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user: 4. 模型(1.1)的平稳分布 在这部分，我们引入一个有用的引理。在h维欧氏空间中， X ( t ) 是齐次马尔科夫程且满足如下方程 d X ( t ) = f ( X ) d t + ∑ i j g i ( X ) d B i (t) 则扩散矩阵定义为： Q ( X ) = ( H p q ( x ) ) ，   H p q ( x ) = g i p ( x ) g i q (x) 因此，有如下引理： 引理1 [ 17 ] [ 20 ] 如果存在一个具有光滑边界 ∂ U 的有界开域 U ∈ R + 2 ，具有如下性质： 1) 在域U及其邻域中，存在常数 J > 0 满足 ∑ p ， q = 1 2 H p q ( x ) ϕ p ϕ q ≥ J ϕ 2 ， x ∈ U ， ϕ ∈ R + 2 ， ϕ = ϕ 1 2 + ϕ 2 2 ； 2) 若 X 0 ∈ R + 2 \ U ，对于任一个紧集 K ∈ R + 2 ，存在一个路径从 X 0 出发到达集合U，其平均时间 E τ 是有限的，即 E τ X 0 ∈ K < + ∞ 。 若上述条件成立，则马尔科夫过程 X ( t ) 有唯一的平稳分布 π ( ⋅ ) 。且若 f ( ⋅ ) 关于测度π为可积函数，则： P { 1 T ∫ 0 T f ( X ( t ) ) d t = f R + 2 ( u ) π ( d u ) } = 1 引理2 当 σ 1 = σ 2 = 0 时，随机系统(2)即为确定系统，其平衡点为 ( x * ， y * ) x * = ( a + μ ) ( K r − K d − r ) + K 2 ( ( a + μ ) ( r − d ) − k ) 2 + 4 ( a + μ ) 2 K r s 2 r ( a + μ ) y * = ( k − a − μ ) ( a + μ ) ( K r − K d − r ) + K 2 ( ( a + μ ) ( r − d ) − k ) 2 + 4 ( a + μ ) 2 K r s 2 r ( a + μ ) 2 定理3 若 R 0 > 1 时，以下条件成立： 1) r K > k ( y * + 5 ) 2 ( x * + y * ) ， a + μ > k ( y * + 5 ) 2 ( x * + y * ) + σ 2 2 2) 0 < M < min ( m 1 ( x * ) 2 ， m 2 ( y * ) 2 ) m 1 = r K − k ( y * + 5 ) 2 ( x * + y * ) ，   m 2 = a + μ − k ( y * + 5 ) 2 ( x * + y * ) − σ 2 2 带有初值 X ( 0 ) ∈ R + 2 随机微分方程(2)，存在一个平稳分布 π ( ⋅ ) ，其遍历性为： P { 1 T ∫ 0 T f ( X i ( t ) ) d t = ∫ R + 2 f ( x ， y ) π ( d x ， d y ) } = 1 ，   i = 1 ， 2 . 证明 (i) 由模型(1)可知，其扩散矩阵为： Q ( X ) = ( σ 1 2 x 2 0 0 σ 2 2 y 2 ) 令 G = min ( x ， y ) ∈ U ( σ 1 2 x 2 ， σ 2 2 y 2 ) ，有如下 ∑ p ， q = 1 2 H p q ( x ) ϕ p ϕ q = σ 1 2 x 2 ϕ 1 2 + σ 2 2 y 2 ϕ 2 2 ≥ G ( ϕ 1 2 + ϕ 2 2 ) ，   ϕ 1 ， ϕ 2 ∈ R + 2 因此引理1中的(1)成立。 (ii) 存在一个邻域U和一个非负函数 V ∈ C 2 ，使得 X 0 ∈ R + 2 \ U 时， L V < 0 。由于 R 0 > 1 ，模型(1.1)的确定性系统的平衡点为 ( x * ， y * ) ，即为引理2中的平衡点。