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user: 4. 模型的建立与求解 4.1. 问题一的分析与建模 由于建立低保制度是以地方人民政府为主，实行属地管理，低保标准要由县以上各级地方政府自行制定和公布执行。因此，就必须考虑各地的物价情况及政府的财政状况 [ 1 ] 。基于以上考虑，选择如下的“低保标准”指标：1) 地区生产总值；2) 人均消费支出；3) 一般公共预算社会保障和就业支出；4) 居民消费价格指数；5) 商品零售价格指数；6) 政府财政收入。 我们希望在这六项指标中，寻找出影响“低保标准”的主要指标和次要指标。 4.1.1. 模型一的建立及求解 由于影响因素较多，想要通过某种方式计算不同指标的权重，根据权重选择出主要因素和次要因素。 在确定各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，常常不为人所接受，运用Saaty等人提出的：一致矩阵法 [ 2 ] ，其特点是：不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较，并采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。成对比较矩阵中的 a i j 用Saaty的1~9标度方法给出。 C 1 ， C 2 ， C 3 ， C 4 ， C 5 ， C 6 依次表示：地区生产总值、人均消费支出、一般公共预算社会保障和就业支出、居民消费价格指数、商品零售价格指数、政府财政收入。所构造的成对比较矩阵如下： A = [ 1 1 / 5 1 / 2 2 2 1 / 3 5 1 3 6 6 2 2 1 / 3 1 3 3 1 / 2 1 / 2 1 / 6 1 / 3 1 1 1 / 4 1 / 2 1 / 6 1 / 3 1 1 1 / 4 3 1 / 2 2 4 4 1 ] 利用MATLAB对模型进行编程和求解，得到地区生产总值、人均消费支出、一般公共预算社会保障和就业支出、居民消费价格指数、商品零售价格指数、政府财政收入的权重为0.0906，0.4060，0.1519，0.0552，0.0552，0.2412。 成对比较矩阵的一致性指标CI = 0.0115，一致性比率CR = 0.0092 < 0.1。因此，此矩阵的一致性可以接受。 由此可见，人均消费支出、政府财政收入的权重较大，我们将其选为主要指标。 4.1.2. 模型一的评价与改进 在构造成对比较矩阵是，标度虽有统一标准，但标度的选择仍然具有较大的主观性，而且城市和农村的消费水平、生活方式、生活来源存在较大差异，该模型并未体现出农村与城市的区别之处，因此所求出的权重仅能大概反映出指标的重要程度。我们希望能够运用大量的客观数据，通过一定方式求解出各个指标的权重。 4.1.3. 模型二的建立及求解 我们通过查阅中华人民共和国民政部官网和《中国统计年鉴2017》 [ 3 ] ，获取了全国31个省份(包括直辖市)的农村和城市低保标准及其各项指标，由于指标个数较多，且他们之间可能存在着一定的相关关系，我们通过主成分分析进行降维处理，选出主要指标的次要指标。我们所整理数据如表1至表6所示： 我们利用SPSS实现了主成分分析，并获得了如下结果： Table 1 Urban subsistence allowance standards and indicator 地区 年低保标准 (元) 地区生产总值 (亿元) 城市居民人均 消费支出(元) 公共预算社会保障 就业支出(亿元) 分地区居民 消费价格指数 商品零售 价格指数 财政收入 (亿元) 北京 9600.0 25，669.1 38，255.5 6406.8 101.4 98.1 5081.3 天津 9135.0 17，885.4 28，344.6 3699.4 102.1 100.5 2723.5 河北 5846.0 32，070.5 19，105.9 6049.5 101.5 101.1 2849.9 山西 5157.1 13，050.4 16，992.8 3428.9 101.1 100.5 1557.0 内蒙古 6379.1 18，128.1 22，744.5 4512.7 101.2 100.6 2016.4 辽宁 6071.6 22，246.9 24，995.9 4577.5 101.5 101.0 2200.5 吉林 5015.9 14，776.8 19，166.4 3586.1 101.5 101.4 1263.8 黑龙江 6251.4 15，386.1 18，145.2 4227.3 101.2 101.1 1148.4 上海 10，290.0 28，178.7 39，856.8 6918.9 103.2 100.8 6406.1 江苏 7116.8 77，388.3 26，432.9 9982.0 102.4 100.7 8121.2 浙江 7942.3 47，251.4 30，067.7 6974.3 102.0 101.0 5302.0 安徽 5759.1 24，407.6 19，606.2 5523.0 101.8 100.9 2672.8 福建 6091.2 28，810.6 25，005.5 4275.4 101.8 100.7 2654.8 江西 5764.9 18，499.0 17，695.6 4617.4 102.0 100.5 2151.5 山东 5796.4 68，024.5 21，495.3 8755.2 102.2 101.4 5860.2 河南 5035.1 40，471.8 18，087.8 7453.7 101.9 100.3 