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user: 3. 定理1.1的证明 我们称 v _ ， v ¯ 分别为方程(1.5)上解和下解，当且仅当 v _ ， v ¯ ∈ W 0 1 ， p ( Ω ) ∩ L ∞ ( Ω ) 时，下列条件成立： 1) 对几乎处处 x ∈ Ω ，有 0 < v _ ( x ) ≤ v ¯ ( x ) ； 2) 对任意 φ ∈ W 0 1 ， p ( Ω ) ， φ ≥ 0 ，有 ∫ Ω | ∇ v _ | p − 2 ∇ v _ ∇ φ ≤ ∫ Ω b ( x ) ( g ( v _ ) ) − γ g ′ ( v _ ) φ + ∫ Ω f ( x ， g ( v _ ) ) g ′ ( v _ ) φ ， ∫ Ω | ∇ v ¯ | p − 2 ∇ v ¯ ∇ φ ≥ ∫ Ω b ( x ) ( g ( v ¯ ) ) − γ g ′ ( v ¯ ) φ + ∫ Ω f ( x ， g ( v ¯ ) ) g ′ ( v ¯ ) φ . 本节我们将证明方程(1.5)有一个弱解 v ∈ W 0 1 ， p ( Ω ) 满足对几乎处处 x ∈ Ω ，有 0 < v _ ( x ) ≤ v ( x ) ≤ v ¯ ( x ) . 首先，我们考虑下列边值问题： { − Δ p u = ψ ( x ) x ∈ Ω ， u = 0 x ∈ ∂ Ω . (3.1) 命题3.1 [ 11 ]：假设 ψ ∈ L q ( Ω ) ，   q > N ，则方程(3.1)有唯一弱解 u ∈ C 0 1 ( Ω ¯ ) 。进一步，若 ψ ≥ 0 是非平凡的，则 u > 0 ，       x ∈ Ω ; ∂ u ∂ ν > 0 ，       x ∈ ∂ Ω ， 其中 ν 为 ∂ Ω 上的单位内法向量。 引理3.2：假设条件(b 1 )、(f 1 )和(f 2 )成立，则存在 α 0 > 0 使得当 ‖ a 1 ‖ ∞ ≤ α 0 成立时，存在 v _ ， v ¯ ∈ L ∞ ( Ω ) 满足： 1) b ( x ) ( g ( v _ ) ) − γ g ′ ( v _ ) ∈ L q ( Ω ) 且 ‖ v _ ‖ ∞ ≤ δ / 2 ，其中 δ > 0 且由(f 1 )给定； 2) 对几乎处处 x ∈ Ω ，有 0 < v _ ( x ) ≤ v ¯ ( x ) ； 3) v _ ， v ¯ 分别为方程(1.5)上解和下解。 证明：由(b 1 )可知， b ∈ L q ( Ω ) 。进一步，又因 b ( x ) > 0 ， q > N ，根据命题3.1可得下列问题 { − Δ p ω = b ( x ) ， x ∈ Ω ， ω = 0 ， x ∈ ∂ Ω ， (3.2) 有一个唯一解 ω ∈ C 0 1 ( Ω ¯ ) 且 ω > 0 ，   x ∈ Ω ， ∂ ω ∂ ν > 0 ，   x ∈ ∂ Ω 。根据(b 1 )中所给 e 0 定义，可得 inf Ω ( ω e 0 ) > 0 且 b ω − γ ∈ L q ( Ω ) 。现在，我们设 0 < ε < 1 充分小，使得 0 < v _ ( x ) ≤ min { δ / 2 ， δ 0 ， 1 } 成立，其中 v _ : = ε ω ， δ > 0 由(f 1 )给定且 δ 0 > 0 。进一步，由引理2.3-(2)可得，对任意 s ∈ ( 0 ， δ 0 ) ，有 ( g ( s ) ) − γ g ′ ( s ) ≥ k + 1 ， (3.3) 其中k为(f 1 )给定常数。由引理2.2-(2)和(8)，我们推得 b ( x ) ( g ( v _ ) ) − γ g ′ ( v _ ) ∈ L q ( Ω ) 且 ‖ v _ ‖ ∞ ≤ δ / 2 . (3.4) 结论(1)证毕。 