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user: 3. 模型的建立与求解 3.1. 模型假设 1) 企业的移动端产品可以即时获得来满足市场需求； 2) 移动端产品的边际成本为年固定成本的0.05%。 3.2. 符号说明 P ：移动端考研产品的价格； λ ：消费者的支付意愿； Q 1 ：整个移动端考研产品产业的销量； Q 2 ：该公司的移动端考研产品的销量； C 1 ：该公司的生产成本； ：该公司的销售成本； t i ：公司所处的产业发展的第i个时期； e ：该公司移动端考研产品的市场占有率。 3.3. 基本概念分析 1) 正的网络外部性：网络信息产品正的网络外部性是指消费者消费信息产品所获得的效用随着购买这种信息产品的其他消费者数量的增加而不断增加，当网络信息产品的市场规模达到一定临界值时，需求方的规模经济和供给方的规模经济会产生良性互动，从而引发网络经济中的正反馈效应 [ 1 ] 。 2) 消费者预期效应和正反馈效应：正的网络外部性带来了消费者预期效应和正反馈效应。消费者对未来网络优势的预期即消费者预期效应对网络竞争优势的确立具有重要作用。在网络经济的一些领域中，供给方价格的下降会使需求增加，而需求的增加往往会创造更高的效率和报酬，从而导致供给方价格进一步下降，进而创造出更多的需求 [ 2 ] 。当市场由正反馈机制驱动时，其效率与其产业的整体规模成正比，由此发展出更大的网络，得以补偿高昂的初期固定成本，进而增加效率并减少平均成本，即一种产品的新的消费者可以给其他消费者带来正的外部收益，实现了需求方面的规模经济。 3.4. 引入时期因素的定价模型 3.4.1. 网络信息产品需求函数构建 对于网络信息产品的需求而言，由于网络信息产品正的网络外部性的作用，使网络信息产品的价值增大，这时消费者的支付意愿也越大 [ 3 ] 。假设网络信息产品的价格与消费者支付意愿成正比，得到网络信息产品的需求函数： P = α − β Q + ξ Q 2 (1.1) 其中， α 代表消费者的支付意愿； β 代表消费者的实际边际消费倾向； ξ 代表消费者的预期边际消费倾向。 进而可以得到： d P d Q = − β + 2 ξ Q (1.2) 那么， 当 Q < β / ( 2 ξ ) 时 ， d P d Q < 0 ， 曲线斜率为负，向右下方倾斜； 当 Q > β / ( 2 ξ ) 时 ， d P d Q > 0 ， 曲线斜率为正，向右上方倾斜； 当 Q = β / ( 2 ξ ) 时 ， d P d Q = 0 ， 即 点 ( β 2 ξ ， p ) 为曲线的极小值点。 由此画出网络信息产品的需求曲线，如图1。左半段需求曲线向下倾斜，消费者的边际效用呈递减趋势，且其效应大于网络信息产品的正的网络外部性。右半段需求曲线向上倾斜，网络信息产品的正的网络外部性作用加强，消费者的边际效用呈递增趋势。 3.4.2. 网络信息产品消费者效用函数构建 由一般函数形式： u i = b i + a i n e > 0 可得该效用函数由与网络无关的独立效用部分( b i 部分)和网络规模、网络效应强弱相关的一部分效用组成，因此，类似可构造另一个效用函数形式： U ( q ) = θ q + λ Q e q ( θ 为常数：给定的消费类型) 由上述对网络信息产品的需求函数分析，不难发现，存在临界点 q * ： 当对于任意的 q ( q < q * )时，消费者无法预期购买移动端考研产品是正确的选择，没有意识到由网络效用而引起的一部分效用，边际效用缓慢递减，我们将此段时期定义为 t 1 时期，假定此时网络效应参数 λ = 0 。 则有： U ( θ ) = θ q ， q < q 1 ， λ = 0 ; 当 q ≥ q * 时，由于网络效应引发正反馈，越来越多的考生被吸引到移动端考研产品的购买中，使得移动端考研产品的购买规模扩大，考生所获得的总效用也不断扩大，因此，考生的支付意愿也随之扩大。我们将此段时期定义为 t 2 时期，此时随着移动端考研产品购买规模达到临界点， λ 不断变大。 ( ( λ → 1 ， λ ∈ ( 0 ， 1 ] ) )，则有： U ( q ) = θ q + λ ( B O + Q x ) q ， q 1 ≤ q < q 2 ， λ ∈ ( 0 ， 1 ] ；因此，可得到移动端考研产品的考生效用函数： U ( q ) = { θ q q < q 1 ， λ = 0 θ q + λ ( B 0 + Q x ) q q 1 ≤ q < q 2 ， λ ∈ ( 0 ， 1 ] (1.3) 根据此函数，绘出效用函数的图2。 图1. 网络信息产品的需求曲线 图2. 考生效用曲线 3.4.3. 构建移动端考研产品市场占有率的收益函数。 假设用该公司销售移动端考研产品的销售量在整个移动端考研产品产业销售量中的比重来衡量市场占有率。