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user: 3. 相关引理 本节将证明两个关于群论的引理，它们将用于定理1.1的证明。 引理3.1 设T是一个单群，使得 | T | | 2 27 ⋅ 3 2 ⋅ 7 p 2 且 7 p 2 | | T | ，其中p为奇素数。则下列结论成立。 1) 若 | π ( T ) | = 3 ，则满足条件的 ( T ， | T | ， p 2 ) 如下表3。 Table 3 Cases with 3 prime factors in a single grou T P S L ( 2 ， 8 ) P S U ( 3 ， 3 ) | T | 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 7 2 5 ⋅ 3 3 ⋅ 7 p 2 3 2 3 2 表3. 单群中有3个素因子的情形 2) 若 | π ( T ) | = 4 ，则群T不存在。 证明：因为 7 p 2 | | T | ，从而 3 ≤ | π ( T ) | ≤ 4 ，因此单群T满足 [ 18 ] [定理Ι]。若 | π ( T ) | = 3 ，则 p ∈ { 3 ， 7 } ，从而T是一个 { 2 ， 3 ， 7 } -群。若 p = 3 时，从而有 | T | | 2 27 ⋅ 3 4 ⋅ 7 ，由 [ 18 ] [表1]可得， T = P S L ( 2 ， 7 ) ， P S L ( 2 ， 8 ) 或 P S U ( 3 ， 3 ) ，进一步由 7 p 2 | | T | 可得 T = P S L ( 2 ， 8 ) 或 P S U ( 3 ， 3 ) 。当 p = 7 时，我们有 | T | | 2 27 ⋅ 3 2 ⋅ 7 3 ，并且 7 3 | | T | ，再由 [ 18 ] [表1]可知，此时不存在群T。 若 | π ( T ) | = 4 ， | T | | 2 27 ⋅ 3 2 ⋅ 7 p 2 ，且 p > 7 或 p = 5 从而有 3 3 ∤ | T | ， 7 2 ∤ | T | ， p 3 ∤ | T | . (1) 由 [ 18 ] [定理Ι] 可知，T满足 [ 18 ] [表2]，或 T = P S L ( 2 ， r ) 是一个 | π ( T ) | = 4 的群，其中r为一个素数幂。 对于 [ 18 ] [表2]中的31个群，通过检查每个群的阶可得，群T不存在。当 T = P S L ( 2 ， r ) 时，如果r是2， 3， 5或7的方幂，或者 r ≥ 11 是一个素数。对于第一种情况，根据 [ 18 ] [表3]中的群，检验每个群的阶可得，群T不存在。对于另一种情形，有 | P S L ( 2 ， r ) | = r ( r − 1 ) ( r + 1 ) 2 此时， r = p 2 ，矛盾。 引理3.2 设T是一个单群，使得 | T | | 2 11 ⋅ 3 4 ⋅ 5 2 ⋅ 7 p 2 且 35 p 2 | | T | ，其中p是一个奇素数。则下列结论成立。 1) 若 | π ( T ) | = 3 ，群T不存在。 2) 若 | π ( T ) | = 4 ，满足条件的 ( T ， | T | ， p 2 ) 如表4。 3) 若 | π ( T ) | = 5 ，群T不存在。 Table 4 The situation of 4 prime factors in a single group T | T | p 2 J 2 2 7 ⋅ 3 3 ⋅ 5 2 ⋅ 7 3 2 A 7 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 3 2 A 8 2 6 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 3 2 A 9 2 6 ⋅ 3 4 ⋅ 5 ⋅ 7 3 2 A 10 2 7 ⋅ 3 4 ⋅ 5 2 ⋅ 7 3 2 P S L ( 3 ， 4 ) 2 6 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 3 2 P S U ( 3 ， 5 ) 2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 3 ⋅ 7 5 2 P S U ( 4 ， 3 ) 2 7 ⋅ 3 6 ⋅ 5 ⋅ 7 3 2 P S p ( 6 ， 2 ) 2 9 ⋅ 3 4 ⋅ 5 ⋅ 7 3 2 表4. 单群T中4个素因子的情形 证明：因为 35 p 2 | | T | ，从而 3 ≤ | π ( T ) | ≤ 5 。如果 | π ( T ) | = 3 ，由 [ 18 ] [定理Ι]可知，单群T同构于 [ 18 ] [表1]中的8个群其中之一。通过检验每个群T的阶可得，没有满足条件的群T存在，故而矛盾。 