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user: 2. 主要结果的证明 首先介绍有限维空间的线性 ( n ， δ ) -宽度的相关结论。 令 ℝ m = { x = ( x 1 ， ⋯ ， x m ) | x i ∈ ℝ ， i = 1 ， ⋯ ， m } 。设 1 ≤ p ≤ ∞ ， x = ( x 1 ， ⋯ ， x m ) ∈ ℝ m ， ‖ x ‖ l p m = { ( ∑ n = 1 m | x n | p ) 1 p ，     1 ≤ p < ∞ max 1 ≤ n ≤ m | x n | ，                 p = ∞ ‖ ⋅ ‖ l p m 为 ℝ m 上的范数， l p m 表示 ℝ m 按范数 ‖ ⋅ ‖ l p m 所构成的Banach空间。记 为 l p m 的单位球，则易知 { e ′ n } n = 1 m 为 l p m 的基，其中 e ′ n = ( 0 ， ⋯ ， 1 ， ⋯ ， 0 ) ∈ ℝ m 。 引理1 [ 8 ] ：设 1 ≤ p < q ≤ ∞ ， n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ，则 λ n ( B p m ， l q m ) = { ( m − n ) 1 q − 1 p ，     0 ≤ n ≤ m 0 ，               n > m 定理1的证明： 首先建立离散化定理：对 ∀ k ∈ ℕ ，其中 ℕ ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ } ，记 S k = { n ∈ ℕ | 2 k − 1 ≤ n < 2 k } ，则 ∀ k ， k ′ ∈ ℕ ，且 k ≠ k ′ ，有 S k ∩ S k ′ = ∅ ， ℕ = ∪ k = 1 ∞ S k ，用 m k 表示 S k 中元素的个数，则 m k = | S k | = 2 k − 1 。 ∀ x = { x n } n = 1 ∞ ∈ l p ，有 x = ∑ n = 1 ∞ x n e n 这里 e n = ( 0 ， ⋯ ， 1 ↓ n ， ⋯ 0 ) ，且 { e n } n = 1 ∞ 为 l p ( 1 ≤ p ) ≤ ∞ 的Schauder基。记 E m k 是由 ∑ n ∈ Δ k x n e 构成的向量空间。 在 ℝ m 中赋予标准Guassiam测度 γ ( G ) : = γ m ( G ) = ( 2 π ) − m 2 ∫ G exp ( − 1 2 ‖ x ‖ 2 2 ) d x 对 ∀ n ∈ S k ，记 σ n = 〈 c μ e n ， e n 〉 = λ n = n − ρ ， ρ > 0 ， c μ 为所对应特征向量， e k = { 0 ， ⋯ ， 1 ↓ k ， 0 ， ⋯ } ，则： 1 2 k ρ < σ n ≤ 2 ρ 2 k ρ ，   C μ e k = λ k e k 记 σ = 1 2 k ρ ， σ ′ = 2 ρ 2 k ρ 。于是 λ k = k − ρ 。 定理1的上界估计： 对于 ∀ k ∈ ℕ ， T n k 是 l q m k 上的一个秩不大于 n k 的线性算子，使得 γ { y ∈ ℝ m k | ‖ y − T n k y ‖ l q m k > λ n k ， δ k ( I k : ℝ m k → l q m k ， γ ) } ≤ δ k 存在映射： I k : ℝ m k → E m k 。对于 T n k ，则存在一个线性映射 T ′ n k ，满足 I k : T n k ℝ m k → T ′ n k E m k 。显然： ， ‖ y − T n k y ‖ l q m k = ‖ z − T ′ n k z ‖ q 。 考察集合 E m k 中子集 G k = { z ∈ E m k | ‖ z − T ′ n k x ‖ q > σ 1 2 λ n ， δ ( I k : ℝ m k → l q m k ， γ ) } 由Gaussian测度 μ 和标准Gaussian测度 γ 的定义可得 μ ( G k ) = γ m k { y ∈ ℝ m k | ‖ ( y 2 k − 1 σ 2 k − 1 1 2 ， ⋯ ， y 2 k − 1 σ 2 k − 1 1 2 ) − T n k ( y 2 k − 1 σ 2 k − 1 1 2 ， ⋯ ， y 2 k − 1 σ 2 k − 1 1 2 ) ‖ l q m k                                             > σ 1 2 λ n k ， δ k ( I k : ℝ n k → l q m k ， γ m k ) } ≤ γ m k { y ∈ ℝ m k | ‖ ( y 2 k − 1 ， ⋯ ， y 2 k − 1 ) − T n k ( y 2 k − 1 ， ⋯ ， y 2 k − 1 ) ‖ l q m k > λ n k ， δ k ( I k : ℝ m k → l q m k ， v m k ) } ≤ δ k 。 