DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 4. 讨论 膝关节交叉韧带损伤多由运动及交通伤引起，严重影响人体膝关节稳定性，并加速关节退变程度，影响膝关节功能及患者生活质量 [ 9 ] [ 10 ] 。目前关节镜下重建术是治疗膝关节交叉韧带损伤的首选，但膝关节解剖复杂，在运动、稳定性、负荷、生物力学功能恢复等方面存在一定的复杂性，若患者术后非科学关节制动或长期卧床，则可能影响膝关节动态平衡，严重者可能造成肌肉萎缩，影响患者膝关节功能的恢复 [ 11 ] 。因此必须重视膝关节交叉韧带损伤患者关节镜重建术后的康复护理。但常规康复训练忽视了患者自我效能的发挥，大部分患者多被动接受训练，单纯接受与依赖护理，参与度低，积极性差，导致康复训练效果有限 [ 12 ] [ 13 ] 。而Orem自理模式则认为患者是在心理、生理及社会方面均存在不同程度自理能力的整体，当其无法维持自理需求时产生自理缺陷，影响其主动性及积极性的发挥，而护理则为帮助性服务，其根据患者自理缺陷及在护理方面存在的问题给予补偿性服务及教育支持，充分调动患者的主动能动性，则可将传统被动训练转化为主动治疗及护理，不仅可提高护理效率，同时可优化患者康复训练效果 [ 14 ] 。Orem模式强调护士工作的范围及重点，重视对患者自我护理能力的强化，主要围绕帮助展开而非替代，强调患者自我效能的发挥，重视调动患者主观能动性，督促患者全程参与自我健康决策与管理，充分发挥其自我保健、自我护理能力，不仅可提高患者对康复训练知识的了解，同时可优化患者自护技能，对自我管理有重要的价值 [ 15 ] 。Moksnes等 [ 16 ] 将Orem自理模式用于急性半月板损伤患者围术期护理中，并与常规护理模式进行对照，结果发现采用Orem自理模式的患者康复时间短于常规护理组，且术后患者短期并发症发生率较常规护理组低。也有学者将Orem模式用于人工髋关节置换术后护理中，发现其可明显改善患者心理状态，提高其自我效能 [ 17 ] [ 18 ] 。 本研究中，对照组术后采用早期常规康复训练，观察组则在康复训练过程中贯穿Orem自理模式，强调患者个人潜能、积极性、主动性的发挥，重视调动患者参与康复训练的主观能动性，根据患者自护缺陷情况给予完全补偿护理、部分补偿护理及辅助教育支持，强调患者在康复训练中的主体作用，在稳定患者情绪的基础上，恢复患者日常生活能力，关注其膝关节功能的恢复，结果发现，干预6个月后，观察组HSS、LKSS膝关节功能评分均优于对照组，同时观察组患者自我效能高于对照组，日常生活能力改善情况明显优于对照组，表明配合应用Orem自理模式可充分发挥患者在康复护理中的作用，调动其自我效能，提高其执行康复训练的自信心及配合度，主动参与康复护理过程，提高其康复训练积极性，有助于患者膝关节功能及日常生活能力的恢复。此外，进行术后并发症监测发现，观察组并发症发生率略低于对照组，但无统计学差异，可能与本研究入组样本数量较少有关，后续需扩充样本数量进行进一步研究。 综上所述，Orem自理模式配合早期康复训练可提高膝关节交叉韧带损伤患者术后康复效果，改善患者膝关节功能，提升患者自我效能及日常生活能力，有较高的临床应用价值。
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user: 摘 要 2018年9月10日召开的全国教育大会是进入新时代后党中央召开的第一次全国教育大会，为新时代的教育指明了方向。本文从习近平总书记在会上的讲话精神出发，分析在高校校园文化建设中贯彻落实全国教育大会精神的路径意义、路径原则，并从高校校园物质文化、精神文化和制度文化三个维度探索了高校加强校园文化建设、落实会议精神的具体路径。 关键词 :全国教育大会精神，高校，校园文化，路径 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 前言 2018年9月10日，全国教育大会在北京召开。此次会议是进入新时代后党中央召开的第一次全国教育大会，为新时代的教育指明了方向，具有重要意义。习近平总书记在全国教育大会上强调，坚持中国特色社会主义教育发展道路，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人。同时，坚持以美育人、以文化人，提高学生审美和人文素养。 高校作为教育系统里重要组成部分，承担着立德树人的任务，是引导、教育大学生成长成才的责任人，是贯彻落实全国教育大会精神的重要主体。校园文化作为高校育人的重要载体，它既是学校对学生和教师进行教育的有效途径，也是学校贯彻落实党中央教育思想的阵地，其建设意义不言而喻。关于高校校园文化内涵的界定，国内的一致观点是，校园文化主要是由基础部分的物质文化、内核部分的精神文化和具有保障功能的制度文化这三个方面构成的 [ 1 ] 。 本文从习近平总书记在会上的讲话精神出发，以物质文化、精神文化和制度文化三个维度探索在高校校园文化建设中贯彻落实全国教育大会精神的路径意义、路径原则和有效路径，为高校贯彻落实全国教育大会精神、增强校园文化中的政治底色提供参考。
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user: 2. 在高校校园文化建设中贯彻落实全国教育大会精神的路径意义 落实全国教育大会精神是高校的重点工作和任务，校园文化建设是高校深入育人的重要手段，落实全国教育大会精神和高校校园文化建设是相辅相成、互相促进的关系。故而，在高校校园文化建设中贯彻落实全国教育大会精神其必要性，更具有重要路径意义。 1) 校园文化是落实全国教育大会精神的重要载体，与“培养什么人”直接相关 习近平总书记在全国教育大会上指出，培养什么人，是教育的首要问题。校园文化对学生和教师的影响、教育是潜移默化的，既直接影响学生，又通过影响教师而对学生进行二次影响，校园文化不仅是需要我们好好建设，更需要我们牢牢把握其方向。校园文化是校园建设的外部环境与内部环境的有机统一体，故而通过校园文化进一步加强落实全国教育大会精神是重要途径。校园文化可以以丰富多彩的内容和形态推进落实全国教育大会精神，为落实学习工作增强活力，特别是为“培养什么人”这一教育的首要问题提供有力保障。 2) 以落实全国教育大会精神为基础，进一步深化大学校园文化建设 校园文化建设从来都是复杂的、需要与时俱进的，没有哪一种校园文化是一成不变的。新时代提出了新的要求，全国教育大会为教育工作者指明了新的方向，校园文化建设也应该与时俱进，及时调整，跟上步伐。高校校园文化中物质文化、精神文化和制度文化应该紧贴全国教育大会的要求，以贯彻落实会议精神为契机，为培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人提供良好的校园文化，奠定良好的基础。这一契机也为高校校园文化能够把握建设方向、不断推陈创新、时刻紧跟时代步伐、丰富文化形式、增强文化内容提供有利机遇，为进一步完善校园文化、找到合适的校园文化建设体系提供动力。 3) 为进一步坚定理想信念教育提供力量支持 习近平总书记在全国教育大会上强调，要在坚定理想信念上下功夫，教育引导学生树立共产主义远大理想和中国特色社会主义共同理想。理想信念教育是我们引导大学生成长成才的关键一步，是落实立德树人根本任务的关键环节，也是我们高校工作中极为重要的一部分，是高校应该不遗余力去推进的工作。校园文化不管是对教书育人的教师、还是对处于成长关键期的大学生来说都是影响巨大的，故而在校园文化中进一步加强精神文化建设、坚定理想信念教育，既是校园文化建设的使命与责任，同时也是高校把握好意识形态教育，坚定理想信念的重要支撑。
