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user: 2. Nehari流形和纤维映射 2.1. 预备知识和一些记号 定义 L P ( ℝ 3 ) ( 1 ≤ p ≤ + ∞ ) 是具有标准范数 | u | p 的一般Lebesgue空间，记 H ˙ s ( ℝ 3 ) 是 C c ∞ ( ℝ 3 ) 关于 ‖   ⋅   ‖ H ˙ ( ℝ 3 ) 范数的完备化空间，其中： ‖ u ‖ H ˙ s ( ℝ 3 ) = ( ∫ ℝ 3 ∫ ℝ 3 ( u ( x ) − u ( y ) ) 2 | x − y | 3 + 2 s d x d y ) 1 2 ， ( u ， v ) H ˙ s ( ℝ 3 ) = ∫ ℝ 3 ∫ ℝ 3 ( u ( x ) − u ( y ) ) ( v ( x ) − v ( y ) ) | x − y | 3 + 2 s d x d y . 通过分数阶Hardy不等式 [ 4 ]： Λ N ， S ∫ ℝ 3 u 2 ( x ) | x | 2 s d x ≤ C N ， s 2 ∫ ℝ 3 ∫ ℝ 3 ( u ( x ) − u ( y ) ) 2 | x − y | N + 2 s d x d y ，其中 Λ N ， S = 2 2 s Γ 2 ( N + 2 s 4 ) / Γ 2 ( N − 2 s 4 ) ， 我们推出对任意 μ ∈ [ 0 ， 2 2 s Γ 2 ( 3 + 2 s 4 ) / Γ 2 ( 3 − 2 s 4 ) ) ， H ˙ S ( ℝ 3 ) 中内积和范数为： ( u ， v ) = ∫ ℝ 3 ∫ ℝ 3 ( u ( x ) − u ( y ) ) ( v ( x ) − v ( y ) ) | x − y | 3 + 2 s d x d y − ∫ ℝ 3 μ u v | x | 2 s d x ， ‖ u ‖ = ( ∫ ℝ 3 ∫ ℝ 3 ( u ( x ) − u ( y ) ) 2 | x − y | 3 + 2 s d x d y − ∫ ℝ 3 μ u 2 | x | 2 s d x ) 1 2 . 对任意 μ ∈ [ 0 ， 2 2 s Γ 2 ( 3 + 2 s 4 ) / Γ 2 ( 3 − 2 s 4 ) ) 和 3 4 < s < 1 ，我们可以定义 S μ ， s = inf { ∫ ℝ 3 ∫ ℝ 3 ( u ( x ) − u ( y ) ) 2 | x − y | 3 + 2 s d x d y − ∫ ℝ 3 μ u 2 | x | 2 s d x : u ∈ H ˙ s ( ℝ 3 ) 和 ∫ ℝ 3 | u | 2 s * d x = 1 } ， (2.1) 且存在正函数 U ∈ H ˙ s ( ℝ 3 ) 取到 S μ ， S ，并且满足： ∫ ℝ 3 ∫ ℝ 3 ( U ( x ) − U ( y ) ) 2 | x − y | 3 + 2 s d x d y − ∫ ℝ 3 μ U 2 | x | 2 s d x = ∫ ℝ 3 U 2 S * d x = S μ ， S 3 2 s . (2.2) 因此，本文主要研究问题(1.1)多重解的存在性，且(1.1)的对应泛函为： J ( u ) = a 2 ‖ u ‖ 2 + 3 − 2 s 6 − 2 s b ‖ u ‖ 6 − 2 s 3 − 2 s − 1 2 s * ∫ ℝ 3 u 2 s * d x − λ q ∫ ℝ 3 f ( x ) | u | q d x . 相似于 [ 5 ] 中的证明，我们得到 J ( u ) 被定义在 H ˙ s ( ℝ 3 ) 上并且 J ( u ) 是 C 1 泛函。更进一步，因为(1.1)的任何解都是 J ( u ) 的临界点。因此，我们通过求泛函 J ( u ) 的临界点来找(1.1)的解。 