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user: 2. 存在性 定义2.1：对任意的 T > 0 ，记 I = [ 0 ， T ] ，设 Ω ⊂ ℝ 3 是有界光滑区域， f ( u ) 满足(1.2)和(1.3)， z 0 = ( u 0 ， η 0 ) ∈ M 2 ， z = ( u ， η t ) 是方程(1.1)的整体强解，如果z满足方程(1.1)并且 u ∈ C ( I ; ν 1 ) ， u ， u t ∈ L 2 ( I ; ν 2 ) ， η t ∈ C ( I ; L μ 2 ( ℝ + ; ν 2 ) ) ； η t t + η s t ∈ L ∞ ( I ; L μ 2 ( ℝ + ; ν 1 ) ) ∩ L 2 ( I ; L μ 2 ( ℝ + ; ν 2 ) ) 。 并且对于任意的 ω ( x ) ∈ ν 0 ， φ ( x ， t ) ∈ L μ 0 ( ℝ + ; ν 0 ) 有 ( u t ， ω ) + ( α Δ u t ， ω ) + 〈 Δ η t ， ω 〉 μ ， ν 0 + ( Δ u ， ω ) + ( f ( u ) ， ω ) = ( g ， ω ) 〈 Δ η t t + Δ η s t ， φ 〉 μ ， ν 0 = ( u ， φ ) 对于 t ∈ I 几乎处处成立。 引理2.1：(强解的存在性)对于任意 T > 0 ， I = [ 0 ， T ] ，对任意 t ∈ I ， z 0 = ( u 0 ， η 0 ) ∈ M 2 ，问题(1.8)有唯一强解 z = ( u ( x ， t ) ， η t ) 满足 ， η t ∈ L 2 ( I ; L μ 2 ( ℝ + ; ν 2 ) ) 证明：设 ω j ( x ) 是特征方程 − Δ ω j = λ j ω j ， ω j | ∂ Ω = 0 对应于特征值 λ j 的特征函数，因此 { ω j } j = 1 ∞ 组成 L 2 ( Ω ) 的标准正交基，即 ， i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ 当 Ω ∈ C 2 时，有 ω j ( x ) ∈ ν 2 ，且 { ω j } j = 1 ∞ 是 H 0 1 ( Ω ) 的正交基(但非标准正交基)， ν 2 即为 { ω j } j = 1 ∞ 在 H 2 ( Ω ) 中的闭线性扩张。因此 { ω j } j = 1 ∞ 也是 ν 2 的正交基。 接下来我们将构造 L μ 2 ( ℝ + ; ν 2 ) 的一组基 { ς i } i = 1 ∞ 。假设 { l k } k = 1 ∞ 是 L μ 2 ( ℝ + ) 的一组正交基，则选择 l k ω j ， k ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， ∞ 作为 L μ 2 ( ℝ + ; ν 2 ) 的正交基 { ς i } i = 1 ∞ 。 设 E n 1 ， E n 2 分别为由 ω 1 ， ω 2 ， ⋯ ， ω n 和 ς 1 ， ς 2 ， ⋯ ， ς n 生成的线性子空间，即 E n 1 = s p a n { ω 1 ， ω 2 ， ⋯ ， ω n } ， E n 2 = s p a n { ς 1 ， ς 2 ， ⋯ ， ς n } 记 P n 为 ν 2 到 E n 1 的正交投影， Q n 为 L μ 2 ( ℝ + ; ν 2 ) 到 E n 2 的正交投影，即对任意的 z = ( u ， η t ) ∈ M 1 有 u n ( t ) = P n u = ∑ j = 1 n a j ( t ) ω j ， u t n ( t ) = P n u t = ∑ j = 1 n b j ( t ) ω j ， η n t ( s ) = Q n η t = ∑ j = 1 n c j ( t ) ς j (s) 这里 a j ( t ) = 〈 u ， ω j 〉 ν 2 ， b j ( t ) = 〈 u t ， ω j 〉 ν 2 = d d t a j ( t ) ， b j ( t ) = 〈 η t ( s ) ， ς j ( s ) 〉 μ ， ε 1 。 