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user: 4. 实例分析 为了验证方法的有效性，按照文献 [ 7 ] 给出的方法仿真产品多性能参数退化轨迹，利用Monte Carlo仿真方法进行验证。假设产品在温度应力下进行加速退化试验，应力水平为：T 1 = 333 K， T 2 = 363 K， T 3 = 393 K， T 4 = 423 K，共4个加速应力水平，产品工作的正常温度应力T 0 = 293 K。各应力下的样本量为10，测试时间为：t 1 = 100，t 2 = 200 h， ⋯ ， t 24 = 2400 h共设置24个监测时间点。假设产品有三个性能参数，且服从三元联合正态分布，失效阈值分别设置为：D 1 = 50， D 2 = 60， D 3 = 40。 利用Monte Carlo仿真三个性能参数的退化数据，具体步骤如下： 第1步：从标准正态分布中产生三个独立同分布的随机数，z 1t ， z 2t ， z 3t 。 第2步：令 μ ( i ) ( T ， t ) = μ 0 ( i ) + exp ( p b ( i ) + q b ( i ) T ) × t ， i = 1 ， 2 ， 3 ， Σ ( Τ ， t ) = [ Σ i j ( T ， t ) ] 3 × 3 其中 Σ i j ( T ， t ) = c 0 ( i j ) + exp ( p d ( i j ) + q d ( i j ) T ) × t ， i = 1 ， 2 ， 3 。 第3步：令 x ( 1 ) ( T ， t ) = μ ( 1 ) ( T ， t ) + β 11 ( T ， t ) z 1 t ， x ( 2 ) ( T ， t ) = μ ( 2 ) ( T ， t ) + β 21 ( T ， t ) z 1 t + β 22 ( T ， t ) z 2 t ， x ( 3 ) ( T ， t ) = μ ( 3 ) ( T ， t ) + ∑ j = 1 3 β 3 j z j t = μ ( 3 ) ( T ， t ) + β 31 ( T ， t ) z 1 t + β 32 ( T ， t ) z 2 t + β 33 ( T ， t ) z 3 t 式中， β i j ( T ， t ) 可由下式得出： [ β 11 ( T ， t ) 0 0 β 21 ( T ， t ) β 22 ( T ， t ) 0 β 31 ( T ， t ) β 32 ( T ， t ) β 33 ( T ， t ) ] [ β 11 ( T ， t ) β 12 ( T ， t ) β 13 ( T ， t ) 0 β 22 ( T ， t ) β 23 ( T ， t ) 0 0 β 33 ( T ， t ) ] = Σ ( T ， t ) 其中， β i j ( T ， t ) = β j i ( T ， t ) 。 根据上述第1步至第3步步骤就可以产生各应力水平下24次监测的三个性能参数的退化数据[x (1) (t) x (2) (t) x (3) (t)]。 第4步：重复第1步至第3步10次，就可以产生各应力水平下，10个样本在各测试时刻的三个性能参数的退化数据，仿真试验完毕。 按照上述步骤，就可得到4组应力水平下的仿真多性能退化数据，T 1 = 333 K时仿真的一个样本的多性能退化参数的试验数据如图1所示。 下面就对仿真试验数据进行多元Copula-ARMA时间序列建模： 第1步：分别对各应力水平下，各样本的三个性能退化参数的退化数据进行趋势项提取，由于退化数据为线性退化，我们采用一元线性回归方程( y = p 1 x + p 2 )拟合的方法提取趋势项，以图1中的其中一个样本为例，对其退化数据进行趋势项提取。 图1. 仿真多性能参数退化数据 图2. 趋势项线性回归拟合 趋势项提取结果如表1所示，性能参数3的拟合精度较差，这主要由于一元线性回归拟合是最为简单的趋势项提取方法，因此对于信号特征相对复杂的退化数据，可利用EMD分解的趋势项提取方法，提高趋势预测精度。 Table 1 Trend item extraction of performance degradation dat 参数 系数 系数估计值 95%置信区间 R-square 性能参数1 p 1 0.01818 [0.0162， 0.02016] 0.7698 p 2 5.473 [2.719， 8.227] 性能参数2 p 1 0.01811 [0.01518， 0.02104] 0.603 p 2 11.06 [6.987， 15.13) ] 性能参数3 p 1 0.004243 [0.00252， 0.005967] 0.1942 p 2 19.35 [16.95， 21.74] 表1. 性能退化数据趋势项提取 第2步：将时间变量t代入第1步拟合得到的趋势项回归方程，然后利用原始数据减去趋势项，得到性能退化数据的随机项原始数据序列。