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user: 3. 一些引理和命题 在本节中，我们回顾文献 [ 7 ] 中关于激波可容许条件和黎曼问题的解的一些结果。 系统(18)激波的Rankine-Hugoniot条件可以写成：左侧状态 ( ρ − ， m − ) 和右侧状态 ( ρ + ， m + ) ，(此时 ρ ± > 0 )可被传播速度为 s ∈ ℝ ， s ≠ 0 的激波相连接，当且仅当 s ( ρ + − ρ − ) = m + − m − (20) s ( m + − m − ) = m + 2 ρ + − m + 2 ρ − + p ( ρ + ) − p ( ρ − ) (21) 通过化简s，我们可以得到 ρ + ρ − ( v + − v − ) 2 = ( ρ + − ρ − ) ( p ( ρ + ) − p ( ρ − ) ) (22) 此时 v ± = m ± ρ ± 。 对欧拉方程使用熵不等式(2)，则激波是可容许的当且仅当(为了方便，我们使用 ρ v 代替 m ) s ( ρ − ε ( ρ − ) − ρ + ε ( ρ + ) + ρ − v − 2 2 − ρ + v + 2 2 ) ( ρ − ε ( ρ − ) + p ( ρ − ) ) v − − ( ρ + ε ( ρ + ) + p ( ρ + ) ) v + + ρ − v − 3 2 − ρ + v + 3 2 结合(21)，上述不等式可以简化为 ρ − v − − ρ + v + ρ − − ρ + ( ρ − ε ( ρ − ) − ρ + ε ( ρ + ) + ρ − v − 2 2 − ρ + v + 2 2 ) ≤ ( ρ − ε ( ρ − ) + p ( ρ − ) ) v − − ( ρ + ε ( ρ + ) + p ( ρ + ) ) v + + ρ − v − 3 2 − ρ + v + 3 2 因此， ρ − ρ + ( v − − v + ) 2 ( v − + v + ) 2 ( ρ − + ρ + ) ≤ ( p ( v − ) v − − p ( ρ + ) v + ) + ρ − ρ + ( v − v + ) ( ε ( ρ + ) − ε ( ρ − ) ) ρ − − ρ + 加上之前得到的式子(22)，我们可以得到可容许性条件为： ( v − − v + ) ( p ( ρ − ) + p ( ρ + ) − 2 ρ − ρ + ε ( ρ − ) − ε ( ρ + ) ρ − − ρ + ) ≤ 0 (23) 类似于 [ 7 ]，下面的引理对研究可容许激波非常重要。这里压强项与中不同，因此证明过程有所不同。 引理3.1对任意的 ρ − ≠ ρ + ， ρ ± > 0 ，压强项 p ( ρ ) = 1 ( 1 ρ − 1 ρ * ) γ ( γ ≥ 1 ) 满足 p ( ρ − ) + p ( ρ + ) − 2 ρ − ρ + ε ( ρ + ) − ε ( ρ − ) ρ + − ρ − > 0 (24) 证明由定义 p ( ρ ) = ρ 2 ε ′ ( ρ ) 因此可以得到 ε ′ ( ρ ) = p ( ρ ) ρ 2 = 1 ρ 2 ( 1 ρ − 1 ρ * ) γ 下面分别讨论 γ = 1 和 γ > 1 两种情况： 1) 当 γ > 1 时 ε ( ρ ) = 1 γ − 1 ( 1 ρ − 1 ρ * ) 1 − γ 于是有 p ( ρ − ) + p ( ρ + ) − 2 ρ − ρ + ε ( ρ + ) − ε ( ρ − ) ρ + − ρ − = 1 ( 1 ρ − − 1 ρ * ) γ + 1 ( 1 ρ + − 1 ρ * ) γ − 2 ρ − ρ + ( 1 ρ + − 1 ρ * ) 1 − γ − ( 1 ρ − − 1 ρ * ) 1 − γ ( γ − 1 ) ( ρ + − ρ − ) (25) 令 x = 1 ρ − − 1 ρ * ， y = 1 ρ + − 1 ρ * ，那么就有 x − y = 1 ρ − − 1 ρ + = ρ + − ρ − ρ + ρ − 。