system: [SYSTEM]

user: 3. 主要结果 (H 1 ) f ， g : ( 0 ， + ∞ ) × [ 0 ， + ∞ ) × ( − ∞ ， + ∞ ) → [ 0 ， + ∞ ) 是连续函数并且满足 k 2 u ≤ f ( t ， u ， u ′ ) = g ( t ， v 1 ， v 2 ) ≤ ϕ ( t ) q ( t ， v 1 ， v 2 ) ，其中 ϕ : ( 0 ， + ∞ ) → [ 0 ， + ∞ ) 连续且在 t = 0 点奇异， ϕ ( t ) 在 [ 0 ， + ∞ ) 上不恒为0， q : [ 0 ， + ∞ ) × [ 0 ， + ∞ ) × ( − ∞ ， + ∞ ) → [ 0 ， + ∞ ) 是连续函数，对任意的 0 ≤ t ≤ + ∞ ， v 1 ， | v 2 | 属于 [ 0 ， + ∞ ) 上的有界集， q ( t ， v 1 ， v 2 ) 有界。 (H 2 ) ∫ 0 + ∞ ϕ ( s ) d s < + ∞ . 根据以上假设，定义积分算子 T : K → X ： ( T x ) ( t ) = γ 1 b ( t ) ρ + γ 2 a ( t ) ρ + ∫ 0 + ∞ G ( t ， s ) ( f ( s ， x ( s ) ， x ′ ( s ) ) − k 2 x ( s ) ) d s ，   t ∈ [ 0 ， + ∞ ) ， (3.1) 显然BVP(1.1)有解 x 当且仅当 x ∈ K 是由(3.1)定义的算子 T 的不动点。 引理3.1：假设条件(H 1 ) (H 2 )成立。则 T : K → K 是全连续算子。 证明：首先，我们证明 T : K → X 是有定义的且 T ( K ) ⊆ K 。对任意固定的 x ∈ K ，存在 γ * > 0 有 ‖ x ‖ ≤ γ * ，即 y 1 ( t ) = | x ( t ) | ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] ≤ γ * ，   y 2 ( t ) = x ′ ( t ) ≤ γ * ， t ∈ [ 0 ， + ∞ ) 。由条件(H 1 )易知 T x ≥ 0 ， S γ * : = sup { q ( t ， v 1 ， v 2 ) : 0 ≤ t ≤ + ∞ ， 0 ≤ v 1 ， | v 2 | ≤ γ * } < + ∞ 。因而，由条件(H 1 ) (H 2 )，对任意的 t ∈ [ 0 ， + ∞ ) ，有 ( T x ) ( t ) ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] = ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] ( γ 1 b ( t ) ρ + γ 2 a ( t ) ρ )     + ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] ∫ 0 + ∞ G ( t ， s ) ( f ( s ， x ( s ) ， x ′ ( s ) ) − k 2 x ( s ) ) d s ≤ γ 1 b ( t ) + γ 2 a ( t ) [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] + ∫ 0 + ∞ G ( t ， s ) ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] ( f ( s ， x ( s ) ， x ′ ( s ) ) − k 2 x ( s ) ) d s ≤ γ 1 b ( 0 ) + γ 2 a ( ∞ ) [ 1 + β 1 β 2 ] + ∫ 0 + ∞ ϕ ( s ) q ( s ， y 1 ( s ) ， y 2 ( s ) ) d s ≤ γ 1 b ( 0 ) + γ 2 a ( ∞ ) [ 1 + β 1 β 2 ] + S γ * ∫ 0 + ∞ ϕ ( s ) d s < + ∞ ， (3.2) ≤ sup t ∈ [ 0 ， + ∞ ) 1 p ( t ) ( α 1 γ 2 + α 2 γ 1 ρ + ∫ 0 + ∞ f ( s ， x ( s ) ， x ′ ( s ) ) d s ) ≤ sup t ∈ [ 0 ， + ∞ ) 1 p ( t ) ( α 1 γ 2 + α 2 γ 1 ρ + ∫ 0 + ∞ ϕ ( s ) q ( s ， y 1 ( s ) ， y 2 ( s ) ) d s ) ≤ sup t ∈ [ 0 ， + ∞ ) 1 p ( t ) ( α 1 γ 2 + α 2 γ 1 ρ + S γ * ∫ 0 + ∞ ϕ ( s ) d s ) < + ∞ . (3.3) 由(3.2)和(3.3)可得 T ( x ) ( t ) ∈ X 。