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user: 3. 基于 Z 2 p m 的广义分圆类构造差集偶 以下介绍 Z 2 p m 广义分圆类 [ 7 ]。 记奇素数 p = e f + 1 ，f是一个偶数。g是模 p m 的原根，则g或 g + p m 是奇数，且是模 2 p j ( 1 ≤ j ≤ m ) 的一个公共原根。下面用g来表示这个公共原根，且不妨假设g为奇数 [ 11 ]。对于任意的j，令 d j = ϕ ( p j ) e = p j − 1 f ，其中， ϕ ( ⋅ ) 是欧拉函数。 对于 i ∈ Z ， s = p j 或 s = 2 p j 定义 D i ( s ) : = { g i + d j t ( mod s ) : 0 ≤ t < e } = g i D 0 ( s ) . 由定义可知 D i ( s ) 只取决于同余类 i ( mod d j ) ，若 n ( mod s ) ∈ D i ( s ) ，则 n ∈ D i ( s ) 。 对于 ( s ， a ) = ( p j ， p m − j ) ， ( p j ， 2 p m − j ) 或者 ( 2 p j ， p m − j ) 定义 a D i ( s ) : = { a g i + d j t ( mod a s ) : 0 ≤ t < e } 对于 p j 的 d j 阶广义分圆类，可知 Z p j * 中 { D 0 ( p j ) ， D 1 ( p j ) ， ⋯ ， D d j − 1 ( p j ) } 构成。从而有 Z p m = ∪ j = 1 m ∪ i = 0 d j − 1 p m − j D i ( p j ) ∪ { 0 } ， Z 2 p m = ∪ j = 1 m ∪ i = 0 d j − 1 p m − j ( 2 D i ( p j ) ∪ D i ( 2 p j ) ) ∪ { 0 ， p m } 。 引理1 设 k ∈ D i ( 2 p j ) ， 1 ≤ k < p j − 1 。若 k 为奇数，则 k ∈ D i ( 2 p j ) ；若k为偶数，则 k + p j ∈ D i ( 2 p j ) 。 证：因为 k ∈ D i ( 2 p j ) ，所以存在 0 ≤ t 0 < e ，使得 g i + d j t 0 ≡ k ( mod p j ) 。 若k为奇数，因g是奇数，故 g i + d j t 0 − k 为偶数，因此 2 | ( g i + d j t 0 − k ) ，又 p j | ( g i + d j t 0 − k ) ，所以 2 p j | ( g i + d j t 0 − k ) ， g i + d j t 0 ≡ k ( mod 2 p j ) ，即 k ∈ D i ( 2 p j ) 。 若 k 为偶数， g i + d j t 0 − k − p j 为偶数，因此 2 | ( g i + d j t 0 − k − p j ) 。显然 p j | ( g i + d j t 0 − k − p j ) ，所以 2 p j | ( g i + d j t 0 − k − p j ) ， g i + d j t 0 ≡ ( k + p j ) ( mod 2 p j ) ，即 k + p j ∈ D i ( 2 p j ) 。 定理1 记 C 0 ( p j ) = ∪ k = 0 d j / 2 − 1 D 2 k ( p j ) ， C 1 ( p j ) = ∪ k = 0 d j / 2 − 1 D 2 k + 1 ( p j ) 。设 s ∈ ( C 1 ( p j ) − C 0 ( p j ) ) ⊂ Z p j 且 1 ≤ s ≤ p j − 1 。 1) 若s为偶数，则 s ∈ ( C 1 ( 2 p j ) − C 0 ( 2 p j ) ) ，其中 C 0 ( 2 p j ) = ∪ k = 0 d j / 2 − 1 D 2 k ( 2 p j ) ， C 1 ( 2 p j ) = ∪ k = 0 d j / 2 − 1 D 2 k + 1 ( 2 p j ) ； 2) 若s为奇数，则 s + p j ∈ ( C 1 ( 2 p j ) − C 0 ( 2 p j ) ) 。 证：设 x ∈ C 1 ( p j ) ， y ∈ C 0 ( p j ) ， 1 ≤ x ， y ≤ p j − 1 ，其中 x ， y 分奇偶共四种情况，我们仅以x为偶数y为奇数或偶数这两种情况进行证明，其余两种情况类似。 设x为偶数，y为偶数。由引理1， x + p j ∈ C 1 ( 2 p j ) ， y + p j ∈ C 0 ( 2 p j ) 。若 x > y ，则 1 ≤ x − y = s ≤ p j − 1 为偶数，且 s ∈ C 1 ( p j ) − C 0 ( p j ) ，此时， 1 ≤ ( x + p j ) − ( y + p j ) = x − y = s ≤ p j − 1 ≤ 2 p j − 1 ∈ C 1 ( 2 p j ) − C 0 ( 2 p j ) 。 