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user: 2. 预备知识 首先，讨论模余代数的刻画问题。 命题2.1：设 H 是Hopf代数， C 是 K -余代数，且有左 H -模结构 φ : H ⊗ C → C 。则下列结论等价： (1) C 是一个左 H -模余代数； (2) φ 是余代数同态； (3) C 的余乘 Δ : C → C ⊗ C 和余单位 ε : C → K 都是 H -模同态。 证明：命题条件已经给出(MC1)，结论之间的等价性证明如下： 由结论⑴知，条件(MC2)和(MC3)成立，等价于下列等式成立： Δ C φ = ( φ ⊗ φ ) ( 1 ⊗ T ⊗ 1 ) ( Δ H ⊗ Δ C ) (2.1) ε C φ = l ( ε H ⊗ ε C ) (2.2) 其中 l : K ⊗ K → K ，   l ( k ( 1 ) ⊗ k ( 2 ) ) = k ( 1 ) k ( 2 ) 是结构映射，我们通常将 l 简化掉。 注意到， H ⊗ C 也是一个余代数，余乘为 Δ H ⊗ C = ( 1 ⊗ T ⊗ 1 ) ( Δ H ⊗ Δ C ) ，余单位为 ε H ⊗ C = l ( ε H ⊗ ε C ) 。将等式(2.1)和(2.2)箭图化，利用余代数同态的定义及箭图的交换性，即可得知结论⑴和结论⑵等价。 因为 Δ H 和 ε H 都是代数同态，则由 C 是左 H -模可知， C ⊗ C 也是左 H -模，其中模的结构映射为 φ C ⊗ C : H ⊗ C ⊗ C → C ⊗ C ，   φ C ⊗ C = ( φ ⊗ φ ) ( 1 ⊗ T ⊗ 1 ) ( Δ H ⊗ 1 ⊗ 1 ) 由于 K 是左 K -模，则 K 也是左 H -模，结构映射为 φ K : H ⊗ K → K ，   φ K = l ( ε H ⊗ 1 ) 现将等式(2.1)和(2.2)恒等变形为 Δ C φ = ( φ ⊗ φ ) ( 1 ⊗ T ⊗ 1 ) ( Δ H ⊗ 1 ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ Δ C ) (2.3) ε C φ = l ( ε H ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ ε C ) (2.4) 显然，(2.3)和(2.4)事实上就是 Δ C φ = φ C ⊗ C ( 1 ⊗ Δ C ) 和 ε C φ = φ K ( 1 ⊗ ε C ) 。 由上文表述所构建的箭图分别为图1和图2。 图1. 等式(2.3)对应的交换箭图 图2. 等式(2.4)对应的交换箭图 可知，等式(2.1)和(2.2)成立，则相当于图1和图2的交换性分别都成立，即结论(1)和结论(3)等价。 □ 命题2.2：设 H ′ 和 H 都是 K -Hopf代数，且 f : H ′ → H 为Hopf代数同态。那么 M 为左 H -模余代数(模代数)，则 M 必是左 H ′ -模余代数(模代数)。 证明：只对模余代数的情形进行证明，另一情形同理可证。 设 ( M ， φ ) 为左 H -模余代数，则易知 M 必是 H ′ -模，其中模结构映射为 φ ′ = φ ( f ⊗ 1 ) ，即 h ′ ∘ m = f ( h ′ ) ⋅ m ，   ∀ h ′ ∈ H ′ ，   m ∈ M 。于是(MC1)成立。 