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user: 2. 模型解的存在唯一性 定义1.1：称向量 ( p ( s ， t ) ， q ( t ) ， c 10 ( t ) ， c 20 ( t ) ， c e ( t ) ) 为模型(1)沿特征线 Γ ( s ) = ∫ 0 s 1 / g ( r ) d r 的解如果满足如下方程： { ∂ p ( s ， t ) ∂ t + ∂ [ g ( s ) p ( s ， t ) ] ∂ s = − [ μ 1 ( s ， c 10 ( t ) ) + λ 1 ( t ) q ( t ) ] p ( s ， t ) ， a .e . ( s ， t ) ∈ Q ， d q ( t ) d t = − [ μ 2 ( c 20 ( t ) ) + λ 2 ( t ) P ( t ) + u 2 ( t ) ] q ( t ) ， a .e . t ∈ ( 0 ， + ∞ ) ， d c 10 ( t ) d t = k c e ( t ) − l c 10 ( t ) − n c 10 ( t ) ， a .e . t ∈ ( 0 ， + ∞ ) ， d c 20 ( t ) d t = k c e ( t ) − l c 20 ( t ) − n c 20 ( t ) ， a .e . t ∈ ( 0 ， + ∞ ) ， d c e ( t ) d t = − k 1 c e ( t ) [ P ( t ) + q ( t ) ] + l 1 [ c 10 ( t ) P ( t ) + c 20 ( t ) q ( t ) ] − h c e ( t ) + v ( t ) ， lim ε → 0 + g ( 0 ) p ( Γ − 1 ( ε ) ， t + ε ) = λ 3 ( t ) q ( t ) ∫ 0 m β 1 ( s ， c 10 ( t ) ) p ( s ， t ) d s ， lim ε → 0 + p ( Γ − 1 ( Γ ( s ) + ε ) ， ε ) = p 0 ( s ) ， P ( t ) = ∫ 0 m p ( s ， t ) d s ， q ( 0 ) = q 0 ， a .e . s ∈ ( 0 ， m ) ， 0 ≤ c 10 ( 0 ) ≤ 1 ， 0 ≤ c 20 ( 0 ) ≤ 1 ， 0 ≤ c e ( 0 ) ≤ 1. (2) 定义1.2：模型(1)的解空间为： X = { ( p ， q ， c 10 ， c 20 ， c e ) ∈ L ∞ ( 0 ， T ; L 1 ( 0 ， m ) ) × [ L ∞ ( 0 ， T ) ] 4 | p ( s ， t ) > 0 ， q ( t ) > 0 ，                 0 ≤ ∫ 0 m p ( s ， t ) d s ≤ M ， a .e . ( s ， t ) ∈ Q } . 定理1.1：模型(1)解的形式为 p ( s ， t ) = { exp { − ∫ 0 t [ μ 1 ( Γ − 1 ( Γ ( s ) + τ − t ) ， c 10 ( τ ) ) + g s ( Γ − 1 ( Γ ( s ) + τ − t ) )       + λ 1 ( τ ) q ( τ ) ] d τ } p 0 ( Γ − 1 ( Γ ( s ) − t ) ) ， Γ ( s ) > t ， exp { − ∫ 0 Γ ( s ) [ μ 1 ( Γ − 1 ( τ ) ， c 10 ( t + τ − Γ ( s ) ) ) + λ 2 ( t + τ − Γ ( s ) ) P ( t + τ − Γ ( s ) ) + g s ( Γ − 1 ( τ ) ) ] d τ } B ( t − Γ ( s ) ) ， Γ ( s ) < t ， 其中 B ( t ) = p ( 0 ， t ) 。 q ( t ) = q 0 ⋅ exp { − ∫ 0 t [ μ 2 ( c 20 ( τ ) ) + λ 2 ( τ ) P ( τ ) ] d τ } ； c i 0 ( t ) = c i 0 ( 0 ) exp { − ( l + n ) t } + k ∫ 0 t c e ( τ ) exp { ( τ − t ) ( l + n ) } d τ ， i = 1 ， 2 ； c e ( t ) = ∫ 0 t [ l 1 c 10 ( τ ) P ( τ ) + l 1 c 20 ( τ ) q ( τ ) + v ( τ ) ] exp { ∫ t τ [ k 1 P ( r ) + k 1 q ( r ) + h ] d r } d τ + c e ( 0 ) exp { − ∫ 0 t ( k 1 P ( r ) + k 1 q ( r ) + h ) d r } . 