DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 2. 预备知识 本节主要介绍后面所用到的一些概念和记号。在整个文章中，也使用Einstein求和约定。简称Busemann-Hausdorff体积形式为BH-体积形式，Holmes-Thompson体积形式为HT-体积形式。 定义1 用 L X ˜ 表示 M ˜ 上的一个Lie导数算子。因为 L X ˜ g ˜ 是一个对称协变(0，2)-张量，所以可以定义一个(1，1)-张量(仍然用 L X ˜ g ˜ 表示)。对任意 M ˜ 上的向量场 Y ˜ 和 Z ˜ ，我们有 〈 ( L X ˜ g ˜ ) ( Y ˜ ) ， Z ˜ 〉 g ˜ :   = ( L X ˜ g ˜ ) ( Y ˜ ， Z ˜ ) = 〈 ∇ ˜ Y ˜ X ˜ ， Z ˜ 〉 g ˜ + 〈 ∇ ˜ Z ˜ X ˜ ， Y ˜ 〉 g ˜ (1) 定义2 如果对 M ˜ 上的一个光滑函数 c ，使得 L X ˜ g ˜ = 2 c g ˜ ，即 ( L X ˜ g ˜ ) ( Y ˜ ， Z ˜ ) = 〈 ∇ ˜ Y ˜ X ˜ ， Z ˜ 〉 g ˜ + 〈 ∇ ˜ Z ˜ X ˜ ， Y ˜ 〉 g ˜ = 2 c 〈 Y ˜ ， Z ˜ 〉 g ˜ (2) 其中 Y ˜ 和 Z ˜ 是 M ˜ 上的任意两个向量场，那么向量场 X ˜ 称为 ( M ˜ ， g ˜ ) 的共形向量场。特别地，如果 c = 0 ，则 X ˜ 称为Killing向量场。
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user: 3. 一个自然恒等式 在文献 [ 11 ] 中，通过运用子流形的理论知识进行大量计算，自然引入了体积比函数 Φ ( p ， b ， t ) :   = 2 σ t ( p ， b ， t ) ( b − t ) + σ ( p ， b ， t ) (3) 这样的一个函数是在计算过程中自然出现的，目的是为了简化 σ -平均曲率向量和自然恒等式。其中 σ = σ ( p ， b ， t ) 是一个任意3-变量光滑正函数，在没有特别提醒的情况下，我们用 σ t :   = σ t ( p ， b ， t ) 表示 σ 关于 t 的偏导数，那么 σ b ， σ p t ， σ b t 和 σ t t 等也是表示关于 p ， b ， t 求偏导数。对于任意的向量场 X ˜ ，用 X ˜ ⊥ 表示其法向分支。 引理1 [ 11 ] 设 ( M ˜ n + p ， g ˜ ) 是一个 n + p 维的Riemann流形且具有向量场 X ˜ ， M n 是 M ˜ 的一个子流形，用 ∇ ˜ 表示度量 g ˜ 的一个Levi-Civita联络，取 M ˜ 一个局部正交标架 ( ε i ， ε α ) ，使得 ( ε i ) 与 M 相切。则对 M 上的切向量 X = X ˜ T ，总有 d i v M ( Φ X ) = n 〈 H → σ   ，     X ˜ 〉 g ˜ + σ p X ˜ ( f ) + ( σ b + σ t ) X ˜ ( ‖   X ˜   ‖ g ˜ 2 )           + σ [ d i v M ˜ X ˜ − ∑ α = n + 1 n + p 〈 ∇ ˜ ε α X ˜ ， ε α 〉 g ˜ ] − 2 σ t 〈 ∇ ˜ X ˜ ⊥ X ˜ ， X ˜ ⊥ 〉 g ˜ . (4) 其中 σ 和 Φ 是由式(3)给出， f : M ˜ → R 是一个任意的光滑函数， d i v M 是关于流形 M 在诱导度量 g 下的散度算子， H → σ 称为流形 M 的 σ -平均曲率向量，即 n H → σ :   = n H → σ + 2 n 〈 H → ， X ˜ 〉 g ˜ σ t X ˜ ⊥ − 2 [ 2 σ t t 〈 ∇ X ⊥ X ˜ ⊥ ， X ˜ ⊥ 〉 g ˜ X ˜ ⊥ − σ t ∇ X ⊥ X ˜ ⊥ ]     + 2 σ p t X ( f ) X ˜ ⊥ − σ p ∇ ⊥ f − σ b ∇ ⊥ ( ‖   X ˜   ‖ g ˜ 2 ) − 2 σ t [ [ ( L X ˜ g ˜ ) ( X ) ] ⊥ − ( ∇ ˜ X X ˜ ) ⊥ ]     + 2 ( σ b t + σ t t ) X ( ‖   X ˜   ‖ g ˜ 2 ) X ˜ ⊥ + 2 σ t [ d i v M ˜ X ˜ − ∑ α = n + 1 n + p 〈 ∇ ˜ ε α X ˜ ， ε α 〉 g ˜ ] X ˜ ⊥ . (5) 其中 h → ( ε i ， ε i ) 称为流形 M 的第二基本形式， H → = 1 n ∑ i = 1 n h → ( ε i ， ε i ) 表示 M 在流形 ( M ˜ ， g ˜ ) 的Riemann平均曲率向量， L X ˜ 由式(1)给出。 ∇ ⊥ f :   = ( ∇ ˜ f ) ⊥ ， ∇ ⊥ ( ‖   X ˜   ‖ g ˜ 2 ) 是梯度向量场 ∇ ˜ f ， ∇ ˜ ‖   X ˜   ‖ g ˜ 2 的法向分支。 注记1 假设引理1中同样的条件。特别地，如果 σ = σ ( b ， t ) ，那么 σ p = 0 ，则式(4)可以简化为 d i v M ( Φ X ) = n 〈 H → σ   ，   X ˜ 〉 g ˜ + ( σ b + σ t ) X ˜ ( ‖   X ˜   ‖ g ˜ 2 )           + σ d i v M ˜ X ˜ − σ ∑ α = n + 1 n + p 〈 ∇ ˜ ε α X ˜ ， ε α 〉 g ˜ − 2 σ t 〈 ∇ ˜ X ˜ ⊥ X ˜ ， X ˜ ⊥ 〉 g ˜ . 进一步来说，若 σ = σ ( b ， t ) 且 X ˜ 是共形向量场(2)，则 X ˜ ( ‖ X ˜   ‖ g ˜ 2 ) = 2 〈 ∇ ˜ X ˜ X ˜ ， X ˜ 〉 g ˜ = 2 c ‖ X ˜   ‖ g ˜ 2 ， d i v M ˜ X ˜ = ∑ α = 1 n + p 〈 ∇ ˜ ε α X ˜ ， ε α 〉 g ˜ = ( n + p )   c ， 〈 ∇ ˜ X ˜ ⊥ X ˜ ， X ˜ ⊥ 〉 g ˜ = c ‖   X ˜ ⊥ ‖ g ˜ 2 = c ( ‖   X ˜   ‖ g ˜ 2 − ‖   X   ‖ g ˜ 2 ) 。在这里令 b = ‖   X ˜   ‖ g ˜ 2 ，   t = ‖   X   ‖ g ˜ 2 ，我们有 d i v M ( Φ X ) = n 〈 H → σ   ，   X ˜ 〉 g ˜ + c [ 2 ( σ b + σ t ) b + n σ − 2 σ t ( b − t ) ]             = n 〈 H → σ   ，   X ˜ 〉 g ˜ + c [ 2 ( b σ b + t σ t ) + n σ ] . (6) 因此就得到了一个自然恒等式(6)，它是涉及了一个 σ -平均曲率向量和一个向量场切分量相关的散度项，我们将在第5节给出其具体的应用。