由 G ( t ， s ) 的性质对任意的 t ∈ [ a * ， b * ] ，有 ( T x ) ( t ) ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] = γ 1 B ( t ) ρ ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] + γ 2 a ( t ) ρ ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] + ∫ 0 + ∞ G ( t ， s ) ( f ( s ， x ( s ) ， x ′ ( s ) ) − k 2 x ( s ) ) d s ≥ c * γ 1 b ( u ) + γ 2 a ( u ) ρ ρ − 1 [ 1 + a ( u ) b ( u ) ] + ∫ 0 + ∞ c * G ( u ， s ) ρ − 1 [ 1 + a ( u ) b ( u ) ] ( f ( s ， x ( s ) ， x ′ ( s ) ) − k 2 x ( s ) ) d s = c * ( γ 1 b ( u ) + γ 2 a ( u ) ρ ρ − 1 [ 1 + a ( u ) b ( u ) ] + ∫ 0 + ∞ G ( u ， s ) ρ − 1 [ 1 + a ( u ) b ( u ) ] ( f ( s ， x ( s ) ， x ′ ( s ) ) − k 2 x ( s ) ) d s ) = ( T x ) ( u ) ρ − 1 [ 1 + a ( u ) b ( u ) ] ， ∀ u ∈ [ 0 ， + ∞ ) . (3.4) 由(3.4)可知， min t ∈ [ a * ， b * ] ( T x ) ( t ) ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] ≥ c * ( T x ) ( u ) ρ − 1 [ 1 + a ( u ) b ( u ) ] ， ∀ u ∈ [ 0 ， + ∞ ) 。因此， T ( K ) ⊆ K 。 其次，对任意的自然数 m ，定义算子 T m : K → K ： ( T m x ) ( t ) = γ 1 b ( t ) ρ + γ 2 a ( t ) ρ + ∫ 1 m ∞ G ( t ， s ) ( f ( s ， x ( s ) ， x ′ ( s ) ) − k 2 x ( s ) ) d s ， t ∈ [ 0 ， + ∞ ) . (3.5) 下面，对 m ≥ 1 ，我们将证明 T m : K → K 是全连续的。首先证明 T m : K → K 是连续的。假设 x n ， x ∈ K 且 ‖ x n − x ‖ → 0 。由(3.5)和条件(H 2 )可知 | ( T m x n ) ( t ) − ( T m x ) ( t ) | ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] = | ∫ 1 m ∞ G ( t ， s ) ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] ( f ( s ， x n ( s ) ， x ′ n ( s ) ) − k 2 x n ( s ) ) d s     − ∫ 1 m ∞ G ( t ， s ) ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] ( f ( s ， x ( s ) ， x ′ ( s ) ) − k 2 x ( s ) ) d s | ≤ ∫ 1 m ∞ G ( t ， s ) ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] | f ( s ， x n ( s ) ， x ′ n ( s ) ) + f ( s ， x ( s ) ， x ′ ( s ) ) | d s = ∫ 1 m ∞ G ( t ， s ) ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] | g ( s ， y 1 n ( s ) ， y 2 n ( s ) ) + g ( s ， y 1 ( s ) ， y 2 ( s ) ) | d s ≤ ∫ 1 m ∞ G ( t ， s ) ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] ϕ ( s ) ( q ( s ， y 1 n ( s ) ， y 2 n ( s ) ) + q ( s ， y 1 ( s ) ， y 2 ( s ) ) ) d s ≤ ∫ 1 m ∞ ϕ ( s ) ( q ( s ， y 1 n ( s ) ， y 2 n ( s ) ) + q ( s ， y 1 ( s ) ， y 2 ( s ) ) ) d s ≤ 2 S γ * ∫ 0 ∞ ϕ ( s ) d s < + ∞ ， 其中 S γ * : = sup { q ( t ， v 1 ， v 2 ) : 0 ≤ t ≤ + ∞ ， 0 ≤ v 1 ， | v 2 | ≤ γ * } < + ∞ (由条件(H 1 )可得)， γ * 是一个实数并且 γ * ≥ max n ∈ N { ‖ x ‖ ， ‖ x n ‖ } ， N 表示自然数集。 ≤ sup t ∈ [ 0 ， + ∞ ) 1 p ( t ) ( ∫ 1 m t α 2 a ( s ) ρ | f ( s ， x n ( s ) ， x ′ n ( s ) ) + f ( s ， x ( s ) ， x ′ ( s ) ) | d s     + ∫ t ∞ α 1 b ( s ) ρ | f ( s ， x n ( s ) ， x ′ n ( s ) ) + f ( s ， x ( s ) ， x ′ ( s ) ) | d s ) = sup t ∈ [ 0 ， + ∞ ) 1 p ( t ) ( ∫ 1 m t α 2 a ( s ) ρ | g ( s ， y 1 n ( s ) ， y 2 n ( s ) ) + g ( s ， y 1 ( s ) ， y 2 ( s ) ) | d s + ∫ t ∞ α 1 b ( s ) ρ | g ( s ， y 1 n ( s ) ， y 2 n ( s ) ) + g ( s ， y 1 ( s ) ， y 2 ( s ) ) | d s ) ≤ sup t ∈ [ 0 ， + ∞ ) 1 p ( t ) ∫ 1 m t 2 ( g ( s ， y 1 n ( s ) ， y 2 n ( s ) ) + g ( s ， y 1 ( s ) ， y 2 ( s ) ) ) d s ≤ sup t ∈ [ 0 ， + ∞ ) 1 p ( t ) ∫ 1 m t 2 ϕ ( s ) ( q ( s ， y 1 n ( s ) ， y 2 n ( s ) ) + q ( s ， y 1 ( s ) ， y 2 ( s ) ) ) d s ≤ 4 S γ * sup t ∈ [ 0 ， + ∞ ) 1 p ( t ) ∫ 0 ∞ ϕ ( s ) d s < + ∞ . 对任意的 ε > 0 ，由条件(H 2 )，存在充分大的 A 0 ， A ′ 0 ( A 0 ， A ′ 0 > 1 m ) 满足 2 λ S γ * ∫ A 0 ∞ ϕ ( s ) d s < ε 3 ， (3.6) 4 S γ * sup t ∈ [ 0 ， + ∞ ) 1 p ( t ) ∫ A ′ 0 ∞ ϕ ( s ) d s < ε 3 . (3.7) 由 ‖ x n − x ‖ → 0 ， n → + ∞ ，存在一个充分大的自然数 N 0 使得 n > N 0 时，对任意的 s ∈ [ 0 ， + ∞ ) ，有 | x n ( s ) − x ( s ) | ρ − 1 [ 1 + a ( s ) b ( s ) ] ≤ ‖ x n − x ‖ < ε 3 ( k 2 ∫ 1 m A 0 G ( s ， s ) ( 1 + a ( s ) b ( s ) ) 1 + β 1 β 2 d s ) − 1 . (3.8) 由 g ( t ， v 1 ， v 2 ) 在 [ 1 / m ， A 0 ] * [ 0 ， γ * ] * [ 0 ， γ * ] 上的连续性，对上述的 ε > 0 ，存在 δ > 0 ，对任意的 s ∈ [ 1 / m ， A 0 ] ， v 1 ， v 2 ， v ′ 1 ， v ′ 2 ∈ [ 0 ， γ * ] * [ 0 ， γ * ] ，当 | v 1 − v ′ 1 | < δ ， | v 2 − v ′ 2 | < δ 时，有 | g ( s ， v 1 ， v 2 ) − g ( s ， v ′ 1 ， v ′ 2 ) | < ε 3 ( A 0 − 1 / m ) − 1 . (3.9) 由 ‖ x n − x ‖ → 0 ， n → + ∞ ，存在一个充分大的自然数 N 1 > N 0 ，使得 n > N 1 时，对任意的 s ∈ [ 1 / m ， A 0 ] ，有 | x n ( s ) − x ( s ) | ρ − 1 [ 1 + a ( s ) b ( s ) ] ≤ ‖ x n − x ‖ < δ ，   | x ′ n ( s ) − x ′ ( s ) | ≤ ‖ x n − x ‖ < δ . 所以，由(3.9)，当 n > N 1 时，对任意的 s ∈ [ 1 / m ， A 0 ] ，可得 | f ( s ， x n ( s ) ， x ′ n ( s ) ) − f ( s ， x ( s ) ， x ′ ( s ) ) | = | g ( s ， y 1 n ( s ) ， y 2 n ( s ) ) − g ( s ， y 1 ( s ) ， y 2 ( s ) ) | < ε 3 ( A 0 − 1 / m ) − 1 . (3.10) 因此，由(3.6)，(3.8)~(3.10)，当 n > N 1 时，对任意的 t ∈ [ 0 ， + ∞ ) ，有 | | ( T m x n ) ( t ) − ( T m x ) ( t ) | | ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] = | ∫ 1 m ∞ G ( t ， s ) ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] ( f ( s ， x n ( s ) ， x ′ n ( s ) ) − k 2 x n ( s ) ) d s     − ∫ 1 m ∞ G ( t ， s ) ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] ( f ( s ， x ( s ) ， x ′ ( s ) ) − k 2 x ( s ) ) d s | ≤ ∫ 1 m A 0 G ( t ， s ) ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] ( | f ( s ， x n ( s ) ， x ′ n ( s ) ) − f ( s ， x ( s ) ， x ′ ( s ) ) | + k 2 | x n ( s ) − x ( s ) | ) d s     + ∫ A 0 ∞ G ( t ， s ) ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] ( f ( s ， x n ( s ) ， x ′ n ( s ) ) + f ( s ， x ( s ) ， x ′ ( s ) ) ) d s ≤ ∫ 1 m A 0 | f ( s ， x n ( s ) ， x ′ n ( s ) ) − f ( s ， x ( s ) ， x ′ ( s ) ) |     + ∫ 1 m A 0 k 2 G ( s ， s ) ( 1 + a ( s ) b ( s ) ) [ 1 + β 1 β 2 ] | x n ( s ) − x ( s ) | ρ − 1 [ 1 + a ( s ) b ( s ) ] d s     + ∫ A 0 ∞ ( f ( s ， x n ( s ) ， x ′ n ( s ) ) + f ( s ， x ( s ) ， x ′ ( s ) ) ) d s ≤ 2 ε 3 + ∫ A 0 ∞ ϕ ( s ) ( q ( s ， y 1 n ( s ) ， y 2 n ( s ) ) + q ( s ， y 1 ( s ) ， y 2 ( s ) ) ) d s ≤ 2 ε 3 + 2 S γ * ∫ A 0 ∞ ϕ ( s ) d s < ε . (3.11) 另一方面，类似于(3.11)的证明，结合(3.7)，可得 | ( T m x n ) ′ ( t ) − ( T m x ) ′ ( t ) | < ε 。即对每一个自然数 m ， T m : K → K 是连续的。 下面证明，对每一个自然数 m ， T m : K → K 是紧的。假设 M 是 K 中的任意有界子集，则存在常数 r 0 > 0 ，使得 ‖ x ‖ ≤ r 0 ， x ∈ M 。