因为 s u p p f ∈ B R 0 ( 0 ) ，通过Hölder不等式和(2.1)，可得 ∫ ℝ 3 f ( x ) | u | q d x ≤ | f | ∞ ( ∫ B R 0 ( 0 ) 1 d x ) 2 s * − q 2 s * ( ∫ B R 0 ( 0 ) | u | 2 s * d x ) q 2 s * ≜ | f | ∞ | B R 0 ( 0 ) | 2 s * − q 2 s * ( ∫ B R 0 ( 0 ) | u | 2 s * d x ) q 2 s * ≜ | f | ∞ C R 0 ， s ， q ( ∫ B R 0 ( 0 ) | u | 2 s * d x ) q 2 s * ≜ | f | ∞ C R 0 ， s ， q S μ ， s − q 2 ‖ u ‖ q . (2.3) 为了方便，我们令 λ 1 ≜ 4 s 2 a b S μ ， s q 2 ( 3 − 2 s ) ( 2 s * − q ) | f + | ∞ C R 0 ， s ， q [ 2 a b ( 2 − q ) ( 6 − 2 s 3 − 2 s − q ) S μ ， s 2 s * 2 2 s * − q ] 3 s 3 − 2 s ( 6 − 3 s 3 − 2 s − q ) > 0 ， λ 2 ≜ a ( 2 s * − 2 ) S μ ， s q 2 ( 2 s * − q ) | f + | ∞ C R 0 ， s ， q [ a ( 2 − q ) S μ ， s 2 s * 2 2 s * − q ] 3 − 2 s 4 s ( 2 − q ) > 0 ， λ 3 ≜ 1 2 ( a S μ ， s ) 3 ( 2 − q ) 4 s ( s 3 C 0 ) 2 − q 2 > 0 ，     λ 4 ≜ ( t 1 ∫ ℝ 3 f ( x ) | U | q d x C 0 q ) 2 − q q > 0 ， Λ 1 ≜ max { λ 1 ， λ 2 } ，     Λ 2 ≜ max { q λ 1 / 2 6 − 2 s 3 − 2 s ， q λ 2 2 } ， Λ * ≜ max { Λ 1 ， λ 3 ， λ 4 } ，     Λ * * ≜ max { Λ 2 ， λ 3 ， λ 4 } . 2.2. 预备引理 因为 J ( u ) 在 H ˙ s ( ℝ 3 ) 上没有下界，所以我们首先研究Nehari流形。定义： N = { u ∈ H ˙ s ( ℝ 3 ) \ { 0 } : 〈 J ′ ( u ) ， u 〉 = 0 } ， 则(1.1)的任何非平凡解都属于 N 。明显地， u ∈ N ，当且仅当下式成立， a ‖ u ‖ 2 + b ‖ u ‖ 6 − 2 s 3 − 2 s − ∫ ℝ 3 | u | 2 s * d x − λ ∫ ℝ 3 f ( x ) | u | q d x = 0     且     u ≠ 0. 引理2.1泛函 J ( u ) 在 N 上是强制的并且有下界。 证明：对任意 u ∈ N ，因为 s ∈ ( 3 4 ， 1 ) 和 q ∈ ( 1 ， 2 ) ，我们得到 J ( u ) = J ( u ) − 1 2 s * 〈 J ′ ( u ) ， u 〉 ≥ a s 3 ‖ u ‖ 2 − ( 1 q − 1 2 s * ) | f | ∞ C R 0 ， s ， q S μ ， s − q 2 ‖ u ‖ q ， 这就得出 J ( u ) 在 N 上是强制的并且有下界。证毕！ 对于任意 t > 0 ，Nehari流形 N 与纤维映射 φ u ( t ) = J ( t u ) 密切相关。众所周知，上述映射是由Drabek和Pohozaev [ 6 ] 提出，并且被Brown和Zhang [ 7 ] (或Chen等 [ 8 ] )进一步讨论了。