3153.5 湖北 5705.4 32，665.4 20，040.0 6423.0 102.1 100.7 3102.1 湖南 4958.2 31，551.4 21，420.0 6339.2 101.9 101.0 2697.9 广东 6561.7 80，854.9 28，613.3 13，446.1 102.4 100.8 10，390.4 广西 5081.5 18，317.6 17，268.5 4441.7 101.6 100.4 1556.3 海南 5575.4 4053.2 19，015.5 1376.5 102.9 100.8 637.5 重庆 5204.7 17，740.6 21，030.9 4001.8 101.8 101.3 2227.9 四川 4742.5 32，934.5 20，659.8 8008.9 102.0 100.8 3388.9 贵州 5878.5 11，776.7 19，201.7 4262.4 101.5 100.3 1561.3 云南 5058.0 14，788.4 18，622.4 5018.9 101.4 100.6 1812.3 西藏 7705.8 1151.4 19，440.5 1588.0 102.6 102.1 156.0 陕西 5669.7 19，399.6 19，368.9 4389.4 101.3 100.3 1834.0 甘肃 4824.5 7200.4 19，539.2 3150.0 101.2 100.8 787.0 青海 4773.6 2572.5 20，853.2 1524.8 101.8 100.2 238.5 宁夏 4727.2 3168.6 20，364.2 1254.5 101.6 100.7 387.7 新疆 4398.9 9649.7 21，228.5 4138.3 101.4 100.5 1299.0 表1. 城市低保标准及各项指标 Table 2 Rural subsistence allowance standards and indicator 地区 年低保标准 (元) 地区生产总值 (亿元) 农村居民人均 消费支出(元) 公共预算社会 保障就业支出(亿元) 分地区居民 消费价格指数 商品零售 价格指数 财政收入 (元) 北京 9600.0 25，669.1 17，329.0 6406.8 5081.3 天津 8506.1 17，885.4 15，912.1 3699.4 2723.5 河北 3223.7 32，070.5 9798.3 6049.5 101.5 101.3 2849.9 山西 2994.6 13，050.4 8028.8 3428.9 101.1 100.4 1557.0 内蒙古 4110.3 18，128.1 11，462.6 4512.7 101.1 100.4 2016.4 辽宁 3708.6 22，246.9 9953.1 4577.5 101.8 100.9 2200.5 吉林 2978.8 14，776.8 9521.4 3586.1 101.9 100.8 1263.8 黑龙江 3644.3 15，386.1 9423.8 4227.3 102.1 101.3 1148.4 上海 10，200.0 28，178.7 17，070.8 6918.9 6406.1 江苏 6204.1 77，388.3 14，428.2 9982.0 101.8 101.3 8121.2 浙江 7017.2 47，251.4 17，358.9 6974.3 101.8 101.0 5302.0 安徽 3571.4 24，407.6 10，287.3 5523.0 101.6 100.8 2672.8 福建 3765.9 28，810.6 12，910.8 4275.4 101.5 101.0 2654.8 江西 3328.6 18，499.0 9128.3 4617.4 101.9 100.8 2151.5 山东 3596.7 68，024.5 9518.9 8755.2 101.8 101.0 5860.2 河南 3015.3 40，471.8 8586.6 7453.7 102.0 100.3 3153.5 湖北 3624.6 32，665.4 10，938.3 6423.0 102.2 100.9 3102.1 湖南 2912.6 31，551.4 10，629.9 6339.2 101.9 101.1 2697.9 广东 4971.6 80，854.9 12，414.8 13，446.1 102.0 101.0 10，390.4 广西 2729.0 18，317.6 8351.2 4441.7 101.7 100.3 1556.3 海南 4146.3 4053.2 8921.2 1376.5 102.5 102.3 637.5 重庆 3125.3 17，740.6 9954.4 4001.8 2227.9 四川 2803.6 32，934.5 10，191.6 8008.9 101.7 100.9 3388.9 贵州 3029.1 11，776.7 7533.3 4262.4 101.1 100.0 1561.3 云南 2518.0 14，788.4 7330.5 5018.9 101.7 101.2 1812.3 西藏 2543.6 1151.4 6070.3 1588.0 102.5 102.2 156.0 陕西 2887.0 19，399.6 8567.7 4389.4 101.2 100.7 1834.0 甘肃 2815.8 7200.4 7487.0 3150.0 101.5 101.0 787.0 青海 2889.2 2572.5 9222.2 1524.8 101.8 101.5 238.5 宁夏 2983.2 3168.6 9138.4 1254.5 101.2 100.0 387.7 新疆 2660.2 9649.7 8277.0 4138.3 101.3 100.5 1299.0 表2. 