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user: 2. 平面光滑曲线与立体坐标下的弧微分等价代换法 2.1. 弧微分等价代换法即ds(Φ) = ds(α) 如图1，以电流方向平行于⊙O电流环圆心轴的电流元idℓ在任一点 P ( a ， y ， z ) 所在平行圆周⊙O′上，沿P点切线方向的磁场dB 切 为例，讨论弧微分等价代换法即ds(Φ) = ds(α)成立。 在ΔAOA'中，过A作 A M ⊥ O A ′ 交OA'于M， | A M | = | O A | sin Δ Φ = r x sin Δ Φ ， | A ′ M | = | O A ′ | − | O M | = r x − r x cos Δ Φ ； | P P ′ | = a ， | A P | = ρ ， | A ′ P | = ρ + △ ρ ， ∠ A P P ′ = α ， ∠ A P A ′ = Δ α ，过A作 A D ⊥ P A ′ 交PA'于D， | A D | = | A P | sin Δ α = ρ sin Δ α ， | A ′ D | = | A ′ P | − | P D | = ρ + Δ ρ − ρ cos Δ α [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] 。 图1. 切片的薄圆环导体的切向磁场 分析弧微分等价代换，即ds(Φ) = ds(α)成立。 在直角ΔAMA'中， | A A ′ | = Δ s ( ϕ ) = | A M | 2 + | A ′ M | 2 = ( r x sin Δ ϕ ) 2 + ( r x − r x cos Δ ϕ ) 2 = r x ( sin Δ ϕ ) 2 + ( 1 − cos Δ ϕ ) 2 ， [ 5 ] 在直角△ADA´中， | A A ′ | = Δ s ( α ) = | A D | 2 + | A ′ D | 2 = ( | A P | sin Δ α ) 2 + ( | A ′ P | − | A P | cos Δ α ) 2 = ( ρ sin Δ α ) 2 + [ Δ ρ + ρ ( 1 − cos Δ α ) ] 2 ， 因|AA'|(=Δs)是小直角ΔAMA'和小直角ΔADA'公共斜边，所以 Δ s ( ϕ ) = Δ s ( α ) [ = | A A ′ | ] . 令函数 Z = Δ s ( ϕ ) − Δ s ( α )       = r x ( sin Δ ϕ ) 2 + ( 1 − cos Δ ϕ ) 2           − ( ρ sin Δ α ) 2 + [ Δ ρ + ρ ( 1 − cos Δ α ) ] 2 = 0 ， 函数Z对△s(Φ)和△s(α)的偏导数： ∂ Z ∂ Δ s ( ϕ ) = lim Δ ϕ → 0 Δ s Δ ϕ = lim Δ ϕ → 0 r x ( sin Δ ϕ ) 2 + ( 1 − cos Δ ϕ ) 2 Δ ϕ = r x ， [ 6 ] ∂ Z ∂ Δ s ( α ) = lim Δ α → 0 Δ s Δ α = lim Δ α → 0 ( ρ sin Δ α ) 2 + [ Δ ρ + ρ ( 1 − cos Δ α ) ] 2 Δ α = ρ 2 + ( d ρ d α ) 2 ， [ 6 ] 函数Z的全微分：因为 Z = Δ ( Φ ) − Δ ( α ) = 0 ， 且 d Z | [ Δ s ( ϕ ) ， Δ s ( α ) ] = ∂ Z ∂ Δ s ( ϕ ) d ϕ − ∂ Z ∂ Δ s ( α ) d α = r x d ϕ − ρ 2 + ( d ρ d α ) 2 d α = 0 ， 即 ρ 2 + ( d ρ d α ) 2 d α = r x d ϕ ， 所以弧微分等价代换即ds(Φ) = ds(α)成立。 说明：在立体坐标系中，因 | P P ′ | = a 是⊙O环所在平面的已知垂线(即a为常量)，沿函数曲线当A'→A(或AA'→0)时，直角ΔPP'A'→直角ΔPP'A(全等)，即ΔPP'A'和ΔPP'A各自所在的平面趋向于同一极限，有PA'→PA(且 P A ⊂ Δ P P ′ A 所在平面)、 α + Δ α → ∠ A ′ P P ′ 。 