system: [SYSTEM]

user: 3. 坐标代数 从双代数的一般理论 [ 11 ] 我们知道，每一个双代数的有限对偶也是一个双代数。这里我们考虑超双代数 U ( R ) 的有限对偶。用 U ( R ) * 表示 U ( R ) 的对偶空间，即从 U ( R ) 到 K 的线性函数全体，则超双代数 U ( R ) 的有限对偶定义为 U ( R ) ∘ : = { f ∈ U ( R ) * | U ( R ) 如 果 存 在 余 维 数 有 限 的 理 想   I   使 得   f ( I ) = 0 } . 我们用 〈 f ， x 〉 表示 f ∈ U ( R ) * 在 x ∈ U ( R ) 的取值，那么超双代数 U ( R ) ∘ 上的乘积和余乘积由下列关系决定： 〈 f g ， x 〉 = ∑ ( x ) ( − 1 ) | x ( 1 ) | | g | 〈 f ， x ( 1 ) 〉 〈 g ， x ( 2 ) 〉 ， 如 果 Δ ( x ) = ∑ ( x ) x ( 1 ) ⊗ x ( 2 ) ， 〈 f ， x y 〉 = ∑ ( f ) ( − 1 ) | f ( 2 ) | | x | 〈 f ( 1 ) ， x 〉 〈 f ( 2 ) ， y 〉 ， 如 果 Δ ∘ ( f ) = ∑ ( f ) f ( 1 ) ⊗ f ( 2 ) ， 其中 f ， g ∈ U ( R ) * ， x ， y ∈ U ( R ) 。 对于超双代数 U ( R ) ，我们可以借助R-矩阵在线性空间V上定义它的自然表示： ρ : U ( R ) → End V ，   T ↦ R . 即， ρ ( t i j ) = ∑ k ， l R i j k l e k l ，   i ， j = 1 ， ⋯ ， m + n . 自然表示的矩阵系数定义了 U ( R ) 上的线性函数 τ i k ∈ U ( R ) * ，即 ρ ( x ) ⋅ v l = ∑ k 〈 τ k l ， x 〉 v k ，   x ∈ U ( R ) . (3.1) 特别地， 〈 τ k l ， t i j 〉 = R i j k l . 注意到V是 U ( R ) 的有限维表示， ker ρ 是 U ( R ) 的一个余维数有限的双边理想，且 τ k l 在 ker ρ 上取零值，因此 τ k l ∈ U ( R ) ∘ 。 定义3.1 超双代数 U ( R ) ∘ 中由 τ k l ， k ， l = 1 ， ⋯ ， m + n 生成的子代数称为超代数 U ( R ) 的坐标超代数，记为 A ( R ) 。 命题3.2 超代数 A ( R ) 的生成元 τ k l ， k ， l = 1 ， ⋯ ， m + n 满足 Δ ∘ ( τ k l ) = ∑ p ( − 1 ) ( | k | + | p | ) ( | p | + | l | ) t k p ⊗ t p l . (3.2) 即， A ( R ) 是 U ( R ) ∘ 的一个子双代数。 证明。我们直接验证等式(3.2)。由 τ k l 的定义，对于 x ， y ∈ U ( R ) ，有 ρ ( x y ) ⋅ v l = ∑ k 〈 τ k l ， x y 〉 v k . 同时，因 ρ 是 U ( R ) 的一个表示，也有 ρ ( x y ) ⋅ v l = ρ ( x ) ρ ( y ) ⋅ v l = ∑ p 〈 τ p l ， y 〉 ρ ( x ) ⋅ v p = ∑ k ， p 〈 τ k p ， x 〉 〈 τ p l ， y 〉 v k . 对比两式右端 v k 的系数，我们有 〈 τ k l ， x y 〉 = ∑ p 〈 τ k p ， x 〉 〈 τ p l ， y 〉 . 注意到 〈 τ k p ， x 〉 仅当 | x | = | k | + | p | 时非零，因此， U ( R ) ∘ 中等式(3.2)成立。 由于 τ k l ， k ， l = 1 ， 2 ， ⋯ ， m + n 是超代数 A ( R ) 的生成元，等式(3.2)事实上说明了有限对偶代数 U ( R ) ∘ 的余乘在超代数 A ( R ) 上是封闭的，即 A ( R ) 是 U ( R ) ∘ 的超子双代数。 定理3.3 超代数 A ( R ) 的生成元 τ k l ， k ， l = 1 ， 2 ， ⋯ ， m + n 满足 R X 1 X 2 = X 2 X 1 R ， 其中 X = ∑ i j τ i j ⊗ e i j 。 证明。在超双代数 U ( R ) 中，我们有 Δ ( t c k ) = ∑ s ( − 1 ) ( | c | + | s | ) ( | s | + | k | ) t c s ⊗ t s k . 因此， 〈 τ p i τ r j ， t c k 〉 = ∑ s ( − 1 ) ( | c | + | s | ) ( | s | + | k | ) + ( | c | + | s | ) ( | r | + | j | ) 〈 τ p i ， t c s 〉 〈 τ r j ， t s k 〉 = ∑ s R c s p i R s k r j ， 其中 〈 τ r j ， t s k 〉 = R s k r j 仅当 | r | + | j | = | s | + | k | 时非零。由Yang-Baxter方程(2.2)， 〈 ∑ p ， r ( − 1 ) ( | p | + | i | ) ( | b | + | j | ) R b r a p τ p i τ r j ， t c k 〉 = ∑ p ， r ， s ( − 1 ) ( | p | + | i | ) ( | b | + | j | ) R b r a p R c s p i R s k r j = ∑ p ， r ， s ( − 1 ) ( | p | + | i | ) ( | b | + | r | ) R c s b r R s k a p R r j p i = 〈 ∑ p ， r ( − 1 ) ( | p | + | i | ) ( | b | + | r | ) τ b r τ a p R r j p i ， t c k 〉 . 