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user: 3. 模型及其适定性 不要使用空格、制表符设置段落缩进，不要通过连续的回车符(换行符)调整段间距。 这部分首先给出模型(1)的害虫灭绝周期解，通过脉冲微分方程的比较原理和Floquet理论及得到了周期解不稳定和全局渐进稳定的条件。 定理3.1 模型(1)有一个害虫灭绝周期解 ( 0 ， x ˜ 2 ( t ) ， y ˜ ( t ) ) ；且对于(1)的每一个解 y ( t ) → y ˜ ( t ) ， ( t → ∞ ) ； x 2 ( t ) → x ˜ 2 ( t ) ， ( t → ∞ ， β < 0 ) ，其中： x ˜ 2 ( t ) = p 2 e β ( t − n τ ) 1 − e β τ ， t ∈ ( n τ ， ( n + 1 ) τ ) ， y ˜ ( t ) = p e − μ ( t − n τ ) 1 − e − μ τ ， t ∈ ( n τ ， ( n + 1 ) τ ) ， x 2 ( t ) = x ˜ 2 ( t ) + ( x 2 ( 0 + ) − p 2 1 − e β τ ) e β ( t − n τ ) ， y ( t ) = y ˜ ( t ) + ( y ( 0 + ) − p 1 − e − μ τ ) e − μ ( t − n τ ) 。 证明：当 x 1 ( t ) = 0 时，考虑(1)的子系统： { y ˙ ( t ) = − μ y ( t ) ， t ≠ n τ Δ y ( t ) = p ， t = n τ (2) 容易得到(2)的一个正周期解： { y ˜ ( t ) = p e − μ ( t − n τ ) 1 − e − μ τ ，       t ∈ ( n τ ， ( n + 1 ) τ ) y ( 0 + ) = p 1 − e − μ τ 因此，(2)的任一解可以表示为： y ( t ) = y ˜ ( t ) + ( y ( 0 + ) − p 1 − e − μ τ ) e − μ ( t − n τ ) 显然 lim t → ∞ y ( t ) = y ˜ ( t ) 。 考虑(1)的另一个子系统 { x ˙ 2 ( t ) = β x 2 ( t ) ， t ≠ n τ Δ x 2 ( t ) = p 2 ， t = n τ (3) 同样的方法，可以得到(3)的正周期解和任一解的表达式： { x ˜ 2 ( t ) = p 2 e β ( t − n τ ) 1 − e β τ ，     t ∈ ( n τ ， ( n + 1 ) τ ) x 2 ( 0 + ) = p 2 1 − e β τ x 2 ( t ) = x ˜ 2 ( t ) + ( x 2 ( 0 + ) − p 2 1 − e β τ ) e β ( t − n τ ) 若 β < 0 ， lim t → ∞ x 2 ( t ) = x ˜ 2 ( t ) ，从而得到(1)的一个害虫灭绝的周期解 ( 0 ， x ˜ 2 ( t ) ， y ˜ ( t ) ) . 证毕。 定理3.2 对于系统(1)的害虫灭绝周期解 ( 0 ， x ˜ 2 ( t ) ， y ˜ ( t ) ) ： 1) 若 β > 0 ，则 ( 0 ， x ˜ 2 ( t ) ， y ˜ ( t ) ) 是不稳定的； 2) 若 β = 0 ， p ≥ α μ τ η e μ n τ ，则 ( 0 ， x ˜ 2 ( t ) ， y ˜ ( t ) ) 是稳定的； 3) 若 β < 0 ， p > α β μ τ − γ p 2 μ e − β n τ η e μ n τ ，则 ( 0 ， x ˜ 2 ( t ) ， y ˜ ( t ) ) 是全局渐进稳定的。 为了证明定理方便，我们首先引入如下引理。 