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user: 2. 正则化图像复原方法 2.1. Tikhonov正则——用图像梯度的L 2 模的平方做正则化项 图像的边界给人们提供了非常重要的视觉信息，因此，在图像复原时，所提出的模型要能够尽可能地保留这些边界信息。而图像边界的梯度一般是比较大的，于是人们考虑对图像梯度加以约束。首先取梯度的L 2 模的平方最小作为正则约束条件，转换为无条件的近似问题就是如下模型： min u 1 2 ‖ ∇ u ‖ 2 2 + λ 2 ‖ u − f ‖ 2 2 (3) 其中，第一项称为Tikhonov正则项，第二项是保真项，λ是一个用来平衡正则项和保真项的正常数，当λ趋于无穷大时，模型(3)的解就可以无限接近约束最小化问题的解了。为求解Tikhonov正则化模型(3)，我们求解其对应的Euler-Lagrange方程 λ u − Δ u = λ f (4) 对(4)式做离散化处理。 假设平面矩形区域有 N × M 个像素点，利用向前差分将拉普拉斯算子离散为： Δ u ( i ， j ) = u ( i + 1 ， j ) + u ( i − 1 ， j ) − 4 u ( i ， j ) + u ( i ， j + 1 ) + u ( i ， j − 1 ) ， 1 < i < M ，   1 < j < N ， 对边界进行镜像延拓得， Δ u ( 1 ， j ) = u ( 2 ， j ) − 3 u ( 1 ， j ) + u ( 1 ， j + 1 ) + u ( 1 ， j − 1 ) ， 1 < j < N Δ u ( 1 ， 1 ) = u ( 2 ， 1 ) − 2 u ( 1 ， 1 ) + u ( 1 ， 2 ) ， 类似可得当 i = M ， j ∈ { 1 ， N } 时拉普拉斯算子的离散化表达式。 于是，由(4)式离散解得： u ( i ， j ) = 1 λ + 4 ( u ( i + 1 ， j ) + u ( i − 1 ， j ) + u ( i ， j + 1 ) + u ( i ， j − 1 ) ) + λ λ + 4 f ( i ， j ) 设 u 0 = 0 ，利用Jacobi迭代法求解u，有： u i ， j k + 1 = 1 λ + 4 ( u i + 1 ， j k + u i − 1 ， j k + u i ， j + 1 k + u i ， j − 1 k ) + λ λ + 4 f i ， j ，     k = 0 ， 1 ， ⋯ (5) 结果见数值算例1。由算例1可以看出，去噪的同时带来很大的模糊。 2.2. Total Variation (TV)正则——用图像的TV模(即图像梯度的L 1 模)做正则项 2.2.1. 背景 由于Tikhonov正则化项可导，因此Tikhonov正则化模型比较简单易求。但是由数值算例1可以看出，该方法在去除图像噪音的同时会产生很严重的模糊。为了克服这个问题，1992年，Rudin，Osher，和Fetamin等人提出了一种新的正则化模型——ROF (分别取三人姓名的首字母)模型 [ 1 ] 。ROF模型采用图像梯度的L 1 模做正则约束，即 min u ‖ ∇ u ‖ 1 + λ 2 ‖ u − f ‖ 2 2 (6) 其中 ‖ ∇ u ‖ 1 是u的梯度的L 1 模，也称为u的全变分(total variation，简写为TV)。因此，(6)式所代表的模 型被称为基于TV的正则化去噪模型。TV正则项的引入使得在获取最佳图像的同时要限定总变差最小，因此，图像中的水平或者铅直的边界会被很好保持。相比用Tikhonov正则化去噪，用TV正则化模型去噪，效果更好模糊更少。ROF模型具有保持边界的良好性质，自提出以来受到了广泛地关注，大量的学者提出了多种改进的求解方法。2004年，Chambolle [ 2 ] 提出一种对偶投影法求解ROF模型。该法将TV正则化模型(6)对应的欧拉–拉格朗日方程做等价变形，把原始问题的求解转化为对偶空间上的一个投影问题的求解。该法简单快速，去噪效果很好。传统的去噪方法在去除噪音的同时都会丢掉一些有用的细节信息，为此，Osher等人2006年提出了一个基于Bregman距离的Bregman迭代规则算法 [ 3 ] ，该法在每次迭代求解时都会加入前一步处理中丢弃的噪音。因为在被丢弃了的噪音项中会包含图像的部分边界和细节信息，所以，加入这些被丢弃的信息，就可能会使后面的结果更接近原始图像。