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user: 2. 基本定义 我们先讨论平面曲线对称性的数值表示。 设L是足够光滑的严格凸平面曲线，O点是曲线L上一点，以过O点的切线为x轴，法线为y轴，如图1建立直角坐标系。设曲线L的方程为： y = y ( x ) 。 图1. 曲线 y = y ( x ) 过O点附近曲线L上点 M ( x ， y ) 作 x 轴平行线与曲线L交于另一点 M 1 ( x 1 ， y 1 ) 。显然有 y ( x 1 ) = y ( x ) 。由此确定 x 1 是 x 的隐函数。对 y ( x 1 ) = y ( x ) 两边求导数，得 y ′ ( x 1 ) x ′ 1 = y ′ ( x ) 令 x → 0 ，注意到 y ′ ( 0 ) = 0 ，有： x ′ 1 ( 0 ) = lim x → 0 y ′ ( x ) y ′ ( x 1 ) = lim x → 0 y ″ ( x ) y ″ ( x 1 ) x ′ 1 = 1 x ′ 1 ( 0 ) ， 由于当 x 减少时， x 1 是增加的，所以 x ′ 1 ≤ 0 ，因此 x ′ 1 ( 0 ) = − 1 。 继续对 y ′ ( x 1 ) x ′ 1 = y ′ ( x ) 两边关于 x 求导得 y ″ ( x 1 ) x ′ 1 2 + y ′ ( x 1 ) x ″ 1 = y ″ ( x ) 。于是 x ″ 1 ( 0 ) = lim x → 0 y ″ ( x ) − y ″ ( x 1 ) x ′ 1 2 y ′ ( x 1 ) = lim x → 0 y ‴ ( x ) − y ‴ ( x 1 ) x ′ 1 3 − 2 y ″ ( x 1 ) x ′ 1 x ″ 1 y ″ ( x 1 ) x ′ 1 = − 2 y ‴ ( 0 ) y ″ ( 0 ) − 2 x ″ 1 ( 0 ) 即 x ″ 1 ( 0 ) = − 2 y ‴ ( 0 ) 3 y ″ ( 0 ) 。 继续对 y ″ ( x 1 ) x ′ 1 2 + y ′ ( x 1 ) x ″ 1 = y ″ ( x ) 两边关于 x 求导，有： y ‴ ( x 1 ) x ′ 1 3 + 3 y ″ ( x 1 ) x ′ 1 x ″ 1 + y ′ ( x 1 ) x ‴ 1 = y ‴ ( x ) . 于是 x ‴ 1 ( 0 ) = lim x → 0 y ‴ ( x ) − y ‴ ( x 1 ) x ′ 1 3 - 3 y ″ ( x 1 ) x ′ 1 x ″ 1 y ′ ( x 1 ) = lim x → 0 y ( 4 ) ( x ) − y ( 4 ) ( x 1 ) x ′ 1 4 − 6 y ‴ ( x 1 ) x ′ 1 2 x ″ 1 − 3 y ″ ( x 1 ) x ″ 1 2 − 3 y ″ ( x 1 ) x ′ 1 x ‴ 1 y ″ ( x 1 ) x ′ 1 = − 4 y ‴ 2 ( 0 ) y ″ 2 ( 0 ) + 4 y ‴ 2 ( 0 ) 3 y ″ 2 ( 0 ) − 3 x ‴ 1 ( 0 ) 因此 x ‴ 1 ( 0 ) = − 2 y ‴ 2 ( 0 ) 3 y ″ 2 ( 0 ) 。 x 1 ( x ) 的这些导数，我们将会用到。为了叙述方便，我们将严格凸平面曲线两点间的弧称为拱。例如图1曲线L上的点M，M 1 之间的弧就是一个拱。拱的两个端点间的连线称为拱的弦，与弦平行的切线到弦的距离称为拱的高。曲线L在O点关于y轴是否对称，显然是曲线在O点的一个重要的局部性质。曲线L在O点关于y轴是否对称，与点M到y轴的距离x与弦 M M 1 长度的一半 x − x 1 2 的差 x + x 1 2 是否为零有关， x + x 1 2 y ( x ) 表示拱高为 y ( x ) 时曲线L在O点的不对称程度，于是有： 定义1.1 lim x → 0 x + x 1 2 y ( x ) = lim x → 0 1 + x ′ 1 2 y ′ ( x ) = x ″ 1 ( 0 ) 2 y ″ ( 0 ) = − y ‴ ( 0 ) 3 y ″ 2 ( 0 ) 称为曲线L在点O的非对称度。 因为在O点 − y ‴ ( 0 ) 3 y ″ 2 ( 0 ) = R 1 ( 0 ， 0 ) 3 ，所以 定义1.2 R 1 ( x ， y ) 3 称为曲线上点 ( x ， y ) 处的非对称度。 这样平面曲线重要的局部性质——对称性就有数值表示： R 1 ( x ， y ) 3 。除了对称性，曲线的凹凸度是平面曲线另一个重要的局部性质。为了讨论这种性质，我们作曲线L在点O的密切圆： f ( x ) = R 0 − R 0 2 − x 2 其中 R 0 = 1 y ″ ( 0 ) 。 在区间 [ x 1 ， x ] 上曲线L上拱 M M 1 的弦长为 x − x 1 ，拱高为 y ( x ) 。