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user: 3. 上下解定理 对于下列的边值问题 { u ″ ( t ) + f ( t ， u ) = 0 ， t ∈ ( 0 ， 1 ) u ( 0 ) = 0 ， u ( 1 ) = α ∫ 0 1 u ( s ) d s (1) 给出它的一个上下解的定义。 如果 a ∈ C 2 ( 0 ， 1 ) ∩ C [ 0 ， 1 ] ，有 { − a ″ ( t ) ≤ f ( t ， a ( t ) ) a ( 0 ) ≤ 0 ， a ( 1 ) ≤ α ∫ 0 1 a ( s ) d s 那么就定义为 a ( t ) 是边值问题的下解。 如果 b ∈ C 2 ( 0 ， 1 ) ∩ C [ 0 ， 1 ] ，有 { − b ″ ( t ) ≥ f ( t ， b ( t ) ) b ( 0 ) ≥ 0 ， b ( 1 ) ≥ α ∫ 0 1 b ( s ) d s 那么就定义为 b ( t ) 是边值问题的上解。 下面讨论关于上下解的一个结论 定理 对于 a ， b ，我们假设下解小于等于上解，使得 (Δ 1 ) a ( t ) ≤ b ( t ) ，对任意 t ∈ [ 0 ， 1 ] 假设 (Δ 2 ) Ν a b ⊂ Ν ，其中 N ⊂ ( 0 ， 1 ) × R ， Ν a b = { ( t ， x ) ∈ ( 0 ， 1 ) × R : a ( t ) ≤ x ≤ b ( t ) } 假设存在函数h，使得： (Δ 3 ) | f ( t ， x ) | ≤ h ( t ) ，对任意 ( t ， x ) ∈ Ν a b 和 (Δ 4 ) ∫ 0 1 s ( 1 − s ) h ( s ) d s < + ∞ 则至少存在一个解 u ( t ) ，使得 a ( t ) ≤ u ( t ) ≤ b ( t ) ， 对任意 t ∈ ( 0 ， 1 ) (2) 证明 首先来定义一个函数 f ∗ ( t ， x ) = { f ( t ， a ( t ) ) ， x < a ( t ) f ( t ， u ) ， a ( t ) ≤ x ≤ b ( t ) f ( t ， b ( t ) ) ， x > b ( t ) 其中 f ( t ， x ) 连续，根据(Δ 2 )和 f ∗ 的定义可以得到 f ∗ 是连续的，并且根据(Δ 3 )可知，它满足 | f ∗ ( t ， x ) | ≤ h ( t ) 对任意 ( t ， x ) ∈ ( 0 ， 1 ) × R (3) 然后考虑这个问题 { u ″ ( t ) + f ∗ ( t ， u ) = 0 ， t ∈ ( 0 ， 1 ) u ( 0 ) = 0 ， u ( 1 ) = α ∫ 0 1 u ( s ) d s (4) 如果u是上述问题的解，并且对于任意 t ∈ [ 0 ， 1 ] ，有 a ( t ) ≤ u ( t ) ≤ b ( t ) ，那么u就是满足上述定理的一个解。然后我们用反证法去证明这个结论。 假设 ∃ t 1 ∈ ( 0 ， 1 ) ，使 u ( t 1 ) < a ( t 1 ) 。令 w ( t ) = a ( t ) − u ( t ) ，则 w ( t 1 ) = a ( t 1 ) − u ( t 1 ) > 0 。 因为 a ( t ) 和 u ( t ) 连续，所以 w ( t ) 也是连续的，由连续函数保号性可知，在 t 1 的某邻域内，有 w ( t ) > 0 。于是定义两个特殊点 t ∗ = inf { t | s ∈ [ t ， t 1 ] ， w ( t ) > 0 } t ∗ = sup { t | s ∈ [ t 1 ， t ] ， w ( t ) > 0 } 由于 t ∈ [ 0 ， 1 ] ，由确界原理， t ∗ ， t ∗ 是存在的。 然后分以下几种情况讨论 (i) w ( t ) > 0 ， t ∈ ( t ∗ ， t ∗ ) ， w ( t ∗ ) = 0 ， w ( t ∗ ) = 0 ， t ∗ < 1 根据 f ∗ ( t ， x ) 的定义，当 w ( t ) > 0 ，即 u ( t ) < a ( t ) 时，有 f ∗ ( t ， u ( t ) ) = f ( t ， a ( t ) ) 又因为 a ( t ) 是下解，根据上述下解的定义，得 a ″ ( t ) + f ( t ， a ( t ) ) ≥ 0 上述两式联立，得 a ″ ( t ) − u ″ ( t ) = w ″ ( t ) ≥ 0 由定理1可推出 w ( t ) < 0 这与此处 w ( t ) > 0 矛盾。 (ii) w ( t ) > 0 ， t ∈ ( t ∗ ， t ∗ ) ， w ( t ∗ ) = 0 ， w ( t ∗ ) = 0 ， t ∗ = 1 与(i)同理，由定理1得 w ( t ) < 0 这与假设 w ( t ) > 0 相矛盾。 (iii) w ( t ) > 0 ， t ∈ ( t ∗ ， t ∗ ) ， w ( t ∗ ) = 0 ， w ( t ∗ ) > 0 ， t ∗ = 1 此处，又分两种情况 ① t ∗ = 0 ，即 w ( 0 ) = 0 ， w ( 1 ) > 0 ， w ( t ) > 0 ， t ∈ ( 0 ， 1 ) 与(i)同理可推出 − w ″ ( t ) = − ( a ( t ) − w ( t ) ) ′ ​ ′ ≤ 0 又有 w ( 0 ) = 0 ， w ( 1 ) = a ( 1 ) − u ( 1 ) ≤ α ∫ 0 1 a ( s ) d s − α ∫ 0 1 u ( s ) d s = α ∫ 0 1 w ( s ) d s 。 由定理2可得 w ( t ) ≤ 0 这与假设的 w ( t ) > 0 相矛盾。 ③ t ∗ > 0 时，又分为两种情况 1' ∃ t ′ ∈ ( 0 ， t ∗ ) ， w ( t ′ ) > 0 这与上述开头的假设类似，将 t 1 换作 t ′ ，同理在 ( 0 ， t ∗ ) 进行讨论，得出矛盾。 2' ∀ t ∈ ( 0 ， t ∗ ) ， w ( t ) ≤ 0 由①得 − w ″ ( t ) = − ( a ( t ) − w ( t ) ) ′ ​ ′ ≤ 0 ， w ( t ∗ ) = 0 和 w ( 1 ) = a ( 1 ) − u ( 1 ) ≤ α ∫ 0 1 a ( s ) d s − α ∫ 0 1 u ( s ) d s = α ∫ 0 1 w ( s ) d s = α ∫ 0 t ∗ w ( s ) d s + α ∫ t ∗ 1 w ( s ) d s ≤ α ∫ t ∗ 1 w ( s ) d s 对以上讨论的定理2改变定义域，变化为 { − u ″ ( t ) + c ( t ) u ( t ) ≥ 0 ， t ∈ ( t ∗ ， 1 ) u ( t ∗ ) ≥ 0 ， u ( 1 ) ≥ α ∫ t ∗ 1 u ( s ) d s 应用此比较原理可得 w ( t ) ≤ 0 这与假设 w ( t ) > 0 相矛盾。 综上所述， t 1 不存在， u ( t 1 ) < a ( t 1 ) 不成立，于是得到在 ( 0 ， 1 ) 上，有 u ( t ) ≥ a ( t ) . 同理，可以证明在 ( 0 ， 1 ) 上，有 u ( t ) ≤ b ( t ) 。 此时就证明了问题(4)至少有一个解，然后令 G ( t ， s ) 是这个问题的格林函数 − u ″ = w ( t ) ， u ( 0 ) = u ( 1 ) = 0 . 然后看下面这个等式 { − u ″ = w ( t ) u ( 0 ) = 0 ， u ( 1 ) = α ∫ 0 1 u ( s ) d s (5) 当且仅当 u ( t ) = ψ ( t ) + ∫ 0 1 G ( t ， s ) w ( s ) d s 时，存在一个解u，其中 ψ ( t ) = 0 + t ( α ∫ 0 1 u ( s ) d s − 0 ) . 给出 G ( t ， s ) 的表达式 G ( t ， s ) = { s ( 1 − t ) ， 0 ≤ s ≤ t ， t ( 1 − s ) ， t ≤ s ≤ 1. 考虑由下列等式给出的算子 T : u ↦ T u T ( u ) ) ( t ) : = ψ ( t ) + ∫ 0 1 G ( t ， s ) f ∗ ( s ， u ( s ) ) d s 由上述(Δ 4 )，(3)和 f ∗ 的定义可知，它服从 T : X → X : = ( C ( [ 0 ， 1 ] ， R ) ， | · | ∞ ) 即定义它是连续的，并且 T ( X ) 是有界集。另外，当 u = T u ，u是(4)的一个解，同时(1)的解也满足(2)。由Schauder不动点定理可以得到算子T的不动点的存在性，所以只要我们检验 T ( X ) 相对紧就可以了。 令 t ∈ ( 0 ， 1 ) ，由(3)可得 | d d t T ( u ) ( t ) | = | ( α − β ) + d d t ∫ 0 t s ( 1 − t ) f ∗ ( s ， u ( s ) ) d s + d d t ∫ t 1 t ( 1 − s ) f ∗ ( s ， u ( s ) ) d s | ≤ ( α − β ) + ∫ 0 t s | f ∗ ( s ， u ( s ) ) | d s + ∫ t 1 ( 1 − s ) | f ∗ ( s ， u ( s ) ) | d s ≤ ( α − β ) + ∫ 0 t s h ( s ) d s + ∫ t 1 ( 1 − s ) h ( s ) d s = ( α − β ) + γ ( t ) 我们现在证明 γ ∈ L 1 ( ( 0 ， 1 ) ， R ) 。通过Arzelà-Ascoli定理可以确保 T ( X ) 的紧性。可以通过简单的分部积分计算得到结果。 ∫ 0 1 | γ ( s ) | d s = ∫ 0 1 γ ( t ) d s ≤ lim t → 1 − ( 1 − t ) ∫ 0 t s h ( s ) d s + lim t → 0 − t ∫ t 1 ( 1 − s ) h ( s ) d s + 2 ∫ 0 1 s ( 1 − s ) h ( s ) d s ≤ 4 ∫ 0 1 s ( 1 − s ) h ( s ) d s < + ∞ 证明完毕。