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user: 2. 主要结果的证明 首先介绍有限维对角算子在概率框架下的熵数。 韩永杰 [ 18 ] 首次提出并给出了有限维恒等算子在概率框架下的熵数，并得到了其渐近阶。 引理2.1 [ 18 ] 设 1 ≤ q ≤ 2 ， δ ∈ ( 0 ， 1 2 ] ，则 ε n ， δ ( I m ) : = ε n ， δ ( I m : ℝ m → l q m ， γ m ) = ε n ， δ ( ℝ m ， l q m ， γ m ) ≻ ≺ 2 − n m m 1 q − 1 2 m + ln 1 δ   . 其中， I m 为 ℝ m 到 l q m 上的恒等算子。 引理2.2 [ 20 ] 设 1 ≤ q < p ≤ ∞ ， D m 为 l p m 到 l q m 上的对角算子， n ∈ ℕ ，则 sup 1 ≤ k ≤ m 2 − n k ( σ 1 ⋯ σ k ) 1 k k 1 q − 1 p ≪ ε n ( D m ) ≪ sup 1 ≤ k ≤ m 2 − n k ( σ 1 ⋯ σ k ) 1 k m 1 q − 1 p . 定理2.3 设 1 ≤ q ≤ 2 ， δ ∈ ( 0 ， 1 2 ] ， n ∈ ℕ ，则 sup 1 ≤ k ≤ m 2 − n k ( σ 1 ⋯ σ k ) 1 k ⋅ k 1 q − 1 2 k + ln 1 δ ≪ ε n ， δ ( D m : ℝ m → l q m ， γ m ) ≪ sup 1 ≤ k ≤ m 2 − n k ( σ 1 ⋯ σ k ) 1 k ⋅ m 1 q − 1 2 m + ln 1 δ   . 证明：估计定理2.3的上界： 由文献 [ 21 ] 可知，一定存在绝对正常数 C 0 ，使得 γ m ( x ∈ ℝ m |   ‖ x ‖ l 2 m > C 0 m + ln 1 δ ) ≤ δ . 由引理2.2，有 ε n ， δ ( D m : ℝ m → l q m ， γ m ) ≤ ε n ( D m ( C 0 m + ln 1 δ ) B 2 m ， l q m ) = C 0 m + ln 1 δ ε n ( D m ( B 2 m ) ， l q m ) ≪ sup 1 ≤ k ≤ m 2 − n k ( σ 1 ⋯ σ k ) 1 k ⋅ m 1 q − 1 2 m + ln 1 δ   . 估计定理2.1的下界： 令 1 ≤ k ≤ m ， I k : l 2 k → l 2 m ( x 1 ， ⋯ ， x k ) ↦ ( x 1 ， ⋯ ， x k ， 0 ， ⋯ ， 0 ) ， P k : l q m → l q k ( x 1 ， ⋯ ， x k ， ⋯ ， x m ) ↦ ( x 1 ， ⋯ ， x k ) ， D k : l 2 k → l q k ，则 D k = P k D m I k 。 下证： ε n ， δ ( D k : ℝ k → l q k ， γ k ) ≤ ε n ， δ ( D m : ℝ m → l q m ， γ m ) 。 事实上，存在 Q m ⊂ ℝ m ，且 γ m ( Q m ) ≥ 1 − δ ，使得 ε n ， δ ( D m : ℝ m → l q m ， γ m ) = ε n ( D m ( Q m ) ， l q m ) . 从而存在 y 1 ， ⋯ ， y l ( l ≤ 2 n ) ，使得 D m ( Q m ) ⊂ ∪ j = 1 l { y j + ε n ， δ B q m }     . 令 Q k = P k Q m ，则 γ k ( Q k ) ≥ 1 − δ 。