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user: 2. 问题描述 参数不确定性时变时滞Lur’e系统主从同步模型如下： M : { x ˙ ( t ) = ( A + Δ Α ( t ) ) x ( t ) + ( B + Δ B ( t ) ) x ( t − τ ( t ) ) + ( E + Δ E ( t ) ) f ( D x ( t ) ) p ( t ) = C x ( t )                                                                                   (1) S     : { y ˙ ( t ) = ( A + Δ Α ( t ) ) y ( t ) + ( B + Δ B ( t ) ) y ( t − τ ( t ) ) + ( E + Δ E ( t ) ) f ( D y ( t ) ) + U ( t ) q ( t ) = C y ( t )                                                                                                     (2) 其中， M 是主系统， S 是主系统， x ( t ) ∈ R n ， y ( t ) ∈ R n 是主系统状态向量， p ( t ) ∈ R l ， q ( t ) ∈ R l 是输出向量， A ∈ R n × n ， B ∈ R n × n ， C ∈ R l × n ， E ∈ R n × m 是已知矩阵，时变时滞 τ ( t ) 满足： 0 ≤ τ 1 ≤ τ ( t ) ≤ τ 2 ， u 1 ≤ τ ˙ ( t ) ≤ u 2 (3) 非线性函数 f ( ⋅ ) : R m → R m 属于扇区 [ k i − ， k i + ] ，满足如下条件： k i − ≤ f i ( s 1 ) − f i ( s 2 ) s 1 − s 2 ≤ k i + ，       s 1 ≠ s 2 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m (4) 假设参数不确定矩阵 Δ A ， Δ B ， Δ E 满足如下条件： [ Δ A ( t ) ， Δ B ( t ) ， Δ E ( t ) ] = M Δ ( t ) [ N 1 ， N 2 ， N 3 ] (5) 其中， M ， N 1 ， N 2 ， N 3 是已知的具有适当维数的矩阵， Δ ( t ) 是连续时变非线性函数，满足： Δ T ( t ) Δ ( t ) ≤ I (6) 假设同步误差仅利用采样瞬间 t s 的数据，且 0 = t 0 ⋯ < t s < ⋯ + ∞ ，采样周期 h s 并不是常数，满足： 0 ≤ r ( t ) = t − t s ≤ h ，       ∀ s ≥ 0 (7) 其中 h m ， h M 分别是采样周期的上界和下界。 实现混沌Lur’e系统主从同步的采样控制器如下： C : U ( t ) = K ( p ( t k ) − q ( t k ) ) ，       t k ≤ t < t k + 1 (8) 其中， K 是控制增益矩阵。 令 e ( t ) = x ( t ) − y ( t ) ，由(1)、(2)、(8)可以获得同步误差系统： e ˙ ( t ) = ( A + Δ A ( t ) ) e ( t ) + ( B + Δ B ( t ) ) e ( t − τ ( t ) )                 + ( E + Δ E ( t ) ) g ( D e ( t ) ) − K C e ( t k ) ，       t k ≤ t < t k + 1 (9) 其中， g ( D e ( t ) ) = f ( D e ( t ) + D y ( t ) ) − f ( D y ( t ) ) ，从式(4)可以得到 k i − ≤ g i ( d i T e ， y ) d i T e = f i ( d i T ( y + e ) ) − f i ( d i T y ) d i T e ≤ k i + ，       d i T e ≠ 0 (10) 其中， d i T 是矩阵D的第i行。 当前采样数据是否传输给控制器取决于事件触发条件，当前采样数据满足触发条件时，将会被传输到控制器，当前采样数据不满足触发条件时，将保持传感器的数据不变。