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user: 4. 定理1.1的证明 设k ≥ 3， y = x 1 − δ k + 4 ε ，其中 δ k = { 7 36 ， k = 3 ; 1 2 k − 1 + k + 1 ， 4 ⩽ k ⩽ 5 ; 2 k ( k 2 − 3 k + 5 ) ， k ⩾ 6 ， 并令 x ε ≪ 2 Q < τ ，               Q τ ≍ y β x − β + 1 ，                 Q ≪ y β 2 x − β + 1 2 − ε 2 ， (14) 其中 β = { 2 ，   k = 3 ， k ，   k ⩾ 4. 由复指数函数的正交性，对于满足公式(14)的 τ ，我们有 ∑ x − y < m i 2 ⩽ x + y x − y < m 4 k ⩽ x + y i = 1 ， 2 ， 3 d ( m 1 2 + m 2 2 + m 3 2 + m 4 k ) = ∫ 0 1 f 2 3 ( α ) f k ( α ) f ( − α ) d α = ∫ 1 τ 1 + 1 τ f 2 3 ( α ) f k ( α ) f ( − α ) d α ， 其中 f k ( α ) ， f ( − α ) 的定义同上。由Dirichlet有理逼近定理，每一个 α ∈ [ 1 τ ， 1 + 1 τ ] 都可以写成 α = a q + λ ，                   | λ | ⩽ 1 q τ ， 其中整数a，q满足 1 ⩽ a ⩽ q ⩽ τ ， ( a ， q ) = 1 ，定义优弧 M ( a ， q ) = [ a q − 1 q τ ， a q + 1 q τ ] ， 并定义主区间和余区间分别为 M = ∪ q ⩽ Q ∪ 1 ⩽ a ⩽ q ( a ， q ) = 1 M ( a ， q ) ，                                                 m = [ 1 τ ， 1 + 1 τ ] \ M ， (15) 对于不同的优弧 M ( a 1 ， q 1 ) ， M ( a 2 ， q 2 ) ， a 1 q 1 ≠ a 2 q 2 ，由公式(14)，我们有 | a 1 q 1 − a 2 q 2 | = | a 1 q 2 − a 2 q 1 q 1 q 2 | ⩾ 1 q 1 q 2 ⩾ 1 2 ( 1 q 1 Q + 1 q 2 Q ) > 1 q 1 τ + 1 q 2 τ ， 即任意两个不同的优弧是不相交的，由以上定义把积分区间 [ 1 τ ， 1 + 1 τ ] 划分为主区间 M 和余区间 m ，因此我们有 S k ( x ， y ) = ∑ x − y < m i 2 ⩽ x + y x − y < m 4 k ⩽ x + y i = 1 ， 2 ， 3 d ( m 1 2 + m 2 2 + m 3 2 + m 4 k ) = I 1 ( x ， y ) + I 2 ( x ， y ) (16) 其中 I 1 ( x ， y ) = ∫ M f 2 3 ( α ) f k ( α ) f ( − α ) d α ，                                     I 2 ( x ， y ) = ∫ m f 2 3 ( α ) f k ( α ) f ( − α ) d α . 4.1. 主区间上积分的估计 由主区间的定义，我们有 I 1 ( x ， y ) = ∑ 1 ⩽ q ⩽ Q ∑ 1 ⩽ a ⩽ q ( a ， q ) = 1 ∫ M ( a ， q ) f 2 3 ( α ) f k ( α ) f ( − α ) d α = ∑ 1 ⩽ q ⩽ Q ∑ 1 ⩽ a ⩽ q ( a ， q ) = 1 ∫ − 1 q τ 1 q τ f 2 3 ( a q + λ ) f k ( a q + λ ) f ( − a q − λ ) d λ ， (17) 考察被积函数 f 2 3 ( α ) f k ( α ) f ( − α ) ，由引理3.1以及Zhang和Li [ 9 ] 文中关于 f k ( α ) 的结论 f k ( α ) = S k ( q ， a ) q T k ( N 1 1 k ， N 2 1 k ) + O ( q 1 − 1 / k ( 1 + | λ | y ) ) ， S k ( q ， a ) = ∑ r = 1 q e ( a r k q ) ≪ q 1 − 1 / k ， (18) 我们有 f 2 3 ( α ) f k ( α ) f ( − α ) = m ( q ; x ， y ) + r 1 ( q ; x ， y ) + r 2 ( q ; x ， y ) + r 3 ( q ; x ， y ) ， 其中 m ( q ; x ， y ) = S 2 3 ( q ， a ) S k ( q ， a ) q 5 T 2 3 ( N 1 1 2 ， N 2 1 2 ) T k ( N 1 1 k ， N 2 1 k ) ( T 1 * ( 4 N 1 ， 4 N 2 ) + 2 ( γ − log q ) T 1 ( 4 N 1 ， 4 N 2 ) ) ， (19) r 1 ( q ; x ， y ) ≪ q − 3 2 − 1 k ( 1 + | λ | y ) T 2 2 ( N 1 1 2 ， N 2 1 2 ) T k ( N 1 1 k ， N 2 1 k ) ( T 1 * ( 4 N 1 ， 4 N 2 ) + 2 ( γ − log q ) T 1 ( 4 N 1 ， 4 N 2 ) ) ， r 2 ( q ; x ， y ) ≪ q − 3 2 − 1 k ( 1 + | λ | y ) T 2 3 ( N 1 1 2 ， N 2 1 2 ) ( T 1 * ( 4 N 1 ， 4 N 2 ) + 2 ( γ − log q ) T 1 ( 4 N 1 ， 4 N 2 ) ) ， r 3 ( q ; x ， y ) ≪ q − 3 2 − 1 k ( q 3 2 x ε + q 2 3 x 1 3 + ε + q 3 2 | λ | x 1 + ε + q 3 2 | λ | 2 x 1 + ε y ) T 2 3 ( N 1 1 2 ， N 2 1 2 ) T k ( N 1 1 k ， N 2 1 k ) . 将上式代入到公式(17)中，我们有 I 1 ( x ， y ) = M ( x ， y ) + R 1 ( q ; x ， y ) + R 2 ( q ; x ， y ) + R 3 ( q ; x ， y ) ， (20) 其中 M ( x ， y ) = ∑ 1 ⩽ q ⩽ Q ∑ 1 ⩽ a ⩽ q ( a ， q ) = 1 ∫ − 1 q τ 1 q τ m ( q ; x ， y ) d λ   ，                                                 R 1 ( q ; x ， y ) = ∑ 1 ⩽ q ⩽ Q ∑ 1 ⩽ a ⩽ q ( a ， q ) = 1 ∫ − 1 q τ 1 q τ r 1 ( q ; x ， y ) d λ R 2 ( q ; x ， y ) = ∑ 1 ⩽ q ⩽ Q ∑ 1 ⩽ a ⩽ q ( a ， q ) = 1 ∫ − 1 q τ 1 q τ r 2 ( q ; x ， y ) d λ ，                                       R 3 ( q ; x ， y ) = ∑ 1 ⩽ q ⩽ Q ∑ 1 ⩽ a ⩽ q ( a ， q ) = 1 ∫ − 1 q τ 1 q τ r 3 ( q ; x ， y ) d λ 由Zhang和Li [ 9 ] 文中相关的结论 T 1 ( u ， v ) ≪ min ( v − u ， 1 ‖ λ ‖ ) ，                                                   T 1 * ( u ， v ) ≪ ( log v ) min ( v − u ， 1 ‖ λ ‖ ) ， T k ( N 1 1 / k ， N 2 1 / k ) ≪ min ( y x − 1 + 1 / k ， 1 x 1 − 1 / k ‖ λ ‖ ) ， 我们有 R 1 ( q ; x ， y ) ≪ ∑ 1 ⩽ q ⩽ Q q − 1 2 − 1 k ∫ − 1 q τ 1 q τ ( 1 + | λ | y ) T 2 2 ( N 1 1 2 ， N 2 1 2 ) T k ( N 1 1 k ， N 2 1 k ) × ( T 1 * ( 4 N 1 ， 4 N 2 ) + 2 ( γ − log q ) T 1 ( 4 N 1 ， 4 N 2 ) ) d λ ≪ ∑ 1 ⩽ q ⩽ Q q − 1 2 − 1 k ∫ − 1 q τ 1 q τ ( 1 + | λ | y ) ( log x ) min ( y ， 1 ‖ λ ‖ ) min ( y x − 1 2 ， 1 x 1 2 ‖ λ ‖ ) 2 min ( y x − 1 + 1 k ， 1 x 1 − 1 k ‖ λ ‖ ) d λ ≪ ∑ 1 ⩽ q ⩽ Q q − 1 2 − 1 k ( log x ) { ∫ 0 1 y y 4 x − 2 + 1 k ( 1 + λ y ) d λ + ∫ 1 y 1 q τ x − 2 + 1 k λ − 4 ( 1 + λ y ) d λ } ≪ ∑ 1 ⩽ q ⩽ Q q − 1 2 − 1 k ( log x ) y 3 x − 2 + 1 k ≪ y 3 x − 2 + 1 k Q 1 2 − 1 k log x ， (21) 同理有 R 2 ( q ; x ， y ) = ∑ 1 ⩽ q ⩽ Q ∑ 1 ⩽ a ⩽ q ( a ， q ) = 1 ∫ − 1 q τ 1 q τ r 2 ( q ; x ， y ) d λ ≪ y 3 x − 3 2 Q 1 2 − 1 k log x ， (22) R 3 ( q ; x ， y ) = ∑ 1 ⩽ q ⩽ Q ∑ 1 ⩽ a ⩽ q ( a ， q ) = 1 ∫ − 1 q τ 1 q τ r 3 ( q ; x ， y ) d λ ≪ y 3 x − 5 2 + 1 k + ε Q 2 − 1 k + y 3 x − 13 6 + 1 k + ε Q 7 6 − 1 k + y 2 x − 3 2 + 1 k + ε Q 2 − 1 k . (23) 对于 M ( x ， y ) ，我们有 M ( x ， y ) = ∑ 1 ⩽ q ⩽ Q ∑ 1 ⩽ a ⩽ q ( a ， q ) = 1 ∫ − 1 q τ 1 q τ m ( q ; x ， y ) d λ = E 1 ( x ， y ) + E 2 ( x ， y ) ， (24) 其中 E 1 ( x ， y ) = ∑ 1 ⩽ q ⩽ Q ∑ 1 ⩽ a ⩽ q ( a ， q ) = 1 ∫ − 1 2 1 2 m ( q ; x ， y ) d λ ， E 2 ( x ， y ) = ∑ 1 ⩽ q ⩽ Q ∑ 1 ⩽ a ⩽ q ( a ， q ) = 1 ∫ − 1 2 − 1 q τ m ( q ; x ， y ) d λ + ∑ 1 ⩽ q ⩽ Q ∑ 1 ⩽ a ⩽ q ( a ， q ) = 1 ∫ 1 q τ 1 2 m ( q ; x ， y ) d λ   . 对于 E 2 ( x ， y ) ，我们有以下估计： E 2 ( x ， y ) ≪ ∑ 1 ⩽ q ⩽ Q ∑ 1 ⩽ a ⩽ q ( a ， q ) = 1 ∫ 1 q τ 1 2 x − 5 2 + 1 k ( log x ) λ − 5 d λ ≪ ∑ 1 ⩽ q ⩽ Q x − 5 2 + 1 k ( log x ) q 5 2 − 1 k τ 4 ≪ x − 5 2 + 1 k ( log x ) Q 7 2 − 1 k τ 4 ≪ y 4 x − 5 2 + 1 k − ε . (25) 对于 E 1 ( x ， y ) ，由公式(19)，我们有 E 1 ( x ， y ) = ∑ q = 1 ∞ ∑ 1 ⩽ a ⩽ q ( a ， q ) = 1 S 2 3 ( q ， a ) S k ( q ， a ) q 5 ( L 1 ( x ， y ) + 2 ( γ − log q ) L 2 ( x ， y ) )   + ∑ q > Q ∑ 1 ⩽ a ⩽ q ( a ， q ) = 1 S 2 3 ( q ， a ) S k ( q ， a ) q 5 ( L 1 ( x ， y ) + 2 ( γ − log q ) L 2 ( x ， y ) ) ， (26) 其中 L 1 ( x ， y ) = ∫ − 1 2 1 2 T 2 3 ( N 1 1 2 ， N 2 1 2 ) T k ( N 1 1 k ， N 2 1 k ) T 1 * ( 4 N 1 ， 4 N 2 ) d λ = 1 8 k ∑ N 1 < m i ⩽ N 2 i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 1 m 1 1 / 2 m 2 1 / 2 m 3 1 / 2 m 4 1 − 1 / k ∑ 4 N 1 < n ⩽ 4 N 2 m 1 + m 2 + m 3 + m 4 = n log ( n ) ≍ ( log x ) ∑ N 1 < m i ⩽ N 2 i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 1 m 1 1 / 2 m 2 1 / 2 m 3 1 / 2 m 4 1 − 1 / k ≍ y 4 x − 5 2 + 1 k log x ， (27) L 2 ( x ， y ) = ∫ − 1 2 1 2 T 2 3 ( N 1 1 2 ， N 2 1 2 ) T k ( N 1 1 k ， N 2 1 k ) T 1 ( 4 N 1 ， 4 N 2 ) d λ = 1 8 k ∑ N 1 < m i ⩽ N 2 i = 1 ，   2 ，   3 ，   4 1 m 1 1 / 2 m 2 1 / 2 m 3 1 / 2 m 4 1 − 1 / k ∑ 4 N 1 < n ⩽ 4 N 2 m 1 + m 2 + m 3 + m 4 = n 1 ≍ ∑ N 1 < m i ⩽ N 2 i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 1 m 1 1 / 2 m 2 1 / 2 m 3 1 / 2 m 4 1 − 1 / k ≍ y 4 x − 5 2 + 1 k . (28) 对于公式(26)中的求和项，我们有以下估计 ∑ q > Q ∑ 1 ⩽ a ⩽ q ( a ， q ) = 1 S 2 3 ( q ， a ) S k ( q ， a ) q 5 ( L 1 ( x ， y ) + 2 ( γ − log q ) L 2 ( x ， y ) ) ≪ ∑ q ⩾ Q q − 3 2 − 1 k y 4 x − 5 2 + 1 k log x ≪ y 4 x − 5 2 + 1 k ( log x ) Q − 1 2 − 1 k ≪ y 4 x − 5 2 + 1 k − ε . (29) 综合公式(20)~(29)，我们有 I 1 ( x ， y ) = M ( x ， y ) + R 1 ( q ; x ， y ) + R 2 ( q ; x ， y ) + R 3 ( q ; x ， y ) = K 1 L 1 ( x ， y ) + 2 ( γ K 1 − K 2 ) L 2 ( x ， y ) + O ( y 4 x − 5 2 + 1 k − ε )     + O ( y 3 x − 3 2 Q 1 2 − 1 k log x + y 3 x − 13 6 + 1 k + ε Q 7 6 − 1 k + y 2 x − 3 2 + 1 k + ε Q 2 − 1 k ) ， (30) 其中 K 1 = ∑ q = 1 ∞ 1 q 5 ∑ 1 ⩽ a ⩽ q ( a ， q ) = 1 S 2 3 ( q ， a ) S k ( q ， a ) ，       K 2 = ∑ q = 1 ∞ log q q 5 ∑ 1 ⩽ a ⩽ q ( a ， q ) = 1 S 2 3 ( q ， a ) S k ( q ， a ) . 接下来我们需要证明级数 K 1 ， K 2 均收敛，定义Dirichlet级数 L ( s ， Φ ) = ∑ n = 1 ∞ Φ ( n ) n s ， 其中 Φ ( n ) = ∑ 1 ⩽ a ⩽ n ( a ， n ) = 1 S 2 3 ( n ， a ) S k ( n ， a ) ， 由公式(18)得 Φ ( n ) ≪ n 5 2 − 1 k φ ( n ) ≪ n 7 2 − 1 k ，则当 R e s > 9 2 − 1 k 时，级数 L ( s ， Φ ) 收敛。此时 − L ′ ( s ， Φ ) = ∑ n = 1 ∞ Φ ( n ) log n n s ， 同理得 Φ ( n ) log n ≪ n 5 2 − 1 k φ ( n ) log n ≪ n 4 − 1 k ，则当 R e s > 5 − 1 k 时，级数 − L ′ ( s ， Φ ) 收敛。因此由 K 1 = L ( 5 ， Φ ) ， K 2 = − L ′ ( 5 ， Φ ) 知 K 1 ， K 2 均为收敛的级数。 4.2. 余区间上积分的估计 由余区间的定义，当 α ∈ m 时， α = a q + λ ， | λ | ⩽ 1 q τ ， 1 ⩽ a ⩽ q ， ( a ， q ) = 1 ，且q满足 Q < q ⩽ τ . (31) 设 X − Y = N 1 1 k ， X + Y = N 1 1 k ， X = X − Y ， m = n + X ，改写 f k ( α ) 为 f k ( α ) = ∑ N 1 < m k ⩽ N 2 e ( m k α ) = ∑ X − Y < m ⩽ X + Y e ( m k α ) = e ( α X k ) ∑ 1 ⩽ n ⩽ 2 Y e ( α k n k + α k − 1 n k − 1 + ⋯ + α 1 n ) ， (32) 其中 α j = ( k j ) X k − j α ，           ( 1 ⩽ j ⩽ k ) . 