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user: 3. 金融资产收益率序列预测方法 3.1. 模糊双线性回归模型 给定金融产品价格的n个区间观测值 {   [ x t L ， x t U ] ， t = 1 ， 2 ， ⋯ ， n   } ，可以得到模糊金融收益序列为 { ( c t ， u t ) ， t = 2 ， ⋯ ， n } 。李竹渝 [ 34 ] 等提出了金融资产收益率序列的模糊双线性回归模型，在某种程度上展形的动态变化依赖于中心的变动，鉴于此，我们对三角模糊变量的中心和展形建立模糊双线性回归模型如下: { c = c p α + ε c u = u q β + γ c + ε c (10) 其中， k = max ( p ， q ) ， c = ( c k + 2 ， c k + 3 ， ⋯ ， c n ) ′ 和 u = ( u k + 2 ， u k + 3 ， ⋯ ， u n ) ′ 分别是观测中心和展形的 ( n − k − 1 ) × 1 向量， ε c 和 ε u 分别是中心和展形的误差向量。 c p = ( 1 ， c − 1 ， c − 2 ， ⋯ ， c − p ) ， u q = ( 1 ， u − 1 ， u − 2 ， ⋯ ， u − q ) ， c − i = ( c k + 2 − i ， c k + 3 − i ， ⋯ ， c n − i ) ′ ， i = 1 ， ⋯ ， p ， u − i = ( u k + 2 − j ， u k + 3 − j ， ⋯ ， u n − j ) ′ ， j = 1 ， ⋯ ， q ， 1 是 ( n − k − 1 ) × 1 的全1向量。 α = ( α 0 ， α 1 ， ⋯ ， α p ) ′ 为中心回归模型系数向量， β = ( β 0 ， β 1 ， ⋯ ， α q ) ′ 和 γ 为展形回归模型对应的系数。 注1 当 α = β ， γ = 0 时，模糊双线性回归模型可以转化为模糊自回归(FAR)模型： { c t = α 0 + α 1 c t − 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + α p c t − p + ε c u t = α 0 + α 1 u t − 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + α p u t − p + ε u ，   t = k + 2 ， ⋯ ， n     . (11) 因此，模糊双线性回归模型可以看作是FAR模型的一种推广。 注2 令 γ = 0 ， u q = ( c p ， 1 ) ， β = ( b α d ) ， b ， d 为常数，可得： { c   = c p α + ε c ， u = c p α b + 1 d + ε u . (12) 可以看出，我们所提出的模型在D’urso等 [ 35 ] 提出的模糊回归模型中也有所体现。 3.2. 不具备专家知识的风险中性模糊双线性回归模型 为了提高模型的预测能力，降低最小二乘方法的计算复杂度，Modarres等 [ 36 ] 基于估计模型与给定响应变量数据相等的可能性程度，建立了风险中性FLR模型， min                   ∑ j = 1 M { ( Y ^ j ， R ( 0 ) − Y j ， R ( 0 ) ) + ( Y ^ j ， L ( 0 ) − Y j ， L ( 0 ) ) } 2 s .     t     .           { Y j ， L ( h ) ≤ Y ^ j ， R ( h ) ，     Y j ， R ( h ) ≥ Y ^ j ， L ( h ) ，   Y ^ j ， R ( 0 ) − Y ^ j ， L ( 0 ) ≥ 0 ，                   j = 1 ， ⋯ ， M ， (13) 其中 Y j 和 Y ^ j 是模糊数，分别代表观测值和估计值， Y j ， L ( h ) ， Y j ， R ( h ) 和 Y ^ j ， L ( h ) ，   Y ^ j ， R ( h ) 分别是h水平下模糊数 Y j 和 Y ^ j 的上下界。 (13)式中固定h的约束不等式可以转化为 f R N ≥ h ，其中 f R N 表示FLR估计模型的风险中性适应度，记作 f R N = min j { P o s ( Y j = Y ^ j ) } 。 注3 风险中性FLR模型阈值的约束关系与Tanaka [ 8 ] 等在研究清晰因变量时提出的约束关系一致。 Tanaka [ 37 ] 等引入二次规划(QP)来求解模糊回归模型，该模型将数据集划分为可靠组(R组)和可疑组(S组)，对每组设置不同的阈值，以消除异常值带来的影响，模型如下： min a ， d               k 1 ∑ j = 1 M h j ( y j − a ′ x j ) 2 + k 2 ∑ j = 1 M h j d ′ | x j | | x j | ′ d + k 3 e 2 s .     