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user: 1. 引言 本文研究如下Schrödinger-Poisson系统， { − d i v ( g 2 ( u ) ∇ u ) + g ( u ) g ′ ( u ) | ∇ u | 2 + λ ϕ G ( u ) g ( u ) = μ f ( u ) + | G ( u ) | 4 G ( u ) g ( u ) ， x ∈ Ω ， − Δ ϕ = G 2 ( u ) ， x ∈ Ω ， u ， ϕ = 0 ， x ∈ Ω ， (1.1) 其中 Ω 是 ℝ 3 中有界光滑区域 μ ， λ > 0 ，函数 f ∈ C ( R ， R ) 1 ， g ∈ C ( R ， R + ) 1 。 一方面，系统(1.1)源于如下拟线性薛定谔方程 i ∂ t z = − Δ z + W ( x ) z − k ( x ， | z | ) − Δ l ( | z | 2 ) l ′ ( | z | 2 ) z ， (1.2) 其中 z : ℝ × ℝ N → ℂ ， W : ℝ N → ℝ 是势函数， l : ℝ → ℝ ， k : ℝ N × ℝ → ℝ 是合适函数。对于各种类型的 l ，可以演绎成不同的Schrödinger方程，且具有不同的物理意义。特别的，在文献 [ 1 ] [ 2 ] 中，若 l ( s ) = s ，则方程(1.2)表示的是流体力学超流体膜方程。对于更多的物理背景，可以参考文献 [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]。设 z ( t ， x ) = exp ( − i E t ) u ( x ) ，其中 E ∈ ℝ 且 u 是实函数，则方程(1.2)即为如下椭圆型方程， − Δ u + V ( x ) u − Δ l ( u 2 ) l ′ ( u 2 ) u = h ( x ， u ) ， x ∈ ℝ N . (1.3) 如果取 g 2 ( u ) = 1 + [ ( l 2 ( u ) ) ′ ] 2 2 ，则方程(1.3)为如下拟线性椭圆方程 [ 7 ]， − d i v ( g 2 ( u ) ∇ u ) + g ( u ) g ′ ( u ) | ∇ u | 2 + V ( x ) u = h ( x ， u ) ， x ∈ ℝ N . (1.4) 另一方面，系统(1.1)源于如下的Schrödinger-Poisson系统， { − Δ u + V ( x ) u + λ ϕ u = f ( u ) ， x ∈ ℝ 3 ， − Δ ϕ = u 2 ， x ∈ ℝ 3 . (1.5) 系统(1.5)来自带有时间变量的Schrödinger-Poisson系统在物理学被用来描述量子粒子和自身运动所产生的电磁场的相互作用 [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]。由于系统(1.5)中含有 φ u u 这一项，表明(1.5)不是一个逐点成立的等式，称 φ u u 为非局部项。非局部项的出现让问题变得更加有趣。近年来，系统(1.5)引起了广大学者的关注，尤其是正解，多解，变号解，基态解和半经典解的存在性，具体可以参考文献 [ 12 ] - [ 20 ]。 在文献 [ 17 ] 中，当 f ( u ) = | u | p − 1 u 时，运用约束变分方法结合Brouwer度理论，Wang和Zhou证明了系统(1.5)对于所有的 λ > 0 有一个极小能量变号解。在文献 [ 20 ] 中，运用约束极小变分方法和形变引理，Shuai和Wang证明了(1.5)变号解的存在性，并且得到了系统(1.5)变号解的能量严格大于二倍基态解的能量。在文献 [ 21 ] 中，当 f ( u ) 在原点附近满足线性增长而在无穷远处满足3次线性增长条件下，运用变号Nehari流形的技巧，Zhong和Tang证明了系统(1.5)极小能量变号解的存在性和渐近行为。 