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user: 4. 模型分析 4.1. GM(1，1)模型通解 对于GM(1，1)模型而言，由于其具有指数函数特点，且只有a，b两个参数，适用于最小二乘法，本文运用python中的Curve-Fit函数进行拟合求解，上表为GM(1，1)的具体预测结果。由于在预测时，进行了5次拟合，各拟合结果相关参数如表2所示。 Table 2 Data fitting parameter table of GM(1，1) mode a b R 2 Adj R 2 SER RMSE 1 −0.06 1989.04 0.9799629 0.9603274 0.9581234 1748.0626953 1658.3578830 2 −0.06 1989.03 0.9799631 0.9603276 0.9581236 1748.0626953 1658.3578830 3 −0.06 1989.03 0.9799631 0.9603276 0.9581236 1748.0626953 1658.3578830 4 −0.06 1989.03 0.9799631 0.9603277 0.9581237 1748.0626953 1658.3578830 5 −0.06 1989.04 0.9799630 0.9603275 0.9581235 1748.0626953 1658.3578830 表2. GM(1，1)模型通解数据拟合参数表 尽管进行了5次拟合，但实际上可以发现，a、b两个参数数值基本相等。R 2 通常用于判断模型的拟合程度，其取值范围为[0， 1]。一般来说，R 2 越大，表示模型拟合效果越好。本次拟合的误差判定项在小数点后6位也都保持一致，从第七位起才稍有差别，其中R 2 保持在0.96033左右，拟合效果较为良好。这一现象说明，运用GM(1，1)通解拟合，虽每次拟合都选取了不同的随机初数，但拟合结果都收敛到了相同的值。 将上a，b值代入方程，可得： x ( t ) = 33150.67 − 19689.67 e 0.06 t (22) 拟合效果如图1所示。 图1. GM(1，1)模型通解数据拟合效果图(单位：元)。数据来源：浙江省2001年~2019年统计年鉴 由图可以发现，浙江省未来人均GDP呈明显上升趋势，预计2025年人均GDP将大幅超过15万元，依照现有对于发达国家人均GDP2万美元的标准，浙江省即将步入发达国家的经济发展水平，拟合结果的具体数值如表3所示。 Table 3 GM(1，1) model general solution data fitting effect numerical tabl Year Original F0 F1 F2 F3 F4 2000 13，461 13，461 13，461 13，461 13，461 13，461 2001 14，655 16，292.6671 16，292.668 16，292.6676 16，292.6674 16，292.6678 2002 16，838 19，289.5036 19，289.5054 19，289.5047 19，289.5042 19，289.5049 2003 20，147 22，461.1438 22，461.1463 22，461.1453 22，461.1446 22，461.1457 2004 23，942 25，817.7839 25，817.7871 25，817.7858 25，817.7849 25，817.7862 2005 27，703 29，370.2147 29，370.2185 29，370.2169 29，370.2159 29，370.2175 2006 31，241 33，129.8566 33，129.8609 33，129.8591 33，129.858 33，129.8598 2007 36，676 37，108.7962 37，108.8008 37，108.7989 37，108.7976 37，108.7996 2008 41，405 41，319.8249 41，319.8297 41，319.8277 41，319.8264 41，319.8285 2009 43，842 45，776.4803 45，776.4852 45，776.4832 45，776.4818 45，776.484 2010 51，711 50，493.0897 50，493.0945 50，493.0926 50，493.0913 50，493.0933 2011 58，665 55，484.8161 55，484.8206 55，484.8188 55，484.8176 55，484.8195 2012 63，266 60，767.7069 60，767.7109 60，767.7092 60，767.7082 60，767.7099 2013 68，462 66，358.7455 66，358.7487 66，358.7474 66，358.7465 66，358.7479 2014 72，967 72，275.9059 72，275.9081 72，275.9072 72，275.9066 72，275.9075 2015 77，644 78，538.2108 78，538.2116 78，538.2112 78，538.211 78，538.2114 2016 83，538 85，165.792 85，165.7912 85，165.7915 85，165.7918 85，165.7914 2017 92，057 92，179.9561 92，179.9532 92，179.9544 