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user: 3. 主要结果 定理3.1 设函数 f : B c × [ t 0 ， + ∞ ) → R n ， I j : R n → R n ， { τ j } j ∈ Z + ⊂ [ t 0 ， + ∞ ) 为递增的正实数序列满足 lim j → + ∞ τ j = + ∞ 。并且 f 和 g 满足条件： (B1) 对每个 x ∈ G ( [ t 0 ， + ∞ ) ， B c ) ， u 1 ， u 2 ∈ [ t 0 ， + ∞ ) 积分 ∫ u 1 u 2 f ( x ( t ) ， t ) d t 存在。 (B2) 存在局部Kurzweil可积函数 m : [ t 0 ， + ∞ ) → R + ，对任意的 x ， y ∈ G ( [ t 0 ， + ∞ ) ， B c ) ， [ u 1 ， u 2 ] ⊆ [ t 0 ， + ∞ ) ， u 1 ≥ u 2 ，有 ‖ ∫ u 1 u 2 f ( x ( t ) ， t ) d t ‖ ≤ ∫ u 1 u 2 m ( t ) d t ， ‖ ∫ u 1 u 2 [ f ( x ( t ) ， t ) − f ( z ( t ) ， t ) ] d t ‖ ≤ ‖ x − z ‖ [ t 0 ， + ∞ ) ∫ u 1 u 2 m ( t ) d t . (B3) 对每个 j ∈ Z + ，存在常数 m j ≥ 0 使得 ‖ I j ( x ) ‖ ≤ m j ， ‖ I j ( x ) − I j ( z ) ‖ ≤ ‖ x − z ‖ [ t 0 ， + ∞ ) m j . 则由(2.4) (2.5)式所给的 f ˜ ， g 满足条件： (A1) 函数 g : [ t 0 ， + ∞ ) → R 在 ( t 0 ， + ∞ ) 上是不减左连续的。 (A2) 对每个 x ∈ G ( [ t 0 ， + ∞ ) ， B c ) ， u 1 ， u 2 ∈ [ t 0 ， + ∞ ) 积分 ∫ u 1 u 2 f ( x ( s ) ， s ) d g ( s ) 存在。 (A3) 存在局部Kurzweil可积函数 M : [ t 0 ， + ∞ ) → R + ，使得对任意的 x ， z ∈ G 0 ( [ t 0 ， + ∞ ) ， B c ) ， u 1 ， u 2 ⊆ [ t 0 ， + ∞ ) ， ， u 1 ≥ u 2 时，有 ‖ ∫ u 1 u 2 f ( x ( t ) ， t ) d g ( t ) ‖ ≤ ∫ u 1 u 2 M ( t ) d g ( t ) . (A4) 存在局部Kurzweil可积函数 L : [ t 0 ， + ∞ ) → R + ，使得对任意的 x ， z ∈ G 0 ( [ t 0 ， + ∞ ) ， B c ) ， u 1 ， u 2 ⊆ [ t 0 ， + ∞ ) ， u 1 ≥ u 2 时，有 ‖ ∫ u 1 u 2 [ f ( x ( t ) ， t ) − f ( z ( t ) ， t ) ] d g ( t ) ‖ ≤ ‖ x − z ‖ [ t 0 ， + ∞ ) ∫ u 1 u 2 L ( t ) d g ( t ) . 证明 显然由(2.5)式所给的 g : [ t 0 ， + ∞ ) → R 在 ( t 0 ， + ∞ ) 上是不减左连续的。 当 j ∈ Z + 时，由(2.5)式有 Δ + g ( τ j ) = lim t → τ j + g ( t ) − g ( τ j ) = τ j + + j − ( τ j + j − 1 ) = 1. 当 [ u ， v ] ∩ { τ 1 ， ⋯ ， τ k } = 0 / 时，由(2.5)式有 g ( t ) − g ( u ) = t − u . 所以(2.4) (2.5)式中的 f ， f ˜ ， g 满足引理2.6中的假设条件。