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user: 2. 预备知识 设G是一个交换群， B = { B : B ⊆ G } 。记符号 Δ B = { x − y :   x ， y ∈ B ， x ≠ y } ， B ⊆ G 。更进一步，记符号 Δ B = ∪ B ∈ B Δ B 。其中 Δ B 和 Δ B 都是多重集合。 设 W = { w 1 ， w 2 ， ⋯ ， w r } 是r个大于1的有序整数组， Z n 表示模n的剩余类环， B = { B j : B j ⊆ Z n ， 1 ≤ j ≤ t } 。称一个设计 ( Z n ， B ) 为循环填充 2 − C P ( W ， 1 ; n ) 若以下条件满足： 1) | B j | ∈ W ， 1 ≤ j ≤ t ；2) Δ B 覆盖 Z n ∖ { 0 } 中的每个元素至多一次。 称 B j ∈ B ， 1 ≤ j ≤ t 为循环填充的区组。若 Q = { q 1 ， q 2 ， ⋯ ， q r } 是一个r-元组的正有理数且 ∑ i = 1 r q i = 1 。则用 2 − C P ( W ， 1 ， Q ; n ) 表示区组大小等于 w i 的区组个数为 q i | B | 的 2 − C P ( W ， 1 ; n ) ，其中 q i ∈ Q ， 1 ≤ i ≤ r 。 特别的， Z g v 中的一个 2 − C P ( W ， 1 ; g v ) ，若 Δ B = ∪ i = 1 t Δ B j 覆盖 Z g v ∖ v Z g v 每个元素恰好一次，而不覆盖 v Z g v 的任何一个元素，则称为 g -规则的。 关于最优循环填充和最优变重量光正交码之间的等价关系可用以下两个引理描述 [ 13 ]。 引理 1.1一个最优 2 − C P ( W ， 1 ， Q ; n ) 等价于一个最优 ( n ， W ， 1 ， Q ) − OOC 。 引理 1.2设 w = ∑ i = 1 r a i w i ( w i − 1 ) ，其中 w i ∈ W 。若 1 ≤ g ≤ w ，则g-规则的 2 − C P ( W ， 1 ， Q ; g v ) 是最优的。 设f是正整数， p = 2 f + 1 是奇素数，元素 θ 是 Z p ∗ = Z p ∖ { 0 } 的一个生成元。则称 C 0 2 = { θ 2 i : 0 ≤ i ≤ p − 1 2 } 为二次剩余，称 C 1 2 = θ C 0 2 为二次非剩余。 设 A = { ( a 1 ， j 1 ) ， ( a 2 ， j 2 ) ， ⋯ ， ( a k ， j k ) } 是 Z p × Z m 的一个k元子集。再设K是一些正整数的集合，且每个元素都大于1。 若 F = { A : A = { ( a 1 ， j 1 ) ， ( a 2 ， j 2 ) ， ⋯ ， ( a k ， j k ) } ⊂ Z p × Z m ， k ∈ K } 。定义 1) x ⋅ A = { ( x a 1 ， j 1 ) ， ( x a 2 ， j 2 ) ， ⋯ ， ( x a k ， j k ) } ， x ∈ Z p ； 2) B ⋅ A = { b • A | b ∈ B } ， B ⊆ Z p 。 记符号 L i = { a l − a s : { ( a l ， j l ) ， ( a s ， j s ) } ⊂ A ∈ F ， i ≡ j l − j s ( mod m ) ， 1 ≤ l ， s ≤ k ， k ∈ K } ， i = 0 ， ⋯ ， m − 1 。 由文献 [ 16 ] 的构造(Construction I)知，当 p ≡ 3 ( mod 4 ) ，   p ∤ m 时，若 | L i ∩ C k 2 | = 1 ， 0 ≤ i ≤ m − 1 ， k = 0 ， 1 且 A = { C 0 2 • A : A ∈ F } 。则 A 形成一个m-规则的 2 − C P ( W ， 1 ， Q ; m p ) 。 