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user: 3. 等效集中参数 由式(4)可以看到，圆膜振动位移与面元的径向位置有关，属于分布参数系统。为了像集中参数系统一样能够通过电–力–声类比的方法快速对分布参数系统进行性能预测，可以通过“等效”的方法得到分布参数系统的等效集中参数。在圆膜上取一径向距离为 ( r ， r + d r ) 的面元作为研究对象，如图3所示。 图2. 给定频率下，振膜归一化位移幅值模随半径r的变化 图3. 圆膜上径向距离为 ( r ， r + d r ) 的面元 3.1. 平均位移 假设，在振动过程中，圆膜的辐射面积不随频率变化，始终为 S = π a 2 ，则圆膜的位移对整个面积上的微元 2 π r d r 积分，再除以该面积，可以求得该圆膜的位移平均值 [ 1 ]： η a ¯ = 1 π a 2 ∫ 0 a 2 π η a r d r = F a π ( k a ) 2 T ⋅ J 2 ( k a ) J 0 ( k a ) (5) 其中， J 2 ( k a ) 为二阶贝塞尔函数。由该式可以看出，当分母中 J 0 ( k a ) = 0 ，即圆膜的振动频率为其共振频率时， η a ¯ 趋于无穷大，但是由于在实际振动中总是存在阻尼，使得该位移振幅只能达到一个有限的极大值。而当分子中 J 2 ( k a ) = 0 ，即圆膜的振动频率为其反共振频率时， η a ¯ = 0 。圆膜的平均位移随频率的变化曲线如图4所示。可以看到，振膜位移在多处出现极大值，他们分别对应圆膜的 1 ， 2 ， ⋯ ， n 阶模态。 图4. 振膜平均位移随频率的变化 3.2. 有效辐射面积 假设，在振动过程中，振膜的有效辐射面积会随频率变化，而整个振膜的位移在某给定频率下看作恒定值 η a ( r = 0 ) ，根据式(4)，该值为： η a ( r = 0 ) = F a π ( k a ) 2 T [ 1 J 0 ( k a ) − 1 ] (6) 则圆膜的位移对整个面积上的微元 2 π r d r 积分，再除以该位移恒定值，可以求得该圆膜的等效振动面积： S ¯ = 1 η a ( r = 0 ) ∫ 0 a 2 π η a r d r = π a 2 ⋅ J 2 ( k a ) 1 − J 0 ( k a ) (7) 圆膜的等效振动面积随频率的变化曲线如图5所示。可以看到，当频率较低(f < 1000 Hz)时，圆膜有效辐射面积几乎可以看作与频率无关的常数。而当频率升高后，有效辐射面积会间隔地出现极大值和极小值。 图5. 振膜等效振动面积随频率的变化 3.3. 等效质量 对于任一给定频率，图3所示面元的质量为 2 π σ r d r ，则该面元的振动动能 d E k ( r ， t ) 可以表示为 [ 1 ]： d E k ( r ， t ) = 1 2 ( 2 π σ r d r ) ( ∂ η ( t ， r ) ∂ t ) 2 (8) 对其进行一个周期的时间平均，并对整个振膜进行积分，可得整个圆膜在该频率下的平均动能为 [ 1 ]： E k ¯ = ∫ d E ( r ) ¯ = 1 2 π σ ω 2 A 2 ∫ 0 a J 0 2 ( k r ) r d r = 1 4 π a 2 σ ω 2 A 2 J 1 2 ( k a ) (9) 其中， J 1 ( k a ) 为一阶柱贝塞尔函数。 我们把圆膜的振动等效为圆心处质量为 M e q 的刚性体在劲度为 K e q 的弹簧作用下的振动，则该刚性体在一个周期内的等效平均动能为 [ 1 ]： E ¯ = 1 T ∫ 0 T M e q 2 ( ∂ η ∂ t ) 2 d t = 1 4 M e q ω 2 A 2 (10) 令式(9)和式(10)相等，可以得到圆形平面振膜的等效质量为 [ 1 ]： M e q = m J 1 2 ( k a ) (11) 其中， m = π a 2 δ 为振膜的实际质量。