system: [SYSTEM]

user: 3. 分数阶微分方程的上下解方法 为方便叙述，我们假设下文满足以下假设： (H2) 对任意 u 1 ≤ u 2 ， v 1 ≤ v 2 ， f ( t ， u 1 ， v 1 ) ≤ f ( t ， u 2 ， v 2 ) ， t ∈ [ 0 ， ξ ] ， g ( t ， u 1 ， v 1 ) ≤ g ( t ， u 2 ， v 2 ) ， t ∈ ( ξ ， 1 ] ， I ( u 1 ) ≤ I ( u 2 ) ， Q ( u 1 ) ≤ Q ( u 2 ) ， t ∈ [ 0 ， 1 ] . 对任意 u 1 < u 2 ， v 1 < v 2 ， f ( t ， u 1 ， v 1 ) < f ( t ， u 2 ， v 2 ) ， t ∈ [ 0 ， ξ ] ， g ( t ， u 1 ， v 1 ) < g ( t ， u 2 ， v 2 ) ， t ∈ ( ξ ， 1 ] ， I ( u 1 ) < I ( u 2 ) ， Q ( u 1 ) < Q ( u 2 ) ， t ∈ [ 0 ， 1 ] . (H3) 若(H1)成立，且 x 1 ， x 2 ， y 1 ， y 2 ∈ ℝ ，当 x 1 ≤ x 2 ， y 1 ≤ y 2 时， h 0 ( x 2 ， y 2 ) − h 0 ( x 1 ， y 1 ) ≤ − m 1 ( x 2 − x 1 ) − n 1 ( y 2 − y 1 ) ， h 1 ( x 2 ， y 2 ) − h 0 ( x 1 ， y 1 ) ≥ − m 2 ( x 2 − x 1 ) − n 2 ( y 2 − y 1 ) . 记 P = { u ∈ E : u ( t ) ≥ 0 ， t ∈ [ 0 ， 1 ] } ，显然P为E中的正规体锥。且若 u ( t ) ≤ v ( t ) ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ，则 u ≺ _ v ∈ P 。 对任意 u ∈ P ，考虑如下边值问题： { D t c ξ − α u ( t ) = f 1 ( t ， x ( t ) ， x ( t + τ 1 ) ) ， t ∈ ( 0， ξ ) ， D ξ + c t β u ( t ) = f 2 ( t ， x ( t ) ， x ( t − τ 2 ) ) ， t ∈ ( ξ ，1 ) ， Δ u ( ξ ) = I ( ξ ， x ( ξ ) ) ，       Δ u ′ ( ξ ) = Q ( ξ ， x ( ξ ) ) ， m 1 u ( 0 ) + n 1 u ( 1 ) = h 0 ( x ( 0 ) ， x ( 1 ) ) + m 1 x ( 0 ) + n 1 x ( 1 ) : = γ 0 ( x ) ， m 2 D t c ξ − α − 1 u ( 0 ) + n 2 D ξ + c t β − 1 u ( 1 ) = h 1 ( D t c ξ − α − 1 x ( 0 ) ， D ξ + c t β − 1 x ( 1 ) ) + m 2 D t c ξ − α − 1 x ( 0 ) + n 2 D ξ + c t β − 1 x ( 1 ) : = γ 1 ( x ) . (5) 由引理2知，边值问题(5)有唯一解 u ( t ) = { ∫ 0 ξ G 1 ( t ， s ) f 1 ( s ， x ( s ) ， x ( s + τ 1 ) ) d s + ∫ ξ 1 g 2 ( t ， s ) f 2 ( s ， x ( s ) ， x ( s − τ 2 ) ) d s           + Δ 2 x + t Δ 1 ( Q ( ξ ， x ( ξ ) ) n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − γ 1 ( x ) ) ，     t ∈ [ 0 ， ξ ] ， ∫ ξ 1 G 2 ( t ， s ) f 2 ( s ， x ( s ) ， x ( s − τ 2 ) ) d s + ∫ 0 ξ g 1 ( t ， s ) f 1 ( s ， x ( s ) ， x ( s + τ 1 ) ) d s           + Δ 3 x + t Δ 1 ( Q ( ξ ， x ( ξ ) ) m 2 Γ ( 3 − β ) ξ 2 − α − γ 1 ( x ) ) ，     t ∈ ( ξ ， 1 ] . 