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user: 3. 一阶近似刀切Liu估计的性质 为了方便讨论一阶近似刀切Liu估计的性质，我们对矩阵 Φ = X ′ V ( 0 ) X 进行特征分解，可以表示为 Φ = X ′ V ^ ( 0 ) X = T Λ T ′ ，这里 Λ = T ′ Φ T = Z ′ V ^ ( 0 ) Z = d i a g ( λ j ) 是由矩阵 X ′ V ^ ( 0 ) X 的特征值组成的对角矩阵，且 λ 1 ≥ λ 2 ≥ ⋯ ≥ λ p 。 T = ( T 1 ⋯ T p ) 是由矩阵 X ′ V ^ ( 0 ) X 的特征值所对应的标准化特征向量组成的 p × p 阶正交矩阵。 Z = X T ， α = T ′ β 。为了方便对所提出的新估计与其他估计进行比较，我们首先定义参数 β 的估计 β ^ 的偏差和偏差的平方和分别为： b i a s ( β ^ ) = E ( β ^ ) − β (16) ‖ B i a s ( β ^ ) ‖ 2 = b i a s ( β ^ ) ′ b i a s ( β ^ ) (17) 均方误差矩阵： M S E M ( β ^ ) = E ( β ^ − β ) ( β ^ − β ) ′ (18) 均方误差： M S E ( β ^ ) = E ( β ^ − β ′ ) ( β ^ − β ) (19) 为了在均方误差矩阵准则下对一阶近似极大似然估计、一阶近似刀切岭估计、一阶近似Liu估计和一阶近似刀切Liu估计进行比较，我们使用到了如下引理： 引理1 (Farebrother [ 9 ] )设A是一个 n × n 阶的正定矩阵，c是一个 n × 1 阶非零列向量，u是正的标量。如果 c ′ A − 1 c < u ，则 u A − c c ′ 是正定的。 定理1. ‖ B i a s ( β ˜ ( 1 ) ( d ) ) ‖ 2 < ‖ B i a s ( β ^ ( 1 ) ( d ) ) ‖ 2 。 证明： b i a s ( β ^ ( 1 ) ( d ) ) = ( d − 1 ) ( X ′ V ^ ( 0 ) X + I ) − 1 a 0 (20) b i a s ( β ˜ ( 1 ) ( d ) ) = ( d − 1 ) ( X ′ V ^ ( 0 ) X + I ) − 2 a 0 (21) 则 ‖ B i a s ( β ^ ( 1 ) ( d ) ) ‖ 2 − ‖ B i a s ( β ˜ ( 1 ) ( d ) ) ‖ 2 = ( a 0 ) ′ G 1 a 0 其中 G 1 = ( d − 1 ) 2 ( X ′ V ^ ( 0 ) X + I ) − 2 − ( d − 1 ) 2 ( X ′ V ^ ( 0 ) X + I ) − 4 ， G 1 是对角元素为 ( d − 1 ) 2 ( ( λ i + 1 ) 2 − 1 ) ( λ i + 1 ) 4 的对角矩阵， λ i 是矩阵 X ′ V ^ ( 0 ) X 的第i个特征值，所以 ( d − 1 ) 2 ( ( λ i + 1 ) 2 − 1 ) ( λ i + 1 ) 4 ≥ 0 ，即 ( a 0 ) ′ G 1 a 0 是正定的。定理得证。 定理2. 若 k 4 ( λ i + 1 ) 4 − ( d − 1 ) 2 ( λ i + k ) 4 > 0 则 ‖ B i a s ( β ˜ ( 1 ) ( d ) ) ‖ 2 < ‖ B i a s ( β ˜ ( 1 ) ( k ) ) ‖ 2 。 