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user: 2. 相关定义及引理 在这一节，为了后面的讨论，我们给出一些定义及相关引理。 令 J = [ 0 ， 1 ] ， 0 = t 0 < t 1 < ⋯ < t k < ⋯ < t m < t m + 1 = 1 ， J 0 = [ 0 ， t 1 ] ， J 1 = ( t 1 ， t 2 ] ， ⋯ ， J m = ( t m ， 1 ] ， P C ( J ， R ) = { u : J → R | u ∈ C ( J k ) ， k = 0 ， 1 ， ⋯ ， m ， 并 且 u ( t k + ) 存 在 } ，其空间上范数为 ‖ u ‖ = sup t ∈ J | u ( t ) | ，有 P C ( J ， R ) = { u : J → R | u ∈ C ( J k ) ， k = 0 ， 1 ， ⋯ ， m ， 并 且 u ( t k + ) ， u ′ ( t k + ) 存 在 } ，与其范数 ‖ u ‖ P C ′ = max t ∈ J { ‖ u ‖ ， ‖ u ′ ‖ } ，显然 P C 与 P C ′ 为Banach空间。 定理1：设 E 为Banach空间， Ω 为 E 上的非空有界闭凸子集，算子 T : Ω ¯ → E 为全连续算子，使得 ‖ T u ‖ ≤ ‖ u ‖ ， ∀ u ∈ Ω ¯ ，则 T 在 Ω ¯ 存在不动点。 定理2：设 E 为Banach空间， T : E → E 为全连续算子， V = { u ∈ E | u = μ T u ， 0 < μ < 1 } ，为有界集，则 T 在 Ω ¯ 存在不动点。 引理1： [ 1 ] 令 α > 0 ，则分数阶微分方程 C D 0 + α u ( t ) = 0 有唯一解 u ( t ) = c 0 + c 1 t + ⋯ + c n − 1 t n − 1 ， c i ∈ R ，   n = [ α ] + 1 引理2： [ 1 ] 令 α > 0 ，则有 I 0 + α D C 0 + α u ( t ) = u ( t ) + c 0 + c 1 t + ⋯ + c n − 1 t n − 1 ， c i ∈ R ，   i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n − 1 ，   n = [ α ] + 1 对于边值问题(3)，可通过 φ p ( s ) 的逆算子 φ q ( s ) 将其转化为等价的边值问题 { C D 0 + α u ( t ) = φ q ( f ( t ， u ( t ) ) ) ， t ∈ J ′ Δ ( u ( t k ) ) = I k ( u ( t k ) ) ， Δ ( u ′ ( t k ) ) = Q k ( u ( t k ) ) ， a u ( 0 ) − b u ′ ( 0 ) = x 0 ， c u ( 0 ) + d C D 0 + β u ( 1 ) = x 1 (4) 引理3：对于给定函数 y ∈ C [ 0 ， 1 ] ， u ( t ) 为如下边值问题的解 { C D 0 + α u ( t ) = φ q ( y ( t ) ) ， t ∈ J ′ Δ ( u ( t k ) ) = I k ( u ( t k ) ) ， Δ ( u ′ ( t k ) ) = Q k ( u ( t k ) ) ， a u ( 0 ) − b u ′ ( 0 ) = x 0 ， c u ( 0 ) + d C D 0 + β u ( 1 ) = x 1 (5) 当且仅当 u ( t ) = { 1 Γ ( α ) ∫ 0 t ( t − s ) α − 1 φ q ( y ( s ) ) d t − c 1 − c 2 t ，       t ∈ J 0 1 Γ ( α ) ∫ t k t ( t − s ) α − 1 φ q ( y ( s ) ) d t + ∑ i = 1 k t − t k Γ ( α − 1 ) ∫ t − 1 k t k ( t − s ) α − 2 φ q ( y ( s ) ) d t   + ∑ i = 1 k − 1 t k − t i Γ ( α − 1 ) ∫ t − 1 k t k ( t − s ) α − 2 φ q ( y ( s ) ) d t + ∑ i = 1 k I i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 k ( t − t k ) Q i ( u ( t i ) )   + ∑ i = 1 k − 1 ( t k − t i ) Q i ( u ( t i ) ) − c 1 − c 2 t ，                       t ∈ J k 其中 c 1 = 1 δ ( b c Γ ( α ) ∑ i = 1 m + 1 ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 1 φ q ( y ( s ) ) d s + b c ( 1 − t m ) Γ ( α − 1 ) ∑ i = 1 m ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 φ q ( y ( s ) ) d s + ∑ i = 1 m − 1 b c ( t m − t i ) Γ ( α − 1 ) ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 φ q ( y ( s ) ) d s + ∑ i = 1 m b c I i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 m b c ( 1 − t m ) Q i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 m − 1 b c ( t m − t i ) Q i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 m + 1 b d Γ ( α − 1 ) Γ ( 2 − β ) ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 φ q ( y ( s ) ) d s + b d Γ ( 2 − β ) ∑ i = 1 m Q i ( u ( t i ) ) − b x 1 − c x 0 − d x 0 Γ ( 2 − β ) ) c 2 = 1 δ ( a c Γ ( α ) ∑ i = 1 m + 1 ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 1 φ q ( y ( s ) ) d s + a c ( 1 − t m ) Γ ( α − 1 ) ∑ i = 1 m ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 φ q ( y ( s ) ) d s + ∑ i = 1 m − 1 a c ( t m − t i ) Γ ( α − 1 ) ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 φ q ( y ( s ) ) d s + ∑ i = 1 m a c I i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 m a c ( 1 − t m ) Q i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 m − 1 a c ( t m − t i ) Q i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 m + 1 a d Γ ( α − 1 ) Γ ( 2 − β ) ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 φ q ( y ( s ) ) d s + a d Γ ( 2 − β ) ∑ i = 1 m Q i ( u ( t i ) ) − a