其中 Δ 2 x = − 1 m 1 + n 1 ( n 1 I ( ξ ， x ( ξ ) ) + n 1 ( 1 − ξ + n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) Q ( ξ ， x ( ξ ) ) − n 1 Δ 1 γ 1 ( x ) − γ 0 ( x ) ) ; Δ 3 x = − 1 m 1 + n 1 ( − m 1 I ( ξ ， x ( ξ ) ) + ( m 1 ξ + n 1 + n 1 n 2 Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) Q ( ξ ， x ( ξ ) ) − n 1 Δ 1 γ 1 ( x ) − γ 0 ( x ) ) . 定义算子 T x ( t ) = { ∫ 0 ξ G 1 ( t ， s ) f 1 ( s ， x ( s ) ， x ( s + τ 1 ) ) d s + ∫ ξ 1 g 2 ( t ， s ) f 2 ( s ， x ( s ) ， x ( s − τ 2 ) ) d s         + Δ 2 x + t Δ 1 ( Q ( ξ ， x ( ξ ) ) n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − γ 1 ( x ) ) ，     t ∈ [ 0 ， ξ ] ， ∫ ξ 1 G 2 ( t ， s ) f 2 ( s ， x ( s ) ， x ( s − τ 2 ) ) d s + ∫ 0 ξ g 1 ( t ， s ) f 1 ( s ， x ( s ) ， x ( s + τ 1 ) ) d s         + Δ 3 x + t Δ 1 ( Q ( ξ ， x ( ξ ) ) m 2 ξ 2 − α Γ ( 3 − β ) − γ 1 ( x ) ) ，     t ∈ ( ξ ， 1 ] . 引理5：若(H1)成立，则T为全连续算子。 证明：由引理3，引理4知，对任意 x ∈ P ，当 t ∈ [ 0 ， 1 ] 时， T x ≥ 0 显然成立。 因此， T : P → P 是有意义的。 接下来，我们分两步证明： 第一步：T是连续算子。 设对任意 x n ∈ P ， n = 1 ， 2 ， ⋯ 存在 x ∈ P 使得当 n → ∞ 时， ‖ x n − x ‖ → 0 。则存在 M ¯ 0 > 0 ，使得 ‖ x n ‖ ≤ M ¯ 0 ， ‖ x ‖ ≤ M ¯ 0 。又由于 f 1 ， f 2 连续， I ， Q ∈ C ( ℝ ， ℝ ) ，且 γ 0 ( x ) ， γ 1 ( x ) ∈ ℝ ，则 lim n → ∞ ( f 1 ( t ， x n ( t ) ， x n ( t + τ 1 ) ) − f 1 ( t ， x ( t ) ， x ( t + τ 1 ) ) ) = 0 ， lim n → ∞ ( f 2 ( t ， x n ( t ) ， x n ( t − τ 2 ) ) − f 2 ( t ， x ( t ) ， x ( t − τ 2 ) ) ) = 0 ， lim n → ∞ | I ( x n ( t ) ) − I ( x ( t ) ) | = 0 ，   lim n → ∞ | Q ( x n ( t ) ) − Q ( x ( t ) ) | = 0 ， lim n → ∞ ( γ 0 ( x n ) − γ 0 ( x ) ) = 0 ，   lim n → ∞ ( γ 1 ( x n ) − γ 1 ( x ) ) = 0 ， 且存在常数 M ¯ 1 > 0 ，使得 sup ( t ， u ， v ) ∈ A | f 1 ( t ， u ， v ) | ≤ M ¯ 1 ， sup ( t ， u ， v ) ∈ B | f 2 ( t ， u ， v ) | ≤ M ¯ 1 ，其中 A = [ 0 ， ξ ] × [ − M ¯ 0 ， M ¯ 0 ] × [ − M ¯ 0 ， M ¯ 0 ] ，   B = [ ξ ， 1 ] × [ − M ¯ 0 ， M ¯ 0 ] × [ − M ¯ 0 ， M ¯ 0 ] . 再由引理3可得，当 t ∈ [ 0 ， ξ ] 时， | T ( x n ) − T ( x ) | = | ∫ 0 ξ G 1 ( t ， s ) ( f 1 ( s ， x n ( s ) ， x n ( s + τ 1 ) ) − f 1 ( s ， x ( t ) ， x ( s + τ 1 ) ) ) d s       + ∫ ξ 1 g 2 ( t ， s ) ( f 2 ( s ， x n ( s ) ， x n ( s − τ 2 ) ) − f 2 ( s ， x ( s ) ， x ( s − τ 2 ) ) ) d s       + ( Δ 2 x n − Δ 2 x ) + t Δ 1 ( ( Q ( ξ ， x n ( ξ ) ) − Q ( ξ ， x ( ξ ) ) ) n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − ( γ 