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user: 2. 几个不等式 为了证明主要结果，本节先证明几个微分不等式。往下总假设以下条件成立： (A1) 0 < C 1 ≤ ϕ ( y ) ≤ C 2 ， y ∈ R ； (A2) k 2 ( y ) ≤ C 3 y k ( y ) ， y ∈ R 。 引理1 设 y ( t ) 是方程(1.3)的非平凡解， x ( t ) ∈ C 1 ( [ 0 ， 1 ] ; R ) ，若 y ( t ) ≠ 0 ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ，则成立下面的微分不等式： ( − x 2 p ϕ ( y ) k ( y ′ ) y ) ′ ≥ ( p ϕ ( y ) C 3 x k ( y ′ ) y + C 3 p ϕ ( y ) r ( t ) x 2 − C 3 p ϕ ( y ) x ′ ) 2     − C 3 4 C 2 p [ 2 C 2 p x ′ − r ( t ) x ] 2 + 1 4 C 2 C 1 p ( 4 C 2 C 1 p q + C 3 ( C 1 − C 2 ) r 2 ) x 2 − f ( t ， y ， y ′ ) x 2 y . (2.1) 证明 直接求导，并结合 ( p ϕ ( y ) k ( y ′ ) ) ′ = f ( t ， y ， y ′ ) − r ( t ) k ( y ′ ) − q ( t ) y 及条件(A1)和(A2)得： 证毕。 引理2 设 y ( t ) 是方程(1.3)的非平凡解， x ( t ) ∈ C 1 ( [ 0 ， 1 ] ; R ) ，若 y ( t ) ≠ 0 ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ，则成立下面的微分不等式： ( − x 2 p ϕ ( y ) k ( y ′ ) y ) ′ ≥ q x 2 + p ϕ ( y ) C 3 ( C 3 x ′ − x k ( y ′ ) y ) 2 − C 2 C 3 p x ′ 2 + r k ( y ′ ) − f ( t ， y ， y ′ ) y x 2 . (2.2) 证明 由引理1的证明及条件(A1)和(A2)得： ( − x 2 p ϕ ( y ) k ( y ′ ) y ) ′ ≥ q x 2 + r k ( y ′ ) x 2 y − 2 x x ′ p ϕ ( y ) k ( y ′ ) y + x 2 p ϕ ( y ) k 2 ( y ′ ) C 3 y 2 − f ( t ， y ， y ′ ) x 2 y = q x 2 + p ϕ ( y ) C 3 ( C 3 x ′ − x k ( y ′ ) y ) 2 + r k ( y ′ ) x 2 y − C 3 p ϕ ( y ) x ′ 2 − f ( t ， y ， y ′ ) x 2 y ≥ q x 2 + p ϕ ( y ) C 3 ( C 3 x ′ − x k ( y ′ ) y ) 2 − C 2 C 3 p x ′ 2 + r k ( y ′ ) − f ( t ， y ， y ′ ) y x 2 . 证毕。 引理3 设 y ( t ) 是方程(1.3)的非平凡解， x ( t ) ∈ C 1 ( [ 0 ， 1 ] ; R ) ，若 y ( t ) ≠ 0 ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ，则成立微分不等式： ( − x 2 W ( t ) ) ′ ≥ C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) ( W ( t ) C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) x − x ′ − 1 2 R ¯ ( t ) x ) 2     − C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) ( x ′ + 1 2 R ¯ ( t ) x ) 2 + Q ( t ) x 2 − f ( t ， y ， y ′ ) y Φ ( t ) x 2 . (2.3) 其中 Φ ( t ) ， R ( t ) ∈ C 1 ( ( 0 ， + ∞ ) ; R ) ， W ( t ) = Φ ( t ) p ( t ) [ ϕ ( t ) k ( y ′ ) y + R ( t ) ] ， R ¯ ( t ) = 2 R ( t ) C 2 C 3 + Φ ′ ( t ) Φ ( t ) − r ( t ) C 2 p ( t ) ， Q ( t ) = Φ ( t ) [ q ( t ) − C 3 ( C 2 − C 1 ) 4 C 1 C 2 r 2 ( t ) p ( t ) − r ( t ) C 2 R ( t ) + p ( t ) C 2 C 3 R 2 ( t ) − ( p ( t ) R ( t ) ) ′ ] 。 证明 由 ( p ϕ ( y ) k ( y ′ ) ) ′ = f ( t ， y ， y ′ ) − r ( t ) k ( y ′ ) − q ( t ) y 及条件(A1)和(A2)得： W ′ ( t ) = Φ ′ ( t ) Φ ( t ) W ( t ) + Φ ( t ) [ ( p ( t ) ϕ ( y ) k ( y ′ ) y ) ′ + ( p ( t ) R ( t ) ) ′ ] = Φ ′ ( t ) Φ ( t ) W ( t ) + Φ ( t ) [ f ( t ， y ， y ′ ) − r ( t ) k ( y ′ ) − q ( t ) y y − p ( t ) ϕ ( y ) k ( y ′ ) y ′ y 2 + ( p ( t ) R ( t ) ) ′ ] ≤ Φ ′ ( t ) Φ ( t ) W ( t ) + Φ ( t ) [ f ( t ， y ， y ′ ) y − r ( t ) k ( y ′ ) y − q ( t ) − p ( t ) ϕ ( y ) k 2 ( y ′ ) C 3 y 2 + ( p ( t ) R ( t ) ) ′ ] = Φ ′ ( t ) Φ ( t ) W ( t ) + Φ ( t ) { − q ( t ) + ( p ( t ) R ( t ) ) ′ + f ( t ， y ， y ′ ) y     − 1 ϕ ( y ) [ r ( t ) ϕ ( y ) k ( y ′ ) y + p ( t ) C 3 ( ϕ ( y ) k ( y ′ ) y ) 2 ] } = Φ ′ ( t ) Φ ( t ) W ( t ) + Φ ( t ) { − q ( t ) + C 3 ( C 2 − C 1 ) 4 C 1 C 2 r 2 ( t ) p ( t ) + r ( t ) C 2 R ( t ) − p ( t ) C 2 C 3 R 2 ( t )     + ( p ( t ) R ( t ) ) ′ + ( 2 R ( t ) C 2 C 3 Φ ( t ) − r ( t ) C 2 Φ ( t ) p ( t ) ) W ( t ) − W 2 ( t ) C 2 C 3 Φ 2 ( t ) p ( t ) + f ( t ， y ， y ′ ) y } = Φ ′ ( t ) Φ ( t ) W ( t ) − Φ ( t ) [ q ( t ) − C 3 ( C 2 − C 1 ) 4 C 1 C 2 r 2 ( t ) p ( t ) − r ( t ) C 2 R ( t ) + p ( t ) C 2 C 3 R 2 ( t ) − ( p ( t ) R ( t ) ) ′ ]     + ( 2 R ( t ) C 2 C 3 − r ( t ) C 2 p ( t ) ) W ( t ) − W 2 ( t ) C 2 C 3 Φ ( t ) p ( t ) + f ( t ， y ， y ′ ) y Φ ( t ) = − Φ ( t ) [ q ( t ) − C 3 ( C 2 − C 1 ) 4 C 1 C 2 r 2 ( t ) p ( t ) − r ( t ) C 2 R ( t ) + p ( t ) C 2 C 3 R 2 ( t ) − ( p ( t ) R ( t ) ) ′ ]     + ( 2 R ( t ) C 2 C 3 + Φ ′ ( t ) Φ ( t ) − r ( t ) C 2 p ( t ) ) W ( t ) − W 2 ( t ) C 2 C 3 Φ ( t ) p ( t ) + f ( t ， y ， y ′ ) y Φ ( t ) = − Q ( t ) + R ¯ ( t ) W ( t ) − W 2 ( t ) C 2 C 3 Φ ( t ) p ( t ) + f ( t ， y ， y ′ ) y Φ ( t ) . 因此， [ − x 2 W ( t ) ] ′ ≥ − 2 x x ′ W ( t ) − x 2 ( − Q ( t ) + R ¯ ( t ) W ( t ) − W 2 ( t ) C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) + f ( t ， y ， y ′ ) y Φ ( t ) ) = ( W ( t ) C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) x ) 2 − 2 W ( t ) x C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) x ′     − 2 W ( t ) x C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) 2 R ¯ ( t ) x + ( C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) x ′ ) 2     − ( C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) x ′ ) 2 + ( C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) 2 R ¯ ( t ) x ) 2 − ( C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) 2 R ¯ ( t ) x ) 2 + 2 ( C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) x ′ ) ( C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) 2 R ¯ ( t ) x )     − 2 ( C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) x ′ ) ( C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) 2 R ¯ ( t ) x ) + Q ( t ) x 2 − f ( t ， y ， y ′ ) y Φ ( t ) x 2 = ( W ( t ) C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) x − C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) x ′ − C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) 2 R ¯ ( t ) x ) 2     − ( C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) x ′ + C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) 2 R ¯ ( t ) x ) 2     + Q ( t ) x 2 − f ( t ， y ， y ′ ) y Φ ( t ) x 2 = C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) ( W ( t ) C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) x − x ′ − 1 2 R ¯ ( t ) x ) 2     − C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) ( x ′ + 1 2 R ¯ ( t ) x ) 2 + Q ( t ) x 2 − f ( t ， y ， y ′ ) y Φ ( t ) x 2 . 证毕。