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user: 2. 预备知识 在合理假设下，流固振动Laplace模型可由下述系统描述，其中每个管被模拟为谐波振荡器且硬度为 ν ，质量为m，流体视为完全不可压缩的且密度为 ρ ：求 ω > 0 (振动频率)， u ≠ 0 (流体压力)使得 { Δ u = 0     在     Ω     中 ， ∂ u ∂ n = 0     在     Γ 0   上 ， ∂ u ∂ n = ρ ω 2 ν − m ω 2 ( ∫ Γ i u n d s ) ⋅ n     在     Γ i   上 ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， K ， (2.1) 其中 Ω ⊂ ℝ 2 是由流体占据的有界多边形区域， Γ 0 表示 Ω 的外边界， Γ i ( i = 1 ， ⋯ ， K ) 表示每个管与流体间的交界面， n = ( n 1 ， n 2 ) T 是 Ω 边界上的单位外法向量(参见图1)。 图1. 二维区域模型草图 令 H t ( Ω ) 和 H t ( ∂ Ω ) 分别表示 Ω 和 ∂ Ω 上t阶Sobolev空间，其上半范数分别记为 |   ⋅   | t ， Ω 和 |   ⋅   | t ， ∂ Ω ， H 0 ( ∂ Ω ) = L 2 ( ∂ Ω ) 。令 λ : = ρ ω 2 / ( ν − m ω 2 ) ， V : = H 1 ( Ω ) / ℝ 。(2.1)的弱形式为：求 λ ∈ ℝ ， u ∈ V 满足 { a ( u ， v ) = λ b ( u ， v ) ，     ∀ v ∈ V ， b ( u ， u ) = 1 ， (2.2) 其中 a ( u ， v ) : = ∫ Ω ∇ u ⋅ ∇ v ， b ( u ， v ) : = ∑ i = 1 K ( ∫ Γ i u n ) ⋅ ( ∫ Γ i v n ) 。 显然 a ( ⋅ ， ⋅ ) 是V上连续、对称、椭圆的双线性形式， b ( ⋅ ， ⋅ ) 是非负的。在V上 H 1 半范数 |   ⋅   | 1 ， Ω = a ( ⋅ ， ⋅ ) 等价于 H 1 范数 ‖   ⋅   ‖ 1 ， Ω ， b ( ⋅ ， ⋅ ) 可以作为V上的半范数。 由文献 [ 25 ] [ 27 ] 可知，(2.2)的解是由2K个特征对 ( λ j ， u j ) 给出的序列，特征值 λ j 均为正，假定特征值按递增排序： 0 < λ 1 ≤ ⋯ ≤ λ 2 K 。每个特征值都对应一个特征函数 u j ∈ V ，使得 { u 1 ， ⋯ ， u 2 K } 是一个线性无关的集合。 令 π h 是 Ω 的一族正规三角形剖分， h T 为三角形 T ∈ π h 的直径，网格直径 h = max T ∈ π h h T 。令 ε h ( Γ i ) = { e } 表示 π h 中位于边界 Γ i 上的所有边构成的集合， ε h ( Γ ) = ε h ( Γ 1 ) ∪ ε h ( Γ 2 ) ∪ ⋯ ∪ ε h ( Γ K ) 。令 S h ⊂ H 1 ( Ω ) 是定义在 π h 上的分片p次( p ≥ 1 )多项式空间， V h = S h / ℝ 。注意到对任一 v ∈ V + V h ，由柯西–施瓦茨不等式、迹定理和商空间等价模定理，有 b ( v ， v ) = ∑ i = 1 K ( ∑ e ∈ ε h ( Γ i ) ∫ e v n ) ( ∑ e ∈ ε h ( Γ i ) ∫ e v n ) = ∑ i = 1 K { ( ∑ e ∈ ε h ( Γ i ) ∫ e v n 1 ) 2 + ( ∑ e ∈ ε h ( Γ i ) ∫ e v n 2 ) 2 } ≤ ∑ i = 1 K { ( ∑ e ∈ ε h ( Γ i ) | n 1 | | e | ( ∫ e v 2 ) 1 2 ) 2 + ( ∑ e ∈ ε h ( Γ i ) | n 2 | | e | ( ∫ e v 2 ) 1 2 ) 2 } ≤ max i = 1 ， ⋯ ， K | Γ i | ∑ e ∈ ε h ( Γ ) ∫ e v 2 = max i = 1 ， ⋯ ， K | Γ i | ∑ e ∈ ε h ( Γ ) ‖ v ‖ L 2 ( e ) 2 ≤ C ‖ v ‖ 1 ， Ω 2 ≤ C | v | 1 ， Ω 2 ， 因此 b ( ⋅ ， ⋅ ) ≲ |   ⋅   | 1 ， Ω 。 