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user: 3. 在高校校园文化建设中贯彻落实全国教育大会精神的路径原则 在高校校园文化建设中贯彻落实全国教育大会精神有着重要的现实意义，同时我们在进行这一融合性建设时也要把握路径建设的原则，为更好地推进建设工作指明方向。此次大会是进入新时代后党中央召开的第一次全国教育大会，具有指导性意义。只有深入学习会议精神，把握好这一路径原则，将会议精神的突出理念切实贯彻到校园文化建设工作中去，才能真正实现全国教育大会精神与高校校园文化建设的有效融合。 3.1. 针对性原则 习近平总书记在本次全国教育大会上明确了教育的首要问题和根本任务、九个“坚持”、在六个方面“下功夫”等工作。我们要在高校校园文化建设中贯彻落实全国教育大会精神，就要针对此次会议精神的核心、重点部分开展针对性建设，突出时代性、针对性。针对教育的首要问题和根本任务，我们要为培养社会主义建设者和接班人提供完善的校园文化育人体系；针对九个“坚持”，我们要牢牢把握方向，做好落实九个“坚持”不动摇的建设工作；针对在六个方面“下功夫”，我们要在校园文化建设中凸显理想信念、爱国主义、品德修养、知识见识、奋斗精神、综合素质等要素。 3.2. 目标性原则 习近平总书记在全国教育大会上强调，坚持中国特色社会主义教育发展道路，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人。高校校园文化建设应该以此为目标，努力构建德智体美劳育人体系。围绕这一目标，高校应开拓德育平台、智育平台、体育平台、美育平台和劳育平台，形成德智体美劳全面发展物质文化、精神文化和制度文化。增强育人导向性和目标性，不仅可以为校园文化建设指明方向，也可以切实推动高校的育人任务，为党和国家培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人。 3.3. 全方位原则 全国教育大会的召开意义重大，提出了一系列全面的、重要的论述。在高校校园文化建设中贯彻落实全国教育大会精神一定要把握全方位原则，即全国教育大会对高校校园文化建设的全方位引领和高校校园文化建设的全方位。首先，全国教育大会对高校校园文化建设的全方位引领，即全国教育大会要对高校校园文化中物质文化、精神文化和制度文化建设进行全方位的统领与引导；其次，高校校园文化建设的全方位，即高校校园文化建设不应局限会议精神的某一点，而应该让相关人员在学懂、弄通、做实上下功夫，深入把握会议精神，让会议精神都能在校园文化建设中落地。 3.4. 可操作性原则 在高校校园文化建设中贯彻落实全国教育大会精神一定要注重可操作性原则，要制定切实有效地建设措施，不能陷入到流于形式、痕迹管理的误区中去。我们要在增强互动和强化管理中把握分寸，增强建设的可操作性，既能让师生都参与到校园文化建设中来，也能让学校能统一管理、把握方向；我们要融合地域性因素，增强建设的可操作性，通过挖掘高校所在地的教育基因，让师生感受到校园文化建设与自己密切相关，拉近与师生的距离；我们要秉承删繁就简、有效有质的原则，增强建设的可操作性，通过简单、有效地活动建设，一方面可以让师生便于接受，另外一方面也可以增强建设的可持续性。 3.5. 开拓创新的原则 在高校校园文化建设中贯彻落实全国教育大会精神与平时的校园文化建设有很大不同，它既是政治任务，又是切实关系到学校师生发展的重要活动。我们要在全国教育大会精神的指导下，结合新时代的新技术、新手段，通过挖掘学校、学科的教育基因，展示广大师生的榜样作用等方式拓展校园文化建设的形式和手段，加强新媒体的运用，让建设新而有效，从而进一步提升学校校园文化建设创新性，把全国教育大会精神有效落实到每位师生中去。
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user: 5. 结语 在推进在高校校园文化建设中贯彻落实全国教育大会精神的工作中，我们要把握针对性原则、目标性原则、全方位原则、可操作性原则和开拓创新的原则，才能有效地推进高校校园物质文化、精神文化和制度文化建设。加强体育基础设施、实践教育基地、新媒体技术、美育平台和校园环境建设，是相对较容易实现的举措，高校应积极推进，切实落实；突出学习氛围、营造尊师重教的氛围、弘扬劳动精神、多方位挖掘教育基因和创建品牌活动，需要高校整合优势资源，凝聚磅礴力量，稳步推进；建立专业化职业化队伍、建立专项奖励机制、建立课程思政机制、建立及时更新机制、建立成熟的家校合作机制，则要求高校做好顶层设计，扩大反馈渠道，做到组织领导和运行机制到位。当然，这一建设工作是一项复杂且长期的工作，我们必须建立足够的保障制度、制定切实可行的具体举措，才能取得最后的成功。
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user: 摘 要 目的：探讨快速康复外科护理(fast track surgery， FTS)对腹腔镜胆囊切除术高龄患者手术应激反应和术后恢复的影响。方法：抽取本院2016年6月~2018年8月行腹腔镜胆囊切除术的高龄患者90例为研究样本，以随机序列软件奇偶数法分为参照组和干预组各45例，参照组采取常规围术期护理，干预组在上述基础上采取FTS护理。对比两组患者手术应激反应、术后恢复情况和并发症发生率。结果：干预组24 h Cor、FPG、IL-6、CRP、肾上腺素水平以及SAS、SDS评分、并发症发生率均低于参照组，且干预组排气时间、排便时间、下床活动时间、恢复正常饮食时间、伤口愈合时间、住院时间均短于参照组，P < 0.05。结论：FTS护理能有效降低腹腔镜胆囊切除术高龄患者生理和心理应激反应，缩短术后机体恢复时间，减少并发症风险，值得临床应用。 关键词 :腹腔镜胆囊切除术，快速康复外科护理，手术应激反应，术后恢复效果 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 胆囊疾病属于临床常见的胆道系统病症，良性与恶性均可见，良性疾病包括胆囊结石、胆囊息肉、胆囊腺肌症等 [ 1 ] ，患者患病后可出现右上腹压痛或疼痛症状，临床疗法多以手术为主，随着微创技术不断深入，腹腔镜手术成为胆囊疾病患者的理想术式，该术式可有效减少创伤对患者机体的影响，保持患者机体状态稳定，提高术后康复质量，但手术无可避免的会对患者造成身心创伤，例如术前胃肠道准备、术前心理状态以及术后放置引流均会对患者术后恢复质量产生不同程度的影响，因此采取有效的围术期护理措施十分重要。近年来FTS理念在临床上应用广泛，该护理理念以减少患者手术创伤带来的应激反应为特征，可加快患者术后康复速度 [ 2 ] 。本次研究基于以上背景，探讨了FTS护理对腹腔镜胆囊切除术高龄患者手术应激反应和术后恢复的影响，抽取本院2016年6月~2018年8月行腹腔镜胆囊切除术的高龄患者90例进行分组对比，详见下文。
