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user: 3. 线性成本下的复杂动态性分析 在这项工作的博弈中，我们考虑一个线性成本函数： C i ( q i ) = c i q i ， i = 1 ， 2 (5) 则净利润表示如下： π 1 ( q 1 ， p 2 ) = p 1 q 1 − C 1 = [ a ( 1 − b ) − ( 1 − b 2 ) q 1 + b p 2 ] q 1 − c 1 q 1 π 2 ( q 1 ， p 2 ) = p 2 q 2 − C 2 = p 2 ( a − p 2 − b q 1 ) − c 2 ( a − p 2 − b q 1 ) (6) 使每个公司的相对利润最大化以获得最佳产量需要，以下给出相对利润表达式： ∏ 1 ( q 1 ， p 2 ) = π 1 ( q 1 ， p 2 ) − π 2 ( q 1 ， p 2 ) ∏ 2 ( q 1 ， p 2 ) = π 2 ( q 1 ， p 2 ) − π 1 ( q 1 ， p 2 ) (7) 将(6)式代入得到： ∏ 1 ( q 1 ， p 2 ) = G 1 q 1 − H 1 p 2 + E 1 q 1 2 + p 2 2 + F 1 q 1 p 2 ∏ 2 ( q 1 ， p 2 ) = − G 1 q 1 + H 1 p 2 − E 1 q 1 2 − p 2 2 − F 1 q 1 p 2 (8) 其中 E 1 = b 2 − 1 ， F 1 = 2 b ， G 1 = a ( 1 − b ) − ( c 1 + b c 2 ) ， H 1 = a + c 2 。 根据相对利润最大化的条件的 ∂ ∏ 1 ∂ q 1 = 0 ，   ∂ ∏ 2 ∂ p 2 = 0 ，将(8)代入得到： ∂ ∏ 1 ∂ q 1 = G 1 + 2 E 1 q 1 + F 1 p 2 = 0 ∂ ∏ 2 ∂ p 2 = − F 1 q 1 − 2 p 2 + H 1 = 0 (9) 为了构建和研究这一博弈的动态特征，我们假设两个公司的行为都是理性的。理性行为意味着企业采用短视的调整机制，应用此机制需要公司只知道他们的相对利润是增加还是减少的信息。利用这个机制我们构建一个动态系统来描述这一博弈过程，如下所示： q 1 ( t + 1 ) = q 1 ( t ) + k 1 q 1 ∂ ∏ 1 ∂ q 1 p 2 ( t + 1 ) = p 2 ( t ) + k 2 p 2 ∂ ∏ 2 ∂ p 2 (10) 式中，k 1 ，k 2 为调整速度参数。 现对每个时间步长t施加稳态条件 q 1 ( t + 1 ) = q 1 ( t ) 和 p 2 ( t + 1 ) = p 2 ( t ) ，很容易得出上面的系统(10)具有唯一平衡点为 e = ( q 1 ∗ ， p 2 ∗ ) ，其中， q 1 ∗ = a − c 1 2 p 2 ∗ = ( a + c 2 ) − b ( a − c 1 ) 2 (11) 这个平衡点取决于参数a，b，c 1 ，c 2 ，实际上，其他参数k 1 ，k 2 也影响了它的稳定性。 以下通过证明如下命题，确定该模型下平衡点的稳定性区域。 命题3.1：平衡点e是局部稳定的，如果 0 < ( A 1 B 1 + μ 1 ) k 1 k 2 < A 1 k 1 + B 1 k 2 < 1 2 ( A 1 B 1 + μ 1 ) k 1 k 2 + 2 (12) 其中 A 1 = − 4 E 1 q 1 ∗ − F 1 p 2 ∗ − G 1 ， B 1 = F 1 q 1 ∗ + 4 p 2 ∗ − H 1 ， μ 1 = F 1 2 q 1 ∗ p 2 ∗ 。 