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user: 4. 数值模拟 4.1. 数据拟合 我们收集了2020年4月1日至2020年7月29日这120天的新增病例和累计病例数据，首先用模型(1)模拟印度2020年4月1日至2020年7月29日期间的病例数。其中，Z(t)代表累积的病例数，Z(t)表示为： d Z d t = m I ( t ) . 系统(1)的初始条件和其他参数估计如表1和表2所示。用最小二乘法分别对120天印度新冠肺炎的每日新增病例和累计病例进行数据模拟，并与实际数据进行对比如图3所示。此外，通过最小二乘拟合得出参数 β 和m的值： β = 0.1439 ， m = 0.2608. Table 1 Initial conditions in the Indian COVID-19 model (1 S ( 0 ) E ( 0 ) I ( 0 ) Q ( 0 ) R ( 0 ) Z ( 0 ) 1.39 × 10 9 8000 4800 1600 140 1600 表1. 印度新冠模型(1)的初始条件 Table 2 Other parameters except m and β in the Indian COVID-19 model (1 参数 估计值 范围 Reference μ 0.0000421 1/(65 × 365) β 1 0 .5 β 0-1 Estimated β 2 0 .2 β 0-1 Estimated δ 1/5.2 0-1 Estimated γ 0.045 0-1 Estimated 表2. 印度新冠模型(1)中除m和 β 的其他参数 图3. 用最小二乘法拟合印度2020年4月1日到2020年7月27日期间的病例数据。(a) 新增病例；(b) 累计病例 4.2. 免疫比例x为常数 将最小二乘拟合得到 β = 0.1439 ， m = 0.2608 代入到模型(4)，当免疫比例x为常数v时，即每天给一定比例的人接种疫苗，其中图4(a)表示新增病例的变化，图4(b)表示累计病例的变化，初值取最小二乘拟合的末值，三条线颜色不同的线表示每天的疫苗接种比例不同对疾病传播的影响也是不同的。我们可以清楚的看到，按比例接种后，每日新增病例趋势是先增后减，随后减小到0，且保持在0增长；累计病例也会由增加，随后保持在固定值。 图4. 取不同的v值时，染病者随时间变化的轨迹。(a) 新增病例；(b) 累计病例 当v取不同值时，即每天对印度不同比例的人口接种疫苗，从图4可以看到当v的值越大时，新增病例最大值会越低，且到达最大值的时间越早。同样地，v取值越大时，累计病例最终稳定值会越小，而且到达稳定值的时间也越早。所以，在按比例接种疫苗时，增大疫苗接种比例能有效减少染病人数，且会减少疫情持续时间。 4.3. 疫苗博弈的免疫效果模拟 将最小二乘拟合得到的参数 β = 0.1439 ， m = 0.2608 代入到模型(2)中，由于在模型(6)中要x的取值为 0 < x < 1 ，所以取 ω = 0.000001 ， k = 0.001 ，可得如图5所示在博弈免疫策略下接种疫苗后的染病者和疫苗 图5. 取 ω = 0.000001 ， k = 0.01 ，疫苗博弈后染病者和接种者随时间变化的曲线 接种者的变化趋势及其相互关系。同样初值取最小二乘拟合的末值，而免疫比例x的初值设为0.001。从图5可以看到，在开始接种疫苗的一段时间中，染病者的人数持续增加，同时疫苗接种量很低，当染病者增长到某个数量，疫苗接种开始快速增长，而随着疫苗接种的增长，染病者数量开始下降，并且很快下降到0，然后持续在0染病状态，同时，在染病人数降低到一定程度后，疫苗接种量也开始就下降，最终可以下降到0。 在图6、图7中，我们对疫苗博弈策略之后一段时间的每日新增病例数和累计病例数进行了短期预测。首先，从图6中可以清楚地看出，在博弈免疫策略下每日新增病例数量在先增加后减小，然后趋于0。然后，从图7中可以清楚地看出，累计病例接种初期还是呈现增长趋势，但是在一段时间后，累计病例不再增加而是稳定状态。因此，在博弈疫苗策略下，能有效减少染病人数，同时大大缩短疫情的时间。 图6. 从2020年7月底开始加入博弈疫苗免疫。(a) 在 ω = 0.000001 时，不同 κ 值下的新增病例；(b) 在 κ = 0.0 05 时，不同 ω 值下的新增病例 图7. 