DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 4. 建立科学的信息采集分析运用体系的途径探讨 对烟草商业企业而言，准确的信息采集是基础，科学的信息分析是前提，有效的信息运用是目的。这三个环节是一环扣一环，密不可分。由此可见，能否准确的把握采集、分析、运用这三个环节是建立科学的信息采集分析运用体系的关键点所在。 (一) 建立科学的零售终端市场信息采集体系 零售终端市场信息采集是市场营销工作的重要步骤，是进行市场信息分析、营销预测的前提与保障，信息采集工作质量的高低直接关系到市场需求预测的准确性卷烟市场营销水平。因此，在市场营销过程中应当要高度重视零售终端市场信息采集工作，明确信息采集过程中的工作方案，运用科学、合理的信息采集方法，实现市场信息的有效采集。 1) 培养优秀的信息人员 信息采集人员素质的高低直接影响到终端市场信息采集的准确性与有效性，因此，必须培养造就一批优秀的信息采集任务，为信息采集工作推进提供人力支撑 [ 1 ]。一是注重专业人才的引进与选拔，要针对此项工作引进经济学、统计学、营销学相关专业背景的优秀人才，加强知识储备能力，发挥专业人才优势，提高信息采集质量。与此同时，发挥选拔机制作用，选拔出具有较强信息收集能力、分析处理能力的优秀员工，实现信息的有效采集。二是加强信息人员的培训工作，制定信息人员的培训规划。岗前培训与在岗培训、针对性培训与适应性培训相结合，强化信息人员的专业知识，提高其实践运用能力。 2) 科学的选择零售终端信息采集途径 目前，烟草企业采集信息的途径主要有两种：一是通过基础数据、报表收集，包括各种卷烟的销量、库存等信息。报表数据具有来源直接、获取方便的特征。报表上的数据直接反映了天、周、月、季或年度各品牌的卷烟销量情况、库存状态、价格信息以及各种业态的经营状况。二是市场调查，包括品牌卷烟的市场价格、动销率、社会库存、零售客户的进货周期、消费群体构成等。在具体的操作中，应根据信息采集的目标及时间成本要求，运用互联网信息技术，科学合理的选择样本与调查方法，注重市场调查过程中的控制，切实提升信息采集的质效。 (二) 采用科学的零售终端市场信息分析方法 建立在零售市场信息有效采集的基础上，通过对采集信息的合理分类与整理，运用科学、合理的分析方法，对采集的数据信息进行分析，以实现市场需求的预测。主要可采用以下方法： 1) 趋势分析 趋势分析将两期或多期连续的相同指标或比率进行定基对比和环比对比，得出它们的增减变动方向，以揭示企业经营活动的变化情况。在对卷烟市场营销过程中运用的趋势分析主要有销售趋势分析、单箱结构趋势分析。 ① 销售趋势分析 销售趋势分析是最常用的销售分析方法之一，分析过程相对简单、易懂，可以很直观地反映各产品的销售趋势情况是否正常，方便使用者对卷烟销售情况形成一个全面了解，对月度、季度或者年度各品牌卷烟销售趋势有深入的把握。在运用销售趋势分析过程中，对于出现的、现异常情况、数据信息要重点分析并及时进行处理。通过分析各卷烟品牌在一定时间内的销售量、销售额、利润情况，最终得到相应的销售趋势从而为未来期间的销售预测提供基础。 ② 单箱结构趋势分析 单箱结构是指一大箱(250标准条)产品的销售额，它是烟草行业营销过程中的一个重要指标。从目前烟草行业的生存环境和卷烟消费的发展趋势分析，在未来相当一段时间，卷烟销售总量增速放缓、增长趋紧的趋势将会十分明显，保持行业的可持续发展将主要依赖于卷烟消费结构的持续提升，因此单箱结构的提高是烟草企业提高经营绩效的重要途径。通过对某一地区一定时期单箱结构分析，得到企业单箱结构趋势，就该趋势结果进行评价并对趋势产生原因进行分析，结合单箱结构现实状况，通过对市场消费者需求结构的把握以及对品牌在市场中的培育与定位，实现结构提升。 2) 差异性分析 ① 地区消费偏好差异分析 经济发展水平、文化习俗是影响消费者行为的重要因素。各地区经济发展与文化习俗的不同导致地区间卷烟销售市场需求结构、需求量具有差异性。通过对区域的差异性分析，可以判断各地区消费者对卷烟价位、品牌的偏好，从而在产品销售上针对地区特点，做好产品的研发、投放，以满足市场需求，实现供需平衡；强化品牌的市场定位，扩大市场份额。 ② 季节性消费差异分析 烟草产品市场需求的季节性变化十分明显，不同季节对不同产品的需求量具有显著差异。通过季节性消费差异分析，了解市场上产品需求量以及产品结构需求随季节的变动情况，及时针对季节需求特点合理组织货源，实现产品供应，防止货源短缺或供应过足状况，稳定市场上产品价格与销售。 3) 比率分析 在“中华”品牌营销过程中，“三维五率”概念在卷烟精准营销中得以深化 [ 2 ]。对采集信息的分析中，采用比率分析，可以了解各品牌的铺货情况、动销情况、断货情况、上柜情况等，通过类似品牌的横向比较或者与历史销售数据的纵向比较，有利于对做出正确的营销策略、货源供应策略的平衡、投放节奏的把握，进而提高把握市场的能力。 (三) 建立信息数据库，提高零售终端市场信息的运用水平 正确市场信息的采集与分析，为市场信息的运用打下了坚实的基础。而信息运用在实际工作中，往往缺乏有效的数据运用工具，进而影响快速响应消费者需求、提高需求预测准确率及科学决策等的实现。针对这一特点，笔者认为，有必要以“数据驱动营销”为工作思路，通过运用现代信息技术，设计由数据采集、数据分析、数据运用三大功能模块组成的市场营销信息数据库，进一步加强各层次对零售终端信息的应用。具体而言，就是要建立数据库、使用好数据库。 1) 建立营销数据库 烟草商业企业营销数据库应基于市场、客户、品牌来构建的。具体一点来说，在市场资源上，要突出市场宏观经济数据的收集，围绕经济发展、人口数量、吸烟人口和吸烟率等方面，全面地掌握了历年人口、消费、需求和经济发展趋势，进而获得辖区的卷烟销售容量；在客户资源上，要加强市场动态数据和客户实销数据的调查。通过开展社会库存、零售价格、重点销售品牌调查以及通过坐摊调查调查了解消费者偏好，全面了解市场动态信息；在品牌资源上，要重点关注知名品牌、主销品牌、重点品牌、新上市品牌的销售情况，如历史销售情况、购进率、主要购进群体和区域划分等。 2) 有效使用营销数据库 营销数据库的应用主要是运用数据进行把握市场、需求预测和选择营销服务策略。就客户经理而言，应该利用数据库，了解所管辖零售客户的销售情况及经营上存在的劣势，有针对性的选择个性化的营销服务策略，推荐相适应的品牌，提出合理化建议，进一步提高客户经营水平和满意度；营销部门要基于客户的年龄、性别、人口统计、吸烟率等数据，对某类客户购买某一特定卷烟品牌的可能性进行预测，来开展各类营销策划活动和卷烟品牌的引进退出工作，以提高品牌的知名度或是增加品牌的销售；就经营决策层而言，根据系统提供的人口、吸烟率、日均吸烟量和月均消费额等关键数据，测算市场容量、消费水平、消费偏好、销售趋势，制定企业营销目标。 3) 运用客户分类办法，提高数据的运用水平 当前，在实践工作中，通过采用客户分类办法，定点收集选定信息采集客户的购销存信息，制作品牌、业态走势图，分析走势变化后面的原因，最终应用到货源分配和各项服务策略中。
