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user: 3. 应用两种广义的函数展开法构建构建(2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程精确解 下面以上述五种方法中的 ( G ′ G 2 ) -展开法与 ( e x p ) -展开法为例，构建(2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程(1)的精确解。首先将方程(1)进行如下的行波变换： u ( x ， y ， t ) = u ( ε ) ， ν ( x ， y ， t ) = ν ( ξ ) ， ε = x + y − ω t ， (21) 对方程(1)的第一个方程积分一次并取积分常数为零，代入方程(1)第二式得到常微分方程： u ″ − 2 u 3 − 3 ω u 2 − ω 2 u = 0 ， (22) 其中 ω 为常数。平衡最非线性项 u 3 和最高阶导数项 u ″ ，则有： m + 2 = 3 m ，有 m = 1 。 3.1. ( G ′ G 2 ) -展开法构建(2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程精确解 由 m = 1 则式(22)有如下形式的解 u ( ξ ) = a 0 + a 1 ( G ′ G 2 ) (23) 其中 G ( ξ ) 满足式(6)，将(23)代入(22)，由(23)结合(6)可得： { u 2 ( ξ ) = a 0 2 + a 1 2 ( G ′ G 2 ) 2 + 2 a 0 a 1 ( G ′ G 2 ) ， u ″ ( ξ ) = 2 a 1 φ 2 ( G ′ G 2 ) 3 + 2 a 1 ϕ φ ( G ′ G 2 ) ， u 3 ( ξ ) = a 1 3 ( G ′ G 2 ) 3 + 3 a 1 2 a 0 ( G ′ G 2 ) 2 + 3 a 1 a 0 2 ( G ′ G 2 ) + a 0 3 . (24) 将 u ( ξ ) ， u ′ ( ξ ) ， u ″ ( ξ ) 和 u 3 ( ξ ) 代入方程(22)中，并平衡 ( G ′ G 2 ) i ( i = 0 ， 1 ， ⋯ ) ，并令各幂次的系数为零，得到关于 a − 1 ， a 0 ， a 1 ， ω ， ϕ ， φ 的代数方程组： { ( G ′ G 2 ) 3 : − 2 a 1 φ 2 − 2 a 1 3 = 0 ， ( G ′ G 2 ) 2 : − 3 ω a 1 2 − 6 a 1 2 a 0 = 0 ， ( G ′ G 2 ) 1 : 2 a 1 2 ϕ φ − 6 a 1 a 0 2 − 6 ω a 0 a 1 − ω 2 a 1 = 0 ， ( G ′ G 2 ) 0 : − ω 2 a 0 − 3 ω a 0 2 − 2 a 0 3 = 0. (25) 解上述代数方程组，并结合方程(7)，方程(23)作如下讨论： 情况一： a 0 = − ϕ φ ， a 1 = ± φ ， ω = 2 ϕ φ . (26) 当 ϕ φ > 0 ，得到三角函数解： u ( 1 ， 1 ) ( ξ ) = − ϕ φ ± φ [ ϕ φ c 1 cos ( ϕ φ ξ ) + c 2 sin ( ϕ φ ξ ) c 1 sin ( ϕ φ ξ ) − c 2 cos ( ϕ φ ξ ) ] . (27) 当 ϕ φ < 0 ，得到双曲函数解： u ( 1 ， 2 ) ( ξ ) = − ϕ φ ± φ [ | ϕ φ | c 1 sinh ( | ϕ φ | ξ ) + c 2 cosh ( | ϕ φ | ξ ) c 1 cosh ( | ϕ φ | ξ ) + c 2 sinh ( | ϕ φ | ξ ) ] . (28) 当 ϕ = 0 ， φ ≠ 0 ，得到有理函数解： u ( 1 ， 3 ) ( ξ ) = − ϕ φ ∓ φ [ c 1 φ ( c 1 ξ + c 2 ) ] . (29) 情况二： a 0 = ϕ φ ， a 1 = ± φ ， ω = − 2 ϕ φ . (30) 当 ϕ φ > 0 ，得到三角函数解： u ( 1 ， 4 ) ( ξ ) = ϕ φ ± φ [ ϕ φ c 1 cos ( ϕ φ ξ ) + c 2 sin ( ϕ φ ξ ) c 1 sin ( ϕ φ ξ ) − c 2 cos ( ϕ φ ξ ) ] . (31) 当 ϕ φ < 0 ，得到双曲函数解： u ( 1 ， 5 ) ( ξ ) = ϕ φ ± φ [ | ϕ φ | c 1 sinh ( | ϕ φ | ξ ) + c 2 cosh ( | ϕ φ | ξ ) c 1 cosh ( | ϕ φ | ξ ) + c 2 sinh ( | ϕ φ | ξ ) ] . (32) 当 ϕ = 0 ， φ ≠ 0 ，得到有理函数解： u ( 1 ， 6 ) ( ξ ) = ϕ φ ∓ φ [ c 1 φ ( c 1 ξ + c 2 ) ] . (33) 其中 ε = x + y − ω t ， c 1 ， c 2 为积分常数， ϕ ， φ 为实数， φ ≠ 0 ， ω ≠ 0 。 