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user: 3. 一致(关于 σ ∈ ∑ )有界吸收集的存在性 定理2 假设(W1)~(W4)成立，若 h 0 ∈ L ∞ ( ℝ ;   L 2 ( Ω ) ) ∩ W b 1 ， r ( ℝ ;   L r ( Ω ) ) ( r > 2 n n + 4 ) ，且 ∑ 是由(17)所定义的，则问题(1)~(3)对应的过程族 { U σ ( t ， τ ) } ( t ≥ τ ，       τ ∈ ℝ ，       σ ∈ ∑ ) 在空间 E 0 中有一致(关于 σ ∈ ∑ )有界吸收集。 证明 用方程(1)与 u t 在空间 H 中作内积，可得 d d t E ( t ) + ∫ Ω a ( x ) φ ( u t ) u t d x = ( h ( t ) ， u t ) ， (18) 其中 E ( t ) = 1 2 ‖ u t ‖ 2 + 1 2 ‖ Δ u ‖ 2 + μ 2 ‖ u ‖ 2 + α 4 ‖ ∇ u ‖ 4 − β 2 ‖ ∇ u ‖ 2 + ∫ Ω G ( u ) d x . (19) 联立(4)和(5)可知，存在 δ 1 > 0 和 C δ 1 > 0 ，使得 ( a ( x ) φ ( u t ) ， u t ) ≥ 2 δ 1 ‖ u t ‖ 2 − C δ 1 meas ( Ω ) ， (20) ( 3 4 a ( x ) φ ( u t ) − δ 1 u t ， u t ) ≥ δ 1 2 ‖ u t ‖ 2 − C δ 1 meas ( Ω ) . (21) 由(8)式可知，存在 λ 1 > λ ′ > 0 和 C 0 ，使得 ( g ( u ) ， u ) ≥ − λ ′ ‖ u ‖ 2 − C 0 meas ( Ω ) ， (22) ∫ Ω G ( u ) d x ≥ − λ ′ 2 ‖ u ‖ 2 − C 0 meas ( Ω ) . (23) 根据Poincáre不等式和(23)，可以推出 − β 2 2 α − C 0 meas ( Ω ) ≤ 1 2 ‖ u t ‖ 2 + m 2 ‖ Δ u ‖ 2 + α 8 ‖ ∇ u ‖ 4 − β 2 2 α − C 0 meas ( Ω ) ≤ E ( t ) ， (24) 其中 m ∈ ( 0 ， 1 ] 是一个常数，若 μ ≥ λ ′ ，则 m = 1 ；若 0 < μ < λ ′ ，则 m ≤ 1 − λ 1 − 1 ( λ ′ − μ ) 。 由(5)和(6)可知 | φ ( s ) | q + 1 q ≤ { C ，   | s | ≤ 1 ， 2 C φ ( s ) s ，   | s | ≥ 1. (25) 运用Hölder不等式和Young不等式，结合(4)，(5)和(25)，可以得到如下估计 | ∫ Ω a ( x ) φ ( u t ) u d x | ≤ | ∫ Ω ( | u t | ≤ 1 ) a ( x ) φ ( u t ) u d x | + | ∫ Ω ( | u t | ≥ 1 ) a ( x ) φ ( u t ) u d x | ≤ ∫ Ω ( | u t | ≤ 1 ) C a ( x ) | u | d x + ( ∫ Ω ( | u t | ≥ 1 ) 2 C a ( x ) φ ( u t ) u t d x ) q q + 1 ( ∫ Ω ( | u t | ≥ 1 ) a ( x ) | u | q + 1 d x ) 1 q + 1 ≤ C ∫ Ω ( | u t | ≤ 1 ) a ( x ) | u | d x + q ( q + 1 ) − ( 1 + 1 q ) ε 2 − 1 q ∫ Ω ( | u t | ≥ 1 ) 2 C a ( x ) φ ( u t ) u t d x ( ∫ Ω ( | u t | ≥ 1 ) a ( x ) | u | q + 1 d x ) q − 1 q ( q + 1 )     + ε 2 ( ∫ Ω ( | u t | ≥ 1 ) a ( x ) | u | q + 1 d x ) 2 q + 1 ≤ C 2 4 ε 1 meas ( Ω ) + ( ε 1 a 0 2 λ 1 − 1 + ε 2 a 0 2 q + 1 C λ − 1 ) ‖ Δ u ‖ 2     + [ 2 C q ( q + 1 ) − ( 1 + 1 q ) ε 2 − 1 q a 0 q − 1 ( q + 1 ) q C λ − q − 1 2 q ] ‖ Δ u ‖ q − 1 q ∫ Ω a ( x ) φ ( u t ) u t d x = C 2 + η ‖ Δ u ‖ 2 + C η ‖ Δ u ‖ q − 1 q ∫ Ω a ( x ) φ ( u t ) u t d x ， (26) 其中 a 0 = sup { a ( x ) | x ∈ Ω } ，由紧嵌入 H 2 ⋐ L q + 1 可知， ‖ Δ u ‖ 2 ≥ C λ ‖ u ‖ q + 1 2 ( C λ 为正常数)。 将 v = u t + δ 1 u ( δ 1 如(20)所定义)代入方程(1)，可得 v t − δ 1 u t + a ( x ) φ ( u t ) + Δ 2 u + μ u + ( β − α ‖ ∇ u ‖ 2 ) Δ u + g ( u ) = h ( x ， t ) . (27) 用 v 与(27)式在空间 H 中作内积，有 d d t E δ 1 ( t ) + K ( t ) = 0 ， (28) 其中 E δ 1 ( t ) = 1 2 ‖ v ‖ 2 − 1 2 δ 1 2 ‖ u ‖ 2 + 1 2 ‖ Δ u ‖ 2 + μ 2 ‖ u ‖ 2 + α 4 ‖ ∇ u ‖ 4 − β 2 ‖ ∇ u ‖ 2 + ∫ Ω G ( u ) d x ， (29) K ( t ) = ( 3 4 a ( x ) φ ( u t ) − δ 1 u t ， u t ) + 1 4 ( a ( x ) φ ( u t ) ， u t ) + δ 1 ( a ( x ) φ ( u t ) ， u ) + δ 1 α ‖ ∇ u ‖ 4                     − δ 1 β ‖ ∇ u ‖ 2 + δ 1 ‖ Δ u ‖ 2   + μ δ 1 ‖ u ‖ 2 + δ 1 ( g ( u ) ， u ) − ( h ( t ) ， u t ) − ( h ( t ) ， δ 1 u ) . (30) 运用Poincáre不等式并结合(23)式，有 E δ 1 ( t ) ≥ 1 2 ‖ v ‖ 2 + ( m 2 − δ 1 2 2 λ 1 ) ‖ Δ u ‖ 2 + α 8 ‖ ∇ u ‖ 4 − ( β 2 2 α + C 0 meas ( Ω ) )                   ≥ C 3 ( ‖ v ‖ 2 + ‖ Δ u ‖ 2 + α 4 ‖ ∇ u ‖ 4 ) − ( β 2 2 α + C 0 meas ( Ω ) ) ， (31) 其中 δ 1 > 0 足够小，使得 2 − 1 m − ( 2 λ 1 ) − 1 δ 1 2 > 0 。 运用Young不等式、Poincáre不等式，再结合(21)~(22)和(26)，能够得出下列估计 K ( t ) ≥ δ 1 2 ‖ u t ‖ 2 − C δ 1 meas ( Ω ) + 1 4 ( a ( x ) φ ( u t ) ， u t ) + δ 1 ( − C 2 − η ‖ Δ u ‖ 2 − C η ‖ Δ u ‖ q − 1 q ∫ Ω a ( x ) φ ( u t ) u t d x )                   + δ 1 α 2 ‖ ∇ u ‖ 4 − δ 1 β 2 2 α + δ 1 ‖ Δ u ‖ 2 + μ δ 1 ‖ u ‖ 2 + δ 1 ( − λ ′ ‖ u ‖ 2 − C 0 meas ( Ω ) ) − 1 2 ε 3 ‖ h ( t ) ‖ 2 − ε 3 2 ‖ u t ‖ 2                   − 1 2 ε 3 ‖ h ( t ) ‖ 2 − ε 3 2 δ 1 2 ‖ u ‖ 2 ≥ δ 1 − ε 3 2 ‖ u t ‖ 2 + δ 1 ( 1 − η ) ‖ Δ u ‖ 2 + δ 1 ( μ − λ ′ − ε 3 δ 1 2 ) ‖ u ‖ 2 + ( 1 4 − δ 1 C E ( τ ) ) ∫ Ω a ( x ) φ ( u t ) u t d x                   + δ 1 α 2 ‖ ∇ u ‖ 4 − ( C δ 1 meas ( Ω ) + δ 1 C 2 + δ 1 β 2 2 α + δ 1 C 0 meas ( Ω ) + 1 ε 3 ‖ h ( t ) ‖ 2 )               ≥ δ 1 − ε 3 2 ‖ u t ‖ 2 + δ 1 m ′ ( 1 − η ) ‖ Δ u ‖ 2 + δ 1 α 2 ‖ ∇ u ‖ 4 − ( C 5 + 1 ε 3 ‖ h ( t ) ‖ 2 )               ≥ C 4 ( ‖ u t ‖ 2 + ‖ Δ u ‖ 2 + α 4 ‖ ∇ u ‖ 4 ) − ( C 5 + 1 ε 3 ‖ h ( t ) ‖ 2 ) (32) 其中 C E ( τ ) 是依赖于 C η ， E ( τ ) 的常数； δ 1 ， ε 3 ， η > 0 足够小，使得 2 − 1 ( δ 1 − ε 3 ) > 0 ，     1 − η > 0 ，     4 − 1 − δ 1 C E ( τ ) > 0 ； m ′ ∈ ( 0 ， 1 ] 是一个常数，若 μ ≥ λ ′ + 2 − 1 ε 3 δ 1 ，则 m ′ = 1 ；若 0 < μ < λ ′ + 2 − 1 ε 3 δ 1 ，则 m ′ ≤ 1 − λ 1 − 1 ( 1 − η ) − 1 × ( λ ′ + 2 − 1 ε 3 δ 1 − μ ) 。 ‖ u t ‖ 2 + ‖ Δ u ‖ 2 + α 4 ‖ ∇ u ‖ 4 ≤ C 6 ( ‖ v ‖ 2 + ‖ Δ u ‖ 2 + α 4 ‖ ∇ u ‖ 4 ) ， (33) 其中 C 6 = max { 2 ， 2 δ 1 2 λ 1 − 1 + 1 } 。 令 Y ( t ) = ‖ u t ( t ) ‖ 2 + ‖ Δ u ( t ) ‖ 2 + α 4 ‖ ∇ u ( t ) ‖ 4 ， 联立(28)~(33)可得 d d t Y ( t ) + r 1 Y ( t ) ≤ r 2 + r 3 ‖ h ‖ 2 ， 其中 r 1 = C 4 C 6 C 3 − 1 ，     r 2 = C 5 C 6 C 3 − 1 ， ​ ​ ​ ​     r 3 = C 6 C 3 − 1 ε 3 − 1 。 运用Gronwall引理可以计算出 Y ( t ) ≤ Y ( τ ) exp ( − r 1 ( t − τ ) ) + r 1 − 1 r 2 + r 3 ( 1 + r 1 − 1 ) ‖ h ‖ L b 2 2 . 结合 σ 的定义、命题1及命题2可知，对任意的 σ ∈ ∑ ，有 ‖ σ ‖ L b 2 2 ≤ ‖ h 0 ‖ L b 2 2 ，即 ‖ h ‖ L b 2 2 ≤ ‖ h 0 ‖ L b 2 2 。 因此，就得到了 E 0 中的一致(关于 σ ∈ ∑ )有界吸收集 B 0 ， B 0 = { ( u 0 ， v 0 ) ∈ E 0 | ‖ Δ u 0 ( t ) ‖ 2 + ‖ v 0 ( t ) ‖ 2 + α 4 ‖ ∇ u 0 ( t ) ‖ 4 ≤ ρ 2 } ， 其中 ρ 2 = 2 r 1 − 1 r 2 + 2 r 3 ( 1 + r 1 − 1 ) ‖ h 0 ‖ L b 2 2 。即对于 E 0 中的任意有界子集 B ，存在 t 0 = t 0 ( τ ， B ) ≥ τ ，使得 ∪ h ∈ ∑ U h ( t ， τ ) B ⊂ B 0 ， ∀ t ≥ t 0 .