1 ( x n ) − γ 1 ( x ) ) ) | | T ( x n ) − T ( x ) | = | ∫ 0 ξ G 1 ( t ， s ) ( f 1 ( s ， x n ( s ) ， x n ( s + τ 1 ) ) − f 1 ( s ， x ( t ) ， x ( s + τ 1 ) ) ) d s       + ∫ ξ 1 g 2 ( t ， s ) ( f 2 ( s ， x n ( s ) ， x n ( s − τ 2 ) ) − f 2 ( s ， x ( s ) ， x ( s − τ 2 ) ) ) d s       + ( Δ 2 x n − Δ 2 x ) + t Δ 1 ( ( Q ( ξ ， x n ( ξ ) ) − Q ( ξ ， x ( ξ ) ) ) n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − ( γ 1 ( x n ) − γ 1 ( x ) ) ) | 则由Lebesgue控制收敛定理可知， lim n → ∞ ‖ T u n − T u ‖ [ 0 ， ξ ] = 0 。同理可得， lim n → ∞ ‖ T u n − T u ‖ ( ξ ， 1 ] = 0 。 因此，对任意 t ∈ [ 0 ， 1 ] ，有 lim n → ∞ ‖ T u n − T u ‖ = 0 ，则算子T是连续算子。 第二步：T是紧的。 令 Ω ⊂ P 为有界集，由 f 1 ， f 2 ，I，Q的连续性得，存在 M ¯ 2 > 0 ，使得对任意 t ∈ [ 0 ， ξ ] ， u ， v ∈ Ω ，有 | f 1 ( t ， u ， v ) | ≤ M ¯ 2 ；对任意 t ∈ ( ξ ， 1 ] ， u ， v ∈ Ω 有 | f 2 ( t ， u ， v ) | ≤ M ¯ 2 ， | I | ≤ M ¯ 2 ， | Q | ≤ M ¯ 2 ， | γ 0 ( x ) | ≤ M ¯ 2 ， | γ 1 ( x ) | ≤ M ¯ 2 。 则 | Δ 2 x | = − 1 m 1 + n 1 ( n 1 ( 2 − ξ + n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β + Γ ( 3 − β ) Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) − 1 ) M ¯ 2 ; | Δ 3 x | = − 1 m 1 + n 1 ( m 1 ( ξ − 1 ) + n 1 ( 1 + n 2 − Γ ( 3 − β ) Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) − 1 ) M ¯ 2 sup t ∈ [ 0 ， ξ ] | T u ( t ) | ≤ | ∫ 0 ξ G 1 ( ξ ， s ) f 1 ( s ， x ( s ) ， x ( s + τ 1 ) ) d s + ∫ ξ 1 g 2 ( 1 ， s ) f 2 ( s ， x ( s ) ， x ( s − τ 2 ) ) d s   + Δ 2 x + ξ Δ 1 ( Q ( ξ ， x ( ξ ) ) n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − γ 1 ( x ) ) | ≤ ( ∫ 0 ξ G 1 ( ξ ， s ) d s + ∫ ξ 1 g 2 ( 1 ， s ) d s − 1 m 1 + n 1 ( n 1 ( 2 − ξ + n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β − Γ ( 3 − β ) Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) − 1 )   + ξ Δ 1 ( n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − 1 ) ) M ¯ 2 ， sup t ∈ ( ξ ， 1 ] | T u ( t ) | ≤ | ∫ ξ 1 G 2 ( 1 ， s ) f 2 ( s ， x ( s ) ， x ( s − τ 2 ) ) d s + ∫ 0 ξ g 1 ( ξ ， s ) f 1 ( s ， x ( s ) ， x ( s + τ 1 ) ) d s   + Δ 3 x + ξ Δ 1 ( Q ( ξ ， x ( ξ ) ) m 2 Γ ( 3 − β ) ξ 2 − α − γ 1 ( x ) ) | ≤ ( ∫ ξ 1 G 2 ( 1 ， s ) d s + ∫ 0 ξ g 1 ( ξ ， s ) d s − 1 m 1 + n 1 ( m 1 ( ξ − 1 ) + n 1 ( 1 + n 2 − Γ ( 3 − β ) Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) − 1 )   + 1 Δ 1 ( m 2 ξ 2 − α Γ ( 3 − β ) − 1 ) ) M ¯ 2 . 