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user: 3. 定理1.1的证明 以下设 是5度2-传递Cayley图，其中G为有限非交换单群， A : = A u t Γ 且 A 1 表示 Table 1 The insoluble cas s 1 2 3 G α Z 5 ， D 10 ， D 20 F 20 ， F 20 × Z 2 F 20 × Z 4 表1. 可解情形的点稳定子 Table 2 The insoluble cas s 2 3 4 5 G α A 5 ， S 5 A 4 × A 5 ， A 4 × A 5 : Z 2 ， S 4 × S 5 A S L ( 2 ， 4 ) ， A G L ( 2 ， 4 ) ， A Σ L ( 2 ， 4 ) ， A Γ L ( 2 ， 4 ) Z 2 6 : Γ L ( 2 ， 4 ) | G α | 60， 120 720， 1440， 2880 960， 1920， 2880， 5760 23040 表2. 非可解情形的点稳定子 顶点1的点稳定子群。则由引理2.4 A 1 = F 20 ， F 20 × Z 2 ， A 5 ， S 5 。令 Δ = { 20 ， 40 ， 60 ， 120 } 。若 G = A 5 ，则由( [ 14 ] ，推论2.3.2)， G ⊲ A 。所以，以下假设 G ≠ A 5 。 我们把证明分为下面的两种情形： 情形一：A不存在可解的正规子群。 设N是A的一个极小正规子群，则 N = T d ，T为非交换单群。 我们用反证法证明。下面我们假设G在A中不正规。因为 N ∩ G ⊲ G 且G为非交换单群，所以 N ∩ G = 1 ，G。假设 N ∩ G = 1 。因为 A = G A 1 ，所以 | N | | | A 1 | 。因为 Γ 为5度2-传递Cayley图，由引理2.4知 | A 1 | | 120 ，所以 | N | 最多有3个2因子，1个3因子，1个5因子。又因为N非可解，所以 N ≅ A 5 。由引理2.1， A / C A ( N ) ≤ A u t ( N ) ≅ S 5 。这意味着G中心化 | N | ，亦即 G N = G × N 。因为G不同构于 A 5 ，所以 G c h a r G N ⊲ A ， G ⊲ A 矛盾。所以 N ∩ G = G ， G ≤ N 。如果 G = N ，则 G ⊲ A 矛盾。所以 G < N 。首先，我们断言此时N为非交换单群。若不然， N = T d ， d ≥ 2 ，T为非交换单群。因为G为非交换单群， T 1 ∩ G ⊲ G ，所以 T 1 ∩ G = 1 或者G。假设 T 1 ∩ G = 1 。则 | T 1 | | | N 1 | | | A 1 | ，这意味着 T 1 ≅ A 5 。这推出 G ≅ A 5 ，矛盾。假设 T 1 ∩ G = G ，则 G ≤ T 1 。所以 | T 1 | | | N 1 | | | A 1 | ，这意味着 T 2 ≅ A 5 ， G = A 5 矛盾。因此，N为非交换单群。设K为N中包含G的极大真子群。令 Ω = [ N : K ] 。因为N是非交换单群，所以N通过右乘作用忠实的作用在 Ω 上且 | Ω | 最有3个2因子，1个3因子，1个5因子。因为K为N作用在 Ω 上的点稳定子群且K在N中极大，所以N为作用在 Ω 上的本原置换群。注意到N为非交换单群， K ≥ G 非可解，由文献 [ 15 ] ，N，K， | Ω | 为表3的群之一。 Table 3 Candidates ( N ， K N A 40 A 60 A 120 P Ω + ( 8 ， 2 ) K A 39 A 59 A 119 P S p ( 6 ， 2 ) | Ω | 40 60 120 120 P S L ( 3 ， 4 ) A 30 A 6 A 8 A 12 P S L ( 2 ， 7 ) A 29 A 5 A 7 A 11 120 30 6 8 12 A 24 M 11 M 12 M 24 A 7 A 23 P S L ( 2 ， 11 ) M 11 M 23 P S L ( 2 ， 7 ) 