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user: 7. 契约协调机制 本节针对分散式闭环供应链存在的效率损失，设计收入共享—回收成本共担契约(Revenue and Cost Sharing， RCS)使其绩效能够达到集中式决策水平，前提是满足各成员的参与约束。 收入共享—成本共担契约(Revenue and Cost Sharing， RCS)是指制造商与回收商和零售商签订 ( w R C S ， b R C S ， λ 1 R C S ， λ 2 R C S ) 型协议，具体条款为：一方面制造商以较低的协调批发价 w R C S 将产品批发给零售商，而零售商将其销售收入的 1 − λ 2 R C S 比例回馈给制造商；另一方面，制造商以 1 − λ 1 R C S 的比例分摊回收商的回收成本，同时以协议价 b R C S 从回收商处购回旧品。RCS契约下各方效用(利润)函数由式(17)至式(19)给出。 v r R C S ( p R C S ) = ( λ 2 p − w ) ( α − β p ) + θ 1 2 β ( α − β p ) 2 (17) v m R C S ( w R C S ， b R C S ) = ( α − β p ) [ ( 1 − λ 2 ) p + w − c m + ( Δ − b ) τ ] − ( 1 − λ 1 ) C L τ 2 + θ 2 2 β ( α − β p ) 2 (18) π τ R C S ( τ R C S ) = b τ ( α − β p ) − λ 1 C L τ 2 (19) 分别通过 ∂ v r R C S / ∂ p = 0 和 ∂ π t R C S / ∂ τ = 0 得 p R C S ( w R C S ) = β w R C S + ( λ 2 R C S − θ 1 ) α β ( 2 λ 2 R C S − θ 1 ) (20) τ R C S ( b R C S ， p R C S ) = b R C S ( α − β p R C S ) 2 λ 1 R C S C L (21) 为使RCS契约协调时的分散式供应链达到集中式决策的效果，应满足 p R C S ∗ = p C ∗ ，故得到 w R C S ∗ = 2 [ ( 2 λ 2 R C S − θ 1 ) β c m + ( ( 1 − λ 2 R C S ) θ 1 − λ 2 R C S θ 2 ) α ] C L − λ 2 R C S α β Δ 2 β [ 2 ( 2 − θ 1 − θ 2 ) C L − β Δ 2 ] (22) 同时协调时的回收率 τ R C S ∗ 也应与集中式决策相同，因而将 p R C S ∗ = p C ∗ 代入 τ R C S ( b R C S ， p R C S ) 中，并令 τ R C S ∗ = τ C ∗ ，可得 b R C S ∗ = λ 1 R C S Δ 。 将 p R C S ∗ ， τ R C S ∗ ， w R C S ∗ ， b R C S ∗ 代入式(17)至(19)中，得到 v r R C S ∗ = 2 ( 2 λ 2 R C S − θ 1 ) C L 2 ( α − β c m ) 2 β [ 2 ( 2 − θ 1 − θ 2 ) C L − β Δ 2 ] 2 (23) π t R C S ∗ = λ 1 R C S C L Δ 2 ( α − β c m ) 2 β [ 2 ( 2 − θ 1 − θ 2 ) C L − β Δ 2 ] 2 (24) v m R C S ∗ = C L ( α − β c m ) 2 [ 2 ( 2 − 2 λ 2 R C S − θ 2 ) C L − ( 1 + λ 1 R C S ) β Δ 2 ] β [ 2 ( 2 − θ 1 − θ 2 ) C L − β Δ 2 ] 2 (25) 由于收入分配比例 λ 1 R C S 和成本分摊比例 λ 2 R C S 均应介于 ( 0 ， 1 ) 内，故应满足 λ 2 R