从2020年7月底开始加入博弈疫苗免疫。(a) 在 ω = 0.000001 时，不同 κ 值下的累计病例；(b) 在 κ = 0.0 05 时，不同 ω 值下的了累计病例 对于博弈模型中的两个参数 ω 和 κ ， κ = k r v ， ω = η ( r i / r v ) ，其中k表示组合模仿率，即学习模仿他人的能力， η 表示不接种疫苗的个体感染疾病的可能性，k和 η 的值会影响疾病的传播，即 ω 和 κ 的值会影响疾病的传播。在图6(a)、图6(b)和图7(a)、图7(b)中，我们对不同 ω 和 κ 值下的累计病例数和每日新增病例数进行了短期预测。从图6(a)和图7(a)可以清楚地看出，当 ω 值固定为0.000001时，不同值的 κ 在博弈免疫初期对新增病例和累计病例的影响不大，而在一段时间的接种后，随着 κ 值的增大，新增病例最大值会减小，达到新增病例最大值的时间会越来越早，且达到0增长的时间也会越来越早；同时，随着 κ 值的增大，累计病例的最终稳定值会减小，达到稳定值的时间也会越早。所以，人们的学习能力越强(k越大)时，对疾病的控制效果越好。 同样地，从图6(b)和图7(b)可以清楚地看出，当 κ 值固定为0.005时，不同值的 ω 会对博弈免疫产生相同的影响，且不同值的 ω 在博弈免疫初期对新增病例和累计病例的影响不大，而随着 ω 值的增大，新增病例最大值会减小，达到最大值的时间会提前，达到0增长的时间也会提前；同时，随着 ω 值的增大，累计病例的最终稳定值会减小，达到稳定值的时间也会提前。所以，在不接种疫苗时，个体感染疾病的可能性越大( η 越大)时，对疾病的控制效果越好。因此，在人们学习能力强(k较大)或者不接种疫苗的个体感染疾病的可能性更大 η 较大)时，会促使人们接种疫苗，更快控制疾病且达到消灭疾病。 4.4. 基本再生数R 0 和有效再生数R v ， R ω 的比较 通过计算和动力学分析，可以得到在不考虑疫苗时，模型的基本再生数为1.5641，且有效再生数 R v ， R ω 的表达式如下表3，其中 v 0 = v ( 1 + μ ) μ + v ， ω 0 = ( δ + μ ) ( γ + μ ) ( m + μ ) μ ω N ( μ R 0 + 1 ) [ ( γ + μ ) ( m + μ ) + δ ( γ + μ ) + δ m ] . Table 3 The expressions for R 0 ， R v ， R R 0 R v R ω R 0 ( 1 − v 0 ) R 0 ( 1 − ω 0 ) R 0 表3. R 0 ， R v ， R ω 的表达式 通过分析可知，在不考虑疫苗时，模型的基本再生数大于1，表明此时如果不采取控制措施，疾病将会继续传播。而对于免疫比例为常数v时，由有效再生数 R v = 1 可得此时出生率和免疫率的比例，即 μ / v = 1.7729 ，所以免疫率v与出生率 μ 有关。当出生率和免疫率的比例大于某个固定值时，有效再生数 R v 会小于1，此时疾病传播将会得到有效控制，疾病不会继续传播；而当出生率和免疫率的比例小于某个固定值时，有效再生数 R v 大于1，此时疾病将继续传播。且当免疫率v越大时，染病人数会大规模减少，且疫情持续时间也会缩短很多。如图4所示，免疫比例v从0.005增大到0.01，新增病例的最大值几乎减小一半，且达到最大值的时间也提前将近50天，新增病例减小到0的时间提前将近100天，而累计病例的最终规模减小了1.5倍，到达最终稳定值的时间也提前将近100天。这表明了按比例接种疫苗接种对控制疾病传播的有效性，当出生率和免疫率的比例大于某个固定值，能够有效减少染病人数，且缩短疫情持续时间。 而对于博弈免疫的有效再生数，由 R ω = 1 可得 ω 的阈值为0.000001517，且当 ω 大于这个阈值时，有 R ω 大于1；而当 ω 小于这个阈值时，有效再生数 R ω 小于1。且 ω 越大，有效再生数 R ω 越大，即不接种疫苗的个体感染疾病的可能性更大时( η 较大)，有效再生数 R ω 越大。而疾病的控制不止与不接种疫苗的个体感染疾病的可能性( η )有关，还与人们学习能力(k)有关，从图6、图7可以看出，在人们学习能力强(k较大)或者不接种疫苗的个体感染疾病的可能性更大( η 较大)时，新增病例最大值和累计病例最终规模都会减少，染病人数大量减少，且疫情持续时间大大缩短。