DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 摘 要 本文主要以高等教育院校开设的公共课线性代数为例。通过分析线性代数的结构体系，以线性方程组理论为主线，讨论线性代数实际教学过程中的教学思路。 关键词 :线性代数，线性方程组，主线，教学思路 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 目前《线性代数》是我国高等院校理工科和经管类专业开设的一门非常重要的数学基础课程之一。《工程数学线性代数》 [ 1 ] 主要包括行列式、矩阵、线性方程组、向量、二次型、线性空间与线性变换等内容。事实上，线性代数主要研究问题可归结为线性方程组的求解及其相关问题。线性方程组的理论与方法几乎贯穿在线性代数教材的各章之中。通过线性方程组的不同表现形式可引入行列式、矩阵、向量等概念，通过线性方程组的求解也可将各章节相关内容联系在一起，从而使这门课程各部分内容融为一体。
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user: 2. 线性代数的主线——线性方程组 对学生而言，线性代数跟以往学过的数学知识完全不同，学生普遍认为这门课程内容过于抽象、定理定义太多、解题方法较为复杂，无法将课程前后各章节内容联系在一起。因此，在正式讲授课程内容之前，教师应努力讲清楚各部分知识的联系，将各部分内容合理地衔接起来，理清课程脉络，注意前后内容的衔接 [ 2 ] 。所以，以求解线性方程组作为主线是比较合理的。一方面，线性方程组是学生比较熟悉的概念，以线性方程组为课程的主线学生更易于接受；同时以线性方程组为主线也能够很好地将各部分内容串联起来。从学生中学最为熟悉的线性方程组出发，将线性方程组分为方程个数和未知量个数相等或不等两种类型 [ 3 ] 。由简入难，以二元和三元方程组引出二阶和三阶行列式的定义，从而引出一般行列式的定义，继而得到克拉默法则；而“对于方程个数和未知量个数不同的线性方程组的求解问题”则需引入矩阵的概念及其相关定义、性质与矩阵的秩等重要概念，然后借助矩阵的秩可以观察线性方程组中哪些是有解，哪些是无解的，接着引出向量由向量组线性表示问题，进一步引出线性相关(无关)的概念；同样，由观察齐次线性方程组的解的集合所具有的性质可引出而线性空间这个核心概念；最后，化二次型为标准型便是将前面知识进行了综合应用，其中的内容涉及到矩阵的对角化，特别是求解矩阵特征向量又涉及到线性方程组的求解。因此，将线性方程组作为主线来串联线性代数各部分内容十分有助于学生从整体上去理解线性代数这门课程。 对于线性方程组的求解，中学数学中只涉及到未知数个数n与方程个数m相同，并且n或m较小的线性方程组，通常采用消元法进行求解。而大学中线性代数这门课程将会介绍更为高级、简便的方法来求解任意线性方程组。设有n个未知数与m个方程的线性方程组，一般表示为： { a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 ， a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 ，                                             ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m . 由此，可将线性方程组分为两大类： 1) m = n ，即方程个数与未知数个数相等。 2) m ≠ n ，即方程个数与未知数个数不相等。 求解以上两类线性方程组需要用到两类有力工具，那就是行列式和矩阵。由此，可将线性代数的课堂教学内容重点分为三大部分。
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user: 3. 课堂教学重点内容1：行列式 鉴于之前据方程个数和未知量个数不等或相等将线性方程组分为两类。在教学安排上首先介绍行列式，并告知学生行列式的出现是为了求解第一类线性方程组—— m = n 。从学生最为熟悉的二元线性方程组引入二阶行列式，使学生对行列式有初步了解。接着由三元线性方程组引出三阶行列式，进而推广到n阶行列式的一般定义。接下来便是针对n阶行列式内容的讲授。事实上，行列式骨子里就是一个代数表达式。因此计算行列式的代数表达式是学习行列式首要任务。那么便需掌握计算行列式的常用方法，也是行列式内容的重点：n阶行列式的定义法、行列式性质、降阶法、升阶法(加边法)、数学归纳法、递推法。万事俱备，最后便可采用行列式得到克拉默法则，从而求解方程个数等于未知数个数且系数行列式不等于零的线性方程组。最后，结合二阶行列式与二元线性方程组的关系，可推广到n元线性方程组的求解——克拉默法则： 克拉默法则 [ 1 ] ：如果线性方程组 { a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2                                           ⋮ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a n n x n = b n 的系数行列式不等于零，即 D = | a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n | ≠ 0 ，那么方程组有唯一解： x 1 = D 1 D ，   x 2 = D 2 D ，   x 3 = D 2 D ， ⋯ ， x n = D n D 其中 D j ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即 D j = | a 11 ⋯ a 1 ， j − 1 b 1 a 1 ， j + 1 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n ， j − 1 b n a n ， j + 1 ⋯ a n ， n | 。 到此，克拉默法则回答了最初关于求解 m = n 的线性方程组的问题。教学过程中，让学生去观察以上条件，并提出问题：克拉默法则不能求解两大类线性方程组的哪些方程？显然，对于 m ≠ n 或系数行列式为0的 m = n 的线性方程组，克拉默法则已失效。由此，需要引入另一工具——矩阵。
