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user: 3. 时间序列分析 现在，我们用2018年7月2日~2020年6月21日上海市每周重点监测的批发市场优质粳米成交均价数据，建立时间序列分析的数学模型来分析上海市粮食价格趋势及其特征。其中以2018年7月2日记为第1周，以此类推至2020年6月21日第96周，图2就是按照这96周的数据，得到的上海市每周重点监测的批发市场优质粳米成交均价时序图： 图2. 上海市每周重点监测的批发市场优质粳米成交均价时序图 从图2中，我们发现2018年7月2日~2020年6月21日之间，上海市每周重点监测的批发市场优质粳米成交均价(以下简称优质粳米均价)在第39周之前在4.5元/公斤左右且数据平稳。第39周时价格迅速升高，且在6元/公斤附近波动，第75周至第90周左右波动程度持续偏大，此时对应的时间正是中国武汉新冠疫情爆发至平息的时间。可见，疫情加剧了上海市优质粳米价格的波动。由于疫情造成的恐慌心理催生了居民囤粮的情况，以优质粳米为代表的粮食价格迅速抬高，最高价格达到6.74元/公斤。曲线中不能看出上海市批发市场优质粳米成交均价有明显的季节性波动。 根据2018年7月2日~2020年6月21日之间这96周的数据，我们获得如下一阶差分后的上海市每周重点监测的批发市场优质粳米成交均价时序图： 图3. 一阶差分后的优质粳米均价时序图 从图3中，我们不难看出2018年7月2日~2020年6月21日之间，上海市每周重点监测的批发市场优质粳米成交均价一阶差分后的时序图，直观感受是一阶差分后数据大致平稳，但是存在异方差。后面我用ADF检验和异方差检验做具体分析。 3.1. 序列白噪声检验 本节中，我们将使用LB检验统计量，对2018年7月2日—2020年6月21日之间上海市重点监测的批发市场优质粳米成交均价一阶差分后数据进行白噪声检验。LB检验是由Box和Ljung建立 [ 3 ]，弥补了Q检验在小样本场合不够精确的缺陷，LB统计量服从自由度为m的卡方分布。 原假设：延迟期数小于等于m期的序列值之间相互独立 H 0 : ρ 1 = ρ 2 = ⋯ = ρ m = 0 备择假设：延迟期数小于等于m期的序列值之间有相关性 H 1 : ρ k ≠ 0 至少存在某个 LB = n ( n + 2 ) ∑ k = 1 m ( ρ ⌢ k 2 n − k ) 其中n表示序列观测期数，m表示指定延迟期数。当LB统计量大于1-α置信水平自由度为m的卡方分布的分为点，或者P值小于α时，则以1-α的置信水平拒绝原假设，序列不是白噪声序列。 根据，2018年7月2日~2020年6月21日之间上海市重点监测的批发市场优质粳米成交均价一阶差分后数据，利用统计R程序运行结果如下： Box-Pierce test data: diff(x) X-squared = 4.7806， df = 6， p-value = 0.5722 X-squared = 9.2365， df = 12， p-value = 0.6826 我们的检验结果如下：延迟阶数为6和12的LB统计量的P值显著大于显著性水平0.05，一阶差分后上海市每周重点监测的批发市场优质粳米成交均价数据可以看成白噪声。 3.2. 移动平均 因为短期内粮食市场的不确定性，为削弱短期随机波动对序列的影响，我们采用移动平均法 [ 3 ] [ 4 ] 处理上海市批发市场优质粳米成交均价数据后，可以认为在短期内均价的差异由随机波动造成，因此，可以用一定时间间隔内的平均值作为下一期的估计值。综合序列无明显周期性，趋势平滑的要求，以及趋势反映近期变化敏感度的要求，这三者因素，我用n = 5期的移动平均对数据做处理，可以获得如下图4，图5期移动平均平滑，一阶差分后的时序图如下图5。 我们对于5期移动平均数据，在一阶差分后的优质粳米成交均价数据，做了的白噪声检验，利用统计R程序运行结果如下： Box-Pierce test data: diff(x) X-squared = 123.67， df = 6， p-value < 2.2e−16 X-squared = 145.59， df = 12， p-value < 2.2e−16 我们的检验结果如下：延迟阶数为6和12的LB统计量的P值远小于显著性水平0.05，5期移动平均数据，在一阶差分后的优质粳米成交均价序列不是白噪声。 图4. 红线是5期移动平均平滑后时序图，黑线是原时序图 图5. 5期移动平均平滑，一阶差分后的时序图 3.3. 平稳性检验 接下来我们通过ADF检验来判断5期移动平均，一阶差分后优质粳米成交均价序列是否平稳。ADF检验就是所谓的单位根检验 [ 3 ] [ 5 ] [ 6 ]，指检验AR(p)序列中是否存在单位根，若存在则序列不平稳。假设检验如下： H 0 : ρ = 0 序列非平稳； H 1 : ρ < 0 序列平稳。 