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user: 1. 引言 特征值问题的主要目标之一是通过尽可能明确的几何量，例如等周常数、流形的体积、流形的直径以及有关的曲率条件对特征值的上下界进行估计 [ 1 ] 。Laplace算子为最重要的微分算子之一，其特征值估计对几何、分析及物理等都有极其重要的作用。丘成桐(Yau)等著名数学家对微分算子的特征值估计问题做出了许多重要的贡献，直到现在特征值估计依然是流形分析上的重要问题，在许多数学家的不懈努力下，特征值估计问题迅速发展并拓展出许多新的更加精确的结果。本节将首先介绍微分流形上特征值估计问题的研究背景与研究意义，然后介绍特征值估计问题的基本发展。 1.1. 微分流形上特征值估计问题的研究背景与意义 爱因斯坦广义相对论需要用弯曲空间来描述物理世界，黎曼流形为描述解释广义相对论提供了工具，因此研究黎曼流形上的特殊算子有助于解决广义相对论及爱因斯坦场方程等问题。Laplace算子为微分流形上最重要的一类微分算子，是因为很多重要的非线性算子在线性化之后就是某个黎曼度量的Laplace算子，因此Laplace算子对微分流形的谱(即Laplace算子的特征值全体) [ 2 ] 的研究具有重要的意义。丘成桐在2000年发表的《几何与分析回顾》中提出了十个有待解决的问题，其中第二个问题就是：理解一个完备流形的Laplace算子的谱。微分流形上特征值问题的研究始于20世纪60年代，经过多年的发展获得了丰富有效的成果 [ 1 ] [ 3 ] [ 4 ] ，已经成为流形分析的重要研究课题之一，谱几何也成为大范围几何分析的一个重要分支。 20世纪，微分几何与物理学及数学中的分析数学、代数几何、拓扑学等相互影响相互促进，得到了迅猛发展。分析方法的引入更是对微分几何的发展产生了深远的影响，促进了许多著名问题的解决。一个微分流形的全体特征值能够反映出很多几何或拓扑信息？众所周知：一个等距的流形必然是等谱的。但是等谱的流形是否必然等距呢？1911年，Weyl证明了平面区域的面积可以由谱来决定；1964年，著名数学家Milnor构造出等谱而不等距的16维平坦环面；1966年，Kac提出一个问题“你能听出鼓的形状吗”化为数学问题即两个平面等谱区域是否等距同构？并证明答案是否定的，即等谱的流形不一定等距。Laplace算子的谱与流形的几何性质及拓扑性质有着密切的联系，谱理论对数学与物理具有重要的作用，但是已经求出谱的只有等腰直角三角形、标准单位球面、平坦球面、Klein瓶、复射影空间、酉群等很少的流形。鉴于大部分的流形的谱尚无法完全计算，而主特征值是谱的主项，故近几十年来数学家们主要研究主特征值(第一特征值)的尽可能精确的结果。主要有三类研究方法：一是Cheeger引入的等周常数的方法；二是Li-Yau发展的梯度估计方法；三是概率中的耦合方法。 特征值问题也促进了数学其他分支中相关问题的研究与应用，如非线性科学，计算数学中的反散射理论，谱方法的数值分析，湍流等。Laplace方程在数学物理中起着十分重要的作用，求解热传导问题或薄膜振动问题实际就是求解Laplace方程的特征值问题，在薄膜情况下特征值对应于薄膜振动的固有频率。Laplace算子推广到黎曼流形上后成为现代微分几何中一个极其重要的微分算子，其特征值问题促进了许多物理问题的解决。将黎曼度量进行推广得到新的Finsler流形是比黎曼流形更广泛的流形，在特殊的Finsler-Berwald空间上建立引力场方程有利于解决推广的狭义相对论(例如Sitter狭义相对论、Doubly狭义相对论和Very狭义相对论)问题。并可以在此基础上研究超高能粒子在宇宙空间的运动特征，对于解释星系旋转曲线观测实验的暗物质假设替代模型修改的牛顿力学和宇宙加速膨胀的现象也具有重要作用。