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user: 2. 带有可加测量误差的部分线性变系数模型 2.1. 纠偏轮廓最小二乘估计 首先这里给出非参数部分的协变量带有可加型测量误差的部分线性变系数模型的形式 { Y = X T β + Z T α ( U ) + ε ， W = Z + e ， (2.1) 模型在模型(2.1)的基础之上考虑了非参数部分协变量Z带有测量误差的情况，并且 W = ( W 1 ， W 2 ， ⋯ ， W p ) T 代表Z的观测值，即在此模型当中协变量是Z不能直接观测到的，能直接观测到的是带有测量误差的W，这里e表示测量误差，均值为零，协方差矩阵 Σ e 。在不考虑测量误差时即对模型(1.1)进行参数估计，这里我们假定 β 已知，于未知函数系数 α ( U ) ，假设 α ( U ) 在u上有连续的二阶导数，在当 U i 在u的一个小邻域内时，基于泰勒展开式，可以用一个线性函数局部逼近 α ( U i ) 得， α j ( U i ) ≈ α j ( u ) + α ′ j ( u ) ( U i − u ) ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， q . 那么根据profile最小二乘估计可以得到函数系数向量计为 α ^ ( U ) = ( I q ， 0 q × q ) ( D u T ω u D u ) − 1 D u T ω u ( Y − X β ) (2.2) 其中， D u = ( Z 1 T U 1 − u h Z 1 T Z 2 T U 2 − u h Z 2 T ⋮ ⋮ Z n T U n − u h Z n T ) ， ω u = diag ( K h ( U 1 − u ) ， ⋯ ， K h ( U n − u ) ) ， K h ( ⋅ ) = K ( ⋅ / h ) / h ，h为带宽， K ( ⋅ ) 为核函数。 如果忽略误差直接用W代替Z那么得到的未知参数以及函数系数估计都是不相合的。为了消除测量误差而带来的估计量的偏差，我们参考文献 [ 8 ] 引入校正分量 Ω ( U ) = ∑ i = 1 n Σ e ⊗ ( 1 U i − U h U i − U h ( U i − U h ) 2 ) K h ( U i − U ) ， 其中 ⊗ 表示Kronecker乘积。对(2.2)式进行局部纠偏可以得到纠偏后的函数系数估式 α ^ ( U ) = ( I q ， 0 q × q ) ( W u T ω u W u − Ω ) − 1 W u T ω u ( Y − X β ) (2.3) 其中， W u = ( W 1 T U 1 − u h W 1 T W 2 T U 2 − u h W 2 T ⋮ ⋮ W n T U n − u h W n T ) . 用 α ^ 1 ( U ) 代替模型(2.1)中的 α ( U ) 可得 Y = X T β + W T α ^ 1 ( U ) + ε 。那么 β 的profile最小二乘估计为 β ^ P 1 = arg min β ∈ R P ∑ i = 1 n [ { Y i − X i T β − W i T β } 2 − α ^ 1 T ( U i ) Σ e α ^ 1 ( U i ) ] = arg min β ∈ R P ∑ i = 1 n [ { Y ˜ i * − X ˜ i * T } 2 − α ^ 1 T ( U i ) Σ e α ^ 1 ( U i ) ] (2.4) 对于上式右端关于求偏导并令求导后的式子0。记 S 1 为局部线性回归的光滑矩阵 S 1 = ( ( W 1 T ， 0 1 × q ) ( W U 1 T ω U 1 W U 1 − Ω ) − 1 W U 1 T ω U 1 ⋮ ( W n T ， 0 1 × q ) ( W U n T ω U n W U n − Ω ) − 1 W U n T ω U n ) ， Q i = ( I q ， 0 q ) ( W u T ω u W u − Ω ) − 1 W u T ω u ， Y ˜ * = ( I − S 1 ) Y ， X ˜ * = ( I − S 1 ) X ，这里需要注意到 α ^ ( U i ) = Q i ( Y − X β ) 是关于 β 的函数，求导时不能忽略，则求导可以得到以下估计方程 ∑ i = 1 n [ X ˜ i * ( Y ˜ i * − X ˜ i * T β ) − X ˜ i * T Q i T Σ e Q i ( Y − X β ) ] = 0 ， (2.5) 即 ( X ˜ * Y ˜ * − X ˜ * T X ˜ * β ) − X T Q T Σ e Q Y + X T Q T Σ e Q β = 0 . 