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user: 3. 理论分析 3.1. 系统(5)任意解的有界性 定理3.1设 X ( t ) = ( x ( t ) ， y ( t ) ， z ( t ) ) T 是系统(5)的任意解，则一定存在常数 M > 0 ，使得对任意的 t → ∞ 有 x ( t ) ≤ M ，   y ( t ) ≤ M ，   z ( t ) ≤ M 。 证明：定义函数 V ( t ) = k x ( t ) + k y ( t ) + z ( t ) ， V ( t ) ∈ V 0 。 当 t ≠ n T 时， D + V ( t ) = k [ r − a ( x ( t ) + y ( t ) ) ] x ( t ) − k r e − d 1 τ y ( t − τ ) − k d 1 x ( t ) + k r e − d 1 τ y ( t − τ )                             + k [ r − d 2 − a ( x ( t ) + y ( t ) ) ] y ( t ) − k b y ( t ) z ( t ) + k b y ( t ) z ( t ) − d 3 z ( t )                       = k [ − a x 2 ( t ) + ( r − d 1 + d 3 ) x ( t ) ] − 2 k a x ( t ) y ( t )                             + k [ − a y 2 ( t ) + ( r − d 2 + d 3 ) y ( t ) ] − d 3 V (t) 因为 − a x 2 ( t ) + ( r − d 1 + d 3 ) x ( t ) 是有界的， − 2 k a x ( t ) y ( t ) < 0 ， − a y 2 ( t ) + ( r − d 2 + d 3 ) y ( t ) 是有界的，则有 D + V ( t ) + d 3 V ( t ) ≤ k ( r − d 1 + d 3 ) 2 4 a + k ( r − d 2 + d 3 ) 2 4 a = k [ ( r − d 1 + d 3 ) 2 + ( r − d 2 + d 3 ) 2 ] 4 a = M 0 又当 t = n T 时， V ( t + ) = V ( n T ) + R 。 考虑系统 { D + V ( t ) ≤ − d 3 V ( t ) + M 0         t ≠ n T V ( t + ) = V ( t ) + R           t = n T (12) 依据引理2.1和引理2.2，系统(12)的解 V ( t ) ≤ [ V ( 0 + ) − M 0 d 3 ] e − d 3 t + R e − d 3 ( t − n T ) ( 1 − e − d 3 n T ) 1 − e − d 3 T + M 0 d 3         t ∈ ( n T ， ( n + 1 ) T ]               ≤ R e d 3 T 1 − e − d 3 T + M 0 d 3 ≜ M           ( t → ∞ ) (13) 所以知 V ( t ) = k x ( t ) + k y ( t ) + z ( t ) 是有界的， 即证。 3.2. 系统(5)半平凡周期解的局部渐近稳定性 定理3.2如果满足条件 r < d 1 ， R > d 3 T ( r ( 1 + e − d 1 τ ) − d 2 ) b ，则系统(5)的半平凡周期解 ( 0 ， 0 ， z * ( t ) ) T 是局部渐近稳定的，其中 | z ( t ) − z * ( t ) | → 0 ， ( t → ∞ ) ， z * ( t ) = R e − d 3 ( t − n T ) 1 − e − d 3 T ， t ∈ ( n T ， ( n + 1 ) T ] ， z ( 0 + ) = R 1 − e − d 3 T 。 证明：系统(5)的半平凡周期解 ( 0 ， 0 ， z * ( t ) ) T 可以通过引理2.2直接求知。设 H ( t ) = x ( t ) ， P ( t ) = y ( t ) ， W ( t ) = z ( t ) − z * ( t ) ，对系统(5)作线性化处理，得到 { H ˙ ( t ) = ( r − d 1 ) H ( t ) − r e − d 1 τ P ( t ) P ˙ ( t ) = [ r − d 2 − b z * ( t ) + r e − d 1 τ ] P ( t ) W ˙ ( t ) = k b z * ( t ) P ( t ) − d 3 W ( t ) } t ≠ n T H ( t + ) = H ( t ) P ( t + ) = P ( t ) W ( t + ) = W ( t ) + R } t = n T (14) 若设当 t ≠ n T 时， Φ ( t ) 为基础矩阵，且满足 d ϕ ( t ) d t = A ( t ) ϕ ( t ) (15) 其中， A ( t ) = [ r − d 1 − r e − d 1 τ 0 0 r − d 2 − b z * ( t ) + r e − d 1 τ 0 0 k b z * ( t ) − d 3 ] 当 t = n T 时， [ H ( n T + ) P ( n T + ) W ( n T + ) ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] [ H ( n T ) P ( n T ) W ( n T ) ] 。 