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user: 2. 正文 记 φ 为标准正态分布概率密度函数： φ ( x ) = e − x 2 2 2 π [ 1 ] N为标准正态分布变量的累积概率分布函数： N ( x ) = ∫ − ∞ x 1 2 π e − u 2 2 d u = P { ξ ≤ x } [ 1 ] 设标的资产的行情为随机游走行情，该随机游走行情单位时间涨跌幅度均值为0，标准差为 ω (不同于BS公式里的标准差)，那么T个单位时间的涨跌幅度的均值为0，标准差为 ω T 。 设当前价格为S，期权执行价格为K，则到期时间为T个单位时间的期权价格C的表达式为： C = ∫ K + ∞ ( x − K ) ⋅ ( 1 ω T ⋅ φ ( x − S − 0 ω T ) ) d x = ∫ K + ∞ x − S ω T φ ( x − S ω T ) d x + ( S − K ) ∫ K + ∞ 1 ω T ⋅ φ ( x − S ω T ) d x ， 易验证 φ ( x ) 的导数为 − x φ ( x ) ，所以 x φ ( x ) 的一个原函数是 − φ ( x ) ， 那么易解得： C = ω T ⋅ φ ( K − S ω T ) + ( S − K ) ⋅ N ( S − K ω T ) . 又 φ ( x ) = φ ( − x ) ，所以C亦可写成： C = ω T ⋅ φ ( S − K ω T ) + ( S − K ) ⋅ N ( S − K ω T ) 标的资产价格上涨dS时，期权价值上涨dC，所以最佳对冲比例为： d C d S 将S看作自变量，对C求导后并化简得： d C d S = N ( S − K ω T ) 当 ω = 1 ， T = 1 ， S = 0 时 ，此时该标的资产单位时间涨跌幅度均值为0，标准差为1，当前价格为0， C = φ ( K ) − K ⋅ N (−K) d C d S = N (−K) 下文是在 ω = 1 ， T = 1 ， S = 0 的情况下进行计算和证明，不影响所提出的结论，不再另作说明。 命题一： 随机游走行情中，卖出一份看涨期权获得期权费 C 同时买入 N ( − K ) 份标的资产，到期时的损益与一份看涨期权到期时的价值最接近。即买入 N ( − K ) 份标的资产到期时的损益与买入一份看涨期权到期时的损益(期权到期时的价值减去期权费 C )最接近，也就表明通过买卖标的资产可以复制期权。 证明：设持有 M 份标的资产、到期时标的资产价格为 x ，因已设当前价格S = 0，所以到期时的资产损益为 M x (x为负数时表示亏损)。 到期时若 x 小于等于K，那么到期时的期权价值为0。期权费 C 加上到期时资产损益 M x 与期权价值之差为： C + M x − 0 到期时若 x 大于K，那么到期时的期权价值为 x − K 。期权费 C 加上到期时资产损益 M x 与期权价值之差为： C + M x − ( x − K ) 应用最小二乘法， 令 α ( M ) = ∫ − ∞ K ( ( C + M x − 0 ) − 0 ) 2 φ ( x ) d x + ∫ K + ∞ ( ( C + M x − ( x − K ) ) − 0 ) 2 φ ( x ) d x 命题中所有可能的值最接近0指的是最小化 α ( M ) 。 当 α ( M ) 的导数(M是自变量) α ′ ( M ) = 0 时， α ( M ) 最小。 