DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 3. 级数在数学领域中的应用 级数作为数学分析中的一个重要分支，是研究函数的一个重要工具，在数学领域中有诸多应用。下面具体说明级数在求极限、近似计算、积分计算等方面的应用。 3.1. 在求极限中的应用 极限的重要性毋庸置疑，求极限往往是解决数学问题不可或缺的一个步骤。求极限的方法有很多，例如定义法、洛必达法则、归结原则、利用重要极限求极限等。但对于某些极限问题利用这上述方法进行求解仍然存在很大困难，此时级数理论就可以作为我们求相关极限的一个重要选择。 求数列极限的时候，可以将数列的通项看成是某一级数的一般项，若根据某些判别法可以证明级数是收敛的，则由级数收敛的必要条件就可以得出该数列的极限为零。对通项中含有类似 n ! 项、n项的数列(特别是证明数列极限为零的题目)，可采用这种方法进行求解。 例1 证明： lim n → ∞ 2021 ln n 2 n ! = 0 。 证明：设 u n = 2021 ln n 2 n ! ，考察正项级数 ∑ u n 的敛散性。因为 u n + 1 u n = 2021 ln n + 1 2 ( n + 1 ) ! ⋅ 2 n ! 2021 ln n = 2021 ln n + 1 n 2 n ⋅ n ! ，所以 lim n → ∞ u n + 1 u n = 0 < 1 ，由比式判别法知级数 ∑ 2021 ln n 2 n ! 收敛。由级数收敛的必要条件知 lim n → ∞ 2021 ln n 2 n ! = 0 。 另外，面对极限中出现的形式比较复杂的函数，可以考虑将展开成幂级数，这样往往能消掉一部分表达式，使计算化繁为简。 例2 求极限 lim x → 0 1 − cos x x ln ( 1 + x ) − arctan x 。 解：这是一个 0 0 型的不定式极限，用洛必达法计算不仅计算量大， 而且十分困难，因此我们想到将 cos x ， ln ( 1 + x ) 和 arctan x 用幂级数展开。因为 cos x = 1 − x 2 2 + o ( x 2 ) ， ln ( 1 + x ) = x + o ( x ) ， arctan x = x + o ( x ) ，故所求极限为 lim x → 0 1 − ( 1 − x 2 2 + o ( x 2 ) ) x ( x + o ( x ) ) − ( x + o ( x ) ) = lim x → 0 x 2 2 − o ( x 2 ) x 2 − x + x ⋅ o ( x ) − o ( x ) = lim x → 0 x 2 x − 1 = 0 。 3.2. 在近似计算中的应用 函数值的近似计算问题在实际生活中应用广泛，而在不同的问题背景下，近似计算往往要求不同的精确度。我们考虑利用幂级数或傅里叶级数展开式，在其收敛区间上进行近似计算，通过选取适当的展开项数来达到计算精度要求。 例3 计算 sin 2 的近似值，精确到0.001。 解： sin x 在 ( − ∞ ， + ∞ ) 上可以展开为麦克劳林级数 sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! + ⋯ + ( − 1 ) n + 1 x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! + ⋯ ， x ∈ ( − ∞ ， + ∞ ) . (3) 将 x = 2 代入(3)式得， sin 2 = 2 − 2 3 3 ! + 2 5 5 ! + ⋯ + ( − 1 ) n + 1 2 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! + ⋯ 。余项 R n = ( − 1 ) n + 2 2 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! + ( − 1 ) n + 3 2 2 n + 3 ( 2 n + 3 ) ! + ( − 1 ) n + 4 2 2 n + 5 ( 2 n + 5 ) ! + ⋯ = 2 2 n + 1 [ ( − 1 ) n + 2 1 ( 2 n + 1 ) ! + ( − 1 ) n + 3 2 2 ( 2 n + 3 ) ! + ( − 1 ) n + 4 2 4 ( 2 n + 5 ) ! + ⋯ ] < 2 2 n + 1 [ 1 ( 2 n + 1 ) ! + 2 2 ( 2 n + 3 ) ! + 2 4 ( 2 n + 5 ) ! + ⋯ ] < 2 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! ( 1 + 2 2 + 2 4 + ⋯ ) 取 n = 5 ，则有 0 < | R 5 | = 1023 1871100 < 0.001 ，故 sin 2 = 2 − 2 3 3 ! + 2 5 5 ! − 2 7 7 ! + 2 9 9 ! = 0.909 。 3.3. 在积分计算中的应用 牛顿–莱布尼茨公式将定积分和不定积分联系起来，为定积分的计算提供了一个行之有效的计算方法，但在实际计算中我们发现很多被积函数的原函数是非常难求的，甚至是无法求出的。这时我们就考虑利用被积函数的幂级数展开式来计算定积分。 例4 计算 ∫ 0 1 ln ( 1 − x ) 2 d x 。 解：因为 ln ( 1 − x ) = − ∑ n = 1 ∞ x n n ，考察正项级数 ∑ n = 1 ∞ x n n ，由比式判别法， R = 1 ρ = lim n → ∞ | a n | | a n + 1 | = lim n → ∞ n + 1 n = 1 ，可得幂级数(4)的收敛区间为 ( − 1 ， 1 ) ，故 ∫ 0 1 ln ( 1 − x ) 2 d x = 2 ∫ 0 1 ln ( 1 − x ) d x = − 2 ∫ 0 1 ∑ n = 1 ∞ x n n d x = − 2 lim n → ∞ [ ∫ 0 1 x d x + ∫ 0 1 x 2 2 d x + ⋯ + ∫ 0 1 x n n d x ] = − 2 lim n → ∞ ( 1 2 + 1 6 + ⋯ + 1 n ( n + 1 ) ) = − 2 lim n → ∞ ( 1 − 1 n + 1 ) = − 2