所以系统(14)的单值矩阵 N = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] ϕ ( T ) = B ( t ) ϕ ( t ) 。 又依据系统(15)，知 Φ ( T ) = ϕ ( 0 ) e ∫ 0 T A ( s ) d s ≜ ϕ ( 0 ) exp ( A ˜ ) ，   A ˜ = ∫ 0 T A ( s ) d s (16) 其中， ϕ ( 0 ) = B ( t ) = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] 。 若假设 λ 1 ， λ 2 ， λ 3 为 A ˜ 的特征根，则 λ 1 = e ∫ 0 T ( r − d 1 ) d s ，   λ 2 = e ∫ 0 T [ r − d 2 − b z * ( s ) + r e − d 1 τ ] d s ，   λ 3 = e ∫ 0 T ( − d 3 ) d s = e − d 3 T < 1 (17) 根据脉冲微分方程的Floquet定理 [ 30 ] ，若 | λ i | < 1 ( i = 1 ， 2 ， 3 ) ，则系统(5)的半平凡周期解 ( 0 ， 0 ， z * ( t ) ) T 是局部渐近稳定的。 另，令 Z ( t ) 是系统(15)的任意解，则 z ( t ) = [ z 0 − R 1 − e − d 3 T ] e − d 3 t + z * ( t ) ，   t ∈ ( n T ， ( n + 1 ) T ] . (18) 所以知 lim t → ∞ | z ( t ) − z * ( t ) | = 0 。 3.3. 系统(5)半平凡周期解的全局吸引性 定理3.3如果 R ≥ ( r ( e − d 1 τ + 1 ) − d 2 ) ( e d 3 T − 1 ) b ，则系统(5)的半平凡周期解 ( 0 ， 0 ， z * ( t ) ) T 是全局吸引的。 证明：由系统(5)的第三个方程，有 (19) 考虑方程组： (20) 依据引理2.2，知 ，且 . (21) 所以一定存在 ，使得 。 所以由系统(5)的第二个方程知 (22) 考虑微分方程 (23) 依据引理2.4，若 ，则 。 又由引理2.1，系统(22)的解 。 所以根据 和比较原则，知 。 即对任意的 ，存在 使得对一切的 都有 。 再根据系统(5)的第三个方程，有 (24) 依据引理2.1，系统(24)的解 其中， 是系统(25)的解。 (25) 且 是系统(26)的解。 (26) 且有 。 。 所以对任意的 ，存在 ，使得 。 又因为当 时， 。 所以 。 即 。 由系统(5)的第一个方程，有 ，对上述方程在 积分有 (27) 其中， 因为定理3.2满足 所以当 时，有 。 所以当 时，有 。 即 。 即证。 3.4. 系统(5)的持久生存性 定理3.4如果 ，则系统(5)的任意解 ，一定存在 ，使得 ， ， ，即系统(5)是持久生存性的。 证明：由定理3.1，一定存在 ，使得对于系统(5)的任意解 ，满足 ， 。 由 ，知对任意的 ，存在 ，使得 。 即一定存在 ，使得 。 所以只需证明存在 ，使得对任意的 ，都有 即可。 对于系统(5)的第二个方程，有 (28) 若设 ，则 (29) 若条件 成立，则对 ，会使得 ，其中 。 (H1)：假设对上面的 ，对任意的 ，当 时，有 不恒成立，则可以假设存在 ，使得当 时有 成立。 根据系统(5)的第三个方程，有 (30) 考虑系统： (31) 求解系统有 (32) 根据引理2.1有 (33) 又根据定理3.1，系统(29)有 (34) 若设 ，则对任意的 ，有 。否则，存在一个 ，使得当 时，有 且 ， 。 又根据系统(5)的第二个方程， (35) 这与 矛盾。所以对任意的 都有 成立，从而对任意的 都有 成立。所以知当 时， ，这与 矛盾，所以第一个假设成立。 (H2)：根据第一个假设，只需要考虑两种情况， 1)对所有的充分大的t，都有 成立； 2)当t充分大时， 关于 左右波动。 对于情况1)，显然成立；因此只需考虑情况2)。 定义 ，其中 (36) 下证明对于充分大的t，有 。由已知，存在 ， ，使得对所有的 ，有 ，其中当 充分大时，有 成立。又根据定理3.1有界性，知 是一致连续的。所以系统(5)的正解是一致有界的且不受脉冲影响。因此，存在一个 ，使得对任意的 都有 成立。若 ，则显然；若 ，则根据系统(5)的第二个方程，可以得到 。则知当 时，有 成立。重复上面(H1)的过程，可得 ， 结论。 又因为区间 ( 充分大)的任意性，所以当t充分大时，仍有 成立。即2)得证。 又对于系统(5)的第一个方程，有 (37) 由比较定理有 。 所以取 ， ， 则根据定义2.1即证。