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user: 3. 公共约束为旋量一系时可展开单元综合 当可展开单元中含有1个公共过约束时，每个机构回路运动旋量最大无关数为5。表3总结了约束螺旋一系的运动特征。 3.1. 单一力线矢F 当可展开单元中含有1个公共过约束力$ r 时， 1) 球副$ S 应该满足条件： (7) 2) 万向副$ U 应该满足条件： (8) 3) 转动副$ R 应该满足： Table 2 Basic principles of overconstrained deployable structur No. 基本原则 1 连续平行或者汇交的转动副至少2个 2 平行转动副最大线性无关数：共面平行为2，空间平行为3。 3 汇交转动副最大线性无关数：共面汇交为2，空间汇交为3。 4 一般分布转动副最大线性无关数：共面为3，空间为6 表2. 过约束可展开单元应满足的基本原则 Table 3 Two kinds constrained screw system 约束螺旋系 约束性质 被约束的运动 螺旋一系 单一F 沿F的移动 单一C 绕C的转动 表3. 二种约束旋量系 (9) 进而建立含有公共过约束力四棱锥可展开单元综合流程E如图1所示。 下面举例说明如何综合仅含有一个公共力线矢约束的四棱锥可展开单元。该机构可按照以下步骤进行综合， 1) 选择综合对象及其拓扑图如图2所示。图2a为第5号四棱锥可展开单元，其中同一种颜色(灰度)代表一种构件。从图2b中可以看出该可展开单元由2个回路构成，其中回路1为∆CDE-AC-∆ADE，回路2为∆CDE-∆CBD-AB-∆ADE。 2) 从表1中选择运动副组合为单自由度F型N 5 -S 1 U 1 R 6 。 3) 本例中有两处框框连接，分别设定∆CDE-∆ADE连接转动副R DE 位于E点方向为DE，设定∆CDE-∆CBD连接转动副R CD 位于O点方向为OD。不妨设回路1含有3个R副1个S副，回路2含有4个R副1个U副。 4) 步骤3中已定转动副R DE 和R CD 交于D点，根据式(9)转动副存在条件可以推出P点位置和F方向的存在3种组合：(a) ；(b) ；(c) 。本例选择P点位置和F方向满足第3种组合。 5) 回路1中：根据式(4)球副S可以看作三个空间正交于约束点D的转动副。又步骤1中已定转动副R ED 与球副S交于约束点D。根据表2空间汇交于一点转动副最大无关数为3。若回路1中3R1S共6个运动旋量最大线性无关数为5，其余分布的R副不能再交于约束点D。根据式(9)其余转动副R应平行于公共约束力线矢F。 回路2中：对于万向副U根据式(2)可以看作两个正交的转动副。根据式(8)知U副两个相互垂直的转动副中，一个应该平行于F，另一个应该过D点。选择∆CBD-AB连接处B点安置U副。余下∆ADE-AB连接A点和折叠杆AB的J点处2个转动副未分配。根据空间汇交于一点转动副最大无关数为3，欲得回路2运动螺旋系最大无关数为5，余下2个R副不能同时交于约束点D，因此选J点处R副交于D点，A点处R副平行于约束力线矢F。综合结果如图2所示。 6) 设各点坐标为A (0 0 L)、B (L 0 0)、C (0 −L 0)、D (0 L 0)、E (−L 0 0)、I (0 −L/2 L/2)和J (L/2 0 L/2)。则根据式(1)~(3)得到各回路运动螺旋系如表4所示。 不难发现，回路1与回路2有相同的运动螺旋基(图3)。根据旋量系互易的原理可知回路1与回路2 图1. 流程E：含有公共过约束四棱锥可展开单元综合流程 图2. F型单自由度N5-S1U1R6；(a) 构型；(b) 拓扑图 有同一个公共过约束力线矢 ，该力线矢过D点平行于DE，与预期结果一致。 7) 根据式(4)，该机构的自由度为1，与预期结果一致。 