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user: 4. 定理1.1的证明 在这一节，考虑方程 { ∂ t θ + u ⋅ ∇ θ = 0 ， ( x ， t ) ∈ ℝ 2 × [ 0 ， T ) ， div   u = 0 ， θ ( 0 ， x ) = θ 0 ( x ) ， x ∈ ℝ 2 . (4.1) 定理1.1的证明分成下面的五步。 第一步 先验界估计。用算子 Δ k 作用在方程(4.1)的两边得 ∂ t Δ θ + u ⋅ ∇ θ = [ u ， Δ k ] ⋅ ∇ θ . (4.2) 假设 X t ( α ) 是下面的常微分方程的解 { ∂ t X t ( α ) = u ( X t ( α ) ， t ) ， X t ( α ) | t = 0 = α . (4.3) 则从(4.2)可得 d d t Δ k θ ( X t ( α ) ， t ) = [ u ， Δ k ] ⋅ ∇ θ ( X t ( α ) ， t ) ， 因此可推得 | Δ k θ ( X t ( α ) ， t ) | ≤ | Δ k θ 0 ( α ) | + ∫ 0 t | [ u ， Δ k ] ⋅ ∇ θ ( X t ( α ) ， t ) | d τ . (4.4) 在(4.4)式两边先取 范数，再乘以 2 k s 并取 l r 范数，则利用Minkowski不等式可得 ‖ 2 k s ‖ Δ θ ( X t ( α ) ， t ) ‖ K p . q α ‖ l r ≤ ‖ θ 0 ‖ B K p ， q ， r α ， s + ∫ 0 t ‖ 2 k s ‖ [ u ， Δ k ] ⋅ ∇ θ ( X t ( α ) ， t ) ‖ K p . q α ‖ l r d τ . 因为 div   u = 0 ，故 X t ( α ) 是保体积的微分同胚。再结合引理3.2，从上面的不等式可得 ‖ θ ‖ B K p ， q ， r α ， s ≤ ‖ θ 0 ‖ B K p ， q ， r α ， s + ∫ 0 t ‖ 2 k s ‖ [ u ， Δ k ] ⋅ ∇ θ ‖ K p . q α ‖ l r d τ ≤ ‖ θ 0 ‖ B K p ， q ， r α ， s + ∫ 0 t ‖ u ‖ B K p ， q ， r α ， s ‖ θ ‖ B K p ， q ， r α ， s d τ ≤ ‖ θ 0 ‖ B K p ， q ， r α ， s + ∫ 0 t ‖ θ ‖ B K p ， q ， r α ， s 2 d τ ， (4.5) 这里用到了 ‖ u ‖ B K p ， q ， r α ， s = ‖ R ⊥ θ ‖ B K p ， q ， r α ， s ≤ C ‖ θ ‖ B K p ， q ， r α ， s . 因此利用Gronwall不等式，存在 T 0 = T ( ‖ θ 0 ‖ B K p ， q ， r α ， s ) ，当 t ∈ [ 0 ， T 0 ) 时有 ‖ θ ‖ B K p ， q ， r α ， s ≲ ‖ θ 0 ‖ B K p ， q ， r α ， s . (4.6) 第二步 逼近解和一致界估计。先构造问题(4.1)的逼近解，通过解方程组 { ∂ t θ ( n + 1 ) + u ( n ) ⋅ ∇ θ ( n + 1 ) = 0 ， ( x ， t ) ∈ ℝ 2 × [ 0 ， T ) ， div   u ( n ) = 0 ， θ ( n + 1 ) ( 0 ， x ) = S n + 2 θ 0 ( x ) ， x ∈ ℝ 2 (4.7) 来定义序列 { θ ( n ) ， u ( n ) } N 0 = N ∪ { 0 } ，其中 。类似于(4.5)式的证明可得 ‖ θ ( n + 1 ) ( t ) ‖ B K p ， q ， r α ， s ≲ ‖ θ 0 ‖ B K p ， q ， r α ， s + ∫ 0 t ‖ u ( n ) ‖ B K p ， q ， r α ， s ‖ θ ( n + 1 ) ‖ B K p ， q ， r α ， s d τ ≲ ‖ θ 0 ‖ B K p ， q ， r α ， s + ∫ 0 t ‖ θ ( n ) ‖ B K p ， q ， r α ， s ‖ θ ( n + 1 ) ‖ B K p ， q ， r α ， s d τ ， (4.8) 其中用到事实 ‖ S n + 2 θ 0 ‖ B K p ， q ， r α ， s ≲ ‖ θ 0 ‖ B K p ， q ， r α ， s 和 u = R ⊥ θ . 