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user: 2. 主要结果 2.1. 热传导方程在区域 具有多条奇异内边界 的初值问题数学模型I 符号说明： 记 函数的支集 ，支集的闭包 ，记函数集合 是定义在 中的连续函数}； 数学模型I (热传导方程具有多条奇异内边界的初值问题)： 其中：微分算子 (4) 为常数，且 ； 为Dirac 函数。 数学模型I.1 (齐次热传导方程的初值问题)： (5) 数学模型I.2 (热传导方程具有多条奇异内边界带齐次初值条件的初值问题)： (6) 2.1.1. 热传导方程在区域 具有多条奇异内边界 的初值问题的数学模型I的结果 定理1 (具有多条奇异内边界的热传导方程初值问题解的存在定理)：若 1) 为充分光滑的单调函数， 2) ， 3) ； 则数学模型I的唯一精确解 (7) (8) (9) 其中(8)式是数学模型I.1的唯一精确解；(9)式是数学模型I.2的唯一精确解。 2.1.2. 数学模型I的求解过程 先考虑特征值问题 (10) 这是奇异施图姆-刘维尔问题。设方程 的特解形式为 ，代入方程即得特征方程 (11) 特征根 即有 (12) 于是得到特征值 (13) 特征函数 (14) 记 ，由于 即知特征函数系是无界区间 上带权函数 的正交系。 正交关系 (15) 可以将定义在区间 的连续函数 展为特征函数的积分形式 (16) 由正交关系 (17) 由(16)，(17)这一对关系式可以引入广义特征函数法 [ 17 ] 求解数学模型I。由(16)将模型I的解表为 (18) 由(17)则有 (19) (20) (21) (22) (23) 将(18)，(22)，(23)三式代入方程(1)则有 (24) 于是 (25) 由(2)式和(18)，(19)有 (26) (27) 得到关于 的非齐次常微分方程的初值问题 先求对应的齐次常微分方程 (30) 的通解。 (31) 用常数变易法求解非齐次常微分方程的初值问题。设满足非齐次常微分方程通解形式为 (32) 其中为 待求函数。 将上式代入非齐次常微分方程(30)，即有 对上式在区间 上积分 利用(29)即有 (34) 将上式代入(18)式即有 (35) 其中 由(27)， 由(21)确定， 由(13)给出，即有 (36) (37) (38) 利用 的表达式(27)即有 即有 即 (39) 将(21)代入(38)得到 (40) 化简上式得到 (41) 即得到数学模型I的唯一解 (42) 其中： 由(40)式给出， 由(41)式给出。即知(8)式是数学模型I.1的解；(9)式是数学模型I.2的解。 2.1.3. 热传导方程N + 1条奇异内边界的确定 数学模型II (热传导方程确定N+1条奇异内边界的数学模型)： 求 ，使其满足 上述问题中函数 是待定的。 定理2 (热传导方程确定N + 1条奇异内边界的数学模型的精确解)：若 1) ； 2) 为充分光滑的单调函数， ， ； 则数学模型II的唯一精确解 ，且可表为 边值函数唯一确定为 证明：与文 [ 17 ] 完全类似。从略。 自由边界问题A (热传导方程在区域 上的齐次初值条件的自由边界问题)： 求 ，使其满足 上述问题中函数 与 是待定的。 推论2.1 (自由边界问题A解的存在定理)：若 1) ， 2) 则自由边界问题A的唯一精确解 ： 边值函数唯一确定为 自由边界问题B (热传导方程方程在区域 上的齐次初值条件的自由边界问题)：求 ，使其满足 上述问题中函数 与 是待定的。 推论2.2 (自由边界问题B解的存在定理)：若 1) ， 2) ； 则自由边界问题B的唯一精确解 ： 边值函数唯一确定为 引理3：若 1) 当 ；则数学模型I.1的解 (74) 且满足 。 2) 当 ， ；则数学模型I.1的解 (75) 且满足 。 3) 当 ；则数学模型I.1的解 (76) 且满足 。 证明：1) 当 ；由数学模型I.1的解(8)式即有 (77) (78) 若 ， 则 有 从而 ，故 。 (79) (80) 若 则 ， 。 同理可证3) 。证毕。 定理3 (数学模型I的精确解及其性质)：若 1) ， 2) ， 3) ； 则数学模型I有唯一精确解 ，且可表为 (81) (82) (83) 且满足 ； 边值函数唯一确定为 证明：由定理2有 由引理3即有 ； 从而 ， 。 