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user: 3. 利用15个垂心球半径，以及球面8交点为零的垂心球，将上述定理推广至垂心四面体的4态的正弦余弦等各定理公式的方法 3.1. 证明垂心四面体的4态 过A球心的垂线5特殊垂心点及其垂心球半径平方为： A ∈ a 2 ，     A − ∈ 0 ，     H ∈ − r H 2 = − a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 ，     H B C D ∈ − r B C D 2 = − b 2 c 2 d 2 s 1 2 ，     A + ∈ 0 过B球心的垂线5特殊垂心点及其垂心球半径平方为： B ∈ b 2 ，     B − ∈ 0 ，     H ∈ − r H 2 = − a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 ，     H A C D ∈ − r A C D 2 = − a 2 c 2 d 2 s 2 2 ，     B + ∈ 0 过C球心的垂线5特殊垂心点及其垂心球半径平方为： C ∈ c 2 ，     C − ∈ 0 ，     H ∈ − r H 2 = − a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 ，     H A B D ∈ − r A B D 2 = − a 2 b 2 d 2 s 3 2 ，     C + ∈ 0 过D球心的垂线5特殊垂心点及其垂心球半径平方为： D ∈ b 2 ，     D − ∈ 0 ，     H ∈ − r H 2 = − a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 ，     H A B C ∈ − r A B C 2 = − a 2 b 2 c 2 s 4 2 ，     D + ∈ 0 例： D点的对平面3球心A，B，C与过D垂线的5个特殊垂心点间的6连线，均为对边的平方和相等的垂心四面体。其中： | A B | 2 + | C D | 2 = | A C | 2 + | B D | 2 = | A D | 2 + | B C | 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 (33) | A B | 2 + | C D − | 2 = | A C | 2 + | B D − | 2 = | A D − | 2 + | B C | 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 0 2 (34) | A B | 2 + | C H | 2 = | A C | 2 + | B H | 2 = | A H | 2 + | B C | 2 = a 2 + b 2 + c 2 + ( − r H 2 ) (35) | A B | 2 + | C H A B C | 2 = | A C | 2 + | B H A B C | 2 = | A H A B C | 2 + | B C | 2 = a 2 + b 2 + c 2 + ( − r A B C 2 ) (36) | A B | 2 + | C D + | 2 = | A C | 2 + | B D + | 2 = | A D + | 2 + | B C | 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 0 2 (37) 上述的尾项均为过球心D垂线特殊点的垂心球半径的平方，且可分类为垂心四面体的4态，平方前的正负号区别在于该点至对平面3球心间的夹角。其中： 公式(33)交D点为：锐角垂心四面体，符号为正； 公式(34)与公式(37)交 D − 或 D + 点为：直角垂心四面体； 公式(35)交H点为：纯角垂心四面体，符号为负； 公式(36)交 H A B C 点塌陷为：平面垂心四面体，符号为负。 同理：其余3组3球心点与其垂线5特殊点间均为对边平方和相等的垂心四面体4态。 3.2. 证明垂心四面体的4态换元及其正负号判别式 垂心球半径的平方：过正交球心D点垂线上的5个垂心四面体的特殊点 D ′ ，均有其垂心球。 垂心球半径平方正负号判别式：该点至对平面3球心的3连线中，任意2连线的平方和：大于对边的平方的为正；等于的为零；小于的为负。 公式为： | D ′ A | 2 + | D ′ B | 2 − | A B | 2 = x (当 x > 0 为正， x = 0 为零， x < 0 为负) 例： D点至对平面3球心。根据垂心间距离公式可得： | A D | 2 + | B D | 2 − | A B | 2 = ( a 2 + d 2 ) + ( b 2 + d 2 ) − ( a 2 + b 2 ) = 2 d 2 > 0 为正 H点至对平面3球心。根据垂心间距离公式可得： | A H | 2 + | B H | 2 − | A B | 2 = ( a 2 − r H 2 ) + ( b 2 − r H 2 ) − ( a 2 + b 2 ) = − 2 r H 2 < 0 为负 D − 或 D + 点至对平面3球心。根据垂心间距离公式可得： | A D − | 2 + | B D − | 2 − | A B | 2 = ( a 2 + 0 ) + ( b 2 + 0 ) − ( a 2 + b 2 ) = 0 为零 H A B C 点至对平面3球心。根据垂心间距离公式可得： | A H A B C | 2 + | B H A B C | 2 − | A B | 2 = ( a 2 − r H A B C 2 ) + ( b 2 − r H A B C 2 ) − ( a 2 + b 2 ) = − 2 r H A B C 2 < 0 为负 同理：可判别其余3组3球心点与其垂线5特殊点垂心球半径平方正负号。 3.3. 垂心四面体4态换元法 例：D对平面3球心A，B，C分别与过D球心垂线特殊点：D点、 D − 或 D + 点，H点， H A B C 点4态： 3.3.1. D点为锐角垂心四面体时： d 2 = d 2 公式(26)为原型 sin α 34 sin A 2 = sin α 24 sin A 3 = sin α 23 sin A 4 = | A B | | A C | | A D | v s 2 s 3 s 4 3.3.2. D − 或 D + 为直角垂心四面体时： d 2 = 0 : 换元计算公式(26) sin α 34 sin A 2 = sin α 24 sin A 3 = sin α 23 sin A 4 = | A B | | A C | a 2 + 0 a 2 b 2 c 2 + ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) 0 a 2 c 2 + ( a 2 + c 2 ) 0 a 2 b 2 + ( a 2 + b 2 ) 0 s 4 = | A B | | A C | a   a b c a c   a b s 4 = | A B | | A C | s 4 3.3.3. H点为纯角垂心四面体时： d 2 = − r H 2 = − a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 : 换元计算公式(26) sin α 34 sin A 2 = sin α 24 sin A 3 = sin α 23 sin A 4 = | A B | | A C | a 2 + ( − r H 2 ) a 2 b 2 c 2 + ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) ( − r H 2 ) a 2 c 2 + ( a 2 + c 2 ) ( − r H 2 ) a 2 b 2 + ( a 2 + b 2 ) ( − r H 2 ) s 4 = | A B | | A C | s 4 s 1 2 b 2 c 2 | B D | | C D | = | A B | | A C | s 1 2 b 2 c 2 | B D | | C D | s 4 3.3.4. H A B C 点为平角垂心四面体时： d 2 = − r H A B C 2 = − a 2 b 2 c 2 s 4 2 : 换元计算公式(26) sin α 34 sin A 2 = sin α 24 sin A 3 = sin α 23 sin A 4 = | A B | | A C | a 2 + ( − r H A B C 2 ) a 2 b 2 c 2 + ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) ( − r H A B C 2 ) a 2 c 2 + ( a 2 + c 2 ) ( − r H A B C 2 ) a 2 b 2 + ( a 2 + b 2 ) ( − r H A B C 2 ) s 4 = | A B | | A C | | B C | 0 a 2 b 2 c 2 = 0 同理，其余3组平面上的3球心与垂直该平面垂线上的5特殊点的所有正弦和余弦定理的代数值，均可使用上述换元法简化计算(略)。