定义 z n = ( u n ， η n t ) 是方程(1.1)的解，形式如下： u n ( t ) = ∑ j = 1 n a j ( t ) ω j 和 η n t ( s ) = ∑ j = 1 n c j ( t ) ς j ( s ) 由Galerkin方法可知，它满足如下的非线性常微分方程组： { u n t − Δ u n t − Δ u n − ∫ 0 ∞ μ ( s ) Δ η n t ( s ) d s + f ( u n ) = g n ， η n t t = − η n s t + u n ， (2.1) 方程(2.1)两边用 − Δ u n 作用，并在 Ω 上对x积分得 1 2 d d t ‖ z n ‖ M 2 2 + ‖ u n ‖ 1 2 + 〈 η n s t ， η n t 〉 μ ， ν 2 = + 〈 f ( u n ) ， Δ u n 〉 − 〈 g n ， Δ u n 〉 (2.2) 根据引理1.1有 〈 η n s t ， η n t 〉 μ ， ν 2 ≥ δ 2 ‖ η n t ‖ μ ， ν 2 2 (2.3) 利用Cauchy不等式，有 − 〈 g n ， Δ u n 〉 ≤ 1 2 | g n | 2 2 + 1 2 ‖ u n ‖ 1 2 由(1.3)式，我们有 〈 f ( u n ) ， Δ u n 〉 = ∫ Ω f ( u n ) Δ u n = − ∫ Ω f ′ ( u n ) | ∇ u n | 2 ≤ l ‖ u n ‖ 0 2 所以，我们得到 d d t ‖ z n ‖ M 2 2 + ‖ u n ‖ 1 2 + δ ‖ η n t ‖ μ ， ν 2 2 ≤ 2 l ‖ u n ‖ 0 2 + | g n | 2 2 (2.4) 在 ( 0 ， t ) 上对t积分，有 ‖ z n ( t ) ‖ M 2 2 + ∫ 0 t ‖ u n ( s ) ‖ 1 2 d s + δ ∫ 0 t ‖ η n t ( s ) ‖ μ ， ν 2 2 d s ≤ ∫ 0 T ( 2 l ‖ u n ( s ) ‖ 0 2 + | g n | 2 2 ) d s + ‖ z n ( 0 ) ‖ M 2 2 ≤ C ( | g | 2 2 + 1 ) + ‖ z n ( 0 ) ‖ M 2 2 (2.5) 因此，可以得到 Δ u n 在 L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 中关于 n ， t 是一致有界的， Δ η n t 在 L 2 ( 0 ， T ; L μ 2 ( ℝ + ， L 2 ( Ω ) ) ) 中关于 n ， t 是一致有界的。 因此，通过Alaoglu弱紧性定理和自反性，存在 { z n = ( u n ， η n t ) } n = 1 ∞ 的子列 { z n j = ( u n j ， η n j t ) } j = 1 ∞ 使得 Δ u n j ⇀ Δ u 在 L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 是弱收敛， Δ η n t ⇀ Δ η t 在 L 2 ( 0 ， T ; L μ 2 ( ℝ + ， L 2 ( Ω ) ) ) 是弱收敛。 为了方便起见，在不至于引起误解的情况下，在接下来的讨论中我们将 { z n = ( u n ， η n t ) } n = 1 ∞ 的子列仍然用 { z n = ( u n ， η n t ) } n = 1 ∞ 表示。 下面将证明 f ( u n ) 在 L 2 ( Ω ) 中是有界的。由 n = 3 知，Sobolev嵌入 D ( A ) ⊂ L ∞ ( Ω ) ，我们有 | u n | 2 ( p − 1 ) ≤ C λ ‖ u n ‖ 1 ≤ C λ M | u n | 2 ( p − 1 ) 2 ( p − 1 ) ≤ ( C λ M ) 2 ( p − 1 ) ∫ 0 T ∫ Ω | u n ( t ) | 2 ( p − 1 ) d t ≤ ( C λ M ) 2 ( p − 1 ) T (2.6) 其中 C λ 是嵌入常数。 