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user: 4. 自抗扰控制器的设计 自抗扰控制器由三个部分组成，分别是跟踪微分器(Tracking Differentiator， TD)、非线性状态误差反馈(Nonlinear State Error Feedback， NLSEF)和扩张状态观测器(Extended State Observer， ESO)。其中TD能快速跟踪控制参考信号，产生一个跟踪信号和一个跟踪微分信号，并能滤除控制参考信号中的噪声。NLSEF根据系统状态误差和状态微分的误差产生控制力。ESO根据系统输出量和控制量，实时估计系统未建模动态、内部扰动和外部扰动，将其视作一个总扰动进行补偿，使被控对象在形式上构成一个积分器串联型系统。 以悬架动行程作为被控量，有效路形曲线Q e 作为控制参考信号，同时Q e 也是1/4车辆模型的路面输入，控制系统的结构如图6所示。图中R是TD的参考输入，v 1 和v 2 分别是R的跟踪信号和跟踪微分信号。NLSEF-fal是采用fal函数的非线性状态误差反馈，e 1 和e 2 分别是状态误差和状态微分误差，U 0 是反馈控制力。b 0 是控制力增益系数，U是系统控制力，y是系统输出。f 0 (z 1 ， z 2 )是从1/4车辆模型运动学方程推导的系统已知动态。LESO是线性的ESO，z 1 估计y，z 2 估计y的微分，z 3 估计系统总扰动。 图6. 预瞄ADRC主动悬架系统结构图 4.1. 跟踪微分器 跟踪微分器的连续形式如下： { v ˙ 1 = v 2 v ˙ 2 = f h a n ( v 1 − R ， v 2 ， r ， h 0 ) (3) 式中R是参考输入，r是加速度因子，r值越大无超调地跟踪R的速度越快。h 0 是滤波因子，其值适当大于仿真步长(离散形式下是计算步长)可以抑制v 2 中的噪声放大效应，避免产生高频振荡。fhan是最速控制综合函数， f h a n ( v 1 − r e f ， v 2 ， h 0 ) 的具体形式如下 [ 13 ]： { d = r h 0 2 a 0 = h 0 v 2 y = v 1 − r e f + a 0 a 1 = d ( d + 8 | y | ) a 2 = a 0 + 0.5 sign ( y ) ⋅ ( a 1 − d ) a = ( a 0 + y ) f s g ( y ， d ) + a 2 [ 1 − f s g ( y ， d ) ] f h a n = − r a d ⋅ f s g ( a ， d ) − r ⋅ sign ( a ) [ 1 − f s g ( a ， d ) ] (4) 式中sign是符号函数，区间函数fsg的表达式为： f s g ( x ， d ) = 0. 5 [ sign ( x + d ) − sign ( x − d ) ] 。 4.2. 非线性状态误差反馈 当选用LESO + PD反馈控制的结构时系统大幅震荡无法稳定，因此NLSEF-fal使用 f a l ( e ， α ， δ ) 作为非线性增益函数，反馈控制力U 0 按下式计算： U 0 = K N1 ⋅ f a l ( e 1 ， α 1 ， δ ) + K N2 ⋅ f a l ( e 2 ， α 2 ， δ ) (5) f a l ( e ， α ， δ ) = { e ÷ δ 1 − α | e | ≤ δ | e | α ⋅ sign ( e )   | e | > δ (6) 式(5)中K N1 表示状态误差e 1 的反馈增益系数，K N2 表示状态微分误差e 2 的反馈增益系数。式(13)中函数fal的自变量依次为状态误差e、非线性指数α和线性区段长度的一半δ。通常取 0 < α 1 < 1 使fal函数对小误差具有大增益，对大误差具有小增益，取 α 2 > 1 使fal函数对小误差具有小增益，大误差具有大增益。 4.3. 扩张状态观测器 当使用非线性ESO时控制器参数整定困难且容易出现震荡失稳，因此选用LESO。但LESO作为高增益状态观测器，实时估计系统状态的能力不如非线性ESO，因此需根据车辆模型运动学方程将系统已知动态写入LESO，增加其快速性和准确性。否则控制器不能达到控制效果。 将式(5)的第一分式乘以m w ，第二分式乘以m b ，然后相减，整理得到如下表达式： z ¨ w − z ¨ b = K t m w ( z r − z w ) + m b + m w m b m w U − m b + m w m b m w [ K s ( z w − z b ) + C s ( z ˙ w − z ˙ b ) ] (7) 令 x 1 = z w − z b ， x 2 = z ˙ w − z ˙ b ，以悬架动行程作为被控量的二阶系统为： { x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = f [ x 1 ， x 2 ， t ， d ( t ) ] + b U y = x 1 (8) 式中 f [ x 1 ， x 2 ， t ， d ( t ) ] 是作用于系统的总扰动，它包含系统状态响应、时变量和外部扰动d(t)。