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user: 4. 定理证明 为了证明所提出估计量的渐近性质，需要以下条件。 C1. 核函数 K ( . ) 是一个对称的有界密度函数，并且有Lipschitz连续的二阶微分。 C2. U = X T γ 的密度函数是正的并且在 γ 0 的一个领域内对 γ 一致连续。 X T γ 0 的密度函数连续有界。 C3. 函数 g 0 ( · ) 是连续有界的二次可微函数。 C4. 模型的误差 ε 的密度函数 f ( · ) 是正的。 注A.1 条件C1-C4是单指标模型中的一般条件，见Wu等 [ 18 ] (2010)，Jiang等 [ 7 ] [ 15 ] (2016a， 2016b)。 引理1：假设条件C1-C2成立，并且 n h max 4 → 0 ，则对于任意的 γ 有 1 n ∑ i = 1 n [ H ^ τ k ( X i T γ | γ ) − H τ k ( X i T γ | γ ) ] = ο p (1) 证明： 1 n ∑ i = 1 n [ H ^ τ k ( X i T γ | γ ) − H τ k ( X i T γ | γ ) ] = 1 n ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n Q ^ τ k ( Y | X j ) K h k { ( X i − X j ) T γ } ∑ j = 1 n K h k { ( X i − X j ) T γ } − 1 n ∑ i = 1 n H τ k ( X i T γ | γ ) = 1 n 3 / 2 h k ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n Q ^ τ k ( Y | X j ) K h k { ( X i − X j ) T γ } f ^ γ ( X i T γ ) − 1 n ∑ i = 1 n H τ k ( X i T γ | γ ) = { 1 n 3 / 2 h k ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n Q ^ τ k ( Y | X j ) K h k { ( X i − X j ) T γ } f ^ γ ( X i T γ ) − 1 n 3 / 2 h k ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n Q τ k ( Y | X j ) K h k { ( X i − X j ) T γ } f γ ( X i T γ ) }         + { 1 n 3 / 2 h k ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n Q τ k ( Y | X j ) K h k { ( X i − X j ) T γ } f γ ( X i T γ ) − 1 n ∑ i = 1 n H τ k ( X i T γ | γ ) } ≡ T 1 + T 2 其中 f ^ γ ( t ) = ( n h k ) − 1 ∑ i = 1 n K h k ( X i T γ − t ) 并且 T 1 = 1 n 3 / 2 h k ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n Q ^ τ k ( Y | X j ) K h k { ( X i − X j ) T γ } f ^ γ ( X i T γ )                 − 1 n 3 / 2 h k ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n Q τ k ( Y | X j ) K h k { ( X i − X j ) T γ } f γ ( X i T γ ) T 2 = 1 n 3 / 2 h k ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n Q τ k ( Y | X j ) K h k { ( X i − X j ) T γ } f γ ( X i T γ ) − 1 n ∑ i = 1 n H τ k ( X i T γ | γ ) 我们先证明 T 1 = ο p ( 1 ) ， T 1 = 1 n 3 / 2 h k ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n Q ^ τ k ( Y | X j ) K h k { ( X i − X j ) T γ } f ^ γ ( X i T γ ) − 1 n 3 / 2 h k ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n Q τ K ( Y | X j ) K h k { ( X i − X j ) T γ } f ^ γ ( X i T γ )     + 1 n 3 / 2 h k ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n Q τ k ( Y | X j ) K h k { ( X i − X j ) T γ } f ^ γ ( X i T γ ) − 1 n 3 / 2 h k ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n