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user: 3. 具有随机发生非线性的递推滤波器设计 首先，介绍如下几个引理： 引理1 对于两个实列向量 a ， b ∈ R n ，则下面的不等式成立： a b T + b a T ≤ ε a a T + ε − 1 b b T (6) 其中 ε 是已知的正数。 引理2针对适当维数的矩阵 A ， H ， E ， F ，F满足 F F T < I ，令X是一个正定对称矩阵，且 γ 是一个正数，满足 γ − 1 I − E X E T > 0 ， 则如下不等式成立 ( A + H F E ) X ( A + H F E ) T ≤ A ( X − 1 − γ E T E ) − 1 A T + γ − 1 H H T (7) 为了书写方便引入如下记号： x ˜ k + 1 | k = x k + 1 − x ^ k + 1 | k ，为一步预测误差， x ˜ k + 1 | k + 1 = x k + 1 − x ^ k + 1 | k + 1 ，为滤波误差， 从(1)~(4)可得 x ˜ k + 1 | k = A k x ˜ k | k + ζ ¯ k A ¯ k x ˜ k | k + ζ ¯ k A ¯ k x k + α ˜ k f ( x k )     + α ¯ k [ f ( x k ) − f ( x ^ k ) ] + B k ω k (8) 同理得到滤波误差 x ˜ k + 1 | k + 1 = x k + 1 − x ^ k + 1 | k + 1 = x ˜ k + 1 | k − ( K k + 1 + Δ K k + 1 ) [ h ( x k + 1 ) + v k + 1 − h ( x ^ k + 1 | k ) ] = x ˜ k + 1 | k − ( K k + 1 + Δ K k + 1 ) [ h ( x k + 1 ) − h ( x ^ k + 1 | k ) ] − ( K k + 1 + Δ K k + 1 ) v k + 1 (9) 引理3 系统状态的协方差矩阵的上界 X k + 1 = E { x k + 1 x k + T 1 } 表达式如下 X k + 1 ≤ ( 1 + ε 1 + ε 2 ) A k X k A k Τ + ( 1 + ε 1 − 1 + ε 2 ) ξ ¯ k A ¯ k X k A ¯ Τ k + ( 1 + ε 2 − 1 + ε 3 − 1 ) α ¯ k l 2 t r ( X k ) I + B k Q k B k Τ : = X ¯ k + 1 (10) 证明： X k + 1 = E { x k + 1 x k + 1 T } = A k X k A k T + ξ ¯ A k X k A ¯ k T + α ¯ k E { f ( x k ) f T ( x k ) }     + B k Q B k T + H 1 + H 1 T + H 2 + H 2 T + H 3 + H 3 T 其中 H 1 = ξ k A k X k A ¯ Τ k H 2 = α k A k E { x k f Τ ( x k ) } H 3 = ξ k ∂ k A ¯ k E { x k f Τ ( x k ) } (11) 应用引理1可得 H 1 + H 1 Τ ≤ ε 1 A k X k A k Τ + ε 1 − 1 ξ ¯ k A ¯ k X k A ¯ Τ k H 2 + H 2 Τ ≤ ε 2 A k X k A k Τ + ε 2 − 1 α ¯ k E { f ( x k ) f Τ ( x k ) } H 3 + H 3 Τ ≤ ε 3 ξ ¯ k A ¯ k X k A ¯ Τ k + ε 3 − 1 α ¯ k E { f ( x k ) f Τ ( x k ) } 其中 ε i ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 为正常数，则有 X k + 1 ≤ ( 1 + ε 1 + ε 2 ) A k X k A k Τ + ( 1 + ε 1 − 1 + ε 2 ) ξ ¯ k A ¯ k X k A ¯ Τ k     + ( 1 + ε 2 − 1 + ε 3 − 1 ) α ¯ k E { f ( x k ) f Τ ( x k ) } + B k Q k B k Τ (12) 根据不等式性质得到 f ( x k ) f Τ ( x k ) ≤ ‖ f ( x k ) ‖ 2 I = f ( x k ) f Τ ( x k ) I E { f ( x k ) f Τ ( x k ) } ≤ l 2 E { x k x k Τ } = l 2 t r ( X k ) (13) 将上式代入(12)，得到系统上界协方差矩阵的表达式 X k + 1 ≤ ( 1 + ε 1 + ε 2 ) A k X k A k Τ + ( 1 + ε 1 − 1 + ε 2 ) ξ ¯ k A ¯ k X k A ¯ Τ k     + ( 1 + ε 2 − 1 + ε 3 − 1 ) α ¯ k l 2 t r ( X k ) I + B