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user: 5. 结论 随着数据时代的到来，数据重要性和作用日益凸显，作为烟草商业企业，必须紧跟时代步伐，加快数据的采集、分析和应用，不断提升高质量发展能力和水平。
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user: 摘要 为了了解拌和方式对水泥稳定碎石材料性能的影响，本文选用3.5%、4.0%、4.5%、5.0%、5.5%五种水泥剂量分别对顺序拌和、振动拌和和传统常规拌和三种拌和方式下的最佳含水率、无侧限抗压强度、劈裂强度干缩系数等试验数据进行了对比分析。研究表明：相比较传统常规拌和工艺，顺序拌和和振动拌和技术最佳含水量可降低15%以上，无侧限抗压强度也有较大提升，同等水泥剂量下养护7 d后抗干缩性能也具有更优异的表现，当水泥剂量较大时振动拌和技术比顺序拌合技术有更好的性能表现。
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user: 1. 引言 自上世纪八十年代，随着我国高等级公路建设里程的快速发展以及轴重和交通量的逐年增加，半刚性基层以其强度高、成本低、材料来源广泛等特点，成为我国近几十年公路建设的主要承重层，采用具有水硬性结合料处置基层的沥青路面的优势愈发凸显，在社会经济水平相对较低的国情条件下，在提高道路服务功能和保障交通运输的发展上，起到了卓越的贡献。 然而，半刚性材料因其为水硬性材料特点，因水分挥发带来的干缩和温度变化与材料收缩性能引起的温缩，造成半刚性基层过早出现裂缝，裂缝迅速向面层反射，产生反射裂缝，进而在路面产生裂缝、坑槽等早期损坏，严重影响道路行车安全以及使用寿命 [ 1 ]，影响安全的同时也缩短路面使用年限，沥青路面的横向开裂问题已成为国内半刚性基层结构的通病和难题。 针对半刚性基层的抗裂措施研究，目前国内外主要的解决办法有降低水泥剂量、调整混合料级配类型、改善施工工艺等手段，而顺序拌和技术和振动拌和技术是基于拌和方式通过改善施工工艺、提高混合料的均匀性、降低水泥剂量和最佳用水量等方式来提高抗裂性能。
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user: 2. 技术原理 半刚性基层材料受压开裂破损可以看作剪切破坏，水泥稳定碎石材料的抗剪切强度表达式为τ = σtanφψ + c，从式中可得抗剪强度主要取决于垂直压应力σ、内摩擦角φ和粘结力c，内摩擦角可通过改善级配类型来提高，而粘聚力主要取决于水泥稳定碎石材料中结合料的粘结力，通过提高结合料的均匀性、改善黏结界面的强度可提高水泥稳定碎石材料的抗裂性能。振动拌和技术是通过拌和设备的高频振动可使混合料颗粒保持振动，这就使得拌和过程中团聚的水泥颗粒分散开来，加快了粉料与水的弥散，水泥水化反应更加充分，同时集料颗粒的振动增强了彼此之间的碰撞机会，净化了集料表面包裹的粉尘，增强了水泥胶浆对集料的裹覆效果 [ 2 ]。顺序拌和技术是基于流变学理论研究水泥稳定碎石材料，通过调整混合料的掺配顺序为水泥与在水中的弥散提供充分的时间，同时控制水泥浆的稠度，改善拌和过程中集料的润湿状态，保证集料具有良好的流动性，粗集料较细集料提前加入到拌和过程中，使粗、细集料均能达到较为均衡的裹覆状态，提高了集料界面黏结的均匀性和强度 [ 3 ]。振动拌和技术和顺序拌合技术是基于拌和方式的抗裂型水泥稳定碎石材料制备工艺，均能够通过提升均匀性、降低水泥剂量和含水量来改善水泥稳定碎石材料的抗裂性能。
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user: 3. 原材料及配合比设计 本文研究以S247乐胡线惠民县城至里则镇段改建工程为依托，所有试验原材料皆来自于施工现场。试验用水泥采用滨州青龙山水泥有限公司P.S.A32.5水泥，根据相关国家标准及行业规范进行各性能指标检测，经检测试验均符合GB175-2007《通用硅酸盐水泥》标准的要求。粗集料采用厂家山东隆银工程材料有限公司10~30 mm、10~20 mm、5~10 mm石灰岩，检测压碎值、针片状含量和0.075 mm一下粉尘含量均符合规范要求，细集料应选取没有杂质的、洁净干燥、无风化并有适当级配的0~5 mm石屑，厂家山东隆银工程材料有限公司，检测砂当量和0.075 mm以下粉尘含量均符合规范要求。本文采用骨架密实型结构，参照JTG/TF20--2015《公路路面基层施工技术细则》中“表4.5.2”中推荐的C-A-1级配范围中值，并根据实验室试验确定级配10~30 mm：10~20 mm：5~10 mm：0~5 mm = 22:33:20:25，级配如表1。 Table 1 Synthetic gradation of cement stabilized materials (% 筛孔尺寸 规格 31.5 26.5 19 9.5 4.75 2.36 0.6 0.065 级配上限 100 — 90 68 50 38 22 7 级配下限 90 — 67 45 29 18 8 0 混合料 100 96.71 77.36 53.54 34.31 24.53 12.11 3.85 表1. 水泥稳定材料合成级配(%) 公路路面基层施工技术细则(JTGT F20-2015) 4.6.4中，对于中粗粒式水泥稳定碎石集中厂拌法要求最低水泥剂量为3%，如表2所示，根据山东地区水泥稳定碎石基层工程应用经验，水泥剂量控制在4.0%~4.5%，超过6%后，混合料的收缩系数增大，水泥稳定碎石基层容易出现裂缝，不宜采用，为减少混合料的收缩性，应控制水泥剂量不超过6%，故在本研究配合比设计阶段选择5种水泥剂量(3.5%、4.0%、4.5%、5.0%、5.5%)的混合料进行试验，每个沥青用量分别使用传统常规拌和、顺序拌和和振动拌和三种拌和工艺制备混合料，通过室内试验确定最佳含水率和最大干密度，对每一组混合料分别验证无侧限抗压强度、劈裂强度和干缩性能。室内性能试验混合料来源于项目现场水泥稳定碎石拌合站取料，顺序拌合技术集料的拌和顺序为粗集料 + 水泥胶浆 + 细集料，即首先将粒径不小于5 mm的粗集料拌和均匀，再向上述搅拌均匀的粗集料中加入设计浓度的均匀水泥浆拌和均匀，最后加入细集料补足设计用水量充分搅拌。施工现场振动拌和采用许昌德通振动搅拌技术有限公司生产的“DT600ZBT型振动搅拌机”，该机型采用双卧轴连续振动搅拌技术，振动拌和频率为30 ± 1 Hz，激振力为7.6 KN，振幅为1.3 ± 0.05 mm [ 4 ]。 Table 2 Minimum cement dos 被稳定材料类型 拌和方法 路拌法 集中厂拌法 中、粗粒材料 4 3 细粒材料 5 4 表2. 水泥的最小剂量(%)
