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user: 3. 算子的性质 在研究系统算子 A + B 的性质前首先给出几个相关定义。 定义1. 算子 A + B 的谱上界 s ( A + B ) 定义为 s ( A + B ) = inf { ω ∈ R | ( ω ， ∞ ) ⊆ ρ ( A + B ) } 。 定义2. 若算子 A + B 是半群 T ( t ) 的无穷小生成元，则增长界 ω ( A + B ) 定义为， ω ( A + B ) = inf { ω ∈ R | ∃ S ≥ 1 ， 对 ∀ t ≥ 0 ， 有 ‖ T ( t ) ‖ ≤ S e ω t } 定义3. 设集合 C 为集合 E 的子集，若对任意的 f ∈ E ，存在 g ∈ C ，使得 f ≤ g ，则称 C 在 E 中共尾。 定理1. D ( A + B ) 在 X 中稠密。 证明： L = { ( P 0 ， P 1 ( x ) ， P 2 ( x ) ， P 3 ( x ) ， P 4 ( x ) ， P M ( x ) ， P N ( x ) ) T | P j ( x ) ∈ C 0 ∞ ( R + ) ， 且 存 在 常 数 c j               使 得 P j ( x ) = 0 ， x ∈ [ 0 ， c j ] ， j = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， M ， N } 。 根据文献 [ 4 ] 知 L 在 X 中稠密。故只需证明 D ( A ) 在 X 中稠密即可。 取 P ∈ L ，则存在 c j 使得 P j ( x ) = 0 ，   x ∈ [ 0 ， c j ] ，   j = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， M ， N 。令 0 < 2 s < min { c i ， c M ， c N ， i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 } ， 那么当 x ∈ [ 0 ， 2 s ] 时，有 P j ( x ) = 0 ， j = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， M ， N 。 根据文献 [ 5 ] ，令 f s ( 0 ) = ( P 0 ， f 1 s ( 0 ) ， f 2 s ( 0 ) ， f 3 s ( 0 ) ， f 4 s ( 0 ) ， f M s ( 0 ) ， f N s ( 0 ) ) T f s ( x ) = ( P 0 ， f 1 s ( x ) ， f 2 s ( x ) ， f 3 s ( x ) ， f 4 s ( x ) ， f M s ( x ) ， f N s ( x ) ) T 其中： f j s ( x ) = { f j s ( 0 ) ( 1 − x s ) 2 ，                   ​ ​ ​     x ∈ [ 0 ， s ] μ j ( x − s ) 2 ( x − 2 s ) 2 ，       x ∈ [ s ， 2 s ] P j ( x ) ，                                               x ∈ [ 2 s ， ∞ ) 此处， μ j = f j s ( 0 ) ∫ 0 s μ j ( x ) ( 1 − x s ) 2 d x ∫ s 2 s μ j ( x ) ( x − s ) 2 ( x − 2 s ) 2 d x 易证 f s ( x ) ∈ D ( A ) 且 故 D ( A ) 在 L 中稠密，故 D ( A ) 在 X 中稠密。又由于 D ( B ) = X ，故 D ( A + B ) 在 X 中稠密。 定理2. 系统算子 A + B 为预解正算子。 证明：首先证明 A 为预解正算子。对任意的 Y ∈ X ，考虑算子方程 ( r I − A ) P = Y ，即 ( r + μ 0 ) P 0 = y 0 (9) d P i ( x ) d x + ( r + μ i ( x ) ) P i ( x ) = y i ( x ) ，     i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 (10) d P M ( x ) d x + ( r + μ M ( x ) + ∑ i = 1 4 μ M i ( x ) ) P M ( x ) = y M ( x ) (11) d P N ( x ) d x + ( r + μ N ( x ) ) P N ( x ) = y N ( x ) (12) 解之得： P 0 = y 0 r + μ 0 (13) P i ( x ) = P i ( 0 ) e − ∫ 0 x [ r + μ i ( ξ ) ] d ξ + ∫ 0 x y i ( s ) e − ∫ s x [ r + μ i ( ξ ) ] d ξ d s (14) P M ( x ) = P M ( 0 ) e − ∫ 0 x [ r + μ M ( ξ ) + ∑ i = 1 4 μ M i ( ξ ) ] d ξ + ∫ 0 x y M ( s ) e − ∫ s x [ r + μ M ( ξ ) + ∑ i = 1 4 μ M i ( ξ ) ] d ξ d s (15) P N ( x ) = P N ( 0 ) e − ∫ 0 x [ r + μ N ( ξ ) ] d ξ + ∫ 0 x y N ( s ) e − ∫ s x [ r + μ N ( ξ ) ] d ξ d s (16) 故有， ‖ P ‖ = | P 0 | + ∑ i = 1 4 ‖ P i ( x ) ‖ + ‖ P M ( x ) ‖ + ‖ P N ( x ) ‖ = | y 0 r + μ 0 | + ∑ i = 1 4 ∫ 0 ∞ | P i ( 0 ) e − ∫ 0 x [ r + μ i ( ξ ) ] d ξ + ∫ 0 x e − ∫ s x [ r + μ i ( ξ ) ] d ξ y i ( s ) d s |   d x     + ∫ 0 ∞ | P M ( 0 ) e − ∫ 0 x [ r + μ M ( ξ ) + ∑ i = 1 4 μ M i ( ξ ) ] d ξ + ∫ 0 x e − ∫ s x [ r + μ M ( ξ ) + ∑ i = 1 4 μ M i ( ξ ) ] d ξ y M ( s ) d s |   d x     + ∫ 0 ∞ | P N ( 0 ) e − ∫ 0 x [ r + μ N ( ξ ) ] d ξ + ∫ 0 x e − ∫ s x [ r + μ N ( ξ ) ] d ξ y N ( s ) d s |   d x 当 r > 0 时， | P | ≤ 1 r | y 0 | + ∑ i = 1 4 ( ∫ 0 ∞ | P i ( 0 ) | e − r x d x + ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 x e − r ( x − s ) | y i ( s ) | d s ) d x )     + ∫ 0 ∞ | P M ( 0 ) | e − r x d x + ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 x e − r ( x − s ) | y M ( s ) | d s ) d x     + ∫ 0 ∞ | P N ( 0 ) | e − r x d x + ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 x e − r ( x − s ) | y N ( s ) | d s ) d x 其中， ∫ 0 ∞ | P 1 ( 0 ) | e − r x d x = ∫ 0 ∞ | ∫ 0 ∞ P M ( s ) μ M 1 ( s ) d s | e − r x d x 考虑 ∫ 0 ∞ | ∫ 0 ∞ P M ( s ) μ M 1 ( s ) d s | e − r x d x ，将(15)带入得： 因为 d d s ( e − ∫ 0 s [ r + μ M ( ξ ) + ∑ i = 1 4 μ M i ( ξ ) ] d ξ ) = − ( r + μ M ( s ) ) e − ∫ 0 s [ r + μ M ( ξ ) + ∑ i = 1 4 μ M i ( ξ ) ] d ξ − ∑ i = 1 4 μ M i ( s ) e − ∫ 0 s [ r + μ M ( ξ ) + ∑ i = 1 4 μ M i ( ξ ) ] d ξ 故 ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ | P M ( 0 ) | e − ∫ 0 s [ r + μ M ( ξ ) + ∑ i = 1 4 μ M i ( ξ ) ] d ξ μ M 1 ( s ) d s ) e − r x d x ≤ | y 0 | ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ e − ∫ 0 s [ r + μ M ( ξ ) + ∑ i = 1 4 μ M i ( ξ ) ] d ξ μ M 1 ( s ) d s ) e − r x d x = | y 0 | ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ d d s ( − e − ∫ 0 s [ r + μ M ( ξ ) + ∑ i = 1 4 μ M i ( ξ ) ] d ξ ) d