system: [SYSTEM]

user: 2. 局部稳定性和Hopf分支 现在主要讨论系统(2)内平衡点的稳定性和Hopf分支的存在性。从论文 [ 18 ] 中得知：当 β 1 > δ 2 时系统(2)存在一个内平衡点，记为 E * = ( D * ， P * ， Z * ) ，其中： D * = D 0 − a α 1 δ 2 η ( β 1 − δ 2 ) − α 2 Z * η ， P * = a δ 2 β 1 − δ 2 ， Z * = a β 1 β ( β 1 − δ 2 ) ( r ξ + D 0 − D * − δ 1 ) . (3) 首先对系统(2)进行换元变形： u 1 ( t ) = D ( t ) − D * ， u 2 ( t ) = P ( t ) − P * ， u 3 ( t ) = Z ( t ) − Z * 。将内平衡点 E * 转化到原点，系统(2)可以重新写为 u 1 ⋅ = a 11 u 1 + a 12 u 2 + a 13 u 3 + F 1 ， u 2 ⋅ = a 21 u 1 ( t − τ 1 ) + a 22 u 2 + a 23 u 3 + F 2 ， u 3 ⋅ = a 32 u 2 ( t − τ 2 ) + F 3 ， (4) 其中： a 11 = − η < 0 ;   a 12 = − α 1 < 0 ;   a 13 = − α 2 < 0 ;   a 21 = r P * ( ξ + D 0 − D * ) 2 > 0 ; a 22 = r ξ + D 0 − D * − δ 1 − β a Z * ( a + P * ) 2 > 0 ;   a 23 = − β P * a + P * < 0 ;   a 32 = β 1 Z * a ( a + P * ) 2 . f 1 = 0 ， f 2 = ( − a β ( a + P * ) 2 ) y ( t ) z ( t ) + a β Z * ( a + P * ) 3 y 2 ( t ) − a β Z * ( a + P * ) 4 y 3 ( t ) + ⋯ ， f 3 = a β 1 ( a + P * ) 2 y ( t − τ 2 ) z ( t ) − a β 1 Z * ( a + P * ) 3 y 2 ( t − τ 2 ) + a β 1 Z * ( a + P * ) 4 y 3 ( t − τ 2 ) + ⋯ . 则系统(4)对应的线性部分为： u 1 ⋅ = a 11 u 1 + a 12 u 2 + a 13 ， u 2 ⋅ = a 21 u 1 ( t − τ 1 ) + a 22 u 2 + a 23 u 3 ， u 3 ⋅ = a 32 u 2 ( t − τ 2 ) ， (5) 系统(5)对应的特征方程如下： λ 3 + A λ 2 + B λ + C λ ⋅ e − λ τ 1 + ( D λ + E ) ⋅ e − λ τ 2 + F ⋅ e − λ ( τ 1 + τ 2 ) = 0. (6) 其中： A = − ( a 11 + a 22 ) ，   B = a 11 a 22 ，   C = − a 12 a 21 ， D = − a 32 a 23 ，   E = a 11 a 23 a 32 ，   F = − a 13 a 21 a 32 . 第一种情况： τ 1 = τ 2 = 0 。 定理2.1： τ 1 = τ 2 = 0 时，满足条件 ( H 1 ) 时，内平衡点 E * 是局部稳定的。 证明：当 τ 1 = τ 2 = 0 时，方程(6)变为 λ 3 + A 11 λ 2 + A 12 λ + A 13 = 0 ， (7) 其中： A 11 = A ，   A 12 = B + C + D ，   A 13 = E + F . 根据Routh-Hurwitz判据，满足条件 ( H 1 ) ： A 11 > 0 ， A 11 A 12 > A 13 时， E * 是局部渐近稳定的。 第二种情况： τ 1 > 0 ，   τ 2 = 0 。 