Q τ k ( Y | X j ) K h k { ( X i − X j ) T γ } f γ ( X i T γ ) = 1 n 3 / 2 h k ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n [ Q ^ τ k ( Y | X j ) − Q τ k ( Y | X j ) ] K h k { ( X i − X j ) T γ } f ^ γ ( X i T γ )     + 1 n 3 / 2 h k ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n Q τ k ( Y | X j ) K h k { ( X i − X j ) T γ } [ 1 f ^ γ ( X i T γ ) − 1 f γ ( X i T γ ) ] ≡ T 11 + T 12 其中 T 11 = 1 n 3 / 2 h k ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n [ Q ^ τ k ( Y | X j ) − Q τ k ( Y | X j ) ] K h k { ( X i − X j ) T γ } f ^ γ ( X i T γ ) T 12 = 1 n 3 / 2 h k ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n Q τ k ( Y | X j ) K h k { ( X i − X j ) T γ } [ 1 f ^ γ ( X i T γ ) − 1 f γ ( X i T γ ) ] 由 sup X ∈ X | Q ^ τ k ( Y | X ) − Q τ k ( Y | X ) | = O p ( n − 1 / 2 ) 可得 T 11 = ο P ( 1 ) ，见Rémillard等 [ 19 ] (2017)。在C2和 n h max 4 = ο p ( 1 ) ， T 12 = ο p ( 1 ) 的条件下， T 1 = ο P ( 1 ) 。 接下来证明 T 2 = ο p ( 1 ) 。 T 2 = 1 n 3 / 2 h k ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n Q τ k ( Y | X j ) K h k { ( X i − X j ) T γ } f γ ( X i T γ ) − 1 n 3 / 2 h k ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n H τ k ( X i T γ | γ ) K h k { ( X i − X j ) T γ } f γ ( X i T γ )     + 1 n 3 / 2 h k ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n H τ k ( X i T γ | γ ) K h k { ( X i − X j ) T γ } f γ ( X i T γ ) − 1 n ∑ i = 1 n H τ k ( X i T γ | γ ) = 1 n 3 / 2 h k ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n [ Q τ k ( Y | X j ) − H τ k ( X i T γ | γ ) ] K h k { ( X i − X j ) T γ } f ^ γ ( X i T γ )     + 1 n 3 / 2 h k ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n H τ k ( X i T γ | γ ) K h k { ( X i − X j ) T γ } [ 1 f γ ( X i T γ ) − 1 f ^ γ ( X i T γ ) ] = 1 n 3 / 2 h k ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n [ Q τ k ( Y | X j ) − H τ k ( X i T γ | γ ) ] K h k { ( X i − X j ) T γ } f γ ( X i T γ ) + ο P (1) 由U-统计性质和已知条件 n h max 4 = ο ( 1 ) ，我们可以得到 T 2 = ο P ( 1 ) 。 定理2.1的证明：假设 γ ^ * = n ( γ ^ − γ 0 ) ， γ * = n ( γ − γ 0 ) ，则最小化下式可以得到 γ ^ * ， L n ( γ * ) = ∑ i = 1 n ∑ k = 1 K w k { ρ τ k ( Y i ， τ k * − H ˜ τ k ( X i | γ * / n + γ 0 ) ) − ρ τ k ( Y i ， τ k * ) } 其中 H ˜ τ k ( X i | γ * / n + γ 0 ) = H ^ τ k ( X i T γ | γ ) − H ^ τ k ( X i T γ 0 | γ 0 ) ，并且 Y i ， τ k * = Y i − H ^ τ k ( X i T γ 0 | γ 0 ) + O p ( n − 1 ) 这时 L n ( γ * ) 可以写成 L n ( γ * ) = E [ L n ( γ * ) | χ ] − ∑ i = 1 n ∑ k = 1 K w k { ρ ′ τ k ( Y i ， τ k * ) − E [ ρ ′ τ k ( Y i ， τ k * ) | χ ] } H ˜ τ k ( X i | γ * / n + γ 0 ) + R n (γ*) 其中 χ 是设计矩阵， R n ( γ * ) 是余项。