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user: 4. 实验结果分析 4.1. 最佳含水率及最大干密度 5种沥青用量对应最佳含水率及最大干密度如下图所示： 图1. 三种拌和工艺最佳含水率 图2. 三种拌和工艺最大干密度 通过图1、图2分析可得：三种拌和工艺的混合料最大干密度都随着水泥用量的增加，而呈增大趋势；随着水泥用量的增加，混合料中需要更多的水来参加水化反应。顺序拌和和振动拌和两种拌和工艺均可在显著提高试件的最大干密度的同时降低最佳含水量，相比较传统常规拌和工艺，顺序拌和技术最佳含水量可降低16.8%，振动拌和技术可降低16.5%。相比较顺序拌和技术振动拌和技术在水泥用量较大时最佳含水量降低效果越来越显著。 4.2. 强度和模量 不同水泥剂量、不同拌和方式下水泥稳定碎石混合料的7 d无侧限抗压强度如图3所示；水泥稳定碎石的劈裂抗拉强度能够从侧面反映其抵抗开裂破坏的能力，本次试验采用尺寸为φ150 mm × 150 mm的试件，静压成型，标准养护6 d，第7 d浸水养护测试劈裂强度如图4所示。 图3. 无侧限抗压强度 图4. 劈裂强度 通过图3、图4实验结果分析可得无论采用顺序拌和技术还是振动拌和技术，其7 d无侧限抗压强度和劈裂强度均有不同程度的提升。相比较传统常规拌和方式，顺序拌和7 d无侧限抗压强度提升了17.2%，振动拌和7 d无侧限抗压强度提升了19.6，顺序拌和劈裂度提升了23%，振动拌和劈裂度提升了18.1%。通过以上比较不难发现：振动拌和技术对7 d无侧限抗压强度提升幅度更大一些，顺序拌和技术对劈裂强度改善效果更明显。通过图3、图4曲线走势还能够得出无论是无侧限抗压强度还是劈裂强度，在水泥剂量较低时顺序拌合技术的改善效果要比振动拌和技术更为明显一些，当水泥剂量较大时振动拌合技术优势更大。 4.3. 干缩性能 通过实验数据对比分析可得知水泥稳定碎石试件的干缩系数比温缩系数大8~10倍，因此干燥收缩是水泥稳定碎石材料产生收缩裂缝的主要原因 [ 5 ]，选取水泥剂量为4%配制混合料，按照《公路工程无机结合料稳定材料试验规程》JTG E51-2009制作100 mm × 100 mm × 400 mm试件进行干缩实验，测试三种拌和方式下随着龄期的增加失水率和干缩量的变化，实验结果如下图所示： 图5. 龄期与失水率关系 图6. 龄期与总干缩系数的关系 通过图5、图6分析可得试件失水率和总干缩系数都随着龄期的增长而增加，在龄期的前6 d，振动拌和和顺序拌和成型试件失水率和总干缩系数要比传统常规拌和成型试件更大一些，从龄期第7 d开始常规拌和试件失水率和总干缩系数超过振动拌和和顺序拌和试件。这是由于振动拌和和顺序拌和混合料分散更均匀，在前期水化反应更快、更充分。 通过以上综合分析可得水泥稳定碎石试件完成养护后同等水泥剂量条件下顺序拌合和振动拌和试件的无侧限抗压强度和劈裂强度要比常规拌和试件高，因此在同等强度下顺序拌合和振动拌和试件的水泥剂量要比常规拌和试件低；根据水泥剂量与干缩系数的关系，无论哪种拌和方式，相同级配下水泥稳定碎石材料的干缩系数随着水泥剂量的增加而增大，对于骨架密实型试件的干缩系数，常规拌和方式比振动拌和方式增加了21.8% [ 6 ]，综合上述原因可得同等强度条件下，振动拌和和顺序拌合技术要比传统常规拌和技术干缩性能有较大提升。
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user: 5. 结语 本文主要是基于振动拌和、顺序拌和和传统常规拌和三种拌和技术展开的水泥稳定碎石基层抗裂性能研究，主要根据室内试验对三种拌和方式下的最佳含水率、最大干密度、7 d无侧限抗压强度、劈裂强度和干缩系数分析研究。通过本文研究主要形成以下结论： 1) 相比较传统常规拌和工艺，顺序拌和技术最佳含水量可降低16.8%，振动拌和技术可降低16.5%，相比较顺序拌和技术振动拌和技术在水泥用量较大时最佳含水量降低效果越来越显著。 2) 相比较传统常规拌和工艺，顺序拌和和振动拌和技术对无侧限抗压强度和劈裂强度都有较大程度的提升；振动拌和技术对7 d无侧限抗压强度提升幅度更大一些，顺序拌和技术对劈裂强度改善效果更明显，在水泥剂量较低时顺序拌合技术的改善效果要比振动拌和技术更为明显一些，当水泥剂量较大时振动拌合技术优势更大。 3) 从龄期第7 d开始常规拌和试件失水率和总干缩系数超过振动拌和和顺序拌和试件，在满足强度指标要求的条件下，顺序拌和和振动拌和技术可以降低水泥剂量，进而改善水泥稳定材料的干缩性能。
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user: 摘要 设 ℤ × ℤ 是二维整数格且 k ， l ∈ ℕ ，若格点 ( m ， n ) ∈ ℤ × ℤ 位于形如 y = r x k ( r ∈ ℚ ) 的曲线上，且在 ( m ， n ) 与原点 ( 0 ， 0 ) 之间的相应曲线段上至多有 l − 1 个格点(不含端点)，则称 ( m ， n ) 是l-重的k-可见格点。特别地，当重数 l = 1 时，简称 ( m ， n ) 为k-可见格点。本文给出了方形区域 [ 1 ， x ] × [ 1 ， x ] 中l-重k-可见格点个数的一个渐近公式，这推广了Goins等人关于k-可见格点密度的一个结果。
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user: 1. 引言 二维格 ℤ × ℤ 中的一个格点 ( m ， n ) 称为是可见的，若没有其它格点位于 ( m ， n ) 与 ( 0 ， 0 ) 之间的直线段(不含端点)上。1883年，Sylvester [ 1 ] 证明了 ℤ × ℤ 中可见格点的比例为 1 / ζ ( 2 ) = 6 / π 2 ≈ 0.60793 ，其中 ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ n − s ， ℜ ( s ) > 1 ，是黎曼Zeta函数。2018年，Goins，Harris，Kubik和Mbirika [ 2 ] 将Sylvester的结果推广到了沿曲线可见的情形。格点 ( m ， n ) ∈ ℤ × ℤ 称为是k-可见的，若 ( m ， n ) 位于形如 y = r x k   ( r ∈ ℚ ) 的曲线上，且在 ( m ， n ) 与 ( 0 ， 0 ) 的之间曲线段(不含端点)上没有其它格点。Goins等人证明了 ℤ × ℤ 中k-可见格点的比例为 1 / ζ ( k + 1 ) ，其他相关研究可参见文献 [ 3 ] 和 [ 4 ] 等。 最近，刘奎和孟宪昌 [ 5 ] 提出了多重k-可见性的概念。对于 k ， l ∈ ℕ ，若格点 ( m ， n ) ∈ ℤ × ℤ 在形如 y = r x k   ( r ∈ ℚ ) 的曲线上，且在点 ( m ， n ) 与 ( 0 ， 0 ) 之间的曲线段(不含端点)上至多有 l − 1 个格点，则称点 ( m ， n ) 是l-重k-可见的(见图1)。