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user: 4. 改进Heston模型下欧式看涨期权定价公式 根据文献 [ 18 ] 知(3-10)的解为 C ( K ) = S t P 1 ( S ， v ， t ) − K e − r τ P 2 ( S ， v ， t ) (4-1) P 1 ( S ， v ， t ) 和 分别表示欧式看涨期权按照股票价格行权的概率和在风险中性环境被行权的概率。 下面确定(4-1)中 和 P 2 ( S ， v ， t ) 。 首先将 代入(4-1)得 C ( K ) = e x P 1 ( x ， v ， t ) − K e − r τ P 2 ( x ， v ， t ) (4-2) (4-2)式分别求以下偏导数得 ， ， ∂ 2 C ∂ x 2 = e x [ P 1 + 2 ∂ P 1 ∂ x + ∂ 2 P 1 ∂ x 2 ] − K e − r τ ∂ 2 P 2 ∂ x 2 ， ∂ C ∂ v = e x ∂ P 1 ∂ v − K e − r τ ∂ P 2 ∂ v ， (4-3) ， ∂ 2 C ∂ x ∂ v = [ e x ∂ P 1 ∂ v + ∂ 2 P 1 ∂ x ∂ v ] − K e − r τ ∂ 2 P 2 ∂ x ∂ v 。 将(4-3)代入(3-10)整理化简得 记 u j = ( − 1 2 ) j − 1 ， b j = ρ σ ( 2 − j ) ， ，则上微分方程可化为 1 2 v 2 α ∂ 2 P j ∂ x 2 + σ v α + β ρ ∂ 2 P j ∂ x ∂ v + 1 2 σ 2 v 2 β ∂ 2 P j ∂ x 2 + ( r + u j v 2 α ) ∂ P j ∂ x + ( λ ( v ) + b j v α + β ) ∂ P j ∂ v + ∂ P j ∂ t = 0 (4-4) (4-4)是 满足的偏微分方程，下面通过随机变量x的特征函数给出。 根据如下反演定理知，可通过x的特征函数给出 P j 。 引理1 [ 20 ] (反演定理)若 是随机变量x的特征函数，则 (4-5) 其中 为虚数单位， ϕ 为实数。 因此，为了确定 P j ( x ， v ， t ) ，下面将推导特征函数 的计算式 ( j = 1 ， 2 ) 。 根据文献 [ 18 ]，随机变量x的特征函数为如下对数形式 (4-6) 其中 C j ( τ ; ϕ ) 与 D j ( τ ; ϕ ) 是独立于x和v的函数， 为待定参数， 为实数。 根据Feynman-Kac定理 [ 19 ]， 与 P j 有相同的PDE，因此 满足(4-4)。当 t = T 即 τ = 0 时， x = ln S T 已知， e i ϕ x T 为常数，期望是其本身，即边界条件 ，此时 ， 。 对(4-6)式分别求以下偏导数 ， ∂ f j ∂ x = i ϕ f j ， ， ， ， ∂ 2 f j ∂ x ∂ v = i ϕ θ D j v θ − 1 f j 。 因为 f j 满足(4-4)，所以将上述偏导数代入(4-4)式化简得 [ − 1 2 ϕ 2 + i u j ϕ ] v 2 α + [ i ρ σ 2 ϕ + b j ] θ D j v α + β + θ − 1 + 1 2 σ 2 θ ( θ − 1 ) D j v 2 β + θ − 2 + 1 2 σ 2 θ 2 D j 2 v 2 β + 2 θ − 2 + ∂ D j ∂ t v θ + [ ∂ C j ∂ t + i r ϕ ] + θ D j λ ( v ) v θ − 1 = 0 (4-7) 下面将证明 θ = 2 α 、 ，以及确定 与 D j ( τ ; ϕ ) 的计算式。 1) 因为当 时 ，所以(4-7)可化为 (4-8) 假设 ，由于(4-8)对任意 恒成立，故 的系数为零，即 i u j ϕ − 1 2 ϕ 2 = 0 。于是 或 。而 ϕ 显然不恒为零，故 ，即 为复数，这与 为实数矛盾。因此 θ = 2 α 。 2) 将 θ = 2 α ， λ ( v ) = λ 1 + λ 2 v 代入(4-8)得 (4-9) i) 若 ，则(4-9)化为 [ − 1 2 ϕ 2 + i u j ϕ + ∂ D j ∂ t + D j λ 2 ] v + [ i ρ σ 2 ϕ + b j ] D j v β + 1 2   + 1 2 σ 2 D j 2 v 2 β + [ ∂ C j ∂ t + i r ϕ + D j λ 1 ] = 0 (4-10) 假设 β ≠ 1 2 时，由于(4-10)对任意v恒成立，故v与v 0 的系数都为零，从而(4-10)可化为 [ i ρ σ 2 ϕ + b j ] D j v β + 1 2 + 1 2 σ 2 D j 2 v 2 β = 0 解得 D j = 0 或 ，这与 与 有关相矛盾。所以，当 α = 1 2 时，必有 β = 1 2 ，此时新SV模型即是Heston模型。 ii) 若 。