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user: 3. PEMFC分数阶子空间建模 分数阶微积分操作算子 D a t α 定义如下： D a t α = { d α d t ， R ( α ) > 0 1 ， R ( α ) = 0 ∫ a t ( d τ ) − α ， R ( α ) < 0 (10) 式中， α 为微积分阶次，可以为任意的实数甚至复数， R ( α ) 为 α 的实部， t ， a 为操作算子的上下线。 整数阶系统类似，线性定常分数阶系统可分为以下三种：分数阶传递函数、状态空间方程以及微分方程 [ 10 ] 。分数阶微分方程可描述如下： D α n y ( t ) + a n − 1 D α n − 1 y ( t ) + ⋯ + a 0 D α 0 y ( t ) = b m D β m u ( t ) + b m − 1 D β m − 1 u ( t ) + ⋯ b 0 D β 0 u ( t ) (11) 式中，分数阶阶次满足 α n > α n − 1 > ⋯ > α 0 且 β m > β m − 1 > ⋯ > β 0 。当上式中所有分数阶阶次均为某一常数的倍数时，则称该系统为同元阶次分数阶系统。若不满足该条件，则称系统为分布阶次系统。 假设函数 f ( t ) 在 t = 0 时刻初始值为0，可以得到 D α f ( t ) 的Laplace变换： L [ D α f ( t ) ] = s α F ( s ) (12) 观察上式可知，其形式与整数阶Laplace变换一致，当 α 为整数时，分数阶Laplace变换则退化为整数阶的Laplace变换。参考式(12)，对式(11)的进行Laplace变换形式，可以得到分数阶传递函数形式如下： G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = b m s β m + b m − 1 s β m − 1 + ⋯ + b 0 s α n + a n − 1 s α n − 1 + ⋯ + a 0 (13) 对于多输入多输出系统，可以采用分数阶状态空间方程来描述： { D α x ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) (14) 式中， 0 < α < 2 ，这里只考虑同元阶次的分数阶系统。 u ( t ) 和 y ( t ) 分别为输入和输出信号， A ， B ， C ， D 为系统系数矩阵。 分数阶状态空间模型描述如下： { D α x ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) + w ( t ) y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) + v ( t ) (15) 式中， α 为分数阶微分阶次，且满足 0 < α < 2 ，这里只考虑同元阶次的分数阶系统。 u ( t ) ∈ N m 和 y ( t ) ∈ N l 分别为可测输入和输出，m和l分别为输入和输出维数。 w ( t ) ∈ N n 和 v ( t ) ∈ N l 称为系统过程噪声和测量噪声。 A ∈ N n × n ， B ∈ N m × n ， C ∈ N l × n ， D ∈ N l × m 为系统系数矩阵，n为系统阶次。对式(15)中输出方程左右两边求 α 阶导数，可得： D α y ( t ) = C ⋅ D α x ( t ) + D ⋅ D α u ( t ) + D α v ( t ) = C A x ( t ) + ( C B + D ⋅ D α ) u ( t ) + C w ( t ) + D α v ( t ) (16) 对上式进行迭代求导，有： D 2 α y ( t ) = C A ⋅ D α x ( t ) + ( C B ⋅ D α + D ⋅ D 2 α ) u ( t ) + C ⋅ D α w ( t ) + D 2 α v ( t ) = C A 2 x ( t ) + ( C A B + C B ⋅ D α + D ⋅ D 2 α ) u ( t ) + ( C A + C ⋅ D α ) w ( t ) + D 2 α v ( t ) (17) ⋮ D ( q − 1 ) α y ( t ) = C A q − 1 x ( t ) + ( C A q − 2 B + C A q − 2 B ⋅ D α + ⋯ + D ⋅ D ( q − 1 ) α ) u ( t )                                       + ( C A q − 2 + C A q − 3 ⋅ D α + ⋯ + C ⋅ D ( q − 1 ) α ) w ( t ) + D ( q − 1 ) α v ( t ) (18) 将式(16)~(18)改写为矩阵形式，有 Y ( t ) = Γ x ( t ) + H U ( t ) + G W ( t ) + V ( t ) (19) 式中，q为正整数，且需满足 q ≥ n 。 