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user: 3. 基于4维Bell态粒子和单光子混合的QSDC改进方案 3.1. 改进方案理论准备 3.1.1. 方案改进基础 2016年，曹正文等人提出了基于Bell态粒子和单光子混合的QSDC方案，方案中发送方Alice首先制备一些Bell态粒子并将其划分为两个序列 S A 、 S B ，将 S B 发给接收方Bob以实现接下来的信道第一次窃听检测。在信道安全后，发送方Alice将加密信息编码在 S A 和制备的单光子序列 S S 上，最后通过顺序重排和添加单光子检测粒子等操作构成新序列 S 并发送给Bob，Bob可根据测量结果得到机密信息。该方案可避免复杂的 U 变换，简化实现过程，能抵抗测量重发攻击、截获重发攻击、辅助粒子攻击、拒绝服务攻击、木马攻击等多种攻击方法，同时3 bits经典信息编码在一个量子态上可提高编码容量，加快通信传输效率 [ 24 ]。该方案的编码规则如表2所示： Table 2 Coding rule of the schem 信息序列 量子态 信息序列 量子态 000 | H 〉 100 | φ + 〉 001 | V 〉 101 | φ − 〉 010 | L 〉 110 | ψ + 〉 011 | R 〉 111 | ψ − 〉 表2. 方案编码规则 2017年，刘志昊等人研究了该方案的信息泄露问题。原方案中，为使接收方Bob可解码机密内容，发送方Alice在经典信道中要公布序列 S 原来的顺序、位置和测量基等辅助信息。当Alice公布哪些粒子需使用 X 基或 Z 基测量、哪些需使用Bell基联合测量时，窃听者Eve可读取到Alice发送的一部分机密消息。例如：当Alice公布编码粒子需使用Z基进行测量时，Eve可得到该粒子状态为 | H 〉 或 | V 〉 ，即编码的信息是000或001，窃听者可确切得知该加密信息的前两位必为00；当公布编码粒子需使用Bell基测量时，窃听者Eve可确定编码的加密信息是100、101、110或111，即可得知对应的加密信息第一位必为1 [ 25 ]。 为解决上述加密信息泄露的问题，刘志昊等人对编码方案进行了改进，如表3所示： Table 3 Improved coding rule of the schem 信息序列 单量子态 信息序列 Bell态 0 | H 〉 00 | φ + 〉 1 | V 〉 01 | φ − 〉 0 | L 〉 10 | ψ + 〉 1 | R 〉 11 | ψ − 〉 表3. 改进的编码规则方案 基于改进的编码方案，Alice通过经典信道公布各粒子原来的顺序、位置和测量基信息时，窃听者即使成功截取也无法得到有关机密的任何信息。改进的方案中平均1量子比特编码1比特经典信息，解决了信息泄露问题，可保证通信的高效、安全。本文借鉴上述两种方案的编码思想，提出了一种改进后的量子编码方案，可达到提高通信容量的目的。 3.1.2. d维Hilbert空间定义 2017年，翁鹏飞等人利用了d维Hilbert空间理论 [ 26 ]。在d维Hilbert空间中，定义 Z d 、 X d 为d维单光子的两组非正交测量基，测量基 Z d 的d个本征矢量可表示为 | 0 〉 ， | 1 〉 ， | 2 〉 ， | 3 〉 ， ⋯ ， | d − 1 〉 ，测量基 X d 的d个本征矢量可表示为 | u ˜ 〉 = 1 d ∑ l = 0 d − 1 exp ( 2 π i l u / d ) | l 〉 。d维Bell纠缠态可表示为 | φ u v 〉 = 1 d ∑ l = 0 d − 1 exp ( 2 π i l u / d ) l 〉 ⊗ | l ⊗ v 〉 。 