对于任意 u ∈ H ˙ s ( ℝ 3 ) 我们有 φ u ( t ) = a 2 t 2 ‖ u ‖ 2 + 3 − 2 s 6 − 2 s b t 6 − 2 s 3 − 2 s ‖ u ‖ 6 − 2 s 3 − 2 s − t 2 s * 2 s * ∫ ℝ 3 | u | 2 s * d x − λ q t q ∫ ℝ 3 f ( x ) | u | q d x ， φ ′ u ( t ) = a t ‖ u ‖ 2 + b t 3 3 − 2 s ‖ u ‖ 6 − 2 s 3 − 2 s − t 2 s * − 1 ∫ ℝ 3 | u | 2 s * d x − λ t q − 1 ∫ ℝ 3 f ( x ) | u | q d x ， φ ″ u ( t ) = a ‖ u ‖ 2 + 3 b 3 − 2 s t 2 s 3 − 2 s ‖ u ‖ 6 − 2 s 3 − 2 s − ( 2 s * − 1 ) t 2 s * − 2 ∫ ℝ 3 | u | 2 s * d x − λ ( q − 1 ) t q − 2 ∫ ℝ 3 f ( x ) | u | q d x . 对于任意 u ∈ H ˙ s ( ℝ 3 ) \ { 0 } 和 t > 0 ，可得 t φ ′ u ( t ) = a t 2 ‖ u ‖ 2 + b t 6 − 2 s 3 − 2 s ‖ u ‖ 6 − 2 s 3 − 2 s − t 2 s * ∫ ℝ 3 | u | 2 s * d x − λ t q ∫ ℝ 3 f ( x ) | u | q d x ， 即当且仅当 t u ∈ N ，有 φ ′ u ( t ) = 0 。特别地，当且仅当 u ∈ N 时，有 φ ′ u ( 1 ) = 0 相似于Brown和Zhang [ 7 ] 的方法，我们将 N 分为三个部分： N + = { u ∈ N : φ ″ u ( t ) > 0 } ， N 0 = { u ∈ N : φ ″ u ( t ) = 0 } ， N − = { u ∈ N : φ ″ u ( t ) < 0 } . 因此，对于任意 u ∈ N ，可得 φ ″ u ( 1 ) = a ‖ u ‖ 2 + 3 b 3 − 2 s ‖ u ‖ 6 − 2 s 3 − 2 s − ( 2 s * − 1 ) ∫ ℝ 3 | u | 2 s * d x − λ ( q − 1 ) ∫ ℝ 3 f ( x ) | u | q d x = a ( 2 − q ) ‖ u ‖ 2 + b ( 6 − 2 s 3 − 2 s − q ) ‖ u ‖ 6 − 2 s 3 − 2 s − ( 2 s * − q ) ∫ ℝ 3 | u | 2 s * d x (2.4) = 4 a s 2 s − 3 ‖ u ‖ 2 + 2 b s 2 s − 3 ‖ u ‖ 6 − 2 s 3 − 2 s + ( 2 s * − q ) λ ∫ ℝ 3 f ( x ) | u | q d x . (2.5) 这与Brow和Zhang ( [ 7 ]，定理2.3)的论证相似，我们可以得到以下引理。 引理2.2假设 u ∈ H ˙ s ( ℝ 3 ) 是 J ( u ) 在 N 上的局部极小点且 u ∉ N 0 ，则在 ( H ˙ s ( ℝ 3 ) ) * 内有 J ′ ( u ) = 0 。 受上述引理启发，我们将在 N 0 = ∅ 成立下进行研究。 引理2.3假设 0 < λ < Λ 1 ≜ max { λ 1 ， λ 2 } ，则 N 0 = ∅ 。 