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user: 3. 动力学分析 在这一部分，我们将讨论模型(6)的一些动力学性质。 定理1 设基本再生数 R 0 = α λ 〈 k φ 1 ( k ) g ( k ) 〉 γ 1 〈 k g ( k ) 〉 + ( 1 − α ) λ 〈 k φ 2 ( k ) g ( k ) 〉 γ 2 〈 k g ( k ) 〉 . 考虑系统(6)，我们有如下结论： (i) 系统(6)总存在一个无病平衡点 E 0 = ( 0，0，0， ⋯ ，0，0，0 ︸ 3 n 个 ) 。 (ii) 当 R 0 > 1 时，系统(6)有且仅有唯一的正平衡点 E * = ( I 11 * ， I 21 * ， R 1 * ， ⋯ ， I 1 n * ， I 2 n * ， R n * ) 。并且 E * = ( I 11 * ， I 21 * ， R 1 * ， ⋯ ， I 1 n * ， I 2 n * ， R n * ) 满足 I 1 k * = α δ γ 2 λ k g ( k ) θ * D k ，   I 2 k * = ( 1 − α ) δ γ 1 λ k g ( k ) θ * D k ，   R k * = γ 1 γ 2 λ k g ( k ) θ * D k ， 其中 D k = λ k g ( k ) θ * ( α δ γ 2 + ( 1 − α ) δ γ 1 + γ 1 γ 2 ) + δ γ 1 γ 2 〈 k g ( k ) 〉 。 证明：显然， E 0 总是系统(6)的一个平衡点。我们接下来研究 E * 的存在性。注意到平衡点 E * 应该满足如下的方程 ( α λ k ( 1 − I 1 k * − I 2 k * − R k * ) g ( k ) 〈 k g ( k ) 〉 θ * − γ 1 I 1 k * = 0， ( 1 − α ) λ k ( 1 − I 1 k * − I 2 k * − R k * ) g ( k ) 〈 k g ( k ) 〉 θ * − γ 2 I 2 k * = 0， γ 1 I 1 k * + γ 2 I 2 k * − δ R k * = 0， (7) 由方程组(7)的第一个和第二个方程，我们有 I 2 k * = γ 1 ( 1 − α ) γ 2 α I 1 k * . (8) 由方程组(7)的第三个方程以及等式(8)有 R k * = γ 1 μ + δ I 1 k * + γ 2 μ + δ I 2 k * = γ 1 α δ I 1 k * . (9) 将等式(8)和(9)代入(3)的第一个方程，可得 I 1 k * = α δ γ 2 λ k g ( k ) θ * D k . (10) 将(8)和(10)式代入 θ * 的表达式，得到一个关于 θ * 的自洽方程 θ * = ∑ k = 1 n   φ 1 ( k ) P ( k ) α δ γ 2 λ k g ( k ) θ * D k + ∑ k = 1 n   φ 2 ( k ) P ( k ) ( 1 − α ) δ γ 1 λ k g ( k ) θ * D k . (11) 令 f ( θ * ) = ∑ k = 1 n   φ 1 ( k ) P ( k ) α δ γ 2 λ k g ( k ) D k + ∑ k = 1 n   φ 2 ( k ) P ( k ) ( 1 − α ) δ γ 1 λ k g ( k ) D k ，然后方程(11)可写成如下 形式 θ * = θ * f ( θ * ) . (12) 由于 ( f ( θ ) < 1， d f ( θ * ) d θ * = − ∑ k = 1 n   φ 1 ( k ) P ( k ) α δ γ 2 λ k g ( k ) A k D k 2 − ∑ k = 1 n   φ 2 ( k ) P ( k ) ( 1 − α ) δ γ 1 λ k g ( k ) A k D k 2 < 0. 其中 A k = λ k g ( k ) ( α δ γ 2 + ( 1 − α ) δ γ 1 + γ 1 γ 2 ) 。若 R 0 > 1 ，则有 f ( 0 ) > 1 。此时方程(12)只存在唯一一个非零解 θ * 。即当 R 0 > 1 时，系统(6)只存在唯一的地方病平衡点。证毕。 接下来，我们将讨论(6)的无病平衡点 E 0 稳定性。 定理2 若 R 0 < 1 ，系统(6)的无病平衡点 E 0 是全局渐近稳定的。 