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user: 2. 对象与方法 2.1. 分组对象 抽取本院2016年6月~2018年8月行腹腔镜胆囊切除术的高龄患者90例为研究样本，纳入标准：所有患者均经本院影像学、病理学联合确诊为胆囊良性疾病，临床表现为右上腹压痛和疼痛，均为择期手术患者，心肺功能良好，能耐受全麻手术；排除标准：有上腹部手术既往史、近期服用过镇痛类、糖皮质激素类、抗抑郁类等对胃肠动力造成影响的药物、合并其他腹腔脏器疾病、胆囊结石伴急性胰腺炎或梗阻性黄疸、合并胆总管结石、中转开腹患者。所有患者术前均与本院签署《护理观察知情同意书》，经本院医学伦理委员会批准，符合《赫尔辛基宣言》伦理原则。以随机序列软件奇偶数法分为参照组和干预组各45例，参照组男29例，女16例，年龄60~74岁，中位年龄(63.29 ± 3.51)岁，病程1~5年，平均(2.76 ± 0.81)年，具体病症包括19例胆囊结石、12例胆囊息肉、9例胆囊结石合并息肉、5例胆囊腺肌症；干预组男31例，女14例，年龄62~73岁，中位年龄(63.27 ± 3.73)岁，病程2~5年，平均(2.84 ± 0.76)年，具体病症包括18例胆囊结石、14例胆囊息肉、8例胆囊结石合并息肉、5例胆囊腺肌症。两组基本资料对比无明显差异(P > 0.05)，具有可比性。 2.2. 方法 参照组采取常规围术期护理，术前进行手术流程宣教，告知患者术前准备事项、注意事项、手术方式和预期效果，常规禁食12 h、禁饮6 h，并留置胃管和导尿管；术中配合医师进行各项操作，不控制液体输入量和保暖措施；术后根据患者实际情况采取止痛措施，肛门恢复排气后可嘱咐患者少量饮水，并拔除胃管。术后48 h后拔除引流管，鼓励患者下床做康复活动，不限制补液。 干预组在上述基础上采取FTS护理。①心理干预。患者入院后与其积极交流，进行疾病知识宣教，并为患者讲述治疗成功的病例，帮助患者建立正确认知，缓解焦虑、抑郁情绪。术后麻醉清醒后主动告知手术情况，提高患者康复信心；②胃肠道准备和饮食指导。FTS理念下术前无需进行严格的胃肠道准备，只需保证胃肠内容物不对手术造成不良影响即可。术前无需禁食，可嘱咐患者进食高维生素、高蛋白、高热量食物，保证正常的能量供给，但需术前1 d晚餐需以半流食为主，术前8 h口服500 mL温热的10%葡萄糖注射液，术前2 h再次口服250 mL对肠道进行清洗，促进胃肠排空。术后肛门恢复排气后可尽早恢复至普食，若无特殊情况，一般在术后6 h即可进食流食，第2 d进半流食，随后逐渐过渡到普食；③术中护理。术中需重视保暖，避免患者发生低体温，可将室内温度调整在22℃~26℃，湿度保持在50%~60%，使用电热毯对手术台进行预先加温，保持在约37.5℃，输注的液体可使用电子加温器进行加温，尽量减少患者肌肤裸露面积，缩短手术时间；④限制补液量和疼痛干预。由于患者为择期手术，术后可根据尿量对补液量进行调整和限制，手术当日控制在1500 mL为宜。采取护患沟通、看电视、听音乐等方式转移患者对疼痛的注意力，尽量不采取阿片类止痛药，必要时可使用自控静脉镇痛或非甾体类抗炎药联合氟比洛芬酯静脉注射镇痛 [ 3 ] ；⑤早期康复活动。麻醉清醒后可协助患者采取仰卧位、半卧位等体位，以患者感到舒适为宜，为患者按摩肩颈部和足三里穴，每次15 min，4次/d，以患者有酸胀感为宜，指导患者进行四肢活动，4 h~6 h后若患者无明显不适感可协助其下床进行大小便训练，并进行床上翻身活动，或在家属搀扶下在走廊内活动，活动量不宜过大。术后可无需留置腹腔引流，或在24 h内尽早拔除腹腔负压引流管，清醒后即可少量饮水；⑥呼吸道管理。术后为患者详细讲解深呼吸的重要性，观察患者能否自主有效咳嗽排痰，并对深呼吸方法和正确的咳嗽方法进行示范指导，指导患者术后进行吹气球练习，每次持续10 min，每天可练习5~7次。 2.3. 观察方法 对比两组患者手术应激反应、术后恢复情况、并发症发生率。手术应激反应包括生理应激和心理应激反应两方面。生理应激包括24 h皮质醇(Cor)、空腹血糖(FPG)、血清白介素-6 (IL-6)、C反应蛋白(CRP)、肾上腺素，于术后24 h检测；心理应激反应包括焦虑和抑郁，以Zung氏焦虑(SAS)、抑郁(SDS)量表进行评分，包括精神情感、躯体障碍、精神运动障碍、心理障碍4个维度共计20个项目，5分制评分，以50分为临界值，50~59分为轻度焦虑/抑郁，60~69分为中度焦虑/抑郁，70分以上为重度焦虑/抑郁 [ 4 ] 。于术后2 d评定。 2.4. 统计学方法 采用SPSS 20.0对数据进行统计分析，计量资料以( x ¯ ± s )表示，t检验；计数资料以n (%)表示，卡方检验。P ≤ 0.05表示统计结果存在显著差异。
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user: 3. 结果 3.1. 生理、心理应激反应 干预组24 h Cor、FPG、IL-6、CRP、肾上腺素水平以及SAS、SDS评分均低于参照组，P < 0.05。见表1。 Table 1 Comparison of physiological and psychological stress response indexes between two groups ( x ¯ ± s ; n = 45 组别 24h Cor (nmol/L) FPG (mmHg) IL-6 (ng/L) CRP (mg/L) 肾上腺素 (ng/L) SAS (分) SDS (分) 参照组 560.01 ± 89.11 7.08 ± 1.19 115.05 ± 8.72 117.33 ± 7.10 153.19 ± 18.28 46.24 ± 5.76 45.16 ± 6.84 干预组 494.42 ± 93.14 5.79 ± 0.54 88.45 ± 9.55 91.61 ± 8.49 128.15 ± 10.15 21.38 ± 4.62 20.49 ± 5.71 t 3.413 6.622 13.798 15.589 8.034 22.585 18.573 P 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 表1. 两组患者生理、心理应激反应指标对比( x ¯ ± s ; n = 45) 3.2. 术后恢复时间 干预组排气时间、排便时间、下床活动时间、恢复正常饮食时间、伤口愈合时间、住院时间均短于参照组，P < 0.05。见表2。 Table 2 Comparison of postoperative recovery time between two groups ( x ¯ ± s ; n = 45 组别 排气时间(h) 排便时间(d) 下床活动时间(d) 恢复正常饮食时间(h) 伤口愈合时间(d) 住院时间(d) 参照组 38.90 ± 2.36 2.98 ± 1.82 2.58 ± 1.72 4.69 ± 0.28 6.67 ± 1.49 6.28 ± 2.16 干预组 24.61 ± 3.02 1.64 ± 0.76 1.29 ± 0.76 2.79 ± 0.17 3.52 ± 1.14 4.06 ± 1.63 t 25.011 4.558 4.602 38.910 11.263 5.503 P 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 表2. 两组患者术后恢复时间对比( x ¯ ± s ; n = 45) 3.3. 并发症 干预组并发症发生率低于参照组，P < 0.05。见表3。 Table 3 Comparisons of complications between two groups [n (%); n = 45 组别 胆漏 穿刺点感染 恶心呕吐 穿刺点皮下出血 总发生率 参照组 1(2.22) 4(8.88) 2(4.44) 2(4.44) 9(19.98) 干预组 1(2.22) 1(2.22) 1(2.22) 1(2.22) 4(8.88) x 2 / / / / 4.989 P / / / / 0.026 表3. 两组患者并发症发生率对比[n (%); n = 45]
