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user: 3. 主要结果和证明 对 ∀ T ∈ T n ( i ) ，且 i > 3 ，对T做 i − 3 次长边变换变成 T ′ ，使 T ′ ∈ T n ( 3 ) 。下面给出 T n ( 3 ) 中度距离最小的树，然后对 T n 中的树排序。在图4中给出了 T n ( 3 ) 中的两类图 T k ， i ， l ， j ( 3 ) 和 R k ， i ， l ， j ( 3 ) ，这些树的度距离的大小与 k ， i ， l ， m ， j 的取值有关，这一部分回答了当 k ， i ， l ， m ， j 分别取何值时 T k ， i ， l ， j ( 3 ) ， R k ， i ， l ， j ( 3 ) 的度距离取到最小值。 对 T k ， i ， l ， j ( 3 ) ∈ T n ( 3 ) 做推论2的变换，得到： 引理1：如图4所示，树 T k ， i ， l ， j ( 3 ) ∈ T n ( 3 ) ， i ， j ≥ 1 ， k ， l ≥ 0 且 i + j + k + l + 4 = n ，则 1) 当 k + l + j + 3 ≥ i 时，有 D ′ ( T k ， i ， l ， j ( 3 ) ) ≥ D ′ ( T k + 1 ， i − 1 ， l ， j ( 3 ) ) 。 图4. 树 T k ， i ， l ， j ( 3 ) 和 R k ， i ， l ， j (3) 2) 当 i > k + l + j + 3 时，有 D ′ ( T k ， i ， l ， j ( 3 ) ) < D ′ ( T k + 1 ， i − 1 ， l ， j ( 3 ) ) 。 推论1：当 k + l + j + 3 ≥ i ， i ， j ≥ 1 ， k ， l ≥ 0 且 i + j + k + l + 4 = n 时，有 D ′ ( T k ， i ， l ， j ( 3 ) ) ≥ D ′ ( T k + 1 ， i − 1 ， l ， j ( 3 ) ) ≥ ⋯ ≥ D ′ ( T k + i − 1 ， 1 ， l ， j (3)) 根据推论4知： 推论2：当 i > k + l + j + 3 时， i ， j ≥ 1 ， k ， l ≥ 0 且 i + j + k + l + 4 = n 有 D ′ ( T k + i − 1 ， 1 ， l ， j ( 3 ) ) < D ′ ( T k + i − 2 ， 2 ， l ， j ( 3 ) ) < D ′ ( T 1 ， k + i − 1 ， l ， j ( 3 ) ) < D ′ ( T 2 ， k + i − 2 ， l ， j ( 3 ) ) < … < D ′ ( T k ， i ， l ， j (3)) 由推论1和推论2得： 定理1：对任意的 T k ， i ， l ， j ( 3 ) ∈ T n ( 3 ) ，令 s = k + i − 1 ，有 D ′ ( T s ， 1 ， l ， j ( 3 ) ) < D ′ ( T k ， i ， l ， j ( 3 ) ) 。 定理2：对树 T s ， 1 ， l ， j ( 3 ) ( s ， l ≥ 0 ， j ≥ 1 且 s + l + j = n − 5 )，当 s = 0 ， j = 1 时， T 0 ， 1 ， n − 6 ， 1 ( 3 ) 度距离最小，且 D ′ ( T 0 ， 1 ， n − 6 ， 1 ( 3 ) ) = 3 n 2 + 9 n − 52 。 证明： T s ， 1 ， l ， j ( 3 ) 结构如图5所示， deg ( x 1 ) = 2 ， deg ( x 2 ) = s + 2 ， deg ( x 3 ) = l + 2 ， deg ( x 4 ) = j + 2 ， u ∈ V ( T s ， 1 ， l ， j ) − x 1 − x 2 − x 3 − x 4 ， deg ( u ) = 1 。 图5. 