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user: 3. 经典解的全局存在性和有界性 引理4 设 Ω ⊂ ℝ N ( N ≥ 1 ) 是一个具有光滑边界的有界区域， ( u ， v ) 为初边值问题(4)在 ( 0 ， T max ) 内的解，初值 u 0 ， v 0 满足(5)式， a i > 0   ( i = 0 ， 1 ， 2 ) ， χ > 0 。设 a 1 > ( N − 2 ) + N χ C ˜ ，则存在 q 0 > max { 1 ， N 2 } 及常数 C > 0 ，使得对任意的   t ∈ ( 0 ， T max ) 有 ∫ Ω u q 0 ( ⋅ ， t ) ≤ C ， (11) 其中 C ˜ = C ∞ C N 2 + 1 1 N 2 + 1 ，而 C ∞ 为(10)式中所给定的常数， C N 2 + 1 为(9)式中令 γ = N 2 + 1 时的常数。 证明：将方程组(4)的第一个方程两边同时乘以 u γ − 1 ，再在 Ω 上对x积分并利用u的非负性得 1 γ d d t ∫ Ω u γ + ( γ − 1 ) ∫ Ω u γ − 2 | ∇ u | 2 = ( γ − 1 ) χ ∫ Ω u γ − 1 ∇ u ⋅ ∇ v + ∫ Ω u γ ( a 0 − a 1 u − a 2 ∫ Ω u )   ≤ ( γ − 1 ) χ ∫ Ω u γ − 1 ∇ u ⋅ ∇ v + ∫ Ω u γ ( a 0 − a 1 u ) = − χ ( γ − 1 ) γ ∫ Ω u γ Δ v − γ + 1 γ ∫ Ω u γ + ∫ Ω u γ ( a 0 + γ + 1 γ − a 1 u )     ，                       t ∈ ( 0 ， T max ) ， (12) 又因为 ∫ Ω u γ − 2 | ∇ u | 2 = 4 γ 2 ∫ Ω | ∇ u γ 2 | 2 ，               t ∈ ( 0 ， T max ) ， 故 1 γ d d t ∫ Ω u γ + 4 ( γ − 1 ) γ 2 ∫ Ω | ∇ u γ 2 | 2 ≤ − χ ( γ − 1 ) γ ∫ Ω u γ Δ v − γ + 1 γ ∫ Ω u γ + ∫ Ω u γ ( a 0 + γ + 1 γ − a 1 u )     ，                       t ∈ ( 0 ， T max ) . (13) 由Young不等式知：对任意的 ε > 0 ，都有 ∫ Ω u γ ( a 0 + γ + 1 γ ) ≤ ε ∫ Ω u γ + 1   + C 1   ，                       t ∈ ( 0 ， T max ) ， (14) 其中 C 1 :   = 1 γ + 1 ( γ + 1 γ ε ) − γ ( a 0 + γ + 1 γ ) γ + 1 | Ω | 。由(13)与(14)式知 1 γ d d t ∫ Ω u γ + 4 ( γ − 1 ) γ 2 ∫ Ω | ∇ u γ 2 | 2 ≤ χ ( γ − 1 ) γ ∫ Ω u γ | Δ v | − γ + 1 γ ∫ Ω u γ + ( ε − a 1 ) ∫ Ω u γ + 1 + C 1     ，                     t ∈ ( 0 ， T max ) . (15) 再利用Young不等式可知：对任意的 m > 0 有 χ ( γ − 1 ) γ ∫ Ω u γ | Δ v | ≤ m ∫ Ω u γ + 1 + 1 γ + 1 ( γ + 1 γ ) − γ ( γ − 1 γ ) γ + 1 m − γ χ γ + 1 ∫ Ω | Δ v | γ + 1 = m ∫ Ω u γ + 1 + A γ m − γ χ γ + 1 ∫ Ω | Δ v | γ + 1 ，                             t ∈ ( 0 ， T max ) ， (16) 其中 A γ : = 1 γ + 1 ( γ + 1 γ ) − γ ( γ − 1 γ ) γ + 1 。