92，179.9552 92，179.9539 2018 98，643 99，603.2521 99，603.2467 99，603.2489 99，603.2504 99，603.2481 2019 107，624 107，459.5444 107，459.5362 107，459.5395 107，459.5418 107，459.5383 2020 20 115，774.0895 115，774.0779 115，774.0826 115，774.0858 115，774.0809 2021 21 124，573.6169 124，573.6014 124，573.6077 124，573.6121 124，573.6054 2022 22 133，886.4155 133，886.3955 133，886.4036 133，886.4092 133，886.4006 2023 23 143，742.4239 143，742.3988 143，742.409 143，742.416 143，742.4053 2024 24 154，173.3273 154，173.2964 154，173.3089 154，173.3175 154，173.3043 2025 25 165，212.6589 165，212.6215 165，212.6367 165，212.6471 165，212.6311 表3. GM(1，1)模型通解数据拟合效果数值表 数据来源：浙江省2000年~2019年统计年鉴。 对拟合具体数据研究发现，5组参数取值下的预测值之间的差异极小，考虑到本文所拟合的数据单位为元，可以基本上判定拟合效果整体表现良好。各年预测值与实际值较为贴近，2020年至2025年各年预测值分别为115，774元、124，573元、133，886元、143，742元、154，173元和165，212元，对于2020年的预测值，结合最新发布的2020年各省人均GDP数据对比发现，2020年浙江省实际人均GDP为110，450元，预测值相较于实际值超出4.6%，但考虑到2020年受疫情影响，全国经济遭受冲击，预测值稍高也处于可接受范围内。结合前文对于浙江省经济发展水平预测及当前汇率水平，可以进一步预测，浙江省将于2021年或2022年步入发达国家经济发展水平。 4.2. GM(1，1)模型邓聚龙解 邓聚龙解是将原来离散序列 x ( 0 ) 的一阶微分方程的求解过程转化成了对其一次累加序列 x ( 1 ) 和 x ( 0 ) 的一阶微分方程，从而最终通过线性代数来求解的一个线性矩阵方程，获得参数 ( a ， b ) 的估计值。本文仅运用邓聚龙解拟合一次，其参数为 [ a ， b ] = [ − 0.094 ， 19009.6147 ] 。这与采用通解算的参数值完全不同，两者不同的主要原因有两方面，一是算法不同，通解所采用的为最小二乘法，而邓聚龙解采用的是线性矩阵乘法；二是样本不同，通解所计算的为原始数据样本，而邓聚龙解所计算的是经过处理后的一次累加序列样本。邓聚龙解的误差项分别为： R 2 = 0.9403760 ， R = 0.9697299 ， Adj R 2 = 0.9370636 ， S E R = 5902.2325548 ， R M S E = 5599.3494459 。从R 2 来看，拟合度较高，结合各项参数，该模型为： x ^ k ( 1 ) = ( 215690.944 ) e 0.094 ( k − 1 ) + 202229.944 (23) x ^ k ( 0 ) = x ^ k ( 1 ) − x ^ k − 1 ( 1 ) (24) 拟合效果如图2所示。 图2. GM(1，1)模型邓聚龙解数据拟合效果图(单位：元)。数据来源：浙江省2001年~2019年统计年鉴 对比图1可以发现，邓聚龙解下的人均GDP上升幅度明显大于通解下的人均GDP上涨幅度，曲线斜率逐渐变大。两者的拟合效果也有些许区别，对比下，邓聚龙解的离散程度更高，其中2001年有一明显下降，2010年至2015年拟合值也小幅偏离实际值，2001年相差较大主要是由于其通过间接处理原始样本数据的一次累加序列求解所导致，属于算法因素，拟合的具体数值如表4所示。 Table 4 Numerical table of fitting effect of GM(1，1) model Deng Julong solution dat Year Original Prediction Year Original Prediction 2000 13，461 13，461 2013 68，462 60，097.5584 2001 14，655 1194 2014 72，967 66，019.1092 2002 16，838 21，375.4699 2015 77，644 72，524.1242 2003 20，147 23，481.6442 2016 83，538 79，670.0932 2004 23，942 25，795.3447 2017 92，057 87，520.1711 2005 27，703 28，337.0194 2018 98，643 96，143.7352 2006 31，241 31，129.1312 2019 107，624 105，616.9989 2007 36，676 34，196.3563 2020 2020 116，023.6852 2008 41，405 37，565.802 2021 2021 127，455.7662 2009 43，842 41，267.247 2022 2022 140，014.2765 2010 51，711 45，333.404 2023 2023 153，810.2057 2011 58，665 49，800.2087 2024 2024 168，965.4796 2012 63，266 54，707.138 2025 2025 185，614.0376 表4. GM(1，1)模型邓聚龙解数据拟合效果数值表 数据来源：浙江省2000年~2019年统计年鉴。 