DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
system: [SYSTEM]

user: 6. 光子晶体应用于自适应红外隐身 自适应红外隐身技术又称智能红外隐身技术，是指通过一定的技术方法，使被探测目标的红外辐射特性能够随环境的红外辐射特性自动发生相应调整，实现目标与环境红外辐射特性的统一，消除目标与背景的红外探测特性差异，从而得以伪装掩护和隐身，其最大的优势是能随环境的变化自动做出相应调整 [ 44 ] 。 常规的自适应红外隐身技术主要包含变温型和变发射率型两种。而单纯的变温材料和变发射率材料也无法达到理想的自适应隐身效果。如果将变发射率材料和光子晶体相结合，就可能获得灵敏度高，调制范围大的变发射率自适应红外隐身材料。因此，光子晶体在自适应红外隐身上的应用也不容小觑。 2004年，Larsson等 [ 45 ] 采用直流磁控溅射法制备了用于红外发射率调制的全薄膜电致变色器件。该器件以三氧化钨(WO 3 )为主电致变色层，二氧化锆(ZrO 2 )作为离子导体，NiV x 0 y H z 作为补充电致变色层，基底为ITO玻璃，通过施加电压来实现红外发射率的调制。 2006年，Ashrit等 [ 46 ] 研制了一种基于WO 3 反蛋白石结构光子晶体的电致变色器件(如图13所示)。通过将光子晶体结构的禁带特性WO 3 介质的电致变色特性相结合，使器件在可见光波段的反射光谱和发射率可以通过电压在一定范围内调节，在以往的基础上增大了WO 3 介质的光谱选择性调节范围和调节幅度，如图14所示。 图13. 基于W0 3 反opal光子晶体的电致变色器件(引自文献 [ 46 ] ) 图14. 电致变色器件在不同电压下的透射光谱图(引自文献 [ 46 ] ) 2008年，Puzzo等 [ 47 ] 设计出一种反射率受电场调制的聚合物膜材料。它是通过将具有电活性的聚合物填充于SiO 2 光子晶体模板中，然后再用HF去除模板，并将膜连结在ITO膜上得到的。未来可能应用于自适应隐身中。2013年，Long等 [ 48 ] 从鱿鱼中发现的自组装结构中汲取灵感，研究了可调制的仿生伪装涂层。他们先从鱿鱼皮肤中提取处含有反光蛋白质的血小板，用它为原材料来制备处光子晶体结构，通过醋酸溶液的刺激，引起血小板的厚度和间距变化，从而能够使皮肤反射不同的光线。为自适应隐身提供了依据。2015年，Chernow等 [ 49 ] 用八面体晶胞单元的聚合物纳米晶格制备了禁带可调制的三维光子晶体，其光谱特性可在近红外和中红外波段进行大范围调节。
system: [SYSTEM]

user: 7. 总结与展望 本文先介绍了光子晶体的基本性质，包括光子带隙特性，光子局域特性和光子晶体的负折射现象。然后分别介绍了光子晶体在热红外隐身、红外宽频隐身、红外兼容隐身和自适应隐身中的应用与进展。其中一维光子晶体和三维光子晶体研究颇多，并且一维光子晶体研究趋于成熟，但其对电磁波的调制范围有限，限制了在红外隐身中的应用；而三维光子晶体可通过使用不同的结构、材料、工艺来控制其对电磁波的调制效果，并且已取得不错的进步，在红外隐身上的应用将指日可待。 现在光子晶体技术已经可以完美实现3~5 μm和8~14 μm两个红外波段的高反射，然后通过“光谱挖空”可以实现1.06 μm和10.6 μm两个激光波长处的高透射，就可实现红外与激光隐身的兼容。在这些基础上可以通过光子晶体的调制使光子晶体在雷达波段存在高透射率，这样就完成了多种隐身的兼容。而在自适应红外隐身方面，光子晶体可以通过它自身的调制特性来实现，并且已经取得了部分成果。 虽然光子晶体在红外隐身还没有广泛的应用。但因其特殊的性能，必然是未来红外隐身技术中不可缺少的重要部分。对于光子晶体的研究，特别是三维光子晶体，需要加以重视，相信光子晶体在未来隐身研究中将发挥重要作用。
system: [SYSTEM]

user: 摘 要 针对燃气轮机动力涡轮工作环境恶劣、承受负荷大等特点，为保证动力涡轮可靠性运行、满足强度要求，对动力涡轮静子(包括第三、四机匣，第三、四级导向器等零部件)在工作时的表面温度场进行了详细的数值计算。计算过程中，通过沿叶片径向设置扇形段并在扇形段的端面处设置循环对称边界条件，减少了单元与节点数目，简化了计算、节省了计算资源。计算结果可以用于动力涡轮部件的强度计算分析和冷热态尺寸链计算，对燃气轮机的结构强度设计和热力性能校核有一定的参考作用。 关键词 :燃气轮机，动力涡轮，温度场 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
system: [SYSTEM]

user: 1. 引言 在燃气轮机设计中，温度场计算难度较大 [ 1 ] 。本文对机匣外表面进行了分段处理 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] ，计算了各段的辐射热流密度和综合换热系数，分析了不同环境温度对机匣温度以及不同接触热阻对机匣温度场的影响，并选定接触热阻，按燃气轮机实际运行状态确定了计算边界条件，并对静子温度场进行了数值计算与分析。
system: [SYSTEM]

user: 2. 动力涡轮静子件结构 某型燃气轮机动力涡轮的第三、四级静子件结构如图1所示。 图1. 某型燃气轮机动力涡轮第三、四级静子件结构示意图 其中，温度场计算的对象主要包括了第三、四级机匣，过渡机匣，第三、四级导叶组，内、外罩壳，转接筒，法兰，第三、四级护环，第四级隔板等零件。
system: [SYSTEM]