若 x < y ，则 1 − p j ≤ x − y ≤ − 1 为偶数，令 s = x − y + p j ，则 1 ≤ s ≤ p j − 1 为奇数，且 s ∈ C 1 ( p j ) − C 0 ( p j ) ， 1 − p j ≤ x + p j − ( y + p j ) = x − y ≤ − 1 ，此时， p j ≤ x − y + 2 p j ≤ − 1 + 2 p j ∈ C 1 ( 2 p j ) − C 0 ( 2 p j ) ， x − y = s + p j 。 设 x 为偶数，y为奇数。若 x > y ，则 1 ≤ x − y ≤ p j − 1 ，令 x − y = s ，则 s 为奇数，且 s ∈ C 1 ( p j ) − C 0 ( p j ) ，此时， 1 + p j ≤ x + p j − y = s + p j ≤ 2 p j − 1 ∈ C 1 ( 2 p j ) − C 0 ( 2 p j ) 。若 x < y ，则 1 − p j ≤ x − y ≤ − 1 ，令 s = x − y + p j ，则 1 ≤ s ≤ p j − 1 为偶数，而 1 ≤ x + p j − y = s ≤ p j − 1 ≤ 2 p j − 1 ∈ C 1 ( 2 p j ) − C 0 ( 2 p j ) 。证毕。 Ding和Helleseth [ 7 ] 给出了 Z p m 上的分圆数，刻画了可逆元素在分圆类的差的集合中出现的次数。这里给出更加详细的刻画。记 Δ ( A ， A ) 是一个多重集， Δ ( A ， A ) = { x − y ， x ∈ A ， y ∈ A } ，则有如下结论： 定理2 若 p ≡ 1 ( mod 4 ) ，则 Δ ( C 0 ( p j ) ， C 0 ( p j ) ) = p j − 1 ( p − 5 ) 4 C 0 ( p j ) ∪ p j − 1 ( p − 1 ) 4 C 1 ( p j ) ∪ p j − 1 ( p − 1 ) 2 Z p j \ Z p j * ； 若 p ≡ 3 ( mod 4 ) ，则 Δ ( C 0 ( p j ) ， C 0 ( p j ) ) = p j − 1 ( p − 3 ) 4 C 0 ( p j ) ∪ p j − 1 ( p − 3 ) 4 C 1 ( p j ) ∪ p j − 1 ( p − 1 ) 2 Z p j \ Z p j * ； 证：根据文献 [ 7 ]， | ( C 0 p j + τ ) ∩ C 0 ( p j ) | = p j − 1 | ( C 0 ( p ) + τ p ) ∩ C 0 ( p ) | ，其中， τ p ≡ τ ( mod p ) 。若 τ ∈ C 0 ( p j ) ，即 τ ≡ g 2 k ( mod p j ) ，则 τ p ≡ τ ≡ g 2 k ( mod p ) ，因此 τ p ∈ C 0 ( p ) 。此时， | C 0 ( p j ) + τ ∩ C 0 ( p j ) | = p j − 1 [ ( 1 ， 1 ) 2 ] 。若 τ 是不可逆元，则 τ p ≡ 0 ( mod p ) ，此时 | C 0 ( p j ) + τ ∩ C 0 ( p j ) | = p j − 1 ⋅ | C 0 ( p ) | = p j − 1 ⋅ p − 1 2 ⋅ p − 1 2 为奇数，因此， Δ ( C 0 ( p j ) ， C 0 ( p j ) ) = p j − 1 [ ( 0 ， 0 ) ( p ) ] C 0 ( p j ) ∪ p j − 1 [ ( 1 ， 1 ) ( p ) ] C 1 ( p j ) ∪ p j − 1 ( p − 1 ) 2 ( Z p j − Z p j * ) ， 而根据文献 [ 7 ]， p ≡ 1 ( mod 4 ) ， ( 0 ， 0 ) ( p ) = p − 5 4 ， ( 1 ， 1 ) ( p ) = p − 1 4 ；当 p ≡ 3 ( mod 4 ) ， ( 0 ， 0 ) ( p ) = ( 1 ， 1 ) ( p ) = p − 3 4 。代入即可得证。 环上的广义分圆类常用来构造差集、差族等。对于环 Z 2 p m 上的广义分圆类，通过数值实验，我们给出如下两个猜测： 猜想1 U = ∪ j = 1 m ∪ i = 0 d j / 2 − 1 p m − j ( 2 D 2 i ( p j ) ∪ D 2 i + 1 ( 2 p j ) ) ，   V = ∪ j = 1 m ∪ i = 0 d j / 2 − 1 p m − j ( 2 D 2 i ( p j ) ∪ D 2 i ( 2 p j ) ) ∪ { p m } 构成参数为 ( 2 p m ， p m − 1 ， p m ， p m − 1 2 ， p m − 1 2 ) 的差集偶。 例1 当 e = 1 ， f = 2 ， m = 1 ， p = 3 ， p m = 3 ， 2 p m = 6 时， d 1 = 2 。