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user: 4. t α 型热传导方程解得数值模拟 从前面我们了解了初边值条件对于求解热传导方程的必要性，求解一个导热问题的热传导方程关键是要获得物体中的温度分布，有了温度分布导热量不难利用傅里叶定律得出所需要的热传导方程的解。对于某些工程类的问题，主要的目的是获得通过导热所传递的热量。 4.1. t α 型热传导方程的差分法 4.1.1. t α 型热传导方程的显示差分格式 考察一维 t α 型热传导方程的初边值问题 { u t − t α u x x = 0     ( 0 < x < l ， t > 0 ， 0 ≤ α ≤ 1 ) ， u | t = 0 = φ ( x )     ( 0 < x < l ) ， u | x = 0 = u 1 ( t ) ， u | x = l = u 2 ( t ) ( t > 0 ) ， (16) 解的数值模拟。 为了建立这一类初边值问题(16)的差分格式，首先我们在它的求解区域内 R ( 0 ≤ x ≤ l ， t ≥ 0 ) 上作矩形网络，在x轴上以步长 Δ x = l J (J是一个正整数)，把区间 [ 0 ， l ] 进行J等分，并于各分点作平行于t轴的网格线。在t轴一步长 Δ t 作平行于x轴的网格线。如上所作的两族直线的交点 ( x j ， t n ) = ( j Δ x ， n Δ t ) 称为网格节点。 假设热传导方程的初边值问题的解在区域内部适当光滑时，对任意的区域内部的节点 ( x j ， t n ) 利用泰勒公式可以得到 u j n + 1 − u j n Δ t − ( ∂ u ∂ t ) j n = Δ t 2 ∂ 2 u ( x j ， t ˜ ) ∂ t 2 ( t n ≤ t ˜ ≤ t n + 1 ) ， u j n + 1 − 2 u j n + u j − 1 n ( Δ x ) 2 − ( ∂ 2 u ∂ x 2 ) j n = ( Δ x ) 2 12 ∂ 4 u ( x ˜ ， t n ) ∂ x 4 ( | x ˜ − x j | ≤ Δ x ) . 由上面的两式，我们可以得到 u j n + 1 − u j n Δ t − ( Δ t ) α u j n + 1 − 2 u j n + u j − 1 n ( Δ x ) 2 = Δ t 2 ∂ 2 u ( x j ， t ˜ ) ∂ t 2 − ( Δ t ) α ( Δ x ) 2 12 ∂ 4 u ( x ˜ ， t n ) ∂ x 4 . 基于此网格节点，式中的初始条件和边界条件可以化为 { u j 0 = φ ( j Δ x )             ( j = 1 ， ⋯ ， J − 1 ) ， u 0 n = u 1 ( n Δ t ) ， u J n = u 2 ( n Δ t ) ( n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ) . 就这样，我们将 t α 型热传导方程的初边值问题数值解用差分法表示了出来，得到显式差分格式。 可以很明显的看到一个问题，上述所作的差分方程的解与原来初边值的热传导方程(16)一般是不相同 的。其中，我们将所忽略掉的项，通常叫做截断误差。这里的误差是 O ( Δ t ) + O ( ( Δ x ) 2 ) 。 令 λ = ( Δ t ) α + 1 ( Δ x ) 2 ， 那么我们的显式差分格式可以写成 { U j n + 1 = λ U j + 1 n + ( 1 − 2 λ ) U j n + λ U j − 1 n U j 0 = ϕ ( j Δ x ) U o n = u 1 ( n Δ t ) ， U J n = u 2 ( n Δ t ) ( j = 1 ， ⋯ ， J − 1 ; n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ) . (17) 它表示未知函数在第 n + 1 排任一节点上之值U依赖于它在第n排上的三个节点上的值。 4.1.2. 差分格式的稳定性 设计算初始条件时在各节点上产生的舍入误差是 ε j ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， J − 1 ) ， 此时，我们求得的差分方程的近似解 U ˜ j n 满足 { U ˜ j n + 1 = λ U ˜ j + 1 n + ( 1 − 2 λ ) U ˜ j n + λ U ˜ j − 1 n U ˜ j 0 = ϕ ( j Δ x ) + ε j U ˜ 0 n = u 1 ( n Δ t ) ， U ˜ j n = u 2 ( n Δ t ) ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， J − 1 ; n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ) . (18) 我们用 V j n + 1 = U ˜ j n − U j n 表示差分方程近似解与差分方程精确解的偏差，得到 V j n 满足 { V j n + 1 = λ V j + 1 n + ( 1 − 2 λ ) V j n + λ V j − 1 n V j 0 = ε j V 0 n = V J n = 0 ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， J − 1 ; n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ) . (19) 这样，我们能够给出热传导方程的差分格式的稳定性定义。