α ′ ( M ) = ∫ − ∞ K 2 x ( C + M x ) φ ( x ) d x + ∫ K + ∞ 2 x ( C + M x − ( x − K ) ) φ ( x ) d x = C ⋅ ∫ − ∞ + ∞ 2 x φ ( x ) d x + ∫ − ∞ + ∞ 2 M x 2 φ ( x ) d x − ∫ K + ∞ 2 x ( x − K ) φ ( x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ 2 M x 2 φ ( x ) d x − ∫ K + ∞ 2 x ( x − K ) φ ( x ) d x = 0 ∫ − ∞ + ∞ x 2 φ ( x ) d x 为方差的定义，因方差为1，所以 ∫ − ∞ + ∞ x 2 φ ( x ) d x = 1 ，上式整理为： α ′ ( M ) = 2 M − ∫ K + ∞ 2 x ( x − K ) φ ( x ) d x = 0 所以， M = ∫ K + ∞ x ( x − K ) φ ( x ) d x 。 下面证 N ( − K ) = ∫ K + ∞ x ( x − K ) φ ( x ) d x ； 移项得，只需证： N ( − K ) + K ⋅ ∫ K + ∞ x φ ( x ) d x = ∫ K + ∞ x 2 φ ( x ) d x ； 左右两侧分别对K求导： 左侧式子导数为： − φ ( − K ) + ∫ K + ∞ x φ ( x ) d x − K 2 φ ( K ) ， 即 − φ ( − K ) + φ ( K ) − K 2 φ ( K ) ； 即 − K 2 φ ( K ) ； 右侧式子导数为： − K 2 φ ( K ) ； 证明了左侧式子的导数 = 右侧式子的导数。 那么由此可知：左侧式子 = 右侧式子 + 一个常数。 且当K = − ∞ 时，右侧式子是方差的定义，因方差是1，所以右侧是1，左侧将K = − ∞ 带入，也是1，说明所加常数为0， N ( − K ) + K ⋅ ∫ K + ∞ x φ ( x ) d x = ∫ K + ∞ x 2 φ ( x ) d x 成立，所以 M = N ( − K ) ，命题得证。 在证明命题一的过程中，我们得到一个很简洁的等式： 等式一： N ( − K ) = ∫ K + ∞ x ( x − K ) φ ( x ) d x ， ∀ K ≥ 0 等 式 成 立 为了引出命题二，先考虑两个方程。 考虑如下两个情形： 情形1 (设标的资产到期价格为 x )： 卖出一份期权获得期权费C，同时买入 M 1 份标的资产，期权到期时再根据到期行情的价格支付期权买方所应得金额后，若要求此时的盈亏值在到期行情大于等于S的情况下(即 x ≥ 0 )，期望值为0，求解 M 1 。 即 M 1 满足如下式子： ∫ 0 K ( C + M 1 x − 0 ) φ ( x ) d x + ∫ K + ∞ ( C + M 1 x − ( x − K ) ) φ ( x ) d x = 0 再结合 C = φ ( K ) − K ⋅ N ( − K ) 以及 N ( − K ) ≈ M 1 。 求解得： M 1 ≈ φ ( K ) 2 φ ( 0 ) + K 情形2 (设标的资产到期价格为 x )： 卖出一份期权获得期权费C，同时买入 M 2 份标的资产，期权到期时再根据到期行情的价格支付期权买方所应得金额后，若要求此时的盈亏值在到期行情大于等于 S + K 的情况下(即 x ≥ K )，期望值为0，求解 M 2 。 即 M 2 满足如下式子： ∫ K + ∞ ( C + M 2 x − ( x − K ) ) φ ( x ) d x = 0 再结合 C = φ ( K ) − K ⋅ N ( − K ) 以及 N ( − K ) ≈ M 2 。 求解得： M 2 ≈ 1 2 − K 2 + 4 φ 2 ( K ) − 2 φ ( K ) 2 K 命题二： φ ( K ) 2 φ ( 0 ) + K ≤ N ( − K ) ≤ 1 2 − K 2 + 4 φ 2 ( K ) − 2 φ ( K ) 2 K ， 对 于 ∀ K ≥ 0 成 立 ， 当 K = 0 时 ， 等 号 成 立 . 