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user: 2. 各向异性激光介质热模型 在LD端面抽运全固态激光器中，通常采用冷却循环水来控制激光晶体周围温度。当泵浦光聚焦进入激光晶体端面中心时，晶体侧面采用封闭冷却循环水来进行温度控制，而晶体的两个端面与周围环境主要是对流冷却。 如图1所示，为三维各向异性立方晶体，由此得出激光介质在直角坐标系下的一般稳态热传导方程，如下所示： ∂ ∂ x ( κ x ∂ T ∂ x ) + ∂ ∂ y ( κ y ∂ T ∂ y ) + ∂ ∂ z ( κ z ∂ T ∂ z ) + Q v ( x ， y ， z ) = 0         ( 0 ≤ x ≤ a ， 0 ≤ y ≤ b ， 0 ≤ z ≤ L ) (1) 这里， T ( x ， y ， z ) 是晶体温度分布， κ x 、 κ y 、 κ z 分别是沿x、y、z三个不同轴向上的热传导系数， Q v ( x ， y ， z ) 是热源密度函数。 图1. 各向异性立方晶体热模型示意图 由于研究过程中采取双端泵浦立方激光晶体，并且考虑到泵浦光束在晶体内部呈高斯线型，由此根据图1得出晶体热源函数项为： Q v ( x ， y ， z ) = Q 0 exp [ − 2 ( x − a 2 ) 2 + ( y − b 2 ) 2 ω p 2 ] [ exp ( − α z ) + exp ( − α ( L − z ) ) ] (2) 其中 Q 0 为中心热源，表示为: Q 0 = 2 η α P i n π ω p 2 ( 1 − e − α L ) (3) 这里， ω p 为泵浦光束腰， 为晶体对泵浦光吸收系数， P i n 为吸收的泵浦功率， η = 1 − q e λ p λ l 是量子亏损， 其是由荧光量子效应和内损耗决定的，其中 q e 为量子效率， λ p 、 λ l 分别是泵浦光和输出激光波长。 考虑到端面泵浦固体激光系统实际运行条件，激光晶体放置于具有高导热性的紫铜热沉中，紫铜热沉采用高流速的水冷循环进行散热，通常情况下激光晶体侧面的温度基本可以控制在制冷温度。对于晶体通光端面，根据空气的导热系数，此处可以近似看作常规的热传导边界来处理。因此可以得到边界条件如下： { T | x = 0 = T 1 T | x = a = T 1 T | y = 0 = T 1 T | y = b = T 1 κ z ∂ T ∂ z | z = 0 = h a [ T ( x ， y ， 0 ) − T 0 ] − κ z ∂ T ∂ z | z = L = h a [ T ( x ， y ， L ) − T 0 ] (4) 其中 T 1 为制冷系统温度， T 0 为外界环境温度， 为晶体通光端面与外界空气的对流换热系数。 针对方程(1)和方程(4)所描述的热传导方程，利用积分变换法进行求解。首先，函数 T ( x ， y ， z ) 对变量x、y进行积分变换： 逆公式： (5) T ˜ ( β m ， y ， z ) = ∑ n = 1 ∞ Y ( γ n ， y ) N ( γ n ) T ˜ ¯ ( β m ， γ n ， z ) (6) 积分变换： T ˜ ( β m ， y ， z ) = ∫ x = − a a X ( β m ， x ) T ( x ， y ， z ) d x (7) T ˜ ¯ ( β m ， γ n ， z ) = ∫ y = − a a Y ( γ n ， y ) T ˜ ( β m ， y ， z ) d y (8) 其中，符号“~”表示对变量x的变换，符号“ — ”表示对变量y的变换。 基于以上积分变换式，简化掉方程(1)中对 x   ( 0 ≤ x ≤ a ) 及 y   ( 0 ≤ y ≤ b ) 的偏微分，依据边界条件，可得： { X ( β m ， x ) = sin ( β m x )         ( m = 1 ， 2 ， 3 ) Y ( γ n ， y ) = sin ( γ n y )             ( n = 1 ， 2 ， 3 ) (9) { 1 N ( β m ) = 2 a 1 N ( γ n ) = 2 b (10) 这里， β m 、 γ n 的特征值分别有方程 sin ( β m a ) = 0 和 sin ( γ n b ) = 0 (即 β m = m π a 和 γ n = n π b )确定。 设激光晶体侧面相对温度为0，则晶体上某点的实际温度即为该点相对温度与 T 1 之和，用积分变换式(7)和(8)对热传导方程(1)和边界条件的x和y逐次进行积分变换： d 2 T ˜ ¯ ( β m ， γ n ， z ) d z 2 − 1 κ z ( κ x β m 2 + κ y γ n 2 ) T ˜ ¯ ( β m ， γ n ， z ) = − 1 κ z Q ˜ ¯ v ( β m ， γ n ， z ) (11) κ z d T ˜ ¯ ( β m ， γ n ， 0 ) d z = h a [ T ˜ ¯ ( β m ， γ n ， 0 ) − T 0 ] (12) − κ z d T ˜ ¯ ( β m ， γ n ， L ) d z = h a [ T ˜ ¯ ( β m ， γ n ， L ) − T 0 ] (13) 令 1 κ z ( κ x β m 2 + κ y γ n 2 ) = ε m n 2 ，其中： Q ˜ ¯ v ( β m ， γ n ， z ) = ∫ x = 0 x = a ∫ y = 0 y = b Q v ( x ， y ， z ) X ( β m ， x ) Y ( γ n ， y ) d x d y (14) 将式(3)代入上式可得： Q ˜ ¯ v ( β m ， γ n ， z ) = ∫ x = 0 x = a ∫ y = 0 y = b