system: [SYSTEM]

user: 4. 数值实验 本节实验在Intel Core i7-6500U 2.50GHz CPU，8G RAM，Windows10 64位操作系统，MATLAB R2016a环境下进行，所有数值实验结果为测试十次取平均值。 我们对两个不同的绝对值近似函数 φ 1 和 φ 2 分别在信号维数n取2048，4096，8192三种情况下，测试随机信号在无噪声和存在噪声干扰时的恢复效果.通过对比信号恢复时间t，相对误差e和迭代步数k来比较范数p和R对算法对信号恢复效果的影响。参数取值如下：A为 m × n 的随机高斯矩阵，x为n维随机初始信号， x 0 = z e r o s ( n ， 1 ) 为初始点， g s = n o r m n d ( 0 ， 0.01 ， n / 2 ， 1 ) 是一个平均值是0，标准差是0.01的对观测向量b的噪声干扰，p取0.3，0.4，0.5，0.6，R取0，1，10，100 (当R = 0时代表2范数项为0，即目标函数为p范数模型)，其他参数取值如下： μ = 1 e − 5 ， ε = 1 e − 5 ， η = 1 ， δ = 2 ， λ = 1 e − 6 ∗ ‖ A T b ‖ ∞ ， ρ = 0.5 ， σ = 0.002 ， γ = 0.2. 1) 我们先对绝对值近似函数 φ 1 的信号恢复问题进行数值实验，结果如表1至表6所示： Table 1 Signal dimension n = 2048， no noise interferenc R 0 1 10 100 p e k t e k t e k t e k t 0.6 3.0e−7 278 4.84 2.9e−7 256 5.09 2.2e−7 266 5.97 5.5e−7 268 5.32 0.5 5.0e−6 223 3.91 4.2e−6 248 5.10 2.2e−6 243 5.07 8.4e−6 227 4.87 0.4 3.8e−4 376 8.20 3.5e−4 193 4.73 2.5e−4 282 8.62 1.9e−4 321 11.58 0.3 1.0e−2 152 3.89 9.3e−3 142 4.17 2.2e−3 146 4.59 1.3e−2 145 4.94 表1. 信号维数n = 2048，无噪声干扰 Table 2 Signal dimension n = 2048， Gauss noise interferenc R 0 1 10 100 p e k t e k t e k t e k t 0.6 1.8e−3 664 11.6 1.6e−3 564 11.1 1.7e−3 532 10.5 1.8e−3 690 14.9 0.5 7.1e−2 269 12.7 1.4e−3 298 12.8 8.9e−4 274 13.5 1.5e−3 231 2.38 0.4 8.6e−2 167 3.52 6.2e−3 164 4.20 9.2e−4 187 5.96 1.7e−3 125 3.10 0.3 1.2e−2 152 4.43 1.3e−2 144 4.35 2.5e−2 137 3.76 8.1e−3 155 4.54 表2. 信号维数n = 2048，高斯噪声干扰 Table 3 Signal dimension n = 4096， no noise interferenc R 0 1 10 100 p e k t e k t e k t e k t 0.6 5.6e−7 270 17.8 8.2e−7 219 17.5 8.0e−7 253 20.0 2.4e−6 205 15.5 0.5 1.6e−5 207 15.3 1.5e−5 226 19.4 8.5e−6 239 19.2 1.2e−5 243 19.8 0.4 7.5e−3 230 21.3 1.1e−3 224 23.2 6.0e−4 213 21.1 6.1e−4 239 24.9 0.3 1.3e−3 149 14.6 2.3e−2 162 18.4 1.5e−2 156 18.1 1.8e−2 150 17.4 表3. 信号维数n = 4096，无噪声干扰 Table 4 Signal dimension n = 4096， Gauss noise interferenc R 0 1 10 100 p e k t e k t e k t e k t 0.6 1.2e−3 613 44.4 1.4e−3 926 75.5 1.3e−3 572 47.7 1.2e−3 714 57.68 0.5 3.2e−4 131 8.98 3.3e−4 128 10.2 3.3e−4 156 12.6 3.1e−4 134 10.94 0.4 1.3e−3 169 14.9 1.2e−3 184 18.3 1.0e−3 162 15.7 1.3e−3 188 18.30 0.3 1.8e−2 156 15.7 1.4e−2 163 18.5 2.2e−2 163 18.7 1.5e−3 163 19.74 表4. 信号维数n = 4096，高斯噪声干扰 Table 5 Signal dimension n = 8192， no noise interferenc R 0 1 10 100 p e k t e k t e k t e k t 0.6 1.7e−6 219 62.42 1.0e−6 212 66.59 6.2e−7 219 66.04 3.5e−6 215 67.41 0.5 3.2e−5 273 89.12 1.3e−5 223 78.24 2.0e−5 222 78.90 2.7e−5 230 82.25 0.4 7.7e−3 107 38.12 6.6e−3 117 43.98 7.1e−3 111 43.61 6.8e−3 116 44.30 0.3 3.1e−2 164 67.77 2.9e−2 172 74.96 2.4e−2 163 71.80 1.9e−2 167 72.89 表5. 