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user: 3. 证明定理1.1 引理3.1：在(1.1)~(1.3)式的条件下，我们有 d d t ‖ ∇ ( γ n ， u ， ω ) ‖ H 3 3 + C 1 ‖ ∇ 2 u ‖ H 3 2 + C 2 ‖ ∇ 2 ω ‖ H 3 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 + C ‖ ∇ n ‖ H 1 2 ‖ ω ‖ L 2 2 . (3.1) 证明：对(2.1)，(2.2)，(2.3)式中左右两边同时关于空间求 m ( m = 1 ， 2，3，4 ) 阶空间导数，再分别乘以 ，然后在 ℝ 3 上积分，我们可以得到 { 1 2 d d t ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 + 〈 ∇ m n ， ∇ m ∇ d i v u 〉 = 〈 ∇ m n ， ∇ m S 1 〉 ， 1 2 d d t ‖ ∇ m u ‖ L 2 2 + γ 〈 ∇ m u ， ∇ m ∇ n 〉 − ( μ + ζ ) 〈 ∇ m u ， ∇ m Δ u 〉             − ( μ + λ − ζ ) 〈 ∇ m u ， ∇ m ∇ d i v u 〉 − 2 ζ 〈 ∇ m u ， ∇ m ∇ × ω 〉 = 〈 ∇ m u ， ∇ m S 2 〉 ， 1 2 d d t ‖ ∇ m ω ‖ L 2 2 + 4 ζ 〈 ∇ m ω ， ∇ m ω 〉 − μ ′ 〈 ∇ m ω ， ∇ m Δ ω 〉 − ( μ ′ + λ ′ ) 〈 ∇ m ω ， ∇ m ∇ d i v u 〉           − 2 ζ 〈 ∇ m ω ， ∇ m ∇ × u 〉 = 〈 ∇ m ω ， ∇ m S 3 〉 . (3.2) 然后将 γ ( 3.2 ) 1 ， ( 3.2 ) 2 和 ( 3.2 ) 3 求和，我们可以得到 1 2 d d t ( γ ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 + ‖ ∇ m u ‖ L 2 2 + ‖ ∇ m ω ‖ L 2 2 ) + ( μ + ζ ) ‖ ∇ m ∇ u ‖ L 2 2 + ( μ + λ − ζ ) ‖ ∇ m d i v u ‖ L 2 2 + 4 ζ ‖ ∇ m ω ‖ L 2 2 + μ ′ ‖ ∇ m ∇ ω ‖ L 2 2 + ( μ ′ + λ ′ ) ‖ ∇ m d i v ω ‖ L 2 2 = 4 ζ 〈 ∇ m ω ， ∇ m ∇ × u 〉 + γ 〈 ∇ m n ， ∇ m S 1 〉 + 〈 ∇ m u ， ∇ m S 2 〉 + 〈 ∇ m ω ， ∇ m S 3 〉 (3.3) 根据柯西不等式，我们知道 4 ζ 〈 ∇ m ω ， ∇ m ∇ × u 〉 ≤ 4 ζ ‖ ∇ m ω ‖ L 2 2 + ζ ‖ ∇ m ∇ × u ‖ L 2 2 (3.4) 结合(3.3)和(3.4)，我们可以得到 1 2 d d t ( γ ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 + ‖ ∇ m u ‖ L 2 2 + ‖ ∇ m ω ‖ L 2 2 ) + μ ‖ ∇ m ∇ u ‖ L 2 2 + ( μ + λ − ζ ) ‖ ∇ m d i v u ‖ L 2 2 + μ ′ ‖ ∇ m ∇ ω ‖ L 2 2 + ( μ ′ + λ ′ ) ‖ ∇ m d i v ω ‖ L 2 2 ≤ γ 〈 ∇ m n ， ∇ m S 1 〉 + 〈 ∇ m u ， ∇ m S 2 〉 + 〈 ∇ m ω ， ∇ m S 3 〉 (3.5) 第一步：我们处理 〈 ∇ m n ， ∇ m S 1 〉 这一项。 1) 当 m = 1 时，根据分部积分法和引理(1.1)，我们可以得到 〈 ∇ ( n d i v u ) ， ∇ n 〉 = − 〈 n d i v u ， ∇ 2 n 〉 ≤ ‖ n ‖ L 3 ‖ ∇ d i v u ‖ L 2 ‖ ∇ n ‖ L 2 2 ≤ ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ L 2 2 + ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ L 2 2 (3.6) 类似的，我们可以得到 〈 ∇ ( u ⋅ ∇ n ) ， ∇ n 〉 = − 〈 u ⋅ ∇ n ， ∇ 2 n 〉 ≤ ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ L 2 2 (3.7) 结合(3.6)和(3.7)，可以得到 〈 ∇ S 1 ， ∇ n 〉 ≤ ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ 2 L 2 + ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ L 2 2 (3.8) 2) 当 m = 2 ， 3 ， 4 时，利用Hőlder不等式和引理(1.1)~引理(1.3)，我们可以得到 〈 ∇ m ( n d i v u ) ， ∇ m n 〉 ≤ C ‖ ∇ m ( n d i v u ) ‖ L 2 ‖ ∇ m n ‖ L 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m + 1 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 (3.9) 对于第二部分 〈 ∇ m ( u ⋅ ∇ n ) ， ∇ m n 〉 = 〈 ∇ m ( u ⋅ ∇ n ) − u ⋅ ∇ m ∇ n ， ∇ m n 〉 + 〈 u ⋅ ∇ m ∇ n ， ∇ m n 〉 =I 1 + I 2 (3.10) 利用柯西不等式和引理(1.1)~引理(1.3)，我们有 I 1 ≤ C ( ‖ ∇ u ‖ L ∞ ‖ ∇ m − 1 ∇ n ‖ L 2 + ‖ ∇ n ‖ L ∞ ‖ ∇ m u ‖ L 2 ) ‖ ∇ m n ‖ L 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m u ‖ L 2 2 (3.11) 利用分部积分法和Hőlder不等式，可以得到 I 2 = 〈 u ， 1 2 ∇ | ∇ m n | 2 〉 = − 〈 ∇ ⋅ u ， 1 2 | ∇ m n | 2 〉 ≤ ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 (3.12) 所以，结合(3.11)和(3.12)，可以得到 〈 ∇ m ( u ⋅ ∇ n ) ， ∇ m n 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m u ‖ L 2 2 (3.13) 结合(3.9)和(3.13)，我们有 〈 ∇ m S 1 ， ∇ m n 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m + 1 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m u ‖ L 2 2 ， ( m = 2 ， 3 ， 4 ) (3.14) 对 〈 ∇ m S 1 ， ∇ m n 〉 从 m = 1 到 m = 4 求和，根据(3.8)和(3.14)，可以得到 ∑ m = 1 4 〈 ∇ m S 1 ， ∇ m n 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ H 3 2 (3.15) 第二步：接下来处理 〈 ∇ m u ， ∇ m S 2 〉 这一项。 1) 当 m = 1 时，我们有 〈 ∇ u ， ∇ S 2 〉 = − 〈 ∇ ( u ⋅ ∇ u ) ， ∇ u 〉 − 〈 ∇ ( n Δ u ) ， ∇ u 〉 − 〈 ∇ ( n ∇ d i v u ) ， ∇ u 〉 − 〈 ∇ ( n ∇ × ω ) ， ∇ u 〉 − 〈 ∇ ( n ∇ n ) ， ∇ u 〉 = ∑ i = 1 5 I i (3.16) 利用分部积分法，Hőlder不等式和引理(1.1)~引理(1.3)，我们可以得到 I 1 = 〈 u ⋅ ∇ u ， ∇ 2 u 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ L 2 2 I 2 = 〈 n Δ u ， ∇ 2 u 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ L 2 2 I 3 = 〈 n ∇ d i v u ， ∇ 2 u 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ L 2 2 I 4 = 〈 n ∇ × ω ， ∇ 2 u 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 2 I 5 = 〈 n ∇ n ， ∇ 2 u 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ L 2 2 (3.17) 将(3.17)代入(3.16)中，我们可以得到 〈 ∇ u ， ∇ S 2 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 2 (3.18) 2) 当 时。