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user: 3. 动力学分析 显然， E 0 ( I e ， 0 ) 和 E * ( m ε a ， ε a I − e m a m ) 是模型(1.2)的平衡点，且可以得到三条等倾线： L 1 : y = I a x − e a ， L 2 : x = m ε a 和 L 3 : y = 0 。当 y = h 1 时， ( x ， y ) = ϕ ( x ， h 1 ) = ( ( 1 − p 1 ) x ， h 1 ) ，当 y = h 2 时， ( x ， y ) = φ ( x ， h 1 ) = ( ( 1 − p 2 ) x ， ( 1 − q ) h 2 ) ，记脉冲集 y = h 1 为P， y = h 2 为M， ( 1 − q ) h 2 为相集N。 模型(1.2)水平等倾线与相集N交于点 A 1 ，与脉冲集P交于点 A 2 。当 ( 1 − q ) h 2 < h 1 < h 2 时，在相集N上存在点 A 3 ，使得从点 A 3 出发的轨线首次交脉冲集P于点 A 4 。由于脉冲作用到达点 A 2 ，根据微分方程轨线的不相交性，以及脉冲函数 ϕ 可知，对于位于 A 3 左侧的点(如图1所示)，任取点A位于相集N上的子集合 N 1 ，显然在 N 1 上有 0 < x < x A 3 。从点A出发的轨线 π ( A ， t ) 交脉冲集P于点 A 1 ，由于脉冲作用到达 A 2 。点 A 2 出发的轨线 π ( A 2 ， t ) 交脉冲集M于点 A 3 ，由于脉冲作用交N于点 A 4 。此时，存在映射 f : N 1 → N ，即对 ∀ A ∈ N 1 ， ∃ A 4 ∈ N ，使得 A 4 = f ( A ) = φ ( π ( ϕ ( π ( A ) ) ) ) ，其中 A 1 = π ( A ， t 1 ) ， A 2 = ϕ ( A 1 ) ， A 3 = π ( A 2 ， t 2 ) ， A 4 = φ ( A 3 ) 。 图1. 在N上的轨线走向图 但是在脉冲集P上，当 x A 2 < x < x A 4 时，P上存在子集合 P 1 ，存在一个映射 g : P 1 → P (如图2所示)， ∀ A 1 ∈ P 1 ， ∃ A 3 ∈ P ，使得 A 3 = g ( A 1 ) = π ( ϕ ( A 1 ) ) ，其中 A 2 = ϕ ( A 1 ) ， A 3 = π ( A 2 ， t 1 ) 。 图2. 在P上的轨线走向图 引理3.1 映射 f : N 1 → N 为连续的一一映射。 首先本文考虑 y * > h 2 ，对 N 1 上任意点A，从点A出发的轨线一定与脉冲集M相交，然后通过脉冲作用到达相集N上。若在 N 1 存在两点 F ， G ，使得 f ( F ) = f ( G ) ，由 φ 可知， φ − 1 ( f ( F ) ) = φ − 1 ( f ( G ) ) ，这个时候，从两个不同点出发的轨线交于同一点，与微分方程轨线的不相交性互相矛盾，所以映射f为一一映射。 接下来考虑连续性： 因为 C = φ ( B ) 在 B = B 0 处连续，所以 ， ，当 时，有 ，由于微分方程的解对初始条件是连续依赖的，所以 在 处连续。因此，对 ， ，当 时，有 。同理，根据 在 处连续性，对 ， ，当 时，有 。最后，根据微分方程的解对初始条件是连续依赖的，可知， ，当 时，有 ，其中 ， ， ， 。所以， ，当 时，有 ，则 。近一步，我们有 。因此， ， ，并 ，当 时，有 ，所以映射f为连续的。 综上所述，映射 为连续的一一映射。 证毕。 引理3.2 映射 为连续的一一映射。 证明：由于此证明方法与上述证明相似，故省略。 由上述映射 为连续的一一映射，对 或 ，相集N上的阶一后继函数 与集合P上的阶一后继函数 为连续的，可得以下引理。 引理3.3 在系统(1.2)中， 或 ，其阶一后继函数 是连续的。 接下来我们探讨系统(1.2)中的周期解，首先，由于 ，对任意 ，当 时，有 。