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user: 3. 方程 φ 2 ( m ) = p x q y 的解 本节将在定理1： φ 2 ( m ) = 2 x 3 y 的解的情况的基础上，对更一般的情况来作进一步的讨论，即 φ 2 ( m ) = p x q y (其中p，q为质数，且)。当 q = 2 ， p = 3 时，与定理1相同，下面，我们讨论 q = 2 ， 不同时成立的情况。 3.1. 情况A p = 2 ， q ≥ 5 ， φ 2 ( m ) = 2 x q y ，则 q 1 β 1 − 1 ⋅ q 2 β 2 − 1 ⋯ q t β t − 1 ⋅ ( q 1 − 1 ) ⋅ ( q 2 − 1 ) ⋯ ( q t − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y . (3.1) 同样地，我们设 m = q 1 β 1 ⋅ q 2 β 2 ⋯ q t β t 其中 q 1 < q 2 < ⋯ < q t 且均为质数。 情况1：t = 1当 t = 1 时， q 1 β 1 − 1 ⋅ ( q 1 − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y 。 情况1.1：当 β 1 = 1 时， m = q 1 ， q 1 = 2 s 1 ⋅ q t 1 + 1 ( s 1 ≥ 0 ， t 1 ≥ 0 )，故 x = s 1 − 1 ， y = t 1 (当 t 1 = 0 时， s 1 ≥ 2 ； s 1 ≥ 1 时， t 1 ≥ 1 )。 情况1.2：当 时， q 1 β 1 − 1 ⋅ ( q 1 − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ 3 y 。 情况1.2.1：当 q 1 = 2 时， 2 β 1 − 1 = 2 x + 1 ⋅ q y ，可得 m = 2 a ( a ≥ 2 )， q 1 = 2 s 1 ⋅ q t 1 + 1 ( s 1 = 0 ， t 1 = 0 )，故 x = s 1 + a − 2 ， y = t 1 。 情况1.2.2：当 q 1 = q 时， q β 1 − 1 ⋅ ( q − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y ，可得 m = q b ( b ≥ 2 )， q 1 = 2 s 1 ⋅ q t 1 + 1 ( s 1 ≥ 1 ， t 1 = 0 )，故 x = s 1 − 1 ， y = t 1 + b − 1 。 情况2：t = 2当 t = 2 时， q 1 β 1 − 1 ⋅ ( q 1 − 1 ) ⋅ q 2 β 2 − 1 ⋅ ( q 2 − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y 。 情况2.1：当 β 1 = β 2 = 1 时，有 ( q 1 − 1 ) ⋅ ( q 2 − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y ，可得 m = q 1 q 2 ， q 1 = 2 s 1 3 t 1 + 1 ， q 2 = 2 s 2 3 t 2 + 1 ( s 1 ≥ 0 ， t 1 ≥ 0 ; s 2 ≥ 1 ， t 2 ≥ 0 )，故 x = s 1 + s 2 − 1 ， y = t 1 + t 2 。 情况2.2：当 β 1 ≥ 2 ， β 2 = 1 时，有 q 1 β 1 − 1 ⋅ ( q 1 − 1 ) ⋅ ( q 2 − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y 。 情况2.2.1：当 q 1 = 2 ( q 2 ≥ 5 ，且为质数)时， 2 β 1 − 1 ⋅ ( q 2 − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y ，可得 m = 2 a q 2 ( a ≥ 2 )， q 1 = 2 s 1 ⋅ q t 1 + 1 ( s 1 = 0 ， t 1 = 0 )， q 2 = 2 s 2 ⋅ q t 2 + 1 ( s 2 ≥ 1 ， t 2 ≥ 0 )，故 x = s 1 + s 2 + a − 2 ， y = t 1 + t 2 。 情况2.2.2：当 q 1 = q 时，( q ≥ 5 ，且为质数) q β 1 − 1 ⋅ ( q − 1 ) ⋅ ( q 2 − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y ，可得 m = q b q 2 ( b ≥ 2 )， q 1 = 2 s 1 q t 1 + 1 ( s 1 ≥ 0 ， t 1 = 0 )， q 2 = 2 s 2 q t 2 + 1 ( )，故 x = s 1 + s 2 − 1 ， y = t 1 + t 2 + b − 1 。 