DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 摘 要 本文研究了带有Dirichlet边界条件的分数阶对流弥散方程耦合系统的多解问题。基于变分方法和一个三临界点定理，我们得到了该分数阶系统至少有三个解的结果。 关键词 :分数阶对流弥散方程，耦合系统，变分方法，多重解 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 本文将研究如下带有两个参数的分数阶对流弥散方程耦合系统的多重解问题。 { d d t ( 1 2 D 0 t − β ( u ′ ( t ) ) + 1 2 D t T − β ( u ′ ( t ) ) ) + λ F u ( t ， u ( t ) ， v ( t ) ) + μ G u ( t ， u ( t ) ， v ( t ) ) = 0 ， a . e .   t ∈ [ 0 ， T ] d d t ( 1 2 D 0 t − η ( v ′ ( t ) ) + 1 2 D t T − η ( v ′ ( t ) ) ) + λ F v ( t ， u ( t ) ， v ( t ) ) + μ G v ( t ， u ( t ) ， v ( t ) ) = 0 ， a . e .   t ∈ [ 0 ， T ] u ( 0 ) = u ( T ) = 0 ， v ( 0 ) = v ( T ) = 0 ， (1) 其中， D 0 t − κ 和 D t T − κ 分别是 0 ≤ κ < 1 阶的左、右Riemann-Liouville分数阶积分， λ 和 μ 是两个正的实参数， F ( t ， x ， y ) ， G ( t ， x ， y ) : [ 0 ， T ] × R 2 → R ，特别地，在 t ∈ [ 0 ， T ] 上，对每一个 ( x ， y ) ∈ R 2 ， F ( ⋅ ， x ， y ) 和 G ( ⋅ ， x ， y ) 是连续函数，且在 R 2 上，对任意的 t ∈ [ 0 ， T ] ， F ( t ， ⋅ ， ⋅ ) 和 G ( t ， ⋅ ， ⋅ ) 是 C 1 函数，且 F ( t ， 0 ， 0 ) = G ( t ， 0 ， 0 ) = 0 ， F s ， G s 分别表示F，G对s的偏导数。 近几年，关于非线性分数阶微分方程解的存在性和多重性问题被广泛的研究，目前，解决此类问题的一些主要方法包括不动点定理，重合度理论，上下解法，单调迭代法等 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]。除上述经典方法之外，变分方法和临界点理论已经成功地应用于研究非线性分数阶边值问题解的存在性和多重性问题，此方法对于研究一些复杂的分数阶微分方程具体重大的意义。然而，由于分数阶边值问题的临界点理论往往很难建立一个合适的空间和变分泛函，因此，迄今为止，变分方法和临界点理论应用于分数阶边值问题解的研究还很少 [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]。 在文献 [ 10 ] 中，作者研究了如下带有p-Laplacian算子的分数阶微分方程的边界值问题。 { D t b α ( 1 a ( t ) p − 2 φ ( a ( t ) D a t α u ( t ) ) ) = λ ( f u ( t ， u ( t ) ， v ( t ) ) + g u ( t ， u ( t ) ， v ( t ) ) ) ， t ∈ [ a ， b ] D t b β ( 1 a ( t ) p − 2 φ ( a ( t ) D a t β v ( t ) ) ) = λ ( f v ( t ， u ( t ) ， v ( t ) ) + g v ( t ， u ( t ) ， v ( t ) ) ) ， t ∈ [ a ， b ] u ( a ) = u ( b ) = 0 ， v ( a ) = v ( b ) = 0 (2) 其中， [ a ， b ] 是任意有界区间， λ 是一个非负的实参数， D a t α ， D a T β ， D t b α 和 D t b β 分别为 0 < α ， β ≤ 1 阶的左、右Riemann-Liouville分数阶导数，函数 a ( t ) ， b ( t ) ∈ L ∞ ( [ a ， b ] ) ，满足 a 0 = ess inf [ a ， b ] a ( t ) > 0 ， a 0 = ess sup [ a ， b ] a ( t ) > 0 ， b 0 = ess inf [ a ， b ] b ( t ) > 0 ， b 0 = ess sup [ a ， b ] b ( t ) > 0 ， φ p ( s ) = | s | p − 2 s ， p > 1 ，且 f ( t ， u ( t ) ， v ( t ) ) ， g ( t ， u ( t ) ， v ( t ) ) : [ a ， b ] × R 2 → R 为 C 1 函数， f s ， g s 分别为f，g关于s的偏导数。首先在A-R条件下，作者证明了系统(2)存在无穷多个解，此外，在没有A-R条件的情况下，作者得出了系统(2)至少有一个非平凡解存在的结果。 在上述文献的启发之下，本文将利用变分法及一个三临界点定理研究系统(1)的多重解问题，为此，下文将会建立一个合适的函数空间以及系统(1)的变分结构。
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user: 2. 预备知识 在本文中 α = 1 − β 2 ∈ ( 1 2 ， 1 ] ， δ = 1 − η 2 ∈ ( 1 2 ， 1 ] 。 定义1令 0 < τ ≤ 1 ， 1 < p < ∞ ，分数阶导数空间 S 0 τ 是空间 C 0 ∞ ( [ 0 ， T ] ， R ) 的闭包，其范数定义如下 ‖ w ‖ τ = ( ∫ 0 T | w ( t ) | p d t + ∫ 0 T | D 0 c t τ w ( t ) | p d t ) 1 p ， ∀ w ∈ S 0 τ 显然，如果 w ∈ S 0 τ ，那么w， D 0 c t τ w ∈ L p ( [ 0 ， T ] ， R ) ， w ( 0 ) = w ( T ) = 0 ， S 0 τ 是一个自反可分空间。 命题2 ( [ 11 ])令 0 < τ ≤ 1 ， 1 ≤ p < ∞ 。