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user: 3. 在声频影响下番茄生长的碳氮钾需求比例微分方程模型 本节中，将在第2节已经建立的模型的基础上，给出含有声频处理影响因素的番茄生长发育的碳氮钾需求比例的微分方程模型，并进行模型的数值模拟分析。 图2. 模型(11)描述的番茄苗期至采收期营养器官的生长发育曲线 3.1. 含声频影响的番茄生长发育的碳氮钾需求比例微分方程模型 氮素是作物生长发育中必不可少的营养元素，氮素的吸收积累状况对光合速率，产量和品质等都有影响 [ 19 ]。声频控制技术对番茄的处理作用是通过对番茄施加特定频率的声波进行刺激，以便加快番茄对氮元素的吸收，从而促进番茄的生长。研究表明，声波处理可有效地加快番茄对氮元素的吸收 [ 9 ]，而适当的声频控制促进番茄吸收物质，表现出旺盛的生长速度，达到早熟，使蔬菜、水果普遍早熟一周左右 [ 20 ]。但是，当频率过大时，则又会对番茄的生长发育产生抑制作用，甚至造成番茄的凋亡。在不同频率的声波处理下，各处理组的番茄吸收氮素的情况如表2所示，具体数据从文献 [ 9 ] 整理得到。从表2可以看出：适当频率的声波处理显著促进了番茄对氮素的吸收。其中，2200 HZ的声频处理效果是最为明显的，氮素吸收量比在自然状态下大23.36%。 Table 2 Nitrogen absorption of tomatoes under the processing of sound waves of different frequencie 声波频率/HZ 氮素吸收数量(与自然状态比较) 1100 大8.4% 2200 大23.36% 3300 大11.27% 表2. 不同声频处理下番茄的氮素吸收情况 为考虑声频处理对番茄生长的影响，我们在前面模型(11)的基础上，借鉴文献 [ 13 ] 在建立有声频控制影响水稻分孽生长的微分方程模型时的思想，将声频控制视为影响番茄生长的一个因子，并具体地选取分段线性函数来加入到模型(11)中。 记声频控制影响因子为函数 g ( v ) ，其中v表示声波的频率。 g ( v ) 应满足以下三个条件： (D1) 在自然状态下，即 v = 0 时， g ( v ) = 1 ； (D2) 当频率v不超过临界频率 v max 时，随着频率v的增大，函数值 g ( v ) 随之增大，对番茄的生长发育有促进作用； (D3) 当频率v超过临界频率 v max 时，随着频率v的增大，函数 g ( v ) 随之减小，甚至为负，对番茄的生长发育有抑制作用，频率过大甚至造成番茄死亡。 根据以上三个条件，并结合表2的数值结果，我们得到 g ( v ) 的如下表达形式： g ( v ) = { 0.2336 2200 v + 1 ，       0 ≤ v ≤ 2200 − 0.121 1100 v + 1.476 ，     v > 2200 ， (12) 注意到，因为声波处理对番茄胞内氮元素有影响，因此，我们将声频控制影响因子 g ( v ) 加入到模型(11)中关于氮质量守恒的第三个方程，于是得到含有声频影响的番茄生长发育的碳氮钾需求比例微分方程组模型： { d y 1 d t = r a − b y 1 ρ ⋅ α y 1 y 2 y 3 y 4 y 1 3 + β y 2 y 3 y 4 d y 2 d t = ρ R 3 y 1 − α y 1 y 2 y 3 y 4 y 1 3 + β y 2 y 3 y 4 d y 3 d t = g ( v ) ρ R 5 y 1 − λ α y 1 y 2 y 3 y 4 y 1 3 + β y 2 y 3 y 4 d y 4 d t = ρ R 7 y 1 − η α y 1 y 2 y 3 y 4 y 1 3 + β y 2 y 3 y 4 (13) 模型的初始值和参数值的选取与前面的模型(11)相同。我们分别选取1000 HZ，2200 HZ，3300 HZ，5500 HZ五个不同的频率，将它们视为处理组，而将在自然状态下的生长情况视为对照组。通过Matlab编程计算模型(13)在给定初始条件和参数选取值下的数值解，得到图3中的结果。