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user: 2. 动力学分析 定理2.1系统(1.1)存在一个对应于植物灭绝的平凡周期解 ( x ¯ ( t ) ， y ¯ ( t ) ) = ( 0 ， y ∗ e − d ( t   m o d   T ) ) (2.1) 这里 y ∗ = μ T 1 − e − d T . (2.2) 该周期解是局部渐近稳定的当且仅当 r < c / β 并且 μ > μ 1 = 1 β T ( 1 − e − ( r β / c ) d T ) ( 1 − e − d T ) e − ( r β / c ) d T − e − d T . (2.3) 证明：考虑x(0) = 0，那么系统(1.1)可以简化为 { x ˙ = 0 ， y ˙ = − d y ， y ( n T + ) = y ( n T ) + μ T . (2.4) 则是 x ¯ ( t ) = 0 平凡的。由上面方程的后两个式子可知 y ( ( n + 1 ) T + ) = y ( n T + ) e − d T + μ T ， (2.5) 它是指数稳定的离散系统，并且随着 n → ∞ 其收敛到 y ∗ = μ T 1 − e − d T . (2.6) 为了讨论局部渐近稳定性，我们定义一个小的摄动 x ˜ = x − x ¯ = x ， y ˜ = y − y ¯ 。那么原系统等价于下面系统 { x ˜ ˙ = r x ˜ ( 1 − x ˜ / K ) − c D ( x ˜ ， y ¯ + y ¯ ) ( y ¯ + y ˜ ) ， y ˜ ˙ = γ c D ( x ˜ ， y ¯ + y ˜ ) ( y ¯ + y ˜ ) − d y ˜ . (2.7) 这里脉冲部分消失是因为 y ˜ ( n T + ) = y ( n T ) + μ T + y ¯ ( n T ) − μ T = y ˜ ( n T ) . 接下来我们研究周期系统(2.2)。我们通过研究该周期系统零解的稳定性来研究原系统平凡周期解的稳定性 [ 10 ] [ 11 ]。考虑如下矩阵方程 ( x ˜ ( n T ) y ˜ ( n T ) ) = Φ ( t ) ( x ˜ ( 0 ) y ˜ ( 0 ) ) ， (2.8) 和 d Φ ( t ) d t = A ( t ) Φ ( t ) . (2.9) 这里 A ( t ) = ( r − 2 x ˜ K − c ∂ D ( x ˜ ， y ¯ + y ˜ ) ∂ x ˜ ( y ¯ + y ˜ )         − c ( D ( x ˜ ， y ¯ + y ˜ ) − c ( y ¯ + y ˜ ) ∂ D ( x ˜ ， y ¯ ) ∂ y ˜ ) ∂ D ( x ˜ ， y ¯ + y ˜ ) ∂ x ˜ ( y ¯ + y ˜ )                                   D ( x ˜ ， y ¯ + y ˜ ) + ∂ D ( x ˜ ， y ¯ + y ˜ ) ∂ y ˜ ( y ¯ + y ˜ ) − d ) . 由于 D ( x ˜ ， y ¯ + y ˜ ) | x ˜ = 0 = 0 ， ∂ B ( x ˜ ， y ¯ + y ˜ ) ∂ y ˜ | x ˜ = 0 ， y ˜ = 0 = 0 ，并且 ∂ D ( x ˜ ， y ¯ + y ˜ ) ∂ x ˜ = ( 1 − B ( x ˜ ， y ¯ + y ˜ ) 2 G ) ∂ B ( x ˜ ， y ¯ + y ˜ ) ∂ x ˜ ， ∂ D ( x ˜ ， y ¯ + y ˜ ) ∂ y ˜ = ( 1 − B ( x ˜ ， y ¯ + y ˜ ) 2 G ) ∂ B ( x ˜ ， y ¯ + y ˜ ) ∂ y ˜ ， 那么 A ( t ) = ( r − c y ¯ 1 + β y             0 1 1 + β y                 − d ) ， 又 ( x ˜ ( n T + ) y ˜ ( n T + ) ) = ( 1 0 0 1 ) ( x ˜ ( n T ) y ˜ ( n T ) ) ， (2.10) 那么基本解矩阵满足 Γ = ( 1 0 0 1 ) Φ ( T ) = Φ ( T ) . (2.11) 我们有 Φ ( T ) = Φ ( 0 ) exp ( A ( t ) ) ， Φ ( 0 ) 是单位矩阵。