相应于(2.2)的离散特征值问题为：求 λ h ∈ ℝ 和 u h ∈ V h 满足 { a ( u h ， v h ) = λ h b ( u h ， v h ) ，     ∀ v h ∈ V h ， b ( u h ， u h ) = 1. (2.3) (2.3)归结为一个广义矩阵特征值问题。由文献 [ 27 ] 可知，离散问题(2.3)具有2K个正的特征值： 0 < λ 1 ， h ≤ ⋯ ≤ λ 2 K ， h ，每个特征值都对应一个特征函数 u j ∈ V ，使得 { u 1 ， h ， ⋯ ， u 2 K ， h } 是一个线性无关的集合。 相应于(2.2)和(2.3)的源问题和近似源问题分别如下： 求 w ∈ V ，使得 a ( w ， v ) = b ( f ， v ) ，     ∀ v ∈ V . (2.4) 求 w h ∈ V h ，使得 a ( w h ， v ) = b ( f ， v ) ，     ∀ v ∈ V h . (2.5) 由Neuman问题的标准先验估计(参见文献 [ 28 ] )可知，问题(2.4)的解 w ∈ H 1 + r ( Ω ) ，其中 r < π θ ， θ 为 Ω 的最大凹角，且有 ‖ w ‖ H 1 + r ( Ω ) / ℝ ≤ C | f | 1 ， Ω . (2.6) 故对所有的 r < π θ ，(2.2)的特征函数也满足 u ∈ H 1 + r ( Ω ) 。注意到对于至少有一个交界面 Γ i 的多角形区域 Ω ，必有 θ > π ，因此 1 2 < π θ < 1 。 由Lax-Milgram定理可知，(2.4)和(2.5)分别有唯一解，由此可定义下述有界线性算子 T ， T h : V → V ： { f ∈ V ↦ T f ∈ V ， a ( T f ， v ) = b ( f ， v ) ，     ∀ v ∈ V { f ∈ V ↦ T h f ∈ V h ⊂ V ， a ( T h f ， v h ) = b ( f ， v h ) ，     ∀ v h ∈ V h 对任意的 w ∈ V ，如下定义到 V h 的V椭圆投影算子 P h ： P h w ∈ V h : a ( P h w − w ， v h ) = 0 ，     ∀ v h ∈ V h . 于是，对 ∀ f ∈ V 有 a ( T h f − P h ( T f ) ， v h ) = a ( T h f − T f + T f − P h ( T f ) ， v h ) = 0 ，     ∀ v h ∈ V h . 故对 ∀ f ∈ V ，有 T h f = P h T f ，从而 T h = P h T 。 由插值误差估计和(2.6)可推出 | T h − T | 1 ， Ω = sup g ∈ V | ( T h − T ) g | 1 ， Ω | g | 1 ， Ω = sup g ∈ V | P h T g − T g | 1 ， Ω | g | 1 ， Ω ≲ sup g ∈ V h r | T g | 1 + r ， Ω | g | 1 ， Ω ≲ sup g ∈ V h r | g | 1 ， Ω | g | 1 ， Ω = h r → 0     ( h → 0 ) ， 从而得到下述引理。 引理2.1 | T − T h | 1 ， Ω → 0     ( h → 0 ) 。 参考文献 [ 25 ] 我们有以下协调有限元逼近的误差估计。 