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user: 3. 多维项目反应理论模型的参数估计方法 3.1. 常见的参数估计方法 在项目反应理论发展过程中，出现的参数估计方法主要有  (Baker，Kim，2004；漆书青，2003) ：条件极大似然估计(conditional maximum likelihood estimation， CMLE)、联合极大似然估计(joint maximum likelihood estimation， JMLE)、边际极大似然估计/EM算法(marginal maximum likelihood estimation and an EM algorithm， MMLE/EM)、边际贝叶斯估计(marginalized Bayesian estimation， MBE)等。 上述方法，基于UIRT的参数估计提出，有的后来逐渐用于MIRT的参数估计。特别是结合几个MIRT分析的统计软件，如TESTFACT  (Bock， Schilling， 2003) 、NOHARM  (Fraser， McDonald， 1988) 、ConQuest  (Wu， Adams， Wilson， 1997) 、POLYFACT  (Muraki， 1999) 等，降低了掌握统计学知识的要求，这些方法的使用者也越来越多。TESTFACT采用的估计方法是边际极大似然估计/EM算法，可用项目间四分相关(interitem tetrachoric correlations)对二分法记分项目进行因素分析。该软件使用的MIRT模型是多维2参数正态肩形模型，可得到项目和被试参数，使用者如输入下渐近线的信息，也可运行多维3参数正态肩形模型，但程序不能估计伪猜测参数，同时TESTFACT的维度数限制为15。NOHARM (Normal-Ogive Harmonic Analysis Robust Method)也是MIRT软件的代表之一。NOHARM的参数估计与TESTFACT不同，它通过被试-项目矩阵来拟合多维肩形补偿性MIRT模型，拟合时采用的是多项式近似、未加权最小二乘法，可进行探索性因素分析，其维度数可达到50。但NOHARM不提供 的估计值，所以，可通过NOHARM得到项目参数估计，然后输入TESTFACT得到能力参数估计。ConQuest主要用于估计Rasch模型一族的参数，这种项目和被试参数的估计有可观察的充分统计量。ConQuest能估计Rasch模型的MIRT扩展形式的参数，处理二分法记分的数据，采用的估计方法是极大似然估计。POLYFACT能处理多级数据，使用的模型是多维等级反应模型或拓广分部评分模型；它使用的是边际极大似然估计，执行的是验证性的参数结构，将题目与某一个特定维度相关联。 上述软件是应用较广的MIRT分析工具，可以发现，这些软件包括的MIRT模型还相对较少；有的软件不能同时输出项目参数估计和能力参数估计；还有的软件对模型的维度数量有一定的限制；主要处理二分数据的情形；还不能处理测验中包括混合记分类型题目的情况。这些软件的局限性，在一定程度上是由参数估计方法决定的，当IRT模型中的参数的个数或维度过多时，上述参数估计方法可能难于或无法实现模型的参数估计。在马尔科夫链蒙特卡洛方法(MCMC)引入IRT参数估计研究之后，许多复杂、高维模型的参数估计成为可能，MCMC方法是一种全新的参数估计方法  (Baker，Kim，2004；涂冬波，漆书青，蔡艳，戴海琦，丁树良，2008) 。下面介绍用于IRT参数估计的MCMC方法及其软件的研究情况。 3.2. 基于MCMC方法的参数估计 MCMC方法是一种动态的计算机模拟技术，它是根据任一多元理论分布，特别是以贝叶斯推断为中心的多元后验分布来模拟随机样本的一种方法。Monte Carlo方法的一个基本步骤是产生随机数，使之服从一个概率分布 。目前常用的MCMC方法，包括Metrophs-Hasting (M-H)方法和Gibbs方法。M-H方法就是在以 为平稳分布的马尔科夫链上产生相互依赖的样本。MCMC方法本质上是一个Monte Carlo综合程序，它的随机样本的产生与一条马尔科夫链有关。基于条件分布的迭代取样是另外一种重要的MCMC方法，其中最著名的特殊情况就是Gibbs抽样，它的特征是其潜在的马尔科夫链是通过分解一系列条件分布建立起来  (赵琪，2007) 。