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user: 2. 主要结论 本节中给出了Bloch空间上加权复合算子 W ψ ， φ 是紧的充要条件的刻画，该刻画主要依赖于 ψ 和 φ 的函数特征。 引理2.1 [ 10 ] ：设 2 ≤ p < ∞ ，那么有 sup a ∈ D ‖ f ∘ σ a − f ( a ) ‖ A 2 ≈ sup a ∈ D ‖ f ∘ σ a − f ( a ) ‖ A p . 引理2.2：设 ψ 属于Bloch空间和 φ ∈ S ( D ) 。那么对任意 f 属于Bloch空间，存在一个常数 C 使得 ‖ ( ψ ∘ σ a − ψ ( a ) ) ⋅ ( f ∘ φ ∘ σ a − f ( φ ( a ) ) ) ‖ A 2 2 ≤ C ‖ ψ ∘ σ a − ψ ( a ) ‖ A 2 ⋅ sup a ∈ D ‖ ψ ∘ σ a − ψ ( a ) ‖ A 2 . 证明：令 Φ = ψ ∘ σ a − ψ ( a ) 和 F = f ∘ φ ∘ σ a − f ( φ ( a ) ) ，由引理2.1和Holder不等式可得结论。 引理2.3 [ 1 ] ：设 f 属于Bloch空间和 z ∈ D ，那么有 | f ( z ) | ≤ log 2 1 − | z | 2 ‖ f ‖ B . 定理1：设 ψ 属于Bloch空间和 φ ∈ S ( D ) 。若 W ψ ， φ 在Bloch空间上有界，那么Bloch空间上加权复合算子 W ψ ， φ 是紧的充要条件为： lim r → 1 sup { a ∈ D : | φ ( a ) | > r } α ( ψ ， φ ， a ) = 0 ， (1) lim r → 1 sup { a ∈ D : | φ ( a ) | > r } β ( ψ ， φ ， a ) = 0 ， (2) 对任意的 R ∈ ( 0 ， 1 ) ， lim r → 1 sup { a ∈ D : | φ ( a ) | > r } ∫ E ( φ ， a ， t ) | ψ ∘ σ a ( z ) | 2 d σ ( z ) = 0 ， (3) 其中 E ( φ ， a ， t ) = { z ∈ D : | σ φ ( a ) ∘ φ ∘ σ a | > t } 。 证明：设 W ψ ， φ 在Bloch空间上有界。那么(1)、(2)和(3)式成立。 如果(1)不成立，那么存在一个正数 δ 和一个单位上的数列 { a n } 使得 | φ ( a n ) | → 1 ( n → ∞ ) ，     α ( ψ ， φ ， a n ) ≥ δ > 0. 对任意的 n ∈ ℕ ，令 f n = σ φ ( a n ) − φ ( a n ) ，易验证 f n 属于Bloch空间。根据文献 [ 10 ] 中的(2-17)可得 α ( ψ ， φ ， a n ) ≤ sup a n ∈ D ‖ ψ ∘ σ a n − ψ ( a n ) ‖ A 2 + ‖ W ψ ， φ f n ‖ B . 由文献 [ 10 ] 中的定理2.8和 | φ ( a n ) | → 1 ( n → ∞ ) ，可知，当 n → ∞ ， sup a n ∈ D ‖ ψ ∘ σ a n − ψ ( a n ) ‖ A 2 ≤ ( log 2 1 − | φ ( a n ) | 2 ) − 1 sup a ∈ D β ( ψ ， φ ， a ) → 0. 另有， f n 在单位圆盘的紧子集上一致收敛到零，那么有 lim n → ∞ ‖ W ψ ， φ f n ‖ B = 0 。所以 lim n → ∞ α ( ψ ， φ ， a n ) = 0 ， 这与假设相矛盾。即(1)是 W ψ ， φ 在Bloch空间上紧的必要条件。 