对所有的 w ∈ S 0 τ ，有 ‖ w ‖ L p ≤ T τ Γ ( τ + 1 ) ‖ D 0 c t τ w ‖ L p (3) 此外，如果 τ > 1 p ，且 1 p + 1 q = 1 ，那么 ‖ w ‖ ∞ ≤ T τ − 1 p Γ ( τ ) ( ( τ − 1 ) q + 1 ) 1 q ‖ D 0 c t τ w ‖ L p (4) 由(4)可知，关于空间 S 0 τ 的范数有下面等式成立 ‖ w ‖ τ = ‖ D 0 c t τ w ‖ L p = ( ∫ 0 T | D 0 c t τ w | p d t ) 1 p (5) 命题3 ( [ 11 ])对于任意的 w ∈ S 0 τ ，则有 | cos ( π τ ) | ∫ 0 T | D 0 c t τ w ( t ) | 2 d t ≤ − ∫ 0 T ( D 0 c t τ w ( t ) ， D t c T τ w ( t ) ) d t ≤ 1 | cos ( π τ ) | ∫ 0 T | D 0 c t τ w ( t ) | 2 d t (6) 命题4 ( [ 11 ])令 0 < τ ≤ 1 ， 1 < p < ∞ 。设 τ > 1 p ，当序列 { w k } 在空间 S 0 τ 上弱收敛w，那么在空间 C 0 ∞ ( [ 0 ， T ] ， R ) 中， { w k } 强收敛到w，即 ‖ w k − w ‖ ∞ → 0 ，当 k → ∞ 。 因此，对于任意的 u ∈ S 0 α ， v ∈ S 0 δ ，定义空间S表示空间 S 0 α × S 0 δ ，其范数定义为 ‖ ( u ， v ) ‖ S = ‖ u ‖ α + ‖ v ‖ δ 显然空间S是一个自反可分的Banach空间，且紧嵌入到空间 X = C 0 ( [ 0 ， T ] ， R ) × C 0 ( [ 0 ， T ] ， R ) 中。 我们考虑泛函 T λ : S → R ，其定义为 T λ ( u ， v ) = Φ ( u ， v ) − λ Ψ ( u ， v ) 其中： Φ ( u ， v ) : = − 1 2 ∫ 0 T ( D 0 c t α u ( t ) ， D t c T α u ( t ) ) d t − 1 2 ∫ 0 T ( D 0 c t δ v ( t ) ， D t c T δ v ( t ) ) d t (7) Ψ ( u ， v ) : = ∫ 0 T F ( t ， u ( t ) ， v ( t ) ) + μ λ G ( t ， u ( t ) ， v ( t ) ) d t (8) 显然， Φ ， Ψ 是Gâteaux可微泛函，则对任意 ( x ， y ) ∈ S ，其在点 ( u ， v ) ∈ S 处的导数 Φ ′ ( u ， v ) ， Ψ ′ ( u ， v ) ∈ S ∗ 分别为 Φ ′ ( u ， v ) ( x ， y ) = − 1 2 ∫ 0 T ( D 0 c t α u ( t ) ， D t c T α x ( t ) ) + ( D t c T α u ( t ) ， D 0 c t α x ( t ) ) d t     − 1 2 ∫ 0 T ( D 0 c t δ v ( t ) ， D t c T δ y ( t ) ) + ( D t c T δ v ( t ) ， D 0 c t δ y ( t ) ) d t (9) Ψ ′ ( u ， v ) ( x ， y ) = ∫ 0 T F u ( t ， u ( t ) ， v ( t ) ) ⋅ x ( t ) + F v ( t ， u ( t ) ， v ( t ) ) ⋅ y ( t )     + μ λ ( G u ( t ， u ( t ) ， v ( t ) ) ⋅ x ( t ) + G v ( t ， u ( t ) ， v ( t ) ) ⋅ y ( t ) ) d t (10) 因此，如果 ( u ， v ) ∈ S 是等式 T ′ λ ( u ， v ) : = Φ ′ ( u ， v ) − λ Ψ ′ ( u ， v ) 的解，那么 ( u ， v ) 是问题(1)的弱解。 定理5 [ 12 ] 令E是一个自反可分的实Banach空间，在其上定义一个单调、强制、半连续算子 A : E → E ∗ ，则下面的结果成立： a) 如果算子A严格单调，那么其存在可逆算子 A − 1 : E ∗ → E ，且 A − 1 是严格单调、半连续、有界算子。 b) 如果算子A强单调，那么 A − 1 Lipschitz连续。 定理6 [ 13 ] 令E是一个自反可分的实Banach空间， Φ : E → R 为序列弱下半连续、强制、连续Gâteaux可微算子，它的Gâteaux导数在空间 E ∗ 上存在一个连续的逆算子， Ψ : E → R 是连续Gâteaux可微泛函，其Gâteaux导数是紧的，且 Φ ( 0 ) = Ψ ( 0 ) 。设存在 ρ > 0 ， x ˜ ∈ E ，使得 ρ < Φ ( x ˜ ) ，那么 i) sup Φ ( x ) ≤ ρ Ψ ( x ) < ρ Ψ ( x ˜ ) Φ ( x ˜ ) ； ii) 对每个 λ ∈ Λ ρ : = ( Φ ( x ˜ ) Ψ ( x ˜ ) ， ρ sup Φ ( x ) ≤ ρ Ψ ( x ) ) ，泛函 T λ = Φ − λ Ψ 是强制的，则对每个 λ ∈ Λ ρ ，泛函 T λ = Φ − λ Ψ 在E上至少有三个不同的临界点。
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user: 摘 要 本文在分析商场打折促销行为的基础上，建立折扣力度模型。商品折扣率是商品折扣力度的直接体现，但不全面，因此考虑引入变量打折态度T，那么折扣力度 Z = T P ¯ 。打折态度由打折商品购买数量G、打折商品个数 N i 、打折商品限购数量 H i 等三个属性确定，利用多属性决策建立模型 T = w 1 G + w 2 N + w 3 H 确定打折态度的大小。其中权重由熵权法来确定，最终求出折扣力度 Z = ( w 1 G + w 2 N + w 3 H ) P ¯ 。最后利用某商场的实际数据分析折扣力度和商场销售量与利润的关系。 关键词 :折扣力度，打折态度，多属性决策，熵权法 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 问题引入 近几年，我国零售业的发展突飞猛进。西方发达国家经历了将近150年，八次零售业革命才达到的现有的规模和水平，而在我国仅用了近20年的时间就达到了接近西方发达国家的水平。仔细分析近年来我国的零售业革命，都离不开一个词，那就是价格。美国著名营销专家菲利普·科特勒 [ 1 ] 认为，“价格也是营销组合中最灵活的因素，它与产品特征和承诺渠道不同，它的变化是异常迅速的。”因此，很多商场在产品过剩时，或者为了提高销售业绩，最常用的一个手段就是“价格营销”，采用直接或间接的方法降低商品价格。经过时间的推移，促销大致经历了有奖销售、还本销售、优惠券、商品打折等手段。现阶段，商家最喜欢用，也是消费者最容易接受的手段便是打折促销 [ 2 ]。商品打折的方法也是五花八门，比如单品直降，限时抢购，单品买赠，新人专享等等，噱头十足。很多商场提高了某个时间段的业绩，不计成本地进行价格战争，甚至很多商品低于成本价销售，只关心商场的销售业绩，而对于这种打折促销活动能否对商场的利润带来提高却漠不关心，或者是心有余而力不足，因为他们无法从何下手。因此，对于一个商场的负责人来讲，了解打折促销的力度和商场销售额以及利润的关系是必不可少的一个环节。 为了厘清商场折扣力度和和商场销售额以及利润的关系，本文以某某商场2016年11月30日至2019年1月2日每天的流水数据为基础，对数据进行预处理，删除未完成订单，以适当的指标衡量每天的折扣力度，建立模型，讨论商场折扣力度和销售额以及利润的关系。