若不然， γ k ( Q k ) < 1 − δ ，令 F = { ( x 1 ， ⋯ ， x k ， x k + 1 ， ⋯ ， x m ) | ( x 1 ， ⋯ ， x k ) ∈ Q k ， − ∞ < x j < ∞ ， j = k + 1 ， ⋯ ， m } ， 则 γ m ( F ) = γ k ( Q k ) < 1 − δ ，而 Q m ⊂ F ，矛盾。 因此， ε n ， δ ( D k : ℝ k → l q k ， γ k ) ≤ ε n ， δ ( D k ( Q k ) ， l q k ， γ k ) . 易见， D k ( Q k ) = P k ( D m ( Q m ) ) ，所以 D k ( Q k ) ⊂ ∪ j = 1 l { P k y j + ε n ， δ B q k }     . 所以 ε n ， δ ( D k : ℝ k → l q k ， γ k ) ≪ ε n ， δ ( D m : ℝ m → l q m ， γ m ) . 下面估计 ε n ， δ ( D k : ℝ k → l q k ， γ k ) 的下界。 设G为 ℝ k 中任一Borel集，且 γ k ( G ) < δ 。对 t ≥ 0 ，令 G t = { x ∈ ℝ k |   ‖ x ‖ l 2 k ≥ t } ，则存在 t 1 ≥ k + ln 1 δ ，使得 γ k ( G t 1 ) = δ 。 令 D = G ∩ G t 1 ， D 1 = G − D ， D 2 = G t 1 − D 。则 { ‖ x ‖ l 2 k ≤ t 1   x ∈ D 1 ‖ x ‖ l 2 k ≥ t 1   x ∈ D 2 且 V o l k ( ℝ k − G ) ≥ V o l k ( ℝ k − G t 1 ) ， 那么 2 n k ε n ( D k ( ℝ k − G t 1 ) ， l q k ) ≥ ( V o l k ( D k ( ℝ k − G t 1 ) ) V o l k ( B q k ) ) 1 k ≥ ( σ 1 ⋯ σ k ) 1 k ( V o l k ( ( ℝ k − G t 1 ) ) V o l k ( B q k ) ) 1 k ≥ ( σ 1 ⋯ σ k ) 1 k ( t 1 k V o l k ( B 2 k ) V o l k ( B q k ) ) 1 k ≥ ( σ 1 ⋯ σ k ) 1 k k 1 q − 1 2 k + ln 1 δ     . 即 ε n ( D k ( ℝ k − G ) ， l q k ) ≥ 2 − n k ( σ 1 ⋯ σ k ) 1 k k 1 q − 1 2 k + ln 1 δ ， 从而 ε n ， δ ( D k : ℝ k → l q k ， γ k ) ≫ 2 − n k ( σ 1 ⋯ σ k ) 1 k k 1 q − 1 2 k + ln 1 δ ， 故 ε n ， δ ( D m : ℝ m → l q m ， γ m ) ≫ sup 1 ≤ k ≤ m 2 − n k ( σ 1 ⋯ σ k ) 1 k k 1 q − 1 2 k + ln 1 δ . 综上可知，定理2.1得证。 其次，介绍无穷维对角算子在概率框架下的熵数。 主要估计对角线元素满足 σ k = 1 k α 的无穷维对角算子在概率框架下的熵数。首先，介绍一些符号和定义。 下面建立估计对角算子在概率框架下熵数上界的离散化定理。 定理2.4 设D为 l 2 到 l q ( 1 ≤ q < ∞ ) 的对角算子，且对角线上元素满足 σ 1 ≥ σ 2 ≥ ⋯ ≥ σ k ≥ ⋯ > 0 ， n ∈ ℕ ， δ ∈ ( 0 ， 1 2 ] ， n ∈ ℕ 0 { n k } 为非负整数列， { δ k } 为非负数列，且满足 ∑ k = 1 ∞ n k ≤ n ，   ∑ k = 1 ∞ δ k ≤ δ . 则 ε n ， δ ( D ) : = ε n ( D : l 2 → l q ， μ ) ≪ ∑ k = 1 ∞ 2 − k 2 ρ ε n k ， δ k ( D k : ℝ m k → l q m k ， γ m k ) . 