DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 2. 材料与方法 2.1. 材料 菌株来源于前期课题组筛选出的一株耐镉菌株(编号：IS0675-1)，能耐受Cd 2+ 500 mg/L浓度。菌株采集于个旧市老厂尾坝矿区根际土壤(北纬23˚15'56~23˚21'39，东经103˚07'28~103˚09'14)。马铃薯葡萄糖琼脂培养基(g/L)：马铃薯200 g，葡萄糖20 g，琼脂18.0 g，水1 L。硝酸镉(天津市复精细化研究所生产，分析纯)。ICP-OES分析仪(美国perkinelmer公司，optima 8000)。 2.2. 方法 2.2.1. 耐镉菌株纯化 将前期课题组挑选出的耐镉能力强的IS0675-1在平板上划线转接3次以上进行菌株纯化 [ 12 ]，并挑选长势好、菌落饱满的单菌接种到马铃薯培养基平板，进行下一步菌株鉴定和吸附性能研究。 2.2.2. 耐镉菌株的形态观察与鉴定 分离和纯化后获得的菌株接种到马铃薯培养基平板中央，28℃培养10 d，观察菌落形态。同时，IS0675-1菌株送上海生工生物工程有限公司测序。将序列进行Blast序列分析，确定各菌株边缘种及相似性。使用MEGA 5.2 软件构建系统发育树。 2.2.3. 耐镉菌株对镉吸附性能研究 在无菌的三角瓶中加入去离子水，采样单因素实验，选择不同温度、pH、重金属浓度、菌量，分别接种微生物菌丝，置于摇床培养，具体实验过程见表1。实验结束后，用滤纸过滤菌丝，用ICP-OES测定溶液中残余的Cd的浓度，同时设置对照实验，三次重复。 Table 1 Biosorption experiment desig 序号 温度 pH 重金属含量(mg/L) 菌量 时间 1 20， 30， 40 6 100 0.2 12 2 30 4， 6， 8 100 0.2 12 3 30 6 50， 100， 200 0.2 12 4 30 6 100 0.1， 0.2， 0.3 12 表1. 吸附实验设计 2.2.4. 重金属镉吸附率 重金属吸附率 = (空白样品重金属浓度 − 实验样品残留浓度)/空白样品重金属浓度 × 100%。 2.3. 数据处理 实验数据采用Excel 2013分析，利用SPSS 20.0进行单因素方差分析(ANOVA)和Duncan检验多重比较(P < 0.05)，结果以平均值 ± 标准差表示。
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user: 3. 结果与分析 3.1. 菌株的形态观察 由图1可以看出，IS0675-1菌株菌落呈褐绿色凸点状，外部及边缘菌丝呈白色绒毛状，较为致密；菌落呈凸起状，圆形向四周扩散；铺散在培养基表面，从中央向四周发散，菌落背面呈现墨绿色。菌丝有分隔，分生孢子梗直立，分身孢子呈椭圆形或者梭型，初步鉴定为暗色孢科。IS0675-2菌株的菌落成乳白色绒毛状，多呈现圆形点状分布，四周相对整齐，白色菌丝紧贴平板上。菌丝并未有发现明显的孢子的迹象。 3.2. 菌株的鉴定 将筛选出的IS0675-1菌株送上海生工生物工程有限公司测序。通过Ezup柱式真菌基因组DNA抽取试剂盒提取菌株DNA，进行PCR扩增，基因测序结果显示IS0675-1菌株的长度约为525 bp (见图2)。使用核糖体数据库(http://rdp.cme.msu.edu/index.jsp)在线对比分析，结果显示IS0675-1菌株与其系列同源性高的菌株有10株，同源性都达到了100%。登录号分别为MK813961.1，MK813962.1，MK813959.1，MN077441.1，MN128233.1，MK355726.1，MN186996.1，MN186740.1，MK780233.1，MN696552.1。结合NCBI (http://blast.ncbi.nlm.nih.gov/Blast.cgi)在线分析以及图3系统发育树分析，初步鉴定IS0675-1菌株属于枝孢菌属(Cladosporium)。 图1. 菌株菌落形态 图2. PCR扩增结果 图3. IS0675-1系统发育树 3.3. 耐镉菌株的吸附特性研究 3.3.1. 温度 由图4可知，菌株IS0675-1在不同的温度下，对重金属镉(Cd 2+ )的吸附特性具有一定影响，随温度增加表现出增加趋势，各处理表现各异。其中，40℃处理下最大达72.2%，其次30℃达65.85%，最少的处理为20℃达65.75%，40℃处理下吸附率比30℃，20℃分别高出6.35%、6.45%，但各处理之间未达显著差异。 图4. 温度对IS0675-1菌株吸附率影响 3.3.2. pH 由图5可知，菌株在不同的pH处理下表现出的吸附率也不相同。pH6的处理下IS0675-1菌株的吸附率最大达68.85%，其次为pH8处理吸附率为62.6%，pH4处理下菌株的吸附率最低，只有58.65%。pH对IS0675-2菌株的吸附率存在很大的影响，其吸附曲线与pH有一定的相关性。在pH在4~8的范围时，随着pH的增加吸附率逐渐增加。pH值为4、6、8的吸附率分别达到67.9%、82.6%、79.6%，以pH = 8的吸附效果较好。 图5. pH对IS0675-1菌株吸附率影响 3.3.3. 重金属浓度 由图6可知，菌株对Cd 2+ 的吸附率随重金属浓度的增加，表现出减少的趋势。50 mg/l处理下菌株吸附率最大为89.6%，其次100 mg/l处理下菌株的吸附率为46.53%，200 mg/l处理下吸附率最低仅为46.53%。经过方差分析，发现50 mg/L处理与100 mg/L和200 mg/L处理达显著差异。100 mg/L处理和200 mg/L处理达显著差异。 3.3.4. 菌量 由图7可知，不同菌量的菌株IS0675-1对重金属镉的吸附量也不同，在一定的菌量范围内，该菌株的吸附率随着菌量增加而升高。菌量0.3 g处理下菌株对重金属镉(Cd 2+ )的吸附率最大达到76.4%，0.2 g菌量的吸附率为67.28%，菌量为0.1 g处理下的吸附率最低仅56.55%。菌量0.3 g处理下吸附率比菌量为0.1 g时高出19.85%，比0.2 g菌量高出9.12%。 图6. 重金属浓度对IS0675-1菌株吸附率影响 图7. 菌量对IS0675-1菌株吸附率影响
