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user: 4. 三阶电力系统的控制 随着电力系统用电需求的增加以及远距离输电方式的出现，系统会出现低频振荡现象，因此，我们可以设计相应的控制器使系统恢复稳定状态。本节讨论了参数已知时两种控制器设计方案以及参数未知时系统的控制器设计方案。 4.1. 自适应控制器设计 4.1.1. 控制器设计方案 自适应控制是基于自适应控制原理提出的控制设计方案，研究发现，该方法不仅适用于确定性系统，也适用于不确定性系统。现在采用自适应控制方法对方程(3)进行控制器设计。 取 U = ( u 1 ， u 2 ， u 3 ) T ，其中， u 1 = − k 1 ( x − x ¯ ) ， u 2 = − k 2 ( y − y ¯ ) ， u 3 = − k 3 ( z − z ¯ ) ， ( x ¯ ， y ¯ ， z ¯ ) 表示系统的平衡点。则该系统的受控系统表示为如下形式： { x ˙ = d y − k 1 ( x − x ¯ ) ， y ˙ = − a y + b − c z sin x − k 2 ( y − y ¯ ) ， z ˙ = − z + 0.5 cos x + 0.5 − k 3 ( z − z ¯ ) . (7) 受控系统(7)在平衡点 P ( x ¯ ， y ¯ ， z ¯ ) 处的雅可比矩阵为： J = ( − k 1 d 0 − c z ¯ cos x ¯ − a − k 2 − c sin x ¯ − 0.5 sin x ¯ 0 − 1 − k 3 ) ， (8) 特征值方程可以表示成如下形式： P ( λ ) = λ 3 + a 1 λ 2 + a 2 λ + a 3 ， (9) 其中， a 1 = k 1 + k 2 + k 3 + 1 + a ， a 2 = k 1 k 2 + k 1 k 3 + k 2 k 3 + a k 1 + a k 3 + k 1 + k 2 + a + c d z ¯ cos x ¯ ， a 3 = k 1 k 2 k 3 + a k 1 k 3 + k 1 k 2 + a k 1 + c d ( k 3 + 1 ) z ¯ cos x ¯ − 0.5 c sin 2 x ¯ . 根据Hurwitz判据可知，当控制参数 k 1 、 k 2 、 k 3 满足如下关系式时，系统(7)可以在平衡点处渐近稳定。即： a 1 > 0 ，     a 2 > 0 ，     a 3 > 0 ，     a 1 a 2 − a 3 > 0. (10) 4.1.2. 数值仿真 取系统参数 a = − 0.14 ， b = 0.5 ， c = 1 ， d = 1 ，控制参数 k 1 = 1 ， k 2 = 10 ， k 3 = 1 ，经过计算，系统存在两个平衡点 P 1 ( 0.5748 ， 0 ， 0.9196 ) 和 P 2 ( 1.5708 ， 0 ， 0.5 ) 。下面以平衡点 P 1 为例进行数值实验。图7表示在自适应控制下系统被稳定在平衡点 P 1 处，在相图中，系统从任一初始值出发，均可以被控制在平衡点处，在时序图中系统在4秒左右达到了渐近稳定，由仿真结果可以得到控制器设计的正确性。并且通过计算得到此时满足Hurwitz判据的条件，仿真结果和理论一致。 图7. 系统的相图和时序图 4.2. 非线性反馈控制器设计 4.2.1 . 控制器设计方案 非线性反馈是通过非线性环节而构成的一种反馈方式，一般情况下，采用非线性反馈比采用线性反馈可以获得更好的效果，对简化系统结构也起到一定的作用。下面运用非线性反馈方法对参数已知的情况进行控制器设计。 为了方便讨论，对方程(3)作如下变换： { q 1 = x − x ¯ ， q 2 = y − y ¯ ， q 3 = z − z ¯ . (11) 其中， ( x ¯ ， y ¯ ， z ¯ ) 为系统的平衡点，则系统变为如下形式： { q ˙ 1 = d q 2 ， q ˙ 2 = − a q 2 − c ( q 3 + z ¯ ) sin ( x ¯ + q 1 ) + b ， q ˙ 3 = − q 3 − z ¯ + 0.5 cos ( x ¯ + q 1 ) + 0.5. (12) 若方程(12)在原点处稳定，则原系统(3)在平衡点 P ( x ¯ ， y ¯ ， z ¯ ) 处稳定。 取 U = ( u 1 ， u 2 ， u 3 ) T 其中， { u 1 = p 1 q 1 ， u 2 = p 2 q 2 − d q 1 + c z ¯ sin ( x ¯ + q 1 ) − b ， u 3 = p 3 q 3 + c q 2 sin ( x ¯ + q 1 ) − 0.5 cos ( x ¯ + q 1 ) + z ¯ − 0.5. (13) 此处 p i ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 表示反馈增益，相应的受控系统如下： { q ˙ 1 = d q 2 + u 1 ， q ˙ 2 = − a q 2 − c ( q 3 + z ¯ ) sin ( x ¯ + q 1 ) + b + u 2 ， q ˙ 3 = − q 3 − z ¯ + 0.5 cos ( x ¯ + q 1 ) + 0.5 + u 3 . (14) 定理：当 p 1 < 0 ， p 2 < a ， p 3 < 1 时，系统(14)稳定于原点，从而原系统可以在平衡点 P ( x ¯ ， y ¯ ， z ¯ ) 处稳定。 