其次，假设(2)不成立，那么存在一个正数 δ 和一个单位上的数列 { a n } 使得 | φ ( a n ) | → 1 ( n → ∞ ) ，     β ( ψ ， φ ， a n ) ≥ δ > 0. 对任意的 n ∈ ℕ ，令 h n = log ( 2 / ( 1 − φ ( a n ) ¯   z ) ) 和 g n = h n 2 / h n ( φ ( a n ) ) 。很容易验证 g n ∈ B 0 。那么有， sup a ∈ D ‖ g n ∘ σ a − g n ( a ) ‖ A 2 < ∞ 。故，由文献 [ 9 ] 中的(2-19)和引理3.1可得 β ( ψ ， φ ， a n ) = ‖ ψ ∘ σ a n − ψ ( a n ) ⋅ g n ( φ ( a n ) ) ‖ A 2 ≤ C ‖ g n ‖ B ( ‖ ψ ∘ σ a − ψ ( a ) ‖ A 2 ⋅ sup a n ∈ D ‖ ψ ∘ σ a n − ψ ( a n ) ‖ A 2 ) 1 / 2     + ‖ ( W ψ ， φ g n ) ∘ σ a − ( W ψ ， φ g n ) ( a ) ‖ A 2 + α ( ψ ， φ ， a n ) ‖ g n ∘ σ a − g n ( a ) ‖ A 2 . 所以，当 n → ∞ 时， ‖ ψ ∘ σ a − ψ ( a ) ‖ A 2 ⋅ sup a n ∈ D ‖ ψ ∘ σ a n − ψ ( a n ) ‖ A 2 → 0 和 α ( ψ ， φ ， a n ) → 0. 由于 g n 在单位圆盘的紧子集上一致收敛到零，故 lim n → ∞ ‖ W ψ ， φ g n ‖ B = 0 。因此 lim n → ∞ β ( ψ ， φ ， a n ) = 0 ， 这与假设相矛盾。即(2)是 W ψ ， φ 在Bloch空间上紧的必要条件。 最后，假设(3)不成立。当 n → ∞ ，那么存在 R ∈ ( 0 ， 1 ) ，   δ > 0 ，   a n ∈ D 和 t n ∈ ( 0 ， 1 ) 使得 | φ ( a n ) | ≤ R 和 lim r → 1 sup { a ∈ D : | φ ( a ) | > r } ∫ E ( φ ， a ， t ) | ψ ∘ σ a ( z ) | 2 d σ ( z ) ≥ δ > 0. 选取的一个列为 { t n n } 。令 f n ( z ) = ( σ φ ( a n ) ( z ) ) n ， z ∈ D 。那么，对任意的 n ∈ N ， ‖ f n ‖ B ≤ 2 和 ‖ W ψ ， φ f n ‖ B 2 ≥ ‖ ( ψ ∘ σ a n ) ⋅ f n ∘ φ ∘ σ a n ‖ A 2 2 ≥ ∫ E ( φ ， a n ， t n ) | ψ ∘ σ a ( z ) | 2 t n 2 n d σ ( z ) ≥ t n 2 n δ . 由于 | φ ( a n ) | ≤ R < 1 ， f n 在单位圆盘的紧子集上一致收敛到零，那么有 lim n → ∞ ‖ W ψ ， φ f n ‖ B = 0 。这与假设相矛盾。即(3)是 W ψ ， φ 在Bloch空间上紧的必要条件。 反之，假设(1)、(2)和(3)式成立。令 f n ∈ B 且 f n 在单位圆盘的紧子集上一致收敛到零。接下来需要证明 lim n → ∞ ‖ W ψ ， φ f n ‖ B = 0 。