利用Gronwall不等式可知存在 T 0 = T ( ‖ θ 0 ‖ B K p ， q ， r α ， s ) 使得对任意 n ， t ∈ [ 0 ， T 0 ] ， ‖ θ ( n ) ( t ) ‖ B K p ， q ， r α ， s ≲ 2 ‖ θ 0 ‖ B K p ， q ， r α ， s . 第三步 存在性。现在将证明存在与n无关的时间 T 1 ( ≤ T 0 ) 使得 { θ ( n ) } 是 X T s − 1 ≜ C ( [ 0 ， T 1 ] ; B K p ， q ， r α ， s − 1 ) 中的柯西序列。为此令 δ θ ( n + 1 ) = θ ( n + 1 ) − θ ( n ) ， δ u ( n + 1 ) = u ( n + 1 ) − u ( n ) . 则不难验证差分 满足方程 (4.9) 用 Δ k 作用在(4.9)的第一个方程可得 ∂ t Δ k δ θ ( n + 1 ) + u ( n ) ⋅ ∇ Δ k δ θ ( n + 1 ) = [ u ( n ) ， Δ k ] ⋅ ∇ δ θ ( n + 1 ) − Δ k ( δ u ( n ) ⋅ ∇ θ ( n ) ) . 类似(4.5)可得 ‖ δ θ ( n + 1 ) ‖ B K p ， q ， r α ， s − 1 ≤ ‖ Δ n + 1 θ 0 ‖ B K p ， q ， r α ， s − 1 + ∫ 0 t ‖ 2 k ( s − 1 ) ‖ [ u ( n ) ， Δ k ] ⋅ ∇ δ θ ( n + 1 ) ‖ K p ， q α ‖ l r d τ     + ∫ 0 t ‖ δ u ( n ) ⋅ ∇ θ ( n ) ‖ B K p ， q ， r α ， s − 1 d τ . (4.10) 利用 的Fourier支集，可得 ‖ Δ n + 1 θ 0 ‖ B K p ， q ， r α ， s − 1 ≤ C 2 − ( n + 1 ) ‖ θ 0 ‖ B K p ， q ， r α ， s . 利用文献 [ 7 ] 的引理4.3和(3.13)可得 ‖ δ θ ( n + 1 ) ‖ B K p ， q ， r α ， s − 1 ≤ C 2 − ( n + 1 ) ‖ θ 0 ‖ B K p ， q ， r α ， s − 1 + C ∫ 0 t ‖ u ( n ) ‖ B K p ， q ， r α ， s ‖ δ θ ( n + 1 ) ‖ B K p ， q ， r α ， s − 1 d τ     + C ∫ 0 t ‖ δ u ( n ) ‖ B K p ， q ， r α ， s − 1 ‖ θ ( n ) ‖ B K p ， q ， r α ， s d τ ≤ C 1 2 − ( n + 1 ) + C 1 T ‖ δ θ ( n + 1 ) ‖ X T s − 1 + C 1 T ‖ δ u ( n ) ‖ X T s − 1 ， (4.11) 其中 C 1 = C 1 ( ‖ θ 0 ‖ B K p ， q ， r α ， s ) 。因此若 C 1 T ≤ 1 8 ，则利用T的小性以及 ‖ δ u ( n ) ‖ X T s − 1 的有限性可得 ‖ δ θ ( n + 1 ) ‖ X T s − 1 ≤ 2 C 1 2 − ( n ) 。因此 { θ ( n ) } n ∈ N 0 是 X T s − 1 中的一个柯西序列。按照标准的讨论，当 T 1 ≤ min { T 0 ， 1 8 C 1 } 时， 极限函数 θ ∈ X T s − 1 是方程(4.1)以 θ 0 为初值的解。此外， θ 还满足 ‖ θ ‖ L T 1 ∞ ( B K p ， q ， r α ， s ) ≤ C ‖ θ 0 ‖ B K p ， q ， r α ， s . 第四步 唯一性。假设 θ ′ ∈ C T 1 ( B K p ， q ， r α ， s ) 是满足相同初值的另外一个解。令 δ θ = θ − θ ′ ， δ u = u − u ′ 。则 ( δ θ ， δ u ) 满足方程 { ∂ t δ θ + u ⋅ ∇ δ θ + δ u ⋅ ∇ θ ′ = 0 ， ∇ ⋅ δ u = 0. (4.13) 按第一步的方法类似的可得当T充分小时 ‖ δ θ ‖ X T s − 1 ≤ C 2 T ‖ δ θ ‖ X T s − 1 ， 这意味着 ( δ θ ， δ u ) ≡ 0 即 θ ′ = θ 。