另外， Δ M ( h ′ ∘ m ) = Δ M ( f ( h ′ ) ⋅ m ) = ∑ f ( h ′ ) ( 1 ) ⋅ m ( 1 ) ⊗ f ( h ′ ) ( 2 ) ⋅ m ( 2 ) = ∑ f ( h ′ ( 1 ) ) ⋅ m ( 1 ) ⊗ f ( h ′ ( 1 ) ) ⋅ m ( 2 ) = ∑ h ′ ( 1 ) ∘ m ( 1 ) ⊗ h ′ ( 1 ) ∘ m (2) 即 Δ M ( h ′ ∘ m ) = ∑ h ′ ( 1 ) ∘ m ( 1 ) ⊗ h ′ ( 1 ) ∘ m ( 2 ) 。所以(MC2)成立。 最后， ε M ( h ′ ∘ m ) = ε M ( f ( h ′ ) ⋅ m ) = ε H ( f ( h ′ ) ) ε M ( m ) = ε H ( h ′ ) ε M ( m ) 。所以(MC3)成立。 □ 如果 M 为 K -空间， M ∗ 为 M 的对偶 K -空间。若 ( M ， φ ) 是左 A -模，且 φ ( a ⊗ m ) = a ⋅ m ，那么 ( M ∗ ， φ ∗ ) 是右 A -模，并且 φ ∗ ( m ∗ ⊗ a ) = m ∗ ← a ，其中 〈 m ∗ ← a ， m 〉 = 〈 m ∗ ， m ⋅ a 〉 ，   ∀ m ∈ M ，   m ∗ ∈ M ∗ ，   a ∈ A 类似地， M 为右 A -模可以得到 M ∗ 为左 A -模，其中 〈 a → m ∗ ， m 〉 = 〈 m ∗ ， m ⋅ a 〉 。 与 C ∗ 必然具有代数结构不同的是， K -代数 A 的对偶空间 A ∗ 未必是余代数。但含在 A ∗ 内的 A ∘ 却具 有代数的结构 [ 1 ] ，为此，我们有下列结果。 定理2.1：设 H 为 K -Hopf代数，那么 (1) A 是一个左 H -模代数，那么 A ∘ 是一个右 H -模余代数； (2) C 是一个左 H -模余代数，那么 C ∗ 是一个右 H -模代数。 证明：(1) 因为 ( A ， M ， u ) 是 K -代数，则 ( A ∘ ， M ∗ ， u ∗ ) 是 K -余代数，欲证(MC1)成立，只需证明 A ∘ 为 A ∗ 的子模即可。也就是说， ∀ h ∈ H ，   a ∘ ∈ A ∘ ，   a ∘ ← h ∈ A ∘ 。为此，我们将此问题与(MC2)的证明综合考虑。 ∀ a ， b ∈ A ， 〈 M ∗ ( a ∘ ← h ) ， a ⊗ b 〉 = 〈 a ∘ ← h ， a b 〉 = 〈 a ∘ ， h ⋅ a b 〉 = ∑ 〈 a ∘ ， ( h ( 1 ) ⋅ a ) ( h ( 2 ) ⋅ b ) 〉 = ∑ 〈 M ∗ ( a ∘ ) ， ( h ( 1 ) ⋅ a ) ⊗ ( h ( 2 ) ⋅ b ) 〉 = ∑ 〈 a ( 1 ) ∘ ⊗ a ( 2 ) ∘ ， ( h ( 1 ) ⋅ a ) ⊗ ( h ( 2 ) ⋅ b ) 〉 = ∑ 〈 a ( 1 ) ∘ ， h ( 1 ) ⋅ a 〉 〈 a ( 2 ) ∘ ， h ( 2 ) ⋅ b 〉 = ∑ 〈 a ( 1 ) ∘ ← h ( 1 ) ， a 〉 〈 a ( 2 ) ∘ ← h ( 2 ) ， b 〉 = 〈 ∑ ( a ( 1 ) ∘ ← h ( 1 ) ) ⊗ ( a ( 2 ) ∘ ← h ( 2 ) ) ， a ⊗ b 〉 所以 M ∗ ( a ∘ ← h ) = ∑ ( a ( 1 ) ∘ ← h ( 1 ) ) ⊗ ( a ( 2 ) ∘ ← h ( 2 ) ) 。