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user: 4. 一类特殊时间周期解的物理性质 本节我们主要研究一类特殊的时间周期解的物理性质。 H 0 = H 1 = 0 ，   c = 1 f 5 ，   f = 1 + sin t ，   q = 0 时，在球极坐标 ( t ， r ， θ ， ϕ ) 中，度规形式为 d s 2 = 16 r 3 2 ( 1 + sin t ) 7 d t 2 + 2 r ( 1 + sin t ) 5 d t d ϕ − 1 r ( 1 + sin t ) 6 d r 2 − ( 1 + sin t ) 2 r d θ 2 . (17) 表明这个度规表述了一个时间周期时空，我们把它命名为LW时间周期宇宙。根据文献 [ 9 ] Riemann曲率范数为 ℜ ≜ R α β γ δ R α β γ δ = 3 ( 1 + sin t ) 12 4 r 3 ， (18) 除了 r = 0 这个物理奇性之外它是非奇异的。在当 ( 1 + sin t ) → 0 (即 t → 2 k π − π / 2 ( k ∈ Ζ ) )时， ℜ 取值为零。并且这个解具有一些非本性奇点，而这些奇点是由超曲面 t = 2 k π − π / 2 ( k ∈ Ζ ) 构成的。 将 θ 与 ϕ 取定值，可得度规 d s 2 = 16 r 3 2 ( 1 + sin t ) 7 d t 2 − 1 r ( 1 + sin t ) 6 d r 2 . 考虑 ( t ， r ) -平面的类光曲线： 16 r 3 2 ( 1 + sin t ) 7 d t 2 − 1 r ( 1 + sin t ) 6 d r 2 = 0. 则由上式得 d t d r = ± 1 + sin t 4 r . 把常微分方程 d r 4 r = d t 1 + sin t (10) 的解记为 r = R ( t ) 。由此可知 d R ( t ) d t R ( t ) = 4 1 + sin t . (20) 令 τ = t + π / 2 ，可得 d R ( t ) d t R ( t ) ≈ 4 2 τ ，   ∀ | τ | ≪ 1. (21) 给出了在点 t = − π / 2 (实际上，所有的点 2 k π − π / 2 )附近类光曲线的奇性行为。 τ 的幂次与Friedman方程得到的FRW宇宙的加速度之一是一致的。 对t-截面的几何行为分析如下： 当 t ∈ ℜ 取为定值，t-截面的诱导度规由(5)可得： d s 2 = − 1 r ( 1 + sin t ) 6 [ d r 2 + ( 1 + sin t ) 8 d θ 2 ] . (22) 如上所述超曲面 t = 2 k π − π / 2 ( k ∈ Ζ ) 是时空(5)的奇性，且当 t ≠ 2 k π − π / 2 ( k ∈ Ζ ) 时，t-截面是一个以 r = ∞ 为中心的三维锥状的流形。 不妨我们只研究一个周期范围内的宇宙模型 μ : − π / 2 ≤ t ≤ 3π / 2 ， 0 < r < ∞ 。 定义 τ = ∫ π 2 t 1 1 + sin ξ d ξ ， (23) 即 τ = 2 ∫ π 2 t 1 cos ( ξ 2 − π 4 ) d ξ 2 = 2 ln | 1 + sin ( t 2 − π 4 ) cos ( t 2 − π 4 ) | | π 2 t = 2 ln | 1 + sin ( t 2 − π 4 ) cos ( t 2 − π 4 ) | 则 τ = { − ∞ ，       t = − π / 2 ， 0 ，             t = π / 2 ， ∞ ，           t = 3π / 2 ， (24) 也就是 τ ∈ [ − ∞ ， ∞ ] 。在 ( τ ， r ， θ ， ϕ ) 坐标下，度规相应的变为 d s 2 = 16 r 3 2 ( 1 + sin t ) 6 d τ 2 + 2 r ( 1 + sin t ) 4 d τ d ϕ − 1 r ( 1 + sin t ) 6 d r 2 − ( 1 + sin t ) 2 r d θ 2 . (25) 继续定义 r * = ∫ 1 4 r d r = 1 4 ln r . 则 v = τ + r * = τ + 1 4 ln r . (26) 定义为超前零坐标，且 w = τ − r * = τ − 1 4 ln r . (27) 定义为延迟零坐标。在 ( v ， r ， θ ， ϕ ) 坐标下，类似于Eddington-Finkelstein形式 [ 3 ] 度规可定义为： d s 2 = 16 r 3 2 ( 1 + sin t ) 6 ( d v 2 − 1 2 d v d r ) + 2 r ( 1 + sin t ) 4 ( d v − 1 4 d r ) d ϕ − ( 1 + sin t ) 2 r d θ 2 . (28) 这种表示的时间周期解依然具有奇异特征，即它是非时间对称的。这点从Finkelstein图 [ 10 ] 中可得。由Finkelstein图可得 r = 0 是类光本性奇点。Finkelstein图是当 ( θ ， ϕ ) 为常数的时空的截面，任一点表明拓 扑结构为 d s 2 = − ( 1 + sin t ) 2 r d θ 2 的二维曲面。 