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user: 4. 级数在生物领域的应用 级数的出现实际上就是源于生产实践，反过来，级数也在实际中存在巨大的潜在应用空间。下面通过两个实际问题探讨几何级数和幂级数在生物领域中的应用。 4.1. 在新冠肺炎疫情中的应用 2020年3月，新冠肺炎在美国爆发，为了研究疫情扩散速度及特点，人们统计了疫情爆发初期的20天(2020年3月6日~2020年3月25日)的确诊病例数 [ 5 ]，将这些数据作为样本绘制出图1中的散点图。横轴代表日期，纵轴代表确诊病例数。不难看出，新冠肺炎确诊人数增长趋势大致呈“J”型曲线 [ 6 ]。因此我们猜测，确诊病例数每天以一定的倍数增长，不妨将这个倍数设为q，即，第二天的病例数是第一天的q倍。再进一步假设第 n + 1 天的确诊病例数为 a n ，则有 a n = a 0 ⋅ q n ，其中 a 0 = 319 ，表示第一天，即3月6日的确诊病例数。从第二天起，将每一天的确诊病例数与前一天的比记为 q t ( t = 1 ， 2 ， ⋯ ， 19 ) ，根据公式 q = 1 19 ∑ t = 1 19 q t 粗略算出 q = 1.33 。图1中，根据20天的确诊病例数绘制出的散点图与曲线 y = 319 ⋅ 1.33 x 的图像大致拟合。故可推断美国新冠疫情爆发初期呈“J”型曲线增长，符合几何级数的规律。假设人们不对病毒进行防御，那么新冠确诊人数将会以几何级数的形式增长，这将会给美国带来经济损失、社会动荡、政治混乱等负面影响。截止2020年4月4日，美国新冠肺炎累计确诊31，794例，按照我们的几何级数预测模型，计算结果为1，193，348例。这表明对疫情采取的防控措施是必要的，但美国的疫情形势依然严峻。反观之，我国作为世界上首个面临新冠疫情挑战的国家，通过采取强有力的防御和救治措施，抗疫已取得重大阶段性胜利，这得益于以习近平同志为核心的党中央的坚强领导和中国特色社会主义制度的优越性。 图1. 美国新冠疫情爆发初期20天的确诊病例数曲线 以上是使用等比级数预测新冠肺炎得到的结果，从长期角度来看，使用传统SEIR传染病模型(如图2)得到的预测结果会更加准确。SEIR传染病模型适用于存在易感者(S)、潜伏者(E)、感染者(I)和康复者(R)这四类人群，是通过单位时间内的接触人数，利用易感者被潜伏者感染的概率，潜伏者转化为感染者的概率等相关系数，基于微分方程组建立的预测传染病病情的模型，见图2 [ 7 ]。 图2. 传统SEIR传染病模型效果图 4.2. 在生物节律中的应用 生物节律(PSI)是指人体受自然环境周期性变化影响所产生的体力节律、情绪节律和智力节律。经长期临床观察，人们发现从出生之日开始，人体的体力、情绪和智力呈正弦曲线变化，变化周期分别为23天、28天和33天，而每个周期又分为高潮期、临界期、低潮期三个阶段，三个阶段人体的行为表现各有不同。因此，根据生物节律准确的时间性，人们可以利用数学公式计算出人在任何一天的利害情况，从而将结果作为安排工作和生活的参考，如体力高潮期，人会具有体力充沛、不易生病等特征；情绪临界期会出现易出差错、情绪低落等现象 [ 8 ]。 在日常生活中，一个人如果想简单了解目前自己的体力、情绪和智力处于什么阶段，常常采用半周期法 [ 9 ]，这种估测方法操作简单，使用最为普遍，但由于该方法只能对测算日当天的状态做出判断，而人的体力、情绪和智力情况往往受较多偶然因素的干扰而发生波动，所以这种估测方法具有一定的误差且无法知晓人体“PSI”对人的行为表现的影响程度到底有多深。因此，我们考虑利用幂级数对人体生物节律预估计算公式进行改进，用正弦函数代表人体的体力、情绪和智力的变化情况，并用麦克劳林级数作为估算的工具，由级数相关理论可知估算误差为 ο ( x n ) 。 设t为从出生日到测算日经历的总天数，x为t除以23的余数，y为t除以28的余数，z为t除以33的余数。由于正弦函数 sin t 在 ( − ∞ ， + ∞ ) 的麦克劳林级数为 sin t = t − t 3 3 ! + t 5 5 ! + ⋯ + ( − 1 ) n + 1 t 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! + ⋯ ， t ∈ ( − ∞ ， + ∞ ) . 则体力变化函数为 sin 2 π 23 x = 2 π 23 x − ( 2 π 23 x ) 3 3 ! + ( 2 π 23 x ) 5 5 ! + ⋯ + ( − 1 ) n + 1 ( 2 π 23 x ) 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! + ⋯ ， x ∈ ( 0 ， 22 ) . (4) 情绪变化函数为 sin π 14 y = π 14 y − ( π 14 y ) 3 3 ! + ( π 14 y ) 5 5 ! + ⋯ + ( − 1 ) n + 1 ( π 14 y ) 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! + ⋯ ， y ∈ ( 0 ， 27 ) . (5) 智力变化函数为 sin 2 π 33 z = 2 π 33 z − ( 2 π 33 z ) 3 3 ! + ( 2 π 33 z ) 5 5 ! + ⋯ + ( − 1 ) n + 1 ( 2 π 33 z ) 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! + ⋯ ， z ∈ ( 0 ， 32 ) . (6) 这里我们默认人体出生时的体力、情绪和智力节律皆处于周期日，并即将进入高潮期。将具体的x， y， z取值代入(4)、(5)、(6)式可得体力、情绪和智力变化函数的计算结果。在实际计算中可以根据精度要求决定取到等式右边第几项，项数越多，误差越小。当计算结果为正数时，相应的节律周期处于高潮期，且数值越大，人的行为表现越符合高潮期的特征。当计算结果为负数时，相应的节律周期处于低潮期，且绝对值越大，人的行为表现越符合低潮期的特征。当计算结果接近0时，相应的节律周期处于临界期，且数值越接近于0，人的行为表现越符合临界期的特征。 某人甲2002年11月1日出生，想知道自己在2021年3月19日的体力、情绪、智力情况。经计算甲自出生之日起到预测日期一共活了7007天，此时 x 0 = 15 ， y 0 = 7 ， z 0 = 11 。 就甲的体力情况而言，将 x 0 = 15 代入(3)式，估算到右边第五项得到的结果约为−0.7。计算结果为负数且绝对值较大，故甲该日的体力处于低潮期，表现为体力较差，易于疲劳。 就甲的情绪情况而言，将 y 0 = 7 代入(4)式，估算到右边第三项得到的结果约为1.000004，计算结果为正数并取得最大值，故甲该日的情绪处于高潮期，行为表现为情绪高涨，积极向上。 就甲的智力情况而言，将 z 0 = 11 代入(5)式，估算到右边第五项得到的结果约为0.866。计算结果为正数且绝对值较大，故甲该日的智力处于高潮期，表现为思路敏捷，记忆力强。 综合考虑甲在2021年3月19日的体力、情绪、智力情况。我们建议甲在这一天不要从事体力劳动，注意身体健康状况，多从事用脑工作，比如：学习，科研等。当然，这里介绍的生物节律测算方法仅适用于日常的简单判断，如果需要更精确的测算结果，则需要对测算者进行一段时间的观察，通过大量统计数据建立周期模型。
