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user: 3. B ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) 的HOMFLY多项式计算 定理1 B ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ︷ n ) = ∑ i = 1 i = n − 1 α n − i [ ( m 3 − 2 m ) ( l − 1 + l ) ] i − 1 ( 1 − m 2 ) 2 + [ ( m 3 − 2 m ) ( l − 1 + l ) ] n − 1 B ( 0 ) 。 证明： 1) 计算 B ( 0 ) 设 T ( s i ) 是一个排叉结 [ 5 ]，其中 s i 是具有 i = n 个半扭转的横向排列，当 s i > 0 时表示正的半扭转，当 s i < 0 时表示负的半扭转。其中当 i = 0 时， T ( s 0 ) = − ( l + l − 1 ) m − 1 = α ；当 i = 1 时， T ( s 1 ) = P ( Ο ) = 1 。如图5所示。 图5. 排叉结 T ( s i ) 和扭转 s i 现把 B ( 0 ) 的投影图看成两个排叉结 T ( s 3 < 0 ) 和 T ( s 3 > 0 ) 作连通和得到的，给定方向，如图6所示。 应用HOMFLY多项式的拆接关系，拆接 T ( s 3 > 0 ) 中半扭转的最右侧交叉点，整理可得： T ( s 3 > 0 ) = − 2 l 2 − l 4 + m 2 l 2 (3.1) 而 T ( s 3 < 0 ) 的投影图是 T ( s 3 > 0 ) 投影图的镜像的反定向，将 T ( s i > 0 ) 的HOMFLY多项式中的 l 替换为 l − 1 可得到 T ( s i < 0 ) ，即： T ( s 3 < 0 ) = − 2 l − 2 − l − 4 + m 2 l − 2 (3.2) 图6. T ( s 3 < 0 ) 和 T ( s 3 > 0 ) 作连通和得到 B ( 0 ) 则 B ( 0 ) = T ( s 3 > 0 ) T ( s 3 < 0 ) = ( − 2 l 2 − l 4 + m 2 l 2 ) ( − 2 l − 2 − l − 4 + m 2 l − 2 ) (3.3) 2) 计算 B ( 0 ， 0 ) 按照HOMFLY多项式的拆接关系，我们将 B ( 0 ， 0 ) 拆接为方便计算的链环，如图7所示。 图7. B ( 0 ， 0 ) 的拆接关系式 对 B ( 0 ， 0 ) 拆接右上角交叉点后得到 B ( ∗ ∗ ) 和 B ( ∗ ) 两个链环，得到拆接关系式： l B ( 0 ， 0 ) + l − 1 B ( ∗ ∗ ) + m B ( ∗ ) = 0 (3.4) 显然不容易直接计算，接下来拆接 B ( ∗ ∗ ) 右下角交叉点，如图所示，可以得到经过Reidemeister变换后的 T ( s 0 ) 和 B ( 0 ， − 2 ) 两个链环，得到如图8所示的拆接关系式： 图8. B ( ∗ ∗ ) 的拆接关系式 l − 1 B ( ∗ ∗ ) + l T ( s 0 ) + m B ( 0 ， − 2 ) = 0 (3.5) 最后拆接 B ( ∗ ) 右上角交叉点，如图所示，我们可以得到经过Reidemeister变换后的 B ( 0 ) # T ( s 3 > 0 ) 和 B ( ∗ ∗ ) 两个链环，得到如图9所示的拆接关系式： 图9. B ( ∗ ) 的拆接关系式 l B ( ∗ ) + l − 1 B ( 0 ) T ( s 3 > 0 ) + m B ( ∗ ∗ ) = 0 (3.6) 整理 B ( 0 ， 0 ) 的拆接关系式(3.4)~(3.6)得到方程组： { l B ( 0 ， 0 ) + l − 1 B ( ∗ ∗ ) + m B ( ∗ ) = 0 l − 1 B ( ∗ ∗ ) + l α + m B ( 0 ， − 2 ) = 0 l B ( ∗ ) + l − 1 B ( 0 ) T ( s 3 > 0 ) + m B ( ∗ ∗ ) = 0 化简方程组得到： B ( 0 ， 0 ) = α ( 1 − m 2 ) + m l − 3 B ( 0 ) T ( s 3 > 0 ) + m l − 1 ( 1 − m 2 ) B ( 0 ， − 2 ) (3.7) 3) 计算 B ( 0 ， − 2 ) 按照拆接关系，拆接 B ( 0 ， − 2 ) 右下角的交叉点，得到如图10所示的拆接关系式： 图10. B ( 0 ， − 2 ) 的拆接关系式 l − 1 B ( 0 ， − 2 ) + l B ( 0 ) + m α = 0 则 l − 1 B ( 0 ， − 2 ) = − l B ( 0 ) − m α B ( 0 ， − 2 ) = − l 2 B ( 0 ) − m l α (3.8) 4) 计算 B ( 0 ， 0 ， 0 ) 按照2)中 B ( 0 ， 0 ) 的拆接方法，拆接右侧的交叉点，得到 B ( 0 ， 0 ， 0 ) 的拆接关系式，整理关系式得到方程组： { l