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user: 3. 整体适定性 以下我们得到解的能量估计，先给出能量泛函： Φ ( u ( x ， t ) ) = 1 2 ‖ ∇ u ‖ 2 + ∫ ℝ 3 F ( u ) d x (10) 定理4. 在本文假设条件下，方程(1)在其存在区间上的解满足： u ∈ C ( [ 0 ， τ 0 ) ; H 1 ) ∩ L 2 ( [ 0 ， τ 0 ) ; H 2 ) 证：对(10)求导，由本文假设条件可知： d Φ d t = ∫ ℝ 3 [ f ( u ) u t + ∇ u ⋅ ∇ u t ] d x = ∫ ℝ 3 ( − Δ u + f ( u ) ) u t d x = − ∫ ℝ 3 ( − Δ + ε I ) [ Δ u − f ( u ) ] 2 d x − β ∫ ℝ 3 ( f ( u ) − Δ u ) u d x = − ‖ ∇ ( Δ u − f ( u ) ) ‖ L 2 2 − ε ‖ Δ u − f ( u ) ‖ L 2 2 − β ∫ ℝ 3 f ( u ) u d x − β ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ≤ 0 容易得到： Φ ( 0 ) ≥ Φ ( t ) = 1 2 ‖ ∇ u ‖ 2 + ∫ ℝ 3 F ( u ) d x (11) 由(6)，(10)可改写为： ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ∫ ℝ 3 ( b 2 p u 2 p − C ) d x ≤ ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + 2 ∫ ℝ 3 F ( u ) d x ≤ C ( u 0 ) (12) 我们得到： u ∈ C ( [ 0 ， τ 0 ) ; H 1 ) 将(1)与 u 作内积，可以推出： 1 2 d d t ‖ u ‖ L 2 2 = − ‖ Δ u ‖ L 2 2 − ε ‖ ∇ u ‖ L 2 2 − β ‖ u ‖ L 2 2 − ∫ ℝ 3 ( − Δ + ε I ) f ( u ) u d x (13) 利用式(5)和(12)，得到上式的最后一项小于常数 C ( u 0 ) 。 再利用式(4)以及Hölder不等式： ∫ ℝ 3 Δ u f ( u ) d x = − ∫ ℝ 3 f ′ ( u ) | ∇ u | 2 d x ≤ C ∫ ℝ 3 ( 1 + | u | 2 p − 2 ) | ∇ u | 2 d x ≤ C ( ∫ ℝ 3 | u | 2 p − 2 ⋅ 14 2 p − 2 d x ) 2 p − 2 14 ( ∫ ℝ 3 ‖ ∇ u ‖ 2 ⋅ 7 8 − p d x ) 8 − p 7 + C ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ≤ C ‖ u ‖ L 14 2 p − 2 ‖ ∇ u ‖ L 14 8 − p 2 + C ‖ ∇ u ‖ L 2 2 (14) 由G-N不等式 [ 16 ] 和 [ 17 ]： ‖ u ‖ L 14 2 p − 2 ≤ C [ ‖ Δ u ‖ L 2 2 7 ‖ u ‖ L 6 5 7 ] 2 p − 2 ≤ C [ ‖ Δ u ‖ L 2 2 7 ‖ ∇ u ‖ L 2 5 7 ] 2 p − 2 ‖ ∇ u ‖ L 14 8 − p 2 ≤ C [ ‖ ∇ u ‖ L 2 17 − 3 p 14 ‖ Δ u ‖ L 2 3 p − 3 14 ] 2 ≤ C ‖ ∇ u ‖ L 2 17 − 3 p 7 ‖ Δ u ‖ L 2 3 p − 3 7 代入式(14)有： ∫ ℝ 3 Δ u f ( u ) d x ≤ C ‖ ∇ u ‖ L 2 p + 1 ‖ Δ u ‖ L 2 p − 1 + C ( u 0 ) 由Young不等式： ∫ ℝ 3 f ( u ) Δ u d x ≤ C ( ‖ ∇ u ‖ L 2 p + 1 ) 2 3 − p + 1 2 ( ‖ Δ u ‖ L 2 p − 1 ) 2 p − 1 + C ( u 0 ) ≤ 1 2 ‖ Δ u ‖ L 2 2 + C ( u 0 ) (15) 利用Sobolev嵌入定理和Grönwall不等式，得到： ‖ u ‖ L 2 2 + ∫ 0 t ‖ Δ u ‖ L 2 2 d s ≤ C ( u 0 ， τ 0 ) ，     t ∈ [ 0 ， τ 0 ) (16) 有： u ∈ L 2 ( [ 0 ， τ 0 ) ; H 2 ) 到此定理4证明完毕。 