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user: 2. Adomian解析近似解 首先通过以下无量纲变换： ρ = r 2 a 2 ， S = N r a 2 E h 3 ， P = q a 4 E h 4 ( 1 − μ 2 ) ， W = w h ， k = a 2 R h ， φ = k 2 + d W d ρ ， λ 2 = 12 ( 1 − μ 2 ) ⋅ k 将方程(1)和(2)化为无量纲方程 d 2 d ρ 2 ( ρ ⋅ φ ) − 3 ( 1 − μ 2 ) ⋅ S ⋅ φ − 3 4 P = 0 (5) d 2 d ρ 2 ( ρ ⋅ S ) + 1 2 [ φ 2 − ( k 2 ) 2 ] = 0 (6) 边界条件为 ρ = 1 : W = 0 ， φ = k 2 ， 2 ρ d S d ρ + ( 1 − μ ) S = 0 (7) ρ = 0 : | W | < + ∞ ， | S | < + ∞ (8) 为了确定逆算子 L − 1 ，在方程(5)两边进行从0到 ρ 的两次积分，则得 φ ( ρ ) = φ ( 0 ) + 1 ρ ∫ 0 ρ ∫ 0 ρ 3 ( 1 − μ 2 ) ⋅ S ⋅ φ d ρ d ρ + 1 ρ ∫ 0 ρ ∫ 0 ρ 3 4 P d ρ d ρ (9) 令 ρ = 1 ，从(9)得到 φ ( 0 ) = φ ( 1 ) − ∫ 0 1 ∫ 1 ρ 3 ( 1 − μ 2 ) d ρ d ρ − ∫ 0 1 ∫ 0 ρ 3 4 P d ρ d ρ (10) 再将(10)代入(9)中，得到 φ = φ ( 1 ) − ∫ 0 1 ∫ 1 ρ 3 ( 1 − μ 2 ) ⋅ S ⋅ φ + 3 4 P d ρ d ρ + 1 ρ ∫ 0 ρ ∫ 1 ρ 3 ( 1 − μ 2 ) ⋅ S ⋅ φ + 3 4 P d ρ d ρ 令逆算子为 L − 1 [ ⋅ ] = 1 ρ ∫ 0 ρ ∫ 0 ρ [ ⋅ ] d ρ d ρ − ∫ 0 1 ∫ 0 ρ [ ⋅ ] d ρ d ρ 依据圆底扁薄球壳基本方程对变量进行如下分解： φ = ∑ n = 0 ∞ φ n ， S = ∑ n = 0 ∞ S n ， P = ∑ n = 0 ∞ P n (11) 把非线性项展开为: N 1 ( S ， φ ) = 3 ( 1 − μ 2 ) ⋅ S ⋅ φ = ∑ n = 0 ∞ A n N 2 ( φ ) = φ 2 2 = ∑ n = 0 ∞ B n ， ( n ≥ 0 ) (12) 其中 A 0 = 3 ( 1 − μ 2 ) S 0 φ 0 A 1 = 3 ( 1 − μ 2 ) ( S 0 φ 1 + S 1 φ 0 ) A 2 = 3 ( 1 − μ 2 ) ( S 0 φ 2 + S 1 φ 1 + S 2 φ 0 ) ⋮ B 0 = φ 0 2 2 B 1 = φ 0 φ 1 B 2 = φ 1 2 2 + φ 0 φ 2 ⋮ 根据条件 ρ = 0 时， W = W 0 ； ρ = 1 时， W = 1 2 k ρ 2 得 W 0 = ∫ 0 1 ( k 2 − φ ) d ρ 其中 W 0 是壳体的无量纲中心挠度， W 0 = w h | r = 0 。 令 W 0 = ∫ 0 1 ( k 2 − φ 0 ) d ρ (13) 则有 ∫ 0 1 φ 0 d ρ = ∫ 0 1 φ 1 d ρ = ⋯ = ∫ 0 1 φ n d ρ = 0 (14) 方程(13)~(14)主要用于特征方程的确定。 在方程(5)两边作用逆算子 L − 1 ，根据边界条件(7)，有 φ = k 2 + L − 1 [ 3 4 P ] + L − 1 [ 3 ( 1 − μ 2 ) ⋅ S ⋅ φ ] (15) 将(11)~(12)代入(15)，得到 ∑ n = 0 ∞ φ n = k 2 + L − 1 [ 3 4 ∑ n = 0 ∞ P n ] + L − 1 [ ∑ n = 0 ∞ A n ] (16) 再将(11)~(12)代入方程(6)， d 2 d ρ 2 [ ρ ⋅ ∑ n = 0 ∞ S n ] + ∑ n = 0 ∞ B n − k 2 8 = 0 (17) 边界条件(7)~(8)可写为 ρ = 1 : ∑ n = 0 ∞ φ n = k 2 ， 2 d d ρ [ ∑ n = 0 ∞ S n ] | ρ = 1 + 1 − μ ρ ∑ n = 0 ∞ S n | ρ = 1 = 0 (18) ρ = 0 ， | ∑ n = 0 ∞ φ n | < + ∞ ， | ∑ n = 0 ∞ S n | < + ∞ (19) 根据(16)~(17)，考虑边界条件(18)~(19)，我们可构造如下一系列递推式边值问题： { φ 0 − k 2 − L − 1 [ 3 4 P 0 ] = 0 d 2 S 0 d ρ 2 + B 0 − k 2 8 = 