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user: 1. 引言 若一个矩阵的所有子式都是非正的(非负的)，则称此矩阵为完全非正(非负)矩阵。若矩阵A的所有k阶非零子式有相同符号 ε k ( k = 1 ， ⋯ ， n ) ，则称矩阵A为符号序列为 { ε k }   ( ε k = ± 1 ) 的符号规则矩阵(简称为SR矩阵)。这几类结构矩阵在概率论、组合学和数值代数等中都有着广泛的应用 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]。 在数值线性代数中，我们追求的目标是高精度的数值计算。在文 [ 4 ] 中，R. Huang对两类特殊的符号序列为 ( 1 ， ⋯ ， 1 ， − 1 ) 的广义SR矩阵(quasi-Vandermonde and quasi-Cauchy)的所有特征值进行了高精度计算。 本文将研究quasi-h-Bernstein-Vandermonde矩阵 A = ( a i j ) ∈ ℝ n × n 的所有特征值的高精度计算，此类矩阵的形式如下： a i j = { ( n − 1 j − 1 ) ∏ k = 0 j − 2 ( t i + k h ) ∏ k = 0 n − j − 1 ( 1 − t i + k h ) ∏ k = 0 n − 2 ( 1 + k h ) ，           ( i ， j ) ≠ ( n ， n ) ; ∏ k = 0 n − 2 ( t n + k h ) ∏ k = 0 n − 2 ( 1 + k h ) − z ，                                                           ( i ， j ) = ( n ， n ) ， (1.1) 其中 h ≥ 0 ， 0 < t 1 < t 2 < ⋯ < t n < 1 ， ∏ l = 1 n − 1 ( t n − t l ) ∏ l = 1 n − 1 ( 1 − t l ) < z ≤ t n ∏ l = 2 n − 1 ( t n − t l ) ∏ l = 2 n − 1 ( 1 − t l ) 。 在文 [ 5 ] 定理9中，符号序列为 ( 1 ， ⋯ ， 1 ， − 1 ) 的非奇异SR矩阵 A ∈ ℝ n × n 被唯一分解为 A = B 1 ⋯ B n − 2 B n − 1 P B n D C n − 1 ⋯ C 1 (1.2) 且 { d i i > 0 ，           1 ≤ i ≤ n ; β i j ≥ 0 ，       1 ≤ j < i ≤ n ; α i j ≥ 0 ，       1 ≤ i < j ≤ n ， (1.3) 满足 { β 21 > 0 ， ⋯ ， β n − 1 ， n − 2 > 0 ;     β i j = 0 ⇒ β k j = 0 ，     ∀ k > i ， α 12 > 0 ， ⋯ ， α n − 2 ， n − 1 > 0 ;     α i j = 0 ⇒ α i r = 0 ，       ∀ r > j ， (1.4) 其中 P = d i a g ( I n − 2 ， − P 2 ) ∈ ℝ n × n ， I n ∈ R n × n 和 P n ∈ R n × n 分别是单位矩阵和反单位矩阵， D = d i a g ( d i i ) ∈ ℝ n × n ， B i ∈ ℝ n × n ( 1 ≤ i ≤ n − 2 ) ， B n − 1 ， B n 和 C i ∈ ℝ n × n ( 1 ≤ i ≤ n − 1 ) 是双对角矩阵，如下： B i = [ 1 0 1 ⋱ ⋱ 0 1 β n − i + 1 ， 1 1 ⋱ ⋱ β n ， i 1 ] ， C i = [ 1 0 ⋱ ⋱ 1 0 1 α 1 ， n − i + 1 ⋱ ⋱ 1 α i ， n 1 ] (1.5) B n − 1 = [ 1 β 21 1 ⋱ ⋱ β n − 1 ， n − 2 1 0 1 ] ， B n = [ 1 0 1 ⋱ ⋱ 0 1 β n ， n − 1 1 ] .