定理2.2： τ 1 > 0 ，   τ 2 = 0 时，满足条件 ( H 21 ， H 22 ) ，系统内平衡点 E * 在 τ 1 ∈ [ 0 ，   τ 10 ) 是局部渐近稳定的，并且当 τ 1 = τ 10 时出现Hopf分支。 证明：当 τ 1 > 0 ，   τ 2 = 0 时，方程(6)化为 λ 3 + A λ 2 + ( B + D ) λ + ( C λ + F ) ⋅ e − λ τ 1 + E = 0. (8) 假设 λ = i ω 1 ( ω 1 > 0 ) 是方程(8)的纯虚根，将其代入方程(8)，得到如下方程组 − ω 1 3 + ( B + D ) ω 1 − F sin ( ω 1 τ 1 ) + C ω 1 cos ( ω 1 τ 1 ) = 0 ， − A ω 1 2 + E + C ω 1 sin ( ω 1 τ 1 ) + F cos ( ω 1 τ 1 ) = 0. (9) 将两个方程平方并且相加得到方程(10)： ω 1 6 + [ A 2 − 2 ( B + D ) ] ω 1 4 + [ ( B + D ) 2 − 2 A E − C 2 ] ω 1 2 + E 2 − F 2 = 0 ， (10) 假设 v 1 = ω 1 2 ，然后方程(10)变为 v 1 3 + [ A 2 − 2 ( B + D ) ] v 1 2 + [ ( B + D ) 2 − 2 A E − C 2 ] v 1 + E 2 − F 2 = 0 ， (11) 接下来定义一个方程： f 1 ( v 1 ) = v 1 3 + [ A 2 − 2 ( B + D ) ] v 1 2 + [ ( B + D ) 2 − 2 A E − C 2 ] v 1 + E 2 − F 2 (12) 假设 ( H 21 ) ：文献 [ 28 ] 中定理(2.1)情况(i)，(iii)成立，则 f 1 ( v 1 ) 至少有一个正根，不失一般性，假设方程(11)的根为 v 11 ， v 12 ， v 13 ，则有 ω 1 k = v 1 k ，   ( k = 1 ， 2 ， 3 ) 根据方程组(9)得到： τ 1 k j = 1 ω 1 k ( arccos C ω 1 k 4 + [ A F − ( B + D ) C ] ω 1 k 2 − E F C 2 ω 1 k 2 + F 2 + 2 j π ) ，     ( j = 0 ，   1 ，   2 ⋯ ，   k = 1 ，   2，   3 ) 假设 τ 10 = min k = 1 ， 2 ， 3 τ 1 k ( 0 ) ，由Hopf分支定理 [ 29 ] 得知，还需要证明横街性条件，对方程(8)两边关于 τ 1 微分求导得 ( d λ d τ 1 ) − 1 = 3 λ 2 + 2 A λ + B + D + C e − λ τ 1 λ ( C λ + F ) e − λ τ 1 − τ 1 λ ， (13) 将 λ = i ω 10 代入(13)，通过简单计算得到 Re ( d λ d τ 1 ) λ = i ω 10 − 1 = ω 10 2 Δ f ′ 1 ( ω 10 2 ) ， (14) 其中： Δ = ( F ω 10 sin ( ω 10 τ 1 ) − C ω 10 2 cos ( ω 10 τ 1 ) ) 2 + ( F ω 10 cos ( ω 10 τ 1 ) + C ω 10 2 sin ( ω 10 τ 1 ) ) 2 ， 得知当 ( H 22 ) :   f ′ 1 ( ω 10 2 ) ≠ 0 成立时，则 Re ( d λ d τ 1 ) λ = i ω 10 − 1 ≠ 0 。证毕。 第三种情况： τ 2 > 0 ，   τ 1 = 0 。 定理2.3： τ 2 > 0 ，   τ 1 = 0 时，满足 ( H 21 ， H 32 ) ，系统内平衡点 E * 在 τ 2 ∈ [ 0 ，   τ 20 ) 是局部渐近稳定的，并且当 τ 2 = τ 20 时出现Hopf分支。 