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user: 3. 方程(1.2)的精确解和振荡行波解的解析近似解 由第二部分的定性分析和全局相图可知，当 0 < c < 2 时，方程(1.2)存在两个振荡行波解；当 c ≥ 2 时，方程(1.2)有单调递增扭状行波解和单调递减的扭状行波解。我们首先来求解方程(1.2)的精确解扭状行波解。 3.1. 方程(1.2)的精确扭状行波解 本段我们用假设待定法和分离变量法来求解方程(1.2)的精确扭状行波解，分别求出图2中轨线 L ( P 1 ， P 2 ) 和轨线 L ( P 3 ， P 2 ) 的精确扭状行波解，由第二部分可知，平面动力系统的奇点为： P 1 ( − 1 ， 0 ) ， P 2 ( 0 ， 0 ) ， P 3 ( 1 ， 0 ) 。假设轨线 L ( P 1 ， P 2 ) 和轨线 L ( P 3 ， P 2 ) 在向量场中呈抛物线形式 y = A i ( x − x i ) x ， ( i = 1 ， 3 ) ， (3.1) 其中 A i 为待定常数。系统(2.2)进一步可表示为 y d y d x = − c y + ( x + 1 ) x ( x − 1 ) ， (3.2) 将(3.1)带入(3.2)我们可以得出 A i 2 ( x − x i ) ( 2 x − x i ) = − c A i ( x − x i ) + ( x + 1 ) ( x − 1 ) . ( i = 1 ， 3 ) (3.3) 由此，根据(3.3)式结合两项式相等则同次幂系数相等的原理，可得如下的定理。 定理3.1 1) 当 x i = x 1 时，可解得 A 1 = − 2 2 ， c = 3 2 2 ，此时平面动力系统(2.2)所对应的平面相图2中的轨线 L ( P 1 ， P 2 ) 可表示为 y = − 2 2 ( x + 1 ) x ，在此波速下方程(1.2)有精确的单调递增扭状行波解。 2) 当 x i = x 3 时，可解得 A 1 = 2 2 ， c = 3 2 2 ，此时平面动力系统(2.2)所对应的平面相图2中的轨线 L ( P 3 ， P 2 ) 可表示为 y = 2 2 ( x − 1 ) x ，在此波速下方程(1.2)有精确的单调递减扭状行波解。 接下来我们用分离变法来反解出方程(1.2)的精确扭状行波解。首先来求解图2中轨线 L ( P 1 ， P 2 ) 所对的扭状解。当 c = 3 2 2 时，图2中轨线 L ( P 1 ， P 2 ) 可表示为 y = − 2 2 ( x + 1 ) x ， (3.4) 由于 y = u ′ ( ξ ) = d u ( ξ ) d ξ = d x d ξ ，带入(3.4)然后分离变量再积分即可求出方程(1.2)的精确扭状解如下 u 1 ( ξ ) = 1 2 tanh [ 2 4 ( ξ − ξ 0 ) ] − 1 2 . 同理，当 c = 3 2 2 时，图(2)中轨线 L ( P 3 ， P 2 ) 可表示为 y = 2 2 ( x − 1 ) x 由于 y = u ′ ( ξ ) = d u ( ξ ) d ξ = d x d ξ ，带入(3.4)然后分离变量再积分即可求出方程(1.3)的精确扭状行波解为 u 2 ( ξ ) = − 1 2 tanh [ 2 4 ( ξ − ξ 0 ) ] + 1 2 . 3.2. 方程(1.2)的振荡行波解的解析近似解 由平面动力系统理论 [ 20 ] [ 21 ] 可知，方程(1.2)的振荡行波解可以看做是由异宿轨在小反应速度影响下破裂，由鞍–鞍轨线转变为鞍–焦轨线的。在本段我们来求出平面动力系统的全局相图1中轨线 L ( P 3 ， P 2 ) 所对应的振荡行波解的解析近似解。鞍–焦轨线 L ( P 3 ， P 2 ) 可以看做是鞍–鞍轨线 L ( P 3 ， P 1 ) 破裂得到的，我们首先求出轨线 L ( P 3 ， P 1 ) 所对的扭状行波解的精确解。 首先，我们采用和3.1中相同的办法，把轨线 L ( P 3 ， P 1 ) 采用如下形式表出： y = B ( x − 1 ) ( x + 1 ) ， 与全局相图2中轨线 L ( P 3 ， P 2 ) 所对应的扭状行波解类似，我们可得 B = 2 2 ，所以轨线 L ( P 3 ， P 1 ) 可表示为 y = 2 2 ( x − 1 ) ( x + 1 ) ， (3.5) 由于 y = u ′ ( ξ ) = d u ( ξ ) d ξ = d x d ξ ，带入(3.5)然后分离变量再积分即可求出方程(1.2)的精确扭状解如下 u 3 ( ξ ) = − tanh [ 2 2 ( ξ − ξ 0 ) ] . (3.6) 接下来我们求其解析近似解，我们注意到据动力系统中旋转向量场理论 [ 20 ] [ 21 ]，图1中鞍–焦轨线 L ( P 3 ， P 2 ) ，是在反应速度满足 0 < c < 2 的情形下由异宿轨 L ( P 3 ， P 1 ) 破裂形成的。 