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user: 3. 工字形截面钢柱失稳屈曲分析理论阐述 3.1. 轴心受压构件的强度及刚度简单介绍 钢结构框架中的钢柱属于轴心受压构件，所以针对于钢柱的稳定性计算及失稳屈曲分析可以采用轴心受压构件的相关稳定性理论公式来进行计算与分析 [ 5 ]。在介绍稳定性分析之前，先简单的介绍一下轴心受压构件的强度及刚度计算理论，首先是轴心受压构件的强度计算： σ = N A n ≤ f 式中：N—轴心压力设计值； A n —构件的净截面面积； f—钢材的抗压强度设计值； 其次是轴心受压构件的刚度计算： λ = l 0 i ≤ [ λ ] 式中： λ —构件的最大长细比； l 0 —构件的计算长度； i—截面的回转半径； [ λ ] —构件的允许长细比由表1可查。 Table 1 Allowable slenderness ratio of steel structure compression member 序号 构件名称 容许长细比 1 柱、桁架和天窗架结构 150 柱的缀条、吊车梁或吊车桁架以下的柱间支撑 2 支撑(吊车梁或吊车桁架以下的柱间支撑除外) 200 用以减少受压构件长细比的杆件 表1. 钢结构受压构件的允许长细比 3.2. 轴心受压构件的整体稳定性理论计算 3.2.1. 理想轴心受压构件的失稳屈曲形式 主要分为三种一种是弯曲屈曲，另一种是扭转屈曲，还有一种是弯扭组合屈曲形式 [ 6 ]。首先介绍一下理想轴心受压构件的弯曲屈曲变形形式，其实早在几百年前，欧拉(Euler)就已经对轴心受压构件的整体稳定性问题进行了研究，并提出了著名的欧拉–临界力，以及欧拉–临界应力公式。 首先是欧拉–临界力计算表达式： N E = π 2 E I l 2 = π 2 E A λ 2 λ = l i ， i = I A 式中： N E —欧拉临界力； E—材料的弹性模量； A—压杆的截面面积； λ —压杆的长细比； i—截面的回转半径； I—截面的惯性矩。 按照切线模量理论： N t = π 2 E t A λ 2 。 按照折算模量计算理论： N r = π 2 ( E I 1 + E t I 2 ) l 2 。 3.2.2. 实际轴心受压构件的弹性微分方程及弯曲屈曲计算理论 在实际中，钢结构轴心受压构件一般都是开口薄壁杆件，根据薄壁开口杆件的计算理论，具有初始缺陷的轴心受压构件的弹性微分方程为： E I x ( ν I V − ν 0 I V ) + N ν ″ − N x 0 θ ″ = 0 E I y ( u I V − u 0 I V ) + N u ″ + N y θ ″ = 0 E I w ( θ I V − θ 0 I V ) − G I t ( θ ″ − θ ″ 0 ) − N x ν ″ + N y 0 u ″ + r 0 2 N θ ″ − R ¯ θ ″ = 0 式中：N—轴心压力设计值； I x ， I y —对主轴X和Y的惯性矩； I w —扇性惯性矩； I t —截面的抗扭系数； u ， ν ， θ —构件剪力中心的三个位移分量，即在x， y两个方向的位移和绕z轴的转动角； u 0 ， ν 0 ， θ 0 —构件剪力中心轴的三个初始位移分量，即考虑初弯曲和初扭曲等初始缺陷； x 0 ， y 0 —剪力中心的坐标； r 0 2 = I x + I y A + x 0 2 + y 0 2 R ¯ = ∫ A σ r ( x 2 + y 2 ) d A σ r —截面上的残余应力，以拉应力为正。 双轴对称截面下的剪力中心与形心重合，代入可得以下公式： E I x ( ν I V − ν 0 I V ) + N ν ″ = 0 E I y ( u I V − u 0 I V ) + N u ″ = 0 E I w ( θ I V − θ 0 I V ) − G I t ( θ ″ − θ ″ 0 ) + r 0 2 N θ ″ − R ¯ θ ″ = 0 。 要受到一些条件的影响和制约，例如，柱子自身缺陷对轴心受压构件承载力的影响 [ 6 ]。钢柱如果因为自身原因而产生缺陷，那么它与理想轴心受压构件不同的是，当外荷载作用在钢柱截面时，发生的弯曲屈曲形式是属于偏心受压，显然偏心受压下的临界力要比轴心受压的临界力要低 [ 6 ]。