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user: 2. 基于改进的主成分分析方法的综合评价模型 本文主要围绕9个关于本科教育质量的衡量指标建立综合评价模型，并进行进一步的分析与处理。主要涉及到数据的搜集和量化，综合评价模型的建立，指标的合理删除，关键指标的确定以及政策建议等五个方面。 2.1. 指标选取及量化处理 在查阅相关文献 [ 1 ] 以及百度百科 [ 2 ] [ 3 ] 的基础上，我们制定了如下的量化处理表1。 Table 1 Index quantization processing tabl 1.本科院校数量 量化处理方式 计算依据 备注 原数据 均值化 本科生院校数量用各个市本科院校数量作为计算依据 a) 本科院校指进行本科教育的高等院校，分为公办本科院校和民办本科院校。 b) 中国大陆局部地区将本科院校分为一本、二本、三本，也有局部地区将一本称为第一批本科，二本、三本则合称为第二批本科。 2.招生人数 量化处理方式 计算依据 备注 原数据 均值化 招生人数数量用各个市本科院校的招生数量作为计算依据 无 3.师资队伍与结构 量化处理方式 计算依据 备注 原数据 比值法 系数法 均值化 采用每市高级职称(含副高)的专任教师标准人数与中级及以下人数的比值作为计算依据 a) 专任教师：具有教师资格、专门从事教学工作的人员，即：这些人员一是要具有高等教育教师资格证书，二是要在统计的时段承担教学工作。 b) 每市高级职称(含副高)的专任教师标准人数：“985”院校的高级职称(含副高)的专任教师人数乘于1.5；“211”院校或省重点院校的高级职称(含副高)的专任教师人数乘于1；其他乘于0.8； c) 三者总和为每市高级职称(含副高)的专任教师标准人数。 4.生师比 量化处理方式 计算依据 备注 原数据 比值法 系数法 均值化 一致化 以每市本科院校在校大学生的标准人数量作为“生”的计算依据，以每个市本科院校专任教师人数作为“师”的计算依据，二则之比就是“生师比”的计算依据。 每市本科院校在校大学生的标准人数： a) 每市本科院校在校大学生本科生的人数； b) 每市本科院校在校大学生研究生的人数乘于1.5； c) 每市本科院校成人教育大学生的人数乘于0.1； d) 三者总和为每市本科院校在校大学生的标准人数。 5.教学条件与利用 量化处理方式 计算依据 备注 指标细化 项目打分 平均值法 均值化 收集每市各本科院校当年教学评估情况，分别取其平均值，再与省平均水平作比较作为打分依据，分为高，中，低三个水平：高(8~10分)；中(6~7分)；低(3~4分)，总分作为该每市该指标的情况。 对该指标用打分的方式进行评估，打分项目分以下五项： a) 生均教学科研仪器设备值 b) 实验室，实习场及其设备的完善度 c) 生均藏书量和生均年进书量 d) 网络教学资源的利用程度 e) 教学经费投入 6.专业建设与利用 量化处理方式 计算依据 备注 指标细化 项目打分 平均值法 均值化 收集每市各本科院校当年教学评估情况，分别取其平均值，再与省平均水平作比较作为打分依据，分为高，中，低三个水平：高(8~10分)；中(6~7分)；低(3~4分)，总分作为该每市该指标的情况。 对该指标用打分的方式评估，打分项目分为以下三项： a) 专业结构的合理性 b) 培养方案执行情况 b) 老师教学改革的实施情况 d) 学生对教学的满意度 7.学生就业 量化处理方式 计算依据 备注 原数据 平均值法 均值化 当年每市各本科院校年终就业率的平均值作为计算依据 无 8.科研投入与产出 量化处理方式 计算依据 备注 原数据 比值法 系数法 均一化 均值化 采用当年每市各本科院校的科研投入资金(要进行均一化处理)与当年均一化后的每市各本科院校的科研获奖的标准数量以及发表文章数量的比值的倒数 各本科院校的科研获奖的标准数量： a) 国家级奖项数量乘于5； d) 省部级奖项数量乘于3； c) 市级奖项数量乘于1； d) 三者之和为各本科院校的科研获奖的标准数量 9.双一流学科建设 量化处理方式 计算依据 备注 原数据 均值化 统计各个市双一流学科建设数量作为计算依据 无 表1. 指标量化处理表 2.2. 数据初步分析 搜集到足够且有效的数据后 [ 4 ] 按照表1对数据做了一些量化处理，我们从原始数据的均值、方差、相关性分析以及作图等方面进行数据分析。 Table 2 Sum， mean and variance of data of each index numbe x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 总和 49.00 241853.00 12.24 217.59 434.00 222.00 12.46 13.85 43.00 平均值 3.77 18604.08 0.94 16.74 33.38 17.08 0.96 1.07 3.31 方差 41.85 5.9 × 10 8 0.13 6.58 51.09 20.74 0.0017 0.0665 109.2 表2. 各指标数数据的求和，均值和方差 由表2中的平均值和方差均可看出，各个指标的数据不在一个数量级，因此下面模型建立的时候要对这些数据进行无量纲化处理。 Table 3 The correlation coefficient matrix of the original data of each inde 表3. 各指标原始数据的相关系数矩阵 由表3可知本科院校数量和招生人数，教学条件与利用和科研投入与产出，本科院校数量和双一流学科建设的相关性较强。 接下里，我们用Excel做出各市在不同指标的比较图，由于篇幅原因以及绘图简单，这里不再给出。而从图中可以看出，南京在本科院校数量上有绝对的优势，师资队伍和师资结构上有较大优势，并且其生师比例在13个市中也是比较低(也低越好)，所以从这些数据直观上来看南京的本科教学质量在十三个市中是很高的。 