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user: 3. 指数泛函离散化 定义3.1 若定义相互独立随机变量序列 { X i } 满足 E ( X i ) = − μ n ， D ( X i ) = σ 2 ，定义 ξ n t 满足： ξ n t : = ∑ i = 1 [ n t ] n ∫ i − 1 n i n z ( [ n t ] n ， s ) d s X i ，则有 ξ n t 弱收敛至 。 证明：我们将此证明分为两部分。第一部分，我们首先考虑 ξ n t 有限维分布的收敛性。对任意 a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a d ∈ R ， t 1 ， t 2 ， ⋯ ， t d ∈ [ 0 ， T ] 。定义 Z n 为： Z n : = ∑ k = 1 d a k ξ n t 为证明 Z n 收敛至方差为 E ( ∑ k = 1 d a k ξ n t k ) 2 的正态分布，我们首先计算 Z n 的极限方差。定义 S n 2 : = D ( Z n ) 。 我们可以得到： S n 2 = ∑ k ， l = 1 d a k a l σ 2 n ∑ i = 1 [ n t ] ∫ i − 1 n i n z ( [ n t k ] n ， s ) d s ∫ i − 1 n i n z ( [ n t l ] n ， s ) d s (3) 由中值定理得到公式(3)等于 ∑ k ， l = 1 d a k a l σ 2 1 n ∑ i = 1 [ n t ] z ( [ n t k ] n ， s n i ， k ) z ( [ n t l ] n ， s n i ， l ) (4) 其中 s n i ， k ， s n i ， l ∈ ( i − 1 n ， i n ] 。因为函数 z ( t ， ⋅ ) 在 ( 0 ， T ] 中连续单调递增，从而我们可得公式(3)被积函数等于 1 n σ 2 ∑ i = 1 [ n t ] z ( [ n t k ] n ， u n i ) z ( [ n t l ] n ， u n i ) (5) 其中 u n i ∈ [ min ( s n i ， k ， s n i ， l ) ， max ( s n i ， k ， s n i ， l ) ] ⊆ ( i − 1 n ， i n ] 。 从而我们可以得到 S n 2 是Riemann型积分，核函数z连续，映射 t → [ n t ] n 一致收敛于 [ 0 ， T ] 上的恒等映 射，从而我们可以得到 S n 2 收敛于： ∑ k ， l d a k a l σ 2 ∫ 0 T z ( t k ， s ) z ( t l ， s ) d s = E ( σ ∑ k = 1 d a k ξ n t k ) 2 (6) 接下来可以将 Z n 写作关于i的和： Z n = ∑ k = 1 d a k ξ n t k = ∑ i = 1 [ n t ] n X i ∑ k = 1 d a k ∫ i − 1 n i n z ( [ n t k ] n ， s ) d s = ∑ i = 1 [ n t ] Z n i (7) 若 Z n 满足Lindeberg条件 [ 9 ]，我们可以得到对任意 ε > 0 ， lim n → ∞ 1 S n 2 ∑ i = 1 [ n t ] E | Z n i − E Z n i | 2 1 { | Z n i − E Z n i | > ε S n } = 0 我们将给出 | Z n i − E Z n i | 2 的上界。由Cauchy-Schwartz不等式以及 z ( ⋅ ， s ) 单调递增， z ( t ， ⋅ ) 单调递减。我们可以得到： E Z n i = E [ n X i ∑ k = 1 d a k ∫ i − 1 n i n z ( [ n t k ] n ， s ) d s ] = − μ ∑ k = 1 d a k ∫ i − 1 n i n z ( [ n t k ] n ， s ) d s (8) | Z n i − E Z n i | 2 = | n X i ∑ k = 1 d a k ∫ i − 1 n i n z ( [ n t k ] n ， s ) d s + μ ∑ k = 1 d a k ∫ i − 1 n i n z ( [ n t k ] n ， s ) | 2 ≤ n ( X i + μ n ) 2 A ( ∫ i − 1 n i n z ( T ， s ) d s ) 2 ≤ ( X i + μ n ) 2 A ( ∫ i − 1 n i n z 2 ( T ， s ) d s ) ≤ ( X i + μ n ) 2 A ( ∫ ０ １ n z 2 ( T ， s ) d s ) = ( X i + μ n ) 2 A δ n (9) 其中 A : = d ∑ k = 1 d a k 2 ， δ n : = ∫ 0 1 n z 2 ( T ， s ) d s 。