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user: 3. Stolz定理的推广 定理3：( ∗ ∞ 型)设数列 { x n } 、 { y n } 满足：1) 存在正整数 p ， N 0 ，使得 y n < y n + p ，   n ≥ N 0 ；2) lim n → ∞ y n = + ∞ ；3) lim n → ∞ x n + p − x n y n + p − y n = A (其中 A 为有限数、 + ∞ 、 − ∞ )，则 lim n → ∞ x n y n 存在，且 lim n → ∞ x n y n = lim n → ∞ x n + p − x n y n + p − y n 。 证明：首先注意到对任意的自然数 n ，都存在自然数 m ， i ，使得 n = m p + i ， 0 ≤ i ≤ p − 1 ，且满足 n → ∞ ⇔ m → ∞ 。 1) 若 A 为有限数。根据数列极限与其子列极限的关系知，对于任意的 0 ≤ i ≤ p − 1 ，都有 lim m → ∞ x ( m + 1 ) p + i − x m p + i y ( m + 1 ) p + i − y m p + i = A 。 由极限定义知，对任给的 ε > 0 ，存在 N ，当 m ≥ N 时，有 A − ε < x ( m + 1 ) p + i − x m p + i y ( m + 1 ) p + i − y m p + i < A + ε 。 又根据已知条件，总有 y ( m + 1 ) p + i > y m p + i ，从而得到一连串不等式 A − ε < x m p + i − x ( m − 1 ) p + i y m p + i − y ( m − 1 ) p + i < A + ε ， A − ε < x ( m − 1 ) p + i − x ( m − 2 ) p + i y ( m − 1 ) p + i − y ( m − 2 ) p + i < A + ε ， ⋯ A − ε < x ( N + 1 ) p + i − x N p + i x ( N + 1 ) p + i − x N p + i < A + ε 。 利用比例性质，可得 A − ε < x m p + i − x N p + i y m p + i − y N p + i < A + ε 。注意到 x m p + i y m p + i − A = y m p + i − y N p + i y m p + i ⋅ ( x m p + i − x N p + i y m p + i − y N p + i − A ) + x N p + i − A y N p + i y m p + i 。 由三角不等式，即得 lim m → ∞ x m p + i y m p + i = A ， 0 ≤ i ≤ p − 1 。从而 lim n → ∞ x n y n = A 。 2) 若 A = + ∞ ，则当 n 足够大时，有 x n + p − x n > y n + p − y n > 0 。于是由 lim n → ∞ y n = + ∞ 易知 lim n → ∞ x n = + ∞ ，且 lim n → ∞ y n + p − y n x n + p − x n = 0 。由1)的证明可知 lim n → ∞ y n x n = 0 ，即 lim n → ∞ x n y n = + ∞ 。 3) 若 A = − ∞ ，令 z n = − x n ，则 lim n → ∞ z n + p − z n y n + p − y n = − lim n → ∞ x n + p − x n y n + p − y n = + ∞ 。由2)的证明，有 lim n → ∞ z n y n = + ∞ ，即 lim n → ∞ x n y n = − ∞ 。 定理4：( 0 0 型)设数列 { x n } 、 { y n } 满足：1) 存在正整数 p ， N 0 ，使得 y n + p < y n ， n ≥ N 0 ；2) lim n → ∞ y n = 0 ， lim n → ∞ x n = 0 ；3) lim n → ∞ x n − x n + p y n − y n + p = A (其中 A 为有限数、 + ∞ 、 − ∞ )。则 lim n → ∞ x n y n 存在，且 lim n → ∞ x n y n = lim n → ∞ x n − x n + p y n − y n + p 。 证明：首先注意到对任意的自然数 n ，都存在自然数 m ， i ，使得 n = m p + i ， 0 ≤ i ≤ p − 1 ，且满足 n → ∞ ⇔ m → ∞ 。 