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user: 2. Stern偏序集的flag f和flag h向量 这部分我们主要研究了Stern偏序集的flag f和flag h向量。通过对Stern偏序集每一层的元素个数以及层与层之间的最大链个数进行归纳总结，得到定理2.1。 定理2.1令 S = { i 1 ， i 2 ， ⋯ ， i t } 并且 S m = { i 1 ， i 2 ， ⋯ ， i t − m } 是Stern偏序集的秩数集，则 f ˜ ( i j ) = 2 i j + 1 − 1 ，   f ˜ ( S ) = f ˜ ( i 1 ) f ˜ ( i 2 − i 1 ) f ˜ ( i 3 − i 2 ) ⋯ f ˜ ( i t − i t − 1 ) 。 证明： f ˜ ( i j ) 是秩为 i j 层的元素个数，由图5易得 f ˜ ( i j ) = 2 i j + 1 − 1 。 由 f ˜ ( i j ， i k ) 是秩为 i j 层和秩为 i k 层之间的最大链个数，而秩为 i j 层每个元素到秩为 i k 层均有 ( 2 i k − i j + 1 − 1 ) 条最大链，即 f ˜ ( i k − i j ) 条最大链，而秩为 i j 层共有 f ˜ ( i j ) 个元素，故 f ˜ ( i j ， i k ) = f ˜ ( i j ) f ˜ ( i k − i j ) 。 公式对 t = 1 ， 2 成立，下面考虑 t > 2 情况。 假设对 t − 1 成立，则有 f ˜ ( S 1 ) = f ˜ ( i 1 ) f ˜ ( i 2 − i 1 ) f ˜ ( i 3 − i 2 ) ⋯ f ˜ ( i t − 1 − i t − 2 ) ，任取 i 1 ， i 2 ， ⋯ ， i t 层，秩为 i t − 1 层每个元素到秩为 i t 层均有 ( 2 i t − i t − 1 + 1 − 1 ) 条最大链，即 f ˜ ( i t − i t − 1 ) 条最大链，而前 i 1 ， i 2 ， ⋯ ， i t − 1 层共有 f ˜ ( S 1 ) 个元素，故 f ˜ ( S ) = f ˜ ( S 1 ) f ˜ ( i t − i t − 1 ) = f ˜ ( i 1 ) f ˜ ( i 2 − i 1 ) f ˜ ( i 2 − i 2 ) ⋯ f ˜ ( i t − i t − 1 ) 。 □ 通过定理2.1我们可以得到以下两个推论。 推论2.2 Stern偏序集从 ( 0 ， 0 ) (底部元素)到第n层的饱和链的个数为 3 n 。 推论2.3令 S = { 1 ， 2 ， ⋯ ， n } ，则 f ˜ ( [ n ] ) = 3 n 。 现在我们应用flag f向量的公式得到flag h向量的公式。 定理2.4令 S = { i 1 ， i 2 ， ⋯ ， i t } 并且 S m = { i 1 ， i 2 ， ⋯ ， i t − m } 是Stern偏序集的秩数集，则 h ˜ ( i j ) = 2 i j + 1 − 2 ， h ˜ ( S ) = h ˜ ( i 1 ) h ˜ ( i 2 − i 1 − 1 ) h ˜ ( i 3 − i 2 − 1 ) ⋯ h ˜ ( i t − i t − 1 − 1 ) . 证明：根据flag h向量的定义， h ˜ ( i j ) = − 1 + f ˜ ( i j ) = − 1 + 2 i j + 1 − 1 = 2 i j + 1 − 2 (2.1) h ˜ ( i j ， i k ) = 1 − f ˜ ( i j ) − f ˜ ( i k ) + f ˜ ( i j ， i k ) = h ˜ ( i j ) h ˜ ( i k − i j − 1 ) 现在 h ˜ ( S ) 的公式对 t = 1 ， 2 成立，我们对 t − 1 进行归纳，即， h ˜ ( S 1 ) = h ˜ ( i 1 ) h ˜ ( i 2 − i 1 − 1 ) h ˜ ( i 3 − i 2 − 1 ) ⋯ h ˜ ( i t − 1 − i t − 2 − 1 ) (2.2) 考虑从 t − 1 到t的归纳步骤，根据flag h向量的定义， h ˜ ( S ) = ( − 1 ) t + ( − 1 ) t − 1 ∑ 1 ≤ j ≤ t f ˜ ( i j ) + ( − 1 ) t − 2 ∑ j < p f ˜ ( i j ， i p ) + ⋯ + f ˜ ( S ) = − h ˜ ( S 1 ) + ( − 1 ) t − 1 f ˜ ( i t ) + ( − 1 ) t − 2 ∑ j = 1 t − 1 f ˜ ( i j ， i t ) + ⋯ + f ˜ ( S ) 我们希望证明， ( − 1 ) t − 1 f ˜ ( i t ) + ( − 1 ) t − 2 ∑ j = 1 t − 1 f ˜ ( i j ， i t ) + ⋯ + f ˜ ( S ) = h ˜ ( S 1 ) ( 1 + h ˜ ( i t − i t − 1 − 1 ) ) = h ˜ ( S 1 ) f ˜ ( i t − i t − 1 − 1 ) (2.3) 这个定理源于， h ˜ ( S ) = − h ˜ ( S 1 ) + h ˜ ( S 1 ) ( 1 + h ˜ ( i t − i t − 1 − 1 ) ) = h ˜ ( S 1 ) h ˜ ( i t − i t − 1 − 1 ) 为了证明(2.3)，我们需要考虑以下两个事实： 事实2.5 f ˜ ( i t ) − f ˜ ( i j ， i t ) = − h ˜ ( i j ) f ˜ ( i t − i j − 1 ) = − 2 f ˜ ( i j − 1 ) f ˜ ( i t − i j − 1 ) (2.4) f ˜ ( i 1 ， ⋯ ， i r ， i t ) − f ˜ ( i 1 ， ⋯ ， i r ， i t − 1 ， i t ) = − 2 f ˜ ( S t − r ) f ˜ ( i t − i r − 1 ) f ˜ ( i t − i t − 1 − 1 ) (2.5) 证明(2.4)， f ˜ ( i t ) − f ˜ ( i j ， i t ) = 2 i t + 1 − 1 − ( 2 i j + 1 − 1 ) ( 2 i t − i j + 1 − 1 ) = − ( 2 i j + 1 − 2 ) ( 2 i t − i j − 1 ) = − h ˜ ( i j ) f ˜ ( i t − i j − 1 ) = − 2 f ˜ ( i j − 1 ) f ˜ ( i t − i j − 1 ) 接下来证明(2.5)， f ˜ ( i 1 ， ⋯ ， i r ， i t ) − f ˜ ( i 1 ， ⋯ ， i r ， i t − 1 ， i t ) = f ˜ ( S t − r ) f ˜ ( i t − i r ) − f ˜ ( S t − r ) f ˜ ( i t − 1 − i r ) f ˜ ( i t − i t − 1 ) = f ˜ ( S t − r ) [ 2 i t − i r + 1 − 1 − ( 2 i t − 1 − i r + 1 − 1 ) ( 2 i t − i t − 1 + 1 − 1 ) ] = − f ˜ ( S t − r ) ( 2 i t − 1 − i r − 2 ) ( 2 i t − i t − 1 + 1 − 2 ) = − 2 f ˜ ( S t − r ) ( 2 i t − 1 − i r − 1 ) ( 2 i t − i t − 1 − 1 ) = − 2 f ˜ ( S t − r ) f ˜ ( i t − i r − 1 ) f ˜ ( i t − i t − 1 − 1 ) □ 现在我们来证明(2.3)，通过(2.4)很容易得到(2.3)对 t = 2 成立。现在考虑 t > 2 情况，通过重排(2.3)得到， ( − 1 ) t − 1 [ f ˜ ( i t ) − f ˜ ( i t − 1 ， i t ) ] + ( − 1 ) t − 2 ∑ j < t − 1 [ f ˜ ( i j ， i t ) − f ˜ ( i j ， i t − 1 ， i t ) ] + ⋯ + ( − 1 ) [ f ˜ ( i 1 ， ⋯ ， i t − 2 ， i t ) − f ˜ ( S ) ] = ( − 1 ) t 2 f ˜ ( i t − 1 − 1 ) f ˜ ( i t − i t − 1 − 1 ) + ( − 1 ) t − 1 2 ∑ j < t − 1     f ˜ ( i j ) f ˜ ( i t − 1 − i j − 1 ) f ˜ ( i t − i t − 1 − 1 )         + ⋯ + 2 f ˜ ( S 2 ) f ˜ ( i t − 1 − i t − 2 − 1 ) f ˜ ( i t − i t − 1 − 1 ) 提取公因式 f ˜ ( i t − i t − 1 − 1 ) ，我们剩下， ( − 1 ) t 2 f ˜ ( i t − 1 − 1 ) + ( − 