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user: 2 定理的证明 引理8：令B为 G 中一个d阶元的2l个d圈及其一个不动点所构成的X的 2 l d + 1 -子集，则 ( X ， B G ) 构成一个 3 - ( 2 n + 1 ， 2 l d + 1 ， 2 l ( 2 l d − 1 ) ( 2 l d + 1 ) ) 设计。 证明：由于 G B 中有d阶元，由引理2知 G B 不为类型(1)。由推论1知 G B 不为类型(3)。进一步的 G B 不为类型(5)，否则存在一个二面体群 D 2 d 包含在 G B 中，与推论1矛盾。又类型(6)是类型(4)的一种情形，综上述 G B 只能为类型(2)或类型(4)的子群。可设 | G B | = 2 h d ，其中h为非负整数。由引理7知 λ = ( 2 l d + 1 ) 2 l d ( 2 l d − 1 ) 2 h d 为整数，又l是奇数，故 h = 0 或1。再由引理3知 h = 0 。故 ( X ， B G ) 构成一个 3 - ( 2 n + 1 ， 2 l d + 1 ， 2 l ( 2 l d − 1 ) ( 2 l d + 1 ) ) 设计。 推论2：令S为X的 2 l d + 1 -子集，若 G S 中有d阶元，则 G S 为d阶循环群。 引理9：设S是X的 m d + 1 -子集，若 G S 中有d阶元，则轨道 S G 中包含形如 { 1 ， α ， ⋯ ， α d − 1 ， β 1 ， β 1 α ， ⋯ ， β 1 α d − 1 ， ⋯ ， β m − 1 ， β m − 1 α ， ⋯ ， β m − 1 α d − 1 ， ∞ } 的区组。其中 α 为 G F * ( 2 n ) 中的一个d阶元， β i ∈ G F * ( 2 n ) （ i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 ）。 引理10：若 ( X ， Γ ) 是一个 3 - ( 2 n + 1 ， m d + 1 ， m ( m d − 1 ) ( m d + 1 ) ) 设计，则轨道 Γ 中包含m个形如 { 1 ， α ， ⋯ ， α d − 1 ， β 1 ， β 1 α ， ⋯ ， β 1 α d − 1 ， ⋯ ， β m − 1 ， β m − 1 α ， ⋯ ， β m − 1 α d − 1 ， ∞ } 的区组。其中 α 为 G F * ( 2 n ) 中的一个d阶元， β i ∈ G F * ( 2 n ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 )。 证明：设S为轨道 Γ 中的一个区组。由引理7得 | G S | = d ，即d阶循环群。由引理9可设 S = { 1 ， α ， ⋯ ， α d − 1 ， β 1 ， β 1 α ， ⋯ ， β 1 α d − 1 ， ⋯ ， β m − 1 ， β m − 1 α ， ⋯ ， β m − 1 α d − 1 ， ∞ } . 若 S ′ = { 1 ， α ， ⋯ ， α d − 1 ， β ′ 1 ， β ′ 1 α ， ⋯ ， β ′ 1 α d − 1 ， ⋯ ， β ′ m − 1 ， β ′ m − 1 α ， ⋯ ， β ′ m − 1 α d − 1 ， ∞ } 与S位于同一条轨道，则存在 G 中的一个线性分式 f ′ ，使得 S f ′ = S ′ 。设 x f ′ = a x + b c x + d ， x f 1 = α x 。由于 | G S | = | G S ′ | = d 且 f 1 ∈ G S ′ ∩ G S ，从而 G S = G S ′ = 〈 f 1 〉 。又 G S ′ = f ′ − 1 G S f ′ ，由此可得 f ′ G S = G S f ′ 。即 { f ′ ， f ′ f 1 ， ⋯ ， f ′ f 1 d − 1 } = { f ′ ， f 1 f ′ ， ⋯ ， f 1 d − 1 f ′ } 。对于 1 ≤ i ≤ d − 1 ，若 f ′ f 1 = f 1 i f ′ ，则对任意的 x ∈ X ，有 x f ′ f 1 = x f 1 i f ′ 。即 a α x + b α c x + d = a α i x + b c α i x + d . 由上述等式知存在 u ∈ G F ∗ ( 2 n ) ，使得 [ a α b α c d ] = u [ a α i b c α i d ] . 故只能 u = 1 ， b = c = 0 且 i = 1 。即 f ′ f 1 = f 1 f ′ 。可令 x f ′ = r x ，其中 r = a d 。因此 S ′ = S f ′ = { r ， r α ， ⋯ ， r α d − 1 ， r β 1 ， r β 1 α ， ⋯ ， r β 1 α d − 1 ， ⋯ ， r β m − 1 ， r β m − 1 α ， ⋯ ， r β m − 1 α d − 1 ， ∞ } . 