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user: 2. 基础理论 定义1 [ 16 ]：在实数域R上定义区间数 a = [ a L ， a U ] ，其中： a L ≤ a U ，且满足 a L ， a U ∈ R ， a U 和 a L 分别代表区间数a的上限和下限。区间数a的中心用 c ( a ) = ( a L + a U ) / 2 表示，宽度用 w ( a ) = a U − a L 表示。当 a L = a U 时，区间数a是一个实数。 定义2 [ 17 ]：定义一个模糊集 a ˜ ，当满足 a ˜ = ( a 1 ， a 2 ， a 3 ) 的形式时，称 a ˜ 为三角模糊数， a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 且 a 1 ， a 2 ， a 3 ∈ R 。该三角模糊数的隶属度函数表示为： μ a ˜ ( x ) = { x − a 1 a 2 − a 1 ，       a 1 < x ≤ a 2 a 3 − x a 3 − a 2 ，     a 2 < x ≤ a 3 0 ，                           其 它 (1) 定义3 [ 18 ]：定义一个语言术语集 S = { s i | i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， τ } ，其中： s i 为语言术语集S中的第i + 1个语言术语； τ + 1 ( τ 取偶数)表示语言术语集S中元素的个数，称为基数； s τ 和 s 0 分别表示语言术语集S的最大和最小语言术语，且满足以下性质： (1) 当 i ≤ j 时， s i ≤ s j 。例如，基数为5的语言术语集S可以表示为：S = {s 0 = 很差， s 1 = 差， s 2 = 一般， s 3 = 好， s 4 = 很好}； (2) 存在逆算子： n e g ( s i ) = s j ，且满足 i + j = τ 。 为了防止在语言信息集结过程中出现信息缺失，Xu [ 19 ] 将离散的语言术语集扩展到连续情形，提出了虚拟语言术语集 S ¯ = { s i | i ∈ [ 0 ， τ ] } 。通常来说，决策者使用离散语言术语集给出其初始决策偏好，而虚拟语言术语集只出现在运算过程中。 定义4 [ 20 ]：假设 S = { s i | i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， τ } 为一个语言术语集，则概率语言术语集可以被定义为： L ( p ) = { L ( x ) ( p ( x ) ) | L ( x ) ∈ S ， p ( x ) ≥ 0 ， x = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， # L ( p ) ， ∑ x = 1 # L ( p ) p ( x ) ≤ 1 } ， (2) 其中， L ( x ) ( p ( x ) ) 表示语言术语 L ( x ) 的概率为 p ( x ) ， # L ( p ) 表示概率语言术语集 L ( p ) 中元素的个数， r ( x ) 是语言术语 L ( x ) 的下标， L ( p ) 中的元素通常是按照 r ( x ) p ( x ) 值的升序进行排列。对于任意两个概率语言术语集 L 1 ( p ) 和 L 2 ( p ) ，若 # L 1 ( p ) ≠ # L 2 ( p ) ，则需要对元素个数相对较少的集合增加 | # L 1 ( p ) − # L 2 ( p ) | 个语言术语，使两个集合的元素个数一致，且增加的语言术语的概率为0。 定义5 [ 20 ]：当 ∑ x = 1 # L ( p ) P ( x ) < 1 时，说明概率语言术语集 L ( p ) 中的概率语言信息不完全。对于概率语言信息不完全的概率语言术语集 L ( p ) ，需要对其进行标准化处理： L ˜ ( p ) = { L ( x ) ( p ˜ ( x ) ) | L ( x ) ∈ S ， p ˜ ( x ) ≥ 0 ， x = 1 ， 2 ， ⋯ ， # L ( p ) ， p ˜ ( x ) = p ( x ) / ∑ x = 1 # L ( p ) p ( x ) } . (3) 为了便于计算，下文中任意给定的两个及以上概率语言术语集，其中的元素都是经过标准化且有序处理的，并通过增加元素使得概率语言术语集的元素个数相等。 