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user: 2. 研究设计 2.1. 研究对象 鉴于全国I、II、III卷的差别不大，本文取近五年(2015~2019年)全国I卷(理)和江苏卷(理)为研究对象。 2.2. 研究工具 2.2.1. 考察内容的分类 通过查阅高考大纲和新课标、研读高中数学教科书，将数学学科高考考察内容分为以下十个知识单元：集合与逻辑用语、函数与导数、三角函数、向量、数列、不等式、立体几何、平面解析几何、概率与统计和其他。每个知识单元含有多个知识点，具体见表1： Table 1 Classification of investigation content 知识单元 知识点 集合与逻辑用语 集合的概念及运算，命题及其关系、充分条件与必要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词。 函数与导数 函数及其表示，函数的单调性与最大(小)值，函数的奇偶性与周期性，二次函数，基本初等函数(I)，函数与方程，函数模型及其应用，导数的概念及运算，导数的应用，定积分与微积分基本定理。本次统计未把三角函数放入此知识单元。 三角函数 弧度制及任意角的三角函数，同角三角形的基本关系及诱导公式，三角函数的图像与性质，三角函数图像的变换，三角函数模型的应用，三角恒等变换，正弦定理、余弦定理及其应用。 向量 平面向量的概念及线性运算，平面向量的基本定理及坐标表示，平面向量的数量积，平面向量的综合应用，空间向量及其加减、数乘和数量积运算，空间向量的坐标表示、运算及应用。 数列 数列的概念与简单表示法，等差数列，等比数列，数列求和及应用。 不等式 一元二次不等式及其解法，二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题，基本不等式及其应用。本次统计未把简单的不等关系与不等式放入此知识单元，因为它属于初中知识点。 立体几何 空间几何体的结构、三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，空间点、线、面之间的位置关系，空间中的平行、垂直关系。 平面解析几何 平面直角坐标系中的基本公式和直线方程，两条直线的位置关系，圆的方程，直线与圆的位置关系，曲线与方程，椭圆、双曲线、抛物线，直线与圆锥曲线的位置关系。 概率与统计 随机事件的概率，古典概型，几何概型，离散型随机变量及其分布列，独立事件与二项分布及其应用，离散型随机变量的均值与方差，正态分布。 其他 计数原理(分类加法计数原理与分布乘法计数原理，排列与组合，二项式定理)，算法初步(算法与程序框图，基本算法语句与基本案例)，推理与证明(反证法、数学归纳法)，复数(数系的扩充和复数的概念，复数代数形式的四则运算)。本次统计未把简单的演绎推理放入此知识单元，否则将会影响最终数据的处理和分析，因为数学试题总会涉及到逻辑推理。 表1. 考察内容的分类 2.2.2. 能力要求的分类 任子朝等人 [ 1 ] 对旧考纲的能力结构进行了重新整合，调整为空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力、数据处理能力和创新应用能力，能力层次和对应的能力要求具体见表2： Table 2 Classification of competence requirement 能力层次 能力要求 逻辑思维能力 会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用演绎、归纳和类比进行推理；能准确、清晰、有条理地进行表述。 运算求解能力 会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；根据要求对数据进行估计和近似计算。 空间想象能力 能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。 数据处理能力 会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并做出判断，应用统计或统计案例中的方法对数据整理、分析，并解决实际问题。 创新应用能力 能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性的解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中的简单数学问题。 表2. 能力要求的分类 2.2.3. 