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user: 3. 求解过程 傅里叶变换在求解微分方程中有着重要的应用。其解题基本思想是：通过傅里叶变换将复杂的方程化成简单的代数方程，然后求解代数方程，再对代数方程的解作反变换，就得到了原方程的解 [ 11 ] 。本文通过傅里叶变换，用物理边值条件(2)~(5)来求解偏微分方程(1)的解，即本文重点研究的温度场。再采用Lobatto-Chebyshev积分公式 [ 12 ] 求解温度场的数值解。 在求解之前，我们先引进傅里叶余弦变换 [ 11 ] f ¯ ( ξ ) = 2 π ∫ 0 + ∞ f ( x ) cos ( ξ x )   d x ， f ( x ) = ∫ 0 + ∞ f ¯ ( ξ ) cos ( ξ x ) d ξ . 以及傅里叶变换的性质之一 f ( n ) ( x ) = ( − i ξ ) n f ¯ ( ξ ) . 同时，介绍如下求解常微分方程的特征值法。求解常微分方程 d 2 f d y 2 + p d f d y + q f = 0 ， (6) 其特征方程为 m 2 + p m + q = 0. 当特征方程存在两个不同实数根，设为 m 1 ， m 2 ，则该微分方程的通解可表为 f = c 1 e m 1 y + c 2 e m 2 y ， (7) 当特征方程存在两个相同的实数根，即 ，则该微分方程的通解可表为 f = c 1 e m 1 y + c 2 y e m 1 y ， (8) 其中 c 1 ， c 2 为任意常数。又由于指数函数与双曲函数之间的转换关系 e x = sinh ( x ) + cosh ( x ) ， 所以(7)、(8)可分别表示为 f = ∑ i = 1 2 c i [ cosh ( m i y ) + sinh ( m i y ) ] ， (9) f = ( c 1 + c 2 y ) [ cosh ( m 1 y ) + sinh ( m 1 y ) ] . (10) 微分方程(6)的通解(9)或(10)将运用在温度场的求解过程中。 3.1. 温度场的求解 假设 I 和 I I 分别表示在坐标系中 y > 0 和 y < 0 的区域。由于该裂纹关于 y 轴对称，所以本文只取 y 轴右侧的带型进行研究。为了满足温度场的物理边值条件，温度场的解由两部分组成 [ 13 ] ，一部分为与 x 和 y 都有关的 θ 1 ( x ， y ) ，另一部分为只与 有关的 θ 2 ( y ) ，即 θ ( x ， y ) = θ 1 ( x ， y ) + θ 2 ( y ) 。其中 θ 1 ( x ， y ) 满足方程(1)，对方程(1)两边取关于变量 x 的傅里叶余弦变换，求解后再作反变换，获得温度场方程(1)的解 θ 1 ( x ， y ) ，可表示为： θ 1 ( j ) ( x ， y ) = 2 π ∫ 0 ∞ [ A ( j ) ( ξ ) cosh ( λ ξ y ) + B ( j ) ( ξ ) sinh ( λ ξ y ) ] cos ( ξ x ) d ξ ， 其中 j = I ， I I 。此外， θ 2 ( y ) 满足如下3个方程 ∂ 2 θ 2 ( y ) ∂ y = 0 ， (11) θ 2 ( h I ) = θ 0 ， (12) θ 2 ( − h I I ) = − θ (13) 用特征方程法求解常微分方程(11)，获得 θ 2 ( y ) 的通解 θ 2 ( y ) = A 0 y + B 0 ， 又根据(12)、(13)，求得 A 0 = 2 θ 0 h I + h I I ，   B 0 = θ 0 ( h I I − h I ) h I + h I I . 所以，温度场的解为 θ ( j ) ( x ， y ) = 2 π ∫ 0 ∞ [ A ( j ) ( ξ ) cosh ( λ ξ y ) + B ( j ) ( ξ ) sinh ( λ ξ y ) ] cos ( ξ x ) d ξ + A 0 y + B 0 . (14) 其中 A ( j ) ( ξ ) ， B ( j ) ( ξ ) 为待求函数。