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user: 4. 一般 ( α ， β ) -度量体积元 一般 ( α ， β ) -度量中的Finsler度量是近十年来重要的研究内容。我们知道，赋予Finsler度量 F 的 n 维微分流形 M 称为Finsler流形 ( M ， F ) 。其中光滑流形 M 上的一个Finsler度量 F 是定义在切从 T M 上的连续函数 F : T M → [ 0 ， + ∞ ) ，它满足以下条件：i) F 在 T M \ { 0 } 上是光滑的；ii) 对于任意的实数 λ 和 ( x ， y ) ∈ T M ， F ( x ， λ y ) = λ F ( x ， y ) ；iii) 定义在 T M \ { 0 } 的基本张量 g F :   = g i j F d x i ⊗ d x j 是正定的，其中在 T M 上的一个局部坐标系下 ( x i ， y i ) ， g i j F :   = 1 2 ( ∂ 2 F 2 ∂ y i ∂ y j ) 。而在Finsler度量中，那里有一系列更广泛的度 量称为一般 ( α ， β ) -度量，它是由文献 [ 12 ] 提出的。 设 ( M ， F ) 是一般 ( α ， β ) -流形且具有一般 ( α ， β ) -度量，若对任意 x ∈ M ， s :   = β / α ，则有 F = α ϕ ( x ， s ) (7) 其中 α = a i j ( x ) y i y j 是一个Riemann度量， β = b i ( x ) y i 是一个1-次微分形式且 ‖   β   ‖ α < b 0 。 ϕ ( b ， s ) 是一个2-变量光滑正函数(参看文献 [ 12 ] 命题3.3)满足： ϕ − s ϕ s > 0 ， ϕ − s ϕ s + ( b 2 − s 2 ) ϕ s s > 0 (8) n ≥ 3 或者 ϕ − s ϕ s + ( b 2 − s 2 ) ϕ s s > 0 当 n = 2 ，其中 b 和 s 是任意实数且满足 | s | ≤ b < b 0 。 在文献 [ 13 ] 中，一般 ( α ， β ) -流形 ( M ， F ) 的Busemann-Hausdorff测度和Holmes-Thompson测度已经被计算出来，它的证明方法类似于文献 [ 14 ] 和文献 [ 15 ]。对任意 x ∈ M 和一个实数 t ≥ 0 ，我们定义 σ ( x ， t ) :   = { π Γ ( n − 1 2 ) Γ ( n 2 ) [ ∫ 0 π sin n − 2 θ ϕ ( x ， t 1 2 cos θ ) n d θ ] − 1       B H − 情 况 ， Γ ( n 2 ) π Γ ( n − 1 2 ) ∫ 0 π Q ( x ， t 1 2 cos θ ) sin n − 2 θ d θ     H T − 情 况 . (9) 其中 Q ( x ， s ) :   = ϕ ( ϕ − s ϕ s ) n − 2 [ ϕ − s ϕ s + ( t − s 2 ) ϕ s s ] ， s = t 1 2 cos θ 。 Γ ( t ) = ∫ 0 ∞ x t − 1 e − x d x 是一个Euler函数且满足递推公式 Γ ( t + 1 ) = t Γ ( t ) ， Γ ( 1 ) = 1 ， Γ ( 1 / 2 ) = π 。 引理2 [ 13 ] 对于具有度量(7)的一般 ( α ， β ) -流形 ( M n ， F ) ，关于在度量 F 下的BH-体积形式和HT-体积形式为 d V F ( x ) = σ ( x ， ‖   β   ‖ α 2 ) d V α ，其中 x ∈ M ， σ 是由式(9)给出。 在本节中，我们考虑一个一般 ( α ， β ) -流形中定向等距浸入的子流形 f : M n → ( M ˜ n + p ， F ˜ ) ，其中 F ˜ = α ˜ ϕ ( ‖   β ˜   ‖ α ˜ 2 ， β ˜ / α ˜ ) 。那么在流形 M 上的诱导度量 F :   = f ∗ F ˜ F ˜ = α ˜ ϕ ( ‖   β ˜   ‖ α ˜ 2 ， β ˜ / α ˜ ) 是一个一般 ( α ， β ) -度量 F = α ϕ ( ‖   β ˜   ‖ α ˜ 2 ， β / α ) ，其中 α :   = f ∗ α ˜ 是诱导的Riemann度量， β :   = f ∗ β ˜ 是诱导的1-形式。 ‖   β ˜   ‖ α ˜ 2 可以看作 是限制在 M 上的函数，而流形 M 上 ‖   β ˜   ‖ α ˜ 2 一般是不等同于 ‖   β   ‖ α 2 且具有如下关系: ‖   β ˜   ‖ α ˜ 2 = ‖   β   ‖ α 2 + ∑ α = n + 1 n + p 〈 β ˜ # ， e α 〉 α ˜ 2 ， 其中 { e n + 1 ， ⋯ ， e n + p } 是关于法从在度量 α ˜ 下的单位正交标架。通过引理2可以知道， ( M ， F ) 的BH-体积形式和HT-体积形式具有形式 d V F ( x ) = σ ( ‖   β ˜   ‖ α ˜ 2 ， ‖   β   ‖ α 2 ) d V α ， x ∈ M 那么根据式(9)，函数 σ 可以为 σ ( b ， t ) = { π Γ ( n − 1 2 ) Γ ( n 2 ) [ ∫ 0 π sin n − 2 θ ϕ ( b ， t 1 2 cos θ ) n d θ ] − 1             B H − 情 况 ， Γ ( n 2 ) π Γ ( n − 1 2 ) ∫ 0 π Q ( b ， t ， t 1 2 cos θ ) sin n − 2 θ d θ     H T − 情 况 . (10) 其中 Q ( b ， t ， s ) :   = ϕ ( ϕ − s ϕ s ) n − 2 [ ϕ − s ϕ s + ( t − s 2 ) ϕ s s ] ， s = t 1 2 cos θ (11) 且 b :   = ‖ β ˜ ‖ α ˜ 2 ， t :   = ‖ β ‖ α 2 。因为 ϕ = ϕ ( b ， s ) ，所以 Q 是一个关于变量 ( b ， t ， s ) 函数。
