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user: 2. 共形迭代函数系统 此章节主要是介绍共形迭代函数系统的构造以及一些相关概念 [ 1 ] [ 2 ] [ 5 ]。 定义2.1 (共形迭代函数系统)设 X ⊂ ℝ d 是非空紧致连通集，I是有限集或者对等于 ℕ 。假设I至少含有两个元素，当S满足以下几个条件时，我们称 S : = { ϕ b : X → X | b ∈ I } 是共形迭代函数系统。 1. 单射：对所有的 i ∈ I ， ϕ i : X → X 是单射。 2. 一致压缩性： ∃ c ∈ ( 0 ， 1 ) ，使得对 ∀ i ∈ I ， x ， y ∈ X 下面不等式成立。 | ϕ i ( x ) − ϕ i ( y ) | ≤ c | x − y | 3. 共形性：存在一个正数 ε 和开连通子集 V ⊂ ℝ d 并且 X ⊂ V ，使得对 ∀ i ∈ I ， ϕ i 可延拓为V上的 C 1 + ε 微分同胚，且 ϕ i 在V上是共形的。 4. 开集条件：对 ∀ i ， j ∈ I ( i ≠ j ) ， ϕ i ( Int ( X ) ) ⊂ Int ( X ) ，并且 ϕ i ( Int ( X ) ) ∩ ϕ j ( Int ( X ) ) = ∅ 。这里 Int ( X ) 表示在 ℝ d 拓扑空间下X的内点。 5. 有界偏差性： ∃ K ≥ 1 使得对所有的 x ， y ∈ X ，对所有的 ω ∈ I * : = ∪ n = 1 ∞ I n ，下面不等式成立 | ϕ ′ ω ( x ) | ≤ K ⋅ | ϕ ′ ω ( y ) | 6. 锥条件：对所有的 x ∈ ∂ X ，存在一个开锥 Con ( x ， u ， α ) ，其中x为顶点，u为方向， | u | 为高度， α 为角度，使得 Con ( x ， u ， α ) 是 Int ( X ) 的子集。 设S是一个共形迭代函数系统。对任意的 ω = ω 1 ω 2 ω 3 ⋯ ∈ I ∞ ，设 ω | n = ω 1 ω 2 ω 3 ⋯ ω n ∈ I n 且 ϕ ω | n : = ϕ ω 1 ∘ ϕ ω 2 ∘ ⋯ ∘ ϕ ω n ，则有 ∩ n ∈ ℕ ϕ ω | n ( X ) 是一个单点，用 { x ω } 来表示该单点。定义S中的编码映射 π : I ∞ → X 为 ω ↦ x ω ，注意到 π : I ∞ → X 是连续的，进而S中的极限集可定义为 J S : = π ( I ∞ ) = ∪ ω ∈ I ∞ ∩ n ∈ ℕ ϕ ω | n ( X ) 对每个迭代函数系统S，设 h S : = dim H J S ， dim H 表示Hausdorff维数。对任意的S，定义S的压力函数如下。 定义2.2 (压力函数) ∀ n ∈ ℕ ，值域在 [ 0 ， ∞ ] 上的函数 ψ S n ψ S n ( t ) : = ∑ ω ∈ I n ( sup z ∈ X | ϕ ′ ω ( z ) | ) t   ( t ≥ 0 ) 设 P S ( t ) : = lim n → ∞ 1 n log ψ S n ( t ) ∈ ( − ∞ ， ∞ ] 则称函数 P S ( t ) : [ 0 ， ∞ ) → ( − ∞ ， ∞ ] 为S的压力函数。 性质2.3对任意的 m ， n ∈ ℕ ，且 t ≥ 0 有 ψ S m + n ( t ) ≤ ψ S m ( t ) ψ S n ( t ) 。特别地，当 t ≥ 0 时，对于任意的 n ∈ ℕ ， log ψ S n ( t ) 是次可加的。 根据性质2.3可得对任意的 t ≥ 0 ， P S ( t ) 都存在。设 θ S : = inf { t ≥ 0 | ψ S n < ∞ } 。运用压力函数可以得到共形迭代函数系统的一些性质。 定义2.4 (正则，强正则，继承正则) 设S是一个共形迭代函数系统， (1) 若存在 t ≥ 0 使得 P S ( t ) = 0 ，称S是正则的。 (2) 若存在 t ≥ 0 使得 P S ( t ) ∈ ( 0 ， ∞ ) ，称S是强正则。 (3) 若对所有的 I ′ ∈ I 且有 | I ′ \ I | < ∞ 时， S ′ : = { ϕ i : X → X | i ∈ I ′ } 是正则的，则称S是继承正则。这里，对任意集合A，用 | A | 来表示A的基数。如果一个共形迭代函数系统S是继承正则的，则S也是强正则；如果S是强正则，则S也是正则的。