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user: 2. 数值模拟计算方法 研究腔体结构内的流体对流，科学家从开发建立流体传热理论基础，并逐渐形成与之对应的数值方法，对腔体内对流的研究产生较大影响，如有限差分法 [ 17 ] - [ 28 ]、有限元法 [ 29 ] - [ 40 ]、有限体积法 [ 41 ] - [ 49 ]、格子玻尔兹曼方法 [ 50 ] - [ 61 ] 等等，接下来将介绍各数值计算方法在流体传热领域的研究现状进展。 2.1. 有限差分法 有限差分法(Finite Difference Method，简称FDM) [ 17 ] 是一种求偏微分(或常微分)方程和方程组的定解问题的方法。在有限差分法中，偏微分方程的导数用结构网格点上函数值的线性组合来近似。基础的矩形腔体研究中，如图1(a)所示，在相对的垂直壁上等温加热和冷却的矩形通道中，Ozoe等人 [ 18 ] 利用有限差分法完成了对矩形腔体下的层流和湍流自然对流的模拟。他们发现在湍流状态下，内部流体的中心会保持稳定，并会发生缓慢的正弦振荡。但流体的时均速度、温度和湍流相关特性在流体边界层内是非振荡的。相同地，如图1(b)所示，Paolucci [ 19 ] 对有温差的侧加热方腔内空气的自然对流进行了二维直接数值模拟。数值结果表明，边界层外流体的稳定分层对流动的性质有显著影响，但对导热层和粘性子层的传热和动量没有影响。 图1. (a) Ozoe研究的系统示意图；(b) Paolucci研究的物理模型 进一步改变腔体的主要结构，例如对于有倾角的腔体进行研究，或是改变腔体内热源位置。如图2(a)所示，Yedder和Bilgen [ 20 ] 对大面积壁面腔体中的湍流自然对流和热传导进行了数值模拟。实验揭示了腔体内湍流的传热是瑞利数和腔体内流体热传导率呈现一种递增关系，且内部湍流的热传导率在腔体倾角为80˚~90˚时有一个最大值。如图2(b)所示，Kuznetsov和Sheremet [ 21 ] 的工作是利用有限差分法模拟计算在空气填充的矩形外壳中湍流自然对流，整个腔体的底部壁面采用局部加热。他们的工作得到作为格拉晓夫数与平均努塞尔数的相关性函数。分析了诸如格拉晓夫数、无量纲时间和导热系数的控制参数，对热–流体速度场和固–液界面平均努塞尔数的影响。Zhang等 [ 22 ] 提供了基于有限差分法的数值模拟，以分析侧加热方腔中的湍流自然对流。他们发现，在一定程度上，结果与现有的实验数据有很好的一致性，因此基于涡流强度的子网格尺度模型具有潜力。Yang等人 [ 23 ] 使用有限差分法的粗网格直接对直方管中强迫湍流热对流进行了数值研究。数值结果表明，所考虑的差分方案更加稳定，并且这个方案可用于捕获直方管流动的湍流特性，从而尽可能避免了人工计算粘度进程的中断。 图2. (a) Yedder研究的腔体示意图；(b) Kuznetsov研究的物理模型 除了在二维矩形结构内对流体传热进行求解，科学家还利用有限差分法对三维长方体腔体结构中的流体传热进行了相应的研究。Tomé等人的工作 [ 24 ] 就提出了一种求解由Oldroyd-B本构方程控制的三维(3D)粘弹性非稳态自由表面流的数值方法，它是Tomé等人研究的二维(2D)技术扩展 [ 25 ]，而且本工作主要是以有限差分法为计算理论基础，控制方程通过有限差分法在3D交错网格上求解。标记颗粒用于描述流体，从而提供可视化和自由表面的位置。如图3所示，Miroshnichenko和Sheremet [ 26 ] 在具有有限厚度的导热壁的立方体中利用有限差分法进行了湍流自然对流的模拟。他们研究了无量纲时间下，流体的热导率和瑞利数对传热和传热的影响，并进一步分析流体流动。数值结果表明，对于较高的瑞利数，导热系数的增加会导致对流流动的加剧。 