system: [SYSTEM]

user: 3. 主要结果 本节中，我们将给出本文的主要结果。 设H和H 1 为(1.7)中定义的空间，线性算子 L ， G : H 1 → H { L u = − Δ 2 u G u = Δ f ( u ) − g ( u ) (3.1) 其中，f(u)同(1.4)，g(u)同(1.5)。所以，(1.1)~(1.3)可以写成抽象形式(2.1)。 L = − Δ 2 ，L也是扇形算子，显 然 ( − L ) 1 2 = − Δ 。 本文的主要结果是如下。 定理3.1：对初边值问题(1.1)~(1.3)，假设f(u)，g(u)分别由(1.4)和(1.5)给出；如果 n = 3 ， p = 2 ；则对于任何的 α ≥ 0 ，方程(1.1)~(1.3)在 H α 中具有全局吸引子 A ，并且 A 在 H α -范数下吸引任何的 H α 有界集。 证明：对于 n = 1 ， 2 时，任意的 p ≥ 2 以及 n = 3 时， p = 2 ，方程(1.1)对于任意的 φ ∈ H 有唯一强解 u ∈ L 2 ( ( 0 ， T ) ， H 1 ) ∩ H 1 ( ( 0 ， T ) ， H ) ， ∀ T > 0 [ 8 ]。 所以，系统(1.1)~(1.3)的解 u ( t ， φ ) 可以写成 u ( t ， φ ) = e t L φ + ∫ 0 t e ( t − τ ) L ( Δ f ( u ) − g ( u ) ) d τ = e t L φ − ∫ 0 t ( − L ) 1 2 e ( t − τ ) L f ( u ) d τ − ∫ 0 t e ( t − τ ) L g ( u ) d τ (3.2) 接下来，就可以根据定理2.2 [ 8 ]，用下面几个步骤在证明定理3.1。 i) 我们首先要证明，对于任意的有界集 U ⊂ H 1 4 ，有一个常数 C > 0 ，使得系统(1.1)~(1.3)的解 u ( t ， φ ) 对于任意的 φ ∈ U 和 t ≥ 0 是一致有界的。 让方程(1.1)乘 − Δ u + f ( u ) ，再在Ω上积分有 ∫ Ω ( u t + g ( u ) ) ( − Δ u + f ( u ) ) d x ≤ 0 (3.3) 进一步， ∫ Ω ( u t + g ( u ) ) ( − Δ u + f ( u ) ) d x = d d t ( 1 2 ‖ ∇ u ‖ 2 + ∫ Ω F d x ) + ∫ Ω g ′ ( u ) | ∇ u | 2 d x + ∫ Ω ( ∑ k = 1 2 p − 1   a k u k ) ( ∑ k = 0 q     c k u k ) d x (3.4) 我们做如下假设： 1 2 b 2 p u 2 p − C 1 ≤ F ( u ) (3.5) a 2 p − 1 u 2 p − 1 c q u q − C 2 ≤ ( ∑ k = 1 2 p − 1     a k u k ) ( ∑ k = 0 q     c k u k ) (3.6) q c q u q − 1 − C 3 ≤ g ′ ( u ) (3.7) 特别地，当取 f ( s ) = s 3 − s 和 g ( s ) = β s ， β > 0 或 g ( s ) = β s ( s − 1 ) ， β > 0 时，上面假设依然成立。 下面将假设(3.5)~(3.7)带入(3.3)~(3.4)有 d d t ( 1 2 ‖ ∇ u ‖ 2 + 1 2 b 2 p ‖ u ‖ 2 p ) + ∫ Ω ( q c q u q − 1 − C 3 ) | ∇ u | 2 d x + ∫ Ω ( a 2 p − 1 u 2 p − 1 c q u q − C 2 ) d x ≤ 0 d d t ( 1 2 ‖ ∇ u ‖ 2 + 1 2 b 2 p ‖ u ‖ 2 p ) + 1 2 ∫ Ω a 2 p − 1 u 2 p c q u q − 1 