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user: 2. 主要结论及应用 引理1 设 ∑ a n 为正项级数，记 p _ = lim _ n → ∞ a 2 n − 1 a n ; p ¯ = lim ¯ n → ∞ a 2 n − 1 a n ; q _ = lim _ n → ∞ a 2 n a n ; q ¯ = lim ¯ n → ∞ a 2 n a n . (2) 则 (i) 当 p ¯ + q ¯ < 1 时，级数 ∑ a n 收敛； (ii) 当 p _ + q _ > 1 时，级数 ∑ a n 发散； (iii) 当 p _ + q _ ≤ 1 ≤ p ¯ + q ¯ 时，该判别法失效。 证 (i)由 p ¯ + q ¯ < 1 知，存在 ε 0 > 0 使得 p ¯ + q ¯ + ε 0 < 1 。又由 lim ¯ n → ∞ a 2 n − 1 + a 2 n a n ≤ p ¯ + q ¯ 知，存在 N 1 ∈ ℕ 使得当 n > N 1 时，有 a 2 n − 1 + a 2 n < ( p ¯ + q ¯ + ε 0 ) a n (3) 由于级数的敛散性与前有限项无关，不妨设(3)式对于所有的自然数 n > 1 都有成立，故 S n = ∑ k = 1 n a k ≤ S 2 n = ∑ k = 1 n ( a 2 k − 1 + a 2 k ) ≤ ( 1 − p ¯ − q ¯ − ε 0 ) a 1 + a 2 + ( p ¯ + q ¯ + ε 0 ) S n 从而 S n ≤ ( 1 − p ¯ − q ¯ − ε 0 ) a 1 + a 2 1 − p ¯ − q ¯ − ε 0 即 { S n } 有界，所以级数 ∑ a n 收敛。 (ii) 由 p _ + q _ > 1 知，存在 ε 0 > 0 使得 p _ + q _ − ε 0 > 1 成立。又由 lim _ n → ∞ a 2 n − 1 + a 2 n a n ≥ p _ + q _ 知，存在 N 2 ∈ ℕ 使得当 n > N 2 时，有 a 2 n − 1 + a 2 n a n > p _ + q _ − ε 0 (4) 类似于(i)中，不妨设(4)式对于所有的自然数 n 都有成立，故有 S 2 n = ∑ k = 1 n a 2 k + ∑ k = 1 n a 2 k − 1 ≥ ( p _ + q _ − ε 0 ) S n . (5) 若 ∑ a n 收敛，则 lim n → ∞ S n 存在，设该极限为 S 。对(5)式两边取极限可得 S ≥ ( p _ + q _ − ε 0 ) S > S 因 S > 0 ，这是矛盾的。故 ∑ a n 发散。 (iii) 考察级数 ∑ n = 2 ∞ 1 n ( ln n ) p 的敛散性 [ 8 ] [ 9 ]。由于 p _ = p ¯ = lim n → ∞ n ( ln n ) p ( 2 n − 1 ) [ ln ( 2 n − 1 ) ] p = 1 2 q _ = q ¯ = lim n → ∞ n ( ln n ) p 2 n ( ln 2 n ) p = 1 2 ， 故 p _ + q _ = p ¯ + q ¯ = 1 ，因此，引理1无法判别其敛散性。但由文献 [ 8 ] [ 9 ] 知，当 p > 1 时，该级数收敛；当 p ≤ 1 时，该级数发散。 利用引理1可以对达朗贝尔判别法失效的情形做如下改进，使其应用范围更加广泛。 定理1 设 ∑ a n 为正项级数， d _ ， d ¯ 如(1)式所示且满足 0 < d _ ≤ 1 ≤ d ¯ 。 p _ ， p ¯ ， q _ ， q ¯ 如(2)式所示，则 (i) 当 q ¯ < d _ 1 + d _ 时，级数 ∑ a n 收敛； (ii) 当 q _ > d ¯ 1 + d ¯ 时，级数 ∑ a n 发散； (iii) 当 q _ ≤ d ¯ 1 + d ¯ 且 q ¯ ≥ d _ 1 + d _ 时，该判别法失效。 