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user: 2. 条件分布 2.1. 经典条件分布 条件分布是研究变量之间相依关系的一个有力工具，它描述了随机变量之间不独立时，已知其中一个随机变量发生的条件下另一随机变量的概率分布问题。下面给出经典的条件分布函数、条件密度函数的定义及全概率公式的密度函数形式等内容。 设 ( X ， Y ) 是二维离散型随机变量，其联合分布列为 p i j = P ( X = x i ， Y = y j ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， j = 1 ， 2 ， ⋯ 定义2.1.1：对一切使得 P ( Y = y j ) = p ⋅ j = ∑ i = 1 ∞ p i j > 0 的 y j ，称给定 Y = y j 条件下X的条件分布列和条件分布函数分别为 p i | j = P ( X = x i | Y = y j ) = P ( X = x i ， Y = y j ) P ( Y = y j ) = p i j p ⋅ j ， i = 1 ， 2 ， ⋯ (2.1.1) F ( x | y j ) = ∑ x i ≤ x P ( X = x i | Y = y j ) = ∑ x i ≤ x p i | j (2.1.2) 设 ( X ， Y ) 是二维连续型随机变量，其联合密度函数为 f ( x ， y ) ，边际密度函数为 f X ( x ) ， f Y ( y ) 。 定义2.1.2 [ 1 ] ：对一切使得 f Y ( y ) > 0 的y，给定 Y = y 条件下X的条件分布函数和条件密度函数分别为 F ( x | y ) = ∫ − ∞ x f ( u ， y ) f Y ( y ) d u (2.1.3) f X | Y ( x | y ) = f ( x ， y ) f Y ( y ) (2.1.4) 注：当 f Y ( y ) = 0 或 f X ( x ) = 0 时，概率论中并未给出明确的定义。事实上，当 f Y ( y ) = 0 或 f X ( x ) = 0 时，条件分布可能为连续型分布、离散型分布和既非连续又非离散型分布，例如，设二维连续型随机变量 ( X ， Y ) 的联合密度函数为 f ( x ， y ) = { 4 x y ，     0 ≤ x ≤ 1 ， 0 ≤ y ≤ 1 0 ，                         其 他 ，求在 Y = 0 条件下X的条件分布。经计算 f X ( x ) = { 2 x ，       0 ≤ x ≤ 1 0 ，               其 他 ， f Y ( y ) = { 2 y ，       0 ≤ y ≤ 1 0 ，               其 他 ，由于 f ( x ， y ) = f X ( x ) f Y ( y ) ，所以X和Y相互独立，其条件分布就是无条件分布，故在 Y = 0 条件下X的条件密度为 f X | Y ( x | 0 ) = f X ( x ) = { 2 x ，       0 ≤ x ≤ 1 0 ，               其 他 。 有了条件分布密度函数的概念，顺便给出连续随机变量场合下全概率公式和贝叶斯公式的密度函数形式，先将(2.1.4)式改写成 f ( x ， y ) = f Y ( y ) f X | Y ( x | y ) (2.1.5) 再对 f ( x ， y ) 求边际密度函数，即得如下定理： 定理2.1.1 (全概率公式的密度函数形式) f X ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f Y ( y ) f X | Y ( x | y ) d y (2.1.6) 有了联合密度函数 f ( x ， y ) 和边际密度函数 f X ( x ) ，很容易即可得到如下定理： 定理2.1.2 (贝叶斯公式的密度函数形式) f Y | X ( y | x ) = f Y ( y ) f X | Y ( x | y ) ∫ − ∞ ∞ f Y ( y ) f X | Y ( x | y ) d y (2.1.7) 根据全概率公式的密度函数形式，我们很容易可以推广到分布函数上，即得： 定理2.1.3 (全概率公式的分布函数形式) F X ( x ) = ∫ − ∞ ∞ F ( x | y ) f Y ( y ) d y (2.1.8) 证明： ∫ − ∞ ∞ F ( x | y ) f Y ( y ) d y = ∫ − ∞ ∞ ( ∫ − ∞ x f X | Y ( x | y ) d x ) f Y ( y ) d y = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ x f ( x ， y ) d x d y = F X (x) 结论得证。 2.2. 扩展条件分布 以上定义的条件分布及条件密度函数等都是在给定 Y = y 条件下给出的，如果将所定义的条件延伸为任一事件的发生，分布函数、密度函数的定义会有什么样的变化呢？下面我们首先给出B事件发生条件下X的条件分布函数的一般性定义。 定义2.2.1由条件概率，记 A = { ω : − ∞ < X ( ω ) ≤ x } ，B为任一概率非零事件，即 P ( B ) > 0 ，则称 F X | B ( x | B ) = P ( X ≤ x | B ) = P ( A | B ) = P ( A B ) P ( B ) (2.2.1) 为B事件发生条件下X的条件分布函数。 下面通过举例给出几个具体条件下的定义。 例2.2.1：设 ( X ， Y ) 是随机变量，由定义2.2.1我们可进一步分连续和离散两种情况给出 Y ≤ y 条件下X的条件分布函数和相应的条件密度函数。 