证明：当 τ 2 > 0 ，   τ 1 = 0 时，方程(6)化为 λ 3 + A λ 2 + ( B + C ) λ + D λ ⋅ e − λ τ 2 + ( E + F ) ⋅ e − λ τ 2 = 0. (15) 与第二种情况相似，假设 λ = i ω 2 ( ω 2 > 0 ) 是方程(15)的根，将其代入得到： − ω 2 3 + ( B + C ) ω 2 − ( E + F ) sin ( ω 2 τ 2 ) + D ω 2 cos ( ω 2 τ 2 ) = 0 ， − A ω 2 2 + ( E + F ) ω 2 cos ( ω 2 τ 2 ) + D sin ( ω 2 τ 2 ) = 0. (16) 对方程组平方并且相加得到 ω 2 6 + ( A 2 − 2 ( B + C ) ) ω 2 4 + [ ( B + C ) 2 − D 2 ] ω 2 2 − ( E + F ) 2 = 0 ， (17) 假设 v 2 = ω 2 2 ，则方程(17)化为 v 2 3 + ( A 2 − 2 ( B + C ) ) v 2 2 + [ ( B + D ) 2 − D 2 ] v 2 − ( E + F ) 2 = 0 ， (18) 然后定义 f 2 ( v 2 ) = v 2 3 + ( A 2 − 2 ( B + C ) ) v 2 2 + [ ( B + D ) 2 − D 2 ] v 2 − ( E + F ) 2 (19) 假设 ( H 21 ) 成立，则方程(18)至少有一个正根，不失一般性，将方程(18)的正根记为 v 21 ，   v 22 ，   v 23 ，然后有 ω 2 k = v 2 k ，   ( k = 1 ， 2 ， 3 ) 。根据方程(16)得到： τ 2 k j = 1 ω 2 k ( arccos D ω 2 k 4 + [ A ( E + F ) − ( B + C ) D ] ω 2 k 2 D 2 ω 2 k 2 + ( E + F ) 2 + 2 j τ ) ，   ( j = 0 ，   1 ，   2 ⋯ ，   k = 1 ，   2，   3 ) 假设 τ 20 = min k = 1 ， 2 ， 3 τ 2 k ( 0 ) 与第二种情况相似，还需要证明横街性条件，对方程(15)两边关于 τ 2 微分求导得 ( d λ d τ 2 ) − 1 = 3 λ 2 + 2 A λ + B + C + D e − λ τ 2 λ ( D λ + E + F ) e − λ τ 2 − τ 2 λ ， (20) 将 λ = i ω 20 代入(20)，通过简单计算得到 Re ( d λ d τ 2 ) λ = i ω 20 − 1 = ω 20 2 Δ f ′ 2 ( ω 20 2 ) (21) 其中： Δ = ( − D ω 20 2 cos ( ω 20 τ 2 ) + ( E + F ) ω 20 sin ( ω 20 τ 2 ) ) 2 + ( ( E + F ) ω 20 cos ( ω 20 τ 2 ) + D ω 20 2 ( sin ω 20 τ 2 ) ) 2 ， 得知当 ( H 32 ) :   f ′ 2 ( ω 20 2 ) ≠ 0 ，则 Re ( d λ d τ 2 ) λ = i ω 20 − 1 ≠ 0 。证毕。 第四种情况： τ 1 = τ 2 = τ 。 定理2.4： τ 1 = τ 2 = τ 时，满足 ( H 41 ， H 42 ) ，系统内平衡点 E * 在 τ ∈ [ 0 ， τ 30 ) 是局部渐近稳定的，并且当 τ = τ 30 时出现Hopf分支。 