证明：令 y ( t ) = ( y 1 ( t ) ， y 2 ( t ) ， ⋯ ， y n ( t ) ， y n + 1 ( t ) ， y n + 2 ( t ) ， ⋯ ， y 2 n ， y 2 n + 1 ( t ) ， y 2 n + 2 ( t ) ， ⋯ ， y 3 n ) T = ( I 11 ( t ) ， I 12 ( t ) ， ⋯ ， I 1 n ( t ) ， I 21 ( t ) ， I 22 ( t ) ， ⋯ ， I 2 n ( t ) ， R 1 ( t ) ， R 2 ( t ) ， ⋯ ， R n ( t ) ) T ， 将系统(6)可写成如下矩阵向量的形式： d y d t = A y + N ( y ) ， (13) 其中 A = ( A 11 A 12 O A 21 A 22 O A 31 A 32 A 33 ) ， A 11 = ( α g ( 1 ) X 1 − γ 1 α g ( 1 ) X 2 ⋯ α g ( 1 ) X n 2 α g ( 2 ) X 1 2 α g ( 2 ) X 2 − γ 1 ⋯ 2 α g ( 2 ) X n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ n α g ( n ) X 1 n α g ( n ) X 2 ⋯ n α g ( n ) X n − γ 1 ) ， A 12 = ( α g ( 1 ) Y 1 α g ( 1 ) Y 2 ⋯ α g ( 1 ) Y n 2 α g ( 2 ) Y 1 2 α g ( 2 ) Y 2 ⋯ 2 α g ( 2 ) Y n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ n α g ( n ) Y 1 n α g ( ( n ) Y 2 ⋯ n α g ( n ) Y n ) ， A 21 = ( ( 1 − α ) g ( 1 ) X 1 ( 1 − α ) g ( 1 ) X 2 ⋯ ( 1 − α ) g ( 1 ) X n 2 ( 1 − α ) g ( 2 ) X 1 2 ( 1 − α ) g ( 2 ) X 2 ⋯ 2 ( 1 − α ) g ( 2 ) X n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ n ( 1 − α ) g ( n ) X 1 n ( 1 − α ) g ( n ) X 2 ⋯ n ( 1 − α ) g ( n ) X n ) ， A 22 = ( ( 1 − α ) g ( 1 ) Y 1 − γ 2 ( 1 − α ) g ( 1 ) Y 2 ⋯ ( 1 − α ) g ( 1 ) Y n 2 ( 1 − α ) g ( 2 ) Y 1 2 ( 1 − α ) g ( 2 ) Y 2 − γ 2 ⋯ 2 ( 1 − α ) g ( 2 ) Y n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ n ( 1 − α ) g ( n ) Y 1 n ( 1 − α ) g ( n ) Y 2 ⋯ n ( 1 − α ) g ( n ) Y n − γ 2 ) ， A 31 = γ 1 I ， A 32 = γ 2 I ， A 33 = − δ I 。 X k = λ φ 1 ( k ) P ( k ) 〈 k g ( k ) 〉 ， Y k = λ φ 2 ( k ) P ( k ) 〈 k g ( k ) 〉 。其中O是n阶零矩阵，I是n 阶单位矩阵，而 N ( y ) = − ( α λ g ( 1 ) 〈 k g ( k ) 〉 ( y 1 + y n + 1 + y 2 n + 1 ) θ ⋮ α λ n g ( n ) 〈 k g ( k ) 〉 ( y n + y 2 n + y 3 n ) θ ( 1 − α ) λ g ( 1 ) 〈 k g ( k ) 〉 ( y 1 + y n + 1 + y 2 n + 1 ) θ ⋮ ( 1 − α ) λ n g ( n ) 〈 k g ( k ) 〉 ( y n + y 2 n + y 3 n ) θ 0 ⋮ 0 ) . 由于向量 N ( y ) 每一项都是非正的，因此有 d y d t ≤ A y ，故可得如下比较系统 d y d t = A y . (14) 系统(14)只有一个平衡点 E 0 ( 0，0， ⋯ ，0 ) ，其雅可比矩阵对应的特征方程为 ( x + δ ) n ( x + γ 1 ) n − 1 ( x + γ 2 ) n − 1 ( x 2 + p x + q ) = 0. 