特别地，当 l = 1 时，简称 ( m ， n ) 为k-可见格点；当 k = 1 时，简称 ( m ， n ) 是l-重可见格点。刘奎和孟宪昌给出了方形区域 [ 1 ， x ] × [ 1 ， x ] 中1-重和2-重k-可见格点个数的渐近公式。从他们的结果可以得到 ℤ × ℤ 中2-重可见格点的密度为 5 / ( 4 ζ ( 2 ) ) = 15 / ( 2 π 2 ) ≈ 0.75991 。 图1. 沿曲线的多重2-可见格点 本文主要考虑更高重数的k-可见格点。对于 k ， l ∈ ℕ ，定义 V l ( k ; x ) : = { ( m ， n ) ∈ ℕ × ℕ :   m ， n ≤ x ，   ( m ， n )   l - 重 k - 可 见 } 为 [ 1 ， x ] × [ 1 ， x ]   ( x ≥ 2 ) 中l-重k-可见格点的集合。 定理1.1. 对于任意的 x ≥ 2 和给定的 k ， l ∈ ℕ ，则 # V l ( k ; x ) = 1 ζ ( k + 1 ) ( ∑ i = 1 l 1 i k + 1 ) x 2 + O k ， l ( x log x ) . 注：由于格点的可见性在四个象限里是对称分布的，因此由定理1.1可知，格 ℤ × ℤ 中l-重k-可见格点的密度为 ζ - 1 ( k + 1 ) ∑ i = 1 l i − ( k + 1 ) 。由此及黎曼Zeta函数的定义可知，当l趋于无穷时，该密度趋于1，符合直观。特别地，当 l = 1 ， 2 时，定理1.1分别覆盖了上述Goins等人 [ 2 ] 以及刘奎和孟宪昌 [ 5 ] 的相应结果。 我们还对l-重k-可见格点的密度进行了数值实验(见表1)，实验结果与理论结果十分吻合。 Table 1 The density of l-level k-visible point 可见类型 k 可见重数l 数值实验结果 理论结果≈ 1 1 0.60838 0.60792 1 2 0.76061 0.75991 1 3 0.82825 0.82746 1 4 0.86629 0.86545 1 5 0.89076 0.88977 2 1 0.83200 0.83191 2 2 0.93620 0.93590 2 3 0.96719 0.96671 2 4 0.98022 0.97971 2 5 0.986952 0.98636 表1. l-重k-可见格点的密度 根据定理1.1，容易得到以下推论。 推论. 对于给定的 l ∈ ℕ ，格 ℤ × ℤ 中l-重可见格点的密度为 1 ζ ( 2 ) ( ∑ i = 1 l 1 i 2 ) 。 符号说明: 以下是对本文用到的符号的说明。
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user: 2. 准备知识 以下广义最大公约数的定义是由Goins等人在 [ 2 ] 中提出的。 定义2.1.对 k ∈ ℕ ，与参数k有关的广义最大公约数定义为 gcd k ( m ， n ) : = max { d ∈ ℕ : d | m   且   d k | n } . 在证明l-重k-可见格点的判别法则之前，我们先证明以下引理。 引理2.1. 对任意 b ∈ ℤ ， ( m ， n ) ∈ ℤ × ℤ ，我们有 b | m 且 b k | n   ( k ∈ ℕ ) 当且仅当 b | gcd k ( m ， n ) 。 证明：若 b | m 且 b k | n 。设 gcd k ( m ， n ) = d ， b ≠ d 。根据 gcd k 的定义，我们知道d是使得 d | m 且 d k | n 的最大正整数，显然有 b | d 。否则，若 b ∤ d ，则由 b | m ， d | m ，我们有 [ b ， d ] | m 。同样，由 b k | n ， d k | n ，我们有 [ b ， d ] k | n 。而显然 [ b ， d ] > d ，这与 gcd k ( m ， n ) = d 矛盾。 反之。若 b | gcd k ( m ， n ) ，设 gcd k ( m ， n ) = d ，则有 b | d 。令 d = b t ，由 gcd k 的定义，有 b t | m ， ( b t ) k | n ，从而有 b | m ， b k | n 。 以下l-重k-可见格点的判别法则是证明定理1.1的关键。 引理2.2. 对 k ∈ ℕ ，任意整数 d ≥ 1 。格点 ( m ， n ) ∈ ℤ × ℤ 位于曲线 y = r x k   ( r ∈ ℚ ) 上，则在点 ( m ， n ) 与点 ( 0 ， 0 ) 之间的曲线段上恰好有 d − 1 个整数格点当且仅当 gcd k ( m ， n ) = d 。 证明：假设 gcd k ( m ， n ) = d 。当 d = 1 时，点 ( m ， n ) 与点 ( 0 ， 0 ) 之间的曲线段(不含端点)上恰好有0个整数格点，即格点 ( m ， n ) 关于原点k-可见，当且仅当 gcd k ( m ， n ) = 1 。详细证明细节见( [ 2 ]，命题3)。 当 d > 1 时。位于曲线 y = r x k   ( r ∈ ℚ ) 的连接点 ( m ， n ) 与点 ( 0 ， 0 ) 的曲线段(不含端点)上任意整数格点 ( p ， q ) 可以用以下参数形式表示出来： { p = t m q = t k n ， 0 < t < 1 ， t ∈ ℚ 。t的所有可能取值的个数即为点 ( m ， n ) 与点 ( 0 ， 0 ) 之间的曲线段(不含端点)上的整数格点数。 设 t = a b   ( a ， b ∈ ℤ ，   b ≠ 0 ) ， gcd ( a ， b ) = 1 。 p ， q ∈ ℤ ，则必有 b | a m ， b k | a k n ，因而有 b | m ， b k | n 。由引理1.1可知， b | gcd k ( m ， n ) ，即 b | d 。则 1 / d ， ⋯ ， ( d − 1 ) / d 为t的全部可能取值。由此得证。 我们还需要用到以下两个熟知的公式。 引理2.3. ( [ 6 ]，定理2.1)设 μ 是莫比乌斯函数，则对任意整数 n ≥ 1 ，有 ∑ d | n μ ( d ) = { 1 ，   当 n = 1 0 ，   其 它 引理2.4. ( [ 6 ]，定理3.2)对 x ≥ 1 ，有 ∑ n ≤ x 1 n = log x + γ + O ( x − 1 ) ， 其中 γ = lim N → ∞ ( ∑ n = 1 N n − 1 − log N ) 是欧拉常数。