引理2.2对于任意 r < π θ ，存在正常数 κ ，使得若 h < κ ，则有 | u j − u j ， h | 1 ， Ω ≲ h r ， (2.7) b ( u j − u j ， h ， u j − u j ， h ) 1 2 ≲ h r | u j − u j ， h | 1 ， Ω ， (2.8) | λ j − λ j ， h | ≲ | u j − u j ， h | 1 ， Ω 2 . (2.9) 由文献 [ 29 ] [ 30 ] 可知，(2.2)和(2.3)分别有如下等价的算子形式： T u = μ u ， T h u h = μ h u h ， 其中 μ = 1 λ ， μ h = 1 λ h 。在本文中 μ 和 μ h ， λ 和 λ h 都被称作特征值。 设 μ k 的代数重数为q， μ k = μ k + 1 = ⋯ = μ k + q − 1 。令 M ( μ k ) 是T的所有对应于 μ k 的特征函数张成的空间， M h ( μ k ) 是 T h 的所有收敛到 μ k 的特征值的特征空间的直和。令 M ^ ( μ k ) = { v : v ∈ M ( μ k ) ， | v | 1 ， Ω = 1 } ， M ^ h ( μ k ) = { v : v ∈ M h ( μ k ) ， | v | 1 ， Ω = 1 } 。我们也记 M ( λ k ) = M ( μ k ) ， M h ( λ k ) = M h ( μ k ) ， M ^ ( λ k ) = M ^ ( μ k ) ， M ^ h ( λ k ) = M ^ h ( μ k ) 。 记 δ h ( λ k ) = sup w ∈ M ^ ( λ k ) inf v ∈ V h | w − v | 1 ， Ω . 由(2.7)可知 δ h ( λ k ) ≲ h r 。 引理2.3令 λ k 和 λ k ， h 分别是(2.2)和(2.3)的第k个特征值，则 | λ k ， h − λ k | ≲ δ h 2 ( λ k ) ， (2.10) 对任意相应于 λ k ， h 的特征函数 u k ， h 且 | u k ， h | 1 ， Ω = 1 ，存在 u k ∈ M ^ ( λ k ) 使得 | u k ， h − u k | 1 ， Ω ≲ δ h ( λ k ) ， (2.11) 对任意 u k ∈ M ^ ( λ k ) ，存在 u h ∈ M h ( λ k ) 使得 | u h − u k | 1 ， Ω ≲ δ h ( λ k ) . (2.12) 引理2.4令 ( λ ， u ) 是(2.2)的特征对，则对任意的 w ∈ V ， b ( w ， w ) ≠ 0 ，Rayleigh商 a ( w ， w ) b ( w ， w ) 满足 a ( w ， w ) b ( w ， w ) − λ = | w − u | 1 ， Ω b ( w ， w ) − λ b ( w − u ， w − u ) b ( w ， w ) . (2.13) 证明：详见文献 [ 30 ] 中引理 9.1。 下面的引理(参见文献 [ 13 ] 中定理3.2)是分析多网格离散方案的基本工具。 引理2.5令 ( μ 0 ， u 0 ) 是 T h 的一个近似特征对， u 0 ∈ V h 且 | u 0 | 1 ， Ω = 1 。假设 max k ≤ j ≤ k + q + 1 | μ j ， h − μ k ， h μ 0 − μ k ， h | ≤ 1 / 2 ， d i s t ( u 0 ， M h ( μ k ) ) ≤ 1 / 2 ， | μ 0 − μ j ， h | ≥ ϑ / 2   ( j ≠ k ， k + 1 ， ⋯ ， k + q − 1 ) ， u ∈ V h 与 u k h ∈ V h 满足 ( μ 0 − T h ) u = u 0 ， u k h = u | u | 1 ， Ω ， 则 d i s t ( u k h ， M ^ h ( μ k ) ) ≤ 16 ϑ | μ 0 − μ k ， h | d i s t ( u 0 ， M h ( μ k ) ) ， (2.14) 其中 ϑ = min μ j ≠ μ k | μ j − μ k | 是特征值 μ k 的分隔常数。