树 T s ， 1 ， l ， j ( s = k + i − 1 ) ( 3 ) ， T s ， 1 ， t ， 1 ( 3 ) 与 R s ， i ， 1 ， j (3) 由 D ′ ( G ) = ∑ u ∈ V ( G ) deg ( u ) D ( u | G ) 得 D ′ ( T s ， 1 ， t ， 1 ( 3 ) ) = 3 ( s + l + j ) 2 + 31 ( s + l + j ) + 4 s l + 4 l j + 8 s j + 4 l + 16 j + 60 又因为 l = n − 5 − s − j ，所以 D ′ ( T s ， 1 ， l ， j ( 3 ) ) = 3 ( n − 5 ) 2 + 35 ( n − 5 ) − 4 [ s − ( n − 6 ) / 2 ] 2 − 4 [ j − ( n − 2 ) / 2 ] 2     + ( n − 2 ) 2 + ( n − 6 ) 2 + 60 因为n为常数， 为整数，由二次函数性质知：当 s = 0 ， j = 1 或 s = n − 6 ， j = 1 时， (如图5)取得最小值 3 n 2 + 9 n − 52 ，因为 T 0 ， 1 ， n − 6 ， 1 ( 3 ) 与 T n − 6 ， 1 ， 0 ， 1 ( 3 ) 同构，则具有最小度距离的树为 T 0 ， 1 ， n − 6 ， 1 ( 3 ) 。 定理3：在 T k ， i ， l ， j ( 3 ) 中有第一小至第五小度距离的树为： T 0 ， 1 ， n − 6 ， 1 ( 3 ) ， T 1 ， 1 ， n − 7 ， 1 ( 3 ) ， T 0 ， 1 ， n − 7 ， 2 ( 3 ) ， T 2 ， 1 ， n − 8 ， 1 ( 3 ) ， T 1 ， 1 ， n − 8 ， 2 ( 3 ) ( T 0 ， 2 ， n − 7 ， 1 ( 3 ) ) 。 证明：由推论2知， D ′ ( T k + i − 1 ， 1 ， l ， j ( 3 ) ) < D ′ ( T k + i − 2 ， 2 ， l ， j ( 3 ) ) ， T k + i − 2 ， 2 ， l ， j ( 3 ) 记为 T r ， 2 ， l ， j ( 3 ) ，其中 r = k + i − 2 ， r + l + j + 6 = n 。由度距离的定义，有 D ′ ( T r ， 2 ， l ， j ( 3 ) ) = 3 ( r + l + j ) 2 + 41 ( r + l + j ) + 4 l ( r + j + 2 ) + 8 r j + 24 j + 98 把 l = n − r − j − 6 代入上式得， D ′ ( T r ， 2 ， l ， j ( 3 ) ) = 3 ( n − 6 ) 2 + 41 ( n − 6 ) − 4 [ r − ( n − 8 ) / 2 ] 2 − 4 [ r − ( n − 2 ) / 2 ] 2     + ( n − 8 ) 2 + ( n − 2 ) 2 + 8 n + 50 = 3 n 2 + 13 n − 88 − 4 [ r − ( n − 8 ) / 2 ] 2 − 4 [ r − ( n − 2 ) / 2 ] 2     + ( n − 8 ) 2 + ( n − 2 ) 2 因为n是常数， 0 ≤ r ≤ ( n − 8 ) / 2 ， 1 ≤ j ≤ ( n − 2 ) / 2 ，由二次函数的性质知，当 r = 0 ， j = 1 时， T 0 ， 2 ， n − 7 ， 1 ( 3 ) 是具有最小度距离的树，为 D ′ ( T 0 ， 2 ， n − 7 ， 1 ( 3 ) ) = 3 n 2 + 17 n − 100 。 由定理2知，树 T s ， 1 ， l ， j ( 3 ) 的度距离大小与 s ， j 的取值有关，当 0 ≤ s ≤ ⌊ ( n − 6 ) / 2 ⌋ ， 1 ≤ j ≤ ⌊ ( n − 2 ) / 2 ⌋ 时， s ， j 的取值越大， T s ， 1 ， l ， j ( 3 ) 的度距离就越大。