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user: 3. 非平凡正解的全局部渐近稳定性 为研究在假设(H 1 )~(H 5 )和条件(8)成立的情况下，系统(1)有全局渐近稳定的正解，我们引入辅助方程 z ′ ( t ) = z ( t ) ( p ( t ， ω * ( t ) − z ( t ) ) − D ( t ) ) (9) 显然 [ 0 ， M ] 是系统(9)的一个不变集。 由条件(8)可知，存在充分小的 ε ¯ 的和充分大的 T 0 ，使得，当 t ≥ T 0 时，有 ∫ t t + λ ( p ( s ， ω * ( s ) ) − D ( s ) ) d s > ϵ ¯ 成立。 即 ∫ t t + λ ( p ( s ， ω * ( s ) − δ ) − p ( s ， ω * ( s ) − δ ) + p ( s ， ω * ( s ) − D ( s ) ) ) d s > ε ¯ 。 由假设(H 4 )以及微分中值定理进而可得 ∫ t t + λ ( p ( s ， ω * ( s ) − δ ) − D ( s ) + ∂ p ( s ， ξ ) ∂ s δ ) d s > ε ¯ ，从而 ∫ t t + λ ( p ( s ， ω * ( s ) − δ ) − D ( s ) ) d s > ε ¯ − δ η λ 令 ε = ε ¯ − δ η λ ，只要选取 δ < ε ¯ η λ ，有 ∫ t t + λ ( p ( s ， ω * ( s ) − δ ) − D ( s ) ) d s > ε . (10) 引理3设 z ( t ) 是系统(9)的解，那么存在 T 1 ≥ T 0 使得 z ( T 1 ) > δ 。 证明：假设命题不成立，那么对于所有的 t > T 0 有 z ( t ) ≤ δ 。从 T 0 到t进行积分可得 z ( t ) = z ( T 0 ) exp { ∫ T 0 t ( p ( u ， ω * ( u ) − z ( u ) ) − D ( u ) ) d u } ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ≥ z ( T 0 ) exp { ∫ T 0 t ( p ( u ， ω * ( u ) − δ ) − D ( u ) ) d u } 由(10)式可知 lim t → ∞ z ( t ) = ∞ ，这与 z ( t ) ≤ δ 矛盾。证毕。 引理4 设 z ( t ) 是系统(9)的满足初始条件 z ( 0 ) > 0 的解，那么存在 T 2 > 0 ，使得，对所有的 t ≥ T 2 ，有 z ( t ) ≥ δ exp { − λ D max } 。 证明：由引理(3)可知，存在 T 1 ，使得 z ( T 1 ) > δ 。假设命题不成立，那么存在 T > T 1 ，使得 z ( T ) ≥ δ exp { λ D max } 。取 T 2 = sup { t | z ( t ) = δ ， T 1 < t < T } ，那么 z ( T 2 ) = δ ，而且对所有的 t ∈ ( T 2 ， T ) 有 z ( t ) < δ 。同时，不难发现， T − T 2 < λ 。事实上，如果 T − T 2 ≥ λ ，那么对所有的 t ∈ ( T 2 ， T 2 + λ ) ，有 z ( t ) < δ 。于是我们有 δ > z ( T 2 + λ ) = z ( T 2 ) exp { ∫ T 0 T 2 + λ ( p ( u ， ω * ( u ) − z ( u ) ) − D ( u ) ) d u } ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ≥ z ( T 2 ) exp { ∫ T 2 t ( p ( u ， ω * ( u ) − δ ) − D ( u ) ) d u } ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ≥ z ( T 2 ) = δ 这是一个矛盾。于是 T − T 2 < λ 。由此进而可得 δ exp { − λ D max } ≥ z ( T ) = z ( T 2 ) exp { ∫ T 2 T ( p ( u ， ω * ( u ) − z ( u ) ) − D ( u ) ) d u } ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ≥ z ( T 2 ) exp { ∫ T 2 T ( − D ( u ) ) d u } ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ≥ z ( T 2 ) exp { ∫ T 2 T ( − D max ) d u } ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ = δ exp { − D max ( T − T 2 ) } ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ > δ exp { − D max λ } 证毕。 定理4 如果(H 1 )~(H 5 )和条件(8)成立，那么系统(9)全局渐近稳定。 证明：设 z ( t ) 和 z * ( t ) 是系统(9)的两个满足初值 z ( 0 ) ， z * ( 0 ) > 0 的解，记 V ( t ) = | ln z ( t ) − ln z * ( t ) | 。