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user: 1. 引言 从描述自然现象的方程结构角度来看，自然界的规律可粗分为两大类：局域规律和整体规律。前者用微分方程描述，后者用积分方程描述。由于深信局域性和因果性为基本物理现象的内秉特性，即时空每一点上的物理量变化率只受其临近点上其它物理量所贡献，不会即时受到来自遥远时空点上的物理量的影响，因此过去物理学基本方程都是微分方程，而非积分方程。当然，积分方程也是存在的，它们多因考虑了非基本的复杂关联过程所致，例如，众所周知，统计物理学所介绍的描述普通流体系统中原子、分子碰撞及宇宙热力学系统中基本粒子散射的玻尔兹曼积分微分方程，其在相空间(动量–坐标六维空间)内的分布函数的演化率受非平衡碰撞项的相空间积分贡献所影响。有的方程即使不具有积分形式，但其实也考虑了整体平均效果。一个最简单的例子是导体内欧姆定律的微分方程 J = σ E (其中 J 为电流密度， E 为电场强度)。按照基本物理定律，此方程有太多“自我矛盾”之处，如按照牛顿第二定律，电荷的加速度应该与电场强度 E 成正比，但在这里，方程左边电流密度是 J = ρ v ，因此在欧姆定律中电荷速度 v 才与电场强度 E 成正比，“不符合”牛顿运动定律；按照Galileo变换，电荷速度 v 可以变换为零，而电场强度在Galileo变换下不变(在相对论Lorentz变换下，电场强度 E 才变化，但如果参考系速度很小，也可以看作其不变)。欧姆定律违反Galileo相对性原理，这也是一个“矛盾”。但是实际上，从推导欧姆定律的微分方程的过程看，该定律描述的并非是基本的物理过程，而是包含了电荷受电场加速和受正离子热散射两种作用下的复杂驰豫过程，含有了整体平均过程(例如上面的电荷速度 v ，也并非电荷瞬时速度，而是平均效果)。除了以上非基本的或复杂的物理过程包含整体性外，物理学如量子力学还提出了其它更多的整体效应或现象，如波函数塌缩与规范势(联络)的积分效应。前者的典型例子是量子纠缠波函数(或状态矢量)的非局域、超空间、超光速的隔空关联塌缩这一类似“超自然”的现象(这方面涉及量子力学基本解释。各种诠释和流派争论很多，其也非本文关注的对象，不必赘述)，后者是与几何相位有关的拓扑、整体效应，在大量物理系统中都有所体现 [ 1 ] [ 2 ]。本文主要叙述与几何相位、规范势有关的整体物理现象以及它们与一些微分几何概念的关系。 我们对整体现象其实并不陌生。在欧几里德几何中，任意三角形内角和都等于180度以及任意n边形内角和为 180 × ( n − 2 ) 度，就是典型的整体现象。尽管在历史上整体效应时有提出，但物理学中第一个著名的整体效应是提出于1958~1959年的Aharonov-Bohm效应 [ 1 ] [ 2 ]。在经典电动力学中，有物理意义的场量是电场与磁场，四维电磁势被当作是辅助量，并非有物理意义 [ 1 ] [ 2 ]。但是在量子力学提出后，这种观念受到了挑战，因为至少在荷电粒子的Schrödinger方程中，直接出现的是四维电磁势，而非电场与磁场。Aharonov与Bohm提出了一个有趣的效应，让电子发生类似光学中的双缝干涉现象，即两束从同一源出发的电子束沿着两条不同的路径传播然后汇聚在屏上。此两条路径构成一个闭合环路，设该环路内被一个磁通量穿过 [ 1 ] [ 2 ]，这样在屏上会出现与磁通量有关的干涉现象，如磁通量发生改变，屏上的干涉条纹也跟着改变。需要注意的是：磁通量被聚集在一个小“管子”内，不发生磁漏，因此电子束在路径上并没有受到任何磁力的作用。按照经典电动力学的观点，这种受磁通量影响的干涉是不可能发生的(如果发生，在经典电动力学看来，似乎发生了“超距”作用) [ 1 ] [ 2 ]。但在量子力学中，这种“超距”作用却要求发生。这是因为，虽然在没有磁场的区域，磁感应强度 B 为零，但是其磁矢量势 A 却不为零(与经典电动力学认识不同，在量子力学中， A 是有物理意义的)，电子和场的相互作用Lagrange密度是 − q J ⋅ A (电流密度 J 与磁矢量势 A 发生了耦合) [ 1 ] [ 2 ]。从这个角度讲，这种所谓的“超距”作用其实并不违反狭义相对论，但是Aharonov-Bohm效应体现了量子力学波函数在磁场中的整体拓扑效应，因为被电子路径包围起来的磁通量影响了电子波的干涉 [ 2 ]。如果磁通没有被电子束路径包围(磁通位于电子束路径外面)，那么这个磁通就不会影响电子物质波的Aharonov-Bohm干涉。 