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user: 4. 数值计算 4.1. 材料属性 本节算例中考虑如下几种材料，材料属性如表2所示。考虑两种功能梯度材料，分别为Al/Al 2 O 3 和Al/ZrO 2 。 4.2. 收敛性分析 由前文分析可知，计算过程中存在针对级数的求和，因此计算结果的准确性受到截断项数M和N的影响。此外在用弹簧模拟诸如刚性固定等边界时，实际弹簧刚度取值也不可能取无穷大，因此需要对截断项数及弹簧刚度系数的取值进行收敛性分析。 Table 2 Properties of material 参数 材料 Al ZrO 2 Al 2 O 3 弹性模量E(GPa) 70 200 380 密度ρ（kg/m 3 ） 2702 5700 3800 表2. 材料属性 在算例中选取了功能梯度矩形板作为计算模型，如图2所示。分别选用四边自由和四边刚性固定的条件进行收敛性分析。模型参数如下：材料为Al/Al 2 O 3 ，长为a = 1 m，宽为b = 1 m，厚h = 0.1 m，材料梯度指数k = 1。 首先分析截断项数M和N的收敛性，考虑四边自由板，取k l 和K为0，M和N从10取到15，固有频率大小随M和N的变化如表3所示。由表3可知，当M = N = 14时，结构的各阶固有频率不再随着M和N的增加而变化，此时计算结果已收敛。 Table 3 Natural frequencies of rectangular plate (Hz)， F-F-F- 阶数 M = N = 10 M = N = 11 M = N = 12 M = N = 13 M = N = 14 M = N = 15 1 2.95 2.95 2.94 2.94 2.94 2.94 2 4.39 4.39 4.39 4.39 4.39 4.39 3 5.41 5.41 5.41 5.41 5.41 5.41 4 7.43 7.42 7.41 7.41 7.40 7.40 5 7.43 7.42 7.41 7.41 7.40 7.40 6 12.91 12.91 12.91 12.91 12.91 12.91 7 12.91 12.91 12.91 12.91 12.91 12.91 8 13.03 12.99 12.99 12.97 12.97 12.95 9 14.16 14.16 14.14 14.14 14.13 14.13 10 15.83 15.83 15.81 15.81 15.81 15.81 表3. 四边自由(F-F-F-F)边界条件下功能梯度矩形板固有频率随截断项数的变化(Hz) 然后将板的四边设置为固支约束，取M = N = 14，且K和k l 的值从10 12 变化到10 20 ，以验证K和k的收敛性，得到的固有频率如表4所示。表4中数据表明，当弹簧的刚度系数不断增大时，固支功能梯度矩形板的弯曲自由振动的频率逐渐增大后趋于稳定。当弹簧的刚度系数达到k l = 10 14 时结果已经收敛。故可以取上述数值模拟弹簧刚度系数为无穷大时的取值。 Table 4 Natural frequencies of rectangular plate (Hz)， C-C-C- 阶数 K = k l = 10 12 K = k l = 10 14 K = k l = 10 16 K = k l = 10 18 K = k l = 10 20 1 7.58 7.60 7.60 7.60 7.63 2 14.56 14.62 14.62 14.62 14.65 3 14.56 14.62 14.62 14.62 14.67 4 20.47 20.58 20.59 20.58 20.65 5 24.16 24.32 24.32 24.32 24.33 6 24.39 24.54 24.54 24.54 24.58 7 29.29 29.50 29.50 29.50 29.60 8 29.29 29.50 29.50 29.50 29.60 9 35.80 36.12 36.12 36.12 36.17 10 35.80 36.12 36.12 36.13 36.24 表4. 四边固支(C-C-C-C)功能梯度矩形板固有频率随弹簧刚度值变化(Hz) 4.3. 准确性验证 本小节计算不同边界条件下，不同厚度的功能梯度矩形板的无量纲频率，将无量纲频率与已有的文献结果对比，验证本方法在求解功能梯度板的振动的准确性。 选用边长为a = 1 m，b = 1 m，厚度分别为h = 0.05、0.1、0.2 m的功能梯度矩形板，材料为Al/Al 2 O 3 。计算简支功能梯度矩形板的无量纲频率 ，与文献 [ 15 ] 进行比对，如表5所示。 Table 5 Natural frequency parameters of rectangular plate， (S-S-S-S， Al/Al2O3， a/b = 1 厚度 材料的梯度指数k 0 0.5 1 4 10 0.05 本文 0.0145 0.0124 0.0112 0.0097 0.0093 文献 [ 15 ] 0.0146 0.0124 0.0112 0.0097 0.0093 0.10 本文 0.0558 0.0475 0.0429 0.0370 0.0353 文献 [ 15 ] 0.0567 0.0482 0.0435 0.0376 0.0359 0.20 本文 0.1992 0.1705 0.1542 0.1317 0.1246 文献 [ 15 ] 0.2055 0.1757 0.1587 0.1356 0.1284 表5. 