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user: 3. 最小二乘估计量 b ^ n ， σ 和 a ^ n ， σ 的相合性 首先考虑 b ^ n ， σ 的相合性。 b ^ n ， σ − b = [ ( 1 − e − b / n ) n − b ] − σ ∑ i = 1 n   X t i − 1 Z i ， 1 n − n − 1 σ ∑ i = 1 n   Z i ， 1 n ∑ i = 1 n   X t i − 1 n − 1 ∑ i = 1 n   X t i − 1 2 − ( n − 1 ∑ i = 1 n   X t i − 1 ) 2 : = Λ n − Φ 1 ( n ， σ ) − Φ 2 ( n ， σ ) Φ 3 ( n ， σ ) − Φ 4 ( n ， σ ) 易知，当 n → ∞ 时， Λ n → 0 。引理3.1考虑 Φ 1 ( n ， σ ) 和 Φ 2 ( n ， σ ) 的收敛性，引理3.2考虑 Φ 3 ( n ， σ ) 和 Φ 4 ( n ， σ ) 的收敛性。 引理3.1 当 n → ∞ ， σ → 0 ，且 σ n 1 − 1 α → 0 时， Φ 1 ( n ， σ ) → p 0 ， Φ 2 ( n ， σ ) → p 0 。 证明：Vasicek利率模型的解又可以写作 X t i − 1 = e − b t i − 1 X 0 + a b ( 1 − e − b t i − 1 ) + σ ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s 因此我们有如下分解 Φ 1 ( n ， σ ) = σ X 0 ∑ i = 1 n     e − b t i − 1 ∫ t i − 1 t i   e − b ( t i − s ) d Z s + σ a b ∑ i = 1 n   ∫ t i − 1 t i   e − b ( t i − s ) d Z s     − σ a b ∑ i = 1 n     e − b t i − 1 ∫ t i − 1 t i e − b ( t i − s ) d Z s + σ 2 ∑ i = 1 n   ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s ∫ t i − 1 t i   e − b ( t i − s ) d Z s : = ∑ i = 1 4     Φ 1 ， i ( n ， σ ) 下面分别考虑 Φ 1 ， i ( n ， σ ) ，   i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 的收敛性。由Markov不等式和和引理2.1，对 ∀ ε > 0 ，有 P ( | Φ 1 ， 1 ( n ， σ ) | > ε ) ≤ ε − 1 E | σ X 0 ∑ i = 1 n   e − b t i − 1 ∫ t i − 1 t i e − b ( t i − s ) d Z s | ≤ ε − 1 σ E | X 0 | E | ∫ 0 1 ∑ i = 1 n   e − b ( t i − 1 + t i ) e b s 1 ( t i − 1 ， t i ] d Z s | ≤ C ε − 1 σ ( ∫ 0 1 | ∑ i = 1 n   e − b ( t i − 1 + t i ) e b s 1 ( t i − 1 ， t i ] | α d s ) 1 α = C ε − 1 σ ( e α b / n − 1 α b ∑ i = 1 n   e − α b t i ) 1 α 当 n → ∞ ， σ → 0 时，上式趋向于0。 Φ 1 ， 3 ( n ， σ ) 与 Φ 1 ， 1 ( n ， σ ) 的证明类似，当 n → ∞ ， σ → 0 时， Φ 1 ， 3 ( n ， σ ) 依概率收敛到0。 P ( | Φ 1 ， 2 ( n ， σ ) | > ε ) ≤ ε − 1 E | σ a b ∑ i = 1 n ∫ t i − 1 t i e − b ( t i − s ) d Z s | ≤ C ε − 1 σ ∑ i = 1 n ( ∫ t i − 1 t i e − α b ( t i − s ) d s ) 1 α = C ε − 1 σ n ( 1 − e − α b / n α b ) 1 α = O ( σ n 1 − 1 α ) (5) 当 σ n 1 − 1 α → 0 时上式趋向于0。 P ( | Φ 1 ， 4 ( n ， σ ) | > ε ) ≤ ε − 1 E | σ 2 ∑ i = 1 n ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s ∫ t i − 1 t i e − b ( t i − s ) d Z s | ≤ C ε − 1 σ 2 ∑ i = 1 n ( ∫ 0 t i − 1 e − α b ( t i − 1 − s ) d s ) 1 α ( ∫ t i − 1 t i e − α b ( t i − s ) d s ) 1 α = C ε − 1 σ 2 ( 1 − e − α b / n α b ) 1 α ∑ i = 1 n ( 1 − e − α b t i − 1 α b ) 1 α = O ( σ 2 n 1 − 1 α ) 因为 α − 1 2 α < 1 − 1 α ，所以 σ n 1 − 1 α → 0 蕴含 σ n α − 1 2 α → 0 ，从而上式收敛到0。 Φ 2 ( n ， σ ) 可具体展开如下 Φ 2 ( n ， σ ) = n − 1 σ ∑ i = 1 n ∫ t i − 1 t i e − b ( t i − s ) d Z s ∑ i = 1 n   e − b t i − 1 X 0 + σ a b ∑ i = 1 n ∫ t i − 1 t i e − b ( t i − s ) d Z s     − n − 1 σ a b ∑ i = 1 n ∫ t i − 1 t i e − b ( t i − s ) d Z s ∑ i = 1 n   e − b t i − 1     + n − 1 σ 2 ∑ i = 1 n ∫ t i − 1 t i e − b ( t i − s ) d Z s ∑ i = 1 n   ∫ 0 t i   e − b ( t i − s ) d Z s : = ∑ i = 1 4     Φ 2 ， i ( n ， σ ) P ( | Φ 2 ， 1 ( n ， σ ) | > ε ) ≤ ε − 1 E | n − 1 σ ∑ i = 1 n ∫ t i − 1 t i e − b ( t i − s ) d Z s ∑ i = 1 n   e − b t i − 1 X 0 | ≤ ε − 1 n − 1 σ ∑ i = 1 n   e − b t i − 1 E | X 0 | ∑ i = 1 n E | ∫ t i − 1 t i e − b ( t i − s ) d Z s | ≤ C ε − 1 σ ∑ i = 1 n ( ∫ t i − 1 t i e − α b ( t i − s ) d s ) 1 α = C ε − 1 σ ( 1 − e − α b / n α b ) 1 α → 0 ，     当 n → ∞ ，   σ → 0 同样地，当 n → ∞ ， σ → 0 时， Φ 2 ， 3 ( n ， σ ) 依概率收敛到0。利用(5)的证明方法易得 Φ 2 ， 2 ( n ， σ ) → p 0 。对于 Φ 2 ， 4 ( n ， σ ) ，类似于 Φ 1 ， 4 ( n ， σ ) 的证明，有 P ( | Φ 2 ， 4 ( n ， σ ) | > ε ) ≤ ε − 1 E | n − 1 σ 2 ∑ i = 1 n ∫ t i − 1 t i e − b ( t i − s ) d Z s ∑ i = 1 n ∫ 0 t i   e − b ( t i − s ) d Z s | ≤ C ε − 1 n − 1 σ 2 ∑ i = 1 n ( ∫ t i − 1 t i e − α b ( t i − s ) d s ) 1 α ∑ i = 1 n ( ∫ 0 t i   e − α b ( t i − s ) d s ) 1 α = C ε − 1 σ 2 ( 1 − e − α b / n α b ) 1 α ∑ i = 1 n ( 1 − e − α b t i − 1 α b ) 1 α = O ( σ 2 n 1 − 1 α ) 至此我们证明了引理3.1。 引理3.2 当 n → ∞ ，   σ → 0 ，   σ n 1 p − 1 2 → 0 时， Φ 3 ( n ， σ ) − Φ 4 ( n ， σ ) → p ( C 1 + C 2 + C 3 ) − ( C 4 + C 5 + C 6 ) 其中， C 1 = − X 0 2 2 b ( e − 2 b − 1 ) ， C 2 = − a 2 2 b 3 ( e − b − 1 ) ( e − b − 3 ) ， C 3 = a b 2 X 0 ( e − b − 1 ) 2 ， C 4 = X 0 2 b 2 ( e − b − 1 ) 2 ， C 5 = a 2 b 4 ( e − b − 1 + b ) 2 ， C 6 = 2 a X 0 b 3 ( e − b − 1 ) ( e − b − 1 − b ) 。 