system: [SYSTEM]

user: 3. 模型分析 3.1. 平衡点分析 将系统变形为： { d x d t = r 1 x + k 1 y − r 1 x 2 P − l 1 x y − k 1 Q y 2 d y d t = k 2 x + r 2 y − k 2 P x 2 − l 2 x y − r 2 y 2 Q (3.1) 令 { r 1 x + k 1 y − r 1 x 2 P − l 1 x y − k 1 Q y 2 = 0 k 2 x + r 2 y − k 2 P x 2 − l 2 x y − r 2 y 2 Q = 0 可解得平衡点为 O ( 0 ， 0 ) ， A ( P ， 0 ) ， B ( 0 ， Q ) 。下面分别对三个平衡点进行定性分析 [ 6 ] 。 3.1.1. 考虑平衡点 O ( 0 ， 0 ) 考虑线性近似系统： { d x d t = r 1 x + k 1 y d y d t = k 2 x + r 2 y (3.2) 该系统的特征方程为 ( λ − r 1 ) ( λ − r 2 ) − k 1 k 2 = 0 ，即 λ 2 − ( r 1 + r 2 ) λ + ( r 1 r 2 − k 1 k 2 ) = 0 。 记 Δ = ( r 1 + r 2 ) 2 − 4 ( r 1 r 2 − k 1 k 2 ) = ( r 1 − r 2 ) 2 + 4 k 1 k 2 > 0 ，所以有两个实特征根： λ 1 = ( r 1 + r 2 ) + Δ 2 ， μ 1 = ( r 1 + r 2 ) − Δ 2 ，显见， λ 1 > 0 。 1) 当 r 1 r 2 − k 1 k 2 > 0 时， r 1 + r 2 > Δ ， μ 1 > 0 ，此时， λ 1 ， μ 1 同号， O ( 0 ， 0 ) 为不稳定结点. 2) 当 r 1 r 2 − k 1 k 2 < 0 时， r 1 + r 2 < Δ ， μ 1 < 0 ，此时， λ 1 ， μ 1 异号， O ( 0 ， 0 ) 为鞍点。 3.1.2. 考虑平衡点 A ( P ， 0 ) 作坐标平移， x 1 = x − P ， y 1 = y ，系统化为 { d x d t = − r 1 x + ( k 1 − l 1 P ) y − r 1 P x 2 − l 1 x y − k 1 Q y 2 d y d t = − k 2 x + ( r 2 − l 2 P ) y − k 2 P x 2 − l 2 x y − r 2 y 2 Q (3.3) 其线性近似系统的系数矩阵为 A 1 = ( − r 1 − k 2 k 1 − l 1 P r 2 − l 2 P ) ， A 1 的特征多项式为： λ 2 + ( r 1 − r 2 + l 2 P ) λ − r 1 ( r 2 − l 2 P ) + k 1 k 2 − k 2 l 1 P = 0 记 Δ = ( r 1 − r 2 + l 2 P ) 2 − 4 { − r 1 ( r 2 − l 2 P ) + k 1 k 2 − k 2 l 1 P } = ( r 1 + r 2 − l 2 P ) 2 − 4 k 2 ( k 1 − l 1 P ) 1) 当 Δ > 0 时，有两个实特征根： λ 2 = ( r 2 − r 1 − l 2 P ) + Δ 2 ， μ 2 = ( r 2 − r 1 − l 2 P ) − Δ 2 。 a) 当 | r 2 − r 1 − l 2 P | > Δ 时， λ 2 ， μ 2 同号，所以 A ( P ， 0 ) 是结点。此时，若 r 2 − r 1 − l 2 P < 0 ， A ( P ， 0 ) 是稳定结点， r 2 − r 1 − l 2 P > 0 ， A ( P ， 0 ) 是不稳定结点。 b) 当 | r 2 − r 1 − l 2 P | < Δ 时， λ 2 ， μ 2 异号，所以 A ( P ， 0 ) 是鞍点。 2) 当 Δ < 0 时，方程有共轭虚根： λ 2 = ( r 2 − r 1 − l 2 P ) + i − Δ 2 ， μ 2 = ( r 2 − r 1 − l 2 P ) − i − Δ 2 。 所以 A ( P ， 0 ) 是焦点，此时 r 2 − r 1 − l 2 P < 0 时为稳定焦点， r 2 − r 1 − l 2 P > 0 时为不稳定焦点。 3.1.3. 考虑平衡点 B ( 0 ， Q ) 作坐标平移， x 1 = x ， y 1 = y − Q ，系统化为 { d x d t = ( r 1 − l 1 Q ) x − k 1 y − r 1 P x 2 − l 1 x y − k 1 Q y 2 d y d t = ( k 2 − l 2 Q ) x − r 2 y − k 2 P x 2 − l 2 x y − r 2 Q y 2 (3.4) 其线性近似系统的系数矩阵为 B 1 = ( r 1 − l 1 Q k 2 − l 2 Q − k 1 − r 2 ) ， B 1 的特征多项式为 λ 2 + ( r 2 − r 1 + l 1 Q ) λ − r 2 ( r 1 − l 1 Q ) + k 1 k 2 − k 1 l 2 Q = 0 。 记 Δ = ( r 1 + r 2 − l 1 Q ) 2 − 4 k 1 ( k 2 − l 2 Q ) 1) 当 Δ > 0 时，有两个实特征根： λ 3 = ( r 1 − r 2 − l 1 Q ) + Δ 2 ， μ 3 = ( r 1 − r 2 − l 1 Q ) − Δ 2 。 