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user: 3. 系统(1.5)平衡点的稳定性 系统(1.5)的雅克比矩阵为 J ( x ， y ) = ( a 1 x ( x + 2 β ) ( x + β ) 2 − 2 b 1 x − c 1 ( 1 − k ) y − c 1 ( 1 − k ) x 0 a 2 − 2 b 2 y ) 。(3.1) 由(3.1)知系统(1.5)在 E 0 ( 0 ， 0 ) 处的雅克比矩阵为 J ( E 0 ) = ( 0 0 0 a 2 ) ，此时其两个特征值分别是 λ 1 = 0 ， λ 2 = a 2 。所以 E 0 是非双曲的，不能直接判断其稳定性。接下来我们利用文 [ 19 ] 定理7.1来讨论其稳定性。 首先，我们在 E 0 处作五阶幂级数展开得到 d x d t = − c 1 ( 1 − k ) x y + ( a 1 β − b 1 ) x 2 − a 1 β 2 x 3 + a 1 β 3 x 4 − a 1 β 4 x 5 + P 1 ( x ， y ) ， d y d t = a 2 y − b 2 y 2 . (3.2) 其中 P 1 ( x ， y ) 是包含项 x i y j ( i + j ≥ 6 ) 的幂级数。 然后，再作时间变换 d τ = a 2 d t 得到 d x d τ = − c 1 ( 1 − k ) a 2 x y + 1 a 2 ( a 1 β − b 1 ) x 2 − a 1 a 2 β 2 x 3 + a 1 a 2 β 3 x 4 − a 1 a 2 β 4 x 5 + P 2 ( x ， y ) ， d y d τ = y − b 2 a 2 y 2 . (3.3) 其中 P 2 ( x ， y ) 是包含项 x i y j ( i + j ≥ 6 ) 的幂级数。 根据隐函数定理，在点 ( 0 ， 0 ) 的充分小领域内可由 y − b 2 a 2 y 2 = 0 解出 y = φ ( x ) = 0 ，从而得到 d x d τ = 1 a 2 ( a 1 β − b 1 ) x 2 − a 1 a 2 β 2 x 3 + a 1 a 2 β 3 x 4 − ⋯ . (3.4) 若 a 1 β − b 1 ≠ 0 时，则 m = 2 ， a m = 1 a 2 ( a 1 β − b 1 ) ≠ 0 。根据 [ 19 ] 定理7.1可知， E 0 ( 0 ， 0 ) 是鞍结点。 若 a 1 β − b 1 = 0 时，则 m = 3 ， a m = − a 1 a 2 β 2 < 0 。根据 [ 19 ] 定理7.1可知， E 0 ( 0 ， 0 ) 是鞍点。 系统(1.5)在 E 1 ( 0 ， a 2 b 2 ) 处的雅克比矩阵为 J ( E 1 ) = ( − c 1 ( 1 − k ) a 2 b 2 0 0 − a 2 ) ， 此时，有两个特征值分别为 λ 1 = − c 1 ( 1 − k ) a 2 b 2 < 0 ， λ 2 = − a 2 < 0 ，所以 E 1 是稳定的结点。 若 E 2 存在，则系统(1.5)在 E 2 处的雅克比矩阵为 J ( E 2 ) = ( − ( a 1 − b 1 β ) 2 a 1 − c 1 ( 1 − k ) ( a 1 b 1 − β ) 0 a 2 ) ， 若 a 1 − b 1 β > 0 ，则此时有两个特征值分别是 λ 1 = − ( a 1 − b 1 β ) 2 a 1 < 0 ， λ 2 = a 2 > 0 ，所以 E 2 是鞍点。若 a 1 − b 1 β = 0 ，则 a 1 b 1 − β = 0 ，此时 E 2 与 E 0 重合，所以 E 2 仍然是鞍点。 下面我们探讨系统(1.5)正平衡点的稳定性。 系统(1.5)的雅克比矩阵为 J ( x ， y ) = ( F 1 − c 1 ( 1 − k ) x 0 − a 2 ) ， 其中， F 1 = a 1 x ( x + 2 β ) ( x + β ) 2 − 2 b 1 x − c 1 ( 1 − k ) y 。 