假设进行主成分分析的指标变量有m个(这里，m = 9)，分别为 x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x m ，共有n个评价对象(这里n = 13)，第i个评价对象的第j个指标的取值为a ij ，由此构成矩阵 A = ( a i j ) n × m 。传统主成分分析的步骤为： 1) 对原始数据进行标准化处理，将各指标值a ij 转化为标准化指标值 a i j * ，得到矩阵A * a i j * = a i j − a ¯ j s j ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ;   j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 其中， a ¯ j = 1 n ∑ i = 1 n a i j ; s j = 1 n − 1 ( a i j − a j ) 2 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ，分别为第j个指标的样本均值和样本标准差。 2) 计算A * 的样本协方差矩阵S。 3) 求出S的特征值为 λ 1 ≥ λ 2 ≥ ⋯ ≥ λ m ≥ 0 ，相应于 λ i 的正交化单位特征向量为 v i = [ v i 1 ， v i 2 ， ⋯ ， v i m ] ，则A * 的第i个主成分为 y i = v i x ，其中x为m维观测向量，即 x = [ x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x m ] T ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 。 4) 选择主成分，计算综合评价值。 a) 计算特征值 λ i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 的信息贡献率b i 。其中 b i = λ i ∑ j = 1 m λ i ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m (2.1) b) 累积贡献率β k 足够大(一般取β k = 0.85， 0.90， 0.95)时，则选择前k个主成分。其中 β k = ∑ i = 1 k λ i ∑ i = 1 m λ i ，     k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m (2.2) c) 最后计算出综合得分，并据此进行测评 G = ∑ i = 1 k b i y i (2.3) 2.3. 基于改进的主成分分析方法的评价模型的建立 下面针对传统主成分分析的两个误区进行改进 [ 5 ]。 2.3.1. 原始数据的预处理方法的改进1——原始数据的均值化 在实际应用主成分分析时，为了消除变量的量纲或数量级影响，需要对原始数据标准化，但同时也去除了各变量变异程度的差异信息。为了解决这一问题，有学者提出数据的均值化处理方法 [ 6 ]，即用各指标的均值除相应的原始数据，令 c i j = a i j a ¯ j ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ;   j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m (2.4) 于是得到均值化矩阵 C = ( c i j ) n × m 。可以证明，均值化处理不改变各指标间的相关系数，均值化后的协方差矩阵不仅消除了指标量纲或数量级的影响，还能包含原始数据的全部信息，因此这里应用主成分分析时，使用均值化处理对原始数据进行预处理，也就是，将其中传统主成分分析的步骤里的矩阵A * 换成均值化矩阵C即可。 2.3.2. 原始数据的预处理方法的改进2——数据的一致化处理 在9个指标中，存在两种类型的数据，一种是“正比型”，即数据的量化值越大，代表该市本科教育质量越好，比如教学条件与利用、双一流学科建设等指标，而另一种“反比型”则相反，量化值越大，说明教育质量越差，如生师比，科研投入与产出等指标。因此，为了方便对这两种数据同时进行主成分分析，我们将数据进行一致化处理，将全部数据都转化成“正比型”。 按照前面数据的量化处理方式，9个指标中，量化值是“反比型”的指标只有生师比。对于这个指标，令 c i j * = max ( c j ) − c i j (2.5) 其中，max(c j )是第j个指标中的最大值。而其余指标的数据不变，即 c i j * = c i j 于是得到均值化矩阵C的一致化矩阵C * ，实际处理时，将6.2.1中主成分分析的步骤里的矩阵C换成均值化矩阵C * 即可。 2.3.3. 综合评价方法的改进——熵值法 传统的主成分分析中，使用各主成分的方差贡献率作为权重，这显然带有主观成分 [ 7 ]。假设提取了r个主成分，经过计算各个样本在这r个主成分的得分，可得到具有n个样本，m项指标的主成分得分矩阵 D = ( d i j ) n × r 。为得到更合适更客观的综合评价，可以采用熵值法进行改进。若某个变量的信息熵越小(大)，就表明该变量的变异程度越大(小)，在评价中的作用越大(小)，权重也越大(小)。熵值法的计算步骤是： a) 计算第j个主成分下第i个样本的比重： p i j = d i j ∑ i = 1 n d i j ， (2.6) b) 计算第j个主成分的熵值： e j = − 1 ln n ∑ i = 1 n p i j ln p i j ， (2.7) c) 计算第j个主成分的权重： b j * = 1 − e j ∑ j = 1 r ( 1 − e j ) ， (2.8) d) 计算样本的综合值： G = ∑ j = 1 r b j * y j ，最后按综合值对样本进行排序即可。 