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user: 3. 平衡点的稳定性 在这一节中，我们将证明涉及到上述基本再生数 R U 和 R V 的系统公式参考此处边界平衡点的稳定性。 定理3.1 如果 max { R U ， R V } < 1 ，那么唯一的无病平衡点 E 0 ∗ 是局部稳定的。 证明： 通过将系统 在无病平衡点 E 0 ∗ 处线性化，我们得到特征方程 det ( Δ ( λ ) ) = 0 ，即 | λ + μ − δ + β 1 Λ μ β 2 Λ μ ( β 1 + β 2 ) Λ μ 0 λ − β 1 Λ μ + μ + d U + δ 0 − β 1 Λ μ 0 0 λ − β 2 Λ μ + μ + d V + γ 1 − β 1 Λ μ − σ δ 0 0 0 λ + μ + d I + γ 2 + σ δ | = 0. (14) 显然，方程(14)的根是 λ 1 = − μ ， λ 2 = ( μ + d U + δ ) ( R U − 1 ) ， λ 3 = ( μ + d V + γ 1 ) ( R V − 1 ) ， λ 4 = − ( μ + d I + γ 2 + σ δ ) 则当且仅当 max { R U ， R V } < 1 时，方程所有的根都是负的常数。因此，如果 max { R U ， R V } < 1 ，唯一的无病平衡点 E 0 ∗ 是局部稳定的。 由定理2.1我们知道当 R U > 1 时，存在唯一的海洛因边界平衡点 E 1 ∗ 。边界平衡点 E 1 ∗ 的稳定性由下面的定理给出。 定理3.2 当 R v i 1 < 1 时，唯一的边界平衡点 E 1 ∗ 是局部稳定的，当 R v i 1 > 1 时， E 1 ∗ 是不稳定的。 证明： 注意到 N 1 ∗ = S 1 ∗ + U 1 ∗ 通过将系统(4)在边界平衡 E 1 ∗ 处线性化，我们得到了雅可比矩阵 J ( E 1 ∗ ) = ( A C 0 B ) (15) 其中 A = ( − Λ + δ U 1 ∗ S 1 ∗ − ( μ + d U ) β 1 U 1 ∗ 0 ) ， C = ( − β 2 S 1 ∗ − β 1 S 1 ∗ − β 2 S 1 ∗ − q β 2 U 1 ∗ β 1 S 1 ∗ − q β 2 U 1 ∗ ) ， B = ( β 2 S 1 ∗ − Q 1 β 2 S 1 ∗ + σ δ ( q β 2 + β 1 ) U 1 ∗ q β 2 U 1 ∗ − Q 2 ) ， 其中， Q 1 = β 1 U 1 ∗ + μ + d V + γ 1 ， Q 2 = μ + d I + γ 2 + σ δ 显然， T r ( A ) = − Λ + δ U 1 ∗ S 1 ∗ < 0 ， det ( A ) = β 1 U 1 ∗ ( μ + d U ) > 0 。 因此，A的特征值具有负实部。 稳定性要求B满足 T r ( B ) < 0 并且 det ( B ) > 0 注意到 det ( B ) = ( β 2 S 1 ∗ − Q 1 ) ( q β 2 U 1 ∗ − Q 2 ) − ( q β 2 + β 1 ) U 1 ∗ ( β 2 S 1 ∗ + σ δ ) 通过简单的计算，我们可以得到 det ( B ) = Q 1 Q 2 − β 2 S 1 ∗ ( Q 2 + β 1 U 1 ∗ ) − q β 2 U 1 ∗ ( Q 1 + σ δ ) − β 1 U 1 ∗ σ δ 定义 R v i 1 = β 2 S 1 ∗ ( Q 2 + β 1 U 1 ∗ ) + q β 2 U 1 ∗ ( Q 1 + σ δ ) Q 1 Q 2 − β 1 U 1 ∗ σ δ (16) 我们称 R v i 1 是HIV感染的侵入再生数假设 R v i 1 < 1 ，则有 det ( B ) > 0 接下来，需要证明 T r ( B ) < 0 。