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user: 2. 准备工作 2.1. 分数次积分和辅助函数 定义2.1 对 0 < α < Q ，Schrödinger算子 L 的分数次积分 L − α / 2 定义为 L − α / 2 f ( g ) = 1 Γ ( α / 2 ) ∫ 0 ∞ e − t L ( f ) d t t − α / 2 + 1 ( h ) 。 引理2.2 对 0 < α < Q ，如果 1 < p 1 < Q / α ， 1 / p 2 = 1 / p 1 − α / Q ，那么 ‖ L − α / 2 ( f ) ‖ L p 2 ( ℍ n ) ≤ C ‖ f ‖ L p 1 ( ℍ n ) 。 证明：令 0 < α < Q ，经典的分数次积分 I α 定义为 I α ( f ) ( g ) = ∫ ℍ n f ( h ) | g h − 1 | Q − α d h 。 因为半群 e − t L 的核 p t ( g ， h ) 满足Gaussian上界(1.1)，容易验证，对于任意的 g ∈ ℍ n ， | L − α / 2 ( f ) ( g ) | ≤ C I α ( | f | ) ( g ) 。根据 I α 的 L p 有界性，我们可以得到 ‖ L − α / 2 ( f ) ‖ L p 2 ( ℍ n ) ≤ C ‖ I α ( | f | ) ‖ L p 2 ( ℍ n ) ≤ C ‖ f ‖ L p 1 ( ℍ n ) ， 其中 1 < p 1 < Q / α 且 1 / p 2 = 1 / p 1 − α / Q 。因此，引理2.2得证。 定义2.3 令 f ∈ L l o c q ( ℍ n ) 和 B = B ( g ， r ) ⊂ ℍ n 。Hardy-Littlewood极大函数 M f 及其变式 M σ ， s f 分别定义为 M f ( g ) = sup g ∈ B 1 B ∫ B | f ( h ) | d h ， M σ ， s f ( g ) = sup g ∈ B ( 1 | B | 1 − σ s / Q ∫ B | f ( h ) | s d h ) 1 / s 。 如果 σ = 0 ，那么 M 0 ， s f ( g ) 记为 M s f ( g ) 。 定义2.4 令 f ∈ L p ( ℍ n ) 和 p ≥ 1 。与收缩半群 { e − t L ， t > 0 } 相关的Sharp极大函数 M L # f 定义为 M L # f ( g ) = sup g ∈ B 1 | B | ∫ B | f ( h ) − e − t B L f ( h ) | d h ， 其中 t B = r B 2 且 r B 为球 B ⊂ ℍ n 的半径。 引理2.5 假设收缩半群 e − t L 的核 P t ( g ， h ) 满足Gaussian上界(1.1)。令 λ > 0 和 f ∈ L p ( ℍ n ) ( 1 < p < ∞ ) 。那么对于每一个 0 < η < 1 ，我们可以找到独立于 λ 和f的 γ > 0 ，使得 | { g ∈ ℍ n : M f ( g ) > A λ ， M L # f ( g ) ≤ γ λ } | ≤ η | g ∈ ℍ n : M f ( g ) > λ | ，其中 A > 1 是依赖于Q的适当常数。 作为一个结果，对于任意 f ∈ L p ( ℍ n ) ， 1 < p < ∞ ，我们有下述不等式： ‖ f ‖ L p ( ℍ n ) ≤ ‖ M f ‖ L p ( ℍ n ) ≤ C ‖ M L # f ‖ L p ( ℍ n ) 。 证明：证明过程参见 [ 9 ]，命题4.1。 定义2.6 ℍ n 上的一个非负局部 L q 可积函数V被称为属于逆Hölder类 B q ( 1 < q < ∞ ) ，如果存在 C > 0 ，对于 ℍ n 上的任意球B，如下逆Hölder不等式成立： ( 1 | B | ∫ B V ( g ) q d g ) 1 / q ≤ C | B | ∫ B V ( g ) d g 。 定义2.7 对于 g ∈ ℍ n ，辅助函数 ρ ( g ) 定义为 ρ ( g ) = sup r > 0 { r : 1 r Q − 2 ∫ B ( g ， r ) V ( h ) d h ≤ 1 } 。 引理2.8 ( [ 1 ]，引理4)假设 V ∈ B q ， q > Q / 2 。