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user: 3. 点态化完备代数正规类 A 是一个完备代数正规类，如果 ∀ a ∈ A ，存在一个非空集 S a 和一个单射 ϕ a : L a s → P ( S a ) ( P ( S a ) 是 S a 的幂集，且 ϕ a ( 0 ) = S 0 是单点集，也记为0)，并且满足： 1) ϕ a ( a ) = S a ； 2) ∀ i ， j ∈ L a s ， i ≤ j ，有 ϕ a ( i ) ⊆ ϕ a ( j ) ； 3) ∀ i α ≤ a ， α ∈ Γ ， ϕ a ( ∧ i α ) = ∩ ϕ a ( i α ) ， ϕ a ( ∨ i α ) = ∪ { ϕ a ( i 1 ∨ i 2 ∨ ⋯ ∨ i k ) | i 1 ， i 2 ， ⋯ ， i k ∈ Γ ， k ≥ 1 } ； 4) ∀ i ⊲ a ，存在一个满射 γ i : S α → S α / i ，使得 ∀ ∅ ≠ A ⊆ S a ， ∅ ≠ U ⊆ V ⊆ S a ，有 〈 γ i ( A ) 〉 = ( 〈 A 〉 ∨ i ) / i ， 〈 γ i ( A ) ) = ( 〈 A ) ∨ i ) / i ， ( γ i ( A ) 〉 = ( ( A 〉 ∨ i ) / i ， ( γ i ( A ) ) = ( ( A ) ∨ i ) / i ，且 γ i ( U ) ⊆ γ i ( V ) 。 则有： 引理3.1：设a∈A是一个非零代数， ϕ a : L a s → P ( S a ) 如上定义。则 ∀ i ， j ∈ L a s 有： i ≤ j 当且仅当 ϕ a ( i ) ⊆ ϕ a ( j ) ； 证明：此处只证明当 ϕ a ( i ) ⊆ ϕ a ( j ) 时有 i ≤ j 。 当 ϕ a ( i ) ⊆ ϕ a ( j ) 时有 ϕ a ( i ∧ j ) = ϕ a ( i ) ∩ ϕ a ( j ) = ϕ a ( i ) ，而 ϕ a : L a s → P ( S a ) 是单射，故 i ∧ j = i ，故 i ≤ j 。证毕。 引理3.2：设 a ∈ A 是一个非零代数， ϕ a : L a s → P ( S a ) 如上定义， 0 ≠ t ∈ S a ， ∅ ≠ A ⊆ S a 。则： 1) 存在a的一个最大的理想 i t ，使得 t ∉ ϕ a ( i t ) ； 2) 分别存在a的一个最小的在 ϕ a 下的像包含t的子代数 〈 t 〉 、右理想 〈 t ) 、左理想 ( t 〉 、理想 ( t ) ，且 〈 t 〉 = ∧ { b ∈ L a s | t ∈ ϕ a ( b ) } ， 〈 t ) = ∧ { b ∈ L a r | t ∈ ϕ a ( b ) } ， ( t 〉 = ∧ { b ∈ L a l | t ∈ ϕ a ( b ) } ， ( t ) = ∧ { b ∈ L a | t ∈ ϕ a ( b ) } ， 分别称t生成的主子代数 〈 t 〉 、主右理想 〈 t ) 、主左理想 ( t 〉 及主理想 ( t ) ； 3) 分别存在a的一个最小的 ϕ a 下的像包含A的子代数 〈 A 〉 、右理想 〈 A ) 、左理想 ( A 〉 、理想 ( A ) ，且 〈 A 〉 = ∧ { b ∈ L a s | A ∈ ϕ a ( b ) } ， 〈 A ) = ∧ { b ∈ L a r | A ⊆ ϕ a ( b ) } ， ( A 〉 = ∧ { b ∈ L a l | A ∈ ϕ a ( b ) } ， ( t ) = ∧ { b ∈ L a | A ∈ ϕ a ( b ) } ， 分别称A生成的子代数 〈 A 〉 、右理想 〈 A ) 、左理想 ( A 〉 及理想 ( A ) ； 4) ∀ i ∈ L a s ， i = ∨ { 〈 t 〉 | t ∈ ϕ a ( i ) } ； ∀ i ∈ L a r ， i = ∨ { 〈 t ) | t ∈ ϕ a ( i ) } ； ∀ i ∈ L a l ， i = ∨ { ( t 〉 | t ∈ ϕ a ( i ) } ； ∀ i ∈ L a ， i = ∨ { ( t ) | t ∈ ϕ a ( i ) } ； 5) ∀ i ∈ L a ， t ∈ S a ，则 i ∨ 〈 t 〉 = 〈 t 〉 当且仅当 t ∈ ϕ a ( i ) 。 