system: [SYSTEM]

user: 2. 预备知识 2.1. 语言变量和不确定语言变量 美国加州大学伯克利分校教授Zadeh [ 17 ] 率先提出了语言变量的概念，用语言变量作为表示决策信息的有效工具，使得人们在决策的过程中可以更加方便和直接的表示个人的观点。若 s i 表示可能的语言变量值， t 是一个正整数，则一个语言术语集就可以表示为 S = { s i | i = 0 ， 1 ， ⋯ ， 2 t } 。例如，可以将一个包含七个语言变量的语言术语集 S 表示为 S = { s 0 = 非 常 差 ， s 1 = 差 ， s 2 = 稍 差 ， s 3 = 一 般 ， s 4 = 稍 好 ， s 5 = 好 ， s 6 = 非 常 好 } 。 定义2.1： [ 11 ] 对于一个语言变量 s ˜ = [ s α ， s β ] ，其中 s α ， s β ∈ S ¯ ， s α 和 s β 分别表示语言变量的上界和下界，则可称语言变量 s ˜ 为不确定语言变量。 若 S ˜ 为不确定语言变量集。考虑任意三个不确定语言变量 s ˜ = [ s α ， s β ] ， s ˜ 1 = [ s α 1 ， s β 1 ] 和 s ˜ 2 = [ s α 2 ， s β 2 ] ，则其一般的运算定义如下 [ 11 ] ： 1) s ˜ 1 ⊕ s ˜ 2 = [ s α 1 ， s β 1 ] ⊕ [ s α 2 ， s β 2 ] = [ s α 1 ⊕ s α 2 ， s β 1 ⊕ s β 2 ] = [ s α 1 + α 2 ， s β 1 + β 2 ] ； 2) λ s ˜ = λ [ s α ， s β ] = [ λ s α ， λ s β ] = [ s λ α ， s λ β ] ，其中 λ ∈ [ 0 ， 1 ] ； 3) s ˜ 1 ⊕ s ˜ 2 = s ˜ 2 ⊕ s ˜ 1 ； 4) λ ( s ˜ 1 ⊕ s ˜ 2 ) = λ s ˜ 1 ⊕ λ s ˜ 2 ，其中 λ ∈ [ 0 ， 1 ] ； 5) ( λ 1 + λ 2 ) s ˜ = λ 1 s ˜ ⊕ λ 2 s ˜ ，其中 λ 1 ， λ 2 ∈ [ 0 ， 1 ] 。 2.2. 犹豫模糊不确定语言集 定义2.2： [ 10 ] 设 X 是一个论域，对于任意给定的不确定语言变量，则犹豫模糊不确定语言集可以定义为 A = { 〈 x ， [ s θ ( x ) ， s τ ( x ) ] ， h A ( x ) 〉 | x ∈ X } (2.1) 其中， s θ ( x ) ， s τ ( x ) ∈ S ¯ ， h A ( x ) = ∪ γ ( x ) ∈ h A ( x ) { γ ( x ) } 是一些取值在区间 [ 0 ， 1 ] 上的数值的集合，表示元素 x ∈ X 隶属于不确定语言变量 [ s θ ( x ) ， s τ ( x ) ] 的程度。为了方便讨论，将 a = { 〈 [ s θ ( a ) ， s τ ( a ) ] ， h ( a ) 〉 } 称为犹豫模糊不确定语言元，其中， [ s θ ( a ) ， s τ ( a ) ] ∈ S ˜ 且 h ( a ) = ∪ γ ( a ) ∈ h ( a ) { γ ( a ) } 。在这里，犹豫模糊不确定语言集 A 可以视作所有的犹豫模糊不确定语言元的集合。 定义2.3： [ 10 ] 设 a ˜ 1 = 〈 [ s θ ( a 1 ) ， s τ ( a 2 ) ] ， h ( a 1 ) 〉 和 a ˜ 2 = 〈 [ s θ ( a 2 ) ， s τ ( a 2 ) ] ， h ( a 2 ) 〉 为任意两个犹豫模糊不确定语言元且 λ ≥ 0 ，则有关犹豫模糊不确定语言元的一些运算规则可以定义如下： 1) a ˜ 1 ⊕ a ˜ 2 = 〈 [ s θ ( a 1 ) + θ ( a 2 ) ， s τ ( a 1 ) + τ ( a 2 ) ] ， ∪ γ ( a 1 ) ∈ h ( a 1 ) ， γ ( a 2 ) ∈ h ( a 2 ) ( γ ( a 1 ) + γ ( a 2 ) − γ ( a 1 ) γ ( a 2 ) ) 〉 ； 2) a ˜ 1 ⊗ a ˜ 2 = 〈 [ s θ ( a 1 ) θ ( a 2 ) ， s τ ( a 1 ) τ ( a 2 ) ] ， ∪ γ ( a 1 ) ∈ h ( a 1 ) ， γ ( a 2 ) ∈ h ( a 2 ) ( γ ( a 1 ) γ ( a 2 ) ) 〉 ； 3) λ a ˜ 1 = 〈 [ s λ θ ( a 1 ) ， s λ τ ( a 1 ) ] ， ∪ γ ( a 1 ) ∈ h ( a 1 ) ( 1 − ( 1 − γ ( a 1 ) ) λ ) 〉 ； 4) a ˜ 1 λ = 〈 [ s θ ( a 1 ) λ ， s τ ( a 1 ) λ ] ， ∪ γ ( a 1 ) ∈ h ( a 1 ) ( γ ( a 1 ) λ ) 〉 。 本文定义了犹豫模糊不确定语言元的得分函数和精确函数，用来对犹豫模糊不确定语言元进行排序。 定义2.4：设 a ˜ = 〈 [ s θ ( a ) ， s τ ( a ) ] ， h ( a ) 〉 是一个犹豫模糊不确定语言元，则其得分函数可以定义为 S ( a ˜ ) = ( 1 l h ( a ) ∑ γ ( a ) ∈ h ( a ) γ ( a ) ) × s ( θ ( a ) + τ ( a ) ) / 2 = s ( θ ( a ) + τ ( a ) ) × ∑ γ ( a ) ∈ h ( a ) γ ( a ) / 2 l h ( a ) (2.2) 其中， l h ( a ) 是 h ( a ) 中所包含的元素的个数。 定义2.5：设 l a ˜ = 〈 [ s θ ( a ) ， s τ ( a ) ] ， h ( a ) 〉 是一个犹豫模糊不确定语言元，则其精确函数可以定义为 H ( a ˜ ) = 2 l h ( a ) ( l h ( a ) + 1 ) ∑ i = 1 l h ( a ) ∑ j = i + 1 l h ( a ) ( γ σ ( i ) ( a ) − γ σ ( j ) ( a ) ) × s ( θ ( a ) + τ ( a ) ) (2.3) 其中， l h ( a ) 是 h ( a ) 中所包含的元素的个数， h ( a ) = { γ l ( a ) | l = 1 ， 2 ， ⋯ ， l h ( a ) } 且 ( ( 1 ) ， ( 2 ) ， ⋯ ， ( l h ( a ) ) ) 表示 ( 1 ， 2 ， ⋯ ， l h ( a ) ) 在 γ l ( a ) 上的一种置换，通过置换使得 γ σ ( 1 ) ( a ) ≥ γ σ ( 2 ) ( a ) ≥ ... ≥ γ σ ( l h ( a ) ) ( a ) 。 对于任意两个犹豫模糊不确定语言元 a ˜ 1 = 〈 [ s θ ( a 1 ) ， s τ ( a 1 ) ] ， h ( a 1 ) 〉 和 a ˜ 2 = 〈 [ s θ ( a 2 ) ， s τ ( a 2 ) ] ， h ( a 2 ) 〉 ， 1) 如果 S ( a ˜ 1 ) > S ( a ˜ 2 ) ，则称 a ˜ 1 优于 a ˜ 2 ，也即是 a ˜ 1 > a ˜ 2 ； 2) 如果 S ( a ˜ 1 ) = S ( a ˜ 2 ) ，则 i) 如果 H ( a ˜ 1 ) > H ( a ˜ 2 ) ，则 a ˜ 1 > a ˜ 2 ； ii) 如果 H ( a ˜ 1 ) = H ( a ˜ 2 ) ，则意味着 a ˜ 1 和 a ˜ 2 描述了同样的信息，也即是， a ˜ 1 = a ˜ 2 。 2.3. 模糊测度和Choquet积分 定义2.6： [ 18 ] 设 X = { x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n } 为论域。模糊测度被定义为有限集合 X 上的集函数，且满足如下性质： 1) μ ( ∅ ) = 0 ， μ ( X ) = 1 ； 2) 如果 A ， B ∈ P ( X ) 且 A ⊆ B ，则 μ ( A ) ≤ μ ( B ) ，其中， P ( X ) 为论域 X 的幂集。 