2020年至2025年各年预测值分别为116，023元、127，455元、140，014元、153，810元、168，965元和185，614元，2020年相较于实际值超出5.04%，也处于可接受范围内。但相较于通解的各年预测值，邓聚龙解分别超过了0.22%，2.31%，4.58%，7.00%，9.59%和12.35%，其预测值上涨幅度呈现明显上升趋势，同时在通解的预测值已经较为符合实际值的情况下，邓聚龙解在长期预测下就稍显得偏离实际。故此邓聚龙解相较于通解，更适合对短期数据进行预测。 4.3. GM(2，1)模型的优化解 对于GM(2，1)模型，有4个中间参数m，K，C 1 ，C 2 和2个目标参数a，b，故此，不同初始条件下参数的收敛问题就显得尤为重要，本文在对2000年至2019年数据进行测算时发现，GM(2，1)模型在这一样本量下R 2 达到1.1789，拟合出现错误，参数结果如表5所示。 Table 5 Parameter values of GM(2，1) model are shown in Table a b m k C 1 C 2 R 2 R AdjR 2 SER RMSE 0 30.7096 −3.578 −30.8256 0.1161 412.0235 13，048.98 1.1789 1.0858 1.1888 7047.333 6685.687 1 147，888.3 −17165.7 −147888 0.1161 412.0248 13，048.98 1.1789 1.0858 1.1888 7047.333 6685.687 2 1995.431 −231.627 −1995.55 0.1161 412.0238 13，048.98 1.1789 1.0858 1.1888 7047.333 6685.687 3 272.634 −31.6587 −272.75 0.1161 412.0271 13，048.97 1.1789 1.0858 1.1889 7047.333 6685.687 4 56.2464 −6.5421 −56.3625 0.1161 412.0234 13，048.98 1.1789 1.0858 1.1888 7047.333 6685.687 5 2503.484 −290.597 −2503.6 0.1161 412.0193 13，048.98 1.1789 1.0858 1.1888 7047.333 6685.687 6 59.8088 −6.9556 −59.9248 0.1161 412.0242 13，048.98 1.1789 1.0858 1.1888 7047.333 6685.687 7 12，648.68 −1468.17 −12648.8 0.1161 412.026 13，048.97 1.1789 1.0858 1.1889 7047.333 6685.687 8 20，202.46 −2344.95 −20202.6 0.1161 412.025 13，048.98 1.1789 1.0858 1.1888 7047.333 6685.687 9 274.8101 −31.9112 −274.926 0.1161 412.0238 13，048.98 1.1789 1.0858 1.1888 7047.333 6685.687 10 9654.225 −1120.6 −9654.34 0.1161 412.0246 13，048.98 1.1789 1.0858 1.1888 7047.333 6685.687 11 4344.196 −504.255 −4344.31 0.1161 412.0301 13，048.97 1.1789 1.0858 1.1889 7047.333 6685.687 12 819.9947 −95.1923 −820.111 0.1161 412.0317 13，048.97 1.1789 1.0858 1.1889 7047.333 6685.687 13 20.2334 −2.362 −20.3495 0.1161 412.025 13，048.98 1.1789 1.0858 1.1888 7047.333 6685.687 14 2453.351 −284.779 −2453.47 0.1161 412.0264 13，048.97 1.1789 1.0858 1.1889 7047.333 6685.687 15 57.0902 −6.64 −57.2063 0.1161 412.0245 13，048.98 1.1789 1.0858 1.1888 7047.333 6685.687 16 66.3065 −7.7098 −66.4226 0.1161 412.0243 13，048.98 1.1789 1.0858 1.1888 7047.333 6685.687 17 202，012 −23447.9 −202012 0.1161 412.0208 13，048.98 1.1789 1.0858 1.1888 7047.333 6685.687 18 418.4043 −48.5784 −418.52 0.1161 412.0218 13，048.98 1.1789 1.0858 1.1888 7047.333 6685.687 19 90，081.24 −10456 −90081.4 0.1161 412.0294 13，048.97 1.1789 1.0858 1.1889 7047.333 6685.687 表5. GM(2，1)模型参数数值表一 数据来源：浙江省2000年~2019年统计年鉴。 