B ( 0 ， 0 ， 0 ) + l − 1 B ( 0 ， ∗ ∗ ) + m B ( 0 ， ∗ ) = 0 l − 1 B ( 0 ， ∗ ∗ ) + l α 2 + m B ( 0 ， 0 ， − 2 ) = 0 l B ( 0 ， ∗ ) + l − 1 B ( 0 ， 0 ) T ( s 3 > 0 ) + m B ( 0 ， ∗ ∗ ) = 0 化简方程组得到： B ( 0 ， 0 ， 0 ) = α 2 ( 1 − m 2 ) + m l − 3 B ( 0 ， 0 ) T ( s 3 > 0 ) + m l − 1 ( 1 − m 2 ) B ( 0 ， 0 ， − 2 ) (3.9) 5) 计算 B ( 0 ， 0 ， − 2 ) 按照3)中 B ( 0 ， − 2 ) 的拆接方法，同样拆接 B ( 0 ， 0 ， − 2 ) 右侧的交叉点，得到 B ( 0 ， 0 ， − 2 ) 的拆接关系式： l − 1 B ( 0 ， 0 ， − 2 ) + l B ( 0 ， 0 ) + m α 2 = 0 则 l − 1 B ( 0 ， 0 ， − 2 ) = − l B ( 0 ， 0 ) − m α 2 B ( 0 ， 0 ， − 2 ) = − l 2 B ( 0 ， 0 ) − m l α 2 (3.10) 6) 计算 B ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) 按照2)和4)中的方法，对 B ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) 拆接右上角的交叉点后得到 B ( 0 ， ⋯ ， ∗ ∗ ) 和 B ( 0 ， ⋯ ， ∗ ) 两个链环，得到如图11所示的拆接关系式： 图11. B ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) 的拆接关系式 l B ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) + l − 1 B ( 0 ， ⋯ ， ∗ ∗ ) + m B ( 0 ， ⋯ ， ∗ ) = 0 (3.11) 拆接 B ( 0 ， ⋯ ， ∗ ∗ ) 右下角交叉点，得到经过Reidemeister变换后的 P ( Ο ∪ Ο ∪ ⋯ ∪ Ο ) 和 B ( 0 ， ⋯ ， − 2 ) ，其中 P ( Ο ∪ Ο ∪ ⋯ ∪ Ο ) = α n − 1 表示有n个平凡纽结并在一起的HOMFLY多项式，得到如图12所示的拆接关系式： 图12. B ( 0 ， ⋯ ， ∗ ∗ ) 的拆接关系式 l − 1 B ( 0 ， ⋯ ， ∗ ∗ ) + l α n − 1 + m B ( 0 ， ⋯ ， 0 ， − 2 ) = 0 (3.12) 最后拆接 B ( ∗ ) 右上角交叉点，如图所示，得到经过Reidemeister变换后的 B ( 0 ， ⋯ ， 0 ) # T ( s 3 > 0 ) 和 B ( 0 ， ⋯ ， ∗ ∗ ) 两个链环，其中 B ( 0 ， ⋯ ， 0 ) # T ( s 3 > 0 ) 中的 B ( 0 ， ⋯ ， 0 ) 是由 n − 1 个单位元素 B ( 0 ) 构成，得到如图13所示的拆接关系式： 图13. B ( 0 ， ⋯ ， ∗ ) 的拆接关系式 l B ( 0 ， ⋯ ， ∗ ) + l − 1 B ( 0 ， ⋯ ， 0 ) # T ( s 3 > 0 ) + m B ( 0 ， ⋯ ， ∗ ∗ ) = 0 (3.13) 整理 B ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) 的拆接关系式(3.11)~(3.13)，得到方程组： { l B ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) + l − 1 B ( 0 ， ⋯ ， ∗ ∗ ) + m B ( 0 ， ⋯ ， ∗ ) = 0 l − 1 B ( 0 ， ⋯ ， ∗ ∗ ) + l α n − 1 + m B ( 0 ， ⋯ ， 0 ， − 2 ) = 0 l B ( 0 ， ⋯ ， ∗ ) + l − 1 B ( 0 ， ⋯ ， 0 ) # T ( s 3 > 0 ) + m B ( 0 ， ⋯ ， ∗ ∗ ) = 0 化简方程组得到： B ( 0 ， 0 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， 0 ︷ n ) = α n − 1 ( 1 − m 2 ) + m l − 3 B ( 0 ， 0 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， 0 ︷ n − 1 ) T ( s 3 > 0 ) + m l − 1 ( 1 − m 2 ) B ( 0 ， ⋯ ， 0 ︷ n − 1 ， − 2 ) (3.14) 其中 B ( 0 ， 0 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， 0 ︷ n ) 表示定义1中，n分支的Brunnian链环 B ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) 。