假设 ，则(4-9)化为 (4-11) 由于(4-11)对任意v恒成立，故 与 的系数都为零，(4-11)可化为 解得 或 ，这与 D j ( τ ; ϕ ) 与 有关相矛盾。因此有 β ≠ 1 。 假设 且 且 ，而 α > 0 且 且 β ≠ 1 ，则 ， 2 β + 2 α − 2 ， 2 β + 4 α − 2 ， 2 α − 1 均不等于0且不等于 。由于(4-9)对任意v恒成立，故 与 的系数都为零，(4-9)可化为 解得 或 ，这与 与 有关相矛盾。 因此，在 ， ， β ≠ 1 − 3 α 中至少有一个不成立。 若 ，将其代入(4-9)得 [ − 1 2 ϕ 2 + i u j ϕ + ∂ D j ∂ t + 2 α D j λ 2 ] v 2 α + 2 α [ i ρ σ 2 ϕ + b j ] D j v α + α σ 2 ( 2 α − 1 ) D j v − 2 α   + 2 σ 2 α 2 D j 2 + [ ∂ C j ∂ t + i r ϕ ] + 2 α D j λ 1 v 2 α − 1 = 0 (4-12) 由于(4-12)对任意v恒成立，故 与 的系数都为零，(4-12)化为 2 α [ i ρ σ 2 ϕ + b j ] D j v α + α σ 2 ( 2 α − 1 ) D j v − 2 α + 2 α D j λ 1 v 2 α − 1 = 0 (4-13) 当 α = 1 4 时，(4-13)可化为 1 2 [ i ρ σ 2 ϕ + b j ] D j v 1 4 + 1 8 D j ( 2 λ 1 − σ 2 ) v − 1 2 = 0 (4-14) 由于(4-14)对任意v恒成立，故 v 1 2 与 的系数都为零，从而 ， 或 ϕ = − b j i ρ σ 2 ， 与 与 有关矛盾， 与 是实数矛盾。 当 α ≠ 1 4 时，由于(4-13)对任意v恒成立，故 的系数零，(4-13)化为 2 α [ i ρ σ 2 ϕ + b j + λ 1 v α − 1 ] D j = 0 解得 或 ， 与 与 有关矛盾，而 与 为实数矛盾。 因此， 。 若 ，将其代入(4-9)得 [ − 1 2 ϕ 2 + i u j ϕ + ∂ D j ∂ t + 2 α D j λ 2 ] v 2 α + 2 α [ i ρ σ 2 ϕ + b j ] D j + α σ 2 ( 2 α − 1 ) D j v − 4 α   + 2 σ 2 α 2 D j 2 v − 2 α + [ ∂ C j ∂ t + i r ϕ ] + 2 α D j λ 1 v 2 α − 1 = 0 (4-15) 由于(4-14)对任意v恒成立，故 与 的系数都为零，(4-14)可化为 解得 或 ，这与 D j ( τ ; ϕ ) 与 有关相矛盾。 综上所述有 不成立，即有 。 接下来确定 与 D j ( τ ; ϕ ) 的计算式。 将 代入模型(2-1)，(2-1)可转化为如下形式 (4-16) 当 时，(4-16)即为Heston模型，欧式看涨期权定价公式采用Heston模型下欧式看涨期权定价公式。 当 时，将 β = 1 − α 代入(4-9)得 [ − 1 2 ϕ 2 + i u j ϕ + ∂ D j ∂ t + 2 α ( i ρ σ 2 ϕ + b j ) D j + 2 α 2 σ 2 D j 2 + 2 α D j λ 2 ] v 2 α + [ ∂ C j ∂ t + i r ϕ + σ 2 α ( 2 α − 1 ) D j ] + 2 α D j λ 1 v 2 α − 1 = 0 (4-17) 由于(4-17)对任意v恒成立， 的系数为0，即 λ 1 = 0 。 的系数和常数项都为零，因此可由(4-17)得 (4-18) 根据文献 [ 18 ] 求解(4-18)的Riccati方程得到 C j ( τ ; ϕ ) 与 ， ， 其中， h j ( τ ， ϕ ) = [ d j − 2 α ( b j + λ 2 + i ϕ ρ σ ) ] τ − 2 ln [ 1 − e d j τ 1 − g j ] ， ， 。 综合以上推导可得新SV模型下欧式看涨期权价格封闭解为 (4-19) 其中 x = ln S ， P j = 1 2 + 1 π ∫ 0 ∞ R e [ e − i ϕ ln K f j ( x ， v ， t ; ϕ ) i ϕ ] d ϕ ， f j ( x ， v ， t ; ϕ ) = e C j ( τ ; ϕ ) + D j ( τ ; ϕ ) v θ + i ϕ x ， C j ( τ ; ϕ ) = r i ϕ τ + 2 α − 1 4 α h j ( τ ， ϕ ) ， ， ， d j = 2 α ( b j + λ 2 + i ϕ ρ σ ) 2 − σ 2 ( 2 u j i ϕ − ϕ 2 ) ， g j = 2 α ( b j + λ 2 + i ϕ ρ σ ) − d j 2 α ( b j + λ 2 + i ϕ ρ σ ) + d j ， u j = ( − 1 2 ) j − 1 ， b j = ρ σ ( 2 − j ) ， j = 1 ， 2 。