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user: 3. 定理1.1的证明 设 ( m ， n ) ∈ V l ( k ; x ) 。由l-重k-可见格点的定义，并运用引理1.2，区域 [ 1 ， x ] × [ 1 ， x ] 中l-重k-可见格点数可表示为 # V l ( k ; x ) = S 1 ( k ; x ) + ⋯ + S l ( k ; x ) ， (1) 其中 S i ( k ; x ) : = ∑ m ， n ≤ x gcd k ( m ， n ) = i 1 ， 1 ≤ i ≤ l 。运用引理1.3，得 S i ( k ; x ) = ∑ m ， n ≤ x i | m ， i k | n gcd k ( m / i ， n / i k ) = 1 1 = ∑ m ， n ≤ x i | m ， i k | n ∑ d | gcd k ( m / i ， n / i k ) μ ( d ) . 交换求和顺序，得到 S i ( k ; x ) = ∑ d ≤ x k / i μ ( d ) ∑ m ， n ≤ x i | m ， i k | n d | ( m / i ) ) ， d k | ( n / i k ) 1 = ∑ d ≤ x k / i μ ( d ) ∑ s ≤ x / i s ≡ 0 ( mod d ) 1 ∑ t ≤ x / i k t ≡ 0 ( mod d k ) 1 . 因为同余式 s ≡ 0 ( mod d ) 且 s ≤ x / i 的解数为 x / ( i d ) + O ( 1 ) ，同余式 t ≡ 0 ( mod d k ) 且 t ≤ x / i k 的解数为 x / ( i d ) k + O ( 1 ) 。因此，我们有 S i ( k ; x ) = ∑ d ≤ x k / i μ ( d ) ( x i d + O ( 1 ) ) ( x i k d k + O ( 1 ) ) . 余项中对 μ ( d ) 取绝对值，整理得 S i ( k ; x ) = x 2 i k + 1 ∑ d ≤ x k / i μ ( d ) d k + 1 + O ( x i ∑ d ≤ x k / i 1 d ) + O ( x i k ∑ d ≤ x k / i 1 d k ) + O ( x k i ) . 下面整理一下这3个余项。应用引理1.4，第一个余项可得如下估计 x i ∑ d ≤ x k / i 1 d ≪ k ， i x log x . 当 k = 1 时，第二个余项与第一个余项估计结果相同； k > 1 时，由于 ∑ d = 1 ∞ 1 / d k 是一个收敛级数，因此 ∑ d ≤ x k / i 1 / d k = O ( 1 ) ，从而 x i k ∑ d ≤ x k / i 1 d k ≪ k ，   i x 。 故而有 S i ( k ; x ) = x 2 i k + 1 ∑ d ≤ x k / i μ ( d ) d k + 1 + O k ， i ( x log x ) 。 扩大上式中求和的范围，得到 S i ( k ; x ) = x 2 i k + 1 ∑ d = 1 ∞ μ ( d ) d k + 1 + O ( x 2 i k + 1 ∑ d > x k / i 1 d k + 1 ) + O k ， i ( x log x ) 。 由于 ∑ d > x k / i 1 d k + 1 ≪ ∫ x k / i ∞ d t t k + 1 = 1 x ，因此 x 2 i k + 1 ∑ d > x k / i 1 d k + 1 ≪ k ， i x 。 又因为 1 ζ ( k + 1 ) = ∑ d = 1 ∞ μ ( d ) d k + 1 ，因此， S i ( k ; x ) = x 2 ζ ( k + 1 ) i k + 1 + O k ， i ( x log x ) ， 1 ≤ i ≤ l 。将 S i ( k ; x ) ， 1 ≤ i ≤ l ，代入(1)式，定理得证。
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user: 摘要 H 2 S是继NO和CO人们发现的第三种内源性气体信号分子，在生物体的很多生理过程中表现出非常重要的生物学活性，尤其在高血压、心脑系统疾病、2型糖尿病、结肠癌等疾病的诊断和治疗方面起着重要的作用。由于生物体内H 2 S的浓度会随着某些慢性疾病病变程度不同而发生相应变化，因此生物体内H 2 S的浓度可以看作这些疾病诊断与治疗的标志物，所以实现生物体内H 2 S浓度的快速检测对人类健康具有重要的意义。本研究利用电化学原位组装方法，构建基于氧化亚铜和氧化锌的特殊纳微有序阵列材料，基于异质界面的电导调控、以及材料表面硫化反应，该纳微结构表现出优异的生物H 2 S传感特性。因此提出一种生物H 2 S标志物的快速检测方案，实现相关疾病的诊断与实时监测的目的。实验结果证实，基于该研究体系的生物H 2 S检测范围为1~1000 μmol/L，且具有良好的线性关系，达到了人体实际检测的应用要求，在相关疾病的家庭式监测应用方面具有巨大的潜力。
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user: 1. 引言 H 2 S是第3种被发现的重要的内源性气体信号分子，广泛参与机体内多种生理和病理过程，具有重要的生物学活性。其在许多疾病和机体保护方面具有重要的应用，例如：1) 治疗高血压，外源性H 2 S同道复合体ruSUR1亚基细胞外N末端的两种残基Cys6和Cys26相互作用，增加K ATP 通道开放概率，产生血管舒张作用，可以降低机体血压约1.4~4.0 kPa [ 1 ] [ 2 ]；外源性H 2 S与K ATP 介导抑制心肌细胞凋亡，可以明显增强心肌细胞的活性 [ 3 ]；研究发现H 2 S还具有促进内皮细胞复制和迁移，从而可以促进内皮细胞重生和修复的能力，从而起到调节血管的形成和重塑的作用 [ 4 ]；2) 保护心肌细胞，近来研究表明H 2 S能调节miRNA的表达从而对心肌细胞起到保护作用；S. Toldo等人发现H 2 S通过miR-21依赖性减弱I/R，产生心肌细胞保护作用并抑制炎性体的形成和活化 [ 5 ]。miR-378可以减弱心肌细胞的损伤 [ 6 ]。通过大鼠心力衰竭模型，研究人员发现当大鼠血浆H 2 S浓度降低时，升高血浆H 2 S浓度可以减少心肌坏死面积、减少心肌细胞纤维化 [ 7 ] [ 8 ]；3) 治疗2型糖尿病，PPAR-γ可以激活脂肪细胞的分化并且对糖的代谢起到重要的调节作用 [ 9 ]。近代研究表明db/db糖尿病小鼠肝脏中PPAR-γ mRNA表达比正常C57BL/6小鼠高，通过对PPAR-γmRNA表达较高的小鼠注射不同浓度的NaHS，发现糖尿病小鼠肝脏中的PPAR-γmRNA表达都有所下降，证明H 2 S可能通过降低PPAR-γmRNA的表达，从而改善2型糖尿病脂代谢紊乱和减少并发症的发生 [ 10 ]。除此之外生物H 2 S还在冠心病、呼吸系统疾病、慢性阻塞性肺疾病等数十种疾病相关的信号过程方面发挥着重要作用，可以看作是这些疾病的生物监测标志物。大量研究发现，冠心病可以导致血浆中H 2 S的含量下降49.56% [ 11 ]。而且在不同冠脉血管病变的分型中，血浆中H 2 S含量随病变程度的加重而逐渐降低。