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user: 3. 标量化 标量化是向量优化问题的一个重要手段，对于可变序结构下的向量优化问题，同样可以使用标量化的方法，将问题转化为数值优化的类型，从而可达到降低寻找最优元难度的目的。本部分对可变序结构下的向量优化问题进行标量化处理。 在固定偏序结构下，有效元的非线性标量化还可以利用距离函数或著名的G函数来完成。下面是通过另一种非线性函数对最优元进行刻画。 设Y是一个Hausdorff拓扑向量空间，K是Y中的一个真闭凸锥，R是实数域。 定义3.1 φ a ， r ( y ) = sup { t ∈ R | y − a − t r ∈ K } ， a ， y ， r ∈ Y 。 由定义3.1，我们容易获得下面的性质。 性质3.1 φ a ， r ( y ) < λ ⇔ y − a − λ ∉ K ， ϕ a ， r ( y ) < λ ⇔ y − a − λ ∉ K 。 性质3.2 φ 0 ， r ( λ y ) = λ φ 0 ， r ( y ) ， ∀ λ ≥ 0 ， r ∈ K \ { 0 } ， y ∈ Y 。 证明 当 λ = 0 时，显然成立。 当 λ > 0 时， φ 0 ， r ( λ y ) = sup { t ∈ R | λ y − t r ∈ K } = sup { t ∈ R | λ ( y − t λ r ) ∈ K } = λ sup { t λ ∈ R | y − t λ r ∈ K } = λ sup { t 1 ∈ R | y − t 1 r ∈ K }     ( 其 中 t 1 = t λ ) = λ φ 0 ， r ( y ) 性质3.3 设 y ， z ∈ Y ， y ≥ K z ，则 φ a ， r ( y ) ≥ φ a ， r ( z ) ， ∀ a ， r ∈ Y 。 证明 设t满足 z − a − t r ∈ K 。根据K为凸锥再结合已知条件有 y − a − t r = ( y − z ) + ( z − a − t r ) ∈ K . 所以， φ a ， r ( y ) = sup { t ∈ R | y − a − t r ∈ K } ≥ sup { t ∈ R | z − a − t r ∈ K } = φ a ， r ( z ) 。 性质3.4 φ a ， r ( y + λ r ) = φ a ， r ( y ) + λ ， ∀ a ， r ， y ∈ Y ， λ ∈ R 。 证明 φ a ， r ( y + λ r ) = sup { t ∈ R | y + λ r − a − t r ∈ K } = sup { t ∈ R | y − a − ( t − λ ) r ∈ K } = sup { t 1 + λ ∈ R | y − a − t 1 r ∈ K }     ( 其 中 t 1 = t − λ ) = sup { t 1 ∈ R | y − a − t 1 r ∈ K } + λ = φ a ， r ( y ) + λ 对定义3.1考虑可变序结构，给出如下的定义： 定义3.2 ϕ a ， r ( y ) = sup { t ∈ R | y − a − t r ∈ D ( y ) } ， a ， y ， r ∈ Y 。 性质3.5 ϕ a ， r ( y ) < λ ⇔ y − a − λ r ∉ D ( y ) ， ϕ a ， r ( y ) ≥ λ ⇔ y − a − λ r ∈ D ( y ) 。 证明 根据定义和上确界的定义可知。 以上讨论了新定义函数的主要性质，接下来是利用这些函数及性质对最优元进行刻画所得到的主要结果。 定理3.1 设 r ∈ ( ∩ y ∈ A D ( y ) ) \ { 0 } ，则 y ¯ ∈ A 是A关于D的极大非控元当且仅当 ϕ y ¯ ， r ( y ) < ϕ y ¯ ， r ( y ¯ ) = 0 ，       ∀ y ∈ A \ { y ¯ } (1) 证明 必要性假设 y ¯ 是A关于D的极大非控元。因为 D ( y ¯ ) 是点凸锥， r ∈ D ( y ¯ ) \ { 0 } ，这样可得 ϕ y ¯ ， r ( y ¯ ) = 0 。若 y ¯ 不是 ϕ y ¯ ， r ( y ) 唯一的最大值点，则存在 t ∈ R ， t ≥ 0 ， y ∈ A \ { y ¯ } 使得 y − y ¯ − t r ∈ D ( y ) 。由于 t r ∈ D ( y ) ，则 y − y ¯ ∈ t r + D ( y ) ⊆ D ( y ) + D ( y ) ⊆ D ( y ) ，整理得 y ¯ ∈ y − D ( y ) ，这与定义2.2矛盾。 充分性假设 y ¯ 是 ϕ y ¯ ， r 在A上的唯一极大值点。若存在 y ∈ A \ { y ¯ } 使得 y ¯ ∈ y − D ( y ) ，则 y − y ¯ − 0 ⋅ r ∈ D ( y ) ，即 ϕ y ¯ ， r ( y ) ≥ 0 ，与(1)矛盾。 