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user: 3. 主要结论 在本节中，我们运用引理2.6讨论系统(1)存在多个正解时的参数的最优区间。 定理3.1. 假设条件(H1)~(H7)成立。当 θ > 1 时，存在 λ 0 ，   μ 1 ，   μ 2 > 0 ，使得当 λ ∈ [ λ 0 ， + ∞ ) ， μ ∈ ( μ 2 ， μ 1 ] 时，系统(1)至少存在两个正解。 证明：一方面，由于 θ > 1 ，根据条件(H3)，得 lim u → 0 f ( u ) u ≤ lim u → 0 k 2 u θ u = 0. 这表明存在 r ′ > 0 ，使得 f ( u ) ≤ ε u ， 0 ≤ u ≤ r ′ . 其中， ε 满足 2 λ ε M 1 < 1 ， M 1 = max t ∈ J ∫ 0 ξ G ( t ， s ) ω + ( s ) d s 。 令 M = max t ∈ J ∫ 0 ξ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a + ( s ) b + ( τ ) d τ d s . (10) 选取 r = min { 1 2 μ M ， r ′ 2 } ，则有 μ ≤ μ 1 = 1 2 M r . (11) 对任意 u ∈ ∂ K r ，有 0 ≤ u ( t ) ≤ ‖ u ‖ = r ，   t ∈ J ，则 f ( u ( t ) ) ≤ ε u ( t ) ≤ ε r ， t ∈ J 成立。进而有 ( T u ) ( t ) = μ ∫ 0 1 ∫ 0 1 G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a ( s ) b ( τ ) u ( s ) u ( τ ) d τ d s + λ ∫ 0 1 G ( t ， s ) ω ( s ) f ( u ( s ) ) d s = μ ∫ 0 ξ ∫ 0 1 G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a + ( s ) b ( τ ) u ( s ) u ( τ ) d τ d s − μ ∫ ξ 1 ∫ 0 1 G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a − ( s )     ⋅ b ( τ ) u ( s ) u ( τ ) d τ d s + λ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) ω + ( s ) f ( u ( s ) ) d s − λ ∫ ξ 1 G ( t ， s ) ω − ( s ) f ( u ( s ) ) d s ≤ μ ∫ 0 ξ ∫ 0 1 G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a + ( s ) b ( τ ) u ( s ) u ( τ ) d τ d s + λ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) ω + ( s ) f ( u ( s ) ) d s = μ ∫ 0 ξ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a + ( s ) b + ( τ ) u ( s ) u ( τ ) d τ d s     − μ ∫ 0 ξ ∫ ξ 1 G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a + ( s ) b − ( τ ) u ( s ) u ( τ ) d τ d s + λ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) ω + ( s ) f ( u ( s ) ) d s ≤ μ ∫ 0 ξ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a + ( s ) b + ( τ ) u ( s ) u ( τ ) d τ d s + λ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) ω + ( s ) f ( u ( s ) ) d s ≤ μ r 2 max t ∈ J ∫ 0 ξ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a + ( s ) b + ( τ ) d τ d s + λ max t ∈ J ∫ 0 ξ G ( t ， s ) ω + ( s ) ε r d s = μ M r 2 + λ ε M 1 r < r 2 + r 2 = r = ‖ u ‖ . 