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user: 3. 主要结果 引理7 令 1 2 < α ， δ ≤ 1 ， ( u ， v ) ∈ S 。函数 Φ ， Ψ 分别定义为式(7)，(8)，则 Φ : S → R 是一个序列弱下半连续，强制，连续Gâteaux泛函可微，它的Gâteaux导数在空间 S ∗ 上有一个连续的逆， Ψ : S → R 是一个连续的Gâteaux可微泛函，它的Gâteaux导数是紧的。 证明：事实上，由于S紧嵌入到X中，因此 Φ 是一个Gâteaux可微泛函，它在点 ( u ， v ) ∈ S 处的Gâteaux导数为 Φ ′ ( u ， v ) ∈ S ∗ ，可见式(9)。此外，从式(6)可知，当 ‖ u ‖ → + ∞ ， ‖ v ‖ → + ∞ 时，得 Φ ( u ， v ) ≥ 1 2 | cos ( π α ) | ‖ u ‖ α 2 + 1 2 | cos ( π δ ) | ‖ v ‖ δ 2 → + ∞ 从而可知泛函 Φ 是强制的。下面，我们将证明 Φ ′ 在 S ∗ 上有一个连续的逆，令 U = ( u ， v ) ， V = ( x ， y ) ，根据式(9)，得 〈 Φ ′ ( U ) − Φ ′ ( V ) ， U − V 〉 = − ∫ 0 T ( D 0 c t α ( u ( t ) − x ( t ) ) ， D t c T α ( u ( t ) − x ( t ) ) ) d t − ∫ 0 T ( D 0 c t δ ( v ( t ) − y ( t ) ) ， D t c T δ ( v ( t ) − y ( t ) ) ) d t ≥ | cos ( π α ) | ‖ u ( t ) − x ( t ) ‖ α 2 + | cos ( π δ ) | ‖ v ( t ) − y ( t ) ‖ δ 2 > 0 这表明 Φ ′ 是严格单调的，又考虑到S是自反的，且在空间S中，当 n → ∞ 时， ( u n ， v n ) → ( u ， v ) ，则在空间 S ∗ 中，当 n → ∞ 时， Φ ′ ( u n ， v n ) 弱收敛到 Φ ′ ( u ， v ) ，则 Φ ′ 是半连续的，通过定理5，得到 ( Φ ′ ) − 1 存在且连续。此外，因为 Φ 是下半连续和凸的，那么它是序列弱下半连续泛函( [ 14 ] 定理1.2)。 考虑泛函 Ψ ，显然，由式(8)，(10)可知， Ψ 是连续的Gâteaux可微泛函，它的导数为 Ψ ′ : S → S ∗ 。此外，对于固定的 ( u ， v ) ∈ S ，设 { ( u n ， v n ) } ⊂ S ，当 n → + ∞ 时，在空间S中， ( u n ， v n ) 弱收敛到 ( u ， v ) ，那么 ( u n ， v n ) 一致收敛到 ( u ， v ) ，即 lim sup n → + ∞ Ψ ( u n ， v n ) ≤ ∫ 0 T lim sup n → + ∞ ( F ( t ， u n ， v n ) + μ λ G ( t ， u n ， v n ) ) d t = ∫ 0 T F ( t ， u ， v ) + μ λ G ( t ， u ， v ) d t = Ψ ( u ， v ) (11) 式(11)表明 Ψ 是序列弱上半连续。另一方面，在 R 2 上，对所有的 t ∈ [ 0 ， T ] ，由于 F ( t ， ⋅ ， ⋅ ) ， G ( t ， ⋅ ， ⋅ ) 是 C 1 函数，那么它是连续函数，则当 n → + ∞ 时， F ( t ， u n ， v n ) → F ( t ， u ， v ) ， G ( t ， u n ， v n ) → G ( t ， u ， v ) ，利用Lebesgue控制收敛定理， Ψ ′ ( u n ， v n ) 强收敛到 Ψ ′ ( u ， v ) ，则 Ψ ′ 在S上是强连续的，则 Ψ ′ 是紧算子，因此引理7得证。 我们给出了一些符号，这些符号将在后面的证明中使用。 