Sheremet: 1. Heat-conducting solid walls; 2. Fluid 图3. Miroshnichenko和Sheremet研究中的物理模型和坐标系：1.导热固体壁；2.流体 对于湍流对流传热模式，Sheremet [ 27 ] 进一步对具有有限厚度导热壁的矩形空腔中的湍流自然对流进行了数值分析，如图4所示的物理模型。结果表明，随着实心壁材料导热系数的增加，所考虑的空腔内的流动结构和传热模式与Grashof数增加时产生的规律相似，这是由于额外的传热机制，即由于共轭传热而使空腔从实心壁上加热。Ozoe等 [ 28 ] 研究了一个立方体外壳中的湍流自然对流，该外壳从下而上加热，在一个垂直侧壁的一部分上进行冷却，其他所有表面进行保温。他们的研究结果表明，加热地板上的平均努塞尔特数是建议努塞尔特数与瑞利数1/3次方的比例关系。 图4. Sheremet研究中物理模型区域：1.墙体，2.气体，3.热释源 有限差分法是采用较早的数值方法，对简单几何形状中的流动与换热问题是最容易实施的数值方法，但是有限差分法在求解时需对所有的边界条件和交界条件进行算法处理，尤其是对复杂的边界和场域内各种介质交界的处理有着一定的困难，这也是它最大的不足之处。但随着传热领域研究的更加深入，对矩形腔体内复杂的对流传热问题，需要精度更高且算力更大的数值计算方法，所以科学家利用其他数值模拟方法在流体传热问题中有了新的突破。 2.2. 有限元法 有限元法(Finite Element Method，简称FEM)是R. Courant首先提出的 [ 29 ]，对于过去用解析方法无法求解的问题和边界条件及结构形状都不规则的复杂问题，有限元法一直是一种有效的分析方法，其在计算中表现出良好的计算速度和准确性。最早对矩形腔体的研究，会把研究重点放在腔体参数对流体性质的影响。Fusegi和Farouk [ 30 ] 利用有限元法研究了方形封闭环境中，如图5(a)所示，湍流和层流自然对流–辐射相互作用。他们的研究指出，由于参与介质的衰减，气体辐射轻微地减少了对壁面的传热。Razzaque的研究 [ 31 ] 考虑到二维矩形腔体与参与传热介质，采用的有限元方法可以获得介质温度分布和壁面热通量分布，并提到有限元法在传热实验计算的突出优势——准确性。 因为有限元法在传热领域的精准性和高效性，科学家们开展了一系列的研究，在图5(b)中，Barakos等人 [ 32 ] 研究了侧壁加热的方形空腔内层流和湍流自然对流的基准问题。模拟实验结果表明，当Ra ≈ 10 8 时，湍流溶液开始偏离层流近似。在原有基础上，科学家又把视线放到方腔倾斜角对腔体内自然对流的影响。Kuype等人 [ 33 ] 利用有限元法对倾斜方形空腔内空气的自然对流流动进行了数值模拟。他们得出了计算平均努塞尔数与空腔倾斜角的关系的结果。Pravez Alam等人 [ 34 ] 对矩形腔体内自然对流的进行了数值研究。由于在左垂直壁的下半部分的恒定局部加热和在右垂直壁的上半部分的局部冷却以及其余壁是绝热的，因此系统存在温差进而流体产生了流动。实验发现，局部传递速率在靠近腔体左壁的左垂直壁的小区域中增大，然后在加热区域的中部减小。Xamán等人 [ 35 ] 对玻璃墙的方形空腔内的二维传热进行了数值研究，他们发现由于腔内非等温玻璃壁和辐射交换的共同作用，流型是不对称的。 图5. (a) Fusegi研究的二维方形腔体模型；(b) Barakos研究的侧壁加热方腔 科学家进一步改变内部流体的性质，对纳米流体在腔体内流动传热进行研究，Moraveji和Hejazian工作 [ 36 ] 采用了有限元法求解控制方程，研究涉及到矩形腔中自然对流传热的研究。