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user: 2. 空间变系数模型的局部非线性BGWR估计 本文的空间变系数自回归模型为： Y i = ∑ j = 1 p β j ( u i ， v i ) X i j + ε i ，       i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n (1) 令模型中的 X i 1 ≡ 1 是模型所包含得空间截距项， Y = ( Y 1 ， Y 2 ， ⋯ ， Y n ) T ， ε ~ N n ( 0 ， σ 2 I n ) ε = ( ε 1 ， ε 2 ， ⋯ ， ε n ) T ，由泰勒公式知在 ( u 0 ， v 0 ) 的邻域内 β j ( u ， v ) 可进行二阶泰勒展开，并用u和v的二次函数作逼近，即有 β j ( u ， v ) ≈ β j ( u 0 ， v 0 ) + β j ( u ) ( u 0 ， v 0 ) ( u − u 0 ) + β j ( v ) ( u 0 ， v 0 ) ( v − v 0 ) + 1 2 ! β j ( u u ) ( u 0 ， v 0 ) ( u − u 0 ) 2                                 + 1 2 ! β j ( v v ) ( u 0 ， v 0 ) ( v − v 0 ) 2 + 1 2 ! β j ( u v ) ( u 0 ， v 0 ) ( u − u 0 ) ( v − v 0 ) (2) 其中 β j ( u ) ( u 0 ， v 0 ) ， β j ( v ) ( u 0 ， v 0 ) ， β j ( u u ) ( u 0 ， v 0 ) ， β j ( v v ) ( u 0 ， v 0 ) ， β j ( u v ) ( u 0 ， v 0 ) 分别表示 β j ( u ， v ) 关于u和v的一阶、二阶偏导数在 ( u 0 ， v 0 ) 处的值。根据变系数模型的局部非线性拟合及GWR方法，选取未知参数 β j ( u 0 ， v 0 ) ， β j ( v ) ( u 0 ， v 0 ) ， β j ( u u ) ( u 0 ， v 0 ) ， β j ( v v ) ( u 0 ， v 0 ) 和 β j ( u v ) ( u 0 ， v 0 ) ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， q ) ，使得： ∑ i = 1 n [ Y i − ∑ j = 1 p ( β j ( u 0 ， v 0 ) + β j ( u ) ( u 0 ， v 0 ) ( u − u 0 ) + β j ( v ) ( u 0 ， v 0 ) ( v − v 0 ) + 1 2 ! β j ( u u ) ( u 0 ， v 0 ) ( u − u 0 ) 2 + 1 2 ! β j ( v v ) ( u 0 ， v 0 ) ( v − v 0 ) 2 + β j ( u v ) ( u 0 ， v 0 ) ( u − u 0 ) ( v − v 0 ) ) X i j ] 2 K h ( d 0 i ) (3) 达到最小，其中 ( Y i ， X i 1 ， X i 2 ， ⋯ ， X i p − 1 ， X i p ) 分别为因变量Y和自变量 X 1 ， X 2 ， ⋯ ， X p − 1 ， X p 在地理位置 ( u i ， v i ) 处的观测值， d 0 i 为 ( u 0 ， v 0 ) 到 ( u i ， v i ) 的距离， K h ( d 0 i ) = K ( d 0 i h ) = ω i ( u 0 ， v 0 )     ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) W ( u 0 ， v 0 ) = D i a g ( ω 1 ( u 0 ， v 0 ) ， ω 2 ( u 0 ， v 0 ) ， ⋯ ， ω n ( u 0 ， v 0 ) ) 令 P ( u 0 ， v 0 ) = [ β 1 ( u 0 ， v 0 ) ， ⋯ ， β p ( u 0 ， v 0 ) ， β 1 ( u ) ( u 0 ， v 0 ) ， ⋯ ， β p ( u ) ( u 0 ， v 0 ) ，           β 1 ( v ) ( u 0 ， v 0 ) ， ⋯ ， β p ( v ) ( u 0 ， v 0 ) ， ⋯ ， β 1 ( u u ) ( u 0 ， v 0 ) ， ⋯ ， β p ( u u ) ( u 0 ， v 0 ) ，           β 1 ( v v ) ( u 0 ， v 0 ) ， ⋯ ， β p ( v v ) ( u 0 ， v 0 ) ， β 1 ( u v ) ( u 0 ， v 0 ) ， ⋯ ， β p ( u v ) ( u 0 ， v 0 ) ] T 设计矩阵为 X ( u 0 ， v 0 ) = ( A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 ) ，其中： A 1 = ( X 11 ⋯ X 1 ， p − 1 X 1 p X 21 ⋯ X 2 ， p − 1 X 2 p ⋮ ⋮ ⋮ X n 1 ⋯ X n ， p − 1 X n p ) A 2 = ( X 11 ( u 1 − u 0 ) ⋯ X 1 ， p − 1 ( u 1 − u 0 ) X 1 p ( u 1 − u 0 ) X 21 ( u 2 − u 0 ) ⋯ X 2 ， p − 1 ( u 2 − u 0 ) X 2 p ( u 2 − u 0 ) ⋮ ⋮ ⋮ X n 1 ( u n − u 0 ) ⋯ X n ， p − 1 ( u n − u 0 ) X n p ( u n − u 0 )     X 11 ( v 1 − v 0 ) ⋯ X 1 ， p − 1 ( v 1 − v 0 ) X 1 p ( v 1 − v 0 ) X 21 ( v 2 − v 0 ) ⋯ X 2 ， p − 1 ( v 2 − v 0 ) X 2 p ( v 2 − v 0 ) ⋮ ⋮ ⋮ X n 1 ( v n − v 0 ) ⋯ X n ， p − 1 ( v n − v 0 ) X n p ( v n − v 0 ) ) A 3 = ( X 11 ( u 1 − u 0 ) 2 ⋯ X 1 ， p − 1 ( u 1 − u 0 ) 2 X 1 p ( u 1 − u 0 ) 2 X 21 ( u 2 − u 0 ) 2 ⋯ X 2 ， p − 1 ( u 2 − u 0 ) 2 X 2 p ( u 2 − u 0 ) 2 ⋮ ⋮ ⋮ X n 1 ( u n − u 0 ) 2 ⋯ X n ， p − 1 ( u n − u 0 ) 2 X n p ( u n − u 0 ) 2 X 11 ( v 1 − v 0 ) 2 ⋯ X 1 ， p − 1 ( v 1 − v 0 ) 2 X 1 p ( v 1 − v 0 ) 2 X 21 ( v 2 − v 0 ) 2 ⋯ X 2 ， p − 1 ( v 2 − v 0 ) 2 X 2 p ( v 2 − v 0 ) 2 ⋮ ⋮ ⋮ X n 1 ( v n − v 0 ) 2 ⋯ X n ， p − 1 ( v n − v 0 ) 2 X n p ( v n − v 0 ) 2 ) A 4 = ( X 11 ( u 1 − u 0 ) ( v 1 − v 0 ) ⋯ X 1 ， p − 1 ( u 1 − u 0 ) ( v 1 − v 0 ) X 1 p ( u 1 − u 0 ) ( v 1 − v 0 ) X 21 ( u 2 − u 0 ) ( v 2 − v 0 ) ⋯ X 2 ， p − 1 ( u 2 − u 0 ) ( v 2 − v 0 ) X 2 p ( u 2 − u 0 ) ( v 2 − v 0 ) ⋮ ⋮ ⋮ X n 1 ( u n − u 0 ) ( v n − v 0 ) ⋯ X n ， p − 1 ( u n − u 0 ) ( v n − v 0 ) X n p ( u n − u 0 ) ( v n − v 0 ) ) 则局部非线性GWR方法的系数函数估计值为： B ^ ( u 0 ， v 0 ) = [ X T ( u 0 ， v 0 ) W ( u 0 ， v 0 ) X ( u 0 ， v 0 ) ] − 1 X T ( u 0 ， v 0 ) W ( u 0 ， v 0 ) Y (4) 于是有， ，因此似然函数为： L [ B ( u 0 ， v 0 ) ， σ ] = ( 1 2 π σ 2 ) n 2 exp { − 1 2 σ 2 [ Y − X ( u 0 ， v 0 ) B ( u 0 ， v 0 ) ] T [ Y − X ( u 0 ， v 0 ) B ( u 0 ， v 0 ) ] } = ( 1 2 π σ 2 ) n 2 exp { − 1 2 σ 2 [ [ Y − X ( u 0 ， v 0 ) B ^ ( u 0 ， v 0 ) ] T [ Y − X ( u 0 ， v 0 ) B ^ ( u 0 ， v 0 ) ] + [ B ( u 0 ， v 0 ) − B ^ ( u 0 ， v 0 ) ] T X T ( u 0 ， v 0 ) X ( u 0 ， v 0 ) [ B ( u 0 ， v 0 ) − B ^ ( u 0 ， v 0 ) ] ] } = ( 1 2 π σ 2 ) n 2 exp { − 1 2 σ 2 [ Z n 2 ( n − 6 p ) + [ B ( u 0 ， v 0 ) − B ^ ( u 0 ， v 0 ) ] T ⋅ X T ( u 0 ， v 0 ) X ( u 0 ， v 0 ) [ B ( u 0 ， v 0 ) − B ^ ( u 0 ， v 0 ) ] ] } 其中 Z n 2 = [ Y − X ( u 0 ， v 0 ) B ^ ( u 0 ， v 0 ) ] T [ Y − X ( u 0 ， v 0 ) B ^ ( u 0 ， v 0 ) ] / ( n − 6 p ) 。 若取 π [ B ( u 0 ， v 0 ) | σ ] ∝ 1 ， π ( σ ) ∝ 1 σ ，那么由贝叶斯定理可知 π ( B ( u 0 ， v 0 ) ， σ ) ∝ 1 σ ， σ > 0 ，且参数 β 的满条件后验分布为： π ( β ( u 0 ， v 0 ) | Y ， X ) ∝ L ( β ( u 0 ， v 0 ) ， σ | Y ， X ) π ( β ( u 0 ， v 0 ) ， σ ) ∝ M t 3 p ( v ， β ^ ( u 0 ， v 0 ) ， Q 0 ) (6) 其中自由度为 v = n − 6 p ，位置参数为 β ^ ( u 0 ， v 0 ) ，精度矩阵为 ， Z n 2 = [ Y − X ( u 0 ， v 0 ) β ^ ( u 0 ， v 0 ) ] T [ Y − X ( u 0 ， v 0 ) β ^ ( u 0 ， v 0 ) ] / ( n − 6 p ) . 方差 σ 2 的满条件后验分布为： π ( σ 2 | Y ， X ) ∝ 1 σ n + 2 exp { − ( n − 6 p ) Z n 2 2 σ 2 } ∝ I G a m m a ( n + 1 ， v Z n 2 / 2 ) (7) 其中形状参数为 n + 1 ，尺度参数是 v Z n 2 / 2 。