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user: 2. 似然比扫描方法 2.1. 基本设定和假设 假设观测序列 { X t } t = 1 ， ⋯ ， n 可以被分割成 m + 1 段平稳的自回归序列，令 j = 1 ， ⋯ ， m ，j表示变点个数，用 τ j 表示序列从第j段跳跃到第 j + 1 段突变点的位置(第j个变点的位置)。令 τ 0 = 0 ， τ m + 1 = n ，那么第j 段平稳自回归序列的表达式可以由下式给出： Y t ， j = X t ， τ j − 1 < t ≤ τ j ， 这里 { Y t ， j } 表示平稳自回归过程，满足 Y t ， j = ϕ j 0 + ϕ j 1 Y t − 1 ， j + ⋯ + ϕ j ， p j Y t − p j ， j + σ j ε t ε t 为独立同分布的白噪声序列，且均值为0，方差为1。 假设2.1.1 用 θ j : = ( ϕ j ， 0 ， ϕ j ， 1 ， ⋯ ， ϕ j ， p j ， σ j 2 ) 表示第j段自回归序列的参数向量，假定所有的 θ j 都是紧致空间 Θ j 的内部点。 假设2.1.2 假设所有被分割成的每一段自回归序列的阶数都是有限的，这里把每一段自回归序列的最大阶数用整数 p max 来表示。 假设2.1.3 假设所有被分割成的每一段自回归序列都相互独立。 在接下来的这一小节中，介绍用似然比扫描方法估计多变点的三个步骤。 2.2. 用似然扫描方法估计变点的三个步骤 第一步： 定义在t点的扫描窗口 W t ( h ) = { t − h + 1 ， ⋯ ， t + h } ， 扫描窗口对应的观测值为 X W t ( h ) = ( X t − h + 1 ， ⋯ ， X t + h ) 这里 t = h ， ⋯ ， n − h ，h称为扫描窗口的窗口半径，这里假定在样本量小于等于800时，h的取值为25，当样本量大于800时，我们把h的取值定义为 h ≥ 2 log ( n ) ，这里n是样本量。在样本量大于800时，本文取 h = 2 log ( n ) 。 为了检测扫描窗口中的变点，似然比统计量成为一个很自然的选择。任意给定一个样本 z = { z 1 ， ⋯ ， z n } ，定义拟似然统计量 L ( θ ) = ∑ t = 1 n l t ( θ ) ≡ ∑ t = 1 n log { f θ ( z t / z t − 1 ， z t − 2 ， ⋯ ， z t − p ) } (1) 这里 f θ ( z t / z t − 1 ， z t − 2 ， ⋯ ， z t − p ) = exp { − ( z t − ϕ 0 − ϕ 1 z t − 1 − ⋯ − ϕ p z t − p ) 2 / ( 2 σ 2 ) } / ( 2 π ) σ 是在 z t 之前给定观测值的条件密度函数，在 s ≤ 0 的情况下， z s = 0 。那么，扫描窗口 W t ( h ) 的似然比扫描统计量就可以定 义为 S h ( t ) = 1 h L 1 h ( t ， θ ^ 1 ) + 1 h L 2 h ( t ， θ ^ 2 ) − 1 h L ⋅ h ( t ， θ ^ ) 这里 L 1 h ( t ， θ ^ 1 ) ， L 2 h ( t ， θ ^ 2 ) 和 L ⋅ h ( t ， θ ^ ) 的定义方式与表达式(1)类似，但是对应的观测值分别为 { X s } t − h + 1 ， ⋯ ， t ， { X s } t + 1 ， ⋯ ， t + h 和 { X s } W t ( h ) 。 因为被分割的每一段序列所拟合的自回归模型 A R p j 都可以表示成 A R p max ，这里就把每一段的序列在拟合成自回归模型时，把所有的阶数定为 p max ，为了提高模型的实际性能，可以使用信息准则(如Akaike信息准则AIC或者是BIC信息准则)分别对 L 1 h ( t ， θ ^ 1 ) ， L 2 h ( t ， θ ^ 2 ) 和 L ⋅ h ( t ， θ ^ ) 三个估计量的自回归模型的阶 进行估计。 