此时 U = { 2 ， 5 } ， V = { 2 ， 1 ， 3 } 。 经验证， ( U ， V ) 是环 Z 6 上一个参数为 ( 6 ， 2 ， 3 ， 1 ， 1 ) 的差集偶。 例2 当 e = 1 ， f = 2 ， m = 3 ， p = 3 ， p m = 27 ， 2 p m = 54 时， d 1 = 2 ， d 2 = 6 ， d 3 = 18 。此时 U = { 18 ， 6 ， 24 ， 42 ， 2 ， 8 ， 32 ， 20 ， 26 ， 50 ， 38 ， 44 ， 14 ， 45 ， 33 ， 51 ， 15 ， 29 ， 35 ， 5 ， 47 ， 53 ， 23 ， 11 ， 17 ， 41 } ， V = { 18 ， 6 ， 24 ， 42 ， 2 ， 8 ， 32 ， 20 ， 26 ， 50 ， 38 ， 44 ， 14 ， 9 ， 3 ， 39 ， 21 ， 1 ， 31 ， 43 ， 37 ， 13 ， 25 ， 19 ， 49 ， 7 ， 27 } 。 经验证， ( U ， V ) 是环 Z 54 上一个参数为 ( 54 ， 26 ， 27 ， 13 ， 13 ) 的差集偶。 例3 当 e = 2 ， f = 2 ， m = 2 ， p = 5 ， p m = 25 ， 2 p m = 50 时， d 1 = 2 ， d 2 = 10 。根据猜想1可得到 U = { 10 ， 40 ， 2 ， 48 ， 8 ， 42 ， 32 ， 18 ， 28 ， 22 ， 12 ， 38 ， 35 ， 15 ， 27 ， 23 ， 33 ， 17 ， 7 ， 43 ， 3 ， 47 ， 37 ， 13 } V = { 10 ， 40 ， 2 ， 48 ， 8 ， 42 ， 32 ， 18 ， 28 ， 22 ， 12 ， 38 ， 5 ， 45 ， 1 ， 49 ， 29 ， 21 ， 41 ， 9 ， 39 ， 11 ， 31 ， 19 ， 25 } 经验证， ( U ， V ) 是环 Z 50 上一个参数为 ( 50 ， 24 ， 25 ， 12 ， 12 ) 的差集偶。 例4 当 e = 6 ， f = 2 ， m = 1 ， p = 13 ， p m = 13 ， 2 p m = 26 时， d 1 = 2 。此时 U = { 2 ， 8 ， 6 ， 24 ， 18 ， 20 ， 15 ， 21 ， 19 ， 11 ， 5 ， 7 } ， V = { 2 ， 8 ， 6 ， 24 ， 18 ， 20 ， 1 ， 17 ， 3 ， 25 ， 9 ， 23 ， 13 } 。 经验证， ( U ， V ) 是环 Z 26 上一个参数为 ( 26 ， 12 ， 13 ， 6 ， 6 ) 的差集偶。 猜想2 U = ∪ j = 1 m ∪ i = 0 d j / 2 − 1 p m − j ( 2 D 2 i ( p j ) ∪ D 2 i + 1 ( 2 p j ) ) ，   V = ∪ j = 1 m ∪ i = 0 d j / 2 − 1 p m − j ( 2 D 2 i ( p j ) ∪ D 2 i ( 2 p j ) ) ∪ { 0 } 构成参数为 ( 2 p m ， p m − 1 ， p m ， p m − 1 2 ， p m − 1 2 ) 的差集偶。 例5 当 e = 5 ， f = 2 ， m = 1 ， p = 11 ， p m = 11 ， 2 p m = 22 时， d 1 = 2 。此时 U = { 13 ， 19 ， 21 ， 7 ， 17 ， 2 ， 8 ， 10 ， 18 ， 6 } ， V = { 1 ， 15 ， 5 ， 9 ， 3 ， 2 ， 8 ， 10 ， 18 ， 6 ， 0 } 。 经验证， ( U ， V ) 是环 Z 22 上一个参数为 ( 22 ， 10 ， 11 ， 5 ， 5 ) 的差集偶。 例6 当 e = 2 ， f = 2 ， m = 1 ， p = 5 ， p m = 5 ， 2 p m = 10 时， d 1 = 2 。根据猜想2可得到 U = { 2 ， 8 ， 7 ， 3 } ， V = { 2 ， 8 ， 1 ， 9 ， 0 } 。 经验证， ( U ， V ) 是环 Z 10 上一个参数为 ( 10 ， 4 ， 5 ， 2 ， 2 ) 的差集偶。 例7 当 e = 9 ， f = 2 ， m = 1 ， p = 19 ， p m = 19 ， 2 p m = 38 时， d 1 = 2 。根据猜想2可得到 U = { 2 ， 8 ， 32 ， 14 ， 18 ， 34 ， 22 ， 12 ， 10 ， 21 ， 27 ， 13 ， 33 ， 37 ， 15 ， 3 ， 31 ， 29 } ， V = { 2 ， 8 ， 32 ， 14 ， 18 ， 34 ， 22 ， 12 ， 10 ， 1 ， 23 ， 35 ， 7 ， 9 ， 17 ， 11 ， 25 ， 5 ， 0 } 。 经验证， ( U ， V ) 是环 Z 38 上一个参数为 ( 38 ， 18 ， 19 ， 9 ， 9 ) 的差集偶。