system: [SYSTEM]

user: 3. 框架在信号重构中的应用 3.1. 压缩感知 由于传统的信号处理方法一般基于香农采样定理，主要从提高采样频率或限制信号带宽这两个方面来进行信号研究。在处理过程中，需先将信号进行高速采样然后再压缩进行储存，这个采样再压缩的过程浪费了大量的采样资源 [ 15 ] 。在一般情况下的高维数据集是高度冗余的，并且在低维流形或子空间上存在。基于这一理论，新的信号处理方法得到快速发展，并在管理传感、成像、存储等方面均取得了相当大的进展。收集到的高维数据可以用适当的有限框架来稀疏表示。针对香农采样定理存在的资源浪费问题，以及有限框架稀疏表示，提出并推动了压缩感知理论的发展，这表明高维度数据集通常可以通过少量的测量数据以高保真度的方式重建 [ 16 ] 。 2006年D. L. Donoho提出了压缩感知的概念。假设信号在某个变换域是稀疏的，那么仅需对信号进行少量采样，即可通过求解一个优化问题而高概率重建原始信号 [ 17 ] 。信号重构是压缩感知理论的核心问题之一，贪婪算法是压缩感知信号处理中的重要工具之一。 稀疏框架的压缩感知比正交基的压缩感知具有更加广阔的压缩范围。在有稀疏框架的压缩感知的情况下，所使用的重构信号的方法叫做 l 1 -analysis。 2012年Yulong Liu等人分析了在较弱的恢复条件下 l 1 -analysis这种重构方法的性能。同时将 l 1 -analysis分析方法推广到更为一般的情形，即将任意的矩阵对偶框架作为分析算子，称为基于 l 1 -analysis的一般对偶框架。还提出了一种迭代算法，适当选择参数，便具有计算速度快，易于编码的特点，用于求解基于 l 1 -analysis的最优对偶框架。实验表明在信号稀疏的情况下，基于 l 1 -analysis的最优对偶框架比一般对偶框架具有更好恢复信号的性能 [ 18 ] 。 2012年Wei Chen等人用规范紧框架来改善压缩感知应用中平均均方误差的性能。通过仿真结果表明，在基于BPDN、Dantzig选择器和OMP的稀疏恢复的情况下，以规范紧框架为基础的感知矩阵的MSE优于其他标准的感知矩阵设计的MSE。从优化的方面看，在压缩感知应用中使用规范紧框架改善了其最小均方误差的性能，当规范紧框架与标准稀疏恢复算法结合使用时，MCE将会得到显著改善 [ 19 ] 。 2013年Xiaoya Zhang、Song Li分析了在基于 l 1 -analysis模型上建立的对偶框架对于信号重构的作用。并通过对傅里叶的一些引理的推广，以及借助了对偶框架的参数化表示，验证得出了具有最优观测值的weibull随机矩阵，这种矩阵可以确保高概率信号的准确恢复，但其所有的验证结果都是在一般框架下，信号都具有可压缩性的这种情况下进行讨论 [ 20 ] 。 2014年杨家红，刘元元等人针对之前采用的贪婪算法计算复杂度高，重建精度低这个问题，提出了一种新的融合框架，并在此融合框架下将OMP算法和CoSaMP算法进行融合，进而提出了一种新的算法，称之为FMP算法。在实验中分别采用FMP、OMP及CoSaMP算法对图像进行处理，并从可视化结果、信噪比和误差率三个角度来对比三种算法对图像的处理效果。最终证明，在融合框架下的FMP算法的在仿真过程中的峰值信噪比最高，误差最低，重构效果最好。在采样率低的时候，基于此融合框架FMP算法处理效果比较好，但在采样率比较高时，FMP算法的优势并不明显 [ 15 ] 。 2013年Waheed U. Bajwa，Ali Pezeshk提出有限框架在信号稀疏表示和压缩感知方法的设计和分析中起着核心作用。并在压缩感知情况下，从估计、恢复、检测支持、回归和稀疏信号检测这几个方面强调了有限框架的重要性。并提出具有小谱范数和、较小的最坏情况相干性、平均相干、和相干的框架是非常适合于稀疏信号的测量 [ 16 ] 。 