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user: 3. 概周期解 定义3.1 [ 12 ] 设S是集合D的任一紧集， τ n 是一个序列，记 H ( f ) = { g ( n ， x ) : lim n → ∞ f ( n + τ k ， x ) = g ( n ， x ) 在 Z × S 上 一 致 成 立 } ， 则 H ( f ) 称为f的壳。 定义3.2 [ 13 ] 对任意 ε > 0 ，如果x的 ε -移位数集 E { ε ， x } = { τ ∈ Z : | x ( n + τ ) − x ( n ) | < ε ， ∀ n ∈ Z } 在Z中是相对稠密的，即存在 l ( ε ) > 0 ，使在每个长度为 l ( ε ) 的区间内都有一个 τ ∈ E { ε ， x } ，使得 | x ( n + τ ) − x ( n ) | < ε ， ∀ n ∈ Z ，则称序列 x : Z → R 为概周期的， τ 称为 x ( n ) 的 ε -移位数。 引理3.1 [ 12 ] { x ( n ) } 称为概周期序列当且仅当对于Z的任意序列 { h i } ，存在一个子序列 { h i j } ⊂ { h i } ，使对 n ∈ Z ，当 j → ∞ 时， { x ( n + h i j ) } 一致收敛。另外，其极限也是概周期序列。 假设系统(2)是概周期系统，那么它所有的参数 r i ( n ) ， a i ( n ) ， b i ( n ) ， c i ( n ) ， d i ( n ) ， e i ( n ) ， α i ( n ) ， β i ( n ) ， γ i ( n ) ( i = 1 ， 2 ) 都是Z上的概周期序列。由引理3.1，存在时间序列 h k ，当 k → ∞ ， h k → ∞ 时，有 r i ( n + h k ) → r i ∗ ( n ) ， a i ( n + h k ) → a i ∗ ( n ) ， b i ( n + h k ) → b i ∗ ( n ) ， c i ( n + h k ) → c i ∗ ( n ) ， d i ( n + h k ) → d i ∗ ( n ) ， e i ( n + h k ) → e i ∗ ( n ) ， α i ( n + h k ) → α i ∗ ( n ) ， ， ， i = 1 ， 2 ，一致对 k ∈ Z 成立。其中， r i ∗ ( n ) ∈ H ( r i ( n ) ) ， a i ∗ ( n ) ∈ H ( a i ( n ) ) ， b i ∗ ( n ) ∈ H ( b i ( n ) ) ， c i ∗ ( n ) ∈ H ( c i ( n ) ) ， d i ∗ ( n ) ∈ H ( d i ( n ) ) ， e i ∗ ( n ) ∈ H ( e i ( n ) ) ， α i ∗ ( n ) ∈ H ( α i ( n ) ) ， β i ∗ ( n ) ∈ H ( β i ( n ) ) ， γ i ∗ ( n ) ∈ H ( γ i ( n ) ) 。因此，得到模型(2)的一个壳方程： { x 1 ( n + 1 ) = x 1 ( n ) exp { r 1 ∗ ( n ) − a 1 ∗ ( n ) x 1 ( n ) − b 1 ∗ ( n ) x 2 ( n ) α 1 ∗ ( n ) + β 1 ∗ ( n ) x 1 ( n ) + γ 1 ∗ ( n ) x 2 ( n ) − c 1 ∗ ( n ) u 1 ( n ) } x 2 ( n + 1 ) = x 2 ( n ) exp { r 2 ∗ ( n ) − a 2 ∗ ( n ) x 2 ( n ) − b 2 ∗ ( n ) x 1 ( n ) α 2 ∗ ( n ) + β 2 * ( n ) x 1 ( n ) + γ 2 ∗ ( n ) x 2 ( n ) − c 2 ∗ ( n ) u 2 ( n ) } Δ u 1 ( n ) = − e 1 ∗ ( n ) u 1 ( n ) + d 1 ∗ ( n ) x 1 ( n ) Δ u 2 ( n ) = − e 2 ∗ ( k ) u 2 ( n ) + d 2 ∗ ( n ) x 2 ( n ) (17) 根据概周期函数基本理论 [ 12 ]，我们知道系统(2)若满足条件(H 1 )和(H 2 )，则其壳方程(17)也满足(H 1 )和(H 2 )。 引理3.2 [ 10 ] 若系统(2)是概周期的，且其每个壳方程都有唯一的严格正解，则(2)有严格正概周期解且唯一。 定理3.1 若条件(H 1 )和(H 2 )成立，则系统(2)存在唯一的概周期解且是全局吸引的。 证明 根据引理3.2，只须证明壳方程(17)有唯一的严格正解。步骤如下：先证壳方程(17)至少有一个严格正解，再证每个壳方程只有唯一的的严格正解。 