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user: 4. 二维Bedrosian定理应用研究现状 另一方面，基于一维Bedrosian定理的信号分解方法由于二维Hilbert变换的多样性和复杂性以及图像的多样性和复杂性的原因 [ 5 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] ，目前也没有在图像分解中获得大规模拓展性应用 [ 38 ] - [ 43 ] 。同时，对于图像的幅相分析，人们也无法像一维信号那样直观、简单地进行幅相估算(如后文中表4所示，直接应用二维Hilbert变换获取图像的幅度和相位时很多情况是不可行的)，而不得不开发其他更为复杂的、特定的或有针对性的方法(例如文献 [ 29 ] )，一般来讲这些方法普适性较差，制约了图像的时频分析。因此，二维Bedrosian定理的开发从图像时频分析的角度来讲也是迫切需要的(见文中表4及其相关分析)。 4.1. 图像分解 应用Bedrosian定理对图像进行分解，目前的文献报道并不多，主要包括文献 [ 33 ] [ 41 ] 等。核心思想：使用不同二维Bedrosian定理，只有满足一定频率条件的分量信号变成了复数，而其他分量信号保持不变，因此只要对图像信号多次进行嵌套应用Bedrosian定理，实现分量信号的差异性变化，从而根据分量信号的不同变化来区分和剥离不同分量。其所涉及的主要算法包括如下两种： 算法思路1 [ 33 ] [ 41 ] ： 1) 给定二维信号B(根据需要给定，前期工作表明目前主要靠经验信息)和原图像A相乘，建立合成图像C； 2) 对信号B依据交叉象Bedrosian定理进行交叉象Hilbert变换得到π/2相移信号D，把D和原图像A相乘，建立合成图像E； 3) 对信号C依据交叉象Bedrosian定理进行交叉象Hilbert变换后再与D相乘得到信号F； 4) 对信号D依据交叉象Bedrosian定理进行交叉象Hilbert变换后再与C相乘得到信号G； 5) 做差H=F-G即为A的一个分量A1的分解结果； 6) 令A-A1=A，对A执行步骤 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] 的操作，即可获得图像A的多分量分解结果。 算法思路2 [ 33 ] [ 41 ] ： 1) 原图像A依据方向Bedrosian定理进行方向Hilbert变换得到复数图像B； 2) 信号B依据方向Bedrosian定理进行方向Hilbert变换得到复数图像C； 3) C的共轭与B相乘得到复数图像D； 4) 对D进行Fourier变换后取低频分量，而后再把低频分量进行Fourier逆变换得到图像E； 5) E与C相乘得到图像F，取F的实部即为A图像的一次分解结果； 6) 对A不断执行步骤 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] 的操作，即可获得图像A的多分量分解结果。 从文献测试结果来看，两种算法具有不同的适应范围：算法1适合于具有剧烈频率变化的图像，而算法2适合于频率变化相对缓慢的图像(见图2结果比对)。前期结果表明，只要根据需要确定好二维信号B，通过Bedrosian定理很有希望找到合适的参量，实现自适应的精细分解。但是，需要测试的工作尚还有很多。 4.2. 图像幅相分析 幅相分析一直是信号处理领域的基础性工作之一，在一维信号中，应用一维Bedrosian定理为幅度求解、相位分析、频率分析等提供了简洁明了、直接有力的方式，可以充分利用实数复数转换过程的性质，为后续处理提供一种有效的时频分析工具。借助于一维Bedrosian定理的幅度求解、相位分析、频率分析等基本思路，针对不同的二维Bedrosian定理，有些学者 [ 41 ] 在工作中进行了理想情况下不同纹理相乘时直接进行Hilbert变换获得的结果，如表4所示，有很多情况是失败的(如表4最后一行的环形结构图像，无法产生任何有意义的相移形式，也就是说，在二维信号中不能再像一维信号那样直接进行Hilbert变换就可以实现幅相分析)，因此需要我们从新的角度定义二维Bedrosian定理的理论形式并进行相关理论及应用研究。前期工作主要思路包括以下几种 [ 26 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 41 ] ： 4.2.1. 一维思路直接拓展 二象Bedrosian定理来源于二象Hilbert变换，由于二象Hilbert变换继承了一维Hilbert变换所具有的相移特性、信号变换后频谱幅度不变、信号两次变换反号和四次变换复原以及齐次、缩放和卷积特性等。