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user: 3. 主要结论及其证明 根据 ∂ ∂ t X ( x ， t ) = R 1 2 n ，为了得到关于超曲面 X ( · ， t ) 的几何量发展方程，需要下面几个引理： 引理2： 1 2 ∇ i ∇ j R =   □ h i j + ∇ i H ∇ j H − ∇ i h k l ∇ j h m n + ( H | A | 2 − C ) h i j − R h i m h j m 证明： 1 2 ∇ i ∇ j R = H ∇ i ∇ j H + ∇ i H ∇ j H − 1 2 ∇ i ∇ j ( g k m g l n h k l h m n ) = H g k l ∇ i ∇ h j k l − g k m g l n h m n ∇ i ∇ j h k l + ∇ i H ∇ j H − g k m g l n ∇ i h k l ∇ j h m n = ( H g k l − h k l ) ∇ i ∇ j h k l + ∇ i H ∇ j H − g k m g l n ∇ i h k l ∇ j h m n = ( H g k l − h k l ) ∇ k ∇ l h i j + ( H g k l − h k l ) ( R i k j m h l m + R i k l m h j m ) + ∇ i H ∇ j H − g k m g l n ∇ i h k l ∇ j h m n =   □ h i j + ∇ i ∇ H j − g k m g l n ∇ i h k l ∇ j h m n + ∗ 其中： ∗ = ( H g k l − h k l ) [ ( h i j h k m − h i m h k j ) h l m + ( h i l h k m − h i m h k l ) h j m ] = H g k l h k m h l m h i j − h k l h i j h k m h l m − H g k l h i m h k j h l m + h k l h i m h k j h l m + H g k l h i l h k m h j m − h k l h i l h k m h j m − H g k l h i m h k l h j m = H | A | 2 h i j − h k l h l m h m k h i j − H 2 h i m h j m + | A | 2 h i m h j m = ( H | A | 2 − h k l h l m h m k ) h i j − R h i m h j m = ( H | A | 2 − C ) h i j − R h i m h j m 引理3： − H 2 ∇ ( | A | 2 H 2 ) + 2 R H ∇ H = ∇ R 证明： − H 2 ∇ ( | A | 2 H 2 ) + 2 R H ∇ H = − H 2 ( ∇ | A | 2 H 2 − 2 | A | 2 ∇ H H 3 ) + 2 H 2 ∇ H − 2 | A | 2 ∇ H H = − ∇ | A | 2 + 2 H ∇ H = ∇ ( H 2 − | A | 2 ) = ∇ R 引理4： − 1 H 2 ( H ∇ i h k l − ∇ i H h k l ) ( H ∇ j h k l − ∇ j H h k l ) = − ∇ i h k l ∇ j h k l − | A | 2 H 2 ∇ i H ∇ j H + 2 ∇ j H H h k l ∇ i h k l 证明： − 1 H 2 ( H ∇ i h k l − ∇ i H h k l ) ( H ∇ j h k l − ∇ j H h k l ) = − 1 H 2 ( H 2 ∇ i h k l ∇ j h k l − 2 H ∇ j H h k l ∇ i h k l + ∇ i H ∇ j H | A | 2 ) = − ∇ i h k l ∇ j h k l − | A | 2 H 2 ∇ i H ∇ j H + 2 ∇ j H H h k l ∇ i h k l 引理5： ∂ ∂ t H 2 = R − 1 2 ( □ H 2 − 2 | ∇ H | H g − h 2 − 2 H | H ∇ h k l − ∇ H h k l | 2 − H 5 2 R | ∇ | A | 2 H 2 | 2 + 2 ( H | A | 2 − C ) H 2 ) 证明： ∂ ∂ t H = ∂ ∂ t g i j h i j + g i j ∂ ∂ t h i j = 2 R 1 2 | A | 2 + R − 1 2 ( □ H − 1 H 2 | H ∇ h k l − ∇ H h k l | 2 − H 4 4 R | ∇ | A | 2 H 2 | 2 + ( H | A | 2 − C ) H − 2 R | A | 2 ) = R − 1 2 ( □ H − 1 H 2 | H ∇ h k l − ∇ H h k l | 2 − H 4 4 R | ∇ | A | 2 H 2 | 2 + ( H | A | 2 − C ) H ) 因为， □ H 2 = ( H g k l − h k l ) ∇ k ∇ l H 2 = ( H g k l − h k