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user: 4. Hopf分岔的方向及稳定性 通过分析可得对于每个 τ = τ k ( i ) ( i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ) 系统(3)会发生Hopf分岔。本节利用中心流行定理和稳定性理论，判定了分岔周期解的稳定性和分岔方向。 假设 τ 2 * < τ 0 ， τ 2 * ∈ ( 0 ， τ 20 ) 。令 u ( t ) = ( x 1 ( t ) ， x 2 ( t ) ， x 3 ( t ) ， x 4 ( t ) ) T ∈ R 4 ， τ 1 = τ 0 + μ ( μ ∈ R ) ，并将系统(3)在定义域 C = C ( [ − 1 ， 0 ] ， R 4 ) 上转化为微分方程。 x ˙ ( t ) = L μ ( x t ) + F ( μ ， x t ) 定义线性算子 L μ : C → R 4 和非线性算子 F : R × C → R 4 ，其中 L μ ( ϕ ) = ( τ 0 + μ ) B ( ϕ 1 ( 0 ) ϕ 2 ( 0 ) ϕ 3 ( 0 ) ϕ 4 ( 0 ) ) + ( τ 0 + μ ) C ( ϕ 1 ( − τ 2 * τ 0 ) ϕ 2 ( − τ 2 * τ 0 ) ϕ 3 ( − τ 2 * τ 0 ) ϕ 4 ( − τ 2 * τ 0 ) ) + ( τ 0 + μ ) D ( ϕ 1 ( − 1 ) ϕ 2 ( − 1 ) ϕ 3 ( − 1 ) ϕ 4 ( − 1 ) ) ， F ( μ ， ϕ ) = ( τ 0 + μ ) ( ( b − 3 a x * ) ϕ 1 2 ( 0 ) − a ϕ 1 3 ( 0 ) − d ϕ 1 2 ( 0 ) 0 0 ) 其中 ϕ = ( ϕ 1 ， ϕ 2 ， ϕ 3 ， ϕ 4 ) T ∈ C ，式中 B = ( 2 b x − 3 a x 2 0 − d 0 − 2 d x 0 0 − e 0 0 − r 0 0 0 0 − h p ) ， C = ( 0 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ， D = ( 0 1 0 0 0 0 0 0 r s 0 0 0 0 h f 0 0 ) 。 由Riesz表示定理，对于 θ ∈ [ − 1 ， 0 ] ，存在一 4 × 4 的有界变量的矩阵函数 η ( θ ， μ ) ，使得 L μ ϕ = ∫ − 1 0 d η ( θ ， μ ) ϕ ( θ )   ，   ϕ ∈ C ( [ − 1 ， 0 ] ， R 4 ) 实际上，可取 η ( θ ， μ ) = ( τ 0 + μ ) ( 2 b x − 3 a x 2 0 − d 0 − 2 d x 0 0 − e 0 0 − r 0 0 0 0 − h p ) δ ( θ ) − ( τ 0 + μ ) ( 0 1 0 0 0 − 1 0 0 r s 0 0 0 0 h f 0 0 ) δ ( θ + 1 ) 对于 ϕ = C ( [ − 1 ， 0 ] ， R 4 ) ，定义 A ( μ ) ϕ ( θ ) = { d ϕ ( θ ) d θ ， θ ∈ [ − 1 ， 0 ) ∫ − 1 0 d η ( θ ， μ ) ϕ ( θ ) ， θ = 0 和 R ( μ ) ϕ ( θ ) = { 0 ， θ ∈ [ − 1 ， 0 ) F ( μ ， ϕ ) ， θ = 0 。 