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user: 3. 一致能量估计 为论文中证明部分的表述方便，定义常量M M = ‖ ρ 0 ‖ H s 2 + ‖ u 0 ‖ H s + 2 2 + ‖ v 0 ‖ H s + 1 2 + δ ， (10) 其中 δ > 0 为常数。进一步的，选择常数 T 0 > 0 ，当 T 0 足够小时，可满足 ( e C M T 0 − 1 ) ‖ ρ 0 ‖ H s 2 + ( e C ( M 2 + M ) T 0 − 1 ) ‖ v 0 ‖ | H s + 1 2 + ( e C ( M 2 + M ) T 0 − 1 ) ‖ u 0 ‖ H s + 1 2 + e C ( M 2 + M ) T 0 ( C M 2 + C M ) T 0 ≤ δ . (11) 其中 C > 0 是引理1证明中出现的常数。 引理1假设 ( ρ k ， u k ， v k ) 是由线性迭代方程组(6)~(9)构造的一组逼近解序列，则对任意 k ≥ 0 ，如下估计成立： sup 0 ≤ t ≤ T 0 ( ‖ ρ k ‖ H s + ‖ u k ‖ H s + 2 + ‖ v k ‖ H s + 1 ) ≤ M . (12) 证明我们应用 [ 16 ] 中的方法证明引理1中的结论，证明分为如下两步。 Step 1. (初始步骤)：由(5)和(10)易知： sup 0 ≤ t ≤ T 0 ( ‖ u 0 ‖ H s + 2 + ‖ v 0 ‖ H s + 1 ) ≤ M . (13) Step 2. (归纳步骤)：假设： sup 0 ≤ t ≤ T 0 ( ‖ u k ‖ H s + 2 + ‖ v k ‖ H s + 1 ) ≤ M ， (14) 其中： T 0 和M是(10)和(11)确定的常数，我们将会证明： sup 0 ≤ t ≤ T 0 ( ‖ ρ k + 1 ‖ H s + ‖ u k + 1 ‖ H s + 2 + ‖ v k + 1 ‖ H s + 1 ) ≤ M . (15) Step 2.1. ( ρ k + 1 的估计)：首先用 ρ k + 1 乘以方程(6)两端，并在 T d 上关于变量x积分，可以得到 1 2 d d t ‖ ρ k + 1 ‖ L 2 2 = 1 2 ∫ T d u k ⋅ ∇ ( ρ k + 1 ) 2 d x − ∫ T d ( ∇ ⋅ u k ) | ρ k + 1 | 2 d x = − 1 2 ∫ T d ( ∇ ⋅ u k ) | ρ k + 1 | 2 d x ≤ C ‖ ∇ u k ‖ L ∞ ‖ ρ k + 1 ‖ L 2 2 ≤ C M ‖ ρ k + 1 ‖ L 2 2 . (16) 接下来，对任意 1 ≤ r ≤ s ，关于方程(6)作用算子 ∇ r ，然后两端乘以 ∇ r ρ k + 1 ，并在 T d 上关于变量x积分，有 1 2 d d t ‖ ∇ r ρ k + 1 ‖ L 2 2 = − ∫ T d [ ∇ r ( u k ⋅ ∇ ρ k + 1 ) − u k ⋅ ∇ r + 1 ρ k + 1 ] ⋅ ∇ r ρ k + 1 d x                                                   − ∫ T d u k ⋅ ∇ r + 1 ρ k + 1 ⋅ ∇ r ρ k + 1 d x                                                   − ∫ T d [ ∇ r ( ρ k + 1 ∇ ⋅ u k ) − ρ k + 1 ∇ r ( ∇ ⋅ u k ) ] ⋅ ∇ r ρ k + 1 d x                                                   − ∫ T d ρ k + 1 ∇ r ( ∇ ⋅ u k ) ⋅ ∇ r ρ k + 1 d x                                               = ∑ i = 1 4 I i . (17) 利用Hölder不等式，Moser不等式，我们可以依次估计 