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user: 4. 持续性与灭绝性 本节讨论系统(1.4)的持续性与灭绝性。为此，介绍如下非自治随机Logistic方程的持续性结果。 考虑非自治随机Logistic方程 d u ( t ) = u ( t ) [ r ( t ) − a ( t ) u ( t ) ] d t + σ ( t ) u ( t ) d B ( t ) ， (4.1) 其中 a ( t ) 、 b ( t ) 和 σ ( t ) 连续，具有正的上、下界。对方程(4.1)，由文献 [ 8 ] 可知： 引理4.1：若 lim inf t → + ∞ [ r ( t ) − 0.5 σ 2 ( t ) ] > 0 ，则方程(4.1)是随机持续的，即对任意 ε ∈ ( 0 ， 1 ) ，存在正数 α 和 β ，使得对任意初值 u ( 0 ) > 0 ，方程(4.1)的解 u ( t ) 满足 lim inf t → ∞ ℙ { u ( t ) ≤ α } ≥ 1 − ε ， lim inf t → ∞ ℙ { u ( t ) ≥ β } ≥ 1 − ε . 引理4.2：若 lim inf t → + ∞ 1 t ∫ 0 t [ r ( s ) − 0.5 σ 2 ( s ) ] d s > 0 ，则方程(4.1)是平均持续的，即对任意初值 u ( 0 ) > 0 ，方程(4.1)的解 u ( t ) 以概率1满足 lim inf t → ∞ 1 t ∫ 0 t u ( s ) d s > 0. 下面依次给出系统(1.4)的随机持续性、平均持续性和灭绝性结果。 定理4.1：若 min { lim inf t → ∞ [ r 1 ( t ) − b 1 ( t ) − 0.5 σ 1 2 ( t ) ] ， lim inf t → ∞ [ r 2 ( t ) − b 2 ( t ) − 0.5 σ 2 2 ( t ) ] } > 0 ，则系统(1.4)是随机持续的，即对任意 ε ∈ ( 0 ， 1 ) ，存在正数 α 和 β ，使得对任意初值 x ( 0 ) ∈ R + 2 ，系统(1.4)的解 ( x 1 ( t ) ， x 2 ( t ) ) T 满足 lim inf t → ∞ P { x i ( t ) ≤ α } ≥ 1 − ε ， lim inf t → ∞ P { x i ( t ) ≥ β } ≥ 1 − ε ， i = 1 ， 2. 证明：由定理3.1知，对于任意初值 x ( 0 ) ∈ R + 2 ，系统(1.4)存在全局唯一解，且以概率1停留在 R + 2 中。对系统(1.4)的第一个方程，有 d x 1 ( t ) = x 1 ( t ) [ r 1 ( t ) − b 1 ( t ) e − k 1 ( t ) x 2 ( t ) − c 1 ( t ) x 1 ( t ) ] d t + σ 1 ( t ) x 1 ( t ) d B 1 ( t ) ≤ x 1 ( t ) [ r 1 ( t ) − c 1 ( t ) x 1 ( t ) ] d t + σ 1 ( t ) x 1 ( t ) d B 1 ( t ) ， (4.2) 以及 d x 1 ( t ) = x 1 ( t ) [ r 1 ( t ) − b 1 ( t ) e − k 1 ( t ) x 2 ( t ) − c 1 ( t ) x 1 ( t ) ] d t + σ 1 ( t ) x 1 ( t ) d B 1 ( t ) ≥ x 1 ( t ) [ r 1 ( t ) − b 1 ( t ) − c 1 ( t ) x 1 ( t ) ] d t + σ 1 ( t ) x 1 ( t ) d B 1 ( t ) . (4.3) 考虑随机微分方程 d Λ ( t ) = Λ ( t ) [ r 1 ( t ) − c 1 ( t ) Λ ( t ) ] d t + σ 1 ( t ) Λ ( t ) d B 1 ( t ) ， (4.4) 和 d λ ( t ) = λ ( t ) [ r 1 ( t ) − b 1 ( t ) − c 1 ( t ) λ ( t ) ] d t + σ 1 ( t ) λ ( t ) d B 1 ( t ) . (4.5) 设 Λ ( t ) 和 λ ( t ) 分别是方程(4.4)和(4.5)的初值为 Λ ( 0 ) = x 1 ( 0 ) 和 λ ( 0 ) = x 1 ( 0 ) 的解。根据随机微分方程的比较定理 [ 22 ] ，由(4.2)和(4.3)得 λ ( t ) ≤ x 1 ( t ) ≤ Λ ( t ) ，   a .s . (4.6) 由引理4.1，当 lim inf t → ∞ [ r 1 ( t ) − b 1 ( t ) − 0.5 σ 1 2 ( t ) ] > 0 时，系统(4.4)和(4.5)都是随机持续的。