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user: 3. 模型构造与欧式期权定价解析式推导 3.1. BS模型 BS模型 [ 9 ] 是最经典的期权定价模型，其在期权定价领域基石的地位毋庸置疑，尽管近年来一直因为其严格的适用假设一直被诟病，但在我国许多期权交易机构仍在使用BS模型对期权进行估值。 BS模型认为对于任一时刻的股价有： Δ S S ~ N ( u Δ t ， σ 2 Δ t ) (1) 将其代换为对数股价形式，可得到： ln S t ~ N ( ln S 0 + ( u − σ 2 2 ) T ， σ 2 T ) (2) 也可以将其写为一个几何布朗运动过程： Δ S = u S Δ t + σ S Δ W (3) 其中u为期望收益率率、 σ 为波动率，W为维纳过程： Δ W = ε Δ t (4) 其中 ε 为标准正态分布 由于欧式看跌期权可由看涨期权价值和看涨看跌平价公式得到，故在此及下文中仅研究看涨期权的解析式。那么由风险中性定价可得欧式看涨期权价格： c = E [ max ( S T − K ) e − r T ， 0 ] (5) 要求解 E [ max ( S T − K ) e − r T ， 0 ] ，可以先求解 E [ max ( V − K ， 0 ) ] 。假设 ln V 服从正态分布，标注差为w，均值为m，定义 Q = ln V − m w ，那么Q的密度函数 h ( Q ) = 1 2 π e − Q 2 2 ，那么 E [ max ( V − K ， 0 ) ] = ∫ ln V − m w ∞ ( e Q w + m − K ) h ( Q ) d Q (6) 对 e Q w + m h ( Q ) 一项进行整理： e Q w + m h ( Q ) = 1 2 π e − Q 2 2 + Q W + m = e m + w 2 2 h ( Q − w ) (7) 带入 E [ max ( V − K ， 0 ) ] 可得： E [ max ( V − K ， 0 ) ] = e m + w 2 2 ∫ ln V − m w ∞ h ( Q − w ) d Q − K ∫ ln V − m w ∞ h ( Q ) d Q (8) 求出积分可得： E [ max ( V − K ， 0 ) ] = e m + w 2 2 N ( d 1 ) − K N ( d 2 ) d 1 = ln [ E ( V ) / K ] + w 2 / 2 w d 2 = ln [ E ( V ) / K ] − w 2 / 2 w (9) 在上式基础上令 V = S T ， w = σ T ，即可得到欧式看涨期权的定价公式： c = E [ max ( S T − K ) e − r T ， 0 ] = S 0 N ( d 1 ) − K e − r t N ( d 2 ) (10) 其中： d 1 = ln ( S 0 / K ) + ( r + 1 2 σ 2 ) T σ T d 2 = ln ( S 0 / K ) + ( r − 1 2 σ 2 ) T σ T = d 1 − σ T (11) 3.2. CEV模型 CEV模型 [ 10 ] 是BS模型的替代模型，其用另一个levy过程替代了BS模型所假设的几何布朗运动过程。 根据上文中所讨论内容，在BS模型中： Δ S = u S Δ t + σ S Δ W (12) 而在CEV模型中，引入了一个权重 β ，使得股票价格服从以下扩散过程： Δ S = u S Δ t + σ S β Δ W (13) Cox John C.和Ross Stephen A.在1976给出了 σ 的近似估计值为： σ = σ B S F 0 1 − β (14) σ B S 为BS模型中所使用的固定波动率，也即几何布朗运动下的波动率。 在CEV模型中，当 β = 1 时，股票价格服从几何布朗运动，此时即为BS模型。 当 β < 1 时， σ 随股票价格下降而上升，此时对应的情况即为隐含波动率为执行价格K递减函数的波动率微笑。如下右图所示，虚线所代表与对数收益率具有相同均值和标准差的正态分布，而实线为左图所示递减隐含波动率下的对数收益率概率分布。可见此时对数收益率的分布具有明显尖顶、左肥尾、右瘦尾的特征，见图1。 图1. 递减型波动率微笑 β > 1 时， σ 随股票价格上升而上升，此时对应的情况即为隐含波动率为执行价格K递增函数的波动率微笑。其图像正好与递减型波动率微笑相反，可见此时对数收益率的分布具有明显尖顶、右肥尾、左瘦尾的特征，见图2。 