即 ‖ T u ‖ < ‖ u ‖ ， ∀ u ∈ ∂ K r . (12) 令 N = min σ 2 2 ≤ t ≤ σ 2 δ ( t ) min σ 1 2 ≤ t ≤ σ 1 δ ( t ) max t ∈ J ∫ σ 2 2 σ 2 G ( t ， s ) a + ( s ) ∫ σ 1 2 σ 1 G ( s ， τ ) b + ( τ ) d τ d s ， (13) N 1 = max t ∈ J ∫ σ 3 2 σ 3 G ( t ， s ) ω + ( s ) d s . 另一方面，由于 θ > 1 ，根据条件(H3)，得 lim u → + ∞ f ( u ) u ≥ lim u → + ∞ k 1 u θ u = + ∞ . 这表明存在 R ′ > 0 ，使得 f ( u ) ≥ η u ，     u ≥ R ′ . 其中， η 满足 2 λ η Γ N 1 ≥ 1 且 Γ = min σ 3 2 ≤ t ≤ σ 3 δ ( t ) > 0 ，       δ ( t ) = min { t ξ ， ξ − t ξ } ，   t ∈ [ 0 ， ξ ] . (14) 如果 u ∈ K ，由 u ( t ) 在 [ 0 ， ξ ] 上凹可得 u ( t ) ≥ δ ( t ) ‖ u ‖ ，       t ∈ [ 0 ， ξ ] . (15) 进一步可得 min σ 3 2 ≤ t ≤ σ 3 u ( t ) ≥ min σ 3 2 ≤ t ≤ σ 3 δ ( t ) ‖ u ‖ = Γ ‖ u ‖ . (16) 选取 R = max { ( 2 μ N ) − 1 ， R ′ Γ ， r ′ } + 1 ，则有 μ > μ ′ 2 = 1 2 N R . 对任意 u ∈ ∂ K R ，由(16)式可得 min σ 3 2 ≤ t ≤ σ 3 u ( t ) ≥ Γ ‖ u ‖ = Γ R > R ′ 和 ‖ T u ‖ = μ max t ∈ J ∫ 0 1 ∫ 0 1 G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a ( s ) b ( τ ) u ( s ) u ( τ ) d τ d s + λ max t ∈ J ∫ 0 1 G ( t ， s ) ω ( s ) f ( u ( s ) ) d s ≥ μ max t ∈ J ∫ 0 σ 2 G ( t ， s ) a + ( s ) u ( s ) ∫ 0 1 G ( s ， τ ) b ( τ ) u ( τ ) d τ d s + λ max t ∈ J ∫ 0 σ 3 G ( t ， s ) ω + ( s ) f ( u ( s ) ) d s ≥ μ max t ∈ J ∫ 0 σ 2 G ( t ， s ) a + ( s ) u ( s ) ∫ 0 σ 1 G ( s ， τ ) b + ( τ ) u ( τ ) d τ d s + λ max t ∈ J ∫ σ 3 2 σ 3 G ( t ， s ) ω + ( s ) f ( u ( s ) ) d s ≥ μ max t ∈ J ∫ σ 2 2 σ 2 G ( t ， s ) a + ( s ) δ ( s ) ‖ u ‖ ∫ σ 1 2 σ 1 G ( s ， τ ) b + ( τ ) δ ( τ ) ‖ u ‖ d τ d s + λ max t ∈ J ∫ σ 3 2 σ 3 G ( t ， s ) ω + ( s ) η u ( s ) d s ≥ μ R 2 min σ 2 2 ≤ t ≤ σ 2 δ ( t ) min σ 1 2 ≤ t ≤ σ 1 δ ( t ) max t ∈ J ∫ σ 2 2 σ 2 G ( t ， s ) a + ( s ) ∫ σ 1 2 σ 1 G ( s ， τ ) b + ( τ ) d τ d s     + λ η Γ R max t ∈ J ∫ σ 3 2 σ 3 G ( t ， s ) ω + ( s ) d s = μ N R 2 + λ η Γ N 1 R > R 2 + R 2 = R = ‖ u ‖ . 即 ‖ T u ‖ > ‖ u ‖ ， ∀ u ∈ ∂ K R . (17) 最后，存在 0 < r 1 < r ，由条件(H2)可定义 β r 1 = min Γ r 1 ≤ u ≤ r 1 { f ( u ) } > 0. 令 μ ″ 2 = 1 2 D M r 1 ，       λ 0 = ( 2 D M − N ) r 1 2 D M β r 1 N 1 . (18) 其中， D = 2 r r 1 。 则对任意 u ∈ ∂ K r 1 ，有 Γ r 1 = Γ ‖ u ‖ ≤ min σ 3 2 ≤ t ≤ σ 3 u ( t ) ≤ u ( t ) ≤ ‖ u ‖ = r 1 ， t ∈ [ σ 3 2 ， σ 3 ] 和 ‖ T u ‖ = μ max t ∈ J ∫ 0 1 ∫ 0 1 G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a ( s ) b ( τ ) u ( s ) u ( τ ) d τ d s + λ max t ∈ J ∫ 0 1 G ( t ， s ) ω ( s ) f ( u ( s ) ) d s             ≥ μ max t ∈ J ∫ 0 σ 2 G ( t ， s ) a + ( s ) u ( s ) ∫ 0 1 G ( s ， τ ) b ( τ ) u ( τ ) d τ d s + λ max t ∈ J ∫ 0 σ 3 G ( t ， s ) ω ( s ) f ( u ( s ) ) d s             ≥ μ max t ∈ J ∫ 0 σ 2 G ( t ， s ) a + ( s ) u ( s ) ∫ 0 σ 1 G ( s ， τ ) b + ( τ ) u ( τ ) d τ d s + λ max t ∈ J ∫ σ 3 2 σ 3 G ( t ， s ) ω + ( s ) f ( u ( s ) ) d s             ≥ μ max t ∈ J ∫ σ 2 2 σ 2 G ( t ， s ) a + ( s ) δ ( s ) ‖ u ‖ ∫ σ 1 2 σ 1 G ( s ， τ ) b + ( τ ) δ ( τ ) ‖ u ‖ d τ d s + λ max t ∈ J ∫ σ 3 2 σ 3 G ( t ， s ) ω + ( s ) β r 1 d s ≥ μ min σ 2 2 ≤ t ≤ σ 2 δ ( t ) min σ 1 2 ≤ t ≤ σ 1 δ ( t ) max t ∈ J ∫ σ 2 2 σ 2 G ( t ， s ) a + ( s ) ∫ σ 1 2 σ 1 G ( s ， τ ) b + ( τ ) d τ d s ‖ u ‖ 2     + λ β r 1 max t ∈ J ∫ σ 3 2 σ 3 G ( t ， s ) ω + ( s ) d s ≥ μ ″ 2 N r 1 2 + λ 0 β r 1 N 1 = N r 1 2 D M + ( 2 D M − N ) r 1 2 D M = r 1 = ‖ u ‖ . 因此，可得 ‖ T u ‖ ≥ ‖ u ‖ ，   ∀ u ∈ ∂ K r 1 . (19) 取 μ 2 = max { μ ′ 2 ， μ ″ 2 } 。综上所述，由引理2.6可知，对任意 λ ∈ [ λ 0 ， + ∞ ) ，   μ ∈ ( μ 2 ， μ 1 ] ，(12)式和(17)式、(12)式和(19)式分别蕴含着T有一个不动点 u 1 ，   u 2 满足 u 1 ∈ K ¯ R \ K ¯ r 和 u 2 ∈ K r \ K r 1 。又由引理2.4可知，系统(1)至少存在两个正解 ( u i ， φ i )   ( i = 1 ， 2 ) 。其中， u 1 ∈ K ¯ R \ K ¯ r ，   u 2 ∈ K r \ K r 1 且 φ i ( t ) = μ ∫ 0 1 G ( t ， s ) b ( s ) u i ( s ) d s   ( i = 1 ， 2 ) . □ 定理3.2. 假设条件(H1)~(H7)成立。当 0 < θ < 1 时，存在 λ 0 * ，   μ 0 * > 0 ，使得当 λ ∈ ( 0 ， λ 0 * ] ， μ ∈ ( 0 ， μ 0 * ] 时，系统(1)至少存在两个正解。 证明：一方面，由于 0 < θ < 1 ，根据条件(H3)，得 lim u → 0 f ( u ) u ≥ lim u → 0 k 1 u θ u = + ∞ . 则存在 r > 0 ，使得 f ( u ) ≥ η u ， 0 ≤ u ≤ r . 其中， η 满足 λ η Γ N 1 > 1 。其中， N 1 在(13)式中定义， Γ 在(14)式中定义。 因此，对任意 u ∈ ∂ K r ，由(16)式可得 min σ 3 2 ≤ t ≤ σ 3 u ( t ) ≥ Γ ‖ u ‖ = Γ r 和 ‖ T u ‖ = μ max t ∈ J ∫ 0 1 ∫ 0 1 G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a ( s ) b ( τ ) u ( s ) u ( τ ) d τ d s + λ max t ∈ J ∫ 0 1 G ( t ， s ) ω ( s ) f ( u ( s ) ) d s ≥ μ max t ∈ J ∫ 0 σ 2 G ( t ， s ) a + ( s ) u ( s ) ∫ 0 1 G ( s ， τ ) b ( τ ) u ( τ ) d τ d s + λ max t ∈ J ∫ 0 σ 3 G ( t ， s ) ω + ( s ) f ( u ( s ) ) d s ≥ λ max t ∈ J ∫ σ 3 2 σ 3 G ( t ， s ) ω + ( s ) η u ( s ) d s ≥ λ η Γ N 1 r > r = ‖ u ‖ . 即 ‖ T u ‖ > ‖ u ‖ ， ∀ u ∈ ∂ K r . (20) 另一方面，由于 0 < θ < 1 ，根据条件(H3)，得 lim u → + ∞ f ( u ) u ≤ lim u → + ∞ k 2 u θ u = 0. 则存在 R ′ > r ，使得 f ( u ) ≤ ε u ，       u ≥ R ′ . 其中， ε 满足 2 λ ε M 1 < 1 ， M 1 在定理3.1中定义。 由条件(H2)，可得 ψ ( R ′ ) > 0 ，则有 f ( u ) ≤ ψ ( R ′ ) + ε u ，   u ∈ [ 0 ， + ∞ ) . 