DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 3. 实例计算 某油田一口气举井X，测试层位为Ed 1 (东一段)，测试井深2975.13 m (人工井底)，地层平均孔隙度24.47%。具体的层位测井解释数据、自喷求产测试解释数据及压力温度测试数据见表1和表2。 Table 1 The data of tested laye 层位 厚度 /m 孔隙度 /% 有效 渗透率 /mD 表皮 因数/1 探测 半径 /m 井眼 半径 /m 试油 生产 压差 /MPa 试油 产量 /(m 3 ·d − 1 ) 原油 相对 密度/1 原油 体积 因数/1 油管 直径 /m 地层 原油 黏度 /(mPa·s) 试产 气量 /(m 3 ·d −1 ) Ed 1 16.4 28.16 23.3 4.31 243 0.1778 2.95 61.9 0.8324 1.46 0.062 0.44 6696 表1. 测试层数据 Table 2 The tested data of pressure and temperatur 下入深度/垂深/m 对应压力/MPa 对应温度/℃ 0/0 7.2 866.2/822.20 10.55 52.13 1466.2/1466.20 14.05 69.63 1766.2/1752.80 15.86 78.04 2066.2/1996.80 17.45 86.36 2266.2/2159.20 18.6 91.05 2366.2/2247.80 19.21 92.9 2566.2/2409.5 20.51 94 表2. 压力温度测试数据 3.1. 倾斜井产能预测方法验证 根据X井测试层数据，上面几种倾斜井产能计算方法的计算结果见表3。 Table 3 The comparison of production methods for deviated wel 倾斜井产能计算方法 采油指数J/(m 3 ·(d·MPa) − 1 ) 产油量/(m 3 ·d − 1 ) 平均相对误差/% 等效半径法 20.77 61.272 −1.0 Cinco-Lee法 20.36 60.08 −2.94 Besson法 20.33 59.99 −3.06 渗流场叠加模型 21.92 64.664 4.5 表3. 倾斜井产能计算方法对比 通过与实际试采资料进行对比分析，结果表明等效半径方法(Van der Vlis A. C.等人)的计算结果比较符合实际。 3.2. 多相管流计算方法验证 根据X井压力测试数据，上面几种多相管流压力计算方法的计算结果见图2和表4。 图2. 倾斜井多相管流压力计算方法对比图 Table 4 The comparison of multiphase pipe flow pressure calculation methods for deviated wel 倾斜井产能方法 平均相对误差/% Orkiszewski −3.72 Beggs-Brill修正 −3.27 Mukherjee-Brill −7.63 Hasan −1.66 Aziz −0.12 JPI 0.23 表4. 倾斜井多相管流压力计算方法对比 通过与实际测试数据进行对比分析，结果表明Aziz多相管流计算方法的计算结果比较符合实际。 3.3. 直井、倾斜井气举设计对比及敏感参数分析 1) 根据优选得到的倾斜井产能预测方法和多相管流压力计算方法，采用关闭压力等间距降压设计法以与X井同等垂深的直井进行直井气举设计和以X井进行倾斜井气举设计，设计参数见表5，设计结果见图3、图4和表6。可以看出，在相同条件下，倾斜井气举设计所能达到的注气深度(垂深)和产液量较直井气举设计所能达到的注气深度(垂深)和产液量小。 图3. 与X井同等垂深直井气举设计图 图4. X井气举设计图 Table 5 The gas lift parameter 地层压力/MPa 注气压力/MPa 井口油压/MPa 阀间压降/MPa 阀注气压差/MPa 注气量/(m 3 ·d −1 ) 13 8 1.5 0.25 0.5 5000 表5. 气举设计参数 Table 6 The comparison of production by gas lifting in different well 气举设计 注气深度/m 产油量/(m 3 ·d − 1 ) 与X井相同垂深直井 2242.4 51.4 X井 2234.4 50.3 表6. 不同井型气举设计对比 2) 根据优选得到的倾斜井产能预测方法和多相管流压力计算方法，在注气量为2000 m 3 /d，井口油压为1.5 MPa等条件下采用关闭压力等间距降压设计法，以与X井同等垂深的不同倾斜角度倾斜井进行气举设计参数敏感性分析，设计结果见图5、图6所示。 图5. 不同敏感性参数下，注气深度随倾斜井倾斜角度变化情况 图6. 不同敏感性参数下，产液量随倾斜井倾斜角度变化情况 从图5、图6中可以看出，在相同条件下，气举所能达到的注气深度(垂深)和产液量随着倾斜角度增加逐渐减小，因此可知，要达到相同的目标注气深度，实现目标产量，倾斜角度越大所需要的注气量越多。同时从图中可以看出，含水率、气油比、井口油压、油管尺寸是气举设计注气深度的敏感性参数，地层压力、采油指数对气举设计注气深度相对不敏感，尽管如此，含水率、气油比、井口油压、油管尺寸、地层压力、采油指数均是气举设计产液量的敏感性参数。另外，从图6(f)中可以看出，减小油管尺寸能增加注气深度和提高产液量，但是到一定程度(2⅜in、2⅞in)后，再减小油管尺寸对注气深度和产液量的增幅效果不大。
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user: 4. 结论 在所给倾斜井气举优化设计理论基础上，通过某油田一口实例井进行计算和现场实测数据对计算方法进行验证优选，进而进行直井和倾斜井气举设计对比分析，以及倾斜井气举设计敏感参数分析，得到了如下结论。 1) 在相同条件下，倾斜井气举设计所能达到的注气深度(垂深)和产液量较直井气举设计所能达到的注气深度(垂深)和产液量小。 2) 在相同条件下，气举所能达到的注气深度(垂深)和产液量随着倾斜角度增加逐渐减小，即要达到相同的目标注气深度，实现目标产量，倾斜角度越大所需要的注气量越多。 3) 含水率、气油比、井口油压、油管尺寸是气举设计注气深度的敏感性参数，地层压力、采油指数对气举设计注气深度相对不敏感，尽管如此，含水率、气油比、井口油压、油管尺寸、地层压力、采油指数均是气举设计产液量的敏感性参数。 4) 减小油管尺寸能增加注气深度和提高产液量，但是到一定程度后，再减小油管尺寸对注气深度和产液量的增幅效果不大。
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user: 摘 要 基于Adomian分解法和Taylor公式，给出三角形地下水流区域上的异质含水层模型的分段Adomian近似解。为三角形区域对应的二阶偏微分方程的边值问题提供一个新的Adomain算法。 关键词 :分段Adomian算法，偏微分方程，地下水流区域上的异质含水层模型 Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 目前为止，研究人员们提出并发展了很多求解偏微分方程的方法，如Lie对称 [ 1 ] [ 2 ] 、Adomian分解法 [ 3 ] 、同伦摄动法 [ 4 ] [ 5 ] 、同伦分析法 [ 6 ] 、精确解方法 [ 7 ] [ 8 ] 等等。这些方法中，Adomian分解法(Adomian Decomposition Method-ADM)是由美国数学物理学家Georgie Adomian [ 3 ] 教授提出并发展起来的一种方法。该方法中假定方程的因变量和非线性项都能分解为级数。非线性项的分解式被称为Adomian多项式，段 [ 9 ] [ 10 ] 研究了Adomian多项式的计算方法的优化。Cherruault [ 11 ] 等人研究了Adomian分解法的收敛性问题。Wazwaz [ 12 ] 基于Adomian分解法考虑了奇异初值问题；D. Lesnic [ 13 ] 基于Adomian分解法考虑了广义Boussinesq问题；朱永贵 [ 14 ] 给出了Adomian逆算符方法，通过实现该算法的算例，验证了Adomian分解法的有效性。 Shidfar [ 15 ] 和Patel [ 16 ] 等人基于Adomian分解法针对矩形区域对应的偏微分方程的(初)边值问题进行研究，并提出了不同的算法。我们 [ 17 ] 对矩形区域对应的偏微分方程的(初)边值问题提出了分段带权Adomian分解法。 本文中基于Adomian分解法考虑三角形区域对应的偏微分方程的边值问题，即三角形地下水流区域上的异质含水层模型。地下水流区域上的异质含水层模型控制微分方程为： (1) 其中 是水头函数 ； 表示月平均降雨补给 ； 表示含水层渗透系数 。设附加边界条件为 (2) 斜边 上： (3) (4) 其中 ， ， 。
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user: 2. 地下水流区域上的异质含水层模型的分段Adomian近似解 将方程(1)改写成 (5) 其中， 。 步骤1：利用直线 与 先将区域 划分成如下三块，如图1所示 (6) 步骤2：在 上，在方程(5)两侧作用于 考虑边界条件 ，并令 后得到 (7) 将函数 在原点Taylor展开，并记为： 其中 图1. 分段区域 那么，有 (8) (9) 由此，根据(7)-(9)构造循环公式，如下： 从这个循环公式得到 从而得到方程(5)与 的 项Adomian近似解 步骤3：在 上，在方程(5)两边作用于算子 同时考虑边界条件 ， ，并令 后得到 根据(8)-(9)，构造循环公式 从这个循环公式得到(5)与 的 项Adomian近似解 其中 。 步4：在方程(5)两侧作用于 ，同时考虑 与公式(8)-(9)，并令 后获得 从这个循环公式得到(5)与 的 项Adomian近似解 其中 。 最后归纳以上部分解得到整个区域上的分段近似解，如图2所示，
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user: 3. 结果分析 分段近似解 除了边界线 和 上的 两小段边界以外， 精确满足其余的所有的边界条件。为了表征 的近似程度，令边界误差为 运用余函数来表示近似解在区域内任意一点处的误差 利用 表征近似解的方程误差，其中 是 范数。本文中得到的三项分段近似解 的边界误差和方程误差分别为 ， 。 图2. 分段三项近似解
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user: 摘 要 在稠油吞吐过程中，加热半径是热采中的重要指标，对注汽参数和生产制度起到了指导性作用。运用能量守恒原理，从热量注入方面考虑了蒸汽相变释放的气化潜热，从热量损失方面考虑井筒热量损失和顶底盖层热量损失，最终得到了新的加热半径计算公式。计算结果表明，加热半径受注汽参数、焖井时间、储层参数等因素影响，并系统阐述了岩层各物性参数的计算及选择方法。最后通过实例验证了该方法的计算值和试井解释出的值较为相符，为现场实际应用提供了可靠的方法。 关键词 :稠油油藏，加热半径，注汽轮次，蒸汽吞吐，热采 Copyright © 2017 by authors， Yangtze University and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 在稠油热采中，蒸汽注入参数合理化选择、产量的预测、剩余储量的计算、吞吐过程中的热效率计算，这些都必须知道加热半径，因此加热半径合理计算在热采中起着重要作用。在加热半径计算方面，各学者已做了大量工作，Marx-Langenheim [ 1 ] 假设油层均质，通过对纵向热损失的研究提出了热采油藏加热面积的计算公式，但未考虑轮次加热；窦宏恩等 [ 2 ] 考虑了轮次加热，但是没有考虑焖井时间对加热半径的影响，也未考虑井筒向地层传热的热量损失；刘鹏 [ 3 ] 有考虑焖井时间对加热半径的影响，但是在推导过程中出现了错误，也未考虑井筒向地层传热的热量损失，在考虑轮次时的加热半径，需要计算上轮次的平均温度，文献 [ 4 ] 认为地层温度不是恒定的，文献 [ 5 ] 认为从井筒到原始地层的温度分布是逐渐降低的，文献 [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] 对水平井加热半径做了研究。笔者在前者的基础上建立了新的加热半径计算公式，其公式考虑井筒向地层传热的热损失，也考虑焖井时间对顶底层传热的热损失。笔者将各文献的内容进行总结，系统性地得到直井加热半径的求解方法及过程。
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user: 2. 数学模型的建立 在蒸汽吞吐中，根据能量守恒原理，热量主要包括4大部分，分别为蒸汽的注入热量、井筒扩散引起的热损失热量、顶底层扩散引起的损失热量、油层吸收热量，如果是多轮次开采还有液体带走的余热。其示意图如图1所示。 图1. 热采过程中能量分布示意图 2.1. 井筒热损失分析 从井口到井底，热量通过井筒传到地层引起的热损失称为井筒热损失，曾玉强 [ 8 ] 研究了井筒热损失计算公式并作了详细推导，这里只引用其计算公式。 (1) (2) 式中：Q hl 为蒸汽注入井筒过程中的热量总损失，W；U to 为井筒总传热系数，W/(m 2 ∙K)；r to 为油管外半径，m；T s 为蒸汽温度，K；λ e 、λ s 都为油层导热系数，单位分别是W/(m∙K)、kJ/(h∙m∙k)；T fi 为地表的温度，K；H为井深，m；f(t)为Ramey时间函数；η为井筒热损失率，%；M s 为注入的蒸汽质量流速，kg/h；H w 为井口注入温度下水的热焓，kJ/kg；X为井底蒸汽干度，%；L v 为蒸汽的汽化潜热，kJ/kg；g f 为静温梯度，℃/100 m。 2.2. 