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user: 4. 讨论 腹腔镜胆囊切除术是目前治疗良性胆囊疾病的主要术式，具有出血量少、创口小、术后下床活动时间和住院时间短的优势，在择期手术患者中已逐渐取代传统开腹手术。但腹腔镜微创手术仍然无法避免对机体造成的应激创伤，例如术后患者糖皮质激素和促肾上腺皮质激素等应激激素分泌量增多，会引起血压、血糖、心率异常变化，增加器官功能紊乱、情绪恶化、心脑血管疾病风险 [ 5 ] ，尤其是高龄患者，往往存在自身合并症，出现术后并发症的风险更好，因此采取有效的围术期护理减少应激反应，是促进患者术后恢复的重要措施。梅艳霞 [ 6 ] 研究认为，手术应激具体指人体下丘脑–垂体–肾上腺皮质轴激活，以应激激素分泌增加为主要表现的反应，例如糖皮质激素分泌、儿茶酚胺对交感神经的兴奋程度等，围术期应激主要由情绪、输液、麻醉、疼痛、低温、置管等因素导致，且大部分患者术后并发症和器官功能紊乱均与手术应激相关。 FTS是由丹麦腹部外科医师Henrik Kehlet于2001年率先提出 [ 7 ] ，其护理理念为根据患者围术期病理、生理变化，在术前、术中、术后采取各种有效的护理方法降低手术应激和术后相关并发症，加快患者术后康复速度，属于多学科医护模式，通常分为术前教育、术前准备、镇痛护理、术后康复指导等具体内容 [ 8 ] 。本次研究结果显示：干预组24h Cor、FPG、IL-6、CRP、肾上腺素水平以及SAS、SDS评分、并发症发生率均低于参照组，且干预组排气时间、排便时间、下床活动时间、恢复正常饮食时间、伤口愈合时间、住院时间均短于参照组，P < 0.05。原因分析为：①术前制定心理疏导措施，通过护理人员的讲解，能缓解患者对手术的恐惧，消除焦虑、抑郁等心理应激，帮助患者以积极健康的心理配合医护人员手术，从而保证手术顺利；②FTS理念不过分强调术前胃肠道准备和禁食禁饮，能减少患者因长时间禁食禁饮导致的饥饿、口渴以及交感神经兴奋，从而减少生理应激反应，减轻肠管水肿和术后肠麻痹风险 [ 9 ] 。此外，保证术前营养摄取能维持患者机体正常的能量供给，术后尽早进食能对患者饮食系统产生早期良性机械刺激，促进胃肠功能快速回复，减少代谢损伤风险；③术中做好保暖措施能降低高龄患者应激反应，帮助患者安全度过围术期。术后患者可能因疼痛出现焦虑、烦躁情绪，采取转移注意力的方式能缓解疼痛，必要时静滴氟比洛芬酯和非甾体抗炎药，可抑制儿茶酚胺释放导致的交感神经兴奋，控制术后应激反应，并能降低Cor、FPG、IL-6、CRP、肾上腺素等氧化应激指标和促炎因子，从而能降低患者神经系统敏感性和痛觉敏感性 [ 10 ] ，缓解患者因疼痛导致的术后焦虑、抑郁心理；④术后早期活动时FTS理念的重要部分，采取体位指导、手法按摩、四肢训练、下床活动可避免长期卧床导致的肌肉蛋白氮丢失和胰岛素抵抗，减少胆漏、感染、出血、恶心呕吐等并发症，强化患者体质，缩短住院时间。术后无需留置腹腔引流或尽早拔除引流，可大幅度降低患者疼痛感，减少患者下床活动时间和正常饮食时间，按压足三里穴则能促进患者胃肠蠕动和肛门排气；⑤呼吸道管理能改善患者术后呼吸功能，避免呼吸道被痰液堵塞发生肺部感染、血栓风险，缓解高龄患者术后容易出现的肺功能损伤和组织氧合等并发症 [ 11 ] 。 综上所述，FTS护理能有效降低腹腔镜胆囊切除术高龄患者生理和心理应激反应，缩短术后机体恢复时间，减少并发症风险，值得临床应用。
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user: 摘 要 矩阵和行列式在科学与工程中经常遇到。矩阵的特征多项式、特征值都需要计算其行列式。本文针对一些特殊矩阵，讨论其行列式的计算问题，包括特殊矩阵的特征多项式的计算。 关键词 :矩阵，行列式，特征多项式 Copyright © 2019 by author and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 矩阵、行列式、特征值、特征多项式是线性代数和矩阵论中的基本内容。矩阵特征多项式与特征值的计算与矩阵的行列式密切相关。友矩阵是一类特殊矩阵，在现代控制理论中经常用到，友矩阵中的非零元与其特征值多项式的系数有一一对应关系。友矩阵有四种基本类型，最近文献 [ 1 ] 讨论了友矩阵间的变换关系，文献 [ 2 ] 研究了特殊矩阵的矩阵指数的计算方法。严坤妹讨论了一类矩阵特征值多项式的计算问题 [ 3 ] 。冯纯伯研究了矩阵多项式特征值的计算 [ 4 ] 。 本文章侧重于讨论特殊矩阵的行列式计算以及特殊矩阵的特征多项式的求法。使用不同技巧和方法，从不同的角度进行分析，合理地利用行列式的运算性质以及特殊的求解方法，比如归纳法等，从而对一些特殊的行列式的求解方法进行探究与比较，还包含从求解方法当中提炼出来的引申与思考。
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user: 2. 计算友矩阵特征多项式和行列式 在现代控制理论中，友矩阵(companion matrix)在传递函数的状态空间规范型实现中非常有用，其特征多项式的计算非常重要。友矩阵有四种形式。n阶友矩阵具有下列形式： A n = ( − a 1 − a 2 ⋯ − a n − 1 − a n 1 0 ⋯ 0 0 0 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 … 1 0 ) ， 它的转置矩阵也是友矩阵，沿斜对角线转置矩阵也是友矩阵。这四个友矩阵具有相同的特征值多项式。 设 I n 是n阶单位阵。友矩阵的特征值多项式 f n ( s ) : = | s I n − A n | = | s + a 1 a 2 ⋯ a n − 1 a n − 1 s ⋯ 0 0 0 − 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ − 1 s | 展开之后得到关于s的n次多项式。