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user: 3. 主要结论 本节在文 [ 15 ] 所给出的模糊谓词定义的基础上，讨论了部分可观察模糊DES和完全可观察模糊DES的状态反馈控制。 定义3.1设 P ∈ P ( Q ) ，如果 ∀ q ∈ Q ， σ ∈ Σ u 有 P ≤ Re ( G ， P ) ∧ w l p σ ( P ) (14) 则称模糊谓词P是可控的。 对任一模糊谓词 P ∈ P ( Q ) ， P ( q ) ≥ α ( q ∈ Q ， α ∈ ( 0 ， 1 ] ) ，首先给出输出映射h的一个逆像 h − 1 ，即 h − 1 ( h ( P ) ) = { q ∈ Q | h ( P ) ( h ( q ) ) ≥ α } . 定义3.2设 P ∈ P ( Q ) ，如果 ∀ q ∈ Q ， σ ∈ Σ c 有 P ≥ h − 1 ( h ( s p σ ( P ) ∧ P ) ) ∧ s p σ ( P ) (15) 则称模糊谓词P是可观察的。 显然，模糊谓词 P ∈ P ( Q ) ， α ∈ ( 0 ， 1 ] 可观察等价于存在满足 P ( q ′ ) ≥ α ， P ( q ″ ) ≥ α 的 q ′ ， q ″ ∈ Q ， σ ∈ Σ c ， h ( q ′ ) = h ( q ″ ) 且 P ( δ ( σ ， q ″ ) ) ≥ α ，则 P ( δ ( σ ， q ′ ) ) ≥ α 。 定理3.1设模糊谓词P可控可观察当且仅当存在一个合理的h-控制器f使得 Re ( f / G ， Q ) = P 。 证明 首先给出G的一个合理的模糊控制器 f σ ( q ) = { w l p σ ( P ) ( q ) ，               q ∈ Q ， σ ∈ Σ c ， 1 ，                                                                 q ∈ Q ， σ ∈ Σ u . (16) 在给定上述控制器的前提下证明该引理。 充分性：假设P是可控且可观察的，下证 Re ( f / G ， Q ) = P 。对任意的 q = [ α 1 ， α 2 ， ⋯ ， α n ] ， α ∈ [ 0 ， 1 ] ，则有 P ( q ) = max 1 ≤ i ≤ n α i 。记 max 1 ≤ i ≤ n α i = α ，下证 Re ( f / G ， Q ) ( q ) = α 。由于P是可控可观察的且 P ( q 0 ) = 1 ，则 P ≤ Re ( G ， P ) 成立。由定义2.7可知： ∃ m ≥ 0 ，状态 q 0 ， q 1 ， ⋯ ， q m = q ∈ Q 及事件 σ 0 ， σ 1 ， ⋯ ， σ m − 1 ∈ Σ ， δ m − 1 ( σ i ， q i ) = q i + 1 满足： min 0 ≤ i ≤ m − 1 D σ i ( q i ) ≥ α 且 min 0 ≤ i ≤ m − 1 P ( q i ) ≥ α 。由定义2.6可知要证 Re ( f / G ， Q ) ( q ) = α 成立，只需证 min 0 ≤ i ≤ m − 1 f σ i ( q i ) ≥ α 即可。 当 σ ∈ Σ u 时，由f的定义可知 f σ ( q i ) = 1 ≥ α 恒成立； 当 σ ∈ Σ c 时，利用反证法，假设存在k使得 f σ k ( q k ) < α ，则由f可知有 h ( P ) ( h ( δ ( σ k ， q k ) ) ) < α 成立。由自动机 G ( P ) 的定义可知 P ( σ k ∘ q k ) < α 。