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user: 3. 构造码本 设 F q i 是有限域， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 且都满足引理1的条件。 D i = C 0 ( 4 ， q i ) ∪ C 1 ( 4 ， q i ) 是 F q i 中参数为 ( q i ， q i − 1 2 ， q i − 5 4 ， q i − 1 2 ) 的几乎差集， 1 ≤ i ≤ n 。 D ¯ i = C 2 ( 4 ， q i ) ∪ C 3 ( 4 ， q i ) ∪ { 0 } 。对 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，令 χ i ， j i ∈ F ^ q i ， j i = 0 ， 1 ， ⋯ ， q i − 1 ，且 χ i ， 0 是相应的平凡特征。设 F = F q 1 × F q 2 × ⋯ × F q n 。对 ∀ ( g i 1 ， g i 2 ， ⋯ ， g i n ) ∈ F 。 ( χ 1 ， j 1 ⊗ χ 2 ， j 2 ⊗ ⋯ ⊗ χ n ， j n ) ( g i 1 ， g i 2 ， ⋯ ， g i n ) : = χ 1 ， j 1 ( g i 1 ) χ 1 ， j 2 ( g i 21 ) ⋯ χ 1 ， j n ( g i n ) 。这时 χ 1 ， j 1 ⊗ χ 2 ， j 2 ⊗ ⋯ ⊗ χ n ， j n 是F上的特征。这种特征的集合记为 F ^ 。显然有 | F ^ | = q 1 q 2 ⋯ q n 。 现在我们构造F一个的子集D。设 E 1 = D 1 ，对于任意的 1 ≤ i ≤ n ，设 E i + 1 : = ( E i × D ¯ i + 1 ) ∪ ( E ¯ i × D i + 1 ) . 最后，设 D = E n ， K = | D | 。用数学归纳法容易得到 | E i | = q 1 q 2 ⋯ q i − 1 2 ， 1 ≤ i ≤ n ， K = | D | = q 1 q 2 ⋯ q n − 1 2 。 定义3. 上面的集合D，我们定义码本： C D = { C j 1 ， j 2 ， ⋯ ， j n ， j i = 0 ， 1 ， ⋯ ， q i − 1 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， K } . (1) 对于每个 ( j 1 ， j 2 ， ⋯ ， j n ) ， C j 1 ， j 2 ， ⋯ ， j n = 1 K ( ( χ 1 ， j 1 ⊗ χ 2 ， j 2 ⊗ ⋯ ⊗ χ n ， j n ) ( g i 1 ， g i 2 ， ⋯ ， g i n ) ) i = 1 K = 1 K ( χ 1 ， j 1 ( g i 1 ) χ 1 ， j 2 ( g i 21 ) ⋯ χ 1 ， j n ( g i n ) ) i = 1 K . (2) 下面我们证明码本 是几乎最佳码本，证明的关键是计算最大相关值 I max ( C D ) 。因为码本 C D 中的码字 C j 1 ， j 2 ， ⋯ ， j n 是定义在D上的，所以需要估计特征在D中元素值的累加和。 引理4. 对于F中的特征 χ 1 ， j 1 ⊗ χ 2 ， j 2 ⊗ ⋯ ⊗ χ n ， j n ， j i = 0 ， 1 ， ⋯ ， q i − 1 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 有 | ( χ 1 ， j 1 ⊗ χ 2 ， j 2 ⊗ ⋯ ⊗ χ n ， j n ) ( D ) | ≤ { K ，                                                           ( j 1 ， j 2 ， ⋯ ， j n ) = ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) ， | 1 + q 1 | ⋯ | 1 + q n | 2 ，               ( j 1 ， j 2 ， ⋯ ， j n ) ≠ ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) . 