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user: 2. 基本模型 2.1. 模型描述 本文考虑由一个制造商和一个零售商所组成的供应链，制造商采购原材料生产产品，然后将其批发给零售商，因制造商生产产品的规模已达到一定程度，受资源的限制，其产品产量增加的比例小于成本增加的比例，即出现规模不经济；零售商获得产品后将其销售给消费者；制造商和零售商之间存在着斯塔克博格博弈关系，且制造商为领导者，零售商为跟随者；制造商和零售商之间为完全信息，且两者均为风险中性成员。 2.2. 模型假设及符号说明 类似Ha等 [ 1 ] 对生产存在规模不经济行为的表述方式，假设制造商生产产品的总成本为 c m = 1 2 b q 2 。 其中， b 代表规模不经济的弹性系数，其大小代表规模不经济程度， q 代表制造商生产产品数量，假设供需相等，则 q 也为零售商处面临的产品市场需求，易知在任何正的生产水平 q 上，生产的边际成本 b q 为正；制造商销售产品给零售商的单位批发价格为 w (制造商的决策变量)；零售商销售产品的单位销售价格为 p (零售商的决策变量)；零售商面临的产品市场需求为 q = ϕ − β p 。 基于以上假设及符号说明可得制造商、零售商和供应链的利润函数分别为： Π m d ( w ， q ) = w q − c m (1) Π r d ( w ， q ) = p q − w q (2) Π c ( q ) = p q − c m (3) 2.3. 集中式决策模型 本节讨论供应链中的制造商和零售商均已供应链利润最大化为决策目标，将此时供应链中的制造商和零售商的决策称为集中式决策。可得命题1： 命题1在集中式决策供应链中，产品的单位销售价格为 p c * = ϕ ( β b + 1 ) β ( β b + 2 ) 时，销售量为 q c * = ϕ β b + 2 ，整个供应链获得最优利润为 Π c * = ϕ 2 β ( β b + 2 ) 2 。 证明因为 ∂ Π 2 ( q ) ∂ q 2 = − ( 2 β + b ) < 0 ，故 Π ( q ) 存在关于 q 的极大值点。 令 ∂ Π ( q ) ∂ q = 0 ，可得： q c * = ϕ β b + 2 。 此时易得： p c * = ϕ ( β b + 1 ) β ( β b + 2 ) 。 故集中式决策供应链获得最优利润为 Π c * = ϕ 2 2 β ( β b + 2 ) 。 命题1得证。 由命题1易知， b 越大，产品的单位销售价格越高，产品的销售量越少，供应链的利润越少。 2.4. 分散式决策模型 本节讨论供应链中的制造商和零售商均为独立决策的理性人，两者均以自身利润最大化为决策目标，将此时供应链中的制造商和零售商的决策称为分散式决策。考虑制造商和零售商之间存在着斯塔克博格博弈关系，且制造商为领导者，其会率先决策产品的单位批发价格，零售商在观测到制造商的决策后，决策产品的单位销售价格。利用逆向归纳法可得命题2： 命题2在分散式决策供应链中，产品的单位批发价格为 w d * = ϕ ( β b + 2 ) β ( β b + 4 ) ，产品的单位销售价格为 p d * = ϕ ( β b + 3 ) β ( β b + 4 ) 时，销售量为 q d * = 2 ϕ b β + 4 ，制造商获得最优利润为 Π m d * = 4 ϕ 2 β ( β b + 4 ) 2 ，零售商获得最优利润为 Π r d * = ϕ 2 β ( β b + 4 ) 2 ，整个供应链获得最优利润为 Π d * = 5 ϕ 2 β ( β b + 4 ) 2 。 证明因为制造商和零售商之间存在着斯塔克博格博弈关系，且制造商为领导者，故利用逆向归纳法求解。 第一步，分析零售商的决策。 因为 ∂ Π r d 2 ( w ， p ) ∂ p 2 = − 2 β < 0 ，故 Π r d ( w ， p ) 存在关于 p 的极大值点。 令 ∂ Π r d ( w ， p ) ∂ p = 0 ，可得： p * ( w ) = ϕ + β w 2 β 。 此时易得： q * ( w ) = ϕ − β w 2 。 