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user: 3. 稳定域边界分析 本文以单机无穷大母线系统为例进行分析求解。不计阻尼因素时，采用初积分法可构造出不计阻尼的能量型李雅普诺夫函数，其构造过程可参考参考文献 [ 16 ] ，进而求得系统不计阻尼时的稳定域。 其中稳定域边界的表达式如下所示： 1 2 M ω 2 − P M ( δ − δ s ) − P e m 3 ( cos δ − cos δ s ) = V c r (1) 式中， V c r = V ( δ u ， 0 ) = V ( π − δ s ， 0 ) = P e m 3 [ 2 cos δ s − ( π − 2 δ s ) sin δ s ] 。 当计及阻尼因素时，在 ( δ ， ω ) 平面上，系统的真实稳定域表示如图2所示。稳定域边界经过不稳定平衡点 δ u 。 真实的稳定域边界求解困难，目前还没有相关文献求出稳定域边界具体的数学表达形式。对于计及阻尼的稳定域构成，如图1(b)所示，真实稳定域的 R 1 和 R 2 部分可以利用李雅普诺夫直接法求得，现在考虑求取 R 3 部分，将 R 1 、 R 2 和 R 3 的并集作为系统的稳定域，使所求稳定域更加逼近真实稳定域。直接求取 R 3 比较困难，考虑通过求取稳定域边界上的特殊点，进而实现稳定域边界的近似。 图2. 有阻尼的单机无穷大系统的稳定域 3.1. 稳定域R 3 的分析 对于稳定域 R 3 ，得到一个数学形式的稳定性定理。若在原点的小邻域R存在一个标量函数 H ( x ) ，具有如下条件：如果沿着轨线 x ( t ) ，函数 H ( x ) 的变化趋势呈现如图1(a)所示的振荡衰减形式，这表示随着时间的增加，轨线 x ( t ) 沿着收缩的曲面最终收敛到原点。那么，原点 x = 0 在域内就是渐进稳定的，小邻域R为第3种稳定形式对应的稳定域 R 3 ，如图3所示。 图3. 稳定域R 3 示意图 对于单机无穷大母线系统，在 ( δ ， ω ) 平面上，构造满足第3种稳定形式的函数 H ( δ ， ω ) ，其数学表达式如下： H ( δ ， ω ) = H 1 ( δ ， ω ) H 2 ( δ ， ω ) = [ 1 2 M ω 2 − P M ( δ − δ s ) − P e m 3 ( cos δ − cos δ s ) ] ⋅ ( δ − δ s ) (2) 以下对函数 H ( δ ， ω ) 进行解释说明，函数 H ( δ ， ω ) 由2部分组成 H 1 ( δ ， ω ) 和 H 2 ( δ ， ω ) ，其中 H 1 ( δ ， ω ) 对时间的变化率为 d H 1 d t = ∂ H 1 ∂ δ d δ d t + ∂ H 1 ∂ ω d ω d t = ( − P M + P e m 3 sin δ ) d δ d t + M d δ d t d ω d t = ( − P M + P e m 3 sin δ + M d ω d t ) d δ d t = − D ( d δ d t ) 2 < 0 而 H 2 ( δ ， ω ) = δ − δ s 在故障后稳定平衡点 ( δ s ， 0 ) 的小邻域R内沿着轨线是呈振荡形式变化的。 因此 H ( δ ， ω ) 在故障后稳定平衡点 ( δ s ， 0 ) 的小邻域R内沿着轨线是呈现振荡衰减的形式变化的。这说明故障后稳定平衡点 ( δ s ， 0 ) 在小邻域R内是渐进稳定的，小邻域R为第3种稳定形式对应的稳定域 R 3 。直接求取 R 3 比较困难，考虑通过求取稳定域边界上的特殊点，进而实现稳定域边界的近似。 3.2. 