证明：对 Φ 3 ( n ， σ ) 进行分解 Φ 3 ( n ， σ ) = 1 n ∑ i = 1 n ( e − b t i − 1 X 0 + a b ( 1 − e − b t i − 1 ) + σ ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s ) 2 = X 0 2 n ∑ i = 1 n     e − 2 b t i − 1 + a 2 b 2 n ∑ i = 1 n ( 1 − e − b t i − 1 ) 2 + σ 2 n ∑ i = 1 n ( ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s ) 2     + 2 a b n X 0 ∑ i = 1 n ( e − b t i − 1 − e − 2 b t i − 1 ) + 2 σ n X 0 ∑ i = 1 n     e − b t i − 1 ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s     + 2 a σ b n ∑ i = 1 n ( 1 − e − b t i − 1 ) ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s : = Φ 3 ， 1 ( n ) + Φ 3 ， 2 ( n ) + Φ 3 ， 3 ( n ， σ ) + Φ 3 ， 4 ( n ) + Φ 3 ， 5 ( n ， σ ) + Φ 3 ， 6 ( n ， σ ) 分别考虑 Φ 3 ， 1 ( n ) ， Φ 3 ， 2 ( n ) ， Φ 3 ， 3 ( n ， σ ) ， Φ 3 ， 4 ( n ) ， Φ 3 ， 5 ( n ， σ ) ， Φ 3 ， 6 ( n ， σ ) 的收敛性。通过简单计算，有 Φ 3 ， 1 ( n ) → X 0 2 ∫ 0 1     e − 2 b s d s = X 0 2 2 b ( 1 − e − 2 b ) Φ 3 ， 2 ( n ) → a 2 b 2 − a 2 2 b 3 ( e − b − 1 ) ( e − b − 3 ) Φ 3 ， 4 ( n ) → a b 2 X 0 ( e − b − 1 ) 2 通过Markov不等式和引理2.1，对 1 ≤ p < α P ( | Φ 3 ， 3 ( n ， σ ) | > ε ) ≤ ε − p 2 E | σ 2 n ∑ i = 1 n ( ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s ) 2 | p 2 ≤ ε − p 2 σ p n − p 2 ∑ i = 1 n     e − p b t i − 1 E | ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s | p ≤ C ε − p 2 σ p n − p 2 ∑ i = 1 n     e − p b t i − 1 ( ∫ 0 t i − 1 e − α b ( t i − 1 − s ) d s ) p α = O ( σ p n 1 − p 2 ) 当 n → ∞ ，   σ → 0 ，   σ n 1 p − 1 2 → 0 时，上式趋向于0。 P ( | Φ 3 ， 5 ( n ， σ ) | > ε ) ≤ ε − 1 E | 2 σ n X 0 ∑ i = 1 n   e − 2 b t i − 1 ∫ 0 t i − 1 e b s d Z s | ≤ C ε − 1 σ n ∑ i = 1 n   e − 2 b t i − 1 ( ∫ 0 t i − 1 e α b s d s ) 1 α 当 n → ∞ ， σ → 0 时，上式收敛到0。与 Φ 3 ， 5 ( n ， σ ) 证明类似， Φ 3 ， 6 ( n ， σ ) 依概率收敛到0。