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user: 3. 系统动态解的性质 定义1如果对于每一个 f ∈ E ，存在 g ∈ O ，使 f ≤ g ，则称E的子集O在E中共尾。 定义2 [ 8 ] 设X是Bananch空间，X上的有界线性算子半群 T ( t ) ， ( t ≥ 0 ) 称为有界线性算子强连续半群，如果 lim t → 0 T ( t ) x = x ， 对 一 切 x ∈ X 成 立 X上的有界线性算子强连续半群简称为C 0 类半群。 定理1 [ 8 ] 设X是Bananch空间， T ( t ) 是X上一个C 0 半群。则存在常数 ω ≥ 0 和 M ≥ 1 ，使得 ‖ T ( t ) ‖ ≤ M e ω t 对于 t ≥ 0 成立。 定理2 [ 8 ] (Lumer-Phillips)若A是闭稠定耗散算子，且 1 ∈ ρ ( A ) ，则A生成一个C 0 半群 T ( t ) ，并且满足 ‖ T ( t ) ‖ ≤ 1 。 定理3 D ( A + B ) 在X中是稠密的。 证明由 [ 9 ] 知， D ( A ) 在X中是稠密的。而且因为 D ( A + B ) = D ( A ) ，从而 D ( A + B ) 在X中稠密。 定理4 [ 10 ] 算子 A + B 是预解正算子。 定理5 算子 A + B 的对偶算子 ( A + B ) ∗ 有 ( A + B ) ∗ Q = { − ( λ + β ) Q 0 + β Q 1 ( 0 ) + λ Q 3 ( 0 ) ( d d x − λ − α ( x ) ) Q 1 ( x ) + λ Q 2 ( x ) + α ( x ) Q 3 ( 0 ) ( d d x − λ − α ( x ) ) Q 2 ( x ) + α ( x ) Q 3 ( 0 ) + λ Q 4 ( x ) ( d d y − λ − μ ( y ) ) Q 3 ( y ) + μ ( y ) Q 0 + λ Q 5 ( y ) ( d d x − α ( x ) ) Q 4 ( x ) + α ( x ) Q 5 ( 0 ) ( d d y − μ ( y ) ) Q 5 ( y ) + μ ( y ) Q 3 ( 0 ) D ( ( A + B ) ∗ ) = { Q ∈ X ∗ | d Q i ( x ) d x ， d Q j ( y ) d y ， Q i ( x ) ， Q j ( y ) ∈ L ∞ ( R + ) ， i = 1 ， 2 ， 4 ; j = 3 ， 5 } 证明 任给 P ∈ D ( A + B ) 和 Q ∈ X ∗ ，有 〈 ( A + B ) P ， Q 〉 = [ − ( λ + β ) P 0 + ∫ 0 ∞ P 3 ( y ) μ ( y ) d y ] Q 0 − ∫ 0 ∞ ( d d x + λ + α ( x ) ) P 1 ( x ) Q 1 ( x ) d x     − ∫ 0 ∞ ( d d x + λ + α ( x ) ) P 2 ( x ) Q 2 ( x ) d x + ∫ 0 ∞ λ P 1 ( x ) Q 2 ( x ) d x     − ∫ 0 ∞ ( d d y + λ + μ ( y ) ) P 3 ( y ) Q 3 ( y ) d y     − ∫ 0 ∞ ( d d x + α ( x ) ) P 4 ( x ) Q 4 ( x ) d x + ∫ 0 ∞ λ P 2 ( x ) Q 4 ( x ) d x − ∫ 0 ∞ ( d d y + μ ( y ) ) P 5 ( y ) Q 5 ( y ) d y + ∫ 0 ∞ λ P 3 ( y ) Q 5 ( y ) d y = [ − ( λ + β ) Q 0 + β Q 1 ( 0 ) + λ Q 3 ( 0 ) ] P 0     + ∫ 0 ∞ [ ( d d x − λ − α ( x ) ) Q 1 ( x ) + λ Q 2 ( x ) ] P 1 ( x ) d x     + ∫ 0 ∞ [ ( d d x − λ − α ( x ) ) Q 2 ( x ) + α ( x ) Q 3 ( 0 ) + λ Q 4 ( x ) ] P 2 ( x ) d x     + ∫ 0 ∞ [ ( d d y − λ − μ ( y ) ) Q 3 ( y ) + μ ( y ) Q 0 + λ Q 5 ( y ) ] P 3 ( y ) d y + ∫ 0 ∞ [ ( d d x − α ( x ) ) Q 4 ( x ) + α ( x ) Q 5 ( 0 ) ] P 4 ( x ) d x     + ∫ 0 ∞ [ ( d d y − μ ( y ) ) Q 5 ( y ) + μ ( y ) Q 3 ( 0 ) ] P 5 ( y ) d y = 〈 P ， ( A + B ) ∗ Q 〉 定理6 A + B 生成正的压缩C 0 半群T(t)。 