定义2.7： [ 19 ] 设 f 是论域 X = { x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n } 上的正真值函数， μ 为集合 X 上的模糊测度，则对于每一个模糊测度 μ ，正真值函数 f 的离散Choquet积分为 C μ ( f ( x ( i ) ) ) = ∑ i = 1 n f ( x ( i ) ) [ μ ( A ( i ) ) − μ ( A ( i + 1 ) ) ] (2.4) 其中， ( ( 1 ) ， ( 2 ) ， ⋯ ， ( n ) ) 表示 ( 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 的一个置换，使得 f ( x ( 1 ) ) ≤ f ( x ( 2 ) ) ≤ ⋯ ≤ f ( x ( n ) ) ，且 A ( i ) = { x ( i ) ， x ( i + 1 ) ， ⋯ ， x ( n ) } ， A ( n + 1 ) = ∅ 。 尽管在定义2.7中，Choquet积分可以反映元素之间的相互作用的关系，但是它却含有一定的局限性，即其仅仅考虑了“相邻的”两个元素 A ( i ) 和 A ( i + 1 ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 之间相互影响的特性。包含组合元素联盟的全面反映了元素间相互作用的现象，在Choquet积分中没有得到体现。 为了克服上述局限，更全面地反映元素间相互作用的特性，Marichal [ 20 ] 提出了广义的Shapley值 ρ S s h ( μ ， N ) = ∑ T ⊆ N \ S ( n − t − s ) ! t ! ( n − s + 1 ) ! ( μ ( S ∪ T ) − μ ( T ) ) ， ∀ S ⊆ N 。 (2.5) 其中， μ 为 N 上的模糊测度， n ， t 和 s 分别表示 N ， T 和 S 的基数。 根据式(2.5)的启发，Meng [ 21 ] 提出了在 N 上的含有 λ 模糊测度 g λ 的广义的Shapley值，即 ρ S s h ( g λ ， N ) = ∑ T ⊆ N \ S ( n − s − t ) ! t ! ( n − s + 1 ) ! ( g λ ( S ∪ T ) − g λ ( T ) ) ， ∀ S ⊆ N 。 (2.6) 根据式(2.6)，如果 S = { i } ，则 ρ i s h ( g λ ， N ) = ∑ S ⊆ N \ i ( n − s − 1 ) ! s ! n ! g λ ( i ) ∏ j ∈ S [ 1 + λ g λ ( j ) ] ， ∀ i ⊆ N 。 (2.7) 式(2.6)可以视为全面反映元素组合联盟 S 相互作用关系的期望值，其中的每一个联盟都属于集合 N \ S 。特别地，式(2.7)可以视为全面反映元素组合联盟 { i } 相互作用关系的期望值，其中的每一个联盟都属于集合 N \ i 。 基于定义2.7，Meng [ 21 ] 定义了包含 λ -Shapley Choquet积分的广义算术平均算子和几何平均算子，分别是 C ρ s h ( g λ ， N ) ( f ( x ( i ) ) ) = ∑ i = 1 n f ( x ( i ) ) ( ρ A ( i ) s h ( g λ ， N ) − ρ A ( i + 1 ) s h ( g λ ， N ) ) (2.8) 和 C ρ s h ( g λ ， N ) ( f ( x ( i ) ) ) = ⊗ i = 1 n f ( x ( i ) ) ρ A ( i ) s h ( g λ ， N ) − ρ A ( i + 1 ) s h ( g λ ， N ) (2.9) 其中， ( ( 1 ) ， ( 2 ) ， ⋯ ， ( n ) ) 表示 ( 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 的一种置换，使得 f ( x ( 1 ) ) ≤ f ( x ( 2 ) ) ≤ ⋯ ≤ f ( x ( n ) ) ，且 A ( i ) = { x ( i ) ， x ( i + 1 ) ， ⋯ ， x ( n ) } ， A ( n + 1 ) = ∅ 。