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user: 3. 理论分析 为了合理地探析营养盐与藻类种群之间的相互作用机制及其相关动力学特性，将对所建生态模型(1)的持久生存性、稳定性和分岔性等动力学行为进行理论分析，推导出模型具有这些特定动力学行为的关键阈值条件，为后续数值模拟工作提供一定的理论基础。 3.1. 种群持久生存性分析 引理1: 若模型(1)的初始值是大于等于零的，则模型(1)的任意解都是大于等于零。 证明：从模型(1)可知， d x d t ≥ − b x + x 1 + x − a 1 x y b 1 + x − a 2 x z b 2 + x = x ( − b + 1 1 + x − a 1 y b 1 + x − a 2 z b 2 + x ) ， ⇒ x ( t ) ≥ x ( 0 ) e ∫ 0 t − b + 1 1 + x − a 1 y b 1 + x − a 2 z b 2 + x   d t ， y ( t ) = y ( 0 ) e ∫ 0 t e 1 a 1 x b 1 + x − d 1 − c 1 y   d t ， z ( t ) = z ( 0 ) e ∫ 0 t e 2 a 2 x b 2 + x − d 2 − c 2 z   d t . 因此，当 x ( 0 ) ≥ 0 ， y ( 0 ) ≥ 0 ， z ( 0 ) ≥ 0 时，对任意 t ≥ 0 ，都有 x ( t ) ≥ 0 ， y ( t ) ≥ 0 ， z ( t ) ≥ 0 成立。 引理 2. 设 Ω = { ( x ， y ， z ) : 0 ≤ x ≤ M 1 ， 0 ≤ y ≤ M 2 ， 0 ≤ z ≤ M 3 } ，则模型(1)的解是有界的。 证明：由模型(1)知， d x d t ≤ I − b x + x 1 + x ⇒ d x d t ≤ I − b x + 1 ，根据比较定理可知， lim t → ∞ sup x ( t ) ≤ I + 1 b = M 1 ， 通过以上的分析，以及函数 f ( x ) = a x b + x 的性质可知对于 d y d t ≤ ( e 1 a 1 M 1 b 1 + M 1 − d 1 ) y − c 1 y 2 是成立的，那么 我们就可推得 lim t → ∞ sup y ( t ) ≤ 1 c 1 [ b e 1 a 1 ( I + 1 ) b b 1 + I + 1 − d 1 ] = M 2 . 同样的有 d z d t ≤ ( e 2 a 2 M 1 b 2 + M 1 − d 2 ) z − c 2 z 2 ，进而得到 lim t → ∞ sup z ( t ) ≤ 1 c 2 [ b e 2 a 2 ( I + 1 ) b b 2 + I + 1 − d 2 ] = M 3 。根据以 上对 x ( t ) ， y ( t ) ， z ( t ) 的研究，显然他们都是具有上确界的。我们的定理得到了证明。 定理1. 若条件 e i a i m i b i + m i ≥ d i 成立，则模型(1)的种群是一致持久生存的 证明：从模型(1)可知， d x d t ≥ I − b x − a 1 x y b 1 + x − a 2 x z b 2 + x ⇒ d x d t ≥ I − b x − a 1 x M 2 b 1 + x − a 2 x M 3 b 2 + x ， 则 lim t → ∞ inf x ( t ) ≥ I b + a 1 M 2 b 1 + a 2 M 3 b 2 = m 1 . 同样根据函数 f ( x ) = a x b + x 的性质知 d y d t ≥ ( e 1 a 1 m 1 b 1 + m 1 − d 1 − c 1 y ) y ， d z d t ≥ ( e 2 a 2 m 2 b 2 + m 2 − d 2 − c 2 z ) z ， 因此 lim t → ∞ inf y ( t ) ≥ 1 c 1 ( e 1 a 1 m 1 b 1 + m 1 − d 1 ) = m 2 ， lim t → ∞ inf z ( t ) ≥ 1 c 2 ( e 2 a 2 m 2 b 2 + m 2 − d 2 ) = m 3 . 