一般地，假设 ρ * > ρ + > ρ − ，(另一种情况用类似的方法)可以得到 x > y > 0 ，那么(25)可以写成 p ( ρ − ) + p ( ρ + ) − 2 ρ − ρ + ε ( ρ + ) − ε ( ρ − ) ρ + − ρ − = 1 x γ + 1 y γ − 2 γ − 1 1 x − y ( y 1 − γ − x 1 − γ ) 因此，(24)等价于 ( γ − 1 ) ( x − y ) ( y γ + x γ ) − 2 ( x γ y − x y γ ) > 0 经过化简，可以得到 ( γ − 1 ) ( x γ + 1 − y γ + 1 ) − ( γ + 1 ) ( x γ y − x y γ ) > 0 令 z = x y > 1 ，我们可以得到 ( γ − 1 ) ( z γ + 1 − 1 ) − ( γ + 1 ) z ( z γ − 1 − 1 ) > 0 令 f ( z ) = ( γ − 1 ) ( z γ + 1 − 1 ) − ( γ + 1 ) z ( z γ − 1 − 1 ) ，即证明当 z > 1 时， f ( z ) > 0 。通过对 f ( z ) 进行二次求导，得 f ″ ( z ) = γ ( γ 2 − 1 ) z γ − 2 ( z − 1 ) 又因为当 z > 1 时， f ( 1 ) = f ′ ( 1 ) = 0 ， f ″ ( z ) > 0 ，可得在区间 ( 1 ， ∞ ) 上， f ( z ) 是单调递增的凸函数。因此证得在 z > 1 时， f ( z ) > 0 。 2) 当 γ = 1 时 ε ( ρ ) = ln 1 ( 1 ρ − 1 ρ * ) 于是有 p ( ρ − ) + p ( ρ + ) − 2 ρ − ρ + ε ( ρ + ) − ε ( ρ − ) ρ + − ρ − = 1 1 ρ − − 1 ρ * + 1 1 ρ + − 1 ρ * − 2 ρ − ρ + ln ( 1 ρ − − 1 ρ * ) − ln ( 1 ρ + − 1 ρ * ) ρ + − ρ − = 1 x + 1 y − 2 x − y ln x y 类似地，我们需要讨论以下式子 1 x + 1 y − 2 x − y ln x y > 0 ⇔ ( x − y ) x y ( 1 x + 1 y ) − 2 x y ln x y > 0 ⇔ ( x 2 − y 2 ) − 2 x y ln x y > 0 对 g ( z ) = ( z 2 − 1 ) − 2 z ln z 进行二次求导，可以得到 g ″ ( z ) = 2 − 2 z 。与 γ > 1 的情况类似，可以证得在 z > 1 时， g ( z ) > 0 。 因此，在两种情况下都可以证得(24)成立。 通过引理3.1和(23)可知，连接 ( ρ − ， ρ − v − ) 和 ( ρ + ， ρ + v + ) 的波是可容许的，当且仅当 v − ≥ v + (26) 下面 [ 7 ] 中的引理描述了黎曼问题的解。 引理3.2 ρ ± ， v ± 是常数且 ρ ± > 0 ，为了简单起见，假设 ( ρ − ， ρ − v − ) 和 ( ρ + ， ρ + v + ) 不位于任何的简单 波曲线上。 1) 如果 v + − v − ≥ ∫ 0 ρ − p ′ ( τ ) τ d τ + ∫ 0 ρ + p ′ ( τ ) τ d τ 那么黎曼问题(18)~(19)存在唯一的自相似解，其由1-稀疏波和3-稀疏波组成的，中间状态是真空，即 ρ m = 0 。 2) 如果 | ∫ ρ − ρ + p ′ ( τ ) τ d τ | < v + − v − < ∫ 0 ρ − p ′ ( τ ) τ d τ + ∫ 0 ρ + p ′ ( τ ) τ d τ 那么黎曼问题(18)~(19)存在唯一自相似解，其由1-稀疏波和3-稀疏波组成的。