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user: 3. 方差最优对冲策略 根据 [ 14 ] 中的结论可知，传统的Delta对冲策略对FMLS框架下的欧式期权不再实用，所以在这部分本文将为FMLS框架的欧式期权设计一个实用的对冲策略。事实上，对冲可以理解为市场参与者通过买卖风险资产来构造资产组合以实现对未定权益终值的一种逼近。逼近程度的优劣通常用均方对冲误差的大小来衡量，即 M 0 = E ˜ 0 [ C ˜ 0 + ∑ j = 1 N D j Δ S ˜ j − C ˜ T ] 2 ， (11) 其中 E ˜ j [ • ] = E ˜ t j [ • ] ， S ˜ j = exp ( − r t j ) S t j ， C ˜ j = exp ( − r t j ) C ( t j ， X t j ) ， Δ S ˜ j = S ˜ j − S ˜ j − 1 ， D j 表示在时刻 t j 期权出售方所持有的风险资产份额，它是一个自融资(self-finance)交易策略。事实上，在(11)中 ∑ j = 1 N D j Δ S ˜ j 表示的是在整个期权合约中期权出售方的交易累积收益。在(11)式中方括号内的表达式正好是期权出售方在整个合约内的对冲资产组合，其目的是寻找最优的对冲策略 D ∗ 使得期权金 C ˜ 0 和交易的累积收益的总和尽可能的接近未定权益终值得贴现 C ˜ T ，亦即使对冲资产组合在初始时刻的均方误差 M 0 达到最小。接下来，我们就根据这一思想来求出方差最优对冲策略 D ∗ 以及该策略的具体算法。 定理2在风险中性环境下，如果股票价格 S t 满足指数随机过程(4)，其中X是一个右连左极的且具有独立增量的随机过程，那么以 S t 为标的资产，K为执行价格，T为到期日且对冲交易时间为 0 = t 0 < t 1 < ⋯ < t j < ⋯ < t N = T 的欧式看涨期权C的方差最优对策略为 D ∗ = E ˜ j − 1 [ C ˜ T S ˜ j ] E ˜ j − 1 [ Δ S ˜ j ] ≈ e − r ( T − t j ) v j − C ˜ j − 1 S ˜ j − 1 K Φ X ( − 2 i ; t j − 1 ， t j ) − S ˜ j − 1 2 ， (12) 且当 j = N 时， v N = K 2 ∑ i = 1 M [ exp ( 2 z i + 2 x N − 1 ) − exp ( z i + x N − 1 ) f ( z i ) ] Δ 其中 f ( • ) 是随机变量 X ~ L α ( ( r + ν ) ( T − t N − 1 ) ， σ ( T − t N − 1 ) α ， − 1 ) 的概率密度函数。当 0 < j < N 时 v j = K 2 π ∑ i = 1 N [ exp ( y i + x j ) C ( y i + x j ) f ( y i ) ] Δ ′ ， 其中 C ( t ， X t ) ≈ ∑ j = 1 M + 1 R { Φ X ( ω j − i − i α ¯ ; t ， T ) ( i ω j + 1 + α ¯ ) ( i ω j + α ¯ ) } η ， f ( • ) 是随机变量 X ~ L α ( ( r + ν ) ( t j − t j − 1 ) ， σ ( t j − t j − 1 ) α ， − 1 ) 的概率密度函数。 证明因为随机变量X具有稳定的独立增量，且在风险中性概率测度下贴现过程 S ˜ 和 C ˜ 都是鞅，所以由文献 [ 14 ] 中的结论可知，FMLS框架下离散时间下欧式看涨期权的对冲均方误差在初始时刻的值可以表示为 M 0 = E ˜ 0 [ C ˜ T 2 ] − C ˜ 0 + E ˜ 0 [ ∑ j = 1 N D j 2 E ˜ j − 1 [ Δ S ˜ j 2 ] − 2 D j E ˜ j − 1 [ C ˜ T 2 Δ S ˜ j 2 ] ] 2 ， 显然若要使 M 0 值最小，那么对冲策略应该为 D ∗ = E ˜ j − 1 [ C ˜ T 2 Δ S ˜ j 2 ] E ˜ j − 1 [ Δ S ˜ j 2 ] . (13) 由于随机变量X的分布信息是已知的，所以根据(6)式我们可以把(13)中的分母计算出来，即 E ˜ j − 1 [ Δ S ˜ j 2 ] = E ˜ j − 1 [ S ˜ j 2 − S ˜ j − 1 2 ] = E ˜ j − 1 [ S ˜ j 2 ] − S ˜ j − 1 2 = K 2 E ˜ j − 1 [ exp ( X j 2 ) ] − S ˜ j − 1 2 = K 2 Φ X ( − 2 i ; t j − 1 ， t j ) − S ˜ j − 1 2 . 又因为 S ˜ 和 C ˜ 都是鞅，所以(13)式子中的分子可以表示为 E ˜ j − 1 [ C ˜ T 2 Δ S ˜ j 2 ] = E ˜ j − 1 [ C ˜ T ( S ˜ j − S ˜ j − 1 ) ] = E ˜ j − 1 [ C ˜ T S ˜ j ] − S ˜ j − 1 E ˜ j − 1 [ C ˜ T ] = E ˜ j − 1 [ C ˜ T S ˜ j ] − S ˜ j − 1 C ˜ j − 1 ， 事实上，在上式中只有 E ˜ j − 1 [ C ˜ T S ˜ j ] 是未知的，接下了我们的目标就是求出这个部分的值。