1 ) t − 1 2 ∑ j < t − 1     f ˜ ( i j ) f ˜ ( i t − 1 − i j − 1 ) + ⋯ + 2 f ˜ ( S 2 ) f ˜ ( i t − 1 − i t − 2 − 1 ) (2.6) 与(2.3)比较，我们只需要证明下列方程成立， ( 2.6 ) = h ˜ ( S 1 ) 然后提取(2.6)中的系数 2 f ˜ ( i t − 1 − 1 ) 得到， ( 2.6 ) = 2 f ˜ ( i t − 1 − 1 ) h ˜ ( S 2 ) + ( − 1 ) t ∑ j < t − 1     2 i t − 1 − i j f ˜ ( i j ) h ˜ ( i j ) + ( − 1 ) t − 1 ∑ j < p < t − 1     2 i t − 1 − i p f ˜ ( i j ， i p ) h ˜ ( i p )     + ⋯ + ( − 1 ) 2 i t − 1 − i t − 2 f ˜ ( S 2 ) h ˜ ( i t − 2 ) 事实2.6 ( − 1 ) t ∑ j < t − 1     2 i t − 1 − i j f ˜ ( i j ) h ˜ ( i j ) + ( − 1 ) t − 1 ∑ j < p < t − 1     2 i t − 1 − i p f ˜ ( i j ， i p ) h ˜ ( i p ) + ⋯ + ( − 1 ) 2 i t − 1 − i t − 2 f ˜ ( S 2 ) h ˜ ( i t − 2 ) = − 2 i t − 1 − i t − 2 f ˜ ( i t − 2 ) h ˜ ( S 2 ) (2.7) 证明事实2.6：我们归纳 t > 2 的情况，不难验证 t = 3 是正确的。假设 t − 1 是正确的，则， ( − 1 ) t − 1 ∑ j < t − 2     2 i t − 1 − i j f ˜ ( i j ) h ˜ ( i j ) + ( − 1 ) t − 2 ∑ j < p < t − 2     2 i t − 1 − i p f ˜ ( i j ， i p ) h ˜ ( i p ) + ⋯ + 2 i t − 1 − i t − 3 f ˜ ( S 3 ) h ˜ ( i t − 3 ) = − 2 i t − 1 − i t − 3 f ˜ ( i t − 3 ) h ˜ ( S 3 ) 因此， ( 2.7 ) = 2 i t − 1 − i t − 3 f ˜ ( i t − 3 ) h ˜ ( S 3 ) + 2 i t − 1 − i t − 2 h ˜ ( i t − 2 ) [ ( − 1 ) t f ˜ ( i t − 2 ) + ( − 1 ) t − 1 ∑ j < t − 2     f ˜ ( i j ， i t − 2 ) + ⋯ − f ˜ ( S 2 ) ] = 2 i t − 1 − i t − 3 f ˜ ( i t − 3 ) h ˜ ( S 3 ) − 2 i t − 1 − i t − 2 h ˜ ( i t − 2 ) [ h ˜ ( S 2 ) + h ˜ ( S 3 ) ] = 2 i t − 1 − i t − 3 f ˜ ( i t − 3 ) h ˜ ( S 3 ) − 2 i t − 1 − i t − 2 h ˜ ( i t − 2 ) f ˜ ( i t − 2 − i t − 3 − 1 ) h ˜ ( S 3 ) = − 2 i t − 1 − i t − 2 f ˜ ( i t − 2 ) h ˜ ( i t − 2 − i t − 3 − 1 ) h ˜ ( S 3 ) = − 2 i t − 1 − i t − 2 f ˜ ( i t − 2 ) h ˜ ( S 2 ) □ ( 2.6 ) = 2 f ˜ ( i t − 1 − 1 ) h ˜ ( S 2 ) − 2 i t − 1 − i t − 2 f ˜ ( i t − 2 ) h ˜ ( S 2 ) = [ 2 f ˜ ( i t − 1 − 1 ) − 2 i t − 1 − i t − 2 f ˜ ( i t − 2 ) ] h ˜ ( S 2 ) = ( 2 i t − 1 − i t − 2 − 2 ) h ˜ ( S 2 ) = h ˜ ( i t − 1 − i t − 2 − 1 ) h ˜ ( S 2 ) = h ˜ ( S 1 ) □ 这就完成了证明。 由以上结论得到推论2.7。 推论2.7令 S = { 1 ， 2 ， ⋯ ， n } ，则 h ˜ ( [ n ] ) = 0 。