矩形腔内有一个填充有Fe 3 O 4 /水纳米流体的椭圆形热源，如图6(a)所示，他们根据纳米粒子的浓度大小、热源的几何形状以及瑞利数的数值，对平均努塞尔数的变化进行记录，发现热源的构造会对平均努塞尔数的大小有显着变化，而纳米颗粒的添加对系统的平均努塞尔数大小产生负面影响，会在一定程度上减小平均努塞尔数。利用纳米流体对水平通道中底部加热开腔的组合对流的哈特曼数效应进行了数值研究。Asadian等人 [ 37 ] 主要研究Al 2 O 3 /水纳米流体在磁场存在的情况下，如图6(b)所示，在方形外壳中稳态自由对流的流动和传热特性。注意电导率的温度变化及其对纳米流体运动引起的电磁力的影响。 图6. (a) Moraveji研究的腔体示意图；(b) Asadian研究的物理模型 纳米流体传热问题中有限元法有了新的发展，Azad等人 [ 38 ] 分析了不同强度的磁场和不同纳米颗粒体积分数的流体流动和传热特性的特点，如图7所示，整个物理场充满了含有4%纳米铜颗粒的水基纳米流体。这个研究的物理问题由不同的二维治理方程组和相应的边界条件在数学上表示，采用基于Galerkin加权残差的有限元方法进行求解。各种特性，如流线、等温线和平均努塞尔特数和平均流体温度方面的传热率都被导出。结果表明，上述参数对空腔内的流动现象和温度场影响很大，而在通道内这些影响则不太明显。Al-Kalbani和Rahman [ 39 ] 采用基于Galerkin加权残差的有限元技术，对充满不同类型纳米流体的倾斜方形围墙中的自然对流传热进行了数值研究。对纳米流体在腔体内的流动进行了模拟，考虑到纳米流体中纳米颗粒的布朗运动、腔体内均匀热源的位置、腔体内磁场的强度以及该磁场的方向。研究证实，腔体内流体流动的传热速率很大程度上取决于雷诺数和哈特曼数、基础流体中纳米粒子的体积分数、腔体的倾斜角以及其中热源的位置。而且这个研究首次计算了腔体内平均传热速率对腔体壁内热源位置和腔体倾角的依赖性。 图7. Azad考虑的物理模型 有限元法也被运用在三维结构的计算中，Venkatachalapathy和Udayakumar的工作 [ 40 ] 以空气为流体的自然对流冷却为背景，对模拟电子元件的多个突出热源的自然对流传热进行了三维数值研究。通过测量热源、进风口、出风口和腔体的稳态温度，改变热通量和出口面积进行分析进而获得传热系数、努塞尔特数和格拉斯霍夫数。他们的结果表明，阵列内部的热源温度较高，传热系数几乎随着热源温度的增加而线性增加。 有限元法在腔体内对流传热的计算过程中，把计算区域划分为一系列微元(在二维情况下，微元多为三角形或四边形)，由每个微元上去数个点作为节点，然后通过对控制方程做积分来获得离散方程。其最大的优点是对不规则区域的适应性较好，对腔体内区域的边界区域可以完全计算到位，可以按照控制方程对满足分界面的条件，但是在三维结构中，有限元法对于处理边缘(棱边)、棱角等问题仍解决的不是很到位，计算时会出现奇点。为了解决三维方腔内流体传热问题，科学家们进一步开发适应解决三维问题的数值计算方法，有限体积法就被人们运用到腔体内对流传热问题。 2.3. 有限体积法 有限体积法(Finite Volume Method，简称FVM)也是比较常见的研究手段，它是由Patankar开发 [ 41 ]，一般地，在有限体积法主要利用散度定理将体积积分转化为曲面积分以考虑非结构网格。在二维矩形腔体内对流传热问题中，有限体积法也可以解决之前出现的理论问题。Deng和Chang [ 42 ] 利用有限体积法数值研究了在一个充满空气(Pr = 0.7)的矩形罩中的二维稳态和层流自然对流。他们的结果表明，在侧壁上具有两个正弦温度分布的外壳中，自然对流换热要好于在一个侧壁上具有单个正弦温度分布的外壳。 在有限体积法的发展中，不同的求解模型被科学家所提出。Kumar Singh和Premachandran的工作 [ 43 ] 是研究v 2 -f模型对湍流自然流和混合对流的预测性能，如图8(a)所示，在实验中开发了一种基于有限体积法的流速求解器用于求解腔体内的对流传热现象。