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user: 2. 主要结论 本文研究如下超几何方程非齐次边值问题 { x ( 1 − x ) y ″ + [ c − ( a + b + 1 ) ] y ′ − a b y = 0 ( m y + n y ′ ) x = α = Q [ e y + ( 1 + e f ) y ′ ] x = β = T (1) 式中： a ， b ， c ， m ， n ， e ， f ， α ， β 均为实数， β > α > 0 。得到了解的相似结构。 定理如果 c ≠ 整数，那么边值问题(1)有如下解的相似结构 y = T ⋅ 1 e + 1 f + Φ 1 ( β ) ⋅ 1 f + Φ 1 ( β ) ⋅ Φ 1 ( x ) + Q ⋅ 1 m + n Φ 2 ( α ) ⋅ 1 Φ 2 ( α ) Φ 2 ( x ) (2) 其中 Φ 1 ( x ) = m φ 0 ， 0 ( α ， x ) + n φ 0 ， 1 ( α ， x ) m φ 1 ， 0 ( α ， β ) + n φ 1 ， 1 ( α ， β ) (3) 为左相似核函数； Φ 2 ( x ) = e φ 0 ， 0 ( x ， β ) + ( 1 + e f ) φ 1 ， 0 ( x ， β ) e φ 0 ， 1 ( α ， β ) + ( 1 + e f ) φ 1 ， 1 ( α ， β ) (4) 为右相似核函数； Φ 2 ( x ) = e φ 0 ， 0 ( x ， β ) + ( 1 + e f ) φ 1 ， 0 ( x ， β ) e φ 0 ， 1 ( α ， β ) + ( 1 + e f ) φ 1 ， 1 ( α ， β ) (5) φ 1 ， 0 ( x ， y ) = ∂ φ 0 ， 0 ( x ， y ) ∂ x ， φ 0 ， 1 ( x ， y ) = ∂ φ 0 ， 0 ( x ， y ) ∂ y ， φ 1 ， 1 ( x ， y ) = ∂ φ 1 ， 0 ( x ， y ) ∂ y (6) 为引解函数； F ( a ， b ， c ， x ) = ∑ k = 0 ∞ ( a ) k ( b ) k k ! ( c ) k x k ( c ≠ 0 ， − 1 ， − 2 ， ⋯ ) (7) 为超比级数。 定理的证明： 当 c ≠ 整数时，边值问题(1)中的第一个方程具有如下通解 y = A F ( a ， b ， c ， x ) + B x 1 − c F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， x ) (8) 其中， y 1 = F ( a ， b ， c ， x ) ， y 2 = x 1 − c F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， x ) 是边值问题(1)中的第一个定解方程的两个线性无关的解。下面求解通解的系数 A ， B 。 根据超几何函数的微分性质得 [ 9 ] y ′ 1 = a b c F ( a + 1 ， b + 1 ， c + 1 ， x ) (9) y ′ 2 = ( 1 − c ) x − c F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， x )     + ( a + 1 − c ) ( b + 1 − c ) 2 − c x 1 − c F ( a + 2 − c ， b + 2 − c ， 3 − c ， x ) (10) 进而得到 y ′ 。 将 y ， y ′ 带入(1)中的第二、三方程得关于 A ， B 的二元方程组如下 A [ m F ( a ， b ， c ， α ) + n a b c F ( a + 1 ， b + 1 ， c + 1 ， α ) ]   + B { m α 1 − c F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， α )   + n ⋅ [ ( 1 − c ) α − c F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， α )   + ( a + 1 − c ) ( b + 1 − c ) 2 − c α 1 − c F ( a + 2 − c ， b + 2 − c ， 3 − c ， α ) ] } = Q (11) A [ e F ( a ， b ， c ， β ) + ( 1 + e f ) a b c F ( a + 1 ， b + 1 ， c + 1 ， β ) ]   + B { β 1 − c e F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， β )   + ( 1 + e f ) [ ( 1 − c ) β − c F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， β )   + ( a + 1 − c ) ( b + 1 − c ) 2 − c β 1 − c F ( a + 2 − c ， b + 2 − c ， 3 − c ， β ) ] } = T (12) 方程系数矩阵的行列式可转化为 d = | m α 1 − c F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， α ) m F ( a ， b ， c ， α ) e β 1 − c F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， β ) e F ( a ， b ， c ， β ) | + | n [ ( 1 − c ) α − c F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， α ) + ( a + 1 − c ) 2 − c       ⋅ ( b + 1 − c ) ⋅ α 1 − c F ( a + 2 − c ， b + 2 − c ， 3 − c ， α ) ] n a b c F ( a ， b ， c ， α ) e β 1 − c F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， β ) e F ( a ， b ， c ， β ) | + | m α 1 − c F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， α ) m F ( a ， b ， c ， α ) ( 1 + e f ) [ ( 1 − c ) β − c F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， β ) + ( a + 1 − c ) 2 − c       ⋅ ( b + 1 − c ) β 1 − c