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user: 2. 成分数据变换方法的理论比较 Aitchison等在对成分数据统计方法的研究中发现，研究比值的对数统计量可以克服成分数据的定和约束，从而将成分数据转换到普通的欧氏空间。以下对应用比较广泛的三种成分数据变换方法做简要介绍，包括非对称对数比变换、中心化对数比变换和等距对数比变换。 2.1. 非对称对数比变换 记单形空间为 S D = { x = [ x 1 ， ⋯ ， x D ] | x i > 0 ， i = 1 ， ⋯ ， D ; ∑ i = 1 D x i = 1 } 对任意D元成分数据 x ∈ S D ，非对称变换比变换(additive logratio transformation，简称alr)定义为一个将 S D 映射到 R D − 1 的函数 a l r ( x ) = u = ( u 1 ， ⋯ ， u D − 1 ) ， 其中 u j = ln ( x j x D ) ，   j = 1 ， ⋯ ， D − 1 (2) 选用 u j = ln ( x j x D ) 作为分析变量有许多便利之处。首先，在式(2)的变换中，成分数据从原来的D维 空间被降低到D − 1维空间，原来的D个线性相关的变量 x i ( i = 1 ， ⋯ ， D ) 被转换成D − 1个线性无关的变量 u j ( j = 1 ， ⋯ ， D − 1 ) ，消除了原成分数据中的冗余维度；其次，由于 u j 在 ( − ∞ ， + ∞ ) 内取值，在后续的分析中可以更为灵活地选择模型；再次，由于进行了对数变化，有可能把非线性问题线性化；第四，根据Aitchison的研究，如果成分数据x遵从加法逻辑正态分布，则变换后数据u服从正态分布，便可以运用基于正态分布假设的传统统计方法进行分析。 2.2. 中心化对数比变换 由于式(2)中的非对称变换使得变量的物理含义发生较大变化，故而模型的解释意义被削弱了。为了实现对成分数据的对称处理，Aitchison [ 6 ] 又提出了中心化对数比变换(centered logratio transformation，简称clr)，即 c l r ( x ) = v = ( v 1 ， ⋯ ， v D ) ， 其中 v j = ln x j ∏ i = 1 D x j D ， j = 1 ， ⋯ ， D . 采用中心化对数比变换方法，变换后的各分量 v j ( j = 1 ， ⋯ ， D ) 仍保持对称性，所建模型的可解释性就更强。但是，很容易验证，变换后各分量之和由“单位和”转化为“零和”，即 ∑ j = 1 D v j = 0 。换言之，定和约束没有从本质上被克服，各分量间仍然存在完全相关性，后续的统计建模仍然存在困难。 2.3. 等距对数比变换 为了从本质上认识单形空间及成分数据的性质特征，Aitchison等 [ 14 ] 经过不断努力，提出了一套完整的单形空间代数体系，被称为Aitchison代数体系。 定义1 对于任意D元正实数向量 z = [ z 1 ， ⋯ ， z n ] ∈ R + D ，定义关于z的闭合运算为 C ( z ) = [ z 1 ∑ i = 1 D z i ， z 2 ∑ i = 1 D z i ， ⋯ ， z D ∑ i = 1 D z i ] . 任意正实数向量 z ∈ R + D 都可以通过闭合运算转化成 S D 上的成分数据。Aitchison代数体系建立在闭合运算的基础之上。 定义2 对任意成分数据 x 1 = [ x 11 ， x 12 ， ⋯ ， x 1 D ] ，   x 2 = [ x 21 ， x 22 ， ⋯ ， x 2 D ] ∈ S D ，以及任意 α ∈ R ，定义单形空间中的加法、数乘和内积分别为 x 1 ⊕ x 2 = C ( x 11 x 21 ， x 12 x 22 ， ⋯ ， x 1 D x 2 D ) α ⊗ x 1 = C ( x 11 α ， x 12 α ， ⋯ ， x 1 D α ) 〈 x 1 ， x 2 〉 α = 1 2 D ∑ i = 1 D ∑ j = 1 D ln x 1 i x 1 j ln x 2 i x 2 j . 