类似地，为了证明结论(2)，我们考虑 z ∈ C 0 1 ( Ω ¯ ) 为下列方程唯一解： { − Δ p z = b ( x ) ( g ( v _ ) ) − γ g ′ ( v _ ) + 2 F 0 x ∈ Ω ， z = 0 x ∈ ∂ Ω ， (3.5) 其中 F 0 由(f 2 )给定。由(3.3)式和(3.4)式可得，对几乎处处 x ∈ Ω 有 ( g ( v _ ( x ) ) ) − γ g ′ ( v _ ( x ) ) ≥ k + 1. (3.6) 设 v ¯ = z ，对所有 φ ∈ W 0 1 ， p ( Ω ) ， φ ≥ 0 ，可知 ∫ Ω | ∇ v ¯ | p − 2 ∇ v ¯ ∇ φ ≥ ∫ Ω b ( x ) ( g ( v _ ) ) − γ g ′ ( v _ ) φ ≥ ∫ Ω b ( x ) φ ≥ ε p − 1 ∫ Ω b ( x ) φ = ∫ Ω | ∇ v _ | p − 2 ∇ v _ ∇ φ . (3.7) 因此，由弱比较原则可以得到，对几乎处处 x ∈ Ω ， v _ ≤ v ¯ 成立。 最后，根据 v _ ， v ¯ ∈ W 0 1 ， p ( Ω ) ∩ L ∞ ( Ω ) 和引理2.2-(3)可知， g ( v _ ) ∈ [ 0 ， δ ] 。再由(3.6)式，(f 1 )和引理2.2-(2)，对任意 φ ≥ 0 ，我们有 ∫ Ω | ∇ v _ | p − 2 ∇ v _ ∇ φ − ∫ Ω b ( x ) ( g ( v _ ) ) − γ g ′ ( v _ ) φ − ∫ Ω f ( x ， g ( v _ ) ) g ′ ( v _ ) φ ≤ ∫ Ω b ( x ) ( ε p − 1 + k − ( g ( v _ ) ) − γ g ′ ( v _ ) ) φ ≤ 0 ， 即证得 v _ 为方程(1.5)的下解。 进一步，利用 v _ 的定义以及 b ( x ) ( g ( v _ ) ) − γ g ′ ( v _ ) ∈ L q ( Ω ) ，   q > N ，由命题3.1和(3.5)式得到 v ¯ ∈ C 0 1 ( Ω ¯ ) 。因此，存在常数 C 0 > 0 (不依赖于 v ¯ 和 a 1 ( x ) )使得 ‖ v ¯ ‖ ∞ ≤ C 0 . (3.8) 因为 0 < g ′ ( v ¯ ) ≤ 1 且对几乎处处 x ∈ Ω 有 v _ ≤ v ¯ ，利用引理2.3-(1)，(f 2 )及(3.5)式，我们可知 ∫ Ω | ∇ v ¯ | p − 2 ∇ v ¯ ∇ φ − ∫ Ω b ( x ) ( g ( v ¯ ) ) − γ g ′ ( v ¯ ) φ − ∫ Ω f ( x ， g ( v ¯ ) ) g ′ ( v ¯ ) φ ≥ ∫ Ω b ( x ) ( ( g ( v _ ) ) − γ g ′ ( v ¯ _ ) − ( g ( v ¯ ) ) − γ g ′ ( v ¯ ) ) φ + ∫ Ω ( 2 F 0 − f ( x ， g ( v ¯ ) ) ) g ′ ( v ¯ ) φ ≥ ∫ Ω ( 2 F 0 − f ( x ， g ( v ¯ ) ) ) g ′ ( v ¯ ) φ ≥ F 0 ∫ Ω ( 1 − a 1 ( x ) ( g ( v ¯ ) ) r − 1 ) g ′ ( v ¯ ) φ . (3.9) 设 α 0 = C 0 1 − r > 0 ( C 0 为(3.8)式中的常数)，若 ‖ a 1 ‖ ∞ ≤ α 0 ，可知对几乎处处 x ∈ Ω ，有 a 1 ( x ) ≤ 1 C 0 r − 1 ≤ 1 ‖ v ¯ ‖ ∞ r − 1 ≤ 1 ( g ( ‖ v ¯ ‖ ∞ ) ) r − 1 ≤ 1 ( g ( v ¯ ( x ) ) ) r − 1 ， 即在 Ω 上 1 − a 1 ( x ) ( g ( v ¯ ) ) r − 1 ≥ 0 。因此，根据(3.9)式可得 v ¯ 为方程(1.5)的上解。证毕。 