证明：为了证明时论述方便，这里将自变量 K 换为 x ，同时结合 N ( x ) = 1 − N ( − x ) 。 将命题二等价转换为以下两个不等式： 不等式一： N ( x ) ≥ 1 2 + x 2 + 4 φ 2 ( x ) − 2 φ ( x ) 2 x ， x ≥ 0 时 不 等 式 成 立 不等式二： N ( x ) ≤ 1 − φ ( x ) 2 2 π + x ， x ≥ 0 时 不 等 式 成 立 不等式一的证明： 不等式一的右侧式子中有一个分母是2x，此时用极限求x = 0时的值。 不等式一的右侧式子给出了 N ( x ) 的一个下界初等函数，用这个下界函数减去 N ( x ) 后的函数图如图1所示。 图1. 下界函数减去 N (x) 令 L ( x ) = 1 2 + x 2 + 4 φ 2 ( x ) − 2 φ ( x ) 2 x − N ( x ) ， x ≥ 0 ， L ( x ) 的函数图像即是图1。 当x = 0时，应用极限，显然 L ( x ) = 0，此时满足式子。当x > 0时，考察 L ( x ) 的导数 L ′ ( x ) 的性质：导数 L ′ ( x ) 先小于0，接着，当 x > 0.66386 ，导数 L ′ ( x ) > 0 ，又因 lim x → + ∞ L ( x ) = 0 ，所以证明了 L ( x ) ≤ 0 ，故该不等式成立。 不等式二的证明： 不等式二的右侧式子给出了 N ( x ) 的一个上界初等函数，用这个上界函数减去 N ( x ) 后的函数图如图2所示。 图2. 上界函数减去 N (x) 令 U ( x ) = 1 − φ ( x ) 2 2 π + x − N ( x ) ， U ( x ) 的函数图像即是图2。 当x = 0时，显然 U ( x ) = 0 ，即满足式子。当x > 0时，考察 U ( x ) 的导数： U ′ ( x ) = φ ( x ) ( 2 π + x ) 2 ( 1 − 2 x 2 π − 2 π ) 令 。 可知， 当 0 < x < 2 π 2 − 2 2 π 时 ， U ′ ( x ) > 0 ； 当 x > 2 π 2 − 2 2 π 时 ， U ′ ( x ) < 0 ； 又 lim x → + ∞ U ( x ) = 0 ； 所以， U ( x ) ≥ 0 ，不等式得证。 命题二得证。 这两个不等式分别给出了 N ( x ) 的下界初等函数和上界初等函数，作者将上下界函数取平均即得到 N ( x ) 的一个逼近公式即逼近公式一。 逼近公式一： N ( x ) ≈ 3 4 + x 2 + 4 φ 2 ( x ) − 2 φ ( x ) 4 x − φ ( x ) 4 2 π + 2 x ， x ≥ 0 x = 0时，右侧式子中有一个分母是4x，此时用极限求解，当x趋近于0得右侧式子为0.5，左侧N(0)也是0.5，此时是严格相等。 逼近公式一的误差图(横坐标为x的值，纵坐标为误差)如图3所示。 图3. 逼近公式一的误差 逼近公式一未进行任何优化也取得了一定精度：最大的绝对误差是 6.29 × 10 − 3 ，x越大误差越小，当x大于2时，误差小于 3.28 × 10 − 5 。 该逼近公式是命题二的一个应用，命题二的价值在这里得到了一定程度体现。 为了引出命题三，考虑如下情形(设标的资产到期价格为 x )： 卖出一份期权获得期权费C，同时买入 N ( − K ) 份标的资产，期权到期时再根据到期行情的价格支付期权买方所应得金额后，若此时的盈亏值在到期行情大于等于 S + V 的情况下(即 x ≥ V )，期望值为0，求解 V (由命题二易知， 0 ≤ V ≤ K )。 即 V 满足如下式子： 再结合 C = φ ( K ) − K ⋅ N ( − K ) 。 