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user: 2. 初值问题(1)局部解的存在唯一性 为了研究初值问题(1)局部解的存在性，我们需要引用以下引理。 引理2.1 [ 5 ] (Aubin-Lions紧性引理)假定 X ⊂ E ⊂ Y 是Banach空间且 ，则 1) 当 1 ≤ q ≤ ∞ 时， 。 2) 当 1 ≤ r ≤ ∞ 时， 。 引理2.2 [ 6 ] 设 0 < α < 1 ， 1 < p < ∞ 且 f ，   g ∈ L p ( R 2 ) ，则 ‖ D α ( f g ) − f D α g − g D α f ‖ p ≤ C ( s ) ‖ g ‖ ∞ ‖ D α f ‖ p . 为了证明初值问题(1)存在局部解，先引入初值问题(1)的磨光近似方程组的初值问题，任给 ε > 0 ， 考虑 { ∂ t u ε = P J ε ( Δ u ε ) + P J ε [ ( J ε b ε ) ⋅ ∇ ( J ε b ε ) ] − P J ε [ ( J ε u ε ) ⋅ ∇ ( J ε u ε ) ] + P ( J ε θ ε e 2 ) ， ∂ t b ε = P J ε ( Δ b ε ) + P J ε [ ( J ε b ε ) ⋅ ∇ ( J ε u ε ) ] − P J ε [ ( J ε u ε ) ⋅ ∇ ( J ε b ε ) ] ， ∂ t θ ε = P J ε ( Δ θ ε ) − P J ε [ ( J ε u ε ) ⋅ ∇ ( J ε θ ε ) ] ， u ε ( 0 ， x ) = u 0 ε ( x ) ，   b ε ( 0 ， x ) = b 0 ε ( x ) ，   θ ε ( 0 ， x ) = θ 0 ε ( x ) ， (2) 其中， J ε 表示磨光算子。 将初值问题(2)视为 H s ( R 2 ) 空间中的抽象常微分方程组的初值问题 { d u ε d t = P J ε ( Δ u ε ) + P J ε [ ( J ε b ε ) ⋅ ∇ ( J ε b ε ) ] − P J ε [ ( J ε u ε ) ⋅ ∇ ( J ε u ε ) ] + P ( J ε θ ε e 2 ) ， d b ε d t = P J ε ( Δ b ε ) + P J ε [ ( J ε b ε ) ⋅ ∇ ( J ε u ε ) ] − P J ε [ ( J ε u ε ) ⋅ ∇ ( J ε b ε ) ] ， d θ ε d t = P J ε ( Δ θ ε ) − P J ε [ ( J ε u ε ) ⋅ ∇ ( J ε θ ε ) ] ， u ε ( 0 ， x ) = u 0 ε ( x ) ，   b ε ( 0 ， x ) = b 0 ε ( x ) ，   θ ε ( 0 ， x ) = θ 0 ε ( x ) ， (3) 由经典的Picard定理知，存在 T ε > 0 ，使得初值问题(3)有唯一的光滑解 ( u ε ，   b ε ，   θ ε ) ∈ C ( [ 0 ，   T ε ) ;   H s ( R 2 ) ) . 引理2.3假设 且 ∇ ⋅ u 0 = ∇ ⋅ b 0 = 0 ，则存在常数 T > 0 ，使得初值问题(1)存在唯一的局部强解 ( u ，   b ，   θ ) ，满足 ( u ，   b ，   θ ) ∈ C ( [ 0 ，   T ) ;   H s ( R 2 ) ) ∩ L 2 ( [ 0 ，   T ) ;   H s + 1 ( R 2 ) ) . 