若我们用坐标w代替v，则度规形式为 d s 2 = 16 r 3 2 ( 1 + sin t ) 6 ( d w 2 − 1 2 d w d r ) + 2 r ( 1 + sin t ) 4 ( d w − 1 4 d r ) d ϕ − ( 1 + sin t ) 2 r d θ 2 . (29) 根据(26)和(27)定义的超前和延迟零坐标 v ， w ，可得另一个坐标系，度规相应的形式为 d s 2 = 16 r 3 2 ( 1 + sin t ) 6 d v d w + r ( 1 + sin t ) 4 ( d v + d w ) d ϕ − ( 1 + sin t ) 2 r d θ 2 ， (30) 其中 t ， r 分别由下式给出 1 2 ( v + w ) = ∫ − π 2 t 1 1 + sin ξ d ξ ，     v − w = 1 2 ∫ 1 r d r = 1 2 ln r . (31) 由于度规为 d s 2 = d v d w 时的空间是平直的，所以它表示零共形平直坐标下的二维空间( θ ， ϕ 为常数)。维持这个二维空间共形平直的两个类光坐标最一般的坐标变换是 v ′ = v ′ ( v ) ， w ′ = w ′ ( w ) ( v ′ 与 w ′ 是任意的 C 1 维函数)，相应的度规为 d s 2 = 16 r 3 2 ( 1 + sin t ) 6 d v d v ′ d w d w ′ d v ′ d w ′ + r ( 1 + sin t ) 4 ( d v d v ′ d v ′ + d w d w ′ d w ′ ) d ϕ − ( 1 + sin t ) 2 r d θ 2 (32) 定义 t ′ = 1 2 ( v ′ + w ′ ) ，     x ′ = ( v ′ − w ′ ) . (33) 则度规的形式为 d s 2 = F 2 ( t ′ ， x ′ ) ( d t ′ 2 − d x ′ 2 ) + G ( t ′ ， x ′ ) d t ′ d ϕ − H ( t ′ ， x ′ ) d x ′ d ϕ − L 2 ( t ′ ， x ′ ) d θ 2 . (34) 度规的具体形式由函数 v ′ ， w ′ 的选取决定。选取 v ′ = exp ( 2 v ) ， w ′ = − exp ( − 2 w ) ，因此r由方程 t ′ 2 − x ′ 2 = − r (35) 确定。且t由方程 t ′ + x ′ = − ( t ′ − x ′ ) exp ( 4 τ ) = − ( t ′ − x ′ ) exp ( 4 ∫ π 2 t 1 1 + sin ξ d ξ ) (36) 确定。进而 F ， G ， H 与 L 分别由下式给出 F 2 = 4 R ( 1 + sin ) 6 ，     G = x ′ ( 1 + sin ) 4 ，     H = t ′ ( 1 + sin ) 4 ，     L 2 = ( 1 + sin ) 2 r . (37) 对坐标 ( t ′ ， x ′ ， θ ， ϕ ) 在 t ′ 2 − x ′ 2 < 0 条件下定义的流形 ƛ * ，函数r和 F 2 ， L 2 是正的并且解析。由(34)定义度规 g * ，则 x ′ > | t ′ | 定义的 ( ℏ ， g * ) 的区域I等距于 ( ℏ ， g ) 。通过图1我们可知存在另一个由 x ′ < | t ′ | 定义的区域I'，也等距于 ( ℏ ， g ) 。我们把它命名为LW“喉”另一端的另一个渐进平直宇宙。 为研究时间周期时空无穷远处的布局，可联系(17)定义新的超前和延迟零坐标来构建Penrose图 v ″ = arctan ( v ′ ) ，     w ″ = arctan ( w ′ ) ， (38) 其中 − π < v ″ + w ″ < π ，且 − π / 2 < v ″ < π / 2 ，   − π / 2 < w ″ < π / 2 在Penrose图中，用共形坐标(34) (类光曲面总是斜率为 ± 1 的直线)来表示时空布局，并且整个时空映射为一个有限图。所以用一种简单的方式来表示类光曲面，在图中可直观的给出其因果关系。远处观测者在 τ (或t)时刻看到的一个拓扑结构为 d s 2 = − ( 1 + sin t ) 2 r d θ 2 的二维曲面由Penrose图的每一点 ( τ ， r ) 来表示。图2中的Penrose图整体的阐述了带有“黑洞”时间周期解的整体布局。 图1. Kruskal图，可看出时间周期宇宙空间区域I和I'，以及 r < 0 的区域 图2. LW时间周期宇宙的Penrose图 注记1. 对任意固定的 t ∈ ℜ 度规(22)描述只含两个参量r和 θ 的流形。这和Schwarzschild度规在Eddington-Finkelstein坐标下的形式是类似的，即， d s 2 = ( 1 − 2 m r ) d v 2 − 2 d v d r − r 2 ( d θ 2 + sin 2 θ d ϕ 2 ) ， 其中v为外时空的时间坐标(即 r > 2 m )。在这种情况下对任意固定的 v ∈ ℜ ，v-截面的诱导度规为 d * s 2 = − r 2 ( d θ 2 + sin 2 θ d ϕ 2 ) . 上面的度规同样仅依赖 θ 和 ϕ 两个参量。 注记2. 在 H 0 r ln r + H 1 r ≥ 0 时， c = 1 f n ( n ≤ 5 ) ， f = 1 + cos t 或 f = 1 − sin t 时的解也具有类似的物理性质。