除了Aharonov-Bohm效应 [ 1 ] [ 2 ]，量子力学还有一个拓扑效应是磁荷(磁单极子) [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]。我们知道，在Maxwell方程中，电与磁的地位并非完全等同，如自然界有电荷，但无磁荷。当然，这个现象可以用磁矢量势 A 的性质解释： ∇ ⋅ B = ∇ ⋅ ( ∇ × A ) = 0 (旋度的散度必为零)。英国理论物理学家Dirac在1931年指出，假如磁单极子(磁荷)存在，我们不但可以将Maxwell方程组写得更为电磁对称，而且由此(利用波函数单值性以及规范不变性)可解释电荷的量子化起源 [ 3 ]。磁荷作为磁场的源，方程 ∇ ⋅ B = 0 变为 ∇ ⋅ B = ρ m ( ρ m 为磁荷密度)。显然，在这里，磁荷不同于电荷，磁荷是一种拓扑荷 [ 3 ]，它使得三维磁矢势 A 变为非解析函数，即它的两个偏导数不可交换(所谓非解析函数，它是这样一种函数，它导致 ∂ x ∂ y f ≠ ∂ y ∂ x f )，从而我们有 ∇ ⋅ B ≠ 0 。我们知道， ∇ ⋅ B = 0 是电磁学Bianchi恒等式之一，它只在当三维磁矢势 A 是解析函数时才成立。在Maxwell理论中，另一个Bianchi恒等式是Faraday电磁感应定律。当有磁荷存在时，三维磁矢势 A 就不再是解析函数了(它在磁单极子所在位置有畸点。在畸点处，偏导数不可交换)。磁荷(假设它存在)让Maxwell方程中的Bianchi恒等式不再成立，所以磁荷是拓扑荷。 其实，Aharonov-Bohm效应 [ 1 ] [ 2 ] 和磁荷(磁单极子) [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] 这两个拓扑整体现象 [ 2 ] 并不限于只出现在我们所熟悉的电动力学内。一切局域规范理论(包括Yang-Mills非阿贝尔规范理论、广义相对论引力理论以及各种引力规范理论)中都可能存在该类整体效应。譬如，我们知道爱因斯坦广义相对论引力场方程在弱场低速近似下可以具有Maxwell方程组的形式，故而一切Maxwell电动力学现象，都可以在广义相对论引力理论中寻找到其对应的物理现象。这里可以介绍一下所谓的引力磁荷(gravitomagnetic charge)，它是电磁学中磁荷的类比物。引力磁荷也可以称为引力磁质量(gravitomagnetic mass)、对偶质量 (dual mass)。我们把通常的具有质量的物质称为引力电性物质，质量就是引力电荷量，其引力场分布由爱因斯坦引力场方程决定。与此相对应，我们可以提出引力磁性物质和引力磁荷(对偶质量)的概念，并建立引力磁荷的引力场方程。从对引力场方程的弱场低速近似形式和对偶方程 ε μ λ ρ τ R λ ρ τ ν = t μ ν 静态的球对称精确解的分析可以看出，引力磁荷的存在与引力场的度规 g μ ν 的畸点(非解析性)有关。引力磁荷(对偶质量)与引力电荷(质量)不同，它是时空的拓扑荷，因此引力磁荷的引力场方程和运动方程的弱场近似形式类似于电动力学中磁单极子的电磁场方程和磁单极子运动方程。与电动力学中的磁荷一样，引力磁荷在宇宙中倒底是否确实存在，其实难以回答。也许引力磁荷可能以点粒子形式存在，也有可能以一定体积(有限大小)的所谓拓扑性孤粒子(topological soliton) [ 7 ] [ 8 ] 形式存在(类似在非阿贝尔规范理论中’t Hooft-Polyakov拓扑磁荷孤粒子 [ 7 ] [ 8 ] )。 上面所介绍的Aharonov-Bohm效应 [ 1 ] [ 2 ] 和磁荷(磁单极子) [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] 这两个拓扑整体现象都可以通过带电粒子波函数的相位体现出来。实际上，磁通量就是这样一个相位。显然这种相位不同于普通的动力学相位。平常所熟悉的动力学相位取决于粒子或系统的能量、动量等。到1984年， 由于Berry的工作 [ 9 ]，物理学家明白量子力学的相位包括两种，即普通的动力学相位(dynamical phase)和体现整体、拓扑效应的几何相位(geometric phase) [ 9 ] [ 10 ]。文献 [ 2 ] 认为，尽管“拓扑”与“几何”在数学上差别很大，但是在物理学几何相问题中，拓扑、几何、整体此三术语意思相近，它们总被联系在一起。 