由(3.5)，条件(H 1 )和(H 2 )，对任意的 x ∈ M ，有 ( T m x ) ( t ) ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] = ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] ( γ 1 b ( t ) ρ + γ 2 a ( t ) ρ )     + ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] ∫ 1 m ∞ G ( t ， s ) ( f ( s ， x n ( s ) ， x ′ n ( s ) ) − k 2 x n ( s ) ) d s ≤ γ 1 b ( 0 ) + γ 2 a ( ∞ ) 1 + β 1 β 2 + ∫ 1 m ∞ ϕ ( s ) q ( s ， y 1 ( s ) ， y 2 ( s ) ) d s ≤ γ 1 b ( 0 ) + γ 2 a ( ∞ ) 1 + β 1 β 2 + S γ 0 ∫ 0 ∞ ϕ ( s ) d s < + ∞ ， 其中 S γ 0 : = sup { q ( t ， v 1 ， v 2 ) : 0 ≤ t ≤ + ∞ ， 0 ≤ v 1 ， | v 2 | ≤ γ 0 } 。因此， T m M 一致有界。对任意的 t ， t ′ ∈ [ 0 ， + ∞ ) ，可得 即 T m M 在 [ 0 ， + ∞ ) 上等度连续。由于 并且可以证明 | ( T m x ) ′ ( t ) − ( T m x ) ′ ( ∞ ) | → 0 ， t → ∞ ，所以 T m M 一致收敛。由引理2.2，对每一个自然数 m ， T m : K → K 是全连续算子。 最后证明， T : K → K 是全连续算子。对任意的 t ∈ [ 0 ， + ∞ ) ， x ∈ K ， ‖ x ‖ ≤ 1 ，即 y 1 ( t ) = x ( t ) ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] ≤ 1 ， y 2 ( t ) = x ′ ( t ) ≤ | x ′ ( t ) | ≤ 1 ， t ∈ [ 0 ， + ∞ ) 。 | ( T x ) ( t ) − ( T m x ) ( t ) | ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] = ∫ 0 1 m G ( t ， s ) ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] ( f ( s ， x ( s ) ， x ′ ( s ) ) − k 2 x ( s ) ) d s ≤ ∫ 0 1 m G ( t ， s ) ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] g ( s ， y 1 ( s ) ， y 2 ( s ) ) d s ≤ ∫ 0 1 m G ( t ， s ) ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] ϕ ( s ) q ( s ， y 1 ( s ) ， y 2 ( s ) ) d s ≤ S 1 ∫ 0 1 m ϕ ( s ) d s → 0 ，     m → + ∞ . 其中 S 1 : = sup { q ( t ， v 1 ， v 2 ) : 0 ≤ v 1 ， | v 2 | ≤ 1 } < + ∞ . | ( T x ) ′ ( t ) − ( T m x ) ′ ( t ) | = | − α 2 ρ p ( t ) ∫ 0 1 m a ( s ) ( f ( s ， x ( s ) ， x ′ ( s ) ) − k 2 x ( s ) ) d s | ≤ sup t ∈ [ 0 ， + ∞ ) 1 p ( t ) ∫ 0 1 m g ( s ， y 1 ( s ) ， y 2 ( s ) ) d s ≤ sup t ∈ [ 0 ， + ∞ ) 1 p ( t ) ∫ 0 1 m ϕ ( s ) q ( s ， y 1 ( s ) ， y 2 ( s ) ) d s ≤ S 1 sup t ∈ [ 0 ， + ∞ ) 1 p ( t ) ∫ 0 1 m ϕ ( s ) d s → 0 ， m → + ∞ . 