证明：我们用数学归纳法证明该引理。 若 n = 1 时，若 χ 1 ， j 1 是平凡特征，显然有 χ 1 ， j 1 ( D ) = K ；若 χ 1 ， j 1 不是平凡特征，则根据引理2知 | χ 1 ， j 1 ( D ) | ≤ q + 1 2 ，那么以上的结果成立。 现假设 n − 1 时结果是正确的，下面分析n的情况。 如果 ( j 1 ， j 2 ， ⋯ ， j n ) = ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) ，那么 χ 1 ， j 1 ⊗ χ 2 ， j 2 ⊗ ⋯ ⊗ χ n ， j n 是平凡特征。因此，以上结果是正确的。如果 ( j 1 ， j 2 ， ⋯ ， j n ) ≠ ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) ，则又分为以下三种情形： 1) ( j 1 ， j 2 ， ⋯ ， j n ) = ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) ， j n ≠ 0 ( χ 1 ， j 1 ⊗ χ 2 ， j 2 ⊗ ⋯ ⊗ χ n ， j n ) ( D ) = ( χ 1 ， j 1 ⊗ χ 2 ， j 2 ⊗ ⋯ ⊗ χ n ， j n ) ( ( E n − 1 × D ¯ n ) ∪ ( E ¯ n − 1 × D n ) ) = | E n − 1 | χ n ， j n ( D ¯ n ) + | E ¯ n − 1 | χ n ， j n ( D n ) = − | E n − 1 | χ n ， j n ( D n ) + | E ¯ n − 1 | χ n ， j n ( D n ) = χ n ， j n ( D n ) . 所以 | ( χ 1 ， j 1 ⊗ χ 2 ， j 2 ⊗ ⋯ ⊗ χ n ， j n ) ( D ) | = | χ n ， j n ( D n ) | = | 1 + q n | 2 < | 1 + q 1 | ⋯ | 1 + q n | 2 . 2) ( j 1 ， j 2 ， ⋯ ， j n − 1 ) ≠ ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) ， j n = 0 在这种情况中我们可以得到： ( χ 1 ， j 1 ⊗ χ 2 ， j 2 ⊗ ⋯ ⊗ χ n ， j n ) ( D ) = ( χ 1 ， j 1 ⊗ χ 2 ， j 2 ⊗ ⋯ ⊗ χ n ， j n ) ( ( E n − 1 × D ¯ n ) ∪ ( E ¯ n − 1 × D n ) ) = ( χ 1 ， j 1 ⊗ χ 2 ， j 2 ⊗ ⋯ ⊗ χ n − 1 ， j n − 1 ) ( E n − 1 ) | D ¯ n | + ( χ 1 ， j 1 ⊗ χ 2 ， j 2 ⊗ ⋯ ⊗ χ n − 1 ， j n − 1 ) ( E ¯ n − 1 ) | D n | = ( χ 1 ， j 1 ⊗ χ 2 ， j 2 ⊗ ⋯ ⊗ χ n − 1 ， j n − 1 ) ( E n − 1 ) | D ¯ n | − ( χ 1 ， j 1 ⊗ χ 2 ， j 2 ⊗ ⋯ ⊗ χ n − 1 ， j n − 1 ) ( E n − 1 ) | D n | = ( χ 1 ， j 1 ⊗ χ 2 ， j 2 ⊗ ⋯ ⊗ χ n − 1 ， j n − 1 ) ( E n − 1 ) . 再根据假设有 | ( χ 1 ， j 1 ⊗ χ 2 ， j 2 ⊗ ⋯ ⊗ χ n ， j n ) ( D ) | = | ( χ 1 ， j 1 ⊗ χ 2 ， j 2 ⊗ ⋯ ⊗ χ n − 1 ， j n − 1 ) ( E n − 1 ) | ≤ | 1 + q 1 | ⋯ | 1 + q n − 1 | 2 < | 1 + q 1 | ⋯ | 1 + q n | 2 . 