鉴于噪音较重时直接回带去除噪音效果不理想，2017年童将Bregman迭代规则算法和Chambolle的对偶投影法结合提出了一个加权噪音回带的去噪音模型 [ 4 ] ，该法先给Bregman迭代规则算法的噪音回带项配以一个权重系数，然后再用Chambolle的对偶投影法来求解每一单步，去噪效果优于两种方法中的任意一种方法。本文的TV正则化部分的算例都将用此法实现。 为了将两种方法统一起来，童将加权去噪算法的目标方程变为： u k + 1 = artmin u ∈ B V ( Ω ) { ‖ ∇ u ‖ 1 + 1 2 λ ‖ g + b k − u ‖ 2 2 } (7) 2.2.2. 算法 2.3. 稀疏正则——用梯度的L 0 模做正则项 2.3.1. 背景 前面，我们介绍了两种正则化的去噪方法：Tikhonov正则化去噪法和TV正则化去噪方法。这两种方法分别以图像梯度的L 2 模的平方和图像梯度的L 1 模作为正则项。Tikhonov正则化模型具有一定的去噪能力，但是会带来很大的模糊，而TV正则化去噪模型能够有效去除噪音并保护水平和铅直边界。为了更好的提取图像的边界信息，2011年，徐立等人提出了一种基于图像梯度L 0 模的正则化图像稀疏平滑模型 [ 6 ] 。该方法以图像梯度的L 0 模作为正则项，对总体梯度的非零数加以限定，不仅可以平滑掉内部低幅细节和纹理而且还能有效地保护图像的全局主要边界，从而提高了图像边界的识别度，便于边界检测等更进一步的图像处理。2018年何等人提出了一个截断L 0 正则化平滑方法 [ 7 ] ，改进了 [ 6 ] 的结果。本文我们着重介绍文章 [ 6 ] 提出的梯度的L 0 模图像稀疏平滑模型： min S ‖ S − I ‖ 2 2 + λ C ( S ) (10) 其中，I为输入图像，S为平滑后的图像， C ( S ) 代表非零梯度的个数(即梯度的L 0 模) C ( S ) = { p | | ∂ x S p | + | ∂ y S p | ≠ 0 } (11) 2.3.2. 算法 通常，梯度的L 0 模计算比较困难，徐等人给出了一种的精巧的稀疏梯度计数格式，使L 0 模最小化问题(10)得到了很好的解决。 首先，引入两个辅助变量 h p ， v p 替换 ∂ x S ， ∂ y S ，将目标变为： min S ， h ， v { ∑ p ( S p − I p ) 2 + λ C ( h ， v ) + β ( ( ∂ x S p − h p ) 2 + ( ∂ y S p − v p ) 2 ) } (12) 这里，β是一个自适应参数，用来控制 ( h p ， v p ) 和 ( ∂ x S p ， ∂ y S p ) 的近似程度，其值越大，误差越小。引入分裂迭代法，对(12)的求解转化为两个子问题的迭代求解。 子问题1：计算S 将目标函数(12)中含S的项分离出来，得到子问题 min S { ∑ p ( S p − I p ) 2 + β ( ( ∂ x S p − h p ) 2 + ( ∂ y S p − v p ) 2 ) } (13) 利用快速傅里叶变换，算出 S = F − 1 ( F ( I ) + β ( F ( ∂ x ) ∗ F ( h ) + F ( ∂ y ) ∗ F ( v ) ) F ( 1 ) + β ( F ( ∂ x ) ∗ F ( ∂ x ) + F ( ∂ y ) ∗ F ( ∂ y ) ) ) (14) 上式中的F表示快速傅里叶变换， F (   ) ∗ 表示复共轭， F ( 1 ) 表示狄拉克函数的傅里叶变换。由于引入了快速傅里叶变换，(14)式只需在傅里叶域上的进行做逐个像素的加、乘和除法运算而不需要处理矩阵逆的问题，因此比原始方程的求解更简单。 子问题2：计算 ( h ， v ) 新的子问题为： min h ， v { ∑ p ( ( ∂ x S p − h p ) 2 + ( ∂ y S p − v p ) 2 ) + λ β C ( h ， v ) } (15) 此时， 返回 | h | + | v | 的非零元素个数。将上式中的最小化问题转化到在每一个像素上处理，然后再连加得： ∑ p { min h p ， v p ( ( ∂ x S p − h p ) 2 + ( ∂ y S p − v p ) 2 ) + λ β H ( h p ， v p ) } (16) 此时，正则化函数变成了一个二值函数： H ( h p ， v p ) = { 1   | h p | + | v p | ≠ 0 0   | h p | + | v p | = 0 (17)