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user: 2. 预备知识 今考虑系统 { x ˙ 1 ( t ) = c 11 ( t ) x 1 ( t ) + c 12 ( t ) x 2 + b 11 ( t ) x 1 ( t − τ 11 ) + b 12 ( t ) x 2 ( t − τ 12 ) x ˙ 2 ( t ) = c 21 ( t ) x 1 ( t ) + c 22 ( t ) x 2 + b 21 ( t ) x 1 ( t − τ 21 ) + b 22 ( t ) x 2 ( t − τ 22 ) (1) 或记以下形式 { x ˙ 1 ( t ) = − a 11 ( t ) x 1 ( t ) + a 12 ( t ) x 2 + b 11 ( t ) [ x 1 ( t − τ 11 ) − x 1 ( t ) ] + b 12 ( t ) [ x 2 ( t − τ 12 ) − x 2 ( t ) ] x ˙ 2 ( t ) = a 21 ( t ) x 1 ( t ) − a 22 ( t ) x 2 + b 21 ( t ) [ x 1 ( t − τ 21 ) − x 1 ( t ) ] + b 22 ( t ) [ x 2 ( t − τ 22 ) − x 2 ( t ) ] (2) 式(2)不含时滞的线性时变系统为 x ˙ 1 ( t ) = − a 11 ( t ) x 1 ( t ) + a 12 ( t ) x 2 ， x ˙ 2 ( t ) = a 21 ( t ) x 1 ( t ) − a 22 ( t ) x 2 (3) 式(2)、(3)的孤立子系统为 x ˙ 1 ( t ) = − a 11 ( t ) x 1 ， x ˙ 2 ( t ) = − a 22 ( t ) x 2 (4) 其中 a i j ( t ) = c i j ( t ) + b i j ( t ) ， ( i ， j = 1 ， 2 ) 。设(1)的系数连续、有界、可微。 | c i j ( t ) | ≤ a 2 ， | b i j ( t ) | ≤ a 2 ， | a i j ( t ) | ≤ a ( i ， j = 1 ， 2 ， ∀ t ≥ t 0 ) (5) | a ˙ i j ( t ) | ≤ ε ( i ， j = 1 ， 2 ， ∀ t ≥ t 0 ) (6) E 1 = max t 0 ≤ t ≤ + ∞ [ | a 12 ( t ) | ， | a 21 ( t ) | ] ， τ = max ( τ i j ) ( i ， j = 1 ， 2 ) (7) a i i ( t ) ≥ a i > 0 ， ( i = 1 ， 2 ， ∀ t ≥ t 0 ) (8) 引理1：若(1)的系数连续有界可微，条件(5)、(6)、(8)成立，有 | a ˙ i j ( t ) | ≤ ε ( i ， j = 1 ， 2 ， ∀ t ≥ t 0 ) ，即线性时变子系统(4)的零解是渐近稳定的，存在 δ 2 > 0 ， δ 3 > 0 ， 当 E 1 < δ 2 时 ， 0 ≤ τ ≤ δ 2 时 ，则具有时滞的时变系数线性系统(2)的零解也是渐近稳定的。 设当 a i i ( t ) ≤ − a i < 0 ( a i > 0 ， i = 1 ， 2 ， ∀ t ≥ t 0 ) (9) 当 V 1 ( t ， x 1 ) = − a 11 ( t ) x 1 2 > 0 ， V 2 ( t ， x 2 ) = − a 22 ( t ) x 2 2 > 0 ，类似得到 V ˙ i ( 4 ) ≥ ( 2 a i 2 − ε ) x i 2 > 0 ， ( i = 1 ， 2 ) (10) 从而得到当 ε < δ 1 ，即 | a ˙ i i ( t ) | ≤ ε ≤ δ 1 ( i = 1 ， 2 ， ∀ t ≥ t 0 ) 时，孤立子系统(4)的零解是不稳定的。 引理2：若系统(1)的系数连续有界可微，条件(5)、(9)、(10)成立，有 | a ˙ i i ( t ) | ≤ ε ≤ δ 1 ( i = 1 ， 2 ， ∀ t ≥ t 0 ) 成立，即线性时变孤立子系统的零解是不稳定的，存在 δ 2 > 0 ， δ 3 > 0 ， 使 当 E 1 < δ 2 ， 0 ≤ τ < δ 3 时，则具有时滞的时变系数系统(2)的零解也是不稳定的。 今考虑具有时滞的线性大系统 x ˙ i ( t ) = ∑ j = 1 n [ c i j ( t ) x j ( t ) + b i j ( t ) x j ( t − τ i j ) ] ， ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) (11) 或记为 x ˙ i ( t ) = ∑ j = 1 n [ a i j ( t ) x j ( t ) + b i j ( t ) x j ( t − τ i j ) − x j ( t ) ] ， ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) (12) 与(11)有关的无时滞的时变系统为 x ˙ i ( t ) = ∑ j = 1 n a i j ( t ) x j ( t ) ， ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) (13) 对(13)的变系数矩阵 ( a i j ( t ) ) ，按主对角线分解成 m 个孤立时变子系统为 X ˙ r = A n r ( t ) X r ， ( r = 1 ， ⋯ ， m ) (14) 其中 a i j ( t ) = c i j ( t ) + b i j ( t ) ， X r = [ x n 1 + ⋯ + n r − 1 + 1 ， ⋯ ， x n 1 + ⋯ + n r ] T ， A n r ( t ) 为 n r × n r 维时变矩阵。现在假设 c i j ， b i j 连续有界可微， | c i j ( t ) | ≤ a 2 ， | b i j ( t ) | ≤ a 2 ， | a i j ( t ) | ≤ a ( i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ∀ t ≥ t 0 (15) 其中 a 是与 t 无关的正数。 | a ˙ i j ( t ) | ≤ ε ( i ， j = n 1 + ⋯ n r − 1 + 1 ， ⋯ ， n 1 + ⋯ + n r ， r = 1 ， ⋯ ， m ， n 1 + ⋯ + n m = n ， ∀ t ≥ t 0 ) (16) τ = max ( τ i j ) ( i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) (17) E 2 = max t 0 ≤ t ≤ + ∞ [ | a i j ( t ) ] (18) ( i = 1 ， ⋯ ， n 1 ; j = n 1 + 1 ， ⋯ ， n ; i = n 1 + 1 ， ⋯ ， n 1 + n 2 ; j = n 1 + n 2 + 1 ， ⋯ ， n ; i = n − n m + 1 ， ⋯ ， n ; j = 1 ， ⋯ ， n − n m ) 设(14)的特征方程为 D r ( λ ( t ) ) = det | A n r ( t ) − λ I | = λ n r ( t ) + P 1 ( r ) ( t ) λ n r − 1 ( t ) + ⋯ + P n r − 1 ( r ) ( t ) λ ( t ) + P n r ( r ) ( t ) = 0 ( r = 1 ， ⋯ ， m ; n 1 + ⋯ + n m = n ， ∀ t ≥ t 0 ) (19) 又设(14)的特征方程(19)的所有特征根都具有负实部： Re λ ( r ) ( A n r ( t ) ) ≤ − δ < 0 ( δ > 0 ， r = 1 ， ⋯ ， m ， ∀ t ≥ t 0 ) (20) 引理3：若系统(11)的系数连续有界可微，条件(15)、(16)成立，及线性时变子系统(14)的特征方程(19)的所有特征根据有负实部，存在 ε > 0 ，使得 | a ˙ i j ( t ) | ≤ ε < δ 4 ( i ， j = n 1 + ⋯ + n r − 1 + 1 ， ⋯ ， n 1 + ⋯ + n r ; r = 1 ， ⋯ ， m ， ∀ t ≥ t 0 ) 成立时，即线性时变孤立子系统(14)的零解也是渐近稳定的，存在 δ 5 > 0 ， δ 6 > 0 ，使当 E 2 < δ 5 ， 0 ≤ τ < δ 6 时，则具有时滞的线性时变大系统(11)的零解也是渐近稳定的。 当 τ = 0 时，得到 引理4：若系统(13)的系数连续有界可微，条件(15)、(16)成立及线性时变子系统(14)的特征方程(19)的一切特征根都具有负实部成立，存在 ε > 0 ，使得 | a ˙ i j ( t ) | ≤ ε < δ 4 ( i ， j = n 1 + ⋯ + n r − 1 + 1 ， ⋯ ， n 1 + ⋯ + n r ; r = 1 ， ⋯ ， m ， ∀ t ≥ t 0 ) 成立时，即线性时变子系统(14)的零解也是渐近稳定的。 今考虑 n = 2 时具有时滞的非线性时变系统的稳定性 x ˙ i ( t ) = ∑ j = 1 2 c i j ( t ) x j ( t ) + ∑ j = 1 2 b i j ( t ) x j ( t − τ i j ) + f i ( t ， x 1 ( t ) ， x 2 ( t ) ， x 1 ( t − τ i 1 ) ， x 2 ( t − τ i 2 ) ) ( i = 1 ， 2 ) (21) 或记为 x ˙ i ( t ) = − a i i ( t ) x i ( t ) + ∑ j = 1 j ≠ i 2 a i j ( t ) x j ( t ) + ∑ j = 1 2 b i j ( t ) [ x j ( t − τ i j ) − x j ( t ) ] + f i ( t ， x 1 ( t ) ， x 2 ( t ) ， x 1 ( t − τ i 1 ) ， x 2 ( t − τ i 2 ) ) ( i = 1 ， 2 ) (22) 假定在域 D : | x i | ≤ H ， | y i | ≤ H ( i = 1 ， 2 ， ∀ t ≥ t 0 ) 中满足不等式 | f i ( t ， x 1 ， x 2 ， y 1 ， y 2 ) | ≤ η [ ∑ i = 1 2 | x i | + ∑ i = 1 2 | y i | ] ( i = 1 ， 2 ) (23) 其中 η 是于 t 无关的正常量，并且在域 D 中， f i ( t ， x 1 ， x 2 ， y 1 ， y 2 ) ( i = 1 ， 2 ) 对所有变元连续及使系统(22)对任何初值的解有唯一性条件成立。 