证明：在(2)的三个方程两边作用 ∧ s ，并分别与 ∧ s u ，   ∧ s b ，   ∧ s θ 作内积，再将左右两边分别相加，得 1 2 d d t ( ‖ ∧ s u ε ‖ L 2 2 + ‖ ∧ s b ε ‖ L 2 2 + ‖ ∧ s θ ε ‖ L 2 2 ) = ( ∧ s J ε [ ( J ε b ε ) ⋅ ∇ ( J ε b ε ) ] ， ∧ s u ε ) − ( ∧ s J ε [ ( J ε u ε ) ⋅ ∇ ( J ε u ε ) ] ， ∧ s u ε )       + ( ∧ s J ε ( Δ u ε ) ， ∧ s u ε ) + ( ∧ s J ε [ ( J ε b ε ) ⋅ ∇ ( J ε u ε ) ] ， ∧ s b ε )       − ( ∧ s J ε [ ( J ε u ε ) ⋅ ∇ ( J ε b ε ) ] ， ∧ s b ε ) + ( ∧ s J ε ( Δ b ε ) ， ∧ s b ε )       − ( ∧ s J ε [ ( J ε u ε ) ⋅ ∇ ( J ε θ ε ) ] ， ∧ s θ ε ) + ( ∧ s J ε ( Δ θ ε ) ， ∧ s θ ε ) + ( ( ∧ s J ε θ ε e 2 ) ， ∧ s u ε ) ≜ ∑ n = 1 9 I n . (4) 由Green公式，得 I 1 = − ( ( J ε b ε ) ⋅ ∧ s ( J ε b ε ) ， ∧ s ∇ J ε u ε )             + ( [ ∧ s [ ( J ε b ε ) ⋅ ( ∇ J ε b ε ) ] − ( J ε b ε ) ⋅ ∧ s ( ∇ J ε b ε ) ] ， ∧ s J ε u ε ) (5) I 4 = ( ( J ε b ε ) ⋅ ∧ s ( ∇ J ε u ε ) ， ∧ s J ε b ε )               + ( [ ∧ s [ ( J ε b ε ) ⋅ ( ∇ J ε u ε ) ] − ( J ε b ε ) ⋅ ∧ s ( ∇ J ε u ε ) ] ， ∧ s J ε b ε ) (6) 由Hölder不等式和引理2.2，得 | I 1 + I 4 | ≤ | ( [ ∧ s [ ( J ε b ε ) ⋅ ( ∇ J ε b ε ) ] − ( J ε b ε ) ⋅ ∧ s ( ∇ J ε b ε ) ] ， ∧ s J ε u ε ) |     + | ( [ ∧ s [ ( J ε b ε ) ⋅ ( ∇ J ε u ε ) ] − ( J ε b ε ) ⋅ ∧ s ( ∇ J ε u ε ) ] ， ∧ s J ε b ε ) | ≤ C ( s ) ‖ ∧ s J ε b ε ‖ L 2 ‖ J ε ∇ b ε ‖ L ∞ ‖ ∧ s J ε u ε ‖ L 2 + ‖ ∧ s J ε b ε ‖ L 2 ‖ J ε ∇ u ε ‖ L ∞ ‖ ∧ s J ε b ε ‖ L 2 ≤ C ( s ) ( ‖ J ε ∇ u ε ‖ L ∞ + ‖ ∇ J ε b ε ‖ L ∞ ) ( ‖ J ε u ε ‖ H s 2 + ‖ J ε b ε ‖ H s 2 ) ， (7) 类似地，有 | I 5 | = | ( [ ∧ s [ ( J ε u ε ) ⋅ ( ∇ J ε b ε ) ] − ( J ε u ε ) ⋅ ∧ s ( ∇ J ε b ε ) + ( J ε u ε ) ⋅ ∧ s ( ∇ J ε b ε ) ] ， ∧ s J ε b ε ) | ≤ | ( [ ∧ s [ ( J ε u ε ) ⋅ ( ∇ J ε b ε ) ] − ( J ε u ε ) ⋅ ∧ s ( ∇ J ε b ε ) ] ， ∧ s J ε b ε ) | ≤ C ( s ) ‖ ∧ s J ε u ε ‖ L 2 ‖ J ε ∇ b ε ‖ L ∞ ‖ ∧ s J ε b ε ‖ L 2 ≤ C ( s ) ‖ ∇ J ε b ε ‖ L ∞ ( ‖ J ε b ε ‖ H s 2 + ‖ J ε u ε ‖ H s 2 ) ， (8) | I 7 | ≤ C ( s ) ‖ ∇ J ε θ ε ‖ L ∞ ( ‖ J ε θ ε ‖ H s 2 + ‖ J ε u ε ‖ H s 2 ) ， (9) | I 2 | ≤ C ( s ) ‖ ∇ J ε u ε ‖ L ∞ ‖ J ε u ε ‖ H s 2 . (10) 由Green公式，得 I 3 = ( ∧ s J ε ( Δ u ε ) ，   ∧ s u ε ) = − ∫ R 2 | ∧ s J ε ( ∇ u ε ) | 2 d x = − ‖ J ε ∇ u ε ‖ H s 2 . (11) 类似地，有 (12) 由Sobolev不等式，得 | I 9 | ≤ ‖ ∧ s θ ε ‖ L 2 ‖ ∧ s J ε u ε ‖ L 2 ≤ C ( s ) ‖ θ ε ‖ H s ‖ u ε ‖ H s . (13) 结合(4)~(13)，得 1 2 d d t ‖ ( u ε ， b ε ， θ ε ) ‖ H s 2 + ‖ J ε ∇ u ε ‖ H s 2 + ‖ J ε ∇ b ε ‖ H s 2 + ‖ J ε ∇ θ ε ‖ H s 2 ≤ C ( s ) ‖ ( u ε ， b ε ， θ ε ) ‖ H s 3 . (14) 由(14)和 ( u ε ( x ，   0 ) ，   b ε ( x ，   0 ) ，   θ ε ( x ，   0 ) ) = ( u 0 ε ( x ) ，   b 0 ε ( x ) ，   θ 0 ε ( x ) ) 及 ‖ ( u 0 ε ( x ) ，   b 0 ε ( x ) ，   θ 0 ε ( x ) ) ‖ H s ≤ ‖ ( u 0 ( x ) ，   b 0 ( x ) ，   θ 0 ( x ) ) ‖ H s 知，存在一个不依赖于 ε 的 T = T ( u 0 ，   b 0 ，   θ 0 ) ( ≤ T ε ) > 0 ，使得 sup 0 ≤ t ≤ T ‖ ( u ε ，   b ε ，   θ ε ) ‖ H s ≤ C ( s ) ‖ ( u 0 ，   b 0 ，   θ 0 ) ‖ H s . (15) 由(15)和引理2.1知，存在 { ε n } ，满足 lim n → ∞     ε n = 0 。当 n → ∞ 时，解族 { ( u ε ，   b ε ，   θ ε ) } ε > 0 的子列 { ( u ε n ，   b ε n ，   θ ε n ) } 收敛，其极限 ( u ，   b ，   θ ) 为初值问题(1)的解，且 ( u ，   b ，   θ ) ∈ C ( [ 0 ，   T ) ;   H s ( R 2 ) ) ∩ L 2 ( [ 0 ，   T ) ;   H s + 1 ( R 2 ) ) . 下证初值问题(1)的局部解的唯一性。 设 ( u 1 ，   b 1 ，   θ 1 ) 和 ( u 2 ，   b 2 ，   θ 2 ) 是初值问题(1)的两个解。令 和 π = π 1 − π 2 ，则 ( u ，   b ，   θ ) 满足 { ∂ t u − Δ u + u 1 ⋅ ∇ u + u ⋅ ∇ u 2 + ∇ π = b 1 ⋅ ∇ b + b ⋅ ∇ b 2 + θ e 2 ， ∂ t b − Δ b + u 1 ⋅ ∇ b + u ⋅ ∇ b 2 = b 1 ⋅ ∇ u + b ⋅ ∇ u 2 ， ∂ t θ − Δ θ + u 1 ⋅ ∇ θ + u ⋅ ∇ θ 2 = 0 ， ∇ ⋅ u = 0 = ∇ ⋅ b ， ( u ， b ， θ ) t = 0 = ( 0 ， 0 ， 0 ) . (16) 在初值问题(16)的三个方程两边分别与 u ， b 和 θ 作内积，再将左右两边分别相加，得到 1 2 d d t ( ‖ u ‖ L 2 2 + ‖ b ‖ L 2 2 + ‖ θ ‖ L 2 2 ) = − ( u 1 ⋅ ∇ u ， u ) − ( u ⋅ ∇ u 2 ， u ) − ( u 1 ⋅ ∇ b ， b ) − ( u ⋅ ∇ b 2 ， b )       + ( b 1 ⋅ ∇ b ， u ) + ( b ⋅ ∇ b 2 ， u ) + ( b 1 ⋅ ∇ u ， b ) + ( b ⋅ ∇ u 2 ， b )       + ( Δ u ， u ) + ( Δ b ， b ) + ( Δ θ ， θ ) − ( u 1 ⋅ ∇ θ ， θ ) − ( u ⋅ ∇ θ 