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user: 2. 相关知识 2.1. 复流形 定义2.1.1 [ 7 ] 设 M 是一个Hausdorff拓扑空间。如果存在 M 的一个开覆盖 { ( U α ， φ α ) } 且 ∪ α U α = M 以及相应的连续映射族 φ α : U α → ℂ n ，使得 (i) φ α : U α → φ α ( U α ) ⊂ ℂ n 为从 U α 到 ℂ n 的开集 φ α ( U α ) 上的同胚； (ii) 当 U α ∩ U β ≠ ϕ 时，转移映射 φ β ∘ φ α − 1 : φ α ( U α ∩ U β ) → φ β ( U α ∩ U β ) 在 φ β ( U α ∩ U β ) 上满足全纯，则称 M 是一个复 n 维复流形。 复流形的例子很多，下面给出两个特别的例子，以阐明坐标转移映射的全纯性条件。 例2.1.2 (复射影空间) 设 ℂ P n 是 ℂ n + 1 中过原点的复直线的集合，因为 ℂ n + 1 中过原点的直线 l 由 l 上任一点 z = ( z 0 ， ⋯ ， z n ) 所决定，因此有 ℂ P n = ℂ n + 1 \ { 0 } / ∼ = { [ z ] ∈ ℂ n + 1 / z ∈ ℂ n + 1 \ { 0 } } ， [ z ] = { w ∈ ℂ n + 1 \ { 0 } | ∃ λ ∈ ℂ ， s . t . w = λ z } . 对于不在超平面 z i = 0 上的直线集合 U i = { [ z i ] ∈ ℂ P n | z i ≠ 0 } ，存在 U i 到 ℂ n 的同胚 φ i ，它由下式给定： φ i ( [ z 0 ， ⋯ ， z n ] ) = ( z 0 / z i ， ⋯ ， z i − 1 / z i ，       z i + 1 / z i ， ⋯ ， z n / z i ) = ( ξ i 0 ， ⋯ ， ξ i i − 1 ， ξ i i + 1 ， ⋯ ， ξ i n ) ， 其中 ∀ i = 0 ， ⋯ ， n ， ξ i k = z k / z i ( 1 ≤ k ≤ i ) ， ξ i k = z k + 1 / z i ( i + 1 ≤ k ≤ n − 1 ) 。对于任意的 i ≠ j ，若 U i ∪ U j ≠ ϕ ，转移映射为 φ j   i ( ξ i ) = φ j ∘ φ i − 1 ( ξ i 0 ， ⋯ ， ξ i i − 1 ， ξ i i + 1 ， ⋯ ， ξ i n ) = ( ξ j 0 ， ⋯ ， ξ j j − 1 ， ξ j j + 1 ， ⋯ ， ξ j n ) = ξ j . 由于 ∂ φ j   i ( ξ i ) / ∂ ξ i k ¯ = 0 ，这说明 φ j   i ( ξ i ) 是全纯映射。因此， ℂ P n 是一个 n 维复流形，且称它为 n 维复射影空间。 例2.1.3设 M 是一个代数曲面， M = { ( ζ 0 : ζ 1 : ζ 2 : ζ 3 ) ∈ ℂ P 3 | ζ 0 5 + ζ 1 5 + ζ 2 5 + ζ 3 5 = 0 } . 记 G = { g m | m = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， g ( ζ 0 ， ζ 1 ， ζ 2 ， ζ 3 ) = ( ρ ζ 0 ， ρ 2 ζ 1 ， ρ 3 ζ 2 ， ρ 4 ζ 3 ) } ， 这里 g 是一个 ℂ P 3 → ℂ P 3 的双全纯映射， ρ = e 2 π i / 5 从而 g 5 = 1 。现在考虑每个 g m 在 ℂ P 3 上的不动点。