其中 D k : l 2 m k → l q m k x = ( x 1 ， ⋯ ， x m k ) ↦ D k x = ( σ 2 k − 1 x 1 ， ⋯ ， σ 2 k − 1 x 2 k − 1 ) . 估计定理2.4的上界： 证明：对于任意的 k ∈ ℕ 0 由 ε n k ， δ k ( D k : ℝ m k → l q m k ， γ m k ) 的定义知，存在 M k ⊂ l q m k ，使得 | M k | ≤ 2 n k ，且 γ m k ( { y ∈ ℝ m k | e ( D k y ， M k ， l q m k ) > ε n k ， δ k } ) ≤ δ k . 其中 ε n k ， δ k : = ε n k ， δ k ( D k : ℝ m k → l q m k ， γ m k ) 。 令 D k : l 2 → l q x = ( x n ) ↦ D k x = ( 0 ， ⋯ ， 0 ， ⋯ ， σ 2 k − 1 x 2 k − 1 ， ⋯ ， σ 2 k − 1 x 2 k − 1 ， 0 ， ⋯ ) ， 对 x ∈ l 2 ，则 D k x ∈ F k 。易见 e ( D k x ， I k − 1 M k ， l q ) = e ( { 〈 D k x ， e 2 k − 1 + j − 1 〉 } j = 1 m k ， M k ， l q m k ) . 令 G k = { x ∈ l 2 | e ( D k x ， I k − 1 M k ， l q ) > ξ ″ k   1 2 ε n k ， δ k } . 则 μ ( G k ) = μ ( { x ∈ l 2 | e ( { 〈 D k x ， e 2 k − 1 + j − 1 〉 } j = 1 m k ， M k ， l q m k ) ≥ ξ ″ k 1 2 ε n k ， δ k } ) = γ m k ( { y ∈ ℝ m k | e ( e ( D k y ) ξ ¯ k 1 2 ， M k ξ ¯ 1 2 ， l q m k ) > ξ ″ k 1 2 ε n k ， δ k } ) ≤ γ m k ( { y ∈ ℝ m k | ξ ″ k 1 2 e ( D k y ， M k ， l q m k ) > ξ ″ k 1 2 ε n k ， δ k } ) = γ m k ( { y ∈ ℝ m k | e ( D k y ， M k ， l q m k ) > ε n k ， δ k } ) ≤ δ k . 令 G = ∪ k = 1 ∞ G k ， M = ∑ I k − 1 M k 。 则 μ ( G ) ≤ ∑ μ ( G n ) ≤ ∑ δ k ≤ δ ， | M | ≤ 2 ∑ n = 1 ∞ n k ≤ 2 n . 因此 ε n ， δ ( D : l 2 → l q ， μ ) ≪ sup x ∈ l 2 \ G e ( D x ， M ， l q ) ≪ sup x ∈ l 2 \ G ∑ e ( D k x ， I k − 1 M k ， l q ) ≪ ∑ k 2 − k 2 ρ ε n k ， δ k ( D k : ℝ m k → l q m k ， γ m k ) . 现在建立估计无穷维对角算子在概率框架下熵数下界的离散化定理。 定理2.5 设D满足引理1.1的条件， n ∈ ℕ ，记 k ≻ ≺ log n ，且 m k = 2 k + 1 ，则 ε n ， δ ( D : l 2 → l q ， μ ) ≫ 2 − k 2 ρ ε n ， δ ( D k : ℝ m k → l q m k ， γ m k ) ， 其中， D k : l 2 m k → l q m k x = ( x 1 ， ⋯ ， x m k ) ↦ D k x = ( σ 2 k − 1 x 1 ， ⋯ ， σ 2 k − 1 x 2 k − 1 ) . 