又 S ′ = { 1 ， α ， ⋯ ， α d − 1 ， β ′ 1 ， β ′ 1 α ， ⋯ ， β ′ 1 α d − 1 ， ⋯ ， β ′ m − 1 ， β ′ m − 1 α ， ⋯ ， β ′ m − 1 α d − 1 ， ∞ } ，令 H = 〈 α 〉 ，从而 r ∈ H 或 r ∈ β ′ j H ，其中 1 ≤ j ≤ m − 1 。下分两种情况讨论： 1) 若 r ∈ H ，从而 S ′ = S 。 2) 若 r ∈ β ′ 1 H ，不失一般性，可令 r ∈ β ′ 1 H ，从而 S ′ = { β ′ 1 ， β ′ 1 α ， ⋯ ， β ′ 1 α d − 1 ， β ′ 1 β 1 ， β ′ 1 β 1 α ， ⋯ ， β ′ 1 β 1 α d − 1 ， ⋯ ， β ′ 1 β m − 1 ， β ′ 1 β m − 1 α ， ⋯ ， β ′ 1 β m − 1 α d − 1 ， ∞ } . 故对于 1 ≤ k ≤ m−1，必存在 β ′ 1 β k ∈ H 。即 S ′ = { β k − 1 ， β k − 1 α ⋯ β k − 1 α d − 1 ， β k − 1 β 1 ， β k − 1 β 1 α ， ⋯ ， β k − 1 β 1 α d − 1 ， ⋯ ， β k − 1 β m − 1 ， β k − 1 β m − 1 α ， ⋯ ， β k − 1 β m − 1 α d − 1 ， ∞ } . 令 x g k = β k − 1 x Math_207#，其中 β 0 = 1 ，则上述 S ′ = S g k 。综上述若 S ′ ∈ S G 当且仅当 S ′ = S g k Math_212#。 下证 S ， S g 1 ， S g 2 ， ⋯ ， S g m − 1 互不相同。由此说明 Γ 中包含m个形如 { 1 ， α ， ⋯ ， α d − 1 ， β 1 ， β 1 α ， ⋯ ， β 1 α d − 1 ， ⋯ ， β m − 1 ， β m − 1 α ， ⋯ ， β m − 1 α d − 1 ， ∞ } 的区组。对于任意的 0 ≤ s ， t ≤ m − 1 ，若 S g s = S g t ，则 g s g t − 1 ∈ G S = 〈 f 1 〉 ，即 β s − 1 β t ∈ H 。从而 β s − 1 β t { 1 ， α ， ⋯ ， α d − 1 } = { 1 ， α ， ⋯ ， α d − 1 } ，即 { β t ， β t α ， ⋯ ， β t α d − 1 } = { β s ， β s α ， ⋯ ， β s α d − 1 } . 这是不可能的。 引理11：构成 3 - ( 2 n + 1 ， 2 l d + 1 ， 2 l ( 2 l d − 1 ) ( 2 l d + 1 ) ) 设计的轨道的条数为 1 2 l ∏ i = 1 2 l − 1 2 n − 1 − i d d 。 证明：设l为奇数， α 为 G F * ( 2 n ) 中的一个d阶元， β i ∈ G F * ( 2 n ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 2 l − 1 )。令 B = { S | S = { 1 ， α ， ⋯ ， α d − 1 ， β 1 ， β 1 α ， ⋯ ， β 1 α d − 1 ， ⋯ ， β 2 l − 1 ， β 2 l − 1 α ， ⋯ ， β 2 l − 1 α d − 1 ， ∞ } } ，易得 B 中元素的个数为 。再由引理10可得构成 3 - ( 2 n + 1 ， 2 l d + 1 ， 2 l ( 2 l d − 1 ) ( 2 l d + 1 ) ) 设计的轨道条数为 1 2 l ∏ i = 1 2 l − 1 2 n − 1 − i d d 。 定理：令B为 G 中一个d阶元的2l个d圈及其一个不动点所构成的X的 2 l d + 1 -子集，则 ( X ， B G ) 构成一个 3 - ( 2 n + 1 ， 2 l d + 1 ， 2 l ( 2 l d − 1 ) ( 2 l d + 1 ) ) 设计。构成这一设计的轨道的条数为 1 2 l ∏ i = 1 2 l − 1 2 n − 1 − i d d 。 证明：利用引理8和引理11可以得到定理。 推论3：令B为 G 中一个d阶元的2l个d圈及其一个不动点所构成的X的 2 l d + 1 -子集，则对于任意的正整数t，其中 1 ≤ t ≤ 1 2 l ∏ i = 1 2 l − 1 2 n − 1 − i d d ，可构造出单纯 3 - ( 2 n + 1 ， 2 l d + 1 ， 2 l ( 2 l d − 1 ) ( 2 l d + 1 ) ) 设计。