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user: 摘要 本文运用Leray-Schauder二择一定理，研究了一类分数阶微分方程的三点边值问题 { D α ( D + λ ) x ( t ) = f ( t ， x ( t ) ) ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ， x ( 0 ) = 0 ， x ′ ( 0 ) = 0 ， x ( 1 ) = β x ( η ) ， 得到该问题解的存在性。进一步证明了限制非线性项的函数 k ( t ) ，在被形如 B t μ 的函数控制后，该问题至少存在一个解。最后，通过实例验证了结论的有效性。
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user: 1. 引言 近年来，分数阶微分方程已经对数学模型的研究过程和其他学科领域的研究产生了深远的影响，例如电化学、热传导、地下水流动系统、多孔介质等。目前，分数阶边值问题的研究已取得了很多结果 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]。 三点边值问题在微分方程理论中运用广泛 [ 6 ] [ 7 ]。庞杨等在文献 [ 8 ] 利用半序集上的不动点定理得到了Caputo分数阶三点边值问题 { c D 0 + α u ( t ) + f ( t ， u ( t ) ) = 0 ， 0 < t < 1 ， u ( 0 ) = u ″ ( 0 ) = u ‴ ( 0 ) = 0 ， u ′ ( 1 ) = β u ( η ) 解的存在性，其中 3 < α ≤ 4 ， 0 < β ≤ 1 ， 0 < η < 1 ， c D 0 + α 是标准Caputo分数阶导数。 Yan Sun在文献 [ 9 ] 等利用锥拉伸与压缩不动点定理得到了四阶三点边值问题 { u ( 4 ) ( t ) + f ( t ， u ( t ) ) = 0 ， 0 ≤ t ≤ 1 ， u ( 0 ) = u ′ ( 0 ) = u ″ ( 0 ) = 0 ， u ″ ( 1 ) − α u ″ ( η ) = λ 解的存在性，其中 η ∈ ( 0 ， 1 ) ， α ∈ [ 0 ， 1 η ) ， λ ∈ [ 0 ， ∞ ) 。 2015年，Batarfi和Jorge Losada在文献 [ 10 ] 运用Banach不动点定理和Krasnoselskii定理研究了分数阶三点边值问题 { D α ( D + λ ) x ( t ) = f ( t ， x ( t ) ) ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ， x ( 0 ) = 0 ， x ′ ( 0 ) = 0 ， x ( 1 ) = β x ( η ) (1.1) 解的存在性，其中 D α 为 α ∈ ( 1 ， 2 ] 的一致分数阶导数， D 是一阶导数， f : [ 0 ， 1 ] × R → R 连续函数， λ ， β ∈ R ， λ > 0 且 η ∈ ( 0 ， 1 ) 。 受上述文献的启发，本文运用Leray-Schauder非线性抉择研究问题(1.1)解的存在性，其中参数 λ > 1 且 β ， η ∈ ( 0 ， 1 ) 。
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user: 3. 主要结果及证明 本文的主要结果是： 定理1设 f ( t ， 0 ) ≠ 0 ， λ > 1 ， 0 < β < 1 ，且存在非负函数 k ， h ∈ L 1 [ 0 ， 1 ] ，使下列条件成立： (C1) | f ( t ， x ) | ≤ k ( t ) | x | + h ( t ) ， a . e . ( t ， x ) ∈ [ 0 ， 1 ] × R ； (C2) 2 λ ( 1 − β ) ∫ 0 1 ( 1 − s ) s α − 2 k ( s ) d s + β λ ( 1 − β ) ∫ 0 η ( η − s ) s α − 2 k ( s ) d s < 1 ， 则问题(1.1)至少有一个解 u * ∈ C [ 0 ， 1 ] 。 证明：记 M = 2 λ ( 1 − β ) ∫ 0 1 ( 1 − s ) s α − 2 k ( s ) d s + β λ ( 1 − β ) ∫ 0 η ( η − s ) s α − 2 k ( s ) d s ， N = 2 λ ( 1 − β ) ∫ 0 1 ( 1 − s ) s α − 2 h ( s ) d s + β λ ( 1 − β ) ∫ 0 η ( η − s ) s α − 2 h ( s ) d s ， 由条件(C2)可知， M < 1 。因为 f ( t ， 0 ) ≠ 0 ，则存在一个区间 [ a ， b ] ⊂ [ 0 ， 1 ] ，使得 min a ≤ t ≤ b | f ( t ， 0 ) | > 0 。当 h ( t ) ≥ | f ( t ， 0 ) | ，对 a . e . t ∈ [ 0 ， 1 ] ，得到 N > 0 。 令 r = N ( 1 − M ) − 1 ， Ω = { x ∈ E : ‖ x ‖ < r } 。假设 x ∈ ∂ Ω ， θ > 1 ，使得 T x = θ x 。于是有 θ r = θ ‖ x ‖ = ‖ T x ‖ = max t ∈ [ 0 ， 1 ] | ∫ 0 t e − λ ( t − s ) ( ∫ 0 s f ( u ， x ( u ) ) u α − 2 ( s − u ) d u ) d s + A ( t ) [ β ∫ 0 η e − λ ( η − s ) ( ∫ 0 s f ( u ， x ( u ) ) u α − 2 ( s − u ) d u ) d s − ∫ 0 1 e − λ ( 1 − s ) ( ∫ 0 s f ( u ， x ( u ) ) u α − 2 ( s − u ) d u ) d s ] | ≤ ∫ 0 1 e − λ ( 1 − s ) ( ∫ 0 s | f ( u ， x ( u ) ) | u α − 2 ( s − u ) d u ) d s + A ( 1 ) [ β ∫ 0 η e − λ ( η − s ) ( ∫ 0 s | f ( u ， x ( u ) ) | u α − 2 ( s − u ) d u ) d s + ∫ 0 1 e − λ ( 1 − s ) ( ∫ 0 s | f ( u ， x ( u ) ) | u α − 2 ( s − u ) d u ) d s ] ≤ ( 1 + A ( 1 ) ) ∫ 0 1 e − λ ( 1 − s ) ( ∫ 0 s k ( u ) | x ( u ) | u α − 2 ( s − u ) d u ) d s + A ( 1 ) β ∫ 0 η e − λ ( η − s ) ( ∫ 0 s k ( u ) | x ( u ) | u α − 2 ( s − u ) d u ) d s + ( 1 + A ( 1 ) ) ∫ 0 1 e − λ ( 1 − s ) ( ∫ 0 