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user: 3. 计算结果与讨论 在以下的讨论中，我们固定t 1 和t 2 其中一个跃迁积分为1.0，并通过改变另一个跃迁积分来调节体系的非均匀性。 图2(a)和图2(c)、图2(b)和图2(d)分别表示在U = 0.2， 0.5，和1.0时对于固定t 1 = 1.0或者固定t 2 = 1.0， 随跃迁积分t 2 或者t 1 变化的曲线。图2(a)和图2(b)对应的是晶格大小为 ，电子填充浓度 时得到的计算结果。图2(c)和2(d)对应的是晶格大小为 ，电子填充浓度 时得到的计算结果。从图中可以发现，随着跃迁积分t 2 或t 1 的减小， 均表现出先增大后减小的规律，图中箭头表示 取得最大值的位置。同时从图2中还可以发现在位库仑相互作用 的大小对 随t 2 或者t 1 的变化有很大影响。随着在位库仑相互作用 的增大，非均匀性对 超导态的增强效应被显著抑制。比较图2(a)和图2(b)以及图2(c)和图2(d)，可以发现 取得最大值对应的t 2 值均小于相同U值条件下 取得最大值对应的t 1 值。这说明t 1 和t 2 引起的非均匀性具有不对称性，而且t 2 对 超导态具有更大的可调控范围。 我们的计算结果说明通过调节二维蜂巢晶格的非均匀性可以增强手征性 超导态，并且弱的在位库仑相互作用更有利于增强手征性 超导态。在图2中，随着在位库仑相互作用的增加最优化的t 2 或者t 1 在逐渐增加，这与T. Ying等人采用有限温度行列式蒙特卡罗方法研究四方晶格得到的计算结果一致 [ 11 ] 。同时在不同尺寸的晶格上， 随跃迁积分的变化以及在位库仑相互作用对它的影响都存在相同的规律。该结果说明了我们的计算结果反映了非均匀性引起的内在物理效应。 为了进一步考察晶格大小引起的有限尺寸效应，我们将晶格尺度进一步扩大，计算了晶格大小为 ，电子填充浓度 时 电子配对关联函数 与格点距离 之间的函数关系。图3(a)、图3(c)、图3(e)对应固定t 1 = 1.0，U分别取0.2，0.5，以及1.0时， 随跃迁积分t 2 的变化情况。在较小的在位库仑相互作用下，即U = 0.2和U = 0.5时不同格点距离处手征性 电子配对关联函数随t 2 的减小而增加。当在位库仑相互作用增加到U = 1.0时，电子配对关联函数在较远的格点距离 上的数值随跃迁积分t 2 的减小而减小。这与图2中观察到的不同U值时 随跃迁积分t 2 的变化特征相一致。图3(b)、图3(d)、图3(f)对应固定跃迁积分t 2 = 1.0，U分别取0.2，0.5，以及1.0时，不同格点距离R处手征性 超导态的电子配对关联函数值随t 1 的变化情况。同样我们发现t 1 引起的改变与图2所得到的结果相一致。 综合图2和图3的计算结果表明在弱的在位库仑相互作用下，调节跃迁积分引起的非均匀性可以增强手征性 超导态。为了能够清楚地理解在非均匀二维蜂巢晶格中手征性 超导态随跃迁积分的变化所表现出的行为，我们将从磁性、态密度以及费米能附近的带宽三个方面进行详细的理论分析。 在关联电子体系中，磁性对超导配对往往具有重要的影响。我们计算了晶格大小为 ，电子填充浓度n = 1.167，在位库仑相互作用U = 0.2时非均匀蜂巢晶格中的自旋关联函数S(q)。图4(a)和图4(b)分别为固定跃迁积分 或者 时自旋关联函数S(q)随t 2 或者t 1 的变化情况。我们可以发现，自旋关联函数在不同的跃迁积分t 2 或者t 1 下沿着第一布里渊区中高对称线的数值几乎没有变化。为了便于对 比分析，图4中M’和K’分别对应均匀蜂巢晶格中第一布里渊区的边界点 和 。图4的 图2. 不同晶格尺度和不同在位库仑相互作用下 随非均匀度的变化关系。(a) 晶格大小为2 × 48，n = 1.167以及 t 1 = 1.0；(b) 晶格大小为2 × 48，n = 1.167以及t 2 = 1.0；(c) 晶格大小为2 × 75，n = 1.107以及t 1 = 1.0；(d) 晶格大小为2 × 75，n = 1.107以及t 2 = 1.0 图3. 晶格尺度为2 × 108，电子填充浓度n = 1.130时不同的跃迁积分t 2 或者 t 1 下手征性 超导态的配对关联函数随格点距离的变化关系。(a) t 1 = 1.0，U = 0.2；(b) t 2 = 1.0，U = 0.2；(c) t 1 = 1.0，U = 0.5；(d) t 2 = 1.0，U = 0.5；(e) t 1 = 1.0，U = 1.0；(f) t 2 = 1.0，U = 1.0 图4. 晶格大小为2 × 48，电子填充浓度n = 1.167以及在位库仑相互作用i = 0.2时自旋关联函数在第一布里渊区高对称线上随t 2 或者t 1 的数值变化。(a) t 1 = 1.0；(b) t 2 = 1.0 结果说明了跃迁积分的改变几乎不会影响体系的磁性，因而在非均匀蜂巢晶格中磁性并不是影响手征性 超导态的主要因素。其它参数情况下的磁性变化特征与图4的情况完全一致。 鉴于费米能附近的电子状态数对超导态的强弱有着重要的影响，我们计算了非均匀蜂巢晶格体系的态密度。