由此可知 ‖ T x − T m ‖ → 0 ，   m → + ∞ ， 即 T : K → K 是全连续算子。 定理3.1：假设条件(H 1 ) (H 2 )成立，并且 q ，   g 满足下列条件 (H 3 ) 0 ≤ lim v 1 ， ， v 2 → 0 + min t ∈ [ 0 ， + ∞ ) q ( t ， v 1 ， v 2 ) max { v 1 ， | v 2 | } < L ，   k 2 < l < lim v 1 + | v 2 | → + ∞ min t ∈ [ a * ， b * ] g ( t ， v 1 ， v 2 ) v 1 + | v 2 | ≤ + ∞ ， L = max { ( 1 − γ 1 b ( 0 ) + γ 2 a ( 0 ) r 1 ( 1 + β 1 β 2 ) ) ( ∫ 0 ∞ ϕ ( s ) d s ) − 1 ，   ( 1 sup t ∈ [ 0 ， + ∞ ) 1 p ( t ) − α 1 γ 2 + α 2 γ 1 ρ r 1 ) ( ∫ 0 ∞ ϕ ( s ) d s ) − 1 } ， l = max { k 2 + 1 ，   ( ( ∫ a * b * G ( t ， s ) d s ) − 1 + k 2 ) − 1 1 + a ( ∞ ) b ( 0 ) ρ } ，   r 1 > 0. 则BVP(1.1)至少有一个解。 证明：由条件(H 3 )的第一个不等式，存在 ε 0 > 0 ，   r > 0 满足 q ( t ， v 1 ， v 2 ) ≤ ( L − ε 0 ) max { v 1 ， | v 2 | } ，   0 ≤ r ，   t ∈ [ 0 ， + ∞ ) . (3.12) r > r 1 时，对任意的 0 ≤ v 1 ， | v 2 | ≤ r 1 ，   t ∈ [ 0 ， + ∞ ) ，(3.12)同样成立。记 K r 1 = { x ∈ K : ‖ x ‖ < r 1 } ，对任意的 x ∈ ∂ K r 1 ，有 y 1 ( t ) = x ( t ) ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] ≤ r 1 ， y 2 ( t ) = | x ′ ( t ) | ≤ r 1 ，所以 q ( t ， y 1 ( t ) ， y 2 ( t ) ) ≤ ( L + ε ) { y 1 ( t ) ， | y 2 ( t ) | } . 对任意的 t ∈ [ 0 ， + ∞ ) ， | ( T x ) ( t ) | ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] = γ 1 b ( t ) ρ ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] + γ 2 a ( t ) ρ ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ]     + ∫ 0 ∞ G ( t ， s ) ( f ( s ， x ( s ) ， x ′ ( s ) ) − k 2 x ( s ) ) d s ≤ γ 1 b ( t ) + γ 2 a ( t ) [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] + ∫ 0 ∞ G ( t ， s ) ρ − 1 [ 1 + a ( t ) b ( t ) ] g ( s ， y 1 ( s ) ， y 2 ( s ) ) d s ≤ γ 1 b ( 0 ) + γ 2 a ( ∞ ) 1 + β 1 β 2 + ∫ 0 ∞ ϕ ( s ) q ( s ， y 1 ( s ) ， y 2 ( s ) ) d s ≤ γ 1 b ( 0 ) + γ 2 a ( ∞ ) 1 + β 1 β 2 + ( L − ε 0 ) max { y 1 ( s ) ， | y 2 ( s ) | } ∫ 0 ∞ ϕ ( s ) d s ≤ ‖ x ‖ = r 1 . ≤ sup t ∈ [ 0 ， + ∞ ) 1 p ( t ) ( α 1 γ 2 + α 2 γ 1 ρ + ∫ 0 ∞ f ( s ， x ( s ) ， x ′ ( s ) ) d s ) ≤ sup t ∈ [ 0 ， + ∞ ) 1 p ( t ) ( α 1 γ 2 + α 2 γ 1 ρ + ∫ 0 ∞ ϕ ( s ) q ( s ， y 1 ( s ) ， y 2 ( s ) ) d s ) ≤ sup t ∈ [ 0 ， + ∞ ) 1 p ( t ) ( α 1 γ 2 + α 2 γ 1 ρ + ( L − ε 0 ) max { y 1 ( s ) ， | y 2 ( s ) | } ∫ 0 ∞ ϕ ( s ) d s ) ≤ ‖ x ‖ = r 1 . 