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user: 3. 主要引理的证明 证明定理1.1之前，先给出几个重要引理的证明。 引理3.1 设 1 ≤ p < ∞ ， 1 ≤ r ， q ≤ ∞ ， α ≥ 0 以及f是一螺线向量场. 则当 s ≥ 0 时，有 ‖ 2 k s ‖ [ f ， Δ k ] ⋅ ∇ g ‖ K p ， q α ( A k ) ‖ l r ≲ ‖ ∇ f ‖ ∞ ‖ g ‖ B K p ， q ， r α ， s + ‖ ∇ g ‖ ∞ ‖ f ‖ B K p ， q ， r α ， s . (3.1) 证明 根据Einstein关于哑指标 i ∈ [ 1 ， N ] 求和的习惯以及Bony仿积分解可得 [ f ， Δ k ] ⋅ ∇ g = [ f i ， Δ k ] ∂ i g = f i Δ k ∂ i g − Δ k ( f i ∂ i g ) = [ T f i ， Δ k ] ∂ i g + T ′ Δ k ∂ i g f i − Δ k ( T ∂ i g f i ) − Δ k ( R ( f i ， ∂ i g ) ) : = I + I I + I I I + I V ， 其中 T ′ u v 表示 T u v + R ( u ， v ) 。结合支集条件，分部积分和散度条件 div   f = 0 ，可得 | I | = | ∑ | k ′ − k | ≤ 4 [ S k ′ − 1 f i ， Δ k ] ∂ i Δ k ′ g | = | ∑ | k ′ − k | ≤ 4 ∫ ℝ d ( S k ′ − 1 f i ( x ) − S k ′ − 1 f i ( y ) ) 2 N k h ( 2 k ( x − y ) ) ∂ i Δ k ′ g ( y ) d y | = | ∑ | k ′ − k | ≤ 4 ∫ ℝ d ( S k ′ − 1 f i ( x ) − S k ′ − 1 f i ( y ) ) 2 k ( N + 1 ) ( ∂ i ) h ( 2 k ( x − y ) ) Δ k ′ g ( y ) d y | ≤ C ∑ | k ′ − k | ≤ 4 ‖ ∇ S k ′ − 1 f ‖ ∞ ∫ ℝ d 2 k | x − y | 2 N k | ∇ h ( 2 k ( x − y ) ) Δ k ′ g ( y ) | d y . (3.2) 注意到 h ( x ) ∈ S ( ℝ d ) ，容易验证 | x ∇ h ( x ) | 满足引理2.3的条件，因此 | I | ≤ C ∑ | k ′ − k | ≤ 4 ‖ ∇ S k ′ − 1 f ‖ ∞ M ( | Δ k ′ g ( ⋅ ) | ) ( x ) . (3.3) 在(3.3)式两边取 K p ， q α 范数并用引理2.2可得 (3.4) 在(3.4)式两边同时乘以 2 k s ，然后取 l r ( k ≥ − 1 ) 范数可得 ‖ 2 k s ‖ I ‖ K p ， q α ‖ l r ( k ≥ − 1 ) ≲ ‖ ∇ f ‖ ∞ ‖ ∑ | k ′ − k | ≤ 4 2 ( k − k ′ ) s 2 k ′ s ‖ Δ k ′ g ‖ K p ， q α ‖ l r ≲ ‖ ∇ f ‖ ∞ ‖ 2 k ′ s ‖ Δ k ′ g ‖ K p ， q α ‖ l r ≲ ‖ ∇ f ‖ ∞ ‖ 2 k s ‖ Δ k g ‖ K p ， q α ‖ l r ≲ ‖ ∇ f ‖ ∞ ‖ g ‖ B K p ， q ， r α ， s . (3.5) 下面估计II项。根据II的定义有 | I I | = | ∑ k ′ ≥ k − 2 S k ′ + 2 ∂ i Δ k g Δ k ′ f i ( x ) | ≤ ∑ k ′ ≥ k − 2 ‖ ∇ Δ k g ‖ ∞ | Δ k ′ f ( x ) | . (3.6) 当 s > 0 时，利用离散形式的卷积不等式可得 ‖ 2 k s ‖ I I ‖ K p ， q α ‖ l r ( k ≥ − 1 ) ≲ ‖ ∇ g ‖ ∞ ‖ ∑ k ′ ≥ k − 2 2 ( k − k ′ ) s 2 k ′ s ‖ Δ k ′ f ‖ K p ， q α ‖ l r ≲ ‖ ∇ g ‖ ∞ ‖ 2 − k s χ { k ≥ − 2 } ‖ l 1 ‖ 2 k ′ s ‖ Δ k ′ f ‖ K p ， q α ‖ l r ≲ ‖ ∇ f ‖ ∞ ‖ 2 k s ‖ Δ k g ‖ K p ， q α ‖ l r ≲ ‖ ∇ g ‖ ∞ ‖ f ‖ B K p ， q ， r α ， s . (3.7) 对于III项， ‖ I I I ‖ K p ， q α = ‖ ∑ | k ′ − k | ≤ 4 Δ k ( S k ′ − 1 ∂ i g Δ k ′ f i ) ( x ) ‖ K p ， q α ≲ ‖ ∑ | k ′ − k | ≤ 4 M ( S k ′ − 1 ∂ i g Δ k ′ f i ) ‖ K p ， q α ≲ ∑ | k ′ − k | ≤ 4 ‖ M ( | Δ k ′ f | ) ‖ K p ， q α ‖ S k ′ − 1 ∇ g ‖ ∞ ≲ ‖ ∇ g ‖ ∞ ∑ | k ′ − k | ≤ 4 ‖ Δ k ′ f ‖ K p ， q α . (3.8) 因此类似于(3.5)可得 (3.9) 利用 和分部积分，可得 | I V | = | ∑ k ′ ≥ k − 3 Δ k ( Δ k ′ f i ∂ i Δ ˜ k ′ g ) | = | ∑ k ′ ≥ k − 3 ∫ ℝ d 2 k d h ( 2 k ( x − y ) ) Δ k ′ f i ( y ) ∂ i Δ ˜ k ′ g ( y ) d y | = | ∑ k ′ ≥ k − 3 ∫ ℝ d 2 k d + k ( ∂ i h ) ( 2 k ( x − y ) ) Δ k ′ f i ( y ) ∂ i Δ ˜ k ′ g ( y ) d y | ≲ ∑ k ′ ≥ k − 3 2 k M ( Δ k ′ f Δ ˜ k ′ g ) ( x ) ≲ ∑ k ′ ≥ k − 3 2 k M ( Δ ˜ k ′ g ) ( x ) ‖ Δ k ′ f ‖ ∞ ≲ ∑ k ′ ≥ k − 3 2 k M ( Δ ˜ k ′ g ) ( x ) 2 − k ′ ‖ ∇ Δ k ′ f ‖ ∞ ≲ ‖ ∇ f ‖ ∞ ∑ k ′ ≥ k − 3 2 k − k ′ M ( Δ ˜ k ′ g ) ( x ) ， (3.10) 利用离散形式的卷积不等式和引理2.2，可得当 s + 1 > 0 时有 ‖ 2 k s ‖ I V ‖ K p ， q α ‖ l r ≲ ‖ ∇ f ‖ ∞ ‖ ∑ k ′ ≥ k − 3 2 k − k ′ 2 k s ‖ M ( Δ ˜ k ′ g ) ‖ K p ， q α ‖ l r ≲ ‖ ∇ f ‖ ∞ ‖ 2 k − k ′ 2 k s 2 − k ′ s 2 k ′ s ‖ M ( Δ ˜ k ′ g ) ‖ K p ， q α ‖ l r ≲ ‖ ∇ f ‖ ∞ ‖ 2 ( k − k ′ ) ( s + 1 ) 2 k ′ s ‖ Δ k g ‖ K p ， q α ‖ l r ≲ ‖ ∇ f ‖ ∞ ‖ g ‖ B K p ， q ， r α ， s . (3.11) 结合不等式(3.5)、(3.7)、(3.9)和(3.11)可得不等式(3.1)。 引理3.2 设 1 ≤ p < ∞ ， 1 ≤ r ， q ≤ ∞ ， α ≥ 0 以及f是一螺线向量场。设 s ≥ n p + 1 且当 s = n p + 1 时 r=1 ，则 存在常数 C > 0 使得 ‖ 2 k s ‖ [ f ， Δ k ] ⋅ ∇ g ‖ K p ， q α ( A k ) ‖ l r ≲ ‖ f ‖ B K p ， q ， r α ， s ‖ g ‖ B K p ， q ， r α ， s ， (3.12) ‖ 2 k s ‖ [ f ， Δ k ] ⋅ ∇ g ‖ K p ， q α ( A k ) ‖ l r ≲ ‖ f ‖ B K p ， q ， r α ， s ‖ g ‖ B K p ， q ， r α ， s ， (3.13) ‖ 2 k ( s − 1 ) ‖ [ f ， Δ k ] ⋅ ∇ g ‖ K p ， q α ( A k ) ‖ l r ≲ ‖ f ‖ B K p ， q ， r α ， s ‖ g ‖ B K p ， q ， r α ， s − 1 . (3.14) 当 r = ∞ 时，按通常的定义做相应的改动即可。 