证毕。 自由边界问题IA (热传导方程方程在区域 上的非齐次初值条件的自由边界问题)：求 ，使其满足 其中函数 是待定的。 推论3.1(自由边界问题IA解的存在定理)：若 1) 2) 3) ； 则自由边界问题IA存在唯一精确解 ： 其中 (95) (96) 边值函数唯一确定为 自由边界问题IB (热传导方程在区域 上的非齐次初值条件的自由边界问题)：求 ，使其满足 其中函数 是待定的。 推论3.2 (自由边界问题IB解的存在定理)：若 1) ， 2) ， 3) ； 则自由边界问题IB存在唯一精确解 ： 其中 (106) (107) 边值函数唯一确定为 附注1：自由边界问题IA 是在区域 上的自由边界问题。研究结果表明自由边界问题IA的解不仅仅依赖于 内的状况，也受到外区域 状况的影响。由于在区域 具有N + 1条奇异内边界的假设，从而在区域 内具有N条奇异内边界，使得自由边界问题IA的解函数具有复杂性和不确定性；而问题IA的自由边界的确定却与 内是否具有奇异内边界无关。对自由边界问题IB结论完全类似。于是为了简化问题，下面建立有且仅有一条奇异内边界的数学模型。 2.2. 热传导方程在区域 有且仅有一条奇异内边界 的初值问题数学模型III的研究 数学模型III (热传导方程有且仅有一条奇异内边界的初值问题)：求 ，使其满足 其中函数 是待定的。 定理4：若1) ，2) ； 则数学模型III存在唯一精确解 ： 其中 (118) (119) 边值函数唯一确定为 (120) 证明：由定理2中令 和 即得。 附注2：在定理4的条件下得到精确解 且同时确定了边值函数 。对任意给定的边值函数 可以导致确定奇异内边界的问题无解。 自由边界问题IIIA (热传导方程在 上的自由边界问题)：求 ，使其满足 推论3.1 (自由边界问题IIIA解的存在定理)：若 1) ，2) 则自由边界问题IIIA存在唯一精确解 : 其中 (128) (129) 边值函数唯一确定为 (130) 自由边界问题IIIB (热传导方程在 上的自由边界问题)：求 ，使其满足 推论3.2 (自由边界问题IIIB解的存在定理)：若 1) ，2) ； 则自由边界问题IIIB存在唯一精确解 ： 其中 (138) (139) 边值函数唯一确定为 (140) 定理6 (数学模型III的奇异内边界与问题IIIA和IIIB的自由边界三线合一定理之一)：若 1) ，2) ； 则数学模型III与问题IIIA和IIIB同解 ： 同时由(140)唯一确定数学模型III与问题IIIA和IIIB中的边值函数 。 附注3：关于条件(140)，也可以称为数学模型III有解的相容性条件，若给定函数 ，则条件(140)是关于函数 的第一类Volterra积分方程；函数 必须是满足积分方程(140)的解。 附注4：函数 也可以是广义函数。例如，若边值函数由 给出，容易验证 是满足积分方程(140)的解。 定理7 (数学模型III的奇异内边界与问题IIIA和IIIB的自由边界三线合一定理之二)：若 1) ，2) ； 则数学模型III与问题IIIA和IIIB同解 ： (143) 同时唯一确定边值函数为 (144) 2.3. Black-Scholes方程自由边界问题研究 符号说明：记 函数的支集 ，支集的闭包 ， 记函数集合 是 中的连续函数}; ; . 假设在区域 内存在一条奇异内边界 它把区域 分成 和 两个部分； ， (空集)。 齐次Black-Scholes方程 (145) 在区域 或 的自由边界问题，所考虑问题的未知函数 在开区域 或 满足齐次Black- Scholes方程，在自由边界 上具有一定奇性，用自由项 来描述之，故我们考虑非齐次Black-Scholes方程 (146) 的终值问题。在问题中不仅要求未知函数在 的连续解 ，同时要确定奇异内边界 ；称其为奇异内边界问题。本文分别考虑Black-Scholes方程具有齐次终值条件和非齐次终值条件的奇异内边界问题。对于区域 (或 )上的自由边界问题即可假设在开区域 (或 )内没有奇异内边界或奇异点，用延拓法转换为方程(146)的奇异内边界问题来研究。 