user: 3. 温度场数值计算时的重要参数计算方法 动力涡轮静子件的温度场数值计算本质为热平衡的计算分析，热边界条件的选择和材料的属性对数值计算结果影响非常重要 [ 5 ] [ 6 ] 。 动力涡轮静子件既有被高温、高速燃气包围的部分，也有在箱装体中暴露于空气中的部分。因此，在数值计算前要开展必要的热流动方向分析 [ 7 ] [ 8 ] 。第三级导向器的内、外罩壳，第三、四级导叶组的上、下缘板和叶身表面部分，以及机匣的燃气侧是主要的热量来源。 3.1. 机匣外表面换热系数 机匣外表面的换热同时包含了对流换热与辐射换热。箱装体内的引射空气可以通过对流换热的方式带走机匣外表面上的热量；同时机匣外表面与箱装体内表面会发生辐射换热 [ 9 ] [ 10 ] 。根据辐射换热计算公式，换热量与表面温度关系很大。机匣外表面温度分布非常不均匀，温差最高可以达到200℃以上，因此必须对机匣外表面进行分段处理，以便计算辐射换热量。在数值计算中将机匣外表面分成4段，如图2所示，并且分别计算了各段的辐射热流密度。 图2. 机匣换热系数分段简图 表1给出了设计工况各段机匣外表面的辐射热流密度。燃气轮机机匣外表面的黑度为ε 1 = 0.8，箱装体内表面的黑度为ε 2 = 0.657；箱装体内表面温度为T 2 = 270℃；环境温度为T 0 = 45℃。由表1可知，由于燃气轮机机匣外表面温度变化较大，辐射换热热流密度变化也较大，因此必须采用分段计算辐射换热的方法，以提高温度场数值计算的准确度。 Table 1 Heat flux density of radiation heat transfer of external case surface power under design condition 段号 I II III IV T 1 350℃ 550℃ 420℃ 420℃ A 1 /A 2 0.34 0.42 0.45 0.47 q 2530 W/m 2 14，349 W/m 2 5487 W/m 2 5449 W/m 2 表1. 设计工况机匣外表面辐射换热热流密度 经过折算，得出各段机匣外表面综合换热系数如表2所示。 Table 2 Comprehensive heat transfer coefficient of external case surfac 段号 I II III IV h 18.3 W/(m 2 ·K) 38.4 W/(m 2 ·K) 24.6 W/(m 2 ·K) 24.5 W/(m 2 ·K) 表2. 机匣外表面综合换热系数 3.2. 环境温度对机匣外表面温度场的影响 由于外界环境温度随季节变化的不确定性，本小节分析了箱装体内环境温度分别为60℃、45℃和30℃时机匣外表面测温点的温度随环境温度变化的规律，数值计算结果如图3所示。 图3. 不同环境温度下机匣外表面温度场计算结果 由图3可知，当环境温度在45℃ ± 15℃内变化时，机匣外表面测温点的温度变化在±10℃范围内。 3.3. 接触热阻对机匣外表面温度场的影响 接触应力、接触界面状况(粗糙度、波纹度等)、接触界面之间的介质(液体、气体等)和接触件的材料性能(表面硬度、导热系数等)因素均会影响到接触界面之间的接触热阻 [ 11 ] 。此外，目前尚未有一个能准确计算接触热阻的公式，许多经验公式本身又有一定的适用范围，因此要准确的给出动力涡轮静子件接触界面之间的接触热阻是很困难的。在本节中分析了不同接触热阻对机匣外表面温度场的影响，供动力涡轮结构设计和热膨胀量计算参考。 图4为设计工况时，接触换热系数(接触热阻的倒数)分别为2000 W/(m 2 ·K)、1500 W/(m 2 ·K)和1000 W/(m 2 ·K)时机匣外表面测温点温度分布。由图4可知，当接触换热系数在1500 W/(m 2 ·K)基础上提高到500 W/(m 2 ·K)时，机匣外表面温度约提高4℃；当接触换热系数降低到500 W/(m 2 ·K)时，机匣外表面温度约降低8℃。因此，接触换热系数在一定范围内变化对机匣外表面的温度分布会产生影响；而在动力涡轮结构设计以及热膨胀量计算中，需要考虑换热系数变化的影响。 图4. 不同接触热阻下机匣外表面温度场计算结果 3.4. 数值计算时的边界条件 1) 第三级导向器内、外罩壳燃气侧，各级导叶组上、下缘板以及叶身表面，过度机匣燃气侧，级间表面，与箱装体内空气接触的机匣外表面，转接筒冷气侧，第四级隔板冷气侧，第三、四级护环蜂窝密封齿面，第四级隔板蜂窝密封齿面均采用第三类边界条件； 2) 各个金属表面的换热系数计算使用《航空发动机设计手册》中的相关公式，其它取自原型机计算数据以及空气系统的计算结果； 3) 机匣外表面区域考虑辐射换热影响； 4) 静子件周向端面定义为循环对称边界条件； 5) 热边界条件考虑燃气沿径向分布的不均匀性； 6) 导叶与机匣连接处以及各级机匣之间等静子件连接处接触界面给出接触热阻； 7) 空气物性参数取自《空气物理性质表》，以烟气物性参数代替燃气物性参数； 8) 燃气流道内对应的燃气温度和压力参数参照气动计算结果。
system: [SYSTEM]

user: 4. 温度场数值计算结果 动力涡轮在设计工况下的温度场是冷热态尺寸链计算的基本依据，对动力涡轮结构设计具有很重要的指导意义。准确计算设计工况下动力涡轮的温度场是高性能、高可靠性动力涡轮结构设计的前提。 4.1. 边界条件 本文第3节根据经验公式以及气动计算的结果，计算了设计工况下动力涡轮静子件各换热表面的边界条件。滑油腔表面的边界条件根据动力涡轮支承环滑油的回油温度确定，考虑到动力涡轮转速较高，滑油温度增加20℃，各表面的边界条件如表3所示。 4.2. 计算结果及分析 图5和图6给出了极限边界条件时，动力涡轮在设计工况下的各静子件温度场。 Table 3 Relationship of power and fuel consumption rate under different spee 单位 表面编号 1 2 3前 3后 4 5 6 7 8 9 10 11 环境温度 ℃ 380 750 45 45 750 750 750 665 750 440 750 750 换热系数 W/(m 2 ·K) — 438 18.3 38.4 438 1500 386 1200 438 100 1640 2310 单位 表面编号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 环境温度 ℃ 750 750 750 45 45 631 630 630 630 630 631 522 换热系数 W/(m 2 ·K) 796 796 755 24.6 24.5 934 1920 548 548 522 254 861 单位 表面编号 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 环境温度 ℃ 487.2 630 414 340 350 45 45 45 45 45 45 487.2 换热系数 W/(m 2 ·K) 164 1090 350 — 200 10 25.4 24.3 25.4 10 24.3 164 单位 表面编号 36 37 38 39 40 41 42 43 45 环境温度 ℃ 486 414 351 351 351 351 351 250 487.3 换热系数 W/(m 2 ·K) 152 30 35 35 35 35 30 — 164 表3. 设计工况下各表面边界条件 图5. 设计工况第三、四级静子件温度场 图6. 设计工况机匣外表面温度场 由图5和图6可知，在设计工况下，动力涡轮静子件的温度分布在100℃~749℃之间，主要的高温零件是第三级导叶组，前、后外罩壳和内罩壳等。
system: [SYSTEM]

user: 5. 结束语 本文以燃气轮机动力涡轮的气动计算结果为基本依据，计算了设计工况下高速动力涡轮静子件的温度场，同时定量分析了环境温度和接触换热系数对机匣外表面温度场的影响。计算结果可以作为动力涡轮结构强度和冷热态尺寸量计算的参考依据，为高速动力涡轮结构设计以及其它计算提供参考。
system: [SYSTEM]

