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user: 3. 定理1.1的证明 不失一般性，定理1.1的证明将在标准化坐标下进行，且与 [ 2 ] 中类似，可以假设 0 < λ ( 0 ) = λ 1 ( 0 ) = ⋯ = λ p ( 0 ) < λ p + 1 ( 0 ) < ⋯ < λ n ( 0 ) . (3.1) 由(1.3)知，存在适当小的正常数 δ 及 δ 0 ，使得 λ p + 1 ( u ) − λ i ( v ) ≥ 4 δ 0 ，         ∀ | u | ， | v | ≤ δ ，         ( i = 1 ， ⋯ ， p ) ， (3.2) λ j + 1 ( u ) − λ j ( v ) ≥ 4 δ 0 ，         ∀ | u | ， | v | ≤ δ ，         ( j = p + 1 ， ⋯ ， n − 1 ) ， (3.3) | λ i ( u ) − λ i ( v ) | ≤ δ 0 2 ，       ∀ | u | ， | v | ≤ δ ，         ( i = 1 ， ⋯ ， n ) . (3.4) 先假设在 C 1 解 u = u ( t ， x ) 的任一存在域上，恒成立 | u ( t ， x ) | ≤ δ . (3.5) 在引理3.3的证明最后，将解释此假设的合理性。对任意给定的 T > 0 ，令 D + T = { ( t ， x ) | 0 ≤ t ≤ T ， x ≥ ( λ n ( 0 ) + δ 0 ) t } ， D − T = { ( t ， x ) | 0 ≤ t ≤ T ， x ≤ − t } ， D 0 T = { ( t ， x ) | 0 ≤ t ≤ T ， − t ≤ x ≤ ( λ ( 0 ) − δ ) t } ， D T = { ( t ， x ) | 0 ≤ t ≤ T ， ( λ ( 0 ) − δ 0 ) t ≤ x ≤ ( λ n ( 0 ) + δ 0 ) t } . 对 i = 1 ， ⋯ ， n ，令 D i T = { ( t ， x ) | 0 ≤ t ≤ T ， − [ δ 0 + η ( λ i ( 0 ) − λ ( 0 ) ) ] t ≤ x − λ i ( 0 ) t ≤ [ δ 0 + η ( λ n ( 0 ) − λ i ( 0 ) ) ] t } . 由(3.1)~(3.3)，当 η > 0 适当小时，有 D 1 T = D 2 T = ⋯ = D p T ， D i T ∩ D j T = ∅ ，         ∀ i ， j ∈ { 1 ， p + 1 ， ⋯ ， n } ， D 1 T ∪ ∪ i = p + 1 n D i T ⊂ D T . 令 U ( D ± T ) = max i = 1 ， ⋯ ， n ‖ ( 1 + | x | ) μ u i ( t ， x ) ‖ L ∞ ( D ± T ) ， U ( D 0 T ) = max i = 1 ， ⋯ ， n ‖ ( 1 + | t | ) μ u i ( t ， x ) ‖ L ∞ ( D 0 T ) ， W ( D ± T ) = max i = 1 ， ⋯ ， n ‖ ( 1 + | x | ) μ w i ( t ， x ) ‖ L ∞ ( D ± T ) ， W ( D 0 T ) = max i = 1 ， ⋯ ， n ‖ ( 1 + | t | ) μ w i ( t ， x ) ‖ L ∞ ( D 0 T ) ， U ∞ c ( T ) = max i = 1 ， ⋯ ， n sup ( t ， x ) ∈ D T \ D i T { ( 1 + | x − λ i ( 0 ) t | ) μ | u i ( t ， x ) | } ， W ∞ c ( T ) = max i = 1 ， ⋯ ， n sup ( t ， x ) ∈ D T \ D i T { ( 1 + | x − λ i ( 0 ) t | ) μ | w i ( t ， x ) | } ， U 1 ( T ) = max i = 1 ， ⋯ ， n sup 0 ≤ t ≤ T ∫ D i T ( t ) | u i ( t ， x ) | d x ， W 1 ( T ) = max i = 1 ， ⋯ ， n sup 0 ≤ t ≤ T ∫ D i T ( t ) | w i ( t ， x ) | d x ， 其中 D i T ( t ) = { ( τ ， x ) | τ = t ， ( τ ， x ) ∈ D i T } . U ˜ 1 ( T ) = max { max i = 1 ， ⋯ ， p max j ∈ { p + 1 ， ⋯ ， n } sup C ˜ j ∫ C ˜ j | u i ( t ， x ) | d t ， max i = p + 1 ， ⋯ ， n max j ≠ i sup C ˜ j ∫ C ˜ j | u i ( t ， x ) | d t } ， W ˜ 1 ( T ) = max { max i = 1 ， ⋯ ， p max j ∈ { p + 1 ， ⋯ ， n } sup C ˜ j ∫ C ˜ j | w i ( t ， x ) | d t ， max i = p + 1 ， ⋯ ， n max j ≠ i sup C ˜ j ∫ C ˜ j | w i ( t ， x ) | d t } ， 其中 C ˜ j 表示在 D i T 上的任一第j特征。 U ∞ ( T ) = max i = 1 ， ⋯ ， n sup 0 ≤ t ≤ T x ∈ R | u i ( t ， x ) | ， W ∞ ( T ) = max i = 1 ， ⋯ ， n sup 0 ≤ t ≤ T x ∈ R | w i ( t ， x ) | . 由 D i T 及 D T 的定义容易得到(参见 [ 2 ] )。 引理3.1：对于 i = 1 ， ⋯ ， n ，在区域 D T \ D i T 上成立 c t ≤ | x − λ i ( 0 ) t | ≤ C t ， c x ≤ | x − λ i ( 0 ) t | ≤ C x ， 其中c和C是不依赖于T的正常数。 引理3.2：假设(3.1)成立， ψ ∈ C 1 ，满足(1.5)，且在 u = 0 的一个邻域内， A ∈ C 2 。那么一定存在适当小的 ε 0 > 0 ，使得对于任意给定的 ε ∈ [ 0 ， ε 0 ] ，对于Cauchy问题(1.1)及(1.4)的 C 1 解 u = u ( t ， x ) ，在其任一给定的存在区域 0 ≤ t ≤ T (其中 T ε 2 + α ≤ 1 )上，存在不依赖于 ε 及T的正常数 κ 1 和 κ 2 使得下面的一致先验估计式成立： U ( D ± T ) ， W ( D ± T ) ≤ κ 1 ε ， U ( D 0 T ) ， W ( D 0 T ) ≤ κ 2 ε . 引理3.3：在定理1.1的假设下，在标准坐标下，一定存在适当小的 ε 0 > 0 ，使得对于任意给定的 ε ∈ [ 0 ， ε 0 ] ，对Cauchy问题(1.1)和(1.4)的 C 1 解 u = u ( t ， x ) ，在其任一给定的存在区域 0 ≤ t ≤ T 上，存在不依赖于 ε 及T的正常数 κ i ( i = 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ) 使得下面的一致先验估计式成立： W ∞ c ( T ) ≤ κ 3 ε ， (3.6) W ˜ 1 ( T ) ， W 1 ( T ) ≤ κ 4 ε γ ， (3.7) U ∞ c ( T ) ≤ κ 5 ε ， (3.8) U ∞ ( T ) ≤ κ 6 ε γ ， (3.9) U ˜ 1 ( T ) ， U 1 ( T ) ≤ κ 7 ε τ + κ 8 ε γ ( 2 + α ) T ， (3.10) 其中 γ = ( 2 + α ) μ − ( 1 + α ) > 0 ， τ = 1 + γ ( ρ + α ) ( μ − 1 ) ，         ρ ∈ ( 1 ， 2 ) ， 而且 T ε γ ( 1 + α ) ≤ 1 ， (3.11) W ∞ ( T ) ≤ κ 9 ε . (3.12) 证明：先估计 W ˜ 1 ( T ) 。在 D i T 上任作一条第j特征 C ˜ j : x = x j ( t ) 交 D i T 的边界于点P 1 与点P 2 (当 i ∈ { 1 ， ⋯ ， p } 时， j ∈ { p + 1 ， ⋯ ， n } ；当 i ∈ { p + 1 ， ⋯ ， n } 时， j ≠ i )。过原点作第i特征交 C ˜ j 于点P 0 。设点P 1 ，P 2 及P 0 的t坐标分别为 t 1 ， t 2 及 t 0 ( 0 ≤ t 1 ， t 0 ， t 2 ≤ T ) 。过P 1 作第i特征交直线 x = ( λ ( 0 ) − δ 0 ) t 于点 A 1 ( t ¯ 1 ， y ¯ 1 ) ，过P 2 作第i特征交直线 x = ( λ n ( 0 ) + δ 0 ) t 于点 A 2 ( t ¯ 2 ， y ¯ 2 ) 。