2.3.1. Black-Scholes方程带齐次终值条件的奇异内边界问题 定解问题I (Black-Scholes方程带齐次终值条件的奇异内边界问题)：求 ，使其满足 其中边值函数 是待定的。 定理8 (定解问题I确定奇异内边界定理)：若 1) ，2) 为充分光滑的单调函数； 则定解问题I存在唯一精确解 ： 其中 。同时边值函数唯一确定为 (154) 证明：引入广义特征函数法 [ 17 ] 求解非齐次Black-Scholes方程(147)带齐次终值条件(148)的终值问题，易得其唯一精确解 (155) 解函数 对 求偏导得 (156) 于是 (157) 条件(150)等价于： (158) 由(158)即有 (常数)， (159) 让(159)中 即有 从而确定奇异内边界 即有(153)成立。且(153)成立必有(158)成立。由(155)，(153)即有(152)成立。 且由(156)，(158)有 即有 (160) 于是 1) 当 ， (161) 2) 当 ， (162) 从而 (163) 由(149)，(152)，(153)有(154)成立。证毕。 自由边界问题IA(Black-Scholes方程带齐次终值条件在区域 上的自由边界问题)： 求 ，使其满足 其中函数 是待定的。所求解 是定义在区域 中的连续函数； 。 自由边界问题IA * ：求 ，使其满足 其中函数 是待定的。所求解 。 推论8.1 (自由边界问题IA解的存在定理)：若 ，则自由边界问题IA存在唯一精确解 ， 由(152)，自由边界 由(153)给岀；同时边值函数 由(154)唯一确定。 证明：自由边界问题IA所求解 是定义在区域 中的连续函数； ；由延拓法等价于考虑非Black-Scholes方程(147)的奇异内边界问题：即求 ，使其满足 由定理8的证明即知推论8.1的结论成立。证毕。 推论8.2 (自由边界问题IA * 解的存在定理)：若 ，则自由边界问题IA * 存在精确解 ， 由(152)给岀，自由边界 由(153)给岀；但 具有多解性。 证明：自由边界问题IA中齐次终值条件为 。自由边界问题IA是在区域 上的定解问题，区域 的终值区间应为 ;若将齐次终值条件为 攺为 ，则得到自由边界问题IA * 。终值条件 成立必有终值条件 成立，从而自由边界问题IA的解也是自由边界问题IA * 的解。由于问题IA * 的终值函数是定义区间 上的函数，将终值函数连续开拓到 将得到一个终值函数族 ;导致自由边界问题IA * 的解函数 具有多解性。证毕。(参见 [ 18 ] ) 自由边界问题IB (Black-Scholes方程带齐次终值条件在区域 上的自由边界问题)： 求 ，使其满足 (169) 其中函数 是待定的。所求解 。 自由边界问题IB * (Black-Scholes方程带齐次终值条件在区域 上的自由边界问题)： 求 ，使其满足 (170) 其中函数 是待定的。所求解 是定义在区域 中的连续函数。 推论8.3 (自由边界问题IB解的存在定理)：若 ，则自由边界问题IB存在唯一精确解 ，解函数 由(152)，自由边界 由(153)给岀；同时边值函数 由(154)唯一确定。 证明：与推论8.1的证明类似。 推论8.4 (自由边界问题IB * 解的存在定理)：若 ，则自由边界问题IB * 存在精确解 ，解函数 由(152)，自由边界 由(153)给岀;同时边值函数 由(154)确定；但 具有多解性。 证明：与推论8.2的证明类似。 2.3.2. Black-Scholes方程带非齐次终值条件的奇异内边界问题 定解问题II (Black-Scholes方程带非齐次终值条件的奇异内边界问题)：求 ，使其满足 定解问题II.1 (齐次Black-Scholes方程的终值问题)： 定理9：定解问题II.1存在唯一解，且 1) 当 ，解可表为 (179) 若 ， 满足 。 2)当 ，解可表为 (180) 若 ， 满足 ； 3)当 ，解可表为 (181) 若 ， 满足 。 证明：广义特征函数法 [ 17 ] 定解问题II.1易得其唯一精确解 ，且 1) 当 ， 由 即有 (182) (183) 从而 。 2) 当 ，解 (184) 对 求偏导 由 (185) 当 ，有 又 有 ， ， 。