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user: 3. 主要结论 接下来介绍几个我们研究的主要结果。 3.1. 全局正解的存在唯一性 定理3.1 对任意给定初值 ( S ( 0 ) ， I ( 0 ) ， R ( 0 ) ) ∈ ℝ + 3 ，模型(1.2)存在一个唯一解 ( S ( t ) ， I ( t ) ， R ( t ) ) ， t ≥ 0 ，并且对所有 t ≥ 0 ，它的解是拟必然(q.s.)正的。 证明：因为方程的系数是局部李普希思连续的，对任意给定的初值 ( S ( 0 ) ， I ( 0 ) ， R ( 0 ) ) ∈ ℝ + 3 在 t ∈ [ 0 ， τ e ) 存在一个唯一局部解 ( S ( t ) ， I ( t ) ， R ( t ) ) ，这里 τ e 是一个爆破时。为了证明解是全局的，我们只需要证明 τ e = ∞ q.s.。首先，我们证明 S ( t ) 和 I ( t ) 不会在有限时间里爆破到无穷的值。设 k 0 > 0 充分大使得 S ( 0 ) ∈ [ 1 k 0 ， k 0 ] 和 I ( 0 ) ∈ [ 1 k 0 ， k 0 ] 同时成立。对每一个整数 k ≥ k 0 ，定义停时： τ k = inf { t ∈ [ 0 ， τ e ) : S ( t ) ∉ ( 1 k ， k ) 或 I ( t ) ∉ ( 1 k ， k ) } (3.1.1) 在本篇论文的范畴内我们假定 inf ∅ = ∞ 。显然， τ k 是随着 k → ∞ 递增的。设 τ ∞ = lim k → ∞ τ k ，所以 τ ∞ ≤ τ e q.s.。如果 τ ∞ = ∞ q.s.成立，则 τ e = ∞ q.s.和 ( S ( t ) ， I ( t ) ) ∈ ℝ + 2 q.s.对 t ≥ 0 成立。换句话说，为了完成证明我们只需证明 τ e = ∞ q.s.。下面运用反证法，假设 τ e = ∞ q.s.不成立，那么存在一组常数 T > 0 和 ε ∈ ( 0 ， 1 ) 使得： C ¯ { τ ∞ ≤ T } > ε 因此存在一个整数 k 1 ≥ k 0 使得： C ¯ { τ k ≤ T } ≥ ε 对一切 k ≥ k 1 成立。 (3.1.2) 接下来我们将使用李雅普诺夫(Lyapunov)分析方法，我们定义一个 C 2 -函数 V : ℝ + 2 → ℝ + 如下： V ( S ， I ) = ( S − a − a log S a ) + ( I − 1 − log I ) (3.1.3) 这里a是一个正常数，稍后会给出定义。这个函数的非负性可以由如下不等式推出： u − 1 − log u ≥ 0 ，对 u > 0 成立 现在令 k ≥ k 0 ， T > 0 是任意的，应用itô公式，我们得到： V ( S ( t ) ， I ( t ) ) = V ( S ( 0 ) ， I ( 0 ) ) + ∫ 0 t ( 1 − a S ( s ) ) σ 1 S ( s ) d B 1 ( s ) + ∫ 0 t ( 1 − 1 I ( s ) ) σ 2 I ( s ) d B 2 ( s )     + ∫ 0 t ( 1 − a S ( s ) ) ( Α − β S ( s ) I ( s ) − μ S ( s ) ) d s + ∫ 0 t ( 1 − 1 I ( s ) ) c 2 I ( s ) d 〈 B 2 ， B 2 〉 s     + 1 2 ∫ 0 t a S 2 ( s ) c 1 2 S 2 ( s ) d 〈 B 1 ， B 1 〉 s + 1 2 ∫ 0 t 1 I 2 ( s ) c 2 2 I 2 ( s ) d 〈 B 2 ， B 2 〉 s = ∫ 0 t ( Λ + a μ + μ + ε + γ ) − ( μ + β ) S ( s ) − a Λ S ( s ) + [ a β − ( μ + ε + γ ) ] I ( s ) d s     + ∫ 0 t σ 1 ( S ( s ) − a ) d B 1 ( s ) + ∫ 0 t σ 2 ( I ( s ) − 1 ) d B 2 ( s ) + V ( S ( 0 ) ， I ( 0 ) )     + ∫ 0 t c 1 S ( s ) − a c 1 + 1 2 c 1 2 a d 〈 B 1 ， B 1 〉 s + ∫ 0 t c 2 I ( s ) − c 2 + 1 2 c 2 2 d 〈 B 2 ， B 2 〉 s 选择 a = μ + ε + γ β 使得 [ a β − ( μ + ε + γ ) ] I = 0 ，令 K = Λ + a μ + ε + μ + γ 则 V ( S ( t ) ， I ( t ) ) ≤ V ( S ( 0 ) ， I ( 0 ) ) + K t + ∫ 0 t σ 1 ( S ( s ) − a ) d B 1 ( s ) + ∫ 0 t σ 2 ( I ( s ) − 1 ) d B 2 ( s )       + ∫ 0 t c 1 S ( s ) − a c 1 + 1 2 c 1 2 a d 〈 B 1 ， B 1 〉 s + ∫ 0 t c 2 I ( s ) − c 2 + 1 2 c 2 2 d 〈 B 2 ， B 2 〉 s 我们现在用 τ k ∧ T 代替t，并且两边取G-期望： E [ V ( S ( τ k ∧ T ) ， I ( τ k ∧ T ) ) ] ≤ V ( S ( 0 ) ， I ( 0 ) ) + E [ ∫ 0 τ k ∧ T c 1 S ( s ) − a c 1 + 1 2 c 1 2 a d 〈 B 1 ， B 1 〉 s ]     + E [ ∫ 0 τ k ∧ T c 2 I ( s ) − c 2 + 1 2 c 2 2 d 〈 B 2 ， B 2 〉 s ] + E [ K ( τ k ∧ T ) ] ≤ V ( S ( 0 ) ， I ( 0 ) ) + E [ ( a c 1 + 1 2 c 1 2 a ) 〈 B 1 ， B 1 〉 T ] + E [ ( c 2 + 1 2 ) 〈 B 2 ， B 2 〉 T ]     + E [ ∫ 0 T c 1 | S ( s ) | 1 τ k d 〈 B 1 ， B 1 〉 s ] + E [ ∫ 0 T c 2 | I ( s ) | 1 τ k d 〈 B 2 ， B 2 〉 s ] + K T ≤ V ( S ( 0 ) ， I ( 0 ) ) + σ 1 ¯ 2 ( a c 1 + 1 2 c 1 2 a ) T + σ 2 ¯ 2 ( c 2 + 1 2 ) T + K T     + σ 1 ¯ 2 E [ ∫ 0 T c 1 | S ( s ) | 1 τ e d s ] + σ 2 ¯ 2 E [ ∫ 0 T c 2 | I ( s ) | 1 τ e d s ] : = C + K ¯ T (3.1.4) 这里， C = V ( S ( 0 ) ， I ( 0 ) ) + σ 1 ¯ 2 E [ ∫ 0 T c 1 | S ( s ) | 1 τ e d s ] + σ 2 ¯ 2 E [ ∫ 0 T c 2 | I ( s ) | 1 τ e d s ] K ¯ = K + σ 1 ¯ 2 ( a c 1 + 1 2 c 1 2 a ) + σ 2 ¯ 2 ( c 2 + 1 2 ) 令 Ω k = τ k ≤ T 并且由(3.1.2) C ¯ ( Ω k ) ≥ ε 。注意到对每个 ε ∈ Ω k ， S ( τ k ， ω ) 或者 I ( τ k ， ω ) 要么等于k 要么等于 1 k ，因此 V ( S ( τ k ， ω ) ， I ( τ k ， ω ) ) 不会小于以下其中一个： k − 1 − log k 或者 1 k − 1 + log k 由(3.1.4)得： C + K ¯ T ≥ E [ 1 Ω k V ( S ( τ k ) ， I ( τ k ) ) ] = sup P ∈ P E P [ 1 Ω k V ( S ( τ k ) ， I ( τ k ) ) ] ≥ ε [ k − 1 − log k ] ∧ [ 1 k − 1 + log k ] 这里 1 Ω k 是 Ω k 的示性函数，令 k → ∞ ，我们有 ∞ > C + K ¯ T = ∞ 这样就推出了矛盾，我们有 τ ∞ = ∞ ，因此 S ( t ) 和 I ( t ) 不会再有限时间内爆破q.s.