system: [SYSTEM]

user: 3. 主要结果 本节给出粘性Cahn-Hilliard方程局部解和全局解的存在性定理。令 X = L 2 ( Ω ) ，内积记为 ( ⋅ ， ⋅ ) ，范数记为 ‖   ⋅   ‖ 。更一般地，把Banach空间Z上的范数记为 ‖   ⋅   ‖ Z 。 显然，由关于f的表达式(5)知，存在 λ 0 > 0 ，使得对任意 v ∈ R ， | f ′ ( v ) | < λ 0 . (7) 对 u ∈ L 2 ( Ω ) ，均值定义为： 〈 u 〉 = 1 | Ω | ∫ Ω u ( x ) d x ， x ∈ Ω ， 其中 | Ω | 是 Ω 的测度。 对(1)作 Ω 上的积分，利用格林公式可得： d d t ∫ Ω u ( t ， x ) d x = 0 ， 因此， 〈 u 〉 = c o n s t . = 〈 u 0 〉 ， (8) 故粘性Cahn-Hilliard方程是满足质量守恒的，这对后面范数估计起着至关重要的作用。 令算子 A = ( − Δ ) B ν + ρ I   ( ρ > 0 ) ， B ν = − Δ [ ( 1 − ν ) I − ν Δ ] − 1 ，其定义域为： D ( A ) = { ϕ ∈ H 4 : ∂ u ∂ N = ∂ ( Δ u ) ∂ N | ∂ Ω = 0 } ， 首先讨论算子A的性质，有如下的命题： 命题 3.1当 ν ∈ ( 0 ， 1 ) 时，算子 B ν 是X到X上的有界算子，更进一步， − Δ B ν : H 2 ( Ω ) → X 是一个扇形算子。 证明：算子 B ν 还可写为 B ν = 1 ν I − 1 − ν ν [ ( 1 − ν ) I − ν Δ ] − 1 ， 由扇形算子定义可知： ∃ M 0 > 0 ，使得 ‖ ( ( 1 − ν ) I − ν Δ ) − 1 ‖ ≤ M 0 ， (9) 故可证得 B ν : L 2 ( Ω ) → L 2 ( Ω ) 是一个有界算子。 注意到，算子 − Δ B ν 有以下形式： − Δ B ν = 1 ν ( − Δ ) − 1 − ν ν 2 I + ( 1 − ν ) 2 ν 2 [ ( 1 − ν ) I − ν Δ ] − 1 ， 它是扇形算子 1 ν ( − Δ ) 的一个有界扰动，因此 − Δ B ν 是一个扇形算子(参考 [ 10 ] )。 定理 3.1 当 α ∈ [ 1 2 ， 1 ) ， ν ∈ ( 0 ， 1 ) 时，初边值问题(1)~(4)存在局部 X α 解。 证明：由命题3.1可知，要证明局部 X α 解的存在性，还需要验证非线性项 B ν f : X α ( Ω ) → X ， 满足局部Lipschtiz连续。由(5)可知， f ( u ) 关于 u ∈ Ω 局部Lipschitz连续。 更进一步，有如下的Sobolev空间嵌入关系： { H 2 ( Ω ) ⊂ L ∞ ( Ω ) n ≤ 3 H 2 ( Ω ) ⊂ W 1 ， 4 ( Ω ) n ≤ 3 X 1 2 ( Ω ) ⊂ H 2 ( Ω ) ， (10) 令U是 X α 上的有界子集，则 B ν f : X α → X 在有界集U上是Lipschitz连续的，即： ϕ ， ψ ∈ U ‖ B ν ( f ( ϕ ) ) − B ν ( f ( ψ ) ) ‖ ≤ ‖ ( ( 1 − ν ) I − ν Δ ) − 1 ‖ L ( X ， X ) ‖ Δ f ( ϕ ) − Δ f ( ψ ) ‖ ≤ M 0 ‖ [ f ′ ( ϕ ) Δ ϕ − f ′ ( ψ ) Δ ψ ] + [ f ″ ( ϕ ) | ∇ ϕ | 2 − f ″ ( ψ ) | ∇ ψ | 2 ] ‖ ≤ C U ‖ ϕ − ψ ‖ X α ， 其中 C U 是关于U的常数。因此初边值问题(1)~(4)的局部 X α 解存在。 在局部 X α 解存在的基础上进一步讨论全局解的存在性。 