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user: 4. 数值实验 在本节中，以 f ( x ) = x 3 为待逼近函数，设 c = 0.01 ， h = 0.1 ，观察 f ( x ) 与拟插值算子 L 2 f ( x ) 的比较结果，如图1所示。接着，选择不同的 h 和形状参数 c ，比较拟插值算子 L 2 f ( x ) 与 L D f ( x ) [ 3 ] 及 L s f ( x ) [ 6 ] 的逼近效果。结果见表1~3所示。最后，在表4中，我们设 c = h 2 ， h = 0.1 ， 0.2 ， 0.01 ， 0.001 ， 0.0001 ，观察算子 L 2 f ( x ) 随 h 的变化率。 图1. 当 c = 0.01 ， h = 0.1 时，拟插值算子 L 2 f ( x ) 与原函数 f ( x ) 的比较结果 Table 1 When h = 0.1 ， c take different values， the quasi-interpolation operator L 2 f ( x ) ， L D f ( x ) and L s f ( x ) the error comparison result c 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 ‖ L D f ( x ) − f ( x ) ‖ ∞ 2 .90 × 10 − 3 6 .40 × 10 − 3 2 .02 × 10 − 2 5 .36 × 10 − 2 1 .44 × 10 − 1 ‖ L s f ( x ) − f ( x ) ‖ ∞ 2 .01 × 10 − 3 2 .20 × 10 − 3 3 .40 × 10 − 3 7 .40 × 10 − 3 2 .32 × 10 − 2 ‖ L 2 f ( x ) − f ( x ) ‖ ∞ 2 .15 × 10 − 3 2 .98 × 10 − 3 5 .43 × 10 − 3 1 .71 × 10 − 2 9 .87 × 10 − 2 表1. 当 h = 0.1 ，c取如下不同值时，拟插值算子 L 2 f ( x ) ， L D f ( x ) 及 L s f ( x ) 的误差比较结果 Table 2 When h = 0.01 ， c take different values， the quasi-interpolation operator L 2 f ( x ) ， L D f ( x ) and L s f ( x ) the error comparison result c 0.001 0.002 0.005 0.01 0.02 ‖ L D f ( x ) − f ( x ) ‖ ∞ 8 .74 × 10 − 5 1 .43 × 10 − 4 4 .17 × 10 − 4 1 .20 × 10 − 3 3 .80 × 10 − 3 ‖ L s f ( x ) − f ( x ) ‖ ∞ 4 .97 × 10 − 5 5 .19 × 10 − 5 6 .74 × 10 − 5 1 .22 × 10 − 4 3 .14 × 10 − 4 ‖ L 2 f ( x ) − f ( x ) ‖ ∞ 2 .67 × 10 − 5 9 .05 × 10 − 5 5 .77 × 10 − 5 1 .43 × 10 − 4 9 .87 × 10 − 4 表2. 当 h = 0.01 ，c取如下不同值时，拟插值算子 L 2 f ( x ) ， L D f ( x ) 及 L s f ( x ) 的误差比较结果 Table 3 When h = 0.001 ， c take different values， the quasi-interpolation operator L 2 f ( x ) ， L D f ( x ) and L s f ( x ) the error comparison result c 0.0001 0.0002 0.0005 0.001 0.002 ‖ L D f ( x ) − f ( x ) ‖ ∞ 5 .15 × 10 − 7 7 .75 × 10 − 7 4 .86 × 10 − 6 1 .75 × 10 − 5 6 .23 × 10 − 5 ‖ L s f ( x ) − f ( x ) ‖ ∞ 5 .07 × 10 − 7 5 .29 × 10 − 7 6 .87 × 10 − 7 1 .25 × 10 − 6 3 .49 × 10 − 6 ‖ L 2 f ( x ) − f ( x ) ‖ ∞ 2 .67 × 10 − 7 9 .05 × 10 − 8 5 .46 × 10 − 7 1 .43 × 10 − 6 9 .87 × 10 − 6 表3. 当 h = 0.001 c取如下不同值时，拟插值算子 L 2 f ( x ) ， L D f ( x ) 及 L s f ( x ) 的误差比较结果 Table 4 When c = h 2 ， the error comparison result of the quasi-interpolation operator L 2 f ( x ) and the original function f ( x ( c ， h ) ( 10 − 2 ， 10 − 1 ) ( 10 − 4 ， 10 − 2 ) ( 10 − 6 ， 10 − 3 ) ( 10 − 8 ， 10 − 4 ) ‖ L 2 f ( x ) − f ( x ) ‖ ∞ 2 .15 × 10 − 3 2 .26 × 10 − 6 2 .26 × 10 − 9 2 .23 × 10 − 12 表4. 当 c = h 2 时，拟插值算子 L 2 f ( x ) 与原函数 f ( x ) 的误差比较结果 首先，我们得到了原函数 f ( x ) 与拟插值算子 L 2 f ( x ) 的图像。由图1看出拟插值算子 L 2 f ( x ) 曲线与原函数的图像曲线拟合的很好，即拟插值 L 2 f ( x ) 方法与解析解基本一致。拟插值 L 2 f ( x ) 与解析解的误差比较结果如表1所示。 在算例中，我们给出了拟插值 L 2 f ( x ) 在 h = 0.1 ， c = 0.01 ， 0.02 ， 0.05 ， 0.1 ， 0.2 时的误差精度比较。由表1可以很容易地发现，随着形状参数c的减小，拟插值 L 2 f ( x ) 的误差也减小。根据表1~3的数值算例，设h分别为 0.1 ， 0.01 ， 0.001 ， c = 0.1 h ， 0.2 h ， 0.5 h ， h ， 2 h 时，分别计算 ‖ L D f ( x ) − f ( x ) ‖ ∞ 和 ‖ L s f ( x ) − f ( x ) ‖ ∞ 和 ‖ L 2 f ( x ) − f ( x ) ‖ ∞ 。为了简化，我们假设采样点 { x i } i = 0 n 是均匀分布的。通过分析表1~3中的数据，我们发现拟插值算子的逼近能力取决于形状参数c和h，当我们降低参数c和h的值时，我们可以得到更好的逼近效果。从表4，取 c = h 2 ， h = 0.1 ， 0.2 ， 0.01 ， 0.001 ， 0.0001 ，观测算子 L 2 f ( x ) 的收敛速度。很明显，当 c = O ( h 2 ) 时，拟插值算子 L 2 f ( x ) 的收敛速率可以达到 O ( h 3 ) 。此外，我们可以得到在 c 和 h 相同的条件下，拟插值算子 L 2 f ( x ) 的收敛能力优于其他两种。总之，这些数值实验可以说明拟插值 L 2 f ( x ) 是一个性能优良的拟插值算子。