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user: 3. 广义极值分布及其部分线性矩 广义极值分布(Generalized extreme value distribution， GEV)的分布函数为 F ( x ) = { exp { − [ 1 − k α ( x − ξ ) ] 1 k } ;             k ≠ 0 exp { − exp [ − 1 α ( x − ξ ) ] } ;       k = 0 (7) 其逆函数形式为 x ( F ) = { ξ + α k [ 1 − ( − ln F ) k ] ;       k ≠ 0 ξ − α ln ( − ln F ) ;                     k = 0 (8) 式中：k为形状参数， α 为尺度参数， ξ 为位置参数。 Wang (1990) [ 11 ] 提出了GEV分布部分概率权重矩，当 k ≠ 0 时，其表达式为 β ′ r = ( ξ + α k ) 1 r + 1 ( 1 − F 0 r + 1 ) − α k Γ ( 1 + k ) ( 1 + r ) 1 + k P ( 1 + k ， − ( 1 + r ) log F 0 ) (9) 式中： F 0 = F ( x 0 ) ， x 0 为低删失门限值， P ( ⋅ ) 为不完全gamma函数，即 P ( 1 + k ， − ( 1 + r ) log F 0 ) = ∫ 0 − ( 1 + r ) log F 0 x k e − x Γ ( 1 + k ) d x (10) 把 r = 0 ， 1 ， 2 代入式(9)，可得 β ′ 0 = ( ξ + α k ) ( 1 − F 0 ) − α k Γ ( 1 + k ) P ( 1 + k ， − log F 0 ) (11) 2 β ′ 1 1 − F 0 2 − β ′ 0 1 − F 0 = − α k [ P ( 1 + k ， − 2 log F 0 ) 2 k ( 1 − F 0 2 ) − P ( 1 + k ， − log F 0 ) 1 − F 0 ] (12) 2 β ′ 1 1 − F 0 2 − β ′ 0 1 − F 0 3 β ′ 2 1 − F 0 3 − β ′ 0 1 − F 0 = P ( 1 + k ， − 2 log F 0 ) 2 k ( 1 − F 0 2 ) − P ( 1 + k ， − log F 0 ) 1 − F 0 P ( 1 + k ， − 3 log F 0 ) 3 k ( 1 − F 0 3 ) − P ( 1 + k ， − log F 0 ) 1 − F 0 (13) 令上式左边为 z = 2 β ′ 1 1 − F 0 2 − β ′ 0 1 − F 0 3 β ′ 2 1 − F 0 3 − β ′ 0 1 − F 0 (14) 则有 z = P ( 1 + k ， − 2 log F 0 ) 2 k ( 1 − F 0 2 ) − P ( 1 + k ， − log F 0 ) 1 − F 0 P ( 1 + k ， − 3 log F 0 ) 3 k ( 1 − F 0 3 ) − P ( 1 + k ， − log F 0 ) 1 − F 0 (15) 当 F 0 ≠ 0 时，给定k的取值范围 − 0.5 ≤ k ≤ 0.5 ，分别令 F 0 = 0.1 ~ 0.5 ，根据式(15)分别计算各组取值对应的z值，按式(16)拟合曲线，求得曲线拟合系数如表1所示。 k = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z 3 + a 4 z 4 (16) Hosking [ 12 ] (1990)给出线性矩与概率权重矩的前4阶关系为 λ 1 = β 0 (17) λ 2 = 2 β 1 − β 0 (18) λ 3 = 6 β 2 − 6 β 1 + β 0 (19) λ 4 = 20 β 3 − 30 β 2 + 12 β 1 − β 0 (20) 式中： β 0 ， β 1 ， β 2 ， β 3 为概率权重矩， λ 1 ， λ 2 ， λ 3 ， λ 4 为前4阶线性矩，而部分概率权重矩与部分线性矩有类似的线性关系，式(14)中 β ′ 0 ， β ′ 1 ， β ′ 2 由 λ ′ 1 ， λ ′ 2 ， λ ′ 3 代替，并根据式(17)~式(20)的关系可得 z = λ ′ 2 + λ ′ 1 1 − F 0 2 − λ ′ 1 1 − F 0 1 2 ( λ ′ 3 + 3 λ ′ 2 + 2 λ ′ 1 ) 1 − F 0 3 − λ ′ 1 1 − F 0 (21) 根据式(1)～式(3)，由样本计算 λ ^ ′ 1 ， λ ^ ′ 2 ， λ ^ ′ 3 ，并代入式(21)，可得z的估计量 z ^ 为 z ^ = λ ^ ′ 2 + λ ^ ′ 1 1 − F 0 2 − λ ^ ′ 1 1 − F 0 1 2 ( λ ^ ′ 3 + 3 λ ^ ′ 2 + 2 λ ^ ′ 1 ) 1 − F 0 3 − λ ^ ′ 1 1 − F 0 (22) Table 1 Coefficients a 0 ， a 1 ， a 2 ， a 3 and a 4 for Eq. (16 F 0 a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 0.1 13.5148 −133.8265 412.3274 −540.4704 273.0131 0.2 70.1389 −588.5828 1786.8810 −2400.6486 1230.1124 0.3 251.3598 −2076.7787 6382.7434 −8738.3293 4530.9538 0.4 837.6504 −6936.4160 21519.5359 −29754.5905 15515.7045 0.5 2862.9526 −23750.7247 73940.7745 −102517.6261 53469.4924 表1. 不同 F 0 下式(16)的拟合系数 上式计算出 z ^ 值，由式(16)计算参数k的估计值 k ^ ，其系数由表1查算。式(11)和式(12)可得参数 α ， ξ 的估计值 α ^ ， β ^ 分别为 α ^ = − k ^ Γ ( 1 + k ^ ) λ ^ ′ 2 + λ ^ ′ 1 1 − F 0 2 − λ ^ ′ 1 1 − F 0 P ( 1 + k ， − 2 log F 0 ) 2 k ( 1 − F 0 2 ) − P ( 1 + k ， − log F 0 ) 1 − F 0 (23) β ^ = λ ^ ′ 1 1 − F 0 + α ^ k ^ [ Γ ( 1 + k ^ ) P ( 1 + k ， − log F 0 ) 1 − F 0 − 1 ] (24) 当 F 0 = 0.0 时，部分线性矩转化为普通线性矩。Hosking [ 12 ] (1990)推出了GEV分布下普通线性矩为 λ 1 = ξ + α [ 1 − Γ ( 1 + k ) ] / k (25) λ 2 = α ( 1 − 2 − k ) Γ ( 1 + k ) / k (26) τ 3 = 2 ( 1 − 3 − k ) / ( 1 − 2 − k ) − 3 (27) τ 4 = [ 5 ( 1 − 4 − k ) − 10 ( 1 − 3 − k ) + 6 ( 1 − 2 − k ) ] / ( 1 − 2 − k ) (28) 当 − 0.5 < τ 3 < 0.5 时，三个参数的估计量计算公式分别为 k ^ = 7.8590 C + 2.9554 C 2 (29) 式中： C = 2 / 3 ( 3 + τ 3 ) − ln 2 / ln 3 。 α ^ = λ 2 k ^ / [ ( 1 − 2 − k ^ ) Γ ( 1 + k ^ ) ] (30) ξ ^ = λ 1 − α ^ [ 1 − Γ ( 1 + k ^ ) ] / k ^ (31) 式中： λ 1 ， λ 2 可由样本进行计算。