首先利用柯西不等式和引理(1.1)~引理(1.3)，可以得到 〈 ∇ m ( u ⋅ ∇ u ) ， ∇ m u 〉 ≤ C ( ‖ u ‖ L ∞ ‖ ∇ m ∇ u ‖ L 2 + ‖ ∇ u ‖ L ∞ ‖ ∇ m u ‖ L 2 ) ‖ ∇ m u ‖ L 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m + 1 u ‖ L 2 2 (3.19) 同理，我们可以得到 〈 ∇ m ( n ∇ × ω ) ， ∇ m u 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m + 1 ω ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 〈 ∇ m ( n ∇ n ) ， ∇ m u 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m + 1 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 (3.20) 另一方面，我们需要处理 〈 ∇ m ( n Δ u ) ， ∇ m u 〉 这一项。利用分部积分法，可以得到 〈 ∇ m ( n Δ u ) ， ∇ m u 〉 = 〈 ∇ m [ ∇ ( n ⋅ d i v u ) − ∇ n ⋅ d i v u ] ， ∇ m u 〉 = 〈 ∇ m [ ∇ ( n ⋅ d i v u ) ] ， ∇ m u 〉 − 〈 ∇ m [ ∇ n ⋅ d i v u ] ， ∇ m u 〉 =I 1 + I 2 (3.21) 再利用柯西不等式、Hőlder不等式和引理(1.1)~引理(1.3)，我们可以分别得到 I 1 ≤ C ( ‖ n ‖ L ∞ ‖ ∇ m + 1 u ‖ L 2 + ‖ d i v u ‖ L ∞ ‖ ∇ m n ‖ L 2 ) ‖ ∇ m + 1 u ‖ L 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m + 1 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 I 2 ≤ C ( ‖ ∇ n ‖ L ∞ ‖ ∇ m u ‖ L 2 + ‖ d i v u ‖ L ∞ ‖ ∇ m n ‖ L 2 ) ‖ ∇ m + 1 u ‖ L 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m + 1 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 (3.22) 将(3.22)代入到(3.21)中，得到 〈 ∇ m ( n Δ u ) ， ∇ m u 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m + 1 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 (3.23) 同理可以得到 〈 ∇ m ( n ∇ d i v u ) ， ∇ m u 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m + 1 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 (3.24) 将 〈 ∇ m u ， ∇ m S 2 〉 从 m = 1 到 求和，根据(3.18)，(3.19)，(3.20)，(3.23)，(3.24)得到 ∑ m = 1 4 〈 ∇ m u ， ∇ m S 2 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ H 3 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 ω ‖ H 3 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 (3.25) 第三步：最后我们来处理 〈 ∇ m ω ， ∇ m S 3 〉 这一项. 1) 当 m = 1 时，我们有 〈 ∇ ω ， ∇ S 3 〉 = − 〈 ∇ ( u ⋅ ∇ ω ) ， ∇ ω 〉 − 〈 ∇ ( n Δ ω ) ， ∇ ω 〉 − 〈 ∇ ( n ∇ d i v ω ) ， ∇ ω 〉 − 〈 ∇ ( n ω ) ， ∇ ω 〉 − 〈 ∇ ( n ∇ × u ) ， ∇ ω 〉 = ∑ i = 1 5 I i (3.26) 类似于(3.17)，我们有 I 1 ≤ ‖ u ‖ L 3 ‖ ∇ ω ‖ L 6 ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 2 I 2 ≤ ‖ n ‖ L 2 ‖ Δ ω ‖ L 2 ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 2 I 3 ≤ ‖ n ‖ L 2 ‖ ∇ d i v ω ‖ L 2 ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 2 I 4 ≤ ‖ n ω ‖ L 2 ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 ≤ ε ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 2 + C ‖ ∇ n ‖ H 1 2 ‖ ω ‖ L 2 2 I 5 ≤ ‖ n ‖ L 3 ‖ ∇ u ‖ L 6 ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 2 (3.27) 将(3.27)代入到(3.26)中得到 〈 ∇ ω ， ∇ S 3 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 2 + C ‖ ∇ n ‖ H 1 2 ‖ ω ‖ L 2 2 (3.28) 2) 当 2 ≤ m ≤ 4 时。