采用归纳法，先计算 n = 1 时的特征值多项式 f 1 ( s ) = s + a 1 ；当 n = 2 时的特征值多项式为 f 2 ( s ) = | s + a 1 a 2 − 1 s | = s f 1 ( s ) + a 2 = s ( s + a 1 ) + a 2 展开时先从右下角的s开始展开，然后向左上方推移得到 f 3 ( s ) = | s + a 1 a 2 a 3 − 1 s 0 0 − 1 s | = s f 2 ( s ) − ( − 1 ) | s + a 1 a 3 − 1 0 | = s f 2 ( s ) + a 3 f 4 ( s ) = | s + a 1 a 2 a 3 a 4 − 1 s 0 0 0 − 1 s 0 0 0 − 1 s | = s f 3 ( s ) − ( − 1 ) | s + a 1 a 2 a 4 − 1 s 0 0 − 1 0 | = s f 3 ( s ) + | s + a 1 a 4 − 1 0 | = s f 3 ( s ) + a 4 由此猜测： f 5 ( s ) = s f 4 ( s ) + a 5 ， ⋯ ， f n ( s ) = s f n − 1 ( s ) + a n ，代入化简得到 f 1 ( s ) = s + a 1 f 2 ( s ) = s ( s + a 1 ) + a 2 = s 2 + s a 1 + a 2 f 3 ( s ) = s ( s 2 + s a 1 + a 2 ) + a 3 = s 3 + s 2 a 1 + s a 2 + a 3 f 4 ( s ) = s ( s 3 + s 2 a 1 + s a 2 + a 3 ) + a 4 = s 4 + s 3 a 1 + s 2 a 2 + s a 3 + a 4                   ⋮ f n ( s ) = s n + s n − 1 a 1 + s n − 2 a 2 + s n − 3 a 3 + ⋯ + a n = s n + ∑ i = 1 n s n − i a i 下面加以证明：当 n = 1 时， f 1 ( s ) = s + a 1 ， f n + 1 ( s ) = s f n ( s ) + ( − 1 ) ( − 1 ) 2 n + 1 | s + a 1 a 2 ⋯ a n − 2 a n − 1 a n + 1 − 1 s ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ − 1 s 0 0 0 ⋯ 0 − 1 0 | = s f n ( s ) + ( − 1 ) ( − 1 ) 2 n − 1 | s + a 1 a 2 ⋯ a n − 3 a n − 2 a n + 1 − 1 s ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ − 1 s 0 0 0 ⋯ 0 − 1 0 | 由于每一个行列式中元素−1所在位置的行数与列数之和为奇数，且该行其他元素的值均为0，因此只需要一步步地去算它的代数余子式即可。最后 f n + 1 ( s ) = s f n ( s ) + | s + a 1 a n + 1 − 1 0 | = s f n ( s ) + a n + 1 = s ( s n + ∑ i = 1 n a i s n − i ) + a n + 1 = s n + 1 + ∑ i = 1 n + 1 a i s n + 1 − i 得证。 归纳有从k到 k + 1 的归纳，有时还需要隔项进行归纳，比如从k到 k + 2 进行归纳。这时往往需要进行奇偶分析，因为奇数和偶数在化简时可能出现不同的递推公式。下面的两个例子，都是从k到 k + 2 项进行归纳。
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user: 3. 计算十字叉形壹矩阵的特征多项式 n阶十字叉形壹矩阵具有下列形式： A n = ( 1 1 1 1 ⋱ 1 1 1 1 ) n × n (未写出部分的值均为0)， A n 的特征多项式为 f n ( s ) = | s I n − A n | = | s − 1 − 1 s − 1 − 1 ⋱ − 1 s − 1 − 1 s − 1 | 其中 f 1 ( s ) = s − 1 ， f 2 ( s ) = | s − 1 − 1 − 1 s − 1 | = ( s − 1 ) 2 − 1 = s 2 − 2 s 。 此行列式 f n ( s ) 的对称性比较好，应该首先寻找关于 f n ( s ) 的递推公式。由于此n阶行列式和居中的 n − 2 阶行列式的结构非常相似，所以更倾向于去寻找 f n ( s ) 与 f n − 2 ( s ) 的递推关系。因为 f 1 ( s ) 与 f 2 ( s ) 均为已知，这样就能够得到递推关系式。当n的奇偶性不同时，行列式最中心的结构不同，所以需要分奇偶进行讨论。 ① 当n为奇数时， f n ( s ) = ( s − 1 ) | s − 1 ⋯ − 1 0 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ − 1 ⋯ s − 1 0 0 ⋯ 0 s − 1 | + ( − 1 ) | 0 ⋯ 0 − 1 s − 1 ⋯ − 1 0 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ − 1 ⋯ s − 1 0 | = ( s − 1 ) 2 f n − 2 ( s ) + ( − 1 ) ( − 1 ) ( − 1 ) n f n − 2 ( s ) = ( s 2 − 2 s ) f n − 2 (s) ② 当n为偶数时， f n ( s ) = ( s − 1 ) | s − 1 ⋯ − 1 0 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ − 1 ⋯ s − 1 0 0 ⋯ 0 s − 1 | − ( − 1 ) | 0 ⋯ 0 − 1 s − 1 ⋯ − 1 0 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ − 1 ⋯ s − 1 0 | = ( s − 1 ) 2 f n − 2 ( s ) − ( − 1 ) ( − 1 ) ( − 1 ) n f n − 2 ( s ) = ( s 2 − 2 s ) f n − 2 (s) 所以当 n ≥ 3 时，有 f n ( s ) = ( s 2 − 2 s ) f n − 2 ( s ) ，又因为 f 1 ( s ) = s − 1 ， f 2 ( s ) = s 2 − 2 s ，所以当n为奇数时， f n ( s ) = ( s − 1 ) ( s 2 − 2 s ) n − 1 2 ；当n为偶数时， f n ( s ) = ( s 2 − 2 s ) n 2 。所以 f n ( s ) = { ( s − 1 ) ( s 2 − 2 s ) n − 1 2 ，       n   为 奇 数 ( s 2 − 2 s ) n 2 ，                             n   为 偶 数 对于呈中心对称型的行列式，也有其特殊的简化算法。