考虑焖井时间对顶底层扩散的影响 顶底层扩散引起的热损失从注汽到生产都存在，笔者之研究焖井段顶底层热损失，刘鹏 [ 3 ] 在研究热量向顶底层扩散时，公式推导过程中出现了错误，笔者做了重新的推导，推导过程如下： 导热速度为： (3) 式中：q l 为顶底层导热速率，kJ/h；T r 为加热区温度，℃；α e 为顶底层扩散系数，m 2 /h；T i 为原始地层温度，℃；t m 为焖井时间，h。 顶底层扩散热量Q d 为： (4) 刘鹏 [ 3 ] 给出了加热区温度与注汽温度的关系： (5) 式中：R为计算半径，m；R e 为供给半径，m；R w 为井筒半径，m；T s 为注汽温度，℃。 联立式(3)~(5)求解出顶底层热量损失为： (6) 2.3. 加热半径计算公式 油层吸收热量： (7) (8) 式中：h为油层厚度，m；M r 为油层的热容量，kJ/(m 3 ·℃)；Q y 为油层吸收热量，kJ；Q z 为注入热量，kJ；t z 为注蒸汽时间，h；q s 为注汽速率，kg/h。 将式(1)~(8)联立求解得到如下公式： (9) 如果考虑轮次，需计算上一轮次带走的余热，其加热半径计算公式为： (10) 其中： (11) 式中：Q r 为上一轮次的余热，kJ；R n -1 为上一轮次的加热半径，m；T avg 为加热区的平均温度，℃。 平均温度计算比较复杂，其李春兰 [ 10 ] 给出了较为简单的平均温度计算公式： (12) 式中：T ah 为焖井结束后加热半径边缘的温度，℃，一般根据黏温曲线得到，即稠油变为稀油的临界温度；T aw 为焖井结束后井底温度，℃。
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user: 3. 参数的选择 地层的参数对加热半径计算准确性影响较大，通过试验方法得到其参数比较困难，因此需通过计算得到其相关参数，文献 [ 11 ] 给出了相关公式。 3.1. 热容量的确定 稠油区的比热反映了地层吸收热量的能力，它是计算加热半径的重要参数，其准确度直接影响加热半径计算的准确度，可根据岩石的组成进行分解得到，如图2所示。 图2. 储层成分分布示意图 其热容量计算公式如下： (13) 式中：M gj 为岩层骨架热容量，kJ/(m 3 ∙℃)；M cy 为稠油热容量，kJ/(m 3 ∙℃)；M w 为水的热容量，kJ/(m 3 ∙℃)；ω为孔隙度，1；S o 为含油饱和度，1。 3.2. 导热系数确定 对于计算胶结砂岩建议用Tikhomirov公式，其公式如下： (14) 式中：T为温度，℃；ρ r 为干燥岩石的密度，g/cm 3 ；S l 为液体的饱和度，1。 3.3. 岩石的热扩散系数 岩石的热扩散系数不是一个独立参数，是其导热系数与热容之比，计算公式如下： (15)
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user: 4. 实例分析 新疆某稠油油藏其井深h = 256 m；注汽温度T s = 280℃；注汽速率q s = 5500 kg/h；注汽压力2.5 MPa，注汽干度X = 0.65，每轮注汽时间t Z = 240 h，焖井时间t m = 72 h；储层厚度为7.8 m；岩层骨架比热M gj = 1154 kJ/(m 3 ·℃)；稠油比热M cy = 2120 kJ/(m 3 ·℃)；水的比热M w = 4200 kJ/(m 3 ∙℃)，孔隙度ω = 0.26；含油饱和度S o = 0.65；干燥岩石的密度ρ r = 2.7 g/cm 3 ；原始地层温度T i = 35℃。通过以上参数计算加热半径，其求解过程如下。 1) 计算参数的获取 通过以上条件，计算或查表得到以下参数，如表1。 Table 1 Calculation table of parameters result 热焓 H W /(kJ∙kg −1 ) 汽化潜热 L v /(kJ∙kg −1 ) 比热 M r /(kJ∙(m 3 ∙℃) −1 ) 导热系数 λ s /(W·(m∙℃) −1 ) 扩散系数 α e /1 井筒热损失率 η/1 2964 1591 2014 6.04 0.011 0.051 表1. 参数结果计算表 2) 地层平均温度确定 根据黏温曲线(图3)可以看出稠油的黏度突变温度为60℃，T ah 为60℃，在焖井结束时刻，井底温度T aw 为80℃。每一轮次的井底温度不同。本实例只取某一轮次作为参考。 图3. 各轮次黏温曲线图 3) 实例计算 通过以上确定出各参数，将这些参数代入式(10)得出加热半径的计算结果，然后将计算值与稠油试井测试得到的值进行比对，其结果是如表2所示。 Table 2 Comparison table of calculation result 轮次 加热半径计算值/m 加热半径实测值/m 误差/% 1 18.3 18.5 1.01 2 24.6 26.8 8.2 3 28.6 29.8 4.0 4 31.5 32.5 3.1 5 33.7 33.1 1.8 6 35.3 35.3 0.08 7 36.5 36.1 1.1 8 37.5 37.1 1.1 9 38.2 37.4 2.1 10 38.9 38.0 2.4 表2. 计算结果对比表 对比图如图4所示。 图4. 加热半径计算结果对比图 通过对比分析中，可以看出计算值与实测值曲线符合较好，误差在8%以内，因此该模型可以应用于稠油加热半径的计算中。
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user: 5. 结论 1) 运用能量守恒原理，从热量注入方面考虑了蒸汽相变释放的气化潜热，从热量损失方面考虑了井筒热量损失和顶底盖层热量损失，系统性地得到了加热半径的求解方法及求解过程。 2) 新的加热半径计算方法考虑因素全面，通过实例计算和分析表明该方法有较好的精度，可满足工程要求。 3) 阐述了计算加热半径时储层参数比热、导热系数、扩散系数的计算方法。加热半径计算公式从热量注入和热量损失方面考虑因素全面，计算较为准确，可较好地应用于现场实例分析中。
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user: 摘 要 针对塔里木油田H9区块钻井过程中存在的储层损害问题，采用黏土矿物分析、扫描电镜及压汞法等方法，分析掌握了目标区块储层地质特征，并结合储层敏感性试验评价，明确了储层潜在敏感性损害因素，揭示了储层损害机理。结果表明，H9区块储层黏土矿物含量为10%~20%，具有中高孔渗特征，非均质性较好，且存在潜在的强速敏和强水敏性损害。针对现场用钻井液体系存在的抑制性、润滑性及储层保护效果存在的不足，室内优化了一套综合性能优良的KCl-聚合醇储层保护钻井液体系。通过模拟储层动态损害试验评价可知，储层岩心渗透率恢复值可达85%以上。现场试验结果表明，KCl-聚合醇钻井液体系可较好地抑制泥页岩水化膨胀分散，有效避免了井眼缩径、起下钻遇阻等井下复杂情况发生，保障了钻井施工高效、安全，且储层保护效果良好。 关键词 :敏感性分析，损害机理，储层保护，钻井液，体系优化，塔里木油田 Copyright © 2017 by author， Yangtze University and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 H9区块属于塔北凹陷边区新近开发的缝洞型稠油油藏，主力油层位于X1组和Y1组，探明油气储量可观 [ 1 ] [ 2 ] 。H9区块前期勘探井统计分析发现，钻探过程中常发生井眼缩径、起下钻遇阻、卡钻等井壁失稳问题，且70%以上发生在硬脆性泥页岩互层段，严重影响了钻井施工安全。此外，钻完井过程中不可避免的会造成储层损害，但通过采取适宜的储层保护技术对策，可对其进行有效地控制 [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] 。目前，针对H9区块硬脆性泥页岩储层敏感性复杂等问题，相关学者仅从力学角度进行了井壁稳定机理研究，研究不够深入、全面 [ 7 ] 。因此，深入开展H9区块储层敏感性分析研究，对H9区块油藏的进一步安全、高效开发具有十分重要的意义。
