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user: 4. 基于相对熵的多属性决策综合评价法 4.1. 现行常用评价方法简述 由于本文将对不同城市地铁工程项目中的PIP进行评价，结合上述PIP综合指标评价体系可知此问题属于多属性决策评价类别。多属性决策即指对于给定的一组方案(离散，有限)，决策者根据一组属性去衡量和判断出各方案的属性值，进而采用某种决策准则比较各方案，对各方案进行排序择优。目前常用的多属性评价方法有简单加权法，层次分析法，灰色关联法，TOPSIS法。简单加权法的基本思想为首先规范化处理决策矩阵，其次确定各属性的权重，然后使用线性加权的方法得出相应的加权值，最终按照各方案加权值的大小依次进行排序；层次分析法是一种定性与定量相结合的方法，其主要思想是将复杂问题依次进行分解，从而形成若干层，再对每一层的不同要素进行两两比较，最后再进行方案层的总排序；灰色关联法即是通过分析不同要素之间的时间序列的几何形状，从而得出要素间关联度的大小。 而本文最终采用的方法为TOPSIS法的改进方法——相对熵排序法。TOPSIS法最初是由Hwang和Yoon [ 10 ]提出的，其主要思想是计算待评价方案与最优及最劣方案之间的相对距离，并以此作为评价依据，对各待评价方案进行排序。这种方法在计算上较为简便，对各方案的评估也较为合理，应用也比较灵活，所以被广泛应用，但在其应用过程中，TOPSIS方法也存在一些问题，比如对于位于正理想方案和负理想方案连线的中垂线上的点，无法进行排序。针对此不足，本文将熵原理与TOPSIS方法结合起来，提出一种相对熵排序法，此方法将TOPSIS法中以计算待评价方案与理想方案之间的几何距离作为评价标准改进为计算两者之间的相对熵，从而有效地解决原TOPSIS方法的不足。 4.2. 相对熵排序方法的具体步骤 设对于某一多属性决策问题，方案集为 A = { A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A m } ，属性集为 F = { f 1 ， f 2 ， ⋯ ， f n } ，决策矩阵 X = ( x i j ) m × n ，其中 x i j 为第i个方案在第j个属性下的属性值， i ∈ M ， j ∈ N 。 M = { 1 ， 2 ， ⋯ ， m } 为方案的下标集， N = { 1 ， 2 ， ⋯ ， n } 为属性的下标集。方案 A i 可记为 A i = ( x i 1 ， x i 2 ， ⋯ ， x i n ) ， i ∈ M 。规定 x i j ≥ 0 ，属性的权重向量为 ω j * = ( ω 1 * ， ω 2 * ， ⋯ ， ω n * ) ，满足 ∑ i = 1 n ω j = 1 ， ω j ≥ 0 ， j ∈ N 。 第一步，构造规范化决策矩阵 Y = ( y i j ) m × n ，对属性进行规范化处理。 y i j = x i j x j max (j为效益型属性) (1) y i j = x j min x i j (j为成本型属性) (2) x j max = max { α 1 j ， α 2 j ， ⋯ ， α m j } ， j = 1 ， ⋯ ， n (3) x j min = min { α 1 j ， α 2 j ， ⋯ ， α m j } ， j = 1 ， ⋯ ， n (4) 第二步，构造加权标准化决策矩阵 Z = ( z i j ) m × n ， z i j = ω j * y i j 。 针对权重 ω j * ，由于指标属性之间的复杂性和决策者的有限理性，若只依赖于决策者的主观判断，则无法得出准确的 ω j * 。所以本文采用主观赋权和客观赋权相结合的方法，从而使得出的 ω j * 更加符合实际。 针对客观赋权部分，本文采用熵模型法。熵模型分配权重的原则是：如果各个方案在第j个属性下的评价值越趋向于一致，那么第j个属性的权重则越小。