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user: 3. 实证分析 3.1. 数据来源 文中所使用数据均为从英为财情网站获取，获取的数据为WTI原油期货和布伦特原油期货2019年5月6日至2020年5月4日收盘价时间序列数据，其中，WTI收盘价序列记为{X t }，后者记为{Y t }。数据资料显示，WTI原油期货及伦敦布伦特原油期货从2019年5月4日至2020年5月4日的变化幅度较以往数据明显有增大趋势，并且两种数据的变化走势具有相似特征。 3.2. 数据平稳性分析 根据WTI原油期货及伦敦布伦特原油期货2019年5月4日至2020年5月4日的每日收盘价X、Y (单位：美元)绘制时序图见图2。根据时序图可以看出来两时序数据走势大致相同，为此可以初步推断两者存在一定内在关系。同时由图2可以看出两者分别在174、177期后具有明显的下跌趋势，不符合平稳性数据的特征。 图2. WTI原油期货收盘价及布伦特原油期货收盘价随时间变动的时序图 对时间序列X、Y及一阶差分序列D(X)、D(Y)分别进行ADF检验有，结果如表1~4所示，对X、Y的ADF检验t统计量的P值均大于0.05，故原始序列均不平稳；而对于一阶差分后的序列D(X)、D(Y)的ADF检验结果的P值均小于0.05，因此一阶差分序列平稳，即原始时间序列X、Y同为一阶单整，即I(1)过程。 Table 1 ADF test results for time series t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic −1.255180 0.1925 Test critical values: 1% level −2.573852 5% level −1.942045 10% level −1.615888 表1. 时间序列X的ADF检验结果 Table 2 ADF test results for time series t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic −1.625103 0.0982 Test critical values: 1% level −2.573956 5% level −1.942059 10% level −1.615878 表2. 时间序列Y的ADF检验结果 Table 3 Results of the ADF test for first-order differential sequences D(X t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic −14.76522 0.0000 Test critical values: 1% level −2.573991 5% level −1.942064 10% level −1.615875 表3. 一阶差分序列D(X)的ADF检验结果 Table 4 Results of the ADF test for first-order differential sequences D(Y t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic −13.48799 0.0000 Test critical values: 1% level −2.573852 5% level −1.942045 10% level −1.615888 表4. 一阶差分序列D(Y)的ADF检验结果 3.3. E-G协整检验 对两个或多个非平稳的变量序列，这些序列的某个线性组合呈平稳性，则称这些变量存在协整关系(co-integration)，揭示了变量间长期稳定的均衡关系。恩格尔和格兰杰(1987)曾经提出了建立误差修正模型的Engle-Granger两步协整检验法，该方法考虑了如何检验零假设为一组I (1)变量的无协整关系问题。用普通最小二乘法(OLS)估计这些变量之间的协整关系系数，然后用单位根检验来检验残差。拒绝存在单位根的零假设是协整关系存在的证据 [ 7 ]。 第一步，以时间序列Y为因变量，时间序列X为自变量，以OLS方法估计下列长期静态回归方程： y t = β 0 + β 1 x t + ε t (1) 第二步，对上述方程中的残差项进行ADF检验，结果如表5所示，可知P值小于0.05，故可以认为残差序列为平稳时间序列，因此可以认为WTI原油期货收盘价与布伦特原油期货收盘价间存在长期均衡关系。 Table 5 ADF test results for residual sequence t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic −5.524728 0.0000 Test critical values: 1% level −2.573991 5% level −1.942064 10% level −1.615875 表5. 残差序列的ADF检验结果 3.4. 格兰杰因果检验 本文主要采用时间序列格兰杰因果检验的方法，验证WTI原油期货收盘价X对于伦敦布伦特原油期货收盘价Y具有一定影响，进而避免后续回归分析存在伪回归的问题。格兰杰因果检验是经济学中非常重要的因果检验方法，最早由格兰杰(Granger， 1969)提出。