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user: 2. 折扣力度模型的建立与求解 2.1. 模型假设 1) 打折促销时限购数量为0视为无效方案。 2) 价格并非影响销售额的唯一变量，由于数据有限，本文只考虑价格因素。 2.2. 基于熵权理论的属性权重确定方法 [ 3 ] 属性权重的确定，我们采用客观赋权法常用的熵权法。其原理为某个指标的信息熵越小，表明其指标值变异程度越大，提供的信息量越大，在综合评价中的作用也越大，因而其权重也相应越大；反之，若某指标信息熵越大，则表明指标的变异程度越小，提供的信息量越小，权重也相应越小。具体步骤为： 步骤1 首先计算第j个指标下第i天的指标值的比重 f i j = x i j / ∑ i = 1 n x i j 。 (1) 步骤2 计算第j个指标的熵值 e j = − k ∑ i = 1 n f i j ln f i j (其中， k = 1 / ln n ) (2) 步骤3 计算出各个指标的权重 w j = ( 1 − e j ) / ∑ j = 1 m ( 1 − e j ) (3) 2.3. 折扣力度模型的建立 [ 4 ] 2.3.1. 商场每天的商品折扣率 利用某商场的流水数据，剔除掉未打折销售的数据，得到421，505个数据。计算出一天内每一个商品的折扣率 P = S − C S ，其中S为商品销售价格，C为商品成本价格。然后求出每一天的平均折扣率 P ¯ i 。如表1所示。 Table 1 The average daily discount rat 时间 2016/11/30 2016/12/1 2016/12/2 2016/12/3 …… 2018/12/30 2018/12/31 2019/1/1 2019/1/2 折扣率 0.23 0.26 0.23 0.25 …… 0.25 0.25 0.22 0.22 表1. 每天的平均折扣率 2.3.2. 商场每天的折扣力度 衡量商场的折扣力度Z，仅仅用商品每一天的平均折扣率 P ¯ i 是不够全面的。因为商场的折扣力度还和商场打折的商品种类多少、打折商品允许数量以及打折商品受欢迎程度有关。做个假设，如果一个商品折扣率很高，但是却是一些冷门产品，或者由于限购，导致没几样卖出去，显然这样的折扣力度是不够的。这些因素体现这商场负责人对打折促销的态度T。打折态度T的取值在0~1之间，取值越大说明态度越积极。因此折扣力度 Z = T P ¯ 。 下文给出打折促销的态度T的确定方法。顾客对打折商品的受欢迎程度用每天的购买数量G来衡量，打折商品种类用每天的打折商品个数N来衡量，打折商品允许数量用商品限购数量 H 。因此打折促销态度T的大小可以由变量G、N、H等属性确定。在这样的背景下，我们利用多属性决策理论进行建模。目标变量为商场的打折促销的态度T，三个属性变量为每天的打折商品个数N、每天的购买数量G和商品限购数量H。建立模型 T = w 1 G + w 2 N + w 3 H 。其中 w j 表示三个变量的权重，由式(1)(2)(3)确定。在求出打折促销的态度T的条件下，再求出折扣力度 Z = T P ¯ = ( w 1 G + w 2 N + w 3 H ) P ¯ (4) 2.3.3. 模型的求解 对于每天打折商品个数N、每天的购买数量G和商品限购数量H而言，是离散型变量，不属于连续型，结合某商场的流水数据各个属性的分布情况，定义如下。对于打折商品个数N，参与打折种类1种为1分(36%)，2~5种为2分(34%)，6~10种为3分(12%)，11~30中为4分(10%)，31种以上为5分(8%)。对于每天的购买数量G，每天购买数量0为1分(38%)，1~5为2分(20%)，6~20为3分(20%)，21~50为4分(12%)，51以上为5分(10%)。对于商品限购数量H，限购数量1~99为1分(12%)，100~999为2分(18)，1000~9999为3分(30%)，10，000~60，000为4分(20%)，60，000以上为5分(20%)。求出每天各个属性N、H和G的得分值，并对其进行标准化。标准化公式为每天的得分/最高得分。 然后将数据按照熵权法的三个步骤分别代入，得到三个属性的权重为：0.26、0.40、0.34再利用模型(4)计算出折扣力度。如表2所示。 Table 2 Daily discount rat 时间 2016/11/30 2016/12/1 2016/12/2 2016/12/3 …… 2018/12/30 2018/12/31 2019/1/1 2019/1/2 折扣力度Z 0.046 0.052 0.045 0.049 …… 0.26 0.25 0.23 0.18 表2. 每天的折扣力度
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user: 3. 分析折扣力度与商品销售额和利润率的关系 [ 5 ] 3.1. 分析折扣力度与商品销售额的关系 按时间分类汇总，得到2016年11月30日到2019年1月2日每天的总销售额(即营业额)、总成本和利润率(如表3)。其中，利润率 = (销售额 − 成本)/销售额。 Table 3 Daily gross sales and profit margin 日期 2016/11/30 2016/12/1 2016/12/2 ... 2018/12/31 2019/1/1 2019/1/2 营业额 2833.7 2346.2 2338.3 ... 138330 65065 31072.5 利润率 13.69% 22.13% 19.51% ... 19.25% 17.91% 16.26% 表3. 每天的总销售额以及利润率 观察折扣力度与商品销售额的散点图(如图1)，可以发现折扣力度与商品销售额大致成直线分布。对这两组数据做相关分析。相关系数表达式为： r = n ⋅ ∑ x ⋅ y − ∑ x ⋅ ∑ y n ⋅ ∑ x 2 − ( ∑ x ) 2 ⋅ n ⋅ ∑ y 2 − ( ∑ y ) 2 图1. 折扣力度和营业额散点图 利用Excel求出两组数据的相关系数 r = 0.6986 。说明折扣力度与商品销售额呈线性正相关。但相关关系不是特别强。再观察图1发现有几个点明显分散，为了提高拟合的优度，因此删除这几个奇异数据。分别是2018-11-24、2018-12-09、2018-12-22、2018-12-23，2018-12-31，2018-6-18，2018-12-30，2018-10-20，2018-12-12，2018-8-8，2018-11-11等11个数据，然后再作线性回归，回归方程为 Y = a + b Z 。