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user: 4. 低阶范数收敛 在这一节中，我们将证明近似解序列 ( ρ k ， u k ， v k ) 是 C ( [ 0 ， T 0 ] ; L 2 ) × C ( [ 0 ， T 0 ] ; H 1 ) × C ( [ 0 ， T 0 ] ; L 2 ) 中的柯西序列。 ρ ¯ k + 1 = ρ k + 1 − ρ k ，     u ¯ k + 1 = u k + 1 − u k ，     v ¯ k + 1 = v k + 1 − v k ， 其中 ( ρ k + 1 ， u k + 1 ， v k + 1 ) 和 ( ρ k ， u k ， v k ) 分别满足： ∂ t ρ k + 1 + u k ⋅ ∇ ρ k + 1 + ρ k + 1 ∇ ⋅ u k = 0 ∂ t v k + 1 + v k ⋅ ∇ v k + 1 + ∇ p k + 1 = μ Δ v k + 1 + K 2 ρ k + 1 ( u k − v k ) ，                     ∇ ⋅ v k + 1 = 0 ∂ t u k + 1 + u k ⋅ ∇ u k + 1 = − K 1 ∫ T d Γ ( x − y ) ( u k ( x ) − u k ( y ) ) ρ k + 1 ( y ) d y + K 2 ( v k + 1 − u k ) ， (54) ∂ t ρ k + u k − 1 ⋅ ∇ ρ k + ρ k ∇ ⋅ u k − 1 = 0 ∂ t v k + v k − 1 ⋅ ∇ v k + ∇ p k = μ Δ v k + K 2 ρ k ( u k − 1 − v k − 1 ) ，                     ∇ ⋅ v k = 0 ∂ t u k + u k − 1 ⋅ ∇ u k = − K 1 ∫ T d Γ ( x − y ) ( u k − 1 ( x ) − u k − 1 ( y ) ) ρ k ( y ) d y + K 2 ( v k − u k − 1 ) ， (55) 且具有相同的初值条件： ( ρ k + 1 ， u k + 1 ， v k + 1 ) ( x ， 0 ) = ( ρ k ， u k ， v k ) ( x ， 0 ) = ( ρ 0 ， u 0 ， v 0 ) . (56) 应用类似引理1中的方法，我们可以得到 ( ρ ¯ k + 1 ，   u ¯ k + 1 ，   v ¯ k + 1 ) 的 L 2 -模估计。 Step 1. ( ‖ ρ k + 1 − ρ k ‖ L 2 的估计)：由(54) 1 与(55) 1 相减， ∂ t ( ρ k + 1 − ρ k ) = − ( u k − u k − 1 ) ⋅ ∇ ρ k + 1 − u k − 1 ⋅ ∇ ( ρ k + 1 − ρ k ) − ( ρ k + 1 − ρ k ) ⋅ ∇ u k − ρ k ∇ ⋅ ( u k − u k − 1 ) . (57) 上述方程两端乘以 ρ k + 1 − ρ k ，并关于变量x在 T d 上积分，应用第3节相同的方法， 1 2 d d t ‖ ρ k + 1 − ρ k ‖ L 2 2 = − ∫ T d ( u k − u k − 1 ) ⋅ ∇ ρ k + 1 ( ρ k + 1 − ρ k ) d x + 1 2 ∫ T d ( ∇ ⋅ u k − 1 ) | ρ k + 1 − ρ k | 2 d x     − ∫ T d ( ∇ ⋅ u k ) | ρ k + 1 − ρ k | 2 d x − ∫ T d ρ k ∇ ⋅ ( u k − u k − 1 ) ( ρ k + 1 − ρ k ) d x ≤ C M ( ‖ ρ k + 1 − ρ k ‖ L 2 2 + ‖ u k − u k − 1 ‖ H 1 2 ) . (58) 对上述方程在 [ 0 ， T 0 ] 上关于变量t进行积分，我们得到 ‖ ρ k + 1 − ρ k ‖ L 2 的估计。 ‖ ρ k + 1 − ρ k ‖ L 2 2 ≤ C M ∫ 0 T 0 ( ‖ ρ k + 1 − ρ k ‖ L 2 2 + ‖ u k − u k − 1 ‖ H 1 2 ) d τ . (59) Step 2. ( ‖ v k + 1 − v k ‖ L 2 的估计)：由(54) 2 与(55) 2 相减， ∂ t ( v k + 1 − v k ) − μ Δ ( v k + 1 − v k ) = − ( v k − v k − 1 ) ⋅ ∇ v k + 1 − v k − 1 ⋅ ∇ ( v k + 1 − v k ) + K 2 ρ k + 1 ( u k − u k − 1 )     − K 2 ρ k + 1 ( v k − v k − 1 ) + K 2 ( ρ k + 1 − ρ k ) u k − 1 − K 2 ( ρ k + 1 − ρ k ) v k − 1 − ∇ ( p k + 1 − p k ) ， ∇ ⋅ ( v k + 1 − v k ) = 0. (60) 对上述方程两端乘以 v k + 1 − v k ，并关于变量x在 T d 上积分，应用第3节相同的方法， 1 2 d d t ‖ v k + 1 − v k ‖ L 2 2 + μ ‖ ∇ ( v k + 1 − v k ) ‖ L 2 2 = − ∫ T d ( v k − v k − 1 ) ⋅ ∇ v k + 1 ⋅ ( v k + 1 − v k ) d x + 1 2 ∫ T d ( ∇ ⋅ v k − 1 ) | v k + 1 − v k | 2 d x     + K 2 ∫ T d ρ k + 1 [ ( u k − u k − 1 ) − ( v k − v k − 1 ) ] ⋅ ( v k + 1 − v k ) d x     + K 2 ∫ T d ( ρ k + 1 − ρ k ) ( u k − 1 − v k − 1 ) ⋅ ( v k + 1 − v k ) d x ≤ C M ( ‖ v k + 1 − v k ‖ L 2 2 + ‖ v k − v k − 1 ‖ L 2 2 + ‖ u k − u k − 1 ‖ L 2 2 + ‖ ρ k + 1 − ρ k ‖ L 2 2 ) . (61) 对上述方程在 [ 0 ， T 0 ] 上关于变量t进行积分，我们得到 ‖ v k + 1 − v k ‖ L 2 的估计。 ‖ v k + 1 − v k ‖ L 2 2 + μ ∫ 0 T 0 ‖ ∇ ( v k + 1 − v k ) ‖ L 2 2 d τ ≤ C M ∫ 0 T 0 ( ‖ v k + 1 − v k ‖ L 2 2 + ‖ v k − v k − 1 ‖ L 2 2 + ‖ u k − u k − 1 ‖ L 2 2 + ‖ ρ k + 1 − ρ k ‖ L 2 2 ) d τ . (62) Step 3. ( ‖ u k + 1 − u k ‖ H 1 的估计)：由(54) 3 与(55) 3 相减， ∂ t ( u k + 1 − u k ) = − ( u k − u k − 1 ) ⋅ ∇ u k + 1 − u k − 1 ⋅ ∇ ( u k + 1 − u k )     + K 1 ∫ T d Γ ( ρ k + 1 − ρ k ) ( u k ( y ) − u k ( x ) ) d y     + K 1 ∫ T d Γ ρ k [ ( u k ( y ) − u k − 1 ( y ) ) − ( u k ( x ) − u k − 1 ( x ) ) ] d y     + K 2 ( v k + 1 − v k ) − K 2 ( u k − u k − 1 ) . (63) 对上述方程两端乘以 u k + 1 − u k ，并关于变量x在 T d 上积分，应用第3节相同的方法， 1 2 d d t ‖ u k + 1 − u k ‖ L 2 2 = − ∫ T d ( u k − u k − 1 ) ⋅ ∇ u k + 1 ⋅ ( u k + 1 − u k ) d x + 1 2 ∫ T d ( ∇ ⋅ u k − 1 ) ⋅ | u k + 1 − u k | 2 d x     + K 1 ∫ T 2 d Γ ( ρ k + 1 − ρ k ) ( u k ( y ) − u k ( x ) ) ⋅ ( u k + 1 − u k ) d x d y     + K 1 ∫ T 2 d Γ ρ k [ ( u k ( y ) − u k − 1 ( y ) ) − ( u k ( x ) − u k − 1 ( x ) ) ] ⋅ ( u k + 1 − u k ) d x d y     + K 2 ∫ T d ( v k + 1 − v k ) ⋅ ( u k + 1 − u k ) d x − K 2 ∫ T d ( u k − u k − 1 ) ⋅ ( u k + 1 − u k ) d x ≤ C M ( ‖ u k + 1 − u k ‖ L 2 2 + ‖ u k − u k − 1 ‖ L 2 2 + ‖ v k + 1 − v k ‖ L 2 2 + ‖ ρ k + 1 − ρ k ‖ L 2 2 ) . (64) 为了得到 ‖ ρ k + 1 − ρ k ‖ L 2 2 的收敛性，还需证明 ‖ u k + 1 − u k ‖ H 1 2 收敛，因此，我们还需得到 ‖ ∇ ( u k + 1 − u k ) ‖ L 2 2 的估计。