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user: 3. 恰含n个点的集合的拓扑结构 根据拓扑空间的定义，我们可以根据集合X中含有不同元素而构造不同的拓扑，在此之中寻找其规律，主要通过以下几个方面做探究： 1、分别设X是一个包含一、二、三、四个元素的集合。 2、当集合X中的元素不同时，可以构造几个不同的拓扑，随着元素的增加，有何规律。 3、当集合X含有的元素不同时，会包含几类不同的拓扑。 4、每一类拓扑之间有何规律。 5、不同的拓扑之间是否有关联。 6、当含有元素为奇数和偶数是是否呈现一致的规律。 1) 主要结论 | X | = n ，X上的拓扑 | T | = 3 ，T的元中， ϕ ， X ， A ， ∀ A ⊂ X ，(A是真子集) 可能的个数 C n 1 + ⋯ + C n − i i + ⋯ + C n − i n − i + 1 = 2 n − i − 2 种 | T | = 4 ，T的元中， ϕ ， X ， A ， B ⊂ X Case1： A ⊂ B (即满足 A ⊆ B ⊂ X ) | A | = i ，则B的可能个数为 C n − i 1 + C n − i 2 + ⋯ + C n − i n − i − 1 = 2 n − i − 2 设T的总个数为 ∑ i = 1 n C n − i i ( C n − i 1 + ⋯ + C n − i n − i + 1 ) = ∑ i = 1 n − 2 C n i ( 2 n − i − 2 ) Case2： A ∩ B = ϕ ， A ∪ B = X | T | = 5 ，T的元中， ϕ ， X ， A ， A ， B ⊂ X ， { A ⊆ B ⊂ C ⊂ X A ∩ B = ϕ ， A ∪ B = C Case1： A ⊂ B ⊂ C ⊂ X ，在这种情况下， max | A | = n − 3 ，   max | B | = n − 2 ，   max | C | = n − 3 假设： | A | = i ，   i < | B | ≤ j ，   λ < | C | ≤ k ≤ n − 1 则A的取值法 C n i ，B的取法 C n − i 1 + C n − i 2 + ⋯ + C n − i j Case2： A ∩ B = ϕ ， A ∪ B = C ⊂ X ， max | C | = n − 1 ，即 max ( i + j ) = n − 1 ，设 ， | B | = j ，则A的取法 C n i ；B的取法 C n − i j ，总的拓扑的数： ∑ 1 + j ≤ n C n i ⋅ C n − i j C的取法： C n − j 1 + C n − j 2 + ⋯ + C n − j k ， 总的拓扑个数： ∑ i = 1 n − 3 ∑ j = i + 1 n − 2 ∑ k = j + 1 n − 1 C n i ( C n − i 1 + ⋯ + C n − i j − i ) ( C n − j 1 + ⋯ + C n − j k i ) ； | T | = 6 ，T的元中， ϕ ， X ， A ， A ， B ， C ， D ⊂ X ， { A ⊂ B ⊂ C ⊂ D A ∩ B = ϕ ， A ∪ B = C ⊂ D max | A | = n − 4 ， max | B | = n − 3 ， max | C | = n − 2 ， max | D | = n − 1 Case1： | A | = i < | B | ≤ j < | C | ≤ k < | D | ≤ m ≤ n − 1 ， 总的拓扑个数 ∑ i = 1 n − 4 ∑ j = i + 1 n − 3 ∑ k = j + 1 n − 2 ∑ m = k + 1 n − 1 C n i ( C n − j 1 + ⋯ + C n − j k − i ) ( C n − k 1 + ⋯ + C n − k m − j ) Case2： ，设 | X | = k 设 总的拓扑个数为： ∑ i + j ≤ n − 2 ∑ j = i + j + 1 n − 1 C n i ⋅ C n − i j ( C n − j 1 + ⋯ + C n − j k − i ) 2) 例题 例1：X是含有一个元素的集合 X = { a } ，n = 1，则拓扑空间有1个为： T 1 = P ( x ) = { ϕ ， X } 例2：X是含有两个元素的集合 X = { a ， b } ，n = 2，则拓扑空间有3个为： T 1 = P ( x ) = { ϕ ， X } ， T 2 = { ϕ ， X ， { a } } ， T 3 = { ϕ ， X ， { b } } 例3：X是含有三个元素的集合 X = { a ， b ， c } ，n = 3，则拓扑空间有32个为： T 1 = { ϕ ， X } | T | = 3 ，含有除 ϕ ， X 外，单个元素的拓扑空间有6个为： T 1 = { ϕ ， X ， { a } } ， T 2 = { ϕ ， X ， { b } } ， T 3 = { ϕ ， X ， { c } } ， T 4 = { ϕ ， X ， { a ， b } } ， T 5 = { ϕ ， X ， { a ， c } } ， T 6 = { ϕ ， X ， { b ， c } } | T | = 4 ，含有除 ϕ ， X 外，两个元素的拓扑空间有9个为： ① A ⊆ B ： T 1 = { ϕ ， X ， { a } ， { a ， b } } ， T 2 = { ϕ ， X ， { a } ， { a ， c } } ， T 3 = { ϕ ， X ， { b } ， { a ， b } } T 4 = { ϕ ， X ， { b } ， { c ， b } } ， T 5 = { ϕ ， X ， { c } ， { a ， c } } ， T 6 = { ϕ ， X ， { c } ， { b ， c } } ② A ∩ B = ϕ ， A ∪ B = X ： T 7 = { ϕ ， X ， { a } ， { c ， b } } ， T 8 = { ϕ ， X ， { b } ， { a ， c } } ， T 9 = { ϕ ， X ， { c } ， { a ， b } } | T | = 5 ，除 ϕ ， X 外，含有三个元素的拓扑空间有6个为： ① A ⊂ B or A ⊂ C ， A ∩ B = A ， A ∩ C = C ， A ∩ C = C ： T 1 = { ϕ ， X ， { a } ， { a ， b } ， { a ， c } } ， T 2 = { ϕ ， X ， { a } ， { a ， b } ， { b ， c } } ， T 3 = { ϕ ， X ， { c } ， { a ， c } ， { b ， c } } ② A ⊂ C ， B ⊂ C ， B ⊂ C ： T 4 = { ϕ ， X ， { a } ， { b } ， { a ， b } } ， T 5 = { ϕ ， X ， { a } ， { c } ， { a ， c } } ， T 6 = { ϕ ， X ， { b } ， { c } ， { b ， c } } | T | = 6 ，除 ϕ ， X 外，含有四个元素的拓扑空间有6个为： T 1 = { ϕ ， X ， { b } ， { c } { a ， b } ， { b ， c } } ， T 2 = { ϕ ， X ， { a } ， { b } { a ， b } ， { b ， c } } T 3 = { ϕ ， X ， { a } ， { c } { a ， c } ， { b ， c } } ， T 4 = { ϕ ， X ， { b } ， { c } { a ， c } ， { b ， c } } T 5 = { ϕ ， X ， { a } ， { b } ， { a ， b } ， { a ， c } } ， T 6 = { ϕ ， X ， { a } ， { c } ， { a ， c } ， { a ， b } } | T | = 7 ，除 ϕ ， X 外，含有五个元素的拓扑空间有3个为： T 1 = { ϕ ， X ， { a } ， { b } ， { a ， b } ， { a ， c } ， { b ， c } } ， T 2 = { ϕ ， X ， { a } ， { c } ， { a ， b } ， { a ， c } ， { b ， c } } T 3 = { ϕ ， X ， { b } ， { c } ， { a ， b } ， { a ， c } ， { b ， c } } | T | = 8 ，除 ϕ ， X 外，含有六个元素的拓扑空间有1个为： T 1 = P ( X ) = { ϕ ， X ， { a } ， { b } ， { c } ， { a ， b } ， { a ， c } ， { b ， c } } 例4：X是含有四个元素的集合 X = { a ， b ， c ， d } ，n = 4，则拓扑空间有：466个 (因为拓扑空间个数较多，我们只写出每一类的代表元) T 1 = { ϕ ， X } | T | = 3 ，含有除 ϕ ， X 外，单个元素的拓扑空间：14个 T 1 = { ϕ ， X ， { a } } (4个) T 5 = { ϕ ， X ， { a ， b } } (6个) T 11 = { ϕ ， X ， { a ， b ， c } } (4个) | T | = 4 ，含有除 ϕ ， X 外，两个元素的拓扑空间：36 + 7 = 43 A ⊆ B (36个) ① ， T 4 = { ϕ ， X ， { b } ， { a ， b } } ， T 7 = { ϕ ， X ， { c } ， { a ， c } } ， T 10 = { ϕ ， X ， { d } ， { a ， d } } (各有3个) ② T 13 = { ϕ ， X ， { a } ， { a ， b ， c } } ， T 16 = { ϕ ， X ， { b } ， { a ， b ， c } } ， T 19 = { ϕ ， X ， { c } ， { a ， b ， c } } ， T 22 = { ϕ ， X ， { d } ， { a ， b ， d } } (各有3个) ③ T 25 = { ϕ ， X ， { a ， b } ， { a ， b ， c } } ， T 27 = { ϕ ， X ， { a ， c } ， { a ， b ， c } } ， T 29 = { ϕ ， X ， { a ， d } ， { a ， b ， d } } ， T 31 = { ϕ ， X ， { b ， c } ， { a ， b ， c } } ， T 33 = { ϕ ， X ， { b ， d } ， { a ， b ， d } } ， T 35 = { ϕ ， X ， { c ， d } ， { a ， c ， d } } (各有2个) A ∩ B = ϕ ， A ∪ B = X ： ① T 37 = { ϕ ， X ， { a ， b } ， { c ， d } } ② T 40 = { ϕ ， X ， { a } ， { b ， c ， d } } (各有3个) | T | = 5 ，除 ϕ ， X 外，含有三个元素的拓扑空间有36个为： A 1 ， A 2 ⊂ A 3 (6个)： T 1 = { ϕ ， X ， { a } ， { b } ， { a ， b } } A 1 ⊂ A 2 ⊂ A 3 (24个)： T 7 = { ϕ ， X ， { a } ， { a ， b } ， { a ， b ， c } } A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 = X ， A 2 ∩ A 3 = A 1 (6个)： T 31 = { ϕ ， X ， { a ， b } ， { a ， b ， c } ， { a ， b ， d } } | T | = 6 ，除 ϕ ， X 外，含有四个元素的拓扑空间有36个为： A 1 ⊂ A 2 ， A 3 ， A 4 ， A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 = A 1 (12个)： T 1 = { ϕ ， X ， { a } { a ， b } ， { a ， c } ， { a ， b ， c } } A 1 / A 2 / A 3 ⊂ A 4 ， A 1 / A 2 ⊂ A 3 ， A 1 ∪ A 2 = A 3 (12个)： T 13 = { ϕ ， X ， { a } ， { b } ， { a ， b } ， { a ， b ， c } } A 1 / A 2 ⊂ A 3 / A 4 ， A 3 ∩ A 4 = A 2 ， A 3 ∪ A 4 = X (12)#Math_165# | T | = 7 ，除 ϕ ， X 外，含有五个元素的拓扑空间有22个为： A 1 ⊂ A 2 ， A 3 ， A 4 ， A 5 ， A 2 ∪ A 3 = A 4 ， A 4 ∪ A 5 = X (16个)： T 1 = { ϕ ， X ， { a } ， { a ， b } ， { a ， c } ， { a ， b ， c } ， { a ， b ， d } } A 1 ， A 2 ， A 3 ⊂ A 4 ， A 5 ， A 1 ∪ A 2 = A 3 ， A 4 ∪ A 5 = X (6个)： T 17 = { ϕ ， X ， { a } ， { b } ， { a ， b } ， { a ， b ， c } ， { a ， b ， d } } | T | = 8 ，除 ϕ ， X 外，含有六个元素的拓扑空间有180个为：； ① T 1 = { ϕ ， X ， { a } ， { b } ， { a ， b } ， { a ， c } ， { a ， b ， c } ， { a ， b ， d } } | T | = 9 ，除 ϕ ， X 外，含有七个元素的拓扑空间有28个为： A 1 ∪ A 2 = A 4 ， A 2 ∪ A 3 = A 5 ， A 4 ∪ A 5 ∪ A 6 = A 7 (4个)： T 1 = { ϕ ， X ， { a } ， { b } ， { c } ， { a ， b } ， { a ， c } ， { b ， c } ， { a ， b ， c } } A 1 ∪ A 2 = A 3 ， A 3 ∪ A 4 = A 6 ， A 4 ∪ A 5 = A 7 (24个)： ① T 5 = { ϕ ， X ， { a } ， { b } ， { a ， b } ， { a ， d } ， { c ， d } ， { a ， b ， d } ， { a ， c ， d } } (4个) ② T 9 = { ϕ ， X ， { a } ， { c } ， { a ， c } ， { a ， b } ， { b ， d } ， { a ， b ， c } ， { a ， b ， d } } (4个) ③ T 13 = { ϕ ， X ， { a } ， { d } ， { a ， d } ， { a ， b } ， { b ， c } ， { a ， b ， d } ， { a ， b ， c } } (4个) ④ T 17 = { ϕ ， X ， { b } ， { d } ， { b ， d } ， { a ， b } ， { a ， c } ， { a ， b ， d } ， { a ， b ， c } } (4个) ⑤ T 21 = { ϕ ， X ， { c } ， { d } ， { c ， d } ， { d ， b } ， { a ， b } ， { b ， c ， d } ， { a ， b ， d } } (4个) ⑥ T 25 = { ϕ ， X ， { b } ， { c } ， { b ， c } ， { c ， d } ， { a ， d } ， { b ， c ， d } ， { a ， c ， d } } (4个) | T | = 10 ，除 ϕ ， X 外，含有八个元素的拓扑空间有84个为： T 1 = { ϕ ， X ， { a } ， { b } ， { a ， b } ， { a ， c } ， { a ， d } ， { a ， b ， c } ， { a ， b ， d } ， { a ， c ， d } } | T | = 11 ，除 ϕ ， X 外，含有九个元素的拓扑空间有12个为： T 1 = { ϕ ， X ， { a } ， { b } ， { c } ， { a ， b } ， { a ， c } ， { b ， c } ， { a ， b ， c } ， { a ， d } ， { a ， b ， d } } | T | = 12 ，除 ϕ ， X 外，含有十个元素的拓扑空间有4个为： T 1 = { ϕ ， X ， { a } ， { b } ， { c } ， { a ， b } ， { a ， c } ， { a ， d } ， { a ， b ， c } ， { a ， b ， d } ， { a ， c ， d } ， { b ， c } } | T | = 13 ，除 ϕ ， X 外，含有十一个元素的拓扑空间有12个 T 1 = { ϕ ， X ， { a } ， { b } ， { c } ， { a ， b } ， { a ， c } ， { b ， c } ， { a ， d } ， { a ， b ， c } ， { a ， b ， d } ， { a ， c ， d } ， { b ， c ， d } } | T | = 14 ，除 ϕ ， X 外，含有十二个元素的拓扑空间有0个 | T | = 15 ，除 ϕ ， X 外，含有十三个元素的拓扑空间有0个 | T | = 16 ，除 ϕ ， X 外，含有十四个元素的拓扑空间有1个为： T 1 = { ϕ ， X ， { a } ， { b } ， { c } ， { d } ， { a ， b } ， { a ， c } ， { b ， c } ， { a ， d } ， { c ， d } ， { b ， c } ， { a ， b ， c } ， { a ， b ， d } ， { a ， c ， d } ， { b ， c ， d } } = P (X) 根据上面实例我们得到下表数据：