我们可以得到： { | Z n i − E Z n i | > ε S n } ⊆ { ( X i + μ n ) 2 A δ n > ε 2 S n 2 } (10) 从公式(8)和公式(9)，我们可以得到： E | Z n i − E Z n i | 1 2 { | Z n i − E Z n i | > ε S n } ≤ E | Z n i − E Z n i | 1 2 { ( X i + μ n ) 2 A δ n > ε 2 S n 2 }                                                                     ≤ E ( X i + μ n ) 2 A δ n 1 { ( X i + μ n ) 2 A δ n > ε 2 S n 2 } (11) 从而我们可以得到 | Z n i − E Z n i | 2 的上界，进而将其带入Lindeberg条件。 1 S n 2 ∑ i = 1 [ n t ] E | Z n i − E Z n i | 1 2 { | Z n i − E Z n i | > ε S n } ≤ 1 S n 2 ∑ i = 1 [ n t ] E ( X i + μ n ) 2 A δ n 1 { ( X i + μ n ) 2 A δ n > ε 2 S n 2 }                                                                                       ≤ E ( X + μ n ) 1 2 { ( X i + μ n ) 2 A δ n > ε 2 S n 2 } (12) 其中 X = X 1 。我们可以得到 Z n 满足Lindeberg条件， z ( T ， ⋅ ) 2 可积公式(12)右侧趋向于0。因此我们可以得到 ξ n t 有限维分布的收敛性。 第二部分， 我们将证明 ξ n t 的紧性。对任意 s < t ，由Cauchy-Schwartz不等式，我们可以得到： E | ξ n t − ξ n s | 2 = E ( ( ∑ i = 1 [ n t ] n ∫ i − 1 n i n z ( [ n t ] n ， u ) − z ( [ n s ] n ， u ) d u ) X i ) 2 ≤ ∑ i = 1 [ n t ] E ( X i ) 2 ( n ∫ i − 1 n i n z ( [ n t ] n ， u ) − z ( [ n s ] n ， u ) d u ) 2 = ∑ i = 1 [ n t ] ( σ 2 + μ n ) ∫ i − 1 n i n ( z ( [ n t ] n ， u ) − z ( [ n s ] n ， u ) ) 2 d u = ( σ 2 + μ n ) | [ n t ] n − [ n s ] n | 2 H (13) 接下来对任意 s ≤ t ≤ u ，再次由Cauchy-Schwartz不等式和公式(13)的上界，我们可以得到： E | ξ n t − ξ n s | | ς n u − ξ n t | ≤ ( E ( ξ n t − ξ n s ) 2 ) 1 2 ( E ( ξ n u − ξ n t ) 2 ) 1 2                                                       ≤ ( σ 2 + μ n ) | [ n t ] n − [ n s ] n | H | [ n u ] n − [ n t ] n | H                                                       ≤ ( σ 2 + μ n ) | [ n u ] n − [ n s ] n | 2 H (14) 我们可以得到公式(14)的收敛性： 1. 若 u − s ≥ 1 n ，则有 E | ξ n t − ξ n s | | ξ n u − ξ n t | ≤ ( σ 2 + μ n ) | 2 ( u − s ) | 2 H 2. 若 u − s < 1 n ，我们可以得到对任意m，s和t或者t和u在同一区间 [ m n ， m + 1 n ) ，从而可以得到公式的左边为0。由此对任意 s < t < u ，上式仍成立。当 H > 1 2 ，我们可以得到 ξ n t 的紧性。 引理3.2 为简便计算，我们可以得到核函数 z ( [ n t ] n ， s ) 的上下界，由 z ( ⋅ ， s ) 单调递增和 z ( t ， ⋅ ) 单调递减，我们可以得到： 0 ≤ z ( [ n t ] n ， i n ) ≤ z ( [ n t ] n ， s ) ≤ z ( [ n t ] n ， i − 1 n ) (15) z ( ⋅ ， s ) 连续。