system: [SYSTEM]

user: 2. 主要结果 定理2.1 如果存在函数 φ ( t ) ∈ C r d ( [ t 0 ， ∞ ) ， ( 0 ， ∞ ) ) ， θ ≥ 0 且 θ 为偶数与奇数商，满足 lim t → ∞ sup ∫ t 0 t [ φ ( s ) r ′ ( s ) ( Ω ( s ) ) θ r 2 ( s ) − ( φ ′ ( s ) ) 1 θ + 1 ( θ + 1 ) θ + 1 ( φ ( s ) τ ′ ( s ) ) θ ] d s = + ∞ (1) 和 lim t → ∞ 1 2 ∫ t + ∞ L 1 θ ∫ μ + ∞ [ ( 1 r ( v ) ∫ v + ∞ q ( s ) d s ) ] 1 θ d v d μ = ∞ (2) 其中， Ω ( t ) 是正则的，则方程(E)是振动的或者 x ( t ) 最终趋于0。 证明：不失一般性，存在 t 1 ∈ [ t 0 ， + ∞ ) ，不妨设 x ( t ) 为方程(E)在 t ∈ [ t 1 ， ∞ ) 上的一个非振动解且 x ( t ) > 0 ，根据引理1可知只有两种情况。若满足 u ′ ( t ) > 0 ，则方程(E)取绝对值变成 [ r ( t ) ( u ″ ( t ) ) θ ] ′ + q ( t ) ( x ( τ ( t ) ) ) θ = 0 这样有 x ( t ) ≥ ( 1 − p ( t ) ) u ( t ) (3) 由广义Riccati变换得 R ( t ) = φ ( t ) ( u ″ ( t ) ) θ ( u ′ ( τ ( t ) ) ) θ ， t ∈ [ t 1 ， + ∞ ) 根据求导性质可得 R ′ ( t ) = φ ′ ( t ) φ ( t ) R ( t ) + φ ( t ) θ ( u ″ ( t ) ) θ − 1 u ‴ ( t ) ( u ′ ( τ ( t ) ) ) θ − φ ( t ) θ ( u ″ ( t ) ) θ u ″ ( τ ( t ) ) τ ′ ( t ) ( u ′ ( τ ( t ) ) ) θ + 1 . 因为 u ″ ( τ ( t ) ) ≥ u ″ (t) R ′ ( t ) ≤ φ ′ ( t ) φ ( t ) R ( t ) − φ ( t ) θ ( u ″ ( t ) u ′ ( t ) ) θ ( − u ‴ ( t ) u ″ ( t ) ) − φ ( t ) θ R ( t ) 1 θ + 1 τ ′ ( t ) φ ( t ) 1 θ (4) 因为 r ′ ( t ) u ″ ( t ) θ + θ r ( t ) u ″ ( t ) θ − 1 u ‴ ( t ) < 0 ，且有 u ″ ( t ) < 0 ，可得 r ′ ( t ) θ r ( t ) ≤ − u ‴ ( t ) u ″ (t) 令 s > t ，则有 r 1 θ ( t ) u ″ ( t ) r 1 θ ( s ) ≥ u ″ ( s ) (5) 在 [ t ， l ] ( l ∈ [ t 1 ， ∞ ) ) 上对式(3)积分，且令 l → ∞ ，有 − u ′ ( t ) u ″ ( t ) ≤ r 1 θ ( t ) Ω ( t ) (6) 将(5)和(6)代入(4)得 R ′ ( t ) ≤ φ ′ ( t ) φ ( t ) R ( t ) − φ ( t ) θ R ( t ) 1 θ + 1 τ ′ ( t ) φ 1 θ ( t ) − φ ( t ) r ′ ( t ) ( Ω ( t ) ) θ r 2 ( t ) (7) 由引理2得 R ′ ( t ) ≤ ( φ ′ ( t ) ) 1 θ + 1 ( θ + 1 ) θ + 1 ( φ ( t ) τ ′ ( t ) ) θ − φ ( t ) r ′ ( t ) ( Ω ( t ) ) θ r 2 (t) 对上式从 [ t 2 ， t ] ( t 2 ∈ [ t 1 ， ∞ ) ) 上对s积分，有 ∫ t 2 t [ φ ( s ) r ′ ( s ) ( Ω ( s ) ) θ r 2 ( s ) − ( φ ′ ( s ) ) 1 θ + 1 ( θ + 1 ) θ + 1 ( φ ( s ) τ ′ ( s ) ) θ ] d s ≤ R ( t 2 ) − R ( t ) ≤ R ( t 2 ) (8) 显然，式(8)与条件(1)矛盾；若 u ′ ( t ) 满足 u ′ ( t ) < 0 情况，同理，由引理4可知， x ( t ) 最终趋于0，定理得证。 