M : = max { T 2 α − 1 | cos ( π α ) | Γ 2 ( α ) ( 2 α − 1 ) ， T 2 δ − 1 | cos ( π δ ) | Γ 2 ( δ ) ( 2 δ − 1 ) } c : = min { | cos ( π α ) | ， | cos ( π δ ) | } ϖ α ， δ : = ‖ ω 1 ‖ α 2 2 | cos ( π α ) | + ‖ ω 2 ‖ δ 2 2 | cos ( π δ ) | ξ ( k ) : = { ( σ ， ς ) ∈ R 2 : 1 2 σ 2 + 1 2 ς 2 ≤ k } ϑ 1 : = min { k − M λ ∫ 0 T max ( σ ， ς ) ∈ ξ ( k ) F ( t ， σ ， ς ) d t M G k ， ϖ α ， δ − λ ∫ T 4 3 T 4 F ( t ， d 1 ， d 2 ) d t T G d } 定理8设存在正常数k和一个函数 ω = ( ω 1 ， ω 2 ) 满足 k < M 2 c ( ‖ ω 1 ‖ α 2 + ‖ ω 2 ‖ δ 2 ) (12) 且 (H1)对每一个 ( t ， σ ， ς ) ∈ [ 0 ， T ] × [ 0 ， d 1 ] × [ 0 ， d 2 ] ， F ( t ， σ ， ς ) ≥ 0 ； (H2) ∫ 0 T max ( σ ， ς ) ∈ ξ ( k ) F ( t ， σ ， ς ) d t k < ∫ T 4 3 T 4 F ( t ， d 1 ， d 2 ) d t M ϖ α ， δ (H3) lim sup | σ | → + ∞ ， | ς | → + ∞ sup t ∈ [ 0 ， T ] F ( t ， σ ， ς ) σ 2 + ς 2 < ∫ 0 T max ( σ ， ς ) ∈ ξ ( k ) F ( t ， σ ， ς ) d t 4 k T min { 2 | cos ( π α ) | − c ， 2 | cos ( π δ ) | − c } 则，对任意的 λ ∈ Λ : = ( λ 1 ， λ 2 ) ，对每一个连续函数 G : [ 0 ， T ] × R × R → R ， lim sup | σ | → + ∞ ， | ς | → + ∞ sup t ∈ [ 0 ， T ] G ( t ， σ ， ς ) σ 2 + ς 2 < + ∞ 存在 ϑ > 0 ，对任意的 μ ∈ [ 0 ， ϑ ) ，系统(1)至少存在三个解。其中：令 z 0 = + ∞ ，且 λ 1 : = ϖ α ， δ ∫ T 4 3 T 4 F ( t ， d 1 ， d 2 ) d t ，     λ 2 : = k M ∫ 0 T max ( σ ， ς ) ∈ ξ ( k ) F ( t ， σ ， ς ) d t ϑ : = min { ϑ 1 ， 1 max { 0 ， 4 T M c lim sup | σ | → + ∞ ， | ς | → + ∞ sup t ∈ [ 0 ， T ] G ( t ， σ ， ς ) σ 2 + ς 2 } } 证明：考虑到引理7，为了证明问题(1)存在多重解，我们只需要证明定理6的条件i)和ii)成立。令 ( u 0 ， v 0 ) = ( 0 ， 0 ) ，则根据式(7)及(8)可知， Φ ( 0 ， 0 ) = 0 ， Ψ ( 0 ， 0 ) = 0 。 令 ω = ( ω 1 ( t ) ， ω 2 ( t ) ) ，且 ω 1 ( t ) = { 4 d 1 T t ， t ∈ [ 0 ， T 4 ) ， d 1 ， t ∈ [ T 4 ， 3 T 4 ] ， 4 d 1 T ( T − t ) ， t ∈ ( 3 T 4 ， T ] ，         ω 2 ( t ) = { 4 d 2 T t ， t ∈ [ 0 ， T 4 ) d 2 ， t ∈ [ T 4 ， 3 T 4 ] 4 d 2 T ( T − t ) ， t ∈ ( 3 T 4 ， T ] 不难发现 ω i ( 0 ) = ω i ( T ) = 0 ， ω i ∈ L 2 ( [ 0 ， T ] ) ， i = 1 ， 2 。 