容易证明，基于Aitchison代数体系的单形空间是一个希尔伯特空间，有非常好的数学性质。 基于该代数体系，Egozcue等 [ 15 ] 构建了从单形空间 S D 到欧氏空间 R D − 1 上的形如式(3)所示的映射方式，称为等距对数比变换方法(isometric logratio transformation，简称ilr) i l r ( x ) = ( 〈 x ， e 1 〉 α ， 〈 x ， e 2 〉 α ， ⋯ ， 〈 x ， e D − 1 〉 α ) (3) 其中， e i ( i = 1 ， ⋯ ， D − 1 ) 为单形空间的一组标准正交基，选用不同的标准正交基，可获得不同的变换结果，若选用如式(4)的标准正交基 e i = C [ exp ( 1 i ( i + 1 ) ， ⋯ ， 1 i ( i + 1 ) ， ︸ i   elements − i i + 1 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) ] (4) 则式(3)可进一步简化为： i l r ( x ) = y = ( y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y D − 1 ) ，其中 y j = j j + 1 ln [ g ( x 1 ， ⋯ ， x j ) x j + 1 ] ， j = 1 ， ⋯ ， D − 1 这里， g ( x 1 ， ⋯ ， x j ) 表示 x 1 ， ⋯ ， x j 的几何均值。等距对数比变换将单形空间上的成分数据 x = [ x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x D ] 变换为欧氏空间 R D − 1 上的普通向量 y = ( y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y D − 1 ) 。 Egozcue等 [ 15 ] 同时还给出了等距对数比变换的逆变，即 x = i l r − 1 ( y ) = ⊕ i = 1 D − 1 ( y i ⊗ e i ) (5) 2.4. 变换方法的比较 不论采用何种变换方法对成分数据进行预处理，目的都是为了在变换后的空间中找到合适的统计分析方法对成分数开展建模分析。从这个角度来看，三种对数变换法都将成分数据转换到普通的欧氏空间中，适用于普通数据的统计分析方法都可以被有效地应用。然而，评价一种变换方法时，更为重要的衡量标准是能否构成正交变换，即变换前后是否保持数学性质以及几何特征不发生变化。如果不具有这样的性质，那么在变换后的样本空间中得到的统计分析结论，就不能代表原始变量空间和样本空间的特征。 对于任意成分数据 x 1 ， x 2 ∈ S D 以及任意实数 α ∈ R ，以下定理不难证明。 定理1 等距对数比变换 (ilr)是从 S D 到 R D − 1 上的正交变换，不仅保持加法和数乘运算，而且保持内积不发生变化，即 1) i l r ( x 1 ⊕ x 2 ) = i l r ( x 1 ) + i l r ( x 2 ) (6) 2) i l r ( α ⊗ x 1 ) = α ⋅ i l r ( x 1 ) (7) 3) 〈 x 1 ， x 2 〉 a = 〈 i l r ( x 1 ) ， i l r ( x 2 ) 〉 (8) 证明：由于基于Aitchison代数体系的单形空间是一个希尔伯特空间，因而容易证明 i l r ( x 1 ⊕ x 2 ) = ( 〈 x 1 ⊕ x 2 ， e 1 〉 α ， 〈 x 1 ⊕ x 2 ， e 2 〉 α ， ⋯ ， 〈 x 1 ⊕ x 2 ， e D − 1 〉 α ) = ( 〈 x 1 ， e 1 〉 α + 〈 x 2 ， e 1 〉 α ， 〈 x 1 ， e 2 〉 α + 〈 x 2 ， e 2 〉 α ， ⋯ ， 〈 x 1 ， e D − 1 