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user: 2. 反距离权重插值法和普通克里金插值法 本章主要介绍了反距离权重(IDW)插值算法和普通克里金(OK)插值法，作为经典的两种插值方法，它们被广泛应用于遥感影像、地质勘探等众多领域。 2.1. 反距离权重插值法 反距离权重(IDW)插值算法是空间数据插值领域应用最广的一种算法。它属于距离权重系数方法的一种，是以相近相似原理为理论基础，通过控制权重的大小来决定已知点的值对待估点的值的影响大小，给予距离远的点的权重小于距离近的点的权重 [ 7 ] [ 8 ]，即待估点的值是根据待估点周围的样本点属性值随着其到样本点距离的变化而发生反相关变化。随着待估点与某样本点的接近，该样本点所占权重趋近于一，故待估点的属性值和样本点的属性值随着距离的接近而接近。 表示如下： z * ( x 0 ) = ∑ i = 1 n ω i z ( x i ) (2.1.1) 其中，x 0 为待估值点，z * (x 0 )为待估值，x i 为区域内已知样本点， ω i 为该点对应的权重系数，z(x i )为x i 点的观测值。 权重系数 ω i 一般由下式给出： ω i = f ( D i ) / ∑ i = 1 n f ( D i ) (2.1.2) 其中，n为参与插值的样本点个数， f ( D i ) 为待估值点与已知点之间的距离D i 的权重系数，最常用的 f ( D i ) 的形式为： f ( D i ) = 1 D i k (2.1.3) 其中，D i 是待估值点与已知点间的距离，一般取欧氏距离，即 D i = ( x 0 − x i ) 2 + ( y 0 − y i ) 2 (2.1.4) k > 0，为距离的幂指数，显著地影响插值的结果。IDW插值法存在一个特例，当IDW插值法的幂指数k取值比较大时(如k > 10)，其插值的结果与最近距离插值法的估值结果更接近 [ 9 ]。实际应用中，一般取k = 1或k = 2进行插值，反距离平方加权法就是k的取值为2的IDW插值法。 结合式(2.1.1)~(2.1.3)，IDW插值法可由下式表示： z * ( x 0 ) = ∑ i = 1 n 1 ( D i ) k z ( x i ) / ∑ i = 1 n 1 ( D i ) k (2.1.5) 可见，运用IDW插值法进行插值估计的难点在于对所研究的空间范围(或空间半径)以及距离的幂指数k等多个参数进行合理选择，这也是在利用该方法解决实际问题时的关键。简单、易实现、效率高、运行时所占存储空间小是IDW插值法的优点。但该法的缺点是没有考虑点的构性，而只考虑了距离因素，所得插值结果的误差可能较大。 2.2. 克里金插值原理 克里金插值算法是由南非矿产学家RG. Krige首先提出的一种插值算法，并且以此而命名。其理论基础为变异函数理论分析，它是对有限区域内的区域化变量的属性值进行无偏最优估计的一种方法。概率论与数理统计中所涉及的无偏、最小方差条件是克里金插值法的基本原理。此外，它还是一种线性插值算法，是改进距离权重插值算法的一种方法。该法考虑了空间数据插值中的多种因素：(1) 已知点的空间分布结构特点；(2) 邻近的已知点与未知点间的空间位置关系；(3) 各邻近点之间的位置关系，而且对空间结构进行了研究，从而使插值算法所得结果更精确，通过插值所建立的模型更加符合实际。 普通克里金(OK)插值法是使用最广泛的一种最优无偏估计方法，其适用的条件是：所研究的区域化变量的数学期望未知，但是一定为一常数m。它的计算公式与反距离权重插值类似，具体为： Z * ( x 0 ) = ∑ i = 1 n λ i Z ( x i ) (2.2.1) 其中， Z ( x i ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 为数据点x i 的值，x 0 为所求的未知点， λ i 为权重系数。此处的 λ i 不是单一地由距离来决定，它是在无偏最小方差的条件下，依赖于变异函数 [ 10 ] 的计算而确定的，这也是它与IDW插值的不同之处，也是它的优势的体现。 