利用柯西不等式、Hőlder不等式和引理(1.1)~引理(1.3)，可以得到 〈 ∇ m ( u ∇ ω ) ， ∇ m ω 〉 ≤ C ( ‖ u ‖ L ∞ ‖ ∇ m ∇ ω ‖ L 2 + ‖ ∇ ω ‖ L ∞ ‖ ∇ m u ‖ L 2 ) ‖ ∇ m ω ‖ L 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m + 1 ω ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m ω ‖ L 2 2 (3.29) 同理可以得到， 〈 ∇ m ( n ∇ × u ) ， ∇ m ω 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m + 1 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m ω ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 〈 ∇ m ( n ω ) ， ∇ m ω 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m ω ‖ L 2 2 (3.30) 对于 〈 ∇ m ( n Δ ω ) ， ∇ m ω 〉 这一项，我们先用引理(1.1)和分部积分法来处理 〈 ∇ m ( n Δ ω ) ， ∇ m ω 〉 = 〈 ∇ m ( n Δ ω ) − n ∇ m Δ ω ， ∇ m ω 〉 + 〈 n ∇ m Δ ω ， ∇ m ω 〉 ≤ C ( ‖ ∇ n ‖ L ∞ ‖ ∇ m − 1 Δ ω ‖ L 2 + ‖ Δ ω ‖ L ∞ ‖ ∇ m n ‖ L 2 ) ‖ ∇ m ω ‖ L 2 + 〈 n ∇ m Δ ω ， ∇ m ω 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m + 1 ω ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m ω ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 (3.31) 同样的我们可以得到 〈 ∇ m ( n ∇ d i v ω ) ， ∇ m ω 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m + 1 ω ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m ω ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 (3.32) 将 〈 ∇ m ω ， ∇ m S 3 〉 从 m = 1 到 m = 4 求和，根据(3.28)~(3.32)，得到 ∑ m = 1 4 〈 ∇ m ω ， ∇ m S 3 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ H 3 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 ω ‖ H 3 2 + C ‖ ∇ n ‖ H 1 2 ‖ ω ‖ L 2 2 (3.33) 第四步：将(3.5)式左右两边从 m = 1 到 m = 4 求和，根据(3.15)、(3.25)和(3.33)，有 d d t ‖ ∇ ( γ n ， u ， ω ) ‖ H 3 3 + C 1 ‖ ∇ 2 u ‖ H 3 2 + C 2 ‖ ∇ 2 ω ‖ H 3 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 + C ‖ ∇ n ‖ H 1 2 ‖ ω ‖ L 2 2 . 