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user: 2. 直觉梯形模糊数和熵的相关知识 2.1. 直觉梯形模糊数及相关定义 定义2.1 [ 6 ] ：设有一非空集合 X ，称 B ˜ = { 〈 x ， u ( x ) 〉 | x ∈ X } 为模糊集，其中 u ( x ) 是 B ˜ 的隶属函数， u : X → [ 0 ， 1 ] ， x ↦ u ( x ) ， u ( x ) 表示 X 中元素 x 属于 B ˜ 的隶属度。 定义2.2 [ 1 ] ：设 X 是一个集合，且 X ≠ ϕ ，则称 A ˜ = { 〈 x ， u ( x ) ， v ( x ) 〉 | x ∈ X } 为 X 上的直觉模糊集，其中 u ( x ) ， v ( x ) ( 0 ≤ u ( x ) ≤ 1 ， 0 ≤ v ( x ) ≤ 1 ) 分别为 X 中的元素 x 属于 A ˜ 的隶属度和非隶属度，记 π ( x ) = 1 − u ( x ) − v ( x ) ， ( 0 ≤ π ( x ) ≤ 1 ) 为 x 属于 A ˜ 的犹豫度或不确定度。 定义2.3 [ 7 ] ：设 R ˜ 是一直觉梯形模糊数，且 R ˜ ∈ R ，其隶属函数为 u ( x ) = { x − a b − a u ， a ≤ x < b u ，                                                           b ≤ x < c d − x d − c u ， c ≤ x < d 0 ，                                                             其 他 非隶属函数为 v ( x ) = { b − x + v ( x − a 1 ) b − a 1 ， a 1 ≤ x < b v ，                                                                                                                                                         b ≤ x < c x − c + v ( d 1 − x ) d 1 − c ， c ≤ x < d 1 0 ，                                                                                                                                                     其 他 记 R ˜ = 〈 ( [ a ， b ， c ， d ] ; u ) ， ( [ a 1 ， b ， c ， d 1 ) ; v ) 〉 为直觉梯形模糊数，其中 0 ≤ u ≤ 1 ， 0 ≤ v ≤ 1 ， 0 ≤ u + v ≤ 1 ， a ， b ， c ， d ， a 1 ， d 1 ∈ R 。 相对于梯形模糊数，直觉梯形模糊数增加了非隶属度函数和犹豫度函数。其中，非隶属函数表示元素 x 不属于 [ a 1 ， b ， c ， d 1 ] 的程度，犹豫度函数表示不确定元素 x 是否属于 [ a ， b ， c ， d ] 的程度。当 b = c 时，直觉梯形模糊数就退化为直觉三角模糊数。一般地，在直觉梯形模糊数 R ˜ 中如果有 [ a ， b ， c ， d ] = [ a 1 ， b ， c ， d 1 ] ，则记 R ˜ = ( [ a ， b ， c ， d ] ; u ， v ) 。以下无特殊说明均为此类直觉梯形模糊数。 2.2. 直觉梯形模糊数期望值和决策指标标准化 定义2.4 [ 4 ] ：设直觉梯形模糊数 R ˜ = ( [ a ， b ， c ， d ] ; u ， v ) 的隶属、非隶属、犹豫度函数所包含的区域重心坐标为 P 1 ( x l ， y l ) ， P 2 ( x f ， y f ) ， P 3 ( x d ， y d ) ，则 R ˜ 的期望值 E ( R ˜ ) 为 E ( R ˜ ) = ( x l + x f + x d ) / 3 (1) 利用数学分析微积分知识二重积分 [ 8 ] 密度分布为 ρ ( x ， y ) 的平面薄板D的质心坐标是 x ¯ = ∬ D x ρ ( x ， y ) d σ ∬ D ρ ( x ， y ) d σ ， y ¯ = ∬ D y ρ ( x ， y ) d σ ∬ D ρ ( x ， y ) d σ 当平面薄板D的密度均匀时，即 ρ 是常数时，则有 x ¯ = 1 Δ D ∬ D x d σ ，       y ¯ = 1 Δ D ∬ D y d σ 这里 Δ D 为平面薄板D的面积。 