system: [SYSTEM]

user: 3. 闭环系统适定性与稳定性 引入误差变量 u ˜ = u ^ − u 和 X ˜ ( t ) = ( x ˜ 1 ( t ) ， x ˜ 2 ( t ) ) Τ ，我们可以重写系统(2.8)如下： { X ˙ ( t ) = A X ( t ) + B u ( x 0 ， t ) ， t > 0 ， u t t ( x ， t ) = u x x ( x ， t ) ， x ∈ ( 0 ， 1 ) ， t > 0 ， u ( 0 ， t ) = 0 ， t > 0 ， u x ( 1 ， t ) = ∫ 0 1 [ c l y y ( 1 ， y ) + k x ( 1 ， y ) ] u ( y ， t ) d y − c l y ( 1 ， 1 ) u ( 1 ， t ) + ∫ 0 x 0 [ p ′ 1 ( 1 ) q 1 ( y ) + c p ( 1 ) q ( y ) ] u t ( y ， t ) d y + ϕ ′ ( 1 ) X ( t ) + ∫ 0 x 0 [ p ′ ( 1 ) q ( y ) + c p 1 ( 1 ) q ″ 1 ( y ) ] u ( y ， t ) d y + c ϕ ( 1 ) A X ( t ) + ∫ 0 1 [ l x ( 1 ， y ) + c k ( 1 ， y ) ] u t ( y ， t ) d y + c u t ( 1 ， t ) + ∫ 0 1 [ c l y y ( 1 ， y ) + k x ( 1 ， y ) ] u ˜ ( y ， t ) d y − c l y ( 1 ， 1 ) u ˜ ( 1 ， t ) + ∫ 0 x 0 [ p ′ 1 ( 1 ) q 1 ( y ) + c p ( 1 ) q ( y ) ] u ˜ t ( y ， t ) d y + ϕ ′ ( 1 ) X ˜ ( t ) + ∫ 0 x 0 [ p ′ ( 1 ) q ( y ) + c p 1 ( 1 ) q ″ 1 ( y ) ] u ˜ ( y ， t ) d y + c ϕ ( 1 ) A X ˜ ( t ) + ∫ 0 1 [ l x ( 1 ， y ) + c k ( 1 ， y ) ] u ˜ t ( y ， t ) d y ， t > 0 ， x ˜ ˙ 1 ( t ) = x ˜ 2 ( t ) + q 1 x ˜ 1 ( t ) ， t > 0 ， x ˜ ˙ 2 ( t ) = a 2 x ˜ 1 ( t ) + q 2 x ˜ 1 ( t ) + b u ˜ ( x 0 ， t ) ， t > 0 ， u ˜ t t ( x ， t ) = u ˜ x x ( x ， t ) ， t > 0 ， u ˜ ( 0 ， t ) = 0 ， t ≥ 0 ， u ˜ x ( 1 ， t ) = − k u ˜ t ( 1 ， t ) ， t ≥ 0. (3.1) 由引理2.1可知， ( X ˜ ， u ˜ ， u ˜ t ) Τ 是指数稳定的。对于 ( X ， u ， u t ) Τ ，我们引用 [ 1 ] 中的Back-stepping变换(3) w ( x ， t ) = u ( x ， t ) − ∫ 0 x k ( x ， y ) u ( y ， t ) d y − ∫ 0 x l ( x ， y ) u t ( y ， t ) d y     − p ( x ) ∫ 0 x 0 q ( y ) u ( y ， t ) d y − p 1 ( x ) ∫ 0 x 0 q 1 ( y ) u t ( y ， t ) d y − ϕ ( x ) X ( x ) . (3.2) 于是系统(3.1)中 ( X ， u ， u