ADF统计量为 τ = ρ S ( ρ ) 其中 S ( ρ ) 是参数 ρ 的样本标准差。 通过蒙特卡洛方法，可以得到统计量临界值表。 统计R程序运行结果如下： Augmented Dickey-Fuller Test data: diff(x2) Dickey-Fuller = −4.4376， Lag order = 4， p-value = 0.01 alternative hypothesis: stationary 我们的检验结果如下：ADF检验P值是0.01，序列平稳。差分运算具有强大的确定性信息提取能力，优质粳米成交均价的序列是差分平稳序列。对差分平稳序列可以使用ARIMA模型进行拟合。 3.4. 模型定阶 图6与图7的直观意义是显示不截尾性。因此选择ARIMA模型拟合序列较合适。 图6. 自相关函数图 图7. 偏自相关函数图 3.5. 建立模型 平稳时间序列的ARIMA(p，d，q)模型的一般表示方法为： ( 1 − ∑ i = 1 p ϕ i L i ) ( 1 − L ) d X t = ( 1 + ∑ i = 1 q θ i L i ) ε t 其中L是延迟算子。 白噪声序列需满足如下条件： E ( ε t ) = 0 ， V a r ( ε t ) = σ ε 2 ， E ( ε t ε s ) = 0 ， s ≠ t ； E ( x s ε t ) = 0 ， ∀ s < t 。 此处的平稳是宽平稳，其特性是序列的统计性质不随时间改变 [ 7 ]。我们采用R软件提供的自动定阶系统进行参数估计，auto.arima函数 [ 3 ] 基于信息量最小原则识别模型阶数。统计R的运行结果如下： ARIMA(2，1，2) Coefficients: ar1 ar2 ma1 ma2 −0.11570.6569 1.00220.2915 s.e. 0.1199 0.1049 0.20670.1977 sigma^2 estimated as 0.0016:log likelihood = 165.08 AIC = −320.16 AICc = −319.46 BIC = −307.61 我们的结果如下： 模型表达式： ( 1 + 0.12 L − 0.66 L 2 ) x t = ( 1 − 1.03 L − 0.32 L 2 ) ε t 我们的结果如下：AIC值是−320.16，残差平方和是0.0016。 用eviews软件建立模型 [ 2 ]，使用函数方差最小准则，得到如图8所示结果： 图8. Eviews运行结果 我们的结果如下： 模型表达式： ( 1 + 0.12 L − 0.66 L 2 ) x t = ( 1 − 1.00 L − 0.29 L 2 ) ε t AIC值是−3.53，残差平方和是0.139。 3.6. 参数显著性检验 参数显著性检验 [ 3 ] 是检验每一个未知参数是否显著非零，为了使得模型更精简。原假设：第j个系数为零。备择假设：第j个系数不为零。构造t检验统计量来检验参数显著性，t服从自由度为n − m的t分布。当检验统计量的绝对值大于自由度为n − m = 88的t分布的1-α分位点时，拒绝原假设，第j个系数显著，否则剔除不显著系数。 t = n − m β j a j j Q ( β ) 其中 a j j 是样本矩阵X， ( X T X ) − 1 的第j行第j列元素。 从Eviews运行结果t-Statistic一列可知， ϕ 2 ， θ 1 ， θ 2 对应参数均显著非零。 与信息量最小原则下R软件算出的模型相比，两个模型的系数有少许差异。从AIC值和残差平方和比较来看，R软件得出的模型更加好，所以选择第一个模型。 3.7. 模型显著性检验 得到ARIMA(2，1，2)模型表达式后，进行模型检验。模型显著性检验为了检验模型的有效性，信息是否提取充分。检验方式是通过拟合残差项中不再蕴含任何相关信息，即检验残差序列是否为白噪声序列。残差序列白噪声检验统计R运行结果如下： Box-Ljung test data: m1$residual X-squared = 16.086， df = 6， p-value = 0.0133 X-squared = 20.157， df = 12， p-value = 0.06417 残差检验结果如图9显示，在0.1置信水平下残差序列可视为白噪声序列，在0.05置信水平下残差序列不可视为白噪声序列。说明拟合ARIMA(2，1，2)模型中可能还有未完全提取的有效信息。 图9. ARIMA(2，1，2)模型残差序列图 3.8. 预测 用目前得出的模型ARIMA(2，1，2)预测之后10期的价格，统计R运行结果如表3和图10所示。比如，第97期上海市批发市场优质粳米的均价的预测值是6.20元/公斤，置信度为80%的置信区间为(6.14，6.25)元/公斤，置信度为95%的置信区间为(6.12，6.28)元/公斤。 