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user: 3. 几类Orbifold K-理论的环结构 对于Orbifold群胚， Γ = ( G 0 ， G 1 ) 。若像空间 G 0 为一个单点，记为 · 。则态空间 G 1 为有限群，记为G。此时，称 Γ = ( G 0 ， G 1 ) 为点群胚，或称为点Orbifold，记为 · G 。点群胚虽然简单，但它们是Orbifold 理论中重要的例子。 本节以点群胚 · G 为例子，利用表示论的方法，计算Orbifold K-理论的环结构 · H W 和 · L 。 · G 上所有的orbifold丛与G的表示群是一一对应的。我们的计算主要运用了特征标的正交性。 3.1. 一般Orbifold K-理论的环结构 · H W · G 的inertia orbifold 为 Λ · G = ( G ， G × G ) 。其源映射和靶映射分别为 s : G × G → G ，         ( g ， h ) ↦ g ; t : G × G → G ，         ( g ， h ) ↦ h . 即 Λ · G = ( G ， G × G ) 等价于global quotient [ G / G ] 。其中G在自身的作用为 g · h = g − 1 h g 。因此，我们有 K o r b ( Λ · G ) ≅ K G ( G ) . 根据文 [ 2 ] ，对任意 V ˜ = ⊕ g ∈ G V ˜ g ，   W ˜ = ⊕ g ∈ G W ˜ g ∈ K o r b ( Λ · G ) ， V ˜ · A R Z W ˜ = ⊕ g ∈ G ( ⊕ h ∈ G V ˜ h ⊗ W ˜ h − 1 g ) . 任取 ( V ， π 1 ) ， ( W ， π 2 ) ∈ K o r b ( · G ) ，记 V g ， W g 分别为 V ， W 在 X g 上的限制。根据Hu和Wang [ 4 ] ， V · H W W = e # ( e ∗ V · A R Z e ∗ W ) = e # ( ( ⊕ g ∈ G V g ) · A R Z ( ⊕ g ∈ G W g ) ) = e # ( ⊕ g ， h ∈ G V h ⊗ W h − 1 g ) = | G | V ⊗ W 因此，我们有 定理3.1设 V ， W ∈ K o r b ( · G ) ，则 V · H W W = | G | V ⊗ W 。 3.2. 一般Orbifold K-理论的环结构 · L 接着，我们计算 K o r b ( · G ) 上的另一个环结构 · L 。我们需要用到表示论的技巧，主要是特征标的正定性。 设 ( V 1 ， π 1 ) ， ( V 2 ， π 2 ) 为G的两个不可约表示， χ 1 ， χ 2 分别为它们的特征标，则有正交性定理 定理3.2设 ( χ 1 ， χ 2 ) = 1 | G | ∑ g ∈ G χ 1 ( g ) → χ 2 ( g ) = { 1 ，         χ 1 = χ 2 ， 0 ，       χ 1 ≠ χ 2 . 由 π 1 ， π 2 可以构造线性变换 ϕ π 1 ， π 2 = 1 | G | ∑ g π 1 ∗ ( g ) π 2 ( g ) : V 1 ∗ ⊗ V 2 → V 1 ∗ ⊗ V 2 . 则对任意 h ∈ G ， ϕ π 1 ， π 2 ∘ ( π 1 ∗ ( h ) π 2 ( h ) ) = ϕ π 1 ， π 2 . 所以 ϕ π 1 ， π 2 ∘ ϕ π 1 ， π 2 = ϕ π 1 ， π 2 . 因此有 命题3.3 ϕ π 1 ， π 2 至多只有两个特征值：0和1。 若 π 1 ≠ π 2 ，则由特征标的正交性，有 t r ϕ π 1 ， π 2 = 1 | G | ∑ g ∈ G χ V 1 ∗ ⊗ V 2 ( g ) = 1 | G | ∑ g ∈ G χ 1 ( g ) → χ 2 ( g ) = 0 . 所以得到以下定理， 定理3.4若 π 1 ≠ π 2 ，则 ϕ π 1 ， π 2 为一个0映射。 若 π 1 = π 2 。记 π ≐ π 1 = π 2 ， V ≐ V 1 = V 2 ， ϕ ≐ ϕ π 1 ， π 2 。取V中的一个规范正交基 v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v n 使得对任意 g ∈ G ， π ( g ) 都为酉矩阵。