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user: 2. 基本方程 硼氮纳米管(BNNTs)增强压电板的结构如图1所示，其宽度为b，长度为a，厚度为h，密度为 ρ 0 。坐标系o-xyz位于板的中面( z = 0 )处，对压电板施加电压V，升高温度 Δ T ，及横向荷载 q 。 2.1. 应变位移关系 假设在x、y、z方向上板任意点的位移用 u ¯ 、 v ¯ 、 w ¯ 表示，用u、v、w表示其中面的相应位移分量，则压电板的位移分量可写为： u ¯ ( x ， y ， z ) = u ( x ， y ) − z w ， x ( x ， y ) v ¯ ( x ， y ， z ) = v ( x ， y ) − z w ， y ( x ， y ) w ¯ ( x ， y ， z ) = u ( x ， y ) (1) 下标(，)表示变量坐标的偏导数。 板非线性应变–位移关系可表示为： ε ¯ x = ε x + z K x ， ε ¯ y = ε y + z K y ， ε ¯ x y = ε x y + z K x y (2) 其中 ε x ， ε y ， ε x y 表示中位面应变分量， K x ， K y ， K x y 表示中位面曲率和扭率，并且： ε x = u ， x + 1 2 w ， x 2 ， ε y = v ， y + 1 2 w ， y 2 ， ε x y = u ， y + v ， x + w ， x w ， y K x = − w ， x x ， K y = − w ， y y ， K x y = − 2 w ， x y (3) 2.2. 本构方程 压电板在机械荷载、热荷载和电荷载共同作用下的本构关系可表示为 [ 12 ] [ 15 ] ： 图1. BNNT增强的压电板的几何示意图 { σ x σ y σ z σ y z σ x z σ x y } = [ C 11 C 12 C 13 0 0 0 C 21 C 22 C 23 0 0 0 C 31 C 32 C 33 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 55 0 0 0 0 0 0 C 66 ] ( { ε ¯ x ε ¯ y ε ¯ z ε ¯ y z ε ¯ x z ε ¯ x y } − { α x α y α z 0 0 0 } Δ T ) − [ e 11 0 0 e 21 0 0 e 31 0 0 0 e 24 0 0 0 e 35 0 0 0 ] { E x E y E z } (4) { D x D y D z } = [ e 11 e 12 e 13 0 0 0 0 0 0 e 24 0 0 0 0 0 0 e 35 0 ] ( { ε ¯ x ε ¯ y ε ¯ z ε ¯ y z ε ¯ x z ε ¯ x y } − { α x α y α z 0 0 0 } Δ T ) − [ ε 11 * 0 0 0 ε 22 * 0 0 0 ε 33 * ] { E x E y E z } (5) 其中 E K ( K = x ， y ， z ) 、 α K ( K = x ， y ， z ) 和 Δ T 分别表示电场、热膨胀系数和温升，而 e ij 、 ε i i * 、 C i j ( i ， j = 1 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， 6 ) 分别表示为材料的压电常数、介电常数、弹性常数。这些常数值与材料的结构有关。 一般硼氮纳米管(BNNTs)有扶手椅形状和Z字形两种对称结构，而本文采用Z字形。智能压电板由基体材料为PVDF和增强材料为BNNTs两种材料组成，结构整体的材料常数可以用“XY (或YX) [ 18 ] 矩形模型”来计算得到。