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user: 4. 基于Sierpinski垫的膨胀分形集上的多分辨分析 4.1. 定义直角三角形Sierpinski垫 特别地，我们旨在于研究直角三角形Sierpinski垫。 在 R 2 上构建一个直角三角形 S 0 ，顶点分别是 ( 0 ， 0 ) ， ( 0 ， 1 ) ， ( 1 ， 0 ) .设对角扩张矩阵 A = ( 2 0 0 2 ) ，令 S 1 = [ A − 1 ( S 0 + τ 0 ) ] ∪ [ A − 1 ( S 0 + τ 1 ) ] ∪ [ A − 1 ( S 0 + τ 2 ) ] 其中， τ 0 = ( 0 ， 0 ) ， τ 1 = ( 1 ， 0 ) ， τ 2 = ( 0 ， 1 ) ，则 S 2 = [ A − 1 ( S 1 + τ 0 ) ] ∪ [ A − 1 ( S 1 + τ 1 ) ] ∪ [ A − 1 ( S 1 + τ 2 ) ] 继续归纳下去，有 S n + 1 = [ A − 1 ( S n + τ 0 ) ] ∪ [ A − 1 ( S n + τ 1 ) ] ∪ [ A − 1 ( S n + τ 2 ) ] 因此，我们可以得到 R 2 上的紧子集的一个嵌套序列 { S n } n = 0 ∞ 。 然后，定义Sierpinski垫分形 S = ∩ n = 0 ∞ S n (见图3)，这个Sierpinski垫S满足自相似关系 A ( S ) = S ∪ [ S + ( 1 ， 0 ) ] ∪ [ S + ( 0 ， 1 ) ] 图3. S 我们知道S的Hausdorff维数是 s = log 3 log 2 ，记 H s ( S ) 表示在S上的s维Hausdorff测度，简记为 H ，则 。更一般地，如果E是S的一个Borel子集，则 H ( A − 1 ( E ) ) = 1 3 H ( E ) 。 4.2. 基于Sierpinski垫的膨胀分形集上的多分辨分析 定义一个与Sierpinski垫S有关的一个膨胀分形集 R s = ∪ j = − ∞ ∞ ∪ ( m ， n ) ∈ Z 2 [ A j ( S + ( m ， n ) ) ] 对于 R s 的每一个Borel子集E，测度满足 H ( A − 1 ( E ) ) = 1 3 H (E) . 在Hilbert空间 L 2 ( R s ， H ) 上，构建酉扩张算子D和酉算子T，定义如下： (1) T ( m ， n ) f ( s ， t ) = f ( s − m ， t − n ) . (2) 这些算子满足一个标准的交换关系： 定理1 设D和 { T ( m ， n ) : ( m ， n ) ∈ Z 2 } 是上述定义的酉算子，则 证明：由(1)式和(2)式可得： T ( m ， n ) D ( f ) ( s ， t ) = 3 T ( m ， n ) f ( 2 s ， 2 t ) = 3 f ( 2 s − 2 m ， 2 t − 2 n ) = 3 T ( 2 m ， 2 n ) f ( 2 s ， 2 t ) = D T ( 2 m ， 2 n ) f ( s ， t ) 所以 T ( m ， n ) D = D T ( 2 m ， 2 n ) ，   ∀ ( m ， n ) ∈ Z 2 现在构建一个 L 2 ( R s ， H ) 上的多分辨分析。定义一个闭子空间 V 0 ⊂ L 2 ( R s ， H ) ， V 0 = s p a n ¯ { T ( m ， n ) ( X S ) ∶ ( m ， n ) ∈ Z 2 } ， 其中 X S 是Sierpinski垫三角形上的特征函数(对应标准多分辨分析中的尺度函数)。Sierpinski垫S满足自相似关系 A ( S ) = S ∪ [ S + ( 1 ， 0 ) ] ∪ [ S + ( 0 ， 1 ) ] 在测度为0的集合上，上述的并集是互相非交的并集，且它的特征函数 X S 满足扩张方程 X S ( A − 1 ( s ， t ) ) = X S ( s ， t ) + X S ( s − 1 ， t ) + X S ( s ， t − 1 ) 通过构造， V 0 在算子 { T ( m ， n ) ∶ ( m ， n ) ∈ Z 2 } 下是不变量。