d x − ∫ Ω q c q u q − 1 b 2 p u 2 p d x ≤ C 3 ( ‖ ∇ u ‖ 2 + b 2 p ‖ u ‖ 2 p ) + C (3.8) 此时，有 1 2 a 2 p − 1 c q − q c q b 2 p ≥ 0 ，用Gronwall引理，我们可得到 ‖ ∇ u ‖ 2 + b 2 p ‖ u ‖ 2 p ≤ 0 ，     ∀ t ≥ 0 ，     φ ∈ U (3.9) 让方程(1.1)乘u，再在Ω上积分有 1 2 d d t ‖ u ‖ 2 + ‖ Δ u ‖ 2 + ∫ Ω f ′ ( u ) | ∇ u | 2 d x + ∫ Ω g ( u ) u d x = 0 (3.10) 由f(u)，g(u)的形式可得出： f ′ ( u ) ≥ − C 0 ，     C 0 > 1 (3.11) g ( u ) u ≥ − b 2 p u 2 p − C 4 ，     b 2 p > 0 (3.12) 特别地，当取 f ( s ) = s 3 − s 和 g ( s ) = β s ， β > 0 或 g ( s ) = β s ( s − 1 ) ， β > 0 时，上面假设依然成立。 下面将假设(3.11)~(3.12)带入(3.10)有 1 2 d d t ‖ u ‖ 2 + ‖ Δ u ‖ 2 − C 0 ‖ ∇ u ‖ 2 − b 2 p ‖ u ‖ 2 p − C ≤ 0 d d t ‖ u ‖ L 2 2 + ‖ Δ u ‖ L 2 2 + 2 ( C 0 − 1 ) b 2 p ‖ u ‖ 2 p ≤ 2 C 0 b 2 p ‖ u ‖ 2 p + 2 C 0 ‖ ∇ u ‖ 2 + C 由Gronwall引理，我们可得到 ‖ u ‖ L 2 ≤ C ，     ∀ t ≥ 0 ，     φ ∈ U (3.13) 从而， ‖ ∇ u ‖ ≤ C ，     ∀ t ≥ 0 ，     φ ∈ U (3.14) 所以， ‖ u ( t ， φ ) ‖ H 1 4 ≤ C ，     ∀ t ≥ 0 ，     φ ∈ U ⊂ H 1 4 (3.15) ii) 然后证明，对于任意的有界集 U ⊂ H α ( 1 4 ≤ α < 1 2 ) ，有一个常数 C > 0 ，使得 ‖ u ( t ， φ ) ‖ H α ≤ C ，     ∀ t ≥ 0 ，     φ ∈ U ，     α < 1 2 (3.16) 实际上，从(2.3)和(3.2)可知 ‖ u ( t ， φ ) ‖ H α = ‖ e t L φ − ∫ 0 t ( − L ) 1 2 e ( t − τ ) L f ( u ) d τ − ∫ 0 t e ( t − τ ) L g ( u ) d τ ‖ H α ≤ ‖ φ ‖ H α + ∫ 0 t ‖ ( − L ) 1 2 + α e ( t − τ ) L f ( u ) ‖ H d τ + ∫ 0 t ‖ ( − L ) α e ( t − τ ) L g ( u ) ‖ H d τ ≤ ‖ φ ‖ H α + ∫ 0 t ‖ ( − L ) 1 2 + α e ( t − τ ) L ‖ ⋅ ‖ f ( u ) ‖ H d τ + ∫ 0 t ‖ ( − L ) α e ( t − τ ) L ‖ ⋅ ‖ g ( u ) ‖ H d τ (3.17) 我们说 f : H 1 4 → H ， g : H 1 4 → H 是有界的。 由 H : H 1 4 → H ， g : H 1 4 → H (当 n = 1 ， 2 时，显然成立；当 n = 3 时， p ≤ 3 2 )有 ‖ g ( u ) ‖ H 2 = ∫ Ω | g ( u ) | 2 d x = ∫ Ω | ∑ k = 0 q     c k u k | 2 d x ≤ ∫ Ω ( c q u q + ∑ k = 0 q − 1 | c k | ( ε | u | q + ε − k q − k ) ) 2 d x ≤ C ( ∫ Ω | u | 2 q d x + 1 ) ≤ C ( ∫ Ω | u | 4 p d x + 1 ) ≤ C ( ‖ u ‖ H 1 4 4 p + 1 ) (3.18) 这就意味着 g : H 1 4 → H 是有界的。 ‖ f ( u ) ‖ H 2 = ∫ Ω | f ( u ) | 2 d x = ∫ Ω | ∑ k = 1 2 p − 1     a k u k | 2 d x ≤ ∫ Ω ( a 2 p − 1 u 2 p − 1 + ∑ k = 1 2 p − 2 | a k | ( ε | u | 2 p − 1 + ε − k 2 p − 1 − k ) ) 2 d x ≤ C ( ∫ Ω | u | 4 p − 2 d x + 1 ) ≤ C ( ∫ Ω | u | 4 p d x + 1 ) ≤ C ( ‖ u ‖ H 1 4 4 p + 1 ) (3.19) 这就意味着 f : H 1 4 → H 是有界的。 因此，由(2.2)和(3.15)可知 ‖ u ( t ， φ ) ‖ H α ≤ ‖ φ ‖ H α + C ∫ 0 t τ − ( 1 2 + α ) e − δ τ d τ + C ∫ 0 t τ − α e − δ τ d τ ≤ C ，     ∀ t ≥ 0 ，     φ ∈ U ⊂ H α 所以，(3.16)成立。 iii) 接下来证明，对于任意的有界集 U ⊂ H α ( 1 2 ≤ α < 3 4 ) ，有一个常数 C > 0 ，使得 ‖ u ( t ， φ ) ‖ H α ≤ C ，     ∀ t ≥ 0 ，     φ ∈ U ⊂ H α ，     α < 3 4 (3.20) 实际上，由分数阶空间的嵌入定理 可得 ‖ g ( u ) ‖ H 1 4 2 = ∫ Ω | ∇ g ( u ) | 2 d x = ∫ Ω | ∑ k = 1 q     k c k u k − 1 ∇ u | 2 d x ≤ ∫ Ω ( q c q u q − 1 + ∑ k = 1 q − 1     k | c k | ( ε | u | q − 1 + ε − k − 1 q − k ) | ∇ u | ) 2 d x ≤ C ∫ Ω ( u 2 q − 2 + 1 ) | ∇ u | 2 d x ≤ C ∫ Ω ( sup x ∈ Ω u 2 q − 2 + 1 ) | ∇ u | 2 d x ≤ C ( ‖ u ‖ H α 2 q − 2 + 1 ) ‖ u ‖ H 1 4 2 ≤ C ( ‖ u ‖ H α 2 q − 2 + 1 ) ‖ u ‖ H α 2 (3.21) 这意味着 g : H α → H 1 4 ，     α > 3 8 (3.22) 是有界的。 因此，由(3.16)和(3.22)可得 ‖ g ( u ( t ， φ ) ) ‖ H 1 4 < C ，     ∀ t ≥ 0 ，     φ ∈ U ，     3 8 < α < 1 2 (3.23) 而 ‖ f ( u ) ‖ H 1 4 2 = ∫ Ω | ∇ f ( u ) | 2 d x = ∫ Ω | ∑ k = 1 2 p − 1     k a k u k − 1 ∇ u | 2 d x ≤ ∫ Ω ( ( 2 p − 1 ) a 2 p − 1 u 2 p − 2 + ∑ k = 1 2 p − 2     k | a k | ( ε | u | 2 p − 2 + ε − k − 1 2 p − 1 − k ) | ∇ u | ) 2 d x ≤ C ∫ Ω ( u 4 p − 4 + 1 ) | ∇ u | 2 d x ≤ C ∫ Ω ( sup x ∈ Ω u 4 p − 4 + 1 ) | ∇ u | 2 d x ≤ C ( ‖ u ‖ H α 4 p − 4 + 1 ) ‖ u ‖ H 1 4 2 ≤ C ( ‖ u ‖ H α 4 p − 4 + 1 ) ‖ u ‖ H α 2 (3.24) 这意味着 f : H α → H 1 4 ，     α > 3 8 (3.25) 是有界的。 