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user: 3. MQ拟插值算子的相关性质 定理3.1 MQ拟插值算子 L 1 f ( x ) 和 L 2 f ( x ) 满足线性多项式再生性质。 证明： L 1 f ( x ) = L D f ( x ) + f ′ ( x 0 ) λ 0 ( x ) + f ′ ( x n ) λ n ( x ) = f ( x 0 ) ( 1 2 + ϕ 1 ( x ) − x + x 0 2 ( x 1 − x 0 ) ) + f ( x 1 ) ϕ 2 ( x ) − ϕ 1 ( x ) 2 ( x 2 − x 1 ) − f ( x 1 ) ϕ 1 ( x ) − x + x 0 2 ( x 1 − x 0 )     + ∑ j = 2 n − 2 f ( x j ) ( ϕ j + 1 ( x ) − ϕ j ( x ) 2 ( x j + 1 − x j ) − ϕ j ( x ) − ϕ j − 1 ( x ) 2 ( x j − x j − 1 ) )     + f ( x n − 1 ) ( x n − x − ϕ n − 1 ( x ) 2 ( x n − x n − 1 ) − ϕ n − 1 ( x ) − ϕ n − 2 ( x ) 2 ( x n − 1 − x n − 2 ) )     + f ( x n ) ( 1 2 + ϕ n − 1 ( x ) + x − x n 2 ( x n − x n − 1 ) ) + f ′ ( x 0 ) x − x 0 − ϕ 0 ( x ) 2 如果 f ( x ) = x ，那么 L 1 f ( x ) = L D f ( x ) + f ′ ( x 0 ) λ 0 ( x ) + f ′ ( x n ) λ n ( x ) = x 0 ( 1 2 + ϕ 1 ( x ) − x + x 0 2 ( x 1 − x 0 ) ) + x 1 ϕ 2 ( x ) − φ 1 ( x ) 2 ( x 2 − x 1 ) − x 1 ϕ 1 ( x ) − x + x 0 2 ( x 1 − x 0 )     + ∑ j = 2 n − 2 x j ( ϕ j + 1 ( x ) − ϕ j ( x ) 2 ( x j + 1 − x j ) − ϕ j ( x ) − ϕ j − 1 ( x ) 2 ( x j − x j − 1 ) )     + x n − 1 ( x n − x − ϕ n − 1 ( x ) 2 ( x n − x n − 1 ) − ϕ n − 1 ( x ) − ϕ n − 2 ( x ) 2 ( x n − 1 − x n − 2 ) )     + x n ( 1 2 + ϕ n − 1 ( x ) + x − x n 2 ( x n − x n − 1 ) ) = x 对于算子 L 2 f ( x ) ，同理也可证明。 定理3.2 如果数据序列 { f ( x j ) } j = 0 n 中的数据是从单调函数 f ( x ) ( x ∈ C [ x 0 ， x n ] ) 中取得，则拟插值算子 L 1 f ( x ) 和 L 2 f ( x ) 也是单调函数。 证明： L 1 f ( x ) 的一阶导数为 L 1 f ′ ( x ) = ( ϕ ′ 1 ( x ) − 1 2 ( x 1 − x 0 ) ) f ( x 0 ) − ( − ϕ ′ 1 ( x ) − 1 2 ( x 1 − x 0 ) ) f ( x 1 ) + ( ϕ ′ 2 ( x ) − ϕ ′ 1 ( x ) 2 ( x 2 − x 1 ) ) f ( x 1 ) + ∑ j = 2 n − 2 f ( x j ) ( ϕ ′ j + 1 ( x ) − ϕ ′ j ( x ) 2 ( x j + 1 − x j ) − ϕ ′ j ( x ) − ϕ ′ j − 1 ( x ) 2 ( x j − x j − 1 ) ) − f ( x n − 1 ) ( ϕ ′ n − 1 ( x ) − 1 2 ( x n − x n − 1 ) + ϕ ′ n − 1 ( x ) − ϕ ′ n − 2 ( x ) 2 ( x n − 1 − x n − 2 ) ) + f ( x n ) ϕ ′ n − 1 ( x ) + 1 2 ( x n − x n − 1 ) + f ′ ( x 0 ) 1 − ϕ ′ 0 ( x ) 2 + f ′ ( x n ) ϕ ′ n ( x ) + 1 2   = 1 2 ∑ j = 1 n − 2 f ′ ( x j ) ( ϕ ′ j ( x ) − ϕ ′ j + 1 ( x ) ) + 1 2 f ′ ( x 0 ) ( 1 − ϕ ′ 1 ( x ) ) + f ′ ( x 0 ) 1 − ϕ ′ 0 ( x ) 2     + 1 2 f ′ ( x n − 1 ) ( ϕ ′ n − 1 ( x ) + 1 ) + 1 2 f ′ n ( x n ) ϕ ′ n ( x ) + 1 2 对任意的 x ∈ R ， − 1 ≤ ϕ ′ j + 1 ( x ) ≤ ϕ ′ j ( x ) ≤ 1 因此，当 f ′ ( x ) > 0 ， L 1 f ′ ( x ) > 0 ； f ′ ( x ) < 0 ； L 1 f ′ ( x ) < 0 。 