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user: 2. 建模方法 2.1. 理论阐述 期权称为选择权，是指其持有者能在规定的期限内按交易双方商定的价格购买或出售一定数量的某种特定商品的权利，期权交易就是对这种选择权的买卖，分为金融期权和实物期权。实物期权(Real Option)的概念最初是由Stewart Myers在MIT提出的 [ 5 ] ，他认为对现有资产的合理使用与对未来投资机会的选择构成了投资方案产生的利润。因此，实物期权可以用于评估投资机会的价值。它具有非交易性、非独占性、先占性和复合性四个特性 [ 6 ] 。 教育投资增长期权实际是个人在教育投资中选择接受什么样的教育，以及什么时候停止接受教育的权利。教育是短期内人力资本增加的主要方式之一，当人们离开学校进入社会时，在工作岗位将自身的人力资本转化为劳动力，并获得相应的劳动报酬，即工资。所以，在教育投资项目中，人力资本存量是一种资产，反映投资项目的价值，而工资在教育投资期间是未来的预期的现金流，或者说是资产价值的一种体现 [ 7 ] 。但在接受投资的过程中，工资、人力资本的价值提升幅度以及行业发展前景都具有不确定性，因此可以借鉴实物期权的估值思想来对教育增长期权进行建模分析。 除此之外，本文还基于行业周期理论，通过龚帕兹生长曲线对教育产品的市场潜力进行预测分析，从而对教育产品项目的进行了一个较为全面的估值。本文下面将对教育投资增长期权定价和市场潜力估计模型逐一进行说明。 2.2. 教育投资增长期权模型 本文用传统金融期权和教育投资增长期权进行比较定义，如此便于读者理解本文期权的构建框架，具体详见表1。 Table 1 Parameter definition of education investment growth optio 参数 金融期权 教育投资增长期权 标的资产价格(S) 股票当前价格 工资(W) 执行价格(X) 股票执行价格 初始工资(W 0 ) 有效期限(T) 期权的有效期限 未来接受教育的时间(T) 增长率(u) 期权的飘移项系数 工资增长率(α) 波动率(σ) 股票价格的波动率 工资价格风险波动率(σ) 折现率(r) 无风险利率 预期增长率(e) 表1. 教育投资增长期权参数定义表 1) 工资W 个人通过教育可以或者知识，从而可以提升个人能力。如果将每个人看作是一份资产，那么他就可以通过学习的方式进行资产升值。一般来说，个人资产升值的方式除了知识学习之外，还有外形的改变等等。在本文中，假设短期内除了知识之外，不会有其他的因素改变个人价值。 从劳动力市场的招聘要求可以看出，给出的工资与学历和工作经验密切相关，无论是学历还是工作经验，都是知识的一种表现形式。所以，工资可以作为个人资产的一种衡量手段。并且在每个行业内部，工资和知识都具有一定的相关关系，但是，因为我国的劳动力市场是割裂不完全的，所以，工资与知识并不是严格正相关的，还会受到其它因素的影响。所以，本文假设由工资W服从几何布朗运动： d W t = α W t d t + σ W t d B t (1) 其中，α和σ分别表示工资的增长率和因为不确定因素导致的工资的风险波动率。dB t 是标准维纳过程的增量。此处我们讨论的工资完全是由于接受教育而获得的那部分工资。在实际中，由于个人条件获得的工资计入个人初始工资中。 2) 未来要接受教育的时间T 这里指学习的时长T，以月为单位。 3) 执行价格W 0 项目的执行价格，也是投资成本是人员的初始工资W 0 。在课程进行期间，进行课程学习的人员是否决定好好接受项目培训，取决于他目前的初始工作。 4) 预期增长率e 随着时间增加，包括个人所学知识在内的人力资本的资产价值的预期增长率e。 5) 教育投资增长期权价值F(W) 由于教育终身有效，教育投资期权F(W)类似于永久美式期权。 本文选取经典的Black-Scholes模型对教育投资增长期权进行定价，该模型具有如下假设条件，为了说明该模型对教育投资期权适用，本文下面对B-S模型的假设进行探讨： 1) 预期增长率e为常数，不随时间变化 因为社会上面的项目培训大多是较为短期的，大多以月乃至周作为培训周期，大多时间较短。所以，本文假设在这段时间内，大部分人对于课程给自己带来的人力资本的提升，即工资的提升的预期是不变的。 2) 工资的价格变化遵循几何布朗运动 当前劳动力市场因为户籍制度造成的割裂、并且行业发展飞速以及个人学习能力差异等等因素，导致工资价格并不与人力资本或是期权价值呈完全正相关。所以说，可以假定工资遵循有增长但还是带着很大波动性的几何布朗运动。 3) 人力资本的增长在受教育期间不能带来工资收入 接受教育期间，受教育者不能同时工作，即在此期间没有工资收入。一般课程培训时间长，内容量大，所以，可以做该假定。 4) 劳动力市场不存在无风险套利的行为 即不同城市之间的工资水平虽有差距，但是衣食住行方面也有显著差距。