化简得方程： N ( − K ) = φ ( K ) φ ( V ) N ( V ) + K 从上式难以得出 V 的解析表达式，但作者发现三条性质： 命题三： 性质1： K 为自变量，当 K ≥ 0 时， N ( − K ) C 近似地在一条直线上，直线拟合 R 2 = 0.9974。 性质2： K 为自变量，当 K ≥ 0 时， ( ln ( V K ) − ( π 2 − 1 ) ) 2 近似地在一条直线上，直线拟合 R 2 = 0.9992。 性质3： K 为自变量，当 K ≥ 0 时， K V 非常近似地在一条直线上，直线拟合 R 2 = 0.9998，且 lim K → 0 V ′ = π 2 − 1 。 分别绘图(横坐标为 K )，如图4、图5、图6所示。 图4. N ( − K ) C 近似在一条直线上 图5. ( ln ( V K ) − ( π 2 − 1 ) ) 2 近似在一条直线上 图6. K V 近似在一条直线上 下面证明 lim K → 0 V ′ = π 2 − 1 ： 方程左右两侧都对 K 求导并整理得： N 2 ( V ) − ( K φ ( V ) + V V ′ φ ( V ) ) ⋅ N ( V ) − φ 2 ( V ) ⋅ ( V ′ + 1 ) = 0 当 K 趋向于0时，因 0 ≤ V ≤ K ，所以 V 也趋向于0。 将 K = 0 ， V = 0 ， N ( 0 ) = 1 2 代入上式得： V ′ = π 2 − 1 ，即 lim K → 0 V ′ = π 2 − 1 命题三的应用： 由命题三的这三个近似直线的性质，作一定程度优化后可以再得到三个逼近公式。 为了论述方便，这里将自变量 K 换为 x ，同时结合 N ( x ) = 1 − N ( − x ) ，再结合当 x ≥ 0 且较小时，有 N ( x ) ≈ 0.5 + φ ( 0.5 x ) ⋅ x 。 由命题三的性质2得逼近公式二： N ( x ) ≈ 1 − φ ( x ) x + φ ( g ( x ) ) 0.5 + g ( x ) ⋅ φ ( 0.5 g ( x ) ) ， x ≥ 0 其中， g ( x ) = x e π 2 − 1 − x − 1 2 + π 。 逼近公式三的误差图(横坐标为 x 的值，纵坐标为误差)如图7所示。 逼近公式二实现了高精度，最大的绝对误差是 4.06 × 10 − 5 。当x大于1.29时，随着x的增大，误差持续减小，当x = 3时，误差是 3.01 × 10 − 7 ，当x = 6时，误差是 2.52 × 10 − 12 。 图7. 逼近公式二的误差 将N和逼近公式二所得值 N ′ 同时画在一张图表里，如下图，由于精度非常高所以图表中两曲线重叠了，如图8所示。 图8. 逼近公式二所得值和准确值的对比 由命题三的性质3得逼近公式三： N ( x ) ≈ 1 − φ ( x ) x + φ ( y ( x ) ) 0.5 + y ( x ) ⋅ φ ( 0.5 y ( x ) ) ， x ≥ 0 其中， y ( x ) = x 0.385 x + 2 π − 2 逼近公式三的误差图(横坐标为x的值，纵坐标为误差)如图9所示。 图9. 逼近公式三的误差 逼近公式三也实现了较高精度，最大的绝对误差是 1.05 × 10 − 4 。精度高于逼近公式一，低于逼近公式二，但逼近公式三比逼近公式二简洁。 由命题三的性质1得逼近公式四： N ( x ) ≈ 1 − φ ( x ) x + 1 1.2533 + 0.61 x ， x ≥ 0 逼近公式四的误差图(横坐标为x的值，纵坐标为误差)如图10所示。 图10. 逼近公式四的误差 逼近公式四最大的绝对误差是 1.19 × 10 − 3 。精度高于逼近公式一，低于逼近公式二，低于逼近公式三，但逼近公式四最简洁。