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user: 2. 结果 本部分我们将综述至今为止所得到的有关多元算术函数的Ramanujan展开的结果，这些结果涉及整数环 ℤ 以及有限域上的一元多项式环 A = F q [ T ] 。 本部分所有结果的证明都能在文末参考文献中找到。 1976年，法国数论学家Delange [ 4 ] 在Wintner [ 5 ] 结果的基础上证明了定义在 ℤ 上单变量算术函数都可以通过Ramanujan和(1)加以展开。这类似于经典数学分析中周期函数的Fourier展开式。他的结果如下。 定理2.1 (见Delange [ 4 ]) 令 f : ℕ → ℂ 是任一算术函数。如果 ∑ n = 1 ∞   2 ω ( n ) | ( μ ∗ f ) ( n ) | n < ∞ . 那么对任意的 n ∈ ℕ ，我们有下面绝对收敛的Ramanujan展开式 f ( n ) = ∑ q = 1 ∞   a q c q ( n ) ， 其中系数 a q 从下式中得到 a q = ∑ m = 1 ∞ ( μ ∗ f ) ( m q ) m q   ( q ∈ ℕ ) . 另外，Delange [ 4 ] 还得到定理2.1对于乘性函数的应用。需要指出的是，在Delange [ 4 ] 之前，Cohen [ 6 ] 也曾对某些特殊的单变量乘性函数类得到了推出绝对收敛的Ramanujan展开式的方法。 Ushiroya [ 7 ] 于2016年将定理2.1推广到两个变量的情形，同时得到了定义在 ℤ 上某些特殊函数的经典Ramanujan展开式的具体表达。 在Delange [ 4 ] 和Ushiroya [ 7 ] 所得结果以及酉Ramanujan和(3)定义的基础上，2018年，匈牙利数论学家Tóth [ 3 ] 考虑将定理2.1推广到多元情形，证明了定义在 ℤ 上的多元算术函数都可以通过Ramanujan和(1)与酉Ramanujan和(3)加以展开。 定理2.2 (Tóth [ 3 ]，定理2)令 f : ℕ k → ℂ 是任一算术函数 ( k ∈ ℕ ) 。如果 ∑ n 1 ， ⋯ ， n k = 1 ∞   2 ω ( n 1 ) + ⋯ + ω ( n k ) | ( μ k ∗ f ) ( n 1 ， ⋯ ， n k ) | n 1 ⋯ n k < ∞ . (4) 那么对任意的 n 1 ， ⋯ ， n k ∈ ℕ ，我们有 f ( n 1 ， ⋯ ， n k ) = ∑ q 1 ， ⋯ ， q k = 1 ∞   a q 1 ， ⋯ ， q k c q 1 ( n 1 ) ⋯ c q k ( n k ) (5) 和 f ( n 1 ， ⋯ ， n k ) = ∑ q 1 ， ⋯ ， q k = 1 ∞   a q 1 ， ⋯ ， q k ∗ c q 1 ∗ ( n 1 ) ⋯ c q k ∗ ( n k ) ， (6) 其中 a q 1 ， ⋯ ， q k = ∑ m 1 ， ⋯ ， m k = 1 ∞ ( μ k ∗ f ) ( m 1 q 1 ， ⋯ ， m k q k ) m 1 q 1 ⋯ m k q k ， a q 1 ， ⋯ ， q k ∗ = ∑ m 1 ， ⋯ ， m k = 1 ( m 1 ， q 1 ) = 1 ， ⋯ ， ( m k ， q k ) = 1 ∞ ( μ k ∗ f ) ( m 1 q 1 ， ⋯ ， m k q k ) m 1 q 1 ⋯ m k q k (7) 并且级数(5)和(6)是绝对收敛的。 注2.1. 在定理2.2中令 k = 1 和 k = 2 可以分别得到Delange [ 4 ]，Ushiroya [ 7 ] 的结论。 ( n 1 ， ⋯ ， n k ) 记 n 1 ， ⋯ ， n k ∈ ℕ 的最大公因子，g是从 ℕ 到 ℂ 的算术函数。在定理2.2中令 f ( n 1 ， ⋯ ， n k ) = g ( ( n 1 ， ⋯ ， n k ) ) ，Tóth [ 3 ] 进一步得到下面的结果。 定理2.3 (Tóth [ 3 ]，定理3) 令 g : ℕ → ℂ 是一个算术函数且 k ∈ ℕ 。