I i ，   i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， I 1 = − ∫ T d [ ∇ r ( u k ⋅ ∇ ρ k + 1 ) − u k ⋅ ∇ r + 1 ρ k + 1 ] ⋅ ∇ r ρ k + 1 d x ≤ ‖ ∇ r ( u k ⋅ ∇ ρ k + 1 ) − u k ⋅ ∇ r + 1 ρ k + 1 ‖ L 2 ‖ ∇ r ρ k + 1 ‖ L 2 ≤ C ( ‖ ∇ u k ‖ L ∞ ‖ ∇ r ρ k + 1 ‖ L 2 + ‖ ∇ ρ k + 1 ‖ L ∞ ‖ ∇ r u k ‖ L 2 ) ‖ ∇ r ρ k + 1 ‖ L 2 ≤ C M ( ‖ ∇ r ρ k + 1 ‖ L 2 + ‖ ∇ ρ k + 1 ‖ H s − 1 ) ‖ ∇ r ρ k + 1 ‖ L 2 ; (18) I 2 = − ∫ T d u k ⋅ ∇ r + 1 ρ k + 1 ⋅ ∇ r ρ k + 1 d x = 1 2 ∫ T d ( ∇ ⋅ u k ) | ∇ r ρ k + 1 | 2 d x ≤ C ‖ ∇ ⋅ u k ‖ L ∞ ‖ ∇ r ρ k + 1 ‖ L 2 2 ≤ C M ‖ ∇ r ρ k + 1 ‖ L 2 2 ; (19) I 3 = − ∫ T d [ ∇ r ( ρ k + 1 ∇ ⋅ u k ) − ρ k + 1 ∇ r ( ∇ ⋅ u k ) ] ⋅ ∇ r ρ k + 1 d x ≤ ‖ ∇ r ( ρ k + 1 ∇ ⋅ u k ) − ρ k + 1 ∇ r ( ∇ ⋅ u k ) ‖ L 2 ‖ ∇ r ρ k + 1 ‖ L 2 ≤ C ( ‖ ∇ ρ k + 1 ‖ L ∞ ‖ ∇ r u k ‖ L 2 + ‖ ∇ u k ‖ L ∞ ‖ ∇ r ρ k + 1 ‖ L 2 ) ‖ ∇ r ρ k + 1 ‖ L 2 ≤ C M ( ‖ ∇ ρ k + 1 ‖ H s − 1 + ‖ ∇ r ρ k + 1 ‖ L 2 ) ‖ ∇ r ρ k + 1 ‖ L 2 ; (20) I 4 = − ∫ T d ρ k + 1 ∇ r ( ∇ ⋅ u k ) ⋅ ∇ r ρ k + 1 d x ≤ C ‖ ρ k + 1 ‖ L ∞ ‖ ∇ r + 1 u k ‖ L 2 ‖ ∇ r ρ k + 1 ‖ L 2 ≤ C M ‖ ρ k + 1 ‖ H s ‖ ∇ r ρ k + 1 ‖ L 2 . (21) 在这里，我们用到了Sobolev不等式： ‖ ∇ u ‖ L ∞ ≤ ‖ ∇ u ‖ H [ d 2 ] + 1 ≤ ‖ ∇ u ‖ H s − 1 ， 对 s > d 2 + 1. (22) 联立 I i ，   i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，我们可以得到 1 2 d d t ‖ ∇ r ρ k + 1 ‖ L 2 2 ≤ C M ( ‖ ∇ ρ k + 1 ‖ H s − 1 + ‖ ρ k + 1 ‖ H s + ‖ ∇ r ρ k + 1 ‖ L 2 ) ‖ ∇ r ρ k + 1 ‖ L 2 . (23) 对(23)关于r从1到s求和，并与(16)相加，有 d d t ‖ ρ k + 1 ‖ H s 2 ≤ C M ‖ ρ k + 1 ‖ H s 2 . (24) 应用Gronwall不等式， sup 0 ≤ t ≤ T 0 ‖ ρ k + 1 ‖ H s 2 ≤ e C M T 0 ‖ ρ 0 ‖ H s 2 ≤ M 2 . (25) 由(10)和(11)中M和 T 0 的选取，可得 ρ k + 1 的估计： sup 0 ≤ t ≤ T 0 ‖ ρ k + 1 ‖ H s ≤ M . (26) Step 2.2. ( v k + 1 的估计)：用 v k + 1 乘以方程(7)的两端，并在 T d 上关于变量x积分，利用Hölder不等式，Young’s不等式，Sobolev不等式，以及 ∇ ⋅ v = 0 ，我们得到 1 2 d d t ‖ v k + 