下面分解 Φ 4 ( n ， σ ) 如下： Φ 4 ( n ， σ ) = n − 2 ( ∑ i = 1 n     e − b t i − 1 X 0 + n a b − a b ∑ i = 1 n     e − b t i − 1 + σ ∑ i = 1 n   ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s ) 2 = X 0 2 n 2 ( ∑ i = 1 n     e − b t i − 1 ) 2 + a 2 n 2 b 2 ( n − ∑ i = 1 n     e − b t i − 1 ) 2 + σ 2 n 2 ( ∑ i = 1 n   ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s ) 2     + 2 a X 0 b n 2 [ n ∑ i = 1 n   e − b t i − 1 − ( ∑ i = 1 n   e − b t i − 1 ) 2 ] + 2 σ X 0 n 2 ∑ i = 1 n     e − b t i − 1 ∑ i = 1 n   ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s     + 2 a σ b n 2 ( n − ∑ i = 1 n   e − b t i − 1 ) ∑ i = 1 n   ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s : = Φ 4 ， 1 ( n ) + Φ 4 ， 2 ( n ) + Φ 4 ， 3 ( n ， σ ) + Φ 4 ， 4 ( n ) + Φ 4 ， 5 ( n ， σ ) + Φ 4 ， 6 ( n ， σ ) 通过简单计算，有 Φ 4 ， 1 ( n ) → X 0 2 b 2 ( e − b − 1 ) 2 Φ 4 ， 2 ( n ) → a 2 b 2 + 2 a 2 b 3 ( e − b − 1 ) + a 2 b 4 ( e − b − 1 ) 2 Φ 4 ， 4 ( n ) → − 2 a X 0 b 2 ( e − b − 1 ) + 2 a X 0 b 3 ( e − b − 1 ) 2 P ( | Φ 4 ， 3 ( n ， σ ) | > ε ) ≤ ε − 1 E | σ 2 n 2 ∑ i = 1 n     ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s ∑ i = 1 n     ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s | ≤ C ε − 1 σ 2 n 2 ∑ i = 1 n     e − α b t i − 1 ( ∫ 0 t i − 1 e α b s d s ) 1 α ∑ i = 1 n     e − α b t i − 1 ( ∫ 0 t i − 1 e α b s d s ) 1 α 当 n → ∞ ， σ → 0 时，上式收敛到0。 P ( | Φ 4 ， 5 ( n ， σ ) | > ε ) ≤ ε − 1 E | 2 σ X 0 n 2 ∑ i = 1 n     e − b t i − 1 ∑ i = 1 n     ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s | ≤ C ε − 1 σ n 2 ∑ i = 1 n     e − b t i − 1 ∑ i = 1 n     e − b t i − 1 ( ∫ 0 t i − 1 e α b s d s ) 1 α → 0 综上，引理3.2证毕。 定理1的证明 当 n → ∞ 时，由 Λ n → 0 和引理3.1、引理3.2，我们直接得到 b ^ n ， σ − b = Λ n − Φ 1 ( n ， σ ) − Φ 2 ( n ， σ ) Φ 3 ( n ， σ ) − Φ 4 ( n ， σ ) → p 0 。 下面考虑 a ^ n ， σ 的相合性。 a ^ n ， σ − a = ∑ i = 1 n ( X t i − X t i − 1 ) + 1 n ⋅ b ^ n ， σ ∑ i = 1 n   X t i − 1                       = ∑ i = 1 n [ e − b n X t i − 1 + a b ( 1 − e − b n ) + σ Z i ， 1 n − X t i − 1 ] + 1 n b ^ n ， σ ∑ i = 1 n   X t i − 1                       = n ( e − b n − 1 ) ⋅ 1 n ∑ i = 1 n   X t i − 1 + b 1 n ∑ i = 1 n   X t i − 1 + n a b ( 1 − e − b n ) − a                             + σ ∑ i = 1 n   Z i ， 1 n + ( b ^ n ， σ − b ) 1 n ∑ i = 1 n   X t i − 1 → 0 结合 b ^ n ， σ 的相合性和(5)知，当 n → ∞ ， σ → 0 时上式成立。