注意到 t c k ， c ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m + n 生成超代数 U ( R ) ，我们有 ∑ p ， r ( − 1 ) ( | p | + | i | ) ( | b | + | j | ) R b r a p τ p i τ r j = ∑ p ， r ( − 1 ) ( | p | + | i | ) ( | b | + | r | ) τ b r τ a p R r j p i ， 即， R X 1 X 2 = X 2 X 1 R 例3.4 对于例2.2中给出的量子包络超代数 U q ( g l m | n ) ，其坐标代数 A q ( g l m | n ) 有一组生成元 τ i j ， i ， j = 1 ， ⋯ ， m + n 满足RTT关系 R X 1 X 2 = X 2 X 1 R ， (3.3) 其中 R 为(2.4)式给出的R-矩阵， X = ∑ i ， j τ i j ⊗ e i j 。具体来说， U q ( g l m | n ) 在V上有自然表示 ρ : U q ( g l m | n ) → End V ，   T ( + ) ↦ R ，   T ( − ) ↦ R − 1 ， 其中， R − 1 = ∑ i q − ( − 1 ) | i | e i i ⊗ e i i + ∑ i ≠ j e i i ⊗ e j j − ( q − q − 1 ) ∑ i < j ( − 1 ) | j | e i j ⊗ e j i 为 R 的逆矩阵，因此，相应的自然表示的矩阵元 τ k l ， k ， l = 1 ， ⋯ ， m + n 满足 〈 τ k l ， t i i + 〉 = q ( − 1 ) | i | δ i l ， 〈 τ k l ， t i i − 〉 = q − ( − 1 ) | i | δ i l ， 〈 τ k l ， t i j + 〉 = δ j k δ i l ( q − q − 1 ) ( − 1 ) | j | ， 〈 τ k l ， t j i − 〉 = − δ i k δ j l ( q − q − 1 ) ( − 1 ) | j | ， i < j . 容易验证，它们满足关系式 ( τ a k ) 2 = 0 ， | a | + | k | = 1 ， τ a k τ b k = ( − 1 ) ( | a | + | k | ) ( | b | + | k | ) q ( − 1 ) | k | τ b k τ a k ， a > b ， τ a k τ a l = ( − 1 ) ( | a | + | k | ) ( | b | + | l | ) q ( − 1 ) | a | τ a l τ a k ， k > l ， τ a k τ a l = ( − 1 ) ( | a | + | k | ) ( | b | + | l | ) q ( − 1 ) | a | τ a l τ a k ， k > l ， τ a k τ b l = ( − 1 ) ( | a | + | k | ) ( | b | + | l | ) τ b l τ a k + ( − 1 ) | a | ( | b | + | l | ) + | b | | l | ( q − q − 1 ) τ b k τ a l ， a > b ， k > l . 这等价于关系式(3.3)成立。 例3.5 对于例2.3中给出的量子包络超代数 U q ( q n ) ，其坐标代数 A q ( q n ) 有一组生成元 τ i j ， i ， j = − n ， ⋯ ， − 1 ， 1 ， ⋯ ， n 满足RTT关系 R X 1 X 2 = X 2 X 1 R ， (3.4) 其中 R 为(2.5)式给出的R-矩阵， X = ∑ i ， j τ i j ⊗ e i j ，具体来说， ρ : U q ( q n ) → End V ， T ↦ R 给出了量子包络超代数 U q ( q n ) 的自然表示，即， ρ ( t i i ) = ∑ j q φ ( j ， i ) e j j ，   ρ ( t i j ) = ( q − q − 1 ) ( − 1 ) | i | ( e j i − e − j ， − i ) . 相应地矩阵元 τ k l ， k ， l = − n ， ⋯ ， − 1 ， 1 ， ⋯ ， n 满足 〈 τ k l ， t i i 〉 = q φ ( l ， i ) δ k l ，   〈 τ k l ， t i j 〉 = ( q − q − 1 ) ( − 1 ) | i | ( δ i l δ j k + δ − i ， l δ − j ， k ) ，   i < j . 容易验证它们满足关系式 q φ ( i ， j ) τ i a τ j b − ( − 1 ) ( | i | + | a | ) ( | j | + | b | ) q φ ( a ， b ) τ j b τ i a = ( − 1 ) | i | | j | | + | j | | b | + | b | | i | ( q − q − 1 ) ( ( δ a < b − δ j < i ) τ j a τ i b + ( − 1 ) | j | + | b | ( δ − a < b − δ j < − i ) τ − j ， a τ − i ， b ) . 即，关系式(3.4)成立。