t   .         { a ′ x j + ( 1 − h j ) d ′ | x j | ≥ y j ，   a ′ x j − ( 1 − h j ) d ′ | x j | ≤ y j ， j ∈ R ， a ′ x j + ( 1 − h j ) d ′ | x j | + e ≥ y j ，   a ′ x j − ( 1 − h j ) d ′ | x j | − e ≤ y j ， j ∈ S ， d i ≥ 0 ，         i = 1 ， ⋯ ， m     .   (14) Tanaka [ 37 ] 等提出的响应变量是数值型的， A i = ( a i ， d i ) 。e是一个误差项，当 e = 0 时属于R组， e < 0 时，属于S组。 k 1 ， k 2 和 k 3 是分析师考虑的相应正权值。 本文提出了一种无专家知识的风险中性FBR模型，结合集中趋势和展形趋势，同时考虑可能性和鲁棒性，将风险中性的FLR模型扩展到多模型。无专家知识的风险中性FBR模型可以用如下矩阵形式表： min α ， β ， γ               k 1 ‖ c − c p α ‖ H 2 + k 2 ‖ u − u q β − γ c ‖ H 2 + k 3 ‖ u q β + γ c ‖ H 2 + k 4 e 2 s .     t .             { c p α + ( Ι − Η ) ( u q β + γ c ) + e F ≥ c − ( Ι − Η ) u   ，   c p α − ( Ι − Η ) ( u q β + γ c ) − e F ≥ c + ( Ι − Η ) u     . (15) 其中， I 是单位矩阵， ‖   ⋅   ‖ H 为加权范数， H 为对角矩阵，对角元素为阈值 h k + 2 ， ⋯ ， h n ， k 1 ， k 2 ， k 3 和 k 4 为正权重。 F = ( I s ( k + 2 ) ， ⋯ ， I s ( n ) ) ′ ， I s ( ⋅ ) 是集合S的指示函数。 3.3. 金融资产收益率序列预测步骤 金融资产收益率序列预测模型的建立有三个主要阶段，其中包括模型确定，模型估计和模型优化。在模型确定阶段，对数据进行平稳性检验，利用自相关函数和部分自相关函数来确定模型的阶数。 模型估计阶段基于FAR模型的预测，对风险中性FBR模型进行参数估计。在专家知识较少的情况下引入误差项处理异常值的影响，把参数估计转化为二次规划问题。 模型优化阶段利用PNN对风险中性FBR模型得到的预测区间进行识别，识别出可能性更大的概率空间，从而得到较窄的预测区间。 金融资产收益率序列预测算法步骤如下： 步骤1：给定金融产品价格n个区间观测值 {   [ x t L ， x t U ] ， t = 1 ， 2 ， ⋯ ， n   } ，根据定义3可以得到对称三角模糊数形式 { ( c t ， u t ) ， t = 2 ， ⋯ ， n } 。 步骤2：利用最小二乘法确定FAR模型(11)： arg min α ‖ c − c p α ‖ 2 + ‖ u − u p α ‖ 2 = ( c ′ p c p + u ′ p u p ) − 1 ( c ′ p c + u ′ p u ) . (16) 对未知参数的求偏导，令其为零，得到最小化问题的(局部)最优解。 步骤3：根据估计标准差 σ ^ 将数据分为可靠组和可疑组， σ ^ 表示为： σ ^ = ∑ t = k + 2 n ( c t − c ^ t ) 2 n − k − p − 2 ， (17) 其中 c ^ t 是中心的估计值。如果 c t 满足： c ^ t − l σ ^ ≤ c t ≤ c ^ t − l σ ^   ， t = k + 2 ， ⋯ ， n ， (18) 则观测值属于R组，否则属于S组。其中，l是一个正数。 步骤4：利用(15)式，给权重和阈值分别赋值，计算回归参数。通过调整权重和阈值，确定出最优的估计系数。 根据估计表达式，我们可以得到估计值 α ^ 、 β ^ 、 γ ^ ，模糊金融收益率中心和展形相应的估计值，如下： { c ^ = c p α ^ u ^ = u q β ^ + γ ^ c (19) 步骤5：将上一步所得到的预测区间划分为v个相等的的子区间，将w个连续子区间视为一个类并给定编号。PNN的目标是得到包含真实值的子区间的编号。进行PNN训练时，有效变量包括t时刻中心观测值和中心估计值、t时刻中心观测和中心估计的滞后值、t时刻展形观测值和展形估计值的滞后值、t时刻时间序列估计值的上下界，t时刻时间序列估计滞后值的上下界。这个步骤的结果是得到一个w/v宽度的区间， α 是一个与子区间个数有关的置信度。Proposal 1与PNN的结合称为Proposal 2。