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user: 2. 储层敏感性试验研究 2.1. X射线衍射试验分析 选取Y1、X1目标层位岩样，利用岛津XRD-6100-X射线衍射仪进行了全岩矿物及黏土矿物相对含量分析，结果如表1所示，H9区块储层黏土矿物平均质量分数在10%~20%之间，主要以伊利石和伊–蒙混层为主，其次为高岭石、绿泥石。伊利石和高岭石属于速敏性矿物，在高碱性环境中容易发生剥落、分散运移，伊–蒙混层属水敏性矿物，容易引起水敏性损害 [ 8 ] [ 9 ] 。因此，预测储层可能存在潜在的速敏、水敏及碱敏性敏感性损害。 Table 1 The types of clay minerals of reservoir cores and the analysis result of clay mineral conten 层位 井号 井深/m 黏土矿物质量分数/% 黏土矿物类型及质量分数/% 混层比/% 高岭石 绿泥石 伊利石 伊–蒙间层 Y1 X54-01 3952.84 15.9 6 15 45 34 24 X48-02 4039.17 10.4 24 3 40 33 21 X52-03 3941.45 12.8 13 19 38 30 20 X1 X54-04 4226.32 11.5 10 17 42 31 27 X48-05 4287.58 18.9 15 12 45 28 23 X52-06 4250.09 20.4 11 16 44 29 30 表1. 储层岩心黏土矿物类型及含量分析结果 2.2. 扫描电镜分析试验 选取储层3945.74 m处岩心，利用日立S-4800冷场发射扫描电镜进行分析，结果见图1。从图1(a)~(d)可看出，H9区块储层岩样以粒间孔隙为主(成熟度较低)，同时发育有溶蚀孔隙和微裂缝。裂缝及裂纹较多发育，该类裂缝属于稍大的类型，储层多表现为中高渗透特征。 图1. H9区块储层3945.74 m处岩心扫描电镜图 2.3. 压汞分析试验 利用全自动压汞仪AutoPore IV 9500进行压汞试验分析，结果见图2。通过进一步计算可知，岩心的孔隙度约为14.45%，总孔隙比表面为1.365 m 2 /g；平均孔隙半径均值为108 μm，70%左右的孔隙半径大于100 μm，属大孔隙发育；平均喉道半径为36.2 μm，40%左右的喉道宽度大于48.5 μm；渗透率约为26.17 mD，孔隙均质系数约为0.38。因此，可判断该层位岩样孔隙发育程度较好，属于中高渗储层，非均质性较好，对渗透率具有贡献的孔径分布在10~100 nm之间。 图2. H9区块储层3945.74.74 m处岩样压汞分析试验结果 2.4. 储层敏感性评价试验 依据SY/T 5358—2010《储层敏感性流动实验评价方法》方法，选取储层岩心进行敏感性评价试验，结果见表2。通过敏感性分析试验结果可知，该区块储层主要存在潜在的强速敏和强水敏性损害，且临界流速为0.5 mL/min，临界矿化度为4375~6536 mg/L。 Table 2 The experimental results of reservoir core sensitivity evaluation in Block H 井号 井深/m 名称 敏感程度 结果 X54-01 3924.75 速敏 强 临界流速0.5 mL/min X48-02 3960.18 水敏 强 临界矿化度4375~6536 mg/L X54-04 4147.64 盐敏 弱 临界矿化度32000~42000 mg/L X52-06 4245.63 盐酸 中等偏弱 - 4228.57 土酸 中等偏弱 X54-04 4122.09 碱敏 弱 临界pH值范围10.0~11.5 X52-03 4196.54 应力敏 中等偏弱 临界压力2.5~5.0 MPa 表2. H9区块储层岩心敏感性评价试验结果 2.5. 储层损害机理分析 结合储层黏土矿物特性对储层的潜在影响 [ 10 ] [ 11 ] ，分别从速敏性损害和水敏性损害角度分析了储层损害机理。 2.5.1. 速敏性损害机理 岩心黏土矿物分析结果表明，H9区块储层主要以石英、高岭石及伊利石等速敏性矿物为主，黏土矿物含量较高。当受到流体流动的冲击作用之后，这些原本较为稳定的矿物颗粒被破坏而发生运移，进而堵塞储层流通通道，降低储层渗透率，造成储层损害。通过扫描电镜试验分析可知，储层微裂缝发育成熟、中小孔喉分布好、较多溶蚀孔隙，微裂缝越多、孔喉越小、壁面越粗糙，微粒越容易发生速敏损害，这也是导致强速敏损害的主要原因 [ 12 ] [ 13 ] 。 2.5.2. 水敏性损害机理 水敏性损害主要是由于黏土矿物晶层间存在可交换阳离子，且损害程度取决于岩石中的水敏性黏土矿物的含量以及在岩石中的分布状态和在孔隙中的分布形式 [ 8 ] [ 14 ] 。储层黏土矿物引起水敏性损害可分为3个方面 [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] ：①黏土矿物间胶结力较弱，遇水发生水化膨胀，使黏土晶层分散，分散运移的固相微粒可能堵塞储层流通通道，从而造成储层损害。②由于储层中存在大量的黏土矿物，当外来的矿化度流体进入后会与之大面积接触，在冲刷作用下增加了颗粒分散运移程度，从而堵塞储层流通通道。③大量的黏土矿物在入井流体作用下，发生运移和沉积作用，这也是造成强水敏损害的原因之一。基于上述原因，H9区块储层存在强水敏性损害。