证明：1) 0 ≠ t ∈ S a ，从而 t ∉ ϕ a ( 0 ) ，由Zorn引理知存在a的一个最大的理想 i t ，使得 t ∉ ϕ a ( i t ) ； 下面只证明4) ∀ i ∈ L a s ， i = ∨ { 〈 t 〉 | t ∈ ϕ a ( i ) } ，其它由定义公理容易验证。设 j = ∨ { 〈 t 〉 | t ∈ ϕ a ( i ) } 。 因为 ∀ t ∈ ϕ a ( i ) ， 〈 t 〉 = ∧ { b ∈ L a s | t ∈ ϕ a ( b ) } ≤ i ，从而 j = ∨ { 〈 t 〉 | t ∈ ϕ a ( i ) } ≤ i 。 如果 i ≠ j ，则存在 s ∈ ϕ a ( i ) ，但是 s ∉ ϕ a ( j ) ，从而 〈 s 〉 ≤ j ；但是 s ∈ ϕ a ( i ) ，故 〈 s 〉 ≤ i ，因此 〈 s 〉 是 j = ∨ { 〈 t 〉 | t ∈ ϕ a ( i ) } 中的一项，所以 〈 s 〉 ≤ j ，矛盾。 综上， i = j = ∨ { 〈 t 〉 | t ∈ ϕ a ( i ) } 。证毕。 ∀ t ∈ S a ，显然有 〈 t 〉 ≤ 〈 t ) = 〈 t 〉 ∨ 〈 t 〉 a ≤ ( t ) = 〈 t 〉 ∨ 〈 t 〉 a ∨ a 〈 t 〉 ∨ a 〈 t 〉 a ， 〈 t 〉 ≤ ( t 〉 = 〈 t 〉 ∨ a 〈 t 〉 ≤ ( t ) = 〈 t 〉 ∨ 〈 t 〉 a ∨ a 〈 t 〉 ∨ a 〈 t 〉 a 。 设 A 是一个完备代数正规类， ∀ a ∈ A ，非空集 S a 和一个单射 ϕ a : L a s → P ( S a ) 如前定义。如果对正整数n， ∀ x ∈ S a ，存在一个 y s ⊆ 〈 x 〉 n ， y r ， y l ， y ∈ S a ，使得 〈 x 〉 n + 1 = 〈 x 〉 〈 y s 〉 = 〈 y s 〉 〈 x 〉 ， 〈 x ) n = 〈 y r ) ， ( x 〉 n = 〈 y l ) ， ( x ) n = ( y ) ；对正整数n， S a 的非空有限子集或可数子集A，存在有限子集 A ′ s ⊆ 〈 A 〉 n ， A ′ r ， A ′ l ， A ′ ⊆ S a ，使得 〈 A 〉 n + 1 = 〈 A 〉 〈 A ′ s 〉 = 〈 A ′ s 〉 〈 A 〉 ， 〈 A ) n = 〈 A ′ r ) ， ( A 〉 n = 〈 A ′ l ) ， ( A ) n = ( A ′ ) 。则称 A 是一个点态化完备代数正规类。 ∀ x ∈ S a ，称x是a的一个点。 设S是一个非空集，S上的点乘积定义为S上一个满足以下条件的二元运算‘ ⋅ ’： 1) ∀ x ， y ∈ S ，都有 x ⋅ y ∈ S ( x ⋅ y 记为xy)； 2) ∀ x ， y ， z ∈ S ，有 ( x y ) z = x ( y z ) (记为xyz)； 3) 存在唯一的单点 0 ′ ∈ S (0'也记为0)，满足： ∀ x ∈ S ，有 0 x = x 0 = 0 。 定义3.3：设 A 是一个点态化完备代数正规类，如果 A 满足点乘积公理： A9 (点乘积公理)： ∀ a ∈ A ， S a 是一个带乘积的集合。 则称 A 是一个带点乘积的点态化完备代数正规类，简称点态化完备代数正规类。 文中后面所称点态化完备代数正规类都是指带点乘积的点态化完备代数正规类。 根据点态化完备代数正规类定义可知，点态化完备代数正规类是完备代数正规类及可积代数正规类，从而参考文献中关于完备代数正规类及可积代数正规类的结论在点态化完备代数正规类中都成立。从而结合环类 R 和大半环类 S B 都是点态化完备代数正规类。