因为 E ˜ j − 1 [ C ˜ T S ˜ j ] = exp [ − r ( T + t j ) ] E ˜ j − 1 [ C T S j ] ， 本文记 v j = E ˜ j − 1 [ C T S j ] ，那么计算方差最优对冲策略的 D ∗ 就转化为设计 v j 的算法。接下来我们将从 j = N 和 0 < j < N 两个方面来给出 v j 的计算方法。 1) 先讨论 j = N 的时候，亦即 t j = T ，那么此时 v N = E ˜ N − 1 [ C T S T ] = E ˜ N − 1 [ ( S − K ) + S T ] = K 2 E ˜ N − 1 [ ( e X T − 1 ) + e X T ] = K 2 ∫ − ∞ + ∞ ( e y − 1 ) + e y f X N − 1 ( y ) d y ， (14) 其中 f X N − 1 ( y ) 是给定 X N − 1 的条件下 X N 的条件密度函数。因为在FMLS框架下，股票价格是一个指数Levy过程并且 X t = ln ( S t / K ) ，也就是说 X t 关于标的资产价格 S t 是单调递减的，所以根据文献 [ 15 ] 的结论可知，条件密度函数 f X N − 1 ( X N ) 满足下面的关系 f X N − 1 ( X N ) = f ( X N − X N − 1 ) ， (15) 其中随机变量 X N − X N − 1 ~ L α ( ( r + ν ) ( T − t N − 1 ) ， σ ( T − t N − 1 ) 1 / α ， − 1 ) 。那么结合(14)和(15)式并且作变量替换 z = y − x N − 1 可得 v N = K 2 ∫ − ∞ + ∞ ( e y − 1 ) + e y f X N − 1 ( y ) d y = K 2 ∫ − ∞ + ∞ ( exp ( z + x N − 1 ) − 1 ) + exp ( z + x N − 1 ) f ( z ) d z = K 2 ∫ − x N − 1 + ∞ [ exp ( 2 z + 2 x N − 1 ) − exp ( z + x N − 1 ) ] f ( z ) d z . 因为 f ( z ) 是 X N − X N − 1 随机变量的密度函数，且根据文献 [ 16 ] 可知函数 f ( z ) 要比指数函数高阶无穷小，所以我们就可以对上式中的无穷积分进行截断，即 v N ≈ K 2 ∫ − x N − 1 d [ exp ( 2 z + 2 x N − 1 ) − exp ( z + x N − 1 ) ] f ( z ) d z ≈ K 2 ∑ j = 1 M { [ exp ( 2 z j + 2 x N − 1 ) − exp ( z j + x N − 1 ) ] f ( z j ) } Δ ， (16) (16)中的最后一步是利用梯形公式而得到的，其中 M Δ − x N − 1 = d 是截断无穷积分的上限， z j = ( j − 1 ) Δ − x N − 1 。为了保证计算的精度，在数值仿真中本文取 M = 10 6 ， Δ = 0.001 。 2) 接下来考虑 0 < j < N 的情况。首先根据重期望公式 v j = E ˜ j − 1 [ S j C T ] = E ˜ j − 1 [ E ˜ j [ S j C T ] ] = E ˜ j − 1 [ S j E ˜ j [ C T ] ] ， (17) 在(17)中 E ˜ j [ C T ] 可以直接根据欧式期权看涨公式(10)式得到，即 C ( t ， X t ) ≈ K π ∑ j = 1 M + 1 R { Φ X ( ω j − i − i α ¯ ; t ， T ) ( i ω j + 1 + α ¯ ) ( i ω j + α ¯ ) } η ， 其中 Φ X ( ω ; t j ， T ) = exp [ i ω ( r τ + X j ) ] exp [ i ω ν τ − ( i ω σ ) α τ sec α π 2 ] = [ cos ( ω r ( τ + X j ) ) + i sin ( ω r ( τ + X j ) ) ] exp [ i ω ν τ − ( i ω σ ) α τ sec α π 2 ] . 很显然 E ˜ j [ C T ] 是随机变量 X j 的函数，为方便叙述，本文记 C ( X j ) = E ˜ j [ C T ] ，所以 v j = K E ˜ j − 1 [ exp ( X j ) C ( X j ) ] = K ∫ − ∞ ∞ exp ( x ) C ( x ) f X j ( x ) d x = K ∫ − ∞ ∞ exp ( y + x j ) C ( y + x j ) f ( y ) d y ≈ K ∑ i = 1 N [ exp ( y i + x j ) C ( y i + x j ) f ( y i ) ] Δ ′ ， 其中a和b是截断无穷积分的下限和上限，且 Δ ′ = b − a N − 1 ，   y i = ( i − 1 ) Δ ′ + a 。至此本文就完成了对定理2的证明。另外，为了保证计算的精度，在数值模拟中本文取 N = 2 × 10 6 ， Δ ′ = 0.001 ，以及 b = − a 。