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user: 2. 模型假设与准备 2.1. 准备知识 考虑 K 份保单合同，对于第 i 份合同有 n 年的索赔数据， i = 1 ， 2 ， ⋯ k ，则样本数据构成一个矩阵： 风险由风险参数 θ ∈ Θ 进行描述，对任意 p ∈ ( 0 ， 1 ) ， ξ 为概率空间 ( Ω ， Γ ， Ρ ) 上的随机变量，令 ξ ( p ) = F − 1 ( p ) = inf { x : F ( x ) ≥ p } 为 ξ 的p−分位数。 在给定风险参数 Θ 下，第i份保单的索赔随机向量为 X i ， X i = ( X i 1 ， X i 2 ， ⋯ ， X i n ) ′ ，设 F n ( x ) 为样本 { X i 1 ， X i 2 ， ⋯ ， X i n } 的经验分布函数，则样本P-分位数的估计可定义为： ξ ^ ( p ) = n ( j n − p ) X ( j − 1 ) + n ( p − j − 1 n ) X ( j ) ， 其 中 j − 1 n ≤ p ≤ j n ， j = 1 ， ⋯ ， n . 记 X = ( X 1 ′ ， X 2 ′ ， ⋯ ， X k ′ ) ′ 为所有索赔数据组成的列向量， ξ ^ i j ( p ) 为样本分位数的估计。我们的目标是通过对样本选取不同分位点，预测每份保单在各分位点第 n + 1 年的索赔。由于各保单之间存在某一特定效应，我们用随机变量 Λ 来刻画此种共同效应，下面给出模型的基本假设。 2.2. 模型假设 假设1：风险之间存在共同效应 Λ ，且 E [ Λ ] = μ λ ， V a r [ Λ ] = S λ 2 . 假设2：给定共同效应 Λ ，风险参数 Θ i ，索赔样本数据为 X i 1 ， X i 2 ， ⋯ ， X i n ，其样本分位数 ξ ^ i j ( p ) 的条件期望和条件方差如下： E ( ξ ^ i j ( p ) | Θ i ， Λ ) = Ξ p ( Θ i ， Λ ) ， V a r ( ξ ^ i j ( p ) | Θ i ， Λ ) = V p ( Θ i ， Λ ) . 引入下列记号： E [ Ξ P ( Θ i ， Λ ) | Λ ] = Ξ 1 ( p ， Λ ) ， V a r [ Ξ P ( Θ i ， Λ ) | Λ ] = S 2 2 ( p ， Λ ) ， E [ Ξ 1 ( p ， Λ ) ] = Ξ 1 ( p ) ， E [ S 2 2 ( p ， Λ ) ] = S 2 2 ( p ) ， V a r [ Ξ 1 ( p ， Λ ) ] = ψ 1 ( p ) ， E [ V p ( Θ i ， Λ ) | Λ ] = S 1 2 ( p ， Λ ) ， E [ S 1 2 ( p ， Λ ) ] = S 1 2 ( p ) . 2.3. 模型求解 根据信度理论，我们用样本分位数的线性函数逼近最优信度保费，即求解最小化问题： min A ， B E [ ( Ξ ( p ) − A − B ξ ^ ( p ) ) ( Ξ ( p ) − A − B ξ ^ ( p ) ) ′ ] (1) 式中， Ξ ( p ) = [ ξ ^ 1 ， n + 1 ( p ) ， ⋯ ， ξ ^ K ， n + 1 ( p ) ] ′ ξ ^ ( p ) = [ ξ ^ 1 ( p ) ′ ， ⋯ ， ξ ^ K ( p ) ′ ] ′ ξ ^ i ( p ) = [ ξ ^ i 1 ( p ) ， ⋯ ， ξ ^ i n ( p ) ] ′ 基于样本分位数， Ξ ( p ) 的非齐次信度估计为 Ξ ^ ( p ) = pro [ Ξ ( p ) | L ( ξ ^ ( p ) ， 1 ) ] ，本文利用正交投影法求解最优化问题(1)，引入下列引理。 引理1：设 X = ( X 1 ， ⋯ ， X n ) ′ ， Y = ( Y １ ， ⋯ ， Y m ) ′ 为两个随机向量， Y 在 L ( X ， 1 ) 上的正交投影为 pro ( Y | L ( X ， 1 ) ) = E ( Y ) + C o v ( Y ， X ) C o v − 1 ( X ， X ) ( X − E (X)) 证明见Wen et al. (2009) [ 4 ] 。 