因此， u n ∈ L 2 ( p − 1 ) ( 0 ， T ; L 2 ( p − 1 ) (Ω)) 由(1.2)和(2.6)，使得 | f ( u n ) | 2 2 ≤ C ( | u n | 2 ( p − 1 ) + 1 ) (2.7) 故 ∫ 0 T ∫ Ω | f ( u n ) | 2 d t ≤ C [ ∫ 0 T ∫ Ω | u n | 2 ( p − 1 ) d x d t + m e s Ω T ] ≤ C f ( u n ) ∈ L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) = L 2 (ΩT) f ( u n ) 在 L 2 ( Ω T ) 关于 n ， t 是有界的， f ( u n ) ⇀ χ 在 L 2 ( Ω T ) 是弱收敛的，这里 Ω T = Ω × [ 0 ， T ] 。 由于对任意的 t ∈ [ 0 ， T ] ， u n → u 在 L 2 ( 0 ， T ; D ( A ) ) ，由紧性定理， u n → u ( n → ∞ ) 在 L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 是强收敛的。因此 u n → u ( n → ∞ ) 在 L 2 ( Ω ) 几乎处处收敛，利用f的连续性，有： 于 Ω × [ 0 ， T ] 上几乎处处收敛， 并有 f ( u n ) 在 [ 0 ， T ] 上关于n一致有界，由Lebesgue逐项积分定理，对任意 φ ( x ， t ) ∈ C 0 ( [ 0 ， T ] ; L 2 ( Ω ) ) 有 lim n → ∞ ∫ Ω × [ 0 ， T ] f ( u n ) φ d x d t = ∫ Ω × [ 0 ， T ] f ( u ) φ d x d t 则 f ( u n ) ⇀ f ( u ) 在 L 2 ( Ω T ) 中收敛。由弱极限的唯一性知， χ = f ( u ) 。 接下来估计 u n t 。方程(2.1)两边用 − Δ u n t 作用，得 1 2 d d t ‖ u n ‖ 1 2 + ‖ u n t ‖ 0 2 + ‖ u n t ‖ 1 2 = 〈 Δ η n t ， − Δ u n t 〉 μ ， ν 2 + 〈 f ( u n ) ， Δ u n t 〉 − 〈 g n ， Δ u n t 〉 (2.8) 用Holder和Young不等式，有 〈 Δ η n t ， − Δ u n t 〉 μ ， ν 2 ≤ m 0 ‖ η n t ‖ μ ， ν 2 2 + 1 4 ‖ u n t ‖ 1 2 和 〈 f ( u n ) ， Δ u n t 〉 ≤ | f ( u n ) | 2 2 + 1 4 ‖ u n t ‖ 1 2 − 〈 g n ， Δ u n t 〉 ≤ | g n | 2 2 + 1 4 ‖ u n t ‖ 1 2 综上 (2.9) 两边在 ( 0 ， t ) 上对t积分，得 ‖ u n ( t ) ‖ 1 2 + 2 ∫ 0 t ‖ u n t ( s ) ‖ 0 2 d s + 1 2 ∫ 0 t ‖ u n t ( s ) ‖ 1 2 d s ≤ C ∫ 0 t ( ‖ η n t ( s ) ‖ μ ， ν 2 2 + | f ( u n ( s ) ) | 2 2 + | g n | 2 2 ) d s + ‖ u n ( 0 ) ‖ 1 2 u n t 在 L 2 ( 0 ， T ; H 0 1 ( Ω ) ) 中有界，在前面已经证明了 − Δ η n t 在 L 2 ( 0 ， T ; L μ 2 ( ℝ + ; L 2 ( Ω ) ) ) 有界， f ( u n ) 在 L 2 ( Ω T ) 有界。因此我们有： u n t 在 L 2 ( 0 ， T ; D ( A ) ) 中一致有界， Δ u n t 在 L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 中一致有界。 由Alaoglu弱紧性定理和自反性，知 u n t ⇀ u t 在 L 2 ( 0 ， T ; D ( A ) ) 是弱收敛的， Δ u n t ⇀ Δ u t 在 L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 是弱收敛。 为了证明 z = ( u ， η t ) 是该方程的一个强解，我们还需要验证初值条件 u ( x ， 0 ) = u 0 ( x ， 0 ) 于 H 0 1 ( Ω ) ∩ H 2 ( Ω ) × L μ 2 ( ℝ + ; H 0 1 ( Ω ) ∩ H 2 ( Ω ) ) 成立。但基于上述估计，可由标准的方法得到(参见文献 [ 12 ] )。在此省略具体证明过程，故 z = ( u ， η t ) 为该方程满足初边值条件的整体解。