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user: 3. 模型求解 在本节里，我们将讨论上述带有基数约束和半连续变量的投资组合模型的一种新的更为有效的0-1二次混合整数规划形式。 对于含半连续变量的二次规划问题，文献中 [ 6 ] 比较常见的方式是引入0-1变量，将其转化为等价的混合整数二次规划问题。通过引入0-1变量 y i 来替代上文的半连续变量 x i ( i = 1 ， ⋯ ， n )，上述均值–方差模型(P)可以等价转化为以下形式： ( P ) : min q ( x ) = x T Q x s .t .   μ T x ≥ ρ     ( 1 ) e T x = 1       ( 2 ) e T y ≤ K       ( 3 ) a i y i ≤ x i ≤ b i y i ， i = 1 ， ⋯ ， n   ( 4 ) y ∈ { 0 ， 1 } n     (5) 由于基数约束的引入，问题(PC)是NP-难的。尽管现有的整数规划软件CPLEX可以通过分支定界法来求解线性、非线性等整数规划问题，基于实际投资活动效率优先原则，须设计对应的算法来保证其求解能力。由于分支定界法的求解效率取决于它的连续松弛下界，连续松弛下界越高，分支定界法求解的越快。因此本文旨在寻找原问题(PC)的一个等价形式，通过求解新等价形式的最优参数来提升原问题的连续松弛下界，进而保证分支定界法算法效率的提升。Billionnet和Ellouni在论文 [ 7 ] 中提到了一种提升连续松弛下界的新思路，方法是在原目标函数上加了两个在可行域内等于零的函数，分别是 ∑ i = 1 n σ i ( y i 2 − y i ) 和 ∑ i = 1 n λ i ( x i y i − x i ) ，继而通过选取合适的参数 σ 和 λ 来使得连续松弛的下界得以提升。受其启发，本文借鉴使用论文 [ 7 ] 中添至原目标函数的两个函数 ∑ i = 1 n σ i ( y i 2 − y i ) 和 ∑ i = 1 n λ i ( x i y i − x i ) ，将之合并作为函数 g σ ， λ ，并在此基础上创新性地添加函数 f P ， N 。 对于 g σ ， λ 、 f P ， N 的构造，须使得对于任意满足如下两个条件： a i y i ≤ x i ≤ b i y i ， y i ∈ { 0 ， 1 } 的 x i ， y i ，总有 g σ ， λ = 0 和 f P ， N = 0 。令 σ = ( σ 1 ， ⋯ ， σ n ) T ∈ R n ， λ = ( λ 1 ， ⋯ ， λ n ) T ∈ R n ， ( P ， N ) ∈ S n × S n ， P i j ≥ 0 ， N i j ≥ 0 。 g σ ， λ ， f P ， N 分别表示为如下形式： g σ ， λ = ∑ i = 1 n σ i ( y i 2 − y i ) + ∑ i = 1 n λ i ( x i y i − x i ) f P ， N = ∑ i ， j = 1 n P i j [ − y i y j + max ( 0 ， y i + y j − 1 ) ] + ∑ i ， j = 1 n N i j [ y i y j − min ( y i ， y j ) ] 由于 g σ ， λ = 0 ， f P ， N = 0 ，故而可以把 g σ ， λ 、 f P ， N 加到原目标函数上去，从而形成问题(PC)的如下等价形式： P ( σ ， λ ， P ， N ) min q σ ， λ ， P ， N ( x ， y ) = q ( x ， y ) + g σ ， λ + f P ， N                             ( 6 )     s .t .     ( 1 ) ， ( 2 ) ， ( 3 ) ， ( 4 ) ， (5) 对于等价形式 P ( σ ， λ ， P ， N ) ，我们可以通过进一步适当添加新的二次有效不等式来提升连续松弛的下界，从而提高求解SDP松弛求解的效率。Anstreicher [ 8 ] 提出了一种问题(P)的SDP + RLT松弛方法，方法是在原SDP松弛上通过添加新的RLT约束： X i j ≥ max { 0 ， x i + x j − 1 } ， X i j ≤ min { − x i ， − x j } u i j ， v i j ( i ， j = 1 ， ⋯ ， n ) 。受其启发，本文引入新变量 u i j ， v i j ( i ， j = 1 ， ⋯ ， n ) 。令 u i j ≥ max { 0 ， y i + y j − 1 } ， v i j ≥ max { − y i ， − y j } ，因此问题 P ( σ ， λ ， P ， N ) 可以等价表述为： P ( σ ， λ ， P ， N ) min q σ ， λ ， P ， N ( x ， y ) = q ( x ， y ) + g σ ， λ + ∑ i ， j = 1 n P i j [ − y i y j + u i j ] + ∑ i ， j = 1 n N i j [ y i y j + v i j ] s .t . μ T x ≥ ρ ， e T x = 1 ， e T y ≤ K a i y i ≤ x i ≤ b i y i ， i = 1 ， ⋯ ， n ， y i ∈ { 0 ， 1 } u i j ≥ 0 ， u i j ≥ y i + y j − 1 ， i ， j = 1 ， ⋯ ， n v i j ≥ − y i ， v i j ≥ − y j ， i ， j = 1 ， ⋯ ， n 其中 ( u ， v ) ∈ R n × n × R n × n 。 回顾一下，我们通过将 q ( x ， y ) 转化为凸函数 q σ ， λ ， P ， N ( x ， y ) ，使得我们可以通过基于连续松弛的分支定界法来求解等价问题 P ( σ ， λ ， P ， N ) 。由于分支定界法非常依赖于搜索树根节点的下界，而这个下界等同于在一定的多项式时间内可解的问题 P ( σ ， λ ， P ， N ) 的连续松弛的最优值。我们令 P ( σ ， λ ， P ， N ) 来表示 P ( σ ， λ ， P ， N ) 将 y ∈ { 0 ， 1 } n 转化为 y ∈ [ 0 ， 1 ] n 的连续松弛，令 v ( P ( σ ， λ ， P ， N ) ) 来表示 P ( σ ， λ ， P ， N ) 的值。故而我们接下来要确认参数 σ * ， λ * ， P * ， N * ，使得 P ( σ * ， λ * ， P * ， N * ) 的连续松弛的值尽可能最优。