k Q k B k Τ (14) 定理1 一步预测误差协方差 P k + 1 | k 的递推表达式如下： P k + 1 | k = A k P k | k A k Τ + ξ ¯ k 2 A ¯ k P k | k A ¯ Τ k + ξ ¯ 2 k ( 1 − ξ ¯ k ) A ¯ k E { x k x k Τ } A ¯ Τ + α ¯ k ( 1 − α ¯ k ) E { f ( x k ) f Τ ( x k ) } + α ¯ k 2 E { [ f ( x k ) − f ( x ^ k ) ] [ f ( x k ) − f ( x ^ k ) ] Τ } + B k Q k B k Τ + L + L Τ (15) 其中 L = E { ( A k x ˜ k | k + ξ ¯ k A ¯ k x ˜ k | k ) α ¯ k [ f ( x k ) − f ( x ^ k ) ] Τ } P k | k = E { x ˜ k | k x ˜ T k | k } 为滤波误差协方差。 证明： 根据一步预测误差表达式(8)，很容易得到定理1，故而证明从略。 定理2 滤波误差协方差 P k + 1 | k + 1 的递推表达式如下： P k + 1 | k + 1 = E { x ˜ k + 1 | k + 1 x ˜ k + 1 | k + 1 Τ } = P k + 1 | k + ( K k + 1 + Δ K k + 1 ) E { [ h ( x k + 1 ) − h ( x ^ k + 1 | k ) ]     × [ h ( x k + 1 ) − h ( x ^ k + 1 | k ) ] Τ } × ( K k + 1 + Δ K k + 1 ) Τ     + ( K k + 1 + Δ K k + 1 ) R k + 1 ( K k + 1 + Δ K k + 1 ) Τ + G + G Τ (16) 其中 G = E { x ˜ k + 1 | k [ h ( x k + 1 ) − h ( x ^ k + 1 | k ) ] Τ ( K k + 1 + Δ K k + 1 ) Τ } 证明： 根据滤波误差表达式(9)，很容易得到定理2，故而证明从略。 定理3 考虑定理1和定理2给出的一步预测误差协方差和滤波误差协方差。令 γ 1 ， γ 2 ， η 1 ， η 2 是大于零的数，如果下述黎卡提型差分方程 Σ k + 1 | k = ( 1 + η 1 ) ( A k + ξ ¯ k A ¯ k ) Σ k | k ( A k + ξ ¯ k A ¯ k ) Τ     + ξ ¯ k ( 1 − ξ ¯ k ) A ¯ k X k + 1 A ¯ k Τ + α ¯ k ( 1 − α ¯ k ) l 2 t r ( X ¯ k ) I     + ( 1 + η 1 − 1 ) α ¯ k 2 l 2 t r ( Σ k | k ) I + B k Q k B k Τ Σ k + 1 | k + 1 = ( 1 + η 2 ) Σ k + 1 | k + ( 1 + η 2 − 1 ) l 2 t r ( Σ k + 1 | k )     × [ K k + 1 ( I − γ 1 N k + 1 Τ N k + 1 ) − 1 K k + 1 Τ + γ 1 − 1 M k + 1 M k + 1 Τ ]     + K k + 1 ( R k + 1 − 1 − γ 2 N k + 1 Τ N k + 1 ) − 1 K k + 1 Τ + γ 2 − 1 M k + 1 M k + 1 Τ (17) 在初始条件下 ∑ 0 | 0 = P 0 | 0 > 0 有正解 ∑ k + 1 | k 和 ∑ k + 1 | k + 1 ，并满足以下两个约束条件： γ 1 − 1 I − N k + 1 N k + 1 Τ > 0 γ 2 − 1 I − N k + 1 R k + 1 N k + 1 Τ > 0 则矩阵 ∑ k + 1 | k + 1 是 P k + 1 | k + 1 的上界。进一步而言，若滤波器增益采取如下形式： K k + 1 = ( 1 + η 2 − 1 ) l 2 t r ( ∑ k + 1 | k ) { ( I − γ 1 N k + 1 Τ N k + 1 ) − 1 + ( R k + 1 − 1 − γ 2 N k + 1 Τ N k + 1 ) − 1 } − 1 (18) 那么可以保证上界 Σ k + 1 | k + 1 的迹达到最小。 证明： 考虑到定理1中的交叉项L，应用引理1可得 L + L Τ ≤ η 1 ( A k P k | k A k Τ + ξ k 2 A ¯ k P k | k A ¯ Τ k )     + η 1 − 1 α ¯ k 2 E { [ f ( x k ) − f ( x ^ k ) ] [ f ( x k ) − f ( x ^ k ) ] Τ } (19) 其中 η 1 是一个大于零的标量。