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user: 2. 爆破解 2.1. 具Neumann边界条件下的爆破解 我们的主要结果是： 定理1.1 设 u 是问题(1.1)的一个解，如果以下条件成立： (i) 对于任意 ( s ， t ) ∈ ℝ + × ℝ + ， ( 1 a ( s ， t ) ( a ( s ， t ) f ( s ) h ′ ( s ) ) s ) s + 1 g ( t ) ( a s ( s ， t ) a ( s ， t ) ) t ≥ 0 (2.1.2) (ii) ∫ M 0 + ∞ h ′ ( s ) f ( s ) d s < ∫ 0 + ∞ g ( t ) d t ，     M 0 = max D ¯ u 0 ( x ) (2.1.3) (iii) min D ¯ ∇ ⋅ ( a ( u 0 ， 0 ) b ( x ) ∇ u 0 ( x ) ) ≥ 0 (2.1.4) (iv) 则 u ( x ， t ) 是方程的一个爆破解，并且 u ( x ， t ) ≤ P − 1 ( ∫ t T g ( t ) d t ) ， ∀ ( x ， t ) ∈ D ¯ (2.1.5) 其中 P ( z ) = ∫ z + ∞ h ′ ( s ) f ( s ) d s ， ∀ z ≥ M 0 (2.1.6) 证明：构造辅助函数： P ( x ， t ) = h ′ ( u ) u t − g ( t ) f ( u ) (2.1.7) 则，有 ∇ P ( x ， t ) = h ″ u t ∇ u + h ′ ∇ u t − g f ′ ∇ u (2.1.8) Δ P ( x ， t ) = h ‴ | ∇ u | 2 u t + 2 h ″ ∇ u ⋅ ∇ u t + h ″ u t Δ u + h ′ Δ u t − g f ″ | ∇ u | 2 − g f ′ Δ u (2.1.9) 由(2.1.6) P t = [ h ′ ( u ) u t − g ( t ) f ( u ) ] t = [ ( h ′ ( u ) ) t − g ( t ) f ( u ) ] t = [ ∇ ( a ( u ， t ) b ( x ) ∇ u ) ] t = ( a b Δ u + a u b | ∇ u | 2 + a ∇ b ⋅ ∇ u ) t = a u b u t Δ u + a t b Δ u + a b Δ u t + a u u b | ∇ u | 2 u t + a u t b | ∇ u | 2     + 2 a u b ∇ u ⋅ ∇ u t + a u u t ∇ b ⋅ ∇ u + a t ∇ b ⋅ ∇ u + a ∇ b ⋅ ∇ u t (2.1.10) 由(2.1.8)和(2.1.9)，我们得 a b h ′ Δ P − P t = ( a b h ‴ h ′ − a u u b ) | ∇ u | 2 u t + ( 2 a b h ″ h ′ − 2 a u b ) ∇ u ∇ u t + ( a b h ″ h ′ − a u b ) u t Δ u − ( a b g f ″ h ′ + a u t b ) | ∇ u | 2 − ( a b g f ′ h ′ + a t b ) Δ u − a u u t ∇ b ∇ u − a t ∇ b ∇ u − a ∇ b ∇ u t (2.1.11) 由(2.1.5)我们得： Δ u = h ′ a b u t − a u a | ∇ u | 2 − 1 b ∇ b ⋅ ∇ u − g f a b (2.1.12) 将(2.1.11)代入(2.1.10)我们可以得到： a b h ′ Δ P − P t = ( a b h ‴ h ′ − a u u b + ( a u ) 2 b a − a u b h ″ h ′ ) | ∇ u | 2 u t + ( 2 a b h ″ h ′ − 2 a u b ) ∇ u ⋅ ∇ u t + ( h ″ − a u h ′ a ) ( u t ) 2 − a h ″ h ′ u t ∇ b ⋅ ∇ u + ( a u g f a − g f h ″ h ′ − g f ′ − a t h ′ a ) u t + ( a u b g f ′ h ′ + a u a t b a − a b g f ″ h ′ − a u t b ) | ∇ u | 2 + a g f ′ h ′ ∇ b ⋅ ∇ u + g 2 f f ′ h ′ + a t g f a − a ∇ b ⋅ ∇ u t (2.1.13) 由(2.1.7)，我们有： ∇ u t = 1 h ′ ∇ P − h ″ h ′ u t ∇ u + g f ′ h ′ ∇ u (2.1.14) 将(2.1.13)代入(2.1.12)可得 a b h ′ Δ P + [ 2 b ( a h ′ ) u ∇ u + a h ′ ∇ b ] ⋅ ∇ P − P t = ( a b h ‴ h ′ − a u u b + ( a u ) 2 b a + a u b h ″ h ′ − 2 a b ( h ″ ) 2 ( h ′ ) 2 ) | ∇ u | 2 u t       + ( 2 a b h ″ g f ′ ( h ′ ) 2 − a u b g f ′ h ′ − a b g f ″ h ′ + a u a t b a − a u t b ) | ∇ u | 2       + ( h ″ − a u h ′ a ) ( u t ) 2 + ( a u g f a − g f h ″ h ′ − g f ′ − a t h ′ a ) u t + g 2 f f ′ h ′ + a t g f a (2.1.15) 由(2.1.6)我们得 u t = 1 h ′ P + g f h ′ (2.1.16) 将(2.1.15)代入(2.1.14)我们可得 a b h ′ Δ P + [ 2 b ( a h ′ ) u ∇ u + a h ′ ∇ b ] ⋅ ∇ P + { a b [ 1 a ( a h ′ ) u ] u | ∇ u | 2 + 1 a ( a h ′ ) u ( P + g f ) + g f h ′ + a t a } P − P t = − a b g { [ 1 a ( a f h ′ ) u ] u + 1 g ( a u a ) t } | ∇ u | 2 (2.1.17) 由(2.1.1)得等式右边(2.1.16)是非负的，即 a b h ′ Δ P + [ 2 b ( a h ′ ) u ∇ u + a h ′ ∇ b ] ⋅ ∇ P + { a b [ 1 a ( a h ′ ) u ] u | ∇ u | 2 + 1 a ( a h ′ ) u ( P + g f ) + g f h ′ + a t a } P − P t ≥ 0 (2.1.18) 由(2.1.5)，我们知道 P ( x ， 0 ) = ∇ ⋅ ( a ( M 0 ， 0 ) b ( x ) ∇ M 0 ) = 0 (2.1.19) 与 ∂ P ∂ n = h ″ u t ∂ u ∂ n + h ′ ∂ u t ∂ n − g f ′ ∂ u ∂ n = h ′ ( ∂ u ∂ n ) t = h ′ k ( x ， u ， t ) (2.1.20) 结合(2.1.17)~(2.1.19)，通过极值原理，我们可知 P ≥ 0     in   D ¯ × [ 0 ， T ] 因此 h ′ ( u ) f ( u ) u t ≥ g ( t ) (2.1.21) 设存在 x 0 ∈ D ¯ ，使得 u 0 ( 0 ) = M 0 对(2.1.20)在 [ 0 ， t ] 上积分得： ∫ 0 t h ′ ( u ) f ( u ) u t d t = ∫ M 0 u ( x 0 ， t ) h ′ ( s ) f ( s ) d s ≥ ∫ 0 t g ( t ) d t (2.1.22) 如果 u 在有限时间 t = T 内不爆破，当 t → + ∞ 时(2.1.21)变形为 ∫ 0 + ∞ h ′ ( s ) f ( s ) u t d t ≥ ∫ 0 + ∞ g ( t ) d t (2.1.23) 与条件矛盾，所以 u 一定在有限时间 t = T 内爆破，即当 t → T 时， u ( x ， t ) → + ∞ 并且有下式成立 lim t → T ∫ M 0 u ( x 0 ， t ) h ′ ( s ) f ( s ) d t ≥ lim t → T ∫ 0 t g ( t ) d t 因此 ∫ M 0 + ∞ h ′ ( s ) f ( s ) d s ≥ ∫ 0 T g ( t ) d t = η (T) 我们可以得到 T ≤ η − 1 ( ∫ M 0 + ∞ h ′ ( s ) f ( s ) d s ) 对每一个固定的 x ∈ D ¯ ，对(2.1.20)在 [ t ， s ] ( 0 < t < s < T ) 上积分得 P ( u ( x ， t ) ) ≥ P ( u ( x ， t ) ) − P ( u ( x ， s ) ) = ∫ u ( x ， t ) u ( x ， s ) h ′ ( s ) f ( s ) d s ≥ ∫ t s g ( t ) d t 因此，令 s → T 有 P ( u ( x ， t ) ) ≥ ∫ t T g ( t ) d t 由于 P 是严格减函数，所以有 u ( x ， t ) ≤ P − 1 ( ∫ t T g ( t ) d t ) 这里 P − 1 是 P 的反函数，证毕。 