system: [SYSTEM]

user: 2. 差分格式 2.1. 记号 为了用差分方法求解问题(1a)~(1c)，我们对 Ω = { ( x ， t ) | b 1 ≤ x ≤ b 2 ， − s ≤ t ≤ T } 做剖分。将空间区间 [ b 1 ， b 2 ] 剖分m等份(m为整数)，记空间步长 h x ( h x = ( b 2 − b 1 ) / m )。在时间方向上，采用限制性网格时间步长 h t ( h t = s / n 1 = T / n )， n 1 ， n 均为整数，记 x i = b 1 + i h x ， t k = k h t ， 0 ≤ i ≤ m ， − n 1 ≤ k ≤ n ， i ， k 均为整数。在结点 ( x i ， t k ) 处的精确解和数值解分别记为 U i k ， u i k 。记网格剖分区域 Ω h = { ( x i ， t k ) | 0 ≤ i ≤ m ， − n 1 ≤ k ≤ n } ，定义网格函数空间 u h = { u | u = { u i | 0 ≤ i ≤ m } ， u 0 = u m = 0 } ，对任意 u k ∈ u h ，引用差分算子，内积和范数如下 δ t 2 u i k = 1 h t 2 ( u i k + 1 − 2 u i k + u i k − 1 ) ， δ t ^ u i k = 1 2 h t ( u i k + 1 − u i k − 1 ) ， δ t u i k − 1 2 = 1 h t ( u i k − u i k − 1 ) ， δ x 2 u i k = 1 h x 2 ( u i + 1 k − 2 u i k + u i − 1 k ) ， ( u ， v ) = h x ∑ i = 1 m − 1 u i v i ， ( u ， v ) 1 = h x ∑ i = 1 m − 1 ( δ x u i − 1 2 ) ( δ x v i − 1 2 ) ， ‖ u ‖ = ( u ， u ) ， | u | 1 = ( u ， u ) 1 ， | u | 1 = ( u ， u ) 1 . 2.2. 两类差分格式的建立 由泰勒展式可知 u t t ( x i ， t k ) = δ t 2 U i k − h t 2 12 ∂ 4 u ( x i ， η i k ) ∂ t 4 ， u x x ( x i ， t k ) = δ x 2 U i k − h x 2 12 ∂ 4 u ( ξ i k ， t k ) ∂ x 4 . 从而，在结点 ( x i ， t k ) 处用差分算子 δ t 2 U i k ， δ x 2 U i k 离散 u t t ( x i ， t k ) ， u x x ( x i ， t k ) 可得 δ t 2 U i k − a 2 δ x 2 U i k = f ( U i k ， U i k − n 1 ， x i ， t k ) + ( R 1 ) i k ， 0 < i ≤ m ， 0 < k ≤ n ， (2) 其中， ( R 1 ) i k = ( h t 2 ∂ 4 u ( x i ， η i k ) ∂ t 4 − a 2 h x 2 ∂ 4 u ( ξ i k ， t k ) ∂ x 4 ) / 12 ， 0 < i ≤ m ， 0 < k ≤ n . (3) 用 u i k 代替 U i k ，略去小量项 ( R 1 ) i k ，得到第一个差分格式 δ t 2 u i k − a 2 δ x 2 u i k = f ( u i k ， u i k − n 1 ， x i ， t k ) ， 0 < i ≤ m ， 0 < k ≤ n ， (4a) u i k = ϕ ( x i ， t k ) ， 0 < i ≤ m ， − n 1 ≤ k ≤ 0 ， (4b) u 0 k = φ ( t k ) ， u 0 k = ψ ( t k ) ， 0 ≤ k ≤ n . (4c) 记网格步长比 r = ( | a | h t ) / h x ，对差分算子 δ x 2 U i k 做如下处理 δ x 2 U i k = 1 h x 2 ( U i + 1 k − 2 U i k + U