当 ( X ， Y ) 为二维连续型随机变量时，对一切使得 F Y ( y ) > 0 的y，称 F X | Y ≤ y ( x | Y ≤ y ) = P ( X ≤ x | Y ≤ y ) = P ( X ≤ x ， Y ≤ y ) P ( Y ≤ y ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( u ， v ) d u d v ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ y f ( u ， v ) d u d v = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( u ， v ) d u d v F Y ( y ) (2.2.2) 为给定 Y ≤ y 条件下X的条件分布函数。 原来的条件密度函数是利用取极限和中值定理得到的，这里的条件密度函数通过求导的方式来给出，如下： f X | Y ≤ y ( x | Y ≤ y ) = ∂ F X | Y ≤ y ( x | Y ≤ y ) ∂ x = ∫ − ∞ y f ( x ， v ) d v ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ y f ( u ， v ) d u d v = ∫ − ∞ y f ( x ， v ) d v F Y ( y ) (2.2.3) 当 ( X ， Y ) 为二维离散型随机变量时，对一切使得 F Y ( y ) > 0 的y，称 F X | Y ≤ y ( x | Y ≤ y ) = P ( X ≤ x | Y ≤ y ) = P ( X ≤ x ， Y ≤ y ) P ( Y ≤ y ) = ∑ x i ≤ x ∑ y j ≤ y P ( X = x i ， Y = y j ) ∑ x i ∑ y j ≤ y P ( X = x i ， Y = y j ) = ∑ x i ≤ x ∑ y j ≤ y P ( X = x i ， Y = y j ) F Y ( y ) (2.2.4) 为给定 Y ≤ y 条件下X的条件分布函数。 相应的条件分布列为 p x i | Y ≤ y = P ( X = x i | Y ≤ y ) = P ( X = x i ， Y ≤ y ) P ( Y ≤ y ) = ∑ y j ≤ y P ( X = x i ， Y = y j ) ∑ x i ∑ y j ≤ y P ( X = x i ， Y = y j ) = ∑ y j ≤ y P ( X = x i ， Y = y j ) F Y ( y ) (2.2.5) 注意到，这里只给出了给定 Y ≤ y 条件下X的条件分布函数以及连续场合的条件密度函数、离散场合的条件分布列，我们可以把这个事件定义为任意一个区间，例如， Y > y ，在实际问题中，可以根据情况的不同进行定义。 例2.2.2：设随机变量X的密度函数为 f ( x ) = { 2 x ，       0 < x < 1 0 ，               其 他 ，求 a < X < b ( b − 1 < a < b ) 条件下X的条件分布函数。 解：考虑到需满足 P ( a < X < b ) > 0 ，这里分析三种情况： 1) 当 a < 0 < b 时， F ( x | a < X < b ) = P ( X ≤ x | a < X < b ) = min { P ( X ≤ x ) ， P ( X < b ) } P ( X < b ) = { 0                                                 x < 0 min { x 2 ， b 2 } b 2           0 ≤ x < b 1                                                   x ≥ b 2) 当 0 < a < b < 1 时， F ( x | a < X < b ) = P ( X ≤ x | a < X < b ) = P ( X ≤ x ， a < X < b ) P ( a < X < b ) = { 0                                                                       x < a min { x 2 − a 2 ， b 2 − a 2 } b 2 − a 2         a ≤ x < b 1                                                                         x ≥ b 3) 当 a < 1 < b 时， F ( x | a < X < b ) = P ( X ≤ x | a < X < b ) = P ( X ≤ x ， X > a ) P ( X > a ) = { 0                                     x ≤ a x 2 − a 2 1 − a 2             a < x < 1 1                                     x ≥ 1 以上便给出了 a < X < b 条件下X的条件分布函数。 例2.2.3：设X和Y是相互独立的随机变量，且 X ∼ P ( λ 1 ) ， Y ∼ P ( λ 2 ) 。在已知 X + Y = n 的条件下，求X的条件分布函数。 解： F ( x | X + Y = n ) = P ( X ≤ x | X + Y = n ) = ∑ k ≤ x P ( X = k | X + Y = n ) 又知在 X + Y = n 条件下，X服从二项分布 b ( n ， p ) ，其中 p = λ 1 / ( λ 1 + λ 2 ) ，则 F ( x | X + Y = n ) = ∑ k ≤ x C n k p k ( 1 − p ) k − 1 其中 p = λ 1 / ( λ 1 + λ 2 ) ，上式便给出了 X + Y = n 条件下X的条件分布函数。