整体难度的框架 本部分的研究主要参照了鲍建生的综合难度模型 [ 2 ] [ 3 ] 以及武小鹏改编的评价模型 [ 4 ]，武小鹏在鲍建生的综合难度基础上，将整体难度扩充为七个维度：背景因素、是否含参、运算水平、推理能力、知识含量、思维方向、知识水平。其中，把运算水平分为了四个层次：简单数值运算、复杂数值运算、简单符号运算、复杂符号运算，而在统计过程中发现有不少无运算的试题出现。因此，我们仍采用鲍建生对运算水平的层次划分：无运算、数值运算、简单符号运算、复杂符号运算。各维度的层次水平及其对应编码见表3： Table 3 Framework of overall difficult 因素 水平 编码 内涵 背景因素 无背景 A1 试题中没有出现具体背景，就数学知识本身展开问题 生活背景 A2 数学问题融入到实际生活背景之中，与解决实际生活问题有关 科学背景 A3 试题不是直接展开，而是利用其它科学知识，包括数学图形、图像等背景 是否含参 无参数 B1 试题中没有相关的参数变量，都是静态数值运算，没有涉及到变化 有参数 B2 试题中含有未知参数运算，其中包括长值参数，参数变量 运算水平 无运算 C1 学生不需要根据运算法则解决问题 数值运算 C2 运算对象为数值，学生需要明晰运算对象，依据数值运算法则解决问题 简单符号运算 C3 运算对象为符号，学生需要明晰运算对象，依据符号运算法则解决问题(运算步骤 ≤ 3) 复杂符号运算 C4 运算对象为符号，学生需要明晰运算对象，依据符号运算法则解决问题(运算步骤 > 3) 推理能力 简单推理 D1 推理涉及到的数学知识背景比较熟悉，推理步骤较少(推理步骤 ≤ 3) 复杂推理 D2 推理涉及到的数学知识背景比较抽象，推理步骤较多(推理步骤 > 3) 知识含量 单个知识点 E1 以独立的知识单元为知识点的划分单位，试题就仅包括一个独立的知识单元 两个知识点 E2 以独立的知识单元为知识点的划分单位，试题就仅包括两个独立的知识单元 大于等于三 E3 以独立的知识单元为知识点的划分单位，试题就仅包括多个独立的知识单元 思维方向 顺向思维 F1 试题的思路是按照现有的知识安排顺序，顺向直接解决问题 逆向思维 F2 试题的思路是逆用现有的知识安排顺序，逆向间接解决问题 认知水平 理解 G1 试题仅仅是对某一知识的直接考察，仅需要理解该知识就可以解决问题 运用 G2 试题是在某一知识的基础上通过不同数学情境做了构造，属于知识的应用 分析 G3 试题暗含的条件较多，需要深入分析和综合应用题目各个条件，才可以解题 表3. 整体难度的框架 依据上表的综合难度系数框架，可以建立各因素的难度系数模型 d i d i = ∑ j n i j d i j n ( ∑ j n i j = n ， i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ) 其中i表示不同的维度， d i j 为第i个维度中的第j个水平的权重(依据不同水平分别取 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ )， n i j 则表示这组题目中属于第i个维度中的第j个水平的题目的个数，n代表题目的总个数。 统计过程中作如下规定：1) 将复数的运算归为数值运算；2) 一个题目中如果既包含数值运算也包含符号运算，一律按符号运算处理，无论出现了多少步数值运算统一记为1步运算；3) 简单加减乘除不计入数值运算，如1 + 1 = 2；4) 同样思维的反复推理仅算一步推理，比如算法框图里的循环结构；5) 解答题中各维度的层次水平以各小问的平均值来归类；6) 思维方向既有正向也有逆向时取逆向。 2.3. 数据处理与整理 为更好地理解研究工具，界定试题考察内容、能力要求、整体难度各因素水平的分类，以2019年全国I卷中的一道试题为例进行说明： (2019年全国I卷，1)已知集合 M = { x | − 4 < x < 2 } ， N = { x | x 2 − x − 6 < 0 } ，则 M ∩ N = ( ) A. { x | − 4 < x < 3 } B. { x | − 4 < x < − 2 } C. { x | − 2 < x < 2 } D. { x | 2 < x < 3 } 考察内容：集合与逻辑用语，不等式。 能力要求：逻辑思维能力，运算求解能力。 整体难度：无背景，有参数(含x)，简单符号运算(解不等式和集合交运算，共2步运算)，简单推理(先确定集合N，再计算 M ∩ N ，共2步推理)，两个知识点(集合与逻辑用语，不等式，共2个知识点)，顺向思维，运用(集合和不等式的综合运用)。