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user: 2. 模型正解的存在唯一性 一般，如果一个随机微分方程对于任何已经给定的初值存在惟一的全局解，也就是说解不发生爆破，那么方程的系数需要满足线性增长和局部Lipschitz两个条件。但是随机模型(1.2)的系数满足局部Lipschitz条件却不满足线性增长条件，所以其解在有限时间内可能发生爆破，故运用Lyapunov分析方法证明该模型的正解是全局存在惟一的 [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] 。 定理2.1：对于任意给定的初值 ( S ( t ) ， I 1 ( t ) ， I 2 ( t ) ， R ( t ) ) ∈ R + 4 ，当 t ≥ 0 时，随机模型(1.2)存在惟一的全局解 ( S ( t ) ， I 1 ( t ) ， I 2 ( t ) ， R ( t ) ) ，并且这个解以概率1位于 R + 4 中，即对所有的 t ≥ 0 ，有 ( S ( t ) ， I 1 ( t ) ， I 2 ( t ) ， R ( t ) ) ∈ R + 4   a . s . 。 证明：首先模型的系数显然满足局部Lipschitz连续，所以对于任给的初值，模型(1.2)存在惟一局部解 ( S ( t ) ， I 1 ( t ) ， I 2 ( t ) ， R ( t ) ) ， t ∈ [ 0 ， τ e ) ，其中 τ e 表示爆破时间.要想证明此解全局存在，只要证明 τ e = ∞   a . s . 。第一步，证明 S ( t ) ， I 1 ( t ) ， I 2 ( t ) ， R ( t ) 在有限时间内不产生爆破全局存在。设 m 0 > 0 足够大，使其满足 S ( 0 ) ∈ [ 1 m 0 ， m 0 ] ， I 1 ( 0 ) ∈ [ 1 m 0 ， m 0 ] ， I 2 ( 0 ) ∈ [ 1 m 0 ， m 0 ] ， R ( 0 ) ∈ [ 1 m 0 ， m 0 ] . 对于每个整数 m ≥ m 0 ，定义停时 τ m = inf { t ∈ [ 0 ， τ e ) : S ( t ) ∉ ( 1 m ， m )   or   I 1 ∉ ( 1 m ， m )   or   I 2 ∉ ( 1 m ， m )   or   R ∉ ( 1 m ， m ) } 令 i n f ∅ = ∞ ( ∅ 表示空集)，由停时的定义可知当 m → ∞ 时， τ m 是单调递增。令 τ ∞ = lim m → ∞ τ m ，显然 有 τ ∞ ≤ τ e   a . s . 。若 τ e = ∞   a . s . 成立，则有 τ e = ∞   a . s . ，因而就证明了 ( S ( t ) ， I 1 ( t ) ， I 2 ( t ) ， R ( t ) ) ∈ R + 4   a . s . ， t ≥ 0 。所以只需证 τ ∞ = ∞   a . s . 即可。 利用反证法，如果不是上述结果，那么就存在常数 T > 0 和 ε ∈ ( 0 ， 1 ) 使得 P { τ ∞ ≤ T } > ε . 则存在整数 m 1 ≥ m 0 使得当 m ≥ m 1 时有 P { τ m ≤ T } ≥ ε (2.1) 现定义函数 V : R + 4 → [ 0 ， + ∞ ) ： V ( S ， I 1 ， I 2 ， R ) = ( S − 1 − ln S ) + ( I 1 − 1 − ln I 1 ) + ( I 2 − 1 − ln I 2 ) + ( R − 1 − ln R ) (2.2) 注意到下面的结论成立 u − 1 − log u ≥ 0           u > 0 . 显然函数 V ( S ， I 1 ， I 2 ， R ) 是非负的，则对这个函数应用伊藤公式得 d V = ( 1 − 1 S ) d S + 1 2 1 S 2 ( d S ) 2 + ( 1 − 1 I 1 ) d I 1 + 1 2 1 I 1 2 ( d I 1 ) 2                 + ( 1 − 1 I 2 ) d I 2 + 1 2 1 I 2 2 ( d I 2 ) 2 + ( 1 − 1 R ) d R + 1 2 1 R 2 ( d R ) 2 = ( 1 − 1 S ) [ A − μ S − ( β 1 I 1 + β 2 I 2 ) S ]       + ( 1 − 1 I 1 ) [ β 1 I 1 S − ( μ + γ 1 + ε ) I 1 ] d t + ( 1 − 1 I 1 ) ( − σ 1 I 1 ) d B 1 + 1 2 σ 1 2 d t       + ( 1 − 1 I 2 ) [ β 2 I 2 S + ε I 1 − ( μ + γ 2 ) I 2 ] d t + ( 1 − 1 I 2 ) ( − σ 2 I 2 ) d B 2 + 1 2 σ 2 2 d t       + ( 1 − 1 R ) [ ( γ 1 I 1 + γ 2 I 2 − μ R ) d t + σ 1 I 1 d B 1 + σ 2 I 2 d B 2 ] + 1 2 1 R 2 ( σ 1 2 I 1 2 + σ 2 2 I 2 2 ) d t = L V d t − ( 1 − 1 I 1 ) σ 1 I 1 d B 1 − ( 1 − 1 I 2 ) σ 2 I 2 d B 2 + ( 1 − 1 R ) σ 1 I 1 d B 1 + ( 1 − 1 R ) σ 2 I 2 d B 2 (2.3) 其中， L V = ( 1 − 1 S ) [ A − μ S − ( β 1 I 1 + β 2 I 2 ) S ] + ( 1 − 1 I 1 ) [ β 1 I 1 S − ( μ + γ 1 + ε ) I 1 ]     + ( 1 − 1 I 2 ) [ β 2 I 2 S + ε I 1 − ( μ + γ 2 ) I 2 ] + ( 1 − 1 R ) ( γ 1 I 1 + γ 2 I 2 − μ R )     + σ 1 2 + σ 2 2 2 + σ 1 2 I 1 2 + σ 2 2 I 2 2 2 R 2 = ( A + 4 μ + γ 1 + γ 2 + ε ) + β 1 I 1 + β 2 I 2 + σ 1 2 + σ 2 2 2 + σ 1 2 I 1 2 + σ 2 2 I 2 2 2 R 2     − μ S − μ I 1 − μ I 2 − μ R − β 1 S − β 2 S − ε I 1 I 2 − γ 1 I 1 R − γ 2 I 2 R − A S (2.4) 又因为 S ( t ) + I 1 ( t ) + I 2 ( t ) + R ( t ) ≤ max { A μ ， S ( 0 ) + I 1 ( 0 ) + I 2 ( 0 ) + R ( 0 ) } : = M 故有 L V ≤ ( A + 4 μ + γ 1 + γ 2 + ε ) + ( β 1 + β 2 ) M + σ 1 2 + σ 2 2 2 + σ 1 2 M 4 + σ 2 2 M 4 2 : = K 将结果带入(2.3)得 d V ( S ， I 1 ， I 2 ， R ) ≤ K d t + ( 1 I 1 − 1 R ) σ 1 I 1 d B 1 + ( 1 I 2 − 1 R ) σ 2 I 2 d B 2 (2.5) 将上式两边从0到 τ m ∧ T 积分并取期望可得 E V ( S ( τ m ∧ T ) ， I 1 ( τ m ∧ T ) ， I 2 ( τ m ∧ T ) ， R ( τ m ∧ T ) ) ≤ V ( S ( 0 ) ， I 1 ( 0 ) ， I 2 ( 0 ) ， R ( 0 ) ) + K E ( τ m ∧ T ) 所以有 E V ( S ( τ m ∧ T ) ， I 1 ( τ m ∧ T ) ， I 2 ( τ m ∧ T ) ， R ( τ m ∧ T ) ) ≤ V ( S ( 0 ) ， I 1 ( 0 ) ， I 2 ( 0 ) ， R ( 0 ) ) + K T (2.6) 令 Ω m = { τ m ≤ T } ，则由(2.1)知 P ( Ω m ) ≥ ε 。对于每一个 ω ∈ Ω m ，利用停时的定义可知 S ( τ m ， ω ) ， I 1 ( τ m ， ω ) ， I 2 ( τ m ， ω ) ， R ( τ m ， ω ) 这四个之中至少有一个等于m或 1 m ，从而便有 V ( S ( τ m ， ω ) ， I 1 ( τ m ， ω ) ， I 2 ( τ m ， ω ) ， R ( τ m ， ω ) ) ≥ min { m − 1 − ln m ， 1 m − 1 + ln m } 所以由(2.6)有 V ( S ( 0 ) ， I 1 ( 0 ) ， I 2 ( 0 ) ， R ( 0 ) ) + K T ≥ E [ 1 Ω m ( ω ) V ( S ( τ m ， ω ) ， I 1 ( τ m ， ω ) ， I 2 ( τ m ， ω ) ， R ( τ m ， ω ) ) ] ≥ ε min { m − 1 − ln m ， 1 m − 1 + ln m } ， 其中， 1 Ω m 是 Ω m 的示性函数。令 m → ∞ 则有 ∞ > V ( S ( 0 ) ， I 1 ( 0 ) ， I 2 ( 0 ) ， R ( 0 ) ) + K T = ∞ ，矛盾。 所以必有 τ ∞ = ∞   a . s . 。这也就意味着 S ( t ) ， I 1 ( t ) ， I 2 ( t ) ， R ( t ) 以概率1在有限时间内不会发生爆破。 定理证毕。