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user: 3. 方程(1)的精确解 在这一节中，我们寻求方程(1)所有行波解的精确表达式。它需要我们根据不同参数分岔集中能量函数的不同水平曲线来识别系统(6)的各种轨道，包括有界轨道和无界轨道。 3.1. 系统(6)的有界行波解 通过定理2.1，只有当 c 2 + 2 a e > 0 ，才会存在有界行波，分别是周期波和孤立波，实际上，这些有界行波解已经在我们的前期工作中得到了 [ 12 ]，但为了本文的完整性，我们给出其计算结果。 周期轨： u 1 ( ξ ) = u 1 + ( u 2 − u 1 ) ( u 3 − u 1 ) ( u 3 − u 1 ) − ( u 3 − u 2 ) ⋅ s n 2 ( a ( u 3 − u 1 ) 36 b ξ ) ，     − T < ξ < T . 同宿轨： u 2 ( ξ ) = u 5 − ( u 5 − u 4 ) ( 1 − exp ( a 9 b ( u 5 − u 4 ) ξ ) ) 2 ( 1 + exp ( a 9 b ( u 5 − u 4 ) ξ ) ) 2 ，     − ∞ < ξ < + ∞ . 3.2. 系统(6)的无界行波解 除同宿轨道和周期轨道外，系统(2.5)的所有轨道都是无界的。我们需要分三种情况讨论。 1) 首先，我们讨论 c 2 + 2 a e > 0 的情况。这里包含了5种情况(U 1 ~U 5 )。 U 1 ：考虑图1(a)中的第一种无界轨道 Γ 2 和 Γ 2 ，其能量等于鞍点 P 1 。它们可以分别表示为： v = ± a 9 b ( u − u 4 ) 2 ( u − u 5 ) 这里 u 4 = c − c 2 + 2 a e a 和 u 5 = c + 2 c 2 + 2 a e a 并且 − ∞ < u < u 4 < u 5 。首先，我们用 Γ 2 作为例子来计算相应的解。给一个初始值 u ( 0 ) = − ∞ ，有： ∫ − ∞ u d u a 9 b ( u 4 − u ) ( u − u 5 ) = ∫ 0 ξ d ξ ，     0 < ξ < T . 注意到， ∫ − ∞ u d u ( u 4 − u ) ( u − u 5 ) = − 1 u 5 − u 4 ln u 5 − u − u 5 − u 4 u 5 − u + u 5 − u 4 ， 我们得到第一种类型的无界解： 对于轨道 Γ 2 ，采用类似的计算可以求出相应的无界解，其形式与 u v 1 ( ξ ) 相同。 U 2 ：考虑图1(a)中的第二种无界轨道，以 Γ 3 为例，其能量低于鞍点 P 1 ，但高于中心 P 2 。任意一个轨道可以表示为： v = ± a 9 b ( u 6 − u ) ( u 7 − u ) ( u 8 − u ) 这里 − ∞ < u < u 6 < u 7 < u 8 。选择一个初始值 u ( 0 ) = − ∞ ，有： ∫ − ∞ u d u a 9 b ( u 6 − u ) ( u 7 − u ) ( u 8 − u ) = ∫ 0 ξ d ξ ，     ξ > 0. 通过计算， ∫ − ∞ u d u ( u 6 − u ) ( u 7 − u ) ( u 8 − u ) = g ⋅ s n − 1 ( u 8 − u 6 u 8 − u ， k ) ， 这里 g = 2 u 8 − u 6 ， k 2 = u 3 − u 2 u 3 − u 1 ，我们得到第二种类型的无界解： u v 2 ( ξ ) = u 8 − ( u 8 − u 6 ) s n 2 ( a ( u 8 − u 6 ) 9 b ) ，     0 < ξ < ξ 1 ， ξ 1 = 36 b u 8 − u 6 ⋅ ∫ 0 π 2 d θ 1 − u 8 − u 7 u 8 − u 6 sin 2 θ . U 3 ：考虑图1(a)中的第三种无界轨道，以 Γ 4 为例，其能量等于中心 P 2 。