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user: 4. 课堂教学重点内容2——矩阵 矩阵是克拉默法则求解某些线性方程组失效后的产物，更是数学家偷懒的结果。学生在中学阶段求解线性方程所采用的消元法是一个重复与繁琐的过程，在此过程中会发现参与运算过程的仅仅是未知变量的系数，那么将这些系数按照在方程组中的位置依次排列，再用括号括起来，便得到与原方程组相应的一个数表，称之为矩阵。所以，矩阵本质上是一个长方形数表，其作为求解线性方程组的另一有力工具，与线性代数中其他内容都有着千丝万缕的联系。利用矩阵求解线性方程组取代了中学时代需要将每次消元后的方程组重新抄一遍的繁琐，达到事半功倍的效果。事实上，矩阵适用于求解所有线性方程组，大多时候比克拉默法则更为简单，方便。因此，矩阵作为一种新的工具，我们需要认识和理解它。如，矩阵的四则运算，矩阵的性质。通过与数的运算进行对比，记住矩阵加减、乘以及逆运算的条件，并注意矩阵的一些反常性质，如矩阵的乘法不在满足交换律与消去律，全不为零矩阵相乘可能为零。 在介绍完矩阵的基本运算与性质后，学生还需掌握矩阵的秩。矩阵的秩是矩阵的核心，是矩阵的一个重要的数值特征，是矩阵判断解线性方程组是否有解及求解的过程中的必经之路。矩阵秩的概念较难理解，它的影响力却不容小觑。矩阵的秩的应用贯穿了几乎整本教材。例如，判断线性方程组是否有解、判断向量组的线性相关性、求矩阵特征值、判断二次型的正定性等等方面都与矩阵的秩息息相关。因此，结合增广矩阵秩的性质： 或 R ( A ) + 1 = R ( A ， b ) ，便得到线性方程组 A m × n x = b 的求解理论： 定理 [ 1 ] ：给定n元线性方程组 A m × n x = b ，则方程 1) 无解的充分必要条件是 R ( A ) ≠ R ( A ， b ) ； 2) 有解的充分必要条件是 R ( A ) = R ( A ， b ) = r 。 a) 有唯一解 ⇔ r = n ； b) 有无限多解 ⇔ r < n 。 因此，求任意方程组 A m × n x = b 的解都可以通过对增广矩阵 B = ( A ， b ) 讨论得以解决。
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user: 5. 课堂教学重点内容3——线性方程组及矩阵的应用 5.1. 向量组的线性相关性 教师在介绍线性相关性之前，需要向学生介绍线性方程组常用的四种表示形式，例如： 1) 一般表达式： { x 1 + x 2 = 2 2 x 1 + 3 x 2 = 5 ； 2) 增广矩阵形式： ( 1 1 2 2 3 5 ) (矩阵求解线性方程组的重要工具，但需要附加说明)； 3) 矩阵相乘形式： ( 1 1 2 3 ) x = ( 2 5 ) ，即 A x = b (无需说明)； 4) 向量线性组合形式： ( 1 2 ) x 1 + ( 1 3 ) x 2 = ( 2 5 ) 。 以上四种不同的表示形式，在线性代数中却有着不同的意义。而表达形式4)恰好与线性代数中另外一个重要概念——线性表示有着重要联系。这样，学生更容易理解线性表示的定义。因此，判断向量 b 是否可以由向量组 A 线性表示？若可以表示，求出表达式的问题自然就转化为判断线性方程组 A x = b 是否有解，并求解的问题。在此基础上，若令 b = 0 ，由线性表示便可得到向量组 线性相关性的概念。向量组的线性相关性是线性代数中非常重要概念之一，也是线性代数中的难点。给定向量组 A ，不是线性相关的，就是线性无关的，两者必居其一。通过前面分析，判断向量组 A 的线性相关性本质上是判断齐次线性方程组 A x = 0 是否有非零解的问题。再通过线性相关性可讲授最大无关组的概念，便可发现通过有限向量组掌握无限向量组，凡是对有限向量组成立的结论，用最大无关组作过渡，立即可推广到无限向量组的情形中去。在线性相关性的教学过程中，教师需要强调判断向量组线性相关性的重要性，并说明通常采用以下四个等价命题： 向量组 A ： α 1 ， α 2 ， ⋯ ， α m 线性相关： ⇔ 存在不全为零的实数 k 1 ， k 2 ， ⋯ ， k m ，使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m = 0 。 ⇔ m元齐次线性方程组 A x = 0 有非零解。 ⇔ 矩阵 A = ( α 1 ， α 2 ， ⋯ ， α m ) 的秩小于向量的个数m。 ⇔ 向量组 A 中至少有一个向量能由其余m个向量线性表示。 同理，很容易得到判断线性无关的四个等价命题。 5.2. 相似矩阵及二次型 相似矩阵及二次型主要是对实对称矩阵的研究。化二次型为标准型便是将前面知识进行了大串联。由于二次型与对称矩阵有密切的联系，而讨论对称矩阵又会涉及到矩阵的秩、矩阵的初等变换、矩阵的特征值特征向量等概念，求解矩阵特征向量又会用到线性方程组的求解。通过求解线线方程组可将实对称矩阵对角化。可见，这部分内容中求解线性方程组仍起着举足轻重的作用。因此，这部分内容是对前面章节知识的巩固与融合。
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user: 摘 要 针对目前高校应用型本科转型背景下大数据课程群应用性不鲜明的问题，提出基于大数据人才知识结构和应用能力需求的大数据课程群教学改革方法。首先，构建适于应用型人才培养的大数据课程群体系框架；其次，设计并实践应用型大数据课程教学方案；最后，建设面向应用型教学的大数据课程群教学资源平台。实践结果表明该课程群能有效提高学生学习兴趣和实践能力，为大数据专业注入新的活力，提升毕业生的就业竞争力。 关键词 :应用型人才，大数据，教学改革 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 中央电视台于2014年首次播报了两会大数据与春运大数据的相关新闻，此后，大数据越来越多地出现在公众的视野。2015年8月国务院颁布《促进大数据发展行动纲要》，将大数据战略上升至国家战略层面，全面推进大数据发展、加快建设数据强国 [ 1 ] 。近几年，一大批大数据产业园相继落地，大数据产业生态加速完善，相关标准和技术体系持续完善，应用市场日益壮大，产业国际影响力不断提升。2019年赛迪顾问(代码：HK8235)发布《中国大数据产业白皮书及百强榜单》指出：中国大数据产业受宏观政策环境、技术进步与升级、数字应用普及渗透等众多利好因素影响，预计年复合增长率超过20%。大数据时代的来临，对大数据应用人员产生了极大的需求，也给面向应用的高校大数据人才培养带来极大的挑战和机遇，核心则是强调人才的知识应用能力和解决实际生产问题的能力 [ 2 ] 。如何建构大数据课程群体系，是高校数据科学与大数据技术新专业(简称大数据专业)建设需要重点思索的问题 [ 3 ] 。 高校大数据课程群涉及的知识层面多，学校多以数学和信息学等专业嫁接方式构建课程体系，产生两类体系：其一是以大数据算法结合领域知识及应用，但在计算机能力方面培养不足；其二是通过计算机学科进行嫁接，但重点关注计算机学科本身，导致大数据算法等专有领域知识方面培养不足 [ 4 ] 。