其中Y是销售量，Z是折扣力度，a，b为参。利用EXCLE的数据分析得到回归模型和相关信息(见表4、表5)，并作出拟合图像(见图2)。 Table 4 Regression parameter (1 Multiple R 0.859296 R Square 0.73839 Adjusted R 0.738041 标准误差 8880.271 观测值 751 表4. 回归参数(一) Table 5 Regression parameter (2 Coefficients 标准误差 t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept −2403.27 657.687 −3.65413 0.000276 −3694.4 −1112.15 0.03819 183215.4 3984.785 45.97874 2.8E-220 175392.7 191038 表5. 回归参数(二) 从表中可以看到回归系数为0.8592，基本符合要求。说明折扣力度与商品销售额之间的确具有线性关系。关系式为 Y = − 2403.27 + 183215.4 Z 从这个式子中能知道，当折扣力度提升0.1，一天的销售额可以提升约18，321元。 图2. 营业额与折扣力度的拟合回归 3.2. 分析折扣力度与商品利润率的关系 观察折扣力度与商品利润率的散点图(如图3)，可以发现折扣力度与商品利润也大致成直线分布。因此对这两组数据也做相关关系分析。利用excel求出两组数据的相关系数 r = − 0.3679 。从相关系数上我们可以得知，折扣力度与商品利润率之间也呈现线性负相关，但关系力度不大，属于弱相关。因此可以说明这个商场的折扣力度和商品利润率之间相关性不大，而且从某种意义上来讲，折扣力度的提高反而使得利润率下降。 图3. 折扣力度和利润率散点图
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user: 4. 结论 综上分析，该商场在2016年11月30日至2019年1月2日这段时间内折扣力度与销售额呈线性正相关，且相关关系比较强。而折扣力度和利润率之间呈线性负相关，且相关关系较弱。作为商家而言，打折的目的是为了薄利多销，赚取更多的利润。从以上的分析来看，商场的打折手段的确使得销售额提升了，但却没有使利润增加。因此可以说，这个商场的打折手段是比较失败的。 本模型以某商场的实际数据为依托，建立了基于熵权理论的多属性打折力度数学模型，考虑的属性指标比较全面，容易理解，可操作性强。也存在一些不足，比如删除了11个奇异数据，而这几个日期恰恰是销售量较好，折扣力度大的日子。虽然拟合回归的优度的确提高了，也确定了回归方程，但由于数据的缺失，回归方程未能完全反映打折力度和销售量之间的关系。
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user: 摘 要 本文利用时标上的Cauchy-Schwarz不等式、Keller链式法则等工具，得到了一类时标上的Opial型不等式，推广了连续和离散情形下的相应Opial型不等式。 关键词 :时标，Opial型不等式，Cauchy-Schwarz不等式 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 1960年，波兰数学家Opial [ 1 ] 证明了下面不等式 ∫ a b | x ( t ) | | x ′ ( t ) | d t ≤ b − a 4 ∫ a b | x ′ ( t ) | 2 d t ， (1) 其中 x ( t ) 为区间 [ a ， b ] 上的绝对连续函数，且 x ( a ) = x ( b ) = 0 。由于其在微分方程、差分方程初边值问题研究中的重要性，许多学者给出了Opial不等式的各种推广及离散化的Opial不等式 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]，其中，Yang [ 5 ] 简化了(1)式的证明，并给出了推广的不等式 ∫ a b q ( t ) | x ( t ) | | x ′ ( t ) | d t ≤ 1 2 ∫ a b d t r ( t ) ∫ a b r ( t ) q ( t ) | x ′ ( t ) | 2 d t ， 其中 r ( t ) > 0 、连续且满足 ∫ a X d t r ( t ) < ∞ ， q ( t ) > 0 且为 [ a ， b ] 上的有界非增函数；同时，Yang [ 5 ] 还给出了更一般的不等式 ∫ a b | x ( t ) | p | x ′ ( t ) | q d t ≤ q p + q ( b − a 2 ) p ∫ a b | x ′ ( t ) | p + q d t ， (2) 其中 p ， q ≥ 1 。关于离散形式的Opial不等式，Lasota [ 6 ] 也讨论了不等式 ∑ i = 1 h − 1 | x i Δ x i | ≤ 1 2 [ h + 1 2 ] ∑ i = 0 h − 1 | Δ x i | 2 ， 并给出了证明，其中 { x i } 0 ≤ i ≤ h 为一实数列满足 x 0 = x h = 0 。 1988年，德国学者S. Hilger为了统一连续、离散情形的研究，在其博士论文中提出了时标的概念。此后，时标理论得到了快速发展，特别是M. Bohner和A. Peterson在文献 [ 7 ] [ 8 ] 中，系统分析了时标上一类非常重要的动力方程：时标上的动力方程。时标上的动力方程(系统)不仅可以统一连续和离散这两种特殊的情形，而且在其他学科中也有巨大的应用潜力，如量子力学等，是一个比较新的有着广泛应用前景的应用数学分支，其理论研究主要集中在边值问题、振动性、稳定性等方面。关于时标上的不等式研究，也有相关结果 [ 9 ] - [ 14 ]。 本文将研究Opial型不等式(2)在时标上的推广，其中在第二部分对时标的基本概念及基本理论作简要介绍，在第三部分中给出主要结果及其证明。
