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user: 3. 主要结果 由引理2得，系统(2)的特征多项式 g ( s ) 满足； g ( s ) = det ( s I n − C − E e − τ s ) = det ( s I n − I n H e − τ s ( s + k ) I n ) = | ( s 2 + k s ) I n + H e − τ s | = ∏ i = 1 n ( s 2 + k s + λ i e − τ s ) ，     λ i ∈ Λ ( H ) = : ∏ i = 1 n g i (s) 下面，我们首先建立在H是正稳的前提下， g ( s ) 有纯虚根的充要条件。 命题1 g ( s ) = 0 有纯虚根的充要条件为 τ ∈ Ω = { 1 ω i 1 ( 2 k ¯ π + θ i 1 ) | i ∈ I ; k ¯ = 0 ， 1 ， ⋯ } ， 其中 θ i 1 ∈ ( 0 ， 2 π ) ， ω i 1 > 0 满足 ω i 1 4 + k 2 ω i 1 2 − | λ i | 2 = 0 ， cos ( θ i 1 τ ) = [ ω i 1 2 Re ( λ i ) − k ω i 1 Im ( λ i ) ] / | λ i | 2 ， sin ( θ i 1 τ ) = [ ω i 1 2 Im ( λ i ) + k ω i 1 Re ( λ i ) ] / | λ i | 2 ， λ i ∈ Λ ( H ) 。 证明：(必要性)令 s = i ω i ( ω i ≠ 0 ) 是 g ( s ) 的一个纯虚根，那么代入 g i ( s ) 得 ω i 2 = i k ω i + λ i e − i ω i τ 。 通过欧拉公式得 − ω i 2 + i k ω i + λ i [ cos ( ω i τ ) − i sin ( ω i τ ) ] = 0 。 (4) 分离(4)式的实部和虚部，得到 k ω i − Re ( λ i ) sin ( ω i τ ) + Im ( λ i ) cos ( ω i τ ) = 0 ， (5) − ω i 2 + Re ( λ i ) cos ( ω i τ ) + Im ( λ i ) sin ( ω i τ ) = 0 。 (6) 且 sin 2 ( ω i τ ) + cos 2 ( ω i τ ) = 1 。通过(5)，(6)式解得 cos ( ω i τ ) = ω i 2 Re ( λ i ) − k ω i Im ( λ i ) | λ i | 2 ， (7) sin ( ω i τ ) = k ω i Re ( λ i ) + ω i 2 Im ( λ i ) | λ i | 2 。(8) 另外，通过条件 sin 2 ( ω i τ ) + cos 2 ( ω i τ ) = 1 ，得到 | λ i | 2 ⋅ ( ω i 4 + k 2 ω i 2 ) | λ i | 4 = 1 ， 即 ω i 4 + k 2 ω i 2 − | λ i | 2 = 0 。 因为 ω i 为一实数，解(9)式，可得 ω i 的两个实根如下； ω i 1 = − k 2 + k 4 + 4 | λ i | 2 2 ， ω i 2 = − − k 2 + k 4 + 4 | λ i | 2 2 那么，令 0 < θ i j < 2 π 且 cos ( θ i j ) = ω i j 2 Re ( λ i ) − k ω i j Im ( λ i ) | λ i | 2 ， sin ( θ i j ) = ω i j 2 Im ( λ i ) + k ω i j Re ( λ i ) | λ i | 2 ， j = 1 ， 2 。下面分为两种情况讨论，(1)若 Im ( λ i ) ≠ 0 ，则存在一个整数p， p ∈ I ，满足 cos ( ω i 1 τ ) = cos ( ω p 2 τ ) ， sin ( ω i 1 τ ) = − sin ( ω p 2 τ ) ，则 θ i 1 = 2 π − θ P 2 。(2)若 Im ( λ i ) = 0 ，则 cos ( ω i 1 τ ) = cos ( ω i 2 τ ) ， sin ( ω i 1 τ ) = − sin ( ω i 2 τ ) ，那么， θ i 2 = 2 π − θ i 1 。因此， τ ∈ Ω = { 1 ω i 1 ( 2 k ¯ π + θ i 1 ) | i ∈ I ; k ¯ = 0 ， 1 ， ⋯ } ∪ { 1 ω i 2 ( 2 k ¯ π + θ i 2 ) | i ∈ I ; k ¯ = − 1 ， − 2 ， ⋯ }                 = { 1 ω i 1 ( 2 k ¯ π + θ i 1 ) | i ∈ I ; k ¯ = 0 ， 1 ， ⋯ } ∪ { 1 ω i 2 ( 2 k ¯ π − θ i 2 ) | i ∈ I ; k ¯ = 1 ， 2 ， ⋯ }                 = { 1 ω i 1 ( 2 k ¯ π + θ i 1 ) | i ∈ I ; k ¯ = 0 ， 1 ， ⋯ } (充分性)下面验证 τ = 1 ω i 1 ( 2 k ¯ π + θ i 1 ) 为方程式(4)的根。