将(16)式带入(15)式得 1 γ d d t ∫ Ω u γ + 4 ( γ − 1 ) γ 2 ∫ Ω | ∇ u γ 2 | 2 ≤ ( m + ε − a 1 ) ∫ Ω u γ + 1 − γ + 1 γ ∫ Ω u γ + A γ m − γ χ γ + 1 ∫ Ω | Δ v | γ + 1 + C 1   ，                       t ∈ ( 0 ， T max ) . (17) 取定 s 0 ∈ ( 0 ， T max ) 且 s 0 ≤ 1 ，由引理1可知存在常数 K > 0 ，使得 ‖ u ( ⋅ ， t ) ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ K ，       ‖ Δ v ( ⋅ ， s 0 ) ‖ L γ + 1 ( Ω ) ≤ K ，                   t ∈ ( 0 ， s 0 ] . (18) 设y为常微分方程 { y ′ = − ( γ + 1 ) y + γ f ( t ) ， t ∈ ( s 0 ， T max ) ， y ( s 0 ) = ‖ u ( s 0 ) ‖ L ∞ ( Ω ) (19) 的解，其中 f ( t ) = ( m + ε − a 1 ) ∫ Ω u γ + 1 + A γ m − γ χ γ + 1 ∫ Ω | Δ v | γ + 1 + C 1 。 由(17)和(19)式，并结合抛物型方程的比较原理和常数变易法，对任意的 t ∈ ( s 0 ， T max ) 有 ∫ Ω u γ ( ⋅ ， t ) ≤ y ( t ) = e − ( γ + 1 ) ( t − s 0 ) ‖ u ( ⋅ ， s 0 ) ‖ L ∞ ( Ω ) + γ ∫ s 0 t e − ( γ + 1 ) ( t − s ) f ( s ) d s . 再结合(18)式有 1 γ ∫ Ω u γ ≤ 1 γ e − ( γ + 1 ) ( t − s 0 ) ‖ u ( ⋅ ， s 0 ) ‖ L ∞ ( Ω ) + ( m + ε − a 1 ) ∫ s 0 t e − ( γ + 1 ) ( t − s ) ∫ Ω u γ + 1 d s     + A γ m − γ χ γ + 1 ∫ s 0 t e − ( γ + 1 ) ( t − s ) ∫ Ω | Δ v | γ + 1 d s + C 1 ∫ s 0 t e − ( γ + 1 ) ( t − s ) d s ≤ ( m + ε − a 1 ) ∫ s 0 t e − ( γ + 1 ) ( t − s ) ∫ Ω u γ + 1 d s     + A γ m − γ χ γ + 1 ∫ s 0 t e − ( γ + 1 ) ( t − s ) ∫ Ω | Δ v | γ + 1 d s + K γ e − ( γ + 1 ) ( t − s 0 ) + C 1 γ + 1 . (20) 由引理2可知，对任意的 t ∈ ( s 0 ， T max ) 有 ∫ s 0 t e − ( γ + 1 ) ( t − s ) ‖ Δ v ( ⋅ ， s ) ‖ L γ + 1 ( Ω ) γ + 1 d s ≤ C γ + 1 ∫ s 0 t ‖ v ( ⋅ ， s ) − u v ( ⋅ ， s ) ‖ L γ + 1 ( Ω ) γ + 1 d s       + C γ + 1 e − ( γ + 1 ) ( t − s 0 ) ( ‖ v ( ⋅ ， s 0 ) ‖ L γ + 1 ( Ω ) γ + 1 + ‖ Δ v ( ⋅ ， s 0 ) ‖ L γ + 1 ( Ω ) γ + 1 ) ≤ C γ + 1 γ + 1 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) γ + 1 + C γ + 1 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) γ + 1 ∫ s 0 t e − ( γ + 1 ) ( t − s ) ‖ u ( ⋅ ， s ) ‖ L γ + 1 ( Ω ) γ + 1 d s       + C γ +1 e − ( γ + 1 ) ( t − s 0 ) ( ‖ v ( ⋅ ， s 0 ) ‖ L γ + 1 ( Ω ) γ + 1 + ‖ Δ v ( ⋅ ， s 0 ) ‖ L γ + 1 ( Ω ) γ + 1 ) ， (21) 其中 C γ + 1 > 0 为引理2所对应给定的常数。