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user: 3. 定理的证明 定理1的证明 不失一般性，不妨设 a = 1 ，假设 f ≡ f ( k ) 。 令 H = f ″ f ′ − f ( k + 2 ) f ( k + 1 ) − 2 ( f ′ f − 1 − f ( k + 1 ) f ( k ) − 1 ) ，则 m ( r ， H ) ≤ m ( r ， f ″ f ′ ) + m ( r ， f ( k + 2 ) f ( k + 1 ) ) + m ( r ， f ′ f − 1 ) + m ( r ， f ( k + 1 ) f ( k ) − 1 ) + O ( 1 ) = S ( r ， f ) . 我们断言 H ≡ 0 。事实上，若 H ≡ 0 ，注意到如果 z 0 都为 f − 1 与 f ( k ) − 1 的单重零点，由引理4得， H ( z 0 ) = 0 ，从而有 N E 1 ) ( r ， 1 f − 1 ) ≤ N ( r ， 1 H ) ≤ T ( r ， H ) + O ( 1 ) = m ( r ， H ) + N ( r ， H ) + O ( 1 ) ≤ N ( r ， H ) + S ( r ， f ) . (3.1) 由于 H 的极点只可能产生在f的极点、 f ′ 与 f ( k + 1 ) 的零点和 f − 1 与 f ( k ) − 1 的重级不同的公共零点处，则 N ( r ， H ) ≤ N ¯ ( r ， f ) + N ¯ L ( r ， 1 f − 1 ) + N ¯ L ( r ， 1 f ( k ) − 1 ) + N ¯ ( r ， 1 f ′ ) + N ¯ ( r ， 1 f ( k + 1 ) ) + N 0 ( r ， 1 f ′ ) + N 0 ( r ， 1 f ( k + 1 ) ) . (3.2) 因为f与 f ( k ) 以1为IM分担值，所以 N ¯ ( r ， 1 f − 1 ) = N ¯ ( r ， 1 f ( k ) − 1 ) ≤ N E 1 ) ( r ， 1 f − 1 ) + N ¯ E ( 2 ( r ， 1 f − 1 ) + N ¯ L ( r ， 1 f − 1 ) + N ¯ L ( r ， 1 f ( k ) − 1 ) . 由(3.1)及(3.2)得 N ¯ ( r ， 1 f − 1 ) + N ¯ ( r ， 1 f ( k ) − 1 ) ≤ 2 N E 1 ) ( r ， 1 f − 1 ) + 2 N ¯ E ( 2 ( r ， 1 f − 1 ) + 2 N ¯ L ( r ， 1 f − 1 ) + 2 N ¯ L ( r ， 1 f ( k ) − 1 ) ≤ N E 1 ) ( r ， 1 f − 1 ) + 2 N ¯ E ( 2 ( r ， 1 f − 1 ) + 3 N ¯ L ( r ， 1 f − 1 ) + 3 N ¯ L ( r ， 1 f ( k ) − 1 ) + N ¯ ( r ， f ) + N ¯ ( r ， 1 f ′ ) + N ¯ ( r ， 1 f ( k + 1 ) ) + N 0 ( r ， 1 f ' ) + N 0 ( r ， 1 f ( k + 1 ) ) + S ( r ， f ) . 而且 N E 1 ) ( r ， 1 f − 1 ) + 2 N ¯ E ( 2 ( r ， 1 f − 1 ) + N ¯ L ( r ， 1 f − 1 ) + N ¯ L ( r ， 1 f ( k ) − 1 ) ≤ 1 2 { N ( r ， 1 f − 1 ) + N ( r ， 1 f ( k ) − 1 ) } ≤ 1 2 { T ( r ， f ) + T ( r ， f ( k ) ) } + O ( 1 ) . 所以 N ¯ ( r ， 1 f − 1 ) + N ¯ ( r ， 1 f ( k ) − 1 ) ≤ 2 N ¯ L ( r ， 1 f − 1 ) + 2 N ¯ L ( r ， 1 f ( k ) − 1 ) + N ¯ ( r ， f ) + 1 2 { T ( r ， f ) + T ( r ， f ( k ) ) } + N ¯ ( r ， 1 f ′ ) + N ¯ ( r ， 1 f ( k + 1 ) ) + N 0 ( r ， 1 f ′ ) + N 0 ( r ， 1 f ( k + 1 ) ) + S ( r ， f ) . 