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user: 摘要 在本文中，介绍了耗散型随机非线性薛定谔方程，它是通过对经典薛定谔方程进行修正得到的，证明了它具有随机共形动量演化规律，并研究了耗散型随机非线性薛定谔方程的一种新的离散数值格式，离散梯度格式，众所周知，构造出可以保持原始系统物理性质的数值格式具有重要意义，因此接下来我们研究了随机共形动量演化规律在离散梯度格式下是否成立，通过证明它是成立的。
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user: 1. 引言 随着科学技术的发展，随机问题在金融、工程、物理、化学等学科之间不断出现，随机偏微分方程逐渐成为定性和定量研究随机问题的重要数学工具，并受到了广泛的关注。薛定谔方程的物理意义是将物质波的概念和波动方程相结合，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质，因此对耗散型随机非线性薛定谔方程物理性质的研究就显得十分有意义。目前国内外对随机非线性薛定谔方程的研究还存在着许多未解之谜，郭柏灵院士在2011年的讲座上也介绍了非线性薛定谔方程研究的重要性。本篇论文主要研究耗散型随机非线性薛定谔方程的随机共形动量问题，我们通过证明可以看出耗散型随机非线性薛定谔方程具有随机共形动量演化规律。构造数值格式是我们在研究随机问题时常用的方法，而构造出可以保持原始系统物理性质的数值格式更是具有重要意义，在本篇论文中我们应用随机共形离散梯度格式对耗散型随机非线性薛定谔方程在时间方向和空间方向上全离散，并验证随机共形动量演化规律在随机共形离散梯度格式下是否成立，通过证明可得其也是成立的，从而得出了结论。
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user: 2. 耗散型随机非线性薛定谔方程 考虑以下具有加性噪声的一维耗散型随机非线性薛定谔方程(参见 [ 1 ] [ 2 ] ) { d u − i ( Δ u + i a u + λ | u | 2 u ) d t = ε d W ， u ( t ， 0 ) = u ( t ， 1 ) = 0 ， u ( 0 ， x ) = u 0 ( x )     t ≥ 0 ， x ∈ [ 0 ， 1 ] ⊂ R (1) 这里， λ = ± 1 ，耗散系数 a > 0 ， ε 为噪声尺度，复值Wiener过程 W = W 1 + i W 2 定义在滤子概率空间 ( Ω ， F ， { F t } t ≥ 0 ， P ) ，并且W有如下Karhunen-Loève展开 W ( t ， x ) = ∑ k = 0 ∞ Q e k ( x ) β k ( t ) = ∑ k = 0 ∞ η k e k ( x ) β k ( t ) ，   t ≥ 0 ，   x ∈ [ 0 ， 1 ] ， 其中Q为 L 2 = L 2 ( 0 ， 1 ) 上的线性正定算子，且与 Δ 算子可交换，满足 Q e k = η k e k ， { e k } k ≥ 1 是齐次 Δ 算子的特征向量， β k = β k 1 + i β k 2 ，且 { β k i } k ≥ 1 ， i = 1 ， 2 为一族独立同分布的实值标准布朗运动。 我们对方程(1)进行如下变形，定义空时白噪声 χ ˙ = d W d t ，设 u = p + i q ， χ ˙ = χ ˙ 1 + i χ ˙ 2 ，且p， q， χ ˙ 1 = d W 1 d t 和 χ ˙ 2 = d W 2 d t 均为实值随机过程，则方程(1)可以改写为 { p t + q x x + a p + λ ( p 2 + q 2 ) q = ε χ ˙ 1 ， − q t + p x x − a q + λ ( p 2 + q 2 ) p = − ε χ ˙ 2 . (2) 记 v = p x ， w = q x ， z = ( p ， q ， v ， w ) T ，上述方程可以转化为紧凑的形式 M d t z + K ∂ x z d t = − a M z d t + ∇ S 0 ( z ) d t + ∇ S 1 ( z ) ∘ d W 1 + ∇ S 2 ( z ) ∘ d W 2 ， (3) 其中 M = ( 0 − 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ，     K = ( 0 0 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 ) ， S 0 ( z ) = − λ 4 ( p 2 + q 2 ) 2 − 1 2 ( v 2 + w 2 ) ，     S 1 ( z ) = ε q ，     S 2 ( z ) = − ε p ， 以及“ ∘ ”表示方程在Stratonovich型随机积分意义下成立。 以上是耗散型随机非线性薛定谔方程和性质的介绍，接下来我们将证明(3)具有随机共形动量守恒定律，其定义也在下面给出的定理中。
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user: 3. 随机共形动量演化规律 定理1 方程(3)是耗散型随机非线性薛定谔方程，具有如下的随机共形动量演化规律 [ 3 ] ∂ t F + ∂ x G = − 2 a F − 〈 z x ， ∇ S 1 ( z ) χ ˙ 1 + ∇ S 2 ( z ) χ ˙ 2 〉 (4) 其中 F = 1 2 〈 z ， M z x 〉 和 G = S 0 ( z ) + 1 2 〈 z t ， M z 〉 。 证明：将等式(3)与 z x 做内积 〈 z x ， M z t 〉 + 〈 z x ， K z x 〉 = 〈 z x ， − a M z 〉 + 〈 z x ， ∇ S 0 ( z ) 〉 + 〈 z x ， ∇ S 1 ( z ) χ ˙ 1 〉 + 〈 z x ， ∇ S 2 ( z ) χ ˙ 2 〉 其中 〈 z x ， K z x 〉 = 〈 ( p x q x v x w x ) ， ( 0 0 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 ) ( p x q x v x w x ) 〉 = 〈 ( p x q x v x w x ) ， ( v x w x − p x − q x ) 〉 = 〈 p x ， v x 〉 + 〈 q x ， w x 〉 + 〈 v x ， − p x 〉 + 〈 w x ， − q x 〉 = 〈 p x ， v x 〉 + 〈 q x ， w x 〉 − 〈 p x ， v x 〉 − 〈 q x ， w