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user: 4. 问题的最优解 引理6：在问题1)中，第s个工件的实际加工时间为 p [ s ] = ( a [ s ] / u [ s ] ) k s m + b ( ∑ r = 1 s − 1 ( a [ r ] / u [ r ] ) k r m ∏ l = r + 1 s − 1 ( 1 + b l m ) ) s m ， s ≤ i p [ s ] = ( a [ s ] / u [ s ] ) k ( s − i ) m + b ( μ + ( 1 + σ ) ∑ r = 1 i ( a [ r ] / u [ r ] ) k r m ∏ l = r + 1 i ( 1 + b l m ) ) ( s − i ) m                   + b ( ∑ r = i + 1 s − 1 ( a [ r ] / u [ r ] ) k ( r − i ) m ∏ l = r + 1 s − 1 ( 1 + b l m ) ) ( s − i ) m ， s > i 由上边引理可得下述结论： 1) 如果在加工 J [ s ] 之前进行维护，即 i < s ，那么总费用为： Z ( q ， u ， π ) = ∑ j = 1 n ( α E [ j ] + β T [ j ] + γ q + v [ j ] u [ j ] ) + δ 1 C max + δ 2 ∑ j = 1 n C [ j ] = ∑ j = 1 n ω j p [ j ] + ∑ j = 1 n v [ j ] u [ j ] + D = ∑ j = 1 i ω j ( ( a [ j ] / u [ j ] ) k j m + b ( ∑ r = 1 j − 1 ( a [ r ] / u [ r ] ) k r m ∏ l = r + 1 j − 1 ( 1 + b l m ) ) j m )       + ∑ j = i + 1 n ω j ( ( a [ j ] / u [ j ] ) k ( j − i ) m + b μ ( j − i ) m )       + ∑ j = i + 1 n ω j b ( ( 1 + σ ) ∑ r = 1 i ( a [ r ] / u [ r ] ) k r m ∏ l = r + 1 i ( 1 + b l m ) ) ( j − i ) m       + ∑ j = i + 1 n ω j b ( ∑ r = i + 1 j − 1 ( a [ r ] / u [ r ] ) k ( r − i ) m ∏ l = r + 1 j − 1 ( 1 + b l m ) ) ( j − i ) m + ∑ j = 1 n v [ j ] u [ j ] + D = ∑ j = 1 n Ω j ( a [ j ] / u [ j ] ) k + ∑ j = i + 1 n b μ ω j ( j − i ) m + ∑ j = 1 n v [ j ] u [ j ] + D (2) 其中 ω j = { α ( j + i σ ) + n γ ( 1 + σ ) + δ 1 ( 1 + σ ) + δ 2 [ n − j + 1 + ( n − i ) σ ] ，     j = 1 ， 2 ， ⋯ ， i α j + n γ + δ 1 + δ 2 ( n − j + 1 ) ，     j = i + 1 ， i + 2 ， ⋯ ， s − 1 β ( n − j ) + δ 1 + δ 2 ( n − j + 1 ) ，     j = s ， s + 1 ， ⋯ ， n (3) D = [ α i + n γ + δ 1 + δ 2 ( n − i ) ] μ (4) Ω 1 = ω 1 1 m + b ω 2 1 m 2 m + b ω 3 1 m ( 1 + b 2 m ) 3 m + ⋯ + b ω i 1 m i m ∏ l = 2 i − 1 ( 1 + b l m )     + b ( 1 + σ ) ω i + 1 1 m 1 m ∏ l = 2 i ( 1 + b l m ) + b ( 1 + σ ) ω i + 2 1 m 2 m ∏ l = 2 i ( 1 + b l m ) + ⋯     + b ( 1 + σ ) ω n 1 m ( n − i ) m ∏ l = 2 i ( 1 + b l m ) Ω 2 = ω 2 2 m + b ω 3 2 m 3 m + b ω 4 2 m ( 1 + b 3 m ) 4 m + ⋯ + b ω i 2 m i m ∏ l = 3 i − 1 ( 1 + b l m )     + b ( 1 + σ ) ω i + 1 1 m 2 m ∏ l = 3 i ( 1 + b l m ) + b ( 1 + σ ) ω i + 2 2 m 2 m ∏ l = 3 i ( 1 + b l m ) + ⋯     + b ( 1 + σ ) ω n 2 m ( n − i ) m ∏ l = 3 i ( 1 + b l m ) ⋯ (5) Ω i − 1 = ω i − 1 ( i − 1 ) m + b ω i ( i − 1 ) m i m + b ( 1 + σ ) ω i + 1 1 m ( i − 1 ) m ( 1 + b