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user: 1. 引言 分数阶导数是数学领域的一个重要分支，分数阶微分算子主要有三种形式：Grunwald-Letnikov定义，Rieman-Liouvile定义和Cupto定义。而在2011年，Wang & Li [ 1 ] 参照Cupto型分数阶导数提出了新的导数——记忆依赖性导数。 定义1：设m是一个正数，对m-次可微函数 f ( t ) 。 D τ m f ( t ) = 1 τ ∫ t − τ t   K ( t − s ) f m ( s ) d s . (1) 被称为m阶记忆依赖型导数， τ ( τ > 0 ) 是时滞，它代表记忆依赖时段的长短，权重 K ( t − s ) 是一个m阶连续函数。 为了让记忆依赖性导数与普通导数的数值保持基本一致，Sun [ 2 ] 定义了新的记忆依赖性导数。 定义2：设m是一个正数，对m-次可微函数 f ( t ) 。 D τ m f ( t ) = 1 R ∫ t − τ t   K ( t − s ) f m ( s ) d s . (2) 被称为m阶记忆依赖型导数， τ ( τ > 0 ) 是时滞，它代表记忆依赖时段的长短，权重函数 K ( t − s ) 是一个m阶连续函数。这里的 R = ∫ t − τ t   K ( t − s ) d s . 令 t − s = r ，则有 R = ∫ 0 τ   K ( r ) d r . 与Caputo 型分数阶导数相比，其核函数可以根据实际情况选择。例如： 1， s − t + 1， [ ( s − t ) / τ + 1 ] ， [ ( s − t ) / τ + 1 ] 2 ， [ ( s − t ) / τ + 1 ] 1 4 核函数被理解为对过去的依赖程度。所以 [ ( s − t ) / τ + 1 ] ， [ ( s − t ) / τ + 1 ] 2 ， [ ( s − t ) / τ + 1 ] 1 4 的形式更加实用，它们都是单调函数且在 t − τ 处 K = 0 而在t处 K = 1 。除此之外，记忆依赖的区间不再依赖于一个定点而是一个滑动的区间，不会随着时间的增大而增大。 此外，Li & Wang [ 3 ] 提出了记忆依赖性微分方程，并证明了一阶非线性，二阶线性记忆依赖性微分方程的解存在且唯一。Sun [ 2 ] [ 4 ] 讨论了记忆依赖型偏微分方程数值解的问题，将记忆依赖性导数引入传统的热传导方程，以及弦振动方程。讨论了扩散系数时滞对其数值解的影响。当记忆依赖性导数一提出就引发了国内外学者的广泛关注，Ezzat [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]，Soumen Shaw [ 8 ] 等人将其运用在广义的热粘弹性方面。 由于Li & Wang [ 3 ] 中论证了一阶非线性以及二阶线性记忆依赖性微分方程的解存在且唯一，因此引发思考能否一阶记忆依赖性微分方程组解的存在唯一性能否论证？若其解存在且唯一能否找到其准确解？ 本文的主要目的是证明如下的一阶记忆依赖微分方程组解的存在唯一性： ( D τ U = F ( t ， U ) ， 0 < t ≤ h ， U ( t ) = U * ( t ) ， − τ ≤ t ≤ 0 ， (3) 其中 U = [ u v ] ， F ( t ， U ) = [ f 1 ( t ， u ， v ) f 2 ( t ， u ， v ) ] 。这里的 U * ( t ) 是已知的且在区间 [ − τ ，0 ] 连续。而这里的h是一个常数( 0 < h ≤ τ )。采用如下范数： ‖ F ( t ， U ) ‖ = f 1 ( t ， u ， v ) 2 + f 2 ( t ， u ， v ) 2 ， F ( t ， U ) 满足范数下的Lipschiz条件即存在 L > 0 ，使得 ‖ F ( t ， U 2 ) − F ( t ， U 1 ) ‖ ≤ L ‖ U 2 ( t ) − U 1 ( t ) ‖ ，0 ≤ t ≤ h . 根据定义(2)经过分部积分变换可以得到： D τ U = 1 R ∫ t − τ t   K ( t − s ) ∂ U ∂ s d s = 1 R U ( t ) − 1 R ∫ t − τ t ∂ K ∂ s U ( s ) d s . (4) 将(4)带入初值问题可以得到： U ( t ) = ∫ t − τ t   ∂ s K ⋅ U ( s ) ( s ) d s + τ R ⋅ F ( t ， U ) . (5) 这里的 ∂ s K = ∂ K / ∂ s ，注意到当 t ∈ ( 0， h ] 时有 t − τ ∈ ( − τ ，0 ] 。故而(5)可以写为 U ( t ) = ∫ 0 t   ∂ s K ⋅ U ( s ) d s + ∫ t − τ 0   ∂ s K ⋅ U * ( s ) d s + τ R ⋅ F ( t ， U ) . (6) 则有满足等式(6)的函数即是初值问题(3)的解。 