有 ∫ C ˜ j | w i ( t ， x ) | d t = ∫ t 1 t 0 | w i ( t ， x j ( t ) ) | d t + ∫ t 0 t 2 | w i ( t ， x j ( t ) ) | d t . 为了估计 ∫ t 1 t 0 | w i ( t ， x j ( t ) ) | d t ，在区域P 1 A 1 OP 0 上用Stokes公式，就得到 ∫ t 1 t 0 | w i ( t ， x j ( t ) ) ( λ j ( u ( t ， x j ( t ) ) ) − λ i ( u ( t ， x j ( t ) ) ) ) | d t ≤ ∫ 0 t ¯ 1 | w i ( t ， ( λ ( 0 ) − δ 0 ) t ) ( λ ( 0 ) − δ 0 − λ i ( u ( t ， ( λ ( 0 ) − δ 0 ) t ) ) ) | d t         + ∬ P 1 A 1 O P 0 | ∑ j ， k = 1 n Q i j k ( u ) u k w j + Γ i j k ( u ) w j w k | d t d x ， (3.13) 由(3.2)~(3.3)及(3.5)，并注意到(2.9)~(2.12)及引理3.1~3.2，可得 ∫ t 1 t 0 | w i ( t ， x j ( t ) ) | d t ≤ c { W ( D 0 T ) + U ∞ c ( T ) W 1 ( T ) + W ∞ c ( T ) U 1 ( T ) + W ∞ c ( T ) W 1 ( T )         + [ W ∞ c ( T ) U ∞ c ( T ) + ( W ∞ c ( T ) ) 2 ] ( 1 + T ) 1 − μ } ( 1 + T ) 1 − μ ， 今后c是不依赖于 ε 和T的正常数。同时，对 ∫ t 0 t 2 | w i ( t ， x j ( t ) ) | d t 有类似的估计式。这样得到 W ˜ 1 ( T ) ≤ c { ε + U ∞ c ( T ) W 1 ( T ) + W ∞ c ( T ) U 1 ( T ) + W ∞ c ( T ) W 1 ( T )         + [ W ∞ c ( T ) U ∞ c ( T ) + ( W ∞ c ( T ) ) 2 ] ( 1 + T ) 1 − μ } ( 1 + T ) 1 − μ . 类似的，有 W 1 ( T ) ≤ c { ε + U ∞ c ( T ) W 1 ( T ) + W ∞ c ( T ) U 1 ( T ) + W ∞ c ( T ) W 1 ( T )         + [ W ∞ c ( T ) U ∞ c ( T ) + ( W ∞ c ( T ) ) 2 ] ( 1 + T ) 1 − μ } ( 1 + T ) 1 − μ . 下面估计 W ∞ c ( T ) 。当 i ∈ { 1 ， ⋯ ， p } 时，过任意给定的点 ( t ， x ) ∈ D T \ D 1 T 作第i特征交直线 x = ( λ n ( 0 ) + δ 0 ) t 于点 D ( t 0 ， y ) ，沿该特征从 t 0 到t积分(2.8)，得 w i ( t ， x ) = w i ( t 0 ， y ) + ∫ t 0 t ∑ j ， k = 1 n [ Q i j k ( u ) u k w j + γ i j k ( u ) w j w k ] d s . (3.14) 由引理3.2，有 | w i ( t 0 ， y ) | ≤ ( 1 + y ) − μ W ( D + T ) ≤ c ε ( 1 + t 0 ) − μ . (3.15) 另一方面，由(2.10)和(3.5)，并利用引理3.1，有 ∫ t 0 t | ∑ j ， k = 1 n [ Q i j k ( u ) u k w j + γ i j k ( u ) w j w k ] | d s ≤ c { W ∞ c ( T ) U ˜ 1 ( T ) + U ∞ c ( T ) W ˜ 1 ( T ) + W ∞ c ( T ) W ˜ 1 ( T )             + [ W ∞ c ( T ) U ∞ c ( T ) + ( W ∞ c ( T ) ) 2 ] ( 1 + T ) 1 − μ } ( 1 + t 0 ) − μ . (3.16) 由(3.4)，有 x − ( λ ( 0 ) + δ 0 2 ) t ≤ y − ( λ ( 0 ) + δ 0 2 ) t 0 ， 再由 D 1 T 的定义并注意到 y = ( λ n ( 0 ) + δ 0 ) t 0 ，易得 η t ≤ t 0 ≤ t . 