上式表明(MC1)和(MC2)都成立。 另外， u ∗ ( a ∘ ← h ) = 〈 a ∘ ← h ， 1 A 〉 = 〈 a ∘ ， h ⋅ 1 A 〉 = 〈 a ∘ ， ε ( h ) 1 A 〉 = ε ( h ) 〈 a ∘ ， 1 A 〉 = ε ( h ) u ∗ ( a ∘ ) ，即 u ∗ ( a ∘ ← h ) = ε ( h ) u ∗ ( a ∘ ) ，故(MC3)成立。由上可知， A ∘ 是一个右 H -模余代数。 (2) 因为 ( C ， Δ ， ε ) 是左 H -模余代数，那么自然知 ( C ∗ ， Δ ∗ ， ε ∗ ) 为代数且 C ∗ 为右 H -模，所以(MA1)成立。 下面只需证明(MA2)和(MA3)成立即可。 ∀ h ∈ H ，   ∀ c ∗ ， d ∗ ∈ C ∗ ，   c ∈ C ， 〈 c ∗ d ∗ ← h ， c 〉 = 〈 Δ ∗ ( c ∗ ⊗ d ∗ ) ， h ⋅ c 〉 = 〈 c ∗ ⊗ d ∗ ， Δ ( h ⋅ c ) 〉 = ∑ 〈 c ∗ ⊗ d ∗ ， h ( 1 ) c ( 1 ) ⊗ h ( 2 ) c ( 2 ) 〉 = ∑ 〈 c ∗ ， h ( 1 ) ⋅ c ( 1 ) 〉 〈 d ∗ ， h ( 2 ) ⋅ c ( 2 ) 〉 = ∑ 〈 c ∗ ← h ( 1 ) ， c ( 1 ) 〉 〈 d ∗ ← h ( 2 ) ， c ( 2 ) 〉 = ∑ 〈 ( c ∗ ← h ( 1 ) ) ⊗ ( d ∗ ← h ( 2 ) ) ， c ( 1 ) ⊗ c ( 2 ) 〉 = ∑ 〈 ( c ∗ ← h ( 1 ) ) ⊗ ( d ∗ ← h ( 2 ) ) ， Δ ( c ) 〉 = 〈 ∑ ( c ∗ ← h ( 1 ) ) ( d ∗ ← h ( 2 ) ) ， c 〉 所以 c ∗ d ∗ ← h = ∑ ( c ∗ ← h ( 1 ) ) ( d ∗ ← h ( 2 ) ) ，即(MA2)成立。 最后，由于 ε = 1 c ∗ ，则 〈 1 c ∗ ← h ， c 〉 = 〈 ε ， h ⋅ c 〉 = ε ( h ⋅ c ) = ε ( h ) ε ( c ) = 〈 ε ( h ) ε ， c 〉 = 〈 ε ( h ) 1 c ∗ ， c 〉 进而， 1 c ∗ ← h = ε ( h ) 1 c ∗ ，即(MA3)成立。 所以， C ∗ 是一个右 H -模代数。 □ 推论2.1：设 H 为Hopf代数，则 H 自然是一个左 H -模代数和左 H -模余代数。所以 H ∘ 是一个右 H -模余代数， H ∗ 是一个右 H -模代数。 推论2.2：设 H 为 K -Hopf代数， S 为反极元；而 A 为 K -代数。那么 A 可以成为一个左 H -模代数，其中模结构映射 γ : H ⊗ A → A ， γ ( h ⊗ a ) = h ⋅ a 具有如下等式： h ⋅ a = γ ( h ( 1 ) ) a γ ( S ( h ( 2 ) ) ) ， ∀ h ∈ H ， ∀ a ∈ A 。 定义2.1：设 H 是 K -Hopf代数， C 是 K -余代数。