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user: 3. 效用函数下的鲁棒问题 假设保险公司具有指数效用函数 U ( x ) = − 1 γ exp { − γ x } ， (2) 其中 γ > 0 为保险公司的绝对风险厌恶系数。传统上，假设保险公司的模糊-中性目标函数为 sup π ∈ ∏ E [ U ( X π ( T ) ) ] = sup π ∈ ∏ E [ − 1 γ exp { − γ X π ( T ) } ] ， (30 然而，在本文中，我们将模型不确定性考虑到最优投资和再保险问题中。由于考虑到模型的模糊性，保险公司使用模型(1)作为它的参考模型，保险公司并不完全信任参考模型，它可以考虑一个替代模型来获得稳健的最优策略。我们采用概率测度Q来表示备选模型，且Q与P是等价的。 定义为概率测度集，即， Q 1 : = { Q | Q ~ P } 。 定义过程 ω ( t ) = ( ω 1 ( t ) ， ω 2 ( t ) ) 使得 d Q d P = Λ ω ( T ) ，其中 有下面的形式 Λ ω ( t ) : = exp { − ∫ 0 t ω 1 ( s ) d W 0 ( s ) − 1 2 ∫ 0 t ω 1 2 ( s ) d s − ∫ 0 t ω 2 ( s ) d W 1 ( s ) − 1 2 ∫ 0 t ω 2 2 ( s ) d s } . (4) 根据Girsanov’s定理，在备选测度Q下，上面提到的布朗运动可写为 d W 0 Q ( t ) = d W 0 ( t ) + ω 1 ( t ) d t ，     d W 1 Q ( t ) = d W 1 ( t ) + ω 2 ( t ) d t . (5) CEV模型描述为 (6) 并且财富过程描述为 d X π ( t ) = [ r X π ( t ) + ( μ − r ) π 1 ( t ) + λ θ μ ( a ) + λ ( η − θ ) μ 1 − ω 1 ( t ) λ σ ( a )     − σ ω 2 ( t ) π 1 ( t ) S β ( t ) ] d t + λ σ ( a ) d W 0 Q ( t ) + π 1 ( t ) σ S β ( t ) d W 1 Q ( t ) . (7) 定义1： 交易策略 π = ( a ， π 1 ) 定义为可行策略，如果它满足如下条件： 1) ( a ( t ) ， π 1 ( t ) ) 是可测的； 2) a ( t ) ∈ [ 0 ， D ] ， π 1 ( t ) ∈ [ 0 ， + ∞ ) ， E Q * [ ∫ 0 T π 1 ( t ) 2 S 2 β d t ] < + ∞ ； 3) ∀ ( t ， x ， s ) ∈ [ 0 ， T ] × R × R + ，SDE (7)有唯一(强)解 { X π ( t ) : t ∈ [ 0 ， T ] } 且 E t ， x ， s Q * [ U ( X π ( T ) ) ] < ∞ ， Q * 是描述最坏情况下的备选模型。 对任意的初始条件 ( t ， x ， s ) ∈ [ 0 ， T ] × R × R + ，所有的可行策略组成的集合记为 ∏ ( t ， x ， s ) 。 我们假设保险公司确定一个稳健投资组合策略，这个策略是在一些最坏情况模型下的最好选择。为了解决问题(3)，我们定义值函数为 (8) 其中 E t ， x ， s Q = E Q [ ⋅ | X π ( t ) = x ， S ( t ) = s ] ，(8)的第二项表示备选测度与参考测度下的偏离， φ 1 ， φ 2 表示模型不确定性的偏好系数。我们用相对熵来描述参考测度P和备选测度Q之间的偏差，相对熵从t到 t + d t 的增量为 1 2 ω 1 2 ( t ) d t + 1 2 ω 2 2 ( t ) d t . 为了方便，我们根据参考文献Maenhout [ 11 ] 假设 φ 1 ， φ 2 是非负状态相依的，并且有下面的形式 φ i ( t ， x ， s ) = − β i γ V ( t ， x ， s ) ， i = 1 ， 2 ， (9) 其中 β i ≥ 0 ， i = 1 ， 2 是关于扩散风险的模糊厌恶系数。 根据动态规划原理，由Maenhout [ 11 ] ，鲁棒HJB方程可描述为 sup π ∈ ∏ inf Q ∈ Q 1 { Α π ， ω V + ω 1 2 2 φ 1 + ω 2 2 2 φ 2 } = 0 (10) 并且具有边界条件 V ( T ， x ， s ) = − 1 γ exp { − γ x } ， Α π ， ω 是无穷小生成元有如下形式 Α π ， ω V = V t + [ r x + ( μ − r ) π 1 + λ θ μ ( a ) + λ ( η − θ ) μ 1 − ω 1 λ σ ( a ) − σ ω 2 π 1 s β ] V x     + 1 2 ( σ 2 π 1 2 s 2 β + λ σ ( a ) 2 ) V x x + s ( μ − σ ω 2 s β ) V s + 1 2 σ 2 s 2 β + 2 V s s + σ 2 s 2 β + 1 π 1 V x s . (11) 假设 V ( t ， x ， s ) 是HJB方程(10)的一个解且满足 V x > 0 和 。