下面从本人的理解角度来阐述这两种相位的关系和来源(它们可能只反映个人的一家之言)：我们知道， 在量子力学中，如果哈密顿量 H ^ 是定态(即不含时间)的话，那么Schrödinger方程 H ^ | ψ 〉 = i ℏ ∂ ∂ t | ψ 〉 可以化 为定态方程 H ^ | ψ 〉 = E | ψ 〉 ，此方程可以求解，且相位因子是 exp ( − i E t / ℏ ) 。但是如果哈密顿量 H ^ 含有时间参数，即 H ^ = H ^ ( t ) ，那么 H ^ ( t ) | ψ 〉 = E | ψ 〉 还成立吗？如果成立，则能量本征值E变为一个瞬时能量本 征值 E ( t ) ，那么相位因子 exp ( − i ∫ E d t / ℏ ) 还成立吗？一般人可能认为这两条猜测都成立；或认为即使不 成立，至少在绝热条件下(即哈密顿量 H ^ 随时间变化极度缓慢时)此二猜测可能成立。即使在绝热条件下， 上述猜测不成立，根据计算，波函数可以出现一个新的相位因子 exp ( i γ ) ，其中相位为 γ = i ∫ 〈 ψ | ∂ ∂ t | ψ 〉 d t [ 11 ]。在Berry之前，很多人对这个相位不以为然，认为它不重要，可以略去 [ 11 ]。但Berry发现，这是一个非平庸的相位，它在循环(巡回)条件下，可以写为Aharonov-Bohm相位那种闭合环路积分形式 [ 9 ]。 例如我们假设有一个参数空间中的物理量 l = l ( t ) ，那么 γ = i ∫ 〈 ψ | ∂ ∂ t | ψ 〉 d t 可以写为 γ = i ∫ 〈 ψ | ∂ ∂ l | ψ 〉 ⋅ d l ，这个形式非常类似于Aharonov-Bohm相位中磁矢量势 A 与路径线元 d l 的点乘的积分， i 〈 ψ | ∂ ∂ l | ψ 〉 就好比磁矢量势 A [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]。由于 i 〈 ψ | ∂ ∂ l | ψ 〉 并非是一个全导数(不是一个标准的梯度)，因此它的旋度(等效 的磁场)必然不为零(只有梯度的旋度才为零)。因此这个相位具有物理含义，不可被忽略 [ 11 ]。经过对 i 〈 ψ | ∂ ∂ l | ψ 〉 的闭合路径积分之后，相位 γ 被称呼为Berry相位(Berry相位是一种绝热循环几何相位 [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]。所谓循环条件，是指哈密顿量算符经过一段时间演化后，最终可以复归为初始哈密顿量)。而 exp ( − i ∫ E d t / ℏ ) 中的 ∫ E d t / ℏ 只是一个普通的动力学相位。 我们可以将这种等效的“磁矢量势” i 〈 ψ | ∂ ∂ l | ψ 〉 写为 i 〈 ψ | ∇ | ψ 〉 形式(这里的梯度算符 ∇ 既可以代表 三维普通空间中的梯度，也可以代表哈密顿量算符抽象的参数空间内的梯度)。可以证明，在规范变换下， i 〈 ψ | ∇ | ψ 〉 满足规范势的变换规则。如假设对波函数 | ψ 〉 施行一个阿贝尔U(1)规范变换 | ψ ′ 〉 = exp ( i α ) | ψ 〉 ，那么 i 〈 ψ ′ | ∇ | ψ ′ 〉 = i 〈 ψ | ∇ | ψ 〉 − 〈 ψ | ψ 〉 ∇ α 。设 〈 ψ | ψ 〉 = 1 (归一化)，那么此变换规则与磁矢量势 A 的规范变换 A ′ = A − ∇ α 具有一样的结构(对于非阿贝尔规范变换，也可以作类似讨论。这里略)。由于规范变换 exp ( i α ) 中的参量 α 是一个解析函数，根据Stokes定理， ∇ α 的闭合路径积分为零(即 ∫ c d l ⋅ ∇ α = 0 )，所以Berry相位 γ = i ∫ c 〈 ψ | ∇ | ψ 〉 ⋅ d l 具有规范不变性(只要有规范不变性，自然就有物理含义了，也即实验上 可测了。在这里，规范不变、物理含义、实验可测，此三词具有同一意思)。在1983年Berry的论文因为被审稿人弄丢而耽误发表之前 [ 2 ]，数学家Simon在听了Berry的口头阐述后，发现Berry相位与纤维丛微分几何中的Chern氏类(Chern class)有关，并把这一相位命名为Berry相位 [ 2 ]。因此Simon的论文(1983)发表在Berry的论文(1984)之前 [ 12 ]。