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user: 4. 带有记忆的无源控制器设计 定理2：如果 C 2 i + C 2 i T > 0 ， E T P = P T E ≥ 0 对于给定标量 ε > 0 ， 0 < h 1 < 1 ， 0 < h 2 < 1 系统(1)是具有鲁棒无源可切换镇定的。如果存在非奇异矩阵 M i ∈ R p × n ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ) ， X T = X > 0 ， S 1 ∈ R n × n ， S 2 ∈ R n × n 有下列矩阵不等式成立： [ A i X + X T A i T + S 1 + S 2 A 1 i X + B 1 i M 1 i A 2 i X + B 1 i M 2 i B 1 i B 2 i − M i T C i T − X T C i T M i T ε − 1 N i ε X T G i T X T C T ƛ T D * − ( 1 − h 1 ) S 1 0 0 − M 1 i T C 1 i T 0 0 ε X T G 1 i T 0 0 * * − ( 1 − h 2 ) S 2 0 − M 1 i T C 2 i T 0 0 ε X T G 2 i T 0 0 * * * − I 0 0 0 0 0 0 * * * * − C 2 i − C 2 i T 0 0 0 0 0 * * * * * − I 0 0 0 0 * * * * * * − I 0 0 0 * * * * * * * − I 0 0 * * * * * * * * − I 0 * * * * * * * * * − I ] < 0 (13) 使得控制增益矩阵为 K i = M i X i − 1 ， u ( t ) = K σ ( t ) x ( t ) + K 1 σ ( t ) x ( t − d 1 ( t ) ) + K 2 σ ( t ) x ( t − d 2 ( t ) ) 且 K σ ( t ) ∈ R p × n ， K 1 σ ( t ) ∈ R p × n ， K 2 σ ( t ) ∈ R p × n 是系统(1)的鲁棒无源记忆反馈控制器。 证明：由定理1知， [ Ξ P A ¯ 1 i + P B 1 i K 1 i P A ¯ 2 i + P B 1 i K 2 i P B 2 i − C i T − K i T C i T * − ( 1 − h 1 ) Q 1 0 − K 1 i T C 1 i T * * − ( 1 − h 2 ) Q 2 − K 1 i T C 2 i T * * * − C 2 i − C 2 i T ] < 0 (14) Ξ = P A ¯ i + A ¯ i T P + P B 1 i B 1 i T P + K i T K i + Q 1 + Q 2 + C T ƛ T ƛ C + P D D T P 将不确定项 [ Δ A i ， Δ A 1 i ， Δ A 2 i ] = N i F i ( t ) [ G i ， G 1 i ， G 2 i ] ， A ¯ i = A i + N i F i ( t ) G i ， A ¯ 1 i = A 1 i + N i F i ( t ) G 1 i ， A ¯ 2 i = A 2 i + N i F i ( t ) G 2 i 代入(14)式得 [ Ξ 1 + P N i F i ( t ) G i + G i T F i T ( t ) N i T P P A 1 i + P N i F i ( t ) G 1 i + P B 1 i K 1 i P A 2 i + P N i F i ( t ) G 2 i + P B 1 i K 2 i P B 2 i − C i T − K i T C i T * − ( 1 − h 1 ) Q 1 0 − K 1 i T C 1 i T * * − ( 1 − h 2 ) Q 2 − K 1 i T C 2 i T * * * − C 2 i − C 2 i T ] < 0 (15) 此时 Ξ 1 = P A i + A i T P + P B 1 i B 1 i T P + K i T K i + Q 1 + Q 2 + C T ƛ T ƛ C + P D D T P 记 H 3 = [ Ξ 1 P A 1 i + P B 1 i K 1 i P A 2 i + P B 1 i K 2 i P B 2 i − C i T − K i T C i T * − ( 1 − h 1 ) Q 1 0 − K 1 i T C 1 i T * * − ( 1 − h 2 ) Q 2 − K 1 i T C 2 i T * * * − C 2 i − C 2 i T ] 则式(15)等价为 H 3 + [ G i T G 1 i T G 2 i T 0 ] F i T ( t ) [ N i T P 0 0 0 ] + [ P N i 0 0 0 ] F i ( t ) [ G 1 G 1 i G 2 i 0 ] < 0 (16) 由引理1可知，要使不等式(16)成立，当且仅存在一个常数 ε > 0 H 3 + ε 2 [ G i G 1 i G 2 i 0 ] T [ G i G 1 i G 2 i 0 ] + ε − 2 [ P N i 0 0 0 ] [ P N i 0 0 0 ] T < 0 (17) 整理(17)式可得 [ Ξ 1 + ε 2 G i T G i + ε − 2 P N i N i T P P A 1 i + P B 1 i K 1 i + ε 2 G i T G 1 i P A 2 i + P B 1 i K 2 i + ε 2 G i T G 2 i P B 2 i − C i T − K i T C i T * − ( 1 − h 1 ) Q 1 + ε 2 G 1 i T G 1 i ε 2 G 1 i T G 2 i − K 1 i T C 1 i T * * − ( 1 − h 2 ) Q 2 + ε 2 G 2 i T G 2 i − K 1 i T C 2 i T * * * − C 2 i − C 2 i T ] < 0 (18) 由Schur补引理知(18)式等价为 [ P A i + A i T P + Q 1 + Q 2 P A 1 i + P B 1 i K 1 i P A 2 i + P B 1 i K 2 i P B 1 i P B 2 i − K i T C i T − C i T K i T ε − 1 P N i ε G i T C T ƛ T P D * − ( 1 − h 1 ) Q 1 0 0 − K 1 i T C 1 i T 0 0 ε G 1 i T 0 0 * * − ( 1 − h 2 ) Q 2 0 − K 1 i T C 2 i T 0 0 ε G 2 i T 0 0 * * * − I 0 0 0 0 0 0 * * * * − C 2 i − C 2 i T 0 0 0 0 0 * * * * * − I 0 0 0 0 * * * * * * − I 0 0 0 * * * * * * * − I 0 0 * * * * * * * * − I 0 * * * * * * * * * − I ] < 0 (19) 记 X = P − 1 ， S 1 = P − T Q 1 P − 1 ， S 2 = P − T Q 2 P − 1 ， K i = M i X i − 1 ，其中 M i ∈ R p × n 对不等式(19)左乘 d i a g { P − T ， P − T ， P − T ， I ， I ， I ， I ， I ， I ， I } 右乘 d i a g { P − 1 ， P − 1 ， P − 1 ， I ， I ， I ， I ， I ， I ， I } 得到等价的线性化不等式(13)，定理2证毕。