则系统(1.5)在正平衡点处的特征值为 λ 1 = − a 2 < 0 ， λ 2 = F 1 ，所以正平衡点的稳定性是由 F 1 决定的。 F 1 = a 1 x ( x + 2 β ) ( x + β ) 2 − 2 b 1 x − c 1 ( 1 − k ) y = a 1 x β + x − b 1 x − c 1 ( 1 − k ) y + a 1 β x ( β + x ) 2 − b 1 x = a 1 β x ( β + x ) 2 − b 1 x = x [ a 1 β ( β + x ) 2 − b 1 ] . 我们令 g ( x ) = a 1 β ( β + x ) 2 − b 1 ，则正平衡点的稳定性由 g ( x ) 决定。 因为 g ′ ( x ) = − 2 a 1 β ( β + x ) 3 < 0 ，所以 g ( x ) 在 ( 0 ， + ∞ ) 上严格单调递减且 g ( a 1 β b 1 − β ) = 0 ，下面比较 x * = a 2 c 1 β ( 1 − k ) b 1 b 2 与 a 1 β b 1 − β 的大小。 ( a 1 β b 1 − β ) − a 2 c 1 β ( 1 − k ) b 1 b 2 = a 1 b 2 β b 1 b 2 − b 1 b 2 β 2 b 1 b 2 − a 2 c 1 β ( 1 − k ) b 1 b 2                                                                               = b 1 b 2 β 2 b 1 b 2 + a 2 c 1 β ( 1 − k ) b 1 b 2 + 2 β a 2 b 1 b 2 c 1 β ( 1 − k ) b 1 b 2 − b 1 b 2 β 2 b 1 b 2 − a 2 c 1 β ( 1 − k ) b 1 b 2                                                                               = 0. 所以 x * = a 1 β b 1 − β ，此时有 g ( x * ) = g ( a 1 β b 1 − β ) = 0 。 因为 x 1 * < x * < x 2 * ，所以 g ( x 1 * ) > g ( x * ) = 0 ， g ( x 2 * ) < g ( x * ) = 0 。 因此 F 1 ( x 1 * ) = x 1 * g ( x 1 * ) > 0 ， F 1 ( x 2 * ) = x 2 * g ( x 2 * ) < 0 ，所以 E 1 * 是鞍点， E 2 * 是稳定的结点。 而 F 1 ( x * ) = x * g ( x * ) = 0 ，所以 E * 是非双曲的奇点，无法直接判断其稳定性。接下来我们利用文 [ 19 ] 中的定理7.1来判断其稳定性。 首先，我们先作变换 X = x − x * ， Y = y − y * ，将其平移到原点，并作五阶幂级数展开： d X d t = d 01 Y + d 02 X 2 + d 03 X Y + d 04 X 3 + d 05 X 4 + d 06 X 5 + Q 1 ( X ， Y ) ， d Y d t = − a 2 Y − b 2 Y 2 . (3.5) 其中， d 01 = − c 1 ( 1 − k ) x * ， d 02 = a 1 β 2 ( β + x * ) 3 − b 1 ， d 03 = − c 1 ( 1 − k ) ， d 04 = − a 1 β 2 ( β + x * ) 4 ， d 05 = a 1 β 2 ( β + x * ) 5 ， d 06 = − a 1 β 2 ( β + x * ) 6 。且 Q 1 ( X ， Y ) 是包含项 X i Y j ( i + j ≥ 6 ) 的幂级数。 