对任意 g ， h ∈ ℍ n ，存在常数 C > 0 和 k 0 > 0 使得 1 / C ( 1 + | g − 1 h | / ρ ( g ) ) − k 0 ≤ ρ ( h ) / ρ ( g ) ≤ C ( 1 + | g − 1 h | / ρ ( g ) ) K 0 / ( K 0 + 1 ) (2.1) 一个以g为中心， ρ ( g ) 为半径的球称为临界球。我们用 ℚ = B ( g ， ρ ( g ) ) 表示临界球。 2.2. 新BMO型空间 定义2.9 新BMO型空间 B M O ρ θ ( ℍ n ) ( 0 < θ < ∞ ) 定义为 ℍ n 上所有局部可积函数b的集合，对任意 g ∈ ℍ n 和 r > 0 ，b满足如下条件 1 | B ( g ， h ) | ∫ B ( g ， h ) | b ( h ) − b B | d h ≤ C ( 1 + r / ρ ( g ) ) θ ， (2.2) 其中 b B = 1 | B | ∫ B b ( h ) d h 。 b ∈ B M O ρ θ ( ℍ n ) 的范数由满足(2.2)的常数的下确界给出，记为 [ b ] θ 。 下面，我们给出一些关于函数 b ∈ B M O ρ θ ( ℍ n ) 的引理。 引理2.10 令 θ > 0 和 1 ≤ s < ∞ 。如果 b ∈ B M O ρ θ ( ℍ n ) ，那么 ( 1 | B | ∫ B | b ( h ) − b B | s d h ) 1 / s ≤ C [ b ] θ ( 1 + r ρ ( g ) ) θ ′ (2.3) 对所有 B = B ( g ， r ) ， g ∈ ℍ n 及 r > 0 均成立，其中 θ ′ = ( k 0 + 1 ) θ 且 k 0 为(2.1)中出现的常数。 证明：根据经典的John-Nirenberg不等式可知，给定一个球 B 0 和一个函数 f ∈ B M O ( B 0 ) ，对于任意球 B ⊂ B 0 ，当 1 ≤ s < ∞ 时，我们有 ( 1 | B | ∫ B | f ( h ) − f B | s d h ) 1 / s ≤ C ‖ f ‖ B M O ( B 0 ) ， (2.4) 其中C是独立于球 B 0 的常数。 因此，为了证明(2.3)，我们只需证明如下假设：如果 R ≥ 1 且 ℚ 为临界球，那么我们可以得到 b ∈ B M O ( R ℚ ) 和 ‖ b ‖ B M O ( R ℚ ) ≤ C [ b ] θ ( 1 + R ) ( k 0 + 1 ) θ 。如果这个假设是正确的，那么对于任意的球 B ⊂ R ℚ ，由(2.4)可得 ( 1 | B | ∫ B | b ( h ) − b B | s d h ) 1 / s ≤ C [ b ] θ ( 1 + R ) ( k 0 + 1 ) θ 。 (2.5) 现在，令 B = B ( g ， r ) 和 ℚ = B ( g ， ρ ( g ) ) ，这里的 g ∈ ℍ n 且 r > 0 。如果 r ≤ ρ ( g ) ，选择 R = 1 。 通过(2.5)，我们得到(2.3)。如果 r > ρ ( g ) ，注意到 B = ( r / ρ ( g ) ) ℚ 。那么，当 R = r / ρ ( g ) 时，由(2.5)可得(2.3)。 接下来，我们证明上述假设成立。令 B = B ( z ， r ) ⊂ R ℚ ， z ∈ ℍ n 和 r > 0 。由(2.1)可知 ρ ( g ) ( 1 + R ) − k 0 ≤ C ρ ( z ) ，又 r < R ρ ( g ) ，因此 r / ρ ( z ) ≤ C ( 1 + R ) k 0 + 1 。由 b ∈ B M O ρ θ ( ℍ n ) 可得 1 | B | ∫ B | b ( h ) − b B | d h ≤ C [ b ] θ ( 1 + R ) ( k 0 + 1 ) θ 。 综上，我们完成了引理2.10的证明。 引理2.11 令 b ∈ B M O ρ θ ( ℍ n ) ， B = B ( g ， r ) 和 s ≥ 1 。那么 ( 1 | 2 k B | ∫ 2 k B | b ( h ) − b B | s d h ) 1 / s ≤ C [ b ] θ k ( 1 + 2 k r ρ ( g ) ) θ ′ 对所有 k ∈ ℕ 及 r > 0 均成立，其中 θ ′ = ( k 0 + 1 ) θ 且 k 0 为(2.1)中出现的常数。 