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user: 2. 预备知识 设M是G的一个完美匹配， S ⊆ E ( G ) ，若M是 G − S 的唯一完美匹配，则称S为M的一个反强迫集。M的最小反强迫集的大小称为M的反强迫数，记为 a f ( G ， M ) 。图G的最小反强迫数是一个整体概念，其值等于G中所有完美匹配反强迫数的最小值，记为 a f ( G ) 。类似的，图G的反强迫数的最大值叫做G的最大反强迫数，记为 A f ( G ) 。设 A 是G中M-交错圈组成的集合。若 A 中任意两个M-交错圈不交或仅交于M中的边，我们称 A 是一个相容M-交错集。图G的最大相容M-交错集的大小记为 c ′ ( M ) 。 引理1 [ 11 ] 若M是图G的一个完美匹配，则 a f ( G ， M ) ≥ c ′ ( M ) ，若图G是平面二部图，则 a f ( G ， M ) = c ′ ( M ) 。 定义1 我们把一个梯子图 L n = P n × P 2 水平放置，其顶点从上到下、从左到右依次记为 a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a n ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b n ，而后我们把在 L n 中删去第i条竖直边 a i b i 得到的图(如图1所示)称为删去第i条竖直边的删边梯子图。记为 I L n − i 。 图1. 删边梯子图 I L n − i 定义2 设 I L n − i 是一个删边梯子图，我们将 I L n − i 的两边 a i − 1 a i ， a i a i + 1 收缩得到的图称为“L”型梯子图(如图2所示)，记为 L L n − i 。 图2. “L”型梯子图 L L n − i 在 I L n − i 和 L L n − i 中将形如 a i a i + 1 ， b i b i + 1 的边称为水平边，而形如 a i b i 的边称为垂直边。当给定该图的一个完美匹配M，若 a i a i + 1 ， b i b i + 1 ∈ M ，则将其称为水平匹配边；若 a i b i ∈ M ，则将其称为垂直匹配边，垂直匹配边的总数记为p，特别的形如 a j b j ∈ M ( 2 ≤ j ≤ n − 1 ) 称为内部垂直匹配边。 类似文献 [ 10 ] 引理3，我们可证 引理2 若M是 L n 的包含 p ( 0 ≤ p ≤ n ) 条垂直匹配边的完美匹配，则 a f ( L n ， M ) = { n 2 ， p = 0 n + p − 2 2 ， p ≥ 1 。 引理3 若M是 I L n 的包含 p ( 0 ≤ p ≤ n − 2 ) 条垂直匹配边的完美匹配，则 p ≡ n 且其水平匹配边必成对出现，即 a m a m + 1 ∈ M ⇔ b m b m + 1 ∈ M 。 证明 设M是 I L n 的完美匹配，若 I L n 的某一对水平边 a m a m + 1 ∈ M ， b m b m + 1 ∉ M ，则整个图无垂直匹配边且至少存在两个M-非饱和的点，与M是 I L n 的完美匹配矛盾，所以 a m a m + 1 ∈ M 时必有 b m b m + 1 ∈ M 。不妨设M有2q条水平匹配边，则 p + 2 q = | M | = n ，因此 p ≡ n ( mod 2 ) 。 引理4 设M是删边梯子图 I L n − i 的一个完美匹配， a h b h 是M的内部垂直匹配边，不妨设 h < i ， M 1 = M ∩ E ( L h ) ； M 2 = M ∩ E ( I L n − h + 1 − ( i − h + 1 ) ) 。则 a f ( I L n − i ， M ) = a f ( L h ， M 1 ) + a f ( I L n − h + 1 − ( i − h + 1 ) ， M 2 ) 。 