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user: 2. 模型 2.1. 问题背景 如图1所示，所有进站列车在到达场解体，解体后形成的车辆序列在股道的驼峰部分通过重力作用从峰顶溜放到调车场的股道上。之后车辆再在调车场股道上根据车辆编组计划进行编组操作，最后用调机牵引车组安装动力车头，操作结束后列车开行出站。铁路股道车辆调度的流程大致相同的，但是在不同铁路车站的调车场内存在不同的股道车辆调度基础操作模式。如果铁路股道一端是死角，则当车站内进行车辆调度时只能从股道的一侧进行车辆停入或取出的调度操作，这样的铁路股道调度操作模式称为堆栈。在这种调度操作模式下任何停在同一堆上的两辆车辆，如果没有进行额外的重新安排或调度操作，将会改变车辆在解体进站所生成的车辆序列中的顺序。如果停放在股道上的任何两辆车辆都保持着在解体进站所生成的车辆序列中的顺序，这是一个单向铁路股道，即列车解体后车辆在股道的一端进行溜放停入调度操作，在另一端进行编组取出调度操作，这样的铁路股道调度操作模式称为队列。在上述两种车辆股道调度操作下，车站股道对于车辆的停入和取出调度操作均只在股道的一侧进行，这样的铁路股道调度操作模式称为单进单出车辆调度模式，如图2所示。 根据实际中铁路车站股道的车辆调度操作流程和车辆在股道的调度模式，从中提取出本文所要解决的铁路股道车辆调度问题模型：在同时限制车站股道数量和股道容量的条件下，以队列的铁路股道车辆调度操作模式，根据车辆编组决定进站解体后的车辆溜放到哪一个股道，以减少车辆在股道间调度的次数为优化目标，实现车辆在股道上完成编组操作作业。 图1. 铁路车站股道基础设施简图 图2. 单进单出调度模式示意图 2.2. 调车场调车问题 模型主要参数如下所示： T：铁路车站内股道的数量，且按照顺序依次代表股道的编号； R：车站内股道的容量，每条股道的容量均相同； c：列车上搭载车辆的数量 0 < c ≤ C ，所有列车搭载车辆的数量均为c； d：到站车辆的目的地车站种类数量， d ∈ N * 且 d > m ； D：目的地车站集合 D = { 1 ， 2 ， ⋯ ， d } ，每个车辆有且只有一个目的地车站； d j ：表示车辆j的目的地车站， d j ∈ D ； V：车辆编组计划 模型的已知条件： 1) 车辆目的地集合 D = { 1 ， 2 ， ⋯ ， d } ，每个车辆有且只有一个目的地车站。目的地车站的数量d远大于股道数量T。 2) 车辆编组计划 V = { V 1 ， V 2 ， ⋯ ， V k } 。 V i = d 1 d 2 ⋯ d j ， ∀ d j ∈ D ( j = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， c ) 是一个长度为n的数组，数组中的元素都属于目的地集合D。表示对于输入的n个车辆编组成新列车的计划。 模型的输入与输出： 输入：长度为 n ( n = s ⋅ c ) 的数列 I = d 1 d 2 d 3 ⋯ d n ， ∀ d j ∈ D 表示n个已知目的地车站的输入车辆。任意车辆的属性主要有两个： d j ∈ D 表示它的目的地，下角标j表示它在输入数列中的位置。 输出：长度为n的数列O： d 11 d 12 ⋯ d 1 c ， d 21 d 22 ⋯ d 2 c ， d 31 ⋯ 。注意：I和O中的数量是相等的。 模型中的约束条件： 1、股道数量约束，同一时间可使用的股道数不超过T； 2、股道容量约束，任意时刻一条股道上停放的车辆数不超过R； 3、不容许车辆在股道之间进行移动。 模型的优化目标： 由于增加了股道数量与容量的约束条件，对于一对输入I与输出O，有可能不存在可行解，即不存在一种符合约束条件的调车方案使得由输入I可以得到编组结果O。此时需要调整输入数组I中元素的顺序，使得调整后的输入数组存在可行的调车方案能够得到规定的输出O。这里的调整意味着车辆的重新溜放，因此一个调整动作应当是将某个位置上的数删掉，同时将该数添加至队尾。在这里，我们的优化目标是使用尽可能少的调整得到可顺利编组的输入。 综上所述，我们所研究的问题描述为 调车场调车问题：已知长度为n的输入数组I表示输入车辆的顺序，输出数组O表示关于这些车辆的编组计划。已知参数T，R属于正整数，分别表示股道数量与容量上限。不允许车辆在股道之间调度。目标是找到一个属于I的包含最少元素的子列S，从I中将S所对应的元素全部删除，同时将S添至队尾所构成新的输入I’，使得I'存在一个可行的调度方案可以得到输出O。 根据文献 [ 18 ] 可知： 定理1：调车场调车问题是NP完全问题。 2.3. 车辆编组染色问题 将车辆在股道上的编组问题转化为二部图上的边染色问题。 本文中所使用的二部图定义如下： 定义1：设正整数集合 D = { 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， d } 表示所有车辆可能的目的地车站集合。二部图 G = ( U + V ， E ) 的顶点集由U和V两部分组成， | U | = | V | = n 。