将(14)应用于热边界条件(2)，得 A ( j ) ( ξ ) 与 B ( j ) ( ξ ) 的关系 B ( j ) ( ξ ) = δ { j } coth ( λ ξ h i ) A ( j ) ( ξ ) ， 将上式代入(14)中，温度场的解可表示为 θ ( j ) ( x ， y ) = 2 π ∫ 0 ∞ sinh [ λ ξ ( h j + δ { j } y ) ] sinh ( λ ξ h j ) A ( j ) ( ξ ) cos ( ξ x ) d ξ + A 0 y + B 0 ， (15) 综上， q y ( j ) ( x ， y ) = − λ y δ { j } 2 π ∫ 0 ∞ cosh [ λ ξ ( h j + δ { j } y ) ] sinh ( λ ξ h j ) A ( j ) ( ξ ) cos ( ξ x ) d ξ − λ y A 0 . (16) 其中， δ { I } = − 1 ， δ { I I } = 1 。 为了求解 A ( j ) ( ξ ) ，首先引进辅助函数 φ 1 ( x ) = ∂ [ θ ( I ) ( x ， 0 ) − θ ( I I ) ( x ， 0 ) ] ∂ x ， (17) 根据温度场的解(15)得 θ ( I ) ( x ， 0 ) = 2 π ∫ 0 ∞ A ( I ) ( ξ ) cos ( ξ x ) d ξ + B 0 ， (18) θ ( I I ) ( x ， 0 ) = 2 π ∫ 0 ∞ A ( I I ) ( ξ ) cos ( ξ x ) d ξ + B 0 ， (19) 将方程(18)、(19)代入(17)且由边值条件(3)，可得 A ( I ) ( ξ ) − A ( I I ) ( ξ ) = − 1 ξ ∫ 0 a φ 1 ( s ) sin ( ξ s ) d s . (20) 然后，由条件(4)得 A ( I I ) ( ξ ) = − coth ( λ ξ h I ) coth ( λ ξ h I I ) A ( I ) ( ξ ) ， (21) 联立(20)、(21)有 A ( I ) ( ξ ) = − 1 ξ ∫ 0 a coth ( λ ξ h I I ) coth ( λ ξ h I ) + coth ( λ ξ h I I ) φ 1 ( s ) sin ( ξ s ) d s ， (22) A ( I I ) ( ξ ) = 1 ξ ∫ 0 a coth ( λ ξ h I ) coth ( λ ξ h I ) + coth ( λ ξ h I I ) φ 1 ( s ) sin ( ξ s ) d s ， (23) 将方程(22)、(23)分别代入方程(18)、(19)，可得裂纹面的温度分布公式 θ ( I ) ( x ， 0 ) = − 2 π ∫ 0 a [ ∫ 0 ∞ 1 ξ coth ( λ ξ h I I ) coth ( λ ξ h I ) + coth ( λ ξ h I I ) sin ( ξ s ) cos ( ξ x ) d ξ ]   φ 1 ( s ) d s + B 0 ， 将(22)代入方程(16)，并根据边界条件(5)得到以下积分方程 2 π ∫ 0 a [ ∫ 0 ∞ 1 ξ λ y λ ξ coth ( λ ξ h I ) coth ( λ ξ h I I ) coth ( λ ξ h I ) + coth ( λ ξ h I I ) sin ( ξ s ) cos ( ξ x ) d ξ ]   φ 1 ( s ) d s = − ( q c + λ y A 0 ) . (24) 3.2. 奇异积分方程的求解 奇异积分方程在断裂力学方面有着重要的应用。对奇异积分方程数值解的研究，不少学者们已经取得了相对成熟的成果。例如，配位法、基于Fourier展开的Galekrin-Petrvo方法、样条方法等 [ 14 ] 。而本文采用的是Lobatto-Chebyshev积分公式。 