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user: 3. Yamada多项式的性质 G / e 为收缩边e得到的图， G − e 为删除边e得到的图。 给定两个图 G 1 和 G 2 ， G 1 ∪ G 2 表示图 G 1 和 G 2 的不交并， G 1 ⋅ G 2 表示图 G 1 和 G 2 的一点并。我们称G有一割边e，如果 G − e 比G有更多的连通分支数。 性质3.1 [ 1 ] H ( ⋅ ) = − 1 。 证明：由于 h ( ⋅ ) = ( − x ) 0 x y 0 = x ， 因此 H ( ⋅ ) = h ( ⋅ ) ( − 1 ， − A − 2 − A − 1 ) = − 1 。 性质3.2 [ 1 ] 如果图G有一条割边，则 H ( G ) = 0 。 证明：设e是G的割边，则 G − e = G 1 ∪ G 2 ， G / e = G 1 ⋅ G 2 ，由 h ( G ) 的性质得， h ( G ) = h ( G / e ) − 1 x h ( G − e ) = h ( G 1 ⋅ G 2 ) − 1 x h ( G 1 ∪ G 2 ) = 1 x h ( G 1 ) h ( G 2 ) − 1 x h ( G 1 ) h ( G 2 ) = 0 因此 H ( G ) = 0 。 性质3.3 [ 1 ] H ( G ) = − ( A + 1 + A − 1 ) H ( G − e ) ，e是环边。 证明：记 G − e = G ′ ， F − e = F ′ ，那么 | F | = | F ′ | + 1 ， μ ( G ′ − F ) = μ ( G − F ) ， 1 + β ( G ′ − F ) = β ( G − F ) ，则 h ( G ) = ∑ e ∉ F ⊂ E ( − x ) − | F | x μ ( G − F ) y β ( G − F ) + ∑ e ∈ F ⊂ E ( − x ) − | F | x μ ( G − F ) y β ( G − F ) = ∑ F ⊂ E − e ( − x ) − | F | x μ ( G ′ − F ) y β ( G ′ − F ) + 1 + ∑ F ′ ⊂ E − e ( − x ) − | F ′ | − 1 x μ ( G ′ − F ′ ) y β ( G ′ − F ′ ) = y ∑ F ⊂ E − e ( − x ) − | F | x μ ( G ′ − F ) y β ( G ′ − F ) − 1 x ∑ F ′ ⊂ E − e ( − x ) − | F ′ | x μ ( G ′ − F ′ ) y β ( G ′ − F ′ ) = y h ( G − e ) − 1 x h ( G − e ) 因此 H ( G ) = ( − A − 2 − A − 1 ) H ( G − e ) + H ( G − e ) = − ( A + 1 + A − 1 ) H ( G − e ) 。 性质3.4 [ 1 ] H ( G ) = H ( G / e ) + H ( G − e ) ，e是非环边。 证明：记 G − e = G ′ ， F − e = F ′ ，那么 | F | = | F ′ | + 1 ，则 h ( G ) = ∑ e ∉ F ⊂ E ( − x ) − | F | x μ ( G − F ) y β ( G − F ) + ∑ e ∈ F ⊂ E ( − x ) − | F | x μ ( G − F ) y β ( G − F ) = ∑ F ⊂ E − e ( − x ) − | F | x μ ( G / e − F ) y β ( G / e − F ) + ∑ F ′ ⊂ E − e ( − x ) − | F ′ | − 1 x μ ( G ′ − F ′ ) y β ( G ′ − F ′ ) = ∑ F ⊂ E − e ( − x ) − | F | x μ ( G / e − F ) y β ( G / e − F ) − 1 x ∑ F ′ ⊂ E − e ( − x ) − | F ′ | x μ ( G ′ − F ′ ) y β ( G ′ − F ′ ) = h ( G / e ) − 1 x h ( G − e ) 因此 H ( G ) = H ( G / e ) + H ( G − e ) 。 性质3.5 [ 1 ] H ( G 1 ∪ G 2 ) = H ( G 1 ) H ( G 2 ) 。 证明：记 F = F 1 ∪ F 2 ， E = E 1 ∪ E 2 ，且 F 1 ⊂ E 1 ⊂ G 1 ， F 2 ⊂ E 2 ⊂ G 2 ，那么 μ ( G 1 ∪ G 2 ) = μ ( G 1 ) + μ ( G 2 ) ， β ( G 1 ∪ G 2 ) = β ( G 1 ) + β ( G 2 ) ，则 h ( G 1 ) h ( G 2 ) = ∑ F 1 ⊂ E 1 ⊂ E ( − x ) − | F 1 | x μ ( G 1 − F 1 ) y β ( G 1 − F 1 ) ⋅ ∑ F 2 ⊂ E 2 ⊂ E ( − x ) − | F 2 | x μ ( G 2 − F 2 ) y β ( G 2 − F 2 ) = ∑ F 1 、 F 2 ⊂ E ( − x ) − | F 1 | − | F 2 | x μ ( G 1 − F 1 ) + μ ( G 2 − F 2 ) y β ( G 1 − F 1 ) + β ( G 2 − F 2 ) = ∑ F 1 、 F 2 ⊂ E ( − x ) − | F 1 | − | F 2 | x μ ( G 1 ∪ G 2 − F 1 ∪ F 2 ) y β ( G 1 ∪ G 2 − F 1 ∪ F 2 ) = h ( G 1 ∪ G 2 ) 因此 H ( G 1 ∪ G 2 ) = H ( G 1 ) H ( G 2 ) 。 性质3.6 [ 1 ] H ( G 1 ⋅ G 2 ) = − H ( G 1 ) H ( G 2 ) 。 证明：记 F = F 1 ∪ F 2 ， E = E 1 ∪ E 2 ，且 F 1 ⊂ E 1 ⊂ G 1 ， F 2 ⊂ E 2 ⊂ G 2 ，那么 μ ( G 1 ∪ G 2 − F ) − 1 = μ ( G 1 ⋅ G 2 − F ) ， β ( G 1 ∪ G 2 − F ) = β ( G 1 ⋅ G 2 − F ) ，则 h ( G 1 ⋅ G 2 ) = ∑ F ⊂ E ( − x ) − | F | x μ ( G 1 ⋅ G 2 − F ) y β ( G 1 ⋅ G 2 − F ) = ∑ F ⊂ E ( − x ) − | F | x μ ( G 1 ∪ G 2 − F ) − 1 y β ( G 1 ∪ G 2 − F ) = ∑ F 1 ⊂ E 1 ∑ F 2 ⊂ E 2 ( − x ) − | F 1 | − | F 2 | x μ ( G 1 − F 1 ) + μ ( G 2 − F 2 ) − 1 y β ( G 1 − F 1 ) + β ( G 2 − F 2 ) = 1 x ∑ F 1 ⊂ E 1 ( − x ) − | F 1 | x μ ( G 1 − F 1 ) y β ( G 1 − F 1 ) ⋅ ∑ F 2 ⊂ E 2 ( − x ) − | F 2 | x μ ( G 2 − F 2 ) y β ( G 2 − F 2 ) = 1 x h ( G 1 ) ⋅ h ( G 2 ) 因此 H ( G 1 ⋅ G 2 ) = − H ( G 1 ) H ( G 2 ) 。