称 C 为左 H -余模余代数，若下列三条成立： (CC1) C 是左 H -余模，结构映射 ρ : C → H ⊗ C ，其中 ρ ( c ) = ∑ c ( − 1 ) ⊗ c ( 0 ) ； (CC2) ∑ ( c ( 1 ) ) ( − 1 ) ( c ( 2 ) ) ( − 1 ) ⊗ ( c ( 1 ) ) ( 0 ) ⊗ ( c ( 2 ) ) ( 0 ) = ∑ c ( − 1 ) ⊗ ( c ( 0 ) ) ( 1 ) ⊗ ( c ( 0 ) ) ( 2 ) ； (CC3) ∑ c ( − 1 ) ε ( c ( 0 ) ) = ε ( c ) 1 H ，   ∀ c ∈ C 。 类似地可以定义右 H -余模余代数。 例2.1：设 H 为Hopf代数， C 为余代数，而 f ∈ H o m ( C ， H ) 是一个余代数同态，如果 f 作为卷积代数 H o m ( C ， A ) 中的可逆元，那么 C 必是一个 H -余模余代数，其中余模结构映射 ρ : C → H ⊗ C ， ρ ( c ) = ∑ f ( c ( 1 ) ) f − 1 ( c ( 3 ) ) ⊗ c ( 2 ) 。 对 H -余模余代数的刻画如下： 命题2.3：设 H 为Hopf代数，余代数 C 为左 H -余模，其中余模结构映射为 ρ C : C → H ⊗ C ，那么 C 为左 H -余模余代数的充分必要条件是 C 的余乘 Δ 和余单位 ε 都是余模同态。 证明：易知，作为 H -余模余代数的条件(CC2)和(CC3)，分别等价于下列等式： ( M H ⊗ 1 ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ T ⊗ 1 ) ( ρ ⊗ ρ ) Δ C = ( 1 ⊗ Δ C ) ρ C (2.5) ( 1 ⊗ ε C ) ρ C = ( u H ⊗ 1 ) l ε C (2.6) 其中 l : K → K ⊗ K 为同构映射。 另一方面，由于 M H : H ⊗ H → H 和 u H : K → H 都是余代数同态，故知 C ⊗ C 和 K 均为左 H -余模，它们的余模结构映射分别为： ρ C ⊗ C = ( M H ⊗ 1 ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ T ⊗ 1 ) ( ρ c ⊗ ρ c ) ，   ρ K = ( u H ⊗ 1 ) l 由此可知， Δ : C → C ⊗ C 构成左 H -余模同态当且仅当 ρ C ⊗ C Δ C = ( 1 ⊗ Δ C ) ρ C ，即(2.5)成立； ε : C → K 构成左 H -余模同态当且仅当 ( 1 ⊗ ε C ) ρ C = ρ K ε C ，即(2.6)成立。 □ 在 H -模代数的讨论中我们曾引入了Smash积的概念，在 H -余模余代数中我们也可以对偶地讨论 Smash余积。 定义2.2 设 H 为Hopf代数， C 是一个左 H -余模余代数，那么可以构造 C 和 H 的Smash余积 C ∗ H ，其中，作为 K -空间， C ∗ H = C ⊗ H ， C ∗ H 中的元素记为 c ∗ h 。另外，在 C ∗ H 中定义余乘 Δ : C ∗ H → ( C ∗ H ) ⊗ ( C ∗ H ) ，   Δ ( c ∗ h ) = ∑ ( c ( 1 ) ∗ c ( 2 ) ( − 1 ) h ( 1 ) ) ⊗ ( c ( 2 ) ( 0 ) ∗ h ( 2 ) ) ， 以及余单位 ε : C ∗ H → K ，   ε ( c ∗ h ) = ε ( c ) ε ( h ) 。 定理2.2：设 H 为Hopf代数， C 为左 H -余模余代数，那么Smash余积 C ∗ H 关于给定的 余乘和余单位构成一个余代数。 