令 max { R ′ ， 2 λ M 1 ψ ( R ′ ) 1 − 2 λ M 1 ε } < R ≤ ( 2 μ M ) − 1 . 则可验证对于充分小的 λ ，   μ ，   ε > 0 ， max { R ′ ， 2 λ M 1 ψ ( R ′ ) 1 − 2 λ M 1 ε } < ( 2 μ M ) − 1 是合理的。因此，对任意 u ∈ ∂ K R ，可得 ( T u ) ( t ) = μ ∫ 0 1 ∫ 0 1 G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a ( s ) b ( τ ) u ( s ) u ( τ ) d τ d s + λ ∫ 0 1 G ( t ， s ) ω ( s ) f ( u ( s ) ) d s = μ ∫ 0 ξ ∫ 0 1 G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a + ( s ) b ( τ ) u ( s ) u ( τ ) d τ d s − μ ∫ ξ 1 ∫ 0 1 G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a − ( s )     ⋅ b ( τ ) u ( s ) u ( τ ) d τ d s + λ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) ω + ( s ) f ( u ( s ) ) d s − λ ∫ ξ 1 G ( t ， s ) ω − ( s ) f ( u ( s ) ) d s ≤ μ ∫ 0 ξ ∫ 0 1 G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a + ( s ) b ( τ ) u ( s ) u ( τ ) d τ d s + λ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) ω + ( s ) f ( u ( s ) ) d s = μ ∫ 0 ξ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a + ( s ) b + ( τ ) u ( s ) u ( τ ) d τ d s − μ ∫ 0 ξ ∫ ξ 1 G ( t ， s ) G ( s ， τ ) ⋅ a + ( s ) b − ( τ ) u ( s ) u ( τ ) d τ d s + λ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) ω + ( s ) f ( u ( s ) ) d s ≤ μ ∫ 0 ξ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a + ( s ) b + ( τ ) u ( s ) u ( τ ) d τ d s + λ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) ω + ( s ) f ( u ( s ) ) d s ≤ μ R 2 max t ∈ J ∫ 0 ξ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a + ( s ) b + ( τ ) d τ d s + λ max t ∈ J ∫ 0 ξ G ( t ， s ) ω + ( s ) ( ψ ( R ′ ) + ε u ) d s ≤ μ M R 2 + λ ( ψ ( R ′ ) + ε R ) M 1 < R 2 + R 2 = R = ‖ u ‖ . 即 ‖ T u ‖ < ‖ u ‖ ， ∀ u ∈ ∂ K R . (21) 令 μ 0 * = 1 2 M r 1 ，     λ 0 * = r 1 2 ψ ( r 1 ) M 1 . 其中， 0 < r 1 < r ， M ，   M 1 在定理3.1中定义。 则对任意 u ∈ ∂ K r 1 ，类似于(21)式的证明，可得 ( T u ) ( t ) ≤ μ ∫ 0 ξ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a + ( s ) b + ( τ ) u ( s ) u ( τ ) d τ d s + λ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) ω + ( s ) f ( u ( s ) ) d s ≤ μ r 1 2 max t ∈ J ∫ 0 ξ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a + ( s ) b + ( τ ) d τ d s + λ max t ∈ J ∫ 0 ξ G ( t ， s ) ω + ( s ) ψ ( r 1 ) d s = μ M r 1 2 + λ ψ ( r 1 ) M 1 ≤ μ 0 * M r 1 2 + λ 0 * ψ ( r 1 ) M 1 = r 1 2 + r 1 2 = r 1 = ‖ u ‖ . 