定义d维幺正操作 U u v = ∑ l = 0 d − 1 exp ( 2 π i l u / d ) | l ⊕ v 〉 ⊗ 〈 l | ，则 (3-1) 令上式中 l ⊕ v = n ， l = ( n − v ) mod d ，可得 l = n ⊕ v ， ( n = 1 ， 2 ， ⋯ d − 1 ) ，令 ，可得 1 d ∑ l = 0 d − 1 exp ( 2 π i l u / d ) | l 〉 ⊗ | l ⊕ v 〉 = U u v | φ 00 〉 = | φ u v 〉 ，其中 u ， v = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， d − 1 。 3.1.3. 量子信道加密概念 2001年，张永生等人提出了量子信道加密概念。量子密钥分发协议中，通信方将一对Bell纠缠粒子作为量子信道，发送方利用受控非(controlled-Not)操作将携带密钥信息的量子态纠缠入信道，接收方用controlled-Not操作解纠缠即可得到携带密钥信息的量子态 [ 38 ]。 受控非门(CNOT门)是两比特量子门，若控制比特 | c 〉 为0，则目标比特 | t 〉 不变；若控制比特为1，则目标比特翻转。即 | c ， t 〉 → | c ， c ⊗ t 〉 ，具体实现为 | 00 〉 → | 00 〉 、 | 01 〉 → | 01 〉 、 | 10 〉 → | 11 〉 、 | 11 〉 → | 10 〉 。对应的酉算子为： U C N = [ 1 000 0 100 0001 0010 ] (3-2) 传输过程中，窃听者的截取测量攻击只能得到随机结果，但重点应保证量子信道是安全的，即通信双方共享Bell态的过程应是可靠有效的。本方案在利用单光子加载并传输机密信息时，利用已传输并确定安全的Bell态序列作为量子信道，既可提高通信信道可靠性，又可提高Bell态序列的利用率。 3.2. 改进方案描述 本方案定义在4维Hilbert空间中是为了实现特定的编码方案以提高通信容量。首先利用检测粒子可在通信双方间建立安全信道，从测量后复合系统的变化中可读取加密信息；接下来，在信道安全的前提下，借助量子信道加密的思想传递加载机密的单光子，操作简便的同时也会提高信道的利用率；最后，只需通过操作简便的单光子测量便可实现机密的安全传输。 3.2.1. 方案实施流程 方案设计 d = 4 ，Alice需发送 3 n 比特机密信息给Bob。 1) 准备阶段 Alice制备一串长为 n − x + y 的Bell态序列，即EPR纠缠粒子对，其中 y 对用作检测粒子对，每对Bell态均处于状态 | φ 00 〉 12 = 1 2 ( | 00 〉 + | 11 〉 + | 22 〉 + | 33 〉 ) 12 。 2) 加载机密 Alice根据机密信息对 n − x 对 | φ 00 〉 进行相应的幺正变换，双方约定 U 00 、 U 01 、 U 02 、 分别对应消息010、101、100、011，其余消息000、111、110、001则分别由单光子进行编码。 当执行变换时，光子1和2构成的复合系统分别为： U 00 | φ 00 〉 12 = 1 2 ( | 00 〉 + | 11 〉 + | 22 〉 + | 33 〉 ) 12 ， U 01 | φ 00 〉 12 = 1 2 ( | 01 〉 + | 12 〉 + | 23 〉 + | 30 〉 ) 12 U 02 | φ 00 〉 12 = 1 2 ( | 02 〉 + | 13 〉 + | 20 〉 + | 31 〉 ) 12 ， U 03 | φ 00 〉 12 = 1 2 ( | 03 〉 + | 10 〉 + | 21 〉 + | 32 〉 ) 12 (3-3) 3) 安全检测 Alice将执行完幺正变换的 n − x 对Bell纠缠粒子拆分成 2 ( n − x ) 个粒子，将所有纠缠粒子对的第一粒子组成序列 S A ，第二粒子组成序列 S B 。Alice随机地将 y 对检测粒子中的第一粒子插入到序列 S A 中，得到新序列 A * 并保存；将第二粒子随机插入序列 S B 中得到新序列 B * ，发送给Bob。 Alice选用 Z d 基对 A * 序列里的检测粒子进行测量并在经典信道公布检测粒子的位置及测量结果。