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user: 3. 实验与分析 3.1. 平移变换对GM(1，1)模型的作用 我们首先用一组数据来验证原始序列进行平移变换后，对GM(1，1)模型建模结果的影响。 设X(k)为原始序列， X = [ 1 ， 1.5 ， 2.5 ， 4 ， 8.9 ， 17.7 ] 。在建模之前，首先对原始序列进行光滑性检验。经检验，所得的光滑比为： ρ ( 3 ) = 1.0000 ，   ρ ( 4 ) = 0.8000 ，   ρ ( 5 ) = 0.9889 ，   ρ ( 6 ) = 0.9888 当k > 3时，光滑比均大于0.5，准光滑性条件不满足。 对原始序列进行平移变换是使其变光滑的一种手段。对原始序列平移10次，每次平移的量分别为0，2，4，8，16，32，64，128，256，512。第一次平移量为0，即平移后序列 X A 1 与原始序列X相同，第二次平移量为2，依次类推。得到10组新的序列为： X A 1 = { 1 ， 1.5 ， 2.5 ， 4 ， 8.9 ， 17.7 } X A 2 = { 3 ， 3.5 ， 4.5 ， 6 ， 10.9 ， 19.7 } ⋯ X A 10 = { 513 ， 513.5 ， 514.5 ， 516 ， 520.9 ， 529.7 } 对平移后的10组新序列进行光滑性检验，发现前3组数据，即平移量为0，2，4时的 X A 1 ， X A 2 ， X A 3 ，仍不满足准光滑性条件；当进行第4次平移，即平移量达到8时，序列 X A 4 所得的光滑比在 k > 3 时，光滑比均小于0.5，准光滑性条件满足。此后的平移数组准光滑性也均满足。 尽管前三个序列不满足光滑性条件，仍可应用GM(1，1)模型得到建模结果，为了更清楚地看到平移变换后序列建模的变化趋势，我们保留前三组，用全部10组序列构建GM(1，1)模型。 对 X A 1 到 X A 10 10组序列进行GM(1，1)模型的构建，得到的10次建模的曲线如图1所示。 由图1首先可以看出，GM(1，1)模型建模后的第一个点不变，一直都与原始序列的第一个点相同。从曲线的形状来看，平移量为0时所得的GM(1，1)模型原始曲线比较弯曲，随着平移量的增加，所得曲线弯曲的弧度变小，逐渐变得平直，进行到最后一次平移时，第二到第六个点的曲线几乎成为一条直线。那我们就将这最后一次平移的曲线与一元线性回归模型曲线进行对比，探究两种模型之间的联系。 序列X构建一元线性回归模型所得模拟值为 f = [ − 1.7238 ， 1.3390 ， 4.4019 ， 7.4648 ， 10.5276 ， 13.5905 ] 。GM(1，1)模型最后一次平移所得结果为 X ′ A 10 = [ 1 ， − 0.8400 ， 3.0400 ， 6.9200 ， 10.8000 ， 14.6800 ] 。两组数据所得图像如图2。 图1. 原始序列10次平移后建立GM(1，1)模型曲线 图2. GM(1，1)模型与一元线性回归模型比较曲线 如图2所示，虽然经过平移变换后的GM(1，1)模型曲线第二到第六个点部分几乎为一条直线，但与一元线性回归模型的曲线并不重合。 这是因为，在GM(1，1)模型中，原始序列第一个点虽然在建模中也进行了模拟，但是从图1中发现，在模拟序列中，第一个点始终和原始序列中的点重合，并没有发生变化，而一元线性回归模型的所有点都发生了变化。既然GM(1，1)模型中原始序列的第一个点对模拟序列没有影响，那么构建一元线性回归模型时，我们可以去掉原始序列X的第一个点，用其余各点构建模型。因此，在本实验中，构建一元线性回归模型时使用原始序列的第二至六个点，构建GM(1，1)模型时使用原始序列的全部数据。此时得到的一元线性回归建模结果为 f ′ = [ − 0.8416 ， 3.0087 ， 6.8881 ， 10.7967 ， 14.7347 ] ，与最后一次平移的GM(1，1)模型图像如图3所示。 如图所示，当去掉原始序列的第一个点再构建一元线性回归模型时，一元线性回归模型的曲线与GM(1，1)模型后五个点组成的曲线从观察上完全重合了。 但是因为本实验只使用了一组原始序列数据，无法确定这个结果是否是普遍规律，即无论对什么类型的原始序列，经过足够大的平移变换后，用GM(1，1)模型建模，得到的模型曲线就会与一元线性回归曲线重合？为此，我们选用更多的数据，进行系统的实验来证明这个发现。 3.2. 