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user: 3. 2-洛朗多项式 3.1. 2-洛朗多项式的定义 定义3.1 [ 3 ] 图 G = ( V ， E ) ，V是G的顶点集，E是G的边集。 μ ( G ) 和 β ( G ) 分别表示图的连通分支数和一维Betti数。且 f ( G ) = x μ ( G ) y β ( G ) ， h ( G ) 是一个2-洛朗多项式： h ( G ) = h ( G ) ( x ， y ) = ∑ F ⊂ E ( − x ) − | F | f ( G − F ) 。 注解3.1 F是E的子集， | F | 是F包含元素的数目， G − F = ( V ， E − F ) 且x和y是不定元，定义 h ( ϕ ) = 1 。且 G − F = ( V ， G − F ) 。 命题3.1 [ 3 ] 如果e是图G的一个非环边。有 h ( G ) = h ( G / e ) − 1 x h ( G − e ) ，其中 G / e 表示在图G中缩 边e于一点， G − e 表示把边e删掉。 证明 F和 F ′ 是E的子集， | F | 是F包含元素的数目，且 | F | = | F ′ | + 1 。 h ( G ) = ∑ e ∉ F ⊂ E ( − x ) − | F | f ( G − F ) + ∑ e ∈ F ⊂ E ( − x ) − | F | f ( G − F ) = ∑ F ⊂ E − e ( − x ) − | F | f ( G / e − F ) − 1 / x ⋅ ∑ F ′ ⊂ E − e ( − x ) − | F ′ | f ( G − e − F ) = h ( G / e ) − 1 x h ( G − e ) . 命题3.2 [ 3 ] 如果e是图G的一个环边。则 h ( G ) = ( y − 1 x ) h ( G − e ) 。 证明 当e是图G的环边时，那么 G / e = G − e ，则 h ( G ) = ∑ e ∉ F ⊂ E ( − x ) − | F | f ( G − F ) + ∑ e ∈ F ⊂ E ( − x ) − | F | f ( G − F ) = y ∑ F ⊂ E − e ( − x ) − | F | f ( G / e − F ) − 1 / x ⋅ ∑ F ′ ⊂ E − e ( − x ) − | F ′ | f ( G − e − F ) = y h ( G / e ) − 1 x h ( G − e ) = ( y − 1 x ) h ( G − e ) . 3.2. 2-洛朗多项式的性质 给定两个图 G 1 和 G 2 ， G 1 ∪ G 2 表示图 G 1 和 G 2 不交并， G 1 ∨ G 2 表示图 G 1 和 G 2 的一点并。我们称G有一割边e，如果 G − e 比G有更多的连通分支数。 性质3.1 [ 3 ] h ( G 1 ∪ G 2 ) = h ( G 1 ) h ( G 2 ) 。 证明 令 F = F 1 ∪ F 2 ， E = E 1 ∪ E 2 ， F 1 ⊂ E 1 ⊂ G 1 ， F 2 ⊂ E 2 ⊂ G 2 。 因为 μ ( G 1 ∪ G 2 ) = μ ( G 1 ) + μ ( G 2 ) ， β ( G 1 ∪ G 2 ) = β ( G 1 ) + β ( G 2 ) 。 h ( G 1 ) h ( G 2 ) = ∑ F 1 ⊂ E 1 ⊂ E ( − x ) − | F 1 | f ( G 1 − F 1 ) ⋅ ∑ F 2 ⊂ E 2 ⊂ E ( − x ) − | F 2 | f ( G 2 − F 2 ) = ∑ F 1 ， F 2 ⊂ E ( − x ) − | F 1 | − | F 2 | ⋅ x μ ( G 1 − F 1 ) + μ ( G 2 − F 2 ) y β ( G 1 − F 1 ) + β ( G 2 − F 2 ) = ∑ F 1 ， F 2 ⊂ E ( − x ) − | F 1 | − | F 2 | f ( V ， G 1 − F 1 ∪ G 2 − F 2 ) = h ( G 1 ∪ G 2 ) . 