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user: 2. 粒子碰撞中的相对论物质波 在电磁矢势A中，考虑一个粒子，它的物质波的积分形式与动量算符形式是一一对应的： ϕ = exp ( i ℏ ∫ x 0 ( L ) x ( m u μ + q A μ ) d x μ )   ⇔   p ^ μ ≡ − i ℏ ∂ ∂ x μ − q A μ . (1) 这个式子就是相对论物质波的定义 [ 7 ]，这里m是电荷为q的粒子质量， u μ 是粒子的四维速度， A μ 是电磁四维矢势， μ = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， x 4 = i c t ；积分路径L是在粒子束中从积分初始点x 0 到x的任意可积路径，它不是粒子轨迹而是计算场的数学路径。现在考虑碰撞中的粒子1和2，如图1所示，它们的相对论物质波为 ϕ ( 1 ) = exp ( i ℏ ∫ x 0 ( L ) x ( p μ ( 1 ) + q ( 1 ) A μ ( 1 ) ) d x μ ) = exp ( i ℏ ∫ x 0 ( L ) x R μ ( 1 ) d x μ ) ϕ ( 2 ) = exp ( i ℏ ∫ x 0 ( L ) x ( p μ ( 2 ) + q ( 2 ) A μ ( 2 ) ) d x μ ) = exp ( i ℏ ∫ x 0 ( L ) x R μ ( 2 ) d x μ ) ， (2) 图1. 粒子1与粒子2的碰撞 本文中用上标来标注粒子1或2。粒子1与粒子2相距r，两者彼此提供的库仑四维矢势为 A μ ( 1 ) = 1 4 π ε 0 q ( 2 ) u μ ( 2 ) c 2 r ∝ p μ ( 2 ) A μ ( 2 ) = 1 4 π ε 0 q ( 1 ) u μ ( 1 ) c 2 r ∝ p μ ( 1 ) . (3) 相对论物质波表达式中的符号 R = p + q A ，实际是经典分析力学的粒子正则动量 [ 8 ]。根据方程(2)，R可以写成漂亮的矩阵形式 [ R μ ( 1 ) R μ ( 2 ) ] = ( 1 + [ S ( 11 ) S ( 12 ) S ( 21 ) S ( 22 ) ] ) [ p μ ( 1 ) p μ ( 2 ) ] or   R = ( 1 + S ) p . (4) 对于纯库仑相互作用，矩阵S具有最简单的形式，即它有 S ( 11 ) = 0 ， S ( 22 ) = 0 ，与方程(3)一致；对于一般情况下的复杂相互作用，很容易证明，矩阵S是Hermite矩阵(Hermitian Matrix)，即： S + = S ，因为 | ϕ ( 1 ) | = | ϕ ( 2 ) | = 1 ，证明见附录A。 根据群论，二阶的Hermite矩阵S是由Pauli矩阵线性组合而成，具有SU(2)对称性： [ R ( 1 ) R ( 2 ) ] = ( 1 + S ) [ p ( 1 ) p ( 2 ) ] = ( 1 + c 1 σ 1 + c 2 σ 2 + c 3 σ 3 ) [ p ( 1 ) p ( 2 ) ] ，(5) 这里Pauli矩阵(SU(2) group)是 σ 1 = [ 0 1 1 0 ] ，   σ 2 = [ 0 − i i 0 ] ，   σ 3 = [ 1 0 0 − 1 ] ， (6) 这里c 1 ，c 2 ，c 3 是三个相互独立的实数(以下称之为SU(2)群系数)。对于一般情况下的复杂相互作用，下面我们详细讨论上述公式中每一项Pauli矩阵的物理意义。 1) 假设在碰撞过程中c 1 工作， c 2 = c 3 = 0 ，这种情况是 [ R μ ( 1 ) R μ ( 2 ) ] = ( 1 + c 1 [ 0 1 1 0 ] ) [ p μ ( 1 ) p μ ( 2 ) ] .(7) 容易看出，使用方程(3)来确定系数c 1 ，它代表了两粒子之间的纯库仑相互作用： [ R μ ( 1 ) R μ ( 2 ) ] = [ p μ ( 1 ) p μ ( 2 ) ] + [ q ( 1 ) A μ ( 1 ) q ( 2 ) A μ ( 2 ) ] . (8) 在这种情况下，R就是我们比较熟悉的粒子在电磁场中的正则动量，R控制着物质波的相位。 2) 假设在碰撞过程中c 1 和c 3 工作， c 2 = 0 ，这种情况是 [ R μ ( 1 ) R μ ( 2 ) ] = ( 1 + c 1 [ 0 1 1 0 ] + c 3 [ 1 0 0 − 1 ] ) [ p μ ( 1 ) p μ ( 2 ) ] = ( 1 + c 3 [ 1 0 0 − 1 ] ) [ p μ ( 1 ) p μ ( 2 ) ] + [ q ( 1 ) A μ ( 1 ) q ( 2 ) A μ ( 2 ) ] .(9) 让我们观察一下两粒子体系的总正则动量，它们是 R 4 = R 4 ( 1 ) + R 4 ( 2 ) R = R ( 1 ) + R ( 2 ) .