system: [SYSTEM]

user: 2. 模型 在本模型中，我们假设 G ( N ， A ) 为一个拥有 N 个节点和 A 条路段的网络。在这个网络中，有着不同出行起讫点的用户，用户的出行可能在本区域内或者穿越多个不同的区域，这些用户在整个路网中进行交通出行。我们定义W为网络中出行者的OD对。 不同的OD之间的用户的需求关系为 d w = D w ( μ w ) ，其中 μ w 是路网中到达均衡状态下该OD对W间的均衡成本。 v a 表示为路段 a 上的出行的交通流量， t a 为路段 α 上的行程时间，路段上用户会受到的成本用 C a ( τ a ， v a ) = θ t a ( v a ) + τ a 表示，其中 θ 表示用户的时间价值，这个成本包括用户受到的时间成本和费用成本。我们当用户没有经过收取费用的路段时，路段成本可以用 C a ( τ a ， v a ) = θ t a ( v a ) 表示。 路段上的汽车的尾气排放系数为 e a ( v a ) = 0.2038 ⋅ t a ( v a ) ⋅ e 0.7962 ⋅ ( l a / t a ( v a ) ) ，其中 l a 为该条路段的长度，在这个公式中， l a 的单位应为千米，而时间 t a 单位应为分钟。 我们将整个模型设成一个双层模型，由于路网中用户在出行时是在这整个网络中进行出行，交通流量在整个网络中进行分配。因此下层就是一个整个网络的用户均衡模型 min d ， v ∑ a ∈ A ∫ 0 v a c a ( τ ， ω ) d ω − ∑ w ∈ W ∫ 0 d w D w − 1 ( ω ) d ω v a = ∑ w ∈ W ∑ r ∈ R w f r w δ a r w ，     a ∈ A ∑ r ∈ R w f r w = d w ，     w ∈ W f r w ≥ 0 ， r ∈ R w ， w ∈ W (1) 2.1. 单个区域进行收费时的模型 设 W ¯ 是出行起点为仅一个区域内的 对的集合， A ¯ 是区域内的所有路段的集合。我们首先对单个区域进行分析，单个区域管理者在管理区域交通时，根据Zhang等(2008) [ 5 ] 的理论，思考的是本区域中用户的福利与利益，在这个上层管理者对社会福利的优化模型中，首先是本区域内出行者的消费者剩余，即仅考虑出行起点为本区域内的用户的消费者剩余。同时区域管理者也要考虑道路的拥挤水平所带来的负福利，即： max S W τ = ∑ w ∈ W ∫ 0 d w ( τ ) D w − 1 ( ω ) d ω − ∑ a ∈ A v a t a ( v a ) τ min ≤ τ ≤ τ max (2) 这个模型是Yang和Huang (1999) [ 2 ] 所采用的目标函数，但在区域管理者的考虑中，本区域出行者在道路上的总成本，即包括了本区域用户在出行时的时间成本，也包括了区域出行者在出行时付出的拥挤收费的费用成本。而付出的费用可能会是本区域收取，也可能会被其他区域对本区域的用户所收取。对于本区域自身所收取的拥挤收费，可以是作为基础设施建设资金来源的一个方面来重新分配至区域用户的福利，而其他区域收取的费用，即被其他区域所利用，本区域无法得到补偿或益处，是一种区域用户的福利损失。因此据Zhang (2008) [ 5 ] 的研究知，式(2)变为 max S W τ = ∑ w ∈ W ¯ ∫ 0 d w ( τ ) D w − 1 ( ω ) d ω − ∑ w ∈ W ¯ μ w ( τ ) D w + ∑ a ∈ A ¯ τ a v a ( τ ) S .T .       τ min ≤ τ ≤ τ max (3) 区域管理者对于汽车尾气污染的考量应建立在对整个区域的基础上，与前面的仅考虑出行者的社会福利不同，由于不考虑其他区域出行者在本区域内的出行，因此在对出行者建模时，仅基于路径来进行福利建模与设计，而交通污染是区域内车辆对整个区域的造成影响，因此只要是行驶在区域内的车辆，都会对区域的福利造成影响，因此建模时须将本区域所有路段上的车辆进行考虑和建模。 