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user: 3. 分支性质 本部分利用范数定理和中心流行定理 [ 29 ] ，讨论关于 τ 1 的Hopf分支性质，其中 τ 2 ∈ [ 0 ，   τ 20 ) 。假设在 τ 2 ∗ ∈ [ 0 ，   τ 20 ) 条件下有 τ 2 ∗ < τ 10 ∗ ，由前面的章节得知当 τ = τ 10 ∗ 时系统(2)在正平衡点 E * = ( D * ， P * ， Z * ) 处存在一个Hopf分支。 假设 τ 1 = μ + τ 10 ∗ ，则 μ = 0 是系统(2)的Hopf分支值。令 u 1 ( t ) = D ( t ) − D * ， u 2 ( t ) = P ( t ) − P * ， u 3 ( t ) = Z ( t ) − Z * ，并重新设置时滞为 t → ( t / τ 1 ) ，将系统(2)重新写为 u ˙ ( t ) = L μ u t + F ( μ ， u t ) ， (36) 其中： L μ ϕ = ( τ 10 ∗ + μ ) ( A ϕ ( 0 ) + B ϕ ( − 1 ) + C ϕ ( − τ 2 ∗ τ 10 ∗ ) ) ， F ( μ ， ϕ ) = ( τ 10 ∗ + μ ) ( F 1 ， F 2 ， F 3 ) T . ϕ ( θ ) = ( ϕ 1 ( θ ) ， ϕ 2 ( θ ) ， ϕ 3 ( θ ) ) T ∈ C ( [ − 1 ， 0 ] ， R 3 ) ， A = ( a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 0 ) ，   B = ( 0 0 0 a 21 0 0 0 0 0 ) ，   C = ( 0 0 0 0 0 0 0 a 32 0 ) ， F 1 = 0 ， F 2 = ( − a β ( a + P * ) 2 ) ϕ 2 ( 0 ) ϕ 3 ( 0 ) + a β Z * ( a + P * ) 3 ϕ 2 2 ( 0 ) − a β Z * ( a + P * ) 4 ϕ 2 3 ( 0 ) + ⋯ ， F 3 = a β 1 ( a + P * ) 2 ϕ 2 ( − τ 2 ∗ τ 10 ∗ ) ϕ 3 ( 0 ) − a β 1 Z * ( a + P * ) 3 ϕ 2 2 ( − τ 2 ∗ τ 10 ∗ ) + a β 1 Z * ( a + P * ) 4 ϕ 2 3 ( − τ 2 ∗ τ 10 ∗ ) + ⋯ . 根据Riesz表示定理，对一个有界变量存在一个 3 × 3 的矩阵方程 η ( θ ， μ ) : [ − 1 ， 0 ] → R 3 2 ，其中 θ ∈ [ − 1 ， 0 ] ，则有 L μ ϕ = ∫ − 1 0 d η ( θ ， μ ) ϕ ( θ ) ，     ϕ ∈ C ( [ − 1 ， 0 ] ， R 3 ) . 选择 ν ( θ ) = { ( τ 10 * + μ ) ( A + B + C ) ，       θ = 0 ， ( τ 10 * + μ ) ( B + C ) ，                   θ ∈ [ − τ 2 ∗ τ 10 * ，   0 ) ， ( τ 10 * + μ ) B ，                                   θ ∈ ( − 1 ，   − τ 2 ∗ τ 10 * ) ， 0 ，                                                               θ = − 1. 对 ϕ ∈ C ( [ − 1 ， 0 ] ， R 3 ) ，定义 Γ ( μ ) ϕ = { d ϕ ( θ ) d θ ，                                           θ ∈ [ − 1 ， 0 ) ， ∫ − 1 0 d η ( θ ， μ ) ϕ ( θ ) ，             θ = 0 ， R ( μ ) ϕ = { 0 ，                                                               θ ∈ [ − 1 ， 0 ) ， F ( μ ， ϕ ) ，                                       θ = 0. 因此，系统(36)可以重新写为 u ˙ t = Γ ( μ ) u t + R ( μ ) u t ， (37) 其中 u t = u ( t + θ ) = ( u 1 ( t + θ ) ， u 2 ( t + θ ) ， u 3 ( t + θ ) ) ， θ ∈ [ − 1 ， 0 ] 。 对 φ ∈ C 1 ( [ 0 ， 1 ] ， ( R 3 ) * ) ，定义 Γ 的耦合算子 Γ * 如下： Γ * ( φ ) = { − d φ ( s ) d s ，                                   s ∈ ( 0 ， 1 ] ， ∫ − 1 0 d η T ( s ， 0 ) φ ( − s ) ，     s = 0 ， 一个线性内积定义如下： 〈 φ ( s ) ， ϕ ( θ ) 〉 = φ ¯ ( 0 ) ϕ ( 0 ) − ∫ θ = − 1 0 ∫ ξ = 0 θ φ ¯ ( ξ − θ ) d η ( θ ) ϕ ( ξ ) d ξ (38) 其中： η ( θ ) = η ( θ ， 0 ) 。 由前面的研究得知 ± i ω 1 * τ 10 * 是 Γ ( 0 ) 的特征值，则 ± i ω 1 * τ 10 * 同样是 Γ * ( 0 ) 的特征值。 假设 q ( θ ) = ( 1 ， q 2 ， q 3 ) T e i ω 1 * τ 10 * θ 是 Γ ( 0 ) 关于特征值 i ω 1 * τ 10 * 的特征向量，同样假设 q * ( s ) = D ( 1 ， q 2 * ， q 3 * ) e i ω 1 * τ 10 * s 是 Γ * ( 0 ) 关于特征值 − i ω 1 * τ 10 * 的特征向量。通过计算可以得到： q 2 = − ω 1 * 2 − a 11 i ω 1 * a 12 i ω 1 * + a 13 a 32 e − i ω 1 * τ 2 ∗ ，       q 3 = ( i ω 1 * − a 11 ) ( − a 32 e − i ω 1 * τ 2 ∗ ) a 13 a 32 e − i ω 1 * τ 2 ∗ − a 12 i ω 1 * ; q 2 * = − ( i ω 1 * − a 11 ) a 21 e − i ω 1 * τ 10 * ，                             q 3 * = ( i ω 1 * + a 11 ) a 23 − a 13 a 21 e − i ω 1 * τ 10 * i ω 1 * a 21 e − i ω 1 * τ 10 * . 从方程(38)，得到 D = [ 1 + q 2 * q ¯ 2 + q 3 * q ¯ 3 + τ 2 * e i ω 1 * τ 10 * ( q 2 * τ 10 * a 21 + q ¯ 2 q 3 * τ 2 ∗ a 32 ) ] − 1 满足 〈 q * ( s ) ， q ( θ ) 〉 = 1 ， 〈 q * ( s ) ， q ¯ ( θ ) 〉 = 0 。 引用 [ 30 ] 给出的算法可以得到用来决定分支方向和分支周期解稳定性的参数如下： g 20 = 2 D ¯ τ 10 * ( a q 2 q 3 ( a + P * ) 2 ( β 1 e − i ω 1 * τ 2 * q 3 * ¯ − β q 2 * ¯ ) + a Z * ( a + P * ) 3 ( β q 2 2 q 2 * ¯ − β 1 q 2 2 e − 2 i ω 1 * τ 2 * q 3 * ¯ ) ) ， g 11 = D ¯ τ 10 * ( a q 3 q 2 ¯ ( a + P * ) 2 ( β 1 e i ω 1 * τ 2 * q 3 * ¯ − β q 2 * ¯ ) + a q 3 ¯ q 2 ( a + P * ) 2 ( β 1 e − i ω 1 * τ 2 * q 3 * ¯ − β q 2 * ¯ ) + 2 a Z * q 2 q 2 ¯ ( a + P * ) 3 ( β q 2 * ¯ − β 1 q 3 * ¯ ) ) ， g 02 = 2 D ¯ τ 10 * ( a q 3 ¯ q 2 ¯ ( a + P * ) 2 ( β 1 e i ω 1 * τ 2 * q 3 * ¯ − β q 2 * ¯ ) + a Z * q 2 ¯ 2 ( a + P * ) 3 ( β q 2 * ¯ − β 1 e 2 i ω 1 * τ 2 * q 3 * ¯ ) ) ， g 21 = 2 D ¯ τ 10 * { q 2 * ¯ [ ( − a β ( a + P * ) 2 ) ( W 20 ( 2 ) ( 0 ) 1 2 q 3 ¯ + W 11 ( 2 ) ( 0 ) q 3 + q 2 ¯ 1 2 W 20 ( 3 ) ( 0 ) + W 