如果 ∑ n = 1 ∞   2 k ω ( n ) | ( μ ∗ g ) ( n ) | n k < ∞ . (8) 那么对任意的 n 1 ， ⋯ ， n k ∈ ℕ ，我们有下面绝对收敛的级数 g ( ( n 1 ， ⋯ ， n k ) ) = ∑ q 1 ， ⋯ ， q k = 1 ∞   a q 1 ， ⋯ ， q k c q 1 ( n 1 ) ⋯ c q k ( n k ) (9) 和 g ( ( n 1 ， ⋯ ， n k ) ) = ∑ q 1 ， ⋯ ， q k = 1 ∞   a q 1 ， ⋯ ， q k ∗ c q 1 ∗ ( n 1 ) ⋯ c q k ∗ ( n k ) ， (10) 其中 a q 1 ， ⋯ ， q k = 1 Q k ∑ m = 1 ∞ ( μ ∗ g ) ( m Q ) m k ， a q 1 ， ⋯ ， q k ∗ = 1 Q k ∑ m = 1 ( m ， Q ) = 1 ∞ ( μ ∗ g ) ( m Q ) m k (11) 且 Q = [ q 1 ， ⋯ ， q k ] 。 注2.2. 注意到乘性函数可以由其在素幂处的值完全确定，由此结果还可进一步得到 ℤ 上某些特殊的多元乘性函数关于经典Ramanujan和以及酉Ramanujan和展开式的具体表达(详见 [ 3 ]，推论1和推论2)，更进一步地，它们与经典的Riemann zeta函数 ζ ( z ) 有关。 设 A + 是有限域上一元多项式环 A = F q [ T ] 中首一多项式的全体。类比经典的Ramanujan和(1)，美国著名数论学家L. Carlitz [ 8 ] 首次引入 A 上的多项式Ramanujan和的定义，然后由E. Cohen在文 [ 9 ] 中加以推广。我国数论学家郑志勇教授在最近的文献 [ 10 ] 中系统地研究了多项式Ramanujan和的性质。 下面我们简要介绍一下多项式Ramanujan和的定义。假设 H ( H ≠ 0 ) 是 A 中一固定的m次多项式。若 A ≡ a m − 1 T m − 1 + ⋯ + a 1 T + a 0 ( mod H ) ， 则有 A 上模H的加性函数 t ( A ) = a m − 1 ， 对任意的 A ∈ A . 对任意的 A ， B ∈ A ，我们有 t ( A + B ) = t ( A ) + t ( B ) ， t ( A ) = t ( B ) 如果 A ≡ B ( mod H ) ， 特别地，如果 H | A ，那么 t ( A ) = 0 。 对任意给定的 G ∈ A ，令 t G ( A ) = t ( G A ) ，我们可以看出， t G ( A ) 也是一个模H的加性函数。 再令 E ( G ， H ) ( A ) = λ ( t G ( A ) ) ，其中 λ ( a ) = e 2 π i ( tr ( a ) p ) ( a ∈ F q ) ， t r ( a ) 是从 F q 到 F p 的迹函数，则 E ( G ， H ) 是 A 上模H的加性特征。 定义2.1 (见Carlitz [ 8 ]，(4.1)式或郑志勇 [ 10 ]，(1.10)式) 令 A + 是 A 中全体首一多项式构成的集合。对于 G ， H ∈ A + ，模H的多项式Ramanujan和 η ( G ， H ) 定义为 η ( G ， H ) = ∑ D mod H ( D ， H ) = 1   E ( G ， H ) ( D ) ， (12) 其中 ( D ， H ) 是D和H的首一的最大公因子。 注2.3. 郑志勇教授在文 [ 10 ] 中研究了许多有关多项式Ramanujan和(12)的性质。 类比酉Ramanujan和的定义(3)，我们下面在 A 上定义酉多项式Ramanujan和。 定义2.2 (见齐田芳和胡甦 [ 11 ]，定义1.4)对于 G ， H ∈ A + ，我们定义 A 上的酉多项式Ramanujan和 η ∗ ( G ， H ) 为： η ∗ ( G ， H ) = ∑ D mod H ( D ， H ) ∗ = 1 E ( G ， H ) ( D ) ， (13) 其中 ( D ， H ) ∗ = m a x deg { D 1 : D 1 | D ， D 1 | | H } ，即 ( H ， G ) ∗ 是多项式集合 { D : D | H ， D | | G } 中次数最高的元。 