利用上述特性，可以直接对二维信号借助于一维Bedrosian定理的幅度求解、相位分析、频率分析等基本思路，即对复数信号直接取绝对值获取幅度，然后应用幅相分离技术取对数获取相位，进而微分获得频率(表2中部分结果就是这种思路)。 4.2.2. 组合思路 单象Bedrosian定理可以看做是方向Bedrosian定理和交叉象Bedrosian定理的线性组合，因此，在充分分析方向Bedrosian定理和交叉象Bedrosian定理的基础上，根据它们的组合性质进行幅度、相位以及频率信息的分析，用于后续图像处理。 同理，四元Bedrosian定理在时域内可看作是方向Bedrosian定理和单象Bedrosian定理的四元线性组合，在频域内则是四元Fourier变换的单象限的某种构造。我们从时域四元数的特性出发，应用四元Bedrosian定理分析图像信号的四元幅度、相位以及频率等信息。不同的是，四元数幅度虽然只有一个，但是，相位却有三个。其中一个相位的大小可以用来在不同方向上体现各信号分量的能量分布。对于可分离信号，该相位是内部维数的判据，不同的相位值与不同结构模式相对应，因此我们称该相位为模式相位。第二个相位可以体现在特定模式下(即第一个相位值确定后)的横向相位，因此称第二个相位为模式内横向相位。第三个相位体现了在特定模式下(即第一个相位值确定后)的纵向相位，因此称第三个相位为模式内纵向相位。三种不同的相位对应三种不同的频率，因此四元Bedrosian定理对于信号的时频分析具有更多的自由度，因此会带来更多的特性，前期初步工作也证明了这一点。后期将在此基础上开发更多的特性用于图像幅相分析和特征提取。 4.2.3. 矢量思路 单基解析Bedrosian定理是一维Reisz变换在二维和多维空间的拓展，可看作是把图像信号从一个标量变换到一个矢量的过程。矢量信号不仅具备大小，而且具备方向特征，因此应用单基解析Bedrosian定理可以说是一次相位分析的突破，即相位信息引入了方向。通过单基解析Bedrosian定理，我们可以获取标量信号的矢量幅度、矢量相位以及矢量频率等信息，用于多自由度的图像分析与处理，包括对纹理分析、图像分割、特征提取等多角度、全方位的测试。 从初步的工作来看，上述几种思路各有优缺点，有的简单、方便，有的稍微复杂，适用于不同类型的图像。这方面需要进行大量的测试工作，总结出各种方法所适用的类型，并在此基础上开发新的方法。 图2. 基于Bedrosian定理的图像分解与BEMD方法分解比对。(a) 八分量原始图像(512 × 512)；(b) 基于Bedrosian定理的图像分解结果；(c)基于BEMD [ 38 ] 的分解结果 Table 4 The phase shift form of different bi-dimensional Hilbert transform for the different texture image 发生π/2相移的图像形式 几种不同二维Hilbert变换 X方向Hilbert变换 Y方向Hilbert变换 二象Hilbert变换 单象Hilbert变换 交叉象Hilbert变换 四元Hilbert变换 单基解析信号变换 不同结构性纹理（方向和频率不同）相乘的图像形式 × failure failure failure failure failure × failure failure failure failure failure × failure failure failure failure × failure failure failure failure × failure failure failure failure failure × failure failure failure failure failure × failure failure failure failure × failure failure failure failure × ， ， ， failure failure × ， ， ， failure failure × failure failure failure failure × failure failure failure failure failure × ， ， ， failure failure × ， ， ， failure failure × failure failure failure failure failure × failure failure failure failure × failure failure failure failure failure failure failure 表4. 不同纹理图像相乘时不同二维Hilbert变换对应的信号相移结果