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user: 4. 实证分析 4.1. AR(4)预测模型 因为沪深300收益指数 r t 是一个没有单位根的自相关时间序列，适合采用AR自相关模型 r t = μ t + a t ，建立预测方程。通过对比有关自相关模型，选择出以下AR(4)模型： μ t = 0.917730 t = 28.32 ， p = 0.0000 + 0.028012 t = − 1.70 ， p = 0.0883 r t − 1 − 0.025854 t = − 1.57 ， p = 0.1158 r t − 2 + 0.021632 t = 1.32 ， p = 0.1881 r t − 3 + 0.058871 t = 3.58 ， p = 0.0003 r t − 4 (16) R 2 = 0.0055 ，     S . E . = 0.0173 ，     A I C = − 5.2684 ，     S I C = − 5.2600 (17) Table 1 ADF unit root test with AIC criterion for Hushen300 index and its return inde 模型 模型3 概率水平 模型2 概率水平 模型1 概率水平 变量 t统计值 1% 5% 10% t统计值 1% 5% 10% t统计值 1% 5% 10% p t −2.3783 −3.9605 −3.4110 −3.1273 −1.9250 −3.4319 −2.8621 −2.5671 −0.2938 −2.5655 −1.9409 −1.6166 r t −13.809 −3.9605 −3.4110 −3.1273 −13.810 −3.4319 −2.8621 −2.5671 −0.0641 −2.5655 −1.9409 −1.6166 表1. 沪深300指数及其收益指数在AIC准则下的ADF单位根检验 备注：1) 以上检验最大滞后阶数为29；2) ADF检验模型3既包含趋势项又包含截距项，模型2仅包含截距项，模型1既不包含趋势项又不包含截距项；3) SIC、HIC信息准则结果与AIC一致。 Table 2 Autocorrelation test for Hushen300 return inde 变量 AC(1) Q(1) P(1) AC(10) Q(10) P(10) AC(20) Q(20) P(20) AC(30) Q(30) P(30) r t 0.028 2.9442 0.086 0.002 37.382 0.000 0.015 63.503 0.000 −0.025 78.557 0.000 表2. 沪深300收益指数自相关性检验 备注：AC表示自相关系数，Q表示Ljung-Box统计量，P表示 χ 2 检验概率，括号中的数字为滞后阶数。 显然，AR(4)模型具有一个很小的可决系数 R 2 = 0.0055 ；所以，当定义 a t = r t − μ t 时，相关系数 c o r r ( r t ， a t ) = 0.9972 ，表示误差项 a t 可能包含了太多有关收益指数 r t 的信息，主要应该是宏观经济冲击信息、企业运行私人信息、以及其它未知信息。这个时候，如果仅仅用 E ( r t ) = μ t 来预测收益指数 r t 的值，则误差会很大。 4.2. GARCH(1，1)模型 对于误差项 a t ，一般自回归条件异方差模型GARCH(1，1)可以表示为： σ t 2 = 1.46 E − 06 t = 4.65 ， p = 0.0000   + 0.064224 t = 14.5 ， p = 0.0000 a t − 1 2 + 0.933380 t = 202.0 ， p = 0.0000 σ t − 1 2 ，     a t = σ t ε t (18) L L = 6826.048 ，     A I C = − 3.689 ，     S I C = − 3.584 ，     H I C = − 3.687 (19) 这里，静态方差 σ ¯ 2 = 0.000609 ，ARCH项系数为 α = 0.064224 > 0 ，GARCH项系数为 β = 0.933380 > 0 ，截距项是 ω = 0.00000365 > 0 ，三个参数之间具有关系 α + β = 0.99760400 < 1 ， ω + α + β = 0.99760546 < 1 。由于GARCH项系数为 β 值较大，说明条件异方差的聚集效应明显。 如果置信度水平为99%，即 1 − α = 99 % ，或 α = 1 % ，那么，收益指数 r t 的置信区间就为 r t ∈ ( μ t − 2.576 σ t ， μ t + 2.576 σ t ) 。 4.3. 差分预测结果 表3列出了沪深300收益指数的AR(4)模型误差项 a t 经过转换后的水平变量 q t 、一阶差分 d q t 、二阶差分 d 2 q t 的自相关性检验结果。