由 m = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， g m ( ζ 0 ， ζ 1 ， ζ 2 ， ζ 3 ) = ( ζ 0 ρ m + 1 ， ζ 1 ρ m + 2 ， ζ 2 ρ m + 3 ， ζ 3 ρ m + 4 ) = ( ζ 0 ， ζ 1 ， ζ 2 ， ζ 3 ) ， 即 ( ρ m ( i + 1 ) − 1 ) ζ i = 0 ， i = 0 ， 1 ， 2 ， 3 。注意 g 5 = 1 ，便得到这些不动点为(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，且由 ζ 0 5 + ζ 1 5 + ζ 2 5 + ζ 3 5 = 1 ≠ 0 知，它们都不在 M 上，所以 M 上没有不动点，从而 M / G 是一个复流形。 2.2. 形变与无穷小形变 定义2.2.1 [ 7 ] (复解析族) 假设给定 ℂ m 上的一个邻域 B ， M t 是一个依赖于 t ∈ B 的紧复流形，如果存在一个复流形 M 与一个全纯映射 ϖ : M → o n t o B 满足以下条件： (1) ϖ − 1 ( t ) 是 M 的一个紧复子流形； (2) ϖ − 1 ( t ) = M t ； (3) ϖ 的Jacobi矩阵的秩在 M 上的每一点都等于 m 。 则把 { M t | t ∈ B } 称紧复流形的一个复解析族， t ∈ B 称为复解析族的参数， B 为参数空间，并且 B 还可以自然的推广到任意复流形上。 定义2.2.2 [ 8 ] (形变) 设 M 与 N 是紧复流形。若 M 与 N 的复解析族相同，即存在同一个以 B 为底流形的复解析族 ( M ， B ， ϖ ) 使得对部分 t 0 ， t 1 ∈ B 满足 M = ϖ − 1 ( t 0 ) ， N = ϖ − 1 ( t 1 ) ，则称 N 是 M 的一个形变。 为了进一步了解抽象的复解析族背后的本质，下面给出一些具体的例子。 例2.2.3考虑椭圆曲线的一族环面 { T ω | ω ∈ H + } ，其中上半复平面 H + = { ω ∈ ℂ | Im ω > 0 } 。设 G ω = { m ω 1 + n ω 2 | m ， n ∈ ℤ } ，其中 ω 1 = a ω + b ， ω 2 = c ω + d ， a ， b ， c ， d ∈ ℤ 满足 a d − b c = 1 (若 a d − b c = 1 ，可以交换 ω 1 和 ω 2 )。取 ω ′ = ( ω 1 / ω 2 ) ，则 Im ω ′ > 0 。令 G 是作用于 H + 的变换群，其变换形如 ω → ω ′ = a ω + b c ω + d ， a ， b ， c ， d ∈ ℤ a d − b c = 1. 则 G 在 H + 上满足纯不连续， T ω = ℂ / G ω 双全纯等价于 T ω ′ = ℂ / G ω ′ ， H + / G 双全纯于 ℂ ，如下图1，阴影部分表示的是 G 的基本区域 。对于 ∀ ω ， ω ′ ∈ F ， ω ≠ ω ′ ，则有 T ω ≠ T ω ′ 。因此，存在 H + 上的 G 不变全纯函数 J ( ω ) ，称为椭圆模函数 J : H + / G → ℂ ， ω ↦ J ( ω ) ，使得 T ω 双全纯于 T ω ′ 当且仅当 J ( ω ) = J ( ω ′ ) 。于是复解析 T ω = ℂ / G ω 随着 ω ∈ H + 而连续变化，从而得到一个复解析族 { T ω | ω ∈ H + } 。 图1. 基本区域 例2.2.4 (Hopf曲面) Hopf曲面是一个以 W = ℂ 2 − { ( 0 ， 0 ) } 作为万有覆盖曲面的复二维紧致复流形，即Hopf曲面 M t 定义为 M t = W / G t ， t ∈ ℂ ，其中无限循环群 G t = { g m | m ∈ ℤ } 由 W 的自同构 g t : ( z 1 ， z 2 ) ↦ ( α z 1 + t   z 2 ， α z 2 ) ， t ∈ ℂ ， α ∈ ( − 1 ， 0 ) ∪ ( 0 ， 1 ) 生成， G t 纯不连续作用在 W 上且没有不动点。