围绕大数据处理技术需要多种应用型人才，人才培养不能千校一面或千人一面，结合学校自身的人才培养目标和定位，剖析大数据人才类型的核心知识与能力需求，形成有自身特色的大数据课程群是正确方法。广东第二师范学院是2010年新转制的师范类普通本科院校，除了传统的师范类专业外，学校制定了逐渐开办应用型专业，向应用型普通本科学校转型发展的战略：根据高等教育发展态势，积极实施规范发展、内涵发展、特色发展和创新发展战略，树立质量立校意识，加快转型发展，坚定不移地走特色办学之路，把学校建设成为规模适当、特色鲜明的应用型普通本科高校 [ 5 ] 。在转型发展战略指导下，我校构建了具有CDIO (Conceive-Design-Implement-Operate)国际先进工程教育模式 [ 6 ] 的多形态实践教学体系，在学生综合能力培养过程中起到了积极作用。但是，由于数据科学与大数据技术课程师资缺乏、传统计算机教师对于新兴的大数据与人工智能应用的理解不深以及应用型人才规格化教学实践的认知不足等原因，我校目前仅在软件工程专业进行基于CDIO的部分大数据课程探索试点，相关的面向应用型人才培养的大数据课程群亟待改革优化并探索实践。
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user: 2. 大数据课程群改革思路 2.1. 大数据人才知识需求分析 笔者首先分析大数据人才的知识结构和应用能力需求，然后基于我校师范院校工科专业的特色，紧紧围绕教育大数据、培养应用型人才为导向的基本思路而展开研究。定位于新工科落脚于突出计算机应用技术能力的培养，紧紧围绕教育大数据依托于我校应用型新师范的优势背景，培养应用型人才、强化实验与实践教学，形成特色鲜明的应用型人才培养模式，使之更合理配置现有资源，更吻合师范院校的教育发展规划与定位。大数据与应用产业结合紧密，大数据人才的知识结构包含两部分：学科基础知识与专业应用知识 [ 7 ] 。 学科基础知识分为通识基础知识与专业基础知识两个部分。通识基础知识包含数理统计基础、大学英语等，它们是大数据领域应用型人才的基础能力知识；专业基础知识包含计算机及网络基础、程序设计及算法等，侧重于计算机及网络结构、基础编程及人工智能思想、数据结构与算法以及主流开发工具的学习，是大数据系统研发的基础。专业应用知识分为数据采集及处理与数据分析及可视化两个部分。数据采集及处理知识包括数据的采集与预处理、数据的存储与管理、基于分布式计算平台的数据处理；数据分析及可视化知识包括数据的智能分析、语义挖掘、可视化、基于海量数据的Web应用开发等。 2.2. 大数据课程群培养目标 大数据课程群培养目标是人才培养的总纲，培养目标的制订同国家、社会和学生的要求与期望值相关，也与学校的办学定位、人才培养定位及培养质量追求相关。按照我校“应用型、服务型”的人才培养定位以及未形成体系的部分大数据课程探索试点，笔者将大数据课程群的培养目标确定为：遵循CDIO工程教育模式理念，通过多种方式的教育、教学和实践环节，按照“理论与实践并重、应用特色鲜明”的原则，培养立志从事数据应用事业，具备数据采集、数据处理、数据分析、数据可视化和数据决策支持的基本理论、基本知识和应用技能，具有构思、设计、实施和运行大数据软件系统、尤其是教育大数据智能应用系统的基本能力，具有良好职业道德的应用型人才。教学改革不应直接照搬重点大学系统化和专业化的大数据专业课程体系，而更应立足于我校实践，探索符合我校特色的大数据应用课程群体系。
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user: 3. 大数据课程群改革实施 3.1. 应用型大数据课程群的构建 课程群是一种适用应用型人才培养的课程体系构建与教学展开模式。大数据课程群作为多学科交叉的新课程体系，尚处于研究探索阶段，按照知识结构和应用能力需求进行覆盖，进而将知识模块分解重构而形成课程群具有明显的合理性。具体如表1所示，面向应用型人才培养的大数据课程群不仅考虑以领域知识层次为基础结合大数据专业方向构建，而且考虑了基于大数据应用能力的课程群构建。 Table 1 The system framework of big data curriculum grou 课程群层次 大数据应用能力 课程构件 通识课程群 数理基础能力 高等数学、概率论与数理统计、线性代数、大学英语、计算机科学导论、人文知识课程 专业基础课程群 程序设计能力 程序设计基础、Python程序设计、面向对象程序设计、数据结构与算法、算法设计与分析、网络及其计算、操作系统 数据处理课程群 数据处理能力 数据采集与网络爬虫、云计算导论、大数据概论、大数据处理技术、大数据分析与内存计算、数据库系统原理、NoSQL数据库应用开发、大型软件系统与体系结构 数据分析课程群 数据分析能力 人工智能、机器学习与数据挖掘分析、Java Web应用程序开发、Java企业级应用开发、教育大数据智能应用、大数据应用测试、Linux体系与编程 表1. 大数据课程群系统框架 通识课程群主要培养学生的数理能力、外语能力和人文精神，其中数学基础课程包括高等数学、概率论与数理统计、线性代数等课程。专业基础课程群主要培养学生的专业基本能力，掌握程序设计与算法技术。数据处理课程群主要培养学生的职业竞争能力，为社会培养数据存储与分布式处理领域人才。数据分析课程群主要培养基于海量数据的Web智能应用、数据分析、数据挖掘和数据可视化等大数据领域人才。 3.2. 应用型教学方案设计与实践 大数据应用技术是新兴的、动态的学科，因此，将对大数据课程开展教学研究，及时更新、补充和调整教学内容，将教学要求进一步细化，使得大数据课程群教学内容更具有针对性、应用性，教学要求更具有可操作性。采取三个步骤对大数据课程进行设计和实践，首先确定每门专业课程的知识内涵以及课程之间的结构衔接关系，明确课程的任务定位和教学重点。然后将课程教学目标划分为初中高三个递进阶段，明确各阶段的具体能力要求和课程内容安排。最后，帮助学生从枯燥的理论学习中走出来，通过直观的实践教学贯穿专业课程的理论教学全过程 [ 8 ] 。设计的主要实践教学形式包括：1) 指定时间在大数据专业实验室进行集中分组技能训练，保证每位学生能够有充足时间进行上机实践训练，实验课堂指定大数据技术训练内容和训练要求，该内容应围绕一个独立的大数据应用而展开；2) 安排机动时间，由学生预约大数据专业实验室，进行个别技能自主训练，由学生自主设计训练内容；3) 布置大数据课外作业，由学生在课外时间，进行自主技能训练，并将部分成熟的、贴近真实场景的课外自主训练的作业列入课程考核的内容；4) 开展应用型项目实训考核，将该应用考核作为课程教学的一个重要环节，提高实践环节(应用型课程实验、应用型项目实训)的成绩占比。