user: 摘 要 本文针对具有全状态时变约束的非线性电机系统，提出了自适应神经网络容错控制策略。为了保证系统控制性能，构建了容错补偿控制器消除执行器失效故障和偏移故障的影响。引入时变障碍李雅普诺夫函数，保证全部系统状态不超出指定时变约束范围，尤其是在执行器发生故障情况下也未违反状态约束限制。利用神经网络作为逼近器处理系统中未知函数。基于李雅普诺夫稳定性分析，证明了闭环系统中全部信号的有界性，以及系统输出良好的跟踪性能。仿真结果进一步说明所提出控制策略的有效性。 关键词 :容错控制，自适应神经网路控制，时变障碍李雅普诺夫函数，稳定性分析 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
system: [SYSTEM]

user: 1. 引言 由于现代工程系统趋向于规模化、复杂化，并伴随着高度非线性和不确定性等特点，此类系统通常无法建立精确的数学模型。因此，经典自适应控制方法难以对此类系统进行有效地控制。基于神经网络和模糊逻辑系统的自适应控制方法受到了越来越多的关注。针对具有未知状态时滞和输入时滞的非线性系统，文 [ 1 ] [ 2 ] 分别提出了自适应模糊和神经网络控制算法，有效地消除了时滞对系统性能的影响。文 [ 3 ] 设计了自适应模糊控制器，解决了具有未知死区的非线性多输入多输出系统的跟踪控制问题。考虑控制增益信号未知的情况，文 [ 4 ] 结合Nussbaum增益和动态面技术，不仅克服了控制信号未知问题，还避免了返步法中出现的计算爆炸问题。上述这些防止方法均要求系统状态已知，然而由于工作环境影响和测量成本过高等因素，系统状态往往是未知的。为了克服上述控制方法的弊端，文 [ 5 ] 研究具有非光滑输入的非线性系统，提出了自适应输出反馈控制。这些控制方法都是在执行器无故障的情况下提出的。 执行器作为执行终端往往工作在高温高压和腐蚀性等恶劣环境，发生各种故障情况是不可避免的。为此，许多学者致力于研究具有执行器故障的非线性系统问题。针对一类严格反馈开关非线性系统，在 [ 6 ] 中提出了自适应神经网络有限时间容错控制方法。作为文 [ 6 ] 所提出的方法的拓展，文 [ 7 ] [ 8 ] 分别针对具有执行器故障的MIMO系统和随机系统，提出了稳定的自适应容错跟踪控制。文 [ 9 ] 提出了一种自适应容错控制策略，并将其应用于近空间飞行器。这些控制方法都是针对状态可测的非线性系统提出。采用自适应反步方法，文 [ 10 ] 针对状态不可测的大型非线性系统，设计了自适应模糊容错控制器。然而，这些容错控制方法都是针对无约束系统所提出的。 由于操作空间、安全因素以及各种性能指标限制，系统状态需被约束在一定的范围内，一旦约束限制被违反，势必造成系统控制性能损失。文 [ 11 ] 首次提出了基于障碍李雅普诺夫函数的自适应控制方法，解决了非线性单输入单输出系统的输出约束控制问题。文 [ 12 ] 进一步解决了部分状态约束问题。文 [ 11 ] [ 12 ] 的主要局限在于被控系统中非线性函数必须为已知，或满足线性参数化。基于神经网络和模糊逻辑系统的逼近能力，文 [ 13 ] [ 14 ] 分别提出了稳定的自适应控制方法分别保证了常数输出约束和常数状态约束未被违反。常数约束仅为时变约束的特例，时变约束更加符合实际工程系统的需求。针对严格反馈系统 [ 15 ] 、纯反馈系统 [ 16 ] 、随机系统 [ 17 ] 和大系统 [ 18 ] ，学者们提出了大量的自适应时变约束控制方法。此外，基于障碍李雅普诺夫函数的自适应控制方法也广泛地应用于各种工程系统，如机器人系统 [ 19 ] 、电机系统 [ 20 ] 、龙门起重机系统 [ 21 ] 和连续搅拌釜系统 [ 22 ] 。 本文针对具有全状态时变约束的电机系统，基于时变障碍李亚普诺夫函数提出了自适应神经网络控制方法。利用神经网络对系统中未知函数进行逼近。通过稳定分析，证明了闭环系统中信号都是有界的，跟踪误差收敛至原点小的邻域内。本文的主要贡献点总结如下：1) 针对电机系统，同时考虑了全状态时变约束和执行器故障，提高了应用的范围。2) 考虑了执行器失效故障和偏移故障，提出故障补偿器消除故障对系统的影响。3) 通过构建新型时变障碍李雅普诺夫函数，保证全状态时变约束不被违反。最后，给出仿真例子说明了所提出方法的有效性。
system: [SYSTEM]

user: 2. 问题描述及预备知识 考虑如下电机系统动力学方程 { ( J K τ + M 0 L 0 2 3 K τ + 2 M 0 R 0 2 5 K τ ) q ¨ + ( B 0 K τ ) q ˙ + ( m L 0 G 2 K τ + M 0 L 0 G K τ ) sin ( q ) = I L I ˙ = τ − R I − K B q ˙ (1) 其中，J是转子惯性， M 0 表示负载质量， L 0 是连杆长度，m未知连杆质量， R 0 是负载半径，G代表重力系数， B 0 是未知关节处的粘性摩擦系数， q ( t ) 为角电机位置， I ( t ) 是电机的电流， K τ 表示转矩系数。L是电枢电感，R是电枢电阻， K B 是未知反电势系数， τ 是输入控制电压。 定义 x 1 = q ， x 1 = q ˙ 和 x 3 = I ，以及 M = J / K τ + M 0 L 0 2 / 3 K τ + 2 M 0 R 0 2 / 5 K τ ， N = m L 0 G / 2 K τ + M 0 L 0 G / K τ ， B = B 0 / K τ ，动力学方程(1)可以被重写为 { x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = 1 M x 3 − N M sin ( x 1 ) − B M x 2 x ˙ 3 = 1 L τ − K B L x 2 − R L x 3 y = x 1 (2) 为了保证控制品质和系统平稳运行，系统状态需要满足如下的约束条件： | x i | ≤ ψ i ( t ) ， i = 1 ， 2 ， 3 (3) 其中， λ i 为用户设定的参数。 本文的主要控制目标：设计稳定的自适应输出反馈约束控制方法来保证： 1) 闭环系统中所有信号有界； 2) 跟踪误差和估计误差尽可能小； 3) 系统状态不超出指定的约束范围。 在本文中，为了提高执行机构失效时的瞬态调节性能，构建容错控制器如下： τ = l u + ζ ， ∀ t ≥ T (4) 其中，u表示致动器的控制输入，l表示失效百分数，以及 ζ 为偏移故障，T表示执行器发生故障的时间。 失效故障和偏移故障的具体说明如下 失效故障： 0 < l ≤ 1 且 ζ = 0 ，容错控制器 τ = l u 若 l = 1 ，执行器没有任何失效。例如 l = 0.8 ，执行器效率失效20%。 偏移故障： ζ ≠ 0 且 l = 0 ，容错控制器 τ = ζ 执行器不再随着控制信号变化而改变。 注释1：尽管针对具有约束的实际系统，文 [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] 提出一些自适应控制方法很好地保证系统的稳定性。但是这些研究成果都是针对系统正常运行情况下提出的，本文能够保证电机系统正常运行时还是执行器发生故障情况下，系统状态始终满足时变约束条件。 假设1：存在正常数 K i ， i = 1 ， 2 ， 3 ，满足 | ψ i ( t ) | ≤ K i 0 ，且 ψ i ( t ) 的第j次导数满足 | y r ( j ) | ≤ K i ( j ) ， j = 1 ， 2 ， 3 。 假设2：假设存在正函数 A ( t ) 和正常数 B i ， i = 1 ， 2 ， 3 ，这样期望轨迹 y r 和其导数满足 | y r ( t ) | ≤ A ( t ) < ψ 1 ( t ) 和 | y r ( i ) ( t ) | ≤ B i 。 假设3：存在已知正常数 l _ 和 ζ ¯ ，满足 l _ ≤ l ≤ 1 和 | ζ | ≤ ζ ¯ 。 注释2：假设1是用来说明系统状态的约束界及其导数都是有界的。假设2显示期望跟踪信号是有界的，并且上界不超过系统输出的约束范围，以及跟踪信号导数有界性。假设3指出执行器失效故障存在下界，偏移故障存在上界。假设1和2普遍存在于现有自适应时变约束控制文献 [ 18 ] [ 20 ] 。假设3是较为温和的，容错控制文献 [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] 经常给出此假设。
system: [SYSTEM]

