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user: 2. 几何误差检测与空间误差建模 2.1. 几何误差检测 以常见的立式加工中心为例，一般其由X、Y、Z三个直线轴以及床身立柱主轴等部件等组成，三个直线轴由于本身的制造精度和装配误差，在运动的过程中会产生6个空间自由度的误差。以X轴为例，其误差的几何意思如下图1所示。当工作台在沿X方向运动的过程中分别会产生沿X方向的定位误差 d x ( x ) 和Y方向的直线度误差 d y ( x ) 以及Z方向的直线度误差 d z ( x ) ；以及绕X的角度误差 ε x x ，绕Y的角度误差 ε x y 和绕Z的角度误差 ε x z 。在21项几何误差中，以直线度的基准直线作为轴的位置，所以轴与轴的位置并不是准直的，以垂直度误差 S x y 、 S x z 、 S y z 分别表示X轴和Y轴，X轴和Z轴以及Y轴和Z轴间的垂直度误差。对于上述误差在运动学建模中对正方向做出如下规定：以右手笛卡尔坐标系规定线性误差的正方向：与坐标系正方向一致的为误差为正；将角度误差以满足右手螺旋法则的误差为正。 图1. X轴6项误差的几何意义 针对机床运动部件在运动过程中的6项自由度误差，使用API XD-6D激光干涉仪作为检测工具为例，单轴单次检测可以得到6项自由度误差，可以极大的提升检测效率。由于测量的数据主要用于探究数控机床的误差，选取了较小的测量间距，各轴的测量信息如下表1所示。根据国标中的相关规定，对于运动轴每个测量点位上至少需要往返4个方向上的测量值，所以以往返5次进行测量，取平均值作为误差数据。检测前先对机床实行1小时的热机，以尽量减小在检测中由于热误差所带来的影响。由于机床低速运动的误差来源主要是几何误差，所以选取的测量时运动轴的进给速度F = 200 mm/min，检测现场如图2所示。 Table 1 Starting point coordinate of linear axis detectio 直线轴 X轴 Y轴 Z轴 起点坐标/mm (0， 163.626， 243.220) (−212.772， 0， −342.094) (−290.704， −294.885， 0) 终点坐标/mm (500， 163.626， 243.220) (−212.772， −400， −342.094) (−290.704， −294.885， −300) 测量间距/mm 10 10 10 表1. 直线轴检测的起点坐标 图2. 几何误差检测现场 使用MATLAB编写的程序对API检测的数据进行提取。由于检测数据默认的6D方向会与误差模型中的规定的6D误差的方存在部分不一致的情况，需要进行一定的转换。以X轴的检测数据为例，其转换关系如下表2所示。对于线性误差部分而言，定位误差、水平方向和竖直方向的直线度误差的正方向均符合右手笛卡尔坐标系的正方向，而在角度误差中偏摆角和俯仰角的误差正方向与误差模型中的正方向相反。 Table 2 X axis 6D error conversion tabl 项目 X轴误差项 符号 定位误差 X轴定位误差 d x ( x ) 直线度XX X轴Y方向直线度误差 d y ( x ) 直线度YY X轴Z方向直线度误差 d z ( x ) 角度A X轴偏摆角度误差(绕Z) − ε x z 角度B X轴俯仰角度误差(绕Y) − ε x y 角度C X轴滚转角度误差(绕X) ε x x 表2. X轴6D误差转换表 在水平方向和竖直方向的检测数据中，由于其耦合了余弦误差、垂直度误差、导轨的直线度误差和角度误差的影响，需要对这一综合的直线度检测数据进行解耦。根据直线度的定义，作为形状误差的一种，其是用于描述包容实际直线且距离最小的两条平行线之间的距离，用于描述直线是否准直，对于基准直线的选取使用最小二乘的方法得出直线度检测数据中的基准直线用以描述直线度偏差，如图3所示。 图3. 最小二乘法评定直线度 以X轴Y方向的直线度为例，如下式(1)所示： { Δ y x i = Δ y i − ( k x i + b ) ( k ， b ) = min ∑ i = 1 n ( Δ y i − ( k x i + b ) ) (1) 上式中：k和b表示使用最小二乘法得到的基准直线的斜率和截距， Δ y x i 表示测量直线上第i点的真实直线度， Δ y i 表示测量直线上第i点的水平直线度测量数据， x i 表示测量直线上第i点相对于测量原点的坐标值。 