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user: 4. 讨论与结论 本研究采用来自于前期在个旧市老厂尾坝矿区土壤中筛选出的一株耐镉菌株编号：IS0675-1，经初步分析鉴定，鉴定出该菌株为枝孢菌属，属于半知菌亚门。前人关于半知菌亚门其他属的研究还有很多，如马连营等 [ 13 ] 从粤东北梅州市梅县尾矿废弃地分离出的一株耐镉(Cd 2+ )浓度15 mmol/L以上的真菌菌株6~20 p，经鉴定为淡紫拟青霉(Paecilomyces lilacinus Samson)。胡南 [ 14 ] 等人从博落回根部土壤筛选出的一株耐镉真菌A-2，属于镰刀菌属(Fusarium sp.)，魏本杰 [ 15 ] 从株洲冶炼厂分离出一株耐镉真菌属于拟青霉属(Paecilomyces lilacinus M1)，它能在40 mmol/L的液体培养基中生长；本次实验经筛选鉴定发现了新的耐重金属镉的枝孢菌属，目前还没有枝孢菌属修复重金属土壤的相关研究，为治理重金属镉污染土壤提供了新的菌株。 真菌对重金属的吸附能力受温度、pH、重金属浓度、菌量等多因素的影响。马连营等 [ 13 ] 从粤东北梅州市梅县尾矿废弃地分离出的真菌菌株6~20 p拟青霉属(Paecilomyces lilacinus)，温度为30℃时吸附率最佳为56.6%，pH增大到3.5时菌体对重金属镉(Cd 2+ )吸附率最佳去除率为56.3%，同时包括时间条件的对比，108 h时达到最佳吸附率56.8%。刘云国 [ 16 ] 等利用简青霉(Penicillium simplicissimum)和黑曲霉(Aspergillus niger)吸附镉(Cd 2+ )的最佳pH值为5，本次试验中最佳pH与以上试验中最佳的pH相比有较大差距，可能是由于菌株本身对pH的耐受性不同造成的最佳pH的不同。本实验中菌株IS0675-1的重金属吸附能力受重金属浓度的影响最为明显，当环境重金属的浓度较低时，如50 mg/l时菌株的吸附能力达到了本次实验中的最佳值89.6%，200 mg/L时吸附能力大幅度的降低仅有46.53%，达到本实验中吸附率的最低值。研究以上的因素对重金属吸附的影响，对优化菌株的吸附条件提高其吸附能力有重要意义，也将有利于菌株的合理利用。综上所述，温度为40℃，pH = 6，Cd 2+ 50 mg/L，菌量0.3 g时为IS0675-1菌株吸附重金属镉(Cd 2+ )的整体最佳条件。不同菌量和温度对重金属镉的吸附量也不同，在一定的菌量和温度范围内，随菌量与温度升高，菌株对重金属镉(Cd 2+ )的吸附率呈现增加的趋势。
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user: 摘要 在本文中，我们考虑了带有最大密度限制的等熵可压欧拉方程的二维黎曼问题，这一最大密度限制通过带有奇性的压强项 p ( ρ ) = 1 ( 1 ρ − 1 ρ * ) γ 实现。对适当构造的黎曼问题初值，证明了系统存在无穷多个满足经典熵条件的可容许弱解，这推广了Elisabetta Chiodaroli和OndřejKreml对等熵可压欧拉方程的结果。
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user: 1. 引言 本文研究二维等熵可压缩欧拉方程的柯西问题，该系统由描述质量和动量守恒的3个标量方程组成。 { ∂ t ρ + d i v x ( ρ v ) = 0 ， ∂ t ( ρ v ) + d i v x ( ρ v ⊗ v ) + ∇ x [ p ( ρ ) ] = 0 ρ ( ⋅ ， 0 ) = ρ 0 ， v ( ⋅ ， 0 ) = v 0 . (1) 其中 ρ 、 v ∈ ℝ 2 分别表示气体的密度，速度。在等熵情况下，压强 p 是 ρ 的函数，比较常见的压强项为 p ( ρ ) = ρ γ ，其中 γ ≥ 1 。 欧拉方程柯西问题的适定性理论在空间维数为一维的情形已较为完善。众所周知，即使给定非常光滑的初值，(1)一般也会在有限时间内发展出奇点，因此弱解在适定性理论中是必不可少的。但除非给出一些熵条件，弱解不是唯一的。在空间维数为一维的情况下，可以利用熵条件(如Oleinik熵条件、Lax熵条件、熵–熵流对等条件)选出唯一解，称其为可容许解，详见 [ 1 ] [ 2 ] 及其中引用文献。 在多维(空间维数 > 1)情况下，经典熵条件不能保证弱解的唯一性。确切地说，我们寻找在分布意义上满足以下熵准则的弱解： ∂ t ( ρ ε ( ρ ) + ρ | v | 2 2 ) + d i v x [ ( ρ ε ( ρ ) + ρ | v | 2 2 + p ( ρ ) ) v ] ≤ 0 (2) 其中总能 η = ρ ε ( ρ ) + ρ | v | 2 2 ，内能 ε : ℝ + → ℝ ，并且有 p ( r ) = r 2 ε ′ ( r ) 。 基于De Lellis和Székelyhidi在 [ 3 ] [ 4 ] 中对于不可压缩欧拉方程组发展的方法，给定适当构造的初值，可压缩欧拉方程(1)可被证明存在无穷多个可容许弱解。文献 [ 3 ] [ 5 ] 中对于某些非正常(wild)初值证明了这一不唯一性。即使对初值正则性做较强的假设，熵准则也无法给出唯一解。在 [ 6 ] 中，考虑压强为 p ( ρ ) = ρ 2 ，初值为由经典的压缩波生成的黎曼初值，方程组存在无穷多可容许弱解。因此，即使初始值为Lipschitz连续，解也具有类似的不唯一性。这种不唯一性随后被推广到 p ( ρ ) = ρ γ ( γ ≥ 1 ) 的情况 [ 7 ]，其中作者构造了一些二维黎曼问题的初始值，其标准(即自相似)解包含两个激波，此时系统有无穷多个可容许解。在 [ 8 ] 中(1)的二维黎曼问题得到了系统地分析，作者证明了只要黎曼问题的标准(自相似)解包含一个激波，则系统就有无穷多个可容许弱解。在 [ 9 ] 中，类似不唯一性被推广到包含一个接触间断的黎曼初值。 对于完整的欧拉系统，文献 [ 10 ] 证明了对于 L ∞ 初值，无穷多个有界熵容许弱解的存在性。文献 [ 11 ] 证明了给定二维黎曼问题，若其自相似解包含有两个激波和一个可能的接触间断，则解不唯一。在Feireisl、Klingenberg和Markfelder近期的研究中 [ 12 ]，研究了这类非正常(wild)初值的稠密性(使得问题产生局部光滑解的初值称为是正则的，而产生无穷多个弱解的初值称为是非正常(wild)初值。该篇文章确定了这些非正常(wild)初值在L 1 自然拓扑中的闭包，并证明了其补集为开稠密集。 本文中，我们考虑具有最大密度限制的欧拉方程(1)，其中最大密度限制通过 [ 13 ] [ 14 ] 中提出的带奇性压强项实现。 p ( ρ ) = 1 ( 1 ρ − 1 ρ * ) γ = ρ γ ρ * γ ( ρ * − ρ ) γ (3) 其中， ρ * 是最大密度。当 ρ 远离最大密度时，这种压强项类似于多方气体压强项。但当 ρ 接近最大密度时，压强变得非常刚性，从而保证最大密度不被达到和超过。 如同 [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]，我们考虑二维黎曼问题 ( ρ 0 ( x ) ， v 0 ( x ) ) : = { ( ρ − ， v − ) ， x 2 < 0 ( ρ + ， v + ) ， x 2 > 0 (4) 其中， x = ( x 1 ， x 2 ) ∈ ℝ 2 ， ρ ± ， v ± = ( v ± 1 ， v ± 2 ) 是常量。 我们将 [ 7 ] 中的结果推广到具有最大密度约束(3)的情况。 定理1.1假设压强为(3)，对于一个定义如(4)的黎曼问题，方程组(1)存在无穷多个满足熵条件(2)的可容许弱解。