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user: 2. 主要结论 定理1 设 A ， B ∈ ℂ n × n 是Hermite矩阵， α m ， α M ∈ ℝ 是A的最小和最大特征值， β m ， β M ∈ ℝ 是B的最小和最大特征值，那么 W ( A + B ) = W ( A ) + W ( B ) 当且仅当A的特征空间 E α m 与B的特征空间 E β m 有非空交集，A的特征空间 E α M 与B的特征空间 E β M 有非空交集。 证明 先证充分性。假设 α m 为Hermite矩阵A的最小特征值， β m 为Hermite矩阵B的最小特征值，则对任意的单位向量 x 0 ∈ ℂ n 有 x 0 * A x 0 ≥ α m ， x 0 * B x 0 ≥ β m ，故有 x 0 * ( A + B ) x 0 = x 0 * A x 0 + x 0 * B x 0 ≥ α m + β m ， 此式表明 α m + β m 是 A + B 特征值的下界。下证 A + B 的最小特征值即为 α m + β m 。已知特征空间 E α m 与B的特征空间 E β m 有非空交集，设单位向量 x m ∈ E α m ∩ E β m ，则成立 x m * A x m = α m ， x m * B x m = β m ，故有 x m * A x m + x m * B x m = x m * ( A + B ) x m = α m + β m ， 所以 α m + β m 为 A + B 的最小特征值，同理可证 α M + β M 为 A + B 的最大特征值，而 A + B 为Hermite矩阵，故有 W ( A + B ) = [ α m + β m ， α M + β M ] . 又由于 W ( A ) = [ α m ， α M ] ， W ( B ) = [ β m ， β M ] 均为凸集，则 W ( A ) + W ( B ) = [ α m + β m ， α M + β M ] 。由此可得 W ( A + B ) = W ( A ) + W ( B ) 。 再证必要性。如果 W ( A + B ) = W ( A ) + W ( B ) ，那么 W ( A ) + W ( B ) = [ α m + β m ， α M + β M ] = W ( A + B ) . 这表明 α m + β m 和 α M + β M 分别是 A + B 的最小和最大特征值，则存在单位向量 x m ∈ ℂ n 使得 ( A + B ) x m = ( α m + β m ) x m ，故有 x m * ( A + B ) x m = x m * A x m + x m * B x m = α m + β m ， 而由 x m * A x m ≥ α m ， x m * B x m ≥ β m 可得 x m * A x m = α m ， x m * B x m = β m 。因此 x m 是关于A的特征值 α m 与B的特征值 β m 的共同的特征向量，故 x m ∈ E α m ∩ E β m ≠ ∅ ，同理可得 E α M ∩ E β M ≠ ∅ 。□ 定理2 设 A ∈ ℂ n × n 是Hermite矩阵， B ∈ ℂ n × n 是反Hermite矩阵， α m ， α M ∈ ℝ 是A的最小和最大特征值， β m ， β M ∈ ℝ 是 − i B 的最小和最大特征值，那么 W ( A + B ) = W ( A ) + W ( B ) 当且仅当A的特征空间 E α m 和 − i B 的每一个特征空间 E β m ， E β M 都有非空交集且A的特征空间 E α M 和 − i B 的每一个特征空间 E β m ， E β M 都有非空交集。 证明 先证充分性。因为 − i B 是Hermite 矩阵且 β m ， β M 是 − i B 的最小和最大特征值，故 W ( − i B ) = [ β m ， β M ] ，即 W ( B ) = [ i β m ， i β M ] 。由于A的特征空间 E α m 与 − i B 的特征空间 E β m 交集非空，则存在单位向量 x m ∈ E α m ∩ E β m ，使得 A x m = α m x m ， − i B x m = β m x m (即 B x m = i β m x m )成立。将两式相加得 A x m + B x m = α m x m + i β m x m = ( α m + i β m ) x m ， 此式表明 α m + i β m 为 A + B 的特征值。同理可知 α m + i β M ， α M + i β m ， α M + i β M 均为 A + B 的特征值，而 W ( A + B ) 一定包含此四个特征值的凸包，即 W ( A + B ) ⊇ [ α m ， α M ] × [ i β m ， i β M ] . 又由于 W ( A ) = [ α m ， α M ] ， W ( B ) = [ i β m ， i β M ] 均为凸集，则 W ( A ) + W ( B ) = [ α m ， α M ] × [ i β m ， i β M ] ，即 W ( A + B ) ⊇ W ( A ) + W ( B ) ，再结合次可加性 W ( A + B ) ⊆ W ( A ) + W ( B ) ，可得 W ( A + B ) = W ( A ) + W ( B ) 。 再证必要性。如果 W ( A + B ) = W ( A ) + W ( B ) ，那么 W ( A + B ) = [ α m ， α M ] × [ i β m ， i β M ] = W ( A ) + W ( B ) . 