另外，根据算子 L 2 f ( x ) ， L 2 f ( x ) 的一阶导数可计算为 L 2 f ′ ( x ) = 1 2 ∑ j = 1 n − 2 f ′ ( x j ) ( ϕ ′ j ( x ) − ϕ ′ j + 1 ( x ) ) + 1 2 D 1 ( x 0 ) ( 1 − ϕ ′ 1 ( x ) ) + 1 2 f ′ ( x n − 1 ) ( 1 + ϕ ′ n − 1 ( x ) ) + 1 2 D 1 ( x 0 ) ( 1 − ϕ ′ 0 ( x ) ) + 1 2 D 2 ( x n ) ( 1 + ϕ ′ n ( x ) ) 从上面的公式可以看出，当 f ′ ( x ) > 0 ， L 2 f ′ ( x ) > 0 ， f ′ ( x ) < 0 ， L 2 f ′ ( x ) < 0 。完成证明。 定理3.3 若 [ f ′ ( x n ) ϕ ″ n ( x ) − f ′ ( x 0 ) ϕ ″ ( x ) ] ≥ 0 ，则拟插值算子 L 1 f ( x ) 为严格二阶保形；若 [ D 2 ( x n ) ϕ ″ n ( x ) − D 1 ( x 0 ) ϕ ″ ( x ) ] ≥ 0 ，则拟插值算子 L 2 f ( x ) 是严格二阶保形。 证明： L 1 f ( x ) 的二阶导数 L ″ 1 f ( x ) = 1 2 ∑ j = 1 n − 1 ϕ ″ j ( x ) ( f ′ ( x j ) − f ′ ( x j − 1 ) ) − 1 2 ( f ′ ( x 0 ) ϕ ′ 0 ( x ) + f ′ ( x n ) ϕ ′ n ( x ) ) = 1 2 ∑ j = 1 n − 1 ϕ ″ j ( x ) ( x j − x j − 1 ) f ″ ( x ) − 1 2 f ′ ( x 0 ) ϕ ″ 0 ( x ) + 1 2 f ′ ( x n ) ϕ ′ n ( x ) 此时， ϕ ″ j ( x ) = c 2 [ c 2 + ( x − x j ) 2 ] 3 2 ≥ 0 因此，当 [ f ′ ( x n ) ϕ ″ n ( x ) − f ′ ( x 0 ) ϕ ″ ( x ) ] ≥ 0 ，我们可以得到 L 1 f ″ ( x ) ≥ 0 。最后，我们证明了拟插值算子 L 1 f ( x ) 具有二阶保形性。 根据算子 L 2 f ( x ) 的二阶导数 L ″ 2 f ( x ) = 1 2 ∑ j = 1 n − 1 ϕ ″ j ( x ) ( f ′ ( x j ) − f ′ ( x j − 1 ) ) − 1 2 ( D 1 ( x 0 ) ϕ ′ 0 ( x ) + D 2 ( x n ) ϕ ″ n ( x ) ) = 1 2 ∑ j = 1 n − 1 ϕ ″ j ( x ) ( x j − x j − 1 ) f ″ ( x ) − 1 2 ( f ′ ( x 0 ) ϕ ″ 0 ( x ) + f ′ ( x n ) ϕ ″ n ( x ) ) 此时， ϕ ″ j ( x ) = c 2 [ c 2 + ( x − x j ) 2 ] 3 2 ≥ 0 − 1 ≤ ϕ ′ j + 1 ( x ) ≤ ϕ ′ j ( x ) ≤ 1 因此，如果 [ D 2 ( x n ) ϕ ″ n ( x ) − D 1 ( x 0 ) ϕ ″ ( x ) ] ≥ 0 ，则有 L 2 f ″ ( x ) ≥ 0 。从而证明拟插值算子 L 2 f ( x ) 具有二阶的保形性，完成证明。 最后，我们将证明算子 L 2 f ( x ) 的收敛性及收敛阶。首先，我们给出两个重要的引理： 引理3.1 [ 3 ] 如果 f ( x ) ∈ C 2 [ a ， b ] ，拟插值算子 L D f ( x ) 在 h → 0 时，满足误差估计 ‖ f − L D f ‖ ∞ ≤ K 1 h 2 + K 2 c h + K 3 c 2 ln h (3.3) 这里， K 1 ， K 2 和 K 3 为正常数，与 h 和 c 无关。 