2016年Yunsong Liu、Zhifang Zhan等人提出了一种投影迭代软阈值算法，并产生一种加速该算法的pFISTA方法，解决了压缩传感磁共振成像中的稀疏图像重建问题。实验的数值结果表明，对综合稀疏模型，pFISTA方法相比于pISTA实现了更好的信号重构。对近似分析稀疏模型，pFISA收敛速度更快或可与最先进的SFISTA相媲美。pFISTA的重建误差对附加的算法参数不敏感，使得其在MRI图像重建中可以广泛使用不同的紧框架。之后还会进一步分析一般框架下pFISTA的收敛性，并且还应该在尽可能多的CS-MRI应用中测试其他稀疏表示系统 [ 21 ] 。 基于全变差最小化的压缩感知图像的恢复方法，往往会出现纹理和细节信息的丢失，以及阶梯伪影的污染的问题。2018年张晶提出了一种基于紧框架小波的协同稀疏性和全变分的新算法，并构造了包含紧框架小波的 l 0 范数和总变差的 l 1 范数的非光滑能量函数，用来刻画图像的先验性。通过构造辅助函数以及运用增广拉格朗日的方法，将约束的能量泛函数优化问题转化为无约束混合函数最小检验问题。并采用阈值收缩法和最陡下降法交替求出由目标函数导出的三个子问题的解。实验证明，与其他压缩感知图像复原算法的仿真实验相比，基于紧框架小波的协同稀疏性和全变分的算法显示了其图像恢复性能的优越性，能够很好的保留纹理，结构，细节，以及边缘等图像的重要信息。因此，新算法的提出有助于基于压缩感知的图像复原技术的进一步研究 [ 22 ] 。 3.2. 信号重构 香农采样定理可以重建均匀采样的信号，但要是信号的采样区间分布不均匀，重构情况就复杂很多。2002年刘立翔等人讨论了框架在H空间中的重要特征，利用框架理论对信号进行重建，提出了一种迭代算法，并将此迭代算法用于非均匀采样信号的重建问题。仿真的实验结果表明，对一正弦复合信号进行处理，通过对它的非均匀采样重构，此算法对非均匀采样信号的重构是有效的。但是还有一些误差，其主要误差是出现在信号的极点附近，这主要是因为非均匀采样的原因 [ 2 ] 。 2013年Markus Haltmeier提到可以基于 l 1 -analysis最小化方法来实现在合适框架或者字典下的无噪信号分析系数的稀疏性。但是基于 l 1 -analysis最小化的处理方法，信号稳定恢复的条件是所用到的框架是一个正交的基。但这恰恰与实际相互不符，因为在实际应用中，冗余框架的性能通常比正交基强。针对上述存在的问题，又提出以非紧框架为基础的 l 1 -analysis最小化方法，通过实验证明，其信号恢复结果较为稳定 [ 23 ] 。 在信号的传输过程中，一些编码数据的系数会不可避免地会丢失。如何提高通信系统对数据丢失的鲁棒性是当前研究的一个重要课题。随着框架理论的不断发展，在现代通信系统中，框架的冗余扩展得到了广泛的应用。因此可以选择更好的框架来进行解码，以尽量减少因数据丢失而产生的误差。然而，由于应用程序中的一些物理因素限制，进行编码的框架一般是不规则的。 2016年Qianping Guo、Jingsong Leng等人采用最优对偶框架来处理信号，当框架系数在传输的过程中发生丢失时，可以减少信号重建过程中产生的误差。同时也提出了一种基于MOD算法可以自适应地搜索最优对偶框架的算法，以及当框架系数发生丢失时重构信号的方法。通过实验表明，新提出的方法比现有的随机信号处理方法具有更好的性能 [ 24 ] 。 2017年Souhir Bousselmi、Kais Ouni主要研究了紧框架包变换TFPT在失真意义下的语音信号重建稳定性，并且与经典小波变换对信号的重建稳定作比较。将从TIMIT语音库中提取到的语音信号，在8 kHz频率下进行二次采样，并将其划分为256个样本块进行仿真传输，分别采用经典小波变换以及紧框架包变换在其失真的情况下进行信号重建，并同时采用归一化均方根误差、峰值信噪比、分段信噪比、频率加权分段信噪比对信号的失真进行评估。实验结果表明，新型紧框架包变换比小波包变换具有更好的重构稳定性，而且这种新的紧框架包变换非常适用于低比特的语音编码 [ 25 ] 。