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user: 3. Wick型随机mKdV方程的有理指数函数解 对方程(1)进行Hermite变换，得到下列方程： U ˜ t ( t ， x ， z ) − K ˜ 1 ( t ， z ) ( U ˜ x x x ( t ， x ， z ) − 6 U ˜ 2 ( t ， x ， z ) U ˜ x ( t ， x ， z ) ) − 4 K ˜ 2 ( t ， z ) U ˜ x ( t ， x ， z ) + H ˜ ( t ， z ) ( U ˜ ( t ， x ， z ) + x U ˜ x ( t ， x ， z ) ) = 0 ， (9) 其中 z = ( z 1 ， z 2 ， ⋯ ) 是一个矢量参数。 为了方便起见，设 u ( t ， x ， z ) = U ˜ ( t ， x ， z ) ，   H ( t ， z ) = H ˜ ( t ， z ) ，   K ( t ， z ) = K ˜ i ( t ， z )   ( i = 1 ， 2 ) ， 方程(9)解的形式为： u = u ( ξ ) ，   ξ = f ( t ， z ) x + g ( t ， z ) ， (10) 其中 f ( t ， z ) 和 g ( t ， z ) 待定函数。假定方程(9)有下列形式的拟解 u ( ξ ) = a 0 ( t ， z ) + a 1 ( t ， z ) F ( ξ ) + ⋯ + a n ( t ， z ) F n ( ξ ) (11) 其中 a i ( t ， z )   ( i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n ) 是待定函数，n是需要平衡方程(9)的最高阶线性项和最高阶非线性来确定， F ( ξ ) 是下列广义Riccati方程 k F ξ = q + p F 2 ( ξ ) ， (12) 的解，其中 p ， q 为任意常量。 已知Riccati方程(12)有下列形式的带有多个任意参量的有理指数解 [ 20 ] F ( ξ ) = A 1 ( A 1 e ξ + A − 1 ) B 1 ( A 1 e ξ − A − 1 ) ， (13) 其中 A 1 ， B 1 ， A − 1 ， p ， q 是任意常量，且 k = 2 − p q 。 把方程(10)代入方程(9)，可得 ( f t x + g t ) u ξ − K 1 ( f 3 u ξ ξ ξ − 6 f u 2 u ξ ) − 4 K 2 f u ξ + H ( u + f x u ξ ) = 0. (14) 平衡 u 2 u ξ 和 u ξ ξ ξ ，得到 n = 1 ，方程(14)的拟解形式可以写成如下 u ( ξ ) = a 0 ( t ， z ) + a 1 ( t ， z ) F ( ξ ) . (15) 根据方程(12)，可得 F ξ ξ = − 1 2 F − p 2 q F 3 ， (16) F ξ ξ ξ = − 1 4 − p q ( q + 4 p F 2 + 3 q p 2 F 4 ) . (17) 把方程(15)连同方程(12)、方程(16) 和方程(17)一起代入方程(14)，可得 3 K 1 − p q f a 1 ( p 4 q f 2 − a 1 2 ) F 4 + 6 f K 1 − p q a 0 a 1 2 F 3 + − p q a 1 ( − 3 K 1 f a 1 2 q p + K 1 f 3 + 1 2 g t + 3 K 1 f a 0 2 − 2 K 2 f ) F 2 + 1 2 − p q a 1 ( f t + H f ) x F 2 + ( a 1 t + H a 1 + 6 k K 1 − q p f a 0 a 1 2 ) F + 1 2 − q p a 1 ( f t + H f ) x + ( a 0 t + H a 0 − 2 K 2 − q p f a 1 + 1 2 − q p a 1 g t + 3 K 1 − q p f a 0 2 a 1 + 1 4 K 1 − q p f 3 a 1 ) = 0. (18) 令 F i ， x F i   ( i = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 所有系数分别都为零，得到下列一组关于未知量 a 0 ， a 1 的代数方程，即 3 K 1 − p q f a 1 ( p 4 q f 2 − a 1 2 ) = 0 ， (19) 6 f K 1 − p q a 0 a 1 2 = 0 ， (20) − p q a 1 ( − 3 K 1 f a 1 2 q p + K 1 f 3 + 1 2 g t + 3 K 1 f a 0 2 − 2 K 2 f ) = 0 ， (21) 1 2 − p q a 1 ( f t + H f ) = 0 ， (22) ( a 1 t + H a 1 + 6 k K 1 − q p f a 0 a 1 2 ) = 0 ， (23) 1 2 − q p a 1 ( f t + H f ) = 0 ， (24) ( a 0 t + H a 0 − 2 K 2 − q p f a 1 + 1 2 − q p a 1 g t + 3 K 1 − q p f a 0 2 a 1 + 1 4 K 1 − q p f 3 a 1 ) = 0. (25) 由方程(20)可得 a 0 ( t ， z ) = 0. (26) 把方程(26)代入方程(19)~(25)，得 3 K 1 − p q f a 1 ( p 4 q