由于几何相位与规范场有关，而规范场又与微分几何纤维丛有关，那么将含时(或含演化参数物理体系的)几何相位与微分几何纤维丛概念联系起来 [ 12 ]，也是顺利成章的了。 在Berry 1984年发表的理论工作之前，实验物理学家其实已经在多个实验 [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] 中注意到了几何相位的存在 [ 2 ]。如1938年苏联Rytov [ 13 ] 和1941年苏联Vladimirskii [ 14 ] 提出了非均匀介质中的Rytov-Vladimirskii光波极化面偏转效应。由于光波在非均匀介质中传播，且电磁场 E 、 H 与传播方向(即波矢量 K )要强制构成右手螺旋定则，那么在光波平行移动一周后，光波偏振极化矢量不再与初始状态一致 [ 2 ]。1956年印度人Pancharatnam也研究过能改变光波极化偏振面的光学材料中的光波偏振的改变问题 [ 15 ]。在以上这类问题之中，局域地看，似乎光波在介质内每一点都没有发生偏振面的改变 [ 2 ] (这就像广义相对论弯曲时空中每一点都镶嵌了局域Minkowski惯性系一样)，但是光波在路径上循环一周，却出现一个不可积的整体相位 [ 2 ]。在1986年，这类光波偏振改变现象由Chiao和Tomita等人再次领悟到，他们使用非共面(noncoplanarly)螺旋弯曲(coiled)光纤实验进行研究 [ 16 ] [ 17 ]。光子在螺旋弯曲光纤内传播，最终会多出一个与螺旋光纤几何弯曲有关的几何相位(这个几何相位在数值上正比于光子波矢量 K 在扫描过程中所张开的立体角)。我们知道，立体角大小正比于立体角所对的球冠的面积，因此几何相位正比于通过球冠的某种“磁场”通量 [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]。这个通量来自于等效的“规范势”(物理学语言)或联络(微分几何语言)的曲率与球冠面积的乘积。螺旋弯曲光纤中的光波几何相位既可以用经典电磁波理论、微分几何理论、Berry量子力学方法研究 [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]，也可以用电磁场量子化方法研究 [ 21 ]，在后者的框架下，Gao发现极化光子态会出现量子真空水平上的几何相位，但因为介质的各向同性，左右圆偏振的真空模式几何相位恰好抵消而难以显现 [ 21 ]。 在上面的Rytov-Vladimirskii [ 13 ] [ 14 ]、Pancharatnam [ 15 ] 以及Chiao-Tomita [ 16 ] [ 17 ] 三个效应中，有一个共同特点，就是光的波矢量 K 是演化着的(要么在非均匀介质内演化，要么在螺旋弯曲光纤内演化)， K 的方向是时间的函数，因此波函数(光波或光子偏振状态矢量)在动量空间( K 参数空间)中演化 [ 16 ] - [ 21 ]。这也可以默认为光波或光子与非均匀介质或螺旋弯曲光纤之间的耦合哈密顿量是一个在时间上的演化算符。由此，物理学家们认识到，只要哈密顿量算符有一个演化的参量(这种参量既可以是时间，也可以是其它任意发展参数 [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]，包括上例在螺旋弯曲光纤内的光波波矢量 K [ 21 ] )，那么量子态矢量就有可能出现几何相位。参照这条标准，那么能呈现几何相位的物理系统就实在是太多了。例如量子力学教科书中经常提到的氢分子振动，两个氢原子之间的距离R是时间的函数，因此对于每个氢原子内的电子而言，它的哈密顿量就不再是定态的了，而是有一个演化参数 R ( t ) [ 22 ] [ 23 ]。那么这样的分子系统，就会出几何相位。因此，几何相位在分子化学反应中也有贡献，能影响分子化学反应速率和反应通道 [ 22 ] [ 23 ]。 对物理系统而言，动力学性质其实总比拓扑性质重要得多，但是因为前者所研已经近乎完毕，后者才被重视起来。在规范理论中，拓扑性质系因规范势有畸点、不再是解析函数所致。但本文并不专门研究这些规范势所带的畸点，而是研究演化系统所需要的描述量，如标架场、联络以及它们与规范理论的关系。此文中的概念和方法可能可用于理解和研究某些课题中的问题，包括经典电磁光学、量子光学、约束体系量子力学、规范场论、广义相对论、引力–规范统一场论以及其它非基础物理学科的专题如机械力学、金融物理学等领域内的部分现象。本文只反映个人的一点浅见，希冀起到抛砖引玉的效果。