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user: 3. 量子Daubechies D (4) 小波变换的线路图以及FRQI图像的分解 小波变换作为信号处理的一种多尺度结构描述，在图像处理中有着非常重要的作用。本文我们选取Daubechies D (4) 小波用于量子水印算法中的量子图像分解 [ 15 ] [ 16 ]。 量子线路设计的本质是将变换矩阵分解为一系列基本的酉矩阵，在本节中，我们将会给出量子Daubechies D (4) 小波变换的完备的量子线路以及FRQI图像的量子多尺度分解。 3.1. 量子Daubechies D (4) 小波变换的有效线路 基于正移置换矩阵 Π 2 n 以及比特逆转置换矩阵 P 2 n 两个基本置换矩阵 [ 7 ] [ 17 ]，再考虑 2 n 维的Daubechies D (4) 小波核， D 2 n ( 4 ) 的传统矩阵表示不适用于量子实现，Hoyer [ 18 ] 提出了一种 D 2 n ( 4 ) 的分解形式为 D 2 n ( 4 ) = ( I 2 n − 1 ⊗ C 1 ) S 2 n ( I 2 n − 1 ⊗ C 0 ) (3) 其中 C 0 = 2 ( c 4 − c 2 − c 2 c 4 ) ， C 1 = 1 2 ( c 0 / c 4 1 1 c 1 / c 2 ) c 0 = 1 + 3 4 2 ， c 1 = 3 + 3 4 2 ， c 2 = 3 − 3 4 2 ， c 3 = 1 − 3 4 2 其中置换矩阵 S 2 n 可以由两个置换矩阵 Q 2 n 和 R 2 n 的乘积表示： S 2 n = Q 2 n R 2 n (4) 其中 Q 2 n 是下平移置换矩阵 [ 19 ]， R 2 n 可写为 R 2 n = I 2 n − 1 ⊗ N (5) 将(4) (5)式代入(3)式中可以得到 D 2 n ( 4 ) 的新分解式如下： D 2 n ( 4 ) = ( I 2 n − 1 ⊗ C 1 ) Q 2 n ( I 2 n − 1 ⊗ N ) ( I 2 n − 1 ⊗ C 0 ) = ( I 2 n − 1 ⊗ C 1 ) Q 2 n ( I 2 n − 1 ⊗ C ′ 0 ) (6) 其中 N = ( 0 1 1 0 ) ， C ′ 0 = N C 0 = 2 ( − c 2 c 4 c 4 − c 2 ) 接下来为了进一步得到 D 2 n ( 4 ) 的分解，我们将利用正移置换矩阵 Π 2 n 对置换矩阵 Q 2 n 进行直接的递归分解： Π 2 n T Q 2 n Π 2 n = ( 0 I 2 n − 1 I 2 n − 1 0 ) ( Q 2 n − 1 0 0 I 2 n − 1 ) = ( N ⊗ I 2 n − 1 ) ( Q 2 n − 1 ⊕ I 2 n − 1 ) (7) 则根据(7)式， Q 2 n 可以表示为 Q 2 n = Π 2 n ( N ⊗ I 2 n − 1 ) ( Q 2 n − 1 ⊕ I 2 n − 1 ) Π 2 n T (8) 将 Q 2 n − 1 的分解代入上式有 Q 2 n = Π 2 n ( N ⊗ I 2 n − 1 ) ( Π 2 n − 1 ( N ⊗ I 2 n − 2 ) ( Q 2 n − 2 ⊕ I 2 n − 2 ) Π 2 n − 1 T ⊕ I 2 n − 1 ) Π 2 n T (9) 对于任意的矩阵 A ∈ R 2 n − 1 × 2 n − 1 ，存在以下恒等式 [ 7 ] Π 2 n − 1 A Π 2 n − 1 T ⊕ I 2 n − 1 = ( I 2 ⊗ Π 2 n − 1 ) ( A ⊕ I 2 n − 1 ) ( I 2 ⊗ Π 2 n − 1 T ) (10) 则(9)式可以表示为 Q 2 n = Π 2 n ( N ⊗ I 2 n − 1 ) ( I 2 ⊗ Π 2 n − 1 ) ( ( N ⊗ I 2 n − 2 ) × ( Q 2 n − 2 ⊕ I 2 n − 2 ) ⊕ I 2 n − 1 ) ( I 2 ⊗ Π 2 n − 1 T ) Π 2 n T (11) 再利用恒等式 [ 7 ] ( N ⊗ I 2 n − 2 ) ( Q 2 n − 2 ⊕ I 2 n − 2 ) ⊕ I 2 n − 1 = ( N ⊗ I 2 n − 2 ⊕ I 2 n − 1 ) ( Q 2 n − 2 ⊕ I 2 n − 2 n − 2 ) (12) (11)式可以进一步表示为 Q 2 n = Π 2 n ( N ⊗ I 2 n − 1 ) ( I 2 ⊗ Π 2 n − 1 ) ( N ⊗ I 2 n − 2 ⊕ I 2 n − 1 ) ( Q 2 n − 2 ⊕ I 2 n − 2 n − 2 ) ( I 2 ⊗ Π 2 n − 1 T ) Π 2 n T (13) 依次对 Q 2 i ，i从n-3到1，进行重复迭代， Q 2 = N ，则 Q 2 n 可迭代表示为 Q 2 n = Π 2 n ( I 2 ⊗ Π 2 n − 1 ) ( I 4 ⊗ Π 2 n − 2 ) ⋯ ( I 2 n − 2 ⊗ Π 4 ) ( N ⊗ I 2 n − 1 ) ⋯                 × ( N ⊗ I 2 ⊕ I 2 n − 4 ) ( N ⊕ I 2 n − 2 ) ( I 2 n − 2 ⊗ Π 4 T ) ⋯ ( I 2 ⊗ Π 2 n − 1 T ) Π 2 n T (14) 根据对 P 2 n 的分解，我们有 Q 2 n = P 2 n ( N ⊗ I 2 n − 1 ) ( N ⊗ I 2 n − 2 ⊕ I 2 n − 1 ) ⋯ ( N ⊗ I 2 ⊕ I 2 n − 4 ) ( N ⊕ I 2 n − 2 ) P 2 n (15) 将(15)式带入(6)式并进行整理有 D 2 n ( 4 ) = P 2 n ( C 1 ⊗ I 2 n − 1 ) ( N ⊗ I 2 n − 1 ) ( N ⊗ I 2 n − 2 ⊕ I 2 n − 2 n − 1 ) ⋯ ( N ⊗ I 2 n − i ⊕ I 2 n − 2 n − i + 1 )     × ( N ⊗ I 2 ⊕ I 2 n − 2 2 ) ( N ⊕ I 2 n − 2 ) ( C ′ 0 ⊗ I 2 n − 1 ) P 2 n (16) 通过对 Q 2 n 进行迭代分解可以得到 D 2 n ( 4 ) 的量子线路如图2： 图2. D 2 n ( 4 ) 的迭代分解量子线路 3.2. FRQI图像的分解 对于一个二维数字图像的db4小波分解采用标准分解，利用一维db4小波变换将图像的像素点权值转化到每一行，对行操作结束后，再对列进行相同的操作。 FRQI图像表示方法是利用量子基态编码所有的像素点信息，并且将它储存成量子叠加态。因此基于QDWT的量子变换的标准分解在量子线路的应用方面比不标准分解更加简单合适 [ 20 ]。 利用图2中的 D 2 n ( 4 ) 的n级量子线路对FRQI图像进行分解，主要分为两步： 第一步(行分解)：行分解是将 D 2 n ( 4 ) 矩阵组合作用于FRQI图像的水平方向的量子比特 | X 〉 = | x n − 1 x n − 2 ⋯ x 1 x 0 〉 上，我们将这一步的矩阵记为 D r o w ，则行分解矩阵可表示为 D r o w = I 2 ⊗ I 2 ⊗ n ⊗ D 2 n ( 4 ) (17) 第二步(列分解)：列分解是将 D 2 n ( 4 ) 矩阵组合作用于FRQI图像的垂直方向的量子比特 | Y 〉 = | y n − 1 y n − 2 ⋯ y 1 y 0 〉 上，我们将这一步的矩阵记为 D c o l u m n ，则列分解矩阵可表示为 D c o l u m n = I 2 ⊗ D 2 n ( 4 ) ⊗ I 2 ⊗ n (18) 因此，基于量子Daubechies D (4) 小波变换的FRQI图像分解对应的矩阵形式为 D = D r o w D c o l u m n = ( I 2 ⊗ I 2 ⊗ n ⊗ D 2 n ( 4 ) ) ( I 2 ⊗ D 2 n ( 4 ) ⊗ I 2 ⊗ n ) (19)