证明：为了研究平衡点的稳定性，我们引用著名的稳定性条件，它建立在雅可比矩阵J的迹(T)及行列式(D)的基础上，对于一个二维的离散系统有如下线性方程组： { 1 − T + D > 0 1 + T + D > 0 1 − D > 0 (13) 系统(10)在平衡点处的雅可比矩阵为： J = [ 1 + ( 4 E 1 q 1 ∗ + F 1 p 2 ∗ + G 1 ) k 1 F 1 q 1 ∗ k 1 − F 1 p 2 ∗ k 2 1 + ( − F 1 q 1 ∗ − 4 p 2 ∗ + H 1 ) k 2 ] (14) 该矩阵的迹和行列式可变为 T = 2 − A 1 k 1 − B 1 k 2 D = ( 1 − A 1 k 1 ) ( 1 − B 1 k 2 ) + μ 1 k 1 k 2 (15) 因此上述稳定性条件可转化为 1 − T + D > 0 → ( A 1 B 1 + μ 1 ) k 1 k 2 > 0 1 + T + D > 0 → ( A 1 B 1 + μ 1 ) k 1 k 2 − 2 A 1 k 1 − 2 B 1 k 2 + 4 > 0 1 − D > 0 → A 1 k 1 + B 1 k 2 − ( A 1 B 1 + μ 1 ) k 1 k 2 > 0 (16) 如果这三个条件没有同时满足，平衡点就会变得不稳定。因此，一旦违反了这些条件中的任一项，平衡点都会由于倍化分叉或Neimark-Sacker分叉而丧失其稳定性。经由简单的整理计算可以得到这些条件可转化为： 0 < ( A 1 B 1 + μ 1 ) k 1 k 2 < A 1 k 1 + B 1 k 2 < 1 2 ( A 1 B 1 + μ 1 ) k 1 k 2 + 2 (17) 综上，命题得证。 如前所述，(17)中的三个条件定义了调整速度k 1 ，k 2 平面内的一个区域，其形状如图1所示的红色区域。第二个不等式是一个双曲线，若违反此条件，则出现倍周期分岔，平衡点将失去稳定性。直接关于平衡点稳定性的信息可以从图1中获得。很明显，红色区域平面保证了平衡点的局部稳定性。此外，这一稳定区域也受参数a和b的影响，当a接近10，且b接近1.2时，红色区域逐渐缩小。另一方面，当参数k 1 ，k 2 从这个红色区域中取值时，平衡该点会因倍周期分岔而失去稳定性。以下我们考虑不同参数的取值对于平衡点行为的影响。 图1. 平衡点稳定区域(参数值a = 0.8， b = 0.2， c 1 = 0.11， c 2 = 0.12) 通过固定参数b = 1，c 1 = 2，c 2 = 2，k 1 = 0.1，k 2 = 0.1，得到q 1 ，p 2 关于参数a的分歧图如图2所示，表明了倍周期分岔的出现导致系统平衡点的不稳定性。当 a ∈ ( 0 ， 10 ) 时，平衡点大致处于稳定状态，随着参数值的增加，出现倍周期分岔，最终导致混沌构建。 通过固定参数a = 10，c 1 = 2，c 2 = 2，k 1 = 0.1，k 2 = 0.1，得到q 1 ，p 2 关于参数b的分歧图如图3所示。当 b ∈ ( 0 ， 1 ) 时，平衡点大致处于稳定状态，当b > 1时，平衡点逐渐失去稳定性，进入混沌区域。 图2. q 1 ，p 2 随参数a变化图像 图3. q 1 ，p 2 随参数b变化图像 通过固定参数a = 10，b = 1，c 2 = 2，k 1 = 0.1，k 2 = 0.1，得到q 1 关于参数c 1 的分歧图如图4所示，当c 1 取接近0的参数值时，进入系统的混沌区域，而增加参数至c 1 > 3时，系统行为逐渐由复杂变为稳定。 通过固定参数a = 10，b = 1，c 1 = 2，k 1 = 0.1，k 2 = 0.1，得到p 2 关于参数c 2 的分歧图如图5所示，当c 1 取接近0的参数值时，系统失去稳定性，而增大参数值至c 2 > 3时，系统进入稳定区域。 图4. q 1 ，p 2 随参数c 1 变化图像 图5. q 1 ，p 2 随参数c 2 变化图像 图6显示了价格q 1 的调整速度参数k 1 对平衡点的影响。当其他参数分别为a = 10，b = 1，c 1 = 2，c 2 = 2，k 2 = 0.1时，从分歧图中可以观察得出，若 k 1 ∈ ( 0 ， 0.1 ) 时，平衡点大致处稳定状态。当k 1 > 0.1时，平衡点的行为开始变得复杂而混沌。 图7显示了价格p 2 的调整速度参数k 2 对平衡点的影响。当其他参数分别为a = 10，b = 1，c 1 = 2，c 2 = 2，k 1 = 0.1时，从图7中可以观察得出，若 k 2 ∈ ( 0 ， 0.1 ) ，平衡点失去稳定性，处于混沌状态。而随着k 2 数值的增加，平衡点逐渐趋于稳定，并在考察范围内持续稳定下去。 图6. q 1 ，p 2 随参数k 1 变化图像 图7. q 1 ，p 2 随参数k 2 变化图像