于是从(3.14)~(3.16)，并应用引理3.1，就得到 ( 1 + | x − λ ( 0 ) t | ) μ | w i ( t ， x ) | ≤ c { ε + W ∞ c ( T ) U ˜ 1 ( T ) + U ∞ c ( T ) W ˜ 1 ( T ) + W ∞ c ( T ) W ˜ 1 ( T )           + [ W ∞ c ( T ) U ∞ c ( T ) + ( W ∞ c ( T ) ) 2 ] ( 1 + T ) 1 − μ } . 当 i ∈ { p + 1 ， ⋯ ， n } 时，由(2.10)，类似地可得 ( 1 + | x − λ i ( 0 ) t | ) μ | w i ( t ， x ) | ≤ c { ε + W ∞ c ( T ) U ˜ 1 ( T ) + U ∞ c ( T ) W ˜ 1 ( T ) + W ∞ c ( T ) W ˜ 1 ( T )           + [ W ∞ c ( T ) U ∞ c ( T ) + ( W ∞ c ( T ) ) 2 ] ( 1 + T ) 1 − μ } ， 然后得到 W ∞ c ( T ) ≤ c { ε + W ∞ c ( T ) U ˜ 1 ( T ) + U ∞ c ( T ) W ˜ 1 ( T ) + W ∞ c ( T ) W ˜ 1 ( T )                               + [ W ∞ c ( T ) U ∞ c ( T ) + ( W ∞ c ( T ) ) 2 ] ( 1 + T ) 1 − μ } . 类似地，有 U ∞ c ( T ) ≤ c { ε + U ∞ c ( T ) U ˜ 1 ( T ) + W ∞ c ( T ) U ˜ 1 ( T ) + [ W ∞ c ( T ) U ∞ c ( T ) + ( U ∞ c ( T ) ) 2 ] ( 1 + T ) 1 − μ } . 现在来估计 U ˜ 1 ( T ) 和 U 1 ( T ) 。类似于(3.13)，由(2.4)~(2.7)我们有 ∫ t 1 t 0 | u i ( t ， x j ( t ) ) ( λ j ( u ( t ， x j ( t ) ) ) − λ i ( u ( t ， x j ( t ) ) ) ) | d t ≤ ∫ 0 t ¯ 1 | u i ( t ， ( λ ( 0 ) − δ 0 ) t ) ( λ ( 0 ) − δ 0 − λ i ( u ( t ， ( λ ( 0 ) − δ 0 ) t ) ) ) | d t         + ∬ P 1 A 1 O P 0 | ∑ j ， k = 1 n F i j k ( u ) u j w k + f i j k ( u ) u j u k | d t d x ≤ c { [ ε + W ∞ c ( T ) U ∞ c ( T ) ( 1 + T ) 1 − μ + ( U ∞ c ( T ) ) 2 ( 1 + T ) 1 − μ + U ∞ c ( T ) U 1 ( T ) ] ( 1 + T ) 1 − μ } . 类似地可以估计 ∫ t 0 t 2 | u i ( t ， x j ( t ) ) | d t ，因此得到 U ˜ 1 ( T ) ≤ c { [ ε + W ∞ c ( T ) U ∞ c ( T ) ( 1 + T ) 1 − μ + ( U ∞ c ( T ) ) 2 ( 1 + T ) 1 − μ + U ∞ c ( T ) U 1 ( T ) ] ( 1 + T ) 1 − μ } . 类似地，有 U 1 ( T ) ≤ c { [ ε + W ∞ c ( T ) U ∞ c ( T ) ( 1 + T ) 1 − μ + ( U ∞ c ( T ) ) 2 ( 1 + T ) 1 − μ + U ∞ c ( T ) U 1 ( T ) ] ( 1 + T ) 1 − μ } . 而且，对于任意给定的点 ( t ， x ) ∈ D T ，有 u ( t ， x ) = u ( t ， x 0 ) + ∫ x 0 x u ξ ( t ， ξ ) d ξ ， 其中 ( t ， x 0 ) 位于直线 x = ( λ ( 0 ) − δ 0 ) t 上。