结合(18)，(20)和(21)式，对任意的 t ∈ ( s 0 ， T max ) 有 1 γ ∫ Ω u γ ≤ ( m + ε + A γ C γ + 1 m − γ χ γ + 1 C ∞ γ + 1 − a 1 ) ∫ s 0 t e − ( γ + 1 ) ( t − s ) ∫ Ω u γ + 1 d s     + e − ( γ + 1 ) ( t − s 0 ) ( K γ + A γ C γ + 1 m − γ χ γ + 1 K γ + 1 + A γ C γ + 1 m − γ χ γ + 1 C ∞ γ + 1 )     + C γ + 1 γ + 1 C ∞ γ + 1 χ γ + 1 A γ m − γ + C 1 γ + 1 ≤ ( m + ε + A γ C γ + 1 m − γ χ γ + 1 C ∞ γ + 1 − a 1 ) ∫ s 0 t e − ( γ + 1 ) ( t − s ) ∫ Ω u γ + 1 d s + C 2 . (22) 其中 C 2 : = K γ + A γ C γ + 1 m − γ χ γ + 1 K γ + 1 + A γ C γ + 1 m − γ χ γ + 1 C ∞ γ + 1 + C γ + 1 γ + 1 C ∞ γ + 1 χ γ + 1 A γ m − γ + C 1 γ + 1 ， C ∞ 为引理3中所给定的常数。令 H ( m ) = A γ C γ + 1 m − γ χ γ + 1 C ∞ γ + 1 + m     ， 则 H ′ ( m ) = − γ A γ C γ + 1 m − γ − 1 χ γ + 1 C ∞ γ + 1 + 1       ， 因此 H ′ ( m ) = 0 ⇔ m = ( γ A γ C γ + 1 ) 1 γ + 1 χ C ∞ . 则对任意的 m > 0 有 H ″ ( m ) = γ ( γ + 1 ) A γ C γ + 1 m − γ − 2 χ γ + 1 C ∞ γ + 1 > 0 ， 所以 min m > 0 H ( m ) = H ( m 0 ) ， 其中 m 0 = ( γ A γ C γ + 1 ) 1 γ + 1 χ C ∞ ，那么 H ( m 0 ) = ( A γ C γ + 1 γ − γ ) 1 γ + 1 χ C ∞ ( 1 + γ ) ， (23) 其中 A γ : = 1 γ + 1 ( γ + 1 γ ) − γ ( γ − 1 γ ) γ + 1 。因此 A γ 1 γ + 1 = ( 1 γ + 1 ) 1 γ + 1 ( γ + 1 γ ) − γ γ + 1 ( γ − 1 γ ) = ( γ + 1 ) − 1 γ γ γ + 1 ( γ − 1 γ ) . (24) 由(23)和(24)式可得 H ( m 0 ) = γ − 1 γ C γ + 1 1 γ + 1 χ C ∞ . 最后，再结合(22)式可得 1 γ ∫ Ω u γ ≤ ( ε + γ − 1 γ C γ + 1 1 γ + 1 C ∞ χ − a 1 ) ∫ s 0 t e − ( γ + 1 ) ( t − s ) ∫ Ω u γ + 1 d s + C 2 ，                   t ∈ ( 0 ， T max ) . (25) 由于 a 1 > ( N − 2 ) + N χ C ˜ = N 2 − 1 N 2 χ C ˜ ( C ˜ = C ∞ C N 2 + 1 1 N 2 + 1 )，则由实数的连续性可知，存在 q 0 > N 2 ，使得 a 1 > q 0 − 1 q 0 χ C ˜ ， 令 ε < a 1 − q 0 − 1 q 0 C ˜ χ ，则 ε + q 0 − 1 q 0 C N 2 + 1 1 N 2 + 1 C ∞ χ − a 1 < 0 ，在(25)式中，取 γ = q 0 ，那么 1 q 0 ∫ Ω u q 0 ≤ C 2 ， 即对任意的 t ∈ ( 0 ， T max ) ，(11)式成立。 