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user: 3. 系统平衡点，稳定性及分支的讨论 引理 对常系数线性差分方程组 x ( k + 1 ) = A x ( k ) ， k ≥ k 0 ， A ( k ) = ( a i j ) n × n . 1) 若矩阵A所有特征根的模都不大于1，且模等于1的模是单重根，则线性差分方程组的零解是稳定的； 2) 若矩阵A所有特征根的模小于1，则线性差分方程组的零解是渐进稳定的； 3) 若矩阵A有模大于1的特征根，则线性差分方程组的零解是不稳定的。 定理1 假设函数 φ 满足 φ ( 0 ) = 0 ，且 φ ′ ( 0 ) ∈ ( 0 ， 1 ] 。令 m e q = tanh { − β γ C 2 ( 1 − μ ) } ，且 U 1 e q = u 1 e q = − γ C 1 − μ ，则 E 0 = ( 0 ， 0 ， 0 ， U 1 e q ， 0 ， u 1 e q ， 0 ， m e q ) 为系统(3)的基本平衡解。 3.1. 基本面分析者主导市场时模型分析 当 k = 0.5 ，即图表分析者中顺风者与逆风者占比相同时，模型退化为 x t = 1 + m t 2 R λ 1 x t − 1 . (5) 此时，顺风者与逆风者在图表分析者中的占比相同，导致图表分析者在市场中的影响变弱，市场由基本面分析者主导。 这里要么 x e q = 0 ，要么 m * = 2 R λ 1 − 1 ，进一步得到基本平衡点，此时价格等于基本价值，且市场分数 差为： m e q = tanh { β 2 [ μ ( U 1 e q − U 2 e q ) − γ C ] } . 由(4)中的第四个式子可以得到 U 1 e q = − γ C 1 − μ ， U 2 e q = 0 。平衡点的市场分数差为： m e q = tanh { − β γ C 2 ( 1 − μ ) } . (6) 其它非基本平衡点满足 m * = tanh { β γ 2 a σ 2 ( 1 − R ) [ λ 1 x * − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ( x * ) ] x * + β μ 2 ( u 1 * − u 2 * ) − β γ C 2 } 其中 u 1 * = γ 1 − μ [ ( 1 − R ) ( λ 1 − R ) a σ 2 ( x * ) 2 − C ] . u 2 * = γ 1 − μ [ ( 1 − R ) [ ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ( x * ) − R x * ] x * a σ 2 ] . 则 u 1 * − u 2 * = γ ( 1 − R ) a σ 2 ( 1 − μ ) [ λ 1 x * − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ( x * ) ] − γ C 1 − μ . 进一步化简得到 m * = tanh { − β γ ( 1 − R ) 2 a σ 2 ( 1 − μ ) [ λ 1 x * − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ( x * ) ] − β γ C 2 ( 1 − μ ) } . (7) 定理2 当 k = 0.5 时，基本平衡解 E 0 是系统(5)唯一的平衡解，记忆参数 γ ， μ 对平衡点的位置有影响。 证明 由于 λ 1 ∈ [ 0 ， 1 ) ， R > 1 ，则 2 R λ 1 > 2 成立，且表达式 m * = 2 R λ 1 − 1 > 1 成立。但事实上，双曲正切 函数的值在 [ − 1 ， 1 ] 之间，故表达式(7)没有解，则基本平衡解 E 0 是系统(5)唯一的平衡解。由于在(6)式中有记忆强度参数 γ ， μ ，故记忆会影响平衡解的位置。 3.2. 一般情况下模型分析 下面讨论一般情况下平衡解的稳定性。令 X t = ( x t ， y t ， z t ， U 1 ， t ， U 2 ， t ， u 1 ， t ， u 2 ， t ， m t ) T ，模型的确定性系统可以定义为 F : R 8 → R 8 ，即 X t = F ( X t − 1 ) (8) 其中 F 1 ( X t − 1 ) = 1 R [ 1 + F 8 ( X t − 1 ) 2 λ 1 x t − 1 + 1 − F 8 ( X t − 1 ) 2 ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ( x t − 1 ) ] ; F 2 ( X t − 1 ) = x t − 1 ; F 3 ( X t − 1 ) = y t − 1 ; F 4 ( X t − 1 ) = γ [ ( F 1 ( X t − 1 ) − R x t − 1 ) λ 1 y t − 1 − R x t − 1 a σ 2 − C ] + μ U 1 ， t − 1 ; F 5 ( X t − 1 ) = γ ( F 1 ( X t − 1 ) − R x t − 1 ) ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ( y t − 1 ) − R x t − 1 a σ 2 + μ U 2 ， t − 1 ; F 6 ( X t − 1 ) = U 1 ， t − 1 ; F 7 ( X t − 1 ) = U 2 ， t − 1 ; F 8 ( X t − 1 ) = α m t − 1 + ( 1 − α ) tanh { β γ 2 a σ 2 ( x t − 1 − R y t − 1 ) [ λ 1 z t − 1 − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ( z t − 1 ) ]                               + β μ 2 ( u 1 ， t − 1 − u 2 ， t − 1 ) − β γ C 2 } . 