引理3.2：在(1.1)~(1.3)式的条件下，我们可以得到 d d t ( ∑ k = 1 3 〈 ∇ k u ， ∇ k ∇ n 〉 ) + γ ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 ≤ C ‖ ∇ 2 u ‖ H 3 2 + C ‖ ∇ 2 ω ‖ H 2 2 (3.34) 证明：在方程(2.2)式中，左右两边同时取 m 阶导数，然后同时乘以 ∇ k ∇ n ( k = 1 ， 2 ， 3 ) ，得到 〈 ∇ k u t ， ∇ k ∇ n 〉 + γ ‖ ∇ k ∇ n ‖ L 2 2 = ( μ + ζ ) 〈 ∇ k ∇ n ， ∇ k Δ u 〉 + ( μ + λ − ζ ) 〈 ∇ k ∇ n ， ∇ k d i v u 〉 +2 ζ 〈 ∇ k ∇ n ， ∇ k ∇ × ω 〉 + 〈 ∇ k ∇ n ， ∇ k S 2 〉 (3.35) 为了处理掉 〈 ∇ k u t ， ∇ k ∇ n 〉 这一项，我们需要用到分部积分法和方程(2.1) 〈 ∇ k u t ， ∇ k ∇ n 〉 = d d t 〈 ∇ k u ， ∇ k ∇ n 〉 − 〈 ∇ k u ， ∇ k ∇ n t 〉 = d d t 〈 ∇ k u ， ∇ k ∇ n 〉 − 〈 ∇ k u ， ∇ k ∇ S 1 〉 + 〈 ∇ k u ， ∇ k ∇ d i v u 〉 (3.36) 将(3.36)代入(3.35)中得到 d d t 〈 ∇ k u ， ∇ k ∇ n 〉 + γ ‖ ∇ k ∇ n ‖ L 2 2 = ‖ ∇ k d i v u ‖ L 2 2 + 〈 ∇ k u ， ∇ k ∇ S 1 〉 + ( μ + ζ ) 〈 ∇ k ∇ n ， ∇ k Δ u 〉 + ( μ + λ − ζ ) 〈 ∇ k ∇ n ， ∇ k ∇ d i v u 〉 +2 ζ 〈 ∇ k ∇ n ， ∇ k ∇ × ω 〉 + 〈 ∇ k ∇ n ， ∇ k S 2 〉 (3.37) 第一步：我们需要处理 〈 ∇ k u ， ∇ k ∇ S 1 〉 这一项。当 k = 1 时，利用分部积分法和柯西不等式，得到 〈 ∇ u ， ∇ ∇ S 1 〉 = − 〈 ∇ d i v u ， ∇ S 1 〉 = 〈 ∇ d i v d i v u ， S 1 〉 = 〈 ∇ d i v d i v u ， n d i v u 〉 + 〈 ∇ d i v d i v u ， u ∇ n 〉 ≤ ‖ n ‖ L 3 ‖ d i v u ‖ L 6 ‖ ∇ 3 u ‖ L 2 + ‖ u ‖ L 3 ‖ ∇ n ‖ L 6 ‖ ∇ 3 u ‖ L 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 3 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ L 2 2 (3.38) 当 k = 2 ， 3 时，利用分部积分法和引理(1.1)~引理(1.3)得 〈 ∇ k u ， ∇ k ∇ S 1 〉 = − 〈 ∇ k d i v u ， ∇ k S 1 〉 = − 〈 ∇ k d i v u ， ∇ k ( n d i v u ) 〉 − 〈 ∇ k d i v u ， ∇ k ( u ⋅ ∇ n ) 〉 ≤ C ( ‖ ∇ n ‖ H 1 ‖ ∇ k + 1 u ‖ L 2 + ‖ ∇ d i v u ‖ H 1 ‖ ∇ k n ‖ L 2 ) ‖ ∇ k + 1 u ‖ L 2 + C ( ‖ ∇ u ‖ H 1 ‖ ∇ k + 1 n ‖ L 2 + ‖ ∇ 2 n ‖ H 1 ‖ ∇ k u ‖ L 2 ) ‖ ∇ k + 1 u ‖ L 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ k + 1 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ k u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ k + 1 n ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ k n ‖ L 2 2 (3.39) 对 〈 ∇ k u ， ∇ k ∇ S 1 〉 从 k = 1 到 k = 3 求和，根据(3.38)和(3.39)得到 ∑ k = 1 3 〈 ∇ k u ， ∇ k ∇ S 1 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ H 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 (3.40) 应用柯西不等式和Hőlder不等式，得到 〈 ∇ k Δ u ， ∇ k ∇ n 〉 ≤ ‖ ∇ k Δ u ‖ L 2 ‖ ∇ k ∇ n ‖ L 2 ≤ ε ‖ ∇ k ∇ n ‖ L 2 2 + C ‖ ∇ k + 2 u ‖ L 2 2 〈 ∇ k ∇ d i v u ， ∇ k ∇ n 〉 ≤ ‖ ∇ k ∇ d i v u ‖ L 2 ‖ ∇ k ∇ n ‖ L 2 ≤ ε ‖ ∇ k ∇ n ‖ L 2 2 + C ‖ ∇ k + 2 u ‖ L 2 2 〈 ∇ k ∇ × ω ， ∇ k ∇ n 〉 ≤ ‖ ∇ k ∇ × ω ‖ L 2 ‖ ∇ k ∇ n ‖ L 2 ≤ ε ‖ ∇ k ∇ n ‖ L 2 2 + C ‖ ∇ k + 1 ω ‖ L 2 2 (3.41) 第二步：处理 〈 ∇ k ∇ n ， ∇ k S 2 〉 这一项。