system: [SYSTEM]

user: 3. 主要结果及证明 为实现系统(1)的固定时间同步，设计如下边界控制策略： U r ( t ) = { − α Ψ r ( L ， t ) V r p ( t ) − β Ψ r ( L ， t ) V r q ( t ) ，     σ r ( L ， t ) ≠ 0 n ， 0 n ，     σ r ( L ， t ) = 0 n ， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ (5) 其中， α ， β > 0 ， 0 ≤ p < 1 ， q > 1 ， Θ ∈ R n × n > 0 是对称矩阵且 Ψ r ( L ， t ) = σ r ( L ， t ) ‖ σ r ( L ， t ) ‖ 2 ，     V r ( t ) = ∫ 0 L σ r T ( x ， t ) Θ σ r ( x ， t ) d x . 为了方便后续分析，记 ∑ = I m ⊗ ( [ Θ A ] s + ρ ‖ [ Θ B ] s ‖ I n ) − π 2 2 L 2 Π + ε [ W ⊗ Θ Γ ^ ] s . 利用Kronecker积，将系统(5)改写为： { ∂ σ ( x ， t ) ∂ t = ( I m ⊗ D ) Δ σ ( x ， t ) + ( I m ⊗ A ) σ ( x ， t ) + ( I m ⊗ B ) F ( σ ( x ， t ) ) + ε ( W ⊗ Γ ) Δ σ ( x ， t ) + ε ( W ⊗ Γ ^ ) σ ( x ， t ) ，     x ∈ ( 0 ， L ) ， σ ( x ， 0 ) = z 0 ( x ) − ξ 0 ( x ) ，     x ∈ ( 0 ， L ) ， σ ( 0 ， t ) = 0 n m ，     ∂ σ ( x ， t ) ∂ x | x = L = U ( t ) ， t ∈ [ 0 ， + ∞ ) ， (6) 其中 U ( t ) = ( U 1 T ( t ) ， U 2 T ( t ) ， ⋯ ， U m T ( t ) ) T ∈ R n m ， σ ( x ， t ) = ( σ 1 T ( x ， t ) ， σ 2 T ( x ， t ) ， ⋯ ， σ m T ( x ， t ) ) T ， F ( σ ( x ， t ) ) = ( f ˜ T ( σ 1 ( x ， t ) ) ， f ˜ T ( σ 2 ( x ， t ) ) ， ⋯ ， f ˜ T ( σ m ( x ， t ) ) ) T ∈ R n m 。 定理1 基于假设1及边界控制器(5)，如果存在矩阵 Θ = diag { Θ 1 ， Θ 1 ， ⋯ ， Θ n } > 0 ，使得 ∏ = I m ⊗ Θ D + ε W ⊗ Θ Γ > 0 ， 则下列结果成立： (1) 当 λ max ( ∑ ˜ ) ≤ 0 时，受控网络(1)是固定时间同步的，且停息时间 T * 满足 T * ≤ T ¯ 1 = π α ˜ ( δ − η ) ( α ˜ β ˜ ) v csc ( v π ) ， 其中 v = 1 − p q − p ， α ˜ = 2 α λ min ( ∏ ) ， β ˜ = 2 m 1 − q β λ min ( ∏ ) ， ∑ ˜ = ( I m ⊗ M − 1 ) T ∑ ( I m ⊗ M − 1 ) ，且M满足 Θ = M T M 。 (2) 当 0 < λ max ( ∑ ˜ ) < min { α ˜ ， β ˜ } 时，受控网络(1)在固定时间 T * 内实现同步，且 T * 满足 T * ≤ T ¯ 2 = π csc ( v π ) β ˜ ( p − p ) ( β ˜ α ˜ − λ max ( ∑ ˜ ) ) 1 − v I ( β ˜ β ˜ + α ˜ − λ max ( ∑ ˜ ) ， v ， 1 − v )                           + π csc ( v π ) α ˜ ( β ˜ − λ max ( ∑ ˜ ) ) ( α ˜ β ˜ − λ max ( ∑ ˜ ) ) v I ( α ˜ β ˜ + α ˜ − λ max ( ∑ ˜ ) ， 1 − v ， v ) . (3) 当 p + q = 2 ， 0 < λ max ( ∑ ˜ ) < 2 α ˜ β ˜ 时，受控网络(1)是固定时间同步的，且停息时间 T * 满足 T * ≤ T ¯ 3 = 1 q − 1 2 4 α ˜ β ˜ − λ max 2 ( ∑ ˜ ) ( π 2 + arctan ( λ max ( ∑ ˜ ) 4 α ˜ β ˜ − λ max 2 ( ∑ ˜ ) ) ) . 