假设 | π ( T ) | = 4 ，此时 p ∈ { 3 ， 5 ， 7 } ，注意 | T | | 2 11 ⋅ 3 4 ⋅ 5 2 ⋅ 7 p 2 ，则 2 12 ∤ | T | ， 3 7 ∤ | T | ， 5 5 ∤ | T | ， 7 4 ∤ | T | ， p 2 | | T | .(2) 根据 [ 18 ] [定理Ι]可知，T满足 [ 18 ] [表2]，或 T = P S L ( 2 ， r ) 是一个 K 4 -群。对于 [ 18 ] [表2]中的31个单群，通过检查它们的阶可得，满足条件的群都在表2中列出。假设 T = P S L ( 2 ， r ) 是一个 K 4 -群。如果r是2， 3， 5或7的方幂，根据 [ 18 ] [表3]中的群，检验每个群的阶可知，群T不存在。 假设 | π ( T ) | = 5 ，则 p > 7 且满足定理2.2.由于 | T | | 2 11 ⋅ 3 4 ⋅ 5 2 ⋅ 7 p 2 ，则 2 12 ∤ | T | ， 3 5 ∤ | T | ， 5 3 ∤ | T | ， 7 2 ∤ | T | ， p 2 | | T | (3) 假设 T = P S L ( 2 ， q ) ， | T | = q ( q − 1 ) ( q + 1 ) 2 则有 q ( q − 1 ) ( q + 1 ) 2 | 2 11 ⋅ 3 4 ⋅ 5 2 ⋅ 7 p 2 由公式(3)可知q是2， 3， 5， 7或p的方幂。如果q是2的方幂，则 | π ( q 2 − 1 ) | = 4 可知， q = 2 6 ， 2 8 或2 9 。检查它们的阶可知，都不满足公式(3)。如果q是3， 5或7的方幂，则 | π ( q 2 − 1 ) | ≠ 4 ，矛盾。如果q是p的方幂，则 q = p 2 ，从而 ( q − 1 ) 2 ⋅ ( q + 1 ) 2 | 2 10 ⋅ 3 4 ⋅ 5 2 ⋅ 7 . 因为 ( q − 1 2 ， q + 1 2 ) = 1 ，所以 q − 1 2 | 3 4 ⋅ 5 2 ⋅ 7 或 q + 1 2 | 3 4 ⋅ 5 2 ⋅ 7 。因为 | π ( q 2 − 1 ) | = 4 ，因此，这样的q不存在，矛盾。 假设 T = P S U ( 3 ， q ) 。得到 | T | = 1 ( 3 ， q + 1 ) q 3 ( q − 1 ) ( q − 1 ) 2 ( q 2 − q + 1 ) 由公式(3)可知q是2， 3， 5， 7或p的方幂。如果q是2， 3， 5或7的方幂，因为 | π ( ( q 2 − 1 ) ( q 3 + 1 ) ) | = 4 且 | T | | 2 11 ⋅ 3 4 ⋅ 5 2 ⋅ 7 p 2 ，这样的q不存在，矛盾。如果q是p的方幂，则 q 3 = p 2 ，矛盾。 假设 T = P S L ( 3 ， q ) 。则 | T | = 1 ( 3 ， q − 1 ) q 3 ( q − 1 ) 2 ( q + 1 ) ( q 2 + q + 1 ) 由公式(3)可知q是2， 3， 5， 7或p的方幂。如果q是2， 5或7的方幂，因为 | π ( ( q 2 − 1 ) ( q 3 − 1 ) ) | = 4 ，这样的q不存在，矛盾。如果q是3的方幂，因为 π ( ( q 2 − 1 ) ( q 3 − 1 ) ) = 4 ，算出 q = 3 2 ， 3 3 。满足条件的群有 T = P S L ( 3 ， 9 ) 或 P S L ( 3 ， 27 ) ，检查它们的阶可知都与公式(3)矛盾，群T不存在。如果q是p的方幂，则 q 3 = p 2 ，矛盾。 假设 T = S z ( 2 2 m + 1 ) 或 R ( 3 2 m + 1 ) 。因此 | T | = 2 4 m + 2 ( 2 4 m + 2 + 1 ) ( 2 4 m + 2 − 1 ) 或 3 6 m + 3 ( 3 6 m + 3 + 1 ) ( 3 2 m + 1 − 1 ) 。对于第一种情形，由 2 4 m + 2 ≤ 2 11 ，则 m = 1 或2。当 m = 1 时，因为 | π ( S z ( 2 3 ) ) | = 4 ，所以 T = S z ( 2 3 ) 。当 m = 2 时，因为 | π ( S z ( 2 5 ) ) | = 4 ，所以 T = S z ( 2 5 ) 。检查它们的阶可知都不满足 35 p 2 | | T | 。对于第二种情形，因为 3 6 m + 3 ≥ 3 9 与公式(3)相矛盾，群T不存在。 假设 T = O 5 ( q ) ，则 | T | = 1 2 q 4 ( q 4 − 1 ) ( q 3 − 1 ) ( q 2 − 1 ) 由公式(3)可知q是2， 3， p的方幂。如果q是2， 3的方幂，因为 | π ( q 4 − 1 ) | = 4 和公式(3)，这样的q不存在，矛盾。如果q是p的方幂，则 q 4 = p 2 ，矛盾。 最后，假设T属于情形(g)列出的群，通过检查每个群的阶可知，满足条件的群T不存在，矛盾。