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user: 4. 实证研究 为了验证上述方法在实际金融市场中的应用效果，我们选取上证指数2018年8月17日到2019年11月1日共292天的历史数据进行实证分析。股票价格的最高值和和最低值如图3所示，从图3(a)观察到股票价格有明显的波动趋势。对序列进行游程检验，如表1所示， { x t } 栏中p-值为0，判断序列 { x t } 非平稳。从图3(b)为模糊金融收益率序列已基本上消除趋势，呈现平稳状态。对模糊金融收益率序列进行游程检验，结果见表1第3栏，p-值为0.1407，模糊金融收益率序列的中心值序列 { c t } 是平稳的，进而推断模糊金融收益率序列是条件平稳的。在本文模型分析中，前281个观测值作为训练数据来估计模型的系数。最后11个观测值作为测试数据进行模型验证。 图3. 上证股指数据时间序列趋势图。(a) 区间观测值 [ x t L ， x t U ] ，(b) 模糊收益率序列 ( c t ， u t ) Table 1 Run test for the central series of financial interval time series/fuzzy financial yield serie { x t } { c t } 检测值 2829.8 0.000294 小于检测值数量 160 140 大于检测值数量 132 151 样本量 292 291 游程数 4 132 Z-值 −16.7038 −1.6221 p-值 0.0000 0.1047 表1. 金融区间序列/模糊收益率序列的中心序列游程检验结果 4.1. 风险中性FBR预测模型 在提出风险中性FBR模型之前，由于对观测数据的了解不足，将给定数据进行分组，然后用训练数据建立FAR模型。得到结果如下： { c ^ t = 0.7040 c t − 1 u ^ t = 0.7040 u t − 1 ，   t = 3 ， ⋯ ， 281. (20) 通过(17)式，计算样本标准差， σ ^ = 0.0119 。令 l = 2 ，根据(18)式，样本被分为两组，16个观测值在属于S组，基于(15)式，在组合权重 k 1 = 0.1 ， k 2 = 7   ， k 3 = 0.6 ， k 4 = 0.01 ，可疑组h值设置为0.4，其余数据设置0.1时，可得到风险中性FBR模型如下： { c ^ t = 0.0001 + 0.1213 c t − 1 u ^ t = 0.0035 + 0.7480 u t − 1 − 0.027 c t   ，   t = 3 ， ⋯ ， 281. (21) 通过(21)式，可以看出，t时刻中心值随 t − 1 时刻中心值的增加而增加；t时刻展形值随 t − 1 时刻展形值的增加而增加，随 t − 1 时刻中心值的增加而减小。显然，(21)式表明所提出的模型与李竹渝 [ 34 ] 的经济分析结果是一致的。 采用不同的系数求解方法可以得到不同的模糊回归模型，将得到的模糊回归模型通过均方根误差(RMSE)、平均百分比误差(MAPE)、方向精度(DA)值及计算性能进行比较，如表2所示(性能测度指标的计算见附录)。 Table 2 Forecasting performance compariso 模型 RMSE MAPE DA 运行时间(s) 训练集 预测集 训练集 预测集 训练集 预测集 均值 标准差 FAR-LS 0.0177 0.0101 3.3024 3.3629 1.2014 1.3000 0.1899 0.0672 FAR-LP 0.0188 0.0109 2.8920 2.7029 1.4389 1.3000 0.2098 0.0701 FBR-LS 0.0144 0.0082 1.5014 1.5496 1.4676 1.6000 0.2003 0.0744 FBR-LP 0.0664 0.0383 5.7138 5.4338 1.4890 1.4000 0.2403 0.0764 FBR-RA 0.0418 0.0307 7.2656 11.4107 1.0647 0.9545 0.2074 0.0694 FBR-RN 0.0159 0.0091 2.1740 2.1713 1.4173 1.6000 0.2056 0.0727 Proposal 1 0.0144 0.0081 1.4152 1.3721 1.4460 1.6000 0.2192 0.0692 表2. 模型预测性能对比 注1：我们使用线性规划、风险规避(RA)和风险中性(RN)方法在h = 0时的结果进行比较；注2：运行时结果是对每个模型过程进行1000次迭代得到的。 从表2中可以看出，无论是训练数据集还是测试数据集Proposal 1的RMSE和MAPE均小于其他方法的RMSE和MAPE，可见Proposal 1模型对上证指数模糊收益率序列的拟合能力及预测能力均优于其它方法。对于DA指标，可以观察到，相对于其他方法Proposal 1模型训练数据集方向精度为72.3%，测试数据集方向精度为80%。从计算性能来看，FBR-LP方法的运行时间略高，Proposal 1与其他5种方法的计算时间基本相同。