L ( P 3 ， P 2 ) 对应的振荡解的非振荡部分可用(3.6)式近似表示，即 u ε ( ξ ) ≈ u 3 ( ξ ) = − tanh [ 2 2 ( ξ − ξ 0 ) ]   ， ξ ∈ ( − ∞ ， ξ 0 ) . (3.7) 鞍–焦轨线 L ( P 3 ， P 2 ) 的振荡部分可用如下形式表示， u ε ( ξ ) = e α ( ξ − ξ 0 ) ( m cos ( ω ( ξ − ξ 0 ) ) − n sin ( ω ( ξ − ξ 0 ) ) ) + d ， ξ ∈ ( ξ 0 ， + ∞ ) ， (3.8) 其中 α ， m ， n ， ω ， d 为待定常数。将(3.8)式代入方程(1.2)，略去 e α ( ξ − ξ 0 ) 的高阶无穷小量后，可得如下的式子 { ω 2 = α 2 + c α − 3 d 2 + 1 ， α = − c 2 ， − d 3 + d = 0. (3.9) 我们的目的是构造整个鞍–焦轨线 L ( P 3 ， P 2 ) 对应的振荡行波解的解析近似解，振荡的部分和非振荡的部分需光滑对接，需要满足对接条件.首先当 ξ → + ∞ 时，由于 L ( P 3 ， P 2 ) 趋于 P 2 ，故 d = 0 。我们将对接点 ξ ′ 0 选取在 ξ 0 右边的一个半径不大的空心领域内的某一点 ξ ′ 0 ≠ ξ 0 ，如图3所示。 图3. 对接点 ξ ′ 0 的位置 为获得方程(1.2)的振荡解的解析近似解，(3.6)式和(3.7)式对接点应该满足如下条件 d i d ξ i u ε ( ξ ′ 0 ) = d i d ξ i u 3 ( ξ ′ 0 ) ， i = 0 ， 1 ， (3.10) 即 e α ( ξ ′ 0 − ξ 0 ) ( m cos ( ω ( ξ ′ 0 − ξ 0 ) ) − n sin ( ω ( ξ ′ 0 − ξ 0 ) ) ) = u 3 ( ξ ′ 0 ) ， α e α ( ξ ′ 0 − ξ 0 ) ( m cos ( ω ( ξ ′ 0 − ξ 0 ) ) − n sin ( ω ( ξ ′ 0 − ξ 0 ) ) − ω e α ( ξ ′ 0 − ξ 0 ) ( m sin ( ω ( ξ ′ 0 − ξ 0 ) ) + n cos ( ω ( ξ ′ 0 − ξ 0 ) ) ) = u ′ 3 ( ξ ′ 0 ) . (3.11) 由(3.9)和(3.11)可得 { m = e − α ( ξ ′ 0 − ξ 0 ) [ u 3 ( ξ ′ 0 ) ( cos ( ω ( ξ ′ 0 − ξ 0 ) ) + α ω sin ( ω ( ξ ′ 0 − ξ 0 ) ) ) − 1 ω sin ( ω ( ξ ′ 0 − ξ 0 ) ) u ′ 3 ( ξ ′ 0 ) ] ， ( ξ ′ 0 ≠ ξ 0 )   n = m cot ( ω ( ξ ′ 0 − ξ 0 ) ) − u 3 ( ξ ′ 0 ) e − α ( ξ ′ 0 − ξ 0 ) sin ( ω ( ξ ′ 0 − ξ 0 ) ) ， ( ξ ′ 0 ≠ ξ 0 ) ， α = − c 2 ， ω = 1 2 − c 2 + 4 ， (3.12) 由以上分析可得如下定理。 定理3.2：当 0 < c < 2 时，方程(1.2)有对应于图1中轨线 L ( P 3 ， P 2 ) 的振荡行波解，它的解析近似解为 u ( ξ ) ≈ { − tanh [ 2 2 ( ξ − ξ 0 ) ] .                                                                                                                                                                                                                               ξ ∈ ( − ∞ ， ξ ′ 0 ] ， e − c 2 ξ ( m cos ( ω ( ξ − ξ 0 ) ) − n sin ( ω ( ξ − ξ 0 ) ) ) ，                                             ξ ∈ ( ξ ′ 0 ， + ∞ ) ， (3.13) (3.13)式中 m   ， n ， ω 分别由(3.12)给出。