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user: 3. 定理及证明 现给出有关推广的Riemann-Liouville分数阶积分 J h α 的Grüss型不等式。 定理3.1：设 h ( t ) : [ 0 ， ∞ ) → ( 0 ， ∞ ) 是 [ 0 ， ∞ ) 上的单调增函数并在 ( 0 ， ∞ ) 上有连续导函数 h ′ ( t ) 。若 f ( t ) 和 g ( t ) 是 [ 0 ， ∞ ) 上两个可积函数并满足条件(C 1 )和(C 2 )。那么当 t > 0 ， α > 0 时，可以得到 | ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α f ( t ) g ( t ) − J h α f ( t ) J h α g ( t ) | ≤ S * ( f ， φ 1 ， φ 2 ) S * ( g ， ψ 1 ， ψ 2 ) ， (3.1) 这里 S * ( x ， y ， z ) = ( J h α z ( t ) − J h α x ( t ) ) ( J h α x ( t ) − J h α y ( t ) )     + ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α y ( t ) x ( t ) − J h α y ( t ) J h α x ( t )     + ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α z ( t ) x ( t ) − J h α z ( t ) J h α x ( t )     − ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α y ( t ) z ( t ) + J h α y ( t ) J h α z ( t ) (3.2) 证：令 T ( x ， y ) = ( f ( x ) − f ( y ) ) ( g ( x ) − g ( y ) ) = f ( x ) g ( x ) + f ( y ) g ( y ) − f ( x ) g ( y ) − f ( y ) g ( x ) ， x ， y ∈ ( 0 ， t ) ， t > 0 (3.3) 对上式两边同乘以 h ′ ( x ) h ′ ( y ) 2 Γ 2 ( α ) ( h ( t ) − h ( x ) ) 1 − α ( h ( t ) − h ( y ) ) 1 − α 并分别对x和y在 ( 0 ， t ) 上积分，有 1 2 Γ 2 ( α ) ∫ 0 t ∫ 0 t h ′ ( x ) h ′ ( y ) ( h ( t ) − h ( x ) ) 1 − α ( h ( t ) − h ( y ) ) 1 − α T ( x ， y ) d x d y = ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α f ( t ) g ( t ) − J h α f ( t ) J h α g ( t ) (3.4) 现在将(3.3)式中的 T ( x ， y ) 代入(3.4)的左边，从而由Cauchy-Schwarz不等式，有 ( 1 2 Γ 2 ( α ) ∫ 0 t ∫ 0 t h ′ ( x ) h ′ ( y ) ( h ( t ) − h ( x ) ) 1 − α ( h ( t ) − h ( y ) ) 1 − α T ( x ， y ) d x d y ) 2 ≤ 1 2 Γ 2 ( α ) ∫ 0 t ∫ 0 t h ′ ( x ) h ′ ( y ) ( h ( t ) − h ( x ) ) 1 − α ( h ( t ) − h ( y ) ) 1 − α ( f ( x ) − f ( y ) ) 2 d x d y         × 1 2 Γ 2 ( α ) ∫ 0 t ∫ 0 t h ′ ( x ) h ′ ( y ) ( h ( t ) − h ( x ) ) 1 − α ( h ( t ) − h ( y ) ) 1 − α ( g ( x ) − g ( y ) ) 2 d x d y = ( ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α f 2 ( t ) − ( J h α f ( t ) ) 2 ) ( ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α g 2 ( t ) − ( J h α g ( t ) ) 2 ) (3.5) 再将(3.4)式代入(3.5)有 ( ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α f ( t ) g ( t ) − J h α f ( t ) J h α g ( t ) ) 2 ≤ ( ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α f 2 ( t ) − ( J h α f ( t ) ) 2 )   × ( ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α g 2 ( t ) − ( J h α g ( t ) ) 2 ) (3.6) 因为 f ( t ) 和 g ( t ) 是两个在 [ 0 ， ∞ ) 上满足条件(C 1 )和(C 2 )的可积函数， 所以有 ( ψ 2 ( t ) − g ( t ) ) ( g ( t ) − ψ 1 ( t ) ) ≥ 0 ， t ≥ 0 和 ( φ 2 ( t ) − f ( t ) ) ( f ( t ) − φ 1 ( t ) ) ≥ 0 ， t ≥ 0 从而 ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( ψ 2 ( t ) − g ( t ) ) ( g ( t ) − ψ 1 ( t ) ) ≥ 0 且 ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( φ 2 ( t ) − f ( t ) ) ( f ( t ) − φ 1 ( t ) ) ≥ 0 因此由引理2.3，有 ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α g 2 ( t ) − ( J h α g ( t ) ) 2 ≤ ( J h α ψ 2 ( t ) − J h α f ( t ) ) ( J h α f ( t ) − J h α ψ 1 ( t ) )                                                                                                 + ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( ψ 1 ( t ) f ( t ) ) − J h α ψ 1 ( t ) J h α f ( t )                                                                                                 + ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( ψ 2 ( t ) f ( t ) ) − J h α ψ 2 ( t ) J h α f ( t )                                                                                                 − ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( ψ 1 ( t ) ψ 2 ( t ) ) + J h α ψ 1 ( t ) J h α ψ 2 ( t )                                                                                               = S * ( g ， ψ 1 ， ψ 2 ) (3.7) 和 ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α f 2 ( t ) − ( J h α f ( t ) ) 2 = ( J h α φ 2 ( t ) − J h α f ( t ) ) ( J h α f ( t ) − J