Table 3 Forecast value of average price of high quality rice wholesale market in the next 10 period Point Forecast Lo80 Hi80 Lo95 Hi95 97 6.1983 6.1470 6.2495 6.1199 6.2767 98 6.1845 6.0750 6.2939 6.0171 6.3518 99 6.1731 5.9954 6.3508 5.9013 6.4449 100 6.1654 5.9229 6.4078 5.7946 6.5361 101 6.1588 5.8505 6.4671 5.6873 6.6303 102 6.1545 5.7849 6.5241 5.5892 6.7197 103 6.1506 5.7210 6.5803 5.4935 6.8078 104 6.1482 5.6627 6.6338 5.4057 6.8908 105 6.1460 5.6065 6.6856 5.3208 6.9712 106 6.1447 5.5546 6.7348 5.2423 7.0471 表3. 未来10期批发市场优质粳米的均价的预测值 图10. 优质粳米均价未来10期的预测图 图5与图9能直观显示序列和残差序列可能存在异方差，异方差的存在会使得方差齐性的假定不成立。 为了提高模型拟合精度，并且异方差函数形式未知的情况下，我选择用条件异方差模型对残差项序列进一步拟合。 3.9. 模型优化 在拟合新的模型前，首先先进行ARCH检验 [ 3 ]，ARCH检验是一种特殊的异方差检验，要求异方差性由某种自相关关系所引起，我选择Portmanteau Q检验作为ARCH检验统计方法。Portmanteau Q检验构造思想是如果残差序列方差非齐，且具有集群效应，那么残差平方和序列通常具有自相关性，因此方差非齐检验可以转化为残差平方序列的自相关性检验。 残差条件异方差检验统计软件R运行结果如下： Box-Ljung test data: m1$residual^2 X-squared = 0.04742， df = 1， p-value = 0.8276 X-squared = 6.0874， df = 2， p-value = 0.04766 X-squared = 6.0998， df = 3， p-value = 0.1069 X-squared = 7.6767， df = 4， p-value = 0.1042 X-squared = 7.8183， df = 5， p-value = 0.1665 我们的结果如下：延迟阶数为2的P值小于显著性水平0.05，残差序列中存在异方差现象。 接下来，我尝试用ARCH(1)，ARCH(2)模型拟合残差序列。从实验结果来看ARCH(1)更好。ARCH能够用自回归方法提取误差平反序列中蕴含的相关信息。ARCH模型实质是利用历史波动信息作为条件，采用自回归形式表达波动变化，得到条件方差信息。 所以用ARCH模型的完整结构是： x t = f ( t ， x t − 1 ， x t − 2 ， ⋯ ) + ε t ε t = h t e t ，     e t ~ N ( 0 ， σ 2 ) h t = ω + ∑ j = 1 q λ j ε t − j 2 其中 f ( t ， x t − 1 ， x t − 2 ， ⋯ ) 是序列 x t 的确定信息拟合模型。 统计软件R运行结果如下： Model: GARCH(0，1) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max −1.83348−0.32410−0.023180.276744.93080 Coefficient(s): Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) a0 0.0010574 0.0001005 10.523 <2e−16 *** a1 0.5494212 0.2650520 2.073 0.0382 * --- Signif. codes:0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Diagnostic Tests: Jarque Bera Test data:Residuals X-squared = 172.67， df = 2， p-value < 2.2e−16 我们的结果如下：残差最小值−1.83，最大值4.93，参数a0 = 0.0010574，a1 = 0.5494212在置信水平0.01下显著，p-value < 2.2e−16，模型显著，拟合结果良好。考虑异方差的残差序列波置信水平是95%动置信区间如图11所示。 图11. 残差序列波置信水平是95%动置信区间