user: 4. 仿真实例 为了证明所提出自适应神经网络控制容错方法的有效性，本节针对具有时变状态约束的电机系统展开仿真研究。所考虑的电机系统模型如式(1)。 所考虑的电机系统参数如下： J = 0.01625   kg ⋅ m 2 ， m = 0.506   kg ， R 0 = 0.023   m ， M 0 = 0.0434   kg ， L 0 = 0.305   m ， B 0 = 0.01625   N ⋅ m ⋅ s / rad ， L = 0.0225   H ， K τ = 3.8   N ⋅ m / A ， K B = 0.9   N ⋅ m / A ， R = 5   Ω ， G = 9 .80665   m / s 2 。通过引入变量 x 1 = q ， x 2 = q ˙ 和 x 3 = I ，时变约束状态约束 | x 1 | < 0.3 cos ( 0.5 π t ) + 1.2 ， | x 2 | < 0.4 cos ( 0.2 π t ) + 2 和 | x 3 | < 0.1 sin ( 0.6 π t ) + 0.285 。参考跟踪轨迹为 y r = sin ( 0.5 π t ) 。 考虑失效故障模型如下： τ = l u ， ∀ t ≥ T (33) 其中， l = 0.5 和故障发生时间 T = 15   s 。 设计控制输入和自适应率如下 { χ 1 = − ( ρ 1 + 2 λ ¯ 1 ) λ 1 2 2 π e 1 sin ( π e 1 2 λ 1 2 ) − e 1 λ ¯ 1 + y ˙ r χ 2 = − M [ ( ρ 2 + 2 λ ¯ 2 ) λ 2 2 2 π e 2 sin ( π e 2 2 λ 2 2 ) + e 2 λ ¯ 2 + υ 1 2 e 2 sec 2 ( π e 2 2 2 λ 2 2 )                                                 + 1 2 σ 1 2 sec 2 ( π e 2 2 2 λ 2 2 ) e 2 Θ ^ 1 ‖ S 1 ( Z 1 ) ‖ 2 + sec 2 ( π e 1 2 2 λ 1 2 ) cos 2 ( π e 2 2 2 λ 2 2 ) e 1 ] u = − L [ ( ρ 3 + 2 λ ¯ 3 ) λ 3 2 2 π e 3 sin ( π e 3 2 λ 3 2 ) + e 3 λ ¯ 3 + υ 2 2 e 3 sec 2 ( π e 3 2 2 λ 3 2 )                                               + 1 2 σ 2 2 sec 2 ( π e 3 2 2 λ 3 2 ) e 3 Θ ^ 2 ‖ S 2 ( Z 2 ) ‖ 2 + 1 M sec 2 ( π e 2 2 2 λ 2 2 ) cos 2 ( π e 3 2 2 λ 3 2 ) e 2 ] Θ ^ ˙ i = 1 2 σ i 2 sec 4 ( π e i + 1 2 2 λ i + 1 2 ) e i + 1 2 ‖ S i ( Z i ) ‖ 2 − γ i Θ ^ i ， i = 1 ， 2 (34) 其中，电机系统状态和自适应率初始值为 x 1 ( 0 ) = 0.1 ， x 2 ( 0 ) = 0.1 ， x 3 ( 0 ) = 0.05 ， Θ ^ 1 ( 0 ) = 0.5 和 Θ ^ 2 ( 0 ) = 0.1 。给出设计参数如下： ρ 1 = ρ 2 = ρ 3 = 12 ， υ 1 = υ 2 = 0.2 ， δ 1 = δ 2 = 1 ， γ 1 = γ 2 = 0.5 。 相关仿真结果见图1~6。图1显示了参考跟踪信号，系统输出轨迹及其设定的约束函数。根据图1显示的结果，我们可以看出系统输出很好地跟踪了参考信号。图2和图3分别显示了系统状态x 2 和x 3 的轨迹。图1~3很好地展示了即使在执行器发生失效故障的情况下，系统状态仍能始终保持在各自指定约束范围内。图4给出了跟踪误差的轨迹，跟踪误差没有超出约束范围。从图5和图6可以看出控制输入和自适应率的有界性。 图1. 系统的跟踪曲线 图2. 系统状态的x 2 轨迹 图3. 系统状态x 3 的轨迹 图4. 跟踪误差轨迹 图5. 控制输入轨迹 图6. 自适应率轨迹
system: [SYSTEM]

user: 5. 结论 本文在自适应控制的框架下，针对具有未知函数的电机系统提出基于障碍李雅普诺夫函数的自适应神经网络容错控制方法。利用神经网络逼近特性，对电机系统中出现的未知函数进行逼近。考虑了执行器可能发生失效故障和偏移故障情况，设计了容错补偿控制策略。为了避免因系统状态过大而引起控制品质减低，甚至系统失稳，在每一步反推设计过程中，引入的时变障碍李雅普诺夫函数保证系统状态始终保持在设定的约束范围之内。通过稳定性分析，证明了所提出的方法能够保证闭环系统中所有信号均是有界的，跟踪误差收敛至原点附近小的紧集内，以及系统状态约束条件未被违反。最后，通过仿真例子进一步证明了所提出方法的有效性。
system: [SYSTEM]

