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user: 5. l ( f ) 的均值 定理5.1 l ( f ) 的和函数的公式为 ∑ f ∈ M n l ( f ) = ( n + 1 ) q 2 n + n q 2 n + 1 1 − q 2 − q 4 n + 1 + q 2 n ( q + 1 ) ( 1 − q 2 ) . (14) 证明：由定义可知， ， 令 h e = j ，则上式为 = ‖ f ‖ ∑ e | f ∑ ‖ j ‖ < ‖ f / e ‖ ( j ， f / e ) = 1 ‖ j ‖ . 令 y ( f ) = ∑ ‖ j ‖ < ‖ f ‖ ( j ， f ) = 1 ‖ j ‖ ， λ f = ‖ f ‖ ，则 L ( f ) = ( y * λ f ) ( f ) . 接下来我们计算 y (f) ， 令 j = d l ，则上式 = ∑ ‖ d l ‖ < ‖ f ‖ ∑ d | f ‖ d ‖ μ ( d ) ‖ l ‖ = ∑ d | f ‖ d ‖ μ ( d ) ∑ ‖ d l ‖ < ‖ f ‖ ‖ l ‖ ， 对l分类，则有 = ∑ d | f ‖ d ‖ μ ( d ) ∑ t = 0 deg f / d − 1 ∑ l ∈ M t q t = ∑ d | f ‖ d ‖ μ ( d ) ∑ t = 0 deg f / d − 1 q 2 t = ∑ d | f ‖ d ‖ μ ( d ) ( 1 − q 2 ( deg f − deg d ) 1 − q 2 ) ， 所以 l ( f ) = ‖ f ‖ 1 − q 2 ∑ d e | f ‖ d ‖ μ ( d ) ( 1 − q 2 ( deg f − deg d e ) ) = ‖ f ‖ 1 − q 2 ( ∑ d e | f ‖ d ‖ μ ( d ) − ∑ d e | f ‖ d ‖ μ ( d ) q 2 ( deg f − deg d e ) ) 令 I 1 = ∑ d e | f ‖ d ‖ μ ( d ) ， I 2 = ∑ d e | f ‖ d ‖ μ ( d ) q 2 ( deg f − deg d e ) 则 I 1 = ∑ f = b d e ‖ d ‖ μ ( d ) = ∑ d | f ‖ d ‖ μ ( d ) ∑ e | f / d 1 = ∑ d | f ‖ d ‖ μ ( d ) d ( f / d ) ， I 2 = ∑ d e | f ‖ d ‖ μ ( d ) ‖ f ‖ 2 ‖ e d ‖ 2 = ‖ f ‖ 2 ∑ d e | f μ ( d ) ‖ d ‖ ‖ e ‖ 2 = ‖ f ‖ ∑ e | f 1 ‖ e ‖ ∑ d | f / e μ ( d ) ‖ d ‖ ‖ f / e ‖ = ‖ f ‖ ∑ e | f 1 ‖ e ‖ φ ( f / e ) 令 μ ′ ( f ) = μ ( f ) ‖ f ‖ ， λ − 1 ( f ) = 1 ‖ f ‖ 则 l ( f ) = ‖ f ‖ 1 − q 2 ( ( μ ′ * d ) ( f ) − ‖ f ‖ ( λ − 1 * φ ) ( f ) ) . 因此 l ( f ) 函数的Dirichlet级数为 D l ( s ) = ∑ f ∈ M l ( f ) ‖ f ‖ s = 1 1 − q 2 ( ∑ f ∈ M ( μ ′ * d ) ( f ) ‖ f ‖ s − 1 − ∑ f ∈ M ( λ − 1 * φ ) ( f ) ‖ f ‖ s − 2 ) . 又因为 ∑ f ∈ M ( μ ′ * d ) ( f ) ‖ f ‖ s − 1 = ∑ f 1 ∈ M μ ′ ( f ) ‖ f 1 ‖ s − 1 ∑ f 2 ∈ M d ( f ) ‖ f 2 ‖ s − 1 = ζ A 2 ( s − 1 ) ζ A ( s − 2 ) = ∑ n = 0 ∞ [ ( n + 1 ) q 2 n + n q 2 n + 1 ] u n ， ∑ f ∈ M ( λ − 1 * φ ) ( f ) ‖ f ‖ s − 2 = ∑ f 1 ∈ M λ − 1 ( f 1 ) ‖ f ‖ s − 2 ∑ f 2 ∈ M φ ( f 2 ) ‖ f ‖ s − 2 = ζ A ( s − 1 ) ζ A ( s − 3 ) ζ A ( s − 2 ) = ∑ n = 0 ∞ q 4 n + 1 + q 2 n ( q + 1 ) u n . 参见( [ 5 ]， Chap1，2)。 所以 D l ( s ) = ∑ n = 0 ∞ [ ( n + 1 ) q 2 n + n q 2 n + 1 1 − q 2 − q 4 n + 1 + q 2 n ( q + 1 ) ( 1 − q 2 ) ] u n ， 又因为 D l ( s ) = ∑ n = 0 ∞ u n ∑ f ∈ M n l ( f ) ， 可得 ∑ f ∈ M n l ( f ) = ( n + 1 ) q 2 n + n q 2 n + 1 1 − q 2 − q 4 n + 1 + q 2 n ( q + 1 ) ( 1 − q 2 ) . □ 令 l − 1 ( f ) = ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ 1 ‖ [ h ， f ] ‖ ，是不可乘函数。 定理5.2 l − 1 ( f ) 的和函数的公式为 ∑ f ∈ M n l − 1 ( f ) = q − 1 2 q n 2 + q + 1 2 q n .