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user: 2. 主特征值估计 黎曼流形上最基本的椭圆算子是Laplace算子，若M是紧致的则其Laplace算子具有离散的谱，记作 0 ≤ λ 1 ≤ λ 2 ≤ ⋯ ≤ λ i ≤ ⋯ ，显然 i → ∞ 时， λ i → ∞ 。典型Laplace算子的特征值估计主要是根据某些几何不变量在黎曼流形上进行的，那么在流形本身、曲率条件或其他估计条件发生改变时，特征值会发生怎样的变化？本节将归纳总结一般的p-Laplacian的特征值估计；由黎曼流形推广到Finsler流形上的特征值估计；以及添加特征函数得到的Schrödinger算子的特征值估计。 2.1. Li-猜想的发展 1958年，Lichnerowicz [ 9 ] 证明了特殊曲率条件下的第一非零特征值的一个下界估计。 定理2.1.1 设M为一个m维无边界的紧致黎曼流形，Ricci曲率满足 R i c ≥ ( m − 1 ) K ，则M上Laplace算子的第一非零特征值满足下界估计： λ 1 ≥ m K . 随后，Choi-Wang [ 10 ] 优化了该问题。 推论2.1.2 设M为一个m维可定向的嵌入到 m + 1 维可定向紧致黎曼流形N中的最小超曲面，且流形N的Ricci曲率满足 R i c ≥ m K ，常数 K > 0 ，则其第一非零特征值满足： λ 1 ≥ m K 2 . Li-Yau [ 6 ] 得到了只依赖于流形M的直径d及Ricci曲率的主特征值的下界的估计(即定理1.2)，随后钟家庆与杨洪苍利用极大值原理 [ 11 ] 优化选择更恰当的试验函数后给出这类问题的最优估计(即定理1.3)同时，Li-Yau [ 6 ] 给出了依赖于直径d并满足一定Ricci曲率条件的一个下界估计。 定理2.1.3 设M为一个m维无边界紧致黎曼流形，Ricci曲率满足 R i c ≥ − ( m − 1 ) K ，常数 K ≥ 0 ，则存在仅取决于m的常数 C 1 ， C 2 > 0 ，使得Laplace算子的第一非零特征值满足： λ 1 ≥ C 1 d 2 exp ( − C 2 d K ) . 随后Yang [ 12 ] 优化了此类估计。 推论2.1.4 设M为一个m维无边界紧黎曼流形，Ricci曲率满足 R i c ≥ − ( m − 1 ) K ，常数 K ≥ 0 ，M的直径为d，则存在仅取决于维数m的常数 C > 0 ，使得M上Laplace算子的第一非零特征值满足下界估计： λ 1 ≥ π 2 d 2 exp ( − C d K ) . 结合流形根据直径与曲率的特征值估计，Li提出猜想： λ 1 ≥ π 2 d 2 + ( m − 1 ) K 。特别地，当 K = 0 时，即定理1.3，当 K = π 2 d 2 时，即定理2.1。Yang [ 12 ] 在此基础上又进一步提出猜想： λ 1 ≥ π 2 d 2 + 1 2 ( m − 1 ) K 。为证明Li猜想，数学家们探索研究了 λ 1 ≥ π 2 d 2 + a ( m − 1 ) K 对哪些常数a成立 [ 13 ] - [ 19 ] 。 定理2.1.5 设M为一个m维闭黎曼流形，且其Ricci曲率满足 R i c ≥ ( m − 1 ) K ，常数 K ≥ 0 ，记M的直径为d，则M上Laplace算子的第一非零特征值满足： λ 1 ≥ π 2 d 2 + 1 4 ( m − 1 ) K . 推论2.1.6 设M为一个m维带边界的紧致黎曼流形，Ricci曲率满足 R i c ≥ ( m − 1 ) K ，常数 K > 0 ，且关于边界 ∂ M 的单位法向量的平均曲率非负，d为M的直径， d ¯ 为M中最大内接球的直径， d ¯ = 2 sup x ∈ M { d i s t ( x ， ∂ M ) } 。则Laplace算子的第一非零特征值满足： λ 1 ≥ π 2 d ¯ 2 + 1 2 ( m − 1 ) K . 推论2.1.7 设M为一个m ( m ≥ 3 )维紧致黎曼流形，M关于外法向量的第二基本形式非负，设Ricci曲率满足 R i c ≥ ( m − 1 ) K ，常数 K > 0 ，则有： λ 1 ≥ π 2 d ¯ 2 + 34 100 ( m − 1 ) K . 推论2.1.8 设M为一个m维紧致黎曼流形，M关于外法向量的第二基本形式非负，Ricci曲率满足 R i c ≥ ( m − 1 ) K ，常数 K > 0 ，且具有对称性(即第一特征函数最小值与最大值互为相反数)，则M上Laplace算子的第一非零特征值满足： λ 1 ≥ π 2 d 2 + 1 2 ( m − 1 ) K . 