因此，当 为固定值时，在相集N上存在点 ，使得从点 出发的轨线交脉冲集P于点 ，由于脉冲作用到达点 ，即， 。故考虑以下两种情况：(1) (2) 。 情况(1) ： 定理31系统(12)存在阶一周期解。 证明：存在点 ，使得从点B出发的轨线与脉冲集P交于点 ，而 在 的左侧，即 ，由于脉冲作用，点 沿着脉冲集P向左平移到 ，此时 与B的位置关系如下：(a)： ；(b)： ；(c)： (a)：当 时(图3)，即点 与B重合，则闭轨 为阶一周期解。 (b)：当 时(图4)，即B的阶一后继函数为 。以 为初始点出发的轨线与P交于点 ，由于轨线互不相交， 所以 。经过脉冲作用后到达点 ，此时 ，因此 。 的阶一后继函数为 ，故 ，根据引理13，系统(12)存在阶一周期解。 (c)：当 时(图5)，即B的阶一后继函数为 。以 为初始点出发的轨线与P交于点 ，由于轨线的不相交性， ，由于脉冲作用，到达点 ，此时 ，所以 ， 的阶一后继函数为 ，所以 ，根据引理13，系统(12)存在阶一周期解。 证毕。 图3. 当 时轨线走向图 图4. 当 时轨线走向图 图5. 当 时轨线走向图 定理3.2当存在 ，使得 ，此时系统(1.2)存在唯一的正的阶一周期解。 证明：当存在 ，使得 时，假设存在两个正的阶一周期间，为闭轨 和闭轨 ，如下图6所示。由于 且 ，故 ， 。因为 ， ，所以 ，因此 。显然矛盾，系统(1.2)存在唯一的正的阶一周期解。 证毕。 图6. 系统(1.2)的阶一周期解 定理3.3 当存在 ，使得 ，则系统(1.2)存在阶一周期解。 证明：在相集N上取点C，使得 ，从点C出发的轨线与脉冲集P交于点 ，由于脉冲作用到达 ，从点 出发的轨线与脉冲集M交于点 ，经过脉冲作用跳到N上于点 ，此时 的位置有以下三种情况：(a)： ；(b)： ；(c)： 。 (a)：当 时(图7)，即点 与C重合，系统(1.2)存在阶一周期解。 图7. 当 时轨线走向图 (b)：当 时(图8)，即， 。假设相集N与y轴交于点D，以D为初始点出发的轨线与P交于点 ，经过脉冲作用后到达点 ，从 出发的轨线交脉冲集M于点 ，由于脉冲作用交N于 。由于 ， ，且 ，所以 ，因此 。即，D的阶一后继函数为 ，则 ，根据引理1.3，系统(1.2)存在阶一周期解。 图8. 当 时轨线走向图 图9. 当 时轨线走向图 (c)：当 时(图9)，即 。以 为初始点出发的轨线与P交于点 ，由于脉冲作用，到达点 。从 出发的轨线交脉冲集M于点 ，经过脉冲作用交N于 ，根据轨线的不相交性，故 。即 ，所以 ，根据引理1.3，系统(1.2)存在阶一周期解。 证毕。 情况(2) 定理3.4 当存在 ，使得 时，系统(1.2)存在阶一周期解。 证明：在相集N上取点C，使得 ，从点C出发的轨线与脉冲集P交于点 ，由于脉冲作用到达 ，从点 出发的轨线与脉冲集M交于点 ，经过脉冲作用跳到N上于点 ，此时 的位置有以下三种情况：(a)： ；(b)： ；(c)： 具体证明方法与定理3.3类似，故省略。 定理3.5 当存在 ，使得 时，系统存在至少两个阶一周期解 证明：首先在脉冲集P上的阶一周期解，其证明过程与定理3.1类似，此处省略。 接下来证明另外一个周期解，在点 与点 之间任取点C，使得从C点出发的轨线与于点P不相交，则交M于点 。由于脉冲作用交N于点 ，此时 是C的后继点。由定义2.1可知，C的后继函数为 。依据后继点的位置，可分为以下三种情况： (a)：若 (图10)，即点 与点C重合，则闭环 为其阶一周期解。 图10. 当 时轨线走向图 (b)：若 (图11)，意味着 跳到了C的左侧。即 。从 出发的轨线交M于点 ，经过脉冲作用交N于点 。由于脉冲线互不相交，所以 ，故 。根据引理1.3， ，所以系统(1.2)存在阶1周期解。 图11. 当 时轨线走向图 图12. 当 时轨线走向图 (c)：若 (图12)，意味着 跳到了C的右侧，即 。从 出发的轨线交M于点 ，经过脉冲作用交N于点 。由于脉冲线互不相交，所以 ，故 。根据引理1.3， ，所以系统(1.2)存在阶1周期解。 证毕。