1) 若 A 为有限数。根据数列极限与其子列极限的关系知，对于任意的 0 ≤ i ≤ p − 1 ，都有 lim m → ∞ x m p + i − x ( m + 1 ) p + i y m p + i − y ( m + 1 ) p + i = A 。 注意到，总有 y m p + i > y ( m + 1 ) p + i 。再由极限定义，对任给的 ε > 0 ，存在 N ，使得当 m ≥ N 时，恒成立 A − ε < x m p + i − x ( m + 1 ) p + i y m p + i − y ( m + 1 ) p + i < A + ε ， 从而得到一连串不等式 A − ε < x m p + i − x ( m + 1 ) p + i y m p + i − y ( m + 1 ) p + i < A + ε ， A − ε < x ( m + 1 ) p + i − x ( m + 2 ) p + i y ( m + 1 ) p + i − y ( m + 2 ) p + i < A + ε ， ⋯ A − ε < x ( m + k − 1 ) p + i − x ( m + k ) p + i y ( m + k − 1 ) p + i − y ( m + k ) p + i < A + ε 。 利用比例性质，有 A − ε < x m p + i − x ( m + k ) p + i y m p + i − y ( m + k ) p + i < A + ε 。固定 m ，令 k → ∞ ，对上式取极限，有 A − ε ≤ x m p + i y m p + i ≤ A + ε ，于是， A − ε ≤ lim m → ∞ ¯ x m p + i y m p + i ≤ lim ¯ m → ∞ x m p + i y m p + i ≤ A + ε 。 由 ε > 0 的任意性，有 lim m → ∞ ¯ x m p + i y m p + i = lim ¯ m → ∞ x m p + i y m p + i = A ，从而， lim m → ∞ x m p + i y m p + i = A ， 0 ≤ i ≤ p − 1 。于是由数列与其子列的关系知， lim n → ∞ x n y n = A 。 2) 若 A = + ∞ ，则当 n 足够大时，有 x n − x n + p > y n − y n + p > 0 。即 n 足够大时 x n > x n + p 且 lim n → ∞ x n = 0 ， lim m → ∞ y n − y n + p x n − x n + p = 0 。由1)的证明，即知 lim n → ∞ y n x n = 0 ，也即 lim n → ∞ x n y n = + ∞ 。 3) 若 A = − ∞ ，令 z n = − x n ，则 lim n → ∞ z n − z n + p y n − y n + p = − lim n → ∞ x n − x n + p y n − y n + p = + ∞ 。由2)的证明，有 lim n → ∞ z n y n = + ∞ ，也即 lim n → ∞ x n y n = − ∞ 。 注3：推广后的Stolz定理中的条件：存在正整数 p ， N 0 ，使得比原定理中的条件数列 { y n } 从某一项开始严格单调增加要弱的多，这便使得其应用范围更加广泛，实际上已有的Stolz定理是本文给出定理的一种特殊形式，即 p = 1 。 推广后的Stolz定理在处理给出的已知条件中的递推公式不是相邻两项关系的数列极限问题显得更加方便实用。下面以第三届全国大学生数学竞赛预赛(2011年非数学类)中的第二大题第2)小问为例，加以说明。 例：设 { a n } n = 0 ∞ 为数列，其中 a ， λ 为有限数，求证：如果存在正整数 p ，使得 lim n → ∞ ( a n + p − a n ) = λ ，则 lim n → ∞ a n n = λ p 。 证明：令 y n = n ，则显然满足定理3的条件，且 lim n → ∞ a n + p − a n n + p − n = lim n → ∞ a n + p − a n p = 1 p lim n → ∞ ( a n + p − a n ) = λ p 于是，由定理3可知， lim n → ∞ a n n 存在，且 lim n → ∞ a n n = lim n → ∞ a n + p − a n n + p − n = λ p 。 得证。 注4：原例题讲解过程是采用了数列及其子列间的关系来证明的，详见文献 [ 4 ]，比较两种证明过程，可以发现采用Stolz定理的推广形式更为简洁明了。