system: [SYSTEM]

user: 2. 模型的建立 考虑一个带有广义非线性阻尼的转子模型 [ 4 ] [ 5 ]。 ( 1 0 0 1 ) ( x ¨ y ¨ ) + χ ( | x ˙ | a + | x | a 0 0 | y ˙ | b + | y | b ) ( x ˙ y ˙ ) + ( k 1 / m 0 0 k 2 / m ) ( x y ) = (00) 其中 χ 表示非线性阻尼系数， ω n 是转子系统的固有频率。 | x ˙ | a + | x | a 和 | y ˙ | b + | y | b 表示非线性阻尼器的耗散效应，若 a = b = 0 ，则系统的状态方程变成一个阻尼系数为 2 χ 的形式，如果 χ 很小的情况下方程的近似解可以采用多种摄动方法得到，由于转子的质量相当大，所以 χ 的值可以被看作很小。 令 a = b = 2 ，所以方程可以表示为： { x ¨ + χ ( x ˙ 2 + x 2 ) x ˙ + ( k 1 / m ) x = η 1 ( t ) y ¨ + χ ( y ˙ 2 + y 2 ) y ˙ + ( k 1 / m ) y = η 2 (t) 考虑到外部的随机因素及其内部材质的不均质性，将系统收到的所有随机因素用Gauss色噪声代替，即 η i ( t ) ， i = 1 ， 2 其统计性质满足以下条件： 〈 η i ( t ) 〉 = 0 ， 〈 η i ( t ) η i ( s ) 〉 = D τ exp ( − | t − s | τ ) ， i = 1 ， 2 其中，D和 τ 分别表示噪声强度和关联时间 [ 6 ]。 由于色噪声激励下的模型不是Markov过程，因此该模型的随机动力学行为的分析比较困难。本节将利用统一色噪声近似原理将模型简化成一个便于讨论的Gauss白噪声激励下的等效非线性模型。 2.1. 下面将色噪声模型进行等效白化 [ 6 ] 根据统一色噪声近似原理，色噪声激励下的模型可以由如下的白噪声激励下的方程组近似表示： { x ¨ + χ ( x ˙ 2 + x 2 ) x ˙ + ( k 1 m ) x = η 1 ( t ) y ¨ + χ ( y ˙ 2 + y 2 ) y ˙ + ( k 2 m ) y = η 2 ( t ) η ˙ i ( t ) = − 1 τ η i ( t ) + 1 τ ξ i (t) 其中， ξ ( t ) 是Gauss白噪声，满足 〈 ξ i ( t ) 〉 = 0 ， 〈 ξ i ( t ) ξ i ( s ) 〉 = 2 D δ ( t − s ) ， i = 1 ， 2 。 为了后续计算方便，这里需要将方程组表示成一阶微分方程组的形式。故令 x = q 1 ， x ˙ = p 1 ， y = q 2 ， y ˙ = p 2 ， ω 1 = k 1 / m ， ω 2 = k 2 / m ， α = χ ，可以得到 { q ˙ 1 = p 1 p ˙ 1 = − ω 1 q 1 − α ( p 1 2 + q 1 2 ) p 1 + η 1 ( t ) q ˙ 2 = p 2 p ˙ 2 = − ω 2 q 2 − α ( p 2 2 + q 2 2 ) p 2 + η 2 ( t ) η ˙ i ( t ) = − ( 1 / τ ) η i ( t ) + ( 1 / τ ) ξ i (t) 其中， q 1 ， q 2 表示广义的位移， p 1 ， p 2 表示广义的动量， i = 1 ， 2 。 令 f 1 = − ω 1 q 1 − α ( p 1 2 + q 1 2 ) p 1 ， g 1 = 1 ， f 2 = − ω 2 q 2 − α ( p 2 2 + q 2 2 ) p 2 ， g 2 = 1 则方程组中(2)(4)式可以表示为 p ˙ i = f i + g i η ( t ) ， i = 1 ， 2 将上式关于t求导，消去 η ( t ) 可得： p ¨ i + c ( p i ， τ ) p ˙ i τ − f i τ = g i ξ ( t ) τ 其中 c i ( p i ， τ ) = 1 + τ G i g i ， G i = f i g ′ i − f ′ i g i ， i = 1 ， 2 应用统一色噪声近似方法，令 p i = 