s ) e − r x d x − | y 0 | ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ ( r + μ M ( s ) + ∑ i = 2 4 μ M i ( s ) ) e − ∫ 0 s [ r + μ M ( ξ ) + ∑ i = 1 4 μ M i ( ξ ) ] d ξ d s ) e − r x d x ≤ | y 0 | ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ d d s ( − e − ∫ 0 s [ r + μ M ( ξ ) + ∑ i = 1 4 μ M i ( ξ ) ] d ξ ) d s ) e − r x d x = | y 0 | ∫ 0 ∞ e − r x d x = 1 r | y 0 | 又因为 d d s ( e − ∫ τ s [ r + μ M ( ξ ) + ∑ i = 1 4 μ M i ( ξ ) ] d ξ ) = − ( r + μ M ( s ) ) e − ∫ τ s [ r + μ M ( ξ ) + ∑ i = 1 4 μ M i ( ξ ) ] d ξ − ∑ i = 1 4 μ M i ( s ) e − ∫ τ s [ r + μ M ( ξ ) + ∑ i = 1 4 μ M i ( ξ ) ] d ξ 故 ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 s e − ∫ τ s [ r + μ M ( ξ ) + ∑ i = 1 4 μ M i ( ξ ) ] d ξ | y M ( τ ) | d τ ) μ M 1 ( s ) d s ) e − r x d x = ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ | y M ( τ ) | ( ∫ τ ∞ e − ∫ τ s [ r + μ M ( ξ ) + ∑ i = 1 4 μ M i ( ξ ) ] d ξ μ M 1 ( s ) d s ) d τ ) e − r x d x = ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ | y M ( τ ) | ( ∫ τ ∞ d d s ( − e − ∫ τ s [ r + μ M ( ξ ) + ∑ i = 1 4 μ M i ( ξ ) ] d ξ ) d s ) d τ ) e − r x d x 考虑 ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 x e − r ( x − s ) | y 1 ( s ) | d s ) d x = ∫ 0 ∞ | y 1 ( s ) | ( ∫ s ∞ e − r ( x − s ) d x ) d s = 1 r ‖ y 1 ( s ) ‖ 所以 ‖ P 1 ( x ) ‖ ≤ 1 r [ | y 0 | + ‖ y 1 ( s ) ‖ + ‖ y M ( s ) ‖ ] 同理 ‖ P i ( x ) ‖ ≤ 1 r [ | y 0 | + ‖ y i ( s ) ‖ + ‖ y M ( s ) ‖ ] ‖ P M ( x ) ‖ ≤ 1 r [ | y 0 | + ‖ y M ( s ) ‖ ] ‖ P N ( x ) ‖ ≤ 1 r [ | y 0 | + ‖ y M ( s ) ‖ + ‖ y N ( s ) ‖ ] 故整理得 ‖ P ‖ = | P 0 | + ∑ i = 1 4 ‖ P i ( x ) ‖ + ‖ P M ( x ) ‖ + ‖ P N ( x ) ‖ ≤ 7 r | y 0 | + 1 r ‖ y 1 ( x ) ‖ + 1 r ‖ y 2 ( x ) ‖ + 1 r ‖ y 3 ( x ) ‖ + 1 r ‖ y 4 ( x ) ‖ + 6 r ‖ y M ( x ) ‖ + 1 r ‖ y N ( x ) ‖ ≤ 7 r ‖ Y ‖ 故当 r > 0 时， ( r I − A ) − 1 存在，且 ‖ ( r I − A ) − 1 ‖ ≤ 7 r 。由 Y 的任意性可知， r I − A 为满射。所以 ( 0 ， ∞ ) ⊂ ρ ( A ) ， A 为预解正算子。再由 B 的表达式知， B 为正算子，且 B ≤ sup { ∫ 0 ∞ μ F i ( x ) d x ， ∫ 0 ∞ μ N ( x ) d x ， i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 } = G 故当 r > 7 G 时， ‖ ( r I − A ) − 1 B ‖ ≤ ‖ ( r I − A ) − 1 ‖ ‖ B ‖ ≤ 7 M r < 1 由文献 [ 6 ] 定理“设 A ∈ C n × n ，若 ‖ A ‖ ≤ 1 ，则 I − A 为非奇异矩阵，且 ‖ ( I − A ) − 1 ‖ ≤ ( 1 − ‖ A ‖ ) − 1 ”，知 I − ( r I − A ) − 1 B 可逆，且 ‖ [ I − ( r I − A ) − 1 B ] − 1 ‖ ≤ [ 1 − ‖ ( r I − A ) − 1 B ‖ ] − 1 ，即 [ I − ( r I − A ) − 1 B ] − 1 有界，其中 r > 7 G 。 