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user: 2. 预备知识 定义2.1： [ 10 ] [ 11 ] (Riemann-Liouville) α 阶积分定义为 I 0 + α x ( t ) = 1 Γ ( α ) ∫ 0 t ( t − s ) α − 1 x ( s ) d s ， 其中 n − 1 < α ≤ n ，n为整数。 定义2.2： [ 10 ] [ 11 ] (Riemann-Liouville) α 阶导数定义为 D 0 + α x ( t ) = 1 Γ ( n − α ) ( d d t ) n ∫ 0 t ( t − s ) n − α − 1 x ( s ) d s ， 其中 n − 1 < α ≤ n ，n为整数。 引理2.1： [ 10 ] [ 11 ] 若 α > 0 ， x ∈ L ( 0 ， 1 ) ， D 0 + α x ∈ L ( 0 ， 1 ) ，则 I 0 + α D 0 + α x ( t ) = x ( t ) + c 1 t α − 1 + c 2 t α − 2 + ⋯ + c n t α − n ， 其中 c i ∈ ( − ∞ ， + ∞ ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， n − 1 < α ≤ n 。 引理2.2：假设 y ∈ C ( 0 ， 1 ) ∩ L 1 ( 0 ， 1 ) ，则分数阶微分方程 { D 0 + α x ( t ) + y ( t ) = 0 ， t ∈ ( 0 ， 1 ) ， n − 1 < α ≤ n ， n ≥ 2 ， x ( 0 ) = x ′ ( 0 ) = ⋯ = x ( n − 2 ) = 0 ， D 0 + α − 1 x ( 1 ) = ∫ 0 1 h ( t ) x ( t ) d A ( t ) (2.1) 有解 x ( t ) = ∫ 0 ∞ G ( t ， s ) y ( s ) d s ， 其中 G ( t ， s ) = G 0 ( t ， s ) + G 1 ( t ， s ) ， (2.2) G 0 ( t ， s ) = 1 Γ ( α ) { t α − 1 − ( t − s ) α − 1 ，     0 ≤ s ≤ t ≤ 1 ， t α − 1 ，                                   0 ≤ t ≤ s ≤ 1 ， G 1 ( t ， s ) = t α − 1 Γ ( α ) − ∫ 0 1 h ( t ) t α − 1 d A ( t ) ∫ 0 1 h ( t ) G 0 ( t ， s ) d A ( t )     . 证明：由引理2.1，(2.1)中的方程可转化为等价于的积分方程 x ( t ) = − I 0 + α y ( t ) + c 1 t α − 1 + c 2 t α − 2 + ⋯ + c n t α − n ，   c i ∈ ( − ∞ ， + ∞ ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， 即 x ( t ) = − 1 Γ ( α ) ∫ 0 t ( t − s ) α − 1 y ( s ) d s + c 1 t α − 1 + c 2 t α − 2 + ⋯ + c n t α − n ，   c i ∈ ( − ∞ ， + ∞ ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， 由于 x ( 0 ) = x ′ ( 0 ) = ⋯ = x ( n − 2 ) = 0 ，得 c 2 = c 3 = ⋯ = c n = 0 ，因此有 x ( t ) = − 1 Γ ( α ) ∫ 0 t ( t − s ) α − 1 y ( s ) d s + c 1 t α − 1 ， D 0 + α − 1 x ( t ) = c 1 Γ ( α ) − ∫ 0 t y ( s ) d s . 又有 D 0 + α − 1 x ( 1 ) = ∫ 0 1 h ( t ) x ( t ) d A ( t ) 及 D 0 + α − 1 x ( 1 ) = c 1 Γ ( α ) − ∫ 0 1 y ( s ) d s . 可得 c 1 = 1 Γ ( α ) ( ∫ 0 1 h ( t ) x ( t ) d A ( t ) + ∫ 0 1 y ( s ) d s ) ， 所以 x ( t ) = − 1 Γ ( α ) ∫ 0 t ( t − s ) α − 1 y ( s ) d s + t α − 1 1 Γ ( α ) ( ∫ 0 1 h ( t ) x ( t ) d A ( t ) + ∫ 0 1 y ( s ) d s ) = ∫ 0 1 G 0 ( t ， s ) y ( s ) d s + t α − 1 Γ ( α ) ∫ 0 1 h ( t ) x ( t ) d A ( t )     . (2.3) 对(2.3)式两端乘以 h ( t ) 并且求关于 A ( t ) 的积分，有 ∫ 0 1 h ( t ) x ( t ) d A ( t ) = Γ ( α ) Γ ( α ) − ∫ 0 1 h ( t ) t α − 1 d A ( t ) ∫ 0 1 h ( t ) ∫ 0 1 G 0 ( t ， s ) y ( s ) d s d A ( t )     ， 所以 x ( t ) = ∫ 0 1 G 0 ( t ， s ) y ( s ) d s + t α − 1 Γ ( α ) ∫ 0 1 h ( t ) x ( t ) d A ( t ) = ∫ 0 1 G 0 ( t ， s ) y ( s ) d s + t α − 1 Γ ( α ) Γ ( α ) Γ ( α ) − ∫ 0 1 h ( t ) t α − 1 d A ( t ) ∫ 0 1 h ( t ) ∫ 0 1 G 0 ( t ， s ) y ( s ) d s d A ( t ) = ∫ 0 1 G 0 ( t ， s ) y ( s ) d s + t α − 1 Γ ( α ) − ∫ 0 1 h ( t ) t α − 1 d A ( t ) ∫ 0 1 h ( t ) ∫ 0 1 G 0 ( t ， s ) y ( s ) d s d A ( t ) = ∫ 0 1 G 0 ( t ， s ) y ( s ) d s + ∫ 0 1 G 1 ( t ， s ) y ( s ) d s = ∫ 0 1 G ( t ， s ) y ( s ) d s     . 引理2.3：由(2.2)定义的 G ( t ， s ) 有下列性质： 1) G ( t ， s ) ≥ 0 ， ( t ， s ) ∈ [ 0 ， 1 ] × [ 0 ， 1 ] 。 2) G ( t ， s ) 在 [ 0 ， 1 ] × [ 0 ， 1 ] 上连续。 3) G ( t ， s ) ≤ ω ， ω = max { 1 Γ ( α ) ， ∫ 0 1 h ( t ) d A ( t ) Γ ( α ) ( Γ ( α ) − ∫ 0 1 h ( t ) t α − 1 d A ( t ) ) } 。 证明：根据 G ( t ， s ) 的定义，只需证明(3)成立。由于 G 0 ( t ， s ) ≤ t α − 1 Γ ( α ) ≤ 1 Γ ( α ) ， G 1 ( t ， s ) ≤ t α − 1 Γ ( α ) ( Γ ( α ) − ∫ 0 1 h ( t ) t α − 1 d A ( t ) ) ∫ 0 1 h ( t ) d A ( t ) ≤ 1 Γ ( α ) ( Γ ( α ) − ∫ 0 1 h ( t ) t α − 1 d A ( t ) ) ∫ 0 1 h ( t ) d A ( t )     ， 所以 G ( t ， s ) = G 0 ( t ， s ) + G 1 ( t ， s ) ≤ ω 。