并且该黎曼问题的自相似解由一个可容许1-激波和3-激波组成，即 v − 1 = v + 1 和 v + 2 − v − 2 < − ( ρ − − ρ + ) ( p ( ρ − ) − p ( ρ + ) ) ρ − ρ + (5) 定理1.1中得到的可容许解具有中间状态 ( ρ 1 ， v 1 ) ，且满足 ρ 1 > max { ρ − ， ρ + } 。为了研究当密度接近最大密度 ρ * 时解的渐近行为，我们有如下对于中间状态 ρ 1 的估计。 定理1.2对于定理1.1中得到的所有可容许解，存在一个极大密度 ρ m ∈ ( 0 ， ρ * ) 使得 ρ 1 < ρ m (6) 且有以下渐近估计： 1) 如果 ρ − > ρ + 并且 ρ − → ρ * ，我们可以得到 ρ m → ρ * 和 ρ m − ρ − ∼ B ( ρ * − ρ − ) γ + 1 ρ * 2 γ γ ( ρ * − ρ + ) (7) 2) 如果 ρ + > ρ − 并且 ρ + → ρ * ，我们可以得到 ρ m → ρ * 和 ρ m − ρ + ∼ B ( ρ * − ρ + ) γ + 1 ρ * 2 γ γ ( ρ * − ρ − ) (8) 3) 如果 ρ + = ρ − 并且 ρ − → ρ * ，我们可以得到 ρ m → ρ * 和 ρ m − ρ − ∼ 1 2 ρ * γ B ( ρ * − ρ − ) γ + 1 γ (9) 其中 B = ρ − ρ + ( v + 2 − v − 2 ) 2 − ( ρ − − ρ + ) ( p ( ρ − ) − p ( ρ + ) ) 。这里 α ∼ β 意味着 α → 0 ， β → 0 且 α β → 1 。 注1.1当 ρ 趋向于 ρ * ，压强项(3)趋于无穷，因此它在最大密度附近是有奇性的。为了保证在接近最大密度时，压强项 p ( ρ ) 和某个较大的量 κ 同阶， ρ * − ρ 的值应该与 κ − 1 / γ 是同阶的。因此，对于定理1.1中的黎曼问题，定理1.2意味着如果 p ( ρ − ) 和 p ( ρ + ) 和 κ 是同阶的，则对于黎曼问题解中的中间状态 p ( ρ m ) 和 p ( ρ 1 ) 也是如此。 本文的其余内容如下，我们首先在第二节介绍一些基本的符号和定义。第三节回顾黎曼问题解的一些有用结果，并给出一些引理和命题。最后在第四和第五部分证明主要定理。
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user: 2. 符号和定义 在本节中，我们首先为本文提供所有必要的定义。 定义2.1 (弱解)对任意的 ψ ， ϕ ∈ C c ∞ ( ℝ 2 × [ 0 ， ∞ ) ) ，当 ( ρ ， v ) ∈ L ∞ ( ℝ 2 × [ 0 ， ∞ ) ) 满足以下等式： ∫ 0 ∞ ∫ ℝ 2 [ ρ ∂ t ψ + ρ v ⋅ ∇ x ψ ] d x d t + ∫ ℝ 2 ρ 0 ( x ) ψ ( x ， 0 ) d x = 0 (10) ∫ 0 ∞ ∫ ℝ 2 [ ρ v ⋅ ∂ t ϕ + ρ v ⊗ v : ∇ x ϕ ] d x d t + ∫ ℝ 2 ρ 0 ( x ) v 0 ( x ) ⋅ ϕ ( x ， 0 ) d x = 0 (11) 则我们称 ( ρ ， v ) 是(1)在 ℝ 2 × [ 0 ， ∞ ) 上的弱解。 定义2.2 (可容许弱解)对任意非负函数 φ ∈ C c ∞ ( ℝ 2 × [ 0 ， ∞ ) ) ，当(1)有界弱解 ( ρ ， v ) 满足以下不等式： ∫ 0 ∞ ∫ ℝ 2 [ ( ρ ε ( ρ ) + ρ | v | 2 2 ) ∂ t φ + ( ρ ε ( ρ ) + ρ | v | 2 2 + p ( ρ ) ) v ⋅ ∇ x φ ] d x d t + ∫ ℝ 2 ( ρ 0 ( x ) ε ( ρ 0 ( x ) ) + ρ 0 ( x ) | v 0 ( x ) | 2 2 ) φ ( x ， 0 ) d x ≥ 0 (12) 我们就称 ( ρ ， v ) 是(1)的可容许弱解。 接下来，我们介绍中引入的下解的定义。 定义2.3 (扇形分区)空间 ℝ 2 × [ 0 ， ∞ ) 的扇形分区包含三个部分 P − ， P 1 ， P + ，具体形式如下： P − = { ( x ， t ) : t > 0 ， x 2 < v − t } P 1 = { ( x ， t ) : t > 0 ， v − t < x 2 < v + t } P − = { ( x ， t ) : t > 0 ， x 2 > v + t } 其中 v − < v + ，且 v − ， v + 是一对实数。 通过空间的划分，我们就可以得到如下的扇形下解。其中， S 0 2 × 2 表示对称无迹 2 × 2 矩阵的集合， I d 为单位矩阵。 定义2.4 (扇形下解)当 ( ρ ¯ ， v ¯ ， u ¯ ) : ℝ 2 × ( 0 ， ∞ ) → ( ℝ + ， ℝ 2 ， S 0 2 × 2 ) 满足如下条件时： 1) 在 ℝ 2 × [ 0 ， ∞ ) 的扇形分区 P − ， P 1 ， P + 下，有 ( ρ ¯ ， v ¯ ， u ¯ ) = ( ρ − ， v − ， u − ) 1 P − + ( ρ 1 ， v 1 ， u 1 ) 1 P 1 + ( ρ + ， v + ， u + ) 1 P + 其中 ρ 1 ， v 1 ， u 1 是常量并且 ρ 1 > 0 ， u ± = v ± ⊗ v ± − 1 2 | v ± | 2 I d ； 2) 存在一个正数C使得 v 1 ⊗ v 1 − u 1 < C 2 I d 3) ( ρ ¯ ， v ¯ ， u ¯ ) 在分布上满足如下等式： ∂ t ρ ¯ + d i v x ( ρ ¯ v ¯ ) = 0 (13) ∂ t ( ρ ¯ v ¯ ) + d i v x ( ρ ¯ u ¯ ) + ∇ x ( p ( ρ ¯ ) + 1 2 ( C ρ 1 1 P 1 + ρ ¯ | v ¯ | 2 1 P + ∪ P − ) ) = 0 (14) 此时，就称 ( ρ ¯ ， v ¯ ， u ¯ ) 为(1)的扇形下解。 定义2.5 (可容许扇形下解)当扇形下解 ( ρ ¯ ， v ¯ ， u ¯ ) 在分布上满足如下不等式： ∂ t ( ρ ¯ ε ( ρ ¯ ) ) + d i v x [ ( ρ ¯ ε ( ρ ¯ ) + p ( ρ ¯ ) ) v ¯ ] + ∂ t ( ρ ¯ | v ¯ | 2 2 1 P + ∪ P − ) + d i v x ( ρ ¯ | v ¯ | 2 2 1 P + ∪ ​ P − ) + [ ∂ t ( ρ 1 C 2 1 P 1 ) + d i v x ( ρ 1 v ¯ C 2 1 P 1 ) ] ≤ 0 (15) 则称其为可容许扇形下解。 