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user: 1. 引言 本文研究了一类非一致扩张系统上渐近可加函数列的“历史集”的重分形分析，证明了渐近可加势的“历史集”的Hausdorff维数谱具有“择一性”。首先做一概述。 1.1. “历史集” 设 ( X ， T ) 为拓扑动力系统，即X为紧度量空间， T : X → X 为连续自映射， C ( X ， ℝ ) 表示从X到 ℝ 的连续函数全体。给定 ϕ ∈ C ( X ， ℝ ) ，称 S n ϕ : = ∑ i = 0 n − 1 ϕ ∘ T i 和 A n ϕ : = 1 n S n ϕ 分别为 ϕ 的Birkhoff和与Birkhoff均值。若存在 ϕ ∈ C ( X ， R ) ，使得极限 lim n → ∞ A n ϕ ( x ) 不存在，则称点x的轨道 { x ， T x ， T 2 x ， ⋯ } 有“历史行为”。这个名称最早是Ruell在 [ 1 ] 中提出的，本文沿用Ruell的定义，把轨道具有“历史行为”的点的全体称为“历史集”。在 [ 2 ] 中Takens进一步研究了“历史集”，并提出了如下问题：是否存在一类光滑的动力系统，这类系统有“历史行为”的初始点集具有正测度的性质是稳定的。该问题被称为“Takens last problem”。到目前为止，有很多学者对“Takens last problem”进行了大量的研究并得到了一些深入的结果。如在 [ 3 ] 中，作者证明了闭曲面上r阶微分同胚中任一Newhouse开集都有稠子集，此稠子集中任一元都有一个压缩游荡域是“历史集”，从而部分回答了“Takens last problem”，更多有关“Takens last problem”的内容见文献 [ 4 ] 。 如果点x使得对每一个 ϕ ∈ C ( X ， ℝ ) ，极限 lim n → ∞ A n ϕ ( x ) 都存在，称点x为“通有点”。点x的Birkhoff均值的极限不存在，意味着当时间n趋向无穷时，点 T n x 对下一步要去哪里始终有新的“想法”。若点x为“通有点”，对每一个观察函数 ϕ 来说，因 lim n → ∞ A n ϕ ( x ) 存在，所以“通有点”的轨道行为是完全可以预测的。因此“历史点”的轨道比“通有点”的轨道包含了更多的信息。Ruell和Takens认为“历史集”有更重要的研究意义。给定 ϕ ∈ C ( X ， ℝ ) ，称 H ( ϕ ; X ， T ) : = { x ∈ X : lim n → ∞ A n ϕ ( x ) 不 存 在 } 为关于 ϕ 的“历史集”。易见 H ( ϕ ; X ， T ) 是“历史集”的一个子集，“历史集”是所有连续函数 ϕ 的“历史集” H ( ϕ ; X ， T ) 的并集。为简化记号，以下简记 H ( ϕ ; X ， T ) 为 H ( ϕ ) 。 近些年来，很多学者对“历史集”的结构和性质有浓厚的兴趣，对“历史集”进行了大量的研究，得到了很多深刻的结果，见 [ 1 ] - [ 15 ] 。由Birkhoff遍历定理知，对任一T-不变测度 μ ，都有 μ ( H ( ϕ ) ) = 0 ，这意味着从测度范畴看，“历史集”是可以忽略不计的，因此，在动力系统和几何测度论中，人们一直认为“历史集”没有包含系统的本质信息，没有进一步研究的必要。然而文献 [ 5 ] 的研究结论彻底颠覆了这个观点，在大多数的系统中，特别是一致双曲系统中，“历史集”或者具有满的拓扑熵，或者具有满的Hausdorff维数，这表明“历史集”是一个很大的集合，在某种程度上包含了系统的所有信息。文献 [ 6 ] 证明了在有限型子转称斥子中“历史集”若非空，就具有满的Hausdorff维数，D. Tompson在 [ 7 ] 中证明了若系统有某些弱的Specification性质，则该系统中的“历史集”若非空，就具有满的拓扑压力。Barreira等在 [ 8 ] 中从拓扑观点研究“历史集”，证明了若有限型子位移具有弱的Specification性质，则该系统中的“历史集”只要不是空集，就是剩余集。 以上的文章研究的都是一致双曲系统中的“历史集”，他们证明了一致双曲系统中的“历史集”的拓扑熵，Hausdorff维数都具有“择一性”，即非空即满。在非一致双曲系统中，因为非双曲周期点的出现，使得非一致双曲系统的动力学行为比一致双曲系统更加复杂，因此关于非一致双曲系统的“历史集”，到目前为止，研究结果还比较少。文献 [ 9 ] 得到了一类非一致双曲系统中“饱和集”的拓扑熵的变分公式，并证明了在该类系统中“历史集”具有满拓扑熵的性质是C 1 稳定的。 [ 10 ] 中作者证明了在Lorenz流的一个俘获区中，“历史集”是剩余集。 [ 11 ] 中作者证明了在一类非一致扩张系统中，几乎可加势的“历史集”的Hausdorff维数具有“择一性”。 本文研究了一类一维非一致扩张系统中渐进可加势的“历史集”，证明了该类系统中渐进可加势的“历史集”的Hausdorff维数谱也具有“择一性”。下面介绍本文要研究的非一致扩张系统。 1.2. 