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user: 3. 主要内容 定义1：设 u 1 ( t ) ， u 2 ( t ) ∈ U [ 0 ， T ] ，定义 d ( u 1 ( t ) ， u 2 ( t ) ) = [ E ∫ 0 T | u 1 ( t ) − u 2 ( t ) | 2 ] 1 2 。 时滞系统状态方程解的估计在最优控制理论中具有重要意义，下面我们用两种方法给出关于时滞系统解的估计的证明。 定理1：在假设条件(A1)下，设 u 1 ( t ) ， u 2 ( t ) ∈ U [ 0 ， T ] ，其对应的状态轨迹分别设为 x 1 ( t ) ， x 2 ( t ) ，则存在常数C使得 E [ sup 0 ≤ t ≤ T | x 1 ( t ) − x 2 ( t ) | 2 ] ≤ C d ( u 1 ( t ) ， u 2 ( t ) ) 2 。 证明: (方法一) 利用Cauchy-Schwarz不等式及假设条件(A1)可得 E [ sup 0 ≤ t ≤ T | x 1 ( t ) − x 2 ( t ) | 2 ] ≤ C { E ∫ 0 T | b ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t − δ 1 ) ， u 1 ( t ) ， u 1 ( t − δ 2 ) ) − b ( t ， x 2 ( t ) ， x 2 ( t − δ 1 ) ， u 2 ( t ) ， u 2 ( t − δ 2 ) ) | 2 d t       + E ∫ 0 T | σ ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t − δ 1 ) ， u 1 ( t ) ， u 1 ( t − δ 2 ) ) − σ ( t ， x 2 ( t ) ， x 2 ( t − δ 1 ) ， u 2 ( t ) ， u 2 ( t − δ 2 ) ) | 2 d t } (3) E ∫ 0 T | b ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t − δ 1 ) ， u 1 ( t ) ， u 1 ( t − δ 2 ) ) − b ( t ， x 2 ( t ) ， x 2 ( t − δ 1 ) ， u 2 ( t ) ， u 2 ( t − δ 2 ) ) | 2 d t ≤ E ∫ 0 T | b ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t − δ 1 ) ， u 1 ( t ) ， u 2 ( t − δ 2 ) ) − b ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t − δ 1 ) ， u 2 ( t ) ， u 2 ( t − δ 2 ) ) | 2 d t     + E ∫ 0 T | b ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t − δ 1 ) ， u 2 ( t ) ， u 2 ( t − δ 2 ) ) − b ( t ， x 1 ( t ) ， x 2 ( t − δ 1 ) ， u 2 ( t ) ， u 2 ( t − δ 2 ) ) | 2 d t     + E ∫ 0 T | b ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t − δ 1 ) ， u 1 ( t ) ， u 1 ( t − δ 2 ) ) − b ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t − δ 1 ) ， u 1 ( t ) ， u 2 ( t − δ 2 ) ) | 2 d t     + E ∫ 0 T | b ( t ， x 1 ( t ) ， x 2 ( t − δ 1 ) ， u 2 ( t ) ， u 2 ( t − δ 2 ) ) − b ( t ， x 2 ( t ) ， x 2 ( t − δ 1 ) ， u 2 ( t ) ， u 2 ( t − δ 2 ) ) | 2 d t ≤ E ∫ 0 T | u 1 ( t ) − u 2 ( t ) | 2 d t + E ∫ 0 T | u 1 ( t − δ 2 ) − u 2 ( t − δ 2 ) | 2 d t     + E ∫ 0 T | x 1 ( t ) − x 2 ( t ) | 2 d t + E ∫ 0 T | x 1 ( t − δ 1 ) − x 2 ( t − δ 1 ) | 2 d t (4) 利用变量代换 E ∫ 0 T | u 1 ( t − δ 2 ) − u 2 ( t − δ 2 ) | 2 