性质3.2 [ 3 ] h ( G 1 ∨ G 2 ) = 1 x h ( G 1 ) h ( G 2 ) 。 证明 令 F = F 1 ∪ F 2 ， E = E 1 ∪ E 2 ， F 1 ⊂ E 1 ⊂ G 1 ， F 2 ⊂ E 2 ⊂ G 2 。 h ( G 1 ∨ G 2 ) = ∑ F ⊂ E ( − x ) − | F | f ( G 1 ∨ G 2 − F ) = ∑ F 1 ⊂ E 1 ( − x ) − | F 1 | ⋅ ∑ F 2 ⊂ E 2 ( − x ) − | F 2 | ⋅ 1 x f ( G 1 − F 1 ) f ( G 2 − F 2 ) = 1 x h ( G 1 ) h ( G 2 ) . 性质3.3 [ 3 ] 如果G有割边，则 h ( G ) = 0 。 证明 设e是G的割边，则 G − e = G 1 ∪ G 2 ， G / e = G 1 ∨ G 2 。由命题3.1，性质3.1和性质3.2可得 h ( G ) = h ( G / e ) − 1 x h ( G − e ) = h ( G 1 ∨ G 2 ) − 1 x h ( G 1 ∪ G 2 ) = 1 x h ( G 1 ) h ( G 2 ) − 1 x h ( G 1 ) h ( G 2 ) = 0. 3.3. 多重边图的2-洛朗多项式计算 命题3.3 h ( • ) = x 。 证明 由定义可得， h ( • ) = ( − x ) 0 ⋅ x y 0 = x 。 命题3.4 h ( •     • ) = x 2 。 证明 由性质3.1， h ( G 1 ∪ G 2 ) = h ( G 1 ) h ( G 2 ) ，可得 h ( •       • ) = h ( • ) h ( • ) = x ⋅ x = x 2 。 定义3.2 给定两个可分的图 G 1 和 G 2 ， V 1 和 V 2 分别是 G 1 和 G 2 的任意两个顶点，将 V 1 和 V 2 用n条边连接起来，记作 G 1 ∨ n G 2 。如图2所示。 注解3.2 其中 ( G 1 ∨ n G 2 ) / { e 1， ⋯ ， n } 表示图 G 1 ∨ n G 2 把边 e 1 ⋯ e n 去掉同时将 V 1 和 V 2 两个顶点粘结在一起， ( G 1 ∨ n G 2 ) − { e 1， ⋯ ， n } 表示图 G 1 ∨ n G 2 中去掉边 e 1 ⋯ e n 。 并有以下等式成立 ( ( G 1 ∨ n G 2 ) − e 1 ) / { e 2， ⋯ ， n } = ( ( G 1 ∨ n G 2 ) − { e 1 ， 2 } ) / { e 3 ， ⋯ ， n } = ⋯ = ( ( G 1 ∨ n G 2 ) − { e 1 ， ⋯ ， n − 1 } ) / e n = ( G 1 ∨ n G 2 ) / { e 1 ， ⋯ ， n } . 图2. G 1 ∨ n G 2 定理3.1 h ( G 1 ∨ n G 2 ) = ∑ i = 1 n C n n + 1 − i ⋅ y n − i ( − x ) i − 1 h [ ( G 1 ∨ n G 2 ) / { e 1， ⋯ ， n } ] + 1 ( − x ) n h [ ( G 1 ∨ n G 2 ) − { e 1， ⋯ ， n } ] . 证明 设F和 F n 是E的子集，E是 G 1 ∨ n G 2 的边集 | F | 是F包含元素的数目，则 | F | = | F n | + n 。由2-洛朗多项式的定义 h ( G ) = h ( G ) ( x ， y ) = ∑ F ⊂ E ( − x ) − | F | f ( G − F ) ，对F中所包含n条边 e 1 ， e 2 ， ⋯ ， e n 的情况进行分类： 1) 若F中只含某一条边 e i ，共有 C n n − 1 种情况，且每一种情况的计算结果是相同的，如图3所示。 