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user: 2. 预备知识及模型构建 Mao (2001)研究了如下的马尔可夫调制的随机微分方程 [ 1 ] ： d x ( t ) = f ( x ( t ) ， x ( t − τ ) ， t ， r ( t ) ) d t + g ( x ( t ) ， x ( t − τ ) ， t ， r ( t ) ) d w ( t ) 这里 t ≥ 0 ，具有初始值 x 0 ∈ C F 0 b ( Ω ; R n ) ， f : R n × R + × S → R n ， g : R n × R + × S → R n × m 。 假如A是一个向量，则用 | ⋅ | 表示R n 中欧氏范数。假如A是一个矩阵(用A T 表示A的转置)，则定义 | A | = t r a c e ( A T A ) 为迹范数，定义 ‖ A ‖ = sup { | A x | : | x | = 1 } 为算子范数。设 r ( t ) ， t ≥ 0 ， 是定义在完备概率空间 ( Ω ， F ， { F t } t ≥ 0 ， P ) 上的右连续马尔可夫链，取两个值的状态空间 S = { 1 ， 2 } ，且具有生成元 Γ = ( γ i j ) 2 × 2 ，其中 P { r ( t + Δ ) = j | r ( t ) = i } = { γ i j Δ + o ( Δ ) ， 1 + γ i j Δ + o ( Δ ) ， i ≠ j i = j 这里 Δ > 0 ， γ i j ≥ 0 是由i状态转移到j状态的转移速率，且 γ i i = − ∑ j γ i j ， i ≠ j 。 马尔可夫链 r ( t ) 与布朗运动 w ( • ) 假设是相互独立的，则 r ( t ) 的每一个样本轨迹都是一个右连续的阶梯函数，且在每一个有限子区间上只有有限个跳跃点。 V. Torre (1977)用分岔理论分析了非均衡市场的完全凯恩斯系统 [ 2 ] { Y ˙ ( t ) = α ( I ( Y ( t ) ， R ( t ) ) − S ( Y ( t ) ， R ( t ) ) ) ， R ˙ ( t ) = β 0 ( L ( Y ( t ) ， R ( t ) ) − L s ) ， 其中 ∂ I ∂ Y > 0 ， ∂ I ∂ R < 0 ， ∂ S ∂ Y > 0 ， ∂ S ∂ R < 0 ， ∂ L ∂ Y > 0 ， ∂ L ∂ R < 0 ；Y，R，I(Y，R)，S(Y，R)，L(Y，R)，Ls， α > 0 和 β > 0 分别表示产品供给函数、利率、投资(产出和利率的函数)、储蓄(产出和利率的函数)、货币流动需求量、常数货币流动供给量、产品市场和货币市场调整参数。第一个方程表示产品市场的非均衡调整，第二个表示货币市场的非均衡调整。 本文中的第一个方程利用萨谬尔森的动态乘数-加速数模型 [ 3 ] 的第一个方程即 Y ˙ ( t ) = α ( D ( t ) − Y ( t ) ) ，其中需求函数 D ( t ) = C ( t ) + I ( t ) + G 表示成消费函数、投资函数及政府支出的和。而消费函数 C ( t ) = σ Y d ( t ) = σ ( Y ( t ) − T ( t ) ) 是关于可支配收入的函数。税收函数是产品供给函数的正常数倍，且税收过程中存在时间延迟现象，因此引入时滞 τ ，税收函数为 T ( t ) = ε Y ( t − τ ) ；投资函数是关于供给和利率的函数 I ( Y ， R ) = γ Y ( t ) − β 1 R ( t ) ；G是常数政府支出。 本文第二个方程中假设流动性需求函数 L ( Y ( t ) ， R ( t ) ) = u Y ( t ) − β 2 R ( t ) ，供给函数 L s 是常数。则考虑的时滞IS-LM模型为 { Y ˙ ( t ) = α ( ( σ + γ − 1 ) Y ( t ) − σ ε Y ( t − τ ) − β 1 R ( t ) + G ) ， R ˙ ( t ) = β ( u Y ( t ) − β 2 R ( t ) − L s ) 0 (1) 这里参数 0 < α ， σ ， γ ， ε ， β 0 ， β 1 ， β 2 < 1 。 命题1：在条件 u β 1 − β 2 ( σ ( 1 − ε ) − 1 + γ ) > 0 和 u G + ( σ ( 1 − ε ) − 1 + γ ) L s > 0 都满足的情况下，标准时滞IS-LM模型(1)存在唯一的正均衡解 ( Y * ， R * ) = ( β 2 G + β 1 L s u β 1 − β 2 ( σ ( 1 − ε ) − 1 + γ ) ， u G + ( σ ( 1 − ε ) − 1 + γ ) L s u β 1 − β 2 ( σ ( 1 − ε ) − 1 + γ ) ) 。 令 x ( t ) = Y ( t ) − Y * ， x ( t − τ ) = Y ( t − τ ) − Y * ， y ( t ) = R ( t ) − R * ，则模型(1)变成 { x ˙ ( t ) = α ( ( σ + γ − 1 ) x ( t ) − σ ε x ( t − τ ) − β 1 y ( t ) ) ， y ˙ ( t ) = β 0 ( u x ( t ) − β 2 y ( t ) ) (2) 由于此系统受到随机扰动的影响，令变量 x ( t ) ， x ( t − τ ) 和 y ( t ) 对应的参数在两个方程中分别受到强度为 σ 1 w ( t ) ， σ 2 w ( t ) ， σ 3 w ( t ) ， σ 4 w ( t ) 和 σ 5 w ( t ) 的随机扰动。 即模型(2)变为 { x ˙ ( t ) = ( α ( σ + γ − 1 ) + σ 1 ω ( t ) ) x ( t ) + ( − α σ ε + σ 2 ω ( t ) ) x ( t − τ ) + ( − α β 1 + σ 3 w ( t ) ) y ( t ) ， y ˙ ( t ) = ( ( β 0 u + σ 4 ω ( t ) ) x ( t ) + ( − β 0 β 2 + σ 5 w ( t ) ) y ( t ) ) (3) 用矩阵表示为 d X ( t ) = ( A X ( t ) + B X ( t − τ ) ) d t + ( C X ( t ) + D X ( t − τ ) ) d w ( t ) (4) 这里 X ( t ) = ( x ( t ) y ( t ) ) ， X ( t − τ ) = ( x ( t − τ ) y ( t − τ ) ) ， A = ( α ( σ + γ − 1 ) − α β 1 β 0 u − β 0 β 2 ) ， B = ( − α σ ε 0 0 0 ) ， C = ( σ 1 σ 3 σ 4 σ 5 ) ， D = ( σ 2 0 0 0 ) 。 考虑到上涨与紧缩周期性波动的影响，将二值离散状态的马尔可夫链 r ( t ) 引入到模型(4)，则模型变成 d X ( t ) = ( A ( r ( t ) ) X ( t ) + B ( r ( t ) ) X ( t − τ ) ) d t + ( C ( r ( t ) ) X ( t ) + D ( r ( t ) ) X ( t − τ ) ) d w ( t ) (5) 这里r(t) = 1，2。生成元 Γ = ( γ 11 γ 12 γ 21 γ 22 ) ， γ 11 = − γ 12 < 0 ， γ 22 = − γ 21 < 0.