(15) 证明：由定义可知， l − 1 ( f ) = ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ ‖ ( h ， f ) ‖ ‖ h f ‖ = 1 ‖ f ‖ ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ ‖ ( h ， f ) ‖ ‖ h ‖ ， 令 (h，f)=e ，则上式为 = 1 ‖ f ‖ ∑ e | f ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ ( h ， f ) = e ‖ e ‖ ‖ h ‖ = 1 ‖ f ‖ ∑ e | f ∑ ‖ h / e ‖ < ‖ f / e ‖ ( h / e ， f / e ) = 1 1 ‖ h / e ‖ ， 令 j = h / e ，则有 = 1 ‖ f ‖ ∑ e | f ∑ ‖ j ‖ < ‖ f / e ‖ ( j ， f / e ) = 1 1 ‖ j ‖ = 1 ‖ f ‖ ∑ e d = f ∑ ‖ j ‖ < ‖ d ‖ ( j ， d ) = 1 1 ‖ j ‖ . 令 H ( e ) = ∑ ‖ j ‖ < ‖ e ‖ ( j ， e ) = 1 1 ‖ j ‖ ， ，则有 l − 1 ( f ) = 1 ‖ f ‖ ∑ e | f H ( e ) = 1 ‖ f ‖ ( H ∗ I ) ( f ) . 接下来我们计算 H ( f ) ，令 m d = h ，则 H ( f ) = ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ ( h ， f ) = 1 1 ‖ h ‖ = ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ 1 ‖ h ‖ ∑ d | ( h ， f ) μ ( d ) = ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ 1 ‖ h ‖ ∑ d | h d | f μ ( d ) = ∑ d | f μ ( d ) ‖ d ‖ ∑ ‖ m ‖ < ‖ f / d ‖ 1 ‖ m ‖ ， 又因为 ∑ ‖ m ‖ < ‖ f / d ‖ 1 ‖ m ‖ = ∑ t = 0 deg f / d − 1 ∑ m ∈ M t q − t = ∑ t = 0 deg f / d − 1 = deg f − deg d ， 所以 H ( f ) = ∑ d | f μ ( d ) ‖ d ‖ deg f / d = ∑ d | f μ ( d ) ‖ d ‖ log q ‖ f ‖ ‖ d ‖ = ( μ ″ * ν ) ( f ) ， 其中 μ ″ ( f ) = μ ( f ) ‖ f ‖ ， ν ( f ) = log q ‖ f ‖ 。 因此 l − 1 ( f ) 的Dirichlet级数为 D l − 1 ( s ) = ∑ f ∈ M l − 1 ( s ) ‖ f ‖ s = ∑ f ∈ M ( μ ″ * ν * I ) ( f ) ‖ f ‖ s + 1 = ∑ f 1 ∈ M μ ″ ( f 1 ) ‖ f 1 ‖ s + 1 ∑ f 2 ∈ M ν ( f 2 ) ‖ f 2 ‖ s + 1 ∑ f 3 ∈ M I ( f 3 ) ‖ f 3 ‖ s + 1 ， 接下来分别计算三个级数 ∑ f 1 ∈ M μ ″ ( f 1 ) ‖ f 1 ‖ s + 1 = ∑ f 1 ∈ M μ ( f 1 ) ‖ f 1 ‖ s + 2 = 1 ζ A ( s + 2 ) = 1 − q − 1 u ， ∑ f 2 ∈ M ν ( f 2 ) ‖ f 2 ‖ s + 1 = ∑ t = 0 ∞ ∑ f 2 ∈ M t t q t ( s + 1 ) = ∑ t = 0 ∞ t q t s = q s ( q s − 1 ) 2 = u ( 1 − u ) 2 ， ∑ f 3 ∈ M I ( f 3 ) ‖ f 3 ‖ s + 1 = ζ A ( s + 1 ) = 1 1 − u ， 因此可得 D l − 1 ( s ) = ( 1 − q − 1 u ) u ( 1 − u ) 3 = ∑ n = 0 ∞ [ n ( n + 1 ) 2 − ( n − 1 ) n 2 q ] u n ， 又因为 D l − 1 ( s ) = ∑ f ∈ M l − 1 ( f ) ‖ f ‖ s = ∑ n = 0 ∞ ∑ f ∈ M n l − 1 ( f ) u n ， 对比系数可得 ∑ f ∈ M n l − 1 ( f ) = q − 1 2 q n 2 + q + 1 2 q n . □ 利用字典对应， F q [ T ] → Z n → log x q n → x ， 则定理5.1公式(14)有 ∑ f ∈ M n l ( f ) = q ( q + 1 ) ( q 2 − 1 ) q 4 n − n q 2 + 2 n q + n + q ( q + 1 ) ( q 2 − 1 ) q 2 n ， 与公式(12)对比 ∑ n ≤ x L ( n ) = ζ ( 3 ) 8 ζ ( 2 ) x 4 + O ( x 3 ( log x ) 2 / 3 ( log log x ) 4 / 3 ) ， 所以有限域多项式环上lcm和函数的均值的主项与整数环上相同。 同样地，定理5.2公式(15)有 ∑ f ∈ M n l − 1 ( f ) = q − 1 2 q n 2 + q + 1 2 q n → 3 π 2 ( log x ) 2 + ζ A ( 2 ) 2 ζ A ( 3 ) log x ， 与公式(13)对比 ∑ n ≤ x L ( − 1 ) ( n ) = 1 π ( log x ) 2 + A ( log x ) 2 + O ( log x ) ， 所以有限域多项式环上lcm和函数的均值的主项与整数环上的相同。