s h ( u ) u α − 2 ( s − u ) d u ) d s + A ( 1 ) β ∫ 0 η e − λ ( η − s ) ( ∫ 0 s h ( u ) u α − 2 ( s − u ) d u ) d s ≤ 2 1 − β ∫ 0 1 ( ∫ u 1 e − λ ( 1 − s ) ( s − u ) d s ) k ( u ) | x ( u ) | u α − 2 d u + β 1 − β ∫ 0 η ( ∫ u η e − λ ( η − s ) ( s − u ) d s ) k ( u ) | x ( u ) | u α − 2 d u + 2 1 − β ∫ 0 1 ( ∫ u 1 e − λ ( 1 − s ) ( s − u ) d s ) h ( u ) u α − 2 d u + β 1 − β ∫ 0 η ( ∫ u η e − λ ( η − s ) ( s − u ) d s ) h ( u ) u α − 2 d u ≤ 2 λ ( 1 − β ) ∫ 0 1 ( 1 − s ) s α − 2 k ( s ) | x ( s ) | d s + β 1 − β ∫ 0 η ( 1 − s ) s α − 2 k ( s ) | x ( s ) | d s + 2 λ ( 1 − β ) ∫ 0 1 ( 1 − s ) s α − 2 h ( s ) d s + β λ ( 1 − β ) ∫ 0 η ( η − s ) s α − 2 h ( s ) d s = M ‖ x ‖ + N . 进一步，有 θ ≤ M + N r = M + N N ( 1 − M ) − 1 = M + ( 1 − M ) = 1 。 这与 θ > 1 产生矛盾。由引理2可知， T 有不动点 u * ∈ Ω ¯ 。另一方面， f ( t ， 0 ) ≠ 0 ，则问题(1.1)有非平凡解 u * ∈ C [ 0 ， 1 ] 。 定理2设 f ( t ， 0 ) ≠ 0 ， 0 < β < 1 ，且存在非负函数 k ， h ∈ L 1 [ 0 ， 1 ] ，使条件(C1)，(C3)满足， (C3)存在一个常数 μ > 0 ，使得 k ( s ) ≤ B s μ ， a . e . s ∈ [ 0 ， 1 ] ， 其中 B = λ ( 1 − β ) ( α − 1 + μ ) ( α + μ ) 2 + β η α + μ 。 则问题(1.1)至少有一个解 u * ∈ E 。 证明：由定理1的条件可知，要证明定理2，只需要证明 M < 1 即可。 M = 2 λ ( 1 − β ) ∫ 0 1 ( 1 − s ) s α − 2 k ( s ) d s + β λ ( 1 − β ) ∫ 0 η ( η − s ) s α − 2 k ( s ) d s ≤ B ( 2 λ ( 1 − β ) ∫ 0 1 ( 1 − s ) s α − 2 + μ d s + β λ ( 1 − β ) ∫ 0 η ( η − s ) s α − 2 + μ d s ) ≤ B ( 2 λ ( 1 − β ) 1 ( α − 1 + μ ) ( α + μ ) + β λ ( 1 − β ) η α + μ ( α − 1 + μ ) ( α + μ ) ) ≤ B 2 + β η α + μ λ ( 1 − β ) ( α − 1 + μ ) ( α + μ ) = 1. 当 M < 1 时，有 θ ≤ 1 。则结论得证。
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user: 4. 示例 考虑下面的分数阶微分方程边值问题: { D 4 3 ( D + 5 ) x ( t ) = t 5 | x | cos x 3 + 2 t + 1 ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ， x ( 0 ) = 0 ， x ′ ( 0 ) = 0 ， x ( 1 ) = 1 2 x ( 1 3 ) 解的存在性，这里 α = 4 3 ， λ = 5 ， β = 1 2 ， η = 1 3 。显然， f ( t ， x ) = t 5 | x | cos x 3 + 2 t + 1 ， k ( t ) = t 2 ， h ( t ) = 1 。 容易证得 k ， h ∈ L 1 [ 0 ， 1 ] 为非负函数，且有 | f ( t ， x ) | ≤ k ( t ) | x | + h ( t ) ， a . e . ( t ， x ) ∈ [ 0 ， 1 ] × R ， 进一步，有 M = 2 5 × ( 1 − 1 2 ) ∫ 0 1 ( 1 − s ) s − 2 3 ⋅ s 2 d s + 1 2 5 × ( 1 − 1 2 ) ∫ 0 1 3 ( 1 3 − s ) s − 2 3 ⋅ s 2 d s ≈ 0 .13105 < 1. 故由定理1可知，该分数阶微分方程边值问题有解。
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user: 摘要 本文研究了一类与分数阶p-Laplace算子相关的重排优化问题。首先，通过建立合适的变分框架并利用全局极小原理得到了一个分数阶p-Laplace算子方程的全局极小解。然后，利用反证法证明该全局极小解的唯一性。最后，使用重排优化理论证明在一定的参数范围内相应的能量泛函极小重排优化问题的可解性。
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user: 1. 引言 重排优化问题具有丰富的物理背景。著名物理学家W. Thomson (Lord Kelvin)曾提出求解使得某一区域流体动能达到最值的最优涡量场分布问题。1989年Burton将该问题等价转化为在已知涡量场所有重排函数组成的集合上的重排优化问题。通过建立一系列重排函数理论，Burton得到了该重排优化问题的可解性，见 [ 1 ] [ 2 ]。之后更多微分方程相关的重排优化问题得到了广泛深入的研究，见参考文献 [ 3 ] - [ 9 ]。 近年来，非局部算子如分数阶Laplace算子相关的重排优化问题得到了许多人们的关注。相关研究见文献 [ 10 ] - [ 16 ]。我们注意到尚未有分数阶p-Laplace算子相关的能量泛函重排优化问题研究。 本文将考虑分数阶p-Laplace算子方程( P λ ， f ) { ( − Δ ) p s u − λ V ( x ) | u | p − 2 u = f ( x ) ， x ∈ Ω u = 0 ， x ∈ R N \ Ω 引出的重排优化问题，其中 ( − Δ ) p s ( 0 < s < 1 ， p > 1 ) 为分数阶p-Laplace算子定义为： ( − Δ ) p s u ( x ) = 2 lim ε ↓ 0 ∫ R N \ B ε ( x ) | u ( x ) − u ( y ) | p − 2 ( u ( x ) − u ( y ) ) | x − y | N + p s d y ， 其中 λ > 0 为一个参数， V ( x ) > 0 为某个可测函数。 