证明：模型(1)的解由特征线法和常数变易法即可导出 [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] 。 定理1.2：如果假设(H 1 )~(H 8 )成立，模型(1)存在唯一解 ( p ( s ， t ) ， q ( t ) ， c 10 ( t ) ， c 20 ( t ) ， c e ( t ) ) ∈ X 。 证明：首先，定义映射 F : X → X ， F ( p ， q ， c 10 ， c 20 ， c e ) = ( F 1 ( p ， q ， c 10 ， c 20 ， c e ) ， F 2 ( p ， q ， c 10 ， c 20 ， c e ) ， ⋅ ⋅ ⋅ ， F 5 ( p ， q ， c 10 ， c 20 ， c e ) ) ， 其中 F 1 ( p ， q ， c 10 ， c 20 ， c e ) = { exp { − ∫ 0 t [ μ 1 ( Γ − 1 ( Γ ( s ) + τ − t ) ， c 10 ( τ ) ) + g s ( Γ − 1 ( Γ ( s ) + τ − t ) )       + λ 1 ( τ ) q ( τ ) ] d τ } p 0 ( Γ − 1 ( Γ ( s ) − t ) ) ， Γ ( s ) > t ， exp { − ∫ 0 Γ ( s ) [ μ 1 ( Γ − 1 ( τ ) ， c 10 ( t + τ − Γ ( s ) ) ) + λ 2 ( t + τ − Γ ( s ) ) P ( t + τ − Γ ( s ) ) + g s ( Γ − 1 ( τ ) ) ] d τ } B ( t − Γ ( s ) ) ， Γ ( s ) < t ， F 2 ( p ， q ， c 10 ， c 20 ， c e ) = q 0 ⋅ exp { − ∫ 0 t [ μ 2 ( c 20 ( τ ) ) + λ 2 ( τ ) P ( τ ) ] d τ } ， F 3 ( p ， q ， c 10 ， c 20 ， c e ) = c 10 ( 0 ) exp { − ( l + n ) t } + k ∫ 0 t c e ( τ ) exp { ( τ − t ) ( l + n ) } d τ ， F 4 ( p ， q ， c 10 ， c 20 ， c e ) = c 20 ( 0 ) exp { − ( l + n ) t } + k ∫ 0 t c e ( τ ) exp { ( τ − t ) ( l + n ) } d τ ， F 5 ( p ， q ， c 10 ， c 20 ， c e ) = ∫ 0 t [ l 1 c 10 ( τ ) P ( τ ) + l 1 c 20 ( τ ) q ( τ ) + v ( τ ) ] exp { ∫ t τ [ k 1 P ( r ) + k 1 q ( r ) + h ] d r } d τ     + c e ( 0 ) exp { − ∫ 0 t ( k 1 P ( r ) + k 1 q ( r ) + h ) d r } . 显然， F ( p ， q ， c 10 ， c 20 ， c e ) ∈ X 。 另外， ∫ 0 m p ( s ， t ) d s = ∫ 0 Γ − 1 ( t ) p ( s ， t ) d s + ∫ Γ − 1 ( t ) m p ( s ， t ) d s = ∫ 0 Γ − 1 ( t ) exp { − ∫ 0 Γ ( s ) [ μ 1 ( Γ − 1 ( τ ) ， c 10 ( t + τ − Γ ( s ) ) ) + λ 2 ( t + τ − Γ ( s ) ) P ( t + τ − Γ ( s ) ) + g s ( Γ − 1 ( τ ) ) ] d τ } B ( t − Γ ( s ) ) d s + ∫ Γ − 1 ( t ) m exp { − ∫ 0 t [ μ 1 ( Γ − 1 ( Γ ( s ) + τ − t ) ， c 10 ( τ ) ) + g s ( Γ − 1 ( Γ ( s ) + τ − t ) ) + λ 1 ( τ ) q ( τ ) ] d τ } p 0 ( Γ − 1 ( Γ ( s ) − t ) ) d s ≤ ∫ 0 Γ − 1 ( t ) B ( t − Γ ( s ) ) d s + ∫ Γ − 1 ( t ) m p 0 ( Γ − 1 ( Γ ( s ) − t ) ) d s ≤ g − 1 ( 0 ) λ 3 0 q ∗ β 0 ∫ 0 t ∫ 0 m p ( s ， τ ) d s d τ + m p ∗ 则由Gronwall引理可得 ∫ 0 m p ( s ， t ) d s ≤ m p ∗ ⋅ exp { ∫ 0 t g − 1 ( 0 ) λ 3 0 q ∗ β 0 d t } = M . 接下来证明解对变量的连续依赖性。 设 x i = ( p i ， q i ， c 10 i ， c 20 i ， c e i ) ， i = 1 ， 2 。当 Γ ( s ) < t 时，有如下不等式成立： ∫ 0 m | p 1 ( s ， t ) − p 2 ( s ， t ) | d s = ∫ 0 Γ − 1 ( t ) | p 1 ( s ， t ) − p 2 ( s ， t ) | d s + ∫ Γ − 1 ( t ) m | p 1 ( s ， t ) − p 2 ( s ， t ) | d s = ∫ 0 Γ − 1 ( t ) | B 1 exp { − ∫ 0 Γ ( s ) [ μ 1 ( Γ − 1 ( τ ) ， c 10 1 ( t + τ − Γ ( s ) ) ) + λ 2 ( t + τ − Γ ( s ) ) P 1 ( t + τ − Γ ( s ) ) + g s ( Γ − 1 ( τ ) ) ] d τ } − B 2 exp { − ∫ 0 Γ ( s ) [ μ 1 ( Γ − 1 ( τ ) ， c 10 2 ( t + τ − Γ ( s ) ) ) + g s ( Γ − 1 ( τ ) ) + λ 2 ( t + τ − Γ ( s ) ) P 2 ( t + τ − Γ ( s ) ) ] d τ } | d s   + ∫ Γ − 1 ( t ) m | exp { − ∫ 0 t [ μ 1 ( Γ − 1 ( Γ ( s ) + τ − t ) ， c 10 1 ( τ ) ) + g s ( Γ − 1 ( Γ ( s ) + τ − t ) )   + λ 1 ( τ ) q 1 ( τ ) ] d τ } − exp { − ∫ 0 t [ μ 1 ( Γ − 1 ( Γ ( s ) + τ − t ) ， c 10 2 ( τ ) )   + g s ( Γ − 1 ( Γ ( s ) + τ − t ) ) + λ 1 ( τ ) q 2 ( τ ) ] d τ } | p 0 ( Γ − 1 ( Γ ( s ) − t ) ) d s ≤ ∫ 0 Γ − 1 ( t ) | B 1 − B 2 | d s + B 2 ⋅ ∫ 0 Γ − 1 ( t ) ∫ 0 Γ ( s ) | μ 1 ( Γ − 1 ( τ ) ， c 10 1 ( t + τ − Γ ( s ) ) ) − μ 1 ( Γ − 1 ( τ ) ， c 10 2 ( t + τ − Γ ( s ) ) ) | d τ d s + B 2 ⋅ ∫ 0 Γ − 1 ( t ) ∫ 0 Γ ( s ) λ 2 ( t + τ − Γ ( s ) ) ⋅ | P 1 ( t + τ − Γ ( s ) ) − P 2 ( t + τ − Γ ( s ) ) | d τ d s + ∫ Γ − 1 ( t ) m p 0 ( Γ − 1 ( Γ ( s ) − t ) ) ⋅ ∫ 0 t | μ 1 ( Γ − 1 ( τ ) ， c 10 1 ( t + τ − Γ ( s ) ) ) − μ 1 ( Γ − 1 ( τ ) ， c 10 2 ( t + τ − Γ ( s ) ) ) | d τ d s + ∫ Γ − 1 ( t ) m p 0 ( Γ − 1 ( Γ ( s ) − t ) ) ⋅ ∫ 0 t λ 1 ( τ ) | q 1 ( τ ) − q 2 ( τ ) | d τ d s ≤ ( 1 g * λ 3 0 ⋅ β 0 ⋅ q ∗ + λ 2 0 ⋅ λ 3 0 ⋅ β 0 ⋅ q ∗ ⋅ M T ) ∫ 0 t ∫ 0 m | p 1 ( s ， τ ) − p 2 ( s ， τ ) | d s d τ + ( 1 g * λ 3 0 ⋅ β 0 ⋅ M + m ⋅ λ 1 0 p * ) ∫ 0 t | q 1 ( τ ) − q 2 ( τ ) | d τ + ( 1 g * λ 3 0 ⋅ q ∗ ⋅ M L β 1 + T ⋅ λ 3 0 ⋅ q ∗ ⋅ M L μ 1 + m ⋅ p * ⋅ L μ 1 ) ∫ 0 t | c 10 1 ( τ ) − c 10 2 ( τ ) | d τ . 