其早期基于时间序列的定义为：设有两个时间序列{x t }、{y t }，如果在下式中： x t = ∑ i = 1 ∞ α i x t − i + ∑ i = 1 ∞ β i y t − i + ε t (2) y的过去值y t -i 有助于预测x，即至少存在一个i 0 ，使得β i 0 ≠ 0，则变量y是x的格兰杰的原因 [ 8 ]。 格兰杰进一步证明，如果一对I(1)序列存在协整关系，它们之间必然存在至少一个方向上的因果关系 [ 9 ]。本文对I (1)序列X、Y进行格兰杰因果检验，结果如表6所示，时间序列X不对Y造成格兰杰影响的原假设对应的P值，故拒绝原假设，即认为WTI期货收盘价格X序列是布伦特原油Y序列的格兰杰原因，故后续回归分析可进一步以WTI收盘价为自变量，而布伦特原油期货收盘价为因变量。 Table 6 Granger causality test tabl Null Hypothesis: Obs F-Statistic Prob. X does not Granger Cause Y 257 29.2707 4.E-12 Y does not Granger Cause X 1.77058 0.1723 表6. 格兰杰因果关系检验表 3.5. 回归分析建模 由格兰杰因果检验可知，WTI原油期货收盘价是布伦特原油期货收盘价的格兰杰原因，因此本文以WTI原油期货收盘价的时间序列X为解释变量，以布伦特原油收盘价的时序数据Y为被解释变量，建立单方程模型：Y = f(X)。将时序数据X、Y绘制散点图，由图3散点图可知，因变量Y与自变量X可能存在线性关系。 图3. WTI原油期货收盘价X与布伦特原油期货收盘价Y的散点图 计算时序数据X、Y的相关系数，如表7相关系数矩阵所示，时序数据Y与X存在显著线性相关关系，故选择单方程线性模型对Y、X进行建模。 Table 7 Correlation coefficient matri X Y X 1 0.9206090852585522 Y 0.9206090852585522 1 表7. 相关系数矩阵 基于软件Eviews11，得到因变量Y与自变量X之间的回归关系，结果如下面表8所示，自变量X的回归系数的t统计量的P值均为0.0000，小于显著性水平0.05，故参数估计结果显著，故WTI原油期货收盘价与布伦特原油期货收盘价存在显著的正向线性相关关系。 Table 8 Table of parameter estimates for one-dimensional regression analysi Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 8.167033 1.327229 6.153446 0.0000 X 0.944682 0.024995 37.79522 0.0000 R-squared 0.847521 Mean dependent var 56.77683 Adjusted R-squared 0.846928 S.D. dependent var 13.47990 S.E. of regression 5.273935 Akaike info criterion 6.171123 Sum squared resid 7148.298 Schwarz criterion 6.198588 Log likelihood −797.1604 Hannan-Quinn criter. 6.182166 F-statistic 1428.479 Durbin-Watson stat 0.818208 Prob(F-statistic) 0.000000 表8. 一元回归分析参数估计表 对残差序列进行自相关检验，得到下图，如图4自相关检验图所示，由于Q统计量的P值 < 0.05，故可以推断该残差序列存在自相关。 图4. 自相关检验图 为修正回归方程的自相关性，在回归方程中加入AR项，即残差序列的滞后项，直到残差序列不再存在自相关为止，得到的最终广义差分回归模型的估计结果及模型残差项的自相关检验结果分别如表9、图5所示，可知，回归系数的参数估计结果均显著，DW统计量为2.290970 > 2，残差序列不存在自相关，故所得的广义线性差分回归模型通过了自相关检验。 Table 9 Parameter estimation results for regression model Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. X 1.065133 0.029248 36.41760 0.0000 AR(1) 0.585735 0.016812 34.83961 0.0000 SIGMASQ 22.46747 1.099700 20.43055 0.0000 R-squared 0.875874 Mean dependent var 56.77683 Adjusted R-squared 0.874905 S.D. dependent var 13.47990 S.E. of regression 4.767679 Akaike info criterion 5.974734 Sum squared resid 5819.076 Schwarz criterion 6.015933 Log likelihood −770.7281 Hannan-Quinn criter. 