因此，由(3.16)和(3.25)可得 ‖ f ( u ( t ， φ ) ) ‖ H 1 4 < C ，     ∀ t ≥ 0 ，     φ ∈ U ，     3 8 < α < 1 2 (3.26) 所以，我们可以得到 ‖ u ( t ， φ ) ‖ H α ≤ ‖ φ ‖ H α + ∫ 0 t ‖ ( − L ) 1 4 + α e ( t − τ ) L ‖ ⋅ ‖ f ( u ) ‖ H 1 4 d τ + ∫ 0 t ‖ ( − L ) α − 1 4 e ( t − τ ) L ‖ ⋅ ‖ g ( u ) ‖ H 1 4 d τ ≤ ‖ φ ‖ H α + C ∫ 0 t τ − ( 1 4 + α ) e − δ τ d τ + C ∫ 0 t τ − α + 1 4 e − δ τ d τ ≤ C ，     ∀ t ≥ 0 ，     φ ∈ U ⊂ H α (3.27) 所以，(3.20)成立。 iv) 接下来再证明，对于任意的有界集 U ⊂ H α ( 3 4 ≤ α < 1 ) ，有一个常数 C > 0 ，使得 ‖ u ( t ， φ ) ‖ H α ≤ C ，     ∀ t ≥ 0 ，     φ ∈ U ⊂ H α ，     α < 1 (3.28) 实际上，由分数阶空间的嵌入定理 可得 ‖ g ( u ) ‖ H 1 2 2 = ∫ Ω | Δ g ( u ) | 2 d x ≤ ∫ Ω ( c 1 Δ u + q ( q − 1 ) c q u q − 2 | ∇ u | 2 + q c q u q − 1 Δ u + ∑ k = 2 q − 1     k ( k − 1 ) | c k | ( ε | u | q − 2 + ε − k − 2 q − k ) | ∇ u | 2     + ∑ k = 2 q − 1     k | c k | ( ε | u | q − 1 + ε − k − 1 q − k ) | Δ u | ) 2 d x ≤ C ∫ Ω ( | Δ u | 2 + sup x ∈ Ω | u | 2 q − 4 | ∇ u | 4 + sup x ∈ Ω | u | 2 q − 2 | Δ u | 2 + | ∇ u | 4 ) d x ≤ C ( ‖ u ‖ H α 2 + ‖ u ‖ H α 2 q + ‖ u ‖ H α 4 ) (3.29) 这意味着 g : H α → H 1 2 ，     α ≥ 1 2 (3.30) 是有界的。 因此，由(3.20)和(3.30)可得 ‖ g ( u ( t ， φ ) ) ‖ H 1 2 < C ，     ∀ t ≥ 0 ，     φ ∈ U ，     1 2 ≤ α < 3 4 (3.31) 同理， ‖ f ( u ) ‖ H 1 2 2 ≤ C ( ‖ u ‖ H α 4 p − 2 + ‖ u ‖ H α 2 + ‖ u ‖ H α 4 ) (3.32) 这意味着 f : H α → H 1 2 ，     α ≥ 1 2 (3.33) 是有界的。 因此，由(3.20)和(3.33)可得 ‖ f ( u ( t ， φ ) ) ‖ H 1 2 < C ，     ∀ t ≥ 0 ，     φ ∈ U ，     1 2 ≤ α < 3 4 (3.34) 所以，我们可以得到 ‖ u ( t ， φ ) ‖ H α ≤ ‖ φ ‖ H α + ∫ 0 t ‖ ( − L ) α e ( t − τ ) L ‖ ⋅ ‖ f ( u ) ‖ H 1 2 d τ + ∫ 0 t ‖ ( − L ) α − 1 2 e ( t − τ ) L ‖ ⋅ ‖ g ( u ) ‖ H 1 2 d τ ≤ ‖ φ ‖ H α + C ∫ 0 t τ − α e − δ τ d τ + C ∫ 0 t τ − α + 1 2 e − δ τ d τ ≤ C ，       ∀ t ≥ 0 ，     φ ∈ U ⊂ H α ，     0 < α < 1 (3.35) 所以，(3.28)成立。 