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user: 2. 主要结果 2.1. 多资产期权的数学模型I的研究 引入记号 数学模型I (多维Black-Scholes方程具有奇异内边界的终值问题)： 数学模型I是关于多资产期权的数学模型，它是多维Black-Scholes方程在区域 具有奇异内边界 ， 的终值问题，未知函数 为期权价格函数。 其中：方程的自由项为 (4) 为狄拉克 -函数； 为 维狄拉克 -函数； ， 为实对称非负矩阵。 数学模型I.1 (多维Black-Scholes方程的终值问题)： (5) 数学模型I.2 (多维Black-Scholes方程具有奇异内边界和齐次终值条件的终值问题)： (6) 2.1.1. Black-Scholes方程数学模型I的求解 记偏微分算子 (7) 先考虑m维Euler方程在半无界区域 的特征值问题I 为求解特征值问题I我们建立了引理1.1~引理1.6。 引理1.1：设 为正定矩阵，则存在正线下三角矩阵 满足 且分解是唯一的；且有 1) 正线下三角矩阵 的行列式 ， ； ； 2) 由 唯一确定 ；由 唯一确定 ； 3) 记 ，则 为正线上三角矩阵， ；由 唯一确定 ； 4) 记 ， ；则当 时，有 。从而当 ， ，有 ； ，有 。 证明：由矩阵理论 [ 22 ] 即知存在正线下三角矩阵 满足 且分解是唯一的。由 有 。 正线下三角矩阵 ，正线下三角矩阵 的行列式 ，且 ； 的转置矩阵 为正线上三角矩阵。 的逆矩阵 为正线上三角矩阵。 。 下证4)由于 为正线上三角矩阵，即有 和 ；从而有 为列向量，应用分块矩阵的乘法运算即有 从而有 (10) 由于 即有 (11) 为正定矩阵，则 为正定矩阵， 为正定二次齐式，从而有 (12) (13) 由 的任意性，分别令 ， 其中 。 由(13)式即有 即 从而 (14) 再记 ；有 和 (15) 由(14)，(15)两式即有：当 ， ，有 ；显然也有：当 ， ，有 。引理证毕。 记 ，作 到 的线性变换 (16) 记 (17) 引理1.2：若 ，则有 (18) 其中 为向量变系数偏微分算子。 证明(16)式即 (19) 由(17)式即有 (20) 由复合函数的求导法则 (21) 从而 即(18)式成立。引理证毕。 m维Euler方程在半无界区域 的特征值问题II 其中 ， (24) 引理1.3：若 ，则特征值问题I中方程(8)与特征值问题II中方程(22)等价。 证明：由 ，有 (25) (26) 记 ，由引理1.1矩阵 为正线上三角矩阵。 由(18)式有 (27) 由矩阵乘法 (28) 从而 (29) (30) 由于 为正线上三角矩阵有 记 (31) 即有 (32) 由(26)，(32)两式即知方程(8)与方程(22)等价。引理证毕。 引理1.4：特征值问题II的特征值 (33) 所对应的特征函数为 (34) 且有 (35) 证明：容易求解特征值问题II：由分离变量法令 (36) (37) 再令 (38) (39) (40) (41) (42) 若(42)式成立则(41)式成立；特征函数 不恒为零，由(42)推出 (43) (44) (45) (46) (47) (48) 由(48)式即有(23)式成立。引理证毕。 由(16)和(17)式换回原变量即得特征值问题I的特征函数 (49) 且 (50) (51) 由(51)式即有(9)式成立。于是得到 引理1.5：特征值问题I的特征值 (52) 所对应的特征函数为 (53) 引理1.6：特征值问题I的特征函数系 是半无界区域 带权函数 的完备正交系；正交关系即 (54) 证明：由于 (55) 引入变量代换 (56) 由于行列式 即有变量替换的雅可比行列式 (57) 由多重积分变量替换公式，即有 (58) (58)式即(54)式。引理证毕。 由引理1.5与引理1.6的结论可以引入广义特征函数法 [ 23 ] [ 24 ] 求解 数学模型I。 不妨设解 ，将其表为特征函数的积分形式 (59) 将上式两边乘以 再关于变量 在 积分，利用正交关系(54)则有 (60) 得到 (61) 将方程中的自由项 也表为特征函数的积分形式 (62) 由(61)即有 (63) 应用 -函数的积分性质即得 (64) 含参变量积分与算子 的运算交换次序即有 (65) (66) 由(2)即有 (67) (68) 将(62)，(65)，(66)代入方程(1)即有 (69) 由特征函数系的完备正交性即有 ，再由(68)式即得 非齐次常微分方程的终值问题 (70) 用常数变易法得到非齐次常微分方程的终值问题的解为 (71) 将上式代入(59)式即得 (72) 将 的表达式(52)，(53)代入(72)，并记 (73) (74) (75) 其中 由(68)， 由(64)确定。 