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user: 3. G20CrNi2Mo轴承钢的S-N曲线 3.1. G20CrNi2Mo轴承钢疲劳寿命的威布尔分布 赵永翔和梁红琴的疲劳寿命数据见表1。 Table 1 Fatigue life of G20CrNi2Mo steel under four levels of cyclic stres stress level S1 S2 S3 S4 4900 Mpa 5500 Mpa 6100 Mpa 6700 Mpa Fatigue life， 10 7 cycles for origin and after t o and t f adjusting life id origin norm * origin norm * origin norm * origin norm * t 1 2.25 0.0628 0.877 0.0645 0.588 0.0916 0.163 0.2114 t 2 3.88 0.1083 1.50 0.1104 0.943 0.1469 0.288 0.2342 t 3 6.42 0.1793 2.48 0.1825 1.460 0.2274 0.372 0.2495 t 4 14.1 0.3937 5.40 0.3974 2.90 0.4517 0.438 0.2615 t 4 17.0 0.4747 6.49 0.4776 3.41 0.5312 0.598 0.2906 t 6 17.0 0.4747 6.52 0.4798 3.42 0.5327 0.799 0.3271 t 7 18.5 0.5166 7.07 0.5202 3.67 0.5717 1.39 0.4346 t 8 21.0 0.5864 8.02 0.5901 4.10 0.6387 1.83 0.5146 t 9 36.1 1.0081 13.70 1.0081 6.57 1.0234 5.07 1.1037 t 10 41.6 1.1617 15.80 1.1626 7.42 1.1558 5.73 1.2237 t 11 42.1 1.1756 16.00 1.1773 7.51 1.1698 6.61 1.3837 t 12 48.6 1.3572 18.40 1.3539 8.50 1.3204 7.07 1.4673 t 13 82.9 2.3150 31.20 2.2958 13.50 2.1029 10.3 2.0546 t 14 139.0 4.0491 52.00 3.9735 21.10 3.1154 17.9 3.6364 表1. G20CrNi2Mo轴承钢在四种交变应力下的疲劳寿命，10 7 cycles * 指经t o 和t f 修正得到最佳拟合指数 后归一化的无量纲寿命： 。 1) 原始数据的拟合 根据表1四种应力水平的原始数据计算得到的统计量及拟合指数 见表2。显然在前三种应力S1，S2和S3作用下的疲劳寿命数据都得到很好的拟合指数(与最佳拟合指数偏差在5%以内)。但是在最大交变应力S4的场合下，得到的拟合指数 高出最佳值52%。 (7) 式中 是试验寿命 的累计失效率， 是威布尔分布给出的累计失效率。于是，在四种应力下的威布尔疲劳寿命累积失效率表达式分别是： 本实验 ， 。这四组数据的 ，可借用McCool提出的判据 [ 8 ] ： ( ， )，可认为四者失效机制相近。 2) 数据经过t o 和t f 修正后按斜度和峭度的拟合 四种交变应力作用下疲劳寿命经t o 和t f 修正后的最佳拟合指数 见表3： Table 2 Fitting four original datasets of fatigue life to two parameter Weibull distributio stress S1 0 139.0 1.0359 35.57 35.03 37.00 1.0057 1.1012 0.9708 1.0630 1.0169 0.00420 S2 0 52.0 1.0465 13.51 13.25 13.84 1.0131 1.1081 0.9681 1.0589 1.0135 0.00417 S3 0 21.1 1.1936 6.475 6.076 5.5645 1.1002 1.1884 0.9218 0.9957 0.9587 0.00417 S4 0 17.9 0.7731 3.5885 4.183 5.1178 1.1257 1.2292 1.4563 1.5902 1.5233 0.00724 表2. 