C S > 0 ⇒ w R C S ∗ > 2 θ 1 C L ( α − β c m ) β [ 2 ( 2 − θ 1 − θ 2 ) C L − β Δ 2 ] = w min R C S (26) λ 2 R C S < 1 ⇒ w R C S ∗ < 2 [ ( 2 − θ 1 ) β c m − θ 2 α ] C L − β Δ 2 α β [ 2 ( 2 − θ 1 − θ 2 ) C L − β Δ 2 ] = w max R C S (27) 为保证 w min R C S ≤ w max R C S ，制造商和零售商的CSR履行水平之和应满足： 0 ≤ θ 1 + θ 2 ≤ min { β [ 4 C L c m − α Δ 2 ] 2 α C L ， 2 } 相应的回收商回收率 τ R C S ∗ ∈ [ Δ ( α − β c m ) 2 C L − β Δ 2 ， Δ α 4 C L ] ，即双方CSR履行水平及旧品回收率处于上述区间 是RCS契约有效的先决条件。 以上仅表明当批发价满足 w R C S ∗ ∈ ( w min R C S ， w max R C S ) 时，能够使RCS契约机制下的成员效用之和达到集中式决策水平。进一步地，为使各方均能接受该契约，必须满足其参与约束，即 v m R C S ∗ ≥ v m M ∗ ， v r R C S ∗ ≥ v r M ∗ 和 π t R C S ∗ ≥ π t M ∗ ，可依次计算如下： i) 由 v r R C S ∗ ≥ v r M ∗ ，可推知 λ 2 R C S ≥ 16 [ 4 θ 1 + 3 θ 1 3 + 2 ( 2 − θ 2 ) 2 − 2 ( 5 − θ 2 ) θ 1 2 ] C L 2 − 8 [ 4 ( 2 − θ 1 − θ 2 ) + θ 1 θ 2 ] C L β Δ 2 + ( 8 − 3 θ 1 ) β 2 Δ 4 2 [ 4 ( 4 − 2 θ 1 − θ 2 ) C L − β Δ 2 ] 2 = λ _   2 R C S (28) 此外，根据 v m R C S ∗ + v r R C S ∗ + π t R C S ∗ = v C ∗ 以及应确保 v m R C S ∗ ≥ v m M ∗ 和 π t R C S ∗ ≥ π t M ∗ 均成立，可知 v r R C S ∗ ≤ v C ∗ − v m M ∗ − π t M ∗ ，进而计算得 λ 2 R C S ≤ 16 [ 2 ( 8 − 6 θ 2 + θ 2 2 ) − ( 4 − θ 2 ) θ 1 2 − 4 θ 1 ( 2 − θ 2 ) + 2 θ 1 3 ] C L 2 − 2 [ 28 − θ 1 2 − θ 2 2 − 4 θ 2 − 2 θ 1 ( 6 + θ 2 ) ] C L β Δ 2 − ( 2 − 2 θ 1 − θ 2 ) β 2 Δ 4 2 [ 4 ( 4 − 2 θ 1 − θ 2 ) C L − β Δ 2 ] 2 = λ ¯ 2 R C S (29) 将 λ _   2 R C S 和 λ ¯ 2 R C S 代入式 (22)中，得到 w R C S ≥ 16 [ 2 ( 2 − θ 1 ) ( 2 − θ 1 − θ 2 ) β c m + ( 2 θ 1 ( 1 − θ 1 ) ( 6 − θ 2 ) − 2 θ 2 ( 2 − θ 2 ) + 3 θ 1 3 ) α ] C L 2 − 8 [ 2 ( 2 − θ 1 ) β c m + ( 4 − θ 1 ) ( 2 − θ 1 − θ 2 ) α ] C L β Δ 2 − ( 2 − 2 θ 1 − θ 2 ) α β 2 Δ 4 2 β [ 4 ( 4 − 2 θ 1 − θ 2 ) C L − β Δ 2 ] 2 = w _ R C S (30) w R C S ≤ 16 ( 4 − 2 θ 1 − θ 2 ) [ 2 ( 2 − θ 1 ) β c m + ( 2 θ 1 − θ 1 2 − 2 θ 2 ) α ] C L 2 + 2 [ 2 ( 2 − θ 1 − θ 2 ) β c m − ( 32 − θ 1 2 − 14 θ 1 − θ 2 2 − 6 θ 2 − 2 θ 1 θ 2 ) α ] C L β Δ 2 − ( 2 − 2 θ 1 − θ 2 ) α β 2 Δ 4 2 β [ 4 ( 4 − 2 θ 1 − θ 2 ) C L − β Δ 2 ] 2 = w ¯ R C S (31) 容易验证 ( w ¯ R C S ， w _ R C S ) ∈ ( w min R C S ， w max R C S ) 严格成立。 