用 S h ( t ) 统计量扫描所有的观测值可以得到一系列的似然比扫描统计量 ( S h ( h ) ， S h ( h + 1 ) ， ⋯ ， S h ( n − h ) ) 。如果t是变点，那么 S h ( t ) 的值会趋向于变大，由于选择的窗口长度为2h， 那么也就意味着在每一个窗口2h的长度中，变点的个数最多只有一个，因此，通过估计局部变点的位置，可以获得一系列可能是整个序列上的变点的所有疑似变点，定义为： J ^ ( 1 ) = { m ∈ { h ， h + 1 ， ⋯ ， n − h } : S h ( m ) = max t ∈ ( m − h ， m + h ) S h ( t ) } 当 t < h 或者是 t > n − h 时， S t ( h ) = 0 ，如果 S h ( m ) 在以点m为中心的窗口 [ m − h + 1 ， m + h ] 中达到最 大值，就把m点当做是一个局部变点。 第二步： 通过模型选择的方法从第一步得到的疑似变点的 J ^ ( 1 ) 集合中找到正确的变点。 由于在第一步估计变点的问题上可能存在过估计的问题，所以在第二步要选择一个最小化准则来优化在第一步当中得到的变点个数及位置，本文采用的最小化准则是拥有较好经验性能够的最小描述长度(MDL)准则，由下式给出： MDL ( m ， J ， p ) = log ( m ) + ( m + 1 ) log ( n ) + ∑ j = 1 m + 1 log ( p j ) + ∑ j = 1 m + 1 p j + 2 2 log ( n j ) − ∑ j = 1 m + 1 L j ( θ ^ j ) 其中， J = ( τ 1 ， ⋯ ， τ m ) 表示在第一步中得到的变点， ( n 1 ， ⋯ ， n m + 1 ) 表示被分割成的每一段序列的样本量， p = ( p 1 ， ⋯ ， p m + 1 ) 是每一段序列上估计 L j ( θ ^ j ) 的自回归模型的阶数。 通过对集合 J ^ ( 1 ) 中的变点进行最小化准则的优化后，可以得到优化后的变点，其表达式如下： ( m ^ ( 2 ) ， J ^ ( 2 ) ， p ^ ( 2 ) ) = arg min m = | J | ， J ∈ J ^ ( 1 ) p ∈ { 1 ， ⋯ ， p max } m MDL ( m ， J ， p ) 第三步： 对第二步中得到的变点集合 J ^ ( 2 ) 中的变点进行最终估计。 定义第j个变点 τ ^ j ( 2 ) 的扩展扫描窗口 E j ( h ) = { τ ^ j ( 2 ) − 2 h − 1 ， ⋯ ， τ ^ j ( 2 ) + 2 h } 其对应的观测值为 X E j ( h ) = ( X τ ^ j ( 2 ) − 2 h − 1 ， ⋯ ， X τ ^ j ( 2 ) + 2 h ) 令 L j ( τ ， θ 1 ， θ 2 ) = ∑ t = τ ^ j ( 2 ) − 2 h + 1 τ l t ( θ 1 ) + ∑ t = τ + 1 τ ^ j ( 2 ) + 2 h l t ( θ 2 ) ，对于 j = 1 ， ⋯ ， m ^ ( 2 ) ，定义最后的变点估计量为： τ ^ j ( 3 ) = arg max τ ∈ ( τ ^ j ( 2 ) − h ， τ ^ j ( 2 ) + h ] L j ( τ ， θ ^ j ， θ ^ j + 1 ) 这里 θ ^ j = θ ^ j ( τ ) = arg max θ 1 ∑ t = τ ^ j ( 2 ) − 2 h + 1 τ l t ( θ 1 ) ，同理可以得到 θ ^ j + 1 的定义。