将它代入(4)式的左边，得 i k ω i + [ Re ( λ i ) + i Im ( λ i ) ] ⋅ [ ω i 2 Re ( λ i ) − k ω i Im ( λ i ) | λ i | 2 − i ω i 2 Im ( λ i ) + k ω i Re ( λ i ) | λ i | 2 ] = 0 。 则(4)式成立。那么，当 s = i ω i j ， j = 1 ， 2 时，有 g i ( s ) = 0 。则充分性得证。 命题2 在H是正稳的条件下，s是方程 g i ( s ) = 0 ， i ∈ I 的一个根，那么，在点 τ ∈ Ω 处 d s / d τ 存在且 Re ( d s d τ ) | τ ∈ Ω > 0 恒成立。 证明：令 g ¯ i ( s ， τ ) : = s 2 + k s + λ i e − τ s ，则 g ¯ i ( s ， τ ) 满足(1) g ¯ i ( i ω 0 ， τ 0 ) = 0 ，其中 τ 0 ∈ Ω 。 i ω 0 是对应的纯虚根。 (2) g ¯ i ( s ， τ ) 在点 ( i ω 0 ， τ 0 ) 处连续。(3) ∂ g ¯ i ∂ s 和 ∂ g ¯ i ∂ τ 是连续的，且 ∂ g ¯ i ∂ s | ( i ω 0 ， τ 0 ) ≠ 0 。那么，在 g i ( s ) = 0 关于 τ 求导，得 2 s d s d τ + k d s d τ + λ i ( − s − τ d s d τ ) e − τ s = 0 ， 则 d s d τ = λ i s e − τ s 2 s + k − λ i τ e − τ s 。 令 X = Re ( λ i ) sin ( ω i j ) − Im ( λ i ) cos ( ω i j ) ， Y = Re ( λ i ) cos ( ω i j ) + Im ( λ i ) sin ( ω i j ) ，那么 d s d τ | s = i ω i j = ω i j ( X + i Y ) k − τ Y + i ( 2 ω i j + τ X ) ， 那么 Re ( d s d τ ) | τ ∈ Ω = ω i j [ X ( k − τ Y ) + Y ( 2 ω i j + X τ ) ] ( k − τ Y ) 2 + ( 2 ω i j + X τ ) 2 ， 令 h ( ω i j ， τ ) = k − τ Y + i ( 2 ω i j + τ X ) ，利用(7)，(8)，可以得到 | h ( ω i j ， τ ) | 2 Re ( d s d τ ) | τ ∈ Ω = ω i j [ X ( k − τ Y ) + Y ( 2 ω i j + X τ ) ] = ω i j [ X k + 2 Y ω i j ] = [ ω i i k Re ( λ i ) + 2 ω i j 2 Im ( λ i ) ] sin ( ω i j ) + [ ω i j k ( − Im ( λ i ) ) + 2 ω i j 2 Re ( λ i ) ] cos ( ω i j τ ) = [ 2 ω i j 4 + k 2 ω i j 2 ] [ Re 2 ( λ i ) + Im 2 ( λ i ) ] / | λ i | 2 = 2 ω i j 4 + k 2 ω i j 2 2 ω i j 4 + k 2 ω i j 2 > 0 ，显然， Re ( d s d τ ) | τ ∈ Ω > 0 成立。 定理1在H是正稳的前提下，若 k 2 > ( max μ ∈ Λ ( H ) | Im μ | ) 2 min μ ∈ Λ ( H ) | Re μ | ， ( min μ ∈ Λ ( H ) Re μ ≠ 0 ) ，则系统(1)可以达到一致 性当且仅当 τ < τ ∗ = min i ∈ I { θ i 1 ω i 1 } 。 证明：由引理1得，当 τ = 0 时，可得系统(3)是Hurwitz稳定的，即系统(1)在控制协议(2)下可达到一致。通过引理3和命题2知，在 0 < τ < τ ∗ 时，系统(3)的根都具有负实部， τ = τ ∗ 是使得方程具有纯虚根的第一个 τ 值，这时系统(3)在右半开平面具有零点，进一步，当，每经过 τ > τ ∗ 时，系统(3)在右半开平面上的零点个数就会增加。所以当 τ ≥ τ ∗ 时，时系统(3)不能达到稳定，即系统(1)不能达到一致，所以能 够使得系统(1)达到一致的时延 τ 的取值范围为 [ 0 ， τ ∗ ) 。