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user: 2. 局部地表水储量变化反演方法 2.1. 基本原理 根据能量守恒原理，在惯性系中卫星引力位V可表示为 [ 10 ] ： V = E k i n + E r o t − E d i s s − C 0 = 1 2 | r ˙ | 2 − ω e ( r x r ˙ y − r y r ˙ x ) − ∫ t 0 t a ⋅ r ˙ d t − C 0 (1) 其中 ω e 是地球自转角速度， r = [ r x ， r y ， r z ] T 表示卫星位置向量， r ˙ = [ r ˙ x ， r ˙ y ， r ˙ z ] T 表示卫星速度向量， E k i n = 1 2 | r ˙ | 2 表示动能， E r o t = − ω e ( r x r ˙ y − r y r ˙ x ) 表示地球旋转位能， E d i s s = ∫ t 0 t a ⋅ r ˙ d t 表示从 t 0 到t时刻非保守力引起的耗散能， C 0 表示 t 0 时刻的总能量。如果已知卫星运行的位置、速度、所受非保守力，由上式可以计算得到引力位。可将能量常数 C 0 作为待求参数或者通过相邻历元间作双差消去。 引力位V中包含了多种物理信号的影响，可表示为 [ 11 ] ： V = V Earth + V N-body + V Tides + V Ocean + V Atmosphere + V Hydrology + V Others + e v (2) 等号右边分别表示参考重力场引力位、N体摄动、潮汐(固体潮、海潮、极潮)、海洋环流、大气、水文、及其他效应(广义相对论效应、冰后回弹、地震、冰雪消融等)对引力位的影响， e v 是误差项。 由于本文研究的是地表水储量变化，需要扣除引力位V中除 V Hydrology 外其余信号的影响，由水文效应引起两颗卫星间的引力位差 V A B Hydrology 可表示为： V A B Hydrology = V B Hydrology − V A Hydrology (3) 将研究区域划分为n个格网，认为所有的格网均在以地球半长轴为半径的球面上，第i个格网面积为 d S i ，格网中点的地心余纬、经度为 θ i ， λ i ，在 Δ t 时间段内该格网表面的水储量变化 d m i 可以用等效水高 h i 的形式表示为 d m i ( θ i ， λ i ， Δ t ) = ρ w d S i h i ( θ i ， λ i ， Δ t ) (4) 其中 ρ w 是水密度。根据牛顿引力定律，在地心地固系中，区域地表水储量变化直接引起的GRACE A、B卫星间的引力位差 { d V A B } surfacemass 为： { d V A B } surfacemass = G ∑ i = 1 n ( 1 l i B − 1 l i A ) d m i (5) 其中G是万有引力常数， l i A 、 l i B 分别表示第i个格网中点到A、B卫星之间的距离。可将其球谐展开为： 1 l i A ， B = 1 R ∑ j = 0 ∞ ( R r A ， B ) j + 1 P j ( cos ψ i A ， B ) (6) cos ψ i A ， B = cos θ i cos θ A ， B + sin θ i sin θ A ， B cos ( λ i − λ A ， B ) (7) 其中R是地球半长轴， P j 表示j阶勒让德函数， ψ i A ， B 为A、B卫星与第i个格网中点的球面角距， r A ， B 、 θ A ， B 、 λ A ， B 分别表示A、B卫星的地心距、地心余纬、经度。考虑到地表质量变化产生的负荷效应影响，该效应引起的的引力位差 { d V A B } solidE 可表示为 [ 3 ] [ 11 ] ： { d V A B } solidE = G R ∑ i = 1 n ∑ j = 2 ∞ d m i k j ( ( R r B ) j + 1 P j ( cos ψ i B ) − ( R r A ) j + 1 P j ( cos ψ i A ) ) (8) 其中 k j 表示j阶负荷勒夫数。那么由区域地表水储量变化引起的卫星间的引力位差 V A B H y d r o l o g y 为： V A B Hydrology = { d V A B } surfacemass + { d V A B } solidE (9) 令 H = [ h 1 ， h 2 ， ⋯ ， h n ] T 表示 Δ t 时间段内研究区域的n个mascon参数， Y = [ y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y m ] T 为该时段m个历元的 V A B Hydrology 观测值，将公式(5)、(8)代入公式(9)，得到： Γ H = Y (10) G是m行n列的设计矩阵，其中： Γ p ， q = G ρ w d S q R ( ∑ j = 0 1 ( ( R r B ) j + 1 P j ( cos ψ q B ) − ( R r A ) j + 1 P j ( cos ψ q A ) )     + ∑ j = 2 ∞ ( 1 + k j ) ( ( R r B ) j + 1 P j ( cos ψ q B ) − ( R r A ) j + 1 P j ( cos ψ q A ) ) ) (11) 公式(10)即为基于能量位差法的mascon方法反演局部地表水储量变化的基本方程。 