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user: 3. 主要结果 定理 设 G = 2 ⋅ C n   ( n ≥ 3 ) ，则 γ s R ( G ) = { 2 ⌈ 2 n 3 ⌉ − 3 ，     当 n ≡ 0 ， 1 ( m o d 3 ) 且 n ≠ 3 ， 4 时 2 ⌈ 2 n 3 ⌉ − 4 ，     当 n ≡ 2 ( m o d 3 ) 且 n ≠ 5 时 2，                                                                                     当 n = 3 时 n ，                                                                                       当 n = 4 ， 5 时 证明：设 G = ( V ， E ) ， G = C n ( 1 ) ∪ C n ( 2 ) ，其中 C n ( j ) = v 0 v 1 ( j ) v 2 ( j ) ⋯ v n − 1 ( j ) ， j = 1 ， 2 。 V ( G ) = { v 0 ， v i ( j ) | i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 ， j = 1 ， 2 } 。 E ( G ) = { v 0 v 1 j ， v i ( j ) v ( i + 1 ) ( mod n ) ( j ) | i = 1 ， ⋯ ， n − 1 ， j = 1 ， 2 } 。 设f是图G的一个最小符号罗马控制函数，则 γ s R ( G ) = f ( V ) 。不难看出，当 n = 3 时， γ s R ( G ) = 2 ；当 n = 4 ， 5 时， γ s R ( G ) = n 。下面只考虑 n ≥ 6 时的情况。 情况1 当 n = 3 k 且 n ≠ 3 时，由注释以及定义1，有 γ s R ( G ) = f ( V ) = ∑ i = 1 k − 1 f [ v 3 i − 1 ( 1 ) ] + f ( v 3 k − 2 ( 1 ) ) + f ( v 3 k − 1 ( 1 ) ) + ∑ i = 0 k − 2 f [ v 3 i + 1 ( 2 ) ] + f [ v 3 k − 2 ( 2 ) ]                                                                                                                                 ≥ 2 ( k − 1 ) + 0 + 2 ( k − 1 ) + 1 = 2 ⌈ 2 n 3 ⌉ − 3 另一方面，通过给出一个符号罗马控制函数 g 1 来证明上界。令 g 1 ( v 0 ) = + 2 ， g 1 ( v i ( 1 ) ) = { − 1 ， 当 i ≡ 2 ( mod 3 ) ， 1 ≤ i ≤ n − 1 + 2 ， 当 i ≡ 0 ( mod 3 ) ， 3 < i ≤ n − 1 或 i = 1 + 1 ， 其 他 g 1 ( v i ( 2 ) ) = { − 1 ， 当 i ≡ 1 ( mod 3 ) ， 1 ≤ i < n − 2 或 i = n − 1 + 2 ， 当 i ≡ 2 ( mod 3 ) ， 3 < i < n − 1 + 1 ， 其 他 容易验证，对于任意顶点 v ∈ V ，有 g 1 [ v ] ≥ 1 。从而图G中有 | V 2 | = 2 ⌈ n 3 ⌉ − 2 ， | V 1 | = 2 ⌈ 2 n 3 ⌉ − ( 2 ⌈ n 3 ⌉ − 1 ) ， | V − 1 | = 2 ⌈ n 3 ⌉ ， 故，有 γ s R ( G ) ≤ g 1 ( V ) = 2 | V 2 | + | V 1 | − | V − 1 | = 2 ⌈ 2 n 3 ⌉ − 3 。 综上所述，有 γ s R ( G ) = 2 ⌈ 2 n 3 ⌉ − 3 。 情况2 当 n = 3 k + 1 且 n ≠ 4 时 情况2.1 当 f ( v 0 ) = − 1 时， f ( v 1 ( 1 ) ) ， f ( v 1 ( 2 ) ) ， f ( v n − 1 ( 1 ) ) ， f ( v n − 1 ( 2 ) ) 中至少有一个标号为+2，剩余的只能标+1 (若有一个标−1，不妨设 f ( v 1 ( 1 ) ) = − 1 ，则 f [ v 1 ( 1 ) ] ≤ 0 ，与定义1矛盾)，并且有 f ( v 2 ( 2 ) ) ， f ( v n − 2 ( 1 ) ) ， f ( v n − 2 ( 2 ) ) ≠ − 1 。故，有 f [ v 0 ] ≥ 4 。