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user: 2. 多尺度分析 模型(4)依赖于两个时间尺度，普通时间t与慢时间 ε t ，考虑到这个特征，作广义的两时间尺度变换： t 0 = 1 ε g ( t 1 ) ，     t 1 = ε t ， (5) t 1 相对于 t 0 为慢时间尺度，且需满足 g ( t 1 ) > 0 ( t 1 > 0 ) ，   g ( 0 ) = 0 ，这里 r ， k ， β ¯ 都变为关于 t 1 的函数 r ( t 1 ) ， k ( t 1 ) ， β ¯ ( t 1 ) 。此外，为了让 t 0 与 t 1 一一对应，我们需要假定 g ′ ( t 1 ) > 0 。 将 x ( t ， ε ) 看作两个时间尺度的函数 x ( t 0 ， t 1 ， ε ) ，再运用链式法则得到的多尺度等式 g ′ ( t 1 ) D 0 x ( t ， ε ) + ε D 1 x ( t ， ε ) = r ( ε t ) x ( 1 − x ( t ， ε ) k ( ε t ) ) 1 + ε σ β ( ε t ) x ( t ， ε ) ， (6) 其中 D 0 x = ∂ x ∂ t 0 ， D 1 x = ∂ x ∂ t 1 。 显然(6)式为x关于 t 0 、 t 1 的偏微分方程，常微分方程(4)与偏微分方程(6)是等价的。接下来，对(6)进行摄动分析，假定x关于 ε 的庞加莱展开式为以下形式： x ( t 0 ， t 1 ， ε ) = x 0 ( t 0 ， t 1 ) + ε x 1 ( t 0 ， t 1 ) + ε 2 x 2 ( t 0 ， t 1 ) + ⋯ ， (7) 将(7)代入(6)式，可得： g ′ ( t 1 ) D 0 [ x 0 ( t 0 ， t 1 ) + ε x 1 ( t 0 ， t 1 ) + ε 2 x 2 ( t 0 ， t 1 ) + ⋯ ] + ε D 1 [ x 0 ( t 0 ， t 1 ) + ε x 1 ( t 0 ， t 1 ) + ε 2 x 2 ( t 0 ， t 1 ) + ⋯ ] = r ( ε t ) ( x 0 ( t 0 ， t 1 ) + ε x 1 ( t 0 ， t 1 ) + ε 2 x 2 ( t 0 ， t 1 ) + ⋯ ) ( 1 − x 0 ( t 0 ， t 1 ) + ε x 1 ( t 0 ， t 1 ) + ε 2 x 2 ( t 0 ， t 1 ) + ⋯ k ( ε t ) ) 1 + ε σ β ( ε t ) ( x 0 ( t 0 ， t 1 ) + ε x 1 ( t 0 ， t 1 ) + ε 2 x 2 ( t 0 ， t 1 ) + ⋯ ) . (8) 比较关于 ε 0 和 ε 1 系数有 g ′ ( t 1 ) D 0 x 0 = r ( t 1 ) x 0 ( 1 − x 0 k ( t 1 ) ) ; (9) g ′ ( t 1 ) D 0 x 1 + D 1 x 0 = r ( t 1 ) k ( t 1 ) [ x 1 ( k ( t 1 ) − 2 x 0 ) ] − r ( t 1 ) k ( t 1 ) σ β ( t 1 ) [ x 0 2 ( k ( t 1 ) − x 0 ) ] ， (10) 同理也可以得到关于 x 2 ， x 3 ， x 4 的方程。 解偏微分方程(9)，易得 x 0 = k ( t 1 ) 1 + c ( t 1 ) k ( t 1 ) e − θ ( t 1 ) t 0 ， (11) 其中， c ( t 1 ) 为关于 t 1 任意函数， θ ( t 1 ) = r ( t 1 ) g ′ ( t 1 ) 为关于 t 1 正函数。 利用常数变易公式，可以得到线性微分方程(10)一个特解 x 1 = − θ ( t 1 ) σ β ( t 1 ) k ( t 1 ) 3 c ( t 1 ) [ t 0 + 1 θ ( t 1 ) ln ( 1 + c ( t 1 ) k ( t 1 ) e − θ ( t 1 ) t 0 ) ] e θ ( t 1 ) t 0 ( 1 + c ( t 1 ) k ( t 1 ) e − θ ( t 1 ) t 0 ) 2     + − k ′ ( t 1 ) θ ( t 1 ) + k ( t 1 ) 2 c ′ ( t 1 ) t 0 e − θ ( t 1 ) t 0 − 1 2 c ( t 1 ) k ( t 1 ) 2 θ ′ ( t 1 ) t 0 2 e − θ ( t 1 ) t 0 g ′ ( t 1 ) ( 1 + c ( t 1 ) k ( t 1 ) e − θ ( t 1 ) t 0 ) 2 . (12) 将(11) (12)作为 x ( t 0 ， t 1 ， ε ) 的前两项代入，可表示为 x ( t 0 ， t 1 ， ε ) = k ( t 1 ) 1 + c ( t 1 ) k ( t 1 ) e − θ ( t 1 ) t 0     + ε − k ′ ( t 1 ) θ ( t 1 ) g ′ ( t 1 ) ( 1 + c ( t 1 ) k ( t 1 ) e − θ ( t 1 ) t 0 ) 2     + ε − σ β ( t 1 ) k ( t 1 ) 3 c ( t 1 ) ln ( 1 + c ( t 1 ) k ( t 1 ) e − θ ( t 1 ) t 0 ) e θ ( t 1 ) t 0 ( 1 + c ( t 1 ) k ( t 1 ) e − θ ( t 1 ) t 0 ) 2 . (13) 为消去长期项，令 t 0 2 e − θ ( t 1 ) t 0 与 t 0 e − θ ( t 1 ) t 0 的系数分别为零，即 θ ′ ( t 1 ) = 0 ，   c ′ ( t 1 ) g ′ ( t 1 ) − σ θ ( t 1 ) β ( t 1 ) k ( t 1 ) c ( t 1 ) = 0 . (14) 特别地，令 θ ( t 1 ) = 1 ，则有 g ′ ( t 1 ) = r ( t 1 ) ( t 1 > 0 ) ，由(7)得出 t 0 t 0 = 1 ε ∫ 0 ε t r ( s ) d s . (15) 由(14)知 c ( t 1 ) = d e σ ∫ β ( t 1 ) k ( t 1 ) r ( t 1 ) d t 1 ，d为任意常数。 将 x 0 与 x 1 代入 x ( t 0 ， t 1 ， ε ) ，并将初值条件代入可得 d = k ( 0 ) − μ μ k ( 0 ) ，   c = k ( 0 ) − μ μ k ( 0 ) e σ ∫ β ( t 1 ) k ( t 1 ) r ( t 1 ) d t 1 . (16) 再由 θ = 1 ，   c = k ( 0 ) − μ μ k ( 0 ) e σ ∫ β ( t 1 ) k ( t 1 ) r ( t 1 ) d t 1 ， (17) 那么， x ( t 0 ， t 1 ， ε ) 可以近似的表示为 x ( t 0 ， t 1 ， ε ) = k ( t 1 ) 1 + k ( 0 ) − μ μ k ( 0 ) e σ ∫ β ( t 1 ) k ( t 1 ) r ( t 1 ) d t 1 k ( t 1 ) e − t 0     + ε − σ β ( t 1 ) k ( t 1 ) 3 k ( 0 ) − μ μ k ( 0 ) e σ ∫ β ( t 1 ) k ( t 1 ) r ( t 1 ) d t 1 ln ( 1 + k ( 0 ) − μ μ k ( 0 ) e σ ∫ β ( t 1 ) k ( t 1 ) r ( t 1 ) d t 1 k ( t 1 ) e − t 0 ) e θ ( t 1 ) t 0 ( 1 + k ( 0 ) − μ μ k ( 0 ) e σ ∫ β ( t 1 ) k ( t 1 ) r ( t 1 ) d t 1 k ( t 1 ) e − t 0 ) 2     + ε − k ′ ( t 1 ) r ( t 1 ) ( 1 + k ( 0 ) − μ μ k ( 0 ) e σ ∫ β ( t 1 ) k ( t 1 ) r ( t 1 ) d t 1 k ( t 1 ) e − t 0 ) 2 . (18) 这样我们构造出了微分方程(6)的渐近解，因为微分方程(4)与微分方程(6)是等价的，所以，同样由(5)可构造出(4)式的形式渐近解 x ( t ， ε ) = k ( ε t ) 1 + k ( 0 ) − μ μ k ( 0 ) e σ ε ∫ β ( ε t ) k ( ε t ) r ( ε t ) d t k ( ε t ) e − 1 ε ∫ 0 ε t r ( s ) d s     + ε − σ β ( ε t ) k ( ε t ) 3 k ( 0 ) − μ μ k ( 0 ) e σ ε ∫ β ( ε t ) k ( ε t ) r ( ε t ) d t ln ( 1 + k ( 0 ) − μ μ k ( 0 ) e σ ε ∫ β ( ε t ) k ( ε t ) r ( ε t ) d t k ( ε t ) e − 1 ε ∫ 0 ε t r ( s ) d s ) e t 0 ( 1 + k ( 0 ) − μ μ k ( 0 ) e σ ε ∫ β ( ε t ) k ( ε t ) r ( ε t ) d t k ( ε t ) e − 1 ε ∫ 0 ε t r ( s ) d s ) 2     + ε − k ′ ( ε t ) r ( ε t ) ( 1 + k ( 0 ) − μ μ k ( 0 ) e σ ε ∫ β ( ε t ) k ( ε t ) r ( ε t ) d t k ( ε t ) e − 1 ε ∫ 0 ε t r ( s ) d s ) 2 . (19)