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user: 3. 考虑出发时间下的异质性用户出行模型 3.1. 单站点异质性用户铁路交通出行成本 考虑存在两组异质性通勤者，也即 i = 1 ， 2 。因为铁路交通到达准时有保障，列车并不会遇到排队等待状况，故而T为常量，所以异质性通勤者 α i 的不同对分析结果没有影响，因此假设对于任意i，有 α ≡ α i ，但是允许 β ， γ 和 ψ 随着通勤者不同而变化。令 μ i = β i / ψ i ， γ i / ψ i = ( γ i / β i ) ∗ ( β i / ψ i ) = η μ i ，为不失一般性，定义 a = u 1 / u 2 ≥ 1 为异质性差异，即第一组通勤者相对更注重早到带来的损失，而第二组通勤者则相对更注重体触拥挤带来的损失。又因为在拥挤峰期内，通勤者的离开率是连续的，所以根据Arnott [ 3 ] 中考虑公路异质性时的均衡，可以得到两组铁路交通通勤者均衡出发态如图2所示，由图可知第二组通勤者是早到期间( [ t s ， t ˜ ] )最早出发的或者是在晚到期间( [ t ˜ ， t e ] )最迟出发的通勤者，因为在这两个时间段拥有着最低的相对体触拥挤成本。同样的，第一组通勤者则是选择在早到期间( [ t s ， t ˜ ] )最迟出发或者在晚到期间( [ t ˜ ， t e ] )最早出发，因为在这两个时间段拥有着最低的相对延误成本。 图2. 单站点异质性用户铁路通勤者离开率 如图2所示，显然，对于在 [ t s ， t 1 ] 期间出发的第二组通勤者而言，晚于 t 1 时刻出发意味着面临着相对更高的通勤者离开率，这将导致付出的出行成本更高。同样的，对于在 [ t 1 ， t ˜ ] 期间出发的第一组通勤者而言，早于 t 1 时刻出发也意味着面临着相对更高的通勤者离开率，这将导致付出的出行成本更高，也即图2中的离开率曲线为等成本离开率曲线。而对于晚到期间的两组用户也是亦然。因此，与等式(1)相同，两组通勤者的成本分别由以下两式给出： C 1 ( t ) = { α T + β 1 ( t ˜ − t ) + ψ 1 ξ T r 1 ( t ) + F ，   t ∈ [ t 1 ， t ˜ ] α T + γ 1 ( t − t ˜ ) + ψ 1 ξ T r 1 ( t ) + F ，       t ∈ [ t ˜ ， t 2 ] (9) C 2 ( t ) = { α T + β 2 ( t ˜ − t ) + ψ 2 ξ T r 2 ( t ) + F ，   t ∈ [ t s ， t 1 ] α T + γ 2 ( t − t ˜ ) + ψ 2 ξ T r 2 ( t ) + F ，       t ∈ [ t 2 ， t e ] (10) 与同质性通勤者出行情况相同，对于第二组通勤者，显然有 r 2 ( t s ) = r 2 ( t e ) = 0 ，且在用户均衡情况下， C 2 ( t s ) = C 2 ( t e ) = C 2 ( t ) ， t ∈ [ t s ， t 1 ] ∪ [ t 2 ， t e ] ，即： C 2 = α T + β 2 ( t ˜ − t s ) + F = α T + γ 2 ( t e − t ˜ ) + F (11) 因此，在均衡的情况下，将等式(11)代入等式(10)，可得第二组通勤者的离开率为： r 2 ( t ) = { μ 2 ( t − t s ) ξ T ，   t ∈ [ t s ， t 1 ] η μ 2 ( t e − t ) ξ T ，   t ∈ [ t 2 ， t e ] (12) 而对于第一组通勤者，在用户均衡情况下则有 C 1 ( t 1 ) = C 1 ( t 2 ) = C 1 ( t ) ， ∀   t ∈ [ t 1 ， t 2 ] ，即： C 1 = α T + β 1 ( t ˜ − t 1 ) + ψ 1 ξ T r 1 ( t 1 ) + F = α T + γ 1 ( t ˜ − t 2 ) + ψ 1 ξ T r 1 ( t 2 ) + F (13) 由图2可知， r 1 ( t 1 ) = r 2 ( t 1 ) ， r 1 ( t 2 ) = r 2 ( t 2 ) ，将等式(13)代入等式(9)中，可得第一组通勤者的离开率为： r 1 ( t ) = { r 2 ( t 1 ) + μ 1 ( t − t 1 ) ξ T ，   t ∈ [ t 1 ， t ˜ ] r 2 ( t 2 ) + η μ 1 ( t 2 − t ) ξ T ，   t ∈ [ t ˜ ， t 2 ] (14) 设第一组通勤者在通勤时总人数为 N 1 ，第二组用户数在通勤时总人数为 N 2 ， N 1 + N 2 = N ，根据两组通勤者人数约束则有： ∫ t 1 t ˜ r 1 ( t ) d t + ∫ t ˜ t 2 r 1 ( t ) d t = N 1 ， (15) ∫ t s t 1 r 2 ( t ) d t + ∫ t 2 t e r 2 ( t ) d t = N 2 ， (16) 整合等式(11)~(16)，并且考虑时间顺序 t s < t 1 < t 2 < t e ，可得唯一合理解： t s = t ˜ − ( a N 1 + N 2 + ( a − 1 ) N 2 a ) 2 m ξ T / u 2 ， (17) t 1 = t ˜ − ( a N 1 + N 2 − N 2 a ) 2 m ξ T / u 2 ， (18) t 2 = t ˜ + ( a N 1 + N 2 − N 2 a ) 2 p ξ T / u 2 ， (19) t e = t ˜ + ( a N 1 + N 2 + ( a − 1 ) N 2 a ) 2 p ξ T / u 2 ， (20) 其中， m = η 1 + η ， p = 1 η ( 1 + η ) 。 最后，将等式(17)代入等式(11)，可得第二组通勤者出行成本为： C 2 = α T + β 2 ( a N 1 + N 2 + ( a − 1 ) N 2 a ) 2 m ξ T / u 2 + F ， (21) 同时，也可得第一组通勤者出行成本为： C 1 = α T + β 1 a N 1 + N 2 a 2 m ξ T / u 1 + F ， (22) 从等式(22)可知，当 β 1 = β 2 ， a = u 1 / u 2 = 1 时，即两组用户同质时，等式(21)与等式(22)相同且化为同质性情况下的出行成本。 进一步地，考虑G组通勤者，且他们之间的关系为 μ 1 ≥ μ 2 ≥ ⋯ ≥ μ G ，并令 N i 为第i组的通勤者数，N为总通勤者数。同样的，在用户均衡时，每一组组通勤者的离开率的斜率均为 μ i ( t − t s ) / ( ξ T ) ， t ∈ [ t j ， t i ] 和 η μ i ( t e − t ) / ( ξ T ) ， t ∈ [ t ′ i ， t ′ j ] 。以五组通勤者为例，则铁路交通通勤者离开率应为如下图3所示： 图3. 五组异质性用户铁路通勤者离开率 图3显示了五个组的平衡示例。第五组通勤者出行时间相对成本最低，在高峰时间开始和结束时出发。第四组在相邻的时间间隔上旅行，以此类推。显然可以推知，当G趋于无穷时，铁路交通通勤者离开率将变为一条光滑的曲线。 3.2. 双站点异质性用户铁路交通出行成本 考虑一个只含两个铁路站点生活区O 1 和O 2 以及一个工作区D的简单交通网络，住宅区和工作区之间由一条铁路交通线路连接，如图4所示。两组居民居住在O 1 和O 2 两个生活区，并且从O 1 乘车至O 2 以及从O 2 乘车至D之间的时间都为T，对体触拥挤更为厌恶的第二组通勤者居住在O 2 处，第一组通勤者则居住在远离市中心的O 1 处，也即 μ 1 ≥ μ 2 。 图4. 双站点交通网络 此时，因为 μ 1 ≥ μ 2 ，且第二组通勤者居住区更近于工作区，则可假设其最早出发时间 t s + T ≥ t ′ s 且 t e + T ≤ t ′ e 。