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user: 3. 主要结果 定理 对于任意给定的 T > 0 ，我们给出线性抛物算子的第二类初边值问题 故有 { u t − a i j D i j u + b i D i u + c u = 0 ， ( x 1 ， ⋯ ， x n ， t ) ∈ D ∪ B T ， u | t = 0 = φ ( x 1 ， ⋯ ， x n ) ， ( x 1 ， ⋯ ， x n ) ∈ B 0 = { ( x 1 ， ⋯ ， x n ) | ∑ i = 1 n x i n } ≤ R n ， ∂ u ∂ n | S T = g ( x 1 ， ⋯ ， x n ) ， ( x 1 ， ⋯ ， x n ， t ) ∈ S T = { ( x 1 ， ⋯ ， x n ， t ) | ∑ i = 1 n x i n ≤ R n ， 0 < t ≤ T } . (1) 我们不妨把(1)做一些改变，在(1)式中的第一个式子两边同时乘以 δ i j ，那么(1)式将变成下列形式： { u t δ i j − a i j D i j u δ i j + b i D i u δ i j + c u δ i j = 0 ， ( x 1 ， ⋯ ， x n ， t ) ∈ D ∪ B T ， u | t = 0 = φ ( x 1 ， ⋯ ， x n ) ， ( x 1 ， ⋯ ， x n ) ∈ B 0 = { ( x 1 ， ⋯ ， x n ) | ∑ i = 1 n x i n } ≤ R n ， ∂ u ∂ n | S T = g ( x 1 ， ⋯ ， x n ) ， ( x 1 ， ⋯ ， x n ， t ) ∈ S T = { ( x 1 ， ⋯ ， x n ， t ) | ∑ i = 1 n x i n ≤ R n ， 0 < t ≤ T } . (2) 那么(2)式就变成以下形式： { u t − a i i Δ u + b i D i u + c u = 0 ， ( x 1 ， ⋯ ， x n ， t ) ∈ D ∪ B T ， u | t = 0 = φ ( x 1 ， ⋯ ， x n ) ， ( x 1 ， ⋯ ， x n ) ∈ B 0 = { ( x 1 ， ⋯ ， x n ) | ∑ i = 1 n x i n } ≤ R n ， ∂ u ∂ n | S T = g ( x 1 ， ⋯ ， x n ) ， ( x 1 ， ⋯ ， x n ， t ) ∈ S T = { ( x 1 ， ⋯ ， x n ， t ) | ∑ i = 1 n x i n ≤ R n ， 0 < t ≤ T } ， (3) 在 S T 上的解是唯一的并且连续的依赖于初值 φ ( x 1 ， ⋯ ， x n ) 及它的边界 g ( x 1 ， ⋯ ， x n ) 。 证明：作线性变换 υ = ω ( x 1 ， ⋯ ， x n ) u ( x 1 ， ⋯ ， x n ) ， (4) 其中 ω = R n − ∑ i = 1 n x i n + 1 ，直接计算可得 u t = 1 ω υ t ， u x i = 1 ω υ x i + n x i n − 1 ω 2 υ ，   i = 1 ， ⋯ ， n ， u x i x i = 1 ω υ x i x i + 2 n x i n − 1 ω 2 υ x i + [ ( n − 1 ) x i n − 2 + 2 n x i 2 n − 2 ω ] n ω 2 υ ，   i = 1 ， ⋯ ， n . 于是，新的未知量 υ 满足如下方程 υ t − [ ∑ i = 1 n a i i υ x i x i + 2 n R n − ∑ i = 1 n x i n + 1 ∑ i = 1 n a i i x i n − 1 υ x i + ( ( n − 1 ) ∑ i = 1 n a i i x i n − 2 + 2 n R n − ∑ i = 1 n x i n + 1 ∑ i = 1 n a i i x i 2 n − 2 ) n R n − ∑ i = 1 n x i n + 1 υ ]   + ∑ i = 1 n b i υ x i + n R n − ∑ i = 1 n x i n + 1 ∑ i = 1 n b i x i n − 1 υ + c υ = 0 下面进行整理可得 υ t − ∑ i = 1 n a i i υ x i x i − ( 2 n R n − ∑ i = 1 n x i n + 1 ∑ i = 1 n a i i x i n − 1 − ∑ i = 1 n b i ) υ x i − { n R n − ∑ i = 1 n x i n + 1 [ ( n − 1 ) ∑ i = 1 n a i i x i n − 2 + 2 n R n − ∑ i = 1 n x i n + 1 ∑ i = 1 n a i i x i 2 n − 2 ] − n R n − ∑ i = 1 n x i n + 1 ∑ i = 1 n b i x i n − 1 − c } υ = 0. 