ii) 由 v m R C S ∗ ≥ v m M ∗ 可推知 [ 2 ( 2 − 2 λ 2 R C S − θ 2 ) C L − ( 1 + λ 1 R C S ) β Δ 2 ] [ 2 ( 2 − θ 1 − θ 2 ) C L − β Δ 2 ] 2 ≥ 2 4 ( 4 − 2 θ 1 − θ 2 ) C L − β Δ 2 . (32) iii) 由 π t R C S ∗ ≥ π t M ∗ 可推知 λ 1 R C S ≥ [ 2 ( 2 − θ 1 − θ 2 ) C L − β Δ 2 ] 2 [ 4 ( 4 − 2 θ 1 − θ 2 ) C L − β Δ 2 ] 2 = λ _   1 R C S . (33) 此外，根据 v m R C S ∗ + v r R C S ∗ + π t R C S ∗ = v C ∗ 以及应确保 v m R C S ∗ ≥ v m M ∗ 和 v r R C S ∗ ≥ v r M ∗ 均成立，可知 π t R C S ∗ ≤ v C ∗ − v r M ∗ − v m M ∗ ，进而计算得 λ 1 R C S ≤ [ 2 ( 2 − θ 1 − θ 2 ) C L − β Δ 2 ] [ 4 ( 4 ( 2 − θ 1 ) 2 C L + ( 6 − 3 θ 1 − θ 2 ) β Δ 2 ) C L − β 2 Δ 4 ] [ 4 ( 4 − 2 θ 1 − θ 2 ) C L − β Δ 2 ] 2 β Δ 2 = λ ˜ 1 R C S (34) 故 λ 1 R C S 的上限应满足 λ ¯ 1 R C S = min { λ ˜ 1 R C S ， 1 } 。 命题3：RCS契约协调时的成本分摊比例 λ 1 与收入分成比例 λ 2 的上下限与CSR履行水平 θ 1 ， θ 2 间的增减关系分别为： i) ∂ λ _ 1 R C S ∂ θ 1 < 0 ， ∂ λ ¯ 1 R C S ∂ θ 1 < 0 ， ∂ λ _ 2 R C S ∂ θ 1 > 0 ， ∂ λ ¯ 2 R C S ∂ θ 1 > 0 ; ii) ∂ λ _ 1 R C S ∂ θ 2 < 0 ， ∂ λ ¯ 1 R C S ∂ θ 2 < 0 ， ∂ λ _ 2 R C S ∂ θ 2 < 0 ， ∂ λ ¯ 2 R C S ∂ θ 2 < 0 . 命题3表明在RCS契约协调时，制造商和零售商CSR履行水平的增加均将使回收商承担的回收成本比例上下限降低，相反制造商承担的回收成本比例上下限提高，该结论符合常理；零售商增加CSR履行水平将使其自身保留的销售收入比例上下限增加，而制造商增加CSR履行水平将使零售商保留的销售收入比例上下限降低，该结论可由式(22)推出——容易验证 ∂ w R C S ∗ / ∂ λ 2 R C S > 0 ，即批发价与零售商保留的销售收入比例正相关，而制造商的CSR履行水平 θ 2 的增加必将引起 w R C S ∗ 的降低，故通过 w R C S ∗ 与 λ 2 R C S 的正相关关系可得 ∂ λ _ 2 R C S / ∂ θ 2 < 0 和 ∂ λ ¯ 2 R C S / ∂ θ 2 < 0 ；虽然零售商CSR履行水平 θ 1 的增加也会使 w R C S ∗ 降低，但由于 p R C S ∗ 随 θ 1 的下降幅度更大，零售商边际利润( p R C S ∗ − w R C S ∗ )缩减，故其需要更高的分成比例以保证自身效用，即 λ _ 2 M − R C S ， λ ¯ 2 M − R C S 增加。