图5(a)~图5(d)表示固定跃迁积分t 1 = 1.0，t 2 分别为1.0、0.8、0.4、以及0.2时的电子态密度分布图。图中箭头表示电子填充浓度 时相应费米能的位置，DOS代表费米能处的电子状态数。我们从图5中可以发现随着跃迁积分t 2 的减小，费米能附近的电子状态数不断增加，t 2 = 0.2时对应的电子状态数比t 2 = 1.0时的值增加了4.6倍。这一变化趋势与图2和图3中观察到的 电子配对关联函数随t 2 的减小而增加这一行为相一致。这个结果说明，费米能附近电子状态数的增加有利于增强手征性 超导态。 同样，我们也计算了固定t 2 = 1.0，t 1 分别为1.0、0.8、0.4、以及0.2时的电子态密度分布图，如图6所示。我们同样发现，随着跃迁积分t 1 的减小，费米能附近的电子状态数不断增加。在t 1 = 0.2时对应的电子状态数比t 1 = 1.0时的值增加了15倍。对比图5中的计算结果，理论上减小跃迁积分t 1 更有利于增强手征性 超导态，因为减小t 1 时费米能附近的电子状态数相比于减小t 2 时费米能附近的电子状态数增加更快。然而这与我们在图2中观察到的结果并不一致，说明还有其它因素对 超导态具有重要的影响。从图5和图6中可以发现在费米能处的带宽随跃迁积分的减小表现出逐渐减小的趋势。这说明电子的有效在位库仑相互作用U eff (由U和带宽之间的比值来表征)在逐渐增大，从而会抑制手征性 超导态。在位库仑相互作用对 超导的抑制效应已经在我们的前期工作 [ 16 ] 中明显表现出来。为了说明我们的结果，下面我们对带宽进行了更详细的定量分析。 图7(a)~图7(d)表示是t 1 = 1.0， t 2， 分别为1.0，0.8，0.4，0.2时，蜂巢晶格体系的电子能带结构图。图中绿色线对应 的费米能所在位置。费米能处的带宽可以通过计算靠近费米能附近的能带底和能带顶之间的距离获得，其值由图中W给出。可以看到，随着跃迁积分t 2 的减小费米能位置的带宽不断减小。相似的结果也在固定t 2 = 1.0而改变t 1 时被观察到，如图8所示。对比图7和图8，我们发现图8(d)中带宽降低为0.3135，它小于图7(d)中的带宽0.4，说明改变跃迁积分t 1 对带宽的影响更为剧烈。窄的带宽将使得体系有效在位库仑相互作用U eff 大幅度增加，从而强烈抑制了手征性 超导态。这个结果为解释图2中观察到的电子配对关联函数 在非均匀度较大时反而降低的行为提供了理论依据。 考虑到费米能位置的电子状态数和带宽对手征性 超导态的影响随蜂巢晶格非均匀度变化时的 图5. 固定t 1 = 1.0时不用的跃迁积分t 2 下的态密度。(a)~(d)分别对应t 2 = 1.0，0.8，0.4，以及0.2 图6. 固定t 2 = 1.0时不用的跃迁积分t 1 下的态密度。(a)~(d)分别对应t 1 = 1.0，0.8，0.4，以及0.2 相互竞争关系，我们在图9中详细比较了费米能位置的电子状态数与有效在位库仑相互作用随跃迁积分的变化趋势。图9(a)和图9(b)表示电子填充浓度n = 1.107时，分别固定t 1 = 1.0或t 2 = 1.0得到的费米能位置的电子状态数和有效在位库仑相互作用U eff 随跃迁积分t 2 或t 1 的变化行为。黑色点线代表U eff = 0.5，对应于中等关联强度；黑色虚线表示U eff = 1.0，反映体系处进入强关联状态。图9显示随着跃迁积分t 2 或t 1 的减小，费米能位置的电子状态数不断增加，从而有利于增强手征性 超导态。另一方面，有 图7. 固定t 1 = 1.0时不同的跃迁积分t 2 下沿着高对称性线的能量色散关系。(a)~(d)分别对应t 2 = 1.0，0.8，0.4，以及0.2 图8. 固定t 2 = 1.0时不同的跃迁积分t 1 下沿着高对称性线的能量色散关系。(a)~(d)分别对应t 1 = 1.0，0.8，0.4，以及0.2 效在位库仑相互作用也在逐渐增加，表现为抑制手征性 超导态的增强效应。两者之间的相互竞争对手征性 超导态随非均匀度的演化行为起着关键作用。 由图9中还可以看出，在较小的在位库仑相互作用下U = 0.2下随着跃迁积分的减小体系存在从弱关联过渡到中等关联的转变，在较大的在位库仑相互作用U = 0.5以及U = 1.0下随着跃迁积分的减小体系 图9. 电子填充浓度n = 1.107时费米能位置的电子状态数与有效库仑相互作用U eff 随跃迁积分的变化关系。(a)和(b)分别对应t 1 = 1.0和t 2 = 1.0 存在从弱关联过渡到中等关联再过渡到强关联的转变。对比图9(a)和图9(b)，我们发现费米能位置的电子状态数以及有效在位库仑相互作用的数值随跃迁积分t 1 (固定t 2 = 1.0)的减小而增加的幅度比随跃迁积分t 2 (固定t 1 = 1.0)的减小而增加的幅度更加显著，然而相应的手征性 超导态的增强效应却并不显著。这个结果说明了有效在位库仑相互作用对手征性 超导态的抑制行为比费米能位置电子状态数的增加引起的增强行为更加显著。结合图2和图9的结果可以发现，当U eff 处于弱关联和中等关联区时，手征性 超导态受非均匀性的增强，而当接近或进入强关联区，手征性 超导态反而被抑制。