通过计算，有 D 0 c t α ω 1 ( t ) = { 4 d 1 T Γ ( 2 − α ) t 1 − α ， t ∈ [ 0 ， T 4 ) 4 d 1 T Γ ( 2 − α ) [ t 1 − α − ( t − T 4 ) 1 − α ] ， t ∈ [ T 4 ， 3 T 4 ] 4 d 1 T Γ ( 2 − α ) [ t 1 − α − ( t − T 4 ) 1 − α + ( t − 3 T 4 ) 1 − α ] ， t ∈ ( 3 T 4 ， T ] D 0 c t δ ω 2 ( t ) = { 4 d 2 T Γ ( 2 − δ ) t 1 − δ ， t ∈ [ 0 ， T 4 ) 4 d 2 T Γ ( 2 − δ ) [ t 1 − δ − ( t − T 4 ) 1 − δ ] ， t ∈ [ T 4 ， 3 T 4 ] 4 d 2 T Γ ( 2 − δ ) [ t 1 − δ − ( t − T 4 ) 1 − δ + ( t − 3 T 4 ) 1 − δ ] ， t ∈ ( 3 T 4 ， T ] 显然，在 t ∈ [ 0 ， T ] 上， D 0 c t α ω 1 ( t ) ， D 0 c t δ ω 2 ( t ) 是连续的，且 ‖ ω 1 ‖ α 2 = 16 d 1 2 T 2 Γ 2 ( 2 − α ) { ∫ 0 T 4 t 2 − 2 α d t + ∫ T 4 3 T 4 [ t 1 − α − ( t − T 4 ) 1 − α ] 2 d t     + ∫ 3 T 4 T [ t 1 − α − ( t − T 4 ) 1 − α + ( t − 3 T 4 ) 1 − α ] 2 d t } (13) ‖ ω 2 ‖ δ 2 = 16 d 2 2 T 2 Γ 2 ( 2 − δ ) { ∫ 0 T 4 t 2 − 2 δ d t + ∫ T 4 3 T 4 [ t 1 − δ − ( t − T 4 ) 1 − δ ] 2 d t     + ∫ 3 T 4 T [ t 1 − δ − ( t − T 4 ) 1 − δ + ( t − 3 T 4 ) 1 − δ ] 2 d t } (14) 令 ρ = k M ，则根据式(6)，(7)，(12)得 Φ ( ω 1 ， ω 2 ) ≥ 1 2 | cos ( π α ) | ‖ ω 1 ‖ α 2 + 1 2 | cos ( π δ ) | ‖ ω 2 ‖ δ 2 > 1 2 c ( ‖ ω 1 ‖ α 2 + ‖ ω 2 ‖ δ 2 ) > ρ 接下来，证明定理6的条件i)成立。通过使用定理8的条件(H1)，以及 0 ≤ ω i ( t ) ≤ d i ， i = 1 ， 2 ，得 Ψ ( ω 1 ， ω 2 ) = ∫ 0 T F ( t ， ω 1 ， ω 2 ) + μ λ G ( t ， ω 1 ， ω 2 ) d t ≥ ∫ T 4 3 T 4 F ( t ， d 1 ， d 2 ) + μ λ ∫ 0 T G ( t ， ω 1 ， ω 2 ) d t ≥ ∫ T 4 3 T 4 F ( t ， d 1 ， d 2 ) d t + μ λ T G d (15) 其中， G d : = inf [ 0 ， T ] × [ 0 ， d 1 ] × [ 0 ， d 2 ] G ，对于所有的 d 1 ， d 2 > 0 ，显然 G d ≤ 0 。 根据式(4)，(6)，(7)得 { ( u ， v ) ∈ X : Φ ( u ， v ) ≤ ρ } = { ( u ， v ) ∈ X : − 1 2 ∫ 0 T ( D 0 c t α u ( t ) ， D t c T α u ( t ) ) d t − 1 2 ∫ 0 T ( D 0 c t δ v ( t ) ， D t c T δ v ( t ) ) d t ≤ ρ } ⊆ { ( u ， v ) ∈ X : | cos ( π α ) | Γ 2 ( α ) ( 2 α − 1 ) 2T 2 α -1 ‖ u ‖ ∞ 2 + | cos ( π δ ) | Γ 2 ( δ ) ( 2 δ − 1 ) 2T 2 δ -1 ‖ v ‖ ∞ 2 ≤ ρ } ⊆ { ( u ， v ) ∈ X : | u ( t ) | 2 2 + | v ( t ) | 2 2 ≤ M ρ = k ， ∀ t ∈ [ 0 ， T ] } 因此，有 sup Φ ( u ， v ) ≤ ρ Ψ ( u ， v ) ρ ≤ ∫ 0 T max ( σ ， ς ) ∈ ξ ( k ) F ( t ， σ ， ς ) d t + μ λ ∫ 0 T max ( σ ， ς ) ∈ ξ ( k ) G ( t ， σ ， ς ) d t k M = M k ( ∫ 0 T max ( σ ， ς ) ∈ ξ ( k ) F ( t ， σ ， ς ) d t + μ λ G k ) 其中， G k : = ∫ 0 T max ( σ ， ς ) ∈ ξ ( k ) G ( t ， σ ， ς ) d t ，对 ∀ k > 0 ， G k ≥ 0 。 如果 G k = 0 ，得 sup Φ ( u ， v ) ≤ ρ Ψ ( u ， v ) ρ < 1 λ (16) 如果 G k > 0 ，为了使式(16)仍然成立，得 μ < k − M λ ∫ 0 T max ( σ ， ς ) ∈ ξ ( k ) F ( t ， σ ， ς ) d t M G k 另一方面，根据式(6)，(7)，显然 Φ ( ω 1 ， ω 2 ) ≤ ‖ ω 1 ‖ α 2 2 | cos ( π α ) | + ‖ ω 2 ‖ β 2 2 | cos ( π β ) | = ϖ α ， δ (17) 则由式(15)，(17)可知， Ψ ( ω ) Φ ( ω ) ≥ ∫ T 4 3 T 4 F ( t ， d 1 ， d 2 ) d t + μ λ T G d ϖ α ， δ 如果 G d = 0 ，得 Ψ ( ω ) Φ ( ω ) ≥ 1 λ (18) 如果 G d < 0 ，为了使式(18)成立，得 μ < ϖ α ， δ − λ ∫ T 4 3 T 4 F ( t ， d 1 ， d 2 ) d t T G d 因此，由式(16)，(18)可知，定理6的条件i)得证。 现在，我们验证定理6的条件ii)。为了证明泛函 T λ 的强制性，我们假设 lim sup | σ | → + ∞ ， | ς | → + ∞ sup t ∈ [ 0 ， T ] F ( t ， σ ， ς ) σ 2 + ς 2 ≥ 0 固定一个 ε ，使得下列不等式成立 lim sup | σ | → + ∞ ， | ς | → + ∞ sup t ∈ [ 0 ， T ] F ( t ， σ ， ς ) σ 2 + ς 2 < ε < ∫ 0 T max ( σ ， ς ) ∈ ξ ( k ) F ( t ， σ ， ς ) d t 4 k T min { 2 | cos ( π α ) | − c ， 2 | cos ( π δ ) | − c } 则存在一个函数 ϕ ε ( t ) ∈ L 1 ( [ 0 ， T ] ) 使得 F ( t ， σ ， ς ) ≤ ε ( σ 2 + ς 2 ) + ϕ ε ( t ) 其中 t ∈ [ 0 ， T ] ， σ ， ς ∈ R 。那么由 λ 的范围以及上式，对于每一个 ( u ， v ) ∈ S ，得 λ ∫ 0 T F ( t ， u ( t ) ， v ( t ) ) d t ≤ λ ( ε ∫ 0 T ( u 2 ( t ) + v 2 ( t ) ) d t + ∫ 0 T ϕ ε ( t ) d t ) < k M ∫ 0 T max ( σ ， ς ) ∈ ξ ( k ) F ( t ， σ ， ς ) d t ( ε M T ( ‖ u ‖ α 2 + ‖ v ‖ δ 2 ) + ‖ ϕ ε ‖ L 1 ( [ 0 ， T ] ) ) (19) 由于 μ < ϑ ，则有 lim sup | σ | → + ∞ ， | ς | → + ∞ sup t ∈ [ 0 ， T ] G ( t ， σ ， ς ) σ 2 + ς 2 < c 4 T μ M 那么存在一个函数 ϕ μ ∈ L 1 ( [ 0 ， T ] ) ，使得对每一个 