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user: 5. 基于算法的修正补偿 5.1. 算法修正补偿原理 由于模拟加工仅考虑理想情况下的静态去除函数与被加工元件原始面形之间的卷积运算 [ 4 ] 。传统的CCOS抛光面形修正算法设计中，假定去除函数在整个抛光过程中不发生改变。 假设τ(x， y)为工具的驻留时间函数，它表示磨头在点s(x， y)处的驻留时间。工具在工件表面以不同的速度移动时，工件表面材料去除量的分布函数e(x， y)与τ(x， y)，r(x， y)的关系如下：在轨迹path上s(x， y)点处的去除量e(x， y)。对于去除函数来说r(x， y)会因为移动而产生坐标系的变化，因此需要在每一个去除函数r(ξ，η)通过轨迹上所有点各自分别停留τ(x， y)时间对s(x， y)的去除量e(s i ， x， y)之和如式(6)： { e ( x ， y ) = ∑ i = 1 n e ( s i ， x ， y ) e ( s i ， x ， y ) = r ( ξ ， η ) Δ ξ Δ η τ ( x − ξ ， y − η ) (6) 由式(6)可写成积分形式为： e ( x ， y ) = ∬ p a t h r ( ξ ， η ) τ ( x − ξ ， y − η ) d ξ d η = r ( x ， y ) ⊗ τ ( x ， y ) (7) 由式(7)采用傅里叶变换及逆变换可得式(8)，即为常见的静态模型求解驻留时间的方程式： τ ( x ， y ) = F − 1 [ E f ( ω x ， ω y ) / R f ( ω x ， ω y ) ] (8) 式中： E f ( ω x ， ω y )   ——e(x，y)傅里叶变换函数； R f ( ω x ， ω y ) ——r(x，y)傅里叶变换函数。 去除函数是一直都在发生变化，由此导致仿真加工面形与实际加工面形存在差异，面形收敛缓慢甚至出现反复。式(8)为常见的基于“线性移不变系统”求解驻留时间的方程式，传统静态算法模型，采用的“线性不变系统”假设与实际加工过程的非线性变化系统不相符。本课题需要讨论的是去除函数r(x， y)在加工过程中是一个不断变换的变量，因此，采用直接采用式(8)来设计算法求解驻留时间矩阵显然不合适，需要在此基础上，根据去除函数的动态特性进行性修正，使得模拟加工过程更能够反映真实情况。 通过参数补偿可以在一定程度上补偿的去除速率的变化，但是在补偿后依然存在无法反应去除函数变化不均等的问题。为弥补每一点分布磨损量不同的问题，可以设计动态补偿算法，在加工仿真过程中进行充分考虑，从而提高仿真的符合度，以及实际加工的确定性。 5.2. 基于时间轴磨损补偿算法 图4. 基于时间轴的去除斑制作 工程实际过程不能采集或存储到每一个时刻的实际去除函数信息，需要基于一定精度的离散数据进行拟合来获得任意时刻的去除信息。以小工具数控抛光磨损曲线采集为例，按照稳定性控制措施行严格控制的条件下，在Φ320 mm ´ 40 mm熔石英元件上不同位置(分为A、B、C三个区域共19个点，如图4(a)，分别定点抛光4 min，共76 min，基本涵盖了一般情况下单次修磨抛光模以及更换抛光粉的时间范围。在抛光模以及抛光液使用不同时间状态下获得各个时间节点的去除函数，如图4(b)，模拟了抛光过程去除函数随时间的变化。以去除函数的体积去除速率作为考察对象，计算出图4(a)中每一位置去除函数的体积去除速率，并绘制出其变化曲线，可以获得去除函数的体去除速率在时间轴上的变化趋势如图5所示。 图5. 小工具数控去除函数体积去除速率磨损曲线 此外，还可以获得去除函数所对应每一个位置的动态去除速率与起始去除速率相比的去除变化率曲线，即 f ( x ， y ， t )         t ∈ [ 0 ， T ] ，其中T为单次抛光时间。由于采集时间轴上的去除函数不可能是连续的点，一 般都是离散的数据点。