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user: 4. 物质波须遵循的规律 波动现象是自然界中普遍存在的一类现象，也是能量实现远距传输的一种重要方式。自然界中虽然存在形式多样的波，但却都以类似的方式存在并传播着(即都是波场的微元的周期性振动在空间及时间上的延续)，因此，各种波都必须遵循一些相同的规律，特别是波的叠加原理——这种只有波动现象才具有的规律，从而我们也可以将波定义为遵循波的叠加原理的一类现象。正是由于波遵循波的叠加原理，因此才能产生其特有的现象如波的双缝干涉及单缝衍射。由于物质波也是一种波，因此也必须遵循只有波才具有的规律，即物质波的叠加原理，而所谓的粒子的双缝干涉及单缝衍射现象就是物质波的叠加原理起作用的具体表现形式，而这些现象如果不采用物质波概念进行解释就很难理解，以下将对此进行详细讨论。 4.1. 物质波的叠加原理 波的叠加原理是关于波的重要原理，是定量理解及计算波的双缝干涉及单缝衍射现象的理论依据，普通的机械波与经典电磁波都遵循波的叠加原理。所谓波的叠加原理可表述为：当同一波场中同时存在n列(可以用线性波动方程描述的)同一类型的波时，每一列波都将保持各自的传播规律不变且互不干扰；在这n列波相遇的区域里，该波场的任何一个微元振动的物理量等于每一列波在该微元上引起的振动的物理量的(矢量)和；在这n列波相遇的区域里，该波场的任何一个微元都同时参与n个振动，其振动的位移等于这n列波分别在该微元上引起的位移的矢量和，而当这n列波的振动方向在同一直线上时，这n个位移的矢量和在选定正方向后可简化为代数和。波的叠加原理也可以等效的表述为波的叠加原理：如果同一波场中存在n列同一类型的波 Ψ 0 ， Ψ 1 ， ⋯ ， Ψ n ，则 Ψ = C 0 Ψ 0 + C 1 Ψ 1 + ⋯ + C n Ψ n = ∑ i = 0 i = n C i Ψ i (10) 也是可能的一列波(其中 C 0 ， C 1 ， ⋯ ， C n 是任意实数)。 由于物质波是一种波，因此必须如普通机械波或经典电磁波那样起作用并遵循波的主要规律，特别是波的叠加原理，而量子力学的各种文献中所介绍的关于电子、质子、中子乃至分子等的双缝干涉及单缝衍射试验本质上就是这些粒子的物质波的双缝干涉及单缝衍射现象，确切地说是物质波的叠加原理的具体体现。显然，物质波的叠加原理与上述波的叠加原理的内容基本相同，只不过由于物质波的能量是量子化的，因而物质波的叠加原理必须反映其能量的量子化特点，同时还必须兼顾各种量子力学的有关实验。综上所述，关于物质波的叠加原理(在量子力学中则被称作粒子的态叠加原理)可表述如下： 物质波的叠加原理：如果在一个粒子的物质波波场中存在n列该粒子的物质波 Ψ 0 ， Ψ 1 ， ⋯ ， Ψ n ，则这n列物质波的线性叠加 Ψ = C 0 Ψ 0 + C 1 Ψ 1 + ⋯ + C n Ψ n = ∑ i = 0 i = n C i Ψ i (11) 同样也是该粒子可能的一列物质波(其中 Ψ ， Ψ 0 ， Ψ 1 ， ⋯ ， Ψ n 为该粒子的物质波的波函数； C 0 ， C 1 ， ⋯ ， C n 是任意复数)。 由式(11)可见，物质波的叠加原理与量子力学中粒子的态叠加原理具有完全相同的数学形式，但两者的物理意义却完全不同。物质波的叠加原理反映的是物质波的波动属性，因此可以作为波的叠加原理的一个特例顺理成章的提出来，其意义非常直观；而量子力学中的态叠加原理则完全是为了拟合所谓粒子的波动性的实验结果所做的人为假设，其意义抽象难懂，甚至到目前为止物理学家对其还没有清晰统一的认识，而由以上讨论可知，其本质就是物质波的叠加原理，因此，物质波的叠加原理是直观地理解量子力学中所谓粒子的波动性的理论依据。 4.2. 物质波的干涉及衍射 正是由于物质波遵循波的叠加原理，同时物质波的波长非常小，因此，当物质波遇到开有宽度及间距足够窄(尺度接近物质波的波长)的两条狭缝的平板并通过平板上的这两条狭缝时会产生双缝干涉现象；而当物质波遇到开有宽度足够窄(尺度接近物质波的波长)的一条狭缝的平板并通过平板上的这条狭缝时则会产生单缝衍射现象。这就是量子力学中所谓粒子的双缝干涉及单缝衍射现象的本质，也是物质波作为波所必然具有的性质，下面对此进行讨论。 4.2.1 . 物质波的双缝干涉 物质波的双缝干涉即量力力学中所谓的粒子的双缝干涉，是同一类型的众多具有相同运动速度及质量的粒子通过双狭缝后在成像屏上产生明暗相间的条纹的现象。