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user: 2. 预备知识 实数集 ℝ 的任一非空闭子集称为时标，记为T。设时标T上的拓扑由 ℝ 上的标准拓扑诱导，则有 下列定义： 定义1 [ 7 ]：设T为时标，对任意 t ∈ T ，定义 σ ( t ) : = inf { s ∈ T : s > t } ，称 σ : T → T 为前跳算子； ρ ( t ) : = sup { s ∈ T : s < t } ，称 ρ : T → T 为后跳算子。 在上面的定义中，称 inf Φ = sup T (即如果t为时标T的最大值，则有 σ ( t ) = t )，而 sup Φ = inf T (即如果t为时标T的最小值，则有 ρ ( t ) = t )，其中 Φ 表示空集。 设 t ∈ T 且 inf T < t < sup T ，若 σ ( t ) > t ( = t ) ，称点t是右发散(右稠密)的；若 ρ ( t ) < t ( = t ) ，称点t是左发散(右稠密)的。既右发散又左发散的点称为孤立点，既右稠密又左稠密的点称为稠密点。 如果T的左发散点有最大值 t 1 ，则定义 T k : = T \ { t 1 } ，否则 T k : = T 。 时标T上的区间 [ a ， b ] 定义为 [ a ， b ] T : = { t ∈ T : a ≤ t ≤ b } 。 定义2 [ 7 ]：定义前跳graininess函数 μ : T → [ 0 ， ∞ ) 为 μ ( t ) : = σ ( t ) − t ，对任意的 t ∈ T 。 设 f : T → ℝ 为时标T上的一实函数，则 f σ : T → ℝ 定义为 f σ ( t ) = f ( σ ( t ) ) ，即 f σ = f ∘ σ 为 f ， σ 的复合；同理， f σ : T → ℝ 定义为 f ρ ( t ) = f ( ρ ( t ) ) ，即 f ρ = f ∘ ρ 。 对于时标T上的实函数f，下面给出f在点 t ∈ T k 时的 Δ 导数(Hilger导数)的定义。 定义3 [ 7 ]：若对任意的 ε > 0 ，存在t的邻域U，使得对任意 s ∈ U ，都有 | [ f ( σ ( t ) ) − f ( s ) ] − f Δ ( t ) [ σ ( t ) − s ] | ≤ ε | σ ( t ) − s | 成立，则称 f Δ ( t ) 为f在t的 Δ 导数(Hilger导数)。 关于 Δ 导数，下列性质成立。 引理1 [ 8 ]：设函数 f ， g : T → ℝ 在 t ∈ T k 处可微，则有： 1) 若 f Δ ( t ) 存在，则 f ( σ ( t ) ) = f ( t ) + μ ( t ) f Δ ( t ) ； 2) ( f + g ) Δ ( t ) = f Δ ( t ) + g Δ ( t ) ； 3) ( f g ) Δ ( t ) = f Δ ( t ) g ( t ) + f σ ( t ) g Δ ( t ) = f ( t ) g Δ ( t ) + f Δ ( t ) g σ ( t ) ； 4) 若 g ( t ) g σ ( t ) ≠ 0 ，则 ( f g ) Δ ( t ) = f Δ ( t ) g ( t ) − f ( t ) g Δ ( t ) g ( t ) g σ ( t ) 。 定义4 [ 7 ]：函数 f : T → ℝ 称为右稠连续的，如果f在T的右稠密点出连续，在左稠密点出左极限存在。 记T上的右稠连续函数为 C r d ( T ， ℝ ) 。 定义5 [ 7 ]：对任意的 t ∈ T k ，若满足 F Δ ( t ) = f ( t ) ，则称函数 F : T → ℝ 为f的一个原函数，且定义 Δ 积分为 ∫ a b f ( t ) Δ t = F ( b ) − F ( a ) ， ∀ a ， b ∈ T 。 关于 Δ 积分，有下面引理。 引理2 [ 8 ]：若 a ， b ， c ∈ T ， k 1 ， k 2 ∈ ℝ ， f ， g ∈ C r d ( T ， ℝ ) ，则有 1) ∫ a b [ k 1 f ( t ) + k 2 g ( t ) ] Δ t = k 1 ∫ a b f ( t ) Δ t + k 2 ∫ a b g ( t ) Δ t ； 2) ∫ a b f ( t ) Δ t = ∫ a c f ( t ) Δ t + ∫ c b f ( t ) Δ t ； 3) ∫ t σ ( t ) f ( s ) Δ s = μ ( t ) f ( t ) ； 4) 若 f ( t ) ≤ g ( t ) ， ∀ t ∈ [ a ， b ] T ，则 ∫ a b f ( t ) Δ t ≤ ∫ a b g ( t ) Δ t ； 5) ∫ a b f σ ( t ) g Δ ( t ) Δ t = ( f g ) ( t ) | a b − ∫ a b f Δ ( t ) g ( t ) Δ t 。 在后面的证明中，主要用到下面的时标上的Cauchy-Schwarz不等式。 引理3 [ 8 ]：设 a ， b ∈ T ， 1 < p ， q < + ∞ ，且满足 1 p + 1 q = 1 ，则对函数 f ， g ∈ C r d ( T ， ℝ ) ，有 ∫ a b | f ( t ) g ( t ) | Δ t ≤ { ∫ a b | f ( t ) | p Δ t } 1 p { ∫ a b | g ( t ) | q Δ t } 1 q 成立。
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user: 摘 要 由于气井地层水矿化度高，天然气携带高矿化度的地层水进入输气管线而导致管线堵塞。再加上集输管线温度降低、压力下降等外界条件变化或干气浓蒸等效应的影响，集输管线中形成大量盐垢，造成管线堵塞而集输效率大大降低甚至被迫关井。研究通过分析了须家河气藏地层水的理化性能，研究出复合防盐剂配方：0.4%增溶剂CJ-ZRJA + 0.08%盐晶畸变剂 + CJ-JBJB + 0.01%分散剂 + CJ-FSJC + 0.01%表活剂CJ-BHJD。结合集输管线距离长、高低起伏、停气作业要求时间短等特点，采用水力冲刷、抑盐剂浸泡、清管排液的工艺技术，成功解除了蓬莱4井至蓬莱116井管线和女深002-6-X1至女112井管线2条输气管线的堵塞，恢复了管线的正常集输。 关键词 :复合抑盐剂，盐堵，输气管线 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 须家河气藏由于储气层为含盐沉积储层，在长期地层作用及生产过程导致地层水矿化度高，气藏生产过程中大量的气体携带水蒸气或者液体进入井筒及地面集输管道，导致地面集输管线在输气过程中发生盐垢结晶，导致管线缩颈，输气量下降，输气断压力增加，用户压力下降，用气不稳定，严重影响正常生产和集输 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]。再加上温度降低、压力下降等外界条件变化以及干气浓蒸等效应影响，会在管道中形成大量盐垢，造成管线堵塞，使管输效率大大降低甚至被迫关井，此外堵塞后堵点寻找困难、停输时间长，严重影响外供民用气的保供；常规换管解堵方式导致大量天然气放空，造成能源浪费和环境污染，需要彻底解决管道堵塞问题 [ 5 ] [ 6 ]。研究中通过分析地层水的理化性能和集输管线中盐垢的成分，在此基础上提出了复合抑盐剂的配方体系，并在完善配方的基础上，对须家河气藏蓬莱4井至蓬莱116井管线和女深002-6-X1至女112井管线等2条堵塞管线上进行解堵。