由假设对每个 x ∈ G ( [ t 0 ， + ∞ ) ， B c ) u 1 ， u 2 ∈ [ t 0 ， + ∞ ) 积分 ∫ u 1 u 2 f ( x ( t ) ， t ) d t 存在，则由引理2.6积分 ∫ u 1 u 2 f ˜ ( x ( t ) ， t ) d g ( t ) 也存在。 定义 m ˜ : [ t 0 ， + ∞ ) → R + m ˜ ( t ) = { m ( t ) ， t ∈ [ t 0 ， + ∞ ) / { τ j ; j ∈ Z + } ， m j ， t = τ j ， j ∈ Z + . 所以由引理2.6和2.7对每个区间 [ u 1 ， u 2 ] ⊆ [ t 0 ， + ∞ ) ，任意的 x ， y ∈ G ( [ t 0 ， + ∞ ) ， B c ) ，有 ‖ ∫ u 1 u 2 f ˜ ( x ( t ) ， t ) d g ( t ) ‖ = ‖ ∫ u 1 u 2 f ( x ( t ) ， t ) d t + ∑ j = 1 k f ˜ ( x ( τ j ) ， τ j ) ‖ = ‖ ∫ u 1 u 2 f ( x ( t ) ， t ) d t + ∑ j ∈ Z + u 1 ≤ τ j < u 2 I j ( x ) ‖ = ∫ u 1 u 2 m ( t ) d t + ∑ j ∈ Z + u u 1 ≤ τ j < u 2 m j = ∫ u 1 u 2 m ( t ) d t + ∑ j = 1 k m ˜ ( τ j ) = ∫ u 1 u 2 m ˜ ( t ) d g ( t ) . 类似地，有 ‖ ∫ u 1 u 2 [ f ˜ ( x ， t ) − f ˜ ( z ， t ) ] d g ( t ) ‖ = ‖ ∫ u 1 u 2 ( f ( x ， t ) − f ( z ， t ) ) d t + ∑ j = 1 k [ f ˜ ( x ( τ j ) ， η j ) − f ˜ ( z ( τ j ) ， η j ) ] ‖ = ‖ ∫ u 1 u 2 ( f ( x ， t ) − f ( z ， t ) ) d t + ∑ j ∈ Z + u u 1 ≤ τ j < u 2 [ I j ( x ) − I j ( z ) ] ‖ = ‖ x − z ‖ [ t 0 ， + ∞ ) ∫ u 1 u 2 m ( t ) d t + ∑ j ∈ Z + u 1 ≤ τ j < u 2 ‖ x − z ‖ [ t 0 ， + ∞ ) m j j = ‖ x − z ‖ [ t 0 ， + ∞ ) ∫ u 1 u 2 m ( t ) d t + ∑ j = 1 k ‖ x − z ‖ [ t 0 ， + ∞ ) m ˜ ( τ j ) = ‖ x − z ‖ [ t 0 ， + ∞ ) ∫ u 1 u 2 m ˜ ( t ) d g ( t ) . 综上，由(2.4) (2.5)式所给的 f ˜ ， g 满足条件(A1)~(A4)。 定理3.2 设函数 f : B c × [ t 0 ， + ∞ ) → R n ， I j : B c × [ t 0 ， + ∞ ) → R n ， { τ j } j ∈ Z + ⊂ [ t 0 ， + ∞ ) 为递增正实数序列满足 lim j → + ∞ τ j = + ∞ 。且 f ， I j 满足条件(B1)~(B3)假定对每 ( x 0 ， s 0 ) ∈ B c × [ t 0 ， + ∞ ) ， j ∈ Z + ，有 x 0 + I j j ( x 0 ) ∈ B c 。存在函数 U : [ t 0 ， + ∞ ) × B c → R 和楔子 W i i : [ 0 ， + ∞ ) → [ 0 ， + ∞ ) ， i = 1 ， 2 ， 3 ，满足以下条件： (J1) 对脉冲微分方程(1.3)的每个解 x : I → B c 有 W 1 ( ‖ x ( t ) ‖ ) ≤ U ( t ， x ( t ) ) ≤ W 2 ( ‖ x ( t ) ‖ ) ， 其中 t ∈ I ， I ⊂ [ t 0 ， + ∞ ) ， I 是非退化区间。 (J2) 对脉冲微分方程(1.3)的每个饱和解 x ( t ) = x ( t ， s 0 ， x 0 ) ， ( s 0 ， x 0 ) ∈ [ t 0 ， + ∞ ) × B c ，有 U ( t ， x ( t ) ) − U ( s ， x ( s ) ) ≥ ∫ s t W 3 ( ‖ x ( ξ ) ‖ ) d l ( ξ ) ， 其中 ， s ∈ [ s 0 ， ω ( s 0 ， x 0 ) ) ， t ≥ s 。 l : [ s 0 ， + ∞ ) → R ， l 是不减函数，满足 lim t → + ∞ l ( t ) = + ∞ 。 若 ( s 0 ， x 0 ) ∈ [ t 0 ， + ∞ ) × B c ，则 ω ( s 0 ， x 0 ) < ∞ 。 证明 令 x ( t ， s 0 ， x 0 ) 是脉冲微分方程(1.3)的唯一饱和解使得 ( s 0 ， x 0 ) ∈ [ t 0 ， + ∞ ) × B c 。由引理2.7可知脉冲微分方程等价于测度微分方程(2.3)。其中 f ˜ : B c × [ t 0 ， + ∞ ) → R n ， g : [ t 0 ， + ∞ ) → R ，由(2.4) (2.5)式所给，再由定理3.1得 f ˜ ， g 满足条件(A1)~(A4)。 当 s 0 ∈ [ t 0 ， + ∞ ) / { τ j ， j ∈ Z + } 时，由(2.5)式有 Δ + g ( s 0 ) = lim t → s 0 + g ( t ) − g ( s 0 ) = s 0 + + j − ( s 0 + j ) = 0. 则 x 0 + f ˜ ( x 0 ， s 0 ) Δ + g ( s 0 ) = x 0 ∈ B c 。 当 s 0 = τ j 时， j ∈ Z + 由(2.5)式有 Δ + g ( s 0 ) = lim t → s 0 + g ( t ) − g ( s 0 ) = s 0 + + j − ( s 0 + j − 1 ) = 1. 则 x 0 + f ˜ ( x 0 ， s 0 ) Δ + g ( s 0 ) = x 0 + I j ( x 0 ) ∈ B c 。 综上，对每个 ( x 0 ， s 0 ) ∈ B c × [ t 0 ， + ∞ ) ，有 x 0 + f ˜ ( x 0 ， s 0 ) Δ + g ( s 0 ) ∈ B c 。由引理2.2脉冲微分方程(1.3)的饱和解是存在唯一的。最后，(J1)，(J2)满足引理2.3的(U1)，(U2)，所以由引理2.3此定理结论得证。 推论3.3 设 Ω = R n × [ t 0 ， + ∞ ) ， f : R n × [ t 0 ， + ∞ ) → R n ， I j : R n × [ t 0 ， + ∞ ) → R n ， { τ j } j ∈ Z + ⊂ [ t 0 ， + ∞ ) 为递增正实数序列满足 lim j → + ∞ = + ∞ 。且 f ， I j 满足条件(B1)~(B3)，其中 B c 用 R n 代替。若存在函数 U : [ t 0 ， + ∞ ) × R n → R 和楔子 W i i : [ 0 ， + ∞ ) → [ 0 ， + ∞ ) ， i = 1 ， 2 ， 3 ，满足(J1)，(J2)其中 B c 用 R n 代替。若 ( s 0 ， x 0 ) ∈ [ t 0 ， + ∞ ) × R n 。则 ω ( s 0 ， x 0 ) = + ∞ 。并且当 t → + ∞ 时， ‖ x ( t ， s 0 ， x 0 ) ‖ → + ∞ 。 证明 由引理2.7脉冲微分方程(1.3)等价于测度微分方程(2.3)。再由定理3.1 f ˜ ， g 满足条件(A1)~(A4)。据定理3.2的证明可得对每个 ( z 0 ， s 0 ) ∈ B c × [ t 0 ， + ∞ ) ，有 z 0 + f ˜ ( z 0 ， s 0 ) Δ + g ( s 0 ) ∈ B c 。