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user: 4. 数值结果 模拟时采用液晶材料为5CB [ 28 ][ 29 ]，各个参数的数值为： A 0 = 0.195 × 10 6 J / m 3 ⋅ K ， B = 7.155 × 10 6 J / m 3 ， C = 8.82 × 10 6 J / m 3 ， L 1 = 10.125 × 10 − 12 N 。因此可得到相干长度 ξ 约为2.64 nm。约化温度设为 A ˜ = 2 / 3 ，相应的约化标量序参数取值为 S ˜ = 1 + 1 − A ˜ ≈ 1.577 ，转动扩散系数 D * 设为 0.35   m 2 ⋅ N − 1 ⋅ s − 1 [ 27 ]。在数值计算中，我们设圆柱的高度 d = 40 ξ 不变，半径r的初值为 10 ξ ，则上下基板中心的距离为 h = d − r ，随着半径r的增大，h逐渐减小。 4.1. 强锚定边界条件 在球形界面和下基板均为强锚定的圆柱内切球液晶盒中，液晶分子在下基板垂面排列，在上基板沿面排列。当系统到达平衡态时，会在球形界面的中心处诱导出一个+1 boojum缺陷。首先逐渐增大液晶盒的半径，观察boojum缺陷的结构转变过程。随后，通过与相同边界条件的圆柱形液晶盒中的结构转变过程进行比较，研究球形界面对+1 boojum缺陷结构转变的影响。最后，通过对比序参数张量Q在对称轴 r = 0 处的本征值图，来观察boojum缺陷结构中指尖位置的变化情况。 图2为在圆柱内切球液晶盒中，不同半径下的球形界面上的+1 boojum缺陷的双轴性局部放大图。图2(a)所示，当 r = 10 ξ 时，在球形界面上诱导出了一个很小的+1 boojum缺陷结构，其他区域均为单轴态。继续增大半径，球形界面上的+1 boojum缺陷结构逐渐变大。当半径增大到 27 ξ (图2(b))时，系统的双轴性结构开始发生变化，除了+1 boojum缺陷外还出现了一个缺陷环。继续增大半径，如图2(c)和图2(d)所示，缺陷环的双轴性逐渐变大，最后缺陷环沿着球形界面向上扩散。 为了更好的探究球形界面对boojum缺陷结构转变的影响，下面研究以R为半径，h为盒厚的圆柱形向列相液晶盒中boojum缺陷结构的转变过程。为了方便进行对比分析，把圆柱模型上下基板的锚定条件 图2. 圆柱内切球液晶盒中，+1 boojum缺陷的双轴性局部放大图。(a) r = 10 ξ ， h = 30 ξ ；(b) r = 27 ξ ， h = 13 ξ ；(c) r = 30 ξ ， h = 10 ξ ；(d) r = 37 ξ ， h = 3 ξ 设成与圆柱内切球液晶盒相同的锚定条件，即下基板为强的垂面锚定，上基板为强的沿面锚定。 首先，在 r = 10 ξ ， h = 30 ξ 的圆柱形液晶盒中除了在上基板中心处诱导出一个boojum缺陷外，由于液晶盒半径较小还发生了有序重构(图3(a))，这与图2(a)相比具有很大的差异。当 r = 27 ξ ， h = 13 ξ (图3(b))时，在圆柱形液晶盒中诱导出了一个+1 boojum缺陷和一个缺陷环。与图2(b)比较，圆柱形液晶盒内诱导出的boojum缺陷和缺陷环的双轴性都相对较大。当 r = 30 ξ ， h = 10 ξ (图3(c))时，由于到达了与 [ 15 ]中临界盒厚相同的尺度条件，圆柱形液晶盒内发生了有序重构现象，而在圆柱内切球液晶盒中只是缺陷环的双轴性变大。