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user: 2. 几种导数微分的定义 对某一函数，寻找一种方法，当自变量和因变量的改变量都很小时，能简便而又比较精确的地估计出这个改变量，这是微分的原始思想，而在深层次微分的思想是对非线性对应关系在局部的线性化。 定义2.1 [ 5 ] 设 x 0 为函数 y = f ( x ) 定义域中的一点，若存在一个数 g ( x 0 ) ，使得当 Δ x → 0 时下述关系式恒成立， Δ y = g ( x 0 ) Δ x + ο ( Δ x ) ，则称 f ( x ) 在 x 0 处的微分存在，或称 f ( x ) 在 x 0 处可微。其中 g ( x 0 ) 只与 x 0 有关，而与 Δ x 无关。其中 Δ x 表示x关于 x 0 的增量，即 Δ x = x − x 0 ，此时 Δ y = y − y 0 。 定义2.2 [ 5 ] 对函数 y = f ( x ) ，若在其定义域中的一点 x 0 处极限 lim Δ x → 0 Δ y Δ x = lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x 存在，则称 f ( x ) 在 x 0 处可导，且这个极限值称为 f ( x ) 在 x 0 处的导数，记作 f ′ ( x 0 ) 。 f ( x ) 在 x 0 处的导数的等价定义如下 f ′ ( x 0 ) = lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 因为 f ′ ( x 0 ) = lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 ，由极限存在的定义，函数 f ( x ) 在 x 0 可导的充分必要条件是左极限 f ′ − ( x 0 ) = lim Δ x → 0 − f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x 和右极限 f ′ + ( x 0 ) = lim Δ x → 0 + f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x 存在且 f ′ − ( x 0 ) = f ′ + ( x 0 ) ，并且 f ( x ) 在 x 0 处要有定义，则称 f ′ − ( x 0 ) 为 f ( x ) 在 x 0 处的左导数，而 f ′ + ( x 0 ) 为 f ( x ) 在 x 0 处的右导数。 用定义法求导数的步骤： Step1：求增量 Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) ； Step2：作比值 Δ y Δ x ； Step3：取极限 f ′ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x 。 对分段函数在分段点处的导数，要首先先求出左导数和右导数，再确定是否可导。 例2.1 对函数 f ( x ) = | x | ，取 x ∈ ( − ∞ ， + ∞ ) ，考虑它在 x = 0 处可导情况。 解 由题知可分为两类情况讨论： 当 x < 0 时， f ( x ) = | x | = − x ，可知 f ( x ) 在 x = 0 处的左导数为 f ′ − ( 0 ) = lim Δ x → 0 − − Δ x Δ x = − 1 ，而当 x > 0 ， f ( x ) = | x | = x ，可知 f ( x ) 在 x = 0 处的右导数为 f ′ + ( 0 ) = lim Δ x → 0 + Δ x Δ x = 1 ，可知函数 f ( x ) = | x | 在 x = 0 处的左右导数都存在，但左右导数不相等，从而易知它在 x = 0 处不可导。 下面讨论比微积分中更一般的两个微分的概念，即Fréchet微分和Gâteaux微分，并举例说明。Fréchet微分，它是微积分中多元函数的全微分概念的推广，同时也是应用最为广泛的一种微分。 