接着，我们再作变换 ( u v ) = ( 1 d 01 a 2 0 1 ) ( X Y ) 得到： d u d t = d 02 ( u − d 01 a 2 v ) 2 + d 03 ( u − d 01 a 2 v ) v − d 01 b 2 a 2 v 2 + d 04 ( u − d 01 a 2 v ) 3                 + d 05 ( u − d 01 a 2 v ) 4 + d 06 ( u − d 01 a 2 v ) 5 + Q 2 ( u ， v ) ， d v d t = − a 2 v − b 2 v 2 . (3.6) 其中 Q 2 ( u ， v ) 是包含项 u i v j ( u + v ≥ 6 ) 的幂级数。 最后，我们作时间变换 d τ = − a 2 d t 得到： d u d τ = − d 02 a 2 ( u − d 01 a 2 v ) 2 − d 03 a 2 ( u − d 01 a 2 v ) v + d 01 b 2 a 2 2 v 2 − d 04 a 2 ( u − d 01 a 2 v ) 3                 − d 05 a 2 ( u − d 01 a 2 v ) 4 − d 06 a 2 ( u − d 01 a 2 v ) 5 + Q 3 ( u ， v ) ， d v d τ = v + b 2 a 2 v 2 . (3.7) 其中 Q 3 ( u ， v ) 是包含项 u i v j ( u + v ≥ 6 ) 的幂级数。 由 v + b 2 a 2 v 2 = 0 解得隐函数 v = φ ( u ) = 0 ，从而得到 d u d τ = − d 02 a 2 u 2 − d 04 a 2 u 3 − ⋯ ， 因为 m = 2 ， a m = − 1 a 2 [ a 1 β 2 ( β + x * ) 3 − b 1 ] ≠ 0 ，根据 [ 19 ] 定理7.1知， E * 是鞍结点。 定理3.1 当 k < 1 − a 1 b 2 a 2 c 1 时， E 1 ( 0 ， a 2 b 2 ) 全局稳定。 证明：因为 k < 1 − a 1 b 2 a 2 c 1 ，所以 a 1 − c 1 ( 1 − k ) a 2 b 2 < 0 ，因此我们可以找到一个充分小的正数 ε > 0 ，使得 a 1 − c 1 ( 1 − k ) ( a 2 b 2 − ε ) < 0 。根据文 [ 20 ] 中的引理1.1.4知，对于上述的 ε ，存在一个正数 T > 0 ，当 t > T 时，有 | y ( t ) − a 2 b 2 | < ε 成立，即 a 2 b 2 − ε < y ( t ) < a 2 b 2 + ε 。 我们构造一个函数 V ( x ， y ) = x + y − y * − y * ln y y * ，其中 y * = a 2 b 2 。 V ( x ， y ) 是一个正定函数。而 V ( x ， y ) 沿着系统(1.5)的导数为 V ˙ = x ˙ + ( y − y * ) y ˙ y = a 1 x 2 β + x − b 1 x 2 − c 1 ( 1 − k ) x y + ( y − a 2 b 2 ) ( a 2 − b 2 y ) = [ a 1 x β + x − c 1 ( 1 − k ) y ] x − b 1 x 2 − 1 b 2 ( a 2 − b 2 y ) 2 ≤ [ a 1 x β + x − c 1 ( 1 − k ) ( a 2 b 2 − ε ) ] x − b 1 x 2 − 1 b 2 ( a 2 − b 2 y ) 2 = { [ a 1 − c 1 ( 1 − k ) ( a 2 b 2 − ε ) ] x − c 1 β ( 1 − k ) ( a 2 b 2 − ε ) β + x } x − b 1 x 2 − 1 b 2 ( a 2 − b 2 y ) 2 . 因为对所有的 x > 0 ， y > 0 ，都有 V ˙ < 0 ， V ˙ = 0 当且仅当 x = 0 ， y = a 2 b 2 。因此 V ˙ ( x ， y ) 负定。所以 E 1 ( 0 ， a 2 b 2 ) 全局稳定。