这一研究进一步证明了H 2 S参与了冠心病的发病过程 [ 11 ]，因此实现血浆中H 2 S浓度的监测对冠心病的诊断和治疗具有重要意义。 H 2 S作为极易分解的气体分子，其在生物体内的浓度持续变化，因而难于准确检测。目前国内外检测生物H 2 S的方法主要包括：高效液相色谱法、电化学法、气相色谱法、及荧光法等 [ 12 ] [ 13 ]。高效液相色谱法采用埃尔曼试剂对硫醇进行标记来实施检测，此方法的检测灵敏度高、性能稳定、可以实现对样品的批量检测。荧光法是通过测量待检测分子引起的荧光分子的荧光强度、寿命、光谱等参数的变化来实现测量。该方法在灵敏度、生物H 2 S选择性和测量各种生物活性物质等方面具有显著的优势。化学传感器是利用H 2 S气体分子在传感器的敏感电极上发生电化学反应，这种反应导致传感器的输出电信号发生改变，通过测量这个改变值的大小来反应气体浓度的变化。上述方法存在仪器操作复杂、检测价格昂贵、检测时间较长、甚至生物巯基化合物对信号的干扰不能完全克服等缺点，无法满足便携、快速检测技术的要求。 哺乳类动物体内的H 2 S生理含量约为20~160 μmol/L，其中1/3以气体形式存在，其余2/3以HS - 形式存在。HS − 与体内的H + 结合可以生成H 2 S，从而维持H 2 S气体和HS − 的动态平衡 [ 14 ]。因此若能实现对生物样品中HS − 的检测，就可以实现水溶性生物H 2 S标志物的检测，并达到克服其他生物巯基化合物干扰的目的。研究表明，HS − 与Cu x O接触会生成金属性Cu x S [ 15 ]。这一化学反应比H 2 S气体在材料表面的吸附反应过程更强、更稳定。所以构建针对生物信号表达的Cu x O基二维纳微异质结构材料成为实现生物H 2 S分子快速检测的关键。 Cu 2 O是一种能带间隙为2.17 eV的P型半导体材料，因其毒性低、良好的压电性和催化性等优点，被广泛的应用在光催化、气敏检测和电化学储能、光电转化等领域。Lee等人证实了CuO-ZnO异质结构纳米材料对H 2 S具有优异的敏感特性，200℃时5 ppm浓度的H 2 S的敏感度可以达到83.84%。Hien等人利用射频磁控溅射技术构建的棒状和树枝状的纳微氧化亚铜材料对H 2 S呈现出优秀的气敏特性 [ 16 ]。本团队通过电化学沉积法构建的Cu 2 O/SnO 2 异质结构薄膜在室温下对H 2 S气体表现出极好的敏感性 [ 17 ]。同样方法制备的Cu 2 O/Co 3 O 4 纳微异质结构在−30℃的条件下对H 2 S气体仍具有极高的敏感性 [ 18 ]。由于电沉积法制备的金属氧化物纳微材料因具有良好的结构可设计性和易于功能化的特点，使其在生物传感应用方面显示出广阔的应用前景。但目前二维金属氧化物纳微结构的快速生物H 2 S检测方面的研究还鲜有报道，传感机理和器件设计还有待进一步研究。 本文提出了一种可用于生物H 2 S快速检测的Cu 2 O-ZnO纳微异质结构阵列材料，并对其电化学原位组装过程和构建原理作了详尽描述。此外，对生物H 2 S的检测性能表征证实，Cu 2 O-ZnO纳微异质结构对生物H 2 S浓度的响应范围为1~1000 μmol/L，完全覆盖人体血液H 2 S的浓度(20~160 μmol/l)范围，其响应度可以达到4个数量级，且具有良好的线性关系。本文还进一步阐述了Cu 2 O-ZnO纳微异质结构检测生物H 2 S的原理和反应过程，并对其检测结果做了讨论与分析。
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user: 2. 实验试剂与方法 实验试剂包括硝酸锌(Zn(NO 3 ) 2 )、硝酸铜(Cu(NO 3 ) 2 )和硝酸(HNO 3 )。配制电解液时，首先在超净烧杯中加入40 mL去离子水，并精确称量Zn(NO 3 ) 2 和Cu(NO 3 ) 2 各0.3750 g和0.4832 g，并依次加入去离子水中，再滴加20 μL的HNO 3 ，经过超声处理使其完全溶解，形成均匀的电解液。电解液中Zn 2+ 和Cu 2+ 的浓度分别为0.03 mol/L和0.05 mol/L。 在生长室内将两个厚度为20 μm的Cu金属电极平行的放置在硅片上，其平行间隔约为8 mm，滴加少许Zn(NO 3 ) 2 和Cu(NO 3 ) 2 电解液，轻轻盖上盖玻片，开始缓慢降温至−1.3℃，在硅片基底和盖玻片之间形成一块单晶冰，保持温度放置40分钟后开始电沉积过程。 沉积开始时，向电极施加频率800 mHz、幅度400 mV、偏置为250 mV的半正弦电压，Cu 2+ 和Zn 2+ 在沉积电场的作用下向阴极迁移，并在沉积界面被还原。后续的Cu 2+ 和Zn 2+ 不断被还原并堆积到沉积物的最前端，使沉积界面不断向阳极移动。Cu 2+ 和Zn 2+ 在半正弦沉积电势的不同振幅位置处被选择性的沉积、组装，最终构建出Cu 2 O-ZnO纳微异质结构。 通过离子溅射仪，在模版的辅助下对Cu 2 O-ZnO纳微异质结构表面进行Au金属溅射，将样品连接入电路。随后利用电学测试系统对其性能进行表征，系统地测试样品对生物H 2 S的探测性能(包括敏感度、线性响应范围、选择性等)。
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user: 3. 结果与讨论 Cu 2 O-ZnO纳微异质结构是利用电化学原位组装方法制备的，电沉积过程中通过施加周期性的半正弦波形电势实现Cu 2 O和ZnO的选择性沉积。由于Cu 2+ 的沉积电压相较于Zn 2+ 沉积电压较小，因此在低电压时Cu 2+ 优先沉淀形成Cu 2 O纳米颗粒。伴随着电压的增大，Zn 2+ 开始沉淀形成ZnO纳米颗粒，反应过程主要包含以下几个反应过程： NO 3 − + H 2 O + 2 e − = NO 2 − + 2 OH − (1) 2Cu 2 + + 2 e − + 2 OH − → Cu 2 O + H 2 O (2) Zn 2 + + 2 OH − → Zn ( OH ) 2 → ZnO + H 2 O (3) 因此基于以上分析，电化学沉积法制备Cu 2 O-ZnO纳微异质材料的构建过程可分为几步：首先在低电位时 NO 3 − 被还原成 NO 2 − 并产生 OH − ，为后续金属氧化物的生成提供碱性环境；然后Cu 2+ 在电极表面被还原生成Cu 2 O纳米颗粒附着在电极表面；电压较高时，Zn 2+ 与 OH − 发生电化学反应最终生成ZnO附着在Cu 2 O周围形成Cu 2 O-ZnO纳微异质结构，电化学过程如下图1所示。 图1. Cu 2 O-ZnO纳微异质结构材料形成示意图 本实验利用电化学沉积方法构建特殊Cu 2 O-ZnO纳微异质结构材料，Cu 2 O-ZnO纳微异质结构形貌的扫描电子显微镜(SEM)图像如图2所示。图中可以看到样品呈竹节样排列，使得样品具有较大的比表面积和结构重复性，这对于器件的构建与性能标准化具有很大的优势。 