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user: 3. 现用钻井液体系性能存在不足及优化思路 目前，H9区块X1和Y1层位主要采用聚磺钻井液体系完钻多口探井，该体系能钻达目的层位，但钻井过程中频繁出现起下钻遇阻、倒划眼困难、蹩扭矩等井下复杂情况，且在接近储层段出现严重井眼缩径问题。 综合储层岩性特征分析、钻井液性能及现场施工措施，可将H9区块已钻井频繁出现复杂情况的主要原因归纳为以下两方面： 1) 由于储层黏土矿物含量较高，钻井液进入所在地层后，容易造成泥页岩水化膨胀运移，引起剥落、掉块、缩径等问题。上部地层泥岩成岩性较差，各地层均含有不同程度的泥岩，胶结强度不高，水化膨胀性较强，极易导致井壁失稳，进而造成了起下钻遇阻、倒划眼困难甚至卡钻等复杂情况。 2) 现场用聚磺钻井液体系虽然具有一定的抑制效果，但该体系并不能较好地适应H9区块地层特性。 因此，钻井液体系优化应从改善钻井液体系抑制性，提高降滤失性能及润滑性能，增强储层保护能力几方面着手 [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] 。
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user: 4. 储层保护钻井液体系优化及性能评价 室内针对现用聚磺钻井液体系性能存在的不足，室内优选了非渗透暂堵剂HKTP、阳离子乳化沥青LQ-1及极压润滑剂RHJ-2，并通过配方优化试验形成了一套综合性能较优的KCl-聚合醇钻井液体系。 配方：3.5%膨润土浆 + 0.3%NaOH + 0.3%Na 2 CO 3 + 1.5%PF-VIS增黏降滤失剂 + 2.5%降滤失剂SMP-2 + 2.5%聚合物降黏剂JNJ-2 + 3.5%润滑防塌剂JLX-C + 2.5%阳离子乳化沥青LQ-1 + 1.5%非渗透性屏蔽暂堵剂HKTP + 2.5%改性石墨GRA + 2%极压润滑剂RHJ-2 + 8%KCl (重晶石加重至1.25g/cm 3 ) (配方中的百分数均为质量分数，下同)。 4.1. 常规性能评价 对KCl-聚合醇钻井液体系性能进行了试验评价，结果见表3。可以看出，热滚前后钻井液体系性能变化不大，性能稳定，且形成的泥饼薄而致密；润滑系数 < 0.1，润滑性能较好，能够有效降摩减阻。优选的非渗透暂堵剂HKTP与阳离子乳化沥青LQ-1可产生协同增效作用，改善泥饼质量，有效起到降滤失效果。其次，改性石墨GRA、极压润滑剂RHJ-2及聚合醇在钻井液中能够形成固–液相协同润滑作用，能有效吸附在黏土等微粒表面，形成致密复合极压润滑膜，将微粒之间的直接摩擦转变为膜与膜之间的滑动摩擦，从而达到良好的降摩减阻效果。 Table 3 The conventional properties of KCl-polyalcohol drilling fluid syste 条件 μ a /(mPa∙s) μ p /(mPa∙s) τ/Pa V API /mL V HTHP /mL pH值 泥饼厚度/mm 润滑系数/1 热滚前 48.0 32.5 15.5 3.2 - 10 0.5 - 热滚后 46.5 32.0 14.5 3.6 8.2 9 0.4 0.084 表3. KCl-聚合醇钻井液体系常规性能 注1：μ a 为表观黏度；μ p 为塑性黏度；τ d 为动切力；V API 为API滤失量；V HTHP 为高温高压滤失量。 注2：热滚条件为130℃ × 16 h；测试条件为室温。 4.2. 抑制性评价 4.2.1. 泥页岩滚动分散试验 泥页岩滚动分散试验结果如表4所示，KCl-聚合醇钻井液体系的滚动分散回收率均远高于清水滚动分散回收率，且二次回收率仍高于90%，具有较强的抑制泥页岩水化分散作用。 Table 4 The results of mud shale rolling and dispersion experimen 井名 深度/m 体系 一次回收质量/g 一次回收率/% 二次回收质量/g 二次回收率/% X54-01 4089.03 清水 8.32 27.33 5.19 17.36 KCl-聚合醇钻井液体系 27.88 92.93 27.25 90.84 X52-06 4165.24 清水 10.05 33.50 6.64 22.17 KCl-聚合醇钻井液体系 28.78 93.81 28.09 91.63 表4. 泥页岩滚动分散试验结果 4.2.2. 泥页岩水化膨胀试验 将X54-01井4089.03 m岩样记为1 # ，X52-06井4165.24 m岩样记为2 # ，膨胀试验结果如图3所示，KCl-聚合醇钻井液体系作用下的岩屑膨胀率小于4.0%，远低于清水的膨胀率，且在1 h后岩屑膨胀量趋于稳定，对泥页岩水化膨胀具有较好的抑制效果。 图3. 泥页岩水化膨胀试验结果 优化KCl-聚合醇钻井液体系具有良好的抑制防塌效果。其原因主要是阳离子乳化沥青中的阳离子成分与黏土矿物之间产生较强的吸附作用，从而带正电荷的沥青微粒能够牢固地吸附在黏土矿物表面，形成一层较为致密的疏水薄膜，进而可有效削弱黏土水化渗透作用，起到良好的抑制效果。同时，聚合醇分子中含有较多的醚键，其在黏土表面的吸附作用强于水分子，因此聚合醇分子可优先吸附在黏土颗粒表面，阻止水敏性矿物的水化分散，从而达到较好的抑制防塌目的。 4.3. 模拟储层动态损害试验 分别选取H9区块X48-02井4164.75 m和X52-03井4228.63 m处天然岩心，依据SY/T 6540—2002《钻井液完井液损害油层室内评价方法》，采用高温高压动态损害评价仪进行模拟储层动态损害试验，评价体系的储层保护性能。 试验条件：模拟地层温度为 130 ℃ ；围压为5.0 MPa；压差为3.5 MPa；损害时间为120 min。 试验结果见表5、图4。结果表明，KCl-聚合醇钻井液体系作用下的岩心渗透率恢复值(切割污染端0.7 cm)达85%以上，储层保护效果较好，且对储层造成的损害可通过后期射孔作业有效解除。主要是由于优选的非渗透暂堵剂HKTP的粒径分布范围与储层孔隙尺寸具有较好的配伍性，能够对储层产生有效的屏蔽暂堵作用，切去岩心污染端后，可较大程度地减轻对储层的损害，达到储层保护的目的。 Table 5 The evaluation results of simulation experiment of formation damag 井名 井深/m 气测渗透率/mD 污染前渗透率/mD 污染后渗透率/mD 渗透率恢复值/% X48-02 4164.75 389.93 42.54 39.87 93.72 X52-03 4228.63 322.17 36.28 31.72 87.43 表5. 储层损害模拟试验评价结果 图4. 储层岩心渗透率恢复曲线