在项目案例设计上，用一个实际项目案例贯穿一个课程的教学全过程，把完整的大数据知识与行业领域知识融入教学案例中，最终培养出大数据专业理论联系行业领域实际的应用型人才。设计案例项目的时候，实践内容细化到课程的目标要求和知识点，形成目标明确与知识连贯的教学实践方案。课程项目案例选择为企业真实案例，项目复杂度恰当，业务规则易于理解，适于达成中高级能力目标的教学内容展开和实践。此外，充分发挥网络工程与软件工程重点学科的优势，在双创实践、专业竞赛与兴趣小组等实践教学环节，引导学生在实践中思考、学习、实践、领悟理论知识，锻炼大数据应用技能，最终构建良好的实践教学体系。在最近的一年中，大数据课程群教学改革团队，与合作企业联合，指导学生团队进行相关知识的学习、运用和实践，取得了较好的效果，其中录用省级以上论文6篇，获老无忧智慧养老运营系统等11个软件著作权、11人次获全国大学生计算机设计大赛和蓝桥杯全国软件和信息技术专业人才大赛等专业竞赛奖励等。 3.3. 大数据课程群教学资源建设 大数据应用技术是新兴的、动态的学科，新的理论、方法、框架以及工具不断涌现，为缓解传统纸质版教材在教学内容方面的相对滞后性，充分利用互联网资源建设面向大数据课程群的在线教学平台，相关的课程资源与功能模块包括教学日历与任务发布、开源开发工具、教学微课视频下载、企业项目案例演示、实验数据下载、师生在线交流等，为学生提供立体化的教学资源，拓展学习空间，强化工程实践训练。
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user: 4. 结论 如何建构应用型大数据课程群体系，是高校大数据专业建设需要思索的问题。笔者以大数据人才的知识结构和应用能力需求分析来确定人才培养目标、以应用型课程群体系创新人才培养模式、以过程控制和管理来保障人才培养质量，对大数据课程群教学改革进行了认真思考和实践探索。通过对大数据课程群的应用型教学改革研究，人才培养更具有系统性和应用型，增强了学生的就业竞争力，为同类院校的大数据专业提供了技术性和理论性的参考和依据。
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user: 摘 要 激光跟踪仪转站精度是影响飞机装配质量的重要因素。装配现场温度变化导致ERS点位置产生偏移，已经成为影响激光跟踪仪转站精度的最大误差源。为了提高转站精度，本文提出一种基于精密热变形理论的激光跟踪仪转站精度补偿方法，该方法通过比较ERS点的实际测量值和转站参数计算值，来估计ERS点在X， Y， Z方向上的形体热变形系数。利用迭代的方法对ERS点的实际位置进行修正，并逐步逼近真实的转站参数。工程实例证明本文所提出的补偿方法具有很好的补偿精度，其中最大转站误差最大降低38.6%，平均转站误差下降38.7%。 关键词 :激光跟踪仪，转站精度，公共观测点，热变形补偿 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 飞机数字化装配技术以基于单一产品数据源的数字量协调体系为基本特点，其中数字化测量技术为实现数字化精确装配提供基础保障 [ 1 ] ，而测量系统的精度是决定飞机最终装配质量的重要因素 [ 2 ] 。激光跟踪仪因其测量技术成熟，测量精度高，技术配置灵活，在飞机数字化装配系统中得到广泛应用 [ 3 ] 。由于飞机部件尺寸较大、装配工装复杂，为了覆盖飞机部件所有特征点的测量，需要经常地移动激光跟踪仪设备。不同站位激光跟踪仪测量数据相互独立，需要通过转站的方法将测量数据转换到统一的参考坐标系下。激光跟踪仪转站是通过测量一组公共观测点(ERS点)进行匹配实现的，其目的是获得激光跟踪仪测量坐标系到装配坐标系的转换参数(转站参数)。显然，转站参数的误差是决定整个测量系统测量精度的直接因素。 ERS点作为现场参考坐标系的基准，被固定地安装在飞机装配平台或工装上，其理论位置应保持固定不变。然而装配车间温度的变化会导致整个装配平台发生热变形，ERS点的位置随之产生位移。此时ERS点的实际模型和理论模型产生偏差，导致转站后得到的坐标系偏离理论的参考坐标系。飞机装配平台尺寸可达数十米，温度变化引起装配平台尺寸的热变形是比较严重的。以钢材为例(取热膨胀系数为1.2e−5/℃)，当飞机装配平台整体长度为30米，室内温度达到5摄氏度时，平台尺寸的变化量即可达到1.8 mm。而我国西北地区年度温度可变可达到30多摄氏度，因此温度变化已经成为影响现场测量精度的最主要因素。通过构建恒温的装配车间可以有效抑制热变形，但是成本昂贵。因此，通过优化转站算法对热变形误差进行补偿无疑是一个经济有效的方法。Horn [ 4 ] 为了提高匹配精度，在转站算法求解过程中引入一个缩放因子s，来表示匹配点组的各项同性缩放比例，但是该算法并非严格基于热变形原理，只能补偿两个点组之间的整体相似度误差，因此该算法更适用于图像匹配领域。杨宝旒 [ 5 ] 通过有限元仿真的方法获得装配工装的线性热变形规律，利用单位温度热变形系数矩阵对ERS点的理论位置进行补偿，其缺点是有限元仿真结果不能准确反映真实工装的热变形情况。俞慈君 [ 6 ] 基于物体热变形理论建立工装的三维热变形模型，构建修正后的最小加权误差函数对转站误差进行优化，其在转站过程中采用3σ准则对ERS点进行删选，剔除异常点来提高测量精度，但是该方法中热补偿系数来自于算法估计，而非真实的测量数据。金涨军 [ 7 ] 对激光跟踪仪转站过程的误差传递进行分析，提出了转站参数误差的估计模型，但是该模型并没有考虑温度变化的影响。 为了提高激光跟踪仪的现场测量精度，本文提出一种基于精密热变形理论的激光跟踪仪转站精度补偿方法。本文首先介绍了激光跟踪仪转站误差补偿的基本方法，然后针对目前方法的不足之处，提出了一种基于精密热变形理论的转站精度热补偿方法。该方法通过ERS点的实际测量位置与转站参数计算值，分别估计ERS点在装配坐标系下X， Y， Z方向上的形体热变形系数；利用迭代算法对ERS点的实际位置进行修正，并逐步逼近求解真实的转站参数。最后通过工程实例证实本文提出的热补偿方法相比于目前所用的补偿方法具有更好的补偿精度。
