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user: 3. 电力负荷数据案例分析 本文采用江苏省南京市新街口金鹰国际购物中心某层用电功率的实测数据(单位：兆瓦)作为电力负荷建模预测的原始数据，该数据由南京市供电局提供，时间区间为从2013年5月1日到5月11日，为每间隔5 min电脑采样一次所得，每天观测288次，总共3168个数据样本。 先使用SAS9.2软件画出原始数据的折线图如图1所示。以2013年5月1日~2013年5月10日的原始数据进行建模分析，不妨设为序列 ，并将2013年5月11日的实际数据用以检验模型的预测精度。 3.1. 基于温特线性与季节性指数平滑法的探究性分析 (1) 模型初值的确定 对于时间序列 ，使用温特线性与季节性指数平滑法时，基本公式中的一次指数平滑数 的初值为 式中 为季节长度。 季节指数初始值 为 式中 为不同周期同一时刻的平均值， 为总体平均值。 的初始值为 图1. 2013年5月1日至11日电力负荷原始折线图 (2) 最优平滑系数 的确定 确定最优 的准则是使预测值与实际值的均方误差MSE最小。基于这一准则，采用逐个试验法选取平滑系数，即考虑这三个系数的所有可能组合，从中选取MSE最小的组合值。本文通过MATLAB编程以 为区间，步长为0.01进行反复计算，并自动选择样本均方误差MSE最小的组合作为最佳预测模型的平滑系数 [ 4 ] 。最终得到最优平滑系数 ， 。 (3) 预测与讨论 对于该温特线性与指数平滑模型，计算其绝对误差为0.00000493~0.052688(MW)。95%的数据点的相对误差为0.006~17.2(%)，发现样本数据的拟合效果较好，可以用于预测分析。 进一步，使用该模型对5月11日的电力负荷值进行预测，模型的MAPE = 7.4873 < 10，因此可以认为其预测精度较高。 3.2. 基于ARMA模型的探究性分析 观察原始数据及折线图的变化趋势，可以认为该序列没有缺失值和异常值，且数据围绕一条水平线上下波动，初步判断为平稳序列，但发现原始序列具有明显的季节性特征，其自相关系数呈现出围绕零轴正弦波动的现象，这也说明序列具有周期性。 考虑对原数据先进行季节差分(季节周期为288)，季节差分后的序列记为 ，其折线图及部分自相关系数如图2和表1所示。自相关系数迅速衰减为零，在滞后288处再次出现显著大于零的值，偏自相关系数具有截尾的特征。通过Ljung-Box统计量来检验序列 是否为白噪声序列 [ 6 ] ，P值均小于0.05，序列显然是非白噪声的。 对序列 采用ADF统计量检验是否含有单位根 [ 7 ] ，显然由表2中P值都小于0.05，认为序列 不存在单位根，所以平稳，故可以继续以ARMA模型进行拟合。 图2. 前十天季节差分后的折线图 Table 1 The ACF of seasonal differenc 自相关图 偏自相关图 表1. 季节差分后的自相关图 Table 2 Unit root tes 参数 Tau值 P值 Zero mean −43.02 <0.0001 Single mean −43.23 <0.0001 Trend −43.77 <0.0001 表2. 单位根检验结果 进一步，我们对ARMA(p，q)进行模型定阶，采用最小信息量准则 [ 6 ] - [ 10 ] (AIC和BIC)选择模型，令p = (0，6)，q = (0，6)，分别计算BIC的值，选择BIC最小(−8.52573)的ARMA(1，1)模型。 下面对 进行ARMA(1，1)拟合，采用条件最小二乘法 [ 6 ] [ 8 ] 进行参数估计及参数显著性检验的P值见表3。 由于常数项显著为零，故拟合无常数项的ARMA(1，1)模型，参数估计如表4所示。 我们可以得到拟合模型公式如下： 为了检验该模型是否适合于原序列，采用Ljung-Box统计量 [ 6 ] 对残差进行白噪声检验，从表5的检验结果看出，延迟6、12期的LB检验的P值均大于0.05，故接受残差为白噪声的原假设，认为在0.05显著性水平下，残差序列显著为白噪声，故可以认为残差序列之间不存在显著的自相关性，原序列中的相关信息已经被充分提取出来，这说明模型适合于该序列(AIC = −14761.3，SBC = −14749.6)。 最后，利用前面建立的差分后最佳ARMA模型，我们可以得到前十天的拟合值，将它们与真实值进行比较，可以发现只有极少数点处于95%置信区间外，该模型拟合的绝对误差为0.00003~0.06377(MW)，95%的数据点的相对误差为0.02~25.7(%)，可以认为，该模型的拟合能力较好，可以用于预测。 