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user: 3. 球坐标系曲面边界元法精度分析 距离地面无限远处建立半径为1 m的球模型，对其加10 V电压，易知球表面各点电场强度应为10 V/m。对球进行规则三角形剖分，剖分单元数分别为336、1296、5168，剖分5168单元网格图如图3所示，计算结果如表1所示。 图3. 5168单元三角形规则剖分网格图 Table 1 Calculation results of triangular mes 三角形规则 剖分网格数 最大电场强度 (V/m) 最小电场强度 (V/m) 计算时间 (s) 336 (平面) 19.288 4.832 5 336 (曲面) 16.369 6.639 5 1296 (平面) 11.202 9.220 40 1296 (曲面) 10.743 9.537 42 5168 (平面) 10.879 9.666 800 5168 (曲面) 10.738 9.718 930 表1. 规则三角形剖分边界元计算结果 由表1可知，随着网格密度增大球体表面场强数值趋于稳定，在同样网格剖分情况下，曲面边界元法精度明显高于平面边界元法，并且随着网格数递减这种高精度优势越明显，因此利用少量的曲面单元替代平面单元，可以达到少网格高精度的目的。 随着网格数量增加，计算时间也明显增加，场强与解析解10 V/m的相对误差逐渐减小，在5168网格数情况下，最大相对误差在百分之七以内，针对单球体在实际工程仿真计算中剖分几千个网格是不现实的，因此在满足精度要求下，尽可能减少剖分网格的数量，提高计算效率是研究仿真数值计算精度的重要目的。 对球体表面进行曲面四边形剖分，由球坐标系转换算法原理可知，球表面的上下极点处需剖分为曲面三角形单元，其余球面规则剖分为曲面四边形单元，三角形单元数为192，总单元数为384，剖分网格如图4所示。将单元和节点数据代入球坐标曲面边界元算法进行数值计算，计算时间为21 s，最大场强数值为10.581 V/m，最小场强数值为9.575 V/m，显然计算结果的最大相对误差在百分之五以内，场强分布云图如图5所示。 图4. 384单元混合剖分网格图 图5. 384单元场强云图 曲面三角形与曲面四边形混合剖分情况下实现了仅384个网格单元就可以达到误差在百分之五以内的仿真计算精度，大大简化了计算内存和计算时间。可以看出曲面四边形单元的积分精度是明显优于三角形单元的，但对于球形模型的表面电场积分计算不可避免极点处三角形网格的剖分，因此讨论极点处网格剖分情况以及多导体间极点位置即极轴的相对方向对仿真计算精度的影响意义重大。 3.1. 极点网格的选择 建立双球模型，球半径为1 m，间距为4 m，电压分别为+10 V、−10 V。以球半径为参照，对球面进行上下对称的不同程度分割。分割线如图6所示，以过球心水平圆周线为基准，由下到上水平分割线分别标记为：L1、L2、L3。L1为距离球心竖直高度0.5 m即半径1/2处圆周线；L2为距离球心竖直高度0.75 m即半径3/4处圆周线；L3为距离球心竖直高度0.875 m即半径7/8处圆周线。 图6. L1-L3分割示意图 根据3条分割线划定不同的球面极点处三角形网格剖分范围，将剖分单元及节点数据代入曲面边界元法进行计算。 以L1及其下方对称线为分割线，对球面分割成三部分，上下包含两极点的曲面用三角形网格剖分，中间曲面用四边形网格剖分，为研究网格密度对精度的影响，在L1为分割线情况下建立5种不同网格密度模型，各模型网格参数如表2所示，各模型计算结果如表3所示。 Table 2 Model parameters in L 模型编号 上下曲面三角形单元个数 中间曲面四边形单元个数 总单元个数 1 32 80 112 2 40 144 184 3 192 192 384 4 640 576 1216 5 1728 576 2304 表2. L1分割线下单球面不同密度网格剖分模型参数 Table 3 Calculation results in L 模型 编号 最大电场强度 (V/m) 最小电场强度 (V/m) 表面电荷量 (pC) 计算时间 (s) 1 14.736 10.498 1347.648 3 2 13.627 10.917 1344.040 10.1 3 13.633 10.809 1341.756 30 4 13.449 10.884 1338.681 204 5 13.421 10.924 1338.547 900 表3. L1分割线下单球面曲面边界元计算结果 选取规则曲面三角形网格剖分球面，单球面网格数5168的双球模型计算结果作为基准解分析误差。基准解计算时间为40 min，表面总电荷量为1336.497 pC，最大场强值为13.431 V/m，最小场强值为11.145 V/m，单球场强云图如图7所示。 图7. 基准解电场云图 根据最大场强、最小场强、电荷量计算模型相对误差，结果如图8所示。 图8. 