在文献 [ 22 ] 中，Wang，Zhang和Guan研究了如下临界Schrödinger-Poisson系统， { − Δ u + V ( x ) u + λ ϕ u = | u | 4 u + μ f ( u ) ， x ∈ ℤ 3 ， − Δ ϕ = u 2 ， x ∈ ℝ 3 ， (1.6) 其中 V ( x ) 是光滑函数， μ ， λ > 0 。通过对非线性 f 施加适当的条件，当参数 μ 充分大的时候，运用约束变分方法和形变引理，作者证明了系统(1.6)极小能量变号解的存在性和能量特征。 最近，在文献 [ 23 ] 中，Zhu，Li和Liang研究了如下的广义Schrödinger-Poisson系统， { − d i v ( g 2 ( u ) ∇ u ) + g ( u ) g ′ ( u ) | ∇ u | 2 + V ( x ) u + μ ϕ G ( u ) g ( ( u ) ) = K ( x ) f ( u ) ， x ∈ ℝ 3 ， − Δ ϕ = G 2 ( u ) ， x ∈ ℝ 3 . (1.7) 当势在无穷远处消失时，作者运用山路定理证明了系统(1.7)基态解的存在性。随后，在文献 [ 24 ] 中，Chen，Tang和Cheng利用一些新的分析技巧和Non-Nehari流形方法获得了系统(1.7)基态变号解的存在性和能量特征。 受上述工作尤其是文献 [ 17 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 24 ] 的启发，自然的考虑对于系统(1.7)而言能不能在临界条件下讨论其变号解问题，即如何讨论系统(1.1)基态变号解的存在性？ 对于函数 f ， g ，我们假设 f ∈ C ( ℝ ， ℝ ) 1 ， g ∈ C ( ℝ ， ℝ + ) 1 满足下列条件： (F 1 ) lim t → 0 f ( t ) g ( t ) G 3 ( t ) = 0 ； (F 2 ) 存在 q ∈ ( 2 ， 6 ) 使得 lim t → ∞ f ( t ) g ( t ) G q − 1 ( t ) = 0 ； (F 3 ) f ( t ) g ( t ) G 3 ( t ) 是关于 t ∈ ℝ \ { 0 } 的增函数。 设 H 0 1 ( Ω ) 是标准的Hilbert空间，其上的范数为 ‖ u ‖ 2 = ∫ Ω | ∇ u | 2 d x 。注意到，对任意的 u ∈ H 0 1 ( Ω ) ，记 ϕ u 是 − Δ ϕ = u 2 在 D 1 ， 2 ( ℝ 3 ) 中的唯一解，且 ϕ u ( x ) = 1 4 π ∫ R 3 u 2 ( x ) | x − y | d y . 任意的 u ∈ H 0 1 ( Ω ) ，如果 G ( u ) ∈ H 0 1 ( Ω ) ，则 ϕ G ( u ) 是 − Δ ϕ = G 2 ( u ) 在 D 1 ， 2 ( ℝ 3 ) 中的弱解，且 ϕ G ( u ) ( x ) = 1 4 π ∫ R 3 G 2 ( u ( y ) ) | x − y | d y ， a . e . x ∈ ℝ 3 . 将 ϕ G ( u ) 带入(1.1)式，系统(1.1)转化为关于 u 的微分方程，其相对应的能量泛函定义为 J λ μ ( u ) = 1 2 ∫ Ω g 2 ( u ) | ∇ u | 2 d x + λ 4 ∫ Ω ϕ G ( u ) G 2 ( u ) d x − μ ∫ Ω F ( u ) d x − 1 6 ∫ Ω | G ( u ) | 6 d x . 