类似Fan等 [ 20 ] (1994)中的证明方法，我们可以得到 R n ( γ * ) = ο p ( 1 ) 。则 E [ L n ( γ * ) | χ ] = ∑ i = 1 n ∑ k = 1 K w k E [ ρ τ k ( Y i ， τ k * − H ˜ τ k ( X i | γ * / n + γ 0 ) ) − ρ τ k ( Y i ， τ k * ) | χ ]                                                             = − ∑ i = 1 n ∑ k = 1 K w k E [ ρ ′ τ k ( Y i ， τ k * ) | χ ] H ˜ τ k ( X i | γ * / n + γ 0 )                                                                         + 1 2 ∑ i = 1 n ∑ k = 1 K w k E [ ρ ″ τ k ( Y i ， τ k * ) | χ ] H ˜ 2 τ k ( X i | γ * / n + γ 0 ) + ο P (1) 并且 E [ ρ ″ τ k ( Y i ， τ k * ) | X ] = f ε ( c k ) + ο p ( n − 1 / 2 ) 。通过引理1，我们可以得到 L n ( γ * ) = − ∑ k = 1 K w k ∑ i = 1 n ρ ′ τ k ( Y i ， τ k * ) H ˜ τ k ( X i | γ * / n + γ 0 ) + 1 2 ∑ k = 1 K w k f ε ( c k ) ∑ i = 1 n H ˜ 2 τ k ( X i | γ * / n + γ 0 ) + ο p ( 1 ) = − ∑ k = 1 K w k ∑ i = 1 n ρ ′ τ k ( Y i ， τ k * ) [ H ^ τ k ( X i T ( γ * / n + γ 0 ) | γ * / n + γ 0 ) − H ^ τ k ( X i T γ 0 | γ 0 ) ]     + 1 2 ∑ k = 1 K w k f ε ( c k ) ∑ i = 1 n [ H ^ τ k ( X i T ( γ * / n + γ 0 ) | γ * / n + γ 0 ) − H ^ τ k ( X i T γ 0 | γ 0 ) ] + ο p (1) 由引理1，我们可以得到 ∑ i = 1 n [ H ^ τ k ( X i T ( γ * / n + γ 0 ) | γ * / n + γ 0 ) − H ^ τ k ( X i T γ 0 | γ 0 ) ] = ∑ i = 1 n [ H τ k ( X i T ( γ * / n + γ 0 ) | γ * / n + γ 0 ) − H τ k ( X i T γ 0 | γ 0 ) ] + ο P ( n − 1 / 2 ) 并且 H τ k ( X i T ( γ * / n + γ 0 ) | γ * / n + γ 0 ) − H τ k ( X i T γ 0 | γ 0 ) = γ * n ∂ H τ k ( X i T γ | γ ) ∂ γ | γ 0 + O p ( n − 1 ) = 1 n g ′ 0 ( X i T γ 0 ) ( X i − E [ X | X T γ 0 ] ) T γ * + O p ( n − 1 ) 因此， L n ( γ * ) = − W n γ * + 1 2 { γ * } T { ∑ k = 1 K w k f ε ( c k ) } S n γ * + ο p (1) 其中 W n = 1 n ∑ i = 1 n ∑ k = 1 K w k ρ ′ τ k ( Y i ， τ k * ) g ′ ( X i T γ 0 ) ( X i − E [ X | X T γ 0 ] ) T S n = 1 n ∑ i = 1 n { g ′ ( X i T γ 0 ) } 2 ( X i − E [ X | X T γ 0 ] ) ( X i − E [ X | X T γ 0 ] ) T 易得 S n = S + ο P ( 1 ) ，因此 L n ( γ * ) = − W n γ * + 1 2 { γ * } T { ∑ k = 1 K w k f ε ( c k ) } S γ * + ο p (1) 根据Pollard [ 21 ] (1991)的凸引理，可得 L n ( γ * ) 的二次近似对任意紧集 Θ 中的 γ * 保持一致。因此，可得下式 γ ^ * = − { ∑ k = 1 K w k f ( c k ) } − 1 S − 1 W n + ο p (1) 由于Cramér-Wald定理和中心极限定理对于 W n 成立且 V a r ( W n ) → ∑ k = 1 q ∑ k ′ = 1 q w k w k ′ τ k k ′ S ，因此定理得证。 定理2.2的证明：此证明类似于Jiang等 [ 15 ] (2016b)定理1的证明。