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user: 3. PC空间的共轭空间 定义 B V [ 0 ， 1 ] = { g | g : [ 0 ， 1 ] → R ， g ( 0 ) = 0 ， g ( t ) = g ( t + 0 ) ， ∀ t ∈ [ 0 ， 1 ) ， var ( g ) < ∞ } ， 其中， var ( g ) = sup ∑ | g ( t j + 1 ) − g ( t j ) | 。 在空间 B V [ 0 ， 1 ] 上赋以范数 ‖ g ‖ v = var ( g ) ， ∀ g ∈ B V [ 0 ， 1 ] ，则有空间 B V [ 0 ， 1 ] 是完备的赋范线性空间。 定理2.1： P C [ 0 ， 1 ] * = B V [ 0 ， 1 ] 。即： 1) 对 B V [ 0 ， 1 ] 空间中的任一函数 g ( t ) ，其对应于空间 P C [ 0 ， 1 ] 上的一个线性连续泛函 φ ↦ 〈 f ， φ 〉 = ∫ 0 1 φ ( t ) d g ( t ) ； 2) 对空间 P C [ 0 ， 1 ] * 中的任意函数f，必在空间 B V [ 0 ， 1 ] 中存在唯一的函数g，使得对空间 P C [ 0 ， 1 ] 中的任意函数 φ ，满足 〈 f ， φ 〉 = ∫ 0 1 φ ( t ) d g ( t ) 及 ‖ f ‖ = ‖ g ‖ v 。 证明： 第一步：证明对 B V [ 0 ， 1 ] 空间中的任一元素g，其对应于空间 P C [ 0 ， 1 ] 上的一个线性连续泛函 。 对空间 B V [ 0 ， 1 ] 中的任一元素g，对于 P C [ 0 ， 1 ] 空间内的任意元素 ，由定义，函数 φ 在 [ 0 ， 1 ] 区间上有界，即 ∃ M > 0 ，使得 | φ ( t ) | < M ， ∀ t ∈ [ 0 ， 1 ] 成立。从而有函数 φ 在区间 [ 0 ， 1 ] 上的振幅 ω = sup φ ( t ) − inf φ ( t ) ≤ 2 M 。 已知函数 φ ( t ) 在区间 [ 0 ， 1 ] 上有有限个间断点： s 1 ， s 2 ， ⋯ ， s m 。对于区间 [ 0 ， 1 ] 上的任意分割 T : 0 = t 0 < t 1 < t 2 < ⋯ < t n = 1 ( n > 2 m ) 。在其分割成的n个小区间： [ t 0 ， t 1 ] ， [ t 1 ， t 2 ] ， ⋯ ， [ t n − 1 ， t n ] 中，至多有2m个小区间含有间断点。于是将振幅和分成两部分 ∑ k = 1 n ω k [ g ( t k ) − g ( t k − 1 ) ] = ∑ ' ω k ' [ g ( t k ) − g ( t k − 1 ) ] ' + ∑ ' ' ω k ' ' [ g ( t k ) − g ( t k − 1 ) ] ' ' ， 其中， 是相应于分割T中含有间断点的那些小区间的振幅和，其项数至多为2m项。 ∑ ' ' ω k ' ' [ g ( t k ) − g ( t k − 1 ) ] ' ' 是相应于分割T中不含有间断点的那些小区间的振幅和。 由定理1.1，函数g有界，即 ∃ h > 0 ， ‖ g ‖ v ≤ h 。于是对任意的 t i ， t j ∈ [ 0 ， 1 ] ，有 成立。