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user: 3. 理论方法 根据Landau-de Gennes理论，用序参数张量Q来描述液晶分子在三维空间下的有序程度，Q在主轴系中的表达式为 [ 21 ] Q = ∑ i = 1 3 λ i e i ⊗ e i (1) 其中， λ i 和 e i 分别为Q的第i个本征值和本征矢。序参数张量Q是对称无迹的，满足 t r Q = 0 ， Q i j = Q j i 。当系统处于单轴态时，Q的三个本征值中有两个是相等的，序参数张量Q可以表示为 Q = S ( n ⊗ n − 1 3 I ) (2) 其中S为标量序参数， n 为液晶分子的指向矢，I表示单位张量。当序参数张量Q的三个本征值都不相等时，系统处于双轴态。双轴性的大小用双轴性参数 β 2 来确定， β 2 的表达式为 [ 22 ] β 2 = 1 − 6 [ t r ( Q 3 ) ] 2 [ t r ( Q 2 ) ] 3 (3) 其取值范围为 [ 0 ， 1 ] 。当 β 2 = 0 时，系统处于单轴态；当 β 2 = 1 时，系统具有最大的双轴性。 3.1. 自由能密度 液晶系统无外加电场作用时，Landau-de Gennes理论的总自由能密度表示为 [ 6 ] F ( Q ) = ∫ V ( f bulk + f elastic ) d V + ∫ s f surface d s (4) 其中 f bulk 为只依赖于序参数张量Q的本体自由能密度，其具体的表达式为 f bulk = A 2 t r Q 2 − B 3 t r Q 3 + C 4 ( t r Q 2 ) 2 (5) 其中A随温度T变化，表达式为： A = A 0 ( T − T * ) ， T * 为最低过冷温度， A 0 ，B和C为材料常数。设 T I N 为相变温度，当 T > T I N 时， S e q = 0 ，系统处于各向同性相；当 T < T I N 时， S e q = B 4 C ( 1 + 1 − 24 A C B 2 ) ，系统处于各向异性相。弹性自由能密度 f elastic 是由于液晶取向序的不均匀引起的，并且还依赖序参数张量Q的空间变化率。若只考虑Q及导数的二次项，则它的表达式为 [ 23 ][ 24 ] f elastic = 1 2 L 1 Q i j ， k Q i j ， k + 1 2 L 2 Q i j ， j Q i k ， k + 1 2 L 3 Q l k Q i j ， l Q i j ， k (6) 其中，系数 L i 与展曲( K 11 )，扭曲( K 22 )和弯曲( K 33 )弹性常数有关。为了简便，本文采用单一常数近似，将Frank理论中的三个弹性常数近似为K，即 K 11 = K 22 = K 33 = K ，则得到 L = L 1 = K / 2 S 2 ，则弹性自由能密度的表达式可以简化为 f elastic = 1 2 L 1 Q i j ， k Q i j ， k (7) 3.2. 边界条件 固定表面对液晶的锚定作用可通过序参数张量Q和锚定强度系数 W s 来描述。界面对液晶指向矢分布的影响是通过表面自由能反映的，而锚定能代表的是表面自由能中的各向异性部分，同时也反映了基板对液晶分子锚定作用的强弱。 f s 表示表面自由能密度 [ 25 ]，其表达式为 f s = 1 2 W s t r ( Q − Q s ) 2 (8) 其中， W s = W / S e q 为锚定强度系数，而W是通过Frank弹性理论得到的， Q s 为基板上易取向方向的序参数张量 [ 26 ]。 弱锚泊边界条件为： ∂ f s ∂ Q i j + ∂ f ∂ Q i j ， k v → k + λ 0 δ i j = 0 (9) 其中， v → k 为垂直于基板的外法线方向的单位矢量。 3.3. 无量纲化 根据Karlj等人 [ 6 ]提出的约化方法对系统进行无量纲化处理，引入以下无量纲化参数： f ˜ = f / [ B 4 / ( 4 C ) 3 ] ， Q ˜ i j = Q i j / q 0 ， W ˜ s = W s / q 0 B ξ ， ρ ˜ = ρ / ξ ， φ ˜ = φ / ξ 和 z ˜ = z / ξ ，其中 q 0 : = S e q ( T * * ) = B / 4 C 是最高过热温度下的序参数， ξ = L 1 / B q 0 = 4 C L 1 / B 2 是向列相相干长度，用来约化长度变量。