对于每个 j ∈ Z ，定义 V j = D j (V0) 可以看出 V 1 = D V 0 = D ( s p a n ¯ { T ( m ， n ) ( X S ) ∶ ( m ， n ) ∈ Z 2 } )                             = s p a n ¯ { D T ( m ， n ) ( X S ) ∶ ( m ， n ) ∈ Z 2 }                             = s p a n ¯ { T ( m / 2 ， n / 2 ) D ( X S ) ∶ ( m ， n ) ∈ Z 2 } 因此， V 0 ⊆ D ( V 0 ) = V 1 。由此看出，闭子空间 { V j } j = − ∞ ∞ 形成了 L 2 ( R s ， H ) 的闭空间的一个递增的嵌套序列。 下面证明子空间 { V j } j = − ∞ ∞ 形成一个多分辨分析 定理2 设 { V j } j = − ∞ ∞ 是上述构造的 L 2 ( R s ， H ) 的子空间，设D， 是定理1中的酉算子，则有 (1) (2) 〈 T ( m ， n ) ( X S ) ， X S 〉 = δ ( m ， n ) ， ( 0 ， 0 ) ，   ( m ， n ) ∈ Z 2 (3) ∪ j = − ∞ ∞ V j ¯ = L 2 ( R s ， H ) (4) ∩ j = − ∞ ∞ V j = { 0 } 证明： (1) 由Sierpinski垫S的自相似关系和对应的扩张方程可知，因为 X S ( A − 1 ( s ， t ) ) = X S ( s ， t ) + X S ( s − 1 ， t ) + X S ( s ， t − 1 ) = X S ( s ， t ) + T ( 1 ， 0 ) ( X S ( s ， t ) ) + T ( 0 ， 1 ) ( X S ( s ， t ) ) 又因为 D ( f ) ( s ， t ) = 3 f ( 2 s ， 2 t ) D − 1 ( 3 f ( 2 s ， 2 t ) ) = f ( s ， t ) 则 D − 1 ( 3 X S ( 2 s ， 2 t ) ) = X S ( s ， t ) D − 1 ( 3 X S ( s ， t ) ) = X S ( 2 − 1 s ， 2 − 1 t ) 所以 即 D − 1 ( X S ) = 1 3 [ X S + T ( 1 ， 0 ) ( X S ) + T ( 0 ， 1 ) ( X S ) ] (2) 因为 T ( m ， n ) ( X S ( s ， t ) ) = X S ( s − m ， t − n ) 所以 〈 T ( m ， n ) ( X S ) ， X S 〉 = 〈 X S ( s − m ， t − n ) ， X S 〉 = δ ( m ， n ) ， ( 0 ， 0 ) (3) 我们将证明对于任意Hausdorff可测子集 E ⊂ R s ，其中 H ( E ) < ∞ ，则 X E 含于 的闭包中。 因为 R s = ∪ j = − ∞ ∞ ∪ ( m ， n ) ∈ Z 2 [ A j ( S + ( m ， n ) ) ] ，我们可以写一个集合 E = ∪ E ( j ， m ， n ) ，其中 E ( j ， m ， n ) = E ∩ [ A j ( S + ( m ， n ) ) ] 。 容易证明，每个集合 E ( j ， m ， n ) 的特征函数含于 span { D j T ( m ， n ) ( X S ) | j ， m ， n ∈ Z } 的闭包。因此，通过扩张和平移，不失一般性，我们可以假定任意可测集 E ⊂ S 。 设 V 是S中所有子三角形的左下顶点的集合，对于每一个 { v → } ∈ V ，有一个递减的交集： { v → } = ∩ n = 1 ∞ T n ， 其中 T n 是S的一个平移的n次扩张。我们可以得到 H ( { v → } ) = lim n → ∞ H ( T n ) = lim n → ∞ 1 3 n = 0 。由测度的次 可数可加性得， H ( V ) = 0 。 令 S ′ = S ∼ V ，则 H ( S ′ ) = H ( S ) = 1 。因为S是一个度量空间，所以 S ′ 也是，尽管 S ′ 不再是闭的。 因此，不失一般性，我们假定 E ⊂ S ′ ，令 T 是由 S ′ 的子Sierpinski垫组成的，它是 S ′ 的子集的一个半代数，也就是说， T 中元素的有限非交的并形成了 S ′ 子集的一个代数。