system: [SYSTEM]

user: 4. 求解三维界面裂纹问题 由于裂纹前缘常常呈现曲线扩展状态，因此断裂问题并不适合采用直角坐标系进行描述。本文以二维裂纹分析为基础，建立上述法平面内的极坐标加上切线坐标的局部坐标系，如图5所示，进一步按照三维弹性力学理论 [ 9 ] ，在前文中裂纹前缘处建立的全局坐标系中，推导建立三维裂纹分析的理论体系。 4.1. 三维界面裂纹的弹性理论方程 如上所述，在曲线裂纹前缘的每一点，本文建立相应的局部柱坐标系，用于描述裂纹前缘的力学分析体系，进而建立各种力学基本方程。 首先，结合柱坐标系下的平衡方程，可得到该局部坐标系下的平衡方程(无体力)： (4) 图5. 裂纹前缘局部坐标系 其中 1 Φ = [ b 2 a Ψ + r cos θ ] − 1 ，   Ψ = ( 1 − e 2 sin 2 φ ) 3 / 2 同理，几何方程为 { ε r = ∂ u r ∂ r ，   ε r θ = ∂ u r r ∂ θ + ∂ u θ ∂ r − u θ r ε θ = ∂ u θ r ∂ θ + u r r ，   ε r φ = ∂ u r Φ ∂ φ + ∂ u φ ∂ r − u φ Φ cos θ ε φ = 1 Φ ( ∂ u φ ∂ φ + u r cos θ − u θ sin θ ) ，   ε θ φ = ∂ u θ Φ ∂ φ + ∂ u φ r ∂ θ + u φ Φ sin θ (5) 物理方程为 σ r = λ Θ + 2 μ ε r ，   σ r θ = μ ε r θ σ θ = λ Θ + 2 μ ε θ ，   σ θ φ = μ ε θ φ σ φ = λ Θ + 2 μ ε φ ，   σ φ r = μ ε φ r (6) 其中 体应变 ， 剪切模量 μ = E 2 ( 1 + ν ) ， 拉梅参数 λ = E ν ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) 。 值得注意的是，界面层模型中的λ和G并非常数，而是与界面层厚度坐标y有关的函数： μ ( y ) = E ( y ) 2 ( 1 + ν ) ，   λ = ν 1 − 2 ν E ( y ) 1 + ν (7) 最后，裂纹面的边界条件为 σ θ = 0 ，   σ θ r = 0 ，   σ θ φ = 0   当 θ = ± π (8) 4.2. 平衡方程的简化 上述方程实际上的求解相当困难，考虑对其进行简化，考虑到实际情况下界面层厚度很薄，假设弹性模量沿界面层厚度方向呈线性变化，而泊松比为常数，则剪切模量的表达式可记为 μ ( r ， θ ) = k r sin θ + μ ( r ， θ ) | θ = 0 或 μ = k y + μ 0 (9) 由于弹性模量沿界面层厚度方向变化，所以当将其引入裂纹前缘的柱坐标系中会造成耦合现象，给求解带来不便。在求解时可采用无裂纹材料远场应力加上含裂纹体简化后裂尖场应力，即分别简化的方式处理。 4.2.1. 远场应力的简化计算 界面层模型如图3所示，进行远场应力分析时忽略裂纹前缘场的作用，假设界面层内位移场沿界面层厚度线性分布，直角坐标系下平衡方程进一步简化为 u x = u ¯ x ( x ， z ) − y ∂ w ( x ， z ) ∂ x u y = y ⋅ w ( x ， z ) u z = u ¯ z ( x ， z ) − y ∂ w ( x ， z ) ∂ z (10) 其中w为仅与x，z坐标相关的函数， u ¯ 为xOz平面上各点的位移量。