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user: 3. 主要定理的证明 证 假设引理不真，并设 ( G ， E ) 为极小阶反例，我们分以下步骤导出矛盾。 步骤1 若X是E的霍尔子群，则 ( X ， X ) 满足定理假设。若X还是G的正规子群，则 ( G / X ， E / X ) 也满足定理假设。 先设X是E的霍尔子群，P是E的非循环Sylow子群。那么根据假设，P有一个子群D，满足 1 < | D | < | P | ，且P的每个 | D | 阶子群及 2 | D | 阶子群(若P是非交换2-群，且 | P : D | > 2 )在G中要么有超可解补，要么是弱NS * -置换的。令H是P的一个子群，使得 | H | = | D | 。不妨先考虑前者，首先设T是H在G中的一个超可解补，从而有 H T = G ，因此 X = X ∩ H T = H ( X ∩ T ) ，继而 X ∩ T 是H在X中的超可解补。再假设H在G中是弱NS * -置换的，那么由引理2.5 (3)易知，H在X中也是弱NS * -置换的。于是由此， ( X ， X ) 满足定理假设。 现在设X既是E的霍尔子群，也是G的正规子群，显然， ( G / X ) / ( E / X ) ≅ G / X ∈ F 。我们令M/X是E/X的非循环Sylow p-子群，其p是 | E / X | 的一个素因子。再设 P X = M ，其中P为M的Sylow p-子群。于是P是E的非循环Sylow子群。根据定理假设，P有一个子群D，满足 1 < | D | < | P | ，且P的每个 | D | 阶子群及 2 | D | 阶子群(若P是非交换2-群，且 | P : D | > 2 )在G中要么有一个超可解补子群T，要么是弱NS * -置换的。不妨令K/X是M/X的一个子群，使得 | K / X | = | D | ，从而有 K = [ X ] H ，且H为K的Sylow p-子群。显然， | H | = | D | 。因此，由引理2.5 (4)， K / X = H X / X 在G/X中要么有超可解补子群 T X / X ≅ T / T ∩ X ，要么是弱NS * -置换的，从而 ( G / X ， E / X ) 满足定理假设。 步骤2 若X是E的正规霍尔子群，则 X = E 。 显然X是E的特征子群，从而X是G的正规子群。由步骤1可知， ( G / X ， E / X ) 满足定理假设。但由于G的极小性选取，即有 G / X ∈ F ，这表明 ( G ， X ) 满足定理假设，再由 ( G ， E ) 的极小性，得 X = E 。 步骤3 若p是 | E | 的最小素因子，则存在E的Sylow p-子群P是非循环的。 假设P是循环的，那么根据文献 [ 9 ] (IV， 2.8)，得到E是p-幂零的，这意味着 G ∈ F ，矛盾。从而由步骤2，有 P = E 。由假设 G / E ∈ F ，再根据引理2.8，有 G ∈ F ，亦矛盾，因此步骤3成立。 现在不妨讨论E的非循环的Sylow p-子群P。根据假设，P有一个子D，满足 1 < | D | < | P | ，且P的每个 | D | 阶子群及 2 | D | 阶子群(若P是非交换2-群，且 | P : D | > 2 )要么在G中有超可解补 ，要么是G的弱NS * -置换的。 步骤4 若 | P : D | > p ，那么P的每个 | D | 阶子群H在G中若无超可解补则是G的几乎S-置换子群；若P是一个非交换2-群，并且 | P : D | > 2 ，那么P的每个 2 | D | 阶子群H在G中若无超可解补则是G的几乎S-置换子群。 不妨先假设P的 | D | 阶子群H在G中无超可解补，亦非G的几乎S-置换子群。那么根据引理2.5 (5)，存在G的一个正规子群M，使 | G : M | = p 且 G = H M ，从而有 G / E ∩ M ∈ F 。