由系统(2)的所有参数的概周期性质，存在整数序列 { h k } ，当 k → ∞ 时， h k → ∞ ，且有 r i ( n + h k ) → r i ∗ ( n ) ， a i ( n + h k ) → a i ∗ ( n ) ， b i ( n + h k ) → b i ∗ ( n ) ， c i ( n + h k ) → c i ∗ ( n ) ， d i ( n + h k ) → d i ∗ ( n ) ， e i ( n + h k ) → e i ∗ ( n ) ， α i ( n + h k ) → α i ∗ ( n ) ， β i ( n + h k ) → β i ∗ ( n ) ， γ i ( n + h k ) → γ i ∗ ( n ) ， i = 1 ， 2 ，对 n ∈ Z 一致成立。 根据定理2.1，对壳方程(17)的任一正解 ( x 1 ( n ) ， x 2 ( n ) ， u 1 ( n ) ， u 2 ( n ) ) T 及任意的正数 ε ，存在正整数 N 0 ，满足当 n ≥ N 0 时 m i − ε ≤ x i ( n ) ≤ M i + ε ， n i − ε ≤ u i ( n ) ≤ N i + ε ， i = 1 ， 2 及 0 < inf n ∈ z + x i ( n ) ≤ sup n ∈ z + x i ( n ) < + ∞ ， 0 < inf n ∈ z + u i ( n ) ≤ sup n ∈ z + u i ( n ) < + ∞ ， i = 1 ， 2. 定义 x i k ( n ) = x i ( n + h k ) ， u i k ( n ) = u i ( n + h k ) ，其中 n ≥ N 0 − h k ， k ∈ Z + ， i = 1 ， 2 。对任意的正整数q， 取 { x i k ( n ) : k ≥ q } ， { u i k ( n ) : k ≥ q } 的子序列，为了讨论方便，子序列仍记为 { x i k ( n ) } 和 { u i k ( n ) } 。易证，当 k → ∞ 时， { x i k ( n ) } ， { u i k ( n ) } 在Z的任意有限区间上收敛。因此，存在序列 { y i ( n ) } ， { v i ( n ) } ， i = 1 ， 2 ，使得当 k → ∞ 时 x i k ( n ) → y i ( n ) ， u i k ( n ) → v i ( n ) ， n ∈ Z 。由于 { x 1 k ( n + 1 ) = x 1 k ( n ) exp { r 1 ∗ ( n + τ k ) − a 1 ∗ ( n + τ k ) x 1 k ( n )     − b 1 ∗ ( n + τ k ) x 2 k ( n ) α 1 ∗ ( n + τ k ) + β 1 ∗ ( n + τ k ) x 1 k ( n ) + γ 1 ∗ ( n + τ k ) x 2 k ( n ) − c 1 ∗ ( n + τ k ) u 1 k ( n ) } x 2 k ( n + 1 ) = x 2 k ( n ) exp { r 2 ∗ ( n + τ k ) − a 2 ∗ ( n + τ k ) x 2 k ( n )     − b 2 ∗ ( n + τ k ) x 1 k ( n ) α 2 ∗ ( n + τ k ) + β 2 ∗ ( n + τ k ) x 1 k ( n ) + γ 2 ∗ ( n + τ k ) x 2 k ( n ) − c 2 ∗ ( n + τ k ) u 2 k ( n ) } Δ u 1 k ( n ) = − e 1 ∗ ( n + τ k ) u 1 k ( n ) + d 1 ∗ ( n + τ k ) x 1 k ( n ) Δ u 2 k ( n ) = − e 2 ∗ ( n + τ k ) u 2 k ( n ) + d 2 ∗ ( n + τ k ) x 2 k ( n ) . 因此，可推出 { y 1 ( n + 1 ) = y 1 ( n ) exp { r 1 ∗ ( n ) − a 1 ∗ ( n ) y 1 ( n ) − b 1 ∗ ( n ) y 2 ( n ) α 1 ∗ ( n ) + β 1 ∗ ( n ) y 1 ( n ) + γ 1 ∗ ( n ) y 2 ( n ) − c 1 ∗ ( n ) v 1 ( n ) } y 2 ( n + 1 ) = y 2 ( n ) exp { r 2 ∗ ( n ) − a 2 ∗ ( n ) y 2 ( n ) − b 2 ∗ ( n ) y 1 ( n ) α 2 ∗ ( n ) + β 2 ∗ ( n ) y 1 ( n ) + γ 2 ∗ ( n ) y 2 ( n ) − c 2 ∗ ( n ) v 2 ( n ) } Δ v 1 ( n ) = − e 1 ∗ ( n ) v 1 ( n ) + d 1 ∗ ( n ) y 1 ( n ) Δ v 2 ( n ) = − e 2 ∗ ( n ) v 2 ( n ) + d 2 ∗ ( n ) y 2 ( n ) . 