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user: 3. 平面内任意直线上的D-点数及其分布 设 l 为平面内任意一条直线，若直线l的斜率k不存在，可设其方程为 x = a ( a ∈ ℝ ) ，则显然有下述定理： 定理3.1：设直线 l : x = a ，则 (a) N l ( D ) = ∞ 当且仅当 a = m 2 ，其中 m ∈ ℤ 。 (b) N l ( D ) = 0 当且仅当 a ≠ m 2 ，其中 m ∈ ℤ 。 注意到，对于直线 l : x = m 2 ( m ∈ ℤ ) ，当m为奇数时，l上含无穷多个 D 1 -点与 D 2 -点， D 1 -点与 D 2 -点交替出现且距离为 3 ；当m为偶数时，l上仅含 D 0 -点且相邻两个 D 0 -点的距离为 2 3 。 现在我们考虑斜率存在的直线，不失一般性，可设直线l的方程为 y = k x + b 。下面首先考虑 b = 0 即l的方程为 y = k x 的情形。 定理3.2：设直线 l : y = k x ，则 N l ( D ) = ∞ 当且仅当直线l上至少含有一个非原点的T-点。 证明：必要性显然成立。下证充分性：设直线l上含有非原点的T-点P，令点 P λ = λ P ，其中λ为偶数，显然有点 P λ ∈ l ，进而综合引理2.1与引理2.2可得点 P λ ∈ D 0 。因此 N l ( D 0 ) = ∞ ，即 N l ( D ) = ∞ 。 推论3.3：设直线 l : y = k x ，若 N l ( D ) = ∞ ，则 N l ( D 0 ) = ∞ 。 证明：由定理3.2及其充分性的证明立即可得。 定理3.4：设直线 l : y = k x ，则 N l ( D ) = ∞ 的充要条件是 k ∈ { λ 3 : λ ∈ ℚ } 。 证明：必要性：已知 N l ( D ) = ∞ ，则直线l上至少含有一个非原点的T-点P，不妨设 P = ( m 2 ， n 3 2 ) ，其中 m ， n ∈ ℤ ， m + n ≡ 0 ( mod 2 ) 。根据条件可知直线l的斜率k存在，则 m ≠ 0 ，于是 k = n 3 m ，故 k ∈ { λ 3 : λ ∈ ℚ } 。 充分性：已知 k ∈ { λ 3 : λ ∈ ℚ } ，则可设 k = n 3 m ，其中 m ， n ∈ ℤ ， gcd ( m ， n ) = 1 。于是直线l的方程为 y = n 3 m x 。令点 P = ( 2 m 2 ， 2 n 3 2 ) ，易知点 P ∈ l 且 P ≠ O ，又由 2 m ， 2 n ∈ ℤ 且 2 m + 2 n ≡ 0 ( mod 2 ) 可得点 P ∈ T ，进而由定理3.2可得 N l ( D ) = ∞ 。 定理3.5：设直线 l : y = k x ，则 N l ( D ) = 1 的充要条件是 k ∉ { λ 3 : λ ∈ ℚ } 。 证明：通过定理3.2分析可得，对于直线 l : y = k x 而言，要么含无穷多个D-点，要么只含一个D-点即 O ( 0 ， 0 ) ，进而根据定理3.4立即可得定理3.5成立。 直线 l : y = k x + b ( b ≠ 0 ) 可由直线 l ′ : y = k x 平移得到，接下来考虑直线 l : y = k x + b ( b ≠ 0 ) 上的D-点数。 定义3.6：称直线 l : y = k x + b 具有性质 D b ，若存在 m ， n ∈ ℤ 满足 n ≡ 1 ( mod 2 ) ， m + n ≡ 0 ( mod 2 ) 或 n ≡ 0 ( mod 2 ) ， m + n ≡ 0 ( mod 4 ) ，使得 b = n 3 − k m 2 。 引理3.7：设直线 l : y = k x + b ，则 N l ( D ) > 0 的充要条件为直线l具有性质 D b 。 证明：必要性：由于 N l ( D ) > 0 ，可设l上含有D-点 P = ( m 2 ， n 3 2 ) ，其中 m ， n ∈ ℤ ， n ≡ 1 ( mod 2 ) ， m + n ≡ 0 ( mod 2 ) 或 n ≡ 0 ( mod 2 ) ， m + n ≡ 0 ( mod 4 ) ，将其坐标代入直线方程 y = k x + b 可得 b = y − k x = n 3 − k m 2 。