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user: 6. 粒子的运动规律 前面我们详细讨论了物质波的存在形式及遵循的规律，而由于任何粒子都是其物质波的量子化的能量，都与其物质波之间构成密不可分的整体，因而粒子的运动必然要受其物质波的具体形状的制约并由物质波的传播方式决定。波之所以能以其特有的形式表现出来，完全由其能量分布规律——波在其波场的任一点上的强度与波在该点上的振幅的平方成正比——所决定，因而波的能量分布规律同样是所有波都必须遵循的规律。但由于物质波是虚波，其波场的所有振动着的微元都不具有能量，因而，波的能量分布规律无法在物质波上直接表现出来，而是必须且只能通过其(量子化的能量)粒子在物质波的波场中任一点上出现的概率间接表现出来，而粒子的力学量的概率分布就是由此产生的；另外由于物质波是客观存在的虚波且其量子化的能量由其粒子所携带，因此当物质波的粒子与环境发生作用致其能量及动量发生改变时，物质波的形状也必然发生瞬间变化乃至塌缩，由于物质波的自然塌缩及其作用的客观实在性，薛定谔猫悖论及EPR悖论都可以得到合理解释；再者由于粒子是其物质波的量子化的能量，因此若将粒子的某一力学量限制在一定范围内并对其进行测量时，因粒子的物质波的作用，这种测量必然对与该力学量构成非对易关系的另一力学量的量值造成扰动并使之变得更加不确定，粒子的非对易关系的力学量之间的测不准关系可以由此得以表现，下面进行较详细的论述。 6.1. 粒子的力学量的概率分布 这里主要讨论粒子的空间坐标的概率分布，粒子的其他力学量的概率分布与量子力学中的结论基本相同，所不同的只是其物理含义，在此就不赘述。在讨论问题之前先回顾一下波的能流密度的概念，所谓波的能流密度是指波在传播过程中于单位时间内通过垂直于其传播方向上的单位面积的能量，并且波在其波场的任一空间坐标上的能流密度与波在该坐标上的振幅的平方成正比，而能流密度越大就意味着波的强度越强，因此能流密度也用于表示波的强度，也就是说波在其波场的任一空间坐标上的强度与波在该坐标上的振幅的平方成正比。由于物质波是一种特殊的波——虚波，因而波的强度概念同样也适用于物质波但又与上述波的强度概念有所不同，即物质波在其波场的任一空–时坐标 A ( x ， y ， z ， t ) 上的强度I与物质波在该坐标上的振幅 Ψ ( x ， y ， z ， t ) 的模的平方成正比，即 I ∝ | Ψ ( x ， y ， z ， t ) | 2 。同时由于任何一列物质波的能量都是量子化的、全部由其微观尺度的一个粒子携带并且该能量属于整列物质波，因而物质波的粒子不可能只出现在其波场的某些特殊的空–时坐标上而是在物质波的波场的所有空–时坐标上都有出现的可能性(此即粒子的物理量具有概率分布特征的根源)，并且物质波在其波场的任一空–时坐标上的强度越大，就意味着粒子在该空–时坐标上出现的频次就越多、发现该粒子的概率就越大；反之粒子在该空–时坐标上出现的频次越少、发现该粒子的概率越小。如在上述电子的物质波的双缝干涉现象中，如果电子枪以极高的强度发射电子流，则电子及其物质波在通过双缝并最终投射到成像屏上时在电子的物质波的理论计算强度为极大值处会很快出现亮条纹，而在成像屏上电子的物质波的理论计算强度为极小值处则为暗条纹；如果电子枪以极弱的强度持续的、一颗一颗的发射电子，则刚开始时电子及其物质波通过双缝并最终投射到成像屏时形成的亮点是不规则的、完全散乱的，但随着时间的流逝，在成像屏上电子的物质波的理论计算强度为极大值处聚集的亮点逐渐增多并最终形成明亮条纹，而在成像屏上电子的物质波的理论计算强度为极小值处则很少有亮点出现并最终显示暗黑条纹，该实验用两种不同的方式直观证明了物质波在空间中某一点上的强度与物质波的粒子在该点上出现的概率成正比这一重要结论。 