user: 摘 要 随着校本课程的发展，校本课程评价显得特别重要，因此，校本课程评价和建设逐渐受到人们的广泛关注。在此背景下，本文基于CIPP模式分别从背景评价、输入评价、过程评价、成果评价四个部分全面系统地阐述对校本课程进行评价的方法和评价的作用。 关键词 :校本课程，校本课程评价，CIPP评价模式 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
system: [SYSTEM]

user: 1. 引言 许多学者对“校本课程”的定义有不同的理解，普遍认为“校本课程”是以学校为本位的课程，即以学校为基础，由学校自主决策、设计的课程。最初于1973年在国际课程研讨会上由Furumark和Macmillan提出。 第二次世界大战之后，世界各国更加重视科技的发展、重视教育质量的提高，这时对教育的改革迫在眉睫。英、美两国首先开始新课程运动，新课程运动中以国家统一开发课程的模式为主，课程决策权力集中于中央，随着新课程运动的进行、社会变革、经济和科技领域的迅速发展，中央集权化的课程模式开始出现国家课程缺乏灵活性、限制教师专业成长、教育领域发展缓慢等问题，国家课程没有考虑到地区差异、不同地区的学生需求 [ 1 ] 。到20世纪70年代到80年代之间各国开始把课程决策权力下放至地方甚至学校，校本课程开始蓬勃发展，引起世界各国开始研究校本课程。美国、英国、澳大利亚等国家逐渐把课程决策权力下放至地方，发布教育文件促进校本课程的发展。20世纪80年代末，校本课程开始在香港实行，但是决策权主要在教育署，这是我国校本课程研究的开端。2001年开始提出实行国家、地方、学校三级课程管理模式，由此引发了我国各界对校本课程的思考。 我国校本课程在学校中的开发、实施在课改中发挥了重大现实作用，如：促进教育民主化，帮助建立特色学校，有助于学生个性成长，有助于教师专业发展等 [ 2 ] 。但是在实施过程中出现许多亟待解决的问题。比如说，师资不足，尤其是教育水平较差的西部地区和农村地区；校本课程结构存在缺陷，一些学校为了应付学校评级，在没有投入足够的人力物力的情况下开发和实施校本课程，导致了校本课程结构与本校情况不服、课程内容散乱等现象；随波逐流的现象也不容忽视，一些学校没有根据自身条件追随科技发展趋势开设校本课程，造成了资源浪费；顶层难为——校长课程领导力与时代需求不匹配等这些问题并不少见 [ 3 ] 。虽然这些问题已经引起了广泛关注，不少学者、课程专家对这些问题进行分析，探索解决的办法，但是问题仍然存在。开发一个比较成熟的校本课程要不断地在已开发课程的基础上对其进行评价，反馈得出课程存在的缺陷，然后因时因地因人地进行建设，因为改进是依赖于有效的评价，有效的课程评价为课程的改进和完善提供方向和途径。校本课程的开发和实施规律如图1所示。 图1. 校本课程开发和实施规律 本文基于CIPP模式对高中物理校本课程进行评价。CIPP评价模式是以斯塔福尔比姆为代表在泰勒的目标模式的基础之上提出的，又称决策导向评价模式，包括背景评价、输入评价、过程评价、成果评价四个步骤 [ 4 ] ，这一评价模式侧重于发挥“评价为课程决策者改进课程提供依据”这一作用，弥补目标模式侧重于追求对课程目标实现程度评估的缺陷。以下是运用CIPP模式评价高中物理校本课程的具体操作。
system: [SYSTEM]

user: 3. 总结 本文分析了校本课程的提出和发展背景，还有校本课程在我国开发和实施过程中出现的问题，介绍CIPP评价模式的内容和作用。各国对校本课程的重视程度足以体现对校本课程进行研究的必要性，仅理论研究是远远不够的，要在实践中研究，即进行开发和实施或者对已经开发出来的校本课程进行评价反馈和建设。本文基于CIPP模式设计校本课程评价方案，从学情、学校资源条件、课程目标三方面评价校本课程实施的背景，从教学材料、课时和课型三方面评价学校制定的教学方案，从课堂教学质量、课程测试有效性两方面评价教学方案具体实施的情况，从学生角度、教师角度评价课程实施成效并从可持续发展的角度思考课程建设的空间。该方案结合统计学和心理学方面的知识，能够对一门校本课程进行比较全面、准确的评价，且可行性高。
system: [SYSTEM]

user: 摘 要 大学是培养高层次人才的摇篮，同时肩负着服务社会的职责，北京地区“211”大学与附属学校已经建立起良好的资源优化共享合作关系，但合作程度与合作效果却是差别较大。有的学校通过资源优化共享模式形成了良好的教学口碑，有的学校却是差强人意，刚刚处于起步阶段。大学与附属学校间需要建立起一种良好的资源优化共享模式，促进二者共同发展，并形成良性循环。在资源优化共享模式下，大学与附属学校遵循有主次、互惠、共建共享、多层次支持及持续性支持的共享原则，以大学支持附属学校资源建设为主，附属学校补充大学资源建设为辅的方式，提高优质教育资源的利用率，共同促进大学与附属学校的发展建设。 关键词 :大学，“高支附”，资源优化，共享 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
system: [SYSTEM]

user: 1. 前言 《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010~2020年)》指出要“加强优质教育资源开发与应用；引进国际优质数字化教学资源，建立开放灵活的教育资源公共服务平台，促进优质教育资源普及共享” [ 1 ] 。大学做为国家培养高层次人才的基地，拥有大量的优质教育资源，在服务社会方面也有着不可推卸的责任。大学优质教育资源的推广与共享有利于提高国民整体素质，是大学承担社会教育的积极体现 [ 2 ] 。然而，大学教育资源向社会开放的同时也存在安全性、知识产权保护、管理成本与运行模式、资源配置等一系列问题，目前，大学优质教育资源向社会开放与推广的主要渠道之一是通过与附属学校的合作共建，通过这种方式可以有效解决资源开放所带来的上述问题。同时，北京市委十一届四次全会关于“深化教育领域综合改革”精神及北京市教委“高支附”工作指导思想均指出，大学支持中小学教育要以“优势互补、资源共享、合作共建、协同发展”为原则，扩大优质教育资源覆盖面，促进义务教育优质均衡发展。大学支持中小学教育对于促进社会教育发展具有重要意义，充分发挥了大学教学服务社会的积极作用。 目前，北京地区“211”、“985”大学都有合作附属学校，其中有80.77%大学建立了学前合作附属学校，88.46%大学建立了小学合作附属学校，80.77%大学建立了初级中学合作附属学校，76.92%大学建立了高级中学合作附属学校，有61.54%的大学建立了从学前教育到高级中学教育的完备合作体系(数据统计时间截至2019年6月)，其中合作时间从几年到数十年不等，并且有一部分大学附属学校教学效果在北京地区名列前茅，具有极好的口碑。从这些数据可以看出，北京地区大学已经建立了良好的附属学校合作平台，但合作效果差异较大，如何建立大学与合作附属学校资源优化合作模式，提升“高支附”合作质量，对于大学及附属学校都具有重要意义。
system: [SYSTEM]