情况2.3：当 β 1 = 1 ， β 2 ≥ 2 时，有 ( q 1 − 1 ) ⋅ q 2 β 2 − 1 ⋅ ( q 2 − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y ，此时必定有 q 2 = q ，则有 m = q 1 q b ( b ≥ 2 )， q 1 = 2 s 1 q t 1 + 1 ( s 1 ≥ 0 ， t 1 = 0 )， q 2 = 2 s 2 q t 2 + 1 ( s 2 ≥ 2 ， t 2 ≥ 0 )，故 x = s 1 + s 2 − 1 ， y = t 1 + t 2 + b − 1 。 情况2.4：当 β 1 ≥ 2 ， β 2 ≥ 2 时，有 q 1 β 1 − 1 ⋅ q 2 β 2 − 1 ⋅ ( q 1 − 1 ) ⋅ ( q 2 − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y 。 当 q 1 = 2 ， q 2 = q 时， 2 β 1 − 1 ⋅ q β 2 − 1 ⋅ ( q − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y ，可得 m = 2 a q b ( a ≥ 2 ， b ≥ 2 )， 2 = 2 s 1 ⋅ q t 1 + 1 ( s 1 = 0 ， t 1 = 0 )， q 2 = 2 s 2 q t 2 + 1 ( s 2 ≥ 2 ， t 2 = 0 )，故 x = s 1 + s 2 + a − 2 ， y = t 1 + t 2 + b − 1 。 情况3：t = 3当t = 3时， q 1 β 1 − 1 ⋅ ( q 1 − 1 ) ⋅ q 2 β 2 − 1 ⋅ ( q 2 − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y 。 情况3.1：当 β 1 = β 2 = β 3 = 1 时，有 ( q 1 − 1 ) ⋅ ( q 2 − 1 ) ⋅ ( q 3 − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y ，可得 m = q 1 q 2 q 3 ， q 1 = 2 s 1 q t 1 + 1 ( s 1 ≥ 0 ， t 1 ≥ 0 )， q 2 = 2 s 2 q t 2 + 1 ， q 3 = 2 s 3 q t 3 + 1 ( s i ≥ 1 ， t i ≥ 0 ) i ≥ 2 当 时，必有 s ≥ 2 且 q 2 ≤ q 3 ，故 x = s 1 + s 2 + s 3 − 1 ， y = t 1 + t 2 + t 3 。 情况3.2：当 ， β 2 = β 3 = 1 时，有 q 1 β 1 − 1 ⋅ ( q 1 − 1 ) ⋅ ( q 2 − 1 ) ⋅ ( q 3 − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y 。 情况3.2.1：当 q 1 = 2 时， 2 β 1 − 1 ⋅ ( q 2 − 1 ) ⋅ ( q 3 − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y ，可得 m = 2 a q 2 q 3 ( a ≥ 2 )。 2 = 2 s 1 ⋅ q t 1 + 1 ( s 1 = 0 ， t 1 = 0 )， q 2 = 2 s 2 q t 2 + 1 ， q 3 = 2 s 3 q t 3 + 1 ( s i ≥ 1 ， t i ≥ 0 )， i ≥ 2 当 t = 0 时，必有 s ≥ 2 且 q 2 ≤ q 3 ，故 x = s 1 + s 2 + s 3 + a − 2 ， y = t 1 + t 2 + t 3 。 情况3.2.2：当 q 1 = q 时，( q ≥ 5 ，且为质数) q β 1 − 1 ⋅ ( q − 1 ) ⋅ ( q 2 − 1 ) ⋅ ( q 3 − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y ，可得 m = q b q 2 q 3 ( b ≥ 2 )， q 1 = 2 s 1 q t 1 + 1 ( s 1 ≥ 1 ， t 1 = 0 )当 t = 0 时，必有 s ≥ 2 ， q 2 = 2 s 2 q t 2 + 1 ， q 3 = 2 s 3 q t 3 + 1 ( s i ≥ 1 ， t i ≥ 0 )， i ≥ 2 且 q 1 ≤ q 2 ≤ q 3 ，故 x = s 1 + s 2 + s 3 − 1 ， y = t 1 + t 2 + t 3 + b − 1 。 情况3.3：当 β 1 = 1 ， β 2 ≥ 2 ， β 3 = 1 时，有 ，可得 m = q 1 q b q 3 ( b ≥ 2 )， q 1 = 2 s 1 q t 1 + 1 ( s 1 ≥ 1 ， t 1 = 0 )， q 2 = 2 s 2 q t 2 + 1 ( s 2 ≥ 2 ， t 2 = 0 )， q 3 = 2 s 3 q t 3 + 1 ( s 2 ≥ 2 ， t 2 ≥ 0 )且 ，故 x = s 1 + s 2 + s 3 − 1 ， y = t 1 + t 2 + t 3 + b − 1 。 