隶属函数重心横坐标： x l = 1 Δ D ∬ D x d σ = 1 Δ D ∫ 0 u d u ( x ) ∫ ( b − a ) u u ( x ) + a d − ( d − c ) u u ( x ) x d x = 1 Δ D ∫ 0 u d u ( x ) ( 1 2 x 2 | ( b − a ) u u ( x ) + a d − ( d − c ) u u ( x ) )   = 1 2 Δ D ∫ 0 u ( d − a − ( d − c + b − a ) u ( x ) u ) ( d + a + ( b − a − d + c ) u ( x ) u ) d u ( x ) = 1 2 Δ D [ ( d 2 − a 2 ) u ( x ) | 0 u + 1 2 u 2 ( x ) ( d − a ) ( b − a − d + c ) u | 0 u     − 1 2 u 2 ( x ) ( d + a ) ( d − c + b − a ) u | 0 u − u 3 ( x ) 3 u 2 ( d − c + b − a ) ( b − a − d + c ) | 0 u ] = 1 2 Δ D [ ( d 2 − a 2 ) u + ( d c + a 2 − d 2 − a b ) u − 1 3 u ( a 2 + b 2 − c 2 − d 2 + 2 d c − 2 a b ) ] = 1 u ( c + d − b − a ) ( 1 3 c 2 + 1 3 d 2 − 1 3 a 2 − 1 3 b 2 + 1 3 d c − 1 3 a b ) u = c 2 + d 2 − a 2 − b 2 + d c − a b 3 ( c + d − b − a ) (2) 同理可以计算得出，非隶属函数重心横坐标： x f = − v ( a 2 + b 2 + a b − c 2 − d 2 − d c ) − 2 a 2 + b 2 + a b − c 2 + 2 d 2 − c d 3 v ( c + d − a − b ) + 3 ( b + d − a − c ) (3) 犹豫度函数重心横坐标： x d = c 2 + d 2 − a 2 − b 2 + d c − a b 3 ( c + d − b − a ) (4) 指标体系中各指标有不同量纲，这就给综合评价带来很多不便，将不同量纲的指标，通过适当变换，化为无量纲的标准化指标，就是决策指标的标准化 [ 9 ] 。决策指标根据指标变化方向分为效益型指标(正向)和成本型指标(逆向)，效益型指标越大越优，成本型指标越小越优。对于多属性群决策问题来说，比较常见的属性类型有效益型和成本型两种类型。物理量纲不同对决策结果会有一定的影响，为了消除这一因素的影响，利用极差变换法对其进行标准化处理 [ 9 ] ： 对于效益型准则： y i j = x i j − min 1 ≤ i ≤ m x i j max 1 ≤ i ≤ m x i j − min 1 ≤ i ≤ m x i j     ( 1 ≤ i ≤ m ， 1 ≤ j ≤ n ) (5) 对于成本型准则： y i j = max 1 ≤ i ≤ m x i j − x i j max 1 ≤ i ≤ m x i j − min 1 ≤ i ≤ m x i j       ( 1 ≤ i ≤ m ， 1 ≤ j ≤ n ) (6) 通过对成本型指标进行标准化处理，把极小型指标变成极大型指标，越大越好。 2.3. 熵的相关概念 1995年，Yager [ 10 ] 引入加权平均算子(OWA)的概念，并由OWA算子推导出熵的度量。Yager定义加权平均算子为： F : R n → R 且加权向量为 W = [ ω 1 ω 2 ⋮ ω n ] 其中， 0 ≤ ω i ≤ 1 ， ∑ i = 1 n ω i = 1 ，而 F ( a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a n ) = ∑ i n ω i b i (7) 其中， b i 代表 a i 中第 i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 大的值。 OWA算子有以下几个性质： 1) 当 ω 1 = 1 时， F ( a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a n ) = max i [ a i ] 。 2) 当 ω n = 1 时， F ( a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a n ) = min i [ a i ] 。 3) 当 a i = a 时， F ( a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a n ) = a 。 这也是OWA算子的幂等性。 