因此， ∫ 0 m | F 1 ( x 1 ) − F 1 ( x 2 ) | d s ≤ M 1 ( ∫ 0 t ∫ 0 m | p 1 ( s ， τ ) − p 2 ( s ， τ ) | d s d τ + ∫ 0 t | q 1 ( τ ) − q 2 ( τ ) | d τ + ∫ 0 t | c 10 1 ( τ ) − c 10 2 ( τ ) | d τ ) ， (3) 且 M 1 = max { 1 g * λ 3 0 ⋅ β 0 ⋅ q ∗ + λ 2 0 ⋅ λ 3 0 ⋅ β 0 ⋅ q ∗ ⋅ M T ， 1 g * λ 3 0 ⋅ β 0 ⋅ M + m ⋅ λ 1 0 p * ， 1 g * λ 3 0 ⋅ q ∗ ⋅ M L β 1 + T ⋅ λ 3 0 ⋅ q ∗ ⋅ M L μ 1 + m ⋅ p * ⋅ L μ 1 } . 当 Γ ( s ) > t 时同理可得上述不等式成立。 | q 1 − q 2 | = q 0 ⋅ | exp { − ∫ 0 t [ μ 2 ( c 20 1 ( τ ) ) + λ 2 ( τ ) P 1 ( τ ) ] d τ }       − exp { − ∫ 0 t [ μ 2 ( c 20 2 ( τ ) ) + λ 2 ( τ ) P 2 ( τ ) ] d τ } | ≤ q 0 ⋅ ∫ 0 t | μ 2 ( c 20 1 ( τ ) ) − μ 2 ( c 20 2 ( τ ) ) | d τ + q 0 ⋅ ∫ 0 t λ 2 ( τ ) | P 1 ( τ ) − P 2 ( τ ) | d τ ≤ q 0 L μ 2 ⋅ ∫ 0 t | c 20 1 ( τ ) − c 20 2 ( τ ) | d τ + q 0 λ 2 0 ∫ 0 t ∫ 0 m | p 1 ( s ， τ ) − p 2 ( s ， τ ) | d s d τ ≤ M 2 ( ∫ 0 t ∫ 0 m | p 1 ( s ， τ ) − p 2 ( s ， τ ) | d s d τ + ∫ 0 t | c 20 1 ( τ ) − c 20 2 ( τ ) | d τ ) (4) 其中， M 2 = max { q 0 L μ 2 ， q 0 λ 2 0 } 。 | c i 0 1 − c i 0 2 | = | c i 0 ( 0 ) exp { − ( l + n ) t } + k ∫ 0 t c e 1 ( τ ) exp { ( τ − t ) ( l + n ) } d τ − c i 0 ( 0 ) exp { − ( l + n ) t } + k ∫ 0 t c e 2 ( τ ) exp { ( τ − t ) ( l + n ) } d τ | = k ∫ 0 t | c e 1 ( τ ) − c e 2 ( τ ) | exp { ( τ − t ) ( l + n ) } d τ ≤ M 3 ∫ 0 t | c e 1 ( τ ) − c e 2 ( τ ) | d τ ( M 3 = k ) (5) | c e 1 − c e 2 | = | ∫ 0 t [ l 1 c 10 1 ( τ ) P 1 ( τ ) + l 1 c 20 1 ( τ ) q 1 ( τ ) + v ( τ ) ] exp { ∫ t τ [ k 1 P 1 ( r ) + k 1 q 1 ( r ) + h ] d r } d τ + c e ( 0 ) exp { − ∫ 0 t ( k 1 P 1 ( r ) + k 1 q 1 ( r ) + h ) d r } − ∫ 0 t [ l 1 c 10 2 ( τ ) P 2 ( τ ) + l 1 c 20 2 ( τ ) q 2 ( τ ) + v ( τ ) ] exp { ∫ t τ [ k 1 P 2 ( r ) + k 1 q 2 ( r ) + h ] d r } d τ + c e ( 0 ) exp { − ∫ 0 t ( k 1 P 2 ( r ) + k 1 q 2 ( r ) + h ) d r } | ≤ c e ( 0 ) ⋅ ∫ 0 t | k 1 ( P 1 ( r ) − P 2 ( r ) ) + k 1 ( q 1 ( r ) − q 2 ( r ) ) | d r + ∫ 0 t | l 1 ( c 10 1 ( τ ) P 1 ( τ ) − c 10 2 ( τ ) P 2 ( τ ) ) + l 1 ( c 20 1 ( τ ) q 1 ( τ ) − c 20 2 ( τ ) q 2 ( τ ) ) | d τ + ∫ 0 t [ l 1 c 10 2 ( τ ) P 2 ( τ ) + l 1 c 20 2 ( τ ) q 2 ( τ ) + v ( τ ) ] ⋅ | exp { ∫ t τ [ k 1 P 1 ( r ) + k 1 q 1 ( r ) + h ] d r } − exp { ∫ t τ [ k 1 P 2 ( r ) + k 1 q 2 ( r ) + h ] d r } | d τ ≤ ( k 1 + l 1 + T M k 1 l 1 + T q ∗ k 1 l 1 + T k 1 v 0 ) ∫ 0 t ∫ 0 m | p 1 ( s ， τ ) − p 2 ( s ， τ ) | d s d τ + ( k 1 + l 1 + T M k 1 l 1 + T q ∗ k 1 l 1 + T k 1 v 0 ) ∫ 0 t | q 1 ( τ ) − q 2 ( τ ) | d τ + M l 1 ⋅ ∫ 0 t | c 10 1 ( τ ) − c 10 2 ( τ ) | d τ + q ∗ l 1 ⋅ ∫ 0 t | c 20 1 ( τ ) − c 20 2 ( τ ) | d τ ≤ M 4 ( ∫ 0 t ∫ 0 m | p 1 ( s ， τ ) − p 2 ( s ， τ ) | d s d τ + ∫ 0 t | q 1 ( τ ) − q 2 ( τ ) | d τ + ∑ i = 1 2 ∫ 0 t | c 20 1 ( τ ) − c 20 2 ( τ ) | d τ ) (6) 且 M 4 = max { k 1 + l 1 + T M k 1 l 1 + T q ∗ k 1 l 1 + T k 1 v 0 ， M l 1 ， q ∗ l 1 } 。 最后，定义解空间X上的范数为 ‖ ( p ， q ， c 10 ， c 20 ， c e ) ‖ X = E s s sup t ∈ ( 0 ， T ) e − λ t { ∫ 0 m | p ( s ， t ) | d s + | q ( t ) | + ∑ i = 1 2 | c i 0 ( t ) | + | c e ( t ) | } ， λ > 0 足够大。 则由不等式(3)-(6)可得 ‖ F ( x 1 ) − F ( x 2 ) ‖ X = ‖ F 1 ( x 1 ) − F 1 ( x 2 ) ， F 2 ( x 1 ) − F 2 ( x 2 ) ， ⋅ ⋅ ⋅ ， F 5 ( x 1 ) − F 5 ( x 2 ) ‖ X ≤ M 5 E s s sup t ∈ ( 0 ， T ) e − λ t ∫ 0 t { ∫ 0 m | p 1 ( s ， τ ) − p 2 ( s ， τ ) | d s + | q 1 ( τ ) − q 2 ( τ ) | + ∑ i = 1 2 | c i 0 1 ( τ ) − c i 0 2 ( τ ) | + | c e 1 ( τ ) − c e 2 ( τ ) | } = M 5 E s s sup t ∈ ( 0 ， T ) e − λ t ∫ 0 t e λ τ { e − λ τ [ ∫ 0 m | p 1 ( s ， τ ) − p 2 ( s ， τ ) | d s + | q 1 ( τ ) − q 2 ( τ ) |         + ∑ i = 1 2 | c i 0 1 ( τ ) − c i 0 2 ( τ ) | + | c e 1 ( τ ) − c e 2 ( τ ) | ] } d τ ≤ M 5 ‖ x 1 − x 2 ‖ X E s s sup t ∈ ( 0 ， T ) { e − λ t ∫ 0 t e λ τ d τ } ≤ M 5 λ ‖ x 1 − x 2 ‖ X 成立，其中 M 5 = max { M 1 ， M 2 ， M 3 ， M 4 } 是常数， λ > M 5 时F是压缩的，由Banach不动点定理可得不动点 ( p ， q ， c 10 ， c 20 ， c e ) 是F的唯一解同时也是模型(1)的解。证明完毕。