其轨道可以被表示为： v = ± a 9 b ( u 10 − u ) 2 ( u 9 − u ) ， 这里 u 9 = c − 2 c 2 + 2 a e a ， u 10 = c + c 2 + 2 a e a 并且 − ∞ < u < u 9 < u 10 。类似的选择 Γ 4 上面的轨道，给定初值 u ( 0 ) = − ∞ ，有以下精确表达式： ∫ − ∞ u d u a 9 b ( u 10 − u ) ( u 9 − u ) = ∫ 0 ξ d ξ ，     ξ > 0 ， 注意到： ∫ − ∞ u d u ( u 10 − u ) ( u 9 − u ) = 1 u 10 − u 9 ( π − arctan u 9 − u u 10 − u 9 ) ， 我们得到第三种类型的无界轨道： u v 3 ( ξ ) = u 9 − ( u 10 − u 9 ) tan 2 ( a ( u 10 − u 9 ) 9 b ξ ) ，     0 < ξ < ξ 2 ξ 2 = 9 b a ( u 10 − u 9 ) ⋅ π . U 4 ：考虑图1(a)中的第四种无界轨道，以 Γ 5 为例，其能量低于中心 P 1 。任一轨道可以被表示为 v = ± a 9 b ( u 11 − u ) [ u 2 + ( u 11 − 3 c a ) u + ( u 11 2 − 3 c a u 11 − 6 e a ) ] ， 在这里 − ∞ < u < u 11 < u 9 。令 u ( 0 ) = − ∞ ，有 ∫ − ∞ u d u a 9 b ( u 11 − u ) [ u 2 + ( u 11 − 3 c a ) u + ( u 11 2 − 3 c a u 11 − 6 e a ) ] = ∫ 0 ξ d ξ ，     ξ > 0 ， 通过计算： ∫ − ∞ u d u a 9 b ( u 11 − u ) [ u 2 + ( u 11 − 3 c a ) u + ( u 11 2 − 3 c a u 11 − 6 e a ) ] = g ⋅ c n − 1 ( u 11 − A − u u 11 + A − u ， k ) ， 这里 A 2 = 3 u 11 2 − 6 c a u 11 − 6 e a ， g = 1 A 以及 k 2 = 2 A a + 3 a u 11 − 3 c 4 A 。我们可以得到第四种类型的解： u v 4 ( ξ ) = u 11 + 3 u 11 2 − 6 c a u 11 − 6 e a − 2 3 u 11 2 − 6 c a u 11 − 6 e a 1 − c n ( ( 3 u 11 2 − 6 c a u 11 − 6 e a ) a 2 81 b 2 4 ) ，     0 < ξ < ξ 3 ， ξ 3 = 12 b a 3 u 11 2 − 6 c a u 11 − 6 e a 4 ⋅ ∫ 0 π 2 d θ 1 − 2 a 3 u 11 2 − 6 c a u 11 − 6 e a − 3 a u 11 − 3 c 3 u 11 2 − 6 c a u 11 − 6 e a 4 ⋅ sin 2 θ . U 5 ：考虑图1(a)中的第五种无界轨道，以 Γ 6 为例，其能量高于中心 P 2 。任一轨道可以被表示为 在这里 ， − ∞ < u < u 12 。令 u ( 0 ) = − ∞ ，有 ∫ − ∞ u d u a 9 b ( u 12 − u ) [ u 2 + ( u 12 − 3 c a ) u + ( u 12 2 − 3 c a u 12 − 6 e a ) ] = ∫ 0 ξ d ξ ，     ξ > 0 ， 类似的计算如U 4 ，可以得到第五种类型的无界解： u v 5 ( ξ ) = u 12 + 3 u 12 2 − 6 c a u 12 − 6 e a − 2 3 u 12 2 − 6 c a u 12 − 6 e a 1 − c n ( ( 3 u 12 2 − 6 c a u 12 − 6 e a ) a 2 81 b 2 4 ) ，     0 < ξ < ξ 4 ， ξ 4 = 12 b a 3 u 12 2 − 6 c a u 12 − 6 e a 4 ⋅ ∫ 0 π 2 d θ 1 − 2 a 3 u 12 2 − 6 c a u 12 − 6 e a − 3 a u 12 − 3 c 3 u 12 2 − 6 c a u 11 − 6 e a 4 ⋅ sin 2 θ . 