其中 p = γ 1 + γ 2 − α λ 〈 k φ 1 ( k ) g ( k ) 〉 〈 k g ( k ) 〉 − ( 1 − α ) λ 〈 k φ 2 ( k ) g ( k ) 〉 〈 k g ( k ) 〉 ， q = γ 1 γ 2 − α λ γ 2 〈 k φ 1 ( k ) g ( k ) 〉 〈 k g ( k ) 〉 − ( 1 − α ) λ γ 1 〈 k φ 2 ( k ) g ( k ) 〉 〈 k g ( k ) 〉 。显然 R 0 < 1 ⇔ q > 0 ，并且 R 0 < 1 时， p > 0 ， 此时A的所有特征值实部都为负的，故系统(14)的平衡点 E 0 是全局渐近稳定的。又因为矩阵A的所有非对角线上元素是非负的，因此系统(14)是拟单调增的 [ 17 ] ，故由比较原理和解的正性，定理2得证。 下面，我们来讨论系统(6)的持久性。首先，我们给出如下定义 定义 若对于系统(6)的满足初值条件 I 1 k ( 0 ) + I 2 k ( 0 ) + R k ( 0 ) > 0 的任意解，存在一个常数 σ > 0 使得 lim inf t → ∞ ( I 11 2 ( t ) + ⋯ + I 1 n 2 ( t ) + I 21 2 ( t ) + ⋯ + I 2 n 2 ( t ) + R 1 2 ( t ) + ⋯ + I n 2 ( t ) ) ≥ σ . 则称该系统是准持久的。 然后，再引入如下引理 引理3 [ 4 ] 考虑如下n维的系统 d y d t = A y + N ( y ) ， (15) 其中，向量 y = ( y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n ) T ，A是一个 n × n 阶方阵并且向量 N ( y ) 在区域 D ⊆ R n 内是连续可微的。假设 (i)：紧的凸集 C ⊆ D 是(15)的正向不变集，并且 0 ∈ C ； (ii)：存在某个正整数 m ≤ n ，使得 lim y → 0 ‖ N ( y ) ‖ ∑ i = 1 m   y i 2 = 0 ； (iii)：存在 r > 0 和 A T 的一个正的特征值对应的一个实特征向量 ω 使得对任意的 y ∈ C ，都有 ( ω ⋅ y ) ≥ r ∑ i = 1 m   y i 2 ； (iv)：对所有的 y ∈ C ，都有 ( ω ⋅ y ) ≤ 0 。然后，系统(15)的任何一个初值为 y ( 0 ) ∈ C − { 0 } 的解 y ( t ; y ( 0 ) ) 满足 lim inf t → ∞ ‖ y ( t ; y ( 0 ) ) ‖ ≥ ζ ， 其中 ζ > 0 不依赖于 y ( 0 ) ，另外(15) 存在一个常数解 y = y * ， y * ∈ C − { 0 } 。 因此我们可得到如下定理 定理4 若 R 0 > 1 ，则系统(6)是准持久的。 证明：下面我们通过引理3来证明此定理 1)：紧的凸集 Ω 是(6)的正向不变集，并且 0 ∈ Ω ，故条件(i)成立； 2)：取正整数 m = 2 n ，易得 lim y → 0 ‖ N ( y ) ‖ ∑ i = 1 m   y i 2 = 0 ，因而条件(ii)成立； 3)：记 B = ( A 11 A 12 A 21 A 22 ) ，则 B T 是一个 2 n × 2 n 不可约的矩阵，且当 i ≠ j 时， a i j ≠ 0 。由文献 [ 18 ] 的引理4， B T 存在一个正的特征向量 ω ¯ = ( ϑ 1 ， ϑ 2 ， ⋯ ， ϑ 2 n ) ，对应的特征值为 S ( B T ) = max R e λ i ， i = 1，2， ⋯ ，2 n 。令 ϑ 2 n + 1 = ϑ 2 n + 2 = ⋯ = ϑ 3 n = 0 ，取 ω = ( ϑ 1 ， ϑ 2 ， ⋯ ， ϑ 3 n ) ，因此有 A T ω = S ( B T ) ω ，即 ω 是矩阵 A T 的特征向量，对应着特征值 S ( B T ) 。记 r = min 1 ≤ k ≤ 2 n ϑ k ，故对所有的 y ∈ C ，都有 ( ω ⋅ y ) ≥ r ∑ k = 1 2 n   y k 2 ，因此条件(iii)成立。 4)：由于 N ( y ) 的每一项都小于等于0，而 ω > 0 ，故对所有的 y ∈ C ，都有 ( ω ⋅ y ) ≤ 0 。即条件(iv)也成立。因此，由引理3，存在常数 ζ > 0 使得 lim inf t → ∞ ‖ y ( t ; y ( 0 ) ) ‖ ≥ ζ ， 即有 lim inf t → ∞ ( I 11 2 ( t ) + ⋯ + I 1 n 2 ( t ) + I 21 2 ( t ) + ⋯ + I 2 n 2 ( t ) + R 1 2 ( t ) + ⋯ + I n 2 ( t ) ) ≥ ζ . 因此，定理4得证。