x 〉 = 0 〈 z x ， − a M z 〉 = − a 〈 z x ， M z 〉 = − a 〈 ( p x q x v x w x ) ， ( 0 − 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( p q v w ) 〉 = − a 〈 ( p x q x v x w x ) ， ( − q p 0 0 ) 〉 = − a ( 〈 p x ， − q 〉 + 〈 q x ， p 〉 ) = a ( 〈 p x ， q 〉 + 〈 − q x ， p 〉 ) = a 〈 z ， M z x 〉 得到 〈 z x ， ∇ S 0 ( z ) 〉 − 〈 z x ， M z t 〉 = − 〈 z x ， − a M z 〉 − 〈 z x ， ∇ S 1 ( z ) χ ˙ 1 〉 − 〈 z x ， ∇ S 2 ( z ) χ ˙ 2 〉 = − a 〈 z ， M z x 〉 − 〈 z x ， ∇ S 1 ( z ) χ ˙ 1 〉 − 〈 z x ， ∇ S 2 ( z ) χ ˙ 2 〉 = − 2 a F − 〈 z x ， ∇ S 1 ( z ) χ ˙ 1 + ∇ S 2 ( z ) χ ˙ 2 〉 ， 以及 ∂ t F + ∂ x G = 1 2 ∂ t 〈 z ， M z x 〉 + ∂ x [ S 0 ( z ) + 1 2 〈 z t ， M z 〉 ] = 1 2 〈 z t ， M z x 〉 + 1 2 〈 z ， M z x t 〉 + ∂ x S 0 ( z ) + 1 2 〈 z x t ， M z 〉 + 1 2 〈 z t ， M z x 〉 = ∂ x S 0 ( z ) + 〈 z t ， M z x 〉 + 1 2 〈 z ， M z x t 〉 + 1 2 〈 z x t ， M z 〉 . 由于 〈 z t ， M z x 〉 = − 〈 z x ， M z t 〉 ， 〈 z ， M z x t 〉 = − 〈 z x t ， M z 〉 ，故 ∂ t F + ∂ x G = ∂ x S 0 ( z ) − 〈 z x ， M z t 〉 ， 我们只需证明 ∂ x S 0 ( z ) = 〈 z x ， ∇ S 0 ( z ) 〉 ，由于 ∂ x S 0 ( z ) = ∂ x [ − λ 4 ( p 2 + q 2 ) 2 − 1 2 ( v 2 + w 2 ) ] = − λ ( p 2 + q 2 ) ( p p x + q q x ) − ( v v x + w w x ) ， 〈 z x ， ∇ S 0 ( z ) 〉 = 〈 ( p x q x v x w x ) ， ( − λ p ( p 2 + q 2 ) − λ q ( p 2 + q 2 ) − v − w ) 〉 = − λ ( p 2 + q 2 ) p p x − λ ( p 2 + q 2 ) q q x − v v x − w w x = − λ ( p 2 + q 2 ) ( p p x + q q x ) − ( v v x + w w x ) ， 基于上式可知 ∂ t F + ∂ x G = − 2 a F − 〈 z x ， ∇ S 1 ( z ) χ ˙ 1 + ∇ S 2 ( z ) χ ˙ 2 〉 证明完毕。
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user: 5. 小结 本文介绍了耗散型随机非线性薛定谔方程，它是在确定的薛定谔方程上加了耗散系数和噪音尺度得到的，为了方便我们对其物理性质的研究，我们对原方程做了修改使其变为耗散型随机非线性薛定谔方程的紧致形式，接着对其物理性质中的动量进行了研究，得到了耗散型随机非线性薛定谔方程的随机共形动量演化规律，反映了耗散型随机非线性薛定谔方程在动量上面的变化。为了对其具有更深刻的研究，本文构造了一种新的数值格式，离散梯度数值格式，并证明了耗散型随机非线性薛定谔方程的随机共形动量演化规律在这个数值格式下也是成立的，这对随机非线性薛定谔方程的研究有一定的意义，也为高阶随机非线性薛定谔方程的模拟做出了铺垫。
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user: 摘要 为增强独立光伏发电系统的稳定运行和提高光伏发电系统的能源利用率，本文基于光伏电池的物理特性，采用Matlab/Simulink仿真软件搭建了光伏电池的仿真模型。根据光伏结构和要求搭建独立光伏发电系统，通过查表法对系统进行最大功率跟踪(MPPT)，并在此基础上提出了一种新型寻优控制策略，实现了光伏系统对输出功率的控制。同时设定光照模型和功率需求模型对含有寻优控制策略的30 kW光伏发电系统进行仿真研究。结果表明：光伏电池发电特性曲线符合实际光伏电池特性。功率控制策略可以有效地对光伏阵列进行功率控制从而满足系统的供需平衡，提高系统能源利用效率，避免了电池过充现象，延长了独立光伏发电系统的使用寿命。对光伏发电的推广和使用有重要的指导意义。
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user: 1. 引言 进入21世纪以后，化石能源日渐枯竭，环境污染愈发严重，以绿色、环保、低碳为方向的能源革命在全球蓬勃发展。我国倡导能源绿色发展战略，旨在突出清洁能源的利用和可再生能源的发展 [ 1 ]。随着化石能源使用量不断减少，诸如太阳能，风能和潮汐能等清洁能源逐渐成为主要的能源。为减少环境污染问题，绿色清洁的发展方式和可持续的生产方式将成为人类社会持续经济繁荣和稳定发展的最佳选择 [ 2 ]。 其中光伏发电系统因自身能源利用率高，前期投资少和能源分布广等优点被广泛利用。同时，光伏发电也给无电网覆盖地区的供电提供了可能 [ 3 ]。由于独立光伏系统发电功率受外界条件的影响呈现出不确定性，因此需要配置储能单元来缓冲光伏系统的时变功率 [ 4 ]。兼顾储能单元使用寿命的同时，提高可再生能源利用效率，设定合适的功率控制策略对光伏发电的推广及使用具有实际意义。 现阶段，光伏发电系统的大量研究主要从光伏电池侧和储能单元侧展开。文献 [ 5 ] 为减少弃光现象，建立光储联合电站输出功率控制目标函数并采用遗传算法对储能系统输出功率进行优化，减少光伏发电的浪费。文献 [ 6 ] 分析了光伏电池特性，推导出Boost电路阻抗变换关系，调整Boost变换器的占空比使负载等效阻抗与光伏电池阵列内部阻抗一致时，可使系统运行在最大功率运行点处。文献 [ 7 ] [ 8 ] 详细介绍了独立光伏发电系统运行特性，表明功率供需平衡是独立稳定运行的关键。文献 [ 9 ] 利用光伏阵列输出功率与储能单元容量的关系对系统运行状态划分，同时设定了变换器的控制策略，使系统运行稳定。上述文献所提方法均运用了复杂的算法和控制方式对系统进行功率控制。对于边远无电网覆盖地区，天气数据的不准确和繁多控制器会导致系统的能源利用率和系统稳定性下降。 本文针对边远地区的独立光伏发电系统，基于控制器简单、稳定性高的查表法 [ 10 ] 的控制方案对光伏发电系统进行最大功率跟踪控制，并提出寻优控制策略对光伏发电系统进行有效的功率控制。针对系统功率需求，本文控制方法可以控制不同光照下系统功率输出。最后利用Matlab/Simulink仿真软件对本文功率控制策略进行验证。