Q v ( x ， y ， z ) X ( β m ， x ) Y ( γ n ， y ) d x d y = 2 η α P i n π ω p 2 ( 1 − exp ( − α L ) ) e r f ( a 2 2 ω p ) e r f ( b 2 2 ω p ) [ exp ( − α z ) + exp ( − α ( L − z ) ) ]     × ∫ x = 0 x = a exp ( − 2 ( x − a 2 ) 2 ω p 2 ) sin ( β m x ) d x     × ∫ y = 0 y = b exp ( − 2 ( y − b 2 ) 2 ω p 2 ) sin ( γ n y ) d y (15) 这里，定义 λ m n 、 Γ m n 为： (16) Γ m n = 2 η α P i n π ω p 2 ( 1 − exp ( − α L ) ) e r f ( a 2 2 ω p ) e r f ( b 2 2 ω p ) κ z λ m n (17) 依据热传导方程(11)满足边界条件(12)和(13)，由此解得： T ˜ ¯ ( β m ， γ n ， z ) = A m n exp ( ε m n z ) + B m n exp ( − ε m n z ) + C m n [ exp ( − α z ) − exp ( − α ( L − z ) ) ] (18) 其中： C m n = − Γ m n α 2 − ε m n 2 (19) A m n = ( h a T 0 − h a C m n − κ z C m n α ) [ ( − κ z ε m n + h a ) exp ( − ε m n L ) ] − [ h a T 0 + ( κ z α − h a ) C m n exp ( − α L ) ] ( κ z ε m n + h a ) ( − κ z ε m n + h a ) 2 exp ( − ε m n L ) − ( κ z ε m n + h a ) 2 exp ( ε m n L ) (20) B m n = ( h a T 0 − h a C m n − κ z C m n α ) [ ( κ z ε m n + h a ) exp ( ε m n L ) ] − [ h a T 0 + ( κ z α − h a ) C m n exp ( − α L ) ] ( − κ z ε m n + h a ) ( κ z ε m n + h a ) 2 exp ( ε m n L ) − ( − κ z ε m n + h a ) 2 exp ( − ε m n L ) (21) 依据式(5)和式(6)，对式(18)进行积分逆变换得到： T ( x ， y ， z ) = ∑ m = 1 ∞ ∑ n = 1 ∞ X ( β m ， x ) Y ( γ n ， y ) N ( β m ) N ( γ n ) { A m n exp ( ε m n z ) + B m n exp ( − ε m n z ) + C m n [ exp ( − α z ) − exp ( − α ( L − z ) ) ] } = 4 a b ∑ m = 1 ∞ ∑ n = 1 ∞ sin ( m π a x ) sin ( n π b y ) { A m n exp ( ε m n z ) + B m n exp ( − ε m n z ) + C m n [ exp ( − α z ) − exp ( − α ( L − z ) ) ] } (22) 结合上述中给出的中间参量的关系式，最终获得了各向异性晶体温度场分布的解析表达式： T ( x ， y ， z ) = T 1 + 4 a b ∑ m = 1 ∞ ∑ n = 1 ∞ sin ( m π a x ) sin ( n π b y ) { A m n exp ( ε m n z ) + B m n exp ( − ε m n z )     + C m n [ exp ( − α z ) − exp ( − α ( L − z ) ) ] } (23) 对于各向异性激光介质的热透镜效应，其主要成因是在晶体内部随着温度场分布不均导致晶体折射率发生改变，并且随着出现热应力的不同导致晶体内部出现各处不同的应变分布，最终导致了傍轴相干光束出现了光程差。因抽运而在晶体内产生的光程差为： d O P D ( x ， y ， z ) d z = ∂ n ∂ T Δ T ( x ， y ， z ) + ( n − 1 ) ( 1 + υ ) α T Δ T ( x ， y ， z ) + ∑ i . j = 1 3 ∂ n ∂ ε i j ε i j (24) 这里，等式右边第一项是热值折射率导致的光程差，其中 ∂ n ∂ T 为热光系数， Δ T ( x ， y ， z ) = T ( x ， y ， z ) − T ( 0 ) ；第二项是热致轴向伸长形成的光程差，其中n为初始温度时晶体的折射率， υ 为泊松比， α T 为晶体热膨胀系数；第三项是热致双折射产生的光程差。各向异性晶体的热致双折射产生的光程差相对于前两项基本可以忽略。因此总光程差的表达式可以化简为： O P D ( x ， y ， z ) = ∫ z = 0 z = L [ ∂ n ∂ T + ( n − 1 ) ( 1 + υ ) α T ] Δ T ( x ， y ， z ) d z (25) 在激光晶体内部温度分布的不均匀性导致了光线通过晶体中心与晶体边缘时光程有所不同，这类似于光线通过一个透镜的情况，所以将这个效应称之为热透镜效应。上述原因导致的光程差与热透镜焦距 f ( x ， y ) 之间有如下关系： f ( x ， y ) = − x 2 + y 2 2 ( O P D ( x ， y ， z ) − O P D ( 0 ) ) (26)