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user: 4. 随机持久性 本节利用系统(1.1)的解的矩估计，证明其解的随机最终有界性，并进而得到系统的随机持久性。 引理4.1. 对任意 p ∈ ( 0 ， 1 ) ，存在正常数 K l ( l = 1 ， 2 ) ，使得对任意初值 x ( 0 ) ∈ ℝ + 2 ， r ( 0 ) ∈ S ，系统(1.1)的解 x ( t ) = ( x 1 ( t ) ， x 2 ( t ) ) 满足 lim sup t → ∞ E ( x l p ) ≤ K l ，   l = 1 ， 2. (4.1) 证明：由定理3.1知，对于任意初值 x ( 0 ) ∈ ℝ + 2 ， r ( 0 ) ∈ S ，系统(1.1)存在全局唯一解 x ( t ) = ( x 1 ( t ) ， x 2 ( t ) ) ，且以概率1停留在 ℝ + 2 中。定义Lyapunov函数 V 1 ( x 1 ， t ， i ) = e t x 1 p ( t ) ，     ( x 1 ， t ， i ) ∈ ℝ + × ℝ + × S . 由Itô公式可得 d V 1 ( x 1 ， t ， i ) = G V 1 ( x 1 ， t ， i ) d t + p V 1 ( x 1 ， t ， i ) σ 1 ( i ) d B 1 ( t ) + ∫ Y V 1 ( x 1 ， t ， i ) [ ( 1 + γ 1 ( i ， u ) ) p − 1 ] N ˜ ( d t ， d u ) ， (4.2) 其中 G V 1 ( x 1 ， t ， i ) = e t x 1 p ( t ) + p e t x 1 p ( t ) [ a 1 ( i ) − b 1 ( i ) e − k 1 ( i ) x 2 ( t ) − c 1 ( i ) x 1 ( t ) + p − 1 2 σ 1 2 ( i ) ] + e t x 1 p ( t ) ∫ Y [ ( 1 + γ 1 ( i ， u ) ) p − 1 − p γ 1 ( i ， u ) ] λ ( d u ) ≤ e t { − p c 1 ( i ) x 1 p + 1 ( t ) + x 1 p ( t ) [ 1 + p a 1 ( i ) + ∫ Y [ ( 1 + γ 1 ( i ， u ) ) p − 1 − p γ 1 ( i ， u ) ] λ ( d u ) ] ] } . (4.3) 记 G ( x ， i ) : = − p c 1 ( i ) x p + 1 + x p [ 1 + p a 1 ( i ) + ∫ Y [ ( 1 + γ 1 ( i ， u ) ) p − 1 − p γ 1 ( i ， u ) ] λ ( d u ) ] ] . 由Bernoulli不等式可知 ∫ Y [ ( 1 + γ 1 ( i ， u ) ) p − 1 − p γ 1 ( i ， u ) ] λ ( d u ) ≤ 0 ， 从而 G ( x ， i ) ≤ − p c 1 ( i ) x p + 1 + ( 1 + p a 1 ( i ) ) x p ≤ max i ∈ S { sup x > 0 { − p c 1 ( i ) x p + 1 + ( 1 + p a 1 ( i ) ) x p } } = : K 1 . (4.4) 易知， K 1 是与p有关的正常数。对(4.4)两边从0到t积分，然后取数学期望，再利用(4.2)和(4.3)可得 E V 1 ( x 1 ( t ) ， t ， r ( t ) ) = V 1 ( x 1 ( 0 ) ， 0 ， r ( 0 ) ) + E ∫ 0 t G V 1 ( x 1 ( s ) ， s ， r ( s ) ) d s ≤ V 1 ( x 1 ( 0 ) ， 0 ， r ( 0 ) ) + K 1 e t . 从而 E ( x 1 p ( t ) ) ≤ x 1 p ( 0 ) e t + K 1 ， 令 t → ∞ 可得 lim sup t → ∞ E ( x 1 p ( t ) ) ≤ K 1 . 对 x 2 ( t ) 的情况，同理可证。证毕。 定理4.1. 系统(1.1)的解是随机最终有上界的。 证明：记 K = max { K 1 ， K 2 } ，对任意 ε ∈ ( 0 ， 1 ) ，令 δ 1 = ( K ε ) 1 p ，由Chebyshev不等式可得 ℙ { x l ( t ) > δ 1 } ≤ E ( x l p ( t ) ) δ 1 p ，   l = 1 ， 2. 结合引理4.1中的(4.1)可得 lim sup t → ∞ ℙ { x l ( t ) > δ 1 } ≤ K δ 1 p = ε ，   l = 1 ， 2 ， 从而 lim inf t → ∞ ℙ { x l ( t ) ≤ δ 1 } ≥ 1 − ε ，   l = 1 ， 2. 证毕。 下面证明系统(1.1)的解是随机最终有下界的。