证明 因为 a h b h ∈ M ，所以 L h ∩ I L n − h + 1 − ( i − h + 1 ) = { a h b h } ， M 1 ， M 2 分别是 L h ， I L n − h + 1 − ( i − h + 1 ) 上的完美匹配，且 M h ∩ M n − h + 1 = { a h b h } ， M h ∪ M n − h + 1 = M 。 一方面，令 A 是 I L n − i 的相容M-交错集，令 A 1 = A ∩ E ( L h ) ， A 2 = A ∩ E ( I L n − h + 1 − ( i − h + 1 ) ) 。由于 a h b h ∈ M ， a h − 1 a h ， a h a h + 1 ， b h − 1 b h ， b h b h + 1 ∉ M 。对于任意的M-交错圈 C ∈ A ， a h − 1 a h 和 a h a h + 1 不能同时在C中， b h − 1 b h 和 b h b h + 1 也不能同时在C中。若 a h − 1 a h ∈ C ，则 a h b h ， b h − 1 b h ∈ C ，此时 C ∈ A 1 是一个 M 1 -交错圈。同理，若 a h a h + 1 ∈ C ，则 a h b h ， b h b h + 1 ∈ C ，因此 C ∈ A 2 是一个 M 2 -交错圈。否则就有 a h b h ∉ C 。所以 C ∈ A 是一个 M 1 -交错圈或 M 2 -交错圈，因此 A ⊆ A 1 ∪ A 2 ，即 A = A 1 ∪ A 2 。对任意的 C 1 ， C 2 ∈ A ，若 C 1 ， C 2 ∈ A 1 (或 A 2 )，则 C 1 ， C 2 是 M 1 -相容(或 M 2 -相容)的。不然 是 M j -相容的， j = 1 ， 2 ，故 c ′ ( M ) ≤ c ′ ( M 1 ) + c ′ ( M 2 ) 。 另一方面，令 A j 是相容 M j -交错集， j = 1 ， 2 ，令 A = A 1 ∪ A 2 。设 C 1 ， C 2 ∈ A 是两个任意M-交错圈， 若 C 1 ， C 2 ∈ A j ，则 C 1 ， C 2 是相容 M j -交错集， j = 1 ， 2 ，否则设 C 1 ∈ A 1 ， C 2 ∈ A 2 。若 C 1 ∩ C 2 = { a h b h } ， 则 C 1 和 C 2 是M-相容的。若 C 1 ， C 2 中最多有一个圈包含 a h b h ，则 C 1 和 C 2 不交， C 1 和 C 2 也是M-相容的。因此， c ′ ( M ) ≥ c ′ ( M 1 ) + c ′ ( M 2 ) 。 综上所述， c ′ ( M ) = c ′ ( M 1 ) + c ′ ( M 2 ) ，故 a f ( I L n − i ， M ) = a f ( L h ， M 1 ) + a f ( I L n − h + 1 − ( i − h + 1 ) ， M 2 ) 。 引理5 [ 11 ] 图G的反强迫多项式是一个有如下形式的计数多项式： A f ( G ， x ) = ∑ M ∈ M ( G ) x a f ( G ， M ) 。 若G没有完美匹配，则 A f ( G ， x ) = 0 ；若G有唯一的完美匹配，则 A f ( G ， x ) = 1 。特别地，对空图我们有 A f ( G ， x ) = 1 。 合并反强迫多项式的同类项，得到如下结论。 引理6 [ 11 ] 图G的反强迫多项式有如下等价定义： A f ( G ， x ) = ∑ i = a f ( G ) A f ( G ) v ( G ， i ) x i ， 其中 v ( G ， i ) 表示反强迫数为i的完美匹配的个数。 引理7 [ 8 ] 图G的反强迫多项式有如下性质： 1) A f ( G ， 1 ) 表示G的完美匹配的个数； 2) d d x A f ( G ， x ) | x = 1 表示G的所有完美匹配的反强迫数之和； 3) d d x A f ( G ， x ) | x = 1 A f ( G ， 1 ) 表示G的平均反强迫数。 引理8 [ 10 ] 梯子图 L n 中含有 2 q = n − p 条水平匹配边的完美匹配个数是 ( n − q q ) = ( n + p 2 p ) 。