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user: 2. 基于ARIMA模型的地铁工程主要材料价格预测 目前价格的预测方法主要分为两类：定性分析，如经验法等；定量分析，如灰色预测、马尔科夫、时间序列及神经网络等，这些方法或关注市场价格与相关市场要素的关系、或发掘市场价格自身的变化特点，有各自的使用范围和优势[ 4 ] 。笔者通过查阅相关文献及调研，发现时间序列法在市场价格预测方面的应用有着很强的优势并且研究空间较大。目前对人材机价格预测研究相对较少，基于时间序列法预测的更是少之又少。本文针对这个现象，在此提出一套完整的建模方法和详细的操作流程，对模型进行拟合、检验、预测和评价进行说明，并和传统的指数平滑法预测结果对比。 2.1. ARIMA模型 全称为自回归积分滑动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model，简记ARIMA)，是由博克思(Box)和詹金斯(Jenkins)于70年代初提出一著名时间序列预测方法，所以又称为box-jenkins模型、博克思–詹金斯法。其中ARIMA(p，d，q)称为差分自回归移动平均模型，AR是自回归，p为自回归项；MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。所谓ARIMA模型，是指将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型。ARIMA模型根据原序列是否平稳以及回归中所含部分的不同，包括移动平均过程(MA)、自回归过程(AR)、自回归移动平均过程(ARMA)以及ARIMA过程。 即若一个时间序列 的d次差分 是一个平稳的ARMA过程，则称 为自回归移动平均模型。若 服从ARMA(p，q)模型，则称 是ARIMA(p，d，q)过程 [ 5 ] 。用公式表达如下： (1) 其中，实参数 称为自回归系数，实参数 称为滑动平均系数， 为白噪声序列。如果定义 为延迟算子，即： ， [ 6 ] ，有： (2) 2.2. 实例分析——以圆钢筋为例 ARIMA预测分析方法(图1)。 图1. 材料价格市场预测模式框架 2.2.1. 数据分析 圆钢筋季度价格来源于《大连市工程造价信息网网刊》，具体如表1所示。 首先对S序列取对数ln(S)，取对数目的是为了清除数据的异常值(outlier)。当用log后，这些异常点会变得比较小，会缩回期望范围内。取对数后的时序图如图2所示。从图中可以看出大连市圆钢价格波动很大，并伴有一定的季节变动，季节性变动的发生，不仅是由于气候的直接影响，而且社会制度及风俗习惯也会引起季节变动。因此，在进行经济增长分析时，必须去掉季节波动的影响，要进行季节调整(Seasonal Adjustment)。对调整后的序列进行平稳性检验、建模等。 2.2.2. 平稳性检验及处理 从图2时序图可以该序列不平稳，为了对数列进行有效的分析，采用差分法对ln(s)序列进行平稳化处理，一阶差分形如 ，经过处理发现一阶差分序列虽然平稳，但是是一个白噪声序列不能进行ARIMA分析，所以进行二阶差分，差分后时序图如图3所示，从图3可以看出 已没有趋势，初步判断为平稳序列。接下来采用ADF进一步检验，对任意序列ADF检验是通过以下三个模型进行检验的： 模型1 (3) 模型2 (4) 模型3 (5) 模型3中的t是时间变量，代表了时间序列随时间变化的某种趋势。模型1与另两模型的差别在于是否包含有常数项(intercept)和趋势项(Trend)，实际检验时从模型3开始，然后模型2、1。在本文中，常数项和趋势项均不显著，所以选择模型1，ADF统计量 = −5.291521 < −1.952910 (5%显著水平值)，因此拒绝原假设，接受不存在单位根的结论，即 是平稳的。 2.2.3. ARIMA时间序列模型的构建 通过对序列进行白噪声检验，若其为非白噪声序列，根据其自相关图和偏自相关图的性质进行下一 Table 1 2006-2015 Dalian City round steel market prices (Unit: Yuan 季 价格 年 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 第一季 3200 3385 5100 4050 4350 5129.67 4775 4100 3600 2820 第二季 3280 3700 5800 3880 4743.33 5300 4700 4040 3580 第三季 3380 3836.33 6037.5 4640 4540 5200 4250 4050 3450 第四季 3375 4450 3950 3948.33 4740 5090 3980 3850 3280 表1. 2006~2015大连市圆钢筋市场价格(单位：元) 图2. 