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user: 2. 激光跟踪仪转站误差 在飞机装配现场，由于飞机部件尺寸较大和现场各种装配工装、设备的遮挡，需要多次移动激光跟踪仪到不同的站位来完成飞机装配过程的测量任务。每台激光跟踪仪具有独立的测量坐标系，为了融合来自不同站位的测量数据，需要通过转站的方法将激光跟踪仪测量坐标系转换到统一的参考坐标系下。激光跟踪仪转站是通过测量一组ERS点的实际位置来实现的(图1)，其本质是三维点组的刚体匹配问题。假设ERS点在装配坐标系下的理论坐标为y i ，在激光跟踪仪测量坐标系下为x i 。转站参数用 T ( x ， y ， z ) 和 R ( α ， β ， γ ) 来表示，其中T 表示激光跟踪仪测量坐标系相对于装配坐标系的平移向量，R 表示激光跟踪仪测量坐标系相对于装配坐标系的旋转矩阵，α，β，γ是相应的RPY角。 图1. 激光跟踪仪转站基本原理 通过构建所有ERS点的匹配误差Ʃ的最小二乘函数(公式1)，求解转站参数R和T的最佳估计值。 Σ = ∑ i = 1 N ‖ e i ‖ 2 = ∑ i = 1 N ‖ R x i + T − y i ‖ 2 (1) 其中N为参与转站的ERS点的数量。 SVD分解法 [ 8 ] [ 9 ] 、正交矩阵法 [ 4 ] 、四元数法 [ 10 ] 是常用的求解刚体匹配问题的解析算法。 为了提高点组的匹配精度，Horn [ 4 ] 在匹配过程加入比例因子s对匹配精度进行补偿，s是各向同性缩放因子，表示两组点集在匹配前后的整体相似程度： Σ = ∑ i = 1 N ‖ s R x i + T − y i ‖ 2 (2) 该方法运用于图像处理领域，可以很好的提高图像匹配的精度，但对于激光跟踪仪转站则存在很多局限。首先，ERS点热位移的存在会同时导致激光跟踪仪的平移参数和旋转参数估计值的变化，而Horn的方法只针对平移参数进行修正，而忽视了旋转参数，这与事实不符；其次，装配工装热变形情况复杂，不同尺寸方向上的形变和热变形系数是不同的，无法用一个单一的比例缩放因子s来表示。为了解决这些问题，本文提出了一种基于精密热变形理论的激光跟踪仪转站补偿方法。
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user: 3. 转站热热变形补偿算法 3.1. 精密热变形误差理论 对于精密仪器而言，随着测量技术的发展和测量仪器精度的提高，因温度变化引起的测量误差占测量总误差的比重越来越大，到20世纪末和21世纪初，温度引起的误差已经占到测量总误差的50%以上 [ 11 ] 。传统的物体热变形理论只考虑了几何尺寸、材料热膨胀系数、和温度三个因素，构建线性热变形理论模型。实际上，物体的热变形还受到其形体结构、组装方式等多因素的影响。为了提高精密测量精度，合肥工业大学费业泰教授提出了考虑形体结构影响的热变形误差模型 [ 12 ] [ 13 ] ： s t = f ( α ， k ) k = φ ( L 1 ， L 2 ， ... L i ， ... ， L n ， ) (3) 式中：s t 表示物体某尺寸L的形体热变形系数，α是材料热膨胀系数，k为形体结构因子，其值取决于物体的形体结构和其他关联尺寸L i 。L i 表示物体其他与尺寸L相关联的尺寸。根据该理论，物体不同尺寸之间以及连接结构对热变形存在相互耦合的影响，热变形后物体的尺寸变化并非是各向同性的。 对于一些形体结构复杂的物体，其形体结构因子计算是非常复杂的。因此，对于复杂物体某一尺寸的形体热变形量，可以通过实验测量的方法，通过公式(4)计算获得。 Δ L = s t L ( t 2 − t 1 ) (4) 3.2. ERS点形体热变形系数计算 由于材料、形状结构和连接方法的不同，装配平台在其主要尺寸(长宽高)方向上会表现出各向异性的热膨胀特性，布置在其上的ERS点也将随着装配平台展现出各向异性的热位移特性。由于装配平台结构复杂，从理论上计算形体结构因子是及其困难的。通过比较ERS点在温度变化前后的位置直接对形体热变形系数进行估计，是一个更为经济合理的选择。 假设ERS点P i 在装配坐标系下的理论坐标为P iA ，热变形后在装配坐标系中的实际位置为P iB ，则该ERS点在XYZ三个方向上的形体热变形系数为： { s i x = ( P i B x − P O x ) / ( P i A x − P O x ) s i y = ( P i B y − P O y ) / ( P i A y − P O y ) s i z = ( P i B z − P O z ) / ( P i A z − P O z ) (5) 式中，s x ，s y ，s z 分别表示ERS点在长宽高三个方向的形体热变形系数；P O 表示ERS点的热膨胀中心。 对于布置有N个ERS点的装配平台而言，为了减少形体热变形系数的计算误差，取每个ERS点的形体热变形系数的算术平均值，作为ERS点的整体形体热变形系数： { s x = ∑ i = 1 N s i x / N s y = ∑ i = 1 N s i y / N s z = ∑ i = 1 N s i y / N (6) 在式(5)中，ERS点在装配坐标系下的实际位置P iB 为是无法直接通过测量得到的，它需要通过激光跟踪仪的实际测量值和转站参数估计而得到： P i B = R ⋅ P L i B + T (7) 其中 L P iB 是该ERS点在激光跟踪仪下的实际测量位置。 由于转站参数R和T的理论值是未知的，是由ERS点的实测坐标通过匹配算法计算获得，而为了获得更高精度的转站参数，又需要使用转站参数来计算ERS点的形体热变形系数。显然，转站参数和ERS点的形体热变形系数之间相互影响，无法使用传统的解析方式求解。为了解决这个问题，本文开发了一种迭代计算方法，利用当前转站参数值来计算和逼近真实的形体热变形系数。 3.2. 激光跟踪仪转站热补偿算法 转站热变形补偿算法首先对原始测量数据进行匹配计算，获得相应的转站参数的近似值。然后使用该转站参数近似值估算ERS点的形体热变形系数，并对ERS点的实际位置进行修正。再使用修正后的ERS点的位置和理论位置进行匹配计算新的转站参数。如此循环往复迭代，直至转站误差达到我们事先设定的容差标准。其详细计算算法如下所示： 第一步，参数初始化：令初始迭代次数K = 1，形体热变形系数 s x 1 = s y 1 = s z 1 = 1 ，转站参数旋转矩阵R 1 为单位矩阵，平移矩阵T 1 为零矩阵。 第二步：使用ERS点的实际位置 与其理论值P iA 匹配，计算当前转站参数R K 和T K 最佳估计值。其中当K等于1时， P L i B 1 = P L i B 。 第三步：判断当前的转站误差是否符合测量容差要求。若转站误差已经满足容差要求或则迭代次数达到最大值K max ，则迭代结束，此时转站参数合理估计值为R K 和T K ；若转站容差尚未满足容差要求且迭代次数小于最大值K max ，则需要计算新的热形体热变形系数： { s x K + 1 = 1 N ∑ i = 1 N ( P i B x K − P O ) / ( P i A x − P O ) s y K + 1 = 1 N ∑ i = 1 N ( P i B y K − P O ) / ( P i A y − P O ) s z K + 1 = 1 N ∑ i = 1 N ( P i B z K − P O ) / ( P i A z − P O ) (8) 式中 P i B K = R K ⋅ P L i B K + T K ，表示ERS点在装配坐标系下的实际位置。 第四步：根据计算得到的形体热变形系数，对ERS点在装配坐标系下的实际位置进行修正： { P i B x ' K = P i B x K + ( s x K + 1 − 1 ) P O x s x K + 1 P i B y ' K = P i B y K + ( s y K + 1 − 1 ) P O y s y K + 1 P i B z ' K = P i B z K + ( s z K + 1 − 1 ) P O z s z K + 1 (9) 第五步：根据当前转站参数和经过修正后的ERS点的位置，对ERS点在激光跟踪仪坐标系下的实际位置进行修正。 P L i B K + 1 = ( R K ) − 1 ( P i B ' K − T K ) (10) 第六步：令K = K + 1，然后返回第二步继续。
