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user: 2. 引理 引理2.1. 设 K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m 的部集分别为 X 1 ， X 2 ， ⋯ ， X m ，其中 | X i | = n i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 且 n 1 ≥ n 2 ≥ ⋯ ≥ n m ≥ 1 。对任意 m ≥ 2 ，都有 α ′ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) = { ⌊ n 1 + n 2 + ⋯ + n m 2 ⌋ ， 如 果 n 1 < n 2 + ⋯ + n m ; n 2 + ⋯ + n m ，   如 果 n 1 ≥ n 2 + ⋯ + n m . 证明：设 M 为 K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m 的一个最大匹配，使得 M 中尽可能多的包含一个端点属于 X i 的边。此外， 令 V 1 = V ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) \ V ( M ) 。显然， V 1 中的所有点都属于同一个部集，否则与 M 的定义相矛盾。 断言1. 若 V 1 ∩ X 1 ≠ ∅ ，则对任意边 e ∈ M ，它都包含一个属于 X 1 的端点。 证明：假设存在一个点 w 和 M 中的一条边 u v ，使得 w = V 1 ∩ X 1 ，且 u ， v ∉ X 1 。令 u ∈ X i ， v ∈ X j ， i ≠ 1 ≠ j 。因为 i ≠ 1 ，我们有 u w ∈ E ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) 。现在我们可以通过增加 u w ，删除 u v 得到一个新的 M ，这与 M 的定义相矛盾，断言1证明完毕。 断言2. 若 | V 1 | ≥ 2 ，则 V 1 ⊆ X i 。 证明：注意 V 1 中的所有点都属于同一个部集。假设 | V 1 | ≥ 2 且 V 1 ⊆ X i ， i ≠ 1 。令 u ， v ∈ V 1 。因为 n 1 ≥ n i ，所以必定存在一条边 x y ∈ M ，使得 x ∈ X i ， y ∈ X j ， i ≠ j 。又因为 i ≠ 1 ≠ j ，我们有 u x ， v y ∈ E ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) 。 现在我们可以由 M 通过增加两条边 u x ， v y ，删除一条边 x y 得到一个更大的匹配，这与 M 的定义相矛盾。断言2证明完毕。 为了完成证明，下面我们分两种情形进行讨论。 情形1. V 1 ∩ X 1 ≠ ∅ 。 由断言1可知， M 中的所有边都有一个属于 X 1 的端点。因此， n 1 ≥ n 2 + n 3 + ⋯ + n m + 1 ，并且此时 α ′ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) = n 2 + ⋯ + n m 。 情形2. V 1 ∩ X 1 = ∅ 。 由断言2可知， | V 1 | ≤ 1 。因此， n 1 ≤ n 2 + ⋯ + n m ，并且此时 α ′ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) = ⌊ n 1 + ⋯ + n m 2 ⌋ 。显然，当 n 1 = n 2 + ⋯ + n m 时， α ′ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) = ⌊ n 1 + ⋯ + n m 2 ⌋ = n 2 + ⋯ + n m 引理2.1证明完毕。 由引理2.1，我们得到如下推论。 推论2.2. 设 n = ∑ i = 1 n n i ，完全多部图 K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m 存在完美匹配当且仅当 n 1 = n 2 + ⋯ + n m ，或者 n 1 < n 2 + ⋯ + n m 且 n 为偶数。 引理2.3.对任意 m ≥ 3 ，都有 Γ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) = { n 3 + ⋯ + n m ，   如 果 n 2 ≥ n 3 + ⋯ + n m ; ⌊ n 2 + ⋯ + n m 2 ⌋ ， 如 果 n 2 < n 3 + ⋯ + n m 且 n 1 > ⌊ n 2 + ⋯ + n m 2 ⌋ ; ⌊ n 1 + ⋯ + n m 3 ⌋ ， 如 果 n 2 < n 3 + ⋯ + n m 且 n 1 ≤ ⌊ n 2 + ⋯ + n m 2 ⌋ . 证明：设 Γ 为 K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m 中包含最大数目点不交的 C 3 的集合，使得 Γ 中尽可能多的包含一个顶点属于 X 1 的 C 3 。换言之，在保证数目最大的前提下我们优先挑选那些有一个顶点属于 X 1 的 C 3 。