且ΔPP'A中， ρ = a cos θ ，则 d s ( α ) = ρ 2 + ( d ρ d α ) 2 d α = ( a cos α ) 2 + ( d a cos α ) 2 ( d α ) 2 d α = a cos 2 α d α . 由以上ds(Φ) = ds(α)成立可知，式 d s ( α ) = ρ 2 + ( d ρ d α ) 2 d α = a cos 2 α d α [ 7 ] 同样是求弧微分的方法，应用时可根据具体问题的需要，把ds(Φ)与ds(α)作等价代换使用。 由以上所述可以得出弧微分等价代换定理：直角坐标系中，平面光滑曲线C是函数z = f(y)在区间(a，b)内的图像，其弧微分 d s = 1 + [ f ′ ( y ) ] 2 d y ; 极坐标中平面光滑曲线C满足r = r(Ф)，[Ф 0 ≤Ф≤Ф n ] [也即r(Ф)在(Ф 0 ，Ф n )上有连续导数]，其弧微分 d s ( ϕ ) = [ r ( ϕ ) ] 2 + [ r ′ ( ϕ ) ] 2 d ϕ ; 在所构成的立体坐标系中，存在任一已知关系点P(a，y，z)，P点到平面光滑曲线C弧微分ds(Φ)的距离为ρ(α)，α为P点直线x = a与直线ρ(α)的夹角，则弧微分存在 d s ( ϕ ) = d s ( α ) ， 即 [ r ( ϕ ) ] 2 + [ r ′ ( ϕ ) ] 2 d ϕ = [ ρ ( α ) ] 2 + [ ρ ′ ( α ) ] 2 d α [ 或 a cos 2 α d α ] ， 称之为平面光滑曲线弧微分与立体坐标系中弧微分的等价代换定理，简称弧微分等价代换定理 [ 7 ] 。 根据弧微分等价代换定理，如图1，可把⊙O中平面扇形AOA'的弧微分ds(Φ)变换成由空间扇形APA'构成的弧微分形式ds(α).由于ds(Φ) = ds(α)是等价代换，将电流方向平行于圆心轴OO'的圆环⊙O磁场被积式由关于自变量Φ转换成关于自变量为α和弧微分为ds(α)的形式再进行积分，求得积分解析解就可使数值计算达到精确值要求。 2.2. 有限长圆柱导体空间任一点的沿平行圆周切向磁场B P 切 的解析算法 讨论：结合图1，要求得有限长圆柱导体空间外平行圆周上任一点P的沿该点切线方向磁场B 切 的解析解，想象圆柱导体是由沿电流方向的互相平行的密集细导线组成。以圆柱导体的中心为基准轴，任取一个由密集细导线组成薄皮圆管(如半径r x 处)导体。为求得该薄皮圆管导体在P点的B 切 磁场，若采用先求有限长直导线以及薄皮圆管导体在P点的B 切 磁场，再对圆柱导体求积分的路子，不可避免遇到解全椭圆积分问题；要避开解全椭圆积分，就需调整积分次序，采用在该薄皮圆管导体上选任一横截面位置取得导体圆环元素，并使用弧微分等价代换定理，即根据⊙O和⊙O′之间距离a为常量，以及a与变量斜边ρ、角α构成直角三角形关系，具有减少变量的优势，使用a、α、ρ表述的弧微分形式 d s ( α ) = [ ρ ( α ) ] 2 + [ ρ ′ ( α ) ] 2 d α ( = a cos 2 α d α ) ， 以等价代换⊙O中的弧微分ds = r x dΦ，同时把变量Φ变换成α，以完成积分变换，先对idℓ所在的切片薄圆环电流磁场积分，然后再针对有关dℓ进行积分，求得薄皮圆管在P点处的沿所在平行圆周切线方向磁场B 切 的解析解，继而得到圆柱导体在P点切向磁场的解析解。 2.2.1. 电流平行于圆心轴的薄圆环上电流元的磁场dB P 切 如图1，在有限长圆柱导体内的一个薄皮圆管(半径r x 处)导体上，选任一横截面处取得薄圆环元素(即⊙O环)。圆柱导体外任一点P位于平行于⊙O的⊙O′圆周上，在⊙O圆环上任选取电流元idℓ (idℓ平行于|OO’|)，P与idℓ连线为ρ， | P P ′ | ⊥ ⊙ O ， | P P ′ | = a ， ∠ ( i d l ， ρ ) = α ， | O ′ P | = R ，r x 与|OP’|的夹角Φ，dB与dB 切 的夹角β，P到idℓ直线的距离为k。 讨论电流元idℓ在P点所在⊙O′平行圆周上，沿P点切线方向的磁场dB 切 。 由毕奥–萨伐尔定律，电流元idℓ在P点的磁场 d B = μ 0 i 4 π sin α ρ 2 d l ， dB在P点的沿⊙O’圆周切线方向磁场dB 切 ， d B 切 d B = cos β ， d B 切 = d B ⋅ cos β = μ 0 i 4 π sin α ρ 2 d l ⋅ cos β . a ρ = cos α ， ρ = a cos α ; d s ( α ) = ρ ′ 2 ( α ) + ρ 2 ( α ) d α = a cos 2 α d α [ = d s ( ϕ ) = r x d ϕ ] . α与k的函数关系， k = atan α . β所在的三角形满足： r x 2 = k 2 + R 2 − 2 k R cos β ⇒ k = R cos β ± r x 2 − R 2 sin 2 β ， a tan α = R cos β ± r x 2 − R 2 sin 2 β ⇒ cos β = a 2 tan 2 α − r x 2 + R 2 2 a R tan α 使用弧微分等价代换定理，电流元idℓ在⊙O′平行圆周P点处，沿切线方向上的磁场 d B 切 = μ 0 i 4 π sin α ρ 2 d l ⋅ cos β ( n d s ) = μ 0 4 π N i 2 π r x sin α ( a cos α ) 2 a 2 tan 2 α − r x 2 + R 2 2 a R tan α a cos 2 α d α d l = μ 0 8 π R a 2 I ′ 2 π r x cos α ( a 2 tan 2 α − r x 2 + R 2 ) d α d l . 2.2.2. 电流方向平行于中心轴的薄皮圆管导体的B 切 磁场 如图2，在半径为r x 薄皮圆管的任一圆环上任选一个圆环元素ΔS (=ds)，该圆管圆周上单位长度的电流元idℓ x 个数为n，整个圆环圆周上电流元总数为N个[有 n = N / ( 2 π r x ) ，且 n → ∞ ]，即ΔS上有电流元为idℓ x nds个，有 n i d l x = N i d l x / ( 2 π r x ) = I ′ d l x / ( 2 π r x ) ，I′是通过圆环元素的线电流之和，且 d s ( Φ ) = d s ( α ) = ( a / cos 2 α ) d α 。 先对I’dℓ所在的切片薄圆环电流的P点切向磁场积分，再对薄皮圆管电流切向磁场积分。 B 切 = ∬ d B 切 = μ 0 8 π R I ′ 2 π r x ∫ a a + l 2 ⋅ d l x ∫ sin α 1 = R − r x l x 2 + ( R − r x ) 2 sin α 2 = R + r x l x 2 + ( R + r x ) 2 cos α l x 2 ( l x 2 tan 2 α − r x 2 + R 2 ) d α [ 6 ] [ 8 ] = μ 0 8 π R I ′ 2 π r x { ( a + l ) ln | ( a + l ) 2 + ( R + r x ) 2 + R + r x ( a + l ) 2 + ( R + r x ) 2 + R − r x |     − ( R − r x ) ( a + l ) 2 + ( R + r x ) 2 a + l + ( R + r x ) ( a + l ) 2 + ( R − r x ) 2 a + l     − a ln | a 2 + ( R + r x ) 2 + R + r x a 2 + ( R − r x ) 2 + R − r x | + ( R − r x ) a 2 + ( R + r x ) 2 a     − ( R + r x ) a 2 + ( R − r x ) 2 a } . 