Γ 为广义能观矩阵，H和G为下三角Toeplitz矩阵，定义如下： Γ = [ C C A ⋮ C A q − 1 ] ，     U ( t ) = [ u ( t ) D α u ( t ) ⋮ D ( q − 1 ) α u ( t ) ] ，     Y ( t ) = [ y ( t ) D α y ( t ) ⋮ D ( q − 1 ) α y ( t ) ] H = [ D 0 ⋯ 0 C B D ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ C A q − 2 B C A q − 3 B ⋯ D ] ，     G = [ 0 0 ⋯ 0 C 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ C A q − 2 C A q − 3 ⋯ 0 ] 矩阵 W ( t ) 和 V ( t ) 的构造形式与 U ( t ) 类似。 选取合适的采样时间 T s ，令 t k = k ⋅ T s ， k = 1 ， 2 ⋯ N ， u ( k ) = u ( t k ) ， y ( k ) = y ( t k ) ，由式(19)可以得到： Y N ( k ) = Γ X N ( k ) + H U N ( k ) + G W N ( k ) + V N ( k ) (20) 式中 X N ( k ) = [ x ( k ) x ( k + 2 ) ⋯ x ( N ) ] U N ( k ) = [ U ( k ) U ( k + 1 ) ⋯ U ( N ) ] Y N ( k ) = [ Y ( k ) Y ( k + 1 ) ⋯ Y ( N ) ] 矩阵 W N ( k ) 和 V N ( k ) 的构造形式与 U N ( k ) 类似。 由式(19)可知，可测输入和输出信号必须满足 ( q − 1 ) α 阶分数阶可导。但在实际辨识中输入输出数据很难满足这样的条件，导致后续辨识过程无法进行。为解决此问题，本文引入Poisson滤波器对输入输出数据进行滤波处理。Poisson矩函数描述如下： G k ( s ) = ( β s + λ ) k (21) 式中，s为Laplace算子，k为滤波器阶次，可以理解为k个低通滤波器 β / ( s + λ ) 的级联。 g k ( t ) 为 G k ( s ) 的时域形式，表达式如下： g k ( t ) = L − 1 ( G k ( s ) ) = β k t k − 1 ( k − 1 ) ! e − λ t (22) 对运算符 M { ⋅ } 作如下定义： M { f ( t ) } = g k ( t ) ∗ f ( t ) (23) 式中， ∗ 为卷积运算符， f ( t ) 为关于时间t的函数，根据卷积运算法则和分数阶理论基础有： M { D α f ( t ) } = L − 1 { G k ( s ) s α F ( s ) } = L − 1 { s α G k ( s ) F ( s ) } = D α g k ( t ) ∗ f ( t ) (24) 上式可以解释为：通过使用运算符 M { ⋅ } 将原本对函数 f ( t ) 的 α 阶微分转移到对Poisson矩函数 g k ( t ) 的 α 阶微分。如此，采用上述方法对输入输出信号进行滤波处理，可以把原本对输入输出数据的各阶分数阶微分转化为对的Poisson矩函数的各阶分数阶微分。对输入数据进行滤波处理可以得到： M { U ( k ) } = [ M { u ( k ) } M { D α u ( k ) } ⋮ M { D ( q − 1 ) α u ( k ) } ] = [ g k ( k ) ∗ u ( k ) g k ( k ) ∗ D α u ( k ) ⋮ g k ( k ) ∗ D ( q − 1 ) α u ( k ) ] = [ g k ( k ) ∗ u ( k ) D α g k ( k ) ∗ u ( k ) ⋮ D ( q − 1 ) α g k ( k ) ∗ u ( k ) ] (25) 由式(19)可知，令 k ≥ ( q − 1 ) ⋅ α ，则Poisson矩函数 g k ( t ) 是可以满足 ( q − 1 ) ⋅ α 可导的。对式(20)进行整体滤波可得： M { Y N ( k ) } = Γ M { X N ( k ) } + H M { U N ( k ) } + G M { W N ( k ) } + M { V N ( k ) } (26) 式中 M { U N ( k ) } = [ M { U ( k ) } M { U ( k + 1 ) } ⋯ M { U ( N ) } ] 矩阵 M { Y N ( k ) } 和 M { X N ( k ) } ， M { W N ( k ) } 和 M { V N ( k ) } 的构造方式与 M { U N ( k ) } 类似。 分数阶子空间辨识算法流程图如图3所示： 图3. 分数阶子空间辨识算法流程图