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user: 3. 主要结果 定理 假设已知函数 w ( t ) ， p ( t ) ， a ( t ) ， c ( t ) ， d ( t ) ， f ( t ) 都是定义在 [ t 0 ， ∞ ) 上的非负连续函数，未知函数 u ( t ) 和 u ′ ( t ) 定义在 [ t 0 ， ∞ ) 上，且满足不等式(1)。 如果 exp ( − ln ( u ( t 0 ) + ∫ t 0 t A ( s ) d s ) − ∫ t 0 t B ( s ) d s ) − ∫ t 0 t C ( s ) d s > 0   ( t ∈ [ t 0 ， ∞ ) ) (4) 那么未知函数 u ( t ) 的估计式为： u ( t ) ≤ u ( t 0 ) + ∫ t 0 t { w ( s ) [ 1 + a ( s ) + c ( s ) ] + [ p ( s ) + a ( s ) + a ( s ) p ( s )                     + 2 c ( s ) + c ( s ) p ( s ) ] Z ( s ) } d s   ( t ∈ [ t 0 ， ∞ ) ) (5) 其中 Z ( t ) : = ( exp ( − ln ( u ( t 0 ) + ∫ t 0 t A ( s ) d s ) − ∫ t 0 t B ( s ) d s ) − ∫ t 0 t C ( s ) d s ) − 1 (6) A ( t ) : = w ( t ) [ 1 + a ( t ) + c ( t ) ] + d ( t ) w 2 ( t ) + f ( t ) (7) B ( t ) : = p ( t ) + a ( t ) + a ( t ) p ( t ) + 2 c ( t ) + c ( t ) p ( t ) + d ( t ) w ( t ) + 2 d ( t ) w ( t ) p ( t ) (8) C ( t ) : = d ( t ) p ( t ) + d ( t ) p 2 ( t ) (9) 证明：令函数 z 1 ( t ) = u ( t ) + ∫ t 0 t [ a ( τ ) ( u ( τ ) + u ′ ( τ ) ) + a ( τ ) ∫ t 0 τ [ c ( s ) ( u ( s ) + u ′ ( s ) )                     + c ( s ) ∫ t 0 s [ d ( v ) u ′ ( v ) ( u ( v ) + u ′ ( v ) ) + f ( v ) ] d v ] d s ] d τ         ( t ∈ [ t 0 ， ∞ ) ) (10) 则有 z 1 ( t 0 ) = u ( t 0 ) ， u ( t ) ≤ z 1 ( t ) ， u ′ ( t ) ≤ w ( t ) + p ( t ) z 1 ( t ) (11) 对(10)式两边求导，并将(1)式代入，则可得： z ′ 1 ( t ) = u ′ ( t ) + a ( t ) [ u ( t ) + u ′ ( t ) ] + a ( t ) ∫ t 0 t [ c ( s ) ( u ( s ) + u ′ ( s ) )     + c ( s ) ∫ t 0 s [ d ( v ) u ′ ( v ) ( u ( v ) + u ′ ( v ) ) + f ( v ) ] d v ] d s ≤ w ( t ) + p ( t ) z 1 ( t ) + a ( t ) [ z 1 ( t ) + w ( t ) + p ( t ) z 1 ( t ) ]     + a ( t ) ∫ t 0 t [ c ( s ) [ z 1 ( s ) + w ( s ) + p ( s ) z 1 ( s ) ] + c ( s ) ∫ t 0 s [ d ( v ) ( w ( v )     + p ( v ) z 1 ( v ) ) ( z 1 ( v ) + w ( v ) + p ( v ) z 1 ( v ) ) + f ( v ) ] d v ] d s = w ( t ) [ 1 + a ( t ) ] + [ p ( t ) + a ( t ) + a ( t ) p ( t ) ] z 1 ( t )     + a ( t ) ∫ t 0 t [ c ( s ) w ( s ) + [ c ( s ) ( 1 + p ( s ) ) z 1 ( s ) ]     + c ( s ) ∫ t 0 s [ d ( v ) w 2 ( v ) + [ d ( v ) w ( v ) + 2 d ( v ) w ( v ) p ( v ) ] z 1 ( v )     + [ d ( v ) p ( v ) + d ( v ) p 2 ( v ) ] z 1 2 ( v ) + f ( v ) ] d v ] d s     ( t ∈ [ t 0 ， ∞ ) ) (12) 又令 z 2 ( t ) = z 1 ( t ) + ∫ t 0 t [ c ( s ) w ( s ) + [ c ( s ) ( 1 + p ( s ) ) z 1 ( s ) ]     + c ( s ) ∫ t 0 s [ d ( v ) w 2 ( v ) + [ d ( v ) w ( v ) + 2 d ( v ) w ( v ) p ( v ) ] z 1 ( v )     + [ d ( v ) p ( v ) + d ( v ) p 2 ( v ) ] z 1 2 ( v ) + f ( v ) ] d v ] d s       ( t ∈ [ t 0 ， ∞ ) ) (13) 则有 z 2 ( t 0 ) = z 1 ( t 0 ) ， z 1 ( t ) ≤ z 2 ( t ) ， ( t ∈ [ t 0 ， ∞ ) ) (14) 根据(12)~(14)式，可得： z ′ 1 ( t ) ≤ w ( t ) [ 1 + a ( t ) ] + [ p ( t ) + a ( t ) + a ( t ) p ( t ) ] z 1 ( t ) + a ( t ) z 2 ( t ) ≤ w ( t ) [ 1 + a ( t ) ] + [ p ( t ) + a ( t ) + a ( t ) p ( t ) + a ( t ) ] z 2 ( t )     ( t ∈ [ t 0 ， ∞ ) ) (15) 又对(13)式两边求导，并将(15)式代入，可得： z ′ 2 ( t ) = z ′ 1 ( t ) + c ( t ) w ( t ) + [ c ( t ) ( 1 + p ( t ) ) z 1 ( t ) ]     + c ( t ) ∫ t 0 t [ d ( v ) w 2 ( v ) + [ d ( v ) w ( v ) + 2 d ( v ) w ( v ) p ( v ) ] z 1 ( v )     + [ d ( v ) p ( v ) + d ( v ) p 2 ( v ) ] z 1 2 ( v ) + f ( v ) ] d v ≤ w ( t ) [ 1 + a ( t ) ] + [ p ( t ) + a ( t ) + a ( t ) p ( t ) + a ( t ) ] z 2 ( t )     + c ( t ) w ( t ) + [ c ( t ) ( 1 + p ( t ) ) z 2 ( t ) ] + c ( t ) ∫ t 0 t [ d ( v ) w 2 ( v ) + [ d ( v ) w ( v ) + 2 d ( v ) w ( v ) p ( v ) ] z 2 ( v )     + [ d ( v ) p ( v ) + d ( v ) p 2 ( v ) ] z 2 2 ( v ) + f ( v ) ] d v = w ( t ) [ 1 + a ( t ) + c ( t ) ] + [ p ( t ) + a ( t ) + a ( t ) p ( t ) + c ( t ) + c ( t ) p ( t ) ] z 2 ( t )     + c ( t ) ∫ t 0 t [ d ( v ) w 2 ( v ) + [ d ( v ) w ( v ) + 2 d ( v ) w ( v ) p ( v ) ] z 2 ( v )     + [ d ( v ) p ( v ) + d ( v ) p 2 ( v ) ] z 2 2 ( v ) + f ( v ) ] d v       ( t ∈ [ t 0 ， ∞ ) ) (16) 再令 z 3 ( t ) = z 2 ( t ) + ∫ t 0 t [ d ( v ) w 2 ( v ) + [ d ( v ) w ( v ) + 2 d ( v ) w ( v ) p ( v ) ] z 2 ( v )     + [ d ( v ) p ( v ) + d ( v ) p 2 ( v ) ] z 2 2 ( v ) + f ( v ) ] d v       ( t ∈ [ t 0 ， ∞ ) ) (17) 则有 z 3 ( t 0 ) = z 2 ( t 0 ) ， z 2 ( t ) ≤ z 3 ( t ) ， ( t ∈ [ t 0 ， ∞ ) ) (18) 根据(16)~(18)式，可得： z ′ 2 ( t ) ≤ w ( t ) [ 1 + a ( t ) + c ( t ) ] + [ p ( t ) + a ( t ) + a ( t ) p ( t ) + c ( t ) + c ( t ) p ( t ) ] z 2 ( t ) + c ( t ) z 3 ( t ) ≤ w ( t ) [ 1 + a ( t ) + c ( t ) ] + [ p ( t ) + a ( t ) + a ( t ) p ( t ) + 2 c ( t ) + c ( t ) p ( t ) ] z 3 ( t )     ( t ∈ [ t 0 ， ∞ ) ) (19) 再对(17)式两边求导，并将(19)式代入，可得： z ′ 3 ( t ) = z ′ 2 ( t ) + d ( t ) w 2 ( t ) + [ d ( t ) w ( t ) + 2 d ( t ) w ( t ) p ( t ) ] z 2 ( t )     + [ d ( t ) p ( t ) + d ( t ) p 2 ( t ) ] z 2 2 ( t ) + f ( t ) ≤ w ( t ) [ 1 + a ( t ) + c ( t ) ] + [ p ( t ) + a ( t ) + a ( t ) p ( t ) + 2 c ( t )     + c ( t ) p ( t ) ] z 3 ( t ) + d ( t ) w 2 ( t ) + [ d ( t ) w ( t ) + 2 d ( t ) w ( t ) p ( t ) ] z 3 ( t )     + [ d ( t ) p ( t ) + d ( t ) p 2 ( t ) ] z 3 2 ( t ) + f ( t ) = [ w ( t ) [ 1 + a ( t ) + c ( t ) ] + d ( t ) w 2 ( t ) + f ( t ) ]     + [ p ( t ) + a ( t ) + a ( t ) p ( t ) + 2 c ( t ) + c ( t ) p ( t ) + d ( t ) w ( t )     + 2 d ( t ) w ( t ) p ( t ) ] z 3 ( t ) + [ d ( t ) p ( t ) + d ( t ) p 2 ( t ) ] z 3 2 ( t ) = A ( t ) + B ( t ) z 3 ( t ) + C ( t ) z 3 2 ( t )       ( t ∈ [ t 0 ， ∞ ) ) (20) 其中， A ( t ) ， B ( t ) ， C ( t ) 的定义为(7)~(9)式。 将(20)式中的t改写为s，然后两边关于s从 t 0 到t积分，得： z 3 ( t ) ≤ z 3 ( t 0 ) + ∫ t 0 t A ( s ) d s + ∫ t 0 t B ( s ) z 3 ( s ) d s + ∫ t 0 t C ( s ) z 3 2 ( s ) d s   ( t ∈ [ t 0 ， ∞ ) ) (21) 由于(21)式满足了引理要求的条件，根据引理可以得到(21)式中 z 3 ( t ) 的估计： z 3 ( t ) ≤ ( exp ( − ln ( z 3 ( t 0 ) + ∫ t 0 t A ( s ) d s ) − ∫ t 0 t B ( s ) d s ) − ∫ t 0 t C ( s ) d s ) − 1   ( t ∈ [ t 0 ， ∞ ) ) (22) 根据(11)、(14)、(18)式，可以知道 u ( t 0 ) = z 1 ( t 0 ) = z 2 ( t 0 ) = z 3 ( t 0 ) (23) 所以 z 3 ( t ) ≤ ( exp ( − ln ( u ( t 0 ) + ∫ t 0 t A ( s ) d s ) − ∫ t 0 t B ( s ) d s ) − ∫ t 0 t C ( s ) d s ) − 1 = Z ( t )   ( t ∈ [ t 0 ， ∞ ) ) (24) 其中 Z ( t ) 定义为(6)式。 把(24)式代入(19)式，可得： z ′ 2 ( t ) ≤ w ( t ) [ 1 + a ( t ) + c ( t ) ] + [ p ( t ) + a ( t ) + a ( t ) p ( t ) + 2 c ( t ) + c ( t ) p ( t ) ] Z ( t )   ( t ∈ [ t 0 ， ∞ ) ) (25) 对(25)式两边求积分，可得： z 2 ( t ) ≤ z 2 ( t 0 ) + ∫ t 0 t { w ( s ) [ 1 + a ( s ) + c ( s ) ] + [ p ( s ) + a ( s ) + a ( s ) p ( s )                       + 2 c ( s ) + c ( s ) p ( s ) ] Z ( s ) } d s   ( t ∈ [ t 0 ， ∞ ) ) (26) 根据(23)式知 u ( t 0 ) = z 2 ( t 0 ) ，因此得到： z 2 ( t ) ≤ u ( t 0 ) + ∫ t 0 t { w ( s ) [ 1 + a ( s ) + c ( s ) ] + [ p ( s ) + a ( s ) + a ( s ) p ( s )                     + 2 c ( s ) + c ( s ) p ( s ) ] Z ( s ) } d s   ( t ∈ [ t 0 ， ∞ ) ) 又根据(11)、(14)、(18)式，可以知道 u ( t ) ≤ z 1 ( t ) ≤ z 2 ( t ) ≤ z 3 ( t ) (27) 所以得估计式： u ( t ) ≤ u ( t 0 ) + ∫ t 0 t { w ( s ) [ 1 + a ( s ) + c ( s ) ] + [ p ( s ) + a ( s ) + a ( s ) p ( s )                   + 2 c ( s ) + c ( s ) p ( s ) ] Z ( s ) } d s   ( t ∈ [ t 0 ， ∞ ) ) 证毕。