如同，我们寻找二维黎曼问题的一个一维解，即函数 ρ ( x 2 ， t ) 和 m ( x 2 ， t ) = ρ ( x 2 ， t ) v ( x 2 ， t ) = ( m 1 ( x 2 ， t ) ， m 2 ( x 2 ， t ) ) 满足二维等熵可压欧拉方程组： { ∂ t ρ + ∂ x 2 m 2 = 0 ∂ t m 1 + ∂ x 2 m 1 m 2 ρ = 0 ∂ t m 2 + ∂ x 2 ( m 2 2 ρ + p ( ρ ) ) = 0 (16) 其初值为 ( ρ 0 ( x ) ， m 0 ( x ) ) : = { ( ρ − ， m − ) = ( ρ − ， ρ − v − ) ， x 2 < 0 ( ρ + ， m + ) = ( ρ + ， ρ + v + ) ， x 2 > 0 该系统可以写成一维的双曲守恒定律： ∂ t U + ∂ x 2 F ( U ) = 0 其中向量 U : = ( ρ ， m 1 ， m 2 ) F ( U ) : = ( m 2 m 1 m 2 ρ m 2 2 ρ + p ( ρ ) ) 当 ρ > 0 时，(16)是严格双曲的，此时雅可比矩阵 D F ( U ) F ( U ) = ( 0 0 1 − m 1 m 2 ρ m 2 ρ m 1 ρ − m 2 2 ρ 2 + p ′ ( ρ ) 0 2 m 2 ρ ) 有三个特征值 λ 1 = m 2 ρ − p ′ ( ρ ) ， λ 2 = m 2 ρ ， λ 3 = m 2 ρ + p ′ ( ρ ) (17) 和三个线性无关的特征向量 R 1 = ( 1 m 1 ρ m 2 ρ − p ′ ( ρ ) ) ， R 2 = ( 0 1 0 ) ， R 3 = ( 1 m 1 ρ m 2 ρ + p ′ ( ρ ) ) 由双曲守恒律经典理论，2-特征场是线性退化的，而1-和3-特征场是真正非线性的。由于 m 1 和 m 2 的方程解耦，我们可以进一步把(16)简化成以下简单的系统(为了简化符号，我们用 m 代替 m 2 )： { ∂ t ρ + ∂ x 2 m = 0 ∂ t m + ∂ x 2 ( m 2 ρ + p ( ρ ) ) = 0 (18) 其初值为 ( ρ 0 ( x ) ， m 0 ( x ) ) : = { ( ρ − ， m − ) = ( ρ − ， ρ − v − ) ， x 2 < 0 ( ρ + ， m + ) = ( ρ + ， ρ + v + ) ， x 2 > 0 (19)
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user: 5. 定理1.2的证明 由定理1.1的证明可知， ρ 1 < ρ m ， ρ m = ρ max 。其中 ρ max 是引理4.4中定义的。 为研究 ρ m 在最大密度附近的渐近行为，我们首先考虑 R = ρ − − ρ + > 0 的情况。令(52)中的 ε 1 = 0 ，利用(51)中 u 和 B 的关系，我们有 p ( ρ m ) − p ( ρ − ) ρ m = ( − ρ + ρ − B ( ρ − − ρ + ) 2 + p ( ρ − ) − p ( ρ + ) ρ − − ρ + + B ρ − − ρ + ρ m − ρ + ρ m − ρ − ) 2 ρ − ( ρ m − ρ − ) ρ m 2 (68) 显而易见， ρ m > ρ − 。因此，当 ρ − 趋向于 ρ * 时，有 ρ m 趋向于 ρ * 。重写上述等式为 p ( ρ m ) − p ( ρ − ) = ( − ρ + ρ − B ( ρ − − ρ + ) 2 + p ( ρ − ) − p ( ρ + ) ρ − − ρ + ρ m − ρ − + B ρ − − ρ + ρ m − ρ + ) 2 ρ − ρ m 令 z = ρ * − ρ m ， y = ρ * − ρ − ， x = ρ * − ρ + ，则有 ( ρ * ρ m ) γ z − γ − ( ρ * ρ − ) γ y − γ = ( − ρ + ρ − B ( x − y ) 2 + ( ρ * ρ − ) γ y − γ − ( ρ * ρ + ) γ x − γ x − y y − z + B x − y x − z ) 2 ρ − ρ m ⇒ ( ρ * ρ − ) γ ρ m ρ − [ ( ρ m y ρ − z ) γ − 1 ] = ( − ρ + ρ − B y γ ( x − y ) 2 + ( ρ * ρ − ) γ − ( ρ * ρ + ) γ ( y x ) γ x − y z y z − 1 + B y γ x − y x − z ) 2 当 y → 0 ，我们有 z → 0 ， y > z ， y z → 1 。我们可以估计上式中不同的项： ( ρ m y ρ − z ) γ − 1 ∼ γ ( ρ m y ρ − z − 1 ) = γ ( ( ρ * − z ) y − ( ρ * − y ) z ( ρ * − y ) z ) = γ ρ * ( y − z ) ( ρ * − y ) z ∼ γ ( y z − 1 ) ， ρ + ρ − B y γ ( x − y ) 2 + ( ρ * ρ − ) γ − ( ρ * ρ + ) γ ( y x ) γ x − y z y z − 1 ∼ ρ + ρ * ρ * γ z x y z − 1 为估计上述各项的极限，我们利用以下命题： 结论5.1对一个常数 k > 0 ，若 a ， b 同时趋向于0，且 ( a − b x ) 2 = k x 2 ，则有 x = a ( b ± k ) ∼ ± a k 该命题结论简单计算即可证明。 应用上述结论，其中 x = y z − 1 ， b = ρ + ρ − B y γ ( x − y ) 2 + ( ρ * ρ − ) γ − ( ρ * ρ + ) γ ( y x ) γ x − y z ∼ ρ + ρ * ρ * γ z x a = B y γ x − y x − z ∼ B y γ x ， k = γ ( ρ * ρ − ) γ ρ m ρ − → γ ρ * 2 γ 则我们可以得到 y z − 1 ∼ 1 ρ * γ B y γ γ x 可以推得 y − z ∼ B y γ + 1 ρ * 2 γ γ x 也就是 ρ m − ρ − ∼ B ( ρ * − ρ − ) γ + 1 ρ * 2 γ γ ( ρ * − ρ + ) 通过(52)和(53)的对称性，在 R < 0 时我们可以得到类似的结论。 当 R = ρ − − ρ + = 0 时，通过在(57)中令 ε 1 = 0 以及应用(51)中 u 和 B 之间的关系，我们可以得到 B 4 ρ − ( ρ m − ρ − ) = p ( ρ m ) − p ( ρ − ) ρ m (69) 使用与之前相同的符号 y = x > z ，我们可以得到 B ρ m 4 ρ − ( y − z ) = ( ρ * γ ρ m γ ) z γ − ( ρ * γ ρ − γ ) y γ 简单计算可得 ( y − z ) 2 ∼ B y γ + 1 4 ρ * 2 γ γ 也就是 ρ m − ρ − ∼ 1 2 ρ * γ B ( ρ * − ρ − ) γ + 1 γ
