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user: 3. 主要结论 定理2.1 C ( R n ) 空间的子集 U 列紧的充要条件是 1) 对任意 k 属于 C ，当 ‖ x ‖ ≤ k 时，存在 C k > 0 ，使得 sup ‖ x ‖ ≤ k | u ( x ) | ≤ C k ，对 ∀ u ∈ U 。 2) 对任意的 k > 0 ， { u ( x ) | u ∈ U } 在 ‖ x ‖ ≤ k 上是等度连续的。 证明：首先证 C ( R n ) 空间是完备的。令 { u n ( x ) } 是 C ( R n ) 中的基本列，则 ρ ( u m ( x ) ， u n ( x ) ) = ∑ i = 1 ∞ 1 2 i max ‖ x ‖ ≤ i | u m ( x ) − u n ( x ) | 1 + max ‖ x ‖ ≤ i | u m ( x ) − u n ( x ) | → 0 ， ( m ， n → 0 ) . 由此知对任意的 m ， n ∈ N ， max ‖ x ‖ ≤ i | u m ( x ) − u n ( x ) | → 0 ， ( m ， n → 0 ) 。事实上对每一个固定的 j ∈ N ，对 ∀ ε > 0 ， ∃ N j ，使得 ∑ i = 1 ∞ 1 2 i max ‖ x ‖ ≤ i | u m ( x ) − u n ( x ) | 1 + max ‖ x ‖ ≤ i | u m ( x ) − u n ( x ) | < ε 2 j + 1 ， ( m ， n > N j ) . 取第 j 项，它不会超过所有项的总和，故 1 2 j max ‖ x ‖ ≤ j | u m ( x ) − u n ( x ) | 1 + max ‖ x ‖ ≤ j | u m ( x ) − u n ( x ) | < ε 2 j + 1 ⇒ max ‖ x ‖ ≤ j | u m ( x ) − u n ( x ) | < ε . 这说明对任意的 ‖ x ‖ ≤ k ， { u n ( x ) } 在 { x | ‖ x ‖ ≤ k } 上收敛，并且存在 u * k ( x ) ∈ C ( R n ) ，使得 | u n ( x ) − u * k ( x ) | → 0 ， ( n → ∞ ) ， ‖ x ‖ ≤ k 。 定义 u * ( x ) = { u * 1 ( x ) ， x ∈ B ¯ ( 0 ， 1 ) ; u * 2 ( x ) ， x ∈ B ¯ ( 0 ， 2 ) ; ⋯ u * k ( x ) ， x ∈ B ¯ ( 0 ， k ) . 证明 u n ( x ) → ρ u * ( x ) ， ( n → ∞ ) 。事实上，就是要证明 ρ ( u n ( x ) ， u * ( x ) ) = ∑ i = 1 ∞ 1 2 i max ‖ x ‖ ≤ i | u n ( x ) − u * ( x ) | 1 + max ‖ x ‖ ≤ i | u n ( x ) − u * ( x ) | → 0 ， ( n → ∞ ) 。 也就是要证明，对任意的 ε > 0 ，存在 N ，当 n > N 时，使得 ∑ i = 1 ∞ 1 2 i max ‖ x ‖ ≤ i | u n ( x ) − u * ( x ) | 1 + max ‖ x ‖ ≤ i | u n ( x ) − u * ( x ) | < ε 要对无穷多项进行评估，常用“分段论证法”，这里在 n 0 项处分段，其中 n 0 充分大，使得 ∑ i = n 0 + 1 ∞ 1 2 i < ε 2 。 ∑ i = 1 ∞ 1 2 i max ‖ x ‖ ≤ i | u n ( x ) − u * ( x ) | 1 + max ‖ x ‖ ≤ i | u n ( x ) − u * ( x ) | = ∑ i = 1 n 0 1 2 i max ‖ x ‖ ≤ i | u n ( x ) − u * ( x ) | max ‖ x ‖ ≤ i | u n ( x ) − u * ( x ) | + ∑ i = n 0 + 1 ∞ 1 2 i max ‖ x ‖ ≤ i | u n ( x ) − u * ( x ) | max ‖ x ‖ ≤ i | u n ( x ) − u * ( x ) | 为了有限项小于 ε 2 ，对任意的 n < n 0 ，存在 ，使得 max ‖ x ‖ ≤ n | u n ( x ) − u * ( x ) | < ε 2 取定 N = { N 1 ， N 2 ， ⋯ ， N n 0 } ，便有 n > N 时， ∑ n = 1 n 0 1 2 n max ‖ x ‖ ≤ n | u n ( x ) − u * ( x ) | 1 + max ‖ x ‖ ≤ n | u n ( x ) − u * ( x ) | < ∑ n = 1 n 0 1 2 n max ‖ x ‖ ≤ n | u n ( x ) − u * ( x ) | < ∑ n = 1 n 0 1 2 n ⋅ ε 2 < ε 2 无穷项小于 ε 2 ， ∑ i = n 0 + 1 ∞ 1 2 i max ‖ x ‖ ≤ i | u n ( x ) − u * ( x ) | 1 + max ‖ x ‖ ≤ i | u n ( x ) − u * ( x ) | < ∑ i = n 0 + 1 ∞ 1 2 i < ε 2 . 