这时每个 M t 是紧致复流形，可证明 { M t | t ∈ ℂ } 是一个复解析族(参阅 [ 7 ]，pp. 23-25的例3，或 [ 8 ]，pp. 69-71的例2.15)。 定义2.2.5 [ 8 ] (参数空间为一维的无穷小形变)设 B = { t | | t | < r } ⊆ ℂ ， M 是一个复流形， ϖ : M → o n t o B 是一个全纯映射且满足以下条件： (1) ϖ − 1 ( t ) = M t ； (2) ϖ 的秩等于 dim B 。 如果选择一个充分小的 ε > 0 ，在 Δ = { t | | t | < ε } 中使得 ϖ − 1 ( Δ ) = ∪ j = 1 l U j ( 有 限 个 开 覆 盖 的 并 ) 。 在每个 U j 中有一个坐标系 p → { z j 1 ( p ) ， ⋯ ， z j n ( p ) ， t ( p ) } ， 其中 t ( p ) = ϖ ( p ) ， U j = { p | z j α ( p ) < ε j ， | t ( p ) | < ε } 。设 p = ( z j ， t ) = ( z j 1 ( p ) ， ⋯ ， z j n ( p ) ， t ( p ) ) ，则在 U j ∩ U k 上有 z j α ( p ) = f j   k α { z j 1 ( p ) ， ⋯ ， z j n ( p ) ， t ( p ) } = f j   k α ( z k ， t ) 。 若令 U t   j = M t ∩ U j ，因此 U t   j = { ( z j 1 ， ⋯ z j n ， t ) | | z j α | < ε j } ， 故可用 { ( z j 1 ， ⋯ z j n ， t ) | | z j α | < ε j } 作为 U t   j 的坐标，且变换 z j α = f j   k α ( z k ， t ) 与 t 的值有关。 如果考虑 p ∈ U i ∩ U j ∩ U k ，则有 p = ( z i ， t ) = ( z j ， t ) = ( z k ， t ) ，因此 z i α = f i   k α ( z k ， t ) = f i   j α ( z j ， t ) = f i   j α ( f j   k ( z ) ， t ) ，其中 f j   k = ( f j   k 1 ， ⋯ ， f j   k n ) 。 引入向量场 θ j   k ( p ， t ) = ∑ α = 1 n ∂   f j   k α ( z k ， t ) ∂     t ∂ ∂     z j α ， z k = f k   j ( z j ， t ) ， 显然， θ j   k ( t ) ∈ Γ ( U t   j ∩ U t   k ， Θ t ) ，其中 Θ t 是 M t 上的全纯向量场的芽层。 引理2.2.6 [ 7 ] 在 U t   j ∩ U t   k ∩ U t   i 上， θ i   k ( t ) = θ i   j ( t ) + θ j   k ( t ) 。 命题2.2.7 [ 8 ] ( d M t / d t ) = { θ i   k ( p ， t ) } 不依赖于局部坐标 { z j α } 的选择。 定义2.2.8 [ 8 ] 对可微族 ( M ， B ， ϖ ) 的转移函数 f j   k : ( z k 1 ( p ) ， ⋯ ， z k n ( p ) ， t ( p ) ) → ( z j 1 ( p ) ， ⋯ ， z j n ( p ) ， t ( p ) ) = ( f j   k 1 ( z k ( p ， t ) ， t ) ， ⋯ ， f j   k n ( z k ( p ， t ) ， t ) ) ，由 { θ j   k ( p ， t ) } 所确定的上同调类称为 M t 的无穷小形变。 可将无穷小形变视为 M t 的复结构相对 t 的导数，且记为 ( d M t / d t ) = θ ( t ) 。