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user: 3. 脉冲输注模型的动力学行为 系统(3)的解是逐段连续的函数 X : R + → R + 3 ， X ( t ) 在 ( n T ， ( n + 1 ) T ] ， n ∈ Z + 上是连续的，且 lim t → n T + X ( t ) = X ( n T + ) 存在。函数 f = ( f 1 ， f 2 ， f 3 ) 表示系统(3)的右端映射，它的光滑性保证了系统(3)解的存 在性和唯一性 [ 10 ] [ 11 ]。 为了求系统(3)的周期解，这里我们令 z ( t ) = 0 ，系统(3)简化为， { d x d t = r x ( 1 − x k ) − α x y ， d y d t = ( β − 1 ) α x y − d y ， t ≠ n T ， Δ y ( t ) = y ¯ ， t = n T ， n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ . (13) 类似于文献 [ 11 ] 的讨论，应用脉冲微分方程的比较定理，先来考虑比较系统， { d y d t = − d y ， t ≠ n T Δ y ( t ) = y ( t + ) − y ( t ) = y ¯ ， t = n T (14) 系统(14)在区间 的以 y ( 0 + ) = y 0 为初值的解为： y ( t ) = y 0 e − d t ；在区间 ( T ， 2 T ] 的解为 y ( t ) = y ( T + ) e − d ( t − T ) = y 0 e − d t + y ¯ e − d ( t − T ) ；一般地，系统(14)在区间 ( ( n − 1 ) T ， n T ] ， n ∈ Z + 的解为： y ( ( n + 1 ) T + ) = f ( y ( n T + ) ) = [ y ( n T + ) + y ¯ ] e − d T . 设 F : y ( n T + ) → y ( ( n + 1 ) T + ) 是一个频闪映射，满足方程 y ( ( n + 1 ) T + ) = f ( y ( n T + ) ) = [ y ( n T + ) + y ¯ ] e − d T . 该映射有唯一的不动点， y * = y ¯ 1 − e − d T 。在(14)中取初值条件 y ( 0 + ) = y * ，容易得到 y ˜ ( t ) = y * e − d ( t − n T ) = y ¯ e − d ( t − n T ) 1 − e − d T ， ( n T < t ≤ ( n + 1 ) T ， n ∈ Z + ， y ˜ ( 0 + ) = y * = y ¯ 1 − e − d T ) . 是系统(14)的一个正周期解，而系统(14)以 y ( 0 + ) = y 0 ≥ 0 为初值的解为： y ( t ) = [ y 0 − y * ] e − d t + y ˜ ( t ) ， t ∈ ( n T ， ( n + 1 ) T ] ， n ∈ Z + 。于是得到下面结论。 引理2：系统(14)存在一个正周期解 y ˜ ( t ) ，并且当 t → ∞ 时，它的任意解 y ( t ) 满足： lim t → ∞ | y ( t ) − y ˜ ( t ) | = 0 。 因此，系统(3)有一个无特异性免疫反应，且正常脑癌细胞为0的T-周期解为： E 3 = ( 0 ， y ˜ ( t ) ， 0 ) = ( 0 ， y ¯ e − d ( t − n T ) 1 − e − d T ， 0 ) ， n T < t ≤ ( n + 1 ) T ， n ∈ Z + . 下面我们考虑T-周期解 E 3 = ( 0 ， y ˜ ( t ) ， 0 ) 的局部稳定性。 定理5：假设 r α < e q ，则当 y ¯ ∈ ( r d T α ， e d T q ) 时，系统(3)的T-周期解 E 3 = ( 0 ， y ˜ ( t ) ， 0 ) 是局部渐近稳定的。 证明：设 ( x ( t ) ， y ( t ) ， z ( t ) ) 是系统(3)的任意解。