情况3.4：当 β 1 = β 2 = 1 ， β 3 ≥ 2 时，有 ( q 1 − 1 ) ⋅ ( q 2 − 1 ) ⋅ q 3 β 3 − 1 ⋅ ( q 3 − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y 。 则 q 3 = q ，可得 m = q 1 q 2 q b ( a ≥ 2 ， b ≥ 2 )， q 1 = 2 s 1 q t 1 + 1 ( s 1 ≥ 1 ， t 1 = 0 )， q 2 = 2 s 2 q t 2 + 1 ( s 2 ≥ 2 ， t 2 = 0 )， q 3 = 2 s 3 q t 3 + 1 ( s 2 ≥ 2 ， t 2 = 0 )且 q 1 ≤ q 2 ≤ q 3 ，故 x = s 1 + s 2 + s 3 − 1 ， y = t 1 + t 2 + t 3 + b − 1 。 情况3.5：当 β 1 ≥ 2 ， β 2 ≥ 2 ， β 3 = 1 时，有 q 1 β 1 − 1 ⋅ q 2 β 2 − 1 ⋅ ( q 1 − 1 ) ⋅ ( q 2 − 1 ) ⋅ ( q 3 − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y 。 则 q 1 = 2 ， q 2 = q ( q ≥ 5 ，且为质数)时， 2 β 1 − 1 ⋅ q β 2 − 1 ⋅ ( q − 1 ) ⋅ ( q 3 − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y ，可得， m = 2 a q b q 3 ( a ≥ 2 ， b ≥ 2 )， 2 = 2 s 1 ⋅ q t 1 + 1 ( s 1 = 0 ， t 1 = 0 )， q 2 = 2 s 2 q t 2 + 1 ( s 2 ≥ 1 ， t 2 = 0 )当 t = 0 时，必有 s ≥ 2 ， q 3 = 2 s 3 q t 3 + 1 ( s 2 ≥ 1 ， t 2 ≥ 0 )当 t = 0 时，必有 s ≥ 2 且 q 2 ≤ q 3 ，故 x = s 1 + s 2 + s 3 + a − 2 ， y = t 1 + t 2 + t 3 + b − 1 。 情况4： t ≥ 4 时， ∏ i = 1 t q i β i − 1 ⋅ ( q i − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y 。 情况4.1：当 β i = 1 ( i ∈ N + )时，有 ∏ i = 1 t ( q i − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y 可得 m = ∑ i = 1 t q i ， q i = 2 s i q t i + 1 ( s i ≥ 0 ， t i ≥ 0 )，故 x = ∑ i = 1 t s i − 1 ， y = ∑ i = 1 t t i 。 情况4.2：当 β 1 ≥ 2 ， β i = 1 ( i ≥ 2 ， i ∈ N + )时，有 q 1 β 1 − 1 ⋅ ∏ i = 2 t ( q i − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y 。 情况4.2.1：当 q 1 = 2 ， q i = q i ( q i ≥ 5 且为质数， i ≥ 2 )时， 2 β 1 − 1 ⋅ ∏ i = 2 t ( q i − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y ，可得 m = 2 a ∏ i = 2 t q i ， q i = 2 s i 3 t i + 1 ( s i ≥ 1 ， t i ≥ 0 )，故 x = ∑ i = 2 t s i + a − 2 ， y = ∑ i = 2 t t i 。 情况4.2.2：当 q 1 = q ( q i ≥ 5 且为质数， i ≥ 2 )时， q β 1 − 1 ⋅ ∏ i = 1 t ( q i − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y ，可得 m = q b ∏ i = 2 t q i ， q i = 2 s i 3 t i + 1 ( s i ≥ 1 ， t i ≥ 0 )，当 t = 0 时， s ≥ 2 ，故 x = ∑ i = 2 t s i − 1 ， y = ∑ i = 2 t t i + b − 1 。 情况4.3：当 β j ≥ 2 ， β 1 = ⋯ = β j − 1 = β j + 1 = ⋯ = 1 ( j ≥ 2 ， i ∈ N + )时，有 q j β 1 − 1 ⋅ ∏ i = 1 t ( q i − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y 。 