当 k = 1 时，类似于(3.38)可以得到 〈 ∇ ∇ n ， ∇ ( u ∇ u ) 〉 = − 〈 ∇ 2 d i v n ， u ∇ u 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 3 n ‖ L 2 2 〈 ∇ ∇ n ， ∇ ( n Δ u ) 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 3 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 3 n ‖ L 2 2 〈 ∇ ∇ n ， ∇ ( n ∇ d i v u ) 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 3 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 3 n ‖ L 2 2 〈 ∇ ∇ n ， ∇ ( u ∇ × ω ) 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 3 n ‖ L 2 2 〈 ∇ ∇ n ， ∇ ( n ∇ n ) 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 3 n ‖ L 2 2 (3.45) 当 k = 2 ， 3 时，我们有 〈 ∇ k ∇ n ， ∇ k ( u ∇ u ) 〉 ≤ ‖ ∇ k ∇ n ‖ L 2 ‖ ∇ k ( u ∇ u ) ‖ L 2                 ≤ C ( ‖ u ‖ L ∞ ‖ ∇ k ∇ u ‖ L 2 + ‖ ∇ u ‖ L ∞ ‖ ∇ k u ‖ L 2 ) ‖ ∇ k ∇ n ‖ L 2                 ≤ C ε 0 ‖ ∇ k u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ k + 1 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ k + 1 n ‖ L 2 2 〈 ∇ k ∇ n ， ∇ k ( n Δ u ) 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ k + 2 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ k ∇ n ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ k n ‖ L 2 2 〈 ∇ k ∇ n ， ∇ k ( n ∇ d i v u ) 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ k + 2 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ k ∇ n ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ k n ‖ L 2 2 (3.46) 〈 ∇ k ∇ n ， ∇ k ( n ∇ × ω ) 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ k + 1 ω ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ k ∇ n ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ k n ‖ L 2 2 〈 ∇ k ∇ n ， ∇ k ( n ∇ n ) 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ k + 1 n ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ k n ‖ L 2 2 将 〈 ∇ k ∇ n ， ∇ k S 2 〉 从 k = 1 到 求和，根据(3.45)和(3.46)，得到 ∑ k = 1 3 〈 ∇ k ∇ n ， ∇ k ∇ S 2 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ H 3 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 ω ‖ H 2 2 (3.47) 第三步：将(3.37)式左右两边从 k = 1 到 k = 3 求和，根据(3.40)、(3.41)和(3.47)，有 d d t ( ∑ k = 1 3 〈 ∇ k u ， ∇ k ∇ n 〉 ) + γ ′ ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 ≤ C ‖ ∇ 2 u ‖ H 3 2 + C ‖ ∇ 2 ω ‖ H 2 2 . 