作变换令 x ( t ) = X ( t ) ， ， z ( t ) = Z ( t ) ，并将其代入系统(3)后，将新得到的系统在点 ( 0 ， 0 ， 0 ) 处线性化，得到系统(3)在T-周期解 E 3 = ( 0 ， y ˜ ( t ) ， 0 ) 处 的线性化系统为： { d X d t = ( r − α y ˜ ( t ) ) X ， d Y d t = ( β − 1 ) α y ˜ ( t ) X − d Y − p y ˜ ( t ) Z ， d Z d t = ( q y ˜ ( t ) − e ) Z . (15) 考虑系统(15)满足初始条件 X ( 0 ) = x 0 ， Y ( 0 ) = y 0 ， Z ( 0 ) = z 0 的解 ( X ( t ) ， Y ( t ) ， Z ( t ) ) 。 由 y ˜ ( t ) = y * e − d ( t − n T ) = y ¯ e − d ( t − n T ) 1 − e − d T ， t ∈ ( n T ， ( n + 1 ) T ] ， n ∈ Z + ，容易求得： X ( t ) = x 0 exp [ ∫ 0 t ( r − α y ˜ ( s ) ) d s ] = x 0 exp [ r t + α y ¯ d ( 1 − e − d T ) ( e − d t − 1 ) ] ， t ∈ [ 0 ， T ] . 同理可求得： Z ( t ) = z 0 exp [ ∫ 0 t ( q y ˜ ( s ) − e ) d s ] = z 0 exp [ − q y ¯ d ( 1 − e − d T ) ( e − d t − 1 ) − e t ] ， t ∈ [ 0 ， T ] . 所以可得： Y ( t ) = e − d t ( ∫ 0 t [ ( β − 1 ) α X ( s ) − p Z ( s ) ] y ˜ ( s ) e d s d s + y 0 ) . (16) 令 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) 分别为 ( 1 ， 0 ， 0 ) ， ( 0 ， 1 ， 0 ) ， ( 0 ， 0 ， 1 ) ，可得解 ( X i ( t ) ， Y i ( t ) ， Z i ( t ) ) ， i = 1 ， 2 ， 3 。 从而，求得系统(15)的基解矩阵 Φ ( t ) 为： Φ ( t ) = ( X * ( t ) 0 0 P ( t ) Y * ( t ) Q ( t ) 0 0 Z * ( t ) ) ， t ∈ [ 0 ， T ] . 其中， X * ( t ) = exp [ r t + α y ¯ d ( 1 − e − d T ) ( e − d t − 1 ) ] ， Y * ( t ) = e − d t ， Z * ( t ) = exp [ − e t + q y ¯ d ( 1 − e − d T ) ( 1 − e − d t ) ] ， P ( t ) = ( β − 1 ) α e − d t ∫ 0 t X * ( s ) y ˜ ( s ) e d s d s ， Q ( t ) = − p e − d t ∫ 0 t Z * ( s ) y ˜ ( s ) e d s d s . 显然， ( X 1 ( 0 ) X 2 ( 0 ) X 3 ( 0 ) Y 1 ( 0 ) Y 2 ( 0 ) Y 3 ( 0 ) Z 1 ( 0 ) Z 2 ( 0 ) Z 3 ( 0 ) ) = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) . 于是系统(15)的单值矩阵为： M = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) Φ ( T ) = Φ ( T ) = ( exp [ r T − α y ¯ d ] 0 0 Δ e − d T Δ 0 0 exp [ − e T + q y ¯ d ] ) . 系统(15)的3个Floquet乘子分别为： λ 1 = exp [ r T − α y ¯ d ] ， λ 3 = exp [ − e T + q y ¯ d ] ， λ 2 = e − d T . 显然，当 y ¯ ∈ ( r d T α ， e d T q ) 时， 0 < λ 1 < 1 ， 0 < λ 2 < 1 ， 0 < λ 3 < 1 ，此时系统(3)的T-周期解 E 3 = ( 0 ， y ˜ ( t ) ， 0 ) 是局部渐近稳定的。