其表示如下： C 11 = C 11 r C 11 m V f C 11 m + ( 1 − V f ) C 11 r ， C 12 = C 11 [ V f C 12 r C 11 r + ( 1 − V f ) C 12 m C 11 m ] ，   C 13 = C 11 [ V f C 13 r C 11 r + ( 1 − V f ) C 13 m C 11 m ] C 22 = V f C 22 r + ( 1 − V f ) C 22 m + C 12 2 C 11 − V f ( C 12 r ) 2 C 11 r − ( 1 − V f ) ( C 12 m ) 2 C 11 m ， C 44 = V f C 44 r + ( 1 − V f ) C 44 m C 55 = A B 2 + A C ， C 66 = C 66 r C 66 m V f C 66 m + ( 1 − V f ) C 66 r e 31 = C 11 [ V f e 31 r C 11 r + ( 1 − V f ) e 31 m C 11 m ] ， e 32 = V f e 32 r + ( 1 − V f ) e 32 m + C 12 e 31 C 11 − V f C 12 r e 31 r C 11 r − ( 1 − V f ) C 12 m e 31 m C 11 m e 33 = V f e 33 r + ( 1 − V f ) e 33 m + C 13 e 31 C 11 − V f C 13 r e 31 r C 11 r − ( 1 − V f ) C 13 m e 31 m C 11 m (6) e 24 = V f e 24 r + ( 1 − V f ) e 24 m ， e 15 = B B 2 + A C ，   ε 11 * = C B 2 + A C ε 22 * = V f ε 22 * r + ( 1 − V f ) ε 22 * m ，   ε 33 * = V f ε 33 * r + ( 1 − V f ) ε 33 * m − e 31 2 C 11 + V f ( e 31 r ) 2 C 11 r + ( 1 − V f ) ( e 31 m ) 2 C 11 m 其中： A = V f C 55 r ( e 15 r ) 2 + C 55 r ε 11 * r + ( 1 − V f ) C 55 m ( e 15 m ) 2 + C 55 m ε 11 * m ，   B = V f C 15 r ( e 15 r ) 2 + C 55 r ε 11 * r + ( 1 − V f ) C 15 m ( e 15 m ) 2 + C 55 m ε 11 * m C = V f ε 11 * r ( e 15 r ) 2 + C 55 r ε 11 * r + ( 1 − V f ) ε 11 * m ( e 15 m ) 2 + C 55 m ε 11 * m (7) 上标 r 和 m 分别表示复合材料的增强和基体组分。 V f 是基体中增强BNNTs所占的体积比。 2.3. 控制方程 对于用BNNTs增强的压电板，总势能 Π 可以写成： Π = U + W (8) 其中 U 和 W 分别表示应变能和横向载荷所做的功。 应变能表示为： U = 1 2 ∭ Ω σ i ε ¯ i d Ω − 1 2 ∭ Ω E i D i d Ω (9) 考虑方程(4)和(5)以及这里采用的BNNTs的Z字形结构，使得 E y = E z = 0 。因此，等式(9)变成： U = 1 2 ∭ Ω { ε ¯ x − α x Δ T ， ε ¯ y − α y Δ T ， ε ¯ x y ， − E x } [ C 11 C 12 0 e 11 C 21 C 22 0 e 12 0 0 C 66 0 e 11 e 12 0 − ε 11 * ] { ε ¯ x − α x Δ T ε ¯ y − α y Δ T ε ¯ x y − E x } d Ω (10) (9)式和(10)式中的 Ω 表示体积。 设施加在两端的电压为 V 则 E x = V / a (11) 横向荷载 q ( x ， y ) 所做的功为 W = ∬ A q ( x ， y ) w d x d y (12) 应用变分原理( δ Π = 0 )，可推导出硼氮纳米管(BNNT)增强压电板的非线性控制方程为： N x ， x + N x y ， x = 0 N x y ， y + N y ， y = 0 M x ， x x + 2 M x y ， x y + M y ， y y + N x w ， x x + 2 N x y w ， y y + N y w ， y y + q = 0 (13) 其中： { N x N y N x y } = [ A 11 A 12 0 A 21 A 22 0 0 0 A 66 ] { ε x ε y ε x y } − { N x T N y T N x y T } − { N x P N y P N x y P } ， { M x M y M x y } = [ D 11 D 12 0 D 21 D 22 0 0 0 D 