证明： ( Δ ⊗ 1 ) Δ ( c ∗ h ) = ∑ Δ ( c ( 1 ) ∗ c ( 2 ) ( − 1 ) h ( 1 ) ) ⊗ ( c ( 2 ) ( 0 ) ∗ h ( 2 ) ) = ∑ ( c ( 1 ) ( 1 ) ∗ c ( 1 ) ( 2 ) ( − 1 ) ( c ( 2 ) ( − 1 ) h ( 1 ) ) ( 1 ) ) ⊗ ( c ( 1 ) ( 2 ) ( 0 ) ∗ ( c ( 2 ) ( − 1 ) h ( 1 ) ) ( 2 ) ) ⊗ ( c ( 2 ) ( 0 ) ∗ h ( 2 ) ) = ∑ ( c ( 1 ) ( 1 ) ∗ c ( 1 ) ( 2 ) ( − 1 ) c ( 2 ) ( − 1 ) ( 1 ) h ( 1 ) ( 1 ) ) ⊗ ( c ( 1 ) ( 2 ) ( 0 ) ∗ c ( 2 ) ( − 1 ) ( 2 ) h ( 1 ) ( 2 ) ) ⊗ ( c ( 2 ) ( 0 ) ∗ h (2) ) = ∑ ( c ( 1 ) ( 1 ) ∗ c ( 1 ) ( 2 ) ( − 1 ) c ( 2 ) ( − 1 ) h ( 1 ) ) ⊗ ( c ( 1 ) ( 2 ) ( 0 ) ∗ c ( 2 ) ( 0 ) ( − 1 ) h ( 2 ) ) ⊗ ( c ( 2 ) ( 0 ) ( 0 ) ∗ h ( 3 ) ) = ∑ ( c ( 1 ) ∗ c ( 2 ) ( − 1 ) c ( 3 ) ( − 1 ) h ( 1 ) ) ⊗ ( c ( 2 ) ( 0 ) ∗ c ( 3 ) ( 0 ) ( − 1 ) h ( 2 ) ) ⊗ ( c ( 3 ) ( 0 ) ( 0 ) ∗ h ( 3 ) ) = ∑ ( c ( 1 ) ∗ c ( 2 ) ( − 1 ) h ( 1 ) ) ⊗ ( c ( 2 ) ( 0 ) ( 1 ) ∗ c ( 2 ) ( 0 ) ( 2 ) ( − 1 ) h ( 2 ) ) ⊗ ( c ( 2 ) ( 0 ) ( 2 ) ( 0 ) ∗ h (3) ) 另一方面， ( 1 ⊗ Δ ) Δ ( c ∗ h ) = ∑ ( c ( 1 ) ∗ c ( 2 ) ( − 1 ) h ( 1 ) ) ⊗ Δ ( c ( 2 ) ( 0 ) ∗ h ( 2 ) ) = ∑ ( c ( 1 ) ∗ c ( 2 ) ( − 1 ) h ( 1 ) ) ⊗ ( c ( 2 ) ( 0 ) ( 1 ) ∗ c ( 2 ) ( 0 ) ( 2 ) ( − 1 ) h ( 2 ) ( 1 ) ) ⊗ ( c ( 2 ) ( 0 ) ( 2 ) ( 0 ) ∗ h ( 2 ) ( 2 ) ) = ∑ ( c ( 1 ) ∗ c ( 2 ) ( − 1 ) h ( 1 ) ) ⊗ ( c ( 2 ) ( 0 ) ( 1 ) ∗ c ( 2 ) ( 0 ) ( 2 ) ( − 1 ) h ( 2 ) ) ⊗ ( c ( 2 ) ( 0 ) ( 2 ) ( 0 ) ∗ h (3) ) 所以， ( Δ ⊗ 1 ) Δ ( c ∗ h ) = ( 1 ⊗ Δ ) Δ ( c ∗ h ) 。 