并且交通也不够便利，所以，假定在高收入城市工作，在低收入城市生活的情况不存在。 5) 市场上没有任何交易费用 即课程学习只有一次性付清的学费，不存在其他中间商赚取费用。 6) 工资价格可以无限细分 通过学习增长的人力资本也可以无限细分，无限增加，并且投资者可以购买任何教育课程。 基于以上假设，可以得出Black-Scholes模型公式： F = W N ( d 1 ) − W 0 e − e t N ( d 2 ) (2) d 1 = L n ( W / W 0 ) + ( e + σ 2 / 2 ) × T σ T − t (3) d 2 = d 1 − σ T (4) 其中，F为教育投资增长期权价值，W为劳动力市场工资价格，W 0 为初始工资水平，也是教育投资项目成本，T为接受教育的时间，e为预期增长率，N(d)为标准正态变量累计分布函数。 虽然B-S期权定价公式适用于欧式期权，但在实际应用中，用B-S评估出来的价值所产生的误差不大，在可接受的范围之内。 实际上，对于教育投资项目而言，购买课程之后，在课程学习中间，无时无刻在进行行权或者是不行权的选择，即是否积极参加学习活动，积极与老师同学交流。因此，该期权费用就是对项目学费的价值定价。即教育项目投资者理论上应当接受的课业费用。现今时代，各种课程层出不穷，但很少有人研究这些课程的定价问题，大多是根据市场需求或者是同类产品价格而定的一个市场价格。本文提供了一种比较合理的定价思路。并且，在下文中，将使用该课程价值F作为课程价值进行后续的建模与计算。 2.3. 市场潜力估计模型 在完成了具体课程定价之后，还需要对该课程推广销售的市场前景进行估计。课程主要面向对象是市场从业人员，因此，可以通过估计该行业内从业人员未来数量的增长情况，来判断该课程是否具有足够大的持续性市场潜力。对行业未来的从业人员数量做预测的研究也是必要的。根据行业周期理论，行业的发展过程可以划分为幼稚期，成长期，成熟期和衰退期。同样的，处于不同周期的行业对于人才的需求量也是不同的，所以从业人员也会经过一个由缓到快的增长过程，直至行业进入成熟或衰退期，人员数量才会降低增长速度趋于饱和状态，该过程可以用龚帕兹生长曲线描述。 龚帕兹(Gompertz)曲线是由英国统计学家和数学家B. Gompertz提出的一种生长曲线(S型曲线)，它在市场预测、经济预测和技术发展预测、资源预测等许多方面都有着重要的应用。它的基本数学表达式为： (5) 其中，t为时间变量，y为对应时间的预测值，a，b，c是常数。龚帕兹曲线的增长速率在图形上呈现出先快后慢的趋势，最后趋近于0的形状。 为求解该模型，先将(5)式做如下变形： ln y = ln a − e ( b − c t ) = ln a − e b e − c t (6) 上述参数可以利用三点法 [ 8 ] 求出参数，三段计算方程中的参数数据项数或时间的期数n是3的倍数，分为三段，每段含 n / 3 = r 项，并且自变量t的时间间隔相等，前后连接，期数t由1开始，即 t = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n ，设S 1 ，S 2 ，S 3 分别为3段内各项数值的和，分别为： S 1 = ∑ t = 1 r l n y t = r l n a − e b ∑ t = 1 r e − c t = r a − b e − c ( 1 − e − r c ) 1 − e − c (7) S 2 = ∑ t = r + 1 2 r l n y t = r l n a − e b e − ( r + 1 ) c ( 1 − e − r c ) 1 − e − c (8) S 3 = ∑ t = 2 r + 1 3 r l n y t = r l n a − e b e − ( 2 r + 1 ) c ( 1 − e − r c ) 1 − e − c (9) 由(7)，(8)，(9)可得到参数a，b，c的计算公式： a = S 1 r + b e − c ( 1 − e − r c ) r ( 1 − e − c ) ， b = l n ( l n S 2 − l n S 1 ( 1 − e − r c ) 2 ( 1 − e − c ) ) ， c = 1 r l n S 2 − S 1 S 3 − S 2 (10) 之后根据龚帕兹模型来预测未来几年的从业人员数量，判断课程的市场需求潜力如何。如果潜力巨大，则可以根据自身情况招收学生，收取课程学费。如果潜力不够，可以考虑换一个行业进行课程设计，或者少开一些课程。 假设每年可以招收学生的数量是N，则每年特色文化小镇可以获得的教育资金流入为 E = F × N (11) 其中，F为对单个学生收取的教育费用，N为每年招收的学生人数，E为教育投资增长期权，即为特色文化小镇主营业务的现金流入。