设 F ( I ) : = { F ⊂ I | | F | < ∞ } ，对每个 F ∈ F ( I ) ，设 S F : = { ϕ i : X → X | i ∈ F } 。 定理2.5 ( [ 1 ] Theorem 3.15) 设S是一个共形迭代函数系统，则 h S = inf { t ≥ 0 | P S ( t ) < 0 } = sup { h S p | F ∈ F ( I ) } ≥ θ S 另外，如果存在 t ≥ 0 使得 P S ( t ) = 0 。则t为压力函数 P S 的唯一零点，有 t = h S 。 定理2.6 ( [ 1 ] Theorem 3.20) 设I是无限的，S是一个共形迭代函数系统，则下面两个条件等价： 1. S是继承正则的。 2. ψ S 1 ( θ S ) = ∞ 。特别地，如果S是继承正则，有 θ S < h S 。 定理2.7 ( [ 1 ] Proposition 4.4) 设S为正则共形迭代函数系统。若 λ d ( Int ( X ) \ X 1 ) > 0 ，则 h S < d 。这 里的 λ d 表示d维勒贝格测度且 X 1 : = ∪ i ∈ I ϕ i ( X ) 。 接下来考虑共形迭代函数系统族。设 CIFS ( X ， I ) 为所有共形迭代函数系统族，其中 X ⊂ ℂ ，I为无限序列集。现要在 CIFS ( X ， I ) 上赋予一种 Λ -拓扑 [ 4 ]。对 ∀ S n ∈ CIFS ( X ， I ) ，记 S n 为 { ϕ i n } i ∈ I ，S为 { ϕ i } i ∈ I 。设 π S : I ∞ → X 为S的编码映射。在本文中， CIFS ( X ， I ) 中任意序列若满足下面条件，则称序列 { S n } n ∈ N 依 照记 Λ -拓扑收敛到S，记为 λ ( { S n } n ∈ ℕ ) = S 。 (D1) ∀ i ∈ I ， lim n → ∞ ( ‖ ϕ i n − ϕ i ‖ + ‖ ( ϕ i n ) ′ − ( ϕ i ) ′ ‖ ) = 0 。 (D2) 若存在 C > 0 ， M ∈ ℕ 和一有限集 F ⊂ I 使得 ∀ i ∈ I \ F 和 n ≥ M ，有 | log ‖ ( ϕ i n ) ′ ‖ − log ‖ ( ϕ ′ i ) ‖ | < C 。 若 CIFS ( X ， I ) 中的序列 { S n } n ∈ N 不收敛于任何 CIFS ( X ， I ) ，即当上面的条件不满足时称 λ ( { S n } n ∈ ℕ ) = ∅ 。若 λ ( { S n } n ∈ ℕ ) ∈ CIFS ( X ， I ) 时，称序列 { S n } n ∈ ℕ ∈ CIFS ( X ， I ) ℕ 为 λ 收敛。 定义2.8设 Λ 是 ℂ 中的开连通子集。 { S u } u ∈ Λ 是 CIFS ( X ， I ) 中的一族，其中 S u 为 { ϕ i u } i ∈ I 。若 ∀ x ∈ X ， i ∈ I ， u → ϕ i u ( x ) 在 Λ 上全纯，则 { S u } u ∈ Λ 称是平面解析的。若存在 u 0 ∈ Λ 使得下面的条件成立，则称平面解析的 { S u } u ∈ Λ 为正则平面解析。 (1) S u 0 是强正则。 (2) ∃ η ∈ ( 0 ， 1 ) 使得对所有的 ω ∈ I ∞ ， u ∈ Λ ， | k ω u 0 ( u ) − 1 | ≤ η 。 其中，对每个 u 0 ∈ Λ 和 ω = ω 1 ω 2 ⋯ ∈ I ∞ ， π u : = π S u ， k ω u 0 ( u ) : = ( ϕ ω 1 u ) ′ ( π u ( σ ω ) ) ( ϕ ω 1 u 0 ) ′ ( π u 0 ( σ ω ) ) ( u ∈ Λ ) 定理2.9 ( [ 5 ] Theorem 5.10) 当 CIFS ( X ， I ) 被赋予了 Λ 上的拓扑时，Hausdorff维数函数 h : CIFS ( X ， I ) → [ 0 ， ∞ ) ， S ↦ h S 是连续的。 定理2.10 ( [ 5 ] Theorem 6.1) 设 Λ 是 ℂ 中的开连通子集， { S u } u ∈ Λ 是 CIFS ( X ， I ) 中的一族。若 { S u } u ∈ Λ 是正则平面解析的，则 u ↦ h S u 在 Λ 上是实解析的。 定理2.11 ( [ 5 ] Theorem 6.3) 设 Λ 是 ℂ 中的开连通子集， { S u } u ∈ Λ 是 CIFS ( X ， I ) 中的一族。若 { S u } u ∈ Λ 是 平面解析的，则 u ↦ 1 h S u 在 Λ 上是上调和映射。