令 G = ∪ k G k ， T n = ∑ k T n k ，则 rank   T n ≤ n ， μ ( G ) ≤ ∑ k μ ( G k ) ≤ ∑ k δ k ≤ δ ，从而有： λ n ， δ ( I p ， r : l p → l q ， μ ) ≪ sup x ∈ l p / G ‖ x − T n x ‖ q ≪ sup x ∈ { n k x } / { G k } ∑ k ‖ x − I ′ n k x ‖ q ≪ ∑ k = 1 ∞ sup x ∈ { n k x } / G k ‖ x − I ′ n k x ‖ q ≪ ∑ k = 1 ∞ 2 − ( r + ρ 2 ) k ⋅ λ n ， δ ( I k : ℝ m k → l q m k ， γ m k ) 定理1的下界估计： 对 ∀ k ∈ ℕ ，有 μ { x ∈ l 2 ∩ E m k : ‖ x − T ′ n k x ‖ q > λ n ， δ } ≤ δ 其中 λ n ， δ = λ n ， δ ( I p ， r : l p ， r → l q ， μ ) 。 设 G ′ k = { y ∈ ℝ m k | ‖ y − T n k y ‖ l q m k > σ ′ − 1 2 λ n ， δ } ，则有 γ ( G ′ k ) = γ { y ∈ ℝ m k | ‖ y − T n k y ‖ l q m k > σ ′ − 1 2 λ n ， δ } = γ { y ∈ ℝ m k | ‖ σ ′ − 1 2 y − σ ′ − 1 2 T n k y ‖ l q m k > λ n ， δ } ≤ γ { y ∈ ℝ m k | ‖ ( y 2 k − 1 σ ′ − 1 2 ， ⋯ ， y 2 k − 1 σ ′ − 1 2 ) − T n k ( y 2 k − 1 σ ′ − 1 2 ， ⋯ ， y 2 k − 1 σ ′ − 1 2 ) ‖ l q m k > λ n ， δ } = μ { x ∈ F k ∩ l q m k : ‖ x − T ′ n k x ‖ q > λ n ， δ } ≤ δ 即： λ n ， δ ( I p ， r : l p ， r → l q ， γ ) ≥ 2 − ( ρ 2 + r ) k ⋅ λ n ， δ ( I k : ℝ m k → l q m k ， γ m k ) 综上，定理1得证。 定理2的证明： 首先建立数列： ， δ = { 0                 k ≤ k ′ 2 k − k ′ δ   k > k ′ 其中 k ′ = [ log 2 n ] + 1 且 0 < β < ρ − 1 q ，则 ∑ k = 1 ∞ n k ≪ ∑ 0 < k ≤ k ′ 2 k − 1 + n ∑ k > k ′ 2 β ( k ′ − k ) ≪ n ∑ k = 1 ∞ δ k ≪ δ ∑ k > k ′ 2 k ′ − k ≪ δ 定理2的上界估计： λ n ， δ ( I p ， r : l p ， r → l q ， μ ) ≪ ∑ k = 1 ∞ 2 − ( ρ 2 + r ) k ⋅ λ n ， δ ( I k : ℝ m k → l q m k ， γ m k ) ≪ ∑ k > k ′ 2 − ( ρ 2 + r ) k ⋅ [ m k 1 q ( ( 1 + 1 n k ln 1 δ k ) ln e m k n k ) ] 1 2 ≪ ∑ k > k ′ 2 − ( ρ 2 + r ) k ⋅ [ m k 1 q ( ln e m k n k ) 1 2 ] + [ ∑ k > k ′ 2 − ( ρ 2 + r ) k m 1 q ⋅ 1 n k ln 1 δ k ln e m k n k ] 1 2 ≪ 2 k ′ ( − ρ 2 − r + 1 q ) ⋅ 2 ( − ρ 2 − r + 1 q ) + 2 k ′ ( − ρ 2 − r + 1 q ) 1 n ln 1 δ ≪ 2 − ( − ρ − 1 2 − r + 1 q − 1 2 ) 1 + 1 n ln 1 δ = 2 − ρ 2 − r + 1 q 1 + 1 n ln 1 δ 。 定理2的下界估计： 设 k = [ log 2 n ] + 3 ，则 m k ≥ 2 n ，且 2 k ≫ n ，于是 λ n ， δ ( I p ， r : l p ， r → l q ， μ ) ≥ 2 − ( ρ 2 + r ) k ⋅ λ n k ， δ k ( I k : ℝ m k → l q m k ， γ m k ) ≫ 2 − ( ρ 2 + r ) k ⋅ m k 1 q 1 + ( 1 m k ) ln 1 δ k ≫ 2 − ( ρ 2 + r ) k + k q ⋅ 1 + ( 1 n ) ln 1 δ ≫ n − ρ 2 − r + 1 q ⋅ 1 + 1 n ln 1 δ 于是得到 λ n ， δ ( I p ， r : l p ， r → l q ， μ ) ≻ ≺ n − ρ 2 − r + 1 q 1 + 1 n ln 1 δ 综上，定理2得证。