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user: 3. 估计量的相合性和渐近性 本文中，我们假设 α ∈ ( 1 ， 2 ) ， θ > 0 。我们讨论方程(2)是由一个a-stable Lévy过程 Z T 驱动，且 θ > 0 是一个可以通过观测X估计出的未知参数。由 d Y T = T X T d T (6) 可得 d Y T = θ T Y T d T + T d Z T (7) 将(3)代入(6)得到(7)。由常数变易法，可得(7)的显式解为 Y T = e θ T 2 2 ∫ 0 T s e − θ s 2 2 d Z s ，     T ≥ 0 令 η T = ∫ 0 T s e − θ s 2 2 d Z s 因此， { η T } T ≥ 0 是 L P 有界的、右极左连的、 F T 鞅( 1 < p < α )，且有 Y T = e θ T 2 2 η T 此外， η T 是一个服从 S α ( τ T 1 α ， β ， 0 ) 是随机变量，其中 τ T = ∫ 0 T | s e − θ s 2 2 | α d s < ∞ 由于 lim T → ∞ ∫ 0 T | s e − θ s 2 2 | α d s = ( θ 2 α ) − α 2 − 1 Γ ( α + 1 2 ) 当T趋于无穷， η T 收敛于一个a-stable随机变量，并且具有分布 S α ( ( ( θ 2 α ) − α 2 − 1 Γ ( α + 1 2 ) ) 1 α ， β ， 0 ) 。因此，根据鞅收敛定理，有 min T → ∞ e − θ T 2 2 Y T = ∫ 0 T s e − θ s 2 2 d Z s : = η T ，         P − a . s . 结合(3)和(4)，我们可以得到 θ ^ T − θ = ∫ 0 T ω t 2 Z t A t d t ∫ 0 T ω t 2 A t 2 d t 记 h 1 ( T ) = ∫ 0 T ω t 2 t − 2 e θ t 2 d t 和 h 2 ( T ) = ∫ 0 T ω t 2 t − 1 e θ 2 t 2 d t 本文，我们总是假设加权函数 ω t 是给定的。当T取无穷时，对每个 K > 0 和 i = 1 ， 2 ，有 h i ( T ) → ∞ 和 h i ( K ) / h i ( T ) → 0 。为了给出加权轨迹拟合估计量的渐近性质，我们需要下面著名的Toeplitz引理(见Dietz 和Kutoyants [ 6 ] )。 引理 1 [ 5 ] ：如果 φ T 是定义在 [ 0 ， ∞ ) 的概率空间测度，且 φ T ( [ 0 ， T ] ) = 1 ，当 T → ∞ 时，对每个 K > 0 有 φ T ( [ 0 ， K ] ) = 0 ，则对每个有界的可测函数 f : [ 0 ， ∞ ) → R 有 lim T → ∞ ∫ 0 ∞ f t φ T ( d t ) = f ∞ 其中 f ∞ : = lim T → ∞ f t 为 f 的极限且存在。 3.1. 相合性 定理1：令 θ > 0 ，当T趋于无穷时，有 θ ^ T → θ ，       P − a . s . 证明：由Toeplitz引理，可得 lim T → ∞ A T T − 1 e θ 2 t 2 = lim T → ∞ ∫ 0 T Y s d s T − 1 e θ 2 T 2 = lim T → ∞ ∫ 0 T ( e − θ 2 s 2 Y s − η ∞ + η ∞ ) e θ 2 s 2 d s T − 1 e θ 2 T 2 = lim T → ∞ ∫ 0 T ( e − θ 2 s 2 Y s − η ∞ ) e θ 2 s 2 d s + ∫ 0 T η ∞ e θ 2 s 2 d s T − 1 e θ 2 T 2 = lim T → ∞ λ ( T ) T − 1 e θ 2 T 2 ∫ 0 T ( e − θ 2 s 2 Y s − η ∞ ) e θ 2 s 2 λ ( T ) d s + lim T → ∞ η ∞ ∫ 0 T e θ 2 s 2 d s T − 1 e θ 2 T 2 = η ∞ θ ，         P − a . s . 其中 λ ( T ) = ∫ 0 T e θ 2 s 2 d s 。因为 lim T → ∞ Z T T − 1 e θ 2 T 2 = 0 ，         P − a . s . 