t ∈ [ 0 ， T ] ， σ ， ς ∈ R ，有 G ( t ， σ ， ς ) ≤ c 4 T μ M ( σ 2 + ς 2 ) + ϕ μ ( t ) 因此，我们有 ∫ 0 T G ( t ， u ( t ) ， v ( t ) ) d t ≤ c 4 T μ M ∫ 0 T u 2 ( t ) + v 2 ( t ) d t + ∫ 0 T ϕ μ ( t ) d t ≤ c 4 μ ( ‖ u ‖ α 2 + ‖ v ‖ δ 2 ) + ‖ ϕ μ ‖ L 1 ( [ 0 ， T ] ) (20) 则根据式(6)，(7)，(8)，(19)，(20)，当 ‖ ( u ， v ) ‖ S → + ∞ 时，得 T λ ( u ， v ) ≥ | cos ( π α ) | 2 ‖ u ‖ α 2 + | cos ( π δ ) | 2 ‖ v ‖ δ 2     − k M ∫ 0 T max ( σ ， ς ) ∈ ξ ( k ) F ( t ， σ ， ς ) d t ( ε M T ( ‖ u ‖ α 2 + ‖ v ‖ δ 2 ) + ‖ ϕ ε ‖ L 1 ( [ 0 ， T ] ) )     − c 4 ( ‖ u ‖ α 2 + ‖ v ‖ δ 2 ) − μ ‖ ϕ μ ‖ L 1 ( [ 0 ， T ] ) ≥ ( 1 2 | cos ( π α ) | − k ε T ∫ 0 T max ( σ ， ς ) ∈ ξ ( k ) F ( t ， σ ， ς ) d t − c 4 ) ‖ u ‖ α 2       + ( 1 2 | cos ( π δ ) | − k ε T ∫ 0 T max ( σ ， ς ) ∈ ξ ( k ) F ( t ， σ ， ς ) d t − c 4 ) ‖ u ‖ δ 2       − k M ∫ 0 T max ( σ ， ς ) ∈ ξ ( k ) F ( t ， σ ， ς ) d t ‖ ϕ ε ‖ L 1 ( [ 0 ， T ] ) − μ ‖ ϕ μ ‖ L 1 ( [ 0 ， T ] ) → + ∞ 即泛函 T λ ( u ， v ) = Φ ( u ， v ) − λ Ψ ( u ， v ) 是强制的。 另一方面，如果 lim sup | σ | → + ∞ ， | ς | → + ∞ sup t ∈ [ 0 ， T ] F ( t ， σ ， ς ) σ 2 + ς 2 < 0 那么存在一个函数 ϕ ε ∈ L 1 ( [ 0 ， T ] ) ，满足 F ( t ， σ ， ς ) ≤ ϕ ε ( t ) ，对于每一个 t ∈ [ 0 ， T ] ， σ ， ς ∈ R 。和前面证明过程相似，当 ‖ ( u ， v ) ‖ S → + ∞ ，我们可得到 T λ ( u ， v ) = Φ ( u ， v ) − λ Ψ ( u ， v ) ≥ ( | cos ( π α ) | 2 − c 4 ) ‖ u ‖ α 2 + ( | cos ( π δ ) | 2 − c 4 ) ‖ v ‖ δ 2     − k M ∫ 0 T max ( σ ， ς ) ∈ ξ ( k ) F ( t ， σ ， ς ) d t ‖ ϕ ε ‖ L 1 ( [ 0 ， T ] ) − μ ‖ ϕ μ ‖ L 1 ( [ 0 ， T ] ) → + ∞ 在上述两种情况中， T λ ( u ， v ) 的强制性成立，则定理6的条件ii)得证。 根据式(16)，(18)可知 λ ∈ Λ ⊆ ( Φ ( ω ) Ψ ( ω ) ， ρ sup Φ ( u ， v ) ≤ ρ Ψ ( u ， v ) ) 则根据定理6，泛函 T λ ( u ， v ) 至少存在三个临界点，证明完成。 例子：令 β = 0 .8 ， η = 0 .4 ， T = 1 ，则系统(1)变成下面的形式 { d d t ( 1 2 D 0 t − 0 .8 ( u ′ ( t ) ) + 1 2 D t 1 − 0 .8 ( u ′ ( t ) ) ) + λ F u ( t ， u ( t ) ， v ( t ) ) + μ G u ( t ， u ( t ) ， v ( t ) ) = 0 ， a . e .   