定理1.1的证明考虑截断函数 h ˜ : Ω × ℝ → ℝ ， h ˜ ( x ， s ) = { b ( x ) ( g ( v _ ( x ) ) ) − γ g ′ ( v _ ( x ) ) + f ( x ， g ( v _ ( x ) ) ) g ′ ( v _ ( x ) ) ， s < v _ ( x ) ， b ( x ) ( g ( s ) ) − γ g ′ ( s ) + f ( x ， g ( s ) ) g ′ ( s ) ， v _ ( x ) ≤ s ≤ v ¯ ( x ) ， b ( x ) ( g ( v ¯ ( x ) ) ) − γ g ′ ( v ¯ ( x ) ) + f ( x ， g ( v ¯ ( x ) ) ) g ′ ( v ¯ ( x ) ) ， s > v ¯ ( x ) ， (3.10) 同时考虑下列辅助问题 { − Δ p v = h ˜ ( x ， v ) x ∈ Ω ， v = 0 x ∈ ∂ Ω ， (3.11) 且(3.11)式对应能量泛函 Φ ˜ : W 0 1 ， p ( Ω ) → ℝ 由下式给定 Φ ˜ ( v ) = 1 p ∫ Ω | ∇ v | p − ∫ Ω H ˜ ( x ， v ) ， (3.12) 其中 H ˜ ( x ， s ) = ∫ 0 s h ˜ ( x ， t ) d t 。 根据(3.10)式，引理2.3-(1)及 0 < g ′ ( s ) ≤ 1 ，对几乎处处 x ∈ Ω 及所有 s ∈ ℝ ，我们可得 | h ˜ ( x ， s ) | ≤ b ( x ) ( g ( v _ ) ) − γ g ′ ( v _ ) + M 1 ， (3.13) 其中 M 1 = esssup ( x ， s ) ∈ Ω × ( 0 ， ‖ v ¯ ‖ ∞ ) | f ( x ， g ( s ) ) | 。 结合(3.12)式，(3.13)式和 b ( x ) ( g ( v _ ) ) − γ g ′ ( v _ ) ∈ L q ( Ω ) ，运用Hölder不等式和Sobolev嵌入不等式，对所有 v ∈ W 0 1 ， P ( Ω ) 我们有 Φ ˜ ( v ) ≥ 1 p ‖ v ‖ p − C 1 ‖ v ‖ q q − 1 − C 2 ‖ v ‖ 1 ≥ 1 p ‖ v ‖ p − C 3 ‖ v ‖ . 因此， Φ ˜ 是强制的。 其次，定义集合 Γ : = { v ∈ W 0 1 ， p ( Ω ) : v _ ( x ) ≤ v ( x ) ≤ v ¯ ( x ) a . e . x ∈ Ω } 和 κ = inf Γ Φ ˜ ( v ) ，不难发现集合 Γ 在 W 0 1 ， p ( Ω ) 上既为闭集也为凸集，因此其为弱闭集。 进一步，由于 Φ ˜ ( v ) 是强制的，则对于集合 Γ 内的极小化序列 { v n } 是有界的且存在弱收敛子列，我们仍然记为 { v n } ，可得 { v n → w v ( 在 W 0 1 ， p ( Ω ) 中 ) ， v n → v ( 在 L σ ( Ω ) 中 ， 1 ≤ σ < p * ) ， v n → v a . e . x ∈ Ω . (3.14) 由(3.13)式、(3.14)式，Sobolev嵌入不等式和Lebesgue控制收敛定理可得 ∫ Ω H ˜ ( x ， v n ) → ∫ Ω H ˜ ( x ， v ) . 因此， Φ ˜ 在集合 Γ 上为弱下半连续的。 由文献 [ 12 ] 中的定理1.2可知， Φ ˜ | Γ 在点 v ˜ ∈ Γ 达到极小值，同时，参考文献 [ 12 ] 中的定理2.4的证明方法，我们可知 Φ ˜ ′ ( v ˜ ) = 0 。因此， v ˜ 是方程(3.11)的一个弱解。 最后，根据(3.10)式中 h ˜ ( x ， s ) 的定义，当 s ∈ [ v _ ( x ) ， v ¯ ( x ) ] 时， v ˜ 为方程(1.5)的一个弱解，即 u = g ( v ˜ ) 为方程(1.1)的一个正弱解。