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user: 2. 方法描述 考虑含有三个个独立变量 x ， y ， t 的时空分数阶偏微分方程如下： P ( u ， u x . u x ， u t ， u x x ， u x y ， u x t ， u y t ， ⋯ ) = 0 ， (2) 其中p是关于 u = u ( x ， y ， t ) 及其偏导数的多项式。对上述方程(2)作如下的行波变换： u ( x ， y ， t ) = u ( ξ ) ， ξ = k x + m y − ω t ， (3) 将(2)转化为常微分方程： U ( u ， u ′ ， u ″ ， ⋯ ) = 0 ， (4) 其中 ω ≠ 0 ， u ′ ， u ″ 为u关于 ξ 的一阶导数，二阶导数。 2.1. ( G ′ G 2 ) -展开法构建偏微分方程精确解描述 步骤1：假设(4)有如下形式的解： u ( ξ ) = ∑ i = 0 n a i ( G ′ G 2 ) i ， (5) 其中 G = G ( ξ ) 满足： ( G ′ G 2 ) ′ = ϕ + φ ( G ′ G 2 ) 2 ， (6) 其中 a 0 ， ⋯ ， a n ， ϕ ， φ 为待定常数， ϕ ≠ 1 ， φ ≠ 0 ， m 通过齐次平衡法确定。 步骤2：将(6)代入(5)，合并 ( G ′ G 2 ) 的同类项，并令各项系数为零求解关于 a 0 ， ⋯ ， a n ， ϕ ， φ ， k ， c ， ω 的代数方程组， a i ， ϕ ， φ 为待定常数， ϕ ≠ 1 ， φ ≠ 0 ， ω ≠ 0 。 步骤3：结合(5)解关于代数方程组满足： { G ′ G 2 = ϕ φ c 1 cos ( ϕ φ ξ ) + c 2 sin ( ϕ φ ξ ) c 1 sin ( ϕ φ ξ ) − c 2 cos ( ϕ φ ξ ) ， ϕ φ > 0 ; G ′ G 2 = | ϕ φ | c 1 sinh ( | ϕ φ | ξ ) + c 2 cosh ( | ϕ φ | ξ ) c 1 cosh ( | ϕ φ | ξ ) + c 2 sinh ( | ϕ φ | ξ ) ， ϕ φ < 0 ; G ′ G 2 = − c 1 φ ( c 1 ξ + c 2 ) ， ϕ = 0 ， φ ≠ 0 ， (7) 其中 c 1 ， c 2 是常数。 步骤4：将 a 0 ， ⋯ ， a n 和 ( G ′ G 2 ) 代入(7)得到(1)的精确解。 2.2. F-展开法构建偏微分方程精确解描述 步骤1：假设(4)有如下形式的解： u ( ξ ) = ∑ k = 0 n a k F K ( ξ ) ， a n ≠ 0 ， (8) 其中 a 0 ， a 1 ， ⋯ ， a n 为常数， a n ≠ 0 。 F ( ξ ) 满足： { F ′ 2 ( ξ ) = q 0 + q 1 F 2 ( ξ ) + q 2 F 4 ( ξ ) ， F ′ ( ξ ) F ″ ( ξ ) = q 1 F ( ξ ) F ′ ( ξ ) + 2 q 2 F 3 ( ξ ) F ′ ( ξ ) ， F ″ ( ξ ) = q 1 F ( ξ ) + 2 q 2 F 3 ( ξ ) ， F ‴ ( ξ ) = q 1 F ′ ( ξ ) + 6 q 2 F 2 ( ξ ) F ′ ( ξ ) . (9) 同时系数 q 0 ， q 1 ， q 2 和 F ( ξ ) 在 F ′ 2 ( ξ ) = q 0 + q 1 F 2 ( ξ ) + q 2 F 4 ( ξ ) 时满足表1 (参见文献 [ 29 ] )。 步骤二：将(8)代入(4)通过齐次平衡法确定n，借助(9)与表1得到关于 F ( ξ ) 的代数多项式，令 F ( ξ ) 的各次项系数为零，得到关于 a 0 ， a 1 ， ⋯ ， a n ， k ， c ， ω 的代数方程组。 步骤三：解步骤三获得的代数方程组，使用 a 0 ， a 1 ， ⋯ ， a n ， k ， c ， ω 解出 q 0 ， q 1 ， q 2 ，代入(8)就得到方程(1)的行波解。 2.3. (exp)-展开法构建偏微分方程精确解描述 步骤一：假设方程(4)有如下形式的解： u ( ξ ) = ∑ n = 0 N a n ( exp ( − ϕ ( ξ ) ) ) n (10) 其中， a n 是待定常数， a n ≠ 0 。 n 通过齐次平衡法确定。 