system: [SYSTEM]

user: 3. 点态化完备代数正规类 A 是一个完备代数正规类， ϕ a : L a s → P ( S a ) 是完备代数正规类中 L a s 到 P ( S a ) 的映射 [ 24 ] [ 25 ] 。 则有： 引理3.1: 设0是 A 的零代数，则 ∀ s ∈ L a s ，有 0 s = s 0 = 0 。 证明 ∀ s ∈ L a s ， 0 ∈ L a ，有 0 a ， a 0 ≤ 0 ，故 0 s ， s 0 ≤ 0 ，所以 0 s = s 0 = 0 。证毕。 引理3.2: 设 a ∈ A ， 0 ∈ L a s 是a的零子代数， s ∈ L a s 是a的任意子代数，单点集 ϕ a ( 0 ) = S 0 = { 0 ′ } ，则： 1) 0 ′ ∈ ϕ a ( s ) ， 〈 ϕ a ( s ) 〉 = s ； 2) 〈 0 ′ 〉 = 〈 0 ′ ) = ( 0 ′ 〉 = ( 0 ′ ) = 0 。 今后都记为 0 ∈ ϕ a ( s ) ， 〈 0 〉 = 〈 0 ) = ( 0 〉 = ( 0 ) = 0 。 证明 1) ϕ a ( 0 ) = S 0 = { 0 ′ } ， 0 ≤ s ，所以 { 0 ′ } = ϕ a ( 0 ) ⊆ ϕ a ( s ) ，即 0 ′ ∈ ϕ a ( s ) 。 0 ≤ s ，所以 { 0 ′ } = ϕ a ( 0 ) ⊆ ϕ a ( s ) ，即 0 ′ ∈ ϕ a ( s ) ； 2)此处只需证明 〈 0 ′ 〉 = 0 。因为 ϕ a ( 0 ) = S 0 = { 0 ′ } ，即0是a的使得 0 ′ ∈ ϕ a ( 0 ) 一个子代数，故 0 = 〈 0 ′ 〉 = ∧ { s ∈ L a s | 0 ′ ∈ ϕ a ( s ) } 。证毕。 引理3.3: 设 a ∈ A ， x ∈ S a ，则 〈 x 〉 = 0 当且仅当 x = 0 。 证明 由引理3.2，此处只需证明 〈 x 〉 = 0 时有 x = 0 。如果 x ≠ 0 ，说明 ϕ a ( 〈 x 〉 ) 有2个以上元素，从而不是单点集，因此 〈 x 〉 ≠ 0 ，矛盾。所以 x = 0 。证毕。 在 ϕ a 定义中取 x ∈ S a ， A = { x } ，有： 引理3.4: 设 a ∈ A ， ∀ i ⊲ a ，满射 γ i : S α → S α / i 是完备代数正规类中定义的映射 [ 24 ] [ 25 ] ， x ∈ S a ，则 〈 γ i ( x ) 〉 = ( 〈 x 〉 ∨ i ) / i 。 引理3.5: 设 a ∈ A ， ∀ i ⊲ a ， ，则 γ i ( ϕ a ( s ) ) = ( s ∨ i ) / i 。 证明 由 ϕ a 定义条件(4)，有 γ i ( ϕ a ( s ) ) = ( 〈 ϕ a ( s ) 〉 ∨ i ) / i = ( s ∨ i ) / i 。证毕。 设 A 是一个完备代数正规类， ∀ a ∈ A ，非空集 S a 和一个单射 ϕ a : L a s → P ( S a ) 如前定义。如果对正整数n， ∀ x ∈ S a ，存在一个 y s ⊆ 〈 x 〉 n ， y r ， y l ， y ∈ S a ，使得 〈 x 〉 n + 1 = 〈 x 〉 〈 y s 〉 = 〈 y s 〉 〈 x 〉 ， 〈 x ) n = ( y r ) ， ( x 〉 n = ( y l ) ， 〈 x 〉 n = ( y ) ；对正整数n， S a 的非空有限子集或可数子集A，存在有限子集 A ′ s ⊆ 〈 A 〉 n ， A ′ r ， A ′ l ， A ′ ⊆ S a ，使得 〈 A 〉 n + 1 = 〈 A 〉 〈 A ′ s 〉 = 〈 A ′ s 〉 〈 A 〉 ， 〈 A ) n = 〈 A ′ r ) ， ( A 〉 n = ( A ′ l 〉 ， ( A ) n = ( A ′ ) ，则称 A 是一个点态化完备代数正规类。 ∀ x ∈ S a ，称x是a的一个点。 设S是一个非空集，S上的点乘积定义为S上一个满足以下条件的二元运算' ⋅ '： 1) ∀ x ， y ∈ S ，都有 x ⋅ y ∈ S ( x ⋅ y 记为xy)； 2) ∀ x ， y ， z ∈ S ，有 ( x y ) z = x ( y z ) (记为xyz)； 3) 存在唯一的单点 0 ′ ∈ S ( 0 ′ 也记为0)，满足： ∀ x ∈ S ，有 0 x = x 0 = 0 。 