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user: 2. 转动激励下液体晃动的控制方程及解答 图1显示了一个转动的刚性矩形容器，其中充有部分液体，液体静止时的宽度为2a，水深为H，设容器内壁厚度(垂直于纸面)为B。坐标 o x y z 固定在容器上，坐标 o x y z 平面与静止液面重合，坐标原点位于静止液面几何中心，其中符号 Ω 、 ∂ S f 及 ∂ S w 分别表示液体区域、自由液面及湿边界。设坐标系 o ′ x ′ y ′ z ′ 为固定在地球上的坐标系，假定坐标系 o x y z 在初始时与坐标系 o ′ x ′ y ′ z ′ 重合，容器发生了绕 o ′ y ′ 轴的转动，设转动位移、转动速度，转动加速度分别为 θ ， θ ˙ ， θ ¨ ，设顺时针转动为正。假定液体为无粘性、不可压缩且无旋的液体，液体在纯转动作用下的二维线性晃动方程可以写为 [ 3 ] ： 图1. 转动的充液刚性矩形容器 (1) ∂ Φ ∂ n | ∂ S w = ( ω × r ) ⋅ n (2) ∂ Φ ∂ n | ∂ S f = [ ( ω × r ) ⋅ n + ∂ h ∂ t ] ∂ S f (3) [ ∂ Φ ∂ t − ( ω × r ) ⋅ ∇ Φ ] ∂ S f + g h = 0 (4) 式中：t为时间， Φ = Φ ( x ， z ， t ) 为总的速度势函数， h = h ( x ， t ) 为自由液面上的竖向位移，g为重力加速度， n 为湿边界的法向量， ∂ / ∂ n 表示法向求导。设 e i 与 e ′ i ( i = 1 ， 2 ， 3 )分别为坐标系 o x y z 及 o ′ x ′ y ′ z ′ 下的单位基矢，则 r = x e 1 + z e 3 为任一液体质点的径向矢量， ω = ω ( t ) = θ ˙ ( t ) e 2 为容器绕y轴转动的角速度矢量，其中 θ ˙ ( t ) 为小的激励。液体压力可以由Bernoulli方程表达为： p = p ( x ， z ， t ) = − ρ ∂ Φ ∂ t − ρ U g ，   ( x ， z ) ∈ Ω (5) 式中：ρ为液体质量密度， U g = − g ⋅ r 为重力势，其中 g = − g e ′ 3 ，将 r = x e 1 + z e 3 ， ω = θ ˙ ( t ) e 2 及 g = − g e ′ 3 代入方程(1)~(5)，注意到： e ′ 3 = e 3 cos θ − e 1 sin θ ，在小转动位移下： e ′ 3 ≈ e 3 − θ e 1 ，所以以上方程(1)~(5)变为： ∇ 2 Φ = 0 ，   ( x ， z ) ∈ Ω (6a) ∂ Φ ∂ x | x = ± a = θ ˙ z (6b) ∂ Φ ∂ z | z = − H = − θ ˙ x (6c) ∂ Φ ∂ z | z = 0 = − θ ˙ x + ∂ h ∂ t (6d) ∂ Φ ∂ t | z = 0 + g h − g x θ = 0 (6e) p = − ρ ∂ Φ ∂ t − ρ g z + ρ x g θ ，   ( x ， z ) ∈ Ω (6f) 由傅里叶级数及级数收敛的必要性条件，设速度势函数的解为： Φ = θ ˙ φ ( x ， z ) + ∑ n = 1 ∞ { q ˙ n ( t ) ⋅ cos [ ( 2 n − 1 ) π 2 a ( x + a ) ] ⋅ cosh [ ( 2 n − 1 ) π 2 a ( z + H ) ] cosh [ ( 2 n − 1 ) π 2 a H ] } (7) 将式(7)代入方程(6a)~(6c)，求解方程，得速度势函数为： Φ = θ ˙ x z + θ ˙ ∑ n = 1 ∞ { 32 a 2 [ ( 2 n − 1 ) π ] 3 cosh [ ( 2 n − 1 ) π H 4 a ] cos [ ( 2 n − 1 ) π 2 a ( x + a ) ] ⋅ sinh [ ( 2 n − 1 ) π 2 a ( z + H 2 ) ] }     + ∑ n = 1 ∞ { q ˙ n ( t ) ⋅ cos [ ( 2 n − 1 ) π 2 a ( x + a ) ] ⋅ cosh [ ( 2 n − 1 ) π 2 a ( z + H ) ] cosh [ ( 2 n − 1 ) π 2 a H ] } (8) 将式(8)代入方程(6d)和(6e)，然后合并两个方程，得： ∑ n = 1 ∞ cos [ ( 2 n − 1 ) π 2 a ( x + a ) ] ⋅ { q ⃛ n ( t ) + g [ ( 2 n − 1 ) π 2 a ] tanh [ ( 2 n − 1 ) π 2 a ] q ˙ n ( t ) } = − g x θ ˙ − g θ ˙ ∑ n = 1 ∞ { 16 a [ ( 2 n − 1 ) π ] 2 cos [ ( 2 n − 1 ) π 2 a ( x + a ) ] }       − θ ⃛ ∑ n = 1 ∞ { 32 a 2 [ ( 2 n − 1 ) π ] 3 tanh [ ( 2 n − 1 ) π H 4 a ] cos [ ( 2 n − 1 ) π 2 a ( x + a ) ] } (9) 在零初始条件下( q n ( 0 ) = q ¨ n ( 0 ) = θ ( 0 ) = θ ¨ ( 0 ) = 0 )，对方程(9)两边对时间t积一次分，再将方程(9)两边乘以 cos [ ( 2 m − 1 ) π 2 a ( x + a ) ] ( m = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ )，方程两边对x积分得： q ¨ n ( t ) + ω n 2 q n ( t ) = A 1 n θ ( t ) + A 2 n θ ¨ ( t ) ，   n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ (10) 式中： ω n 2 = g [ ( 2 n − 1 ) π 2 a ] tanh [ ( 2 n − 1 ) π H 2 a ] (11) { A 1 n = − 8 g a [ ( 2 n − 1 ) π ] 2 A 2 n = − 32 a 2 [ ( 2 n − 1 ) π ] 3 ⋅ tanh [ ( 2 n − 1 ) π H 4 a ] (12) 根据Duhamel积分，方程(10)的解为： q n ( t ) = A 1 n ω n ∫ 0 t θ ( τ ) sin [ ω n ( t − τ ) ] d τ + A 2 n ω n ∫ 0 t θ ¨ ( τ ) sin [ ω n ( t − τ ) ] d τ (13) q ¨ n ( t ) = − A 1 n ω n ∫ 0 t θ ( τ ) sin [ ω n ( t − τ ) ] d τ − A 2 n ω n ∫ 0 t θ ¨ ( τ ) sin [ ω n ( t − τ ) ] d τ + A 1 n θ ( t ) + A 2 n θ ¨ ( t ) (14) 所以液体压力为： p ( x ， z ， t ) = − ρ ∂ Φ ∂ t − ρ g z + ρ x g θ = − ρ θ ¨ x z − ρ θ ¨ ∑ n = 1 ∞ { 32 a 2 [ ( 2 n − 1 ) π ] 3 cosh [ ( 2 n − 1 ) π 4 a H ] cos [ ( 2 n − 1 ) π 2 a ( x + a ) ] ⋅ sinh [ ( 2 n − 1 ) π 2 a ( z + H 2 ) ] }     − ρ ∑ n = 1 ∞ { q ¨ n ( t ) ⋅ cos [ ( 2 n − 1 ) π 2 a ( x + a ) ] ⋅ cosh [ ( 2 n − 1 ) π 2 a ( z + H ) ] cosh [ ( 2 n − 1 ) π 2 a H ] } − ρ g z + ρ x g θ (15) 于是液体对容器x方向的合力 F x ( t ) 及对容器底部中点 A ′ 的翻转力矩 M A ′ 可以由下式积分得到： F x ( t ) = ∫ − H 0 [ p ( x ， z ， t ) | x = a − p ( x ， z ， t ) | x = − a ] B d z = 〈 ρ a H 2 + 4 ρ a ∑ n = 1 ∞ A 2 n tanh [ ( 2 n − 1 ) π 2 a H ] ( 2 n − 1 ) π 〉 B θ ¨ ( t )     + { 2 ρ g a H + 4 ρ a ∑ n = 1 ∞ A 1 n tanh [ ( 2 n − 1 ) π 2 a H ] ( 2 n − 1 ) π } B θ ( t )     − 4 ρ a B ∑ n = 1 ∞ A 2 n ω n tanh [ ( 2 n − 1 ) π 2 a H ] ( 2 n − 1 ) π ∫ 0 t θ ¨ ( τ ) sin [ ω n ( t − τ ) ] d τ     − 4 ρ a B ∑ n = 1 ∞ A 1 n ω n tanh [ ( 2 n − 1 ) π 2 a H ] ( 2 n − 1 ) π ∫ 0 t θ ( τ ) sin [ ω n ( t − τ ) ] d τ (16) M A ′ ( t ) = ∫ − H 0 [ p ( x ， z ， t ) | x = a − p ( x ， z ， t ) | x = − a ] ( z + H ) B d z + ∫ − a a p ( x ， z ， t ) | z = − H x B   d x = B 〈 1 3 ρ a H 3 + 2 3 ρ a 3 H + ∑ n = 1 ∞ 128 ρ a 3 H [ ( 2 n − 1 ) π ] 4 { 1 − 6 [ ( 2 n − 1 ) π ] ( a H ) tanh [ ( 2 n − 1 ) π H 4 a ] }     + ∑ n = 1 ∞ 8 ρ a 2 A 2 n [ ( 2 n − 1 ) π ] 2 1 cosh [ ( 2 n − 1 ) π H 2 a ] + 2 ρ ∑ n = 1 ∞ A 2 n B n 〉 θ ¨ (t) + B   ( ρ g a H 2 + 2 3 ρ g a 3 + ∑ n = 1 ∞ 8 ρ a 2 A 1 n [ ( 2 n − 1 ) π ] 2 1 cosh [ ( 2 n − 1 ) π H 2 a ] + 2 ρ ∑ n = 1 ∞ A 1 n B n ) θ ( t )   − B ∑ n = 1 ∞ { 2 ρ   A 1 n B n ω n + 8 ρ a 2 A 1 n ω n [ ( 2 n − 1 ) π ] 2 1 cosh [ ( 2 n − 1 ) π H 2 a ] } ∫ 0 t θ ( τ ) sin [ ω n ( t − τ ) ] d τ   − B ∑ n = 1 ∞ { 2 ρ A 2 n B n ω n + ∑ n = 1 ∞ 8 ρ a 2 A 2 n ω n [ ( 2 n − 1 ) π ] 2 1 cosh [ ( 2 n − 1 ) π H 2 a ] } ∫ 0 t θ ¨ ( τ ) sin [ ω n ( t − τ ) ] d τ (17) 其中： B n = 2 a H ( 2 n − 1 ) π tanh [ ( 2 n − 1 ) π H 2 a ] − 4 a 2 [ ( 2 n − 1 ) π ] 2 { 1 − 1 cosh [ ( 2 n − 1 ) π H 2 a ] } (18)