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user: 4. 计算块单位阵的特征值多项式 2n阶块单位阵 A 2 n = [ I n I n I n I n ] 2 n × 2 n 的特征多项式为 f 2 n ( s ) : = | s I 2 n − A 2 n | = | s − 1 − 1 ⋱ ⋱ s − 1 − 1 − 1 s − 1 ⋱ ⋱ − 1 s − 1 | 当 n = 1 时， f 2 ( s ) = | s − 1 − 1 − 1 s − 1 | = s ( s − 2 ) 。注意到此行列式为中心对称行列式，可以进行操作： r 1 + r 2 n ， r 2 + r 2 n − 1 ， ⋯ ， r n + r n + 1 ( r i 表示第i行)，即把最后一行的值加到第1行上，把倒数第2行的值加到第2行上，依次类推，一直加到最中间的那两行。但此时也需要对n进行奇偶讨论。 ① 当n为奇数时， f 2 n ( s ) = | s − 1 − 1 − 1 s − 1 ⋱ ⋰ ⋱ ⋰ s − 2 s − 2 ⋰ ⋱ ⋰ ⋱ − 1 s − 1 s − 1 − 1 − 1 s − 1 ⋱ ⋱ − 1 s − 1 ⋱ ⋱ − 1 s − 1 | ② 当n为偶数时， f 2 n ( s ) = | s − 1 − 1 − 1 s − 1 ⋱ ⋰ ⋱ ⋰ s − 1 − 1 − 1 s − 1 − 1 s − 1 s − 1 − 1 ⋰ ⋱ ⋰ ⋱ − 1 s − 1 s − 1 − 1 − I n ( s − 1 ) I n | 但无论n为奇数还是偶数，对于整个行列式的每一列的上半列来说，都有 c 1 = c 2 n ， c 2 = c 2 n − 1 ， ⋯ ， c n = c n + 1 ( c i 表示第i列)。此时可对此行列式进行如下变换： c 2 n − c 1 ， c 2 n − 1 − c 2 ， ⋯ ， c n + 1 − c n 。这样整个行列式右上角的所有元均为零了，然后再利用行列式的计算性质进行化简。 ① 当n为奇数时， f 2 n ( s ) = | s − 1 − 1 ⋱ ⋰ s − 2 0 ⋰ ⋱ − 1 s − 1 − 1 s − 1 1 ⋱ ⋱ ⋰ − 1 s ⋱ ⋰ ⋱ − 1 1 s − 1 | = | s − 1 − 1 ⋱ ⋰ s − 2 ⋰ ⋱ − 1 s − 1 | ⋅ | s − 1 1 ⋱ ⋰ s ⋰ ⋱ 1 s − 1 | 这时可以利用上一例题结论，分别去寻找这两个行列式的n阶与其对应的 n − 2 阶行列式的关系进行求解，最终发现，无论是左边还是右边的行列式，都满足关系式： g n ( s ) = ( s 2 − 2 s ) g n − 2 ( s ) 。这种方法和结论在n为偶数时同样也适用。所以当n为奇数时，有 f n ( s ) = ( s − 2 ) ( s 2 − 2 s ) n − 1 2 ⋅ s ( s 2 − 2 s ) n − 1 2 = ( s 2 − 2 s ) n ② 当n为偶数时， f 2 n ( s ) = | s − 1 − 1 ⋱ ⋰ s − 1 − 1 0 − 1 s − 1 ⋰ ⋱ − 1 s − 1 − 1 s − 1 1 ⋱ ⋱ ⋰ − 1 s − 1 1 − 1 1 s − 1 ⋱ ⋰ ⋱ − 1 1 s − 1 | = | s − 1 − 1 ⋱ ⋰ s − 1 − 1 − 1 s − 1 ⋰ ⋱ − 1 s − 1 | ⋅ | s − 1 1 ⋱ ⋰ s − 1 1 1 s − 1 ⋰ ⋱ 1 s − 1 | = ( s 2 − 2 s ) ( s 2 − 2 s ) n − 2 2 ⋅ ( s 2 − 2 s ) ( s 2 − 2 s ) n − 2 2 = ( s 2 − 2 s ) n 所以矩阵 A 的特征值多项式为 f n ( s ) = ( s 2 − 2 s ) n 。 以上是对归纳法的一些分析，下面是一些对不同型行列式计算的特殊方法的举例。 对于每一行(列)的和都相同的行列式，可以把每一行(列)的和全部都加到第一行(列)上，然后将这一行(列)的公因式进行提取，从而简化行列式的计算。
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user: 5. 计算壹矩阵的特征值多项式 n阶壹矩阵具有下列形式： A = ( 1 1 ⋯ 1 1 1 1 ⋯ 1 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 1 1 ⋯ 1 1 1 1 ⋯ 1 1 ) n × n 壹矩阵的特征多项式为 把每一列的值全部加到第1列上，即 c 1 + c 2 ， c 1 + c 3 ， ⋯ ， c 1 + c n ： f n ( s ) = | s − n − 1 ⋯ − 1 − 1 s − n s − 1 ⋯ − 1 − 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ s − n − 1 ⋯ s − 1 − 1 s − n − 1 ⋯ − 1 s − 1 | = ( s − n ) ⋅ | 1 − 1 ⋯ − 1 − 1 1 s − 1 ⋯ − 1 − 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 1 − 1 ⋯ s − 1 − 1 1 − 1 ⋯ − 1 s − 1 | 再把每1列加到其它列上，即 c 2 + c 1 ， c 3 + c 1 ， ⋯ ， c n + c 1 ： f n ( s ) = ( s − n ) | 1 0 ⋯ 0 0 1 s ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 1 0 ⋯ s 0 1 0 ⋯ 0 s | = ( s − n ) s n − 1 如果行列式的上三角和下三角的值不相同，那么这种方法就不适用了。对于这样的问题，需要先对行列式进行变形，然后才能利用原来的模型进行归纳或化简。
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user: 6. 计算斜对称矩阵的行列式 计算下列n阶斜对称矩阵的行列式( b ≠ c ) [ 5 ] ： A n = | a b b ⋯ b c a b ⋯ b c c a ⋯ b ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ c c c ⋯ a | n × n ， 从第n行开始，将此行列式的每一行减去前一行，直到第一行，即 r n − r n − 1 ， r n − 1 − r n − 2 ， ⋯ ， r 3 − r 2 ， r 2 − r 1 ： A n = | a b b ⋯ b b c a b ⋯ b b c c a ⋯ b b ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ c c c ⋯ a b c c c ⋯ c a |       r       _ _ | a b b ⋯ b b c − a a − b 0 ⋯ 0 0 0 c − a a − b ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ a − b 0 0 0 0 ⋯ c − a a − b | = a ( a − b ) n − 1 + ( a − c ) ⋅ b | 1 1 1 ⋯ 1 1 c − a a − b 0 ⋯ 0 0 0 c − a a − b ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ a − b 0 0 0 0 ⋯ c − a a − b | 令上述等式中的行列式的值为 x n − 1 ，代入上式于是有 x n = a ( a − b ) n − 1 + b ( a − c ) x n − 1 ，这样就把原来的问题转化为去求解一个新行列式的值的问题，与前面介绍的友矩阵的形式类似。 