证明：对任意 u ∈ N 0 ，由(2.4)和(2.5)可知 2 a b ( 2 − q ) ( 6 − 2 s 3 − 2 s − q ) ‖ u ‖ 6 − 3 s 3 − 2 s ≤ a ( 2 − q ) ‖ u ‖ 2 + b ( 6 − 2 s 3 − 2 s − q ) ‖ u ‖ 6 − 2 s 3 − 2 s = ( 2 s * − q ) ∫ ℝ 3 | u | 2 s * d x ≤ ( 2 s * − q ) S μ ， s − 2 s * 2 ‖ u ‖ 2 s * ， 且由(2.3)可知 4 s 3 − 2 s 2 a b ‖ u ‖ 6 − 3 s 3 − 2 s ≤ 4 a s 3 − 2 s ‖ u ‖ 2 + b 2 b s 3 − 2 s ‖ u ‖ 6 − 2 s 3 − 2 s = ( 2 s * − q ) λ ∫ ℝ 3 f ( x ) | u | q d x ≤ ( 2 s * − q ) λ | f | ∞ C R 0 ， s ， q S μ ， s − q 2 ‖ u ‖ q ， 这意味着 [ 2 a b ( 2 − q ) ( 6 − 2 s 3 − 2 s − q ) S μ ， s 2 s * 2 2 s * − q ] 3 s 3 − 2 s ≤ ‖ u ‖ ≤ [ ( 2 s * − q ) λ | f | ∞ C R 0 ， s ， q 4 s 3 − 2 s 2 a b S μ ， s q 2 ] 3 − 2 s 6 − 3 s − q ( 3 − 2 s ) . (2.6) 另一方面，由(2.4)和(2.5)还可以得到 a ( 2 − q ) ‖ u ‖ 2 ≤ a ( 2 − q ) ‖ u ‖ 2 + b ( 6 − 2 s 3 − 2 s − q ) ‖ u ‖ 6 − 2 s 3 − 2 s = ( 2 s * − q ) ∫ ℝ 3 | u | 2 s * d x ≤ ( 2 s * − q ) S μ ， s − 2 s * 2 ‖ u ‖ 2 s * ， 且由(2.3)还可知 4 a s 3 − 2 s ‖ u ‖ 2 ≤ 4 a s 3 − 2 s ‖ u ‖ 2 + 2 b s 3 − 2 s ‖ u ‖ 6 − 2 s 3 − 2 s = ( 2 s * − q ) λ ∫ ℝ 3 f ( x ) | u | q d x ≤ ( 2 s * − q ) λ | f | ∞ C R 0 ， s ， q S μ ， s − q 2 ‖ u ‖ q ， 这意味着 [ a ( 2 − q ) S μ ， s 2 s * 2 2 s * − q ] 3 − 2 s 4 s ≤ ‖ u ‖ ≤ [ ( 2 s * − q ) λ | f | ∞ C R 0 ， s ， q a 4 s 3 − 2 s S μ ， s q 2 ] 1 2 − q . (2.7) 结合(2.6)和(2.7)，得到 λ > Λ 1 ≜ max { λ 1 ， λ 2 } ，显然矛盾。因此对任意 0 < λ < Λ 1 ，都有 N 0 = ∅ 。 为了寻找(1.1)的解，我们还需要证明 N ± 非空。 引理2.4：假设(F)成立且 0 < λ < Λ 1 ，那么对任意 u ∈ H ˙ s ( ℝ 3 ) \ { 0 } ，存在 t 0 > 0 和唯一的 t + 和 t − ( 0 < t + < t 0 < t − )使得 t ± u ∈ N ± ， J ( t + u ) = inf 0 ≤ t ≤ t 0 J ( t u ) 和 J ( t − u ) = sup t ≥ t 0 J ( t u ) 。 证明：证明过程与( [ 8 ] Lemma 4.2]类似，故这里省略。 从引理2.3可知对任意 0 < λ < Λ 1 ，都有 N = N + ∪ N − 。由引理2.4可得 N ± ≠ ∅ 且由引理2.1我们可以定义 m = inf u ∈ N J ( u ) ， m + = inf u ∈ N + J ( u ) ， m − = inf u ∈ N − J ( u ) 。 