为了使用GM(2，1)模型对人均GDP数据进行预测，本文选择扩大样本量，选择浙江省1950年至2019年数据重新进行测算，指标回归正常，参数结果如表6所示。 Table 6 Parameter values of GM(2，1) model are shown in Table a b m n C 1 C 2 R 2 R AdjR 2 SER RMSE 0 16，898.7845 −1757.9029 −16，898.8886 0.104 −5.3179 88.3179 0.9634 0.9815 0.9629 2805.1056 2764.7423 1 2904.9305 −302.1957 −2905.0346 0.104 −5.3179 88.3179 0.9634 0.9815 0.9629 2805.1057 2764.7423 2 0.102 −0.0207 −0.2035 0.1015 −21.0761 104.0761 0.9571 0.9783 0.9565 2772.583 2732.6877 3 12，740.7731 −1325.3664 −12，740.8771 0.104 −5.3179 88.3179 0.9634 0.9815 0.9629 2805.1056 2764.7423 4 3710.6455 −386.0099 −3710.7495 0.104 −5.3179 88.3179 0.9634 0.9815 0.9629 2805.1056 2764.7423 5 3165.043 −329.2538 −3165.147 0.104 −5.3179 88.3179 0.9634 0.9815 0.9629 2805.1057 2764.7423 6 3791.7152 −394.4433 −3791.8192 0.104 −5.3179 88.3179 0.9634 0.9815 0.9629 2805.1056 2764.7423 7 5320.4349 −553.4678 −5320.539 0.104 −5.3179 88.3179 0.9634 0.9815 0.9629 2805.1056 2764.7423 8 15，252.4209 −1586.6398 −15，252.5249 0.104 −5.3179 88.3179 0.9634 0.9815 0.9629 2805.1056 2764.7423 9 20，508.3231 −2133.3863 −20，508.4271 0.104 −5.3179 88.3179 0.9634 0.9815 0.9629 2805.1057 2764.7423 10 3099.7378 −322.4601 −3099.8419 0.104 −5.3179 88.3179 0.9634 0.9815 0.9629 2805.1056 2764.7423 11 21，020.289 −2186.6407 −21，020.393 0.104 −5.3179 88.3179 0.9634 0.9815 0.9629 2805.1056 2764.7423 12 48.3136 −5.0366 −48.4177 0.104 −5.3179 88.3179 0.9634 0.9815 0.9629 2805.1056 2764.7423 13 5752.183 −598.3794 −5752.287 0.104 −5.3179 88.3179 0.9634 0.9815 0.9629 2805.1057 2764.7423 14 0.102 −0.0207 −0.2035 0.1015 −21.0767 104.0767 0.9571 0.9783 0.9565 2772.583 2732.6877 15 3262.5212 −339.3939 −3262.6252 0.104 −5.3179 88.3179 0.9634 0.9815 0.9629 2805.1056 2764.7423 16 2953.249 −307.2219 −2953.353 0.104 −5.3179 88.3179 0.9634 0.9815 0.9629 2805.1056 2764.7423 17 11，722.4786 −1219.4385 −11，722.5826 0.104 −5.3179 88.3179 0.9634 0.9815 0.9629 2805.1056 2764.7423 18 1120.6846 −116.5897 −1120.7886 0.104 −5.3179 88.3179 0.9634 0.9815 0.9629 2805.1056 2764.7423 19 0.102 −0.0207 −0.2035 0.1015 −21.0761 104.0761 0.9571 0.9783 0.9565 2772.583 2732.6877 表6. GM(2，1)模型参数数值表二 数据来源：浙江省统计年鉴。 通过Curve-Fit函数得到的20组拟合参数发现，目标参数a，b完全不能收敛到同一组值，类似的m参数的取值也不同。但是，参数k，C 1 ，C 2 在20组中有17组保持一致，另外3组也相应的保持一致，说明尽管a，b，m不是收敛的，但k，C 1 ，C 2 的值是收敛的。