1 ‖ L 2 2 + μ ∫ T d | ∇ v k + 1 | 2 d x = − ∫ T d v k ⋅ ∇ v k + 1 ⋅ v k + 1 d x + K 2 ∫ T d ρ k + 1 v k + 1 ( u k − v k ) d x ≤ 1 2 ∫ T d | v k + 1 | 2 ( ∇ ⋅ v k ) d x + K 2 ( ‖ u k ‖ L ∞ + ‖ v k ‖ L ∞ ) ∫ T d ρ k + 1 v k + 1 d x ≤ C M ‖ ρ k + 1 ‖ L 2 ‖ v k + 1 ‖ L 2 ≤ C M 2 ‖ v k + 1 ‖ L 2 ≤ C M 2 ‖ v k + 1 ‖ L 2 2 + C M 2 . (27) 对方程(7)作用算子 ∇ r ( 1 ≤ r ≤ s + 1 )，然后两端乘以 ∇ r v k + 1 ，并在 T d 上关于变量x积分，有 1 2 d d t ‖ ∇ r v k + 1 ‖ L 2 2 + μ ∫ T d | ∇ r + 1 v k + 1 | 2 d x = − ∫ T d v k ⋅ ∇ r ( ∇ v k + 1 ) ⋅ ∇ r v k + 1 d x − ∫ T d [ ∇ r ( v k ⋅ ∇ v k + 1 ) − v k ⋅ ∇ r ( ∇ v k + 1 ) ] ⋅ ∇ r v k + 1 d x     + K 2 ∫ T d ∇ r ( ρ k + 1 u k ) ⋅ ∇ r v k + 1 d x − K 2 ∫ T d ∇ r ( ρ k + 1 v k ) ⋅ ∇ r v k + 1 d x = ∑ i = 1 4 J i . (28) 接下来我们依次估计 J i ，   i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 J 1 = − ∫ T d v k ⋅ ∇ r ( ∇ v k + 1 ) ⋅ ∇ r v k + 1 d x = 1 2 ∫ T d ( ∇ ⋅ v k ) | ∇ r v k + 1 | 2 d x = 0 ; (29) J 2 = − ∫ T d [ ∇ r ( v k ⋅ ∇ v k + 1 ) − v k ⋅ ∇ r ( ∇ v k + 1 ) ] ⋅ ∇ r v k + 1 d x         ≤ C ‖ ∇ r ( v k ⋅ ∇ v k + 1 ) − v k ⋅ ∇ r ( ∇ v k + 1 ) ‖ L 2 ‖ ∇ r v k + 1 ‖ L 2         ≤ C ( ‖ ∇ v k ‖ L ∞ ‖ ∇ r v k + 1 ‖ L 2 + ‖ ∇ v k + 1 ‖ L ∞ ‖ ∇ r v k ‖ L 2 ) ‖ ∇ r v k + 1 ‖ L 2         ≤ C M ( ‖ ∇ r v k + 1 ‖ L 2 2 + ‖ v k + 1 ‖ H s + 1 2 ) ; (30) J 3 = K 2 ∫ T d ∇ r ( ρ k + 1 u k ) ⋅ ∇ r v k + 1 d x ≤ C ‖ ∇ r ( ρ k + 1 u k ) ‖ L 2 ‖ ∇ r v k + 1 ‖ L 2         ≤ C ( ‖ ρ k + 1 ‖ L ∞ ‖ ∇ r u k ‖ L 2 + ‖ u k ‖ L ∞ ‖ ∇ r ρ k + 1 ‖ L 2 ) ‖ ∇ r v k + 1 ‖ L 2         ≤ C M 2 ‖ ∇ r v k + 1 ‖ L 2 ≤ C M 2 ‖ ∇ r v k + 1 ‖ L 2 2 + C M 2 ; (31) J 4 = − K 2 ∫ T d ∇ r ( ρ k + 1 v k ) ⋅ ∇ r v k + 1 d x ≤ C ‖ ∇ r ( ρ k + 1 v k ) ‖ L 2 ‖ ∇ r v k + 1 ‖ L 2         ≤ C ( ‖ ρ k + 1 ‖ L ∞ ‖ ∇ r v k ‖ L 2 + ‖ v k ‖ L ∞ ‖ ∇ r ρ k + 1 ‖ L 2 ) ‖ ∇ r v k + 1 ‖ L 2         ≤ C M 2 ‖ ∇ r v k + 1 ‖ L 2 ≤ C M 2 ‖ ∇ r v k + 1 ‖ L 2 2 + C M 2 . (32) 在这里用到了Hölder不等式，Young’s不等式，Sobolev不等式，Moser不等式。