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user: 3. 模型建立 3.1. 问题描述 服务水平是指存货及时满足顾客需求的能力。服务水平对于自动售货机来说尤为重要。如果服务水平过低，消费者在购买时频繁面临缺货状态，则会让消费者产生无法在该售货机上购买所需产品的固有印象，不仅带来了较差的消费体验，而且不利于培养顾客忠诚度。所以商家往往对自动售货机的最低服务水平存在约束。但是过高的服务水平会增加补货成本。基于此建立带有服务水平与货道容量双重约束的多产品报童模型，根据该模型确定最优补货量后计算补货前后成本差值确定是否进行补货。 不同的服务水平衡量方式，可归结为两种带有服务水平约束的模型：1) 带有平均服务水平约束的模型，用于衡量整个时期库存系统的平均表现；2) 带有最小服务水平约束的模型，用于反映系统任意一个时期可以提供的最小服务水平。如果决策者可以通过经验估计得到缺货成本，则采用模型：(1)有明显的优势；如果服务水平约束在合同中明确给出，则用模型(2)比较好。所以对于自动售货机来说，用平均服务水平衡量较为合适。 这一模型考虑的问题为：自动售货机销售n种产品，在面临补货机会时，得到下一周期每种商品的需求预测分布函数后，寻求满足给定服务水平的每种产品的最优订购量，使得利润的期望值达到最大。目标函数和约束函数均为非线性函数，该模型是要求解非线性最优化问题。 3.2. 创建模型 对于产品 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，本章模型是建立在以下符号和假设的基础上。 p i ：产品i的售价； c i ：产品i的成本； X i ：产品i的需求； μ i ： X i 的均值； σ i ： X i 的方差； f i ( x ) ： X i 的概率密度函数； F i ( x ) ： X i 的累积分布函数； Q i ：产品i补货后最优量； s：每件产品的运输费用； G：每次补货的固定成本； R i ：产品i的货道容量； L i ：售货机产品i剩余量。 对于该模型，做出以下假设： 1) 产品之间需求相互独立。 2) 不失一般性， p i − c i > 0 ， p i − c i − s > 0 。 3) 根据文献所提出的衡量标准，服务水平的定义为 E S L i = 1 − E S i μ i (1) 其中 E S L i 为产品i的服务水平， E S i 为产品i的期望缺货量， μ i 为产品i的期望需求量，总服务水平ESL为每个产品的服务水平加权和，即 E S L = ∑ i = 1 n w i ∗ E S L i (2) 权重 w i 显示了产品i的服务水平占总体服务水平的重要性， w i 越大，说明产品i的服务水平对总体服务水平的影响越大。总服务水平ESL大于等于目标服务水平TSL，即 E S L ≥ T S L 。 4) F i ( x ) 连续可微，且当 x > 0 时， F i ( x ) 是严格单调的函数。 本章的目标是在满足货道容量的约束下，求得每种产品的最优补货量，使得商品总服务水平满足目标约束，并且期望利润达到最大。由于自动售货机销售产品为饮料，保质期较长，所以本期未销售的产品可以在下一期继续按照原价销售，不需要考虑残值。如果对售货机进行补货的操作，则最大利润计算公式为：总期望利润 = 期望收入 − 购买成本 − 产品运输费用 − 固定成本。 E ( Q ) = ∑ i = 1 n ( ( p i − c i ) ∫ 0 Q i x f i ( x ) + ( p i − c i ) ∫ Q i ∞ Q i f i ( x ) d x − s ( Q i − L i ) ) − G (3) 根据假设3，可以得到 E S L i = 1 − E S i μ i ， E S i 为产品i的期望缺货量， E S i = ∫ Q i ∞ ( x − Q i ) f i ( x ) d x ，令 1 − T S L = α 得到带有服务水平和货道容量双重约束的自动售货机补货模型为 max E ( Q ) (4) s .t     0 ≤ Q i ≤ R i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n (5) ∑ i = 1 n w i μ i ∫ Q i ∞ ( x − Q i ) f i ( x ) d x ≤ α (6) 3.3. 模型分析与算法 本模型的最优解利用拉格朗日方法求解，拉格朗日函数为 L = − E ( Q ) + ∑ i = 1 n β i ( Q i − R i ) + λ ( ∑ i = 1 n w i μ i ∫ Q i ∞ ( x − Q i ) f i ( x ) d x − α ) (7) 其中， λ ≥ 0 ， β i ≥ 0   ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 为拉格朗日乘子。模型的求解为：求解 λ ≥ 0 ， β i ≥ 0   ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， Q i ≥ 0   ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 使得L取得可行解。 