t ) Τ -部分满足 { X ˙ ( t ) = ( A + B K ) X ( t ) + B w ( x 0 ， t ) ， t > 0 ， w t t ( x ， t ) = w x x ( x ， t ) ， x ∈ ( 0 ， 1 ) ， t > 0 ， w ( 0 ， t ) = 0 ， t > 0 ， w x ( 1 ， t ) = − c w t ( 1 ， t ) + f ( t ) ， t > 0 ， w ( x ， 0 ) = w 0 ( x ) ， w t ( x ， 0 ) = w 1 ( x ) ， x ∈ ( 0 ， 1 ) ， X ( 0 ) = X 0 ， (3.3) 其中 f ( t ) = ∫ 0 1 [ c l y y ( 1 ， y ) + k x ( 1 ， y ) ] u ˜ ( y ， t ) d y − c l y ( 1 ， 1 ) u ˜ ( 1 ， t )     + ∫ 0 x 0 [ p ′ 1 ( 1 ) q 1 ( y ) + c p ( 1 ) q ( y ) ] u ˜ t ( y ， t ) d y + ϕ ′ ( 1 ) X ˜ ( t )     + ∫ 0 x 0 [ p ′ ( 1 ) q ( y ) + c p 1 ( 1 ) q ″ 1 ( y ) ] u ˜ ( y ， t ) d y + c ϕ ( 1 ) A X ˜ ( t )     + ∫ 0 1 [ l x ( 1 ， y ) + c k ( 1 ， y ) ] u ˜ t ( y ， t ) d y . (3.4) 由引理2.1知 f ( t ) 指数衰减。也就是说，存在常数 M 1 > 0 ， δ 1 > 0 ，其中 δ 1 是独立于初值，使得 | f ( t ) | ≤ M 1 e − δ 1 t ， t ≥ 0. 我们在能量空间H中考虑系统(3.3)的PDE部分 { w t t ( x ， t ) = w x x ( x ， t ) ， x ∈ ( 0 ， 1 ) ， t > 0 ， w ( 0 ， t ) = 0 ， t > 0 ， w x ( 1 ， t ) = − c w t ( 1 ， t ) + f ( t ) ， t > 0 ， w ( x ， 0 ) = w 0 ( x ) ， w t ( x ， 0 ) = w 1 ( x ) ， x ∈ ( 0 ， 1 ) ， X ( 0 ) = X 0 . (3.5) 定义系统(3.5)的算子： Α : D ( Α ) → Η { Α ( f ， g ) Τ = ( g ， f ″ ) Τ ， ∀ ( f ， g ) Τ ∈ D ( Α ) ， D ( Α ) = { ( f ， g ) Τ ∈ H 2 ( 0 ， 1 ) × H 1 ( 0 ， 1 ) | Α ( f ， g ) Τ ∈ Η ， f ′ ( 1 ) = − c g ( 1 ) } . (3.6) 简单计算表明A的对偶算子为 { A ∗ ( ϕ ψ ) = ( − ψ 1 − ϕ ″ ) ， ∀ ( ϕ ψ ) ∈ D ( A ∗ ) ， D ( A ∗ ) = { ( ϕ ， ψ ) Τ ∈ H 2 ( 0 ， 1 ) × H 1 ( 0 ， 1 ) | A ∗ ( ϕ ， ψ ) ∈ H ， ϕ ′ ( 1 ) = c ψ ( 1 ) } . (3.7) 系统(3.7)中 ( ϕ ， ψ ) ∈ D ( Α ∗ ) 与 ( w ， w t ) 做内积得到 d d t 〈 ( w w t ) ， ( ϕ ψ ) 〉 = 〈 ( w w t ) ， Α ∗ ( ϕ ψ ) 〉 + 〈 ( 0 δ ( x − 1 ) ) f ( t ) ， ( ϕ ψ ) 〉 ， (3.8) 其中 δ ( ⋅ ) 表示狄拉克分布。