综上所述可以获得结论：如果描述物质波的波函数为 Ψ ( x ， y ， z ， t ) ，则物质波在其波场的任一空–时坐标 A ( x ， y ， z ， t ) 上的振幅的模的平方 | Ψ ( x ， y ， z ， t ) | 2 与物质波在该坐标上的强度I成正比，并且物质波在空–时坐标 A ( x ， y ， z ， t ) 上的强度I与在该点上发现粒子的概率成正比。因此，波函数为 Ψ ( x ， y ， z ， t ) 的物质波在其波场中任一空–时坐标上的振幅的模的平方 | Ψ ( x ， y ， z ， t ) | 2 与在该点上发现粒子的概率成正比。 若用 d W ( x ， y ， z ， t ) 表示在时刻t于空间坐标 B ( x ， y ， z ) 附近无穷小邻域 ( x + d x ， y + d y ， z + d z ) 内发现粒子的概率，则 d W ( x ， y ， z ， t ) = K | Ψ ( x ， y ， z ， t ) | 2 d τ (27) 其中 d τ = d x d y d z 为空间坐标 的长为dx、宽为dy、高为dz的无限小邻域的体积，K为比例常数。若将在时刻t于物质波的空间坐标 B ( x ， y ， z ) 附近单位体积内发现粒子的概率定义为概率密度 w ( x ， y ， z ， t ) ，则 w ( x ， y ， z ， t ) = d W ( x ， y ， z ， t ) d τ = K | Ψ ( x ， y ， z ， t ) | 2 (28) 若将dW进行全域积分，则可得到粒子在整个无限三维空间中出现的概率，并且由于粒子只能且必须存在于三维空间中，因而粒子在三维空间中出现的概率为1，从而有 (29) 显然 K = 1 ∫   ∫   ∫ − ∞ + ∞ | Ψ ( x ， y ， z ， t ) | 2 d τ (30) 若令 ψ ( x ， y ， z ， t ) = K Ψ ( x ， y ， z ， t ) ，则有 ∫   ∫   ∫ − ∞ + ∞ | ψ ( x ， y ， z ， t ) | 2 d τ = 1 (31) 并称波函数 ψ ( x ， y ， z ， t ) 为归一化波函数。 以上用物质波的概念直观诠释了描述物质波的波函数的统计意义，从而揭示了量子力学中所谓概率波背后真正的物理机制并将波函数的统计解释建立在了波函数所描述的物质波是客观存在的这一假设基础之上，这就意味着波函数的统计解释必须在其物质波概念(而非纯粹主观意义上的概率波)基础之上才能得到真正理解。 6.2. 粒子的力学量的测量与薛定谔猫悖论及EPR悖论 由于物质波Ψ(r)是客观存在的虚波且其量子化的能量由其粒子所携带，因而当物质波Ψ(r)的粒子由于同环境因素发生相互作用而导致其能量E及动量p的量值发生改变时，由德布罗意关系式( E = ћ ω 、 p = ћ k )可知物质波Ψ(r)的形状(由其角频率ω及波数k决定)也必然发生相应的瞬间变化，并且相应的变化速度不受光速限制(理论上为无限大)，因而该过程无法用数学描述；特别是当粒子被宏观物体吸收或俘获时其动量及能量必然会发生突变(理论上如此，实际上变化是连续的)，而粒子的物质波Ψ(r)则瞬间收缩至粒子被吸收或俘获的空间区域(而除此之外的空间区域找到该粒子的概率即刻变为零)，我们称物质波Ψ(r)的这种突变为塌缩，且塌缩多为不可逆的；如单色平面光波的量子化的能量——光子——投射到发光屏上并被吸收后可以认为光子消失了(即光子的能量及动量都为零，则由 、 p = ћ k 可知光波的角频率ω及波数k均为0)，这时光波从单色平面形式自然塌缩至发光屏上的一点上；又如，自由电子的物质波是单色平面物质波，当电子经过原子核附近时被原子核俘获，则电子的物质波由单色平面波形式自然塌缩至原子核附近的微小区域中(在该区域内电子的物质波的具体形状可由薛定谔方程求得)。由此可见，任何物质波的塌缩都是自然发生的，不需要人的参与及确认。