证明：根据引理2.10，可得 ( 1 | 2 k B | ∫ 2 k B | b ( h ) − b B | s d h ) 1 / s ≤ C ( 1 | 2 k B | ∫ 2 k B | b ( h ) − b 2 k B | s d h ) 1 / s + C ∑ j = 1 k | b 2 j B − b 2 j − 1 B | ≤ C [ b ] θ ∑ j = 1 k ( 1 + 2 j r ρ ( g ) ) θ ′ ≤ C [ b ] θ k ( 1 + 2 k r ρ ( g ) ) θ ′ 引理2.12如果收缩半群 e − t L 的核 p t ( g ， h ) 满足Gaussian上界(1.1)且 b ∈ B M O ρ θ ( ℍ n ) ，那么，对于任意 f ∈ L p ( ℍ n ) ， p > 1 ， g ∈ ℍ n 和 1 < r < ∞ ，我们有 sup g ∈ B 1 | B | ∫ B | e − t B L ( b − b B ) f ( h ) | d h ≤ C [ b ] θ ( M ( | f | ) s ) 1 / s ( g ) ， 其中 t B = r B 2 。 证明：对于 f ∈ L p ( ℍ n ) ， p > 1 ， g ∈ ℍ n 以及 g ∈ B ，我们有 1 | B | ∫ B | e − t B L ( b − b B ) f ( h ) | d h ≤ C ( M 1 + M 2 ) ， 其中 { M 1 : = 1 | B | ∫ B ∫ 2 B | P t ( g ， h ) | | ( b − b B ) f ( h ) | d h d g M 2 : = ∑ k = 1 ∞ 1 | B | ∫ B ∫ 2 k + 1 B \ 2 k B | P t ( g ， h ) | | ( b − b B ) f ( h ) | d h d g 对于 M 1 ，应用(1.1)和引理2.10，我们通过Hölder不等式可以推出 M 1 ≤ 1 | B | ∫ B ∫ 2 B C t B Q / 2 e − c | g h − 1 | 2 / t B | ( b ( h ) − b B ) f ( h ) | d h d g ≤ 1 | B | ∫ B ∫ 2 B C r B Q e − c | ( b ( h ) − b B ) f ( h ) | d h d g ≤ C | B | ∫ B ∫ 2 B | ( b ( h ) − b B ) f ( h ) | d h d g ≤ C ( 1 | 2 B | ∫ 2 B | b ( h ) − b B | s ′ d h ) 1 / s ′ ( 1 | 2 B | ∫ 2 B | f ( h ) | s d h ) 1 / s ≤ C [ b ] θ ( 1 + r / ρ ( g ) ) θ ′ ⋅ M s f ( g ) ≤ C [ b ] θ M s f ( g ) 对于 M 2 ，因为 g ∈ B ( g 0 ， r B ) ， h ∈ 2 k + 1 B \ 2 k B ，所以 | g h − 1 | ≈ 2 k r B 。根据(1.1)和引理2.11，由Hölder不等式可以得到 M 2 ≤ ∑ k = 1 ∞ 1 | B | ∫ B ∫ 2 k + 1 B \ 2 k B C t B Q / 2 e − c | g h − 1 | 2 / t B | ( b ( h ) − b B ) f ( h ) | d h d g ≤ ∑ k = 1 ∞ 1 | B | ∫ B ∫ 2 k + 1 B \ 2 k B C r B Q e − c 2 2 k r B 2 / r B 2 | ( b ( h ) − b B ) f ( h ) | d h d g ≤ C ∑ k = 1 ∞ e − c 2 2 k 1 | B | ∫ 2 k + 1 B | ( b ( h ) − b B ) f ( h ) | d h d g ≤ C ∑ k = 1 ∞ e − c 2 2 k ( 1 | 2 k + 1 B | ∫ 2 k + 1 B | b ( h ) − b 2 k + 1 B | s ′ d h ) 1 / s ′ ( 1 | 2 k + 1 B | ∫ 2 k + 1 B | f ( h ) | s d h ) 1 / s       + C ∑ k = 1 ∞ e − c 2 2 k | b 2 k + 1 B − b B | ( 1 | 2 k + 1 B | ∫ 2 k + 1 B | f ( h ) | s d h ) 1 / s ≤ C [ b ] θ ∑ k = 1 ∞ e − c 2 2 k ( 1 + 2 k r / ρ ( g ) ) θ ′ ⋅ M s f ( g ) + C ∑ k = 1 ∞ e − c 2 2 k M s f ( g ) ≤ C M s f ( g ) 综上，我们完成了引理2.12的证明。