0 ，进行绝热消去，得到 p ˙ i = f ¯ i + g ¯ i ξ 1 ( t ) ，其中 f ¯ i = f i c ， g ¯ i = g i c ， i = 1 ， 2 故上式可以改写为 { q ˙ 1 = p 1 p ˙ 1 = − ω 1 τ − 1 c 1 ( p 1 ， τ ) q 1 + − τ − 1 α ( p 1 2 + q 1 2 ) c 1 ( p 1 ， τ ) p 1 + τ − 1 c 1 ( p 1 ， τ ) ξ 1 ( t ) q ˙ 2 = p 2 p ˙ 12 = − ω 2 τ − 1 c 2 ( p 2 ， τ ) q 1 + − τ − 1 α ( p 2 2 + q 2 2 ) c 2 ( p 2 ， τ ) p 2 + τ − 1 c 2 ( p 2 ， τ ) ξ 2 (t) 由于 p i 的非线性函数 c i ( p i ， τ ) ， i = 1 ， 2 位于模型第2、4个方程的分母上，致使白化模型是一个关于 p i 的强非线性模型，因而很难得到模型的最大Lyapunov指数解析表达式。此处考虑将模型部分线性化，得到一个等效非线性经济周期模型，从而降低模型的非线性强度和复杂性。 白化模型的等效非线性近似，可以得到模型的部分线性化等效近似表达式 { q ˙ 1 = p 1 p ˙ 1 = − τ − 1 ( k 11 + k 11 p 1 ) [ ω 1 q 1 + α ( p 1 2 + q 1 2 ) p 1 − ξ 1 ( t ) ] q ˙ 2 = p 2 p ˙ 2 = − τ − 1 ( k 21 + k 21 p 2 ) [ ω 2 q 2 + α ( p 2 2 + q 2 2 ) p 2 − ξ 2 ( t ) ] 记模型第2、4个方程与上述模型第2、4个方程的差为 E i ，则 E i 可以表示为 E i = − τ − 1 [ 1 c i ( p i ， τ ) − ( k i 1 + k i 1 p i ) ] ( ω i q i + α ( p i 2 + q i 2 ) p i − 2 ξ i ( t ) ) ， i = 1 ， 2 接着令 E i 的均值为零( ξ i ( t ) 值为零的白噪声)，得 − τ − 1 [ 1 c i ( p i ， τ ) − ( k i 1 + k i 1 p i ) ] ( ω i q i + α ( p i 2 + q i 2 ) p i ) = 0 ， i = 1 ， 2 由于 τ − 1 ( ω i q i + α ( p i 2 + q i 2 ) p i ) ， i = 1 ， 2 不可能恒为零，所以 整理上式，得 α k i 2 p 4 + α k i 1 p 3 + ( τ − 1 k i 2 + ω k i 2 + α + α q 2 k i 1 k i 2 ) p + τ − 1 k i 1 + ω k i 1 + α q 2 k i 1 − 1 = 0 考虑到在 p = 0 ， q = 0 的邻域， p 4 ， p 3 与 q 2 是零的高阶无穷小量，因此可以近似的认为上式等效于 ( τ − 1 k i 2 + ω k i 2 + α ) p + τ − 1 k i 1 + ω k i 1 − 1 = 0 即 { τ − 1 k i 2 + ω k i 2 + α = 0 τ − 1 k i 1 + ω k i 1 − 1 = 0 求解上式，得 { k i 1 = 1 τ − 1 + ω k i 2 = − α τ − 1 + ω 最后，代入原模型，得到该模型的等效非线性表达式为： { q ˙ 1 = p 1 p ˙ 1 = − a 11 q 1 + b 11 ( p 1 2 + q 1 2 ) p 1 + c 11 ξ 1 ( t ) q ˙ 2 = p 2 p ˙ 2 = − a 22 q 2 + b 22 ( p 2 2 + q 2 2 ) p 2 + c 22 ξ 2 (t) 其中 k i 1 ω 1 = a i i ， k i 2 α = b i i ， k i 1 + k i 2 p i = c i i ， i = 1 ， 2 。 