取 v 1 ∗ ， v 2 ∗ ， ⋯ ， v n ∗ 为其对偶基，则 π ∗ ( g ) = ( π ( g ) − 1 ) T = π ( g ) 。 命题3.5 ϕ 的迹和秩都为1。 证明: t r ϕ = 1 | G | ∑ g ∈ G χ V 1 ∗ ⊗ V 2 ( g ) = 1 | G | χ V ∗ ( g ) χ V ( g ) = 1 | G | χ V ( g ) ¯ χ V ( g ) = 1 由命题3.3知， ϕ 的秩为1。 因为对任意 g ∈ G ， π ( g ) 都是酉矩阵。则有 ϕ ( v 1 ∗ ⊗ v 1 + v 2 ∗ ⊗ v 2 + ⋯ + v n ∗ ⊗ v n ) = v 1 ∗ ⊗ v 1 + v 2 ∗ ⊗ v 2 + ⋯ + v n ∗ ⊗ v n . 若 ϕ ( v 1 ∗ ⊗ v 1 ) = a 1 v 1 ∗ ⊗ v 1 + a 2 v 2 ∗ ⊗ v 2 + ⋯ + a n v n ∗ ⊗ v n ， 则 a 1 + a 2 + ⋯ + a n = 1 . 因此我们得到下面定理， 定理3.6 ϕ ( v i ∗ ⊗ v j ) = { 1 n ( v 1 ∗ ⊗ v 1 + v 2 ∗ ⊗ v 2 + ⋯ + v n ∗ ⊗ v n ) ，       i = j ， 0 ，                                                                                                     i ≠ j . 下面我们开始计算 K o r b ( · G ) 上的另一个环结构 · L 。 K o r b ( · G ) 中的每一个丛都是一个G表示，因此我们只考虑不可约的G表示。 设 ( V 1 ， π 1 ) ， ( V 2 ， π 2 ) 为两个不可约的G表示，则 φ ( V 1 ， π 1 ) = ∑ g ∈ G χ 1 ( g ) V g ， φ ( V 2 ， π 2 ) = ∑ g ∈ G χ 2 ( g ) V g 所以， φ ( V 1 ， π 1 ) φ ( V 2 ， π 2 ) = ( ∑ g ∈ G χ 1 ( g ) V g ) ( ∑ g ∈ G χ 2 ( g ) V g ) = ∑ h ∈ G ( ∑ g ∈ G χ 1 ( g − 1 ) χ 2 ( g h ) V h ) 其中， ∑ g ∈ G χ 1 ( g − 1 ) χ 2 ( g h ) = ∑ g ∈ G χ 1 ∗ ( g ) χ 2 ( g h ) = ∑ g ∈ G t r ( π 1 ∗ ( g ) ) · t r ( π 2 ( g ) π 2 ( h ) ) = ∑ g ∈ G t r [ ( π 1 ∗ ( g ) ⊗ π 2 ( g ) ) · ( π 1 ( 1 ) ⊗ π 2 ( h ) ) ] = | G | t r [ ϕ π 1 ， π 2 ∘ ( π 1 ( 1 ) ⊗ π 2 ( h ) ) ] 若 π 1 ≠ π 2 ，则 ϕ π 1 ， π 2 = 0 ，因此 ∑ g ∈ G χ 1 ( g − 1 ) χ 2 ( g h ) = 0 。 若 π 1 = π 2 ，取规范正交基 v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v n 。对于任意 i ， j ， ϕ ∘ ( π ∗ ( 1 ) ⊗ π ( h ) ) ( v i ∗ ⊗ v j ) = ϕ ( v i ∗ ⊗ ∑ k = 1 n h k j v k ) = ∑ k = 1 n h k j ϕ ( v i ∗ ⊗ v k ) = h i j 1 n ( v 1 ∗ ⊗ v 1 + v 2 ∗ ⊗ v 2 + ⋯ + v n ∗ ⊗ v n ) 所以， ∑ g ∈ G χ 1 ( g − 1 ) χ 2 ( g h ) = | G | t r [ ϕ π 1 ， π 2 ∘ ( π 1 ( 1 ) ⊗ π 2 ( h ) ) ] = | G | n ( h 11 + h 22 + ⋯ + h n n ) = | G | n χ (h) 定理3.7若 ( V 1 ， π 1 ) ， ( V 2 ， π 2 ) ∈ K o r b ( · G ) 且 ( V 1 ， π 1 ) ， ( V 2 ， π 2 ) 不可约，则 ( V 1 ， π 1 ) · L ( V 2 ， π 2 ) = { 0 ，                                   π 1 ≠ π 2 ， | G | n ( V 1 ， π 1 ) ，         π 1 = π 2 . 