system: [SYSTEM]

user: 3. 异宿环的存在性 本节证明3D分片非线性系统(1)的异宿环的存在性。 定理1若下列条件成立 1) k 1 n 3 ( a 2 + b 2 ) = d − n 1 a − n 2 b ， k 2 n 3 ( a 2 + b 2 ) = d − c n 3 。 2) e − α 1 t 1 U 2 U 4 + U 1 U 3 U 3 2 + U 4 2 < d − n 3 k 1 ( a 2 + b 2 ) e − 2 α 1 t 1 ， β 1 U 2 − α 1 U 1 < 0 。 3) 2 α 2 n 3 k 2 ( a 2 + b 2 ) < α 2 V 2 + β 2 V 1 < β 2 V 1 2 + V 2 2 < e α 2 t ˜ 2 α 2 2 + β 2 2 ( S − d ) 。 其中 k 1 = e 1 2 α 1 + γ 1 ， k 2 = e 2 2 α 2 + γ 2 . U 1 = n 1 a + n 2 b ， U 2 = n 2 a − n 1 b ， U 3 = α 1 U 2 + β 1 U 1 ， U 4 = β 1 U 2 − α 1 U 1 . t 1 = 1 β 1 arcsin ( − U 4 U 3 2 + U 4 2 ) + 2 π β 1 ， t ˜ 2 = 2 π β 2 − 1 β 2 arcsin ( α 2 V 2 + β 2 V 1 α 2 2 + β 2 2 V 1 2 + V 2 2 ) . V 1 = n 1 b − n 2 a ， V 2 = n 1 a + n 2 b ， S = n 1 a + n 2 b + n 3 c . 则系统(1)存在异宿环 ，且异宿环 仅横截穿过切换面 N T X = d 两次并经过 Q 1 = ( 0 ， 0 ， d n 3 ) T ， Q 2 = ( a ， b ， d − n 1 a − n 2 b n 3 ) T . 证明：设 φ ( t ， X 0 ) 表示系统(1)过初始值 X 0 的轨线。要证明定理结论，只需证明下列条件成立 (i) Q 1 ∈ W ( 3 ) u ， Q 2 ∈ W ( 2 ) u 。 (ii) φ ( t ， Q 1 ) → O ， φ ( t ， Q 2 ) → P ，当 t → + ∞ 。 φ ( t ， Q 1 ) → P ， φ ( t ， Q 2 ) → O ，当 t → − ∞ 。 (iii) N T ( A 1 Q 1 + B 1 ) N T ( A 2 ( Q 1 − P ) + B 2 ) > 0 ， N T ( A 1 Q 2 + B 1 ) N T ( A 2 ( Q 2 − P ) + B 2 ) > 0 。 首先证明条件(i)是成立的。由条件1)有 Q 1 = ( 0 ， 0 ， d n 3 ) T = ( 0 ， 0 ， k 2 ( a 2 + b 2 ) + c ) T ∈ W ( 3 ) u ， Q 2 = ( a ， b ， d − n 1 a − n 2 b n 3 ) T = ( a ， b ， k 1 ( a 2 + b 2 ) ) T ∈ W ( 2 ) u . 因此，条件(i)成立。 下面证明条件(ii)是成立的。由于 Q 1 ∈ W ( 2 ) s ， Q 2 ∈ W ( 3 ) s 且 W ( 2 ) s 与 W ( 3 ) s 均为直线，故当 t → + ∞ 有 φ ( t ， Q 1 ) → O ， φ ( t ， Q 2 ) → P . 注意到 Q 2 ∈ W ( 2 ) u ，因此若当 t < 0 时， N T φ ( t ， Q 2 ) < d 恒成立，则有 φ ( t ， Q 2 ) → O ，当 t → − ∞ 。由(5)可得，当 t < 0 有 φ ( t ， Q 2 ) = ( e α 1 t ( a cos ( β 1 t ) + b sin ( β 1 t ) ) e α 1 t ( b cos ( β 1 t ) − a sin ( β 1 t ) ) k 1 ( a 2 + b 2 ) e 2 α 1 t ) . 故 N T φ ( t ， Q 2 ) = e α 1 t ( ( n 1 a + n 2 b ) cos ( β 1 t ) − ( n 2 a − n 1 b ) sin ( β 1 t ) ) + n 3 k 1 ( a 2 + b 2 ) e 2 α 1 t . 