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user: 3. 主要结果及其证明 定义如下的 C 1 泛函： J λ ( u ) = 1 p ∫ Ω | ∇ u | p d x − λ ∫ Ω F ( x ， u ) d x ， ∀ u ∈ W 0 1 ， p ( Ω ) 。 则 J λ ∈ C 1 ( W 0 1 ， p ( Ω ) ， R ) ，且寻找方程(1)的非平凡解等价于寻找泛函 J λ 的非零临界点。 命题1：设函数 f ( x ， t ) 满足条件(f4)，(f5)，则 ∃ β ， ρ > 0 ， s. t. ∀ u ∈ W 0 1 ， p ( Ω ) ( ‖ u ‖ = ρ ) ，有 J λ ( u ) ≥ β > 0 。 证：由 f ( x ， t ) ∈ C ( Ω ¯ × R ， R ) 及条件(f4)，(f5)成立，则存在常数 c 1 > 0 ，使得 f ( x ， t ) ≤ c 1 | t | q − 1 ， ∀ ( x ， t ) ∈ Ω ¯ × R 。 则 F ( x ， t ) ≤ c 1 q | t | q ， ∀ ( x ， t ) ∈ Ω ¯ × R 。 (2) 所以由(2)式及Sobolev不等式，有 J λ ( u ) = 1 p ‖ u ‖ p − λ ∫ Ω F ( x ， u ) d x ≥ 1 p ‖ u ‖ p − λ ∫ Ω c 1 q | u | q d x ≥ 1 p ‖ u ‖ p − λ c 2 ‖ u ‖ q (3) 其中 c 2 > 0 为常数。因为 p < q ， λ > 0 ，令 ρ > 0 足够小，使 β = 1 p ρ p − λ c 2 ρ q > 0 。 则由(3)式， J λ ( u ) | ∂ B ρ ( 0 ) ≥ β > 0 。 命题2：设函数 f ( x ， t ) 满足条件(f2)，(f5)，则存在 e λ ∈ W 0 1 ， p ( Ω ) 且 ‖ e λ ‖ > ρ ，使得 J λ ( e λ ) < 0 。 证：由条件(f2)，(f5)，则 ∀ ε > 0 ， ∃ m = m ( ε ) > 0 ，s. t. f ( x ， t ) ≥ t p − 1 ε − m ， ∀ ( x ， t ) ∈ Ω ¯ × R 。 则 F ( x ， t ) ≥ 1 p ε t p − m t ， ∀ ( x ， t ) ∈ Ω ¯ × R 。 设 ϕ 1 > 0 ( ‖ ϕ 1 ‖ = 1 ) 是 λ 1 对应的正则特征函数，则 ∫ Ω F ( x ， t ϕ 1 ) t p d x ≥ ∫ Ω ( 1 p ε ϕ 1 p − m ϕ 1 t p − 1 ) d x . (4) 在(4)式中令 t → + ∞ ，则 lim t → + ∞ inf ∫ Ω F ( x ， t ϕ 1 ) t p d x ≥ ∫ Ω 1 p ε ϕ 1 p d x ， 由 ε > 0 是任意的，故当 ε → 0 + 时，可得 lim t → + ∞ ∫ Ω F ( x ， t ϕ 1 ) t p d x = + ∞ 。 从而， J λ ( t ϕ 1 ) t p = 1 p − ∫ Ω F ( x ， t ϕ 1 ) t p d x → − ∞ ( t → + ∞ ) 。 所以当 t 0 > 0 充分大时， ∃ e λ = t 0 ϕ 1 ∈ W 0 1 ， p ( Ω ) 且 ‖ e λ ‖ > ρ ，s. t. J λ ( e λ ) < 0 命题3：设函数 f ( x ， t ) 满足条件(f2)，(f3)，(f5)，则 J λ ( u ) 满足(C)条件。 证：令 { u n } ⊂ W 0 1 ， p ( Ω ) 满足 J λ ( u n ) → c ，且 ( 1 + ‖ u n ‖ ) ‖ J ′ λ ( u n ) ‖ → 0 ( n → ∞ ) . (5) 则 1 p 〈 J ′ λ ( u n ) ， u n 〉 = o ( 1 ) ，从而 ∫ Ω ( λ p f ( x ， u n ) u n − λ F ( x ， u n ) ) d x = c + o ( 1 ) . (6) 下证 { u n } 有界。