其中 n = dim V 1 。 证明：若 π 1 ≠ π 2 ，由于 ∑ g ∈ G χ 1 ( g − 1 ) χ 2 ( g h ) = 0 ，则 ( V 1 ， π 1 ) · L ( V 2 ， π 2 ) = φ − 1 ( φ ( V 1 ， π 1 ) · φ ( V 2 ， π 2 ) ) = 0 . 若 π 1 = π 2 ，由于 ∑ g ∈ G χ 1 ( g − 1 ) χ 2 ( g h ) = | G | n χ ( h ) ，则 ( V 1 ， π 1 ) · L ( V 2 ， π 2 ) = φ − 1 ( | G | n χ ( h ) ) V h = | G | n ( V 1 ， π 1 ) 。证毕 3.3. α-Twisted Orbifold K-理论的环结构 · L 对于 α -twisted orbifold K-理论 α K o r b ( · G ) 。根据 [ 5 ] ，存在线性同构 φ : α K o r b ( · G ) → ( K ( G ) ) G α ， 且 ( K ( G ) ) G α 上的乘法为：对任意 ∑ g ∈ G a g V g ， ∑ h ∈ G a h V h ∈ ( K ( G ) ) G α ， ( ∑ g ∈ G a g V g ) · ( ∑ h ∈ G a h V h ) = ∑ g ， h ∈ G a g b h 1 α ( g ， h ) V g h 。 因此 α K o r b ( · G ) 上的乘法为，对任意 ( V 1 ， π 1 ) ， ( V 2 ， π 2 ) ∈ K α o r b ( · G ) ， ( V 1 ， π 1 ) · L ( V 2 ， π 2 ) = φ − 1 ( φ ( V 1 ， π 1 ) · φ ( V 2 ， π 2 ) ) = φ − 1 [ ( ∑ g ∈ G χ 1 ( g ) V g ) ⊗ ( ∑ g ∈ G χ 2 ( g ) V g ) ] = φ − 1 [ ∑ h ∈ G ( ∑ g ∈ G χ 1 ( g − 1 ) χ 2 ( g h ) 1 α ( g − 1 ， g h ) ) V h ] 其中， ∑ g ∈ G χ 1 ( g − 1 ) χ 2 ( g h ) 1 α ( g − 1 ， g h ) = ∑ g ∈ G t r π 1 ( g − 1 ) t r π 2 ( g h ) 1 α ( g − 1 ， g h ) = ∑ g ∈ G t r ( α ( g ， g − 1 ) π 1 ∗ ( g ) ) t r ( 1 α ( g ， h ) π 2 ( g ) π 2 ( h ) ) 1 α ( g − 1 ， g h ) = ∑ g ∈ G t r ( π 1 ∗ ( g ) ) t r ( π 2 ( g ) π 2 ( h ) ) α ( g ， g − 1 ) α ( g ， h ) α ( g − 1 ， g h ) = ∑ g ∈ G t r ( π 1 ∗ ( g ) ) t r ( π 2 ( g ) π 2 ( h ) ) = ∑ g ∈ G t r [ ( π 1 ∗ ( g ) ⊗ π 2 ( g ) ) ( π 1 ∗ ( 1 ) π 2 ( h ) ) ] = | G | t r [ ϕ π 1 ， π 2 ∘ ( π 1 ∗ ⊗ π 2 ( h ) ) ] 根据 [ 3 ] ，对于 α -twisted的情形，同样有 | G | t r [ ϕ π 1 ， π 2 ∘ ( π 1 ∗ ⊗ π 2 ( h ) ) ] = { 0 ，                                 π 1 ≠ π 2 ， | G | n χ 1 ( h ) ，         π 1 = π 2 . 因此，我们有 定理3.8若 ( V 1 ， π 1 ) ， ( V 2 ， π 2 ) 为不可约的 α -twisted G表示，则 ( V 1 ， π 1 ) · L ( V 2 ， π 2 ) = { 0 ，                               π 1 ≠ π 2 ， | G | n ( V 1 ， π 1 ) ，     π 1 = π 2 . 其中 n = dim V 1 。 证明：类似定理3.7。