system: [SYSTEM]

user: 2. 无穷维Hamilton算子辛自伴延拓的存在性 本节利用空间分解的方法，引入全新的内积和正交结构，给出了闭的辛对称算子满足一定的条件时，存在辛自伴延拓。 2.1. 预备知识 定义2.1.1.设J是定义在Hilbert空间上的线性映射满足 ( J x ， J y ) = ( x ， y ) ， J 2 x = − x 。上述定义的算子能诱导辛结构，所以也称辛算子。 定义2.1.2.设H是稠定的线性算子，定义域为 D ( H ) ，对任意 x ， y ∈ D ( H ) ，如果 ( H x ， J y ) = − ( x ， J H y ) 则称H为辛对称。 引理2.1.1. H为辛对称的充要条件是 J H J ⊂ H * 。 证明：当H为辛对称算子时，对于任意 u ∈ D ( J H J ) ，任意 x ∈ D ( H ) 有 ( H x ， u ) = − ( H x ， J 2 u ) = ( x ， J H J u ) 所以 u ∈ D ( H * ) 且 J H J u = H * u ，即 J H J ⊂ H * 。 当 J H J ⊂ H * 时，对于任意 x ， y ∈ D ( H ) ， ( H x ， J y ) = ( x ， H * J y ) = ( x ， J H J J y ) = − ( x ， J H y ) 所以H为辛对称。 引理2.1.2. H为辛对称的充要条件是 H ⊂ J H * J 。 证明：当H为辛对称算子时，对于任意 x ， y ∈ D ( H ) ，因为H为辛对称，所以 ( H x ， y ) = − ( H x ， J 2 y ) = ( x ， J H J y ) = ( x ， H * y ) = − ( J 2 x ， H * y ) = ( J H * J x ， y ) 所以 x ∈ D ( J H * J ) ，且 J H * J x = H x ，所以 H ⊂ J H * J 。 当 H ⊂ J H * J 时，对于任意 x ∈ D ( J H J ) ， J x ∈ D ( H ) ，所以 J x ∈ D ( J H * J ) ， x ∈ D ( H * ) ，且 J H J x = J ( J H * J ) J x = H * x 所以 J H J ⊂ H * ，即为H辛对称。 引理2.1.3. J H * J 是闭线性算子。 证明：由 H * 是闭算子且J是可逆算子；结论易证。 推论1.如果H是辛对称，则H的闭包 H ¯ 也是辛对称的。 证明：因为H是辛对称，所以 H ⊂ J H * J ，所以 H ¯ ⊂ J H * J ¯ = J H * J = J H ¯ * J 。以下讨论中，假设所考虑的辛对称算子是闭的。如果B是H的辛对称延拓，则 H ⊂ B ， B ⊂ J B * J 。由于 B * ⊂ H * ，所以 H ⊂ B ⊂ J B * J ⊂ J H * J 因此H的辛对称延拓是 J H * J 在某个含 D ( H ) 的 D ( J H * J ) 的字空间上的限制，我们在 D ( J H * J ) 上引进内积 ( x ， y ) * = ( x ， y ) + ( J H * J x ， J H * J y ) ， x ， y ∈ D ( J H * J ) 不难证明 ( D ( J H * J ) ， ( . ， . ) * ) 是个Hilbert空间，考虑到 J H * J 是闭算子，其中 ⊕ * 和 ⊥ * 是 ( . ， . ) * 内积意义下的直和与正交，于是 D ( J H * J ) = D ( H ) ⊕ * D ( H ) ⊥ * 。 引理2.1.4.设H是闭的辛对称算子， D ( H ) ⊥ * = K e r ( H * J H * J + I ) 。 证明：对于任意 x ∈ D ( H ) ， y ∈ D ( H ) ⊥ * ，有 ( x ， y ) * = 0 ，即 0 = ( x ， y ) * = ( x ， y ) + ( J H * J x ， J H * J y ) = ( x ， y ) + ( H x ， J H * J y ) 所以 ( H x ， J H * J y ) = ( x ， − y ) ，由共轭算子的定义， J H * J y ∈ D ( H * ) 且 H * J H * J y = − y ，即 D ( H ) ⊥ * ⊂ K e r ( H * J H * J + I ) 。 