此时满足对于给定的(x， z)坐标则有： ∂ u x ∂ y = − ∂ w ( x ，   ​ z ) ∂ x ∂ u y ∂ y = w ( x ， ​   z ) ∂ u z ∂ y = − ∂ w ( x ， ​   z ) ∂ z (三者均与y坐标无关) (11) 将式(11)代入直角坐标系下的几何方程和物理方程，可将平衡方程进一步表示为 { 2 ν ( k y + μ 0 ) 1 − 2 ν ( ∂ 2 u ¯ x ∂ x 2 − y ∂ 3 w ∂ x 3 + ∂ 2 u ¯ z ∂ x ∂ z − y ∂ 3 w ∂ x ∂ z 2 + ∂ w ∂ x ) + 2 ( k y + μ 0 ) ( ∂ 2 u ¯ x ∂ x 2 − y ∂ 3 w ∂ x 3 ) + ( k y + μ 0 ) ( ∂ 2 u ¯ x ∂ z 2 + ∂ 2 u ¯ z ∂ x ∂ z − 2 y ∂ 3 w ∂ x ∂ z 2 ) + k ( y ∂ w ∂ x − ∂ w ∂ x ) + ( k y + μ 0 ) ∂ w ∂ x = 0 ( k y + μ 0 ) ( ∂ 2 u ¯ x ∂ x ∂ z + ∂ 2 u ¯ z ∂ x 2 − 2 y ∂ 3 w ∂ x 2 ∂ z ) + 2 ν ( k y + μ 0 ) 1 − 2 ν ( ∂ 2 u ¯ x ∂ x ∂ z − y ∂ 3 w ∂ x 2 ∂ z + ∂ 2 u ¯ z ∂ z 2 − y ∂ 3 w ∂ z 3 + ∂ w ∂ z )   + 2 ( k y + μ 0 ) ( ∂ 2 u ¯ z ∂ z 2 − y ∂ 3 w ∂ z 3 ) + ( k y + μ 0 ) ∂ w ∂ z + k ( − ∂ w ∂ z + y ∂ w ∂ z ) = 0 ( k y + μ 0 ) ( y ∂ 2 w ∂ x 2 − ∂ 2 w ∂ x 2 ) + ( k y + μ 0 ) ( − ∂ 2 w ∂ z 2 + y ∂ 2 w ∂ z 2 ) + 2 ν ( k y + μ 0 ) 1 − 2 ν ( − ∂ 2 w ∂ x 2 − ∂ 2 w ∂ z 2 )   + k ( ∂ u ¯ x ∂ x − y ∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ u ¯ z ∂ z − y ∂ 2 w ∂ z 2 + w ) + 2 k w = 0 (12) 4.2.2. 裂尖应力场计算 在传统断裂力学中，裂纹前缘应力场(平面问题)具有 1 / r 的奇异性 [ 9 ] 。在界面断裂问题中，问题的物理性质并没有改变，裂纹的界面特征是组成结合材料的两种介质不同造成的，因此本文仍假设裂纹前缘应力场形式为 σ i j = r n f i j ( σ ∞ ， a ， b ， θ ， φ ) (13) 其中a，b为椭圆裂纹的半轴长，其中n < 0代表应力具有奇异性。 此时原平衡方程(4)可被简化为： { n f r r + ∂ f θ r ∂ θ + f r r − f θ θ + r Φ [ ∂ f r φ ∂ φ + ( f r r − f φ φ ) cos θ − f θ r sin θ ] = 0 n f r θ + ∂ f θ θ ∂ θ + 2 f θ r + r Φ [ ∂ f θ φ ∂ φ + f r θ cos θ − ( f φ φ − f θ θ ) sin θ ] = 0 n f r φ + ∂ f θ φ ∂ θ + f r φ + r Φ [ ∂ f φ φ ∂ φ + 2 ( f r φ cos θ − f θ φ sin θ ) ] = 0 (14) 上式中n的取值可根据平衡方程的推导计算结果确定，值得注意的是，若n = −1/2则可说明三维应力场的形式为 σ i j = 1 r f i j ( σ ∞ ， a ， b ， θ ， φ ) (15) 这将表明三维界面裂纹和平面问题中的应力场具有同阶的应力奇异性，也意味着平面问题中应力强度因子的定义同样适用于三维问题。