农村低保标准及各项指标 由相关矩阵可以看出，无论是城市还是农村，都提取出了两个主成份，分别是居民人均消费支出和 Table 3 (City) correlation matri 年低保标准 地区生产总值 城市居民人 均消费支出 公共预算社会 保障就业支出 居民消费 价格指数 商品零售价格指数 财政收入 年低保标准 1 0.218 0.842 0.228 0.446 −0.232 0.477 地区生产总值 0.218 1 0.351 0.937 0.342 0.046 0.918 城市居民人均消费支出 0.842 0.351 1 0.392 0.392 −0.383 0.634 公共预算社 会保障就业支出 0.228 0.937 0.392 1 0.280 −0.066 0.924 居民消费价格指数 0.446 0.342 0.392 0.28 1 0.283 0.447 商品零售价格指数 −0.232 0.046 −0.383 −0.066 0.283 1 −0.114 财政收入 0.477 0.918 0.634 0.924 0.447 −0.114 1 表3. (城市)相关矩阵 Table 4 (City) component matri 成份 1 2 年低保标准 0.652 −0.608 地区生产总值 0.841 0.465 城市居民人均消费支出 0.764 −0.571 公共预算社会保障就业支出 0.848 0.393 分地区居民消费价格指数 0.556 0.072 商品零售价格指数 −0.153 0.661 财政收入 0.967 0.175 提取方法：主成份。 a 已提取了2个成份。 表4. (城市)成份矩阵 a Table 5 (Rural) correlation matri 年低保标准 地区生产总值 城市居民人均 消费支出 公共预算社会 保障就业支出 居民消费 价格指数 商品零售 价格指数 财政收入 年低保标准 1 0.303 0.890 0.501 0.164 0.165 0.683 地区生产总值 0.303 1 0.489 0.650 −0.050 −0.282 0.519 城市居民人均消费支出 0.890 0.489 1 0.535 0.044 0.028 0.656 公共预算社会保障就业支出 0.501 0.650 0.535 1 0.110 −0.093 0.945 居民消费价格指数 0.164 −0.050 0.044 0.110 1 0.732 0.130 商品零售价格指数 0.165 −0.282 −0.028 −0.093 0.732 1 0.007 财政收入 0.683 0.519 0.656 0.945 0.130 0.007 1 表5. (农村)相关矩阵 Table 6 (Rural) component matri 成份 1 2 年低保标准 0.821 0.211 地区生产总值 0.681 −0.350 农村居民人均消费支出 0.855 0.035 公共预算社会保障就业支出 0.876 −0.105 分地区居民消费价格指数 0.140 0.877 商品零售价格指数 −0.002 0.942 财政收入 0.924 0.007 提取方法：主成份。 a 已提取了2个成份。 表6. (农村)成份矩阵 a 财政收入，和一致矩阵法一致。因此，选定居民人均消费支出和财政收入作为主要的计算“低保标准”的指标。 4.2. 问题二的分析与建模 据题目要求，选定吉林省为研究地区，收集了该地区连续9年的年平均低保标准 [ 4 ] ，通过研究2008年到2016年的数据建立数学模型，给出该地区“低保标准”的模型。因问题一的研究确定和“低保标准”影响较大的指标为城市居民人均消费支出和财政收入，所以设定本题研究的两个变量为 x 1 t 居民人均消费支出和 x 2 t 该地区财政收入，由于城市和农村的“低保标准”差异性较大，所以该题依然分开研究。 4.2.1. 城市“低保标准”数学模型建立与求解 表7的数据是以时间为序的，由于城市居民人均消费支出和该地区的财政收入等变量与时间有一定的联系，同一变量的不同时间的值之间会出现相关性。该题不再采用用普通的回归模型，考虑自相关性，建立新的回归模型。 Table 7 Urban subsistence allowance standard of Jilin province， per capita consumption expenditure of urban residents and fiscal revenue data of this regio 年份序号 年份 年低保标准/千元 城市居民人均消费支出/千元 财政收入/千亿元 1 2008 1.8002 9.7291 0.4228 2 2009 2.0123 10.9144 0.4871 3 2010 2.5815 11.6791 0.6024 4 2011 2.5627 13.0106 0.8501 5 2012 3.3659 14.6135 1.0143 6 2013 3.7151 15.9407 1.1570 7 2014 4.1459 17.1561 1.2034 8 2015 4.5630 17.9726 1.2294 9 2016 5.0159 19.1664 1.2638 表7. 