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user: 2. 主要结果 2.1. 协同 ( r ， ( h ， m ) ) -凸函数概念及引理 本节将定义二元函数的一个分量满足r-凸性，另一个分量为具有广义 ( h ， m ) -凸性的协同 ( r ， ( h ， m ) ) -凸函数概念和协同 ( ( h ， m ) ， r ) -凸函数概念。 定义1.1设常数 0 < m ≤ 1 ，函数 h : [ 0 ， 1 ] → [ 0 ， ∞ ) ，实数 r ∈ ℝ ，函数 f : Δ = [ a ， b ] × [ 0 ， d ] ⊆ ℝ + × ℝ 0 → ℝ + ，其中 a < b ， 0 < d 。称二元函数 f ( x ， y ) 为区域 Δ 上的协同 ( r ， ( h ， m ) ) -凸函数，若对任意点 ( x ， y ) ， ( z ， w ) ∈ Δ 和任意的 ( t ， λ ) ∈ [ 0 ， 1 ] 2 ，有 若 r ≠ 0 ，有 f ( [ t x r + ( 1 − t ) z r ] 1 / r ， λ y + m ( 1 − λ ) w ) ≤ h ( λ ) { t [ f ( x ， y ) ] r + ( 1 − t ) [ f ( z ， y ) ] r } 1 / r + m h ( 1 − λ ) { t [ f ( x ， w ) ] r + ( 1 − t ) [ f ( z ， w ) ] r } 1 / r ， (3.1.1) 若 r = 0 ，有 f ( x t z 1 − t ， λ y + m ( 1 − λ ) w ) ≤ h ( λ ) [ f ( x ， y ) ] t [ f ( z ， y ) ] 1 − t + h ( 1 − λ ) [ f ( x ， w ) ] t [ f ( z ， w ) ] 1 − t . 定义1.2设常数 0 < m ≤ 1 ，函数 h : [ 0 ， 1 ] → ( 0 ， ∞ ) ， r ∈ ℝ ， 函数 f : Δ = [ 0 ， b ] × [ c ， d ] → ℝ + ，其中 0 < b ， 0 < c < d 。称二元函数 f ( x ， y ) 为区域 Δ 上的协同 ( ( h ， m ) ， r ) -凸函数，若对任意点 ( x ， y ) ， ( z ， w ) ∈ Δ 和任意的 ( t ， λ ) ∈ ( 0 ， 1 ) × [ 0 ， 1 ] ，有 若 r ≠ 0 ，有 f ( t x + m ( 1 − t ) z ， [ λ y r + ( 1 − λ ) w r ] 1 / r ) ≤ h ( t ) { λ [ f ( x ， y ) ] r + ( 1 − λ ) [ f ( x ， w ) ] r } 1 / r + m h ( 1 − t ) { λ [ f ( z ， y ) ] r + ( 1 − λ ) [ f ( z ， w ) ] r } 1 / r 若 r = 0 ，有 f ( t x + m ( 1 − t ) z ， y λ w 1 − λ ) ≤ h ( t ) [ f ( x ， y ) ] λ [ f ( x ， w ) ] 1 − λ + m h ( 1 − t ) [ f ( z ， y ) ] λ [ f ( z ， w ) ] 1 − λ . 2.2. 协同 ( r ， ( h ， m ) ) -凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式 本节将研究协同 ( r ， ( h ， m ) ) 凸函数的积分估计问题，建立协同 ( r ， ( h ， m ) ) -凸函数的几个Hermite-Hadamard型积分不等式。 定理2.1设 r ∈ ℝ ， r ≠ 0 ， 0 < m ≤ 1 ，函数 h : [ 0 ， 1 ] → ( 0 ， ∞ ) ，且函数 f : Δ = [ a ， b ] × [ 0 ， d m ] → ℝ + 为 ( r ， ( h ， m ) ) -凸函数， 0 < a < b ， 0 < c < d ，若 f ∈ L 1 ( Δ ) ，则 r ( b r − a r ) ( d − c ) ∫ c d ∫ a b f ( x ， y ) x 1 − r d x d y ≤ [ L r ( f ( a ， c ) ， f ( b ， c ) ) + m L r ( f ( a ， d m ) ， f ( b ， d m ) ) ] ∫ 0 1 h ( λ ) d λ ， 其中 L r ( u ， v ) 为广义对数平均数。 