于是，由(3.5)和引理3.1，并利用引理3.2易得：当 ( t ， x ) ∈ D T 时，成立 | u ( t ， x ) | ≤ c { U ( D 0 T ) + W ∞ c ( T ) ( 1 + T ) 1 − μ + W 1 ( T ) } . 因此，得到 U ∞ ( T ) ≤ c { U ( D 0 T ) + W ∞ c ( T ) ( 1 + T ) 1 − μ + W 1 ( T ) } . 由 U ∞ ( T ) ≤ κ 6 ε γ 。对于适当小的 δ 0 > 0 ，恒成立 | u ( t ， x ) | ≤ κ 6 ε 0 γ ≤ 1 2 δ . 这说明了假设(3.5)的合理性。利用连续归纳假设即证(3.6)~(3.10)。 最后，证明 W ∞ ( T ) ≤ κ 9 ε 。过任意给定的点 ( t ， x ) ∈ D i T ，作第i特征 ξ = x i ( s ; t ， x ) 交 D T 的边界之一于点 D ( t 0 ， y ) 。沿该特征从 t 0 到t积分(2.8)，得到 w i ( t ， x ) = w i ( t 0 ， y ) + ∫ t 0 t ∑ j ， k = 1 n [ Q i j k ( u ) u k w j + γ i j k ( u ) w j w k ] ( s ， x i ( s ; t ， x ) ) d s . 注意到引理(3.1)~(3.2)，和 | γ i i i ( u i e i ) | ≤ c | u i | α ， 对任意固定的点 ( t ， x ) ∈ D i T ，有 | w i ( t ， x ) | ≤ c { W ( D 0 T ) + W ( D + T ) + U ∞ c ( T ) W ∞ c ( T ) + ( W ∞ c ( T ) ) 2     + [ W ∞ c ( T ) ( U ∞ ( T ) + W ∞ ( T ) ) + U ∞ c ( T ) ( W ∞ ( T ) + ( W ∞ ( T ) ) 2 ) ] ( 1 + T ) 1 − μ     + ( U ∞ ( T ) ) α ( W ∞ ( T ) ) 2 T } ， 由引理3.2和(3.11)，并应用连续归纳假设，就能立即得到(3.12)。引理3.3得证。 注3.1：由(3.9)和(3.12)，当 ε 0 > 0 适当小时，Cauchy问题(1.1)和(1.4)在 [ 0 ， T ] 上存在唯一的 C 1 解 u = u ( t ， x ) ，其中T满足(3.11)。因此我们得到了 C 1 解 u = u ( t ， x ) 的生命跨度的下界 T ˜ ≥ ε − γ ( 1 + α ) . 下面证明定理1.1。 显然，为了证明定理1.1，只要证明 lim ε → 0 + ¯ { ε 1 + α T ˜ ( ε ) } ≤ M 0 ， (3.17) 及 lim _ ε → 0 + { ε 1 + α T ˜ ( ε ) } ≥ M 0 . (3.18) 其中 M 0 由(1.6)定义。 接下来，将在标准坐标下考虑问题，并且假设 ε 0 > 0 是适当小的。 先来证明(3.17)。由注3.1，对于任意固定的 ε ∈ ( 0 ， ε 0 ] ，Cauchy问题(1.1)和(1.4)在区域 [ 0 ， T 1 ] 上存在唯一的 C 1 解 u = u ( t ， x ) ，其中 T 1 = ε − ( ρ + α ) ≤ T ˜ ( ε ) − 1 = T ¯ ， (3.19) ρ = γ ( 1 + α ) − α = ( α 2 + 3 α + 2 ) μ − ( α 2 + 3 α + 1 ) > 0. 先假设成立 T ˜ ( ε ) ≤ ε − γ ( ρ + α ) ， (3.20) 并将在证明的最后说明此假设的合理性。 由(1.5)和(1.6)知，存在 i ∈ J 1 和 x 0 ∈ ℝ 使得 M 0 = { − 1 α ! d α + 1 λ i ( u ( i ) ( s ) ) d s α + 1 | s = 0 ( l i ( 0 ) ψ ( x 0 ) ) α l i ( 0 ) ψ ′ ( x 0 ) } − 1 ， 令 a = − 1 α ! d α + 1 λ i ( u ( i ) ( s ) ) d s α + 1 | s = 0 . 不妨设 i = m ∈ J 1 ，且 a ( l m ( 0 ) ψ ( x 0 ) ) α > 0 ，       l m ( 0 ) ψ ′ ( x 0 ) > 0 ，         x 0 > 0. 过 ( 0 ， x 0 ) 作第m特征 x = x m ( t ， x 0 ) 。