user: 2. 大学及附属学校教育资源情况 教育资源的定义从广义上看，包括了与教育相关的一切要素，物化的或非物化的资源，甚至包括相关的政策，从狭义上看，教育资源主要是指教育行为过程中所涉及的信息、材料、平台、师资、学生、教育环境及教辅系统 [ 3 ] 。 大学与附属学校各自拥有资源，所具备的资源优势也不完全相同，大学与附属学校所拥有教育资源有很大差异，从建校规模与投入来看，大学资源要高于并大于附属学校资源，大学资源明显具有较强优势。在合作关系中，大学对附属学校起到主要的支持作用，而附属学校更多是受支持方，但其资源特色与大学不同，同时也是大学所不具备的，因此，可以用其特色资源对大学进行相应资源的弥补 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] 。 图1展示了大学与附属学校间资源共享关系，在中国教育培养体系下，通常对人的培养遵循学前教育 → 小学(义务教育阶段) → 初级中学(义务教育阶段) → 高级中学 → 大学 → 更高层次教育这样的升学路径。而学前教育、小学、初级中学及高级中学同做为大学附属合作学校形成了大学的附属学校圈，在圈内的各学校彼此间亦保有密切合作关系，同时，由于大多数同一大学的附属学校校址地理位置相距较近，往往各学校间建立有稳定、良好的升学通道。因此，除了大学与其各附属学校间建立有良好合作关系外，同一大学的附属学校之间的合作也较为密切。 图1. 大学与附属学校间资源共享关系图 2.1. 大学教育资源情况 大学教育资源可以按资源形式分成硬件资源与软件资源两大类，其中硬件资源主要是指硬件设施，包括大学的教室、图书馆、会堂、操场、体育馆、校医院、机房、实验室等场所及设施，软件资源则包括教师师资、大学文化、学生社团及学生等不可物化的人力、文化、服务方面的资源。 2.2. 附属学校教育资源情况 附属学校主要是指学前教育、小学、初级中学及高级中学四个教育阶段的学校，通常初级中学与高级中学为同一所学校。附属学校的教育资源同样按资源形式分为硬件资源与软件资源两大类，其硬件资源主要是指教室、操场、图书馆等空间设施，软件资源主要是指教师师资、学生社团及学生方面的资源。
system: [SYSTEM]

user: 3. 资源共享需遵从的几个原则 考虑到大学与附属学校的教育资源差异，在双方资源共享合作过程中是以大学支持附属学校为主，双方各自的教育资源首先要保证本校工作的正常开展，因为资源类型、特色各不相同，所以不同资源的共享方式与原则也不完全相同，应该是灵活多变的。 3.1. 主次原则 大学与附属学校都有自己的发展建设目标，不同阶段的教育目标也不尽相同，其教育资源建设差异较大。因此，大学与在与合作学校进行资源共享时，首先要保证本校的发展建设，即有主有次，以本校发展建设为主，根据本校资源情况量力而行地与合作学校进行资源共享工作的开展。 3.2. 互惠原则 无论对大学还是附属学校而言，教育资源建设耗费了其大部分办学资金，许多资源还需要后期不断的资金投入与维护，在大学支持附属学校时，资源共享应该是双方互利的，最起码不能造成其中一方特别是资源提供方资金的支出增长。双方互惠的合作模式，才能让大学与附属学校的合作关系更为稳定与牢固。 3.3. 共建原则 大学及附属学校资源建设过程中，会遇到教育资源建设不完备的现象，这种情况下，可以采取大学与附属学校共同建设的模式进行合作建设。譬如，大学及其附属学校可能在单独购置某些教育资源时存在资金短缺或条件不足的情况，导致教育资源的配置不完备或无法配置，可以根据大学及附属学校的各自教学需求及资金等情况，考虑共同出资或共同建设，通过制定相应的共建共享方案，实现资源配置，达到双方可共同使用资源的目的。 3.4. 多层次原则 大学及附属学校所拥有的教育资源是丰富多样化的，资源类型与特色各不相同，在资源共享方面，不能简单根据资源的类型进行一刀切，而是根据不同资源的特色与类型制定不同的分享原则。特别是大学的教育资源，有时同类型资源的隶属关系与维护人可能分属两个或多个二级单位，因此，教育资源共享时要根据实际情况分为多个层次进行。 3.5. 持续性原则 大学及附属学校间的合作应该是一个长期过程，其教育资源建设也是一个持续发展的过程，想要最大化地进行资源优化组合，提高教育资源利用率，除低人力资源成本，就要在进行资源共享时同时兼顾到资源建设及校间合作的持续性发展。坚持持续性合作可以最大化利用教育资源，同时在持续合作过程中，会更好地磨合双方，促进合作方式良性发展，为双方发展带来更大的提升空间。
system: [SYSTEM]