证 作变换 x = t a r + ( 1 − t ) b r r ， y = λ c + ( 1 − λ ) d ， ( t ， λ ) ∈ [ 0 ， 1 ] 2 ，由 f ( x ， y ) 的协同 ( r ， ( h ， m ) ) -凸性，有 r ( b r − a r ) ( d − c ) ∫ c d ∫ a b f ( x ， y ) x 1 − r d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 f ( [ t a r + ( 1 − t ) b r ] 1 / r ， λ c + ( 1 − λ ) d ) d t d λ = ∫ 0 1 ∫ 0 1 f ( [ t a r + ( 1 − t ) b r ] 1 / r ， λ c + m ( 1 − λ ) d m ) d t d λ ≤ ∫ 0 1 ∫ 0 1 [ h ( λ ) { t [ f ( a ， c ) ] r + ( 1 − t ) [ f ( b ， c ) ] r } 1 / r + m h ( 1 − λ ) { t [ f ( a ， d m ) ] r + ( 1 − t ) [ f ( b ， d m ) ] r } 1 / r ] d t d λ = ∫ 0 1 h ( λ ) d λ ∫ 0 1 { t [ f ( a ， c ) ] r + ( 1 − t ) [ f ( b ， c ) ] r } 1 / r d t + m ∫ 0 1 h ( 1 − λ ) d λ ∫ 0 1 { t [ f ( a ， d m ) ] r + ( 1 − t ) [ f ( b ， d m ) ] r } 1 / r d t = { ∫ 0 1 ( t [ f ( a ， c ) ] r + ( 1 − t ) [ f ( b ， c ) ] r ) 1 / r d t + m ∫ 0 1 ( t [ f ( a ， d m ) ] r + ( 1 − t ) [ f ( b ， d m ) ] r ) 1 / r d t } ∫ 0 1 h ( λ ) d λ     . 经计算可得 ∫ 0 1 ( t [ f ( a ， c ) ] r + ( 1 − t ) [ f ( b ， c ) ] r ) 1 / r d t = L r ( f ( a ， c ) ， f ( b ， c ) ) ， ∫ 0 1 ( t [ f ( a ， d m ) ] r + ( 1 − t ) [ f ( b ， d m ) ] r ) 1 / r d t = L r ( f ( a ， d m ) ， f ( b ， d m ) ) . 由上述三个公式，我们有 r ( b r − a r ) ( d − c ) ∫ c d ∫ a b f ( x ， y ) x 1 − r d x d y ≤ { ∫ 0 1 ( t [ f ( a ， c ) ] r + ( 1 − t ) [ f ( b ， c ) ] r ) 1 / r d t + m ∫ 0 1 ( t [ f ( a ， d m ) ] r + ( 1 − t ) [ f ( b ， d m ) ] r ) 1 / r d t } ∫ 0 1 h ( λ ) d λ = [ L r ( f ( a ， c ) ， f ( b ， c ) ) + m L r ( f ( a ， d m ) ， f ( b ， d m ) ) ] ∫ 0 1 h ( λ ) d λ 推论2.1.1在定理2.1的条件下，若 m = 1 ，有 r ( b r − a r ) ( d − c ) ∫ c d ∫ a b f ( x ， y ) x 1 − r d x d y ≤ [ L r ( f ( a ， c ) ， f ( b ， c ) ) + L r ( f ( a ， d ) ， f ( b ， d ) ) ] ∫ 0 1 h ( λ ) d λ ， 其中 L r ( u ， v ) 为广义对数平均数。 定理2.2 设常数 0 < m ≤ 1 ，函数 h : [ 0 ， 1 ] → [ 0 ， ∞ ) ，函数 f : Δ = [ a ， b ] × [ 0 ， d m ] → ℝ + 为协同 ( 0 ， ( h ， m ) ) -凸函数，若 f ∈ L 1 ( Δ ) ，则 1 ( ln b − ln a ) ( d − c ) ∫ c d ∫ a b f ( x ， y ) x d x d y ≤ ∫ 0 1 h ( λ ) d λ [ L ( f ( a ， c ) ， f ( b ， c ) ) + m L ( f ( a ， d m ) ， f ( b ， d m ) ) ] ， 其中 L ( u ， v ) 为对数平均数。 