证明：当 τ 1 = τ 2 = τ 时，方程(6)化为 λ 3 + A λ 2 + B λ + [ ( C + D ) λ + E ] ⋅ e − λ τ + F ⋅ e − 2 λ τ = 0. (22) 方程两边同时乘以 e λ τ ，得到 ( λ 3 + A λ 2 + B λ ) ⋅ e λ τ + ( C + D ) λ + E + F ⋅ e − λ τ = 0. (23) 假设 λ = i ω 3 ( ω 3 > 0 ) 是方程(23)的根，将其代入得到 sin ( ω 3 τ ) ( B ω 3 − ω 3 3 ) + cos ( ω 3 τ ) ( A ω 3 2 − F ) = E ， sin ( ω 3 τ ) ( A ω 3 2 + F ) + cos ( ω 3 τ ) ( ω 3 3 − B ω 3 ) = ( C + D ) ω 3 . (24) 根据方程(24)，得到如下方程组： sin ( ω 3 τ ) = E ( ω 3 3 − B ω 3 ) − ( C + D ) ( A ω 3 2 − F ) ω 3 − ( ω 3 3 − B ω 3 ) 2 + ( F − A 2 ω 3 4 ) ， cos ( ω 3 τ ) = ( C + D ) ( B ω 3 − ω 3 3 ) ω 3 − E ( A ω 3 2 + F ) − ( ω 3 3 − B ω 3 ) 2 + ( F − A 2 ω 3 4 ) . (25) 利用 sin 2 ( ω 3 τ ) + cos 2 ( ω 3 τ ) = 1 ，就有 ω 3 12 + E 41 ω 3 10 + E 42 ω 3 8 + E 43 ω 3 6 + E 44 ω 3 4 + E 45 ω 3 2 + E 46 = 0 ， (26) 其中： E 41 = 2 A 2 − 4 B ;   E 42 = 6 B 2 + A 4 − 4 A 2 B − ( C + D ) 2 ; E 43 = − 4 B 3 − 2 F 2 + 2 A 2 B 2 − ( C + D ) 2 ( A 2 − 2 B ) − E 2 ; E 44 = B 4 − 2 A F 2 + 4 B F 2 − 4 E F ( C + D ) − ( C + D ) 2 ( B 2 − 2 A F ) + E 2 ( A 2 + 2 B ) ; E 45 = − 2 B 2 F 2 + 4 B E F ( C + D ) − ( C + D ) 2 F 2 − E 2 ( B 2 + 2 A F ) ; E 46 = F 4 + E 2 F 2 ; 假设 v 3 = ω 3 2 ，则方程(26)变为 v 3 6 + E 41 v 3 5 + E 42 v 3 4 + E 43 v 3 3 + E 44 v 3 2 + E 45 v 3 + E 46 = 0 ， (27) 接下来定义 f 3 ( v 3 ) = v 3 6 + E 41 v 3 5 + E 42 v 3 4 + E 43 v 3 3 + E 44 v 3 2 + E 45 v 3 + E 46 ， (28) 假设 ( H 41 ) ：方程(28)至少有一个正根成立。不失一般性，记方程(27)的正根为 v 31 ，   v 32 ， ⋯ ， v 36 ，则有 ω 3 k = v 3 k ，   ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， 6 ) ，由方程(24)可以得到 τ 3 k j = 1 ω 3 k ( arccos ( C + D ) ( B ω 3 − ω 3 3 ) ω 3 − E ( A ω 3 2 + F ) − ( ω 3 3 − B ω 3 ) 2 + ( F − A 2 ω 3 4 ) + 2 j π ) ，   ( j = 0 ， 1 ， 2 ⋯ ，   k = 1 ， 2， ⋯ ， 6 ) 假设 τ 30 = min k = 1 ， 2 ， ⋯ ， 6 τ 3 k ( 0 ) ，然后对方程(23)两边关于 τ 微分求导得 ( d λ d τ ) − 1 = ( 3 λ 2 + 2 A λ + B ) e λ τ + C + D F λ e − λ τ − ( λ 3 + A λ 2 + B λ ) λ e λ τ − τ λ ， (29) 将 λ = i ω 30 代入(29)，通过简单计算得到 Re ( d λ d τ ) λ = i ω 30 − 1 = F 41 F 43 + F 42 F 44 F 43 2 + F 44 2 ， 其中： F 41 = − 3 ω 