本文所设计的事件触发条件如下： ε T ( t s ) Θ 1 ε ( t s ) − σ 1 ( t ) e T ( t s ) Θ 2 e ( t s ) − σ 2 ( t ) e T ( t k ) Θ 3 e ( t k ) ≤ 0 (11) 其中 t s = t k + ∑ i = 1 n h i 是当前采样时刻， t k 最近传输时刻， ε ( t s ) = e ( t s ) − e ( t k ) ，矩阵 Θ i ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 是正定对称矩阵，函数 σ 1 ( t ) ， σ 2 ( t ) 满足： σ ˙ 1 ( t ) = 1 σ 1 ( t ) [ 1 σ 1 ( t ) − μ 1 ] [ ε T ( t s ) Θ 1 ε ( t s ) − κ 1 e T ( t k ) Θ 3 e ( t k ) ]   (12) σ ˙ 2 ( t ) = 1 σ 2 ( t ) [ 1 σ 2 ( t ) − μ 2 ] [ ε T ( t s ) Θ 1 ε ( t s ) − κ 2 e T ( t s ) Θ 2 e ( t s ) ] (13) 其中， μ 1 ， μ 2 ， κ 1 ， κ 2 是给定的正常数，使得 1 μ 1 < σ 1 ( t ) < κ 2 ， 1 μ 2 < σ 2 ( t ) < κ 1 。 为了便于分析，保持区间H被分解成集合 H s = [ t s ， t s + 1 ) ， H = ∪ H s ，       s = 0 ， 1 ⋯ ， t k + 1 − t k − 1. 在这种情况下，同步误差系统(9)可以转化为 e ˙ ( t ) = ( A + Δ A ( t ) ) e ( t ) + ( B + Δ B ( t ) ) e ( t − τ ( t ) )                 + ( E + Δ E ( t ) ) g ( D e ( t ) ) − K C e ( t s ) + K ε ( t s ) ，       t ∈ H s (14) 为了获得混沌Lur’e系统主从同步的判据，需要引入如下引理。 引理1 [ 20 ] 给定一个正定矩阵 R > 0 ，对于连续函数 { ω ( s ) | s ∈ [ a ， b ] } ，使如下不等式成立： ( b − a ) ∫ a b ω T ( s )   R ω ( s ) d s ≥ ( ∫ a b ω ( s )   d s ) T R ( ∫ a b ω ( s )   d s ) + 3 θ T R θ 其中， θ = ∫ a b ω ( s )   d s − 2 b − a ∫ a b ∫ a r ω ( s )   d s d r 。 引理2 [ 13 ] 对于任意给定的正定矩阵 R > 0 ，和一个可微函数 { x ( u ) | u ∈ [ a ， b ] } ，使如下不等式成立： ∫ a b x ˙ T ( s ) R x ˙ ( s ) d s ≥ 1 b − a Ω 1 T R Ω 1 + 3 b − a Ω 2 T R Ω 2 + 5 b − a Ω 3 T R Ω 3 ∫ a b ∫ θ b x ˙ T ( s )   R x ˙ ( s ) d s d θ ≥ 2 Ω 4 T R Ω 4 + 4 Ω 5 T R Ω 5 其中， Ω 1 = x ( b ) − x ( a ) ， Ω 2 = x ( b ) + x ( a ) − 1 b − a ∫ a b x ( s )   d s Ω 3 = Ω 1 + 6 b − a ∫ a b x ( s )   d s − 12 ( b − a ) 2 ∫ a b ∫ θ b x ( s ) d s d θ Ω 4 = x ( b ) − 1 b − a ∫ a b x ( s )   d s ， Ω 5 = x ( b ) + 2 b − a ∫ a b x ( s )   d s − 6 ( b − a ) 2 ∫ a b ∫ θ b x ( s ) d s d θ 引理3 [ 14 ] 对于任意标量 0 < α ， β < 1 且 α + β = 1 ，如果存在矩阵 R 1 > 0 ， R 2 > 0 ，和任意适当维数矩阵 S 1 和 S 2 ，使如下不等式成立： ( 1 α R 1 1 β R 2 ) ≥ ( R 1 + ( 1 − α ) P 1 ( 1 − α ) S 1 + α S 2 ∗ R 2 + α P 2 ) 其中， P 1 = R 1 − S 2 R 2 − 1 S 2 T ， P 2 = R 2 − S 1 T R 1 − 1 S 1 。 