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user: 3. N-Cell模糊数上近似大于等于关系的性质 本节将引入n-cell模糊数上的近似大于等于关系，并探讨该关系在加、减、乘、除以及数乘运算下的变化。 定义3.1：设 u ， v ∈ L ( E n ) ， α ∈ ( 0 ， 1 ] ，若 u i + ( α ) ≥ v i − ( α ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，则称 u 在 α 水平下近似大于等于 v ，记作 u ≥ α v 或 v ≤ α u 。 性质1：设 u ， v ∈ L ( E n ) ， α ∈ ( 0 ， 1 ] 。若 u ≥ α v ，则 u − v ≥ α 0 。 证明：由于 [ u − v ] α = ∏ i = 1 n [ u i − ( α ) − v i + ( α ) ， u i + ( α ) − v i − ( α ) ] 由 u ≥ α v 知： u i + ( α ) ≥ v i − ( α ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。则 ( u − v ) i + ( α ) = u i + ( α ) − v i − ( α ) ≥ 0 = 0 i − ( α ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 所以， u − v ≥ α 0 。 性质2：设 u ， v ∈ L ( E n ) ， α ∈ ( 0 ， 1 ] 。若 u ≥ α v ，则 1) 若 v 为正，则 u v ≥ a 1 ； 2) 若 v 为负，则 u v ≤ a 1 。 证明：(1) 因为 v 为正，则 v i − ( α ) > 0 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。所以， [ u v ] α = ∏ i = 1 n [ min { u i − ( α ) v i − ( α ) ， u i − ( α ) v i + ( α ) } ， max { u i + ( α ) v i − ( α ) ， u i + ( α ) v i + ( α ) } ] 由 u ≥ α v 知： u i + ( α ) ≥ v i − ( α ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。则 u i + ( α ) v i − ( α ) ≥ 1 = 1 i − ( α ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 因此， ( u v ) i + ( α ) = max { u i + ( α ) v i − ( α ) ， u i + ( α ) v i + ( α ) } ≥ u i + ( α ) v i − ( α ) ≥ 1 i − ( α ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 所以， u v ≥ a 1 。 (2)证明与(1)类似。 性质3：设 u ， v ∈ L ( E n ) ， α ∈ ( 0 ， 1 ] 。若 u ≥ α v ，则对任意 ω ∈ L ( E n ) 有 1) u + ω ≥ α v + ω ； 2) u − ω ≥ α v − ω 。 证明：(1)由于 [ u + ω ] α = ∏ i = 1 n [ u i − ( α ) + ω i − ( α ) ， u i + ( α ) + ω i + ( α ) ] [ v + ω ] α = ∏ i = 1 n [ v i − ( α ) + ω i − ( α ) ， v i + ( α ) + ω i + ( α ) ] 由 u ≥ α v 知： u i + ( α ) ≥ v i − ( α ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。则 u i + ( α ) + ω i + ( α ) ≥ v i − ( α ) + ω i + ( α ) ≥ v i − ( α ) + ω i − ( α ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 因此， ( u + ω ) i + ( α ) ≥ ( v + ω ) i − ( α ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 所以， u + ω ≥ α v + ω 。 (2)由于 u − ω = u + ( − ω ) ，结论可从(1)推出。 性质4：设 u ， v ∈ L ( E n ) ， α ∈ ( 0 ， 1 ] 。若 u ≥ α v ，则对任意 ω ∈ L ( E n ) 1) 若 ω 为正，则 u ω ≥ α v ω ； 2) 若 ω 为负，则 v ω ≥ α u ω 。 证明：(1)因为 ω 为正，则 ω i − ( α ) > 0 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。所以， [ u ω ] α = ∏ i = 1 n [ min { u i − ( α ) ω i − ( α ) ， u i − ( α ) ω i + ( α ) } ， max { u i + ( α ) ω i − ( α ) ， u i + ( α ) ω i + ( α ) } ] [ v ω ] α = ∏ i = 1 n [ min { v i − ( α ) ω i − ( α ) ， v i − ( α ) ω i + ( α ) } ， max { v i + ( α ) ω i − ( α ) ， v i + ( α ) ω i + ( α ) } ] 由 u ≥ α v 知： u i + ( α ) ≥ v i − ( α ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。则 u i + ( α ) ω i + ( α ) ≥ v i − ( α ) ω i + ( α ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 因此， max { u i + ( α ) ω i − ( α ) ， u i + ( α ) ω i + ( α ) } ≥ min { v i − ( α ) ω i − ( α ) ， v i − ( α ) ω i + ( α ) } ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 即， ( u ω ) i + ( α ) ≥ ( v ω ) i − ( α ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 所以， u ω ≥ α v ω 。 (2)证明与(1)类似。 性质5：设 u ， v ， ω ∈ L ( E n ) ， α ∈ ( 0 ， 1 ] 。若 u ≥ α v ，则 1) 若 ω 为正，则 u ω ≥ α v ω ； 2) 若 ω 为负，则 v ω ≥ α u ω 。 证明：1) 因为 ω 为正，则 ω i − ( α ) > 0 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。所以， [ u ω ] α = ∏ i = 1 n [ min { u i − ( α ) ω i − ( α ) ， u i − ( α ) ω i + ( α ) } ， max { u i + ( α ) ω i − ( α ) ， u i + ( α ) ω i + ( α ) } ] [ v ω ] α = ∏ i = 1 n [ min { v i − ( α ) ω i − ( α ) ， v i − ( α ) ω i + ( α ) } ， max { v i + ( α ) ω i − ( α ) ， v i + ( α ) ω i + ( α ) } ] 由 u ≥ α v 知： u i + ( α ) ≥ v i − ( α ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。则 u i + ( α ) ω i + ( α ) ≥ v i − ( α ) ω i + ( α ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 因此， max { u i + ( α ) ω i − ( α ) ， u i + ( α ) ω i + ( α ) } ≥ min { v i − ( α ) ω i − ( α ) ， v i − ( α ) ω i + ( α ) } ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 即， ( u ω ) i + ( α ) ≥ ( v ω ) i − ( α ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 所以， u ω ≥ α v ω 。 (2)证明与(1)类似。 性质6：设 u ， v ， ω ∈ L ( E n ) ， α ∈ ( 0 ， 1 ] 。若 u v ≥ α ω ，则 1) 若 v 为正，则 u ≥ α ω v ； 2) 若 v 为负，则 ω v ≥ α u 。 证明：(1)因为 v 为正，则 v i − ( α ) > 0 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。所以， [ u v ] α = ∏ i = 1 n [ min { u i − ( α ) v i − ( α ) ， u i − ( α ) v i + ( α ) } ， max { u i + ( α ) v i − ( α ) ， u i + ( α ) v i + ( α ) } ] [ ω v ] α = ∏ i = 1 n [ min { ω i − ( α ) v i − ( α ) ， ω i − ( α ) v i + ( α ) } ， max { ω i + ( α ) v i − ( α ) ， ω i + ( α ) v i + ( α ) } ] 由 u v ≥ α ω 知： max { u i + ( α ) v i − ( α ) ， u i + ( α ) v i + ( α ) } ≥ ω i − ( α ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 因此， u i + ( α ) ≥ min { ω i − ( α ) v i − ( α ) ， ω i − ( α ) v i + ( α ) } = ( ω v ) i − ( α ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 所以， u ≥ α ω v 。 (2)证明与(1)类似。 性质7：设 u ， v ∈ L ( E n ) ， α ∈ ( 0 ， 1 ] 。若 u ≥ α v ，则对任意 k ∈ R 有 1) 若 k > 0 ，则 k u ≥ α k v ； 2) 若 ，则 k v ≥ α k u 。 证明：1) 因为 k > 0 ，所以， [ k u ] α = ∏ i = 1 n [ k u i − ( α ) ， k u i + ( α ) ] [ k v ] α = ∏ i = 1 n [ k v i − ( α ) ， k v i + ( α ) ] 由 u ≥ α v 知： u i + ( α ) ≥ v i − ( α ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。则 k u i + ( α ) ≥ k v i − ( α ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 因此， ( k u ) i + ( α ) ≥ ( k v ) i − ( α ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 所以， k u ≥ α k v 。 (2)证明与(1)类似。 性质8：设 u ， v ∈ L ( E n ) ， α ∈ ( 0 ， 1 ] ， k ∈ R 。若 k u ≥ α v ，则 1) 若 k > 0 ，则 u ≥ α v k ； 2) 若 k < 0 ，则 v k ≥ α u 。 证明：(1)因为 k > 0 ，所以， [ k u ] α = ∏ i = 1 n [ k u i − ( α ) ， k u i + ( α ) ] [ v k ] α = ∏ i = 1 n [ v i − ( α ) k ， v i + ( α ) k ] 由 k u ≥ α v 知： k u i + ( α ) ≥ v i − ( α ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 因此， u i + ( α ) ≥ v i − ( α ) k = ( v k ) i − ( α ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 所以， u ≥ α v k 。 (2)证明与(1)类似。