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user: 2. 实验部分 2.1. 材料与仪器 离子色谱仪：ICS-1600，美国戴安；高温高压滤失仪：GGS71-B，青岛海通达有限公司；分光光度计：UV1200，上海美析仪器有限公司；高速搅拌器，GJS-B12K，青岛海通达有限公司；水浴锅DHG-9140A，常州普天仪器制造有限公司；X射线多晶衍射仪D8 Advance，德国Bruker AXS D8-Focus；X射线荧光仪S4 Pioneer，布鲁克有限公司。女深002-6-X1井、蓬莱9井、西充2井、蓬莱107井等结盐井的水样，须家河气藏盐垢样，须家河气藏集输管线；增溶剂CJ-ZRJA，盐晶畸变剂CJ-JBJB，工业品，荆州江汉精细化工有限公司；分散剂CJ-FSJC，渗透剂CJ-BHJD，成都市科隆化学品有限公司。 2.2. 实验方法 2.2.1. 集输管线水样分析 选取具有代表性的女深002-6-X1井、蓬莱9井水样、西充2井水样、蓬莱107井水样等结盐井的水样，密封运回后，静止沉淀2天，取下层水样。参照《油田水分析方法》《油气田水分析方法SY/T5532-2016》标准，离子色谱仪ICS-ICS-1600进行分析。 2.2.2. 盐垢的组分分析 用有机溶剂甲苯将一定数量的泥垢样品反复洗涤4~5次，直到泥垢中所附带的油和有机物被提取干净，采用垢样X射线多晶衍射仪的定性分析、X射线荧光仪分析其中的矿物组成方法。 2.2.3. 复合抑盐解堵剂的优选 称取100 mL地层水加入250 mL锥形瓶中，密封加热到100℃，加入一定量的氯化钠直到地层水达到饱和。加入定量防盐试剂，溶解并控温100℃下加热沸腾加热5 min。静置自然冷却到室温(25℃)，观察析出结晶形态，过滤后，在100℃下烘干晶体后称重，并分析测定溶液中氯离子浓度。
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user: 4. 结论 通过分析须家河气藏地层水的理化性能和盐垢样的组成，确定了集输管线中的盐垢样组成主要为氯化钠，进而研究出复合防盐剂配方，根据须家河集输管线距离长、高低起伏、停气作业时间要求短等特点，采用水力冲刷、抑盐剂浸泡、清管排液的工艺技术，成功解除了蓬莱4井至蓬莱116井管线和女深002-6-X1至女112井管线2条管线的堵塞，恢复了管线的正常集输。说明研制的复合抑盐解堵剂具有优良的解堵性能，采用水力冲刷、抑盐剂浸泡、清管排液的解堵工艺能解决集输管线堵塞的难题。
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user: 摘 要 近年来，磁感应热疗作为一种新兴的肿瘤治疗方法得到较多的关注。本文分析了以磁纳米粒子作为热源的傅里叶传热方程，在傅里叶热传导模型的基础上通过引入弛豫时间建立了单相方程的热传递模型，并利用分离变量法求得了该方程的解析解。分析了外部磁场性质和磁性纳米粒子特性对温度分布的影响。 关键词 :非傅里叶传热模型，弛豫时间，磁感应热疗，磁纳米粒子 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 现代热疗作为一种肿瘤治疗技术，其研究热点主要集中在靶区温度的合理性和均匀性等方面上。其中磁感应热疗作为一种有效的热疗方法，具有加热均匀性好、对正常细胞组织损伤较小和联合治疗效果佳等优点。磁热疗技术是通过注射方式，将磁纳米粒子注射进肿瘤区域附近使其聚集，再施加一外部交变磁场，使磁纳米粒子因磁滞、弛豫或感应涡流等现象被加热，最终破坏肿瘤细胞 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]。2014年，Bohara [ 5 ] 等人对乳腺癌细胞进行了体外热疗试验，发现癌细胞死亡率可达到80%，证实了磁流体热疗治疗乳腺癌的潜在可能性。 进行磁热疗过程中最重要的工作是考虑加热时人体中温度的分布情况，精准的对病患位置进行加热且不损伤正常组织是第一需求。因此在以磁纳米粒子为热源的磁热疗中考虑温度分布是必要的。对于常规条件下稳态热传导方程，人们通常用Fourier定律来描述热流密度与温度梯度之间的关系。表述为介质内任意一点的热流密度矢量与该处的温度降度成正比 [ 6 ]。自傅里叶热传导定律提出后，一直被作为各种传热现象的基础理论。但在其描述瞬态导热过程时，与能量方程的结合所得到的抛物型方程会出现热扰动传播速度无限大的情况，即达到一个平衡状态的弛豫时间是无限趋近于零，显然是不符合物理实际的。因此，在傅里叶方程的基础上，考虑热流矢量的传播和温度梯度形成之间的时间延迟现象是必要的 [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]。Jou [ 11 ] 提出了基于熵产理论的热波模型，解决了热力学转变过程中非平衡态超速传热的问题。Tzou [ 12 ] 从另一个角度出发，考虑热流矢量的传播和温度梯度的形成之间有一个时间延迟，提出了一个描述非平衡热力学转变的宏观方程，即单相延迟的双曲热传导方程。Bai [ 13 ] 等人的研究表明典型的双曲型热传导方程在某些条件下会低于绝对零度，此时连续介质假说不再成立。Coleman [ 14 ] 修正了其内能的表示方程，得到了修正双曲型热传导方程。 在傅里叶传热方程中加入了热流量对时间的导数，使方程变成双曲型的波动方程，表示如下： q + τ q ∂ q ∂ t = − k ∂ T ∂ x (1) 其中q为热流密度，是单位时间通过单位面积的热流量，T为温度，k为导热率，又称导热系数，衡量物体导热能力的参数，τ q 为弛豫时间，表示热流量与温度梯度之间的相位差。傅里叶定律作为导热的本构方程，在一个多世纪以来用来解决实际工程问题，所得结果能较好地与实际相吻合，且适用于各种情况下的导热问题。但实际情况下，由于反应时间不够，理论上在时间t形成的温度梯度其实是t + τ q 时热流矢量到达x点处才建立的。 本文拟研究以磁纳米粒子为热源的修正双曲型热传导方程。利用分离变量法，求得考虑弛豫时间的非傅里叶传热方程的解析解，得到磁场参数和磁纳米粒子性质对磁热疗中组织温度分布的影响，为实验和实际应用提供理论基础。
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user: 2. 模型描述 将式(1)热流矢量方程关于t进行泰勒级数展开后，再代入Pennes方程 [ 15 ] (因为相位延迟时间τ q 很小，故忽略其二次项和高阶项，并假设热导率k为常数)，得到一个含自变量x和t的双曲型热传导方程： ρ c ( 1 + τ q ∂ ∂ t ) ∂ T ∂ t + w b c b ( 1 + τ q ∂ ∂ t ) ( T − T b ) = k ∂ 2 T ∂ x 2 + Q . (2) 上述模型满足以下边界条件和初始条件： T | x = 0 = T 0 ，     ∂ T ∂ x | x = l = 0 ，     T | t = 0 = 0 ，     ∂ T ∂ t | t = 0 = 0. (3) 式(2)就是包含弛豫时间的双曲型传热方程，方程左边w b 和ρ分别是血液灌注率和组织和血液密度，τ q 是弛豫时间，c b 和c分别表示血液和组织的比热，Q表示磁纳米粒子产热项，T 0 是x = 0处的温度，取值37℃，l是组织的厚度为0.02 m。 