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user: 3. SEIR模型 具有非线性传染率的SEIR模型描述如下： S ′ = − λ I p S q + b − μ S E ′ = λ I p S q − ( ε + μ ) E I ′ = ε E − ( γ + μ ) I R ′ = γ I − μ R (2) 其中参数 p ， q ， ε ， μ ， λ ， γ ， b 为正数，总人口N分为以下几类：易感者类，潜伏者类，染病者类和移除者类，分别用字母S，E，I和R表示，即 N = S + E + I + R 。非负常数 μ 表示死亡率，b为出生率(假设出生率与死亡率相等)， ε 表示潜伏者类到染病者类的转化率， γ 为康复率。 当 p = 1 时，参数 σ = λ ε ( ε + μ ) ( γ + μ ) 表示接触数。 定理 2 [ 4 ] 如果 0 < p < 1 或 p = 1 且 σ > 1 ，地方病平衡点在区域T内是全局渐近稳定的。( T = { ( S ， E ， I ) : 0 ≤ S ， E ， I ≤ 1 ， S + E + I ≤ 1 } ) 当 p > 1 时，令 p = 2 ， q = 1 ， τ = ( γ + μ ) t ， α = μ γ + μ ， β = ε γ + μ ， a = λ γ + μ 系统(2)可化为 S ′ = − a I 2 S + α − α S E ′ = a I 2 S − ( α + β ) E I ′ = β E − I (3) 定理3如果 p = 2 ， q = 1 且 σ ¯ = a α β 2 4 ( α + β ) 2 < 1 ，t则只有唯一疾病消除平衡点 P 0 ( 1 ， 0 ， 0 ) 且在区域T内全局渐近稳定( T = { ( S ， E ， I ) : 0 ≤ S ， E ， I ≤ 1 ， S + E + I ≤ 1 } )。 证明：构造Lyapunov函数如下 V ( S ， E ， I ) = ( S − S ∗ − S ∗ ln S S ∗ ) + α + β β I ( 1 + 1 p − 1 ( I ∗ I ) p ) + ( E − E ∗ ln E ) 则 V ( S ， E ， I ) = ( S − S ∗ − S ∗ ln S S ∗ ) + α + β β I + E 满足 V ( S ∗ ， E ∗ ， I ∗ ) = 0 当 S ， E ， I > 0 时， ( S ∗ ， E ∗ ， I ∗ ) = ( 1 ， 0 ， 0 ) 通过计算可得 ∂ V ∂ S = 1 − 1 S ， ∂ V ∂ E = 1 ， ∂ V ∂ I = α + β β 以及 V ′ = ( 1 − 1 S ) ( − a I 2 S + α − α S ) + [ a I 2 S − ( α + β ) E ] + α + β β ( β E − I ) = a I 2 − α + β β I + α ( 1 − S ) ( 1 − 1 S ) ≤ 0 可得 ( 1 − S ) ( 1 − 1 S ) ≤ 0 仅当 S = 1 时； 令 R 0 = λ ε ( γ + μ ) ( ε + μ ) = a β α + β ， f ( I ) = a I 2 − α + β β I ，可得当 I ∈ ( 0 ， 1 R 0 ) 时， R 0 < 1 且 f ( I ) = a I 2 − α + β β I < 0 。 由渐近稳定定理可得，疾病消除平衡点 P 0 ( 1 ， 0 ， 0 ) 在区域T内全局稳定。 定理4如果 σ ¯ = a α β 2 4 ( α + β ) 2 = 1 ，系统产生周期轨道。 定理5系统(3)的非常数周期解的轨迹，如果存在，则必为渐近相轨道渐近稳定。 证. 系统(2)的解 ( S ( t ) ， E ( t ) ， I ( t ) ) 的线性系统为 X ′ = − ( a I 2 + 2 α + β ) X + 2 a I S ( Y + Z ) Y ′ = β X − ( a I 2 + α + 1 ) Y Z ′ = a I 2 Y − ( α + β + 1 ) Z (4) 想要讨论系统(4)的稳定性，需要构造下列函数 V ( X ， Y ， Z ; S ， E ， I ) = sup { | X | ， E I ( | Y | + | Z | ) } 假定解 ( S ( t ) ， E ( t ) ， I ( t ) ) 具有最小周期 ω > 0 ，轨道 γ 与T的边界始终有正数的距离，那么会存在常数c使得 V ( X ， Y ， Z ; S ， E ， I ) ≥ c sup { | X | ， | Y | ， | Z | } 对 ( X ， Y ， Z ) ∈ R + 3 和 ( S ， E ， I ) ∈ γ 。 通过计算可得 V ( t ) 的右导数 D + | X ( t ) | ≤ − ( a I 2 + 2 α + β ) | X | + 2 a I S ( | Y | + | Z | ) = − ( a I 2 + 2 α + β ) | X | + 2 a I 2 S E { E I ( | Y | + | Z | ) } (5) 和 D + | Y ( t ) | ≤ β | X | − ( a I 2 + α + 1 ) | Y | ， D + | Z ( t ) | ≤ a I 2 | Y | − ( α + β + 1 ) | Z | ， 这样便有 D + E I ( | Y | + | Z | ) = ( E ′ I − I ′ E ) E I ( | Y | + | Z | ) + E I D + ( | Y | + | Z | ) ≤ ( E ′ E − I ′ I ) E I ( | Y | + | Z | ) + E I ( β | X | − ( α + 1 ) | Y | + ( α + β + 1 ) | Z | ) ≤ β E I | X | + ( E ′ E − I ′ I − α − 1 ) E I ( | Y | + | Z | ) (6) 联立(5) (6)可得 D + V ( t ) ≤ sup { g 1 ( t ) ， g 2 ( t ) } V ( t ) 其中 g 1 ( t ) = − ( a I 2 + 2 α + β ) + 2 a I 2 S E ， g 2 ( t ) = β E I + E ′ E − I ′ I − α − 1 结合(3)，会有 I ′ I + 1 = β E I ， E ′ E + α + β = a I 2 S E 便可得到 D + V ( t ) ≤ sup { E ′ E − α ， 2 E ′ E + β − a I 2 } V ( t ) 因为 ( S ( 0 ) ， E ( 0 ) ， I ( 0 ) ) ∈ T 0 ，则存在 β ，a使得 β − a I 2 < 0 以及 ∫ 0 ω sup { g 1 ( t ) ， g 2 ( t ) } d t < 0 即揭示了 V ( t ) → 0 当 t → ∞ 时，进而得到 ( X ( t ) ， Y ( t ) ， Z ( t ) ) → 0 当 t → ∞ 事。因此，系统(4)渐近稳定，周期解 ( S ( t ) ， E ( t ) ， I ( t ) ) 以渐近相轨道渐近稳定。 定理6如果 σ ¯ = a α β 2 4 ( α + β ) 2 > 1 ，系统(2.1)会产生hopf分支为稳定开关想象。