证明：构造如下Lyapunov函数 V ( t ) = ∫ 0 L σ T ( x ， t ) ( I m ⊗ Θ ) σ ( x ， t ) d x . 对任意 σ ( x ， t ) ∈ R n m \ { 0 n m } ， V ( t ) 沿着系统(6)关于变量t求导可得 V ˙ ( t ) = 2 ∫ 0 L [ σ T ( x ， t ) ( I m ⊗ Θ D ) Δ σ ( x ， t )   + ( I m ⊗ Θ A ) σ ( x ， t ) + ( I m ⊗ Θ B ) F ( σ ( x ， t ) ) ] d x   + 2 ε ∫ 0 L [ σ T ( x ， t ) ( W ⊗ Θ Γ ) Δ σ ( x ， t ) d x   + 2 ε ∫ 0 L [ σ T ( x ， t ) ( W ⊗ Θ Γ ^ ) σ ( x ， t ) d x . (7) 根据假设1，我们有 2 ∫ 0 L σ T ( x ， t ) ( I m ⊗ Θ B ) F ( σ ( x ， t ) ) d x = ∑ r = 1 m ∫ 0 L σ r T ( x ， t ) ( Θ B + B T Θ ) f ˜ ( σ r ( x ， t ) ) d x ≤ ∑ r = 1 m ∫ 0 L ‖ σ r T ( x ， t ) ‖ × ‖ ( Θ B + B T Θ ) ‖ × ‖ f ˜ ( σ r ( x ， t ) ) ‖ d x ≤ ∫ 0 L σ T ( x ， t ) ( I m ⊗ ρ ‖ [ Θ B ] s ‖ I n ) σ ( x ， t ) d x . (8) 利用分部积分和系统(1)中的混合边界条件，可以推得 2 ∫ 0 L σ T ( x ， t ) ( I m ⊗ Θ D ) Δ σ ( x ， t ) d x = 2 ∑ r = 1 m ∫ 0 L σ r T ( x ， t ) Θ D ∂ σ r ( x ， t ) ∂ x | 0 L d x − 2 ∑ r = 1 m ∫ 0 L ( ∂ σ r ( x ， t ) ∂ x ) T Θ D ( ∂ σ r ( x ， t ) ∂ x ) d x = 2 ∑ r = 1 m σ r T ( L ， t ) Θ D U r ( t ) − 2 ∑ r = 1 m ∫ 0 L ( ∂ σ r ( x ， t ) ∂ x ) T Θ D ( ∂ σ r ( x ， t ) ∂ x ) d x = 2 σ T ( L ， t ) ( I m ⊗ Θ D ) U ( t ) − 2 ∫ 0 L ( ∂ σ r ( x ， t ) ∂ x ) T ( I m ⊗ Θ D ) ( ∂ σ r ( x ， t ) ∂ x ) d x . (9) 类似可得 2 ε ∫ 0 L σ T ( x ， t ) ( W ⊗ Θ Γ ) Δ σ ( x ， t ) d x = 2 ε ∑ r = 1 m ∫ 0 L σ r T ( x ， t ) w r j Θ Γ ∂ σ r ( x ， t ) ∂ x | 0 L d x       − 2 ε ∑ r = 1 m ∑ j = 1 m ∫ 0 L ( ∂ σ r ( x ， t ) ∂ x ) T w r j Θ Γ ( ∂ σ j ( x ， t ) ∂ x ) d x = 2 ε σ T ( L ， t ) ( W ⊗ Θ Γ ) U ( t ) − 2 ε ∫ 0 L ( ∂ σ ( x ， t ) ∂ x ) T ( W ⊗ Θ Γ ) ( ∂ σ ( x ， t ) ∂ x ) d x . (10) 根据混合边界条件(2)以及引理1，当 ∏ > 0 时，结合(9)和(10)可得到下列不等式 − 2 ∫ 0 L ( ∂ σ ( x ， t ) ∂ x ) T ( I m ⊗ Θ D ) ( ∂ σ ( x ， t ) ∂ x ) d x − 2 ε ∫ 0 L ( ∂ σ ( x ， t ) ∂ x ) T ( W ⊗ Θ Γ ) ( ∂ σ ( x ， t ) ∂ x ) d x = − 2 ∫ 0 L ( ∂ σ ( x ， t ) ∂ x ) T ∏ ( ∂ σ ( x ， t ) ∂ x ) d x ≤ − π 2 2 L 2 ∫ 0 L σ T ( x ， t ) ∏ σ ( x ， t ) d x . (11) 由边界控制方案(5)可知 σ T ( L ， t ) ( I m ⊗ Θ D ) U ( t ) = − α ∑ r = 1 m σ r T ( L ， t ) Θ D σ r ( L ， t ) ( V r ( t ) ) p ‖ σ r ( L ， t ) ‖ 2 − β ∑ r = 1 m σ r T ( L ， t ) Θ D σ r ( L ， t ) ( V r ( t ) ) q ‖ σ r ( L ， t ) ‖ 2 = − α ∑ r = 1 m ∑ k = 1 n σ r k ( L ， t ) Θ k d k σ r k ( L ， t ) ( V r ( t ) ) p ‖ σ r ( L ， t ) ‖ 2 − β ∑ r = 1 m ∑ k = 1 n σ r k ( L ， t ) Θ k d k σ r k ( L ， t ) ( V r ( t ) ) q ‖ σ r ( L ， t ) ‖ 2 = − α ∑ k = 1 n ( σ k ( L ， t ) ) T Θ k d k I m σ ˜ k ( L ， t ) − β ∑ k = 1 n ( σ k ( L ， t ) ) T Θ k d k I m σ ^ k ( L ， t ) (12) 和 ε σ T ( L ， t ) ( W ⊗ Θ Γ ) U ( t ) = − ε α ∑ r = 1 m ∑ j = 1 m σ r T ( L ， t ) ω r j Θ Γ σ j ( L ， t ) ( V j ( t ) ) p ‖ σ j ( L ， t ) ‖ 2 − ε β ∑ r = 1 m ∑ j = 1 m σ r T ( L ， t ) ω r j Θ Γ σ j ( L ， t ) ( V j ( t ) ) q ‖ σ j ( L ， t ) ‖ 2 = − ε α ∑ r = 1 m ∑ j = 1 m ∑ k = 1 n σ r k ( L ， t ) ω r j Θ k d k σ r k ( L ， t ) ( V j ( t ) ) p ‖ σ j ( L ， t ) ‖ 2 − ε β ∑ r = 1 m ∑ j = 1 m ∑ k = 1 n σ r k ( L ， t ) ω r j Θ k d k σ r k ( L ， t ) ( V r ( t ) ) q ‖ σ r ( L ， t ) ‖ 2 = − ε α ∑ k = 1 n ( σ k ( L ， t ) ) T Θ k γ k W σ ˜ k ( L ， t ) − ε β ∑ k = 1 n ( σ k ( L ， t ) ) T Θ k γ k W σ ^ k ( L ， t ) . (13) 其中 σ k ( x ， t ) = ( σ 1 k ( x ， t ) ， σ 2 k ( x ， t ) ， ⋯ ， σ m k ( x ， t ) ) T ， σ ˜ k ( x ， t ) = ( σ 1 k ( x ， t ) ( V 1 ( t ) ) p ‖ σ 1 ( L ， t ) ‖ 2 ， σ 2 k ( x ， t ) ( V 2 ( t ) ) p ‖ σ 2 ( L ， t ) ‖ 2 ， ⋯ ， σ m k ( x ， t ) ( V m ( t ) ) p ‖ σ m ( L ， t ) ‖ 2 ) T ， σ ^ k ( x ， t ) = ( σ 1 k ( x ， t ) ( V 1 ( t ) ) q ‖ σ 1 ( L ， t ) ‖ 2 ， σ 2 k ( x ， t ) ( V 2 ( t ) ) q ‖ σ 2 ( L ， t ) ‖ 2 ， ⋯ ， σ m k ( x ， t ) ( V m ( t ) ) q ‖ σ m ( L ， t ) ‖ 2 ) T . 由(12)和(13)， σ T ( L ， t ) [ ( I m ⊗ Θ D ) + ε ( W ⊗ Θ Γ ) ] U ( t ) = − α ∑ k = 1 n ( σ k ( L ， t ) ) T ( Θ k d k I m + ε Θ k γ k W ) σ ˜ k ( L ， t ) − β ∑ k = 1 n ( σ k ( L ， t ) ) T ( Θ k d k I m + ε Θ k γ k W ) σ ^ k ( L ， t ) = − α ∑ k = 1 n ( σ k ( L ， t ) ) T Π k σ ˜ k ( L ， t ) − β ∑ k = 1 n ( σ k ( L ， t ) ) T Π k σ ^ k ( L ， t ) ≤ − α λ min ( Π ) ∑ k = 1 n [ ( σ 1 k ( L ， t ) ) 2 V 1 p ( t ) ‖ σ 1 ( L ， t ) ‖ 2 + ( σ 2 k ( L ， t ) ) 2 V 2 p ( t ) ‖ σ 2 ( L ， t ) ‖ 2 + ⋯ + ( σ m k ( L ， t ) ) 2 V m p ( t ) ‖ σ m ( L ， t ) ‖ 2 ] − β λ min ( Π ) ∑ k = 1 n [ ( σ 1 k ( L ， t ) ) 2 V 1 q ( t ) ‖ σ 1 ( L ， t ) ‖ 2 + ( σ 2 k ( L ， t ) ) 2 V 2 q ( t ) ‖ σ 2 ( L ， t ) ‖ 2 + ⋯ + ( σ m k ( L ， t ) ) 2 V m q ( t ) ‖ σ m ( L ， t ) ‖ 2 ] = − α λ min ( Π ) ∑ k = 1 m ( V r ( t ) ) p − β λ min ( Π ) ∑ k = 1 m ( V r ( t ) ) q . (14) 其次，考虑引理3以及 0 ≤ p < 1 ， q > 1 ，我们有 ∑ r = 1 m ( V r ( t ) ) p ≥ ( ∑ r = 1 m V r ( t ) ) p ，     ∑ r = 1 m ( V r ( t ) ) q ≥ m 1 − q ( ∑ r = 1 m V r ( t ) ) q ， 将它们带入(14)得 σ T ( L ， t ) [ ( I m ⊗ Θ D ) + ε ( W ⊗ Θ Γ ) ] U ( t ) ≤ − α λ min ( Π ) V p ( t ) − m 1 − q β λ min ( Π ) V q ( t ) . (15) 最后，将(8)~(15)带入(7)式，则对所有的 σ ( x ， t ) ∈ R n m \ { 0 n m } 有 V ˙ ( t ) ≤ ∫ 0 L σ T ( x ， t ) [ I m ⊗ ( [ Θ A ] s + ρ ‖ [ Θ B ] s ‖ I n ) ] σ ( x ， t ) d x   − π 2 2 L 2 ∫ 0 L σ T ( x ， t ) ∏ σ ( x ， t ) d x + ε ∫ 0 L σ T ( x ， t ) [ W ⊗ Θ Γ ^ ] s σ ( x ， t ) d x   − 2 α λ min ( ∏ ) V p ( t ) − 2 m 1 − q β λ min ( ∏ ) V q ( t ) = ∫ 0 L σ T ( x ， t ) Σ σ ( x ， t ) d x − α ˜ V p ( t ) − β ˜ V q ( t ) . 此外，根据矩阵分解理论，必存在一个实可逆矩阵M使得 Θ = M T M ，则有下列不等式成立： ∫ 0 L σ T ( x ， t ) Σ σ ( x ， t ) d x = ∫ 0 L ( ( I m ⊗ M ) σ ( x ， t ) ) T ( I m ⊗ M − 1 ) T Σ ( I m ⊗ M − 1 ) ( ( I m ⊗ M ) σ ( x ， t ) ) d x                                                               ≤ λ max ( Σ ˜ ) ∫ 0 L ( ( I m ⊗ M ) σ ( x ， t ) ) T ( ( I m ⊗ M ) σ ( x ， t ) ) d x . 因此，我们有 V ˙ ( t ) ≤ λ m ax ( Σ ˜ ) V ( t ) − α ˜ V p ( t ) − β ˜ V q ( t ) . 若对所有的 σ ( x ， t ) ∈ R n m \ { 0 n m } 有 λ max ( ∑ ˜ ) ≤ 0 ，即满足引理2中的情况(1)，则系统(1)在 T ¯ 1 内达到同步。 若对所有的 σ ( x ， t ) ∈ R n m \ { 0 n m } 有 0 < λ max ( ∑ ˜ ) < min { α ˜ ， β ˜ } ，即满足引理2中的情况(2)，则系统(1)在 T ¯ 2 内达到同步。 若 p + q = 2 ， 0 < λ max ( ∑ ˜ ) < 2 α ˜ β ˜ ，根据引理2中的情况(2)，则系统(1)在 T ¯ 3 内达到同步。 证毕。