我们用 A 表示这个代数，在 A 上作用一个Hausdorff测度，得到一个 A 上的集值函数，记为 u * ，它满足Caratheodory扩张定理的条件。因此， u * 可以延伸为 S ′ 的所有子集的一个外测度， u * 与代数 A 上的Hausdorff测度 H 一致。因此， u * 决定了可测集上的一个 σ 代数 M ，这个可测集含有包含 A 的最小的 σ 代数 B 。如果将外测度 u * 限制到 M 上，则变成测度，记为u，显然 ( X ， M ， u ) 是一个完备的测度空间。而且，因为 是有限的，由Caratheodory扩张定理可知，将 A 上的 H 延伸成含有 A 的最小的 σ 代数是唯一的。因此，不论在 B 上还是 M 上，都有 u = H 。剩下的问题是，当构造 子集上的外Hausdorff测度时所产生的 σ 代数是否大于利用Caradiodory扩张定理产生的Hausdorff测度 u = H 的 σ 代数 M ？ 注意，集合 T 族除了是 S ′ 子集的半代数外，也是 S ′ 的任意子集的一个Vitali覆盖，也就是说，对于每一个 x ∈ E 和每个 δ > 0 ，都有一个子集 T ∈ T ，其中 x ∈ T ， 0 < H ( T ) ≤ δ 。利用Vitali覆盖上的Caratheodory扩张定理构造的外测度是度量外测度，因此，对于任意子集A和B，其中 d ( A ， B ) > 0 ，满足 u * ( A ∪ B ) = u * ( A ) + u * ( B ) 。此外，如果 v * 是度量空间X上的度量外测度，则该外测度下的可测集的 σ 代数包含X的Borel集的 σ 代数。我们将这个结果应用于 ( S ′ ， M ， u ) 可以推导出 u * 是度量外测度，且 M 包含 S ′ 的Borel集。因此，由 u * 构造的 S ′ 可测集的 σ 代数包含 S ′ 的Borel集以及 S ′ 的开集和闭集。因此，在S的Borel子集上， H 与u是一致的 [ 11 ]。 最后，如果利用Caratheodory扩张定理在集合X上用代数 A 构造有限测度u，则给定任意可测集 G ⊂ X ，存在 A 的一个元R，使得 u ( G   Δ   R ) < ε 。 由上述结果以及 S ′ 的可测子集E可知，存在一个 F σ 集 F ⊂ E ，其中 H ( E   Δ   F ) = H ( E ∼ F ) = 0 。因 为在 S ′ 的Borel集的 σ 代数上， u = H ， H ( F   Δ   ∪ i = 1 n T i ) < ϵ ，则可推导出存在一个有限集Sierpinski子三角形 T i ，其中 u ( F   Δ   ∪ i = 1 n T i ) < ϵ 。但是，因为 H ( E   Δ   F ) = 0 ，所以 H ( E   Δ   ∪ i = 1 n T i ) < ϵ 。因此， X E 含于 span { D j T ( m ， n ) ( X S ) | j ， m ， n ∈ Z } 的闭包 [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]。 (4) 对于 f ∈ ∩ j = − ∞ ∞ V j ，如果 ( x ， y ) ∈ support ( f ) ，则对于每一个 j ∈ Z ，存在一些 ( u j ， v j ) ∈ Z 2 ，使得 ( x ， y ) ∈ A j ( S + ( u j ， v j ) ) 。 对于使 x 2 + y 2 < 2 2 j − 1 成立的足够大的j，有 ( u j ， v j ) ∈ { ( 0 ， 0 ) ， ( 0 ， − 1 ) ， ( − 1 ， 0 ) } ，且对于这些j， ( u j ， v j ) 是 常量。因此， ( x ， y ) 一定是 ∪ j = − ∞ ∞ A j S ， ∪ j = − ∞ ∞ A j ( S + ( 0 ， 1 ) ) ， ∪ j = − ∞ ∞ A j ( S + ( − 1 ， 0 ) ) 之一。因为 f ∈ V − j 一 定是 A j ( S + ( u ， v ) ) 上的常量，所以每个并是嵌套的意味着f在这些并上都是常量.因为每个并的测度是无限的，所以这些常量必须都是0 [ 15 ]。 因此， { V j } j = − ∞ ∞ 构成了 L 2 ( R s ， H ) 上的一个多分辨分析， { T ( m ， n ) ( X S ) } 构成了 V 0 的标准正交基。