特殊点的求解 下面介绍在 ( δ ， ω ) 平面确定稳定域 R 3 边界上特殊点的过程，在稳定域 R 3 内， H 2 ( δ ， ω ) 沿着轨线会满足振荡特性，轨线经过横轴 ω = 0 时， H 2 ( δ ， ω ) 达到极大值或极小值，对应的函数 H ( δ ， ω ) 会达到其波峰或波谷值，且经过横轴 ω = 0 时，功角 δ 的最大值为 δ u ，因为如果功角 δ 一旦超过了 δ u ，系统将失去稳定，沿着轨线函数 H ( δ ， ω ) 将不体现振荡特性，因此，在稳定域 R 3 内， δ ≤ δ u ，且点 C ( δ u ， 0 ) 位于稳定边界上，如图4(b)所示。稳定域 R 3 内，在点C处函数 H ( δ ， ω ) 达到其最大值，即图4(a)中的点c对应的纵坐标 H c ，沿着其他任何轨线函数 在振荡过程中的最大值都小于 H c 。而当轨线经过纵轴 δ = δ s 时，对应的函数 H ( δ ， ω ) 会达到其过零点。沿着稳定边界，函数 H ( δ ， ω ) 会呈现图4(a)所示的振荡特性，因此稳定边界上必定存在一点，其对应的函数 H ( δ ， ω ) 值等于0，即图4(b)中的点A。当轨线从图4(b)中稳定边界上的点A经过一段时间运动到点C的位置，相应的函数值 H ( δ ， ω ) 从0变化到 H c ，变化过程对应图4(a)中的从点a变化到点c的过程。 图4. 特殊点的确定 仅采用A，C两点无法准确地描述从点A到点C之间的稳定边界，因此考虑取A，C两点横坐标的中点 δ = δ s + δ u 2 = π 2 ，将A到C之间的部分稳定边界上横坐标为 δ = π 2 的点记作点B，如图4(b)所示，其函数值 H ( δ ， ω ) 对应图4(a)中的点b的纵坐标。利用3个特殊点 A ， B ， C ，对局部稳定边界逼近。当然，若要提高近似程度，可以在AC之间的稳定边界上求取更多的特殊点，本文不做详细分析。 下面介绍特殊点 A ， B ， C 的求取过程。 点B到点C之间 ω 的变化过程可以看成是关于功角 δ 的函数，即 ω = ω ( δ ) 。函数 ω ( δ ) 满足2个条件：(1) ω ( δ ) 经过点C(2) ω ( δ ) 满足转子运动方程。为了求解方便，将点C转化为原点，即令 x = δ − δ u (3) 则系统运动方程转变为下式所示。 { x ˙ = ω M ω ˙ = P M − D ω − P e m sin ( x + δ u ) (4) 在 ( x ， ω ) 平面上， ω 的变化过程用数学表达式表示如下： ω = ω ( x ) (5) ω 对时间的导数可以表示如下式所示。 ω ˙ = ∂ ω ∂ x x ˙ (6) 将式(7)代入式(5)，可得下式 P M − D ω − P e m sin ( x + δ u ) = M ∂ ω ∂ x x ˙ (7) 在 ( x ， ω ) 平面的点 C ( 0 ， 0 ) 附近对 ω ( x ) 进行二阶泰勒展开： ω ( x ) = a 1 x + 1 2 a 2 x 2 (8) 将式(9)代入式(8)中求解，可以求得各次项系数 a 1 、 a 2 ，于是可得 ω ( x ) 的二阶近似代数表达式。将点B的横坐标 x = π 2 − δ u 代入式(9)，可以求得点B的纵坐标 ω B ，其数学表达式如下式所示。 ω B = a 1 ( π 2 − δ u ) + 1 2 a 2 ( π 2 − δ u ) 2 (9) 于是，求得特殊点B的坐标为 ( π 2 ， ω B ) 。这里值得注意，若想得到精度更高的点B的坐标，可以对 ω ( x ) 在点 C ( 0 ， 0 ) 附近进行三阶及以上的泰勒展开，相应的求解过程将更加复杂，此处不再详细描述。 求得特殊点B后，对特殊点A进行求解。类似过程与上述类似，在此不再赘述。 特殊点 A ， B ， C 都位于稳定域 R 3 边界上，求得特殊点 A ， B ， C 后，考虑稳定边界必定是平滑的，可以用平滑的曲线将特殊点 A ， B ， C 连接起来，作为局部稳定边界的近似。 因此，系统稳定域的一种估计可给出如下： R e s t = R 1 ∪ R 2 ∪ R 3 相比于传统的李雅普诺夫方法利用 R 1 部分直接估计稳定域，稳定域的估计范围得到了扩大，计算精度提高了。