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user: 5. 对简单系统避用不变量理论和么正变换方法 上面我们介绍了一种思路也即使用Lewis-Riesenfeld不变量理论 [ 24 ] 以及与不变量有关的么正变换方法 [ 26 ] 可以求解含时Schrödinger方程。但是， 实际上这两法并非总是必须。它们是重要的技巧(当然，这样的技巧其实是很有物理含义的，本文也将阐述其不少物理含义)。但是若一位研究者并不熟悉此二法，其实也不影响其研究含时Schrödinger方程，采用按部就班法也可以获得Schrödinger方程的解。我们以二态体系为例子(当然这种观点对多态体系也成立，只是论述与手工推演操作起来比较复杂)。在下面即将介绍的不需要技巧的按部就班法中，由于代数对易关系已经包含在哈密顿量具体形式之内，所以在计算中也不需要使用到哈密顿量李代数对易关系(也就是说，么正变换、Baker-Campbell-Hausdorff公式等都可以避开使用)。我们考虑如下哈密顿量算符 H ^ = ℏ Ω 2 ( cos θ e − i ϕ sin θ e + i ϕ sin θ − cos θ ) 。 这样的哈密顿量可以描述电子和核子自旋磁矩与磁场的相互作用，也可以描述经典光场与二能级原子的耦合以及约瑟夫森超导结电流隧道贯穿效应。如果该哈密顿量内的参数( θ 、 ϕ )不含时， 则它的两个互相正交的本征态是 | + 〉 = ( cos θ 2 e + i ϕ sin θ 2 ) ， | − 〉 = ( − e − i ϕ sin θ 2 cos θ 2 ) 。 这样的本征态很容易从能量本征值(定态Schrödinger方程) H ^ | ψ 〉 = E | ψ 〉 获得，也可以参看关于电子自旋 或磁共振的量子力学教材。可以发现， H ^ | ± 〉 = ± E | ± 〉 ，能量本征值为 ± E = ± ℏ Ω 2 。但是，当哈密顿 量参数( θ 、 ϕ )不含时，定态Schrödinger方程不再成立，我们需要求解的是含时Schrödinger方程 i ℏ ∂ ∂ t | ψ 〉 = H ^ | ψ 〉 。此时上面的 | ± 〉 不再是Schrödinger方程的解。但是我们可以预测，含时Schrödinger方 程必然是二维列矢量。那么写为什么样的二维列矢量好呢？上面的 | ± 〉 已经构成二维列矢量的归一化、正交、完全集，那么模仿 | ± 〉 ，我们认为含时Schrödinger方程的解可能具有如下结构： | + ， t 〉 = ( cos λ 2 e + i γ sin λ 2 ) ， | − ， t 〉 = ( − e − i γ sin λ 2 cos λ 2 ) 。 此结构与前面地 | ± 〉 一样。当哈密顿量不含时，那么参数 λ → θ ， γ → ϕ 。于是含时Schrödinger方程的通解是 | + ， t 〉 和 | − ， t 〉 的线性叠加 | ψ 〉 = c + | + ， t 〉 e i Φ + ( t ) + c − | − ， t 〉 e i Φ − ( t ) ， 其中允许增加各自的含时相位因子 e i Φ ± ( t ) 。我们研究其中一个态矢量 | + ， t 〉 e i Φ + ( t ) 。将它代入Schrödinger方程 i ℏ ∂ ∂ t ( | + ， t 〉 e i Φ + ( t ) ) = H ^ ( t ) | + ， t 〉 e i Φ + ( t ) ， 得到 − ℏ Φ ˙ + | + ， t 〉 + i ℏ ∂ ∂ t | + ， t 〉 = H ^ | + ， t 〉 ，其中 H ^ | + ， t 〉 = ℏ Ω 2 ( cos θ cos λ 2 + e i ( γ − ϕ ) sin θ sin λ 2 e i ϕ sin θ cos λ 2 − e i γ cos θ sin λ 2 ) ， ∂ ∂ t | + ， t 〉 = ( − λ ˙ 2 sin λ 2 i γ ˙ e i γ sin λ 2 + λ ˙ 2 e i γ cos λ 2 ) 。 