于是 V ′ ( t ) = s i g n ( z ( t ) − z * ( t ) ) ( p ( t ， ω * ( t ) − z ( t ) ) − p ( t ， ω * ( t ) − z * ( t ) ) ) ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ = s i g n ( z ( t ) − z * ( t ) ) ( ∂ p ( t ， φ ) ) ∂ S ( z ( t ) − z * ( t ) ) ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ = − | z ( t ) − z * ( t ) | ∂ p ( t ， φ ) ∂ S ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ≤ − V ( t ) | ξ ( t ) | a ( φ ) b ( t ) 这里 ξ ( t ) 介于 z ( t ) 和 z * ( t ) 之间，由引理4可知存在 T 2 > 0 ，使得当 t ≥ T 2 时， M ≥ ξ ( t ) ≥ δ exp { − D max λ } 。 φ ( t ) 介于 ω * ( t ) − z ( t ) 和 ω * ( t ) − z * ( t ) 之间，由引理2可知， φ ( t ) ∈ [ m − M ， M ] ，令 a _ = inf a ( φ ) ，于是 V ′ ( t ) ≤ − V ( t ) δ exp { − D max λ a _ b ( t ) } 。 由比较原理可得： V ( t ) ≤ − V ( T 2 ) ∫ T 2 t δ exp { − D max λ a _ b ( v ) d v } . 利用假设可知， lim t → ∞ V ( t ) = 0 ，于是我们有， lim t → ∞ ( z ( t ) − z * ( t ) ) = 0 。从而证明了系统(9)的全局吸引性。 方便起见，我们设 z * ( t ) 为系统(9)的一个满足初始条件 z * ( 0 ) > 0 的特解。于是，我们有如下引理。 引理5 如果(8)成立，那么对于充分大的 T 3 下列不等式成立 z * ( t ) ≤ ω * ( t )     ( t > T 3 ) . 证明：我们首先证明不等式 z * ( t ) > ω * ( t )   ( t > T 3 ) 不成立。事实上，如果这个不等式成立，那么， z * ′ ( t ) = z * ( t ) ( p ( t ， ω * ( t ) − z * ( t ) ) − D ( t ) ) ≤ z * ( t ) ( − D ( t ) ) 利用微分不等式和假设(H 1 )，我们可以得到 z * ( t ) = z * ( T 3 ) exp { ∫ T 3 t − D ( t ) d t } 于是， lim t → ∞ z * ( t ) = 0 ，然而，另一方面， m ≤ lim inf t → ∞ ω * ( t ) ，这和 z * ( t ) ≤ ω * ( t ) ( t > T 3 ) ，矛盾。于是存在充分大的 T 3 使得 z * ( T 3 ) ≤ ω * ( T 3 ) 成立。我们说，对于所有t满足 t > T 3 都有 z * ( t ) ≤ ω * ( t ) 成立。不然，存在 T 4 > T 3 使得 z * ( T 4 ) > ω * ( T 4 ) 。于是存在 T * ∈ [ T 3 ， T 4 ] ，使得 z * ( T * ) = ω * ( T * ) 且 z * ′ ( T * ) = ω * ′ ( T * ) 然而，另一方面，我们有 z * ′ ( T * ) − ω * ′ ( T * ) = b 0 ( T * ) − D ( T * ) ω ( T * ) − z ( T * ) ( p ( T * ， ω * ( T * ) − z ( T * ) ) − D ( T * ) ) > b 0 ( T * ) − D ( T * ) ω ( T * ) + z ( T * ) D ( T * ) = b 0 ( T * ) > 0 矛盾。证毕。 定理5 ( ω * ( t ) − z * ( t ) ， z * ( t ) ) 是系统(1)全局渐近稳定的解，即： lim t → ∞ S ( t ) = ω * ( t ) − z * ( t ) ， lim t → ∞ x ( t ) = z * ( t ) . 证明：显然， ( ω * ( t ) − z * ( t ) ， z * ( t ) ) 是系统(1)的正解。 由定理1可知， lim t → ∞ ( S ( t ) + x ( t ) ) = ω * ( t ) ，因此只需要证明 lim t → ∞ x ( t ) = z * ( t ) 即可。事实上，令 I ( t ) = I ( t ) = S ( t ) + x ( t ) ，系统(1) 可等价于如下系统 { I ′ ( t ) = b 0 ( t ) − D ( t ) I ( t ) x ′ ( t ) = x ( t ) ( p ( t ， I ( t ) − x ( t ) ) − D ( t ) ) I ( 0 ) = I 0 ≥ 0 ， x ( 0 ) = x 0 ≥ 0 (11) 显然， ω * ( t ) 是上述系统第一个方程的一个特解，把 ω * ( t ) 代入第二个方程可得， x ′ ( t ) = x ( t ) ( p ( t ， ω * ( t ) − x ( t ) ) − D ( t ) ) (12) 由定理3可知 lim t → ∞ x ( t ) = z * ( t ) 。证毕。