该系统方程的哈密顿函数表示为： H = 1 2 ( p 1 2 + p 2 2 ) + 1 2 ( a 11 q 1 2 + a 22 q 2 2 ) 根据拟不可积哈密顿函数 H ( t ) 依概率1弱收敛与一个Itô随机扩散过程，则哈密顿函数的平均Itô随机微分方程 [ 8 ] 可以表示为： d ( H ) = m ¯ ( H ) d t + σ ¯ ( H ) d B (t) 其中 B ( t ) 是标准维纳过程， m ( H ) 和 σ ( H ) 是随机伊藤方程的漂移和扩散系数，根据随机平均原理： 由于高维系统在运用随机平均原理 [ 7 ] [ 8 ] 时需要多重积分，所以这里引入极坐标变换来计算漂移和扩散系数。 令 q 1 = R a 11 cos θ ， q 2 = R a 22 sin θ ， 则方程转化为： m ¯ ( H ) = 2 π T ( H ) ∫ Ω [ ( b 11 + b 22 ) A ( H ， θ ) − ( b 11 a 11 cos 2 θ + b 22 a 22 sin 2 θ ) B ( H ， θ )     + R 4 2 ( c 11 2 π D 1 a 11 cos 2 θ + c 22 2 π D 2 a 22 sin 2 θ ) ] d θ σ ¯ 2 ( H ) = 4 π T ( H ) ∫ 0 π ( c 11 2 π D 1 a 11 cos 2 θ + c 22 2 π D 2 a 22 sin 2 θ ) B ( H ， θ ) d θ T ( H ) = ( 2 π a 11 a 22 ) ∫ 0 π R 2 d θ Ω = { ( Q 1 ， ⋯ ， Q n ， P 2 ， ⋯ ， P n ) | H ( Q 1 ， ⋯ ， Q n ， 0 ， P 2 ， ⋯ ， P ) ≤ H } 式中 A ( H ， θ ) = H R 2 − R 4 4 ( 1 + a 11 + a 22 2 a 11 a 22 sin 2 θ ) − b 11 + b 22 24 R 6 ( cos θ a 11 − sin θ a 22 ) 4 B ( H ， θ ) = H R 2 2 − R 6 6 ( 1 + a 11 + a 22 2 a 11 a 22 sin 2 θ ) − b 11 + b 22 32 R 8 ( cos θ a 11 − sin θ a 22 ) 4 而 R 2 是下列方程之解： H − R 2 2 ( 1 + a 11 + a 22 2 a 11 a 22 sin 2 θ ) − b 11 + b 22 8 R 4 ( cos θ a 11 − sin θ a 22 ) 4 = 0 2.2. 接下来主要讨论随机稳定性 [ 8 ] 由于 δ > 1 ，故当 H = 0 时，平均Itô随机微分方程的线性化形式为 d H = μ 1 H d t + μ 2 1 / 2 H d B (t) 其中 μ 1 = − 1 2 ( b 11 + b 22 ) + 1 2 ( c 11 2 D 1 a 11 + c 22 2 D 2 a 22 ) ζ μ 2 = 1 3 ( c 11 2 D 1 a 11 + c 22 2 D 2 a 22 ) ζ ζ = ∫ 0 π ( 1 + a 11 + a 22 2 a 11 a 22 sin θ ) − 2 d θ / ∫ 0 π ( 1 + a 11 + a 22 2 a 11 a 22 sin θ ) − 1 d θ 接着可以得到，当 H → 0 时， m ¯ ( H ) 和 σ ¯ 2 ( H ) 的渐进形式 m ¯ ( H ) = μ 1 H + ο ( H ) ， σ ¯ 2 ( H ) = μ 2 H 2 + ο (H2) 基于Oseledec乘积遍历性定理 [ 8 ]，可以得到模型的最大Lyapunov指数为： λ = lim t → ∞ 1 t ln H 1 2 ( t )       = 1 2 [ m ′ ( 0 ) − ( σ 2 ( 0 ) ) 2 ]       = − 1 4 ( b 11 + b 22 ) + 1 6 ( c 11 2 D 1 a 11 + c 22 2 D 2 a 22 ) ζ 系统平凡解保持局部渐近稳定的充要条件为： λ < 0 ，即 2 3 ( c 11 2 D 1 a 11 + c 22 2 D 2 a 22 ) ζ < ( b 11 + b 22 )