4.2.1. k = 3时，定理1.1的证明 当k = 3时，对 f 2 2 ( α ) 进行估计，我们有 | f 2 ( α ) | 2 = ∑ N 1 1 2 < m ， n ⩽ N 2 1 2 e ( ( m 2 − n 2 ) α ) = ( N 2 1 2 − N 1 1 2 ) + T ( x ) + T ( x ) ¯ ， (33) 其中 T ( x ) = ∑ N 1 1 2 < n < m ⩽ N 2 1 2 e ( ( m 2 − n 2 ) α ) . 对于T(x)，我们有以下估计 T ( x ) = ∑ 1 ⩽ v ⩽ N 2 1 2 − N 1 1 2 e ( v 2 α ) ∑ N 1 1 2 < n ⩽ N 2 1 2 − v e ( 2 n v α ) ≪ ∑ 1 ⩽ v ⩽ y x − 1 2 min ( y x − 1 2 ， 1 ‖ 2 v α ‖ ) ≪ ( y x − 1 2 + q log q ) ( y x − 1 2 q + 1 ) ≪ y 2 x − 1 q − 1 + y x − 1 2 log q + q log q ， 结合上式以及公式(31)、(33)，我们有 sup α ∈ m | f 2 ( α ) | ≪ y x − 1 2 Q − 1 2 + y 1 2 x − 1 4 log 1 2 x + τ 1 2 log 1 2 x . (34) 由Hölder不等式，引理3.2，公式(34)，以及Zhang和Li [ 9 ] 对于 f ( − α ) 积分均值的估计 ∫ 0 1 | f ( − α ) | 2 d α ≪ y log 3 x ， (35) 我们有 I 2 ( x ， y ) ≪ sup α ∈ m | f 2 ( α ) | ( ∫ 0 1 | f 2 ( α ) | 6 d α ) 1 3 ( ∫ 0 1 | f 3 ( α ) | 6 d α ) 1 6 ( ∫ 0 1 | f ( − α ) | 2 d α ) 1 2 ≪ y 5 2 x − 10 9 + ε 2 log 3 2 x ( y x − 1 2 Q − 1 2 + y 1 2 x − 1 4 log 1 2 x + τ 1 2 log 1 2 x ) ≪ y 3 x − 49 36 + ε + y 7 2 x − 29 18 + ε Q − 1 2 . (36) 结合公式(16)、(30)、(36)，我们有 S 3 ( x ， y ) = K 1 L 1 ( x ， y ) + 2 ( γ K 1 − K 2 ) L 2 ( x ， y ) + O ( y 4 x − 13 6 − ε )     + O ( y 3 x − 3 2 Q 1 6 log x + y 3 x − 11 6 + ε Q 5 6 + y 2 x − 7 6 + ε + y 7 2 x − 29 18 + ε Q − 1 2 ) ， 且当 x 11 36 ≪ Q ≪ x 11 36 + 7 2 ε ，我们有 S 3 ( x ， y ) = K 1 L 1 ( x ， y ) + 2 ( γ K 1 − K 2 ) L 2 ( x ， y ) + O ( y 4 x − 13 6 − ε ) . 4.2.2. 4 ≤ k ≤ 5时，定理1.1的证明 当4 ≤ k ≤ 5时，由引理3.3以及公式(32)，我们有 f k ( α ) = e ( α X k ) ∑ 1 ⩽ n ⩽ 2 Y e ( α k n k + α k − 1 n k − 1 + ⋯ + α 1 n ) ≪ ∑ 1 ⩽ n ⩽ 2 Y e ( α k n k + α k − 1 n k − 1 + ⋯ + α 1 n ) ≪ Y 1 + ε ( q − 1 + Y − 1 + q Y − k ) 1 2 k − 1 ， 由上式以及公式(31)，我们有 sup α ∈ m | f k ( α ) | ≪ Y 1 + ε ( Q − 1 + Y − 1 + τ Y − k ) 1 2 k − 1 ≪ y x − 1 + 1 k + ε ( Q − 1 + y − 1 x 1 − 1 k + τ y − k x k − 1 ) 1 2 k − 1 ≪ y x − 1 + 1 k + ε ( Q − 1 + y − 1 x 1 − 1 k ) 1 2 k − 1 . (37) 由Hölder不等式，引理3.2以及公式(35)、(37)，我们有 I 2 ( x ， y ) ≪ sup α ∈ m | f k ( α ) | ( ∫ 0 1 | f 2 ( α ) | 6 d α ) 1 2 ( ∫ 0 1 | f ( − α ) | 2 d α ) 1 2 ≪ y 7 2 x − 2 + 1 k + 2 ε ( Q − 1 + y − 1 x 1 − 1 k ) 1 2 k − 1 ≪ y 7 2 x − 2 + 1 k + 2 ε Q − 1 2 k − 1 + y 7 2 − 1 2 k − 1 x − 2 + 1 k + k − 1 k ⋅ 2 k − 1 + 2 ε . (38) 结合公式(16)、(30)、(38)，我们有 S k ( x ， y ) = K 1 L 1 ( x ， y ) + 2 ( γ K 1 − K 2 ) L 2 ( x ， y ) + O ( y 4 x − 5 2 + 1 k − ε )     + O ( y 3 x − 3 2 Q 1 2 − 1 k + y 3 x − 11 6 + 1 k + ε Q 7 6 − 1 k + y 2 x − 3 2 + 1 k + ε Q 2 − 1 k + y 7 2 x − 2 + 1 k + 2 ε Q − 1 2 k − 1 ) ， 且当 x 2 k − 2 2 k − 1 + k + 1 + 2 k − 1 ε ≪ Q ≪ x 2 k − 2 + 1 / 2 2 k − 1 + k + 1 + ( 2 k − 1 / 2 ) ε ，我们有 S k ( x ， y ) = K 1 L 1 ( x ， y ) + 2 ( γ K 1 − K 2 ) L 2 ( x ， y ) + O ( y 4 x − 5 2 + 1 k − ε ) . 4.2.3. k ≥ 6时，定理1.1的证明 当k ≥ 6时，由引理3.4以及公式(32)，我们有 f k ( α ) = e ( α X k ) ∑ 1 ⩽ n ⩽ 2 Y e ( α k n k + α k − 1 n k − 1 + ⋯ + α 1 n ) ≪ ∑ 1 ⩽ n ⩽ 2 Y e ( α k n k + α k − 1 n k − 1 + ⋯ + α 1 n ) ≪ Y 1 + ε ( q − 1 + Y − 1 + q Y − k ) 1 2 k ( k − 1 ) ， 由上式以及公式(31)，我们有 sup α ∈ m | f k ( α ) | ≪ Y 1 + ε ( Q − 1 + Y − 1 + τ Y − k ) 1 2 k ( k − 1 ) ≪ y x − 1 + 1 k + ε ( Q − 1 + y − 1 x 1 − 1 k + τ y − k x k − 1 ) 1 2 k ( k − 1 ) ≪ y x − 1 + 1 k + ε ( Q − 1 + y − 1 x 1 − 1 k ) 1 2 k ( k − 1 ) . (39) 由Hölder不等式，引理3.1以及公式(35)、(39)，我们有 I 2 ( x ， y ) ≪ sup α ∈ m | f k ( α ) | ( ∫ 0 1 | f 2 ( α ) | 6 d α ) 1 2 ( ∫ 0 1 | f ( − α ) | 2 d α ) 1 2 ≪ y 7 2 x − 2 + 1 k + 2 ε ( Q − 1 + y − 1 x 1 − 1 k ) 1 2 k ( k − 1 ) ≪ y 7 2 x − 2 + 1 k + 2 ε Q − 1 2 k ( k − 1 ) + y 7 2 − 1 2 k ( k − 1 ) x − 2 + 1 k + 1 2 k 2 + 2 ε . (40) 结合公式(16)、(30)、(40)，我们有 S k ( x ， y ) = K 1 L 1 ( x ， y ) + 2 ( γ K 1 − K 2 ) L 2 ( x ， y ) + O ( y 4 x − 5 2 + 1 k − ε )     + O ( y 3 x − 3 2 Q 1 2 − 1 k + y 3 x − 11 6 + 1 k + ε Q 7 6 − 1 k + y 2 x − 3 2 + 1 k + ε Q 2 − 1 k + y 7 2 x − 2 + 1 k + 2 ε Q − 1 2 k ( k − 1 ) ) ， 且当 x 2 k − 2 k 2 − 3 k + 5 + 2 k ( k − 1 ) ε ≪ Q ≪ x 2 k 2 − 6 k + 6 ( k − 2 ) ( k 2 − 3 k + 5 ) + 6 k k − 2 ε ，我们有 S k ( x ， y ) = K 1 L 1 ( x ， y ) + 2 ( γ K 1 − K 2 ) L 2 ( x ， y ) + O ( y 4 x − 5 2 + 1 k − ε ) . 结合以上三种情况的讨论，我们最终证明了定理1.1。