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user: 2. 知识储备 下文中出现的符号： [ n ] p ， q ， [ n ] p ， q ! ， [ n k ] p ， q 主要定义为： [ n ] p ， q = p n − q n p − q ，                 n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ [ n ] p ， q ! = { 1 ，                                                                                                                                                                                                   n = 0 ; [ n ] p ， q [ n − 1 ] p ， q ⋯ [ 1 ] ，                                       n = 1 ， 2 ， ⋯ [ n k ] p ， q = [ n ] p ， q ! [ k ] p ， q ! [ n − k ] p ， q ! 定义1 [ 8 ] ：设 f ∈ C [ 0 ， 1 ] ， 0 < q < p ≤ 1 ， ∀ x ∈ [ 0 ， 1 ] ，则(p， q)-Bernstein算子定义为下式： B n p ， q ( f ; x ) = ∑ k = 0 n b n ， k p ， q ( x ) f ( p n − k [ k ] p ， q [ n ] p ， q ) ， 其中 b n ， k p ， q ( x ) = [ n k ] p ， q p [ k ( k − 1 ) − n ( n − 1 ) ] / 2 x k ∏ s = 0 n − k − 1 ( p s − q s ) 。 定义2：设 0 < q < p ≤ 1 ， f ∈ C [ 0 ， 1 ] ，定义二元(p， q)-Bernstein算子为： B n 1 n 2 ( f ; x ， y ) = 1 p 1 n 1 ( n 1 − 1 ) 2 1 p 2 n 2 ( n 2 − 1 ) 2 ∑ k 1 = 0 n 1 ∑ k 2 = 0 n 2 b n 1 n 2 k 1 k 2 ( x ， y ) ( x ， y ) f ( p 1 n 1 − k 1 [ k 1 ] p 1 ， q 1 [ n 1 ] p 1 ， q 1 ， p 2 n 2 − k 2 [ k 2 ] p 2 ， q 2 [ n 2 ] p 2 ， q 2 ) 其中 b n 1 n 2 k 1 k 2 ( x ， y ) = [ n 1 k 1 ] p 1 ， q 1 [ n 2 k 2 ] p 2 ， q 2 p 1 k 1 ( k 1 − 1 ) 2 p 2 k 2 ( k 2 − 1 ) 2 x k 1 y k 2 ∏ s = 0 n 1 − k 1 − 1 ( p 1 s − q 1 s x ) ∏ s = 0 n 2 − k 2 − 1 ( p 2 s − q 2 s y )     . 引理1 [ 8 ] ：设 0 < q < p ≤ 1 ， x ∈ [ 0 ， 1 ] ，则有 B n p ， q ( e 0 ; x ) = 1 ，                                                       B n p ， q ( e 1 ; x ) = x ， B n p ， q ( e 2 ; x ) = p n − 1 [ n ] p ， q x + q [ n − 1 ] p ， q [ n ] p ， q x 2 . 