2 ， θ ) + ( θ e 2 ， u ) ≜ ∑ n = 1 14 M n . (17) 由Green公式和 div u = div b = 0 ，得 M 1 = ( u 1 ⋅ ∇ u ， u ) = 0 ，     M 3 = ( u 1 ⋅ ∇ b ， b ) = 0. (18) 由Hölder不等式和Sobolev嵌入定理，得 M 2 = ( u ⋅ ∇ u 2 ， u ) ≤ ‖ u ‖ L 2 2 ‖ ∇ u 2 ‖ L ∞ ≤ C ( s ) ‖ u 2 ‖ H s ‖ u ‖ L 2 2 ， (19) M 4 = ( u ⋅ ∇ b 2 ， b ) ≤ ‖ u ‖ L 2 ‖ b ‖ L 2 ‖ ∇ b 2 ‖ L ∞ ≤ C ( s ) ‖ b 2 ‖ H s ( ‖ u ‖ L 2 2 + ‖ b ‖ L 2 2 ) ， (20) M 6 = ( b ⋅ ∇ b 2 ， u ) ≤ C ( s ) ‖ b 2 ‖ H s ( ‖ u ‖ L 2 2 + ‖ b ‖ L 2 2 ) ， (21) M 8 = ( b ⋅ ∇ u 2 ， b ) ≤ C ( s ) ‖ u 2 ‖ H s ‖ b ‖ L 2 2 ， (22) M 13 = ( u ⋅ ∇ θ 2 ， θ ) ≤ ‖ u ‖ L 2 ‖ θ ‖ L 2 ‖ ∇ θ 2 ‖ L ∞ ≤ C ( s ) ‖ θ 2 ‖ H s ( ‖ u ‖ L 2 2 + ‖ θ ‖ L 2 2 ) ， (23) M 5 = ( b 1 ⋅ ∇ b ， u ) ≤ ‖ ∇ b ‖ L 2 ‖ u ‖ L 2 ‖ b 1 ‖ L ∞ ≤ C ( s ) ‖ ∇ b ‖ L 2 ‖ u ‖ L 2 ‖ b 1 ‖ H s ≤ 1 2 ‖ ∇ b ‖ L 2 2 + C ( s ) ‖ b 1 ‖ H s 2 ‖ u ‖ L 2 2 ， (24) M 7 = ( b 1 ⋅ ∇ u ， b ) ≤ 1 2 ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + C ( s ) ‖ b 1 ‖ H s 2 ‖ b ‖ L 2 2 ， (25) M 12 = ( u 1 ⋅ ∇ θ ， u ) ≤ 1 2 ‖ ∇ θ ‖ L 2 2 + C ( s ) ‖ u 1 ‖ H s 2 ‖ u ‖ L 2 2 . (26) M 14 = ( θ e 2 ， u ) ≤ 1 2 ( ‖ θ ‖ L 2 2 + ‖ u ‖ L 2 2 ) . (27) 由Green公式，得 M 9 = ( Δ u ， u ) = − ‖ ∇ u ‖ L 2 2 . (28) 类似地，有 M 10 = − ‖ ∇ b ‖ L 2 2 和     M 11 = − ‖ ∇ θ ‖ L 2 2 . (29) 结合(17)~(29)知，存在 C = C ( s ) ，使得 d d t ( ‖ u ‖ L 2 2 + ‖ b ‖ L 2 2 + ‖ θ ‖ L 2 2 ) + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ ∇ b ‖ L 2 2 + ‖ ∇ θ ‖ L 2 2 ≤ C ( ‖ u ‖ L 2 2 + ‖ b ‖ L 2 2 + ‖ θ ‖ L 2 2 ) . 因此，对任意 t ∈ [ 0 ， T ] ，有 d d t ( ‖ u ‖ L 2 2 + ‖ b ‖ L 2 2 + ‖ θ ‖ L 2 2 ) ≤ C ( ‖ u ‖ L 2 2 + ‖ b ‖ L 2 2 + ‖ θ ‖ L 2 2 ) . 由Gronwall不等式及 ( u ，   b ，   θ ) | t = 0 = ( 0 ，   0 ，   0 ) ，可得在 [ 0 ，   T ] 上恒有 ‖ u ‖ L 2 2 + ‖ b ‖ L 2 2 + ‖ θ ‖ L 2 2 = 0 ， 即 ‖ u ‖ L 2 = 0 ，   ‖ b ‖ L 2 = 0 ，   ‖ θ ‖ L 2 = 0 。因此初值问题(1)的局部解唯一。引理2.3证毕。