定理2.2 如果存在函数 φ ( t ) ∈ C r d ( [ t 0 ， ∞ ) ， ( 0 ， ∞ ) ) ，满足 lim t → ∞ sup [ φ ( s ) q ( s ) ( 1 − p ( τ ( s ) ) ) θ ( β τ ( s ) ) θ − φ ′ ( s ) θ + 1 r ( τ ( s ) ) θ + 1 ( θ + 1 ) θ + 1 ( r ( s ) φ ( s ) ) θ ] d s = ∞ (9) 和 lim t → ∞ 1 2 ∫ t + ∞ L 1 θ ∫ μ + ∞ [ ( 1 r ( v ) ∫ v + ∞ q ( s ) d s ) ] 1 θ d v d μ = ∞ (10) 其中， Ω ( t ) 是正则的， θ ≥ 0 。 则方程(E)是振动的或者t趋于无穷时， x ( t ) 极限为0。 证明：不失一般性，存在 t 1 ∈ [ t 0 ， + ∞ ) ，不妨设方程(E)在 [ t 0 ， ∞ ) 上有一个非振动正解 x ( t ) ，由引理1可知，只有两种情况. 若 u ′ ( t ) 最终为正数，则有 x ( t ) ≥ ( 1 − p ( t ) ) u ( t ) (11) 由广义Riccati变换得 M ( t ) = φ ( t ) r ( t ) ( u ″ ( t ) ) θ ( u ′ ( t ) ) θ ， t ∈ [ t 0 ， + ∞ ) 由求导法则及式(11)有 M ′ ( t ) ≤ φ ′ ( t ) φ ( t ) M ( t ) − φ ( t ) q ( t ) [ ( 1 − p ( τ ( t ) ) ) u ( τ ( t ) ) ] θ ( u ′ ( τ ( t ) ) ) θ − φ ( t ) θ r ( t ) ( u ″ ( t ) ) θ + 1 ( u ′ ( τ ( t ) ) ) θ + 1 (12) 记 h ( t ) = u ( t ) ，由引理5得， t ≥ t 0 ，存在 0 < β < 1 ，使得 u ( t ) u ′ ( t ) ≥ β t (13) 由式(11)和式(12)，式(13)为 φ ( t ) q ( t ) [ 1 − p ( τ ( t ) ) ] θ ( β τ ( t ) ) θ ≤ φ ′ ( t ) φ ( t ) M ( t ) − θ ( M ( t ) ) θ + 1 θ ( r ( t ) φ ( t ) ) 1 θ − M ′ ( t ) (14) 令 B = φ ′ ( t ) φ ( t ) ， A = θ ( r ( t ) φ ( t ) ) 1 θ ，由引理2得 φ ( t ) q ( t ) [ 1 − p ( τ ( t ) ) ] θ ( β τ ( t ) ) θ ≤ ( r ( τ ( t ) ) φ ′ ( t ) ) θ + 1 ( θ + 1 ) θ + 1 ( r ( t ) φ ( t ) ) θ − M ′ ( t ) (15) 对(15)两边积分得 ∫ t 0 t [ φ ( s ) q ( s ) [ 1 − p ( τ ( s ) ) ] θ ( β τ ( s ) ) θ − ( r ( τ ( s ) ) φ ′ ( s ) ) θ + 1 ( θ + 1 ) θ + 1 ( r ( s ) φ ( s ) ) θ ] d s ≤ M ( t 0 ) − M ( t ) ≤ M (t0) 所得结果与条件(9)矛盾。 若 u ′ ( t ) 最终小于零，由引理4可以得到 x ( t ) 最终趋于0；因此，定理证明完毕。