由注释以及定义1，有 γ s R ( G ) = f ( V ) = ∑ i = 1 k − 1 f [ v 3 i ( 1 ) ] + f ( v 3 k − 1 ( 1 ) ) + f [ v 0 ] + ∑ i = 1 k − 1 f [ v 3 i + 1 ( 2 ) ] + f ( v 2 ( 2 ) )                                                                                                                                 ≥ 2 ( k − 1 ) + 1 + 4 + 2 ( k − 1 ) + 1 = 2 ⌈ 2 n 3 ⌉ 情况2.2当 f ( v 0 ) = + 1 时，由注释以及定义1，有 γ s R ( G ) = f ( V ) = ∑ i = 1 k f [ v 3 i − 1 ( 1 ) ] + f ( v 0 ) + ∑ i = 1 k f [ v 3 i − 1 ( 2 ) ]                                                                                                                               ≥ 2 k + 1 + 2 k       = 2 ⌈ 2 n 3 ⌉ − 1 情况2.3 当 f ( v 0 ) = + 2 时，由注释以及定义1，有 γ s R ( G ) = f ( V ) = ∑ i = 1 k − 1 f [ v 3 i − 1 ( 1 ) ] + f [ v 3 k − 1 ( 1 ) ] + f ( v 0 ) + ∑ i = 2 k − 1 f [ v 3 i − 1 ( 2 ) ] + f [ v 2 ( 2 ) ] + f [ v 3 k − 1 ( 2 ) ]                                                                                                                                 ≥ 2 ( k − 1 ) + 1 + 2 + 2 ( k − 2 ) + 1 + 1 = 2 ⌈ 2 n 3 ⌉ − 3 综上所述，有 γ S R ( G ) ≥ 2 ⌈ 2 n 3 ⌉ − 3 。 另一方面，通过给出一个符号罗马控制函数 g 2 来证明上界。令 g 2 ( v 0 ) = + 2 ， g 2 ( v i ( 1 ) ) = { − 1 ， 当 i ≡ 2 ( mod 3 ) ， 1 ≤ i < n − 2 或 i = n − 1 + 2 ， 当 i ≡ 0 ( mod 3 ) ， 3 < i < n − 1 或 i = 1 + 1 ， 其 他 g 2 ( v i ( 2 ) ) = { − 1 ， 当 i ≡ 1 ( mod 3 ) ， 1 ≤ i < n − 3 或 i = n − 1 + 2 ， 当 i ≡ 2 ( mod 3 ) ， 3 < i < n − 3 + 1 ， 其 他 容易验证，对于任意顶点 v ∈ V ，有 g 2 [ v ] ≥ 1 。从而图G中有 | V 2 | = 2 ⌈ n 3 ⌉ − 4 ， | V 1 | = 2 ⌈ 2 n 3 ⌉ − 2 ⌈ n 3 ⌉ + 3 ， | V − 1 | = 2 ⌈ n 3 ⌉ − 2 ， 故，有 γ s R ( G ) ≤ g 2 ( V ) = 2 ⌈ 2 n 3 ⌉ − 3 。 综上所述，有 γ s R ( G ) = 2 ⌈ 2 n 3 ⌉ − 3 。 情况3 当 n = 3 k + 2 且 n ≠ 5 时，由注释，定义1以及引理1，有 γ s R ( G ) = f ( V ) = γ S R ( C n ( 1 ) ) + ∑ i = 1 k − 1 f [ v 3 i + 2 ( 2 ) ] + f [ v 2 ( 2 ) ] + f ( v 3 k + 1 ( 2 ) )                                                                                                                               ≥ ⌈ 2 n 3 ⌉ + 2 ( k − 1 ) + 1 − 1 = 2 ⌈ 2 n 3 ⌉ − 4 另一方面，通过给出一个符号罗马控制函数 g 3 来证明上界。令 g 3 ( v 0 ) = + 2 ， g 3 ( v i ( 1 ) ) = { − 1 ， 当 i ≡ 2 ( mod 3 ) ， 1 ≤ i < n − 3 或 i = n − 1 + 2 ， 当 i ≡ 0 ( mod 3 ) ， 3 < i < n − 2 或 i = 1 + 1 ， 其 他 g 3 ( v i ( 2 ) ) = { − 1 ， 当 i ≡ 1 ( mod 3 ) ， 1 ≤ i < n + 2 ， 当 i ≡ 2 ( mod 3 ) ， 3 < i < n − 1 + 1 ， 其 他 容易验证，对于任意顶点 v ∈ V ，有 g 3 [ v ] ≥ 1 。从而图G中有 | V 2 | = 2 ⌈ n 3 ⌉ − 3 ， | V 1 | = 2 ⌈ 2 n 3 ⌉ − 2 ⌈ n 3 ⌉ + 1 ， | V − 1 | = 2 ⌈ n 3 ⌉ − 1 ， 故，有 γ s R ( G ) ≤ g 3 ( V ) = 2 ⌈ 2 n 3 ⌉ − 4 。 综上所述，有 γ s R ( G ) = 2 ⌈ 2 n 3 ⌉ − 4 。 定理证毕。