令 X * = ( x * ， y * ， z * ， U 1 * ， U 2 * ， u 1 * ， u 2 * ， m * ) T 为系统的平衡解，它满足 X * = F ( X * ) ，即满足下列方程组： { x * = 1 R [ 1 + m 2 2 λ 1 x * + 1 − m * 2 ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ( x * ) ] ， y * = x * ， z * = y * U 1 * = γ [ ( x * − R x * + δ t ) λ 1 y * − R x * a σ 2 − C ] + μ U 1 * ， U 2 * = γ ( x * − R x * + δ t ) ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ( y * ) − R x * a σ 2 + μ U 2 * ， u 1 * = U 1 * ， u 2 * = U 2 * ， m * = tanh { β γ 2 a σ 2 ( x * − R y * ) [ λ 1 z * − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ( z * ) ] + β μ 2 ( u 1 * − u 2 * ) − β γ C 2 } . (9) 定理3 假设函数 φ 满足 ∃ x * ，使得 φ ( x * ) ∈ [ 0 ， 1 ] (当且仅当 x * = 0 时， φ ( x * ) = 0 )，且 x * = ( 1 − m * ) ( 1 − 2 k ) λ 2 2 R − ( 1 + m * ) λ 1 φ ( x * ) 成立，则系统有基本平衡解 x e q 和非零平衡解 x * 。这里 m * = tanh { − β γ ( 1 − R ) 2 a σ 2 ( 1 − μ ) [ λ 1 x * − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ( x * ) ] − β γ C 2 ( 1 − μ ) } 。非零平衡解 x * 若存在，则有 1) 当 k ∈ [ 0 ， 0.5 ) 时，系统有基本平衡解 E 0 和非零平衡解 E 1 ，其中 E 1 = ( + x * ， + x * ， + x * ， U 1 * ， U 2 * ， u 1 * ， u 2 * ， m * ) . 2) 当 k ∈ ( 0.5 ， 1 ] 时，系统有基本平衡解 E 0 和非零平衡解 E 2 ，其中 E 2 = ( − x * ， − x * ， − x * ， U 1 * ， U 2 * ， u 1 * ， u 2 * ， m * ) . 3) 当 k = 0.5 时，系统只有基本平衡解 E 0 。 证明 对于方程组(9)中的第一个式子 x * = 1 R [ 1 + m 2 2 λ 1 x * + 1 − m * 2 ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ( x * ) ] 可以得到 x * = ( 1 − m * ) ( 1 − 2 k ) λ 2 2 R − ( 1 + m * ) λ 1 φ (x*) 由于 m * ∈ ( − 1 ， 1 ) ， R > 1 ， λ 1 ∈ [ 0 ， 1 ) ， λ 2 > 1 ， φ ( x * ) ∈ ( 0 ， 1 ] ，则 2 R − ( 1 + m * ) λ 1 > 0 。 1) 当 k ∈ [ 0 ， 0.5 ) 时， 1 − 2 k > 0 ，则 ( 1 − m * ) ( 1 − 2 k ) λ 2 > 0 ，故 x * > 0 ，记为 + x * 。此时系统有基本平衡解 E 0 和非零平衡解 E 1 ，其中 E 1 = ( + x * ， + x * ， + x * ， U 1 * ， U 2 * ， u 1 * ， u 2 * ， m * ) 。 2) 当 k ∈ ( 0.5 ， 1 ] 时， 1 − 2 k < 0 ，则 ( 1 − m * ) ( 1 − 2 k ) λ 2 < 0 ，故 x * < 0 ，记为 − x * 。此时系统有基本平衡解 E 0 和非零平衡解 E 2 ，其中 E 1 = ( − x * ， − x * ， − x * ， U 1 * ， U 2 * ， u 1 * ， u 2 * ， m * ) 。 3) 当 k = 0.5 时，系统只有基本平衡解 E 0 ，证明过程由定理1可得。 