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user: 3. 主要结果的证明 定理1.1的证明 反证法，若 ( J λ μ ) ′ ( v λ ) ≠ 0 ，则存在 δ > 0 和 θ > 0 使得 ‖ ( J λ μ ) ′ ( v ) ‖ ≥ θ ， ∀ ‖ v − v λ ‖ ≤ 3 δ . 因为 v λ ∈ Μ λ μ ，根据引理2.3，对于任意的 ( s ， t ) ∈ ( R + × R + ) \ ( 1 ， 1 ) 有 J λ μ ( s v λ + + t v λ − ) < J λ μ ( v λ + + v λ − ) = c λ μ ， (3.1) 选取 σ ∈ ( 0 ， min { 1 / 3 ， δ 2 ‖ v λ ‖ } ) ，令 D : = ( 1 − σ ， 1 + σ ) × ( 1 − σ ， 1 + σ ) 和 g ( s ， t ) = s v λ + + t v λ μ ， ( s ， t ) ∈ D 。根据(3.1)，可以证明 c ¯ λ μ : = max ∂ D J ∘ g < c λ μ . (3.2) 设 ε : = min { ( c λ μ − c ¯ λ μ ) / 2 ， θ δ / 8 } 和 S δ : = B ( v λ ， δ ) ，根据形变引理，存在一个形变 η ∈ C ( [ 0 ， 1 ] × H 0 1 ( Ω ) ， H 0 1 ( Ω ) ) 满足 1) η ( 1 ， v ) = v ，若 v ∉ ( J λ μ ) − 1 ( [ c λ μ − 2 ε ， c λ μ + 2 ε ] ) ∩ S 2 δ ； 2) η ( 1 ， ( J λ μ ) c λ μ + ε ∩ S δ ) ⊂ ( J λ μ ) c λ μ − ε ； 3) J λ μ ( η ( 1 ， v ) ) ≤ J λ μ ( v ) ，对所有的 v ∈ H 0 1 ( Ω ) 。 首先，需要证明 max ( s ， t ) ∈ D ¯ J λ μ ( η ( 1 ， g ( s ， t ) ) ) < c λ μ . (3.3) 事实上，由引理2.3，可得 J λ μ ( g ( s ， t ) ) ≤ c λ μ < c λ μ + ε 。即 g ( s ， t ) ∈ ( J λ μ ) c λ μ + ε 。 另一方面，因为 ‖ g ( s ， t ) − v λ ‖ 2 = ‖ ( s − 1 ) v λ + + ( t − 1 ) v λ − ‖ 2 ≤ 2 ( ( s − 1 ) 2 ‖ v λ + ‖ 2 + ( t − 1 ) ‖ v λ − ‖ 2 ) ≤ 2 σ 2 ‖ v λ ‖ 2 < δ 2 ， 所以对于任意的 ( s ， t ) ∈ D ¯ ， g ( s ， t ) ∈ S δ 。因此，根据(b)，可以得到 I λ μ ( η ( 1 ， g ( s ， t ) ) ) < c λ μ − ε ，所以(3.3)成立。 下面我们证明 η ( 1 ， g ( D ) ) ∩ Μ λ μ ≠ Φ 。 设 h ( s ， t ) : = η ( 1 ， g ( s ， t ) ) ， ψ 0 ( s ， t ) : = ( 〈 ( J λ μ ) ′ ( g ( s ， t ) ) ， v λ + 〉 ， 〈 ( J λ μ ) ′ ( g ( s ， t ) ) ， v λ − 〉 ) : = ( 〈 ( J λ μ ) ′ ( s v λ + + t v λ − ) ， v λ + 〉 ， 〈 ( J λ μ ) ′ ( s v λ + + t v λ − ) ， v λ − 〉 ) : = ( ϕ v 1 ( s ， t ) ， ϕ v 2 ( s ， t ) ) . 和 ψ 1 ( s ， t ) : = ( 1 s 〈 ( J λ μ ) ′ ( h ( s ， t ) ) ， ( h ( s ， t ) ) + 〉 ， 1 t 〈 ( J λ μ ) ′ ( h ( s ， t ) ) ， ( h ( s ， t ) ) − 〉 ) . 