因此，算子 T ( Ω ) 一致有界。 由于 G 1 ( t ， s ) ， g 2 ( t ， s ) 在 [ 0 ， ξ ] × [ 0 ， ξ ] 上连续，所以 G 1 ( t ， s ) ， g 2 ( t ， s ) 在 [ 0 ， ξ ] × [ 0 ， ξ ] 上一致连续。因此对任意 ε > 0 ，存在 0 < δ 1 < ε Δ 1 Γ ( 3 − β ) 2 | n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β − Γ ( 3 − β ) ( 1 − n 2 ) | M ¯ 2 ，当 | t 1 − t 2 | < δ 1 时，有 | G 1 ( t 1 ， s ) − G 1 ( t 2 ， s ) | < ε 4 M ¯ 2 ， | g 2 ( t 1 ， s ) − g 2 ( t 2 ， s ) | < ε 4 M ¯ 2 。因此，对任意的 t 1 ， t 2 ∈ [ 0 ， ξ ] ， | t 1 − t 2 | < δ 1 ， u ∈ Ω 有 | T u ( t 2 ) − T u ( t 1 ) | = | ∫ 0 ξ ( G 1 ( t 1 ， s ) − G 1 ( t 2 ， s ) ) f 1 ( s ， u ( s ) ， u ( s + τ 1 ) ) d s   + ∫ ξ 1 ( g 2 ( t 1 ， s ) − g 2 ( t 2 ， s ) ) f 2 ( s ， u ( s ) ， u ( s − τ 2 ) ) d s   + t 1 − t 2 Δ 1 ( Q ( ξ ， x ( ξ ) ) n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − γ 1 ( x ) ) | ≤ M ¯ 2 ( ∫ 0 ξ | G 1 ( t 1 ， s ) − G 1 ( t 2 ， s ) | d s + ∫ ξ 1 | g 2 ( t 1 ， s ) − g 2 ( t 2 ， s ) | d s )   + | t 1 − t 2 | | n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β − Γ ( 3 − β ) ( 1 − n 2 ) M ¯ 2 Δ 1 Γ ( 3 − β ) < ε . 又由于 G 2 ( t ， s ) ， g 1 ( t ， s ) 在 [ ξ ， 1 ] × [ ξ ， 1 ] 上连续，所以 G 2 ( t ， s ) ， g 1 ( t ， s ) 在 [ ξ ， 1 ] × [ ξ ， 1 ] 上一致连续。 因此对上述 ε > 0 ，存在 0 < δ 2 < ε Δ 1 Γ ( 3 − β ) 2 | m 2 ξ 2 − α − ( m 2 + 1 ) Γ ( 3 − β ) | ，当 | t 3 − t 4 | < δ 2 时，有 | G 2 ( t 3 ， s ) − G 2 ( t 4 ， s ) | < ε 4 M ¯ 2 ， | g 1 ( t 3 ， s ) − g 1 ( t 4 ， s ) | < ε 4 M ¯ 2 。 因此，对任意的 t 3 ， t 4 ∈ ( ξ ， 1 ] ， | t 3 − t 4 | < δ 2 ， u ∈ Ω ，有 | T u ( t 3 ) − T u ( t 4 ) | = | ∫ ξ 1 ( G 2 ( t 3 ， s ) − G 1 ( t 4 ， s ) ) f 2 ( s ， u ( s ) ， u ( s − τ 2 ) ) d s   + ∫ 0 ξ ( g 1 ( t 3 ， s ) − g 1 ( t 4 ， s ) ) f 1 ( s ， u ( s ) ， u ( s + τ 1 ) ) d s   + t 3 − t 4 Δ 1 ( Q ( ξ ， x ( ξ ) ) m 2 Γ ( 3 − β ) ξ 2 − α − γ 1 ( x ) ) | ≤ M ¯ 2 ( ∫ ξ 1 | G 2 ( t 3 ， s ) − G 1 ( t 4 ， s ) | d s + ∫ 0 ξ | g 1 ( t 3 ， s ) − g 1 ( t 4 ， s ) | d s )   + | t 3 − t 4 | | m 2 ξ 2 − α − ( m 2 + 1 ) Γ ( 3 − β ) | Δ 1 Γ ( 3 − β ) M ¯ 2 < ε . 