d t = E ∫ − δ 2 T − δ 2 | u 1 ( t ) − u 2 ( t ) | 2 d t = E ∫ − δ 2 0 | u 1 ( t ) − u 2 ( t ) | 2 d t + E ∫ 0 T − δ 2 | u 1 ( t ) − u 2 ( t ) | 2 d t ≤ E ∫ 0 T | u 1 ( t ) − u 2 ( t ) | 2 d t = d ( u 1 ( t ) ， u 2 ( t ) ) 2 (5) 同理 E ∫ 0 T | x 1 ( t − δ 2 ) − x 2 ( t − δ 2 ) | 2 d t = E ∫ − δ 2 T − δ 2 | x 1 ( t ) − x 2 ( t ) | 2 d t = E ∫ − δ 2 0 | x 1 ( t ) − x 2 ( t ) | 2 d t + E ∫ 0 T − δ 2 | x 1 ( t ) − x 2 ( t ) | 2 d t ≤ E ∫ 0 T | x 1 ( t ) − x 2 ( t ) | 2 d t (6) 将(5) (6)代入(4)得 E ∫ 0 T | b ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t − δ 1 ) ， u 1 ( t ) ， u 1 ( t − δ 2 ) ) − b ( t ， x 2 ( t ) ， x 2 ( t − δ 1 ) ， u 2 ( t ) ， u 2 ( t − δ 2 ) ) | 2 d t ≤ E ∫ 0 T | u 1 ( t ) − u 2 ( t ) | 2 d t + E ∫ 0 T | u 1 ( t − δ 2 ) − u 2 ( t − δ 2 ) | 2 d t       + E ∫ 0 T | x 1 ( t ) − x 2 ( t ) | 2 d t + E ∫ 0 T | x 1 ( t − δ 2 ) − x 2 ( t − δ 2 ) | 2 d t ≤ d ( u 1 ( t ) ， u 2 ( t ) ) + E ∫ 0 T | x 1 ( t ) − x 2 ( t ) | 2 d t (7) 上述结论中当b换成 σ 时结论显然成立，则有 E ∫ 0 T | σ ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t − δ 1 ) ， u 1 ( t ) ， u 1 ( t − δ 2 ) ) − σ ( t ， x 2 ( t ) ， x 2 ( t − δ 1 ) ， u 2 ( t ) ， u 2 ( t − δ 2 ) ) | 2 d t ≤ E ∫ 0 T | σ ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t − δ 1 ) ， u 1 ( t ) ， u 2 ( t − δ 2 ) ) − σ ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t − δ 1 ) ， u 2 ( t ) ， u 2 ( t − δ 2 ) ) | 2 d t     + E ∫ 0 T | σ ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t − δ 1 ) ， u 2 ( t ) ， u 2 ( t − δ 2 ) ) − σ ( t ， x 1 ( t ) ， x 2 ( t − δ 1 ) ， u 2 ( t ) ， u 2 ( t − δ 2 ) ) | 2 d t     + E ∫ 0 T | σ ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t − δ 1 ) ， u 1 ( t ) ， u 1 ( t − δ 2 ) ) − σ ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t − δ 1 ) ， u 1 ( t ) ， u 2 ( t − δ 2 ) ) | 2 d t     + E ∫ 0 T | σ ( t ， x 1 ( t ) ， x 2 ( t − δ 1 ) ， u 2 ( t ) ， u 2 ( t − δ 2 ) ) − σ ( t ， x 2 ( t ) ， x 2 ( t − δ 1 ) ， u 2 ( t ) ， u 2 ( t − δ 2 ) ) | 2 d t ≤ E ∫ 0 T | u 1 ( t ) − u 2 ( t ) | 2 d t + E ∫ 0 T | u 1 ( t − δ 2 ) − u 2 ( t − δ 2 ) | 2 d t     + E ∫ 0 T | x 1 ( t ) − x 2 ( t ) | 2 d t + E ∫ 0 T | x 1 ( t − δ 2 ) − x 2 ( t − δ 2 ) | 2 d t ≤ d ( u 1 ( t ) ， u 2 ( t ) ) + E ∫ 0 T | x 1 ( t ) − x 2 ( t ) | 2 d t (8) 将(7) (8)代入(3) E [ sup 0 ≤ t ≤ T | x 1 ( t ) − x 2 ( t ) | 2 ] ≤ C { E ∫ 0 T | b ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t − δ 1 ) ， u 1 ( t ) ， u 1 ( t − δ 2 ) ) − b ( t ， x 2 ( t ) ， x 2 ( t − δ 1 ) ， u 2 ( t ) ， u 2 ( t − δ 2 ) ) | 2 d t     + E ∫ 0 T | σ ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t − δ 1 ) ， u 1 ( t ) ， u 1 ( t − δ 2 ) ) − σ ( t ， x 2 ( t ) ， x 2 ( t − δ 1 ) ， u 2 ( t ) ， u 2 ( t − δ 2 ) ) | 2 d t } ≤ C { d ( u 1 ( t ) ， u 2 ( t ) ) 2 + ∫ 0 T E [ sup 0 ≤ t ≤ θ | x 1 ( t ) − x 2 ( t ) | 2 ] d θ } 利用Gronwall不等式，可得 E [ sup 0 ≤ t ≤ T | x 1 ( t ) − x 2 ( t ) | 2 ] ≤ C d ( u 1 ( t ) ， u 2 ( t ) ) 2 ，证毕。 证明(方法二)：利用文献 [ 1 ] 的估计3或文献 [ 2 ] 中命题2可得 | b ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t − δ 1 ) ， u 1 ( t ) ， u 1 ( t − δ 2 ) ) − b ( t ， x 2 ( t ) ， x 2 ( t − δ 1 ) ， u 2 ( t ) ， u 2 ( t − δ 2 ) ) | 2 ≤ C [ | u 1 ( t ) − u 2 ( t ) | 2 + | u 1 ( t − δ 2 ) − u 2 ( t − δ 2 ) | 2 ] 再由假设条件(A1)有 E ∫ 0 T | b ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t − δ 1 ) ， u 1 ( t ) ， u 1 ( t − δ 2 ) ) − b ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t − δ 1 ) ， u 2 ( t ) ， u 2 ( t − δ 2 ) ) | 2 d t ≤ C E ∫ 0 T | u 1 ( t ) − u 2 ( t ) | 2 d t + C E ∫ 0 T | u 1 ( t − δ 2 ) − u 2 ( t − δ 2 ) | 2 d t = C E ∫ 0 T | u 1 ( t ) − u 2 ( t ) | 2 d t + C E ∫ − δ 2 T − δ 2 | u 1 ( t ) − u 2 ( t ) | 2 d t = C E ∫ 0 T | u 1 ( t ) − u 2 ( t ) | 2 d t + C E ∫ − δ 2 0 | u 1 ( t ) − u 2 ( t ) | 2 d t + C E ∫ 0 T − δ 2 | u 1 ( t ) − u 2 ( t ) | 2 d t ≤ C E ∫ 0 T | u 1 ( t ) − u 2 ( t ) | 2 d t + C E ∫ 0 T | u 1 ( t ) − u 2 ( t ) | 2 d t ≤ C d ( u 1 ( t ) ， u 2 ( t ) ) 2 同理可证 E ∫ 0 T | σ ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t − δ 1 ) ， u 1 ( t ) ， u 1 ( t − δ 2 ) ) − σ ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t − δ 1 ) ， u 2 ( t ) ， u 2 ( t − δ 2 ) ) | 2 d t ≤ C d ( u 1 ( t ) ， u 2 ( t ) ) 2 因此 E [ sup 0 ≤ t ≤ T | x 1 ( t ) − x 2 ( t ) | 2 ] ≤ C d ( u 1 ( t ) ， u 2 ( t ) ) 2 证毕。 本文对时滞系统一般情况的状态方程的解进行估计，推广了文章 [ 2 ] [ 3 ] 中的部分结果，为进一步研究时滞系统的最优问题或近似最优问题提供一定理论基础。