引理2：设 0 < q 1 < p 1 ≤ 1 ， 0 < q 2 < p 2 ≤ 1 ， e i j : I 2 × I 2 ， e i j ( x ， y ) = x i y j ， 0 ≤ i + j ≤ 2 ， I 2 = [ 0 ， 1 ] × [ 0 ， 1 ] ，( i ， j 为正整数)，则有下列等式成立： B n 1 n 2 ( e 00 ; x ， y ) = e 00 ( x ， y ) ; B n 1 n 2 ( e 10 ; x ， y ) = e 10 ( x ， y ) ; B n 1 n 2 ( e 01 ; x ， y ) = e 01 ( x ， y ) ; B n 1 n 2 ( e 11 ; x ， y ) = e 11 ( x ， y ) ; B n 1 n 2 ( e 20 ; x ， y ) = e 20 ( x ， y ) + p 1 n 1 − 1 x ( 1 − x ) [ n 1 ] p 1 ， q 1 ; e n 1 n 2 ( e 02 ; x ， y ) = e 02 ( x ， y ) + p 2 n 2 − 1 y ( 1 − y ) [ n 2 ] p 2 ， q 2 . 证明：根据算子定义式与引理1，计算可得 B n 1 n 2 ( e 00 ; x ， y ) = 1 p 1 n 1 ( n 1 − 1 ) 2 1 p n 2 ( n 2 − 1 ) 2 ∑ k 1 = 0 n 1 ∑ k 2 = 0 n 2 [ n 1 k 1 ] p 1 ， q 1 [ n 2 k 2 ] p 2 ， q 2 p 1 k 1 ( k 1 − 1 ) 2 p 2 k 2 ( k 2 − 1 ) 2 x k 1 y k 2 × ∏ s = 0 n 1 − k 1 − 1 ( p 1 s − q 1 s x ) ∏ s = 0 n 2 − k 2 − 1 ( p 2 s − q 2 s y ) = 1 p 1 n 1 ( n 1 − 1 ) 2 ∑ k 1 = 0 n 1 [ n 1 k 1 ] p 1 ， q 1 p k 1 ( k 1 − 1 ) 2 x k 1 ∏ s = 0 n 1 − k 1 − 1 ( p 1 s − q 1 s x ) × 1 p 2 n 2 ( n 2 − 1 ) 2 ∑ k 2 = 0 n 2 [ n 2 k 2 ] p 2 ， q 2 p k 2 ( k 2 − 1 ) 2 y k 2 ∏ s = 0 n 2 − k 2 − 1 ( p 2 s − q 2 s y ) = B n 1 ( e 0 ; x ) B n 2 ( e 0 ; y ) = e 00 ( x ， y ) ， B n 1 n 2 ( e 10 ; x ， y ) = 1 p n 1 ( n 1 − 1 ) 2 1 p n 2 ( n 2 − 1 ) 2 ∑ k 1 = 0 n 1 ∑ k 2 = 0 n 2 [ n 1 k 1 ] p 1 ， q 1 [ n 2 k 2 ] p 2 ， q 2 p k 1 ( k 1 − 1 ) 2 p k 2 ( k 2 − 1 ) 2 x k 1 y k 2         × ∏ s = 0 n 1 − k 1 − 1 ( p 1 s − q 1 s x ) ∏ s = 0 n 2 − k 2 − 1 ( p 2 s − q 2 s y ) [ k 1 ] p 1 ， q 1 p 1 k 1 − n 1 [ n 1 ] p 1 ， q 1 = 1 p n 1 ( n 1 − 1 ) 2 1 p n 2 ( n 2 − 1 ) 2 ∑ k 1 = 0 n 1 [ n 1 k 1 ] p 1 ， q 1 p 1 k 1 ( k 1 − 1 ) 2 x k 1 ∏ s = 0 n 1 − k 1 − 1 ( p 1 s − q 1 s x ) [ k 1 ] p 1 ， q 1 p 1 k 1 − n 1 [ n 1 ] p 1 ， q 1       × ∑ k 2 = 0 n 2 [ n 2 k 2 ] p 2 ， q 2 p k 2 ( k 2 − 1 ) 2 y k 2 ∏ s = 0 n 2 − k 2 − 1 ( p 2 s − q 2 s y ) = B n 1 ( e 1 ; x ) B n 2 ( e 0 ， y ) = e 10 ( x ， y ) B n 1 n 2 ( e 11 ; x ， y ) = 1 p n 1 ( n 1 − 1 ) 2 1 p n 2 ( n 2 − 1 ) 2 ∑ k 1 = 0 n 1 ∑ k 