24 12 12 24 15 A 15 A 10 A 20 P S L ( 4 ， 3 ) A 8 A 14 A 9 A 19 Z 3 3 : P S L ( 3 ， 3 ) Z 2 3 : P S L ( 3 ， 2 ) 15 10 20 40 15 P S p ( 4 ， 4 ) P S p ( 8 ， 2 ) P S p ( 6 ， 2 ) A 10 A 16 A 9 P S L ( 2 ， 16 ) : Z 2 P S O − ( 8 ， 2 ) P S U ( 3 ， 3 ) : Z 2 ( A 7 × Z 3 ) : Z 2 S 14 P S L ( 2 ， 8 ) 120 120 120 120 120 120 表3. 可能出现的 ( N ， K ) 首先，因为 G ≤ K ，G为非交换单群且 | N : G | ≤ 120 ，这推出K不能是表3中的最后一行以及 K ≠ Z 3 3 : P S L ( 3 ， 3 ) 。若 K = Z 2 3 : P S L ( 3 ， 2 ) ，则 G = P S L ( 3 ， 2 ) ， N = A 8 ， N v = S 5 。这种情况可以由Magma [ 16 ] 排除。所以 K ≥ G 且K也是一个非交换单群。若 K > G ，则可设I为K中包含G的极大子群。此时的K和I也满足表3，这导致 | N : G | = | N : K | | K : I | | I : G | ∉ Ω ，不可。所以 K = G 。 假设 ( N ， K ) = ( P S L ( 3 ， 4 ) ， P S L ( 2 ， 7 ) 。因为 | N : G | ≤ 120 ， | N : K | = 120 ， G ≤ K ，所以 K = G 。又因为 Γ 是N—弧传递的，所以 | N 1 | = 120 ， N 1 ≅ S 5 。然而， P S L ( 3 ， 4 ) 不存在子群同构于 S 5 ，矛盾。至此可得 | Ω | ≠ 120 。假设 | Ω | = 6 ，8，12，24。则因为 N ⊲ A ， N v Γ ( v ) ⊲ A v Γ ( v ) ， A v Γ ( v ) 在 Γ ( v ) 上作用本原，所以 N v Γ ( v ) 在 Γ ( v ) 上传递。这推出 5 | | N v | = | N : G | = | Ω | ，矛盾。因此， | Ω | ≠ 6 ，8，12，24。下面仅需排除当 | Ω | = 10 ，15，20，30的情形。若 | Ω | = 15 或者30，则 Γ 为N—弧传递的5度图且 | N v | = 15 或者30，由引理2.4，不可。若 | Ω | = 10 或者20，则由( [ 7 ] ，定理5.4)可以排除。最后假设 ( N ， K ) = ( P Ω + ( 8 ， 2 ) ， P S p ( 6 ， 2 ) ) 。由上可知 K = G 且此时 N v ≅ S 5 。此时，N通过右乘作用在 [ N : K ] 上忠实， N v 为这个作用的一个正则子群。因为 ，所以N可以看成是 S 120 的一个子群， N v 是 S 120 的一个正则子群，K为某一个点的点稳定子群。这种情况可由Magma [ 16 ] 排除。 情形二：A存在可解的正规子群。 设M为A最大的可解正规子群。则 1 < M c h a r A 。因为 M ∩ G ⊲ G 以及G是非交换单群，所以 M ∩ G = 1 。进而得 | M | | | A 1 | ∈ Δ 。这意味着M在 V Γ 上至少有3个轨道。由引理2.3，M在 V Γ 上半正则。 令 A ¯ = A / M ， Σ = Γ M 。则由引理2.3， Σ 是 A ¯ -弧传递的。设 N ¯ 是 A ¯ 的一个极小正规子群，N是在自然同态： A → A / M 下的原像。由M的极大性，可以得到 N ¯ 是非可解的。所以 N ¯ ≅ T d ，其中T为非交换单群， d ≥ 1 。下证 N ¯ 是单群。 设 G ¯ : = G M / M 。则 G ¯ ≅ G 。即， G ¯ 是非交换单群。又因为 N ¯ ∩ G ¯ ⊲ G ¯ ，所以 N ¯ ∩ G ¯ = 1 或者 G ¯ 。