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user: 3. 不含4圈的平面图 Lam，Xu和Liu在 [ 11 ] 证明了不含4圈的平面图是4-可选的，即下述定理7。 定理7： [ 11 ] 不含4圈的平面图是4-可选的。 [ 11 ] 中令 F 5 3 表示一个特殊的不含4圈的平面图，即 F 5 3 是由一个5面和一个外部相邻三角形组成的。令H是图G的一个子图，若H同构于 F 5 3 且对于任意 v ∈ V ( H ) 都有 d G ( v ) = 4 ，则H叫做 F 5 3 -子图。 引理8： [ 11 ] 设图G是不含4面且不含相邻三角形的平面图。若 δ ( G ) = 4 ，则图G包含一个 F 5 3 -子图。 易知，若一个图不含4圈，则该图不含4面且不含有相邻三角形。本节我们主要证明下述定理9。 定理9：若平面图G不含4圈，则图G是在线4-可选的。 显然定理9是定理7的在线版本，是比定理7更强的结论。对于定理9的证明，我们采用Alon和Tarsi [ 12 ] 的方法，找到图G的一个好的定向。在证明主要结论之前，我们先给出一些已知定义及结论，以便我们的证明。 3.1. 已有结论简介 假设D是图G的定向图，用 E ( D ) 表示在D中已定向的边或弧的集合。若 ( x ， y ) ∈ E ( D ) ，则x是y的入邻点且y是x的出邻点。顶点v的出度 d D + ( v ) 和入度 d D − ( v ) 分别是顶点v在定向图D中出邻点的个数和入邻点的个数。 设 D ′ 是D的一个子图，若对于D中的每一个顶点v，有 d D ′ + ( v ) = d D ′ − ( v ) ，则 D ′ 是一个欧拉子图。若 | E ( D ′ ) | 是奇数，则 D ′ 是奇的欧拉子图；若 | E ( D ′ ) | 是偶数，则 D ′ 是偶的欧拉子图。令 E E ( D ) 表示D的偶的欧拉子图的集合， O E ( D ) 表示D的奇的欧拉子图的集合。设 d i f f ( D ) = | E E ( D ) | − | O E ( D ) | (1) 若 d i f f ( D ) ≠ 0 ，则我们称D是图G的一个好的定向图。 Alon和Tarsi [ 12 ] 的下述结论是研究列表染色的一个强有力的工具，称为Alon-Tarsi定理。 Alon-Tarsi定理 [ 12 ] 若D是图G的一个好的定向图，且对任意顶点v都有 f ( v ) = d D + ( v ) + 1 ，则图G是f-可选的。 Schauz [ 5 ] 将Alon-Tarsi定理延拓至在线列表染色的研究，即下述定理10。 定理10： [ 5 ] 若D是图G的一个好的定向图，且对任意顶点v都有 f ( v ) = d D + ( v ) + 1 ，则图G是在线f-可选的。 3.2. 证明定理12 下面我们将给出强的定向图的定义，显然定义11是比好的定向图更强的定义。 定义11：设X是 V ( G ) 的一个子集。 D ″ 是 G [ X ] 的一个定向图，如果下列条件成立： 1) d i f f ( D ″ ) ≠ 0 ， 2) 对于每一个顶点 v ∈ X ，有 d D ″ + ( v ) ≤ 3 − ( d G ( v ) − d G [ X ] ( v ) ) ； 我们称 D ″ 是 G [ X ] 的一个强的定向图。 如果 G [ X ] 有一个强的定向图，我们称子图 G [ X ] 是可约的。 定理12：若图G是不含4圈的平面图，则图G有一个 Δ + ( D ) ≤ 3 的好的定向图D。 本文通过证明定理12的成立来说明定理9是成立的。采用反证法，首先假设定理12是错误的，且图G是关于最小度的极小反例。我们建立一些极小反例的性质。 引理13：图G不含可约结构。 证明：假设 D ″ 是 G [ X ] 的一个强的定向图，那么 d i f f ( D ″ ) ≠ 0 。由图G的极小性可知， G − X 有一个 Δ + ( D ′ ) ≤ 3 的好的定向图 D ′ ，那么 d i f f ( D ′ ) ≠ 0 。令D是G的定向图，其中D是 D ′ 与 D ″ 的并，定向图D是把X和 V − X 之间的所有边定向为从X指向 V − X 。因为X和 V − X 之间所有边均是从X指向 V − X 的，所以D的任何欧拉子图都不含有从X指向 V − X 的边。那么 d i f f ( D ) = | E E ( D ) | − | O E ( D ) | = ( | E E ( D ′ ) E E ( D ″ ) | + | O E ( D ′ ) O E ( D ″ ) | )   − ( | E E ( D ′ ) O E ( D ″ ) | + | O E ( D ′ ) E E ( D ″ ) | ) = | E E ( D ′ ) | ( | E E ( D ″ ) | − | O E ( D ″ ) | )   − | O E ( D ′ ) | ( | E E ( D ″ ) | − | O E ( D ″ ) | ) = | E E ( D ′ ) | d i f f ( D ″ ) − | O E ( D ′ ) | d i f f ( D ″ ) = d i f f ( D ″ ) ( | E E ( D ′ ) | − | O E ( D ′ ) | ) = d i f f ( D ″ ) d i f f ( D ′ ) ≠ 0 综上，我们可知 d i f f ( D ) = d i f f ( D ′ ) d i f f ( D ″ ) ≠ 0 。因为对于每个顶点 v ∈ X ，都有 d D ″ + ( D ) ≤ 3 − ( d G ( v ) − d G [ X ] ( v ) ) ，因此 Δ + ( D ) ≤ 3 。这与图G是极小反例是矛盾的。□ 图1. G [ H ] 的定向图 下面我们给出定理12的证明过程。 证明：假设图G是关于最小度的极小反例，则 δ ( G ) = 4 。因为图G不含4圈，所以G不含4面且不含相邻三角形。由引理8可知，G有一个 F 5 3 -子图H，其中 V ( H ) = { u 1 ， ⋯ ， u 6 } 且 E ( H ) = { u 1 u 2 ， u 2 u 3 ， u 3 u 4 ， u 4 u 5 ， u 5 u 6 ， u 6 u 1 ， u 2 u 6 } 。令 f ( v ) 是图G的筹码数，对于每一个点 v ∈ V ( G ) ，有 f ( v ) = 4 。由图G的极小性可知， G − H 是在线4-可选的。令 f ′ ( v i ) 表示点 v i 可用的筹码数，则对于 i = 1 ， 3 ， 4 ， 5 ，有 | f ′ ( u i ) | ≥ 2 ，对于 i = 2 ， 6 ，有 | f ′ ( u i ) | ≥ 3 。假设当 i = 1 ， 3 ， 4 ， 5 ， | f ′ ( u i ) | = 2 ；当 i = 2 ， 6 ， | f ′ ( u i ) | = 3 。如图1所示，构造 G [ H ] 的一个强的定向图 D ″ ，易知对于每一个顶点 v ∈ H ，有 d D ″ + ( D ) ≤ 3 − ( d G ( v ) − d G [ H ] ( v ) ) 且 d i f f ( D ″ ) = 1 ，即 G [ H ] 是可约结构，这与引理13矛盾。 □ 上述我们完成了定理12的证明，也就证明了定理9是成立的，即不含4圈的平面图是在线4-可选的。结合第二节我们可以得到下述定理14。 定理14：当 k = 3 ， 4 ， 5 或6时，不含k圈的平面图是在线4-可选的。