对上述方程进行无量纲化，其无量纲量为： x * = x [ x ] ， L = l [ x ] ， [ x ] = k w b c b ， t * = t [ t ] ， [ t ] = ρ c w b c b ， τ q * = τ q [ τ q ] ， [ τ q ] = ρ c w b c b ， T * = ( T − T b ) [ T ] ， [ T ] = T 0 − T b ， Q * = Q [ Q ] ， [ Q ] = w b c b ( T 0 − T b ) . (4) 将以上无量纲量代入式(2)，(3)中，化简得到： ( 1 + τ q * ∂ ∂ t * ) ∂ T * ∂ t * + ( 1 + τ q * ∂ ∂ t * ) T * = ∂ T * ∂ x * 2 + Q * ， (5a) T * | x = 0 = 1 ， ∂ T * ∂ x * | x * = L = 0 ， T * | t * = 0 = 0 ， ∂ T * ∂ t * | t * = 0 = 0. (5b)
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user: 3. 方程求解 由于热源稳定发热，与温度场的位置和时间都无关。我们令： T * * = T * − Q * ，方程(4)，(5)可化为： ( 1 + τ q * ∂ ∂ t * ) ∂ T * * ∂ t * + ( 1 + τ q * ∂ ∂ t * ) T * * = ∂ 2 T ** ∂ x * 2 ， (6) T ** | x * = 0 = 1 − Q * ， ∂ T * * ∂ x * | x * = L = 0 ， T * * | t * = 0 = − Q * ， ∂ T ** ∂ t * | t * = 0 = 0. (7) 现得到一个温度的微分方程和非齐次的边界条件。为了求解上述方程，可由叠加原理将其分解成一个齐次边界条件的偏微分方程以及一个常微分方程。为了表示方便，去掉后面所有的表达式中表示无量纲的*号。设： T ( x ， t ) = θ 1 ( x ， t ) + θ 2 ( x ) . (8) 其中θ 2 满足方程： d 2 θ 2 ( x ) d x 2 − θ 2 ( x ) = 0 ， (9) θ 2 ( x ) | x = 0 = 1 − Q ， ∂ θ 2 ( x ) ∂ x | x = L = 0. (10) 解得： (11) θ 1 (x， t)满足： ( 1 + τ q ∂ ∂ t ) ∂ θ 1 ∂ t + ( 1 + τ q ∂ ∂ t ) θ 1 = ∂ 2 θ 1 ∂ x 2 ， (12) θ 1 | x = 0 = 0 ， ∂ θ 1 ∂ t | x = L = 0 ， θ 1 | t = 0 = − Q − θ 2 ， ∂ θ 1 ∂ t | t = 0 = 0. (13) 使用分离变量法，设： θ 1 = X ( x ) T ( t ) ，则有： ( 1 + τ q ) X T ′ + τ q X T ″ + X T = X ″ T ， 可以通过整理得到： ( 1 + τ q ) T ′ T + τ q T ″ T + 1 = X ″ X = − λ . (14) 设 X ″ ( x ) X ( x ) = − λ 和 ( 1 + τ q ) T ′ T + τ q T ″ T + 1 = − λ 。 先求解二阶线性常微分方程组： X ″ ( x ) + λ X ( x ) = 0 ， (15a) X ( 0 ) = 0 ， X ′ ( L ) = 0. (15b) 利用特征值法求解X(x)，解得： X n ( x ) = sin λ n x . (16) 其中 λ n = [ ( n + 1 / 2 ) π L ] 2 ， n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ 。 再对时间函数T(t)进行求解 T ″ + 1 + τ q τ q T ′ + 1 + λ n τ q T = 0. (17) 若 ( 1 − τ q ) 2 − 4 τ q λ n < 0 则 w n 2 = λ n τ q − [ ( 1 − τ q ) 2 τ q ] 2 ， T n ( t ) = e − α t 2 ( c 1 cos w n t + c 2 sin w n t ) ， (18a) 若 ( 1 − τ q ) 2 − 4 τ q λ n ≥ 0 则 r n 2 = − λ n τ q + [ ( 1 − τ q ) 2 τ q ] 2 ， T n ( t ) = e − α t 2 ( c 3 e r n t + c 4 e − r n t ) . (18b) 其中 α = ( 1 + τ q ) τ q 。 解得： ( 1 − τ q ) 2 − 4 τ q λ n < 0 时 θ 1 ( x ， t ) = e − α t 2 ∑ n = 1 ∞ ( c 1 cos w n t + c 2 sin w n t ) ( sin λ n x ) ， (19a) ( 1 − τ q ) 2 − 4 τ q λ n ≥ 0 时 θ 1 ( x ， t ) = e − α t 2 ∑ n = 1 ∞ ( c 3 e r n t + c 4 e − r n t ) ( sin λ n x ) . (19b) 将式(19)代入边界条件(13)求解系数可得： c 1 = − 4 Q ( 2 n − 1 ) π − ( 2 n − 1 ) ( 1 − Q ) π L 2 + ( 2 n − 1 2 π ) 2 ，     c 2 = ( 1 + τ q ) 2 w n τ q c 1 ，     c 3 = α + 2 r n 4 r n c 1 ，     c 4 = − α + 2 r n 4 r n c 1 . (20) 将式(11)和式(19)带入式(8)和 得到： ( 1 − τ q ) 2 − 4 τ q λ n < 0 时， T = Q + e − α t 2 ∑ n = 1 ∞ ( c 1 cos w n t + c 2 sin w n t ) ( sin λ n x ) + ( 1 − Q ) cosh ( x − L ) cosh L ， (21a) ( 1 − τ q ) 2 − 4 τ q λ n ≥ 0 时， T = Q + e − α t 2 ∑ n = 1 ∞ ( c 3 e r n t + c 4 e − r n t ) ( sin λ n x ) + ( 1 − Q ) cosh ( x − L ) cosh L . (21b)
