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user: 3. 理论分析 首先，系统(2.2)平衡点的存在性与稳定性。 令 { x ( 1 − x ) ( m x − 1 ) − x y a + b x + x 2 = 0 ， μ x y a + b x + x 2 − d y = 0 ， 经过计算与定性分析可得到，当条件A满足时，系统(2.2)有三个边界平衡点 E 0 ( 0 ， 0 ) ， E 1 ( 1 ， 0 ) ， E 2 ( 1 m ， 0 ) 和一个内平衡点 E * ( x * ， y * ) ，且内平衡点 E * ( x * ， y * ) 为鞍点，其中 A : − d m 2 + μ − b d m − a d < 0 ， μ − ( a + b + 1 ) d > 0 ， x * = μ − b d + ( b d − μ ) 2 − 4 a d 2 2 d ， y * = ( 1 − x * ) ( m x * − 1 ) ( a + b x * + x * 2 ) . 为了讨论系统(2.3)的特定动力学问题，需建立一个Poincaré映射，因此考虑系统(2.3)的向量场，令Poincaré截面为 N = { ( x ， y ) | x = ( 1 − p ) h ， y ≥ 0 } ，且截面 M = { ( x ， y ) | x = h ， y ≥ 0 } ，并假设 1 m < ( 1 − p ) h < h < 1 。可知直线 x = ( 1 − p ) h 和 x = h 与等倾线 ( 1 − x ) ( m x − 1 ) − y a + b x + x 2 = 0 分别相交于点 A ( ( 1 − p ) h ， [ 1 − ( 1 − p ) h ] [ m h ( 1 − p ) − 1 ] [ a + b h ( 1 − p ) + h 2 ( 1 − p ) 2 ] ) 和点 B ( h ， ( 1 − h ) ( m h − 1 ) ( a + b h + h 2 ) ) ，直线 x = ( 1 − p ) h 和 x = h 与x轴分别交于点 C ( ( 1 − p ) h ， 0 ) 和 D ( h ， 0 ) 。令 Ω = { ( x ， y ) | 0 < y < ( 1 − x ) ( m x − 1 ) ( a + b x + x 2 ) ， ( 1 − p ) h < x < h } ，令 Ω 1 = Ω ∪ C D ¯ ，则当任意的点 ( x ， y ) ∈ A B ^ 时，有 d x d t = 0 ，而当 ( x ， y ) ∈ Ω 时， d x d t > 0 。另外，在 x = x * 时， d y d t = 0 ，而当 x < x * 时， d y d t < 0 ；当 x > x * 时， d y d t > 0 。此外，以任意点 ( x 0 ， 0 ) ∈ C D ¯ ⊂ Ω 1 为初始点的轨线都保持 y ( t ) = 0 并且都趋向于 ∞ 。 其次，建立如下两个Poincaré映射：取N和M作为两个Poincaré截面。首先假设点 A k − 1 + ( ( 1 − p ) h ， y k − 1 + ) 在截面N上，根据上面对系统(2.3)向量场的分析可知，以点 A k − 1 + 为初始点的轨线交截面M于点 A k ( h ， y k ) ，其中 y k 依赖于 y k − 1 + 。令 y k = g ( y k − 1 + ) ，且点 A k 经过脉冲作用会跳到截面N上，并与截面N相交于点 A k + ( ( 1 − p ) h ， ( 1 + q ) y k + τ ) ，因此，得到如下Poincaré映射： P 0 : y k + = ( 1 + q ) g ( y k − 1 + ) + τ ， (3.1) 其次考虑另一个Poincaré截面。