引理5：设引理1的条件成立，即线性时变子系统(4)的零解是渐近稳定的，并设式(21)的非线性项满足条件式(23)，存在 δ 1 > 0 ， δ 2 > 0 ， δ 3 > 0 ， δ 7 > 0 ，使当 | a ˙ i j ( t ) | ≤ ε < δ 2 ( i ， j = 1 ， 2 ， ∀ t ≥ t 0 ) E 1 < δ 2 ， 0 ≤ τ ≤ δ 3 ， η < δ 7 时，则具有时滞的非线性时变系统(22)的零解也是渐近稳定的。 引理6：设引理2的条件成立，即线性时变孤立子系统(4)的零解是不稳定的，并设(21)的非线性项满足条件(23)，存在 δ 1 > 0 ， δ 2 > 0 ， δ 3 > 0 ， δ 7 > 0 ，使当 | a ˙ i j ( t ) | ≤ ε < δ 1 ( i ， j = 1 ， 2 ， ∀ t ≥ t 0 ) E 1 < δ 2 ， 0 ≤ τ ≤ δ 3 ， η < δ 7 成立时，则具有时滞的非线性时变系统(22)的零解也是不稳定的。 今考虑具有时滞的一般非线性时变大系统 x ˙ i ( t ) = ∑ j = 1 n [ c i j ( t ) x j ( t ) + b i j ( t ) x j ( t − τ i j ) ] + f i ( t ， x 1 ( t ) ， ⋯ ， x n ( t ) ， x 1 ( t − τ i 1 ) ， x 2 ( t − τ i 2 ) ， ⋯ ， x n ( t − τ i n ) ) ( i = 1 ， ⋯ ， n ) (24) 或记为 x ˙ i ( t ) = ∑ j = 1 n [ a i j ( t ) x j ( t ) + b i j ( t ) ( x j ( t − τ i j ) − x j ( t ) ) ] + f i ( t ， x 1 ( t ) ， ⋯ ， x n ( t ) ， x 1 ( t − τ i 1 ) ， x 2 ( t − τ i 2 ) ， ⋯ ， x n ( t − τ i n ) ) ( i = 1 ， ⋯ ， n ) (25) 假设在域 D : | x i | ≤ H ， | y i | ≤ H ( i = 1 ， ⋯ ， n ， ∀ t ≥ t 0 ) 满足不等式 | f i ( t ， x 1 ， ⋯ ， x n ， y 1 ， ⋯ ， y n ) | ≤ η [ ∑ i = 1 n | x i | + ∑ i = 1 n | y i | ] ( i = 1 ， ⋯ ， n ) (26) 其中 η 是与 t 无关的正常量，并且在域 G 中， f i ( t ， x 1 ， ⋯ ， x n ， y 1 ， ⋯ ， y n ) ( i = 1 ， ⋯ ， n ) 对所有变元连续及使系统(22)对任何初值的解有唯一性条件成立。 引理7：设引理3的条件成立，即线性时变孤立子系统(14)的零解是渐近稳定的，并设(24)的非线性项满足条件(26)，存在 δ 4 > 0 ， δ 5 > 0 ， δ 6 > 0 ， δ 8 > 0 ，使当 | a ˙ i j ( t ) | ≤ ε < δ 4 ( i ， j = n 1 + ⋯ + n r − 1 + 1 ， ⋯ ， n 1 + ⋯ + n r ; r = 1 ， ⋯ ， m ， ∀ t ≥ t 0 ) 时，则具有时滞的非线性时变大系统(25)的零解也是渐近稳定的. 引理8：在引理7的条件下，若滞后 τ = 0 ，当 ε < δ 4 ， E 2 < δ 5 ， η < δ 8 时，则得到无滞后的非线性时变大系统的零解的稳定性。 引理9：在引理7的条件下，若 ε = 0 ，当 E 2 < δ 5 ， 0 ≤ τ < δ 6 ， η < δ 8 ，则得到具有时滞非线性定常大系统 x ˙ i ( t ) = ∑ j = 1 n [ c i j x j ( t ) + b i j x j ( t − τ i j ) ] + f i ( t ， x 1 ( t ) ， ⋯ ， x n ( t ) ， x 1 ( t − τ i 1 ) ， x 2 ( t − τ i 2 ) ， ⋯ ， x n ( t − τ i n ) ) ( i = 1 ， ⋯ ， n ) 的零解是渐近稳定的。 引理10：在引理7的条件下，若 ε = τ = 0 ，当 时，则得到非线性定常大系统 x ˙ i ( t ) = ∑ j = 1 n [ c i j x j ( t ) + b i j x j ( t ) ] + f i ( t ， x 1 ( t ) ， ⋯ ， x n ( t ) ) ( i = 1 ， ⋯ ， n ) 的零解是渐近稳定的。