证明：令 S = { j | 2 k − 1 ≤ j < 2 k − 1 } ，则 | S | = 2 k − 1 ， F s = s p a n { e j | j ∈ s } ，则 dim F s = 2 k − 1 ， 对 ∀ j ∈ S ， ξ j = 〈 C μ e j ， e j 〉 = j − ρ ，则 1 2 ρ k 2 ρ < ξ j ≤ 2 ρ 2 ρ k 。令 ξ ′ k = 1 2 ρ k ， ξ ″ k = 2 ρ 2 ρ k ， ξ ¯ k = ( ξ 2 k − 1 ， ⋯ ， ξ 2 k − 1 ) . 令 M 1 为 l q ∩ F s 中的子集，且 | M | ≤ 2 n ，则 μ { x ∈ l 2 ∩ F s | e ( D k x ， M 1 ， l q ∩ F s ) > ε n ， δ } ≤ δ . 其中 ε n ， δ : = ε n ， δ ( D : l 2 → l q ， μ ) 。 令 I s : F s → ℝ m k x = ∑ j ∈ s x j e j ↦ I s x = ∑ j = 1 m k x 2 k − 1 + j − 1 e ′ j . 则 I s 为 F s 到 ℝ m k 线性算子，且 ‖ x ‖ l q = ‖ I s x ‖ = ‖ { 〈 x ， e 2 k − 1 + j − 1 〉 } j = 1 m k ‖ l q m . 令 G = { y ∈ ℝ m k | e { ( D k y ) ， ( I s M 1 ) ， l q m k } > ξ ′ k − 1 2 ε n ， δ } . 则 γ m k ( G ) = γ m k ( { y ∈ ℝ m k | e ( ( D k y ) ξ ′ k 1 2 ， ( I s M 1 ) ξ ′ k 1 2 ， l q m k ) > ε n ， δ } ) ≤ γ m k ( { y ∈ ℝ m k | e ( ( D k y ) ξ ¯ k 1 2 ， ( I s M 1 ) ξ ¯ k 1 2 ， l q m k ) > ε n ， δ } ) = μ ( { x ∈ l 2 ∩ F s | e ( ( D x ， e j ) j ∈ s ， I s M 1 ， l q m k ) > ε n ， δ } ) ≤ μ ( { x ∈ l 2 ∩ F s | e ( D x ， M 1 ， l q ) > ε n ， δ } ) < δ . 所以 ε n ， δ ( D k : ℝ m k → l q m k ， γ m k ) ≤ e ( D k ( ℝ m k \ G ) ， I s M 1 ， l q m k ) = sup y ∈ ℝ m k \ G e ( D k y ， I s M 1 ， l q m k ) ≪ 2 ρ 2 k ε n ， δ . 即 ε n ， δ ( D : l 2 → l q ， μ ) ≫ 2 − ρ 2 k ε n ， δ ( D k : ℝ m k → l q m k ， γ m k ) . 定理2.6设 1 ≤ q ≤ 2 ， D = ( σ k ) 为 l 2 到 l q 上的对角算子，且 σ k ≻ ≺ 1 k α ， ( α > 1 q − 1 2 ) ， n ∈ ℕ ， δ ∈ ( 0 ， 1 2 ] ，则 ε n ， δ ( D : l 2 → l q ， μ ) ≻ ≺ n − ( α + ρ 2 − 1 q ) 1 + 1 n ln 1 δ     . 证明：估计定理2.6上界。 对 ∀ k ∈ ℕ ，令 n k = { 2 k 2 ( 1 − β ) ( k ′ − k ) ， k ≤ k ′ 2 k 2 ( 1 + β ) ( k ′ − k ) ， k > k ′ ， δ k = δ ⋅ n k n ， 其中 k ′ ≻ ≺ log n ， 0 < β < 1 。 