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user: 5. 主要结论 首先讨论变换α的情况： 当 A 1 = { ϕ } 时，(α-1) = 1；(α-2) = { ϕ ， X n − 1 ， X n ， { x n } } = 1；(α-3)，(α-4)与(α-5)均重复了(α-2)情况，这里计数均为0；共2种情况。 当 A 1 ≠ { ϕ } 时，(α-1) = P n − 1 − 1 ；由引理4.1可知，(α-2) = 0； (α-3) { ϕ ， X n − 1 ， X n } ∪ A 1 ∪ A 2 分3种情况讨论： (α-3-1)： { ϕ ， X n − 1 ， X n ， C 1 ， C 2 ， ⋯ ， C k ， B 1 ， B 2 ， ⋯ ， B k } 注：由引理4.2可知，当 A 1 = { C 1 ， C 2 ， ⋯ ， C k } ∈ X n − 1 ∗ 时，只有 A 2 为单元素时才能构成拓扑。所以(α-3-1)情况只能是k = 1，总共有 ( 2 n − 1 − 2 ) 种。 (α-3-2)：由引理4.3可知， { ϕ ， X n − 1 ， X n ， A 1 ∘ ， A 2 • } 不是拓扑；故而可构造， { ϕ ， X n − 1 ， X n ， A 1 ∘ ， A 1 • ， A 2 • } ，其中 A 1 • = X n − 1 \ A 1 ∘ ，是一个拓扑，这类拓扑是集合 X n 上的一个σ代数，共有 ( 2 n − 1 − 2 ) 种情况。 (α-3-3)：设 A 1 中的元素分别为 C r 1 ， C r 2 ， ⋯ ， C r m ， C j p ⊕ ； A 2 中的元素分别为 B z 1 ， B z 2 ， ⋯ ， B z q ；对于 { C r 1 ， C r 2 ， ⋯ ， C r m ， C j p ⊕ } 的取法，可分为两种情况： (α-3-3-1) C r 1 ， C r 2 ， ⋯ ， C r m ， C j p ⊕ 等各自所含元素个数均不相同，且 { C r 1 ， C r 2 ， ⋯ ， C r m } ⊆ { C j 1 ⊕ ， C j 2 ⊕ ， ⋯ ， C j p − 1 ⊕ } ； B z 1 ， B z 2 ， ⋯ ， B z q 等各自所含元素个数也均不相同。 (α-3-3-2) C r 1 ， C r 2 ， ⋯ ， C r m ， C j p ⊕ 等各自所含元素个数有相同的情况；或者 B z 1 ， B z 2 ， ⋯ ， B z q 等各自所含元素个数有相同的情况。 下面，先讨论(α-3-3-1)： 由引理4.9可知， { C r 1 ， C r 2 ， ⋯ ， C r m ， C j p ⊕ } 的取法共有 ( C n − 1 p T 1 ， n − 2 ) 种。故而，(α-3-3-1)又可以分成三种情况讨论： (α-3-3-1-1)对于取定了的 { C r 1 ， C r 2 ， ⋯ ， C r m ， C j p ⊕ } ，有 { ϕ ， X n − 1 ， X n ， C r 1 ， C r 2 ， ⋯ ， C r m ， C j p ⊕ ， B j p ⊕ ， B k 1 ， B k 2 ， ⋯ ， B k s } 其中， { B k 1 ， B k 2 ， ⋯ ， B k s } ⊆ { B i p + 1 ⊕ ， B i p + 2 ⊕ ， ⋯ ， B i n − 2 ⊕ } ，且 B z 1 ， B z 2 ， ⋯ ， B z q 等各自所含元素个数也均不相同， k 1 < k 2 < ⋯ < k s 。 注：由引理4.10知，这类情况的拓扑数共有 C n − 1 p T 1 ， n − 2 ( U p + 1 n − 2 + 1 ) 种。 (α-3-3-1-2)： B z 1 ∈ { B r 1 ⊕ ， B r 2 ⊕ ， ⋯ ， B r m ⊕ } ， B z k ∈ { B j p ⊕ ， B i p + 1 ⊕ ， ⋯ ， B i n − 2 ⊕ } ，且 B z 1 与 B z k 均要非空；则设 { B z 1 ， B z 2 ， ⋯ ， B z x } ⊆ { B r 1 ⊕ ， B r 2 ⊕ ， ⋯ ， B r m ⊕ } ，其中 z x < j p ， z x + 1 ≥ j p 。 