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user: 2. f ( n ) q n = 0 时，问题(1)的求解方法 2.1. 求解方法的思路 在(1)中，令 f ( n ) q n = 0 ，则(1)变为 a n + 2 = A 1 a n + 1 + A 2 a n (2) 将(2)两边构造成结构相同的形式，再借助等比数列的通项公式求解。 第1步. 在(2)两边加上 B 1 a n + 1 ，其中 B 1 为待定常数，有 a n + 2 + B 1 a n + 1 = ( A 1 + B 1 ) a n + 1 + A 2 a n = ( A 1 + B 1 ) ( a n + 1 + A 2 A 1 + B 1 a n ) (3) 要使(3)式两边结构相同，令 A 2 A 1 + B 1 = B 1 ，即 B 1 2 + A 1 B 1 − A 2 2 = 0 ，从而有 B 1 = − A 1 + A 1 2 + 4 A 2 2 ， B 2 = − A 1 − A 1 2 + 4 A 2 2 . 第2步. 若 B 1 ≠ B 2 ，由(3)知 a n + 2 + B 1 a n + 1 = ( a 2 + B 1 a 1 ) ( A 1 + B 1 ) n ， (4) a n + 2 + B 2 a n + 1 = ( a 2 + B 2 a 1 ) ( A 1 + B 2 ) n ， (5) 联立(4)和(5)，有 a n + 2 = ( B 2 − B 1 ) − 1 B 2 ( a 2 + B 1 a 1 ) ( A 1 + B 1 ) n − ( B 2 − B 1 ) − 1 B 1 ( a 2 + B 2 a 1 ) ( A 1 + B 2 ) n ， 即 a n = ( B 2 − B 1 ) − 1 B 2 ( a 2 + B 1 a 1 ) ( A 1 + B 1 ) n − 2 − ( B 2 − B 1 ) − 1 B 1 ( a 2 + B 2 a 1 ) ( A 1 + B 2 ) n − 2 . (6) 第3步. 若 B 1 = B 2 ，则 A 1 2 + 4 A 2 = 0 ， B 1 = − A 1 2 。由(4)知 a n + 2 = − B 1 a n + 1 + ( a 2 + B 1 a 1 ) ( A 1 + B 1 ) n ， 两边加上 c 1 ( n + 1 ) ( A 1 + B 1 ) n + 1 ，其中 c 1 是待定常数，有 a n + 2 + c 1 ( n + 1 ) ( A 1 + B 1 ) n + 1 = − B 1 a n + 1 + ( a 2 + B 1 a 1 ) ( A 1 + B 1 ) n + c 1 ( n + 1 ) ( A 1 + B 1 ) n + 1 = − B 1 a n + 1 + [ ( a 2 + B 1 a 1 ) + c 1 ( A 1 + B 1 ) ] ( A 1 + B 1 ) n + c 1 ( A 1 + B 1 ) n ( A 1 + B 1 ) n = − B 1 { a n + 1 + ( − B 1 ) − 1 [ ( a 2 + B 1 a 1 ) + c 1 ( A 1 + B 1 ) ] ( A 1 + B 1 ) n + c 1 ( − B 1 ) − 1 ( A 1 + B 1 ) n ( A 1 + B 1 ) n } ， (7) 把 B 1 = − A 1 2 代入(7)，有 a n + 2 + c 1 ( n + 1 ) ( 1 2 A 1 ) n + 1 = 1 2 A 1 { a n + 1 + 2 ( A 1 ) − 1 [ ( a 2 − 1 2 A 1 a 1 ) + 1 2 c 1 A 1 ] ( 1 2 A 1 ) n + 2 c 1 ( A 1 ) − 1 ( 1 2 A 1 ) n ( 1 2 A 1 ) n } = 1 2 A 1 { a n + 1 + 2 ( A 1 ) − 1 [ ( a 2 − 1 2 A 1 a 1 ) + 1 2 c 1 A 1 ] ( 1 2 A 1 ) n + c 1 n ( 1 2 A 1 ) n } ， (8) 在(8)中，令 2 ( A 1 ) − 1 [ ( a 2 − 1 2 A 1 a 1 ) + 1 2 c 1 A 1 ] = 0 ，有 c 1 = − 2 ( A 1 ) − 1 ( a 2 − 1 2 A 1 a 1 ) . (9) 再由(8)知数列 a n + 2 + c 1 ( n + 1 ) ( 1 2 A 1 ) n + 1 是公比为 1 2 A 1 的等比数列，且有 a n + 2 + c 1 ( n + 1 ) ( 1 2 A 1 ) n + 1 = [ a 2 + c 1 ( 1 2 A 1 ) ] ( 1 2 A 1 ) n ， 即 a n + 2 = − c 1 ( n + 1 ) ( 1 2 A 1 ) n + 1 + [ a 2 + c 1 ( 1 2 A 1 ) ] ( 1 2 A 1 ) n ，从而有 a n = − c 1 ( n − 1 ) ( 1 2 A 1 ) n − 1 + [ a 2 + c 1 ( 1 2 A 1 ) ] ( 1 2 A 1 ) n − 2 ， 其中 c 1 定义在(9)中。 2.2. 方法应用举例 例1 若 a 1 = 1 ， a 2 = 2 ，当 n ≥ 2 时， a n + 1 = 2 a n − 2 a n − 1 ，求数列 { a n } 的通项公式。 解：在 a n + 1 = 2 a n − 2 a n − 1 的两边加上 B 1 a n ，其中 B 1 为待定常数，有 a n + 1 + B 1 a n = ( 2 + B 1 ) a n − 2 a n − 1 = ( 2 + B 1 ) ( a n − 2 ( 2 + B 1 ) − 1 a n − 1 ) ， 令 − 2 ( 2 + B 1 ) − 1 = B 1 ，解得 B 1 = − 1 ± i ，代入上式，有 a n + 1 + ( − 1 + i ) a n = ( 1 + i ) n ， a n + 1 + ( − 1 − i ) a n = ( 1 − i ) n ， 进一步计算得 a n + 1 = 1 2 i [ ( 1 + i ) n + 1 − ( 1 − i ) n + 1 ] ，即有 a n = 1 2 i [ ( 1 + i ) n − ( 1 − i ) n ] 。 例2 数列 { a n } 满足 a 1 = 4 3 ， a 2 = 3 9 ， a n = 2 3 3 a n − 1 − 1 3 a n − 2 ( n ≥ 3 ) ，求 a n 。 解：在 a n = 2 3 3 a n − 1 − 1 3 a n − 2 两边加上 B 1 a n − 1 ，其中 B 1 为待定常数，有 a n + B 1 a n − 1 = ( 2 3 / 3 + B 1 ) a n − 1 − 1 / 3 a n − 2 = ( 2 3 / 3 + B 1 ) [ a n − 1 − 1 / 3 ( 2 3 / 3 + B 1 ) − 1 a n − 2 ] 令 − 1 3 ( 2 3 3 + B 1 ) − 1 = B 1 ，化简得 3 B 1 2 + 2 3 B 1 + 1 = 0 ，该方程有两个相同的解，即 B 1 = − 3 3 ，进一步有 a n − 3 3 a n − 1 = ( a 2 − 3 3 a 1 ) ( 3 3 ) n − 2 = − ( 3 3 ) n − 1 ， ( n ≥ 2 ) 在上式两边加上 c ( n − 1 ) ( 3 3 ) n − 1 ，有 a n + c ( n − 1 ) ( 3 3 ) n − 1 = 3 3 a n − 1 + c ( n − 1 ) ( 3 3 ) n − 1 − ( 3 3 ) n − 1 = 3 3 a n − 1 + c ( 3 3 ) ( n − 2 ) ( 3 3 ) n − 2 + ( c − 1 ) ( 3 3 ) n − 1 = 3 3 { a n − 1 + c ( n − 2 ) ( 3 3 ) n − 2 + 3 ( c − 1 ) ( 3 3 ) n − 1 } 令 c − 1 = 0 ，得 c = 1 ，由上式得 a n + ( n − 1 ) ( 3 3 ) n − 1 = a 1 ( 3 3 ) n − 1 = 4 3 ( 3 3 ) n − 1 ，即 a n = ( 7 3 − n ) ( 3 3 ) n − 1 .