为了评价v 2 -f模型求解器的性能，在实验中得到的结果与现有的研究或直接数值模拟(DNS)数据进行了比较。总体而言，v 2 -f模型对自然对流和混合对流的流动和传热特性的预测令人满意。Safaei等人 [ 44 ] 利用有限体积法的SIMPLE算法求解研究了在具有冷的左壁和右壁、可移动的隔热上壁和固定的热下壁的方形封闭空间中，流体的混合对流换热问题。研究发现当理查森数小于1时，对于类似于牛顿流体的非牛顿流体，控制外壳内部的热传递是强制对流的。在Ma等人 [ 45 ] 的工作中，他们研究了倾斜的方形外壳中水/Al 2 O 3 纳米流体的自然对流传热。如图8(b)所示，腔体的侧壁为冷壁，上下为隔热壁。求解方程时采用有限体积法进行求算，也采用了SIMPLE算法进行求解。结果表明，随着瑞利数(Ra)的加强，传热速率加强到3.11倍。特别地，在弱磁场下发生的传热最大，通过增强围护结构的角度，左右壁的传热率分别强化了33%和55%，而右壁的传热率则下降了55%，同时在内部流体中添加纳米颗粒也会导致传热率的增强。 图8. (a) Kumar Singh研究的腔体结构；(b) Ma研究的物理模型 除了二维矩形腔体内对流问题外，有限体积法也多利用在三维体系下。Dol和Hanjalic [ 46 ] 就利用有限体积法对侧加热近似立方封闭体在高瑞利数下的湍流自然对流进行了计算研究。实验的结果表明，二次弯矩闭合在捕捉热三维效应和拐角强流线曲率方面效果较好。如图9(a)中的边界条件，Gazdallah等人 [ 47 ] 在工作中介绍了在辐射传热中的有限体积法求解的实现，解算器只需访问六面体非结构化网格中控制面。他们的研究发现在不同形状的长方体腔体结构中，实验结果的温度和热通量的预测与以往数据比较时观察到良好的一致性。Kogawa等人 [ 48 ] 利用有限体积法对湍流自然对流的湍流结构、边界层和传热进行了研究，包括立方腔内的辐射效应进行了研究。对气体辐射效应和表面辐射效应的边界层进行评价，发现立方体空腔内的流动循环增强，且表面辐射对湍流产生的剪切应力起主导作用。与气体辐射相比，表面辐射对辐射传热的影响显著。辐射效应改变了辐射传热，而所有计算条件下的对流传热都相似。对于传统对流体系的RB对流，Valencia等人 [ 49 ] 利用有限体积法计算了立方腔内水的RB湍流对流的结果，如图9(b)所示。他们的结果表明，瑞利数与流体保持在某种构型的时间或流体在不同构型之间变化所需的时间，不可能有明确的关系。 在解决三维尺度的流体传热问题，有限体积法展现出良好的算力，且弥补了有限元法在三维流体传热问题中容易出现在边界计算报错的缺点。随着技术的发展，科学家们将自己的专注点放在了更小的理论尺度，但当人们先要了解小尺度的流体运动时，现存的有限差分法、有限元法、有限体积法在计算速度上没有太大的优势，因为在计算NS这个偏微分方程上需要花费大量的时间，新的计算流体力学模拟方法也随之产生。 图9. (a) Gazdallah研究中的边界条件；(b) Valencia研究中的立方体单元 2.4. 格子玻尔兹曼法 格子玻尔兹曼方法(Lattice Boltzmann Method，简称LBM) [ 50 ] 就是这样的产物，假设流体是由虚拟的微观粒子构成，这些粒子在一个离散网格中进行连续传播和碰撞，是独特的数值模拟计算方法。如图10(a)所示，Dixit和Babu [ 51 ] 用插值补充格子玻尔兹曼方法研究了方腔内高瑞利数流体的自然对流，实验可以准确预测平均速度湍流边界层廓线。对于较高的瑞利数流体，特别是高达10 8 的瑞利数流体，LBM在结果精度和计算速度方面都具有很强的竞争力。Chen的工作 [ 52 ] 就是用一种新颖而简单的基于大涡流的LBM对二维空腔内湍流流动进行数值模拟。