由(74)式即有 于是有 (76) 将 的表达式代入(64)式，化简即得 (77) 将(77)代入(75)式，并化简 即得 (78) 定理1 (数学模型I解的存在定理)：若 1) 为正定对称矩阵， ； 2) 为充分光滑的单调函数； 3) 。 则数学模型I有精确解： (79) (80) (81) 且数学模型I.1的解 由(80)式给出，数学模型I.2的解 由(81)式给出。 2.1.2. 多维Black-Scholes方程奇异内边界 的确定 数学模型II (多维Black-Scholes方程确定奇异内边界的终值问题)： 求 ，使其满足 定理2 (数学模型II解的存在定理)：若 1) 为正定对称矩阵； 2) 为充分光滑的单调函数； 3) 。 则数学模型II有连续有界的精确解 数学模型II有解的相容性条件是 (89) 其中 (90) (91) (92) (93) 证明：由定理1(数学模型I解的存在定理)的结论，(81)式给出的 已满足条件(82) (83) (85)三式，让 满足条件(84)式去确定奇异内边界 。 将(81)式 记为 (94) 由(94)式对 关于自变量 求偏导，由复合函数的求导法则有 (95) 若令 (96) 则 即有 (97) 将(97)式代入(95)式即有 (98) 下面建立引理2.1~引理2.4来完成定理2的证明。 引理2.1：条件(96)成立，则有 (99) 和 (100) 证明：若条件(96)成立，则有(98)成立。由(98)式易知(100)式成立。 由(98)即得到対任意 有 1) 当 有 由引理1.1的结论4)即有即有：当 ，有 成立，从而 (101) 2) 当 有 由引理1.1中结论4)即有：当 ，有 成立，从而 (102) 从而(99)式成立。引理证毕。 引理2.2：条件 (103) 成立的充要条件为 (104) 证明：1) 必要性，若(103)成立，由 即有 (105) 记 (106) 由(105)式有 (107) 让 即有 (108) 干是有(104)式成立。 2) 充分性，若(104)式成立，即有 即(103)成立。引理证毕。 引理2.3：当条件 成立时，则条件(96)成立，从而有 。 证明：由(109)式则有 (111) 再由(110)式即有 (112) 即条件(96)成立，由引理2.1即有 成立。引理证毕。 引理2.4：未知数 的线性方程组(110)的解为 (113) 证明：线性方程组(110)写成矩阵形式即为 (114) 由 矩阵的定义即有 ，从而 (115) (116) 由矩阵乘法即得线性方程组(110)的解由(113)式给出。引理证毕。 记 (117) 由引理2.1~引理2.4即知：当(117)成立时，有解 其中 由(94)给出， 。由(117)式即有(96)成立，由引理2.1即有 和 成立。 由(117)式即有(97)式成立，将(97)代入(94)即有： (118) 再将(117)式代入(118)式，即有 (119) 引入记号： ，再由(119)即得到 由(87)给出。由(87)式给出的解 满足条件(84)式和(85)式。从而满足数学模型II，即(87)，(88)两式给出了数学模型II的解。由(87)式即知数学模型II有解的相容性条件是(89)式。定理证毕。 引入记号 多维开区间 ，多维闭区间 。 函数的支集 ，支集的闭包 ，记函数集合 。 记 (120) (121) 定理3(数学模型I.1解的性质定理)：若 为正定矩阵， ；则 1) 当 ；数学模型I.1的解 (122) 满足 (123) 和 (124) 其中 (125) 2) 当 ，则数学模型I.1的解 (126) 且解 满足 (127) 3) 当 ，数学模型I.1的解 (128) 且解 满足 (129) 证1): 数学模型I.1的解由定理1的(74)式给出，由 有 (130) 应用多维狄拉克 -函数的积分性质即得 (131) 引入记号 即有 (132) 由于 线性方程组(110)的解，由(110)即有 (133) 由(112)式即有 即有 (134) 由(132)和(134)两式即有 (135) 由于 (136) 从而 (137) 故 。由(132)对 关于 求偏导得到 (138) (139) 由(134)，(139)即得(124)。 证2)：数学模型I.1的解由定理1的(74)式给出。任意 即有 。 ，故 ， 。于是(74)式中积分的积分区域由 变为 。