v) 我们将证明，对于任意的有界集 U ⊂ H α ( α ≥ 0 ) ，有一个常数 C > 0 ，使得 ‖ u ( t ， φ ) ‖ H α ≤ C ，     ∀ t ≥ 0 ，     φ ∈ U ⊂ H α ，     α ≥ 0 (3.36) 实际上，由分数阶空间的嵌入定理 可得 ‖ g ( u ) ‖ H 3 4 2 = ∫ Ω | ∇ Δ g ( u ) | 2 d x ≤ ∫ Ω ( c 1 | ∇ Δ u | + q ( q − 1 ) ( q − 2 ) c q | u | q − 3 | ∇ u | 3 + 3 q ( q − 1 ) c q | u | q − 2 | ∇ u | | Δ u |     + q c q | u | q − 1 | ∇ Δ u | + ∑ k = 2 q − 1 ( k ( k − 1 ) ( k − 2 ) | c k | ( ε | u | q − 3 + ε − k − 3 q − k ) | ∇ u | 3     + 3 k ( k − 1 ) | c k | ( ε | u | q − 2 + ε − k − 2 q − k ) | ∇ u | | Δ u | + k | c k | ( ε | u | q − 1 + ε − k − 1 q − k ) | ∇ Δ u | ) ) 2 d x ≤ C ∫ Ω ( | ∇ Δ u | 2 + sup x ∈ Ω | u | 2 q − 6 | ∇ u | 6 + sup x ∈ Ω | u | 2 q − 4 | Δ u | 2 | ∇ u | 2 + sup x ∈ Ω | u | 2 q − 2 | ∇ Δ u | 2 + | ∇ u | 6 + | ∇ u | 2 | Δ u | 2 ) d x ≤ C ( ‖ u ‖ H α 2 + ‖ u ‖ H α 2 q + ‖ u ‖ H α 4 + ‖ u ‖ H α 6 ) (3.37) 这意味着 g : H α → H 3 4 ，     α ≥ 3 4 (3.38) 是有界的。 因此，由(3.28)和(3.38)可得 ‖ g ( u ( t ， φ ) ) ‖ H 3 4 < C ，     ∀ t ≥ 0 ，     φ ∈ U ，     3 4 ≤ α < 1 (3.39) 同理， ‖ f ( u ) ‖ H 3 4 2 ≤ C ( ‖ u ‖ H α 2 + ‖ u ‖ H α 4 p − 2 + ‖ u ‖ H α 4 + ‖ u ‖ H α 6 ) (3.40) 这意味着 f : H α → H 3 4 ，     α ≥ 3 4 (3.41) 是有界的。 因此，由(3.28)和(3.41)可得 ‖ f ( u ( t ， φ ) ) ‖ H 3 4 < C ，     ∀ t ≥ 0 ，     φ ∈ U ，     3 4 ≤ α < 1 (3.42) 所以，我们可以得到 ‖ u ( t ， φ ) ‖ H α ≤ ‖ φ ‖ H α + ∫ 0 t ‖ ( − L ) α − 1 4 e ( t − τ ) L ‖ ⋅ ‖ f ( u ) ‖ H 3 4 d τ + ∫ 0 t ‖ ( − L ) α − 3 4 e ( t − τ ) L ‖ ⋅ ‖ g ( u ) ‖ H 3 4 d τ ≤ ‖ φ ‖ H α + C ∫ 0 t τ − α + 1 4 e − δ τ d τ + C ∫ 0 t τ − α + 3 4 e − δ τ d τ ≤ C ，     ∀ t ≥ 0 ，     φ ∈ U ⊂ H α (3.43) 最后，不断重复步骤i)~iv)，我们就可以得到(3.36)成立。