定理 3.2当 α ∈ [ 1 2 ， 1 ) ， ν ∈ ( 0 ， 1 ) 时，在条件(5)和(7)成立的情况下，初边值问题(1)~(4)存在唯一的全局 X α 解。 证明：用 v = u t + ϵ 0 u 与(1)作内积有 1 2 d d t ‖ Δ u ‖ 2 + ϵ 0 ‖ Δ u ‖ 2 + ( 1 − ν ) ‖ v ‖ 2 − ( 1 − ν ) ϵ 0 ( u ， v ) + ν ϵ 0 ( Δ u ， v ) + ν ‖ ∇ v ‖ = ( − Δ f ( u ) ， v ) ， (11) 由Poincare不等式得： ‖ u ‖ 2 ≤ λ ‖ ∇ u ‖ 2 ， (12) 由(12)以及Hölder不等式和Young不等式可得 ‖ ∇ u ‖ 2 = − ∫ Ω u ⋅ Δ u d x ≤ 1 2 ‖ ∇ u ‖ 2 + λ 2 ‖ Δ u ‖ 2 ， 则 ‖ ∇ u ‖ 2 ≤ λ ‖ Δ u ‖ 2 ， (13) 更进一步，由(12)和(13)得 ‖ u ‖ 2 ≤ λ 2 ‖ Δ u ‖ 2 ， 又由Hölder不等式和Young不等式可得 − ( 1 − ν ) ϵ 0 ( u ， v ) ≥ − ( 1 − ν ) ϵ 0 λ 2 2 ‖ Δ u ‖ 2 − ( 1 − ν ) ϵ 0 2 ‖ v ‖ 2 ， (14) ν ϵ 0 ( Δ u ， v ) ≥ − ϵ 0 2 ν λ 4 ‖ Δ u ‖ 2 − ν ‖ ∇ v ‖ 2 ， (15) 将(14)和(15)代入(11)可得 1 2 d d t ‖ Δ u ‖ 2 + c 1 ‖ Δ u ‖ 2 + c 2 ‖ v ‖ 2 ≤ ( − Δ f ( u ) ， v ) ， (16) 其中 c 1 = ϵ 0 − ( 1 − ν ) ϵ 0 λ 2 2 − ϵ 0 2 ν λ 4 ， c 2 = ( 1 − ν ) ( 1 − ϵ 0 2 ) 。 最后由Young不等式可得 ( − Δ f ( u ) ， v ) = ( ∇ f ( u ) ， ∇ v ) ≤ λ 0 2 4 c 2 ‖ Δ u ‖ 2 + c 2 ‖ v ‖ 2 ， (17) 将(17)代入(16)得 1 2 d d t ‖ Δ u ‖ 2 + c 3 ‖ Δ u ‖ 2 ≤ 1 ， 其中 c 3 = c 1 − λ 0 2 4 c 2 ，取适当的 ϵ 0 ，使得 c 3 > 0 。则由Gronwall引理得： ‖ Δ u ‖ 2 ≤ M ， 其中M是一个大于0的常数。再由(8)得 ‖ Δ u ‖ 2 + | 〈 u 〉 | 2 ≤ M + | 〈 u 0 〉 | 2 . 令 Y = { ϕ ∈ H 2 ( Ω ) : ∂ ϕ ∂ N = ∂ ( Δ ϕ ) ∂ N | ∂ Ω = 0 } ，由引理2.1可知Y上的等价范数为 { ‖ Δ u ‖ 2 + | 〈 u 〉 | 2 } 1 2 。为了利用定理2.2完善证明，还需近一步处理。 将(1)改写为： u t = ( B ν Δ + ρ I ) u − B ν f ( u ) − ρ u ， 其中 ρ > 0 且有 0 < ρ ≤ R e σ ( B ν Δ + ρ I ) ， 由空间嵌入定理(10)，在Y空间上有下列先验估计： ‖ − B ν f ( u ( t ) ) − ρ u ( t ) ‖ ≤ ‖ B ν ‖ L ( X ， X ) ‖ f ( u ( t ) ) ‖ + ρ ‖ u ( t ) ‖ ≤ ‖ B ν ‖ L ( X ， X ) sup | s | ≤ c 4 ‖ u ( t ) ‖ H 2 ( Ω ) ( | f ( s ) | + ρ ) ( 1 + ‖ u ( t ) ‖ H 2 ( Ω ) ) = g ( ‖ u ( t ) ‖ H 2 ( Ω ) ) ， 其中 g : [ 0 ， ∞ ) → [ 0 ， ∞ ) 是一个增函数，证毕。 以上的讨论过程是粘性Cahn-Hilliard方程的解的存在情况研究的新思路，拓展了粘性Cahn-Hilliard方程研究的方法，用新的方法证明了粘性Cahn-Hilliard方程局部解和全局解的存在性。