因此直线l具有性质 D b 。 充分性：设直线l具有性质 D b ，则可设 b = n 3 − k m 2 ，其中 m ， n ∈ ℤ ， n ≡ 1 ( mod 2 ) ， m + n ≡ 0 ( mod 2 ) 或 n ≡ 0 ( mod 2 ) ， m + n ≡ 0 ( mod 4 ) ，从而直线l的方程为 y = k x + n 3 − k m 2 = k ( x − m 2 ) + n 3 2 。显然，点 P = ( m 2 ， n 3 2 ) ∈ l ，当 n ≡ 1 ( mod 2 ) ， m + n ≡ 0 ( mod 2 ) 时， P ∈ D 1 或 P ∈ D 2 ；当 n ≡ 0 ( mod 2 ) ， m + n ≡ 0 ( mod 4 ) 时， P ∈ D 0 ，故点 P ∈ D 。因此，l上至少含有一个D-点，即 N l ( D ) > 0 。 由上述引理立即可得下述定理： 定理3.8：设直线 l : y = k x + b ，则 N l ( D ) = 0 当且仅当直线l不具有性质 D b 。 定理3.9：设直线 l : y = k x + b ，若直线l上含有D-点P，则有 (a) N l ( D ) = ∞ 当且仅当 k ∈ { λ 3 : λ ∈ ℚ } 。 (b) N l ( D ) = 1 当且仅当 k ∉ { λ 3 : λ ∈ ℚ } 。 证明：已知直线 l : y = k x + b 上含有点 P ∈ D ，令直线 l ′ : y = k x ，则 l ′ = l − P ，于是 l = l ′ + P 。 (a) 必要性：由于 N l ( D ) = ∞ ，则直线l上必含不同于点P的D-点 Q 。令点 Q ′ = Q − P ，显然有点 Q ′ ∈ l ′ ，根据引理2.3可得点 − P ∈ D ，从而由引理2.4可得点 Q ′ ∈ T 。因为 Q ≠ P ，所以 Q ′ ≠ O 。于是由定理3.2可得 N l ′ ( D ) = ∞ ，进而根据定理3.4可得直线 l ′ 的斜率即直线l的斜率 k ∈ { λ 3 : λ ∈ ℚ } 。 充分性：设直线l的斜率 k ∈ { λ 3 : λ ∈ ℚ } ，则由定理3.4可知 N l ′ ( D ) = ∞ ，于是根据推论3.3可得 N l ′ ( D 0 ) = ∞ ，记直线 l ′ 上的无穷多个 D 0 -点为 Q ′ j ( j = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ) ，令点 Q j = Q ′ j + P ( j = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ) ，则点 Q j ∈ l ，又由引理2.4可得，点 Q j ( j = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ) 与点 P 为同类D-点，因此 N l ( D ) = ∞ 。 (b) 必要性：假设直线l的斜率 k ∈ { λ 3 : λ ∈ ℚ } ，由(a)可得此时 N l ( D ) = ∞ ，与已知条件 N l ( D ) = 1 矛盾，因此 k ∉ { λ 3 : λ ∈ ℚ } 。 充分性：假设 N l ( D ) ≠ 1 ，由于直线l上含有D-点P，则直线l上必含不同于点P的D-点Q，而由(a)中必要性的证明过程可得，此时直线l的斜率 k ∈ { λ 3 : λ ∈ ℚ } ，与已知条件 k ∉ { λ 3 : λ ∈ ℚ } 矛盾，因此 N l ( D ) = 1 。 综上所述，可得下述定理： 定理3.10：设直线 l : y = k x + b ，则 N l ( D ) = ∞ 当且仅当 (1) 直线l具有性质 D b ； (2) k ∈ { λ 3 : λ ∈ ℚ } 。 定理3.11：设直线 l : y = k x + b ，则 N l ( D ) = 1 当且仅当 (1) 直线l具有性质 D b ； (2) k ∉ { λ 3 : λ ∈ ℚ } 。 