若不然，假设存在 { u n } 的子序列(仍记为 { u n } )，使得当 n → ∞ 时， ‖ u n ‖ → ∞ 。令 W n = u n ‖ u n ‖ ，则 ‖ W n ‖ = 1 。从而存在 W ∈ W 0 1 ， p ( Ω ) 及 { W n } 的子序列(仍记为 { W n } )，使得当 n → ∞ 时，有 W n → 弱 W 在 W 0 1 ， p ( Ω ) 中；有 W n → 强 W 在 L q ( Ω ) 中； W n ( x ) → W ( x ) a.e. x ∈ Ω . (7) 易见， W + 和 W − 有类似于(7)的收敛性，其中 W ± = max { ± W ， 0 } 。 若 W + ≡ 0 。选取一个实数序列 { t n } ，使得 J λ ( t n u n ) = max t ∈ [ 0 ， 1 ] J λ ( t u n ) 。对任意的正整数k，定义 V n = ( 2 p k ) 1 p W n + ，因为 W + ≡ 0 ，则 lim n → ∞ ∫ Ω F ( x ， V n ) d x = 0 。 (8) 因为 c ‖ u n ‖ → + ∞ ( n → ∞ ) ，则当n充分大时， ( 2 p k ) 1 p ‖ u n ‖ ∈ [ 0 ， 1 ] 。由 t n 的定义及(8)式，得 J λ ( t n u n ) ≥ J λ ( ( 2 p k ) 1 p ‖ u n ‖ u n + ) = J λ ( ( 2 p k ) 1 p W n + ) = J λ ( V n ) ≥ 2 K − λ ∫ Ω F ( x ， V n ) d x ≥ K 。 故 J λ ( t n u n ) → + ∞ ( n → ∞ ) 。 (9) 由条件(f5)知， f ( x ， 0 ) = 0 ，则 J λ ( 0 ) = 0 。又因为 J λ ( u n ) → c   ( n → ∞ ) ，则当n充分大时， 0 < t n < 1 。因此 ∫ Ω | ∇ ( t n u n ) | p d x − λ ∫ Ω f ( x ， t n u n ) t n u n d x = 〈 J ′ λ ( t n u n ) ， t n u n 〉 = t n d J λ ( t u n ) d t | t = t n = 0 (10) 但由 0 ≤ t n ≤ 1 ，则 | t n u n | ≤ | u n | 。从而由(9)，(10)式及条件(f3)，有 ∫ Ω ( λ p f ( x ， u n ) u n − λ F ( x ， u n ) ) d x = λ p ∫ Ω ( f ( x ， u n ) u n − p F ( x ， u n ) ) d x = λ p ∫ Ω G ( x ， u n ) d x ≥ λ p θ ∫ Ω ( G ( x ， t n u n ) − θ 0 ) d x = 1 θ ∫ Ω ( λ p f ( x ， t n u n ) t n u n − λ F ( x ， t n u n ) ) d x − λ θ 0 p θ | Ω | = 1 θ ∫ Ω ( 1 p | ∇ ( t n u n ) | p − λ F ( x ， t n u n ) ) d x − λ θ 0 p θ | Ω | = 1 θ J λ ( t n u n ) − λ θ 0 p θ | Ω | → + ∞   ( n → ∞ ) 这与(6)矛盾。 若 W + > 0 ，由 ‖ u n ‖ → + ∞ ( n → ∞ ) ，则当 n → ∞ 时， u n + → + ∞ a.e. x ∈ Ω + = { x ∈ Ω : W + > 0 } 。