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user: 2. 基本概念和引理 引入记号，记 ( ⋅ ， ⋅ ) Ω 和 | | ⋅ | | Ω 分别为 L 2 ( Ω ) 的内积和范数。设 σ 为非负整数，并记 H σ ( Ω ) 为通常的Sobolev空间，范数与半范数分别记为 | | ⋅ | | Ω ， σ 和 | ⋅ | Ω ， σ (当 Ω = I x × J t 时，省去下标 Ω )。 令 K 1 ， K 2 为正整数，将区间 I x = ( − 1 ， 1 ) 分解成 K 1 个子区域，其中 I i = ( a i − 1 ， a i ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， K 1 。记 h i x = a i − a i − 1 ，有 − 1 = a 0 < a 1 < ⋯ < a K 1 = 1 。将区间 J t = ( − 1 ， 1 ] 分解为 K 2 个子区域，其中 J j = ( b j − 1 ， b j ] ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， K 2 。记 h j t = b j − b j − 1 ，有 − 1 = b 0 < b 1 < ⋯ < b K 2 = 1 。 引入仿射映射 v ( x ) = v ¯ ( x ¯ ) ， x = 1 2 ( h i x x ¯ + a i − 1 + a i ) ， x ¯ ∈ I ， x ∈ I i ， v ( t ) = v ¯ ( t ¯ ) ， t = 1 2 ( h j t t ¯ + b j − 1 + b j ) ， t ¯ ∈ J ， t ∈ J j ， 其中 ( x ¯ ， t ¯ ) ∈ Ω ， ( x ， t ) ∈ I i × J j 。 令 N = ( N 1 ， N 2 ， ⋯ ， N K 1 ) ， M = ( M 1 ， M 2 ， ⋯ ， M K 2 ) ，其中 N i ( 1 ≤ i ≤ K 1 ) ， M j ( 1 ≤ j ≤ K 2 ) 为正整数。 ℙ N i ( I i ) 表示区间 I i 上次数不超过 N i 次多项式构成的空间， ℙ M j ( J j ) 表示区间 J j 上次数不超过 M j 次多项式构成的空间。不失一般性地，考虑 U 0 ( x ) ≡ 0 。初始值不为零的情况下考虑 V = U − U 0 。 记 ℏ i x = h i x N i ， ℏ j t = h j t M j ， ℏ x = max 1 ≤ i ≤ K 1 ℏ i x ， ℏ t = max 1 ≤ j ≤ K 2 ℏ j t . 定义多项式空间 V N ( I x ) = { v : v | I i ∈ ℙ N i ( I i ) ， 1 ≤ i ≤ K 1 } ， Y j M ( J t ) = { v : v | J j ∈ ℙ M j ( J j ) ， 1 ≤ j ≤ K 2 } ， S M ( J ) = { v : v = ( 1 + t ) p ( t ) ， p ( t ) ∈ Y j M − 1 } ， S M * ( J ) = { v : v = ( 1 − t ) p ( t ) ， p ( t ) ∈ Y j M − 1 } . 定义 ∏ N ， M C : C ( I ¯ × J ¯ ) → V N × V M 是由 ∏ N i ， M j C : C ( I ¯ × J ¯ ) → ℙ N i ( I i ) × ℙ M j ( J j ) 生成的二维Chebyshev-Gauss-Lobatto (CGL)插值算子 ( ∏ N ， M C u ) ¯ i ， j = ∏ N i ， M j C u ¯ i ， j ， 1 ≤ i ≤ K 1 ， 1 ≤ j ≤ K 2 ， 其中 ( ∏ N i ， M j C u ( x k i ， t l j ) ) = u ( x k i ， t l j ) ， 1 ≤ k ≤ N ， 1 ≤ l ≤ M ， 1 ≤ i ≤ K 1 ， 1 ≤ j ≤ K 2 ， 以上 x k i ， t l j 是 I i 和 J j 上的CGL点。 对于空间方向的投影算子，令 P N x 为 L 2 ( I x ) 投影算子，即对 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， K 1 ，满足 ∫ I i ( P N x w ( x ) − w ( x ) )   v ( x ) d x = 0 ， ∀ v ∈ ℙ N i ( I i ) . 