由于物理学家并不认为量子力学中的波函数描述了任何客观存在的对象，而是将波函数看作其模的平方与在空间中任意一点上找到相应粒子的概率成正比的概率波并且无法如真实的波那样发生双缝干涉现象，从而只能将粒子的双缝干涉现象解释为是粒子以某种人类无法想象的方式同时通过两条狭缝后发生的自干涉现象，这显然是一种没有且永远无法用任何物理实验进行验证的猜测，因为任何用于确定电子是否同时通过双狭缝的观测行为都将导致双缝干涉现象的彻底消失 [ 4 ] ，可见这种解释怪异诡辩、充满争议但又实属无奈。以下我们将采用物质波概念进行解释，图1为电子的双狭缝干涉实验示意图，实验装置由电子枪E、刻有单狭缝T的平板A、刻有双狭缝S 1 及S 2 的平板B及成像屏C构成，S 1 S 2 = l，U为S 1 S 2 的中点，平板B与成像屏C之间的间距为UN = L。放置于图中左侧的电子枪向平板A垂直发射自由电子(电子的速度为V，能量为E，动量为p，其物质波的频率为γ、角频率为ω，波长为λ、波数为k)，其中部分电子及其物质波穿过平板A单狭缝T后射向平板B，当电子的单色物质波ψ遇到并穿过B上的两条狭缝后分裂成两列子波ψ 1 及ψ 2 ，并最终投射到屏C上。根据物质波的叠加原理，当波ψ 1 及ψ 2 在屏C上的一点M相遇时，如果两者到该点的行程之差S 2 V为物质波波长λ的整数倍nλ时，则在该点上两列物质波为“波峰与波峰”或“波谷与波谷”的叠加，屏C上显示为亮条纹；而如果两者到该点的行程之差S 2 V为物质波波长λ的整数倍 ( 2 n − 1 ) λ 的1/2 (即 ( 2 n − 1 ) λ / 2 )时，则在该点上两列物质波为“波峰与波谷”或“波谷与波峰”叠加从而相互抵消，屏C上显示为暗条纹。需要特别说明的是，此处(及以下)借用实物波的“波峰”及“波谷”概念只是为了更形象化地理解物质波的叠加原理，并非其真实含义。由于物质波是虚波，其“波峰”及“波谷”也是虚的从而不具有可观测性，并且只有在具体的效应中才能反映出其与实物波的“波峰”及“波谷”之间的对应关系，因而实际情况要比实物波复杂得多，下面将进行具体分析。图中S 1 M = VM， ∠ S 2 S 1 V = ∠ MUN = θ ， S 2 V = l sin θ ，若假定穿过双狭缝的S 1 缝的子波ψ 1 到达屏C上的M点的复振幅为 Ψ 1 = Ψ A e − i ω t ，则穿过双狭缝中的S 2 缝的子波ψ 2 到达屏C上的M点的复振幅显然为 Ψ 2 = Ψ A e i ( 2 π l sin θ / λ − ω t ) ，据物质波的叠加原理，物质波在M点的复振幅Ψ 0 为ψ 1 及ψ 2 的复振幅之和 图1. 电子的双缝干涉实验示意图 Ψ 0 = Ψ 1 + Ψ 2 = Ψ A e − i ω t ( 1 + e i 2 π l sin θ / λ ) (12) 由于Ψ 0 为复函数，因而Ψ 0 在M点的强度等于Ψ 0 的模的平方 | Ψ 0 | 2 (见以下讨论，物质波在空间中某一点上的强度与其振幅的模的平方成正比)，同时利用 e i x = cos x + i sin x 及三角函数的二倍角等公式则有 | Ψ 0 | 2 = | Ψ 1 + Ψ 2 | 2 = 4 | Ψ A | 2 cos 2 ( π l sin θ λ ) (13) 当 π l sin θ / λ 等于 时， | Ψ 0 | 2 = 4 | Ψ A | 2 为最大值，因而有 sin θ = n λ / l (14) 即当 n = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， k 时，Ψ 0 在M点的强度 为最大值(即在屏C上显示为亮点)；而当 π l sin θ / λ 等于 π / 2 ， 3 π / 2 ， 5 π / 2 ， ⋯ ， ( 2 n − 1 ) π / 2 时， | Ψ 0 | 2 = 0 为最小值，因而有 sin θ = ( 2 n − 1 ) λ / 2 l (15) 即当 n = 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， ⋯ ， k 时，Ψ 0 在M点的强度 | Ψ 0 | 2 为最小值(即在屏C上显示为暗点)。由以上计算过程可见，电子的物质波的双缝干涉现象的直接原因就是物质波的叠加原理。物理学家分别于1961年及1989年完成了较强电子源及极弱电子源的电子的物质波的双缝干涉实验，这两个实验都以极高的精度证明了以上分析的正确性。