Bob在将对应检测粒子取出后进行 Z d 基测量，若比较结果的误码率低于已设阈值，则认为信道中无窃听干扰，继续进行下一步的通信，否则放弃通信过程，再次重复以上步骤直至误码率低于阈值。 4) 机密传输 在保证信道安全后，Alice根据剩余的机密信息制备 x 个单光子态 | q 〉 M ， | q 〉 M 为4维Hilberrt空间中四种单光子： | H ′ 〉 、 | V ′ 〉 (对应测量基 Z d 基矢)， | L ′ 〉 、 | R ′ 〉 ，(对应测量基 X d 基矢)，编码规则如表4所示： Table 4 Single photon coding schem 加密信息 量子态 加密信息 量子态 000 | H ′ 〉 001 | L ′ 〉 111 | V ′ 〉 110 | R ′ 〉 表4. 单光子编码方案 Alice以 S A (从 A * 中去除检测粒子后)中粒子为控制粒子，机密信息粒子为目标粒子，执行 C A M 操作，对目标粒子依次执行后，Alice便可将 S M 发送给Bob。 | φ 00 〉 A B | q 〉 M → C A M 1 2 ( | 00 ， q 〉 + | 11 ， q + 1 〉 + | 22 ， q + 2 〉 + | 33 ， q + 3 〉 ) A B M 。 Bob收到 S M 后，以 S B 中粒子作为控制粒子，机密信息粒子作为目标粒子，执行 C B M 操作，即 1 2 ( | 00 ， q 〉 + | 11 ， q + 1 〉 + | 22 ， q + 2 〉 + | 33 ， q + 3 〉 ) A B M → C B M | φ 00 〉 A B | q 〉 M ，Bob对所有执行完操作的粒子进行单光子测量便可得到机密信息。 5) 机密读取 Alice对序列 S A 进行单光子测量，公布测量结果以及单光子 | q 〉 M 的位置信息，Bob对序列 S B 进行单光子测量，根据Alice发送的测量结果以及单光子位置信息便可恢复出总机密。具体对应关系如表5所示，例如Alice公布的结果是 | 2 〉 ，Bob经测量得到的结果是 | 1 〉 ，则传输的加密信息应为“001”。 Table 5 Information recover 加密信息 Alice公布结果 Bob测量结果 加密信息 Alice公布结果 Bob测量结果 010 | 0 〉 | 0 〉 100 | 0 〉 | 1 〉 | 1 〉 | 1 〉 | 1 〉 | 2 〉 | 2 〉 | 2 〉 | 2 〉 | 3 〉 | 3 〉 | 3 〉 | 3 〉 | 0 〉 101 | 0 〉 | 2 〉 011 | 0 〉 | 3 〉 | 1 〉 | 3 〉 | 1 〉 | 0 〉 | 2 〉 | 0 〉 | 2 〉 | 1 〉 | 3 〉 | 1 〉 | 3 〉 | 3 〉 表5. 信息恢复 3.2.2. 操作分析对比 研究上述所述编码规则不同的理论方案，对其操作流程进行对比分析如表6所示： Table 6 Comparison of different operation procedure 理论方案 操作程序 Bell态粒子和单光子混合 QSDC方案(2016) Bell态粒子和单光子混合 QSDC改进方案(2017) 本方案 单光子制备 随机处于四个量子态之一 随机处于四个量子态之一 可选择四个量子态 EPR纠缠粒子对制备 随机处于四个量子态之一 随机处于四个量子态之一 均可处于同一量子态 单光子编码 3 bits 1 bit 3 bits EPR纠缠粒子对编码 3 bits 2 bits 3 bits 信道安全检测 对抽样粒子进行单光子测量 对抽样粒子进行单光子测量 幺正变换后插入 检测粒子辅助测量 机密传输 编码后顺序重排再插入检测粒子 编码后顺序重排再插入检测粒子 通过量子信道加密传输 信息读取 单光子测量联合Bell基测量 单光子测量联合Bell基测量 单光子测量 表6. 操作流程对比 由以上对比可得知，本方案子在粒子制备方面较简便且在信息读取时仅需要进行单光子测量，这使得方案实施更加简明高效，操作复杂性并不高。同时，本方案的编码容量较高，这会一定程度上提高传输效率。