3) ( j 1 ， j 2 ， ⋯ ， j n ) ≠ ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) 在这种情况中我们可以得到： ( χ 1 ， j 1 ⊗ χ 2 ， j 2 ⊗ ⋯ ⊗ χ n ， j n ) ( D ) = ( χ 1 ， j 1 ⊗ χ 2 ， j 2 ⊗ ⋯ ⊗ χ n ， j n ) ( ( E n − 1 × D ¯ n ) ∪ ( E ¯ n − 1 × D n ) ) = ( χ 1 ， j 1 ⊗ χ 2 ， j 2 ⊗ ⋯ ⊗ χ n − 1 ， j n − 1 ) ( E n − 1 ) χ n ， j n ( D ¯ n )         + ( χ 1 ， j 1 ⊗ χ 2 ， j 2 ⊗ ⋯ ⊗ χ n − 1 ， j n − 1 ) ( E ¯ n − 1 ) χ n ， j n ( D n ) = − 2 ( χ 1 ， j 1 ⊗ χ 2 ， j 2 ⊗ ⋯ ⊗ χ n − 1 ， j n − 1 ) ( E n − 1 ) χ n ， j n ( D n ) . 所以根据假设及引理2有 | ( χ 1 ， j 1 ⊗ χ 2 ， j 2 ⊗ ⋯ ⊗ χ n ， j n ) ( D ) | = | − 2 ( χ 1 ， j 1 ⊗ χ 2 ， j 2 ⊗ ⋯ ⊗ χ n − 1 ， j n − 1 ) ( E n − 1 ) χ n ， j n ( D n ) | ≤ 2 | 1 + q 1 | ⋯ | 1 + q n − 1 | 2 | 1 + q n | 2 < | 1 + q 1 | ⋯ | 1 + q n | 2 . 定理5. C D 是由(1)式定义的码本。则 C D 的参数为 ( q 1 q 2 ⋯ q n ， q 1 q 2 ⋯ q n − 1 2 ) 且有 I max ( C D ) ≤ | 1 + q 1 | ⋯ | 1 + q n | q 1 q 2 ⋯ q n − 1 . 证明：设 C j 1 ， j 2 ， ⋯ ， j n 和 C j ′ 1 ， j ′ 2 ， ⋯ ， j ′ n 是 C D 中的两个码本且 ( j 1 ， j 2 ， ⋯ ， j n ) ≠ ( j ′ 1 ， j ′ 2 ， ⋯ ， j ′ n ) 。由(2)式我们可以得到 | C j 1 ， j 2 ， ⋯ ， j n C j ′ 1 ， j ′ 2 ， ⋯ ， j ′ n H | = 1 K | ∑ i = 1 K χ 1 ， j 1 ( g i 1 ) χ 2 ， j 2 ( g i 12 ) ⋯ χ n ， j n ( g i n ) χ ¯ 1 ， j ′ 1 ( g i 1 ) χ ¯ 2 ， j ′ 2 ( g i 12 ) ⋯ χ ¯ n ， j ′ n ( g i n ) | = 1 K | ∑ i = 1 K ( χ 1 ， j 1 χ ¯ 1 ， j ′ 1 ) ( g i 1 ) ( χ 2 ， j 2 χ ¯ 2 ， j ′ 2 ) ( g i 12 ) ⋯ ( χ n ， j n χ ¯ n ， j ′ n ) ( g i n ) | = 1 K | ∑ i = 1 K ( ( χ 1 ， j 1 χ ¯ 1 ， j ′ 1 ) ⊗ ( χ 2 ， j 2 χ ¯ 2 ， j ′ 2 ) ⊗ ⋯ ⊗ ( χ n ， j n χ ¯ n ， j ′ n ) ) ( g i 1 ， g i 2 ， ⋯ ， g i n ) | . 由于 ( j 1 ， j 2 ， ⋯ ， j n ) ≠ ( j ′ 1 ， j ′ 2 ， ⋯ ， j ′ n ) ， ( χ 1 ， j 1 χ ¯ 1 ， j ′ 1 ) ( χ 2 ， j 2 χ ¯ 2 ， j ′ 2 ) ⊗ ⋯ ⊗ ( χ n ， j n χ ¯ n ， j ′ n ) 是F的非平凡特征。利用引理4即可得证： 注6. 对于一个参数为 ( q 1 q 2 ⋯ q n ， q 1 q 2 ⋯ q n − 1 2 ) 的码本。易算得 I w = q 1 q 2 ⋯ q n + 1 q 1 q 2 ⋯ q n − 1 . 因此 1 ≤ I max ( C D ) I w = | 1 + q 1 | ⋯ | 1 + q n | q 1 q 2 ⋯ q n + 1 → 1 . 当所有 q i → ∞ ， 1 ≤ i ≤ n 。 推论7. 当定理5中所用的有限域都相同时，不妨设都是 F q 。此时对应的 ( q n ， q n − 1 2 ) 密码本满足： I max ( C D ) ≤ | 1 + q | n q n − 1 . 对应的Welch界是 I w = q n + 1 q n − 1 。因此， 1 ≤ I max ( C D ) I w = | 1 + q | n q n + 1 → 1 .