因此，可以通过拟合的方式获得任意一时间点上的去除信息。可以采用NURBS样条拟合的方式获得一条光顺的去除速率变化曲线。 f ( x ， y ， t ) = N U R B S ( R ( x ， y ， t 1 ) ， R ( x ， y ， t 2 ) ， ⋯ ， R ( x ， y ， t n ) ， t ) R ( x ， y ， t 1 ) (9) 其中，在任意离散点t i 时刻的去除函数 R ( x ， y ， t i ) ，可以通过多次(可令为：m次)实验取平均的方式进行优化获得如式(10)。 R ( x ， y ， t i ) = 1 m ∑ j = 1 j = m R j ( x ， y ， t i ) (10) 获得基于第一个去除函数的去除速率变化曲线函数 f ( x ， y ， t ) 后，就可以将第一个去除函数作为输入参数，建立任意时间点上的去除函数 R ( x ， y ， t ) [ 6 ] ，其表达式为： R ( x ， y ， t ) = f ( x ， y ， t ) × R ( x ， y ， t 1 ) (11) 式(11)即为所需要建立的补偿算法模型。由于加工某一点是在去除函数有效范围内所有驻留点叠加的一种综合效果，假定在所有能够加工到该点范围内的时间是比较短，可忽略该段时间内去除函数所产生的变化。由于上文所建立的补偿模型主要是时间相关模型，因此可以将驻留时间τ(x， y)做一定的修改变为τ(x，y，t)。 τ ( x ， y ， t ) = F − 1 [ E f ( ω x ， ω y ) R f ( ω x ， ω y ， t ) ] = F − 1 [ E f ( ω x ， ω y ) f f ( ω x ， ω y ， t ) × R f ( ω x ， ω y ， t 1 ) ] (12) 式(12)即为基于补偿模型修正过的驻留时间求解方程式，任意一点被加工时抛光模已经工作时间为t。算法具体实现过程如下： 1) 输入材料离散的去除函数矩阵 R ( t 1 ， t 2 ， ⋯ ， t n ) ，并拟合得到连续的动态去除函数 R ( x ， y ， t ) ； 2) 输入原始误差矩阵 E 0 ( x ， y ) ，计算材料去除量矩阵 E ( x ， y ) ； 3) 设定初始值i = 1，共均匀分布M × N个驻留时间点； 4)采用式(10)计算第i个驻留点 p ( x i ， y i ， t i ) 处的驻留时间 τ ( x i ， y i ， t i ) ，此时刻为t i ， t i = ∑ k = 1 i − 1 t k + τ ( x i ， y i ， t i ) ， 5) 判断i值，若 i ≥ M × N ，则转入第(f)步，否则 i = i + 1 转入第(d)不继续计算； 6) 计算残余误差矩阵 E r ( x ， y ) = E ( x ， y ) − [ R ( x ， y ， t ) × η v ( x ， y ) ] ⊗ τ ( x ， y ， t ) ，其中 η v ( x ， y ) 为动态运动去除函数补偿因子，即动态去除与定点抛光的去除速率差异因子 η v ( x ， y ) = R v ( x 2 + y 2 ) / R s ( x 2 + y 2 ) ，速度为 l • / τ ( x ， y ， t ) ，其中 l • 为单位间隔进给向量； 7) 计算剩余误差矩阵即： E s ( x ， y ) = E 0 ( x ， y ) − E r ( x ， y ) ，此误差矩阵即为模拟加工残余误差矩阵结果。 5.3. 修正算法模拟结果分析 根据工艺软件对去除函数进行基于算法的修正补偿模拟加工如图6所示，实际加工得出的面形如图7所示，从图中可以得出结论：工艺软件中对去除函数进行基于算法的修正补偿模拟加工与实际加工元件的面形分布趋势一致，预期面形与实际加工面形结果基本吻合，充分证明该补偿算法用于控制光学表面加工的准确性、有效性。 图6. 工艺软件模拟加工结果图 图7. 实际加工后面形形貌分布