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user: 3. 解的存在性 定义3.1设 ( u ， v ) ∈ E ，若 ( u ， v ) = ( u ( t ) ， v ( t ) ) 满足(1.1)中各等式，那么我们称 ( u ， v ) 是边值问题(1.1)的一个解，若当 t ∈ [ 0 ， 1 ] 时， u ( t ) ≥ 0 ， v ( t ) ≥ 0 ，则称 ( u ， v ) 为边值问题(1.1)的一个正解。 定义3.2设 ( u ， v ) ∈ E 0 ，如果 { D 0 + α u ( t ) + f ( t ， v ( t ) ， ψ t + v t ) ≤ 0 ，   t ∈ ( 0 ， 1 ) ， D 0 + β v ( t ) + g ( t ， u ( t ) ， ϕ t + u t ) ≤ 0 ，   t ∈ ( 0 ， 1 ) ， D 0 + α − 1 u ( 1 ) ≥ a ∫ 0 1 p ( s ， v ( s ) ) d s ， D 0 + β − 1 v ( 1 ) ≥ b ∫ 0 1 q ( s ， u ( s ) ) d s ， u ( t ) = 0 ，   v ( t ) = 0 ，   t ∈ [ − τ ， 0 ] ， (3.1) 则称 ( u ， v ) 是边值问题(2.10)的上解。 定义3.3 设 ( x ， y ) ∈ E 0 ，如果 { D 0 + α x ( t ) + f ( t ， y ( t ) ， ψ t + y t ) ≥ 0   ， t ∈ ( 0 ， 1 ) ， D 0 + β y ( t ) + g ( t ， x ( t ) ， ϕ t + x t ) ≥ 0   ， t ∈ ( 0 ， 1 ) ， D 0 + α − 1 x ( 1 ) ≤ a ∫ 0 1 p ( s ， y ( s ) ) d s ， D 0 + β − 1 y ( 1 ) ≤ b ∫ 0 1 q ( s ， x ( s ) ) d s ， x ( t ) = 0 ，   y ( t ) = 0 ，   t ∈ [ − τ ， 0 ] ， (3.2) 则称 ( x ， y ) 是边值问题(2.10)的下解。 引理3.1 (比较定理)设 ( u ， v ) ∈ E 0 ，如果 ( u ( t ) ， v ( t ) ) 满足 { D 0 + α u ( t ) ≤ 0 ，   t ∈ ( 0 ， 1 ) ， D 0 + β v ( t ) ≤ 0 ，   t ∈ ( 0 ， 1 ) ， D 0 + α − 1 u ( 1 ) ≥ 0 ，   D 0 + β − 1 v ( 1 ) ≥ 0 ， u ( t ) = 0 ，   v ( t ) = 0 ，   t ∈ [ − τ ， 0 ] ， (3.3) 则当 t ∈ [ − τ ， 1 ] 时， u ( t ) ≥ 0 ， v ( t ) ≥ 0 。 证明 令 D 0 + α u ( t ) = − x ( t ) ≤ 0 ， D 0 + α v ( t ) = − y ( t ) ≤ 0 ， D 0 + γ 1 u ( 1 ) = a 1 ≥ 0 ， D 0 + γ 2 v ( 1 ) = a 2 ≥ 0 。由 x ( t ) ≥ 0 ， y ( t ) ≥ 0 ， a 1 ≥ 0 ， a 2 ≥ 0 及引理2.3，边值问题 { D 0 + α u ( t ) + x ( t ) = 0 ，   t ∈ ( 0 ， 1 ) ， D 0 + β v ( t ) + y ( t ) = 0 ，   t ∈ ( 0 ， 1 ) ， u ( 0 ) = v ( 0 ) = 0 ， D 0 + γ 1 u ( 1 ) = a 1 ，   D 0 + γ 2 v ( 1 ) = a 2 ， 有唯一解 u ( t ) = { 0 ，   t ∈ [ − τ ， 0 ] ∫ 0 1 G 1 ( t ， s ) x ( t ) d s + a 1 t α − 1 Γ ( α ) ，   t ∈ [ 0 ， 1 ] ， v ( t ) = { 0 ，   t ∈ [ − τ ， 0 ] ， ∫ 0 1 G 2 ( t ， s ) y ( s ) d s + a 2 t β − 1 Γ ( β ) ，   t ∈ [ 0 ， 1 ] . 