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user: 4. 计算实例 考虑6种证券的Markowitz’s证券组合投资模型(文献 [ 9 ] )，其收益率方差矩阵为 ， 6种证券的期望收益率向量为 ， 预期的证券组合收益率为 。 取 ， ， ， ，算法从初始点 出发，经过40次迭代到达最优解 ，对应的证券组合选择模型的最小方差为 ，为了方便比较，将决策变量的当前值显示到小数点后4位，其它数据显示到小数点后6位。不允许卖空证券组合选择模型的原始–对偶问题多项式内点算法的寻优过程如表1所示。 Table 1 The optimization process for Primal-Dual polynomial interior point metho 0 (1.0000e+00 0.0000e+00 0.0000e+00 0.0000e+00 0.0000e+00 0.0000e+00) 1.0500e−01 1 (1.0000e+00 6.0046e−16 6.0046e−16 6.0046e−16 6.0046e−16 6.0046e−16) 1.0500e−01 2 (1.0000e+00 3.0023e−15 3.0023e−15 3.0023e−15 3.0023e−15 1.1198e−14) 1.0500e−01 3 (1.0000e+00 7.0054e−15 7.0054e−15 7.0054e−15 1.3222e−14 2.3397e−14) 1.0500e−01 4 (1.0000e+00 7.9272e−14 2.1593e−13 1.1452e−13 5.8835e−14 2.3397e−20) 1.0500e−01 5 (1.0000e+00 1.7489e−13 4.4887e−13 2.4580e−13 1.0940e−13 3.3580e−14) 1.0500e−01 6 (1.0000e+00 1.6250e−13 4.4887e−19 1.7075e−13 1.2255e−13 4.9114e−13) 1.0500e−01 7 (1.0000e+00 3.5041e−12 6.7834e−12 4.3199e−12 2.3568e−12 3.6788e−12) 1.0500e−01 8 (1.0000e+00 7.4516e−12 1.4114e−11 9.1560e−12 5.0509e−12 8.1433e−12) 1.0500e−01 9 (1.0000e+00 1.4109e−11 1.4114e−17 1.4257e−11 1.0789e−11 4.4152e−11) 1.0500e−01 10 (1.0000e+00 5.9571e−11 4.5956e−11 6.5662e−11 4.3258e−11 1.3668e−10) 1.0500e−01 11 (1.0000e+00 7.8772e−10 2.1894e−09 1.0588e−09 4.9656e−10 9.4548e−11) 1.0500e−01 12 (1.0000e+00 1.6541e−09 4.4533e−09 2.2059e−09 1.0488e−09 3.5461e−10) 1.0500e−01 13 (1.0000e+00 1.5509e−09 4.4533e−15 1.5625e−09 1.1819e−09 4.8561e−09) 1.0500e−01 14 (1.0000e+00 3.4634e−08 6.6770e−08 4.2995e−08 2.3230e−08 3.6093e−08) 1.0500e−01 15 (1.0000e+00 7.3610e−08 1.3894e−07 9.1021e−08 4.9534e−08 7.9928e−08) 1.0500e−01 16 (1.0000e+00 1.3828e−07 1.3894e−13 1.3934e−07 1.0545e−07 4.3294e−07) 1.0500e−01 17 (1.0000e+00 5.8994e−07 4.5897e−07 6.5011e−07 4.2800e−07 1.3498e−06) 1.0500e−01 18 (9.9995e−01 7.7768e−06 2.1536e−05 1.0447e−05 4.9052e−06 1.0152e−06) 1.0499e−01 19 (9.9990e−01 1.6331e−05 4.3811e−05 2.1768e−05 1.0377e−05 3.6654e−06) 1.0497e−01 20 (9.9991e−01 1.5373e−05 4.3811e−11 1.5488e−05 1.1731e−05 4.8135e−05) 1.0466e−01 21 (9.9797e−01 3.4438e−04 6.6224e−04 4.2734e−04 2.3111e−04 3.6074e−04) 1.0427e−01 22 (9.9568e−01 7.3055e−04 1.3756e−03 9.0320e−04 5.1130e−04 7.9709e−04) 1.0252e−01 23 (9.9178e−01 1.3885e−03 1.3756e−09 1.3981e−03 1.0833e−03 4.3530e−03) 9.6834e−02 24 (9.6667e−01 5.6507e−03 4.2952e−03 6.2206e−03 4.1374e−03 1.3025e−02) 6.9895e−02 25 (6.5027e−01 5.8771e−02 1.6060e−01 8.1858e−02 3.7719e−02 1.0776e−02) 4.2488e−02 26 (2.6267e−01 9.5261e−02 2.4709e−01 1.3668e−01 2.2587e−01 3.2423e−02) 5.5814e−03 27 (2.7374e−01 9.5590e−02 2.4709e−07 2.1050e−02 2.6302e−01 3.4660e−01) 8.5576e−03 28 (1.5463e−01 1.5045e−01 1.6823e−01 1.6639e−01 1.7206e−01 1.8824e−01) 2.1130e−03 29 (1.0906e−01 8.5352e−02 8.3483e−02 4.1329e−01 2.5383e−01 5.4997e−02) 3.2099e−03 30 (1.3066e−01 1.1315e−01 1.3669e−01 2.9589e−01 1.9766e−01 1.2597e−01) 1.9941e−03 31 (1.1865e−01 8.3414e−02 8.4267e−02 2.6908e−01 2.6692e−01 1.7766e−01) 1.9313e−03 32 (1.1148e−01 5.7987e−02 1.1195e−01 2.6627e−01 2.6455e−01 1.8777e−01) (1.8225e−03 33 (9.6383e−02 5.0463e−02 1.0170e−01 2.2584e−01 2.9756e−01 2.2806e−01) 1.7151e−03 34 (7.5932e−02 1.7292e−02 1.2664e−01 2.1682e−01 3.2566e−01 2.3765e−01) 1.6944e−03 35 (6.5994e−02 2.0439e−03 1.3400e−01 2.0172e−01 3.4424e−01 2.5200e−01) 1.6731e−03 36 (6.5555e−02 1.3254e−03 1.3385e−01 1.9949e−01 3.4567e−01 2.5411e−01) 1.6711e−03 37 (6.5171e−02 1.9149e−04 1.3469e−01 1.9958e−01 3.4633e−01 2.5404e−01) 1.6689e−03 38 (6.5126e−02 1.2591e−04 1.3467e−01 1.9935e−01 3.4647e−01 2.5425e−01) 1.6687e−03 39 (6.5090e−02 1.7904e−05 1.3475e−01 1.9936e−01 3.4653e−01 2.5425e−01) 1.6685e−03 表1. 原始–对偶问题多项式内点算法的寻优过程 从文献 [ 9 ] 的有效集计算方法与本文算法对上例不允许卖空证券组合投资模型分别计算结果中比较可以得知，本文提出的原始–对偶多项式内点算法在计算方面与有效集算法的求解结果是一致的，符合科学 计算方法的设计思路，计算结果可行有效。在求解过程中，若给出的初始点 满足 ， 且 ，同时 ，使得 。当 ， ，则 。当 时，经过一次迭代后 ，即 ， 。因此，当 时，算法至多经过 次迭代就可以产生可行解 ，使得 。于是该原始–对偶多项式内点算法具有多项式复杂度。