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user: 2. 光伏电池原理与建模 2.1. 光伏电池结构 光伏电池经过光照后，内部p-n结因光化学效应产生电势差，从而把光能转化为电能。光伏电池发电能力与电池材料，光照强度，环境温度等相关。用恒电流源可以很好的模拟光伏电池的特性。单个光伏电池等效模型，见图1。 图1. 光伏电池等效电路 从图1中可以得到光伏电池端口的电流输出方程 [ 11 ]： I = I p h − I s [ exp q ( U + I R S ) k A T − 1 ] − U + I R S R s h (1) 式中，I ph 为光生电流(受外界环境影响)；I为单个光伏电池的输出电流；U为输出电压；U D 为开路电压；R s 为串联等效电阻，单位mΩ；R sh 为并联等效电阻，单位为kΩ；I s 为二极管反向饱和电流；q为电子带电量，q = 1.6 × 10 −19 C；T为光伏电池运行温度，单位为K；A为二极管特性常数，取1~2之间；k为玻尔兹曼常数取值1.38 × 10 −23 J/K。 式(1)为一超越方程不能直接求解输出电压U和电流I的关系。因并联电阻较大，可将忽略并联电阻的分流作用，即I sh = 0。则有 U D = U + I R s (2) 将式(2)带入式(1)得 I = I p h − I s ⋅ [ exp ( U + I R s A ⋅ k ⋅ N s ⋅ T ) − 1 ] (3) 实际应用中，光伏发电系统通常由多组单个电池的串并联构成的。同时整体呈现的电气特性与单个光伏电池相似。光伏阵列的端口电流输出方程为： I = N p ⋅ I p h − N p ⋅ I s ⋅ [ exp ( U + I R s A ⋅ k ⋅ N s ⋅ T ) − 1 ] (4) 式中，N s 为光伏阵列串联光伏电池数；N p 为光伏阵列并联数光伏电池数。 2.2. 光伏电池模型搭建 光伏电池确定组成成分后，以光照强度和光伏电池温度为主的外界因素会影响光伏阵列的发电效率。考虑到外界因素以及内在因素的光伏发电特性方程有 [ 12 ]： I p h = [ I 0 + K i ⋅ ( T − 298 ) ] ⋅ G 1000 (5) I 0 = I s ⋅ ( T T n ) 3 ⋅ exp [ q ⋅ E g 0 ⋅ ( 1 / T n − 1 / T ) A ⋅ K ] (6) I s = I 0 ⋅ ( e ( q ⋅ U D A ⋅ K ⋅ T ) − 1 ) − 1 (7) 其中，I 0 为光伏电池短路电流，G为光能强度，K i 为短路断流随温度的变化率，T n 为标准温度298 K，E go 为二极管的禁带宽度1.1 Ev，U D 为开路电压。 考虑光伏发电系统的电池温度和光照强度发生变化时，对光伏阵列的短路电流、开路电压和最大功率点的电流、电压值都将改变等因素。上述方程中设定标准光照强度G ref 为1000 W/S 2 ，结合以上式(5)~(7)建立光伏电池仿真模型，见图2。 图2. 光伏电池仿真模型 2.3. 光伏电池特性分析 本文采用实际工程的光伏电池1Soltech 1STH-215-P具体参数，见表1。 Table 1 Battery parameter 电池参数 对应数值 电池参数 对应数值 最大输出功率 213.1 W 最大功率点电流 7.3 A 开路电压 36.6 V 最大功率点电压 29 V 短路电流 7.5 A 温度系数 0.102 (%/deg.C) 表1. 电池参数 对单个光伏电池分别进行改变光照和改变温度的特性检测，当温度一定时，分别在300 W/m 2 、500 W/m 2 、800 W/m 2 和1000 W/m 2 的光照强度下进行测试分析。当光照一定时，分别在50℃、35℃和25℃的温度条件下进行测试分析。得到光伏电池的伏安特性和功率特性 [ 13 ]，见图3。 图3. 不同情况下光伏电池特性曲线 从图3(e)中可以看出本文电池模型准确度较高。从图3(a)中可以看出温度变化对光伏电池输出有一定影响，但不改变短路电流大小。从图3(b)中可以看出在光照强度不变时，温度对电池的输出功率和最大功率点电压有一定的影响。从图3(c)中可以看出在温度不变时，光照强度对光伏板的短路电流有影响很大，但短路电压变化不明显。从图3(d)中可以看出，光伏电池的输出功率受光照很大影响，并且最大输出功率电压呈线性变化，为光储系统的最大功率跟踪控制提供了依据。同时，多个光伏电池串并结构的特性曲线与光伏单元的特性曲线相似。
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user: 3. 光伏发电功率控制 3.1. MPPT 从图3(d)中可以得出，通过对光伏单元的端口电压进行限制可以改变光伏单元的输出功率。现阶段光伏发电的控制方法主要有增量电导法，扰动观测法，查表法 [ 14 ]。其中查表法具有运行稳定性高，控制器设置简单，系统故障率低，不受遮挡影响等优点。 故本文采用查表法对30 kW (N s = 20， N p = 7)的光伏阵列进行最大功率跟踪控制。结合图3(d)可以绘制出该系统不同光照下的最大功率运行点的曲线轨迹，见图4。 图4. MPPT曲线拟合 通过Matlab函数拟合工具对光照及所对应的最大功率输出电压进行关系拟合，得到光照与输出电压的函数关系然后进行闭环控制，见图5。 图5. MPPT控制框图 通过检测光照强度，给定当前光照情况下最大功率输出的端口电压U ref ，通过电压外环控制改变占空比D，再经过PWM模块输出开关信号作用到Boost电路中的开关器件实现闭环控制，进而完成对光伏阵列的输出电压进行控制并使其可以快速稳定在最大功率跟踪处。 3.2. 寻优控制策略原理 在独立光储系统中，当电池饱和且负载较小时，大多数系统会直接选择切出光伏发电而造成能源大幅度浪费。若采取功率控制，在电池接近饱和的情况下限定光伏发电功率，从而达到系统功率供需平衡，提高了系统的能源利用率，同时避免了储能单元的过充现象，延长了系统的使用寿命。 在一定温度和光照情况下，对单个光伏电池功率特性曲线进行分析，见图6。 图6. 单个电池在功率特性分析 从图6可知，当系统所需功率低于此刻光照最大输出功率P MPPT 。若要满足供需功率平衡，可以通过改变光伏电池端口电压可以将系统的最大功率运行状态转移至L 1 或L 2 处，由光伏电池运行特性可知L 2 状态稳定。若运用合适的控制策略将端口电压限定在L 2 运行点处即可有效的将光伏电池的发电功率进行控制。 在基于查表法的闭环控制上，设置控制程序。首先采集系统输出电压和输出电流计算出最大输出功率并与所需功率比较。当所需功率大于光伏单元最大输出功率时，端口电压保持最大功率跟踪处电压，不改变系统开关信号的占空比D。当所需功率小于光伏单元最大输出功率时，在MPPT的运行点端口电压进行0.01 V的电压累加，直至系统的输出电压从MPPT工作点到L 2 工作点，同时为了避免系统在所需功率处产生较大寻优扰动，设定所需功率波动范围为 ± 200 W。寻优控制策略流程见图7。 图7. 寻优控制策略流程图
