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user: 3. 四体GHZ态与相位阻尼环境作用只有三个观察者加速 我们将考虑由Alice，Bob，Charlie 和Daniel四个观察者共享的四体GHZ态，定义如下： | G H Z 〉 = 1 2 [ | 0 A 0 B 0 C 0 D 〉 + | 1 A 1 B 1 C 1 D 〉 ] 其中GHZ态的下标 A ， B ， C ， D 分别代表四个观察者。当只有Bob，Charlie和Daniel这三个观察者都以相同的加速参数r加速时，我们运用式子(1)和(2)，并通过对区域二分别求偏迹，可以得到下面量子态： ρ A B Ⅰ C Ⅰ D Ⅰ = 1 2 [ cos 6 r | 0000 〉 〈 0000 | + cos 4 r sin 2 r | 0001 〉 〈 0001 |     + cos 4 r sin 2 r | 0010 〉 〈 0010 | + cos 2 r sin 4 r | 0011 〉 〈 0011 |     + cos 4 r sin 2 r | 0100 〉 〈 0100 | + cos 2 r sin 4 r | 0101 〉 〈 0101 |     + cos 2 r sin 4 r | 0110 〉 〈 0110 | + sin 6 r | 0111 〉 〈 0111 |     + cos 3 r | 1111 〉 〈 0000 | + cos 3 r | 0000 〉 〈 1111 | + | 1111 〉 〈 1111 | ] 接下来量子态 ρ A B 1 C 1 D 1 中只有A系统与相位阻尼环境相接触，运用式子(5)，可以得到与环境作用后的态，再通过分别对四个子系统求部分转置，可以得到下列矩阵： ρ A B Ⅰ C Ⅰ D Ⅰ Τ B 1 = 1 2 [ cos 6 r | 0000 〉 〈 0000 | + cos 4 r sin 2 r | 0001 〉 〈 0001 |     + cos 4 r sin 2 r | 0010 〉 〈 0010 | + cos 2 r sin 4 r | 0011 〉 〈 0011 |     + cos 4 r sin 2 r | 0100 〉 〈 0100 | + cos 2 r sin 4 r | 0101 〉 〈 0101 |     + cos 2 r sin 4 r | 0110 〉 〈 0110 | + sin 6 r | 0111 〉 〈 0111 | + | 1111 〉 〈 1111 |     + 1 − p cos 3 r | 0100 〉 〈 1011 | + 1 − p cos 3 r | 1011 〉 〈 0100 | ] ρ A B Ⅰ C Ⅰ D Ⅰ Τ C 1 = 1 2 [ cos 6 r | 0000 〉 〈 0000 | + cos 4 r sin 2 r | 0001 〉 〈 0001 |     + cos 4 r sin 2 r | 0010 〉 〈 0010 | + cos 2 r sin 4 r | 0011 〉 〈 0011 |     + cos 4 r sin 2 r | 0100 〉 〈 0100 | + cos 2 r sin 4 r | 0101 〉 〈 0101 |     + cos 2 r sin 4 r | 0110 〉 〈 0110 | + sin 6 r | 0111 〉 〈 0111 | + | 1111 〉 〈 1111 |     + 1 − p cos 3 r | 0010 〉 〈 1101 | + 1 − p cos 3 r | 1101 〉 〈 0010 | ] ρ A B Ⅰ C Ⅰ D Ⅰ Τ D 1 = 1 2 [ cos 6 r | 0000 〉 〈 0000 | + cos 4 r sin 2 r | 0001 〉 〈 0001 |     + cos 4 r sin 2 r | 0010 〉 〈 0010 | + cos 2 r sin 4 r | 0011 〉 〈 0011 |     + cos 4 r sin 2 r | 0100 〉 〈 0100 | + cos 2 r sin 4 r | 0101 〉 〈 0101 |     + cos 2 r sin 4 r | 0110 〉 〈 0110 | + sin 6 r | 0111 〉 〈 0111 | + | 1111 〉 〈 1111 |     + 1 − p cos 3 r | 0001 〉 〈 1110 | + 1 − p cos 3 r | 1110 〉 〈 0001 | ] 经过一些计算，我们可以得到： N A ( B Ⅰ C Ⅰ D Ⅰ ) = − 2 × ( 3 4 cos 4 r − 3 4 cos 2 r − 1 4 cos 6 r + 1 4 − 1 4 ( 15 cos 4 r − 6 cos 2 r     − 4 p cos 6 r − 16 cos 6 r + 15 cos 8 r − 6 cos 10 r + cos 12 r + 1 ) 1 2 ) N B Ⅰ ( A C Ⅰ D Ⅰ ) = − 2 × ( 1 4 cos 4 r − 1 4 cos 3 r × ( cos 2 r − 4 p − 2 cos 4 r + cos 6 r + 4 ) 1 2 − 1 4 cos 6 r ) N C Ⅰ ( A B Ⅰ D Ⅰ ) = − 2 × ( 1 4 cos 4 r − 1 4 cos 3 r × ( cos 2 r − 4 p − 2 cos 4 r + cos 6 r + 4 ) 1 2 − 1 4 cos 6 r ) N D Ⅰ ( A B Ⅰ C Ⅰ ) = − 2 × ( 1 4 cos 4 r − 1 4 cos 3 r × ( cos 2 r − 4 p − 2 cos 4 r + cos 6 r + 4 ) 1 2 − 1 4 cos 6 r ) N i j = 0 ，   i ， j = A ， B Ⅰ ， C 1 ， D Ⅰ ， i ≠ j π 4 = 1 4 ( N A ( B Ⅰ C Ⅰ D Ⅰ ) 2 + 3 N B Ⅰ ( A C Ⅰ D Ⅰ ) 2 ) ，   ∏ 4 = N A ( B Ⅰ C Ⅰ D Ⅰ ) 2 × N B Ⅰ ( A C Ⅰ D Ⅰ ) 6 4 从下面的图1中我们可以看出，只有系统A与环境接触，对于加速参数r分别取三个特殊值，随着退化参数p增大， π 4 都是减少的，最后都是减少到0，没有纠缠。对于相同的退化参数p，加速参数r越大，相应的纠缠度就越小。 ∏ 4 的变化趋势如图2所示，它随着加速参数r和退化参数p也是逐步减少。类似上面的的算法，我们假设系统A和B I 都与相同的相位阻尼环境相接触，通过计算得到： N B Ⅰ ( A C Ⅰ D Ⅰ ) = N C Ⅰ ( A B Ⅰ D Ⅰ ) = N D Ⅰ ( A B Ⅰ C Ⅰ ) = − 2 × ( 1 4 cos 4 r − 1 4 cos 6 r − 1 4 ( cos 3 r × ( cos 2 r − 8 p − 2 cos 4 r + cos 6 r + 4 p 2 + 4 ) 1 2 ) ) 图1. 对于相位阻尼环境，纠缠随退化参数变化的情况 图2. 对于相位阻尼环境，纠缠随退化参数变化的情况 由于其他的纠缠公式比较复杂，所以没有写出来， π 4 如图3所示，它也是随着退化参数减少到0，从图中可以看出加速参数最大的， π 4 最先减少到0。 接下来当 r = p i / 4 ，两种情况的 π 4 的变化情况如图4所示，黑色曲线表示只有系统A与环境接触的情况，蓝色曲线表示系统AB与相同环境接触时的情况，从图中可以看出当 p = 0 ，两种情况刚开始纠缠度是一样的，随着p的增大，与环境接触的系统越多，也就是当系统AB都与环境接触，纠缠程度下降的越快，当p接近0.85时， π 4 减少到0。 图3. 对于相位阻尼环境，纠缠随退化参数变化的情况 图4. 对于相位阻尼环境，纠缠随退化参数变化的情况