记 U 1 = n 1 a + n 2 b ， U 2 = n 2 a − n 1 b ， f ( t ) = e − α 1 t ( U 1 cos ( β 1 t ) + U 2 sin ( β 1 t ) ) ， h ( t ) = d − n 3 k 1 ( a 2 + b 2 ) e − 2 α 1 t . 由于 N T φ ( t ， Q 2 ) − d = f ( − t ) − h ( − t ) ，故只需证明当 t > 0 时， f ( t ) < h ( t ) 恒成立。由于 f ′ ( t ) = e − α 1 t ( U 4 cos ( β 1 t ) − U 3 sin ( β 1 t ) ) . 其中 U 3 = α 1 U 2 + β 1 U 1 ， U 4 = β 1 U 2 − α 1 U 1 . 由 f ′ ( t ) = 0 可得 U 4 cos ( β 1 t ) − U 3 sin ( β 1 t ) = 0. 故函数 f ( t ) 的驻点满足 sin ( β 1 t ) = U 4 U 3 2 + U 4 2 ， cos ( β 1 t ) = U 3 U 3 2 + U 4 2 . (7) 或者 sin ( β 1 t ) = − U 4 U 3 2 + U 4 2 ， cos ( β 1 t ) = − U 3 U 3 2 + U 4 2 . (8) 满足(7)且大于0的t可表示为 t i = 1 β 1 arcsin ( U 4 U 3 2 + U 4 2 ) + 2 i π β 1 ，     i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ 满足(8)且大于0的t可表示为 t ′ j = − 1 β 1 arcsin ( U 4 U 3 2 + U 4 2 ) + 2 j π β 1 ，     j = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ 同时由于 f ″ ( t ) = e − α 1 t ( ( α 1 U 3 − β 1 U 4 ) sin ( β 1 t ) − ( α 1 U 4 + β 1 U 3 ) cos ( β 1 t ) ) . 因此 f ″ ( t i ) = − β 1 e − α 1 t i U 3 2 + U 4 2 < 0. 故 t i 是函数 f ( t ) 的极大值点。同理可得 f ″ ( t ′ j ) = β 1 e − α 1 t ′ j U 3 2 + U 4 2 > 0. 所以 t ′ j 是函数 f ( t ) 的极小值点，且函数 f ( t ) 在 t i 的极大值满足 f ( t i ) = e − α 1 t i U 2 U 4 + U 1 U 3 U 3 2 + U 4 2 ≤ e − α 1 t 1 U 2 U 4 + U 1 U 3 U 3 2 + U 4 2 = f ( t 1 ) . 由于点 Q 2 位于切换面上，故有 N T φ ( 0 ， Q 2 ) = 0 ，即 f ( 0 ) = h ( 0 ) 。由条件2)可得 f ′ ( 0 ) = U 4 < 0. 同时注意到函数 h ( t ) 是单调增加的。因此当 t > 0 时，函数 f ( t ) 和 h ( t ) 的图像如图1所示。 图1. 函数 f ( t ) 和 h ( t ) 的图像 若 t 1 满足 f ( t 1 ) < h ( t 1 ) . 那么有 f ( t ) < h ( t ) ，     t ∈ ( 0 ， + ∞ ) . 同时由条件2)可得 f ( t 1 ) = e − α 1 t 1 U 2 U 4 + U 1 U 3 U 3 2 + U 4 2 < d − n 3 k 1 ( a 2 + b 2 ) e − 2 α 1 t 1 = h ( t 1 ) . 所以当 t < 0 时， N T φ ( t ， Q 2 ) < d 恒成立，有 φ ( t ， Q 2 ) → O ，当 t → − ∞ 。 由于 Q 1 ∈ W ( 3 ) u ，因此若当 t < 0 时， N T φ ( t ， Q 1 ) > d 恒成立，则有 φ ( t ， Q 1 ) → P ，当 t → − ∞ 。由(6)可得，当 t < 0 有 φ ( t ， Q 1 ) = ( e α 2 t ( − b sin ( β 2 t ) − a cos ( β 2 t ) ) + a e α 2 t ( a sin ( β 2 t ) − b cos ( β 2 t ) ) + b k 2 ( a 2 + b 2 ) e 2 α 2 t 1 + c ) . 