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user: 3. Tanh函数法求行波解 把波变量 ξ 的双曲正切函数作为新的独立变量引进方程，得到 Y = tanh (ζ) 并拟设行波解具有双曲正切函数多项式的形式，即 U ( ζ ) = S ( Y ) = ∑ k = 0 N a k Y k (5) 其中， a k ( k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， N ) 是参数，N为正整数，所以有 U ′ ( ζ ) = ( 1 − Y 2 ) S ′ ( Y ) (6) U ″ ( ζ ) = ( 1 − Y 2 ) [ − 2 Y S ′ ( Y ) + ( 1 − Y 2 ) S ″ ( Y ) ] (7) U ‴ ( ζ ) = ( 1 − Y 2 ) 3 S ‴ ( Y ) − 16 Y ( 1 − Y 2 ) 2 S ″ ( Y ) − 2 ( 1 − Y 2 ) ( 3 Y 2 − 1 ) S ′ ( Y ) (8) U ( 4 ) ( ζ ) = ( 1 − Y 2 ) 4 S ( 4 ) ( Y ) − 12 Y ( 1 − Y 2 ) 3 S ‴ ( Y ) + 4 ( 1 − Y 2 ) 2 ( 2 Y 2 + 7 Y − 2 ) S ″ ( Y )     + 8 Y ( 1 − Y 2 ) ( 2 − 3 Y 2 ) S ′ ( Y ) (9) 把(6)~(9)代入(4)得到 η c 2 λ 2 ( 1 − Y 2 ) [ − 2 Y S ′ ( Y ) + ( 1 − Y 2 ) S ″ ( Y ) ] − c λ ( 1 − Y 2 ) S ′ ( Y )   + c 4 ( 1 − Y 2 ) 4 S ( 4 ) ( Y ) − 12 c 4 Y ( 1 − Y 2 ) 3 S ‴ ( Y ) + 4 c 4 ( 1 − Y 2 ) 2 ( 2 Y 2 + 7 Y − 2 ) S ″ ( Y )   + 8 c 4 Y ( 1 − Y 2 ) ( 2 − 3 Y 2 ) S ′ ( Y ) − S 2 ( Y ) = 0 (10) 现假设 o r d e r ( U ) = N 则原方程中 o r d e r ( u x x x x ) = N + 4 o r d e r ( u 2 ) = 2 N 由(5)可知，(10)式中关于 S ( Y ) 的线性项的最高次数是 N + 4 。 关于 S ( Y ) 的非线性项的最高次数是2N，为了确定参数N的值，令(10)式中的线性项的最高次数与非线性项的最高次数相等，即关于 S ( Y ) 的线性项的最高阶导数与非线性项的最高阶导数平衡。由此得到 N + 4 = 2 N 从而解得： N = 4 ，从拟设的双曲函数式(5)中，得行波解具有如下形式 S ( Y ) = ∑ k = 0 N a k Y k = a 0 + a 1 Y + a 2 Y 2 + a 3 Y 3 + a 4 Y 4 所以有 S ′ ( Y ) = a 1 + 2 a 2 Y + 3 a 3 Y 2 + 4 a 4 Y 3 (11) S ″ ( Y ) = 2 a 2 + 6 a 3 Y + 12 a 4 Y 2 (12) S ‴ ( Y ) = 6 a 3 + 24 a 4 Y (13) S ( 4 ) ( Y ) = 24 a 4 (14) 把(11~14)式代入式(10)得到 η c 2 λ 2 ( 1 − Y 2 ) [ − 2 Y ( a 1 + 2 a 2 Y + 3 a 3 Y 2 + 4 a 4 Y 3 ) + ( 1 − Y 2 ) ( 2 a 2 + 6 a 3 Y + 12 a 4 Y 2 ) ]   − c λ ( 1 − Y 2 ) ( a 1 + 2 a 2 Y + 3 a 3 Y 2 + 4 a 4 Y 3 ) + 24 c 4 ( 1 − Y 2 ) 4 a 4 − 12 c 4 Y ( 1 − Y 2 ) 3 ( 6 a 3 + 24 a 4 Y )   + 4 c 4 ( 1 − Y 2 ) 2 ( 2 Y 2 + 7 Y − 2 ) ( 2 a 2 + 6 a 3 