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user: 4. Gassmann方程隐含的力学机制 沉积物由水动力搬运至湖盆中，在压实和成岩作用之前的最初沉积，矿物颗粒是疏松的，甚至是弱悬浮的，此时沉积物所具有的孔隙度称为临界孔隙度 ϕ c r i t 。当孔隙度低于 ϕ c r i t 时，矿物承载，而当孔隙度大于 ϕ c r i t 时，岩石颗粒之间将失去接触和刚度，岩石“散开”并且变成承载液体中的悬浮物，岩石矿物颗粒所承受的有效应力与孔隙压力相等， ϕ c r i t 的值取决于沉积过程中颗粒的分选和磨圆(Mavko et al.， 1998) [ 14 ] 。沉积岩在压实成岩过程中，埋藏深度逐渐增大，孔隙度逐渐减小，弹性刚度增加。当孔隙度小于 ϕ c r i t 之后，岩石矿物颗粒要分担围压施加的应力，并且孔隙流体压力不断增大。事实上，沉积岩在压实成岩的过程中往往是一个非线性形变过程，这一非线性形变过程主要表现在孔隙度逐渐减小，饱含流体岩石的体积模量和与之对应的干岩石骨架的体积模量会逐渐增大(弹性刚度增加)。用式(17)描述沉积岩的孔隙流体力学机制要比式(18)更合理一些，对于饱和岩石而言，根据式(4)、式(11)和式(17)得 − C u d P c = − C b c d P c + ( C b c − C m ) d P p (23) 由式(23)得 d P p d P c = 1 K d r y − 1 K s a t 1 K d r y − 1 K m a (24) 式(24)是Skempton系数B (Skempton， 1954) 的 [ 7 ] 另外一种表达形式，描述了岩石在不排水的状态下围压增加所引起孔隙压力增加的关系，在数学上是孔隙压力P p 对围压P c 的导数，dP p /dP c = B。 来源于Zimmerman (1991， p. 62) [ 8 ] 和Jaeger 等人(2007， p. 177) [ 15 ] 推导的Skempton系数B表达式为 d P p d P c = B = 1 1 + K ϕ ( 1 K f − 1 K m a ) = 1 1 + ϕ ( 1 K f − 1 K m a ) ( 1 K d r y − 1 K m a ) − 1 (25) 式(24)等价于式(25)，并且式(24)和式(25)可还原于Gassmann方程 [ 16 ] 中 1 K d r y − 1 K s a t = ( 1 K d r y − 1 K m a ) 2 ϕ ( 1 K f − 1 K m a ) + ( 1 K d r y − 1 K m a ) (26) 式(26)是Gassmann方程(Gassmann方程可以写成多种表达形式)，由式(24)和(25)可知，Gassmann方程还可写成 K s a t = K d r y 1 − ( 1 − K d r y K m a ) ( d P p d P c ) (27) 式(27)揭示了Gassmann方程的力学和声学机制，是地震数据应用于油藏监测的理论基础，涉及到孔隙流体压力、地层应力和地震波反射信息。 除此之外，根据Gassmann方程还可以得到与式(14)相类似的结论。对于均匀线性弹性固体内部的单个或多个任意形状的孔隙空间，有孔固体在饱和状态下的等效可压缩性(饱和体积模量的倒数)可以描述为 [ 14 ] (28) 式中：K sat 是饱和岩石的体积模量；K ma 为岩石基质的体积模量；K f 是孔隙流体体积模量； 为岩石孔隙度； 为干燥孔隙空间的刚度。式(28)的物理意义是饱和岩石的可压缩性由两部分构成，一是矿物内在的可压缩性，二是由孔隙空间和孔隙流体耦合所引起的附加可压缩性。在干燥岩石中(岩石排水状态下)，孔隙中无流体，流体体积模量K f = 0，那么式(28)等价于式(14)。由此可见，同样矿物成分和孔隙度的干燥岩石，注入流体饱和后，岩石的体积模量会增大，通过比较式(14)和式(28)，饱和岩石相对于干燥岩石增加的体积模量主要取决于孔隙流体与矿物本身的耦合效应。尽管Gassmann方程能较精确地描述了含流体岩石弹性形变状态下的力学机制，但是Brown和Korringa (1975) [ 17 ] 认为Gassmann方程建立在一个重要的理论假设基础之上。 