定理2.1.9 设M为一个m维无边界(或有凸边界)的紧致黎曼流形，且其Ricci曲率满足 R i c ≥ ( m − 1 ) K ，记M的直径为d，则关于Neumann边界条件的Laplace算子的第一非零特征值满足下界估计： λ 1 ≥ 4 s ( 1 − s ) π 2 d 2 + s ( m − 1 ) K ， 其中 s ∈ ( 0 ， 1 ) 。特别地， s = 1 2 即 λ 1 ≥ π 2 d 2 + 1 2 ( m − 1 ) K ，从而证明Yang-猜想是正确的。 而Andrews-Clutterbuck [ 20 ] 证明 λ 1 ≥ π 2 d 2 + a ( m − 1 ) K 对于 a = 1 2 为最优估计，故Li-猜想是错误的。虽然Li-猜想最终被证明是错误的，但是由该猜想延伸拓展产生的很多特征值的估计结果等对流形的分析依然具有十分重要的作用。 2.2. P-Laplacian的特征值估计 一般的Laplace算子可以推广到高阶情形，设M为一个光滑黎曼流形，区域 Ω ⊂ M ，对 1 < p < ∞ ， u ∈ W 1 ， p ( M ) ， Ω 上的p-Laplacian定义为 Δ p ( u ) = d i v ( | ∇ u | p − 2 ∇ u ) 。特别地， p = 2 即为一般的Laplace-Beltrami算子。非线性特征值问题也分为Dirichlet与Neumann边界问题： Dirichlet边界问题： { Δ p u = − λ | u | p − 2 ，on   M u = 0 ， on   ∂ M Neumann边界问题： { Δ p u = − λ | u | p − 2 ，   on   M ∇ n u = 0 ， on   ∂ M 其中 n 为 ∂ M 上的外法向量。设 Ω ⊂ M 且具有非空紧致闭边界 ∂ Ω ，则 Ω 上的第一特征值为： λ 1 ， p ( Ω ) = inf { ∫ Ω | ∇ u | p ∫ Ω u p | u ∈ W 0 1 ， p ( Ω ) ， u ≠ 0 } 。当 Ω 有分段光滑的边界时， λ 1 ， p ( Ω ) 为Dirichlet边界问题的第一特征值。特别地，当M为无边紧致流形时，有： λ 1 ， p ( M ) = inf { ∫ M | ∇ u | p ∫ M u p | u ∈ W 1 ， p ( Ω ) ， u ≠ 0 ， ∫ M | u | p − 1 u = 0 } . 当M为完备非紧致流形时， λ 1 ， p ( M ) = lim r → ∞ λ 1 ， p ( B r ( q ) ) ，其中 B r ( q ) 是为以 q ∈ M 为圆心以r为半径的测地球。 p-Laplacian作为一般Laplace算子的自然推广有以下三种特征值估计 [ 21 ] ： 定理2.2.1 (Cheng型估计)设M为一个m维完备黎曼流形， ∀ x 0 ∈ M ， K ∈ ℜ ， r > 0 ， p > 1 ， q > m 2 ，记 q ¯ = max { q ， p 2 } ，存在仅取决于m，p， q ¯ ，K，r的常数 ε ，满足 ∂ B ( x 0 ， r ) 非空，且 ‖ R i c − k ‖ q ， B ( x 0 ， r ) < ε ，则存在常数C，使得p-Laplacian特征值满足： λ 1 ， p ( B ( x 0 ， r ) ) ≤ λ ¯ 1 ， p ( B K ( r ) ) + C ( ‖ R i c − K ‖ q ¯ ， B ( x 0 ， r ) ) 1 / 2 . 其中 M ¯ 为单连通常曲率K的完备空间形式， B K ( r ) ⊂ M ¯ 为以r为半径的球， λ ¯ 1 ， p 为 M ¯ 中Dirichlet边界条件的p-Laplacian的第一非零特征值。 定理2.2.2 (Lichnerowicz型估计)设M为一个m维完备黎曼流形，对于 K > 0 ， r > 0 ， p > 1 ， q > m 2 ，存在仅取决于m，p， q ¯ ，K，r的常数 ε ，若 ‖ R i c − k ‖ q < ε ，则M关于Neumann边界条件的p-Laplacian的特征值下界估计满足： λ 1 ， p 2 p ( M ) ≥ m ( p − 2 ) + m ( p − 1 ) ( m ( p − 2 ) + m − 1 ) [ ( m − 1 ) K − 2 ‖ R i c − K ‖ q ] . 