在开展自相惯性检验之前，ADF检验发现，在3种模型之下，AIC信息准则表明，变量 q t 、一阶差分 d q t 、二阶差分 d 2 q t 序列都是平稳序列，都不存在单位根。 可以看出，水平变量 q t 的自相关性很弱， A C ( 1 ) = 0.000 ，说明变量 q t 与其一阶滞后变量 q t − 1 之间几乎不存在自相关性。对于一阶差分时间序列 d q t ， A C ( 1 ) = − 0.501 ，表明变量 d q t 与其滞后一阶变量 d q t − 1 之间具有明显自相关性。对于二阶差分时间序列 d 2 q t ， A C ( 1 ) = − 0.668 ，表明变量 d 2 q t 与其滞后一阶变量 d 2 q t − 1 之间具有明显自相关性。 由于变量 q t 的一阶差分时间序列 d q t 和二阶差分时间序列 d 2 q t 与它们各自的高阶滞后差分序列之间都具有明显自相关性，所以，可以对一阶和二阶差分序列建立自相关模型。为了简单起见，我们选择建立二阶差分时间序列 d 2 q t 的预测模型。一般形式如下： d 2 q t = π t + υ t ， π t = α 0 + α 1 d q t − 1 + ∑ i = 1 l β i d 2 q t − i (20) q t = q ′ t + υ t ， q ′ t = q t − 1 + d q t − 1 + π t (21) r t = μ ′ t + η t ， μ ′ t = μ t − ln ( 1 q ′ t − 1 ) ， η t = ln q t ( 1 + q ′ t ) q ′ t ( 1 + q t ) (22) 从沪深300收益率指数的自回归模型 r t = μ t + a t 的误差项 a t 出发，经过转换，就可以得到其概率函数 q t ；然后对 q t 的二阶差分序列按照回归模型 d 2 q t = π t + υ t 进行估计，得到二阶差分时间序列 d 2 q t 的预测值 π t ；在此基础上，按照模型 q ′ t = q t − 1 + d q t − 1 + π t 得到 q t 的预测值 q ′ t ；最终得到 r t 的 l 阶差分预测值 μ ′ t ；相应地，得到新的误差项 η t 。 表4列出了有关运算结果。 在建立二阶差分项预测模型 d 2 q t = π t + υ t 时，分别选取滞后阶数为1、50、100、150、200、300、400、500、600、700等10种情况建立回归模型。 Table 3 Autocorrelation tests for transferred residual items of Hushen300 return index in level， first and second order Variable AC(1) Q(1) P(1) AC(5) Q(5) P(5) AC(10) Q(10) P(10) AC(20) Q(20) P(20) q t 0.000 0.0002 0.990 −0.001 0.0732 1.000 0.006 15.441 0.117 0.016 42.377 0.002 d q t −0.501 929.05 0.000 0.030 932.37 0.000 −0.007 963.16 0.000 0.026 1018.2 0.000 d 2 q t −0.668 1649.8 0.000 0.045 1764.2 0.000 −0.007 1804.6 0.000 0.039 1883.8 0.000 表3. 沪深300收益指数误差项经过转换后的水平、一阶、二阶差分项的自相关性检验 备注：AC表示自相关系数，Q表示Ljung-Box统计量，P表示 χ 2 检验概率，括号中的数字为滞后阶数。 Table 4 Relations between the forecasting results and related variables for AR and difference models of Hushen300 return inde 滞 后 阶 数 二阶差分时间序列预测模型的可决系数 收益指数与其预测模型误差项之间的相关系数 AR模型预测值与差分模型预测值之间的相关系数 AR模型误差转换项二阶差分值与其预测值之间的相关系数 AR模型与差分模型误差的平均值 收益指数与在AR和差分模型下预测值之间的相关系数 收益指数实际值与预测值之间误差平均值(RMSE) d 2 q t = π t + υ t ρ ( r t ， a t ) ρ ( μ t ， μ t ) ρ ( d 2 q t ， d 2 q t ) a ¯ t ρ ( r t ， μ t ) 1 T ∑ t = 1 T ( r t − μ t ) 2 0.9972 1.0000 1.0000 0.000133 0.0816 0.018111 l R 2 ρ ( r t ， η