从而对任意固定的 函数 关于变量 在 单调增， 。 同理3) 成立。证毕。 由定理8，定理9即得如下定理10。 定理10 (定解问题II确定奇异内边界定理)：若 ，则定解问题II存在唯一精确解 ： (186) 其中 (187) 且满足 ； 1) 当 ， (188) 且满足 ，同时唯一确定边值函数为 (189) 2)当 ， (190) 且满足 ；同时唯一确定边值函数为 3) 当 ， (193) 且满足 ；同时唯一确定边值函数为 附注5：关于 的确定： 1)当 ， ， 满足 ； ， ，欲使 ，必有 。 2)若 ， ， ，取 即有 ， ， ，故有 。 3)若 ， ， ，同理取 有 ， 。综上所述我们获得的奇异内边界 就是金融数学中的最佳实施边界。 定义1：定解问题II中把条件(173)换成 (173)A 则称其为定解问题IIA。 定义2：定解问题II中把条件(173)换成 (173)B 则称其为定解问题IIB。 自由边界问题IIA (Black-Scholes方程带非齐次终值条件在区域 上的自由边界问题)： 求 ，使其满足 其中函数 是待定的。所求解 。 定理11 (自由边界问题IIA解的存在定理)：若 1) ，2) ； 则自由边界问题IIA存在唯一精确解 ： 同时唯一确定边值函数为 证明：自由边界问题IIA由延拓法与定解问题IIA等价。定理10中结论2)即得。证毕。 推论11.1 (自由边界问题IIA解的存在定理)：若 1) ，2) ； 则自由边界问题IIA存在唯一精确解 ： 同时唯一确定边值函数为 证明：当 即有 。由定理11即得。证毕。 推论11.2(自由边界问题IIA解的存在定理)：若 1) ，2) ； 则自由边界问题IIA存在唯一精确解 ： 同时唯一确定边值函数为 自由边界问题IIB(Black-Scholes方程带非齐次终值条件在区域 上的自由边界问题)： 求 ，使其满足 其中函数 是待定的。所求解 。 定理12 (自由边界问题IIB解的存在定理)：若 1) ，2) ； 则自由边界问题IIB存在唯一精确解 ： 同时唯一确定边值函数为 证明：自由边界问题IIB由延拓法等价定解问题IIB。定理10中结论3)即得。证毕。 推论12.1 (自由边界问题IIB解的存在定理)：若 1) ，2) ； 则自由边界问题IIB存在唯一精确解 ： 同时唯一确定边值函数为 推论12.2 (自由边界问题IIB解的存在定理)：若 1) ，2) ； 则自由边界问题IIB存在唯一精确解 ： 同时唯一确定边值函数为 附注6：自由边界问题IIA中非齐次终值条件为 。自由边界问题IIA是在区域 上的定解问题，区域 的终值区间应为 ；但若将非齐次终值条件 攺为 ，则将导致自由边界问题IIA的解函数 具有多解性。自由边界问题IIB是在区域 上的定解问题，区域 的终值区间应为 ；但若将非齐次终值条件 攺为 ，同样会导致自由边界问题IIB的解函数 具有多解性。(参见 [ 18 ] ) 2.3.3. 上述结果的应用 金融数学在确定最佳实施边界问题的研究中出现了某些自由边界问题。 例1: 自由边界问题(确定最佳实施边界): 求 ，使其满足 为确定最佳实施边界 ，应该满足条件 (235) 由推论11.1 (或推论11.2)即知满足条件(230)，(231)，(234)，(235)的唯一精确解 由(205)，(206) (或(209)，(210))给出，同时边值函数 ， 由(207)，(208) (或(211)，(212))两式唯一确定；但该自由边界问题中(232)，(233)给定的边值函数 ， 与(207)，(208)和(211)，(212)都不相容，故该自由边界问题在补充条件(235)下无解。 例2：自由边界问题(确定最佳实施边界): 求 ，使其满足 要确定最佳实施边界 ，应该满足条件 (241) 由推论12.1 (或推论12.2)即知满足条件(236)，(237)，(240)，(241)的唯一精确解 由(222)，(223) (或(226)，(227))给出，同时边值函数 ， 由(224)，(225) (或(228)，(229))两式唯一确定；但该自由边界问题中由(238)，(239)给定的边值函数 ， 与(224)，(225)和(228)，(229)都不相容，导致该自由边界问题在补充条件(241)下无解。