system: [SYSTEM]

user: 3. 主要结论及证明 类似于参考文献 [ 7 ]，考虑系统(4)的平衡点个数，我们能够得到下面的结论。 引理1：令 Δ 0 = ( δ β + b − a ) 2 + 3 a ( b − 1 ) ， Δ 1 = − 4 Δ 0 3 + ( 27 a 2 + 9 a ( 1 − b ) ( δ β + b − a ) − 2 ( δ β + b − a ) 3 ) 2 。 1) 如果 Δ 1 > 0 ，则系统(4)有一个唯一的正平衡点 E ∗ = ( x ∗ ， y ∗ ) ，它是一个基本的平衡点，并且是一个反鞍点； 2) 如果 Δ 1 = 0 ，并且 2.1) Δ 0 > 0 ，系统(4)有两个正平衡点：一个是基本的反鞍平衡点 E 2 ∗ ( x 2 ∗ ， y 2 ∗ ) = ( β δ β δ + ( 1 − δ ) 2 ， δ 2 β δ + ( 1 − δ ) 2 ) ，另一个是退化平衡点 E ∗ ( x ∗ ， y ∗ ) = ( 1 − δ ， δ β ( 1 − δ ) ) ； 2.2) Δ 0 = 0 ，则系统(4)有唯一的正平衡点 E ∗ ( x ∗ ， y ∗ ) = ( 3 1 − b ， δ β 3 1 − b ) ，它是一个退化平衡点； 3) 如果 Δ 0 < 0 ， δ β ≤ a − b − 3 a ( 1 − b ) 和 − 2 a < b < 1 ，则系统(4)有三个正平衡点 E 1 ∗ ( x 1 ∗ ， y 1 ∗ ) ， E 2 ∗ ( x 2 ∗ ， y 2 ∗ ) ，和 E 3 ∗ ( x 3 ∗ ， y 3 ∗ ) ，它们都是基本的平衡点，并且 E 3 ∗ ( x 3 ∗ ， y 3 ∗ ) 是一个鞍点。 引理1的证明：对于引理中的情形1)，唯一的正平衡点的稳定性容易证明。本文只证明引理中的情形2.1)。 首先寻找一些参数，使得系统(4)有一个非双曲平衡点 E 2 ∗ ( x 2 ∗ ， y 2 ∗ ) ，且 D e t ( J ( E 2 ∗ ) ) > 0 ， T r ( J ( E 2 ∗ ) ) = 0 ，和一个退化平衡点 E ∗ ( x ∗ ， y ∗ ) ，且 D e t ( J ( E ∗ ) ) = 0 ， T r ( J ( E ∗ ) ) = 0 。 我们能够验证，如果 D e t ( J ( E ∗ ) ) = 0 ， T r ( J ( E ∗ ) ) = 0 ，则 x ∗ = 1 − δ ，   y ∗ = δ β ( 1 − δ ) ，   a = ( δ − 1 ) 2 + β δ β δ ( 1 − δ ) 2 ，   b = ( δ − 1 ) 3 − 2 β δ β δ ( 1 − δ ) . (9) 其中， 0 < δ < 1 ，如果 a = ( δ − 1 ) 2 + β δ β δ ( 1 − δ ) 2 ， b = ( δ − 1 ) 3 − 2 β δ β δ ( 1 − δ ) ， 0 < δ < 1 ，则系统(4)可以简化为其等价系统。 { d x d t = x ( 1 − x ) − x 2 y ( δ − 1 ) 2 + β δ β δ ( 1 − δ ) 2 x 2 + ( δ − 1 ) 3 − 2 β δ β δ ( 1 − δ ) x + 1 ， d y d t = y ( δ − β y x ) . (10) 解得系统(10)有两个正平衡点 E 2 ∗ ( x 2 ∗ ， y 2 ∗ ) = ( β δ β δ + ( 1 − δ ) 2 ， δ 2 β δ + ( 1 − δ ) 2 ) ， E ∗ ( x ∗ ， y ∗ ) = ( 1 − δ ， δ β ( 1 − δ ) ) 。 定理1：如果 ( a ， b ， β ) = ( 1 + δ 2 ( 1 − δ ) 3 ， − δ 2 + δ + 2 1 − δ ， ( 1 − δ ) 3 δ 2 ( 1 + δ ) ) ，且 0 < δ < 1 ，则系统(4)有两个正平衡点： a) E 2 ∗ ( x 2 ∗ ， y 2 ∗ ) = ( 1 − δ 1 + δ 2 ， δ 3 ( 1 + δ ) ( 1 − δ ) 2 ( 1 + δ 2 ) ) 是一个多重数为1的不稳定多重焦点； b) 是一个余维为2的尖点。 定理1的证明：如果 ( a ， b ， β ) = ( 1 + δ 2 ( 1 − δ ) 3 ， − δ 2 + δ + 2 1 − δ ， ( 1 − δ ) 3 δ 2 ( 1 + δ ) ) ，且 0 < δ < 1 ，则系统(4)化为等价系统。 { d x d t = x ( 1 − x ) − x 2 y 1 + δ 2 ( 1 − δ ) 3 x 2 − δ 2 + δ + 2 1 − δ x + 1 ， d y d t = y ( δ − ( 1 − δ ) 3 δ 2 ( 1 + δ ) y x ) . (11) 系统(10)有两个正平衡点 E 2 ∗ ( x 2 ∗ ， y 2 ∗ ) = ( 1 − δ 1 + δ 2 ， δ 3 ( 1 + δ ) ( 1 − δ ) 2 ( 1 + δ 2 ) ) 和 E ∗ ( x ∗ ， y ∗ ) = ( 1 − δ ， δ 3 ( 1 + δ ) ( 1 − δ ) 2 ) 。 a) 令 u = x − 1 − δ 1 + δ 2 ， v = y − δ 3 ( 1 + δ ) ( 1 − δ ) 2 ( 1 + δ 2 ) ，将点 E 2 ∗ ( x 2 ∗ ， y 2 ∗ ) 转化为原点，系统(11)围绕原点的泰勒展开形式为 d u d t = δ u − ( 1 − δ ) 3 δ 2 ( 1 + δ 2 ) v + ( 1 + δ + δ 3 ) u 2 + ( 1 − δ ) 4 δ 3 u v     + ( 1 + δ ) ( 1 + δ 2 ) ( 1 + δ − δ 2 + 3 δ 3 − δ 4 + δ 5 ) ( − 1 + δ ) δ 2 u 3     + ( 1 − δ ) 2 ( 2 − δ + 3 δ 2 − δ 3 + δ 4 ) δ 3 u 2 v + Ο ( | u ， v | 4 ) (12) d v d t = δ 4 ( 1 + δ ) ( 1 − δ ) 3 u − δ v − δ 4 ( 1 + δ ) ( 1 + δ 2 ) ( 1 − δ ) 4 u 2 + 2 δ ( 1 + δ 2 ) 1 − δ u v     − ( 1 − δ ) 2 ( 1 + δ 2 ) δ 2 ( 1 + δ ) v 2 + δ 4 ( 1 + δ ) ( 1 + δ 2 ) 2 ( 1 − δ ) 5 u 3     − 2 δ ( 1 + δ 2 ) 2 ( 1 − δ ) 2 u 2 v + ( 1 − δ ) ( 1 + δ 2 ) 2 δ 2 ( 1 + δ ) u v 2 + Ο ( | u ， v | 4 ) (13) 对(12)和(13)作变换： u = ( 1 − δ ) 7 δ 5 ( 1 + δ 2 ) 2 ( 1 + δ 2 ) x + ( 1 − δ ) 3 δ 3 ( 1 + δ ) y ，   v = y . (14) 则系统(12)和(13)可以化为其等价系统 { d x d t = − δ 3 ( 1 − δ ) 1 + δ 2 y + f ( x ， y ) ， d y d t = δ 3 ( 1 − δ ) 1 + δ 2 x + g ( x ， y ) . (15) 其中， f ( x ， y ) = ( 1 − δ ) 7 δ 5 ( 1 + δ ) 2 ( 1 + δ 2 ) ( − 1 − δ + δ 2 − 2 δ 3 + δ 4 ) δ 5 ( − 1 − δ + δ 4 + δ 5 ) x 2 + ( 1 − δ ) 3 ( 3 + 2 δ − δ 2 + 2 δ 3 ) δ 3 ( 1 + δ ) x y     + δ 5 ( 1 + δ ) 2 ( 1 + δ 2 ) ( 1 − δ ) 6 ( 2 + δ − δ 2 + δ 3 ) ( 1 − δ ) 7 δ 6 ( 1 + δ ) 2 y 2 + ( 1 − δ ) 5 ( − 1 − δ + 2 δ 2 − 3 δ 3 + δ 5 − δ 6 + δ 7 ) δ 7 ( 1 + δ ) 2 x 3     + δ 5 ( 1 + δ ) 2 ( 1 + δ 2 ) ( 1 − δ ) ( − 3 − 3 δ + 8 δ 2 − 8 δ 3 − δ 4 + 6 δ 5 − 4 δ 6 + 3 δ 7 ) δ 10 ( 1 + δ ) 3     − ( 1 − δ ) 5 ( 3 + 3 δ − 4 δ 2 + 14 δ 3 − 12 δ 4 + 14 δ 5 − 5 δ 6 + 3 δ 7 ) δ 8 ( 1 + δ ) x y 2     − ( 1 − δ ) 7 ( 1 − δ ) ( 1 + δ 2 ) 2 ( 1 + δ − 3 δ 2 + 4 δ 3 − 2 δ 4 + δ 5 ) δ 6 δ 5 ( 1 + δ ) 2 ( 1 + δ 2 ) y 3 + Ο ( | x ， y | 4 ) (16) g ( x ， y ) = − ( 1 − δ ) 3 δ ( 1 + δ ) x 2 + ( − 1 + δ ) 2 ( 1 − δ ) 7 δ 5 ( 1 + δ ) 2 ( 1 + δ 2 ) δ 6 ( 1 + δ ) 3 x 3 + ( 1 − δ ) 5 ( 1 + δ 2 ) δ 4 ( 1 + δ ) 2 x 2 y + Ο ( | x ， y | 4 ) (17) Liapunov常数 [ 8 ] [ 9 ] 为 Re c 1 = 1 16 { ( f x x x + f x y y + g x x y + g y y y )     + 1 ω [ f x y ( f x x + f y y ) − g x y ( g x x + g y y ) − f x x g x x + f y y g y y ] } | x = y = 0 = ( − 1 + δ ) 2 ( − 3 + 2 δ − 8 δ 2 + δ 3 − δ 5 + δ 6 ) 8 δ 8 ( 1 + δ ) > 0 (18) 其中， ω = δ 3 ( 1 − δ ) 14 π ( 1 + δ 2 ) ，由于 0 < δ < 1 ，则 E 2 ∗ ( x 2 ∗ ， y 2 ∗ ) = ( 1 − δ 1 + δ 2 ， δ 3 ( 1 + δ ) ( 1 − δ ) 2 ( 1 + δ 2 ) ) 是一个多重数为1的不稳定多重焦点。 b) 作变换： x 1 = x − ( 1 − δ ) ，   x 2 = y − δ 3 ( 1 + δ ) ( 1 − δ ) 2 . (19) 则系统(15)简化为其等价系统 { d x 1 d t = δ x 1 + ( − 1 + δ ) 3 δ 2 ( 1 + δ ) x 2 − 2 + δ 1 + δ x 1 2 + ( 1 − δ ) 3 δ 3 ( 1 + δ ) x 1 x 2 + Ο ( | x 1 ， x 2 | 3 ) ， d x 2 d t = δ 4 ( 1 + δ ) ( 1 − δ ) 3 x 1 − δ x 2 − δ 4 ( 1 + δ ) ( 1 − δ ) 4 x 1 2 + 2 δ 1 − δ x 1 x 2 − ( 1 − δ ) 2 δ 2 ( 1 + δ ) x 2 2 + Ο ( | x 1 ， x 2 | 3 ) . (20) 作变换： y 1 = x 1 ，   y 2 = δ x 1 + ( − 1 + δ ) 3 δ 2 ( 1 + δ ) x 2 . (21) 则系统(20)可以化为等价系统 { d y 1 d t = y 2 − 1 1 + δ y 1 2 − 1 δ y 1 y 2 + Ο ( | y 1 ， y 2 | 3 ) ， d y 2 d t = − δ 1 + δ y 1 2 − y 1 y 2 + 1 1 − δ y 2 2 + Ο ( | y 1 ， y 2 | 3 ) . (22) 在原点 ( 0 ， 0 ) 的一个小邻域内作变换： z 1 = y 1 − 2 δ − 1 2 δ ( 1 − δ ) y 1 2 ，   z 2 = y 2 − 1 1 + δ y 1 2 − 1 1 − δ y 1 y 2 . (23) 则系统(22)可以化为等价系统 { d z 1 d t = z 2 + Ο ( | z 1 ， z 2 | 3 ) ， d z 2 d t = μ 1 z 1 2 + μ 2 z 1 z 2 + Ο ( | z 1 ， z 2 | 3 ) . (24) 其中， μ 1 = − δ 1 + δ ， μ 2 = − δ + 3 1 + δ ，因为 μ 1 μ 2 = δ ( δ + 3 ) ( 1 + δ ) 2 ≠ 0 ，所以平衡点 E ∗ ( x ∗ ， y ∗ ) 是一个余维为2的尖点。定理得证，从而引理中的2.1)得证，即 Δ 0 > 0 时，系统(4)有两个不同的正平衡点：一个是基本的反鞍平衡点 E 2 ∗ ( x 2 ∗ ， y 2 ∗ ) = ( β δ β δ + ( 1 − δ ) 2 ， δ 2 β δ + ( 1 − δ ) 2 ) ，另一个是退化平衡点 E ∗ ( x ∗ ， y ∗ ) = ( 1 − δ ， δ β ( 1 − δ ) ) 。