吉林省城市年低保标准与城市居民人均消费支出及该地区财政收入数据 将2008年到2016年分别编号为1~9，计该地区第t年的年低保标准为 y t ，城市居民人均消费支出为 x 1 t ，财政收入为 x 2 t ， t = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。 随着城市居民人均消费支出的增加，年低保标准增大，两者存在线性关系，财政收入与年低保标准的关系类似，因此建立多元线性回归模型： y t = β 0 + β 1 x 1 t + β 2 x 2 t + ε t (1) 根据表7的数据，对模型(1)利用MATLAB求解，得到的回归系数估计值及其置信区间(置信水平 α = 0.05 )、检验统计量 R 2 ，F，p， s 2 的结果见表8。 代入(1)得到： Table 8 Calculation results of model (1 参数 参数估计值 参数置信区间 β 0 −2.1448 [−3.0806， −1.2090] β 1 0.4445 [0.2889， 0.6001] β 2 −1.0692 [−2.6150， 0.4766] R 2 = 0.9895 ， F = 283.7485 ， p < 0.0000 ， s 2 = 0.0181 表8. 模型(1)的计算结果 y ^ t = − 2.1448 + 0.4445 x 1 t − 1.0692 x 2 t (2) 残差 e t = y t − y ^ t 见表9。 Table 9 Residual of model (2 t 1 2 3 4 5 e t −0.8316 −1.2151 −1.1092 −1.9847 −2.0695 t 6 7 8 9 e t −2.4628 −2.6218 −2.5954 −2.7100 表9. 模型(2)的残差e t 下面考虑 ε t 的自相关性，考虑如下模型： y t = β 0 + β 1 x 1 t + β 2 x 2 t + ε t ， ε t = ρ ε t − 1 + u t (3) ρ 是自相关系数， | ρ | ≤ 1 ， u t 相互独立且服从均值为零的正态分布， t = 1 ， 2 ， ⋯ ， n . 下面进行Durbin-Watson检验，根据模型(2)得到的残差计算DW统计量： D W = ∑ t = 2 n ( e t − e t − 1 ) 2 ∑ t = 2 n e t 2 (4) 化简得： D W = 2 ( 1 − ∑ t = 2 n e t e t − 1 ∑ t = 2 n e t 2 ) (5) 而 ∑ t = 2 n e t e t − 1 ∑ t = 2 n e t 2 是自相关系数 ρ 的估计值 ρ ^ ，所以： D W ≈ 2 ( 1 − ρ ^ ) (6) 经计算得到 D W = 0.205 ，查DW分布表知检验结果存在自相关，采用模型(3)，计算得： ρ ^ = 1 − D W 2 = 0.8975 (7) 做变换： y t * = y t − ρ y t ， x i t * = x i t − ρ x i ， t − 1 ， t = 1 ， 2 (8) 模型(3)化为： y t * = β 0 * + β 1 * x 1 t * + β 2 * x 2 t * + u t ， β 0 * = β 0 ( 1 − ρ ) (9) 比较 d u 和 d l 之后可以认为随机误差存在自相关，将(7)的值代入(8)做变换，得到变换后的 x 1 t * ， x 2 t * ， y t * 数据如表10。 利用表10估计模型(9)的参数，得到的结果见表11。 将模型(9)中的 x 1 t * ， x 2 t * ， y t * 还原为原始变量 x 1 t ， x 2 t ， y t 得到的结果为： y ^ t = − 0.0102 + 0.8975 y t − 1 + + 0.3932 x 1 t − 0.3528 x 1 ， t − 1 − 1.5132 x 2 t + 1.3581 x 2 ， t − 1 (10) 结果预测与分析，将模型(10)，模型(2)的计算值 y ^ t 与实际数据 y t 比较，见表12，可以发现模型(10)在偏差内更适合求解城市低保标准。 Table 1 0 The data after transformatio t 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1 t * 2.1850 1.8862 2.5315 2.9397 2.8287 2.8533 2.5793 3.0405 x 2 t * 0.1077 0.1654 0.3096 0.2515 0.2469 0.1653 0.1496 0.1607 y t * 0.397092 0.775937 0.246409 1.066503 0.695061 0.812593 0.843085 0.921701 表10. 变换后的数据 Table 1 1 Parameter estimation of model (9 参数 参数估计值 参数置信区间 β 0 * −0.0102 [−1.7040， 1.6837] β 1 * 0.3932 [−0.2786， 1.0649] β 2 * −1.5132 [−5.4969， 2.4705] R 2 = 0.3373 ， F = 1.2727 ， p < 0.3575 ， s 2 = 0.0685 表11. 