圆膜等效质量随频率的变化曲线如图6所示。可以看到，随频率的变化，等效质量会间隔地出现极大值和极小值，且极大值逐渐减小。 图6. 振膜等效质量随频率的变化 3.4. 等效劲度 圆膜的等效顺性可以用圆膜与某一集中参数系统势能相等的方法来求解，而其势能可以由圆膜发生位移时克服张力所做的功来计算 [ 2 ]。当圆膜振动发生位移后，面元伸长为 ，于是该面元的势能为 [ 2 ]： d E p ( r ， t ) = 1 2 T ( ∂ η ( t ， r ) ∂ r ) 2 2 π r d r (12) 对其进行一个周期的时间平均，并对整个圆膜进行积分，可以得到整个圆膜的在该频率下的平均势能为： E p ( r ) ¯ = ∫ d E p ( r ) ¯ = 1 2 π T ω 2 A 2 ∫ 0 a J 0 2 ( k r ) r d r = 1 4 π a 2 T ω 2 A 2 J 1 2 ( k a ) (13) 我们把圆膜的振动等效为圆心处质量为 M e q 的刚性体在劲度为 K e q 的弹簧作用下的振动，则其在一个周期内的等效平均势能为： E p ( r ) ¯ = 1 T 0 ∫ 0 T 0 K e q 2 η ( r ， t ) 2 d t = 1 4 K e q A 2 (14) 令式(14)和式(15)相等，可以得到圆形平面振膜的等效劲度为： K e q = π a 2 T ω 2 J 1 2 ( k a ) = m ω 2 J 1 2 ( k a ) (15) 圆膜等效劲度随频率的变化曲线如图7所示。可以看到，圆膜等效劲度随频率出现波动，且极大值逐渐增大。 图7. 振膜等效劲度随频率的变化 3.5. 等效同振质量 由于圆膜及其轻薄，质量非常小，处于自身辐射场中的圆膜将受到其周围空气的影响，产生辐射阻和辐射抗，产生同振质量，且该同振质量有时甚至会大于圆膜本身的质量。 圆膜振动时，其在周围媒质中产生的声场会对自身产生反作用，根据上述等效过程，把圆膜等效为集中参数系统后，其振动可近似看作活塞运动，其抗函数可以表示为 [ 1 ]： X 1 ( x ) = 4 π ( x 3 − x 3 3 2 × 5 + x 5 3 2 × 5 2 × 7 − ⋯ ) (16) 其变化规律如图8所示。 图8. 活塞型声源辐射抗函数随x的变化规律 则其辐射抗可以表示为： X r = ρ 0 c 0 π a 2 X 1 ( 2 k a ) (17) 其中， ρ 0 = 1.29   kg / m 3 为空气密度， c 0 = 343   m / s 为空气中声波传播速度。则圆膜振动时，同振质量可以表示为： M r = X r ω = ρ 0 c 0 a 2 X 1 ( 2 k a ) 2 f (18) 同振质量随频率的变化如图9所示。可以看到，同振质量在频率较低时基本为常数，之后急速减小到接近零值，可以忽略。 图9. 同振质量随频率的变化 3.6. 指向特性 对圆膜进行等效后，可以将其看作随频率增大，半径会发生变化的活塞，根据式(7)，圆膜的等效半径可以表示为： a e q = a J 2 ( k a ) 1 − J 0 ( k a ) (19) 则圆膜的指向特性可以表示为 [ 1 ]： D ( θ ) = | 2 J 1 ( k a e q sin θ ) k a e q sin θ | (20) 由式(20)可知，圆膜的指向性与其等效直径与波长的相对比值有关。图10给出了频率为200 Hz、8000 Hz和20，000 Hz时，圆膜的指向特性。可以看到，当 k a e q < 1 时， D ≈ 1 ，此时圆膜的辐射几乎是各向均匀的，此时指向性图几乎是一个圆。而随着ka值增大，指向性会越来越尖锐，使得辐射主要集中在 θ = 0 ∘ 和 180 ∘ 方向。