于是，当 n > N 时， ∑ i = 1 ∞ 1 2 i max ‖ x ‖ ≤ i | u n ( x ) − u * ( x ) | 1 + max ‖ x ‖ ≤ i | u n ( x ) − u * ( x ) | < ε . 成立。故 ( C ( R n ) ， ρ ) 是完备的度量空间。 必要性：证明 { u | u ∈ U } 在 ‖ x ‖ ≤ k 上有上确界。因 U ⊂ C ( R n ) 是列紧集，从而子集 U 是完全有界集，则存在 U 的一个有限的 1 2 k + 1 网 N ( 1 2 k + 1 ) = { u 1 k ， u 2 k ， ⋯ ， u n k } ⊂ U ，并且 U ⊂ U i = 1 k B ( u i k ， 1 2 k + 1 ) ， ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ) 。对 ∀ k > 0 ，存在 u ∈ B ( u i k ， 1 2 k + 1 ) ，当 n = 1 时，有 ρ ( u ， u 1 k ) ≤ 1 2 k + 1 ，即 ∑ i = 1 ∞ 1 2 i max ‖ x ‖ ≤ i | u ( x ) − u 1 k ( x ) | 1 + max ‖ x ‖ ≤ i | u ( x ) − u 1 k ( x ) | ≤ 1 2 k + 1 . 当 i 取第 k 项， 1 2 k max ‖ x ‖ ≤ k | u ( x ) − u 1 k ( x ) | 1 + max ‖ x ‖ ≤ k | u ( x ) − u 1 k ( x ) | ≤ 1 2 k + 1 . max ‖ x ‖ ≤ k | u ( x ) − u 1 k ( x ) | ≤ 1. 当 n = 2 时， ρ ( u ， u 2 k ) ≤ 1 2 k + 1 ，即 ∑ i = 1 ∞ 1 2 k max ‖ x ‖ ≤ i | u ( x ) − u 2 k ( x ) | 1 + max ‖ x ‖ ≤ i | u ( x ) − u 2 k ( x ) | ≤ 1 2 k + 1 . 当 i 取第 k 项， max ‖ x ‖ ≤ k | u ( x ) − u 2 k ( x ) | ≤ 1. 当 n = k 时， ρ ( u ， u k k ) ≤ 1 2 k + 1 ， ∑ i = 1 ∞ 1 2 k max ‖ x ‖ ≤ i | u ( x ) − u k k ( x ) | 1 + max ‖ x ‖ ≤ i | u ( x ) − u k k ( x ) | ≤ 1 2 k + 1 . 当 i 取第 k 项， max ‖ x ‖ ≤ k | u ( x ) − u k k ( x ) | ≤ 1. 所以存在 C k = 1 + max 1 ≤ i ≤ k ‖ u i ( x ) ‖ ，使得 sup ‖ x ‖ ≤ k | u i | ≤ C k 证明 { u | u ∈ U } 在 B ¯ ( 0 ， k ) 上是等度连续函数。因为 C ( R n ) 是完备的空间，所以 U ⊂ C ( R n ) 是完全有界集，则存在 U 的一个 ε ′ 3 网且是个有穷集，记 N ( ε ′ 3 ) = { u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u n } ⊂ U 即对 ∀ ε > 0 ， u ( x ) ∈ U ， ∃ u i ∈ N ( ε 3 ) ，使得 ‖ u ( x ) − u i ( x ) ‖ < ε 3 。这就表明当取 ε ′ > 0 时，其中 0 < ε ′ 3 ⋅ 2 k 1 − ε ′ 3 ⋅ 2 k < ε 3 ， ρ ( u ( x ) ， u i ( x ) ) = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k max ‖ x ‖ ≤ k | u ( x ) − u i ( x ) | 1 + max ‖ x ‖ ≤ k | u ( x ) − u i ( x ) | < ε ′ 3 整体小于 ε ′ 3 ，则取第 k 项同样小于 ε ′ 3 ，得 1 2 k max ‖ x ‖ ≤ k | u ( x ) − u i ( x ) | 1 + max ‖ x ‖ ≤ k | u ( x ) − u i ( x ) | < ε ′ 3 . 