i − 1 k ) = 1 h x 2 [ U i + 1 k − 2 ( U i k + 1 + U i k − 1 2 − h t 2 2 ∂ 2 u ( x i ， ς i k ) ∂ t 2 ) + U i − 1 k ] = 1 h x 2 ( U i + 1 k + U i − 1 k ) − 2 h x 2 U i k − 1 h x 2 ( U i k + 1 + U i k − 1 ) + 2 h x 2 U i k + h t 2 h x 2 ∂ 2 u ( x i ， ς i k ) ∂ t 2 = δ x 2 U i k − h t 2 h x 2 δ t 2 U i k + h t 2 h x 2 ∂ 2 u ( x i ， ς i k ) ∂ t 2 . (5) 将(5)式代入(2)式中得 ( 1 + r 2 ) δ t 2 U i k − δ x 2 U i k = f ( U i k ， U i k − n 1 ， x i ， t k ) + ( R 2 ) i k ， 0 < i ≤ m ， 0 < k ≤ n ， (6) 其中 ( R 2 ) i k = ( R 1 ) i k + r 2 ∂ 2 u ( x i ， ς i k ) ∂ t 2 ， 0 < i ≤ m ， 0 < k ≤ n . (7) 舍去(6)式的 ( R 2 ) i k 项，用 u i k 代替 U i k ，便得到了第二个差分格式 ( 1 + r 2 ) δ t 2 u i k − a 2 δ x 2 u i k = f ( u i k ， u i k − n 1 ， x i ， t k ) ， 0 < i ≤ m ， 0 < k ≤ n ， (8a) u i k = ϕ ( x i ， t k ) ， 0 < i ≤ m ， − n 1 ≤ k ≤ 0 ， (8b) u 0 k = φ ( t k ) ， u 0 k = ψ ( t k ) ， 0 ≤ k ≤ n . (8c) 2.3. 差分格式的收敛性分析 为研究上述两个差分格式的收敛性，我们现引入两个引理。 引理2.1 [ 7 ] 设 v ∈ u h ，则有下列不等式成立 ( − δ x 2 v ， v ) = ‖ δ x v ‖ 2 ， ‖ v ‖ ∞ ≤ b 2 − b 1 2 | v | 1 ， ‖ v ‖ ≤ b 2 − b 1 6 | v | 1 ， h x ‖ δ x v ‖ 2 ≤ 4 ‖ v ‖ 2 . 引理2.2 [ 8 ] 设A和B是非负常数， { F k | k ≥ 0 } 是非负序列且满足 F k + 1 ≤ A + B h t ∑ k = 0 K F k ， 则 max 0 ≤ k ≤ K + 1 F k ≤ A exp ( B ( K + 1 ) h t ) 此外，若 F k + 1 ≤ A + B h t ∑ k = 0 K + 1 F k ，则 max 0 ≤ k ≤ K + 1 F k ≤ A exp ( 2 B ( K + 1 ) h t ) 。其中 h t 足够小，使得 B h t ≤ 1 / 2 。 另外，存在常数 c 1 ， c 2 ，使得 | ( R 1 ) i k | ≤ c 1 ( h t 2 + h x 2 ) ， 0 ≤ i ≤ m ， − n 1 ≤ k ≤ n ， (9) | ( R 2 ) i k | ≤ c 2 ( h t 2 + h x 2 + h t 2 h x 2 ) ， 0 ≤ i ≤ m ， − n 1 ≤ k ≤ n ， (10) 成立。 假设 f ( u ， v ， x ， t ) 满足局部Lipschitz条件。设u，v为问题方程(1a)~(1c)的真解，且存在正常数 c 3 ， ε 0 ，当 | ε i | < ε 0 ，( i = 1 ， 2 )，函数 f ( u ， v ， x ， t ) 满足如下等式 | f ( u + ε 1 ， v + ε 2 ， x ， t ) − f ( u ， v ， x ， t ) | ≤ c 3 ( | ε 1 | + | ε 2 | ) (11) 成立，其中 c 3 为Lipschitz常数。 