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user: 4. 仿真验证 基于以上光伏电池的仿真建模和功率控制的方案分析。本文利用Matlab/Simulink仿真软件进行仿真搭建30kW独立发电直流系统，然后用查表法结合寻优控制策略来对系统进行仿真。设置仿真步长为5*10 −6 s，升压DC/DC变换器的输入电容为1 mF，电感为0.156 mH，输出电容为0.16 mF，开关频率为10 kHz。在一定温度条件下，设定满足本文控制策略的光照模型见图8，功率需求模型见图9。对不同情况下的功率需求进行仿真分析。 图10为光伏阵列MPPT控制下的功率输出，图11为系统最大功率跟踪效率。从两图中可知，系统最大功率跟踪响应速度快，输出效率大于95%，符合最大功率跟踪控制要求。图12为设定功率需求的情况下光伏发电功率，图中表明在光照强度不变，光照强度上升以及光照强度下降等三种情况下均可以有效的控制光伏阵列的功率输出，且进行功率控制后，系统的功率输出波动在0.2 kW以内其稳定性符合系统功率输出要求，同时在功率控制下的输出功率满足图9中的功率需求模型使系统达到功率供需平衡。图13对系统进行功率控制方案和光伏切出方案的功率输出进行比较，结果表明当系统进行功率控制时可以有效提高光伏发电利用率，如图13中蓝色阴影部分。 图8. 光照模型 图9. 功率需求模型 图10. MPPT控制下的功率输出 图11. MPPT模式下的发电效率 图12. 含功率控制策略的光伏阵列输出功率 图13. 能效分析图
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user: 5. 结论 本文针对光伏电池的功率输出特性，从光伏发电系统功率需求方面设计了有效控制光伏阵列输出功率的方案并制定了相应的功率控制策略。得出以下结论： 1) 根据光伏电池发电特性，使用Matlab/Simulink软件对光伏电池进行模型搭建，并以1Soltech 1STH-215-P电池参数进行了电池特性分析以及与实际光伏电池的比较，表明了光伏电池模型的准确性。 2) 通过查表法并结合电池特性曲线完成了光伏发电的MPPT控制，然后基于查表法分析了光伏电池的功率输出特性，通过寻优控制策略完成了光伏阵列的输出功率控制，并建立该控制策略的流程图。 3) 建立光照模型、功率需求模型和独立光伏阵列发电仿真模型。对30 kW光伏发电模型进行仿真分析，结果表明基于寻优法的功率控制策略可以有效对光伏阵列进行功率控制从而满足系统的供需功率平衡，同时相较于对光伏电池的切除可以有效提高系统能源利用效率，避免了电池的过充现象，延长了独立光伏发电系统的使用寿命。
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user: 摘要 目的：研究小儿推拿对咳嗽变异性哮喘缓解期患儿IL-4、IL-13、IFN-γ的影响。方法：通过随机选择咳嗽变异性哮喘缓解期患儿60例，治疗组30例，以小儿推拿治疗；对照组30例，给予药物孟鲁司特钠治疗。观察治疗前后患儿血清IL-4、IL-13、γ-干扰素的改变。结果：治疗组总有效率 93.33%；对照组总有效率73.33%。将两组进行比较有统计学意义(P < 0.05)。治疗前后血清IL-4、IL-13、IFN-γ的比较，治疗组IL-4、IL-13的降低值优于对照组，治疗组IFN-γ的升高值优于对照组，有统计学意义(P < 0.05)。结论：小儿推拿治疗咳嗽变异性哮喘缓解期效果优于孟鲁司特钠组。
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user: 1. 引言 咳嗽变异性哮喘(CVA)是一种特殊哮喘，临床表现为慢性咳嗽和气道高反应状态。近年来，CVA在学龄前儿童中的发病率持续上升，且病程长 [ 1 ]。在治疗方面，主要通过西药或者中药治疗。在西药方面，孟鲁司特钠作为白三烯受体拮抗剂，它通过封闭白三烯受体进而遏制组织对白三烯的反应，从而对抗其炎症，改善患者的支气管收缩。在中医治疗方面，主要方法包括外治及内治法，外治有推拿、针刺、穴位贴敷、拔罐、艾灸等，内治有汤剂、颗粒剂。药物治疗都存在长期服药的过程，这对患儿和家长造成困扰，在临床我们通过小儿推拿对咳嗽变异性哮喘缓解期患儿进行干预，取得显著临床疗效，现报道如下。
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user: 2. 临床资料 2.1. 病例资料 60例均为2019年11月至2020年11月，就诊福建省第二人民医院推拿科门诊的患儿。并随机分为2组。其中随机分组法采用完全随机对照设计，用Fisher R A and Yates F的随机数字表(Fisher R A and Yates F: Statistical Tables for Biological， Agricultural and Medical Research， P128， Oliver and Boyd， 1957)进行分组。具体方法为：将纳入试验的合格对象，依入院先后顺序编号；再以随机数字表中的5行12列作为起点查阅随机数字表，令随机数字除以2所得余数为0、1者分别为试验组、对照组，依次列入随机分配表格。得到的两组例数不等，即进行调整。调整方法为，再查随机数字表中原同一行(或列)紧邻的下一个数字，用要调整组的总例数去除，余数就代表被调整组的对象，反复多次调整，直至两组例数相等。由此得出治疗组及对照组均30例。治疗组30例，男16例，女14例，年龄3~7 (4.37 ± 0.83)岁；病程36~87 (66.33 ± 11.81)天；体重14.8~19.7 (17.87 ± 1.18) kg。对照组30例，男13例，女17例，年龄3~7 (4.19 ± 0.97)岁，病程35~86 (63.69 ± 11.89)天；体重15.7~20.2 (18.11 ± 1.16) kg。2组患儿性别、年龄、病程等经统计学处理(P > 0.05)，具有可比性。 2.2. 诊断标准 儿童CVA诊断标准为 [ 2 ]：1) 咳嗽持续 > 4周，常在夜间和(或)清晨发作或加重，以干咳为主；2) 临床无感染征象，或经较长时间抗生素治疗无效；3) 抗哮喘药物诊断性治疗有效；4) 排除其他原因引起的慢性咳嗽；5) 支气管激发试验阳性和(或)最大呼气流量(PEF)每日变异率(连续监测1~2周) ≥ 20%；6) 个人或一、二级亲属特应性疾病史，或变应原检测阳性。7) 临床缓解期：系指经过治疗或未经治疗，临床症状、体征消失，肺功能恢复到急性发作前水平，并维持3个月以上。 2.3. 纳入标准 1) 符合上述诊断标准；2) 年龄在3岁到7岁周岁，性别不限；3) 患儿及其监护人自愿加入本试验者。 2.4. 排除标准 1) 已接受其他有关治疗，可能影响本研究效应指标观察者；2) 脑瘫患儿；3) 推拿选取部位有破损、感染、溃疡、瘫痕或肿瘤；过敏体质或对推拿过敏者；4) 合并心、肝、肾、造血系统等严重原发疾病者；5) 中途主动退出或失访者。
