system: [SYSTEM]

user: 2. 先验估计 首先引进一些基本记号： 对每个 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，把偏导数 ∂ ∂ x i 简记为 ∂ i ，即 ∂ i u ( x ) = ∂ u ( x ) ∂ x i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。记 α = ( α 1 ， α 2 ， ⋯ ， α n ) ，则 ∂ α u ( x ) = ∂ | α | u ( x ) ∂ x α = ∂ α 1 + α 2 + ⋯ + α n u ( x ) ∂ x 1 α 1 ∂ x 2 α 2 ⋯ ∂ x n α n ， | α | = α 1 + α 2 + ⋯ + α n ， ∇ x u = ∇ u = ∂ u = ( ∂ 1 u ， ∂ 2 u ， ⋯ ， ∂ n u ) ， ∇ x k u = ∇ k u = ∂ k u . 我们定义下列范数及内积 ‖ u ‖ p ≜ ‖ u ‖ L p ( R + × T 3 ) = ( ∫ R + × T 3 | u ( x ) | p d x ) 1 p ， ∀ u ∈ L p ( R + × T 3 ) ， ‖ u ‖ ∞ ≜ ‖ u ‖ L ∞ ( R + × T 3 ) = ess .sup R + × T 3 | u | = inf E ⊆ R + × T 3 m e a s E = 0 sup x ∈ R + × T 3 \ E | u ( x ) | ， ∀ u ∈ L ∞ ( R + × T 3 ) ， ‖ u ‖ H s ≜ ‖ u ‖ W s ， 2 ( R + × T 3 ) = ( ∑ | α | ≤ s ‖ ∂ α u ‖ L s ( R + × T 3 ) 2 ) 1 2 ， ∀ u ∈ H s ( R + × T 3 ) ， ‖ ∇ x u ‖ L p ( R + × T 3 ) = ‖ | ∇ x u | ‖ L p ( R + × T 3 ) ， ( u ， v ) ≜ ∫ R + × T 3 u ( x ， t ) v ( x ， t ) d x ， H s ≜ H s ( T 3 ) 。 定义下列能量函数 D ( t ) ≜ μ ‖ ∇ u ‖ H s 2 + κ ‖ ∇ θ ‖ H s 2 + 3 σ 8 ‖ ∇ n ‖ H s 2 + σ 2 ‖ ∇ ϕ ‖ H s 2 + σ ‖ n ‖ H s 2 + σ 2 ∑ k = 0 s ‖ ∇ k + 1 ϕ − 1 2 ∇ k + 1 n ‖ L 2 2 ， 引理2.1.(先验估计) 假设 ( u ， n ， θ ) 是双极不可压缩纳维–斯托克–傅里叶–泊松方程组(1)~(5)的一个光滑解，那么下列能量不等式成立 1 4 d d t E ( t ) + D ( t ) ≤ C D ( t ) E 1 2 ( t ) ， 其中常数 C = C ( s ， μ ， κ ， σ ) > 0 。 证明：接下来将采用高阶能量方法进行先验估计，Jiang在 [ 7 ] 中也进行了类似的能量估计。