可以证明，对 f ( x ) ∈ L q ( Ω ) 方程( P λ ， f )具有唯一全局极小解，记为 u f (见第2节定理2.1)。 本文将讨论如下的重排优化问题: (Opt) inf g ∈ R ( f ) Φ ( g ) 其中 Φ ( g ) : R ( f ) ↦ R 为能量泛函 Φ ( g ) = 1 p ‖ u g ‖ p − λ p ∫ Ω V ( x ) | u g | p d x − ∫ Ω g u g d x 这里 u g 为方程 ( P λ ， f ) 中右端项 f 替换为 g 时对应的唯一解， ‖ u g ‖ p = ∫ R N ∫ R N | u ( x ) − u ( y ) | p | x − y | N + p s d x d y 。我们 将证明在参数 λ 的合适取值范围内上述重排优化问题的可解性。 注意到分数阶p-Laplace算子不仅是非局部算子而且是非线性算子，因此，我们的处理需要更多技巧。
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user: 2. 预备知识 记 Ω ⊂ R N ， ( N ≥ 3 ) 为一个有界光滑区域。设函数 f : Ω → R 可测，我们记 R ( f ) 为由满足如下条件： m e a s ( { x ∈ Ω : g ( x ) ≥ a } ) = m e a s ( { x ∈ Ω : f ( x ) ≥ a } ) ， ∀ a ∈ R 的可测函数 g 组成的函数集合，其中meas(∙)表示Lebegue测度。在本文中，我们将记 ‖ u ‖ L p 为通常的空间 L p ( Ω ) ( 1 ≤ p ≤ ∞ ) 中的范数。记号 C 表示某个正常数。 记可测函数 u : R N → R 的Gagliardo半范数为 [ u ] s ， p = ( ∫ R N ∫ R N | u ( x ) − u ( y ) | p | x − y | N + p s d x d y ) 1 / p 并记 W s ， p ( R N ) = { u ∈ L p ( R N ) : [ u ] s ， p < ∞ } 为以 ‖ u ‖ s ， p = ( ∫ R N | u | p d x + [ u ] s ， p p ) 1 / p 为范数的分数阶Sobolev空间，其中 0 < s < 1 ， p ≥ 2 ， s p < N 。本文的讨论将在其如下的线性闭子空间 W 0 s ， p ( Ω ) = { u ∈ W s ， p ( R N ) : u ≡ 0 ， x ∈ R N \ Ω } ， 中进行。可以验证 ‖ ⋅ ‖ = [ ⋅ ] s ， p 为 W 0 s ， p ( Ω ) 中函数的等价范数，见文献 [ 14 ]。 W 0 s ， p ( Ω ) 为一致凸Banach空间。 方程 ( P λ ， f ) 对应的能量泛函 I f : W 0 s ， p ( Ω ) ↦ R 为 I f ( u ) = 1 p ∫ R N ∫ R N | u ( x ) − u ( y ) | p | x − y | N + p s d x d y − λ p ∫ Ω V | u | p d x − ∫ Ω f u d x 容易验证， I f ∈ C 1 ( W 0 s ， p ( Ω ) ， R ) 且对任意的 v ∈ W 0 s ， p ( Ω ) 成立 〈 I ′ f ( u ) ， v 〉 = ∫ R N ∫ R N | u ( x ) − u ( y ) | p − 2 ( u ( x ) − u ( y ) ) ( v ( x ) − v ( y ) ) | x − y | N + p s d x d y − λ ∫ Ω V | u | p − 2 u v d x − ∫ Ω f v d x 定义2.1 称 u ∈ W 0 s ， p ( Ω ) 为方程 ( P λ ， f ) 的一个解，如果对任意的 v ∈ W 0 s ， p ( Ω ) 成立 ∫ R N ∫ R N | u ( x ) − u ( y ) | p − 2 ( u ( x ) − u ( y ) ) ( v ( x ) − v ( y ) ) | x − y | N + p s d x d y − λ ∫ Ω V | u | p − 2 u v d x − ∫ Ω f v d x = 0 因此， u ∈ W 0 s ， p ( Ω ) 为方程 ( P λ ， f ) 的一个解当且仅当 〈 I ′ f ( u ) ， v 〉 = 0 ， ∀ v ∈ W 0 s ， p ( Ω ) 。 引理 2.1(见文献 [ 17 ] 定理6.5)设 1 ≤ r ≤ p N N − p s ，则 W 0 s ， p ( Ω ) 连续嵌入 L r ( R N ) 且当 1 ≤ r < p N N − p s 时该嵌入是紧的。 引理2.2 (见文献 [ 2 ] 引理2.1)设 f ∈ L p ( Ω ) ， 1 ≤ p < ∞ ， g ∈ R ( f ) 则一定有 g ∈ L p ( Ω ) 且 ‖ g ‖ L p = ‖ f ‖ L p 。 引理2.3 (见文献 [ 7 ] 引理2.3)设 f ∈ L r ( Ω ) ， g ∈ L r ′ ( Ω ) 则线性泛函 ∫ Ω h g d x ， h ∈ R ( f ) ¯ 存在 f ^ ∈ R ( f ) 为其最值点。 令 λ 1 = inf u ∈ W 0 s ， p ( Ω ) { ‖ u ‖ p : ∫ Ω V | u | p d x = 1 } (2.1) 引理2.4设 V ( x ) > 0 且 V ( x ) ∈ L ∞ ( Ω ) 则 λ 1 > 0 。 证明：显然， 0 ≤ λ 1 < ∞ 。任取 { u n } 为一列极小化序列，即 ∫ Ω V | u n | p d x = 1 ， ‖ u n ‖ p → λ 1 ， 则存在子列，不妨仍记为 { u n } ，使得 u n 弱收敛于 u ¯ ∈ W 0 s ， p ( Ω ) 。由于 W 0 s ， p ( Ω ) 紧嵌入 L p ( Ω ) ，则 u n 强收敛于 u ¯ ∈ L p ( Ω ) 。于是， ∫ Ω V | ( | u n | p − | u ¯ | p ) | d x ≤ ‖ V ‖ L ∞ ∫ Ω | ( | u n | p − | u ¯ | p ) | d x → 0 因此， ∫ Ω V | u n | p d x → ∫ Ω V | u ¯ | p d x = 1 结合范数的弱下半连续性可得 λ 1 ≤ ‖ u ¯ ‖ p ≤ lim inf n → ∞ ‖ u n ‖ p = λ 1 由此即得 λ 1 = ‖ u ¯ ‖ p > 0 。