假设点 A k ( h ， y k ) 位于Poincaré截面M上，在脉冲作用下，点 A k ( h ， y k ) 跳到截面N上形成点 A k + ( ( 1 − p ) h ， ( 1 + q ) y k + τ ) ，以点 A k + 为初始点的轨线交Poincaré截面M于点 A k + 1 ( h ， y k + 1 ) ，其中 y k + 1 是与 y k 、参数q以及参数 τ 有关的，于是得到另一个Poincaré映射： P 1 : y k + 1 = g ( ( 1 + q ) y k + τ ) = F ( q ， τ ， y k ) ， (3.2) 综上所述，得到两个Poincaré映射。 为了研究系统(2.3)的动力学性质，下面介绍两个引理。 引理3.1 [ 17 ] 设所研究状态反馈控制脉冲动力系统为 { d x d t = P ( x ， y ) d y d t = Q ( x ， y ) }     ϕ ( x ， y ) ≠ h ， x = α ( x ， y ) y = β ( x ， y ) }     ϕ ( x ， y ) = h ， (3.3) 若条件 | μ 2 | < 1 成立，则系统(3.3)的一个T周期解 x = ξ ( t ) ， y = η ( t ) 是轨道渐近稳定的，其中 μ 2 是一个乘子，且有 μ 2 = ∏ k = 1 n Δ k exp [ ∫ 0 T ( ∂ P ∂ x ( ξ ( t ) ， η ( t ) ) + ∂ Q ∂ y ( ξ ( t ) ， η ( t ) ) ) d t ] ， Δ k = P + ( ∂ β ∂ y ⋅ ∂ ϕ ∂ x − ∂ β ∂ x ⋅ ∂ ϕ ∂ y + ∂ ϕ ∂ x ) + Q + ( ∂ α ∂ x ⋅ ∂ ϕ ∂ y − ∂ α ∂ y ⋅ ∂ ϕ ∂ x + ∂ ϕ ∂ y ) P ( ∂ ϕ ∂ x ) + Q ( ∂ ϕ ∂ y ) ， 其中P，Q， ∂ α ∂ x ， ∂ α ∂ y ， ∂ β ∂ x ， ∂ β ∂ y ， ∂ ϕ ∂ x ， ∂ ϕ ∂ y 均表示函数在点 ( ξ ( t ) ， η ( t ) ) 处的函数值，且 P + = P ( ξ ( t k + ) ， η ( t k + ) ) ， Q + = Q ( ξ ( t k + ) ， η ( t k + ) ) ， ϕ ( x ， y ) 是足够光滑且梯度不等于零的函数， t k ( k ∈ N ) 代表第k次发生脉冲作用的时间。 引理3.2 [ 18 ] 假设 F : R × R → R 是一个单参数族映射，且满足以下条件： 1) F ( 0 ， u ) = 0 ，2) ∂ F ∂ x ( 0 ， 0 ) = 1 ，3) ∂ 2 F ∂ x ∂ u ( 0 ， 0 ) > 0 ，4) ∂ 2 F ∂ x 2 ( 0 ， 0 ) < 0 。 则映射F将在 u = 0 处发生跨临界分岔行为，若参数u的取值由负变正，则映射F的零不动点由稳定变为不稳定，并出现一个稳定的正不动点。 现在讨论系统(2.3)在什么条件下存在正周期解。 情况1： τ = 0 考虑系统(2.3)的一个子系统，此子系统只含微囊藻种群x，不含滤食性鱼类种群y。 { d x d t = x ( 1 − x ) ( m x − 1 ) ，     x ≠ h Δ x = − p x ，                                     x = h (3.4) 令初始值 x 0 = x ( 0 ) = ( 1 − p ) h ，由计算可得到系统(3.4)的一个解： x ( t ) = ξ ( t ) ，其中 ξ ( t ) 是方程 ( m ξ ( t ) − 1 ) m ξ ( t ) m − 1 ( 1 − ξ ( t ) ) = c e ( m − 1 ) ( t − n T ) 一个解。令 x ( t ) = T = ln ( ( 1 − ( 1 − p ) h ) ( m h − 1 ) m ( 1 − p ) m − 1 ( 1 − h ) ( m ( 1 − p ) h − 1 ) m ) m − 1 ，则 x ( T ) = h ， x ( T + ) = ( 1 − p ) h ，因此，系统(2.3)具有半平凡周期解 ( ξ ( t ) ， 0 ) ，可以表示如下： { x ( t ) = ξ ( t ) ， y ( t ) = 0 ， (3.5) 其中 n T < t ≤ ( n + 1 ) T ， n ∈ N 。 