其中 u i ∈ U 表示第i个进入车站调车场的车辆， v j ∈ V 表示第j个出站的车辆。设函数 d e s t = U + V → D 表示一个车辆的目的地车站。图G的任意一对顶点 u i ∈ U 和 v j ∈ V 之间存在一条边，当且仅当 d e s t ( u i ) = d e s t ( v j ) 。 在这个定义的二部图的基础上定义其边染色： 定义2：设二部图G如定义1所定义。正整数集 C = { 1 ， 2 ， ⋯ } 表示可选择的染色集，设符号“NUL”表示特殊染色，令 C ¯ = C ∪ { NUL } 则称定义在边集上的函数color： E → C ¯ 是二部图G上的一种染色。 染色的本质是对图中边集的一种分类，而关于分类问题，我们首先关心的是类别的数量： 定义3：已知二部图G，函数color是G的一个染色。设 S k ， k = 1 ， 2 ， ⋯ 表示染色为k的边所构成的集合， S NUL 表示染色为“NUL”的边组成的集合。设函数 φ ( S k ) = { 1 ，       if   S k ≠ φ 0 ，             else ，           ∀ k = 1 ， 2 ， ⋯ 则称函数 color ( G ) = ∑ k = 1 ∞ φ ( S k ) 为染色color在G上的染色数。 为使得溜放到同一条股道内的车辆排列顺序与车辆的输入顺序不产生矛盾，即在任一股道上的两个车辆排列的先后顺序应与它们在输入队列中的先后顺序一致，因此我们定义图染色的无冲突性质。 定义4：已知二部图G，以及G上的一个染色color如上所定义，边集 S k ， k = 1 ， 2 ， ⋯ 如定义3所定义。对任意 S k ≠ φ ，设 ( u i ， v j ) ， ( u i ， v j ) ∈ S k ， 如果 u ′ i < u i 成立，当且仅当 v ′ j < v j 成立。则称染色color是无冲突的。 由于我们所考虑的问题不仅需要考虑股道数量约束，还需要考虑股道容量约束，所以不同于一般染色问题，继续进行定义： 定义5：设图G，染色color如定义1，2所示，集合 S k ， k = 1 ， 2 ， ⋯ 如定义3所定义。设函数 δ ( ( u ′ i ， v ′ j ) ， ( u i ， v j ) ) = { 1 ，       if   i ′ < i     and     j ′ < j 0 ，                   else 其中 ( u i ， v j ) ， ( u ′ i ， v ′ j ) 为图G的两条边。 当染色边集 S k ， k ∈ C 与图G的边满足 color ( ( u i ， v j ) ) ≠ NUL 且 color ( ( u i ， v j ) ) ≠ k 时，定义函数 reside ( S k ， ( u i ， v j ) ) = ∑ ( u ′ i ， v ′ j ) ∈ S k δ ( ( u i ， v j ) ， ( u ′ i ， v ′ j ) ) 函数 reside ( S k ) = max color ( ( u i ， v j ) ) ≠ NUL color ( ( u i ， v j ) ) ≠ k { reside ( S k ， ( u i ， v j ) ) } 根据以上定义，我们接下来描述车辆一个可行的车辆调度方案所对应的特殊染色问题： 定义6：已知二部图G以及G上的一个染色color。设正整数T，R是两个常数。如果染色color满足： 1) 染色color是无冲突的； 2) 边集 ∑ k = 1 ∞ S k 是二部图G的一个完美匹配； 3) 函数color(G)如定义3所定义， color ( G ) ≤ T ； 4) 函数如定义5所定义， reside ( S k ) ≤ R ， k = 1 ， 2 ， ⋯ 。 则称染色color满足T-R约束。 车辆编组问题中的车辆重新溜放操作实质上是改变图G中顶点集U中顶点的顺序，因此： 定义7：已知二部图 G = ( U + V ， E ) 如定义1所定义。则使用函数 f x ( u i ) = { u ′ i ，         if   1 ≤ i < x ， u ′ n ，         if   i = x ， u ′ i − 1 ，     if   x < i ≤ n 其中 1 ≤ x < n f x ( v j ) = v ′ j ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n . 得到新的顶点集合 U ′ + V ′ 。任意一对顶点 u ′ i 和 v ′ j 之间存在一条边，当且仅当在图G中，顶点 f x − 1 ( u ′ i ) 和 f x − 1 ( v ′ j ) 之间存在一条边。依上述规定构造得到的图记为 G ′ x 。由图G构造 G ′ x 的过程称为图G的一次(关于 u x 的)重排。 