定义6 [ 21 ]：设 L ( p ) 、 L 1 ( p ) 和 L 2 ( p ) 为任意三个概率语言术语集，其运算规则如下所示： (1) L 1 ( p ) ⊕ L 2 ( p ) = ∪ L 1 ( x ) ∈ L 1 ( p ) ， L 2 ( x ) ∈ L 2 ( p ) { p 1 ( x ) r 1 ( x ) ⊕ p 2 ( x ) r 2 ( x ) } ， (4) (2) L 1 ( p ) ⊗ L 2 ( p ) = ∪ L 1 ( x ) ∈ L 1 ( p ) ， L 2 ( x ) ∈ L 2 ( p ) { ( r 1 ( x ) ) p 1 ( x ) ⊗ ( r 2 ( x ) ) p 2 ( x ) } ， (5) (3) λ L ( p ) = ∪ L ( x ) ∈ L ( p ) { λ p ( x ) r ( x ) }     ， (6) (4) ( L ( p ) ) λ = ∪ L ( x ) ∈ L ( p ) { ( r ( x ) ) λ p ( x ) }     ， (7) 其中， r ( x ) 、 r 1 ( x ) 和 r 2 ( x ) 分别表示语言术语 L ( x ) 、 L 1 ( x ) 和 L 2 ( x ) 的下标。 定义7 [ 21 ]：设 L ( p ) = { L ( x ) ( p ( x ) ) | L ( x ) ∈ S ， p ( x ) ≥ 0 ， x = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， # L ( p ) ， ∑ x = 1 # L ( p ) p ( x ) = 1 } 为语言术语集S上的一个概率语言术语集，则 L ( p ) 的期望函数 e ( L ( p ) ) 和方差函数 δ ( L ( p ) ) 分别为： e ( L ( p ) ) = ∑ x = 1 # L ( p ) r ( x ) p ( x ) ， (8) δ ( L ( p ) ) = ∑ x = 1 # L ( p ) ( r ( x ) − e ( L ( p ) ) ) 2 p ( x ) ， (9) 其中， r ( x ) 表示语言术语 L ( x ) 的下标。 由此可得， L ( p ) 的得分函数为： G ( L ( p ) ) = e ( L ( p ) ) − δ ( L ( p ) ) 。根据得分函数 G ( L ( p ) ) ，对于任意两个概率语言术语集 L 1 ( p ) 和 L 2 ( p ) ，得分函数数值越低，说明概率语言术语集越小，反之越高，即： (1) 若 G ( L 1 ( p ) ) > G ( L 2 ( p ) ) ，则 L 1 ( p ) > L 2 ( p ) ； (2) 若 G ( L 1 ( p ) ) = G ( L 2 ( p ) ) ，则 L 1 ( p ) = L 2 ( p ) 。 定义8 [ 21 ]：对于任意两个概率语言术语集 L 1 ( p ) 和 L 2 ( p ) ，其中 r 1 ( x ) 表示 L 1 ( p ) 中语言术语 L 1 ( x ) 的下标， r 2 ( x ) 表示 L 2 ( p ) 中语言术语 L 2 ( x ) 的下标，则二者之间的标准化汉明距离为： d ( L 1 ( p ) ， L 2 ( p ) ) = ∑ x = 1 # L ( p ) | p 1 ( x ) × r 1 ( x ) − p 2 ( x ) × r 2 ( x ) | # L ( p ) . (10) 其中， # L ( p ) 表示概率语言术语集 L 1 ( p ) 和 L 2 ( p ) 中的元素个数。 定义9 [ 22 ]：设 L i ( p ) = { L i ( x ) ( p i ( x ) ) | L i ( x ) ∈ S ， p i ( x ) ≥ 0 ， x = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， # L i ( p ) ， ∑ x = 1 # L i ( p ) p i ( x ) = 1 }   ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 为n个概率语言术语集，其对应的权重向量为 ω = ( ω 1 ， ω 2 ， ⋯ ， ω n ) T ，满足 ω i ∈ [ 0 ， 1 ] ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 且 ∑ i = 1 n ω i = 1 ，则概率语言加权平均(PLWA)算子定义为： PLWA ( L 1 ( p ) ， L 2 ( p ) ， ⋯ ， L n ( p ) ) = ⊕ i = 1 n     ω i L i ( p ) = ω 1 L 1 ( p ) ⊕ ω 2 L 2 ( p ) ⊕ ⋯ ⊕ ω n L n ( p ) = ∪ L 1 ( x ) ∈ L 1 ( p ) { ω 1 P 1 ( x ) r 1 ( x ) } ⊕ ∪ L 2 ( x ) ∈ L 2 ( p ) { ω 2 P 2 ( x ) r 2 ( x ) } ⊕ ⋯ ⊕ ∪ L n ( x ) ∈ L n ( p ) { ω n P n ( x ) r n ( x ) }     ， (11) 其中， r i ( x ) 表示语言术语 L i ( x ) 的下标。