所以，再次利用Toeplitz引理，有 lim T → ∞ θ ^ T − θ = lim T → ∞ ∫ 0 T ω t 2 Z t A t d t ∫ 0 T ω t 2 A t 2 d t = lim T → ∞ ∫ 0 T A t t − 1 e θ 2 t 2 Z t t − 1 e θ 2 t 2 ω t 2 t − 2 e θ 2 t 2 h 1 ( T ) d t ∫ 0 T ( A t t − 1 e θ 2 t 2 ) 2 ω t 2 t − 2 e θ t 2 h 1 ( T ) d t = 0 ，                 P − a . s . 定理证明完毕。 3.2. 渐近性 下面，我们讨论估计量 θ ^ T 的渐近分布。假设加权函数满足以下条件： 假设1：当T趋于无穷时，有 d ( ω T 2 ) T ω T 2 → 0. 我们可以得到下面几个结果： 定理2：如果 θ > 0 且上面的假设成立，则有 h 1 ( T ) h 2 ( T ) T 1 α ( θ ^ T − θ ) ⇒ θ ζ η ∞ . 其中 ζ 是服从 S α ( 1 ， β ， 0 ) 的随机变量，且独立于 η ∞ 。 证明：显然，有 h 1 ( T ) h 2 ( T ) T 1 α ( θ ^ T − θ ) = h 2 − 1 ( T ) T − 1 α ∫ 0 T ω t 2 Z t A t d t h 1 − 1 ( T ) ∫ 0 T ω t 2 A t 2 d t = η T 2 h 1 − 1 ( T ) ∫ 0 T ω t 2 A t 2 d t h 2 − 1 ( T ) T − 1 α Z T ∫ 0 T ω t 2 A t d t η T 2     − η T 2 h 1 − 1 ( T ) ∫ 0 T ω t 2 A t 2 d t h 2 − 1 ( T ) T − 1 α ∫ 0 T ω t 2 A t ( Z T − Z t ) d t η T 2 : = F T ( G T + H T ) (8) 运用Toeplitz引理，可得 lim T → ∞ h 1 − 1 ( T ) ∫ 0 T ω t 2 A t 2 d t = lim T → ∞ ∫ 0 T ( A t t − 1 e θ 2 t 2 ) 2 ω t 2 t − 2 e θ t 2 h 1 ( T ) d t = η ∞ 2 θ 2 ，         P − a . s . 因此，有 lim T → ∞ F T = θ 2 ，         P − a . s . (9) 接，我们讨论 G T 。记 G T = h 2 − 1 ( T ) T − 1 α Z T ∫ 0 T ω t 2 A t d t η T 2 = h 2 − 1 ( T ) ∫ 0 T ω t 2 A t d t η T ⋅ T − 1 α Z T η T 由Toeplitz引理，可知 lim T → ∞ h 2 − 1 ( T ) ∫ 0 T ω t 2 A t d t = lim T → ∞ ∫ 0 T A t t − 1 e θ 2 t 2 ⋅ ω t 2 t − 1 e θ 2 t 2 h 2 ( T ) d t = η ∞ θ 几乎必然。因此 lim T → ∞ h 2 − 1 ( T ) ∫ 0 T ω t 2 A t d t η T = 1 θ ，         P − a . s . (10) 对 G T 中的第二个因子，有 T − 1 α Z T η T = T − 1 α ( Z T − Z T 1 α ) + T − 1 α Z T 1 α η T 1 α + ( η T − η T 1 α ) 我们可以得到以下几个结论： (i) 随机变量 T − 1 α ( Z T − Z T 1 α ) 服从a-stable分布 S α ( σ ( 1 − T 1 α − 1 ) 1 α ， β ， 0 ) ，且当 T → ∞ 时，随机变量弱收敛于一个具有平稳分布 S α ( 1 ， β ， 0 ) 的随机变量 ζ 。 (ii) 由强大数定律，有 lim T → ∞ T − 1 α Z T 1 α = 0 ，         P − a . s . (iii) T − 1 α ( Z T − Z T 1 α ) 和 η T 1 α 是相互独立的。 (iv) 显然有 lim T → ∞ η T 1 α = η ∞ ，         P − a . s . (v) 当T趋于无穷时，有 η T − η T 1 α 依概率收敛于零。 证明：我们证明( v )。由 η ∞ 的定义，可得 η T − η T 1 α = ∫ T 1 α T s e − θ s 2 2 d Z s 因此，有 | η T − η T 1 α | ≤ | ∫ T 1 α T s e − θ s 2 2 d Z s | (11) 由于 P { | ∫ T 1 α T s e − θ s 2 2 d Z s | ≥ ε } ≤ E | ∫ T 1 α T s e − θ s 2 2 d Z s | ε ≤ C ε ( ∫ T 1 α T s e − θ s 2 2 d Z s ) 1 α ≤ C ε ( T α + 1 e − θ α T 2 α 2 ) 1 α 对任意给定的 ε > 0 和常数 C > 0 ，当T趋于无穷时，上面的式子趋于零。