system: [SYSTEM]

user: 4. 上积函数，单调性与强h-凸函数的关系 定义3 [ 1 ] ：若函数 h : J → ℝ 满足 h ( x y ) ≥ h ( x ) h ( y ) ， x ， y ∈ J 那么我们称h为J上的上积函数。若上述不等号反向，则称h为J上的下积函数。 定理5：设f为I上的模c强h-凸函数，且h为J上的上积函数。若 f ( 0 ) = 0 ，则 ∀ x ， y ∈ I ，   α ， β > 0 ，且 α x + β y ∈ I ，有 f ( α x + β y ) ≤ h ( α ) f ( x ) + h ( β ) f ( y ) − c α β ‖ x − y ‖ 2 (3) 证明：记 α + β = γ 。令 a = α γ ，     b = β γ ，则 a + b = 1 。 f ( α x + β y ) = f ( γ a x + γ b y ) ≤ h ( a ) f ( γ x ) + h ( b ) f ( γ y ) − c a b ‖ γ x − γ y ‖ 2 = h ( a ) f ( γ x + ( 1 − γ ) ⋅ 0 ) + h ( b ) f ( γ y + ( 1 − γ ) ⋅ 0 ) − c a b γ 2 ‖ x − y ‖ 2 ≤ h ( a ) h ( γ ) f ( x ) + h ( b ) h ( γ ) f ( y ) − c a b γ 2 ‖ x − y ‖ 2 ≤ h ( a γ ) f ( x ) + h ( b γ ) f ( y ) − c a b γ 2 ‖ x − y ‖ 2 = h ( α ) f ( x ) + h ( β ) f ( y ) − c α β ‖ x − y ‖ 2 . 定理6：设h是区间 [ 0 ， 1 ] 上的非负函数，且对某个 α 0 ∈ ( 0 ， 1 2 ) ，有 h ( α 0 ) < 1 2 。若f是定义在I上的非负函数，且 ∀ α ， β > 0 ， α + β < 1 ，满足不等式 f ( α x + β y ) ≤ h ( α ) f ( x ) + h ( β ) f ( y ) − c α β ‖ x − y ‖ 2 (4) 那么有 f ( 0 ) = 0 。 证明：我们用反证法来证明。若 f ( 0 ) ≠ 0 ，即 f ( 0 ) > 0 。将 x = y = 0 代入不等式(4)中得到 f ( 0 ) ≤ h ( α ) f ( 0 ) + h ( β ) f ( 0 ) . 因为 α ， β > 0 ，   α + β ≤ 1 ，不妨取 α = β = α 0 ，那么 f ( 0 ) ≤ h ( α 0 ) f ( 0 ) + h ( α 0 ) f ( 0 ) = 2 h ( α 0 ) f ( 0 ) . 则有 h ( α 0 ) ≥ 1 2 . 这与条件 h ( α 0 ) < 1 2 相矛盾。所以假设不成立，故 f ( 0 ) = 0 。 单调性是函数的一个重要性质。下面结合单调性讨论复合函数的强凸性。 定义4：设f是定义在区间I上的一个实函数，若存在常数 c > 0 ， ∀ x ， y ∈ I 有 c | x − y | ≤ | f ( x ) − f ( y ) | ， 则称f在I上满足逆Lipschitz条件，且称 δ : = sup { c } 为逆Lipschitz常数，记为 f ∈ L − 1 ( δ ) 。 定理7：设 f : I 1 → [ 0 ， ∞ ) ， g : I 2 → [ 0 ， ∞ ) 满足逆Lipschitz条件 g ∈ L − 1 ( δ ) ，且 g ( I 2 ) ⊂ I 1 ⊂ ℝ 。若g是凸(凹)函数，f是单调递增(单调递减)的模c强h-凸函数，那么复合函数 f ∘ g 是定义在 I 2 上的模 c δ 2 强h-凸函数；若 g 是凸(凹)函数，f是单调递减(单调递增)模c强h-凹函数，那么复合函数 f ∘ g 是定义在 I 2 上的模 c δ 2 强h-凹函数。 证明：我们仅证明复合函数是强h-凸函数情形。