t ) ρ ( μ t ， μ ′ t ) ρ ( d 2 q t ， π t ) η ¯ t ρ ( r t ， μ ′ t ) 1 T ∑ t = 1 T ( r t − μ ′ t ) 2 1 0.8336 0.9973 0.9991 0.9126 0.000003 0.0815 0.018111 50 0.8375 0.9832 0.4337 0.9154 0.000002 0.1925 0.017833 100 0.8402 0.9739 0.3528 0.9173 −0.000009 0.2404 0.017664 150 0.8430 0.9665 0.3075 0.9187 −0.000005 0.2688 0.017521 200 0.8458 0.9577 0.2757 0.9203 −0.000020 0.3001 0.017349 300 0.8518 0.9394 0.2254 0.9234 0.000007 0.3523 0.017029 400 0.8557 0.9264 0.2103 0.9255 −0.000013 0.3839 0.016793 500 0.8591 0.9154 0.2004 0.9274 0.000004 0.4097 0.016583 600 0.8644 0.8991 0.1828 0.9298 −0.000021 0.4407 0.016310 700 0.8698 0.8802 0.1714 0.9327 −0.000029 0.4758 0.016000 表4. 沪深300收益指数AR模型和差分模型的有关预测结果以及相关变量之间的关系 从表4中，我们可以看出，通过应用AR-差分预测模型，可以得到如下结果： 二阶差分项预测模型 d 2 q t = π t + υ t 的可决系数 R 2 的值都很高，从0.8336逐渐上升到0.8698；同时，二阶差分项的实际值与其预测值之间的相关系数 ρ ( d 2 q t ， π t ) 的值也随着滞后阶数的升高增大。这说明模型中变量之间的整体依赖性较高，对二阶差分项的预测具有一定意义。 图1列出了沪深300收益指数 r t 、AR模型预测值 μ t 、以及在滞后阶数等于700时的AR-差分模型预测值 μ t | l = 700 的曲线图示(只列出了2005年以后的值)。可以看出，AR-差分模型预测曲线比单纯AR模型预测曲线更接近表现实际收益指数的发展趋势。 图2列出了沪深300收益指数 r t 、以及在概率水平为99%时的下限 μ t − 2.576 σ t 和上限 μ t + 2.576 σ t 。从这里可以看出，简单的GARCH模型只能界定收益指数曲线的上下边界，但不能提高预测的精度。 图1. 沪深300收益指数、单纯AR模型预测值、以及在滞后阶数等于700时的AR-差分模型预测值曲线图示 图2. 沪深300收益指数、以及在显著概率水平为99%时的下限值和上限值曲线图示 4.4. 差分预测精度提升测量 第一，相关性测量。 在表4中，沪深300收益指数与AR-差分模型的预测值之间的相关系数 ρ ( r t ， μ ′ t ) 的值，都随着滞后阶数 l 的增大而增大，从0.0815，逐渐增大到0.4758，并且都大于沪深300收益指数与单纯AR模型的预测值之间的相关系数 ρ ( r t ， μ t ) 的值0.0816。这表明：AR-差分模型提高了预测值与实际值之间的相关性，从趋势变化关系上与实际值更趋于一致。 与此同时，单纯AR模型预测值与差分模型预测值之间的相关系数 ρ ( μ t ， μ ′ t ) 的值也在逐渐减小，这也从另外一个侧面反映了差分模型预测值远离单纯AR模型预测值而接近实际值的情况。 第二，误差平均值(RMSE)测量。 在表4中，单纯AR模型预测值与收益指数实际值之间的误差平均值RMSE的值是0.018111；而AR-差分模型预测值与收益指数实际值之间的误差平均值RMSE的值在滞后阶数大于1之后，都小于0.018111，而且随着滞后阶数的提高越来越小。 同时，AR-差分预测所得到的误差项的平均值 η ¯ t 明显比单纯AR模型所得到的误差项平均值 a ¯ t 要小很多，其绝对值对比，在 l = 1 时 a ¯ t 的绝对值是 η ¯ t 的绝对值的44倍以上，在 l = 700 时 a ¯ t 的绝对值是 η ¯ t 的绝对值的4.5倍以上。 另外，沪深300收益指数与预测模型误差项之间得相关系数 ρ ( r t ， η t ) 的值也随着滞后阶数的增大而减小。 这些结果都表明，由于引进差分方法，对沪深300收益指数进行预测时预测模型的误差项值明显降低了；反之则表明对于收益指数 r t 的预测精度明显提高了。 第三，预测成功率测量。 表5列出了在单纯AR模型和AR-差分模型下沪深300收益指数实际值与预测值之间的命中率测试结果。分四种情况： 情况1：当沪深300收益指数实际值为上涨、并且预测值也为上涨时， { r t ≥ 1 } ∩ { χ ≥ 1 } ，预测样本数占比最低为31.64%，最高为35.67%。