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user: 2. 疾病的灭绝 文 [ 9 ] 指出，在模型(1)相应的确定性模型中，系统存在无病平衡点 E 0 ( Γ 1 μ ， Γ 2 μ ， 0 ， 0 ) ，且若 R 0 * = a 1 a 2 Γ 1 Γ 2 ( μ + β 1 + b 1 ) ( μ + β 1 + b 2 ) μ 2 < 1 ，则 E 0 全局渐近稳定。此即意味着，我们可通过控制 R 0 * < 1 ，从而达 到对此疾病的控制。无论如何，随机AIDS传染病模型(1)没有无病平衡点，因此，本节我们首先对随机系统(1)中解的极限行为进行讨论，进一步分析随机系统中疾病灭绝的条件。我们先给出几个引理。 引理1 [ 9 ] 若 ( S m ( 0 ) ， S f ( 0 ) ， I m ( 0 ) ， I f ( 0 ) ) ( ∈ R + 4 ) 是系统(1)的初值，则对 ∀ t ≥ 0 ，有 ( S m ( t ) ， S f ( t ) ， I m ( t ) ， I f ( t ) ) ∈ R + 4 ， a . s . 引理2 若 ( S m ( t ) ， S f ( t ) ， I m ( t ) ， I f ( t ) ) 是系统(1)以 ( S m ( t ) ， S f ( t ) ， I m ( t ) ， I f ( t ) ) ( ∈ R + 4 ) 为初值的解，则 lim t → ∞ S m ( t ) + S f ( t ) + I m ( t ) + I f ( t ) t = 0 ， a . s . 进一步， lim t → ∞ S m ( t ) t = 0 ， lim t → ∞ S f ( t ) t = 0 ， lim t → ∞ I m ( t ) t = 0 ， lim t → ∞ I f ( t ) t = 0 ， a . s . 证明：令 u ( t ) = S m ( t ) + S f ( t ) + I m ( t ) + I f ( t ) . 构造函数 W ( u ( t ) ) = ( 1 + u ( t ) ) θ ，并且令 σ 2 = max { σ S m 2 ， σ S f 2 ， σ I m 2 ， σ I f 2 } ，此处 θ > 0 是常数，将在随后给定。由ITO公式，我们有 d W ( u ( t ) ) = L W ( u ( t ) ) d t + θ ( 1 + u ( t ) ) θ − 1 σ S m S m ( t ) d B S m ( t ) + θ ( 1 + u ( t ) ) θ − 1 σ S f S f ( t ) d B S f ( t ) + θ ( 1 + u ( t ) ) θ − 1 σ I m I m ( t ) d B I m ( t ) + θ ( 1 + u ( t ) ) θ − 1 σ I f I f ( t ) d B I f ( t ) ， 此处 L W ( u ( t ) ) = θ ( 1 + u ( t ) ) θ − 1 [ Γ 1 + Γ 2 − μ S m ( t ) − μ S f ( t ) − ( μ + β 1 + b 1 ) I m ( t ) − ( μ + β 2 + b 2 ) I f ( t ) ]     + θ ( θ − 1 ) 2 ( 1 + u ( t ) ) θ − 2 ( σ S m 2 S m 2 + σ S f 2 S f 2 + σ I m 2 I m 2 + σ I f 2 I f 2 ) ≤ θ ( 1 + u ( t ) ) θ − 1 [ Γ 1 + Γ 2 − μ u ( t ) ] + θ ( θ − 1 ) 2 ( 1 + u ( t ) ) θ − 2 σ 2 u 2 ( t ) ≤ θ ( 1 + u ( t ) ) θ − 1 [ Γ 1 + Γ 2 + μ − μ ( 1 + u ( t ) ) ] + θ ( θ − 1 ) 2 ( 1 + u ( t ) ) θ − 2 σ 2 ( 1 + u ( t ) ) 2 = − θ [ μ − ( θ − 1 ) σ 2 2 ] ( 1 + u ( t ) ) θ + ( Γ 1 + Γ 2 + μ ) θ ( 1 + u ( t ) ) θ − 1 . 