于是由上面的Schrödinger方程， 我们得到两个关系 − Φ ˙ + cos λ 2 − i λ ˙ 2 sin λ 2 = Ω 2 ( cos θ cos λ 2 + e i ( γ − ϕ ) sin θ sin λ 2 ) ， − Φ ˙ + e i γ sin λ 2 + i ( i γ ˙ e i γ sin λ 2 + λ ˙ 2 e i γ cos λ 2 ) = Ω 2 ( e i ϕ sin θ cos λ 2 − e i γ cos θ sin λ 2 ) 在上面此二方程中，由于每个方程都有实部和虚部，所以实际上这里有四个方程，但只有三个方程是独 立的，因为从Schrödinger方程可以推导出一个数学恒等式 ∂ ∂ t 〈 ψ | ψ 〉 = 0 。于是三个独立方程恰好可以获 得三个变量( λ ( t ) 、 γ ( t ) 、 Φ + ( t ) )。 由上面方程组的第一个关系的实部和虚部，我们可以分别得到 Φ ˙ + = − Ω 2 [ cos θ + cos ( γ − ϕ ) sin θ tan λ 2 ] ， λ ˙ = Ω sin ( ϕ − γ ) sin θ 上面方程组的第二个关系可以被写为 − Φ ˙ + − γ ˙ + i λ ˙ 2 cot λ 2 = Ω 2 [ cos ( ϕ − γ ) sin θ cot λ 2 − cos θ + i sin ( ϕ − γ ) sin θ cot λ 2 ] 。 由其虚部可以得到 λ ˙ = Ω sin ( ϕ − γ ) sin θ 。此式在上面其实已经获得。上面该方程的实部可以化为 Φ ˙ + + γ ˙ = Ω 2 [ cos θ − cos ( ϕ − γ ) sin θ cot λ 2 ] 。 将上面已经得到的 Φ ˙ + = − Ω 2 [ cos θ + cos ( γ − ϕ ) sin θ tan λ 2 ] 代入上式，我们可以得到 γ ˙ = Ω 2 [ cos θ − cos ( ϕ − γ ) sin θ cot λ 2 ] − Φ ˙ + = Ω 2 [ cos θ − cos ( ϕ − γ ) sin θ cot λ 2 ] + Ω 2 [ cos θ + cos ( γ − ϕ ) sin θ tan λ 2 ] = Ω [ cos θ − cos ( ϕ − γ ) sin θ cot λ ] ， 其中使用了 − cot λ 2 + tan λ 2 = − 2 cot λ 。 在相位的时间变化率 Φ ˙ + = − Ω 2 [ cos θ + cos ( γ − ϕ ) sin θ tan λ 2 ] 中， tan λ 2 = 2 sin 2 λ 2 sin λ = 1 − cos λ sin λ = sin λ − cos λ sin λ + cos 2 λ sin λ = sin λ − cot λ ( 1 − cos λ ) 。那么相位的时间变化率最终可以化为 Φ ˙ + = − Ω 2 { cos θ + cos ( γ − ϕ ) sin θ [ sin λ − cot λ ( 1 − cos λ ) ] } = − Ω 2 { cos λ cos θ + sin λ sin θ cos ( γ − ϕ ) + [ cos θ − sin θ cot λ cos ( ϕ − γ ) ] ( 1 − cos λ ) } = − 1 2 { Ω [ cos λ cos θ + sin λ sin θ cos ( γ − ϕ ) ] + γ ˙ ( 1 − cos λ ) } ， 其中采用了 γ ˙ = Ω [ cos θ − sin θ cot λ cos ( ϕ − γ ) ] 。利用前面方程 − ℏ Φ ˙ + | + ， t 〉 + i ℏ ∂ ∂ t | + ， t 〉 = H ^ | + ， t 〉 ，我们可以得到 Φ ˙ + = − 1 ℏ 〈 + ， t | ( H ^ − i ℏ ∂ ∂ t ) | + ， t 〉 。