图2. 递增型波动率微笑 此时依然可以利用风险中性定价原理 c = E [ max ( S T − K ) e − r T ， 0 ] 得出CEV模型对欧式看涨期权的定价解析式，但在实际处理上十分困难，在此借助另一种方法求解——无套利均衡定价： 首先先了解伊藤过程，形如： Δ x = a ( x ， t ) Δ t + b ( x ， t ) Δ W (15) 其中a、b为变量x和时间t的函数，W为维纳过程，那么上述过程就被定义为伊藤过程，几何布朗运动过程就是一个伊藤过程。 数学家K. Ito [ 17 ] 于1951年发现了有关该扩散过程的一个重要结论——伊藤引理。伊藤引理指出，对于一个漂移率为a，方差率为b 2 的伊藤过程，一个关于变量x和时间t的函数G服从以下过程： Δ G = ( ∂ G ∂ x a + ∂ G ∂ t + 1 2 ∂ 2 G ∂ x 2 b 2 ) Δ t + ∂ G ∂ x b Δ W (16) 可见上述过程也是一个伊藤过程。 现在推导CEV模型欧式看涨期权的解析式，设一个欧式看涨期权的价值为f，其为现货价格S和时间t的函数，由于CEV模型所假设的 Δ S = u S Δ t + σ S β Δ W 过程为一个伊藤过程，由伊藤引理可得： Δ f = ( ∂ f ∂ S u S + ∂ f ∂ t + 1 2 ∂ 2 f ∂ S 2 σ 2 S 2 β ) Δ t + ∂ f ∂ S σ S β Δ W (17) 为了进行无套利定价，可以构造一个组合消除风险，即消除维纳过程。考虑这样一个组合P，由一个看涨期权空头和 ∂ f ∂ S 数量的标的股票多头组成，那么P的价值为： P = − f + ∂ f ∂ S S (18) 那么 Δ P 的扩散过程为： Δ P = − Δ f + ∂ f ∂ S Δ S = ( − ∂ f ∂ t − 1 2 ∂ 2 f ∂ S 2 σ 2 S 2 β ) Δ t (19) 可见 Δ P 中无维纳过程，是一个无风险组合。定义无风险利率为 r f ，那么由无套利原理有： Δ P = ( − ∂ f ∂ t − 1 2 ∂ 2 f ∂ S 2 σ 2 S 2 β ) Δ t = r f P Δ t = r f ( − f + ∂ f ∂ S S ) Δ t (20) 整理得： ∂ f ∂ t + 1 2 ∂ 2 f ∂ S 2 σ 2 S 2 β + ∂ f ∂ S r f S = r f f (21) 由此得到了求解CEV模型欧式期权定价解析式的微分方程，对于看涨期权，关键边界条件为： t = T 时， f = max ( S − K ， 0 ) (22) 带入微分方程可解得当 β < 1 时： c = S t e − q T ( 1 − Q ( x ; 2 + 1 1 − β ， y ) ) − K e − r T Q ( y ; 1 1 − β ， x ) (23) β > 1 时： c = S t e − q T ( 1 − Q ( y ; 1 β − 1 ， x ) ) − K e − r T ( 1 − Q ( x ; 2 + 1 β − 1 ， y ) ) (24) 其中： x = K 2 − 2 β e − ( r − q ) ( 2 − 2 β ) T m ( 1 − β ) 2 y = S 0 K 2 − 2 β m ( 1 − β ) 2 m = σ 2 ( 1 − β ) [ e ( r − q ) ( 2 − 2 β ) T − 1 ] 2 ( r − q ) ( β − 1 ) (25) Q ( ∗ ) 为非中心 χ 2 分布(24) 3.3. Heston模型 Heston模型是随机波动模型的代表模型之一，最早由Steven L. Heston [ 4 ] 于1993年发表的论文中提出。 在随机波动模型中，波动率不是一个固定变量而是随时间变化的，可表示为： Δ S = u S Δ t + σ ( t ) S Δ W 1 (26) 而在Heston模型中，令： σ t = v (27) 同时令： Δ v = κ ( θ − v ) Δ t + δ v Δ W 2 Δ W 1 Δ W 2 = ρ Δ t (28) 这是一个CIR过程， θ 指长期方差率，v表示资产方差率，在该模型中v以k的速度被拉向长期方差率 θ 当 趋于无限时， v ( t ) 期望值趋于 θ ； 而 Δ S = u S Δ t + v S Δ W 1 也是一个伊藤过程，类似于上文对CEV模型的处理方法，由伊藤引理和无套利原理可得： 1 2 v S 2 ∂ 2 f ∂ S 2 + ρ δ v S ∂ 2 f ∂ S ∂ V + 1 2 δ 2 v ∂ 2 f ∂ v 2 + r f S ∂ f ∂ S + [ κ ( θ − v ) − λ ( S ， v ， t ) ] ∂ f ∂ v + ∂ f ∂ t = r f f (29) 其中 λ ( S ， v ， t ) 为波动率风险的价格，为不可观测量，Heston定义其值为 λ v ，同时证明了等价鞅测度下将其放在风险中性世界中可得 λ = 0 ，得以消除此项。 