对于任意 x ∈ D ( H ) ， z ∈ K e r ( H * J H * J + I ) ， ( x ， z ) * = ( x ， z ) + ( J H * J x ， J H * J z ) = ( x ， z ) + ( x ， H * J H * J z ) = ( x ， z ) + ( x ， − z ) = 0 所以 x ∈ D ( H ) ⊥ * ，综上所述 D ( H ) ⊥ * = K e r ( H * J H * J + I ) 。 定义2.1.3.记 〈 x ， y 〉 = ( H * J x ， y ) − ( x ， H * J y ) ， x ， y ∈ D ( J H * J ) 。 引理2.1.5.H为辛对称的充要条件 〈 x ， y 〉 = 0 ， x ， y ∈ D ( H ) 。 证明：H为辛对称，所以 ( H x ， J y ) = − ( x ， J H y ) ⇔ ( J H * J x ， J y ) = − ( x ， J 2 H * J y ) ⇔ ( H * J x ， y ) = ( x ， H * J y ) 所以 〈 x ， y 〉 = ( H * J x ， y ) − ( x ， H * J y ) = 0 。 引理2.1.6.设H是辛对称闭算子，则 x ∈ D ( H ) 的充要条件是 x ∈ D ( J H * J ) ，且 〈 x ， y 〉 = 0 ，对于任意 y ∈ D ( J H * J ) 。 证明：当H为辛对称， x ∈ D ( H ) 时，对于任意 y ∈ D ( J H * J ) 有 〈 x ， y 〉 = ( H * J x ， y ) − ( x ， H * J y ) = ( J H * J x ， J y ) − ( H x ， J y ) = ( H x ， J y ) − ( H x ， J y ) = 0 当 x ∈ D ( J H * J ) ，且对于任意的 y ∈ D ( J H * J ) ，有 〈 x ， y 〉 = 0 ( x ， H * J y ) = ( H * J x ， y ) = ( J H * J x ， J y ) ， 即 x ∈ D ( H ) 且 H x = J H * J x 。 引理2.1.7.设B是辛对称闭算子H的延拓，满足 H ⊂ B ⊂ J H * J ，则存在唯一的子空间 K ⊂ K e r ( H * J H * J + I ) ，使得 D ( B ) = D ( H ) ⊕ * K 。 证明：记 K = { z ∈ K e r ( H * J H * J + I ) | 存 在 x ∈ D ( B ) ， y ∈ D ( H ) ， 使 得 x = y + z } ，则K是 D ( B ) 的一个线性子空间，所以 D ( H ) ⊕ * K ⊂ D ( B ) 。 另外，对于任意 x ∈ D ( B ) ，由直和分解 x = x 1 + x 2 ， x 1 ∈ D ( H ) ， x 2 ∈ K e r ( H * J H * J + I ) 知 x 2 ∈ K ，所以 D ( B ) ⊂ D ( H ) ⊕ * K ，即 D ( B ) = D ( H ) ⊕ * K 。 定义2.1.4.设子空间 K ⊂ K e r ( H * J H * J + I ) ，则称 K * = { u ∈ K e r ( H * J H * J + I ) | 〈 u ， v 〉 = 0 ， 任 意 v ∈ K } 为 K的辛共轭子空间。若 K ⊂ K * ，则称K为辛对称的。若 K = K * ，则称K为辛自伴的。 定义2.1.5.辛对称算子H成为辛自伴的，如果 H = J H * J 。 引理2.1.8.设B辛对称算子H的延拓，满足 H ⊂ B ⊂ J H * J ， D ( B ) ⊂ D ( H ) ⊕ * K ，则 (i) B为辛对称 ⇔ K为辛对称； (ii) B为辛自伴 ⇔ K为辛自伴。 证明(i)当B为辛对称时，对于任意 u ， v ∈ K ，有 u ， v ∈ D ( B ) ，故 〈 u ， v 〉 = 0 ，所以 K ⊂ K * ，即K为辛对称。