系统与符号 本文考虑如下模型，令 T : ∪ i = 1 m I i → [ 0 ， 1 ] 是分段 C 1 + r 映射，其中 r > 0 ， I i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 是 [ 0 ， 1 ] 的m个子区间，满足如下条件： 1、若 i ≠ j ，则 int ( I i ) ∩ int ( I j ) = ∅ ，本文中 int ( I i ) 指集合 I i 的内部； 2、对 1 ≤ i ≤ m ， T | I i : I i → [ 0 ， 1 ] 是 C 1 + r 的满射，且存在唯一 x i ∈ I i 满足 T ( x i ) = x i 且 T ′ ( x i ) ≥ 1 。若 T ′ ( x i ) = 1 ，则称 x i 为抛物不动点，否则称 x i 为扩张不动点； 3、若 x ∉ { x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x m } ，则 T ′ ( x ) > 1 。 抛物不动点的出现使本文考虑的系统和一致双曲系统有很大不同，在抛物不动点附近，系统的动力行为变得异常复杂。下面定义不变吸引子， Λ : = { x ∈ ∪ j = 1 m I j | T n ( x ) ∈ I ， 对 一 切 n ≥ 0 } . 这类非一致双曲映射包含著名的Manneville-Pomeau映射，即 T : [ 0 ， 1 ] → [ 0 ， 1 ] ， T x = x + x 1 + β mod 1 ，其中 0 < β < 1 。 上述系统有一个自然的编码：对 i = 1 ， ⋯ ， m ，令 T i 为 T | I i : I i → [ 0 ， 1 ] 的逆映射。令 σ : Σ → Σ 是左平映射，满足 σ ( ( ω n ) n ≥ 1 ) = ( ω n ) n ≥ 2 。定义编码映射 Π : Σ → I 如下： Π ( ω ) : = lim n → ∞ T ω 1 ∘ T ω 2 ⋯ ∘ T ω n ( [ 0 ， 1 ] ) . 不难验证 Π ( Σ ) = Λ 且 Π ∘ σ ( ω ) = T ∘ Π ( ω ) 。特别指出编码映射 Π 在除去至多可个点外是双射。 给定拓扑动力系统 ( X ， T ) ，本文用 M ( X ， T ) 和 E ( X ， T ) 分别表示X上T-不变Borel概率测度全体和遍历的T-不变Borel概率测度全体。下面介绍渐近可加势。 1.3. 渐近可加势 设 Φ = ( ϕ n ) n = 1 ∞ 为一列定义在X上的连续函数，若对任意给定的 ε > 0 ，都存在 g ε ∈ C ( X ， ℝ ) ，使得 lim sup n → ∞ 1 n ‖ ϕ n − S n g ε ‖ < ε ， 称 Φ 为渐近可加势，其中对给定的 f ∈ C ( X ， ℝ ) ， ‖ f ‖ 是上确界范数。 若 Φ 满足下述条件，称 Φ 为可加势，对 ∀ n ≥ 1 ， ∀ m ≥ 1 ， ∀ x ∈ X ，都有 ϕ n + m ( x ) = ϕ n ( x ) + ϕ m ( T n x ) 。 易见，若 Φ 为可加势，则 ϕ n ( x ) = ∑ i = 0 n − 1 ϕ 1 ( T i x ) 。若 Φ 满足下述条件，称 Φ 为几乎可加势： 1、对每个 n ≥ 1 ， ϕ n : X → ℝ 连续； 2、存在正常数 C ( Φ ) ，对任意给定的 n ， p ∈ ℕ 和任意给定的 x ∈ X ，有下式成立， | ϕ n + p ( x ) − ϕ n ( x ) − ϕ p ( T n x ) | ≤ C ( Φ ) . 其中 C ( Φ ) 为和 Φ 有关的常数。 对给定的渐进可加势 Φ = ( ϕ n ) n = 1 ∞ ，令 Η ( Φ ) : = { x ∈ X : lim n → ∞ 1 n ϕ n ( x ) 不 存 在 } 为 Φ 的“历史集”。令 Φ * ( μ ) = lim n → ∞ 1 n ∫ X ϕ n d μ ，由渐进可加势的定义，易证上述极限是存在的。令 Ω Φ = { Φ * ( μ ) : μ ∈ M ( X ， T ) } 。 文献 [ 12 ] 中引理A.5证明了几乎可加势一定是渐近可加势，文献 [ 13 ] 中的例1给出了一个渐近可加势不是几乎可加势的例子，从而本文结论包含了文献 [ 11 ] 中的结果。 1.4. 主要结果 本文证明了如1.2节中定义的非一致扩张系统中渐近可加势的“历史集”的Hausdorff维数有“择一性”，依惯例用 dim H A 表示集合A的Hausdorff维数。 定理2.1：吸引子 Λ 和 C 1 + γ 映射 T : Λ → Λ 如1.2节中所定义， Φ 为渐近可加势，则下列情形有且仅有一个成立 1、 H ( Φ ) = ∅ 当且仅当 Ω Φ 是单点集； 2、 H ( Φ ) ≠ ∅ 当且仅当 dim H H ( Φ ) = dim H Λ 。 注1：在本文所研究的非一致扩张系统中，我们不确定T的 C 1 + γ 正则性假设是否可以减弱到C 1 条件。这对应于动力系统中一个著名的问题：双曲测度的Hausdorff维数是否可以任意逼近吸引子的维数。文献 [ 16 ] 中定理4.6表明，在T的每个逆映射是 C 1 + γ 的条件下，再加上一些几何的假设，该问题的答案是肯定的。文献 [ 17 ] 中研究结果表明，对 C 1 + Lip 可扩系统的极限集和传递Markov系统的极限集，该问题的答案也是肯定的。然而在非一致扩张系统中，在T仅有C 1 正则性的条件下，双曲测度的Hausdorff维数能否任意逼近吸引子的维数，仍然是动力系统的维数理论中一个开问题。文献 [ 18 ] 中提出在本文所考虑的非一致扩张系统中，T的C 1 正则性足以建立定理2.1，但未给出证明。