5.991298 Durbin-Watson stat 2.290970 Inverted AR Roots 0.59 表9. 回归模型的参数估计结果 图5. 自相关检验图 对上述所得的回归方程进行异方差White检验，由表10、表11可知，White检验的F统计量的P值为0.0000，小于显著性水平0.05，且残差平方项的回归系数的估计结果均显著，故认为回归模型存在异方差。此时由于模型的异方差的存在，基于原模型的WTI原油期货收盘价不能准确地预测未来布伦特原油收盘价。 Table 1 0 White test char F-statistic 455.7371 Prob. F(6，246) 0.0000 Obs*R-squared 232.1177 Prob. Chi-Square(6) 0.0000 Scaled explained SS 1293.033 Prob. Chi-Square(6) 0.0000 表10. White检验表 Table 1 1 Results of the regression estimation of the squared residual ter Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 1.278358 0.181719 7.034807 0.0000 GRADF_01^2 0.211529 0.052530 4.026846 0.0001 GRADF_01*GRADF_02 −0.026595 0.005248 −5.067638 0.0000 GRADF_01*GRADF_03 −3.535113 0.275195 −12.84583 0.0000 GRADF_02^2 0.000102 1.67E-05 6.138065 0.0000 GRADF_02*GRADF_03 −0.076551 0.008084 −9.469358 0.0000 GRADF_03^2 4.049348 0.184285 21.97335 0.0000 R-squared 0.917461 Mean dependent var 2.808817 Adjusted R-squared 0.915448 S.D. dependent var 9.506696 S.E. of regression 2.764337 Akaike info criterion 4.898757 Sum squared resid 1879.823 Schwarz criterion 4.996518 Log likelihood −612.6927 Hannan-Quinn criter. 4.938089 F-statistic 455.7371 Durbin-Watson stat 1.990603 Prob(F-statistic) 0.000000 表11. 残差平方项的回归估计结果 为排除残差序列的异方差性对于回归估计结果的影响，为此，采用基于ARMA的条件最小二乘法(CLS)下的加权最小二乘法，得到估计结果如表12所示，此时参数的估计结果均显著，拟合优度也较好，特征根为0.60 < 0.1。最后，再一次进行White检验以验证异方差的存在，如表13可知，所有自变量的平方项的回归系数均不显著，因此排除了异方差对于模型预测作用的影响，此时WTI期货收盘价对于布伦特原油价格的变动具有显著的线性影响。最后在加权最小二乘法下得到的WTI期货收盘价与布伦特原油收盘价的最终回归模型为如下所示，对模型分析可知，在WTI原油期货收盘价与布伦特原油期货收盘价的价差不断缩小时，由于模型回归系数接近于1，故在假定其他条件不变下，WTI原油期货收盘价的变动会导致布伦特原油期货收盘价的等比例变动。 Y = 1.061363 X + 0.596798 [ Y ( − 1 ) − 1.061363 X ( − 1 ) ] (3) 其中， Y ( − 1 ) 、 X ( − 1 ) 分别为时序数据Y、X的滞后一期的数据。 Table 1 2 Results of the regression estimation of the squared residual ter Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. X 1.061363 0.033236 31.93427 0.0000 AR(1) 0.596798 0.195304 3.055739 0.0025 R-squared 0.875676 Mean dependent var 56.72078 Adjusted R-squared 0.875190 S.D. dependent var 13.47581 S.E. of regression 4.760791 Akaike info criterion 5.966426 Sum squared resid 5802.272 Schwarz criterion 5.993969 Log likelihood −767.6690 Hannan-Quinn criter. 5.977501 Durbin-Watson stat 2.309218 Inverted AR Roots 0.60 表12. 