2.2. 具Dirichlet边界条件下的爆破解 定理1.2 设 u 是问题(1.2)的一个解，如果以下条件成立： (i) 对于任意 ( s ， t ) ∈ ℝ + × ℝ + ， ( 1 a ( s ， t ) ( a ( s ， t ) f ( s ) h ′ ( s ) ) s ) s + 1 g ( t ) ( a s ( s ， t ) a ( s ， t ) ) t ≥ 0 (2.2.2) (ii) ∫ M 0 + ∞ h ′ ( s ) f ( s ) d s < ∫ 0 + ∞ g ( t ) d t ，     M 0 = max D ¯ u 0 ( x ) (2.2.3) (iii) min D ¯ ∇ ⋅ ( a ( u 0 ， 0 ) b ( x ) ∇ u 0 ( x ) ) = 0 (2.2.4) (iv) 则 u ( x ， t ) 是方程的一个爆破解，并且 u ( x ， t ) ≤ Q − 1 ( ∫ t T g ( t ) d t ) ，   ∀ ( x ， t ) ∈ D ¯ (2.2.5) 其中 Q ( z ) = ∫ u ( x ， t ) u ( x ， s ) h ′ ( s ) f ( s ) d s ，   ∀ z ≥ M 0 (2.2.6) 证明：由(2.2.1)可知 Δ u + a h ′ ∇ b ⋅ ∇ u − u t = − g f h ′ − a u b h ′ | ∇ u | 2 < 0 根据极值原理可知 u ( x ， t ) = k ( x ， u ， t ) ≥ 0 构造辅助函数： Q ( x ， t ) = h ′ ( u ) u t − g ( t ) f ( u ) (2.2.7) 则，有 ∇ Q ( x ， t ) = h ″ u t ∇ u + h ′ ∇ u t − g f ′ ∇ u (2.2.8) Δ Q ( x ， t ) = h ‴ | ∇ u | 2 u t + 2 h ″ ∇ u ⋅ ∇ u t + h ″ u t Δ u + h ′ Δ u t − g f ″ | ∇ u | 2 − g f ′ Δ u (2.2.9) 由(2.6) P t = [ h ′ ( u ) u t − g ( t ) f ( u ) ] t = [ ( h ′ ( u ) ) t − g ( t ) f ( u ) ] t = [ ∇ ⋅ ( a ( u ， t ) b ( x ) ∇ u ) ] t = ( a b Δ u + a u b | ∇ u | 2 + a ∇ b ⋅ ∇ u ) t = a u b u t Δ u + a t b Δ u + a b Δ u t + a u u b | ∇ u | 2 u t     + a u t b | ∇ u | 2 + 2 a u b ∇ u ⋅ ∇ u t + a u u t ∇ b ⋅ ∇ u + a t ∇ b ⋅ ∇ u + a ∇ b ⋅ ∇ u t (2.2.10) 由(2.2.8)和(2.2.9)，我们得 a b h ′ Δ Q − Q t = ( a b h ‴ h ′ − a u u b ) | ∇ u | 2 u t + ( 2 a b h ″ h ′ − 2 a u b ) ∇ u ⋅ ∇ u t + ( a b h ″ h ′ − a u b ) u t Δ u − ( a b g f ″ h ′ + a u t b ) | ∇ u | 2 − ( a b g f ′ h ′ + a t b ) Δ u − a u u t ∇ b ⋅ ∇ u − a t ∇ b ⋅ ∇ u − a ∇ b ⋅ ∇ u t . (2.2.11) 由(2.2.5)我们得： Δ u = h ′ a b u t − a u a | ∇ u | 2 − 1 b ∇ b ⋅ ∇ u − g f a b (2.2.12) 将(2.2.11)代入(2.2.10)我们可以得到： a b h ′ Δ Q − Q t = ( a b h ‴ h ′ − a u u b + ( a u ) 2 b a − a u b h ″ h ′ ) | ∇ u | 2 u t + ( 2 a b h ″ h ′ − 2 a u b ) ∇ u ⋅ ∇ u t + ( h ″ − a u h ′ a ) ( u t ) 2 − a h ″ h ′ u t ∇ b ⋅ ∇ u + ( a u g f a − g f h ″ h ′ − g f ′ − a t h ′ a ) u t + ( a u b g f ′ h ′ + a u a t b a − a b g f ″ h ′ − a u t b ) | ∇ u | 2 + a g f ′ h ′ ∇ b ⋅ ∇ u + g 2 f f ′ h ′ + a t g