证明 根据Ein stein关于哑指标 i ∈ [ 1 ， N ] 求和的习惯以及Bony仿积分解可得 [ f ， Δ k ] ⋅ ∇ g = [ f i ， Δ k ] ∂ i g = f i Δ k ∂ i g − Δ k ( f i ∂ i g )                                 = [ T f i ， Δ k ] ∂ i g + T ′ Δ k ∂ i g f i − Δ k ( T ∂ i g f i ) − Δ k ( R ( f i ， ∂ i g ) )                                       : = I + I I + I I I + I V ， 类似引理3.1中的(3.3)可得 | I | ≲ ∑ | k ′ − k | ≤ 4 ‖ ∇ S k ′ − 1 f ‖ ∞ M ( | Δ k ′ g ( ⋅ ) | ) ( x ) ≲ ∑ | k ′ − k | ≤ 4 ∑ m ≤ k ′ − 2 ‖ ∇ Δ m f ‖ ∞ M ( | Δ k ′ g ( ⋅ ) | ) ( x ) ， (3.15) 取 K p ， q α 范数得 ‖ I ‖ K p ， q α ≲ ∑ | k ′ − k | ≤ 4 ∑ m ≤ k ′ − 2 ‖ ∇ Δ m f ‖ ∞ ‖ M ( | Δ k ′ g | ) ‖ K p ， q α ≲ ∑ | k ′ − k | ≤ 4 ∑ m ≤ k ′ − 2 ‖ ∇ Δ m f ‖ ∞ ‖ Δ k ′ g ‖ K p ， q α . (3.16) 对任意 ρ ，按照文献 [ 7 ] 引理4.4估计 R j 1 ( u ， v ) 的方法可得 ‖ 2 k ρ ‖ I ‖ K p ， q α ‖ l r ≲ ‖ f ‖ B K p ， q ， r α ， s ‖ g ‖ B K p ， q ， r α ， ρ . (3.17) 当 r = ∞ 时，做相应的改动即可。特别地，在(3.17)中取 ρ = s 和 ρ = s − 1 可得，对I可得 ‖ 2 k s ‖ I ‖ K p ， q α ‖ l r ≲ ‖ f ‖ B K p ， q ， r α ， s ‖ g ‖ B K p ， q ， r α ， s ， (3.18) ‖ 2 k ( s − 1 ) ‖ I ‖ K p ， q α ‖ l r ≲ ‖ f ‖ B K p ， q ， r α ， s ‖ g ‖ B K p ， q ， r α ， s − 1 . (3.19) 利用(3.3)和(3.16)，按照文献 [ 7 ] 引理4.4(ii)估计(4.27)式的方法可得 ‖ 2 k ( s − 1 ) ‖ I ‖ K p ， q α ‖ l r ≲ ‖ f ‖ B K p ， q ， r α ， s − 1 ‖ g ‖ B K p ， q ， r α ， s . (3.20) 下面，对II利用(3.6)和文献 [ 7 ] 引理4.4(ii)估计 R j 4 ， 1 ( u ， v ) 的方法可得 ‖ 2 k s ‖ I I ‖ K p ， q α ‖ l r ≲ ‖ f ‖ B K p ， q ， r α ， s ‖ g ‖ B K p ， q ， r α ， ρ ， (3.21) ‖ 2 k ( s − 1 ) ‖ I I ‖ K p ， q α ‖ l r ≲ ‖ f ‖ B K p ， q ， r α ， s ‖ g ‖ B K p ， q ， r α ， s − 1 . (3.22) 此外，类似(3.20)可得 ‖ 2 k ( s − 1 ) ‖ I I ‖ K p ， q α ‖ l r ≲ ‖ f ‖ B K p ， q ， r α ， s − 1 ‖ g ‖ B K p ， q ， r α ， s . (3.23) 按照(3.17)的方法，对III，(3.12)~(3.14)右端的不等式也一样成立。对IV，利用(3.10)可得 ‖ I V ‖ K p ， q α ≲ ∑ k ′ ≥ k − 3 ‖ 2 k M ( Δ k ′ f Δ ˜ k ′ g ) ( x ) ‖ K p ， q α ≲ ∑ k ′ ≥ k − 3 ‖ 2 k M ( Δ k ′ f ) ‖ K p ， q α ‖ Δ ˜ k ′ g ‖ ∞ ≲ ∑ k ′ ≥ k − 3 2 k − k ′ ‖ Δ k ′ f ‖ K p ， q α 2 k ′ ( n p + 1 ) ‖ Δ k ′ g ‖ K p ， q α ≲ ‖ f ‖ B K p ， q ， ∞ α ， s ∑ k ′ ≥ k − 3 2 k − k ′ 2 k ′ ( n p + 1 − s ) ‖ Δ k ′ g ‖ K p ， q α . (3.24) 因此，利用(3.6)和文献 [ 7 ] 引理4.4(ii)估计 R j 4 ， 1 ( u ， v ) 的方法可得，对IV，(3.12)~(3.13)右端的不等式也一样成立。由于 Δ ˜ k ′ ~ Δ k ′ ，根据对称性对IV，(3.14)右端的不等式也成立。