引理3.1 [ 5 ] 对于齐次线性T-周期脉冲微分方程： { d x d t = A ( t ) x ， t ≠ t k ， t ∈ R Δ x = B k x ， t = t k ， k ∈ Z (4) 假设有下面的条件： H 1 : A ( · ) ∈ P C ( R ， C n × n ) ， A ( t + T ) = A ( t )     ( t ∈ R ) ; H 2 : B k ∈ C n × n ， det ( E + B k ) ≠ 0 ， t k < t k + 1     ( k ∈ Z ) ; H 3 : ∃ q ∈ N ， 使 得 B k + q = B k ， t k + q = t k + T ，     ( k ∈ Z ) . 若H 1 ~H 3 均成立，则(4)的每一个基解矩阵都可以表示为如下形式： X ( t ) = Φ ( t ) e G t ， ( t ∈ R ) (5) 其中 G ∈ C n × n 是常值矩阵， Φ ( · ) ∈ P C 1 ( R ， C n × n ) 为可逆矩阵且是T-周期的。 下面开始证明定理： 首先，作变换 s ( t ) = x 1 ( t ) ， u ( t ) = x 2 ( t ) − x ˜ 2 ( t ) ， v ( t ) = y ( t ) − y ˜ ( t ) ，则(3.1)在 ( 0 ， x ˜ 2 ( t ) ， y ˜ ( t ) ) 处的近似线性系统为： ( s ˙ ( t ) u ˙ ( t ) v ˙ ( t ) ) = ( α − η y ˜ ( t ) + γ x ˜ 2 ( t ) 0 0 − μ 2 x ˜ 2 ( t ) β 0 d η y ˜ ( t ) 0 − μ ) ( s ( t ) u ( t ) v ( t ) ) 容易得到满足 Φ ( 0 ) = E 的基解矩阵为： Φ ( t ) = ( e ∫ 0 τ ( α − η y ˜ ( s ) + γ x ˜ 2 ( s ) ) d s 0 0 * e β t 0 * * 0 e − μ t ) 在下面的计算中没有用到的式子我们用 * ， * * 表示。 模型(1)的线性脉冲条件为： ( s ( ( n τ ) + ) u ( ( n τ ) + ) v ( ( n τ ) + ) ) = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) ( s ( n τ ) u ( n τ ) v ( n τ ) ) 单值矩阵 M = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) Φ ( τ ) = ( e ∫ 0 τ ( α − η y ˜ ( s ) + γ x ˜ 2 ( s ) ) d s 0 0 * e β t 0 * * 0 e − μ t ) 的特征值为： λ 1 = ∫ 0 τ ( α − η y ˜ ( s ) + γ x ˜ 2 ( s ) ) d s ， λ 2 = e β t ， λ 3 = e − μ t < 1 ，由引理3.1： 1) 当 β > 0 时， λ 2 = e β t > 1 ，则 ( 0 ， x ˜ 2 ( t ) ， y ˜ ( t ) ) 是不稳定的； 2) 当 β = 0 ， λ 1 = e ∫ 0 τ ( α − η p exp { − μ ( s − n τ ) } 1 − exp { − μ τ } ) d s ， λ 2 = e β t = 1 ，当 p ≥ α μ τ η e μ n τ 时， λ 1 ≤ 1 ， ( 0 ， x ˜ 2 ( t ) ， y ˜ ( t ) ) 是稳定的； 3) 当 β < 0 ， λ 2 = e β t ≤ 1 ， λ 1 = exp { ∫ 0 τ ( α − η p exp { − μ ( s − n τ ) } 1 − exp { − μ τ } + γ p 2 exp { β ( s − n τ ) } 1 − exp { β τ } ) d s } 所以当 p > α β μ τ − γ p 2 μ e − β n τ η e μ n τ 时， λ 1 < 1 ，从而 ( 0 ， x ˜ 2 ( t ) ， y ˜ ( t ) ) 是全局渐进稳定的。 下面证明当 β < 0 时， ( 0 ， x ˜ 2 ( t ) ， y ˜ ( t ) ) 是全局吸引的。 