用公式表示为： e = Q 1 / Q 2 (1.4) 该企业生产移动端考研产品能很快满足市场需要，销售量与价格的关系表达式为： P = α − β Q 2 + ξ Q 2 2 (1.5) 通过(1.4)、(1.5)两式可以得到关于市场占有率的收益函数： R = e * Q 1 * ( α − β Q 2 + ξ Q 2 2 ) = ξ Q 1 3 e 3 − β Q 1 2 e 2 + α Q 1 e (1.6) 市场占有率的边际收益函数为： M R = d R d e = 3 ξ Q 1 3 e 2 − 2 β Q 1 2 e + α Q 1 (1.7) 3.4.4. 构建该公司移动端考研产品市场占有率的成本函数。 考虑提高市场占有率的成本来自两个方面：一方面来自生产成本。企业需要生产更多的产品用于销售才能提高市场占有率。另一方面来自销售成本。企业为了提高市场占有率在广告、促销、渠道维护等方面的销售成本也有所提高。 先考虑生产成本 C 1 方面：移动端考研产品属于网络信息产品，具有高固定成本，低边际成本的特点，在信息时代，信息产品90%以上的成本为固定成本，生产额外一单位产品的边际成本很低，为了讨论方便，这里假设移动端考研产品的边际成本为每年固定成本3，000，000元的0.05%，即1500元。因此得到 C = 3000000 + 1500 Q 2 e 。 再考虑企业的销售成本方面：随市场占有率的提高企业的边际销售成本会递增。这是由于，一方面企业拥有更多的市场份额时渠道维护费用会增加，另一方面要继续提高市场占有率需要更多的广告支出、促销开支等销售费用。则总销售成本与市场占有率的关系表示为： C 2 = K e 。 因此，市场占有率的总成本(C)为生产成本与销售成本之和： C = C 1 + C 2 = 3000000 + 1500 Q 2 e + K e = 3000000 + 1500 e 2 Q 1 + K e (1.8) 市场占有率的总边际成本函数为： M C = d C d e = 3000 e Q 1 + K (1.9) 3.4.5. 模型的求解 当 M R = M C 时，此时有最佳市场占有率。即 3 ξ Q 1 3 e 2 − 2 β Q 1 2 e + α Q 1 = 3000 e Q 1 + K 。模型中的三个参数α、β、 ξ 均为大于零的自然数，其中代表消费者支付意愿的参数α (量纲：元)在短期内是恒定不变的，这里不妨假定α = 200元；下面讨论消费者最大消费量一定(这里不妨假定 Q 1 = 150000 个)、市场占有率一定(e = 20%)下，代表消费者实际边际消费倾向的参数β (量纲：元/个)与代表消费者预期边际消费倾向ξ (量纲：元/个)之间的关系发生变化时，由 M R = d R d e = 3 ξ Q 1 3 e 2 − 2 β Q 1 2 e + α Q 1 则 d M R d e = 6 ξ Q 1 3 e − 2 β Q 1 2 e = 0 ， 即 3 ξ Q 1 e − β = 0 那么，当 e < β 3 ξ Q 1 时 ， d M R d e < 0 ，曲线斜率为负，向右下方倾斜； 当 e > β 3 ξ Q 1 时 ， d M R d e > 0 ，曲线斜率为正，向右上方倾斜； 当 e = β 3 ξ Q 1 时 ， d M R d e = 0 ， 即 点 ( β 3 ξ Q 1 ， P ) 为曲线的极小值点。 所以其实是讨论 e 与 β 3 ξ Q 1 的关系，因为假定 e = 20 % ， Q = 150000 ，其实是由讨论 e 与 β 3 ξ Q 1 的关系转变为讨论 β = 90000 的关系。 运用MATLAB画图求解，得到该公司移动端考研产品的市场占有率的边际收益曲线及其变化情况。 1) β < 90000 ξ 时，因为 β ， ξ ∈ ( 0 ， 1 ) ， 不妨选取 ξ = 1 90000 ，此时 β < 90000 ξ ⇒ β < 1 ，而 ∀ β ∈ ( 0 ， 1 ) ，当令 β 分别取0.2， 0.4， 0.6， 0.8时，则仿真结果如下： 如图3~6，因为 β < 90000 ξ ，即消费者的实际边际消费倾向远远小于他的与其消费倾向，此时移动端考研产品的网络外部性起主导作用，使得消费者的边际效用呈现递增趋势，此时，处于 t 2 时段，移动端考研产品的需求曲线呈向上倾斜。 2) β ≥ 90000 ξ 时因为 β ， ξ ∈ ( 0 ， 1 ) ， ，不妨选取 ξ = 1 90000 此时 β ≥ 90000 ξ ⇒ β ≥ 0.1 ， 而 ∀ β ∈ ( 0 ， 1 ) ，当令 β 分别取0.2， 0.4， 0.6， 0.8时，则仿真结果如下： 如图7~10，因为 β ≥ 90000 ξ ，即消费者的实际边际消费倾向远远大于他的预期消费倾向，这就意味着，消费者的消费不受预期消费因素的影响，消费者的支付意愿受到价格的抑制作用而降低。此时，处于 t 1 时段，移动端考研产品的需求曲线呈向下倾斜。