总扰动在形式上分解为已知扰动和未知扰动： f [ x 1 ， x 2 ， t ， d ( t ) ] = f 0 ( x 1 ， x 2 ) + f 1 [ x 1 ， x 2 ， t ， d ( t ) ] (9) 式中 f 0 ( x 1 ， x 2 ) 表示已知扰动，是被控系统的已知动态， f 1 [ x 1 ， x 2 ， t ， d ( t ) ] 是系统所受未知扰动。观察式(7)，其第一项代表轮胎对路面输入的响应，实际轮胎与路面的作用比集中刚度点接触模型复杂，将其作为系统未知扰动的一部分；第三项是悬架动行程的动态响应，将其作为系统已知动态，则系统已知动态 f 0 ( x 1 ， x 2 ) 的表达式为： f 0 ( x 1 ， x 2 ) = − m b + m w m b m w ( K s x 1 + C s x 2 ) (10) 将式(7)中U的系数记为b 0 ，考虑建模有误差， b 0 ≠ b ，而 b 0 = ( m b + m w ) / ( m b ⋅ m w ) 是控制力作用于被控对象的已知增益，则作用于二阶系统(8)的控制力 b U = ( b − b 0 ) U + b 0 U ， ( b − b 0 ) U 是控制力的未知部分。令 x 3 ( t ) = f 1 [ x 1 ， x 2 ， t ， d ( t ) ] + ( b − b 0 ) U ，x 3 (t)是系统所受总扰动的未知部分，当x 3 (t)有界时记 x ˙ 3 = a ( t ) ，将x 3 (t)扩张为二阶系统(8)的一个状态变量，状态扩张后的系统为： { x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = x 3 + f 0 ( x 1 ， x 2 ) + b 0 U x ˙ 3 = a ( t ) y = x 1 (11) 建立线性扩张状态观测器LESO： { e = z 1 − y z ˙ 1 = z 2 − β 1 e z ˙ 2 = z 3 + f 0 ( z 1 ， z 2 ) − β 2 e + b 0 U z ˙ 3 = − β 3 e (12) 式中z 1 、z 2 和z 3 分别估计系统状态x 1 、x 2 和x 3 ，β 1 、β 2 和β 3 是LESO的增益系数，影响观测器的估计能力。用带宽法确定这三个关键控制参数 [ 14 ]： β 1 = 3 ω 0 ， β 2 = 3 ω 0 2 ， β 3 = ω 0 3 ，其中ω 0 是观测器带宽，其取值影响LESO的快速性和准确性。ω 0 的取值与系统的控制能力和被控对象的动态特性有关，是待整定的关键参数。用总扰动的未知部分z 3 (t)和系统已知动态f 0 (z 1 ，z 2 )实时补偿系统控制力U： U = U 0 − [ z 3 + f 0 ( z 1 ， z 2 ) ] ÷ b 0 (13) 使用经验法初选所有参数后，再通过仿真试验调整r、K N1 、K N2 和ω 0 ，得到一组兼顾各个车速下平顺性控制效果的参数，如表2所示。 Table 2 Parameters of preview ADR 参数名 数值 参数名 数值 r 20 α 2 1.25 h 0 0.001 δ 0.01 K N1 60 ω 0 60 K N2 800 b 0 0.0278 α 1 0.75 表2. 预瞄ADRC参数表 4.4. 无预瞄线性ADRC 以无预瞄的线性线性自抗扰控制(Linear Active Disturbance Rejection Control， LADRC)主动悬架作为对比。该控制器以簧载质量m b 的垂向位移z b 作为被控量，z b 和控制力U均以铅垂向上为正方向。参考现有文献，参考输入是0，LADRC成为一个位置维持控制器。无预瞄LADRC主动悬架系统如图7所示。 图7. 无预瞄LADRC控制系统结构 图中LESO以z b 和U为输入，z 1 和z 2 分别是z b 和 z ˙ b 的估计值，z 3 估计系统总扰动。TD与式(3)和式(4)保持一致，根据参考输入ref(t)生成跟踪信号v 1 和跟踪微分信号v 2 。PD是比例微分控制器，以误差e 1 和e 2 计算反馈控制力U 0 ，其表达式为： U 0 = K p e 1 + K d e 2 (14) 式(14)中K p 是比例增益系数，K d 是微分增益系数。LESO的表达式为： { e = z 1 − y z ˙ 1 = z 2 − β 1 e z ˙ 2 = z 3 − β 2 e + b U z ˙ 3 = − β 3 e (15) 式中β 1 、β 2 和β 3 是LESO的增益系数，同样采用带宽法整定。以z 3 补偿系统总扰动形成控制力： U = U 0 − z 3 ÷ b (16) 无预瞄LADRC各部分的参数取值如下：TD速度因子 r = 2 0 ，滤波因子 h 0 = 0.001 ；PD比例增益 K p = 1600 ，微分增益 K d = 8 0 ；LESO增益 β 1 = 36 0 ， β 2 = 432 00 ， β 3 = 1728000 ；控制力增益 b = 0.00 28 。