可知，当T趋于无穷时，(11)收敛于零 由(i)、(ii)、(iii)、(iv)、(v)，可以得到以下结论 T − 1 α Z T η T ⇒ ζ η ∞ (12) 其中 ζ 和 η ∞ 相互独立。结合(10)和(12)我们可以发现，当T趋于无穷时，有 G T ⇒ θ ζ η ∞ (13) 最后，我们需要证明当T趋于无穷时，依概率有 H T → 0 。首先 | h 2 − 1 ( T ) T − 1 α ∫ 0 T ω t 2 A t ( Z T − Z t ) d t | ≤ h 2 − 1 ( T ) T − 1 α ∫ 0 T ω t 2 | Z T − Z t | d t ∫ 0 t Y s d s ≤ h 2 − 1 ( T ) T − 1 α ∫ 0 T ω t 2 | Z T − Z t | d t ∫ 0 t | e − θ s 2 2 Y s | e θ s 2 2 d s ≤ sup t ≥ 0 | e − θ s 2 2 Y s | ⋅ h 2 − 1 ( T ) T − 1 α ∫ 0 T ω t 2 | Z T − Z t | d t ∫ 0 t e θ s 2 2 d s 显然 sup t ≥ 0 | e − θ s 2 2 Y s | 是几乎必然有限的。因此，上面的不等式的最后一项因子 h 2 − 1 ( T ) T − 1 α ∫ 0 T ω t 2 | Z T − Z t | d t ∫ 0 t e θ s 2 2 d s 依概率收敛于零。并且，当T充分大时，有 E [ h 2 − 1 ( T ) T − 1 α ∫ 0 T ω t 2 | Z T − Z t | d t ∫ 0 t e θ s 2 2 d s ] ≤ h 2 − 1 ( T ) T − 1 α ∫ 0 T ω t 2 E [ | Z T − Z t | ] d t ∫ 0 t e θ s 2 2 d s ≤ C ( 1 ， α ) ∫ 0 T ( T − t ) 1 α ω t 2 d t ∫ 0 t e θ s 2 2 d s T 1 α ∫ 0 T ω t 2 t − 1 e θ s 2 2 d t : = C ( 1 ， α ) B T 其中 C ( 1 ， α ) = 4 Γ ( − 1 α ) α π Γ ( − 1 2 ) 。然后，由洛必达法则可得 lim T → ∞ B T = lim T → ∞ ∫ 0 T ( T − t ) 1 α ω t 2 d t ∫ 0 t e θ s 2 2 d s T 1 α ∫ 0 T ω t 2 t − 1 e θ s 2 2 d t = lim T → ∞ 1 α ∫ 0 T ( T − t ) 1 α ω t 2 d t ∫ 0 t e θ s 2 2 d s 1 α T 1 α − 1 ∫ 0 T ω t 2 t − 1 e θ t 2 2 d t + T 1 α − 1 ω T 2 e θ T 2 2 ≤ lim T → ∞ 1 α ∫ 0 T ω t 2 d t ∫ 0 t e θ s 2 2 d s ω T 2 e θ T 2 2 = lim T → ∞ 1 α ω T 2 ∫ 0 T e θ t 2 2 d t θ ω T 2 T e θ T 2 2 = 0. (14) 因此，当T趋于无穷时，有 h 2 − 1 ( T ) T − 1 α ∫ 0 T ω t 2 A t ( Z T − Z t ) d t → 0 ，         P − a . s . 于是，当 T → ∞ ，有 H T → 0 依概率。由(8)、(9)、(13)以及(14)，可以得到以下结论： h 1 ( T ) h 2 ( T ) T 1 α ( θ ^ T − θ ) ⇒ θ ζ η ∞ . 其中 ζ 是一个服从 S α ( 1 ， β ， 0 ) 的随机变量，且独立于 η ∞ 。证明完毕。 我们考虑下面两个特殊的加权函数： (i) 令 ω T = T p ，   p ≥ 0 ，有 lim T → ∞ ( ω T 2 ) ′ T ω T 2 = lim T → ∞ 2 p T 2 p − 1 T 2 p + 1 = 0. (ii) 令 ω T = e r T ，   r ≥ 0 可得 lim T → ∞ ( ω T 2 ) ′ T ω T 2 = lim T → ∞ 2 r e 2 r T T e 2 r T = 0.