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user: 3. 定理3的证明 下面证明当 q < ∞ 时的结论。 对于 γ > 2 和 q < ∞ ，首先根据Lorentz范数的定义得到 ‖ D 4 u ‖ L ( γ ， q ) ( Q 1 ) q = q A q ∫ 0 ∞ λ q − 1 | { z ∈ Q 1 : | D 4 u | > A λ } | q γ d λ = q A q ∫ 0 B λ 0 λ q − 1 | { z ∈ Q 1 : | D 4 u | > A λ } | q γ d λ       + q A q ∫ B λ 0 ∞ λ q − 1 | { z ∈ Q 1 : | D 4 u | > A λ } | q γ d λ : = S 1 + S 2 对于 S 1 ，考虑 λ 0 的定义和不等式 ‖ g ‖ L t ( Q 2 ) ≤ c ‖ g ‖ M γ ( Q 2 ) (见引理7)和 ‖ g ‖ M γ ( Q 2 ) ≤ c ‖ g ‖ L ( γ ， q ) ( Q 2 ) (见式3)，我们有 S 1 = q A q ∫ 0 B λ 0 λ q − 1 | { z ∈ Q 1 : | D 4 u | > A λ } | q γ d λ ≤ c [ B λ 0 ] q ≤ c [ ( 1 | Q 2 | ∫ Q 2 | D 4 u | 2 d z ) 1 2 + M 1 2 ( 1 | Q 2 | ∫ Q 2 | f | η d z ) 1 η ] q ≤ c [ ‖ D 4 u ‖ L 2 ( Q 2 ) q + ‖ f ‖ M γ ( Q 2 ) q ] ≤ c [ ‖ D 4 u ‖ L 2 ( Q 2 ) q + ‖ f ‖ L ( γ ， q ) ( Q 2 ) q ] (16) 对于 S 2 ，结合式(15)有 S 2 ≤ c ( 1 M ) q γ [ ∫ B λ 0 ∞ λ q − 1 − 2 q γ ( ∫ λ 4 ∞ μ | { z ∈ Q 2 : | D 4 u | > μ } | d μ ) q γ d λ     + ∫ B λ 0 ∞ λ q − 1 − η q γ ( ∫ ζ λ ∞ μ η − 1 | { z ∈ Q 2 : | f | > μ } | d μ ) q γ d λ ] (17) 进一步，当 时，利用引理4得到 S 2 ≤ c ( 1 M ) q γ [ ∫ 0 ∞ λ q − 1 − 2 q γ λ q γ ( λ | { z ∈ Q 2 : | D 4 u | > λ } | ) q γ d λ + ∫ 0 ∞ λ q − 1 − η q γ λ q γ ( λ η − 1 | { z ∈ Q 2 : | f | > λ } | ) q γ d λ ] ≤ c ( 1 M ) q γ [ ‖ D 4 u ‖ L ( γ ， q ) ( Q 2 ) q + ‖ f ‖ L ( γ ， q ) ( Q 2 ) q ] (18) 当 0 < q < γ ，利用引理5 ( α 1 = 1 ， α 2 = γ q ， r = 2 q γ ， ε = 1 ) 得到 ( ∫ λ 4 ∞ μ | { z ∈ Q 2 : | D 4 u | > μ } | d μ ) q γ ≤ c λ 2 q γ | { z ∈ Q 2 : | D 4 u | > λ 4 } | q γ + c ∫ λ 4 ∞ μ 2 q γ − 1 | { z ∈ Q 2 : | D 4 u | > μ } | q γ d μ 因此，再利用Fubini定理我们有 ∫ B λ 0 ∞ λ q − 1 − 2 q γ ( ∫ λ 4 ∞ μ | { z ∈ Q 2 : | D 4 u | > μ } | d μ ) q γ d λ ≤ c ∫ 0 ∞ λ q − 1 | { z ∈ Q 