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user: 3. 治疗方法 3.1. 治疗组 小儿推拿治疗手法：揉天突2分钟，分推膻中2分钟，补脾经300次，补肺经300次，补肾经200次，分推背阴阳200次，揉定喘穴、肺俞穴、脾俞穴、肾俞穴各2分钟，捏脊9遍。隔天一次，一次20分钟，连续1个月。 3.2. 对照组 给予白三烯受体拮抗剂盂鲁司特钠咀嚼片(默沙东中国有限公司杭州默沙东制药有限公司生产) 4 mg，每晚睡前服用，连用1个月。 3.3. 实验室指标 血清IL-4、IL-13、IFN-γ水平的测定，在治疗前后晨取患儿空腹静脉血3~4 mL，离心后分离血清待测。采用ELISA法测定血清IL-4、IL-13、IFN-γ水平，检测均由福建省第二人民医院检验科医生进行采血检测分析，检测方法采用ELISA法，试剂盒来自上海赫澎生物科技有限公司，由检验科代测。 3.4. 统计学 处理采用SPSS 21.0统计学软件进行数据分析。计量资料符合正态分布以 x ¯ ± s 标准差表示，采用t检验；计数资料采用χ 2 检验。
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user: 4. 治疗结果 4.1. 疗效判定标准 病情好转程度分级参考《中药新药临床研究指导原则》 [ 3 ] (2002版)的疗效判定标准，结合咳嗽变异性哮喘的临床症状特点，改善率分级为：临床治愈、显效、有效、无效。 4.2. 治疗效果 临床症状疗效比较如下表1所示： Table 1 Comparison of clinical symptoms and efficac 组别 例数 临床治愈 显效 有效 无效 临床治愈率 显效率 有效率 治疗组 30 13 7 8 2 43.33% 66.67% 93.33% 对照组 30 5 5 12 8 16.67% 33.33% 73.33% 表1. 临床症状疗效比较 注：与对照组相比较P < 0.05。 4.3. 治疗前后实验室指标比较 治疗前后两组IFN-γ、IL-4、IL-13水平如下表2： Table 2 Comparison of the levels of IFN-γ， IL-4 and IL-13 between the two groups (x ± s， pg/ml 组别 例数 IFN-γ IL-4 IL-13 治疗前 治疗后 治疗前 治疗后 治疗前 治疗后 治疗组 30 206.29 ± 17.15 1) 313.01 ± 25.16 2)3) 166.27 ± 11.52 1) 67.63 ± 13.42 2)3) 291.26 ± 21.01 1) 178.13 ± 23.10 2)3) 对照组 30 207.49 ± 18.76 301.41 ± 15.81 2) 170.01 ± 12.06 76.40 ± 19.18 2) 289.19 ± 22.37 199.23 ± 25.21 2) 表2. 两组IFN-γ、IL-4、IL-13水平比较(x ± s， pg/ml) 注：治疗前与对照组相比较：1) P > 0.05；治疗后与治疗前相比较；2) P < 0.01；与对照组相比较；3) P < 0.05。
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user: 5. 讨论 小儿咳嗽变异性哮喘在临床病程上可分为急性发作期、慢性持续期以及临床缓解期3个不同阶段。进入临床缓解期后，西医治疗上多是继续口服药物控制，多用白三烯受体拮抗剂孟鲁司特钠，但其短期复发率仍达20.05%之高 [ 4 ]。中医治疗方面，中医将其归为“风咳”、“顿咳”、“哮咳”等范畴。咳嗽变异性哮喘内因责之于肺、脾、肾三脏功能不足，导致痰饮留伏，成为咳喘夙根；外因责之于感受外邪、接触异物及嗜食酸咸。患儿本为肺、脾、肾三脏不足之身体素质，病程反复发作，导致肺之气阴耗伤，脾之气阳受损，肾之阴阳亏虚，因而形成缓解期痰伏留饮不动的症状。小儿推拿是通过医生的手，在小儿体表的特定穴位肺经、脾经、肾经等穴位上施以手法，通过皮肤穴位刺激，引起神经反馈，被小儿形体内脏感知，从而产生功效。 近年来学者研究发现 [ 4 ] [ 5 ]，咳嗽变异性哮喘与哮喘二者发病基础相同，都是由多种炎性细胞和细胞组分共同参与的气道慢性炎症疾病，由细胞因子、神经生长因子及炎性介质导致气道高反应。其中，咳嗽变异性哮喘是一种特殊类型的哮喘，CVA患者气道炎症和气道高反应性较典型哮喘程度为轻，其本质是气道慢性炎症、气道反应性增高及一定程度的气道重构。CVA患者气道痉挛多发生于末梢气道，因而无或很少闻及哮鸣。但是由于气道长期慢性炎症损伤了支气管上皮细胞，暴露了迷走神经末梢(主要是胆碱能神经纤维)，降低了胆碱能神经纤维兴奋的阈值，对各种刺激的敏感性增高而易被激惹，产生高气道反应。当患者受到某种刺激，胆碱能神经纤维兴奋，以致支气管平滑肌反射性增强，局部小气管痉挛，终使末梢咳敕感受器激活，直接引起咳嗽反射。与发病机制重要相关的是Thl和Th2细胞 [ 6 ]，Thl细胞主要功能为调节免疫抗感染，Th2细胞主要功能为调控变态反应，Thl细胞主要产生IFN-γ，诱导自然杀伤细胞和细胞毒性T淋巴细胞活化，参与细胞的免疫反应，并辅助B淋巴细胞产生与吞噬作用有关的抗体。Th2细胞以IL-4和IL-13为代表，IL-4和IL-13可以刺激支气管上皮细胞、平滑肌细胞和成纤维细胞释放许多炎症介质和炎症因子。因此，IL-4、IL-13、IFN-γ的血液含量变化可以反映出咳嗽变异性哮喘疾病的情况。通过本课题研究表明，小儿推拿治疗组治疗后患儿血液中IL-4、IL-13的下降值优于西医治疗组，IFN-γ的升高值同样也优于西医治疗组，IL-4、IL-13、IFN-γ的正向良性变化对恢复期咳嗽变异性哮喘起到促进患儿康复的积极作用，因此，小儿推拿对恢复期咳嗽变异性哮喘的治疗安全有效，值得进一步临床推广。