注3.12：直线 l : y = k x 显然也具有性质 D b ，从而定理3.4与定理3.5分别为定理3.10与定理3.11中 b = 0 时的特殊情形。 对于含有D-点的直线 l : y = k x + b ，其中 k ∈ { λ 3 : λ ∈ ℚ } ， b ∈ ℝ ，必含无穷多个D-点。下面对直线l上D-点类型的分布进行讨论，并依据所含的D-点类型对此类直线进一步进行划分及刻画。 定理3.13：设直线 l : y = n 3 m x ，其中 m ， n ∈ ℤ ， gcd ( m ， n ) = 1 ，则有 (a) 直线l上仅含无穷多个 D 0 -点当且仅当 m + n ≡ 1 ( mod 2 ) ；特别地，此时 N l ( C ) = ∞ 。 (b) N l ( D 0 ) = N l ( D 1 ) = ∞ ， N l ( D 2 ) = 0 当且仅当 m + n ≡ 2 ( mod 4 ) ；特别地，此时 N l ( C ) = 0 。 (c) N l ( D 0 ) = N l ( D 2 ) = ∞ ， N l ( D 1 ) = 0 当且仅当 m + n ≡ 0 ( mod 4 ) ；特别地，此时 N l ( C ) = 0 。 证明：已知直线 l : y = n 3 m x ，其中 m ， n ∈ ℤ ， gcd ( m ， n ) = 1 ，则由定理3.4可得直线l上必含无穷多个D-点。由 gcd ( m ， n ) = 1 可得整数m与n或为两个奇数，或为一奇一偶，即有 m ≡ n ≡ 1 ( mod 2 ) 或 m + n ≡ 1 ( mod 2 ) 。 (a) 必要性：令点 P = ( m 2 ， n 3 2 ) ，则点P在直线l上。若 m + n ≡ 0 ( mod 2 ) ，则 n ≡ 1 ( mod 2 ) ，于是当 m + n ≡ 0 ( mod 4 ) 时点 P ∈ D 2 ；当 m + n ≡ 2 ( mod 4 ) 时点 P ∈ D 1 。从而直线l上必含 D 1 -点或 D 2 -点，与条件直线l上仅含 D 0 -点矛盾，因此 m + n ≡ 1 ( mod 2 ) 。 充分性：设直线 l : y = n 3 m x ，其中 m ， n ∈ ℤ ， gcd ( m ， n ) = 1 且 m + n ≡ 1 ( mod 2 ) ，要证直线l上仅含无穷多个 D 0 -点，只需证直线l上不含其它类型的D-点。假设 N l ( D 1 ) ≠ 0 ，即可设直线l上含有 D 1 -点 P 1 = ( m 1 2 ， n 1 3 2 ) ，其中 m 1 ， n 1 ∈ ℤ ， m 1 + n 1 ≡ 2 ( mod 4 ) ， n 1 ≡ 1 ( mod 2 ) ，将其坐标代入直线方程可得 n 1 3 2 = n 3 m ⋅ m 1 2 ，即 m n 1 = n m 1 。由于 m 1 与 n 1 均为奇数，而m与n必为一奇一偶，则乘积 m n 1 与 n m 1 必 为一奇一偶，二者不可能相等，产生矛盾，因此 N l ( D 1 ) = 0 。同理可证 N l ( D 2 ) = 0 。综上可得，直线l上仅含无穷多个 D 0 -点。 特别地，下证此时 N l ( C ) = ∞ 。令点 P ′ = ( 2 m 2 ， 2 n 3 2 ) ，则易知点 P ′ ∈ l 且 2 m ， 2 n ∈ ℤ ， 2 n ≡ 0 ( mod 2 ) ，又由 m + n ≡ 1 ( mod 2 ) 可得 2 m + 2 n ≡ 2 ( mod 4 ) ，从而点 P ′ ∈ C 。令点 P t = t P ′ ，其中t为奇数，则易知点 P t ∈ l ，进而由引理2.2可得点 P t ∈ C ，因此 N l ( C ) = ∞ 。 (b) 必要性：由于 N l ( D 0 ) = N l ( D 1 ) = ∞ ，即直线l上不仅含 D 0 -点，则由(a)可得 m + n ≡ / 1 ( mod 2 ) 。于是有 m + n ≡ 0 ( mod 2 ) ，此时 m ≡ n ≡ 1 ( mod 2 ) ，从而有 m + n ≡ 0 ( mod 4 ) 或 m + n ≡ 2 ( mod 4 ) 。