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user: 3. Hom-约当三系的扩张 定理2.1设 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 为Hom-约当三系， φ : J × J × J → F 是三线性函数，在 J ⊕ V = { x 1 + λ 1 c | x 1 ∈ J ， λ 1 ∈ F } 上定义 { x 1 + λ 1 c ， x 2 + λ 2 c ， x 3 + λ 3 c } = { x 1 ， x 2 ， x 3 } + φ ( x 1 ， x 2 ， x 3 ) c ， ( α 1 + i d ) ( x 1 + λ 1 c ) = α 1 ( x 1 ) + λ 1 c ， ( α 2 + i d ) ( x 1 + λ 1 c ) = α 2 ( x 1 ) + λ 1 c ， 则 ( J ⊕ V ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 + i d ， α 2 + i d ) 为Hom-约当三系的充分必要条件是 φ 满足 φ ( x 1 ， x 2 ， x 3 ) = φ ( x 3 ， x 2 ， x 1 ) ， (2.1) φ ( α 1 ( x 1 ) ， α 2 ( x 2 ) ， { x 3 ， x 4 ， x 5 } ) − φ ( { x 1 ， x 2 ， x 3 } ， α 1 ( x 4 ) ， α 2 ( x 5 ) )   + φ ( α 1 ( x 3 ) ， { x 2 ， x 1 ， x 4 } ， α 2 ( x 5 ) ) − φ ( α 1 ( x 3 ) ， α 2 ( x 4 ) ， { x 1 ， x 2 ， x 5 } ) = 0 ， (2.2) 其中 ∀ x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ， x 5 ∈ J ， λ 1 ， λ 2 ， λ 3 ∈ F 。 证明： ∀ x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ， x 5 ∈ J ， λ 1 ， λ 2 ， λ 3 ， λ 4 ， λ 5 ∈ F ，则 ( J ⊕ V ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 + i d ， α 2 + i d ) 为Hom-约当三系当且仅当下列等式成立 { x 1 + λ 1 c ， x 2 + λ 2 c ， x 3 + λ 3 c } = { x 3 + λ 3 c ， x 2 + λ 2 c ， x 1 + λ 1 c } ， (2.3) { ( α 1 + i d ) ( x 1 + λ 1 c ) ， ( α 2 + i d ) ( x 2 + λ 2 c ) ， { x 3 + λ 3 c ， x 4 + λ 4 c ， x 5 + λ 5 c } }   − { ( α 1 + i d ) ( x 3 + λ 3 c ) ， ( α 2 + i d ) ( x 4 + λ 4 c ) ， { x 1 + λ 1 c ， x 2 + λ 2 c ， x 5 + λ 5 c } }   − { { x 1 + λ 1 c ， x 2 + λ 2 c ， x 3 + λ 3 c } ， ( α 1 + i d ) ( x 4 + λ 4 c ) ， ( α 2 + i d ) ( x 5 + λ 5 c ) }   + { ( α 1 + i d ) ( x 3 + λ 3 c ) ， { x 2 + λ 2 c ， x 1 + λ 1 c ， x 4 + λ 4 c } ， ( α 2 + i d ) ( x 5 + λ 5 c ) } = 0 ， (2.4) 由 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 为Hom-约当三系知 { x 1 ， x 2 ， x 3 } = { x 3 ， x 2 ， x 1 } ，则等式(2.3)成立当且仅当 φ 满足等式(2.1)。由 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 为Hom-约当三系知等式(1.2)成立，则等式(2.4)成立等价于等式(2.2)成立。因此，结论成立。 定理2.2设 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 为Hom-约当三系，且满足(1.11)~(1.15)， ω : J × J × J → J * 为三线性映射，在 J ⊕ J * 上定义 { x + a * ， y + b * ， z + c * } = { x ， y ， z } + ω ( x ， y ， z ) + L * ( x ， y ) c * + L * ( z ， y ) a * + M * ( x ， z ) b * ， ( α 1 + α 1 * ) ( x + a * ) = α 1 ( x ) + α 1 * ( a * ) ， ( α 2 + α 2 * ) ( x + a * ) = α 2 ( x ) + α 2 * ( a * ) ， 其中 ∀ x ， y ， z ∈ J ， a * ， b * ， c * ∈ J * ，则 ( J ⊕ J * ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 + α 1 * ， α 2 + α 2 * ) 为Hom-约当三系当且仅当 ω 满足 ω ( x ， y ， z ) = ω ( z ， y ， x ) ， (2.5) ω ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ， { z ， u ， v } ) − ω ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ， { x ， y ， v } )   + ω ( α 1 ( z ) ， { y ， x ， u } ， α 2 ( v ) ) − ω ( { x ， y ， z } ， α 1 ( u ) ， α 2 ( v ) )   + L * ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) ω ( z ， u ， v ) − L * ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) ω ( x ， y ， v )   − L * ( α 2 ( v ) ， α 1 ( u ) ) ω ( x ， y ， z ) + M * ( α 1 ( z ) ， α 2 ( v ) ) ω ( y ， x ， u ) = 0 ， (2.6) 其中 ∀ x ， y ， z ， u ， v ∈ J ，此时称 J ⊕ J * 为J的 T * -扩张。 证明：显然，在 J ⊕ J * 上定义的新的运算对三个变量都是线性的。 ∀ x ， y ， z ， u ， v ∈ J ， a * ， b * ， c * ， d * ， e * ∈ J * ， ( J ⊕ J * ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 + α 1 * ， α 2 + α 2 * ) 为Hom-约当三系当且仅当在 J ⊕ J * 上等式(1.1)、(1.2)成立。 由于 { x + a * ， y + b * ， z + c * } − { z + c * ， y + b * ， x + a * } = { x ， y ， z } − { z ， y ， x } + ω ( x ， y ， z ) − ω ( z ， y ， x ) + L * ( x ， y ) c *       − L * ( x ， y ) c * + L * ( z ， y ) a * − L * ( z ， y ) a * + M * ( x ， z ) b * − M * ( z ， x ) b * ， 由于 M * ( x ， z ) = M * ( z ， x ) ，因此在 J ⊕ J * 上等式(1.1)成立等价于等式(2.5)成立。 在 J ⊕ J * 上等式(1.2)左边直接计算得 { ( α 1 + α 1 * ) ( x + a * ) ， ( α 2 + α 2 * ) ( y + b * ) ， { z + c * ， u + d * ， v + e * } }   − { ( α 1 + α 1 * ) ( z + c * ) ， ( α 2 + α 2 * ) ( u + d * ) ， { x + a * ， y + b * ， v + e * } }   − { { x + a * ， y + b * ， z + c * } ， ( α 1 + α 1 * ) ( u + d * ) ， ( α 2 + α 2 * ) ( v + e * ) }   + { ( α 1 + α 1 * ) ( z + c * ) ， { y + b * ， x + a * ， u + d * } ， ( α 2 + α 2 * ) ( v + e * ) } = { α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ， { z ， u ， v } } − { α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ， { x ， y ， v } } − { { x ， y ， z } ， α 1 ( u ) ， α 2 ( v ) } + { α 1 ( z ) ， { y ， x ， u } ， α 2 ( v ) } + ω ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ， { z ， u ， v } ) − ω ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ， { x ， y ， v } )   − ω ( { x ， y ， z } ， α 1 ( u ) ， α 2 ( v ) ) + ω ( α 1 ( z ) ， { y ， x ， u } ， α 2 ( v ) ) + L * ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) ω ( z ， u ， v )   − L * ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) ω ( x ， y ， v ) − L * ( α 2 ( v ) ， α 1 ( u ) ) ω ( x ， y ， z ) + M * ( α 1 ( z ) ， α 2 ( v ) ) ω ( y ， x ， u )   + ( L * ( { z ， u ， v } ， α 2 ( y ) ) α 1 * − L * ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) L * ( v ， y )   − L * ( α 2 ( v ) ， α 1 ( u ) ) L * ( z ， y ) + M * ( α 1 ( z ) ， α 2 ( v ) ) M * ( y ， u ) ) ( a * ) + ( M * ( α 1 ( x ) ， { z ， u ， v } ) α 2 * − L * ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) M * ( x ， v )   − L * ( α 2 ( v ) ， α 1 ( u ) ) M * ( x ， z ) + M * ( α 1 ( z ) ， α 2 ( v ) ) L * ( u ， x ) ) ( b * )   + ( L * ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) L * ( v ， u ) − L * ( { x ， y ， v } ， α 2 ( u ) ) α 1 *   − L * ( α 2 ( v ) ， α 1 ( u ) ) L * ( x ， y ) + L * ( α 2 ( v ) ， { y ， x ， u } ) α 1 * ) ( c * ) + ( L * ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) M * ( z ， v ) − M * ( α 1 ( z ) ， { x ， y ， v } ) α 2 *   − M * ( { x ， y ， z } ， α 2 ( v ) ) α 1 * + M * ( α 1 ( z ) ， α 2 ( v ) ) L * ( y ， x ) ) ( d * )   + ( L * ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) L * ( z ， u ) − L * ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) L * ( x ， y )   − L * ( { x ， y ， z } ， α 1 ( u ) ) α 2 * + L * ( α 1 ( z ) ， { y ， x ， u } ) α 2 * ) ( e * ) 由 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 为Hom-约当三系，等式(1.2)成立。又由 ( J * ， L * ， M * ， α 1 * ， α 2 * ) 为 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 的表示知对于 ( J * ， L * ， M * ， α 1 * ， α 2 * ) 有(1.4)~(1.8)成立，则在 J ⊕ J * 上等式(1.2)成立等价于等式(2.6)成立。因此结论成立。 