2 = 0 n 2 [ n 1 k 1 ] p 1 ， q 1 [ n 2 k 2 ] p 2 ， q 2 p 1 k 1 ( k 1 − 1 ) 2 p 2 k 2 ( k 2 − 1 ) 2 x k 1 y k 2         × ∏ s = 0 n 1 − k 1 − 1 ( p 1 s − q 1 s x ) ∏ s = 0 n 2 − k 2 − 1 ( p 2 s − q 2 s y ) [ k 1 ] p 1 ， q 1 p 1 k 1 − n 1 [ n 1 ] p 1 ， q 1 [ k 2 ] p 2 ， q 2 p 2 k 2 − n 2 [ n 2 ] p 2 ， q 2 = 1 p 1 n 1 ( n 1 − 1 ) 2 ∑ k 1 = 0 n 1 [ n 1 k 1 ] p 1 ， q 1 p 1 k 1 ( k 1 − 1 ) 2 x k 1 ∏ s = 0 n 1 − k 1 − 1 ( p 1 s − q 1 s x ) [ k 1 ] p 1 ， q 1 p 1 k 1 − n 1 [ n 1 ] p 1 ， q 1         × 1 p 1 n 2 ( n 2 − 1 ) 2 ∑ k 2 = 0 n 2 [ n 2 k 2 ] p 2 ， q 2 p 2 k 2 ( k 2 − 1 ) 2 y k 2 ∏ s = 0 n 2 − k 2 − 1 ( p 2 s − q 2 s y ) [ k 2 ] p 2 ， q 2 p 2 k 2 − n 2 [ n 2 ] p 2 ， q 2 = B n 1 ( e 1 ， x ) B n 2 ( e 1 ， y ) = e 11 ( x ， y ) B n 1 n 2 ( e 02 ; x ， y ) = 1 p 1 n 1 ( n 1 − 1 ) 2 1 p 2 n 2 ( n 2 − 1 ) 2 ∑ k 1 = 0 n 1 ∑ k 2 = 0 n 2 [ n 1 k 1 ] p 1 ， q 1 [ n 2 k 2 ] p 2 ， q 2 p 1 k 1 ( k 1 − 1 ) 2 p 2 k 2 ( k 2 − 1 ) 2 x k 1 y k 2         × ∏ s = 0 n 1 − k 1 − 1 ( p 1 s − q 1 s x ) ∏ s = 0 n 2 − k 2 − 1 ( p 2 s − q 2 s y ) [ k 2 ] p 2 ， q 2 2 p 2 2 k 2 − 2 n 2 [ n 2 ] p 2 ， q 2 2 = y 2 + ( q 2 [ n 2 − 1 ] p 2 ， q 2 − [ n 2 ] p 2 ， q 2 ) y 2 + p 2 n 2 − 1 y [ n 2 ] p 2 ， q 2 = y 2 + p 2 n 2 − 1 y ( 1 − y ) [ n 2 ] p 2 ， q 2 = B n 1 ( e 0 ， x ) B n 2 ( e 2 ， y ) = e 02 ( x ， y ) + p 2 n 2 − 1 y ( 1 − y ) [ n 2 ] p 2 ， q 2 . 同理可证出 B n 1 n 2 ( e 01 ; x ， y ) = e 01 ( x ， y ) ； B n 1 ， n 2 ( e 20 ， x ， y ) = e 20 ( x ， y ) + p 1 n 1 − 1 x ( 1 − x ) [ n 1 ] p 1 ， q 1 ，故引理成立。 引理3：设 0 < q 1 < p 1 ≤ 1 ， 0 < q 2 < p 2 ≤ 1 ， x ∈ [ 0 ， 1 ] ，则有下列等式成立： B n 1 n 2 ( e 10 − x ; x ， y ) = 0 ; B n 1 n 2 ( e 01 − x ; x ， y ) = 0 ; B n 1 n 2 ( ( e 10 − x ) 2 ; x ， y ) = p 1 n 1 − 1 x ( 1 − x ) [ n 1 ] p 1 ， q 1 ; B n 1 n 2 ( ( e 01 − x ) 2 ; x ， y ) = p 2 n 2 − 1 y ( 1 − y ) [ n 2 ] p 2 ， q 2 . 证明：根据引理2与算子的线性性质易得结论。