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user: 摘要 为探讨现代烟草农业基地单元适宜的采烤专业服务运行模式，设置“技术指导型”、“半承包型”、“全承包型”三种采烤专业服务模式，研究其对烟叶烘烤质量及烘烤效益的影响。结果表明：“全承包型”服务模式烤后烟叶质量最好，其次为“半承包型”，“技术指导型”相对较差；“全承包型”和“半承包型”烘烤效益也高于“技术指导型”；三种服务模式烘烤成本差异不大。从研究结果结合现阶段烟农接受意识出发，建议“半承包型”服务模式要作为当地的主要推广模式。
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user: 1. 前言 专业化服务是现代烟草农业发展的重点之一，随着烤烟种植规模化的发展，各地在育苗、分级专业化服务全覆盖的基础上，其他专业化服务不断完善。采烤专业队就是继育苗、分级、机耕之后发展较为迅速的服务队之一，其发展与完善对现代烟草农业专业化推进、对提高烟农收入和种烟积极性具有重要意义。目前有关专业化服务在已有一些研究，但主要是在思路与策略上进行分析或专业化烘烤与普通烘烤的比较 [ 1 ] - [ 6 ]，但对专业化采烤模式方面研究较少报道。本文正是基于现代烟草农业条件下，研究不同采烤组织模式对烟叶烘烤质量及烘烤效益的影响，旨在为采烤专业组织模式推进提供参考。
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user: 2. 材料与方法 2.1. 试验材料与地点 烤烟品种为云烟87。研究地点设在贵州省黔东南州岑巩县村凯本乡云南红塔集团烟叶基地单元，属亚热带温暖温润气候区，四季分明，雨量充沛，年均降雨量在1142.7毫米，年均气温15.7℃~17.1℃，海拔610 m；土质黄壤，肥力中等，前作空闲。 2.2. 试验设置 根据采烤专业队当前主要服务模式，组建“技术指导型”、“半承包型”、“全承包型”3支不同服务模式采烤专业服务队。详见表1。 2.3. 考查项目及方法 1) 烤后烟叶等级质量。按国标42级(GB2635-92)对烤后烟叶进行分级，并计算上等烟率、中等烟率、桔黄烟率、杂色烟率、均价等。 2) 烘烤成本。统计干烟重、烘烤煤耗、用电量、用工量等。 3) 烘烤收益。统计烘烤收入、总成本、收益等。 Table 1 Recovery and bake professional service mod 服务模式 专业服务队组织形式 技术指导型 专业服务队仅提供烘烤过程技术指导，燃料购置、采收、绑烟、装炕及烘烤具体操作(包括添煤、调温等)由烟农负责。 半承包型 专业服务队负责装烟、烘烤全程操作，燃料购置、采收、绑烟、装炕等具体操作由烟农负责。 全承包型 专业服务队提供采收、绑烟指导及装烟、烘烤操作，燃料购置、采收及绑烟等具体操作由烟农负责。 表1. 采烤专业服务模式
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user: 3. 结果分析 3.1. 不同采烤服务模式对烤后烟叶等级质量的影响 由表2不难看出，三种服务模式中，以“全承包型”烤后烟叶质量最好，其次为“半承包型”，二者均高于“技术指导型”；其中“全承包型”的上等烟率、桔黄烟率和均价分别高于其他处理6.2~10.6个百分点、4.3~6.4个百分点和0.09~1.06元/kg，说明采用“全承包型”专业化采烤更有利于提高烤后烟叶质量。 Table 2 Different recovery and bake professional service mode flue-cured tobacco Grade and quality. Year: 201 服务模式 上等烟率(%) 上中等烟率(%) 桔黄烟率(%) 黄烟率(%) 杂色烟率(%) 均价(元/kg) 技术指导 50.5c 89.8a 83.6b 89.2a 6.7a 24.31b 半承包 54.9b 91.1a 85.7b 90.1a 4.4ab 25.28a 全承包 61.1a 91.6a 90.0a 93.0a 3.2b 25.37a 表2. 不同采烤服务模式烤后烟叶等级质量。年份：2019 注：表中同列不同小写字母表示在0.05水平上差异显著(P < 0.05)；下同。 3.2. 不同采烤服务模式对烘烤成本的影响 从表3可以看出，中部叶和上部叶烘烤成本分别为3.21元/kg~3.26元/kg干烟和3.42元/kg~3.52元/kg，即上部叶烘烤成本略高于中部叶；但无论是中部叶还是上部叶，烘烤煤耗成本、用工成本、用电成本和总成本均差异不大。三种专业服务模式的差别在于，技术指导型用工主要来自于烟农，而半承包型和全承包型用工主要来自于专业服务队。 Table 3 Different recovery and bake professional service mode baking cost. Year: 201 部位 服务 模式 干烟重 (kg/炕) 用煤量 (kg) 煤耗成本 (元/kg) 用工量 (个) 用工成本 (元/kg) 用电量(度) 用电成本 (元/kg) 总成本 (元/kg) 中部 技术指导 336 603 1.79a 3.5 1.04a 281.7 0.38a 3.21a 半承包 342 635 1.86a 3.5 1.02a 289.7 0.38a 3.26a 全承包 340 625 1.84a 3.5 1.03a 284.6 0.38a 3.24a 上部 技术指导 355 645 1.82a 4.5 1.27a 346.8 0.44a 3.52a 半承包 375 666 1.78a 4.5 1.20a 375.7 0.45a 3.43a 全承包 372 662 1.78a 4.5 1.21a 358.6 0.43a 3.42a 表3. 不同采烤服务模式烘烤成本。年份：2019 注：按煤价1000元/t、电价0.45元/度、工价100元/个计。 3.3. 不同采烤服务模式对烘烤效益的影响 从表4看出，尽管三种专业服务模式总成本差异不大，但受均价和烘烤干烟量影响，单炕收入以“全承包型”和“半承包型”较高，“技术指导型”相对较低，而“全承包型”与“半承包型”无显著差异；烘烤效益则以“全承包型”最高，其次为“半承包型”，“技术指导型”相对较低，但中部叶“全承包型”高于“半承包型”和“技术指导型”，而上部叶则是“全承包型”和“半承包型”显著高于技术指导型。 Table 4 Different recovery and bake professional service mode baking benefit. year: 201 部位 服务模式 均价(元/kg) 单炕收入(元) 总成本(元/kg) 烘烤效益(元/kg) 中部叶 技术指导 25.22 8473.92b 3.21 14.05b 半承包 26.32 9001.44a 3.26 14.17b 全承包 26.71 9081.4a 3.24 14.53a 上部叶 技术指导 23.40 8307.00b 3.52 12.87b 半承包 24.05 9018.75a 3.43 13.54a 全承包 24.03 8939.16a 3.42 13.50a 表4. 不同采烤服务模式烘烤效益。年份：2019 注：单炕收入 = 单炕干烟量 *均价，烘烤效益 = 单炕收入 − 总成本。