信号维数n = 8192，无噪声干扰 Table 6 Signal dimension n = 8192， Gauss noise interferenc R 0 1 10 100 p e k t e k t e k t e k t 0.6 8.5e−4 622 176.7 8.2e−4 1011 377.4 8.6e−4 998 383.3 8.1e−4 514 175.4 0.5 2.5e−4 134 41.26 1.8e−4 154 54.85 1.8e−4 190 67.90 1.7e−4 157 55.52 0.4 7.2e−3 113 40.62 1.8e−3 219 97.92 1.7e−3 271 126.7 2.9e−4 158 67.28 0.3 8.0e−2 170 73.10 2.4e−2 162 78.82 2.8e−2 168 82.36 2.6e−2 171 82.74 表6. 信号维数n = 8192，高斯噪声干扰 2) 我们再对绝对值近似函数 φ 2 的信号恢复问题进行数值实验，结果如表7至表12所示： Table 7 Signal dimension n = 2048， no noise interferenc R 0 1 10 100 p e k t e k t e k t e k t 0.6 4.4e−6 348 5.89 3.9e−6 347 6.14 1.5e−5 328 6.08 5.0e−7 342 5.71 0.5 1.4e−6 274 4.55 1.2e−6 260 4.29 2.1e−6 262 4.22 5.7e−6 228 3.54 0.4 1.4e−3 335 5.82 4.4e−5 248 5.88 6.7e−5 326 7.76 6.6e−5 209 4.83 0.3 8.3e−3 137 3.51 1.7e−3 154 4.04 1.3e−2 168 4.52 1.0e−2 137 3.42 表7. 信号维数n = 2048，无噪声干扰 Table 8 Signal dimension n = 2048， Gauss noise interferenc R 0 1 10 100 p e k t e k t e k t e k t 0.6 2.8e−3 419 8.53 1.8e−3 489 8.98 1.6e−3 412 6.99 1.7e−3 432 7.45 0.5 7.0e−4 171 2.80 6.9e−4 160 2.64 8.2e−4 160 2.50 8.2e−4 167 2.61 0.4 3.3e−3 168 3.95 5.2e−4 149 3.26 5.2e−4 184 3.97 6.6e−4 136 2.78 0.3 6.2e−2 157 4.41 7.7e−3 148 3.87 7.1e−3 150 3.84 1.2e−2 141 3.59 表8. 信号维数n = 2048，高斯噪声干扰 Table 9 Signal dimension n = 4096， no noise interferenc R 0 1 10 100 p e k t e k t e k t e k t 0.6 9.3e−6 195 14.6 8.2e−6 222 16.9 4.0e−5 272 20.8 8.2e−6 287 20.6 0.5 2.7e−5 254 20.0 5.0e−6 236 19.0 2.2e−6 226 18.6 4.9e−6 207 15.6 0.4 1.5e−3 314 31.7 3.9e−4 199 19.1 2.9e−4 240 23.5 1.6e−4 258 25.5 0.3 1.5e−2 140 15.3 1.2e−2 146 15.4 1.1e−2 156 17.1 1.6e−2 134 13.6 表9. 信号维数n = 4096，外界无噪声干扰 Table 1 0 Signal dimension n = 4096， Gauss noise interferenc R 0 1 10 100 p e k t e k t e k t e k t 0.6 1.1e−2 397 28.6 1.3e−3 376 25.8 1.3e−3 322 22.9 1.1e−3 361 24.6 0.5 1.2e−3 134 10.2 3.9e−4 145 10.2 3.6e−4 145 10.1 3.3e−4 144 9.93 0.4 3.7e−3 251 23.9 6.0e−4 211 19.4 5.6e−4 179 15.1 4.6e−4 208 18.1 0.3 1.4e−2 153 16.4 1.1e−2 153 17.5 1.0e−2 179 20.1 9.6e−2 150 15.7 表10. 信号维数n = 4096，高斯噪声干扰 Table 1 1 Signal dimension n = 8192， no noise interferenc R 0 1 10 100 p e k t e k t e k t e k t 0.6 5.2e−7 228 66.9 3.5e−7 247 71.7 5.4e−5 225 66.7 8.0e−7 246 65.7 0.5 1.0e−5 217 69.7 1.6e−6 222 53.3 9.7e−6 229 73.9 8.4e−6 185 55.8 0.4 2.7e−4 213 84.2 1.8e−4 266 77.5 6.1e−4 187 70.7 6.9e−4 241 93.4 0.3 5.3e−2 153 74.7 2.5e−2 167 68.9 2.5e−2 145 60.7 2.3e−2 169 72.6 表11. 信号维数n = 8192，无噪声干扰 Table 1 2 Signal dimension n = 8192， Gauss noise interferenc R 0 1 10 100 p e k t e k t e k t e k t 0.6 7.6e−3 241 76.1 7.7e−4 280 78.8 7.6e−4 291 82.8 8.3e−4 272 75.2 0.5 2.0e−4 135 39.0 1.6e−4 147 41.3 1.9e−4 134 40.3 2.0e−4 133 40.2 0.4 1.1e−3 174 60.7 3.6e−4 154 61.8 6.4e−4 267 87.3 6.1e−4 207 78.3 0.3 4.3e−2 167 66.1 2.8e−2 151 58.2 2.7e−2 157 64.3 2.6e−2 149 59.9 表12. 信号维数n = 8192，高斯噪声干扰