实际轴心受压构件的计算还要考虑到由于钢柱自身缺陷而引起的承载力不足以及残余应力的影响，理论分析按如下公式进行计算。 临界力计算公式： N c r = π 2 E I l 2 = π 2 E I l 2 m ； 临界应力计算公式： σ c r = π 2 E λ 2 m ，式中 m = I e I ； 对于弱轴(y−y)屈曲时： m = I e I = 2 t ( k b ) 3 12 2 t b 3 12 = k 3 ， σ c r y = π 2 E λ y 2 k 3 ； 对于强轴(x−x)屈曲时： m = 2 t k b h 2 4 2 t b h 2 4 = k ， σ c r x = π 2 E λ x 2 k ； 轴心受压构件弯曲屈曲的整体稳定性计算：轴心受压构件的所受最大应力不应超过整体稳定的临界应力允许值，而且还要考虑分项系数 γ R ，公式如下所示： σ = N A ≤ σ c r γ R = σ c r f y f y γ R = φ f ； 其中轴心受压柱应按下式计算整体稳定性： σ = N φ f ≤ f ； 式中：N—轴心受压构件的压力设计值； A—构件的毛截面面积； φ —轴心受压构件的稳定性系数； f—钢材的抗压强度设计值。 3.2.3. 轴心受压构件的扭转屈曲和弯扭屈曲 前面所介绍的屈曲形态均只涉及到弯曲屈曲，但是在特殊情况下，轴心受压构件也可以表现为扭转屈曲与弯扭屈曲，当截面的形心和剪切中心相重合的时候，弯曲屈曲和扭转屈曲并不会发生耦合现象，对于单轴对称下的轴心受压构件，在绕非对称主轴失稳屈曲时不会出现弯扭组合屈曲形式，但当其绕对称轴主轴失稳时会呈现弯扭屈曲形式破坏；但是本次有限元模拟所采用的是双轴对称下的工字形截面轴向受压钢柱，当其绕对称轴主轴失稳时也不会呈现弯扭屈曲形式破坏，所以对于工字形截面轴心受压钢柱的弯扭屈曲就不做进一步理论计算分析与介绍，只介绍与扭转屈曲破坏形式相关的理论计算。根据弹性稳定理论 [ 6 ]，对于两端铰支的无翘曲现象发生的没有约束的构件其临界力按下式计算： N Z = 1 i 0 2 ( G I t + π 2 E I W l 2 ) 式中：G—材料的切变模量； i 0 —截面关于剪心的极回转半径； I W —翘曲常数或扇性截面二次矩，对于双轴对称工字形截面 I W = I y h 2 4 ； I t —扭转常数或者扭转截面二次矩； 对于薄壁组合开口截面，近似按下列公式进行计算： I t = 1 3 ∑ i = 1 n b i t i 3 ； 对于热轧型工字钢截面扭转常数为： I t = 1 3 k ∑ i = 1 n b i t i 3 ； 对于薄板组成的闭合箱型截面梁的扭转常数为： I t = 4 A 2 ∮ d s t ； 式中： b i —第i个板件的宽度； t i —第i个板件的厚度； k—与截面形状有关的常数； A—闭合截面的板件中所围成的面积； ∮ d s t —沿壁板中线一周的积分。 工字形截面属于双轴对称截面，因此工字形截面轴心受压柱只可能发生弯曲失稳或者扭转失稳。对于常见的非薄壁工字形截面，其截面的抗扭刚度和翘曲刚度都非常大，因此一般来说也不会发生扭转失稳。当构件未设置沿截面强轴的支撑时，其绕强轴的惯性矩大于绕弱轴的惯性矩，以此构件将会绕弱轴方向发生弯曲失稳屈曲破坏。 3.3. 实腹式工字形截面轴心受压构件的局部稳定性理论计算 实腹式轴心受压柱的局部稳定性计算 首先进行轴心受压柱的截面设计，根据下列公式进行设计截面尺寸： A = N φ f ， i x = l 0 x λ ， i y = l 0 y λ ； 接下来要验算构件是否需要进行局部稳定性计算，利用公式： λ x = l 0 x i x < [ λ x ] ， λ y = l 0 y i y < [ λ y ] ； 如果符合只需要进行整体稳定性验算和刚度验算 [ 6 ]，如果不满足上述要求则需要按下式验算局部稳定性。 对于轴心受压构件的翼缘来说，其验算局部稳定性公式为： b 1 t ≤ ( 10 + 0.1 λ ) 235 f y ； 对于轴心受压构件的腹板来说，其验算局部稳定性公式为： h 0 t w ≤ ( 25 + 0.5 λ ) 235 f y ； 式中 λ —为构件两个方向长细比的较大值，当 λ < 30 时，取 λ = 30 ，当 λ ≥ 100 时，取 λ = 100 。 满足以上两个条件即轴心受压柱的局部稳定性验算满足要求 [ 6 ]。