考虑树 的度距离大小，因为 D ′ ( T s ， 1 ， l ， j ( 3 ) ) = 3 ( n − 5 ) 2 + 35 ( n − 5 ) − 4 [ s − ( n − 6 ) / 2 ] 2 − 4 [ j − ( n − 2 ) / 2 ] 2     + ( n − 2 ) 2 + ( n − 6 ) 2 + 60 D ′ ( T 2 ， 1 ， n − 9 ， 2 ( 3 ) ) = 3 n 2 + 21 n − 136 ， D ′ ( T 1 ， 1 ， n − 7 ， 1 ( 3 ) ) = 3 n 2 + 13 n − 80 ， D ′ ( T 0 ， 1 ， n − 7 ， 2 ( 3 ) ) = 3 n 2 + 13 n − 72 D ′ ( T 2 ， 1 ， n − 8 ， 1 ( 3 ) ) = 3 n 2 + 17 n − 116 ， D ′ ( T 1 ， 1 ， n − 8 ， 2 ( 3 ) ) = 3 n 2 + 17 n − 100 由定理2， D ′ ( T 0 ， 1 ， n − 6 ， 1 ( 3 ) ) = 3 n 2 + 9 n − 52 ，所以当 n ≥ 11 时有， D ′ ( T 0 ， 1 ， n − 6 ， 1 ( 3 ) ) < D ′ ( T 1 ， 1 ， n − 7 ， 1 ( 3 ) ) < D ′ ( T 0 ， 1 ， n − 7 ， 2 ( 3 ) ) < D ′ ( T 2 ， 1 ， n − 8 ， 1 ( 3 ) ) < D ′ ( T 1 ， 1 ， n − 8 ， 2 ( 3 ) ) < D ′ ( T 2 ， 1 ， n − 9 ， 2 (3)) 故在 T k ， i ， l ， j ( 3 ) 中有第一小至第五小度距离的树为： T 0 ， 1 ， n − 6 ， 1 ( 3 ) ， T 1 ， 1 ， n − 7 ， 1 ( 3 ) ， T 0 ， 1 ， n − 7 ， 2 ( 3 ) ， T 2 ， 1 ， n − 8 ， 1 ( 3 ) ， T 1 ， 1 ， n − 8 ， 2 (3) 由推论2有： 引理2： R k ， i ， l ， j ( 3 ) ∈ T n ( 3 ) ，如图4所示， i ， j ， l ≥ 1 ， k ≥ 0 且 i + j + k + l + 4 = n ，则 1) 当 k + i + j + 3 ≥ l 时，有 D ′ ( R k ， i ， l ， j ( 3 ) ) ≥ D ′ ( R k + 1 ， i ， l − 1 ， j ( 3 ) ) 。 2) 当 l > k + i + j + 3 时，有 D ′ ( R k ， i ， l ， j ( 3 ) ) < D ′ ( R k + 1 ， i ， l − 1 ， j ( 3 ) ) 。 由引理2得： 推论4：当 k + i + j + 3 ≥ l ， i ， j ， l ≥ 1 ， k ≥ 0 且 i + j + k + l + 4 = n 时，有 D ′ ( R k ， i ， l ， j ( 3 ) ) ≥ D ′ ( R k + 1 ， i ， l − 1 ， j ( 3 ) ) ≥ ⋯ ≥ D ′ ( R k + i − 1 ， i ， 1 ， j (3)) 根据定理2有： 推论5：当 l > k + i + j + 3 ， i ， j ， l ≥ 1 ， k ≥ 0 且 i + j + k + l + 4 = n 时，有 D ′ ( R k + i − 1 ， i ， 1 ， j ( 3 ) ) < D ′ ( R k + i − 2 ， i ， 2 ， j ( 3 ) ) < D ′ ( R 1 ， i ， k + i − 1 ， j ( 3 ) ) < D ′ ( R 2 ， i ， k + i − 2 ， j ( 3 ) ) < ⋯ < D ′ ( R k ， i ， l ， j (3)) 定理4：对 R k ， i ， l ， j ( 3 ) ∈ T n ( 3 ) ，令 s = k + l − 1 ，有 D ′ ( R s ， i ， 1 ， j ( 3 ) ) < D ′ ( R k ， i ， l ， j ( 3 ) ) 。 定理5：树 R s ， i ， 1 ， j ( 3 ) ( s ≥ 0 ， i ， j ≥ 1 ， n ≥ 5 ， s + i + j = n − 5 )的度距离由小开始排序 R n − 7 ， 1 ， 1 ， 1 ( 3 ) ， R n − 8 ， 2 ， 1 ， 1 ( 3 ) ， R n − 9 ， 2 ， 1 ， 2 ( 3 ) ，且 D ′ ( R n − 7 ， 1 ， 1 ， 1 ( 3 ) ) = 3 n 2 + 5 n − 32 ， D ′ ( R n − 8 ， 2 ， 1 ， 1 ( 3 ) ) = 3 n 2 + 9 n − 52 ， D ′ ( R n − 9 ， 2 ， 1 ， 2 ( 3 ) ) = 3 n 2 + 13 n − 72 。 