注：对于取定了的 C j p ⊕ ，有 C n − 1 p 种情况；对于 { B z 1 ， B z 2 ， ⋯ ， B z k } 的取法，这里不强调k = q，因为先不考虑会与前面重复的情况；则 又因 B z 1 非空，由引理4.11、引理4.12、性质4.2知，此类情况共有 W 1 ， n − 2 = ∑ p = 1 n − 2 C n − 1 p ⋅ [ ( ∑ k 1 = 1 p − 1 C p k 1 ) ⋅ 1 + ( ∑ k 1 = 1 k 2 − 1 ∑ k 2 = 2 p − 1 C p k 2 C k 2 k 1 ) ⋅ 2 + ( ∑ k 1 = 1 k 2 − 1 ∑ k 2 = 2 k 3 − 1 ∑ k 3 = 3 p − 1 C p k 3 C k 3 k 2 C k 2 k 1 ) ⋅ 3 + ⋯     + ( ∑ k 1 = 1 k 2 − 1 ∑ k 2 = 2 k 3 − 1 ⋯ ∑ k p − 1 = p − 1 p − 1 C p k p − 1 C k p − 1 k p − 2 ⋯ C k 2 k 1 ) ⋅ ( p − 1 ) ] ⋅ ( U p + 1 n − 2 + 1 + U p + 1 n − 2 ) 种； (α-3-3-1-3)： { B z 1 ， B z 2 ， ⋯ ， B z k } ⊆ { B i p + 1 ⊕ ， B i p + 2 ⊕ ， ⋯ ， B i n − 2 ⊕ } ，且 B z 1 非空。 注：针对此类情况，由引理4.10知， 故而这类情况共有 ( T 1 ， n − 2 U p + 1 n − 2 ) 种。 若先不考虑重复情况，(α-3-3-1-1)+(α-3-3-1-2)+(α-3-3-1-3)情况总共有 ( T 1 ， n − 2 ( U p + 1 n − 2 + 1 ) + W 1 ， n − 2 + T 1 ， n − 2 U p + 1 n − 2 ) 种; 从而考虑排除重复情况后，(α-3-3-1)情况总共有 ( T 1 ， n − 2 ( U p + 1 n − 2 + 1 ) + W 1 ， n − 2 + T 1 ， n − 2 U p + 1 n − 2 − T 1 ， n − 2 = 2 T 1 ， n − 2 U p + 1 n − 2 + W 1 ， n − 2 ) 种， 其中“ − T 1 ， n − 2 ”表示去掉与(α-3-1)中的包含情况重复的部分。 接下来，对于(α-3-3-2)的情况，假设其拓扑数为 Q 1 。 综上，由加法原则得(α-3)情况共有 ( ( 2 n − 1 − 2 ) + ( 2 n − 1 − 2 ) + 2 T 1 ， n − 2 U p + 1 n − 2 + W 1 ， n − 2 + Q 1 = 2 n − 4 + 2 T 1 ， n − 2 U p + 1 n − 2 + W 1 ， n − 2 + Q 1 ) 种. 由引理4.4可知，(α-4) = 0； (α-5)可分为两种情况讨论： (α-5-1)： { ϕ ， X n ， X n − 1 ， C 1 ， C 2 ， ⋯ ， C k ， B 1 ， B 2 ， ⋯ ， B k ， { x n } } 这类情况有 ( P n − 1 − 1 ) 种。 (α-5-2)： { ϕ ， X n ， X n − 1 ， A 1 ∘ ， A 2 • ， { A 1 ∘ ∪ x n } ， { x n } } 其中 A 1 ∘ ≠ X n − 1 且 A 1 ∘ ≠ ϕ ， A 1 ∘ 为 X n − 1 的单个子集，而 A 2 • = X n \ A 1 ∘ ， 由引理4.5知，这类情况不构成拓扑。 所以，(α-5) = ( P n − 1 − 1 ) 。 综上所述，得到 定理5.1 对于变换α的各个情况，其拓扑数为 2 + ( P n − 1 − 1 ) + 0 + [ 2 n − 4 + 2 T 1 ， n − 2 U p + 1 n − 2 + W 1 ， n − 2 + Q 1 ] + 0 + ( P n − 1 − 1 ) = 2 n − 4 + 2 P n − 1 + 2 T 1 ， n − 2 U p + 1 n − 2 + W 1 ， n − 2 + Q 1 (具体符号见表2)。 接下来，讨论变换β的情况： 当 A 1 = { ϕ } 时，(β-1) = 1；(β-2) = { ϕ ， X n ， { x n } } = 1；(β-3)，(β-4)与(β-5)均重复了(β-2)情况，这里计数均为0；共2种情况。 当 A 1 ≠ { ϕ } 时，设 A 1 = { C 1 ， C 2 ， ⋯ ， C k } ，则(β-1)要排除 ∪ s = 1 k C s = X n − 1 的情况，即(β-1) = ∑ k = 1 n − 2 C n − 1 k P k 。由引理4.6可知，(β-2) = 2 n − 1 − 2 ；(β-3) = P n − 1 − 1 ； (β-4)： { ϕ ， X n } ∪ A 1 ∪ A 2 ，要避免 ∪ s = 1 k C s = X n − 1 的情况，在(β-1)的基础上有， (β-4-1)： { ϕ ， X n ， C 1 ， C 2 ， ⋯ ， C k ， B 1 ， B 2 ， ⋯ ， B k } ，其中 B i = C i ∪ { x n } ， 这类情况的计数以不出现元素 X n − 1 为计数依据，有 ( ∑ k = 1 n − 2 C n − 1 k P k ) 种。 (β-4-2)： { ϕ ， X n ， A 1 ∘ ， A 2 • } ，其中 A 1 ∘ ⊆ X n − 1 为单个子集，但 A 1 ∘ ≠ X n − 1 且 A 1 ∘ ≠ ϕ ，而 A 2 • = X n \ A 1 ∘ ，有 ( 2 n − 1 − 2 ) 个。 (β-4-3)：将 A 1 中的元素分类为 C j 1 ⊕ ， C j 2 ⊕ ， ⋯ ， C j p ⊕ ； A 2 中的元素分类为 B i 1 ⊕ ， B i 2 ⊕ ， ⋯ ， B i q ⊕ ；其中 B i = C i ∪ { x n } ，且 p ≠ q ，同时满足 C j 1 ⊕ ⊆ C j 2 ⊕ ⊆ ⋯ ⊆ C j p ⊕ ， B i 1 ⊕ ⊆ B i 2 ⊕ ⊆ ⋯ ⊆ B i q ⊕ ； 而且在这里假定： C j k + 1 ⊕ 比 C j k ⊕ 的元素个数多1，则也有 B i k + 1 ⊕ 比 B i k ⊕ 的元素个数多1； 这个分类不会出现 ∪ s = 1 k C s = X n − 1 的情况，故而可分为两种情况讨论： (β-4-3-1) C r 1 ， C r 2 ， ⋯ ， C r m ， C j p ⊕ 等各自所含元素个数均不相同，且 { C r 1 ， C r 2 ， ⋯ ， C r m } ⊆ { C j 1 ⊕ ， C j 2 ⊕ ， ⋯ ， C j p − 1 ⊕ } ； B z 1 ， B z 2 ， ⋯ ， B z q 等各自所含元素个数也均不相同。 注：对于(β-4-3-1)，可直接应用前面对α-3-3-1情况的论述，可知这类情况共有 ( T 1 ， n − 2 ( U p + 1 n − 2 + 1 ) + W 1 ， n − 2 + T 1 ， n − 2 U p + 1 n − 2 − T 1 ， n − 2 = 2 T 1 ， n − 2 U p + 1 n − 2 + W 1 ， n − 2 ) 种， 其中“ − T 1 ， n − 2 ”表示去掉与(β-4-1)中的包含情况重复的部分。 故而，此类情况共有 ( 2 T 1 ， n − 2 U p + 1 n − 2 + W 1 ， n − 2 ) 种。 (β-4-3-2) C r 1 ， C r 2 ， ⋯ ， C r m ， C j p ⊕ 等各自所含元素个数有相同的情况； 或者 B z 1 ， B z 2 ， ⋯ ， B z q 等各自所含元素个数有相同的情况。 注：对于(β-4-3-2)的情况，假设其拓扑数为 Q 2 。 综上所述，由加法原则得(β-4-3)情况共有 ( 2 T 1 ， n − 2 U p + 1 n − 2 + W 1 ， n − 2 + Q 2 ) 种。 故而，(β-4)情况共有 ( ∑ k = 1 n − 2 C n − 1 k P k + ( 2 n − 1 − 2 ) + 2 T 1 ， n − 2 U p + 1 n − 2 + W 1 ， n − 2 + Q 2 ) 种。 (β-5)可分为两种情况讨论： (β-5-1)： { ϕ ， X n ， C 1 ， C 2 ， ⋯ ， C k ， B 1 ， B 2 ， ⋯ ， B k ， { x n } } ，这类情况有 ( ∑ k = 1 n − 2 C n − 1 k P k ) 种； (β-5-2)： { ϕ ， X n ， A 1 ∘ ， A 2 ∘ ， { A 1 ∘ ∪ x n } ， { x n } } ，其中 A 1 ∘ ≠ X n − 1 且 A 1 ∘ ≠ ϕ ， A 1 ∘ 为 X n − 1 的单个子集，而 A 2 • = X n \ A 1 ∘ ，这类情况有 ( 2 n − 1 − 2 ) 种。 所以，(β-5) = ( ∑ k = 1 n − 2 C n − 1 k P k ) + ( 2 n − 1 − 2 ) 。 综上所述，得到 定理5.2 对于变换β的各个情况，其拓扑数为 2 + [ ∑ k = 1 n − 2 C n − 1 k P k ] + [ 2 n − 1 − 2 ] + ( P n − 1 − 1 ) + [ ∑ k = 1 n − 2 C n − 1 k P k + 2 n − 1 − 2 + 2 T 1 ， n − 2 U p + 1 n − 2 + W 1 ， n − 2 + Q 2 ] + [ ∑ k = 1 n − 2 C n − 1 k P k + 2 n − 1 − 2 ] = P n − 1 + 3 ∑ k = 1 n − 2 C n − 1 k P k + 3 ⋅ 2 n − 1 − 5 + 2 T 1 ， n − 2 U p + 1 n − 2 + W 1 ， n − 2 + Q 2 。 (具体符号见表2)。