定义2.1设 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 为Hom-约当三系，f为J上的双线性函数，若满足 f ( { x ， y ， z } ， u ) = f ( z ， { x ， y ， u } )   ( ∀ x ， y ， z ， u ∈ J ) ， f ( { x ， y ， z } ， u ) = f ( y ， { x ， u ， z } )   ( ∀ x ， y ， z ， u ∈ J ) ， 则称f为J上的不变函数。 定义2.2设 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 为Hom-约当三系，若J上存在非退化的、不变的、对称的双线性函数f，则称 ( J ， f ) 为度量Hom-约当三系。 定理2.3设 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 为Hom-约当三系且满足 { x ， y ， z } = { x ， z ， y }   ( ∀ x ， y ， z ∈ J ) ， (2.7) 三线性映射 ω : J × J × J → J * 满足(2.5)、(2.6)并且 ω ( z ， u ， x ) y = ω ( x ， y ， u ) z = ω ( x ， y ， z ) u   ( ∀ x ， y ， z ， u ∈ J ) ， (2.8) 在 J ⊕ J * 上定义 q ( x + a * ， y + b * ) = a * ( y ) + b * ( x )   ( ∀ x ， y ∈ J ， a * ， b * ∈ J * ) ， 则 ( J ⊕ J * ， q ) 是度量Hom-约当三系。 证明：由 ω 满足等式(2.5)、(2.6)知 ( J ⊕ J * ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 + α 1 * ， α 2 + α 2 * ) 为Hom-约当三系。 对于 y + b * ，若对于 ∀ x + a * ∈ J ⊕ J * 满足 q ( x + a * ， y + b * ) = a * ( y ) + b * ( x ) = 0 ，取 a * = 0 ，则 q ( x ， y + b * ) = b * ( x ) = 0 ，因此 b * = 0 。取 x = 0 ，则 q ( a * ， y + b * ) = a * ( y ) = 0 ，因此 y = 0 ，从而 y + b * = 0 ，q是非退化的。 因为 q ( x + a * ， y + b * ) = a * ( y ) + b * ( x ) = q ( y + b * ， x + a * ) ，所以q是对称的。 ∀ x ， y ， z ， u ∈ J ， a * ， b * ， c * ， d * ∈ J * ，直接计算得 q ( { x + a * ， y + b * ， z + c * } ， u + d * ) = q ( { x ， y ， z } + ω ( x ， y ， z ) + L * ( x ， y ) c * + L * ( z ， y ) a * + M * ( x ， z ) b * ， u + d * ) = ω ( x ， y ， z ) u + L * ( x ， y ) c * ( u ) + L * ( z ， y ) a * ( u ) + M * ( x ， z ) b * ( u ) + d * ( { x ， y ， z } ) ， q ( z + c * ， { x + a * ， y + b * ， u + d * } ) = q ( z + c * ， { x ， y ， u } + ω ( x ， y ， u ) + L * ( x ， y ) d * + L * ( u ， y ) a * + M * ( x ， u ) b * ) = ω ( x ， y ， u ) z + L * ( x ， y ) d * ( z ) + L * ( u ， y ) a * ( z ) + M * ( x ， u ) b * ( z ) + c * ( { x ， y ， u } ) ， 由(2.7)知 M * ( x ， u ) b * ( z ) = 〈 b * ， { x ， z ， u } 〉 = M * ( x ， z ) b * ( u ) ， 此外， L * ( x ， y ) a * ( u ) = L * ( u ， y ) a * ( z ) ， L * ( x ， y ) c * ( u ) = c * ( { x ， y ， u } ) ， L * ( x ， y ) d * ( z ) = d * ( { x ， y ， z } ) ， 因此， q ( { x + a * ， y + b * ， z + c * } ， u + d * ) = q ( z + c * ， { x + a * ， y + b * ， u + d * } ) . q ( { x + a * ， y + b * ， z + c * } ， u + d * ) = q ( { x ， y ， z } + ω ( x ， y ， z ) + L * ( x ， y ) c * + L * ( z ， y ) a * + M * ( x ， z ) b * ， u + d * ) = ω ( x ， y ， z ) u + L * ( x ， y ) c * ( u ) + L * ( z ， y ) a * ( u ) + M * ( x ， z ) b * ( u ) + d * ( { x ， y ， z } ) ， q ( y + b * ， { z + c * ， u + d * ， x + a * } ) = q ( y + b * ， { z ， u ， x } + ω ( z ， u ， x ) + L * ( z ， u ) a * + L * ( x ， u ) c * + M * ( z ， x ) d * ) = ω ( z ， u ， x ) ( y ) + L * ( z ， u ) a * ( y ) + L * ( x ， u ) c * ( y ) + M * ( z ， x ) d * ( y ) + b * ( { z ， u ， x } ) ， 由(2.7)知 L * ( z ， u ) a * ( y ) = 〈 a * ， { z ， u ， y } 〉 = L * ( z ， y ) a * ( u ) ， L * ( x ， u ) c * ( y ) = 〈 c * ， { x ， u ， y } 〉 = L * ( x ， y ) c * ( u ) ， 此外， b * ( { z ， u ， x } ) = M * ( x ， z ) b * ( u ) ， M * ( z ， x ) d * ( y ) = d * ( { x ， y ， z } ) ， 因此， q ( { x + a * ， y + b * ， z + c * } ， u + d * ) = q ( y + b * ， { z + c * ， u + d * ， x + a * } ) ， 则q是不变的，结论成立。