证 作变换 x = a t b 1 − t ， y = λ c + ( 1 − λ ) d ， ( t ， λ ) ∈ [ 0 ， 1 ] 2 ，再由 f ( x ， y ) 的协同 ( 0 ， ( h ， m ) ) -凸性，有 1 ( ln b − ln a ) ( d − c ) ∫ c d ∫ a b f ( x ， y ) x d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 f ( a t b 1 − t ， λ c + ( 1 − λ ) d ) d t d λ ≤ ∫ 0 1 ∫ 0 1 { h ( λ ) [ f ( a ， c ) ] t [ f ( b ， c ) ] 1 − t + m h ( 1 − λ ) [ f ( a ， d m ) ] t [ f ( b ， d m ) ] 1 − t } d t d λ = ∫ 0 1 h ( λ ) d λ ∫ 0 1 [ f ( a ， c ) ] t [ f ( b ， c ) ] 1 − t d t + ∫ 0 1 h ( 1 − λ ) d λ ∫ 0 1 m [ f ( a ， d m ) ] t [ f ( b ， d m ) ] 1 − t d t = ∫ 0 1 h ( λ ) d λ ∫ 0 1 { [ f ( a ， c ) ] t [ f ( b ， c ) ] 1 − t + m [ f ( a ， d m ) ] t [ f ( b ， d m ) ] 1 − t } d t     . 因 ∫ 0 1 [ f ( a ， c ) ] t [ f ( b ， c ) ] 1 − t d t = L ( f ( a ， c ) ， f ( b ， c ) ) ， ∫ 0 1 [ f ( a ， d m ) ] t [ f ( b ， d m ) ] 1 − t d t = L ( f ( a ， d m ) ， f ( b ， d m ) ) . 于是，有 1 ( ln b − ln a ) ( d − c ) ∫ c d ∫ a b f ( x ， y ) x d x d y ≤ ∫ 0 1 h ( λ ) d λ ∫ 0 1 { [ f ( a ， c ) ] t [ f ( b ， c ) ] 1 − t + m [ f ( a ， d m ) ] t [ f ( b ， d m ) ] 1 − t } d t = [ L ( f ( a ， c ) ， f ( b ， c ) ) + m L ( f ( a ， d m ) ， f ( b ， d m ) ) ] ∫ 0 1 h ( λ ) d λ     . 故定理证毕。 推论2.2.1 在定理2.2的条件下，若 m = 1 ，有 1 ( ln b − ln a ) ( d − c ) ∫ c d ∫ a b f ( x ， y ) x d x d y ≤ [ L ( f ( a ， c ) ， f ( b ， c ) )   + L ( f ( a ， d ) ， f ( b ， d ) ) ] ∫ 0 1 h ( λ ) d λ ， 其中 L ( u ， v ) 为对数平均数。 定理2.3 设 r ∈ ℝ ， r ≠ 0 ，常数 m ∈ ( 0 ， 1 ] ，函数 h : [ 0 ， 1 ] → [ 0 ， ∞ ) ，函数 f : Δ = [ a ， b ] × [ 0 ， d m ] → ℝ + 为 ( r ， ( h ， m ) ) -凸函数， 0 < a < b ， 0 < c < d ，且 f ∈ L 1 ( Δ ) 。 (i) 若 r ≥ 1 ，则 f ( ( a r + b r 2 ) 1 / r ， c + d 2 ) ≤ h ( 1 2 ) r ( b r − a r ) ( d − c ) ∫ c d ∫ a b ( f ( x ， y ) x 1 − r + m f ( x ， y m ) x 1 − r ) d x d y ， (ii) 若 r < 1 ，则 f ( ( a r + b r 2 ) 1 / r ， c + d 2 )   ≤ h ( 1 2 ) [ r ( b r − a r ) ( d − c ) ∫ c d ∫ a b ( [ f ( x ， y ) ] r x 1 − r + m [ f ( x ， y m ) ] r x 1 − r ) d x d y ] 1 / r ， 证 对任意的 ( t ， λ ) ∈ [ 0 ， 1 ] 2 ，由函数 f ( x ， y ) 的区域 Δ 上协同 ( r ， ( h ， m ) ) -凸性，有 f ( ( a r + b r 2 ) 1 / r ， c + d 2 ) = f ( ( t a r + ( 1 − t ) b r + ( 1 − t ) a r + t b r 2 ) 1 / r ， λ c + ( 1 − λ ) d + ( ( 1 − λ ) c + λ d ) 2 ) = f ( 1 2 [ ( t a r + ( 1 − t ) b r ) 1 / r ] r + 1 2 [ ( ( 1 − t ) a r + t b r ) 1 / r ] r ， 1 2 ( λ c + ( 1 − λ ) d ) + 1 2 m ( ( 1 − λ ) c + λ d m ) ) ≤ h ( 1 2 ) { ( 1 2 [ f ( [ t a r + ( 1 − t ) b r ] 1 / r ， λ c + ( 1 − λ ) d ) ] r + 1 2 [ f ( [ ( 1 − t ) a r + t b r ] 1 / r ， λ c + ( 1 − λ ) d ) ] r ) 1 / r     + m ( 1 2 [ f ( [ t a r + ( 1 − t ) b r ] 1 / r ， ( 1 − λ ) c + λ d m ) ] r + 1 2 [ f ( [ ( 1 − t ) a r + t b r ] 1 / r ， ( 1 − λ ) c + λ d m ) ] r ) 1 / r } . 