客观的熵模型如下： ω j ( 1 ) = d j ∑ j = 1 n d j (5) d j = 1 − E j ， E j = − ∑ i = 1 m p i j ln p i j ln m (6) p i j = y i j ∑ i = 1 m y i j (7) 主观权重为 W ( 0 ) = ( ω 1 ( 0 ) ， ⋯ ， ω j ( 0 ) ， ⋯ ， ω n ( 0 ) ) ， 0 ≤ ω j ( 0 ) ≤ 1 ，且满足 ∑ j = 1 n ω j ( 0 ) = 1 。综合权重为： W * = ( ω 1 * ， ⋯ ， ω j * ， ⋯ ， ω n * ) (8) 其中： ω j * = β ω j ( 0 ) + ( 1 − β ) ω j ( 1 ) ，且满足 ∑ j = 1 n ω j * = β ∑ j = 1 n ω j ( 0 ) + ( 1 − β ) ∑ j = 1 n ω j ( 1 ) = 1 。 第三步，确定正负理想点。 正理想方案 Z * = [ 1 ， 1 ， ⋯ ， 1 ] n T (9) 负理想方案 Z − = [ 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ] n T (10) 第四步，计算各方案与理想方案和负理想方案之间的相对熵。 S i * = ∑ j = 1 n { z * log z * z i j + ( 1 − z * ) log ( 1 − z * ) ( 1 − z i j ) } (11) 其中， S i * 为方案 A i 与理想方案 Z * 的相对熵。 S i − = ∑ j = 1 n { z − log z − z i j + ( 1 − z − ) log ( 1 − z − ) ( 1 − z i j ) } (12) 其中， S i − 为方案 A i 与负理想方案 Z − 的想对熵。 第五步，计算各方案与理想方案的相对贴近度 C i * (或 N i * ) C i * = S i − S i * + S i − ， i ∈ M (13) N i * = S i − S i * ， i ∈ M (14) 第六步，排列方案的优先序，按照 C i * (或 N i * )由大到小排列相应方案，位置越前，方案越优。 4.3. 案例分析 某市地铁系统现有5个针对不同地铁线路的PIP，分别为PIP1、PIP2、PIP3、PIP4、PIP5。下面将运用上述相对熵排序法对此5个PIP进行排序。 首先在有关评价指标的数据收集部分，由于所涉及到的指标范围较广并且部分指标专业性较强，所以将采用专家评审与用户评价相结合的方式，同时，针对成本部分的指标，将咨询负责各该地铁项目PIP的财务部门，从而获取各PIP的成本数据。 在进行完原始数据的收集之后，对收集来的数据进行离散化处理，并将最终取值设定为4、3、2、1。依次对应优秀、良好、一般、差4个等级。在进行离散化处理的过程中，需要将效益类指标和成本类指标分别进行处理，最终处理结果如表2： Table 2 Final scoring table of PI 一级指标 二级指标 PIP1 PIP2 PIP3 PIP4 PIP5 A a1 4 4 3 3 3 a2 4 4 3 3 3 B b1 2 1 2 4 3 b2 3 4 3 2 2 b3 2 1 2 4 3 b4 3 4 3 2 2 b5 3 4 3 2 2 b6 3 2 3 2 2 b7 2 2 1 4 1 b8 2 1 2 4 3 b9 3 2 3 2 2 b10 2 1 2 4 3 b11 3 4 3 2 2 C c1 2 2 1 4 1 c2 2 1 2 4 3 c3 3 4 3 2 2 c4 3 2 3 2 2 c5 3 4 3 2 2 D d1 4 4 3 3 3 d2 2 1 2 4 3 d3 2 1 2 4 3 表2. PIP最终得分表 观察表2可知二级评价指标数量过多，应运用粗糙集对指标进行适当约减，具体方法如下： 假设表2即为粗糙集中的决策表T，评价指标的集合为A，论域为U。