另一方面，由条件(H 3 )的第二个不等式，存在 r 0 > c * r 1 > 0 满足 g ( t ， v 1 ， v 2 ) ≥ ( l + ε 0 ) ( v 1 + | v 2 | ) ，   v 1 ， | v 2 | ≥ r 0 ，   t ∈ [ a * ， b * ] . (3.13) 取 r 2 = r 1 + c * r 1 > r 1 ， K r 2 = { x ∈ K ， ‖ x ‖ < r 2 } ， x 0 = 1 ∈ ∂ K 1 下面证明 x ≠ T x + μ x 0 ，   ∀ x ∈ ∂ K r 2 ，   ∀ μ > 0. (3.14) 否则，存在 x ∈ ∂ K r 2 ， μ * > 0 ，有 x * = T x * + μ * ，由(3.13)和 y 1 * ( t ) + y 2 * = x * ( t ) ρ − 1 ( 1 + a ( t ) b ( t ) ) + | x ′ * ( t ) | ≥ c * x * ( u ) ρ − 1 ( 1 + a ( u ) b ( u ) ) + | x ′ * ( t ) | ≥ c * ( ‖ x 0 ‖ + ‖ x ′ ‖ ) > c * r 2 > r 0 ，   t ∈ [ a * ， b * ] ，   u ∈ [ 0 ， + ∞ ) 可知 g ( t ， y 1 * ( t ) ， y 2 * ( t ) ) ≥ ( l + ε 0 ) ( y 1 * ( t ) + | y 2 * ( t ) | ) . (3.15) 假设 ξ = min { x * ( t ) : t ∈ [ a * ， b * ] } ，则 x * ( t ) = γ 1 b ( t ) ρ + γ 2 a ( t ) ρ + ∫ 0 ∞ G ( t ， s ) ( f ( s ， x * ( s ) ， x ′ * ( s ) ) − k 2 x * ( s ) ) d s ≥ ∫ a * b * G ( t ， s ) ( g ( s ， y 1 * ( s ) ， y 2 * ( s ) ) − k 2 x * ( s ) ) d s + μ 2 ≥ ∫ a * b * G ( t ， s ) ( l + ε 0 ) ( y 1 * ( s ) + | y 2 * ( s ) | − k 2 x * ( s ) ) d s + μ 2 = ∫ a * b * G ( t ， s ) ( l + ε 0 ) ( x * ( s ) ρ − 1 ( 1 + a ( s ) b ( s ) ) + | x ′ * ( s ) | − k 2 x * ( s ) ) d s + μ 2 > min s ∈ [ a * ， b * ] x * ( s ) ∫ a * b * G ( t ， s ) ( ( l + ε 0 ) ρ − 1 ( 1 + a ( s ) b ( s ) ) − k 2 ) d s + μ 2 > min s ∈ [ a * ， b * ] x * ( s ) ∫ a * b * G ( t ， s ) ( ( l + ε 0 ) ρ − 1 ( 1 + a ( ∞ ) b ( 0 ) ) − k 2 ) d s + μ 2 > ξ + μ 2 > ξ . 即 ξ < ξ ，所以(3.14)成立。根据以上的讨论，引理3.1和2.3， T 有不动点 x 满足 0 < r 1 < ‖ x ‖ ≤ r 2 。易知 x 是BVP(1.1)的正解。 类似于定理3.1的证明可得下面的定理3.2成立。 定理3.2：假设条件(H 1 ) (H 2 )成立，并且 q ，   g 满足下列条件 (H 4 ) 0 ≤ lim v 1 ， | v 2 | → ∞ max t ∈ [ 0 ， + ∞ ) q ( t ， v 1 ， v 2 ) max { v 1 ， | v 2 | } < L ，   k 2 < l < lim v 1 ， | v 2 | → 0 + max t ∈ [ a * ， b * ] g ( t ， v 1 ， v 2 ) max { v 1 ， | v 2 | } ≤ + ∞ . L ，   l 的定义同定理3.1。则BVP(1.1)至少有一个正解。