当 r ≥ 1 ，时，对两边求 ( t ， λ ) 的积分，并作积分变换 x = [ t a r + ( 1 − t ) b r ] 1 / r ，   y = λ c + ( 1 − λ ) d ， ( t ， λ ) ∈ [ 0 ， 1 ] × ( 0 ， 1 ) ， 可得 f ( ( a r + b r 2 ) 1 / r ， c + d 2 ) ≤ h ( 1 2 ) { ∫ 0 1 ∫ 0 1 [ 1 2 f ( [ t a r + ( 1 − t ) b r ] 1 / r ， λ c + ( 1 − λ ) d ) + 1 2 f ( [ ( 1 − t ) a r + t b r ] 1 / r ， λ c + ( 1 − λ ) d )         + m 2 f ( [ t a r + ( 1 − t ) b r ] 1 / r ， ( 1 − λ ) c + λ d m ) + m 2 f ( [ ( 1 − t ) a r + t b r ] 1 / r ， ( 1 − λ ) c + λ d m ) ] d t d λ } = h ( 1 2 ) r ( b r − a r ) ( d − c ) ∫ c d ∫ a b ( f ( x ， y ) x 1 − r + m f ( x ， d m ) x 1 − r ) d x d y     . 当 r < 1 时，有 h ( 1 2 ) ( 1 2 [ f ( [ t a r + ( 1 − t ) b r ] 1 / r ， λ c + ( 1 − λ ) d ) ] r + 1 2 [ f ( [ ( 1 − t ) a r + t b r ] 1 / r ， λ c + ( 1 − λ ) d ) ] r ) 1 / r   + h ( 1 2 ) m ( 1 2 [ f ( [ t a r + ( 1 − t ) b r ] 1 / r ， ( 1 − λ ) c + λ d m ) ] r + 1 2 [ f ( [ ( 1 − t ) a r + t b r ] 1 / r ， ( 1 − λ ) c + λ d m ) ] r ) 1 / r ≤ h ( 1 2 ) { 1 2 [ f ( [ t a r + ( 1 − t ) b r ] 1 / r ， λ c + ( 1 − λ ) d ) ] r + 1 2 [ f ( [ ( 1 − t ) a r + t b r ] 1 / r ， λ c + ( 1 − λ ) d ) ] r     + m 2 [ f ( [ t a r + ( 1 − t ) b r ] 1 / r ， ( 1 − λ ) c + λ d m ) ] r + m 2 [ f ( [ ( 1 − t ) a r + t b r ] 1 / r ， ( 1 − λ ) c + λ d m ) ] r } 1 / r . 对上述不等式两边求 ( t ， λ ) 的积分，并作变换 x = [ t a r + ( 1 − t ) b r ] 1 / r ，   y = λ c + ( 1 − λ ) d ，   ( t ， λ ) ∈ [ 0 ， 1 ] × ( 0 ， 1 ) 可得 [ f ( ( a r + b r 2 ) 1 / r ， c + d 2 ) ] r ≤ h ( 1 2 ) r ∫ 0 1 ∫ 0 1 { 1 2 [ f ( [ t a r + ( 1 − t ) b r ] 1 / r ， λ c + ( 1 − λ ) d ) ] r + 1 2 [ f ( [ ( 1 − t ) a r + t b r ] 1 / r ， λ c + ( 1 − λ ) d ) ] r     + m 2 [ f ( [ t a r + ( 1 − t ) b r ] 1 / r ， ( 1 − λ ) c + λ d m ) ] r + m 2 [ f ( [ ( 1 − t ) a r + t b r ] 1 / r ， ( 1 − λ ) c + λ d m ) ] r } d t d λ = h ( 1 2 ) r r ( b r − a r ) ( d − c ) ∫ c d ∫ a b ( [ f ( x ， y ) ] r x 1 − r + m [ f ( x ， y m ) ] r x 1 − r ) d x d y 故定理2.3证毕。 