则由上式可以得到的纠偏profile最小二乘估计为 β ^ P 1 = ( X ˜ * T X ˜ * − X T Q T Σ e Q X ) − 1 ( X ˜ * T Y ˜ * − X T Q T Σ e Q Y ) . 将 β 的估计 β ^ P 1 代入 α ^ 1 ( U ) 可以定义函数系数向量估计 α ^ 1 ( U ) = ( I q ， 0 q ) ( W u T ω u W u − Ω ) − 1 W u T ω u ( Y − X β ^ ) . 2.2. 数值模拟 本模在上一节中对非参数部分的协变量带有可加型测量误差的部分线性变系数模型利用纠偏的最小二乘法进对未知参数以及函数系数进行了估计，得到了估计的统计量，那么本节将通过数字模拟实验研究2.1节中所得到的未知参数以及函数系数的估计的统计量在有限样本下的表现，探究考虑如下模型： { Y = 2 X + sin ( 2 π U ) Z 1 + 0.75 U 3 Z 2 + ε ， W 1 = Z 1 + e 1 ， W 2 = Z 2 + e 2 ， 其中 X i ~ N ( 1 ， 1 ) ， Z i 1 ~ N ( 0 ， 1 ) ， Z i 2 ~ N ( 1 ， 2 ) ， U i ~ U ( 0 ， 1 ) ， ε i ~ N ( 0 ， 0 .04 ) ， ( e 1 ， e 2 ) ~ N ( 0 ， Σ e ) ，为了使测量误差对函数系数的估计影响较小，使用欠光滑的方法选取带宽，这里选取最优带宽 h o p t = 1.06 s d ( U ) n 1 / 5 ， s d ( U ) 是U的标准差，取协方差阵 Σ e = ( 0. 01 0 0 0. 01 ) ，核函数Epannechnikov核函数 K ( u ) = 3 4 ( 1 − u 2 ) I ( | u | ≤ 1 ) ，分别取样本容量 n = 200 ， 250 ， 300 。采用计算机模拟次数都为500次。有测量误差而不考虑测量误差的 β 的估计结果记录在表1中，考虑测量误差的 β 的估计结果记录在表2中，图1是考虑测量误差下样本量为250时 α ( U ) 的估计曲线图。 Table 1 Partial estimation results for different sample parameters without consideration of measurement erro n Mean Sd Mse n = 200 1.74 0.145 0.534 n = 250 1.85 0.106 0.421 n = 300 1.90 0.093 0.401 表1. 不考虑测量误差下不同样本量参数部分估计结果表 Table 2 Partial estimation results for different sample parameters consideration of measurement error resulting data of standard experimen n Mean Sd Mse n = 200 1.91 0.087 0.241 n = 250 1.93 0.100 0.213 n = 300 1.95 0.079 0.186 表2. 考虑测量误差下不同样本量参数部分估计结果表 图1. 模型2.1下函数系数模拟结果曲线 从以上表1和表2中可以看到，随着样本量的增加， β 的标准差以及均方误差都在减小，估计的越精确，且从估计的均值来看，估计值越来越接近真值，估计效果良好。并且对比表1和表2，不难看出纠偏后的 β 估计效果更优，从标准差以及均方误差都可以看到，按2.1节中的估计方法效果更好。从图1中可以看到估计的函数系数的曲线接近真实的函数系数曲线的估计效果也是很良好的。