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user: 3. 集成MC隐式Euler法 3.1. 随机抛物方程初边值问题的集成MC隐式Euler法 此处仅考虑随机抛物方程初边值问题的数值方法，因此此处将式(2)中的 u ( ω ， x ， t ) 替换成 f ( ω ， x ， t ) 并假设已知。在抛物方程初边值问题(2)的数值求解方法中，MC方法是一种非常重要的方法，在给定每个抽样(给定 ω )后，利用原来确定问题的数值方法及程序便可求解。这样为了得到式(2)的统计解，就需要将其数值求解K次，然后平均，其中第k次就相当于求解下述问题 { ∂ t y k − ∂ x ( a ( ω k ， x ， t ) ∂ x y k ( ω k ， x ， t ) ) = f ( ω k ， x ， t ) ，                           ( ω k ， x ， t ) ∈ Ω × D × [ 0 ， T ] ， y k ( ω k ， a ， t ) = y k ( ω k ， b ， t ) = 0 ，                                                                                                                                                                                           ( ω k ， t ) ∈ Ω × [ 0 ， T ] ， y k ( ω k ， x ， 0 ) = g 0 ( x ) ，                                                                                                                                                                                                                                                           ( ω k ， x ) ∈ Ω × D . (4) 在对问题(4)进行离散时，考虑到离散格式的稳定性，常用隐式Euler法。因此对不同的k，对应不同的系数矩阵，就要算一次矩阵的逆。集成方法得到的离散格式对所有抽样只需要算一次逆矩阵，这就大大减少了计算量。下面介绍处理问题(4)的集成MC隐式Euler法。 选取一组独立同分布的随机样本 { ω k } ，对应于不同的k，有不同的 解 y k = y ( ω k ， ⋅ ， ⋅ ) ，其中 k = 1 ， 2 ， ⋯ ， K 。对时间区域 [ 0 ， T ] 进行均匀划分， 0 = t 0 < t 1 < ⋯ < t N − 1 < t N = T ，时间节点 t i = i τ ， i = 0 ， 1 ， ⋯ ， N ，其中步长为 τ = T / N 。定义随机系数的集成均值如下： a ¯ i ( x ) : = a ¯ ( x ， t i ) = 1 K ∑ k = 1 K a k ( ω ， x ， t i ) = 1 K ∑ k = 1 K a ( ω k ， x ， t i ) . (5) 则基于时间的状态方程可用如下的离散格式来近似，即 y k i + 1 − y k i τ − ∂ x ( a ¯ i + 1 ∂ x y k i + 1 ) − ∂ x ( ( a k i + 1 − a ¯ i + 1 ) ∂ x y k i ) = f k i + 1 ， (6) 其中 a k i + 1 = a ( ω k ， x ， t i + 1 ) ， y k i = y ( ω k ， x ， t i ) ， f k i + 1 = f ( ω k ， x ， t i + 1 ) 。将式(6)变形得 y k i + 1 τ − ∂ x ( a ¯ i + 1 ∂ x y k i + 1 ) = y k i τ + ∂ x ( ( a k i + 1 − a ¯ i + 1 ) ∂ x y k i ) + f k i + 1 . 对空间 [ a ， b ] 采用等距剖分 T h ，设步长为 h = ( b − a ) / M ，节点坐标为 x j = a + j h ， j = 0 ， 1 ， ⋯ ， M 。取有限元空间 V h = { v h | v h ∈ P 1 ( x ) ， K ∈ T h } ，此处的K表示剖分 T h 的某个区间 [ x j ， x j + 1 ] ， P 1 ( x ) 表示一次多项式。用 y k ， h i ∈ V h 表示 a k ( ω ， x ， t i ) = a ( ω k ， x ， t i ) 时式(6)的近似解在 t = t i 时刻的值，即 y k ， h i = y h ( ω k ， x ， t i ) 。则式(6)的集成MC隐式Euler格式为：求 y k ， h i ∈ V h ， i = 1 ， ⋯ ， N − 1 ，使得对任意 v h ∈ V h 有 ( y k ， h i + 1 − y k ， h i τ ， v h ) + ( a ¯ i + 1 ∂ x y k ， h i + 1 ， ∂ x v h ) + ( ( a k i + 1 − a ¯ i + 1 ) ∂ x y k ， h i ， ∂ x v h ) = ( f k i + 1 ， v h ) . (7) 其中，初始条件 y k ， h 0 ( ω k ， x ， 0 ) = g k 0 ( x ) 。 