模型(9)的参数估计 Table 1 2 Calculation values of model (10) and model (2 t y t (实际数据) y ^ t (模型(2)) y ^ t (模型(10)) 1 1.8002 2.6318 2 2.0123 3.2274 2.3008 3 2.5815 3.6907 2.2864 4 2.5627 4.5473 2.8327 5 3.3659 5.4353 3.0642 6 3.7151 6.1779 3.7482 7 4.1459 6.7677 4.1947 8 4.5630 7.1584 4.4973 9 5.0159 7.7259 5.0361 表12. 模型(10)、模型(2)的计算值 y ^ t 4.2.2. 农村问题的建模与求解 对于农村问题的研究，初步和城市问题建立相似的模型来研究，农村的变量是否有自相关性由数据来判断。如表13是吉林省农村年低保标准与城市居民人均消费支出及该地区财政收入数据 [ 4 ] ： 将2008年到2016年分别编号为1~9，记该地区第t年的年低保标准为 y t ，城市居民人均消费支出为 x 1 t ，财政收入为 x 2 t ， t = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ( = 20 ) 。 建立多元线性回归模型： y t = β 0 + β 1 x 1 t + β 2 x 2 t + ε t (11) 根据表13的数据，对模型(1)利用MATLAB求解，得到的回归系数估计值及其置信区间(置信水平 α = 0.05 )、检验统计量 R 2 ，F，p， s 2 的结果见表14。 将参数估值代入(11)得到： y ^ t = − 0.4637 + 0.3667 x 1 t − 0.1466 x 2 t (12) 残差 e t = y t − y ^ t 作为随机误差 ε t 的估计值，判断 ε t 的自相关性，模型(12)的残差如表15。 为研究对 ε t 的自相关性，考虑如下模型： Table 1 3 The annual subsistence allowance standard of rural areas in Jilin province， the per capita consumption expenditure of rural residents and the fiscal revenue data of this regio 年份 序号 年份 年低保标准/千元 农村居民人均消费支出/千元 财政收入/千亿元 1 2008 0.5438 3.4432 0.4228 2 2009 0.8133 3.9029 0.4871 3 2010 1.2961 4.1474 0.6024 4 2011 1.4291 5.3058 0.8501 5 2012 1.6655 6.1862 1.0143 6 2013 1.9340 7.3797 1.1570 7 2014 2.2514 8.1398 1.2034 8 2015 2.5403 8.7833 1.2294 9 2016 2.9788 9.5214 1.2638 表13. 吉林省农村年低保标准与农村居民人均消费支出及该地区财政收入数据 Table 1 4 Calculation results of model (11 参数 参数估计值 参数置信区间 β 0 −0.4637 [−0.9356， 0.0083] β 1 0.3667 [0.0827， 0.6506] β 2 −0.1466 [−2.0552， 1.7621] R 2 = 0.9596 ， F = 71.2453 ， p < 0.0001 ， s 2 = 0.0341 表14. 模型(11)的计算结果 Table 1 5 Residual of model (12 t 1 2 3 4 5 e t −0.1931 −0.0827 0.3273 0.0718 0.0094 t 6 7 8 9 e t −0.1388 −0.0934 −0.0366 0.1363 表15. 模型(12)的残差 e t y t = β 0 + β 1 x 1 t + + β 2 x 2 t + ε t ， ε t = ρ ε t − 1 + u t (13) ρ 是自相关系数， | ρ | ≤ 1 ， u t 相互独立且服从均值为零的正态分布， t = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。 下面进行Durbin-Watson检验，根据模型(12)得到的残差计算DW统计量： D W = ∑ t = 2 n ( e t − e t − 1 ) 2 ∑ t = 2 n e t 2 (14) 化简得： D W = 2 ( 1 − ∑ t = 2 n e t e t − 1 ∑ t = 2 n e t 2 ) (15) 而 ∑ t = 2 n e t e t − 1 ∑ t = 2 n e t 2 是自相关系数 ρ 的估计值 ρ ^ ，因此： D W ≈ 2 ( 1 − ρ ^ ) (16) 计算得到 D W = 1.910146 ，经查DW分布表知检验结果不存在自相关，即适合农村的低保标准的模型就是简单的线性回归模型(12)。 结果预测与分析，将模型(12)的计算值 y ^ t 与实际数据 y t 比较，见表16，可以发现模型(12)在偏差内比较适合吉林省农村的低保标准。 Table 1 6 Calculated values of model (12 t y t (实际数据) y ^ t (模型(12)) 1 0.5438 0.7369 2 0.8133 0.8961 3 1.2961 0.9688 4 1.4291 1.3573 5 1.6655 1.6561 6 1.9340 2.0728 7 2.2514 2.3447 8 2.5403 2.5769 9 2.9788 2.8425 表16. 模型(12)的计算值 y ^ t 4.3. 