由上式及Nevanlinna第二基本定理得： T ( r ， f ) + T ( r ， f ( k ) ) < N ¯ ( r ， f ) + N ¯ ( r ， 1 f ) + N ¯ ( r ， 1 f − 1 ) + N ¯ ( r ， f ( k ) ) + N ¯ ( r ， 1 f ( k ) ) + N ¯ ( r ， 1 f ( k ) − 1 ) − N 0 ( r ， 1 f ′ ) − N 0 ( r ， 1 f ( k + 1 ) ) + S ( r ， f ) < ( 2 + k ) N ¯ ( r ， f ) + N ¯ ( r ， 1 f ) + N ¯ ( r ， 1 f ( k ) ) + N ¯ ( r ， 1 f ′ ) + N ¯ ( r ， 1 f ( k + 1 ) ) + 2 N ¯ L ( r ， 1 f − 1 ) + 2 N ¯ L ( r ， 1 f ( k ) − 1 ) + 1 2 { T ( r ， f ) + T ( r ， f ( k ) ) } + S ( r ， f ) . 由引理1，2得： N ¯ ( r ， 1 f ′ ) ≤ N ( r ， 1 f ′ ) ≤ N ( r ， 1 f ) + N ¯ ( r ， f ) + S ( r ， f ) ， N ¯ ( r ， 1 f ( k ) ) ≤ N ( r ， 1 f ( k ) ) ≤ N ( r ， 1 f ) + k N ¯ ( r ， f ) + S ( r ， f ) ， N ¯ ( r ， 1 f ( k + 1 ) ) ≤ N ( r ， 1 f ( k + 1 ) ) ≤ N ( r ， 1 f ) + ( k + 1 ) N ¯ ( r ， f ) + S ( r ， f ) . (3.3) N ¯ L ( r ， 1 f − 1 ) ≤ N ¯ ( r ， 1 f ) + N ¯ ( r ， f ) + S ( r ， f ) . (3.4) N ¯ L ( r ， 1 f ( k ) − 1 ) ≤ N ¯ ( r ， 1 f ( k ) ) + N ¯ ( r ， f ( k ) ) + S ( r ， f ) ≤ N ( r ， 1 f ) + ( k + 1 ) N ¯ ( r ， f ) + S ( r ， f ) . (3.5) 所以 1 2 { T ( r ， f ) + T ( r ， f ( k ) ) } ≤ ( 5 k + 8 ) N ¯ ( r ， f ) + 8 N ( r ， 1 f ) + S ( r ， f ) ≤ ( 5 k + 8 ) { N ¯ ( r ， f ) + N ( r ， 1 f ) } + S ( r ， f ) . ≤ ( 5 k + 8 ) { ( 1 − θ ( ∞ ， f ) ) T ( r ， f ) + ( 1 − δ ( 0 ， f ) ) T ( r ， f ) } + S ( r ， f ) 可得 1 2 ≤ ( 5 k + 8 ) { 2 − θ ( ∞ ， f ) − δ ( 0 ， f ) } ，即 θ ( ∞ ， f ) + δ ( 0 ， f ) ≤ 2 − 1 10 k + 16 ， 与已知 Θ ( ∞ ， f ) + δ ( 0 ， f ) > 2 − 1 10 k + 16 矛盾。 所以 H ≡ 0 。 由于1为f与 f ( k ) 的IM分担值可知，1为f与 f ( k ) 的CM分担值。 即f与 f ( k ) 以0，1为CM分担值，由定理F可知，结论得证。 定理2的证明 令 h = f ( k ) − 1 g ( k ) − 1 ，即 f ( k ) − h g ( k ) + h ≡ 1 ， 则 f 1 = f ( k ) ， f 2 = − h g ( k ) ， f 3 = h 。 由引理1，2得: N ( r ， h ) ≤ N ¯ ( r ， f ) + N ¯ L ( r ， 1 g ( k ) − 1 ) ≤ N ¯ ( r ， f ) + N ¯ ( r ， 1 g ( k ) ) + N ¯ ( r ， g ( k ) ) + o { T ( r ) } ≤ N ¯ ( r ， f ) + N ( r ， 1 g ) + ( k + 1 ) N ¯ ( r ， g ) + o { T ( r ) } . N ( r ， 1 h ) ≤ N ¯ ( r ， g ) + N ¯ L ( r ， 1 f ( k ) − 1 ) ≤ N ¯ ( r ， g ) + N ¯ ( r ， 1 f ( k ) ) + N ¯ ( r ， f ( k ) ) + o { T ( r ) } ≤ N ¯ ( r ， g ) + N ( r ， 1 f ) + ( k + 1 ) N ¯ ( r ， f ) + o { T ( r ) } . 