因此，对任意 ε ∈ ( 0 ， 1 ) ，存在正数 α 1 和 β 1 ，对任意 x 1 ( 0 ) > 0 ，有 lim inf t → ∞ P { Λ ( t ) ≤ α 1 } ≥ 1 − ε 和 lim inf t → ∞ P { λ ( t ) ≥ β 1 } ≥ 1 − ε (4.7) 由(4.6)和(4.7)得 lim inf t → ∞ P { x 1 ( t ) ≤ α 1 } ≥ 1 − ε 和 lim inf t → ∞ P { x 1 ( t ) ≥ β 1 } ≥ 1 − ε (4.8) 同理可证，对任意 ε ∈ ( 0 ， 1 ) ，存在正数 α 2 和 β 2 ，对任意 x 2 ( 0 ) > 0 ，有 lim inf t → ∞ P { x 2 ( t ) ≤ α 2 } ≥ 1 − ε 和 lim inf t → ∞ P { x 2 ( t ) ≥ β 2 } ≥ 1 − ε (4.9) 取 α = max { α 1 ， α 2 } 和 β = min { β 1 ， β 2 } ，由(4.8)和(4.9)可知，对任意 i = 1 ， 2 ，有 lim inf t → ∞ P { x i ( t ) ≤ α } ≥ 1 − ε ，   lim inf t → ∞ P { x i ( t ) ≥ β } ≥ 1 − ε . 证毕。 定理4.2：若 min { lim inf t → ∞ 1 t ∫ 0 t [ r 1 ( s ) − b 1 ( s ) − 0.5 σ 1 2 ( s ) ] d s ， lim inf t → ∞ 1 t ∫ 0 t [ r 2 ( s ) − b 2 ( s ) − 0.5 σ 2 2 ( s ) ] d s } > 0 ，则系统(1.4)是平均持续的，即对任意初值 x ( 0 ) ∈ R + 2 ，系统(1.4)的解 ( x 1 ( t ) ， x 2 ( t ) ) T 以概率1满足 lim inf t → ∞ 1 t ∫ 0 t x i ( t ) d t > 0 ， a .s .，   i = 1 ， 2. 证明：根据引理4.2，由 lim inf t → ∞ 1 t ∫ 0 t [ r 1 ( s ) − b 1 ( s ) − 0.5 σ 1 2 ( s ) ] d s > 0 可知，对方程(4.5)的初值为 λ ( 0 ) = x 1 ( 0 ) 的解 λ ( t ) ，以概率1成立 lim inf t → ∞ 1 t ∫ 0 t λ ( t ) d t > 0. (4.10) 由(4.6)和(4.10)可知，以概率1成立 lim inf t → ∞ 1 t ∫ 0 t x 1 ( s ) d s ≥ lim inf t → ∞ 1 t ∫ 0 t λ ( t ) d t > 0. 同理可证，以概率1成立 lim inf t → ∞ 1 t ∫ 0 t x 2 ( s ) d s > 0. 证毕。 定理4.3：若 lim sup t → + ∞ 1 t ∫ 0 t [ r i ( s ) − 0.5 σ i 2 ( s ) ] d s < 0 ，则对任意初值 x ( 0 ) ∈ R + 2 ，系统(1.4)的第i个种群以概率1指数灭绝，即以概率1成立 lim sup t → ∞ ln x i ( t ) t < 0 ， i = 1 ， 2. 证明：只对 i = 1 的情况证明， i = 2 的情况类似。由Itô公式得 d ln x 1 ( t ) = [ r 1 ( t ) − b 1 ( t ) e − k 1 ( t ) x 2 − c 1 ( t ) x 1 − 0.5 σ 1 2 ( t ) ] d t + σ 1 ( t ) d B 1 ( t ) . (4.11) 对(4.11)两边从0到t积分得 ln x 1 ( t ) ≤ ln x 1 ( 0 ) + ∫ 0 t [ r 1 ( s ) − 0.5 σ 1 2 ( s ) ] d s + M ( t ) ， (4.12) 其中 M ( t ) = ∫ 0 t σ 1 ( s ) d B ( s ) 是局部鞅，其二次变差为 〈 M ， M 〉 t = ∫ 0 t σ 1 2 ( s ) d s ≤ σ ⌣ 1 2 t . 由局部鞅的强大数定律 [ 23 ] lim t → ∞ M ( t ) t = 0 ，   a .s . (4.13) 由(4.12)和(4.13)得 lim sup t → ∞ ln x 1 ( t ) t ≤ lim sup t → ∞ 1 t ∫ 0 t [ r 1 ( s ) − 1 2 σ 1 2 ( s ) ] d s < 0 ，   a .s . 证毕。