由引理2.5，当 t ∈ [ − τ ， 1 ] 时， u ( t ) ≥ 0 ， v ( t ) ≥ 0 。 证毕。 为了证明方便，先给出如下假设： (H) 任意的 x 1 ， x 2 ∈ [ 0 ， + ∞ ) 和任意的 p 1 ， p 2 ∈ C [ − τ ， 0 ] ， 当 x 1 ≤ x 2 ， p 1 ≤ p 2 ，对任意的 t ∈ [ 0 ， 1 ] ，有 f ( t ， x 1 ， p 1 ) ≤ f ( t ， x 2 ， p 2 ) ， g ( t ， x 1 ， p 1 ) ≤ g ( t ， x 2 ， p 2 ) ， p ( t ， x 1 ) ≤ p ( t ， x 2 ) ， q ( t ， x 1 ) ≤ q ( t ， x 2 ) . 引理3.2假如(H)成立，边值问题(1.1)存在上解 ( u 0 + ϕ t ， v 0 + ψ t ) ∈ P 和下解 ( x 0 + ϕ t ， y 0 + ψ t ) ∈ P ，且 ( x 0 ， y 0 ) ≺ _ ( u 0 ， v 0 ) 。若 ( u 1 + ϕ t ， v 1 + ψ t ) ， ( x 1 + ϕ t ， y 1 + ψ t ) ∈ P 满足 { D 0 + α u 1 ( t ) + f ( t ， v 0 ( t ) ， ψ t + v 0 t ) = 0 ，   t ∈ ( 0 ， 1 ) ， D 0 + β v 1 ( t ) + g ( t ， u 0 ( t ) ， ϕ t + u 0 t ) = 0 ，   t ∈ ( 0 ， 1 ) ， D 0 + α − 1 u 1 ( 1 ) = a ∫ 0 1 p ( s ， v 0 ( s ) ) d s ， D 0 + β − 1 v 1 ( 1 ) = b ∫ 0 1 q ( s ， u 0 ( s ) ) d s ， u 1 ( t ) = 0 ，   v 1 ( t ) = 0 ，   t ∈ [ − τ ， 0 ] ， (3.4) { D 0 + α x 1 ( t ) + f ( t ， y 0 ( t ) ， ψ t + y 0 t ) = 0   ， t ∈ ( 0 ， 1 ) ， D 0 + β y 1 ( t ) + g ( t ， x 0 ( t ) ， ϕ t + x 0 t ) = 0   ， t ∈ ( 0 ， 1 ) ， D 0 + α − 1 x 1 ( 1 ) = a ∫ 0 1 p ( s ， y 0 ( s ) ) d s ， D 0 + β − 1 y 1 ( 1 ) = b ∫ 0 1 q ( s ， x 0 ( s ) ) d s ， x 1 ( t ) = 0 ，   y 1 ( t ) = 0 ，   t ∈ [ − τ ， 0 ] ， (3.5) 则 ( x 0 ， y 0 ) ≺ _ ( x 1 ， y 1 ) ≺ _ ( u 1 ， v 1 ) ≺ _ ( u 0 ， v 0 ) ，且 ( u 1 + ϕ t ， v 1 + ψ t ) ， ( x 1 + ϕ t ， y 1 + ψ t ) 分别是边值问题(1.1)的上解和下解。 证明 由引理2.3可得 ( u 1 + ϕ t ， v 1 + ψ t ) ， ( x 1 + ϕ t ， y 1 + ψ t ) 有定义。 