f a − a ∇ b ⋅ ∇ u t (2.2.13) 由(2.2.7)，我们有： ∇ u t = 1 h ′ ∇ Q − h ″ h ′ u t ∇ u + g f ′ h ′ ∇ u (2.2.14) 将(2.2.13)代入(2.2.12)可得 a b h ′ Δ Q + [ 2 b ( a h ′ ) u ∇ u + a h ′ ∇ b ] ⋅ ∇ Q − Q t = ( a b h ‴ h ′ − a u u b + ( a u ) 2 b a + a u b h ″ h ′ − 2 a b ( h ″ ) 2 ( h ′ ) 2 ) | ∇ u | 2 u t       + ( 2 a b h ″ g f ′ ( h ′ ) 2 − a u b g f ′ h ′ − a b g f ″ h ′ + a u a t b a − a u t b ) | ∇ u | 2       + ( h ″ − a u h ′ a ) ( u t ) 2 + ( a u g f a − g f h ″ h ′ − g f ′ − a t h ′ a ) u t + g 2 f f ′ h ′ + a t g f a (2.2.15) 由(2.2.6)我们得 u t = 1 h ′ Q + g f h ′ (2.2.16) 将(2.2.15)代入(2.2.14)我们可得 a b h ′ Δ Q + [ 2 b ( a h ′ ) u ∇ u + a h ′ ∇ b ] ⋅ ∇ Q + { a b [ 1 a ( a h ′ ) u ] u | ∇ u | 2 + 1 a ( a h ′ ) u ( Q + g f ) + g f h ′ + a t a } Q − Q t = − a b g { [ 1 a ( a f h ′ ) u ] u + 1 g ( a u a ) t } | ∇ u | 2 (2.2.17) 由(2.2.1)得等式右边(2.2.16)是非负的，即 a b h ′ Δ Q + [ 2 b ( a h ′ ) u ∇ u + a h ′ ∇ b ] ⋅ ∇ Q + { a b [ 1 a ( a h ′ ) u ] u | ∇ u | 2 + 1 a ( a h ′ ) u ( P + g f ) + g f h ′ + a t a } Q − Q t ≥ 0 (2.2.18) 由(2.2.5)，我们知道； Q ( x ， 0 ) = ∇ ⋅ ( a ( M 0 ， 0 ) b ( x ) ∇ M 0 ) = 0 (2.2.19) 结合(2.2.17)~(2.2.19)，通过极值原理，我们可知 Q ≥ 0 ， in   D ¯ × [ 0 ， T ] 因此 h ′ ( u ) f ( u ) u t ≥ g ( t ) (2.2.21) 设存在 x 0 ∈ D ¯ ，使得 u 0 ( 0 ) = M 0 对(2.2.20)在 [ 0 ， t ] 上积分得： ∫ 0 t h ′ ( u ) f ( u ) u t d t = ∫ M 0 u ( x 0 ， t ) h ′ ( s ) f ( s ) d s ≥ ∫ 0 t g ( t ) d t (2.2.22) 如果 u 在有限时间 t = T 内不爆破，当 t → + ∞ 时(2.2.21)变形为 ∫ 0 + ∞ h ′ ( s ) f ( s ) u t d t ≥ ∫ 0 + ∞ g ( t ) d t (2.2.23) 与条件矛盾，所以 u 一定在有限时间 t = T 内爆破，即当 t → T 时， u ( x ， t ) → + ∞ 并且有下式成立 lim t → T ∫ M 0 u ( x 0 ， t ) h ′ ( s ) f ( s ) d t ≥ lim t → T ∫ 0 t g ( t ) d t 因此 ∫ M 0 + ∞ h ′ ( s ) f ( s ) d s ≥ ∫ 0 T g ( t ) d t = η (T) 我们可以得到 T ≤ η − 1 ( ∫ M 0 + ∞ h ′ ( s ) f ( s ) d s ) 对每一个固定的 x ∈ D ¯ ，对(2.2.20)在 [ t ， s ] ( 0 < t < s < T ) 上积分得 Q ( u ( x ， t ) ) ≥ Q ( u ( x ， t ) ) − Q ( u ( x ， s ) ) = ∫ u ( x ， t ) u ( x ， s ) h ′ ( s ) f ( s ) d s ≥ ∫ t s g ( t ) d t 因此，令 s → T 有 Q ( u ( x ， t ) ) ≥ ∫ t T g ( t ) d t 由于 Q 是严格减函数，所以有 u ( x ， t ) ≤ Q − 1 ( ∫ t T g ( t ) d t ) 这里 Q − 1 是 Q 的反函数，证毕。