2.2. 引力位差的解算 基于能量守恒原理，可以利用高精度的KBRR观测数据对星间状态向量进行校正以提高引力位差计算精度的方法 [ 11 ] 。该方法的基本原理如下： 在每个历元中，设置7个待估参数a，分别是三个星间相对位置参数 r A B ，三个星间相对速度参数 r ˙ A B ，以及一个新的参数 P A B ，包括引力位差 V A B ，卫星耗散能之差 E A B d i s s 和能量常数之差 C A B 之和。将星间距离变率观测值 ρ ˙ o b s 、精密轨道数据观测值 P O D o b s (包括位置差观测值 ( r A B ) o b s 和速度差观测值 ( r ˙ A B ) o b s )作为观测值，构建观测方程： ρ ˙ o b s + e ρ = f ( α ) = r ˙ A B e A B (12) P O D o b s + e 0 = g ( α ) = [ ( r A B ) o b s ( r ˙ A B ) o b s ] ，   e 0 ~ N ( 0 ， C x ) (13) 其中 e A B = r A B ‖ r A B ‖ 是卫星连线方向的单位矢量， e ρ 表示KBRR观测误差， e 0 表示轨道观测值误差， C x 是其协方差阵。将能量守恒方程 h ( α ) = 0 作为限制条件，代入待求参数初值 α 0 ，构建误差方程及限制方程，可以迭代计算待求参数改正数 Δ α 进一步得到星间引力位差。如果GRACE卫星的相对位置精度在2到3 cm，相对速度精度在20 mm/s，星间距离变率测量精度在0.25到0.35 mm/s，不考虑其他噪声的影响，那么计算得到的引力位差精度在2.0 − 3.0 × 10 −3 m 2 /s 2 ，与KBRR观测噪声对位差计算精度的影响相当 [ 11 ] 。 2.3. 病态问题解算 利用轨道观测数据反演地表质量变化是病态的向下延拓过程。解算过程中观测数据噪声会被放大。为获得稳定的结果，可以引入先验模型及其协方差阵对解算过程进行约束，迭代求解待求参数。先验模型观测方程可表示为： x 0 = I H + e 0 ，   e 0 ~ ( 0 ， C B ) (14) 其中 x 0 是mascon参数的先验值，为n维列向量， C B 是先验模型协方差阵。观测值方差 σ y 2 未知，因此先验模型权阵 P B 未知，需要迭代求解mascon参数与 σ y 2 ： H ^ = ( Γ T Γ + σ y 2 C B − 1 ) − 1 ( Γ T Y + σ y 2 C B − 1 x 0 ) (15) σ ^ y 2 = Y T Y − H ^ T ( 2 Γ T Y ) + H ^ T ( Γ T Γ ) H ^ + ( x 0 − H ^ ) T C B − 1 ( x 0 − H ^ ) σ y 2 m (16) 利用轨道观测数据反演地表质量变化是病态的向下延拓过程。解算过程中观测数据噪声会被放大。为获得稳定的结果，可以引入先验模型及其协方差阵对解算过程进行约束，迭代求解待求参数。先验模型观测方程可表示为：给定 x 0 ， C x 及 σ y 2 初值，采用公式(15)和(16)迭代计算mascon参数估值 H ^ 和位差方差估值 σ ^ y 2 ，直到 σ ^ y 2 与上一次计算值之差小于一定限差时停止迭代。如果不能获得先验模型 x 0 及其协方差阵 C B ，可以将 x 0 初值设为0， C B 初值设为单位阵，在迭代过程中，将计算得到的 H ^ 作为 x 0 ，并计算经验协方差函数 C B ，方法如下： 根据本次迭代过程中得到的mascon参数估值 H ^ ，计算经验协方差值 C ^ B [ 12 ] ： C ^ B ( φ i ， j ) = 1 N ∑ i ， j N h ^ i h ^ j ，     φ − Δ φ 2 ≤ φ i ， j ≤ φ + Δ φ 2 (17) 其中j是相关距离， Δ φ 是距离间距， φ i ， j 是格网 i ， j 中点的球面距离，N是符合这样距离范围的格网对数。对计算得到的经验协方差值进行拟合，得到经验协方差函数 C B [ 6 ] ： C B ( i ， j ) = σ x 2 exp ( − φ i ， j β ) (18) 其中 σ x 2 为经验协方差函数方差， β 为相关距离。因此，如果不能获得先验模型协方差阵，那么在迭代过程中，需要先计算mascon参数 H ^ ，利用 H ^ 计算经验协方差函数 C B ，进而计算 σ ^ y 2 ，直至收敛。