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user: 3. 主要结果 定理： H 为 p 6 阶第三十九家族的群，当 H = Φ 39 ( 21 4 ) a r ， Φ 39 ( 21 4 ) b r ， Φ 39 ( 21 4 ) b p + r ， Φ 39 ( 1 6 ) 时，不存在群 G 使得 G / Z ( G ) ≅ H 。 证明：令 H = Φ 39 ，则我们有 H = 〈 α ， α 1 〉 ， H i + 1 = 〈 α i + 1 ， ⋯ ， α 5 〉 。此时令 S = 〈 α 2 ， α 〉 ， T = 〈 α 1 ， α 2 ， α 3 〉 ，则 S 2 = H 3 ， T 2 = H 4 ，所以 S 和 T 是亚交换群。令 x = α ， y = α 1 x ，由引理2.4，知 c 2 = [ α 1 x ， α ] = α 1 − x ( α 1 α 2 ) x = α 1 − x α 1 x ∏ i + j ≤ p [ i α 1 ， j α 2 − 1 ] ( p i + j ) α 2 x = α 4 − ( x 2 ) [ α 4 − 1 ， α 1 ] ( x 3 ) α 2 x = α 2 x α 4 − ( x 2 ) α 5 − ( x 3 ) c 31 = [ c 2 ， α ] = [ α 2 x α 4 − ( x 2 ) α 5 − ( x 3 ) ， α ] = [ α 2 x ， α ] = α 3 x α 5 − ( x 2 ) ， c 32 = [ c 2 ， α 1 x ] = [ α 2 x α 4 − ( x 2 ) α 5 − ( x 3 ) ， α 1 x ] = [ α 2 ， α 1 x ] x α 5 − x ( x 2 ) = α 4 − x 2 α 5 − 2 x ( x 2 ) ， c 41 = [ c 31 ， α ] = [ α 3 x α 5 − ( x 2 ) ， α ] = α 4 x ， c 42 = [ c 31 ， α 1 x ] = [ α 3 x α 5 − ( x 2 ) ， α 1 x ] = α 5 x 2 ， c 44 = [ c 32 ， α 1 x ] = [ α 4 − x 2 α 5 − 2 x ( x 2 ) ， α 1 x ] = α 5 − x 3 ， c 51 = [ c 41 ， α ] = [ α 4 x ， α ] = 1 ， c 52 = [ α 4 x ， α 1 x ] = α 5 x 2 ， c 54 = [ c 42 ， α 1 x ] = [ α 5 x 2 ， α 1 x ] = 1 ， c 58 = [ c 44 ， α 1 x ] = [ α 5 − x 3 ， α 1 x ] = 1 ， d 1 = [ c 31 ， c 2 ] = α 5 − x 2 ， d 2 = [ c 32 ， c 2 ] = [ α 4 − x 2 α 5 − 2 x ( x 2 ) ， α 2 x α 4 − ( x 2 ) α 5 − ( x 3 ) ] = 1 ， ( α α 1 x ) p = α p α 1 x p α 5 − 2 x 2 ( p 5 ) . 1) 令 H = Φ 39 ( 21 4 ) a r ≅ G / Z ( G ) = 〈 α ¯ ， α 1 ¯ ， α 2 ¯ ， α 3 ¯ ， α 4 ¯ ， α 5 ¯ | [ α i ¯ ， α ¯ ] = α i + 1 ¯ ， [ α 4 ¯ ， α 1 ¯ ] k = α ¯ p = [ α 2 ¯ ， α 3 ¯ ] k = [ α 3 ¯ ， α 1 ¯ ] k = α 5 ¯ k ， [ α 1 ¯ ， α 2 ¯ ] = α 4 ¯ ， α 1 ¯ p = α i + 1 ¯ p = α 5 ¯ p = 1 ¯ ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 〉 ，则有 ( α α 1 x ) p = α 5 k − 2 x 2 ( p 5 ) 。如果 p > 5 ，则不存在群 G 使得 G / Z ( G ) ≅ H 。此时若假设 p = 5 ，因为 k − 2 x 2 ≡ 0 至多有两个根，所以存在 x 且 1 ≤ x ≤ 4 使得 k − 2 x 2 ≡ 0 。因为 H = 〈 α ， α α 1 x 〉 ，所以不存在群 G 使得 G / Z ( G ) ≅ H 。 2) 令 H = Φ 39 ( 21 4 ) b r ≅ G / Z ( G ) = 〈 α ¯ ， α 1 ¯ ， α 2 ¯ ， α 3 ¯ ， α 4 ¯ ， α 5 ¯ | [ α i ¯ ， α ¯ ] = α i + 1 ¯ ， [ α 4 ¯ ， α 1 ¯ ] r = α ¯ p = [ α 2 ¯ ， α 3 ¯ ] r = α 1 ¯ p = α 5 ¯ r ， [ α 1 ¯ ， α 2 ¯ ] = α 4 ¯ ， α i + 1 ¯ p = α 5 ¯ p = 1 ¯ ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 〉 ，则 ( α α 1 x ) p = α 5 r + r x − 2 x 2 ( p 5 ) 。如果 p > 5 ，则不存在群 G 使得 G / Z ( G ) ≅ H 。