30 2 cos ( ω 30 τ ) − 2 A ω 30 sin ( ω 30 τ ) + B cos ( ω 30 τ ) + C + D ; F 42 = − 3 ω 30 2 sin ( ω 30 τ ) + 2 A ω 30 cos ( ω 30 τ ) + B sin ( ω 30 τ ) ; F 43 = F ω 30 sin ( ω 30 τ ) − ω 30 4 cos ( ω 30 τ ) + B ω 30 2 cos ( ω 30 τ ) − A ω 30 3 sin ( ω 30 τ ) ; F 44 = F ω 30 cos ( ω 30 τ ) − ω 30 4 sin ( ω 30 τ ) + B ω 30 2 sin ( ω 30 τ ) + A ω 30 3 cos ( ω 30 τ ) . 得知当 ( H 42 ) :   F 41 F 43 + F 42 F 44 ≠ 0 ，则 Re ( d λ d τ ) λ = i ω 30 − 1 ≠ 0 。证毕。 第五种情况： τ 1 ∈ ( 0 ，   τ 10 ) ，   τ 2 > 0 ， 定理2.5： τ 1 ∈ ( 0 ，   τ 10 ) ，   τ 2 > 0 时，满足 ( H 51 ，   H 52 ) ，系统内平衡点 E * 在 τ 2 ∈ [ 0 ，   τ 20 * ) 是局部渐近稳定的，并且当 τ = τ 20 * 时出现Hopf分支。 证明：当 τ 1 ∈ ( 0 ，   τ 10 ) ，   τ 2 > 0 时，将 τ 2 作为参数，假设 λ = i ω 2 * ( ω 2 * > 0 ) 是方程(6)的根，将其代入得到 R 51 sin ( ω 2 * τ 2 ) + R 52 cos ( ω 2 * τ 2 ) = R 53 ， R 51 cos ( ω 2 * τ 2 ) − R 52 sin ( ω 2 * τ 2 ) = R 54 . (30) 其中： R 51 = D ω 2 * − F sin ( ω 2 * τ 1 ) ;   R 52 = E + F cos ( ω 2 * τ 1 ) ; R 53 = A ω 2 * 2 − C ω 2 * sin ( ω 2 * τ 1 ) ;   R 54 = ω 2 * 3 − B ω 2 * − C ω 2 * cos ( ω 2 * τ 1 ) ; 对方程组(30)平方相加得 F 1 ( ω 2 * ) + F 2 ( ω 2 * ) sin ( ω 2 * τ 1 ) + F 3 ( ω 2 * ) cos ( ω 2 * τ 1 ) = 0 ， (31) 其中： F 1 ( ω 2 * ) = ω 2 * 6 + ( A 2 − 2 B ) ω 2 * 4 + ( C 2 + B 2 − D 2 ) ω 2 * 2 − ( E 2 + F 2 ) ; F 2 ( ω 2 * ) = 2 D F ω 2 * − 2 A C ω 2 * 3 ; F 3 ( ω 2 * ) = 2 B C ω 2 * 2 − 2 C ω 2 * 4 − 2 E F ; 假设 ( H 51 ) ：(31)存在有限个正根成立，且记为 ω 2 k * ，   ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， l 1 ) 。由方程(30)有 τ 2 k * ( j ) = 1 ω 2 k * ( arccos R 52 R 53 + R 51 R 54 R 51 2 + R 52 2 + 2 j π ) ，     ( j = 0 ， 1 ， 2 ⋯ ，   k = 1 ， 2， ⋯ ， l 1 ) 假设 τ 20 * = min τ 2 k * ( 0 ) ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， l 1 ) ，然后对方程(6)两边关于 τ 2 微分求导得 ( d λ d τ 2 ) − 1 = f 20 + f 21 e − λ τ 1 + f 22 e − λ τ 