首先忽略所有约束条件，即 λ = 0 ， β i = 0 时得到模型的最优解为： Q i ∗ = F i − 1 ( p i − c i − s p i − c i ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n (8) 如果求解得到的 Q i ∗ 满足 Q i ∗ ≤ R i 且 ∑ i = 1 n w i μ i ∫ Q i ∞ ( x − Q i ∗ ) f i ( x ) d x ≤ α ，则 Q i ∗ 为模型的最优解，此时 λ = 0 ， β i = 0 。如果 Q i ∗ 不满足约束条件，得到如下KKT条件 ∂ L ∂ Q i = ( p i − c i + λ w i μ i ) F i ( Q i ) − ( p i − c i − s − β i + λ w i μ i ) = 0 (9) β i ( Q i − R i ) = 0 (10) λ ( ∑ i = 1 n w i μ i ∫ Q i ∞ ( x − Q i ) f i ( x ) d x − α ) = 0 (11) 首先考虑方程(9)，当 β i = 0 时， F i ∗ ( Q i ) = p i − c i − s + λ w i μ i p i − c i + λ w i μ i 使得方程2.9成立。 λ 满足 λ ≤ μ i w i ( c i − p i + s 1 − F ( R i ) ) (12) 令 Δ i = μ i w i ( c i − p i + s 1 + F ( R i ) ) ， ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ，假设 Δ i 满足 Δ 1 ≤ Δ 2 ≤ ⋯ ≤ Δ n 。当 0 ≤ λ ≤ Δ i 时，方程(9)和(10)的解满足 β i = 0 ， F i ( Q i ) = p i − c i − s + λ w i μ i p i − c i + λ w i μ i (13) 当 λ > Δ i 时， β i > 0 ，方程2.10的解满足 Q i = R i 。下面证明存在 Q i = R i 对于方程(9)成立。 当 β i > 0 时，此时 Q i > R i ，根据 F i ( · ) 定义以及严格单调性可知， F i ∗ ( Q i ) > F ( R i ) 。由方程(13)得到 F i ∗ ( Q i ) = p i − c i − s + λ w i μ i p i − c i + λ w i μ i > F ( R i ) ，     F i ( Q i ) = p i − c i − s − β i + λ w i μ i p i − c i + λ w i μ i = F ( R i ) (14) 因为 β i > 0 ， λ ≥ 0 ，根据假设2， p i − c i > 0 ， p i − c i − s > 0 ， w i ≥ 0 ， μ i > 0 ，所以一定存在唯一 β i 使得方程(14)成立。证毕。 此时方程的解为 β i = ( 1 − F ( R i ) ) ( p i − c i + λ w i μ i ) − s ，   Q i = R i > 0 。 (15) 综上可得下面定理。 定理1：对于任意给定的 λ ≥ 0 ，当 0 ≤ λ ≤ Δ i ， ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 时，方程(9)和方程(10)的解满足(13)；当 λ > Δ i ， ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 时，方程的解满足(15)。为方便叙述，将其记作 β i ( λ ) ， ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 和 Q i ( λ ) ， ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 。 接下来考虑方程(11)的解。对于方程(11)，令 G ( λ ) = ∑ i = 1 n w i μ i ∫ Q i ∞ ( x − Q i ) f i ( x ) d x − α ， ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) (16) 对 进行求导，得到 ∂ G ( λ ) ∂ Q i ( λ ) = − w i μ i ( 1 − F i ( Q i ) ) (17) 对方程(17)两边求关于 λ 的导数，得到 f i ( Q i ) ⋅ d Q i d λ = w i μ i ⋅ s + β ( − c i + p i + λ w i μ i ) 2 μ i (18) 因为 s > 0 ， β ≥ 0 ， f i ( Q i ) ≥ 0 ， F i ( Q i ) ≤ 1 ， w ≥ 0 ， μ i > 0 ，所以 d Q i d λ ≥ 0 ， ∂ G ( λ ) ∂ Q i ( λ ) ≤ 0 ， ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ，所以 ∂ G ( λ ) ∂ λ ≤ 0 ， G ( λ ) 是关于 λ 的减函数。 