其中 T ( r ) = max { T ( r ， f ) ， T ( r ， g ) ， T ( r ， f ( k ) ) ， T ( r ， g ( k ) ) } 。 因为 Θ ( ∞ ， f ) = Θ ( ∞ ， g ) = 1 ，所以 N ( r ， h ) ≤ N ( r ， 1 g ) + o { T ( r ) } . (3.6) N ( r ， 1 h ) ≤ N ( r ， 1 f ) + o { T ( r ) } . (3.7) 由(3.6)得 N ¯ ( r ， f ( k ) ) + N ¯ ( r ， h g ( k ) ) + N ¯ ( r ， h ) ≤ N ¯ ( r ， f ( k ) ) + 2 N ¯ ( r ， h ) + N ¯ ( r ， g ( k ) ) ≤ N ¯ ( r ， f ) + N ¯ ( r ， g ) + 2 N ( r ， 1 g ) + o { T ( r ) } ≤ 2 N ( r ， 1 g ) + o { T ( r ) } . 由(3.7)得 N ( r ， 1 f ( k ) ) + N ( r ， 1 h g ( k ) ) + N ( r ， 1 h ) ≤ N ( r ， 1 f ( k ) ) + 2 N ( r ， 1 h ) + N ( r ， 1 g ( k ) ) ≤ N ( r ， 1 f ) + k N ¯ ( r ， f ) + N ( r ， 1 g ) + k N ¯ ( r ， g ) + 2 N ( r ， 1 f ) + o { T ( r ) } ≤ N ( r ， 1 f ) + N ( r ， 1 g ) + 2 N ( r ， 1 f ) + o { T ( r ) } . 因为 3 δ ( 0 ， f ) + 5 δ ( 0 ， g ) > 7 ，所以 ∑ j = 1 3 N ( r ， 1 f j ) + 2 ∑ j = 1 3 N ¯ ( r ， f j ) ≤ 5 N ( r ， 1 g ) + 3 N ( r ， 1 f ) + o { T ( r ) } ≤ 5 ( 1 − δ ( 0 ， g ) ) T ( r ， g ) + 3 ( 1 − δ ( 0 ， f ) ) T ( r ， f ) + o { T ( r ) } ≤ ( 5 ( 1 − δ ( 0 ， g ) ) + 3 ( 1 − δ ( 0 ， f ) ) + o ( 1 ) ) T ( r ) ≤ ( 8 − 5 δ ( 0 ， g ) − 3 δ ( 0 ， f ) + o ( 1 ) ) T ( r ) < ( λ + o ( 1 ) ) T ( r ) ( 其 中 λ < 1 ) . 所以 h ≡ 1 或者 − h g ( k ) ≡ 1 。 若 − h g ( k ) ≡ 1 ，则 f ( k ) g ( k ) ≡ 1 。 若 h ≡ 1 ，则 f ( k ) ≡ g ( k ) 。假设 f ≡ g ， 则令 f = g + p ， p 是一个至多为 k − 1 次的多项式。 因为f与g是超越亚纯函数，由Nevanlinna第二基本定理得： T ( r ， f ) < N ¯ ( r ， f ) + N ¯ ( r ， 1 f ) + N ¯ ( r ， 1 f − p ) + S ( r ， f ) = N ¯ ( r ， f ) + N ¯ ( r ， 1 f ) + N ¯ ( r ， 1 g ) + S ( r ， f ) ≤ 3 N ( r ， 1 f ) + 5 N ( r ， 1 g ) + S ( r ， f ) < { 8 − 3 δ ( 0 ， f ) − 5 δ ( 0 ， g ) + o ( 1 ) } T ( r ， f ) . 所以 1 ≤ 8 − 3 δ ( 0 ， f ) − 5 δ ( 0 ， g ) . 可得 3 δ ( 0 ， f ) + 5 δ ( 0 ， g ) ≤ 7 与已知 3 δ ( 0 ， f ) + 5 δ ( 0 ， g ) > 7 矛盾，于是 f ≡ g 。