证明： R s ， i ， 1 ， j ( 3 ) 如图5所示，由 D ′ ( G ) = ∑ u ∈ V ( G ) deg ( u ) D ( u | G ) 得， D ′ ( R s ， i ， 1 ， j ( 3 ) ) = 3 ( i + j + s ) 2 + 27 ( i + j + s ) + 4 i s + 8 i j + 4 s j + 12 i + 12 j + 52 把 s = n − 5 − i − j 代入得 D ′ ( R s ， i ， 1 ， j ( 3 ) ) = 3 n 2 − 3 n − 8 − 4 [ i − ( n − 2 ) / 2 ] 2 − 4 [ j − ( n − 2 ) / 2 ] 2 + 2 ( n − 2 ) 2 因为 n ≥ 5 为常数，当 1 ≤ i ≤ ( n − 2 ) / 2 ， 1 ≤ j ≤ ( n − 2 ) / 2 时，由二次函数的性质知： D ′ ( R s ， i ， 1 ， j ( 3 ) ) 与 s ， j 的取值有关， s ， j 的取值越大， D ′ ( R s ， i ， 1 ， j ( 3 ) ) 就越大.当 i = j = 1 时， D ′ ( R s ， i ， 1 ， j ( 3 ) ) 取得最小值 3 n 2 + 5 n − 32 ，则 R s ， i ， 1 ， j ( 3 ) 中度距离最小的树是 R n − 7 ， 1 ， 1 ， 1 ( 3 ) ；当 i = 2 ， j = 1 或 i = 1 ， j = 2 时， D ′ ( R s ， i ， 1 ， j ( 3 ) ) 的值达到第二小，因为 R n − 8 ， 2 ， 1 ， 1 ( 3 ) ≅ R n − 8 ， 1 ， 1 ， 2 ( 3 ) ，则 R n − 8 ， 2 ， 1 ， 1 ( 3 ) 是 R s ， i ， 1 ， j ( 3 ) 中度距离第二小的树，度距离为 3 n 2 + 9 n − 52 ；当 i = 2 ， j = 2 时， D ′ ( R s ， i ， 1 ， j ( 3 ) ) 的值达到第三小，即 R n − 9 ， 2 ， 1 ， 2 ( 3 ) 是 R s ， i ， 1 ， j ( 3 ) 中度距离第三小的树，度距离为 3 n 2 + 13 n − 72 。 定理6：在 T n ( 3 ) 中第一小至第三小度距离的树为: R n − 7 ， 1 ， 1 ， 1 ( 3 ) ， R n − 8 ， 2 ， 1 ， 1 ( 3 ) ( T 0 ， 1 ， n − 6 ， 1 ( 3 ) ， R n − 8 ， 1 ， 2 ， 1 ( 3 ) )， R n − 9 ， 2 ， 1 ， 2 ( 3 ) 。 证明：由推论4和推论5知： R k + i − 2 ， i ， 2 ， j ( 3 ) 即 R p ， i ， 2 ， j ( 3 ) ( p = k + i − 2 ， p + i + j + 6 = n )是 R k ， i ， l ， j ( 3 ) 中度距离第二小的树，由度距离的定义： D ′ ( R p ， i ， 2 ， j ( 3 ) ) = 3 ( i + j + p ) 2 + 37 ( i + j + p ) + 4 i p + 8 i j + 4 p j + 16 i + 16 j + 86 把 p = n − 6 − i − j 代入上式得 D ′ ( R p ， i ， 2 ， j ( 3 ) ) = 3 n 2 + n − 28 − 4 [ i − ( n − 2 ) / 2 ] 2 − 4 [ j − ( n − 2 ) / 2 ] 2 + 2 ( n − 2 ) 2 因为 n ≥ 5 为常数，当 1 ≤ i ≤ ( n − 2 ) / 2 ， 1 ≤ j ≤ ( n − 2 ) / 2 时，由二次函数的性质知： D ′ ( R p ， i ， 2 ， j ( 3 ) ) 跟 i ， j 的取值有关， i ， j 的取值越大， D ′ ( R p ， i ， 2 ， j ( 3 ) ) 就越大。