system: [SYSTEM]

user: 4. 呼吸子解 设系统(3)的非零连续波背景下的初始解为 q = a e i ( m x + n t ) ， p = i b e i ( m x + n t ) ， η = d 。 这里 a ， b ， m ， n ， d 均为常数，将初始解带入原方程，得到如下关系： b = 1 2 ( m a − 6 n α a 3 + n 3 a α − a 3 − 6 γ a 5 + 12 γ n 2 a 3 + 1 2 n 2 a − γ n 4 a ) ， (27) d = 2 w b − b n 2 a (28) 求解(4)并且假设 ϕ 1 = f 1 e − i 2 ( m x + n t ) ， ϕ 2 = f 2 e i 2 ( m x + n t ) (29) 我们得到 f 1 t = ( 1 2 i n + i λ ) f 1 + i a f 2 (30) f 2 t = i a f 1 − ( i λ + 1 2 i n ) f 2 (31) f 1 x − 1 2 i m f 1 = l 1 f 1 + l 2 f 2 (32) f 2 x + 1 2 i m f 2 = l 2 f 1 − l 1 f 2 (33) 这里， l 1 = − i 2 a ( w + λ ) ( − b ( n − 2 w ) + a ( w + λ ) ( 6 a 4 γ + 2 λ 2 ( − 1 + 4 α λ + 8 γ λ 2 )     + a 2 ( 1 − 6 n 2 γ − 4 α λ − 8 γ λ 2 + 4 n ( α + 2 γ λ ) ) ) ) ， l 2 = − i a 4 ( w + λ ) ( − 2 m − n 2 + 2 n w − 2 n 3 α + 4 n 2 w α + 12 a 4 γ + 2 n 4 γ − 4 n 3 w γ + 2 n λ − 4 w λ + 4 n 2 α λ     − 8 n w α λ − 4 n 3 γ λ + 8 n 2 w γ λ − 4 λ 2 − 8 n α λ 2 + 16 w α λ 2 + 8 n 2 γ λ 2 − 16 n w γ λ 2 + 16 α λ 3 − 16 n γ λ 3     + 32 w γ λ 3 + 32 γ λ 4 − 2 a ( − 1 + 4 w α + 12 n 2 γ + 4 α λ + 8 w γ λ + 8 γ λ 2 − 6 n ( α + 2 γ ( w + λ ) ) ) ) 从上式我们容易得到 f 1 ， f 2 ， f 1 * ， f 2 * ，并且带入 ϕ 1 和 ϕ 2 的表达式中，可以得到具体值；另外， ϕ 1 * 和 ϕ 2 * 也可以求出。通过计算： ϕ 1 = ( μ e A + ν e − A ) e − i 2 ( m x + n t ) ϕ 2 = ( e A + e − A ) e i 2 ( m x + n t ) (34) 这里， μ = n + 2 λ − i − 4 a 2 − ( n + 2 λ ) 2 2 a ， ν = n + 2 λ + i − 4 a 2 − ( n + 2 λ ) 2 2 a ， A = 1 2 − 4 a 2 − ( n + 2 λ ) 2 ( t + σ x ) ， 其中， σ = 1 4 ( w + λ ) ( 2 m − 12 a 4 γ − 2 n 4 γ + 2 n 3 ( α + 2 γ ( w + λ ) ) + 2 n ( w + λ ) ( − 1 + 4 λ ( α + 2 γ λ ) )     − 4 λ ( w + λ ) ( − 1 + 4 λ ( α + 2 γ λ ) ) − n 2 ( − 1 + 4 ( w + λ ) ( α + 2 γ λ ) )     + 2 a 2 ( − 1 + 12 n 2 γ + 4 ( w + λ ) ( α + 2 γ λ ) − 6 n ( α + 2 γ ( w + λ ) ) ) ) 假设 λ = ξ 1 + i ξ 2 ， n = − 2 ξ 1 ，其中 ξ 1 ， ξ 2 为实数，则设有 ς 1 + i ς 2 = − 4 a 2 − ( n + 2 λ ) 2 = 4 ( ξ 2 2 − a 2 ) (35) 又得 b = 1 2 ( m a + 12 ξ 1 α a 3 − 8 ξ 1 3 a α − a 3 − 6 γ a 5 + 48 γ ξ 1 2 a 3 + 2 ξ 1 2 a − 16 γ ξ 1 4 a ) (36) d = w + ξ 1 2 ( m + 12 ξ 1 α a 2 − 8 ξ 1 3 α − a 2 − 6 γ a 4 + 48 γ ξ 1 2 a 2 + 2 ξ 1 2 − 16 γ ξ 1 4 ) (37) 4.1. 单呼吸子解 根据(35)，我们可以分如下几种情况： 情形4.1.1：当 ξ 2 2 = a 2 ，此时 ς 1 = ς 2 = 0 ，孤子解与x和t无关，因此讨论无意义。 情形4.1.2：当 ξ 2 2 > a 2 ，得到 ς 2 = 0 ， ς 1 = 4 ( ξ 2 2 − a 2 ) ，取适当的参数，可以画出单呼吸子解的图形如下： 图3. Akhmediev呼吸子解的演化。参数取为： λ = i ，   a = 0.7 ，   m = 1 ，   n = 0 ，   w = 6 ，   α = 1 / 60 ，   γ = 1 / 8 从图3中，我们得到，在连续波背景下，呼吸子解在空间上周期性传播，在时间上是非周期性传播的，因此我们获得了Akhmediev呼吸子解 [ 9 ] [ 10 ]，另外，Akhmediev呼吸子解的传播能被视为调制不稳定过程 [ 11 ] [ 12 ]，它是因为非线性和分散效应有相互作用，也被称为参变过程，在这个过程中，连续或类似连续波在微扰出现时，经受了振幅和相位的调制。图3(a)和(c)为明呼吸子，图3(b)为暗呼吸子。 情形4.1.3：当 ξ 2 2 < a 2 ，得到 ς 1 = 0 ， ς 2 = 4 ( a 2 − ξ 2 2 ) ，取适当的参数，可以画出单呼吸子解的图形如下： 图4. Ma呼吸子解的演化过程。参数取值为： λ = 0.5 i ， a = 1 ， m = 1 ， n = 0 ， w = 4 ， α = 1 / 2 ， γ = 1 / 4 从图4中，我们得到，在连续波背景下，呼吸子解在时间上周期性传播，在空间上是非周期性传播的，因此，在取到合适的参数下，我们获得了Ma呼吸子解 [ 13 ] [ 14 ]，比较图4(a)~(c)，图4(a)和图4(c)为明呼吸子，图4(b)为暗呼吸子。 4.2. 双呼吸子解 本节是在单呼吸子解的基础上利用达布变换的迭代求得双呼吸子解。具体为 (38) 这里 是Lax对(4)对应于谱参数 λ 2 的另一个解，其中， χ 1 = f 21 e − i 2 ( m x + n t ) ， χ 2 = f 22 e i 2 ( m x + n t ) f 21 与 f 22 分别为 f 1 与 f 2 中 λ = λ 2 时的值，我们可以得到双呼吸子解的表达式为 q [ 2 ] = q ′ − 2 ψ 2 ( λ 2 − λ 2 * ) ψ 1 * | ψ 1 | 2 + | ψ 2 | 2 (39) η [ 2 ] = ( i ( λ 2 − λ 2 * ) p ′ ψ 1 ψ 2 * ( ( w + λ 2 * ) ψ 1 ψ 1 * + ( w + λ 2 ) ψ 2 ψ 2 * )     + i ( λ 2 − λ 2 * ) p ′ * ψ 1 * ψ 2 ( ( w + λ 2 ) ψ 1 ψ 1 * + ( w + λ 2 * ) ψ 2 ψ 2 * )     + ( ( w + λ 2 ) ( w + λ 2 * ) ψ 