证明 X = { P → ∈ R × L 1 ( R + ) × L 1 ( R + ) | ‖ P → ‖ = | P 0 | + ‖ P i ( x ) ‖ L 1 ( R + ) + ‖ P j ( y ) ‖ L 1 ( R + ) ， i = 1 ， 2 ， 4 ; j = 3 ， 5 } X ∗ = { Q → ∈ R × L ∞ ( R + ) × L ∞ ( R + ) | ‖ Q → ‖ = max { | Q 0 | ， ‖ Q i ( x ) ‖ L ∞ ( R + ) ， ‖ Q j ( y ) ‖ L ∞ ( R + ) i = 1 ， 2 ， 4 ; j = 3 ， 5 } } X ∗ 的正锥 X + ∗ = X ∗ ∩ { Q = ( Q 0 ， Q 1 ， Q 2 ， Q 3 ， Q 4 ， Q 5 ) | Q 0 ≥ 0 ， Q i ( x ) ， Q j ( y ) ≥ 0 ， i = 1 ， 2 ， 4 ; j = 3 ， 5 } D ( ( A + B ) ∗ ) = { Q → ∈ X ∗ | d Q i ( x ) d x ， d Q j ( y ) d y ∈ L ∞ ( R + ) ， Q i ( x ) ， Q j ( y ) ∈ L ∞ ( R + ) 绝 对 连 续 ， i = 1 ， 2 ， 4 ; j = 3 ， 5 } D ( ( A + B ) ∗ ) + = X + ∗ ∩ D ( ( A + B ) ∗ ) 从而 ∀ f → = ( f 0 ， f i ( x ) ， f j ( y ) ) T ∈ X + ∗ ‖ f → ‖ = max { | f 0 | ， ‖ f i ( x ) ‖ L 1 ( R + ) ， ‖ f j ( y ) ‖ L 1 ( R + ) } 因此 ‖ f → ‖ ≥ | f 0 | ， ‖ f → ‖ ≥ f i ( x ) ， ‖ f → ‖ ≥ f j ( y ) ， x ≥ 0 ， y ≥ 0 又因为 1 ( x ) ， 1 ( y ) ∈ L ∞ ( R + ) 且绝对连续，而且 d d x 1 ( x ) ， d d x 1 ( y ) ∈ L ∞ ( R + ) 对于 ‖ g → ‖ = ( | f 0 | ， ‖ f → ‖ 1 ( x ) ， ‖ f → ‖ 1 ( x ) ， ‖ f → ‖ 1 ( y ) ， ‖ f → ‖ 1 ( x ) ， ‖ f → ‖ 1 ( y ) ) ∈ D ( ( A + B ) ∗ ) + ‖ f → ‖ − f 0 ≥ 0 ， ‖ f → ‖ 1 ( x ) − f i ( x ) ≥ 0 ， ‖ f → ‖ 1 ( y ) − f j ( y ) ≥ 0 ， x ≥ 0 ， y ≥ 0 有 g → − f → ≥ 0 也就是 f → ≤ g → 。因此根据定义1有，在 X + ∗ 中任选一个 f → ，存在 g → ∈ D ( ( A + B ) ∗ ) + 使 f → ≤ g → ，即 D ( ( A + B ) ∗ ) + 在 X + ∗ 中共尾。而且 A + B 是稠定的，再由定理4，因此算子 A + B 生成了正的C 0 半群T(t)。 定理7 系统存在非负时间解 P ( t ， ⋅ ) ，而且是唯一的，并且满足 ‖ P ( t ， ⋅ ) ‖ = 1 ， ∀ t ∈ [ 0 ， ∞ ) 。 证明 根据定理6可知，系统存在时间依赖解 P ( t ， ⋅ ) ，而且唯一非负，还可以表示成 ‖ P ( t ， ⋅ ) ‖ = T ( t ) P 0 ， ∀ t ∈ [ 0 ， ∞ ) 。又由 P ( t ， ⋅ ) 满足方程组(1)，从而有 d ‖ P ( t ， ⋅ ) ‖ d t = 0 ，所以 ‖ P ( t ， ⋅ ) ‖ = ‖ T ( t ) P 0 ‖ = ‖ P 0 ‖ = 1 ， ∀ t ∈ [ 0 ， ∞ ) 。