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user: 5. 能量法求解倒立摆系统 能量法能很好地处理强非线性问题从而得到周期解 [ 6 ] 。基于能量法的基本思想，可以知道如果物体做周期运动，在一个周期的时间里对能量进行平均，得到的值应该是一个定常数。如果物体的周期运动是渐近稳定的，则在领域中，即与周期相同的时间内，对运动体的能量进行平均得到的数值趋近于周期运动的平均能量。 考虑到控制方程(4)是强非线性非自治系统，将其中仅含x的所有项记作 g ( x ) ，其它各项记作 f ( x ， t ) ，则有关于方程(4)的正则形式为 x ¨ + g ( x ) + f ( x ， t ) = 0 ， (33) 其中 g ( x ) = δ ( x − x 3 6 ) ， (34) f ( x ， t ) = ε cos ( t ) ( x − x 3 6 ) . (35) 注意到 连续， g ( x ) 连续，且满足条件 x g ( x ) x ≠ 0 > 0 。 g ( x ) 对应的势能及系统(33)对应的总能量分别为 V ( x ) = ∫ 0 x g ( ξ ) d ξ = δ 2 x 2 − δ 24 x 4 ， (36) E ( x ， x ˙ ) = 1 2 x ˙ 2 + V ( x ) = 1 2 x ˙ 2 + δ 2 x 2 − δ 24 x 4 . (37) 根据能量法，系统(43)对应的能量坐标变换公式如下： x = a cos ( θ ) ， (38) x ˙ = − 2 ( V ( a ) − V ( a cos ( θ ) ) ) = − a sin ( θ ) δ ( 1 − a 2 16 − a 2 48 cos ( 2 θ ) ) . (39) 将方程(33)的各项乘以 x ˙ ，再结合(37)可以得到 x ˙ x ¨ + x ˙ g ( x ) = − x ˙ f ( x ， t ) ， x ˙ x ¨ + x ˙ g ( x ) = d d t ( 1 2 x ˙ 2 + V ( x ) ) = d E d t ， (40) 则 d E d t = − x ˙ f ( x ， t ) ， (41) 将式(35)，(38)，(39)代入式(41)，整理可以得到 d E d t = a 2 4 δ ε ( 1 − a 2 cos ( θ ) 2 6 ) ( sin ( 2 θ + t ) + sin ( 2 θ − t ) ) ( 1 − a 2 16 − a 2 48 cos ( 2 θ ) ) = F ( a ， θ ， t ) ， (42) 这就是系统(33)对应的能量坐标系中的第一个方程。 将式(38)对t求导，结合式(39)，加以考虑a是E的函数，得到 d θ d t = 1 a sin ( θ ) [ d a d E cos ( θ ) d E d t + 2 ( V ( a ) − V ( a cos ( θ ) ) ) ] . (43) 由式(36)可知 V ( x ) 为偶函数，则有 V ( − a + b ) = E ， V ( a + b ) = E ， 将这两个式子对E求导，则可以求出 和 d b d E ，这里令 b = 0 ，则 d a d E = g ( − a ) − g ( a ) 2 g ( − a ) g ( a ) ， (44) 将式(42)、(44)代入式(43)，经计算得到 d θ d t = δ ( 1 − a 2 16 − a 2 48 cos ( 2 θ ) ) ( 1 + ε cos ( θ ) 2 cos ( t ) ( 1 − a 2 cos ( θ ) 2 6 ) δ ( 1 − a 2 6 ) ) ≠ 0 ， (45) 这就是系统(33)对应的能量坐标系中的第二个方程。 直接考虑 ，则 t = 2 ( θ − ϕ ) ，将其代入式(42)和(45)，得到 { d E d t = a 2 4 δ ε ( 1 − a 2 cos ( θ ) 2 6 ) ( sin ( 4 θ − 2 ϕ ) + sin ( 2 ϕ ) ) ( 1 − a 2 16 − a 2 48 cos ( 2 θ ) ) ， d θ d t = δ ( 1 − a 2 16 − a 2 48 cos ( 2 θ ) ) ( 1 + ( cos ( 2 ϕ ) + 2 cos ( 2 θ − 2 ϕ ) + cos ( 4 θ − 2 ϕ ) ) ε 4 ( 1 − a 2 ( cos ( 2 θ ) + 1 ) 12 ) δ ( 1 − a 2 6 ) ) ， (46) 结合上式，要使周期解存在，则有 { a 2 4 δ ε ( 1 − a 2 12 ) sin ( 2 ϕ ) ( 1 − a 2 16 ) = 0 ， δ ( 1 − a 2 16 ) + ( 1 − a 2 16 ) ε cos ( 2 ϕ ) ( 1 − a 2 12 ) 4 δ ( 1 − a 2 6 ) = 1 2 ， (47) 求解(47)第一式，得到 ϕ = 0 ， ϕ = π 2 ，将其代入(47)第二式，则有 δ ( 1 − a 2 16 ) ( 1 + ε ( 1 − a 2 12 ) 4 δ ( 1 − a 2 6 ) ) = 1 2 ， ϕ = 0 (48) δ ( 1 − a 2 16 ) ( 1 − ε ( 1 − a 2 12 ) 4 δ ( 1 − a 2 6 ) ) = 1 2 ， ϕ = π 2 (49) 将 ϕ = 0 和 ϕ = π 2 分别代入式(46)得到 { d E d t = a 2 4 δ ε ( 1 − a 2 cos ( θ ) 2 6 ) sin ( 4 θ ) ( 1 − a 2 16 − a 2 48 cos ( 2 θ ) ) ， d θ d t = δ ( 1 − a 2 16 − a 2 48 cos ( 2 θ ) ) ( 1 + ( 1 + 2 cos ( 2 θ ) + cos ( 4 θ ) ) ε 4 ( 1 − a 2 ( cos ( 2 θ ) + 1 ) 12 ) δ ( 1 − a 2 6 ) ) ， (50) 和 { d E d t = a 2 4 δ ε ( 1 − a 2 cos ( θ ) 2 6 ) ( − sin ( 4 θ ) ) ( 1 − a 2 16 − a 2 48 cos ( 2 θ ) ) ， d θ d t = δ ( 1 − a 2 16 − a 2 48 cos ( 2 θ ) ) ( 1 + ( − 1 − 2 cos ( 2 θ ) − cos ( 4 θ ) ) ε 4 ( 1 − a 2 ( cos ( 2 θ ) + 1 ) 12 ) δ ( 1 − a 2 6 ) ) . (51) 式(38)两边求导可以写成 x ˙ = d a d E d E d t cos ( θ ) − a sin ( θ ) d θ d t ， (52) 将式(44)，式(50)或(51)代入式(52)之后，进行积分运算即可得到式(33)在 ϕ = 0 或 ϕ = π 2 时的解。 分别在 ϕ = 0 或 ϕ = π 2 的情况下，取 ε = 0.00 1，0 .01，0 .1 ，a = 0.5(a可视为振幅)对(4)进行数值计算并和解析解比较，结果如图6所示。 图6. 时能量法解析解和数值解比较，实线为数值解，点代表解析解 图7. ε = 0 .1 时能量法解析解和数值解比较，实线为数值解，点代表解析解 另外，分别在 ϕ = 0 或 ϕ = π 2 的情况下，取 a = 0 .01，0 .1，0 .4 ， ε = 0.1 进行数值计算并与解析解比较，结果如图7所示。随着a增大，解析解与数值解的差异逐渐增大，这和扰动法的变化趋势是一样的。