定理4 (基本平衡解的稳定性) 设 E 0 = ( 0 ， 0 ， 0 ， U 1 e q ， 0 ， u 1 e q ， 0 ， m e q ) 为系统(3)的基本平衡解，其中 m e q = tanh { − β γ C 2 ( 1 − μ ) } ， U 1 e q = u 1 e q = − γ C 1 − μ ，令 β ¯ = 1 − μ γ C ln ( R − λ 1 ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) − R ) ， β ˜ = 1 − μ γ C ln ( R + λ 1 − R − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) ) ，则： 1) 当 k ∈ [ 0 ， 0.5 ) ，即市场中顺风者在图表分析者中所占的比例大于逆风者时， (i) 当 1 < λ 2 < R ( 1 − 2 k ) φ ′ ( 0 ) 时， E 0 是局部渐进稳定的。 (ii) 当 R ( 1 − 2 k ) φ ′ ( 0 ) < λ 2 < 2 R − λ 1 ( 1 − 2 k ) φ ′ ( 0 ) 时， 1 o 、当 0 < β < β ¯ 时， E 0 是渐进稳定的。 2 o 、当 β > β ¯ 时， E 0 是不稳定的。 3 o 、当 β = β ¯ 时，系统出现分支。 (iii) 当 λ 2 > 2 R − λ 1 ( 1 − 2 k ) φ ′ ( 0 ) 时， E 0 是全局不稳定的。 2) 当 k ∈ ( 0.5 ， 1 ] ，即市场中逆风者在图表分析者中所占的比例大于顺风者时， (i) 当 1 < λ 2 < − R ( 1 − 2 k ) φ ′ ( 0 ) 时， E 0 是全局渐进稳定的。 (ii) 当 − R ( 1 − 2 k ) φ ′ ( 0 ) < λ 2 < − 2 R + λ 1 ( 1 − 2 k ) φ ′ ( 0 ) 时， 1 o 、当 0 < β < β ˜ 时， E 0 是渐进稳定的。 2 o 、当 β > β ˜ 时， E 0 是不稳定的。 3 o 、当 β = β ˜ 时，系统出现分支。 (iii) 当 λ 2 > − 2 R + λ 1 ( 1 − 2 k ) φ ′ ( 0 ) 时， E 0 是全局不稳定的。 3) 当 k = 0.5 时，此时平衡解 E 0 是系统唯一的平衡解，且是全局渐进稳定的。 证明 平衡点的局部稳定性由Jacobian矩阵的特征值决定，则在 E 0 处的Jacobian矩阵为 J = { A 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 μ 0 0 0 0 0 0 0 0 μ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 B − B α } . 其中 A = ∂ F 1 ∂ x | E 0 = 1 2 R [ ( 1 + m e q ) λ 1 + ( 1 − m e q ) ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) ] ; B = ∂ F 8 ∂ u 1 | E 0 = ( 1 − α ) β μ 2 tan h ′ ( θ ) . 这里 m e q = tanh { − β γ C 2 ( 1 − μ ) } ； tan h ′ ( θ ) = 1 − tanh 2 { − β γ C 2 ( 1 − μ ) } 。 则Jacobian矩阵J的特征方程为 Γ ( λ ) = ( λ − A ) ( λ − α ) ( λ − μ ) 2 λ 4 . 解得特征根为 λ 1 = A ， λ 1 = α ， λ 3 = λ 4 = μ ， λ 5 = λ 6 = λ 7 = λ 8 = 0 。 根据引理可知，差分系统(8)的基本平衡点稳定的充要条件是 | λ i | < 1 ， i = 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， 8 。 而 α ∈ [ 0 ， 1 ) ， μ ∈ [ 0 ， 1 ) ，则当 | A | < 1 时基本平衡点 E 0 是稳定的。由于 A = 1 2 R [ ( 1 + m e q ) λ 1 + ( 1 − m e q ) ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) ] ， 1) 当 k ∈ [ 0 ， 0.5 ) 时， A > 0 ，即 A > − 1 成立，下面讨论 A < 1 的情况。 此时 ( 1 + m e q ) λ 1 + ( 1 − m e q ) ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) < 2 R 由上式得 m e q [ λ 1 − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) ] < 2 R − λ 1 − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ (0) (i) 当 0 < λ 1 < ( 1 − 2 k ) φ ′ ( 0 ) 时，有 λ 1 − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) < 0 ，则 m e q > 1 + 2 ( R − λ 1 ) λ 1 − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) ， 令 m ¯ = 1 + 2 ( R − λ 1 ) λ 1 − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ (0) 1 o 、当 1 < λ 2 < R ( 1 − 2 k ) φ ′ ( 0 ) 时， m ¯ ≤ − 1 ，则恒有 m e q > m ¯ 成立，则 E 0 是渐进稳定的。 