大连市圆钢市场价格时序图 图3. 二阶差分时序图 步的模型识别。从图4可以看到Q统计量的伴随概率P均小于α = 0.05，因此应拒绝原假设(原假设为：序列为白噪声)，即 序列是非白噪声的。 1) 模型识别 ARMA(p，q)参数的确定可以从图4中序列的自相关函数和偏自相关函数得出，如果样本(偏)自相关系数在最初的d阶明显大于两倍标准差范围，而后几乎95%的自相关系数都落在2倍标准差的范围以内， 图4. 自相关图 而且通常由非零自相关系数衰减为小值波动的过程非常突然。这时，通常视为(偏)自相关系数截尾。截尾阶数为d。本文中p和q参数均为1，因此可以选择MA(1)、AR(1)、ARMA(1，1)模型进行拟合，相应的S序列可选择ARIMA(0，2，1)、ARIMA(1，2，0)、ARIAM(1，2，1)模型。 2) 模型的估计 通过估计得出ARIAM(1，2，1)模型中MA(1)的实参数 ，得出该模型不可逆，无效，故应对ARIMA(1，2，0)、ARIMA(0，2，1)模型进行检验，这两个模型参数估计如图5、图6所示。 3) 模型的检验 由于ARMA(p，q)模型的识别与估计是在假设随机扰动项是一白噪声的基础上进行的，因此，如果估计的模型确认正确的话，残差应代表一白噪声序列。本文用Q统计量进行残差项检验，Q统计量与显著值α (α一般为0.05)比较，若Q统计量的p值均大于α，则残差序列为白噪声序列，拟合模型显著有效。所得结果如图7、图8所示。 4) 模型的优化 常用的模型选择的判别标准有：赤池信息法(Akaike information criterion，简记为AIC)与施瓦兹贝叶斯法(Schwartz Criterion，简记为SC)。在选择可能的模型时，AIC与SC越小越好。 (6) 其中，n为待估参数个数(p+q+可能存在的常数项)，T为可使用的观测值，RSS为残差平方和(Residual sum of squares)。 通过计算分析得到如表2，根据AIC和SC准则，模型ARIMA(0，2，1)优于ARIMA(1，2，0)，我们选择ARIMA(0，2，1)为预测模型。 ARIMA(0，2，1)模型为： (7) 图5. ARIMA(1，2，0)模型参数分析结果 图6. ARIMA(0，2，1)模型参数分析结果 图7. ARIMA(1，2，0)残差检验 图8. ARIMA(0，2，1)残差检验 Table 2 AIC and SC value 模型 AIC SC ARIMA(1，2，0) −1.352783 −1.260268 ARIMA(0，2，1) −1.704466 −1.612857 表2. AIC和SC值 将对数形式的ARIMA(0，2，1)模型指数化得到最终的ARIMA(0，2，1)模型如下所示： (8) 2.2.4. ARIMA(0，2，1)模型预测 通过Eviews软件进行预测，在Eviews中有两种预测方式：“Dynamic”和“Static”，前者是根据所选择的一定的估计区间，进行多步向前预测；后者是只滚动的进行向前一步预测，即每预测一次，用真实值代替预测值，加入到估计区间，再进行向前一步，本文中采用“static”方式进行预测，预测结果如表3所示。 拟合的误差很小，基本上满足了模型的精度要求。从表中还可以看出，2015年的拟合数据偏差比2014年的拟合数据大，说明该模型更适合短期预测。 2.3. 指数平滑预测 指数平滑是可调整预测的简单方法。当只有少数观测值时这种方法是有效的。与使用固定系数的回归预测模型不同，指数平滑法的预测用过去的预测误差进行调整。常用的指数平滑是单指数和双指数平滑。 1) 单指数平滑(一个参数) 平滑后的序列 计算公式如下 (9) Table 3 Actual forecast data (ARIMA model 时间 拟合数据 实际数据 误差 误差百分比 MRE MSE 2014年第三季 3382.85 3450 67.15 1.95% 2.58% 101.68 2014年第四季 3253.61 3280 26.39 0.80% 2015年第一季 3116.40 2820 −296.40 10.50% 表3. 实际预测数据(ARIMA模型) 其中， ， 为平滑因子， 越小， 越平缓，重复迭代，可得到 (10) 2) 双指数平滑 序列y的双指数平滑以递归形式定义为 (11) (12) 其中： ， 是单指数平滑后的序列， 是双指数平滑序列。 双指数平滑的预测如下： (13) 最后一个表达式表明双指数平滑的预测有线性趋势，截距为 ，斜率为 ，T是估计样本的期末值。 3) 分别应用单指数和双指数进行预测 为了更有效的比较这三种预测方法的优劣，在进行指数平滑预测时都对原始序列进行同样的季节调整。将预测结果同ARIMA模型预测结果进行对比如表4所示。 由表4可以看出，基于时间序列模型进行预测误差最小，固时间序列法在市场价格预测方面的应用有着很强的优势。