〉 α + 〈 x 2 ， e D − 1 〉 α ) = ( 〈 x 1 ， e 1 〉 α ， 〈 x 1 ， e 2 〉 α ， ⋯ ， 〈 x 1 ， e D − 1 〉 α ) + ( 〈 x 2 ， e 1 〉 α ， 〈 x 2 ， e 2 〉 α ， ⋯ ， 〈 x 2 ， e D − 1 〉 α ) = i l r ( x 1 ) + i l r (x2) i l r ( α ⊗ x 1 ) = ( 〈 α ⊗ x 1 ， e 1 〉 α ， 〈 α ⊗ x 1 ， e 2 〉 α ， ⋯ ， 〈 α ⊗ x 1 ， e D − 1 〉 α ) = ( α 〈 x 1 ， e 1 〉 α ， α 〈 x 1 ， e 2 〉 α ， ⋯ ， α 〈 x 1 ， e D − 1 〉 α ) = α ( 〈 x 1 ， e 1 〉 α ， 〈 x 1 ， e 2 〉 α ， ⋯ ， 〈 x 1 ， e D − 1 〉 α ) = α ⋅ i l r (x1) 以下证明公式(8)。设在单形空间 S D 上，成分数据 x 1 与 x 2 经过ilr变换，分别得到欧氏空间 R D − 1 上的向量 y 1 = i l r ( x 1 ) 和 y 2 = i l r ( x 2 ) 。由公式(5)所示的逆变换公式，可得 〈 x 1 ， x 2 〉 α = 〈 ⊕ i = 1 D − 1 ( y 1 i ⊗ e i ) ， ⊕ j = 1 D − 1 ( y 2 j ⊗ e j ) 〉 α = ∑ i = 1 D ∑ j = 1 D 〈 y 1 i ⊗ e i ， y 2 j ⊗ e j 〉 α = ∑ i = 1 D ∑ j = 1 D y 1 i y 2 j 〈 e i ， e j 〉 α = ∑ i = 1 D y 1 i y 2 i = 〈 i l r ( x 1 ) ， i l r ( x 2 ) 〉 定理2 非对称对数比变换(alr)保持加法和数乘运算，但不能保持内积不变，即 1) a l r ( x 1 ⊕ x 2 ) = a l r ( x 1 ) + a l r ( x 2 ) ， 2) a l r ( α ⊗ x 1 ) = α ⋅ a l r ( x 1 ) ， 3) 〈 x 1 ， x 2 〉 a ≠ 〈 a l r ( x 1 ) ， a l r ( x 2 ) 〉 . 定理3 中心化对数比变换(clr)是从 S D 到 R D − 1 上的正交变换，保持加法和数乘运算，同时保持内积不发生变化，即 1) c l r ( x 1 ⊕ x 2 ) = c l r ( x 1 ) + c l r (x2) 2) c l r ( α ⊗ x 1 ) = α ⋅ c l r (x1) 3) 〈 x 1 ， x 2 〉 a = 〈 c l r ( x 1 ) ， c l r ( x 2 ) 〉 定理2和定理3的证明与定理1相似，本文不再赘述。由以上定理可知： 1) 非对称对数比变换只构成单形空间 S D 到欧氏空间 R D − 1 上的线性变换，而非正交变换。由于不保持内积，变换前后由内积诱导的点点距离、模长以及向量间夹角等几何概念不具有等价性。有可能导致变换后的样本空间形态发生变化。因此，基于该变换的统计分析方法不能从根本上保证结论的合理性和准确性。 2) 中心化对数比变换虽然是一个正交变换，但是该变换不能消除冗余度，经过中心化对数变换后的变量之间仍然存在“和为零”的约束，这种变量之间的完全共线性导致了协方差矩阵不满秩，使得基于协方差结构的统计方法完全失效；此外，完全共线性给多元统计分析方法带来了建模和模型解释上的诸多困难。因此，在实际应用中，应当避免使用中心化对数比变换对成分数据进行预处理。 3) 等距对数比变换不仅消除了成分数据的定和约束，消除了冗余维度，而且构造了单形空间到欧氏空间上的正交变换，不仅能够保持向量的加法运算与数乘运算，还能够保持内积运算，从而保持了向量的模长、夹角以及点点距离不变等良好性质，实现了从单形空间 S D 到欧氏空间 R D − 1 的等价变换，确保在变换后的欧氏空间中应用传统统计分析方法建模的合理性。