证明：由等式(16)得，一阶近似刀切岭估计的偏差为： b i a s ( β ˜ ( 1 ) ( k ) ) = − k 2 ( X ′ V ^ ( 0 ) X + k I ) − 2 a 0 (22) 则 ‖ B i a s ( β ˜ ( 1 ) ( k ) ) ‖ 2 − ‖ B i a s ( β ˜ ( 1 ) ( d ) ) ‖ 2 = ( a 0 ) ′ G 2 a 0 其中 G 2 = k 4 ( X ′ V ^ ( 0 ) X + k I ) − 4 − ( d − 1 ) 2 ( X ′ V ^ ( 0 ) X + I ) − 4 ， G 2 是对角元素为 k 4 ( λ i + 1 ) 4 − ( d − 1 ) 2 ( λ i + k ) 4 ( λ i + 1 ) 4 ( λ i + k ) 4 的对角矩阵，所以当 k 4 ( λ i + 1 ) 4 − ( d − 1 ) 2 ( λ i + k ) 4 > 0 时 k 4 ( λ i + 1 ) 4 − ( d − 1 ) 2 ( λ i + k ) 4 ( λ i + 1 ) 4 ( λ i + k ) 4 > 0 ，即 ( a 0 ) ′ G 2 a 0 是正定的。定理得证。 定理3. 当 0 < d < 1 时，一阶近似刀切Liu估计在MSEM准则下优于一阶近似极大似然估计当且仅当 ( 1 − d ) ( a 0 ) ′ { 2 Λ + 4 I + ( d + 1 ) Λ − 1 } − 1 a 0 < 1 。 证明：令 M 1 ( d ) = M S E M ( β ^ ( 1 ) ( M L ) ) − M S E M ( β ˜ ( 1 ) ( d ) ) ，由公式(18)可得： M 1 ( d ) = M 1 − ( d − 1 ) 2 ( Λ + I ) − 2 a 0 ( a 0 ) ′ ( Λ + I ) − 2 其中 M 1 = Λ − 1 − { ( I − ( Λ + I ) − 1 Λ ) ( Λ + I ) − 1 ( Λ + d I ) + ( Λ + I ) − 1 Λ } Λ − 1     ⋅ { ( Λ + d I ) ( Λ + I ) − 1 ( I − ( Λ + I ) − 1 Λ ) + Λ ( Λ + I ) − 1 } = ( 1 − d ) ( Λ + I ) − 2 { 2 Λ + 4 I + ( d + 1 ) Λ − 1 } ( Λ + I ) − 2 因此 M 1 ( d ) 是正定的当且仅当 M 1 − ( d − 1 ) 2 ( Λ + I ) − 2 a 0 ( a 0 ) ′ ( Λ + I ) − 2 正定。由引理1可得，当 0 < d < 1 ， ( 1 − d ) ( a 0 ) ′ { 2 Λ + 4 I + ( d + 1 ) Λ − 1 } − 1 a 0 < 1 时， M 1 − ( d − 1 ) 2 ( Λ + I ) − 2 a 0 ( a 0 ) ′ ( Λ + I ) − 2 是正定的。定理得证。 定理4. 一阶近似刀切Liu估计在MSEM准则下优于一阶近似Liu估计当且仅当 ( d − 1 ) ( a 0 ) ′ { 2 Λ 2 + ( d + 3 ) Λ + 2 d I } − 1 a 0 < 1 。 证明：令 M 2 ( d ) = M S E M ( β ^ ( 1 ) ( d ) ) − M S E M ( β ˜ ( 1 ) ( d ) ) ，由公式(18)可得： M 2 ( d ) = M 2 + ( d − 1 ) 2 ( Λ + I ) − 1 a 0 ( a 0 ) ′ ( Λ + I ) − 1 − ( d − 1 ) 2 ( Λ + I ) − 2 a 0 ( a 0 ) ′ ( Λ + I ) − 2 其中 M 2 = { ( Λ + I ) − 1 ( Λ + d I ) } Λ − 1 { ( Λ + d I ) ( Λ + I ) − 1 } − { ( I − ( Λ + I ) − 1 Λ ) ( Λ + I ) − 1 ( Λ + d I )     + ( Λ + I ) − 1 Λ } Λ − 1 { ( Λ + d I ) ( Λ + I ) − 1 ( I − ( Λ + I ) − 1 Λ ) + Λ ( Λ + I ) − 1 } = ( d − 1 ) ( Λ + I ) − 2 { 2 Λ 2 + ( d + 3 ) Λ + 2 d I } ( Λ + I ) − 2 因为 ( d − 1 ) 2 ( Λ + I ) − 1 a 0 ( a 0 ) ′ ( Λ + I ) − 1 是正定的，因此 M 2 ( d ) 是正定的当且仅当 M 2 − ( d − 1 ) 2 ( Λ + I ) − 2 a 0 ( a 0 ) ′ ( Λ + I ) − 2 正定。