由 D m T 的定义知，该特征一定在有限时间 t 0 > 0 进入 D m T 并从此落在其中(参见 [ 2 ] )。在 C 1 解的存在区域上，由(2.8)沿该特征有 d w m d m t = a 0 ( t ) w m 2 + a 1 ( t ) w m + a 2 ( t ) ， (3.21) 其中 { a 0 ( t ) = γ m m m ( u ) ， a 1 ( t ) = ∑ j = 1 j ≠ m n [ Q m m j ( u ) u j + 2 γ m m j ( u ) w j ] ， a 2 ( t ) = ∑ j = 1 j ≠ m n ∑ k = 1 n Q m j k ( u ) w j u k + ∑ j ， k = 1 λ j ≠ λ k j ， k ≠ m n γ m j k ( u ) w j w k ， (3.22) 由(3.19)，得到 t 0 < T 0 = ε − α < T 1 . (3.23) 由(2.4)~(2.6)，并应用引理3.1~3.3，沿 x = x m ( t ， x 0 ) 积分(2.3) | u m ( t ， x m ( t ， x 0 ) ) − u m ( 0 ， x 0 ) | ≤ | ∫ 0 t ∑ j = 1 j ≠ m n ∑ k = 1 n [ ρ m j k ( u ) u k w j + f m j k ( u ) u j u k ] ( s ， x m ( s ， x 0 ) ) d s | ≤ c { [ U ( D + t ) + W ( D + t ) ] U ( D + t ) + U ∞ c ( t ) U ∞ ( t ) ( 1 + t ) 1 − μ + [ U ∞ c ( t ) + W ∞ c ( t ) ] U ∞ c ( t ) } ≤ c ε 1 + γ − γ ( ρ + α ) ( 1 − μ ) ，         ∀ t ∈ [ 0 ， T ¯ ] (3.24) 由(2.14)~(2.15)，得到 | u m ( t ， x m ( t ， x 0 ) ) − ε l m ( 0 ) ψ ( x 0 ) | ≤ c ε 1 + γ − γ ( ρ + α ) ( 1 − μ ) ，       ∀ t ∈ [ 0 ， T ¯ ] (3.25) 另一方面，在 C 1 解 u = u ( t ， x ) 的存在域 D T ∩ { ( t ， x ) | T 0 ≤ t ≤ T ¯ } 上，由Hadamard公式和引理3.3，沿着 x = x m ( t ， x 0 ) ，有 | γ m m m ( u ) − γ m m m ( u m e m ) | ≤ c U ∞ c ( T ¯ ) ( 1 + t ) − μ ≤ c ε 1 + α μ ，       ∀ t ∈ [ T 0 ， T ¯ ] (3.26) 而且，由(2.13)并由 α 及 J 1 的定义，有 γ m m m ( u m e m ) = a ( ε l m ( 0 ) ψ ( x 0 ) ) α + a [ ( u m ( t ， x m ( t ， x 0 ) ) ) α − ( ε l m ( 0 ) ψ ( x 0 ) ) α ] + O ( | u m | 1 + α ) . (3.27) 然后，应用(3.9)，并由(3.25)~(3.26)得到 a 0 ( t ) = γ m m m ( u ) = a ( ε l m ( 0 ) ψ ( x 0 ) ) α + O ( ε ϖ ) ，       ∀ t ∈ [ T 0 ， T ¯ ] (3.28) 其中 ϖ = min { γ ( 1 + α ) ， 1 + α γ − γ ( ρ + α ) ( 1 − μ ) } 。 因此，对于适当小的 ε 0 > 0 ，有 a 0 ( t ) ≥ 1 2 a ( ε l m ( 0 ) ψ ( x 0 ) ) α > 0 ，         ∀ t ∈ [ T 0 ， T ¯ ] 应用Hadamard公式和引理3.3，得到 | ∂ u m ( t ， x ) ∂ x − w m ( t ， x ) | = | ∑ k = 1 n w k ( r k ( u ) − r k ( u k e k ) ) T e m | ≤ c ε 1 + γ ，         ∀ t ∈ [ 0 ， T 0 ] (3.29) 与(3.24)类似，应用引理3.2~3.3，并且由(3.23)，有 | w m ( t ， x m ( t ， x 0 ) ) − w m ( 0 ， x 0 ) | ≤ c ε min { 1 + γ − α ( 1 − μ ) ， 2 + α ( γ − 1 ) } ，       ∀ t ∈ [ 0 ， T 0 ] (3.30) 注意到(2.16)，由(3.29)~(3.30)，得 w m ( T 0 ， x m ( T 0 ， x 0 ) ) = ε l m ( 0 ) ψ ′ ( x 0 ) + O ( ε min { 1 + γ − α ( 1 − μ ) ， 2 + α ( γ − 1 ) } ) . (3.31) 对于适当小的 ε 0 > 0 ，有 w m ( T 0 ， x m ( T 0 ， x 0 ) ) ≥ 1 2 ε l m ( 0 ) ψ ′ ( x 0 ) . 应用引理3.3，易得 ∫ T 0 T ¯ | a 1 ( t ) | d t ≤ c ( U ∞ c ( T ¯ ) + W ∞ c ( T ¯ ) ) ( 1 + T ¯ ) 1 − μ ≤ c ε 1 − γ ( ρ + α ) ( 1 − μ ) . (3.32) ∫ T 0 T ¯ | a 2 ( t ) | d t ≤ c { W ∞ c ( T ¯ ) U ∞ ( T ¯ ) ( 1 + T ¯ ) 1 − μ + W ∞ c ( T ¯ ) U ∞ c ( T ¯ ) + ( W ∞ c ( T ¯ ) ) 2 } ≤ c ε 1 + γ − γ ( ρ + α ) ( 1 − μ ) . 然后，有 K = ∫ T 0 T ¯ | a 2 ( t ) | exp ( − ∫ T 0 t a 1 ( s ) d s ) d t ≤ ∫ T 0 T ¯ | a 2 ( t ) | d t exp ( ∫ T 0 T ¯ | a 1 ( s ) | d s ) ≤ c ε 1 + γ − γ ( ρ + α ) ( 1 − μ ) ， (3.33) 则 w m ( T 0 ， x m ( T 0 ， x 0 ) ) > 1 2 ε l m ( 0 ) ψ ′ ( x 0 ) > K . (3.34) 对常微分方程(3.21)具初值 t = T 0 : w m = w m ( T 0 ， x m ( T 0 ， x 0 ) ) 的Cauchy问题应用引理2.1，得到 ∫ T 0 T ¯ a 0 ( t ) exp ( − ∫ T 0 T ¯ a 1 ( s ) d s ) d t ≤ ∫ T 0 T ¯ a 0 ( t ) exp ( ∫ T 0 t a 1 ( s ) d s ) d t ≤ ( w m ( T 0 ， x m ( T 0 ， x 0 ) ) − K ) − 1 . 因此，由(3.28)，(3.31)~(3.34)，易得，存在不依赖于 ε 和T的正常数 C ¯ ，使得 T ˜ ( ε ) ≤ C ¯ ε − ( 1 + α ) ， 其中 C ¯ > [ a ( l m ( 0 ) ψ ( x 0 ) ) α l m ( 0 ) ψ ′ ( x 0 ) ] − 1 . 因此，当 ε 0 > 0 适当小时，成立 T ˜ ( ε ) ε γ ( ρ + α ) ≤ C ¯ ε γ ( ρ + α ) − ( 1 + α ) ≤ 1 ， 这就说明了假设(3.20)的合理性。 现在来证明(3.18)。只需证明对于任意给定的正常数 M < M 0 ，成立 T ˜ ( ε ) > M ε − ( 1 + α ) . (3.35) 为了证明这个，只需在任意给定的区域 D T 上建立有关Cauchy问题(1.1)和(1.4)的解的 C 1 范数的一致先验估计： 0 < T ≤ M ε − ( 1 + α ) . (3.36) 由引理3.2~3.3，有 ‖ u ( t ， x ) ‖ C 0 ( D T ) ≤ c ε γ ， ‖ w i ( t ， x ) ‖ C 0 ( D T \ D i T ) ≤ c ε ，       ( i = 1 ， ⋯ ， n ) 因此，下面估计 ‖ w i ( t ， x ) ‖ C 0 ( D i T ) ( i = 1 ， ⋯ ， n ) ，仅估计 ‖ w m ( t ， x ) ‖ C 0 ( D m T ) ，其他的情况可类似地估计出来。 沿着穿过x-轴上任意固定的点 ( 0 ， y ) 的m阶特征 x = x m ( t ， y ) ，仍然有(3.21)成立，其中 u = u ( t ， x m ( t ， y ) ) 。可假设 w m ( 0 ， y ) ≥ 0. (否则，用 − w 1 代替 w 1 )。 下面首先估计 w m ( 0 ， y ) ∫ 0 T a 0 + ( t ) d t ，其中T满足(3.36)。