直接计算可以得到： ∂ φ v 1 ( s ， t ) ∂ s | ( 1 ， 1 ) = ‖ v λ + ‖ 2 + 3 λ ∫ Ω ϕ v λ + | v λ + | 2 d x + λ ∫ Ω ϕ v λ − | v λ + | 2 d x − 5 | v λ + | 6 6 − μ ∫ Ω f ˜ ′ ( v λ + ) ( v λ + ) 2 d x ∂ φ v 1 ( s ， t ) ∂ t | ( 1 ， 1 ) = 2 λ ∫ Ω ϕ v λ − | v λ + | 2 d x ， ∂ φ v 2 ( s ， t ) ∂ s | ( 1 ， 1 ) = 2 λ ∫ Ω ϕ v λ + | v λ − | 2 d x ， ∂ φ v 2 ( s ， t ) ∂ t | ( 1 ， 1 ) = ‖ v λ − ‖ 2 + 3 λ ∫ Ω ϕ v λ − | v λ − | 2 d x + λ ∫ Ω ϕ v λ + | v λ − | 2 d x − 5 | v λ − | 6 6 − μ ∫ Ω f ˜ ′ ( v λ − ) ( v λ − ) 2 d x 令 M = | ∂ φ v 1 ( s ， t ) ∂ s | ( 1 ， 1 ) ∂ φ v 2 ( s ， t ) ∂ s | ( 1 ， 1 ) ∂ φ v 1 ( s ， t ) ∂ t | ( 1 ， 1 ) ∂ φ v 2 ( s ， t ) ∂ t | ( 1 ， 1 ) | . 根据条件(f 3 )，若 s ≠ 0 ，有 f ˜ ′ ( s ) s 2 − 3 f ˜ ( s ) s > 0 。 因为 v λ ∈ Μ λ μ ，可以得到 det M > 0 因为 ψ 0 ( s ， t ) 是连续可微的且(1，1)是 ψ 0 唯一的孤立推出零点，通过度理论，可以推出 deg ( ψ 0 ， D ， 0 ) = 1 。 因此，结合(3.2)和(a)，可知在 ∂ D 上， g ( s ， t ) = h ( s ， t ) 。所以，可以得到 deg ( ψ 1 ， D ， 0 ) = 1 。因此，存在 ( s 0 ， t 0 ) ∈ D ， ψ 1 ( s 0 ， t 0 ) = 0 。所以 η ( 1 ， g ( s 0 ， t 0 ) ) = h ( s 0 ， t 0 ) ∈ Μ λ μ ，这与(3.33)矛盾。 从上面的讨论中，得到了 v λ 是(1.10)的变号解。 最后，证明 v λ 有两个变号区域。不妨假设 v λ = v 1 + v 2 + v 3 且 v i ≠ 0 ， v 1 ≥ 0 ， v 2 ≤ 0 ， sup p t ( v i ) ∩ sup p t ( v j ) = Φ ， i ≠ j ， i ， j = 1 ， 2 ， 3 ， 和 〈 ( J λ μ ) ′ ( v λ ) ， v i 〉 = 0 ， i = 1 ， 2 ， 3. 设 v : = v 1 + v 2 ，则 v + = v 1 ， v − = v 2 ，即 v ± ≠ 0 。那么，存在唯一一对正实数 ( s v ， t v ) 使得 s v v 1 + t v v 2 ∈ Μ λ μ 。 就得到 J λ μ ( s v v 1 + t v v 2 ) ≥ c λ μ . 根据 〈 ( J λ μ ) ′ ( v λ ) ， v i 〉 = 0 ，得到 〈 ( J λ μ ) ′ ( v ) ， v ± 〉 < 0 。 因此，利用引理2.3，有 ( s v ， t v ) ∈ ( 0 ， 1 ] × ( 0 ， 1 ] . 