system: [SYSTEM]

user: 3. 最终结果 在以下定理中，利用凸优化方法和参数相关的Lyapunov函数用于处理离散随机系统(13)的加权调度融合估计问题。 定理1：考虑离散时间随机滤波融合估计误差系统(13)，如果存在正定矩阵序列 R ( ρ k ) > 0 ，且满足如下线性矩阵不等式： [ − R ( ρ k ) * * * * * 0 − ρ k Λ k * * * * Z 1 ， k ρ k S T − Λ k * * * Z 2 ， k 0 Y 1 − Θ k Λ k * * Z 3 ， k 0 0 0 − σ 2 Λ k * 0 0 S 0 0 − I ] < 0 式(15) 其中 Z 1 ， k = S T Λ 0 ( ρ k ) [ A g + ρ k F 1 ] Y 1 = Θ k Λ 1 ( ρ k ) ， Θ k = ρ k ( 1 − ρ k ) Ξ 4 = Θ k Λ 0 ( ρ k ) ， Z 2 ， k = Θ k S T Λ 0 ( ρ k ) F Z 3 ， k = σ 2 S T Λ 0 ( ρ k ) D ¯ ， Λ k = − R ( ρ k + 1 ) + S + S T 那么加权调度的融合误差系统是均方稳定的。 证明：为了验证每个估计误差动态(9)和融合误差动态(13)是渐近均方稳定的。构造以下Lyapunov函数 V 1 ， k = e 0 ， k T R ( ρ k ) e 0 ， k 式(16) 计算 V 1 ， k 的差分并对其取数学期望，可得： E { Δ V 1 ， k } = E { e 0 ， k + 1 T R ( ρ ( k + 1 ) ) e 0 ， k + 1 − e 0 ， k T R ( ρ k ) e 0 ， k } = E { [ A g h 0 ， k + ζ k f ˜ ( h 0 ， k ) + B ¯ w k + D ¯ v k ] T Λ 0 ( ρ k ) T R ( ρ ( k + 1 ) ) Λ 0 ( ρ k )     × [ A g h 0 ， k + ζ k f ˜ ( h 0 ， k ) + B ¯ w k + D ¯ v k ] − h 0 ， k T Λ 0 ( ρ k ) T R ( ρ k ) Λ 0 ( ρ k ) h 0 ， k } = E { [ A g h 0 ， k + ρ k f ˜ ( h 0 ， k ) + ( ζ k − ρ k ) f ˜ ( h 0 ， k ) + B ¯ w k + D ¯ v k ] T Λ 0 ( ρ k ) T     × R ( ρ ( k + 1 ) ) Λ 0 ( ρ k ) [ A g h 0 ， k + ρ k f ˜ ( h 0 ， k ) + ( ζ k − ρ k ) f ˜ ( h 0 ， k ) + B ¯ w k + D ¯ v k ]     − h 0 ， k T Λ 0 ( ρ k ) T R ( ρ k ) Λ 0 ( ρ k ) h 0 ， k } = E { [ A g h 0 ， k + ρ k f ˜ ( h 0 ， k ) + B ¯ w k + D ¯ v k ] T Λ 0 ( ρ k ) T R ( ρ k + 1 ) Λ 0 ( ρ k )     × [ A g h 0 ， k + ρ k f ˜ ( h 0 ， k ) + B ¯ w k + D ¯ v k ] − h 0 ， k T Λ 0 ( ρ k ) T R ( ρ k ) Λ 0 ( ρ k ) h 0 ， k     + ρ k ( 1 − ρ k ) f ˜ ( h 0 ， k ) T × Λ 0 ( ρ k ) T R ( ρ ( k + 1 ) ) Λ 0 ( ρ k ) f ˜ ( h 0 ， k ) } = E { [ A g h 0 ， k + ρ k f ˜ ( h 0 ， k ) + D ¯ v k ] T Λ 0 ( ρ k ) T R ( ρ ( k + 1 ) ) Λ 0 ( ρ k )     × [ A g h 0 ， k + ρ k f ˜ ( h 0 ， k ) + D ¯ v k ] − h 0 ， k T Λ 0 ( ρ k ) T R ( ρ k ) Λ 0 ( ρ k ) h 0 ， k     + ρ k ( 1 − ρ k ) f ˜ ( h 0 ， k ) T Λ 0 ( ρ k ) T R ( ρ ( k + 1 ) ) Λ 0 ( ρ k ) f ˜ ( h 0 ， k )     + σ 2 D ¯ T Λ 0 ( ρ k ) T × R ( ρ ( k + 1 ) ) Λ 0 ( ρ k ) D ¯ } 根据式(5)和式(6)，且有 v k ≡ 0 ，上述不等式可以写为： E { Δ V 1 ， k } ≤ E { [ ( A g + ρ k F 1 ) h 0 ， k + ρ k f ˜ s ( h 0 ， k ) ] T Λ 0 ( ρ k ) T R ( ρ ( k + 1 ) ) Λ 0 ( ρ k )   × [ ( A g + ρ k F 1 ) h 0 ， k + ρ k f ˜ s ( h 0 ， k ) ] − h 0 ， k T R ( ρ k ) h 0 ， k + ρ k ( 1 − ρ k )   × [ F 1 h 0 ， k + f s ( h 0 ， k ) ] T Λ 0 ( ρ k ) T R ( ρ ( k + 1 ) ) Λ 0 ( ρ k ) [ F 1 h 0 ， k + f s ( h 0 ， k ) ]   + σ 2 D ¯ T Λ 0 ( ρ k ) T R ( ρ ( k + 1 ) ) Λ 0 ( ρ k ) D ¯ } = E { x ¯ k T Q x ¯ k } 其中 x ¯ k = [ h 0 ， k f ˜ s ( h 0 ， k ) T ] T ，并且有： Q = [ Q 1 * Q 2 Q 3 ] 其中 Q 1 = ( A g + ρ k F ˜ 1 ) T Λ 0 T R ( ρ ( k + 1 ) ) Λ 0 ( ρ k ) ( A g + ρ k F ˜ 1 ) − R ( ρ k )                 + ρ k ( 1 − ρ k ) F 1 T Λ 0 ( ρ k ) T R ( ρ ( k + 1 ) ) Λ 0 ( ρ k ) F 1 + σ 2 D ¯ T Λ 0 ( ρ k ) T R ( ρ ( k + 1 ) ) Λ 0 ( ρ k ) D ¯ Q 2 = ρ k Λ 0 ( ρ k ) T R ( ρ ( k + 1 ) ) Λ 0 ( ρ k ) ( A g + ρ k F 1 ) + ρ k ( 1 − ρ k ) Λ 0 ( ρ k ) T R ( ρ ( k + 1 ) ) Λ 0 ( ρ k ) F 1 Q 3 = ρ k Λ 0 ( ρ k ) T R ( ρ ( k + 1 ) ) Λ 0 ( ρ k ) 由Schur引理可得： Q = [ − R ( ρ k ) * * * * 0 − ρ k Λ k * * * Z 1 ， k ρ k S T − Λ k * * Z 2 ， k 0 Ξ 4 − Θ k Λ k * Z 3 ， k 0 0 0 − σ 2 Λ k ] . 式(17) 且有式(17)与下式相等 [ 0 * * * * 0 0 * * * 0 0 0 * * 0 0 Θ k Λ 2 ( ρ k ) 0 * 0 0 0 0 0 ] + [ − R ( ρ k ) * * * * 0 − ρ k Λ k * * * Z 1 ， k ρ k S T − Λ k * * Z 2 ， k 0 Y 1 − Θ k Λ k * Z 3 ， k 0 0 0 − σ 2 Λ k ] < 0. 式(18) 我们将显示 Q < 0 ，很容易得到 − R ( ρ k + 1 ) + S + S T > 0 ，(12)通过左乘对角阵 d i a g { I ， I ， S − 1 ， S − 1 ， σ − 2 S − 1 } ，我们可得 [ − R ( ρ k ) * * * * 0 Ξ 2 * * * Ξ 0 ρ k I − Λ ¯ k * * Ξ 1 0 Ξ 4 − Θ ¯ k Λ ¯ k * Ξ 3 0 0 0 − σ ¯ Λ ¯ k ] < 0. 其中 σ ¯ = σ − 2 ， Θ ¯ k = Θ k − 1 Ξ 0 = Λ 0 ( ρ k ) [ A g + ρ k F 1 ] Ξ 1 = Λ 0 ( ρ k ) F 1 ， Ξ 2 = ρ k 2 R ( ρ k + 1 ) Ξ 3 = σ 2 Λ 0 ( ρ k ) D ¯ ， Ξ 4 = Θ k Λ 0 ( ρ k ) Λ ¯ k = − S − T Λ 0 ( ρ k ) T P Λ 0 ( ρ k ) S − 1 + S − 1 + S − T 然后根据不等式 S − T R ( ρ k + 1 ) S − 1 − S − 1 − S − T ≥ − R ( ρ k + 1 ) − 1 可得： [ − R ( ρ k ) * * * * 0 Ξ 2 * * * Z ¯ 1 ， k ρ k I − Λ ˜ k * * Ξ 1 0 Ξ 4 − Θ ¯ k Λ ˜ k * Ξ 3 0 0 0 − σ ¯ Λ ˜ k ] < 0 式(19) 其中 Λ ˜ k = R ( ρ k + 1 ) − 1 ，再根据Schur引理很容易得到 Q < 0 ， E { Δ V 1 ， k } < − λ min ( Q ) E | x ¯ k | 2 式(20) 其中 |   ⋅   | 是向量范数且 λ min ( Q ) 是Q的特征值。