因此，系统(3.5)可以写成H上的抽象发展方程 d d t ( w ( ⋅ ， t ) ， w t ( ⋅ ， t ) ) Τ = Α ( w ( ⋅ ， t ) ， w t ( ⋅ ， t ) ) Τ + Β f ( t ) ， (3.9) 这里 Β = ( 0 ， δ ( x − 1 ) ) Τ 。众所周知，算子A在H上生成指数稳定的C 0 -半群，也就是说，存在 K > 0 ， μ > 0 使得 ‖ e Α t ‖ ≤ K e − μ t ， t ≥ 0. (3.10) 接下来我们将证明算子B对 e Α t 是允许的，只要证明 Β ∗ 对 e Α ∗ t 是允许的即可。系统(3.9)的对偶系统是 { w t t ∗ ( x ， t ) = w x x ∗ ( x ， t ) ， x ∈ ( 0 ， 1 ) ， t > 0 ， w ∗ ( 0 ， t ) = 0 ， t > 0 ， w x ∗ ( 1 ， t ) = − c w t ∗ ( 1 ， t ) ， t > 0 ， y 0 ( t ) = − w t ∗ ( 1 ， t ) ， t ≥ 0. (3.11) 因为A生成C 0 -半群，所以 Α ∗ 也能生成C 0 -半群，即系统(3.11)存在C 0 -半群解。对系统(3.11)定义能量函数如下： E ∗ ( t ) = 1 2 ∫ 0 1 ( w t ∗ 2 ( x ， t ) + w x ∗ 2 ( x ， t ) ) d x . 将 E ( t ) 沿系统(3.11)的解对t求导得到 E ˙ ( t ) = − c [ w t ∗ ( 1 ， t ) ] 2 . (3.12) 对(3.12)中t从0到T积分，我们有 ∫ 0 T [ w t ∗ ( 1 ， t ) ] 2 d t = 1 c ( E ( 0 ) − E ( T ) ) ≤ 1 c E ( 0 ) . 另一方面，直接计算可得 { Α ∗ − 1 ( ϕ ψ ) = ( − c x ϕ ( 1 ) + ∫ 0 x ∫ s 1 ψ ( t ) d t d s ϕ ) ， Β ∗ Α ∗ − 1 ( ϕ ψ ) = ( 0 − ϕ ( 1 ) ) ， ∀ ( ϕ ， ψ ) ′ ∈ Η . (3.13) 给出简单估计 | − φ ( 1 ) | 2 = φ 2 ( 1 ) ≤ ∫ 0 1 φ ′ 2 ( x ) d x ≤ ‖ ( φ ， ψ ) ‖ Η 2 . (3.14) 因此，从H到C， Β ∗ Α ∗ − 1 是有界的。这表明 Β ∗ 对 e Α ∗ t 是允许的，进而B对 e Α t 是允许的。通过适定的线性无穷维系统理论( [ 10 ] )，若 f ∈ L l o c 2 ( 0 ， ∞ ) ，那么(3.9)存在唯一解 ( w ， w t ) ∈ C ( 0 ， ∞ ; Η ) 。 (3.5)的解可以写成( [ 10 ] ) ( w ( ⋅ ， t ) ， w t ( ⋅ ， t ) ) Τ = e Α t ( w 0 ， w 1 ) Τ + ∫ 0 t e Α ( t − s ) Β f ( s ) d s . 与文献 [ 11 ] 中方程(60)的估计类似，对不依赖于初值的常数 M 2 > 0 ， δ 2 > 0 ，我们有 ‖ ( w ( ⋅ ， t ) ， w t ( ⋅ ， t ) ) Τ ‖ H ≤ M 2 e − δ 2 t ‖ ( w ( ⋅ ， 0 ) ， w t ( ⋅ ， 0 ) ) Τ ‖ H ， t ≥ 0. (3.15) 根据庞加莱不等式 | w ( x 0 ， t ) | ≤ ‖ ( w ( ⋅ ， t ) ， w t ( ⋅ ， t ) ) Τ ‖ Η ≤ M 2 e − δ 2 t ‖ ( w ( ⋅ ， 0 ) ， w t ( ⋅ ， 0 ) ) Τ ‖ Η . 