以第一次拟合结果为例，模型的相关系数R 2 为0.9634，拟合度相较于小样本情况下有明显改善，拟合效果良好， a = 16898.7845 ， b = − 1757.9029 ， m = − 16898.8886 ， n = 0.104 ， C 1 = − 5.3179 ， C 2 = 88.3179 ，具体模型如下： x ( t ) = − 5.3179 e − 16898.8886 t + 88.3179 e 0.104 t (25) 拟合效果如图3所示。 图3. GM(2，1)模型的优化解数据拟合效果图(单位：元)。数据来源：浙江省统计年鉴 与另外两者模型的预测结果相似，二阶灰色预测函数下的浙江省人均GDP也呈现逐年上涨趋势，但上涨幅度在三个模型中是最高的，其具体拟合值如表7所示。 Table 7 Numerical table of fitting effect of GM(2，1) model’s optimal solution dat Year Original F0 F1 F2 F3 F4 1950 83 83 83 83 83 83 1951 98 98 98 98 98 98 1952 112 108.7435 108.7435 113.4731 108.7435 108.7435 1953 122 120.6649 120.6648 129.6779 120.6648 120.6649 1954 125 133.8931 133.8931 146.8621 133.8931 133.8931 … … … … … … … 2005 27，703 26，965.3607 26，965.1002 27，659.2812 26，965.0974 26，965.2372 2006 31，241 29，921.5194 29，921.225 30，614.1659 29，921.2219 29，921.3799 2007 36，676 33，201.756 33，201.4234 33，884.7255 33，201.4199 33，201.5984 2008 41，405 36，841.5984 36，841.2227 37，504.6841 36，841.2187 36，841.4204 2009 43，842 40，880.4695 40，880.0453 41，511.3686 40，880.0408 40，880.2684 2010 51，711 45，362.1139 45，361.6351 45，946.0935 45，361.63 45，361.887 2011 58，665 50，335.0721 50，334.5318 50，854.587 50，334.5261 50，334.8161 2012 63，266 55，853.2058 55，852.5963 56，287.4627 55，852.5898 55，852.917 2013 68，462 61，976.2815 61，975.5941 62，300.7409 61，975.5868 61，975.9557 2014 72，967 68，770.6178 68，769.8428 68，956.4272 68，769.8345 68，770.2505 2015 77，644 76，309.8037 76，308.93 76，323.1509 76，308.9207 76，309.3896 2016 83，538 84，675.4955 84，674.5109 84，476.8732 84，674.5004 84，675.0289 2017 92，057 93，958.3014 93，957.192 93，501.6706 93，957.1803 93，957.7757 2018 98，643 104，258.7629 104，257.5132 103，490.6013 104，257.5 104，258.1706 2019 107，624 115，688.4434 115，687.0361 114，546.6652 115，687.0211 115，687.7764 2020 70 128，371.1371 128，369.5525 126，783.8657 128，369.5356 128，370.3861 2021 71 142，444.2091 142，442.4253 140，328.3857 142，442.4064 142，443.3638 2022 72 158，060.0841 158，058.0765 155，319.8881 158，058.0551 158，059.1326 2023 73 175，387.8963 175，385.6372 171，912.9562 175，385.6132 175，386.8257 2024 74 194，615.3221 194，612.7805 190，278.688 194，612.7535 194，614.1176 2025 75 215，950.6122 215，947.7534 210，606.4598 215，947.723 215，949.2574 表7. GM(2，1)模型的优化解数据拟合效果数值表 数据来源：浙江省统计年鉴。 2020年至2025年各年预测值分别为128，370元、142，443元、158，059元、175，386元、194，613元和215，948元，在各年预测数据中，2015年及以前，基本呈现实际值大于预测值，在2016年以后，开始呈现预测值大于实际值，2020年对比实际值110，450元超出16.22%，且自2016年起，预测值的偏离度在逐年上升，但考虑到所选样本自1950年开始，期间经历了改革开放等重大战略转型，对经济发展产生极大影响。同时预测值在1995至2019年这25年期间，与预测值的差距在10%上下浮动，长期来看，仍是属于较为可靠的，但短期波动相较于前文两种模型，更为显著。