(1.6) 在文 [ 4 ] 中，符号序列为 ( 1 ， ⋯ ， 1 ， − 1 ) 的SR矩阵 A ∈ ℝ n × n ( n > 2 )被除(1.3)中的 α n − 1 ， n 和 δ 以外的非平凡元素参数化，所有参数被存储在形如矩阵 P M ( A ) 中，且 P M ( A ) i j = { d i i > 0 ，           1 ≤ i ≤ n ; β i j ≥ 0 ，     1 ≤ j < i ≤ n ; α i j ≥ 0 ，     1 ≤ i < j ≤ n ，     ( i ， j ) ≠ ( n − 1 ， n ) ; δ ，                         ( i ， j ) = ( n − 1 ， n ) ; (1.7) 满足 P M ( A ) i i > 0 ，   ∀ 1 ≤ i ≤ n ;     P M ( A ) i + 1 ， i > 0 ，     P M ( A ) i ， i + 1 > 0 ，   ∀ 1 ≤ i ≤ n − 2 ; (1.8) 参数矩阵 P M ( A ) ∈ R n × n 的符号正则性如下： { s i g n ( P M ( A ) ( i ， i ) ) = s i ，                   ∀ 1 ≤ i ≤ n ， s i g n ( P M ( A ) ( i ， 1 : i − 1 ) ) = r i ，     ∀ 2 ≤ i ≤ n ， s i g n ( P M ( A ) ( 1 : i − 1 ， i ) ) = c i ，     ∀ 2 ≤ i ≤ n ， s i − 1 s i = 1 ，   r i c i = 1     或     0 ，                           ∀ 2 ≤ i ≤ n ， (1.9) 其中 s i ， r i ， c i = ± 1   或   0 。因此， s i g n ( α ) = 1 表示向量 α 的所有非零元素是正的， s i g n ( α ) = − 1 表示向量 α 的所有非零元素是负的，特别地；若向量 α = 0 ，则 s i g n ( α ) = 0 。 在本文中，我们定义： A = : P M ( A ) ∈ R n × n 通过(1.2)由 P M ( A ) 生成的矩阵。 定义1.1 [ 4 ] 若 P M ( A ) 满足(1.9)且 r n ， c n = 1     或     0 ，则称矩阵 A = : P M ( A ) ∈ R n × n 是符号序列为 ( 1 ， ⋯ ， 1 ， − 1 ) 的广义SR矩阵。 必须强调的是，计算参数(1.7)的公式如下： { d i i = det A [ 1 ， ⋯ ， i | 1 ， ⋯ ， i ] det A [ 1 ， ⋯ ， i − 1 | 1 ， ⋯ ， i − 1 ] ，   ∀ 1 ≤ i ≤ n − 2 ， d n − 1 ， n − 1 = det A [ 2 ， ⋯ ， n | 1 ， ⋯ ， n − 1 ] det A [ 2 ， ⋯ ， n − 1 | 1 ， ⋯ ， n − 2 ] ， d n ， n = − det A / ∏ i = 2 n − 1 d i i ， β i ， j = det A [ i − j + 1 ， ⋯ ， i | 1 ， ⋯ ， j ] det A [ i − j + 1 ， ⋯ ， i − 1 | 1 ， ⋯ ， j − 1 ] ⋅ det A [ i − j ， ⋯ ， i − 2 | 1 ， ⋯ ， j − 1 ] det A [ i − j ， ⋯ ， i − 1 | 1 ， ⋯ ， j ] ，     ∀ i > j ≠ n − 1 ， β n ， n − 1 = det A [ 1 ， ⋯ ， n − 1 ] det A [ 1 ， ⋯ ， n − 2 ] ⋅ det A [ 2 ， ⋯ ， n − 1 | 1 ， ⋯ ， n − 2 ] det A [ 2 ， ⋯ ， n | 1 ， ⋯ ， n − 1 ] ， α i ， j = det A [ 1 ， ⋯ ， i | j − i + 1 ， ⋯ ， j ] det A [ 1 ， ⋯ ， i − 1 | j − i + 1 ， ⋯ ， j − 1 ] ⋅ det A [ 1 ， ⋯ ， i − 1 | j − i ， ⋯ ， j − 2 ] det A [ 1 ， ⋯ ， i | j − i ， ⋯ ， j − 1 ] ，     ∀ j > i ≠ n − 1 ， δ = det A [ 2 ， ⋯ ， n ] d n − 1 ， n − 1 ∏ t = 3 n d t − 2 ， t − 2 α t − 2 ， t − 1 β t − 1 ， t − 2 ， (1.10) 本文将作以下安排：第2节给出quasi-h-Bernstein-Vandermonde矩阵的双对角分解，并且高精度计算出这类矩阵的所有参数。第3节给出计算此类矩阵的所有特征值的高精度算法。第4节给出数值例子来说明所提出算法的高精度性。