然后利用ARMA随机项时间序列模型建模，确定ARMA时间序列结构如下： 性能特征参数1：ARMA(4， 3)： r 1 ( t ) = 0.9567 r 1 ( t − 1 ) + 0.4507 r 1 ( t − 2 ) − 0.5564 r 1 ( t − 3 ) + 0.1510 r 1 ( t − 4 )                                                   + ε 1 t − 0.2134 ε 1 ( t − 1 ) − 0.4538 ε 1 ( t − 2 ) + 0.2102 ε 1 ( t − 3 ) 性能特征参数2：ARMA(4， 3)： r 2 ( t ) = 0.8653 r 2 ( t − 1 ) + 0.4802 r 2 ( t − 2 ) − 0.6452 r 2 ( t − 3 ) + 0.1311 r 2 ( t − 4 )                                                   + ε 2 t − 0.3058 ε 2 ( t − 1 ) − 0.7264 ε 2 ( t − 2 ) + 0.3072 ε 2 ( t − 3 ) 性能特征参数3：ARMA(2， 2)： r 3 ( t ) = 0.9023 r 3 ( t − 1 ) + 0.2802 r 3 ( t − 2 ) + ε 3 t − 0.8017 ε 3 ( t − 1 ) − 0.5962 ε 3 ( t − 2 ) 第3步：利用Copula函数构建三个性能特征参数之间的相关性，首先，根据随机项原始数据序列检验三个性能特征参数之间的相关性，而后对其联合Copula函数的参数进行估计，参数估计值如表2所示，得到三个性能特征参数Copula函数结构，通过最小经验距离比较，Gumble Copula函数与理论值之间的距离最小，因此采用Gumbel Copula函数描述相关性，结构如下式： ( ε 1 t ， ε 2 t ， ε 3 t ) ~ C b ( ϕ ( ε 1 t σ 1 ) ， ϕ ( ε 2 t σ 2 ) ， ⋯ ， ϕ ( ε 3 t σ 3 ) ) = exp { − [ ( − ln ϕ ( ε 1 t σ 1 ) ) θ + ( − ln ϕ ( ε 2 t σ 2 ) ) θ + ( − ln ϕ ( ε 3 t σ 3 ) ) θ ] 1 / θ } 第4步：通过上述第1步至第3步，就确定了式(7)的多性能特征参数Copula-ARMA多元混合时间序列模型，然后可对多性能特征参数的退化趋势进行预测。 第5步：根据预先给定的退化失效阈值，外推性能退化轨迹首次穿越失效阈值的时间，即失效时间，然后按照拟合优度检验法对各应力水平下得到的伪失效寿命数据进行分布的假设检验，选择伪失效寿命数据可能服从的分布形式。将外推得到的伪失效寿命数据视为完全寿命数据，通过模型对伪寿命数据进行假设检验，发现寿命服从威布尔分布。限于篇幅，在此不再给出第5步至第6步的详细过程，寿命统计原理详见参数文献 [ 8 ]。 Table 2 Estimated values of Copula parameter Copula θ Normal 0.5021 Frank 0.5803 Clayton 3.1894 Gumbel 1.4286 表2. Copula参数估计值 第6步：根据加速模型外推得到产品在正常工作应力水平293 K下的寿命特征信息，可靠度预测的函数如式(8)。 R ( t ) = exp [ − ( t η ^ 293   K ) m ^ 293   K ] = exp [ − ( t 799.81 ) 2.86 ] (8) 基于联合概率密度求解多性能参数退化数据的可靠度公式如下: R ( t ) = ∫ 0 40 ∫ 0 60 ∫ 0 50 { ( 2 π ) − 3 2 | Σ 293   K ( t ) | − 1 2 exp [ − 1 2 ( x − μ ^ 293   K ( t ) ) T Σ 293   K − 1 ( t ) ( x t − μ ^ 293   K ( t ) ) T ] } d x 1 d x 2 d x 3 (9) 一般很难用解析积分的方法求解式(9)的可靠度，需借助数值积分的方法进行近似，求解过程非常复杂，对计算机硬件要求高。如图3所示，两种方法可靠性预测对比： 图3. 可靠性预测结果 从可靠性预测曲线可以看出，基于Copula-ARMA混合时间序列的方法预测的可靠度结果非常接近于仿真理论曲线，然而，通过多元正态联合概率密度的积分求解非常复杂，且本文是通过仿真方法在已知联合概率分布的均值向量和协方差矩阵基础上得到可靠度的，在工程实际中利用多元联合概率密度求解时还需要对协方差矩阵进行参数估计，这样就更增加了求解过程的复杂性。而Copula-ARMA能够更好的保持原始数据的所有统计特性，时间序列模型建立的退化模型将退化数据分为趋势项和随机项，在一定程度上提高了退化模型假设带来的误差，且通过Copula函数描述相关性，大大降低了联合概率密度函数求解的复杂性。