设 λ 1 ， λ 2 是 exp ( A ( t ) ) 的特征根，那么有 λ 1 = e ∫ 0 T ( r − c y ¯ 1 + β y ¯ ) d t ， λ 2 = e − ∫ 0 T d d t . 由Floquet定理，我们可以得到平凡周期解 ( x ¯ ( t ) ， y ¯ ( t ) ) = ( 0 ， y ∗ e − d ( t m o d T ) ) 的局部稳定性条件是 λ 1 = e ∫ 0 T ( r − c y ¯ 1 + β y ¯ ) d t < 1 ， λ 2 = e ∫ 0 T ( − d ) d t < 1. 第二个条件是平凡的，对于第一个条件有 ∫ 0 T c y ∗ e − d t / ( 1 + β y ∗ e − d t ) d t > r T ⇔ ( e − ( r β / c ) d T − e − d T ) β y ∗ > ( 1 − e − ( r β / c ) d T ) (2.12) 不等式右端恒大于0，因此我们只需 e − ( r β / c ) d T − e − d T > 0 也就是 r < c / β 将 代入公式可得 μ > μ 1 = ( 1 − e − ( r β / c ) d T ) ( 1 − e − d T ) β T ( e − ( r β / c ) d T − e − d T ) . 因此结论得证。 平凡周期解的全局稳定性条件 由于毒素作用，系统的动力学变得复杂。这可能会增加脉冲控制的难度。在这一部分中，我们研究了通过研究系统平凡周期解的全局稳定性条件来讨论毒素对脉冲控制的影响。 我们首先讨论系统(1.1)解的有界性。为了保证 D ( x ， y ) 总是正数，我们对G有如下要求： G > max { B ( x ， y ) } 4 = lim x → ∞ B ( x ， y ) 4 = 1 4 h . 那么有 定理2.2 如果 G > 1 4 h ，系统(1.1)的解总是一致有界的。 证明：如果 G > 1 4 h ，那么x有上界K。定义计算 V ( t ) = γ x ( t ) + y ( t ) ， V ( t ) 在 t ∈ ( n T ， ( n + 1 ) T ) 上的右导数有 D + V ( t ) = γ r x ( 1 − x / K ) − d y . 那么存在常数 0 < s < d 满足： D + V ( t ) + s V ( t ) ≤ γ r x ( 1 − x K ) + s γ x = γ x ( r + s ) − γ r x 2 / K ≤ L ，   L = γ ( r + s ) 2 K 4 r 或者 D + V ( t ) ≤ − s V ( t ) + L . 由于 t = n T V ( n T + ) = γ x ( n T + ) + y ( n T + ) = V ( n T ) + μ T . 那么有 V ( ( n + 1 ) T + ) ≤ V ( n T ) e − s T + L / s + μ T 或者 V ∗ ( t ) ≤ L / s + μ T 1 − e − s T = B 当 n → ∞ 。 所以V(t)是一致有界的。 定理2.3平凡周期解 ( x ¯ ( t ) ， y ¯ ( t ) ) = ( 0 ， y ∗ e − d ( t m o d T ) ) (2.13) 是全局吸引的若下面条件成立 (H1) G > 1 4 h ， (H2) r < c M β ， (H3) μ > μ 2 = ( 1 + K ) ( 1 − e − ( r β / ( c M ) ) d T ) ( 1 − e − d T ) β T ( e − ( r β / ( c M ) ) d T − e − d T ) 。 这里 M = 1 − K 4 G ( 1 + α K ) 。 证明：为了讨论全局吸引性，我们接着考虑系统(2.2) [ 11 ]。