第二步，分析制造商的决策。 将 q * = ϕ − β w 2 带入制造商的利润函数 Π m d ( w ， q ) 可得： Π m d ( w ， q * ) = Π m d ( w )                             = − b β 2 + 4 β 8 w 2 + b β ϕ + 2 ϕ 4 w − b ϕ 2 8 (4) 由(4)式可知 ∂ Π m d 2 ( w ， q ) ∂ w 2 = − β ( β b + 4 ) 4 < 0 ，故 Π m d ( w ， q ) 存在关于 w 的极大值点。 令 ∂ Π m d ( w ， q ) ∂ w = 0 ，可得： w d * = ϕ ( β b + 2 ) β ( β b + 4 ) 。 第三步，将 w d * 分别带入 p * ( w ) 和 q * ( w ) 可得： q d * = ϕ b β + 4 ， p d * = ϕ ( β b + 3 ) β ( β b + 4 ) 。 故制造商获得最优利润为 Π m d * = ϕ 2 ( β b + 2 ) 2 β ( β b + 4 ) 2 ，零售商获得最优利润为 Π r d * = ϕ 2 β ( β b + 4 ) 2 ，整个分散式决策供应链获得最优利润为 Π d * = ϕ 2 2 β ( β b + 4 ) 。 命题2得证。 由命题2易知， b 越大，制造商给零售商产品的单位批发价格越高、零售商处产品的单位销售价格也越高，产品的销售量越少，制造商和零售商的利润越少。 结论1集中式决策和分散式决策供应链存在如下关系： p c * < p * ， q c * > q d * ， Π c * > Π d * 。 证明 p c * − p d * = ϕ ( β b + 1 ) β ( β b + 2 ) − ϕ ( β b + 3 ) β ( β b + 4 ) = − 2 ϕ β ( β b + 2 ) ( β b + 4 ) < 0 ； q c * − q d * = ϕ β b + 2 − ϕ b β + 4 = 2 ϕ β b + 2 > 0 ； Π c * − Π d * = ϕ 2 2 β ( β b + 2 ) − ϕ 2 2 β ( β b + 4 ) = 2 ϕ 2 2 β ( β b + 2 ) ( β b + 4 ) > 0 。 结论1得证。 由结论1可知，相比较集中式决策供应链，分散式决策供应链中产品的销售价格过高，产品的市场需求较低，故系统的利润较低，这是因为分散式决策成员的利己行为产生的“双重边际效应”问题。因此，解决该问题提高分散式决策供应链的运营效率就成为必然。 2.5. 收益共享契约协调模型 定义1如果契约使集中式决策供应链的最优决策行为构成各交易企业的一个纳什均衡，且每个企业均没有意愿偏离该纳什均衡，则称该契约能够协调供应链。 引理1如果契约协调使零售商的利润函数是集中式决策供应链利润函数的仿射函数(线性函数)，即 Π r = η Π c + A ，其中， 0 < η < 1 ， A 为任意的常数，则该契约能够协调供应链。 本节设计的收益共享契约 的协调机理为：制造商以单位批发价格 向零售商批发产品，零售 商将产品销售后向制造商转移 部分的销售收益。其中， 为收益共享比例。因此，在收益共享契约 的协调下，制造商和零售商的利润函数分别为： (7) (8) 命题4收益共享契约 中的参数取值满足 关系时，其能够协调分散式决策供应链，且制造商和零售商可在区间 内通过讨价还价确定收益共享比例 的值分配系统的最优利润。 证明收益共享契约 中的参数取值满足 等关系时，该契约协调下的零售商的利润函数为： (9) 通过上式可以看出，零售商的利润函数为集中式决策供应链利润函数的仿射函数。因此，由引理1可知，收益共享契约 协调了分散式决策供应链。此时，制造商和零售商的利润函数分别为： (10) (11) 制造商和零售商参与收益共享契约必须满足参与约束，即两者在收益共享契约 的协调下所获得的利润不能少于分散式决策下各自获得的利润，故应有 且 。可得： 。 命题4得证。 由命题4易知， 越大，契约协调下制造商给零售商产品的单位批发价格越高，且零售商可分配的利润空间也越小。