若 N ¯ ∩ G ¯ = 1 ，则 | N ¯ | | | A 1 | ∈ Δ 。这推出 T ≅ A 5 ， d = 1 。所以 N ¯ ≅ A 5 。进而得 M ≅ Z 2 ， A ¯ = N ¯ : G ¯ 。又因为 G ¯ ≅ G ≠ A 5 ，所以 G ¯ 在 N ¯ 上的共轭作用平凡， A ¯ = N ¯ × G ¯ 。设 δ ∈ V Σ 。因为 | A δ ¯ | = | A ¯ | | G | / | M | = | N ¯ | ⋅ | G | | G | = 60 ，由引理2.4， A δ ¯ ≅ A 5 。另一方面，因为 | G δ ¯ | = | G ¯ | | G | / | M | = | M | = 2 ，所以 G δ ¯ ≅ Z 2 。又 G ¯ ⊲ A ¯ ，所以 Z 2 ≅ G δ ¯ ⊲ A δ ¯ ≅ A 5 ，这与 A 5 是单群矛盾。因此， N ¯ ∩ G ¯ = G ¯ ， G ¯ ≤ N ¯ 。因为 G ¯ 是非交换单群，所以 | G ¯ | 必整除 N ¯ 的某个合成因子的阶。这推出 | G ¯ | | | T | 。若 d ≥ 2 ，则 | T | 整除 | N ¯ : G ¯ | | | A δ ¯ | ∈ Δ 。这只能是 G ¯ ≅ T ≅ A 5 ，这得到 G = A 5 ，矛盾。所以， d = 1 。因此， N ¯ 是非交换单群。从上述证明过程还可以得到 N ¯ 是 A ¯ 唯一的极小正规子群。即得 N ¯ c h a r A ¯ ， N c h a r A 。下证 G ¯ < N ¯ 。 用反证法。若 G ¯ = N ¯ ，则 N = M : G 。如果G中心化M，则 N = M × G 。因此， G c h a r N c h a r A ，这与G在A中不正规矛盾。所以G不中心化M。这意味着 A u t ( M ) 不可解。 设F是M的Fitting子群。由引理2.2， F ≠ 1 且 C M ( F ) ≤ F 。因为， | M | | | A 1 | ∈ Δ ，所以 F = O 2 ( M ) × O 3 ( M ) × O 5 (M) 其中 O 2 ( M ) ， O 3 ( M ) ， O 5 ( M ) 分别表示M中最大的正规2-，3-，5-子群。显然， O 3 ( M ) ≤ Z 3 ， O 5 ( M ) ≤ Z 5 。若 | O 2 ( M ) | < 4 ，则F为交换群， F = C M ( F ) 且 可解。则 M / C M ( F ) ≤ A u t ( F ) 。所以 M ≤ F ⋅ A u t ( F ) 。若 | O 2 ( M ) | = 1 ，则 M ≤ Z 3 . Z 2 ， Z 5 ⋅ Z 4 或者 Z 15 ⋅ ( Z 4 × Z 2 ) 。这与 A u t ( M ) 非可解矛盾。若 | O 2 ( M ) | = 2 ，同样的可以得到 A u t ( M ) 可解，不可。所以 | O 2 ( M ) | ≥ 4 。令 R = O 2 ( M ) ， B = R G 。下证B在A中不正规。 若不然， B v Γ ( v ) ⊲ A v Γ ( v ) 。因为 A v Γ ( v ) 在 Γ ( v ) 上本原， B > G ， B v ≠ 1 ，所以 B v Γ ( v ) 在 Γ ( v ) 上传递， 5 | | B v | = | B : G | = | R | ，矛盾。因而B在A中不正规。 Table 4 Candidates ( N ¯ ， G ¯ N ¯ A 40 A 60 A 10 A 20 A 15 A 30 A 6 G ¯ A 39 A 59 A 9 A 19 A 14 A 29 A 5 | N ¯ : G ¯ | 40 60 10 20 15 30 6 A 8 A 12 A 24 M 11 M 12 M 24 A 7 A 7 A 11 A 23 P S L ( 2 ， 11 ) M 11 M 23 P S L ( 2 ， 7 ) 8 12 24 12 12 24 15 表4. 可能出现的 ( N ¯ ， G ¯ ) 假设G中心化R。因为 R ⊲ B ，所以 B / C B ( R ) ≤ A u t ( R ) 。