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user: 2. 模型构建 2.1. 特征分析 综合考虑影响COVID-19的各种因素，为了使所选取的指标具有全面性和代表性，采用Pearson相关系数筛选出确诊人数，治愈人数，死亡人数，国民生产总值，人口密度，疫情持续时间六个指标作为研究对象，由于COVID-19的来源及首例传染病人的日期未确定，暂时以2019年12月1日作为疫情开始时间。具体指标可以区分为正向指标和逆向指标：正向指标也称为效益型指标，指标原始数值越大，对控制COVID-19疫情的发展越有利；正向指标原始数值越小，对控制COVID-19疫情发展越不利。逆向指标也称为成本型指标，逆向指标原始数值越小，对控制COVID-19疫情越有利；逆向指标原始数值越大，对控制疫情越不利。所选取的指标中，治愈人数，国民生产总值，人口密度3个指标为正向指标；确诊人数，死亡人数，疫情持续时间3个指标为逆向指标。 令隶属函数 [ 4 ] u h ( x ) = { u h + ( x ) ， x   为 正 向 指 标 u h − ( x ) ， x   为 逆 向 指 标 正向指标隶属度 u h + ( x ) 为： u h + ( x ) = { 1 ，         x = x max x − x min x max − x min ， x min < x < x max 0 ，         x = x min (1) 逆向指标隶属度 u h − ( x ) 为： u h − ( x ) = { 1 ，       x = x min x max − x x max − x min ， x min < x < x max 0 ，       x = x max (2) 其中 x max ， x min 分别表示第i个指标的m个样本原始数据值中的最大、最小值，式(1)式(2)中的 u h ( x ) ∈ [ 0 ， 1 ] ，隶属函数值越接近于1表示疫情防控水平越好，当 u h ( x ) = 1 时达到最优控制水平。 根据分析各项指标对COVID-19每日新增感染人数的影响显著水平，各指标之间的关联程度及各指标的信息量决定指标的权重，从而在一定程度上避免了主观因素带来的偏差。设 x i j (经过无量纲化后，数据不能为0)表示第j个样本的第i个指标的数值， ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ; i = 1 ， 2 ， ⋯ ， p ) ，其中m和p分别为样本个数和指标个数。采用熵值法确定各指标权重的大小，进行权重变换，计算得出各指标新的权重： ω i = g i ∑ i = 1 p g i (3) 其中 g i 代表第i个指标的信息熵冗余度，将治愈人数，国民生产总值，人口密度3个正向指标带入隶属函数式(1)，确诊人数，死亡人数，疫情持续时间3个逆指标原始数据值带入隶属函数式(2)分别计算出其隶属度。再由熵值法计算出指标的权重向量集 ω ，结果如表1所示： Table 1 The weight vector set of influencing factor inde 治愈数(人) GDP (十万亿美元) 人口密度 确诊数(人) 死亡数(人) 持续时间(天) 0.18849755 0.11101362 0.09738699 0.29422281 0.23285441 0.07602461 表1. 影响因素指标的权重向量集 由表1看出确诊人数和死亡人数权重较大，是分析新型冠状病毒肺炎传染性的两个重要指标，其中治愈数和死亡人数是反映此次疫情医疗条件的重要指标；GDP是反映此次疫情的经济指标；确诊人数和持续时间与政策有着密不可分的关系，将其作为政策指标。 2.2. 函数的构建 根据中国与世界新型冠状病毒疫情确诊人数增长率对比图，如图1所示：可以清晰地看出，2020年1月22日至2月20日中国与世界的疫情增长趋势基本一致，但是2月20日之后有了明显差异，中国的疫情增长率一直逼近X轴，显然是中国采取了有效的政策防疫措施，成功抑制住了新型冠状病毒疫情的增长。 图1. 中国2020年1月至5月与世界疫情增长率对比 国内COVID-19疫情的发展大体上可以分为以下三个阶段： 第一阶段(2020年1月22至29日)：爆发期，1月29日达到峰值，共8天； 第二阶段(2020年1月30日至2月13日)：持续期，共14天； 第三阶段(2020年2月14日至4月15日)：衰退期，共62天。 COVID-19疫情发展的各个阶段，各因素取值和变化规律(函数)不同，因此，需要用分段函数来描述疫情各阶段实际情况。 2.2.1. 防疫政策函数 防疫政策函数p(t)是一个由政府的防疫政策措施决定二分变量，它的变化反映了政府措施的力度。防疫政策函数值由政府对疫情关注程度决定。其中，疫情刚爆发时，因为政府还没有出台相应的政策，所以对于疫情感染人数来说是没有影响记为0，然后随着疫情时间的持续，政策一旦出台，就会影响抑制传播人数的增长速率，因此有影响就记为1。