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user: 3. 反问题的不适定性 记 λ ¯ n 和 φ n ( x ) ∈ H 2 ( Ω ) ∩ H 0 1 ( Ω ) 为拉布拉斯算子 − Δ 具有齐次Dirichlet边界条件的特征值和对应的特征向量。根据重数计算，有 0 < λ ¯ 1 ≤ λ ¯ 2 ≤ ⋯ ≤ λ ¯ n ≤ ⋯ ， lim n → ∞ λ ¯ n = + ∞ ，且 { φ n ( x ) } n = 1 ∞ 是 L 2 ( Ω ) 中的一组标准正交基。 引理3.1 [ 3 ] 假设 ϕ ∈ H 0 β ( Ω ) ， f ∈ L 2 ( Ω ) ， p ∈ A C [ 0 ， T ] ，(其中AC表示绝对连续)那么问题(1.1)存在唯一弱解 u ∈ C ( [ 0 ， T ] ; L 2 ( Ω ) ) ∩ L 2 ( 0 ， T ; H 0 β ( Ω ) ) 使得 ∂ 0 + α u ∈ C ( [ 0 ， T ] ; L 2 ( Ω ) ) ∩ L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) ，且有如下的表达式： u ( x ， t ) = ∑ n = 1 ∞ ( ϕ ， φ n ) E α ， 1 ( − λ n t α ) φ n ( x )                         + ∑ n = 1 ∞ ( f ， φ n ) ∫ 0 t p ( τ ) ( t − τ ) α − 1 E α ， α ( − λ n ( t − τ ) α ) d τ φ n ( x ) . (3.1) 其中 λ n = λ ¯ n β 2 ， E α ， β ( z ) 为单参的Mittag-Leffler函数，定义为： E α ， β ( z ) = ∑ k = 0 ∞ z k Γ ( α k + β ) ，   z ∈ C ， α > 0 ， β ∈ R . 现假定公式(3.1)中， t = T 有 g ( x ) = u ( x ， T ) = ∑ n = 1 ∞ ( ϕ ， φ n ) E α ， 1 ( − λ n T α ) φ n ( x )                                                 + ∑ n = 1 ∞ ( f ， φ n ) ∫ 0 T p ( τ ) ( T − τ ) α − 1 E α ， α ( − λ n ( T − τ ) α ) d τ φ n ( x ) . (3.2) 令 g 1 ( x ) = g ( x ) − ∑ n = 1 ∞ ( ϕ ， φ n ) E α ， 1 ( − λ n T α ) φ n ( x ) 和 Q n ( t ) = ∫ 0 t p ( τ ) ( t − τ ) α − 1 E α ， α ( − λ n ( t − τ ) α ) d τ 。 现给出如下假定 f n = ( f ， φ n ) ， g 1 n = ( g 1 ， φ n ) ，那么将(3.2)整理后可得 g 1 n = f n Q n ( T ) . (3.3) 为了得到空间源项 f ( x ) ，那么只需解决下述第一类Fredholm积分方程： ( K f ) ( x ) = ∫ Ω k ( x ， ξ ) f ( ξ ) d ξ = g 1 ( x ) ，   x ∈ Ω ， (3.4) 其中内核为 k ( x ， ξ ) = ∑ n = 1 ∞ Q n ( T ) φ n ( x ) φ n ( ξ ) 。 接下来说明反问题的不适定性。 我们首先证明积分方程(3.3)中的算子K是紧算子，观察上述内核的定义，可得 k ( x ， ξ ) = k ( ξ ， x ) ，故可知K为自适定算子，现定义算子 K N 如下 ( K N f ) ( x ) = ( K f ) ( x ) = ∫ Ω ∑ n = 1 N Q n ( T ) φ n ( x ) φ n ( ξ ) f ( ξ ) d ξ = g 1 ( x ) ，   x ∈ Ω . (3.5) 根据引理1，有以下结论 Q n ( T ) ≤ ‖ p ‖ C [ 0 ， T ] ∫ 0 T ( T − τ ) α − 1 E α ， α ( − λ n ( T − τ ) α ) d τ ≤ ‖ p ‖ C [ 0 ， T ] λ n . (3.6) 结合(3.4)~(3.6)式有 ‖ K N f − K f ‖ = ∑ n = N + 1 ∞ Q n 2 ( T ) f n 2 ( x ) ≤ ‖ p ‖ C [ 0 ， T ] 2 λ n 2 ∑ n = N + 1 ∞ f n 2 ( x ) . 则说明 ‖ K N f − K f ‖ L 2 ( Ω ) ≤ ‖ p ‖ C [ 0 ， T ] λ n ‖ f ‖ L 2 ( Ω ) . 因此，当 N → ∞ 时，在空间 L ( L 2 ( Ω ) ， L 2 ( Ω ) ) 中， ‖ K N f − K f ‖ → 0 也就是说，K是一个紧算子。那么线性自适定紧算子K的奇异值为 ψ k = ∫ 0 T ( T − τ ) α − 1 E α ， α ( − λ k ( T − τ ) α ) d τ = Q k ( T ) ，其相关特征函数为 ϕ k ， ϕ k 为 L 2 ( Ω ) 一组标准基。 综上所述，根据参考文献 [ 7 ]，可知该方程的反项问题为不适定问题，即积分方程(3.3)式是不适定的。但是当 f ( x ) 满足一定条件时， f ( x ) 是稳定的，现给出源项 f ( x ) 的条件稳定性。 定理3.1 假定 p ( t ) ∈ C [ 0 ， T ] ，且满足 p ( t ) ≥ p 0 > 0 ，   t ∈ [ 0 ， T ] ，与此同时 f ( x ) ∈ H 0 β q ( Ω ) 满足下述先验条件： ‖ f ‖ H 0 β ( Ω ) ≤ E ，   q > 0 ， (3.7) 那么有下式成立 ‖ f ‖ ≤ C 4 E 2 q + 2 ‖ g ‖ q q + 2 ，   q > 0 ， (3.8) 其中 C 4 = ( p 0 C 1 ) − q q + 2 是一个取决于 α ， T ， q ， λ 1 ， p 0 的常数。 证明 根据(3.3)式和Hölder不等式，有 ‖ f ‖ 2 = ∑ n = 1 ∞ g 1 n 2 Q n 2 ( T ) ≤ ( ∑ n = 1 ∞ g 1 n 2 Q n q + 2 ( T ) ) 2 q + 2 ( ∑ n = 1 ∞ g 1 n 2 ) q q + 2 . (3.9) 对于 Q n ( T ) 进行放缩有 Q n ( T ) ≥ p 0 ∫ 0 T ( T − τ ) α − 1 E α ， α ( − λ n ( T − τ ) α ) d τ = p 0 T α E α ， α + 1 ( − λ n T α ) . (3.10) 应用引理1和(3.9)式，可得 ∑ n = 1 ∞ g 1 n 2 Q n q + 2 ( T ) ≤ ∑ n = 1 ∞ f n 2 ( p 0 T α E α ， α + 1 ( − λ n T α ) ) q ≤ ‖ f ‖ H 0 β q ( Ω ) 2 ( p 0 C 1 ) − q . (3.11) 结合(3.9)~(3.11)式，可得 ‖ f ‖ 2 ≤ ( p 0 C 1 ) − 2 q q + 2 ‖ f ‖ H 0 β q ( Ω ) 4 q + 2 ‖ g ‖ 2 q q + 2 . (3.12) 证明完成。