8) 建立N 5 -S 1 U 1 R 6 可展开单元ADAMS仿真过程如图4所示。仿真结果表明该机构在含有1个公共过约束F情况下可以实现连续折展运动。 9) 接受并保存构型。 3.2. 单一力偶C 当可展开单元中含有1个公共过约束力偶$ r 时， 1) 球副不能存在； 2) 万向副$ U 应该满足条件： (10) 3) 转动副$ R 应该满足条件： (11) 仅含一个公共过约束力偶C可展开单元综合过程与仅含一个公共过约束力线矢F相似，这里不再赘 Table 4 Screw systems of deployable structure shown in Figure 回路1运动螺旋 回路2运动螺旋 表4. 图2所示的机构运动螺旋系 图3. 图2所示的可展开单元运动螺旋基 图4. ADAMS仿真过程 述。举例如下， 1) 选择综合对象为第11号构型，如图5所示。设回路1为∆ADE-CE-BC-∆ABD，回路2为∆ADE-AC-CE，回路3为∆ADE-CD-CE。 2) 从表1中选择运动副组合为单自由度C型N 11 -U 6 R 4 。 3) 本例中有一处框框连接，设定∆ADE-∆ABD连接转动副R AD 位于D点方向为AD。不妨设回路1含有2个R副2个U副，回路2含有2个R副2个U副，回路3含有2个R副2个U副。 4) 根据式(11) C型可展开单元转动副存在条件可以推出公共过约束力偶C存在2种组合：(a) ；(b) 。本例选择第一种方案。 5) 回路1中：根据式(10)，确定U副两个转轴方向分别为平行x轴和AD。根据表2线性相关条件来配置运动旋量系最大无关数为5，进而确定最后一个R副位于E点，指向AD。 同理，可确定回路2和3各运动副配置。配置结果如图5所示。 6) 设各点坐标为A (0 0 L)、B (L 0 0)、C (0 −L 0)、D (0 L 0)、E (−L 0 0)、I (0 −L/2 L/2) 和J (0 0 0)。则根据式(1)、(2)和(3)得到各回路运动螺旋系如表5所示。 不难发现，回路1、回路2和回路3的运动螺旋系的最大无关数都为5，且有相同的运动螺旋基(图6)。根据旋量系互易的原理可知回路1与回路2有同一个公共过约束力偶 ，该力偶平行于AC，与预期结果一致。 7) 根据式(4)，该机构的自由度为1，与预期结果一致。 图5. C型单自由度N11-U6R4；(a) 构型；(b) 拓扑图 Table 5 Screw systems of deployable structure shown in Figure 回路1运动螺旋 回路2运动螺旋 回路3运动螺旋 表5. 图5所示的机构运动螺旋系 图6. 图5所示的可展开单元运动螺旋基 图7. ADAMS仿真过程 Table 6 Synthesis results of rectangular pyramid deployable structur 约束一系 综合结果 单一F N 5 -S 1 U 1 R 6 、N 7 -S 1 U 1 R 6 、N 8 -U 6 R 4 、N 9 -S 2 U 2 R 6 、N 10 -S 2 U 2 R 6 、N 11 -S 3 R 7 单一C N 5 -U 3 R 5 、N 10 -U 6 R 5 、N 11 -U 6 R 5 表6. 单自由度四棱锥可展开单元综合结果 8) 建立公共过约束为单一C型N 11 -U 6 R 4 可展开单元ADAMS仿真过程如图7所示。仿真结果表明该机构在含有1个公共过约束C情况下可以实现连续折展运动。 9) 接受并保存构型。 3.2. 综合结果 表6列举了公共约束为螺旋一系的单自由度可展开四棱锥单元的9种综合结果。为了验证这些过约束可展开单元具有连续的折展运动，对这些构型依次建立了ADAMS仿真模型。表6列举的可展开单元及其ADAMS仿真结果表明采用提出的综合方法确实能有效的发现和发明一些仅靠经验设计不出来的仅含公共约束可展开单元。