政府对疫情的关注程度是随着疫情的严重性逐渐增加的，并且在认识到COVID-19疫情危害之后会越来越受关注，在关注度达到一定程度时，其增长速度也会逐渐减缓，最终在某一水平逐渐趋于稳定。因此，对实验数据采用分段函数光滑化拟合得到如下防疫政策函数 [ 5 ]： p ( t ) = { 0 ，       t < 8 ， 1 98 ( t − 8 ) 2 ，   8 ≤ t < 15 ， − 1 98 ( t − 22 ) 2 + 1 ， 15 ≤ t < 22 ， 1 ，       t ≥ 22. (4) 其中t为疫情爆发天数。为了直观地表现出防疫政策函数的变化趋势，图2给出防疫政策函数趋势图： 函数的拐点出现在第八天、第十五天、第二十二天。疫情开始的前八天，政府对于疫情认识不足，政策滞后。在政府认识到疫情危害时，迅速做出反应，出台一系列防控政策。在达到一定防疫程度之后，政府出台政策缓慢，并在第二十二天关注度及采取的防控措施力度基本达到最大值。该防疫政策函数的建立主要是基于中国的疫情数据所得，所以能很好的反应出我国疫情爆发的天数与政策力度之间的关系，从而为后续进一步建立Logistic预测传染率模型做准备。 图2. 防疫政策函数 2.2.2. 经济函数 经济函数g(u)是由我国经济水平决定，表示经济对COVID-19疫情的影响。国家经济决定了政府对于抗击疫情财力上的支持，因此，总体经济水平越高，抗击疫情的力度就相对越大。因此，由于国内总体经济水平对医疗政策等有一定的促进作用，可定义： g ( u ) = u (5) 其中u为国民生产总值，取2019年国民生产总值1.4311 (单位：十万亿元)，带入得 g ( u ) = 1.4311 。 2.2.3. 医疗函数 [ 6 ] 医疗函数h(t)是由有效医疗决定的，定义有效医疗为国家及社会对COVID-19防控及治疗投入的人力，物力，财力等。在疫情期间，国家及社会对COVID-19的医疗投入随时间变化快速增大；在疫情持续期时，医疗投入随时间逐渐缓和，达到某一顶峰；在疫情衰退期，医疗投入总和基本趋于平稳。因此，考虑如下医疗函数： h ( t ) = β t (6) 其中 β 为调节参数。图3给出医疗函数趋势，其中四条曲线从上到下依次为 β = 4 ， 3 ， 2 ， 1 时医疗函数的曲线。 图3. COVID-19医疗函数 2.3. Logistic预测模型 基于上述构建的防控政策函数、经济函数和医疗函数，建立以下Logistic传染率预测模型： y = k b 1 + α ∗ q − ( m 1 g ( u ) + m 2 p ( t ) + m 3 h ( t ) ) t (7) 其中 α ， k 为参数；q表示传染率；t表示时间，共85天； m i ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 表示函数对应的权重；b表示人口密度，p(t)为防疫政策函数，g(u)为经济函数，h(t)为医疗函数。考虑到用最小二乘方法，即通过求解下述模型获得未知参数的估计。 min k ， b ， α ， q ∑ t = 1 85 ( y t − k b 1 + α ∗ q − ( m 1 g ( u ) + m 2 p ( t ) + m 3 h ( t ) ) t ) 2 . (8) 注意到k、b都是常数，因此上述模型可以等价求解 min k ， b ， α ， q ∑ t = 1 85 ( y t − K 1 + α ∗ q − ( m 1 g ( u ) + m 2 p ( t ) + m 3 h ( t ) ) t ) 2 . (9) 其中 K = k b 。 采用Armijo步长的梯度下降法求解上述问题。然而，上述问题是非凸的，很难获得其全局最优解，因此，初始点的选择是至关重要的。通过我国传染人口数据图，结合Logistic预测模型特征，可以选择初始点为 K 0 = 100000 ， α 0 = 1 ， q 0 = e . 此外，选择Armijo步长初始步长 a = 1 ，调节参数 b = 0.8 。拟合结果如图4所示。 图4. 调参拟合图 图4中纵坐标表示传染人口总数，横坐标为疫情爆发时间。从左至右，从上到下，依次表示医疗函数调节参数 β = 1 ， 50 ， 100 ， 200 的拟合情况，其中红色表示拟合结果，蓝色表示真实数据。事实上， β = 1 时，更趋于真实情况，这是因为疫情初期的传播速度是快速的，不会出现平稳的情况，上图中只有 β = 1 是满足条件的。此时，参数估计值 K = 93835 ， q = 1.0005 。 根据上述建立的模型，K表示为某地区感染该病的最大人数，因此对于此次COVID-19疫情而言，我国最大感染人数为93，835人，从定性上分析我们知道：“大流行”特征所指的不是疾病的严重性(致死率)，而是疾病传播的广泛程度(感染率)，其与流行病的传播广泛程度最大的区别在于其是在全球范围内进行的传播，因此在考虑感染率的过程中还需加入全世界感染该病毒的国家数这一指标，构建以下感染率模型：其中K表示为某地区感染该病的最大人数，P表示该地区人口总数，G表示感染国家数占比，I (感染率/万人)。即 I = K ∗ G P