在区间 [ − x − x 1 2 ， x − x 1 2 ] 上曲线L的密切圆上的拱弦长也是 x − x 1 ，但圆拱的高为 f ( x − x 1 2 ) ，两拱高的差为 y ( x ) − f ( x − x 1 2 ) ，对此我们有： 定义1.3 lim x → 0 y ( x ) − f ( x − x 1 2 ) x 2 y ( x ) = 3 y ″ ( 0 ) y （ 4 ） ( 0 ) − 9 y ″ 4 ( 0 ) − 5 y ‴ 2 ( 0 ) 36 y ″ 2 ( 0 ) (1) 称为曲线L在O点(相对于圆弧)的盈度。因为 3 y ″ ( 0 ) y （ 4 ） ( 0 ) − 9 y ″ 4 ( 0 ) − 5 y ‴ 2 ( 0 ) 36 y ″ 2 ( 0 ) = 1 12 [ R 1 2 ( 0 ， 0 ) 3 − R ( 0 ， 0 ) R 2 ( 0 ， 0 ) ] ， (2) 所以称 1 12 [ R 1 2 ( x ， y ) 3 − R ( x ， y ) R 2 ( x ， y ) ] 为曲线L在 ( x ， y ) 点的盈度。盈度是平面曲线的另一重要局部性质——凹凸性的数值表示。 过点 ( x ， y ) 作斜率为： K ( x ， y ) = y ′ − ( − 3 R 1 ) 1 + y ′ ( − 3 R 1 ) = y ′ y ‴ − 3 y ″ 2 y ‴ 的直线J： y ¯ − y x ¯ − x = K ( x ， y ) ，则直线J与曲线L在点 ( x ， y ) 的夹角 α = arctan ( − 3 R 1 ) 。角 α 正是文 [ 7 ] 中所说的曲线L的密切角。因此我们称 K ( x ， y ) 为曲线L在点 ( x ， y ) 的密切斜率，密切角 α 给出非对称度 R 1 3 的一个新的几何意义。 设点 ( x 1 ， y 1 ) 是曲线L上另外一点，过点 ( x 1 ， y 1 ) 作斜率为 K ( x 1 ， y 1 ) 的直线 J 1 ： y ¯ − y 1 x ¯ − x 1 = K ( x 1 ， y 1 ) 。求直线 J ， J 1 的交点 ( x ¯ ， y ¯ ) ，并令 ( x 1 ， y 1 ) 沿曲线L趋于 ( x ， y ) 得： X = lim x ¯ = x + K − y ′ K ′ = x − 3 y ″ y ‴ 3 y ″ y ( 4 ) − 5 y ‴ 2 = x + 3 R ( R 1 − 3 y ′ ) ( 1 + y ′ ) 1 2 ( R 1 2 + 9 − 3 R R 2 ) (3) Y = lim y ¯ = y + K K − y ′ K ′ = y − 3 y ″ ( y ′ y ‴ − 3 y ″ ) 3 y ″ y ( 4 ) − 5 y ‴ 2 = y + 3 R ( y ′ R 1 + 3 ) ( 1 + y ′ ) 1 2 ( R 1 2 + 9 − 3 R R 2 ) (4) 定义1.4 由(3)，(4)两式确定的点 ( X ， Y ) 称为曲线L在点 ( x ， y ) 的密切中心，向量 r ⇀ = ( x − X ， y − Y ) 称为曲线L在点 ( x ， y ) 的密切向量， r = | r ⇀ | = ( x − X ) 2 + ( y − Y ) 2 = 3 R R 1 2 + 9 | R 1 2 + 9 − 3 R R 2 | 称为曲线L在点 ( x ， y ) 的密切半径。 定义1.4中三个定义分别与文 [ 7 ] 的密切中心，密切向径，密切半径是等价的。 定义1.5 r ⇀ 0 = r ⇀ R 称为曲线L在点 ( x ， y ) 的标准密切向量。点 ( x ， y ) 的标准密切向量在法线上的投影长度 r | sin α | R 称为曲线L在点 ( x ， y ) 的拱度。标准密切向量在切线上的投影长度 r cos α R 称为曲线L在点 ( x ， y ) 的拱偏度。 cos α 称为曲线L在点 ( x ， y ) 的偏度。对于抛物线在实际应用时取其焦点代替无穷远点作为密切中心，计算抛物线的拱度 r | sin α | R 与拱偏度 r cos α R 。 曲线的拱度是曲线局部性质——凹凸性的另一数值表示，相对盈度，拱度应用起来更方便。 至此，平面曲线局部性质的数值化问题就解决了，曲线的对称性有三种数值表示：非对称度 R 1 3 ，拱偏度 r R cos α ，偏度 cos α ；曲线的凹凸性有两种数值表示：盈度 1 12 ( R 1 2 3 − R R 2 ) ，拱度 r R | sin α | 。 因为曲线的拱度与偏度确定了除度量性质以外的曲线的基本性质，所以我们称 G = ( r R sin α ， r R cos α ) 为平面曲线上点 ( x ， y ) 处的基因。下面我们应用曲线局部性质的数值化，讨论平面微分系统极限环的求解问题。