根据已知条件选取 ε > 0 ，使得 σ = exp ( ∫ n τ ( n + 1 ) τ ( α − η ( y ˜ ( t ) − ε ) + γ ( x ˜ 2 ( t ) + ε ) ) d t ) < 1 注意到 y ˙ ( t ) ≥ − μ y ( t ) ， x ˙ 2 ( t ) ≤ β x 2 ( t ) ， ( β < 0 ) 。考虑脉冲微分方程 { z ˙ ( t ) = − μ z ( t ) ， t ≠ n τ Δ z ( t ) = p ， t = n τ (6) { u ˙ ( t ) = β u ( t ) ， t ≠ n τ Δ z ( t ) = p 2 ， t = n τ (7) 由文献 [ 6 ] 定理容易看出，当t充分大时 y ( t ) ≥ z ( t ) > y ˜ ( t ) − ε (8) x 2 ( t ) ≤ u ( t ) < x ˜ 2 ( t ) + ε (9) 不失一般性，我们假设 t ≥ 0 时，(8)式和(9)式成立，由(1)得 { x ˙ 1 ( t ) ≤ x 1 ( t ) [ α − η ( y ˜ ( t ) − ε ) + γ ( x ˜ 2 ( t ) + ε ) ] ， t ≠ n τ Δ x 1 ( t ) = 0 ， t = n τ (10) 在 ( n τ ， ( n + 1 ) τ ) 上对(10)积分得： x 1 ( ( n + 1 ) τ ) ≤ x 1 ( n τ ) e ∫ n n + 1 ( α − η ( y ˜ ( t ) − ε ) + γ ( x ˜ 2 ( t ) + ε ) ) d t = x 1 ( n τ ) σ (11) 所以 x 1 ( n τ ) ≤ x 1 ( 0 + ) σ n ，于是当 n → ∞ 时， x 1 ( n τ ) → 0 。当 t ∈ ( n τ ， ( n + 1 ) τ ) 时， 0 < x 1 ( t ) ≤ x 1 ( n τ ) e α τ 所以，当 n → ∞ 时， x 1 ( t ) → 0 。 令 m 1 = p exp { − μ τ } 1 − exp { − μ τ } − ε > 0 ， ε 为任意小的正数，由于当t充分大时，对任意的 ε > 0 ， y ( t ) > y ˜ ( t ) − ε ，进而 y ( t ) ≥ m 1 。不妨设当 t ≥ 0 时， y ( t ) ≥ m 1 。对于 0 < ε 1 < μ m 1 d η ，存在 τ 0 > 0 使得当 t ≥ τ 0 时， 0 < x 1 ( t ) < ε 1 。不妨设 t > 0 时， 0 < x 1 ( t ) < ε 1 ，由(1)得 − μ y ( t ) ≤ y ˙ ( t ) ≤ y ( t ) ( − μ + d η ε 1 m 1 ) 。由引理3.2得 z ( t ) ≤ y ( t ) ≤ ω ( t ) ，且 n → ∞ 时 z ( t ) → y ˜ ( t ) ， ω ( t ) → ω ˜ ( t ) 。其中 z ( t ) ， ω ( t ) 分别为(6)和下面脉冲微分方程的解： { ω ˙ ( t ) = ω ( t ) ( − μ + d η ε 1 m 1 ) ， t ≠ n τ Δ ω ( t ) = p ， t = n τ ω ˜ ( t ) = p e ( − μ + d η ε 1 m 1 ) ( t − n τ ) 1 − e ( − μ + d η ε 1 m 1 ) τ ，     t ∈ ( n τ ， ( n + 1 ) τ ) 故对于 ∀ ε 2 > 0 ， ∃ τ 1 > 0 ，当 t > τ 1 时，有 y ˜ ( t ) − ε 2 ≤ y ( t ) ≤ ω ˜ ( t ) + ε 2 。 当 ε 2 → 0 ，且 t → ∞ 时， y ˜ ( t ) − ε 2 ≤ y ( t ) ≤ y ˜ ( t ) + ε 2 ， y ( t ) → y ˜ ( t ) 。同样的方法可以得到，当 n → ∞ 时 x 2 ( t ) → x ˜ 2 ( t ) . 证毕。 由上述研究结果可以看出，当害虫天敌的脉冲释放量满足一定条件时，害虫天敌将在森林中持续生存，森林数量维持在一个预期水平。这种生物防治害虫的方法符合实际，也为控制森林虫害提供了理论依据。