四组原始疲劳寿命拟合两参数威布尔分布的结果 符号说明(下同)： ， ：疲劳失效开始时间和名义全失效时间，(10 7 转)； ， ：极大似然法拟合的威布尔形状参数(无量纲)和尺寸参数(10 7 转)； ， ：分别为试样数据内禀斜度和内禀峭度对应的威布尔形状参数； 和 ：试样寿命数据的均值和标准差，(10 7 转)； ：拟合曲线相对于试样实验值的均方偏差(10 7 转)。 Table 3 After correction of and， fitting four datasets of fatigue life to three parameter Weibull distributio Stress S1 0 145 1.0227 35.81 36.46 39.31 0.9754 1.0675 0.9538 1.0438 0.9988 0.00428 S2 0 54 1.0345 13.59 13.39 14.27 0.9852 1.077 0.9523 1.0411 0.9969 0.00425 S3 0 20 1.2158 6.4197 5.9994 5.3393 1.1576 1.2561 0.9522 1.0332 0.9927 0.00406 S4 −1 19 1.1131 5.4999 5.2613 5.3479 1.0688 1.1596 0.9602 1.0418 1.0010 0.01014 表3. 四组原始疲劳寿命经斜度和峭度修正后拟合三参数威布尔分布的结果 对应三参数威布尔疲劳寿命累积失效率表达式分别是： 虽然Mc Cool提出的判据只适用两参数威布尔分布，这四组三参数威布尔分布的 比1.87小多了，应视为失效机制很接近。 请注意，经t o 和t f 修正的上述三参数威布尔归一化寿命数据 已列入表1。把这56个数据融合成一组，用极大似然法重新计算拟合指数，得到如下结果，见表4。 不难看出，融合后数据组的威布尔分布形状参数 很接近四组 平均值1.09665，尺寸参数 也很令人满意。拟合指数 也表明归一化数据融合是成功的。 3.2. S-N曲线 假设对数应力振幅 和对数威布尔尺寸参数 存在线性关系： (8) 式中 是常用对数，参数b和m可依据最小二乘法解出。 1) 原始数据的S-N曲线 根据表2数据可得到4个应力水平下的常用对数 和 ，并绘成图1。显然，在双对数坐标图上它们存在良好的直线关系。根据最小二乘法，可以得到如下表达式。 Table 4 After correction of and， fitting normalized four datasets of fatigue life to two parameter Weibull distributio sample size 56 1.08799 1.000673 0.9666 0.95853 1.80228 3.09184 0.9862 1.1184 1.0523 表4. 疲劳寿命经斜度和峭度修正后归一化融合的两参数威布尔分布 图1. 未经斜度和峭度拟合数据的S-N曲线 (9) 这与赵永翔等人的结果：指数前因子b = 35.697及斜率−7.592相当接近。 2) 按斜度和峭度拟合的S-N曲线 同理，根据表3数据算出4个应力水平下的常用对数 和 ，可绘制图2。最小二乘法给出这条曲线的表达式是： (10) 值得注意的是，图2曲线很可能由斜率不同的两线段：1) S1-S3，2) S3-S4组成。大约在 处转折后趋向平缓，进入高周疲劳极限区，但仍未进入无限疲劳寿命区。这种形状的S-N曲线并不少见。如果只拟合线段S1-S3，可得到斜率−4.629319，而线段S3-S4的斜率为−8.387685。由于缺少更多中周和超高周疲劳数据，此S-N曲线是否还有其他转折并不清楚。由于本文只研究S-N曲线的唯象表述，不探讨疲劳失效的微观机理以及超高周疲劳S-N曲线形状分类，对此有兴趣的读者请参考有关文献 [ 1 ] [ 4 ] [ 9 ] [ 10 ] 。 下面就以经过斜度和峭度拟合的数据组说明S-N曲线的标准差和L10，L63和L90的计算。 3.3. 标准差 若已知形状参数 和尺寸参数 ，威布尔分布标准差 的期望值是： (11) 图2. 经过斜度和峭度拟合数据的S-N曲线 于是也可以把它和试样数据的内禀标准差进行比较，见表5。显然随应力增大尺寸参数 变小导致标准差减小，这是合理的。此外，实验数据的标准差都略大于威布尔的期望值，也可以接受。 3.4. L10，L63和L90的计算 形状参数 在常用范围0.5~5.0内的威布尔累计失效率L10，L63和L90 (10%，63.2%和90%)的数值(以尺寸参数 为单位)见图3。当 ，L90与L10之间距离超过 ，但随着 值增加，距离逐步减少到 。因此，只有同时计入 和 的影响，计算才可靠。本文 值变化范围不大：1.02~1.22，按此法计算结果见下表6。 不难看出，影响L10，L63和L90的主要因素可归咎于尺寸参数 随应力的单调变化。