问题三的分析与建模 通过第一题的计算，我们筛选出了计算各地“低保标准”的主要指标，第三题我们选择利用聚类分析方法 [ 1 ] ，把低保标准情况相似的情况的省份找出来，使得类别内部省份间差异尽可能的小，类别间的差异尽可能的大，即把31个省域归为若干类，从而更好的掌握全国城市低保的差异情况，来更准确地分析各省“低保标准”的相关性。 4.3.1. 问题的建模与求解 比较题目中要求分析现行各地之间的“低保标准”的相关性，我们选择我们首先选择根据只根据低保标准的数目对全国36个省份和直辖市进行比较，并用EXCEL编程做出相应热图1，图2。 由于某些省份的低保标准数目集中，我们指定的区间并不能完全展现出各省的特征，所以选择以“低保标准”、问题一求出的主要指标(“居民人均消费支出”和“公共预算支出”)以及低保标准和两者的比值，把农村和城市作为一项影响因素，重点分析各省域之间的区别，把全国省份之间的差异问题更加突出，运用聚类分析模型，对全国各省份和直辖市进行分类。 我们可以把全国31个省域划分为四个大类，见表17。 按照不同类别，把全国低保标准的热图绘制出来，见图3。 4.3.2. 结果分析 1) 类别一 类别一所属省市都是经济发达地区。城市低保平均标准和居民消费水平在全国处于领先位置，但低保标准占人均消费水平的百分比农村和城市的差距过大，可见，低保标准制定并未能与所在城市人均可支配收入同步增长，未能充分发挥低保救助工作的作用。 图1. 全国城市低保标准分布 图2. 全国农村低保标准热图 图3. 全国低保标准热图 Table 1 7 Classification of the country's 31 province 类别 地区 类别一 北京、上海、天津 类别二 浙江、广东、江苏 类别三 西藏 类别四 宁夏、湖北、安徽、福建、辽宁、海南、内蒙古、青海、四川、重庆、湖南、 河南、新疆、甘肃、吉林、黑龙江、江西、山西、陕西、广西、贵州、云南 表17. 全国31个省域的分类 2) 类别二 此类经济发达地区所属省域城市低保标准基本都与经济富裕程度相符。 3) 类别三 西藏地区人均可支配收入属于全国最后梯队，但受中央财政支撑，低保标准实施表现较突出，城市低保平均标准、支出水平相对较高。 4) 类别四 第四类地区属于经济不是特别发达的地区，财政收收入较少，而贫困人口多，因此低保平均标准较低，对于这样的经济不发达地区，中央财政就是低保制度的主要财政支柱，理应加大对低保工作的支持力度。 4.4. 问题四的分析与建模 据题目要求，利用问题的结果建立多元数学模型，使验证其适应性。由问题三可知，不论哪种模型分析的结果都与地理位置有很大的因素，所以本题把增加地理位置作为一个新的变量，增加城市或农村作为一个新的变量，建立一个统一的制定低保标准的回归模型。利用问题三聚类分析的结果作为该题区分地理位置变量的依据。该题选取2016年数据进行研究建模，用2015年数据对适应性进行验证。 4.4.1. 模型的建立与求解 定义变量，y表示低保标准， x 1 表示区域发展情况，因为聚类分布是依据各省的城市和农村的低保标准把全国化为四个类别，所以该题表示属于不同类别的具体指标是由该类别的城市和农村的低保标准求平均来近似。 x 1 = { 9.56 ，   类 别 一 ; 6.64 ，   类 别 二 ; 5.12 ，   类 别 三 ; 4.31 ，   类 别 四 .   x 2 = { 1 ， 城 市 ; 0 ， 农 村 .   x 4 = { 0 ， 城 市 ; 1 ， 农 村 . x 3 表示城市居民人均消费， x 5 表示农村居民人均消费， x 6 表示该地区财政收入。 建立回归模型： y = α 0 + α 1 x 1 + α 2 x 2 x 3 + α 3 x 4 x 5 + α 4 x 6 (17) 根据表18的数据，对模型(1)直接利用MATLAB统计工具箱求解，得到的回归系数估计值及其置信区间(置信水平 α = 0.05 )、检验统计量 R 2 ，F，p， s 2 的结果见表19。 模型(17)的参数估计见表20。 将数值代入(17)得到： y ^ = − 0.9474 + 0.6373 x 1 + 0.1710 x 2 x 3 + 0.1994 x 4 x 5 − 0.0615 x 6 (18) 结果预测与分析，将模型(17)的2016年计算值 y ^ 与实际数据 y 比较，比较数据见表21，可以发现模型(17)在偏差内比较适合各省的低保标准。 Table 1 8 Data of Beijing， Tianjin and Shangha 地区 城市年低保标准/元 农村年低保标准/元 城市低保与消费支出比值 农村低保与消费支出比值 北京 9600 9600.00 0.25 0.55 天津 9135 8506.06 0.32 0.53 上海 10，290 10，200.00 0.25 0.59 表18. 