结果表明，该模型的数值计算结果与前人的研究结果吻合较好。 图10. (a) Dixit研究中的物理模型；(b) Sajjadi and Kefayati研究的腔体模型 进一步，Chen又和Krafczyk [ 53 ] 研究了方形围护结构内部生热导致的湍流自然对流的熵增，实验表明当Eckert数大于10 −8 时，时间平均总熵产数和最大熵产数几乎呈线性增加。如图10(b)所示，Sajjadi和Kefayati [ 54 ] 用大涡模拟技术对高大围场内的湍流自然对流进行了格子Boltzmann模拟。通过研究发现，高径比和瑞利数的减小导致了换热的增加。Yao等人 [ 55 ] 的工作采用格子玻尔兹曼法模拟了一个部分充满多孔介质的二维方形空腔中的自然对流问题，通过数值模拟得到空腔内流体的流场和温度场。研究结果表明，在特征长度D < 0.1或D > 0.9的情况下，热壁平均努塞尔数对多孔层宽度敏感。且在高瑞利数的条件下，自然对流受到的影响变得明显。Wei等 [ 56 ] 利用LBM研究了带热源方腔内的湍流自然对流换热，如图11(a)所示。实验结果表明，腔内流动状态对传热特性的影响与加热器的无因次长度密切相关。 图11. (a) Wei研究的计算模型的示意图；(b) Zhou的体积边界条件说明 在物理场的控制上，格子玻尔兹曼方法也可以应用于不同的物理场内的流体传热。Sheikholeslami等人 [ 57 ] 研究了在磁场存在的情况下，冷的方筒和热的椭圆筒之间的同心环状体的自由对流传热。正方体和椭圆体保持在均匀的温度下，并假设壁是绝缘磁场，利用格子玻尔兹曼方法求解控制方程。他们的结果表明，平均努塞尔数是纳米粒子体积分数和瑞利数的递增函数，而它是哈特曼数的递减函数。此外，还可以发现，随着哈特曼数的增加，传热的增强程度也在增加，但随着瑞利数的增加，传热的增强程度也在降低。如图11(b)所示，Zhou等人 [ 58 ] 研究了封闭高空腔内的二维湍流自然对流，测试了两个典型的RB对流案例以验证该浮力模型的概念和算法的正确性。然后对Ra = 0.86 × 10 6 和Ra = 1.43 × 10 6 两种不同瑞利数的封闭高空腔内湍流自然对流进行了模拟，发现与前人的实验有很好的一致性。 Choi等人 [ 59 ] 也采用格子玻尔兹曼法，如图12(a)所示，对矩形空腔中的湍流自然对流进行了数值研究。他们研究的主要重点是调查LBM对湍流自然对流的精度和数值稳定性。实验结果表明，采用HYBRID热力模型的LBM预测的速度场与传统有限体积法预测的结果一样好。Ma和Yang的研究 [ 60 ] 是在磁熔体存在的情况下，利用LBM在有多孔方块障碍物的空腔内模拟了纳米流体的自然对流。结果表明在较低的温度下，可以通过添加纳米颗粒使得传热效果更有效，腔体内障碍物的配置会对平均努塞尔特数和传热速度产生影响，因为它们会受到温度边界条件变化带来的影响。如图12(b)所示，Rasul等人 [ 61 ] 利用LBM研究含有障碍物的空腔内纳米流体的自然对流。结果主要集中在各种参数影响腔体流体内的等温线和流线，它们可以描述纳米流体的流体力学和热行为。结果表明，对于较低的瑞利数，随着粗糙度数的增加，平均努塞尔数没有变化，而对于较高的瑞利数，平均努塞尔数会先下降后保持不变。 这样看来，格子玻尔兹曼方法和传统的计算流体力学中的数值模拟方法，二者的区别在是否基于流体连续性假设。传统计算流体力学方法必须基于仿真的流体是连续的，而玻尔兹曼方法则不受此假设的限制。尤其在比较微小的尺度，如微米级的多孔介质中，流体的流动在局部可能不满足连续性假设，如果再采用传统的流体力学仿真，准确度和可信度就会有很大的影响。因此在微米级的多孔介质流体中，都会优先采用格子玻尔兹曼方法。 图12. (a) Choi研究中的速度方向；(b) Rasul的体积边界条件说明