定理2.1 设问题(1a)~(1c)在节点 ( x i ， t k ) 的精确解为 U i k ， u i k 为差分格式 (4a)~(4c)的解。记 U i k − u i k = e i k 。当 r < 1 时且步长满足以下条件 h t ≤ ε 0 c 4 ( b 2 − b 1 ) ， h x ≤ ε 0 c 4 ( b 2 − b 1 ) ， 则有，当 [ 8 + 4 c 3 2 ( b 2 − b 1 ) 2 3 ( 1 − r 2 ) 2 a 2 ] h t ≤ 1 时，下列估计 | e k | 1 2 ≤ c 4 ( h t 2 + h x 2 ) 2 ， − n 1 ≤ k ≤ n ， (12a) ‖ e k ‖ ∞ ≤ ( b 2 − b 1 ) c 4 2 ( h t 2 + h x 2 ) ， − n 1 ≤ k ≤ n ， (12b) 成立。此处 c 4 = ( b 2 − b 1 ) c 1 2 T a 2 ( 1 − r 2 ) 2 exp { [ 8 + 4 3 ( c 3 ( b 2 − b 1 ) a ( 1 − r 2 ) ) 2 ] T } 。 证明 将方程(2)式与(4a)式相减，得到误差方程 δ t 2 e i k − a 2 δ x 2 e i k = f ( U i k ， U i k − n 1 ， x i ， t k ) − f ( u i k ， u i k − n 1 ， x i ， t k ) + ( R 1 ) i k ， 1 ≤ i ≤ m ， 1 ≤ k ≤ n − 1 ， (13a) e i k = 0 ， 0 ≤ i ≤ m ， − n 1 ≤ k ≤ 0 ， (13b) e i k = 0 ， i = 0 或 i = m ， 0 ≤ k ≤ n . (13c) 当 − n 1 ≤ k ≤ 0 时， e i k = 0 ，显然(12a)式与(12b)式成立。 假设当 k = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， l 时，(12a)式成立，则当步长满足 h x ， h t ≤ ε 0 / c 4 ( b 2 − b 1 ) 时，应用引理2.1可知 ‖ e k ‖ ∞ ≤ b 2 − b 1 2 | e k | 1 ≤ ε 0 ， 1 ≤ k ≤ l . 记 f ( U i k ， U i k − n 1 ， x i ， t k ) 为 f ( U i k ) ， f ( u i k ， u i k − n 1 ， x i ， t k ) 为 f ( u i k ) 。运用不等式 ( a + b ) 2 ≤ 2 ( a 2 + b 2 ) 和(11) 式可得 ‖ f ( U k ) − f ( u k ) ‖ 2 ≤ 2 c 3 2 ( ‖ e i k ‖ 2 + ‖ e i k − n 1 ‖ 2 ) ， 1 ≤ k ≤ l . (14) 记 H k = ‖ δ t e k + 1 2 ‖ 2 + a 2 ( δ x e i + 1 2 k ， δ x e i + 1 2 k + 1 ) 。当 r < 1 时，对(13a)式两端同时与 2 δ t ^ e k 做內积，运用引理2.1得 1 h t ( H k − H k − 1 ) = ( [ f ( U k ) − f ( u k ) ] ， 2 δ t ^ e k ) + ( ( R 1 ) i k ， 2 δ t ^ e k ) . (15) 运用等式 a b = 1 4 [ ( a + b ) 2 − ( a − b ) 2 ] 和引理2.1，可得 H k = ‖ δ t e k + 1 2 ‖ 2 + a 2 | e k + 1 2 | 1 2 − [ a 2 | e k + 1 2 | 1 2 − a 2 ( δ x e i + 1 2 k ， δ x e i + 1 2 k + 1 ) ] = ‖ δ t e k + 1 2 ‖ 2 + a 2 | e k + 1 2 | 1 2 − ( a 2 | e k + 1 − e k | 1 2 ) / 4 = ( 1 − r 2 ) ‖ δ t e k + 1 2 ‖ 2 + a 2 | e k + 1 2 | 1 2 + r 2 ‖ δ t e k + 1 2 ‖ 2 − a 2 | e k + 1 − e k | 1 2 / 4 ≥ ( 1 − r 2 ) ‖ δ t e k + 1 2 ‖ 2 + a 2 | e k + 1 2 | 1 2 . (16) 由(16)式可得 ‖ δ t e k + 1 2 ‖ 2 ≤ 1 1 − r 2 H k ， | e k + 1 2 | 1 2 ≤ 1 a 2 H k . (17) 由不等式 a b ≤ ε 2 a 2 + 1 2 ε b 2 和不等式 ( a + b ) 2 ≤ 2 a 2 + 2 b 2 可得 ( [ f ( U k ) − f ( u k ) ] ， 2 δ t ^ e k ) ≤ c 3 2 1 − r 2 ( ‖ e k ‖ 2 + ‖ e k − n 1 ‖ 2 ) + ( 1 − r 2 ) ( ‖ δ t e k + 1 2 ‖ 2 + ‖ δ t e k − 1 2 ‖ 2 ) ≤ c 3 2 1 − r 2 ( ‖ e k ‖ 2 + ‖ e k − n 1 ‖ 2 ) + ( H k + H k − 1 ) . (18) ( ( R 1 ) k ， 2 δ t ^ e k ) ≤ ( m − 1 ) h x c 1 2 2 ( 1 − r 2 ) ( h x 2 + h t 2 ) 2 + ( 1 − r 2 ) ( ‖ δ t e i k + 1 2 ‖ 2 + ‖ δ t e i k − 1 2 ‖ 2 ) ≤ ( b 2 − b 1 ) c 1 2 2 ( 1 − r 2 ) ( h x 2 + h t 2 ) 2 + ( H k + H k − 1 ) . (19) 另外，由 e i k + 1 = ( e i k + 1 + e i k + e i k + 1 − e i k ) / 2 = e i k + 1 2 + h t δ t e i k + 1 2 / 2 有 δ x e i + 1 2 k + 1 = δ x e i + 1 2 k + 1 2 + h t 2 δ x δ t e i + 1 2 k + 1 2 = δ x e i + 1 2 k + 1 2 + r 2 a ( δ t e i + 1 k + 1 2 − δ t e i k + 1 2 ) ， 0 ≤ i ≤ m − 1 . (20) 将上式两端平方后，运用均值不等式 ( a + b ) 2 ≤ 2 ( a 2 + b 2 ) 得 ( δ x e i + 1 2 k + 1 ) 2 ≤ 2 ( δ x e i + 1 2 k + 1 2 ) 2 + r 2 2 a 2 ( δ t e i + 1 k + 1 2 − δ t e i k + 1 2 ) 2 ≤ 2 ( δ x e i + 1 2 k + 1 2 ) 2 + r 2 a 2 [ ( δ t e i + 1 k + 1 2 ) 2 + ( δ t e i k + 1 2 ) 2 ] ， 0 ≤ i ≤ m − 1 . (21) 在(21)式两端乘以 a 2 h x 并对i求和，结合(17)式可得 a 2 | e k + 1 | 1 2 ≤ 2 H k + 2 r 2 1 − r 2 H k = 2 1 − r 2 H k ， 1 ≤ k ≤ l . (22) 将估计项(18)~(19)代入式子(15)后，运用(22)式和引理2.1得 1 h t ( H k − H k − 1 ) ≤ 2 ( H k + H k − 1 ) + ( b 2 − b 1 ) c 1 2 2 ( 1 − r 2 ) ( h x 2 + h t 2 ) 2 + c 3 2 1 − r 2 ( ‖ e k ‖ 2 + ‖ e k − n 1 ‖ 2 ) ≤ 2 ( H k + H k − 1 ) + ( b 2 − b 1 ) c 1 2 2 ( 1 − r 2 ) ( h x 2 + h t 2 ) 2 + [ ( b 2 − b 1 ) c 3 ] 2 6 ( 1 − r 2 ) ( | e k | 1 2 + | e k − n 1 | 1 2 ) ≤ 2 ( H k + H k − 1 ) + ( b 2 − b 1 ) c 1 2 2 ( 1 − r 2 ) ( h x 2 + h t 2 ) 2 + ( ( b 2 − b 1 ) c 3 ) 2 6 [ ( 1 − r 2 ) a ] 2 ( H k − 1 + H k − n 1 − 1 ) . (23) 将上式中的k用p替换，两端同时乘以 h t ，并对p从−1到k求和可得 H k ≤ h t { 4 + 2 [ c 3 ( b 2 − b 1 ) ] 2 3 [ ( 1 − r 2 ) a ] 2 } ∑ p = 0 k H p + ( b 2 − b 1 ) c 1 2 T 2 ( 1 − r 2 ) ( h x 2 + h t 2 ) 2 . (24) 当 { 8 + 4 [ c 3 ( b 2 − b 1 ) ] 2 3 [ ( 1 − r 2 ) a ] 2 } h t ≤ 1 时，在(24)式中运用引理2.2可推得 H k ≤ a 2 ( 1 − r 2 ) c 4 2 ( h t 2 + h x 2 ) ， 0 ≤ k ≤ l . (25) 在(25)式中令 k = l ，运用(22)式和引理2.1，可得 | e l + 1 | 1 2 ≤ 2 a 2 ( 1 − r 2 ) H l ≤ c 4 ( h t 2 + h x 2 ) 2 ， ‖ e l + 1 ‖ ∞ ≤ b 2 − b 1 2 | e l + 1 | 1 ≤ ( b 2 − b 1 ) c 4 2 ( h t 2 + h x 2 ) . 故当 k = l + 1 时假设依然成立。由数学归纳法可知定理成立。 定理2.2 设问题(1a)~(1c)在节点 ( x i ， t k ) 的精确解为 U i k ，原问题格式(8a)~(8c)的数值解为 u i k 。记 U i k − u i k = e i k 。当步长满足 h x ≤ 2 ε 0 3 c 5 ( b 2 − b 1 ) ， h t ≤ 2 ε 0 3 c 5 ( b 2 − b 1 ) ， h t h x ≤ 2 ε 0 3 c 5 ( b 2 − b 1 ) ， (26) 时，则在 [ 8 + 2 ( b 2 − b 1 ) 2 ( 1 + r 2 ) 3 a 2 ] h t ≤ 1 的条件下，有 | e k | 1 2 ≤ c 5 ( h t 2 + h x 2 + h t 2 h x 2 ) 2 ， − n 1 ≤ k ≤ n ， (27a) ‖ e k ‖ ∞ ≤ b 2 − b 1 2 | e k | 1 ≤ c 5 ( b 2 − b 1 ) 2 ( h t 2 + h x 2 + h t 2 h x 2 ) ， − n 1 ≤ k ≤ n ， (27b) 成立，其中 c 5 = ( b 2 − b 1 ) c 2 2 ( 1 + r 2 ) a 2 exp { [ 8 ( 1 + 2 ( b 2 − b 1 ) 2 ( 1 + r 2 ) 3 a 2 ) ] T } 。 证明 将方程(6)式与(8a)式相减，得到误差方程组 ( 1 + r 2 ) δ t 2 e i k − δ x 2 e i k = f ( U i k ) − f ( u i k ) + ( R 2 ) i k ， 0 < i ≤ m ， 0 < k ≤ n (28a) e i k = 0 ， 0 ≤ i ≤ m ， − n 1 ≤ k ≤ 0 ， (28b) e i k = 0 ， 或 i = m ， 0 ≤ k ≤ n . (28c) 当 − n 1 ≤ k ≤ 0 时， e i k = 0 ，显然(27a)式与(27b)式成立。 假设当 k = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， l 时，(27a)式成立，则当步长满足(26)时，应用引理2.1可知 ‖ e k ‖ ∞ ≤ b 2 − b 1 2 | e k | 1 ≤ ε 0 ， 1 ≤ k ≤ l . 从而，运用(11)式可得 ‖ f ( U k ) − f ( u k ) ‖ 2 ≤ 2 c 3 2 ( ‖ e i k ‖ 2 + ‖ e i k − n 1 ‖ 2 ) ， 1 ≤ k ≤ l .