证明： 拟插值算子 L D f ( x ) 可以重新被定义为 2 L D f ( x ) = ∑ j = 1 n − 1 ϕ j ( t ) ( x j + 1 − x j − 1 ) Δ 2 ( x j − 1 ， x j ， x j + 1 ) f + f 0 + f n + ( x − x 0 ) ( x n − x ) Δ 1 ( x 0 ， x 1 ) f 在一阶和二阶差分 Δ 1 和 Δ 2 的情况下， L f 和 f 之间的分段线性插值的差值为 2 ( L D f ( x ) − L f ( x ) ) = ∑ j = 1 n − 1 ( ϕ j ( x ) − | x − x j | ) ( x j + 1 − x j − 1 ) Δ 2 ( x j − 1 ， x j ， x j + 1 ) f (3.4) 我们可以得到该函数的界 φ ( x ) = ∑ j = 1 n − 1 ( ϕ j ( x ) − | x − x j | ) ( x j + 1 − x j − 1 ) = ∑ j = 1 n − 1 ( ( c 2 + | x − x j | 2 ) 1 2 − | x − x j | ) ( x j + 1 − x j − 1 ) ≥ 0. 分裂一部分带有 | x − x j | ≤ h 以及其余的一部分，这两个部分的估计 ( c 2 + y 2 ) 1 2 − | y | ≤ c ， c ≥ 0 ， y ≥ 0 ( c 2 + y 2 ) 1 2 − | y | ≤ c 2 2 | y | ， c ≥ 0 ， y ≥ 0 从而得到 φ ( x ) ≤ c ∑ j = 1 ， | x − x j | ≤ h n − 1 ( x j + 1 − x j − 1 ) + c 2 2 ∑ j = 1 ， | x − x j | > h n − 1 x j + 1 − x j − 1 | x − x j | ≤ 8 c h + c 2 ( ∫ | x − t | ≥ h 1 | x − t | d t + O ( h ) ) 因此我们有 φ ( x ) ≤ 8 c h + O ( c 2 ln h ) + O ( c 2 h ) 根据(3.4)和 L f 的 O ( h 2 ) 收敛阶，当 h → 0 时， c 趋于零时，它满足下面的约束 φ ( x ) 。对于 | y | ≤ y 0 ， y 0 > 0 时，我们得到 ( 1 + y ) 1 2 − 1 ≥ y 2 − y 2 4 保持 φ ( x ) 以及 | x − x j | ≥ c y 0 − 1 不变，则有 φ ( x ) ≥ 1 2 ∑ j = 1 n − 1 ( x j + 1 − x j − 1 ) ( c 2 | x − x j | − 1 2 c 4 | x − x j | 3 ) = ( 1 + O ( h ) ) c 2 ∫ | x − t | ≥ c y 0 − 1 1 | x − t | d t − ( 1 + O ( h ) ) c 4 2 ∫ | x − t | ≥ c y 0 − 1 1 | x − t | 3 d t 这是由 c 2 | ln c | 作为 c 函数。如果 c ≥ c 0 ≥ 0 ，函数 φ ( x ) 将渐近下界 2 ∫ a b ( ( c 0 2 + ( x − t ) 2 ) 1 2 − | x − t | ) d t > 0 现在我们完成证明拟插值算子 L D f ( x ) 满足误差估计 ‖ f − L D f ‖ ∞ ≤ K 1 h 2 + K 2 c h + K 3 c 2 ln h (3.5) 引理3.2 基于Largange插值的原理，给出近似一阶导数的三点插值型数值微分公式及其误差 f ′ ( x 0 ) = 1 2 h [ − 3 f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ] + h 2 3 f ( 3 ) ( ξ 0 ) (3.6) f ′ ( x n ) = 1 2 h [ f ( x n − 2 ) − 4 f ( x n − 1 ) + 3 f ( x n ) ] + h 2 3 f ( 3 ) ( ξ n ) (3.7) 证明： 设 f ( x ) ∈ C n + 1 [ a ， b ] ， x 0 ， x 1 ， ⋯ ， x n 为 [ a ， b ] 上的点， L n ( x ) 为 f ( x ) 以 { x i } i = 0 n 为节点的n次插值多项式。作为 f ( x ) 的逼近函数，可用 L n ( x ) 的各阶导数近似 f ( x ) 的相应阶导数，即 f ( k ) ( x ) ≈ L n ( k ) ( x ) = ∑ i = 0 n l i ( k ) ( x ) f ( x i ) k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n (3.8) 其误差为 f ( k ) ( x ) − L n ( k ) ( x ) = d k d x k ( f ( n + 1 ) ( ξ ( x ) ) ( n + 1 ) ! ω n ( x ) ) (3.9) 当 x = x j ， k = 1 时，有 f ′ ( x j ) ≈ L ′ n ( x j ) = ∑ i = 0 n l ′ i ( x j ) f ( x i ) (3.10) 且其误差为 f ′ ( x j ) − L ′ n ( x j ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ∏ i = 0 ， i ≠ j n ( x j − x i ) (3.11) 一般称(3.10)式为近似 f ′ ( x j ) 的 n + 1 点插值型数值微分公式。 