引理2.5：在定理1.1的假设下，我们有 1) 若 0 < λ < Λ 1 = max { λ 1 ， λ 2 } ，则 m + < 0 ； 2) 若 0 < λ < Λ 2 ≜ max { q λ 1 / 2 6 − 2 s 3 − 2 s ， q λ 2 2 } ，则存在与b无关的 d 0 使得 m − > d 0 。特别地， m + = m < 0 < m − 。 证明：1) 对任意 u ∈ N + ，由(2.4)可得 a ( 2 − q ) ‖ u ‖ 2 + b ( 6 − 2 s 3 − 2 s − q ) ‖ u ‖ 6 − 2 s 3 − 2 s > ( 2 s * − q ) ∫ ℝ 3 | u | 2 s * d x ， 我们可以得到 J ( u ) = − a ( 2 − q ) 2 q ‖ u ‖ 2 − b [ 6 − 2 s − q ( 3 − 2 s ) ] q ( 6 − 2 s ) ‖ u ‖ 6 − 2 s 3 − 2 s + 2 s * − q 2 s * q ∫ ℝ 3 | u | 2 s * d x < a ( 2 − q ) ( 2 − 2 s * ) 2 q 2 s * ‖ u ‖ 2 − 2 b s [ 6 − 2 s − q ( 3 − 2 s ) ] q 2 s * ( 6 − 2 s ) ( 3 − 2 s ) ‖ u ‖ 6 − 2 s 3 − 2 s < 0 ， 所以 m + < 0 。 2) 我们分两种情形进行讨论。 情形1： 0 < λ < q λ 1 / 2 6 − 2 s 3 − 2 s 由(2.6)可知，对任意 u ∈ N − ，我们有 ‖ u ‖ > [ 2 a b ( 2 − q ) ( 6 − 2 s 3 − 2 s − q ) S μ ， s 2 s * 2 2 s * − q ] 3 s 3 − 2 s . (2.8) 则对任意 u ∈ N − ⊂ N 和(2.3)可得 J ( u ) = a ( 2 s * − 2 ) 2 ⋅ 2 s * ‖ u ‖ 2 + s ( 3 − s ) 2 s * b ‖ u ‖ 6 − 2 s 3 − 2 s − λ ( 2 s * − q ) q 2 s * ∫ ℝ 3 f ( x ) | u | q d x ≥ ‖ u ‖ q [ 2 a b ( 2 s * − 2 ) s 2 s * 6 − 2 s ‖ u ‖ 6 − 3 s 3 − 2 s − q − λ ( 2 s * − q ) q 2 s * | f | ∞ C R 0 ， s ， q S μ ， s − q 2 ] . (2.9) 结合(2.8)和(2.9)，可得若 0 < λ < q λ 1 / 2 6 − 2 s 3 − 2 s ，存在与b无关的 d 0 使得 m − > d 0 。 情形2： 0 < λ < q λ 2 / 2 由(2.7)可知，对任意 u ∈ N − ，我们有 ‖ u ‖ > [ a ( 2 − q ) S μ ， s 2 s * 2 2 s * − q ] 3 − 2 s 4 s . (2.10) 则对任意 u ∈ N − ⊂ N 和(2.3)可得 J ( u ) = a ( 2 s * − 2 ) 2 ⋅ 2 s * ‖ u ‖ 2 + s ( 3 − s ) 2 s * b ‖ u ‖ 6 − 2 s 3 − 2 s − λ ( 2 s * − q ) q 2 s * ∫ ℝ 3 f ( x ) | u | q d x ≥ ‖ u ‖ q [ a ( 2 s * − 2 ) 2 ⋅ 2 s * ‖ u ‖ 2 − q − λ ( 2 s * − q ) q 2 s * | f | ∞ C R 0 ， s ， q S μ ， s − q 2 ] . (2.11) 结合(2.10)和(2.11)，可得若 0 < λ < q λ 2 / 2 ，存在与b无关的 d 0 使得 m − > d 0 。