同理，可证得 定理2.4 设函数 f : Δ = [ a ， b ] × [ c ， d ] ⊆ ℝ + × ℝ → ℝ + 为协同 ( r ， ( h ， 1 ) ) -凸函数， r ∈ ℝ ， r ≠ 0 ，函数 h : [ 0 ， 1 ] → ( 0 ， ∞ ) ，且 f ∈ L 1 (Δ) (i) 若 r ≥ 1 ，则 f ( ( a r + b r 2 ) 1 / r ， c + d 2 ) ≤ h ( 1 2 ) 2 r ( b r − a r ) ( d − c ) ∫ c d ∫ a b f ( x ， y ) x 1 − r d x d y ， (ii) 若 r < 1 ，则 f ( ( a r + b r 2 ) 1 / r ， c + d 2 ) ≤ h ( 1 2 ) [ 2 r ( b r − a r ) ( d − c ) ∫ c d ∫ a b [ f ( x ， y ) ] r x 1 − r d x d y ] 1 / r 定理2.5 设常数 m ∈ ( 0 ， 1 ] ，函数 h : [ 0 ， 1 ] → ( 0 ， ∞ ) ，正值函数 f : Δ = [ a ， b ] × [ 0 ， d m ] → ℝ + 为 ( 0 ， ( h ， m ) ) - 凸函数， 0 < a < b ， 0 < c < d ，若 f ∈ L 1 ( Δ ) ，则 f ( ( a b ) 1 / 2 ， c + d 2 ) ≤ h ( 1 2 ) 1 ( ln b − ln a ) ( d − c ) ∫ c d ∫ a b ( f ( x ， y ) x + m f ( x ， y m ) x ) d x d y . 证 对任意的 ( t ， λ ) ∈ [ 0 ， 1 ] × ( 0 ， 1 ) ，利用基本不等式以及 f ( x ， y ) 的 ( 0 ， ( h ， m ) ) -凸性，有 f ( ( a b ) 1 / 2 ， c + d 2 ) = f ( ( a t b 1 − t a 1 − t b t ) 1 / 2 ， λ c + ( 1 − λ ) d + ( 1 − λ ) c + λ d 2 ) = f ( ( a t b 1 − t ) 1 / 2 ( a 1 − t b t ) 1 − 1 / 2 ， 1 2 [ λ c + ( 1 − λ ) d ] + m 2 ⋅ ( 1 − λ ) c + λ d m ) ≤ h ( 1 2 ) [ f ( a t b 1 − t ， λ c + ( 1 − λ ) d ) f ( a 1 − t b t ， λ c + ( 1 − λ ) d ) ] 1 / 2     + m h ( 1 2 ) [ f ( a t b 1 − t ， ( 1 − λ ) c + λ d m ) f ( a 1 − t b t ， ( 1 − λ ) c + λ d m ) ] 1 / 2 ≤ h ( 1 2 ) ( 1 2 [ f ( a t b 1 − t ， λ c + ( 1 − λ ) d ) + f ( a 1 − t b t ， λ c + ( 1 − λ ) d ) ]     + m 2 [ f ( a t b 1 − t ， ( 1 − λ ) c + λ d m ) + f ( a 1 − t b t ， ( 1 − λ ) c + λ d m ) ] ) = 1 2 h ( 1 2 ) [ f ( a t b 1 − t ， λ c + ( 1 − λ ) d ) + f ( a 1 − t b t ， λ c + ( 1 − λ ) d )         + m f ( a t b 1 − t ， ( 1 − λ ) c + λ d m ) + m f ( a 1 − t b t ， ( 1 − λ ) c + λ d m ) ] ， 对上述不等式两边求 ( t ， λ ) 积分，并作积分变换 x = a t b 1 − t ， y = λ c + ( 1 − λ ) d ，有 ∫ 0 1 ∫ 0 1 f ( ( a b ) 1 / 2 ， c + d 2 ) d t d λ ≤ 1 2 h ( 1 2 ) ∫ 0 1 ∫ 0 1 [ f ( a t b 1 − t ， λ c + ( 1 − λ ) d ) + f ( a 1 − t b t ， λ c + ( 1 − λ ) d )         + m f ( a t b 1 − t ， ( 1 − λ ) c + λ d m ) + m f ( a 1 − t b t ， ( 1 − λ ) c + λ d m ) ] d t d λ = h ( 1 2 ) 1 ( ln b − ln a ) ( d − c ) ∫ c d ∫ a b ( f ( x ， y ) x + m f ( x ， y m ) x ) d x d y . 故本定理证毕。 同理可证： 定理2.6 设函数 f : Δ = [ a ， b ] × [ c ， d ] ⊆ ℝ + × ℝ → ℝ + 是协同 ( 0 ， ( h ， 1 ) ) -凸函数， 0 < a < b ， c < d ，函数 h : [ 0 ， 1 ] → ( 0 ， ∞ ) ，若 f ∈ L 1 ( Δ ) ，则 f ( ( a b ) 1 / 2 ， c + d 2 ) ≤ h ( 1 2 ) 2 ( ln b − ln a ) ( d − c ) ∫ c d ∫ a b f ( x ， y ) x d x d y     .