定义特殊投影算子 P N ± [ 28 ] : H 1 ( I ) → V N ( I x ) 满足 ∫ I i ( P N + w ( x ) − w ( x ) )   v ( x ) d x = 0 ， ∀ v ∈ ℙ N i − 1 ( I i ) ， P N + w ( x i − 1 + ) = w ( x i − 1 ) ， ∫ I i ( P N − w ( x ) − w ( x ) )   v ( x ) d x = 0 ， ∀ v ∈ ℙ N i − 1 ( I i ) ， P N − w ( x i + 1 − ) = w ( x i + 1 ) ， 其中 x i ± 是 x 在 i 点处得左右极限值。 引理2.1 [ 29 ] 若 u ∈ H σ ( Ω k ) ( σ ≥ 1 ) ，对 0 ≤ s ≤ min ( N k + 1 ， σ ) ，则有 ‖ ω e ‖ Ω k ≤ C h s ( Γ ( N k + 2 − s ) Γ ( N k + 2 + s ) ) 1 2 | u | s ， Ω k ， (2) 其中 ω e = U − P U 或 ω e = U − P ± U 。 设 P M α ， β : L α ， β 2 ( J t ) → ℙ M ( J t ) 为带权 ω α ， β 的正交投影算子，满足 ( P M α ， β u ， v ) ω α ， β = ( u ， v ) ω α ， β ， ∀ v ∈ ℙ M ( J t ) ， 记 ω α ， β = ( 1 − t ) α ( 1 + t ) β 。 定义 H ˜ 1 ( J t ) : = { v : v ∈ H 1 ( J t ) ∩ L ω 0 ， − 1 2 ( J t ) } ， H ^ 1 ( J t ) : = { v : v ∈ H 1 ( J t ) ∩ L ω 0 ， − 2 2 ( J t ) } . 类似 [ 24 ] 定义时间上的正交投影算子 P M 0 ， − 1 : H ˜ 1 ( J t ) → S M ，满足 ( P M 0 ， − 1 v − v ， ϕ ) J t ， ω 0 ， − 1 = 0 ， ∀ ϕ ∈ S M . 可知对任意 v ∈ H ^ 1 ( J t ) ， φ ∈ S M * 有 ( ∂ t ( P M 0 ， − 1 v − v ) ， φ ) J t = − ( P M 0 ， − 1 v − v ， ∂ t φ ) J t = − ( P M 0 ， − 1 v − v ， ω 0 ， 1 ∂ t φ ) J t ， ω 0 ， − 1 = 0 ， 实际上，因为 ω 0 ， 1 ∂ t φ ∈ S M ，由投影性质可得以上等式成立。 H ω 0 ， − 1 s ( J t ) = { u ∈ H 1 ( J t ) ∩ L ω 0 ， − 1 2 ( J t ) : ∂ x l u ∈ H l ( J t ) ∩ L ω l ， l − 1 2 ( J t ) ， 1 ≤ l ≤ s } . 由以上分析可得如下逼近结果。 引理2.2 [ 30 ] 若 v ∈ H ω 0 ， − 1 s ( J t ) 且 M = min 1 ≤ k ≤ K M k ， h = max 1 ≤ k ≤ K h k 有 ‖ ∂ t l ( P M 0 ， − 1 v − v ) ‖ J t ， ω l ， l − 1 ≤ C M l − 1 ∑ k = 1 K ( h k − 1 M k ) 1 − s ‖ ∂ t s v ‖ J k ， 0 ≤ l ≤ s ， l = 0 ， 1 ． (3) 显然地，根据 M 和 h 的定义，可以得到以下估计 ‖ ∂ t l ( P M 0 ， − 1 v − v ) ‖ J t ， ω l ， l − 1 ≤ C M l − 1 ( h − 1 M ) 1 − s ‖ ∂ t s v ‖ J t ≤ C h s − 1 M l − s ‖ ∂ t s v ‖ J t = C h l − 1 ℏ t s − l ‖ ∂ t s v ‖ J t ， 0 ≤ l ≤ s ， l = 0 ， 1. 定义离散算子 D ，在每一个子区域 K j = ( x j − 1 ， x j ) 上 D K j ( η ， ϕ ; η ^ ) = − ( η ， ϕ x ) K j + ( η ^ ϕ − ) j − ( η ^ ， ϕ + ) j − 1 ， D ( η ， ϕ ; η ^ ) = ∑ j D K j ( η ， ϕ ; η ^ ) . 引理2.3 [ 31 ] 对任意 ϕ ∈ V N 有 D ( η − P − η ， ϕ ; ( η − P − η ) − ) = 0 ， D ( η − P + η ， ϕ ; ( η − P − η ) + ) = 0. (4) 引入分段的Sobolev空间 H ˜ σ ( Ω ) = { v : v i ， j ≡ v | Ω i ， j ∈ H σ ( Ω i ， j ) ， 1 ≤ i ≤ K 1 ， 1 ≤ j ≤ K 2 } ， 其上的半模定义为 | v | H ˜ σ ( Ω ) : = | v | σ = ( ∑ i = 1 K 1 ∑ j = 1 K 2 | v i ， j | σ ， Ω i ， j 2 ) 1 2 .