user: 4. 大学教育资源优化共享的运行模式 4.1. 打造完善合作体系 建立一套完善的合作体系是大学教育资源支持附属学校的基石。与大学合作的附属学校按不同受教育年龄可分为：学前教育(幼儿园)、小学、初级中学、高级中学四种附属学校，通常初级中学与高级中学以完备中学形式存在同一所学校内，一般会被直接命名为某大学附中，大学与这些附属学校建立了一套完整的当代中国教育培养体系。调研数据表明，北京地区“211”大学建立起完整合作体系的大学比例仅60%左右，而同一大学的各个附属学校间也不是全部建立起合作关系。大学与各教育阶段附属学校间建立的合作体系应该是一个有机整体，各个附属学校不仅分别与大学保持良好合作关系，其彼此之间也应该有良好的合作与沟通，使学前教育、小学、初级中学及高级中学与大学形成一个紧密的联合体。这个体系应由大学牵头来做，各个附属学校积极配合。完善的合作体系首先对各学校教职员工的工作稳定性与热情有着积极的促进作用 [ 7 ] [ 8 ] ，最重要的是，由于建立了紧密、完善的合作关系，各个学校间可以互通有无，除了资源、平台等，同一大学与其附属学校还可以通过对各个教育阶段的生源质量进行评估分析，根据彼此不同教育阶段的培养目标与需求，与其他学校交换分析结果，交流生源需求，承上启下地调整各自的教育方式与培养目标往最优化方向发展，形成完整教育的培养链条，完善、完整的合作体系。 要避免大学与附属学校间的关系貌合神离，无法形成最佳合力，阻碍各个学校发展进步。“高支附”不是仅仅停留在物质方面的支持或口头上的一句空话，大学与附属学校应该是“一体多制”的有机整体，无论是大学还是附属学校都应该建立起这种整体的团队意识。 4.2. 加强深度多维合作 大学与附属学校间的合作除了现有的平台、数据及场地资源共享以外，还应该加强多方面的合作，同时在现有合作基础上，加强合作的力度与深度。现在很多附属学校与大学的关系，已经不再是从属关系，而是“各自为政”的合作关系，这容易导致双方合作深度不够，合作维度不广。大学与附属学校相比，除了所具有的物质资源与人力资源优势外，其办学理念也更为先进，同时在制定学校各项政策制度的方法更科学，思维面更广，定位更高，大学除了教学，还有科研，其研究氛围与附属学校相比，相当浓厚。因此，大学可以在科研思路与思维方式方面对附属学校进行“帮扶”，使附属学校在教学、管理方面得到更快地提升。大学可以将教师资源与附属学校课程设置进行校间匹配，通过嵌入式教学手段丰富附属学校的课程内容，大学教师资源与学生社团资源也可以辅助附属学校学生的课余生活与素质教育培养工作。可以通过定期召开大学与附属学校的联合会议，加强各学校间生源数据分析，互相交流并对全部数据进行整体分析，同样做为教育机构，各个学校间既有相同相通之处，又有各自特点，通过数据交流与整体分析，可以将各个学校的发展有机统一整合起来，促进各个学校间的合作进一步深入发展。 4.3. 平衡合作双方利益 大学所拥有的人力、物力、场地等资源的数量与质量要远远高于其附属学校，在双方合作关系中，大学主要起到对附属学校提供资源支持的作用。目前，大学优质资源对附属学校开放共享方式较为成功也较为常见的方式有体育场地的共享，组织附属学校的参观文化交流活动及对附属学校学生提供课外兴趣爱好专业指导 [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] 。而附属学校在与大学合作共享关系中处于被支援状态，更多是接受大学的优质资源援助，但附属学校由于其生源的特殊性，确实也具有一些大学所不具备的特色资源。在大学与附属学校间的合作过程中，应该是一种“双赢”状态，在“各自为政”状态下，也应该平衡各方的利益，平衡效果会对合作的状态与结果起到决定性作用。 大学做为支持方，要积极探索适合双方共同发展的合作项目，将附属学校做为大学学科特色的科普试验田，为培养科普型知识人才提供空间，同时将流程与模式固化下来，做好长期合作的准备，因此，即使附属学校做为被支持方，也可为大学提供科普基地、学生实习等方面的支持，在大学的学生兼职与就业中提供就业机会。附属学校可以与大学共同建造科普教育平台，一方面为附属学校提高教学质量，加强学生的素质培养带来了便利，另一方面大学的学科发展需要科普平台与受众，打破学生进入大学前对学科专业知识了解的壁垒，为大学特色学科的未来生源发展做好铺垫工作，最重要的是通过这种方式，使大学的一些学科专业知识得到了良好的宣传与推广，同时也提升了大学的知名度与社会影响力。在附属学校的科普平台建设过程中，大学不仅仅有教师参与其中，还会有学生共同参与，无疑为大学在校生提供了非常好的社会实践机遇，为大学生将来走向社会、融入社会打下了坚实基础 [ 12 ] 。 4.4. 提升共创品牌意识 虽然有些大学的附属学校是以合作形式建立起“附属”关系，并非完全意义上的附属，在办学管理等方面各学校依旧保持“自治”状态，但名称上冠以某大学附属学校，至少在品牌与口碑方面已经和该大学成为一体，密不可分。对于社会而言，大学与其附属学校为一共同体，荣辱与共，每个个体的社会影响力都会对其他成员造成直接影响。因此，要提升大学与其附属学校的品牌意识，要认识到在社会声誉上，大学与附属学校是一个整体，要想更好更快地发展学校，必须勠力同心，共同维护学校声誉，提升学校品牌的知名度。在社会上，大学附属学校往往较一般的同类学校拥有更好的口碑与信誉，社会影响力高的大学附属学校更是高于其他同类学校。通过建立品牌文化，更有利于大学与附属学校的发展建设与宣传，增强了大学与附属学校间的凝聚力及各学校师生间的凝聚力，同时文化的力量还会对大学及其附属学校的教职工及学生产生深远的影响，对他们的人生观、价值观都会起到一定的冲击作用 [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] 。
system: [SYSTEM]

user: 5. 结论 大学与附属学校间的合作关系是以大学对附属学校的资源支持为主，附属学校对大学资源建设补充为辅的模式开展合作。大学充分利用自身的教育资源优势，在资源硬件与资源软件方面多角度、分层次地扶持附属学校的发展建设，提高了资源的利用率，有效避免了资源的重复建设，节约了人力与物力的投入。附属学校借助大学的品牌效应与优质教育资源促进其学校发展建设，为大学提供了科普平台的受众群体及建设基础，成为大学学生社会实践基地，有效解决了大学教职工有关子女入学的后顾之忧。大学通过优质教育资源共享方式支持附属学校的建设，在促进附属学校教学培养发展的同时，也是对大学办学特色的一种正向宣传，大学与附属学校互相扶持，大学声誉的提升会为附属学校带来更多的优质教育资源，附属学校的大力发展也为大学建设带来良好的正面影响，在大学与附属学校间形成了一种相生相长的良性循环。大学具有鲜明的学科特色，由大学支持附属学校教育资源建设对于国民整体素质的提升有着积极的作用，大学要充分发挥自身的学科特色与优势，与附属学校共同打造优质人才教育培养“流水线”，为中国建设发展输送质优量足的科技人才。
system: [SYSTEM]

user: 摘 要 对时间分数阶电报方程构造了一类普遍性差分方法，采用傅里叶方法分析该类差分方法的稳定性和收敛性；最后，通过数值试验验证本文方法求解分数阶电报方程的有效性。选取不同θ值进行比较分析，数值结果表明当θ取0.5附近时，数值解的精度较好；表明普遍性差分方法求解时间分数阶电报方程是有效的。 关键词 :时间分数阶电报方程，普遍性差分方法，傅里叶方法，稳定性，数值试验 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
system: [SYSTEM]

user: 1. 引言 随着分数阶微积分在工程和其他方面的重要作用，最近几年，更多的学者研究分数阶微积分的求解方法，其中就有很多关于分数阶电报方程的研究 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] 。目前最为常用的当属分离变量法，通过该方法或者与其他方法相结合可以一定条件下给出分数阶电报方程的解析解，章红梅等 [ 5 ] 、J. Chen等 [ 6 ] 、王学彬和刘发旺 [ 7 ] [ 8 ] 等人就是借助了该方法求解了不同边界条件的包括一维、二维、三维情况在内的各类时间分数阶电报方程的解析解或近似解，部分解析解还可以表示成级数形式，极大地推进了分数阶电报方程的工程应用。此外R. F. Camargo等人 [ 9 ] 借助Laplace和Fourier变换讨论了广义上的空间–时间分数阶电报方程的解的性质，但未能给出具体的解析解。 随着分数阶电报方程在各个领域中的应用不断增强，并且一般情况下解析解很难给出，因此分数阶电报方程的数值算法的研究也随之不断发展，当前已有许多学者和专家给出了不同的求解分数阶电报方程数值解的方法。综合来看，目前为止最有效、最常用的方法有差分方法、有限元方法、谱方法、同伦分析法等。Ford [ 10 ] 等采用有限差分法求解分数阶电报方程的近似数值解；文献 [ 11 ] 通过组合正交勒让德多项式与Tau方法方式来求解分数阶电报方程的数值解；文献 [ 12 ] 用同伦分析法求解空间分数电报方程的数值解。文献 [ 13 ] 则利用切比雪夫多项式求解电报方程的数值解。陈善镇 [ 14 ] 采用有限差分法构造了Riesz空间分数阶电报方程的隐式差分格式，通过数值算例验证了差分解法的可行性，同时差分格式稳定性和收敛性的证明则通过矩阵分析的方法给出。 针对时间分数阶电报方程，本文构造了一类普遍性差分方法，采用傅里叶方法分析差分格式的稳定性和收敛性；通过数值算例验证理论分析，说明普遍性差分方法求解分数阶电报方程的有效性。
system: [SYSTEM]