小于号两边同乘以 2 k 得 max ‖ x ‖ ≤ k | u ( x ) − u i ( x ) | 1 + max ‖ x ‖ ≤ k | u ( x ) − u i ( x ) | < ε ′ 3 ⋅ 2 k . 再同乘以 1 + max ‖ x ‖ ≤ k | u ( x ) − u i ( x ) | 得 max ‖ x ‖ ≤ k | u ( x ) − u i ( x ) | < ε ′ 3 ⋅ 2 k ⋅ ( 1 + max ‖ x ‖ ≤ k | u ( x ) − u i ( x ) | ) . 所以最后计算得 max ‖ x ‖ ≤ k | u ( x ) − u i ( x ) | < ε ′ 3 ⋅ 2 k 1 − ε ′ 3 ⋅ 2 k < ε 3 . 其次对这有穷函数 N ( ε 3 ) = { u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u n } ，由函数的连续性知，对每一个 1 ≤ i ≤ n 及 ∀ ε > 0 ， ∃ δ i ( ε ) > 0 ，当 ρ ( x 1 ， x 2 ) < δ i ( ε ) 时，有 | u i ( x 1 ) − u i ( x 2 ) | < ε 3 ， ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 。故对 ∀ ε > 0 ，取 δ i ( ε ) = min { δ 1 ( ε ) ， δ 2 ( ε ) ， ⋯ ， δ n ( ε ) } ，使得对任意的 u ( x ) ∈ U ， x i ≤ k ，当 ρ ( x 1 ， x 2 ) < δ 时，有 | u ( x 1 ) − u ( x 2 ) | ≤ | u ( x 1 ) − u i ( x 1 ) | + | u i ( x 1 ) − u i ( x 2 ) | + | u ( x 2 ) − u i ( x 2 ) | < 2 ⋅ ε 3 + ε 3 = ε . 所以 U 是等度连续的。 充分性：设任意的 ε > 0 上， { u } 在 B ¯ ( 0 ， k ) 上是一致有界且等度连续的。由(Arzela-Ascoli)定理知 C ( B ¯ ( 0 ， k ) ) 是列紧的。只须证 U 存在有限的 ε 网。所以对任意的 ε > 0 ，取 n 0 > 0 。使得 ∑ k = n 0 + 1 ∞ 1 2 k ≤ ε 3 。又通过 { u | u ∈ U } ‖ x ‖ ≤ n 0 是一致有界且等度连续的可知存在一个有限 ε 4 网，记 N ( ε 4 ) = { u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u k } ‖ x ‖ ≤ n 0 。取 N ( ε ) = { u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u k } ，则对 ∀ ε > 0 ， ∀ u ∈ B ¯ ( 0 ， n 0 ) ， ∃ u i ∈ N ( ε 4 ) ， ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ) 使得 ‖ u − u i ‖ ‖ x ‖ ≤ n 0 ≤ ε 4 ，即 ρ ( u ， u i ) = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k max ‖ x ‖ ≤ k | u ( x ) − u i ( x ) | 1 + max ‖ x ‖ ≤ k | u ( x ) − u i ( x ) | = ∑ k = 1 n 0 1 2 i max ‖ x ‖ ≤ k | u ( x ) − u i ( x ) | 1 + max ‖ x ‖ ≤ k | u ( x ) − u i ( x ) | + ∑ k = n 0 + 1 ∞ 1 2 i max ‖ x ‖ ≤ k | u ( x ) − u i ( x ) | 1 + max ‖ x ‖ ≤ k | u ( x ) − u i ( x ) | < ε 4 ⋅ ∑ k = 1 n 0 1 2 k + ε 2 < ε . 这就证明对任意的 ε > 0 ，任意子集 U ⊂ C ( R n ) 在 ‖ x ‖ ≤ k 上是自列紧的。