进一步，使用该模型预测5月11日的电力负荷值，然后对比11日的预测值与真实值，计算其平均相对误差为MAPE = 10.5925，由于其预测的平均相对误差值大于10，所以认为以上分析模型的预测效果不够理想。试图将以上分析作为铺垫性分析，猜想这可能是趋势性的存在所导致的，进一步，继续采用季节乘积ARIMA模型进行建模。 3.3. 基于乘积季节ARIMA模型的探究性分析 前面已经发现序列具有明显的季节性(季节周期为288)，其趋势性无法判断，已经分析了只进行季节 Table 3 Parameter estimation and test of ARMA(1，1 参数 估计 T值 P值 MU 0.0010400 1.53 0.1271 MA(1，1) 0.84236 35.38 <0.0001 AR(1，1) 0.93659 60.29 <0.0001 表3. ARMA(1，1)参数估计及检验结果 Table 4 Parameter estimation of noconstant mode 参数 估计 T值 P值 MA1，1 0.84690 37.52 <0.0001 AR1，1 0.94112 65.38 <0.0001 表4. 无常数模型参数估计 Table 5 Autocorrelation check of residual 滞后数 值 P值 6 4.27 0.3704 12 8.07 0.6217 表5. 残差检验 差分的情况，现对原序列进行一阶差分再做288步季节差分，希望能消除季节效应和趋势效应，差分后的序列记作 ，为了进一步检验序列的平稳性，采用ADF单位根检验，检验结果显示序列不存在单位根，见表6。 接下来进行模型的定阶，考察差分后的ACF和PACF图的性质，见表7。自相关图显示只有滞后一阶时超出了2倍标准差范围，可以判断为1阶截尾的，而偏自相关系数下降较缓慢，初步判断为MA(1)模型 [ 6 ] [ 7 ] [ 9 ] ，我们尝试拟合季节乘积ARIMA模型 [ 11 ] [ 12 ] ，模型拟合的AIC、SBC及残差白噪声检验结果见表8。 从表中看出 的AIC和SBC均最小，所以选择该模型为最佳的拟合模型采用条件最小二乘法得到参数估计的值及参数显著性t检验结果如表9。剔除掉常数项后重新拟合结果见表10。 因此，对该电力负荷序列的拟合模型公式为： 采用已得的最佳季节乘积ARIMA模型对5月1日至10日的数据进行拟合，其绝对误差为0~0.06446(MW)，95%的数据点的相对误差为0~20.6(%)，对比来看，其拟合的效果要比前面铺垫分析模型要好一些，因此可以用于预测。 进一步，使用该模型对5月11日的电力负荷值进行预测。再计算该模型的MAPE = 7.4897 < 10，因此，该模型的预测精度显然比前一模型要高，可以认为该模型是合理的。 Table 6 ADF tes 类型 Tau值 P值 Zero mean −86.37 <0.0001 Single mean −86.35 <0.0001 Trend −86.34 <0.0001 表6. ADF检验 Table 7 ACF and PACF of seasonal differenc 自相关图 偏自相关图 表7. 季节差分后自相关图 Table 8 Comparison of seasonal ARIMA mode 季节乘积模型 AIC SBC 残差白噪声检验 −14710.1 −14698.4 ** −15645.7 −15628.1 * −15643.7 −15620.3 * −15296.6 −15279 ** −15643.7 −15620.3 * −15643.3 −15614 --- −15296.6 −15279 ** −15643.7 −15620.3 * −15643.3 −15614 --- 表8. 比较各季节乘积模型 Table 9 Parameter estimatio 参数 估计 P值 常数项 1.660E−6 0.8683 MA1，1 0.88669 <0.0001 MA2，1 0.70599 <0.0001 表9. 参数估计 Table 1 0 Parameter estimation of noconstant mode 参数 估计 P值 MA1，1 0.88665 <0.0001 MA2，1 0.70596 <0.0001 表10. 无常数参数估计