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user: 5. 现场试验 在室内研究工作基础上，KCl-聚合醇储层保护钻井液体系在H9区块的多口井进行了现场试验。其中，X56-01井主力油层为Y1、X1组，埋深在3905.15~4391.32 m之间，实钻井深在4450 m左右，该层段存在较大井壁失稳风险。钻开试验井储层阶段时，在严格按照室内钻井液实施方案基础上，采用所提供的钻井液体系，现场钻井液应用实施情况良好，特别是钻井液流变性能、滤失性及润滑性等主要性能良好、稳定(表6)，未出现剥落、掉块等复杂情况，安全顺利完钻。 Table 6 The test results of conventional property of field drilling flui 井深/m ρ/(g∙cm −3 ) μ a /(mPa∙s) μ p /(mPa∙s) τ/Pa V API /mL V HTHP /mL pH值 H k /mm 润滑系数/1 黏附系数/1 4096.75 1.26 46 31.5 14.5 4.0 7.6 9 0.5 0.086 0.024 4208.49 1.28 46.5 32 14.5 4.2 8.0 10 0.6 0.090 0.027 表6. 现场浆常规性能测试结果 注：热滚条件为130℃ × 16 h；测试条件为室温；泥饼黏附系数测定条件为130℃ × 3.5 MPa。 分别取不同井深现场试验浆，测定储层岩心渗透率恢复值，评价现场浆的储层保护效果，结果如表7所示。室内模拟储层条件下的岩心动态污染渗透率恢复值达到85%以上，储层保护效果好。 Table 7 The evaluation results of core permeability recovery value with field drilling flui 井深/m 层位 孔隙度/% 气测渗透率/mD 污染前渗透率/mD 污染后渗透率/mD 渗透率恢复值/% 4024.72 X1 21.9 425.87 56.42 49.29 87.36 4175.55 Y1 25.4 383.26 45.31 41.12 90.75 表7. 现场浆作用下岩心渗透率恢复值评价试验结果
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user: 6. 结论 1) H9区块储层属于中高渗储层，以粒间孔隙为主，微裂缝发育，非均质性较好，且对渗透率具有贡献的孔径分布在10~100 nm之间。 2) 黏土矿物中伊利石和伊–蒙混层含量较高，储层存在潜在的强速敏性损害和强水敏性损害，尽可能采用近平衡压力钻井及高效致密暂堵技术；施工作业过程中应注意控制外来工作液的流速，同时有效控制固相含量，提高工作液的抑制性能。 3) 优化KCl-聚合醇储层保护钻井液体系具有强抑制、高润滑的特点；现场试验效果良好，有效解决了剥落、掉块及卡钻等井壁失稳问题，取得了有效保护储层的效果。建议在H9区块及周边类似储层后续钻采过程中进行推广应用，有望取得良好的经济效益。
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user: 摘 要 针对在实际科研生产中经常涉及到的有关定义于椭球面上的多元Lagrange插值问题进行了研究。提出了定义于椭球面上的多元Lagrange插值定义，给出了判定椭球面上的结点组是否构成插值正则结点组的判定定理以及迭加构造方法，最后通过算例对所得方法进行了实现。 关键词 :椭球面，多元Lagrange插值，正则结点组，迭加插值法 Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 熟知，多元函数插值长期以来一直是计算数学研究领域的一个主要研究内容(详见文献 [ 1 ] )，有关多元函数插值基本理论和方法研究中一个基本问题是多元插值函数的唯一存在性问题，也就是插值的正则性问题。由文献 [ 2 ] - [ 8 ] 可知，国内外学者对这一问题的研究主要有两个判别，一种是给定插值空间，去构造相应正则结点组；另一种是给定结点组，去构造相应正则插值空间，而且要求空间的次数尽可能低。 [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] ，对于某一类问题，目前，有关在整个空间进行插值以及关于定义于空间中一般代数流形插值的研究结果相对完备，而关于有着重要实用价值的具体流形上的插值结果并不多见。梁学章等人 [ 12 ] 讨论了单位球面上的纬线组选取插值正则结点组的方法。 椭球面是除球面外的另一类主要的二次代数曲面，其在工程设计中有着重要的作用。例如，许多机械零部件和建筑外形采用了椭球面的形式，而地球本身严格来讲是个椭球，还有就是有关对地球表面进行卫星遥感测绘时也涉及到椭球面上插值问题。因此，对椭球面上的插值问题研究意义重大。
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user: 2. 基本定义和基本定理 本文主要研究三维欧式空间 中的椭球面 上进行多元Lagrange插值问题。 首先引入若干基本概念 设n为非负整数，令 表示所有全次数为n的三元代数多项式构成的集合，即 定义1 ( 的插值正则结点组) 设 ，令 为 中m个互异点构成的点集，如果对于任意给定的数组 ，恒存在唯一多项式 ，使之满足： ，则称 为 的一个正则结点组。 定义2 ( 上的插值正则结点组) 设 为如上所定义的椭球面， 为 在 上的限制。 ， ，称 为定义于 上的一个n次插值正则结点组，如果对于任意给定的数组 ，恒存在多项式 ，满足 。 定理1 (构造 插值正则结点组的添加椭球面法) 设 为如上所定义， ，结点组 关于 的一个正则结点组，而 是定义于 的一个 次正则结点组，则 必定构成 的正则结点组。 证明：设 。因为 为定义于 上的 次正则结点组，由定义2，对任意给定数组 恒存在多项式 使得 。 又因为 关于 的一个正则结点组，由定义1对任意的数组 恒存在多项式 使得 其中 为 的三维坐标，构造一个多项式 显然有 且满足 。 则由定义1知， 为 的正则结点组。 定理2 (构造 上插值正则结点组添加圆锥曲线法) 设 为 上的 次插值正则结点组，平面 与 横截相交于圆周曲线 ， 是定义于 上的一个 次正则结点组，则 必定构成定义于 上的一个 次正则结点组。 定理3 (判定定理) 上的 个互异点 能够做成定义于 上的n次插值正则结点组的充分必要条件是，若存在 ，满足 ，蕴含如此的 在 恒为零。 证明：充分性：设 ，满足 ， 由条件可知， ， 。从而，对于定义于 的一个n次插值正则结点组 ，亦有 ， ，即 ， 。又因为 为 的插值正则结点组，故 。 必要性：令 ，取 为关于 的正则结点组，可以断言： 构成 的正则结点组。事实上，对任给 ，由于 为定义 上的 次正则结点组，故存在多项式 满足 。 又因为 且为关于的 的正则结点组，则存在多项式 满足 则多项式 (*) 满足 ，由定义知 是 的正则结点组，同时，在上述过程中取 ，则(*)式中的 ，此时 满足定理中的插值条件的多项式，故由 空间中满足相同插值条件的多项式的唯一存在性有 即 在 上恒为零值。
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user: 3. 算例 例如：取被插值函数为 ，椭球面为 。在椭 球内部取一点 ，则该点为 的一个正则结点组；另在椭球面上取互异的9个点 ， ， ， ， ， ， ， ， ，这九个点是定义于椭球面F上的一个 次正则结点组(如图1所示)，则由定理1知：点组 构成 适定结点组。设插值多项式为 得到方程组为 ，其中 图1. 椭球面取点效果图 解得 我们取点 ， ，插值结果分别为 ， ，而精确值分别为 ， ，误差分别为 ， 。
