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user: 2. 模型方法：因素集、评价集及模糊矩阵 根据模糊关系合成的原理和教学质量指标数据情况，分为因素集、评价集和模糊关系矩阵等，从多个指标对被教学质量评价隶属等级状况进行综合性评判，其具体步骤如下： Step 1. 确定被评判对象的因素论域U，取U为教学质量各单项指标的集合， U = { u 1 ， ⋯ ， u n } 。 Step 2. 确定评语等级论域V， V = ( v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v m ) 为刻画每一个因素所处的状态的m种决断(即评价等级)。通常评语有V = (优秀，良好，一般，…，较差，差，很差)。 Step 3. 进行单因素评判，构建模糊关系矩阵R。 R = [ r 11 r 12 ⋯ r 1 m r 21 r 22 ⋯ r 2 m ⋮ ⋮ ⋮ r n 1 r n 2 ⋯ r n m ] ， 0 ≤ r i j ≤ 1 (1) 其中 r i j 为U中因素 u i 对于V中等级 v j 的隶属关系； Step 4. 确定评判因素权向量 w = ( w 1 ， w 2 ， ⋯ ， w m ) ，W是U中各因素对被评事物的隶属关系，它取决于人们进行模糊综合评判时的着眼点，即根据评判时各因素的重要性分配权重； 因素 u i 对V的隶属度为 W ′ j ，则模糊权向量为 W = ( w 1 ， w 2 ， ⋯ ， w n ) ， 其中 W j = W ′ j ∑ j = 1 n W ′ j (2) 对模糊权向量的确定多采用专家估计法，即请几位专家分别估计出 u i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 对V的隶属度，然后对不同专家的估计结果求平均，并归一化就可得到 W = ( w 1 ， w 2 ， ⋯ ， w n ) . Step 5. 选择评价的合成算子，将W与R合成得到 B = ( b 1 ， b 2 ，   ⋯ ， b m ) 。 B = W ∘ R = ( w 1 ， w 2 ， ⋯ ， w n ) ∘ [ r 11 r 12 ⋯ r 1 m r 21 r 22 ⋯ r 2 m ⋮ ⋮ ⋮ r n 1 r n 2 ⋯ r n m ] ， (3) “ ∘ ”为模糊合成算子 ， ⊗ ˜ 和 ⊕ ˜ 是模糊变换的两种运算，具体形式为： b k = ( w 1 ⊗ ˜ r 1 k ) ⊕ ˜ ( w 2 ⊗ ˜ r 2 k ) ⊕ ˜ ⋯ ⊕ ˜ ( w n ⊗ ˜ r n k ) ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) Step 6. 数据比较少时，对一级模糊综合评价结果B作分析，即得结果。 Step 7. 将因素集 U = ( u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u ， n − 1 u n ) 按照某种属性分成s个子因素集 U 1 ， U 2 ， ⋯ ， U s ，其中 U i = { u i 1 ， u i 2 ， ⋯ ， u i n i } ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ，且满足： i). n 1 + n 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + n s = n ， ii). U 1 ∪ U 2 ∪ ⋯ ∪ U s = U ， iii). 对任意的 i ≠ j ， U i ∩ U j = ϕ 。 Step 8. 重复Step 1~Step 6，对每一因素集 U i ，分别做出综合判断。设 V = ( v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v m ) 为评语集， U i 中各指标对于V的权重分配是 A i = ( a i 1 ， a i 2 ， ⋯ ， a i n i ) 。 根据Step 3得到单因素评判矩阵，则得到一级评判向量 B i = A i • R i = ( b i 1 ， b i 2 ，   ⋯ ， b i m ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， s . Step 9. 