又G是非交换单群，所以 | R | ≥ 8 。进而 | M / R | 最有1个3-因子以及1个5-因子。这推出 A u t ( M ) / R 可解的。又， N / R = ( M / R ) : ( R G / R ) 。所以 R G / R 中心化 M / R ， N / R = ( M / R ) × ( R G / R ) 。这意味着 R G / R c h a r N / R ， R G c h a r N ⊲ A ，这与RG在A中不正规矛盾。 因此，G中心化R。因为G不中心化M，所以 R ≠ M 。又因为 | R | ≥ 4 ，所以 | M / R | 最有1个2-因子，1个3-因子，1个5-因子。而，M是可解的， M / R ≠ A 5 ，这可以推出 A u t ( M / R ) 是可解的。跟上一个自然段同样的分析可得， R G ⊲ A ，不可。 以上证明了 G ¯ < N ¯ 。此时，由情形一的证明可得 N ¯ 和 G ¯ 为表4群之一。 假设 ( G ¯ ， N ¯ ) = ( A 5 ， A 6 ) 。下面先证明存在 L ⊲ N 使得 5 | | N : L | 。因为 | N w ¯ : G w ¯ | = | N ¯ : G ¯ | = 6 ， 5 | | N w ¯ | ，所以 5 | | G w ¯ | 。这意味着 5 | | M | 。因为 | M | = | G w ¯ | ， 6 | G w ¯ | ≤ 120 ，所以 | M | = 5 ，10，20。设 M 5 为M的Sylow 5-子群。如果 | M | = 5 ，则因为 A 6 的Schur乘子为 Z 6 (可参考文献 [ 17 ] )，所以 N ≅ M 5 × A 6 。此时存在 L ≅ A 6 满足我们的要求。如果 | M | = 10 ，则 M ≅ Z 10 或者 D 10 。这推出 N ≅ M 5 × ( Z 2 ⋅ A 6 ) 或者 ( M 5 × A 6 ) ⋅ Z 2 。此时存在 L ≅ Z 2 ⋅ A 6 或者 A 6 满足我们的要求。如果 | M | = 20 ，则同样可以得到 L ≅ A 6 或者 Z 2 ⋅ A 6 满足要求。综上，总是存在 L ⊲ N 使得 5 | | N : L | 。因为 | L | ≠ | G | $，L在 V Γ 上不正则，所以 1 ≠ L v Γ ( v ) ⊲ N v Γ ( v ) 。又因为 N v Γ ( v ) 在 Γ ( v ) 上本原，所以 L v Γ ( v ) 在 Γ ( v ) 上传递。进而得 5 | | L v | 。这导致 5 2 | | N : L | ⋅ | L : G | = | N : G | = | N v | 。由引理2.4，这是不可能的。类似的，对于 ( G ¯ ， N ¯ ) = ( A 7 ， A 8 ) ， ( A 11 ， A 12 ) ， ( A 23 ， A 24 ) ， ( P S L ( 2 ， 11 ) ， M 11 ) ， ( M 11 ， A 12 ) ， ( M 23 ， M 24 ) 的情形也可以排除。下面假设 ( G ¯ ， N ¯ ) = ( P S L ( 2 ， 7 ) ， A 7 ) ， ( A 14 ， A 15 ) ， ( A 29 ， A 30 ) 。则此时 | M | ≤ 4 ， N ≅ M ⋅ N ¯ 。因为 N N ( M ) / C N ( M ) = N / C N ( M ) ≤ A u t ( M ) ，而 A u t ( M ) 中不包含子群同构于 A 7 ， A 15 ， A 30 ，所以 N ¯ 中心化M。进而得到 N ≅ M × N ¯ 。另一方面， A v ≅ A 5 或者 。此时， N ¯ c h a r N ⊲ A ， N v ¯ ⊲ A v ¯ ， | N v ¯ | = 15 ，这与 A v 不包含15阶的正规子群矛盾。最后 ( G ¯ ， N ¯ ) = ( A 9 ， A 10 ) ， ( A 19 ， A 20 ) 的情况可以由文献( [ 7 ] ，定理5.4)的证明过程排除。综上，在此种情形下， G ≅ G ¯ ≅ A 39 或者 A 59 ，定理1.1成立。