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user: 4. 工程实例 以某型飞机中机身段的部件装配现场的测量数据为样本，对本文提出的激光跟踪仪转站热变形补偿方法进行了验证，测量现场如图2所示。实验中测量设备采用的是来自徕卡公司的激光跟踪仪AT-901 LR。在该部件装配现场，一共布置了10 ERS点，其编号和理论值如表1所示。激光跟踪仪通过测量这10个ERS点的实际位置完成转站。通过对测量数据和转站数据进行分析，验证本文提出的激光跟踪仪转站热变形补偿方法进行验证。本文试验中，膨胀中心为平台的几何中心位置(13982.000，0.000，0.000)。 图2. 激光跟踪仪现场转站测量 Table 1 The nominal location of ERS poin 编号 理论值 X (mm) Y (mm) Z (mm) DR1 13461.968 3057.356 −54542.795 DR2 13466.772 3054.398 −52879.890 DR3 13372.692 −5704.690 −53469.053 DR4 17868.137 −55702.911 −53471.318 DR5 24865.070 −55706.868 −52934.769 DR6 27871.058 −55709.286 −54273.616 DR7 13465.374 −53041.617 −52678.224 DR8 24775.934 −53046.248 −52798.255 DR9 27767.353 −53051.349 −54605.147 DR10 27776.304 −53050.347 −52914.038 表1. ERS点理论值 以其中某次转站测量数据为例，对本文算法的收敛性和补偿效果进行分析。表2所示为转站过程中ERS点的实际测量值及其对应的匹配误差，表3为经过热变形补偿后，ERS点的测量值及其对应的匹配误差。显然，在经过热变形补偿后，激光跟踪仪对ERS点的实际测量值已经非常接近其理论值，其匹配误差控制在0.3 mm以内。 Table 2 The measurements and registration errors of ERS point 编号 实测值 匹配误差 X (mm) X (mm) X (mm) X (mm) Y (mm) Z (mm) DR1 7469.063 7469.063 7469.063 −0.506 0.199 −0.158 DR2 7471.955 7471.955 7471.955 −0.454 0.302 0.094 DR3 −1286.494 −1286.494 −1286.494 −0.622 −0.071 −0.021 DR4 −1351.244 −1351.244 −1351.244 −0.090 0.068 0.085 DR5 −1456.311 −1456.311 −1456.311 0.443 −0.200 0.005 DR6 −1508.002 −1508.002 −1508.002 0.512 −0.166 −0.170 DR7 1377.654 1377.654 1377.654 −0.597 0.042 0.036 DR8 1205.720 1205.720 1205.720 0.361 −0.109 0.044 DR9 1149.769 1149.769 1149.769 0.416 0.021 −0.033 DR10 1156.872 1156.872 1156.872 0.535 −0.086 0.119 表2. ERS点测量值与匹配误差 Table 3 The measurements and registration errors of ERS points after compenstio 编号 补偿后的测量值 匹配误差 X (mm) Y (mm) Z (mm) ΔX (mm) ΔY (mm) ΔZ (mm) DR1 13462.202 3057.309 −4542.635 0.234 −0.047 0.160 DR2 13467.016 3054.251 −2879.981 0.244 −0.147 −0.091 DR3 13372.826 −5704.464 −3469.015 0.134 0.226 0.038 DR4 17867.940 −5702.865 −3471.394 −0.197 0.046 −0.076 DR5 24864.940 −5706.614 −2934.776 −0.130 0.254 −0.007 DR6 27870.865 −5709.094 −4273.454 −0.193 0.192 0.162 DR7 13465.581 −3041.504 −2678.247 0.207 0.113 −0.023 DR8 24775.910 −3046.084 −2798.306 −0.024 0.164 −0.051 DR9 27767.171 −3051.345 −4605.126 −0.182 0.004 0.021 DR10 27776.101 −3050.233 −2914.169 −0.203 0.114 −0.131 表3. ERS点补偿后的测量值与匹配误差 通过分析转站热变形补偿算法过程中平均误差(式11)和最大误差(式12)的变化趋势情况(图3)，我们可以清楚的看到该算法整体上是收敛的，且具有很快的收敛速度。 A v e ( E ) = 1 N ∑ i = 1 N ‖ e i ‖ (11) M a x ( E ) = M a x ‖ e i ‖ (12) 图3. 热变形补偿算法迭代过程 对不同补偿方法下激光跟踪仪转站参数进行对比，表4给出了不同热变形补偿方法计算得到的转站参数。从表4中可以看出，Horn补偿方法只对平移参数进行修正，而本文提出的热变形补偿方法可同时对平移参数和旋转参数进行修正。 