另外 R ( t ) 可表示为： R ( t ) = e − μ t + σ 3 B 3 ( t ) − 1 2 c 3 〈 B 3 ， B 3 〉 t [ R ( 0 ) + ∫ 0 t e μ s + 1 2 β 〈 B 3 ， B 3 〉 s − σ 3 B 3 ( s ) γ I ( s ) d s     + ∫ 0 t c 3 e μ s + 1 2 β 〈 B 3 ， B 3 〉 s − σ 3 B 3 ( s ) d 〈 B 3 ， B 3 〉 s ] (3.1.5) 因此模型(1.2)的解是全局唯一正解。 □ 3.2. 模型解关于无病均衡点的渐近行为 由前言提到，对于确定性模型存在一个无病均衡点 E 0 = ( Λ μ ， 0 ， 0 ) 并且如果 R 0 = β Λ μ ( μ + ε + γ ) ≤ 1 ，则它是全局稳定的。然而对于我们的随机模型而言，我们的解不会收敛到 E 0 ，但是我们可以研究解在 E 0 附近的渐近行为。 定理3.2 若 R 0 = β Λ μ ( μ + ε + γ ) < 1 并且下列条件满足： 2 μ > 4 c 1 σ 1 ¯ 2 + 2 σ 1 ¯ 2 σ 1 2 + 1 2 σ 12 ¯ 2 σ 1 σ 2 + c 2 σ 2 2 u 2 ( μ + ε + γ ) > 2 c 1 σ 1 ¯ 2 + 2 c 2 σ 2 ¯ 2 + c 2 σ 2 2 + σ 2 ¯ 2 σ 2 2 ，     μ > c 3 σ 3 ¯ 2 则对给定初值 ( S ( 0 ) ， I ( 0 ) ， R ( 0 ) ) ∈ ℝ + 3 ，模型(1.2)的解有以下性质 lim sup t → ∞ 1 t E [ ∫ 0 t ( S ( s ) − Λ μ ) 2 + I ( s ) 2 + R ( s ) ] d s ≤ ( 2 c 1 σ 1 ¯ 2 + 2 σ 1 ¯ 2 σ 1 2 ) Λ 2 μ 2 K 1 + σ 12 ¯ 2 σ 1 σ 2 Λ μ K 1 + 1 2 K 1 σ 12 ¯ 2 σ 1 σ 2 + 1 2 K 1 σ 2 ¯ 2 d 1 (3.2.1) 这里 K 1 = min { 2 μ − 4 c 1 σ 1 ¯ 2 − 2 σ 1 ¯ 2 σ 1 2 − 1 2 σ 12 ¯ 2 σ 1 σ 2 − c 2 σ 2 2 ， d 2 μ − σ 3 ¯ 2 d 2 c 3 ，                             2 ( μ + ε + γ ) − 2 c 1 σ 1 ¯ 2 − 2 c 2 σ 2 ¯ 2 − c 2 σ 2 2 − σ 2 ¯ 2 σ 2 2 − 1 2 σ 2 ¯ 2 d 1 } 证明：首先我们作一个变换 u = S − Λ μ ， v = I ， w = R ，则模型(1.2)可以写成 { d u ( t ) = ( − μ u ( t ) − β u ( t ) v ( t ) − β Λ μ v ( t ) ) d t + σ 1 ( u ( t ) + Λ μ ) d B 1 ( t ) + c 1 ( u ( t ) + Λ μ ) d 〈 B 1 ， B 1 〉 t ， d v ( t ) = [ β u ( t ) v ( t ) − ( μ + ε + γ − β Λ μ ) v ( t ) ] d t + σ 2 v ( t ) d B 2 ( t ) + c 2 v ( t ) d 〈 B 2 ， B 2 〉 t ， d w ( t ) = ( γ v ( t ) − μ w ( t ) ) d t + σ 3 w ( t ) d B 3 ( t ) + c 3 w ( t ) d 〈 B 3 ， B 3 〉 t ， 并且 u ∈ R ， v > 0 ， w > 0 。