事实上，由 det ( B ) > 0 ，可以得到 β 2 S 1 ∗ − Q 1 和 q β 2 U 1 ∗ − Q 2 有相同的符号。注意到 q β 2 U 1 ∗ Q 2 = q β 2 U 1 ∗ Q 1 Q 1 Q 2 ≤ R v i < 1 。 我们可以得到 q β 2 U 1 ∗ − Q 2 < 0 ，那么 β 2 S 1 ∗ − Q 1 < 0 。因此， T r ( B ) < 0 。从而可以得到 E 1 ∗ 是局部渐近稳定的。如果 R v i 1 > 1 ，我们有 det ( B ) < 0 ，因此 E 1 ∗ 是不稳定的。这就完成了 E 1 ∗ 稳定性的证明。 由定理2.1，我们可以知道，当 R V > 1 时，存在一个唯一的HIV感染的边界平衡点 E 2 ∗ 。接下来，我们将证明边界平衡态 E 2 ∗ 的局部稳定性。 定理3.3 当 R u i 2 < 1 时，唯一的边界平衡点 E 2 ∗ 是局部稳定的，当 R u i 2 > 1 时， E 2 ∗ 是不稳定的。 证明： 注意 N 2 ∗ = S 2 ∗ + V 2 ∗ 通过将系统 在边界平衡 E 2 ∗ 处线性化，我们得到了雅可比矩阵 J ( E 2 ∗ ) = ( A ˜ C ˜ 0 B ˜ ) (17) 其中 A ˜ = ( − Λ S 2 ∗ − β 2 S 2 ∗ β 2 V 2 ∗ 0 ) ， C ˜ = ( δ − β 1 S 2 ∗ − ( β 1 + β 2 ) S 2 ∗ − β 1 V 2 ∗ β 2 S 2 ∗ − β 1 V 2 ∗ + σ δ ) ， B ˜ = ( β 1 S 2 ∗ − q β 2 V 2 ∗ − ( μ + d V + δ ) β 1 S 2 ∗ ( q β 2 + β 1 ) V 2 ∗ β 1 V 2 ∗ − ( μ + d I + γ 2 + σ δ ) ) ， 显然， T r ( A ˜ ) = − Λ S 2 ∗ < 0 ， det ( A ˜ ) = β 2 2 V 2 ∗ S 2 ∗ > 0 。 因此， A ˜ 的特征值有负的实部。 关于 B ˜ ，我们需要 T r ( B ˜ ) < 0 并且 det ( B ˜ ) > 0 通过简单的计算，我们有 det ( B ˜ ) = ( β 1 S 2 ∗ − Q 3 ) ( β 1 V 2 ∗ − Q 2 ) − ( q β 2 + β 1 ) β 1 S 2 ∗ V 2 ∗ = Q 2 Q 3 − β 1 S 2 ∗ Q 2 − β 1 V 2 ∗ Q 3 − q β 1 β 2 S 2 ∗ V 2 ∗ 定义 R u i 2 = β 1 S 2 ∗ ( μ + d I + γ 2 + σ δ ) + β 1 V 2 ∗ ( q β 2 V 2 ∗ + μ + d V + δ ) ( μ + d I + γ 2 + σ δ ) ( q β 2 V 2 ∗ + μ + d V + δ ) − q β 1 β 2 S 2 ∗ V 2 ∗ (18) 称 R u i 2 是海洛因吸食者的入侵基本再生数。假设 R u i 2 < 1 ，那么我们有 det ( B ˜ ) > 0 ，这表明 β 1 S 2 ∗ − Q 3 和 β 1 V 2 ∗ − Q 2 有相同的符号，由于 β 1 S 2 ∗ Q 3 ≤ R u i 2 < 1 。从而可以得到 β 1 S 2 ∗ − Q 3 < 0 ， β 1 V 2 ∗ − Q 2 < 0 。因此，我们可以得到 T r ( B ˜ ) < 0 。因此， E 2 ∗ 是局部渐近稳定的。如果 R u i 2 > 1 ，可以得到 det ( B ˜ ) < 0 。则 E 2 ∗ 是不稳定的。 定理3.2~3.3告诉我们两个边界平衡点 E 2 ∗ 和 E 1 ∗ 的局部稳定性分别由入侵再生数 R u i 2 、 R v i 1 决定。这些结果表明，共感的存在并没有消除竞争排斥的条件。