当K为辛对称时，对于任意 x + u ， y + v ∈ D ( B ) ，其中 x ， y ∈ D ( H ) ， u ， v ∈ K ，则 〈 x + u ， y + v 〉 = 〈 x ， y 〉 + 〈 x ， u 〉 + 〈 u ， y 〉 + 〈 u ， v 〉 = 0 故B为辛对称。 (ii)当B为辛自伴时， K ⊂ K * ，所以对于任意 v ∈ K * ， u ∈ K ，有 〈 u ， v 〉 = 0 。对任意 x + u ∈ D ( B ) ， x ∈ D ( H ) ，由B是辛自伴可知 〈 x + u ， v 〉 = 0 ，即 ( H * J ( x + u ) ， v ) = ( x + u ， H * J v ) ⇔ ( J H * J ( x + u ) ， J v ) = ( x + u ， H * J v ) ⇔ ( B ( x + u ) ， J v ) = ( x + u ， H * J v ) 即 H * J v = B * J v ， v ∈ D ( J B * J ) = D ( B ) = D ( H ) ⊕ * K ，因此 v ∈ K ，所以 K = K * ，即K为辛自伴。 因为 D ( B ) ⊂ D ( J B * J ) ，对于任意 z ∈ D ( J B * J ) ⊂ D ( J H * J ) ，令 z = y + v ， y ∈ D ( H ) ， v ∈ K e r ( H * J H * J + I ) ，对于任意 x + u ∈ D ( B ) ， x ∈ D ( H ) ， u ∈ K ( B ( x + u ) ， J z ) = ( x + u ， B * J z ) = ( J ( x + u ) ， J B * J z ) = ( J ( x + u ) ， J H * J z ) = ( x + u ， H * J z ) 因为B为辛对称，所以 ( B ( x + u ) ， J z ) = ( J B * J ( x + u ) ， J z ) = ( J H * J ( x + u ) ， J z ) = ( H * J ( x + u ) ， z ) ，所以 〈 x + u ， z 〉 = ( H * J ( x + u ) ， z ) − ( x + u ， H * J z ) = 0 ，即 〈 x + u ， y + v 〉 = 0 ，所以 〈 u ， v 〉 = 0 ，所以 v ∈ K * = K ，所以 z = y + v ∈ D ( B ) ，所以 D ( J B * J ) ⊂ D ( B ) ，所以B为辛自伴。 2.2. 主要结果及证明 定理2.2.1. H为闭的辛对称算子，如果 K e r ( H * J H * J + I ) ⊂ M ，则H有辛自伴延拓，其中 M = { u ∈ K e r ( H * J H * J + I ) | 〈 u ， u 〉 = 0 } 。 证明：我们只要证明 K e r ( H * J H * J + I ) 存在辛自伴的子空间K即可，取 0 ≠ x ∈ K e r ( H * J H * J + I ) ， K 0 = s p a n { x } ，因为 〈 x ， x 〉 = 0 ，所以 K 0 为辛对称，考虑所有含 K 0 的 K e r ( H * J H * J + I ) 的辛对称子空间按集合包含关系组成的偏序集，显然它的任一个全序子集都有上界，由Zorn引理，此偏序集合有最大元K。 下面证明K是辛自伴的，若不然，设 x 0 ∈ K * \ K ，令 K ˜ = K ⊕ * s p a n { x 0 } ，对任意 k 1 + α x 0 ， k 2 + β x 0 ∈ K ˜ ， k 1 ， k 2 ∈ K ，有 〈 k 1 + α x 0 ， k 2 + β x 0 〉 = 〈 k 1 ， k 2 〉 + α 〈 x 0 ， k 2 〉 + β ¯ 〈 k 1 ， x 0 〉 + α β ¯ 〈 x 0 ， x 0 〉 = 0 所以 K ˜ 为辛对称与K是最大元矛盾，所以K为辛自伴。 推论2. H是闭的辛对称算子，如果 H * J H * J + I 是单射，则H存在辛自伴延拓