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user: 4. 全离散混合有限体积元格式的误差估计 令 0 = t 0 < t 1 < ⋯ < t M = T 是时间区域 [ 0 ， T ] 的剖分， t n = n Δ t ，其中时间步长 Δ t = T / M ，M是某一正整数。为了构造全离散格式，对于 [ 0 ， T ] 上函数j，记 φ n = φ ( t n ) ， ∂ t φ n = ( φ n − φ n − 1 ) / Δ t 。并记 u h n 和 p h n 分别是u和p在 t = t n 处的全离散解，现在给出线性向后Euler全离散混合有限体积元格式：求 { u h n ， p h n } ∈ H 0 h × L h ， ( n = 1 ， 2 ， ⋯ ， M ) ，满足 { ( a )     ( ∂ t u h n ， γ h v h ) − ( v h x ， p h n ) = 0 ，   ∀ v h ∈ H 0 h ， ( b )     ( p h n ， q h ) − σ ( u h n ， q h ) + α ( u h x n ， q h ) + β ( ∂ t u h x n ， q h ) = δ 2 ( f ( u h n − 1 ) ， q h ) ，   ∀ q h ∈ L h ， ( c )     u h n = π h u 0 . (32) 首先给出全离散格式的解的存在唯一性证明。 定理4.1：设 u h 0 和 { u h i ， p h i } i = 1 n − 1 是已知的，则线性向后Euler混合有限体积元格式(32)存在唯一解 { u h n ， p h n } 。 证明：全离散格式(32)可以改写为，对 ∀ v h ∈ H 0 h ， ∀ q h ∈ L h ，有 Δ t ( p h n ， q h ) − Δ t σ ( u h n ， q h ) + α Δ t ( u h x n ， q h ) + β ( u h x n ， q h ) = β ( u h x n − 1 ， q h ) + δ Δ t 2 ( f ( u h n − 1 ) ， q h ) ， (33) ( u h n ， γ h v h ) − Δ t ( v h x ， p h n ) = ( u h n − 1 ， γ h v h ) . (34) 由于 { φ j } j = 1 N − 1 和 { χ A j } j = 1 N − 1 分别是有限元空间 H 0 h 和 L h 的基函数，则 u h n ∈ H O h ， p h n ∈ L h 可以表示为 u h n ( x ) = ∑ j = 1 N − 1 u h j n φ j ( x ) ，     p h n ( x ) = ∑ j = 1 N − 1 p h j n χ A j . 将上述表达式应用在(33)式和(34)式上，并取 v h = ϕ i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N − 1 ) ， v h = χ A i ( i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， N − 1 ) ，则全离散格式可以写为下述矩阵形式：求 { u ˜ h n ， p ˜ h n } ， ( n ≥ 1 ) ，使得 ( Δ t A ( β + α Δ t ) B − σ Δ t C − Δ t B T D ) ( p ˜ h n u ˜ h n ) = ( β B u ˜ h n − 1 + 0.5 δ Δ t F ( u ˜ h n − 1 ) D u ˜ h n − 1 ) ， (35) 其中 u ˜ h n = ( u h 1 n ， u h 2 n ， ⋯ ， u h N − 1 n ) T ，     P ˜ h n = ( P h 1 n ， P h 2 n ， ⋯ ， P h N − 1 n ) T ， A = ( χ A i ， χ A j ) i = 0 ， ⋯ ， N − 1 ; j = 0 ， ⋯ ， N − 1 ，     B = ( ϕ j x ， χ A i ) i = 0 ， ⋯ ， N − 1 ; j = 0 ， ⋯ ， N − 1 ， C = ( ϕ j ， χ A i ) i = 0 ， ⋯ ， N − 1 ; j = 0 ， ⋯ ， N − 1 ，     D = ( ϕ j ， γ h ϕ i ) i = 1 ， ⋯ ， N − 1 ; j = 1 ， ⋯ ， N − 1 ， F ( u ˜ h n − 1 ) = ( f ( u h n − 1 ) ， χ A i ) i = 0 ， ⋯ ， N − 1 T 注意到矩阵A和D是对称正定矩阵，则(35)可变形为 其中 H = D u ˜ h n − 1 + β B T A − 1 B u ˜ h n − 1 + δ Δ t 2 B T A − 1 F ( u ˜ h n − 1 ) 。当 Δ t 充分小的时候，系统(36)的系数矩阵是可逆的，从而有唯一解，于是全离散格式(32)有唯一解。 下面给出全离散格式(32)的误差估计。将误差写为 u ( t n ) − u h n = u ( t n ) − π h u ( t n ) + π h u ( t n ) − u h n = ξ n + η n ， p ( t n ) − p h n = p ( t n ) − R h p ( t n ) + R h p ( t n ) − p h n = ρ n + ε n . 将格式(7)与格式(32)作差，利用投影算子可得误差方程为 (37) 其中 τ n = u t n − ∂ t u n ， λ n = u x t n − ∂ t u x n 。 定理4.2：设 { u h n ， p h n } 是系统(32)的解，系统(3)的解 { u ， p } 满足正则性质： u ， u t ∈ L ∞ ( H 2 ( Ω ) ∩ H 0 1 ( Ω ) ) ，     P ∈ L ∞ ( H 1 ( Ω ) ) ，     u t t ∈ L ∞ ( H 0 1 ( Ω ) ) ， 则存在与h和 Δ t 无关的正常数C，使得 max 1 ≤ n ≤ M ( ‖ u ( t n ) − u h n ‖ 1 + ‖ u t ( t n ) − ∂ t u h n ‖ 1 + ‖ p ( t n ) − p h n ‖ ) ≤ C ( h + Δ t ) . (38) 证明：在(37)中取 v h = η n ， q h = η x n ，得到 ( ∂ t η n ， γ h η n ) − σ ( η n ， η x n ) + α ( η x n ， η x n ) + β ( ∂ t η x n ， η x n ) = − ( u t n ， ( I − γ h ) η n ) − ( τ n ， γ h η n ) − β ( λ n ， η x n ) − ( ∂ t ξ n ， γ h η n )       + σ ( ξ n ， η x n ) − δ 2 ( f ( u h n − 1 ) − f ( u n ) ， η x n ) . (39) 通过简单的计算，可知 ( ∂ t η x n ， η x n ) ≥ 1 2 Δ t [ ‖ η x n ‖ 2 − ‖ η x n − 1 ‖ 2 ] ， (40) ( ∂ t η n ， γ h η n ) ≥ 1 2 Δ t [ ( η n ， γ h η n ) − ( η n − 1 ， γ h η n − 1 ) ] . (41) 应用上述不等式及Cauchy-Schwarz不等式和Young不等式，可得 通过计算可得 ‖ f ( u h n − 1 ) − f ( u n ) ‖ 2 ≤ C ( ‖ ξ n − 1 ‖ 2 + ‖ η n − 1 ‖ 2 ) + C Δ t ∫ t n − 1 t n ‖ u t ‖ 2 d t (43) 在(42)式两端同乘 2 Δ t ，并令n由1到m求和，可得 ( η m ， γ h η m ) + ‖ η x m ‖ 2 + α Δ t ∑ n = 1 m ‖ η x n ‖ 2 ≤ C ( ‖ η 0 ‖ 1 2 + ‖ ξ 0 ‖ 2 ) + C Δ t ∑ n = 1 m ( ‖ η n ‖ 1 2 + h 2 ‖ u t n ‖ 1 2 + ‖ τ n ‖ 2 + ‖ λ n ‖ 2 + ‖ ξ n ‖ + ‖ ∂ t ξ n ‖ 2 + Δ t ∫ t n − 1 t n ‖ u t ‖ d t )     . (44) 注意到 η 0 = 0 ，选取 p h 0 满足 ξ 0 = 0 ，应用引理3.3及离散的Gronwall引理，可知 ‖ η m ‖ 1 2 ≤ C Δ t ∑ n = 1 m ( h 2 ‖ u t n ‖ 1 2 + ‖ τ n ‖ 2 + ‖ λ n ‖ 2 + ‖ ξ n ‖ + ‖ ∂ t ξ n ‖ 2 + Δ t ∫ t n − 1 t n ‖ u t ‖ d t )     . (45) 下面来估计 ‖ u t ( t n ) − ∂ t u h n ‖ 1 ，在(37)式中取 v h = ∂ t η n ， q h = ∂ t η x n ，可得 ( ∂ t η n ， γ h ∂ t η n ) − σ ( η n ， ∂ t η x n ) + α ( η x n ， ∂ t η x n ) + β ( ∂ t η x n ， ∂ t η x n ) = − ( u t n ， ( I − γ h ) ∂ t η n ) − ( τ n ， γ h ∂ t η n ) − ( ∂ t ξ n ， γ h ∂ t η n )     + σ ( ξ n ， ∂ t η x n ) − δ 2 ( f ( u h n − 1 ) − f ( u n ) ， ∂ t η x n ) − ( λ n ， ∂ t η x n ) . (46) 根据(43)式及引理3.1，可得 3 4 ‖ ∂ t η n ‖ 2 + β ‖ ∂ t η x n ‖ 2 ≤ C ( ‖ η n ‖ 1 2 + h 2 ‖ u t n ‖ 1 2 + ‖ ξ n ‖ + ‖ ∂ t ξ n ‖ 2 + ‖ τ n ‖ 2 + ‖ λ n ‖ 2   + Δ t ∫ t n − 1 t n ‖ u t ‖ 2 d t + ‖ η n − 1 ‖ 2 + ‖ ξ n − 1 ‖ 2 ) + 3 8 ‖ ∂ t η n ‖ 2 + β ‖ ∂ t η x n ‖ 2 . (47) 将式(45)代入式(47)，可得 ‖ ∂ t η n ‖ 1 2 ≤ C ( ‖ ξ n ‖ + ‖ ∂ t ξ n ‖ 2 + ‖ τ n ‖ 2 + ‖ λ n ‖ 2 + h 2 ‖ u t n ‖ 1 2 + Δ t ∫ t n − 1 t n ‖ u t ‖ 2 d t + ‖ ξ n − 1 ‖ 2 )                             + C Δ t ∑ k = 1 n ( ‖ ξ k ‖ + ‖ ∂ t ξ k ‖ 2 + ‖ τ k ‖ 2 + ‖ λ k ‖ 2 + h 2 ‖ u t k ‖ 1 2 + Δ t ∫ t k − 1 t k ‖ u t ‖ 2 d t )     . (48) 下面估计 ‖ p n − p h n ‖ 。在(37)式中取 q h = ε n ，利用引理3.1，可得 把(45)式和(48)式代入(49)式中，有 ‖ ε n ‖ 2 ≤ C ( ‖ ξ n ‖ 2 + ‖ ∂ t ξ n ‖ 2 + ‖ τ n ‖ 2 + ‖ λ n ‖ 2 + h 2 ‖ u t n ‖ 1 2 + Δ t ∫ t n − 1 t n ‖ u t ‖ 2 d t + ‖ ξ n − 1 ‖ 2 )                     + C Δ t ∑ k = 1 n ( ‖ ξ k ‖ 2 + ‖ ∂ t ξ k ‖ 2 + ‖ τ k ‖ 2 + ‖ λ k ‖ 2 + h 2 ‖ u t k ‖ 1 2 + Δ t ∫ t k − 1 t k ‖ u t ‖ 2 d t )     . (50) 为了(45)式和(50)式的右端项，利用Taylor展开的积分余项公式，可以得到 ‖ ∂ t ξ n ‖ 2 ≤ C Δ t ∫ t n − 1 t n ‖ ξ t ‖ 2 d s ，   n ≥ 1 ， ‖ τ n ‖ 2 ≤ C Δ t ∫ t n − 1 t n ‖ u x t t ‖ 2 d s ，   ‖ λ n ‖ 2 ≤ C Δ t ∫ t n − 1 t n ‖ u x t t ‖ 2 d s ，   n ≥ 1. 最后使用上述不等式以及三角不等式完成定理的证明.