定理3.2 设 r ∈ c o r ( ∩ y ∈ A D ( y ) ) ，则 y ¯ ∈ A 是A关于D的弱极大非控元当且仅当 ϕ y ¯ ， r ( y ) ≤ ϕ y ¯ ， r ( y ¯ ) = 0 ，       ∀ y ∈ A (2) 证明 必要性假设 y ¯ 是A关于D的弱极大非控元。若 y ¯ 不是 ϕ y ¯ ， r ( y ) 的最大值点，则存在 t ∈ R ， t > 0 ， y ∈ A \ { y ¯ } 使得 y − y ¯ − t r ∈ D ( y ) 。由于 t r ∈ c o r ( D ( y ) ) ，则 y − y ¯ ∈ t r + D ( y ) ⊆ c o r ( D ( y ) ) + D ( y ) ⊆ c o r ( D ( y ) ) ，整理得 y ¯ ∈ y − c o r ( D ( y ) ) ，这与定义2.3矛盾。 充分性假设 y ¯ 是 ϕ y ¯ ， r 在A上的极大值点。若存在 y ∈ A \ { y ¯ } 使得 y ¯ ∈ y − c o r ( D ( y ) ) ，则存在 t > 0 使得 y − y ¯ − t r ∈ D ( y ) ，因此 ϕ y ¯ ， r ( y ) > 0 ，与(2)矛盾。 定理3.3 若 y ¯ ∈ A 是A关于D的极大元，则对任意点凸锥 K ⊆ D ( y ¯ ) ， r ∈ K \ { 0 } ，有 φ y ¯ ， r ( y ) ≤ φ y ¯ ， r ( y ¯ ) = 0 ，       ∀ y ∈ A \ { y ¯ } 证明 φ y ¯ ， r ( y ¯ ) = 0 是显然的。下面利用反证法证明 φ y ¯ ， r ( y ) ≤ 0 ， ∀ y ∈ A \ { y ¯ } 。若不然，存在 y 1 ∈ A \ { y ¯ } ，使得 φ y ¯ ， r ( y 1 ) > 0 。根据定义3.1有 φ y ¯ ， r ( y 1 ) = sup { t ∈ R | y 1 − y ¯ − t r ∈ K } > 0 。从而存在 t ≥ 0 ， y 1 − y ¯ − t r ∈ K 。由于 r ∈ K ，则 y 1 − y ¯ ∈ t r + K ⊆ K + K ⊆ K ⊆ D ( y ¯ ) 。整理得 y 1 ∈ y ¯ + D ( y ¯ ) ， y 1 ∈ A \ { y ¯ } 。这与定义2.4矛盾。 定理3.4 若 y ¯ ∈ A 是A关于D的弱极大元，则对任意点凸锥 K ⊆ D ( y ¯ ) ， r ∈ c o r ( K ) ，有 φ y ¯ ， r ( y ) ≤ φ y ¯ ， r ( y ¯ ) = 0 ，     ∀ y ∈ A 证明 假设存在 y 1 ∈ A ，使得 φ y ¯ ， r ( y 1 ) > 0 。根据定义3.1有 φ y ¯ ， r ( y 1 ) = sup { t ∈ R | y 1 − y ¯ − t r ∈ K } > 0 。从而存在 t > 0 ， y 1 − y ¯ − t r ∈ K 。由于 r ∈ c o r ( K ) ，则 y 1 − y ¯ ∈ t r + K ⊆ c o r ( K ) + K ⊆ c o r ( K ) ⊆ c o r ( D ( y ¯ ) ) 。整理得 y 1 ∈ y ¯ + c o r ( D ( y ¯ ) ) ， y 1 ∈ A 。这与定义2.5矛盾。 定理3.5 若 ∀ a ， r ∈ Y ，凸锥 D ( y ¯ ) ⊆ K ，有 φ a ， r ( y ) ≤ φ a ， r ( y ¯ ) = 0 ，       ∀ y ∈ A 则 y ¯ ∈ A 是A关于D的弱极大元。 证明 若 y ¯ ∈ A 不是A关于D的弱极大元。则存在 y 1 ∈ A ，使得 y 1 ∈ y ¯ + c o r ( D ( y ¯ ) ) 。取 a = y ¯ ， r ∈ K 。则 φ a ， r ( y ¯ ) = φ y ¯ ， r ( y ¯ ) = 0 ，但 φ a ， r ( y 1 ) = φ y ¯ ， r ( y 1 ) = sup { t ∈ R | y 1 − y ¯ − t r ∈ K } ≥ 0 = φ y ¯ ， r ( y ¯ ) = φ a ， r ( y ¯ ) ，与已知条件矛盾。 定理3.6 若 ∀ a ， r ∈ Y ，凸锥 D ( y ¯ ) ⊆ K ，有 φ a ， r ( y ) < φ a ， r ( y ¯ ) = 0 ，       ∀ y ∈ A \ { y ¯ } 则 y ¯ ∈ A 是A关于D的极大元。 证明 若 y ¯ ∈ A 不是A关于D的极大元。则存在 y 1 ∈ A ，使得 y 1 ∈ y ¯ + D ( y ¯ ) 。取 a = y ¯ ， r ∈ K 。则 φ a ， r ( y ¯ ) = φ y ¯ ， r ( y ¯ ) = 0 ，但 φ a ， r ( y 1 ) = φ y ¯ ， r ( y 1 ) = sup { t ∈ R | y 1 − y ¯ − t r ∈ K } ≥ 0 = φ y ¯ ， r ( y ¯ ) = φ a ， r ( y ¯ ) ，与已知条件矛盾。