基于加权最小二乘法的回归估计结果 Table 1 3 White test char Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C −280.3828 192.5934 −1.455828 0.1467 GRADF_01^2 0.641366 0.433589 1.479201 0.1403 GRADF_02^2 0.073352 0.061296 1.196679 0.2325 表13. White检验表 3.6. WTI原油期货收盘价格的时间序列分析立 由时序图可知，时间序列X在177期后具有不断下跌的趋势，且在254期时，WTI期货收盘价X跌为负数。为此，为避免X在254期的异常值的影响，针对时序数据X的时间序列分析均以1-253期的数据为准。对截取后的数据进行ADF检验有，由表14可知，单位根统计量ADF的P值 = 0.9964大于最大的显著性水平0.1，故验证了在排除异常值的影响下的WTI期货收盘价的非平稳性。 Table 1 4 ADF tes t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic 0.840559 0.9946 Test critical values: 1% level −3.456197 5% level −2.872811 10% level −2.572851 表14. ADF检验表 由于WTI收盘价序列呈现抛物线下降的趋势，故对序列中的确定性趋势部分尝试用三次多项式非线性模型进行拟合，得到表15，其中参数估计结果均显著，且修正拟合优度为88.44%，拟合效果较好，由模型可知，时间的二次项、三次项的回归系数均接近于0而一次项的回归系数小于0，该模型也验证了WTI期货收盘价随时间不断下跌的趋势。 Table 1 5 Parameter estimation result Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 65.35374 0.934778 69.91361 0.0000 T*T*T −1.72E−05 7.52E−07 −22.85817 0.0000 T*T 0.005366 0.000291 18.45983 0.0000 T −0.455115 0.031809 −14.30778 0.0000 R-squared 0.885779 Mean dependent var 52.54858 Adjusted R-squared 0.884403 S.D. dependent var 10.77126 S.E. of regression 3.662181 Akaike info criterion 5.449679 Sum squared resid 3339.482 Schwarz criterion 5.505543 Log likelihood −685.3844 Hannan-Quinn criter. 5.472155 F-statistic 643.6621 Durbin-Watson stat 0.185871 Prob(F-statistic) 0.000000 表15. 参数估计结果 对残差序列进行ADF检验得到表16，发现单位根统计量ADF的P值 = 0.0093小于显著性水平0.05，所以拒绝假设，认为序列X不存在单位根，因此剩余序列Z是平稳序列，对剩余序列Z进行自相关检验，得到图6自相关检验图，结果表明，剩余序列的自相关检验Q统计量的P值均为0.000，小于显著性水平0.05，因此认为剩余序列存在一定自相关性，故可以对剩余序列进一步建立ARMA模型。 Table 1 6 ADF test table for the remaining sequence t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic −3.480447 0.0093 Test critical values: 1% level −3.456197 5% level −2.872811 10% level −2.572851 表16. 剩余序列的ADF检验表 图6. 自相关检验图 对剩余序列Z利用AR(1)模型进行初步拟合，得到最小二乘法(LS)对进行参数估计结果如表17所示，发现剩余序列Z的AR(1)模型的参数估计结果均显著，且拟合优度为82.23%，拟合效果较好，又特征根为0.91 < 1，故所得AR(1)模型平稳。对所得模型的残差项进行自相关检验，如图7所示，残差平方和的自相关Q统计量的P值显著大于0.05，故可以初步判定残差不存在自相关，故AR模型提取剩余序列的信息较为充分。 Table 1 7 AR(1) model parameter estimation result Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. AR(1) 0.905546 0.021213 42.68819 0.0000 SIGMASQ 2.345048 0.090938 25.78739 0.0000 R-squared 0.822339 Mean dependent var −4.34E−15 Adjusted R-squared 0.821631 S.D. dependent var 3.640318 S.E. of regression 1.537444 Akaike info criterion 3.712771 Sum squared resid 593.2971 Schwarz criterion 3.740703 Log likelihood −467.6656 Hannan-Quinn criter. 