3.2. (exp)-展开法构建(2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程精确解 下面应用 ( e x p ) -展开法来构建(2 + 1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程(1)精确解。由 m = 1 结合(10)式知方程(1)如下形式的解 u ( ξ ) = a 0 + a 1 exp ( − ϕ ( ξ ) ) (34) 由方程(10)，(34)，可得： { u 2 ( ξ ) = a 0 2 + a 1 2 e − 2 ϕ ( ξ ) + 2 a 0 a 1 e − ϕ ( ξ ) ， u ″ ( ξ ) = [ 2 a 1 e − 2 ϕ ( ξ ) + λ a 1 e − ϕ ( ξ ) ] [ e − ϕ ( ξ ) + μ e ϕ ( ξ ) + λ ] ， u 3 ( ξ ) = a 1 3 e − 3 ϕ ( ξ ) + 3 a 1 2 a 0 e − 2 ϕ ( ξ ) + 3 a 1 a 0 2 e − ϕ ( ξ ) + a 0 3 . (35) 将 u ( ξ ) ， u 2 ( ξ ) ， u ″ ( ξ ) 和 u 3 ( ξ ) 代入方程(22)中，并合并 exp ( − ϕ ( ξ ) ) n ， ( n = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ) 相同项的系数，并令相同项系数为零，得到关于 a 0 ， a 1 ， ⋯ ， μ ， λ ， ω 的代数方程组： { ( e − 3 ϕ ( ξ ) ) : 2 a 1 − 2 a 1 3 = 0 ， ( e − 2 ϕ ( ξ ) ) : − 3 ω a 1 2 − 6 a 1 2 a 0 + 3 λ a 1 = 0 ， ( e − 1 ϕ ( ξ ) ) : 2 μ a 1 + λ 2 a 1 − 6 a 1 a 0 2 − 6 ω a 0 a 1 − ω 2 a 1 = 0 ， ( e 0 ) : ( G ′ G 2 ) 0 : − ω 2 a 0 − 3 ω a 0 2 − 2 a 0 3 + λ μ a 1 = 0. (36) 解上述代数方程组，并结合方程(12)，方程(34)作如下讨论： 情况一： a 0 = − μ ， a 1 = ± 1 ， ω = 2 μ . (37) 当 λ 2 − 4 μ > 0 ， μ ≠ 0 u ( 2 ， 1 ) ( ξ ) = − μ ± ln ( − λ 2 − 4 μ tanh ( λ 2 − 4 μ 2 ( ξ + c ) − λ ) 2 μ ) . (40) 当 λ 2 − 4 μ < 0 ， μ ≠ 0 u ( 2 ， 2 ) ( ξ ) = − μ ± ln ( − 4 μ − λ 2 tanh ( λ 2 − 4 μ 2 ( ξ + c ) − λ ) 2 μ ) . (41) 当 μ ≠ 0 ， λ ≠ 0 u ( 2 ， 3 ) ( ξ ) = − μ ∓ ln ( λ sinh ( λ ( ξ + c ) ) + cosh ( λ ( ξ + c ) ) − 1 ) . (42) 当 λ 2 − 4 μ > 0 ， μ = 0 ， λ ≠ 0 u ( 2 ， 4 ) ( ξ ) = − μ ± ln ( − 2 ( λ ( ε + c ) ) + 2 λ 2 ( ξ + c ) ) . (43) 当 λ 2 − 4 μ = 0 ， μ = 0 ， λ = 0 u ( 2 ， 5 ) ( ξ ) = − μ ± ln ( ξ + c ) . (44) 情况二： a 0 = μ ， a 1 = ± 1 ， ω = − 2 μ . (45) 当 λ 2 − 4 μ > 0 ， μ ≠ 0 u ( 2 ， 6 ) ( ξ ) = μ ± ln ( − λ 2 − 4 μ tanh ( λ 2 − 4 μ 2 ( ξ + c ) − λ ) 2 μ ) . (46) 当 λ 2 − 4 μ < 0 ， μ ≠ 0 u ( 2 ， 7 ) ( ξ ) = μ ± ln ( − 4 μ − λ 2 tanh ( λ 2 − 4 μ 2 ( ξ + c ) − λ ) 2 μ ) . (47) 当 μ ≠ 0 ， λ ≠ 0 u ( 2 ， 8 ) ( ξ ) = μ ∓ ln ( λ sinh ( λ ( ξ + c ) ) + cosh ( λ ( ξ + c ) ) − 1 ) . (48) 当 λ 2 − 4 μ > 0 ， μ = 0 ， λ ≠ 0 u ( 2 ， 9 ) ( ξ ) = μ ± ln ( − 2 ( λ ( ε + c ) ) + 2 λ 2 ( ξ + c ) ) . (49) 当 λ 2 − 4 μ = 0 ， μ = 0 ， λ = 0 u ( 2 ， 10 ) ( ξ ) = μ ± ln ( ξ + c ) . (50) 其中 ε = x + y − ω t ，c为积分常数， μ ， λ 实数， ω ≠ 0 。