2 o 、当 λ 2 > R ( 1 − 2 k ) φ ′ ( 0 ) 时，要使得 m e q > m ¯ 成立，则 tanh { − β γ C 2 ( 1 − μ ) } > 1 + 2 ( R − λ 1 ) λ 1 − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ (0) 成立，解得 β < 1 − μ γ C ln ( R − λ 1 ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) − R ) 令 β ¯ = 1 − μ γ C ln ( R − λ 1 ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) − R ) 为系统的分支点，则当 λ 2 > R ( 1 − 2 k ) φ ′ ( 0 ) 时，有 β ¯ > 0 。 当 0 < β < β ¯ 时， E 0 是渐进稳定的。 当 β > β ¯ 时， E 0 是不稳定的。 (ii) 当 ( 1 − 2 k ) φ ′ ( 0 ) < λ 1 < 1 时， 1 o 、当 1 < λ 2 < λ 1 ( 1 − 2 k ) φ ′ ( 0 ) 时，有 1 − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) > 0 ，则 m ¯ > 1 成立。 此时 m e q < m ¯ ，则基本平衡解 E 0 是全局渐进稳定的。 2 o 、当 λ 1 ( 1 − 2 k ) φ ′ ( 0 ) < λ 2 < R ( 1 − 2 k ) φ ′ ( 0 ) 时，有 λ 1 − R < λ 1 − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) < 0 ，则可以得到 m ¯ = 1 + 2 ( R − λ 1 ) λ 1 − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) < − 1 成立。此时 m e q > m ¯ ，则基本平衡解 E 0 是全局渐进稳定的。 3 o 、当 R ( 1 − 2 k ) φ ′ ( 0 ) < λ 2 < 2 R − λ 1 ( 1 − 2 k ) φ ′ ( 0 ) 时，有 − 2 < 2 ( R − λ 1 ) λ 1 − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) < − 1 ，则 m ¯ ∈ ( − 1 ， 1 ) 。 此时，当 0 < β < β ¯ 时， E 0 是渐进稳定的； 当 β > β ¯ 时， E 0 是不稳定的。 4 o 、当 λ 2 > 2 R − λ 1 ( 1 − 2 k ) φ ′ ( 0 ) 时，有 R − λ 1 ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) − R < 1 。则 β ¯ = 1 − μ γ C ln ( R − λ 1 ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) − R ) < 0 。 由于 β > 0 ，此时 β < β ¯ 不成立，故 E 0 全局不稳定。 2) 当 k ∈ ( 0.5 ， 1 ] ， A < 1 成立，下面讨论 A > − 1 的情况，即 ( 1 + m e q ) λ 1 + ( 1 − m e q ) ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) > − 2 R 由上式得 m e q [ λ 1 − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) ] > − 2 R − λ 1 − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ (0) 由于 λ 1 − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) > 0 成立，故 m e q > − 2 R − λ 1 − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) λ 1 − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) = 1 − 2 ( R + λ 1 ) λ 1 − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ (0) 令 m ˜ = 1 − 2 ( R + λ 1 ) λ 1 − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) . 