system: [SYSTEM]

user: 3. 矩阵特征值问题的时标上带有谱参数边界条件的S-L问题表示 接下来给出矩阵特征值问题 D X = λ H X (36) 的具有Atkinson类型的含有谱参数边界条件的S-L问题表示。其中 D = ( d i j ) 是 l × l 实三对角或“几乎对角”矩阵且满足 d i ， i + 1 ≠ 0 ，   i = 2 ， 3 ， ⋯ ， l − 2 ，而 H = ( h i j ) 为 l × l “几乎对角”矩阵且满足 h j j ≠ 0 ，   j = 2 ， 3 ， ⋯ ， l − 1 ，这是本文另一个重要结论，它是定理2.4的逆过程。 定理3.1 令 l > 4 ，设 D 为 l × l 实“几乎三对角”矩阵(除了 ( 1 ， l − 1 ) ， ( 1 ， l ) ， ( l ， 1 ) ， ( l ， 2 ) 上有非零元素之外为三对角矩阵) D = ( d 11 d 12 d 1 ， l − 1 d 1 l 1 d 22 d 23 ⋱ ⋱ ⋱ d k ， k − 1 d k ， k d k ， k + 1 d k ， k + 1 d k + 1 ， k + 1 d k + 1 ， k + 2 d k + 1 ， k + 2 d k + 2 ， k + 2 d k + 2 ， k + 3 ⋱ ⋱ ⋱ d l − 1 ， l − 2 d l − 1 ， l − 1 − 1 d l 1 d l 2 d l ， l − 1 d l l ) ， (37) 其中 2 ≤ k ≤ l − 3 ， d i j ∈ R ， 1 ≤ i ， j ≤ l ， d j ， j + 1 ≠ 0 ，   j = 2 ， 3 ， ⋯ ， m − 2 ， d 21 = 1 ， d l − 1 ， l = − 1 。而 H 为 l × l “几乎对角”矩阵 H = ( h 11 h 12 h 1 ， l − 1 h 1 l h 22 ⋱ h l − 1 ， l − 1 h l 1 h l 2 h l ， l − 1 h l l ) ， (38) 其中 h j j ≠ 0 ，   j = 2 ， 3 ， ⋯ ， m − 1 ，矩阵 D ， H 的第一行和最后一行元素满足 r a n k ( d 11 d 12 d 1 ， l − 1 d 1 l d l 1 d l 2 d l ， l − 1 d l l ) = 2 ，     r a n k ( h 11 h 12 h 1 ， l − 1 h 1 l h l 1 h l 1 h l ， l − 1 h l l ) = 2 ， r a n k ( d 11 d 12 d 1 ， l − 1 d 1 l h 11 h 12 h 1 ， l − 1 h 1 l ) = 2 ，     r a n k ( d l 1 d l 2 d l ， l − 1 d l l h l 1 h l 2 h l ， l − 1 h l l ) = 2. 则对固定的 w ^ = w ( c ) ，   q ^ = q ( c ) 矩阵特征值问题(36)有Atkinson类型的含有谱参数边界条件的S-L问题表示，其形式为S-L问题(2)，(4)。且给定时标 T 的一个固定分割(6)，矩阵特征值问题(36)在(9)的符号意义下有唯一的具有(35)，(4)形式的S-L问题的表示。 证明 令 m = k − 3 ，   n = l − k − 2 ， Τ = [ a ， b ] ∪ { c } ∪ [ d ， e ] ，   − ∞ < a < b < c < d < e < ∞ 。首先定义谱参数边界条件(4)中的各个参数，为此设 α 1 = − d 12 ， α 2 = − d 11 ， α 3 = − d 1 ， l − 1 ， α 4 = − d 1 l ， α ′ 1 = h 12 ， α ′ 2 = h 11 ， α ′ 3 = h 1 ， l − 1 ， α ′ 4 = h 1 l ，以及 β 1 = − d l 2 ， β 2 = − d l 1 ， β 3 = − d l ， l − 1 ， β 4 = − d l l ， β ′ 1 = h l 2 ， β ′ 2 = h l 1 ， β ′ 3 = h l ， l − 1 ， β ′ 4 = h l l 。按照(6)定义 Τ = [ a ， b ] ∪ { c } ∪ [ d ， e ] 的一个分割。然后构造 [ a ， b ] ∪ { c } ∪ [ d ， e ] 上的分段常值函数 p ¯ ， q ¯ ， w ¯ ，使得满足(7)，(8)。下面定义(7)，(8)中在 [ a ， b ] ∪ { c } ∪ [ d ， e ] 的子区间上不为零的函数值，其中 w ^ = w ( c ) ，   q ^ = q ( c ) 为固定的。为此，令 p i = − d i + 1 ， i + 2 ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ，       p m + 1 = − d m + 2 ， m + 3 ( c − b ) ， p ^ = − d m + 3 ， m + 4 ( d − c ) ，     p ˜ j = − d j + m + 3 ， j + m + 4 ，     j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， w i = h i + 2. i + 2 ，     i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m ，       w m + 1 = 1 c − b h m + 3 ， m + 3 ， w ˜ 0 = h m + 4 ， m + 4 − ( d − c ) w ^ ，     w ˜ j = h j + m + 4 ， j + m + 4 ，     j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， 以及 q 0 = d 22 − p 1 ，     q i = d i + 2 ， i + 2 − p i − p i + 1 ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 ， q m = d m + 2 ， m + 2 − p m − p m + 1 c − b ，     q m + 1 = d m + 3 ， m + 3 c − b − p m + 1 ( c − b ) 2 − p ^ ( d − c ) ( c − b ) ， q ˜ j = d j + m + 4 ， j + m + 4 − p ˜ j − p ˜ j + 1 ，     j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 ，     q ˜ n = d m + n + 4 ， m + n + 4 − p ˜ n ， q ˜ 0 = d m + 4 ， m + 4 − p ^ d − c − p ˜ 1 − ( d − c ) q ^ . 则按照(34)定义 p ¯ ( t ) ，   q ¯ ( t ) ，   w ¯ ( t ) 。这样的函数 p ¯ ， q ¯ ， w ¯ 为时标 T 上满足(7)，(8)的分段常值函数。而方程(35)为Atkinson类型的，且将 p ， q ， w 对应换为 p ¯ ， q ¯ ， w ¯ 时满足(9)，可看出问题(36)与问题(20)形式相同。因此，由定理2.4，矩阵问题(36)与含有谱参数的S-L问题(2)-(4)等价。定理剩下部分的证明可由定理2.6得出。■ 注：当 α 3 = α 4 = β 1 = β 2 = 0 ，且 α ′ 1 α 2 − α 1 α ′ 2 ≠ 0 ，   β ′ 1 β 2 − β 1 β ′ 2 ≠ 0 时，含有谱参数的耦合型边界条件就变为分离的情形了。证明如定理3.1。