2 : | D 4 u | > λ 4 } | q γ d λ + c ∫ 0 ∞ λ q − 1 − 2 q γ ∫ λ 4 ∞ μ 2 q γ − 1 | { z ∈ Q 2 : | D 4 u | > μ } | q γ d μ d λ ≤ c ‖ D 4 u ‖ L ( γ ， q ) ( Q 2 ) q + c ∫ 0 ∞ μ 2 q γ − 1 | { z ∈ Q 2 : | D 4 u | > μ } | q γ ∫ 0 4 μ λ q − 1 − 2 q γ d λ d μ ≤ c ‖ D 4 u ‖ L ( γ ， q ) ( Q 2 ) q (19) 同理可得 ∫ B λ 0 ∞ λ q − 1 − η q γ ( ∫ ζ λ ∞ μ η − 1 | { z ∈ Q 2 : | f | > μ } | d μ ) q γ d λ ≤ c ‖ f ‖ L ( γ ， q ) ( Q 2 ) q . (20) 因此，由式(18)，(19)和(20)我们有 S 2 ≤ c ( 1 M ) q γ [ ‖ D 4 u ‖ L ( γ ， q ) ( Q 2 ) q + ‖ f ‖ L ( γ ， q ) ( Q 2 ) q ] . 最后结合估计式 S 1 和 S 2 ，可以得到 ‖ D 4 u ‖ L ( γ ， q ) ( Q 1 ) q ≤ c ( 1 M ) q γ ‖ D 4 u ‖ L ( γ ， q ) ( Q 2 ) q + c ‖ D 4 u ‖ L 2 ( Q 2 ) q + c ‖ f ‖ L ( γ ， q ) ( Q 2 ) q . 不妨假设 ‖ D 4 u ‖ L ( γ ， q ) ( Q 2 ) q < + ∞ 。事实上，考虑截断梯度 | D 4 u | k = min { | D 4 u | ， k } 。然后选择M充分大， 再利用迭代引理就可以得到当 q < ∞ 时的结论。 下面证明当 q = ∞ 时的结论。 考虑式(7)中的第二种情形， τ 为一个待定常数，有 ( λ 2 ) η ≤ M η / 2 | Q | ∫ Q | f | η d z ≤ M η / 2 ( τ λ ) η + M η / 2 | Q | ∫ { z ∈ Q : | f | > τ λ } | f | η d z 接下来，利用引理7，定义 F 1 ( τ λ ， Q ) = { z ∈ Q : | f | > τ λ } ，那么 ( λ 2 ) η − M η / 2 ( τ λ ) η ≤ M η / 2 | Q | ∫ F 1 ( τ λ ， Q ) | f | η d z ≤ c M η / 2 | F 1 ( τ λ ， Q ) | 1 − η γ | Q | sup μ > 0 μ η | { z ∈ F 1 ( τ λ ， Q ) : | f | > μ } | η γ ≤ c M η / 2 | F 1 ( τ λ ， Q ) | 1 − η γ | Q | [ ( τ λ ) η | F 1 ( τ λ ， Q ) | η γ + sup μ > τ λ μ η | F 1 ( μ ， Q ) | η γ ] ≤ c M η / 2 [ ( τ λ ) η + | F 1 ( τ λ ， Q ) | 1 − η γ | Q | sup μ > τ λ μ η | F 1 ( τ λ ， Q ) | η γ ] 选择适当的 τ 使得 1 2 η − M η / 2 τ η − c M η / 2 τ η ≥ 1 4 η ，事实上 τ = c M 1 / 2 ，那么 | Q | ≤ c | F 1 ( τ λ ， Q ) | 1 − η γ ( τ λ ) η [ sup μ > τ λ μ γ | F 1 ( τ λ ， Q ) | ] η γ ≤ c ( τ λ ) − γ [ ( τ λ ) γ | F 1 ( τ λ ， Q ) | ] 1 − η γ [ sup μ > τ λ μ γ | F 1 ( μ ， Q ) | ] η γ ≤ c λ − γ [ sup μ ≥ τ λ μ γ | F 1 ( μ ， Q ) | ] 1 − η γ [ sup μ > τ λ μ γ | F 1 ( μ ， Q ) | ] η γ ≤ c λ − γ sup μ > τ λ μ γ | F 1 ( μ ， Q ) | (21) 同样的，根据(7)式中的第一种情形我们可以得到 | Q | ≤ c λ − γ sup μ > τ λ μ γ | F 2 ( μ ， Q ) | . (22) 其中 F 2 ( μ ， Q ) = { z ∈ Q : | D 4 u | > μ } 。因此，结合以上两式得到 | Q | ≤ c [ λ − γ sup μ > τ λ μ γ | F 2 ( μ ， Q ) | + λ − γ sup μ > τ λ μ γ | F 1 ( μ ， Q ) | ] . 类似于在式(15)中的做法，由Vitali覆盖引理我们得到 | { z ∈ Q 1 : | D 4 u | > A λ } | ≤ c M [ λ − γ sup μ > τ λ μ γ | F 2 ( μ ， Q ) | + λ − γ sup μ > τ λ μ γ | F 1 ( μ ， Q ) | ] (23) 下面根据范数定义，我们有 ‖ D 4 u ‖ M γ ( Q 1 ) = sup λ > 0 A λ | { z ∈ Q 1 : | D 4 u | > A λ } | 1 γ = sup 0 < λ ≤ B λ 0 A λ | { z ∈ Q 1 : | D 4 u | > A λ } | 1 γ + sup λ > B λ 0 A λ | { z ∈ Q 1 : | D 4 u | > A λ } | 1 γ : = J 1 + J 2 先估计 J 1 ，考虑 λ 0 的定义和不等式 ‖ g ‖ L t ( Q 2 ) ≤ c ‖ g ‖ M γ ( Q 2 ) (见引理7)，得到 J 1 = sup 0 < λ ≤ B λ 0 A λ | { z ∈ Q 1 : | D 4 u | > A λ } | 1 γ ≤ c B λ 0 ≤ c [ ( 1 | Q | ∫ | Q | | D 4 u | 2 d z ) 1 2 + M 1 2 ( 1 | Q | ∫ | Q | | f | η d z ) 1 η ] ≤ c [ ‖ D 4 u ‖ L 2 ( Q 2 ) + ‖ f ‖ M γ ( Q 1 ) ] (24) 对于 ，考虑式(23)，进行变量替换之后得到 J 2 = sup λ > B λ 0 A λ | { z ∈ Q 1 : | D 4 u | > A λ } | 1 γ ≤ c ( 1 M ) 1 γ [ sup λ > B τ λ 0 sup μ > λ μ | F 2 ( μ ， Q 2 ) | 1 γ + sup λ > B τ λ 0 sup μ > λ μ | F 1 ( μ ， Q 2 ) | 1 γ ] (25) 因为 sup λ > B τ λ 0 sup μ > λ μ | F 2 ( μ ， Q 2 ) | 1 γ ≤ ‖ D 4 u ‖ M γ ( Q 2 ) ， sup λ > B τ λ 0 sup μ > λ μ | F 1 ( μ ， Q 2 ) | 1 γ ≤ ‖ f ‖ M γ ( Q 2 ) 。最后，结合估计 式 J 1 和 J 2 我们得到 ‖ D 4 u ‖ M γ ( Q 1 ) ≤ c ( 1 M ) 1 γ ‖ D 4 u ‖ M γ ( Q 1 ) + c ‖ D 4 u ‖ L 2 ( Q 2 ) + c ‖ f ‖ M γ ( Q 1 ) . 因此，类似于在 q < ∞ 中的情形，利用迭代引理我们就得到了当 q = ∞ 时的结论。 综上所述，定理3得证。