计算结果： l = r x = 1 ， R = 1.1 ， a ∈ ( 3 ， 2 ， 1 ， 0.5 ， 0.3 ， 0.1 ， 0.01 ， ≠ 0 ， − 0.01 ， − 0.1 ， − 0.3 ， − 0.5 ， − 0.7 ， − 0.9 ， − 0.99 ) [ 4 π / μ 0 I ] B 切 ∈ ( 0.00932 ， 0.02125 ， 0.06145 ， 0.1235 ， 0.18465 ， 0.31579 ， 0.45404 ，                                             0. 49 0 9 ， 0. 62759 ， 0. 74945 ， 0. 77597 ， 0. 74945 ， 0. 62759 ， 0. 49 0 9 ) . 磁场以薄圆管中间横截面为界，成左右对称分布状态。 2.2.3. 电流平行于中心轴的圆柱导体的B 切 磁场 如图3所示，圆柱导体(1)内、外半径为r 1 、r 2 ，圆柱导体外与其同圆心轴的平行圆周⊙O’上有任一点P，r 1 →r 2 单位厚度电流环数为m (=M/r x )，在r x 处选取圆柱元素dr x ，dr x 电流环有 m I ′ d r x = M I ′ d r x / r x = I d r x / r x ，I是通过圆柱导体的总电流强度。讨论圆柱导体(1)在P点的沿该平行圆周切向的磁场B 1 切 。 图2. 薄皮圆管导体的切向磁场 图3. 圆柱导体的磁场 B 1 切 = μ 0 I 1 4 π R ∫ r 1 r 2 1 2 π r x 2 { ( a + l ) ln | ( a + l ) 2 + ( R + r x ) 2 + R + r x ( a + l ) 2 + ( R − r x ) 2 + ( R − r x ) |     − ( R − r x ) ( a + l ) 2 + ( R + r x ) 2 a + l + ( R + r x ) ( a + l ) 2 + ( R − r x ) 2 a + l     − a ln | a 2 + ( R + r x ) 2 + R + r x a 2 + ( R − r x ) 2 + ( R − r x ) | + ( R − r x ) a 2 + ( R + r x ) 2 a     − ( R + r x ) a 2 + ( R − r x ) 2 a } d r x = μ 0 I r 2 8 π 2 R { − a + l r 2 ln | ( a + l ) 2 + ( R + r 2 ) 2 + R + r 2 ( a + l ) 2 + ( R − r 2 ) 2 + ( R − r 2 ) |     − R − r 2 ( a + l ) r 2 ( a + l ) 2 + ( R − r 2 ) 2 + R + r 2 ( a + l ) r 2 ( a + l ) 2 + ( R + r 2 ) 2     + 2 a + l ( a + l ) 2 + R 2 ln | ( a + l ) 2 + R 2 ( a + l ) 2 + ( R + r 2 ) 2 − ( a + l ) 2 − R 2 − R r 2 ( a + l ) 2 + R 2 ( a + l ) 2 + ( R − r 2 ) 2 + ( a + l ) 2 + R 2 − R r 2 |     + a r 2 ln | a 2 + ( R + r 2 ) 2 + R + r 2 a 2 + ( R − r 2 ) 2 + ( R − r 2 ) | + R − r 2 a r 2 a 2 + ( R − r 2 ) 2 − R + r 2 a r 2 a 2 + ( R + r 2 ) 2     − 2 a a 2 + R 2 ln | a 2 + R 2 a 2 + ( R + r 2 ) 2 − a 2 − R 2 − R r 2 a 2 + R 2 a 2 + ( R − r 2 ) 2 + a 2 + R 2 − R r 2 | } − μ 0 I r 1 8 π 2 R { − a + l r 1 ln | ( a + l ) 2 + ( R + r 1 ) 2 + R + r 1 ( a + l ) 2 + ( R − r 1 ) 2 + ( R − r 1 ) |   − R − r 1 ( a + l ) r 1 ( a + l ) 2 + ( R − r 1 ) 2 + R + r 1 ( a + l ) r 1 ( a + l ) 2 + ( R + r 1 ) 2   + 2 a + l ( a + l ) 2 + R 2 ln | ( a + l ) 2 + R 2 ( a + l ) 2 + ( R + r 1 ) 2 − ( a + l ) 2 − R 2 − R r 1 ( a + l ) 2 + R 2 ( a + l ) 2 + ( R − r 1 ) 2 + ( a + l ) 2 + R 2 − R r 1 |   + a r 1 ln | a 2 + ( R + r x ) 2 + R + r 1 a 2 + ( R − r x ) 2 + ( R − r 1 ) | + R − r 1 a r 2 a 2 + ( R − r 1 ) 2 − R + r 1 a r 1 a 2 + ( R + r 1 ) 2   − 2 a a 2 + R 2 ln | a 2 + R 2 a 2 + ( R + r 1 ) 2 − a 2 − R 2 − R r 1 a 2 + R 2 a 2 + ( R − r 1 ) 2 + a 2 + R 2 − R r 1 | } 计算结果： l = r 2 = 1 ， r 1 = 0.001 ， R = 1.1 ， a ∈ ( 0.1 ， 0.01 ， ≠ 0 ， − 0.01 ， − 0.1 ， − 0.3 ， − 0.5 ， − 0.7 ， − 0.9 ， − 0.99 ， ≠ − 1 ， − 1.01 ， − 1.1 ) 。 [ 4 π / μ 0 I ] B 1 切 ∈ ( 2.47505 ， 2.70398 ， 2.71177 ， 2.96494 ， 3.30777 ， 3.3999 ，                                               3.30777 ， 2.96494 ， 2.71177 ， 2.70398 ， 2.47505 ) . 磁场以圆柱导体中间横截面为界，成上下对称分布状态。 2.2.4. 两个平行圆柱导体，在其一临近导体的平行圆周切向上任一点的叠加磁场B P 切 如图3，P点临近圆柱导体(1)，且在该导体的平行圆周⊙O上，导体(1)在P点的磁场在2.2.3已求得；P点离圆柱导体(2)较远，该导体(2)在P点的沿平行圆周⊙O切向的磁场B 2 切 是等粗圆柱导体(2)在P点产生磁场B 2 的分量，且B 2 切 、B 2 、R 2 、OP (=R)均在同一平面，B 2 ⊥R 2 、B 2 切 ⊥OP， ∠ ( B 2 切 ， B 2 ) = ∠ O P O ′ ， ∠ P O R = Φ 。有 B 2 切 = B 2 cos ∠ ( B 2 切 ， B 2 ) = B 2 cos ∠ O P O ′ ， sin ∠ O P O ′ = D + 2 r 2 R 2 sin ϕ ; cos ∠ O P O ′ = R 2 2 − ( D + 2 r 2 ) 2 sin 2 ϕ R 2 ， cos ∠ O P O ′ = | ( D + 2 r 2 ) cos ϕ − R 2 | ( D + 2 r 2 ) 2 + R 2 2 − 2 R 2 ( D + 2 r 2 ) cos ϕ . B 2 切 = B 2 ⋅ cos ( B 2 切 ， B 2 ) | r 1 r 2 [ 9 ] = { μ 0 I r 2 8 π 2 R 2 [ − a + l r 2 ln | ( a + l ) 2 + ( R 2 + r 2 ) 2 + R 2 + r 2 ( a + l ) 2 + ( R 2 − r 2 ) 2 + ( R 2 − r 2 ) |     − R 2 − r 2 ( a + l ) r 2 ( a + l ) 2 + ( R 2 − r 2 ) 2 + R 2 + r 2 ( a + l ) r 2 ( a + l ) 2 + ( R 2 + r 2 ) 2     + 2 a + l ( a + l ) 2 + R 2 2 ln | ( a + l ) 2 + R 2 2 ( a + l ) 2 + ( R 