在进行信道安全性检测时，抽取已制备的检测粒子使得方案实施更加清晰有序，且通过量子信道加密传输信息可避免检测粒子顺序、位置以及测量基信息在经典信道上的传输，实现过程得以简化，也可降低对经典通信的依赖性。 3.3. 改进方案安全性描述 量子密码系统中会存在窃听干扰，针对整个系统较为有效的攻击方法主要有测量重发攻击、截取重发攻击以及辅助粒子攻击等，本文从这三种攻击手段出发，对方案的安全性进行了探讨分析。 3.3.1. 测量重发攻击 测量重发攻击是窃听者Eve捕获发送方Alice编码后要发送给接收方Bob的部分序列，随机选择测量基对其进行测量，由此可能会获得一些有用信息。随后窃听者Eve将测量后的序列依旧发送给接收方Bob，若接下来的窃听检测中，通信双方没有察觉到窃听者的存在，则Eve的窃听攻击视为成功。 本方案中信息序列编码后又插入了部分检测粒子，即使Eve捕获了一部分光子并选择正确的测量基，但由于不清楚编码序列的顺序、位置，也无法得到有效信息。且在信道安全性检测过程中，攻击行为会被发现。 假设窃听者Eve截取了发送方Alice编码的一部分含有 n 个粒子的信息序列，并采用 Z d 基对其进行了测量。例如其中一个加载信息的粒子可表示为 | φ 00 〉 2 ，由于不清楚发送方Alice的测量结果，窃听者 Eve获得准确信息的概率就应为 1 4 ，若 n 个粒子全为信息粒子，则窃听者可获得正确信息的概率为 ( 1 / 4 ) n 。 由此可见， n 越大，窃听获得正确信息的概率越小。此外，窃听者是无法区分测量的粒子中哪些是携带信息的粒子、哪些是检测粒子，因此窃听引起的错误很容易被检测到，攻击一般无效。 3.3.2. 截取重发攻击 截取重发攻击是窃听者Eve截获部分发送方Alice编码后的发送序列，并将自己提前制备好的一串序列伪造作为原发送序列，代发给接收方Bob。在接下来的窃听检测中，作为合法双方中间人的窃听者Eve若没有被发现，则攻击很可能会获得有用信息。 在本方案中，窃听者Eve在攻击时由于不知原序列的顺序和检测粒子位置，攻击行为会被发现且毫无意义。此外，单光子传输机密信息时， S M 与信道粒子 S A 、 S B 为最大纠缠态，Eve的截取测量只能得到随机结果。 假设窃听者Eve截取了发送方Alice发送的含有 n 个粒子的信息序列，然后将已制备好的 n 个粒子发送给Bob。截获并重发一个粒子引起的粒子错误率为 3 4 ，则 n 个截取粒子窃听被检测到的概率可达 1 − ( 1 4 ) n 。窃听者Eve在不清楚原序列的粒子位置的情况下，想要成功伪造一条相似序列，难度很大。 3.3.3. 辅助粒子攻击 辅助粒子攻击是窃听者Eve先截获发送方Alice的粒子序列，再利用已制备的辅助粒子对其进行纠缠，即窃听者在发送的量子态和窃听系统所组成的一个更大的Hilbert空间中执行幺正变换。若窃听者通过在此空间中的操作获得了有用信息，则可视为攻击成功。 在本方案中，窃听者Eve可将制备的粒子与信道粒子进行纠缠，以期望获取机密信息，但在量子力学基本原理以及量子特性的保证下，窃听者Eve的窃听操作若获得了有用信息，则必然会引起检测错误。 信道安全性检测时，窃听者Eve在量子信号和检测粒子组成的Hilbert空间中进行幺正攻击操作，单粒子在攻击后变为 | φ 1 〉 = E | m y 〉 = a | 0 y 0 〉 + b | 1 y 1 〉 + c | 2 y 2 〉 + d | 3 y 3 〉 ( | y i 〉 为攻击操作确定的纯态，且 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1 )，此时密度算子为： ρ = | φ 1 〉 〈 φ 1 | = | a | 2 | 0 y 0 〉 〈 0 y 1 0 | + a b * | 0 y 0 〉 〈 1 y 1 | + a c * | 0 y 0 〉 〈 2 y 2 | + a d * | 0 y 0 〉 〈 3 y 3 | + b a * | 1 y 1 〉 〈 0 y 0 | + | b | 2 | 1 y 1 〉 〈 1 y 1 | + b c * | 1 y 1 