接下来，给出近似一阶导数( k = 1 )三点插值型数值微分公式及其误差估计。设 x 0 ， x 1 ， x 2 为区间上互异的三个点，则以其节点的2次插值多项式为 L 2 ( x ) = ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x 0 − x 1 ) ( x 0 − x 2 ) f ( x 0 ) + ( x − x 0 ) ( x − x 2 ) ( x 1 − x 0 ) ( x 1 − x 2 ) f ( x 1 ) + ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ( x 2 − x 0 ) ( x 2 − x 1 ) f ( x 2 ) 其导数 L ′ 2 ( x ) = 2 x − x 1 − x 2 ( x 0 − x 1 ) ( x 0 − x 2 ) f ( x 0 ) + 2 x − x 0 − x 2 ( x 1 − x 0 ) ( x 1 − x 2 ) f ( x 1 ) + 2 x − x 0 − x 1 ( x 2 − x 0 ) ( x 2 − x 1 ) f ( x 2 ) 由式(3.11)可得 f ′ ( x j ) = 2 x j − x 1 − x 2 ( x 0 − x 1 ) ( x 0 − x 2 ) f ( x 0 ) + 2 x j − x 0 − x 2 ( x 1 − x 0 ) ( x 1 − x 2 ) f ( x 1 ) + 2 x j − x 0 − x 1 ( x 1 − x 0 ) ( x 1 − x 2 ) + f ( 3 ) ( ξ j ) 3 ! ∏ i = 0 ， i ≠ j 2 ( x j − x i ) 令 x 1 = x 0 + h ， x 2 = x 0 + 2 h ，即 f ′ ( x 0 ) = 1 2 h [ − 3 f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ] + h 2 3 f ( 3 ) ( ξ 0 ) f ′ ( x 1 ) = 1 2 h [ − f ( x 0 ) + f ( x 2 ) ] − h 2 6 f ( 3 ) ( ξ 1 ) f ′ ( x 2 ) = 1 2 h [ f ( x 0 ) − 4 f ( x 1 ) + 3 f ( x 2 ) ] + h 2 3 f ( 3 ) ( ξ 2 ) 根据上述三式，即得出三点-端点数值微分公式及其误差估计 f ′ ( x 0 ) = 1 2 h [ − 3 f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ] + h 2 3 f ( 3 ) ( ξ 0 ) f ′ ( x n ) = 1 2 h [ f ( x n − 2 ) − 4 f ( x n − 1 ) + 3 f ( x n ) ] + h 2 3 f ( 3 ) ( ξ n ) 定理3.4 对于 f ∈ C 2 [ a ， b ] ，拟插值算子 L 2 f ( x ) 满足误差估计 ‖ f − L 2 f ( x ) ‖ ∞ ≤ ( K 1 + K 4 ) h 2 + K 2 c h + K 3 c 2 ln h (3.12) 这里， K 1 ， K 2 ， K 3 和 K 4 为正常数，与 h 和 c 无关。 证明：令 L 2 f ( x ) = L D f ( x ) + W D f ( x ) ，若 f ( x ) 是一个连续的函数，则有 ‖ f − L 2 f ( x ) ‖ ∞ = ‖ f ( x ) − ( L D f ( x ) + W D f ( x ) ) ‖ ∞ ≤ ‖ f ( x ) − L D f ( x ) ‖ ∞ + ‖ f ( x ) − W D f ( x ) ‖ ∞ (3.13) 根据引理3.1，我们得到 ‖ f − L D f ‖ ∞ ≤ K 1 h 2 + K 2 c h + K 3 c 2 ln h 且根据引理3.2，则有 ‖ f − W D f ( x ) ‖ ∞ ≤ h 2 3 ， h → 0 最后，结合引理3.1和引理3.2，我们证明了拟插值算子 L 2 f ( x ) 满足误差估计 ‖ f − L 2 f ( x ) ‖ ∞ ≤ ( K 1 + K 4 ) h 2 + K 2 c h + K 3 c 2 ln h 注3.1由拟插值算子 L 2 f ( x ) 的收敛性分析可以看出，当 c = O ( h 2 ) 时，则 ‖ f − L 2 f ( x ) ‖ ∞ = O ( h 3 ) 。因此，拟插值算子 L 2 f ( x ) 的收敛阶数与形状参数c的值有关。