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user: 3. 实证研究 3.1. 数据选取 选取沪深300指数每日收盘价作为研究对象，取对数后再差分获获得收益率序列，这是金融学当中最常用的收益率的定义方式，建立基于四种分布下的EGARCH模型，再利用VaR模型回溯检验。本文数据来源于wind，选取2002年02月21日到2017年3月10日每个交易日的沪深300指收盘价，3690个数据建立样本，对沪深300股指的日收盘价取对数后再进行差分，得到对数收益率序列。 3.2. 数据检验过程 描述统计与正态性检验 图1. 沪深300指数对数收益率时序图 见图1，收益率的波动呈现明显的方差时变性，方差大小随着时间的变化而变化，也存在着波动率聚集特征，在一个大的波动后面跟着一个较大的波动，在一个小的波动后面跟着一个较小的波动， 图2. 沪深300指的对数收益序列QQ图 由图2我们观察到，QQ图有明显的向下倾斜和向上翘起的趋势，说明价格分布并不均衡。价格剧烈波动，呈尖峰形态和厚尾现象，最终导致正负收益变化较大。相对于标准正态分布而言，峰度更高，两段的尾部更厚，也就是极值更多。 Table 1 Table of basic statistical characteristic 沪深300 均值 最大值 最小值 标准差 偏度 峰度 正态性 收益率 0.000262 0.089748 −0.096952 0.016878 −0.385401 4.00268 0.9455 表1. 基本统计特征表 如表1我们得到沪深300指收益率均值为0.0262%，标准差为1.6878%，偏度数值小于0，说明序列明显向左拖尾，较多数据与均值偏离较大。正态分布峰度为3，而此序列数据峰度为大于3，故收益率序列呈现尖峰厚尾分布。综上，深证A指对数收益率存在尖峰厚尾性，左偏性和波动集聚性。根据正态性检验，顺序统计量W为0.9455，P值小于2e−16，拒绝服从正态分布的原假设。 3.3. 序列平稳性检验 单位根方法在1970年由迪基(D. A. Dickey)和富勒(W. A. Fuller)这两位美国统计学家提出。经过学术界多年的发展，进一步归纳为ADF检验法。对该序列进行ADF单位根检验，见表2，检验结果为p值小于显著性水平，所以拒绝序列存在单位根的原假设，认为沪深300股指对数收益率序列平稳。 Table 2 Augmented dickey-fuller tes ADF Lag rank p value −13.58 Q(15) 9.05e-08 表2. 单位根检验 3.4. 拟合ARMA模型 ARMA(p，q)模型方程为 r t = β 0 + β 1 r t − 1 + β 2 r t − 2 + ⋯ + β p r t − p + ε t + α 1 ε t − 1 + ⋯ + α q ε t − q ARMA模型中p、q定阶一般根据自相关、偏自相关图系数拖尾与截尾的情况来确定阶数。本文收益率序列的自相关、偏自相关图不易观察确定ARMA(p，q)模型中的阶数，也为了避免个人经验的不足导致模型识别不准确，笔者在R软件中采用模型信息量越小模型越优的准则对模型进行自动定阶，最终确立p与q均为1。 先建立ARMA(1，1)模型来拟合收益率序列的线性特征，然后对残差进行Box.test与LM检验，从而判断沪深300指数收益率序列是否存在ARCH效应，而拟合ARMA(1，1)的模型参数显著。 r t = 0.000206 − 0.765201 r t − 1 + ε t − 0.78461 ε t − 1 p值(0.156971) 0.0000 0.0000 3.5. ARCH效应检验 我们的目的是基于GARCH模型，通过研究历史数据波动状况，拟合和预测波动未来发展状况。要判断序列是否存在异方差性首先对序列残差残差平方进行ARCH效应检验，对残差平方进行Box.test与LM检验来研究收益率残差平方值的自相关结构，若通得过检验，说明数据的高阶序列存在相关性，从而判断沪深300指数收益率序列存在ARCH效应；否则，说明残差序列独立同分布的白噪声过程，没有显著相关性。 图3. 残差序列平方的偏自相关图 见图3，对剔除ARMA趋势的残差序列的平方进行Box.test检验，滞后20阶的L-B统计量的P值为小于2.2e−16，故拒绝序列不存在自相关性的原假设说明序列存在ARCH效应，拉格朗日乘子法同样说明序列存在ARCH效应需要对数据建立GARCH模型来拟合其异方差性。 3.6. 建立EGARCH模型 均值检验的p值为0.3579，故接受均值为0的原假设。然后建立基于正态分布、学生t分布、有偏学生t分布、广义误差分布(GED)四种不同分下的EGARCH来研究沪深300股指的特点，参数估计结果见表3。 