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user: 4. 小结与讨论 1) 三种烘烤专业服务模式无论烤后烟叶等级质量以“全承包型”表现最好，其次是“半承包型”，“技术指导型”相对较差；烘烤成本三种服务模式差异不大；烘烤效益中部叶以“全承包型”表现最好，上部叶以“全承包型”和“半承包型”表现最好。整体看，“全承包型”和“半承包型”可以作为烘烤专业服务的推荐组织形式。 2) 从采烤整个过程来看，采收成熟度把握、绑烟装炕和烘烤过程的技术性是提高烤后烟叶的核心。“技术指导型”由于仅在仅烘烤过程进行指导，其他采烤环节由烟农自行操作，从而在一定程度上限制了烤后烟叶质量的提高；“半承包型”和“全承包型”由于采收、绑烟上炕进行了技术指导及烘烤全程操作，尤其是“全承包型”由专业队员亲自上炕，因而有效地提高了烟叶烘烤质量。 3) 虽然从采烤服务模式来看，“全承包型”优于“半承包型”，“半承包型”优于“技术指导型”，但“全承包型”服务模式的推广也存在一定的问题。其原因有二：一是“全承包型”意味着用工更多出现在采烤专业队方面，即烟农需要付出更多的资金给专业队，这在当前烟农的意识形态下是不太愿意的；二是目前烘烤专业队的自身技术尚未达到理想水平，不同烘烤组织模式效益差距不是太大甚至还会出现效益下降的现象，因此烟农还不愿意付出更多资金来选择这种服务形式。因此提高烘烤专业队技术水平也是值得重视的问题。 本研究仅在贵州省岑巩县凯本乡进行，结果仅供参考。
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user: 摘要 本文对河南省1985~2020年间审定的125个大豆品种的子粒蛋白质、脂肪和蛋脂总量等品质性状指标进行了分析。结果表明，脂肪含量最高值总体呈上升趋势，但与审定年份间未存在显著的线性回归关系；1985~2005年审定的大豆品种的蛋白质含量和蛋脂总量最高值均高于2006~2020年的最高值，大豆品种蛋白质含量和蛋脂总量最高值总体呈下降趋势，且大豆蛋白质含量最高值与品种审定年代间存在显著的线性负相关关系，说明近年来对大豆高蛋白育种方面的重视程度有所降低。育成蛋白质含量高于45.0%的大豆品种24个，脂肪含量在22.0%以上的品种7个，蛋脂总量在63.0%以上的品种52个。
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user: 1. 引言 大豆原产于中国，是我国的重要粮食作物之一，已有五千多年的栽培历史，亦是我国的传统农作物之一。河南省是黄淮海夏大豆的主产区，种植历史悠久，也是传统的高蛋白大豆主产区，大豆蛋白质含量高于东北大豆和南美进口大豆 [ 1 ] [ 2 ]。河南省自1985年以来，各育种单位积极加大科研投入，开展大豆新品种选育工作，先后育成并审定了125个大豆新品种。新育成的品种在数量上有较大的提升，但在优质育成品种的数量上还较少，大豆高蛋白、高油育种上还有待于新的突破。因此，分析和讨论一段时期内选育的大豆品种品质特性，对于未来的育种方向的制定和商榷具有指导意义 [ 3 ]。本文对不同年代通过河南省审定的大豆品种的品质性状进行分析，为未来大豆制定育种策略提供科学参考。
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user: 2. 材料与方法 2.1. 供试材料 品种来源于自1985年以来河南省农业科学院、驻马店市农业科学院、周口市农业科学院等多家育种单位育成的125个大豆品种。 2.2. 数据来源和统计分析 数据来自《河南省大豆审定品种及技术参数》 [ 4 ] 和《现代河南省大豆品种及栽培技术》 [ 5 ]，2008~2020年的数据来自河南农作物品种审定公告。数据分析利用Excel2007软件对自1985年以来通过河南省审定的125个大豆品种品质进行统计整理和分析。
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user: 4. 讨论 我国大豆加工利用主要是油脂、蛋白和饲料的加工，因此大豆育种应当同时注重脂肪含量和蛋白质含量两个方面的研究。大豆品质的性状改良是一个极其复杂的过程，蛋白质含量和脂肪含量存在显著负相关关系，二者协同提高难度较大 [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]，因此，有针对性的选育高蛋白质或高脂肪专用型品种更具可行性。 河南省特殊的地理位置、独特的光热条件利于高蛋白大豆品种的选育，但在过去36年间仅育成审定了24个蛋白质含量45%以上的品种，仅占育成品种数量19.20%，尤其是2006年以来育成大豆品种蛋白质含量显著下降。因此，今后育种应进一步加强高蛋白大豆育种工作的研究，尤其优质大豆品种的选育应当予以更大的重视。国内高脂肪含量大豆与国外相比还存在较大差距，美国高油大豆品种脂肪含量高出我国大豆2~3个百分点 [ 14 ]。因此，在保持河南高蛋白大豆新品种选育的同时，应积极运用新技术手段，创新、创制新种质资源，培育高脂肪的大豆品种是今后大豆育种研究的重点。近年来蛋脂双高大豆品种的育成及在生产中大面积推广应用，展示了河南省在优质大豆新品种选育的良好发展态势，值得育种者在下一步的育种工作中研究总结。
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user: 摘要 近年来，非线性方程组问题越来越多的出现在科学与工程计算领域中。例如机器学习、人工智能、金融计算、石油地质探测、卫星轨道预测等各个领域都涉及到了非线性方程组求解的问题，如何有效快速的求解各类非线性方程组问题受到人们的普遍关注。其中牛顿迭代是求解非线性方程(组)的一个重要方法。本文首先利用布谷鸟搜索算法得到初值，然后利用牛顿迭代法求解非线性方程组。理论分析了这些格式的收敛阶。最后给出一些数值算例对三种迭代格式进行了分析比较，验证了理论并分析了结论。
