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user: 3. 主要结论 在这个部分，我们给出一个充分性准则以及一个推论，通过施加一个定量自适应非周期间歇控制器(3)实现驱动系统(1)和响应系统(2)之间的有限时同步。 定理1 假设有向图 ( G ， A ) 强连通且满足假设1，则驱动系统(1)和响应系统(2)可以在有限时间内实现同步，若如下条件成立：对于 i ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， N } ， 1) 控制器 u i ( t ) 中存在正常数 α i * 使得 2 η + μ + 2 r ∑ j = 1 N a i j − 2 α i * + δ < 0 ； 2) 成立不等式 μ − δ ( 1 − τ ) < 0 ， γ ¯ ( 1 − ψ ) ≥ e φ ¯ ψ V 1 − θ 2 ( 0 ) ，其中 γ ¯ = min 1 ≤ i ≤ N { 2 c i 1 − θ 2 γ i } ， γ i = min { σ i ， β i ， 1 } ， φ ¯ = max 1 ≤ i ≤ N φ ¯ i ， φ ¯ i = 2 η + μ + 2 r ∑ j = 1 N a i j + δ ， c i 与文献 [ 26 ] 中定理2中的定义相同， V ( t ) = ∑ i = 1 N c i { e i T ( t ) e i ( t ) + ( α i − α i * ) 2 + ∫ t − τ ( t ) t δ e i T ( s ) e i ( s ) d s } ， 并且停时为 T = { 1 φ ¯ ψ ( 1 − β ) ，     γ ¯ ( 1 − ψ ) V 1 − β ( 0 ) = e φ ¯ ψ ， T * ，     γ ¯ ( 1 − ψ ) V 1 − β ( 0 ) > e φ ¯ ψ ， 其中 T * 是方程 V 1 − θ 2 ( 0 ) e φ ¯ ψ 1 − θ 2 t − γ ¯ ( 1 − ψ ) 1 − θ 2 t = 0 的最小解。 证明 定义李雅普诺夫泛函 V ( t ) = ∑ i = 1 N c i { e i T ( t ) e i ( t ) + ( α i − α i * ) 2 + ∫ t − τ ( t ) t δ e i T ( s ) e i ( s ) d s } 。因此，可以得 V ˙ ( t ) = ∑ i = 1 N c i { e ˙ i T ( t ) e i ( t ) + e i T ( t ) e ˙ i ( t ) + 2 ( α i − α i * ) α ˙ i + δ e i T ( t ) e i ( t ) − δ e i T ( t − τ ( t ) ) e i ( t − τ ( t ) ) ( 1 − τ ˙ ( t ) ) } 。 根据文献 [ 26 ] 中的定理2.2，由 ( G ， A ) 强连通，我们可以有 c i > 0 。因此，根据(3)式及假设1，当 t ∈ [ t m ， s m ] 时，我们有 V ˙ ( t ) ≤ ∑ i = 1 N c i { 2 ‖ e i ( t ) ‖ ‖ f ( y i ( t ) ， y i ( t − τ ( t ) ) ) − f ( x i ( t ) ， x i ( t − τ ( t ) ) ) ‖ + 2 ∑ j = 1 N a i j ‖ e i ( t ) ‖ ‖ Γ e i ( t ) ‖                     + 2 e i T ( t ) u i ( t ) + 2 ( α i − α i * ) [ e i T ( t ) e i ( t ) − σ i S I G N ( R ( α i − α i * ) ) | α i − α i * | θ ]                           + δ e i T ( t ) e i ( t ) − δ e i T ( t − τ ( t ) ) e i ( t − τ ( t ) ) ( 1 − τ ˙ ( t ) ) } . (5) 由量化器的性质有 1 + δ 0 ∈ ( 0 ， 2 ) ，则对 q ∈ R ，有 s i g n ( r ( q ) ) = s i g n ( q ) ，则 S I G N ( R ( e i ( t ) ) ) = S I G N ( e i ( t ) ) ， S I G N ( R ( α i − α i * ) ) = S I G N ( α i − α i * ) 。 根据(3)式和假设1，有 2 e i T ( t ) u i ( t ) = 2 e i T ( t ) ( − α i e i ( t ) − β i S I G N ( R ( e i ( t ) ) ) | e i ( t ) | θ − ( ∫ t − τ ( t ) t δ e i T ( s ) e i ( s ) d s ) 1 + θ 2 e i ( t ) ‖ e i ( t ) ‖ 2 ) ≤ − 2 α i e i T ( t ) e i ( t ) − 2 β i ( | e i ( t ) | θ ) T | e i ( t ) | − 2 ( ∫ t − τ ( t ) t δ e i T ( s ) e i ( s ) d s ) 1 + θ 2 ， (6) 2 ∑ j = 1 N a i j ‖ e i ( t ) ‖ ‖ Γ e i ( t ) ‖ ≤ 2 r ∑ j = 1 N a i j ‖ e i ( t ) ‖ 2 ， (7) 将(6)和(7)式代入(5)式，可以得出 V ˙ ( t ) ≤ ∑ i = 1 N c i { ( 2 η + μ ) ‖ e i ( t ) ‖ 2 + μ ‖ e i ( t − τ ( t ) ) ‖ 2 + 2 r ∑ j = 1 N a i j ‖ e i ( t ) ‖ 2 − 2 α i e i T ( t ) e i ( t )     − 2 β i ( | e i ( t ) | θ ) T | e i ( t ) | − 2 ( ∫ t − τ ( t ) t δ e i T ( s ) e i ( s ) d s ) 1 + θ 2 + 2 ( α i − α i * ) e i T ( t ) e i ( t )         − 2 σ i ( α i − α i * ) S I G N ( α i − α i * ) | α i − α i * | θ + δ e i T ( t ) e i ( t ) − δ e i T ( t − τ ( t ) ) e i ( t − τ ( t ) ) ( 1 − τ ˙ ( t ) ) } ≤ ∑ i = 1 N c i { ( 2 η + μ + 2 r ∑ j = 1 N a i j − 2 α i * + δ ) ‖ e i ( t ) ‖ 2 + ( μ − δ ( 1 − τ ) ) ‖ e i ( t − τ ( t ) ) ‖ 2     − 2 γ i [ | α i − α i * | 1 + θ + ( | e i ( t ) | θ ) T | e i ( t ) | ] − 2 γ i ( ∫ t − τ ( t ) t δ e i T ( s ) e i ( s ) d s ) 1 + θ 2 } 因为 x 1 a + x 2 a + ⋯ + x N a ≥ ( x 1 + x 2 + ⋯ + x N ) a ， x i > 0 ， 0 < a < 1 ，所以 V ˙ ( t ) ≤ ∑ i = 1 N c i { ( 2 η + μ + 2 r ∑ j = 1 N a i j − 2 α i * + δ ) ‖ e i ( t ) ‖ 2 + ( μ − δ ( 1 − τ ) ) ‖ e i ( t − τ ( t ) ) ‖ 2     − 2 γ i ( | α i − α i * | 2 + e i T ( t ) e i ( t ) + ∫ t − τ ( t ) t δ e i T ( s ) e i ( s ) d s ) 1 + θ 2 } ≤ ∑ i = 1 N c i { − 2 γ i ( | α i − α i * | 2 + e i T ( t ) e i ( t ) + ∫ t − τ ( t ) t δ e i T ( s ) e i ( s ) d s ) 1 + θ 2 } ≤ − γ ¯ V 1 + θ 2 ( t ) ， t ∈ [ t m ， s m ] 类似地，当 t ∈ ( s m ， t m + 1 ) 时，有 V ˙ ( t ) = ∑ i = 1 N c i { ( e ˙ i ( t ) ) T e i ( t ) + e i T ( t ) e ˙ i ( t ) + 2 ( α i − α i * ) α ˙ i + ( ∫ t − τ ( t ) t δ e i T ( s ) e i ( s ) d s ) ′ } ≤ ∑ i = 1 N c i { ( 2 η + μ ) ‖ e i ( t ) ‖ 2 + μ ‖ e i ( t − τ ( t ) ) ‖ 2 + δ e i T ( t ) e i ( t )           − δ e i T ( t − τ ( t ) ) e i ( t − τ ( t ) ) ( 1 − τ ˙ ( t ) ) + 2 r ∑ j = 1 N a i j ‖ e i ( t ) ‖ 2 } ≤ ∑ i = 1 N c i { ( 2 η + μ + 2 r ∑ j = 1 N a i j + δ ) ‖ e i ( t ) ‖ 2 + ( μ − δ ( 1 − τ ) ) ‖ e i ( t − τ ( t ) ) ‖ 2     − 2 γ i ( e i T ( t ) e i ( t ) + ∫ t − τ ( t ) t δ e i T ( s ) e i ( s ) d s ) 1 + θ 2 } ≤ ∑ i = 1 N φ ¯ i c i ‖ e i ( t ) ‖ 2 ≤ φ ¯ V ( t ) ， 概括两者 V ˙ ( t ) ≤ { − γ ¯ V 1 + θ 2 ( t ) ，   t ∈ [ t m ， s m ] ， φ ¯ V ( t ) ，   t ∈ ( s m ， t m + 1 ) . 由引理1及条件2可以算出 V 1 − θ 2 ( t ) ≤ V 1 − θ 2 ( 0 ) e φ ¯ ψ 1 − θ 2 t − γ ¯ ( 1 − ψ ) 1 − θ 2 t ，   0 ≤ t ≤ T ， 并且停时为 T = { 1 φ ¯ ψ ( 1 − β ) ，   γ ¯ ( 1 − ψ ) V 1 − β ( 0 ) = e φ ¯ ψ ， T * ，   γ ¯ ( 1 − ψ ) V 1 − β ( 0 ) > e φ ¯ ψ ， 其中 T * 是方程 V 1 − θ 2 ( 0 ) e φ ¯ ψ 1 − θ 2 t − γ ¯ ( 1 − ψ ) 1 − θ 2 t = 0 的最小解。因此，根据定义1，驱动系统(1)和响应 系统(2)可以实现有限时同步。这样就完成了证明。 若参数 ψ = 0 ，自适应非周期间歇控制器就会变成一个连续控制器，定理1便会变成如下的推论。 推论1 假设定理1的其余条件满足并且条件(2)改成如下的条件(2’)，则驱动系统(1)和响应系统(2)可以在有限时间内实现同步， (2’)成立不等式 μ − δ ( 1 − τ ) < 0 ， 并且停时为 T = 2 V 1 − θ 2 ( 0 ) γ ¯ ( 1 − θ ) ，其中 γ ¯ 和 V ( 0 ) 与定理相同。