所以 N T φ ( t ， Q 1 ) = e α 2 t ( ( n 2 a − n 1 b ) sin ( β 2 t ) − ( n 2 b + n 1 a ) cos ( β 2 t ) )                                     + n 3 k 2 ( a 2 + b 2 ) e 2 α 2 t + n 1 a + n 2 b + n 3 c . 记 V 1 = n 1 b − n 2 a ， V 2 = n 1 a + n 2 b ， m ( t ) = d − n 1 a − n 2 b − n 3 c − n 3 k 2 ( a 2 + b 2 ) e − 2 α 2 t ， g ( t ) = e − α 2 t ( V 1 sin ( β 2 t ) − V 2 cos ( β 2 t ) ) = e − α 2 t V 1 2 + V 2 2 sin ( β 2 t + θ 1 ) . 其中 θ 1 满足 sin θ 1 = − V 2 V 1 2 + V 2 2 ， cos θ 1 = V 1 V 1 2 + V 2 2 . 由于 N T φ ( 0 ， Q 1 ) = 0 ，故有 − V 2 = g ( 0 ) = m ( 0 ) = d − n 1 a − n 2 b − n 3 c − n 3 k 2 ( a 2 + b 2 ) < 0. 因此有 θ 1 ∈ ( − π ， 0 ) 。由于 N T φ ( t ， Q 1 ) − d = g ( − t ) − m ( − t ) ，因此只需证明当 t > 0 时， g ( t ) > m ( t ) 恒成立。 当 t > 0 时，函数 g ( t ) 和 m ( t ) 的图像如图2所示。 图2. 函数 g ( t ) 和 m ( t ) 的图像 记 G ( t ) = g ( t ) − m ( t ) . 则有 G ′ ( t ) = e − α 2 t V 1 2 + V 2 2 α 2 2 + β 2 2 sin ( β 2 t + θ 1 + θ 2 ) − 2 α 2 n 3 k 2 ( a 2 + b 2 ) e − 2 α 2 t . 其中 θ 2 满足 sin θ 2 = β 2 α 2 2 + β 2 2 ， cos θ 2 = − α 2 α 2 2 + β 2 2 . 因此有 θ 2 ∈ ( π 2 ， π ) 。由条件3)可得 sin ( θ 1 + θ 2 ) = α 2 V 2 + β 2 V 1 α 2 2 + β 2 2 V 1 2 + V 2 2 > 0. 因此有 θ 1 + θ 2 ∈ ( 0 ， π ) 。由条件3)可知 G ′ ( 0 ) = α 2 V 2 + β 2 V 1 − 2 α 2 n 3 k 2 ( a 2 + b 2 ) > 0. 而当 t ∈ ( 0 ， − θ 1 β 2 ) 有 β 2 t + θ 1 + θ 2 ∈ ( θ 1 + θ 2 ， θ 2 ) 。由条件3)可得当 t ∈ ( 0 ， − θ 1 β 2 ) G ′ ( t ) > e − α 2 t ( V 1 2 + V 2 2 α 2 2 + β 2 2 sin ( β 2 t + θ 1 + θ 2 ) − 2 α 2 n 3 k 2 ( a 2 + b 2 ) ) > e − α 2 t ( V 1 2 + V 2 2 α 2 2 + β 2 2 min { sin ( θ 1 + θ 2 ) ， sin ( θ 2 ) } − 2 α 2 n 3 k 2 ( a 2 + b 2 ) ) = e − α 2 t ( V 1 2 + V 2 2 α 2 2 + β 2 2 sin ( θ 1 + θ 2 ) − 2 α 2 n 3 k 2 ( a 2 + b 2 ) ) = e − α 2 t G ′ ( 0 ) > 0. 所以当 t ∈ ( 0 ， − θ 1 β 2 ) ，函数 G ( t ) 是单调增加的。注意到 G ( 0 ) = 0 ，所以对于 t ∈ ( 0 ， − θ 1 β 2 ) 有 g ( t ) > m ( t ) 。 同时 g ( − θ 1 β 2 ) = 0 ， m ( − θ 1 β 2 ) < d − n 1 a − n 2 b − n 3 c < 0. 