四边简支(S-S-S-S)功能梯度矩形板无量纲固有频率(材料Al/Al 2 O 3 ， a/b = 1) 更换材料为Al/ZrO 2 ，计算无量纲频率 γ = ω a 2 ρ m / E m / h ，与文献 [ 16 ] 进行比对。如表6所示： Table 6 Natural frequency parameters of rectangular plate ( γ = ω a 2 ρ m / E m / h ， S-S-S-S， h = 0.1， a/b = 1 材料 材料的梯度指数k 0 0.5 1 2 5 8 10 Al/ZrO 2 本文 5.5801 5.2672 5.1491 5.1328 5.2240 5.2232 5.2044 文献 [ 16 ] 5.7693 5.3176 5.2532 5.3084 5.294 5.2312 5.1893 表6. 简支边界下功能梯度矩形板无量纲固有频率( ，S-S-S-S，h = 0.1，a/b = 1) 表5、表6中结果表明，对各种材料、厚度的功能梯度板，本文的计算结果与文献均吻合很好，说明了本方法的准确性。 4.4. 功能梯度三角形板的弯曲自由振动特性分析 本节对功能梯度三角形板进行弯曲自由振动特性分析，板为边长分别为 ， b = 2   m ，c = 2 m的等腰直角三角形，h = 0.1 m，材料为Al/Al 2 O 3 ，计算其简支边界条件下的固有频率，换算为无量纲频率 ，如表7。 Table 7 First six natural frequency parameters of triangular plate under different gradient inde 阶数 材料的梯度指数k 0 0.5 1 4 10 1 6.99 5.94 5.36 4.63 4.42 2 13.49 11.51 10.39 8.93 8.48 3 17.21 14.69 13.28 11.38 10.79 4 22.25 19.03 17.21 14.70 13.91 5 25.71 22.02 19.91 16.99 16.04 6 31.25 26.81 24.25 20.63 19.44 表7. 不同梯度指数下功能梯度三角形板前六阶无量纲固有频率 4.5. 功能梯度圆形板的弯曲自由振动分析 对功能梯度圆形板进行弯曲自由振动的特性分析，圆板的几何参数为半径R = 1 m，h = 0.1 m，材料为Al/Al 2 O 3 ，计算简支边界条件下的固有频率，换算为无量纲频率，如表8，从表中可见随着梯度指数增大，相同阶的固有频率逐渐降低。 Table 8 First six natural frequency parameters of circle plate under different gradient inde 阶数 材料的梯度指数k 0 0.5 1 4 10 1 2.76 2.38 2.17 1.84 1.72 2 5.25 4.54 4.13 3.50 3.27 3 5.25 4.93 4.48 3.81 3.57 4 5.73 6.15 5.55 4.79 4.57 5 7.34 6.34 5.79 4.89 4.54 6 9.30 7.97 7.21 6.17 5.84 表8. 不同梯度指数下功能梯度圆形板前六阶无量纲固有频率 4.6. 梯度指数k对功能梯度板的固有频率影响分析 本节讨论功能梯度指数、边界条件和板厚等对固有频率的影响。 首先讨论梯度指数对频率的影响与不同的边界条件的关系。选用边长a = 1，b = 1，厚度h = 0.1的功能梯度板，材料为Al/Al 2 O 3 ，边界分别为四边固支、四边简支、一边固支三边自由。求无量纲频率，作图3。 从图3可以看出，随着梯度指数增大，首阶固有频率逐渐降低，但是降低的程度随梯度指数增大趋于平缓，且从不同边界条件的三条曲线可见，梯度指数相同时，四周固支板固有频率最高，一边固支板固有频率最低。 图3. 不同边界条件下功能梯度矩形板首阶无量纲固有频率随梯度指数变化的曲线 以下为四边简支功能梯度板为例，讨论梯度指数对无量纲频率的影响以及与固有频率阶数的关系。几何和材料参数和上一算例相同。图4为前三阶固有频率随梯度指数变化的曲线。 图4. 功能梯度矩形板前三阶无量纲固有频率随梯度指数变化的曲线，S-S-S-S 从图4中看出，功能梯度板的前三阶固有频率随梯度指数的变化趋势基本相同，随梯度指数增大，固有频率逐渐降低，这是由于梯度指数增大，板的等效刚度逐渐降低。同时也可以得出功能梯度指数对板的低阶固有频率的影响与阶数基本无关。 以下讨论梯度指数对频率的影响与板的厚度的关系。选用边长a = 1 m，b = 1 m，厚度分别为h = 0.05 m、0.1 m、0.2 m的简支功能梯度板，材料为Al/Al 2 O 3 ，得到图5在不同板厚下的无量纲频率随梯度指数变化的曲线。 从图5中可以看出，对于不同厚度的功能梯度板，材料梯度指数的变化对其自由振动首阶频率的影 图5. 不同板厚下功能梯度矩形板首阶无量纲固有频率随梯度指数变化的曲线 响大致相同。板厚越大，首阶固有频率越高。