另一方面，有 0 = 1 4 〈 ( J λ μ ) ′ ( v λ ) ， v 3 〉 = 1 4 ‖ v 3 ‖ 2 + λ 4 ∫ Ω ϕ v 1 | v 3 | 2 d x + λ 4 ∫ Ω ϕ v 2 | v 3 | 2 d x + λ 4 ∫ Ω ϕ v 3 | v 3 | 2 d x − λ 4 ∫ Ω | v 3 | 6 d x − μ 4 ∫ Ω f ˜ ( v 3 ) v 3 d x < J λ μ ( v 3 ) + λ 4 ∫ Ω ϕ v 1 | v 3 | 2 d x + λ 4 ∫ Ω ϕ v 1 | v 3 | 2 d x . 因此，结合条件 ( f 1 ) 和 ( f 3 ) 可以得到 c λ μ ≤ J λ μ ( s v v 1 + t v v 2 ) = J λ μ ( s v v 1 + t v v 2 ) − 1 4 〈 ( J λ μ ) ′ ( s v v 1 + t v v 2 ) ， ( s v v 1 + t v v 2 ) 〉 = 1 4 ( ‖ s v v 1 ‖ 2 + ‖ t v v 2 ‖ 2 ) + μ 4 ∫ Ω [ f ˜ ( s v v 1 ) ( s v v 1 ) − 4 F ˜ ( s v v 1 ) ] d x + μ 4 ∫ Ω [ f ˜ ( t v v 2 ) ( t v v 2 ) − 4 F ˜ ( s v v 2 ) ] d x     + s v 6 12 ∫ Ω | v 1 | 6 d x + t v 6 12 ∫ Ω | v 2 | 6 d x ≤ 1 4 ( ‖ v 1 ‖ 2 + ‖ v 2 ‖ 2 ) + μ 4 ∫ Ω [ f ˜ ( v 1 ) ( v 1 ) − 4 F ˜ ( v 1 ) ] d x + μ 4 ∫ Ω [ f ˜ ( v 2 ) ( v 2 ) − 4 F ˜ ( v 2 ) ] d x + 1 12 ∫ Ω | v 1 | 6 d x + 1 12 ∫ Ω | v 2 | 6 d x = J λ μ ( v 1 + v 2 ) − 1 4 〈 ( J λ μ ) ′ ( v 1 + v 2 ) ， ( v 1 + v 2 ) 〉 = J λ μ ( v 1 + v 2 ) + 1 4 〈 ( J λ μ ) ′ ( v λ ) ， v 3 〉 + λ 4 ∫ Ω ϕ v 1 | v 3 | 2 d x + λ 4 ∫ Ω ϕ v 2 | v 3 | 2 d x < J λ μ ( v 1 ) + J λ μ ( v 2 ) + J λ μ ( v 3 ) + λ 4 ∫ Ω φ v 2 + v 3 | v 1 | 2 d x + λ 4 ∫ Ω φ v 1 + v 3 | v 2 | 2 d x + λ 4 ∫ Ω φ v 1 + v 2 | v 3 | 2 d x = J λ μ ( v λ ) = c λ μ ， 矛盾，所以 v 3 = 0 且 v λ 有两个变号区域。 至此，定理1.1证明完成。 定理1.2的证明 与引理2.5的证明类似，存在 μ 1 * > 0 使得对所有 μ ≥ μ 1 * ，对于每一个 λ > 0 ，都存在相对应的 v λ ∗ ∈ Ν λ μ 满足 J λ μ ( v λ ∗ ) = c * > 0 。与定理1.1证明方法类似，可以得到泛函 J λ μ 在 Ν λ μ 的临界点是泛函 J λ μ 在 H 0 1 ( Ω ) 的临界点和 ( J λ μ ) ′ ( v λ ∗ ) = 0 。换句话说， v λ ∗ 是系统(1.10)的基态解。 对于所有 μ ≥ μ * ，根据定理1.1，对于每一个 λ > 0 ，可以得到(1.10)有一个最小能量变号解 v λ 。 设 μ * * = max { μ * ， μ 1 * } . 假设 v λ = v + + v − 。同引理2.3的证明类似，存在 s v + ， t v − ∈ ( 0 ， 1 ) 使得 s v + v + ∈ Ν μ ， t v − v − ∈ Ν λ μ 。 因此，根据引理2.3，可以得到 2 c * ≤ J λ μ ( s v + v + ) + J λ μ ( t v − v − ) ≤ J λ μ ( s v + v + + t v − v − ) < J λ μ ( v + + v − ) = c λ μ . 定理1.2的证明完成。