对方程(63)作用算子 ∇ ，然后方程两端同乘以 ∇ ( u k + 1 − u k ) ，并在 T d 上关于变量x积分，应用第3节相同的方法，可以得到 1 2 d d t ‖ ∇ ( u k + 1 − u k ) ‖ L 2 2 = − ∫ T d ∇ ( u k − u k − 1 ) ⋅ ∇ u k + 1 ⋅ ∇ ( u k + 1 − u k ) d x − ∫ T d ( u k − u k − 1 ) ⋅ ∇ 2 u k + 1 ⋅ ∇ ( u k + 1 − u k ) d x     − ∫ T d ( ∇ ⋅ u k − 1 ) | ∇ ( u k + 1 − u k ) | 2 d x + 1 2 ∫ T d ( ∇ ⋅ u k − 1 ) | ∇ ( u k + 1 − u k ) | 2 d x     − K 1 ‖ Γ ‖ L 1 ∫ T 2 d ( ρ k + 1 ( y ) − ρ k ( y ) ) ⋅ ∇ u k ( x ) ⋅ ∇ ( u k + 1 − u k ) d x d y (65) − K 1 ‖ Γ ‖ L 1 ∫ T 2 d ρ k ( y ) ∇ ( u k ( x ) − u k − 1 ( x ) ) ⋅ ∇ ( u k + 1 − u k ) d x d y     + K 2 ∫ T d ∇ ( v k + 1 − v k ) ⋅ ∇ ( u k + 1 − u k ) d x − K 2 ∫ T d ∇ ( u k − u k − 1 ) ⋅ ∇ ( u k + 1 − u k ) d x ≤ C M ( ‖ ∇ ( u k + 1 − u k ) ‖ L 2 2 + ‖ u k − u k − 1 ‖ H 1 2 + ‖ ρ k + 1 − ρ k ‖ L 2 2 + ε ‖ ∇ ( v k + 1 − v k ) ‖ L 2 2 ) . 其中上述关系中的最后第二项使用了带有 ε ( > 0 ) 的Young’s不等式， ∫ T d ∇ ( v k + 1 − v k ) ⋅ ∇ ( u k + 1 − u k ) d x ≤ ‖ ∇ ( v k + 1 − v k ) ‖ L 2 ‖ ∇ ( u k + 1 − u k ) ‖ L 2 ≤ ε ‖ ∇ ( v k + 1 − v k ) ‖ L 2 2 + 1 4 ε ‖ ∇ ( u k + 1 − u k ) ‖ L 2 2 . (66) 结合(64)与(65)，并在 [ 0 ， T 0 ] 上进行积分， ‖ u k + 1 − u k ‖ H 1 2 ≤ C M ∫ 0 T 0 ( ‖ u k + 1 − u k ‖ H 1 2 + ‖ u k − u k − 1 ‖ H 1 2 + ‖ ρ k + 1 − ρ k ‖ L 2 2                                         + ‖ v k + 1 − v k ‖ L 2 2 + ε ‖ ∇ ( v k + 1 − v k ) ‖ L 2 2 ) d τ . (67) 结合(59)，(62)，(67)，并选择 ε 使得 ε ≪ μ 可得， ‖ ρ k + 1 − ρ k ‖ L 2 2 + ‖ u k + 1 − u k ‖ H 1 2 + ‖ v k + 1 − v k ‖ L 2 2 ≤ C M ∫ 0 T 0 ( ‖ u k + 1 − u k ‖ H 1 2 + ‖ u k − u k − 1 ‖ H 1 2 + ‖ ρ k + 1 − ρ k ‖ L 2 2 + ‖ v k + 1 − v k ‖ L 2 2 + ‖ v k − v k + 1 ‖ L 2 2 ) d τ . (68) 对上式的 k = 1 ， 2 ， ⋯ 求和，并利用Gronwall不等式， ∑ k = 1 ∞ ( ‖ ρ k + 1 − ρ k ‖ L 2 2 + ‖ u k + 1 − u k ‖ H 1 2 + ‖ v k + 1 − v k ‖ L 2 2 ) ≤ C . (69) 这就说明 ( ρ k ， u k ， v k ) 是 C ( [ 0 ， T 0 ] ; L 2 ) × C ( [ 0 ， T 0 ] ; H 1 ) × C ( [ 0 ， T 0 ] ; L 2 ) 中的柯西序列。