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user: 3. 基于TODIM的属性权重未知的混合多属性群决策方法 TODIM方法的主要思想是基于前景理论给出的价值函数，构造某一方案相对于其他方案的优势度函数，并根据总体优势度对所有备选方案进行排序。由于决策环境的不确定性与评价属性的多样性，为了准确地表达决策者的偏好信息，允许决策者利用不同类型的数据表示其对备选方案的评价信息。同时，考虑到决策者的心理行为和理性预期，提出了基于TODIM的属性权重未知的混合多属性群决策方法。首先，对不同数据类型的评价值进行规范化处理，将其转化到[0， 1]。然后，为了避免不同类型数据转化过程中的信息丢失，提出了将规范化评价值包括精确数、区间数、语言术语转化为概率语言术语集的方法。最后，在利用离差最大化思想确定属性权重的基础上，将传统TODIM方法拓展至概率语言环境下，通过计算各方案的总体优势度，确定方案的最终排序。 针对属性权重未知的混合多属性群决策问题，设有s个决策者 D = { D 1 ， D 2 ， ⋯ ， D s } ，m个方案 A = { A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A m } ，n个评价属性 C = { C 1 ， C 2 ， ⋯ ， C n } ，对应的权重向量为 ω = ( ω 1 ， ω 2 ， ⋯ ， ω n ) T ，满足 ω i ∈ [ 0 ， 1 ] ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 且 ∑ i = 1 n ω i = 1 。决策者 D t ( t = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ) 给出的方案 A i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 在属性 C j ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 下的评价值为 z i j t ，构成的个体决策矩阵记为 Z t = ( z i j t ) m × n   ( t = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ) 。n 1 、n 2 和n 3 分别表示评价值为精确数、区间数和语言术语的属性下标集合，且 n 1 ∪ n 2 ∪ n 3 = n 。如果 j ∈ n 1 ，则评价值 z i j t 为精确数；如果 j ∈ n 2 ，则评价值 z i j t 为区间数；如果 j ∈ n 3 ，则评价值 z i j t 为语言术语。 3.1. 不同数据类型的规范化方法 获取个体决策矩阵 Z t = ( z i j t ) m × n 后，为了消除量纲的影响和便于将不同数据类型进行一致化处理，需要对数据进行规范化处理，求得规范化个体决策矩阵 E t = ( e i j t ) m × n   ( t = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ) 。具体处理方式如下所示： (1) 当属性 C j ∈ C ( j ∈ n 1 )时，精确数 z i j t 的规范化处理方法为： e i j t = { z i j t − min 1 ≤ i ≤ m { z i j t } max 1 ≤ i ≤ m { z i j t } − min 1 ≤ i ≤ m { z i j t }     ， j ∈ C B max 1 ≤ i ≤ m { z i j t } − z i j t max 1 ≤ i ≤ m { z i j t } − min 1 ≤ i ≤ m { z i j t } ， j ∈ C C ， t = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ; i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ; j ∈ n 1 (12) (2) 当属性 C j ∈ C ( j ∈ n 2 )时，区间数 z i j t = [ z 1 i j t ， z 2 i j t ] 的规范化处理方法为： e i j t = [ a i j t ， b i j t ] = { [ z 1 i j t − min 1 ≤ i ≤ m { z 1 i j t } max 1 ≤ i ≤ m { z 2 i j t } − min 1 ≤ i ≤ m { z 1 i j t } ， z 2 i j t − min 1 ≤ i ≤ m { z 1 i j t } max 1 ≤ i ≤ m { z 2 i j t } − min 1 ≤ i ≤ m { z 1 i j t } ] ， j ∈ C B [ max 1 ≤ i ≤ m { z 2 i j t } − z 2 i j t max 1 ≤ i ≤ m { z 2 i j t } − min 1 ≤ i ≤ m { z 1 i j t } ， max 1 ≤ i ≤ m { z 2 i j t } − z 1 i j t max 1 ≤ i ≤ m { z 2 i j t } − min 1 ≤ i ≤ m { z 1 i j t } ] ， j ∈ C C ， t = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ; i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ; j ∈ n 2 (13) (3) 当属性 C j ∈ C ( j ∈ n 3 )时，每个语言术语 z i j t 的隶属函数均与一个三角模糊数 ( z 1 i j t ， z 2 i j t ， z 3 i j t ) 相对应。如果三角模糊数不位于[0， 1]，则需要对其进行规范化处理： e i j t = ( a i j t ， b i j t ， c i j t ) = { ( z 1 i j t max 1 ≤ i ≤ m { z 3 i j t } ， z 2 i j t max 1 ≤ i ≤ m { z 2 i j t } ， z 3 i j t max 1 ≤ i ≤ m { z 1 i j t } Λ 1 ) ， j ∈ C B ( min 1 ≤ i ≤ m { z 1 i j t } z 3 i j t ， min 1 ≤ i ≤ m { z 2 i j t } z 2 i j t ， min 1 ≤ i ≤ m { z 3 i j t } z 1 i j t Λ 1 ) ， j ∈ C C ， t = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ; i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ， j ∈ n 3 (14) 其中，C B 和C C 分别表示效益型属性集和成本型属性集。 