则数学模型I.1的解 (140) 由(140)关于 求偏导 (141) 当 有 ；积分变量 ，有 ； (142) 又 (143) 记 ；由(142)，有 ，引理1.1的结论4)即有 ； 从而由(143)有 (144) 再由(141)即有当 ， (145) 当 ， ，从而有 成立。 证3)：当 ，由数学模型I.1的解(74)式即有(128)成立。由(128) 式对 关于 求偏导即有 (146) 当 ，有 ， 引理1.1的结论4)即有 由(146)即有：当 ， 。当 ， ，从而有 成立。定理证毕。 2.2. 关于多维Black-Scholes方程的自由边界问题的研究 由 即有 即 即 下面分别讨论关于多维Black-Scholes方程在 的自由边界问题A和在 的自由边界问题B。 自由边界问题A (关于多维Black-Scholes方程在 的自由边界问题)：求 ，使其满足 定理4 (自由边界问题A多解性定理)：若 1) 为正定矩阵； 2) ； 则自由边界问题A的有解 ，自由边界为 (152) 具有多解性，第一解： (153) 有解的相容性条件 第二解： (156) 有解的相容性条件 (159) 证明：当 由定理2的(87)式给出的解滿足齐次方程(147)，故由(153)式和(156)式给出的解滿足齐次方程(147)。再由定理2，定理3的结论即知定理4成立。由(112)，(152)两式即有 (160) 推证相容性条件(158)，由(141)，(160)两式即得。定理证毕。 附注1：定理4中的笫二解对在函数集合 任意给定的 都有由(156)式给出的解 与之对应，即得到了一个解族 。 自由边界问题B (关于多维Black-Scholes方程在 的自由边界问题)：求 ，使其满足 定理5 (自由边界问题B多解性定理)：若 1) 为正定矩阵； 2) ； 则自由边界问题B有解 ，自由边界为 (166) 具有多解性，第一解： (167) 有解的相容性条件 第二解： (170) 有解的相容性条件 (171) (172) 其中 (173) 证明：当 由定 理2的(87)式给出的解滿足齐次方程(161)，故由(167)式和(170)式给出的解滿足齐次方程(161)。再由定理2，定理3的结论即知定理5成立。推证相容性条件(172)由(146) (160)两式即得。定理证毕。 附注2：定理5中的笫二解对在函数集合 任意给定的 都有由(170)式给出的解 与之对应，即得到了一个解族 。 2.3. 数学模型III与自由边界问题A和问题B的关系 数学模型III (多维Black-Scholes方程确定奇异内边界的终值问题)： 求 ，使其满足 定理6 (奇异内边界与问题A和B的自由边界三线合一定理一)：若 1) 为正定矩阵； 2) ； 3) ； 4) ； 5) 。 则数学模型III与问题A和问题B有相同表达式的解 有解的相容性条件 (181) 其中 (182) 数学模型III的奇异内边界与问题A和问题B的自由边界三曲线重合成同一指数函数向量 ；数学模型III的解函数是问题A和B的解函数的共同连续开拓，即 (183) 定义2：若 ， 由(183)定义，称 为数学模型III与问题A和问题B的一致相容解。 定理7 (奇异内边界与问题A和B的自由边界三线合一定理二)：若 1) 为正定矩阵； 2) ； 3) ； 4) ； 5) 。 则数学模型III与问题A和问题B的一致相容解 有解的相容性条件 (186) (187) 定理8 (奇异内边界与问题A和问题B的自由边界三线合一定理三)：若 1) 为正定矩阵； 2) ； 3) ； 4) ； 5) 。 则数学模型III与问题A和问题B的一致相容解 有解的相容性条件 (190) 其中 (191) 由定理6，定理7，定理8给出的一致相容解 满足条件 (192) 即一致相容解 在任意时刻 在 取 中的最大值 ，从而称 为最佳实施边界。 定理9 (多资产期权最佳实施边界定理)： 为正定矩阵，则期权价格函数 在任意时刻 在 取 中的最大值 ，多资产期权最佳实施边界为指数函数向量 (193) 满足 (194) 且有 的计算公式 (195) 公式(195)表明 由多维Black-Scholes方程中出现的所有参数 ， ， 唯一确定。 证明：由定理6，定理7，定理8即知期权价格函数 在任意时刻 在 取 中的最大值 ，从而多资产期权最佳实施边界为指数函数向量(193)。关于 的计算公式(93)式代入 的计算公式(92)式即得 的计算公式(195)，由引理1.1即知 皆由 唯一确定，从而 由多维Black-Scholes方程中出现的所有参数 ， ， 唯一确定。定理证毕。