综上，模型(1)的种群是一致持久生存的。 3.2. 平衡点存在性与稳定性分析 不妨设 d x d t = I − b x + x 1 + x − a 1 x y b 1 + x − a 2 x z b 2 + x = P 1 ( x ， y ， z ) ， d y d t = e 1 a 1 x y b 1 + x − d 1 y − c 1 y 2 = P 2 ( x ， y ， z ) ， d z d t = e 2 a 2 x z b 2 + x − d 2 z − c 2 z 2 = P 3 ( x ， y ， z ) . 考虑方程 P 1 ( x ， y ， z ) + 1 e 1 P 2 ( x ， y ， z ) + 1 e 2 P 3 ( x ， y ， z ) = 0 的解，显然有 I − b x + x 1 + x = d 1 e 1 y + c 1 e 1 y 2 + d 2 e 2 z + c 2 e 2 z 2 ， ⇒ { I − ( b + 1 ) x + x 1 + x + M = 0 ， x = ( y + d 1 2 c 1 ) 2 e 1 c 1 + ( z + d 2 2 c 2 ) 2 e 2 c 2 ， 其中 M = d 1 2 4 c 1 e 1 + d 2 2 4 c 2 e 2 。那么我们可以得到 { f ( x ) = ( b + 1 ) x 2 − ( I + M − b ) x − ( I + M ) = 0 ， 1 = ( y + d 1 2 c 1 ) 2 e 1 x c 1 + ( z + d 2 2 c 2 ) 2 e 2 x c 2 . 为了使y和z的相应解都在第一象限内，必须有 y = − d 1 2 c 1 + e 1 x c 1 > 0 ， z = − d 2 2 c 2 + e 2 x c 2 > 0. 即 x > d 1 2 4 c 1 e 1 且 x > d 2 2 4 c 2 e 2 必须满足。 根据模型(1)可得 y = 1 c 1 ( e 1 a 1 x b 1 + x − d 1 ) 和 z = 1 c 2 ( e 2 a 2 x b 2 + x − d 2 ) 因此，有 x > d 1 b 1 e 1 a 1 − d 1 且 x > d 2 b 2 e 2 a 2 − d 2 ( e i a i > d i ， i = 1 ， 2 ) 假定 H = max { d 1 2 4 c 1 e 1 ， d 2 2 4 c 2 e 2 ， d 1 b 1 e 1 a 1 − d 1 ， d 2 b 2 e 2 a 2 − d 2 } ，则当 x > H 时，系统存在第一象限的解，即存在内 平衡点 E * = ( x * ， y * ， z * ) 。 定理2. 当内平衡点存在时，若条件(2)~(4)满足，则内平衡点 E * = ( x * ， y * ， z * ) 是局部渐近稳定的 证明：模型(1)的内平衡点 E * 的雅各比矩阵如下所示： J ( E * ) = [ A − E 1 − E 2 D 1 − B 0 D 2 0 − C ] ， 其中 A = 1 ( 1 + x * ) 2 − b − a 1 b 1 y * ( b 1 + x * ) 2 − a 2 b 2 z * ( b 2 + x * ) 2 ， B = c 1 y * ， C = c 2 z * ， E 1 = a 1 x * b 1 + x * ， E 2 = a 2 x * b 2 + x * ， D 1 = e 1 a 1 b 1 y * ( b 1 + x * ) 2 ， D 2 = e 2 a 2 b 2 z * ( b 2 + x * ) 2 ， 可求得其特征方程为 − λ 3 + ( A − B − C ) λ 2 + ( A B + A C − B C − D 1 E 1 − D 2 E 2 ) λ + A B C − D 1 E 1 C − D 2 E 2 B = 0 ， 要使该特征方程具有三个负特征根，根据韦达定理知需以下条件成立。 