首先将方程(1)的每一项与u做 L 2 内积有 1 2 d d t ‖ u ‖ 2 2 + μ ‖ ∇ u ‖ 2 2 − 1 2 ( n ∇ ϕ ， u ) = 0 . (3.1) 同理将方程(2)和(3)的每一项分别与 θ ， n 做 L 2 内积有 1 2 d d t ‖ θ ‖ 2 2 + κ ‖ ∇ θ ‖ 2 2 = 0 . (3.2) 1 8 d d t ‖ n ‖ 2 2 + σ 8 ( ∇ n ， ∇ n ) + σ 4 ( n ， n ) = 0 ， (3.3) 结合方程(4)，等式(3.3)可化简为 1 8 d d t ‖ n ‖ 2 2 − σ 4 ( ∇ n ， ∇ ϕ − 1 2 ∇ n ) = 0 . (3.4) 由方程(4)可知 ( ∂ t n − Δ ( ∂ t ϕ ) ， ϕ ) = 1 4 d d t ‖ ∇ ϕ ‖ 2 2 + 1 2 ( ∂ t n ， ϕ ) = 0 . (3.5) 又因为 1 2 ( ∂ t n ， ϕ ) − 1 2 ( n ∇ ϕ ， u ) = 1 2 ( − u ⋅ ∇ n + σ 2 Δ n − σ n ， ϕ ) − 1 2 ( n ∇ ϕ ， u ) = σ 2 ( ∇ ϕ ， ∇ ϕ − 1 2 ∇ n ) (3.6) 将(3.1)、(3.2)、(3.4)和(3.5)相加，结合(3.6)可得到 1 4 d d t ( 2 ‖ u ‖ 2 2 + 2 ‖ θ ‖ 2 2 + 1 2 ‖ n ‖ 2 2 + ‖ ∇ ϕ ‖ 2 2 ) + μ ‖ ∇ u ‖ 2 2 + κ ‖ ∇ θ ‖ 2 2 + σ 2 ‖ ∇ ϕ − 1 2 ∇ n ‖ 2 2 = 0 . (3.7) 接下来，我们将做高阶能量估计。对于 1 ≤ k ≤ s ，我们对方程(1)做高阶求导 ∇ k 后，与 ∇ k u 做 L 2 内积有 1 2 d d t ‖ ∇ k u ‖ 2 2 + μ ‖ ∇ k + 1 u ‖ 2 2 = 1 2 ( ∇ k ( n ∇ ϕ ) ， ∇ k u ) − ( ∇ k ( u ∇ u ) ， ∇ k u ) . (3.8) 同理，对方程(2)和(3)做高阶求导 ∇ k 后，分别与 ∇ k θ ， ∇ k n 做 L 2 内积有 1 2 d d t ‖ ∇ k θ ‖ 2 2 + κ ‖ ∇ k + 1 θ ‖ 2 2 = − ( ∇ k ( u ∇ θ ) ， ∇ k θ ) . (3.9) 1 8 d d t ‖ ∇ k n ‖ 2 2 − σ 4 ( ∇ k + 1 n ， ∇ k + 1 ϕ − 1 2 ∇ k + 1 n ) = − 1 4 ( ∇ k ( u ∇ n ) ， ∇ k n ) . (3.10) 由方程(4)可以得到 1 2 ( ∇ k ( ∂ t n ) − ∇ k ( Δ ( ∂ t ϕ ) ) ， ∇ k ϕ ) = 1 4 d d t ‖ ∇ k + 1 ϕ ‖ + 1 2 ( ∇ k ( ∂ t n ) ， ∇ k ϕ ) = 0 ， 利用方程(3)有 1 4 d d t ‖ ∇ k + 1 ϕ ‖ 2 2 + σ 2 ( ∇ k + 1 ϕ ， ∇ k + 1 ϕ − 1 2 ∇ k + 1 n ) = 1 2 ( ∇ k ( u ⋅ ∇ n ) ， ∇ k ϕ ) . (3.11) 将(3.8)、(3.9)、(3.10)和(3.11)式相加得到 1 4 d d t ( 2 ‖ ∇ k u ‖ 2 2 + 2 ‖ ∇ k θ ‖ 2 2 + 1 2 ‖ ∇ k n ‖ 2 2 + ‖ ∇ k + 1 ϕ ‖ 2 2 ) + μ ‖ ∇ k + 1 u ‖ 2 2 + κ ‖ ∇ k + 1 θ ‖ 2 2 + σ 2 ‖ ∇ k + 1 ϕ − 1 2 ∇ k + 1 n ‖ 2 2 = 1 2 ( ∇ k ( n ∇ ϕ ) ， ∇ k u ) − ( ∇ k ( u ∇ θ ) ， ∇ k θ ) − ( ∇ k ( u ∇ u ) ， ∇ k u )     − 1 4 ( ∇ k ( u ∇ n ) ， ∇ k n ) + 1 2 ( ∇ k ( u ⋅ ∇ n ) ， ∇ k ϕ ) ≜ A 1 + A 2 + A 3 + A 4 + A 5 .