user: 2. 分数阶电报方程的普遍性差分格式 2.1. 分数阶电报方程 考虑如下时间分数阶电报方程： ∂ 2 α u ( x ， t ) ∂ t 2 α + ∂ α u ( x ， t ) ∂ t α = k ∂ 2 u ( x ， t ) ∂ x 2 + f ( x ， t ) ，     0 < x < L ，   t > 0 ，   1 2 < α ≤ 1 (1) 其初始条件为： u ( x ， 0 ) = ϕ 0 ( x ) ， ∂ u ( x ， 0 ) ∂ t = ϕ 1 ( x ) ，边界条件为： u ( 0 ， t ) = 0 ， u ( L ， t ) = 0. 2.2. 普遍性差分格式的构造 为了得到分数阶电报方程的显–隐差分格式，首先对求解区域作一网格剖分：取空间步长 h = L / M 和时间步长 τ = T / N ，其中M，N都是自然数；有 x i = i h ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， M ) ， M h = L ； t k = k τ ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ) ， N τ = T 网格节点为 ( x i ， t k ) . 时间分数阶导数可采用L1公式 [ 3 ] ： ∂ α u ( x i ， t k + 1 ) ∂ t α = τ − α Γ ( 2 − α ) ∑ j = 0 k c j ∇ t u ( x i ， t k − j ) + o ( τ 2 − α ) (2) 和 ∂ 2 α u ( x i ， t k + 1 ) ∂ t 2 α = τ − 2 α Γ ( 3 − 2 α ) ∑ j = 0 k - 1 d j δ t 2 u ( x i ， t k − j ) + 2 d k ( u ( x i ， t 1 ) − u ( x i ， t 0 ) − τ u t ( x i ) ) + o ( τ 3 − 2 α ) (3) 当 j = 0 或者 j = k 时上式会出现项 u i − 1 ，用初始边界条件去逼近 u i − 1 ， u i − 1 = u i 1 − 2 k u 1 ( x i ) + O ( τ 3 ) ，误差忽略不计。 空间二阶导数采用中心差分离散： ∂ 2 u ( x i ， t k + 1 ) ∂ x 2 = δ x 2 [ θ u ( x i ， t k + 1 ) + ( 1 − θ ) u ( x i ， t k ) ] + o ( h 2 ) (4) 其中 δ x 2 u ( x i ， t k ) = u ( x i − 1 ， t k ) − 2 u ( x i ， t k ) + u ( x i + 1 ， t k ) ， ∇ t u ( x i ， t k ) = u ( x i ， t k + 1 ) − u ( x i ， t k ) ， δ t 2 u ( x i ， t k ) = u ( x i ， t k − 1 ) − 2 u ( x i ， t k ) + u ( x i ， t k + 1 ) ， c j = ( j + 1 ) 1 − α − j 1 − α ， d j = ( j + 1 ) 2 − 2 α − j 2 − 2 α ， j = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， k − 1. 把式(2， 3， 4)代入分数阶电报方程(1)得到其普遍性差分格式为： τ − 2 α Γ ( 3 − 2 α ) ∑ j = 0 k - 1 c j δ t 2 u ( x i ， t k − j ) + τ − α Γ ( 2 − α ) ∑ j = 0 k d j ∇ t u ( x i ， t k − j ) = k h 2 δ x 2 [ θ u ( x i ， t k + 1 ) + ( 1 − θ ) u ( x i ， t k ) ] + f ( x i ， t k + 1 ) (5) 其中， 0 ≤ θ ≤ 1 。令 u i k 表示函数 u ( x ， t ) 在点 ( x i ， t k ) 的值； f i k 表示函数 f ( x ， t ) 在点 ( x i ， t k ) 的值；设 a = τ − 2 α Γ ( 3 − 2 α ) ， b = τ − α Γ ( 2 − α ) ， r = k h 2 ，则普遍性差分格式可写为如下形式： a ∑ j = 0 k − 1 d j δ t 2 u i k − j + 2 d k [ u ( x i ， t 1 ) − u ( x i ， t 0 ) − τ u t ( x i ) ] + b ∑ j = 0 k − 1 c j ∇ t u i k − j = r δ x 2 ( θ u i k + 1 + ( 1 − θ ) u i k ) + f i k + 1 . 普遍性差分格式改成矩阵形式： { [ ( 2 a + b ) E + r θ G ] U 1 = [ ( 2 a + b ) E − r ( 1 − θ ) G ] U 0 + 2 a τ H + F 1 ， A U k + 1 = B U k + q 1 U k − 1 + ⋯ + q k − 2 U 2 + q k − 1 U 1 + q k U 0 + 2 a d k τ H + F k + 1 . (6) 其中， q 0 = a ( 2 d 0 − d 1 ) + b ( c 0 − c 1 ) ， q j = a ( − d j − 1 + 2 d j − d j + 1 ) + b ( c j − c j + 1 ) ， j = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， k − 2 ， q k − 1 = a ( − d k − 2 + 2 d k − 1 − 2 d k ) + b ( c k − 1 − c k ) ， q k = a ( 2 d k − d k − 1 ) + b c k ， U k = [ u 1 k ， u 2 k ， ⋯ ， u m − 1 k ] ′ ， U 0 = [ φ 0 ( x 1 ) ， φ 0 ( x 2 ) ， ⋯ ， φ 0 ( x m − 1 ) ] ′ ， H = [ φ 1 ( x 1 ) ， φ 1 ( x 2 ) ， ⋯ ， φ 1 ( x m − 1 ) ] ′ ， F = [ f 1 ， f 2 ， ⋯ ， f m − 1 ] ′ ， A = ( a d 0 + b c 0 ) E + r θ G ， B = ( a ( 2 d 0 − d 1 ) + b ( c 0 − c 1 ) ) E − r ( 1 − θ ) G ， G = [ 2 − 1 − 1 2 − 1 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ − 1 − 1 2 ] . 由矩阵A定义可知，A是严格对角占优矩阵，所以分数阶电报方程的普遍性差分格式是唯一可解的。