f 2 − a 1 2 ) = 0 ， (27) 1 2 − p q a 1 ( f t + H f ) = 0 ， (28) 1 2 − q p a 1 ( f t + H f ) = 0 ， (29) a 1 t + H a 1 = 0 ， (30) − q p a 1 ( − 2 K 2 f + 1 2 g t + 1 4 K 1 f 3 ) = 0 ， (31) − p q a 1 ( − 3 K 1 f a 1 2 q p + K 1 f 3 + 1 2 g t − 2 K 2 f ) = 0. (32) 由方程(27)~(30)，得 f ( t ， z ) = C e 1 ( − ∫ t H ( s ， z ) d s ) ， (33) a 1 ( t ， z ) = ± p 4 q C 1 e ( − ∫ t H ( s ， z ) d s ) ， (34) 其中 C 1 是一个任意常数。 由方程(31)~(32)，得 g ( t ， z ) = ∫ t ( − 4 C 2 K 2 ( s ， z ) e ( − ∫ s H ( τ ， z ) d τ ) + 1 2 C 2 3 K 1 ( s ， z ) e ( − 3 ∫ s H ( τ ， z ) d τ ) ) d s + C 3 ， (35) 其中 C 2 ， C 3 是一个任意常数。 把方程(31)~(32)代入方程(10)和方程(15)，得到方程(9)的解 u ( t ， x ， z ) = ± p 4 q C 1 e ( − ∫ t H ( s ， z ) d s ) F ( ξ ) ， (36) ξ = C x 1 e ( − ∫ t H ( s ， z ) d s ) + ∫ t ( − 4 C 2 K 2 ( s ， z ) e ( − ∫ s H ( τ ， z ) d τ ) + 1 2 C 2 3 K 1 ( s ， z ) e ( − 3 ∫ s H ( τ ， z ) d τ ) )   d s + C 3 (37) 设 K 1 ( t ) = b 1 W ( t ) ，   K 2 ( t ) = b 2 W ( t ) ，   H ( t ) = h ( t ) + b 3 W ( t ) ， (38) 其中 W ( t ) 是高斯白噪声， B ( t ) 是布朗运动，它们之间存在 W ( t ) = B ˙ ( t ) 关系。 对方程(38)进行Hermite变换，可得 K 1 ( t ， z ) = b 1 W ˜ ( t ， z ) ，   K 2 ( t ， z ) = b 2 W ˜ ( t ， z ) ，   H ( t ， z ) = h ( t ) + b 3 W ˜ ( t ， z ) . 对方程(36)~(37)进行逆Hermite变换，可以得到方程(1)下列Wick型随机解析解 U ( t ， x ) = ± p 4 q C 1 e ⋄ ( − ∫ t H ( s ) d s ) F ⋄ ( ξ ¯ ) ， (39) ξ ¯ = C 1 x e ⋄ ( − ∫ t H ( s ) d s ) + ∫ t ( − 4 C 2 K 2 ( s ) ⋄ e ⋄ ( − ∫ s H ( τ ) d τ ) + 1 2 C 2 3 K 1 ( s ) ⋄ e ⋄ ( − 3 ∫ s H ( τ ) d τ ) )   d s + C 3 . (40) 其中 C 1 ， C 2 ， C 3 是一个任意常数。 因为存在下恒等关系 e ⋄ ( B ( t ) ) = e ( B ( t ) − 1 2 t 2 ) ，   ∫ R ψ ( t ) ⋄ W ( t ) d t = ∫ R ψ ( t ) δ B ( t ) ，   W ( t ) = B ˙ ( t ) ， (41) 其中 ∫ ( ⋅ ) δ B ( t ) 为斯科罗霍德积分(Skorohod integral)。 把方程(38)和方程(41)一起代入方程(39)~(40)，可得Wick型随机方程(1)下列孤波解 U ( t ， x ) = ± p 4 q C 1 e ( − ∫ t h ( s ) d s − b 3 B ( t ) + 1 2 b 3 t 2 ) F ( θ ) (42) θ = x C 1 e ( − ∫ t h ( s ) d s − b 3 B ( t ) + 1 2 b 3 t 2 ) + ∫ t ( − 4 C 2 b 2 e ( − ∫ s h ( τ ) d τ − b 3 B ( s ) + 1 2 b 3 s 2 ) + 1 2 C 2 3 b 1 e ⋄ ( − 3 − ∫ s h ( τ ) d τ − 3 b 3 B ( s ) + 3 2 b 3 s 2 ) )   δ B ( s ) + C 3 . (43) 令 ξ = θ ，然后把方程(13)代入方程(42)，在高斯白噪声条件下随机方程(1)一种带有多个任意参量的有理指数函数解被得到 U ( t ， x ) = ± p 4 q C 1 e ( − ∫ t h ( s ) d s − b 3 B ( t ) + 1 2 b 3 t 2 ) A 1 ( A 1 e θ + A − 1 ) B 1 ( A 1 e θ − A − 1 ) ， (44) 其中 θ 满足方程(43)， A 1 ， B 1 ， A − 1 ， p ， q ， C 1 ， C 2 ， C 3 都是任意参数。由于参量 p ， q 是约束条件Riccati方程的参量，而参量 A 1 ， B 1 ， A − 1 与随机方程(1)系统的内部因素有关，所以方程(44)揭示出了随约束条件参量的变化，不同内部因素参量变化对Wick型随机方程(1)动力学行为产生的变化规律。