选择 θ > 1 ，且使得 μ − ( θ − 1 ) σ 2 2 : = λ > 0 ，从而 L W ( u ( t ) ) ≤ − λ θ ( 1 + u ( t ) ) θ + ( Γ 1 + Γ 2 + μ ) θ ( 1 + u ( t ) ) θ − 1 ， (2) 故 d W ( u ( t ) ) ≤ [ − λ θ ( 1 + u ( t ) ) θ + ( Γ 1 + Γ 2 + μ ) θ ( 1 + u ( t ) ) θ − 1 ] d t + θ ( 1 + u ( t ) ) θ − 1 σ S m S m ( t ) d B S m ( t ) + θ ( 1 + u ( t ) ) θ − 1 σ S f S f ( t ) d B S f ( t ) + θ ( 1 + u ( t ) ) θ − 1 σ I m I m ( t ) d B I m ( t ) + θ ( 1 + u ( t ) ) θ − 1 σ I f I f ( t ) d B I f ( t ) . (3) 对 0 < k < θ λ ，我们有 d [ e k t W ( u ( t ) ) ] = L [ e k t W ( u ( t ) ) ] d t     + e k t θ ( 1 + u ( t ) ) θ − 1 σ S m S m ( t ) d B S m ( t ) + e k t θ ( 1 + u ( t ) ) θ − 1 σ S f S f ( t ) d B S f ( t )     + e k t θ ( 1 + u ( t ) ) θ − 1 σ I m I m ( t ) d B I m ( t ) + e k t θ ( 1 + u ( t ) ) θ − 1 σ I f I f ( t ) d B I f ( t ) ， 所以 E [ e k t W ( u ( t ) ) ] = W ( u ( 0 ) ) + E ∫ 0 t L [ e k s W ( u ( s ) ) ] d s ， (4) 此处 L [ e k t W ( u ( t ) ) ] = k e k t W ( u ( t ) ) + e k t L W ( u ( t ) ) ≤ θ e k t ( 1 + u ( t ) ) θ − 1 [ − ( λ − k θ ) ( 1 + u ( t ) ) + ( Γ 1 + Γ 2 + μ ) ] ≤ θ e k t H ， (5) 其中 H : = sup u ( t ) ∈ R + ( 1 + u ( t ) ) θ − 1 [ − ( λ − k θ ) ( 1 + u ( t ) ) + ( Γ 1 + Γ 2 + μ ) ] 。因此由(4)可得 E [ e k t ( 1 + u ( t ) ) θ ] ≤ ( 1 + u ( 0 ) ) θ + E [ ∫ 0 t θ e k s H d s ] ≤ ( 1 + u ( 0 ) ) θ + θ H k e k t ， 即 lim sup t → ∞ E [ ( 1 + u ( t ) ) θ ] ≤ θ H k = : H 0 ， a . s . 。由 u ( t ) 的连续性可知，存在一个常数 M > 0 ，使得 E [ ( 1 + u ( t ) ) θ ] ≤ M ， t ≥ 0. (6) 由(3)式，则对充分小的 δ > 0 ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， 即 E [ sup k δ ≤ t ≤ ( k + 1 ) δ ( 1 + u ( t ) ) θ ] ≤ E [ ( 1 + u ( k δ ) ) θ ] + I 1 + I 2 ≤ M + I 1 + I 2 ， 此处 I 1 = E [ sup k δ ≤ t ≤ ( k + 1 ) δ | ∫ k δ t θ ( 1 + u ( r ) ) θ − 1 [ − λ u ( r ) + ( Γ 1 + Γ 2 + μ − λ ) ] d r | ] ≤ c 1 E [ sup k δ ≤ t ≤ ( k + 1 ) δ | ∫ k δ t ( 1 + u ( r ) ) θ d r | ] ≤ c 1 E [ ∫ k δ ( k + 1 ) δ ( 1 + u ( r ) ) θ d r ] ≤ c 1 δ E [ sup k δ ≤ t ≤ ( k + 1 ) δ ( 1 + u ( t ) ) θ ] . 