66 ] { K x K y K x y } − { M x T M y T M x y T } − { M x P M y P M x y P } (14) 式中： { N x T N y T N x y T M x T M y T M x y T } = ∫ − h 2 h / 2 [ C 11 C 12 0 C 21 C 22 0 0 0 C 66 ] { α x α y 0 } ( 1 ， z ) Δ T d z ， { N x P N y P N x y P M x P M y P M x y P } = ∫ − h 2 h / 2 [ 0 0 e 31 0 0 e 32 0 0 0 ] { E x 0 0 } ( 1 ， z ) d z (15) 在上面的等式中， A i j 和 D i j 是拉伸和弯曲刚度，它们可以定义为： ( A i j ， D i j ) = ∫ − h 2 h 2 C i j ( 1 ， z 2 ) d z ( i ， j = 1 ， 2 ， 6 ) (16) 引入以下无量纲参数： ξ = x a ， U = u a ， V = v b ， W = w h ， λ 1 = h a ，   λ 2 = h b ，   Q = q C 22 ，   A ¯ 11 = A 11 h C 22 ，   A ¯ 12 = A 12 h C 22 ，   A ¯ 22 = A 22 h C 22 ，   A ¯ 66 = A 66 h C 22 D ¯ 11 = D 11 h 3 C 22 ，   D ¯ 12 = D 12 h 3 C 22 ，   D ¯ 22 = D 22 h 3 C 22 ，   D ¯ 66 = D 66 h 3 C 22 (17) 则在电–热–机械载荷下，BNNTs增强板的非线性控制方程为： A ¯ 11 ( U ， ξ ξ + λ 1 2 W ， ξ W ， ξ ξ ) + A ¯ 12 ( V ， ξ η + λ 2 2 W ， η W ， ξ η ) + A ¯ 66 ( λ 2 2 λ 1 2 U ， η η + V ， ξ η + λ 2 2 W ， η W ， ξ η + λ 2 2 W ， ξ W ， η η ) = 0 A ¯ 12 ( U ， ξ η + λ 1 2 W ， ξ W ， ξ η ) + A ¯ 22 ( V ， η η + λ 2 2 W ， η W ， η η ) + A ¯ 66 ( λ 1 2 λ 2 2 V ， ξ ξ + U ， ξ η + λ 1 2 W ， η W ， ξ ξ + λ 1 2 W ， ξ W ， ξ η ) = 0 − λ 1 4 D ¯ 11 W ， ξ ξ ξ ξ − 2 λ 1 2 λ 2 2 D ¯ 12 W ， ξ ξ η η − 4 λ 1 2 λ 2 2 D ¯ 66 W ， ξ ξ η η − D ¯ 22 W ， η η η η + 2 λ 1 λ 2 A ¯ 66 ( λ 2 λ 1 U ， η + λ 1 λ 2 V ， ξ + λ 1 λ 2 W ， ξ W ， η ) W ， ξ η + λ 1 2 [ A ¯ 11 ( U ， ξ + 1 2 λ 1 2 W ， ξ 2 ) + A ¯ 12 ( V ， η + 1 2 λ 2 2 W ， η 2 ) − λ 1 2 ( e 11 V + ( C 11 α x + C 12 α y ) Δ T ) ] W ， ξ ξ + λ 2 2 [ A ¯ 12 ( U ， ξ + 1 2 λ 1 2 W ， ξ 2 ) + A ¯ 22 ( V ， η + 1 2 λ 2 2 W ， η 2 ) − λ 2 2 ( e 12 V + ( C 12 α x + C 22 α y ) Δ T ) ] W ， η η + Q = 0 (18) 假设板四边简支，则无量纲边界条件分别为： ξ = 0 ， 1 ，   V = 0 ，   W = 0 ，   W ， ξ ξ = 0 A ¯ 11 ( U ， ξ + 1 2 λ 1 2 W ， ξ 2 ) − λ 1 2 ( e 11 V + ( C 11 α x + C 12 α y ) Δ T ) = 0 η = 0 ， 1 ，   U = 0 ，   W = 0 ，   W ， η η = 0 A ¯ 22 ( V ， η + 1 2 λ 2 2 W ， η 2 ) − λ 2 2 ( e 12 V + ( C 12 α x + C 22 α y ) Δ T ) = 0 (19)