Table 3 Estimation results of index GARCH parameter EGARCH μ ω α β γ Log likelihood AIC norm 0.000206 −0.063778 −0.012798 0.991477 0.141682 10202.52 −5.5275 t 0.000229 −0.068937 −0.016003 0.991665 0.139725 10308.33 −5.5843 skewed-t 0.000048 −0.071454 −0.015957 0.991330 0.141864 10310.3 −5.5849 GED 0.000344 −0.069730 −0.013726 0.991756 0.139296 10321.64 −5.5916 表3. 指数GARCH参数估计结果 在以上参数输出结果中， μ 与 ω 不显著，其余参数在1%的水平上均是显著的。依据对数似然函数值越大模型越优以及AIC(赤迟信息)越小越好的准则衡量统计模型的优劣，对于EGARCH模型而言，从正态分布、学生t分布、有偏学生t分布到广义误差分布，对数似然函数值越来越大，AIC越来越小，说明GED分布能够最好的反映收益率的特点，基于GED分布的EGARCH(1，1)模型AIC值最小，对数似然函数值最大，优于其他分布下的EGARCH模型。在EGARCH模型中，表示非对称性的参数 α 的估计值均小于零，说明沪深300指数收益率存在杠杆效应，GED分布下的EGARCH(1，1)的估计参数表达式为 log σ t 2 = − 0.0697 + 0.1393 ε t − 1 σ t − 1 − 0.0137 | ε t − 1 σ t − 1 | + 0.9918 + log σ t − 1 2 非对称项的系数为−0.0137，负向冲击对条件方差带来更为强烈的影响，差异可见图4。 图4. 信息冲击曲线图 见图4，在GED分布假设下得到信息冲击曲线图，图像外观表明信息冲击曲线在 ε t − 1 < 0 时比大于0的部分曲线更为陡峭，负向冲击使得沪深300股指收益率的变动更为剧烈，波动性更大。 ε t − 1 > 0 时，发生正向扰动时曲线相对平缓，波动性较小，负向扰动使得沪深300指数点位变动更加敏感，反应更为强烈，更为“动荡”，这就充分验证杠杆效应对沪深300股票指数的影响。 模型建立完成后可获得收益率的方差序列也就是我们所关注的波动率序列，以基于残差服从的学生t分布和GED分布所获得的波动率为例进行展示如图5所示，直观上看来相差不是特别明显我们需要通过VaR回溯检验来量化说明分布与EGARCH相结合时何种分布刻画得波动率较为精准。 图5. 基于t分布、GED分布下的波动率 见图6，建立EGARCH模型后对残差进行自相关检验，结果显示残差序列白噪声且残差Q-Q图显示服从正态分布，信息提取充分。 图6. 残差QQ图 3.7. VaR回溯测试 针对以上建立模型的参数估计结果进行风险度量，EGARCH在四种分布下估计出来的条件均值、收益率的条件标准差计算VaR值，其中VaR包括多头和空头，根据失败频率检验法检验比较模型的预测效果见表4，针对回溯结果算出来的LR统计量对模型进行比较说明。 LR统计量越小说明模型预测效果越好，在正态分布95%的置信水平下，除多头有偏学生t分布、空头正态分布没有通过检验外均通过了检验，即不拒绝模型正确的原假设。在t分布下的LR值相较于正态 Table 4 Posterior analysis of csi 300 inde EGARCH 多头VaR 空头VaR 置信水平 模型 失败天数 失败频率 LR值 失败天数 失败频率 LR值 95% norm 169 0.0458 1.399871 147 0.0398 8.576701 std 172 0.047 0.9040988 194 0.05258 12 sstd 133 0.03605 16.6618 181 0.049 0.06800 ged 188 0.0509 0 170 0.0464 1.222303 表4. 沪深300指数后验分析 分布更小更优，t分布可以改善正态分布的某些不足。整体而言，多头的失败天数略低于空头。在95%的置信水平下的相同的分布，多头头寸在GED分布下的EGARCH较优，空头头寸在有偏学生t下的分布模型效果比较好。整体来看，非正态性分布去拟合沪深300收益率特点效果比较好。 3.8. 预测 对收益率序列和波动率进行10天的预测结果如图7所示，基于残差服从GED分布的ARMA(1，1)- EGARCH-VaR的预测短期波动率趋势效果较好，但是由于在长期趋势方面因受到行业变化、企业有关信息、政策等影响会对时间序列的远期预测产生较大的干扰在短期中这些因素作用不大，短期预测优于长期。 图7. 沪深300指数收益率与波动率预测图