2.2. 空间误差的建模 以床身为参考坐标系，根据多体系统理论以及齐次坐标变换方法，可以得到运动链的传递关系：WCS→XCS→YCS→MCS→ZCS→SCS→TCS。各移动部件在运动过程中的理想运动和位姿的偏离用误差矩阵的方式进行描述，如表3所示： Table 3 Motion matrix and error matrix of moving part 轴 误差矩阵 X轴 Δ T x = [ 1 − ε x z ε x y d x ( x ) ε x z 1 − ε x x d y ( x ) − ε x y ε x x 1 d z ( x ) 0 0 0 1 ] Y轴 Δ T y = [ 1 − ε y z ε y y d x ( y ) − y S x y ε y z 1 − ε y x d y ( y ) − ε y y ε y x 1 d z ( y ) 0 0 0 1 ] Z轴 Δ T z = [ 1 − ε z z ε z y d x ( z ) − z S x z ε z z 1 − ε z x d y ( z ) − z S y z − ε z y ε z x 1 d z ( z ) 0 0 0 1 ] 表3. 运动部件的运动矩阵和误差矩阵 其中， d i ( j ) 表示j轴在i方向上的线性误差， ε j i 表示示j轴绕i方向上的角度误差( j = x ， y ， z ; i = x ， y ， z )。 一般情况下设各体的不存在静态误差，所以对应的静态误差矩阵为单位矩阵。根据理想状态和实际状态下刀具切削点在工件坐标系内的坐标差值可以得到由于几何误差而引起的刀具端的偏差量E的表达式为： { E = P T → M − P W → M P W → M = T Y P T Y → M Δ T y ⋅ T X P T X → Y Δ T x ⋅ P W P T → M = T Z P T Z → M Δ T z ⋅ P T (2) 上式中： T X P 、 T Y P 、 T Z P 分别表示X、Y、Z轴的静态位置矩阵； T X → Y 、 T Y → M 、 T Z → M 分别表示X、Y、Z轴的动态位置矩阵； P W 、 P T 分别表示工件对应点在工件坐标系内的坐标和刀具切削点在刀具坐标系内的坐标。 P W → M 、 P T → M 分别表示工件上刀具对应点和刀具切削点在参考坐标内的坐标。 对于半闭环或者开环的三轴机床而言，由于不存在光栅这一固定的基准，因此在建模的过程中上式(1)中各运动轴的静态位置矩阵可以是加工空间中的任意位置 [ 10 ]。因此，可以将上式中的误差模型进行简化，其具体的方法如下。 a) 记录下三轴检测时数控系统的示值，如表1所示，然后进行6D误差的检测。 b) 以三轴的交点作为误差的基准点，设其作为所有部件的坐标系的坐标原点，这样就可以将误差模型中的静态位置矩阵进行简化为单位矩阵，简化了误差表达式。 c) 将X、Y、Z三轴的误差减去基准点的对应误差，就可以得到相对于基准点的误差值。由于机床其他部件的位置限制以及6D传感器的安装限制等原因，会出现三个测量轴没有交点的情况，此时可以选取两轴的交点作为基准点，本文以X轴和Y轴的检测交点作为基准点，基准点的坐标为(163.626， −212.772， −290.704)。将上述各值带入误差模型中可以得到相对于基准点下的空间误差表达式为： { Δ x = − d x ( x ) − d x ( y ) + d x ( z ) − y ( ε x z + ε y z ) − z ( ε x y + ε y y ) + y S x y − z S x z Δ y = − d y ( x ) − d y ( y ) + d y ( z ) + x ε x z + z ( ε x x + ε y x ) − z S y z Δ z = − d z ( x ) − d z ( y ) + d y ( z ) − x ε x y + y ( ε x x + ε y x ) (3) 式中： Δ x 、 Δ y 、 Δ z 分别表示X、Y、Z方向的偏离误差；各项几何误差都是相对于基准点的相对误差值。