2 + f 23 e − λ ( τ 1 + τ 2 ) f 24 e − λ τ 2 + f 25 e − λ ( τ 1 + τ 2 ) − τ 2 λ ， (32) 其中： f 20 = 3 λ 2 + 2 A λ + B ;   f 21 = C − C λ τ 1 ;   f 22 = D ; f 23 = − τ 1 F ;   f 24 = ( D λ + E ) λ ;   f 25 = F λ ; 将 λ = i ω 20 * ， τ 2 = τ 20 * 代入(32)得 Re ( d λ d τ 2 ) λ = i ω 20 * − 1 = F 51 F 53 + F 52 F 54 F 53 2 + F 54 2 其中： F 51 = − 3 ω 20 * 2 + B + C cos ( ω 20 * τ 1 ) − C ω 20 * τ 1 sin ( ω 20 * τ 1 ) + D cos ( ω 20 * τ 20 * )                 − τ 1 F cos ( ω 20 * τ 1 ) ) cos ( ω 20 * τ 20 * ) + τ 1 F sin ( ω 20 * τ 1 ) sin ( ω 20 * τ 20 * ) ; F 52 = 2 A ω 20 * − C sin ( ω 20 * τ 1 ) − C ω 20 * τ 1 cos ( ω 20 * τ 1 ) − D sin ( ω 20 * τ 20 * )                 + τ 1 F sin ( ω 20 * τ 1 ) cos ( ω 20 * τ 20 * ) + τ 1 F cos ( ω 20 * τ 1 ) sin ( ω 20 * τ 20 * ) ; F 53 = − D ω 20 * 2 cos ( ω 20 * τ 20 * ) + E ω 20 * sin ( ω 20 * τ 20 * ) + F ω 20 * sin ( ω 20 * τ 1 ) cos ( ω 20 * τ 20 * )                 + F ω 20 * cos ( ω 20 * τ 1 ) sin ( ω 20 * τ 20 * ) ; F 54 = D ω 20 * 2 sin ( ω 20 * τ 20 * ) + E ω 20 * cos ( ω 20 * τ 20 * ) + F ω 20 * cos ( ω 20 * τ 1 ) cos ( ω 20 * τ 20 * )                 − F ω 20 * sin ( ω 20 * τ 1 ) sin ( ω 20 * τ 20 * ) . 假设 ( H 52 ) :   F 51 F 53 + F 52 F 54 ≠ 0 成立，则有 Re ( d λ d τ 2 ) λ = i ω 20 * − 1 ≠ 0 。证毕。 第六种情况： τ 2 ∈ ( 0 ，   τ 20 ) ，   τ 1 > 0 ， 定理2.6： τ 2 ∈ ( 0 ，   τ 20 ) ，   τ 1 > 0 时，满足 ( H 61 ， H 62 ) ，系统内平衡点 E * 在 τ 1 ∈ [ 0 ，   τ 10 * ) 是局部渐近稳定的，并且当 τ = τ 10 * 时出现Hopf分支。 证明：当 τ 2 ∈ ( 0 ，   τ 20 ) ，   τ 1 > 0 时，将 τ 1 作为参数，假设 λ = i ω 1 * ( ω 1 * > 0 ) 是方程(6)的根，代入可得 R 61 sin ( ω 1 * τ 1 ) + R 62 cos ( ω 1 * τ 1 )   = R 63 ， R 61 cos ( ω 1 * τ 1 ) − R 62 sin ( ω 1 * τ 1 ) = R 64 . (33) 其中： R 61 = C ω 1 * − F sin ( ω 1 * τ 2 ) ;   R 62 = F cos ( ω 1 * τ 2 ) ; R 63 = A ω 1 * 2 − E cos ( ω 1 * τ 2 ) − D ω 1 * sin ( ω 1 * τ 2 ) ; R 64 = ω 1 * 3 − B ω 1 * + E sin ( ω 1 * τ 2 ) − D ω 1 * cos ( ω 1 * τ 2 ) ; 对方称组(33)平方相加得 G 1 ( ω 1 * ) + G 2 ( ω 1 * ) sin ( ω 1 * τ 2 ) + G 3 ( ω 1 * ) cos ( ω 1 * τ 2 ) = 0. (34) 其中： G 1 ( ω 1 * ) = ω 1 * 6 + ( A 2 − 2 B ) ω 1 * 4 + ( B 2 + D 2 − C 2 ) ω 1 * 2 + E 2 − F 2 ; G 2 ( ω 1 * ) = ( 2 E − 2 A D ) ω 1 * 3 + ( 2 C F − 2 B E ) ω 1 * ; G 3 ( ω 1 * ) = − 2 D ω 1 * 4 + ( 2 B D − 2 A E ) ω 1 * 2 ; 假设 ( H 61 ) ：(33)存在有限个正根成立，且记为 ω 1 k * ，   ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， l 2 ) 。由方程(33)得到 τ 1 k * ( j ) = 1 ω 1 k * arccos ( R 62 R 63 + R 61 R 64 R 61 2 + R 62 2 + 2 j τ ) ，     ( j = 0 ， 1 ， 2 ⋯ ，   k = 1 ， 2， ⋯ ， l 2 ) 假设 τ 10 * = min τ 1 k * ( 0 ) ( k = 1 ，   2 ， ⋯ ， l 2 ) ，对方称(6)关于 τ 1 微分求导，并将 λ = i ω 10 * ， τ 1 = τ 10 * 代入得 Re ( d λ d τ 1 ) λ = i ω 10 * − 1 = F 61 F 63 + F 62 F 64 F 63 2 + F 64 2 (35) 其中： F 61 = − 3 ω 10 * 2 + B + C cos ( ω 10 * τ 10 * ) + D cos ( ω 10 * τ 2 ) − τ 2 E cos ( ω 10 * τ 2 ) − τ 2 D ω 10 * sin ( ω 10 * τ 2 )                 − τ 2 F cos ( ω 10 * τ 10 * ) cos ( ω 10 * τ 2 ) + τ 2 F sin ( ω 10 * τ 10 * ) sin ( ω 10 * τ 2 ) ; F 62 = 2 A ω 10 * − C sin ( ω 10 * τ 10 * ) − D sin ( ω 10 * τ 2 ) − τ 2 D ω 10 * cos ( ω 10 * τ 2 ) + τ 2 E sin ( ω 10 * τ 2 )                 + τ 2 F sin ( ω 10 * τ 10 * ) cos ( ω 10 * τ 2 ) + τ 2 F sin ( ω 10 * τ 2 ) cos ( ω 10 * τ 10 * ) ; F 63 = F ω 10 * sin ( ω 10 * τ 10 * ) cos ( ω 10 * τ 2 ) + F ω 10 * cos ( ω 10 * τ 10 * ) sin ( ω 10 * τ 2 ) − C ω 10 * 2 cos ( ω 10 * τ 10 * ) ; F 64 = F ω 10 * cos ( ω 10 * τ 10 * ) cos ( ω 10 * τ 2 ) − F ω 10 * sin ( ω 10 * τ 10 * ) sin ( ω 10 * τ 2 ) + C ω 10 * 2 sin ( ω 10 * τ 10 * ) ; 假设 ( H 62 ) :   F 61 F 63 + F 62 F 64 ≠ 0 成立，则有 Re ( d λ d τ 1 ) λ = i ω 10 * − 1 ≠ 0 。证毕。