下面再次进行变量代换，令 y i = 1 a i i x i ，那么就有 υ x i = υ y i ∂ y i ∂ x i = 1 a i i υ y i ，   υ x i x i = 1 a i i υ y i y i . 故上式的方程可以转化成 υ t − Δ υ − { ∑ i = 1 n 1 a i i ( 2 n R n − ∑ i = 1 n x i n + 1 ∑ i = 1 n a i i x i n − 1 − ∑ i = 1 n b i ) } υ y i − { n R n − ∑ i = 1 n x i n + 1 [ ( n − 1 ) ∑ i = 1 n a i i x i n − 2 + 2 n R n − ∑ i = 1 n x i n + 1 ∑ i = 1 n a i i x i 2 n − 2 ] − n R n − ∑ i = 1 n x i n + 1 ∑ i = 1 n b i x i n − 1 − c } υ = 0 ， 而相应的初始条件和边界条件为 υ | t = 0 = ω ( x 1 ， ⋯ ， x n ) φ ( x 1 ， ⋯ ， x n ) ，   ∂ υ ∂ n + n R n υ | S T = g ( x 1 ， ⋯ ， x n ) . 则得到下列第三类初边值问题具有以下形式。 故有 { υ t − Δ υ − { ∑ i = 1 n 1 a i i ( 2 n R n − ∑ i = 1 n x i n + 1 ∑ i = 1 n a i i x i n − ∑ i = 1 n b i ) } υ y i − { n R n − ∑ i = 1 n x i n + 1 [ ( n − 1 ) ∑ i = 1 n a i i x i n − 2 + 2 n R n − ∑ i = 1 n x i n + 1 ∑ i = 1 n a i i x i 2 n − 2 ] − n R n − ∑ i = 1 n x i n + 1 ∑ i = 1 n b i x i n − 1 − c } υ = 0 ， ( x 1 ， ⋯ ， x n ， t ) ∈ D ∪ B T ， υ | t = 0 = ω ( x 1 ， ⋯ ， x n ) ϕ ( x 1 ， ⋯ ， x n ) ， ( x 1 ， ⋯ ， x n ) ∈ B 0 = { ( x 1 ， ⋯ ， x n ) | ∑ i = 1 n x i n ≤ R n } ， ∂ υ ∂ n + n R n υ | S T = g ( x 1 ， ⋯ ， x n ) ， ( x 1 ， ⋯ ， x n ， t ) ∈ S T = { ( x 1 ， ⋯ ， x n ， t ) | ∑ i = 1 n x i n = R n ， 0 < t ≤ T } . (5) 通过(5)容易看出它满足引理1的条件。那么我们不妨设 υ 是(5)的解，则通过引理1可以得到如下估计 sup D | υ | ≤ e c 0 T max { 1 α 0 sup S T | g | ， sup B 0 | φ | } ， 其中 c 0 = | a i i | C 0 { n 2 ( n − 1 ) ( R n n ) n − 2 + 2 n 3 ( R n n ) 2 n − 2 } ，   α 0 = n R n . 记 A = max { 1 α 0 sup S T | g | ， sup | φ | B 0 } ， 令 μ = e − c 0 t υ ， ω = A ± μ ，由引理1可得 ω = 0 ，则有 υ = 0 ，于是初边值问题(5)的解是唯一的。又有 sup D | υ | ≤ e c 0 T max { 1 α 0 sup S T | g | ， sup B 0 | φ | } ， 所以 | υ | ≤ e c 0 T max { 1 α 0 sup S T | g | ， sup B 0 | φ | } ， 故有初边值问题(5)的解具有适定性。再利用变换公式(4)得到原来的第二初边值问题(3)的解的最大模估计。故有对于任意给定的 T > 0 ，线性抛物算子的第二类初边值问题(3)在 S T 上的解是唯一的并且连续的依赖于它的初值 φ ( x 1 ， ⋯ ， x n ) 及边值 g ( x 1 ， ⋯ ， x n ) 。