为此，令 v l ( t ) : = 1 x l ( t ) ，   l = 1 ， 2 ， (4.5) 由Itô公式可得 { d v 1 = − v 1 { [ a 1 ( r ( t ) ) − b 1 ( r ( t ) ) e − k 1 ( r ( t ) ) v 2 − 1 − c 1 ( r ( t ) ) v 1 − 1 − σ 1 2 ( r ( t ) )           − ∫ Y γ 1 2 ( r ( t ) ， u ) 1 + γ 1 ( r ( t ) ， u ) λ ( d u ) ] d t + σ 1 ( r ( t ) ) d B 1 ( t ) + ∫ Y γ 1 ( r ( t ) ， u ) 1 + γ 1 ( r ( t ) ， u ) N ˜ ( d t ， d u ) } ， d v 2 = − v 2 { [ a 2 ( r ( t ) ) − b 2 ( r ( t ) ) e − k 2 ( r ( t ) ) v 1 − 1 − c 2 ( r ( t ) ) v 2 − 1 − σ 2 2 ( r ( t ) )           − ∫ Y γ 2 2 ( r ( t ) ， u ) 1 + γ 2 ( r ( t ) ， u ) λ ( d u ) ] d t + σ 2 ( r ( t ) ) d B 2 ( t ) + ∫ Y γ 2 ( r ( t ) ， u ) 1 + γ 2 ( r ( t ) ， u ) N ˜ ( d t ， d u ) } . (4.6) 引理4.2. 若 min { π β 1 ， π β 2 } > 0 ，则对任意充分小的 θ > 0 ，存在正常数L，使得对任意初值 x ( 0 ) ∈ ℝ + 2 ， r ( 0 ) ∈ S ，系统(1.1)的解 x ( t ) = ( x 1 ( t ) ， x 2 ( t ) ) 满足 lim sup t → ∞ E [ 1 x l θ ( t ) ] ≤ L ，   l = 1 ， 2. (4.7) 证明：由(4.5)，只需证明 lim sup t → ∞ E ( v l θ ( t ) ) ≤ L ，   l = 1 ， 2. 注意到 π [ − β l + ( π β ) 1 m ] = 0 ，     ∑ i = 1 m π i = 1 ，     l = 1 ， 2 ， 由引理2.1可知方程 Q d l = − β l + ( π β ) 1 m 有解 d l = ( d l 1 ， ⋯ ， d l m ) T ∈ ℝ m ， l = 1 ， 2 。因此 β l ( i ) + ∑ j = 1 m q i j d l j = π β l > 0 ，     i ∈ S ，   l = 1 ， 2. 取 θ 0 ∈ ( 0 ， 1 ) ，使得对每一 θ ∈ ( 0 ， θ 0 ) ，有 1 − d l i θ > 0 ，     i ∈ S ，   l = 1 ， 2. 定义Lyapunov函数 V 2 ( v 1 ， v 2 ， i ) = ∑ l = 1 2 ( 1 − d l i θ ) ( 1 + v l ) θ ， 由(4.6)可得 G V 2 ( v 1 ， v 2 ， i ) ≤ ∑ l = 1 2 θ ( 1 − d l i θ ) ( 1 + v l ) θ − 1 { − v 1 [ a l ( i ) − b l ( i ) − σ l 2 ( i ) − c l ( i ) v l − 1 − ∫ Y γ l 2 ( i ， u ) 1 + γ l ( i ， u ) λ ( d u ) ] } + ∑ l = 1 2 θ ( θ − 1 ) 2 ( 1 − d l i θ ) ( 1 + v l ) θ − 2 v l 2 σ l 2 ( i ) + ∑ l = 1 2 ∑ j = 1 m q i j ( 1 − d l j θ ) ( 1 + v l ) θ + ∫ Y ∑ l = 1 2 ( 1 − d l i θ ) { [ 1 + v l ( 1 + 1 1 + γ l ( i ， u ) − 1 ) ] θ − ( 1 + v l ) θ − θ ( 1 + v l ) θ − 1 v l ( 1 1 + γ l ( i ， u ) − 1 ) } λ ( d u ) . (4.8) 根据生成元Q的性质可知 1 θ ( 1 − d l i θ ) ∑ j = 1 m q i j ( 1 − d l j θ ) = − 1 ( 1 − d l i θ ) ∑ j = 1 m q i j d l j = − ( ∑ j = 1 m q i j d l j + d l i θ ( 1 − d l i θ ) ∑ j = 1 m q i j d l j ) . (4.9) 由Bernoulli不等式可知 (4.10) 将(4.9)和(4.10)代入(4.8)可得 (4.11) 取常数 ，使得对任意的 ，有 再取充分小常数 ，使得 (4.12) 记 (4.13) 由(4.12)易知，H是与 有关的正常数。由(4.11)和(4.13)可得 (4.14) 由Itô公式，并结合(4.14)可知 从而 其中 因此 令 可得 证毕。 定理4.2. 若 ，则系统(1.1)的解是随机最终有下界的。 证明：对任意 ，令 ，由Chebyshev不等式可得 结合引理4.2中的(4.7)可得 从而 证毕。 联合定理4.1与定理4.2即得 定理4.3. 若 ，则系统(1.1)是随机持久的。