不妨设g是凸函数，f是单调递增的模c强h-凸函数，那么， ∀ x ， y ∈ I 2 ， α ∈ ( 0 ， 1 ) ，有 ( f ∘ g ) ( α x + ( 1 − α ) y ) ≤ f ( α g ( x ) + ( 1 − α ) g ( y ) ) ≤ h ( α ) ( f ∘ g ) ( x ) + h ( 1 − α ) ( f ∘ g ) ( y ) − c α ( 1 − α ) | g ( x ) − g ( y ) | 2 ≤ h ( α ) ( f ∘ g ) ( x ) + h ( 1 − α ) ( f ∘ g ) ( y ) − c δ 2 α ( 1 − α ) | x − y | 2 . 定理8：设函数 h i : J i → [ 0 ， ∞ ) ， i = 1 ， 2 ，且 h 1 是 J 1 上的上积函数， h 2 ( J 2 ) ⊆ J 1 ，   h 2 ( t ) ≥ t       ( t ∈ ( 0 ， 1 ) ) 。若函数f是定义在 I 1 上的单调递增(单调递减)的模c强h-凸函数，且有 0 ∈ I 1 ， f ( 0 ) = 0 ，函数g为定义在 I 2 上的h 2 -凸(凹)函数，且满足逆Lipschitz条件 g ∈ L − 1 ( δ ) 与 g ( I 2 ) ⊆ I 1 ，那么复合函数 f ∘ g 是 I 2 上的模 c δ 2 强h-凸函数。 证明：不失一般性，我们仅考虑g是 I 2 上的h 2 -凸函数，f在 I 1 上单调递增的情形。由假设可知， ∀ x ， y ∈ I 2 ， α ∈ ( 0 ， 1 ) 有 ( f ∘ g ) ( α x + ( 1 − α ) y ) ≤ f ( h 2 ( α ) g ( x ) + h 2 ( 1 − α ) g ( y ) ) (5) 又因为 f ( 0 ) = 0 ，则由定理4知 f ( h 2 ( α ) g ( x ) + h 2 ( 1 − α ) g ( y ) ) ≤ h 1 ( h 2 ( α ) ) f ( g ( x ) ) + h 1 ( h 2 ( 1 − α ) ) f ( g ( y ) ) − c h 2 ( α ) h 2 ( 1 − α ) | g ( x ) − g ( y ) | 2 (6) 注意到 g 满足逆Lipschitz条件 g ∈ L − 1 ( δ ) 及 h 2 ( α ) ≥ α     ( α ∈ ( 0 ， 1 ) ) ，则由(5)与(6)得 ( f ∘ g ) ( α x + ( 1 − α ) y ) ≤ ( h 1 ∘ h 2 ) ( α ) ( f ∘ g ) ( x ) + ( h 1 ∘ h 2 ) ( 1 − α ) ( f ∘ g ) ( y ) − c δ 2 α ( 1 − α ) | x − y | 2 . 定理得证。 定理9：设h为J上的非负上积函数。若f为定义在I上的模c强h-凸函数，那么 ∀ x 1 ，     ⋯ ， x n ∈ I ，有 f ( 1 W n ∑ i = 1 n w i x i ) ≤ ∑ i = 1 n h ( w i W n ) f ( x i ) ， 其中 w 1 ， ⋯ ， w n 为任意正数， W n = w 1 + w 2 + ⋯ + w n 。 证明：我们利用数学归纳法来证明。当 n = 2 时，注意到 w 1 W 2 + w 2 W 2 = 1 ，根据f是模c强h-凸函数的定义，易知道结论成立。假设结论对 n − 1 ( n > 2 ) 成立，则对一般的 n ( n > 2 ) 有， f ( 1 W n ∑ i = 1 n w i x i ) = f ( w n W n x n + ∑ i = 1 n − 1 w i W n x i ) = f ( w n W n x n + W n − 1 W n ∑ i = 1 n − 1 w i W n − 1 x i ) ≤ h ( w n W n ) f ( x n ) + h ( W n − 1 W n ) f ( ∑ i = 1 n − 1 w i W n − 1 x i ) − c w n W n W n − 1 W n ‖ x n − ∑ i = 1 n − 1 w i W n − 1 x i ‖ 2 ≤ h ( w n W n ) f ( x n ) + ∑ i = 1 n − 1 [ h ( W n − 1 W n ) h ( w i W n − 1 ) f ( x i ) ] ≤ h ( w n W n ) f ( x n ) + ∑ i = 1 n − 1 h ( w i W n ) f ( x i ) 定理得证。