定义一个函数： V ( u ， v ， w ) = ( u + v ) 2 + d 1 v + d 2 w 这里 d 1 ， d 2 是一个正常数稍后给出定义，V是一个正定函数且由itô公式： V ( u ， v ， w ) = V ( u ( 0 ) ， v ( 0 ) ， w ( 0 ) ) + ∫ 0 t L V d s + ∫ 0 t 2 σ 1 ( u ( s ) + Λ μ ) ( u ( s ) + v ( s ) ) d B 1 ( s )     + ∫ 0 t σ 2 ( 2 u ( s ) + 2 v ( s ) + d 1 ) v ( s ) d B 2 ( s ) + ∫ 0 t d 2 σ 3 w ( s ) d B 3 ( s )     + ∫ 0 t ( 2 u ( s ) + 2 v ( s ) + d 1 ) c 2 v ( s ) + σ 2 2 v ( s ) 2 d 〈 B 2 ， B 2 〉 s     + ∫ 0 t 2 σ 1 σ 2 ( u ( s ) + Λ μ ) v ( s ) d 〈 B 1 ， B 2 〉 s 其中： L V = 2 ( u + v ) [ − μ u − ( μ + ε + γ ) v ] + d 1 [ β u v − ( μ + ε + γ − β Λ μ ) v ] + d 2 ( γ v − μ w ) = − 2 μ u 2 − 2 ( μ + ε + γ ) v 2 − d 2 μ w + [ d 1 β − 2 ( 2 μ + ε + γ ) ] u v + [ d 2 γ − d 1 β Λ μ ( 1 R 0 − 1 ) ] v 然后我们取期望并通过性质2.1和基本不等式得： 0 ≤ E V ( u ， v ， w ) ≤ E V ( u ( 0 ) ， v ( 0 ) ， w ( 0 ) )   + E ∫ 0 t ( 4 c 1 σ 1 ¯ 2 + 2 σ 1 ¯ 2 σ 1 2 − 2 μ + 1 2 σ 12 ¯ 2 σ 1 σ 2 + c 2 σ 2 2 ) u 2   + [ 2 c 1 σ 1 ¯ 2 + 2 c 2 σ 2 ¯ 2 + c 2 σ 2 2 + σ 2 ¯ 2 σ 2 2 − 2 ( μ + ε + γ ) + 1 2 σ 2 ¯ 2 d 1 ] v 2   + [ d 1 β − 2 ( 2 μ + ε + γ ) ] u v + [ d 2 γ − d 1 β Λ μ ( 1 R 0 − 1 ) ] v + ( σ 3 ¯ 2 d 2 c 3 − d 2 μ ) w d s   + ( 2 c 1 σ 1 ¯ 2 + 2 σ 1 ¯ 2 σ 1 2 ) Λ 2 μ 2 t + σ 12 ¯ 2 σ 1 σ 2 Λ μ t + 1 2 σ 12 ¯ 2 σ 1 σ 2 t + 1 2 σ 2 ¯ 2 d 1 t 我们选择 d 1 使得 d 1 β − 2 ( 2 μ + ε + γ ) = 0 即 d 1 = 2 ( 2 μ + ε + γ ) β ，除此之外，注意到 R 0 < 1 ，我们可以选择 d 2 > 0 使得 d 2 γ − d 1 β Λ μ ( 1 R 0 − 1 ) = 0 ，则 d 2 = 2 Λ ( 1 − R 0 ) ( 2 μ + ε + γ ) μ γ R 0 。因此我们得到： 0 ≤ E V ( u ， v ， w ) ≤ E V ( u ( 0 ) ， v ( 0 ) ， w ( 0 ) )   + E ∫ 0 t ( 4 c 1 σ 1 ¯ 2 + 2 σ 1 ¯ 2 σ 1 2 − 2 μ + 1 2 σ 12 ¯ 2 σ 1 σ 2 + c 2 σ 2 2 ) u 2   + [ 2 c 1 σ 1 ¯ 2 + 2 c 2 σ 2 ¯ 2 + c 2 σ 2 2 + σ 2 ¯ 2 σ 2 2 − 2 ( μ + ε + γ ) + 1 2 σ 2 ¯ 2 d 1 ] v 2   + ( σ 3 ¯ 2 d 2 c 3 − d 2 μ ) w d s + ( 2 c 1 σ 1 ¯ 2 + 2 σ 1 ¯ 2 σ 1 2 ) Λ 2 μ 2 t   + σ 12 ¯ 2 σ 1 σ 2 Λ μ t + 1 2 σ 12 ¯ 2 σ 1 σ 2 t + 1 2 σ 2 ¯ 2 d 1 t 这说明了： E ∫ 0 t ( 2 μ − 4 c 1 σ 1 ¯ 2 − 2 σ 1 ¯ 2 σ 1 2 − 1 2 σ 12 ¯ 2 σ 1 σ 2 − c 2 σ 2 2 ) u 2 + ( d 2 μ − σ 3 ¯ 2 d 2 c 3 ) w + [ 2 ( μ + ε + γ ) − 2 c 1 σ 1 ¯ 2 − 2 c 2 σ 2 ¯ 2 − c 2 σ 2 2 − σ 2 ¯ 2 σ 2 2 − 1 