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user: 3. 实证研究 图1为1978至2018年福建省人均GDP时序图。从图1上看，该期间福建人均GDP呈快速上升的趋势，福建人均GDP序列为非平稳时间序列，这并不奇怪，恰是我国经济快速增长的体现。为了使人均GDP序列更为平滑，先对其进行指数平滑处理，记为“lgdp”。 Table 1 Per capita GDP of Fujian Province from 1978 to 201 年份 人均GDP (元) 年份 人均GDP (元) 年份 人均GDP (元) Year Per Capita GDP (yuan) Year Per Capita GDP (yuan) Year Per Capita GDP (yuan) 1978 273 1992 2557 2006 21，105 1979 300 1993 3556 2007 25，582 1980 348 1994 193 2008 29，755 1981 416 1995 6526 2009 33，437 1982 457 1996 7646 2010 40，025 1983 487 1997 8775 2011 47，377 1984 591 1998 9603 2012 52，763 1985 737 1999 10，323 2013 58，145 1986 809 2000 11，194 2014 63，472 1987 999 2001 11，691 2015 67，966 1988 1349 2002 12，739 2016 73951 1989 1589 2003 14，125 2017 82，677 1990 1763 2004 16，235 2018 91，197 1991 2041 2005 18，353 表1. 1978至2018年福建省人均GDP 图1. 1978至2018年福建省人均GDP时序图 3.1. 单位根非平稳模型 3.1.1. 平稳性检验 对数据做对数处理不会改变其增减趋势，也不会改变其平稳性。对福建省对数人均GDP序列进行一阶差分，处理后的数据即为福建省人均GDP的对数增长率。 对福建省人均GDP对数增长率序列进行单样本的t检验，检验其均值是否为0。分析结果显示，t值为12.526，p值为3.021e −15 ，在任何合理的显著性水平下都拒绝均值为0的原假设，即福建省人均GDP对数增长率序列的均值不为0。因此，在拟合模型过程中需要带常数项。 虽然对人均GDP序列进行对数化处理，但福建省人均GDP对数增长率序列仍然可能存在非平稳性，因此对福建省人均GDP对数增长率进行带有常数项不带有趋势项的Dickey-Fuller单位根检验。检验结果显示，ADF检验的统计量是−3.4677，p值为0.01727。在任何合理的显著性水平下，都拒绝福建省人均GDP对数增长率序列存在单位根的原假设，可以认为序列是平稳的，即不需要对福建省人均GDP对数增长率序列做差分处理。图2为福建省人均GDP对数增长率序列后的样本自相关函数(ACF)和样本偏自相关函数(PACF)。从图2可以看出福建省人均GDP对数增长率序列的ACF图和PACF图是截尾的，因此可以认为该序列是平稳的。 图2. 1978至2018年福建省人均GDP对数增长率的样本自相关函数(ACF)和样本偏自相关函数(PACF) 3.1.2. 模型定阶 从福建省人均GDP对数增长率序列的样本偏自相关函数(PACF)图上看，1阶、3阶、4阶都具有显著性。从福建省人均GDP对数增长率序列的样本自相关函数(ACF)图上看，0阶偏自相关函数远远大于其他阶的偏自相关函数，ACF在1阶之后开始截尾。根据上述分析， 对福建省对数人均GDP分别建立ARIMA(1，1，0)、ARIMA(3，1，0)、ARIMA(4，1，0)、ARIMA(1，1，1)、ARIMA(3，1，1)、ARIMA(4，1，1)模型。拟合结果如表2所示，无论是基于AIC准则还是基于BIC准则，结果都是选择ARIMA(3，1，1)模型。 Table 2 Fitting results of ARIMA model of logarithmic per capita GDP Series in Fujian Provinc 模型 AIC BIC ARIMA(1，1，0) −102.13 −98.75 ARIMA(3，1，0) −109.80 −103.04 ARIMA(4，1，0) −110.06 −101.61 ARIMA(1，1，1) −105.74 −100.67 ARIMA(3，1，1) −111.95 −103.51 ARIMA(4，1，1) −110.07 −99.94 表2. 福建省对数人均GDP序列ARIMA模型拟合结果 拟合的ARIMA(3，1，1)模型为： ( 1 − 0.68 B + 0.25 B 2 − 0.48 B 3 ) ( 1 − B ) l g d p t = ( 1 − 0.53 B ) a t σ a 2 = 0.002572 系数估计的标准误差分别为：0.18、0.22、0.14、0.16，AIC值为−111.95，BIC值为103.51。在5%的显著性水平下，ar2系数不显著的，因此重新拟合模型。则重新拟合的模型为： ( 1 − 0.54 B − 0.37 B 3 ) ( 1 − B ) l g d p t = ( 1 − 0.64 B ) a t σ a 2 = 0.00266 系数估计的标准误差分别为：0.11、0.12、0.10，AIC值为−112.78，BIC值为106.03。在5%的显著性水平下，所有系数都是显著异于0的，且AIC值和BIC值均减少。 3.1.3. ARIMA(3，1，1)模型检测 图3为福建省对数人均GDP序列ARIMA(3，1，1)模型检验图。