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user: 4. 地方病平衡点的存在性和渐近稳定性 这一节我们将讨论模型的地方病平衡点的存在性及其渐近稳定性。 定理4.1：当 R 0 > 1 时，系统(1)存在唯一的地方病平衡点。 证明：假设系统(1)有正平衡点 E * ( S * ， I 1 * ， I 2 * ， I 3 * ) ，则正平衡点 E * 满足下列方程组： { k − d S − S ( β 1 I 1 + β 2 I 2 + β 3 I 3 ) = 0 − d I 1 − ω 1 I 1 + S ( β 1 I 1 + β 2 I 2 + β 3 I 3 ) = 0 − d I 2 − ω 2 I 2 + ω 1 I 1 = 0 − d I 3 − ω 3 I 3 + ω 2 I 2 = 0 且有 I 1 * ≠ 0 ， I 2 * ≠ 0 ， I 3 * ≠ 0 。则有如下关系成立： S * = S 0 R 0 ，     I 2 * = d S 0 ω 1 ( R 0 − 1 ) R 0 ( d + ω 1 ) ( d + ω 2 ) ，     I 1 * = ( d + ω 2 ) I 2 * ω 1 ，     I 3 * = ω 2 I 2 * d + ω 3 . 因此，当 R 0 > 1 时存在地方病平衡点。 下面分析地方病平衡点的渐近稳定性。由于地方病平衡点的代数形式比较复杂，用特征值方法判断其局部渐近稳定性难以实现。我们用LaSalle不变原理证明地方病平衡点 E * 在 Ω ∘ = int Ω 上是渐近稳定的。 首先我们可以得到以下关于持久性的引理： 引理4.1若 R 0 > 1 ，若初值条件满足 S 0 > 0 ， I 1 0 > 0 ， I 2 0 > 0 ， I 3 0 > 0 ，则存在常数 C > 0 使得满足初值条件的解有如下关系： min { lim inf t → + ∞ S ( t ) ， lim inf t → + ∞ I 1 ( t ) ， lim inf t → + ∞ I 2 ( t ) ， lim inf t → + ∞ I 3 ( t ) } > C . 即从 S 0 > 0 ， I 1 0 > 0 ， I 2 0 > 0 ， I 3 0 > 0 出发的轨线不会趋于无病平衡点 E 0 。 定理4.1若 R 0 > 1 ，则地方病平衡点 E * 在 Ω ∘ 上是渐近稳定的。 证明：定义V函数： Ω ∘ → R V ( S ， I 1 ， I 2 ， I 3 ) = ( S − S * − S * l n S S * ) + a 1 ( I 1 − I 1 * − I 1 * ln I 1 I 1 * )     + a 2 ( I 2 − I 2 * − I 2 * ln I 2 I 2 * ) + a 3 ( I 3 − I 3 * − I 3 * ln I 3 I 3 * ) . 其中 a 1 ， a 2 ， a 3 均为待定的非负常数。易知 V ∈ C 1 且在 Ω 内V只在 E ∗ 取得最小值，即 V ( E ∗ ) = 0 。计算V沿系统的全导数，我们有： V ˙ = ( 1 − S * S ) S ˙ + a 1 ( 1 − I 1 * I 1 ) I ˙ 1 + a 2 ( 1 − I 2 * I 2 ) I ˙ 2 + a 3 ( 1 − I 3 * I 3 ) I ˙ 3 = ( 1 − S * S ) [ k − d S − S ( β 1 I 1 + β 2 I 2 + β 3 I 3 ) ]     + a 1 ( 1 − I 1 * I 1 ) [ − d I 1 − ω 1 I 1 + S ( β 1 I 1 + β 2 I 2 + β 3 I 3 ) ]     + a 2 ( 1 − I 2 * I 2 ) ( − d I 2 − ω 2 I 2 + ω 1 I 1 ) + a 3 ( 1 − I 3 * I 3 ) ( − d I 3 − ω 3 I 3 + ω 2 I 2 ) (3) = ( k + d S * + a 1 d I 1 * + a 1 ω 1 I 1 * + a 2 d I 2 * + a 2 ω 2 I 2 * + a 3 d I 3 * + a 3 ω 3 I 3 * ) + ( − d − a 1 β 1 I 1 * ) S         + ( a 1 − 1 ) S ( β 1 I 1 + β 2 I 2 + β 3 I 3 ) + ( S * β 1 − a 1 d − a 1 ω 1 + a 2 ω 1 ) I 1         + ( S * β 2 − a 2 d − a 2 ω 2 + a 3 ω 2 ) I 2 + ( S * β 3 − a 3 d − a 3 ω 3 ) I 3         + ( − k S * S − a 1 β 2 I 1 * S I 2 I 1 − a 1 β 3 I 1 * S I 3 I 1 − a 2 ω 1 I 2 * I 1 I 2 − a 3 ω 2 I 3 * I 2 I 3 ) 为了简化符号，我们记： c = k + d S * + a 1 d I 1 * + a 1 ω 1 I 1 * + a 2 d I 2 * + a 2 ω 2 I 2 * + a 3 d I 3 * + a 3 ω 3 I 3 * ， w = S S * ， x = I 1 I 1 * ， y = I 2 I 2 * ， z = I 3 I 3 * . 注意到 { w ， 1 w } ， { 1 w ， w z x ， y z ， x y } ， { 1 w ， w y x ， x y } 的代数特征。假设(3)式右端形如： b 1 ( 2 − w − 1 w ) + b 2 ( 4 − 1 w − w z x − y z − x y ) + b 3 ( 3 − 1 w − w y x − x y ) ， 其中 b 1 ， b 2 ， b 3 为待定常数。注意到 E * ( S * ， I 1 * ， I 2 * ， I 3 * ) 为系统(1)的平衡点，则有： { 2 b 1 + 4 b 2 + 3 b 3 = c b 1 = ( d + a 1 I 1 * β 1 ) S * a 1 − 1 = 0 b 1 + b 2 + b 3 = k − a 2 ( d + ω 2 ) + a 2 ω 2 + S * β 2 = 0 − a 3 ( d + ω 3 ) + S * β 3 = 0 b 3 = S * β 2 I 2 * b 2 = S * β 3 I 3 * = a 3 ω 2 I 2 * b 2 + b 3 = a 2 ω 1 I 1 * ⇔ { b 1 = ( d + a 1 I 1 * β 1 ) S * > 0 b 2 = S * β 3 I 3 * > 0 b 3 = S * β 2 I 2 * > 0 a 1 = 1 a 2 = S * β 3 ω 2 + S * β 2 ( d + ω 3 ) ( d + ω 2 ) ( d + ω 3 ) a 3 = S * β 3 d + ω 3 因此： V ˙ = b 1 ( 2 − w − 1 w ) + b 2 ( 4 − 1 w − w z x − y z − x y ) + b 3 ( 3 − 1 w − w y x − x y ) ≤ 0 ， V ˙ = 0 当且仅当 w = 1 w = w z x = y z = x y = w y x = 1 ，即 { V ˙ = 0 } = { E * } 。由LaSalle不变原理知地方病平衡点 E * 在 Ω ∘ 上是渐近稳定的。 注：根据引理4.1和定理4.1，并结合引理2.3的证明，可知：地方病平衡点 E * 还是全局渐近稳定的。