这表明 α m + i β m ， α m + i β M ， α M + i β m 和 α M + i β M 是 A + B 的特征值，则有单位向量 x m ∈ ℂ n 使得 ( A + B ) x m = ( α m + i β m ) x m ，因此 x m * ( A + B ) x m = x m * A x m + x m * B x m = α m + i β m ， 而由 x m * A x m ≥ α m ， | x m * B x m | ≥ | i β m | 可得 x m * A x m = α m ， x m * B x m = i β m (即 x m * ( − i B ) x m = β m )。因此 x m 是关于A的特征值 α m 与 − i B 的特征值 β m 的共同的特征向量，故 x m ∈ E α m ∩ E β m ≠ ∅ 。同理有 E α m ∩ E β M ≠ ∅ ， E α M ∩ E β m ≠ ∅ 和 E α M ∩ E β M ≠ ∅ 。□ 定理3 设 A ， B ∈ ℂ 2 × 2 是正规矩阵， α m ， α M ∈ ℂ 是A的两个特征值， β m ， β M ∈ ℂ 是B的两个特征值，那么 W ( A + B ) = W ( A ) + W ( B ) 当且仅当A的特征空间 E α m 与B的特征空间 E β m 有非空交集，A的特征空间 E α M 与B的特征空间 E β M 有非空交集，且线段 [ α m ， α M ] 与线段 [ β m ， β M ] 平行。 证明 先证充分性。假设A的特征空间 E α m 与B的特征空间 E β m 有非空交集，则有单位向量 x m ∈ E α m ∩ E β m ，使得 A x m = α m x m ， B x m = β m x m 。两式相加得 ( A + B ) x m = ( α m + β m ) x m ，这表明 α m + β m 是 A + B 的一个特征值，同理可知 α M + β M 也是 A + B 的特征值。由命题3和数值域的酉不变性，有 W ( A + B ) = W ( d i a g ( α m + β m ， α M + β M ) ) = [ α m + β m ， α M + β M ] ， 注意此处 [ α m + β m ， α M + β M ] 表示复平面上连接点 α m + β m 和点 α M + β M 的线段，而 W ( A ) + W ( B ) = W ( d i a g ( α m ， α M ) ) + W ( d i a g ( β m ， β M ) ) = [ α m ， α M ] + [ β m ， β M ] . 由已知 [ α m ， α M ] 和 [ β m ， β M ] 平行，可得 W ( A ) + W ( B ) = [ α m + β m ， α M + β M ] 。综上有 W ( A + B ) = W ( A ) + W ( B ) 。 再证必要性。由于 A ， B ， A + B 均为二阶正规矩阵，所以 W ( A ) = [ α m ， α M ] ， W ( B ) = [ β m ， β M ] ， W ( A + B ) = [ γ 1 ， γ 2 ] 均为线段，其中 γ 1 ， γ 2 ∈ ℂ 为 A + B 的两个特征值。若 [ α m ， α M ] 与 [ β m ， β M ] 不是平行的，那么 W ( A ) + W ( B ) 一定不是线段，故 [ α m ， α M ] 与 [ β m ， β M ] 平行，从而 W ( A ) + W ( B ) = [ α m + β m ， α M + β M ] 。存在 c ， c 1 ， c 2 ∈ ℂ ， l ∈ ℝ 使得 A = c A 1 + c 1 I ， B = l c B 1 + c 2 I ，其中 A 1 ， B 1 均为Hermite矩阵。易知 W ( A ) = c W ( A 1 ) + c 1 ， W ( B ) = l c W ( B 1 ) + c 2 ， W ( A + B ) = c W ( A 1 + l B 1 ) + c 1 + c 2 ，再由可加性 W ( A + B ) = W ( A ) + W ( B ) 成立可知，有 c W ( A 1 ) + c 1 + c W ( l B 1 ) + c 2 = c W ( A 1 + l B 1 ) + c 1 + c 2 ， 即 W ( A 1 ) + W ( l B 1 ) = W ( A 1 + l B 1 ) 。不妨设 W ( A 1 ) = [ a 1 ， a 2 ] ， W ( l B 1 ) = [ b 1 ， b 2 ] 且有 α m = c a 1 + c 1 ， α M = c a 2 + c 1 ， β m = c b 1 + c 2 ， β M = c b 2 + c 2 ，由定理1的必要性推导过程可知 E a 1 ∩ E b 1 ≠ ∅ ， E a 2 ∩ E b 2 ≠ ∅ 。下面证明 E a 1 = E α m ，任取 a 1 的单位特征向量 x 0 ∈ ℂ n ，则有 A 1 x 0 = a 1 x 0 ，而 c A 1 x 0 + c 1 I x 0 = c a 1 x 0 + c 1 x 0 = ( c a 1 + c 1 ) x 0 ， 即 A x 0 = α m x 0 ，则 x 0 ∈ E α m 。类似可证明 E a 2 = E α M ， E b 1 = E β m ， E b 2 = E β M 。故可得 E α m ∩ E β m ≠ ∅ ， E α M ∩ E β M ≠ ∅ 。 □