1 o 、当 1 < λ 2 < − R ( 1 − 2 k ) φ ′ ( 0 ) 时，有 2 ( R + λ 1 ) λ 1 − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) > 2 ，则 m ˜ < − 1 。此时， m e q > m ˜ 恒成立，则 E 0 是渐进稳定的。 2 o 、当 − R ( 1 − 2 k ) φ ′ ( 0 ) < λ 2 < − 2 R + λ 1 ( 1 − 2 k ) φ ′ ( 0 ) 时，有 1 < 2 ( R + λ 1 ) λ 1 − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) < 2 ，则 m ˜ ∈ ( − 1 ， 1 ) 。要使得 m e q > m ˜ 成立，则 tanh { − β γ C 2 ( 1 − μ ) } > 1 − 2 ( R + λ 1 ) λ 1 − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ (0) 成立，解得 β < 1 − μ γ C ln ( R + λ 1 − R − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ (0) ) 令 β ˜ = 1 − μ γ C ln ( R + λ 1 − R − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ (0) ) 为系统的分支点，且由 − R ( 1 − 2 k ) φ ′ ( 0 ) < λ 2 ，可得 − R − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) > 0 ，则 β ˜ > 0 恒成立。 故，当 0 < β < β ˜ 时， E 0 是渐进稳定的。 当 β > β ˜ 时， E 0 是不稳定的。 3 o 、当 λ 2 > − 2 R + λ 1 ( 1 − 2 k ) φ ′ ( 0 ) 时，有 R + λ 1 − R − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) < 1 ，则 β ˜ = 1 − μ γ C ln ( R + λ 1 − R − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) ) < 0 成立。 此时对所有的 β > 0 ，都有 β < β ˜ 不成立。故 E 0 是全局不稳定的。 当 k = 0.5 时， A = 1 2 R [ ( 1 + m e q ) λ 1 ] 成立。由于 λ 1 ∈ [ 0 ， 1 ) ， R > 1 ，则 | A | < 1 恒成立，即此时平衡解 E 0 是全局渐进稳定的。 图1. 相图 图1表示 ( x ， m ) 的相图，它反映出投影平面上轨迹收敛于一条闭曲线，系统存在周期解，说明在分支附近平衡解虽然不稳定，但却存在吸引子，保证了系统的全局稳定性。 3.3. 主要参数对系统分支的影响 下面在确定性系统(取 φ ( x t ) = x ( t ) + b x ( t ) 2 + c x ( t ) 3 )中讨论参数对系统分支的影响。 图2. 选择强度 β 的音叉分支 图2为选择强度 β 的音叉分支图，在选择强度 β * 之前，系统的平衡解是稳定的，当超过这个临界值时，平衡解变得不稳定，系统出现分支。这里逆风参数分别取 k = 0.02 ， 0.2 ， 0.7 ， 0.9 ，发现k越接近0.5，分支越不明显。且当k的值越大时，分支出现的越迟，说明逆风者具有稳定市场的作用。 图3. 参数 λ 2 的音叉分支图 图3为图表分析者关于趋势推断 λ 2 的分支图，此时取 k = 0.9 ，趋势推断参数 λ 2 越大，分支越明显。 图4为当 k ∈ [ 0 ， 0.5 ) 时，一些主要参数对分支点 β ¯ 的影响示意图，其中由前文可知 β ¯ = 1 − μ γ C ln ( R − λ 1 ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) − R ) 。这里 β ¯ 关于记忆参数 μ 是递减的，即当 μ 增大时，过去效用对适应度 函数的影响减小，分支出现的越早，系统越不稳定。第二个图中刚开始随着逆风参数k增大， β ¯ 随之增大，当k超过临界值 k * 时，随着k增大， β ¯ 减小，即当 k < k * 时，k的增大具有稳定市场的作用，当 k > k * 时，k的增大反而使得分支出现的越早，与图2中结论类似。参数 λ 2 和 φ ′ ( 0 ) 也有类似的结论。 图5为当 k ∈ ( 0.5 ， 1 ] 时，主要参数对分支点 β ˜ 的影响， β ˜ = 1 − μ γ C ln ( R + λ 1 − R − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ′ ( 0 ) ) 。 β ˜ 关于记 忆参数 μ 是递增的，即当 μ 增大时，过去效用对适应度函数的影响增大，分支出现的越迟，系统越稳定。 图4. k ∈ [ 0 ， 0.5 ) 时参数对分支点 β ¯ 的影响 图5. k ∈ ( 0.5 ， 1 ] 时参数对分支点 β ˜ 的影响