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user: 2. 计算方法 2.1. 控制方程组 这里考虑由多种流场介质共存的二维可压缩流场，那么整个流场的运动可以由欧拉方程来描述： { ∂ ρ ∂ t + ∂ ∂ x ( ρ u ) + ∂ ∂ y ( ρ v ) = 0 ∂ ( ρ u ) ∂ t + ∂ ∂ x ( ρ u 2 + p ) + ∂ ∂ y ( ρ u v ) = 0 ∂ ( ρ v ) ∂ t + ∂ ∂ x ( ρ u v ) + ∂ ∂ y ( ρ v 2 + p ) = 0 ∂ ( ρ E ) ∂ t + ∂ ∂ x ( ρ E u + p u ) + ∂ ∂ y ( ρ E v + p v ) = 0 (1) 式中，r为密度，u、v分别为横向和纵向速度，E为能量，p为压力。欧拉方程(1)需要结合状态方程才能完成求解。这里使用Mie-Grüneisen状态方程： p − p r e f ( ρ ) = ρ Γ ( ρ ) ( e − e r e f ( ρ ) ) (2) 这里，G、p ref 、e ref 分别是由流体物理特性决定的热力学参数 [ 4 ] 。由于G、p ref 、e ref 通常都具有复杂的函数表达式，可以考虑利用非守恒型方程来对它们进行分别求解 [ 5 ] ： { ∂ ∂ t ( 1 Γ ) + u ∂ ∂ x ( 1 Γ ) + v ∂ ∂ y ( 1 Γ ) + ρ ϕ ∂ u ∂ x + ρ ϕ ∂ v ∂ y = 0 ∂ ∂ t ( p r e f Γ ) + u ∂ ∂ x ( p r e f Γ ) + v ∂ ∂ y ( p r e f Γ ) + ρ φ ∂ u ∂ x + ρ φ ∂ v ∂ y = 0 ∂ ∂ t ( ρ e r e f ) + u ∂ ∂ x ( ρ e r e f ) + v ∂ ∂ y ( ρ e r e f ) + ρ ψ ∂ u ∂ x + ρ ψ ∂ v ∂ y = 0 (3) 其中f、j、y代表1/G、p ref /G、re ref 对密度r的导数项。 对于多介质流场，需要对界面进行捕捉。假设质量分数为Y I ，界面的运动可以通过以下方式来求解： ∂ ( ρ Y I ) ∂ t + ∂ ( ρ Y I u ) ∂ x + ∂ ( ρ Y I v ) ∂ y = 0 ，     i = 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， m − 1 (4) 将守恒方程(1)、非守恒方程(3)和界面运动方程(4)联立起来，即可得到整个Mie-Grüneisen多介质混合模型的求解方程组。 2.2. 有限体积算法 Mie-Grüneisen多介质混合模型的有限体积格式可以表示成如下所示的形式： W j n + 1 − W j n Δ t + F i + 1 / 2 ， j − F i − 1 / 2 ， j Δ x + G i ， j + 1 / 2 − G i ， j − 1 / 2 Δ y = 0 (5) 这里Δt为时间步长，Δx、Δy为空间步长。W代表变量，分别用F、G表示x、y方向的通量。角标i和j分别代表x、y方向的节点序号，n为时间步长的序号。变量和通量各自的表达式分别为： W = { ρ ρ u ρ v ρ E 1 / Γ p r e f / Γ ρ p r e f ρ Y I }   ， F = { ρ u ρ u 2 + p ρ u v ( ρ E + p ) u ρ ϕ u ρ φ u ρ ψ u ρ Y I u } + u { 0 0 0 0 1 / Γ p r e f / Γ ρ p r e f 0 } ， G = { ρ u ρ u v ρ v 2 + p ( ρ E + p ) v ρ ϕ v ρ φ v ρ ψ v ρ Y I v } + v { 0 0 0 0 1 / Γ p r e f / Γ ρ p r e f 0 } Godunov型的通量F和G，其表达形式如下 [ 7 ] ： { F i + 1 / 2 ， j = 1 2 [   F L   i + 1 / 2 ， j + F R   i + 1 / 2 ， j − R ^ | Λ ^ | L ^ ( W L   i + 1 / 2 ， j − W R   i + 1 / 2 ， j ) ] G i ， j + 1 / 2 = 1 2 [ G L   i ， j + 1 / 2 + G R   i ， j + 1 / 2 − R ^ | Λ ^ | L ^ ( W L   i ， j + 1 / 2 − W R   i ， j + 1 / 2 ) ] (6) 这里，W L 、W R 代表通量所在的网格左右两侧的变量，F L 、F R 和G L 、G R 代表两侧变量形成的x、y方向通量。 L ^ 、 R ^ 、 Λ ^ 则代表了Jacobi矩阵的左右特征向量和特征值对角矩阵的平均值。Jacobi矩阵为通量对变量的偏导数，即 ∂ F / ∂ W 、 ∂ G / ∂ W 。 2.3. 