A − B − C < 0 ， A B + A C − B C − D 1 E 1 − D 2 E 2 < 0 ， A B C − D 1 E 1 C − D 2 E 2 B < 0. 即 1 ( 1 + x * ) 2 − b − a 1 b 1 y * ( b 1 + x * ) 2 − a 2 b 2 z * ( b 2 + x * ) 2 − c 1 y * − c 2 z * < 0 ， (2) [ 1 ( 1 + x * ) 2 − b − a 1 b 1 y * ( b 1 + x * ) 2 − a 2 b 2 z * ( b 2 + x * ) 2 ] ( c 1 y * + c 2 z * ) − c 1 c 2 y * z * − e 1 a 1 2 b 1 x * y * ( b 1 + x * ) 3 − e 2 a 2 2 b 2 x * z * ( b 2 + x * ) 3 < 0 ， (3) [ 1 ( 1 + x * ) 2 − b − a 1 b 1 y * ( b 1 + x * ) 2 − a 2 b 2 z * ( b 2 + x * ) 2 ] c 1 c 2 y * z * − e 1 a 1 2 b 1 x * y * ( b 1 + x * ) 3 − e 2 a 2 2 b 2 x * z * ( b 2 + x * ) 3 < 0. . (4) 此时，模型(1)具有三个负的特征根，因此内平衡点 E * = ( x * ， y * ， z * ) 是局部渐近稳定的。 定理3. 若条件(5)~(7)成立，则模型(1)在内平衡点 E * = ( x * ， y * ， z * ) 处发生Hopf分岔。 证明：根据定理2可知，内平衡点的雅各比矩阵的特征方程为 − λ 3 + ( A − B − C ) λ 2 + ( A B + A C − B C − D 1 E 1 − D 2 E 2 ) λ + A B C − D 1 E 1 C − D 2 E 2 B = 0. 若该内平衡点处可发生Hopf分叉，则其有一对共轭虚根，设其特征根分别为 λ 1 ， λ 2 ， λ 3 ，其中 λ 2 ， λ 3 是一对共轭虚根，令 g = λ 2 λ 3 则该特征方程可写为 ( λ − λ 1 ) ( λ 2 + g ) = 0 经其展开得 g = − ( A B + A C − B C − D 1 E 1 − D 2 E 2 ) > 0 ， (5) λ 1 = A − B − C < 0 ， (6) g λ 1 = A B C − D 1 E 1 C − D 2 E 2 B < 0. (7) 根据公式(7)可解得 b = b * 。 综上可知，当 b = b * 时，则其特征方程存在一对纯虚根。下面我们证明横结性条件。 设 λ = u + i v ， H 1 = − ( A − B − C ) ， H 2 = − ( A B + A C − B C − D 1 E 1 − D 2 E 2 ) ， H 3 = − ( A B C − D 1 E 1 C − D 2 E 2 B ) 则 ( u + i v ) 3 + H 1 ( u + i v ) 2 + H 2 ( u + i v ) + H 3 = 0 (8) 分离方程(7)的实部和虚部并消去v，得 8 u 3 + 8 H 1 u 2 + 2 ( H 1 2 + H 2 ) u + H 1 H 2 − H 3 = 0 ， (9) 当 b = b * ，显然 u ( b * ) = 0 且 8 u 2 + 8 H 1 u + 2 ( H 1 2 + H 2 ) = 0 。对公式(9)求关于参数b的导数，则 [ 24 u 2 + 16 H 1 u + 2 ( H 1 2 + H 2 ) ] d u d b + ( 8 u 2 + 4 H 1 u ) d H 1 d b + 2 u d H 2 d b + d d b ( H 1 H 2 − H 3 ) = 0 ， 故， [ d u d b ] b = b * = − d d b ( H 1 H 2 − H 3 ) 2 ( H 1 2 + H 2 ) ≠ 0. 综上，模型(1)在内平衡点 E * 处可发生Hopf分岔。