其中 B ( 0 ， ⋯ ， 0 ︷ n − 1 ， − 2 ) 表示(3.12)拆接关系式中n − 1分支的Brunnian链环 B ( 0 ， ⋯ ， − 2 ) 。而按照(3)和(5)的方法拆接 B ( 0 ， ⋯ ， 0 ︷ n − 1 ， − 2 ) 右下角的交叉点，同理可得到： B ( 0 ， ⋯ ， 0 ︷ n − 1 ， − 2 ) = − l 2 B ( 0 ， 0 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， 0 ︷ n − 1 ) − m l α n − 1 (3.15) 把方程(3.1)和(3.15)代入(3.14)，得到： B ( 0 ， 0 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， 0 ︷ n ) = α n − 1 ( 1 − m 2 ) 2 + [ ( m − 3 − 2 m ) ( l − 1 + l ) ] B ( 0 ， 0 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， 0 ︷ n − 1 ) (3.16) 显然观察方程(3.16) B ( 0 ， 0 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， 0 ︷ n ) 的HOMFLY多项式，可知 B ( 0 ， 0 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， 0 ︷ n ) 与 B ( 0 ， 0 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， 0 ︷ n − 1 ) 有关，继续按照(6)中拆接方法，拆接 B ( 0 ， 0 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， 0 ︷ n − 1 ) 得到的HOMFLY多项式，可知 B ( 0 ， 0 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， 0 ︷ n − 1 ) 与 B ( 0 ， 0 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， 0 ︷ n − 2 ) 有关，重复拆接操作直到得到 B ( 0 ， 0 ) 与 B ( 0 ) 有关。因此按照递推的方法从 B ( 0 ) 可以推出 B ( 0 ， 0 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， 0 ︷ n ) 的计算公式。 综合方程(3.1)~(3.16)，整理化简可以得到方程组： { B ( 0 ) = ( − 2 l 2 − l 4 + m 2 l 2 ) ( − 2 l − 2 − l − 4 + m 2 l − 2 ) B ( 0 ， 0 ) = α ( 1 − m 2 ) 2 + [ ( m − 3 − 2 m ) ( l − 1 + l ) ] B ( 0 ) B ( 0 ， 0 ， 0 ) = α 2 ( 1 − m 2 ) 2 + [ ( m − 3 − 2 m ) ( l − 1 + l ) ] B ( 0 ， 0 )                                                                   ⋮ B ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ︷ n ) = α n − 1 ( 1 − m 2 ) 2 + [ ( m − 3 − 2 m ) ( l − 1 + l ) ] B ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ︷ n − 1 ) (3.17) 取 X = ( 1 − m 2 ) 2 ， Y = ( m − 3 − 2 m ) ( l − 1 + l ) ，令 a 1 = B ( 0 ) ， a 2 = B ( 0 ， 0 ) ， ⋯ ， a n = B ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ︷ n ) ，代入方程组(3.17)，整理得到通项公式： a n = ∑ i = 1 i = n − 1 α n − i Y i − 1 X + Y n − 1 a 1 综上所述，可以得到该类链环的HOMFLY多项式的计算公式，即 B ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ︷ n ) = ∑ i = 1 i = n − 1 α n − i [ ( m 3 − 2 m ) ( l − 1 + l ) ] i − 1 ( 1 − m 2 ) 2 + [ ( m 3 − 2 m ) ( l − 1 + l ) ] n − 1 B ( 0 ) 得证。