还可以计算得到哈密顿量 H ^ 和 i ℏ ∂ ∂ t 的期待值 〈 + ， t | H ^ | + ， t 〉 = ( cos λ 2 e − i γ sin λ 2 ) ℏ Ω 2 ( cos θ e − i ϕ sin θ e + i ϕ sin θ − cos θ ) ( cos λ 2 e + i γ sin λ 2 ) = ℏ Ω 2 [ cos λ cos θ + sin λ sin θ cos ( γ − ϕ ) ] ， 〈 + ， t | i ℏ ∂ ∂ t | + ， t 〉 = i ℏ ( cos λ 2 e − i γ sin λ 2 ) ( − λ ˙ 2 sin λ 2 i γ ˙ e i γ sin λ 2 + λ ˙ 2 e i γ cos λ 2 ) = i ℏ [ cos λ 2 ( − λ ˙ 2 sin λ 2 ) + e − i γ sin λ 2 ( i γ ˙ e i γ sin λ 2 + λ ˙ 2 e i γ cos λ 2 ) ] = − ℏ γ ˙ sin 2 λ 2 = − ℏ γ ˙ 1 − cos λ 2 。 上面我们证明，即使不使用Lewis-Riesenfeld不变量理论 [ 24 ] 以及与不变量有关的么正变换方法 [ 26 ]，我们使用传统的按部就班法、不采用任何技巧，也是可以把含时Schrödinger方程求解出来的，而且在数学计算步骤上，并不比使用Lewis-Riesenfeld不变量理论以及与不变量有关的么正变换方法时增加复杂性。如此说来，Lewis-Riesenfeld不变量理论以及与不变量有关的么正变换方法是可以避免使用的。上面尽管仅仅讨论了二态(或二能级)体系，其实也是可以推广到三态(或三能级)体系的。 例如我们研究一个哈密顿量算符具有SU(3)李代数结构的量子体系(譬如包含三能级原子与两个或三个经典光场的相互作用体系)。此哈密顿量是八个盖尔曼矩阵的线性叠加。关键是要先构造定态Schrödinger方程的三个三维本征列矢量，然后通过类似 θ → λ ， ϕ → γ 等的替换，获得含时Schrödinger方程的解，推导出 λ ( t ) 、 γ ( t ) 等所满足的方程。最简单的方法是假设三维本征列矢量是 ( a b c ) T ，把它作为八个盖尔曼矩阵的线性叠加后的哈密顿量本征态，于是获得a、b、c之间的关系。采用参数化方法，a、b、c含有实部和虚部，从表面上看，有六个参量，但是因为归一化原因，实际上只有五个参量。那么从含时Schrödinger方程的角度看，独立的方程也是五个，因为从Schrödinger方程可以推导出一个 数学恒等式 ∂ ∂ t 〈 ψ | ψ 〉 = 0 。我们分析认为，即使不采用Lewis-Riesenfeld不变量理论以及么正变换方法， 采用传统的按部就班法，并不增加数学复杂性。所以不变量理论方法与么正变换方法并非研究含时量子系统的必须， 即使研究者不熟悉、不了解此二法， 也不影响研究。 对于哈密顿量具有SU(3)李代数结构的量子体系，它的态矢量可以是如下三个正交归一的基矢量的线性叠加： | 1 ， t 〉 = ( cos λ 2 e + i γ sin λ 2 0 ) ， | 2 ， t 〉 = ( − e − i τ sin σ 2 ( − e − i γ sin λ 2 ) − e − i τ sin σ 2 cos λ 2 cos σ 2 ) ， | 3 ， t 〉 = ( cos σ 2 ( − e − i γ sin λ 2 ) cos σ 2 cos λ 2 e i τ sin σ 2 ) 。 当然三维正交归一的基矢量还可以被写为其它形式。对于哈密顿量具有SU(4)李代数结构的量子体系其正交归一的基矢量可以依次类推写出。再在以上基矢量上加相位因子，代入含时Schrödinger方程，就可以得到以上参数 λ ， γ ， σ ， τ 与哈密顿量中的含时参数之间的关系，相位的表达式也可以获得。如此说来， 即使不采用Lewis-Riesenfeld不变量理论和么正变换方法，采用朴素方法，也是可以求解含时Schrödinger方程的，且运算步骤其实也并不增加。在么正变换方法中，需要利用哈密顿量内的李代数生成元的对易关系，而在这里采用的是生成元的具体的矩阵表示，因而可以回避这些对易关系(这些对易关系不必直接使用到)。