system: [SYSTEM]

user: 2. 主要结论 本部分给出K-解析函数的洛必达法则的证明。 定理2.1 若函数f和g在点 z 0 处满足： i) lim z → z 0 f ( z ) = 0 ， lim z → z 0 g ( z ) = 0 ； ii) f ( z ) 与 g ( z ) 在 z 0 某个去心邻域内K-解析，且 g ′ ( k ) ( z ) ≠ 0 ， 则 lim z → z 0 [ f ( z ) / g ( z ) ] = lim z → z 0 [ f ′ ( k ) ( z ) / g ′ ( k ) ( z ) ] 。 证明 1)设为 z 0 有限点。因为函数 f ( z ) 、 g ( z ) 在 z 0 的某个去心邻域内K-解析，故 z 0 为 f ( z ) 、 g ( z ) 的孤立奇点。 由于 z 0 为 f ( z ) 、 g ( z ) 的有限孤立奇点，即 | z 0 | < ∞ ，由条件(i)可知， f ( z ) 、 g ( z ) 在 z 0 点主要部分为0，根据( [ 5 ]，定理2.1)可知 z 0 为 f ( z ) 、 g ( z ) 的可去奇点。现补充定义令 f ( z 0 ) = g ( z 0 ) = 0 ，则 f ( z ) 、 g ( z ) 均在 z 0 点及其某邻域内K-解析，且由( [ 4 ]，定理2.5)可知一定存在 z 0 的一个邻域，使得在这个邻域内， f ( z ) 、 g ( z ) 没有不等于 z 0 的零点。设 f ( z ) 、 g ( z ) 的零点的阶分别为 m 1 、 m 2 ，根据( [ 4 ]，定理2.4)可得以下表达式： f ( z ) = ( z − z 0 ) ( k ) m 1 φ ( z ) ， g ( z ) = ( z − z 0 ) ( k ) m 2 ϕ ( z ) ， 其中 φ ( z ) 、 ϕ ( z ) 在点 z 0 的邻域K-解析且 φ ( z 0 ) ≠ 0 ， ϕ ( z 0 ) ≠ 0 。于是 f ′ ( k ) ( z ) = m 1 ( z − z 0 ) ( k ) m 1 − 1 φ ( z ) + ( z − z 0 ) ( k ) m 1 φ ′ ( k ) ( z ) ， g ′ ( k ) ( z ) = m 2 ( z − z 0 ) ( k ) m 2 − 1 ϕ ( z ) + ( z − z 0 ) ( k ) m 2 ϕ ′ ( k ) ( z ) 。 因此 lim z → z 0 f ( z ) g ( z ) = lim z → z 0 ( z − z 0 ) ( k ) m 1 φ ( z ) ( z − z 0 ) ( k ) m 2 ϕ ( z ) = { φ ( z 0 ) ϕ ( z 0 ) 当 m 1 = m 2 0 当 m 1 > m 2 ∞ 当 m 1 < m 2 另一方面， lim z → z 0 f ′ ( k ) ( z ) g ′ ( k ) ( z ) = lim z → z 0 ( z − z 0 ) ( k ) m 1 − 1 [ m 1 φ ( z ) + ( z − z 0 ) ( k ) φ ′ ( k ) ( z ) ] ( z − z 0 ) ( k ) m 2 − 1 [ m 2 ϕ ( z ) + ( z − z 0 ) ( k ) ϕ ′ ( k ) ( z ) ] = { φ ( z 0 ) ϕ ( z 0 ) 当 m 1 = m 2 0 当 m 1 > m 2 ∞ 当 m 1 < m 2 故 lim z → z 0 [ f ( z ) / g ( z ) ] = lim z → z 0 [ f ′ ( k ) ( z ) / g ′ ( k ) ( z ) ] 。 2) 设 z 0 = ∞ 。令 z = ( 1 ξ ( k ) ) ( 1 k ) ，则 z → ∞ 等价于 ξ → 0 。因此利用上面的(1)及K-解析函数的复合 函数求导法可知 lim z → ∞ f ( z ) g ( z ) = lim ξ → 0 f ( ( 1 ξ ( k ) ) ( 1 k ) ) g ( ( 1 ξ ( k ) ) ( 1 k ) ) = lim ξ → 0 f ′ ( k ) ( ( 1 ξ ( k ) ) ( 1 k ) ) ( − 1 ξ ( k ) 2 ) g ′ ( k ) ( ( 1 ξ ( k ) ) ( 1 k ) ) ( − 1 ξ ( k ) 2 ) = lim ξ → 0 f ′ ( k ) ( ( 1 ξ ( k ) ) ( 1 k ) ) g ′ ( k ) ( ( 1 ξ ( k ) ) ( 1 k ) ) = lim z → 0 f ′ ( k ) ( z ) g ′ ( k ) ( z ) 故定理得证。 