则两组通勤者的成本分别由以下两式给出： C 1 ( t ) = { 2 α T + β 1 ( t ˜ − t ) + ψ 1 ξ T r 1 ( t ) + ψ 1 ξ T [ r 1 ( t ) + r 2 ( t + T ) ] + F ，   t ∈ [ t s ， t ˜ ] 2 α T + γ 1 ( t − t ˜ ) + ψ 1 ξ T r 1 ( t ) + ψ 1 ξ T [ r 1 ( t ) + r 2 ( t + T ) ] + F ，       t ∈ [ t ˜ ， t e ] (23) C 2 ( t ) = { α T + β 2 ( t ˜ + T − t ) + ψ 2 ξ T [ r 1 ( t − T ) + r 2 ( t ) ] + F ，   t ∈ [ t ′ s ， t ˜ + T ] α T + γ 2 ( t − t ˜ − T ) + ψ 2 ξ T [ r 1 ( t − T ) + r 2 ( t ) ] + F ，       t ∈ [ t ˜ + T ， t ′ e ] (24) 同样的，在均衡情况下，求得两组通勤者的离开率如图5及下式所示： r 1 ( t ) = { ( μ 1 − μ 2 ) ( t − t s ) ξ T ，   t ∈ [ t s ， t ˜ ] η ( μ 1 − μ 2 ) ( t e − t ) ξ T ，       t ∈ [ t ˜ ， t e ] 0 ，   其 他 (25) r 2 ( t ) = { μ 2 ( t − t ′ s ) ξ T − r 1 ( t − T ) ，   t ∈ [ t ′ s ， t ˜ + T ] η μ 2 ( t ′ e − t ) ξ T − r 1 ( t − T ) ，       t ∈ [ t ˜ + T ， t ′ e ] (26) 图5. 双站点交通网络 设第一组通勤者在通勤时总人数为 N 1 ，第二组用户数在通勤时总人数为 N 2 ， N 1 + N 2 = N ，根据均衡条件及两组通勤者人数约束，可得唯一合理解： t s = t ˜ − 2 m ξ T N 1 / ( u 1 − u 2 ) ， (27) t e = t ˜ + 2 p ξ T N 1 / ( u 1 − u 2 ) ， (28) t ′ s = t ˜ − 2 m ξ T N / u 2 + T ， (29) t ′ e = t ˜ + 2 p ξ T N / u 2 + T ， (30) 最后，代入等式可得两组通勤者出行成本分别为： C 1 = 2 α T + β 1 2 m ξ T N 1 / ( u 1 − u 2 ) + ψ 1 2 u 2 m ξ T N + F ， (31) C 2 = α T + β 2 2 m ξ T N / u 2 + F 。 (32) 可以看到，距离工作区更近的第二组通勤者，其通勤成本只受到通勤者总人数影响，而距离工作区更远的第一组通勤者的成本则还受到两组通勤者之间的异质性差异影响。 3.3. 模型性质 性质1：在用户均衡时，铁路出行中每一组通勤者中有 η / ( 1 + η ) 的部分是提前出发的，其余则是延后出发。 证明：首先考虑最早出发的第一组通勤者，显然有 r 1 ( t s ) = r 1 ( t e ) = 0 ，且在用户均衡情况下， C 1 ( t s ) = C 1 ( t e ) = C 1 ( t ) ， t ∈ [ t s ， t 1 ] ∪ [ t ′ 1 ， t e ] ，即： C 1 = α T + β 1 ( t 1 − t s ) + F = α T + γ 1 ( t e − t ′ 1 ) + F (33) 又因为该组通勤者中提前出发与延后出发的人数分别为 ∫ t s t 1 r 1 ( t ) d t 及 ∫ t ′ 1 t e r 1 ( t ) d t ，将 r 1 ( t ) 以及等式(33)代入，即可证明该组通勤者中提前出发与延后出发的人数之比为 η ，也即有 η / ( 1 + η ) 的部分人数是提前出发，以此可类推至最后一组。 