图3. G 1 ∨ 1 G 2 由割边的定义可知 e i 是图 G 1 ∨ 1 G 2 的割边，则 h ( G 1 ∨ 1 G 2 ) = 0 。 2) 若F中只含两条边 e i 1 ， i 2 ，共有 C n n − 2 种情况，且每一种情况的计算结果是相同的，如图4所示。 图4. G 1 ∨ 2 G 2 h ( G 1 ∨ 2 G 2 ) = ∑ e i 1 ， i 2 ∉ F ⊂ E ( − x ) − | F | f [ ( G 1 ∨ 2 G 2 ) − F ] + C 2 1 ⋅ ∑ e i 1 ∉ F ⊂ E e i 2 ∈ F ⊂ E ( − x ) − | F | f [ ( G 1 ∨ 2 G 2 ) − F ]         + ∑ e i 1 ， i 2 ∈ F ⊂ E ( − x ) − | F | f [ ( G 1 ∨ 2 G 2 ) − F ] = y ⋅ ∑ F ⊂ E − { e i 1 ， i 2 } ( − x ) − | F | f [ ( G 1 ∨ 2 G 2 ) / { e i 1 ， i 2 } − F ]     − C 2 1 x ⋅ ∑ F 1 ⊂ E − { e 1 ， i 2 } ( − x ) − | F 1 | f [ ( ( G 1 ∨ 2 G 2 ) − e i 2 ) / e i 1 − F ]         + 1 x 2 ⋅ ∑ F 2 ⊂ E − { e i 1 ， i 2 } ( − x ) − | F 2 | f [ ( G 1 ∨ 2 G 2 ) − { e i 1 ， i 2 } − F ]   = y h [ ( G 1 ∨ 2 G 2 ) / { e i 1 ， i 2 } ] − C 2 1 x h [ ( ( G 1 ∨ 2 G 2 ) − e i 2 ) / e i 1 ]     + 1 x 2 h [ ( G 1 ∨ 2 G 2 ) − { e i 1 ， i 2 } ] = ( y − C 2 1 x ) h [ ( G 1 ∨ 2 G 2 ) / { e i 1 ， i 2 } ] + 1 x 2 h [ ( G 1 ∨ 2 G 2 ) − { e i 1 ， i 2 } ] . 3) 若F中只含3条边 e i 1 ， i 2 ， i 3 ，共有 C n n − 3 种情况，且每一种情况的计算结果是相同的。 h ( G 1 ∨ 3 G 2 ) = ∑ e i 1 ， i 2 ， i 3 ∉ F ⊂ E ( − x ) − | F | f [ ( G 1 ∨ 3 G 2 ) − F ] + C 3 2 ⋅ ∑ e i 1 ， i 2 ∉ F ⊂ E e i 3 ∈ F ⊂ E ( − x ) − | F | f [ ( G 1 ∨ 3 G 2 ) − F ]         + C 3 1 ⋅ ∑ e i 1 ∉ F ⊂ E e i 2 ， i 3 ∈ F ⊂ E ( − x ) − | F | f [ ( G 1 ∨ 3 G 2 ) − F ] + ∑ e i 1 ， i 2 ， i 3 ∈ F ⊂ E ( − x ) − | F | f [ ( G 1 ∨ 3 G 2 ) − F ] = y 2 h [ ( G 1 ∨ 3 G 2 ) / { e i 1 ， i 2 ， i 3 } ] − C 3 2 ⋅ y x h [ ( ( G 1 ∨ 3 G 2 ) − e i 3 ) / { e i 1 ， i 2 } ]         + C 3 1 x 2 h [ ( ( G 1 ∨ 3 G 2 ) − { e i 2 ， i 3 } ) / e i 1 ] − 1 x 3 h [ ( G 1 ∨ 3 G 2 ) − { e i 1 ， i 2 ， i 3 } ] = ( y 2 − C 3 2 ⋅ y x + C 3 1 x 2 ) h [ ( G 1 ∨ 3 G 2 ) / { e i 1 ， i 2 ， i 3 } ] − 1 x 3 h [ ( G 1 ∨ 3 G 2 ) − { e i 1 ， i 2 ， i 3 } ] . 