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user: 3. 方程 ( P λ ， f ) 全局极小解的存在唯一性 定理3.1 设 0 < V ( x ) ∈ L ∞ ( Ω ) ， f ∈ L q ( Ω ) ， q > p N ( p − 1 ) N + p s ， 0 < λ < λ 1 ，其中 λ 1 如(2.1)中所定义， 则方程 ( P λ ， f ) 存在唯一全局极小解 u f ∈ W 0 s ， p ( Ω ) ，即 〈 I ′ f ( u f ) ， v 〉 = 0 ， ∀ v ∈ W 0 s ， p ( Ω ) 且 I ( u f ) = inf v ∈ W 0 s ， p ( Ω ) I ( v ) 证明：我们先证明方程 ( P λ ， f ) 存在全局极小解。任取 u ∈ W 0 s ， p ( Ω ) ，利用Holder不等式及引理2.1 | ∫ Ω f u d x | ≤ ‖ f ‖ L q ‖ u ‖ L q ' ≤ C ‖ u ‖ 其中 1 < q ′ : = q / ( q − 1 ) < p N / ( N − p s ) 。 再由(2.1)可得 I f ( u ) ≥ 1 p ( 1 − λ λ 1 ) ‖ u ‖ p − C ‖ u ‖ → ∞ ， 若 ‖ u ‖ → ∞ 即泛函 I f 是强制的。 易知， I f 为一个弱下半连续泛函。所以，一定存在 u f ∈ W 0 s ， p ( Ω ) 为泛函 I f 的全局极小点，即 I f ( u f ) = inf v ∈ W 0 s ， p ( Ω ) I f ( v ) 。容易验证 I f ∈ C 1 ( W 0 s ， p ( Ω ) ， R ) ，则由全局极小原理即可得到 u f 为方程 ( P λ ， f ) 的解，即 〈 I ′ f ( u f ) ， v 〉 = 0 ， ∀ v ∈ W 0 s ， p ( Ω ) 下面我们证明方程 ( P λ ， f ) 有且仅有一个全局极小解 u f 。 记 m : = inf v ∈ W 0 s ， p ( Ω ) I f ( v ) ，则 I f ( u f ) = m 。由于 0 < λ < λ 1 ，则 ‖ u ‖ p ≥ ‖ u ‖ p − λ ∫ Ω V | u | p d x ≥ λ 1 − λ λ 1 ‖ u ‖ p 因此， ‖ u ‖ λ : = ( ‖ u ‖ p − λ ∫ Ω V | u | p d x ) 1 / p 是与 ‖ u ‖ 等价的范数。由范数的三角不等式可得，对任意的 t ∈ ( 0 ， 1 ) ， u ， v ∈ W 0 s ， p ( Ω ) 成立 ‖ t u + ( 1 − t ) v ‖ λ ≤ t ‖ u ‖ λ + ( 1 − t ) ‖ v ‖ λ 利用 p 次幂函数的严格凸性可得 I f ( t u + ( 1 − t ) v ) = 1 p ‖ t u + ( 1 − t ) v ‖ λ p − ∫ Ω f ( x ) ( t u + ( 1 − t ) v ) d x ≤ 1 p ( t ‖ u ‖ λ + ( 1 − t ) ‖ v ‖ λ ) p − ∫ Ω f ( x ) ( t u + ( 1 − t ) v ) d x < t p ‖ u ‖ λ p + 1 − t p ‖ v ‖ λ p − ∫ Ω f ( x ) ( t u + ( 1 − t ) v ) d x = t I f ( u ) + ( 1 − t ) I f ( v ) 假设存在 w f ∈ W 0 s ， p ( Ω ) 也是方程 ( P λ ， f ) 的全局极小解且 w f ≠ u f 则 I f ( w f ) = m 。任取 t ∈ ( 0 ， 1 ) ，则 t u f + ( 1 − t ) w f ∈ W 0 s ， p ( Ω ) 且 I f ( t u f + ( 1 − t ) w f ) < t I f ( u f ) + ( 1 − t ) I f ( w f ) = m ，矛盾。因此， u f 是方程 ( P λ ， f ) 的唯一全局极小解。证毕。
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user: 4. 能量泛函重排优化问题(Opt)极小点的存在性 定理4.1 设 0 < V ( x ) ∈ L ∞ ( Ω ) ， f ∈ L q ( Ω ) ， q > p N / ( p N − N + p s ) ， 0 < λ < λ 1 ，则存在 f ^ ∈ R ( f ) ，为问题(Opt)的解，即 Φ ( f ^ ) = I f ^ ( u ^ ) = inf g ∈ R ( f ) I g ( u g ) = inf g ∈ R ( f ) Φ ( g ) 这里 u ^ = u f ^ 是方程 ( P λ ， f ^ ) 的唯一全局极小解。 证明：由定理3.1，方程 ( P λ ， f ) 存在唯一解 u f ∈ W 0 s ， p ( Ω ) 。令 A = inf g ∈ R ( f ) I g ( u g ) ，则 A 为有限数。事实 上，对任一个 g ∈ R ( f ) ，我们有 I g ( u g ) = 1 p ∫ R N ∫ R N | u g ( x ) − u g ( y ) | p | x − y | N + p s d x d y − λ p ∫ Ω V | u g | p d x − ∫ Ω g u g d x ≥ 1 p ( 1 − λ λ 1 ) ‖ u g ‖ p − C ‖ g ‖ L q ‖ u g ‖ 。 (4.1) 根据引理2.2， ‖ g ‖ L q = ‖ f ‖ L q ，我们由上式可推知 A 一定是有限数。设 { g i } 为某个极小化序列，即 g i ∈ R ( f ) ， ∀ i ∈ N 且 A = lim i → ∞ I ( u i ) 其中 u i = u g i ， I ( u i ) = I g i ( u g i ) 。由(4.1)可知 { u i } 为 W 0 s ， p ( Ω ) 中有界序列，则一定存在子序列(不失一般性，仍记为 { u i } )在空间 W 0 s ， p ( Ω ) 中弱收敛于某个函数 u ∈ W 0 s ， p ( Ω ) 并且由于 W 0 s ， p ( Ω ) 紧嵌入于 L q ′ ( Ω ) ( 1 < q ′ = q / ( q − 1 ) < p N / ( N − p s ) ) 可知其在 L q ′ ( Ω ) 中强收敛于 u 。令 R ( f ) ¯ q ， w 为 R ( f ) 在 L q ( Ω ) 中的 弱闭包。注意到 ‖ g i ‖ L q ≡ ‖ f ‖ L q ，则 { g i } 也为空间 L q ( Ω ) 中有界序列，因此一定存在子序列(不失一般性， 仍记为 { g i } )在 L q ( Ω ) 中弱收敛于 g ¯ ∈ R ( f ) ¯ q ， w 。