3.724009 Durbin-Watson stat 2.021312 Inverted AR Roots .91 表17. AR(1)模型参数估计结果 图7. 残差序列的自相关检验图 由时序图可知，在177期后WTI原油价格下跌波动不断增大，为此进行条件异方差检验——ARCH-LM检验，结果如表18所示，ARCH检验的P值均小于0.05，故残差平方序列与残差平方滞后一期数据存在显著线性关系，因此可以认定WTI期货收盘价存在条件异方差。 Table 1 8 ARCH-LM tes F-statistic 10.50869 Prob. F(1，250) 0.0013 Obs*R-squared 10.16545 Prob. Chi-Square(1) 0.0014 表18. ARCH-LM检验表 由于条件异方差的存在会严重低估残差的方差，进而影响使得模型的显著性检验失去意义。为此，在组合模型的基础上，联立残差的GARCH方程，目的在于消除对原时序数据进行拟合，参数估计如下，如表19所示，组合模型及方差方程相联立后，无论在均值方程还是方差方程中，回归系数对应的P值，均小于最小的显著性水平0.05，因此得到修正系数后的参数估计结果统计意义显著，其模型结果如下，由均值方程可知，随时间增加，WTI油价会不断下跌，且下跌波动会在大波动后偏大，小波动后偏小。 均值方程： X t = 68.94718 − 0.511767 t + 0.005564 t 2 + 0.919672 Z t − 1 + a t (其中，a t 为随机干扰项) 方差方程： a t = h t e t (e t 服从标准正态分布) h t 2 = 1 . 643727 + 0. 296781 a t − 1 2 Table 1 9 Combined model + GARCH family joint equation model parameter estimation result Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. C 68.94718 9.476695 7.275446 0.0000 T −0.511767 0.251077 −2.038288 0.0415 T*T 0.005564 0.001952 2.850765 0.0044 T*T*T −1.70E-05 4.50E−06 −3.776543 0.0002 AR(1) 0.919672 0.027343 33.63413 0.0000 Variance Equation C 1.643727 0.120276 13.66633 0.0000 RESID(-1)^2 0.296781 0.055337 5.363167 0.0000 R-squared 0.979556 Mean dependent var 52.51008 Adjusted R-squared 0.979225 S.D. dependent var 10.77524 S.E. of regression 1.553107 Akaike info criterion 3.615669 Sum squared resid 595.7987 Schwarz criterion 3.713709 Log likelihood −448.5743 Hannan-Quinn criter. 3.655118 Durbin-Watson stat 2.041158 Inverted AR Roots .92 表19. 组合模型 + GARCH族联合方程模型参数估计结果 3.7. 组合模型-GARCH联立方程效果评价 对残差项进行自相关图检验，得到以下结果： 图8. 自相关检验图 对残差序列进行纯随机性检验，由图8可以看出，ACF和PACF都没有显著异于0，Q统计量的P值都远远大于0.1，因此可以认为残差序列并不存在显著的自相关性，因而认为残差为纯随机序列。又由于残差序列均值为0，且为平稳序列，故认为残差序列为白噪声序列，模型信息提取比较充分。因此，故基于组合-GARCH联立模型，能够很好地分析WTI期货油价的变动，并进行预测。 3.8. 对未来WTI、布伦特原油期货收盘价的预测 基于组合模型 + GARCH族联合方程，对WTI原油收盘价X第254期进行预测，记预测所得序列为X f ，由图9可知，WTI原油期货收盘价X在第254期发生了暴跌，跌至了−37.63的“负价”，与基于预测模型所得结果17.44641，相差超过50的价差。假定253期美油期货价格实际数据与基于预测模型所得 图9. 未来WTI原油期货收盘价随时间变动的时序图 数据相差无几，且253期的伦敦布伦特原油期货收盘价以实际数据为准，为避免“负价”异常值的影响，根据预测所得的X第254期结果，并基于广义差分回归模型，可知第254期的伦敦布伦特原油结果为18.87406，与实际结果20.46相比，精确度为92.25%。