根据(2)，我们猜想V有下面的形式 V ( t ， x ， s ) = − 1 γ exp { − γ [ x e r ( T − t ) + h ( t ， s ) + g ( t ) ] } . (12) 由边界条件 V ( T ， x ， s ) = − 1 γ exp { − γ x } ，我们有 和 g ( T ) = 0 。经过简单计算得到V的偏导数如下 V t = − γ [ g t + h t − r e r ( T − t ) x ] V ，     V x = − γ e r ( T − t ) V ，     V s = − γ h s V ， V x x = γ 2 e 2 r ( T − t ) V ，     V s s = − γ [ h s s − γ h s 2 ] V ，     V x s = γ 2 e r ( T − t ) h s V . (13) 将(13)代入到方程(10)中，固定点 π 1 和a，由一阶条件可求得最小值点 ( ω 1 * ， ω 2 * ) ω 1 * = β 1 λ σ ( a ) e r ( T − t ) ，       ω 2 * = β 2 σ s β ( π 1 e r ( T − t ) + s h s ) . (14) 将(14)代入到(10)且由一阶条件容易得到最大值点 π 1 ∗ π 1 ∗ = μ − r − σ 2 s 2 β + 1 h s ( γ + β 2 ) σ 2 s 2 β e r ( T − t ) ( γ + β 2 ) . (15) 类似地，我们可得到最大值点 a ( t ) 满足 [ θ γ e r ( T − t ) − ( γ 2 e 2 r ( T − t ) + γ β 1 e 2 r ( T − t ) ) a ( t ) ] λ F ¯ ( a ( t ) ) = 0. (16) 如果 a ( t ) ∈ [ 0 ， D ) ，则 0 < F ¯ ( a ( t ) ) ≤ 1 且有 a ∗ ( t ) = θ γ + β 1 e − r ( T − t ) . (17) 由假设 a ( t ) < D ，我们得到 t 0 : = T + 1 r ln ( D ( γ + β 1 ) θ ) 。下面我们在两种情形下讨论最优问题： 情形1：如果 D ( γ + β 1 ) > θ ，我们有 t 0 > T 。则对于 0 ≤ t ≤ T ， a ( t ) = a ∗ ( t ) < D 。将(14)，(15)和(17)代入(10)中可得 g t + λ ( η − θ ) μ 1 e r ( T − t ) + λ θ e r ( T − t ) ∫ 0 θ e − r ( T − t ) γ + β 1 F ¯ ( u ) d u − 1 2 ( λ γ e 2 r ( T − t ) + β 1 λ e 2 r ( T − t ) ) ∫ 0 θ e − r ( T − t ) γ + β 1 2 u F ¯ ( u ) d u = 0 ， h t + s r h s + γ 2 σ 2 s 2 β + 2 h s s + ( μ − r ) 2 2 ( γ + β 2 ) σ 2 s 2 β = 0. (18) 考虑边界条件 g ( T ) = 0 ，我们得到 g ( t ) = λ ( η − θ ) μ 1 r ( e r ( T − t ) − 1 ) + ∫ t T f ( s ) d s ， (19) 其中 f ( t ) = λ θ e r ( T − t ) ∫ 0 θ e − r ( T − t ) γ + β 1 F ¯ ( u ) d u − 1 2 ( λ γ e 2 r ( T − t ) + β 1 λ e 2 r ( T − t ) ) ∫ 0 θ e − r ( T − t ) γ + β 1 2 u F ¯ ( u ) d u . 对于式子(18)，我们猜想其中一个解有如下形式 h ( t ， s ) = A ( t ) + B ( t ) s − 2 β ， (20) 并且具有 A ( t ) = 0 ， B ( t ) = 0 。把(20)代入(18)得到 A t + γ σ 2 β ( 2 β + 1 ) B ( t ) = 0 ， B t − 2 r β B ( t ) + ( μ − r ) 2 2 ( γ + β 2 ) σ 2 = 0. (21) 考虑边界条件，可得 (22) 情形2：如果 D ( γ + β 1 ) ≤ θ ，我们有 t 0 ≤ T 。