system: [SYSTEM]

user: 3. 求解值函数及最优策略 指数效用函数为 U ( x ) = − 1 γ exp ( − γ x ) ， (6) 其中 γ > 0 。将(4)式代入(2)式中，整理得到在概率测度Q下的财富过程 d R π ( t ) = [ r R π ( t ) + λ a ( M Y ( a ) − 1 ) − λ μ 1 − c + π t ( α − r ) + 1 − ρ 2 β π t m ] d t                               + ( λ σ + β ρ π t ) d B 1 ( t ) + β 1 − ρ 2 π t d B 3 Q ( t ) ，                   R π ( 0 ) = x . (7) 定义无穷小微分算子 L π f ( t ， x ) = f t ( t ， x )   + [ r x + λ a ( M Y ( a ) − 1 ) − λ μ 1 − c + π t ( α − r ) + 1 − ρ 2 β π t m ] f x ( t ， x )     + 1 2 [ β 2 π t 2 + λ σ 2 + 2 λ σ ρ β π t ] f x x ( t ， x ) . 其中 f t ， f x ， f x x 分别表示函数 f ( t ， x ) 对 t 求一阶偏导，对 x 求一阶和二阶偏导。 定义1 对于任意策略 π ，若满足： 1) π = { π t ， 0 ≤ t ≤ T } 可料且 E Q [ ∫ 0 T π s 2 d s ] < ∞ ， T < ∞ ， Q ∈ Q ； 2) 随机微分方程(7)有唯一强解。 则称其为可行策略，并用 Π 表示所有可行策略的集合。 参考Fleming [ 13 ] 的1.1.4和1.1.5节，利用动态规划原理可以得到以下HJB方程 sup   π ∈ П inf m ∈ Q { L π V ( t ， x ) + 1 2 ξ m 2 ϕ ( V ( t ， x ) ) } = 0. (8) 边界条件为 V ( t ， x ) = U ( x ) 。 定理1 (5)式中的值函数 V ( t ， x ) 关于 x 是一个单调递增的、二次连续可微的凹函数。 证明 参见Zhou [ 5 ] 定理3.1的证明过程。 注1不失一般性，本文为使值函数和最优策略的表达式得到更简明的呈现，故将效用函数用(6)的形式表示。若使用二次效用函数(quadratic utility function)或对数指数函数(logarithmic utility function)则会产生更难的计算问题。 注2 对一般的风险资产 w ，若有 V ( E ( w ) ) ≥ E ( V ( w ) ) ，则称该投资者为风险厌恶型的。即定理一中的值函数是风险厌恶型的。 记符号 M = − λ a ( M Y ( a ) − 1 ) + λ μ 1 + c ， N = 1 + 1 − ρ 2 ξ ， L = ( α − γ ) β ， ψ = M + L λ σ ρ N ， K ( t ) = exp [ r ( T − t ) ] 。 定理2对于最优控制问题(3)，令 ϕ ( V ( t ， x ) ) = − V ( t ， x ) 且保险公司采用指数效用函数(6)。那么最优投资策略为 π t * = L β N γ K ( t ) − λ σ ρ β N ， t < T . 以及对应的值函数表达式为 V ( t ， x ) = − 1 γ exp { − γ { exp [ r ( T − t ) ] [ x − e ( t ) ] + h ( t ) } } ， t < T . 其中 h ( t ) = L 2 2 γ N ( T − t ) − ψ { ( r t + 1 − T ) K ( t ) − ( r T + 1 − T ) } − 1 4 r λ σ 2 ( 1 − ρ 2 N ) γ [ 1 − K 2 ( t ) ] ， e ( t ) = ( M + L λ σ ρ N ) ( T − t ) . 证明 为求得HJB方程(8)的显式解，首先假设 V ( t ， x ) < 0 ，并取罚金函数 ϕ ( V ( t ， x ) ) = − V ( t ， x ) > 0 ，将无穷小微分算子和罚金函数代入(8)式得 sup π ∈ П   inf m ∈ Q { V t ( t ， x ) + ( r x + λ a ( M Y ( a ) − 1 ) − λ μ 1 − c + π t ( α − r ) + 1 − ρ 2 β π t m ) V x ( t ， x )                           + 1 2 ( β 2 π t 2 + λ σ 2 + 2 λ σ ρ β π t ) V x x ( t ， x ) − 1 2 ξ m 2 V ( t ， x ) } = 0. (9) 假设 m * 使(9)式等号左侧取得最小值，对(9)中m求一阶导数并令其等于0，得到 m * = 1 − ρ 2 β π t ξ V ( t ， x ) V x ( t ， x ) . (10) 再将(10)代回到(9)式中，则有 sup π ∈ П { V t ( t ， x ) + [ r x + λ a ( M Y ( a ) − 1 ) − λ μ 1 − c + π t ( α − r ) ] V x ( t ， x )   + 1 2 ( β 2 π t 2 + λ σ 2 + 2 λ σ ρ β π t ) V x x ( t ， x ) + ( 1 − ρ 2 ) β 2 π t 2 2 ξ V ( t ， x ) ( V x ( t ， x ) ) 2 } = 0. (11) 根据边界条件 V ( T ， x ) = U ( x ) ，猜测值函数表达式的具体形式为 V ( t ， x ) = − 1 γ exp { − γ { exp [ r ( T − t ) ] [ x − e ( t ) ] + h ( t ) } } . (12) 其中 e ( · ) 和 h ( · ) 均是关于 t 的函数。由 V ( T ， x ) = U ( x ) ，令 e ( T ) = h ( T ) = 0 。可以计算出 V t ( t ， x ) = V ( t ， x ) { − γ [ − exp [ r ( T − t ) ] [ r ( x − e ( t ) ) + e ′ ( t ) ] + h ( t ) ] } ， (13) V x ( t ， x ) = − V ( t ， x ) γ exp [ r ( T − t ) ] ， (14) V x x ( t ， x ) = V ( t ， x ) γ 2 exp [ 2 r ( T − t ) ] . (15) 将(13)~(15)式代入(11)中，再同时除以 V ( t ， x ) < 0 ，整理可得 inf π ∈ П { − γ h ′ ( t ) + 1 2 [ β 2 π t 2 ( 1 + 1 − ρ 2 ξ ) + λ σ 2 + 2 λ σ ρ β π t ] γ 2 exp [ 2 r ( T − t ) ]   + ( e ′ ( t ) − r e ( t ) − λ a ( M Y ( a ) − 1 ) + λ μ 1 + c − π t ( α − r ) ) γ exp [ r ( T − t ) ] } = 0. (16) 根据极小值的一阶条件，对(16)中的 π t 求一阶导数，并令其等于0，有 π t * = α − r β 2 ( 1 + 1 − ρ 2 ξ ) γ exp [ r ( T − t ) ] − λ σ ρ β ( 1 + 1 − ρ 2 ξ ) . (17) 再将(17)代回到(16)中，得到 ( e ′ ( t ) − r e ( t ) + λ μ 1 + c − λ a ( M Y ( a ) − 1 ) + ( α − γ ) λ σ ρ β ( 1 + 1 − ρ 2 ξ ) ) γ exp { r ( T − t ) }   + 1 2 ( ξ + 1 ) ( 1 − ρ 2 ) ξ + 1 + ρ 2 λ σ 2 γ 2 exp { 2 r ( T − t ) } − γ h ′ ( t ) − ( α − γ ) 2 2 β 2 ( 1 + 1 − ρ 2 ξ ) = 0. (18) 当以下两个等式成立时，有(18)式成立， − h ′ ( t ) − ( α − γ ) 2 2 γ β 2 ( 1 + 1 − ρ 2 ξ ) − r e ( t ) exp { r ( T − t ) }   + 1 2 ( ξ + 1 ) ( 1 − ρ 2 ) ξ + 1 + ρ 2 λ σ 2 γ exp { 2 r ( T − t ) } = 0 ，                                                         e ′ ( t ) − λ a ( M Y ( a ) − 1 ) + λ μ 1 + c + ( α − γ ) λ σ ρ β ( 1 + 1 − ρ 2 ξ ) = 0. (19) 将 e ( T ) = h ( T ) = 0 代入(19)式，得到 h ( t ) = ( α − γ ) 2 2 γ β 2 ( 1 + 1 − ρ 2 ξ ) ( T − t ) − ∫ t T [ 1 2 ( ξ + 1 ) ( 1 − ρ 2 ) ξ + 1 + ρ 2 λ σ 2 γ K 2 ( s ) − r e ( s ) K ( s ) ] d s = L 2 2 γ N ( T − t ) − ψ { ( r t + 1 − T ) K ( t ) − ( r T + 1 − T ) } − 1 4 r λ σ 2 ( 1 − ρ 2 N ) γ [ 1 − K 2 ( t ) ] ， (20) e ( t ) = ( − λ a ( M Y ( a ) − 1 ) + λ μ 1 + c + ( α − γ ) λ σ ρ β ( 1 + 1 − ρ 2 ξ ) ) ( T − t ) = ( M + L λ σ ρ N ) ( T − t ) . (21) 证毕。