Brown和Korringa (1975)放宽了Gassmann方程的各向同性的内在假设，并且推导出广义的Gassmann方程 [ 17 ] (29) 式中：C d 是岩石排水状态下的可压缩性，C d = 1/K dry ；C u 是岩石不排水状态下的可压缩性，C u = 1/K sat ；C m 是岩石基质的可压缩性，C m = 1/K ma ； 是岩石孔隙可压缩性，与式(13)一致， ， 是孔隙体积模量；C f 是孔隙流体可压缩性，C f = 1/K f ，K f 是孔隙流体体积模量； 是岩石的孔隙度。 Brown和Korringa (1975)描述了岩石在不排水的状态下，Skempton系数B值(Skempton， 1954)的表达式为 [ 17 ] (30) 在式(29)和式(30)中，如果 ，那么式(29)就可简化为Gassmann方程 (31) 同时Gassmann方程还可以写成 (32) 式(31)等价于上述式(26)，式(32)等价于上述式(24)、(27)。 从Brown和Korringa (1975) [ 17 ] 给出的广义Gassmann方程可知，Gassmann方程是基于 的假设条件， 很难直接地测量， 是多孔岩石的外部和内部承受同样的静水压力(dP c = dP p )时的岩石孔隙可压缩性。对于饱含流体岩石而言，围压dP c 与孔隙压力dP p 两者相等这种现象只存在于两种情况：第一种情况是假想岩石中的孔隙被基质充填，岩石是一个无孔的各向同性介质，对其施加围压dP c ，岩石内部应力处处相等，并且等于dP c ，此时 。在这里需要强调一点的是Zimmerman (1991) [ 8 ] 应用应力叠加原理推导式(9)时用了这个假设，式(9)实际为 ；Nur和Byerlee [ 4 ] 在理论上推导Biot和 Willis (1957)的有效应力定理 [ 2 ] 时也用了这个假设(附录A)。第二种情况，对于孔隙饱含流体的岩石，对其施加围压dP c 会产生孔隙压力dP p ，因为岩石骨架要分担部分压力，也就是岩石骨架的有效应力，那么dP p 必定是小于dP c ，要保证dP p 与dP c 相等，必须要额外的增加孔隙流体压力，同时保持dP c 不变，使dP p 与dP c 相等，此时岩石孔隙可压缩性 与第一种情况的物理模型是不一样的。对于海底疏松未固结的沉积物，孔隙完全与海水连通时，围压就是与之对应深度的海水压强P h = ρ w gh (ρ w 是海水密度，g是重力加速度，h是海水深度)，此时海水深度增加产生的围压增量dP c 与孔隙中的流体压力增量dP p 是相等的，但是这种物理模型不适合固结的岩石。而对于地下的沉积岩而言，对其施加围压dP c 所产生孔隙压力dP p 两者是不相等的，因为岩石骨架要分担部分压力(有效应力)，dP p 必定是小于dP c 。 因此根据以上的分析可知， 是一个具有理论意义的参数。Thomsen (2010 [ 21 ] ; 2017 [ 22 ] )讨论了 ，认为Gassmann方程 [ 3 ] 应该修正为Brown 和 Korringa (1975)提出的广义Gassmann方程式(29) [ 16 ] ，但是在广义Gassmann方程式(29)中， 是一个不确定的参数，限制了其自身在实践中的应用价值。Hart和Wang (2010)根据Berea砂岩和Indiana灰岩的实验室测量结果发现，当岩石在较高的有效应力状态下(大于5 MPa)， 是有效的，此时岩石呈现为线性弹性形变 [ 17 ] 。对于地下的沉积岩而言，埋藏深度超过600米，岩石的有效应力基本能达到5 MPa以上，这一结果可以根据地层的平均密度估算得到。虽然Thomsen (2010 [ 21 ] ; 2017 [ 22 ] )对Biot-Gassmann原理(Biot， 1956 [ 23 ] ; Gassmann， 1951 [ 3 ] )的有效性所持有的质疑略显犀利，但是Wang等人(2016) [ 19 ] 根据Pickett (1963) [ 20 ] 和他人的实验结果，干燥岩石的泊松比常常近似地等于矿物的泊松比，或K dry /K ma = μ dry /μ ma (Mavko et al.， 1998， p. 244) [ 14 ] 的关系联立Biot-Gassmann原理推导出一种新的估算岩石基质体积模量K ma 和干燥岩石体积模量K dry 的方法，其计算结果与理论非常吻合，这说明Biot-Gassmann原理在实践应用中具有重要的价值。笔者认为上述 是一个值得研究的参数，在这里之所以引入关于 的讨论，主要目的是力求本文所涉及到的理论来源更具有原滋原味，争取能起到抛砖引玉的作用。