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user: 1. 引言 非线性方程组问题 [ 1 ]，在机器学习、人工智能、金融计算、石油地质勘探、电力系统计算、卫星轨道预测等各个领域都有着非常广泛的应用。非线性方程组问题是非线性问题中经常出现的问题之一，其具体表现形式如下所示 { φ 1 ( x ) = φ 1 ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x m ) = 0 φ 2 ( x ) = φ 2 ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x m ) = 0 ⋮ φ m ( x ) = φ m ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x m ) = 0 用向量形式表示为 φ ( x ) = 0 ， 其中 x = ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x m ) T ， φ = ( φ 1 ， φ 2 ， ⋯ ， φ m ) T ， φ i : R m → R ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 。 非线性方程组在科学与工程计算中处于非常重要的地位。如何有效地利用计算机求解各类非线性问题一直以来都是困扰人们的一个难题。对于大多数非线性方程组而言，我们只能得到解的存在性，而解的形式推导过程相当困难甚至无法得到。因此，非线性方程组的数值求解具有很重要的实际意义。 牛顿迭代法是求解非线性方程(组)的经典方法，其最突出的优点是当初始点充分靠近问题的解时能得到很好的收敛效果。但该方法需要好的初始点。近年来，有无数的科学工作者在研究求解非线性方程及方程组，为该领域提供了很多的算法，杨新社等 [ 2 ] 提出一种布谷鸟搜索算法，也叫杜鹃搜索。赵鹏军 [ 3 ] 将求解非线性方程组的问题转化为优化问题进行求解。 [ 4 ] 提出了3种两步三阶收敛精度的牛顿迭代的变形形式。S. Weerakoon和T. G. I. Fernando [ 5 ] 同样提出了一种两步三阶收敛精度的牛顿迭代格式。 本文把杨新社等 [ 2 ] 提出一种布谷鸟搜索算法与 [ 4 ] 提出的两步三阶收敛的变形牛顿迭代法相结合，求解非线性方程组的数值解。
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user: 2. 相关算法描述 2.1. 布谷鸟算法 [ 2 ] 描述 基于布谷鸟的行为习惯，模拟布谷鸟寻找宿主鸟巢下蛋的行为，对非线性方程组的解在合理范围[c， d]内进行搜索，做出以下三个理想假设： 1) 每一个布谷鸟一次只下一个蛋，并将其下到随机的一个宿主鸟巢内； 2) 好的宿主鸟巢孵出的高质量的蛋会持续到下一代； 3) 宿主鸟巢的数量是固定的，并且宿主有一定概率 p a 发现布谷鸟的蛋，此时宿主会选择将蛋舍弃或舍弃鸟巢并在一个新的地方建立一个新鸟巢。 在以上3个假设条件下，当第 i 代布谷鸟 x i ( t + 1 ) 寻找新宿主鸟巢时由模拟莱维飞行产生新的宿主鸟巢的位置： x i ( t + 1 ) = x i ( t ) + α ⊕ L ( λ ) (2.1) 此处 α > 0 ，用来对新的宿主鸟巢的位置范围进行控制， ⊕ 表示点对点乘法，在大多数情况下， α 取1，其中莱维飞行 L ( λ ) 表示为： L ( λ ) ∼ u = t − λ ， ( 1 < λ ≤ 3 ) (2.2) 新的位置确定后，判断宿主是否发现布谷鸟的鸟蛋，将随机数 r ∈ [ 0 ， 1 ] 与 p a 进行比较，若 r < p a 则在范围 [ c ， d ] 内随机产生新的鸟巢位置，反之不变。经过多代延续，找到最具适应性的鸟巢位置，作为结果。 2.2. 布谷鸟算法求解非线性方程组 [ 3 ] 设有m个方程形成的非线性方程组有唯一解： { φ 1 ( x ) = φ 1 ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x m ) = 0 φ 2 ( x ) = φ 2 ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x m ) = 0 ⋮ φ m ( x ) = φ n ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x m ) = 0 (2.3) 由布谷鸟算法找到的近似解 x = ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x m ) 带入 S u m = ∑ i = 1 m | φ i ( x ) | (2.4) 作为鸟巢优劣的判断标准，即解优劣的标准，Sum越小，鸟巢的位置越合适，近似解 x = ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x m ) 就越合适。 2.3. 两步三阶精度牛顿迭代法 [ 4 ] 经典牛顿迭代法求解非线性方程组(2.3)的格式如下：给定初始值 x 0 ， x n + 1 = x n − F ′ ( x n ) − 1 F ( x n ) ， n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ (2.5) 下面给出三种经典牛顿迭代法(2.5)的变形形式 两步算术平均牛顿迭代法(arithmetic mean Newton’ (AN) method) 给定初始值 x 0 { z n + 1 = x n − F ′ ( x n ) − 1 F ( x n ) ， x n + 1 = x n − ( F ′ ( x n ) + F ′ ( z n + 1 ) 2 ) − 1 F ( x n ) ， n = 0 ， 1 ， 2 ⋯ (2.6) 该格式可以看成取 F ′ ( x n ) 和 F ′ ( z n + 1 ) 的算术平均 F ′ ( x n ) + F ′ ( z n + 1 ) 2 ，代替经典牛顿迭代法(2.5)中的 F ′ ( x n ) ，因此称该格式为算术平均迭代格式(AN)。 两步调和平均牛顿迭代法(harmonic mean Newton’s method (HN)) 给定初始值 x 0 { z n + 1 = x n − F ′ ( x n ) − 1 F ( x n ) ， x n + 1 = x n − ( 2 F ′ ( x n ) F ′ ( z n + 1 ) ) − 1 ( F ′ ( x n ) + F ′ ( z n + 1 ) ) F ( x n ) ， n = 0 ， 1 ， 2 ⋯ (2.7) 该格式可以看成取 F ′ ( x n ) 和 F ′ ( z n + 1 ) 的调和平均 2 F ′ ( x n ) F ′ ( z n + 1 ) F ′ ( x n ) + F ′ ( z n + 1 ) ，代替经典牛顿迭代法(2.5)中的 F ′ ( x n ) ，因此称该格式为调和平均牛顿迭代(HN)。 两步中点牛顿迭代法(midpoint Newton’s method) (MN) 给定初始值 x 0 { z n + 1 = x n − F ′ ( x n ) − 1 F ( x n ) ， x n + 1 = x n − ( F ′ ( 1 2 ( x n + z n + 1 ) ) ) − 1 F ( x n ) ， n = 0 ， 1 ， 2 ⋯ (2.8) 该格式可以看做用 x n 和 z n + 1 的平均 x n + z n + 1 2 的导数值 F ′ ( x n + z n + 1 2 ) 代替经典牛顿迭代法(2.5)中的 F ′ ( x n ) ，因此称该格式为两步中点牛顿迭代法(MN)。 