而当物质波Ψ(r)的形状发生改变时其粒子的能量及动量也会随之而变化：如当单色平面物质波Ψ(r)通过单狭缝后因单缝衍射导致其形状发生了改变，这时物质波Ψ(r)的粒子的动量也会变得不确定；又如当单色平面光波被截断为一个有限长度的波段时，位于该波段中的光子的能量将成为不确定的。总之，粒子的能量及动量的变化改变其物质波的形状，物质波形状的变化则改变其粒子的各力学量算符的本征值及其在任一微小空间区域上出现的几率。而量子力学中所说的测量导致的波函数Ψ(r)随机地塌缩至其粒子的某个本征态的本质就是粒子被测量仪器俘获或吸收的瞬间其物质波的塌缩，因而测量会导致物质波的塌缩但并非导致物质波塌缩的唯一原因，并且在目前量子力学中具有重要意义的测量概念对新的物质波概念而言并没有特别意义。显然，关于物质波的粒子的力学量的测量原理的表述与量子力学中基本一致，只不过需要将量子力学相关表述中的波函数改为物质波的波函数，并且原理中物质波的塌缩是自然发生的而非人的观测所导致，在此就不赘述。由于在现有的量子力学体系中“波函数不代表真实的物质波而是主观意义上的概率波”，因此，波函数的塌缩必须由人参与并经人的观察确认后才能发生，由此导致了薛定谔猫悖论及EPR悖论，并且对这两个悖论意义的争论至今仍在持续，下面我们将借助新的物质波概念进行分析。 6.2.1. 薛定谔猫悖论分析 为证明量子力学的理论体系是不完备的，奥地利物理学家薛定谔于1935年提出了将猫置于既活又死叠加态的著名理想实验，该理想实验的设施有：在实验箱里的一只健康的猫、一瓶氰化钾溶液、少量放射性物质、悬挂在氰化钾溶液瓶上方的铁锤以及能够接收到放射性物质的衰变信号并由此触发铁锤下落的触发装置。显然，放射性物质有50%的概率衰变并触发铁锤下落而后击碎氰化钾溶液瓶从而释放出毒气杀死这只猫；同时，放射性物质有50%的概率不衰变而猫将存活下来。根据经典物理学，在未打开实验箱时猫只能处于或者活或者死这两个状态之一，外部观测者打开实验箱后就能确定实际情况。由于在量子力学中波函数不代表真实的物质波而是主观意义上的概率波，从而在认识层面上将微观现象的不确定性与宏观物体的状态耦合了起来，因此在未打开实验箱时整个系统的状态相对于观测者而言始终是不确定的，从而猫处于既活又死的叠加态。只有当实验箱打开后并经外部观测者观测时，猫的这种既活又死的状态才能塌缩至活猫态或死猫态。这项实验旨在演示量子力学对微观粒子世界超乎常理的认识和理解，并使微观不确定原理演绎为宏观不确定原理，但常识告诉我们，没有任何人见过既活又死的猫，而量子力学却推论出这种状态的猫的存在，显然违背了常识从而导致了悖论的产生，这就是著名的薛定谔猫悖论。 由以上分析可见，导致薛定谔猫悖论的根源在于分析过程中应用了哥本哈根提出的“波函数不代表真实的物质波而是主观意义上的概率波”的观点，因此试验中猫的既活又死的这种人的主观意义上的叠加态必须经由人观测确认后才能塌缩至活猫态或死猫态，而用新的物质波概念对薛定谔猫实验进行分析则能够消除其中的悖论。在分析前我们将实验进行等效调整，用一套由1秒钟发射一次且每次只能发射一个光子的光子枪及一块50%的半透镜构成的装置代替其中的放射性物质，其中只有穿过半透镜的光子才能被信号检测装置检测到并触发铁锤下落击碎氰化钾溶液瓶从而即刻(假定不需要时间)毒死猫，而被半透镜反射至另一方向上的屏幕上光子则无法触发铁锤下落，从而猫处于活的状态。1秒钟后当一个光子与其物质波以与半透镜呈45˚角方向射向半透镜时其物质波Ψ 0 分成两部分，即透过半透镜的物质波Ψ 1 及被半透镜反射的物质波Ψ 2 。显然，这两列物质波分别对应于光子的两个本征态ψ 1 及ψ 2 ，并且还分别与宏观意义上猫的死态ψ 死 及活态ψ 活 相对应，因而有 Ψ 0 = 1 / 2 ( ψ 1 + ψ 2 ) 。