接下来，类比Tóth在文 [ 3 ] 中关于数域的工作，我们得到了 A 上的多元算术函数(定义见文献 [ 11 ]，定义1.5)都可以通过多项式Ramanujan和以及酉多项式Ramanujan和加以展开。我们在文 [ 11 ] 中已经得到的结果如下(所涉及到的基本符号见文献 [ 11 ] [ 12 ])。 定理2.4 (见齐田芳和胡甦 [ 11 ]，定理1.7)令 f : ( A + ) k → ℂ 是任一算术函数， k ∈ ℕ 。如果 ∑ G 1 ， ⋯ ， G k ∈ A + 2 ω ( G 1 ) + ⋯ + ω ( G k ) | ( μ k ∗ f ) ( G 1 ， ⋯ ， G k ) | | G 1 | ⋯ | G k | < ∞ . (14) 那么对任意的 G 1 ， ⋯ ， G k ∈ A + ，我们有 f ( G 1 ， ⋯ ， G k ) = ∑ H 1 ， ⋯ ， H k ∈ A + C H 1 ， ⋯ ， H k η ( G 1 ， H 1 ) ⋯ η ( G k ， H k ) ， (15) 和 f ( G 1 ， ⋯ ， G k ) = ∑ H 1 ， ⋯ ， H k ∈ A + C H 1 ， ⋯ ， H k ∗ η ∗ ( G 1 ， H 1 ) ⋯ η ∗ ( G k ， H k ) ， (16) 其中 C H 1 ， ⋯ ， H k = ∑ M 1 ， ⋯ ， M k ∈ A + ( μ k ∗ f ) ( M 1 H 1 ， ⋯ ， M k H k ) | M 1 H 1 | ⋯ | M k H k | ， C H 1 ， ⋯ ， H k ∗ = ∑ M 1 ， ⋯ ， M k ∈ A + ( M 1 ， H 1 ) = 1， ⋯ ， ( M k ， H k ) = 1 ( μ k ∗ f ) ( M 1 H 1 ， ⋯ ， M k H k ) | M 1 H 1 | ⋯ | M k H k | (17) 并且式(15)和(16)都是绝对收敛的。 设g是从 A + 到 ℂ 的算术函数。在定理2.4中令 f ( G 1 ， ⋯ ， G k ) = g ( ( G 1 ， ⋯ ， G k ) ) ，这里 ( G 1 ， ⋯ ， G k ) 是 G 1 ， ⋯ ， G k ∈ A + 的最大公因子，我们在文 [ 11 ] 中又得到了下面的结果。 定理2.5 (见齐田芳和胡甦 [ 11 ]，定理1.8)设 g : A + → ℂ 是任一算术函数， k ∈ ℕ 。若 ∑ G ∈ A + 2 k ω ( G ) | ( μ ∗ g ) ( G ) | | G | k < ∞ . (18) 则对任意的 G 1 ， ⋯ ， G k ∈ A + ，我们有下面绝对收敛的级数 g ( ( G 1 ， ⋯ ， G k ) ) = ∑ H 1 ， ⋯ ， H k ∈ A + C H 1 ， ⋯ ， H k η ( G 1 ， H 1 ) ⋯ η ( G k ， H k ) ， (19) 和 g ( ( G 1 ， ⋯ ， G k ) ) = ∑ H 1 ， ⋯ ， H k ∈ A + C H 1 ， ⋯ ， H k ∗ η ∗ ( G 1 ， H 1 ) ⋯ η ∗ ( G k ， H k ) ， (20) 其中 C H 1 ， ⋯ ， H k = 1 | Q | k ∑ M ∈ A + ( μ ∗ g ) ( M Q ) | M | k ， C H 1 ， ⋯ ， H k ∗ = 1 | Q | k ∑ M ∈ A + ( M ， Q ) = 1 ( μ ∗ g ) ( M Q ) | M | k (21) 且 Q : = [ H 1 ， ⋯ ， H k ] ，即Q是 G 1 ， ⋯ ， G k ∈ A + 的最小公倍式 [ G 1 ， ⋯ ， G k ] 。 注2.4. 注意到 A 上的乘性函数都可以由它们在首一不可约多项式处的值完全确定，我们在文 [ 11 ] 中将定理2.5应用到乘性函数上，进一步得到了 A 上的某些特殊多元乘性函数关于多项式Ramanujan和(12)以及酉多项式Ramanujan和(13)展开式的具体表达(详见 [ 11 ]，推论3.4和推论3.5)，并且它们与 A 上的Zeta函数 有关(见文献 [ 11 ])。