此时假设 p = 5 ，则 ( α α 1 x ) 5 = α 5 r + r x − 2 x 2 。因为 r + r x − 2 x 2 ≡ 0 至多有两个根，所以存在 x 且 1 ≤ x ≤ 4 使得 r + r x − 2 x 2 ≡ 0 。因为 H = 〈 α ， α α 1 x 〉 ，所以不存在群 G 使得 G / Z ( G ) ≅ H 。 3) 令 H = Φ 39 ( 21 4 ) b p + r ≅ G / Z ( G ) = 〈 α ¯ ， α 1 ¯ ， α 2 ¯ ， α 3 ¯ ， α 4 ¯ ， α 5 ¯ | [ α i ¯ ， α ¯ ] = α i + 1 ¯ ， [ α 1 ¯ ， α 2 ¯ ] = α 4 ¯ ， [ α 2 ¯ ， α 3 ¯ ] k = [ α 3 ¯ ， α 1 ¯ ] k = [ α 4 ¯ ， α 1 ¯ ] k = α 1 ¯ p = α 5 ¯ k ， α ¯ p = α i + 1 ¯ p = α 5 ¯ p = 1 ¯   ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 〉 ，则 ( α α 1 x ) p = α 5 k x − 2 x 2 ( p 5 ) 。如果 p > 5 ，则不存在群 G 使得 G / Z ( G ) ≅ H 。此时假设 p = 5 ，则 ( α α 1 x ) 5 = α 5 k x − 2 x 2 。因为 k x − 2 x 2 ≡ 0 至多有两个根，所以存在 x 使 k x − 2 x 2 ≡ 0 。因为 〈 α 1 ， α α 1 x 〉 = H ，所以不存在群 G 使得 G / Z ( G ) ≅ H 。 4) 令 H = Φ 39 ( 1 6 ) ≅ G / Z ( G ) = 〈 α ¯ ， α 1 ¯ ， α 2 ¯ ， α 3 ¯ ， α 4 ¯ ， α 5 ¯ | [ α i ¯ ， α ¯ ] = α i + 1 ¯ ， [ α 1 ¯ ， α 2 ¯ ] = α 4 ¯ ， α 1 ¯ p = α ¯ p = α i + 1 ¯ p = α 5 ¯ p = 1 ¯ ， [ α 2 ¯ ， α 3 ¯ ] = [ α 3 ¯ ， α 1 ¯ ] = [ α 4 ¯ ， α 1 ¯ ] = α 5 ¯ ， ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 〉 ，则 ( α α 1 x ) 5 = α 5 − 2 x 2 。因为 H = 〈 α α 1 ， α α 1 2 〉 ，如果 p = 5 ，则不存在群 G 使得 G / Z ( G ) ≅ H 。此时假设 p > 5 。不妨设 [ α i ， α ] = α i + 1 ， [ α 4 ， α 1 ] = α 5 ，由于 [ α i ， α ] = α i + 1 a i ， [ α 4 ， α 1 ] = α 5 b ， a i ， b ∈ Z ( G ) ，令 α ′ i + 1 = α i + 1 a i ， α ′ 5 = α 5 b ，则 α i + 1 = α ′ i + 1 a i − 1 ， α 5 = α ′ 5 b − 1 。此时 [ α ， α i + 3 ] ， [ α 1 ， α 5 ] ， [ α 4 ， α 5 ] ， [ α 2 ， α i + 3 ] ， [ α 3 ， α i + 3 ] ∈ Z ( G ) 。 因为 [ α 5 ， α i ] = [ α 5 ， α i ] α = [ α 5 ， α i α i + 1 ] = [ α 5 ， α i + 1 ] [ α 5 ， α i ] ，所以 [ α 5 ， α i + 1 ] = 1 。 因为 [ α 2 ， α 4 ] = [ α 2 ， α 4 ] α = [ α 2 α ， α 4 α ] = [ α 2 α 3 ， α 4 ] = [ α 2 ， α 4 ] [ α 3 ， α 4 ] ，所以 [ α 3 ， α 4 ] = 1 。 因为 α 5 α = [ α 4 α ， α 1 α ] = [ α 4 ， α 1 α 2 ] = [ α 4 ， α 2 ] α 5 ，所以 [ α 5 ， α ] = [ α 4 ， α 2 ] 。 因为 [ α 3 ， α 1 ] = [ α 3 ， α 1 ] α 2 = [ α 3 α 2 ， α 1 α 2 ] = [ α 3 α 5 − 1 ， α 1 α 4 ] = [ α 3 ， α 1 ] [ α 5 − 1 ， α 1 ] ，所以 [ α 5 ， α 1 ] = 1 。令 [ α 2 ， α 3 ] = α 5 z ，其中 z ∈ Z ( G ) ，则因为有 α 5 [ α 5 ， α ] = α 5 α = [ α 2 ， α 3 ] α z − 1 = [ α 2 α 3 ， α 3 α 4 ] z − 1 = [ α 2 ， α 4 ] [ α 2 ， α 3 ] z − 1 = [ α 2 ， α 4 ] α 5 ，所以 [ α 5 ， α ] = [ α 2 ， α 4 ] ，这意味着 [ α 5 ， α ] = 1 。又因为 G = 〈 α ， α 1 ， Z ( G ) 〉 ， α 5 ∈ Z ( G ) ，矛盾，所以不存在群 G 使得 G / Z ( G ) ≅ H 。至此，定理证明完毕。