则约化后的本体自由能密度为： f ˜ bulk = A ˜ 12 t r Q ˜ 2 − 1 3 t r Q ˜ 3 + 1 16 ( t r Q ˜ 2 ) 2 = A ˜ 12 ( Q ˜ 2 ρ ρ + Q ˜ 2 φ φ + Q ˜ 2 z z + 2 Q ˜ 2 ρ φ + 2 Q ˜ 2 ρ z + 2 Q ˜ 2 φ z ) − 1 3 [ ( Q ˜ 2 ) ρ ρ Q ˜ ρ ρ + ( Q ˜ 2 ) φ φ Q ˜ φ φ     + ( Q ˜ 2 ) z z Q ˜ z z + 2 ( Q ˜ 2 ) ρ φ Q ˜ ρ φ + 2 ( Q ˜ 2 ) ρ z Q ˜ ρ z + 2 ( Q ˜ 2 ) φ z Q ˜ φ z ]     + 1 16 ( Q ˜ 2 ρ ρ + Q ˜ 2 φ φ + Q ˜ 2 z z + 2 Q ˜ 2 ρ φ + 2 Q ˜ 2 ρ z + 2 Q ˜ 2 φ z ) 2 (10) 其中， A ˜ = 24 A C / B 2 是约化温度。约化后的弹性自由能密度为： f ˜ elastic = 1 2 | ∇ ˜ Q ˜ | 2 = 1 2 [ Q ˜ 2 ρ ρ ， ρ ˜ + Q ˜ 2 ρ ρ ， z ˜ + Q ˜ 2 φ φ ， ρ ˜ + Q ˜ 2 φ φ ， z ˜ + Q ˜ 2 z z ， ρ ˜ + Q ˜ 2 z z ， z ˜     + 2 ( Q ˜ 2 ρ φ ， ρ ˜ + Q ˜ 2 ρ φ ， z ˜ ) + 2 ( Q ˜ 2 ρ z ， ρ ˜ + Q ˜ 2 ρ z ， z ˜ ) + 2 ( Q ˜ 2 φ z ， ρ ˜ + Q ˜ 2 φ z ， z ˜ )     + 2 ρ ˜ 2 ( Q ˜ 2 ρ ρ + Q ˜ 2 φ φ + 4 Q ˜ 2 ρ φ + Q ˜ 2 ρ z + Q ˜ 2 φ z − 2 Q ˜ ρ ρ Q ˜ φ φ ) ] (11) 约化后的表面锚定能密度为： f ˜ s = 1 2 W ˜ s ξ t r ( Q ˜ − Q ˜ s ) 2 = 1 2 W ˜ s ξ [ Q ˜ 2 ρ ρ + Q ˜ 2 φ φ + Q ˜ 2 z z + 2 Q ˜ 2 ρ φ + 2 Q ˜ 2 ρ z + 2 Q ˜ 2 φ z     + Q ˜ 2 s ρ ρ + Q ˜ 2 s φ φ + Q ˜ 2 s z z + 2 Q ˜ 2 s ρ φ + 2 Q ˜ 2 s ρ z + 2 Q ˜ 2 s φ z     − 2 ( Q ˜ 2 ρ ρ Q ˜ 2 s ρ ρ + Q ˜ 2 φ φ Q ˜ 2 s φ φ + Q ˜ 2 z z Q ˜ 2 s z z + 2 Q ˜ 2 ρ φ Q ˜ 2 s ρ φ + 2 Q ˜ 2 ρ z Q ˜ 2 s ρ z + 2 Q ˜ 2 φ z Q ˜ 2 s φ z ) ] (12) 则约化后的弱锚定边界条件为 ∂ f ˜ s ∂ Q ˜ i j + ξ ∂ f ˜ ∂ Q ˜ i j ， k ˜ v k + λ 0 δ i j = 0 (13) 3.4. 动力学求解 基于之前的研究 [ 10 ][ 27 ]，可得序参数张量Q的动力学方程为： ∂ Q ∂ t = Γ [ − δ f δ Q + 1 3 t r ( δ f δ Q ) I ] (14) 其中系数 Γ = 6 D * / [ 1 − 3 t r ( Q 2 ) ] 2 ， D * 是向列相液晶的转动扩散系数。对动力学方程进行约化 ∂ Q ˜ ∂ t = Γ ˜ [ − δ f ˜ δ Q ˜ + 1 3 t r ( δ f ˜ δ Q ˜ ) I ] (15) 其中 Γ ˜ = Γ × ( B q 0 ) 。使用有限差分迭代法 [ 10 ]，将上式离散成差分形式 [ Q ˜ ( t + Δ t ) − Q ˜ ( t ) ] / Δ t = − Γ ˜ [ − δ f ˜ δ Q ˜ + 1 3 t r ( δ f ˜ δ Q ˜ ) I ] (16) 其中， δ f ˜ δ Q ˜ = δ f ˜ δ Q ˜ i j − ∂ ∂ ρ ˜ δ f ˜ δ Q ˜ i j ， ρ ˜ − 1 ρ ˜ δ f ˜ δ Q ˜ i j ， ρ ˜ − ∂ ∂ z ˜ δ f ˜ δ Q ˜ i j ， z ˜ (17)