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user: 2. 问题描述 2.1. 网络控制系统中的基本问题 一方面，网络控制系统带来了一些不错的优势，如低成本，控制系统设计灵活性强，线路易于安装和维护，信息交流更加可靠，并且已经发现在工业领域成功的应用。如远程控制机器人、无人作战指挥系统、远程外科手术、智能楼宇与智能交通等。另一方面，在反馈回路中引入了网络也会引起一些负面影响。第一，由于网络带宽有限，大量节点同时传输数据时会造成时延，进而降低系统的性能或者甚至引起不稳定的问题；第二，由于网络传输中的各种不确定的干扰，容易发生传输数据出错或丢失的情况，即网络丢包问题。按照导致数据包丢失的诱因来分，中数据包丢失可以分为如下三大类：第一类是数据传输路径的不可靠性、网络自身故障等引起的数据包丢失，第二类是因多个网络节点争用有限网络资源引发的数据包丢失，第三类则是为了改善网络负载状况和防止系统进一步恶化，系统主动丢弃某些陈旧或者次要数据包。第三，一个数据包只能携带有限的信息，但如果数据量较大，就只能分成几个不同数据包分别传送，即多包传输。第四，在网络环境下，被传输的数据流经众多计算机和通讯设备且路径不唯一，这必然会导致数据包的时序错乱，即指原来有一定先后次序的多个完整数据在从源结点出发到达目标节点时，其到达的时序与原来的时序不同。 2.2. 切换系统中的问题 从理论和实践的角度来看，研究切换系统是有益的，但是它也面临着许多挑战。例如，因为它有可能通过渐近稳定系统之间进行切换或通过切换来稳定不稳定的系统出现不稳定，所以多个线性时不变(LTI)装置的切换控制已被认为是一个值得正视的问题。基于此，目前已有的研究主要从以下两个大的方向提出问题进行讨论。 2.2.1. 任意切换信号下，保证一个切换系统渐进稳定的条件 在任意切换下，多个稳定的子系统构成的切换系统的稳定性条件由共同Lyapunov函数提供。因此寻找合适的Lyapunov函数成为研究任意切换系统稳定性的研究重点。文献 [ 19 ] 中依据切换系统的Lyapunov逆定理，即一个切换系统的一致渐近稳定意味着存在一个共同的Lyapunov函数。文献 [ 20 ] 描述了共同Lyapunov函数的存在提供了由多个稳定子系统组成的切换系统的稳定性条件。在任意切换下开关补偿器的存在性在文献 [ 21 ] 讨论了。文献 [ 22 ] 利用Lyapunov函数法，给出了确保由微分方程和差分方程描述的切换系统渐近稳定的充分条件，在此基础上给出了不受切换条件限制，但能使切换系统渐近稳定的镇定控制器设计方法。另外李代数方法的使用对任意切换下系统稳定问题的研究也起到了重要的作用。文献 [ 23 ] 中Liberzon等人运用李代数理论，将系统在任意切换策略下共同二次Lyapunov函数的存在性问题转化为由系统矩阵产生的李代数可解的问题。文献 [ 24 ] 提出了保证共同Lyapunov函数存在一对非交换系统的两个条件。文献 [ 25 ] 中作者以不同系数矩阵的Lyapunov不等式可存在共同的解决方案，提出了一个足够充分的条件。在此条件下，相互关联矩阵的大小等于其系数矩阵的数目。文献 [ 26 ] 中的逆Lyapunov定理表明，拟二次型或分段二次型形式的公共函数可以用于在任意切换信号下均是渐近稳定的线性切换系统。 2.2.2. 切换系统在受限的切换规律下的稳定性及切换系统设计问题 假设每个子系统都是稳定的，尽可能慢的切换下，就可保证切换系统的特性。尽管有些子系统不稳定，只要这些不稳定的子系统被激活的时间相对短，仍能得到使系统稳定的切换律，即采用平均驻留时间的方案。