2 σ 2 ¯ 2 d 1 ] v 2 d s ≤ E V ( u ( 0 ) ， v ( 0 ) ， w ( 0 ) ) + ( 2 c 1 σ 1 ¯ 2 + 2 σ 1 ¯ 2 σ 1 2 ) Λ 2 μ 2 t + σ 12 ¯ 2 σ 1 σ 2 Λ μ t   + 1 2 σ 12 ¯ 2 σ 1 σ 2 t + 1 2 σ 2 ¯ 2 d 1 t 因此： lim sup t → ∞ 1 t E ∫ 0 t ( 2 μ − 4 c 1 σ 1 ¯ 2 − 2 σ 1 ¯ 2 σ 1 2 − 1 2 σ 12 ¯ 2 σ 1 σ 2 − c 2 σ 2 2 ) u 2 + ( d 2 μ − σ 3 ¯ 2 d 2 c 3 ) w + [ 2 ( μ + ε + γ ) − 2 c 1 σ 1 ¯ 2 − 2 c 2 σ 2 ¯ 2 − c 2 σ 2 2 − σ 2 ¯ 2 σ 2 2 − 1 2 σ 2 ¯ 2 d 1 ] v 2 d s ≤ ( 2 c 1 σ 1 ¯ 2 + 2 σ 1 ¯ 2 σ 1 2 ) Λ 2 μ 2 + σ 12 ¯ 2 σ 1 σ 2 Λ μ + 1 2 σ 12 ¯ 2 σ 1 σ 2 + 1 2 σ 2 ¯ 2 d 1 如果令 K 1 = min { 2 μ − 4 c 1 σ 1 ¯ 2 − 2 σ 1 ¯ 2 σ 1 2 − 1 2 σ 12 ¯ 2 σ 1 σ 2 − c 2 σ 2 2 ， d 2 μ − σ 3 ¯ 2 d 2 c 3 ，                             2 ( μ + ε + γ ) − 2 c 1 σ 1 ¯ 2 − 2 c 2 σ 2 ¯ 2 − c 2 σ 2 2 − σ 2 ¯ 2 σ 2 2 − 1 2 σ 2 ¯ 2 d 1 } 则 lim sup t → ∞ 1 t E [ ∫ 0 t ( S ( s ) − Λ μ ) 2 + I ( s ) 2 + R ( s ) ] d s ≤ ( 2 c 1 σ 1 ¯ 2 + 2 σ 1 ¯ 2 σ 1 2 ) Λ 2 μ 2 K 1 + σ 12 ¯ 2 σ 1 σ 2 Λ μ K 1 + 1 2 K 1 σ 12 ¯ 2 σ 1 σ 2 + 1 2 K 1 σ 2 ¯ 2 d 1 □ 3.3. 模型解关于有病均衡点的渐近行为 现在我们假设 R 0 > 1 ，我们介绍了确定性模型有病均衡点是 E * = ( μ + ε + γ β ， Λ μ + ε + γ − μ β ， Λ γ μ ( μ + ε + γ ) − γ β ) ，然而在模型(1.2)中并不存在有病均衡点，但是我们可以研究是否其解在有病均衡点附近，下面的定理给出了肯定的答案。 定理3.3 如果 R 0 = β Λ μ ( μ + ε + γ ) > 1 ，并且下列条件满足： μ > 3 2 σ 1 ¯ 2 c 1 + 1 2 σ 1 ¯ 2 σ 1 2 + 1 2 σ 2 ¯ 2 c 2 + σ 12 σ 1 2 4 ，   μ > 2 σ 3 ¯ 2 c 3 + σ 3 ¯ 2 σ 3 2 2 ( μ + ε + γ ) > σ 1 2 c 1 + 3 σ 2 ¯ 2 c 2 + σ 2 ¯ 2 σ 2 2 + σ 2 ¯ 2 c 2 a + 1 2 σ 12 ¯ σ 2 2 ，   ( a = 2 μ + ε + γ β ) 则对任意给定初值 ( S ( 0 ) ， I ( 0 ) ， R ( 0 ) ) ∈ ℝ + 3 ，模型(1.2)的解有如下性质： lim sup t → ∞ 1 t E ∫ 0 t ( S − f 1 2 e 1 S * ) 2 + ( I − f 2 2 e 2 I * ) 2 + ( R − f 3 2 e 3 R * ) 2 d s ≤ K σ M ， 这里： 0 < p < 2 ( μ + ε + γ ) − ( σ 1 2 c 1 + 3 σ 2 ¯ 2 c 2 + σ 2 ¯ 2 σ 2 2 + a c 2 σ 2 ¯ 2 + 1 2 σ 12 ¯ σ 2 2 ) γ 2 ， K σ = C 1 + C 2 + C 3 + σ 1 ¯ 2 c 2 2 ( I * ) 2 2 σ 1 2 + σ 2 ¯ 2 ( σ 2 2 a I * 2 + a