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user: 2. 数列上下极限定义和定理 定义2.1 [ 1 ] ：对于一个有界数列 { x n } ，将其最大聚点M和最小聚点m分别称为 { x n } 的上极限和下极限，记为： M = lim n → ∞ ¯ x n ， m = lim _ n → ∞ x n 定义2.2 [ 1 ] ：对所有的 ε > 0 ，存在 N > 0 ，当 n ≻ N 时，有 X N < m + ε ，又存在子列 { x n k } ，使得 x n k > M − ε ( k ∈ N ) ，则有 lim n → ∞ ¯ x n ( = M ) ；对所有的 ε > 0 ，存在 N > 0 ，当 n > N 时，有 x n > m − ε ，又存在子列 { x n k } ，使得 x n k < m + ε ( k ∈ N ) ，则有 lim _ n → ∞ x n = m 。 定义2.3 [ 1 ] ：称M为有界数列 { x n } 的上极限，如果 M = lim n → ∞ lim k ≥ n x k = inf n ≥ 1 sup k ≥ n x k ；称m有界数列 { x n } 的下极限，如果 M = lim inf n → ∞     k ≥ n x k = sup inf n ≥ 1     k ≥ n x k 。 定义2.4 [ 1 ] ：若存在 δ > 0 ，使得数列 { x n } 中有无穷多个项落在 U ( a ; δ ) 之外，则 { x n } 一定不以a为极限。 定理2.1：对任意的有界数列 { x n } ，有 lim _ n → ∞ x n ≤ lim n → ∞ ¯ x n 。 证明：由定义2.1，可设 lim n → ∞ ¯ x n 为最小聚点m，则m的邻域内必含有 { x n } 中的无穷多个点；同理，可设 lim n → ∞ ¯ x n 为最大聚点M，则M邻域内亦必含有 { x n } 中的无穷多个点；若 U ( M ; δ ) 与 U ( m ; δ ) 相交，且含有 { x n } 中的无穷多个点，则“=”成立，否则，在数轴上 U ( M ; δ ) 必在 U ( m ; δ ) 的右侧，从而 M > m ；综上有 M ≥ m ，证毕。 定理2.2： lim n → ∞ x n = C 的充分必要条件为 lim _ n → ∞ x n = lim n → ∞ ¯ x n = C 。 证明：必要性，由于 lim n → ∞ x n = C ，故有界数列 { x n } 存在唯一的极限，所以只有 U ( C ; δ ) 才含有 x n 中的无穷多个点；所以由定义2.1，可知 lim _ n → ∞ x n = lim n → ∞ ¯ x n = C 。充分性，由定理2.1的证明可知，在整个有界数列 { x n } 中，只有 U ( C ; δ ) 才含有 { x n } 中的无穷多个点，即 { x n } 中有无穷多个项落在 U ( C ; δ ) 之外，故由极限的定义2.4可知 lim n → ∞ x n = C 。 定理2.3 [ 1 ] ：(保不等式性)设有界数列 { x n } ， { y n } 满足：存在 N 0 > 0 ，当 n > N 0 时有 x n ≤ y n ，则 lim n → ∞ ¯ x n ≤ lim n → ∞ ¯ y n ， lim _ n → ∞ x n ≤ lim _ n → ∞ y n ； 特别若 α ， β 为常数，又存在 N 0 > 0 ，当 n > N 0 时有 α ≤ x n ≤ β ，则 α ≤ lim _ n → ∞ x n ≤ lim n → ∞ ¯ x n x n ≤ β 。 推论4：设 { x n } 为有界数列，则 1) m是 { x n } 的最小聚点； 2) m是 { x n } 的子列的最小值； 3) m = lim n → ∞ y n = lim inf n → ∞       k ≥ n x k = lim n → ∞ inf { x n ， x n + 1 ， ⋯ } ； 4) m = sup inf n ≥ 1     ​   k ≥ n x n ； 5)对 ∀ ε > 0 ， ∃ N > 0 ，当 n > N 时，有 x n > m − ε ，又存在子列 { x n k } ，使得 x n k < m + ε ( k ∈ N ) ；相互等价。 证明： 1) ⇒ 2)：由于m是 { x n } 的聚点，则当且仅当 { x n } 的子列 { x n k } 收敛于m，故可知 { x n } 的最小聚点即为 { x n k } 极限的最小值。 