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user: 2. 前期准备 在这一部分，简单地介绍与本文有关的主要混沌系统。首先，由文献 [ 19 ] ，引入两个一维混沌映射LLS (Logistic-Logistic System)，SSS (Sine-Sine System)。这两个新的一维映射比经典混沌一维映射具有更大的混沌区间和混沌特性更好等优势。然后根据文献 [ 4 ] 和引入的一维混沌映射构造出一个新的类标准映射，最后对新构造类标准映射的动力学行为进行分析，包括相位空间图、Lyapunov指数曲线变化图、时间序列分析等。 2.1. 一维混沌系统 一维混沌映射由于其简单的拓扑结构而广泛地被应用在图像加密领域。在混沌动力系统中，经典的一维混沌映射有Logistic映射、Sine映射和Chebyshev映射等，把这些映射应用在数字图像加密中存在混沌区间有限即参数空间有限、混沌输出序列的数据序列分布非一致等不足。为了解决这些问题，文献 [ 19 ] 基于这些经典一维映射的混沌序列输出差异性构造出一类新的一维混沌映射，使得新构造的混沌映射具有更大的混沌区间和更优的混沌特性。其中，基于这种构造方法和Logistic映射、Sine映射得到了两个新的一维映射LLS，SSS，其数学公式定义如下： x n + 1 = u × x n × ( 1 − x n ) × 2 14 − f l o o r ( u × x n × ( 1 − x n ) × 2 14 ) (1) x n + 1 = u × sin ( π × x n ) × 2 14 − f l o o r ( u × sin ( π × x n ) × 2 14 ) (2) 其中 u ∈ ( 0 ， 10 ] 是系统参数。由文献 [ 19 ] 容易知道上述两个一维混沌系统在参数区间上混沌的，在图1分别画出了LLS，SSS在参数空间上的空间相位图，很明显，它们在整个区间上是处于混沌状态的，因而新构造的一维混沌映射LLS，SSS的混沌特性比Logistic映射和Sine映射更优。 图1. (a)-(b)分别为LLS，SSS的空间相位图 2.2. 类标准映射的构造 标准映射(Standard Map)，又称为Chirikov标准映射，它是一种从边长为2π的正方形区域到它自己的保面积映射，它反映了弹跳球模型在高弹跳情形下的二维映射，其数学公式定义如下： { x = ( x + y ) m o d   2 π y = ( y + k sin ( x + y ) ) m o d   2 π (3) 这里 k 是满足大于0的系统控制参数， ( x ， y ) 位于 [ 0 ， 2 π ] × [ 0 ， 2 π ] 方形区域。图2(a)，图2(b)分别画出了取不同参数 k 对应的空间相位图，从图中可以看到，不同参数甚至仅相差微小部分对应的相图差别较大，从而标准映射的动力学行为极其复杂。为了使用标准映射对图像进行加密，文献 [ 11 ] 对标准映射行 了从边长为2π的正方形区域离散化到以正整数 N 为边长的方形格子，即：令 x i = N 2 π x ， y i = N 2π y ， K = N 2π k ，则标准映射可变为： { x i + 1 = ( x i + y i ) m o d   N y i + 1 = ( y i + K sin ( 2 π N x i + 1 ) ) m o d   N (4) 这里 K 为系统参数。 对于离散混沌系统(4)进行推广，即把变量函数化，可以得到如下含变量的数学公式： { x i + 1 = ( x i + φ 1 ( y i ) ) m o d   N y i + 1 = ( y i + φ 2 ( x i + 1 ) ) m o d   N (5) 基于文献 [ 4 ] 和以上的讨论，利用两个新一维混沌映射LLS，SSS的良好混沌特性，构造出一种新的类标准映射，其数学公式定义如下： { x i + 1 = ( x i + u 1 × y i × ( 1 − y i ) × 2 14 − f l o o r ( u 1 × y i × ( 1 − y i ) × 2 14 ) ) m o d   1 y i + 1 = ( x i + y i + u 2 × sin ( π × x i + 1 ) × 2 14 − f l o o r ( u 2 × sin ( π × x i + 1 ) × 2 14 ) ) m o d   1 (6) 图2. (a)-(b)分别为LLS，SSS的空间相位图，(c)为类标准映射的相位空间图 这里 u 1 ， u 2 为类标准映射的系统参数，在理论上其取值范围可以取到无穷大，但在本文中 u 1 ， u 2 的范围均取为 ( 0 ， 1000 ] 。 为了说明本文提出的类标准映射具有良好的混沌特性，下面就空间相位图、Lyapunov指数和时间序列测试三个方面考察新类标准映射的混沌特性。首先，一个混沌系统的空间相位图可以直观地观察到其动力学行为演化的过程，图2(c)画出了类标准映射的空间相位图，可以发现，类标准映射在整个相平面上是处于遍历状态的，从而说明混沌特性优良，产生的序列难以被预测，这对于设计图像加密算法来说是有利的。其次，Lyapunov指数是指在动力学演化过程中相互靠近的两条轨道随着时间的变化，轨道之间以指数分离或聚合的平均变化率。在图3画出了类标准映射两个参数的Lyapunov指数变化曲线图，通过取定初值和其中一个参数，控制另外一个参数变化得到相应的Lyapunov指数。从曲线图可以观察到，类标准映射(QStd， Quasi-standard)的两个参数均有一个大于0和一个小于0的Lyapunov指数，从而可以说明新构造的类标准映射在参数区间上是混沌的。时间序列分析是对混沌系统产生的时间序列进行统计 图3. (a)-(b)分别对应类标准映射的两个参数的Lyapunov指数变化曲线图 分析，用统计的方法进行研究分析，寻找其变化规律，从而判断对未来的情况进行预测、决策和控制的可能性大小。为了更进一步说明类标准映射具有较好的随机性质和不可预测性，本文测试了类标准映射产生时间序列的相关性，其中自相关性系数和互相关系数是两个主要的度量指标。对于两个随机时间序列 x = { x ( 0 ) ， x ( 1 ) ， x ( 2 ) ， ⋯ ， x ( N − 1 ) } ， y = { y ( 0 ) ， y ( 1 ) ， y ( 2 ) ， ⋯ ， y ( N − 1 ) } ，它们延迟 k 阶的互相关性系数(crosscorr)和延迟 k 阶的自相关系数(autocorr)的数学公式定义分别如下： crosscorr = ∑ i = k N − 1 ( x i − m e a n ( x ) ) ( y i − k − m e a n ( y ) ) ∑ i = 0 N − 1 ( x i − m e a n ( x ) ) 2 ∑ i = 0 N − 1 ( y i − m e a n ( y ) ) 2 (6) autocorr = ∑ i = k N − 1 ( x i − m e a n ( x ) ) ( x i − k − m e a n ( y ) ) ∑ i = 0 N − 1 ( x i − m e a n ( x ) ) 2 (7) 这里 m e a n ( x ) 指的是序列 x 的算术平均值。图4是类标准映射两个变量的伪随机序列变化图，图5是类标准映射产生伪随机序列的自相关性和互相关性测试结果。从测试结果可以看到，混沌序列的自相关和互相关性均在0上下波动，这说明类标准映射产生的序列具有很强的随机性，因而具有不可预测性等好的密码特性，特别适合用于设计加密算法。