由引理1可得，当 0 < d < 1 ， ( d − 1 ) ( a 0 ) ′ { 2 Λ 2 + ( d + 3 ) Λ + 2 d I } − 1 a 0 < 1 时， M 2 − ( d − 1 ) 2 ( Λ + I ) − 2 a 0 ( a 0 ) ′ ( Λ + I ) − 2 是正定的。定理得证。 定理5. 对于任意的i，如果 0 < d ≤ ( a i 0 ) 2 − ( 2 λ i + 3 ) / ( λ i + 2 ) ( a i 0 ) 2 + 1 / λ i < 1 ，则 M S E ( β ˜ ( 1 ) ( d ) ) ≤ M S E ( β ^ ( 1 ) ( d ) ) 。 证明：根据等式(19)可得出： M S E ( β ˜ ( 1 ) ( d ) ) = ∑ i = 1 p ( λ i 2 + 2 λ i + d ) 2 + ( d − 1 ) 2 ( a i 0 ) 2 λ i λ i ( λ i + 1 ) 4 (23) M S E ( β ^ ( 1 ) ( d ) ) = ∑ i = 1 p ( λ i + d ) 2 + ( d − 1 ) 2 ( a i 0 ) 2 λ i λ i ( λ i + 1 ) 2 (24) 它们的差： M S E ( β ˜ ( 1 ) ( d ) ) − M S E ( β ^ ( 1 ) ( d ) ) = ∑ i = 1 p ( λ i 2 + 2 λ i + d ) 2 + ( d − 1 ) 2 ( a i 0 ) 2 λ i λ i ( λ i + 1 ) 4 − ∑ i = 1 p ( λ i + d ) 2 + ( d − 1 ) 2 ( a i 0 ) 2 λ i λ i ( λ i + 1 ) 2 = ∑ i = 1 p { ( λ i 2 + 2 λ i + d ) 2 − ( λ i + 1 ) 2 + ( d − 1 ) 2 ( λ i + d ) 2 λ i ( λ i + 1 ) 4 + ( d − 1 ) 2 ( a i 0 ) 2 ( λ i + 1 ) 4 − ( d − 1 ) 2 ( a i 0 ) 2 ( λ i + 1 ) 2 } = ( 1 − d ) ∑ i = 1 p 2 λ i 2 + ( d + 3 ) λ i + 2 d ( λ i + 1 ) 4 + ( d − 1 ) 2 ∑ i = 1 p ( a i 0 ) 2 ( λ i + 1 ) 4 − ( d − 1 ) 2 ∑ i = 1 p ( a i 0 ) 2 ( λ i + 1 ) 2 = ( 1 − d ) ∑ i = 1 p 1 ( λ i + 1 ) 4 f i ( d ) 其中 f i ( d ) = λ i ( 2 λ i + 3 ) − α i 0 λ i ( λ i + 2 ) + d ( λ i + 2 ) ( 1 + λ i ( a i 0 ) 2 ) 。 当 1 < ( a i 0 ) 2 ( λ i + 2 ) / ( 2 λ i + 3 ) ， d ≤ ( a i 0 ) 2 − ( 2 λ i + 3 ) / ( λ i + 2 ) ( a i 0 ) 2 + 1 / λ i 时 f i ( d ) ≤ 0 。因为 0 < d < 1 故 M S E ( β ˜ ( 1 ) ( d ) ) − M S E ( β ^ ( 1 ) ( d ) ) ≤ 0 。定理得证。 由定理5，我们可以得出如下两个推论： 推论1. 假设 0 < d ≤ min { ( a i 0 ) 2 − ( 2 λ i + 3 ) / ( λ i + 2 ) ( a i 0 ) 2 + 1 / λ i } < 1 则 M S E ( β ˜ ( d ) ) ≤ M S E ( β ^ ( d ) ) 。 推论2. 假设 max { 0 ， ( a i 0 ) 2 − ( 2 λ i + 3 ) / ( λ i + 2 ) ( a i 0 ) 2 + 1 / λ i } < d < 1 则 M S E ( β ˜ ( 1 ) ( d ) ) > M S E ( β ^ ( 1 ) ( d ) ) 。