为了方便求解奇异积分方程，假设 M ( ξ ) = λ y λ ξ coth ( λ ξ h I ) coth ( λ ξ h I I ) coth ( λ ξ h I ) + coth ( λ ξ h I I ) ， 所以，方程(24)可以写为 2 π ∫ 0 a [ ∫ 0 ∞ M ( ξ ) ξ sin ( ξ s ) cos ( ξ x ) d ξ ]   φ 1 ( s ) d s = τ 0 . (25) 根据文献 [ 15 ] ，有 2 π ∫ 0 ∞ sin ( ξ s ) cos ( ξ x ) d ξ = 1 π ( 1 s − x + 1 s + x ) ， 且假设 Λ = lim x → + ∞ M ( ξ ) ξ ， Λ 是由材料性质决定的常数，可以通过数值计算解得。所以方程(25)可化为以下奇异积分方程 1 π ∫ − a a Λ s − x φ 1 ( s ) d s + 1 π ∫ − a a k ( s ， x ) φ 1 ( s ) d s = τ 0 ， (26) 其中， k ( s ， x ) = ∫ 0 ∞ [ M ( ξ ) ξ − Λ ] sin ( ξ s ) cos ( ξ x ) d ξ . 引进以下变量变换 x = a x ¯ ， s = a s ¯ ， φ 1 ( s ) = Y ( s ¯ ) 1 − s ¯ 2 ， 方程(26)可表示为 1 π ∫ − 1 1 Λ s ¯ − x ¯ Y ( s ¯ ) 1 − s ¯ 2 d s ¯ + 1 π ∫ − 1 1 k ¯ ( s ¯ ， x ¯ ) Y ( s ¯ ) 1 − s ¯ 2   d s ¯ = τ 0 ， (27) 其中， k ¯ ( s ¯ ， x ¯ ) = a ∫ 0 ∞ [ M ( ξ ) ξ − Λ ] sin ( ξ a s ¯ ) cos ( ξ a x ¯ ) d ξ . 由单值性条件(3)得 ∫ − 1 1 φ 1 ( x ) d x = 0. (28) 一般的，奇异积分方程(27)可以通过数值计算方法求解。本文对方程(27)、(28)应用 Lobatto-Chebyshev积分公式，获得以下代数方程组 1 L ∑ l = 0 L λ l Λ s ¯ l − x ¯ m Y ( s ¯ l ) + 1 L ∑ l = 0 L λ l k ¯ ( s ¯ ， x ¯ ) Y ( s ¯ l ) = τ 0 ， (29) ∑ l = 0 L λ l Y ( s ¯ l ) = 0 ， (30) 其中 x ¯ m = cos [ ( 2 m − 1 ) π / ( 2 L ) ] ， m = 1 ， 2 ， ⋯ ， L ， s ¯ l = cos ( l π / L ) ， l = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， L ， λ 0 = λ L = 1 / 2 ， λ 1 = ⋯ = λ L − 1 = 1. 在上式中的 L 取偶数。 只要代数方程(29)、(30)得以求解，那么裂纹上下表面的温度差就可以确定了。比如， ∫ x a φ 1 ( s ) d s = ∫ x a ∂ [ θ ( I ) ( s ， 0 ) − θ ( I I ) ( s ， 0 ) ] ∂ s d s = [ θ ( I ) ( s ， 0 ) − θ ( I I ) ( s ， 0 ) ] | a x = − [ θ ( I ) ( x ， 0 ) − θ ( I I ) ( x ， 0 ) ] ， 所以， θ ( I ) ( x ， 0 ) − θ ( I I ) ( x ， 0 ) = − a ∫ x ¯ 1 Y ( s ¯ ) 1 − s ¯ 2   d s ¯ . 特别地，当 x ¯ = 0 ， θ ( I ) ( x ， 0 ) − θ ( I I ) ( x ， 0 ) ≈ − a ∑ l = 0 L / 2 λ l Y ( s ¯ l ) . (31) 综上，我们便获得了裂纹上下表面温度差的数值结果。