当 0 ≤ λ ≤ Δ 1 时，根据定理1可以得到，对于任意 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n β i = 0 ， F i ( Q i ) = p i − c i − s + λ w i μ i p i − c i + λ w i μ i (19) 此时 G ( λ ) = ∑ i = 1 n w i μ i ∫ Q i ∞ ( x − Q i ) f i ( x ) d x − α ， ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) (20) 当 λ > Δ 1 时，假设 Δ k ≤ λ < Δ k + 1 ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，则对于任意 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k β i = ( 1 − F ( R i ) ) ( p i − c i + λ w i μ i ) − s ，   Q i = R i (21) 此时 G ( λ ) = ∑ i = 1 k w i μ i ∫ R i ∞ ( x − R i ) f i ( x ) d x + ∑ i = k + 1 n w i μ i ∫ Q i ∞ ( x − R i ) f i ( x ) d x − α (22) 假设 0 ≤ λ < Δ 1 ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，则 因为 G ( λ ) 是关于 λ 的减函数，当 λ = 0 时， Q i ( 0 ) = Q i ∗ ， G ( λ ) > 0 恒成立。 由(27)可知 Q i 是 λ 的增函数， G ( λ ) 是关于 λ 的减函数，使得方程有解，需要满足 ∑ i = 1 n w i μ i ∫ R i ∞ ( x − R i ) f i ( x ) d x − α < 0 (23) 则存在 λ 满足 λ > 0 使得 G ( λ ) = 0 。否则不存在解。 综上所述可以得到定理2。 定理2：如果存在 λ ≥ 0 ，使得 Q i ≥ 0 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，同时满足方程(9)和(10)，并且满足方程(11)，即 G ( λ ) = 0 ，则 Q i ( λ ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 为该模型的最优解。 综上所示，下面给出求解最优补货量的算法流程图如图1。 图1. 求解最优补货量的算法流程图 算法2.1 求最优补货策略的算法 Step 0 输入参数， ε > 0 ；取值 λ = 0 ， β = 0 ，根据式2.8计算 Q i ∗ ，若 Q i ∗ ≤ R i 且 G ( λ ) < 0 ，转step 15。 Step 1 计算 Δ i ，令 Δ 1 ≤ Δ 2 ≤ ⋯ ≤ Δ n ， λ 取值 Δ 1 ，代入式2.16计算 G ( λ ) 。如果 G ( λ ) = 0 ，转step 15；如果 G ( λ ) > 0 ，转step 2；如果 G ( λ ) < 0 ，转step 9。 Step 2 根据式(23)进行计算，如果式(23)值不成立，输出“无解”；否则转step 3。 Step 3 计算满足下面条件的整数k： Δ 1 ≤ ⋯ ≤ Δ k ≤ λ ≤ Δ k + 1 ≤ ⋯ ≤ Δ n ，代入式2.22计算 G ( λ ) 。若 G ( λ ) = 0 ，转step 15；若 G ( λ ) > 0 ，转step 4；若 G ( λ ) < 0 ，转step 5。 Step 4 λ = λ + ε ，转step 3。 Step 5 令 λ U = λ + ε ， λ L = λ ， λ = λ U + λ L 2 。 Step 6 将 代入式2.22计算 G ( λ ) 。若 G ( λ ) = 0 ，转step 15；若 G ( λ ) > 0 ，转step 7；若 G ( λ ) < 0 ，转step 8。 Step 7 令 λ L = λ ， λ = λ U + λ L 2 ，转step 6。 Step 8 令 λ U = λ ， λ = λ U + λ L 2 ，转step 6。 Step 9 令 λ = λ − ε ，转step 10。 Step 10 根据2.20计算 G ( λ ) ，若 G ( λ ) = 0 ，转step 15；若 G ( λ ) < 0 ，转step 11；若 G ( λ ) > 0 ，转step 5。 Step 11 令 λ = λ − ε ，转step 10。 Step 12 将 λ 代入2.20计算 G ( λ ) ，若 G ( λ ) = 0 ，转step 15；若 G ( λ ) < 0 ，转step 13；若 G ( λ ) > 0 ，转step 14。 Step 13 令 λ U = λ ， λ = λ U + λ L 2 ，转step 12。 Step 14 令 λ L = λ ， λ = λ U + λ L 2 ，转step 12。 Step 15 代入式2.5，计算 E ( Q i ) ，输出 Q i ∗ 。