如果光子穿过半透镜从而触发信号装置时，其物质波Ψ 0 即刻自然塌缩至其光子的本征态ψ 1 ，与此同时光子显然不可能再处于其本征态ψ 2 ，从而猫必将即刻死去；而如果光子被半透镜反射至另一方向上的屏幕上，则物质波即刻自然塌缩至其光子的本征态ψ 2 ，与此同时光子显然不可能再处于其本征态ψ 1 ，从而猫必将活着；而在物质波没有塌缩时其光子显然没有触发信号装置，猫不可能处于死态ψ 死 从而必将活着。由以上分析可见，从光子枪发射出的光子必须在其物质波自然塌缩时才能与猫的死态ψ 死 及活态ψ 活 发生耦合关系从而决定猫究竟是死去还是活着，这与量子力学中一开始就将微观现象的不确定性与宏观物体的状态耦合起来的分析方法完全不同。显然，在实验过程中猫要么活着要么死去，不可能有既活又死的猫的叠加态存在，并且猫究竟是活是死根本不需要人的主观意识的确认，薛定谔猫所处状态完全由光子的物质波的自然塌缩所决定。可见，用新的物质波概念对薛定谔猫实验的分析可以完全避免悖论的出现。 6.2.2. EPR悖论分析 1951年，D·玻姆提出了玻姆版本的EPR悖论，又称为“EPRB悖论”，该版本悖论所涉及的实验是助施特恩–格拉赫仪器测量粒子沿z轴方向的离散自旋。假设一个0自旋的中性π介子衰变成一个电子与一个正电子，这两个衰变产物各自朝相反方向运动。当电子运动至空间坐标A时该点上的观察者a将观测到电子沿z轴方向的自旋；而当正电子运动到空间坐标B时该点上的观察者b将观测到正电子沿z轴方向的自旋。这两个纠缠粒子共同形成零自旋单态，是两个直积态的叠加。若不做测量，则无法知道这两个粒子中任何一个粒子沿z轴的自旋，并且根据哥本哈根诠释，这个变量并不存在。这个单态具有旋转不变性，对于任意取向的参考轴，它保持同样的性质。这个单态的两个粒子相互反关联，测量沿着z轴的自旋，假若电子自旋为+1/2，则正电子自旋为−1/2，假若电子自旋为−1/2，则正电子自旋为+1/2。量子力学不能预测到底是哪一组数值，但可以预测获得任何一组数值的概率为50%，对这种情况，物理学家称电子与正电子处于量子纠缠态。 局域性原理表明，任何物体只能直接被相邻区域发生的事件所影响，遥远区域发生的事件必须以某种不超过光速的传递方式间接影响该物体，因为根据狭义相对论，信息传播的速度不会超过光速，否则将违背因果律从而造成逻辑悖论并使该理论无法成立。而物理学家经论证发现，量子力学的描述虽然违反局域性原理(如波函数的塌缩就具有非局域性)，但并不违背因果律，并且量子态不可能以有限速度塌缩，否则将违反角动量守恒定律。由于违反局域性原理，因而爱因斯坦将非局域性量子行为嘲讽为“鬼魅般的超距作用”，这是他不相信量子力学的主要原因之一，他认为物理理论不应该允许超距作用存在；而在哥本哈根学派看来，量子力学的非局域性行为意味着在某种状况下狭义相对论可能需要修正。虽然迄今为止一系列精密实验支持了量子力学的正统解释，但EPR悖论所揭示的量子力学的深层次问题依然存在，特别是对处于纠缠态中的粒子之间究竟存在一种什么性质的关联或相互作用这一问题，目前的量子力学理论依然无法回答。 下面我们将使用建立在新概念物质波基础上的量子力学对其进行简单分析，通过分析可以解决以上问题。设有一自旋为0的静止中性π介子衰变为一个电子A及一个正电子B，则系统的态(即描述电子A-正电子B纠缠系统的两分量的列旋量物质波的波函数)为： | A ， B 〉 = 1 2 [ | ↓ z 〉 B | ↑ z 〉 A − | ↑ z 〉 B | ↓ z 〉 A ] (32) 式中 | ↑ z 〉 A 、 | ↓ z 〉 A 及 | ↑ z 〉 B 、 | ↓ z 〉 B 分别为自旋沿z轴方向的电子A及正电子B的自旋算符的本征态。这是一个自旋为(0)单态的电子–正电子纠缠态，因而在任一时刻电子A及正电子B的自旋都在各自的不同本征值之间不断自发发生同步跃迁，即当电子A的自旋自发跃迁至其本征值+1/2时，正电子B的自旋则即刻(绝对意义上的同时)自发跃迁至其本征值−1/2；而当电子A的自旋自发跃迁至其本征值−1/2时，正电子B的自旋则即刻自发跃迁至其本征值+1/2，并且发现电子A及正电子B的自旋为本征值+1/2或−1/2的概率均为50%，从而电子A及正电子B的自旋在任一时刻都是不确定的。