利用 L q ( Ω ) 中序列弱收敛的定义并结合 u ∈ L q ′ ( Ω ) ，我们有 | ∫ Ω ( g i − g ¯ ) u d x | → 0 ， i → ∞ 再结合Holder不等式可推出 | ∫ Ω ( g i u i − g ¯ u ) d x | ≤ | ∫ Ω g i ( u i − u ) d x | + | ∫ Ω ( g i − g ¯ ) u d x | ≤ ‖ g i ‖ L q ‖ u i − u ‖ L q ′ + | ∫ Ω ( g i − g ¯ ) u d x | → 0 ， i → ∞ 。 由于 W 0 s ， p ( Ω ) 紧嵌入于 L p ( Ω ) ，所以 { u i } 在 L p ( Ω ) 中强收敛于 u 。结合 0 < V ( x ) ∈ L ∞ ( Ω ) 即可得到 lim i → ∞ ∫ Ω V ( | u i | p − | u | p ) d x = 0 由以上两式我们即可推得 A = lim i → ∞ I ( u i ) ≥ 1 p ∫ R N ∫ R N | u ( x ) − u ( y ) | p | x − y | N + p s d x d y − λ p ∫ Ω V | u | p d x − ∫ Ω g ¯ u d x (4.2) 根据引理2.3，线性泛函 l : R ( f ) ¯ q ， w ↦ R ， l ( g ) = ∫ Ω g u d x 一定存在一个极大点 f ^ ∈ R ( f ) ，即 ∫ Ω g ¯ u d x ≤ ∫ Ω f ^ u d x 由(4.2)，即可推出 A ≥ 1 p ∫ R N ∫ R N | u ( x ) − u ( y ) | p | x − y | N + p s d x d y − λ p ∫ Ω V | u | p d x − ∫ Ω f ^ u d x (4.3) 由于 u ^ 为方程 ( P λ ， f ^ ) 的全局极小解，则 I ( u ^ ) = inf v ∈ W 0 s ， p ( Ω ) 1 p ∫ R N ∫ R N | u ( x ) − u ( y ) | p | x − y | N + p s d x d y − λ p ∫ Ω V | v | p d x − ∫ Ω f ^ v d x ≤ 1 p ∫ R N ∫ R N | u ( x ) − u ( y ) | p | x − y | N + p s d x d y − λ p ∫ Ω V | u | p d x − ∫ Ω f ^ u d x 。 (4.4) 结合(4.3)和(4.4)显然可以看出 I ( u ^ ) ≤ A 。 另一方面，由定义 A = inf g ∈ R ( f ) I g ( u g ) ，而 f ^ ∈ R ( f ) 则必有 I ( u ^ ) ≥ A 。这样我们就立刻得到， I ( u ^ ) = A 证毕。
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user: 摘要 本文主要研究城市的公交乘车方案问题，对于乘车方案，我们以最少换乘次数为主要目标，以最少乘车时间为第二目标，结合公路交通量对道路通行时间的影响，即路阻函数，选择出一个符合要求的最优公交乘车方案；对于方案的选择，我们采用对公交线路进行搜寻的办法，寻找经过起点与终点的公交线路的集合，并根据直达、一次换乘、两次换乘对这两个集合分别进行搜寻，得到可行的方案后计算每个方案花费的时间并进行比较，从而选出最佳的乘车方案。最后，我们以湖南省长沙市为例，结合不同时间段的公路交通量计算出5组出行线路的最佳乘车方案。
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user: 1. 引言 随着经济社会的发展，由人类活动所排放的温室气体日益增加，造成温室效应，使得全球气候变暖。世界各国正面临着前所未有的气候问题与挑战。中国作为世界上最大的发展中国家，每年温室气体排放量约占全世界排放总量的15%。我国已成为全球温室气体排放总量最大的国家，并且短期内碳排放绝对量继续增长的趋势不会改变，因此承受着巨大的国际减排压力。并且随着十四五规划“碳中和”的提出，减少碳排放已经成为我国一个重要的工作目标。 随着汽车的普及，其过量无节制的使用是造成碳排放增加的主要原因之一。减少碳排放，实现碳中和，一方面需要合理规划小型汽车的使用，另一方面也要鼓励和倡导人们选择使用绿色能源的公共交通出行方式。在推动城市经济社会可持续发展过程中，如何完善公共交通管理制度，提供更加便捷、快捷和经济的公共交通出行方式，普及使用绿色能源的公交，这些都是我们值得探讨的问题，这也直接影响着人们是否选择公共交通出行方式。 虽然公交有着这样的优势，但在出行的便捷性和速度上却不如私家车，因此如何选择一条合适的公交线路成为一个需要解决的问题。城市交通管理要比航空和铁路运输管理复杂得多，因为航班、列车的运行时间、出发地、终点、甚至当前位置都可以知道，而城市交通，被管理的目标有各种机动车、非机动车、还有行人，关键是他们个体的出行精确数据无法得到，这就给准确的数值模拟带来了很大的困难。本项目的研究主要是基于已有的公交线路和交通量来选择一条符合人们要求的路线，重点探索缩短人们公交出行的时间的途径，本项目的研究对人们使用公共交通具有推动作用。
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user: 2. 问题分析 想要寻求一条乘车时间最短的乘车方案往往采用的是Dijkstra标号法 [ 1 ]，该算法是使用最为广泛的解决有向图的最短路径的算法，该算法以每个公交站作为节点，求出从起点到终点的最短路径，如果在乘车方案中使用这个算法将会出现换乘多次才能到达终点的情况，虽然求出了最短路径，但不符合人们的乘车心理，因此这种方法不可取；同时这种方法不适合处理节点多的问题，Dijkstra标号法的时间复杂度是，对于长沙市有5000左右个节点，计算出结果往往需要花费很多时间，而公交线路只有419条。本文优先考虑换乘次数，以最少的换乘次数为第一目标，以最少乘车时间为第二目标，同时结合交通量对道路通行时间的影响建立一个数据量少、计算速度快的最优乘车方案算法。
