system: [SYSTEM]

user: 3. 主要结果 在这一部分中，给出使参数不确定时滞混沌Lur’e系统基于事件触发机制的采样控制器设计实现主从同步的方法，建立闭环系统(14)收敛的充分条件。 定理1：对于给定的标量 h > 0 ， τ 2 ≥ τ 1 ≥ 0 ， μ i > 0 ， κ i > 0 ( i = 1 ， 2 ) ，如果存在适当维数的矩阵 P > 0 ， Q > 0 ， R i > 0   ( i = 1 ， 2 ， 3 ) ， J i > 0 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 6 ) ， Θ i > 0 (   i = 1 ， 2 ， 3 ) ， J ¯ i = d i a g ( J i ， 3 J i ， 5 J i ) ( i = 4 ， 6 ) ，任意适当维数矩阵 X ， P i ( i = 1 ， 2 ) 和G，使得下列LMIs是可行的： ( P + h ( X 1 T + X 1 − X 2 T − X 2 ) 2 h X 2 h X 3 ∗ − h ( X 1 T + X 1 + X 2 T + X 2 ) 2 h X 4 ∗ ∗ h ( X 5 T + X 5 ) ) > 0 (15) ( Ψ 1 + Ψ i + Ψ 4 ， 1 P 2 L M ε N T ∗ J ¯ 4 0 0 ∗ ∗ − ε I 0 ∗ ∗ ∗ − ε I ) < 0 (16) ( Ψ 1 + Ψ i + Ψ 4 ， 2 P 1 T L M ε N T ∗ J ¯ 4 + J ¯ 6 0 0 ∗ ∗ − ε I 0 ∗ ∗ ∗ − ε I ) < 0 (17) 0元素除外， Ψ 1 = [ Ψ i j ] 16 × 16 的剩余元素如下： Ψ 11 = S y m { ( X 2 − X 1 ) / 2 − D T K 2 T F K 1 D + G A } − 6 R 3 − ( π 2 / 4 ) Q + J 1 − 9 J 3 − 6 J 5 ， Ψ 12 = 3 J 3 ， Ψ 13 = G B ， Ψ 15 = − X 2 + π 2 4 Q + A T G T − Y C ， Ψ 16 = G E + D T K 1 T F T + D T K 2 T F ， Ψ 17 = − 24 J 3 − 6 J 5 ， Ψ 1 ， 10 = ( h 2 / 4 ) S y m { X 5 } − R 22 − 6 R 3 ， Ψ 1 ， 11 = 30 J 3 + 12 J 5 ， Ψ 1 ， 14 = 12 R 3 ， Ψ 1 ， 15 = P + D T K 2 Λ D − D T K 1 Δ D − G + A T G T ， Ψ 1 ， 16 = Y C ， Ψ 2 ， 2 = − J 1 + J 2 − 9 J 3 − 6 J 6 ， Ψ 2 ， 7 = 30 J 3 ， Ψ 2 ， 8 = − 6 J 6 ， Ψ 2 ， 11 = − 30 J 3 ， Ψ 2 ， 12 = 12 J 6 ， Ψ 3 ， 3 = − 6 J 6 ， Ψ 3 ， 5 = B T G T ， Ψ 3 ， 9 = − 6 J 6 ， Ψ 3 ， 13 = 12 J 6 ， Ψ 3 ， 15 = B T G T ， Ψ 4 ， 4 = − J 2 ， Ψ 5 ， 5 = − S y m { Y C − X 1 + X 2 2 } − π 2 4 Q + ( 1 + u 2 k 2 ) Θ 2 + ( 1 + u 1 k 1 ) Θ 3 ， Ψ 5 ， 6 = G E ， Ψ 5 ， 15 = − G − C T Y T ， Ψ 5 ， 16 = − ( 1 + u 1 k 1 ) Θ 3 + Y C ， Ψ 6 ， 6 = − S y m { F } ， Ψ 6 ， 15 = − Λ D + Δ D + E T G T ， Ψ 7 ， 7 = − 192 J 3 − 18 J 5 ， Ψ 7 ， 11 = 180 J 3 + 24 J 5 ， Ψ 8 ， 8 = − 18 J 6 ， Ψ 8 ， 12 = 24 J 6 ， Ψ 9 ， 9 = − 18 J 6 ， Ψ 9 ， 13 = 24 J 6 ， Ψ 10 ， 10 = − 18 R 3 ， Ψ 10 ， 14 = 24 R 3 ， Ψ 10 ， 15 = h 2 4 X 3 T ， Ψ 11 ， 11 = − 180 J 3 − 36 J 5 ， Ψ 12 ， 12 = − 36 J 6 ， Ψ 13 ， 13 = − 36 J 6 ， Ψ 14 ， 14 = − 36 R 3 ， Ψ 15 ， 15 = h 2 Q + h 2 4 R 3 + τ 1 2 J 3 + ( τ 2 − τ 1 ) 2 J 4 + τ 1 2 2 J 5 + τ 2 2 − τ 1 2 2 J 6 − S y m { G } ， Ψ 15 ， 16 = Y C ， Ψ 16 ， 16 = ( 1 + μ 1 k 1 ) Θ 3 − ( μ 1 + μ 2 ) Θ 1 Ψ 2 = Ψ 1 + e 1 T h ( R 1 + R 21 + S y m { X 3 } ) e 1 + e 1 T h ( X 4 T + R 22 ) e 5 + e 1 T S y m { h ( X 1 − X 2 ) / 2 } e 15 + e 5 T h R 23 e 5             + e 5 T h X 2 T e 15 + e 15 T h R 2 e 15 Ψ 3 = Ψ 1 − e 1 T h X 3 e 10 − e 5 T h R 23 e 5 − e 5 T h X 4 e 10 − 4 h e 10 T ( R 1 + R 21 ) e 10 − e 10 T S y m { h 2 X 5 } e 10 − 3 h e 14 T ( R 1 + R 21 ) e 14 Ψ 4 ( τ ( t ) ) = − [ E 1 T ( J ¯ 4 + J ¯ 6 ) E 1 + E 2 T J ¯ 4 E 2 − E 1 T J ¯ 6 E 1 ]                               − τ 2 − τ ( t ) τ 2 − τ 1 ( E 1 E 2 ) T ( J ¯ 4 + J ¯ 6 − P 2 J ¯ 4 − 1 P 2 T P 1 ∗ 0 ) ( E 1 E 2 )                               − τ ( t ) − τ 1 τ 2 − τ 1 ( E 1 E 2 ) T ( 0 P 2 ∗ J ¯ 4 − P 1 T ( J ¯ 4 + J ¯ 6 ) − 1 P 1 ) ( E 1 E 2 ) Ψ 4 ， 1 = ( E 1 E 2 ) T ( 2 J ¯ 4 + J ¯ 6 P 1 ∗ J ¯ 4 ) ( E 1 E 2 ) ， Ψ 4 ， 2 = ( E 1 E 2 ) T ( J ¯ 4 P 2 ∗ 2 J ¯ 4 1 ) ( E 1 E 2 ) 则误差系统(14)是全局渐近稳定。且时滞反馈控制增益矩阵为： K = G − 1 Y 证明：构造的Lyapunov-Krasovskii泛函如下： V ( t ) = ∑ i = 1 7 V i ( t ) (18) V 1 ( t ) = e T ( t ) P e ( t ) + ( h − r ( t ) ) η 1 T ( t ) X η 1 ( t ) V 2 ( t ) = 2 ∑ i = 1 m ∫ 0 d i T e λ i [ k i + s − g i ( s ) ] d s + 2 ∑ i = 1 m ∫ 0 d i T Z ( t ) δ i [ g i ( s ) − k i − s ] d s V 3 ( t ) = ( h − r ( t ) ) ∫ t s t e T ( s ) R 1 e ( s ) d s + ( h − r ( t ) ) ∫ t s t [ e T ( s )       e T ( t s ) ] R 2 [ e T ( s )       e T ( t s ) ] T d s V 4 ( t ) = ( h − r ( t ) ) ∫ t s t ∫ θ t e ˙ T ( s ) R 3 e ˙ ( s ) d s d θ V 5 ( t ) = h 2 ∫ t s t e ˙ T ( s ) Q e ˙ ( S ) d s − π 2 4 ∫ t s t [ e ( t ) − e ( t s ) ] T Q [ e ( t ) − e ( t s ) ] d s V 6 ( t ) = ∫ t − τ 1 t e T ( s )   J 1 e ( s ) d s + ∫ t − τ 2 t − τ 1 e T ( s )   J 2 e ( s ) d s                     + τ 1 ∫ t − τ 1 t ∫ θ t e ˙ T ( s )   