将上述不等式代入(15)可得 P k + 1 | k ≤ ( 1 + η 1 ) ( A k + ξ ¯ k A ¯ k ) P k | k ( A k + ξ ¯ k A ¯ k ) Τ     + ξ ¯ k ( 1 − ξ ¯ k ) A ¯ k E { x k x k Τ } A ¯ k Τ + α ¯ k ( 1 − α ¯ k ) E { f ( x k ) f Τ ( x k ) }     + ( 1 + η 1 − 1 ) α ¯ k 2 E { [ f ( x k ) − f ( x ^ k ) ] × [ f ( x k ) − f ( x ^ k ) ] Τ } + B k Q k B k Τ (20) 由于 ( f ( x k ) − f ( x ^ k ) ) ( f ( x k ) − f ( x ^ k ) ) Τ ≤ ‖ f ( x k ) − f ( x ^ k ) ‖ 2 I = f ( x k ) − f ( x ^ k ) Τ f ( x k ) − f ( x ^ k ) I (21) 故而 E { [ f ( x k ) − f ( x ^ k ) ] Τ [ f ( x k ) − f ( x ^ k ) ] } ≤ l 2 E { x ˜ k Τ x ˜ k } = l 2 t r ( P k | k ) (22) 将公式(22)代入(20)，可得 P k + 1 | k ≤ ( 1 + η 1 ) ( A k + ξ ¯ k A ¯ k ) P k | k ( A k + ξ ¯ k A ¯ k ) Τ     + ξ ¯ k ( 1 − ξ ¯ k ) A ¯ k X k + 1 A ¯ k Τ + α ¯ k ( 1 − α ¯ k ) l 2 t r ( X k ) I     + ( 1 + η 1 − 1 ) α ¯ k 2 l 2 t r ( P k | k ) I + B k Q k B k Τ 同理可得 G + G T ≤ η 2 P k + 1 | k + η 2 − 1 ( K k + 1 + Δ K k + 1 ) × E { [ h ( x k + 1 ) − h ( x ^ k + 1 | k ) ]     × [ h ( x k + 1 ) − h ( x ^ k + 1 ) ] T } ( K k + 1 + Δ K k + 1 ) T (23) 其中 η 2 > 0 是一个标量。将上式带入到(16)有 P k + 1 | k + 1 ≤ ( 1 + η 2 ) P k + 1 | k + ( 1 + η 2 − 1 ) ( K k + 1 + Δ K k + 1 )     × E { [ h ( x k + 1 ) − h ( x ^ k + 1 ) ] [ h ( x k + 1 ) − h ( x ^ k + 1 ) ] Τ }     × ( K k + 1 + Δ K k + 1 ) Τ + ( K k + 1 + Δ K k + 1 ) R k + 1 ( K k + 1 + Δ K k + 1 ) Τ (24) 接下来应用引理2， ( K k + 1 + Δ K k + 1 ) E { [ h ( x k + 1 ) − h ( x ^ k + 1 ) ]   × [ h ( x k + 1 ) − h ( x ^ k + 1 ) Τ ] } ( K k + 1 + Δ K k + 1 ) Τ ≤ l 2 t r ( P k | k ) ( K k + 1 + Δ K k + 1 ) ( K k + 1 + Δ K k + 1 ) Τ ≤ l 2 t r ( P k + 1 | k ) [ K k + 1 ( I − γ 1 N k + 1 Τ N ) − 1 K k + 1 Τ + γ 1 − 1 M k + 1 M k + 1 Τ ] (25) ( K k + 1 + Δ K k + 1 ) R k + 1 ( K k + 1 + Δ K k + 1 ) Τ ≤ K k + 1 ( R k + 1 − 1 − γ 2 N k + 1 Τ N k + 1 ) − 1 K k + 1 Τ + γ 2 − 1 M k + 1 M k + 1 Τ (26) 将上面两个不等式代入(24) P k + 1 | k + 1 ≤ ( 1 + η 2 ) P k + 1 | k + ( 1 + η 2 − 1 ) l 2 t r ( P k + 1 | k )     × [ K k + 1 ( I − γ 1 N k + 1 Τ N k + 1 ) − 1 K k + 1 Τ + γ 1 − 1 M k + 1 M k + 1 Τ ]     + K k + 1 ( R k + 1 − 1 − γ 2 N k + 1 Τ N k + 1 ) − 1 K k + 1 Τ + γ 2 − 1 M k + 1 M k + 1 Τ (27) 最后，证明由公式(18)给出的滤波器增益是最优的。对(17)的迹关于滤波器增益 K k + 1 求偏导，并且令偏导数等于零，得到滤波器增益 K k + 1 如下所示 K k + 1 = ( 1 + η 2 − 1 ) l 2 t r ( ∑ k + 1 | k ) { ( I − γ 1 N k + 1 Τ N k + 1 ) − 1 + ( R k + 1 − 1 − γ 2 N k + 1 Τ N k + 1 ) − 1 } − 1 (28) 证毕。