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user: 3. 仿真结果及讨论 下面就LPP1和LPP2预测方法同改进的局域线性模型NLLP1、NLLP2和传统局域线性模型TLLP对三种典型的非线性系统(Logistic映射、Henon映射和Lorenz系统)产生的混沌时间序列的多步预测性能进行仿真研究。以平均绝对误差MAE来评价模型预测值与真值的偏离程度，以相对误差perr来评价模型拟合的准确度，以相关系数CC来定义模型的有效预测步长。一般的，相关系数CC越接近1，则说明两组数据越接近，就时间序列的预测而言，若预测值与真实值的相关系数在1附近，则认为预测准确；若预测值与真实值相关系数接近0，甚至小于0，则认为预测效果很差。同时，本文选取0.99作为一个由相关系数CC定义模型有效预测长度的阈值，即将此阈值对应的预测长度定义为模型的有效预测长度，作为度量模型性能的指标。 图1. LPP建模算法流程 若以 和 分别表示仿真实验的真实值和预测值，则这三种评价标准的定义表达式如下 (12) 式中， 表示时间序列预测值的个数， 和 分别表示真实值和预测值的平均值。 3.1. Logistic映射 Logistic映射表达式如下 (13) 式中，取 ，此时系统具有混沌特性。取初始值 ，直接迭代10000步，去除前面1000个数据后选取不同训练样本进行仿真实验，实验结果见表1。 从表1可以看出，LPP2模型能够有效的预测Logistic混沌时间序列，不同样本量的预测效果一致优于局域线性模型以及LPP1模型，尤其是在样本量为500、2000、4000以及8000时的MAE和perr的数量级相差十分的大。对样本量为4000的预测结果做进一步分析，图2是样本量为4000时不同模型真实值和预测值的图像以及其相应的绝对误差 的图像，图3为相关系数CC随预测个数增加而变化的图像。 从图2可以看出，LPP2模型能够有效的预测Logistic混沌时间序列，预测精度高。而线性模型的预测值与真实值有较大偏差。从图3可以看出，线性模型预测值与真实值的相关系数同LPP2模型相比低很多，且随着预测步数的增加出现了负值，其多步预测性能随着预测步数的增加越来越差。表2给出了在0.99阈值下各模型预测Logistic混沌时间序列的有效预测长度。从表2可以看出，LPP2模型的有效预测长度最大。 3.2. Henon映射 Henon映射表达式如下 (14) 式中，取 ， ，此时系统具有混沌特性。取初始值 ， ，直接迭代10，000步，去除前面1000个数据后选取不同训练样本进行仿真实验，实验结果见表3。 表3和表1结果是一致的，即采用方案2定阶的LPP2模型能够有效的预测Henon混沌时间序列，预测效果一致的优于线性模型以及LPP1模型。这表明LPP2模型能够很好的估计Henon映射的变化趋势并对其将来值进行预测。 同样，对样本量为4000时的Henon混沌时间序列的预测性能做进一步分析。结果见图4与图5。 从图4可以看出，LPP2模型能够有效的预测Henon混沌时间序列，预测精度高。而线性模型的预测值与真实值有较大偏差。从图5可以看出，线性模型预测值与真实值的相关系数CC同LPP2模型相比低很多，且随着预测个数的增加出现了负值，故认为线性模型的预测性能比LPP2模型差的多。表4给出了各模型预测Henon混沌时间序列的有效预测长度。从表4可知，LPP2模型具有最好的预测效果。 3.3. Lorenz系统 Lorenz系统表达式如下 Table 1 The comparative results of different samples of Logistic time serie 训练样本 500 1000 2000 4000 8000 预测样本 30 30 30 30 30 MAE TLLP 0.3093 -- -- -- 0.2971 NLLP1 -- 0.2354 0.1877 0.1637 0.1634 NLLP2 0.3475 -- -- -- -- LPP1 0.0979 0.2346 -- -- -- LPP2 2e−5 0.0845 3e−06 9e−07 4e−05 perr TLLP 0.3736 -- -- -- 0.4707 NLLP1 -- 0.3404 0.2961 0.2102 0.2628 NLLP2 0.4848 -- -- -- -- LPP1 0.0879 0.3755 -- -- -- LPP2 1e−08 9e−02 3e−10 1e−11 5e−08 表1. Logistic映射混沌时间序列不同数量训练样本的预测误差 注：记号“--”表示数值大于10。 Table 2 The effective length of forecasting in different training samples of Logistic time serie 训练样本 500 1000 2000 4000 8000 TLLP 2 6 2 1 4 NLLP1 4 14 16 18 23 NLLP2 5 13 7 19 7 LPP1 18 13 13 12 15 LPP2 41 25 42 44 37 表2. Logistic混沌时间序列不同数量训练样本的有效预测长度 Table 3 The comparative prediction error of different samples of Henon time serie 训练样本 500 1000 2000 4000 8000 预测样本 30 30 30 30 30 MAE TLLP -- -- -- -- -- NLLP1 0.5578 0.6514 0.3148 0.1759 0.2926 NLLP2 0.4007 -- -- -- 0.0569 LPP1 -- -- -- -- 0.2449 LPP2 2e−06 1e−06 3e−04 7e−04 1e−03 perr TLLP -- -- -- -- -- NLLP1 1.2186 1.3799 0.5533 0.2741 0.5916 NLLP2 0.8866 -- -- -- 0.0469 LPP1 -- -- -- -- 0.3204 LPP2 6e−11 2e−11 8e−07 1e−05 2e−05 表3. Henon映射混沌时间序列不同数量训练样本的预测误差 注：记号“--”表示数值大于10。 