如果对于任意给定的 ε > 0 ，存在与 Δ t 和 Δ x 无关的 δ ，使得当 max j | V j 0 | ≤ δ 时，对于一切 n = 0 ， 1 ， ⋯ ， N ，成立 max j | V j n | ≤ ε . 我们称方程(17)是稳定的。 定理3当 λ ≤ 1 2 时， t α 型热传导方程的初边值问题(16)显式差分格式是稳定的。 证明：当 λ ≤ 1 2 时，由(19)可知，对任意的j，有 | V j n + 1 | ≤ λ | V j + 1 n | + ( 1 − 2 λ ) | V j n | + λ | V j − 1 n | ≤ max j | V j n | . 所以 max j | V j + 1 n | ≤ max j | V j n | ， 对于任意的n都成立，因此对一切n成立 max j | V j n | ≤ max j | V j 0 | = max j | ε j | . 由此证得差分格式的稳定性。 4.1.3. 隐式格式以其稳定性 从上面的讨论可以看到，用显式格式进行数值求解 t α 型热传导方程的定界问题，优点是计算比较简 便，但是由于必须满足稳定性条件 λ = ( Δ t ) α + 1 ( Δ x ) 2 ≤ 1 2 ，因此，t方向要满足 Δ t ≤ Δ x 2 / 2 α + 1 。 我们为了提高数值解的精确度，必须缩小步长 Δ x ，此时 Δ x 的变化还要相应变小，考虑到 α 的取值，变小的程度会与 α 有关。下面我们为了避免显式格式所造成的计算时长大大加长的缺点，提出一种隐式差分格式。 若 u ( x ， t ) 是初边值问题的精确解，利用泰勒展开公式可以得到 u j n + 1 − u j n Δ t − ( Δ t ) α u j + 1 n + 1 − 2 u j n + ! + u j − 1 n + 1 ( Δ x ) 2 = − Δ t 2 ∂ 2 u ( x j ， t ˜ ) ∂ t 2 − ( Δ t ) α ( Δ x ) 2 12 ∂ 4 u ( x ˜ ， t n + 1 ) ∂ x 4 . 略去上式右端部分，就可以得到热传导方程的另一差分近似。这样，我们将初边值条件像前面一样处理，就得带了我们的隐式差分格式： { − λ U j − 1 n + 1 + ( 1 + 2 λ ) U j n + 1 − λ U j + 1 n + 1 = U j n U 0 n + 1 = u 1 ( ( n + 1 ) Δ t ) U J n + 1 = u 2 ( ( n + 1 ) Δ t ) ( j = 1 ， ⋯ ， J − 1 ; n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ) . 由上面的推导，容易知道我们的隐式差分格式的截断误差同样是 O ( Δ t ) + O ( ( Δ x ) 2 ) 。这样的差分格 式无需对歩长加任何条件，所以是无条件稳定的。 4.2. 数值模拟 前面我们介绍了一维 t α 型热传导方程的初边值问题的分析解。在实际工程计算中我们会遇到这样一类热传导方程，这些热传导问题具有复杂几何形状或者边界条件，因为数学上的困难没有得到很好的解决，无法获得解析解。另一方面，最近三十多年来，随着计算机这门技术的高速发展，对一般性的物理问题进行离散化求出数值解的方法发展非常迅速，这样的技术发展促进了数学物理理论的发展壮大，使得理论指导实践更加贴近。这些数值方法包括了有限差分法，有限元法及有限边界法等。 下面我们要举例应用Matlab建模构建图形，更加形象直观的理解热量分布与时间、空间的分布关系。对如下一维 t α 型热传导方程的初边值问题解进行数值模拟 { u t = t α u x x u ( x ， 0 ) = 200 u ( 0 ， t ) = u ( l ， t ) = 0 ( 0 ≤ x ≤ π ， 0 ≤ α ≤ 1 ， t > 0 ) . 我们可以看到当 α = 0 时，此方程与我们过去的一维热传导方程是一样的，是热传导系数与时间无关的 情形，当 0 < α ≤ 1 此方程的数值解会随着 α 的变化而变化，下面我们比较地来看 α = 0 ， α = 1 4 ， α = 1 2 ， α = 1 的情形。 图1. 有限差分法解(系数为 α = 0 ) 图2. 有限差分法解(系数为 α = 1 / 4 ) 图3. 有限差分法解(系数为 α = 1 / 2 ) 图4. 有限差分法解(系数为 α = 1 ) 图1数值模拟的稳定性系数为0.4523.所以，此一维热传导方程的差分格式的解收敛于原初边值问题并且是稳定的。图2数值模拟的稳定性系数为0.1315，图3数值模拟的稳定性系数为0.0382，图4数值模拟的稳定性系数为0.0032。我们发现，在我们x的步长与t的步长保持不变的情况下，我们的热传导系数 α 的变化会导致我们的有限差分格式的稳定性受到影响。我们通过Matlab实验可以得到如下结论： 当热传导系数 α = 0 时，我们要研究的差分格式的位移步长和时间步长适当的话，利用计算机可以很好的模拟出一维 t α 型热传导方程的数值解。当 0 < α ≤ 1 时，x的步长与t的步长比例会影响到对一维 t α 型热传导方程的数值解，随着 α 的增大，传热速率增加，热传导系数的增大导致传热加快，描述出了在实际生活中容易受到温度影响的材料的热传递方程解的数值模拟。