令 0 < ε < 1 ，根据(1)、(2)和(3)式，存在 r ∈ ( 0 ， 1 ) ，   t ∈ ( 0 ， 1 ) 和 n 0 ∈ ℕ 使得 sup { | φ ( a ) | > r } max { α ( ψ ， φ ， a ) + β ( ψ ， φ ， a ) ， ( log 1 1 − | φ ( a ) | 2 ) 1 / 2 } < ε ， (4) sup { a ∈ D : | φ ( a ) | ≤ r } ∫ E ( φ ， a ， t ) | ψ ∘ σ a ( z ) | 2 d σ ( z ) < ε 4 ， (5) 和 sup { n ≥ n 0 } max w ∈ Q | f n ( w ) | < ε < 1 ， (6) 其中 Q : = r D ¯ ∪ { σ b ( z ) ∈ D : b ∈ r D ¯ ， z ∈ t D ¯ } ⊂ D 。 另一方面，对任意的 n 0 ∈ ℕ ，有 ‖ W ψ ， φ f n ‖ B ≤ | ( W ψ ， φ f n ) ( 0 ) | + sup | φ ( a ) | > r ‖ ( W ψ ， φ f n ) ∘ σ a − ( W ψ ， φ f n ) ( a ) ‖ A 2     + sup | φ ( a ) | ≤ r ‖ ( W ψ ， φ f n ) ∘ σ a − ( W ψ ， φ f n ) ( a ) ‖ A 2 = A 1 + A 2 + A 3 ， 其中 A 1 = | ( W ψ ， φ f n ) ( 0 ) | ， A 2 = sup | φ ( a ) | > r ‖ ( W ψ ， φ f n ) ∘ σ a − ( W ψ ， φ f n ) ( a ) ‖ A 2 ， 和 A 3 = sup | φ ( a ) | ≤ r ‖ ( W ψ ， φ f n ) ∘ σ a − ( W ψ ， φ f n ) ( a ) ‖ A 2 . 由引理2.3和(4)式，可知 A 1 = | ( W ψ ， φ f n ) ( 0 ) | < ε 。根据文献 [ 10 ] 中的(2.13)和引理2.1，可得 A 2 = sup | φ ( a ) | > r ‖ ( W ψ ， φ f n ) ∘ σ a − ( W ψ ， φ f n ) ( a ) ‖ A 2 ≤ C ‖ ψ ∘ σ a − ψ ( a ) ‖ A 2 ⋅ sup a ∈ D ‖ ψ ∘ σ a − ψ ( a ) ‖ A 2     + sup | φ ( a ) | > r ( α ( ψ ， φ ， a ) + β ( ψ ， φ ， a ) ) ≤ C sup | φ ( a ) | > r ( ‖ ψ ∘ σ a − ψ ( a ) ‖ A 2 ( log 2 1 − | φ ( a n ) | 2 ) − 1 β ( ψ ， φ ， a ) ) 1 / 2     + sup | φ ( a ) | > r ( α ( ψ ， φ ， a ) + β ( ψ ， φ ， a ) ) . 由于 W ψ ， φ 在Bloch空间上有界，故由文献 [ 10 ] 中定理2.8可知 β ( ψ ， φ ， a ) < ∞ 。所以，由(4)式可推导出 A 2 ≤ C ε 。 对于 A 3 ，令 F n ， a = f n ∘ φ ∘ σ a − f n ( φ ( a ) ) 。那么，根据(6)式，可得 A 3 ≤ sup a ∈ D ‖ ψ ∘ σ a − ψ ( a ) ‖ A 2 ⋅ sup | φ ( a ) | ≤ r ‖ ψ ∘ σ a − ψ ( a ) ‖ A 2     + sup | φ ( a ) | ≤ r ‖ ( ψ ∘ σ a ) f n ∘ φ ∘ σ a − f n ( φ ( a ) ) ‖ A 2 ≤ ‖ ψ ∘ σ a − ψ ( a ) ‖ A 2 · max | w | ≤ r | f n | + ( A 4 + A 5 ) 1 / 2 ≤ ε + ( A 4 + A 5 ) 1 / 2 ， 其中 A 4 = sup { | φ ( a ) | ≤ r } ∫ ∂ D \ E ( φ ， a ， t ) | ψ ∘ σ a ( z ) F n ， a ( z ) | 2 d σ ( z ) ， A 5 = sup { | φ ( a ) | ≤ r } ∫ E ( φ ， a ， t ) | ψ ∘ σ a ( z ) F n ， a ( z ) | 2 d σ ( z ) . 