因此，由引理2.5， ( G ， E ∩ M ) 满足定理假设。另一方面， | G | | E ∩ M | < | G | | E | ，这与 ( G ， E ) 的极小性矛盾。从而P的每个 | D | 阶子群H在G中若无超可解补则是几乎S-置换的。 同理可得，若P是非交换2-群，且 | P : D | > 2 ，则P的每个 2 | D | 阶子群H在G中若无超可解补则是几乎S-置换的。 步骤5 对于G的任意含于P中的极小正规子群N，满足 | N | ≤ | D | 。 如若不然，那么 | D | < | N | 。若N的 | D | 阶子群H在G中有超可解补子群T，那么显然有 T N = G 且 T ≠ G 。由此 N ∩ T 为N的真子群，且 N = N ∩ H T = H ( N ∩ T ) 。显然这时候有 N ∩ T ⊵ G ，这与N的极小性矛盾。因此，N的每个 | D | 阶子群H在G中是弱NS * -置换的。从而据引理2.6可知存在N的极大子群在G中是正规的，这是一个矛盾，因此步骤5成立。 步骤6 若 E = G 或者 E = P ，则 | D | > p 。 首先，若 E = G ，则由步骤2可知，G不是p-幂零的。因此根据文献 [ 9 ] (V， 5.4)，G有一个p-闭的Schmidt子群。从而由引理2.7，我们有 | D | > p 。再若 E = P ，考虑G的一个不包含E的极大子群M，则 G / E ≅ M / M ∩ E ∈ F 。假设 | D | = p ，且令 L = G F ，则 L ≤ E ，又由引理2.7， | L / Φ ( L ) | = p 。根据引理2.8， G / Φ ( L ) ∈ F ，这使得 L ≤ Φ ( L ) ，故 L = Φ ( L ) ，矛盾，因此 | D | > p 。 步骤7 若 E = G 或者 E = P ，N是包含在E中的G的极小交换正规子群，则 ( G / N ， E / N ) 也满足定理假设且 G / N ∈ F 。 当 | N | < | D | 或者 | P : D | = p 时，这是显然的。因此我们令 | N | = | D | 且 | P : D | > p 。 由步骤4我们知道，P的每个 | D | 阶子群H在G中若无超可解补则是几乎S-置换的；若P是非交换2-群，且 | P : D | > 2 ，则P的每个 2 | D | 阶子群H在G中若无超可解补则是几乎S-置换的。 由步骤6可知，N非循环，因此G的每个包含N的子群也是非循环的。设 N ≤ K ≤ P 且 | K : N | = p ，于是K非循环，从而存在K的一个极大子群M使得 M ≠ N 。若M在G中有超可解补，那么K在G中也有超可解补。反之，若M在G中没有超可解补，那么M在G中是几乎S-置换的，显然 K = M N 在G中也是几乎S-置换的。因此，若P/N交换，则由引理2.5 (2)和(4)，G/N满足定理假设。 现在假设P/N是非交换2-子群，从而P是非交换2-子群，因此P的每个 2 | D | 阶子群H在G中若无超可解补则是几乎S-置换的。设 N ≤ L ≤ P 且 | L : N | = 4 ，则如上同理， ( G / N ， E / N ) 满足定理假设。 由上，步骤7成立。 步骤8 若 E = G ，则至少存在P的一个极大子群在G中没有超可解补。 这由步骤2和引理2.2可直接得到。 步骤9 E是可解的。 根据步骤1以及G的极小性选取，我们只需考虑 E = G 。再根据步骤7，要证E是可解的，只需证 P G ≠ 1 。 首先假设 | P : D | = p ，则由步骤8，至少存在P的一个极大子群M在G中没有超可解补。若 M n G = 1 ，则由定理假设，M在G中有一个次正规补子群T。显然，据引理2.5 (3)， ( T ， T ) 满足定理假设(事实上，T的Sylow p-子群都是素数阶循环群)，因此T是超可解的，这与M的选取相矛盾。所以 M n G ≠ 1 ，由引理2.1 (4)，有 M n G ≤ Ο P ( G ) ，故 P G ≠ 1 。 