因为 ∑ ' ω k ' [ g ( t k ) − g ( t k − 1 ) ] ' 的项数至多为2m项，故对 ∀ ε > 0 ， ∃ δ 1 > 0 ，且 δ 1 < ε 16 m h M ，当 ‖ T ‖ < δ 1 时，有 ∑ ' ω k ' [ g ( t k ) − g ( t k − 1 ) ] ' ≤ ∑ ' 2 M [ g ( t k ) − g ( t k + 1 ) ] ≤ 2 M ⋅ 2 h ⋅ 2 m δ 1 < 8 m h M ⋅ ε 16 m h M = ε 2 . 在 ∑ ' ' ω k ' ' [ g ( t k ) − g ( t k − 1 ) ] ' ' 所对应的小区间上，函数 φ 连续，从而一致连续。故 ∀ ε > 0 ， ∃ δ 2 > 0 ，当 ‖ T ‖ < δ 2 时，可以保证函数 φ 在这些小区间的振幅都小于 ε 4 h 。于是有 ∑ ' ' ω k ' ' [ g ( t k ) − g ( t k − 1 ) ] ' ' < ∑ ' ' ε 4 h [ g ( t k ) − g ( t k + 1 ) ] ' ' < ε 4 h ⋅ 2 h = ε 2 . 因此，取 δ = min { δ 1 ， δ 2 } ，对于区间 [ 0 ， 1 ] 的任一分割T，只要 ‖ T ‖ < δ ，有 ∑ k = 1 n ω k [ g ( t k ) − g ( t k − 1 ) ] = ∑ ' ω k ' [ g ( t k ) − g ( t k − 1 ) ] ' + ∑ ' ' ω k ' ' [ g ( t k ) − g ( t k − 1 ) ] ' ' < ε 2 + ε 2 = ε . 故可得积分 存在。 由Stieltjes积分，定义 ∫ 0 1 φ ( t ) d g ( t ) = lim ‖ T ‖ → 0 ∑ i = 0 n − 1 φ ( t j ∗ ) [ g ( t j + 1 ) − g ( t j ) ] ， 。从定义可见，对 B V [ 0 ， 1 ] 空间中的任一元素g，定义 〈 f ， φ 〉 = ∫ 0 1 φ ( t ) d g ( t ) 。 显然，有 〈 f ， k φ 〉 = ∫ 0 1 k φ ( t ) d g ( t ) = k ∫ 0 1 φ ( t ) d g ( t ) = k 〈 f ， φ 〉 ， 其中，k为数域P中任一元素， φ ， τ ∈ [ 0 ， 1 ] 。即可得 〈 f ， φ 〉 = ∫ 0 1 φ ( t ) d g ( t ) 为一连续线性泛函。由 〈 f ， φ 〉 = | ∫ 0 1 φ ( t ) d g ( t ) | ≤ | ∫ 0 1 d g ( t ) | ‖ φ ‖ ，可得 ‖ f ‖ ≤ ∫ 0 1 | d g ( t ) | = var ( g ) = ‖ g ‖ v 。所以有 ‖ g ‖ v ≥ ‖ f ‖ 。 第二步：证明对空间 P C [ 0 ， 1 ] * 中的任意元素f，必在空间 B V [ 0 ， 1 ] 中存在唯一的元素g，使得对空间 P C [ 0 ， 1 ] 中的任意元素 φ ，成立 〈 f ， φ 〉 = ∫ 0 1 φ ( t ) d g ( t ) ，且有 ‖ g ‖ v ≤ ‖ f ‖ 。 定义 E s = [ 0 ， s ] ，令函数 φ 为间断的特征函数，即 考虑区间 [ 0 ， 1 ] 上全体有界函数所成空间 L ∞ [ 0 ， 1 ] 。显然，空间 P C [ 0 ， 1 ] 是空间 L ∞ [ 0 ， 1 ] 的一个闭子空间。对空间 P C [ 0 ， 1 ] 中任意的元素 ，有 φ ∈ L ∞ [ 0 ， 1 ] 。 根据定理1.2，对于空间 P C [ 0 ， 1 ] * 中任一元素f，必存在空间 L ∞ [ 0 ， 1 ] ∗ 中的元素F，使得 〈 F ， χ E 0 〉 = 0 ，且对空间 P C [ 0 ， 1 ] 中任意的函数 φ ，成立 〈 F ， φ 〉 = 〈 f ， φ 〉 ，并且有 ‖ F ‖ = ‖ f ‖ 。 