对 a ∈ D 和 n ≥ n 0 ，令 G n ， a = f ∘ σ φ ( a ) − f n ( φ ( a ) ) 和 λ a = σ φ ( a ) ∘ φ ∘ σ a − f n ( φ ( a ) ) 。 则 G n ， a ( 0 ) = 0 和 F n ， a = G n ， a ∘ σ φ ( a ) 。根据文献 [ 9 ] 中的(3-19)式，对任意的 z ∈ ∂ D \ E ( φ ， a ， t ) 可得 F n ， a ( z ) = G n ， a ( λ a ( z ) ) ≤ 2 | λ a ( z ) | max | w | ≤ t | G n ， a ( w ) | . 因此， sup { | φ ( a ) | ≤ r } ∫ ∂ D \ E ( φ ， a ， t ) | ψ ∘ σ a ( z ) F n ， a ( z ) | 2 d σ ( z ) ≤ 4 ( max | w | ≤ t | G n ， a ( w ) | ) 2 ‖ ( ψ ∘ σ a ) ⋅ λ a ‖ A 2 ， 显然，由(6)式，当 | φ ( a ) | ≤ r ，可得 max | w | ≤ t | G n ， a ( w ) | ≤ max | w | ≤ t | f n ( σ φ ( a ) ( w ) ) | + | f n ( φ ( a ) ) | ≤ 2 ε 和 ‖ ( ψ ∘ σ a ) ⋅ λ a ‖ A 2 ≤ ‖ ( ψ ∘ σ a − ψ ( a ) ) ⋅ λ a ‖ A 2 + ‖ ψ ( a ) ⋅ λ a ‖ A 2 ≤ ‖ ( ψ ∘ σ a − ψ ( a ) ) ‖ A 2 ‖ λ a ‖ ∞ + sup a ∈ D α ( ψ ， φ ， a ) < ∞ . 因此， A 4 ≤ C ε 2 。 对 A 5 ，根据Holder不等式和(5)，有 A 5 ≤ sup { | φ ( a ) | ≤ r } ( ∫ E ( φ ， a ， t ) | ψ ∘ σ a ( z ) | 2 d σ ( z ) ) 1 / 2     ⋅ sup { | φ ( a ) | ≤ r } ( ∫ E ( φ ， a ， t ) | ψ ∘ σ a ( z ) | 2 | F n ， a ( z ) | 4 d σ ( z ) ) 1 / 2 ≤ ε 2 sup { | φ ( a ) | ≤ r } ‖ ( ψ ∘ σ a ) ⋅ F n ， a ‖ A 4 ‖ F n ， a ‖ A 4 . 根据引理2.1和文献 [ 2 ] 中的引理2.7，可得 ‖ F n ， a ‖ A 4 ≤ C ‖ f n ∘ φ ∘ σ a − f n ( φ ( a ) ) ‖ A 2 ≤ C . 更进一步， sup { | φ ( a ) | ≤ r } ‖ ( ψ ∘ σ a ) ⋅ F n ， a ‖ A 4 ≤ sup { | φ ( a ) | ≤ r } ‖ ( W ψ ， φ f n ) ∘ σ a − ( W ψ ， φ f n ) ( a ) ‖ A 2     + sup { | φ ( a ) | ≤ r } ‖ ( ψ ∘ σ a − ψ ( a ) ) ⋅ f n ( φ ( a ) ) ‖ A 4 ≤ C ( ‖ W ψ ， φ f n ‖ B ‖ ψ ∘ σ a − ψ ( a ) ‖ A 2 ) . 因此， A 5 ≤ C ε 2 。所以， A 5 ≤ C ε 。所以有 sup n ≥ n 0 ‖ W ψ ， φ f n ‖ B ≤ A 1 + A 2 + A 3 ≤ C ε ， 其中 C 与 ε 无关。