F ( a + 2 − c ， b + 2 − c ， 3 − c ， β ) ] ( 1 + e f ) a b c F ( a + 1 ， b + 1 ， c + 1 ， β ) | + | n [ ( 1 − c ) α − c F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， α ) + ( a + 1 − c ) 2 − c       ⋅ ( b + 1 − c ) α 1 − c F ( a + 2 − c ， b + 2 − c ， 3 − c ， α ) ] n a b c F ( a + 1 ， b + 1 ， c + 1 ， α ) ( 1 + e f ) [ ( 1 − c ) β − c F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， β ) + ( a + 1 − c ) 2 − c       ⋅ ( b + 1 − c ) β 1 − c F ( a + 2 − c ， b + 2 − c ， 3 − c ， β ) ] ( 1 + e f ) a b c F ( a + 1 ， b + 1 ， c + 1 ， β ) | = e m φ 0 ， 0 ( α ， β ) + e n φ 0 ， 1 ( α ， β ) + ( 1 + e f ) m φ 1 ， 0 ( α ， β ) + ( 1 + e f ) n φ 1 ， 1 ( α ， β ) 此外 d 1 = T { m α 1 − c F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， α )     + n ⋅ [ ( 1 − c ) α − c F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， α )     + ( a + 1 − c ) ( b + 1 − c ) 2 − c α 1 − c F ( a + 2 − c ， b + 2 − c ， 3 − c ， α ) ] }     − Q { β 1 − c e F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， β )     + ( 1 + e f ) [ ( 1 − c ) β − c ⋅ F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， β )     + ( a + 1 − c ) ( b + 1 − c ) 2 − c β 1 − c F ( a + 2 − c ， b + 2 − c ， 3 − c ， β ) ] } d 2 = Q [ e F ( a ， b ， c ， β ) + ( 1 + e f ) a b c F ( a + 1 ， b + 1 ， c + 1 ， β ) ]     − T [ m F ( a ， b ， c ， α ) + n a b c F ( a + 1 ， b + 1 ， c + 1 ， α ) ] 应用克拉默法则 [ 10 ] 得 A = d 1 d ， B = d 2 d ，将 A ， B 带入(8)式得 y = T m d { α 1 − c F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， α ) F ( a ， b ， c ， x )     − F ( a ， b ， c ， α ) x 1 − c F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， x ) }     + T n d { F ( a ， b ， c ， x ) [ ( 1 − c ) α − c F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， α )     + ( a + 1 − c ) ( b + 1 − c ) 2 − c α 1 − c F ( a + 2 − c ， b + 2 − c ， 3 − c ， α ) ]     − a b c F ( a + 1 ， b + 1 ， c + 1 ， α ) x 1 − c F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， x ) } + Q e d { F ( a ， b ， c ， β ) x 1 − c F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， x )       − F ( a ， b ， c ， x ) β 1 − c F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， β ) }   + Q ( 1 + e f ) d { a b c F ( a + 1 ， b + 1 ， c + 1 ， β ) x 1 − c F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， x )   − [ ( 1 − c ) β − c ⋅ F ( a + 1 − c ， b + 1 − c ， 2 − c ， β )   + ( a + 1 − c ) ( b + 1 − c ) 2 − c β 1 − c F ( a + 2 − c ， b + 2 − c ， 3 − c ， β ) ] F ( a ， b ， c ， x ) } = T m φ 0 ， 0 ( α ， x ) + T n φ 0 ， 1 ( α ， x ) + Q e φ 0 ， 0 ( x ， β ) + Q ( 1 + e f ) φ 1 ， 0 ( x ， β ) e m φ 0 ， 0 ( α ， β ) + e n φ 0 ， 1 ( α ， β ) + ( 1 + e f ) m φ 1 ， 0 ( α ， β ) + ( 1 + e f ) n φ 1 ， 1 ( α ， β )     ( Φ 1 ( x ) ≜ m φ 0 ， 0 ( α ， x ) + n φ 0 ， 1 ( α ， x ) m φ 1 ， 0 ( α ， β ) + m φ 1 ， 1 ( α ， β ) ， Φ 2 ( x ) ≜ e φ 0 ， 0 ( x ， β ) + ( 1 + e f ) φ 1 ， 0 ( x ， β ) e φ 0 ， 1 ( α ， β ) + ( 1 + e f ) φ 1 ， 1 ( α ， β ) ) = T ⋅ 1 e Φ 1 ( β ) + 1 + e f ⋅ Φ 1 ( x ) + Q ⋅ 1 m Φ 2 ( α ) + n ⋅ Φ 2 ( x ) = T ⋅ 1 e + 1 f + Φ 1 ( β ) ⋅ 1 f + Φ 1 ( β ) ⋅ Φ 1 ( x ) + Q ⋅ 1 m + n Φ 2 ( α ) ⋅ 1 Φ 2 ( α ) Φ 2 (x) 证毕。