引理2：设A，B，C，D为适当阶数的矩阵，且A，C可逆，则有求逆公式： ( A + B C D ) − 1 = A − 1 − A − 1 B ( C − 1 + D A − 1 B ) − 1 D A − 1 证明：由 ( A + B C D ) [ A − 1 − A − 1 B ( C − 1 + D A − 1 B ) − 1 D A − 1 ]     = I − B ( C − 1 + D A − 1 B ) − 1 D A − 1 + B C D A − 1 − B C D A − 1 B ( C − 1 + D A − 1 B ) − 1 D A − 1     = I + B C D A − 1 − B ( I + C D A − 1 B ) ( C − 1 + D A − 1 B ) − 1 C − 1 C D A − 1     = I + B C D A − 1 − B ( I + C D A − 1 B ) ( I + C D A − 1 B ) − 1 C D A − 1     = I + B C D A − 1 − B C D A − 1     = I 即 ( A + B C D ) − 1 = A − 1 − A − 1 B ( C − 1 + D A − 1 B ) − 1 D A − 1 引理3：在模型假设1和假设2下，有以下结果： 1) ξ ^ i ( p ) = [ ξ ^ i 1 ( p ) ， ⋯ ， ξ ^ i n ( p ) ] ′ 的期望为： E [ ξ ^ i ( p ) ] = Ξ 1 ( p ) 1 n . 其中 1 n 为所有元素均为1的n维列向量。 2) 向量 ξ ^ ( p ) = [ ξ ^ 1 ( p ) ′ ， ⋯ ， ξ ^ K ( p ) ′ ] ′ 的协方差矩阵为： C o v [ ξ ^ ( p ) ， ξ ^ ( p ) ] = I k ⊗ ( S 1 2 ( p ) I n + S 2 2 ( p ) 1 n 1 ′ n ) + ψ 1 ( p ) 1 n k 1 ′ n k . 3) 矩阵 C o v [ ξ ^ ( p ) ， ξ ^ ( p ) ] 的逆矩阵为： C o v − 1 [ ξ ^ ( p ) ， ξ ^ ( p ) ] = 1 S 1 2 ( p ) I k ⊗ ( I n − S 2 2 ( p ) S 1 2 ( p ) + n S 2 2 ( p ) 1 n 1 ′ n ) − ψ 1 ( p ) [ S 1 2 ( p ) + n S 2 2 ( p ) ] [ S 1 2 ( p ) + n S 2 2 ( p ) + n k ψ 1 ( p ) ] 1 n k 1 ′ n k . 4) Ξ ( p ) = [ ξ ^ 1 ， n + 1 ( p ) ， ⋯ ， ξ ^ K ， n + 1 ( p ) ] ′ 与 ξ ^ ( p ) = [ ξ ^ 1 ( p ) ′ ， ⋯ ， ξ ^ K ( p ) ′ ] ′ 的协方差矩阵为 C o v [ Ξ ( p ) ， ξ ^ ( p ) ] = ( S 2 2 ( p ) e ′ i + ψ 1 ( p ) 1 ′ k ) ⊗ 1 ′ n . 证明： 1) E [ ξ ^ i ( p ) ] = E [ [ ( E ξ ^ i ( p ) | Θ i ， Λ ) ] = E ( E ( Ξ p ( Θ i ， Λ ) | Λ ) ⋮ E ( Ξ p ( Θ i ， Λ ) | Λ ) ) = E ( Ξ 1 ( p ， Λ ) ⋮ Ξ 1 ( p ， Λ ) ) = Ξ 1 ( p ) 1 n . 2) 记 Θ = ( Θ 1 ， ⋯ ， Θ k ) ′ ，则 E [ ξ ^ ( p ) | Θ ， Λ ] =[ Ξ p ( Θ 1 ， Λ ) 1 ′ n ， ⋯ ， Ξ p ( Θ k ， Λ ) 1 ′ n ] ′ = [ Ξ p ( Θ 1 ， Λ ) ， ⋯ ， Ξ p ( Θ k ， Λ ) ] ′ ⊗ 1 n C o v [ ξ ^ ( p ) | Θ ， Λ ] = diag [ V p ( Θ 1 ， Λ ) I n ， ⋯ ， V p ( Θ k ， Λ ) I n ] C o v [ ξ ^ ( p ) ， ξ ^ ( p ) ] = C o v [ E ( ξ ^ ( p ) | Θ ， Λ ) ] + E [ C o v ( ξ ^ ( p ) | Θ ， Λ ) ] ≜ Ι 1 + Ι 2 分项计算得： Ι 1 = C o v [ E ( ξ ^ ( p ) | Θ ， Λ ) ] = E ( C o v { [ Ξ p ( Θ 1 ， Λ ) ， ⋯ ， Ξ p ( Θ k ， Λ ) ] ′ ⊗ 1 n | Λ } ) + C o v ( E { [ Ξ p ( Θ 1 ， Λ ) ， ⋯ ， Ξ p ( Θ k ， Λ ) ] ′ ⊗ 1 n | Λ } ) = E [ S 2 2 ( p ， Λ ) ] I k ⊗ 1 n 1 ′ n + C o v [ Ξ 1 ( p ， Λ ) 1 n k ] = S 2 2 ( p ) I k ⊗ 1 n 1 ′ n + ψ 1 ( p ) 1 n k 1 ′ n k Ι 2 = E [ C o v ( ξ ^ ( p ) | Θ ， Λ ) ] = S 1 2 ( p ) I n k 则有， C o v [ ξ ^ ( p ) ， ξ ^ ( p ) ] ≜ Ι 1 + Ι 2 = I k ⊗ ( S 1 2 ( p ) I n + S 2 2 ( p ) 1 n 1 ′ n ) + ψ 1 ( p ) 1 n k 1 ′ n k 3) 根据引理2得 ( S 1 2 ( p ) I n + S 2 2 ( p ) 1 n 1 ′ n ) − 1 = 1 S 1 2 ( p ) I n − ( p ) 1 n 1 ′ n 1 S 2 2 ( p ) + 1 S 1 2 ( p ) 1 n 1 ′ n = 1 S 1 2 ( p ) ( I n − S 2 2 ( p ) S 1 2 ( p ) + n S 2 2 ( p ) 1 n 1 ′ n ) 因此， ( S 1 2 ( p ) I n + S 2 2 ( p ) 1 n 1 ′ n ) − 1 1 n = 1 S 1 2 ( p ) + n S 2 2 ( p ) 1 n . 因为 所以， C o v − 1 [ ξ ^ ( p ) ， ξ ^ ( p ) ] = I k ⊗ ( S 1 2 ( p ) I n + S 2 2 ( p ) 1 n 1 ′ n ) − 1 − [ I k ⊗ ( S 1 2 ( p ) I n + S 2 2 ( p ) 1 n 1 ′ n ) − 1 ] 1 n k 1 ′ n k [ I k ⊗ ( S 1 2 ( p ) I n + S 2 2 ( p ) 1 n 1 ′ n ) − 1 ] 1 ψ 1 ( p ) + 1 ′ n k [ I k ⊗ ( S 1 2 ( p ) I n + S 2 2 ( p ) 1 n 1 ′ n ) − 1 ] 1 n k = 1 S 1 2 ( p ) I k ⊗ ( I n − S 2 2 ( p ) S 1 2 ( p ) + n S 2 2 ( p ) 1 n 1 ′ n ) − ψ 1 ( p ) [ S 1 2 ( p ) + n S 2 2 ( p ) ] [ S 1 2 ( p ) + n S 2 2 ( p ) + n k ψ 1 ( p ) ] 1 n k 1 ′ n k . 4) 因为 C o v ( Ξ ( p ) ， ξ ^ ( p ) | Θ ， Λ ) = 0 ，则 C o v [ Ξ ( p ) ， ξ ^ ( p ) ] = C o v [ E ( Ξ ( p ) | Θ ， Λ ) ， E ( ξ ^ ( p ) | Θ ， Λ ) ] + E [ C o v ( Ξ ( p ) ， ξ ^ ( p ) | Θ ， Λ ) ] = C o v { Ξ p ( Θ i ， Λ ) ， [ Ξ p ( Θ 1 ， Λ ) ， ⋯ ， Ξ p ( Θ k ， Λ ) ] ′ ⊗ 1 n } = E ( C o v { Ξ p ( Θ i ， Λ ) ， [ Ξ p ( Θ 1 ， Λ ) ， ⋯ ， Ξ p ( Θ k ， Λ ) ] ′ ⊗ 1 n | Λ } ) + C o v ( E [ Ξ p ( Θ i ， Λ ) | Λ ] ， { E [ Ξ p ( Θ 1 ， Λ ) | Λ ] ， ⋯ ， E [ Ξ p ( Θ k ， Λ ) | Λ ] } ′ ⊗ 1 n ) = S 2 2 ( p ) e ′ i ⊗ 1 ′ n + C o v [ Ξ 1 ( p ， Λ ) ， Ξ 1 ( p ， Λ ) 1 n k ] = S 2 2 ( p ) e ′ i ⊗ 1 ′ n + ψ 1 ( p ) 1 ′ n k = ( S 2 2 ( p ) e ′ i + ψ 1 ( p ) 1 ′ k ) ⊗ 1 ′ n 引理3证毕。