最后假设 | P : D | > p ，则由步骤4，P的每个 | D | 阶子群H在G中若无超可解补则是几乎S-置换的。因此根据引理2.1 (4)，我们不妨假设P的每个 | D | 阶子群H在G中都有超可解补，这使得P的每个极大子群 在G中都有超可解补，与步骤8矛盾，从而步骤9成立。 步骤10 设q为 | E | 的最大的素因子，那么E是q-闭的。 根据步骤1，只需要讨论 E = G 。由步骤9，E是可解的，以及步骤1中对于G的任意霍尔子群X， ( X ， X ) 满足定理假设。因此，不妨假设 | G | = p a q b ，其中a，b为任意的自然数。 假设G不是q-闭的，那么由步骤7及G的极小性选取，使得G的每个含于P中的极小正规子群N，都有G/N是超可解的。因此，根据引理2.9， N ⊈ Φ ( G ) ，并且N是含于P中的G的唯一的极小正规子群。我们接下来要说明 N = Ο P ( G ) 。 事实上，令M为G中一个极大子群，使得 G = [ N ] M ，从而有 Ο P ( G ) = Ο P ( G ) ∩ N M = N ( Ο P ( G ) ∩ M ) 。由于 Ο P ( G ) ≤ F ( G ) ≤ C G ( N ) ，这使得 Ο P ( G ) ∩ M 是G的一个正规子群，从而推得 Ο P ( G ) ∩ M = 1 ，即有 N = Ο P ( G ) 。 现在继续考虑 | P : D | 。 若 | P : D | = p ，则对于P的每个包含N的极大子群A，满足 A M = G ，从而 M ≅ G / N 是A在G中的一个超可解补。根据步骤8可知，存在P的一个极大子群B在G中既无超可解补也不包含N，于是由假设，B是G的一个弱NS * -置换子群。令 L = B n G ，并且设T是G的一个次正规子群，使得 B T = G 且 B ∩ T ≤ L 。若 L = 1 ，那么 | T | = p q b ，由引理2.5，显然 ( T ， T ) 满足定理假设，从而T是超可解的，这与B的选取相矛盾。故我们有 L ≠ 1 ，且根据引理2.1 (4)， L ≤ Ο P ( G ) ，继而 L ≤ N ∩ B 。 若 N ≤ T ，那么 T ∩ B ≤ N ∩ B ≤ T ∩ B ，即 T ∩ B = N ∩ B 。又因为 T ∩ B ≤ L ≤ N ∩ B ，从而 T ∩ B = L = N ∩ B ，显然 N ∩ B 在G中正规。另一方面，由于 L = N ∩ B 是个p-群且在G中正是几乎S-置换的，因此对于某个自然数m，我们有 | G : N G ( L ) | = p m ，故 G = P N G ( L ) 。从而我们有 L G = L P N G ( L ) = L P = L ，这说明L在G中正规，这使得 N ≤ L ≤ B ，相矛盾，所以我们有 N ⊈ T 。由于T是G的一个次正规子群，据引理2.3 (3)，T包含G的所有Sylow q-子群，这使得 G / T G 是个p-群，从而 G ≅ G / N ∩ T G ，是q-闭，与假设矛盾。 若 | P : D | > p ，那么由步骤4，P的每个 | D | 阶子群H在G中若无超可解补则是几乎S-置换的。再据引理2.1 (4)，P的每个 | D | 阶几乎S-置换子群H都含于 N = Ο P ( G ) 中。于是由假设，对于P的所有不含于N中的 | D | 阶子群H在G中都有超可解补，从而P的每个极大子群在G中也有超可解补，这与步骤8相矛盾。 由此，步骤10成立。 步骤11 E = P 。 事实上，不妨令q为 | E | 的最大素因子，并且设Q为E的一个Sylow q-子群。那么由步骤10，Q在E中正规，从而再由步骤2，有 Q = E = P 。 步骤12 最后的矛盾。 设N是G的一个极小正规子群且N包含于P中，则由步骤7，N是含于P中的G的唯一极小正规子群，再根据步骤11，有 N = Ο P ( G ) = P 。显然，这与引理2.6相悖，最后的矛盾。