由定义，可知 χ E s ∈ L ∞ [ 0 ， 1 ] ，所以有 g ( s ) = 〈 F ， χ E s 〉 ， ( 0 < s ≤ 1 ) ， g ( 0 ) = 0 。 以下证明上述定义的函数 g ∈ B V [ 0 ， 1 ] ，并且满足 ‖ g ‖ v ≤ ‖ f ‖ 。 对区间 [ 0 ， 1 ] 上的任意分割 T : 0 = t 0 < t 1 < ⋯ < t n = 1 。记 ϖ k = g ( t k + 1 ) − g ( t k ) ，   k = 0 ， 1 ， ⋯ ， n − 1 ; λ k = { 0 ， ϖ k = 0 sgn ( ϖ k ) ， ϖ k ≠ 0 ，   k = 0 ， 1 ， ⋯ ， n − 1 ; 于是，我们有 ∑ k = 0 n − 1 | ϖ k | = ∑ k = 0 n − 1 λ k ϖ k = 〈 F ， h 〉 ≤ ‖ F ‖ ‖ h ‖ L ∞ [ 0 ， 1 ] = ‖ F ‖ = ‖ f ‖ . 即可得出 g ∈ B V [ 0 ， 1 ] ，并且满足 ‖ g ‖ v ≤ ‖ f ‖ 。 以下证 成立。 对于空间 P C [ 0 ， 1 ] 上的任意元素 φ ，对任意的 ε > 0 ，取分割T，保证 P C [ 0 ， 1 ] 空间内的元素 φ 的间断点都位于分点处，则对任意 t ， t ′ ∈ ( t j ， t j + 1 ) ， j = 0 ， 1 ， ⋯ ， n − 1 ，成立 | φ ( t ) − φ ( t ′ ) | < ε 2 ‖ F ‖ 。 由积分存在性，可得 | ∫ 0 1 φ ( t ) d g ( t ) − ∑ j = 0 n − 1 φ ( t j ∗ ) [ g ( t j + 1 ) − g ( t j ) ] | < ε 2 ， t j ∗ ∈ ( t j ， t j + 1 ) ，令 ϕ = ∑ j = 0 n − 1 φ ( t j ∗ ) χ ( t j ， t j + 1 ] + φ ( 0 ) χ ( 0 ) 。可得 | 〈 f ， φ 〉 − ∫ 0 1 φ ( t ) d g ( t ) | ≤ | 〈 f ， φ 〉 − 〈 F ， ϕ 〉 | + | 〈 F ， ϕ 〉 − ∫ 0 1 φ ( t ) d g ( t ) | ≤ ‖ F ‖ ‖ φ − ϕ ‖ L ∞ [ 0 ， 1 ] + | ∑ j = 0 n − 1 φ ( t j ∗ ) [ g ( t j + 1 ) − g ( t j ) ] − ∫ 0 1 φ ( t ) d g ( t ) | < ε 2 + ε 2 = ε 由 ε 的任意性，即得 成立。 以下证明g的唯一性。 不妨假设存在 B V [ 0 ， 1 ] 空间中的两个元素 g ， g 1 ，成立 〈 F ， φ 〉 = ∫ 0 1 φ d g = ∫ 0 1 φ d g 1 。即有 ∫ 0 1 φ d ( g − g 1 ) = 0 ，由函数 φ 的任意性，可得函数g与 g 1 是几乎处处相等的函数。 即证唯一性。 综上， g ↦ ∫ 0 1 φ ( t ) d g ( t ) 是空间 B V [ 0 ， 1 ] 到空间 P C [ 0 ， 1 ] * 的一个等距同构，即有 P C [ 0 ， 1 ] * = B V [ 0 ， 1 ] 。证毕。 以下针对 [ 0 ， 1 ] 区间上具有无限个间断点，且在间断点处函数左连续且右极限存在的函数构成的空间(仍记为 P C [ 0 ， 1 ] )的共轭空间进行研究论述。 