ϕ ( ξ ) 满足： ϕ ′ ( ξ ) = exp ( − ϕ ( ξ ) ) + μ exp ( ϕ ( ξ ) ) + λ ， (11) 方程(11)有以下形式解： ϕ ( ξ ) = { ln ( − λ 2 − 4 μ tanh ( λ 2 − 4 μ 2 ( ξ + c ) − λ ) 2 μ ) ， λ 2 − 4 μ > 0 ， μ ≠ 0 ， ln ( − 4 μ − λ 2 tanh ( λ 2 − 4 μ 2 ( ξ + c ) − λ ) 2 μ ) ， λ 2 − 4 μ < 0 ， μ ≠ 0 ， ln ( λ sinh ( λ ( ξ + c ) ) + cosh ( λ ( ξ + c ) ) − 1 ) ， λ 2 − 4 μ > 0 ， μ ≠ 0 ， λ ≠ 0 ， ln ( − 2 ( λ ( ε + c ) ) + 2 λ 2 ( ξ + c ) ) ， λ 2 − 4 μ > 0 ， μ = 0 ， λ ≠ 0 ， ln ( ξ + c ) ， λ 2 − 4 μ = 0 ， μ = 0 ， λ = 0 ， (12) 步骤二：将(11)代入(10)合并 exp ( − ϕ ( ξ ) ) n ， ( n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ) 相同项的系数，并令相同项系数为零，得到关于 a 1 ， a 2 ， ⋯ ， k ， c ， ω ， μ ， λ 的代数方程组，并结合(12)可得方程(1)的精确解。 2.4. 改进的Kudryashov方法构建偏微分方程精确解描述 步骤一：假设方程(4)有如下形式的解： u ( ξ ) = ∑ n = 0 N a k ( ϕ ( ξ ) ) n (13) 其中， a n 是待定常数， a n ≠ 0 。 n 通过齐次平衡法确定。 ϕ ( ξ ) = 1 1 + c exp ( ξ ) ， (14) ϕ ( ξ ) 满足： ϕ ′ ( ξ ) − ϕ 2 ( ξ ) + ϕ ( ξ ) = 0 ， (15) 方程(15)有以下解： ϕ ( ξ ) = { 1 2 ( 1 − tanh ( ξ 2 − ξ ln ξ 0 2 ) ) ， ξ 0 > 0 ， 1 2 ( 1 − coth ( ξ 2 − ξ ln ξ 0 2 ) ) ， ξ 0 > 0 ， (16) 由(13)，(15)可得： { u ′ ( ξ ) = n ∑ n = 0 N a n [ ϕ ( ξ ) ] n ( ϕ ( ξ ) − 1 ) ， u ″ ( ξ ) = n ∑ n = 0 N a n [ ϕ ( ξ ) ] n ( ϕ ( ξ ) − 1 ) [ ( 1 + n ) ϕ ( ξ ) − n ] . (17) 步骤二：将(16)，(14)和(13)代入(4)合并 ( − ϕ ( ξ ) ) n ， n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ，相同项的系数，并令相同项系数为零，得到关于 a 1 ， a 2 ， ⋯ ， k ， c ， ω ， μ ， λ 的代数方程组，并结合(12)可得方程(1)的精确解。 2.5. 直接截断法构建偏微分方程精确解描述 步骤一：假设方程(4)有如下形式的解： u ( x ， t ) = ϕ ( ξ ) e i ( k 1 x − ω 1 t ) ， (18) 并且 ϕ ( ξ ) 形式为： ϕ ( ξ ) = ∑ i + j = 0 τ a i j f i ( ξ ) g j ( ξ ) ( q f ( ξ ) + r g ( ξ ) + p ) τ ， (19) 其中 k 1 ， ω 1 ， a i j ， p ， q ， r 为待定参数， τ 借助方程(4)由齐次平衡法确定。 f ( ξ ) ， g ( ξ ) 满足以下椭圆函数条件： { f ( ξ ) 2 + g ( ξ ) 2 = 1 ， g ( ξ ) 1 − k 2 f ( ξ ) 2 = f ′ ( ξ ) ， − f ( ξ ) 1 − k 2 f ( ξ ) 2 = g ′ ( ξ ) . (20) 步骤二：将(17)，(18)与(19)代入(4)可得关于 f ( ξ ) ， g ( ξ ) 的多项式，令 f i ( ξ ) g j ( ξ ) 的系数和常数项为零，得到一个代数方程组，求解关于参数 k 1 ， ω 1 ， a i j ， p ， q ， r 的方程组。 步骤三：根据(17)，(18)得到方程(1)的精确解。