设系统在时刻 t = t 0 的初值为 ( x ˜ 0 ， y ˜ 0 ) 则关 于 x ˙ 我们将方程(2.7)的第一式除以 c x ˜ 1 + α x ˜ 并积分得 ∫ t 0 t x ˜ ˙ x ˜ d τ = ∫ t 0 t [ r / c ( 1 − x ˜ ( τ ) / K ) − D ( x ˜ ( τ ) ， y ¯ ( τ ) + y ˜ ( τ ) ) ( 1 − α x ˜ ) c x ˜ ( y ¯ ( τ ) + y ˜ ( τ ) ) ] d τ 为了得到 lim t → | + ∞ x ˜ ( t ) = 0 ，只需满足当 t → + ∞ 时， ∫ t 0 t x ˜ ˙ c x ˜ d τ → − ∞ 。 我们将时间区间划分如下： ∫ t 0 t x ˜ ˙ x ˜ d τ = ∫ t 0 ( ⌊ t 0 T ⌋ + 1 ) T [ r ( 1 − x ˜ ( τ ) / K ) − D ( x ˜ ( τ ) ， y ¯ ( τ ) + y ˜ ( τ ) ) x ˜ ( y ¯ ( τ ) + y ˜ ( τ ) ) ] d τ     + ∫ ( ⌊ t 0 T ⌋ + 1 ) T ( ⌊ t T ⌋ ) [ r ( 1 − x ˜ ( τ ) / K ) − D ( x ˜ ( τ ) ， y ¯ ( τ ) + y ˜ ( τ ) ) x ˜ ( y ¯ ( τ ) + y ˜ ( τ ) ) ] d τ     + ∫ ( ⌊ t T ⌋ ) T t [ r ( 1 − x ˜ ( τ ) / K ) − D ( x ˜ ( τ ) ， y ¯ ( τ ) + y ˜ ( τ ) ) x ˜ ( y ¯ ( τ ) + y ˜ ( τ ) ) ] d τ 易知第一、三项是有界的，现只需考虑第二项满足 ∫ ( ⌊ t 0 T ⌋ + 1 ) T ( ⌊ t T ⌋ ) T [ r ( 1 − x ˜ ( τ ) / K ) − D ( x ˜ ( τ ) ， y ¯ ( τ ) + y ˜ ( τ ) ) x ˜ ( y ¯ ( τ ) + y ˜ ( τ ) ) ] d τ → − ∞ 随着 t → + ∞ 。 接着我们做一些必要的放缩，由于 y ˜ ˙ > − d y ˜ . 接着， y ˜ ( t ) > − y ¯ ( t ) > − y ∗ ，那么 y ¯ ( τ ) + y ˜ ( τ ) ≥ y ∗ ( e − d ( t   m o d   T ) − e − d ( t − t 0 ) ) . 从而 ∫ ( ⌊ t 0 T ⌋ + 1 ) T ( ⌊ t T ⌋ ) T [ r ( 1 − x ˜ ( τ ) / K ) − D ( x ˜ ( τ ) ， y ¯ ( τ ) + y ˜ ( τ ) ) x ˜ ( y ¯ ( τ ) + y ˜ ( τ ) ) ] d τ = ∫ ( ⌊ t 0 T ⌋ + 1 ) T ( ⌊ t T ⌋ ) T [ r ( 1 − x ˜ ( τ ) / K ) − c ( 1 − B ( x ˜ ( τ ) ， y ¯ ( τ ) + y ˜ ( τ ) ) 4 G y ¯ ( τ ) + y ˜ ( τ ) 1 + h c x ˜ + β ( y ¯ ( τ ) + y ˜ ( τ ) ) ) ] d τ ≤ ∫ ( ⌊ t 0 T ⌋ + 1 ) T ( ⌊ t T ⌋ ) T [ r ( 1 − x ˜ ( τ ) / K ) − c M y ¯ ( τ ) + y ˜ ( τ ) 1 + h c x ˜ + β ( y ( τ ) + y ˜ ( τ ) ) ] d τ ≤ ∫ ( ⌊ t 0 T ⌋ + 1 ) T ( ⌊ t T ⌋ ) T [ r ( 1 − x ˜ ( τ ) / K ) − c M y ∗ ( e − d ( t   m o d   T ) − e − d ( t − t 0 ) ) 1 + h c x ˜ + β ( y ∗ ( e − d ( t   m o d   T ) − e − d ( t − t 0 ) ) ) ] d τ ≤ ∫ ( ⌊ t 0 T ⌋ + 1 ) T ( ⌊ t T ⌋ ) T [ r ( 1 − x ˜ ( τ ) / K ) − c M y ∗ ( e − d ( t   m o d   ​ T ) − e − d ( t − t 0 ) ) 1 + h c K + β ( y ∗ ( e − d ( t   m o d   T ) − e − d ( t − t 0 ) ) ) ] d τ ， 这里 M = min { 1 − B ( x ˜ ( τ ) ， y ¯ ( τ ) + y ˜ ( τ ) ) / 4 G } = 1 − max { B ( x ˜ ( τ ) ， y ¯ ( τ ) + y ˜ ( τ ) ) / 4 G } = 1 − K 4 G ( 1 + α K ) . (2.14) 我们重新考虑 ∫ ( ⌊ t 0 T ⌋ + 1 ) T ( ⌊ t T ⌋ ) T [ r ( 1 − x ˜ ( τ ) / K ) − c M y ∗ ( e − d ( t   m o d   T ) − e − d ( t − t 0 ) ) 1 + h c x ˜ + β ( y ∗ ( e − d ( t   m o d   T ) − e − d ( t − t 0 ) ) ) ] d τ = ∑ n = ( ⌊ t 0 T ⌋ + 1 ) ⌊ t T ⌋ − 1 I ( n ) ， (2.15) 这里 I ( n ) = ∫ ( ⌊ t 0 T ⌋ + 1 ) T ( ⌊ t T ⌋ ) T [ r ( 1 − x ˜ ( τ ) / K ) − c M y ∗ ( e − d ( t   m o d   T ) − e − d ( t − t 0 ) ) 1 + h c x ˜ + β ( y ∗ ( e − d ( t   m o d   T ) − e − d ( t − t 0 ) ) ) ] d τ = r T + c M β d ⋅ ln 1 + h c K + β y ∗ e − d T ( 1 − e − d ( n T − t 0 ) ) 1 + h c K + β y ∗ ( 1 − e − d ( n T − t 0 ) ) . (2.16) 若要满足 lim t → | + ∞ x ˜ ( t ) = 0 ，只需 lim n → + ∞ I ( n ) = r T + c M β d ⋅ ln 1 + h c K + β y ∗ e − d T 1 + h c K + β y ∗ < 0. 将 y ∗ 带入解出 μ 得 μ > μ 2 = ( 1 + K ) ( 1 − e − ( r β / ( c M ) ) d T ) ( 1 − e − d T ) β T ( e − ( r β / ( c M ) ) d T − e − d T ) ， 这里 r < c M β 。 下面考虑 y ˜ 。由于 x ˜ 收敛到0，那么存在一个时刻 t m 使得 ∀ t > t m ，   γ c D ( x ˜ ， y ¯ + y ˜ ) < d 2 ， 也就是 ∀ t > t m ， y ˜ ˙ ≤ γ c D ( x ˜ ， y ¯ + y ˜ ) y ¯ − d 2 y ˜ . 那么由于 γ c D ( x ˜ ， y ¯ + y ˜ ) 趋于0随着 t → + ∞ ，同样 y ˜ 也趋于0随着 t → + ∞ 。故证明了对于系统(2.7) (0，0)是全局吸引的，因此对于系统(1.1)平凡周期解也是全局吸引的。根据周期解的局部渐近稳定性和全局吸引性，我们可以得到系统 (1.1)平凡周期解的全局渐近稳定性。 注2.1 我们接下来与无毒素效应的植物–食植动物模型做对比。因为 M = 1 − K 4 G ( 1 + α K ) ，所以有 lim G → + ∞ M = 1 ， 并且 lim G → + ∞ μ 2 = ( 1 + K ) ( 1 − e − ( r β / ( c M ) ) d T ) ( 1 − e − d T ) β T ( e − ( r β / ( c M ) ) d T − e − d T ) = ( 1 + K ) ( 1 − e − ( r β / c ) d T ) ( 1 − e − d T ) β T ( e − ( r β / c ) d T − e − d T ) = ˙ μ 3 (2.17) 易知 μ > μ 3 正是无毒素效应的植物–食植动物模型在相同脉冲控制下平凡周期解的全局渐近稳定性条件。并且，由于 μ 2 是关于M的单调递减函数，所以 μ 2 > μ 3 如果 G ≠ + ∞ 因此我们有结论，和无毒素效应的植物–食植动物脉冲模型相比，毒素效应下脉冲模型需要更大的释放率才能得到平凡周期解的全局稳定性，这增加了脉冲控制的难度。