从图3的ARIMA(3，1，1)模型残差的自相关函数(ACF)可以看出，在5%的显著性水平下，残差不存在自相关性，为白噪声序列。从图3的ARIMA(3，1，1)模型Ljung-Box统计量的p值可以看出，散点均在0.05的水平线之上即p值均大于0.05。因此拟合的ARIMA(3，1，1)模型是充分的。 图3. 1978至2018年福建省人均GDP对数增长率ARIMA(3，1，1)模型检验图 3.2. 趋势平稳模型 3.2.1. 趋势平稳性检验 由图1可以发现，福建省人均GDP序列随着时间的增长而增长，即便是对其做对数化处理也不会改变它的趋势。因此利用时间趋势对福建省对数人均GDP序列进行建模。利用时间为解释变量，拟合的线性回归模型为： l g d p t = 5.55 + 0.15 t + z t 系数估计的标准误差分别为：0.073、0.003， z t 为残差项，其标准误差为0.2307。时间变量为正，并且高度显著。 对残差项进行均值为0检验。检验结果显示，t统计量为3.8749e 17 ，p值为1，即表明其残差项序列均值为0。对残差项序列进行平稳性检验，检验结果显示，ADF检验的统计量是−1.789，p值为0.0734。在10%的显著性水平下，我们有理由认为残差项序列不具有单位根，即表明福建省对数人均GDP序列是一个趋势平稳序列。 3.2.2. 模型定阶 图4为残差项序列( z t )的样本自相关函数和样本偏自相关函数。图4中，自相关函数没有出现明显的截断，偏自相关函数在1阶时以指数的形式衰减，综合这两个特征，为残差项序列拟合不带常数项的ARIMA(1，1)模型，则福建省人均GDP序列模型为： ( 1 − 1.00 B ) ( l g d p t − 5.55 − 0.15 t ) = ( 1 − 0.81 B ) a t σ a 2 = 0.00255 系数估计的标准误差分别为：0.003、0.072、0.021，AIC值为−118.43，BIC值为−111.57。所有系数都是高度显著的。 图4. 残差项序列(z t )的样本自相关函数(ACF)和样本偏自相关函数(PACF) 3.2.3. z t 序列ARIMA(1，1)模型检测 图5为 z t 序列ARIMA(1，1)模型诊断图。图5中的残差自相关函数图说明 z t 序列ARIMA(1，1)模型的残差不存在动态自相关性；Ljung-Box统计量的p值也说明 z t 序列ARIMA(1，1)模型的拟合是充分的。 3.3. 模型比较 表2为 l g d p t ARIMA(3，1，1)模型和 z t ARIMA(1，1)模型超前1步预测结果。通过表3中数据可以发现， l g d p t ARIMA(3，1，1)模型的预测误差的平方根(RMSFE)和平均绝对误差(MAFE)的值相对于 z t ARIMA(1，1)模型的值更小一些。对于预测福建省对数人均GDP， l g d p t ARIMA(3，1，1)模型的预测效果更好。使用趋势平稳模型虽然能降低AIC值和BIC值从而更好的拟合模型，但却没有提高样本外预测的精度。因此，鉴于拟合模型是为了更好的预测，采用ARIMA(3，1，1)模型对福建省对数人均GDP进行预测，2014年至2018年的预测值如表4所示，预测值和实际值的误差相差很少，因此ARIMA(3，1，1)模型的拟合效果是可靠的。 图5. z t 序列ARIMA(1，1)模型诊断图 Table 3 Prediction results of l g d p t ARIMA(3，1，1) model and z t ARIMA(1，1) model by one step ahea 模型 RMSFE MAFE l g d p t ARIMA(3，1，1) 0.0163838 0.0142045 z t ARIMA(1，1) 0.0345311 0.0326919 表3. l g d p t ARIMA(3，1，1)模型和 z t ARIMA(1，1)模型超前1步预测结果 Table 4 Out of sample prediction of ARIMA(3，1，1) model of per capita GDP in Fujian Provinc 年份 2014 2015 2016 2017 2018 预测值(元) 64，503 70，956 77，402 84，262 91，345 实际值(元) 63，472 67，966 73，951 82，677 91，197 误差(%) 0.0549 0.1311 0.2017 0.2785 0.3653 表4. 福建省人均GDP序列ARIMA(3，1，1)模型的样本外预测 未来五年的福建省人均GDP如表5所示。查询国家统计局2019年福建省人均GDP为107139元，与表5中2019年的预测值99077元相差不大，且在(85724， 114510)预测区间之内。因此可以认为，ARIMA(3，1，1)模型的预测是合理的。图6为1978至2018年福建省对数人均GDP及预测值时序图。从图中可以发现未来5年，福建省的人均GDP也是稳步增长的。 Table 5 Forecast value and 99.5% forecast range of logarithmic per capita GDP of Fujian Province from 2019 to 202 年份 预测值(元) 99.5%预测区间(元) 2019 99，077 (85，724， 114，510) 2020 107，974 (76，353， 152，691) 2021 117，278 (68，766， 200，013) 2022 126，438 (60，472， 264，359) 2023 135，927 (51，613， 357，971) 表5. 2019至2023年福建省对数人均GDP预测值及99.5%预测区间 图6. 1978至2018年福建省对数人均GDP时序图，阴影部分为2019至2023年福建省对数人均GDP预测值