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user: 3. 模型建立与求解 为了模型求解的方便，本文对模型做出以下假设： 1) 每条公交线路上相邻公交车站的自由行驶时间相同，为 t 0 = 4 min ； 2) 两辆公交车的平均换乘时间为 T 0 = 6 min ； 3) 公交车的实际路段通行时间只与当前路段的通行量有关； 4) 将所有的公交线路视为单向的，即使是双向也视为两条单向，且无环行线。 下面引入如下记号： L i 表示第 i 条公交线路， s i j 表示第 i 条公交线的第 j 个公交站， t i j 表示第 i 条公交线的第 j 个公交站到第 j + 1 个公交站的实际道路通行时间， Q i j 和 C i j 分别表示第 i 条公交线的第 j 个公交站到第 j + 1 个公交站的路段的道路通行量和实际通行能力，经过某公交站 x 的所有公交线路的集合记为 A x ，所有公交站的集合记为 S 。 根据路阻函数，道路的实际通行时间与道路的自由通行时间存在以下的函数关系 [ 2 ]： t i j = t 0 × ( 1 + α ( Q i j C i j ) β ) 其中 α 和 β 为模型参数，本文中取 α = 0.15 ， β = 4 。 算法如下： 对于 ∀ x ， y ∈ S ，找到相应的 A x 和 A y 3.1. 直达车算法 若 A x ∩ A y ≠ ∅ ，则说明节点 x 与 y 之间存在直达线路，对 ∀ L i ∈ A x ∩ A y ，找出节点 x 与 y 在线路 L i 中相对应的节点是 s i j x 和 s i j y ，如图1。 图1. 直达车示意图 若 j x > j y ，说明是反方向的线路，此时线路 L i 不可取；若 j x < j y ，此时线路 L i 就是可行的线路，并计算乘坐此线路需要花费的时间 t i = ∑ j = j x j y t i j = t 0 × ∑ j = j x j y ( 1 + α ( Q i j C i j ) β ) 找出这些线路中时间花费最少的 t min = min { t i } ，则最佳乘车方案即为线路 L min 。 3.2. 一次换乘算法 若 A x ∩ A y = ∅ ，则说明节点 x 与 y 之间不存在直达线路，此时考虑一次换乘的方案， ∀ L i ∈ A x ，找出 x 在 L i 中对应的节点是 s i j x ，对于经过 s i j x 之后的节点 s i ， j x + 1 ， s i ， j x + 2 ， ⋯ 的线路集合 B x ，即 B x = ∪ k A s i ， j x + k 若 B x ∩ A y ≠ ∅ ，说明此时存在一次换乘的方案，如图2，按照上述的直达车算法寻找可行的公交线路，同时计算相应趁车花费的时间加上换乘需要的时间即可得出总花费的时间，再对可行方案的集合进行比较进一步确定花费时间最少的方案。 图2. 一次换乘示意图 3.3. 两次换乘算法 若 B x ∩ A y = ∅ ，说明此时不存在一次换乘的方案，此时考虑两次换乘， ∀ L i ∈ A y ，找出 y 在 L i 中对应的节点是 s i j y ，对于经过 s i j x 之前的节点 s i ， 1 ， s i ， 2 ， ⋯ ， s i ， j y 的线路集合 B y ，即 B y = ∪ k = 1 j y A s i ， k 若 B x ∩ B y ≠ ∅ ，说明存在换乘两次的方案，同样按照直达车的算法找出相应的乘车路线并同时计算相应趁车花费的时间加上两次换乘需要的时间即可得出总花费的时间，再对可行方案的集合进行比较进一步确定花费时间最少的方案。
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user: 4. 实际应用——以湖南省长沙市公交线路为例 对于长沙市的公交线路网，我们得到了419条公交线路及其上的站点信息，并对公交线路进行编号，按照以上说明的算法计算下列组站点在自由通行时的最优乘车方案如下(表1，表2)。 Table 1 Optimal scheme of one public traffic transfe 起点–终点 出发线路 换乘点 换乘线路 长沙理工大学云塘校区东门站–马栏山站 141路 振华路兴安路口站 810路 动物园站–长郡中学站 201路 侯家塘站 370路 溶湾镇站–桔园立交桥北站 314路 桔子园站 124路 表1. 一次换乘最优方案 Table 2 Optimal scheme of two public traffic transfe 起点–终点 出发线路 换乘点一 换乘线路一 换乘点二 换乘线路二 马王堆站—>杨西塘站 126路 长沙火车站(北坪)站 12路 高叶塘站 312路 侯家塘南站—>北津学院站 101路 天心一中站 152路 桃子湖路口站 201路 表2. 二次换乘最优方案
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user: 摘要 本文针对叶类蔬菜生产中菜农老龄化严重、生产成本高、生产机械化水平低、农机农艺和设施设备结合不紧密等问题，围绕叶类蔬菜生产主要环节，结合蔬菜生产农艺需求，选配和整合叶类蔬菜生产全程机械化装备和技术，从而提高叶类蔬菜生产的机械化水平。
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user: 1. 引言 蔬菜产业是湖南省农业产业的重要组成部分，2019年，湖南省蔬菜播种面积为131.3万hm 2 ，产量3969.4万t，总产值达1301.1亿元 [ 1 ]，占农业总产值的42.6%，是进行农业产业调整，实施乡村振兴的重要抓手。叶类蔬菜是蔬菜产业的重要组成部分，也是人们日常饮食的中必不可少农产品，随着人民对健康饮食的逐渐重视，其需求也在不断增加。如今叶类蔬菜的生产也面临诸多问题，如菜农老龄化严重、生产成本大、蔬菜生产机械化水平低、农机农艺和设施设备结合不紧密、配套不统一等。为落实《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》 [ 2 ]，加快推进农业现代化，强化现代农业科技和物质装备支撑，通过改变传统的蔬菜生产方式，选配合适的蔬菜生产装备，实现农机农艺的有机融合，能有效减轻劳动强度，减少生产成本投入，提高生产效率，有助于现代蔬菜生产的发展，实现蔬菜生产现代化，对实现乡村振兴具有重要作用。 针对叶类蔬菜生产的各个环节和市场需求，长沙市农业科学研究院以小白菜、菠菜、生菜等速生叶类蔬菜的带根采收为重点，从在机械选配设计，农机农艺融合，智能物联技术方面开展速生叶类蔬菜生产全程机械化关键技术应用研究，于2020年9月起在长沙市农业科学研究院中试基地、长沙市望城区赛健农业发展有限公司开展速生叶类蔬菜生产全程机械化应用研究，以推动全市蔬菜生产的机械化，对推进湖南叶类蔬菜生产现代化进程有积极的实践意义。
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user: 2. 主要蔬菜种类 根据长沙地区对叶类蔬菜消费需求，选择小白菜、菠菜、生菜等生长周期短，需要带根采收的速生叶类蔬菜。
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user: 3. 机械选型基本要求 选配的农机要相互配合，紧密衔接，各作业机械统一作业幅宽、轮距、作业高度等，满足叶类蔬菜各生产环节需要。