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user: 3. Farey图的色多项式和流多项式 Farey图是一类自相似的外平面图，可以由2种方法构造得到。 1) 迭代构造法 [ 4 ] (见图1)：设 G n 为第 n 代Farey图。 图1. Farey图迭代构造法 a) n = 0 时， G 0 = K 2 。 b) n ≥ 1 时， G n 可以通过下面的迭代得到： G n − 1 在第 n − 1 步加的每条边 e ，对应一个新的顶点 v ，并将 e 的顶点与顶点 v 相连，便得到图 G n 。 2) 递归构造法 [ 4 ] (见图2)：设 G n 为第 n 代Farey图，且 G n 有两个特殊的顶点，分别设为 A n 和 B n 。 图2. Farey图递归构造法 a) n = 0 时， G 0 = K 2 。由一条边连接点 A 0 和 B 0 得到。 b) n ≥ 1 时， G n 可以通过两个 G n − 1 得到：用 G ′ n − 1 和 G ″ n − 1 分别表示这两个 G n − 1 。记 G ′ n − 1 中的两个特殊的点分别为 A ′ n − 1 和 B ′ n − 1 。 B ′ n − 1 记 G ″ n − 1 中的两个特殊的点分别为 A ″ n − 1 和 B ″ n − 1 。将点 A ″ n − 1 和 B ′ n − 1 两点重合得到一个新的点，记为 C n 。再将 A ′ n − 1 和 B ″ n − 1 用一条新边相连，将 和 B ″ n − 1 分别记为 A n 和 B n 。这样便得到图了 G n 。 推论1 [ 4 ] ：为了表示方便，用 T n ( x ， y ) 表示Farey图 G n 的Tutte多项式 T ( G n ; x ， y ) ，对于每个 n ≥ 1 ，Farey图 G n 的Tutte多项式为 T n ( x ， y ) = T 1 ， n ( x ， y ) + ( x − 1 ) N n ( x ， y ) ， (1) 其中 T 1 ， n ( x ， y ) 和 N n ( x ， y ) 都是整系数多项式且满足以下递归关系 T 1 ， n ( x ， y ) = y T 1 ， n − 1 2 ( x ， y ) + 2 T 1 ， n − 1 ( x ， y ) N n − 1 ( x ， y ) + ( x − 1 ) N n − 1 2 ( x ， y ) ， (2) N n ( x ， y ) = 2 T 1 ， n − 1 ( x ， y ) N n − 1 ( x ， y ) + ( x − 1 ) N n − 1 2 ( x ， y ) ， (3) 初始条件为 T 1 ， 0 ( x ， y ) = 1 ， N 0 ( x ， y ) = 1 。 (4) 定理1 [ 4 ] ：Farey图 G n ( n ≥ 1 ) 的色多项式为 P ( G n ; λ ) = λ ( 1 − λ ) ( 2 − λ ) 2 n − 1 。 定理2：Farey图 G n ( n ≥ 1 ) 的流多项式为 F ( G n ; λ ) = ( λ − 1 ) ∏ i = 0 n − 1 ( b i 2 ( n − 1 − i ) ) 2 其中 b 0 = 1 ，且 n ≥ 2 时， b n = 2 − λ − ( 1 − λ b n − 1 ) 2 ，初始值 b 1 = 2 − λ 。 证明：为了表示方便，设 T ( G n ; 0 ， 1 − λ ) = T n ( 0 ; 1 − λ ) 并代入引理1，得 F ( G n ; λ ) = ( − 1 ) − | V ( G n ) | + | E ( G n ) | + k ( G n ) T ( G n ; 0 ， 1 − λ ) = ( − 1 ) − | V ( G n ) | + | E ( G n ) | + k ( G n ) T n ( 0 ， 1 − λ ) 。 (5) 其中 | V ( G n ) | 、 | E ( G n ) | 、 k ( G n ) 分别是 G n 的顶点数、边数和连通分支的个数。 我们先求 T n ( 0 ， 1 − λ ) ，为了好表示，我们令 1 − λ = y ，所以我们要将 T n ( 0 ， y ) 表示出来。将 x = 0 代入推论2中的式子(1)、(2)、(3)、(4)得 T n ( 0 ， y ) = T 1 ， n ( 0 ， y ) − N n ( 0 ， y ) ， (6) 其中 T 1 ， n ( 0 ， y ) 和 N n ( 0 ， y ) 都是整系数多项式且满足以下递归关系 T 1 ， n ( 0 ， y ) = y T 1 ， n − 1 2 ( 0 ， y ) + 2 T 1 ， n − 1 ( 0 ， y ) N n − 1 ( 0 ， y ) − N n − 1 2 ( 0 ， y ) ， (7) N n ( 0 ， y ) = 2 T 1 ， n − 1 ( 0 ， y ) N n − 1 ( 0 ， y ) − N n − 1 2 ( 0 ， y ) ， (8) 初始条件为 T 1 ， 0 ( 0 ， y ) = 1 ， N 0 ( 0 ， y ) = 1 。 (9) 由(8)、(9)得 N n ( 0 ， y ) = T 1 ， n ( 0 ， y ) − y T 1 ， n − 1 2 ( 0 ， y ) (10) 由(6)、(10)得 T n ( 0 ， y ) = y T 1 ， n − 1 2 ( 0 ， y ) (11) 由(7)、(10)得 T 1 ， n ( 0 ， y ) = y T 1 ， n − 1 2 ( 0 ， y ) + 2 T 1 ， n − 1 ( 0 ， y ) ( T 1 ， n − 1 ( 0 ， y ) − y 2 T 1 ， n − 2 2 ( 0 ， y ) ) − ( T 1 ， n − 1 ( 0 ， y ) − y 2 T 1 ， n − 2 2 ( 0 ， y ) ) 2 化简得 T 1 ， n ( 0 ， y ) − ( 1 + y ) T 1 ， n − 1 2 ( 0 ， y ) + y 2 T 1 ， n − 2 4 ( 0 ， y ) = 0 (12) 由(12)变换得 T 1 ， n ( 0 ， y ) T 1 ， n − 1 2 ( 0 ， y ) = 1 + y − y 2 T 1 ， n − 2 4 ( 0 ， y ) T 1 ， n − 1 2 ( 0 ， y ) ， 对 n ≥ 2 时，引入中间变量 T 1 ， n ( 0 ， y ) T 1 ， n − 1 2 ( 0 ， y ) = b n ，故可以推出 b n = 1 + y − ( y b n − 1 ) 2 ， (13) 由(7)、(9)可推得 T 1 ， 1 ( 0 ， y ) = 1 + y ，令 n = 1 ，代入 T 1 ， n ( 0 ， y ) T 1 ， n − 1 2 ( 0 ， y ) = b n ，得初始值 b 1 = 1 + y ， (14) 因为 T 1 ， n ( 0 ， y ) T 1 ， n − 1 2 ( 0 ， y ) = b n ，所以 T 1 ， n ( 0 ， y ) = b n T 1 ， n − 1 2 ( 0 ， y ) ，故有 T 1 ， n − 1 ( 0 ， y ) = b n − 1 T 1 ， n − 2 2 ( 0 ， y ) = b n − 1 ( b n − 2 T 1 ， n − 3 2 ( 0 ， y ) ) 2 = b n − 1 b n − 2 2 ( b n − 3 T 1 ， n − 4 2 ( 0 ， y ) ) 4 = ∏ i = 1 n − 1 b i 2 ( n − 1 − i ) ( T 1 ， 0 2 ( 0 ， y ) ) 2 ( n − 1 − i ) = ∏ i = 1 n − 1 b i 2 ( n − 1 − i ) (15) 将(16)代入(11)得 T n ( 0 ， y ) = y T 1 ， n − 1 2 ( 0 ， y ) = y ∏ i = 1 n − 1 ( b i 2 ( n − 1 − i ) ) 2 (16) 由Farey图 G n 的结构，我们不难计算出 G n 的顶点数、边数和连通分支个数分别为 | V ( G n ) | = 2 n + 1 ， | E ( G n ) | = 2 n + 1 − 1 ， k ( G n ) ，令 y = 1 − λ ，由(5)、(16)、(13)、(14)式得 n ≥ 2 时， F ( G n ; λ ) = ( − 1 ) − | V ( G n ) | + | E ( G n ) | + k ( G n ) T ( G n ; 0 ， 1 − λ ) = ( − 1 ) − | V ( G n ) | + | E ( G n ) | + k ( G n ) T n ( 0 ， 1 − λ ) = ( − 1 ) − 2 n − 1 + 2 n + 1 − 1 + 1 T n ( 0 ， 1 − λ ) = − T n ( 0 ， 1 − λ ) = ( λ − 1 ) ∏ i = 1 n − 1 ( b i 2 ( n − 1 − i ) ) 2 ， (17) 其中 b n = 2 − λ − ( 1 − λ b n − 1 ) 2 ， b 1 = 2 − λ 。 又因为 n = 1 ，时 G 1 = K 3 ，所以 F ( G 1 ) = ( λ − 1 ) ，令 b 0 = 1 ，则 n = 1 时，也满足(17)式，综上，定理得证。 定理3：Farey图 G n ( n ≥ 1 ) 的面色多项式为 P * ( G n ; λ ) = λ ( λ − 1 ) ∏ i = 1 n − 1 ( b i 2 ( n − 1 − i ) ) 2 其中 b 0 = 1 ，且 n ≥ 2 时， b n = 2 − λ − ( 1 − λ b n − 1 ) 2 ，初始值 b 1 = 2 − λ 。 证明：由引理2得， F ( G n ; λ ) = P ( G n * ; λ ) λ 。再由对偶图的定义可知 P * ( G n ; λ ) = P ( G n * ; λ ) ， 所以 P * ( G n ; λ ) = λ F ( G n ; λ ) ， 在定理2中已经推导出 F ( G n ; λ ) 的结果，代入 P * ( G n ; λ ) = λ F ( G n ; λ ) ，定理得证。