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user: 摘 要 小区的开放必然会引起之前的交通系统和城市结构的改变。本文通过建立适当的数学模型对小区开放后对周边道路通行所产生的影响进行了分析。本文利用全有全无的分配方法结合Matlab程序解决了车辆在小区开放后的分流问题，接着利用所得出的流量，计算车辆在行驶完某段路所需的时间，以此来建立模型。通过计算车辆行走相同路程的时间的多少来衡量小区周围道路的交通流畅程度，从而确定小区开放后的影响。最后，我们运用已建立的模型，进行定量的分析，分别得到了开放前后，车辆绕行小区一周的时间，得出了小区开放会对周围交通产生积极影响的结论。 关键词 :全有全无分配法，BRP函数，定量分析，Matlab程序 Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 随着社会的发展，城市道路交通的压力越来越大，因此研究开放小区能否真正优化道路交通状况是社会广泛关注的一个问题。本文通过建立车辆通行的数学模型 [ 1 ] [ 2 ] ，对小区开放对周边道路通行的影响进行了研究，并定量分析了两种类型的小区开放后对周边道路通行的影响。 在第二节中，我们通过全有全无的分配方法结合Matlab程序解决了车辆在小区开放后的分流问题，接着利用所得出的流量计算车辆在行驶完某段路所需时间的公式得出计算结果，以此来建立模型。通过比较车辆行走相同路程的时间的多少来衡量小区周围道路的交通流畅程度，从而确定小区开放后的影响。 在第三节中，我们运用前面建立的模型，首先算出了开放前车辆绕小区一周的时间，然后以片块型和轴心型小区为例，进行定量的分析，分别得到了开放后，车辆绕行两种小区一周的时间，发现时间有不同程度的减少，所以我们得出了小区开放会对周围交通产生积极影响的结论。 最后我们对模型进行了总结。
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user: 2. 车辆通行的数学模型 本节中，我们建立了关于车辆通行的数学模型，可以获得小区附近的道路交通状况，模型中用到的分析指标包括交叉路口延误时间、行驶速度、车流量、行程时间等，最重要的是我们的模型可以作为研究开放型小区对周边道路的影响评价的依据。 本文中我们选取的车辆通行的分析指标主要有交叉口延误时间( )、行驶速度( )、车流量( )、行程时间( )等，介绍如下： 2.1. 交叉口延误时间 本文中采用交叉日平均延误计算方法 [ 3 ] 。平均延误计算的公式为： 其中： ——信号周期长度，s； ——有效绿灯时间，s； ——车道组V/C或饱和度，V/C指在理想条件下，最大服务交通量与基本通行能力之比。 2.2. 行驶速度 行驶速度以该小区附近道路交通安全条例所规定的速度为准，在后面的Matlab程序中我们使用的是60 Km/h进行进一步计算。 2.3. 车流量 对于车流量的研究，我们利用最短路径分配法，也称为全有全无分配方法。这是一个简单却十分有效的交通配流方法。以所有出行者都选取从出发地到目的地的最短路径为原则分配交通量。是其他各种交通分配方法的基础。OD交通量调查就是交通起终点的调查，OD交通量就是起点到终点之间的交通流量。英文ORIGIN和DESTINATION分别是“O”和“D”的来源，其中“O”表示出发点，“D”表示目的地。从一个起点到一个终点对(OD)间的最短路径，交通流如果只选择一条路线这样看起来是不合理的，所以OD往往不单单是一个点，而是一个矩阵，这样一来，OD的调查结果一般用一个表格表示，后又叫做OD矩阵。在附录1中我们对全有全无模型进行了Matlab程序的实现，程序中的 即为OD矩阵，通过程序我们可以定量计算出小区开放后，小区内部的支路所能分担的周围道路的车流量。 2.4. 行程时间 行驶时间的长短是车辆和行人判断道路状况时的最重要的标准之一，我们查找了大量文献后发现美国联邦公路局路阻函数(BRP函数)有不完善的地方。 原来的BRP阻抗函数为 [ 4 ] ： 其中： ——从节点 ~节点 ； ——在路段 上的实际花费的时间，s ——在路段 上的理想花费时间，s ——在路段 上的延误参数， ——路段 上的车流量，veh/h 考虑到路上行人对车辆的影响以及非机动车辆对机动车辆的影响，我们在已有的研究基础的上得到了以上二者对车辆的影响系数，然后把影响系数加入到原有的BRP模型中，建立出符合我们需求的更加恰当的BRP模型。 我们得出的行人干扰修整系数 [ 4 ] 如下表1所示： 当非机动车交通量没有超过通行能力时系数取0.8，而当超过通行能力时干扰系数有以下公式计算得出 [ 3 ] 。 Table 1 Pedestrian interference trimming facto 干扰程度 很严重 严重 较严重 一般 很小 无 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 表1. 行人干扰修整系数 其中： ——机动车受非机动车的干扰系数； ——道路上实测得的非机动车的数量； ——非机动车道路每米设计的通行能力； ——单向非机动车道宽度 ——单向机动车道宽度 根据以上分析，我们可以得到新的BRP阻抗函数模型 [ 4 ] ： 在附录2中，我们通过Matlab程序实现了该模型的算法设计，该程序可以模拟出车辆行驶经过某段路程所花费的时间，结果中时间 越小，表明该道路交通越顺畅。
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user: 3. 定量分析 3.1. 开放前小区对周围道路通行的影响 我们利用建立好的模型来分析两种结构不同小区开放后对周边道路的影响，这里，我们假设小区周边道路单向两条机动车道，一条非机动车道，共有四个信号灯，且两种类型的小区周长相等，下面我们给出一些参数的估计值(表2)： Table 2 Parameter estimatio 小区周边 道路总长度，m 小区周边 最高行驶速度km/h 小区周边 机动车道宽，m 小区周边 非机动车道宽，m 小区周边非机动车 流量，辆/h 2400 60 15 3.5 500 表2. 参数估计 根据以上数据，我们可以算出： 总的信号周期长度T：240 s (共四个信号灯，每个60 s) 总的有效绿灯时间 ：100 s (共四个信号灯，每个25 s) 车辆在小区周边道路自由行驶所花费时间 ：216 s 根据我们已经建立的模型，利用Matlab程序编程，计算出车辆在小区周边道路行驶一周所需时间t为：4817.3849385239 s 3.2. 开放后各类型小区对周围道路通行的影响 下面我们模拟不同结构小区开放后，车辆在小区周边行驶一周所需时间： 3.2.1. 片块式布局 对小区开放后小区内部的三条支路会分担外围道路的车流量，由于在这种小区结构下(如图1)，小区内部道路顺直平坦所以，通行能力比较好，我们给支路分配的权重也比较高，如图2。 这样根据我们已经编好计算支路分担车流量的程序，得到支路分担的总的车流量为：857.156 (包括机动车与非机动车)取整后为857辆/h。 按照机动车非机动车2:1的比例算出开放后小区支路分担周边自行车流量为285.667，取整为286辆/h，分担小区周边机动车流量为571辆/h，最后得到开放后小区周边的自行车流量为214辆/h，机动车流量为429辆/h。这样再根据程序计算出车辆在小区周围行驶一周所需时间t为：1924.66457309644 s可以看到通行花费的时间大幅度下降。 3.2.2. 轴线式布局 轴线式布局的小区(如图3)相比于片块式小区来说道路弯路较多但道路较宽，在中心广场处车辆容易产生堵塞，通行能力较上一种较差。但与片块式分布结构类似，所以我们给支路分配和上种结构相同的 图1. 片块式布局 图2. 支路权重分配 图3. 轴线式布局 权重，但在计算时要加上在中心广场处可能发生的延误，这里我们按照交叉路口的平均延误计算，得到在小区支路分担自行车流量286辆/h，机动车571辆/h的情况下，在中心广场发生的延误为：120 s，这样最后计算得到在轴线式小区开放后，车辆在小区周围行驶一周所需时间t为：2044.66457309644 s。可以看到虽然此类型小区开放后效果不如第一种效果好，但也分担部分了小区周围的通行压力。