2) 接下来，我们讨论 c 2 + 2 a e = 0 的情况。这里包含了2种情况(U 6 ~U 7 )。 U 6 ：考虑图1(b)中的第一种无界轨道 L 2 和 L 2 ，其能量等于尖点 P 3 。它们可以分别表示为： v = ± a 9 b ( c a − u ) c a − u ， 这里 − ∞ < u < c a 。选择 u ( 0 ) = − ∞ ，有 ∫ − ∞ u d u a 9 b ( c a − u ) c a − u = ∫ 0 ξ d ξ ，     ξ > 0 ， 直接计算，可以得到第六种无界解： u v 6 ( ξ ) = c a − 36 b a ξ 2 ，     ξ > 0. U 7 ：考虑图1(b)中的第一种无界轨道 L 1 或 L 3 ，其能量等于尖点 P 3 。任意一个轨道可被表示为： v = ± a 9 b ( u 13 − u ) [ u 2 + ( u 13 − 3 c a ) u + ( u 13 2 − 3 c a u 13 − 6 e a ) ] ， 在这里 − ∞ < u < u 13 同时 u 13 ≠ c a 。给定初值 u ( 0 ) = − ∞ ，直接计算可以得到第七种无界轨道： u v 7 ( ξ ) = u 13 + 3 u 13 2 − 6 c a u 13 − 6 e a − 2 3 u 13 2 − 6 c a u 13 − 6 e a 1 − c n ( ( 3 u 13 2 − 6 c a u 13 − 6 e a ) a 2 81 b 2 4 ) ，     0 < ξ < ξ 5 ， ξ 5 = 12 b a 3 u 13 2 − 6 c a u 13 − 6 e a 4 ⋅ ∫ 0 π 2 d θ 1 − 2 a 3 u 13 2 − 6 c a u 13 − 6 e a − 3 a u 13 − 3 c 3 u 13 2 − 6 c a u 13 − 6 e a 4 ⋅ sin 2 θ . 3) 最后，我们讨论 c 2 + 2 a e < 0 的情况。这种情况下，只有一种类型的无界轨道。任意一个都可以被表示为： v = ± a 9 b ( u 14 − u ) [ u 2 + ( u 14 − 3 c a ) u + ( u 14 2 − 3 c a u 14 − 6 e a ) ] ， 在这里 − ∞ < u < u 14 。给定初值 u ( 0 ) = − ∞ ，有 ∫ − ∞ u d u a 9 b ( u 14 − u ) [ u 2 + ( u 14 − 3 c a ) u + ( u 14 2 − 3 c a u 14 − 6 e a ) ] = ∫ 0 ξ d ξ ，     ξ > 0 因此，我们得到了最后一个无界解： u v 8 ( ξ ) = u 14 + 3 u 14 2 − 6 c a u 14 − 6 e a − 2 3 u 14 2 − 6 c a u 14 − 6 e a 1 − c n ( ( 3 u 14 2 − 6 c a u 14 − 6 e a ) a 2 81 b 2 4 ) ，     0 < ξ < ξ 6 ， ξ 6 = 12 b a 3 u 14 2 − 6 c a u 14 − 6 e a 4 ⋅ ∫ 0 π 2 d θ 1 − 2 a 3 u 14 2 − 6 c a u 14 − 6 e a − 3 a u 14 − 3 c 3 u 14 2 − 6 c a u 14 − 6 e a 4 ⋅ sin 2 θ .