定义V函数如下： V = x − x * − x * ln x x * + y − y * − y * ln y y * + ( y − y * ) 2 令 V 11 = x − x * − x * ln x x * ， V 12 = y − y * − y * ln y y * ， V 13 = ( y − y * ) 2 运用伊藤公式，则有 L V 11 = ( x − x * ) x [ s + r x ( 1 − x K ) − d x − k x y x + y ] + 1 2 σ 1 2 x * = ( x − x * ) [ s x − s x * − r K ( x − x * ) + k y * x * + y * − k x y x + y ] + 1 2 σ 1 2 x * = s ( x − x * ) 2 x x * − r K ( x − x * ) 2 − k x ( x − x * ) ( y − y * ) ( x + y ) ( x * + y * ) + k y ( x − x * ) 2 ( x + y ) ( x * + y * ) + 1 2 σ 1 2 x * ≤ − r K ( x − x * ) 2 + k x * + y * [ 1 2 ( x − x * ) 2 + ( y − y * ) 2 ] + k ( x − x * ) 2 x * + y * + 1 2 σ 1 2 x * ≤ − ( r K − 3 k 2 ( x * + y * ) ) ( x − x * ) 2 + k ( y − y * ) 2 x * + y * + 1 2 σ 1 2 x * (6) 同样，我们有： L V 12 = ( y − y * ) [ k x y x + y − k y * x * + y * ] + 1 2 σ 2 2 y * = k x ( y − y * ) 2 ( x + y ) ( x * + y * ) + k y ( x − x * ) ( y − y * ) ( x + y ) ( x * + y * ) + 1 2 σ 2 2 y * ≤ k ( y − y * ) 2 x * + y * + k ( x * + y * ) [ 1 2 ( x − x * ) 2 + 1 2 ( y − y * ) 2 ] + 1 2 σ 2 2 y * = 3 k 2 ( x * + y * ) ( y − y * ) 2 + k ( x − x * ) 2 2 ( x * + y * ) + 1 2 σ 2 2 y * (7) L V 13 = ( y − y * ) [ k x y x + y − ( a + μ ) y ] + 1 2 σ 2 2 y 2 = ( y − y * ) [ k x y x + y − ( a + μ ) y − k x * y * x * + y * + ( a + μ ) y * ] + 1 2 σ 2 2 y 2 = k x y * ( y − y * ) 2 ( x + y ) ( x * + y * ) + k y y * ( x − x * ) ( y − y * ) ( x + y ) ( x * + y * ) − ( a + μ ) ( y − y * ) 2 + 1 2 σ 2 2 y 2 由于 ( c + d ) 2 ≤ 2 ( c 2 + d 2 ) 成立( c ， d 均非负)，则： L V 13 ≤ k y * ( y − y * ) 2 x * + y * + k y * x * + y * [ 1 2 ( y − y * ) 2 + 1 2 ( x − x * ) 2 ]     − ( a + μ ) ( y − y * ) 2 + σ 2 2 ( y − y * ) 2 + σ 2 2 ( y * ) 2 = − ( a + μ − 3 k y * 2 ( x * + y * ) − σ 2 2 ) ( y − y * ) 2 + k y * 2 ( x * + y * ) ( x − x * ) 2 + σ 2 2 ( y * ) 2 (8) 综上： L V ≤ − ( r K − k ( y * + 5 ) 2 ( x * + y * ) ) ( x − x * ) 2 − ( a + μ − k ( y * + 5 ) 2 ( x * + y * ) − σ 2 2 ) ( y − y * ) 2     + 1 2 σ 1 2 x * + σ 2 2 ( y * ) 2 + 1 2 σ 2 2 y * : − m 1 ( x − x * ) 2 − m 2 ( y − y * ) 2 + M (9) 若 0 < M < min ( m 1 ( x * ) 2 m 2 ( y * ) 2 ) 成立，则椭圆 m 1 ( x − x * ) 2 + m 2 ( y − y * ) 2 = M 全属于 R + 2 。选取椭圆任意一个邻域U使得U的闭包 U ¯ ∈ R + 2 。则对于任意的 X ∈ R + 2 \ U ，有 L V < 0 。因此模型(1.1)有平稳分布。