在定义了图G的重排之后，我们最终可以定义关于车辆编组问题的图染色优化问题： 定义8：已知集合 D = { 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， d } 表示所有车辆可能的目的地车站集合，一个长度为n定义在D上的数组I表示输入车辆，另一个长度为n定义在D上的数组O表述输入车辆的编组顺序。 根据集合D，数组I和数组O构造如定义1的二部图 G = ( U + V ， E ) ，其中 u i ∈ U 对应I中的第i个数， v j ∈ V 对应O中的第j个数，即 d e s t ( u i ) = I [ i ] ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n d e s t ( v j ) = O [ j ] ，     j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 令常数T等于最多可使用的股道数量，常数R等于股道的容量。 我们的目标是：找到最小的非负整数Z，使得图G经过Z次重排得到的图G’上存在一个满足T-R约束的染色。 我们的主要目标是证明： 定理1：在输入为I，输出为O的车辆编组问题中，最少重新溜放次数为Z，当且仅当由定义8所构造的图染色优化问题的最优解的值为Z。 证明：设数组I表示包含n个车辆的输入，对于该输入要求按照输出O的顺序进行编组。根据I构造顶点集U，使得 u i ∈ U 对应I中第i个位置的车辆；同理，根据O构造顶点集V，使得 v j ∈ V 对应O中的第j个位置的车辆。将根据定义1中的方法构造出的二部图记为 G = ( U + V ， E ) 。设非负整数 Z * 为由定义8所定义的图染色优化问题的最优解，即图G在通过 Z * 次重排后形成了新的图 G ′ = ( U ′ + V ′ ， E ′ ) ，在图G’上存在一个满足T-R约束的染色，不妨设为染色color，至此，只要我们能够证明： 命题1：存在一个调车方案使得输入I能够得到输出O，当且仅当对应的二部图G上存在一个满足T-R约束的染色。 为了证明命题1，我们需要先证明下面几个命题。 命题2：在不考虑股道数约束和股道容量约束的前提下，任意一个从输入I到输出O的可行的调度方案等价于图G上的一个无冲突的，正常染色的边集， ∑ k = 1 ∞ S k 是图G的完美匹配的染色。 将根据定义1中的方法构造出的二部图记为 G = ( U + V ， E ) ，二部图 G = ( U + V ， E ) 的顶点集由U和V两部分组成， | U | = | V | = n 。其中 u i ∈ U 表示第i个进入车站调车场的车辆， v j ∈ V 表示第j个出站的车辆，在不考虑股道数量约束和股道容量约束的前提下，可以通过增加股道数量或容量，即增大k的数值使得溜放到同一条股道内的车辆排列顺序与车辆的输入顺序不产生矛盾，即在任一股道上的两个车辆排列的先后顺序应与它们在输入队列中的先后顺序一致，因此满足定义4所定义的图染色无冲突性质。根据定义1和定义5图G的任意一对顶点 u i ∈ U 和 v j ∈ V 之间存在一条边，当且仅当 d e s t ( u i ) = d e s t ( v j ) ，所以任意一个从输入I到输出O的可行的调度方案等价于图G上的一个无冲突的，正常染色的边集。图G是一个二部图，且根据定义1以及定义8中对于输入数组I和输出数组O的定义，则图G中任意两条边都没有公共顶点，因此图G中的所有顶点都是匹配点，即 ∑ k = 1 ∞ S k 是图G的完美匹配的染色。 命题3：对于任意一个从输入I到输出O的可行的调度方案，所使用的股道数量恰等于染色的染色数。 对于任意一个从输入I到输出O的可行的调度方案，当出现染色冲突时，根据定义2和定义7依规定由图G构造 G ′ x 来对进站车辆的顺序进行重排，直到其变为无冲突染色问题。根据命题a在不考虑股道数约束和股道容量约束的前提下，任意一个从输入I到输出O的可行的调度方案等价于图G上的一个无冲突的，正常染色的边集， ∑ k = 1 ∞ S k 是图G的完美匹配的染色，因此二部图 G = ( U + V ， E ) 的顶点集U和V，任意一对顶点 u i ∈ U 和 v j ∈ V 之间存在一条边，且只存在一条边，即所使用的股道数量恰等于染色数。 命题4：对于任意一个从输入I到输出O的可行调度方案，任意一条股道上驻留过的最大车辆数，恰等于该方案所对应的染色的reside函数的值。 同命题3证明过程，根据定义5以及reside函数的定义当出现任意一条股道上驻留过的最大车辆数不满足约束时，根据定义2和定义7依规定由图G构造 G ′ x 来对进站车辆的顺序进行重排，直到其满足股道容量约束，即任意一条股道上驻留过的最大车辆数，恰等于该方案所对应的染色的reside函数的值。 综合命题2，3，4的结论可知，对于输入I与输出O，存在一个同时满足股道数量约束和股道容量约束的可行调度方案等价于对应的图G上可以找到一个满足T-R约束的染色，这样就证明了命题1，从而最终完成了定理的证明。