a) 当 | r 1 − r 2 − l 1 Q | > Δ 时， λ 3 ， μ 3 同号，所以 B ( 0 ， Q ) 是结点。此时，若 r 1 − r 2 − l 1 Q < 0 ， B ( 0 ， Q ) 是稳定结点， r 1 − r 2 − l 1 Q > 0 ， B ( 0 ， Q ) 是不稳定结点。 b) 当 | r 1 − r 2 − l 1 Q | < Δ 时， λ 3 ， μ 3 异号，所以 B ( 0 ， Q ) 是鞍点。 2) 当 Δ < 0 时，方程有共轭虚根： λ 3 = ( r 1 − r 2 − l 1 Q ) + i − Δ 2 ， μ 3 = ( r 1 − r 2 − l 1 Q ) − i − Δ 2 。 此时 B ( 0 ， Q ) 是焦点，当 r 1 − r 2 − l 1 Q < 0 时为稳定焦点， r 1 − r 2 − l 1 Q > 0 时为不稳定焦点。 3.2. 极限环分析 考虑到物流企业发展的同时所处环境区域经济也在不断发展的实际情况，从而当一个企业达到市场相对容纳量时并不会就此停滞发展，因此我们假设企业甲与乙的产出水平的平方的最大容纳量达到市场容纳量时才会停滞发展。同时，处在同一区域经济环境的两家同质性物流企业，其相互又发展又竞争的动力学系统中，基于企业的产品和服务对象的性质不同，有时也会存在如下的经济形态：甲乙两家企业相遇以争夺资源和服务对象而相互竞争给自我发展带来的抑制作用与自己和对方的平方之积成比例；同时，其中一家企业甲的发展对另一家企业乙的发展起到抑制作用，而另一家企业乙的发展对其中一家企业甲的发展却起到了促进作用。这种情况下两家企业的发展可以表示为如下的形式 { d x d t = r 1 x ( 1 − x 2 P ) − k 1 y − l 1 x y 2 d y d t = r 2 y ( 1 − y 2 Q ) + k 2 x − l 2 x 2 y ，即 { d x d t = r 1 x − k 1 y − x ( r 1 x 2 P + l 1 y 2 ) d y d t = k 2 x + r 2 y − y ( l 2 x 2 + r 2 y 2 Q ) 两家企业在进行竞争过程中，双方的主要矛盾是争夺对方的市场占有量，此时双方的内禀增长率在竞争系统中大致相等，竞争带来的抑制率也大致相等。于是我们不妨假设此时 r 1 = r 2 = M ， l 1 = l 2 = m 。 如我们设定两家企业甲与乙的产出水平的平方的最大容纳量P与Q满足 P = r 1 m ， Q = r 2 m ，那么，上述模 型化为： { d x d t = M x − k y − m x ( x 2 + y 2 ) d y d t = M y + k x − m y ( x 2 + y 2 ) (3.5) 此时系统中 m ( x 2 + y 2 ) 表示两家企业在竞争过程中，共同作用下对两家企业的影响。 将系统(3.5)进一步表示为： { d x d t = − k y − m x ( x 2 + y 2 − M m ) d y d t = k x − m y ( x 2 + y 2 − M m ) (3.6) 利用极坐标变换 x = r cos θ ， y = r sin θ ，(3.6)式化为： { d r d t = − m r ( r 2 − M m ) d θ d t = k (3.7) 从而可以得出(3.7)式有两个特解： r = 0 ， r = M m 。其中 r = 0 对应系统(3.5)的平衡点，而 r = M m 对应系统(3.5)的一个周期解，它对应的闭轨线是以原点为中心以 r = M m 为半径的圆。 在相平面上，以原点为圆心，任意作一个半径为r的圆，考察方程组通过这个圆上任一点 P ( r ， θ ) 的 轨线的走向： d θ d t | θ = θ * = k > 0 ， θ 是t的递增函数。因此，随着t的增大，轨线按逆时针方向旋转. 当 r = r 1 < M m 时， d r d t = − m r 1 ( r 1 2 − M m ) > 0 ，r是t的递增函数，因此，随着t的增大，轨线从圆 r = r 1 上走出圆外。 当 r = r 2 > M m 时， d r d t = − m r 2 ( r 2 2 − M m ) < 0 ，r是t的递减函数，因此，随着t的增大，轨线从圆 r = r 2 上走进圆内。 因此，原方程组(3.5)有周期解 r = M m ， θ = k ( t − t 0 ) ， ( t > t 0 ) ，闭轨线 r = M m 是孤立的，因而它是一个极限环，此极限环的内外侧轨线均逆时针趋近于它，因而是一个稳定的极限环。 综上所述，两家企业处于一个相对稳定的动态竞争系统中，增长具有周期性，双方经过一段时间的竞争，企业产出水平增长稳定分布在该极限环附近。所以，在一定周期内，企业的发展在抑制对方发展的同时也促进着对方的发展。当社会经济发展使得物流需求量增加时，双方的增长率会同时上升，进而提升到一个更大的极限环。同理，当社会物流需求量减少时，双方的增长率会同时下降，从而缩小到一个更小的极限环。 举例说明，设参数的取值为 k = 9 ， M = 4 ， m = 0.5 ，利用MATLAB软件作图得到如下轨线分布图： 图1. 极限环内外侧轨线分布图 由图1可以看出，数值模拟的结果与上文讨论的情形一致，从而在一定的误差范围内验证了该模型的准确性。进一步表明企业在竞争过程中，存在着一定的稳定性，并绕极限环在相互竞争的同时稳定发展。