观察决策表 T = 〈 U ， A 〉 ，在论域U中，当指标 i ， j ∈ A ( i ≠ j ) 针对每个评价对象的最终得分都分别相同时，则认为指标 i ， j 存在冗余，即 需要进一步进行化简。在此种情况下，则应删除指标或者指标，在决策表中即体现为删除对应行。将决策表中的指标不断进行两两比对，重复上述步骤，直到指标约减完毕，没有冗余，最终得出的指标为a1，b10，b11，c1，c4，d1。分别为门户整体美观度，文档管理，项目通信与讨论，架构，网络支持，硬件成本。即此时整体评价指标将被约减如图1。 接下来，运用相对熵排序法，首先构造规范化决策矩阵 Y = ( y i j ) m × n ，对指标评分进行规范化处理。按照效益类指标和成本类指标分别进行处理后得出： Y = [ 1.00 0.50 0.75 0.50 1.00 0.33 1.00 0.25 1.00 0.50 0.67 0.50 0.75 0.50 0.75 0.25 1.00 0.50 0.75 1.00 0.50 1.00 0.67 1.00 0.75 0.75 0.50 0.25 0.67 0.25 ] (15) 然后，构造加权标准化决策矩阵 Z = ( z i j ) m × n ， z i j = ω j * y i j ，综合权重 ω j * 由主观权重和客观权重综合决定，本文的主观权重由相关专家决定，最终得出的主观权重 W ( 0 ) = ( 0.10 ， 0.25 ， 0.20 ， 0.20 ， 0.15 ， 0.10 ) 。同时，通过公式(5)、(6)、(7)，计算得出客观权重 ω j ( 1 ) = ( 0.1870 ， 0.1870 ， 0.0714 ， 0.2805 ， 0.0375 ， 0.2366 ) 。 根据公式 ω j * = β ω j ( 0 ) + ( 1 − β ) ω j ( 1 ) ，当 β = 0.5 时，即主观权重和客观权重所占比例一致时，综合权重的取值： ω j * = ( 0.1185 ， 0.2185 ， 0.1357 ， 0.24025 ， 0.09375 ， 0.1683 ) (16) 则加权化的决策矩阵： 图1. 约简后的项目信息门户评价指标体系 z = [ 0.1185 0.1093 0.1081 0.1201 0.0938 0.0555 0.1185 0.0546 0.1357 0.1201 0.0628 0.0842 0.0889 0.1093 0.1018 0.0601 0.0938 0.0842 0.0889 0.2185 0.0678 0.2402 0.0628 0.1683 0.0889 0.1639 0.0678 0.0601 0.0628 0.0421 ] (17) 确定理想方案 Z * = [ 1 ， 1 ， ⋯ ， 1 ] n T ，负理想方案 Z − = [ 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ] n T ，根据公式(11)、(12)，得出上述5个PIP项目与理想方案之间的相对熵 S i * 依次为14.0086，14.3997，14.5715，12.6085，15.6672。与负理想方案 之间的相对熵 S i − 依次为0.6328，0.6089，0.5646 ，0.9337，0.5122。最后根据公式(13)、(14)，计算各方案与理想方案之间的贴合度，最终得出 C i * 依次为0.0432，0.0406，0.0373，0.0689，0.0317。按照 C i * 从小到大的顺序进行排列，排序越靠前，则对应地铁项目中的PIP越优，最终排序从优到劣依次为PIP4，PIP1，PIP2，PIP3，PIP5。 对排序前两位的PIP4以及PIP1进行比较得知，PIP1在整体美观度、项目通信与讨论、网络支持、硬件成本指标上的得分都优于PIP4，而PIP4在文档管理和架构这两个指标上的得分优于PIP1，最终排序PIP4优于PIP1。由此可得出，对于地铁项目中的PIP，尤其要注意文档的管理、架构这两个部分。通过案例分析也可得出，相对熵排序法运用起来简单，方便，并且评价结果直观，具有一定的推广价值。