由条件(f2)，则 lim n → ∞ f ( x ， u n + ) ( u n + ) p − 1 ( W n + ) p = + ∞ a.e. x ∈ Ω + 。 (11) 由条件(f5)及(5)式，有 o ( 1 ) = 〈 J ′ λ ( u n ) ， u n 〉 = ‖ u n ‖ p − λ ∫ Ω f ( x ， u n ) u n d x ≤ ‖ u n ‖ p − λ ∫ Ω + f ( x ， u n + ) u n + d x = ‖ u n ‖ p ( 1 − λ ∫ Ω + f ( x ， u n + ) ( u n + ) p − 1 ( W n + ) p d x ) ， 则 o ( 1 ) ≤ 1 − λ ∫ Ω + f ( x ， u n + ) ( u n + ) p − 1 ( W n + ) p d x 。 由 λ > 0 ，Fatou引理及(11)式，有 1 ≥ λ lim n → ∞ inf ∫ Ω + f ( x ， u n + ) ( u n + ) p − 1 ( W n + ) p d x = + ∞ 。 这显然是一个矛盾。 综上， { u n } 有界。由Sobolev紧嵌入及标准化方法，可知 { u n } 存在一个收敛子列，即 J λ ( u ) 满足(C)条件。 定理4：设函数 f ( x ， t ) 满足条件(f1)~(f5)，则对每一个 λ > 0 ，方程(1)至少存在两个正解。 证：由命题1~3及变形的山路引理，可知 J λ 有一个临界点 u 0 λ 满足 J λ ( u 0 λ ) ≥ β > 0 。 由 J λ ( 0 ) = 0 ，则 u 0 λ ≠ 0 。又因为 0 = 〈 J ′ λ ( u 0 λ ) ， ( u 0 λ ) − 〉 = ‖ ( u 0 λ ) − ‖ p − λ ∫ Ω f ( x ， u 0 λ ) ( u 0 λ ) − d x = ‖ ( u 0 λ ) − ‖ p ≥ 0 ， 则 ‖ ( u 0 λ ) − ‖ = 0 ，故 u 0 λ ≥ 0 。从而由强极大值原理知 u 0 λ > 0 a.e. x ∈ Ω 。由命题1，s. t. ∃ β ， ρ > 0 ， inf ∂ B ρ ( 0 ) J λ ≥ β > 0 。 下证 − ∞ < inf B ρ ( 0 ) ¯ J λ < 0 。事实上，由条件(f1)及 λ > 0 知，当 t ∈ ( 0 ， ρ ) 足够小时，有 J λ ( t ϕ 1 ) t p = 1 p − λ ∫ Ω F ( x ， t ϕ 1 ) t p d x < 0 。 故 − ∞ < inf B ρ ( 0 ) ¯ J λ < 0 < inf ∂ B ρ ( 0 ) J λ . 从而由欧拉变分原理， ∃ { V n λ } ⊂ B ρ ( 0 ) ⊂ W 0 1 ， p ( Ω ) ， s . t .   ‖ J ′ λ ( V n λ ) ‖ → 0 ， J λ ( V n λ ) → inf u ∈ B ρ ( 0 ) ¯ J λ ( u ) 。 所以 ∃ V 0 λ ∈ B ρ ( 0 ) ¯ ⊂ W 0 1 ， p ( Ω ) ， s t : V n λ → V 0 λ 且 J λ ( V 0 λ ) = inf u ∈ B ρ ( 0 ) ¯ J λ ( u ) ， J ′ λ ( V 0 λ ) = 0 。 因此， V 0 λ 是 J λ 在 B ρ ( 0 ) ¯ 上的一个局部极小值，从而是方程(1)的解。由于 J λ ( V 0 λ ) = inf u ∈ B ρ ( 0 ) ¯ J λ ( u ) < 0 = J λ ( 0 ) < β ≤ J λ ( u 0 λ ) . 故 V 0 λ ≠ u 0 λ 且 V 0 λ ≠ 0 。由条件(f5)及极大值原理知， V 0 λ > 0 a. e. x ∈ Ω 。故方程(1)至少有两个正解 u 0 λ 和 V 0 λ 。