继续增大半径，减小盒厚，当 r = 37 ξ ， h = 3 ξ 时，如图3(d)所示，由于盒厚足够小圆柱形液晶盒内发生有序重构，而在圆柱内切球液晶盒内没有发生有序重构，只是缺陷环的双轴性变得更大并且沿着球形界面向上扩散(图2(d))。通过对比发现，在强锚定边界条件下，由于球形界面的影响，boojum缺陷结构变小并且有序重构现象消失。 图3. 在含有+1缺陷的圆柱形液晶盒内，随着半径的增大和盒厚的减小，以双轴性表征的+1 boojum缺陷的转变过程。(a) r = 10 ξ ， h = 30 ξ ; (b) r = 27 ξ ， h = 13 ξ ; (c) r = 30 ξ ， h = 10 ξ ; (d) r = 37 ξ ， h = 3 ξ 当系统处于平衡态时，在对称轴 r = 0 处，boojum核心处为负序参数单轴态，其末端为一个各向同性点，这个点称为指尖(finger tip) [ 6 ][ 7 ]；沿着对称轴 r = 0 向下，指尖下端液晶分子处于正序参数单轴态。下面通过序参数张量Q在对称轴 r = 0 的本征值图来确定boojum缺陷结构中指尖的位置；随后，通过比较指尖位置的变化情况来表征球形界面对boojum缺陷结构的影响。 图4(a)和图4(b)分别描述了，圆柱内切球液晶盒和圆柱形液晶盒中， r = 27 ξ ， h = 13 ξ 时，序参数张量Q在对称轴 r = 0 处的本征值图，其中三个本征值相交的地方代表指尖(finger tip)所在的位置 ( q 1 = q 2 = q 3 ) 。从图中我们可以看出，在交点的左侧液晶分子处于正序参数单轴态 ( q 3 > 0 > q 1 = q 2 ) ，而在右侧液晶分子处于负序参数单轴态 ( q 1 = q 2 > 0 > q 3 ) 。对比图4(a)和图4(b)，我们发现图(a)中指尖的位置更靠近球形界面。随着盒厚的增大，两种液晶盒中指尖的位置呈现出一个线性升高的趋势，如图4(c)所示。同时在相同盒厚下，圆柱内切球液晶盒中boojum缺陷结构指尖的位置更靠近球形界面。通过这种现象也可以表征 图4. r = 27 ξ ， h = 13 ξ 时的序参数张量Q在对称轴 r = 0 处的本征值图。(a)圆柱内切球液晶盒；(b)圆柱形液晶盒；(c)为在不同盒厚下，这两种模型的液晶盒内+1 boojum缺陷结构中指尖位置的对比图 出，球形界面的影响导致boojum缺陷结构减小。 综上所述，在圆柱内切球液晶盒中，当球形界面设定为强锚定边界条件时，较小的半径R会在球形界面中心处诱导出一个小的+1 boojum缺陷，而圆柱形液晶盒内不仅诱导出了一个boojum缺陷，由于液晶盒半径较小还发生了有序重构。随着半径的增大，在圆柱内切球液晶盒内，除了球形界面上的+1 boojum缺陷之外，还会出现缺陷环，且缺陷环会沿着球形界面向上扩散。而在圆柱形液晶盒中，随着半径的增大，盒厚的减小，首先是有序重构现象消失，只存在一个boojum缺陷；然后继续增大半径，会出现一个缺陷环，最终当 r ≥ 30 ξ ， h ≤ 10 ξ 时，由于到达了临界盒厚 [ 15 ]，缺陷环会发展成新的有序重构。 4.2. 弱锚定边界条件 本节研究球形界面为弱锚定边界条件时，+1 boojum缺陷结构的转变情况。根据文献 [ 7 ]中表述，boojum缺陷的出现需要足够强的锚定能，因此，本节中锚定能设置为相对较大的数值。首先，设定锚定强度系数 W = 1 × 10 − 3 J / m 2 ，约化后的锚定强度系数 W ˜ s = 0.82 。