研究该问题多数采用多Lyapunov函数的方法。文献 [ 27 ] 将平均驻留时间方法与多Lyapunov函数方法相结合，分别就所有子系统全是稳定的和不全是是稳定的两种情形，对线性切换系统的加权扰动衰减问题进行了研究。文献 [ 28 ] 提出基于存在一对正LTI系统的共同双正线性Lyapunov函数的可验证条件的方法，来确定一个给定的切换正连续时间线性系统是否是指数稳定。未来的工作是将这一结果扩展到任意有限集合，例如LTI系统，并开发综合程序，利用我们的结果，稳定的设计转到正面的系统。此外，它已经从平均时间切换，滑模控制和有限时间切换控制这几个方面对凸组合进行了解释。文献 [ 29 ] 表明，对于一族信号，人们可以将问题减少到在特定 子空间下对不受控制系统发现一个共同的二次Lyapunov函数。文献 [ 30 ] 利用矩阵约束条件给出了仅含两个子系统的线性切换系统存在公共的二次型函数的充分必要条件。可是，它无法处理所有子系统都不稳定的情况。 文献 [ 31 ] 讨论了离散时间线性切换系统的切换镇定问题。基于抽象–聚合方法，学者提出了一种状态反馈路径转换法。通过研究证明了状态反馈路径切换律在这个意义上是普遍的，任何镇定切换线性系统稳定的切换律都承认这一方法。建议切换法则对稳定问题生成的是通用切换信号，可是这种方法很难适用于性能标准和处理控制性能问题。 文献 [ 32 ] 用解线性矩阵不等式的方法来寻找Lyapunov函数和进行反馈控制设计。文献 [ 33 ] 给出了线性切换系统在各个子系统都能控且能观的条件下，渐近可镇定性和输出可镇定性的联系，并且设计了基于观测器的可镇定控制器。文献 [ 34 ] 给出反例来显示具有控制开关的线性切换系统，可以通过合适的切换法则而并不一定给出凸Lyapunov函数来使系统稳定。文献 [ 21 ] 中，切换装置存在一个稳定与二次稳定切换线性补偿的开关装置给予必要充分镇定条件，如果满足这些条件，无论一族补偿器与一族开关装置怎样相关联，则存在真实的量使闭环系统切换是稳定的，并且该文献已经展示了如何获得这些的实现。 2.3. 执行器饱和的网络切换系统的问题 关于切换控制的稳定性分析和控制综合条件问题采用双线性矩阵不等式(BMIs)。可是这种方法并不能保证系统收敛，甚至不能实现局部最优解。基于以上的研究，一些学者开始研究开发切换控制的设计框架，来解决诸如限制和非线性饱和，如执行器饱和的重要实际问题。 2.3.1. 执行器饱和的切换线性系统的分析与控制 作为一个状态依赖的切换策略，最小切换逻辑是在 [ 35 ] 中被提及。该策略不需要每个子系统是稳定的，并包含一个特殊的情况下的二次稳定条件。通过这种方法，文献 [ 36 ] 将状态反馈和动态输出反馈的 H ∞ 控制器设计做出了进一步的发展。最近的一项研究结果证明，最小切换策略能保证H2性能要比一个单独的子系统产生的效果要好 [ 37 ] 。这使得它不仅对所有不稳定的切换系统的子系统，而且也对一些或所有稳定的子系统是一个可行的方法。此外，在文献 [ 38 ] 中放宽了最小切换规则来避免高频开关带来的进一步影响。 另一方面，对所有动态系统执行器饱和是一个固有的非线性。执行器饱和问题在科研界已经有了深入研究，如 [ 39 ] [ 40 ] 和其中的参考文献。在文献中涉及饱和控制的主题很广泛，包括稳定性，输出调节和干扰抑制。近来，重点转移到指数不稳定的开环系统，因为许多执行器饱和的控制系统，如飞行控制，是指数不稳定的。由于只有在部分的状态空间中执行器饱和的系统是零可控的，所以这里的目标是表征的零可控区域 [ 40 ] ，并设计反馈法则使得执行器饱和的系统能够工作在整个或大部分零可控区域。