则 ∑ n k ≤ n ， ∑ δ k ≤ δ ，且由引理2.1及定理2.5，得 ε n ， δ ( D : l 2 → l q ， μ ) ≪ ∑ k = 1 ∞ 2 − ρ k 2 ε n k ， δ k ( D k : ℝ m k → l q m k ， γ m k ) = ∑ k ≤ k ′ 2 − ρ k 2 ε n k ， δ k ( D k : ℝ m k → l q m k ， γ m k ) + ∑ k > k ′ 2 − ρ k 2 ε n k ， δ k ( D k : ℝ m k → l q m k ， γ m k ) = I 1 + I 2 . I 1 ≪ ∑ k ≤ k ′ 2 − ρ k 2 sup 1 ≤ j ≤ m k 2 − n k j ε n k ， δ k ( 1 2 ( k − 1 ) α ⋯ 1 ( 2 k − 1 + j − 1 ) α ) 1 j ⋅ m k 1 q − 1 2 m k + ln 1 δ k ≪ ∑ k ≤ k ′ 2 − ρ k 2 2 − 2 k 2 ( 1 − β ) ( k ′ − k ) 2 k − 1 ⋅ 1 2 k ρ ⋅ 2 k q + ∑ k ≤ k ′ 2 − ρ k 2 2 − 2 k 2 ( 1 − β ) ( k ′ − k ) 2 k − 1 ⋅ 1 2 k ρ ⋅ 2 ( 1 q − 1 2 ) k ln 1 δ 2 k 2 k 2 ( 1 − β ) ( k ′ − k ) ≪ ∑ k ≤ k ′ 2 − ( ρ 2 + α − 1 q ) k 2 − 2 ⋅ 2 ( 1 − β ) ( k ′ − k ) + ∑ k ≤ k ′ 2 − ( ρ 2 + α − 1 q + 1 2 ) k ⋅ 2 − 2 ⋅ 2 ( 1 − β ) ( k ′ − k ) β ( k ′ − k ) ≪ 2 − ( ρ 2 + α − 1 q ) k ′ ∑ 0 ≤ ξ ≤ k ′ − 1 2 ( ρ 2 − 1 q ) ξ − 2 ( 1 − β ) ξ + 2 − ( ρ 2 + α − 1 q + 1 2 ) k ′ ∑ 0 ≤ ξ ≤ k ′ 2 ( ρ 2 − 1 q + 1 2 ) ξ − 2 ⋅ 2 ( 1 − β ) ξ β ξ   ln 1 δ ≪ 2 − ( ρ 2 + α − 1 q ) k ′ + 2 − ( ρ 2 + α − 1 q + 1 2 ) k ′ ln 1 δ ≪ n − ( ρ 2 + α − 1 q ) 1 + 1 n ln 1 δ . I 2 ≪ ∑ k > k ′ 2 − ρ k 2 sup 1 ≤ j ≤ m k 2 − n k j ( 1 2 ( k − 1 ) α ⋯ 1 ( 2 k − 1 + j − 1 ) α ) j ⋅ 2 ( 1 q − 1 2 ) k 2 k + ln 2 − β ( k ′ − k ) δ ≪ 2 − ( ρ 2 + α − 1 q ) k ′ ∑ ξ > 0 2 − ( ρ 2 + α − 1 q ) ξ − 2 ⋅ 2 − ( 1 + β ) ξ + 2 − ( ρ 2 + α − 1 q ) k ′ ∑ ξ > 0 2 − ( ρ 2 + α + 1 2 − 1 q ) ξ − 2 ⋅ 2 ( 1 − β ) ξ β ξ   ln 1 δ ≪ n − ( ρ 2 + α − 1 q ) 1 + 1 n ln 1 δ . 估计定理2.6的下界。 ε n ， δ ≫ 2 − ρ k 2 2 − n 2 k − 1 1 ( 2 k − 1 ) α ( 2 k − 1 ) 1 q − 1 2 2 k − 1 + ln 1 δ ≫ 2 − ( ρ 2 + α − 1 q + 1 2 ) k 2 k + ln 1 δ ≫ n − ( ρ 2 + α − 1 q ) 1 + 1 n ln 1 δ . 综上所述，定理2.6得证。