引理5 设 Ω ⊂ ℝ N ( N ≥ 1 ) 是一个具有光滑边界的有界区域， ( u ， v ) 为初边值问题(4)在 ( 0 ， T max ) 内的解，初值 u 0 ， v 0 满足(5)式， a i > 0   ( i = 0 ， 1 ， 2 ) ， χ > 0 ，且 q 0 > max { 1 ， N 2 } ， a 1 > ( N − 2 ) + N χ C ˜ 。则对任意的 q ∈ ( 1 ， N q 0 ( N − q 0 ) + ) ，存在常数 C > 0 ，使得对任意的 t ∈ ( 0 ， T max ) 有 ‖ ∇ v ( ⋅ ， t ) ‖ L q ( Ω ) ≤ C ， (26) 其中 C ˜ 为引理4中所给定的常数。 证明：由方程组(4)中的第二个方程和常数变易法知， v ( ⋅ ， t ) = e t Δ v 0 − ∫ 0 t e ( t − s ) Δ u v ( ⋅ ， s ) d s ，                           t ∈ ( 0 ， T max ) . (27) 由[ [ 16 ] 引理1.3]以及Hölder不等式知，对任意的 t ∈ ( 0 ， T max ) 有 ‖ ∇ v ( ⋅ ， t ) ‖ L q ( Ω ) ≤ C 1 ‖ v 0 ‖ W 1 ， ∞ ( Ω ) + C 2 ∫ 0 t ( 1 + ( t − s ) − 1 2 − N 2 ( 1 q 0 − 1 q ) + ) e − λ ( t − s ) ‖ u v ( ⋅ ， s ) ‖ L q 0 ( Ω ) d s ≤ C 1 ‖ v 0 ‖ W 1 ， ∞ ( Ω ) + C 2 ‖ v 0 ‖ W 1 ， ∞ ( Ω ) sup t ∈ ( 0 ， T max ) ‖ u ( ⋅ ， t ) ‖ L q 0 ( Ω ) ∫ 0 ∞ ( 1 + s − 1 2 − N 2 ( 1 q 0 − 1 q ) + ) e − λ s d s . (28) 其中常数 C 1 ， C 2 > 0 。因为 q < N q 0 ( N − q 0 ) + ，所以 1 2 + N 2 ( 1 q 0 − 1 q ) + < 1 。由(5)和(11)式可得(26)式。 引理6 设 Ω ⊂ ℝ N ( N ≥ 1 ) 是一个具有光滑边界的有界区域， ( u ， v ) 为初边值问题(4)在 ( 0 ， T max ) 内的解，初值 u 0 ， v 0 满足(5)式， a i > 0   ( i = 0 ， 1 ， 2 ) ， χ > 0 ， a 1 > ( N − 2 ) + N χ C ˜ ，则对任意的 p ≥ 1 ，存在常数 C > 0 ，使得对任意的 t ∈ ( 0 ， T max ) 有 ∫ Ω u p ( ⋅ ， t ) ≤ C ， (29) 其中 C ˜ 为引理4中所给定的常数。 证明：由于 q 0 > max { 1 ， N 2 } ，那么 q 0 ∈ ( 1 ， N q 0 2 ( N − q 0 ) + ) ，由引理4和引理5可知 sup t ∈ ( 0 ， T max ) ∫ Ω u q 0 ( ⋅ ， t ) < ∞ ， (30) sup t ∈ ( 0 ， T max ) ∫ Ω | ∇ v ( ⋅ ， t ) | 2 q 0 < ∞ . (31) (i) 如果 p ≤ q 0 ，则 L q 0 ( Ω ) ↪ L p ( Ω ) ，那么存在常数 C 1 > 0 ，使得 ‖ u ( ⋅ ， t ) ‖ L p ( Ω ) ≤ C 1 ‖ u ( ⋅ ， t ) ‖ L q 0 ( Ω ) ， 由(30)式可得(29)式。 (ii) 如果 p > q 0 ，将方程组(4)的第一个方程两边同时乘以 u p − 1 ，再在 Ω 上对x积分得 1 p d d t ∫ Ω u p + 4 ( p − 1 ) p 2 ∫ Ω | ∇ u p 2 | 2 ≤ χ ( p − 1 ) ∫ Ω u p − 1 ∇ u ⋅ ∇ v + a 0 ∫ Ω u p − a 1 ∫ Ω u p + 1 ，                         t ∈ ( 0 ， T max ) . (32) 由Young不等式可得 1 p d d t ∫ Ω u p + 4 ( p − 1 ) p 2 ∫ Ω | ∇ u p 2 | 2 ≤ χ ( p − 1 ) ∫ Ω u p − 1 ∇ u ⋅ ∇ v − a 1 2 ∫ Ω u p + 1 + C 2 ≤ p − 1 2 ∫ Ω u p − 2 | ∇ u | 2 + χ 2 ( p − 1 ) 2 ∫ Ω u p | ∇ v | 2 − a 1 2 ∫ Ω u p + 1 + C 2 = 2 ( p − 1 ) p 2 ∫ Ω | ∇ u p 2 | 2 + χ 2 ( p − 1 ) 2 ∫ Ω u p | ∇ v | 2 − a 1 2 ∫ Ω u p + 1 + C 2 ，               t ∈ ( 0 ， T max ) ， (33) 其中常数 C 2 > 0 。由Hölder不等式和(31)式有 χ 2 ( p − 1 ) 2 ∫ Ω u p | ∇ v | 2 ≤ χ 2 ( p − 1 ) 2 ( ∫ Ω u q 0 q 0 − 1 p ) q 0 − 1 q 0 ( ∫ Ω | ∇ v | 2 q 0 ) 1 q 0 ≤ C 3 ‖ u p 2 ‖ L 2 q 0 q 0 − 1 ( Ω )     2 ，                                   t ∈ ( 0 ， T max ) ， (34) 其中常数 C 3 > 0 。由Gagliardo-Nirenberg不等式知，存在一个正常数 C 4 ，使得 C 3 ‖ u p 2 ‖ L 2 q 0 q 0 − 1 ( Ω )     2 ≤ C 4 ‖ ∇ u p 2 ‖ L 2 ( Ω ) 2 θ ‖ u p 2 ‖ L 2 q 0 p ( Ω ) 2 ( 1 − θ ) + C 4 ‖ u p 2 ‖ L 2 q 0 p ( Ω ) 2 其中 θ = N p 2 q 0 − N ( q 0 − 1 ) 2 q 0 1 + N 2 ( p q 0 − 1 ) ，由于 N 2 < q 0 < p ，故 0 < θ < 1 。再利用Young不等式可得 χ 2 ( p − 1 ) 2 ∫ Ω u p | ∇ v | 2 ≤ 2 ( p − 1 ) p 2 ∫ Ω | ∇ u p 2 | 2 + C 5 ，                     t ∈ ( 0 ， T max ) . (35) 再将(35)式带入(33)式， 1 p d d t ∫ Ω u p ≤ 2 ( p − 1 ) p 2 ∫ Ω | ∇ u p 2 | 2 − 2 ( p − 1 ) p 2 ∫ Ω | ∇ u p 2 | 2 − a 1 2 ∫ Ω u p + 1 + C 6 = − a 1 2 ∫ Ω u p + 1 + C 6 ≤ − a 1 2 | Ω | 1 p ( ∫ Ω u p ) p + 1 p + C 6   ，                   t ∈ ( 0 ， T max ) . (36) 其中常数 C 6 > 0 ，故(29)式成立。 定理1的证明 由引理6可知，对任意的 p ≥ 1 ， ‖ u ( ⋅ ， t ) ‖ L p ( Ω ) 是有界的，由Neumann热半群的性质 [ 17 ] [ 18 ] 可知，存在常数 C 1 > 0 ，使得 ‖ ∇ v ( ⋅ ， t ) ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ C 1 (37) 另一方面，由Moser-Alikakos迭代理论 [ 12 ] 可知，存在一个常数 C 2 > 0 ，使得 ‖ u ( ⋅ ， t ) ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ C 2 (38) 由(37)和(38)式及引理1可知 T max = ∞ ，定理1得证。