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user: 3. 主要结果的证明 定义算子 L : D ( L ) → X ， L u : = − u ‴ ， u ∈ D ( L ) ， (3.1) 其中 D ( L ) = { u ∈ C 3 [ 0 ， 1 ] : u ( 0 ) = u ′ ( 0 ) = 0 ， u ′ ( 1 ) = α u ′ ( η ) } ，易知 L − 1 : Y → E 是紧的。假设存在 ζ ， ξ ∈ C ( [ 0 ， 1 ] × [ 0， ∞ ) × [ 0， ∞ ) ， [ 0， ∞ ) ) ，使得 f ( t ， u ， p ) = a ( t ) u + ζ ( t ， u ， p ) ， (3.2) f ( t ， u ， p ) = b ( t ) u + ξ ( t ， u ， p ) . (3.3) 由条件(H3)可得 lim | ( u ， p ) | → 0 ζ ( t ， u ， p ) | ( u ， p ) | = 0 对 t ∈ [ 0 ， 1 ] 一致成立， (3.4) lim | ( u ， p ) | → ∞ ξ ( t ， u ， p ) | ( u ， p ) | = 0 对 t ∈ [ 0 ， 1 ] 一致成立， (3.5) 令 ξ ˜ ( r ) = max { ξ ( t ， u ， p ) | 0 ≤ | ( u ， p ) | ≤ r ， t ∈ [ 0 ， 1 ] } ， (3.6) 则 ξ ˜ 非减且 lim r → ∞ ξ ˜ ( r ) r = 0. (3.7) 考虑从平凡解 u ≡ 0 处产生的分歧问题 L u = θ λ a ( t ) u ( t ) + θ λ ζ ( t ， u ， u ′ ) . (3.8) 易见，方程(3.8)等价于积分方程 u ( t ) = θ [ ∫ 0 1 G ( t ， s ) λ a ( s ) u ( s ) d s ] : = ( θ L − 1 λ a ( ⋅ ) u ( ⋅ ) + θ L − 1 [ λ ζ ( ( ⋅ ) ， u ( ⋅ ) ， u ′ ( ⋅ ) ) d s ] ) ( t ) . 因为 ‖ L − 1 [ λ ζ ( ( ⋅ ) ， u ( ⋅ ) ， u ′ ( ⋅ ) ) d s ] ‖ = max t ∈ [ 0 ， 1 ] { ∫ 0 1 G ( t ， s ) ζ ( t ， u ， u ′ ) d s ， ∫ 0 1 G ′ ( t ， s ) ζ ( t ， u ， u ′ ) d s } ≤ N ‖ ζ ( ( ⋅ ) ， u ( ⋅ ) ， u ′ ( ⋅ ) ) ‖ ∞ . 所以 ‖ L − 1 [ ζ ( t ， u ′ ( ⋅ ) ， u ′ ( ⋅ ) ) ] ‖ = o ( ‖ u ‖ ) ，             u → 0. 根据引理2.1可知，存在问题(1.3)的正解集的连接 ( λ 1 ( a ) λ ， 0 ) 和 ∞ 的连通分支 C + ，进而， C + 的闭包是 ( λ 1 ( a ) λ ， 0 ) ∪ C + 。根据引理1，本文只需考虑主特征值处产生的连通分支。 定理1.1的证明 显然，当 λ = 1 时，问题(3.8)的任意一个解 ( 1 ， u ) 都是问题(1.3)的解u。以下只需证明 C + 穿过超平面 { 1 } × E ∈ ℝ × E ，为此需要证明 C + 连接 ( λ 1 ( a ) λ ， 0 ) 到 ( λ 1 ( b ) λ ， ∞ ) 。设 ( μ n ， y n ) ∈ C + 满足 μ n + ‖ y n ‖ → ∞ 这里对任意的 n ∈ ℕ ， μ n > 0 。这是因为 ( 0 ， 0 ) 是 λ = 0 时问题(3.8)的唯一解且 C + ∩ ( { 0 } × E ) = ∅ 。 情形1： λ 1 ( a ) λ < 1 < λ 1 ( b ) λ ；我们需证 ( λ 1 ( a ) λ ， λ 1 ( b ) λ ) ⊆ { λ ∈ ℝ | ∃ ( λ ， u ) ∈ C + } . 证明分下面两步： 第一步：需证若存在一个常数 M > 0 ，使得 μ n ⊂ ( 0 ， M ] ， (3.10) 则连通分支 C + 连接 ( λ 1 ( a ) λ ， 0 ) 和 ( λ 1 ( b ) λ ， ∞ ) 。 这种情形下有 ‖ y n ‖ → ∞ . (3.11) 在方程 L y n − μ n λ a ( t ) y n = μ n λ a ( t ) ξ ( t ， y n ( t ) ， y n ′ ( t ) ) (3.12) 令 y ¯ n = y n ‖ y n ‖ ，显然 y ¯ n 在E中有界，故 y ¯ n 在E中有收敛子列，即存在 y ¯ ∈ E ，使得 y ¯ n → y ¯ 且 ‖ y ¯ ‖ = 1 。进一步，由条件(H3)和(3.5)式可知 ξ ˜ 非减，可得 | ξ ( y n ( t ) ) | ‖ y n ‖ ≤ ξ ˜ ( | y n ( t ) | ) ‖ y n ‖ ≤ ξ ˜ ( ‖ y n ‖ ∞ ) ‖ y n ‖ ≤ ξ ˜ ( ‖ y n ‖ ) ‖ y n ‖ 从而， lim n → ∞ | ξ ( y n ( t ) ) | ‖ y n ‖ = 0. (3.13) 对于(3.12)式，当 n → ∞ 时，有 y ¯ ( t ) = ∫ 0 1 G ( t ， s ) μ ¯ λ a ( s ) y ¯ ( s ) d s . 