接下来考虑其矩阵形式，在 V h 上，设 φ j ( x ) 为节点基函数，则 y k ， h i ( ω k ， x ， t i ) 可表示为 ∑ j = 1 M − 1 y k ， h i ( ω k ， t i ) φ j ( x ) ，在式(7)中取 v h = φ l ( x ) 便可得： ∫ D ∑ j = 1 M − 1 y k ， h i + 1 φ j ( x ) φ l d x + τ ∫ D ∑ j = 1 M − 1 y k ， h i + 1 a ¯ i + 1 φ ′ j ( x ) φ ′ l d x + τ ∫ D ∑ j = 1 M − 1 y k ， h i ( a k i + 1 − a ¯ i + 1 ) φ ′ j ( x ) φ ′ l d x = ∫ D ∑ j = 1 M − 1 y k ， h i φ j ( x ) φ l d x + τ ∫ D f k i + 1 φ l d x 即 ∑ j = 1 M − 1 y k ， h i + 1 ∫ D φ j ( x ) φ l d x + τ ∑ j = 1 M − 1 y k ， h i + 1 ∫ D a ¯ i + 1 φ ′ j ( x ) φ ′ l d x = τ ∑ j = 1 M − 1 y k ， h i ∫ D ( a ¯ i + 1 − a k i + 1 ) φ ′ j ( x ) φ ′ l d x + ∑ j = 1 M − 1 y k ， h i ∫ D φ j ( x ) φ l d x + τ ∫ D f k i + 1 φ l d x 记 m j ， l = ∫ D φ j ( x ) φ l d x ， a ¯ l ， j i + 1 = ∫ D a ¯ i + 1 φ ′ j ( x ) φ ′ l d x ， a k ， l ， j i + 1 = ∫ D ( a ¯ i + 1 − a k i + 1 ) φ ′ j ( x ) φ ′ l d x ， f k ， l i + 1 = ∫ D f k i + 1 φ l d x . 则式(7)的矩阵格式为 ( M + τ A ¯ i + 1 ) Y k i + 1 = ( M + τ A k i + 1 ) Y k i + τ F k i + 1 . (8) 为了便于比较和分析计算效果，我们同时给出一般的，没有采用集成方法MC隐式Euler格式：求 y k ， h i ∈ V h ， i = 0 ， 1 ， ⋯ ， N − 1 ，使得对任意 v h ∈ V h 有 ( y k ， h i + 1 − y k ， h i τ ， v h ) + ( a k i + 1 ∂ x y k ， h i + 1 ， ∂ x v h ) = ( f k i + 1 ， v h ) . 其中，初始条件 y k ， h 0 ( ω k ， x ， 0 ) = g k 0 ( x ) 。类似的方法可得其矩阵形式为： ( M + τ A k i + 1 ) Y k i + 1 = M Y k i + τ F k i + 1 . (9) 将式(8)和式(9)相比较，为了得到 Y k i + 1 ，集成方法针对不同的抽样 ω k 只需要求一次矩阵的逆 ( M + τ A ¯ i + 1 ) − 1 ，而非集成方法，针对不同的抽样 ω k ，每迭代一次都要算一次矩阵的逆 ( M + τ A k i + 1 ) − 1 ，这样，抽样次数K越大，计算逆矩阵的次数就越多，造成计算量也越大。 3.2. 随机抛物方程初边值问题的集成MC隐式Euler格式的稳定性及误差分析 接下来先讨论集成格式(7)的稳定性，假设下述两个条件是成立的： i) 存在一个正常数 θ ，使得对于任意的 t ∈ [ 0 ， T ] ，有 P { ω ∈ Ω ; min x ∈ D ¯ a ( ω ， x ， t ) > θ } = 1 . ii) 存在正常数 θ − 和 θ + ，使得对于任意的 t ∈ [ 0 ， T ] ，有 P { ω k ∈ Ω ; θ − ≤ | a ( ω k ， x ， t ) − a ¯ ( x ， t ) | ≤ θ + } = 1 . 其中，条件(i)保证了问题的一致强制性，条件(ii)表示系数 a ( ω k ， x ， t ) 到式(5)定义的集成均值 a ¯ ( x ， t ) 的距离是一致有界的。 引理 [ 8 ] 3.1. 设 f k = f ( ω k ， ⋅ ， ⋅ ) ∈ L 2 ( ( 0 ， T ] ， H − 1 ( D ) ) 并且成立假设条件(i) (ii)及 θ > θ + ，则集成格式(7)是稳定的，并且式(7)的数值解满足 E [ ‖ y k ， h N ‖ 2 ] + θ − τ E [ ‖ y k ， h N ‖ 2 ] + ( θ − θ + ) ∑ i = 1 N E [ ‖ ∂ x y k ， h i ‖ 2 ] ≤ C τ ∑ i = 1 N E [ ‖ f k i ‖ − 1 2 ] + C τ E [ ‖ ∂ x y k ， h 0 ‖ 2 ] + E [ ‖ y k ， h 0 ‖ 2 ] 其中，C是与 K ， h ， τ 无关的常数。 下面对式(4)进行误差估计，设 y k i 是在 ω = ω k 和 t = t i 时式(2)的解， y k ， h i 是式(7)的解，记 y k ， h i = y h ( ω k ， x ， t i ) ，定义全离散集成MC隐式Euler格式(7)的近似为： Φ h i = 1 K ∑ k = 1 K y k ， h i . 接下来，将对 E [ y k i ] − Φ h i 进行估计，考虑到数值求解时我们采用的是MC方法进行随机抽样，因此，该式误差来源由有限元离散误差和抽样误差两部分构成，即可以写成如下 E [ y k i ] − Φ h i = ( E [ y k i ] − E [ y k ， h i ] ) + ( E [ y k ， h i ] − Φ h i ) . 注意到，右边第一部分为有限元离散产生的误差，第二部分是MC抽样产生的误差。 引理 [ 8 ] 3.2 对于给定的 f k ∈ L 2 ( ( 0 ， T ] ， H − 1 ( D ) ) 和 y k 0 ∈ L 2 ( H 0 1 ( D ) ， H 2 ( D ) ) ，在假设(i) (ii)及 θ > θ + 成立的条件下，有下面式子成立 E [ ‖ E [ y k N ] − Φ h N ‖ 2 ] + θ − τ E [ ‖ ∂ x ( E [ y N ] − Φ h N ) ‖ 2 ] + ( θ − θ + ) τ ∑ i = 1 N E [ ‖ ∂ x ( E [ y i ] − Φ h i ) ‖ 2 ] ≤ 1 K ( C τ ∑ i = 1 N E [ ‖ f k i ‖ − 1 2 ] + C τ E [ ‖ ∂ x y k ， h 0 ‖ 2 ] + E [ ‖ y k ， h 0 ‖ 2 ] ) + C ( τ 2 + h 2 ) 其中，C是与 K ， h ， τ 无关的正常数。