(3.12) 现在依次估计每一项 A i ( 1 ≤ i ≤ 5 ) ，对于 A 1 有 A 1 = 1 2 ( ∇ k ( n ∇ x ϕ ) ， ∇ k u ) = 1 2 ∑ a + b = k a ≥ 1 ， b ≥ 1 ( ∇ a n ∇ b + 1 ϕ ， ∇ k u ) + 1 2 ( n ∇ k ( ∇ ϕ ) ， ∇ k u ) + 1 2 ( ∇ k n ∇ ϕ ， ∇ k u ) ≜ A 11 + A 12 + A 13 ， 利用Holder不等式、Sobolev嵌入定理 H 1 ( T 3 ) → L 4 ( T 3 ) 及Sobolev不等式有 A 11 ≤ C ∑ ‖ ∇ a n ‖ L 4 ‖ ∇ b + 1 ϕ ‖ L 4 ‖ ∇ k u ‖ L 2 ≤ C ∑ ‖ ∇ a n ‖ H 1 ‖ ∇ b + 1 ϕ ‖ H 1 ‖ u ‖ H k ≤ C ‖ n ‖ H s ‖ ∇ ϕ ‖ H s ‖ u ‖ H s A 12 ≤ C ‖ n ‖ L ∞ ‖ ∇ k ( ∇ ϕ ) ‖ L 2 ‖ ∇ k u ‖ L 2 ≤ C ‖ n ‖ H 2 ‖ ∇ ϕ ‖ H k ‖ u ‖ H k ≤ C ‖ n ‖ H s ‖ ∇ ϕ ‖ H s ‖ u ‖ H s A 13 ≤ C ‖ ∇ k n ‖ L 2 ‖ ∇ ϕ ‖ L ∞ ‖ ∇ k u ‖ L 2 ≤ C ‖ n ‖ H k ‖ ∇ ϕ ‖ H 2 ‖ u ‖ H k ≤ C ‖ n ‖ H s ‖ ∇ ϕ ‖ H s ‖ u ‖ H s 故 A 1 ≤ C ‖ n ‖ H s ‖ ∇ ϕ ‖ H s ‖ u ‖ H s . (3.13) 接下来，对 A 2 进行能量估计 A 2 = − ∑ a + b = k a ≥ 1 ( ∇ a u ∇ b + 1 u ， ∇ k u ) − ( u ∇ k + 1 u ， ∇ k u ) ≤ C ∑ ‖ ∇ a u ‖ L 4 ‖ ∇ b + 1 u ‖ L 4 ‖ ∇ k u ‖ L 2 ≤ C ∑ ‖ ∇ a u ‖ H 1 ‖ ∇ b + 1 u ‖ H 1 ‖ u ‖ H k ≤ C ‖ ∇ u ‖ H s ‖ ∇ u ‖ H s ‖ u ‖ H s ， (3.14) 同理，我们可以得到 A 3 ≤ C ‖ ∇ u ‖ H s ‖ ∇ θ ‖ H s ‖ θ ‖ H s ， (3.15) A 4 ≤ C ‖ ∇ u ‖ H s ‖ ∇ n ‖ H s ‖ n ‖ H s . (3.16) 对于 A 5 有 A 5 = − 1 2 ( ∇ k − 1 ( u ⋅ ∇ n ) ， ∇ k + 1 ϕ ) = − 1 2 ∑ a + b = k − 1 a ≥ 1 ( ∇ a u ∇ b + 1 n ， ∇ k + 1 ϕ ) − 1 2 ( u ∇ k n ， ∇ k + 1 ϕ ) ≜ A 51 + A 52 ， A 51 ≤ C ∑ ‖ ∇ a u ‖ L 4 ‖ ∇ b + 1 n ‖ L 4 ‖ ∇ k + 1 ϕ ‖ L 2 ≤ C ∑ ‖ ∇ a u ‖ H 1 ‖ ∇ b + 1 n ‖ H 1 ‖ ∇ ϕ ‖ H k ≤ C ‖ u ‖ H s ‖ n ‖ H s ‖ ∇ ϕ ‖ H s ， A 52 ≤ C ‖ u ‖ L ∞ ‖ ∇ k n ‖ L 2 ‖ ∇ k + 1 ϕ ‖ L 2 ≤ C ‖ u ‖ H 2 ‖ n ‖ H k ‖ ∇ ϕ ‖ H k ≤ C ‖ u ‖ H s ‖ n ‖ H s ‖ ∇ ϕ ‖ H s ， 故 A 5 ≤ C ‖ u ‖ H s ‖ n ‖ H s ‖ ∇ ϕ ‖ H s . (3.17) 最后，将不等式(3.13)、(3.14)、(3.15)、(3.16)和(3.17)合并到(3.12)等式得到 1 4 d d t ( 2 ‖ ∇ k u ‖ 2 2 + 2 ‖ ∇ k θ ‖ 2 2 + 1 2 ‖ ∇ k n ‖ 2 2 + ‖ ∇ k + 1 ϕ ‖ 2 2 ) + μ ‖ ∇ k + 1 u ‖ 2 2 + κ ‖ ∇ k + 1 θ ‖ 2 2 + σ 2 ‖ ∇ k + 1 ϕ − 1 2 ∇ k + 1 n ‖ 2 2 ≤ C ( ‖ n ‖ H s ‖ ∇ ϕ ‖ H s ‖ u ‖ H s + ‖ ∇ u ‖ H s ‖ u ‖ H s ‖ ∇ u ‖ H s + ‖ ∇ u ‖ H s ‖ ∇ θ ‖ H s ‖ θ ‖ H s + ‖ ∇ u ‖ H s ‖ ∇ n ‖ H s ‖ n ‖ H s ) . 对于上述 1 ≤ k ≤ s 的所有不等式相加，并结合(3.7)式有 1 4 d d t ( 2 ‖ u ‖ H s 2 + 2 ‖ θ ‖ H s 2 + 1 2 ‖ n ‖ H s 2 + ‖ ∇ ϕ ‖ H s 2 ) + μ ‖ ∇ u ‖ H s 2 + κ ‖ ∇ θ ‖ H s 2 + σ 2 ∑ k = 0 s ‖ ∇ k + 1 ϕ − 1 2 ∇ k + 1 n ‖ L 2 2 ≤ C ( ‖ n ‖ H s ‖ ∇ ϕ ‖ H s ‖ u ‖ H s + ‖ ∇ u ‖ H s ‖ ∇ u ‖ H s ‖ u ‖ H s + ‖ ∇ u ‖ H s ‖ ∇ θ ‖ H s ‖ θ ‖ H s + ‖ ∇ u ‖ H s ‖ ∇ n ‖ H s ‖ n ‖ H s ) (3.18) 将方程(3)与n做 L 2 内积有 1 2 d d t ‖ n ‖ 2 2 + σ 2 ‖ ∇ n ‖ 2 2 + σ ‖ n ‖ 2 2 = 0. (3.19) 对于 1 ≤ k ≤ s ，我们对方程(3)高阶求导 ∇ k 后，与 ∇ k n 做 L 2 内积且利用(3.16)有 1 2 d d t ‖ ∇ k n ‖ 2 2 + σ 2 ‖ ∇ k + 1 n ‖ 2 2 + σ ‖ ∇ k n ‖ 2 2 = − ( ∇ k ( u ⋅ ∇ n ) ， ∇ k n ) ≤ C ‖ ∇ u ‖ H s ‖ ∇ n ‖ H s ‖ n ‖ H s . (3.20) 对于 1 ≤ k ≤ s 的所有不等式(3.20)相加，并结合(3.19)式可以得到 1 2 d d t ‖ n ‖ H s 2 + σ 2 ‖ ∇ n ‖ H s 2 + σ ‖ n ‖ H s 2 ≤ C ‖ ∇ u ‖ H s ‖ ∇ n ‖ H s ‖ n ‖ H s . (3.21) 由方程(3)和(4)有 1 2 d d t ‖ ∇ ϕ ‖ 2 2 − σ 2 ( ∇ n ， ∇ ϕ ) + σ ‖ ∇ ϕ ‖ 2 2 = − ( u ⋅ ∇ ϕ ， n ) ， 利用Sobolev嵌入定理 H 1 ( T 3 ) → L p ( T 3 ) ( p = 3 ， 