模型相对误差图 由图8可知，模型1、2三角形网格密度情况相似，四边形网格密度差距近一倍，计算最大相对误差减小近百分之八；模型4、5为四边形剖分情况相同而三角形剖分密度差距近3倍，计算精度差距不大，最大误差均控制在百分之二以内。可得结论，在三角形剖分区域相同的情况下，三角形网格密度对仿真计算结果影响不大，四边形网格密度对计算精度的影响较大。 模型2在三个衡量数值结果中较有优越性，图9为模型2、模型3场强云图。 图9. 模型2、模型3场强云图 显然模型3场强分布优于模型2，且与基准解场强云图差别较小，模型3的三个最大误差在百分之四以内，保证了误差较小情况下网格数量尽可能减少。 进一步缩小球面三角形单元剖分区域，以L2为分割线，分割方法同L1，将球面分成上中下三个部分，建立不同网格密度模型3个，参数如表4所示，曲面边界元计算结果如表5所示。 Table 4 Model parameters in L 模型编号 上下曲面三角形单元个数 中间曲面四边形单元个数 总单元个数 1 32 144 176 2 112 288 400 3 192 288 480 表4. L2分割线下单球面不同密度网格剖分模型参数 Table 5 Calculation results in L 模型 编号 最大电场强度 (V/m) 最小电场强度 (V/m) 表面电荷量 (pC) 计算时间 (s) 1 15.242 10.302 1348.327 8 2 14.114 10.689 1342.072 27.5 3 13.973 10.683 1342.007 37.4 表5. L2分割线下单球面曲面边界元计算结果 由表5与表3对比可知，在三角形及四边形网格密度均情况近似的情况下，以L2为分割线划分三角形剖分区域的网格计算结果比以L1为分割线计算结果误差大，且差距明显，尽管缩小了计算时间，但计算误差并未随四边形网格划分区域增大而减小。 进一步缩小球面三角形单元剖分区域，以L3为分割线，分割方法同L1、L2，建立不同网格密度模型2个，参数如表6所示，曲面边界元计算结果如表7所示。 Table 6 Model parameters in L 模型编号 上下曲面三角形单元个数 中间曲面四边形单元个数 总单元个数 1 32 128 160 2 112 256 368 表6. L3分割线下单球面不同密度网格剖分模型参数 Table 7 Calculation results in L 模型 编号 最大电场强度 (V/m) 最小电场强度 (V/m) 表面电荷量 (pC) 计算时间 (s) 1 14.736 10.498 1348.379 9 2 14.039 10.574 1342.360 28 表7. L3分割线下单球面曲面边界元计算结果 对比L3分割下模型2与L1分割下模型3计算结果，在网格密度近似的情况下，L3分割情况下计算时间减少了2 s，但计算误差较L1情况下模型3更大。 因此可以进一步得出结论，球形曲面边界元仿真计算精度受四边形网格影响更大，在四边形剖分区域固定的情况下，网格密度越大计算精度越好；对于整体球面剖分，并非四边形剖分区域越大计算精度越好，取极点到球心方向1/2处圆周为分割线，将球面对称分为上中下三个曲面，上下曲面三角形剖分，中间曲面四边形剖分，计算精度最好。 对于工程实际应用，给出L1分割线下模型3作为球形电极仿真计算网格剖分参考规范，可以保证误差控制在百分之四以内的精度下，计算时间仅30 s左右，相比于边界元和有限元仿真计算节省了10 min以上计算时间及几千的网格数目。 3.2. 极点位置的选择 多个球导体进行电场计算时涉及到每个球表面的网格剖分，则球之间的极点位置选择即极轴间夹角度数对边界元仿真计算是否有影响，在目前已公开的研究中未有涉及。进一步推动边界元算法在工程实际中的应用，需要给出球间极轴夹角对边界元计算的影响。 按照不同极轴夹角及球心与极轴夹角建立三个双球模型如图10所示。 图10. 改变角度模型图 由于球体间电容数值与球的相对摆放位置无关，仅与球间距有关，可以利用电容数值作为基准值计算仿真结果的误差。建立图9三个双球模型，假设与地面相距无限远情况下，双球间距4 m，球半径1 m，电压+10 V、−10 V。按照3.1节中给出的网格剖分模型简化计算结果如表8所示。 Table 8 Calculation results of model 模型 编号 最大电场强度 (V/m) 最小电场强度 (V/m) 单球表面电荷量 (pC) 电容数值 (pF) 1 18.1681 −18.1682 1499.494 149.95 2 18.3379 −18.1766 1499.648 149.96 3 18.033 −18.033 1499.747 149.97 表8. 不同模型曲面边界元计算结果 由表8可知，双球系统在三种不同极轴角度下计算结果差距不大，误差在百分之一以内，可以得出结论：静电场球坐标系下曲面边界元数值计算中，对球形电极的网格剖分只与网格的选择和密度有关，与球间极轴相对角度无关，剖分时可以不考虑极点位置选择的影响。