〉 〈 2 y 2 | + b d * | 1 y 1 〉 〈 3 y 3 | + c a * | 2 y 2 〉 〈 0 y 0 | + c b * | 2 y 2 〉 〈 1 y 1 | + | c | 2 | 2 y 2 〉 〈 2 y 2 | + c d * | 2 y 2 〉 〈 3 y 3 | + d a * | 3 y 3 〉 〈 0 y 0 | + d b * | 3 y 3 〉 〈 1 y 1 | + d c * | 2 y 3 〉 〈 2 y 2 | + | d | 2 | 3 y 3 〉 〈 3 y 3 | (3-4) 以 | 0 y 0 〉 、 | 1 y 1 〉 、 | 2 y 2 〉 、 | 3 y 3 〉 为基，矩阵表达式为： ρ = [ | a | 2 b a * c a * d a * a b * | b | 2 c b * d b * a c * b c * | c | 2 d c * a d * b d * c d * | d | 2 ] (3-5) 当 | φ 1 〉 处于最大纠缠态时， a 2 = b 2 = c 2 = d 2 = 1 / 4 ，经计算 ρ 的特征值 λ 0 ， λ 1 ， λ 2 ， λ 3 分别为0、0、0、1，用冯∙诺依曼熵表示窃听者Eve可获得的消息 ε = ∑ i = 0 3 − λ i log 2 λ i = 0 ，即窃听不能得到任何有效信息。 Eve对整个系统进行酉攻击后，系统状态变为： | φ E v e 〉 = U u v ( E ⊗ I ⊗ | φ 00 〉 ) = 1 2 ( a | 0 y 0 0 〉 + b | 1 y 1 0 〉 + c | 2 y 2 0 〉 + d | 3 y 3 0 〉 ) + 1 2 ( a | 0 y 0 1 〉 + b | 1 y 1 1 〉 + c | 2 y 2 1 〉 + d | 3 y 3 1 〉 ) + 1 2 ( a | 0 y 0 2 〉 + b | 1 y 1 2 〉 + c | 2 y 2 2 〉 + d | 3 y 3 2 〉 ) + 1 2 ( a | 0 y 0 3 〉 + b | 1 y 1 3 〉 + c | 2 y 2 3 〉 + d | 3 y 3 3 〉 ) (3-6) 当Alice对处于4维Bell态的检测粒子做测量时，有窃听的概率为 p ( | φ E v e 〉 ) = [ 1 − 1 4 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) ] = 3 4 ，即Alice能以75%的概率检测出信道是否存在窃听。 3.4. 改进方案传输效率分析 本方案定义在4维Hilbert空间中，借助量子信道相关理论使得每传输1量子比特便可传输3比特的经典信息。依据信息论相关知识，可定义量子密码协议的效率公式为 ξ = b s q t + b t ， b s 是通信过程中需传输的机密信息比特数， q t 、 b t 分别是通信时需交换的量子比特数、经典信息比特数 [ 39 ]，计算传输效率时不考虑与窃听检测有关的经典比特、测量基以及位置信息。 方案利用 n 个量子态传输 3 n 比特的经典信息，即 b s = 3 n 、 q t = n ，由2016年曹正文等人发表的基于Bell态粒子和单光子混合的QSDC方案中的效率计算方法可知 b t ≈ n / 2 ，因此本方案的传输效率约为2倍。 ξ = b s q t + b t ≈ 3 n n + n / 2 ≈ 2 (3-7) 但协议的效率公式不能充分描述通信效率，因此引出量子比特效率的定义公式 η = q u / q t ， q u 、 q t 分别为有效的量子比特、总量子比特 [ 39 ]。对本方案而言，取 q u = n 、 q t ≈ n ，则量子比特效率为 η = q u / q t ≈ n / n ≈ 1 。 按照效率公式的定义，对比分析一些文献中典型方案的安全性、量子通信传输效率、量子比特利用率，可发现本方案虽然有较高的编码容量，但兼顾了信息泄露问题且通信效率有所提高。结果如表7所示：