S是一个带乘积的集合， A ， B ⊆ S ，则定义： A B = { x y | x ∈ A ， y ∈ B } 。 为了更方便的刻画幂零性，对带点乘积的点态化完备代数正规类进行一点加强： 定义3.6: 设 A 是一个点态化完备代数正规类，如果 A 满足点乘积公理： A9 (点乘积公理). ∀ a ∈ A ， S a 是一个带乘积的集合。 且 ∀ x ， y ∈ S a ， i ⊲ a ， s 1 ， s 2 ， ⋯ ， s k ≤ a ，正整数n， ϕ a ( 〈 x 〉 〈 y 〉 ) = ϕ a ( 〈 x 〉 ) ϕ a ( 〈 y 〉 ) ， 〈 x 〉 n ≤ 〈 x n 〉 ， ∀ i ⊲ a ，对满射 γ i : S α → S α / i ，满足 γ i ( x y ) = γ i ( x ) γ i ( y ) ，且 x ∈ ϕ a ( s 1 ∨ s 2 ∨ ⋯ ∨ s k ) ，则存在 x i ∈ ϕ a ( s i ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k )，使得 x ∈ ϕ a ( 〈 x 1 〉 ∨ 〈 x 2 〉 ∨ ⋯ ∨ 〈 x k 〉 ) ， x i ∈ ϕ a ( 〈 x 〉 ∨ 〈 x 1 〉 ∨ ⋯ ∨ 〈 x i − 1 〉 ∨ 〈 x i + 1 〉 ∨ ⋯ ∨ 〈 x k 〉 ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k 。 则称 A 是一个带点乘积的点态化完备代数正规类，简称点态化完备代数正规类。 注2 本文对点态化完备代数正规类乘积性质相对文献 [ 24 ] [ 25 ] 进行了一些加强。 文中后面所称点态化完备代数正规类都是指带点乘积的点态化完备代数正规类。 根据点态化完备代数正规类定义可知，点态化完备代数正规类是完备代数正规类及可积代数正规类，从而参考文献中关于完备代数正规类及可积代数正规类的结论在点态化完备代数正规类中都成立。从而结合环类R和大半环类S B 都是点态化完备代数正规类。 引理3.7: 设 a ∈ A ， x ， y ∈ S a 。 1) x y ∈ ϕ a ( 〈 x 〉 〈 y 〉 ) ，从而 ∀ s ≤ a ， x ， y ∈ S ，有 x y ∈ ϕ a ( s ) ； 2) n是正整数，则 x n ∈ ϕ a ( 〈 x 〉 n ) ， 〈 x 〉 n = 〈 x n 〉 ； 3) x是幂零元当且仅当存在正整数n，使得 x n = 0 。 证明 1) 因为 x ∈ ϕ a ( 〈 x 〉 ) ， y ∈ ϕ a ( 〈 y 〉 ) ，所以 x y ∈ ϕ a ( 〈 x 〉 ) ϕ a ( 〈 y 〉 ) = ϕ a ( 〈 x 〉 〈 y 〉 ) ； 2) n = 1时有 x ∈ ϕ a ( 〈 x 〉 ) ， 〈 x 〉 = 〈 x 〉 ；n = 2时有 x 2 = x x ∈ ϕ a ( 〈 x 〉 〈 x 〉 ) = ϕ a ( 〈 x 〉 2 ) ，所以 〈 x 2 〉 ≤ 〈 x 〉 2 ；又因为 〈 x 〉 2 ≤ 〈 x 2 〉 ，所以 〈 x 〉 2 = 〈 x 2 〉 。即n = 1，2时结论成立。 设 n = k − 1 时 x k − 1 ∈ ϕ a ( 〈 x 〉 k − 1 ) ， 〈 x 〉 k − 1 = 〈 x k − 1 〉 结论成立，则n=k时有 x k = x k − 1 x ∈ ϕ a ( 〈 x k − 1 〉 〈 x 〉 ) = ϕ a ( 〈 x k − 1 〉 ) ϕ a ( 〈 x 〉 ) = ϕ a ( 〈 x 〉 k − 1 〈 x 〉 ) = ϕ a ( 〈 x 〉 k ) ， 从而 〈 x k 〉 ≤ 〈 x 〉 k ；又因为 〈 x 〉 k ≤ 〈 x k 〉 ，所以 〈 x 〉 k = 〈 x k 〉 。即n = k时结论(2)成立。 根据数学归纳法，(2)中结论对所有正整数n成立。 3) x是幂零元，则存在正整数n，使得 〈 x 〉 n = 0 ，即 〈 x n 〉 = 0 ，从而 x n = 0 。 若存在正整数n，使得 x n = 0 ，则 〈 x 〉 n = 〈 x n 〉 = 〈 0 〉 = 0 ，即x是幂零元。证毕。