c 2 + σ 2 ¯ 2 c 2 S * 4 ) ， M = min { e 1 ， e 2 ， e 3 } e 1 = μ − 3 2 σ 1 ¯ 2 c 1 − 1 2 σ 1 ¯ 2 σ 1 2 − σ 2 ¯ 2 c 2 2 − σ 12 σ 1 2 4 ，   f 1 = 2 μ − σ 1 ¯ 2 c 1 ，   C 1 = f 1 2 S * 4 e 1 ( S * ) 2 + σ 1 ¯ 2 c 1 4 ( S * ) 2 ， e 2 = μ + ε + γ − p γ 2 2 μ − σ 1 ¯ 2 c 1 2 − 3 2 σ 2 ¯ 2 c 2 − 1 2 σ 2 ¯ 2 σ 2 2 − σ 2 ¯ 2 a c 2 − 1 4 σ 12 ¯ σ 2 2 f 2 = 2 ( μ + ε + γ ) − p γ 2 μ − σ 2 ¯ 2 c 2 ， C 2 = f 2 2 4 e 2 ( I * ) 2 + p γ 2 2 μ ( I * ) 2 + σ 1 ¯ 2 c 2 2 2 σ 1 2 ( I * ) 2 σ 2 ¯ 2 c 2 2 2 σ 2 2 ( I * ) 2 e 3 = p μ 2 − σ 3 ¯ 2 p c 3 − 1 2 σ 3 ¯ 2 p σ 3 2 ，   f 3 = p ( μ − σ 3 ¯ 2 c 3 ) ，   C 3 = f 3 2 4 e 3 ( R * ) 2 + 1 4 p c 3 σ 3 ¯ 2 ( R * ) 2 证明：定义一个 C 2 -函数V： ℝ + 3 → ℝ + ： V ( x ) = 1 2 ( S − S * + I − I * ) 2 + a ( I − I * − I * log I I * ) + 1 2 p ( R − R * ) 2 (3.3.1) 这里 a > 0 ， p > 0 ，稍后会给出定义。为了方便，我们将(3.3.1)拆成两个函数： V 1 ( x ) = 1 2 ( S − S * + I − I * ) 2 + a ( I − I * − I * log I I * ) ， V 2 ( x ) = 1 2 p ( R − R * ) 2 由itô公式我们算得： d V 1 ( S ， I ， R ) = L V 1 d t + ( S − S * + I − I * ) σ 1 S d B 1 + [ ( S − S * + I − I * ) + a ( 1 − I * I ) ] σ 2 I d B 2     + [ ( S − S * + I − I * ) c 1 S + 1 2 σ 1 2 S 2 ] d 〈 B 1 〉 + σ 1 σ 2 S I d 〈 B 1 ， B 2 〉     + [ ( S − S * + I − I * + a − a I * I ) c 2 I + 1 2 ( 1 + a I * 1 I 2 ) σ 2 2 I 2 ] d 〈 B 2 〉 同理： d V 2 ( S ， I ， R ) = L V 2 d t + p ( R − R * ) σ 3 R d B 3 + [ p ( R − R * ) c 3 R + 1 2 p σ 3 2 R 2 ] d 〈 B 3 〉 其中， L V 1 = ( S − S * + I − I * ) [ − μ ( S − S * ) − ( μ + ε + γ ) ( I − I * ) ] + a ( I − I * ) [ β S − ( μ + ε + γ ) ] = − μ ( S − S * ) 2 − ( μ + ε + γ ) ( I − I * ) 2 − ( 2 μ + ε + γ ) ( S − S * ) ( I − I * ) + a ( I − I * ) [ β S − β S * ] = − μ ( S − S * ) 2 − ( μ + ε + γ ) ( I − I * ) 2 + ( a β − 2 μ − ε − γ ) ( S − S * ) ( I − I * ) L V 2 = p ( R − R * ) ( γ I − μ R ) = p ( R − R * ) [ γ ( I − I * ) − μ ( R − R * ) ] = p γ ( I − I * ) ( R − R * ) − p μ ( R − R * ) 2 ≤ p γ 2 2 μ ( I − I * ) 2 − p μ 2 ( R − R * ) 2 因此， d V = d V 1 + d V 2 = ( L V 1 + L V 2 ) d t + ( S − S * + I − I * ) σ 1 S d B 1 + p ( R − R * ) σ 3 R d B 3     + [ ( S − S * + I − I * ) + a ( 1 − I * I ) ] σ 2 I d B 2 + [ ( S − S * + I − I * ) c 1 S + 1 2 σ 1 2 S 2 ] d 〈 B 1 〉     + [ ( S − S * + I − I * + a − a I * I ) c 2 I + 1 2 ( 1 + a I * 1 I 2 ) σ 2 2 I 2 ] d 〈 B 2 〉     + [ p ( R − R * ) c 3 R + 1 2 p σ 3 2 R 2 ] d 〈 B 3 〉 + σ 1 σ 2 S I d 〈 B 1 ， B 2 〉 两边同时取期望得： 0 ≤ E V ( S ， I ， R ) = E V ( S ( 0 ) ， I ( 0 ) ， R ( 0 ) ) + ∫ 0 t L V 1 + L V 2 d s       + E ∫ 0 t [ ( c 1 + 1 2 σ 1 2 ) S 2 − c 1 S * S + c 1 S I − c 1 I * S ] d 〈 B 1 〉 s       + E ∫ 0 t c 2 ( S − S * + I − I * ) I + a c 2 ( I − I * ) + 1 2 σ 2 2 ( I 2 + a I * ) d 〈 B 2 〉 s       + E ∫ 0 t p c 3 R 2 − p c 3 R * R + 1 2 p σ 3 2 R 2 d 〈 B 3 〉 s + E ∫ 0 t σ 1 σ 2 S I d 〈 B 1 ， B 2 〉 s ≤ E V ( S ( 0 ) ， I ( 0 ) ， R ( 0 ) ) + E ∫ 0 t L V 1 + L V 2 d s + σ 1 ¯ 2 E ∫ 0 t c 1 ( S − 1 2 S * ) 2     + 1 2 σ 1 2 [ S − c 2 σ 1 2 I * ] 2 + c 1 S I d s + σ 2 ¯ 2 E ∫ 0 t c 2 ( I − 1 2 S * ) 2     + 1 2 σ 2 2 ( I − c 2 σ 2 2 I * ) 2 + c 2 S I + a c 2 I 2 + 1 2 σ 2 2 a I * + a c 2 d s     + σ 3 ¯ 2 E ∫ 0 t p c 3 ( R − 1 2 R * ) 2 + 1 2 p σ 3 2 R 2 d s + E ∫ 0 t 1 2 σ 12 ¯ σ 1 σ 2 S I d s ≤ E V ( S ( 0 ) ， I ( 0 ) ， R ( 0 ) ) + E ∫ 0 t − μ ( S − S * ) 2 − ( μ + ε + γ ) ( I − I * ) 2     + ( a β − 2 μ − ε − γ ) ( S − S * ) ( I − I * ) + p γ 2 2 μ ( I − I * ) 2 − p μ 2 ( R − R * ) 2     + σ 1 ¯ 2 c 1 ( S − 1 2 S * ) 2 + σ 1 ¯ 2 σ 1 2 2 ( S − c 2 σ 1 2 I * ) 2 + σ 1 ¯ 2 c 1 S I     + σ 2 ¯ 2 σ 2 ( 1 + a ) ( I − 1 2 I * ) 2 + σ 2 ¯ 2 c 2 S I + 1 2 σ 2 ¯ 2 a σ 2 2 I * I     + 1 2 σ 2 ¯ 2 σ 2 2 ( I − c 2 σ 2 2 I * ) 2 + p σ 3 ¯ 2 c 3 ( R − 1 2 R * ) 2 + σ 3 ¯ 2 p σ 3 2 R 2 + 1 2 σ 12 ¯ σ 1 σ 2 S I d s ≤ E V ( S ( 0 ) ， I ( 0 ) ， R ( 0 ) ) + E ∫ 0 t F 1 ( s ) + F 2 ( s ) + F 3 ( s ) d s     + σ 1 ¯ 2 c 2 2 ( I * ) 2 2 σ 1 2 t + σ 2 ¯ 2 ( σ 2 2 a I * 2 + a c 2 + σ 2 ¯ 2 c 2 S * 4 ) t 在上述不等式中我们取 a = 2 μ + ε + γ β 并且使用了基本不等式 a b ≤ a 2 + b 2 2 ， F 1 ( s ) ，   F 2 ( s ) ，   F 3 ( s ) 如下： F 1 ( s ) = − e 1 ( S − f 1 2 e 1 S * ) 2 + C 1 e 1 = μ − 3 2 σ 1 ¯ 2 c 1 − 1 2 σ 1 ¯ 2 σ 1 2 − σ 2 ¯ 2 c 2 2 − σ 12 σ 1 2 4 f 1 = 2 μ − σ 1 ¯ 2 c 1 ，   C 1 = f 1 2 S * 4 e 1 ( S * ) 2 + σ 1 ¯ 2 c 1 4 ( S * ) 2 F 2 ( s ) = − e 2 ( I − f 2 2 e 2 I * ) 2 + C 2 e 2 = μ + ε + γ − p γ 2 2 μ − σ 1 ¯ 2 c 1 2 − 3 2 σ 2 ¯ 2 c 2 − 1 2 σ 2 ¯ 2 σ 2 2 − σ 2 ¯ 2 a c 2 − 1 4 σ 12 σ 2 2 f 2 = 2 ( μ + ε + γ ) − p γ 2 μ − σ 2 ¯ 2 c 2 C 2 = f 2 2 4 e 2 ( I * ) 2 + p γ 2 2 μ ( I * ) 2 + σ 1 ¯ 2 c 2 2 2 σ 1 2 ( I * ) 2 σ 2 ¯ 2 c 2 2 2 σ 2 2 ( I * ) 2 F 3 ( s ) = − e 3 ( R − f 3 2 e 3 R * ) 2 + C 3 e 3 = p μ 2 − σ 3 ¯ 2 p c 3 − 1 2 σ 3 ¯ 2 p σ 3 2 ，   f 3 = p ( μ − σ 3 ¯ 2 c 3 ) ，   C 3 = f 3 2 4 e 3 ( R * ) 2 + 1 4 p c 3 σ 3 ¯ 2 ( R * ) 2 由定理条件我们知道 2 ( μ + ε + γ ) − ( σ 1 2 c 1 + 3 σ 2 ¯ 2 c 2 + σ 2 ¯ 2 σ 2 2 + a c 2 σ 2 ¯ 2 + 1 2 σ 12 ¯ σ 2 2 ) > 0 ，所以我们可以选择 0 < p < 2 ( μ + ε + γ ) − ( σ 1 2 c 1 + 3 σ 2 ¯ 2 c 2 + σ 2 ¯ 2 σ 2 2 + a c 2 σ 2 ¯ 2 + 1 2 σ 12 σ 2 2 ) γ 2 。除此之外，其他的条件说明了 e i > 0 ，   f i > 0 ，对 i = 1 ， 2 ， 3 。 经过简单地整理我们获得 E ∫ 0 t e 1 ( S − f 1 2 e 1 S * ) 2 + e 2 ( I − f 2 2 e 2 I * ) 2 + e 3 ( R − f 3 2 e 3 R ) 2 d s ≤ V ( S ( 0 ) ， I ( 0 ) ， R ( 0 ) ) + K σ t 其中， K σ = C 1 + C 2 + C 3 + σ 1 ¯ 2 c 2 2 ( I * ) 2 2 σ 1 2 + σ 2 ¯ 2 ( σ 2 2 a I * 2 + a c 2 + σ 2 ¯ 2 c 2 S * 4 ) 。 两边同时除以t并且令 t → ∞ ，我们得到： lim sup t → ∞ 1 t E ∫ 0 t e 1 ( S − f 1 2 e 1 S * ) 2 + e 2 ( I − f 2 2 e 2 I * ) 2 + e 3 ( R − f 3 2 e 3 R * ) 2 d s ≤ K σ 令 M = min { e 1 ， e 2 ， e 3 } ，则容易得到： lim sup t → ∞ 1 t E ∫ 0 t ( S − f 1 2 e 1 S * ) 2 + ( I − f 2 2 e 2 I * ) 2 + ( R − f 3 2 e 3 R * ) 2 d s ≤ K σ M □