3.2. 不同数据类型转化为概率语言术语集 为了解决混合数据环境下的评价信息集结问题，本文提出了将规范化评价值包括精确数、区间数、语言术语转化为概率语言术语集的方法。假设概率语言术语集对应的语言术语集为：S = {s 0 = 非常差， s 1 = 很差， s 2 = 较差， s 3 = 一般， s 4 = 较好， s 5 = 很好， s 6 = 非常好}，其隶属函数如表1和图1所示。 Table 1 Membership functions of linguistic term 语言术语 隶属函数 非常差 (0， 0， 0.167) 很差 (0， 0.167， 0.333) 较差 (0.167， 0.333， 0.5) 一般 (0.333， 0.5， 0.667) 较好 (0.5， 0.667， 0.833) 很好 (0.667， 0.833， 1) 非常好 (0.833， 1， 1) 表1. 语言术语的隶属函数 图1. 语言术语的隶属函数 (1) 精确数转化概率语言术语集 假设决策者 D t ( t = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ) 给出的方案 A i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 在属性 C j ( j ∈ n 1 ) 的规范化评价值为精确数 e i j t ( t = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ) 且同时与两个相邻的语言术语 s k 与 s k + 1 相交( s k ， s k + 1 ∈ S )，其隶属度分别为 u s k 和 u s k + 1 ，如图2所示。 图2. 精确数与语言术语s k 与s k +1 相交 为了将精确数 e i j t ( t = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ， j ∈ n 1 ) 转化为概率语言术语集，首先利用公式(15)分别计算精确数 e i j t 在语言术语 s k 与 s k + 1 上的隶属度： u s k = l k + 1 − e i j t l k + 1 − l k ，     u s k + 1 = e i j t − l k l k + 1 − l k . (15) 然后，对隶属度进行规范化处理，求得精确数 e i j t 属于语言术语 s k 与 s k + 1 的概率： p s k = u s k u s k + u s k + 1 ，     p s k + 1 = u s k + 1 u s k + u s k + 1 . (16) 最后，求得精确数 e i j t 对应的概率语言术语集为： e i j t = { ( s k ， p s k ) ， ( s k + 1 ， p s k + 1 ) } 。特殊地，当精确数 e i j t 仅与一个语言术语 s k 相交，即与语言术语 s k 的峰值重合时， e i j t 属于 s k 的概率为1，其对应的概率语言术语集为： e i j t = { ( s k ， 1 ) } 。 (2) 区间数转化概率语言术语集 假设决策者 D t ( t = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ) 给出的方案 A i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 在属性 C j ( j ∈ n 2 ) 的规范化评价值为区间数 e i j t = [ a i j t ， b i j t ]   ( t = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ) 且与两个相邻的语言术语 s k 与 s k + 1 相交( s k ， s k + 1 ∈ S )，如图3所示。 图3. 区间数与语言术语s k 和s k +1 相交 为了将区间数 e i j t = [ a i j t ， b i j t ]   ( t = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ， j ∈ n 2 ) 转化为概率语言术语集，首先利用公式(17)和(18)分别计算区间数 e i j t 在语言术语 s k 与 s k + 1 交叉面积 M k ， k + 1 的分配因子： A F k ( M k ， k + 1 ) = 1 2 [ ( 1 − d k d k + d k + 1 ) + M k M k + M k + 1 ] ， (17) A F k + 1 ( M k ， k + 1 ) = 1 2 [ ( 1 − d k + 1 d k + d k + 1 ) + M k + 1 M k + M k + 1 ] ， (18) 其中， e i j t 与 s k 的单独相交面积为 M k ， e i j t 与 s k + 1 的单独相交面积为 M k + 1 ， d k 表示 s k 峰值与区间数 e i j t 的中点值 z i j t 之间的距离， d k + 1 表示区间数 e i j t 的中点值 z i j t 与 s k + 1 峰值之间的距离。 然后，利用公式(19)分别求得区间数 e i j t 属于语言术语 s k 与 s k + 1 的概率： P s k = M k + A F k ( M k ， k + 1 ) M k + M k + 1 + M k ， k + 1 ，     P s k + 1 = M k + 1 + A F k + 1 ( M k ， k + 1 ) M k + M k + 1 + M k ， k + 1 . (19) 最后，求得区间数 e i j t 对应的概率语言术语集为： e i j t = [ a i j t ， b i j t ] = { ( s k ， p s k ) ， ( s k + 1 ， p s k + 1 ) } 。 (3) 语言术语转化概率语言术语集 假设决策者 D t ( t = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ) 给出的方案 A i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 在属性 C j ( j ∈ n 3 ) 的规范化评价值为语言术语 e i j t ( t = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ) ，且每个语言术语的隶属函数为三角模糊数 e i j t = ( a i j t ， b i j t ， c i j t ) 并与两个相邻的语言术语 s k 与 s k + 1 相交( s k ， s k + 1 ∈ S )，如图4所示。 图4. 