2 + r 2 ) 2 − ( a + l ) 2 − R 2 2 − R 2 r 2 ( a + l ) 2 + R 2 2 ( a + l ) 2 + ( R 2 − r 2 ) 2 + ( a + l ) 2 + R 2 2 − R 2 r 2 |     + a r 2 ln | a 2 + ( R 2 + r 2 ) 2 + R 2 + r 2 a 2 + ( R 2 − r 2 ) 2 + ( R 2 − r 2 ) | + R 2 − r 2 a r 2 a 2 + ( R 2 − r 2 ) 2     − R 2 + r 2 a r 2 a 2 + ( R 2 + r 2 ) 2 − 2 a a 2 + R 2 2 ln | a 2 + R 2 2 a 2 + ( R 2 + r 2 ) 2 − a 2 − R 2 2 − R 2 r 2 a 2 + R 2 2 a 2 + ( R 2 − r 2 ) 2 + a 2 + R 2 2 − R 2 r 2 | ] − μ 0 I r 1 8 π 2 R 2 [ − a + l r 1 ln | ( a + l ) 2 + ( R 2 + r 1 ) 2 + R 2 + r 1 ( a + l ) 2 + ( R 2 − r 1 ) 2 + ( R 2 − r 1 ) |   − R 2 − r 1 ( a + l ) r 1 ( a + l ) 2 + ( R 2 − r 1 ) 2 + R 2 + r 1 ( a + l ) r 1 ( a + l ) 2 + ( R 2 + r 1 ) 2   + 2 a + l ( a + l ) 2 + R 2 2 ln | ( a + l ) 2 + R 2 2 ( a + l ) 2 + ( R 2 + r 1 ) 2 − ( a + l ) 2 − R 2 2 − R 2 r 1 ( a + l ) 2 + R 2 2 ( a + l ) 2 + ( R 2 − r 1 ) 2 + ( a + l ) 2 + R 2 2 − R 2 r 1 |   + a r 1 ln | a 2 + ( R 2 + r x ) 2 + R 2 + r 1 a 2 + ( R 2 − r x ) 2 + ( R 2 − r 1 ) | + R 2 − r 1 a r 1 a 2 + ( R 2 − r 1 ) 2 − R 2 + r 1 a r 1 a 2 + ( R 2 + r 1 ) 2   − 2 a a 2 + R 2 2 ln | a 2 + R 2 2 a 2 + ( R 2 + r 1 ) 2 − a 2 − R 2 2 − R 2 r 2 a 2 + R 2 2 a 2 + ( R 2 − r 1 ) 2 + a 2 + R 2 2 − R 2 r 2 | ] } ⋅ R 2 2 − ( D + 2 r 2 ) 2 sin 2 ϕ R 2 . 等粗圆柱导体(1)和(2)，在导体(1)的平行圆周P点产生的沿该圆周切向的叠加磁场： B P 切 = B 1 切 + B 2 切 [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] 由以上对电流方向平行于中心轴的薄皮圆管和圆柱导体磁场的计算，可对两个有限长载流圆柱导体的磁场进行定性判断。以图3的导体(1)为例，导体(2)因距离导体(1)较远，它在导体(1)表面附近产生的磁场较弱，导体(1)和(2)的叠加效果，以沿导体(1)中心轴线的竖直平面为界，该竖直平面右侧的导体(1)及其附近区域的磁场被略有加强，该竖直平面左侧区域的磁场被略有减弱。导体(2)的磁场分布与导体(1)类同。这表明两个有限长圆柱导体附近的磁场主要是由临近导体产生和决定的，距离较远的导体对其影响是有限的。 基于三维的圆柱导体磁场的复杂性，企望使用一两个极少的基本初等函数组合形式来准确表达圆柱导体磁场的解析解是不太可能的。本文圆柱导体磁场是用有限初等函数组合形式表述的精确解析解，不存在截断误差，其数值计算结果只存在舍入误差，因此它将优于任何形式的近似数值解算法，在使用时可根据具体问题的需要，使计算的数值达到和满足其所需的精确值的精度要求。