在Finsler几何的框架下研究Berwald空间上的引力场方程在弱场近似下的行为，会发现一特殊的Finsler结构所导出的动力学方程与MOND给出的方程一致。微分算子的谱理论在工程和物理领域有着广泛的应用，兴起于20世纪的量子力学理论是研究微观粒子状态的主要工具，大大促进了现代科学技术的发展，使人们掌握了先进的科学技术如激光、光纤等，量子力学已经成为现代物理的重要支柱，而量子力学研究中的一个重要问题就是考虑微分算子的谱理论。例如，量子跃迁是量子力学中一个非常重要的问题(即在某种外界作用下体系在定态之间的跃迁几率问题)，这个问题主要考虑本征态即特征函数空间。另外，一个量子体系能级分布在理论与观测上都有重要的性质，厄米算符可以用来表示量子力学体系的哈密顿量，而厄米算符的本征值对应该量子力学体系的能级。在量子力学中求解系统能谱是基础而重要的问题，处理此类问题时，通常使用的是Schrodinger方程，但是由于涉及到微分方程很多时候不容易求解。另一方面，与Schrodinger方程同样重要的Heisenberg方程却很少被直接用于求解能谱。其实由Heisenberg的思想出发并结合Schrodinger算子可以得出一种求解系统能谱的新方法，称为“不变本征算符方法”。此方法主要从Heisenberg创建矩阵力学的思想出发，关注能级的间隙同时结合Schrodinger算符的物理意义，把本征态的思想推广到“不变本征算符”的概念对算符进行操作，无须涉及系统的具体量子态或波函数，从而回避了复杂的微分方程，更方便对很多系统进行求解，为量子力学、量子光学和固体物理提供了新方法，也为经典力学的简正坐标理论提供了新思路。 1.2. 特征值估计问题的发展 对Laplace算子的特征值进行估计时，由于边界条件的不同主要分为Dirichlet边界问题与Neumann边界问题： Dirichlet边界问题： { Δ u = − λ u ，   on   M u = 0 ， on   ∂ M Neumann边界问题： { Δ u = − λ u ，on   M ∇ n u = 0 ，   on   ∂ M 其中 n 为 ∂ M 上的外法向量。 特征值问题的研究中有两个密切相关的方向：一是研究序列 { λ i } 的渐近性质，著名的Weyl公式 [ 2 ] 给出了 λ i 渐近展开的第一项，Ivrii在研究 λ i 渐近展开的第二项的方向上做了重要的工作；另一方面是对一般流形利用梯度估计、等周不等式、极大极小原理等估计开头几个特征值。鉴于大部分流形的谱尚无法完全计算，而主特征值是谱的主项，故我们主要研究主特征值(即第一特征值)的尽可能精确的结果。 Cheng [ 5 ] 给出了仅依赖于流形的直径及Ricci曲率的主特征值的经典的上界估计： 定理1.1 设M为一个m维带边界的完备黎曼流形，Ricci曲率满足 R i c ≥ − ( m − 1 ) K ，则M上Laplace算子的第一非零特征值满足上界估计： λ 1 ≥ ( m − 1 ) 2 4 K . Li-Yau [ 6 ] 得到了只依赖于直径及Ricci曲率的主特征值的经典的下界估计： 定理1.2 设M为一个m维无边界的紧致黎曼流形，其Ricci曲率非负，直径为d，则M上Laplace算子的第一非零特征值满足下界估计： λ 1 ≥ π 2 4 d 2 . 在此基础上，Zhong-Yang [ 7 ] 得到了此类问题的主特征值下界的最优估计。 推论1.3 设M为一个m维无边界的紧致黎曼流形，且其Ricci曲率非负，M的直径为d，则M上Laplace算子的第一非零特征值下界满足： λ 1 ≥ π 2 d 2 . 最近，Hang-Wang [ 8 ] 对此类问题进行改进并证明了Ricci曲率满足 R i c ≥ 0 的光滑紧致黎曼流形，若 λ 1 ≥ π 2 d 2 ，则流形M等距于半径为 d π 的圆。