原煤产量实验 为了确定上节构造序列进行的实验是否具有普遍性，本节我们使用现实世界的真实数据进行探究。在国家统计局网站年度数据中，选取了1998年至2014年17年的原煤年产量数据，由此得到由17个原始数据组成的原始序列为： x 0 = { 13.32 ， 13.64 ， 13.84 ， 14.72 ， 15.5 ， 18.35 ， 21.23 ， 23.65 ， 25.7 ， 27.6 ， 29.03 ， 31.15 ， 34.28 ， 37.64 ， 39.45 ， 39.74 ， 38.74 } 。 上节实验原始序列长度为6，事实上，我们可以在原始序列上建立其他长度的灰色模型，同样，我们也关心在不同长度的序列上，前述发现是否同样存在。在本实验中，我们将建立长度分别为5、6、8、10的序列。由于原始数据数量较少，为得到更多的数据进行实验，我们采用重叠分组的方式：以原始序列长度等于6为例，把第1至6个数据分为一组，第2至7个数据为一组，以此类推，直到第12至17个 图3. 无第一个点时GM(1，1)模型与一元线性回归模型曲线 数据为一组，共分成了12组，每组6个数据。 验证数据符合光滑性检验后，按照3.1节中的方法，对每组数据进行平移，平移量依然为0，2，4，8，16，32，64，128，256，512。 因为本次实验数据量相对较多，可以使用配对样本T检验和差异度量的方法检验两种模型模拟值的关系，以此来进行定量评估。 使用SPSS软件对每组数据每次平移所得的GM(1，1)模型模拟数据与一元线性回归模型模拟数据进行配对样本T检验，4次分组分别进行配对样本T检验所得P值如表1所示。 由表1得知，10次平移的GM(1，1)模型模拟值与一元线性回归模型模拟值进行配对样本T检验，所得的P值均大于0.05，此时不能拒绝原假设，即两种模型的数据不存在显著差异，说明原始序列经过平移变换后建立的GM(1，1)模型与一元线性回归模型具有相似性。 下面用差异度量方法进行检验。得出的两个模型模拟值差值绝对值如下表2所示。 Table 1 P value of paired sample T tes 平移量 每组数据量 5 6 8 10 0 0.246 0.420 0.718 0.942 2 4 0.251 0.425 0.705 0.996 0.255 0.429 0.696 0.964 8 0.263 0.436 0.686 0.911 16 0.273 0.447 0.679 0.858 32 0.287 0.461 0.678 0.822 64 0.300 0.474 0.684 0.807 128 0.310 0.486 0.691 0.805 256 0.318 0.493 0.697 0.808 512 0.322 0.498 0.701 0.811 表1. 配对样本T检验P值 Table 2 The difference measure of 4 subgroups of the output of raw coa 平移量 每组数据量 5 6 8 10 0 4.503 8.784 19.551 32.021 2 4.154 8.104 18.074 29.789 4 3.857 7.525 16.805 27.849 8 3.380 6.593 14.746 24.635 16 2.716 5.297 11.861 20.004 32 1.957 3.816 8.563 14.531 64 1.260 2.455 5.512 9.388 128 0.738 1.436 3.224 5.496 256 0.404 0.786 1.763 3.005 512 0.212 0.412 0.925 1.576 表2. 原煤产量4次分组两模型差值绝对值和 由上表可以看出，不论对原始数据如何分组，所得的实验规律都是相同的，即随着平移量的增加，GM(1，1)模型和一元线性回归模型模拟值的差值均减小。 根据表2的差值绝对值之和，按平移量作折线图，如图4所示。 折线图直观地显示出了原始数据进行平移变换后构建GM(1，1)模型的模拟值与一元线性回归模型模拟值差值绝对值和的变化趋势。曲线呈下降趋势，说明随平移量的增加，差值越来越小，逐渐接近于0，即GM(1，1)模型愈加接近一元线性回归模型。除此之外，也使用了其他多组真实数据进行了实验，所得结果与以上实验相同。因此，我们可以说，对原始序列进行平移变换，随平移量的增加，构建GM(1，1)模型所得的模拟值，与在第二个点后构建一元线性回归模型的模拟值会越来越接近，这一结论对不同类型和不同长度的序列均适用。