证明定理1.1：(3.34)式乘以 2 C 4 ε 0 γ ′ 加上(3.1)式，得到 d d t N ( t ) + C 5 ( ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 + ‖ ∇ 2 u ‖ H 3 2 + ‖ ∇ 2 ω ‖ H 3 2 ) ≤ C ‖ ∇ n ‖ H 1 2 ‖ ω ‖ L 2 2 (3.48) 其中 N ( t ) : = ‖ ∇ ( n ， u ， ω ) ‖ H 3 2 + 2 C 4 ε 0 γ ′ ∑ k = 1 3 〈 ∇ k u ， ∇ k ∇ n 〉 根据柯西不等式和小量 ，可以得到如下等价关系 C 6 − 1 ‖ ∇ ( n ， u ， ω ) ‖ H 3 2 ≤ N ( t ) ≤ C 6 ‖ ∇ ( n ， u ， ω ) ‖ H 3 2 (3.49) 根据(3.48)式，可以得到 d d t N ( t ) + C 5 2 ( ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 + ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 + ‖ ∇ 2 u ‖ H 3 2 + ‖ ∇ 2 ω ‖ H 3 2 ) ≤ C ‖ ∇ n ‖ H 1 2 ‖ ω ‖ L 2 2 (3.50) 对常数 R 我们可以定义一个时间球 S 0 S 0 : = { ξ ∈ ℝ 3 | | ξ | ≤ ( R 1 + t ) 1 2 } 然后我们就有 ∫ ℝ 3 | ∇ 5 u | 2 d x ≥ ∫ ℝ 3 / S 0 | ξ | 10 | u ^ | 2 d ξ             ≥ R 1 + t ∫ ℝ 3 | ξ | 8 | u ^ | 2 d ξ − ( R 1 + t ) 2 ∫ S 0 | ξ | 6 | u ^ | 2 d ξ             ≥ R 1 + t ∫ ℝ 3 | ∇ 4 u | 2 d ξ − ( R 1 + t ) 2 ∫ ℝ 3 | ∇ 3 u | 2 d ξ (3.51) 也即是 (3.52) 同理就有 ‖ ∇ 5 ω ‖ L 2 2 ≥ R 1 + t ‖ ∇ 4 ω ‖ L 2 2 − ( R 1 + t ) 2 ‖ ∇ 3 ω ‖ L 2 2 (3.53) 那于是就有 ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 ≥ R 1 + t ‖ ∇ n ‖ H 2 2 − ( R 1 + t ) 2 ‖ n ‖ H 2 2 ‖ ∇ 2 u ‖ H 3 2 ≥ R 1 + t ‖ ∇ u ‖ H 3 2 − ( R 1 + t ) 2 ‖ u ‖ H 3 2 ‖ ∇ 2 ω ‖ H 3 2 ≥ R 1 + t ‖ ∇ ω ‖ H 3 2 − ( R 1 + t ) 2 ‖ ω ‖ H 3 2 (3.54) 根据(3.50)和(3.54)，利用引理1.1中的衰减，得到 d d t N ( t ) + C 5 2 [ R 1 + t ( ‖ ∇ n ‖ H 2 2 + ‖ ∇ u ‖ H 3 2 + ‖ ∇ ω ‖ H 3 2 ) + ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 ] ≤ C ( 1 + t ) − 2 ( ‖ n ‖ H 2 2 + ‖ u ‖ H 3 2 + ‖ ω ‖ H 3 2 ) + C ‖ ∇ n ‖ H 1 2 ‖ ω ‖ L 2 2 ≤ C ( 1 + t ) − 2 ( 1 + t ) − 3 2 + C ( 1 + t ) − 3 2 ( 1 + t ) − 5 2 ≤ C ( 1 + t ) − 7 2 (3.55) 对于时间 t 足够大时，有 t ≥ R − 1 ，即 ，那么就有 R 1 + t ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 ≤ ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 (3.56) 将(3.56)代入(3.55)中，得到 d d t N ( t ) + C 5 R 2 ( 1 + t ) ( ‖ ∇ n ‖ H 3 2 + ‖ ∇ u ‖ H 3 2 + ‖ ∇ ω ‖ H 3 2 ) ≤ C ( 1 + t ) − 7 2 (3.57) 根据等价关系(3.49)可以得到 d d t N ( t ) + C 5 R 2 C 6 ( 1 + t ) N ( t ) ≤ C ( 1 + t ) − 7 2 (3.58) 在(3.58)式中，取 ，得到 d d t N ( t ) + + 4 1 + t N ( t ) ≤ C ( 1 + t ) − 7 2 (3.59) 在(3.59)式中，左右两边同时乘以 ( 1 + t ) 4 ，再同时在 [ 0 ， t ] 上取积分，可以得到 N ( t ) ≤ C ( 1 + t ) - 4 { N ( 0 ) + C ( 1 + t ) 3 2 } (3.60) 所以，就可以得到 N ( t ) ≤ C ( 1 + t ) − 5 2 (3.61) 根据等价关系，也即是有 ‖ ∇ n ‖ H 3 2 + ‖ ∇ u ‖ H 3 2 + ‖ ∇ ω ‖ H 3 2 ≤ C ( 1 + t ) − 5 2 对所有的 。因此，我们完成了定理1.1的证明。