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user: 4. 模型的总结 本文研究了小区开放对周边道路通行的影响，运用已建立的模型，定量地计算出了开放前后，车辆绕行小区一周的时间，得出了小区开放会对周围交通产生积极影响的结论。但在实际情况下，开放小区的好与不好是与小区本身的一些物理因素密切相关的，所以我们可以把模型推广到小区的建设与规划上，并加以改进，尽量使小区的建设能较好适应以后的变化，这样能有效地利用资源，有很强的现实意义。
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user: 摘 要 Banach空间中研究求解第一类Fredholm积分方程的多尺度配置方法。在积分算子是扇形紧算子时，采用Blance原理，给出迭代停止的选择方法，确保了近似解的最优收敛率。最后，给出算例说明了算法的有效性。 关键词 :交替迭代法，扇形算子，多尺度配置法 Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 科学与工程领域中的一些反问题可以归结为第一类Fredholm积分方程 [ 1 ] [ 2 ] 。例如，图像处理、信号识别、遥感技术等问题。因为第一类Fredholm积分方程是病态的，对舍入误差比较敏感，所以要采取正则化方法，才能得到稳定的近似解。正则化方法的理论比较成熟，也有比较多的研究成果，但是，数值计算方法还有很多问题可以研究，尤其是多尺度快速算法 [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] 。 多尺度快速算法是20世纪90年代发展起来的一种求解算子方程的快速算法， 其主要思想是首先构造具有紧支集和消失矩的多尺度基底来离散算子方程， 使所得离散化后的代数方程组的系数矩阵具有层次性和数值稀疏性。 2002年，Z. Chen， C. A. Micchelli和Y. Xu在文献 [ 3 ] 中提出求解第二类积分方程的快速配置法，建立了一套完整的理论框架。快速配置法改善了传统配置法的两大主要不足，一方面使得系数矩阵稀疏，另一方面降低了系数矩阵的条件数。 多尺度快速算法从适定问题到不适定问题有了一个飞跃。当解不适定问题进行参数选取时，需要大规模的运算，因此有必要发展多尺度快速算法。 2008年，Z. Chen， Y. Xu 和H. Yang在文献 [ 4 ] 中求解不适定积分方程时发展了多尺度快速配置法，给出了Banach空间范数意义下的误差估计，提出了一种先验参数估计和自适应后验参数选取策略，并证明了在这两种参数选取策略下所获得的近似解均具有最优收敛阶。但是，该方法为了得到最优收敛阶，要求精确解具有较高的光滑度。如果积分算子是扇形算子，那么，可以降低精确解的光滑度要求，也能够得到近似解的最优收敛阶。 Plato于1996年，在文献 [ 8 ] 提出了Banach空间求解扇形积分方程的正则化方法以及后验参数选择方法，给出了近似解的收敛率。缺点是无限维空间无法求出数值解。 因此，本文的主要工作是在有限维空间中给出求解积分方程的多尺度快速配置法。文中基于多尺度配置法给出矩阵压缩技术，减少系数矩阵非零元素的计算量，并提出自适应后验参数选择策略，确保近似解的最优收敛率。
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user: 2. 交替迭代法 设 是 中的一个紧集，扇形算子 ，定义为 其中核函数 且算子 满足 (H1) [ 8 ] 算子 的预解集 包含某个扇形面，即 (2.1) 其中 。算子 的预解算子 有如下估计 (2.2) 其中 是正常数。 考虑第一类Fredholm积分方程 (2.3) 其中 是已知函数， 是未知函数。若 是非闭集，则方程(2.3)是一个病态问题。实际问题中，仅仅知道右端项 的近似值 ，满足 (2.4) 其中 。因此，实际求解的是如下的方程 (2.5) 为了得到方程(2.5)的近似解，要采取正则化方法。以下采用文献 [ 8 ] 中的交替迭代法 (2.6) 其中 是松弛因子。 为方便起见，令 容易算得近似解 可表示为： 。 设 ，为了得到近似解的收敛性，需要以下引理。 引理2.1. [ 8 ] 若条件(H1)成立， ，则对任意 ，有 (2.7) 以及 (2.8) 其中 。 为了得到近似解的收敛率，要求方程(2.3)精确解 ，应满足如下的光滑性(见 [ 8 ] )。 (H2) 存在常数 ，使得精确解 满足 定理2.1. 若条件(H1)-(H2)成立，则 (2.9) 证明：根据条件(H1)， 和 的定义，有 由引理2.1和假设(H2)，推得
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user: 3. 多尺度配置法 以下讨论有限维空间上求解交替迭代正则化方程(2.6)的配置法 [ 3 ] 。为此，给出一些符号。令 ， ， 。假设近似空间 是嵌套的，即 。因此， 可分解为 (3.1) 假设 ，对每个 都有一组基 ，使得 ，假设 ， ， 假设配置泛函空间 ，满足 [ 5 ] 1) ， 2) ， 3) 其中 表示线性泛函 在 上的取值。对 ， 表示从 到 的插值投影，定义如下。设 ， 满足 假设 表示从 到 的正交投影。当离散层 和迭代步 存在某种关系时，多尺度配置法求解方程(2.6)，就是找 ，使得 (3.2) 其中 。 在多尺度基函数和相应的配置泛函下，算子 是稠密矩阵，为此，采用如下的压缩算子 其中 。用 替代方程(3.2)中的 ，得到求解方程(2.6)的快速算法，即找 使得 (3.3) 利用 的多尺度基函数，近似解 可以表示为 为了写成矩阵形式，引入下面的记号。 其中 (3.4) 方程(3.3)的矩阵形式如下： (3.5) 其中， 。 对于截断算法的计算复杂度，引入文献 [ 5 ] 的结果即可。 引理3.1. [ 5 ] 若矩阵 是采用截断策略(3.4)所得，那么 (3.6) 其中 表示求解式(3.5)中的 所要计算的非零元素个数。