显然，对于 t ∈ ( − θ 1 β 2 ， + ∞ ) 有 m ( t ) < d − n 1 a − n 2 b − n 3 c . 因此若 g ( t ) ≥ d − n 1 a − n 2 b − n 3 c . 那么就有当 t > 0 时， g ( t ) > m ( t ) 成立。同时 g ′ ( t ) = e − α 2 t V 1 2 + V 2 2 α 2 2 + β 2 2 sin ( β 2 t + θ 1 + θ 2 ) ， g ″ ( t ) = e − α 2 t V 1 2 + V 2 2 ( α 2 2 + β 2 2 ) sin ( β 2 t + θ 1 + 2 θ 2 ) . 因此函数 g ( t ) 的驻点为 t ˜ k = k π − θ 1 − θ 2 β 2 ，     k = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ 当k为偶数时 g ″ ( t ˜ k ) = e − α 2 t ˜ k V 1 2 + V 2 2 ( α 2 2 + β 2 2 ) sin ( θ 2 ) > 0. 当k为奇数时 g ″ ( t ˜ k ) = − e − α 2 t ˜ k V 1 2 + V 2 2 ( α 2 2 + β 2 2 ) sin ( θ 2 ) < 0. 所以 t ˜ 2 k 是函数 g ( t ) 的极小值点， t ˜ 2 k − 1 是函数 g ( t ) 的极大值点。同时注意到 g ( t ˜ 2 k ) = − e − α 2 t ˜ 2 k V 1 2 + V 2 2 sin ( θ 2 ) ≥ − e − α 2 t ˜ 2 V 1 2 + V 2 2 sin ( θ 2 ) = g ( t ˜ 2 ) . 由条件3)可得 − e − α 2 t ˜ 2 V 1 2 + V 2 2 sin ( θ 2 ) = − e − α 2 t ˜ 2 β 2 V 1 2 + V 2 2 α 2 2 + β 2 2 > d − n 1 a − n 2 b − n 3 c . 因此当 t > 0 时， g ( t ) > m ( t ) 恒成立。故条件(ii)是成立的。 下面说明条件(iii)是成立的。由于 N T ( A 1 Q 1 + B 1 ) = − γ 1 d < 0 N T ( A 2 ( Q 1 − P ) + B 2 ) = 2 α 2 n 3 k 2 ( a 2 + b 2 ) − α 2 V 2 − β 2 V 1 < 0 N T ( A 2 ( Q 2 − P ) + B 2 ) = − γ 2 ( d − n 1 a − n 2 b − n 3 c ) > 0 N T ( A 1 Q 2 + B 1 ) = α 1 U 1 − β 1 U 2 + 2 α 1 n 3 k 1 ( a 2 + b 2 ) > 0 因此条件(iii)是成立。 因此系统(1)存在只横截穿过切换面两次的异宿环Г，且异宿环Г仅横截穿过切换面 N T X = d 两次并经过点 Q 1 和 Q 2 ，故定理得证。 当系统(1)中的 e 1 = e 2 = 0 时，系统(1)就由3D分片非线性系统转化为3D分片线性系统。根据定理1可得如下推论。 推论1：若 e 1 = e 2 = 0 ，则3D分片线性系统(1)存在横截穿过切换面 N T X = d 两次的异宿环的充分条件为 1) d = n 1 a + n 2 b = c n 3 。 2) e − α 1 t 1 U 2 U 4 + U 1 U 3 U 3 2 + U 4 2 < d ， β 1 U 2 − α 1 U 1 < 0 。 3) 0 < α 2 V 2 + β 2 V 1 < β 2 V 1 2 + V 2 2 < e α 2 t ˜ 2 α 2 2 + β 2 2 d 。 其中 U 1 = n 1 a + n 2 b ， U 2 = n 2 a − n 1 b ， U 3 = α 1 U 2 + β 1 U 1 ， U 4 = β 1 U 2 − α 1 U 1 . t 1 = 1 β 1 arcsin ( − U 4 U 3 2 + U 4 2 ) + 2 π β 1 ， t ˜ 2 = 2 π β 2 − 1 β 2 arcsin ( α 2 V 2 + β 2 V 1 α 2 2 + β 2 2 V 1 2 + V 2 2 ) . V 1 = n 1 b − n 2 a ， V 2 = n 1 a + n 2 b .