t ∈ [ 0 ， 1 ] d d t ( 1 2 D 0 t − 0 .4 ( v ′ ( t ) ) + 1 2 D t 1 − 0 .4 ( v ′ ( t ) ) ) + λ F v ( t ， u ( t ) ， v ( t ) ) + μ G v ( t ， u ( t ) ， v ( t ) ) = 0 ， a . e .   t ∈ [ 0 ， 1 ] u ( 0 ) = u ( 1 ) = 0 ， v ( 0 ) = v ( 1 ) = 0 (21) 其中： F ( t ， u ， v ) = ( 1 + t ) H ( u ， v ) ， G ( t ， u ， v ) = ( 1 + t 2 ) K ( u ， v ) ， H ( u ， v ) : = { ( u 2 + v 2 ) 2 ， u 2 + v 2 ≤ 1 ， 8 ( u 2 + v 2 ) 1 2 − 5 ( u 2 + v 2 ) 1 3 ， u 2 + v 2 > 1. K ( u ， v ) : = { ( u 2 + v 2 ) 3 ， u 2 + v 2 ≤ 1 ， 1 2 ( u 2 + v 2 ) 1 3 + 1 16 ( u 2 + v 2 ) 1 4 ， u 2 + v 2 > 1. 显然，对所有的 t ∈ [ 0 ， 1 ] ， F ( t ， 0 ， 0 ) = 0 ， G ( t ， 0 ， 0 ) = 0 ，计算可得 M = max { 1 | cos ( 0.6 π ) | Γ 2 ( 0.6 ) × 0 .2 ， 1 | cos ( 0.8 π ) | Γ 2 ( 0.8 ) × 0 .6 } ≈ 7 .296 c = min { | cos ( 0.6 π ) | ， | cos ( 0.8 π ) | } ≈ 0. 3 09 令 ω 1 : = { t ， t ∈ [ 0 ， 1 4 ) ， 1 4 ， t ∈ [ 1 4 ， 3 4 ] 1 − t ， t ∈ ( 3 4 ， 1 ] . ，       ω 2 : = { 2 t ， t ∈ [ 0 ， 1 4 ) ， 1 2 ， t ∈ [ 1 4 ， 3 4 ] 2 ( 1 − t ) ， t ∈ ( 3 4 ， 1 ] . ， 则有 ‖ ω 1 ‖ 0 .6 2 ≈ 0 .183 ， ‖ ω 2 ‖ 0 .8 2 ≈ 1 .131 ， ϖ α ， δ ≈ 0.995 ，取 ρ = 1 × 10 − 4 ，则 k = ρ × M ≈ 7.296 × 10 − 4 ，得 M 2 c ( ‖ ω 1 ‖ 0.6 2 + ‖ ω 2 ‖ 0.8 2 ) ≈ 1.481 > k 显然，对每一个 ( t ， σ ， ς ) ∈ [ 0 ， 1 ] × [ 0 ， 1 4 ] × [ 0 ， 1 2 ] ， F ( t ， σ ， ς ) ≥ 0 ， 且 0 .004 ≈ ∫ 0 1 max ( σ ， ς ) ∈ ξ ( k ) F ( t ， σ ， ς ) d t k < ∫ 1 4 3 4 F ( t ， d 1 ， d 2 ) d t M ϖ α ， δ ≈ 0 .01 0 = lim sup | σ | → + ∞ ， | ς | → + ∞ sup t ∈ [ 0 ， 1 ] F ( t ， σ ， ς ) σ 2 + ς 2 < ∫ 0 1 max ( σ ， ς ) ∈ ξ ( k ) F ( t ， σ ， ς ) d t 4 k min { 2 | cos ( 0 .6 π ) | − c ， 2 | cos ( 0 .8 π ) | − c } ≈ 3 .38 × 10 -4 lim sup | σ | → + ∞ ， | ς | → + ∞ sup t ∈ [ 0 ， 1 ] G ( t ， σ ， ς ) σ 2 + ς 2 = 0 < + ∞ 则定理8的所有条件成立，即对任意的 λ ∈ ( 13.5 85 ， 31.31 ) ，这里取 λ = 25 ，则对任意的 μ ∈ [ 0 ， 4865 .819 ) ，系统(21)在空间S中至少有三个解。