将 J i ，   i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，的估计带入(28)式，我们得到 d d t ‖ ∇ r v k + 1 ‖ L 2 2 + μ ∫ T d | ∇ r + 1 v k + 1 | 2 d x ≤ ( C M 2 + C M ) ‖ ∇ r v k + 1 ‖ L 2 2 + C M ‖ v k + 1 ‖ H s + 1 2 + C M 2 . (33) 对(33)的r从0到 s + 1 求和，并与(27)式联立， d d t ‖ v k + 1 ‖ H s + 1 2 + μ ∑ r = 0 s + 1 ∫ T d | ∇ r + 1 v k + 1 | 2 d x ≤ ( C M 2 + C M ) ‖ v k + 1 ‖ H s + 1 2 + C M 2 . (34) 对(34)关于时间变量t从0到 T 0 积分，可以得到 ‖ v k + 1 ‖ H s + 1 2 + ∫ 0 T 0 μ ∑ r = 0 s + 1 ∫ T d | ∇ r + 1 v k + 1 | 2 d x d t ≤ ‖ v 0 ‖ H s + 1 2 + ∫ 0 T 0 ( ( C M 2 + C M ) ‖ v k + 1 ‖ H s + 1 2 + C M 2 ) d t ， (35) 应用Gronwall不等式，我们得到 sup 0 ≤ t ≤ T 0 ‖ v k + 1 ‖ H s + 1 2 + ∫ 0 T 0 μ ∑ r = 0 s + 1 ∫ T d | ∇ r + 1 v k + 1 | 2 d x d t ≤ e C ( M 2 + M ) T 0 ( ‖ v 0 ‖ H s + 1 2 + C M 2 T 0 ) . (36) 由(10)和(11)中M和 T 0 的选取，可得 v k + 1 的估计： sup 0 ≤ t ≤ T 0 ‖ v k + 1 ‖ H s + 1 ≤ M . (37) Step 2.3. ( u k + 1 的估计)：用 u k + 1 乘以方程(8)的两端，并在 T d 上关于变量x积分， 1 2 d d t ‖ u k + 1 ‖ L 2 2 = − ∫ T d u k ⋅ ∇ u k + 1 ⋅ u k + 1 d x + K 2 ∫ T d u k + 1 ( v k + 1 − u k ) d x     − K 1 ∬ T 2 d Γ ( x − y ) ( u k ( x ) − u k ( y ) ) u k + 1 ( x ) ρ k + 1 ( y ) d x d y = ∑ i = 1 3 I i . (38) 应用Hölder不等式，Young’s不等式，Sobolev不等式，以及(26)和(37)，我们估计 I i ，   i = 1 ， 2 ， 3 ， I 1 = − ∫ T d u k ⋅ ∇ u k + 1 ⋅ u k + 1 d x = 1 2 ∫ T d ( ∇ ⋅ u k ) | u k + 1 | 2 d x = 0 ; (39) I 2 = K 1 ∬ T 2 d Γ ( x − y ) ( u k ( x ) − u k ( y ) ) u k + 1 ( x ) ρ k + 1 ( y ) d x d y         ≤ C ( ‖ u k ( y ) ‖ L ∞ + ‖ u k ( x ) ‖ L ∞ ) ∬ T 2 d Γ ( x − y ) u k + 1 ( x ) ρ k + 1 ( y ) d x d y         ≤ C M ‖ Γ ‖ L 1 ‖ ρ k + 1 ‖ L 2 ‖ u k + 1 ‖ L 2 ≤ C M 2 ‖ u k + 1 ‖ L 2 ≤ C M 2 ‖ u k + 1 ‖ L 2 2 + C M 2 ; (40) I 3 = K 2 ∫ T d u k + 1 ( v k + 