2) ⇒ 3)：由2)可知，存在 { x n } 的子列 { x n k } 收敛于m，因为 x n k ≥ y n k ， 于是由数列极限的保号性可知 m = lim k → ∞ x n k ≥ lim k → ∞ y n k ， 而该不等式中只能取等号，否则 m ′ = lim k → ∞ y n k < m ，则由 y n k → m ′ ，必存在 n k 1 ，使得 m ′ − 1 < y n k 1 < m ′ + 1 ， 据 y n k 1 的定义，必 ∃ n k ′ 1 > n k 1 ，s.t. m ′ − 1 < y n k ′ 1 < m ′ + 1 ； 由 y n k → m ′ ，又必 ∃ n k 2 > n k ′ 1 ，s.t. m ′ − 1 2 < y n k 2 < m ′ + 1 2 ， 据 y n k 2 的定义，必 ∃ n k ′ 2 > n k 2 ，s.t. m ′ − 1 2 < y n k ′ 2 < m ′ + 1 2 ； 以此类推，我们就可以得到： y n k → m ′ ，必 ∃ n k N > n k ′ N − 1 ，s.t. m ′ − 1 N < y n k N < m ′ + 1 N ，据 y n k 的定义，必 ∃ n k ′ N > n k N ，s.t. m ′ − 1 N < y n k ′ N < m ′ + 1 N ； 故令 N → ∞ ，可知 m ′ 亦为 { x n } 的最小极限，这与m为 { x n } 的最小极限矛盾，从而有 m = lim k → ∞ y n k ；又因为 { y n } 单调递增且有上界，故 { y n } 必收敛，所以 { y n } 与其子列有相同的极限，进而有 m ′ = lim n → ∞ y n = lim inf n → ∞     ​   k ≥ n x k 。 3) ⇒ 4)：由于 { x n } 非空，且其存在上界，故 { y n } 亦非空有上界；从而 { y n } 上确界存在，记为 m ′ = sup n ≥ 1 y n ，于是 m ′ ≥ y n ，并且对 ∀ ε > 0 ， ∃ N > 0 ，有 y N > m ′ − ε ；又因为 { y n } 单调递增，s.t.当 n > N 时，必有 y n ≥ y N ，从而 m ′ − ε < y N ≤ y n < m ′ + ε ；由此可以得到 y n → m ′ ，而由3)已知 y n → m ，从而 m = m ′ ， 即： lim n → ∞ y n = sup n ≥ 1 y n ，亦即： lim inf n → ∞     ​   k ≥ n x k = sup inf n ≥ 1     ​   k ≥ n x n 。 4) ⇒ 5)：先证明对 ∀ ε > 0 ， ∃ N > 0 ，当 n > N 时，有 x n > m − ε ；由 m = sup n ≥ 1 y n ，依据上确界定义注意到 { y n } 单调递增，故 ∀ ε > 0 ， ∃ N > 0 ，当 n > N 时， y n > m − ε 成立；又 y n = inf { x n ， x n + 1 ， ⋯ } ，则当 n > N 时，均有 x n ≥ y n > m − ε 。 再证明存在子列 { x n k } ，s.t. x n k < m + ε ( k ∈ N ) ；已知 m = sup n ≥ 1 y n = sup inf n ≥ 1     ​   k ≥ n x n ，可反设对 ∀ N > 0 ，当 n > N 时， x n ≥ m + ε ，取 ε = 1 ，则 m + 1 便是从第n项起以后项的下界，从而得到 y n = inf k ≥ n x k ≥ a + 1 ⇒ sup n ≥ 1 y n = sup inf n ≥ 1     ​   k ≥ n x k ≥ a + 1 ⇒ a ≥ a + 1 ，矛盾。 5) ⇒ 1)：由1)可知，对 ∀ ε > 0 ，必有无穷多个n，s.t. x n ∈ ( m − ε ， m + ε ) ，故m为 { x n } 的聚点， 下证 { x n } 再无小于m的聚点，否则， m ′ 为小于m的聚点，取 ε = m ′ − m 2 ⇒ m + ε < m ′ − ε ，由假设 m ′ 为 聚点，则对于 { x n } ，必有 m + ε < m ′ − ε < x n ，这与存在子列 { x n k } ，s.t. x n k < m + ε 矛盾；证毕。 以上推论4对关于下极限的几个定义的等价性进行了证明，而关于上极限定义的等价性证明可见文献 [ 2 ] 。