MCMC方法估计IRT参数的基本特点是：采用能力参数和项目参数交替迭代的方法生成马尔科夫链；然后采取截然不同于极大似然法的思路，发挥计算机模拟技术的优势，采集足够大的状态样本，用初等的方法来估计模型参数，避开了EM算法中的复杂计算，提高了估计的成功率  (王权，2006) 。 多参数、高维度IRT模型的参数估计，能较充分发挥MCMC方法的优势。国内外研究者已开始将MCMC方法用于MIRT的参数估计。  Jiang (2005) 采用MCMC方法的Gibbs抽样估计多维3参数逻辑斯蒂克模型的项目参数和被试参数。通过模拟研究考察了1个维度、2个维度和5个维度的情况。均方根误差(Root Mean Square Error， RMSE)结果显示，MCMC方法估计的精度较高。Jiang将自编MCMC程序与TESTFACT的估计结果进行了比较，发现前者的估计精度优于后者。  Zhang (2007) 也试图找到一种估计补偿性多维模型项目参数的合理方法。MCMC方法的估计结果中，项目区分度和难度的精度很高，伪猜测参数的精度相对较好。但作者对MCMC方法的计算负荷表示了担忧，如一般1条链的迭代要10，000次以上。初值的设置更接近项目参数，可能会减少计算负荷。  Bolt和Lall (2003) 使用MCMC方法比较了多维补偿模型(M-2PL)和多维非补偿模型(MLTM)的参数估计。采用模拟研究考察两种模型参数的返真性，设置样本(1000， 3000)，项目数量(25， 50)，能力维度之间的相关(0.0， 0.3， 0.6)。结果显示，采用MCMC的M-H算法能够保证两类模型较高的返真性，但MLTM随着能力维度相关的变高返真性变低。  付志慧(2010) 探讨了多维3参数逻辑斯蒂克模型的Gibbs抽样法，模拟实验表明，由Gibbs抽样所得的Bayes后验估计及其标准差与BILOG-MG软件所得结果是具有可比性的；还研究了多维等级反应模型下MCMC方法对含缺失数据的参数估计，发现在项目参数估计过程忽略缺失数据会带来相当大的偏差，而且待测潜在特性和缺失数据的相关性越强，偏差越大；反之，如不忽略缺失，并对缺失过程建模，偏差会减少。 目前，多数研究者用MCMC方法估计MIRT项目参数和被试参数，一般是以自编程序，或通过WinBUGS执行MCMC过程，一段程序一般考察一个多维模型，未能实现对混合记分项目类型的题目参数和被试参数联合估计，亦即不能解决两个或两个以上MIRT模型同时估计的问题。Yao等人开发的BMIRT (Bayesian Multivariate Item Response Theory)软件，为问题的解决提供了一种选择  (Reckase， 2009; Yao， Schwarz， 2006) 。BMIRT用MCMC方法中的M-H算法，估计多种MIRT模型的项目和被试参数，可处理二分和多级数据，并能实现混合记分项目类型中多个MIRT模型的同时估计，现对其进行简要介绍。 BMIRT使用的是MCMC方法中的M-H算法，其目标是通过一个稳定的分布模拟观察数据。所以，马尔科夫链的稳定分布是给定作答矩阵的模型参数的后验分布。 所有项目参数矩阵可表示为： 则似然方程是， 如测验中有混合记分类型题目，则1-4-27式中的 可根据不同的MIRT模型计算。 记 为某被试群体能力分布，分布参数为λ。譬如θ符合正态分布，则 ， 为平均数， 为方差和协方差矩阵。应用贝叶斯原理，其联合后验分布可写为， 其中， 代表“正比于”。 MCMC方法中的转移核t (transition kernel)是在某个给定当前参数值的状态的条件密度： 其中上标k和k + 1表示前一状态和后一状态。在BMIRT中，将转移核设置为两个条件概率的乘积： 因为转移核分成了两个成分，对观察值的抽样也可以分两步。第一步从条件分布中抽取 ；然后这些抽取的值可以设定项目参数的条件分布。 如果转移核可以用于马尔科夫链的模拟步骤，那么每一步的观察数据作为一个抽样样本保存，一般需要很长的马尔科夫链才能达到稳定分布。有时初始值的设置也会影响结果。在迭代初期的观察数据一般应予丢弃，这一阶段叫做“烧制”(burn-in)阶段。“burn-in”阶段之后的观察数据，用来估计稳定分布的项目参数和被试参数。分布的标准差即为参数估计的标准误。 基于MCMC方法进行参数估计，BMIRT还可以使用对含有缺失值的二分、多级数据，以及M-2PL、M-3PL、M-PCM、M-GRM等进行同时估计。在同样条件下与TESTFACT、NOHARM等软件进行比较，有良好的参数返真性。BMIRT在处理参数较多的多级、高维、混合模型时优势比较明显。