扩展OWA算子概念： ω i = g i ( b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b n ) 加入BADD-OWA权重 ω i = b i α ∑ i b i α ， α ≥ 1 ，将BADD-OWA权重代入公式(7)得 F ( a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a n ) = ∑ i b i α + 1 ∑ i b i α = ∑ i a i α + 1 ∑ i a i α ， α ≥ 1 (8) 假设 a i 是概率分布P的元素，且 a i = P i ， ∑ P i = 1 ， 0 ≤ P i ≤ 1 ，则 F α ( P ) = F α ( P 1 ， P 2 ， ⋯ ， P n ) = ∑ i P i α + 1 ∑ i P i α ， α ≥ 1 (9) i) 当 α = 1 时， F 1 ( P ) = ∑ P i 2 (10) ii) 当 α → ∞ 时， F ∞ ( P ) = max i [ P i ] (11) 因为 F α ( P ) = ∑ i P i α + 1 ∑ i P i α = ∑ i ( P i / P * ) α P i ∑ i ( P i / P * ) α ，其中， P * = max i P i ， P i < P * ， ( P i / P * ) α = 1 ， 所以 F α ( P ) = ∑ i . s . t P i = P * ∑ i . s . t . ( 1 ) ， P i = P * ( P i ) = P * = max i P i 。 当 P i = 1 n 时，代入公式(9)，得 F α ( P ) = ∑ i ( P i ) α + 1 ∑ i ( P i ) α = 1 n 。 利用拉格朗日乘数法，可以知道当 P i = 1 n 时， F α ( P ) 取得最小值。 由BADD-OWA的性质得到熵的度量公式： H α ( P ) = 1 − F α ( P ) (12) ① 当 α = 1 时，代入公式(12)和(10)，得 H 1 ( P ) = 1 − ∑ i P i 2 ，也即 H 1 ( P ) = 1 − ∑ P i 2 = ∑ P i ( 1 − P i ) 。 ② 当 α = ∞ 时，代入公式(12)和(11)，得 H ∞ ( P ) = 1 − max i [ P i ] ，也即 H ∞ ( P ) = 1 − max i [ P i ] = min i [ P ¯ i ] 。 考虑一个函数 Q ( P ) ，它度量概率分布 P 在 n 维空间中与向量 [ 1 / n ] 的距离。在某种意义上，这个距离可以被看作是与概率分布相关的确定性的度量。将 Q ( P ) 作为负熵的度量。 首先假设使用欧几里得度量熵： Q ( P ) = D ( P ， [ 1 n ] ) = ( ∑ i ( p i − 1 n ) 2 ) 1 / 2 考虑 R ( P ) = ∑ i ( p i − 1 n ) 2 = ∑ i ( p i 2 − 2 n p i + 1 n 2 ) = ∑ i p i 2 − 2 n ∑ i p i + 1 n 其中 ∑ P i = 1 ， P i ≥ 0 ，所以 R ( P ) = ∑ i p i 2 − 2 n + 1 n = ∑ p i 2 − 1 n 。 当 P = [ I ] 时， R ( [ I ] ) = 1 − 1 n ，构建熵的度量： H ( P ) = R ( [ I ] ) − R ( P ) = ( 1 − 1 n ) − ( ∑ p i 2 − 1 n ) = 1 − ∑ i p i 2 . 更一般地，考虑Minkowski距离： D ( A ， B ) = ( ∑ i ( a i − b i ) z ) 1 / z ， z ≥ 1 负熵度量： Q ( P ) = D ( P ， [ 1 n ] ) = ( ∑ i | p i − 1 n | z ) 1 / z Q ( [ I ] ) = ( ( n − 1 n ) z + ( n − 1 ) ( 1 n ) z ) 1 / z Yager熵的定义： H ( P ) = Q ( I ) − Q (P) 第一种情况： 当 z = 1 时， Q ( P ) = ∑ | p i − 1 n | ， Q ( I ) = 2 ( n − 1 ) n ，所以 H ( P ) = 2 ( n − 1 ) n   − ∑ | p i − 1 n | 。 第二种情况： 当 α → ∞ 时， Q ( P ) = max i [ ( p i − 1 n ) ] = max i [ P i ] − 1 n     ， Q ( I ) = 1 − 1 n     ， H ( P ) = Q ( I ) − Q ( P ) = 1 − max i [ P i ] 。 根据最大熵原理，当且仅当 ω i = 1 / n ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 时，Yager熵取得最大。各投资组合的投资比例比较分散，没有集中在一支股票上，可以降低风险，所谓不把所有的鸡蛋放到同一个篮子里就是这个意思。 2009年，Wu等 [ 11 ] 给出了基于Yager熵的线性规划组合模型，对Yager熵的应用进一步拓宽了，其模型形式为： min ∑ i = 1 n ( e i + + e i − ) s .t .   ω i − 1 n − e i + + e i − = 0 ， e i + ≥ 0 ， e i − ≥ 0 ∑ i = 1 n ω i = 1 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， ω i ∈ [ 0 ， 1 ] (13) 其中 e i + 和 e i − 分别为 1 / n 的正负偏差变量，目标函数是使正负偏差变量和最小，正负偏差变量和的大小代表着对资金分配分散程度大小的约束。