则由引理2.1可知 F ∈ F ( Ω ， h ) ，再由(2.1)式可得 ‖ F ( x ， t ) − F ( x ， τ 0 ) ‖ ≤ | h ( t ) − h ( τ 0 ) | 。因为 B c c = { x ∈ X | ‖ x ‖ < c } ，所以 x ( t ) ∈ N ， N ⊂ B c 为 R n 中的闭集。综上，由引理2.5 ω ( s 0 ， x 0 ) = + ∞ 。 下面证明当 t → + ∞ 时， ‖ x ( t ， s 0 ， x 0 ) ‖ → + ∞ 。 令 γ 是正数满足 W 2 ( γ ) = W 1 ( ‖ x 0 ‖ ) 这样的 γ 的存在性由 W 2 的连续性保证。由(J2)有函数 [ s 0 ， ω ( s 0 ， x 0 ) ) ∍ ↦ V ( t ， x ( t ) ) 是不减的。则由(J1)对每个 t ∈ [ s 0 ， ω ) ，有 W 2 ( ‖ x ( t ) ‖ ) ≥ V ( t ， x ( t ) ) ≥ V ( s 0 ， x ( s 0 ) ) ≥ W 1 ( ‖ x ( s 0 ) ‖ ) = W 2 ( γ ) . (3.1) 因为 W 2 为递增函数，因此由(3.1)式有 ‖ x ( t ) ‖ ≥ γ ， t ∈ [ s 0 ， + ∞ ) . 另一方面，对每个 t ∈ [ s 0 ， + ∞ ) ，由条件(J2)和(3.2)式有 V ( t ， x ( t ) ) ≥ V ( s 0 ， x ( s 0 ) ) + ∫ s 0 t W 3 ( ‖ x ( s ) ‖ ) d l ( s ) ≥ V ( s 0 ， x ( s 0 ) ) + W 3 ( γ ) ( l ( t ) − l ( s 0 ) ) . 因此由(J1)及(3.3)式，对每个 t ∈ [ s 0 ， + ∞ ) ，有 W 2 ( ‖ x ( t ) ‖ ) ≥ V ( s 0 ， x ( s 0 ) ) + W 3 ( γ ) ( l ( t ) − l ( s 0 ) ) . 因为 l 是不减函数且满足 lim t → + ∞ = + ∞ ，所以由楔子的定义当 t → + ∞ 时， ‖ x ( t ) ‖ → + ∞ 。 定理3.4 设函数 f : B c × [ t 0 ， + ∞ ) → R n ， I j : B c × [ t 0 ， + ∞ ) → R n ， { τ j } j ∈ Z + ⊂ [ t 0 ， + ∞ ) 为递增正实数序列满足 lim j → + ∞ τ j = + ∞ 。且 f ， I j 满足条件(B1)~(B3)。假定对每个 ( x 0 ， s 0 ) ∈ B c × [ t 0 ， + ∞ ) ， j ∈ Z + ，有 x 0 + I j ( x 0 ) ∈ B c 。存在函数 U : [ t 0 ， + ∞ ) × B c → R 和楔子 W i : [ 0 ， + ∞ ) → [ 0 ， + ∞ ) ， i = 1 ， 2 ，满足条件： (K1) 对脉冲微分方程(1.3)的每个解 x : I → B c 有 | U ( t ， x ( t ) ) | ≤ W 1 ( ‖ x ( t ) ‖ ) ， 其中 t ∈ I ， I ⊂ [ t 0 ， + ∞ ) ， I 为非退化区间。 (K2) 对脉冲微分方程(1.3)的每个饱和解 x ( t ) = x ( t ， s 0 ， x 0 ) ， ( s 0 ， x 0 ) ∈ [ t 0 ， + ∞ ) × B c ，函数 t ↦ U ( t ， x ( t ) ) 在 [ s 0 ， ω ( s 0 ， x 0 ) ) 上是正则的，有 U ( t ， x ( t ) ) − U ( s ， x ( s ) ) ≤ ∫ s t W 2 ( | U ( ξ ， x ( ξ ) ) | ) d l ( ξ ) ， 其中 t ， s ∈ [ s 0 ， ω ( s 0 ， x 0 ) ) ， t ≥ s 。 