应用(3.27)并注意到(3.9)和(3.25)，由(3.22)得 a 0 ( t ) = a ( ε l m ( 0 ) ψ ( y ) ) α + ( γ m m m ( u ) − γ m m m ( u m e m ) ) + O ( ε ϖ ) . 那么，由(2.1)，(2.14)，(2.16)，得到 w m ( 0 ， y ) ∫ 0 T a 0 + ( t ) d t ≤ ( ( l m ( 0 ) ψ ′ ( y ) ) + ε + c ε 2 ) ∫ 0 T [ ( a ( l m ( 0 ) ψ ( y ) ) α ) + ε α         + | γ m m m ( u ) − γ m m m ( u m e m ) | + c ε ϖ ] d t . (3.37) 而且，正如上面指出的， x = x m ( t ， y ) 一定在一个独立于 ε 的有限时间 t 0 > 0 时进入 D m T 并在这之后就在其中。那么，对于适当小的 ε > 0 ，由(3.36)并应用Hadamard公式和引理3.2~3.3，有 w m ( 0 ， y ) ∫ 0 T a 0 + ( t ) d t ≤ ( a ( l m ( 0 ) ψ ( y ) ) α l m ( 0 ) ψ ′ ( y ) ) + M + c ε ϖ − α     + c ε { [ U ( D ± T ) + U ( D 0 T ) + U ∞ c ( T ) ] ( 1 + T ) 1 − μ + U ˜ 1 ( T ) } ≤ ( a ( l m ( 0 ) ψ ( y ) ) α l m ( 0 ) ψ ′ ( y ) ) + M + c ε ϖ − α . 而且，有 ∫ 0 T | a 1 ( t ) | d t ≤ c { [ U ( D ± T ) + U ( D 0 T ) + W ( D ± T ) + W ( D 0 T )     + U ∞ c ( T ) + W ∞ c ( T ) ] ( 1 + T ) 1 − μ + U ˜ 1 ( T ) + W ˜ 1 ( T ) } ≤ c ε γ ( 2 + α ) − ( 1 + α ) ， (3.38) ∫ 0 T | a 2 ( t ) | d t ≤ c { U ( D ± T ) W ( D ± T ) + U ( D 0 T ) W ( D 0 T ) + W ( D ± T ) 2 + W ( D 0 T ) 2     + W ∞ c ( T ) U ∞ c ( T ) + W ∞ c ( T ) U ∞ ( T ) ( 1 + T ) 1 − μ     + ( W ∞ c ( T ) ) 2 + U ∞ c ( T ) W ˜ 1 ( T ) + U ˜ 1 ( T ) W ∞ c ( T ) } ≤ c ε γ ( 2 + α ) − α ， (3.39) K = ∫ 0 T | a 2 ( t ) | exp ( − ∫ 0 t a 1 ( s ) d s ) d t ≤ c ε γ ( 2 + α ) − α ， (3.40) 及 ∫ 0 T | a 0 ( t ) | d t ≤ c ε − 1 . (3.41) 因此，由 M 0 的定义及(3.37)并应用(3.40)~(3.41)，对于适当小的 ε > 0 ，有 ( w m ( 0 ， y ) + K ) ∫ 0 T a 0 + ( t ) d t ≤ M M 0 + c ε ϖ − α + K ∫ 0 T | a 0 ( t ) | d t ≤ M M 0 + c ε min { ϖ − α ， γ ( 2 + α ) − ( 1 + α ) } ≤ 1. (3.42) 因此，由(3.38)~(3.42)，应用引理2.2，可以得到 | w m ( t ， x m ( t ， y ) ) | ≤ c ε ，         ∀ t ∈ [ 0 ， T ] 因为y是任意的，于是有 | w m ( t ， x ) | ≤ c ε ，         ∀ ( t ， x ) ∈ D T 那些 i = 1 ， ⋯ ， m − 1 ， m + 1 ， ⋯ ， n 的情形可以被类似的证明。 那么，注意到(2.2)，最终得到 ‖ u x ( t ， x ) ‖ c 0 ( D T ) ≤ c ε . 因此，对于任意正常数 M < M 0 ，Cauchy问题(1.1)和(1.4)在区域 D t ( 0 ≤ t ≤ M ε − ( 1 + α ) ) 上存在唯一解。这意味着当 ε > 0 适当小时，(3.35)成立，这就证明了(3.18)。定理1.1证毕。