即 ‖ T u ‖ ≤ ‖ u ‖ ， ∀ u ∈ ∂ K r 1 . (22) 综上所述，由引理2.6可知，对任意 λ ∈ ( 0 ， λ 0 * ] ， μ ∈ ( 0 ， μ 0 * ] ，(20)式和(21)式、(20)式和(22)式分别蕴含着T有一个不动点 u 1 ，   u 2 满足 u 1 ∈ K ¯ R \ K ¯ r 和 u 2 ∈ K r \ K r 1 。又由引理2.4可知，系统(1)至少存在两个正解 ( u i ， φ i )   ( i = 1 ， 2 ) 。其中， u 1 ∈ K ¯ R \ K ¯ r ，   u 2 ∈ K r \ K r 1 且 φ i ( t ) = μ ∫ 0 1 G ( t ， s ) b ( s ) u i ( s ) d s   ( i = 1 ， 2 ) . □ 定理3.3. 假设条件(H1)~(H7)成立。当 0 < θ < 1 时，存在 λ 1 * ，   μ 1 * > 0 ，使得当 λ ∈ ( 0 ， λ 1 * ] ， μ ∈ ( 0 ， μ 1 * ] ， 且 k 2 满足 0 < k 2 < ( 2 μ M ) θ − 1 2 λ M 1 时，系统(1)至少存在三个正解。其中， M ，   M 1 在定理3.1中定义。 证明：首先，由于 0 < θ < 1 ，根据条件(H3)，得 lim u → 0 f ( u ) u ≥ lim u → 0 k 1 u θ u = + ∞ . 则存在 r > 0 ，使得 f ( u ) ≥ η u ， 0 ≤ u ≤ r . 其中， η 满足 λ η Γ N 1 > 1 。其中， N 1 在(13)式中定义， Γ 在(14)式中定义。 因此，对任意 u ∈ ∂ K r ，与(20)式的证明相同，可得 ‖ T u ‖ > ‖ u ‖ ， ∀ u ∈ ∂ K r . (23) 其次，选取充分大的 R 1 ≥ max { 1 2 μ M ， 1 μ N } ，则有 μ N R 1 2 ≥ R 1 。 对任意 u ∈ ∂ K R 1 ，有 ‖ T u ‖ = μ max t ∈ J ∫ 0 1 ∫ 0 1 G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a ( s ) b ( τ ) u ( s ) u ( τ ) d τ d s + λ max t ∈ J ∫ 0 1 G ( t ， s ) ω ( s ) f ( u ( s ) ) d s ≥ μ max t ∈ J ∫ 0 σ 2 G ( t ， s ) a + ( s ) u ( s ) ∫ 0 1 G ( s ， τ ) b ( τ ) u ( τ ) d τ d s + λ max t ∈ J ∫ 0 σ 3 G ( t ， s ) ω + ( s ) f ( u ( s ) ) d s ≥ μ max t ∈ J ∫ 0 σ 2 G ( t ， s ) a + ( s ) u ( s ) ∫ 0 σ 1 G ( s ， τ ) b + ( τ ) u ( τ ) d τ d s ≥ μ max t ∈ J ∫ σ 2 2 σ 2 G ( t ， s ) a + ( s ) u ( s ) ∫ σ 1 2 σ 1 G ( s ， τ ) b + ( τ ) u ( τ ) d τ d s ≥ μ max t ∈ J ∫ σ 2 2 σ 2 G ( t ， s ) a + ( s ) δ ( s ) ‖ u ‖ ∫ σ 1 2 σ 1 G ( s ， τ ) b + ( τ ) δ ( τ ) ‖ u ‖ d τ d s ≥ μ min σ 2 2 ≤ t ≤ σ 2 δ ( t ) min σ 1 2 ≤ t ≤ σ 1 δ ( t ) max t ∈ J ∫ σ 2 2 σ 2 G ( t ， s ) a + ( s ) ∫ σ 1 2 σ 1 G ( s ， τ ) b + ( τ ) d τ d s ‖ u ‖ 2 = μ N R 1 2 ≥ R 1 = ‖ u ‖ . 即 ‖ T u ‖ ≥ ‖ u ‖ ， ∀ u ∈ ∂ K R 1 . (24) 再次，由于 0 < θ < 1 ，根据条件(H3)，得 lim u → + ∞ f ( u ) u ≤ lim u → + ∞ k 2 u θ u = 0. 则存在 R > 0 ，使得 f ( u ) ≤ ε u ，   u ≥ R . 存在 R > 0 ，满足 ( 2 λ k 2 M 1 ) 1 1 − θ < R < ( 2 μ M ) − 1 . 