当 i = j = 1 时， R n − 8 ， 1 ， 2 ， 1 ( 3 ) 是具有最小度距离的树，且 R n − 8 ， 1 ， 2 ， 1 ( 3 ) ≅ R n − 8 ， 2 ， 1 ， 1 ( 3 ) ≅ R n − 8 ， 1 ， 1 ， 2 ( 3 ) ，度距离为 3 n 2 + 9 n − 52 ；因树的对称性，当 i = 2 ， j = 1 和 i = 1 ， j = 2 时， R n − 9 ， 2 ， 2 ， 1 ( 3 ) ≅ R n − 9 ， 1 ， 2 ， 2 ( 3 ) ≅ R n − 9 ， 2 ， 1 ， 2 ( 3 ) ，度距离为 3 n 2 + 13 n − 72 ， R n − 9 ， 2 ， 2 ， 1 ( 3 ) ( R n − 9 ， 1 ， 2 ， 2 ( 3 ) ， R n − 9 ， 2 ， 1 ， 2 ( 3 ) ) 是 R p ， i ， 2 ， j ( 3 ) 中有第二小的度距离的树。再由定理5， R p ， i ， 2 ， j ( 3 ) 中具有第一小至第三小的树是 R n − 7 ， 1 ， 1 ， 1 ( 3 ) ， R n − 8 ， 2 ， 1 ， 1 ( 3 ) ( R n − 8 ， 1 ， 2 ， 1 ( 3 ) )， R n − 9 ， 2 ， 1 ， 2 ( 3 ) .由定理2知：在树 T s ， 1 ， l ， j ( 3 ) 中 T 0 ， 1 ， n − 6 ， 1 ( 3 ) 的度距离最小，其度距离为 3 n 2 + 9 n − 52 ，故结论成立。 定理7：在 T n 中， T n ， 3 ( 1 ) ， T n ， 2 ， 1 ( 2 ) ， R n − 7 ， 1 ， 1 ， 1 ( 3 ) 是具有第五小、第六小和第七小度距离的树，且 D ′ ( T n ， 3 ( 1 ) ) = 3 n 2 + 5 n − 56 ， D ′ ( T n ， 2 ， 1 ( 2 ) ) = 3 n 2 + 5 n − 40 ， D ′ ( R n − 7 ， 1 ， 1 ， 1 ( 3 ) ) = 3 n 2 + 5 n − 32 。 证明：由引理1及推论1可知 T n 中具有较小度距离的树在 T n ( 1 ) 、 T n ( 2 ) 和 T n ( 3 ) 中。 由定理6，在 T n ( 3 ) 中有第一小和第二小度距离的树为： R n − 7 ， 1 ， 1 ， 1 ( 3 ) ， R n − 8 ， 2 ， 1 ， 1 ( 3 ) ( T 0 ， 1 ， n − 6 ， 1 ( 3 ) ， R n − 8 ， 1 ， 2 ， 1 ( 3 ) )。 要证结论成立，下面先比较 T n ( 1 ) 、 T n ( 2 ) 中的树与 R n − 7 ， 1 ， 1 ， 1 ( 3 ) ， 的度距离的大小： 由定理2知，在 T n ( 1 ) 中， D ′ ( T n ， 3 ( 1 ) ) = 3 n 2 + 5 n − 56 ， D ′ ( T n ， 4 ( 1 ) ) = 3 n 2 + 9 n − 92 ， D ′ ( T n ， 5 ( 1 ) ) = 3 n 2 + 13 n − 136 由 D ′ ( T n ， i ， j ( 2 ) ) = 3 n 2 − 7 n + 4 − 4 [ i − ( n − 2 ) / 2 ] 2 − 4 [ j − ( n − 2 ) / 2 ] 2 + 2 ( n − 2 ) 2 得： D ′ ( T n ， 1 ， 1 ( 2 ) ) = 3 n 2 + n − 20 ， D ′ ( T n ， 2 ， 1 ( 2 ) ) = 3 n 2 + 5 n − 40 ， D ′ ( T n ， 3 ， 1 ( 2 ) ) = 3 n 2 + 9 n − 68 ， D ′ ( T n ， 2 ， 2 ( 2 ) ) = 3 n 2 + 9 n − 60 ， D ′ ( T n ， 1 ， 4 ( 2 ) ) = 3 n 2 + 13 n − 56 而 D ′ ( R n − 7 ， 1 ， 1 ， 1 ( 3 ) ) = 3 n 2 + 5 n − 32 ，结论成立。