对于 0 ≤ t < t 0 ， a ( t ) = a ∗ ( t ) ，与情形1类似，有 和 (23) h 1 ( t ， s ) = ( 2 β + 1 ) ( μ − r ) 2 8 r 2 β ( γ + β 2 ) e 2 r β t C 2 − ( 2 β + 1 ) ( μ − r ) 2 4 r ( γ + β 2 ) t + C 3     + [ C 4 − C 5 ( μ − r ) 2 4 r β ( γ + β 2 ) σ 2 e − 2 r β t ] s − 2 β ， (24) 其中 C 1 ， C 2 ， C 3 ， C 4 和 C 5 会在下面给出。 对于 t 0 ≤ t < T ， a ( t ) > D 。则 a ∗ ( t ) = D 。同时， μ ( D ) = μ 1 ， σ ( D ) 2 = μ 2 2 。类似地，我们可以假设方程的解为 V ( t ， x ， s ) = − 1 γ exp { − γ [ x e r ( T − t ) + h 2 ( t ， s ) + g 2 ( t ) ] } ，     t 0 ≤ t ≤ T ， 并且具有边界条件 h 2 ( T ， s ) = 0 和 g 2 ( T ) = 0 。则我们得到 h 2 ( t ， s ) = h ( t ， s ) ， g 2 ( t ) = λ η μ 1 r ( e r ( T − t ) − 1 ) − λ μ 2 2 4 r ( γ + β 1 ) ( e 2 r ( T − t ) − 1 ) . (25) 由于 V ( t ， x ， s ) 在 t = t 0 点是连续的，则有 h 1 ( t 0 ， s ) + g 1 ( t 0 ) = h 2 ( t 0 ， s ) + g 2 ( t 0 ) ， 我们可以得到 C 1 = g 2 ( t 0 ) − λ ( η − θ ) μ 1 r e − r t 0 + ∫ 0 t 0 f ( s ) d s ， C 2 = ( 2 β + 1 ) ( μ − r ) 2 8 r 2 β ( γ + β 2 ) e − 2 r β T ，     C 3 = − ( 2 β + 1 ) ( μ − r ) 2 8 r 2 β ( γ + β 2 ) + ( 2 β + 1 ) ( μ − r ) 2 4 r ( γ + β 2 ) T ， C 4 = ( μ − r ) 2 4 r β ( γ + β 2 ) σ 2 ，     C 5 = ( μ − r ) 2 4 r β ( γ + β 2 ) σ 2 e − 2 r β T . 定理1： J ( t ， x ， s ) 是HJB方程(10)的一个解，在CEV模型下具有扩散风险的保险公司的鲁棒最优超额损失再保险和投资策略为 1) 如果 D ( γ + β 1 ) ≥ θ ， π 1 ∗ ( t ) = μ − r + 2 β σ 2 ( γ + β 2 ) B ( t ) σ 2 s 2 β e r ( T − t ) ( γ + β 2 ) ，     a ∗ ( t ) = θ γ + β 1 e − r ( T − t ) ，     0 ≤ t ≤ T ， J ( t ， x ， s ) = − 1 γ exp { − γ [ x e r ( T − t ) + h ( t ， s ) + g ( t ) ] } ，     0 ≤ t ≤ T ， (26) 其中 h ( t ， s ) ， g ( t ) 和 B ( t ) 由(20)，(19)和(22)给出。 2) 如果 D ( γ + β 1 ) < θ ， J ( t ， x ， s ) = { − 1 γ exp { − γ [ x e r ( T − t ) + h ( t ， s ) + g 1 ( t ) ] } ， t < t 0 ≤ T ， − 1 γ exp { − γ [ x e r ( T − t ) + h ( t ， s ) + g 2 ( t ) ] } ， t 0 ≤ t < T ， (27) 其中 h ( t ， s ) ， g 1 ( t ) ， g 2 ( t ) 和 B ( t ) 由(20)，(23)，(25)和(22)给出。 定理2：如果存在函数 J ( t ， x ， s ) 和控制策略 π ∗ 并且满足HJB方程(10)。则 π ∗ 是一个最优策略且 J ( t ， x ， s ) 是相对应的值函数。 证明：由于情形2的证明与情形1是类似的，在这里我们只证明情形1。根据参考文献Kraft [ 12 ] 中的推论1.2，若上面的定理成立，则需值函数 J ( t ， x ， s ) 和最优策略 π ∗ 满足下面的性质： (1) π ∗ 是可行策略； (2) E Q * [ sup t ∈ [ 0 ， T ] | J ( t ， X π * ( t ) ， S ( t ) ) | 4 ] < ∞ ； (3) E Q * [ sup t ∈ [ 0 ， T ] | ω 1 * ( t ) 2 2 φ 1 ( t ， X π * ( t ) ， S ( t ) ) + ω 2 * ( t ) 2 2 φ 2 ( t ， X π * ( t ) ， S ( t ) ) | 2 ] < ∞ 。 