通过研究在不同半径下+1 boojum缺陷的双轴性的局部放大图(图5(a)，图5(b))和在对称轴 r = 0 处的本征值图(图5(c)，图5(d))来观察液晶盒内+1 boojum缺陷结构的转变情况。最后通过与相同弱锚定条件下圆柱形液晶盒内的boojum缺陷的结构转变过程进行比较，来探究弱锚定条件下球形界面对+1 boojum缺陷结构形变的影响。 当圆柱内切球液晶盒的半径 r = 10 ξ 时，如图5(a)所示，由于半径较小的原因，导致在球形界面中心处诱导出一个特殊的boojum缺陷，通过观察与之对应的在对称轴 r = 0 处的本征值图(图5(c))可知，在对称轴上液晶分子一直处于正序参数单轴态，并没有出现指尖结构和负序参数单轴态，且不符合典型的boojum缺陷结构的特征。所以我们将此特殊的boojum缺陷定义为无指尖boojum缺陷。然而，当半径 r = 20 ξ 时(图5(b))，由于锚定强度的原因，球形界面中心处诱导出一个非常小的+1 boojum缺陷和一个缺陷环，此结构与图2(b)中所示结构类似。图5(d)为与图5(b)相对应的对称轴 r = 0 处的本征值图，从图中 图5. 在弱锚定边界条件下，锚定强度系数 W = 1 × 10 − 3 J / m 2 时，圆柱内切球液晶盒中的boojum缺陷的双轴性局部放大图和序参数张量Q在对称轴 r = 0 的本征值图。(a)和(c) r = 10 ξ ， h = 30 ξ ；(b)和(d) r = 20 ξ ， h = 20 ξ 我们观察到指尖的位置非常靠近球形界面。 图6为这两种模型的液晶盒中弱锚定条件下+1 boojum缺陷结构的对比，其中图6(a)和图6(b)为圆柱内切球液晶盒中双轴性分布的局部放大图，图6(c)和图6(d)为圆柱形液晶盒中双轴性分布图。当 r = 10 ξ ， h = 30 ξ 时，圆柱内切球液晶盒内球形界面中心处诱导出了一个无指尖boojum缺陷(图6(a))，而圆柱形液晶盒中不但在上基板中心处诱导出了一个+1 boojum缺陷，由于半径较小，还出现了有序重构现象(图6(c))。逐渐增大半径、减小盒厚，当 r = 31 ξ ， h = 9 ξ 时，在这两种模型内除了诱导出一个+1 boojum缺陷外，由于接近临界盒厚 [ 15 ]，圆柱形液晶盒内还发生了有序重构(图6(d))，而圆柱内切球液晶盒只出现了一个双轴性较大的缺陷环(图6(b))。 综上，当球形界面及上基板为弱锚定边界条件并且锚定强度系数 W = 1 × 10 − 3 J / m 2 时，对于圆柱内切球液晶盒，球形界面会在半径较小( r ≈ 10 ξ )时诱导出一个无指尖boojum缺陷，而在圆柱形液晶盒内会发 图6. 弱锚定边界条件下( W = 1 × 10 − 3 J / m 2 )两种模型的双轴性示意图，(a)和(b)是圆柱内切球液晶盒中的双轴性分布的局部放大图；(c)和(d)是圆柱形液晶盒中的双轴性分布图。(a)和(c) r = 10 ξ ， h = 30 ξ ，(b)和(d) r = 31 ξ ， h = 9 ξ 生有序重构现象。当半径R增大到大约 20 ξ 时，在圆柱内切球液晶盒中，球形界面中心处会诱导出一个非常小的+1 boojum缺陷，并伴随一个缺陷环；而在圆柱形液晶盒中，有序重构现象消失，只存在一个+1 boojum缺陷。继续增大半径，在圆柱内切球液晶盒中缺陷环的双轴性逐渐变大，最终沿着球形界面向上扩散，且不会出现有序重构现象；而在圆柱形液晶盒中，除了+1 boojum缺陷外还会诱导出一个缺陷环，且缺陷环的双轴性逐渐变大。最终，当半径 r ≥ 31 ξ ， h ≤ 9 ξ 时缺陷环转变为有序重构。