Y + 12 a 4 Y 2 ) + 8 c 4 Y ( 1 − Y 2 ) ( 2 − 3 Y 2 ) ( a 1 + 2 a 2 Y + 3 a 3 Y 2 + 4 a 4 Y 3 ) − ( a 0 + a 1 Y + a 2 Y 2 + a 3 Y 3 + a 4 Y 4 ) 2 = 0 整理得到关于Y的多项式，并令 Y k ( k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， 8 ) 的系数为0，得到关于 a 0 ， a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， c ， λ 的代数方程组： Y 0 的系数： 2 η c 2 λ 2 a 2 + c λ a 1 + 24 c 4 a 4 − 16 c 4 a 2 + c 4 a 0 2 = 0 ， Y 1 的系数： − 2 η c 2 λ 2 a 1 + 6 η c 2 λ 2 a 3 + 2 c λ a 2 − 120 c 4 a 3 + 56 c 4 a 2 + 16 c 4 a 1 + c 4 a 1 2 + 2 c 4 a 0 a 2 = 0 ， Y 2 的系数： − 8 η c 2 λ 2 a 2 + 12 η c 2 λ 2 a 4 + 3 c λ a 3 − c λ a 1 − 480 c 4 a 4 + 80 c 4 a 2 + 168 c 4 a 3 + c 4 a 1 2 + 2 c 4 a 0 a 2 = 0 ， Y 3 的系数： − 18 η c 2 λ 2 a 3 + 2 η c 2 λ 2 a 1 + 4 c λ a 4 − 2 c λ a 2 + 408 c 4 a 3 + 1200 c 4 a 4 − 112 c 4 a 2 − 40 c 4 a 1 + 2 c 4 a 0 a 3 + 2 c 4 a 1 a 2 = 0 ， Y 4 的系数： − 32 η c 2 λ 2 a 4 + 6 η c 2 λ 2 a 2 − 3 c λ a 3 + 1360 c 4 a 4 − 112 c 4 a 2 − 336 c 4 a 3 + c 4 a 2 2 + 2 c 4 a 0 a 4 + 2 c 4 a 1 a 3 = 0 ， Y 5 的系数： 12 η c 2 λ 2 a 3 − 4 c λ a 4 − 432 c 4 a 3 − 672 c 4 a 4 + 56 c 4 a 2 + 24 c 4 a 1 + 2 c 2 a 1 a 4 + 2 c 4 a 2 a 3 = 0 ， Y 6 的系数： 20 η c 2 λ 2 a 4 − 1312 c 4 a 4 + 64 c 4 a 2 + 168 c 4 a 3 + c 4 a 3 2 + 2 c 4 a 2 a 4 = 0 ， Y 7 的系数： 192 c 4 a 3 + 336 c 4 a 4 + 2 c 4 a 3 a 4 = 0 ， Y 8 的系数： 504 c 4 a 4 + c 4 a 4 2 = 0 。 运用计算机Maple求得以上方程组的近似解为 λ = 3 η − 2 η 2 4 ， c = 3 η − 2 400 a 0 = 110.1137 ， a 1 = 0.0000 ， a 2 = 0.0000 ， a 3 = − 207.5346 ， a 4 = − 504.0000 所以方程(1)的行波解为 u ( x ， t ) = 110.1137 − 207.5346 [ tanh ( 3 η − 2 400 ( x − 3 η − 2 η 2 4 t ) ) ] 3     − 504.0000 [ tanh ( 3 η − 2 400 ( x − 3 η − 2 η 2 4 t ) ) ] 4 (15) 这个解具有激波的性质，也可以得到下面的行波解 u ( x ， t ) = 110.1137 − 207.5346 [ coth ( 3 η − 2 400 ( x − 3 η − 2 η 2 4 t ) ) ] 3     − 504.0000 [ coth ( 3 η − 2 400 ( x − 3 η − 2 η 2 4 t ) ) ] 4 (16) 式(15)和(16)都是方程的行波解。