1 2 ψ 1 * 2     + 2 ( w 2 + λ 2 2 − | λ 2 | 2 + λ 2 * 2 + w ( λ 2 + λ 2 * ) ) ψ 1 ψ 1 * ψ 2 ψ 2 *     + ( w + λ 2 ) ( w + λ 2 * ) ψ 2 2 ψ 2 * 2 ) η ′ ) / ( ( w + λ 2 ) ( w + λ 2 * ) ( ψ 1 ψ 1 * + ψ 2 ψ 2 * ) 2 ) (40) p [ 2 ] = ( p ′ ( ( w + λ 2 * ) | ψ 1 | 2 + ( w + λ 2 ) | ψ 2 | 2 ) 2 − i ( λ 2 − λ 2 * ) ψ 1 * ψ 2 ( i ( λ 2 − λ 2 * ) p ′ * ψ 1 * ψ 2 + 2 ( ( w + λ 2 * ) | ψ 1 | 2 + ( w + λ 2 ) | ψ 2 | 2 ) η ′ ) ) / ( ( w + λ 2 ) ( w + λ 2 * ) ( | ψ 1 | 2 + | ψ 2 | 2 ) 2 ) (41) 假设 λ 1 = ζ 1 + i ζ 2 ， λ 2 = κ 1 + κ 2 ，并且 n = − 2 ζ 1 = − 2 κ 1 ，则 ζ 2 和 κ 2 满足(35)，有 ϑ 1 + i ϑ 2 = 4 ( ζ 2 2 − a 2 ) ， υ 1 + i υ 2 = 4 ( κ 2 2 − a 2 ) (42) 由上式，我们可以得出如下几种情况： 情形4.2.1：当 ζ 2 2 = κ 2 2 = a 2 时， ϑ 1 = ϑ 2 = υ 1 = υ 2 = 0 ，解与x和t无关，因此讨论无意义。 情形4.2.2：当 ζ 2 2 < a 2 ， κ 2 2 < a 2 时， ϑ 2 = 4 ( a 2 − ζ 2 2 ) ， υ 2 = 4 ( a 2 − κ 2 2 ) ， ϑ 1 = υ 1 = 0 ，取适当参数，图形如下： 图5. 平行波的演化过程。参数取值为： a = 1 ，   m = 1 ，   n = 0 ，   w = 2 ，   α = 1 / 2 ，   γ = 1 / 4 ，   λ 1 = 0.5 i ，   λ 2 = − 0.4 i 图5描述了两个振幅相同的波平行传播且相互不干涉，图5(a)和图5(c)为明呼吸子解，图5(b)为暗呼吸子解。 情形4.2.3：当 ζ 2 2 > a 2 ， κ 2 2 > a 2 时， ϑ 1 = 4 ( ζ 2 2 − a 2 ) ， υ 1 = 4 ( κ 2 2 − a 2 ) ， ϑ 2 = υ 2 = 0 ，取适当的参数，可以画出双呼吸子解的图像如下： 图6. 双呼吸子解的演化。参数取值为： a = 0.5 ， m = 1 ， n = 0 ， w = 2 ， α = 1 / 60 ， γ = 1 / 8 ， λ 1 = i ， λ 2 = 0.9 i 图6显示的是双呼吸子解的传播特征，通过观察，两个波在相互碰撞时，振幅发生了变化，但碰撞之后，波形，波速和传播方向保持不变，换句话说，波的碰撞为弹性碰撞。 情形4.2.4：当 ζ 2 2 > a 2 ， κ 2 2 < a 2 时， ϑ 1 = 4 ( ζ 2 2 − a 2 ) ， υ 2 = 4 ( a 2 − κ 2 2 ) ， ϑ 2 = υ 1 = 0 ，双呼吸子解如图所示： 图7. Akhmediev呼吸子解和Ma呼吸子解的演化。参数取值为： a = 1 ，   m = 2 ，   n = 0 ，   w = 2 ，   α = 1 / 20 ，   γ = 1 / 4 ，   λ 1 = 1.1 i ，   λ 2 = − 0.5 i 图7显示了两种双呼吸子解在同一介质中共存的情形，Akhmediev呼吸子解在空间上周期性传播，Ma呼吸子解在时间上周期性传播，两种波传播是垂直的，并且在碰撞时不改变彼此的方向，速度和振幅。