则对任意 ，可得 ( T u ) ( t ) = μ ∫ 0 1 ∫ 0 1 G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a ( s ) b ( τ ) u ( s ) u ( τ ) d τ d s + λ ∫ 0 1 G ( t ， s ) ω ( s ) f ( u ( s ) ) d s = μ ∫ 0 ξ ∫ 0 1 G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a + ( s ) b ( τ ) u ( s ) u ( τ ) d τ d s − μ ∫ ξ 1 ∫ 0 1 G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a − ( s )     ⋅ b ( τ ) u ( s ) u ( τ ) d τ d s + λ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) ω + ( s ) f ( u ( s ) ) d s − λ ∫ ξ 1 G ( t ， s ) ω − ( s ) f ( u ( s ) ) d s ≤ μ ∫ 0 ξ ∫ 0 1 G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a + ( s ) b ( τ ) u ( s ) u ( τ ) d τ d s + λ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) ω + ( s ) f ( u ( s ) ) d s = μ ∫ 0 ξ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a + ( s ) b + ( τ ) u ( s ) u ( τ ) d τ d s     − μ ∫ 0 ξ ∫ ξ 1 G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a + ( s ) b − ( τ ) u ( s ) u ( τ ) d τ d s + λ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) ω + ( s ) f ( u ( s ) ) d s ≤ μ ∫ 0 ξ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a + ( s ) b + ( τ ) d τ d s ‖ u ‖ 2 + λ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) ω + ( s ) k 2 ‖ u ‖ θ d s ≤ μ R 2 max t ∈ J ∫ 0 ξ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a + ( s ) b + ( τ ) d τ d s + λ k 2 R θ max t ∈ J ∫ 0 ξ G ( t ， s ) ω + ( s ) d s = μ M R 2 + λ k 2 M 1 R θ < R 2 + R 2 = R = ‖ u ‖ . 即 ‖ T u ‖ < ‖ u ‖ ， ∀ u ∈ ∂ K R . (25) 最后，选取 r 1 ∈ ( 0 ， r ) 。由条件(H2)可得 ψ ( r 1 ) > 0 。 令 μ 1 * = 1 2 M r 1 ，       λ 1 * = r 1 2 ψ ( r 1 ) M 1 . 则对任意 u ∈ ∂ K r 1 ，有 ( T u ) ( t ) ≤ μ ∫ 0 ξ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a + ( s ) b + ( τ ) u ( s ) u ( τ ) d τ d s + λ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) ω + ( s ) f ( u ( s ) ) d s ≤ μ r 1 2 max t ∈ J ∫ 0 ξ ∫ 0 ξ G ( t ， s ) G ( s ， τ ) a + ( s ) b + ( τ ) d τ d s + λ max t ∈ J ∫ 0 ξ G ( t ， s ) ω + ( s ) ψ ( r 1 ) d s = μ M r 1 2 + λ M 1 ψ ( r 1 ) ≤ μ 1 * M r 1 2 + λ 1 * M 1 ψ ( r 1 ) = r 1 2 + r 1 2 = r 1 = ‖ u ‖ . 即 ‖ T u ‖ ≤ ‖ u ‖ ， ∀ u ∈ ∂ K r 1 . (26) 综上所述，由引理2.6可知，对任意 λ ∈ ( 0 ， λ 1 * ] ， μ ∈ ( 0 ， μ 1 * ] ，(24)式和(25)式、(23)式和(25)式、(23)式和(26)式分别蕴含着T有一个不动点 u 1 ， u 2 ， u 3 满足 u 1 ∈ K ¯ R 1 \ K ¯ R ， u 2 ∈ K R \ K ¯ r 和 u 3 ∈ K r \ K r 1 。又由引理2.4可知，系统(1)至少存在三个正解 ( u i ，   φ i )   ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 。其中， u 1 ∈ K ¯ R 1 \ K ¯ R ，     u 2 ∈ K R \ K ¯ r ，     u 3 ∈ K r \ K r 1 且 φ i ( t ) = μ ∫ 0 1 G ( t ， s ) b ( s ) u i ( s ) d s   ( i = 1 ， 2 ， 3 ) . □