ( T − T n h ) ‖ 0 . ‖ [ p n h ] e ‖ S h ≤ ‖ [ p n h − Π p ] e ‖ S h ≤ C ( ‖ p − p n h ‖ + ‖ p − Π p ‖ ) ≤ C ‖ ∇ ( u − u n h ) ‖ 0 + ‖ p − p n h ‖ 0 + ‖ ∇ ( T − T n h ) ‖ 0 . 定理3.2：假设 ( u ， p ， T ) 和 ( u n h ， p n h ， T n h ) 分别是(2.6)和(2.17)的解，存在一个与网格无关的常数C有 η ≤ C ‖ ∇ ( u − u n h ) ‖ 0 + ‖ p − p n h ‖ 0 + ‖ ∇ ( T − T n h ) ‖ 0 . 证明：结合上面的估计，用引理3.1和引理3.2，可得 η ≤ C ( ‖ [ σ n h ⋅ n e ] ‖ S h + ‖ [ p n h ] e ‖ S h + ‖ [ ∇ T n h ] e ‖ S h ) ≤ C ‖ ∇ ( u − u n h ) ‖ 0 + ‖ p − p n h ‖ 0 + ‖ ∇ ( T − T n h ) ‖ 0 . 完成了有效性的证明。