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user: 3. 模型及分析结果 (一) 数据来源与描述性统计 本文从英为财情(https://cn.investing.com/)选取BTC、ETH、ADA、LTC和XRP等五种加密货币的日收盘价数据，样本区间为2018年1月1日到2020年12月31日。为了消除异方差的影响，本文对日收盘价数据取对数后作差，即 r ( t ) = ln P ( t + 1 ) − ln P ( t ) ，其中 P 为日收盘价，r为收益率。本文对五种加密货币的日收益率进行分析以研究它们之间的因果关系。 先对五种主要加密货币收益率进行描述性统计分析，如表1。从表1中可以看出，五种加密货币的收益率波动较大，且收益率序列均呈现出右偏尖峰的特征。正态分布样本的偏度应为0，峰度为3，且其雅克贝拉(Jarque-Bera， J-B)统计量应接近于0。而五种加密货币收益率的J-B统计量均远大于0，表明五种加密货币收益率序列均不服从正态分布。 Table 1 Descriptive statistics of the return rate of five cryptocurrencie 变量 r BTC r ETH r XRP r ADA r LTC Mean 0.000304 −0.000009 −0.000887 −0.000537 −0.000236 Sd. 0.017627 0.022681 0.024975 0.026560 0.023484 Min −0.215965 −0.256077 −0.234961 −0.232803 −0.211405 Max 0.069039 0.094051 0.147536 0.151469 0.124378 Skew −1.780443 −1.520760 −0.565015 −0.379961 −0.381754 Kurt 25.27250 19.15820 17.74424 10.51339 11.46239 J-B统计量 23209.87 12333.03 9976.642 2601.852 3293.826 P值 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 表1. 五种加密货币收益率的描述性统计 为了避免时间序列数据出现伪回归的问题，利用ADF单位根检验方法分别对五种加密货币的收益率序列进行了平稳性检验，其结果见表2。ADF检验结果表明，五种加密货币收益率序列是平稳序列，可以进行下一步的因果分析。 五种加密货币从2018年1月1日到2020年12月31日收益率变化趋势如图1。从图中可以看出，五种加密货币收益率表现出基本相似的变化趋势。这种相似性意味着五种加密货币收益率之间存在潜在的相关性。 Table 2 ADF test results of five cryptocurrency return rate serie 变量名 ADF值 1% level 5% level 10% level 检验结果 r BTC −36.10100 −3.436111 −2.863972 −2.568116 平稳 r ETH −22.64239 −3.436116 −2.863974 −2.568117 平稳 r XRP −34.38516 −3.436111 −2.863972 −2.568116 平稳 r ADA −35.56363 −3.436111 −2.863972 −2.568116 平稳 r LTC −36.15844 −3.436111 −2.863972 −2.568116 平稳 表2. 五种加密货币收益率序列的ADF检验结果 图1. 五种加密货币收益率的时序图 为了进一步探究五种加密货币收益率之间的相关性，本文采用皮尔逊相关系数矩阵来衡量五种加密货币之间的关联程度，其结果如图2所示。从图2中可以看出，五种加密货币收益率之间基本呈现出正相关关系。即当一种加密货币币值发生变化时，其它四种加密货币币值也会随之发生同向变化。然而，皮尔逊相关系数是一种概率性的描述，它一般不具有决定性结论，不能揭示事物内部的运作机制 [ 9 ]。因此，要更深入地研究加密货币之间的关系，则需要利用因果关系的方法来探究五种加密货币之间存在的因果关系。 (二) 格兰杰因果关系定性检验 格兰杰因果关系定性检验主要是用来分析变量之间是否存在因果关系以及检测各个变量之间的相互联系和相互影响的程度 [ 10 ]。若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果优于只单独由Y的过去信息对Y进行的预测效果。即变量X有助于解释变量Y的将来变化，则认为变量X是引致变量Y的格兰杰原因 [ 11 ]。 首先，估计下面两个回归模型：无约束回归模型( u )和有约束回归模型( r )，其分别如式(1)和式(2)所示： 图2. 五种加密货币收益率之间的相关系数 Y t = α 0 + ∑ i = 1 p α i Y t − i + ∑ i = 1 q β i X t − i + ε t (1) Y t = α 0 + ∑ i = 1 p α i Y t − i + ε t (2) 式中， α 0 表示常数项， p 和 q 分别为变量 X 和 Y 的滞后阶数， ε t 为白噪声。采用上述两个回归模型的残差平方和 R S S r 和 R S S u 来计算F统计量，其表达式如下： F = ( R S S r − R S S u ) / q R S S u / ( n − p − q − 1 ) ~ F ( q ， n − p − q − 1 ) (3) 其中， n 为样本容量。格兰杰因果关系定性检验的原假设为：“ H 0 ： X 不是引起 Y 变化的格兰杰原因”，即检验 β 1 = β 2 = ⋯ = β q = 0 是否成立。如果 F ≥ F α ( q ， n − p − q − 1 ) ，则 β 1 、 β 2 ⋯ β q 不显著为0，应拒绝原假设，说明 X 是引起 Y 变化的格兰杰原因，反之，则不能拒绝原假设。 格兰杰因果关系定性检验的具体步骤如下：首先，利用AIC信息准则计算出格兰杰因果关系定性检验的最优滞后阶数，然后计算出F统计量及其相伴概率(Probability)。相伴概率表示拒绝原假设犯第一类错误的概率，该概率越小，越应该拒绝原假设。表3为五种加密货币收益率的格兰杰因果关系定性检验结果。结果表明：五种加密货币之间存在因果关系，如ADA和BTC之间互为因果关系；BTC不是引起XRP变化的原因，但XPR是引起BTC变化的原因。然而格兰杰因果关系定性检验并没有对这种因果关系的大小进行量化。 但庞皓等 [ 12 ] 指出格兰杰因果关系定性检验中可能存在的问题，如变量变换可能会到导致原始变量间的真实关系的扭曲、其统计推断可能出错。Smirnov [ 13 ] 的研究结果也表明，格兰杰因果关系定性检验会在许多情况下导致虚假的因果关系推断。为了得出更为确定的结论并定量计算因果关系的大小，我们采用一种新发展起来的严格的因果推断方法—梁氏因果关系定量分析，重新检验五种加密货币收益率之间的因果关系。 Table 3 Qualitative test of Granger causality of five cryptocurrency return 原假设 AIC F统计值 Prob. 检验结果 r ADA 不是引起r BTC 变化的格兰杰原因 −10.589 0.00217 0.9629 拒绝 r BTC 不是引起r ADA 变化的格兰杰原因 2.97347 0.0849 拒绝 r XRP 不是引起r BTC 变化的格兰杰原因 −10.420 0.12041 0.7287 拒绝 r BTC 不是引起r XRP 变化的格兰杰原因 14.8986 0.0001 不拒绝 r ETH 不是引起r BTC 变化的格兰杰原因 −11.312 1.17655 0.3175 拒绝 r BTC 不是引起r ETH 变化的格兰杰原因 4.01019 0.0075 不拒绝 r LTC 不是引起r BTC 变化的格兰杰原因 −10.986 1.38283 0.2399 拒绝 r BTC 不是引起r LTC 变化的格兰杰原因 2.97347 0.0588 拒绝 r XRP 不是引起r ETH 变化的格兰杰原因 −10.187 0.30624 0.7363 拒绝 r ETH 不是引起r XRP 变化的格兰杰原因 10.4842 0.00003 不拒绝 r ADA 不是引起r ETH 变化的格兰杰原因 −10.458 