证 (i) 因为 p ¯ = lim ¯ n → ∞ a 2 n − 1 a n ≤ lim ¯ n → ∞ a 2 n − 1 a 2 n ⋅ lim ¯ n → ∞ a 2 n a n = 1 lim _ n → ∞ a 2 n a 2 n − 1 ⋅ lim ¯ n → ∞ a 2 n a n ≤ q ¯ d _ < 1 1 + d _ 故 p ¯ + q ¯ < 1 ，由引理1(i)知，级数 ∑ a n 收敛； (ii) 因为 p _ = lim _ n → ∞ a 2 n − 1 a n ≥ lim _ n → ∞ a 2 n − 1 a 2 n ⋅ lim _ n → ∞ a 2 n a n = 1 lim ¯ n → ∞ a 2 n a 2 n − 1 ⋅ lim _ n → ∞ a 2 n a n ≥ q _ d ¯ > 1 1 + d ¯ 故 p _ + q _ > 1 ，由引理1(ii)知，级数 ∑ a n 发散。 (iii) 考察级数 ∑ n = 3 ∞ 1 n ln n ( ln ln n ) p 的敛散性。由于 d _ = d ¯ = lim n → ∞ n ln n ( ln ln n ) p ( n + 1 ) ln ( n + 1 ) [ ln ln ( n + 1 ) ] p = 1 q _ = q ¯ = lim n → ∞ n ln n ( ln ln n ) p 2 n ln 2 n ( ln ln 2 n ) p = 1 2 因此， q _ = d ¯ 1 + d ¯ ， q ¯ = d _ 1 + d _ ，故定理1无法判别其敛散性。但由文献 [ 2 ] 知，当 p > 1 时，该级数收敛；当 p ≤ 1 时，该级数发散。 类似定理1，可得 定理2 设 ∑ a n 为正项级数， d _ ， d ¯ 如(1)式所示且满足 0 < d _ ≤ 1 ≤ d ¯ 。 p _ ， p ¯ ， q _ ， q ¯ 如(2)式所示，则 (i) 当 p ¯ < 1 1 + d ¯ 时，级数 ∑ a n 收敛； (ii) 当 p _ > 1 1 + d _ 时，级数 ∑ a n 发散； (iii) 当 p _ ≤ 1 1 + d _ 且 p ¯ ≥ 1 1 + d ¯ 时，该判别法失效。 定理2的证明完全类似于定理1，在此省略其证明过程。下面讨论引例1的推广，给出如下的引理2. 引理2 设 ∑ a n 为正项级数，记 r _ = lim _ n → ∞ a 3 n − 1 a n ， r ¯ = lim ¯ n → ∞ a 3 n − 1 a n ; s _ = lim _ n → ∞ a 3 n a n ， s ¯ = lim ¯ n → ∞ a 3 n a n ; t _ = lim _ n → ∞ a 3 n + 1 a n ， t ¯ = lim ¯ n → ∞ a 3 n + 1 a n (6) 则 (i) 当 r ¯ + s ¯ + t ¯ < 1 时，级数 ∑ a n 收敛； (ii) 当 r _ + s _ + t _ > 1 时，级数 ∑ a n 发散； (iii) 当 r _ + s _ + t _ ≤ 1 ≤ r ¯ + s ¯ + t ¯ 时，该判别法失效。 证 (i) 类似于(3)式，存在 ε 0 > 0 使得 ( r ¯ + s ¯ + t ¯ + ε 0 ) < 1 且对于所有的自然数 n ≥ 1 都有 a 3 n − 1 + a 3 n + a 3 n + 1 < ( r ¯ + s ¯ + t ¯ + ε 0 ) a n 于是 S n = ∑ k = 1 n a k ≤ S 3 n = a 1 + ∑ k = 1 n ( a 3 k − 1 + a 3 k + a 3 k + 1 ) ≤ a 1 + ( r ¯ + s ¯ + t ¯ + ε 0 ) S n 从而 S n ≤ a 1 1 − r ¯ − s ¯ − t ¯ − ε 0 故此时级数收敛。 (ii) 类似于(4)式，存在 ε 0 > 0 使得 r _ + s _ + t _ − ε 0 > 1 且对于所有的自然数 n 都有 a 3 n − 1 + a 3 n + a 3 n + 1 > ( r _ + s _ + t _ − ε 0 ) a n 于是 S 3 n = a 1 + ∑ k = 1 n a 3 k − 1 + ∑ k = 1 n a 3 k + ∑ k = 1 n a 3 k + 1 ≥ ( r _ + s _ + t _ − ε 0 ) S n + ( 1 − r _ − s _ − t _ + ε 0 ) a 1 若 ∑ a n 收敛，则 lim n → ∞ S n 存在，设该极限为 S 。对上式两边取极限可得 S ≥ ( r _ + s _ + t _ − ε 0 ) S + ( 1 − r _ − s _ − t _ + ε 0 ) a 1 > S + ( 1 − r _ − s _ − t _ + ε 0 ) a 1 因 1 − r _ − s _ − t _ + ε 0 < 0 ，故得矛盾。因此，级数 ∑ a n 发散。 (iii) 考察级数 ∑ n = 30 ∞ 1 n ⋅ ln n ⋅ ln ln n ⋅ ( ln ln ln n ) p 的敛散性。由于 r _ = r ¯ = lim n → ∞ n ⋅ ln n ⋅ ln ln n ⋅ ( ln ln ln n ) p ( 3 n − 1 ) ⋅ ln ( 3 n − 1 ) ⋅ ln ln ( 3 n − 1 ) ⋅ [ ln ln ln ( 3 n − 1 ) ] p = 1 3 s _ = s ¯ = lim n → ∞ n ⋅ ln n ⋅ ln ln n ⋅ ( ln ln ln n ) p 3 n ⋅ ln 3 n ⋅ ln ln 3 n ⋅ ( ln ln ln 3 n ) p = 1 3 t _ = t ¯ = lim n → ∞ n ⋅ ln n ⋅ ln ln n ⋅ ( ln ln ln n ) p ( 3 n + 1 ) ⋅ ln ( 3 n + 1 ) ⋅ ln ln ( 3 n + 1 ) ⋅ [ ln ln ln ( 3 n + 1 ) ] p = 1 3 因此 r _ + s _ + t _ = 1 = r ¯ + s ¯ + t ¯ ，故引理2无法判别其敛散性。但由文献 [ 3 ] 知，当 p > 1 时，该级数收敛；当 p ≤ 1 时，该级数发散。 由引理2可得如下定理3~5，证明均类似于定理1，在此只给出定理3的证明，其余证明省略。 定理3设 ∑ a n 为正项级数， d _ ， d ¯ 如(1)式所示且满足 0 < d _ ≤ 1 ≤ d ¯ 。 r _ ， s _ ， t _ 及 r ¯ ， s ¯ ， t ¯ 如(6)式所示，则 (i) 当 s ¯ < d _ 1 + d _ + d _ d ¯ 时，级数 ∑ a n 收敛； (ii) 当 s _ > d ¯ 1 + d ¯ + d _ d ¯ 时，级数 ∑ a n 发散； (iii) 当 s _ ≤ d ¯ 1 + d ¯ + d _ d ¯ 且 s ¯ ≥ d _ 1 + d _ + d _ d ¯ 时，该判别法失效。 证 (i) 由于 t ¯ = lim ¯ n → ∞ a 3 n + 1 a n ≤ lim ¯ n → ∞ a 3 n + 1 a 3 n ⋅ lim ¯ n → ∞ a 3 n a n < d _ d ¯ 1 + d _ + d _ d ¯ r ¯ = lim ¯ n → ∞ a 3 n − 1 a n ≤ lim ¯ n → ∞ a 3 n − 1 a 3 n ⋅ lim ¯ n → ∞ a 3 n a n = 1 lim _ n → ∞ a 3 n a 3 n − 1 ⋅ lim ¯ n → ∞ a 3 n a n < 1 1 + d _ + d _ d ¯ 因此 r ¯ + s ¯ + t ¯ < 1 ，由引理2(i)知级数 ∑ a n 收敛； (ii) 由于 t _ = lim _ n → ∞ a 3 n + 1 a n ≥ lim _ n → ∞ a 3 n + 1 a 3 n ⋅ lim _ n → ∞ a 3 n a n > d _ d ¯ 1 + d ¯ + d _ d ¯ r _ = lim _ n → ∞ a 3 n − 1 a n ≥ lim _ n → ∞ a 3 n − 1 a 3 n ⋅ lim _ n → ∞ a 3 n a n = 1 lim ¯ n → ∞ a 3 n a 3 n − 1 ⋅ lim _ n → ∞ a 3 n a n > 1 1 + d ¯ + d _ d ¯ 因此 r _ + s _ + t _ > 1 ，再由引理2(ii)知级数 ∑ a n 发散。 (iii) 考察级数 ∑ n = 30 ∞ 1 n ⋅ ( ln n ) p ⋅ ( ln ln n ) q ⋅ ( ln ln ln n ) r 的敛散性 [ 3 ]。由于 d _ = d ¯ = lim n → ∞ n ⋅ ( ln n ) p ⋅ ( ln ln n ) q ⋅ ( ln ln ln n ) r ( n + 1 ) ⋅ [ ln ( n + 1 ) ] p ⋅ [ ln ln ( n + 1 ) ] q ⋅ [ ln ln ln ( n + 1 ) ] r = 1 s _ = s ¯ = lim n → ∞ n ⋅ ( ln n ) p ⋅ ( ln ln n ) q ⋅ ( ln ln ln n ) r 3 n ⋅ ( ln 3 n ) p ⋅ ( ln ln 3 n ) q ⋅ ( ln ln ln 3 n ) r = 1 3 因此， s _ = d ¯ 1 + d ¯ + d _ d ¯ ， s ¯ = d _ 1 + d _ + d _ d ¯ ， 故定理3无法判别其敛散性。但由文献 [ 3 ] 知，当 p = 1 ， q = 1 ， r > 1 或者 p = 1 ， q > 1 ， r ∈ ℝ 或者 p > 1 ， q ∈ ℝ ， r ∈ ℝ 时，该级数收敛；其余情形该级数发散。 定理4设 ∑ a n 为正项级数， d _ ， d ¯ 如(1)式所示且满足 0 < d _ ≤ 1 ≤ d ¯ 。 r _ ， s _ ， t _ 及 r ¯ ， s ¯ ， t ¯ 如(6)式所示，则 (i) 当 r ¯ < 1 1 + d ¯ + d ¯ 2 时，级数 ∑ a n 收敛； (ii) 当 r _ > 1 1 + d _ + d _ 2 时，级数 ∑ a n 发散； (iii) 当 r _ ≤ 1 1 + d _ + d _ 2 且 r ¯ ≥ 1 1 + d ¯ + d ¯ 2 时，该判别法失效。 定理5设 ∑ a n 为正项级数， d _ ， d ¯ 如(1)式所示且满足 0 < d _ ≤ 1 ≤ d ¯ 。 r _ ， s _ ， t _ 及 r ¯ ， s ¯ ， t ¯ 如(6)式所示，则 (i) 当 t ¯ < d _ 2 1 + d _ + d _ 2 时，级数 ∑ a n 收敛； (ii) 当 t _ > d ¯ 2 1 + d ¯ + d ¯ 2 时，级数 ∑ a n 发散； (iii) 当 t _ ≤ d ¯ 2 1 + d ¯ + d ¯ 2 且 t ¯ ≥ d _ 2 1 + d _ + d _ 2 时，该判别法失效。 由前述的证明可以看出引理1和引理2可以进一步推广到更一般情形，且可以得出类似定理1~5的结论，但因篇幅所限在此不再列出更多的结论。下面应用本文的结论讨论一些级数的敛散性。 例1判断级数 ∑ n = 1 ∞ n n n ! ( 1 + 1 n ) n 2 的敛散性。 解 由于 d _ = d ¯ = lim n → ∞ a n + 1 a n = lim n → ∞ ( n + 1 ) n + 1 ( n + 1 ) ! ( 1 + 1 n + 1 ) ( n + 1 ) 2 ⋅ n n n ! ( 1 + 1 n ) n 2 = 1 此时达朗贝尔判别法失效。