当 R i c ≥ ( m − 1 ) K 时， λ 1 ， p 2 p ( M ) ≥ m ( p − 2 ) + m m ( p − 2 ) + m − 1 ⋅ ( m − 1 ) K p − 1 ≥ ( m − 1 ) K p − 1 。 定理2.2.3 (Lichnerowicz-Obata型估计)设M为一个m维完备黎曼流形，对于 K > 0 ， α > 1 ， p > 1 ， q > m 2 ，存在仅取决于m，p， q ¯ ，K，r的常数 ε 满足 ‖ R i c − k ‖ q < ε ，则M关于Neumann边界条件的p-Laplacian的特征值满足： α λ 1 ， p ( M ) ≥ λ ¯ 1 ， p ( M ¯ ) . 在此基础上，数学家们 [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] 得到很多更精确的对p-Laplacian特征值的估计结果： 定理2.2.4 设M为光滑黎曼流形，则p-Laplacian的第一非零特征值下界满足： λ 1 ， p ( M ) ≥ sup { inf Ω ( ( 1 − p ) ‖ X ‖ q + d i v ( X ) ) | X ∈ W 1 ， 1 ( M ) } . 定理2.2.5 设M为一个m维完备非紧致的单连通黎曼流形，截面曲率k满足 k ≤ − c 2 < 0 ，则p-Laplacian的第一非零特征值满足： λ 1 ， p ( M ) ≥ ( m − 1 ) p c p p p . 定理2.2.6 设M为带凸边界的紧致黎曼流形，且具有非负Ricci曲率，记d为M的直径，则M关于Neumann边界条件的p-Laplacian的第一非平凡特征值下界满足： λ 1 ， p ≥ ( p − 1 ) π p p d p . 其中 π p = ∫ − 1 1 d s ( 1 − | s | p ) 1 / p = 2 π p sin ( π / p ) 。特别地，当 p = 2 时， λ 1 ≥ π 2 d 2 。 定理2.2.7 设M为一个紧致黎曼流形，具有非负Ricci曲率 R i c ≥ 0 ，记d为M的直径， p ≥ 2 ，则M关于Neumann边界问题的p-Laplacian的第一非平凡特征值下界满足： λ 1 ， p ≥ 1 p − 1 ( π 4 d ) p . 定理2.2.8 设M为一个紧致黎曼流形，且其Ricci曲率拟正(即 R i c ≥ 0 ，但至少存在一点使 R i c > 0 )， p > 1 ，则有Neumann边界的p-Laplacian的第一非平凡特征值满足： λ 1 ， p ≥ ( p − 1 ) ( π p 2 d ) p . 2.3. Finsler流形上的特征值的估计 一般的特征值估计主要是在黎曼流形上进行的，Finsler流形是一种比黎曼流形更广泛的度量空间。设 ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ) 是微分流形 F n 的一个坐标系， C : x i = x i ( t ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 为一条曲线，弧长s记为 s = ∫ t 0 t F ( x ˙ 1 ( t ) ， x ˙ 2 ( t ) ， ⋯ ， x ˙ n ( t ) ， x ˙ 1 ， x ˙ 2 ， ⋯ ， x ˙ n ) d t ，其中 x ˙ i ( t ) = d x i ( t ) d t ， F ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ， x ˙ 1 ， x ˙ 2 ， ⋯ ， x ˙ n ) 是Finsler度量函数，这样的微分流形 F n 称为Finsler流形。 F ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ， d x 1 ， d x 2 ， ⋯ ， d x n ) 2 是黎曼度量 ∑ i ， j = 1 n g i j ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ) d x i d x j 的推广。同黎曼流形一样，Finsler流形上两点之间的距离定义为连接这两点的曲线弧长的下确界。由于Finsler流形是度量空间，其度量拓扑和原来微分流形拓扑一致，显然黎曼流形上的许多性质可以推广到Finsler空间。芬斯勒(Finsler)于1918年在学位论文中系统地研究了这种度量，把经典的曲线和曲面论中的许多概念和定理进行推广，开展了整体Finsler几何的研究。