若函数f和g在 z 0 处K-解析，那么上述定理可以简化为： 定理2.1’ 若函数f和g在有限点 z 0 处满足： i) f ( z 0 ) = g ( z 0 ) = 0 ； ii) f ( z ) 与 g ( z ) 在 z 0 处K-解析，且 g ′ ( k ) ( z ) ≠ 0 ， 则 lim z → z 0 [ f ( z ) / g ( z ) ] = lim z → z 0 [ f ′ ( k ) ( z ) / g ′ ( k ) ( z ) ] 。 定理2.2 若函数f和g在点 z 0 处满足： iii) lim z → z 0 f ( z ) = lim z → z 0 g ( z ) = ∞ ； iv) f ( z ) 与 g ( z ) 在 z 0 的某个去心邻域内K-解析，且 g ′ ( k ) ( z ) ≠ 0 ； 则 lim z → z 0 [ f ( z ) / g ( z ) ] = lim z → z 0 [ f ′ ( k ) ( z ) / g ′ ( k ) ( z ) ] 。 证明 1) 设为 z 0 有限点。因为函数 f ( z ) 、 g ( z ) 在 z 0 的某个去心邻域内K-解析，因此 z 0 为 f ( z ) 、 g ( z ) 的孤立奇点。 因为 z 0 为 f ( z ) 、 g ( z ) 的有限孤立奇点，即 | z 0 | < ∞ ，根据( [ 5 ]，定理2.3)可知 z 0 为 f ( z ) 、 g ( z ) 的极点。设 f ( z ) 、 g ( z ) 极点的阶分别为 m 3 、 m 4 ，则由( [ 5 ]，定理2.2) f ( z ) 、 g ( z ) 在点 z 0 的某去心邻域内成立： f ( z ) = λ 3 ( z ) / ( z − z 0 ) ( k ) m 3 ， g ( z ) = λ 4 ( z ) / ( z − z 0 ) ( k ) m 4 。 其中 λ 3 ( z ) 、 λ 4 ( z ) K-解析，且 λ 3 ( z 0 ) ≠ 0 ， λ 4 ( z 0 ) ≠ 0 。对两个式子进行微分，可以得到 f ′ ( k ) ( z ) = − m 3 ( z − z 0 ) ( k ) − ( m 3 + 1 ) λ 3 ( z ) + ( z − z 0 ) ( k ) − m 3 ( λ 3 ) ′ ( k ) ( z ) = ( z − z 0 ) ( k ) − ( m 3 + 1 ) [ − m 3 λ 3 ( z ) + ( z − z 0 ) ( k ) ( λ 3 ) ′ ( k ) ( z ) ] ， g ′ ( k ) ( z ) = − m 4 ( z − z 0 ) ( k ) − ( m 4 + 1 ) λ 4 ( z ) + ( z − z 0 ) ( k ) − m 4 ( λ 4 ) ′ ( k ) ( z ) = ( z − z 0 ) ( k ) − ( m 4 + 1 ) [ − m 4 λ 4 ( z ) + ( z − z 0 ) ( k ) ( λ 4 ) ′ ( k ) ( z ) ] ， 因此 lim z → z 0 f ( z ) / g ( z ) = lim z → z 0 λ 3 ( z ) / ( z − z 0 ) ( k ) m 3 × ( z − z 0 ) ( k ) m 4 / λ 4 ( z ) = { λ 3 ( z 0 ) λ 4 ( z 0 )                 当 m 3 = m 4 ∞                                 当 m 3 > m 4 0                                 当 m 3 < m 4 另一方面， lim z → z 0 f ′ ( k ) ( z ) / g ′ ( k ) ( z ) = lim z → z 0 ( z − z 0 ) ( k ) − ( m 3 + 1 ) [ − m 3 λ 3 ( z ) + ( z − z 0 ) ( k ) ( λ 3 ) ′ ( k ) ( z ) ] ( z − z 0 ) ( k ) − ( m 4 + 1 ) [ − m 4 λ 4 ( z ) + ( z − z 0 ) ( k ) ( λ 4 ) ′ ( k ) ( z ) ] = { λ 3 ( z 0 ) λ 4 ( z 0 )                 当 m 3 = m 4 ∞                                 当 m 3 > m 4 0                                 当 m 3 < m 4 所以 lim z → z 0 [ f ( z ) / g ( z ) ] = lim z → z 0 [ f ′ ( k ) ( z ) / g ′ ( k ) ( z ) ] 。 2) 对于 z 0 = ∞ 的情况类似于定理2.1的(2)的方法可以得到。 注 显然上述三个定理不仅是实洛必达法则的推广，且是解析函数、共轭解析函数洛必达法则 [ 2 ] 的推广。