因 [ I − ( r I − A ) − 1 B ] − 1 = ∑ k = 0 ∞ [ ( r I − A ) − 1 B ] k 且 A 为预解正算子， B 为正算子，故 [ I − ( r I − A ) − 1 B ] − 1 也为正算子。而 [ r I − ( A + B ) ] − 1 = [ ( r I − A ) − ( r I − A ) ( r I − A ) − 1 B ] − 1 = { ( r I − A ) [ I − ( r I − A ) − 1 B ] } − 1 = [ I − ( r I − A ) − 1 B ] − 1 ( r I − A ) − 1 所以当 r > 7 G 时， [ r I − ( A + B ) ] − 1 为正算子，即 A + B 为预解正算子。 定理3. 算子 A + B 的对偶算子 ( A + B ) ∗ ， Q = ( Q 0 ， Q 1 ( x ) ， Q 2 ( x ) ， Q 3 ( x ) ， Q 4 ( x ) ， Q M ( x ) ， Q N (x)) ( A + B ) ∗ Q = [ μ 0 Q M ( 0 ) − μ 0 Q 0 ( d d x − μ 1 ( x ) ) Q 1 ( x ) + μ 1 ( x ) Q 0 ( d d x − μ 2 ( x ) ) Q 2 ( x ) + μ 2 ( x ) Q 0 ( d d x − μ 3 ( x ) ) Q 3 ( x ) + μ 3 ( x ) Q 0 ( d d x − μ 4 ( x ) ) Q 4 ( x ) + μ 4 ( x ) Q 0 ( d d x − μ M ( x ) − ∑ i = 1 4 μ M i ( x ) ) Q M ( x ) + ∑ i = 1 4 μ M i ( x ) Q i ( 0 ) + μ M ( x ) Q N ( 0 ) ( d d x − μ N ( x ) ) Q N ( x ) + μ N ( x ) Q 0 ] D ( A + B ) ∗ = { Q ∈ X ∗ | Q j ( x ) 绝 对 连 续 且 Q j ( x ) ， d d x Q j ( x ) ∈ L ∞ ( R + ) ， j = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， M ， N } 证明：任给 P ∈ D ( A ) 和 Q ∈ D ( A + B ) ∗ ，有 〈 ( A + B ) P ， Q 〉 = { − μ 0 P 0 + ∑ i = 1 4 ∫ 0 ∞ μ i ( x ) P i ( x ) d x + ∫ 0 ∞ μ N ( x ) P N ( x ) d x } Q 0     + ∑ i = 1 4 ∫ 0 ∞ { − d P i ( x ) d x − μ i ( x ) P i ( x ) }   Q i ( x ) d x     + ∫ 0 ∞ { − d P M ( x ) d x − ( μ M ( x ) + ∑ i = 1 4 μ M i ( x ) ) P M ( x ) } Q M ( x ) d x     + ∫ 0 ∞ { − d P N ( x ) d x − μ N ( x ) P N ( x ) } Q N ( x ) d x = − μ 0 P 0 Q 0 + ∫ 0 ∞ μ 1 ( x ) P 1 ( x )     d x Q 0 + ∫ 0 ∞ μ 2 ( x ) P 2 ( x )     d x Q 0     + ∫ 0 ∞ μ 3 ( x ) P 3 ( x ) d x Q 0 + ∫ 0 ∞ μ 4 ( x ) P 4 ( x ) d x Q 0 + ∫ 0 ∞ μ N ( x ) P N ( x ) d x Q 0     + ∫ 0 ∞ − d P 1 ( x ) d x Q 1 ( x ) d x − ∫ 0 ∞ μ 1 ( x ) P 1 ( x ) Q 1 ( x ) d x     + ∫ 0 ∞ − d P 2 ( x ) d x Q 2 ( x ) d x − ∫ 0 ∞ μ 2 ( x ) P 2 ( x ) Q 2 ( x ) d x + ∫ 0 ∞ − d P 3 ( x ) d x Q 3 ( x ) d x − ∫ 0 ∞ μ 3 ( x ) P 3 ( x ) Q 3 ( x ) d x   + ∫ 0 ∞ − d P 4 ( x ) d