语言术语与语言术语s k 和s k +1 相交 类似于区间数，为了将语言术语 e i j t = ( a i j t ， b i j t ， c i j t )   ( t = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ， j ∈ n 3 ) 转化为概率语言术语集，首先利用公式(20)和(21)分别计算 e i j t 在语言术语 s k 与 s k + 1 交叉面积 M k ， k + 1 的分配因子： A F k ( M k ， k + 1 ) = 1 2 [ ( 1 − d k d k + d k + 1 ) + M k M k + M k + 1 ] ， (20) A F k + 1 ( M k ， k + 1 ) = 1 2 [ ( 1 − d k + 1 d k + d k + 1 ) + M k + 1 M k + M k + 1 ] ， (21) 其中， e i j t 与 s k 的单独相交面积为 M k ， e i j t 与 s k + 1 的单独相交面积为 M k + 1 ， d k 表示 s k 峰值与 e i j t 峰值 b i j t 之间的距离， d k + 1 表示 e i j t 峰值 b i j t 与 s k + 1 峰值之间的距离。 然后，利用公式(22)分别求得语言术语 e i j t 属于语言术语 s k 与 s k + 1 的概率： P s k = M k + A F k ( M k ， k + 1 ) M k + M k + 1 + M k ， k + 1 ，     P s k + 1 = M k + 1 + A F k + 1 ( M k ， k + 1 ) M k + M k + 1 + M k ， k + 1 . (22) 最后，求得语言术语 e i j t 对应的概率语言术语集为： e i j t = ( a i j t ， b i j t ， c i j t ) = { ( s k ， p s k ) ， ( s k + 1 ， p s k + 1 ) } 。除此之外，还需要注意以下三种特殊情形下的转化方法： a) 当语言术语 e i j t 完全位于语言术语 s k 的隶属函数内时， e i j t 属于 s k 的概率为1，对应的概率语言术语集为： e i j t = ( a i j t ， b i j t ， c i j t ) = { ( s k ， 1 ) } 。 b) 当语言术语 e i j t 仅与语言术语 s k 相交，且不与其他语言术语相交时，无论其是否完全位于语言术语 s k 的隶属函数内， e i j t 属于 s k 的概率为1，对应的概率语言术语集为： e i j t = ( a i j t ， b i j t ， c i j t ) = { ( s k ， 1 ) } 。 c) 当语言术语 e i j t 同时与两个以上语言术语相交时，可以参照公式(20)和(21)分别计算 e i j t 在各语言术语交叉面积的分配因子，以求得 e i j t 属于每个语言术语的概率。 3.3. 确定属性的权重 利用上述不同数据类型转化为概率语言术语集的方法，规范化个体决策矩阵 E t = ( e i j t ) m × n 转化为概率语言个体决策矩阵 L t ( p ) = ( L i j t ( p ) ) m × n   ( t = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ) 。在此基础上，为了对概率语言个体决策矩阵进行集结，利用离差最大化思想确定属性的权重，具体步骤如下： Step 1：利用定义9中的PLWA算子对概率语言个体决策矩阵 L t ( p ) = ( L i j t ( p ) ) m × n   ( t = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ) 进行集结，求得概率语言群体决策矩阵 L ( p ) = ( L i j ( p ) ) m × n 。 Step 2：计算属性 C j ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 下，方案A i 与其他方案 A k ( k ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ; k ≠ i ) 的评价值之间的偏差： η i j = ∑ k = 1 m d ( L i j ( p ) ， L k j ( p ) )     ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ; j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n . (23) Step 3：计算属性 C j ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 下，所有方案的偏差和： η j = ∑ i = 1 m η i j ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n . (24) Step 4：利用离差最大化思想，确定属性 C j ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 的权重向量 ω = ( ω 1 ， ω 2 ， ⋯ ， ω n ) T 。根据离差最大化的思想，当某一属性下所有方案的评价值存在较大差异时，说明该属性包含的评价信息量较大，该属性应被赋予较大的权重，反之赋予较小的权重。当不存在差异，即所有方案的评价值相等时，该属性在决策过程中不起任何作用，因而权重为零。 ω j = η j ∑ j = 1 n η j ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n . (25) 其中， ω j ∈ [ 0 ， 1 ] ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 且 ∑ j = 1 n ω j = 1 。 3.4. 基于概率语言术语集的TODIM方法 基于概率语言群体决策矩阵 ，本文将传统TODIM方法拓展至概率语言环境下，通过计算各方案的总体优势度，确定方案的最终排序，具体步骤如下： Step 1：选取权重最大的属性作为参照权重，记作 ，并计算属性 的相对权重 。 Step 2：计算属性 下，方案A i 相对于其他方案 的优势度： (26) 其中， 代表损失衰减系数，该系数受决策者个人偏好的影响，该系数取值越小，表明决策者的损失规避程度越高，根据前景理论，通常取 ； 表示 的得分值。 Step 3：计算方案A i 相对于其他方案 的综合优势度： (27) Step 4：计算方案 的总体优势度： (28) Step 5：按照方案总体优势度 由大到小的顺序，对备选方案进行排序。 越小，代表该方案越差； 越大，代表该方案越好。