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user: 3. 数值计算方法 隐式的Crank-Nicolson差分格式和L1-算法被用来求解上述非线性的耦合偏微分方程组。 3.1. 离散化方法 首先对求解区域进行网格划分， x ， y ， t 是相互独立的变量，相应的网格间距为 Δ x ， Δ r ， Δ t ，下标 i ， j ，上标k分别表示空间点坐标和空间点坐标， x i = i Δ x ， r j = j Δ r ， t k = k Δ t 。假设方程(8)~(11)在点 ( i ， j ， k ) 处的精确解为 u ( x i ， r j ， t k ) ， u i ， j k 是方程(8)~(11)在点 ( i ， j ， k ) 处的数值解。我们引入L1-算法来离散时间Caputo分数阶导数 ( 0 < α < 1 ) [ 30 ] ： ∂ α u ( x i ， t k + 1 ) ∂ t α = Δ t − α Γ ( 2 − α ) ( u i ， j k + 1 + ∑ s = 1 k ( b s − b s − 1 ) u i ， j k − s + 1 ) + O ( t ) ， 其中， b s = ( 1 + s ) 1 − α − s 1 − α . 控制方程中整数阶的各项离散形式为 [ 9 ] ： ∂ u ∂ t | t = t k + 1 2 = u i . j k + 1 + u i ， j k Δ t + O ( Δ t ) ， v ∂ u ∂ r | t = t k + 1 2 = v i ， j k u i ， j + 1 k + 1 − u i ， j − 1 k + 1 + u i ， j + 1 k − u i ， j − 1 k 4 Δ r + O ( Δ r ) ， u ∂ u ∂ x | t = t k + 1 2 = u i ， j k u i ， j k + 1 − u i − 1 ， j k + 1 + u i ， j k − u i − 1 ， j k 2 Δ x + O ( Δ x ) . 分数阶导数的离散格式为： ∂ α + 1 u ∂ t α + 1 ≈ Δ t − α − 1 Γ ( 2 − α ) ( u i ， j k + 1 + u i ， j k + ∑ s = 1 k ( b s − b s − 1 ) ( u i ， j k − s + 1 + u i ， j k − s ) ) ， ∂ α ∂ t α ( v ∂ u ∂ x ) ≈ Δ t − α 4 Δ r Γ ( 2 − α ) ( v i ， j k ( u i ， j + 1 k + 1 − u i ， j − 1 k + 1 + u i ， j + 1 k − u i ， j − 1 k )     + ∑ s = 1 k ( b s − b s − 1 ) v i ， j k − s ( u i ， j + 1 k − s + 1 − u i ， j − 1 k − s + 1 + u i ， j + 1 k − s − u i ， j − 1 k − s ) ) ， ∂ α ∂ t α ( u ∂ u ∂ x ) ≈ Δ t − α 2 Δ x Γ ( 2 − α ) ( u i ， j k ( u i ， j k + 1 − u i − 1 ， j k + 1 + u i ， j k − u i − 1 ， j k )     + ∑ s = 1 k ( b s − b s − 1 ) u i ， j k − s ( u i ， j k − s + 1 − u i − 1 ， j k − s + 1 + u i ， j k − s − u i − 1 ， j k − s ) ) . 最后得到差分方程： ( − − v i ， j k 4 Δ r − 1 + 4 3 N 2 P r ⋅ Δ r 2 + 1 + 4 3 N 4 P r ⋅ ( 1 + ( j − 1 ) Δ r ) Δ r ) θ i ， j − 1 k + 1 + ( 1 Δ t + u i ， j k 2 Δ x + 1 + 4 3 N P r ⋅ Δ r 2 ) θ i ， j k + 1 + ( v i ， j k 4 Δ r − 1 + 4 3 N 2 P r ⋅ Δ r 2 − 1 + 4 3 N 4 P r ⋅ ( 1 + ( j − 1 ) Δ r ) Δ r ) θ i ， j + 1 k + 1 = ( 1 + 4 3 N ) ( θ i ， j − 1 k + 1 − 2 θ i ， j k + 1 + θ i ， j + 1 k + 1 ) 2 P r ⋅ Δ r 2 + ( 1 + 4 3 N ) ( θ i ， j + 1 k − θ i ， j − 1 k ) 4 P r ⋅ ( 1 + ( j − 1 ) Δ r ) Δ r + θ i ， j k Δ t     − u i ， j k ( θ i ， j k − θ i − 1 ， j k ) 2 Δ x − v i ， j k ( θ i ， j + 1 k − θ i − 1 ， j k ) + u i ， j k θ i − 1 ， j k + 1 ， (12) ( 1 Δ t + u i ， j k 2 Δ x + 1 S c ⋅ Δ r 2 ) C i ， j k + 1 + ( v i ， j k 4 Δ r − 1 2 S c ⋅ Δ r 2 − 1 4 S c ⋅ ( 1 + ( j − 1 ) Δ r ) Δ r ) C i ， j + 1 k + 1 + ( − − v i ， j k 4 Δ r − 1 2 S c ⋅ Δ r 2 + 1 4 S c ⋅ ( 1 + ( j − 1 ) Δ r ) Δ r ) C i ， j − 1 k + 1 = ( 1 + 4 3 N ) ( C i ， j − 1 k − 2 C i ， j k + C i ， j + 1 k ) 2 S c ⋅ Δ r 2 + C i ， j + 1 k − C i ， j − 1 k 4 S c ⋅ ( 1 + ( j − 1 ) Δ r ) Δ r     + C i ， j k Δ t − u i ， j k ( C i ， j k − C i − 1 ， j k ) 2 Δ x − v i ， j k ( C i ， j + 1 k − C i − 1 ， j k ) 4 Δ r + u i ， j k C i − 1 ， j k + 1 2 Δ x ， (13) ( v i ， j k 4 Δ r + r 1 v i ， j k 4 Δ r − 1 4 ( 1 + ( j − 1 ) Δ r ) Δ r − 1 2 Δ r 2 − r 2 4 ( 1 + ( j − 1 ) Δ r ) Δ r − r 2 2 Δ r 2 ) u i ， j + 1 k + 1 + ( 1 Δ t + u i ， j k 2 Δ x + r 1 Δ t + r 1 u i ， j k 2 Δ x + 1 Δ r 2 + r 2 Δ r 2 ) u i ， j k + 1 + ( − v i ， j k 4 Δ r − r 1 v i ， j k 4 Δ r + 1 4 ( 1 + ( j − 1 ) Δ r ) Δ r − 1 2 Δ r 2 + r 2 4 ( 1 + ( j − 1 ) Δ r ) Δ r − r 2 2 Δ r 2 ) u i ， j − 1 k + 1 = u i ， j + 1 k − u i ， j − 1 k 4 ( 1 + ( j − 1 ) Δ r ) Δ r + u i ， j − 1 k − 2 u i ， j k + u i ， j + 1 k 2 Δ r 2 + r 2 A 6 4 ( 1 + ( j − 1 ) Δ r ) Δ r + r 2 A 7 2 Δ r 2 + u i ， j k Δ t − v i ， j k ( u i ， j + 1 k − u i ， j − 1 k ) 4 Δ r     + u i ， j k ( u i − 1 ， j k + 1 − u i ， j k + u i − 1 ， j k ) 2 Δ x − r 1 A 1 Δ t − r 1 A 2 4 Δ r − r 1 A 3 2 Δ x + G r θ i ， j k + 1 + θ i ， j k 2 + G c C i ， j k + 1 + C i ， j k 2 + G r r 1 A 4 2 + G c r 1 A 5 2 ， (14) v i ， j k + 1 = v i ， j − 1 k + 1 − v i ， j k + v i ， j − 1 k 2 Δ r 1 ( 1 2 Δ r + 1 1 + ( j − 1 ) Δ r )                 − u i ， j − 1 k + 1 − u i − 1 ， j − 1 k + 1 + u i ， j k + 1 − u i − 1 ， j k + 1 + u i ， j − 1 k − u i − 1 ， j − 1 k + u i ， j k − u i − 1 ， j k 4 Δ x 1 ( 1 2 Δ r + 1 1 + ( j − 1 ) Δ r ) ， (15) 其中， r 1 = λ 1 α Δ t − α Γ ( 2 − α ) ， r 2 = λ 2 β Δ t − β Γ ( 2 − β ) ， A 1 = − u i ， j k + ∑ s = 1 k ( b s − b s − 1 ) ( u i ， j k − s + 1 − u i ， j k − s ) ， A 2 = v i ， j k ( u i ， j + 1 k − u i ， j − 1 k ) + ∑ s = 1 k ( b s − b s − 1 ) v i ， j k − s ( u i ， j + 1 k − s + 1 − u i ， j − 1 k − s + 1 + u i ， j k − s − u i ， j − 1 k − s ) ， A 4 = θ i ， j k + 1 + θ i ， j k + ∑ s = 1 k ( b s − b s − 1 ) ( θ i ， j k − s + 1 − θ i ， j k − s ) ， A 5 = C i ， j k + 1 + C i ， j k + ∑ s = 1 k ( b s − b s − 1 ) ( C i ， j k − s + 1 − C i ， j k − s ) ， A 6 = u i ， j + 1 k − u i ， j − 1 k + ∑ s = 1 k ( β s − β s − 1 ) ( u i ， j + 1 k − s + 1 − u i ， j − 1 k − s + 1 + u i ， j + 1 k − s − u i ， j − 1 k − s ) ， 3.2. 求解过程 由初始条件，我们可以得到在 t = 0 时的指定区域的 U ， V ， θ ， C 的值。在任意时间步长，差分公式(12)~(15)中出现的 U i ， j k ， V i ， j k ， θ i ， j k ， C i ， j k 都被当作是常数。特定的i层的每一个内部节点上都构成了可以用Thomas算法求解的三对角线性方程组 [ 31 ] 。赵等人也做了相似的工作 [ 27 ] 。重复这一过程，在时间步长和空间步长足够小时， U ， V ， θ ， C 的最终收敛值近似为方程(12)~(15)的稳态解。 随着时间的增长，若 U ， V ， θ ， C 在两个相邻的时间步的值的差的绝对值小于 10 − 4 ，就认为解是收敛的，达到稳定状态的解，迭代过程结束。求解空间必须是有限的，因此设置 X max = 1 ， R max = 21 ，其中 R max = 21 相应于 r → ∞ 。在经过多次试验后，空间网格的空间步长和时间步长分别固定为 Δ X = 0.02 ， Δ R = 0.05 Δ t = 0.01 。图1给出了不同时间下速度的变化趋势，并且随着时间的增长速度最终会趋于稳定。如图2 图1. 随时间增加的速度分布 图2. 不同网格点下的速度分布 所示，我们使r-方向上的空间步长发生变化，并比较得到的结果，发现数值解的一致性保持良好，因此计算结果与分析是有效的。