通过不同的框架，提出了基于严格理论分析的不同的设计程序。然而，大多数文献上的指数不稳定系统是关于状态反馈。只有很少数的文献涉及到输出反馈。 2.3.2. 连续/离散切换线性系统的分析和切换控制问题 所有基于观测稳定的控制器都在装置配置具有确切知识背景的假设下进行的参数设置。然而，这种确保稳定性的方法太过保守，特别是在特定的切换规则下。自从在实践中多个系统不能由一个共同Lyapunov函数来控制，在一些正确选择的切换逻辑下，研究者把更多的注意力转向了稳定性，而多Lyapunov函数已被证明是用于稳定性分析非常有用的工具 [ 41 ] 。因此，我们将关注点集中在了使用多Lyapunov函数作为工具的控制切换系统上。为此，对于切换系统提出的多种切换规则，它们大体上可以分为状态依赖和时间驱动两类。文献 [ 42 ] 讨论了一个系统组成的一组两个不稳定的线性自治状态模型。通过选择要激活的系统来实现控制。控制目标是由两个不稳定系统间切换的状态轨迹的二次稳定。假设存在一个稳定凸组合包含两个不稳定的系统矩阵，对三个稳定控制策略进行了讨论：时间平均控制，变结构控制，和一个混合反馈控制。文献 [ 43 ] 讨论了稳定的线性多模态系统的控制律，选择一个特定的系统模式，所考虑的系统是相似的跳跃线性系统。在一个跳变线性系统中，主动模式是由一个随机过程选择的。在这里，控制器使用一个分段二次李型函数来选择系统模式来激活。该文涉及一个稳定的控制律的一对耦合的Lyapunov方程的解的存在性。这些方程的解决方案进行了讨论，并涉及到来自组件系统矩阵和耦合参数的某些矩阵算子的特征值的位置。这些条件并不要求每一个子系统都稳定并且包含一种特殊的条件——二次稳定性条件。 底层最小切换策略是一个特殊的方法，它满足难以检查的多Lyapunov函数的非增加条件并且它很容易利用。一个特殊的切换策略遇到多Lyapunov函数的非增条件，我们可以选择最小切换策略。然而这种最小切换有其潜在的缺点，抖颤现象。 2.3.3. 通过最小切换及驻留时间的切换时切换线性系统的分析与控制 假设每个子系统都是稳定的，在尽可能慢的切换下，就可保证切换系统的特性，即使用平均驻留时间的方案，尽管有些子系统不稳定，只要这些不稳定的子系统被激活的时间相对短，仍能得到使系统稳定的切换律 [ 21 ] 。文献 [ 44 ] 展示了用于切换系统的Lyapunov函数构造。这种方法需要寻找系统矩阵的稳定凸组合。文献 [ 27 ] 将平均驻留时间方法与多Lyapunov函数方法相结合，分别就所有子系统全是稳定的和不全是是稳定的两种情形，对线性切换系统的加权扰动衰减问题进行了研究。 在驻留时间约束下的线性切换不稳定系统的研究仍然有缺失。在稳定切换系统中平均驻留时间这一概念是建立在允许在切换时有短暂振荡的慢切换上。换句话说，Lyapunov函数中的停留时间的递减补偿在切换实例的Lyapunov函数可能增加。分段函数用 ν σ ( x ) 表示，限制Lyapunov函数增加的已知条件是 当 μ > 1 时， ν i ( x ) ≤ μ ν j ( x ) ，i，j是系统切换前后的指数 [ 45 ] 。当分段二次Lyapunov函数被采用，条件就可以简化为 i μ P j ≤ P i ≤ μ P j [ 46 ] 。如果可能的话，在切换瞬间使用减量的Lyapunov函数来补偿在驻留 时间Lyapunov函数的潜在增加。为了解决驻留时间约束下的不稳定子系统的切换线性系统的分析和控制，可以结合驻留时间，然后通过修改后的最小切换逻辑，从而给出一个新的切换策略。