因此， T ( Ω ) 在 [ 0 ， ξ ] ， ( ξ ， 1 ] 上等度连续，易知，当 t ∈ [ 0 ， 1 ] 时，对任意 ε > 0 ，存在 δ 3 > 0 ，当 | t 5 − t 6 | < δ 3 时 | T u ( t 5 ) − T u ( t 6 ) | < ε ，因此， T ( Ω ) 是等度连续的。 由Arzela-Ascoli定理知 T ( Ω ) 相对列紧。又因为算子T是连续算子，所以算子T是全连续的。 证毕。 引理6：T为强增算子。 证明：对任意 x 1 ， x 2 ∈ E ， x 1 ≺ x 2 ，即 x 1 ( t ) ≤ x 2 ( t ) 且 x 1 ( t ) ≡ x 2 ( t ) ，由(H2)可得， f 1 ( t ， x 2 ( t ) ， x 2 ( t + τ 1 ) ) − f 1 ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t + τ 1 ) ) ≥ 0 ，   t ∈ [ 0 ， ξ ] ， f 2 ( t ， x 2 ( t ) ， x 2 ( t − τ 2 ) ) − f 2 ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t − τ 2 ) ) ≥ 0 ，   t ∈ ( ξ ， 1 ] ， ( I ( ξ ， x 2 ( ξ ) ) − I ( ξ ， x 1 ( ξ ) ) ) ≥ 0 ，   ( Q ( ξ ， x 2 ( ξ ) ) − Q ( ξ ， x 1 ( ξ ) ) ) ≥ 0 ，     t ∈ [ 0 ， 1 ] . 由于 x 1 ( t ) ≡ x 2 ( t ) ，则存在区间 [ a ， b ] ⊂ [ 0 ， ξ ] 或 [ a ， b ] ⊂ ( ξ ， 1 ] 使得当 t ∈ [ a ， b ] 时， x 1 ( t ) < x 2 ( t ) 。 因此，当 [ a ， b ] ⊂ [ 0 ， ξ ] 时， f 1 ( t ， x 2 ( t ) ， x 2 ( t + τ 1 ) ) − f 1 ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t + τ 1 ) ) > 0 ， ( I ( ξ ， x 2 ( ξ ) ) − I ( ξ ， x 1 ( ξ ) ) ) > 0 ，   ( Q ( ξ ， x 2 ( ξ ) ) − Q ( ξ ， x 1 ( ξ ) ) ) > 0 ， 且由(H3)可得 γ 0 ( x 2 ) − γ 0 ( x 1 ) = h 0 ( x 2 ( 0 ) ， x 2 ( 1 ) ) − h 0 ( x 1 ( 0 ) ， x 1 ( 1 ) )   + ( m 1 x 2 ( 0 ) + n 1 x 2 ( 1 ) ) − ( m 1 x 1 ( 0 ) + n 1 x 1 ( 1 ) ≤ 0 ， ) γ 1 ( x 2 ) − γ 1 ( x 1 ) = h 1 ( D t c ξ − α − 1 x 2 ( 0 ) ， D ξ + c t β − 1 x 2 ( 1 ) ) − h 1 ( D t c ξ − α − 1 x 2 ( 0 ) ， D ξ + c t β − 1 x 2 ( 1 ) )   + m 2 D t c ξ − α − 1 x 2 ( 0 ) + n 2 D ξ + c t β − 1 x 2 ( 1 ) − ( m 2 D t c ξ − α − 1 x 1 ( 0 ) + n 2 D ξ + c t β − 1 x 1 ( 1 ) ) ≤ 0 ， Δ 2 x 2 − Δ 2 x 1 = − 1 m 1 + n 1 ( n 1 ( I ( ξ ， x 2 ( ξ ) ) − I ( ξ ， x 1 ( ξ ) ) ) )   + n 1 ( 1 − ξ + n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) ( Q ( ξ ， x 2 ( ξ ) ) − Q ( ξ ， x 1 ( ξ ) ) ) − n 1 Δ 1 ( γ 1 ( x 2 ) − γ 1 ( x 1 ) ) − ( γ 0 ( x 2 ) − γ 0 ( x 1 ) ) ≥ 0 ， T x 2 ( t ) − T x 1 ( t ) = ∫ 0 ξ G 1 ( t ， s ) ( f 1 ( s ， x 2 ( s ) ， x 2 ( s + τ 1 ) ) − f 1 ( s ， x 1 ( s ) ， x 1 ( s + τ 1 ) ) ) d s + Δ 2 x 2 − Δ 2 x 1     + ∫ ξ 1 g 2 ( t ， s ) ( f 2 ( t ， x 2 ( t ) ， x 2 ( t − τ 2 ) ) − f 2 ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t − τ 2 ) ) ) d s     + t Δ 1 ( ( Q ( ξ ， x 2 ( ξ ) ) − Q ( ξ ， x 1 ( ξ ) ) ) n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − γ 1 ( x 2 ) − γ 1 ( x 1 ) ) > ∫ 0 ξ G 1 ( t ， s ) ( f 1 ( s ， x 2 ( s ) ， x 2 ( s + τ 1 ) ) − f 1 ( s ， x 1 ( s ) ， x 1 ( s + τ 1 ) ) ) d s > 0. 同理当 [ a ， b ] ⊂ ( ξ ， 1 ] 时， ( f 2 ( t ， x 2 ( t ) ， x 2 ( t − τ 2 ) ) − f 2 ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t − τ 2 ) ) ) > 0 ， Δ 3 x 2 − Δ 3 x 1 = − 1 m 1 + n 1 ( − m 1 ( I ( ξ ， x 2 ( ξ ) ) − I ( ξ ， x 1 ( ξ ) ) ) )   + ( m 1 ξ + n 1 + n 1 n 2 Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) ( Q ( ξ ， x 2 ( ξ ) ) − Q ( ξ ， x 1 ( ξ ) ) )   − n 1 Δ 1 ( γ 1 ( x 2 ) − γ 1 ( x 1 ) − ( γ 0 ( x 2 ) − γ 0 ( x 1 ) ) ) ≥ 0 ， T x 2 ( t ) − T x 1 ( t ) = ∫ ξ 1 G 2 ( t ， s ) ( f 2 ( s ， x 2 ( s ) ， x 2 ( s − τ 2 ) ) − f 2 ( s ， x 1 ( s ) ， x 1 ( s − τ 2 ) ) ) d s + Δ 3 x 2 − Δ 3 x 1     + ∫ 0 ξ g 1 ( t ， s ) ( f 1 ( t ， x 2 ( t ) ， x 2 ( t + τ 1 ) ) − f 1 ( t ， x 1 ( t ) ， x 1 ( t + τ 1 ) ) ) d s     + t Δ 1 ( ( Q ( ξ ， x 2 ( ξ ) ) − Q ( ξ ， x 1 ( ξ ) ) ) m 2 Γ ( 3 − β ) ξ 2 − α − γ 1 ( x 2 ) − γ 1 ( x 1 ) ) > ∫ ξ 1 G 2 ( t ， s ) ( f 2 ( s ， x 2 ( s ) ， x 2 ( s − τ 2 ) ) − f 2 ( s ， x 1 ( s ) ， x 1 ( s − τ 2 ) ) ) d s > 0. 综上所述，对任意 t ∈ [ 0 ， 1 ] 有 ( T x 2 ) ( t ) > ( T x 1 ) ( t ) ，则T为强增算子。 定义2：令 α ， β ∈ E 。称 α 为边值问题(1)的一个下解，若 α 满足 { D t c ξ − α α ( t ) ≤ f 1 ( t ， α ( t ) ， α ( t + τ 1 ) ) ， t ∈ [ 0 ， ξ ] ， D ξ + c t β α ( t ) ≤ f 2 ( t ， α ( t ) ， α ( t − τ 2 ) ) ， t ∈ ( ξ ， 1 ] ， Δ α ( ξ ) ≤ I ( ξ ， u ( ξ ) ) ，     Δ α ′ ( ξ ) ≤ Q ( ξ ， α ( ξ ) ) ， h 0 ( α ( 0 ) ， α ( 1 ) ) ≤ 0 ，     h 1 ( D t c ξ − α − 1 α ( 0 ) ， D ξ + c t β − 1 α ( 1 ) ) ≥ 0. 称 β 为边值问题(1)的一个下解，若 β 满足 { D t c ξ − α β ( t ) ≥ f 1 ( t ， β ( t ) ， β ( t + τ 1 ) ) ， t ∈ [ 0 ， ξ ] ， D ξ + c t β β ( t ) ≥ f 2 ( t ， β ( t ) ， β ( t − τ 2 ) ) ， t ∈ ( ξ ， 1 ] ， Δ β ( ξ ) ≥ I ( ξ ， β ( ξ ) ) ，       Δ β ′ ( ξ ) ≥ Q ( ξ ， β ( ξ ) ) ， h 0 ( β ( 0 ) ， β ( 1 ) ) ≥ 0 ，     h 1 ( D t c ξ − α − 1 β ( 0 ) ， D ξ + c t β − 1 β ( 1 ) ) ≤ 0.