最后， ( ε ⊗ 1 ) Δ ( c ∗ h ) = ∑ ε ( c ( 1 ) ∗ c ( 2 ) ( − 1 ) h ( 1 ) ) ⊗ ( c ( 2 ) ( 0 ) ∗ h ( 2 ) ) = ∑ ε ( c ( 1 ) ) ε ( c ( 2 ) ( − 1 ) ) ε ( h ( 1 ) ) ( c ( 2 ) ( 0 ) ∗ h ( 2 ) ) = ∑ ε ( c ( 1 ) ) ( ε ( c ( 2 ) ( − 1 ) ) c ( 2 ) ( 0 ) ∗ h ) = ∑ ε ( c ( 1 ) ) ( c ( 2 ) ∗ h ) = c ∗ h ( 1 ⊗ ε ) Δ ( c ∗ h ) = ∑ ( c ( 1 ) ∗ c ( 2 ) ( − 1 ) h ( 1 ) ) ⊗ ε ( c ( 2 ) ( 0 ) ∗ h ( 2 ) ) = ∑ ( c ( 1 ) ∗ c ( 2 ) ( − 1 ) h ( 1 ) ) ε ( c ( 2 ) ( 0 ) ) ε ( h ( 2 ) ) = ∑ ( c ( 1 ) ∗ c ( 2 ) ( − 1 ) ε ( c ( 2 ) ( 0 ) ) h ( 1 ) ε ( h ( 2 ) ) ) = ∑ c ( 1 ) ∗ ε ( c ( 2 ) ) h = c ∗ h 所以， ( ε ⊗ 1 ) Δ = 1 ，   ( 1 ⊗ ε ) Δ = 1 . □ 已知当 M 是左 C ∗ -模时，那么 M ∗ 必然能成为右 C ∗ -模。习惯上记 M r 为 M ∗ 中的最大有理子模(或 M ∗ 中所有有限维子模的和)。 定理2.3：设 H 为Hopf代数，那么 (1) C 是一个左 H -余模余代数，则 C r 是一个右 H -余模代数； (2) A 是一个有限维的左 H -余模代数，则 A ∗ 是一个右 H -余模余代数。 证明：因为 A 是一个有限维的，所以 A ∗ = A 0 ，(2)的证明显然 [ 5 ] 。 (1) 只需证明 C r 是 C ∗ 的子代数即可。 设余模 C 的结构映射为 ρ ，令 ( C r ， ρ r ) 是 C r 的余模结构并给出赋值映射 ¯ ¯ : C → C ∗ ∗ ，其中 c ¯ ¯ ( c ∗ ) = c ∗ ( c ) ，   ∀ c ∈ C ，   ∀ c ∗ ∈ C ∗ 。如果由有理模的定义可知 c ∗ ∈ C ∗ ，那么 c ∗ ∈ C r ⇔ 存在 ρ c ∗ r ∈ C ∗ ⊗ H 使得 ( c ¯ ¯ ⊗ I H ) ( ρ c ∗ r ) = ( I H ⊗ c ⊗ ) ( ρ ( c ) ) ，   ∀ c ∈ C 由有理模的性质可知，这里 ρ c ∗ r = ρ r ( c ∗ ) 。又条件 ∑ c ( − 1 ) ε ( c ( 0 ) ) = ε ( c ) 1 H ，   ∀ c ∈ C 表明存在 ρ ε r ∈ C ∗ ⊗ H 使得 ρ r ( ε ) = ε ⊗ 1 ，即单位元 ε ∈ C r 。 设 f ， g ∈ C r ，那么 ∀ c ∈ C ∑ c ( − 1 ) 〈 f g ， c ( 0 ) 〉 = ∑ c ( − 1 ) ⊗ 〈 f ， c ( 0 ) ( 1 ) 〉 〈 g ， c ( 0 ) ( 2 ) 〉 = ∑ c ( 1 ) ( − 1 ) c ( 2 ) ( − 1 ) 〈 f ， c ( 1 ) ( 0 ) 〉 〈 g ， c ( 2 ) ( 0 ) 〉 = ∑ 〈 f ( 0 ) ， c ( 1 ) 〉 〈 g ( 0 ) ， c ( 2 ) 〉 f ( 1 ) g (1) 这表明 ρ f g r = f ( 0 ) g ( 0 ) ⊗ f ( 1 ) g ( 1 ) 存在，即 C r 对乘法封闭。 □