如果要对电子A沿z轴方向的自旋进行测量，则根据建立在新概念物质波基础上(基于物质波的叠加原理)的测量公设，系统的物质波 | A ， B 〉 可以按(32)式描述的被测量算符的本征态展开。由于该电子A-正电子B纠缠态的总自旋为0，因而如果实施测量时物质波 | A ， B 〉 塌缩至其电子A的本征态 | ↑ z 〉 A ，则物质波 | A ， B 〉 (在绝对意义上)同时也自然塌缩至其正电子B的本征态 | ↓ z 〉 B ；而如果实施测量时物质波 | A ， B 〉 塌缩至其电子A的本征态 | ↓ z 〉 A ，则物质波 | A ， B 〉 (在绝对意义上)同时也自然塌缩至其正电子B的本征态 | ↑ z 〉 B 。由以上分析可知，两个或多个粒子之间必须且只能通过系统的物质波 | A ， B 〉 这一中介才能产生纠缠关联，并且在对电子A沿z轴方向的自旋进行测量时导致描述系统的态的波函数 | A ， B 〉 塌缩的本质就是用波函数描述的系统的物质波 | A ， B 〉 的自然塌缩；由于物质波是振幅为复数的虚波且与其粒子永远相生相伴、构成不可分割的整体，因而处于纠缠态的粒子之间即便相距光年之遥，系统的物质波的作用永远也不会减弱(由于虚波无所谓强弱，因而量子纠缠不受纠缠粒子之间空间距离影响这一特性印证了新的物质波概念的正确性)，也就是说处于纠缠态的粒子之间并不存在所谓的超距作用，而正是由于物质波的存在才使得处于纠缠态的粒子之间成为了一个整体并由此产生了纠缠关联。对粒子的量子纠缠现象而言，物质波的存在至关重要，可以说如果没有物质波，粒子之间就不可能产生量子纠缠；而如果没有全新的物质波概念，量子纠缠及量子纠缠中所谓的超距作用都无法理解，而量子纠缠现象的存在证明了新的物质波概念的正确性。 6.3. 粒子的非对易力学量之间的测不准关系 测不准关系是微观粒子的力学量之间最基本的关系，是物质波存在并起作用的必然结果。粒子的动量与其空间坐标之间的测不准关系最早由德国物理学家海森堡于1927年提出并证明，其表达式为 Δ x ⋅ Δ p x ≥ ℏ 2 ，     Δ y ⋅ Δ p y ≥ ℏ 2 ，     Δ z ⋅ Δ p z ≥ ℏ 2 (33) 其意义是在任何情况下粒子的空间坐标与其在该坐标方向上的动量都无法同时精确测量，两者的测量偏差的乘积的下限为普朗克常数 ℏ 的二分之一，该下限无法通过对实验的控制及预测进行修正或抵消。下面就如图3所示的电子的物质波的单缝衍射实验的情况进行分析。 图3. 电子的单缝衍射实验示意图 为测量电子在y轴方向上的坐标，在图3中平板A上刻有一条宽度为Δy的单狭缝，平板A与成像屏B之间距为L，现将一束速度为V的自由运动的电子(其物质波是波长为λ的单色平面波)射向平板A。对通过狭缝的电子，其在y轴方向上的位置的不确定度显然为Δy，由于当电子通过狭缝时其物质波也通过狭缝并且发生衍射现象，因而电子在成像屏上的落点位于其物质波的衍射条纹上并且其位置显然是不确定的，而此时电子在y轴方向上的动量p y 同样也不确定。如果成像屏上最大亮条纹到其第一条暗条纹之间的宽度为H，则根据单缝衍射计算可知，平板A的狭缝到该衍射亮条纹之间构成的最小张角θ符合公式 sin θ = H / L = λ / Δ y ，当Δy远大于λ时， sin θ ≈ θ ，则有 Δ y ≈ λ / θ 。