利用Stirling公式 [ 9 ] 可得 lim n → ∞ a 2 n a n = lim n → ∞ 2 2 n n n ⋅ ( 1 + 1 n ) n 2 ( 1 + 1 2 n ) ( 2 n ) 2 ⋅ 2 π n ( n e ) n e θ n 12 n 4 π n ( 2 n e ) 2 n e θ 2 n 24 n = 1 2 lim n → ∞ e n ( 1 + 1 n ) n 2 ( 1 + 1 2 n ) ( 2 n ) 2 = 2 2 故 q _ = q ¯ = 2 2 > 1 2 = 1 1 + d ¯ ，由定理1知该级数发散。 例2 [ 8 ] 讨论级数 1 + b + b c + b 2 c + b 2 c 2 + ⋯ + b n − 1 c n + b n c n + ⋯ (7) 数的敛散性，其中 0 < b < 1 < c . 解 由于 d _ = lim _ n → ∞ a n + 1 a n = b < 1 ， d ¯ = lim ¯ n → ∞ a n + 1 a n = c > 1 因此，达朗贝尔判别法失效。 当 b c < 1 时，由于 s _ = s ¯ = lim n → ∞ a 3 n a n = lim n → ∞ ( b c ) n = 0 且 r _ = r ¯ = t _ = t ¯ = 0. 故由引理2或者定理3~5均可判别该级数收敛。 当 b c = 1 或者 b c > 1 时，由级数(7)的形式可以判断出此时级数是发散的。 众所周知，拉贝判别法也是正项级数敛散性判别中常用的一种方法，并且拉贝判别法判别范围较达朗贝尔判别法更广泛 [ 8 ]。 拉贝判别法 [ 10 ] 设 ∑ a n 为正项级数，记 R _ = lim _ n → ∞ n ( a n a n + 1 − 1 ) ， R ¯ = lim ¯ n → ∞ n ( a n a n + 1 − 1 ) 则 (i) 当 R _ > 1 时，级数 ∑ a n 收敛； (ii) 当 R ¯ < 1 时，级数 ∑ a n 发散； (iii) 当 R _ ≤ 1 ≤ R ¯ 时，该判别法失效。 特别需要指出的是：本文引理1给出的判别方法要强于拉贝判别法。因为，若 R _ > 1 ，则可取 1 < s 1 < s 2 < R _ ，当 n 充分大时，有 a n a n + 1 > 1 + s 2 n > ( 1 + 1 n ) s 1 故 a n + 1 a n < ( n n + 1 ) s 1 从而 a 2 n a n = a 2 n a 2 n − 1 ⋅ a 2 n − 1 a 2 n − 2 ⋯ a n + 1 a n < ( 2 n − 1 2 n ⋅ 2 n − 2 2 n − 1 ⋯ n n + 1 ) s 1 = 1 2 s 1 故 q ¯ = lim ¯ n → ∞ a 2 n a n ≤ 1 2 s 1 同理可证 p ¯ = lim ¯ n → ∞ a 2 n − 1 a n ≤ 1 2 s 1 故有 p ¯ + q ¯ ≤ 2 2 s 1 < 1 . 类似可证当 R ¯ < 1 时，有 p _ + q _ > 1 。由此可知：能够用拉贝判别法确定敛散性的级数均可用引理1确定。反之则不能，如下例。 例3 判断级数 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + ( − 1 ) n ( n + 1 ) 2 的敛散性。 解 由 d _ = lim _ n → ∞ a n + 1 a n = 1 2 3 < 1 < d ¯ = lim ¯ n → ∞ a n + 1 a n = 2 ， 故达朗贝尔判别法失效。又 R _ = lim _ n → ∞ n ( a n a n + 1 − 1 ) = − ∞ ， R ¯ = lim ¯ n → ∞ n ( a n a n + 1 − 1 ) = + ∞ 故拉贝判别法也失效。但易得 p _ = p ¯ = 0 ， q _ = q ¯ = 0 ，利用引理1或者定理1或者定理2均可判别该级数收敛。