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user: 4. 分析和讨论 上述研究分析了存在时间滞后特性的傅里叶热传导模型，利用分离变量法求得该模型在Dirchlet和Neumann混合边界条件下的解析解，得出了温度分布的函数。在实际问题中，典型的参数值选取为：组织导热系数k = 0.5 W/(m.℃)，血液灌注率w b = 0.52 kg/(m 3 .s)，动脉血温T b = 36℃，血液比热c b = 4186 J/(kg.℃)，组织比热c = 4186 J/(kg.℃)，组织和血液的密度为ρ = 1000 kg/m [ 16 ]。 磁疗中的热疗效应实质上是由在中频范围内磁滞损耗和弛豫τ引起。Rosensweig在文献 [ 17 ] 中给出了关于弛豫生热、磁性粒子理化性质与外场的关系的公式： Q = π μ 0 χ 0 H 2 f 2 π f τ 1 + ( 2 π f τ ) 2 ， (22) 其中μ 0 = 4π × 10 −7 N/A 2 是真空的磁导率，χ 0 为磁化率，χ 0 = M/H，M是磁化强度描述磁性体磁性强弱的物理量，取425 kA∙m -1 ，H为外加磁场强度，f为交变磁场频率。τ为磁纳米粒子的有效弛豫时间。由式(22)，影响磁纳米粒子产热的参数主要分为两个方面：外磁场的性质和磁纳米粒子自身的性质，外磁场性质中包括磁场强度和交变磁场频率。另一方面，金属粒子的弛豫时间τ会随颗粒大小改变，本文为简单起见τ取定值3.378 × 10 −6 [ 17 ]。在外加磁场的选取方面，由于通常人体可耐受的磁场强度最大为10 kA/m，所以对H的选择一般小于10 kA/m。在0~10 kA/m之间选取3个不同的磁场强度，比较其温度的变化情况。以同样方式选取了3个不同交变磁场频率的数值，分别为55 kHz，65 kHz，75 kHz。 4.1. 外磁场性质改变对温度变化的影响 图1给出了不同磁场强度情况下，无量纲温度曲线随时间和距离的变化。类似的，图2是不同交变磁场频率情况下，无量纲温度曲线随时间和距离的变化：从图1(a)和图2(a)可以看出，在固定点处，温度曲线总体趋势是随着时间变化温度逐渐升高的。在初始阶段有一段微弱的波动。这段波动体现了考虑弛豫时间的传热方程的特征，即温度变化和热量传播之间存在一定的延迟。在波动阶段后温度快速升高，并在到达一定温度后逐渐趋于平缓。图1(b)和图2(b)可以看出，在固定时刻，离磁纳米粒子热源的位置距离越远，温度逐渐下降。另外，提高磁场强度或交变磁场频率，都会使得温度升高。 图1. 不同磁场强度下的无量纲温度曲线。(a) 在0.02 m处随时间变化；(b) 400 s时随距离变化 图2. 不同交变磁场频率下的无量纲温度曲线。(a) 0.02 m处随时间变化；(b) 400 s时随距离变化 4.2. 不同传热弛豫时间温度曲线的变化 图3描述了不同弛豫时间下温度随时间的变化，选取了两个位置(r= 0.02 m和r= 0.002 m)，并截取局部进行放大。可以看出，在初始阶段，弛豫时间越小的温度场温度越高，震荡的时间越短，较早的趋于稳定。这是因为弛豫时间描述了热流矢量的传播和温度梯度的形成之间存在的时间差，而弛豫时间越短意味着人体内的这个时间差越小。但这个时间差并不影响温度的大小，所以随着加热时间的增加，最终三种弛豫时间下达到的温度会趋于一致，从瞬态过渡到了稳态。越靠近热源，达到稳定的时间越短。 图3. 不同弛豫时间在(a) r = 0.02 m和(b) r = 0.002 m处随时间变化的无量纲温度曲线(H = 7 kAm − 1 ， f = 65 kHz) 图4展示了不同弛豫时间下在某一时刻随热源距离变化的温度曲线。在远离热源处，弛豫时间较长的温度曲线震荡幅度较大。在考虑弛豫时间的情况下，某点处的温度梯度的形成过程是震荡的，弛豫时间越长，震荡幅度越大，震荡时间越长，达到稳态温度越慢。 图4. 不同弛豫时间在(a) t = 100 s和(b) t= 400 s处随距离变化的无量纲温度曲线(H = 7 kAm − 1 ， f = 65 kHz)
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user: 5. 结论 为了研究磁纳米粒子的生热效应，本文建立了以磁纳米粒子为热源的考虑滞后时间修正的单项延迟Pennes热传导方程，通过分离变量法求出上述方程的解析解。分析热源项，从外磁场性质和磁性纳米粒子特性两个方面改变参数得到不同的升温曲线。证实了提高磁场强度，交变磁场频率或磁纳米粒子粒径都可以有效地提高温度场可达到的最高温度。升温曲线由于存在弛豫时间，所以在初始阶段有一定程度的震荡，但外磁场性质的改变对震荡幅度影响不大。改变传热过程中的弛豫时间并不影响温度场最终达到的温度，但是会影响初期的波动幅度。
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user: 摘 要 在高等数学中，分块矩阵是一个十分重要的概念，它可以使矩阵的表示更简单明了，使矩阵的运算简单化。本文通过对分块矩阵的计算和证明两个方面的简单分析，讨论了具有n阶特殊属性的矩阵的方法，使用块矩阵描述线性系统及其相关内容的解决方案。 关键词 :矩阵，行列式，特征值 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 在数学尤其高等代数的名词中，表示各区域间有关联的数据被称之为矩阵(英文名Matrix)，举例比如统计数据。这个定义很好地解释了代码Matrix是用来制造世界数学的逻辑基础 [ 1 ]。由方程组的系数和常数所构成的方阵是数学中的矩阵，在解决数学线性方程组的方法上用其会更方便直观。对于方程组，如下 a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 ， (1.1) a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 ， (1.2) a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 ， (1.3) 我们可以构成一个矩阵： (1.4) 因为这些数字或字母定期地排列在一起，它的形状像矩形，所以数学家们将其称之为矩阵。在数学上，矩阵是一个矩形的行数组。矩阵由数字组成，或是更一般的由环中的元素组成。 作为数学工具之一的矩阵，它有其重要的实用价值，在很多学科中常见，比如：高等代数、统计分析、组合数学，以及线性规划等，在现实生活中，许多实际问题也都可以借用矩阵用于被抽出并执行，例如在事件表中常用的循环等。相对于矩阵的概念和性质 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]，矩阵的计算和应用更值得我们研究和学习 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]。其中当矩阵的行数和列数相当大时，此时矩阵的计算和证明将是一个非常繁琐的过程，所以我们需要一个新的矩阵处理工具使这些问题有更好的解决方案 [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]，所以解决高阶矩阵是矩阵相关内容的一个非常重要的部分。 本文将从计算和证明方面来探讨分块矩阵的应用。