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user: 2. 弹性力学基本理论 常见的承载结构力学分析都可归结为求解应力边值问题，必须研究结构内部复杂应力分布。按照数学推理求解弹性力学问题主要从三个方面考虑：静力学、几何学和物理学。为了便于讨论混合型裂纹尖端应力，先列出弹性力学的基本方程。对于空间结构体内各点应力状态(忽略体积力)，可建立静力平衡偏微分方程为： ∂ σ x ∂ x + ∂ τ x y ∂ y + ∂ τ x z ∂ z = 0 ∂ τ x y ∂ x + ∂ σ y ∂ y + ∂ τ y z ∂ z = 0 ∂ τ x z ∂ x + ∂ τ y z ∂ y + ∂ σ z ∂ z = 0 } (1) 结构受力后发生变形，各点沿坐标轴 ( x ， y ， z ) 方向的位移用 ( u 1 ， u 2 ， u 3 ) 表示。三维弹性体内的应变与位移分量的变化率相关，根据几何关系可得以下方程： ε x = ∂ u 1 ∂ x ，     ε y = ∂ u 2 ∂ y ，     ε z = ∂ u 3 ∂ z γ y z = ∂ u 2 ∂ z + ∂ u 3 ∂ y ，     γ x z = ∂ u 1 ∂ z + ∂ u 3 ∂ x ，     γ x y = ∂ u 1 ∂ y + ∂ u 2 ∂ x } (2) 正交异性材料广泛应用于工程结构中，材料物理特性非常突出，共有九个独立的弹性常数。选择空间坐标轴 ( x ， y ， z ) 与材料主方向一致，则确定的物理方程为： σ x = C 11 ε x + C 12 ε y + C 13 ε z ，     τ y z = C 44 γ y z σ y = C 12 ε x + C 22 ε y + C 23 ε z ，     τ x z = C 55 γ x z σ z = C 13 ε x + C 23 ε y + C 33 ε z ，     τ x y = C 66 γ x y } (3) 这是用刚度系数 C i j 表示的应力与应变关系。若采用柔度系数 S i j 表示材料应变与应力关系，则三维正交异性材料的本构方程为： ε x = S 11 σ x + S 12 σ y + S 13 σ z ，     γ y z = S 44 τ y z ε y = S 12 σ x + S 22 σ y + S 23 σ z ，     γ x z = S 55 τ x z ε z = S 13 σ x + S 23 σ y + S 33 σ z ，     γ x y = S 66 τ x y } (4) 式中柔度系数 S i j 与工程弹性常数的关系为： S 11 = 1 E 1 ，     S 12 = − μ 12 E 1 = − μ 21 E 2 ，     S 44 = 1 G 23 S 22 = 1 E 2 ，     S 13 = − μ 13 E 1 = − μ 31 E 3 ，     S 55 = 1 G 13 S 33 = 1 E 3 ，     S 23 = − μ 23 E 2 = − μ 32 E 3 ，     S 66 = 1 G 12 } (5) 在讨论含裂纹弹性体变形时，通常将坐标轴y选为裂纹面的法线方向，即裂纹面平行于坐标x-z平面，如图1所示。正交异性体主方向1-2-3分别与坐标轴x-y-z平行。当弹性体受力时，体内各点发生相对位移，选用 u 1 ， u 2 ， u 3 分别表示沿 x ， y ， z 方向的位移。设裂纹尖端区域各点的位移分量都不随z变化，只是x， y的函数，即有： u 1 = u 1 ( x ， y ) ，     u 2 = u 2 ( x ， y ) ，     u 3 = u 3 ( x ， y ) 根据几何方程(2)和设定的位移函数，应变分量简化为： ε x = ∂ u 1 ∂ x ，     ε y = ∂ u 2 ∂ y ，     ε z = 0 γ y z = ∂ u 3 ∂ y ，     γ x z = ∂ u 3 ∂ x ，     γ x y = ∂ u 1 ∂ y + ∂ u 2 ∂ x } (6) 显然，应变分量都不随z变化， ε i j = ε i j ( x ， y ) 。再由材料的物理方程(3)可知，应力分量也只是x，y的函数， σ i j = σ i j ( x ， y ) 。按照简化后的几何方程(6)，可推导出有效的变形协调方程具有以下两种形式： ∂ 2 ε x ∂ y 2 + ∂ 2 ε y ∂ x 2 = ∂ 2 γ x y ∂ x ∂ y ∂ γ x z ∂ y = ∂ γ y z ∂ x } (7) 由于应力分量都不随z变化，平衡方程(1)可简化为： ∂ σ x ∂ x + ∂ τ x y ∂ y = 0 ，     ∂ τ x y ∂ x + ∂ σ y ∂ y = 0 ，     ∂ τ x z ∂ x + ∂ τ y z ∂ y = 0 (8) 简化的平衡方程中缺少应力分量 σ z ，说明在此种情形下 σ z 不重要，可以忽略。为了后面分析方便，可设 σ z ≈ 0 ，在裂纹端部应力分析时 σ z 就不必考虑了。因此，沿z方向的正应力和正应变通常较小，都可被略去，以便使实际问题分析得以简化。 关于裂纹体的变形和应力分析，重点放在裂纹端部区域，因此将坐标系建立在裂纹尖端处(如图2所示)。将z轴沿裂纹尖端放置，x轴指向裂纹前沿，y轴为裂纹面的法线方向。在x-o-y平面内建立极坐标系 o r θ ，两类坐标系的变换关系为： x = r cos θ ，       y = r sin θ (9) 图2. 裂纹端部区及坐标系 根据平衡方程(8)的特点，选取与z无关的应力函数 F 12 = F 12 ( x ， y ) ， F 3 = F 3 ( x ， y ) 进行偏微分方程的求解。首先采用应力函数把应力分量表示如下： σ x = ∂ 2 F 12 ∂ y 2 ，     σ y = ∂ 2 F 12 ∂ x 2 ，     τ x y = − ∂ 2 F 12 ∂ x ∂ y ，     τ y z = ∂ F 3 ∂ x ，     τ x z = − ∂ F 3 ∂ y (10) 平衡方程(8)自动满足。把应力分量表达式(10)代入本构方程(4)，并令 σ z = 0 ，就可将应变分量用应力函数表示为： ε x = S 11 ∂ 2 F 12 ∂ y 2 + S 12 ∂ 2 F 12 ∂ x 2 ，     ε y = S 12 ∂ 2 F 12 ∂ y 2 + S 22 ∂ 2 F 12 ∂ x 2 γ x y = − S 66 ∂ 2 F 12 ∂ x ∂ y ，     γ y z = S 44 ∂ F 3 ∂ x ，     γ x z = − S 55 ∂ F 3 ∂ y } (11) 再将应变分量代入变形协调方程(7)，可得到以应力函数表示的偏微分方程，也就是解决正交异性材料混合型裂纹尖端场的基本方程。推得的两类偏微分方程为： ∂ 4 F 12 ∂ y 4 + 2 B 1 ∂ 4 F 12 ∂ x 2 ∂ y 2 + B 2 ∂ 4 F 12 ∂ x 4 = 0 ∂ 2 F 3 ∂ y 2 + B 3 ∂ 2 F 3 ∂ x 2 = 0 } (12) 式中系数与材料弹性常数有关，按下式确定： B 1 = S 66 2 S 11 + S 12 S 11 = E 1 2 G 12 − μ 12 ，     B 2 = S 22 S 11 = E 1 E 2 ，     B 3 = S 44 S 55 = G 13 G 23 (13) 显然，用应力函数 F 12 和 F 3 表示的两类变形协调方程是相互独立的，可分开求解。