通量相关矩阵 对于左右两侧的变量及通量，表达形式如下： W K = { ρ K ρ K u K ρ K v K ρ K E K ( 1 / Γ ) K ( p r e f / Γ ) K ( ρ p r e f ) K ( ρ Y I ) K }     ， F K 或 G K = { ( ρ θ ) K ( ρ θ ) K u K + p K ζ x ( ρ θ ) K v K + p K ζ y ( ρ K E K + p K ) θ K θ ( 1 / Γ ) K + ρ ϕ θ K θ ( p r e f / Γ ) K + ρ φ θ K θ ( ρ p r e f ) K + ρ ψ θ K ( ρ Y I ) K θ K }                                 ( K = L ， R ) (7) 这里，ζ x 和ζ y 的数值分别定义为： ζ x = { 1                                         通 量 F   0                                     通 量 G ，                             ζ y = { 0                                   通 量 F 1                                     通 量 G 其中 θ = u ζ x + v ζ y 。(7)中，未注明角标的参数θ、r、f、j、y则代表节点i，j处的数值。这样Jacobi矩阵A可以通过(7)式求偏导数得到： A = [ ζ x   ζ y K ζ x − u θ ( 1 − Γ ) u ζ x + θ u ζ y − Γ v ζ x Γ ζ x − p Γ ζ x Γ ζ x − Γ ζ x K ζ y − v θ v ζ x − Γ u ζ y ( 1 − Γ ) u ζ y + θ Γ ζ y − p Γ ζ y Γ ζ y − Γ ζ y ( K − H ) θ H ζ x − Γ u θ H ζ y − Γ v θ ( Γ + 1 ) θ − p Γ θ Γ   θ −   Γ θ − ϕ θ ϕ θ − φ θ φ θ − ψ θ ψ θ − Y I θ Y I θ ] (8) 这里，H为熵： H = E + p / ρ 。且有 K = Γ ( u 2 + v 2 ) / 2 。由矩阵A可以用偏微分关系求得特征值对角矩和左右特征向量矩阵： Λ = [ θ − c θ θ θ + c θ θ θ θ ] 这里c代表声速，计算式为： c = Γ ( H − 1 2 ( u 2 + v 2 ) − p ϕ + φ − ψ ) (9) L = Γ 2 c 2 [ θ ξ + u 2 + v 2 2 − u − ζ x ξ − v − ζ y ξ 1 − p 1 − 1 − u 2 − v 2 + κ 2 u 2 v − 2 2 p − 2 2 ( ζ y u − ζ x v ) κ − ζ y κ ζ x κ − θ ξ + u 2 + v 2 2 − u + ζ x ξ − v + ζ y ξ 1 − p 1 − 1 − ϕ ( u 2 + v 2 ) 2 ϕ u 2 ϕ v − 2 ϕ 2 ϕ p + κ − 2 ϕ 2 ϕ − φ ( u 2 + v 2 ) 2 φ u 2 φ v − 2 φ 2 φ − 2 φ + κ φ 2 φ − ψ ( u 2 + v 2 ) 2 ψ u 2 ψ v − 2 ψ 2 ψ − 2 ψ 2 ψ + κ ψ − Y ( u 2 + v 2 ) 2 Y u 2 Y v − 2 Y 2 Y − 2 Y 2 Y κ ] R = [ 1 1 0 1 u − ζ x c u − ζ y u + ζ x c v − ζ y c v ζ x v + ζ y c H − θ c 1 2 ( u 2 + v 2 ) − ζ y u + ζ x v H + θ c p − 1 1 ϕ ϕ 1 φ φ 1 ψ ψ 1 Y Y 1 ] 这里 k = 2 c 2 / Γ ， ξ = c / Γ 。 2.4. Roe平均值计算 在方程组(6)中， L ^ 、 R ^ 、 Λ ^ 中的参数，需要根据左右两侧的状态取平均值。这里采用最为常用的一种Roe平均值，计算方式如下： u ^ = ρ L u L + ρ R u R ρ L + ρ R ，                       v ^ = ρ L v L + ρ R v R ρ L + ρ R ，                         H ^ = ρ L H L + ρ R H R ρ L + ρ R 原始的Roe格式未提供p和G的处理方法，这里采用如下计算方式： 1 Γ ^ = ρ L (   1 / Γ L ) + ρ R ( 1 / Γ R ) ρ L + ρ R ，                   p ^ Γ ^ = ρ L (   p L / Γ L ) + ρ R (   p R / Γ R ) ρ L + ρ R 参数f、j、y为节点处的数值，因此不需要对网格左右侧取平均值。声速c可根据(9)式完成求解。