system: [SYSTEM]

user: 3. 正解的存在性和唯一性 在本章节中，我们主要研究系统(1.2)存在正解并证明其正解是唯一的，对于系统(1.2)我们可以清楚的知道 x ， y 1 ， y 2 为食饵，未成熟捕食者和成熟捕食者的密度，则它们均为非负常数，且其系数满足局部Lipschitz条件，所以系统(1.2)存在局部解 ( x ( t ) ， y 1 ( t ) ， y 2 ( t ) ) ， t ∈ [ 0 ， τ e ] ，其中 τ e 表示爆炸时间。因此，我们只需要证明系统(1.2)存在唯一正解以及正解是全局的，即证 τ e = ∞ 。为此，我们给出如下定理： 定理3.1. 对于任意初始值 ( x ( 0 ) ， y 1 ( 0 ) ， y 2 ( 0 ) ) ∈ ℝ + 3 ，系统(1.2)在 t > 0 时存在唯一的全局正解，并且解始终以概率1在 ℝ + 3 。 证明：对于一个足够大的非负数 z 0 ，使得 x ( 0 ) ， y 1 ( 0 ) 以及 y 2 ( 0 ) 始终在 [ 1 z 0 ， z 0 ] 这个区间内，对于每个整数 z ≥ z 0 ，定义停时 [ 27 ] τ z = inf { t ∈ [ 0 ， τ e ] : min { x ( t ) ， y 1 ( t ) ， y 2 ( t ) } ≤ 1 z   or   max { x ( t ) ， y 1 ( t ) ， y 2 ( t ) ≥ z } 在这篇文章中 inf ∅ = ∞ ，当 z → ∞ 时，显然可以知道 τ z 是递增的。令 τ ∞ = lim z → ∞ τ z ， τ ∞ ≤ τ e (a.s.)。如果我们可以证明 τ ∞ = ∞ ，a.s.则可以得到 τ e = ∞ ， ( x ( t ) ， y 1 ( t ) ， y 2 ( t ) ) ∈ ℝ + 3 a.s.对于 t ≥ 0 。因此，为了完成证明，我们只需证明 τ ∞ = ∞ a.s.如果 τ ∞ ≠ ∞ ，则存在常数 T > 0 ， ξ ∈ ( 0 ， 1 ) ，使 ℙ { τ ∞ ≤ T } > ξ 因此存在一个常数 z 1 ≥ z 0 ，使 ℙ { τ z ≤ T } > ξ ， ∀ z ≥ z 1 (3.1) 定义一个C 2 函数 V : ℝ + 3 → ℝ + V ( x ( t ) ， y 1 ( t ) ， y 2 ( t ) ) = n ( x ( t ) − k 1 − k 1 ln x ( t ) k 1 ) + ( y 1 ( t ) − k 2 − k 2 ln y 1 ( t ) k 2 ) + ( y 2 ( t ) − 1 − k 2 ln y 2 ( t ) ) (3.2) 对上述V函数利用Itô’s公式 [ 27 ] 可得 L V ( x ( t ) ， y 1 ( t ) ， y 2 ( t ) ) = n x ( t ) ( 1 − k 1 x ( t ) ) ( a x A + x ( t ) − d − b x ( t ) − m y 2 ( t ) )                                                                     + ( 1 − k 2 y 1 ( t ) ) ( n m x ( t ) y 2 ( t ) − δ y 1 ( t ) − β y 1 ( t ) )                                                                     + ( 1 − 1 y 2 ( t ) ) ( β y 1 ( t ) − e y 2 ( t ) ) + 1 2 n k 1 σ 1 2 + 1 2 k 2 σ 2 2 + 1 2 σ 3 2 = a n x ( t ) 2 A + x ( t ) − n d x ( t ) − n b x ( t ) 2 − n m x ( t ) y 2 ( t ) − a n k 1 x ( t ) A + x ( t ) + n k 1 d     + n k 1 b x ( t ) + n m k 1 y 2 ( t ) + n m x ( t ) y 2 ( t ) − δ y 1 ( t ) − β y 1 ( t )     − k 2 n m x ( t ) y 1 ( t ) y 2 ( t ) + δ k 2 + β k 2 + β y 1 ( t ) − e y 2 ( t ) − β y 2 ( t ) y 1 ( t )     + 1 2 n k 1 σ 1 2 + 1 2 k 2 σ 2 2 + 1 2 σ 3 2 (3.3) 令 k 1 = e m n ， k 2 = 1 ，公式(3.3)则有 L V ( x ( t ) ， y 1 ( t ) ， y 2 ( t ) ) ≤ − n b x 2 ( t ) + ( a n + e b m ) x ( t ) + e d m + δ + β + e + e 2 m σ 1 2 + 1 2 σ 2 2 + 1 2 σ 3 2 ≤ a n + e b m 2 n b + e d m + δ + β + e + e 2 m σ 1 2 + 1 2 σ 2 2 + 1 2 σ 3 2 = a m n + e b 2 m n b + e d m + δ + β + e + e 2 m σ 1 2 + 1 2 σ 2 2 + 1 2 σ 3 2 : = K (3.4) 其中K为正常数，因此可以得到： d V ( x ( t ) ， y 1 ( t ) ， y 2 ( t ) ) ≤ K d t + n σ 1 x ( t ) ( 1 − k 1 x ( t ) ) d B 1 ( t ) + σ 2 y 1 ( t ) ( 1 − 1 y 1 ( t ) ) d B 2 ( t )     + σ 3 y 2 ( t ) ( 1 − 1 y 2 ( t ) ) d B 3 ( t ) = K d t + n σ 1 ( x ( t ) − k 1 ) d B 1 ( t ) + σ 2 y 1 ( t ) ( y 1 ( t ) − 1 ) d B 2 ( t )     + σ 3 y 2 ( t ) ( y 2 ( t ) − 1 ) d B 3 ( t ) (3.5) 对公式(3.5)从0到 τ z ∧ T = min { τ z ， T } 两边积分，并取期望可得 (3.6) 对于 z ≥ z 1 ，设 Ω z = { τ z ≤ T } ，由公式(3.1)可以得到 ℙ { Ω z } > ξ 。对于每个 ω ∈ Ω z ， x ( τ z ∧ T ) 或 y 1 ( τ z ∧ T ) 或 y 2 ( τ z ∧ T ) 等于z或 1 z 。因此，可以得到 V ( x ( 0 ) ， y 1 ( 0 ) ， y 2 ( 0 ) ) + K T ≥ E [ I Ω z ( ω ) V ( x ( τ z ∧ T ) ， y 1 ( τ z ∧ T ) ， y 2 ( τ z ∧ T ) ) ] ≥ ξ min { ( z − k 1 − k 1 ln z k 1 ) ， ( z − 1 − ln z ) } (3.7) V ( x ( 0 ) ， y 1 ( 0 ) ， y 2 ( 0 ) ) + K T ≥ E [ I Ω z ( ω ) V ( x ( τ z ∧ T ) ， y 1 ( τ z ∧ T ) ， y 2 ( τ z ∧ T ) ) ] ≥ ξ min { ( 1 z − k 1 + k 1 ln z k 1 ) ， ( 1 z − 1 + ln z ) } (3.8) 其中 I Ω z 表示 Ω z 的指标函数，当 z → ∞ 时，可以得到 ∞ > V ( x ( 0 ) ， y 1 ( 0 ) ， y 2 ( 0 ) ) + K T = ∞ 这就导致了矛盾，故我们可以得到 τ ∞ = ∞ a.s.证毕。