因此，ODE部分的解 X ( t ) = e ( A + B K ) t X 0 + ∫ 0 t e ( A + B K ) ( t − s ) B w ( x 0 ， s ) d s ， (3.16) 是指数稳定的。 下面我们说明变换(3.2)是可逆的。实际上其逆变换可以写为 u ( x ， t ) = w ( x ， t ) − ∫ 0 x n ( x ， y ) w ( y ， t ) d y − ∫ 0 x m ( x ， y ) w t ( y ， t ) d y     − g ( x ) ∫ 0 x 0 h ( y ) w ( y ， t ) d y − g 1 ( x ) ∫ 0 x 0 h 1 ( y ) w t ( y ， t ) d y − ψ ( x ) X ( t ) ， (3.17) 其中函数 m ( x ， y ) ， n ( x ， y ) ， g ( x ) ， g 1 ( x ) ， h ( y ) ， h 1 ( y ) 和 ψ ( x ) 满足 { n x x ( x ， y ) − n y y ( x ， y ) = 0 ， n ( x ， x ) = 0 ， n ( x ， 0 ) = − g ( x ) h ( 0 ) ， m x x ( x ， y ) − m y y ( x ， y ) = 0 ， m ( x ， x ) = 0 ， m ( x ， 0 ) = − g 1 ( x ) h 1 ( 0 ) ， g ″ ( x ) h ( y ) − g ( x ) h ″ ( y ) = 0 ， h ( x 0 ) = 0 ， g ( x ) h ′ ( x 0 ) = ψ ( x ) ( A + B K ) B ， g ( 0 ) = 0 ， n ( x 0 ， y ) + g ( x ) h ( y ) = 0 ， g ″ 1 ( x ) h 1 ( y ) − g 1 ( x ) h ″ 1 ( y ) = 0 ， g 1 ( x 0 ) = 0 ， g 1 ( x ) h ′ 1 ( x 0 ) = ψ ( x ) B ， g 1 ( 0 ) = 0 ， m ( x 0 ， y ) + g 1 ( x 0 ) h 1 ( y ) = 0 ， ψ ″ ( x ) − ψ ( x ) ( A + B K ) 2 = 0 ， ψ ( x 0 ) = K ， ψ ( 0 ) = 0 ， (3.18) 这些函数在 [ 1 ] 中均有解。 我们证明了系统(3.3)有唯一解且解是指数稳定的。我们得到了本文的主要结果。 定理3.1:假设 q 1 < 0 ， q 2 < − a 2 ， k > 0 ，那么对任意的初值 ( X 0 ， u 0 ， u 1 ， X ^ 0 ， u ^ 0 ， u ^ 1 ) Τ ∈ ( C 2 × Η ) 2 ，闭环系统(2.8)都有唯一的弱解 ( X ( t ) ， u ( ⋅ ， t ) ， u t ( ⋅ ， t ) ， X ^ ( t ) ， u ^ ( ⋅ ， t ) ， u ^ t ( ⋅ ， t ) ) Τ ∈ C ( 0 ， ∞ ; ( C 2 × Η ) 2 ) ，且解是指数稳定的： ‖ ( X ( t ) ， u ( ⋅ ， t ) ， u t ( ⋅ ， t ) ， X ^ ( t ) ， u ^ ( ⋅ ， t ) ， u ^ t ( ⋅ ， t ) ) ‖ ( C × Η ) 2 ≤ L e − ω t ‖ ( X 0 ， u 0 ， u 1 ， X ^ 0 ， u ^ 0 ， u ^ 1 ) ‖ ( C × Η ) 2 ， ∀ t > 0 ， (3.19) 其中L和 ω 是不依赖于初值的正数。