结合上面的想法，上层的区域管理者的决策模型建立如下， max S W τ = ∑ w ∈ W ¯ ∫ 0 d w ( τ ) D w − 1 ( ω ) d ω − ∑ w ∈ W ¯ μ w ( τ ) D w − λ e ∑ a ∈ A ¯ e a v a + ∑ a ∈ A ¯ τ a v a ( τ ) S .T .       τ a min ≤ τ a ≤ τ a max ， a ∈ A ¯ (4) 其中 λ e 是尾气排放系数，为了计算的方便，我们设其为1。 这个上层模型中的 μ w ， v a ， d w 都是从(2)的下层模型中迭代而来。 2.2. 相互竞争情况下的区域间拥挤收费 在这一节中，我们将讨论区域间相互竞争情况下的拥挤收费行为，将 I = { 1 ， 2 ， ⋯ ， | I | } 代表参与进拥挤收费博弈的区域的集合。将 W ¯ i 代表区域 中所有出行者的OD对集合， W = ∪ i ∈ I W ¯ i 。 A ¯ i 代表区域 i 内所有路段的集合。 在多个区域的网络中，每个区域管理者的目的只是自己区域的福利的最大化，一旦一个区域做出自己的拥挤收费的决定之后，其他区域即会为了自己区域的福利的最大化来改变自己区域的拥挤收费。由于多个区域之间的相互博弈，某个单独的区域管理者无法从一次规划中得到自己需要的结果，他会和其他区域的管理者之间不断的博弈，在其他区域的管理者改变的基础上改变自己的区域收费，直至各方到达一个纳什均衡。 每个区域都以式(5)中的目标函数进行收费管理与目标优化，与此同时，整个网络中的用户仍以式(2)中的用户均衡方式在网络中出行。我们以区域 的观点，将区域间竞争的纳什博弈上层模型建立如下： max S W τ ( τ i | τ ) = ∑ w ∈ W ¯ i ∫ 0 d w ( τ ) D w − 1 ( ω ) d ω − ∑ w ∈ W ¯ i μ w ( τ ) D w − λ e ∑ a ∈ A ¯ i e a v a + ∑ a ∈ A ¯ i τ a v a ( τ ) S .T .       τ a min ≤ τ a ≤ τ a max ， a ∈ A ¯ (5) 这个模型的下层函数是式(2)，用户在整个网络中的用户均衡模型。 在这个模型中，这个纳什均衡解可以由多个区域之间不断地博弈迭代得到。 2.3. 相互合作时的区域间拥挤收费 在上一节中，我们提出了一个关于纳什博弈的模型，对区域间关于拥挤收费的竞争行为建模。在其中，区域间相互竞争以获得本区域的利益的最大化。由于不考虑其他区域中的用户的福利，各区域的行动可能会对其他区域的用户的福利造成损害，亦可能对整个路网中的社会福利的损害。因此，可以考虑各区域合作时的情形。我们提出区域间互相合作时的模型如下： max S W τ = ∑ i ∈ I { ∑ w ∈ W ¯ i ∫ 0 d w ( τ ) D w − 1 ( ω ) d ω − ∑ w ∈ W ¯ i μ w ( τ ) D w − λ e ∑ a ∈ A ¯ i e a v a + ∑ a ∈ A ¯ i τ a v a ( τ ) } S .T .       τ a min ≤ τ a ≤ τ a max ， a ∈ A ¯ (6) 这个模型如同上节的博弈模型一样，依然为上层管理者的优化模型，下层的出行者依然是在网络中的用户均衡模型(2)。 值得一提的是，据zhang等(2008) [ 5 ] 的理论，这种合作只能建立在各个区域管理者能从合作中获得足够大的收益之上。如果每个区域都能从这种合作中获益，则这种合作就能够继续进行；若有区域从这个合作中遭受了损失，则这种合作的基础就会消失，那个区域之间就会更加偏向于竞争。