图2. Logistic映射混沌序列的多步预测结果 图3. Logistic映射混沌序列在不同模型下的相关系数变化趋势 图4. Henon映射混沌序列的多步预测结果 (15) 式中，取 ， ， ，此时系统具有混沌特性。式(15)的Lorenz模型，只考察分量 的预测。假定初值条件 ， ， ，取步长 ，利用四阶Runge-Kutta产生长度为10，000的时间序列，去除前面1000个数据后选取不同训练样本进行仿真实验，实验结果见表5。 图5. Henon映射混沌序列在不同模型下的相关系数变化趋势 Table 4 The effective length of forecasting in different training samples of Henon time serie 训练样本 500 1000 2000 4000 8000 TLLP 7 4 5 10 13 NLLP1 9 11 22 23 21 NLLP2 10 8 14 14 30 LPP1 23 8 7 9 20 LPP2 49 50 43 40 50 表4. Henon混沌时间序列不同数量训练样本的有效预测长度 Table 5 The comparative prediction error of different samples of Lorenz time serie 训练样本 500 1000 2000 4000 8000 预测样本 30 30 30 30 30 MAE TLLP 0.0239 0.4170 0.2101 0.0030 0.0114 NLLP1 0.1588 0.9425 0.4376 0.0098 0.0027 NLLP2 0.0784 0.4899 0.4502 0.0089 0.0081 LPP1 0.3000 1.6157 0.0199 0.0008 0.0004 LPP2 0.0217 0.4780 0.0277 0.0059 0.0028 perr TLLP 2.2e−05 0.0218 5e−04 5e−05 3e−06 NLLP1 2e−03 0.1698 2e−03 3e−04 2e−07 NLLP2 2e−04 0.0609 2e−03 5e−04 2e−06 LPP1 1e−02 2.8228 5e−06 1e−06 5e−09 LPP2 1.7e−05 0.0439 8e−06 1e−04 2e−07 表5. Lorenz系统混沌时间序列不同数量训练样本的预测误差 从表5可以看到，在样本量为1000时，TLLP模型的预测效果最好，而其它复杂方法效果不好。为了分析原因，做出 的图像，见图6。从图6可以看出，要预测的点周围基本没有邻域点，这是导致预测效果差的主要原因。这也是局域法的一大缺点，即无法对相空间中没有出现过的点进行有效的预测。在样本量为2000、4000和8000时的预测效果LPP1模型的预测效果优于LPP2模型，也优于局域线性模型，但效果相差不大。再次观察图6，可以看出对Lorenz混沌时间序列重构后，具有很强的局域线性特性，这也是局域线性模型预测效果好的原因。尽管如此，LPP模型仍能有效的估计Lorenz系统的变化趋势。图7和图8是样本量为4000时不同模型的预测结果。 从图7可以看出，线性模型和LPP模型均能够有效的预测Lorenz混沌时间序列。从图8可以看出，各模型预测值与真实值的相关系数CC均接近于1，故认为各个模型的预测性能差不多。表6给出了各模型预测Lorenz混沌时间序列的有效预测长度。从表6可以看出，LPP2模型的有效预测长度是最长的，可以对Lorenz混沌时间序列进行长期预测，而局域线性模型和LPP1模型的有效预测长度相比就小很多。表7给出了对3种典型混沌时间序列不同样本量的不同模型的有效预测长度的均值±标准差。从表7可以看出，LPP2模型的预测效果是最好的，有最长的平均有效预测长度和小的标准差。 图6. Lorenz模型点图像标准试验系统结果曲线 图7. Lorenz系统混沌序列的多步预测结果 图8. Lorenz系统混沌序列在不同模型下的相关系数变化趋势 Table 6 The effective length of forecasting in different training samples of Lorenz time serie 训练样本 500 1000 2000 4000 8000 TLLP 59 42 127 58 83 NLLP1 29 15 125 300 179 NLLP2 35 22 99 99 196 LPP1 25 26 99 85 65 LPP2 291 46 216 300 300 表6. Lorenz混沌时间序列不同数量训练样本的有效预测长度 Table 7 Means and standard of the effective length of forecasting in three typical chaotic time serie 系统 Logistic Henon Lorenz TLLP 3 ± 1.79 7.8 ± 3.31 73.8 ± 29.65 NLLP1 15 ± 6.26 17.2 ± 5.95 129.6 ± 104.64 NLLP2 10.2 ± 5.15 15.2 ± 7.76 90.2 ± 61.72 LPP1 14.2 ± 2.14 13.4 ± 6.71 60 ± 30.17 LPP2 37.8 ± 6.79 46.4 ± 4.13 230.6 ± 97.54 表7. 三种典型混沌时间序列有效预测长度的均值与标准差