x 1 − c x 0 ) 证明：设 u ( t ) 为(5)的解，由(2)可得 u ( t ) = I 0 + α y ( t ) − c 1 − c 2 t = 1 Γ ( α ) ∫ 0 t ( t − s ) α − 1 φ q ( y ( s ) ) d t − c 1 − c 2 t ，   t ∈ J 0 ，   c 1 ， c 2 ∈ R 则有 u ′ ( t ) = 1 Γ ( α − 1 ) ∫ 0 t ( t − s ) α − 1 φ q ( y ( s ) ) d t − c 2 (6) 若 t ∈ J 1 ，有 u ( t ) = 1 Γ ( α ) ∫ t 1 t ( t − s ) α − 1 φ q ( y ( s ) ) d s − d 1 − d 2 ( t − t 1 ) u ′ ( t ) = 1 Γ ( α − 1 ) ∫ t 1 t ( t − s ) α − 2 φ q ( y ( s ) ) d s − d 2 其中 d 1 ， d 2 ∈ R ，可得 u ( t − ) = 1 Γ ( α ) ∫ t 1 t ( t − s ) α − 1 φ q ( y ( s ) ) d s − c 1 − c 2 t 1 ，   u ( t + ) = − d 1 u ′ ( t − ) = 1 Γ ( α − 1 ) ∫ t 1 t ( t − s ) α − 2 φ q ( y ( s ) ) d s − c 2 ，   u ′ ( t + ) = − d 2 由上述定义 Δ u ( t k ) = u ( t k + ) − u ( t k − ) ， Δ u ′ ( t k ) = u ′ ( t k + ) − u ′ ( t k − ) ，则 − d 1 = 1 Γ ( α ) ∫ 0 t 1 ( t 1 − s ) α − 1 φ q ( y ( s ) ) d s − c 1 − c 2 t 1 + I 1 ( u ( t 1 ) ) − d 2 = 1 Γ ( α − 1 ) ∫ 0 t 1 ( t 1 − s ) α − 2 φ q ( y ( s ) ) d s − c 2 + Q 1 ( u ( t 1 ) ) 因此 u ( t ) = 1 Γ ( α ) ∫ t k t ( t − s ) α − 1 φ q ( y ( s ) ) d t + ∑ i = 1 k t − t k Γ ( α − 1 ) ∫ t − 1 k t k ( t − s ) α − 2 φ q ( y ( s ) ) d t + ∑ i = 1 k − 1 t k − t i Γ ( α − 1 ) ∫ t − 1 k t k ( t − s ) α − 2 φ q ( y ( s ) ) d t + ∑ i = 1 k I i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 k ( t − t k ) Q i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 k − 1 ( t k − t i ) Q i ( u ( t i ) ) − c 1 − c 2 t 由边值条件 a u ( 0 ) − b u ′ ( 0 ) = x 0 ， c u ( 0 ) + d D C 0 + β u ( 1 ) = x 1 ， − a c 1 + b c 2 = x 0 c c 1 + ( c + 1 Γ ( 2 − β ) ) = c Γ ( α ) ∑ i = 1 m + 1 ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 1 φ q ( y ( s ) ) d s + ∑ i = 1 k c ( 1 − t i ) Γ ( α − 1 ) ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 φ q ( y ( s ) ) d s       + ∑ i = 1 m c I i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 m c ( 1 − t i ) Q i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 m − 1 b c ( t m − t i ) Q i ( u ( t i ) )       + ∑ i = 1 m d Γ ( 2 − β ) ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 φ q ( y ( s ) ) d s + d Γ ( 2 − β ) ∑ i = 1 m Q i ( u ( t i ) ) − x 1 可得 c 1 = 1 δ ( b c Γ ( α ) ∑ i = 1 m + 1 ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 1 φ q ( y ( s ) ) d s + b c ( 1 − t m ) Γ ( α − 1 ) ∑ i = 1 m ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 φ q ( y ( s ) ) d s + ∑ i = 1 m − 1 b c ( t m − t i ) Γ ( α − 1 ) ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 φ q ( y ( s ) ) d s + ∑ i = 1 m b c I i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 m b c ( 1 − t m ) Q i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 m − 1 b c ( t m − t i ) Q i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 m + 1 b d Γ ( α − 1 ) Γ ( 2 − β ) ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 φ q ( y ( s ) ) d s + b d Γ ( 2 − β ) ∑ i = 1 m Q i ( u ( t i ) ) − b x 1 − c x 0 − d x 0 Γ ( 2 − β ) ) c 2 = 1 δ ( a c Γ ( α ) ∑ i = 1 m + 1 ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 1 φ q ( y ( s ) ) d s + a c ( 1 − t m ) Γ ( α − 1 ) ∑ i = 1 m ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 φ q ( y ( s ) ) d s + ∑ i = 1 m − 1 a c ( t m − t i ) Γ ( α − 1 ) ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 φ q ( y ( s ) ) d s + ∑ i = 1 m a c I i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 m a c ( 1 − t m ) Q i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 m − 1 a c ( t m − t i ) Q i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 m + 1 a d Γ ( α − 1 ) Γ ( 2 − β ) ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 φ q ( y ( s ) ) d s + a d Γ ( 2 − β ) ∑ i = 1 m Q i ( u ( t i ) ) − a x 1 − c x 0 ) 命题得证。