l ) ∇ k ( 2 H ∇ l H ) = 2 ( H g k l − h k l ) H ∇ k ∇ l H + 2 ( H g k l − h k l ) ∇ k H ∇ l H = 2 H □ H + 2 | ∇ H | H g − h 所以， ∂ ∂ t H 2 = 2 H ∂ ∂ t H = R − 1 2 ( □ H 2 − 2 | ∇ H | H g − h 2 − 2 H | H ∇ h k l − ∇ H h k l | 2 − H 5 2 R | ∇ | A | 2 H 2 | 2 + 2 ( H | A | 2 − C ) H 2 ) 定理1：根据数量曲率流，我们得到下面的发展方程： 1) ∂ ∂ t g i j = − 2 R 1 2 h i j 2) ∂ n ∂ t = − ∇ j R 1 2 ∂ X ∂ x j 3) ∂ h i j ∂ t = R − 1 2 ( □ h i j − 1 H 2 ( H ∇ i h k l − ∇ i H h k l ) ( H ∇ j h k l − ∇ j H h k l ) − H 4 4 R ∇ i ( | A | 2 H 2 ) ∇ j ( | A | 2 H 2 )                       + ( H | A | 2 − C ) h i j − 2 R h i k h k j ) 4) ∂ ∂ t R 1 2 = R 1 2 □ R 1 2 + R ( H | A | 2 − C ) 证明： 根据度量的定义、超曲面 X ( · ， t ) 第二基本形式和Guass-Weingarten关系式，我们得到： 1) ∂ ∂ t g i j = ∂ ∂ t ( ∂ X ∂ x i ， ∂ X ∂ x j ) = 2 R 1 2 ( ∂ n ∂ x i ， ∂ X ∂ x j ) = − 2 R 1 2 ( n ， ∂ X ∂ x i ∂ x j ) = − 2 R 1 2 h i j 2) ∂ n ∂ t = ( ∂ n ∂ t ， ∂ X ∂ x i ) ∂ X ∂ x j g i j = − ( n ， ∂ ∂ t ∂ X ∂ x i ) ∂ X ∂ x j g i j = − ∂ ∂ x i R 1 2 ∂ X ∂ x j g i j = − ∇ j R 1 2 ∂ X ∂ x j 3) ∂ h i j ∂ t = ∂ ∂ t ( ∂ 2 X ∂ x i ∂ x j ， n ) = 〈 ∂ 2 ∂ x i ∂ x j ( R 1 2 n ) ， n 〉 + 〈 ∂ 2 X ∂ x i ∂ x j ， − ∂ R 1 2 ∂ x i ∂ X ∂ x j g i j 〉 = 〈 ∂ ∂ x i ( ∂ ∂ x j R 1 2 n − R 1 2 h j k g k l ∂ X ∂ x l ) ， n 〉 + 〈 Γ i j k ∂ X ∂ x k + h i j n ， − ∂ R 1 2 ∂ x i ∂ X ∂ x j g i j 〉 = ∂ 2 R 1 2 ∂ x i ∂ x j − ( h j k g k l ∂ X ∂ x l ∂ ∂ x i ， n ) − ( Γ i j k ∂ X ∂ x k ， ∂ R 1 2 ∂ x i ∂ X ∂ x j g i j ) − ( h i j n ， ∂ R 1 2 ∂ x i ∂ X ∂ x j g i j ) = ∂ 2 R 1 2 ∂ x i ∂ x j − R 1 2 h j k g k l h i l − Γ i j k ∂ R 1 2 ∂ x k = ∇ i ∇ j R 1 2 − R 1 2 h j k g k l h i l = − 1 4 R − 3 2 ∇ i R ∇ j R + 1 2 R − 1 2 ∇ i ∇ j R − R 1 2 h j k h i l = R − 1 2 ( 1 2 ∇ i R ∇ j R − 1 4 R ∇ i R ∇ j R − R h j k h i l ) (3.1) 根据引理2 (3.1)括号里的式子可以表示为： □ h i j + ∇ i H ∇ j H − ∇ i h k l ∇ j h k l + ( H | A | 2 − C ) h i j − 1 4 R ∇ i R ∇ j R − 2 R h i k h k j (3.2) (3.2)式括号中的 − 1 4 R ∇ i R ∇ j R 根据引理3可以计算为： − 1 4 R ∇ i R ∇ j R = − 1 4 R ( − H 2 ∇ i ( | A | 2 H 2 ) + 2 R H ∇ i H ) ( − H 2 ∇ j ( | A | 2 H 2 ) + 2 R H ∇ j H ) = − 1 4 R ( H 4 ∇ i ( | A | 2 H 2 ) ∇ j ( | A | 2 H 2 ) + 4 R 2 H 2 ∇ i H ∇ j H − 4 H R ∇ i ( | A | 2 H 2 ) ∇ j H ) 再根据引理4，我们可以计算出： 所以我们得到： ∂ ∂ t h i j = R − 1 2 ( h i j + ∇ i H ∇ j H − ∇ i h k l ∇ j h k l − 1 4 R ∇ i R ∇ j R + ( H | A | 2 − C ) h i j − 2 R h i k h k j ) = R − 1 2 ( □ h i j − 1 H 2 ( H ∇ i h k l − ∇ i H h k l ) ( H ∇ j h k l − ∇ j H h k l ) − H 4 4 R ∇ i ( | A | 2 H 2 ) ∇ j ( | A | 2 H 2 )     + ( H | A | 2 − C ) h i j − 2 R h i k h k j ) 4) 根据引理4可得 ∂ ∂ t R 1 2 = 1 2 R − 1 2 ∂ ∂ t R = 1 2 R − 1 2 ∂ ∂ t ( H 2 − | A | 2 ) = 1 2 [ □ R − 2 | ∇ H | H g − h 2 + 2 | ∇ A | H g − h 2 − 2 H 2 | H ∇ h k l − ∇ H h k l | H g − h 2 − H 4 2 R | ∇ | A | 2 H 2 | H g − h 2 + 2 R ( H | A | 2 − C ) ] = 1 2 □ R − | ∇ H | H g − h 2 + | ∇ A | H g − h 2 − 1 H 2 | H ∇ h k l − ∇ H h k l | H g − h 2 − H 4 4 R | ∇ | A | 2 H 2 | H g − h 2 + R ( H | A | 2 − C ) (4.1) ∴ H 2 ∇ i ( | A | 2 H 2 ) = ∇ i R − 2 R H ∇ i H 则 − H 4 4 R | ∇ | A | 2 H 2 | H g − h 2 = − 1 4 R 〈 ∇ R − 2 R H ∇ H ， ∇ R − 2 R H ∇ H 〉 H g − h = − 1 4 R | ∇ R | H g − h 2 + 2 4 R 〈 ∇ R ， 2 R H ∇ H 〉 H g − h − 1 4 R 4 R 2 H 2 | ∇ H | H g − h 2 = − 1 4 R | ∇ R | H g − h 2 + 1 H 〈 ∇ R ， ∇ H 〉 H g − h − R H 2 | ∇ H | H g − h 2 (4.2) □ R 1 2 = ( H g i j − h i j ) ∇ i ∇ j R 1 2 = ( H g i j − h i j ) ∇ i ( 1 2 R − 1 2 ∇ j R ) = 1 2 ( H g i j − h i j ) ( − 1 2 R − 3 2 ∇ i R ∇ j R + R − 1 2 ∇ i ∇ j R ) = − 1 4 R − 3 2 | ∇ R | H g − h 2 + 1 2 R − 1 2 □ R (4.3) | ∇ A | H g − h 2 = 1 H 2 ( H 2 | ∇ A | H g − h 2 − H 〈 ∇ | A | 2 ， ∇ H 〉 H g − h + A 2 | ∇ H | H g − h 2 ) + 1 H 〈 ∇ | A | 2 ， ∇ H 〉 H g − h − A 2 H 2 | ∇ H | H g − h 2 = 1 H 2 | H ∇ h k l − ∇ H h k l | H g − h 2 + 1 H 〈 ∇ | A | 2 ， ∇ H 〉 H g − h − A 2 H 2 | ∇ H | H g − h 2 (4.4) 把(4.2)，(4.3)，(4.4)代入(4.1)得到 ∂ ∂ t R 1 2 = R 1 2 □ R 1 2 + 1 4 R | ∇ R | H g − h 2 + 1 H 〈 ∇ | A | 2 ， ∇ H 〉 H g − h − | A | 2 H 2 | ∇ H | H g − h 2 − | ∇ H | H g − h 2 − 1 4 R | ∇ R | H g − h 2     + 1 H 〈 ∇ R ， ∇ H 〉 H g − h − R H 2 | ∇ H | H g − h 2 + R ( H | A | 2 − C ) = R 1 2 □ R 1 2 + R ( H | A | 2 − C ) 定理2 (拼挤估计)对于函数 ∂ ∂ t X ( x ， t ) = R 1 2 n ( x ∈ M n ， t > 0 )，如果 t = 0 时 R 1 2 ≥ 0 ，则 t > 0 时 R 1 2 ≥ 0 仍然成立。 证明： 根据命题1， R 1 2 的发展方程是 ∂ ∂ t R 1 2 = R 1 2 □ R 1 2 + 1 4 R | ∇ R | H g − h 2 + 1 H 〈 ∇ | A | 2 ， ∇ H 〉 H g − h − | A | 2 H 2 | ∇ H | H g − h 2 − | ∇ H | H g − h 2 − 1 4 R | ∇ R | H g − h 2     + 1 H 〈 ∇ R ， ∇ H 〉 H g − h − R H 2 | ∇ H | H g − h 2 + R ( H | A | 2 − C ) ∵ 1 H 〈 ∇ | A | 2 ， ∇ H 〉 H g − h − | A | 2 H 2 | ∇ H | H g − h 2 − | ∇ H | H g − h 2 + 1 H 〈 2 H ∇ H − ∇ A 2 ， ∇ H 〉 H g − h − H 2 − | A | 2 H 2 | ∇ H | H g − h 2 = 0 ∴ 存在向量 v i 满足 R 1 2 v j = 0 则 ( H | A | 2 − C ) R v j = 0 由引理3我们可以得出结论。