这与定义2.7中的 min 0 ≤ i ≤ m − 1 P ( q i ) ≥ α 矛盾，因此 f σ k ( q k ) ≥ α 成立，即 min 0 ≤ i ≤ m − 1 f σ i ( q i ) ≥ α 成立。故而有 Re ( f / G ， Q ) ( q ) = α ，即 Re ( f / G ， Q ) = P 。 必要性：假设对任意的 q ∈ Q ，对上述所给合理的控制器f有 Re ( f / G ， Q ) ( q ) = P ( q ) 成立，下证模糊谓词P是可控且可观察的。 由文 [ 15 ] 中定理3.2可知，存在合理的模糊控制器f使得 Re ( f / G ， Q ) = P 成立时，P是可控的。 下证模糊谓词P是可观察的，即任给的 α ∈ [ 0 ， 1 ] ，若存在某 σ ∈ Σ c ， q ′ ， q ″ ∈ Q ，满足 δ ( σ ， q ′ ) ! ， δ ( σ ， q ″ ) ! ， P ( q ′ ) ≥ α ， P ( q ″ ) ≥ α ， h ( q ′ ) = h ( q ″ ) ， P ( δ ( σ ， q ″ ) ) ≥ α 时，有 P ( δ ( σ ， q ′ ) ) ≥ α 。 因为 Re ( f / G ， Q ) = P ，所以只须证 Re ( f / G ， Q ) ( δ ( σ ， q ′ ) ) ≥ α 即可。 由 δ ( σ ， q ′ ) ! ， δ ( σ ， q ″ ) ! 且 h ( q ′ ) = h ( q ″ ) ，故而有 δ ( σ ， q ′ ) = δ ( σ ， q ″ ) 。又因为 P ( δ ( σ ， q ″ ) ) ≥ α ，所以 Re ( f / G ， Q ) ( δ ( σ ， q ″ ) ) ≥ α ，由定义2.6可知 f σ ( δ ( σ ， q ″ ) ) ≥ α 。又因为模糊控制器f是合理的，所以 f σ ( δ ( σ ， q ′ ) ) ≥ α ，由f可知 w l p σ ( P ) ( q ) ≥ α ， max { P ( δ ( σ ， δ ( σ ， q ′ ) ) ) ∧ D σ ( δ ( σ ， q ′ ) ) ， 1 − D σ ( δ ( σ ， q ′ ) ) } ≥ α ，故 P ( δ ( σ ， δ ( σ ， q ′ ) ) ) ≥ α ，所以 P ( δ ( σ ， q ′ ) ) ≥ α ，因此模糊谓词P是可观察的。 综上所述，模糊谓词P是可控且可观察的。 证毕。 为进一步研究模糊DES的状态反馈控制，我们在给定下面条件A的基础上，将部分可观察模糊DES转化为完全可观察模糊DES。 条件A 对 σ ∈ Σ 及满足 P ( q ) ≥ α ， P ( q ′ ) ≥ α 的 q ， q ′ ∈ Q ，若 δ ( σ ， q ) ! ， δ ( σ ， q ′ ) ! ，则 h ( q ) = h ( q ′ ) ⇒ h ( δ ( σ ， q ) ) = h ( δ ( σ ， q ′ ) ) 。 对可控可观察模糊谓词P，设 δ ( σ ， q ) ! ，记 y = h ( q ) 。 G ( P ) = ( Y ∪ { Y J } ， Σ ， δ ′ ， y 0 ) . (17) 其中 σ ∈ Σ ， δ ′ ( σ ， y ) = { h ( δ ( σ ， q ) ) ， 若 存 在 P ( q ) ≥ α 且 P ( δ ( σ ， q ) ) ≥ α ， α ∈ ( 0 ， 1 ] Y J ，   若 存 在 P ( q ) ≥ α 且 P ( δ ( σ ， q ) ) < α ， α ∈ ( 0 ， 1 ] 无 定 义 ，       否 则 (18) 这里 Y J 为Y的一个虚设状态，而 y 0 = h ( q 0 ) 。