Finsler流形几何理论在广义相对论和其他物理学领域中有许多应用，近年来无限维Finsler流形在非线性分析中也有越来越重要的作用。由于Finsler流形是比黎曼流形更广泛的流形，自然地可以研究Finsler流形上的Finsler-Laplace算子的特征值的估计。但由于Finsler流形上的Laplace算子是一个非线性微分算子，故很多黎曼流形上的估计方法不再适用，为了克服这些困难，需引进加权梯度、加权Ricci曲率及加权Laplace算子。比较黎曼流形上Laplace算子特征值估计的经典结果，也有很多关于Finsler流形上的Finsler-Laplace算子的特征值估计的重要结论 [ 26 ] [ 27 ] 。 定理2.3.1 设 ( M ， F ) 为一个m维完备的连通Finsler流形，其加权Ricci曲率及S-曲率满足 R i c N ≥ ( m − 1 ) K ， S ′ ≤ ( N − m ) ( m − 1 ) N − 1 K ，常数 K > 0 ， N ∈ ( m ， ∞ ) ， S ′ 表示S-曲率在测地线上的曲率改变量，则 ( M ， F ) 上Finsler-Laplace算子的第一非零特征值满足： λ 1 ≥ m − 1 N − 1 N K . 推论2.3.2 设 ( M ， F ) 为一个m维完备的连通Finsler流形， S = 0 且Ricci曲率满足 R i c ≥ ( m − 1 ) K ， K > 0 ，则Finsler-Laplace算子的第一非零特征值满足： λ 1 ≥ m K . 定理2.3.3 设 ( M ， F ) 为一个m维紧致Finsler流形，其加权Ricci曲率满足 R i c ∞ ≥ 0 ，d为M的直径，则 ( M ， F ) 上Finsler-Laplace算子的第一非零特征值满足下界估计为： λ 1 ≥ π 2 d 2 . 2.4. Schrödinger算子的特征值估计 前面我们主要研究Laplace算子在几何不变量或流形本身改变时特征值的改变，进一步当改变特征函数后特征值会有什么变化呢？本节将研究加上势函数的Schrödinger算子的主特征值的估计。 引进势函数后，新的Dirichlet边界问题为： { ( − Δ + V ) u = λ u ，   on   M u = 0 ， on   ∂ M 。其中算子 − Δ + V 称为Schrödinger算子，记为 H = − Δ + V ，M上的光滑函数V称为势函数， Δ 为Laplace算子。紧致黎曼流形上Laplace算子特征值的渐近性质可以推广到Schrödinger算子上，记 λ i 为Schrödinger算子H的特征值，则其特征值序列为 λ 1 ≤ λ 2 ≤ ⋯ ≤ λ i ≤ ⋯ ，显然 i → ∞ 时 λ i → ∞ 。一般Laplace算子的特征值估计主要取决于流形的维数、Ricci 曲率等几何不变量，但由于Schrödinger算子中引进了势函数，故其特征值估计不仅与几何不变量有关，还取决于势函数的积分值。 定理2.4.1 设M为一个紧致黎曼流形，给定常数 N > 0 ， C 0 > 0 ，且每个半径为r的球可被M中半径为 r 2 的一组球覆盖，设 ∀ x ∈ M ， r > 0 ，有 μ ( B ( x ， r ) ) ≤ C 0 r 2 ，则对任意势函数V，流形M上Schrödinger算子的一般特征值满足： λ k ≤ C k + δ − 1 ∫ M V + d μ − δ ∫ M V − d μ μ . 其中 δ ∈ ( 0 ， 1 ) 为仅取决于N的常数， C > 0 为取决于 N ， C 0 的常数， V ± = max { | ± V | ， 0 } 。进一步，若Schrödinger算子为非负算子，则 λ k ≤ C k + ∫ M V d μ k ε μ k ， ε ∈ ( 0 ， 1 ) 仅取决于N。 对于Schrödinger算子，也有很多它在黎曼流形上第一特征值的估计结果 [ 28 ] [ 29 ] 。 定理2.4.2 设M为一个紧致黎曼流形，V为光滑函数，则M上Schrödinger算子的第一特征值满足： λ 1 ≤ 1 μ ∫ M V d μ . 定理2.4.3 设M为一个紧致黎曼流形，任意势函数V为光滑函数，Schrödinger算子定义在(0， L)上，具有周期边界条件，定义 V m = inf x V ( x ) ， I = ∫ 0 L ( V ( x ) − V m ) 1 / 2 d x 。则流形M上Schrödinger算子的第一特征值满足： λ 1 ≥ V m + I 2 ， I ≤ π L ， λ 1 ≤ V m + π 2 L ， I > π L .