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user: 3. 有限体积元方法及其格式 考虑如下线性奇异摄动两点边值问题 [ 3 ]： { − ε y ″ ˜ ( x ) + p ( x ) y ′ ˜ ( x ) + q ( x ) y ˜ ( x ) = f ˜ ( x ) ， x ∈ ( a ， b ) ， y ˜ ( a ) = α ， y ˜ ( b ) = β ， (1) 其中 ε 是很小的正参数 0 < ε ≪ 1 ， 和 β 是已知量。假设在 [ a ， b ] 上 p ( x ) ， q ( x ) ， f ( x ) 是充分光滑函数。 作如下变量变换，我们得到： y ( x ) = y ˜ ( x ) − [ α + β − α b − a ( x − a ) ] ， 就可以将(1)化为如下齐次边界条件问题： { − ε y ″ ( x ) + p ( x ) y ′ ( x ) + q ( x ) y ( x ) = f ( x ) ， x ∈ ( a ， b ) ， y ( a ) = 0 ， y ( b ) = 0 ， (2) 其中 f ( x ) = f ˜ ( x ) − ( p ( x ) + ( x − a ) q ( x ) ) ( β − α ) / ( b − a ) 。 对以上奇异摄动方程(2)对偶剖分中任意单元 I i * = [ x i − 1 2 ， x i + 1 2 ] 上积分 − ε ∫ I i * y ″ ( x ) d x + ∫ I i * p ( x ) y ′ ( x ) d x + ∫ I i * q ( x ) y ( x ) d x = ∫ I i * f ( x ) d x . (3) 上式具体可以写成 (4) 取相应的有限元 y h ∈ S h 作y近似 ε [ y ′ h ( x i − 1 / 2 ) − y ′ h ( x i + 1 / 2 ) ] + ∫ x i − 1 / 2 x i + 1 / 2 p ( x ) y ′ h ( x ) d x + ∫ x i − 1 / 2 x i + 1 / 2 q ( x ) y h ( x ) d x = ∫ x i − 1 / 2 x i + 1 / 2 f ( x ) d x ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N − 1. (5) 由于 y h ∈ S h ，所以满足 y h ( x ) = ∑ i = 1 N − 1 y i φ i ( x )     . (6) 在区间 [ x i − 1 ， x i ] 中，有 将表达式(6)代入(5)，我们就可以得到一个关于 y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y N − 1 的线性代数方程组 ε ( − 1 h i y i − 1 + ( 1 h i + 1 h i + 1 ) y i − 1 h i + 1 y i + 1 ) + [ − 1 h i ( ∫ x i − 1 / 2 x i p ( x ) d x ) y i − 1 + ( 1 h i ∫ x i − 1 / 2 x i p ( x ) d x − 1 h i + 1 ∫ x i x i + 1 / 2 p ( x ) d x ) y i + 1 h i + 1 ( ∫ x i x i + 1 / 2 p ( x ) d x ) y i + 1 ] + [ 1 h i ( ∫ x i − 1 / 2 x i q ( x ) ( x i − x ) d x ) y i − 1 + ( 1 h i ∫ x i − 1 / 2 x i q ( x ) ( x − x i − 1 ) d x + 1 h i + 1 ∫ x i x i + 1 / 2 q ( x ) ( x i + 1 − x ) d x ) y i + 1 h i + 1 ( ∫ x i x i + 1 / 2 q ( x ) ( x − x i ) d x ) y i + 1 ] = ∫ x i − 1 2 x i + 1 2 f ( x ) d x ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N − 1. (7) 注意，在边界上： y 0 = y N = 0 ，令上式中的矩阵 A = ( 1 h 1 + 1 h 2 − 1 h 2 0 0 ⋯ 0 0 0 − 1 h 2 1 h 2 + 1 h 3 − 1 h 3 0 ⋯ 0 0 0 0 − 1 h 3 1 h 3 + 1 h 4 − 1 h 4 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ − 1 h N − 2 1 h N − 2 + 1 h N − 1 − 1 h N − 1 0 0 0 0 ⋯ 0 − 1 h N − 1 1 h N − 1 + 1 h N ) ( N − 1 ) × ( N − 1 ) ， B = ( P 1 P ˜ 1 0 0 ⋯ 0 0 0 P ¯ 2 P 2 P ˜ 2 0 ⋯ 0 0 0 0 P ¯ 3 P 3 P ˜ 3 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ P ¯ N − 2 P N − 2 P ˜ N − 2 0 0 0 0 ⋯ 0 P ¯ N − 1 P N − 1 ) ( N − 1 ) × ( N − 1 ) ， 其中 P i = 1 h i ∫ x i − 1 2 x i p ( x ) d x − 1 h i + 1 ∫ x i x i + 1 2 p ( x ) d x ， i = 1 ， 2 ， ⋯ N − 1. P ˜ i = 1 h i + 1 ∫ x i x i + 1 2 p ( x ) d x ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N − 1. P ¯ i = − 1 h i ∫ x i − 1 2 x i p ( x ) d x ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N − 1. C = ( Q 1 Q ˜ 1 0 0 ⋯ 0 0 0 Q ¯ 2 Q 2 Q ˜ 2 0 ⋯ 0 0 0 0 Q ¯ 3 Q 3 Q ˜ 3 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ Q ¯ N − 2 Q N − 2 Q ˜ N − 2 0 0 0 0 ⋯ 0 Q ¯ N − 1 Q N − 1 ) ( N − 1 ) × ( N − 1 ) ， 其中 Q i = 1 h i ∫ x i − 1 2 x i q ( x ) ( x − x i − 1 ) d x + 1 h i + 1 ∫ x i x i + 1 2 q ( x ) ( x i + 1 − x ) d x ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N − 1. Q ˜ i = 1 h i + 1 ∫ x i x i + 1 2 q ( x ) ( x − x i ) d x ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N − 1. Q ¯ i = 1 h i ∫ x i − 1 2 x i q ( x ) ( x i − x ) d x ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N − 1. Y = ( y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y N − 1 ) T ， F = ( ∫ a b f ( x ) ψ 1 ( x ) d x ， ∫ a b f ( x ) ψ 2 ( x ) d x ， ⋯ ， ∫ a b f ( x ) ψ N − 1 ( x ) d x ) T . 则(7)式化为如下线性矩阵形式代数方程组 ( ε A + B + C ) Y = F . 我们对以上的有限体积元方法的研究，有文献 [ 4 ] 可以得到了如下的结论： 定理3.1 y h ∈ S h 是方程(2)的有限体积元解，在分级网格 J h 的所有节点上 ( y − y h ) ( x j ) = Ο ( N − 2 ) ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N − 1. 在分级网格 J h 上，其超收敛性估计： | ( y − y h ) ′ ( z ) | ≤ C N − 1 .