0.88401 0.4134 拒绝 r ETH 不是引起r ADA 变化的格兰杰原因 2.30919 0.0998 拒绝 r ETH 不是引起r LTC 变化的格兰杰原因 −10.627 2.68291 0.0688 拒绝 r LTC 不是引起 rETH 变化的格兰杰原因 0.01653 0.9836 拒绝 r XRP 不是引起r ADA 变化的格兰杰原因 −9.875 1.46267 0.2321 拒绝 r ADA 不是引起r XRP 变化的格兰杰原因 6.20162 0.0021 不拒绝 r LTC 不是引起r XRP 变化的格兰杰原因 −9.934 7.19808 0.0008 不拒绝 r XRP 不是引起r LTC 变化的格兰杰原因 0.40365 0.6680 拒绝 r ADA 不是引起r LTC 变化的格兰杰原因 −10.061 1.30490 0.2536 不拒绝 r LTC 不是引起r ADA 变化的格兰杰原因 0.08591 0.7695 拒绝 表3. 五种加密货币收益率的格兰杰因果关系定性检验 (三) 梁氏因果关系定量分析 与格兰杰因果关系定性检验完全不同的是，Liang [ 14 ] [ 15 ] 提出的基于严谨、真实的物理意义和定量的方式评估时间序列的因果关系。其因果关系的大小是通过信息流速率来衡量的。信息流因果定量关系分析建立在一个严格的物理意义的基础上。Liang [ 14 ] 证明了对于n维动力系统，信息流X具有如下的表达形式： d X = F ( X ， t ) d t + B ( X ， t ) d W (4) 其中， W 是维纳过程向量， F 是漂移系数向量(任何非线性算子)， B 是扰动系数的矩阵(可以是 X 和 t 的任何函数)，分量 X i 到分量 X j 的信息流表示为： T j → i = − E [ 1 ρ i ∫ ℜ n − 2 ∂ ( F i ρ j ˜ ) ∂ x i d x i ˜ j ˜ ] + 1 2 E [ 1 ρ i ∫ ℜ n − 2 ∂ 2 ( g i i ρ j ˜ ) ∂ x i 2 d x i ˜ j ˜ ] (5) 式中， d x i ˜ j ˜ 表示除了 d x i 和 d x j 以外的 d x ， E 表示数学期望， g i j = ∑ k = 1 n b i k b j k 和 ρ i = ρ i ( x i ) 是 x i 边际概率密度函数， ρ j ˜ = ∫ ℜ ρ ( x ) d x j 。如果 T j → i = 0 ，表示 X j 不是导致 X i 产生的原因。若 T j → i ≠ 0 ，则表示 X j 是导致 X i 产生的原因，它们之间存在因果关系。并且可以利用 T j → i 计算出 X j 与 X i 之间因果关系的具体数值。任何非线性系统之间因果关系的大小都可以用 T j → i 精确地计算出来。 上述公式是从第一原理严格推导出来的，但它依赖于一个模型，因此在一定程度上难以应用。因此，Liang [ 15 ] 在线性假设条件下证明了对于两个时间序列 X 1 和 X 2 ，信息流从 X 2 到 X 1 的速率的最大似然估计量 T 2 → 1 存在如下的形式： T 2 → 1 = C 11 C 12 C 2 ， d 1 − C 12 2 C 1 ， d 1 C 11 2 C 22 − C 11 C 12 2 (6) 其中， C = ( C i j ) 表示 X i 与 X j 之间的协方差， C i ， d j 是 X i 与 X ˙ j 之间的协方差， X ˙ j 是 d X j / d t 利用前向欧拉法差分近似得到的，其表达式如下： X ˙ j ， n = ( X j ， n + 1 − X j ， n ) / Δ t (7) 其中， Δ t 表示时间步长，一般情况下，由上式计算的信息流速率 T 2 → 1 可以为零，也可以不为零。当 T 2 → 1 = 0 ，表示 X 2 不是 X 1 产生的原因， X 2 不会导致 X 1 变化。如果 T 2 → 1 ≠ 0 ，则表示 X 2 与 X 1 之间存在因果关系。若 X 2 和 X 1 之间存在因果关系的情况下，可以根据信息流速率的符号来区分两种情况：当 T 2 → 1 为正时，表示 X 2 使 X 1 不稳定、多变，反之亦然。