将此行列式按第一列进行展开，不难得到关于的递推公式 x n − 1 = ( a − b ) n − 2 + ( a − c ) x n − 2 这样可以通过归纳来写出 的表达式，进而求出 x n ，从而得到行列式的值。 x 1 = 1 ， x 2 = ( a − b ) + ( a − c ) ， x 3 = ( a − b ) 2 + ( a − b ) ( a − c ) + ( a − c ) 2 ， x 4 = ( a − b ) 3 + ( a − b ) 2 ( a − c ) + ( a − b ) ( a − c ) 2 + ( a − c ) 3 ， ⋯ 通过归纳，不难得到 x n − 1 = ( a − b ) n − 2 + ( a − b ) n − 3 ( a − c ) + ⋯ + ( a − b ) ( a − c ) n − 3 + ( a − c ) n − 2 = ( a − b ) n − 1 − ( a − c ) n − 1 ( a − b ) − ( a − c ) = ( a − b ) n − 1 − ( a − c ) n − 1 c − b 即 x n = a ( a − b ) n − 1 + b ( a − c ) ⋅ ( a − b ) n − 1 − ( a − c ) n − 1 c − b = a ( c − b ) ( a − b ) n − 1 + b ( a − c ) ( a − b ) n − 1 − b ( a − c ) n c − b = c ( a − b ) n − b ( a − c ) n c − b
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user: 7. 计算对称矩阵的行列式 1) 计算n阶行列式 [ 5 ] ： D n = | 1 + a 1 1 ⋯ 1 1 1 + a 2 ⋯ 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 1 ⋯ 1 + a n | ，其中 a 1 a 2 ⋯ a n ≠ 0 ； 2) F n = | 1 + a 1 a 1 ⋯ a 1 a 2 1 + a 2 ⋯ a 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n a n ⋯ 1 + a n | 。 行列式有一条加法的性质，即行列式的某一行是两组数的和，则这个行列式等于两个行列式的和。这两个行列式分别以其中某一组数作为该行，而其它行均与原行列式相同。如果用算式表达，即 | a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ b 1 + c 1 b 2 + c 2 ⋯ b n + c n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n | = | a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ b 1 b 2 ⋯ b n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n | + | a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ c 1 c 2 ⋯ c n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n | 在解决问题时，很多行列式不只有一行的形式较为复杂，可以多次运用此公式来进行化简。如果行列式的每一行都有一些元素是多项之和时，那么此时可以用上述公式n次，让这个较复杂的行列式的每一行都利用上述公式进行展开。每利用公式展开一次，行列式的个数就会比原来多一倍。经过n次展开后，会得到 2 n 个形式较为简单的子行列式。 对于(1)，不妨设 A = ( 1 1 ⋯ 1 1 1 ⋯ 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 1 ⋯ 1 ) ， B = ( a 1 a 2 ⋱ a n ) ，则 D n = | A + B | 。等价于求一个所有元素全是1的矩阵和一个对角阵的和矩阵的行列式。 如果从横向的角度去分析，从第一行开始拆成两个行列式，一直到最后一行，不仅工作量大，而且不好找出规律。因此我们可以从纵向的角度去分析，也就是从按照上述公式拆完之后的 2 n 个行列式的性质进行分析。 也就是说从 A 的第一列或者从 B 的第一列当中任取一列，当做子行列式的第一列；从 A 的第二列或者从 B 的第二列当中任取一列，当做子行列式的第二列……一直到第n列为止。对于子行列式当中的每一列都有2种取法，所以最后会有 2 n 种形式不同的子行列式，也刚好符合最初的判断。但对于这 2 n 个子行列式，只要其中有大于等于两列来自于 A 中，那么这个子行列式的值为零，剩下值不为零的子行列式要么只有一列来自 A ，或者全来自于 B 。从而使问题大大简化。因此有 D n = ( a 2 a 3 ⋯ a n + a 1 a 3 a 4 ⋯ a n + a 1 a 2 a 4 a 5 ⋯ a n + ⋯ + a 1 a 2 ⋯ a n − 1 ) + a 1 a 2 ⋯ a n = a 1 a 2 ⋯ a n ( 1 a 1 + 1 a 2 + ⋯ + 1 a n + 1 ) = a 1 a 2 ⋯ a n ( 1 + ∑ i = 1 n 1 a i ) 基于上述分析与(1)的结果，问题(2)就易于求解了。不妨设 A = ( 1 1 ⋱ 1 ) ， B = ( a 1 a 1 ⋯ a 1 a 2 a 2 ⋯ a 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n a n ⋯ a n ) ， 则 F n = | A + B | 。同样对于展开之后的 2 n 个子行列式来说，其中值不为零的行列式只包含两种情况： ① 子行列式中的每一列均来自于 A ； ② 子行列式中有且只有一列来自于 B 。 只有单位阵的行列式满足于第①种情况。现将第②种情况的子行列式的求法做一般项分析。假设子行列式中来自于 B 的那一列是第i列，则 | 1 a 1 ⋮ 1 a 2 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ ⋯ a i ⋮ ⋱ a n 1 | c 1 ↔ c i _ _ − | a 1 1 a 2 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a i ⋯ ⋯ 0 ⋮ ⋱ a n 1 | r 1 ↔ r i _ _ | a i a 2 1 ⋮ ⋱ a 1 ⋯ ⋯ 1 ⋮ ⋱ a n 1 | = a i 所以所有满足于第二种情况的行列式之和为 a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a n ，因此有 F n = 1 + a 1 + a 2 + ⋯ + a n