4) 若F中只含k条边 e i 1 ， ⋯ ， i k ，共有 C n n − k 种情况，且每一种情况的计算结果是相同的。 h ( G 1 ∨ k G 2 ) = ∑ e i 1 ， ⋯ ， i k ∉ F ⊂ E ( − x ) − | F | f [ ( G 1 ∨ k G 2 ) − F ] + C k k − 1 ⋅ ∑ e i 2 ， ⋯ ， i k ∉ F ⊂ E e i 1 ∈ F ⊂ E ( − x ) − | F | f [ ( G 1 ∨ k G 2 ) − F ]         + ⋯ + C k 1 ⋅ ∑ e i k ∉ F ⊂ E e i 1 ， ⋯ ， i k − 1 ∈ F ⊂ E ( − x ) − | F | f [ ( G 1 ∨ k G 2 ) − F ] + ∑ e i 1 ， ⋯ ， i k ∈ F ⊂ E ( − x ) − | F | f [ ( G 1 ∨ k G 2 ) − F ] = [ y k − 1 + C k k − 1 y k − 2 ( − x ) 1 + C k k − 2 y k − 3 ( − x ) 2 + ⋯ + C k 1 y 0 ( − x ) k − 1 ] h [ ( G 1 ∨ k G 2 ) / { e i 1 ， ⋯ ， i k } ]         + 1 ( − x ) k h [ ( G 1 ∨ k G 2 ) − { e i 1 ， ⋯ ， i k } ] = ∑ i = 1 k C k k + 1 − i ⋅ y k − i ( − x ) i − 1 h [ ( G 1 ∨ k G 2 ) / { e i 1 ， ⋯ ， i k } ] + 1 ( − x ) k h [ ( G 1 ∨ k G 2 ) − { e i 1 ， ⋯ ， i k } ] . 综上所述，对F中所包含n条边 e 1 ， e 2 ， ⋯ ， e n 的情况进行分类，得到多重边图的2-洛朗多项式为： h ( G 1 ∨ n G 2 ) = ∑ i = 1 n C n n + 1 − i ⋅ y n − i ( − x ) i − 1 h [ ( G 1 ∨ n G 2 ) / { e 1 ， ⋯ ， n } ] + 1 ( − x ) n h [ ( G 1 ∨ n G 2 ) − { e 1 ， ⋯ ， n } ] . 定义3.3 [ 4 ] θ n 表示由两个顶点和n条连接这两个顶点的边组成的图，也被称为“s-theta图”，如图5所示。 图5. θ n 推论3.1 θ n 图的2-洛朗多项式的计算公式为： h ( θ n ) = ∑ i = 1 n C n n + 1 − i ⋅ x y n − i ( − x ) i − 1 + x 2 ( − x ) n . 证明 由 θ n 图的定义可知， θ n 图是 G 1 ∨ n G 2 图的一种特殊情况，当图 G 1 和 G 2 分别是两个点时 G 1 ∨ n G 2 = θ n ，所以由定理1和命题1，命题2可得： h ( θ n ) = h ( G 1 ∨ n G 2 ) = [ ∑ i = 1 n C n n + 1 − i ⋅ y n − i ( − x ) i − 1 ] ⋅ h [ ( G 1 ∨ n G 2 ) / { e 1 ， ⋯ ， n } ]       + 1 ( − x ) n ⋅ h [ ( G 1 ∨ n G n ) − { e 1 ， ⋯ ， n } ] = [ ∑ i = 1 n C n n + 1 − i ⋅ y n − i ( − x ) i − 1 ] ⋅ h ( • ) + 1 ( − x ) n ⋅ h ( •       • ) = ∑ i = 1 n C n n + 1 − i ⋅ x y n − i ( − x ) i − 1 + x 2 ( − x ) n .