定理3.1若 0 < q < ( 1 − p ) d M 3 − 1 − 1 成立，则系统(2.3)的半平凡周期解是轨道渐近稳定的。 证明：令 P ( x ， y ) = x ( 1 − x ) ( m x − 1 ) − x y a + b x + x 2 ， Q ( x ， y ) = μ x y a + b x + x 2 − d y ， α ( x ， y ) = − p x ， β ( x ， y ) = q y ， ϕ ( x ， y ) = x − h ， ( ξ ( T ) ， η ( T ) ) = ( h ， 0 ) ， ( ξ ( T + ) ， η ( T + ) ) = ( ( 1 − p ) h ， 0 ) 。 根据引理，通过简单计算可得： ∂ P ∂ x = ( 1 − x ) ( m x − 1 ) − x ( m x − 1 ) + m x ( 1 − x ) ， ∂ Q ∂ y = μ x a + b x + x 2 − d ， ∂ α ∂ x = − p ， ∂ α ∂ y = 0 ， ∂ β ∂ x = 0 ， ∂ β ∂ y = q ， ∂ ϕ ∂ x = 1 ， ∂ ϕ ∂ y = 0 。 Δ 1 = P + ( ∂ β ∂ y ⋅ ∂ ϕ ∂ x − ∂ β ∂ x ⋅ ∂ ϕ ∂ y + ∂ ϕ ∂ x ) + Q + ( ∂ α ∂ x ⋅ ∂ ϕ ∂ y − ∂ α ∂ y ⋅ ∂ ϕ ∂ x + ∂ ϕ ∂ y ) P ( ∂ ϕ ∂ x ) + Q ( ∂ ϕ ∂ y ) = P + ( ξ ( T + ) ， η ( T + ) ) ( 1 + q ) P ( ξ ( T ) ， η ( T ) ) = ( 1 + q ) ( 1 − p ) [ 1 − ( 1 − p ) h ] [ m ( 1 − p ) h − 1 ] ( 1 − h ) ( m h − 1 ) 可以得到： exp [ ∫ 0 T ( ∂ P ∂ x ( ξ ( t ) ， η ( t ) ) + ∂ Q ∂ y ( ξ ( t ) ， η ( t ) ) ) d t ] = exp [ ∫ 0 T ( ( 1 − ξ ( t ) ) ( m ξ ( t ) − 1 ) − ξ ( t ) ( m ξ ( t ) − 1 ) + m ξ ( t ) ( 1 − ξ ( t ) ) ) d t ] = exp ∫ ( 1 − p ) h h [ 1 ξ ( t ) − 1 1 − ξ ( t ) + m m ξ ( t ) − 1 + μ ( 1 − ξ ( t ) ) ( m ξ ( t ) − 1 ) ( a + b ξ ( t ) + ξ ( t ) 2 )       − d ξ ( t ) ( 1 − ξ ( t ) ) ( m ξ ( t ) − 1 ) ] d ξ ( t ) = M 1 从而得到： μ 2 = ∏ k = 1 n Δ k exp [ ∫ 0 T ( ∂ P ∂ x ( ξ ( t ) ， η ( t ) ) + ∂ Q ∂ y ( ξ ( t ) ， η ( t ) ) ) d t ] = ( 1 + q ) ( 1 − p ) [ 1 − ( 1 − p ) h ] [ m ( 1 − p ) h − 1 ] ( 1 − h ) ( m h − 1 ) ⋅ M 1 = ( 1 + q ) ( 1 − p ) − d M 3 其中， M 1 = ( 1 − h 1 − ( 1 − p ) h ) 1 + d m − 1 − A ( m h − 1 m ( 1 − p ) h − 1 ) 1 + B m − d m m − 1 ( h 2 + b h + a ( 1 − p ) 2 h 2 + b ( 1 − p ) h + a ) C 2 e M 2 ， M 2 = 2 D − b C 4 a − b arctan ( 2 [ h ( 2 − p ) + b ] 4 [ a − h 2 ( 1 − p ) ] − b [ 2 h ( 2 − p ) + b + 1 ] ) ， M 3 = ( 1 − h 1 − ( 1 − p ) h ) d m − 1 − A ( m h − 1 m ( 1 − p ) h − 1 ) B m − d m m − 1 ( h 2 + b h + a ( 1 − p ) 2 h 2 + b ( 1 − p ) h + a ) C 2 e M 2 ， 因此，当 成立，则 。根据引理3.1，则定理3.1成立。 注3.1：设 ，如果条件 成立，则有 ，那么系统(2.3)可能发生分岔。如果 成立，则系统(2.3)可能出现一个正周期解。 现在将讨论分岔的问题。首先分析 的情况，考虑Poincaré映射(3.1)，设 且u是充分小的非负数，映射(3.1)可化为如下形式： (3.6) 其中函数 是关于u和q的连续可微函数，且 ，则 。 现在通过映射(3.6)和引理3.2，可得到定理3.2： 定理3.2当 ， ， 时，系统(2.3)发生跨临界分岔，当q由 变化到 时，系统会出现一个正不动点，当 时，系统存在一个正周期解，其中 。 证明：首先，根据引理3.2得知，需要计算出在 处， 和 的值，其中 ， ，令 (3.7) 其中 ， 。 令 为系统(2.3)的任意一条轨线，且 ， ， ，则有 (3.8) 由表达式(3.8)可得： 显然， ，且有 (3.9) 进而可得， (3.10) 其中， ， 。 由前面假设可知，在 上有 ，可得： ，显然，有 ， 。由此可得： . (3.11) 接下来验证满足引理3.2的所有条件。 1) 显然有 ， 成立。 2) 由(3.9)可得： ，进而得到： ，这表明 是对应于映射(3.6)的特征值为1的一个不动点。 3) 因为(3.9)成立，所以 。 4) 最后，由(3.11)可知： 。 综上所述，引理3.2的条件全部满足，因此定理3.2成立。 情况2： 现在将利用映射(3.2)来调查系统(2.3)正周期解的存在性。 定理3.3：设 ，则存在 和 使得 成立，则系统(2.3)存在一个正阶1周期解，且 。 证明：首先在Poincaré截面N上取一点 ，其中 是一个充分小的正常数，且 。以 为初始点的轨线与截面M交于点 ，点 在脉冲作用下跳到截面N上，交于点 。以 为初始点的轨线与截面M交于点 。由 充分小可知， ，则表明点 在点 的上方，从而可知点 在点 的上方，即 。由映射(3.2)可得 ，进而可以得到： (3.12) 接下来假设垂直等倾线 与Poincaré截面N的相交点为 。以点A为初始点的轨线将交Poincaré截面M于点 ，那么就有 ，经过脉冲作用跳到点 。推理可知，存在 和 使得 成立，在这个时候，点 和点A必然重合，系统(2.3)存在一个正的阶1周期解。当 成立，则点 位于点A的上方，根据轨线的不相交性可知，过点 的轨线最终将趋于点 ，因而系统(2.3)不存在周期轨线。当 成立，则点 位于点A的下方，由于轨线的不相交性可知，以点 为初始点的轨线与截面M将相交于点U下方的点 处，即 ，则 (3.13) 由不等式(3.12)和(3.13)可知，Poincaré映射(3.2)具有一个不动点，即系统(2.3)有一个正的阶1周期解。 定理3.4 当 时，设 为系统(2.3)的一个正的阶1周期解，且初始点为 ，其中 。如果条件 成立，则 是轨道渐近稳定的，其中 证明：设过点 和 周期解的周期为T，且 。由于周期T的表达式是未知的，因此利用引理3.1来研究这个正阶1周期解的稳定性。此证明与定理3.2的不同之处在于： ， ，其他部分均相同，因此就有： 其中 。 令 ，则有 若 ，即 (3.14) 则这个周期解是轨道稳定的，即当式子(3.14)成立时。 注3.2：由定理3.4可知，存在一个 ，当 成立时，则有 ，因此系统(2.3)可能发生褶皱分岔。当 成立时，系统(2.3)可能出现一个稳定的正阶2周期解，且随着q取值的增加，这个阶2周期解可能会有稳定变为不稳定。