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user: 8. 计算带状矩阵的行列式 还有一类特殊的行列式叫做带状行列式，下面计算一个特殊的带状矩阵的行列式 [ 6 ] 。 1) 试证： | a + b a b 0 ⋯ 0 0 1 a + b a b ⋯ 0 0 0 1 a + b ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 a + b | = a n + 1 − b n + 1 a − b ( a ≠ b ) 。 证：可以用数学归纳法证明。 当 n = 1 时，原式 = a + b ；当 n = 2 时，原式 = a 2 + a b + b 2 ，等式均成立。 假设当 n = k 时等式成立；当 n = k + 1 时， 原 式 = ( a + b ) ⋅ | a + b a b 0 ⋯ 0 0 1 a + b a b ⋯ 0 0 0 1 a + b ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 a + b | − | a b 0 0 ⋯ 0 0 1 a + b a b ⋯ 0 0 0 1 a + b ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 a + b | = ( a + b ) ⋅ a n + 1 − b n + 1 a − b − a b ⋅ a n − b n a − b = a n + 2 − b n + 2 a − b 所以当 n = k + 1 时，等式成立，证毕。 但对于一般形式的带状行列式，可能结果得到的式子就不会有这么好的对称性了，却很有研究价值。 2) 计算下列n阶带状矩阵的行列式： X n = | a b 0 ⋯ 0 0 c a b ⋯ 0 0 0 c a ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ a b 0 0 0 ⋯ c a | 不难得到关于 X n 的三项递推关系式： ，其中 X 1 = a ， X 2 = a 2 − b c 。 X n 实质上就是一个数列，对于这样的数列可以用特征方程去求解。 它的特征方程为 y 2 − a y + b c = 0 ，设此方程的两个根为 y 1 和 y 2 ，有 y 1 = 1 2 a + 1 2 a 2 − 4 b c ， y 2 = 1 2 − 1 2 a 2 − 4 b c 对于 y 1 和 y 2 的取值，需要做以下三类讨论： ① 当 a 2 − 4 b c > 0 时， y 1 和 y 2 是两个不同的实根，则 X n = C 1 y 1 n + C 2 y 2 n ( C 1 和 C 2 为待定系数，它们的值取决于整个数列的前两项的值，即 X 1 和 X 2 的值，下同)。分别令 n = 1 和2，得到 { C 1 y 1 + C 2 y 2 = X 1 C 1 y 1 2 + C 2 y 2 2 = X 2 ，解得 C 1 = X 2 − X 1 y 2 y 1 ( y 1 − y 2 ) ， C 2 = X 2 − X 1 y 1 y 2 ( y 2 − y 1 ) 。 ② 当 a 2 − 4 b c < 0 时， y 1 和 y 2 是两个相同的实根， y 1 = y 2 = 1 2 a ，则 X n = ( C 1 + C 2 n ) y 1 n 。代入初值有 { ( C 1 + C 2 ) y 1 = X 1 ( C 1 + 2 C 2 ) y 1 2 = X 2 ，解得 C 1 = 2 X 1 y 1 − X 2 y 1 2 ， C 2 = X 2 − X 1 y 1 y 1 2 。 ③ 当 a 2 − 4 b c < 0 时，和是两个不同的复根 r ( cos θ ± i sin θ ) ，则 X n = r n ( C 1 cos n θ + C 2 sin n θ ) 这个问题我们不再继续对a，b，c的取值进行较为细致的分类讨论，此过程复杂而且繁琐，只要能够把一组具体的a，b，c的值所对应的行列式求解出来即可。 如果从归纳的角度来分析这个问题，得到的通项公式却是另一种结果。我们可以写出 X n 的前几项，再通过前几项归纳出 X n 的通项公式。 X 1 = a X 2 = a 2 − b c X 3 = a 3 − 2 a b c X 4 = a 4 − 3 a 2 b c + b 2 c 2 X 5 = a 5 − 4 a 3 b c + 3 a 2 b 2 c 2 X 6 = a 6 − 5 a 4 b c + 6 a 2 b 2 c 2 − b 3 c 3 X 7 = a 7 − 6 a 5 b c + 10 a 3 b 2 c 2 − 4 a b 3 c 3 X 8 = a 8 − 7 a 6 b c + 15 a 4 b 2 c 2 − 10 a 2 b 3 c 3 + b 4 c 4 X 9 = ⋯ 由此归纳 X n = a n − C n − 1 1 a n − 2 b c + C n − 2 2 a n − 4 b 2 c 2 − C n − 3 3 a n − 6 b 3 c 3 + ⋯ ，这个公式同样可以用数学归纳法进行证明，这里不再赘述。 通过以上两种方法均可以求出 X n 的表达式，但这两种表达式的形式却截然不同，那么这两种表达式之间是否存在一定的联系呢？ 引申：如果把 X n 的每一项的系数的绝对值单独列出来，会组成一个这样的数表： 系数排布 每行求和 1 1 1 1 2 1 2 3 1 3 1 5 1 4 3 8 15 6 1 13 1 6 104 21 1 7 15101 34 1 8 21205 55 1 9 2835151 89 整个系数的排布就像是一个斜着的杨辉三角形，只不过杨辉三角形的每一横行在这里变成了一条由左上至右下的一条斜线了。而有意思的是每一行求和后组成的数列刚好都符合斐波那契数列的每一项。 此时不妨令 a = 1 ， b = 1 ， c = − 1 ，这样 X n 当中的每一项 X i 的值刚好就等于对应的那一行(即第i行)的系数的绝对值之和，即 X 1 = 1 ， X 2 = 2 ， X 3 = 3 ， X 4 = 5 ， ⋯ 同样的还可以得到 X n = C n 0 + C n − 1 1 + C n − 2 2 + ⋯ ，这都与斐波那契数列当中的某些项是对应的。 而从递推关系的角度来看，关于数列 X n 的递推公式为 X n = X n − 1 + X n − 2 ，也刚好符合斐波那契数列 X n 的递推公式，只不过数列的前两项与斐波那契数列不同，刚好错了一位。 不妨设斐波那契数列的通项公式为 A n ，那么不难得到 A n = X n − 1 = C n − 1 0 + C n − 2 1 + C n − 3 2 + ⋯ ( n ≥ 2 ) 当 n = 1 时， A n = C 0 0 = 1 ，刚好也满足于上述的通项公式。这便是斐波那契数列的通项公式的另一种表现形式： A n = C n − 1 0 + C n − 2 1 + C n − 3 2 + ⋯ ，有别于用特征方程所得到的通项公式 A n = 5 5 [ ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n ] 但二者实际上是等价的。 这里不仅在于解决了一种特殊类型的行列式，更重要的是还通过对数列的归纳找到了杨辉三角，与斐波那契数列之间的潜在联系，并通过这种联系找到了斐波那契数列通项公式的另一种表示方法。