更准确而言，我们将要求解以下问题： ( CP ) max v ( P ( σ ， λ ， P ， N ) ) s .t .   ( σ ， λ ) ∈ R n × R n ， ( P ， N ) ∈ S n × S n ， P i j ≥ 0 ， N i j ≥ 0 ， i ， j = 1 ， ⋯ ， n                               ( 7 ) ( Q 1 2 diag ( λ ) 1 2 diag ( λ ) diag ( σ ) + N − P ) ≽ 0                                   (8) 在接下来的定理一中，我们会说明问题(CP)等同于问题(P)的半定松弛的SDP对偶形式。因此，问题(CP)的最优解 σ * ， λ * ， P * ， N * 可以通过求解(SDP)在多项式时间内得到。 定理一：问题 v ( P ( σ ， λ ， P ， N ) ) 等于以下半正定规划问题： ( SDP ) max τ s .t . ( Q 1 2 diag ( λ ) 1 2 ( − λ + η e + β − α ) 1 2 diag ( λ ) diag ( σ ) + N − P 1 2 O 1 2 ( − λ + η e + β − α ) 1 2 O T − η − K s − e T π − e T H e − τ ) ≽ 0 κ ∈ R + ， η ∈ R + ， s ∈ R + ( α ， β ， ζ ， π ) ∈ R + n × R + n × R + n × R + n ( H ， T ， M ， R ) ∈ S n × S n × S n × S n H i j ≥ 0 ， T i j ≥ 0 ， M i j ≥ 0 ， R i j ≥ 0 ， i ， j = 1 ， ⋯ ， n P = H + T N = M + R 其中 O = − σ + s e + π + diag ( a ) α − diag ( b ) β + ∑ i ， j = 1 n [ ( H i j − M i j ) e i + ( H i j − R i j ) e j ] 设 ( σ * ， λ * ， P * ， N * ， α * ， β * ， ζ * ， π * ， H * ， T * ， M * ， R * ) 为(SDP)的最优解，则 ( σ * ， λ * ， P * ， N * ) 为(CP)的最优解，且 v ( SDP ) = v ( CP ) = v ( P ) 。 用 L ( x ， y ， u ， v ) 来表示 P ( σ ， λ ， P ， N ) 的拉格朗日对偶形式，对偶系数的范围分别为： ( κ ， η ， s ) ∈ R + × R + × R + ， ( α ， β ， ζ ， π ) ∈ R + n × R + n × R + n × R + n ， ( H ， T ， M ， R ) ∈ S n × S n × S n × S n 。用 ω 表示 κ ， η ， s ， α ， β ， ζ ， π ， H ， T ， M ， R 组成的向量，故而 P ( σ ， λ ， P ， N ) 的拉格朗日对偶问题可以表示为： max { min L ( x ， y ， u ， v ) | ω ≥ 0 } 因此，拉格朗日对偶 L ( x ， y ， u ， v ) 可以表示为： L ( x ， y ， u ， v ) = x T Q x + ∑ i = 1 n σ i ( y i 2 − y i ) + ∑ i = 1 n λ i x i ( y i − 1 ) + ∑ i ， j = 1 n ( N i j − P i j ) y i y j                                     + ∑ i ， j = 1 n ( P i j u i j + N i j v i j ) − κ ( μ T x − ρ ) + η ( e T x − 1 ) + s ( e T y − K )                                     + ∑ i = 1 n α i ( a i y i − x i ) + ∑ i = 1 n β i ( x i − b i y i ) − ξ T y + π T ( y − e )                                     + ∑ i ， j = 1 n H i j ( y i + y j − 1 − u i j ) − ∑ i ， j = 1 n T i j u i j + ∑ i = 1 n M i j ( − y i − v i j ) + ∑ i ， j = 1 n R i j ( − y i − v i j ) = L 1 ( x ， y ) + L 2 ( u ， v ) = { L 1 ( x ， y )           当 P − H − K = 0 且 N − M − R = 0 − ∞                                                   其 他 其中： L 1 ( x ， y ) = ( x T y T ) ( Q 1 2 diag ( λ ) 1 2 diag ( λ ) diag ( σ ) + N − P ) ( x y ) + ( − λ − κ μ + η e − α + β ) T x + { − σ + s e − ζ + π + diag ( a ) α − diag ( b ) β + ∑ i ， j = 1 n [ ( H i j − M i j ) e i + ( H i j − R i j ) e j ] } T y + ρ κ − η − K s − e T π − e T H e L 2 ( u ， v ) = tr [ ( P − H − K ) u T ] + tr [ ( N − M − R ) v T ] 运用Shor的半定松弛框架(见Ben-Tal A第3.4章所著)： ( Q 1 2 diag ( λ ) 1 2 ( − λ + η e + β − α ) 1 2 diag ( λ ) diag ( σ ) + N − P 1 2 O 1 2 ( − λ + η e + β − α ) 1 2 O T − η − K s − e T π − e T H e − τ ) ≽ 0 其中： O = − σ + s e + π + diag ( a ) α − diag ( b ) β + ∑ i ， j = 1 n [ ( H i j − M i j ) e i + ( H i j − R i j ) e j ]