北京、天津、上海各项数据 Table 1 9 Data of 31 province 地区 城市年低保标准/ 千元 农村年低保标准/ 千元 城市居民人均消费支出/ 千元 农村居民人均消费支出/ 千元 财政收入/ 千万元 北京 9.6000 9.6000 38.2555 17.3290 5.0813 天津 9.1350 8.5061 28.3446 15.9121 2.7235 上海 10.2900 10.2000 39.8568 17.0708 6.4061 江苏 7.1168 6.2041 26.4329 14.4282 8.1212 浙江 7.9423 7.0172 30.0677 17.3589 5.3020 广东 6.5617 4.9716 28.6133 12.4148 10.3904 西藏 7.7058 2.5436 19.4405 6.0703 0.1560 海南 5.5754 4.1463 19.0155 8.9212 0.6375 内蒙古 6.3791 4.1103 22.7445 11.4626 2.0164 湖北 5.7054 3.6246 20.0400 10.9383 3.1021 宁夏 4.7272 2.9832 20.3642 9.1384 0.3877 山东 5.7964 3.5967 21.4953 9.5189 5.8602 安徽 5.7591 3.5714 19.6062 10.2873 2.6728 福建 6.0912 3.7659 25.0055 12.9108 2.6548 辽宁 6.0716 3.7086 24.9959 9.9531 2.2005 青海 4.7736 2.8892 20.8532 9.2222 0.2385 新疆 4.3989 2.6602 21.2285 8.2770 1.2990 重庆 5.2047 3.1253 21.0309 9.9544 2.2279 河南 5.0351 3.0153 18.0878 8.5866 3.1535 吉林 5.0159 2.9788 19.1664 9.5214 1.2638 四川 4.7425 2.8036 20.6598 10.1916 3.3889 湖南 4.9582 2.9126 21.4200 10.6299 2.6979 甘肃 4.8245 2.8158 19.5392 7.4870 0.7870 黑龙江 6.2514 3.6443 18.1452 9.4238 1.1484 山西 5.1571 2.9946 16.9928 8.0288 1.5570 江西 5.7649 3.3286 17.6956 9.1283 2.1515 河北 5.8460 3.2237 19.1059 9.7983 2.8499 广西 5.0815 2.7290 17.2685 8.3512 1.5563 贵州 5.8785 3.0291 19.2017 7.5333 1.5613 陕西 5.6697 2.8870 19.3689 8.5677 1.8340 云南 5.0580 2.5180 18.6224 7.3305 1.8123 表19. 全国31个省域各项数据 Table 2 0 Calculation results of model (17 参数 参数估计值 参数置信区间 α 0 −0.9474 [−1.7745， −0.1204] α 1 0.6373 [0.4021， 0.8725] α 2 0.1710 [0.1003， 0.2416] α 3 0.1994 [0.0511， 0.3476] α 4 −0.0615 [−0.1731， 0.0500] R 2 = 0.8644 ， F = 90857 ， p < 0.0000 ， s 2 = 0.6030 表20. 模型(17)的计算结果 Table 2 1 The true， predicted and residual values of the subsistence allowance standard in 201 城市低保标准 农村低保标准 地区 2016实际值/千元 2016预测值/千元 2016残差 2016实际值/千元 2016预测值/千元 2016残差 北京 9.6000 11.3713 −1.7713 9.6000 8.2850 1.3150 天津 9.1350 9.8246 −0.6896 8.5061 8.1506 0.3555 上海 10.2900 11.5667 −1.2767 10.2000 8.1551 2.0449 江苏 7.1168 7.3020 −0.1853 6.2041 5.6590 0.5451 浙江 7.9423 8.0998 −0.1575 7.0172 6.4196 0.5976 广东 6.5617 7.5381 −0.9764 4.9716 5.1208 −0.1492 西藏 7.7058 5.6333 2.0725 2.5436 3.5194 −0.9758 海南 5.5754 5.0111 0.5642 4.1463 3.5383 0.6079 内蒙古 6.3791 5.5647 0.8144 4.1103 3.9610 0.1493 湖北 5.7054 5.0354 0.6700 3.6246 3.7897 −0.1651 宁夏 4.7272 5.2578 −0.5306 2.9832 3.5977 −0.6146 山东 5.7964 5.1147 0.6817 3.5967 3.3370 0.2597 安徽 5.7591 4.9877 0.7715 3.5714 3.6863 −0.1149 福建 6.0912 5.9120 0.1792 3.7659 4.2105 −0.4446 辽宁 6.0716 5.9383 0.1333 3.7086 3.6487 0.0599 青海 4.7736 5.3506 −0.5770 2.8892 3.6236 −0.7344 新疆 4.3989 5.3496 −0.9507 2.6602 3.3699 −0.7097 重庆 5.2047 5.2586 −0.0540 3.1253 3.6472 −0.5219 河南 5.0351 4.6984 0.3366 3.0153 3.3176 −0.3023 吉林 5.0159 4.9991 0.0168 2.9788 3.6202 −0.6414 四川 4.7425 5.1238 −0.3813 2.8036 3.6231 −0.8195 湖南 4.9582 5.2963 −0.3380 2.9126 3.7531 −0.8405 甘肃 4.8245 5.0922 −0.2677 2.8158 3.2439 −0.4281 黑龙江 6.2514 4.8316 1.4198 3.6443 3.6078 0.0365 山西 5.1571 4.6094 0.5477 2.9946 3.3045 −0.3100 江西 5.7649 4.6930 1.0719 3.3286 3.4872 −0.1586 河北 5.8460 4.8912 0.9548 3.2237 3.5779 −0.3542 广西 5.0815 4.6566 0.4249 2.7290 3.3689 −0.6399 贵州 5.8785 4.9868 0.8916 3.0291 3.2055 −0.1764 陕西 5.6697 4.9987 0.6710 2.8870 3.3950 −0.5080 云南 5.0580 4.8723 0.1856 2.5180 3.1496 −0.6316 表21. 2016年低保标准的实际值、预测值和残差 4.4.2. 模型的适应性验证 利用模型(17)分析2015年数据，得到结果如表22，发现全国各省的低保标准在一定误差范围内可以使用模型(17)。 Table 2 2 The true， predicted and residual values of the subsistence allowance standard in 201 城市低保标准 农村低保标准 地区 2015实际值/千元 2015预测值/千元 2015残差 2015实际值/千元 2015预测值/千元 2015残差 北京 8.50875 11.4079 −2.89915 8.48488 7.846756 0.638124 天津 8.265 9.630433 −1.36543 7.11485 7.635913 −0.52106 上海 9.24 11.46297 −2.22297 8.94 7.740618 1.199382 江苏 6.70032 7.550658 −0.85034 6.01967 5.426817 0.592853 浙江 7.25001 8.185354 −0.93534 6.46947 5.83725 0.63222 广东 5.94156 7.674372 −1.73281 4.71015 5.066469 −0.35632 西藏 6.94821 5.229316 1.718894 3.48125 3.136413 0.344837 海南 4.93851 4.953345 −0.01483 4.00029 2.763032 1.237258 内蒙古 6.03495 5.540245 0.494706 4.3925 3.436473 0.956027 湖北 5.23509 4.910417 0.324673 3.57817 3.005786 0.572384 宁夏 4.11366 5.04561 −0.93195 2.91281 2.621421 0.291389 山东 5.55981 5.194363 0.365447 3.76684 2.858051 0.908789 安徽 5.39148 4.746292 0.645189 3.66421 2.626262 1.037948 福建 5.30148 5.821317 −0.51984 3.71098 3.781698 −0.07072 辽宁 5.6883 5.485559 0.202741 3.98685 3.160763 0.826087 青海 4.37778 5.082666 −0.70489 2.90694 3.168348 −0.26141 新疆 4.10247 5.119277 −1.01681 2.65257 3.020362 −0.36779 重庆 4.61328 5.175296 −0.56202 3.21293 3.165046 0.047884 河南 4.18746 4.732748 −0.54529 2.59156 2.707742 −0.11618 吉林 4.56303 4.872678 −0.30965 3.06321 3.139999 −0.07679 四川 4.24164 5.095696 −0.85406 2.78887 3.102529 −0.31366 湖南 4.27827 5.134102 −0.85583 2.87274 3.222903 −0.35016 甘肃 4.41681 4.783467 −0.36666 3.00094 2.909387 0.091553 黑龙江 5.73825 4.732372 1.005878 3.90603 3.146883 0.759147 山西 4.83975 4.504344 0.335406 3.19367 2.946964 0.246706 江西 5.41818 4.660501 0.757679 3.57248 2.960715 0.611765 河北 5.24874 4.806672 0.442068 3.26915 3.190449 0.078701 广西 4.3275 4.590288 −0.26279 2.76093 2.784698 −0.02377 贵州 5.15049 4.691691 0.458799 3.11221 2.690905 0.421305 陕西 5.04849 4.95669 0.0918 3.12543 3.04464 0.08079 云南 4.59555 4.821788 −0.22624 2.85295 2.769753 0.083197 表22. 2015年低保标准的实际值、预测值和残差