下面将布谷鸟搜索算法(2.1)~(2.2)分别与两步牛顿迭代法(2.6)，(2.7)，(2.8)结合起来。 2.4. 布谷鸟搜索两步牛顿迭代法 2.4.1. 首先估计解的大致范围 通过调整解可能存在的区间范围[c， d]，改变布谷鸟算法的搜索范围，使布谷鸟算法可以更快搜索出一个误差较小的解，记录下此时的区间范围[c， d]，以便多次实验。 2.4.2 应用布谷鸟搜索算法求出一组近似解 使用调整好的区间范围[c， d]，以及步长参数 α 和鸟巢数量，然后对非线性方程组的解进行搜索，根据方程组的复杂程度和实际需求对迭代次数或精度阈值进行调整，最终求出一个精度较高的近似解 X 0 = ( x 1 ， x 2 ， x 3 ， ⋯ ， x m ) 。 2.4.3. 应用两步牛顿迭代法进行计算 将上面利用布谷鸟搜索算法得到的近似解 X 0 = ( x 1 ， x 2 ， x 3 ， ⋯ ， x m ) 作为两步牛顿迭代法(2.6)，(2.7)，(2.8)的初值，然后分别用(2.6)，(2.7)，(2.8)进行计算。例如代入两步算术平均牛顿迭代法(2.6) { Z 1 = X 0 − F ( X 0 ) − 1 F ( X 0 ) ， X 1 = X 0 − 2 ( F ′ ( X 0 ) + F ′ ( Z 1 ) ) − 1 F ( X 0 ) (2.9) 得到 X 1 = ( x 1 ， x 2 ， x 3 ， ⋯ ， x m ) ，再将 X 1 看做 X 0 代入(2.9)式中，求出 X 2 = ( x 1 ， x 2 ， x 3 ， ⋯ ， x m ) ，如此反复循环计算，最后得到精度较高的数值解 X n = ( x 1 ， x 2 ， x 3 ， ⋯ ， x m ) 。其它两个牛顿迭代方法(2.7)，(2.8)与之类似。 下面给出两步牛顿法(2.6)，(2.7)，(2.8)的收敛性分析。
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user: 3. 收敛性分析 定义3.1. [ 4 ] 如果一个序列 { x n | n > 0 } 收敛于 x ∗ 满足： lim x → x ∗ x n + 1 − x ∗ ( x n − x ∗ ) p = C (3.1) 其中 C ≠ 0 ，且 p ≥ 1 ，则该序列的为 p 阶收敛。设 e n = x n − x ∗ ，则 e n + 1 = C e n p + O ( e n p + 1 ) (3.2) 称为该迭代法的误差计算公式， p 为迭代法的收敛阶。 定义3.2. [ 6 ] 设 x ∗ 为方程组 F ( x ) 的一组解， x n − 2 ， x n − 1 ， x n 和 x n + 1 为收敛于 x ∗ 的四个相邻迭代近似值，则该方法的收敛阶 p 可通过下式近似计算得到： p = ln ( ‖ x n + 1 − x n ‖ / ‖ x n − x n − 1 ‖ ) ln ( ‖ x n − x n − 1 ‖ / ‖ x n − 1 − x n − 2 ‖ ) (3.3) 定理3.1. 设函数 F ( x ) : D ⊆ ℝ n → ℝ n ，非线性方程组 F ( x ) 在邻域 D 上连续可微，且存在一组解 x ∗ ∈ D 使得 F ( x ∗ ) = 0 。 F ( x ) 的雅可比矩阵 F ′ ( x ) 在 D 上是连续且非奇异，且 F ( x ) 在 x ∗ 的某局部邻域内具有连续的三阶导数，则两步牛顿迭代法(2.6)是三阶收敛的，且满足误差方程： e k + 1 = e k − ( C 2 2 + 1 2 C 3 ) e k 3 + O ( e k 4 ) (3.4) 其中 e k = x k − x ∗ ， F ( x ∗ ) = 0 ， C k = k ! F ′ ( x ∗ ) − 1 F ( k ) ( x ∗ ) ， k = 2 ， ⋯ ， n ( C 1 = F ′ ( x ∗ ) ) 。 证 分别对 F ( x k ) ， F ′ ( x k ) 在 x ∗ 处做Taylor级数展开： F ( x k ) = F ( x ∗ ) + F ′ ( x ∗ ) e k + 1 2 ! F ″ ( x ∗ ) e k 2 + 1 3 ! F ‴ ( x ∗ ) e k 3 + O ( e k 4 ) = F ′ ( x ∗ ) [ e k + C 2 e k 2 + C 3 e k 3 ] + O ( e k 4 ) ， (3.5) F ′ ( x k ) = F ′ ( x ∗ ) [ I + 2 C 2 e k + 3 C 3 e k 2 ] + O ( e k 3 ) (3.6) 由(3.5)和(3.6)可得 F ′ ( x k ) − 1 F ( x k ) = e k − C 2 e k 2 + 2 ( C 2 2 − C 3 ) e k 3 + O ( e k 4 ) (3.7) 则由(2.6)和(3.7)可得 z k + 1 = x ∗ + C 2 e k 2 + 2 ( C 2 2 − C 3 ) e k 3 + O ( e k 4 ) (3.8) 对 F ( z k + 1 ) 在点 x * 运用Taylor公式展开，整理可得 F ′ ( z k + 1 ) = F ′ ( x ∗ ) [ I + 2 C 2 2 e k 2 + 4 ( C 2 C 3 − C 2 3 ) e k 3 ] + O ( e k 4 ) (3.9) 由(3.5)和(3.9)可得 F ′ ( x k ) + F ′ ( z k + 1 ) = 2 F ′ ( x ∗ ) ( I + C 2 e k + ( C 2 2 + 3 2 C 3 ) e k 2 + 2 ( C 2 C 3 − C 2 3 + C 4 ) e k 3 ) + O ( e k 4 ) (3.10) 对于两步算术平均牛顿迭代法AN：由于 ( 1 2 ( F ′ ( x k ) + F ′ ( z k + 1 ) ) ) − 1 F ( x k ) = e k − ( C 2 2 + 1 2 C 3 ) e k 3 + O ( e k 4 ) 所以 x k + 1 = x k − 2 F ( x k ) F ′ ( x k ) + F ′ ( z k + 1 ) = x k − ( e k − ( C 2 2 + 1 2 C 3 ) e k 3 + O ( e k 4 ) ) 则 e k + 1 = e k − ( C 2 2 + 1 2 C 3 ) e k 3 + O ( e k 4 ) 于是两步算术平均牛顿迭代法(2.6)具有三阶收敛精度。 类似的，可证明两步调和平均牛顿迭代法(2.7)和两步中点牛顿迭代法(2.8)具有三阶收敛精度。