利用X射线光电子图谱(XPS)对Cu 2 O-ZnO纳微异质结构进行表征，分析其表面元素组成以及元素价态情况。图3(a)~(c)为Cu 2 O-ZnO纳微异质结构中Cu、Zn、O的XPS谱图。在图3(a)可以看出，Cu 2p在950.7 eV和930.7 eV的位置有两个较强的信号峰，分别对应于Cu的Cu 2p 1/2 和Cu 2p 2/3 的峰位，对应着Cu 2 O中的Cu + 元素。从图3(b)可以明显地看出Zn在1043.65 eV和1020.55 eV的位置有两个较强的信号峰，分别对应于Zn的Zn 2p 1/2 和Zn 2p 3/2 的峰位，与ZnO的结合能相一致。如图3(c)所示，O 1s的特征吸收峰在530.25 eV，表明该纳微异质材料中O的存在形式主要为晶格氧，且存在一定氧空位。由于样品本身电阻较大约为10 6 ~10 7 Ω，电极和材料之间的接触电阻较小约为几百欧姆，相对于我们样品的电阻很小，所以用四电极法和两电极法测量结果无明显区别。因此在室温条件下，利用四探针测试仪对构建出的Cu 2 O-ZnO纳微有序阵列传感器的生物H 2 S感知性能进行表征，滴加1000 μmol/LNa 2 S溶液前后测得的I-V曲线如图3(d)所示。未滴加Na 2 S溶液时，测得传感器的导电性较差，电阻为10 6 Ω数量级。这主要是因为半导体纳微异质结构具有许多Cu 2 O-ZnO的异质界面，界面势垒在载流子输运过程中的阻碍作用使得材料的导电性降低很多。加之Cu 2 O和ZnO均为半导体，本身导电性就不理想。在滴加Na 2 S溶液180 s后，传感器的导电性迅速增强，I-V曲线明显变陡，电导率提升了4个数量级。 图2. Cu 2 O-ZnO纳微异质结构材料的SEM图 图3. Cu 2 O-ZnO纳微异质结构中。(a) Cu 2p；(b) Zn 2p和 (c) O 1s的XPS谱图；(d) 滴加1000 μmol /L Na 2 S溶液前后Cu 2 O-ZnO纳微异质结构的I-V曲线 图4(a)中的曲线关系为硫化钠浓度与响应度的线性关系图。从图4(a)所示，Cu 2 O-ZnO纳微异质结构对水溶性硫化氢浓度的响应在1~1000 μmol/L范围内呈现线性特点，该浓度完全覆盖了人体正常H 2 S浓度(20~160 μmol/L)的范围，证明该纳微异质材料可以用于人体生物H 2 S的检测。Cu 2 O-ZnO纳微异质结构对可能的干扰物的响应度如图4(b)所示。在溶液浓度为1000 μmol/L、响应时间为180 s的同一条件下，Cu 2 O-ZnO纳微异质材料为对Na 2 S的响应度为24558，对碳酸氢钠、柠檬酸钠、硫代硫酸钠、谷胱甘肽及半胱氨酸溶液的响应度在8~72之间。显然Cu 2 O-ZnO纳微异质材料对生物H 2 S具有更好的响应度，体现出了优异的选择性。生物H 2 S检测结果响应度R的定义为：R = I/I 0 ，其中I 0 和I分别是滴加Na 2 S溶液前后的电流值。 图4. (a) Cu 2 O-ZnO纳微异质结构对Na 2 S溶液的响应度对其浓度的依赖关系；(b) Cu 2 O-ZnO纳微异质结构的H 2 S选择性表征 Cu 2 O-ZnO纳微异质结构对生物H 2 S的优异敏感特性与材料的表面硫化反应是分不开的。Cu 2 O-ZnO纳微异质结构与Na 2 S溶液接触后，Cu 2 O与溶液中的S 2− /HS − 发生硫化反应生成Cu 2 O/Cu x S y 覆盖在Cu 2 O的表面形成Cu 2 O/Cu x S y 核壳结构，外壳Cu x S y 进一步反应生成金属性CuS，反应过程如图5所示。 图5. Cu 2 O-ZnO纳微异质结构表面CuS形成示意图 图6中虚线表示载流子的运动轨迹，由于Cu 2 O-ZnO异质界面势垒在载流子移动的过程中起到阻碍作用，载流子在Cu 2 O-ZnO界面处移动受阻，因此材料表现出较差的导电性。当表面发生硫化反应之后，由于金属性质的CuS导电通道的形成，使得载流子的导通性大大增强，材料的导电性能大幅提升，表现出对生物H 2 S的敏感特性，响应过程示意图如图6所示。 图6. Cu 2 O-ZnO纳微异质结构的生物H 2 S敏感机制示意图
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user: 4. 结论 我们通过电化学沉积方法构建了基于Cu 2 O-ZnO纳微异质结构材料，结合对纳微异质材料的结构设计，充分发挥了各组分的敏感特性，结合异质界面电导调控、可逆硫化反应、阵列等优势，得到了高性能的水溶性生物H 2 S敏感材料，并构建类似血糖测试试纸的快速检测元件，实现了生物H 2 S的快速检测，获得了相应以生物H 2 S为标志物的疾病检测技术突破。本研究为获得灵敏、快速、准确的临床及家庭式疾病检测方法提供了新思路。
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user: 摘要 本文将弱Gorenstein投射、内射和平坦模的概念推广到复形范畴。首先给出了弱Gorenstein投射、内射和平坦复形的定义；其次在n-Gorenstein环上讨论了弱Gorenstein投射与内射复形；最后给出了一些弱Gorenstein平坦复形的简单性质。
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user: 1. 引言 投射模、内射模和平坦模是环模理论中最常用也最基本的三大模类，投射模与内射模具有丰富的对偶性，内射模与平坦模也存在丰富的内在联系。1995年，Enochs在文献 [ 1 ] 中给出了Gorenstein投射模与内射模的概念，开始了对其一般理论的研究。1998年，Enochs和Jenda在文献 [ 2 ] 中研究了n-Gorenstein环上Gorenstein投射与内射复形，把模理论推广到复形。2011年，Yang和Liu在文献 [ 2 ] 的基础上把结论推广到一般环上并讨论了Gorenstein投射、内射和平坦复形。Gao比较系统的研究了弱Gorenstein投射、内射和平坦模，2012年Gao在文献 [ 3 ] 中给出了弱Gorenstein投射、内射和平坦模的定义，并用它们刻画了几类著名的环。受上述研究的启发，本文将弱Gorenstein投射、内射和平坦模的概念推广到复形范畴。首先给出了弱Gorenstein投射、内射和平坦复形的定义；其次在一些特殊环上研究其简单性质。