直接解这个方程很困难，Heston猜测Heston模型的欧式看涨期权定价解析式具有和BS解析式相似的形式： c ( S ， v ， t ) = S P 1 − K e − r t P 2 (30) 如果已知 P 1 、 P 2 特征函数，那么通过傅里叶逆变换可得： P j = 1 2 + 1 π ∫ 0 + ∞ R e [ e − i ϕ ln K f j ( x ， v ， τ ; ϕ ) i ϕ ] d ϕ ，     j = 1 ， 2 (31) R e [ ∗ ] 代表被积函数实数部分， x = ln S ，i为虚数单位；Heston假定 P 1 、 P 2 的特征函数具有如下形式： f j ( x ， v ， τ ; ϕ ) = e [ A ( τ ; ϕ ) + B ( τ ; ϕ ) v + i ϕ x ] (32) 由(29)、(31)、(32)可得常微分方程： d A j ( τ ; ϕ ) d τ − κ θ B j ( τ ; ϕ ) − r ϕ i = 0 d B j ( τ ; ϕ ) d τ − δ 2 B j 2 ( τ ; ϕ ) 2 + ( b j − ρ δ ϕ i ) B j ( τ ; ϕ ) − u j ϕ i + ϕ 2 2 = 0 (33) 初始条件： A j ( 0 ; ϕ ) = B j ( 0 ; ϕ ) = 0 (34) 可以解得： A ( τ ; ϕ ) = i r ϕ τ + a δ 2 [ ( b j − ρ δ ϕ i + h j ) τ − 2 ln ( 1 − g j e h j τ 1 − g j ) ] B ( τ ; ϕ ) = b j − ρ δ ϕ i + h j δ 2 ( 1 − e h j τ 1 − g j e h j τ ) g j = b j − ρ δ ϕ i + h j b j − ρ δ ϕ i − h j h j = ( ρ δ ϕ i − b j ) 2 − δ 2 ( 2 u j ϕ i − ϕ 2 ) j = 1 ， 2 ，且： u 1 = 1 2 ， u 2 = − 1 2 ， a = κ θ ， b 1 = κ − ρ δ ， b 2 = κ (35) 其中 ρ 为两个维纳过程 W 1 、 W 2 的相关系数； κ 是 v ( t ) 回归至 θ 的速度； δ 是波动率的波动率，也就是 v ( t ) 的方差。如果上述参数满足 2 κ θ > δ 2 ，那么过程 v ( t ) 会是严格的正数。 [ k ， t ， s 0 ， r ]是给定的参数，而[ v 0 ， κ ， θ ， δ ， ρ ]是需要估计的参数。 3.4. BS、CEV、Heston模型理论对比 首先三个模型最本质的区别就是对股价的变动使用了不同的扩散过程去拟合 在BS模型中假设股价服从几何布朗运动过程： Δ S = u S Δ t + σ S Δ W (36) 而CEV模型在此基础上加了一个权重 β ，同时对波动率也在BS模型基础上进行了近似替代，因而能较好地拟合隐含波动率为执行价格K递增或递减函数的波动率微笑： Δ S = u S Δ t + σ S β Δ W σ = σ B S F 0 1 − β (37) Heston模型不再假定波动率固定，而是认为其是随时间变动的一个变量，同时使用5个参数对波动率的变动情况进行模拟，因而能够较好的拟合大部分股票的时变波动率： Δ S = u S Δ t + v S Δ W 1 Δ v = κ ( θ − v ) Δ t + δ v Δ W 2 Δ W 1 Δ W 2 = ρ Δ t (38) 此外无论是BS、CEV还是Heston模型，它们都能通过风险中性方法或无套利均衡原理得到对应的欧式期权定价解析式，但BS的定价解析式最为简洁，Heston模型最复杂。此外若要使用三个模型的欧式期权定价解析式进行定价，除可直接获得的四个参数[ k ， t ， s 0 ， r ]外，BS模型还需估计波动率 σ ，CEV模型需估计 σ 和 β ，Heston模型需估计[ v 0 ， κ ， θ ， δ ， ρ ]五个参数，因而在具体的参数估计方法的选择上也有差异。