当 q j = q ( q i ≥ 7 且为质数， i ≥ 3 )时， q β 1 − 1 ⋅ ∏ i = 1 t ( q i − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y ，可得 m = q b ∏ i = 2 t q i ， q i = 2 s i 3 t i + 1 ( s i ≥ 1 ， t i ≥ 0 )，当 t = 0 时， s ≥ 2 ，故 x = ∑ i = 2 t s i − 1 ， y = ∑ i = 2 t t i + b − 1 。 情况4.4：当 β 1 ≥ 2 ， β 2 ≥ 2 ， β i = 1 ( i ≥ 3 ， i ∈ N + )时，有 q 1 β 1 − 1 ⋅ q 2 β 2 − 1 ⋅ ∏ i = 1 t ( q i − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y 。 情况4.4.1：当 q 1 = 2 ， q 2 = q ， q i = q i ( q i ≥ 7 且为质数， i ≥ 3 )时， 2 β 1 ⋅ q β 2 − 1 ⋅ ∏ i = 1 t ( q i − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y ，可得 m = 2 a q b ∏ i = 3 t q i ， q i = 2 s i 3 t i + 1 ( s i ≥ 0 ， t i ≥ 0 )，故 x = ∑ i = 1 t s i + a − 2 ， y = ∑ i = 1 t t i + b − 1 。其中 s = 1 ， t = 0 不能同时取。 3.2. 情况B 由于当 q = 3 时，必有 p = 2 ，与定理1相同，故下面讨论 p ≠ 2 ， q ≠ 3 时的情况 当 p ≠ 2 ， q ≠ 3 时， p ， q ≥ 5 ， φ 2 ( m ) = p x q y ，则 q 1 β 1 − 1 ⋅ q 2 β 2 − 1 ⋯ q t β t − 1 ⋅ ( q 1 − 1 ) ⋅ ( q 2 − 1 ) ⋯ ( q t − 1 ) = 2 ⋅ p x ⋅ q y (3.2) 情况1：t = 1：当 t = 1 时， q 1 β 1 − 1 ⋅ ( q 1 − 1 ) = 2 ⋅ p x ⋅ q y 情况1.1：当 β 1 = 1 时， m = q 1 ， q 1 = 2 ⋅ p s 1 ⋅ q t 1 + 1 ( s 1 ≥ 1 ， t 1 ≥ 0 )，故 x = s 1 ， y = t 1 (当 t = 0 时， s ≥ 2 ； s ≥ 1 时， t ≥ 1 )。 情况1.2：当 β 1 ≥ 2 时， q 1 β 1 − 1 ⋅ ( q 1 − 1 ) = 2 ⋅ p x ⋅ q y 。通过分析易知 q 1 ≠ 2 ，则 q 1 = p 或者 q 1 = q 。 情况1.2.1：当 q 1 = p 时， p β 1 − 1 ⋅ ( p − 1 ) = 2 ⋅ p x ⋅ q y ，可得 p = 3 ， m = 3 a ( a ≥ 2 )，此时只有在 a = 2 下有解。 p = 2 ⋅ p s 1 ⋅ q t 1 + 1 ( s 1 = 0 ， t 1 = 0 )，故 x = s 1 ， y = t 1 。 情况1.2.2：当 q 1 = q 时， q β 1 − 1 ⋅ ( q − 1 ) = 2 ⋅ p x ⋅ q y ，可得 m = q b ( b ≥ 2 )， q = 2 ⋅ p s 1 ⋅ q t 1 + 1 ( s 1 ≥ 0 ， t 1 = 0 )，故 x = s 1 ， y = t 1 + b − 1 。 情况2：t = 2当 t = 2 时， q 1 β 1 − 1 ⋅ ( q 1 − 1 ) ⋅ q 2 β 2 − 1 ⋅ ( q 2 − 1 ) = 2 ⋅ p x ⋅ q y 。 情况2.1：当 β 1 = β 2 = 1 时，有 ( q 1 − 1 ) ⋅ ( q 2 − 1 ) = 2 ⋅ p x ⋅ q y ，由于 q 1 ≠ 2 ，易知 2 | ( q 1 − 1 ) ， 2 | ( q 2 − 1 ) 方程不成立，无解。 情况2.2：当 β 1 ≥ 2 ， β 2 = 1 时，有 q 1 β 1 − 1 ⋅ ( q 1 − 1 ) ⋅ ( q 2 − 1 ) = 2 ⋅ p x ⋅ q y ，无解。 情况2.3：当 β 1 = 1 ， β 2 ≥ 2 时，有 ( q 1 − 1 ) ⋅ q 2 β 2 − 1 ⋅ ( q 2 − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y ，无解。 情况2.4：当 β 1 ≥ 2 ， β 2 ≥ 2 时，有 q 1 β 1 − 1 ⋅ q 2 β 2 − 1 ⋅ ( q 1 − 1 ) ⋅ ( q 2 − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ q y ，无解。 情况3：t ≥ 3当 t ≥ 3 时， ∏ i = 1 t q i β i − 1 ⋅ ( q 1 − 1 ) = 2 ⋅ p x ⋅ q y ，无解。 于是定理2得证。