在第1步中，为防止矩阵中有的数据为负，可以将所有数据加上一个最小负数的绝对值， 这样平移不会改变结果，然后按平移后的矩阵进行上述的步骤。 至此，已经建立了基于改进的主成分分析方法的综合评价模型，下面应用该评价模型，对江苏省13个地级市的本科教育质量进行评估，并给出排名。 2.4. 模型应用——江苏省地级市的本科教育质量的评估与排名 按照前文中建立的改进的主成分分析模型，利用搜集的数据，分别计算常州、淮安、连云港、南京、南通、宿迁、苏州、泰州、无锡、徐州、盐城、扬州、镇江的本科教育质量的综合得分。 首先，利用Matlab软件对9个指标进行改进的主成分分析，相关系数矩阵的前几个特征根及其贡献率见表4。 Table 4 Improved principal component analysis result 序号 特征根 贡献率 累积贡献率 序号 特征根 贡献率 累积贡献率 1 5.56 61.7419 61.7419 4 0.51 5.6714 94.7803 2 1.53 17.0591 78.8010 5 0.40 4.4791 99.2594 3 0.93 10.3079 89.1089 6 0.05 0.5284 99.7878 表4. 改进主成分分析结果 可以看出，前4个特征根的累积贡献率就达到了94.5%以上，主成分分析效果很好。下面选取前4个主成分进行综合评价。前4个特征根对应的特征向量见表5。 Table 5 The eigenvectors corresponding to the first four principal components of the meanized variabl y 1 y 2 y 3 y 4 x 1 0.3847 0.0562 0.4033 0.2006 x 2 0.4085 −0.0541 0.1992 0.1946 x 3 0.2805 0.3572 −0.3175 −0.1959 x 4 −0.0352 0.6718 0.3392 −0.5654 x 5 0.3839 −0.1899 −0.2127 −0.3650 x 6 0.4002 −0.1518 −0.1877 −0.0653 x 7 0.1266 0.5688 −0.4885 0.5296 x 8 −0.3838 0.1426 0.2240 0.2928 x 9 0.3666 0.1097 0.4611 0.2454 表5. 均值化变量的前4个主成分对应的特征向量 注：y i 代表第i个主成分，x j 代表示表1中第二指标列自上至下第j个指标。 接着按照上文对改进主成分分析方法的论述，可得到主成分得分矩阵D、熵值以及权重，见表6。 Table 6 Principal component score matri 常州市 淮安市 连云港市 南京市 南通市 y 1 1.9243 1.5227 1.1789 10.7917 1.3875 y 2 1.8575 1.9409 2.1669 3.5173 2.2467 y 3 0.2204 0.1948 0.1494 8.2940 0.0184 y 4 0.3889 0.4669 0.2760 4.6638 0.3488 宿迁市 苏州市 泰州市 无锡市 徐州市 y 1 0.9771 2.7865 1.0093 2.1341 3.1413 y 2 1.7562 2.0624 2.2692 2.3137 1.2751 y 3 0.1480 0.3289 0.2640 0.2408 0.3274 y 4 0.6401 0.4106 0.1442 0.1570 1.1795 盐城市 扬州市 镇江市 熵值s 权重b * y 1 1.5108 1.4076 1.7602 1.6115 0.4097 y 2 1.6902 2.4767 2.4184 1.8309 0.5567 y 3 0.2852 0.0100 0.2866 0.7720 −0.1528 y 4 0.4387 0.0724 0.0100 1.2781 0.1863 表6. 主成分得分矩阵 由此可构建基于改进的主成分分析方法的综合评价模型，即 G = ∑ i = 1 r b i * y i = 0.4097 y 1 + 0.5567 y 2 − 0.1528 y 3 + 0.1863 y 4 (2.9) 将各城市的4个主成分值代入上式，可以得到各城市本科教育质量的综合评价值以及排序结果，见表7和图1。 Table 7 The comprehensive evaluation value and ranking result of undergraduate education quality in each cit 南京 徐州 苏州 无锡 南通 扬州 镇江 常州 淮安 连云港 宿迁 盐城 泰州 得分 0.1870 0.0854 0.0809 0.0735 0.0695 0.0689 0.0671 0.0667 0.0651 0.0619 0.0585 0.0581 0.0574 排名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 表7. 各城市本科教育质量的综合评价值和排序结果 图1. 各城市本科教育质量的综合评价值和排序结果图 从上面我们可以看出，南京市以0.1870的得分位列本科教学质量城市的第一位，且与排名第二的徐州市相比有较大领先优势，分差大于0.1，说明南京市的本科教学质量很好，而实际上也的确如此。从这里的理论排名和实际情况的比较中，我们也可以发现，基于改进的主成分分析方法建立的评级模型具有较好的合理性、准确性和客观性，将该模型作为评估城市本科教学质量的工具有其实际意义。