0 | φ 0 | < + ∞ | S 0 | < + ∞ (20) { φ n − L − 1 [ 3 4 P n ] − L − 1 [ A n − 1 ] = 0 d 2 S n d ρ 2 + B n = 0 2 d 2 S n d ρ 2 | ρ = 1 + ( 1 − μ ) S n ρ | ρ = 1 = 0 | φ n | < + ∞ ，     | S n | < + ∞ (21) 首先由(20)得 φ 0 = 3 8 P 0 ρ − 3 8 P 0 + k 2 (22) 代入(13)中， W 0 = ∫ 0 1 ( k 2 − φ 0 ) d ρ = 3 16 P 0 得到 P 0 = 16 3 W 0 (23) 将(23)代入(22)，得到 φ 的一次近似 φ 0 = 2 W 0 ρ − 2 W 0 + k 2 接着求解(20)的第二个方程得到S的一次近似 S 0 = − W 0 ( k ( 2 ( μ − 2 ) − 3 ρ ( μ − 1 ) + ρ 2 ( μ − 1 ) ) + W 0 ( 5 + 6 ρ ( μ − 1 ) − 4 ρ 2 ( μ − 1 ) + ( μ − 1 ) − 3 μ ) ) 6 ( − 1 + μ ) 再将一次近似 φ 0 、 S 0 代入方程(21)，得到 φ 1 = a W 0 3 + b W 0 2 + c W 0 + d (24) 其中 a = ( μ − 1 ) ( − 77 + 37 μ ) + ρ ( μ − 1 ) ( ρ ( 110 + ρ ( 50 + ρ ( 2 ρ − 15 ) ) ( μ − 1 ) − 90 μ ) + 30 ( 3 μ − 5 ) ) 60 b = k ( 1 + μ ) ( − 75 + 31 μ ) + k ρ ( 1 + μ ) ( 126 − 66 μ + ρ ( − 68 + ρ ( 3 ρ − 20 ) ( μ − 1 ) + 52 μ ) ) 48 c = k 2 ρ ( 12 ( μ − 2 ) + ( ρ − 6 ) ρ ( μ − 1 ) − k 2 ( 1 + μ ) ( 7 μ − 19 ) ) 48 d = − 3 8 P 1 + 3 8 P 1 ρ 由(14)得 P 1 = − 2 135 ( 1 + μ ) ( 73 μ − 173 ) W 0 3 + 2 135 k ( 1 + μ ) ( 82 μ − 227 ) W 0 2 − 1 36 k 2 ( 1 + μ ) ( 11 μ − 35 ) W 0 (25) 将(25)代入(24)，可得 φ 1 = 1 1440 W 0 ( μ − 1 ) ( 15 k 2 ( 3 − 10 ρ + 2 ρ 2 ) ( μ − 1 ) + 2 k W 0 ( 217 − 255 ρ 2 ) ( μ − 1 )   + 45 ρ 3 ( μ − 1 ) − 137 μ + 15 ρ ( 35 μ − 51 ) )   + 8 W 0 2 ( 111 ρ 2 ( μ − 1 ) − 39 ρ 3 ( μ − 1 ) + 6 x 4 ( μ − 1 ) + 38 μ − 3 ρ ( 53 μ − 73 ) − 58 ) 由(21)得 S 1 = 1 120960 W 0 ( 1 + μ ) ( − 42 W 0 ( 7 k 2 − 104 k W 0 + 208 W 0 2 ) ρ 5 ( μ − 1 ) − 408 ( k − 4 W 0 ) W 0 2 ρ 6 ( μ − 1 )         − 144 W 0 3 ρ 7 ( μ − 1 ) + 21 ( k − 4 W 0 ) ρ ( k W 0 ( 434 − 274 μ ) + 45 k 2 ( μ − 1 ) + 16 W 0 2 ( 19 μ − 29 ) )     + 63 ρ 4 ( − k 3 ( μ − 1 ) + 48 k 2 W 0 ( μ − 1 ) + 64 W 0 3 ( 7 μ − 8 ) − 8 k W 0 2 ( 41 μ − 49 ) )     + 14 ρ 3 ( 8 W 0 3 ( 607 − 467 μ ) + 15 k 2 W 0 ( 59 − 51 μ ) + 45 k 3 ( μ − 1 ) + 8 k W 0 2 ( 428 μ − 583 ) )     + 7 ρ 2 ( − 195 k 3 ( μ − 1 ) + 1 μ − 1 ( 14 k 2 W 0 ( 65 + 124 μ − 109 μ 2 ) + 147 k 3 ( μ − 1 )     − 128 W 0 3 ( 34 − 74 μ + 33 μ 2 ) + 8 k W 0 2 ( 359 − 1218 μ + 607 μ 2 ) ) ) ) 依次求解这些边值问题，可求得 φ 2 ， S 2 ， φ 3 ， S 3 ， ⋯ ，则n项近似解为 φ ≈ ∑ i = 0 n φ i S ≈ ∑ i = 0 n S i