滞后阶数的变化，对于同时上涨情况在中国股市上的预测效率来说影响不大；尽管如此，随着滞后阶数的提高，预测样本数占比变化并没有持续变小，而是逐渐变大，并且占比基本稳定在31%至35%之间。这种情况下，AR-差分模型预测能力与单纯AR模型相当。 情况2：当沪深300收益指数实际值为上涨、而预测值为下降时， { r t ≥ 1 } ∩ { χ < 1 } ，预测样本数占比最低为17.04%，最高为21.17%；随着滞后阶数的提高，预测样本数占比的变化很微弱，基本稳定在17%至21%之间。这种情况下，AR-差分模型预测能力比单纯AR模型稍弱。 Table 5 Results of consistent test between the real value and forecasting value for Hushen300 return index under the both situations of pure AR model and AR-difference mode 滞后 条件 { r t ≥ 1 } ∩ { χ ≥ 1 } (情况1) { r t ≥ 1 } ∩ { χ < 1 } (情况2) { r t < 1 } ∩ { χ < 1 } (情况3) { r t < 1 } ∩ { χ ≥ 1 } (情况4) (情况1 + 情况3) 样本 阶数 命中率 个数 百分数 个数 百分数 个数 百分数 个数 百分数 个数 百分数 大小 l μ t 1305 35.32% 642 17.37% 579 15.67% 1169 31.64% 1884 50.99% 3695 1 μ ′ t 1317 35.67% 629 17.04% 560 15.17% 1186 32.12% 1877 50.84% 3692 50 μ ′ t 1170 32.12% 748 20.53% 809 22.21% 916 25.14% 1979 54.32% 3643 100 μ ′ t 1143 31.81% 751 20.90% 842 23.43% 857 23.85% 1985 55.25% 3593 150 μ ′ t 1121 31.64% 750 21.17% 848 23.93% 824 23.26% 1969 55.57% 3543 200 μ ′ t 1115 31.92% 737 21.10% 852 24.39% 789 22.59% 1967 56.31% 3493 300 μ ′ t 1088 32.07% 709 20.90% 878 25.88% 718 21.16% 1966 57.94% 3393 400 μ ′ t 1094 33.22% 657 19.95% 884 26.84% 658 19.98% 1978 60.07% 3293 500 μ ′ t 1074 33.64% 624 19.54% 872 27.31% 623 19.51% 1946 60.95% 3193 600 μ ′ t 1068 34.53% 583 18.85% 855 27.64% 587 18.98% 1923 62.17% 3093 700 μ ′ t 1050 35.08% 556 18.58% 825 27.56% 562 18.78% 1875 62.65% 2993 表5. 在单纯AR模型和AR-差分模型下沪深300收益指数实际值与预测值之间一致性测试结果 备注：1) 变量 χ 表示预测值，其中： μ t 表示单纯AR模型预测值， μ ′ t 表示AR-差分模型预测值；2) 由于二阶差分模型的预测阶数不同，所以，每个预测模型的样本个数都不一样；3) 符号 ∩ 表示且运算或交运算。 情况3：当沪深300收益指数实际值为下跌、并且预测值也为下跌时， { r t < 1 } ∩ { χ < 1 } ，随着滞后阶数不断提高，预测样本数占比从最低15.17%逐渐提高到27.56%，不断提高。这种情况下，AR-差分模型预测能力明显高于单纯AR模型。 情况4：当沪深300收益指数实际值为下跌、而预测值为上涨时， { r t < 1 } ∩ { χ ≥ 1 } ，随着滞后阶数不断提高，预测样本数占比从最高32.12%逐渐降低到18.78%，降幅非常明显。这种情况下，AR-差分模型预测能力明显高于单纯AR模型。 情况1 + 情况3：情况1与情况3表现了沪深300收益指数实际值与预测值同涨、或者同降的两种趋同情形，其样本数占比反映了预测值与实际值运行方向完全相同的情况，准确地反映了预测值在涨跌趋势上的准确性，所以，样本数占比值越高越好。很明显，随着滞后阶数的提高，样本数占比也从50.84%增长到62.65%；与单纯AR模型下的50.99%相比，高了11.66%。这种情况下，AR-差分模型预测能力明显高于单纯AR模型。这说明趋势预测完全成功的概率最高可达到62.65%；而完全失败的概率为37.35%，明显小于成功的概率。总体来说，AR-差分模型预测能力明显高于单纯AR模型。