i m )     + b ( 1 + σ ) ω i + 2 2 m ( i − 1 ) m ( 1 + b i m ) + ⋯ + b ( 1 + σ ) ω n ( n − i ) m ( i − 1 ) m ( 1 + b i m ) Ω i = ω i i m + b ( 1 + σ ) ω i + 1 1 m i m + b ( 1 + σ ) ω i + 2 2 m i m + ⋯ + b ( 1 + σ ) ω n ( n − i ) m i m Ω i + 1 = ω i + 1 1 m + b ω i + 2 1 m 2 m + b ω i + 3 1 m ( 1 + b ( i + 2 ) m ) 3 m + ⋯ + b ω n 1 m ( n − i ) m ∏ l = i + 2 n − 1 ( 1 + b l m ) Ω i + 2 = ω i + 2 2 m + b ω i + 3 2 m 3 m + b ω i + 4 2 m ( 1 + b ( i + 3 ) m ) 4 m + ⋯ + b ω n 2 m ( n − i ) m ∏ l = i + 3 n − 1 ( 1 + b l m ) ⋯ Ω n − 1 = ω n − 1 ( n − 1 − i ) m + b ω n ( n − 1 − i ) m ( n − i ) m Ω n = ω n ( n − i ) m 2) 如果在加工 J [ s ] 之后进行维护，即 i ≥ s ，那么总费用为： Z ( q ， u ， π ) = ∑ j = 1 n ( α E [ j ] + β T [ j ] + γ q + v [ j ] u [ j ] ) + δ 1 C max + δ 2 ∑ j = 1 n C [ j ] = ∑ j = 1 n Φ j ( a [ j ] / u [ j ] ) k + ∑ j = i + 1 n b μ υ j ( j − i ) m + ∑ j = 1 n v [ j ] u [ j ] + E (6) 其中 υ j = { α j + β ( n − i ) σ + n γ + δ 1 ( 1 + σ ) + δ 2 [ n − j + 1 + ( n − i ) σ ] ，     j = 1 ， 2 ， ⋯ ， s − 1 β [ n − j + ( n − i ) σ ] + δ 1 ( 1 + σ ) + δ 2 [ n − j + 1 + ( n − i ) σ ] ，     j = s ， s + 1 ， ⋯ ， i β ( n − j ) + δ 1 + δ 2 ( n − j + 1 ) ，     j = i + 1 ， i + 2 ， ⋯ ， n (7) E = [ β ( n − i ) + δ 1 + δ 2 ( n − i ) ] μ (8) Φ 1 = υ 1 1 m + b υ 2 1 m 2 m + b υ 3 1 m ( 1 + b 2 m ) 3 m + ⋯ + b υ i 1 m i m ∏ l = 2 i − 1 ( 1 + b l m )       + b ( 1 + σ ) υ i + 1 1 m 1 m ∏ l = 2 i ( 1 + b l m ) + b ( 1 + σ ) υ i + 2 1 m 2 m ∏ l = 2 i ( 1 + b l m ) + ⋯       + b ( 1 + σ ) υ n 1 m ( n − i ) m ∏ l = 2 i ( 1 + b l m ) Φ 2 = υ 2 2 m + b υ 3 2 m 3 m + b υ 4 2 m ( 1 + b 3 m ) 4 m + ⋯ + b υ i 2 m i m ∏ l = 3 i − 1 ( 1 + b l m )       + b ( 1 + σ ) υ i + 1 1 m 2 m ∏ l = 3 i ( 1 + b l m ) + b ( 1 + σ ) υ i + 2 2 m 2 m ∏ l = 3 i ( 1 + b l m ) + ⋯       + b ( 1 + σ ) υ n 2 m ( n − i ) m ∏ l = 3 i ( 1 + b l m ) ⋯ (9) Φ i − 1 = υ i − 1 ( i − 1 ) m + b υ i ( i − 1 ) m i m + b ( 1 + σ ) υ i + 1 1 m ( i − 1 ) m ( 1 + b i m )       + b ( 1 + σ ) υ i + 2 2 m ( i − 1 ) m ( 1 + b i m ) + ⋯ + b ( 1 + σ ) υ n ( n − i ) m ( i − 1 ) m ( 1 + b i m ) Φ i = υ i i m + b ( 1 + σ ) υ i + 1 1 m i m + b ( 1 + σ ) υ i + 2 2 m i m + ⋯ + b ( 1 + σ ) υ n ( n − i ) m i m Φ i + 1 = υ i + 1 1 m + b υ i + 2 1 m 2 m + b υ i + 3 1 m ( 1 + b ( i + 2 ) m ) 3 m + ⋯ + b υ n 1 m ( n − i ) m ∏ l = i + 2 n − 1 ( 1 + b l m ) Φ i + 2 = υ i + 2 2 m + b υ i + 3 2 m 3 m + b υ i + 4 2 m ( 1 + b ( i + 3 ) m ) 4 m + ⋯ + b υ n 2 m ( n − i ) m ∏ l = i + 3 n − 1 ( 1 + b l m ) ⋯ Φ n − 1 = υ n − 1 ( n − 1 − i ) m + b υ n ( n − 1 − i ) m ( n − i ) m Φ n = υ n ( n − i ) m 引理7：对于问题1)的一个给定排序，可以得到最优资源分配如下： 对于 i < s 的情况： u [ j ] * = ( k Ω j / v [ j ] ) 1 / ( k + 1 ) ( a [ j ] ) k / ( k + 1 ) ，     j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n (10) 其中 Ω j 由式(5)给定。 另外，对于 i ≥ s 的情况： u [ j ] * = ( k Φ j / v [ j ] ) 1 / ( k + 1 ) ( a [ j ] ) k / ( k + 1 ) ，     j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n (11) 其中 Φ j 由式(9)给定。 证明：下面只证 i < s 的情况，对于 i ≥ s 的情况可以类似地证明。式(2)对 u [ j ] ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 求导，并令其导数等于0，得 u [ j ] * = ( k Ω j / v [ j ] ) 1 / ( k + 1 ) ( a [ j ] ) k / ( k + 1 ) 。 引理8： [ 13 ] 假设存在两个数列 { M j } 和 { N j } ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。其中一个数列按递增顺序排列，另一个数列按递减顺序排列，则对应元素乘积的和 ∑ j = 1 n M j N j 最小。 对于 i < s 的情况，将式(10)代入式(2)，得到目标函数 Z ( q ， u ， π ) 在最优资源分配下的一个新的统一表达式： Z ( q ， u * ( π ) ， π ) = ( k − k / ( k + 1 ) + k 1 / ( k + 1 ) ) ∑ j = 1 n ( v [ j ] a [ j ] ) k / ( k + 1 ) ( Ω j ) 1 / ( k + 1 ) + ∑ j = i + 1 n b μ ω j ( j − i ) m + D 其中 ω j ， D ， Ω j 分别由式 ( 3 ) ， ( 4 ) ， ( 5 ) 给定。 对于 i ≥ s 的情况，将式(11)代入式(6)，得到目标函数 Z ( q ， u ， π ) 在最优资源分配下的一个新的统一表达式： Z ( q ， u * ( π ) ， π ) = ( k − k / ( k + 1 ) + k 1 / ( k + 1 ) ) ∑ j = 1 n ( v [ j ] a [ j ] ) k / ( k + 1 ) ( Φ j ) 1 / ( k + 1 ) + ∑ j = i + 1 n b μ υ j ( j − i ) m + E 其中 υ j ， E ， Φ j 分别由式 ( 7 ) ， ( 8 ) ， ( 9 ) 给定。 明显地，极小化上边两个式子给出的 Z ( q ， u * ( π ) ， π ) 分别等价于极小化 ∑ j = 1 n ( v [ j ] a [ j ] ) k / ( k + 1 ) ( Ω j ) 1 / ( k + 1 ) 和 ∑ j = 1 n ( v [ j ] a [ j ] ) k / ( k + 1 ) ( Φ j ) 1 / ( k + 1 ) 。 因此，对于问题1)可以给出如下最优算法： 算法1 第一步 根据引理5，计算出公共松弛时间的最优位置 s = ⌈ n ( β − γ ) / ( α + β ) ⌉ ； 第二步 令维护位置 r = 1 ； 第三步 对于 j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，计算 ( v [ j ] a [ j ] ) k / ( k + 1 ) 和 ( Ω j ) 1 / ( k + 1 ) 或 ( Φ j ) 1 / ( k + 1 ) 。 第四步 根据引理8对这些工件重新编号，得到一个局部最优排序，并计算出总费用； 第五步 r = r + 1 ，如果 ，那么执行第三步；否则，执行第六步； 第六步 全局的最优排序是局部最优排序中总费用最小的排序； 第七步 根据式(10)或(11)计算出最优资源分配 u [ j ] * ，并计算最优排序中的每个工件实际加工时间，松弛交货期 d * 。 定理1 对于问题1)，利用算法1可以通过求解匹配问题在 O ( n 2 log n ) 时间内得到最优解。 证明 定理的正确性由上述分析保证。第一、三步的时间复杂度为 O ( 1 ) ，第四步的时间复杂度为 O ( n log n ) 。因为任一工件完工后都可立即进行维护，所以必须对n个不同的维护位置进行评估进而得到全局最优解。因此求解问题(1)的时间复杂度为 O ( n 2 log n ) 。证毕。