从图3可得以下几点结论：(i) 番茄在不同的声波频率刺激下的生长速度也会不同；(ii) 在40天后，处理组与对照组之间的番茄重量开始出现差异，这说明声频处理在番茄生长发育中出现了时间积累效应，这与孟庆午 [ 21 ] 等人的研究结果一致；(iii) 当声频分别为1000 HZ、2200 HZ、3300 HZ时，与对照组的同一生长期相比，生物量均增加了，其中在2200 HZ声频处理下，对生物量的增加效果最为明显，声频为5500 HZ时，生物量相对减少了；(iv) 当声频为2200 HZ时，使番茄的采收期提前了6天，这与党焱等人的研究结果一致 [ 11 ] [ 22 ]；(v) 当声频为1000 HZ、3300 HZ时，采收期分别提前了2天和3.7天，均能加速对番茄的生长，声频为5500 HZ时，番茄的采收期推迟了3天，对番茄的生长发育起到抑制作用。总之，适当频率的声波处理，可加快番茄生长，促进番茄提前成熟。 3.2. 数据统计分析方法 为研究不同声频处理对番茄内源激素的影响，使用Excel软件中的方差分析中的单因素方差分析工具，对数值模拟得到的四个处理组和对照组(自然状态下)的碳氮钾浓度数据分别进行单因素方差分析。取检验水准 α = 0.05 ，若观测到的显著性水平 P < 0.05 ，则处理组与对照组间存在显著性差异，同理，反之。 3.3. 声频处理对番茄胞内碳元素含量的影响 现在转而分析声频控制对番茄胞内碳元素C浓度影响，数值模拟结果见图4。由图4可知，声频处理对番茄吸收C元素的影响主要体现在生长后期。首先，在100天后，处理组与对照组间的番茄胞内C浓度含量开始出现差异，但均未能达到显著性水平(观测到的显著性水平P值分别为0.96、0.84、0.93、0.92，其P值均大于0.05，P值越小则声频控制影响越大)，但处理组番茄胞间C元素平含量均大于对照，这说明，声频处理对番茄吸收C元素具有一定影响但影响效果并不显著，并且具有一定的时间积累效应；其次，C元素是光合作用反应底物组成成分之一，对植物光合作用起决定性作用。因此，我们可以根据番茄胞间C浓度的高低来判断光合作用的潜在能力。当声波频率为1000 HZ、2200 HZ和3300 HZ时，与对照组比较，番茄胞内的C元素浓度有所升高，其中2200 HZ最为明显。然而，当频率超过5500 HZ时，对照组的C元素浓度有所降低。数值模拟结果说明，合理利用声频控制技术对番茄的光合作用具有一定的促进作用，声波频率过高反而会起到抑制作用，此结论与孟庆午 [ 21 ] 等人的研究结果一致。 图3. 在声频控制下番茄苗期至采收期器官的生长发育曲线 图4. 声频控制下番茄苗期至采收期的胞内碳元素含量曲线 3.4. 声频处理对番茄胞内氮元素含量的影响 声频控制技术对番茄胞内氮元素N浓度影响结果见图5。N元素是植物合成蛋白质的最基本元素之一，对植物和合成蛋白质起决定性作用，因此，可以根据N浓度的高低来判断植物合成蛋白质的潜在能力。由图5可知，声频处理对番茄吸收N元素的影响在短时间就能得到体现；2200 HZ的声波处理下，从第20天起，处理组的N元素浓度明显增多，处理组与对照组间表现出显著性差异(P = 0.039 < 0.05)，这说明2200 HZ的声频处理对番茄吸收N元素的促进效果明显；对于1000 HZ和3300 HZ的处理组，虽然未达到显著性水平(P值分别为0.28、0.054，其P值均大于0.05)，但是N元素浓度均高于对照组，这说明1000 HZ和3300 HZ的声频处理对番茄吸收N元素具有一定积极影响但影响效果并不显著。但是，当声波频率超过5500 HZ时，对照组的N元素浓度反而降低。这说明，适当的声频处理能促进番茄N元素的吸收，对番茄合成蛋白质起到一定的积极影响，尤其是当声频为2200 HZ时对番茄的作用最为明显，这将有效地提高番茄的品质。 图5. 声频控制下番茄苗期至采收期的胞内氮元素含量曲线 3.5. 声频处理对番茄胞内钾元素含量的影响 声频控制技术对番茄胞内钾元素K浓度影响结果见图6。虽然K元素与C、N元素不同，不参与植物组织组成，但能促进光合作用以及蛋白质的合成，因此，可根据K浓度的高低来判断植物合成蛋白质以及光合作用的潜在能力。由图6可知，在第20天之后，各处理组与对照组之间开始出现差异，但均未达到显著性水平(P值分别为0.92、0.82、0.90、0.84，均大于0.05)。虽然从第20天至第100天期间，各处理组与对照组间的胞内K含量的差异性先增大后减小，但是从第100天以后差异性开始明显，这说明声频控制对番茄吸收K元素具有一定的促进作用但影响效果并不显著，其中2200 HZ处理促进作用最为明显，但超过5500 HZ后，具有抑制作用。数值模拟结果表明适当的声频控制可以提高番茄对K元素的吸收，尤其2200 HZ声频处理更为明显，这对于番茄的光合作用以及合成蛋白质起到积极影响。 图6. 声频控制下番茄苗期至采收期的胞内钾元素含量曲线