由中值定理，我们可以假设存在一系列由t，i决定的正整数 C i 满足： ∫ i − 1 n i n z ( [ n t ] n ， s ) d s = C i n (16) 从而我们可以记作： ξ n t : = ∑ i = 1 [ n t ] ξ n i ，其中 ξ n i = C i n X i 。 定理3.3 定义过程 V n t : = ∏ i = 1 [ n t ] ( 1 + ξ n i ) ， V n t 收敛至 U t = e σ B t H − μ t 。 证明：由泰勒公式 log ( 1 + x ) = x − 1 2 x 2 + r ( x 2 ) ，当x趋于0时， r ( x 2 ) 趋于0，可得， log V n t = ∑ i = 1 [ n t ] log ( 1 + ξ n i ) = ∑ i = 1 [ n t ] ( ξ n i − 1 2 ( ξ n i ) 2 + r ( ξ n i 2 ) ) = ∑ i = 1 [ n t ] ξ n i − 1 2 ∑ i = 1 [ n t ] ( ξ n i ) 2 + ∑ i = 1 [ n t ] r ( ξ n i 2 ) (17) 接下来证明 ∑ i = 1 [ n t ] ξ n i 2 和 ∑ i = 1 [ n t ] r ( ξ n i 2 ) 趋于0。 E ( ∑ i = 1 [ n t ] ξ n i 2 ) = E ( ∑ i = 1 [ n t ] ( C i n X i ) 2 ) = ∑ i = 1 [ n t ] E X i 2 C i 2 n (18) 由Markov不等式，对任意n，当 n → ∞ ， P ( | ∑ i = 1 [ n t ] ξ n i 2 − 0 | > 1 n ) ≤ E ( ∑ i = 1 [ n t ] ξ n i 2 ) 1 n = ∑ i = 1 [ n t ] ( σ 2 + μ 2 n ) C i 2 (19) 当 μ < 1 n ， σ 2 < 1 n 2 ，当 n → ∞ ，我们可以得到公式(19)趋于0，从而我们可以得到 ∑ i = 1 [ n t ] ξ n i 2 和 ∑ i = 1 [ n t ] r ( ξ n i 2 ) 依概率收敛于0。 我们可以得到当 n → ∞ ， log V n t 收敛至 ∑ i = 1 [ n t ] ξ n i ， V n t 收敛至 e σ B t H − μ t 。 定理3.4 定义过程 V n t j = ∑ i = 1 [ n t j ] Y n i ，其中 Y n i = ( 1 + ξ n i ) ， t j = j n ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， [ n t ] 。定义过程 A n t = n − 1 ∑ j = 1 [ n t ] V n t j ， A n t 收敛至 ∫ 0 t e σ B s H − μ s d s 。 证明：我们将此证明分为两部分。第一部分，我们将 ∫ 0 t e σ B s H − μ s d s 写作Riemann和形式。定义 g ( s j ) = e σ B s j H − μ s j ，其中 s j = j n ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， [ n t ] 。从而我们可以得到，对任意n，存在 N > 0 ，当 n > N 时，我们有： | n − 1 ∑ j = 1 [ n t ] g ( s j ) − ∫ 0 t e σ B s H − μ s d s | < 1 n (20) 由定理3.3可知，存在一系列 N j > 0 ，当 n > max { N j } 时，我们有： | V n t j − e σ B t j H − μ t j | < 1 n 第二部分，当 n > max { N ， max { N j } } ，由公式(20)，我们可以得到： | A n t − ∫ 0 t e σ B s H − μ s d s | = | n − 1 ∑ j = 1 [ n t ] V n t j − n − 1 ∑ j = 1 [ n t ] g ( s j ) + n − 1 ∑ j = 1 [ n t ] g ( s j ) − ∫ 0 t e σ B s H − μ s d s | ≤ | V n t 1 − g ( s 1 ) + ⋯ + V n t [ n t ] − g ( s [ n t ] ) | n + | n − 1 ∑ j = 1 [ n t ] g ( s j ) − ∫ 0 t e σ B s H − μ s d s | ≤ 1 n + [ n t ] n 2 (21) 从而当 n → ∞ 时， A n t 收敛至 ∫ 0 t e σ B s H − μ s d s 。