证明： 将方程(13)带入到受控系统(14)中，整理得到 { q ˙ 1 = d q 2 + p 1 q 1 ， q ˙ 2 = ( p 2 − a ) q 2 − d q 1 − c q 3 sin ( x ¯ + q 1 ) ， q ˙ 3 = ( p 3 − 1 ) q 3 + c q 2 sin ( x ¯ + q 1 ) . (15) 构造一个Lyapunov函数 取 V = 1 2 q 1 2 + 1 2 q 2 2 + 1 2 q 3 2 ， V ˙ = q 1 q ˙ 1 + q 2 q ˙ 2 + q 3 q ˙ 3 = p 1 q 1 2 + d q 1 q 2 + ( p 2 − a ) q 2 2 − d q 1 q 2 − c q 2 q 3 sin ( x ¯ + q 1 )     + ( p 3 − 1 ) q 3 2 + c q 2 q 3 sin ( x ¯ + q 1 ) = p 1 q 1 2 + ( p 2 − a ) q 2 2 + ( p 3 − 1 ) q 3 2 要保证 V ˙ 是负定的，当且仅当以下三个不等式同时成立，即： p 1 < 0 ， p 2 < a ， p 3 < 1 . (16) 因此，当 p 1 < 0 ， p 2 < a ， p 3 < 1 时， V ˙ 是负定的，则系统(14)在原点处是稳定的，原系统可以在平衡点处达到稳定。 4.2.2 . 数值仿真 同样取 a = − 0.14 ， b = 0.5 ， c = 1 ， d = 1 ，此时考虑平衡点 P 2 ( 1.5708 ， 0 ， 0.5 ) 处的数值试验。取反馈增益 p 1 = − 10 ， p 2 = − 1.5 ， p 3 = − 1 ，初值可以任意取值。从图8的相图中可以看到，系统被很好的稳定在原点，从时序图中发现系统在3秒左右就稳定于原点，同时反馈增益的选取满足定理条件，表明控制器设计的良好性。 图8. 系统相图和时序图 4.3. 未知参数控制器设计 4.3.1 . 未知参数控制器设计方案 接下来考虑某些参数未知时，即系统参数a，b，d未知时，控制器设计方案。当参数a，b，d未知， c = 1 时，相应的受控系统如下： { x ˙ = d y + u 1 ， y ˙ = − a y + b − z sin x + u 2 ， z ˙ = − z + 0.5 cos x + 0.5 + u 3 . 取控制器 u 1 = − k 1 x ， u 2 = − k 2 y + z sin x − b ^ ， u 3 = − k 3 z − 0.5 cos x − 0.5 。 未知参数辨识律 a ^ ˙ = − y 2 ， b ^ ˙ = y ， d ^ ˙ = x y 。 a ˜ = a − a ^ ， b ˜ = b − b ^ ， d ˜ = d − d ^ ，式中 a ^ ， b ^ ， d ^ 是未知参数a，b，d的估计值， a ˜ ， b ˜ ， d ˜ 分别表示未知参数a，b，d的误差。 证明： 取Lyapunov函数 V ( x ， y ， z ， a ˜ ， b ˜ ， d ˜ ) ， V = 1 2 ( x 2 + y 2 + z 2 + a ˜ 2 + b ˜ 2 + d ˜ 2 ) ， V ˙ = x x ˙ + y y ˙ + z z ˙ + ( a − a ^ ) ( − a ^ ˙ ) + ( b − b ^ ) ( − b ^ ˙ ) + ( d − d ^ ) ( − d ^ ˙ ) = d x y − k 1 x 2 − a y 2 − k 2 y 2 + ( b − b ^ ) y − k 3 z 2 − z 2 + ( a − a ^ ) y 2 + ( b − b ^ ) ( − y ) + ( d − d ^ ) ( − x y ) = − k 1 x 2 − k 2 y 2 − k 3 z 2 − z 2 + d x y − d x y + d ^ x y − a y 2 + a y 2 − a ^ y 2 = − k 1 x 2 − k 2 y 2 − k 3 z 2 − z 2 + d ^ x y − a ^ y 2 = − [ x ， y ， z ] ( k 1 − d ^ 0 0 k 2 + a ^ 0 0 0 k 3 + 1 ) [ x ， y ， z ] T 所以当满足 k 1 > 0 ， k 2 > − a ^ ， k 3 > − 1 的条件时，系统渐近稳定于原点。 4.3.2 . 数值仿真 系统参数 c = 1 ，未知参数实际值 = − 0.14 ， b = 0.5 ， d = 1 ，控制参数 k 1 = 1 ， k 2 = 1 ， k 3 = 1 。从图9的时序图中可以看到，系统在12秒左右渐近稳定于原点。从图9的未知参数估计值可以得到 a ^ = − 0.14 ， b ^ = 0.5 ， d ^ = 1 ，与实际值相一致，表明控制器与未知参数辨识律设计的正确性。 图9. 带有未知参数时系统时序图和未知参数的估计值