(10) 把方程(9)代入上式(10)，我们得到 R 4 = p 4 ( 1 ) + c 3 p 4 ( 1 ) + q ( 1 ) A 4 ( 1 ) + p 4 ( 2 ) − c 3 p 4 ( 2 ) + q ( 2 ) A 4 ( 2 ) R = p ( 1 ) + c 3 p ( 1 ) + q ( 1 ) A ( 1 ) + p ( 2 ) − c 3 p ( 2 ) + q ( 2 ) A ( 2 ) . (11) 所以 c 3 = p 4 ( 1 ) + q ( 1 ) A 4 ( 1 ) + p 4 ( 2 ) + q ( 2 ) A 4 ( 2 ) − R 4 p 4 ( 2 ) − p 4 ( 1 ) ， (12) c 3 = | p ( 1 ) + q ( 1 ) A ( 1 ) + p ( 2 ) + q ( 2 ) A ( 2 ) − R | | p ( 2 ) − p ( 1 ) | . (13) 回忆起c 3 是SU(2)对称群的一个实数系数，在方程(12)中c 3 通过能量变化来计算；而在方程(13)中c 3 通过动量变化来计算，方程(12)和方程(13)都具有数学奇异性：如果分子不为零，方程(12)不允许两粒子具有相同的相对论能量，否则它的计算式分母为零从而使得两粒子之间的相互作用急剧增强(假设两粒子之间不是共振关系)；方程(13)同样不允许两粒子具有相同的相对论动量。这正是Pauli不相容原理。根据上述公式，Pauli不相容原理可以表述为：两粒子(费米子)不能具有相同的相对论能量E r 和不能具有相同的相对论动量，即 p 4 = m i c 1 − v 2 / c 2 = i E r c ;   p 4 ( 2 ) ≠ p 4 ( 1 ) ;   p ( 2 ) ≠ p ( 1 ) . (14) 如果两粒子体系处于总的静态(in total stationary state)，它们的总物质波是 ϕ ( 1 ) ϕ ( 2 ) = ϕ ( x ( 1 ) ， x ( 2 ) ) exp ( − i E ℏ t ) ，(15) 而 ϕ ( 1 ) ϕ ( 2 ) = exp ( i ℏ ∫ x 0 ( L ) x R μ ( 1 ) d x μ + i ℏ ∫ x 0 ( L ) x R μ ( 2 ) d x μ ) = exp ( i ℏ ∫ x 0 ( L ) x R ( 1 ) ⋅ d x ( 1 ) + i ℏ ∫ x 0 ( L ) x R ( 2 ) ⋅ d x ( 2 ) + i ℏ ∫ x 0 ( L ) x ( R 4 ( 1 ) + R 4 ( 2 ) ) d x 4 ) ， (16) 比较方程(15)和方程(16)，我们发现，总的能量守恒方程就是 R 4 = R 4 ( 1 ) + R 4 ( 2 ) = i E c = c o n s t . .(17) 这就是R 4 的物理意义，据此我们看出：R代表系统总的正则动量。注意到在(11)式子中R不仅包含电磁矢势A，还包含了新的成分。一般来讲，群参数c 3 不为零，在方程(12)中的分子包含了两粒子之间的电磁相互作用，代入两粒子之间的库仑势，我们得到 q ( 1 ) A 4 ( 1 ) + q ( 2 ) A 4 ( 2 ) = 1 4 π ε 0 q ( 1 ) q ( 2 ) u 4 ( 2 ) c 2 r + 1 4 π ε 0 q ( 1 ) q ( 2 ) u 4 ( 1 ) c 2 r ∝ 1 r ，(18) 它反比于两粒子之间的距离r。在电子费米气体中，群参数c 3 应该与温度有关，所以方程(12)和方程(13)合并在一起而写成下述函数形式 c 3 = H ( T ， 1 / r ) p 4 ( 2 ) − p 4 ( 1 ) + M ( T ， 1 / r ) | p ( 2 ) − p ( 1 ) | ， (19) 对于电子费米气体，让实验来决定上述分子中的因子 H ( T ， 1 / r ) 和 M ( T ， 1 / r ) 。只看粒子1和它的群参数，它的物质波的R最后写成 R μ ( 1 ) = p μ ( 1 ) + ( H ( T ， 1 / r ) p 4 ( 2 ) − p 4 ( 1 ) + M ( T ， 1 / r ) | p ( 2 ) − p ( 1 ) | ) p μ ( 1 ) + q ( 1 ) A μ ( 1 ) . (20) 粒子1相当于处在一个新的等效电磁场中： . (21) 新的等效电磁场 的第一项代表了Pauli不相容原理，第二项代表了纯库仑相互作用。方程(21)式给出了强关联电子体系的相互作用公式。 3) 假设在碰撞过程中c 1 和c 2 工作， ，这种情况是 . (22) 既然这种情况的相互作用矩阵S包含纯虚数，我们不得不考虑动量也有相应的如下的实部和虚部 . (23) 在四维空间中，它的形式是 . (24) 在这种情况下，只看粒子1，使用微扰理论(c 2 是小量)，从(22)式我们有 . (25) 四维动量为p (1) 的粒子1可以看成一对“配对粒子”：动量分别为p (1)Re 和p (1)Im ，如何处理配对粒子显然是非常棘手的问题，长话短说，在本作者的早期论文 [ 9 ] 中使用微扰理论(c 2 是小量)，p (1)Re 和p (1)Im 代表了自旋朝上和自旋朝下的配对关系，这里不再赘述。