x Q 4 ( x ) d x − ∫ 0 ∞ μ 4 ( x ) P 4 ( x ) Q 4 ( x ) d x   + ∫ 0 ∞ − d P M ( x ) d x Q M ( x ) d x − ∫ 0 ∞ [ μ M ( x ) + ∑ i = 1 4 μ M i ( x ) ] P M ( x ) Q M ( x ) d x   + ∫ 0 ∞ − d P N ( x ) d x Q N ( x ) d x − ∫ 0 ∞ μ N ( x ) P N ( x ) Q N ( x ) d x 其中 ∫ 0 ∞ − d P i ( x ) d x Q i ( x ) d x = − Q i ( x ) P i ( x ) | 0 ∞ + ∫ 0 ∞ d Q i ( x ) d x P i ( x ) d x = Q i ( 0 ) P i ( 0 ) + ∫ 0 ∞ d Q i ( x ) d x P i ( x ) d x = ∫ 0 ∞ μ M i ( x ) P M ( x ) d x Q i ( 0 ) + ∫ 0 ∞ d Q i ( x ) d x P i ( x ) d x ，   i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 同理 ∫ 0 ∞ − d P M ( x ) d x Q M ( x ) d x = μ 0 P 0 Q M ( 0 ) + ∫ 0 ∞ d Q M ( x ) d x P M ( x ) d x ∫ 0 ∞ − d P N ( x ) d x Q N ( x ) d x = ∫ 0 ∞ μ M ( x ) P M ( x ) d x Q N ( 0 ) + ∫ 0 ∞ d Q N ( x ) d x P N ( x ) d x 所以 〈 ( A + B ) P ， Q 〉 = − μ 0 Q 0 P 0 + ∫ 0 ∞ μ 1 ( x ) Q 0 P 1 ( x ) d x + ∫ 0 ∞ μ 2 ( x ) Q 0 P 2 ( x ) d x     + ∫ 0 ∞ μ 3 ( x ) Q 0 P 3 ( x ) d x + ∫ 0 ∞ μ 4 ( x ) Q 0 P 4 ( x ) d x + ∫ 0 ∞ μ N ( x ) Q 0 P N ( x ) d x     + ∫ 0 ∞ μ M 1 ( x ) Q 1 ( 0 ) P M ( x ) d x + ∫ 0 ∞ d Q 1 ( x ) d x P 1 ( x ) d x − ∫ 0 ∞ μ 1 ( x ) Q 1 ( x ) P 1 ( x ) d x     + ∫ 0 ∞ μ M 2 ( x ) Q 2 ( 0 ) P M ( x ) d x + ∫ 0 ∞ d Q 2 ( x ) d x P 2 ( x ) d x − ∫ 0 ∞ μ 2 ( x ) Q 2 ( x ) P 2 ( x ) d x     + ∫ 0 ∞ μ M 3 ( x ) Q 3 ( 0 ) P M ( x ) d x + ∫ 0 ∞ d Q 3 ( x ) d x P 3 ( x ) d x − ∫ 0 ∞ μ 3 ( x ) Q 3 ( x ) P 3 ( x ) d x + ∫ 0 ∞ μ M 4 ( x ) Q 4 ( 0 ) P M ( x ) d x + ∫ 0 ∞ d Q 4 ( x ) d x P 4 ( x ) d x − ∫ 0 ∞ μ 4 ( x ) Q 4 ( x ) P 4 ( x ) d x     + μ 0 Q M ( 0 ) P 0 + ∫ 0 ∞ d Q M ( x ) d x P M ( x ) d x − ∫ 0 ∞ [ μ M ( x ) + ∑ i = 1 4 μ M i ( x ) ] Q M ( x ) P M ( x ) d x     + ∫ 0 ∞ μ M ( x ) Q N ( 0 ) P M ( x ) d x + ∫ 0 ∞ d Q N ( x ) d x P N ( x ) d x − ∫ 0 ∞ μ N ( x ) Q N ( x ) P N ( x ) d x = ( μ 0 Q M ( 0 ) − μ 0 Q 0 ) P 0 + ∫ 0 ∞ P 1 ( x ) ( d Q 1 ( x ) d x − μ 1 ( x ) Q 1 ( x ) + μ 1 ( x ) Q 0 ) d x     + ∫ 0 ∞ P 2 ( x ) ( d Q 2 ( x ) d x − μ 2 ( x ) Q 2 ( x ) + μ 2 ( x ) Q 0 ) d x + ∫ 0 ∞ P 3 ( x ) ( d Q 3 ( x ) d x − μ 3 ( x ) Q 3 ( x ) + μ 3 ( x ) Q 0 ) d x     + ∫ 0 ∞ P 4 ( x ) ( d Q 4 ( x ) d x − μ 4 ( x ) Q 4 ( x ) + μ 4 ( x ) Q 0 ) d x     + ∫ 0 ∞ P M ( x ) [ d Q M ( x ) d x − ( μ M ( x ) + ∑ i = 1 4 μ M i ( x ) ) Q M ( x )     + ∑ i = 1 4 μ M i ( x ) Q i ( 0 ) + μ M ( x ) Q N ( 0 ) ] d x     + ∫ 0 ∞ P N ( x ) ( d Q N ( x ) d x − μ N ( x ) Q N ( x ) + μ N ( x ) Q 0 ) d x 显然 D ( A + B ) ∗ = { Q ∈ X ∗ | Q j ( x ) 绝 对 连 续 且 Q j ( x ) ， d d x Q j ( x ) ∈ L ∞ ( R + ) ， j = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， M ， N } 定理4. ω ( A + B ) = 0 证明：将系统状态方程组(1)-(4)左右两边分别对 x 从0到 ∞ 积分并整理得： d P 0 ( t ) d t = − μ 0 P 0 ( t ) + ∑ i = 1 4 ∫ 0 ∞ μ i ( x ) P i ( x ， t ) d x + ∫ 0 ∞ μ N ( x ) P N ( x ， t ) d x d P i ( x ， t ) d t = P i ( 0 ， t ) − ∫ 0 ∞ μ i ( x ) P i ( x ， t ) d x ，   i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 d P M ( x ， t ) d t = P M ( 0 ， t ) − ∫ 0 ∞ ( μ M ( x ) + ∑ i = 1 4 μ M i ( x ) ) P M ( x ， t ) d x d P N ( x ， t ) d t = P N ( 0 ， t ) − ∫ 0 ∞ μ N ( x ) P N ( x ， t ) d x 将边值条件(5)-(7)代入上面方程组，并将等式左右相加，可得 d ‖ P ‖ d t = 0 。故方程组所对应的半群是非扩张半群。根据初值条件(8)式，知 ‖ T ( t ) ‖ = 1 。故半群的增长界 ω ( A + B ) = 0 。 定理5. s ( A + B ) = 0 证明：由前文知， X = { P | P 0 ∈ R ; P i ( x ) ， P M ( x ) ， P N ( x ) ∈ L 1 ( R + ) ， ‖ P ‖ = | P 0 | + ∑ i = 1 4 ‖ P i ( x ) ‖ + ‖ P M ( x ) ‖ + ‖ P N ( x ) ‖ } X ∗ = { Q | Q 0 ∈ R ; Q j ( x ) ∈ L ∞ ( R + ) ， ‖ Q ‖ = max { | Q 0 | ， ‖ Q j ( x ) ‖ ， j = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， M ， N } } X + ∗ = { Q ∈ X ∗ | Q 0 ≥ 0 ; Q j ( x ) ≥ 0 ， j = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， M ， N } 任取 f = ( f 0 ， f 1 ( x ) ， f 2 ( x ) ， f 3 ( x ) ， f 4 ( x ) ， f M ( x ) ， f N ( x ) ) Τ ∈ X + ∗ 则 ‖ f ‖ = max { | f 0 | ， ‖ f i ( x ) ‖ L 1 ( R + ) ， ‖ f M ( x ) ‖ L 1 ( R + ) ， ‖ f N ( x ) ‖ L 1 ( R + ) } 因此 ‖ f ‖ ≥ | f 0 | ， ‖ f ‖ ≥ f i ( x ) ， ‖ f ‖ ≥ f M ( x ) ， ‖ f ‖ ≥ f N ( x ) ， x ≥ 0 又因为 1 ( x ) ∈ L ∞ ( R + ) ，且 1 ( x ) 绝对连续，且 d d x 1 ( x ) ∈ L ∞ ( R + ) ，故存在 g = ( ‖ f ‖ ， ‖ f ‖ 1 ( x ) ， ‖ f ‖ 1 ( x ) ， ‖ f ‖ 1 ( x ) ， ‖ f ‖ 1 ( x ) ， ‖ f ‖ 1 ( x ) ， ‖ f ‖ 1 ( x ) ) Τ ∈ D ( ( A + B ) ∗ ) + 故 g − f ≥ 0 ，即 f ≤ g 。所以对任意 f ∈ X + ∗ ，存在 g ∈ D ( ( A + B ) ∗ ) + ，使得 f ≤ g 。所以 D ( ( A + B ) ∗ ) + 在 X + ∗ 中共尾。又因为 A + B 为稠密的预解正算子，根据 [ 7 ] 中定理2.2知， s ( A + B ) = ω ( A + B ) = 0 。