Table 4 The transformation parameters of different compensation metho 补偿方法 X (mm) Y (mm) Z (mm) α (˚) β (˚) γ (˚) 不补偿 16375.954 −4375.457 −2964.166 90.84618 −0.20752 0.22825 Horn方法 16375.679 −4375.557 −2964.133 90.84618 −0.20752 0.22825 本文方法 16375.421 −4375.328 −2964.156 90.84568 −0.20743 0.22835 表4. 不同补偿方法下的转站参数 本试验在不同环境温度下对ERS点进行多次测量转站，比较本文提出的热变形补偿方法的补偿效果。 如图4和图5所示，相比于Horn补偿方法，本文所提出的热变形补偿方法可以获得更高的转站精度，其中最大转站误差相对于Horn补偿方法最大降低了38.6%，平均转站误差下降了38.7%。 图4. 不同热变形补偿算法平均误差比较 图5. 不同热变形补偿算法最大误差比较
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user: 5. 总结 由温度变化引起的ERS点位置偏移已成为影响激光跟踪仪转站误差的最主要因素。为了提高转站精度，本文提出了一种基于精密热变形理论的激光跟踪仪转站精度补偿方法。考虑装配工装复杂的结构、装配和连接方式，通过比较ERS点的理论值和实际测量值来估算其在X， Y， Z三个方向上的形体热变形系数。利用迭代的计算方式对ERS点的实际测量坐标进行补偿，同时结合匹配算法不断修正激光跟踪仪转站参数。工程实例证明本文提出的热补偿方法相比于目前使用的补偿算法具有更好的补偿精度。
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user: 摘 要 质量是物质、物体、质点、粒子等概念的共性，在此基础上作者提出了质量体的概念。从逻辑或者语义上说，没有是一种含义，有但是量值微小以致于感受不到或者检测不出是另外一种含义，量值微小不等于没有。因此牛顿第一运动定律可以补充完善为：一切质量体在没有受到外力作用、或者虽然有外力作用但是外力作用小到可以忽略不计的时候，总保持匀速直线运动或者静止状态。分别从物理和数学角度推导了光速原理，即宇宙总能量和宇宙总质量比值的平方根等于光速。讨论了光速原理的几个推论。通过各种数学处理得到的超光速称为算法超光速，它是虚拟的与质量体无关的速度。算法超光速不等于物理超光速，在物理上不存在超光速。介绍了一种构建麦克斯韦方程组的新方法，分析了麦克斯韦方程组用于描述光子辐射行为所存在的固有缺陷。光的波粒二象性理论可以修正为：光本质上是粒子，在离光源较近的空间范围内、无数光粒子行为的统计平均呈现出波的特点。光子波长及频率参数是描述光子能量大小的辅助变量，它们本身并没有物理意义。讨论了惯性质量、引力质量、动质量以及静质量等概念，指出质量的种类有且只有一个，质量就是惯性质量，反之亦然；除此之外的其他种类的质量概念都是多余的、可以不需要的。 关键词 :质量体，牛顿第一运动定律，光速原理，麦克斯韦方程组，波粒二象性 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 光速的起源是理论物理的一个基本问题，甚至是终极问题。该问题有不同的提法，例如光速是怎么来的、为什么会有光速、什么时候开始有光速等，这些提法基本上是等价的。 近年来作者系统地分析了与光速相关的一系列问题，在文献 [ 1 ] 中探讨了光子的可分裂性，在文献 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] 中提出了可分裂的光子模型。在文献 [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] 探讨了光子分裂模型的若干应用问题，指出宇宙总能量和宇宙总质量比值的平方根等于光速，这一结果称为光速原理 [ 10 ] [ 11 ] 。文献 [ 12 ] [ 13 ] 对光速原理进行了深入探讨和分析。在文献 [ 14 ] 中介绍了从物理和数学角度推导光速原理的两种方法。 本文在作者已有工作的基础上，补充完善了牛顿第一运动定律，讨论了基于光速原理衍生的几个推论，介绍了一种构建麦克斯韦方程组的新方法，分析了麦克斯韦方程组用于描述光子辐射行为所存在的固有缺陷，对若干质量概念之间的关系进行了探讨。
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user: 2. 对牛顿第一运动定律的补充完善 质量是物质、物体和质点等概念的共同点，据此作者提出了质量体(mass body)的概念 [ 12 ] ，其中所说的“体”包括了点、线、面、体。质量体包括了物质、物体、质点、粒子等一切有质量的东西或者实在。质量体是作者在分析过程中提出的仅有的一个新概念。本文中将主要使用质量体的说法。 一切物体在没有受到外力作用的时候，总保持匀速直线运动或静止状态，该结论称为牛顿第一运动定律，简称牛顿第一定律，又称惯性定律。物体的这种保持原来的匀速直线运动或者静止状态的性质称为惯性，换言之，惯性是一切物体都具有的性质。 一般只注意到物体没有受到外力作用的情况。仔细推敲，还有一种情况是牛顿第一定律没有指明的，即物体有外力作用、但是外力作用小到可以忽略不计的情况，显然这时物体还是保持匀速直线运动或静止状态。如果再引入质量体的概念，牛顿第一定律可以补充完善为：一切质量体在没有受到外力作用、或者虽然有外力作用但是外力作用小到可以忽略不计的时候，总保持匀速直线运动或者静止状态。 从逻辑或者语义上说，没有是一种含义；有但是量值微小以致于感受不到、检测不出又是另外一种含义，量值微小不等于没有，两者之间的差异需要厘清，不宜混同。另外这里说的静止是相对静止，不是绝对静止。 在几何光学中，光被视为直线传播，光的传播速度也就是光的运动速度，简称为光速。如果认可光速是恒定的，那么光的直线传播就是一种匀速直线运动。根据牛顿第一定律反向推演，既然光是一种保持匀速直线运动的状态，说明光有惯性，也就意味着光有质量，光是质量体，该质量体的运动速度为光速。 按照补充完善前的牛顿第一定律，光保持匀速直线运动的状态意味着没有外力作用；但是根据牛顿万有引力定律，只要有两个质量体就有引力。所以从逻辑上说，光保持匀速直线运动的状态并不意味着没有外力作用，因为引力本身就是典型的外力，只是在绝大多数情况下这种引力太小、不足以改变光的匀速直线运动状态；换言之，补充完善后的牛顿第一定律具有逻辑上的自洽性。