对于任意可观察的模糊谓词P，由 G ( P ) 的转移函数可知 G ( P ) 中的每一个状态都会有相对应的输出符号，因此 G ( P ) 是一个完全可观察的模糊DES。 下面我们讨论 h ( P ) 作为 G ( P ) 的谓词与P作为G的谓词之间的关系。 定理3.2 设模糊谓词P满足条件A且可控可观察，则 1) P相对于G是控制不变的当且仅当 h ( P ) 相对于 G ( P ) 是控制不变的。 2) 若P相对于G是可控的，则 h ( P ) 相对于 G ( P ) 是可控的。 证明 (1)充分性：要证 h ( P ) 相对于 G ( P ) 是控制不变的，只须证对任给的 σ ∈ Σ u ， y ∈ Y ， δ ′ ( σ ， y ) ! 且 h ( P ) ( y ) ≥ α ， α ∈ ( 0 ， 1 ] ，则有 h ( P ) ( δ ′ ( σ ， y ) ) ≥ α 即可。若对 ∀ σ ∈ Σ u ， y ∈ Y ， δ ′ ( σ ， y ) ! 且 h ( P ) ( y ) ≥ α ，可知 ∃ q ∈ Q 且 P ( q ) > α ，使得 y = h ( q ) 且 δ ( σ ， q ) ！ 。又因为P相对于G是控制不变的，则有 P ≤ w l p σ ( P ) ，即对 ∀ σ ∈ Σ ， q ∈ Q ， δ ( σ ， q ) ！ ，若 P ( q ) > α ，则有 δ ( σ ， q ) = q ′ 且 P ( δ ( σ ， q ) ) ≥ α 。因此 δ ′ ( σ ， y ) = h ( q ′ ) 且 h ( P ) ( δ ′ ( σ ， y ) ) ≥ α 。 必要性：要证P相对于G是控制不变的，只须证对 ∀ σ ∈ Σ u ， q ∈ Q ， δ ( σ ， q ) ！ 且 P ( q ) ≥ α ，则有 P ( δ ( σ ， q ) ) ≥ α 即可。对任给的 σ ∈ Σ u ， q ∈ Q ， δ ( σ ， q ) ！ 且 P ( q ) ≥ α ，记 y = h ( q ) ，由 G ( P ) 的定义可知 δ ′ ( σ ， y ) ! 。又因为 h ( P ) 相对于 G ( P ) 是控制不变的，故而有 h ( P ) ( δ ′ ( σ ， y ) ) ≥ α ，从而 P ( δ ( σ ， q ) ) ≥ α 。 若P相对于G是可控的，则 P ≤ Re ( G ， P ) ∧ w l p σ ( P ) 。由定义2.7知 ∃ m ≥ 0 ，状态 q 0 ， q 1 ， ⋯ ， q m ∈ Q 及事件 σ 0 ， σ 1 ， ⋯ ， σ m − 1 ∈ Σ ， δ σ i ( q i ) = q i + 1 ， q m = q ，满足 min 0 ≤ i ≤ m − 1 D σ i ( q i ) ≥ α 且 min 0 ≤ i ≤ m − 1 P ( q i ) ≥ α 。记 y i = h ( q i ) ，则 min 0 ≤ i ≤ − m − 1 D ′ σ i ( y i ) ≥ α 且 min 0 ≤ i ≤ m − 1 h ( P ) ( y i ) ≥ α ，所以有 h ( P ) ≤ Re ( Y ， h ( P ) ) 。因此，结合(1)可知 h ( P ) 相对于 G ( P ) 是可控。 但其逆并不成立。例如，若P相对于G是可控，取 q J ∉ Q 但有 δ ( σ ， q J ) = q J 且 h ( q J ) = h ( q 0 ) 成立，此时 q J 是不可达的，故有 P ∪ { q J } 是不可控的，但我们根据 G ( P ) 的定义可知 h ( P ) ∪ { q J } 却是可控的。