引理4 [ 21 ] 给出适当维数的矩阵 Γ ， Ξ ， Ψ 且 Ψ T = Ψ ，若对于任意矩阵 F 满足 F T F ≤ I ，且满足不等式 Ψ + Γ F Ξ + Ξ T F T Γ T < 0 ，则存在一个实数 ε > 0 ，使如下不等式成立： Ψ + ε − 1 Γ Γ T + ε Ξ T Ξ < 0 引理5 [ 8 ] 对于给定的对称矩阵 S = ( S 11 S 12 ∗ S 22 ) ，下面三个条件等价 1) S < 0 ; 2 ) S 11 < 0 ， S 22 − S 12 T S 11 − 1 S 12 < 0 ; 3 ) S 22 < 0 ， S 11 − S 12 S 22 − 1 S 12 T < 0 ; 引理6 [ 22 ] 假设 τ ( t ) ∈ [ τ m ， τ M ] ， h ( t ) ∈ [ 0 ， h M ] ， 具有合适维数的矩阵 Ξ 1 ， Ξ 2 ， Ξ 3 ， Ξ 4 Ω ，使得如下不等式成立 Ω + ( τ ( t ) − τ m ) Ξ 1 + ( τ M − τ ( t ) ) Ξ 2 + h ( t ) Ξ 3 + ( h M − h ( t ) ) Ξ 4 < 0 当且仅当 Ω + ( τ M − τ m ) Ξ 1 + h M Ξ 3 < 0 Ω + ( τ M − τ m ) Ξ 2 + h M Ξ 3 < 0 Ω + ( τ M − τ m ) Ξ 1 + h M Ξ 4 < 0 Ω + ( τ M − τ m ) Ξ 2 + h M Ξ 4 < 0 为了简化文章的证明过程，首先给出相应的记号： ξ ( t ) = c o l { e ( t ) ， e ( t − τ 1 ) ， e ( t − τ ( t ) ) ， e ( t − τ 2 ) ， e ( t s ) ， g ( D e ( t ) ) ， 1 τ 1 ∫ t − τ 1 t e ( s )   d s ， 1 τ ( t ) − τ 1 ∫ t − τ ( t ) t − τ 1 e ( s )   d s ，                   1 τ 2 − τ ( t ) ∫ t − τ 2 t − τ ( t ) e ( s )   d s ， 1 t − t s ∫ t s t e ( s )   d s ， 2 τ 1 2 ∫ t − τ 1 t ∫ θ t e ( s )   d s d θ ， 2 [ τ ( t ) − τ 1 ] 2 ∫ t − τ ( t ) t − τ 1 ∫ θ t − τ 1 e ( s )   d s d θ ，                   2 [ τ 2 − τ ( t ) ] 2 ∫ t − τ 2 t − τ ( t ) ∫ θ t − τ ( t ) e ( s )   d s d θ ， 1 ( t − t s ) 2 ∫ t s t ∫ θ t e ( s )   d s d θ ， e ˙ ( t ) ， ε ( t s ) } η 1 ( t ) = c o l { e ( t ) ，     e ( t s ) ，     ∫ t s t e ( s ) d s } X = ( X 1 T + X 1 − X 2 T − X 2 2 X 2 X 3 ∗ − X 1 T − X 1 − X 2 T − X 2 2 X 4 ∗ ∗ X 5 T + X 5 ) L = c o l { G T     0     0     0     G T     0     0     0     0     0     0     0     0     0     G T     0 } N = { N 1     0     N 2     0     0     N 3     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0 } e i = ( 0 n × ( i − 1 ) n I n 0 n × [ ( 15 − i ) n + m ] ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 5                         e 6 = ( 0 m × 5 n I m 0 m × 10 n ) e i = ( 0 n × [ ( i − 2 ) n + m ] I n 0 n × ( 16 − i ) n ) ， i = 7 ， 8 ， ⋯ ， 16 E 1 = ( e 2 − e 3 e 2 + e 3 − 2 e 8 e 2 − e 3 + 6 e 8 − 6 e 12 ) ， E 2 = ( e 3 − e 4 e 3 + e 4 − 2 e 9 e 3 − e 4 + 6 e 9 − 6 e 13 )