l : [ s 0 ， + ∞ ) → R 是不减函数满足 lim t → + ∞ l ( t ) = + ∞ 。 若 ( s 0 ， x 0 ) ∈ [ t 0 ， + ∞ ) × B c 使得 U ( s 0 ， x 0 ) < 0 ，则 ω ( s 0 ， x 0 ) < ∞ 。 证明 同定理3.2证明一样，由引理2.4此定理结论得证。 推论3.5 设 Ω = R n × [ t 0 ， + ∞ ) 。假定 f : R n × [ t 0 ， + ∞ ) → R n ， I j : R n × [ t 0 ， + ∞ ) → R n ， { τ j } j ∈ Z + ⊂ [ t 0 ， + ∞ ) 为递增的正实数序列满足 lim j → + ∞ τ j = + ∞ 。且 f ， I j 满足条件(B1)~(B3)，其中 B c 用 R n 代替。若存在函数 U : [ t 0 ， + ∞ ) × R n → R 和楔子 W i : [ 0 ， + ∞ ) → [ 0 ， + ∞ ) ， i = 1 ， 2 ，满足(K1)，(K2)，其中 B c 用 R n 代替。若 ( s 0 ， x 0 ) ∈ [ t 0 ， + ∞ ) × R n 使得 U ( s 0 ， x 0 ) < 0 ，则 ω ( s 0 ， x 0 ) = + ∞ 。并且当 t → + ∞ 时。 ‖ x ( t ， s 0 ， x 0 ) ‖ → + ∞ 。 证明 ω ( s 0 ， x 0 ) = + ∞ 的证明同推论3.3的证明一样。 下面证明当 t → + ∞ 时， ‖ x ( t ， s 0 ， x 0 ) ‖ → + ∞ 。因为 ω ( s 0 ， x 0 ) = + ∞ ，因此由条件(K1)和 W 1 的单调性有 | V ( t ， x ( t ) ) | ≤ W 1 ( ‖ x ( t ) ‖ ) ≤ W 1 ( c ) ， t ∈ [ s 0 ， + ∞ ) . 由条件(K2)有 V ( t ， x ( t ) ) − V ( s 0 ， x ( s 0 ) ) ≤ ∫ s 0 t W 2 ( | V ( ξ ， x ( ξ ) ) | ) d l ( ξ ) ≤ 0. 对所有的 t ∈ [ s 0 ， + ∞ ) 有 V ( t ， x ( t ) ) ≤ V ( s 0 ， x ( s 0 ) ) = V ( s 0 ， x 0 ) < 0 ， t ∈ [ s 0 ， + ∞ ) ， 即 | V ( t ， x ( t ) ) | ≥ | V ( s 0 ， x ( s 0 ) ) | > 0 ， t ∈ [ s 0 ， + ∞ ) . (3.4) 由(3.4)式及条件(K2)有 V ( t ， x ( t ) ) ≤ V ( s 0 ， x ( s 0 ) ) − ∫ s 0 t W 2 ( | V ( s ， x ( s ) ) | ) d l ( s ) ≤ V ( s 0 ， x ( s 0 ) ) − ∫ s 0 t W 2 ( | V ( s 0 ， x ( s 0 ) ) | ) d l ( s ) = V ( s 0 ， x ( s 0 ) ) − W 2 ( | V ( s 0 ， x ( s 0 ) ) | ) ( l ( t ) − l ( s 0 ) ) < 0 即 | V ( t ， x ( t ) ) | ≥ − V ( s 0 ， x ( s 0 ) ) + W 2 ( | V ( s 0 ， x ( s 0 ) ) | ) ( l ( t ) − l ( s 0 ) ) > W 2 ( | V ( s 0 ， x ( s 0 ) ) | ) ( l ( t ) − l ( s 0 ) ) 因为 l 为不减函数且满足 lim t → + ∞ l ( t ) = + ∞ ，所以由楔子的定义当 t → + ∞ 时， ‖ x ( t ) ‖ → + ∞ 。