将每个 U i 看作一因素，记为 W ˜ = ( u ˜ 1 ， u ˜ 2 ， ⋯ ， u ˜ s ) . W ˜ 又是一个因素集， W ˜ 的单因素评判矩阵为 R ˜ = [ B 1 B 2 ⋮ B s ] = [ b 11 b 12 ⋯ b 1 m b 21 b 22 ⋯ b 2 m ⋮ ⋮ ⋮ b s 1 b s 2 ⋯ b s m ] ， (4) 每个 U i 作为U的一部分，反映U的某种属性，可以按照他们的重要性给出权重分配。 W = ( w 1 ， w 2 ， ⋯ ， w n ) ，于是得到二级评判向量 C = W ∘ R ˜ = ( c 1 ， c 2 ， ⋯ ， c m ) . (5) 若每个子因素集 U i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ) 含有较多的因素，则可将 U i 再进行划分，从而得到三级评判模型，甚至四级、五级等多级形式。 下面以某校某一教师的教学质量问题对模型进一步细化如下： 2.1. 评价因素、评价等级、因素集的定义 由教学成质量评价指标体系得评价因素论域为： U = ( u 1 ， u 2 ， u 3 ， u 4 ， u 5 ) 分别代表项目教学绩效、教学态度、教学能力、学习特长。 定义等级论域为： V = ( v 1 ， v 2 ， v 3 ， v 4 ， v 5 ) ， 其含义为(优秀，良好，一般，较差，差)。 2.2. 评判矩阵 定义：评判矩阵 R = ( r i j ) n × m = [ r 11 r 12 ⋯ r 1 m r 21 r 22 ⋯ r 2 m ⋮ ⋮ ⋮ r n 1 r n 2 ⋯ r n m ] ， ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ; j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 其中 r i j 表示从因素 u i 着眼，该评判对象能被评为 v j 的隶属度.具体地说， r i j 表示第i因素在第j个评语 v j 上的频率分布，一般把它归一化使之满足 ∑ r i j = 1 。 2.3. 计算各因素权向量，综合判断，分析 其余重复模型步骤Step 1~step 9。 2.4. 模糊分级分类 在教学质量评价中，教学管理中常常需要按一定的标准(亲疏关系或相似程度)进行分级分类。对所研究的对象按一定标准进行分类的数学方法称为聚类分析。聚类分析要经过相似程度求解与分级分类，其繁琐的工作是求亲疏关系和计算传递闭包。 2.4.1. 模糊相似矩阵求解(标定) 设评价因素样本集合 X = ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x m − 1 ， x m ) ，m为评价因素样本数目，设每一个样本 x i 由一组特征数据 ( x i 1 ， x i 2 ， ⋯ ， x i n − 1 ， x i n ) 表示。建立模糊相似矩阵R，主要是确定其相似系数 r i j ，即： x i 与 x j 的相似程度.求相似系数 r i j 的方法很多，如： 1) 相似系数法： r i j = ∑ k = 1 m | x i k − x ¯ i | | x j k − x ¯ j | ∑ k = 1 m ( x i k − x ¯ i ) 2 ∑ k = 1 m ( x j k − x ¯ j ) 2 2) 距离法： r i j = 1 − c ∑ k = 1 n | x i k − x j k | 其中 0 ≤ c ≤ 1 ，适当选取c值，使得 r i j 分开。 3) 最大最小法： r j k = ∑ i = 1 m min ( b i j ， b i k ) ∑ i = 1 m max ( b i j ， b i k ) ， b i j = a i j − a i min a i max − a i min (6) 其中 a i min 和 a i max 分别表示第i个样本平均值的最小值和最大值； b i j 为第j个特征第i个样本平均成绩的标准化数值。 2.4.2. 对评价因素样本集合进行分类(聚类分析) 定义矩阵的模糊乘法“ ∘ ”运算规则如下：若 B = ( b i j ) 是 n × m 阶矩阵， C = ( c i j ) 是 m × 1 阶矩阵，则 D = B ∘ C = ( d i k ) 是 n × 1 阶矩阵。 传递闭包法聚类：对模糊相似矩阵R，依次用平方法计算，得到传递闭包矩阵。构造传递闭包矩阵的v截矩阵， λ 由1降至0，进行分类。 R λ ( j ， k ) = { 1 ，   当 r j k ^ ≥ λ ， 0 ，   当 r j k ^ < λ . (7)