根据Burkholder-Davis-Gundy不等式 [ 10 ]，有 I 2 = E [ sup k δ ≤ t ≤ ( k + 1 ) δ | ∫ k δ t θ ( 1 + u ( r ) ) θ − 1 ( σ S m S m ( r ) d B S m ( r ) + σ S f S f ( r ) d B S f ( r ) ) + σ I m I m ( r ) d B I m ( r ) + σ I f I f ( r ) d B I f ( r ) | ] ≤ 32 E [ ∫ k δ ( k + 1 ) δ θ 2 ( 1 + u ( r ) ) 2 ( θ − 1 ) ( σ S m 2 S m 2 ( r ) + σ S f 2 S f 2 ( r ) + σ I m 2 I m 2 ( r ) + σ I f 2 I f 2 ( r ) ) d r ] 1 2 ≤ 32 θ ( σ S m 2 ∨ σ S f 2 ∨ σ I m 2 ∨ σ I f 2 ) 1 2 δ 1 2 E [ sup k δ ≤ t ≤ ( k + 1 ) δ ( 1 + u ( t ) ) 2 θ ] 1 2 ≤ 32 θ ( σ S m 2 ∨ σ S f 2 ∨ σ I m 2 ∨ σ I f 2 ) 1 2 δ 1 2 E [ sup k δ ≤ t ≤ ( k + 1 ) δ ( 1 + u ( t ) ) θ ] . 因此 E [ sup k δ ≤ t ≤ ( k + 1 ) δ ( 1 + u ( t ) ) θ ] ≤ E [ ( 1 + u ( k δ ) ) θ ] + [ c 1 δ + 32 θ ( σ S m 2 ∨ σ S f 2 ∨ σ I m 2 ∨ σ I f 2 ) 1 2 δ 1 2 ] E [ sup k δ ≤ t ≤ ( k + 1 ) δ ( 1 + u ( t ) ) θ ] . 在此之后的证明与文献 [ 8 ] 中定理2.1的证明类似，我们不再进行赘述。 引理3 在引理2的条件下，下列结论成立 lim sup t → ∞ 〈 S m 〉 t ≤ Γ 1 μ ， lim sup t → ∞ 〈 S f 〉 t ≤ Γ 2 μ . 证明：由系统(1)中的第一个式子可得 S m ( t ) − S m ( 0 ) t = Γ 1 − μ 〈 S m 〉 t − a 1 〈 S m I f 〉 t + σ S m t ∫ 0 t S m ( r ) d B S m ( r ) ， 从而 〈 S m 〉 t = Γ 1 μ − a 1 μ 〈 S m I f 〉 t + ϕ 1 ( t ) ， 其中 ϕ 1 ( t ) = 1 μ { σ S m t ∫ 0 t S m ( r ) d B S m ( r ) − S m ( t ) − S m ( 0 ) t } 。进一步，由引理1可得 lim t → ∞ ϕ 1 ( t ) = 0 ， a . s . 所以 lim t → ∞ 〈 S m 〉 t = Γ 1 μ − a 1 μ 〈 S m I f 〉 t ≤ Γ 1 μ ， 即 lim sup t → ∞ 〈 S m 〉 t ≤ Γ 1 μ . 同理可得 lim sup t → ∞ 〈 S f 〉 t ≤ Γ 2 μ . 引理得证。 定理1 若 ( S m ( t ) ， S f ( t ) ， I m ( t ) ， I f ( t ) ) 是系统(1)以 ( S m ( 0 ) ， S f ( 0 ) ， I m ( 0 ) ， I f ( 0 ) ) ( ∈ R + 4 ) 为初值的解，则有 lim t → ∞ ln ( I m ( t ) + I f ( t ) ) t ≤ a 1 Γ 1 μ + a 2 Γ 2 μ − ( μ + β 1 + b 1 ) ∧ ( μ + β 2 + b 2 ) − 1 2 1 1 σ I m 2 + 1 σ I f 2 . 如果 a 1 Γ 1 μ + a 2 Γ 2 μ − ( μ + β 1 + b 1 ) ∧ ( μ + β 2 + b 2 ) − 1 2 1 1 σ I m 2 + 1 σ I f 2 < 0 ， 则 lim t → ∞ I m ( t ) = 0 ， lim t → ∞ I f ( t ) = 0 ， a . s . 此即意味着疾病将以概率1灭绝。 证明：利用ITO公式，有 d ln ( I m ( t ) + I f ( t ) ) = [ a 1 S m ( t ) I f ( t ) I m ( t ) + I f ( t ) + a 2 S f ( t ) I m ( t ) I m ( t ) + I f ( t ) − ( μ + β 1 + b 1 ) I m ( t ) I m ( t ) + I f ( t ) − ( μ + β 2 + b 2 ) I f ( t ) I m ( t ) + I f ( t )     − 1 2 ⋅ σ I m 2 I m 2 ( t ) ( I m ( t ) + I f ( t ) ) 2 − 1 2 ⋅ σ I f 2 I f 2 ( t ) ( I m ( t ) + I f ( t ) ) 2 ] d t     + σ I m I m ( t ) I m ( t ) + I f ( t ) d B I m ( t ) + σ I f I f ( t ) I m ( t ) + I f ( t ) d B I f ( t ) ≤ [ a 1 S m ( t ) I f ( t ) I m ( t ) + I f ( t ) + a 2 S f ( t ) I m ( t ) I m ( t ) + I f ( t ) − ( μ + β 1 + b 1 ) ∧ ( μ + β 2 + b 2 )     − 1 2 ( σ I m 2 I m 2 ( t ) ( I m ( t ) + I f ( t ) ) 2 + σ I f 2 I f 2 ( t ) ( I m ( t ) + I f ( t ) ) 2 ) ] d t     + σ I m I m ( t ) I m ( t ) + I f ( t ) d B I m ( t ) + σ I f I f ( t ) I m ( t ) + I f ( t ) d B I f ( t ) . (7) 由不等式 ( I m + I f ) 2 = ( I m σ I m ⋅ 1 σ I m + I f σ I f ⋅ 1 σ I f ) 2 ≤ ( σ I m 2 I m 2 + σ I f 2 I f 2 ) ( 1 σ I m 2 + 1 σ I f 2 ) ， 得 − 1 2 ( σ I m 2 I m 2 ( I m + I f ) 2 + σ I f 2 I f 2 ( I m + I f ) 2 ) ≤ − 1 2 1 1 σ I m 2 + 1 σ I f 2 . 将上式代入(7)中，得 d ln ( I m ( t ) + I f ( t ) ) ≤ [ a 1 S m ( t ) + a 2 S f ( t ) − ( μ + β 1 + b 1 ) ∧ ( μ + β 2 + b 2 ) − 1 2 1 1 σ I m 2 + 1 σ I f 2 ] d t     + σ I m I m ( t ) I m ( t ) + I f ( t ) d B I m ( t ) + σ I f I f ( t ) I m ( t ) + I f ( t ) d B I f ( t ) . 则对上式两边积分并同时除以t，得 ln ( I m ( t ) + I f ( t ) ) t ≤ ln ( I m ( 0 ) + I f ( 0 ) ) t + 1 t ∫ 0 t ( a 1 S m ( s ) + a 2 S f ( s ) ) d s − ( μ + β 1 + b 1 ) ∧ ( μ + β 2 + b 2 )     − 1 2 1 1 σ I m 2 + 1 σ I f 2 + 1 t ∫ 0 t σ I m I m ( s ) I m ( s ) + I f ( s ) d B I m ( s ) + 1 t ∫ 0 t σ I f I f ( s ) I m ( s ) + I f ( s ) d B I f ( s ) ， (8) 由局部鞅的强大数定律： lim t → ∞ 1 t ∫ 0 t σ I m I m ( s ) I m ( s ) + I f ( s ) d B I m ( s ) = 0 ， lim t → ∞ 1 t ∫ 0 t σ I f I f ( s ) I m ( s ) + I f ( s ) d B I f ( s ) = 0 。所以，我们有 lim t → ∞ ln ( I m ( t ) + I f ( t ) ) t ≤ lim t → ∞ ∫ 0 t ( a 1 S m ( s ) + a 2 S f ( s ) ) d s t − ( μ + β 1 + b 1 ) ∧ ( μ + β 2 + b 2 ) − 1 2 1 1 σ I m 2 + 1 σ I f 2 ≤ a 1 Γ 1 μ + a 2 Γ 2 μ − ( μ + β 1 + b 1 ) ∧ ( μ + β 2 + b 2 ) − 1 2 1 1 σ I m 2 + 1 σ I f 2 . 当 a 1 Γ 1 μ + a 2 Γ 2 μ − ( μ + β 1 + b 1 ) ∧ ( μ + β 2 + b 2 ) − 1 2 1 1 σ I m 2 + 1 σ I f 2 < 0 时，这意味着 lim t → ∞ I m ( t ) = 0 ， lim t → ∞ I f ( t ) = 0 ， a . s . 此即疾病将以概率1灭绝。 注1 上述定理表明，当噪声强度 σ I m ， σ I f 足够大时，随机系统(1)中的男性染病者 I m 和女性染病者 I f 将走向灭绝，即使系统(1)相应的确定性系统存在稳定的地方病平衡点 E 1 ( S m * ， S f * ， I m * ， I f * ) (当 R 0 * > 1 时，这个结论可参阅文 [ 9 ] )，此即表明噪声会影响系统的动力学行为。这个结论将在例1中进行数值验证。