因为 ∫ Ω g 2 ( u ) | ∇ u | 2 d x 在 H 0 1 ( Ω ) 不能很好的定义，为了克服这个困难，Shen和Wang [ 18 ] 对其进行了变量替换 u = G − 1 ( v ) ， 且 G ( u ) = ∫ 0 u g ( t ) d t ， ∀ v ∈ H 0 1 ( Ω ) ， 则 ∫ Ω g 2 ( u ) | ∇ u | 2 d x = ∫ Ω g 2 ( G − 1 ( v ) ) | ∇ G − 1 ( v ) | 2 d x : = ∫ Ω | ∇ v | 2 d x < ∞ 则系统(1.1)相对应的能量泛函为， J λ μ ( u ) = 1 2 ∫ Ω g 2 ( G − 1 ( v ) ) | ∇ G − 1 ( v ) | 2 d x + λ 4 ∫ Ω ϕ v v 2 d x − μ ∫ Ω F ( G − 1 ( v ) ) d x − 1 6 ∫ Ω | v | 6 d x ， x ∈ Ω . (1.8) 如果 v ∈ C 2 ( Ω ) 是(1.8)的临界点，则 u = G − 1 ( v ) ∈ C 2 ( Ω ) 是系统(1.1)的经典解。为了得到(1.8)的临界点，我们只需要寻找如下系统的弱解， { − Δ v + λ ϕ v = μ f ( G − 1 ( v ) ) g ( G − 1 ( v ) ) + | v | 4 v ， x ∈ Ω ， − Δ ϕ = v 2 ， x ∈ Ω ， v ， ϕ = 0 ， x ∈ ∂ Ω . (1.9) 因此 v ∈ H 0 1 ( Ω ) 是系统(1.9)的弱解当且仅当 ∫ Ω ∇ v ∇ φ d x + λ ∫ Ω ϕ v v φ d x = μ ∫ Ω f ( G − 1 ( v ) ) g ( G − 1 ( v ) ) φ d x + ∫ Ω | v | 4 v φ d x ， ∀ φ ∈ H 0 1 ( Ω ) . 为使问题变得简单，我们将系统(1.9)写成如下的形式， { − Δ v + λ ϕ v = μ f ˜ + | v | 4 v ， x ∈ Ω ， − Δ ϕ = v 2 ， x ∈ Ω ， v ， ϕ = 0 ， x ∈ ∂ Ω . (1.10) 其中 f ˜ ( v ) = f ( G − 1 ( v ) ) g ( G − 1 ( v ) ) ， F ˜ ( v ) = ∫ 0 v f ˜ ( t ) d t = ∫ 0 v f ( G − 1 ( t ) ) g ( G − 1 ( t ) ) d t . 与(1.10)相对应的能量泛函为： J λ μ ( v ) = 1 2 ∫ Ω | ∇ v | 2 d x + λ 4 ∫ Ω ϕ v v 2 d x − μ ∫ Ω F ˜ ( v ) d x − 1 6 ∫ Ω | v | 6 d x ， x ∈ Ω ， (1.11) 并且 J λ μ ( v ) 的Fréchet导数为， 〈 ( J λ μ ) ′ ， ψ 〉 = ∫ Ω ∇ v ∇ ψ d x + λ ∫ Ω ϕ v v ψ d x − ∫ Ω f ˜ ( v ) ψ d x − ∫ Ω | v | 4 v ψ d x ， ∀ ψ ∈ H 0 1 ( Ω ) . (1.12) 令 M λ μ = { v ∈ H 0 1 ( Ω ) \ { 0 } ， v ± ≠ 0 ， 〈 ( J λ μ ) ′ ( v ) ， v ± 〉 = 0 } ， N λ μ = { v ∈ H 0 1 ( Ω ) \ { 0 } | 〈 ( J λ μ ) ′ ( v ) ， v 〉 = 0 } . 主要结果如下： 定理1.1 如果系统(1.10)满足条件(f 1 )~(f 3 )，则存在 μ ∗ > 0 对任意的 μ ≥ μ ∗ 系统(1.10)有一个极小能量变号解 v λ ，它有两个变号区域，且满足 J λ μ ( v λ ) = inf v ∈ M λ μ J λ μ ( v ) = c λ μ 。 定理1.2 如果系统(1.10)满足条件(f 1 )~(f 3 )，则存在 μ ∗ ∗ > 0 对任意的 μ ≥ μ ∗ ∗ ， c ∗ > 0 是可达的，并且 J λ μ ( v λ ) > 2 c ∗ ，其中 c ∗ = inf v ∈ N λ μ J λ μ ( v ) ， v λ 是定理1.1中的极小能量变号解。