(29) 记 G k = ( 1 + r 2 ) ‖ δ t e k + 1 2 ‖ 2 + a 2 ( δ x e i + 1 2 k ， δ x e i + 1 2 k + 1 ) ，对(28a)式两端与 2 δ t ^ e k 做內积，运用离散的格林公式得 1 h t ( G k − G k − 1 ) = ( [ f ( U k ) − f ( u k ) ] ， 2 δ t ^ e k ) + ( ( R 2 ) k ， 2 δ t ^ e k ) . (30) 借用(16)式的处理技巧，不难得到 G k ≥ ‖ δ t e k + 1 2 ‖ 2 + a 2 | e k + 1 2 | 1 2 . (31) 由(31)式可得 ‖ δ t e k + 1 2 ‖ 2 ≤ G k ， | e k + 1 2 | 1 2 ≤ 1 a 2 G k . (32) 应用不等式 2 a b ≤ a 2 + b 2 和不等式 ( a + b ) 2 ≤ 2 a 2 + 2 b 2 可得 ( [ f ( U k ) − f ( u k ) ] ， 2 δ t ^ e k ) ≤ c 3 2 ( ‖ e k ‖ 2 + ‖ e k − n 1 ‖ 2 ) + ( G k + G k − 1 ) (33) ( ( R 2 ) k ， 2 δ t ^ u k ) ≤ 1 2 c 2 2 ( b 2 − b 1 ) ( h x 2 + h t 2 + ( h t h x ) 2 ) 2 + ( G k + G k − 1 ) . (34) 运用与(22)式相同的分析方法可得 a 2 | e k + 1 | 1 2 ≤ 2 G k + 2 r 2 G k = ( 2 + 2 r 2 ) G k ， 1 ≤ k ≤ l . (35) 将估计项(33)~(35)代入式子(30)中，运用(35)式和引理2.1得 1 h t ( G k − G k − 1 ) ≤ 2 ( G k + G k − 1 ) + 1 2 c 2 2 ( b 2 − b 1 ) ( h x 2 + h t 2 + ( h t h x ) 2 ) 2 + c 3 2 ( ‖ e k ‖ 2 + ‖ e k − n 1 ‖ 2 ) ≤ 2 ( G k + G k − 1 ) + 1 2 c 2 2 ( b 2 − b 1 ) ( h x 2 + h t 2 + ( h t h x ) 2 ) 2 + ( b 2 − b 1 ) 2 6 c 3 2 ( | e k | 1 2 + | e k − n 1 | 1 2 ) ≤ 2 ( G k + G k − 1 ) + 1 2 c 2 2 ( b 2 − b 1 ) ( h x 2 + h t 2 + ( h t h x ) 2 ) 2 + ( b 2 − b 1 ) 2 ( 1 + r 2 ) 3 a 2 c 3 2 ( G k − 1 + G k − n 1 − 1 ) . (36) 将上式中的k用p替换，两端同时乘以 h t ，并对p从0到k求和可得 G k ≤ h t { 4 + ( 1 + r 2 ) ( b 2 − b 1 ) 2 3 a 2 } ∑ p = 0 k G p + ( b 2 − b 1 ) c 2 2 2 [ h x 2 + h t 2 + ( h t h x ) 2 ] 2 . (37) 当 ( 8 + 2 ( 1 + r 2 ) ( b 2 − b 1 ) 2 3 a 2 ) h t < 1 时，在(37)式运用引理2.2，我们有 G k ≤ ( b 2 − b 1 ) c 2 2 2 exp { [ 8 + 2 ( 1 + r 2 ) ( b 2 − b 1 ) 2 3 a 2 ] T } [ h x 2 + h t 2 + ( h t h x ) 2 ] 2 ， 0 ≤ k ≤ l . (38) 在(38)式中令 k = l 时，应用(34)式有 | e l + 1 | 1 2 ≤ 2 ( 1 + r 2 ) a 2 G l ≤ c 5 ( h x 2 + h t 2 + ( h t h x ) 2 ) 2 ， ‖ e l + 1 ‖ ∞ ≤ b 2 − b 1 2 | e l + 1 | 1 ≤ ( b 2 − b 1 ) c 5 2 ( h x 2 + h t 2 + ( h t h x ) 2 ) . 从而，当 k = l + 1 时假设依然成立。由数学归纳法知定理2.2成立。