h α φ 1 ( t ) )                                                                                                   + ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( φ 1 ( t ) f ( t ) ) − J h α φ 1 ( t ) J h α f ( t )                                                                                                   + ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( φ 2 ( t ) f ( t ) ) − J h α φ 2 ( t ) J h α f ( t )                                                                                                   − ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( φ 1 ( t ) φ 2 ( t ) ) + J h α φ 1 ( t ) J h α φ 2 ( t )                                                                                                 = S * ( f ， φ 1 ， φ 2 ) (3.8) 由(3.6)，(3.7)和(3.8)，(3.1)得证。 由下面给出的推论得到命题1.3和命题1.4是本文的一个特例。 推论3.2：若 S * ( f ， φ 1 ， φ 2 ) = S * ( f ， m ， M ) 且 S * ( g ， ψ 1 ， ψ 2 ) = S * ( g ， n ， N ) ，那么有 | ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α f ( t ) g ( t ) − J h α f ( t ) J h α g ( t ) | ≤ ( ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α 2 Γ ( α + 1 ) ) 2 ( M − m ) ( N − n ) . (3.9) 这里的推论3.2就是命题1.3。 推论3.3：若 h ( t ) = t (即 J h α = J α )，那么有 | t α Γ ( α + 1 ) J α f ( t ) g ( t ) − J α f ( t ) J α g ( t ) | ≤ S ( f ， φ 1 ， φ 2 ) S ( g ， ψ 1 ， ψ 2 ) . (3.10) 这里的推论3.3就是命题1.4。 对于一个无界函数来说，无法用常数来限制其边界但是可以用两个函数来限制其边界。因而积分不等式(1.2)和(1.3)对于无界函数不成立，但在一定的条件下积分不等式(3.1)对于无界函数是成立的。 例3.3：设 h ( t ) : [ 0 ， ∞ ) → ( 0 ， ∞ ) 是 [ 0 ， ∞ ) 上的单调增函数并在 ( 0 ， ∞ ) 上有连续导函数 h ′ ( t ) 。若 f ( t ) 和 g ( t ) 是 [ 0 ， ∞ ) 上两个可积函数并满足 h ( t ) − 1 ≤ f ( t ) ≤ h ( t ) 和 h ( t ) ≤ g ( t ) ≤ h ( t ) + 1 。那么当 t > 0 ， α > 0 时，有 | ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α f ( t ) g ( t ) − J h α f ( t ) J h α g ( t ) | ≤ S * ( f ， h ( t ) − 1 ， h ( t ) ) S * ( g ， h ( t ) ， h ( t ) + 1 ) ， 这里 S * ( f ， h − 1 ， h ) = ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( h ( t ) − 1 ) f ( t ) − ( ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) − ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) ) J h α f ( t )     − ( ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) 2 + h 2 ( t ) + α h 2 ( 0 ) Γ ( α + 3 ) − ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) )     × ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) + ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α h ( t ) f ( t ) − ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) J h α f (t) + ( ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) − ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) ) ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) + ( J h α f ( t ) − ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) + ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) ) × ( ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) − J h α f (t) ) 和 S * ( g ， h ， h + 1 ) = ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( h ( t ) + 1 ) g ( t ) − ( ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) − ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) ) J h α g ( t )     − ( ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) 2 + h 2 ( t ) + α h 2 ( 0 ) Γ ( α + 3 ) + ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) )     × ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) + ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α h ( t ) g ( t ) − ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) J h α g (t) + ( ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) + ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) ) ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) + ( ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) + ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) − J h α g ( t ) ) × ( J h α g ( t ) − ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α ( h ( t ) + α h ( 0 ) ) Γ ( α + 2 ) )