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user: 2. 预备知识 除非特别声明，环R是具有单位元的结合环，所以涉及的模均是酉模，ModR表示左R模范畴。 定义1 [ 2 ] 我们称复形G是Gorenstein投射的，如果存在一个复形的正合序列 P = ⋯ → P − 1 → u − 1 P 0 → u 0 P 1 → ⋯ 满足以下条件： 1) 对所有的 i ∈ Z ， P i 是投射的； 2) G = K e r u 0 ； 3) 用任意的投射复形Q， H o m C ( R ) ( P ， Q ) 是正合的。 定义2 [ 4 ] 我们称复形G是Gorenstein平坦的，如果存在一个复形的正合序列 F = ⋯ → F − 1 → u − 1 F 0 → u 0 F 1 → ⋯ 满足以下条件： 1) 对所有的 i ∈ Z ， F i 是平坦的； 2) G = K e r u 0 ； 3) 用任意的内射复形I， I ⊗ F 是正合的。 定义3 [ 3 ] 我们称左R模M是弱Gorenstein投射模，如果存在一个投射左R模的正合序列 p = ⋯ → p 1 → p 0 → p 0 → p 1 → ⋯ 满足以下条件： 1) 对所有的 i ∈ Z ， p i 和 p i 是投射的； 2) M = K e r ( p 0 → p 1 ) 。 并且称上述正合列p为左R模的弱完全投射分解。 定义4 [ 3 ] 我们称左R模M是弱Gorenstein平坦模，如果存在一个左R模的正合序列 f = ⋯ → f 1 → f 0 → f 0 → f 1 → ⋯ 满足以下条件： 1) 对所有的 i ∈ Z ， f i 和 f i 是平坦的； 2) M = K e r ( f 0 → f 1 ) 。 并且称上述正合列f为左R模的弱完全平坦分解。 对偶的有Gorenstein内射复形与弱Gorenstein内射模的定义，读者可参阅文献 [ 2 ] 与 [ 3 ]。
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user: 3. 弱Gorenstein投射和内射复形 定义3.1我们称复形G是弱Gorenstein投射的，如果存在一个复形的正合序列 P = ⋯ → P − 1 → u − 1 P 0 → u 0 P 1 → ⋯ 满足以下条件： 1) 对所有的 i ∈ Z ， P i 是投射的； 2) G = K e r u 0 。 并且称正合列P是复形的弱完全投射分解。 定义3.2我们称复形G是弱Gorenstein内射的，如果存在一个复形的正合序列 I = ⋯ → I − 1 → u − 1 I 0 → u 0 I 1 → ⋯ 满足以下条件： 1) 对所有的 i ∈ Z ， I i 是内射的； 2) G = K e r u 0 。 并且称正合列I是复形的弱完全内射分解。 推论3.3所有的Gorenstein投射(内射)复形是弱Gorenstein投射(内射)的。 命题3.4设G是复形，则以下等价： 1) G是弱Gorenstein投射复形； 2) 存在一个复形的正合列 0 → G → P 0 → P 1 → ⋯ ，其中对任意的 i ∈ Z ， P i 是投射的； 3) 存在复形的正合序列 0 → G → P → N → 0 ，其中P是投射的，N是弱Gorenstein投射的。 证明：根据定义3.1，(1) ⇒ (2)，(1) ⇒ (3)显然。 (3) ⇒ (2)假设存在复形的正合序列 0 → G → P → N → 0 ，其中P是投射的且N是弱Gorenstein投射的。根据定义3.1，存在一个复形的正合列 0 → N → P 0 → P 1 → ⋯ 且对所有的 i ∈ Z ， P i 是投射复形。因此存在复形的正合列 0 → G → P → P 0 → P 1 → ⋯ 其中P和 P i 是投射的。即(2)成立。 (2) ⇒ (1)设G是左R模构成的复形，序列 ⋯ → P − 2 → P − 1 → G → 0 是复形G的投射分解且每个 P i 是投射的。结合条件(2)，则存在一个复形的正合序列 P = ⋯ → P − 1 → P 0 → P 1 → ⋯ 使得 G = K e r ( P 0 → P 1 ) ，因此G是弱Gorenstein投射复形。 命题3.5设 0 → G → M → P → 0 是一个复形的正合列。如果G是弱Gorenstein投射复形且P是投射的，那么M是弱Gorenstein投射的。 证明：因为复形G是弱Gorenstein投射的。由命题3.4 (3)知存在一个复形的正合列 0 → G → P ′ → N → 0 ，其中 P ′ 是投射的且N是弱Gorenstein投射的。考虑如下推出图： 因为中间行序列 P ′ 与P是投射的，所以D也是投射的。又因为中间列序列N是弱Gorenstein投射的，那么根据命题3.4知M是弱Gorenstein投射的。 推论3.6若存在复形的短正合列 0 → M ′ → M → M ″ → 0 1) 如果 M ′ 和 M ″ 是弱Gorenstein投射复形，那么M是弱Gorenstein投射的。 2) 如果M和 M ″ 是弱Gorenstein投射复形，那么 M ′ 是弱Gorenstein投射的。 引理3.7我们称环R是Gorenstein环，如果它是双边Noether环且它作为模时有有限的自内射维数。若它的自内射维数为n，则环R是n-Gorenstein环。 定理3.8设R是n-Gorenstein环。如果复形G是弱Gorenstein投射的当且仅当对任意的 m ∈ Z ， G m 是弱Gorenstein投射左R模。 证明： ⇒ 设G是弱Gorenstein投射复形，那么存在一个复形的正合序列 P = ⋯ → P − 1 → u − 1 P 0 → u 0 P 1 → ⋯ 使得对所有的 i ∈ Z ， P i 是投射复形且 G = K e r u 0 。对任意的 m ， i ∈ Z ，则存在一个ModR上的正合序列 P m = ⋯ → P − 1 m → u − 1 m P 0 m → u 0 m P 1 m → ⋯ ，其中 P i m 是投射左R模且 G m = K e r u 0 m ，那么 G m 是弱Gorenstein投射左R模。 ⇐ 由文献命 [ 3 ] 题2.6知当环R是n-Gorenstein环时，对任意的 m ∈ Z ，弱Gorenstein投射左R模 G m 是Gorenstein投射的。由文献 [ 2 ] 定理4.5，对任意的 m ∈ Z ， G m 是Gorenstein投射左R模当且仅当G是Gorenstein投射的。结合推论3.3可得复形G是弱Gorenstein投射的。 推论3.9如果R是n-Gorenstein环，那么弱Gorenstein投射复形G是Gorenstein投射的。 证明：设R是n-Gorenstein环。若G是弱Gorenstein投射复形，由定理3.8，对任意的 m ∈ Z ， G m 是弱Gorenstein投射左R模。由文献 [ 3 ] 命题2.6知弱Gorenstein投射左R模 G m 是Gorenstein投射的。由文献 [ 2 ] 定理4.5， G m 是Gorenstein投射左R模当且仅当复形G是Gorenstein投射的。故R是n-Gorenstein环时，弱Gorenstein投射复形G是Gorenstein投射的，得证。 注3.10对偶的可以验证命题3.4和3.5以及定理3.8与推论3.6、3.9对弱Gorenstein内射复形也成立。