根据引理1，加权融合误差系统是均方稳定的。证毕。 注2：在定理1中，为了增强设计滤波器的性能，提出了一个时空Lyapunov函数，该函数取决于未命中概率。值得注意的是，在过去的几年中，为了减少保守性，依赖于参数的Lyapunov函数已被广泛用于处理时变和不确定的参数系统。 定理2：考虑融合估计误差系统(13)，如果存在正定矩阵 R 0 > 0 ， R p > 0 ， Γ 0 > 0 和 Γ p > 0 ，松弛矩阵S以及下列线性矩阵不等式成立： G i j l = [ R i j l * * * * * 0 Θ 1 ， k i j l * * * * Z 1 ， k i j l − p i S T − Λ k i j l * * * Z 2 ， k i j l 0 Θ 2 ， k i j l Θ 3 ， k i j l * * Z 3 ， k i j l 0 0 0 Θ 2 ， k i j l * 0 0 S 0 0 I ] < 0 式(21) 其中i， j和 l = 1 ， 2 ，局部估计器增益 K i = D i D i − 1 和加权调度矩阵为 Ω i v = ( 1 − ρ i ) − 1 Λ i v ， Ω i u = ρ i − 1 Λ i u ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， L ) ，其中： R i j l = − R 0 − p i R p Θ k Λ 2 ( ρ k ) = S 2 ， Θ 1 ， k i j l = − p i Λ k i j l Θ 2 ， k i j l = Δ i j l Λ 0 i j l ， Θ 3 ， k i j l = − Δ i j l Λ k i j l Θ 4 ， k i j l = − σ 2 Λ k i j l ， Δ i j l = p i ( 1 − p j ) Λ k i j l = R 0 + p i R p + S + S T Z 1 ， k i j l = S T ( Γ 0 + p i Γ p ) ( A g + p i F 1 ) Z 2 ， k i j l = Δ i j l S T ( Γ 0 + p i Γ p ) F Z 3 ， k i j l = σ 2 S T ( Γ 0 + p i Γ p ) D ¯ 然后，可以获取加权调度滤波器以确保融合估计误差系统均方稳定 证明：首先设置 λ 1 ， k = ρ 2 − ρ k ρ 2 − ρ 1 ， λ 2 ， k = ρ k − ρ 1 ρ 2 − ρ 1 . 式(22) 我们有 ρ k = λ 1 ， k ρ 1 + λ 2 ， k ρ 2 式(23) 其中 λ i ， k ≥ 0 和 λ 1 ， k + λ 2 ， k = 1 。 同样，定义 μ 1 ， k = ρ 2 − ρ ( k + 1 ) ρ 2 − ρ 1 ， μ 2 ， k = ρ ( k + 1 ) − ρ 1 ρ 2 − ρ 1 . 式(24) 很容易得到下列不等式 ρ ( k + 1 ) = μ 1 ， k ρ 1 + μ 2 ， k ρ 2 式(25) 其中 μ i ， k ≥ 0 ， μ 1 ， k + μ 2 ， k = 1 。 通过前面定义的转换，可以轻松推断出 { R ( ρ k ) = R 0 + ∑ i = 1 2 Ω i λ i ， k p i R p Λ 0 ( ρ k ) = Γ 0 + ∑ j = 1 2 Ω j μ j ， k p j Γ p R ( ρ ( k + 1 ) ) = R 0 + ∑ l = 1 2 Ω l μ l ， k p l R p 另外一方面，根据式(22)，可得： ∑ i ， j ， l = 1 2 α i ， k β j ， k β l ， k G i j l < 0 式(26) 根据式(22)~(25)，可推断出不等式(15)是成立的，根据定理1和2，融合估计算法如表1所示： Table 1 The fusion estimation x ^ ( t ) algorith 算法1：融合估计 x ^ ( t ) 的算法 1) 初始条件： { N ， A ， B ， C 1 ， C 2 ， D 2 ， D 2 ， F 1 ˜ ， F 2 ˜ ， ρ 1 ， ρ 2 } 和初始状态 ρ ； 2) 根据式(20)计算获得正定矩阵 R 0 ， R p ， Γ 0 ， Γ p ； 3) 通过测量时变概率 ρ k 求得每个传感器的估计器增益 K i ，且使得 k = k + 1 ； 4) 通过3的求值代入式(21)来计算加权调度矩阵 Ω i u ( ρ k ) 和 Ω i v ( ρ k ) ； 5) 求解状态加权融合估计 x ^ ( t ) ； 6) 如果 k < N ，则跳到3，否则到7； 7) 停止。 表1. 融合估计 x ^ ( t ) 的算法程序