易验证点 P = ( m 2 ， n 3 2 ) 在直线l上，若 m + n ≡ 0 ( mod 4 ) ，则点 P ∈ D 2 ，与已知条件 N l ( D 2 ) = 0 矛盾，因此 m + n ≡ 2 ( mod 4 ) 。 充分性：设直线 l : y = n 3 m x ，其中 m ， n ∈ ℤ ， gcd ( m ， n ) = 1 且 m + n ≡ 2 ( mod 4 ) ，易得 n ≡ 1 ( mod 2 ) 。对于点 P = ( m 2 ， n 3 2 ) 有 P ∈ l 且 P ∈ D 1 。令点 P λ = λ P ，其中 λ ∈ ℤ ，则点 P λ ∈ l 。根据引理2.2可知，当λ为奇数时，点 P λ ∈ D 1 ；当 λ 为偶数时，点 P λ ∈ D 0 。因此 N l ( D 0 ) = N l ( D 1 ) = ∞ 。假设 N l ( D 2 ) ≠ 0 ，即可设直线l上含 D 2 -点 P 2 = ( m 2 2 ， n 2 3 2 ) ，其中 m 2 ， n 2 ∈ ℤ ， m 2 + n 2 ≡ 0 ( mod 4 ) 且 n 2 ≡ 1 ( mod 2 ) ，将其坐标代入直线方程可得 n 2 3 2 = n 3 m ⋅ m 2 2 ，即 m n 2 = n m 2 。于是有 m n 2 + n n 2 = n m 2 + n n 2 ，即 n 2 ( m + n ) = n ( m 2 + n 2 ) 。由于 4 | ( m 2 + n 2 ) ，则 4 | n 2 ( m + n ) ，而由 n 2 ≡ 1 ( mod 2 ) 可得 gcd ( 4 ， n 2 ) = 1 ，于是 4 | ( m + n ) ，与已知条件 m + n ≡ 2 ( mod 4 ) 矛盾，因此 N l ( D 2 ) = 0 。综上可得 N l ( D 0 ) = N l ( D 1 ) = ∞ 且 N l ( D 2 ) = 0 。 特别地，下证此时 N l ( C ) = 0 。假设l上含有C-点 P 3 = ( m 3 2 ， n 3 3 2 ) ，其中 m 3 ， n 3 ∈ ℤ ， m 3 + n 3 ≡ 2 ( mod 4 ) ， n 3 ≡ 0 ( mod 2 ) ，将其坐标代入直线方程可得 n 3 3 2 = n 3 m ⋅ m 3 2 ，即 m n 3 = n m 3 。于是有 m n 3 + n n 3 = n m 3 + n n 3 ，即 n 3 ( m + n ) = n ( m 3 + n 3 ) 。由 m + n ≡ 2 ( mod 4 ) 可得 2 | ( m + n ) ，又由 2 | n 3 可得 4 | n 3 ( m + n ) ，于是 4 | n ( m 3 + n 3 ) ，进而由 n ≡ 1 ( mod 2 ) 可得 gcd ( 4 ， n ) = 1 ，从而有 4 | ( m 3 + n 3 ) ，与已知条件 m 3 + n 3 ≡ 2 ( mod 4 ) 矛盾，因此 N l ( C ) = 0 。 情形(c)类似于情形(b)可证。 定理3.14：设直线 l : y = n 3 m x + b ( b ≠ 0 ) ，其中 m ， n ∈ ℤ ， gcd ( m ， n ) = 1 。若l上含有 D 0 -点 P 0 ，则有 (a) 直线l上仅含无穷多个 D 0 -点当且仅当 m + n ≡ 1 ( mod 2 ) 。 (b) N l ( D 0 ) = N l ( D 1 ) = ∞ ， N l ( D 2 ) = 0 当且仅当 m + n ≡ 2 ( mod 4 ) 。 (c) N l ( D 0 ) = N l ( D 2 ) = ∞ ， N l ( D 1 ) = 0 当且仅当 m + n ≡ 0 ( mod 4 ) 。 证明：已知直线 l : y = n 3 m x + b 上含有点 P 0 ∈ D 0 ，令直线 l ′ : y = n 3 m x ，则 l ′ = l − P 0 ，于是 l = l ′ + P 0 ，即直线l可由直线 l ′ 平移向量OP 0 得到。由引理2.4可知，直线l与 l ′ 上D-点的类型及分布情况一致，进而根据定理3.13立即得证。 