P C [ 0 ， 1 ] = { x : [ 0 ， 1 ] → R | ∃ s 1 ， s 2 ， ⋯ ， s m ， ⋯ ∈ ( 0 ， 1 ) ， 有 lim m → ∞ s m = 1 ， x ( s ) 在 s ≠ s i 时 连 续 ，                                 在   s = s i   时 ， 有 lim s → s i − x ( s ) = x ( s i ) ， lim s → s i + x ( s ) 极 限 存 在 ， 且 有 lim s → 1 x ( s ) = x ( 1 ) } 定理2.2： P C [ 0 ， 1 ] * = B V [ 0 ， 1 ] 。 证明： 对于 P C [ 0 ， 1 ] 空间内的任意元素 φ ，对空间 B V [ 0 ， 1 ] 中的任一元素g，由定义，函数 g ( t ) 在 [ 0 ， 1 ] 区间上有界，即 ∃ h > 0 ，使得 ， ∀ t ∈ [ 0 ， 1 ] 成立。 对任意正数 ε ，由函数 φ 在 [ 0 ， 1 ] 区间上有无限多个间断点： s 1 ， s 2 ， ⋯ ， s m ， ⋯ ，且由 lim m → ∞ s m = 1 及 lim s → 1 x ( s ) = x ( 1 ) ，可知，存在足够小的正数 δ ，在 [ 1 − δ ， 1 ] 上，有 ϖ 0 var ( g ) < ε 2 。 在区间 [ 0 ， 1 − δ ] 上，函数 φ 仅有有限个间断点，由定理2.1可知，积分 ∫ 0 1 − δ φ ( t ) d g ( t ) 存在。故对区间 [ 0 ， 1 − δ ] 上的任意分割 T : 0 = t 0 < t 1 < ⋯ < t n = 1 − δ ，有振幅和 ∑ T ω k [ g ( t k ) − g ( t k − 1 ) ] < ε 2 。 因此将分割T与区间右端点1合成 [ 0 ， 1 ] 区间上一个新的分割 T ′ ，则对于区间 [ 0 ， 1 ] 上的分割 T ′ ，有振幅和 ∑ T ′ ω k [ g ( t k ) − g ( t k + 1 ) ] = ∑ T ω k [ g ( t k ) − g ( t k + 1 ) ] + ω 0 [ g ( 1 − δ ) − g ( 1 ) ] < ε 2 + ε 2 = ε . 即可得积分 ∫ 0 1 φ ( t ) d g ( t ) 存在。 根据Stieltjes积分，定义 ∫ 0 1 φ ( t ) d g ( t ) = lim ‖ T ‖ → 0 ∑ i = 0 n − 1 φ ( t j ∗ ) [ g ( t j + 1 ) − g ( t j ) ] ， t j ∗ ∈ ( t j ， t j + 1 ) 。从定义可见，对 B V [ 0 ， 1 ] 空间中的任一函数 g ( t ) ，其对应于空间 P C [ 0 ， 1 ] 上的一个线性连续泛函 〈 f ， φ 〉 = ∫ 0 1 φ ( t ) d g ( t ) 。使其满足 ‖ f ‖ ≤ ∫ 0 1 | d g ( t ) | = var ( g ) = ‖ g ‖ v 。所以有 。 以下证明对空间 P C [ 0 ， 1 ] * 中的任意元素f，必在空间 B V [ 0 ， 1 ] 中存在唯一的元素g，使得对空间 P C [ 0 ， 1 ] 中的任意元素 φ ，成立 及 ‖ g ‖ v = ‖ f ‖ 。 证明过程同定理2.1一致，在此不予详证。 综上， g ↦ ∫ 0 1 φ ( t ) d g ( t ) 是空间 B V [ 0 ， 1 ] 到空间 P C [ 0 ， 1 ] * 的一个等距同构，即有 P C [ 0 ， 1 ] * = B V [ 0 ， 1 ] 。证毕。