实际上，还可以用其他各种粒子的物质波的双缝干涉实验验证该公式的正确性(只不过由于其他粒子的质量较电子大得多，从而粒子的能量及动量也要大得多，其物质波的波长要短得多而频率也要大得多，因此相应的实验实施难度较大)，由此可见，物质波的双缝干涉现象具有普遍意义，而由于物质波的双缝干涉是物质波的叠加原理的具体体现，因此，物质波的双缝干涉现象的存在进一步证明物质波的叠加原理的正确性，同时也证明物质波概念的正确性。 4.2.2. 物质波的衍射 除了通过双狭缝后会产生干涉现象外，当物质波在传播过程中遇到障碍物、小孔或狭缝等对象时并不遵循波的直线传播规律，而是会产生通过这些对象的边缘绕到其后面继续传播的所谓衍射(或绕射)现象，而当物质波的波长与障碍物、小孔或狭缝的尺度相当或比之更大时，衍射现象会更明显，其中最典型的就是单缝(多缝)或单孔(多孔)衍射。1927年，J·戴维孙(C. Davisson)和L·革末(L. Germer)为证明德布罗意的物质波理论的正确性，利用镍单晶中镍原子构成的晶格的尺寸与电子的物质波的波长在同一数量级上的特点完成了电子的物质波的晶格(多孔)衍射实验。下面对镍单晶对电子的衍射实验的分析表明，电子的晶格衍射现象是物质波的叠加原理的具体体现，其根本原因就是物质波的叠加原理，下面进行简单分析。 图2为镍单晶的电子衍射实验的示意图，图中整齐排列的小黑点代表镍原子，众多小点按图中所示有规则的排列成的集合体则构成一种天然的镍单晶格，当电子以与镍单晶表面呈θ角的方向射向镍单晶时，被相邻两层晶格的镍原子反射的电子的物质波就会因行程上的差异而导致其复振幅的相消或相长。图中由电子枪(已省略)发射出一束平行电子束(其速度V为恒定值)，当电子及其物质波ψ通过镍晶体并打到镍原子上时会被镍原子反射出去，根据物质波的叠加原理，如果被相邻两层镍晶体原子反射的电子的物质波ψ 1 及ψ 2 的行程差 2 d sin θ = n λ (其中d为镍原子之间的距离，θ为电子束相对于镍晶体表面的入射角，λ为入射电子的物质波的波长， n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n )时，ψ 1 及ψ 2 的复振幅为“波峰与波峰”或“波谷与波谷”叠加，相应的电子束如果垂直射到成像屏上后会产生亮点(或亮条纹)；而当成像屏的位置及角度发生改变后，成像屏就会接收到来自从不同角度被镍原子反射出来的电子及其物质波ψ 1 及ψ 2 ，由于角度θ发生了改变，因而电子的物质波ψ 1 及ψ 2 的行程差2dsinθ就会发生相应改变，当 2 d sin θ = ( 2 n + 1 ) λ / 2 时，ψ 1 及ψ 2 的复振幅为“波峰与波谷”或“波谷与波峰”叠加，相应的电子束如果垂直射到成像屏上后会产生暗点(或暗条纹)。戴维孙和革末所完成的类似实验(具体实现方法有所不同的)类似实验完全证明了以上分析的正确性，同时也证明了物质波概念及物质波的叠加原理的正确性。 另外，由于物质波通过单狭缝或单孔时也会发生衍射现象，而大约几个原子厚度的超薄金属片因原子间的非紧密排列而形成天然的小孔，因此，还可以利用电子束透射超薄金属片的实验来验证电子的物质波的衍射现象。相关实验是由英国物理学家G·汤姆逊(G. Thomson)于1927年完成的，该实验用一窄束阴极射线(能量为20~60 keV)打在金属薄箔(厚度在10 −6 cm量级)，在薄箔后面垂直于入射电子束方向放置照相胶片接收电子，显影后照相底片上得到了德拜–谢勒衍射环；然后再根据试验用金属薄箔的晶格结构的数据计算出了电子的物质波的波长，从而证明了德布罗意关系式及物质波概念、物质波的叠加原理的正确性 [ 5 ] ，由于采用物质波概念及叠加原理对该实验的具体分析方法与X射线的金属薄箔的衍射实验分析完全类似，并且X射线的衍射实验的定量分析许多文献中都有介绍，在此就不加赘述。除证明电子的物质波遇到狭缝或孔洞可以发生衍射现象外，在中子、原子及分子等相关实验中物理学家都观察到了衍射现象，特别是1999年维也纳大学的塞林格(Zeilinger)小组利用超大分子C 60 (即富勒烯，其质量约为电子质量的130万倍)所做的相关实验，也成功观察到了衍射现象。实验从温度约1000 K的高温炉中发射出高纯度C 60 分子束，射入宽度为10 μm的狭缝，运动1.04 m后再次射入第二个宽度为10 μm狭缝。然后通过一个周期为100 nm、缝宽50 nm的衍射光栅，并最终在光栅后1.25 m处的探测器中形成了衍射图样 [ 6 ] 。该实验同样可以用物质波的叠加原理进行计算分析，并且相应的结论必定与实验结果完全相符，从而进一步证明了物质波概念及物质波的叠加原理的正确性及普遍适用性。 图2. 电子的镍晶体衍射实验示意图