定理3.15：设直线 l : y = n 3 m x + b ( b ≠ 0 ) ，其中 m ， n ∈ ℤ ， gcd ( m ， n ) = 1 。若l上含有 D 1 -点 P 1 ，则有 (a) 直线l上仅含无穷多个 D 1 -点当且仅当 m + n ≡ 0 ( mod 4 ) 。 (b) N l ( D 1 ) = N l ( D 0 ) = ∞ ， N l ( D 2 ) = 0 当且仅当 m + n ≡ 2 ( mod 4 ) 。 (c) N l ( D 1 ) = N l ( D 2 ) = ∞ ， N l ( D 0 ) = 0 当且仅当 m + n ≡ 1 ( mod 2 ) 。 证明：已知直线 l : y = n 3 m x + b 上含有点 P 1 ∈ D 1 ，令直线 l ′ : y = n 3 m x ，则 l ′ = l − P 1 ，于是 l = l ′ + P 1 ，即直线l可由直线 l ′ 平移向量OP 1 得到。因此，可根据 l ′ 上D-点的类型及分布情况，利用引理2.4讨论l上D-点的类型及分布情况。 (a) 由定理3.13可知 N l ′ ( D 0 ) = N l ′ ( D 2 ) = ∞ ， N l ′ ( D 1 ) = 0 当且仅当 m + n ≡ 0 ( mod 4 ) ，且此时 N l ′ ( C ) = 0 ，即 l ′ 上除了 D 0 -点及 D 2 -点以外，其它点均为非T-点。由引理2.4可得，将直线 l ′ 平移至直线l后， l ′ 上的 D 0 -点与 D 2 -点分别变为l上的 D 1 -点与C-点，而 l ′ 上的其它点均变为l上的非T-点，亦为非D-点，于是直线l上仅含无穷多个 D 1 -点。因此，直线l上仅含无穷多个 D 1 -点当且仅当 m + n ≡ 0 ( mod 4 ) 。 (b) 由定理3.13可知 N l ′ ( D 0 ) = N l ′ ( D 1 ) = ∞ ， N l ′ ( D 2 ) = 0 当且仅当 m + n ≡ 2 ( mod 4 ) ，且此时 N l ′ ( C ) = 0 ，即 l ′ 上除了 D 0 -点及 D 1 -点以外，其它点均为非T-点。由引理2.4可得，将 l ′ 平移至l后， l ′ 上的 D 0 -点与 D 1 -点分别变为l上的 D 1 -点与 D 0 -点，而 l ′ 上的其它点均变为l上的非T-点，亦为非D-点，于是 N l ( D 1 ) = N l ( D 0 ) = ∞ 且 N l ( D 2 ) = 0 。因此 N l ( D 1 ) = N l ( D 0 ) = ∞ ， N l ( D 2 ) = 0 当且仅当 m + n ≡ 2 ( mod 4 ) 。 (c) 由定理3.13可知直线 l ′ 上仅含无穷多个 D 0 -点当且仅当 m + n ≡ 1 ( mod 2 ) ，且此时 N l ′ ( C ) = ∞ ，即 l ′ 上除了 D 0 -点及C-点以外，其它点均为非T-点。由引理2.4可得，将 l ′ 平移至l后， l ′ 上的 D 0 -点与C-点分别变为l上的 D 1 -点与 D 2 -点，而 l ′ 上的其它点均变为l上的非T-点，亦为非D-点，于是 N l ( D 1 ) = N l ( D 2 ) = ∞ 且 N l ( D 0 ) = 0 。因此 N l ( D 1 ) = N l ( D 2 ) = ∞ ， N l ( D 0 ) = 0 当且仅当 m + n ≡ 1 ( mod 2 ) 。 类似地可得下述定理： 定理3.16：设直线 l : y = n 3 m x + b ( b ≠ 0 ) ，其中 m ， n ∈ ℤ ， gcd ( m ， n ) = 1 。若l上含有 D 2 -点，则有 (a) 直线l上仅含无穷多个 D 2 -点当且仅当 m + n ≡ 2 ( mod 4 ) 。 (b) N l ( D 2 ) = N l ( D 0 ) = ∞ ， N l ( D 1 ) = 0 当且仅当 m + n ≡ 0 ( mod 4 ) 。 (c) N l ( D 2 ) = N l ( D 1 ) = ∞ ， N l ( D 0 ) = 0 当且仅当 m + n ≡ 1 ( mod 2 ) 。