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user: 5. 引力子的Green函数 根据以上讨论，场 C i ( x ) = ( C r ( x ) ， θ ( x ) ， ϕ ( x ) ， C t ( x ) ) 也可以直接理解为引力场。由式(3.12)和式(4.15)可知，度规和联络是对变量r求导的结果，而不是对变量x求导，所以度规和联络不包含场 C i ( x ) 对x的导数，因此引力相互作用可以视为场 C i ( x ) 产生的微扰。 上一节讨论引力子的动力学及量子化时我们同时使用了2个坐标系：正交坐标系 x μ 和球极坐标系 r x i 。其中坐标x与引力子的能量-动量是一对共轭量，但坐标r的意义不明确，因此以后我们使用同一个坐标系。为此将球极坐标系 r i 变换为正交坐标系 x μ 。为了对宗量加以区别，原先的正交坐标系 x μ 用大写字母 X μ 表示。 x μ 与 X μ 事实上是同一个坐标系。我们很快就可以看到，坐标r给出了引力子的延展结构，使引力子成为近似于Dirac-δ函数的一个波包。而正是引力子的延展性使我们得以避免Feynman图积分发散的困难。 现在讨论Feynman规则。基本的问题是计算Green函数。我们使用正交坐标系 x μ 来计算场 C i ( x ) 的Green函数。 点X处的Planck长度和Planck时间 ( l p ， θ ( X ) ， ϕ ( X ) ， t p ) 在坐标系 X μ 中的各个分量可以写为 R μ ( X ) ： R μ ( X ) = ( l p 1 ( X ) ， l p 2 ( X ) ， l p 3 ( X ) ， l p 4 (X) ) 其中 l p 1 ( X ) = l p | sin θ ( X ) cos ϕ ( X ) | l p 2 ( X ) = l p | sin θ ( X ) sin ϕ ( X ) | l p 3 ( X ) = l p | cos θ ( X ) | l p 1 ( X ) = t p (5.1) 在坐标系 X μ 中积分常数 C r ( X ) ，   C t ( X ) 可写为： C μ ( X ) = ( C 1 ( X ) ，   C 2 ( X ) ，   C 3 ( X ) ，   C 4 (X) ) 其中 C 1 ( x ) = C r ( X ) sin θ ( X ) cos ϕ ( X ) C 2 ( x ) = C r ( X ) sin θ ( X ) sin ϕ ( X ) C 3 ( x ) = C r ( X ) cos θ ( X ) C $ ( x ) = C t ( X ) (5.2) 因此点X处的引力子在正交坐标系中可写为： ξ μ ( X ， x ) = x μ + C μ ( X ) exp ( − | x μ | R μ ( X ) ) (5.3) 根据引力子的运动方程(4.16)可得引力场的场方程为： □   ξ μ ( X ， x ) = j μ ( X ) (5.4) 其中 j μ ( X ) 是引力场的源场在坐标系 X μ 中的表示式。D'Alembert算子作用于变量X。 将 | x μ | R μ ( X ) 简记为 R ¯ ( x ) 。由于 R μ ( X ) 只是常数 ( l p ，   t p ) 在正交坐标系 X μ 中的分量形式，所以 R ¯ ( x ) 可以简单理解为引力子波包延展结构的变量x的函数（即原来球极坐标系中变量r的函数），因此D'Alembert算子不作用于函数 R ¯ ( x ) 。由此场方程(5.4)可以进一步简化为如下形式： e − R ¯ ( x ) □ C μ ( X ) = j μ ( X ) (5.5) 在散射理论中，上式可写为： e − R ¯ ( x ) □ G μ ( X ) = δ 4 ( X ) (5.6) 其中 G μ ( X ) 是场 C μ ( X ) 的Green函数。 令 G μ ( X ) 为： G μ ( X ) = 1 ( 2 π ) 4 ∫ d 4 k   G ˜ μ ( k ) e − i k X G ˜ μ ( k ) = ∫ d 4 X   G μ ( x ) e i k X (5.7) 这是坐标空间和动量空间之间的变换： | x 〉 = 1 ( 2 π ) 4 ∫ d 4 k   e − i k X | k 〉 | k 〉 = ∫ d 4 x   e i k x | x 〉 (5.8) 式(5.6)可写为： □ G μ ( X ) = δ 4 ( X ) e R ¯ ( x ) (5.9) 令 f 1 = δ 4 ( X ) ，   f 2 = e R ¯ ( x ) (5.10) 函数 f = f 1 ⋅ f 2 的Fourier变换为: f ˜ ( k ) = ∫ d 4 X   f 1 e i k X ⋅ ∫ d 4 x   f 2 e i k x = 1 ⋅ ∫ d 4 x   f 2 e i k x = δ ( k − i R μ ( X ) ) (5.11) 通过Fourier变换，方程(5.9)可写为如下形式： □   1 ( 2 π ) 4 ∫ d 4 k   G ˜ μ ( k ) e − i k X = 1 ( 2 π ) 4 ∫ d 4 k   f ˜ ( k ) e − i k x (5.12) 由于 X μ 与 x μ 是同一个坐标系，因此上式的解为： G ˜ μ ( k ) = − f ˜ ( k ) k 2 = − 1 k 2 ⋅ δ ( k − i R μ ( X ) ) (5.13) 由此可得： G μ ( X ) = − 1 ( 2 π ) 4 ∫ d 4 k   e − i k X k 2 ⋅ δ ( k − i R μ ( X ) ) (5.14) 将正交坐标系 x μ 重新变换回球极坐标系： x μ → r x i ，Green函数可写为： G ˜ i ( k ) = { G ˜ r ( k ) = − 1 ( k r ) 2 ⋅ δ ( k r − i l p ) G ˜ θ ( k ) = − 1 ( k θ ) 2 G ˜ ϕ ( k ) = − 1 ( k ϕ ) 2 G ˜ t ( k ) = − 1 ω 2 ⋅ δ ( ω − i t p ) (5.15) G i ( r x ) = − 1 ( 2 π ) 4 ∫ d 4 k   G ˜ i ( k ) ⋅ e − i k ⋅ r x 其中 k r ，   k θ ，   k ϕ ，   ω 为能量–动量在球极坐标系 r x i 中的表达式。 将式(5.15)与一般的Feynman传播子比较可以看出广义函数 δ ( k r − i l p ) 和 δ ( ω − i t p ) 给出了一般的Feynman传播子中变量 k r 和ω的一个正规化。由于变量 k r 和ω总是以平方形式出现，因此广义函数 δ ( k r − i l p ) 和 δ ( ω − i t p ) 中虚数的引入将改变一个正负号。 Green函数(5.15)是广义函数，必须在积分的意义下理解。变量 k r 的积分限为 [ 0 ， + ∞ ) ，变量ω的积分限为 ( − ∞ ， + ∞ ) 。对这两个变量的积分可以这样理解：积分路径偏离实轴进入复平面，分别经过奇点 k r = i l p 和 ω = i t p 。计算Feynman图时，根据Dirac-δ函数的性质，我们只需给出积分路径上的奇点，而不需要计算具体的积分。变量 k θ 的积分限为 [ 0 ， π ] ，变量 k ϕ 的积分限为 [ 0 ， 2 π ) ，这两个变量的积分都是有限的。由此，Feynman图积分发散的困难得以解决。