显然，平板A上的单狭缝宽度Δy越大，则θ越小，落在成像屏上的电子的动量p y 的不确定度也越小；而如果单狭缝宽度Δy越小，则θ越大，落在成像屏上的电子的动量p y 的不确定度也越大；特别的，由于电子在通过单狭缝之前是自由粒子，其动量为恒定值，即 Δ p y = 0 ，而此时电子在y轴方向上的坐标则完全无法测定；当电子通过狭缝后，其物质波的空间形状发了改变，从而导致其电子的动量(当然包括其动量p y )也发生相应的改变，从图中可见，电子的动量p在y轴方向上发生改变的量值(即电子的动量在y轴方向上的不确定度) Δ p y = p sin θ ≈ p θ ，因而有 Δ y ⋅ Δ p y ≈ p λ = h ，以上只是简单分析，更精确的分析则可得其下限为 ℏ / 2 。 此外，我们还可以用物质波概念对其他相关的、用于测量粒子的空间坐标及在该坐标方向上的动量的实验(如海森堡本人提出的借助显微镜的观测来确定电子的位置与动量的理想实验、测定原子核外“电子云中”电子的动量等实验)进行分析，所得结论都将与海森堡测不准关系完全相符，其本质就是前面提到过的用粒子的空间坐标表示的物质波的波函数 Ψ ( r ， t ) 与用粒子的动量表示的物质波的波函数 c ( p ， t ) 之间互为傅里叶变换式(从而粒子的空间坐标与动量两者间构成所谓的非对易关系)，而这显然是物质波的叠加原理的具体表现形式。因而关于海森堡测不准关系的证明还可以利用粒子的坐标x (或y、z)与动量p x (p y 、p z )的测量均方根偏差获得，即 Δ x 2 = ∫ − ∞ + ∞ ( x − x 0 ) 2 | ψ ( x ) | 2 d x ∫ − ∞ + ∞ | ψ ( x ) | 2 d x ，     Δ y 2 = ∫ − ∞ + ∞ ( y − y 0 ) 2 | ψ ( y ) | 2 d y ∫ − ∞ + ∞ | ψ ( y ) | 2 d y ，     Δ x 2 = ∫ − ∞ + ∞ ( z − z 0 ) 2 | ψ ( z ) | 2 d z ∫ − ∞ + ∞ | ψ ( z ) | 2 d z (34) Δ p x 2 = ∫ − ∞ + ∞ ( p x − p x 0 ) 2 | ψ ( p x ) | 2 d p x ∫ − ∞ + ∞ | ψ ( p x ) | 2 d p x ，     Δ p y 2 = ∫ − ∞ + ∞ ( p y − p y 0 ) 2 | ψ ( p y ) | 2 d p y ∫ − ∞ + ∞ | ψ ( p y ) | 2 d p y ，     Δ p z 2 = ∫ − ∞ + ∞ ( p z − p z 0 ) 2 | ψ ( p z ) | 2 d p z ∫ − ∞ + ∞ | ψ ( p z ) | 2 d p z (35) 利用傅里叶变换的带宽定理，就可得到海森堡测不准关系 [ 7 ] Δ x ⋅ Δ p x ≥ ℏ / 2 ，     Δ y ⋅ Δ p y ≥ ℏ / 2 ，     Δ z ⋅ Δ p z ≥ ℏ / 2 (33a) 实际上，对物质波的粒子而言，不仅其动量与坐标之间存在测不准关系，而且其乘积的量纲等于作用量 ℏ 的量纲的两个(其算符具有非对易关系的)力学量之间都存在测不准关系，如粒子的能量与时间之间的测不准关系 Δ t ⋅ Δ E ≥ ℏ / 2 (36) 又如在粒子的角动量L z 的本征态Y lm 中， L ¯ z = m ℏ ，这种情况下该粒子的另外两个角动量L x 与L y 之间也存在测不准关系 ( Δ L x ) 2 ¯ ( Δ L y ) 2 ¯ ≥ m 2 ℏ 2 4 (37) 可见测不准关系是微观粒子的各种力学量中具有普遍意义的关系。因为量子力学中的粒子的两个具有非对易关系的力学量之间的测不准关系是波函数所描述的物质波的叠加原理的具体表现形式，所以测不准关系完全可以由物质波概念出发推导出来，如各种文献中提到的关于测不准关系的更一般的证明就是利用描述物质波的波函数的算符及其运算实现的 [ 8 ] ，由于篇幅所限就不赘述。总之，测不准关系既可作为物质波是客观存在而其作用是客观实在的重要证据，同时也是微观粒子完全不同于宏观物体运动过程的本质特征。