性质2：对单站点两组异质性通勤者，当某组通勤者本身的成本参数 α ， β i ， γ i 和 ψ i 不变时，也即 u 1 或 u 2 不变，随着异质性差异a变大，该组通勤者出行成本将会减少。 证明：为简化证明，令 N 1 = N 2 ，则 C 2 = α T + β 2 ( ( a + 1 + a − 1 ) / a ) m ξ T N / u 2 + F ，当第二组通勤者的成本参数 α ， β 2 ， γ 2 和 ψ 2 不变时， ∂ [ a + 1 + a − 1 ] / ∂ a ≤ 0 ，也即 ∂ C 2 ( t ) / ∂ a ≤ 0 ，这就意味着随着异质性差异a变大，该组通勤者出行成本将会逐渐下降，而当 a → + ∞ 时， ( a + 1 + a − 1 ) / a → 1 ，其出行成本将与只有N/2位第二组通勤者乘坐地铁交通时所产生的出行成本相等。同样的，当第一组通勤者的成本参数 α ， β 1 ， γ 1 和 ψ 1 不变时， ∂ [ ( a + 1 ) / a ] / ∂ a ≤ 0 ，也即 ∂ C 1 ( t ) / ∂ a ≤ 0 ，而当 a → + ∞ 时， ( a + 1 ) / a → 1 ，其出行成本将与只有N/2位第一组通勤者乘坐地铁交通时所产生的出行成本相等。 性质3：对单站点两组异质性通勤者，当相对拥挤成本较大的第二组通勤者本身的成本参数 α ， β 2 ， γ 2 和 ψ 2 不变时，随着异质性差异a变大，通勤峰期( [ t e ， t s ] 以及 [ t 1 ， t 2 ] )将会缩短。当相对拥挤成本较小的第一组通勤者本身的成本参数 α ， β 1 ， γ 1 和 ψ 1 不变时，随着异质性差异a变大，通勤峰期( [ t e ， t s ] 以及 [ t 1 ， t 2 ] )将会增大。 证明：为简化证明，令 N 1 = N 2 ，则 t e − t s = ( ( a + 1 + a − 1 ) / a ) ( 2 p ξ T N / u 2 + 2 m ξ T N / u 2 ， ) ，以及 t 2 − t 1 = ( ( a + 1 − 1 ) / a ) ( 2 p ξ T N / u 2 + 2 m ξ T N / u 2 ) ，则当第二组通勤者本身的参数 α ， β 2 ， γ 2 和 ψ 2 不变时， ∂ [ a + 1 + a − 1 ] / ∂ a ≤ 0 ， ∂ [ a + 1 − 1 ] / ∂ a ≤ 0 也即 ∂ ( t e − t s ) / ∂ a ≤ 0 ， ∂ ( t 2 − t 1 ) / ∂ a ≤ 0 ，这就意味着随着异质性差异a变大，通勤峰期( [ t e ， t s ] 以及 [ t 1 ， t 2 ] )将会缩短。而同样的，当第一组通勤者本身的成本参数 α ， β 1 ， γ 1 和 ψ 1 不变时， ∂ [ ( a + 1 ) / a ] / ∂ a ≤ 0 ， ∂ [ ( a + 1 − 1 ) / a ] / ∂ a ≤ 0 ，也即 ∂ ( t e − t s ) / ∂ a ≥ 0 ， ∂ ( t 2 − t 1 ) / ∂ a ≥ 0 ，这就意味着随着异质性差异a变大，通勤峰期( [ t e ， t s ] 以及 [ t 1 ， t 2 ] )将会增大。 由性质1和性质2，我们可以看出，与同质性通勤者出行成本相比，考虑异质性因素的通勤者的出行成本将会更小，而随着异质性差异a增大，通勤者成本还会进一步减小。因为当 u 2 不变时，a的增大，也即 u 1 的增大意味着第一组通勤者越发重视早到带来的成本损失，这将会使得第一组通勤者相对忽略车厢内拥挤带来的损失，越发集中在 t ˜ 时刻出发，这就使得 [ t 1 ， t 2 ] 缩短，从而 [ t e ， t s ] 也会缩短，也就让第二组通勤者相对更接近于 t ˜ 时刻出发，减少了其延误成本损失。而当 u 1 不变时的情况也类似。