由上式可知， ( y 1 ( n ) ， y 2 ( n ) ， v 1 ( n ) ， v 2 ( n ) ) T 是壳方程(17)的解，且满足 m i − ε ≤ y i ( n ) ≤ M i + ε ， n i − ε ≤ v i ( n ) ≤ N i + ε ， n ∈ Z ， i = 1 ， 2 。由正数 ε 的任意性，显然 0 < inf k ∈ z y i ( n ) ≤ sup n ∈ z y i ( n ) < + ∞ ， 0 < inf k ∈ z v i ( n ) ≤ sup n ∈ z v i ( n ) < + ∞ ， i = 1 ， 2. 故系统(2)的每个壳方程至少有一个严格正解。 下面证明壳方程的严格正解的唯一性。设 ( x 1 ∗ ( n ) ， x 2 ∗ ( n ) ， u 1 ∗ ( n ) ， u 2 ∗ ( n ) ) T ， ( y 1 ∗ ( n ) ， y 2 ∗ ( n ) ， v 1 ∗ ( n ) ， v 2 ∗ ( n ) ) T 都是(17)的严格正解。构造Lyapunov函数： V * ( n ) = λ 1 V 1 ∗ ( n ) + λ 2 V 2 ∗ ( n ) + λ 3 W 1 ∗ ( n ) + λ 4 W 2 ∗ ( n ) ， n ∈ Z ， 其中 V i ∗ ( n ) = | ln x i ∗ ( n ) − ln y i ∗ ( n ) | ， W i ∗ ( k ) = | u i ∗ ( k ) − v i ∗ ( k ) | ， i = 1 ， 2. 类似于定理2.2的证明，对于 n ∈ Z ，可得 Δ V * ( n ) ≤ − δ ( | x 1 ∗ ( n ) − y 1 ∗ ( n ) | + | x 2 ∗ ( n ) − y 2 ∗ ( n ) | + | u 1 ∗ ( n ) − v 1 ∗ ( n ) | + | u 2 ∗ ( n ) − v 2 ∗ ( n ) | ) . 显然， V * ( n ) 是Z上的非增序列。对上式两边进行从 k ( k < 0 ) 到0的加法运算， δ ∑ n = k 0 ( | x 1 ∗ ( n ) − y 1 ∗ ( n ) | + | x 2 ∗ ( n ) − y 2 ∗ ( n ) | + | u 1 ∗ ( n ) − v 1 ∗ ( n ) | + | u 2 ∗ ( n ) − v 2 ∗ ( n ) | ) ≤ V * ( k ) − V * ( 0 ) . 因为 V * ( n ) 有界，故 ∑ n = − ∞ 0 ( | x 1 ∗ ( n ) − y 1 ∗ ( n ) | + | x 2 ∗ ( n ) − y 2 ∗ ( n ) | + | u 1 ∗ ( n ) − v 1 ∗ ( n ) | + | u 2 ∗ ( n ) − v 2 ∗ ( n ) | ) < + ∞ ， 从而可得 lim n = − ∞ | x i ∗ ( n ) − y i ∗ ( n ) | = 0 ， lim n = − ∞ | u i ∗ ( n ) − v i ∗ ( n ) | = 0 ， i = 1 ， 2. (18) 由(18)，存在正整数 K 0 ，当 n ≤ − K 0 时，有 | x i ∗ ( n ) − y i ∗ ( n ) | < ε ， | u i ∗ ( n ) − v i ∗ ( n ) | < ε ， i = 1 ， 2. 从而 V i ∗ ( n ) = 1 θ i * ( n ) | x i ∗ ( n ) − y i ∗ ( n ) | ≤ 1 m i ε ， W i ∗ ( n ) ≤ ε ， i = 1 ， 2. 其中 θ i ∗ ( n ) 介于 x i ∗ ( n ) 和 y i ∗ ( n ) 之间。 令 Q = λ 1 m 1 + λ 2 m 2 + λ 3 + λ 4 ， 则有 V * ( n ) ≤ Q ε ， n ≤ − K 0 ，因此 lim n = − ∞ V * ( n ) = 0 。而定理2.2表明， lim n = + ∞ V * ( n ) = 0 。又因为 V * ( n ) 是Z上正的非增序列，因此必有 V * ( n ) ≡ 0 ，即对一切 n ∈ Z ， i = 1 ， 2 ，有 x i ∗ ( n ) = y i ∗ ( n ) ， u i ∗ ( n ) = v i ∗ ( n ) 。从而说明，(17)的严格正解是有唯一的。 综上，系统(2)每个壳方程都有唯一的严格正解。应用引理3.2，系统(2)有唯一的严格正概周期解。结合定理2.2，系统(2)存在唯一的正概周期解且是全局吸引的。证毕。