为了使Z * (x 0 )为Z(x 0 )的无偏估计值，需要 E [ Z * ( x 0 ) − Z ( x 0 ) ] = 0 ， 而 E [ Z ( x 0 ) ] = m ， 又 E [ Z * ( x 0 ) ] = E [ ∑ i = 1 n λ i Z ( x i ) ] = ∑ i = 1 n λ i E [ Z ( x i ) ] = m ∑ i = 1 n λ i ， 故： ∑ i = 1 n λ i = 1 。 (2.2.2) 其估计方差的计算公式为： E { [ Z ( x 0 ) − Z * ( x 0 ) ] 2 } = ∑ i = 0 n ∑ j = 0 n α i α j C o v ( x i ， x j ) ， 如果令 α 0 = 1 ， α i = − λ i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ，则 E { [ Z ( x 0 ) − Z * ( x 0 ) ] 2 } = ∑ i = 0 n ∑ j = 0 n α i α j C o v ( x i ， x j ) = C o v ( x 0 ， x 0 ) − 2 ∑ j = 1 n λ j C o v ( x 0 ， x j ) + ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n λ i λ j C o v ( x i ， x j ) (2.2.3) 则需要在(2.2.2)式的约束下，求出使得估计方差为最小的 λ i ，由(2.2.3)式，利用拉格朗日乘数法构造函数： F = E { [ Z ( x 0 ) − Z * ( x 0 ) ] 2 } − 2 μ ( ∑ i = 1 n λ i − 1 ) (2.2.4) 其中， μ > 0 为拉格朗日乘子。如果有一组 λ i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 满足上述要求，则这组数值可以使得方程组(2.2.4)满足： { ∑ i = 1 n λ i = 1 ∑ i = 1 n λ i C o v ( x i ， x j ) − μ = C o v ( x 0 ， x j ) ( j = 1 ， ⋯ ， n ) (2.2.5) 其中 这n + 1个方程组就是普通克里金方程组，由此可得其矩阵形式为： [ K ] [ λ ] = [ M ] (2.2.6) 其中， [ λ ] = [ λ 1 λ 2 ⋮ λ n − μ ] ， [ M ] = [ C 01 C 02 ⋮ C 0 n 1 ] ， [ K ] = [ C 11 C 12 ⋯ C 1 n 1 C 21 C 22 ⋯ C 2 n 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ C n 1 C n 2 ⋯ C n n 1 1 1 ⋯ 1 0 ] ， C i j 表示 C o v ( x i ， x j ) 。 进行普通克里金法估计时所得的估计方差被称为普通克里金方差，其表达式为： σ O K 2 = V a r [ Z * ( x 0 ) − Z ( x 0 ) ] 2 = C o v ( x 0 ， x 0 ) − ∑ i = 1 n λ i C o v ( x 0 ， x i ) + μ (3.2.7) 变异函数 γ ( x i ， x j ) 定义为： γ ( x i ， x j ) = γ ( x i − x j ) = 1 2 E [ Z ( x i ) − Z ( x j ) ] 2 (3.2.8) 若用变异函数 γ ( x i ， x j ) 来表示协方差 C o v ( x i ， x j ) ，则由方程组(3.2.5)得： { ∑ i = 1 n λ i = 1 ∑ i = 1 n λ i γ ( x i ， x j ) − μ = γ ( x 0 ， x j ) ( j = 1 ， ⋯ ， n ) (3.2.9) 它对应的普通克里金方差为： σ O K 2 = ∑ i = 1 n λ i γ ( x 0 ， x i ) − γ ( x 0 ， x 0 ) + μ (3.2.10) 在实现OK插值算法时，首先对获取的样本数据进行预处理，然后根据处理后的数据计算实验的变异函数，选择最佳的变异函数理论模型来进行参数拟合，确定变异函数中的相关参数，之后使用普通克里金方程进行计算，最后验证插值结果是否合理，若结果合理，则显示插值结果。