1 − u k ) d x ≤ C ( ‖ u k + 1 ‖ L 2 ‖ v k + 1 ‖ L 2 + ‖ u k + 1 ‖ L 2 ‖ u k ‖ L 2 )         ≤ C ( ‖ u k + 1 ‖ L 2 2 + ‖ v k + 1 ‖ L 2 2 + ‖ u k + 1 ‖ L 2 2 + ‖ u k ‖ L 2 2 ) ≤ C ( M 2 + ‖ u k + 1 ‖ L 2 2 ) . (41) 联立 I i ，   i = 1 ， 2 ， 3 ， d d t ‖ u k + 1 ‖ L 2 2 ≤ C ( M 2 + 1 ) ‖ u k + 1 ‖ L 2 2 + C M 2 . (42) 对方程(8)作用算子 ∇ r ( 1 ≤ r ≤ s + 2 )，然后两端乘以 ∇ r u k + 1 ，并在 T d 上关于变量x积分，我们可以得到 1 2 d d t ‖ ∇ r u k + 1 ‖ L 2 2 = − ∫ T d u k ∇ ( ∇ r u k + 1 ) ⋅ ∇ r u k + 1 d x − ∫ T d [ ∇ r ( u k ⋅ ∇ u k + 1 ) − u k ∇ ( ∇ r u k + 1 ) ] ⋅ ∇ r u k + 1 d x                                                 − K 1 ∫ T d ∇ x r ∫ T d Γ ( x − y ) ⋅ u k ( x ) ⋅ ρ k + 1 ( y ) d y   ∇ r u k + 1 d x                                                 + K 1 ∫ T d ∇ x r ∫ T d Γ ( x − y ) ⋅ u k ( y ) ⋅ ρ k + 1 ( y ) d y   ∇ r u k + 1 d x                                                 + K 2 ∫ T d ∇ r ( v k + 1 − u k ) ⋅ ∇ r u k + 1 d x = ∑ i = 1 5 J i . (43) 由Hölder不等式，Young’s不等式，Sobolev不等式，Moser不等式，我们可以得到， J 1 = − ∫ T d u k ∇ ( ∇ r u k + 1 ) ⋅ ∇ r u k + 1 d x = 1 2 ∫ T d ( ∇ ⋅ u k ) | ∇ r u k + 1 | 2 d x = 0 ; (44) J 2 = − ∫ T d [ ∇ r ( u k ⋅ ∇ u k + 1 ) − u k ∇ ( ∇ r u k + 1 ) ] ⋅ ∇ r u k + 1 d x         ≤ C ‖ ∇ r ( u k ⋅ ∇ u k + 1 ) − u k ∇ ( ∇ r u k + 1 ) ‖ L 2 ‖ ∇ r u k + 1 ‖ L 2         ≤ C ( ‖ ∇ u k ‖ L ∞ ‖ ∇ r u k + 1 ‖ L 2 + ‖ ∇ u k + 1 ‖ L ∞ ‖ ∇ r u k ‖ L 2 ) ‖ ∇ r u k + 1 ‖ L 2         ≤ C M ( ‖ ∇ r u k + 1 ‖ L 2 2 + ‖ u k + 1 ‖ H s + 2 2 ) ; (45) J 3 = − K 1 ∫ T d ∇ x r ∫ T d Γ ( x − y ) ⋅ u k ( x ) ⋅ ρ k + 1 ( y ) d y   ∇ r u k + 1 d x         ≤ C ‖ ∇ x r ( u k ⋅ Γ ∗ ρ k + 1 ) ‖ L 2 ‖ ∇ r u k + 1 ‖ L 2         ≤ C ( ‖ u k ‖ L ∞ ‖ ∇ x r ( Γ ∗ ρ k + 1 ) ‖ L 2 + ‖ Γ ∗ ρ k + 1 ‖ L ∞ ‖ ∇ x r u k ‖ L 2 ) ‖ ∇ r u k + 1 ‖ L 2         ≤ C M ( ‖ ∇ x r ( Γ ∗ ρ k + 1 ) ‖ L 2 + ‖ Γ ∗ ρ k + 1 ‖ L ∞ ) ‖ ∇ r u k + 1 ‖ L 2         ≤ C M ( ‖ Γ ‖ L 1 ‖ ∇ y r ρ k + 1 ‖ L 2 + ‖ Γ ‖ L 1 ‖ ρ k + 1 ‖ L ∞ ) ‖ ∇ r u k + 1 ‖ L 2         ≤ C M 2 ‖ ∇ r u k + 1 ‖ L 2 ≤ C M 2 ‖ ∇ r u k + 1 ‖ L 2 2 + C M 2 ; (46) J 4 = K 1 ∫ T d ∇ x r ∫ T d Γ ( x − y ) ⋅ u k ( y ) ⋅ ρ k + 1 ( y ) d y   ∇ r u k + 1 d x         ≤ C ∫ T d ∫ T d Γ ( x − y ) ⋅ ∇ y r ( u k ( y ) ⋅ ρ k + 1 ( y ) ) d y   ∇ r u k + 1 d x         ≤ C ‖ Γ ‖ L 1 ‖ ∇ r ( u k ⋅ ρ k + 1 ) ‖ L 2 ‖ ∇ r u k + 1 ‖ L 2         ≤ C ‖ Γ ‖ L 1 ( ‖ u k ‖ L ∞ ‖ ∇ r ρ k + 1 ‖ L 2 + ‖ ρ k + 1 ‖ L ∞ ‖ ∇ r u k ‖ L 2 ) ‖ ∇ r u k + 1 ‖ L 2         ≤ C M 2 ‖ ∇ r u k + 1 ‖ L 2 ≤ C M 2 ‖ ∇ r u k + 1 ‖ L 2 2 + C M 2 ; (47) J 5 = K 2 ∫ T d ∇ r ( v k + 1 − u k ) ⋅ ∇ r u k + 1 d x         ≤ C ( ‖ ∇ r v k + 1 ‖ L 2 ‖ ∇ r u k + 1 ‖ L 2 + ‖ ∇ r u k ‖ L 2 ‖ ∇ r u k + 1 ‖ L 2 )         ≤ C ( ‖ ∇ r v k + 1 ‖ L 2 2 + ‖ ∇ r u k + 1 ‖ L 2 2 + ‖ ∇ r u k ‖ L 2 2 + ‖ ∇ r u k + 1 ‖ L 2 2 )         ≤ C ( M 2 + ‖ ∇ r u k + 1 ‖ L 2 2 + ‖ ∇ r v k + 1 ‖ L 2 2 ) . (48) 将 J i ，   i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的估计带入(43)，如下不等式成立 d d t ‖ ∇ r u k + 1 ‖ L 2 2 ≤ C ( M 2 + M + 1 ) ‖ ∇ r u k + 1 ‖ L 2 2 + C M ‖ u k + 1 ‖ H s + 2 2 + C ‖ ∇ r v k + 1 ‖ L 2 2 + C M 2 . (49) 进一步的，对(49)的r从1到 s + 2 求和，并联立(42)， d d t ‖ u k + 1 ‖ H s + 2 2 ≤ C ( M 2 + M + 1 ) ‖ u k + 1 ‖ H s + 2 2 + C ∑ r = 1 s + 2 ∫ T d | ∇ r v k + 1 | 2 d x + C M 2 . (50) 对(50)关于时间变量t从0到 T 0 积分，可以得到 ‖ u k + 1 ‖ H s + 2 2 ≤ C ∫ 0 T 0 ∑ r = 1 s + 2 ∫ T d | ∇ r v k + 1 | 2 d x d t + ∫ 0 T 0 C ( M 2 + M + 1 ) ‖ u k + 1 ‖ H s + 2 2 + C M 2 d t ， (51) 利用Gronwall不等式和(36)可得， sup 0 ≤ t ≤ T 0 ‖ u k + 1 ‖ H s + 2 2 ≤ e C ( M 2 + M + 1 ) T 0 ( ‖ u 0 ‖ H s + 2 2 + C M 2 T 0 ) . (52) 由(10)和(11)中M和 T 0 的选取，我们得到 u k + 1 的估计 sup 0 ≤ t ≤ T 0 ‖ u k + 1 ‖ H s + 2 ≤ M . (53) 至此，我们完成了归纳过程，引理1证毕。