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user: 2. 预备定理 引理2.1 [ 7 ] 设H在G中是几乎S-置换的，N是G的正规子群。 1) HN在G中是几乎S-置换的； 2) 若H是一个p-群，则 H ∩ N 在G中是几乎S-置换； 3) 若H是一个p-群，则HN/N在G/N中是几乎S-置换； 4) 假设对于某个素数p，有 | H | = p n ，则 H ≤ Ο p ( G ) 。 设p是一个素数，称G是p-闭的，若在G中有一个Sylow p-子群是正规的。 引理2.2 [ 5 ] 设G是有限群，p、q是 | G | 的不同的素因子。令PQ分别为G的Sylow p-子群和Sylow q-子群，若对于P的任意极大子群(P非循环群)在G中都有是q-闭的补，则Q是G的正规子群。 引理2.3 [ 1 ] 设G是有限群， H ≤ K ≤ G ， M ≤ G 。 1) 若H、M都是G的次正规子群，则 〈 H ， M 〉 是G的次正规子群； 2) 若H是G的正规子群，则K/H在G/H中次正规当且仅当则K在G中次正规； 3) 若H是G的正规子群，且 | G : H | p = 1 ，则H包含G所有的Sylow p-子群(见文献 [ 8 ] )。 引理2.4 设G是有限群，H、 都是G的子群，且 H ≤ K ≤ G 。 1) H n G 是G的一个几乎S-置换子群，且 H s G ≤ H n G ； 2) H n G ≤ H n K ； 3) 若H是G的正规子群，则 ( K / H ) n ( G / H ) = K n G / H 。 证 1)~3)都是显然的。 引理2.5 设G是有限群，H、K都是G的子群，且 H ≤ K ≤ G 。 1) 若H在G中是几乎S-置换的，则H在G中是弱NS * -置换的； 2) 若H是G的正规子群，且K在G中是弱NS * -置换的，则K/H在G/H中是弱NS * -置换的； 3) 若H在G中是弱NS * -置换的，则H在K中是弱NS * -置换的； 4) 若H是G的正规子群，则EH/H在G/H中是弱NS * -置换的当且仅当H在K中是弱NS * -置换的，且 ( | E | ， | H | ) = 1 ； 5) 假设H是一个p-群，且H在G中不是几乎S-置换的。若H在G中是弱NS * -置换的，那么存在G的一个正规子群M，使得 | G : M | = p 且 G = H M 。 证 1) 显然； 2) 根据假设可知，存在G的一个次正规子群T，使得 K T = G 且 K ∩ T ≤ K n G 。由引理2.3 (1)可知，HT是G的次正规子群。再由引理2.3 (2)，HT/H是G/H的次正规子群。另一方面， ( H T / H ) ( K / H ) = G / H ，且依引理2.4 (3)， ( H T / H ) ∩ ( K / H ) = ( H T ∩ K ) / H = H ( T ∩ K ) / H ≤ H K n G / H = K n G / H = ( K / H ) n ( G / H ) ，因此K/H在G/H中是弱NS * -置换的； 3) 不妨假设T是G的一个次正规子，满足 H T = G 且 H ∩ T ≤ H n G ，从而有 K = K ∩ T H = H ( K ∩ T ) 。由引理2.4 (2)， ( K ∩ T ) ∩ H ≤ H n G ≤ H n K ，故H是K的弱NS * -置换子群； 4) 由假设，存在G的一个次正规子群T，使得 E T = G 且 E ∩ T ≤ E n G 。显然， H ≤ T ，因此 T ∩ H E = H ( T ∩ E ) ≤ H ( E n G ) ≤ ( H E ) n G ，故HE是G的弱NS * -置换子群。再由(2)知EH/H在G/H中是弱NS * -置换的。反过来则是显然的； 5) 根据假设，存在G的一个次正规子群T，使得 H T = G 且 H ∩ T ≤ H n G ≠ H 。因此，存在G的一个非平凡的正规子群G，使得 T ≤ K 。由于G/K是一个p-群，故存在G的一个正规子群M，使得 | G : M | = p 且 G = H M 。 引理2.6 设N是有限群G的一个初等交换正规子群。假设N有一个子群D，满足 1 < D < N ，若N的每个 | D | 阶子群在GK中皆是弱NS * -置换的，则存在N的某些极大子群在G中是正规的。 证 假设引理不真，令H是N的一个 | D | 阶子群。不妨先设H在G中不是几乎S-置换的。根据假设，H是G的弱NS * -置换子群。再由引理2.5 (5)知，存在G的一个正规子群T，使得 | G : T | 为素数，且 G = H T 。由此得 G = N T ，从而 T ∩ N 是N的极大子群且在G中正规，矛盾。因此对N的每个 | D | 阶子群H在G中都是几乎S-置换的。设M为N的一个极大子群，则M在G中是几乎S-置换的。假设N是一个p-群，从而M也是p-群，即有 | G : N G ( M ) | = p a 对某个自然数a。令 { M 1 ， M 2 ， ⋯ ， M t } 是N的所有极大子群的集合，则有p整除t，这与文献 [ 9 ] (III， 8.5 (d))矛盾。 引理2.7 设 F 是一个饱和群系，包含所有的幂零群。G是有限群，记G的可解 F -上根 P = G F 。假设G的每个不包含P的极大子群皆属于 F ，则P为p-群。此外，若P的每个素数阶循环子群或4阶循环群(若 p = 2 ，且P非交换)在G中若无超可解补则是G的弱NS * -置换的，那么 | P / Φ ( P ) | = p 。 证 根据文献 [ 10 ] (VI，定理24.2)， P = G F 为p-群，且有以下两个性质：(i) P / Φ ( P ) 是P的一个G-主因子；(ii) P的方次数等于p或4 (若 p = 2 ，且P不交换)。假设P的每个素数阶循环子群或4阶循环群(若 p = 2 且P不交换)在G中若无超可解补则是G的弱NS * -置换的。首先记 Φ = Φ ( P ) ， L = 〈 x 〉 ，令 X / Φ 是 P / Φ 的素数阶子群，其中 x ∈ X \ Φ 。于是可知 | L | = p 或 | L | = 4 。根据假设，要么L在G中有一个超可解补子群T，要么L是G的弱NS * -置换子群。不妨先考虑前者，假设 T ≠ G ，那么由 Φ ≤ Φ ( G ) ，可知 T Φ ≠ G 。另一方面，由于 L T = G ，即 ( T Φ / Φ ) ( L Φ / Φ ) = ( T Φ / Φ ) ( X / Φ ) = G / Φ ，因 | G / Φ : T Φ / Φ | = p 。又因为 G / Φ = ( P / Φ ) ( T Φ / Φ ) ，从而 | P / Φ ( P ) | = p 。再考虑后者，假设L在G中是弱NS * -置换的，如果L在G中不是几乎S-置换的，那么由引理2.5 (5)，存在G的一个正规子群T，使得 | G : T | = p ，且 G = L T 。显然， L ⊈ T 。另一方面，由于G/T是p-群，从而由子群P的定义，我们有 L ≤ P ≤ T ，这是一个矛盾。因此L在G中是几乎S-置换的，再由引理2.1， L Φ / Φ = X / Φ 在 G / Φ 中是几乎S-置换的，从而由(i)及引理2.6，即可得 | P / Φ ( P ) | = p 。 引理2.8 [ 5 ] 设 F 是一个饱和群系，包含所有的超可解群，G是有限群，且存在G的一个正规子群E，使得 G / E ∈ F 。若E循环，则 G ∈ F 。 引理2.9 [ 10 ] 设p是一个素数，则包含所有p-闭群的群系是饱和的。