容易看出，在空间 H 1 上u的能量估计对时间而言是一致的，我们可以把局部 H 1 解延展成为全局解。由定理3，我们还要验证 ( Δ − ε I ) f ( u ) − β u 的次线性性质。类似于(9)： ‖ ( Δ − ε I ) f ( u ) − β u ‖ H σ − 3 ≤ C ‖ f ( u ) ‖ L 2 + C β ‖ u ‖ L 2 ≤ C ‖ u ‖ L 2 ‖ 1 + | λ u | 2 p − 2 ‖ L 2 + C β ‖ u ‖ L 2 ≤ C ( u 0 ) ‖ u ‖ H 1 ，     ∀ u ∈ H 1 因此，定理2证明完毕。 我们将说明以下式子是方程(1)的Lyapunov函数，更准确来说： L ( t ) : H 1 → R 有： L ( u ) = 1 2 ‖ ∇ u ‖ 2 + ∫ ℝ 3 F ( u ) d x (17) 取合适的常数 C 1 ， C 2 > 0 ，有： ‖ m ‖ H 1 ≤ C 1 L ( m ) + C 2 (18) 已经证到方程(1)全局解的存在性，则下面的估计成立： ‖ u ( t ) ‖ H 1 ≤ C 1 L ( u ( t ) ) + C 2 ≤ C 1 L ( u 0 ) + C 2 更进一步， L ( u ( t ) ) 关于时间t是非增的： L ( u ( t 2 ) ) − L ( u ( t 1 ) ) = − ‖ ∇ ( Δ u − f ( u ) ) ‖ L 2 2 − ε ‖ Δ u − f ( u ) ‖ L 2 2 − β ∫ ℝ 3 f ( u ) u d x − β ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ≤ L ( u 0 ) + C 其中 t 2 ≥ t 1 ≥ 0 ， u 0 ∈ H 1 ，同时可以看到：若 L ( T ( t ) u ) 为常数，由上式可知， u t = 0 ，因此 T ( t ) u = u 。综上： 推论1. 1) L下有界，在 H 1 上是连续；2) 对任意 ν ∈ H 1 ， t ≥ 0 ，若 L ( T ( t ) ν ) 为常数，那么 ν 是一个不动点；3) 对任意的 ν ∈ H 1 函数 t ∈ ( 0 ， + ∞ ) ↦ L ( T ( t ) ν ) ∈ ℝ 是非増的，当 ‖ ν ‖ H 1 → ∞ 时，有 L ( ν ) → ∞ 。 下面我们讨论方程(1)的定常解。容易得到 { T ( t ) } 有界集其轨道是有界的： 定理5. 在定理3的条件下，存在常数 r > 0 ，有界集 B ⊂ H 1 ， t ≥ T 1 B ，存在 T 1 B = T 1 ( B ) ，有 ‖ T 1 ( t ) B ‖ H 2 ≤ r ，     r > 0 记 ω 是方程的一个弱解， X ∈ R N ，有： ( − Δ 2 + ε Δ ) ω − ( − Δ + ε I ) f ( x ， ω ) − β ω = 0 将上式与 ω 做内积，类似于式(13)，得到： ‖ Δ ω ‖ L 2 2 + ε ‖ ∇ ω ‖ L 2 2 + β ‖ ω ‖ L 2 2 = ∫ ℝ 3 ( Δ − ε I ) f ( x ， ω ) ω d x ≤ C 定理6. [ 18 ] 设Y为度量空间， S 1 ( t ) 是Y上的梯度函数，对任意的有界集 B 1 ⊂ Y ，存在t，使得 γ B 1 + = ∪ t ≥ 0 S 1 ( t ) B 1 是有界的，定常解集合 E = { η ∈ Y | S 1 η = η ， ∀ t ≥ 0 } 是有界的当且仅当 S 1 ( t ) 是点耗散的。 可以看到，式(17)是方程(1)的一个Lyapunov函数，而且方程在 H 1 上的定常解集合是有界的，根据Raugel的研究，(1)能够在 H 1 上生成一个梯度系统 [ 18 ]。同时我们已经证明了方程在 H 1 上的整体适定性，由定理6可知，定常解集合其有界性，保证了全局解对应的半群在 H 1 上是点耗散的。