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user: 5. 模型的建立与求解 5.1. 模型的准备 按题中所述，救援飞机的最大燃料容量为155千克，且飞机在正常负载条件下最大航程S为680海里，则可求得救援飞机在正常负载下每消耗1千克燃油能航行的最大距离为4.387海里。而改装空中加油设备后，飞机的最大油负荷增加到170千克，则可推测改装后的加油机在最大油负荷的情况下航行的最大距离L为745.806海里。 5.2. 模型的建立 题中要求设计可行的救援飞行方案，对此我们设计了两个方案，分别建立了以加油机航行路程最短为目标的线性规划模型。 方案一：这个方案采用伴随机和接应机分别只给救援飞机加一次油，机队中的其他加油机再接应合作伙伴飞机提供空中加油的策略。 首先，该模型不考虑飞机加油过程的时间，假设每次加油都是瞬间完成的，其次假设有m架伴随机，n架接应机，按照加油时间的先后分别对m架伴随机和n架接应机进行编号，飞机编号为1至m的为伴随机，飞机编号为 m + 1 至 m + n 的为接应机，在出航过程中，第1架加油机给救援机加油，接着在第1架加油机返航途中第2架加油机去给第1架加油机加油，以此类推，第k架加油机给第 k − 1 架加油机加油 ( k = 2 ， 3 ， ⋯ ， m ) ，直到所有加油机可以顺利返回。返航过程类似可得，第 m + 1 架加油机给主机加油，第k架加油机给第 k − 1 架加油机加油 ( k = m + 2 ， ⋯ ， m + n ) 。 ① 题中要求给出的方案能够使救援飞机完成救援任务，则救援飞机的初始油量与被加油量之和要满足该飞机从基地去小岛，再从小岛回基地的航行，所以满足： ② 由于空中加油机的最大燃油量受到限制，所以每架伴随机和接应机的初始的油量减去被加的油量所能航行的距离不能超过空中加油机在最大油负荷下的最大航程( 是第k架飞机在此过程中消耗的油量所能航行的距离， 为第k架飞机给出的油量所能航行的距离， x k + 1 是第k架飞机被加的油量所能够航行的距离)，所以满足： 伴随机： 2 y k + x k − x k + 1 ≤ L ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 ) . 2 y m + x m ≤ L . 接应机： 2 y k + x k − x k + 1 ≤ L ( k = m + 1 ， ⋯ ， m + n − 1 ) . 2 y m + n + x m + n ≤ L . ③ 因为每架飞机的单位时间耗油量是相同的，且飞机的初始油箱都是满的，所以空中加油机给救援飞机的加油量不能超过救援飞机消耗的加油量，故满足： 伴随机： x 1 ≤ y 1 。 接应机： x m + 1 ≤ 2 d − y m + 1 − x 1 . x k + 1 ≤ 2 y k − y k + 1 + x k ( k = m + 1 ， ⋯ ， m + n − 1 ) . ④ 为了确保救援飞机能够完成任务，所以要考虑到救援飞机在接应机加油前的一瞬间油箱内的油没有耗尽，故满足： 2 d − S − x 1 ≤ y m + 1 . ⑤ 为了确保加油机能够返航，所以要分别考虑伴随机和接应机在下一架加油机接应时油箱内燃油留有剩余，则满足： 2 y k − y k + 1 + x k ≤ L ( k = m + 1 ， ⋯ ， m + n − 1 ) . ⑥ 根据实际，加油机在加油点时给其他飞机加的燃油量不得超过该加油机到达加油点时的剩余燃油量，则满足： ⑦ 根据实际，加油点均在飞机的航线上，且飞机均按序号排列，则满足： d ≥ y 1 ≥ y 2 ≥ ⋯ ≥ y m . d ≥ y m + 1 ≥ y m + 2 ≥ ⋯ ≥ y m + n . 并且，飞机的加油量不能超过飞机的最大燃油量，满足： x 1 ≤ S . x m + 1 ≤ S . x k ≤ L ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m + n ， k ≠ 1 ， k ≠ m + 1 ) . 从而，目标为加油机航行路程最短的线性规划模型，目标函数为： min z = 2 ∑ i = 1 m + n y i . 方案二：此方案中伴随机和救援飞机同时起飞，其中的每架伴随机在行驶到一定距离时(确保能够安全返航)将剩余油量平均分给其他加油机和救援机，然后返航，最后一架伴随机只给救援飞机加油。而所有接应机也是同时起飞，其中的每架接应机在返杭前给剩余的所有接应机进行空中加油，直至最后的接应机给救援飞机加油并返航。 首先，该模型不考虑飞机加油过程的时间，假设每次加油都是瞬间完成的，其次假设有m架伴随机，n架接应机，按照返航时间的先后分别对m架伴随机和n架接应机进行编号，飞机编号为1至m的为伴随机，飞机编号为 至 m + n 的为接应机。 ① 题中要求给出的方案能够使救援飞机完成救援任务，则救援飞机的初始油量与被加油量之和要满足该飞机从基地去小岛，再从小岛回基地的航行，所以满足： S + ∑ i = 1 m x i + x m + n ≥ 2 d . ② 由于空中加油机的最大燃油量受到限制，所以每架伴随机和接应机的初始的油量减去被加的油量所能航行的距离不能超过空中加油机在最大油负荷下的最大航程( 2 y k 是第k架飞机在此过程中消耗的油量所能航行的距离， ( m − k + 1 ) x k 和 ( m − k + n ) x k 为第k架飞机给出的油量所能航行的距离， 和 ∑ i = m + 1 k − 1 x i 是第k架飞机被加的油量所能够航行的距离)，所以满足： 伴随机： 2 y k + ( m − k + 1 ) x k − ∑ i = 1 k − 1 x i ≤ L ( k = 2 ， ⋯ ， m − 1 ) .. 2 y 1 + m x 1 ≤ L . 接应机： 2 y k + ( m − k + n ) x k − ∑ i = m + 1 k − 1 x i ≤ L ( k = m + 2 ， ⋯ ， m + n − 1 ) . 2 y m + 1 + ( n − 1 ) x m + 1 ≤ L . 2 y m + n + x m + n − ∑ i = m + 1 m + n − 1 x i ≤ L . ③ 因为每架飞机的单位时间耗油量是相同的，且飞机的初始油箱都是满的，所以每架飞机被加的油量不能超过消耗的加油量，故满足： 伴随机： ∑ i = 1 k x i ≤ y k ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) . 接应机： ∑ i = m + 1 k x i ≤ y k ( k = m + 1 ， ⋯ ， m + n − 1 ) . x m + n ≤ 2 d − y m + n − ∑ i = 1 m x i . ④ 根据实际，加油点均在飞机的航线上，且飞机均按序号排列，则满足： d ≥ y m ≥ ⋯ ≥ y 2 ≥ y 1 . 并且，飞机的加油量不能超过飞机的最大燃油量，满足： x k ≤ S ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) . x m + n ≤ S . ⑤ 为了确保救援飞机能够完成任务，所以要考虑到救援飞机在接应机加油前的一瞬间油箱内的油没有耗尽，故满足： 2 d − S − ∑ i = 1 m x i ≤ y m + n . 从而，目标为加油机航行路程最短的线性规划模型，目标函数为： min z = 2 ∑ i = 1 m + n y i . 5.3. 模型的求解 用Lingo软件求解 [ 1 ]，分别对伴随机和接应机取1架至6架，求得的目标函数的最优值。 方案一的结果如表1。 Table 1 Range of tanker m n 1 2 3 4 5 6 1 1552.097 2004.194 2456.291 2908.388 3301.743 2 1552.097 2004.194 2456.291 2908.388 3301.743 3 1552.097 2004.194 2456.291 2908.388 3301.743 4 1552.097 2004.194 2456.291 2908.388 3301.743 5 1552.097 2004.194 2456.291 2908.388 3301.743 6 1552.097 2004.194 2456.291 2908.388 3301.743 表1. 加油机的航程情况 结果分析： 由图表可知，接应机的数量对结果的影响不大，最优结果中只需1架，而随着伴随机数量的增多，加油机的航程也在增加，因此方案一的最优方案取2架伴随机，1架接应机，且第1架伴随机给救援飞机的空中加油的加油点距离基地323.9515海里，加油量为73.8419千克，第2架伴随机给第1架伴随机空中加油的加油点距离基地226.0485海里，加油量为51.5258千克，第1架接应机给伴随机空中加油的加油点距离基地226.0485海里，加油量为51.5258千克。第1架伴随机与救援飞机同时起飞，第2架伴 随机在救援飞机起飞后 2 y 1 − 2 y 2 v 小时起飞，第1架接应机救援飞机起飞后 2 d − 2 y 3 v 小时起飞。 方案二的结果如表2。 Table 2 Range of tanker m n 1 2 3 4 1 1258.388 1258.388 1258.388 2 1416.776 1258.388 1258.388 1258.388 3 1416.776 1258.388 1258.388 1258.388 4 1416.776 1258.388 1258.388 1258.388 表2. 加油机的航程情况