system: [SYSTEM]

user: 2. 灰色–马尔可夫模型基本原理 2.1. 灰色GM (1， 1)模型 2.1.1. GM (1， 1)模型基本形式 灰色系统建模是以灰色模块为基础，将无规律的原始数据进行累加，得到规律性较强的生成序列，建立基于最小二乘法的指数拟合曲线 [ 4 ] ，再将由生成模型得到的数据进行累减，得到原始数据的预测值。 假设原始序列数据为： X ( 0 ) = ( X ( 0 ) ( 1 ) ， X ( 0 ) ( 2 ) ， X ( 0 ) ( 3 ) ⋯ X ( 0 ) (n) ) 一次累加生成序列为： X ( 1 ) = ( X ( 1 ) ( 1 ) ， X ( 1 ) ( 2 ) ， X ( 1 ) ( 3 ) ⋯ X ( 1 ) (n) ) 其中： X ( 1 ) ( i ) = ∑ ( k = 1 ) i X ( 0 ) ( k ) ， i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n 均值生成序列为： Z ( 1 ) = ( Z ( 1 ) ( 2 ) ， Z ( 1 ) ( 3 ) ⋯ Z ( 1 ) (n) ) 其中： Z ( 1 ) ( k ) = X ( 1 ) ( k ) + X ( 1 ) ( k − 1 ) 2 ， k = 2 ， 3 ， ⋯ ， n 则将： X ( 0 ) ( k ) + α ⋅ Z ( 1 ) ( k ) = b 称为GM (1， 1)模型的基本形式 [ 5 ] 。 2.1.2. GM (1， 1)模型作用机理 由于 X ( 1 ) 是基于时间t的序列，具有基于时间序列的变化规律，因此对 X ( 1 ) 建立关于时间t的一阶线性微分方程，得到： d x ( 1 ) ( k ) d t + α x ( 1 ) ( k ) = μ (1) 其中：α称为发展灰度，反映了累加生成序列 X ( 1 ) 的发展趋势；μ称为内生控制灰度，反映了数据间的变化关系。 由于灰色模型适用于离散型数据，所以我们利用均值生成序列 Z ( 1 ) 代替累加生成序列 X ( 1 ) ，得到： d x ( 1 ) ( k ) d t + α z ( 1 ) ( k ) = μ 又因为： d x ( 1 ) ( k ) d t = X ( 1 ) ( k ) − X ( 1 ) ( k − 1 ) 1 ， k = 2 ， 3 ， ⋯ ， n 所以将式(1)离散化后得： X ( 1 ) ( k ) − X ( 1 ) ( k − 1 ) + α z ( 1 ) ( k ) = μ ， k = 2 ， 3 ， ⋯ ， n (2) 利用最小二乘法求解式(2)，得到： [ α μ ] = ( B T B ) − 1 B T Y 其中： B = [ − z ( 1 ) ( 2 ) 1 − z ( 1 ) ( 3 ) ⋮ − z ( 1 ) ( n ) 1 ⋮ 1 ] Y = [ x ( 0 ) ( 2 ) x ( 0 ) ( 3 ) ⋮ x ( 0 ) ( n ) ] 求得α和μ后，继续求解微分方程(1)得： X ^ ( 1 ) = c e − α t + μ α (3) 其中： X ^ ( 1 ) ) 是 X ( 1 ) 序列的预测值序列，c为待定系数 将式(3)离散化，得到： X ^ ( 1 ) ( k + 1 ) = c e − α k + μ α ， k = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ n − 1 (4) 为求待定系数c的值，假设 X ^ ( 1 ) ( 1 ) = X ( 1 ) ( 1 ) = X ( 0 ) ( 1 ) ，则有： X ^ ( 1 ) ( 1 ) = c + μ α = X ( 0 ) (1) 可得： c = X ( 0 ) ( 1 ) − μ α 。 将c带入式(4)得： X ^ ( 1 ) ( k + 1 ) = ( X ( 0 ) ( 1 ) − μ α ) e − α k + μ α k = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n − 1 (5) 式(5)表示基于微分方程生成的离散的累加预测值序列。 对式(5)做累减还原，即可得到原始序列 X ( 0 ) ) 的灰色预测值序列： X ^ ( 0 ) ( k + 1 ) = X ^ ( 1 ) ( k + 1 ) − X ^ ( 1 ) ( k ) ， k = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n − 1 (6) 将式(5)带入式(6)得： X ^ ( 0 ) ( k + 1 ) = ( X ( 0 ) ( 1 ) − μ α ) e − α k ⋅ ( 1 − e α ) (7) 式(7)即为灰色GM (1， 1)预测模型得到的最终预测值序列。 2.2. 马尔可夫模型 马尔可夫模型表示数学中具有马尔可夫性质的随机的基于时序的建模过程，所谓马尔可夫性质是指对于随机过程 { x n ， n T } (T表示时刻的集合)和离散状态集 I = { i 1 ， i 2 ⋯ } ，对于任意n T，其条件概率满足： P { x n + 1 = i n + 1 | x 0 = i 0 ， x 1 = i 1 ， ⋯ x n = i n } = P { x n + 1 = i n + 1 | x n = i n } 即某一时刻t系统处于状态i的概率，只与其前一个时刻的状态有关，与过去的状态无关，该性质称为马尔可夫属性。 2.2.1. 状态区域划分 马尔可夫模型状态区域划分：构造以中心上下对称的等宽条形带为拟合曲线 Y ^ ( k ) ，时间变化不影响各条形带宽度，每个条形区域代表一个状态 [ 6 ] ，其任一状态区间Q i 表示为 Q i = [ Q 1 i ， Q 2 i ] 。 其中： Q 1 i = Y ^ ( k ) + A i 、 Q 2 i = Y ^ ( k ) + B i 且 A i = a i y ¯ ， B i = b i y ¯ ， y ¯ 表示原始数据的均值，a i 、 b i 为常数。一般地，状态取灰色模型拟合曲线为中心的上下对称等宽条形带 [ 1 ] 。 2.2.2. 状态转移概率矩阵 将数据序列划分为若干状态，记为 { E 1 ， E 2 ， ⋯ E n } ，每个条形区域代表一个状态。 记：数据序列在时刻m的状态为E i ，经过m + k时刻状态转移到E j 的概率为 P i j ( k ) ，且满足： P i j ( k ) = m i j ( k ) M i m i j ( k ) 表示状态E i 经过k步转移到状态E j 的次数，M i 为状态E i 出现的总次数。 以状态转移概率 P i j ( k ) 为元素的矩阵，称为马尔可夫模型的k步状态转移概率矩阵，其满足每行 P ( k ) 之和为1 [ 7 ] 。 P ( k ) = | P 11 ( k ) P 12 ( k ) P 21 ( k ) P 22 ( k ) ⋯ P 1 n ( k ) ⋯ P 2 n ( k ) ⋮ ⋮ P n 1 ( k ) P n 2 ( k ) … ⋮ … P n n ( k ) | 2.2.3. 计算预测值 若当前系统处于状态Ei，此时Pij描述了状态Ei经过一步转向状态Ej的可能性 ( j = 1 ， 2 ， ⋯ n ) 。按照最大概率原则，选择 { P i 1 ， P i 2 ， ⋯ P i n } 中最大者对应的状态，即当 P i j = max { P i 1 ， P i 2 ， ⋯ P i n } 时，可以预测系统下一步转向状态Ej。当系统状态确定了以后，也就确定了预测值的状态区间 Q i = [ Q 1 i ， Q 2 i ] ，则其预测值可以用该区间的中位数来表示 [ 8 ] 。