为了方便，现将素数与二次剩余(二次非剩余)之间关系用以下引理 [ 19 ] 表示。 引理 1.3若 p ≡ 3 ( mod 4 ) 是素数。则 1) 2 ∈ C 0 2 ， 3 ∈ C 0 2 ， 5 ∈ C 0 2 ， 7 ∈ C 0 2 ⇔ p ≡ 71 ， 191 ， 239 ， 359 ， 431 ， 599 ( mod 840 ) ； 2) 2 ∈ C 0 2 ， 3 ∈ C 0 2 ， 5 ∈ C 0 2 ， 7 ∈ C 1 2 ⇔ p ≡ 311 ， 479 ， 551 ， 671 ， 719 ， 839 ( mod 840 ) ； 3) 2 ∈ C 1 2 ， 3 ∈ C 1 2 ， 5 ∈ C 1 2 ， 7 ∈ C 0 2 ⇔ p ≡ 43 ， 67 ， 163 ， 403 ， 547 ， 667 ( mod 840 ) ； 4) 2 ∈ C 1 2 ， 3 ∈ C 1 2 ， 5 ∈ C 1 2 ， 7 ∈ C 1 2 ⇔ p ≡ 187 ， 283 ， 307 ， 523 ， 643 ， 787 ( mod 840 ) ； 5) 2 ∈ C 0 2 ， 3 ∈ C 0 2 ， 5 ∈ C 1 2 ， 7 ∈ C 0 2 ⇔ p ≡ 23 ， 263 ， 407 ， 527 ， 743 ， 767 ( mod 840 ) ； 6) 2 ∈ C 0 2 ， 3 ∈ C 0 2 ， 5 ∈ C 1 2 ， 7 ∈ C 1 2 ⇔ p ≡ 47 ， 143 ， 167 ， 383 ， 503 ， 647 ( mod 840 ) ； 7) 2 ∈ C 1 2 ， 3 ∈ C 1 2 ， 5 ∈ C 0 2 ， 7 ∈ C 0 2 ⇔ p ≡ 211 ， 331 ， 379 ， 499 ， 571 ， 739 ( mod 840 ) ； 8) 2 ∈ C 1 2 ， 3 ∈ C 1 2 ， 5 ∈ C 0 2 ， 7 ∈ C 1 2 ⇔ p ≡ 19 ， 139 ， 451 ， 619 ， 691 ， 811 ( mod 840 ) ； 9) 2 ∈ C 0 2 ， 3 ∈ C 1 2 ， 5 ∈ C 0 2 ， 7 ∈ C 0 2 ⇔ p ≡ 79 ， 151 ， 319 ， 631 ， 751 ， 799 ( mod 840 ) ； 10) 2 ∈ C 0 2 ， 3 ∈ C 1 2 ， 5 ∈ C 0 2 ， 7 ∈ C 1 2 ⇔ p ≡ 31 ， 199 ， 271 ， 391 ， 439 ， 559 ( mod 840 ) ； 11) 2 ∈ C 1 2 ， 3 ∈ C 0 2 ， 5 ∈ C 1 2 ， 7 ∈ C 0 2 ⇔ p ≡ 107 ， 323 ， 347 ， 443 ， 683 ， 827 ( mod 840 ) ； 12) 2 ∈ C 1 2 ， 3 ∈ C 0 2 ， 5 ∈ C 1 2 ， 7 ∈ C 1 2 ⇔ p ≡ 83 ， 227 ， 467 ， 563 ， 587 ， 803 ( mod 840 ) ； 13) 2 ∈ C 1 2 ， 3 ∈ C 0 2 ， 5 ∈ C 0 2 ， 7 ∈ C 0 2 ⇔ p ≡ 11 ， 179 ， 491 ， 611 ， 659 ， 779 ( mod 840 ) ； 14) 2 ∈ C 1 2 ， 3 ∈ C 0 2 ， 5 ∈ C 0 2 ， 7 ∈ C 1 2 ⇔ p ≡ 59 ， 131 ， 251 ， 299 ， 419 ， 731 ( mod 840 ) ； 15) 2 ∈ C 0 2 ， 3 ∈ C 1 2 ， 5 ∈ C 1 2 ， 7 ∈ C 0 2 ⇔ p ≡ 127 ， 247 ， 463 ， 487 ， 583 ， 823 ( mod 840 ) ； 16) 2 ∈ C 0 2 ， 3 ∈ C 1 2 ， 5 ∈ C 1 2 ， 7 ∈ C 1 2 ⇔ p ≡ 103 ， 223 ， 367 ， 607 ， 703 ， 727 ( mod 840 ) 。