由上解的定义及(3.4)可得，对任意 t ∈ [ 0 ， 1 ] ， D 0 + α ( u 0 ( t ) − u 1 ( t ) ) = D 0 + α u 0 ( t ) − D 0 + α u 1 ( t ) ≤ − f ( t ， v 0 ( t ) ， ψ t + v 0 t ) + f ( t ， v 0 ( t ) ， ψ t + v 0 t ) = 0 ， D 0 + β ( v 0 ( t ) − v 1 ( t ) ) = D 0 + β v 0 ( t ) − D 0 + β v 1 ( t ) ≤ − g ( t ， u 0 ( t ) ， ϕ t + u 0 t ) + g ( t ， u 0 ( t ) ， ϕ t + u 0 t ) = 0 ， D 0 + α − 1 ( u 0 ( 1 ) − u 1 ( 1 ) ) = D 0 + α − 1 u 0 ( 1 ) − D 0 + α − 1 u 1 ( 1 ) ≥ a ∫ 0 1 p ( s ， v 0 ( s ) ) d s − a ∫ 0 1 p ( s ， v 0 ( s ) ) d s = 0 ， D 0 + β − 1 ( v 0 ( 1 ) − v 1 ( 1 ) ) = D 0 + β − 1 v 0 ( 1 ) − D 0 + β − 1 v 1 ( 1 ) ≥ b ∫ 0 1 q ( s ， u 0 ( s ) ) d s − b ∫ 0 1 q ( s ， u 0 ( s ) ) d s = 0 . 对任意的 t ∈ [ − τ ， 0 ] ， u 0 ( t ) − u 1 ( t ) = 0 ， v 0 ( t ) − v 1 ( t ) = 0 . 由引理3.1可得，当 t ∈ [ − τ ， 1 ] 时， ， . 所以 . 类似地，容易证明 。 由(3.4)，(3.5)及(H)可得，对任意 ， ， ， ， . 对于任意的 时， ， . 由引理3.1得，当 时， ， . 所以 . 综上所述 。 对任意的 ，由(3.4)和(H)可得 ， ， ， ， 所以 由上解定义可得 是边值问题(1.1)的上解。 类似地，容易证明 是边值问题(1.1)的下解。 证毕。 记序区间 . 定理3.1 假设(H)成立，若存在 ，且 和 分别是边值问题(1.1)的上解和下解。则边值问题(1.1)存在两个正解 ， ，且 ， 分别是边值问题(1.1)在该区间上的最大正解和最小正解。 证明 分别以 ， 为初始元，通过迭代公式 (3.6) (3.7) 和 (3.8) (3.9) 产生两个序列 ， 。由引理2.3知 ， 分别为边值问题 (3.10) (3.11) 的唯一解。 由引理3.2可得 . 易知序列 ， 都一致有界，即存在常数 使得对任意的 ，都有 ， ， 因此 ， ， ， . 因为 ， . 所以对任给定的 ，任意的 ，由 的连续性可知，存在常数 ， ， ， 使得任意的 ，都有 ， ， ， . 对任意的 ，由于 ， 在 上连续，故 ， 在 上一致连续。对任意的 ，存在 ，当 时，有 ， . 因为 ， 在 上连续，所以 ， 在 上一致连续。对于上述 ，存在 ，当 时，有 ， . 取 ，则 . 类似地，可以证明任意的 时，对任意的 ，存在 ，当 时，有 . 所以函数列 等度连续，由Ascoli-Arzela定理可知函数列 相对列紧。类似地，容易证明 相对列紧。又因为 ， 是单调的，所以存在 ， 使得 ， . 这就暗示 是边值问题(2.10)的一个下解， 是边值问题(2.10)的一个上解，且 。 由(3.6)，(3.7)及Lebegsgue控制收敛定理，有 由引理2.3可知 是边值问题(1.1)的解。类似地，容易证明 是边值问题(1.1)的解。 假设 是边值问题(2.10)在Y中的解，则 。 假设对任意正整数n， 都成立。与引理3.2类似可证 . 由数学归纳法可得，对任意的 ，有 。 由迭代序列的收敛性可得 。所以 ， 分别是边值问题(1.1)在Y上的最大正解和最小正解。 证毕。