11 ( 3 ) ( 0 ) q 2 ) ]       ​ ​ ​       + q 2 * ¯ a Z * β ( a + P * ) 3 ( 2 W 11 ( 2 ) ( 0 ) q 2 + W 20 ( 2 ) ( 0 ) q 2 ¯ ) + q 3 * ¯ a β 1 ( a + P * ) 2 ( W 11 ( 3 ) ( 0 ) e − i ω 1 * τ 2 * q 2             + 1 2 e i ω 1 * τ 2 * q 2 ¯ W 20 ( 3 ) ( 0 ) + 1 2 W 20 ( 2 ) ( − τ 2 * τ 10 * ) q 3 ¯ + W 11 ( 2 ) ( − τ 2 * τ 10 * ) q 3 )             − q 3 * ¯ a β 1 Z * ( a + P * ) 3 ( 2 W 11 ( 2 ) ( − τ 2 * τ 10 * ) e − i ω 1 * τ 2 * q 2 + W 20 ( 2 ) ( − τ 2 * τ 10 * ) e i ω 1 * τ 2 * q 2 ¯ ) } . 并且可以得到： W 20 ( θ ) = i g 20 q ( 0 ) ω 1 * τ 10 * e i ω 1 * τ 10 * θ + i g ¯ 02 q ¯ ( 0 ) 3 ω 1 * τ 10 * e − i ω 1 * τ 10 * θ + E 1 e 2 i ω 1 * τ 10 * θ . W 11 ( θ ) = − i g 11 q ( 0 ) ω 1 * τ 10 * e i ω 1 * τ 10 * θ + i g ¯ 11 q ¯ ( 0 ) ω 1 * τ 10 * e − i ω 1 * τ 10 * θ + E 2 . 其中 E 1 和 E 2 可以由如下方程分别决定 ( 2 i ω 1 * − a 11 − a 12 − a 13 − a 21 e − 2 i ω 1 * τ 10 * 2 i ω 1 * − a 22 − a 23 0 − a 32 e − 2 i ω 1 * τ 2 * 2 i ω 1 * ) ⋅ E 1 = 2 ( K 11 K 21 K 31 ) ， ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 0 a 32 0 ) ⋅ E 2 = − ( K 12 K 22 K 32 ) . 其中： K 11 = 0 ，   K 21 = − a β ( a + P * ) 2 q 2 q 3 + a β Z * ( a + P * ) 3 q 2 2 ， K 31 = a β 1 ( a + P * ) 2 q 2 q 3 e − i ω 1 * τ 2 * − a β 1 Z * ( a + P * ) 3 q 2 2 e − 2 i ω 1 * τ 2 * ; K 12 = 0 ，   K 22 = − a β ( a + P * ) 2 ( q 2 q 3 ¯ + q 2 ¯ q 3 ) + a β Z * ( a + P * ) 3 2 q 2 q 2 ¯ ， K 31 = a β 1 ( a + P * ) 2 ( q 2 ¯ q 3 e i ω 1 * τ 2 * + q 2 q 3 ¯ e − i ω 1 * τ 2 * ) − a β 1 Z * ( a + P * ) 3 2 q 2 q 2 ¯ . 最后基于 g 20 ，   g 11 ，   g 02 ，   g 21 的表达式可以计算下面的值 c 1 ( 0 ) = i 2 ω 1 * τ 10 * ( g 20 g 11 − 2 | g 11 | 2 − | g 02 | 2 3 ) + g 21 2 ， μ 2 = − Re { c 1 ( 0 ) } Re { λ ′ ( τ 10 * ) } ， β 2 = 2 Re { c 1 ( 0 ) } ， T 2 = − Im { c 1 ( 0 ) } + μ 2 Im { λ ′ ( τ 10 * ) } ω 1 * τ 10 * . 根据之前的结论，可以得到关于Hopf分支性质的定理如下： 定理3.1：系统(2)在 τ 1 = τ 10 * 处的Hopf分支性质可由 c 1 ( 0 ) ，   μ 2 ，   β 2 ，   T 2 决定，且结论如下： (i) 如果 μ 2 > 0 ( < 0 ) ，Hopf分支是超临界的(亚临界的)， (ii) 如果 β 2 < 0 ( > 0 ) ，分支周期解是稳定的(不稳定的)， (iii) 如果 T 2 > 0 ( < 0 ) ，系统(2)的分支周期解是增加的(减少的)。