中间状态 ( ρ m ， ρ m v m ) 由如下方程组唯一给出 v + − v − = ∫ ρ m ρ − p ′ ( τ ) τ d τ + ∫ ρ m ρ + p ′ ( τ ) τ d τ v m = v − + ∫ ρ m ρ − p ′ ( τ ) τ d τ 3) 如果 ρ − > ρ + 并且有 − ( ρ − − ρ + ) ( p ( ρ − ) − p ( ρ + ) ) ρ − ρ + < v + − v − < ∫ ρ + ρ − p ′ ( τ ) τ d τ 那么黎曼问题(18)~(19)有一个唯一的自相似解，其由1-稀疏波和可容许3-激波组成的。中间状态 ( ρ m ， ρ m v m ) 由如下方程组唯一给出 v + − v − = ∫ ρ m ρ − p ′ ( τ ) τ d τ − ( ρ m − ρ + ) ( p ( ρ m ) − p ( ρ + ) ) ρ m ρ + v m = v − + ∫ ρ m ρ − p ′ ( τ ) τ d τ 4) 如果 ρ − < ρ + 并且有 − ( ρ + − ρ − ) ( p ( ρ + ) − p ( ρ − ) ) ρ + ρ − < v + − v − < ∫ ρ − ρ + p ′ ( τ ) τ d τ 那么黎曼问题(18)~(19)有唯一自相似解，该解由一个可容许1-激波和一个3-稀疏波组成。中间状态 ( ρ m ， ρ m v m ) 由以下方程组唯一给出 v + − v − = ∫ ρ m ρ + p ′ ( τ ) τ d τ − ( ρ m − ρ − ) ( p ( ρ m ) − p ( ρ − ) ) ρ m ρ − v m = v − − ( ρ m − ρ − ) ( p ( ρ m ) − p ( ρ − ) ) ρ m ρ − 5) 如果 v + − v − < ( ρ + − ρ − ) ( p ( ρ + ) − p ( ρ − ) ) ρ + ρ − 那么黎曼问题(18)~(19)存在唯一自相似解，其由一个可容许1-激波和一个可容许3-激波组成的。中间状态 ( ρ m ， ρ m v m ) 由以下方程组唯一给出 v + − v − = ( ρ m − ρ − ) ( p ( ρ m ) − p ( ρ − ) ) ρ + m ρ − − ( ρ m − ρ + ) ( p ( ρ m ) − p ( ρ + ) ) ρ m ρ + v m = v − − ( ρ m − ρ − ) ( p ( ρ m ) − p ( ρ − ) ) ρ + m ρ − 与 [ 7 ] 相似，本文利用下述定理，将柯西问题无穷多解的存在性约化为证明一个可容许的扇形域下解的存在。 命题3.1 [ 7 ] 设 p 为任意 C 1 函数，若黎曼问题(1)~(4)存在至少一个可容许扇形域下解 ( ρ ¯ ， v ¯ ， u ¯ ) ，则(1)~(4)存在无穷多个有界可容许解 ( ρ ， v ) 使 ρ = ρ ¯ 且 | v | 2 1 P 1 = C 。 该命题由以下引理证明得出。 引理3.3 [ 7 ] 令 ( v ˜ ， u ˜ ) ∈ ℝ 2 × S 0 2 × 2 且 C 0 > 0 ，满足 v ˜ ⊗ v ˜ − u ˜ < C 0 2 I d 。对于任意开集 Ω ∈ ℝ 2 × ℝ ，存在无穷多个满足如下性质的映射 ( v _ ， u _ ) ∈ L ∞ ( ℝ 2 × ℝ ， ℝ 2 × S 0 2 × 2 ) a) v _ 和 u _ 在 Ω 外恒等； b) d i v x v _ = 0 并且 ∂ t v _ + d i v x u _ = 0 ； c) ( v ˜ + v ¯ ) ⊗ ( v ˜ + v ¯ ) − ( u ˜ + u ¯ ) = C 0 2 I d 在 Ω 内几乎处处成立。 由于这些命题的证明不依赖于压强项的具体结构，并且定理1.2保证了我们需要的所有有界性，这些结果可以应用于本文研究的情形。