但出于因果推理的目的，符号不是非常重要，只需考虑它的大小 [ 16 ]。该公式形式紧凑，只涉及常见的统计量即样本协方差，因此很容易计算，并且它厘清了因果关系与相关性之间的争论。即因果关系意味着相关性，但相关性并不一定是因果关系 [ 7 ]。但在实际应用中，必须检验各变量的统计显著性。该公式已应用于许多不同的领域，并取得了显著的效果。 表4为五种加密货币收益率之间的信息流动速率。从表4中可以看出，绝对信息流速率值从0.077到0.145变化，最大的为 | T E T H → X R P | 、 | T B T C → X R P | 、 | T A D A → X R P | 和 | T L T C → X R P | 。不等于0且其值为负数。表明BTC、ETH、ADA和LTC与XRP之间具有单向因果关系。 | T B T C → E T H | 、 | T B T C → A D A | 和 | T B T C → L T C | 值不等于0，表明BTC是引起ETH、ADA和LTC变化的原因。 | T E T H → A D A | 和 | T E T H → L T C | 值不为0，表明ETH是引起ADA和LTC变化的原因。为了更加直观的展示五种加密货币收益率之间的因果信息流，其示意图如图3所示。 Table 4 The absolute information flow rate between the five cryptocurrency yields for all 1096 day r BTC r ETH r XRP r ADA r LTC r BTC / −0.124 ± 0.077 −0.102 ± 0.044 −0.059 ± 0.056 −0.077 ± 0.067 r ETH −0.044 ± 0.077 / −0.145 ± 0.056 −0.074 ± 0.073 −0.103 ± 0.073 r XRP 0.009 ± 0.044 0.017 ± 0.056 / 0.013 ± 0.058 −0.010 ± 0.048 r ADA −0.002 ± 0.056 −0.020 ± 0.073 −0.116 ± 0.058 / −0.041 ± 0.058 r LTC 0.048 ± 0.067 −0.006 ± 0.073 −0.098 ± 0.048 −0.010 ± 0.059 / 表4. 全部1096天五种加密货币收益率之间的绝对信息流动速率 注：1) 置信水平为90%；2) 暗底表明具有显著的因果关系。 为了了解在不同数据量下，加密货币之间的因果关系是否会发生变化。选取原数据的前729个数据，利用梁氏因果定量分析方法再进行一次因果分析，结果如表5所示。从表中可以看出，截取部分数据后，加密货币之间的因果关系发生了变化，如BTC与ADA、LTC以及ETH与LTC之间不存在显著的因果关系，而其余加密货币之间的因果关系没有发生变化。因此，数据量会对变量之间的因果关系产生一定的影响。 图3 五种加密货币收益率之间因果关系信息流图 Table 5 The absolute information flow rate between the five cryptocurrency yields in the first 729 day r BTC r ETH r XRP r ADA r LTC r BTC / 0.101 ± 0.088 −0.100 ± 0.059 −0.0290 ± 0.068 −0.044 ± 0.075 r ETH −0.047 ± 0.088 / −0.196 ± 0.076 −0.089 ± 0.086 −0.077 ± 0.082 r XRP 0.052 ± 0.076 0.020 ± 0.059 / 0.044 ± 0.085 −0.007 ± 0.060 r ADA −0.001 ± 0.068 −0.023 ± 0.086 −0.175 ± 0.084 / −0.015 ± 0.069 r LTC 0.041 ± 0.075 0.016 ± 0.082 −0.074 ± 0.060 0.011 ± 0.069 / 表5. 选取前729天五种加密货币收益率之间的绝对信息流动速率 注：1) 置信水平为90%；2) 暗底表明具有显著的因果关系。