则系统(3)等价为 x ˙ t = A ( μ ) x t + R ( μ ) x t 对于 ψ = C ( [ 0 ， 1 ] ， ( R 4 ) * ) 定义 A * ( μ ) ψ ( s ) = { − d ψ ( s ) d s ， s ∈ ( 0 ， 1 ] ∫ − 1 0 d η ( t ， 0 ) ψ ( − t ) ， s = 0 和一双线性内积 〈 ψ ( s ) ， ϕ ( θ ) 〉 = ψ ¯ ( 0 ) ϕ ( 0 ) − ∫ − 1 0 ∫ ξ = 0 θ ψ ¯ T ( ξ − θ ) d η ( θ ) ϕ ( ξ ) d ξ 假设 A ( 0 ) 对应特征值为 ± i ω 0 τ 0 ，则 ± i ω 0 τ 0 也是 A * ( 0 ) 的特征值。令 q ( θ ) 是 A ( 0 ) 对应特征值 ± i ω 0 τ 0 的特征向量， q * ( θ ) 是 A * ( 0 ) 对应特征值 ± i ω 0 τ 0 的特征向量，则有 A ( 0 ) q ( θ ) = i ω 0 τ 0 q ( θ ) ， A * ( 0 ) q * ( θ ) = i ω 0 τ 0 q * ( θ ) 。这就保证了 〈 q * ( s ) ， q ( θ ) 〉 = 1 ， 〈 q * ( s ) ， q ¯ ( θ ) 〉 = 1 。 下一步，使用Hassard等人的判断记号，计算中心流形 C 0 在 μ = 0 处的坐标。 g 20 = g 11 = g 02 = 2 P ¯ τ 2 0 ( b − 3 a x * − d v 1 * ¯ ) g 21 = 2 P ¯ τ 2 0 [ ( b − 3 a x * ) ( W 20 ( 1 ) + 2 W 11 ( 1 ) ) − 3 a − f ( W 20 ( 1 ) + 2 W 11 ( 1 ) ) v 1 * ¯ ] 其中 W 20 ( θ ) = i g 20 ω 0 τ 0 q ( 0 ) e i ω 0 τ 0 θ + i g ¯ 02 3 ω 0 τ 0 q ¯ ( 0 ) e − i ω 0 τ 0 θ + E 1 e 2 i ω 0 τ 0 θ W 11 ( θ ) = − i g 11 ω 0 τ 0 q ( 0 ) e i ω 0 τ 0 θ + i g ¯ 11 ω 0 τ 0 q ¯ ( 0 ) e − i ω 0 τ 0 θ + E 2 E 1 = ( 2 i ω 0 τ 20 − ( 2 b x * − 3 a x * 2 ) − e − 2 i ω 0 τ 2 * d 0 2 d x * 2 i ω 0 τ 20 + e − 2 i ω 0 τ 2 * 0 e − r s e − 2 i ω 0 τ 20 0 2 i ω 0 τ 20 + r 0 0 − h f e − 2 i ω 0 τ 2 * 0 2 i ω 0 τ 20 + h p ) − 1 ( 2 ( b − 3 a x * ) − 2 d v 1 * ¯ 0 0 ) E 2 = − ( 2 b x * − 3 a x * 2 a − d 0 − 2 d x * − 1 0 − e r s 0 − r 0 0 h p 0 − h p ) − 1 ( 2 ( b − 3 a x * ) − 2 d v 1 * ¯ 0 0 ) 因此可以计算下面数值： { c 1 ( 0 ) = i ω 0 τ 0 ( g 11 g 20 − 2 | g 11 | 2 − | g 02 | 2 3 ) + g 21 2 μ 2 = − Re ( c 1 ( 0 ) ) Re ( λ ′ 0 ( τ 0 ) ) β 2 = 2 Re ( c 1 ( 0 ) ) T 2 = − Im ( c 1 ( 0 ) ) + μ 2 Im ( λ ′ 0 ( τ 0 ) ) ω 0 τ 0 综上，可得下面有关Hopf分岔方向及周期解稳定性的结论： 当 τ > τ 2 0 ( τ < τ 2 0 ) 时，分岔周期解存在(不存在)；若 T 2 > 0 ( T 2 < 0 ) ，周期解的周期增加(减小)； β 2 > 0 ( β 2 < 0 ) ，在此中心流形上，周期解是渐进稳定的(不稳定的)。