这里 μ ¯ : = lim n → ∞ μ n 。 因此可得 L y ¯ = μ ¯ λ a ( t ) y ¯ ( t ) . (3.14) 下证 y ¯ ∈ C + . (3.15) 由于 E \ C + 是开集，故存在邻域 U ( Y ¯ ， ρ 0 ) 使得 U ( Y ¯ ， ρ 0 ) ⊂ E \ C + . 这与 y ¯ n → y ¯ ， y ¯ ∈ E 和 y ¯ n ∈ C + 矛盾。因此 y ¯ ∈ C + 。根据引理2.8和特征值理论，可得 μ ¯ = λ 1 ( a ) λ ， (3.16) 因此， C + 连接 ( λ 1 ( a ) λ ， 0 ) 和 ( λ 1 ( b ) λ ， ∞ ) 。 第二步：我们需证存在常数M，使得对任意的n，有 μ n ∈ ( 0 ， M ] 对 ( μ n ， y n ) ∈ C + ，一方面，根据引理2.4可得 y n ( t ) = λ μ n ∫ 0 1 G ( t ， s ) f ( s ， y n ( s ) ， y n ′ ( s ) ) d s ≤ λ μ n ∫ 0 1 G ( t ， s ) f ( s ， y n ( s ) ， y n ′ ( s ) ) y n ( s ) d s ‖ y n ‖ ≤ λ μ n ∫ 0 1 1 + α 1 − α η s ( 1 − s ) f ( s ， y n ( s ) ， y n ′ ( s ) ) y n ( s ) d s ‖ y n ‖ 所以 μ n ≥ ( λ ∫ 0 1 1 + α 1 − α η s ( 1 − s ) f ( s ， y n ( s ) ， y n ′ ( s ) ) y n ( s ) d s ) − 1 . (3.17) y n ′ ( t ) = λ μ n ∫ 0 1 ∂ G ∂ t ( t ， s ) f ( s ， y n ( s ) ， y n ′ ( s ) ) d s ≤ λ μ n ∫ 0 1 ∂ G ∂ t ( t ， s ) f ( s ， y n ( s ) ， y n ′ ( s ) ) y n ( s ) d s ‖ y n ‖ ≤ λ μ n ∫ 0 1 1 − s 1 − α η f ( s ， y n ( s ) ， y n ′ ( s ) ) y n ( s ) d s ‖ y n ‖ ， 所以 μ n ≥ ( λ ∫ 0 1 1 − s 1 − α η f ( s ， y n ( s ) ， y n ′ ( s ) ) y n ( s ) d s ) − 1 . (3.18) 另一方面，结合引理2.5，有 y n ( t ) = λ μ n ∫ 0 1 G ( t ， s ) f ( s ， y n ( s ) ， y n ′ ( s ) ) d s ≥ λ μ n ∫ 0 1 κ 0 1 + α 1 − α η s ( 1 − s ) f ( s ， y n ( s ) ， y n ′ ( s ) ) y n ( s ) d s ‖ y n ‖ ， 进一步可得 μ n ≤ ( λ ∫ 0 1 κ 0 1 + α 1 − α η s ( 1 − s ) f ( s ， y n ( s ) ， y n ′ ( s ) ) y n ( s ) d s ) − 1 : = M 2 ， (3.19) 其中 0 < κ 0 = η 2 2 α 2 ( 1 + α ) min { α − 1 ， 1 } < 1 。 y n ′ ( t ) = λ μ n ∫ 0 1 ∂ G ∂ t ( t ， s ) f ( s ， y n ( s ) ， y n ′ ( s ) ) d s ≥ λ μ n ∫ 0 1 ( 1 − s ) η 1 − α η f ( s ， y n ( s ) ， y n ′ ( s ) ) y n ( s ) d s ‖ y n ‖ ， 进一步可得 μ n ≤ ( λ ∫ 0 1 ( 1 − s ) η 1 − α η f ( s ， y n ( s ) ， y n ′ ( s ) ) y n ( s ) d s ) − 1 : = M 3 ， (3.20) 记 M = max { M 2 ， M 3 } . 所以存在常数 M > 0 ，使得 | μ n | ≤ M ，结论得证。 情形2： λ 1 ( b ) λ < 1 < λ 1 ( a ) λ ；这种情形下， 若存在 ( μ n ， y n ) ∈ C + ，使得 lim n → ∞ ( μ n + ‖ y n ‖ ) = ∞ 且 lim n → ∞ μ n = ∞ . 则有 ( λ 1 ( b ) λ ， λ 1 ( a ) λ ) ⊆ { λ ∈ ( 0 ， ∞ ) | ( λ ， u ) ∈ C + } ， 进一步，有 ( { 1 } × E ) ∩ C + ≠ ∅ 。 假设存在常数 M > 0 ，使得对任意的 n ∈ N ，有 μ n ∈ ( 0 ， M ] . 与情形1第一步证明方法类似，可得 ( μ n ， y n ) → ( λ 1 ( a ) λ ， 0 ) ，               n → ∞ . 因此 C + 连接 ( λ 1 ( b ) λ ， ∞ ) 和 ( λ 1 ( a ) λ ， 0 ) ，结论得证。