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user: 6. 麦克斯韦方程组描述光子辐射的不适用性 现有各种文献资料中一般将麦克斯韦方程组(31)和(36)解读为变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场，电场和磁场此消彼长、相互转化、向前传播，其中的核心是电场/磁场转换。 质量体、(质量体的运动)过程和空间是宇宙的基本要素。人类对过程的描述产生时间。任何过程都需要时间。电场/磁场转换是一个过程，它同样需要时间。下面从过程和时间的角度分析麦克斯韦电磁理论存在的问题。 在空间中指定两个点A和B，它们之间的距离L AB 大到足以把问题说清楚的程度。从位于点A的光源发射一个光子q 1 从A到B，q 1 不具有麦克斯韦方程组描述的电场/磁场转换的形式，记下该光子所需要的时间t 1 ；然后再从A发射一个光子q 2 到B，q 2 具有麦克斯韦方程组描述的电场/磁场转换的形式，相应的时间为t 2 。下面细分几种情况讨论： 1) 因为距离相同，光速相同，所以必有 t 1 = t 2 ； 2) 光子q 1 没有电场/磁场转换，光子q 2 有电场/磁场转换， t 1 = t 2 必然意味着电场/磁场转换不需要时间，这与任何过程都需要时间的常识相矛盾； 3) 如果电场/磁场转换需要时间，则必然有 t 2 > t 1 ，这与1) 即 t 1 = t 2 相矛盾； 4) 如果光子的电场/磁场转换需要时间，但是这种转换瞬间完成，这意味着转换时间无穷小，但是仔细推敲一下就可以发现这种“瞬间”概念实际上隐含着一个前提条件即速度无穷大，这又与光速是一切物理速度的极限相矛盾； 5) 电场/磁场转换意味着能量分配，对于单个光子来说，牵涉到光子分裂问题。如果不加控制，光子分裂是随机性的；要做到具有类似波函数曲线那样的规律性，就需要某种机制来实现可控的光子分裂。目前来看，并没有这样一种机制； 6) 无数个光子的行为是单个光子行为的统计平均。如果单个光子不具有电场/磁场转换特性，无数个光子叠加起来具有电场/磁场转换特性，这在逻辑上和物理上均说不通。 顺着反推回去，必然是最初的前提之一即q 2 具有电场/磁场转换的形式不成立，换言之，光不是电磁波，光不能用麦克斯韦方程组来描述。实际上目前公认的观点是光子既不带电、也不带磁，那么从逻辑上讲，用描述电磁量变化的麦克斯韦方程组来描述不具有电磁性的光子行为并不适合。如果一方面认同光不具有电磁性，另一方面又认同光是电磁波，那么要回答的第一个问题就是如何让光带上电磁性；第二个问题才是如何实现光的电场/磁场转换。 上述讨论是基于比较抽象的过程或者时间概念。下面基于图例给出一个比较形象的分析。麦克斯韦方程组给出的波函数解是连续函数，它类似于一条周期性函数曲线始终在两条平行直线之间波动，如图3(a)所示，这种情况相当于光被限定在一条通道内(例如光纤)传播。由于从一个点光源辐射出来的光子是发散的，为了描述光子的发散性，函数曲线应该具有图3(b)所示的变化趋势。仔细推敲之下，可以发现图3(b)虽然可以描述发散性，但是随着空间尺度的延伸，波函数的波动幅度将趋于无穷大，这意味着与波动幅度对应的相关物理量不守恒；相比之下，图3(a)所示的函数曲线波动幅度不变，可以做到守恒，但是它又不具有发散性。能不能做到既守恒、又发散？ 图3. 在无穷大的空间里，随着空间尺度的延伸，一条具有发散性的连续波函数曲线的变化幅度将趋于无穷大 注意到曲线可以视为由无穷多个点彼此相邻排列而成。形象地说，假设一条曲线由N个点构成，这些点(N个)跑到无穷远还是N个点，而把它们合在一起又可以复现出原来的曲线，换言之，用点来替代曲线从而实现既守恒、又发散。此外还应该注意到点是粒子，曲线是波，这是一个二选一的问题，只能从两个选项中取一个，不能两个都选。 不妨基于日常生活中可见的水波变化，去想象波在无穷大空间中不受阻碍地自由传播的情形。设想空间中有一个波源，在构成波的质量不变的前提下，随着传播距离的增大，三维波体变成二维波曲面，二维波曲面变成一维波曲线，波曲线随后被拉断变成长线段，长线段变成短线段，短线段再变短直至缩小为一个零维的点即(波)粒子，然后粒子继续前进，即体→曲面→曲线→长线段→短线段→点。图4以经过波源中心的剖面形式，从一个局部描述了这种变化趋势。 图4. 随着传播距离的延伸，波的变化趋势依次为：体→曲面→曲线→长线段→短线段→点 下面分析一下相邻粒子的情况。在波源与各粒子之间分别画一条直线，如果最近相邻粒子与波源之间的距离相等，称为左右相邻，例如对于图4中标注A~E的几个粒子，B分别与E和D构成左右相邻关系。如果以粒子与波源之间的距离为半径画一个圆，则左右相邻的粒子均位于该圆周上；如果最近相邻粒子均在同一条直线上，则称为前后相邻，以图4为例，B分别与A和C构成前后相邻关系。这里分析的一个前提是各粒子的运动速度相同。如果粒子的运动速度等于光速，则它们就是光子；与左右相邻光子对应的是光子的离散性(推论 4.4.4 )；与前后相邻光子对应的是光子的不可追赶性(推论4.4.1)。 反过来看，如果从最外层的一个圆周开始把这些粒子全部同步压缩回来，它们又将呈现出从点→短线段→长线段→曲线→曲面→体的演变过程，最终形成宏观上的波。这一分析过程揭示了微观上粒子是波的本质，宏观上无数个粒子的统计行为在离波源较近的尺度范围内呈现出波的特点。这种理解同时兼顾微观和宏观，同时满足粒子性、辐射性、随机性、波动性、连续性和守恒性等多种性状。 如果以光子而论，波源就是光源。这里同时有两个前提，一个是光子数量众多，一个是离光源较近；如果光子数量很少，例如是可以一个一个计数的单光子，那么离光源再近也难以呈现出波的特点；另一方面，即使光子有无数个，但是离光源所在位置足够远甚至无穷远，它们也将稀释为一个一个的单光子。仔细考察一下可以发现，现有“波粒二象性”理论中所说的波动性恰恰是同时满足了这两个前提条件。换言之，光的波粒二象性理论可以修正为：光本质上是粒子，在离光源较近的空间范围内、无数光粒子行为的统计平均呈现出波的特点。 作者猜测，之所以形成目前这种光(电磁辐射)是波的观念，可能是一种不得已而为之的选项。因为在理论上光速c可以从麦克斯韦方程组导出，而麦克斯韦方程组的解满足波动方程，所以如果没有第二个选项，只能接受光是波的概念。换言之，如果质疑光是电磁波，那么最好的途径或许是提出另外一种与麦克斯韦方程组完全无关的方法来导出光速。作者提出的光速原理实际上是第二种从理论上导出光速c的方法，该方法完全与麦克斯韦方程组/波动方程无关。 上述分析表明：麦克斯韦方程组只描述了电磁辐射的部分情况。电磁辐射以光速传播，说明电磁辐射就是光子辐射。麦克斯韦方程组不适于全面描述光子辐射，是可以不需要的，这实际上否定了麦克斯韦方程组在电磁理论中的基础地位，相应地需要一个新的模型来取而代之。为此作者提出了一个基于光子切割电场线产生电荷数差值的光电信号转换模型 [ 11 ] 。