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user: 摘要 本文研究无穷维序列空间在一致框架下的非线性manifold n-宽度 δ n ( W ， X ) ，并得到其精确渐进估计，即当 1 ≤ p ， q ≤ ∞ 时 δ n ( B p ， r ， l q ) ≻ ≺ n − ( r − 1 q + 1 p ) ， B p ， r 表示 l p ， r 中的单位球。
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user: 1. 引言 函数逼近论是函数论中极其重要的研究领域之一。而n-宽度是逼近论的核心研究方向之一，一直被逼近论方向的研究者所重视。 1936年Kolmogorov [ 1 ] 首次提出Kolmogorov n-宽度。关于经典宽度(即最坏情形下的宽度)理论，可见Pinkus [ 2 ] 的专著。S. R. Stechkin [ 3 ] 1954年研究了在 p = 1 ， q = 2 特殊条件下有限维空间的Kolmogorov n-宽度的精确渐进阶与线性n-宽度的精确渐进阶。V. M. Tikhomirov [ 4 ] 1976年给出了经典的非线性Alexandroff宽度 a n ( W ， X ) 及其精确阶。R. DeVore、R. Howard及C. Micchelli [ 5 ] 1989年给出了在Sobolev空间中的经典的非线性manifold n-宽度 δ n ( W ， X ) 及其精确渐进阶。De Vore、G. Kyriazis、D. Leviatan及V. Tikhomirov和Dinh Dung及Vu Quoc Thanh [ 6 ] [ 7 ] 分别讨论了经典的Sobolev函数类和Besov函数类的逼近特征，得出非线性Alexandroff a n ( W ， X ) 宽度和非线性Alexandroff δ n ( W ， X ) 宽度的精确渐进阶。本文继以上工作，研究无穷维序列空间在一致框架下的非线性manifold n-宽度 δ n ( W ， X ) ，并得到其精确渐进估计。
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user: 2. 预备知识 2.1. δ n ( W ， X ) 定义 设W是赋范线性空间X的有界子集， W在X中的非线性manifold n-宽度 δ n ( W ， X ) 定义为： δ n ( W ， X ) = inf R ， G sup x ∈ W ‖ x − R ( G ( x ) ) ‖ 其中，下确界是取遍所有的连续映射 G : W → R n 和 R : R n → X 2.2. l p 及 l p m 的相关定义及性质 2.2.1. l p 定义 设 1 ≤ p ≤ ∞ ， ∀ x = { x n } n = 1 ∞ ，令 ‖ x ‖ l p = { ( ∑ n = 1 ∞ | x n | p ) 1 p ，   1 ≤ p < ∞ sup n ≥ 1 | x n | ，   p = ∞ l p = { x | ‖ x ‖ l p < ∞ } 可知 ‖ ⋅ ‖ l p 为 l p 上的一个范数， l p 为Banach空间。 2.2.2. l p 具有以下性质 1) 任意的n，令 e n = ( 0 ， ⋯ ， 0 ， 1 ， 0 ， ⋯ ) ( e n 的第n个分量是1，其余分量是0)，则 { e n } 为 l p ( 1 ≤ p < ∞ ) 的一个基。 2) l 2 按照内积 〈 x ， y 〉 = ∑ n = 1 ∞ x n y n 构成一Hilbert空间，且 { e n } 为其一组标准正交基，其中 x = { x n } ， y = { y n } ∈ l 2 。 3) l q ⊂ l p ， ( 1 ≤ q < p ≤ ∞ ) l p ⊄ l q ， ( 1 ≤ q < p ≤ ∞ ) 对于 1 ≤ p ≤ ∞ ， r > 0 ， x = { x n } n = 1 ∞ ∈ l p ，令 x r : = { n r x n } n = 1 ∞ ， ‖ x ‖ l p ， r = ‖ x ( r ) ‖ l p 及 l p ， r : = { x ∈ l p | ‖ x ‖ l p ， r < ∞ } 易见 ‖ • ‖ l p ， r 为 l p ， r 上的范数，同时 l p ， r 为Banach空间。 B p ， r 为 l p ， r 中单位球。 令 1 ≤ q < p ≤ ∞ ， r > 1 q − 1 p ，(当 p = ∞ 时，令 1 p = 0 )。 对 ∀     x = { x n } ∈ l p ， r 由holder不等式有： ‖ x ‖ l q ≤ { ‖ x ‖ l p ， r ( ∑ n = 1 ∞ n p r p − q ) 1 q − 1 p < ∞ ，   1 ≤ q < p < ∞ ‖ x ‖ l p ， r ( ∑ n = 1 ∞ n − r q ) 1 q < ∞ ，   p = ∞ 则有 x ∈ l q 。于是无穷维序列空间( 1 ≤ q < p ≤ ∞ ， r > 1 q − 1 p ) I p ， q : l p ， r → l q                                                           x ↦ x 有界。 2.2.3. l p m 的定义 设 1 ≤ p ≤ ∞ ， x = ( x 1 ， ⋯ ， x m ) ∈ R m ， ‖ x ‖ l p m = { ( ∑ n = 1 m | x n | p ) 1 p ， 1 ≤ p < ∞ max 1 ≤ n ≤ m | x n | ， p = ∞ 则 ‖ ⋅ ‖ l p m 为 R m 上的范数， l p m 为 R m 依范数 ‖ ⋅ ‖ l p m 所构成的Banach空间。 B p m 表示 l p m 的单位球。 { e ′ n } n = 1 m 为 l p m 的基， e ′ n = ( 0 ， ⋯ ， 0 ， 1 ， 0 ， ⋯ ) ∈ R m (第n个分量是1，其余分量是0)。
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user: 3. 相关符号 1) c i ，   i = ( 0 ，   1 ，   ⋯ ) 表示非负常数，其仅与参数 p ， q ， r 有关； 2) 正函数 a ( y ) 和 b ( y ) ， y ∈ D ，如果存在正常数 c 1 满足条件 a ( y ) ≤ c 1 b ( y ) ，则记 a ( y ) ≪ b ( y ) ，若存在正常数 c 2 满足条件 c 2 a ( y ) ≥ b ( y ) ，则记 a ( y ) ≫ b ( y ) ； 3) 若 a ( y ) ≪ b ( y ) 且 a ( y ) ≫ b ( y ) ，则记 a ( y ) ≻ ≺ b ( y ) 。