令 V 1 = V ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) \ V ( Γ ) 。显然， V 1 中的有点至多属于两个部集，否则与 Γ 的定义相矛盾。令 n = n 1 + n 2 + ⋯ + n m ， n * = n 2 + ⋯ + n m 。 断言3. 若 V 1 ∩ X 1 ≠ ∅ ，则对任意 C 3 ∈ Γ ，它都包含一个属于 X i 的顶点。 证明：假设存在一个点 s ，以及 Γ 中的一个 C 3 = [ u ， v ， w ] ，使得 s ∈ V 1 ∩ X 1 且 u ， v ， w ∉ X 1 。令 u ∈ X i ， v ∈ X j ， w ∈ X z ， i ≠ j ≠ z ≠ 1 。现在我们可以由 Γ 通过增加 [ u ， v ， s ] ，删除 [ u ， v ， w ] 来得到一个新的 Γ ，这与 Γ 的定义相矛盾。 断言3证明完毕。 断言4. 若 | V 1 | ≥ 3 ，则 V 1 ∩ X 1 ≠ ∅ 。 证明：注意 V 1 中的所有点属于至多两个部集。假设 | V 1 | ≥ 3 且 V 1 ∩ X 1 ≠ ∅ 。如果 V 1 中的所有点属于同一个部集，不失一般性，我们假设 V 1 ⊆ X i ， s 1 ， s 2 ， s 3 ∈ X i ∩ V 1 ，其中 i ≠ 1 。因为 n 1 ≥ n i ，所以 Γ 中必定存在两个点不交的 C 3 ，不妨设为 [ u 1 ， v 1 ， w 1 ] 和 [ u 2 ， v 2 ， w 2 ] ，使得 u 1 ， u 2 ∈ X 1 ， v 1 ， v 2 ， w 1 ， w 2 ∉ X i 。现在我们可以由 Γ 通过增加 [ s 1 ， v 1 ， w 1 ] ， [ s 2 ， u 2 ， w 2 ] ，以及 [ s 3 ， u 1 ， v 2 ] ，删除 [ u 1 ， v 1 ， w 1 ] 和 [ u 2 ， v 2 ， w 2 ] 得到一个更大的点不交的 C 3 的集合，这与 Γ 的定义相矛盾。 因此， V 1 中的所有点恰恰属于两个部集，不失一般性，假设 | X i ∩ V 1 | ≥ 2 ， | X j ∩ V 1 | ≥ 1 以及 s 1 ， s 2 ∈ X i ∩ V 1 ， s 3 ∈ X j ∩ V 1 ， i ≠ 1 ≠ j 。因为 n 1 ≥ n i ，所以 Γ 中必定存在一个 C 3 ，不妨设为 [ u 1 ， v 1 ， w 1 ] ，使得 u 1 ∈ X 1 ， v 1 ， w 1 ∉ X i 。现在我们可以由 Γ 通过增加 [ u 1 ， v 1 ， w 1 ] 和 [ s 2 ， s 3 ， u 1 ] ，删除 [ u 1 ， v 1 ， w 1 ] 得到一个更大的点不交的 C 3 的集合，这与 Γ 的定义相矛盾。断言4证明完毕。 为了完成证明，下面我们分三种情形进行讨论。 情形1. V 1 ⊆ X 1 。 由断言3可知，对任意 C 3 ∈ Γ ，它都包含一个属于 X 1 的端点。因此， n 1 > ⌊ n 2 + ⋯ + n m 2 ⌋ 。另一方面， K n 2 ， n 3 ， ⋯ ， n m 中必定存在一个完美匹配。由推论2.2，我们有 n 2 = n 3 + ⋯ + n m 或者 n 2 < n 3 + ⋯ + n m 且 n * 为偶数。显然，此时 Γ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) = α ′ ( K n 2 ， n 3 ， ⋯ ， n m ) = n 2 + ⋯ + n m 2 。 情形2. V 1 ⊄ X 1 且 V 1 ∩ X 1 ≠ ∅ 。 由断言3可知，对任意 C 3 ∈ Γ ，它都包含一个属于 X 1 的端点。另一方面，因为 V 1 ⊄ X 1 ，所以 K n 2 ， n 3 ， ⋯ ， n m 中不存在完美匹配。由推论2.2，我们有 n 2 ≥ n 3 + ⋯ + n m + 1 或者 n 2 < n 3 + ⋯ + n m 且 n * 为奇数。当 n 2 ≥ n 3 + ⋯ + n m + 1 时， Γ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) = α ′ ( K n 2 ， n 3 ， ⋯ ， n m ) = n 3 + ⋯ + n m 。此外，当 n 2 < n 3 + ⋯ + n m 且 n * 为奇数时， α ′ ( K n 2 ， n 3 ， ⋯ ， n m ) = ⌊ n 2 + ⋯ + n m 2 ⌋ 所以 n 1 > ⌊ n 2 + ⋯ + n m 2 ⌋ 。显然，此时 Γ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) = α ′ ( K n 2 ， n 3 ， ⋯ ， n m ) = ⌊ n 2 + ⋯ + n m 2 ⌋ 。 情形3. V 1 ∩ X 1 = ∅ 。 由断言4可知， | V 1 | ≤ 2 。因为 V 1 ∩ X 1 = ∅ ，所以 n 1 ≤ ⌊ n 2 + n 3 + ⋯ + n m 2 ⌋ 且 n 2 ≤ n 3 + ⋯ + n m 。显然，此时 Γ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) = ⌊ n 1 + ⋯ + n m 3 ⌋ 。引理2.3证明完毕。