下面，我们分别验证性质(1)-(3)。 对于性质(1)，我们需要验证策略 π ∗ 满足定义1中的条件(1)~(3)。明显地，我们知道定义1中的条件(1)是满足的。定义1中的条件(2)和(3)能够从下面的性质(2)的证明中得到。 对于性质(2)。把 ( π * ， ω * ) 代入(7)中，得 X π * ( t ) = e r t X π * ( 0 ) + ∫ 0 t e − r ( u − t ) [ ( μ − r ) π 1 * ( u ) + λ θ μ ( a * )     + λ ( η − θ ) μ 1 − ω 1 * ( u ) λ σ ( a * ) − σ ω 2 ∗ ( u ) π 1 * ( u ) s β ( u ) ] d u     + ∫ 0 t e − r ( u − t ) λ σ ( a * ) d W 0 Q * ( u ) + ∫ 0 t e − r ( u − t ) π 1 * ( u ) σ s β ( u ) d W 1 Q * ( u ) . (28) 再把(28)代入(26)中，我们得到 | J ( t ， X π * ( t ) ， S ( t ) ) | 4 = 1 γ 4 exp { − 4 γ [ e r ( T − t ) X π * ( t ) + A ( t ) + B ( t ) s − 2 β + g ( t ) ] } ≤ N 1 exp { − 4 γ e r ( T − t ) X π * ( t ) } ≤ N 2 exp { − 4 γ ( − ∫ 0 t e − r ( u − T ) σ ω 2 * ( u ) π 1 * ( u ) s β ( u ) d u       + ∫ 0 t e − r ( u − T ) λ σ ( a * ) d W 0 Q * ( u ) + ∫ 0 t e − r ( u − T ) π 1 * ( u ) σ s β ( u ) d W 1 Q * ( u ) ) } = N 2 ( F 1 ( t ) + F 2 ( t ) ) ， (29) 其中 F 1 ( t ) = exp { − 4 γ ∫ 0 t e − r ( u − T ) λ σ ( a * ) d W 0 Q ∗ ( u ) } 和 F 2 ( t ) = exp { − 4 γ ( − ∫ 0 t e − r ( u − T ) σ ω 2 ∗ ( u ) π 1 * ( u ) s β ( u ) d u + ∫ 0 t e − r ( u − T ) π 1 * ( u ) σ s β ( u ) d W 1 Q * ( u ) ) } 。 由于 g ( t ) ， A ( t ) 和 B ( t ) 是确定的并且在 [ 0 ， T ] 上有界，所以(29)中的第一个不等式成立。第二个等式成立是由于 π 1 * ( t ) ， a * ( t ) ， ω 1 * ( t ) 和 是确定的并且在 [ 0 ， T ] 上有界。 下面我们考虑积分 和 F 2 ( t ) ， F 1 ( t ) = exp { ∫ 0 t 8 γ 2 e − 2 r ( u − T ) λ σ ( a * ) 2 d u } ⋅ exp { ∫ 0 t − 8 γ 2 e − 2 r ( u − T ) λ σ ( a * ) 2 d u     + ∫ 0 t − 4 γ e − r ( u − T ) λ σ ( a * ) d W 0 Q * ( u ) } . (30) (30)中的第一部分是一个常数，第二部分是鞅。所以 E Q * [ F 1 ( t ) ] < ∞ 。根据参考文献Zheng等 [ 10 ] 中的Lemma 3.6，我们知道 E Q * [ F 2 ( t ) ] < ∞ 。因此， E Q * [ sup t ∈ [ 0 ， T ] | J ( t ， X π * ( t ) ， S ( t ) ) | 4 ] < ∞ . (31) 对于性质(3)。把(9)代入性质(3)的式子中，得 E Q * [ sup t ∈ [ 0 ， T ] | ω 1 * ( t ) 2 2 φ 1 ( t ， X π * ( t ) ， S ( t ) ) + ω 2 * ( t ) 2 2 φ 2 ( t ， X π * ( t ) ， S ( t ) ) | 2 ] = E Q * [ sup t ∈ [ 0 ， T ] | ω 1 * ( t ) 2 γ 2 β 1 + ω 2 * ( t ) 2 γ 2 β 2 | 2 | J ( t ， X π * ( t ) ， S ( t ) ) | 2 ] ≤ ( E Q * [ sup t ∈ [ 0 ， T ] | ω 1 * ( t ) 2 γ 2 β 1 + ω 2 * ( t ) 2 γ 2 β 2 | 4 ] ) 1 / 2 ( E Q * [ sup t ∈ [ 0 ， T ] | J ( t ， X π * ( t ) ， S ( t ) ) | 4 ] ) 1 / 2 < ∞ . (32) 证毕。