6 ) 以及Holder不等式有 1 2 d d t ‖ ∇ ϕ ‖ 2 2 − σ 2 ( ∇ n ， ∇ ϕ ) + σ ‖ ∇ ϕ ‖ 2 2 ≤ C ‖ ∇ u ‖ H s ‖ n ‖ H s ‖ ∇ ϕ ‖ H s ， (3.22) 利用Young不等式有 σ 2 ( ∇ n ， ∇ ϕ ) ≤ σ 8 ‖ ∇ n ‖ 2 2 + σ 2 ‖ ∇ ϕ ‖ 2 2 ， 将上述Young不等式代入不等式(3.22)得到 1 2 d d t ‖ ∇ ϕ ‖ 2 2 − σ 8 ‖ ∇ n ‖ 2 2 + σ 2 ‖ ∇ ϕ ‖ 2 2 ≤ C ‖ ∇ u ‖ H s ‖ n ‖ H s ‖ ∇ ϕ ‖ H s . (3.23) 对于 1 ≤ k ≤ s ，对于方程(4)，求 ∂ t 后做高阶求导 ∇ k ，再与 ∇ k ϕ 做 L 2 内积，利用方程(3)有 1 2 d d t ‖ ∇ k + 1 ϕ ‖ 2 2 − σ 2 ( ∇ k + 1 n ， ∇ k + 1 ϕ ) + σ ‖ ∇ k + 1 ϕ ‖ 2 2 = ( ∇ k ( u ⋅ ∇ n ) ， ∇ k ϕ ) ， (3.24) 利用Young不等式有 σ 2 ( ∇ k + 1 n ， ∇ k + 1 ϕ ) ≤ σ 8 ‖ ∇ k + 1 n ‖ 2 2 + σ 2 ‖ ∇ k + 1 ϕ ‖ 2 2 ， 结合 A 5 有 1 2 d d t ‖ ∇ k + 1 ϕ ‖ 2 2 − σ 8 ‖ ∇ k + 1 n ‖ 2 2 + σ 2 ‖ ∇ k + 1 ϕ ‖ 2 2 = ( ∇ k ( u ⋅ ∇ n ) ， ∇ k ϕ ) ≤ C ‖ u ‖ H s ‖ n ‖ H s ‖ ∇ ϕ ‖ H s . (3.25) 对于 1 ≤ k ≤ s 的所有不等式(3.25)相加，并结合(3.23)式得到 1 2 d d t ‖ ∇ ϕ ‖ H s 2 − σ 8 ‖ ∇ n ‖ H s 2 + σ 2 ‖ ∇ ϕ ‖ H s 2 ≤ C ( ‖ ∇ u ‖ H s ‖ n ‖ H s ‖ ∇ ϕ ‖ H s + ‖ u ‖ H s ‖ n ‖ H s ‖ ∇ ϕ ‖ H s ) . (3.26) 最后，将(3.18)、(3.21)和(3.26)三个不等式相加得到 1 4 d d t ( 2 ‖ u ‖ H s 2 + 2 ‖ θ ‖ H s 2 + 5 2 ‖ n ‖ H s 2 + 3 ‖ ∇ ϕ ‖ H s 2 ) + μ ‖ ∇ u ‖ H s 2 + κ ‖ ∇ θ ‖ H s 2   + 3 σ 8 ‖ ∇ n ‖ H s 2 + σ 2 ‖ ∇ ϕ ‖ H s 2 + σ ‖ n ‖ H s 2 + σ 2 ∑ k = 0 s ‖ ∇ k + 1 ϕ − 1 2 ∇ k + 1 n ‖ 2 2 ≤ C ( ‖ n ‖ H s ‖ ∇ ϕ ‖ H s ‖ u ‖ H s + ‖ ∇ u ‖ H s ‖ ∇ u ‖ H s ‖ u ‖ H s + ‖ ∇ u ‖ H s ‖ ∇ θ ‖ H s ‖ θ ‖ H s     + ‖ ∇ u ‖ H s ‖ ∇ n ‖ H s ‖ n ‖ H s + ‖ ∇ u ‖ H s ‖ n ‖ H s ‖ ∇ ϕ ‖ H s ) . (3.27) 根据能量函数 E ( t ) ， G ( t ) 的定义，以及Young不等式有 1 4 d d t E ( t ) + D ( t ) ≤ C D ( t ) E 1 2 ( t ) ， (3.28) 引理3.3得证。