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user: 3. BLDA分类 3.1. BLDA分类算法 贝叶斯线性判别(BLDA)算法是基于最小二乘法及贝叶斯线性回归方法的一种结合。BLDA主要是对需要分类的脑电数据投影方向作出假设，然后通过训练数据样本给出后验概率模型，得出的后验概率模型的均值向量即为求得的最优投影方向，以此实现脑电数据的分类。 3.1.1. 线性最小二乘回归 在线性回归方法中给定一个目标集 Y = { y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n } ，输入集为 X = { x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n } ，输入的每一个向量为x i ，其中 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，然后寻找一个权重向量ω使得输入向量x i 与输出值相匹配，因此为使得目标值和实际输出值间的误差达到最小，使用最小二乘法进行计算，公式如下： J ( ω ) = ∑ i = 1 n ( y i − ω T x i ) 2 (1) 然后J(ω)对ω求取导数如下： ω = ( X X T ) − 1 X y (2) 其中 X = { x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n } ， Y = { y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n } ，为避免回归过程中的过拟合问题需要加入一个正则化项，如下： J ( ω ) = ∑ i = 1 n ( y i − ω T x i ) 2 + λ ω T I ′ ω (3) 上式(3)又被称为岭回归准则函数，式子中 I ′ 是单位矩阵，λ表示由交叉验证得到的正则化参数，由此可得ω权重向量为： ω = ( X X T + λ I ′ ) − 1 X y (4) 此时对于一个输入向量x i 即可得到相对应的目标值，如下： y i = ω T x i (5) 3.1.2. BLDA分类算法 脑电信号样本中无关信号(例如肌电信号、眼动信号等)的存在会干扰BLDA分类效果，假设这部分无关信号为n，目标集 Y = { y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n } 与输入集 X = { x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n } 呈线性相关，假设一个高斯分布如下式(6)： y = ω T x + n (6) 在这个假设的基础之上，根据最小二乘法岭回归目标函数，来作为脑电信号集合概率分布指数，可得： p ( ω ) = 1 a exp ( − J ( ω ) ) (7) 上式(7)中a是一个常数，J函数是最小二乘法岭回归准则函数。因此可把对于ω权重的分布分为误差和正则化项的乘积，如下： p ( ω ) = 1 a exp ( − ∑ i = 1 n ( y i − ω T x i ) 2 ) exp ( − λ ω T I ′ ω ) (8) 在回归目标、输入向量及高斯噪声相关曲线的假设条件下，上式(8)中第一项可转换为ω似然函数，如下： p ( t | β ， ω ) = ( β 2π ) n 2 exp ( − β 2 ‖ X T ω − y ‖ 2 ) (9) 其中β是噪声的逆，在一定程度上视为一个常量。为增加分类模型泛化能力，因此添加偏置项，即ω的最后一项。为进一步运用贝叶斯理论，需对ω权重指定先验分布，如下： p ( ω | α ) = ( α 2π ) t 2 ( ε 2π ) 1 2 exp ( − 1 2 ω T I ′ ( α ) ω ) (10) 上式(10)中 I ′ ( α ) 是 ( t + 1 ) × ( t + 1 ) 的对角矩阵，t是脑电信号特征向量的维度，ε设定为一个极其小的值，不用作任何假设分布。根据似然函数及先验分布，可以由贝叶斯计算出后验分布，如下： P ( ω | β ， α ， t ) = p ( t | β ， ω ) P ( ω | α ) ∫ P ( t | β ， ω ) P ( ω | α ) d ω (11) 后验分布也为高斯分布其均值m和方差b均满足以下条件： m = β ( β X X T + I ′ ( α ) ) X y ，     b = ( β X X T + I ′ ( α ) ) − 1 (12) 由以上式子可计算出预测分布，有： p ( y | β ， α ， x ， t ) = ∫ p ( y | β ， x ， ω ) P ( ω | β ， α ， t ) d ω (13) 预测分布同样为高斯分布，其均值、方差满足以下式子(14)： μ = m T x ，     σ 2 = 1 β + x T b x (14) 由后验分布的均值和方差计算α和β参数，如下： α = t ∑ i = 1 t c i i + m i 2 ，       β = n t r ( X X T b ) + ‖ X T m − y ‖ (15) 式子(15)中c ii 是方差矩阵对角线上i行i列的元素，m i 是均值向量中第i个元素。重复以上式子直到参数α及β收敛达到最大似然解求得m，以此达到分类的目的。 3.1.3. BLDA对P300信号的识别 进行BLDA分类前需要对实验采集的脑电数据进行降采样的特征提取操作，来提取出信号波形特征。截取信号数据中靶刺激出现前100毫秒到靶刺激出现后800毫秒的波形段，降低采样频率同时降低采样点数目，以提取到更加契合脑电信号的特征向量。由于采样的通道数为64，因此每行或列的特征向量大小均为78 × 64。然后把提取到的信号特征放进BLDA进行训练得出算法模型来进行脑电信号的测试分类。对于分类器的结果，P300信号输出值为1，非P300信号输出值为0，然后根据每个P300的行列标签对应到相应的目标字符并输出。 3.2. 实验一数据分类结果 为控制BCI用户需要产生不同的大脑活动模式，而这些模式将会被系统识别分类并且转换成外界设备可识别的操作命令。在现有的大多数BCI中这种模式的转换依赖于分类算法，即一种旨在自动估计特征向量表示的数据类型算法，本研究中使用的分类算法是贝叶斯线性判别分析法(BLDA) [ 11 ] 。对每次的均值进行叠加，叠加均值的最大值对应的目标即是BLDA算法得出的分类结果 [ 12 ] 。在分类特征向量时，我们采用打乱全部字符顺序的方法进行训练，然后将测试数据分类识别正确率叠加平均。另外，根据正确率叠加次数的不同会产生不同的正确率，实验中我们设置了15个序列(序号1到12各随机高亮一次为一个序列)的叠加，产生15组分类正确率。我们分别对BCI原始数据和样本扩增后数据进行训练和测试，正确率对比如图5所示，BLDA对两名被试的扩增数据的分类均比对原始数据分类正确率高。从BCI Competition III公共数据平均分类正确率来看，实验的分类正确率均随着叠加次数的增加而增加。两名被试平均在叠加13次时达到70%以上的分类正确率，而在训练样本容量扩增后，叠加11次时达到了70%以上的分类正确率。 图5. BLDA对原始样本和扩增样本分类正确率对比 3.3. 实验二数据分类结果 用BLDA分别对原始实验数据和扩增样本数据进行训练和测试，每个被试数据产生15组分类正确率，其分类正确率对比如图6所示，BLDA对9名被试的扩增数据的分类均比对原始数据分类正确率高，实验二的实验结果验证了这种样本容量扩增方法的显著性效果。从验证实验数据平均分类正确率来看，实验的分类正确率均随着叠加次数的增加而增加。九名被试平均在叠加10次时达到80%以上的分类正确率，使用扩增后样本训练后能在叠加第6次时达到80%以上的分类正确率，并且在使用扩增样本训练后公共数据和验证数据分类叠加15次中每次叠加的平均正确率都高于原始数据的每次叠加结果，这充分展示了样本扩增方法的有效性。 图6. BLDA对原始样本和扩增样本分类正确率对比