定义2.3 [ 6 ] 设X与Y为赋范线性空间， D ⊂ X 是开集，称映射 f : D → Y 在D中某一点 x 0 处Fréchet可微指：如果存在有界线性算子 A = A ( x 0 ) : X → Y ，使得对任意的 h ∈ X 及 x 0 + h ∈ D ，有 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) = A h + ω ( x 0 ， h ) 其中 ‖ ω ( x 0 ， h ) ‖ = ο ( ‖ h ‖ ) ，即余项 ω 满足： lim ‖ h ‖ X → 0 ‖ ω ( x 0 ， h ) ‖ Y ‖ h ‖ X = 0 ，并且称Ah为f在 x 0 处的Fréchet微分，记为 d ( f ( x 0 ) h ) ，线性算子A称为f在 x 0 处的Fréchet导算子。记为 f ′ ( x 0 ) 。 通常，可以直接验证Fréchet导算子满足下边的几条性质： 唯一性；线性性，即 ( α f 1 + β f 2 ) ′ ( x 0 ) = α f ′ 1 ( x 0 ) + β f ′ 2 ( x 0 ) 。 称常值映射的导算子为0算子，有界线性算子的导算子为其本身。在有限维空间中，通常的多元映射的Jacobi矩阵为映射的Fréchet导数。对于多元函数，Fréchet导数即为梯度，对于单变量，Fréchet导数即为普通导数。 定理2.1 [ 7 ] [ 8 ] (链式法则)设Banach空间X，Y，Z，开集 D 1 ⊂ X ， D 2 ⊂ Y ，映射 f : D 1 → Y ， g : D 2 → Z ， f ( D 1 ) ⊂ D 2 。若f在 x 0 ∈ D 1 ，g在点 y 0 = f ( x 0 ) 处Fréchet可微，则复合映射 g ∘ f 在点 x 0 处Fréchet可微，且 ( g ∘ f ) ′ ( x 0 ) = g ′ ( y 0 ) ∘ f ′ ( x 0 ) 。 下述给出链式法则求解的例子。 例2.2 设 { X ， ( ⋅ ， ⋅ ) X } 和 { H ， ( ⋅ ， ⋅ ) H } 为Hilbert空间，且 z ∈ H 固定。存在有界线性算子A，考虑函数 E z = g ∘ f : X → ℝ ， E z ( x ) = ‖ A x − z ‖ H 2 ， 此时，有 E z ( x ) = g ( f ( x ) ) ，其中 g ( y ) = ‖ y ‖ H 2 ， f ( x ) = A x − z ， 由任意的Hilbert空间H中， g ( y ) = ‖ y ‖ H 2 是Fréchet可微的，则易知 g ′ ( y ) = ( 2 y ， h ) H ， f ′ ( x ) h = A h ， 由链式法则有 E ′ ( x ) h = g ′ ( f ( x ) ) f ( x ) h = ( 2 y ， f ′ ( x ) h ) H = 2 ( A x − z ， A h ) H = 2 ( A ∗ ( A x − z ) ， h ) X 其中， A ∗ 为A伴随算子。 下面引入Gâteaux微分的概念，它比Fréchet微分更弱，且也是微积分知识中方向导数概念的推广。 定义2.4 [ 7 ] 设 D ⊂ X 为开集，映射 f : D → Y ，如果对每一 h ∈ X ，极限 lim t → 0 f ( x 0 + t h ) − f ( x 0 ) t 存在，则称f在 x 0 处Gâteaux可微，或简称G-可微，且称上述极限为f在 x 0 处沿方向h的Gâteaux微分，记为 D ( f ( x 0 ) h ) ，即 D ( f ( x 0 ) h ) = lim t → 0 f ( x 0 + t h ) − f ( x 0 ) t 。 注 f在 x 0 处沿方向h的Gâteaux微分唯一，而且Gâteaux微分也具有线性运算性质。 例2.3 在Hilbert空间H上范数的平方。取 { H ， ( ⋅ ， ⋅ ) H } 是一个具有标准范数 ‖   ⋅   ‖ H 的实Hilbert空间，确定函数 f : H → ℝ 的Gâteaux导数 f ( x ) = ‖ x ‖ H 2 ，则有 lim t → 0 1 t ( f ( x + t h ) − f ( x ) ) = lim t → 0 1 t ( ‖ x + t h ‖ H 2 − ‖ x ‖ H 2 ) = lim t → 0 2 t ( x ， h ) H + t 2 ‖ h ‖ H 2 t = 2 ( x ， h ) H 因此 f ′ ( x ) h = ( 2 x ， h ) H 。 在Riesz表示定理 [ 9 ] 的意义上，将H与其对偶空间 H ∗ 等同，则有 f ( x ) = ‖ x ‖ H 2 的简单公式 f ′ ( x ) = 2 x ，将H中某一个元素所得结果 f ′ ( x ) 称为f的梯度，因此，可以区分由 f ′ ( x ) h = ( 2 x ， h ) H 法则和 f ′ ( x ) = 2 x 法则给出的导数。