总体来看，Proposal 1模型优于其他方法。 中心和展形的预测误差箱型图如图4所示。我们可以观察到，与其他方法相比，Proposal 1误差分布较为集中，偏离均值较少。这主要是由于在进行系数估计时从风险中性角度出发，引入误差项来处理异常值，加之权重和阈值可调节的灵活性，Proposal 1能够产生更优的结果。 图4. 上证综指时间序列预测误差箱线图。(a) 中心误差；(b) 展形误差 注4 在风险中性模糊双线性回归中，根据约束条件估计参数，在一定h水平下，真实区间与估计区间的交集非空。通过分析结果可以看出，风险中性模糊线性回归具有较好的预测能力，但是中心观测值不在估计区间内，占训练数据的11.5%，其中有近一半与估计区间存在较小程度的偏离，如图5所示。 4.2. 基于区间预测的模型比较 当数据存在较高的波动率或离群值时，以往模型得到的估计区间可能存在不准确性，因此，可以应用智能化工具来识别非线性模式，提高预测准确度。利用构造性算法设计不同的概率神经网络体系结构，以得到最优结构，最终的网络结构包括四个输入和一个输出神经元。 Proposal 1和Proposal 2得到的测试集数据预测区间如表3所示。可以发现，Proposal 1预测区间明显宽于Proposal 2，在图5和图6中，可以清晰的观察到Proposal 1方法得到的训练数据或测试数据的预测区间宽度与Proposal 2得到的预测区间宽度存在显著差异。 在对比研究中，神经网络方法和几种传统时间序列的基本模型，如ARIMA、单指数平滑(SES)、双指数平滑(DES)、SVM、多层感知机(MLP)、反向传播(BP)神经网络和Elman神经网络进行对比，计算DES、ARIMA、MLP、SES、SVM、Elman、BP方法在95%置信水平下的预测区间，对比结果如表4所示。可以看出，由Proposal 2得到的预测区间的平均宽度为0.0083，与DES、ARIMA、MLP、SES、SVM、Elman、BP方法和Proposal 1相比，分别提高了80.52%、79.84%、78.49%、78.03%、76.91%、76.26%、74.24%和60%。 图5. Proposal 1得到的预测区间。(a) 训练数据；(b) 预测数据 Table 3 Forecasting intervals of testing data 数据编号 中心观测值 Proposal 1 Proposal 2 (α = 86%) Proposal 2 (α = 100%) 上界 下界 上界 下界 上界 下界 1 −0.0061 −0.0106 0.0097 −0.0106 −0.0005 −0.0106 −0.0025 2 −0.0106 −0.0134 0.0122 −0.0134 −0.0006 −0.0134 −0.0032 3 0.0053 −0.0142 0.0120 −0.0011 0.0120 0.0015 0.0120 4 0.0005 −0.0082 0.0098 −0.0082 0.0008 −0.0046 0.0026 5 −0.0020 −0.0088 0.0092 −0.0088 0.0002 −0.0052 0.0020 6 −0.0002 −0.0098 0.0096 −0.0098 −0.0001 −0.0059 0.0018 7 0.0099 −0.0113 0.0115 0.0001 0.0115 0.0024 0.0115 8 −0.0007 −0.0099 0.0126 −0.0099 0.0013 −0.0054 0.0036 9 −0.0076 −0.0097 0.0099 −0.0097 0.0001 −0.0097 −0.0019 10 −0.0030 −0.0099 0.0083 −0.0099 −0.0008 −0.0062 0.0010 11 0.0011 −0.0090 0.0086 −0.0090 −0.0002 −0.0020 0.0051 表3. 测试数据的预测区间 图6. Proposal 2得到的预测区间。(a) 训练集；(b) 预测集 Table 4 Comparison of interval width for the forecasting method 模型 区间宽度 提高比率 DES ARIMA MLP SES SVM Elman BP Proposal 1 Proposal 1 DES 0.0426 0 ARIMA 0.0411 3.37% 0 MLP 0.0386 9.41% 6.25% 0 SES 0.0378 11.33% 8.23% 2.11% 0 SVM 0.0360 15.61% 12.66% 6.84% 4.83% 0 Elman 0.0350 17.92% 15.06% 9.39% 7.44% 2.74% 0 BP 0.0322 24.37% 21.73% 16.51% 14.71% 10.38% 7.86% 0 Proposal 1 0.0208 51.29% 49.59% 46.23% 45.07% 42.28% 40.66% 35.59% 0 Proposal 2 0.0083 80.52% 79.84% 78.49% 78.03% 76.91% 76.26% 74.24% 60.00% 0 表4. 预测区间宽度对比