定理1：如果 F ( t ， U ) 关于U满足范数下的Lipschiz条件，核函数 K ( t − s ) 在区间 [ 0， h ] 上是一阶可导且满足 K ( τ ) = 0 与 K ( 0 ) = 1 ，则当 ( M + R L ) τ < 1 时。初值问题(3)存在唯一的解，定义于区间 0 ≤ t ≤ h 上，这里 M = m a x ( t − s ) ∈ [ 0， τ ] | ∂ K / ∂ s | . 证明： 首先论证方程组解的存在性。 利用(6)构造皮卡迭代如下： U 0 ( t ) = U * ( 0 ) ， t ∈ [ 0， h ] ， (7) U n ( t ) = ∫ 0 t     ∂ s K ⋅ U n − 1 ( s ) d s + ∫ t − τ 0     ∂ s K ⋅ U * ( s ) d s + τ R ⋅ F ( t ， U n − 1 ( t ) ) ， (8) 要证明解的存在性，主要步骤是证明函数序列 U n ( t ) 0 ∞ 在区间 [ 0， h ] 上一致收敛。这等价于证明下列无穷级数一致收敛： U 0 ( t ) + ∑ k = 1 ∞ [ U k ( t ) − U k − 1 ( t ) ] ，0 ≤ t ≤ h (9) 由于 U 1 ( t ) 是由 U 0 ( t ) 定义的，故而存在 N > 0 ，使得 ‖ U 1 ( t ) − U 0 ( t ) ‖ ≤ N 。 ‖ U 2 ( t ) − U 1 ( t ) ‖ ≤ M ∫ 0 t ‖ U 1 ( s ) − U 0 ( s ) ‖ d s + τ R L ‖ U 1 ( t ) − U 0 ( t ) ‖ ≤ ( M t + τ R L ) N ≤ ( M + R L ) τ N . 假设当 n = k 时 ‖ U k ( t ) − U k − 1 ( t ) ‖ ≤ ( ( M + L R ) τ ) k − 1 N . (10) 现在证明当 n = k + 1 时仍然成立。此时 ‖ U k + 1 ( t ) − U k ( t ) ‖ ≤ M ∫ 0 t ‖ U k ( s ) − U k − 1 ( s ) ‖ d s + τ R L ‖ U k ( t ) − U k − 1 ( t ) ‖ ≤ ( ( M + L R ) τ ) k N . 则由数学归纳法在 0 ≤ t ≤ h 上，对任意正整数n都有 ‖ U n ( t ) − U n − 1 ( t ) ‖ ≤ ( ( M + L R ) τ ) n − 1 N . (11) 由Weierstrass判别法，当 ( M + L R ) τ < 1 时， U k ( t ) 一致收敛。 从而存在 U ( k ) 使： l i m k → ∞ U k ( t ) = U ( t ) ，   0 ≤ t ≤ h . (12) 而由 U k ( t ) 在 [ 0， h ] 上一致收敛于 U ( t ) 以及 ∂ k / ∂ s 的连续性，对(6)两边取极限 l i m n → ∞ U n ( t ) = l i m n → ∞ { ∫ 0 t     ∂ s K ⋅ U n − 1 ( s ) d s + ∫ t − τ 0     ∂ s K ⋅ U * ( s ) d s + τ R ⋅ F ( t ， U n − 1 ( t ) ) } . 在一致收敛的条件下，极限运算可以和积分运算交换： l i m n → ∞ U n ( t ) = ∫ 0 t     ∂ s K ⋅ l i m n → ∞ U n − 1 ( s ) d s + ∫ t − τ 0     ∂ s K ⋅ U * ( s ) d s + τ R ⋅ F ( t ， l i m n → ∞ U n − 1 ( t ) ) . 即 U ( t ) = ∫ 0 t     ∂ s K ⋅ U ( s ) d s + ∫ t − τ 0     ∂ s K ⋅ U * ( s ) d s + τ R ⋅ F ( t ， U ( t ) ) ， 故而 U ( t ) 是积分方程(6)定义在区间 [ 0， h ] 上的连续解。 接下来讨论解的唯一性。 假设 U ( t ) ， W ( t ) 是积分方程(6)的两个解 ‖ W ( t ) − U ( t ) ‖ = ∫ 0 t     ∂ s K ⋅ ‖ W ( s ) − U ( s ) ‖ d s + τ R ⋅ ‖ F ( t ， W ( t ) ) − F ( t ， U ( t ) ) ‖ . 由Lipschiz条件得： ‖ W ( t ) − U ( t ) ‖ ≤ ∫ 0 t | ∂ s K | ⋅ ‖ W ( s ) − U ( s ) ‖ d s + τ R L ‖ W ( t ) − U ( t ) ‖ . (13) 则有： ( 1 − τ R L ) ⋅ ‖ W ( t ) − U ( t ) ‖ ≤ 0 + ∫ 0 t | ∂ s K | ⋅ ‖ W ( s ) − U ( s ) ‖ d s . (14) 注意到 1 − τ R L > 0 ，根据Gronwall不等式可以得到 0 ≤ ‖ W ( t ) − U ( t ) ‖ ≤ 0 1 − τ R L ⋅ e x p { ∫ 0 t | ∂ s K | / ( 1 − τ R L ) d s } = 0. 从而解唯一，证毕。