J 3 e ˙ ( s ) d s d θ + ( τ 2 − τ 1 ) ∫ t − τ 2 t − τ 1 ∫ θ t e ˙ T ( s )   J 4 e ˙ ( s ) d s d θ                     + ∫ t − τ 1 t ∫ ρ t ∫ θ t e ˙ T ( s )   J 5 e ˙ ( s ) d s d θ d ρ + ∫ t − τ 2 t − τ 1 ∫ ρ t − τ 1 ∫ θ t e ˙ T ( s )   J 6 e ˙ ( s ) d s d θ d ρ V 7 ( t ) = 1 2 σ 1 2 ( t ) + 1 2 σ 2 2 ( t ) 沿着误差系统(14)的轨线，求 V ( t ) 关于时间的导数： V ˙ 1 ( t ) = 2 e T ( t ) P e ˙ ( t ) − η 1 T ( t ) X η 1 ( t ) + 2 ( h − r ( t ) ) η 1 T ( t ) X η ˙ 1 ( t ) (19) V ˙ 2 ( t ) = 2 [ ( e T ( t ) D T K 2 − g T ( D T e ( t ) ) ) Λ D e ˙ ( t ) + ( g T ( D T e ( t ) ) − e T ( t ) D T K 1 ) Δ D e ˙ ( t ) ] (20) V ˙ 3 ( t ) = ( h − r ( t ) ) e T ( t ) R 1 e ( t ) − ∫ t s t e T ( s ) R 1 e ( s ) d s     − ∫ t s t [ e T ( s )         e T ( t s ) ]   R 2 [ e T ( s )         e T ( t s ) ] T d s     + ( h − r ( t ) ) [ e T ( t )         e T ( t s ) ] R 2 [ e T ( t )         e T ( t s ) ] T (21) = ( h − r ( t ) ) e T ( t ) R 1 e ( t ) − ∫ t s t e T ( s ) R 1 e ( s ) d s − ∫ t s t e T ( s )   R 21 e ( s ) d s     − 2 ∫ t s t e T ( s )   d s R 22 e ( t s ) − r ( t ) e T ( t s ) R 23 e ( t s )     + ( h − r ( t ) ) [ e T ( t ) R 21 e ( t ) + 2 e T ( t ) R 22 e ( t s ) + e T ( t s ) R 23 e ( t s ) ] V ˙ 4 ( t ) = ( h − r ( t ) ) r ( t ) e ˙ T ( t ) R 3 e ˙ ( t ) − ∫ t s t ∫ θ t e ˙ T ( s ) R 3 e ˙ ( s ) d s d θ                 ≤ h 2 4 e ˙ T ( t ) R 3 e ˙ ( t ) − ∫ t s t ∫ θ t e ˙ T ( s ) R 3 e ˙ ( s ) d s d θ (22) V ˙ 5 ( t ) = h 2 e ˙ T ( t ) Q e ˙ T ( t ) − π 2 4 [ e ( t ) − e ( t s ) ] T Q [ e ( t ) − e ( t s ) ] (23) V ˙ 6 ( t ) = e T ( t ) J 1 e ( t ) − e T ( t − τ 1 ) J 1 e ( t − τ 1 ) + e T ( t − τ 1 ) J 2 e ( t − τ 1 ) − e T ( t − τ 2 ) J 2 e ( t − τ 2 )                     + τ 1 2 e ˙ T ( t ) J 3 e ˙ ( t ) − τ 1 ∫ t − τ 1 t e ˙ T ( s )   J 3 e ˙ ( s ) d s + ( τ 2 − τ 1 ) 2 e ˙ T ( t ) J 4 e ˙ ( t )                     − ( τ 2 − τ 1 ) ∫ t − τ 2 t − τ 1 e ˙ T ( s )   J 4 e ˙ ( s ) d s + τ 1 2 2 e ˙ T ( t ) J 5 e ˙ ( t ) − ∫ t − τ 1 t ∫ θ t e ˙ T ( s )   J 5 e ˙ ( s ) d s d θ                     + τ 2 2 − τ 1 2 2 e ˙ T ( t ) J 6 e ˙ ( t ) − ∫ t − τ 2 t − τ 1 ∫ θ t − τ 1 e ˙ T ( s ) J 6 e ˙ ( s )   d s d θ (24) V ˙ 7 ( t ) = σ 1 ( t ) σ ˙ 1 ( t ) + σ 2 ( t ) σ ˙ 2 ( t )                                             = [ 1 σ 1 ( t ) − μ 1 ] [ ε T ( t s ) Θ 1 ε ( t s ) − κ 1 e T ( t k ) Θ 3 e ( t k ) ]                     + [ 1 σ 2 ( t ) − μ 2 ] [ ε T ( t s ) Θ 1 ε ( t s ) − κ 2 e T ( t s ) Θ 2 e ( t s ) ] (25) ≤ e T ( t s ) Θ 2 e ( t s ) + σ 2 ( t ) − κ 1 σ 1 ( t ) e T ( t k ) Θ 3 e ( t k ) − μ 1 [ ε T ( t s ) Θ 1 ε ( t s ) − κ 1 e T ( t k ) Θ 3 e ( t k ) ] + e T ( t k ) Θ 3 e ( t k ) + σ 1 ( t ) − κ 2 σ 2 ( t ) e T ( t s ) Θ 2 e ( t s ) − μ 2 [ ε T ( t s ) Θ 1 ε ( t s ) − κ 2 e T ( t s ) Θ 2 e ( t s ) ] ≤ ( 1 + μ 2 κ 2 ) e T ( t s ) Θ 2 e ( t s ) + ( 1 + μ 1 κ 1 ) e T ( t k ) Θ 3 e ( t k ) − ( μ 1 + μ 2 ) ε T ( t s ) Θ 1 ε ( t s ) 根据引理1可得 − ∫ t s t e T ( s ) R 1 e ( s ) d s ≤ − 1 t − t s ∫ t s t e T ( s ) d s R 1 ∫ t s t e ( s )   d s       − 3 t − t s [ ∫ t s t e T ( s ) d s − 2 t − t s ∫ t − t s t ∫ θ t e T ( s ) d s d θ ] R 1 [ ∫ t s t e ( s ) d s − 2 t − t s ∫ t − t s t ∫ θ t e ( s ) d s d θ ] (26) − ∫ t s t e T ( s ) R 21 e ( s ) d s ≤ − 1 t − t s ∫ t s t e T ( s ) d s R 21 ∫ t s t e ( s )   d s       − 3 t − t s [ ∫ t s t e T ( s ) d s − 2 t − t s ∫ t − t s t ∫ θ t e T ( s ) d s d θ ] R 21 [ ∫ t s t e ( s ) d s − 2 t − t s ∫ t − t s t ∫ θ t e ( s ) d s d θ ] (27) 根据引理2得 − ∫ t − τ 1 t e ˙ T ( s ) J 3 e ˙ ( s ) d s ≤ − 1 τ 1 [ e ( t ) − e ( t − t 1 ) ] T J 3 [ e ( t ) − e ( t − t 1 ) ]       − 3 τ 1 [ e ( t ) + e ( t − t 1 ) − 2 τ 1 ∫ t − τ 1 t e ( s ) d s ] T J 3 [ e ( t ) + e ( t − t 1 ) − 2 τ 1 ∫ t − τ 1 t e ( s ) d s ]       − 5 τ 1 [ e ( t ) − e ( t − t 1 ) + 6 τ 1 ∫ t − τ 1 t e ( s ) d s − 12 τ 1 2 ∫ t − τ 1 t ∫ θ t e ( s ) d s d θ ] T J 3                 ​     [ e ( t ) − e ( t − t 1 ) + 6 τ 1 ∫ t − τ 1 t e ( s ) d s − 12 τ 1 2 ∫ t − τ 1 t ∫ θ t e ( s ) d s d θ ] (28) − ∫ t s t ∫ θ t e ˙ T ( s ) R 3 e ˙ ( s ) d s d θ ≤ − 2 [ e ( t ) − 1 t − t s ∫ t s t e ( s ) d s ] T R 3 [ e ( t ) − 1 t − t s ∫ t s t e ( s ) d s ]       − 4 [ e ( t ) + 2 t − t s ∫ t s t e ( s ) d s − 6 ( t − t s ) 2 ∫ t s t ∫ θ t e ( s ) d s d θ ] T R 3                 [ e ( t ) + 2 t − t s ∫ t s t e ( s ) d s − 6 ( t − t s ) 2 ∫ t s t ∫ θ t e ( s ) d s d θ ] (29) − ∫ t − τ 1 t ∫ θ t e ˙ T ( s )   J 5 e ˙ ( s ) d s d θ ≤ − 2 [ e ( t ) − 1 τ 1 ∫ t − τ 1 t e ( s ) d s ] T J 5 [ e ( t ) − 1 τ 1 ∫ t − τ 1 t e ( s ) d s ]       − 4 [ e ( t ) + 2 τ 1 ∫ t − τ 1 t e ( s ) d s − 6 τ 1 2 ∫ t − τ 1 t ∫ θ t e ( s )   d s d θ ] T J 5                 [ e ( t ) + 2 τ 1 ∫ t − τ 1 t e ( s ) d s − 6 τ 1 2 ∫ t − τ 1 t ∫ s t e ( s )   d s d θ ] (30) − ∫ t − τ 2 t − τ 1 ∫ θ t − τ 1 e ˙ T ( s ) J 6 e ˙ ( s )   d s d θ = − ( ∫ t − τ ( t ) t − τ 1 ∫ θ t − τ 1 + ∫ t − τ 2 t − τ ( t ) ∫ θ t − τ ( t ) + ∫ t − τ 2 t − τ ( t ) ∫ t − τ ( t ) t − τ 1 ) e ˙ T ( s ) J 6 e ˙ ( s ) d s d θ ≤ − 2 [ e ( t − τ 1 ) − 1 τ ( t ) − τ 1 ∫ t − τ ( t ) t − τ 1 e ( s )   d s ] T J 6 [ e ( t − τ 1 ) − 1 τ ( t ) − τ 1 ∫ t − τ ( t ) t − τ 1 e ( s )   d s ]     − 4 [ e ( t − τ 1 ) + 2 τ ( t ) − τ 1 ∫ t − τ ( t ) t − τ 1 e ( s )   d s − 6 [ τ ( t ) − τ 1 ] 2 ∫ t − τ ( t ) t − τ 1 ∫ θ t − τ 1 e ( s )   d s d θ ] T J 6               [ e ( t − τ 1 ) + 2 τ ( t ) − τ 1 ∫ t − τ ( t ) t − τ 1 e ( s )   d s − 6 [ τ ( t ) − τ 1 ] 2 ∫ t − τ ( t ) t − τ 1 ∫ θ t − τ 1 e ( s )   d s d θ ] − 2 [ e ( t − τ ( t ) ) − 1 τ 2 − τ ( t ) ∫ t − τ 2 t − τ ( t ) e ( s )   d s ] T J 6 [ e ( t − τ ( t ) ) − 1 τ 2 − τ ( t ) ∫ t − τ 2 t − τ ( t ) e ( s )   d s ]   − 4 [ e ( t − τ ( t ) ) + 2 τ 2 − τ ( t ) ∫ t − τ 2 t − τ ( t ) e ( s )   d s − 6 [ τ 2 − τ ( t ) ] 2 ∫ t − τ 2 t − τ ( t ) ∫ θ t − τ ( t ) e ( s )   d s d θ ] T J 6             [ e ( t − τ ( t ) ) + 2 τ 2 − τ ( t ) ∫ t − τ 2 t − τ ( t ) e ( s )   d s − 6 [ τ 2 − τ ( t ) ] 2 ∫ t − τ 2 t − τ ( t ) ∫ θ t − τ ( t ) e ( s )   d s d θ ]   − ( τ 2 − τ ( t ) ) ∫ t − τ ( t ) t − τ 1 e ˙ T ( s ) J 6 e ˙ ( s ) d s (31) 根据引理3可得 − ( τ 2 − τ 1 ) ∫ t − τ 2 t − τ 1 e ˙ T ( s )   J 4 e ˙ ( s ) d s − ( τ 2 − τ ( t ) ) ∫ t − τ ( t ) t − τ 1 e ˙ T ( s ) J 6 e ˙ ( s ) d s = − ( τ 2 − τ 1 ) [     ∫ t − τ ( t ) t − τ 1 + ∫ t − τ 2 t − τ ( t ) ] e ˙ T ( s ) J 4 e ˙ ( s ) d s − ( τ 2 − τ ( t ) ) ∫ t − τ ( t ) t − τ 1 e ˙ T ( s ) J 6 e ˙ ( s ) d s = − 1 ρ 1 ( τ ( t ) − τ 1 ) ∫ t − τ ( t ) t − τ 1 e ˙ T ( s ) J 4 e ˙ ( s )   d s − 1 ρ 2 ( τ 2 − τ ( t ) ) ∫ t − τ 2 t − τ ( t ) e ˙ T ( s ) J 4 e ˙ ( s ) d s       − 1 − ρ 1 ρ 1 ( τ ( t ) − τ 1 ) ∫ t − τ ( t ) t − τ 1 e ˙ T ( s ) J 6 e ˙ ( s )   d s ≤ − ξ T ( t ) [ E 1 T ( J ¯ 4 + J ¯ 6 ) E 1 + E 2 T J ¯ 4 E 2 − E 1 T J ¯ 6 E 1 ] ξ ( t )     − ξ T ( t ) [ ρ 2 ( E 1 E 2 ) T ( J ¯ 4 + J ¯ 6 − P 2 J ¯ 4 − 1 P 2 T P 1 ∗ 0 ) ( E 1 E 2 ) ] ξ T ( t )     − ξ T ( t ) [ ρ 1 ( E 1 E 2 ) T ( 0 P 2 ∗ J ¯ 4 − P 1 T ( J ¯ 4 + J ¯ 6 ) − 1 P 1 ) ( E 1 E 2 ) ] ξ T ( t ) (32) 0 = 2 [ e T ( t ) + e ˙ T ( t ) + e T ( t s ) ] G × [ − e ˙ ( t ) + ( A + Δ A ( t ) ) e ( t ) + ( B + Δ B ( t ) ) e ( t − τ ( t ) )                                                                                               + ( E + Δ E ( t ) ) g ( D e ( t ) ) − K C ( e ( t s ) − ε ( t s ) ) ] (33) 0 ≤ − 2 [ g ( D e ( t ) ) − K 2 D e ( t ) ] T F [ g ( D e ( t ) ) − K 1 D e ( t ) ] . (34) 综上证明可得 V ˙ ( t ) ≤ ξ T ( t ) [ Ψ 1 + h − r ( t ) h Ψ 2 + r ( t ) h Ψ 3 + Ψ 4 ( τ ( t ) ) + L M Δ ( t ) N + N T Δ T ( t ) M T L T ] ξ ( t ) (35) 根据引理4可得 V ˙ ( t ) ≤ ξ T ( t ) [ Ψ 1 + h − r ( t ) h Ψ 2 + r ( t ) h Ψ 3 + Ψ 4 ( τ ( t ) ) + ε − 1 L M M T + ε N T N ] ξ ( t ) (36) 基于引理5和6可知，若 Ψ 1 + h − r ( t ) h Ψ 2 + r ( t ) h Ψ 3 + Ψ 4 ( τ ( t ) ) + ε − 1 L M M T L T + ε N T N ≤ 0 成立，当且仅当下式成立： Ψ 1 + Ψ i + Ψ 4 ( τ ( t ) ) + ε − 1 L M M T L T + ε N T N ≤ 0       i = 2 ， 3 ; τ ( t ) 取 值 τ 1 ， τ 2 (37)