DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
system: [SYSTEM]

user: 1. 大麻二酚的简介 大麻是最常见的滥用毒品之一。大麻中最具有药用价值的成分是大麻二酚和四氢大麻酚，大麻二酚是药用植物大麻中的主要化学成分，大麻含有具致幻作用的神经活性成分四氢大麻酚，在一定程度上限制了大麻的开发和利用。近几十年来国际上对药用大麻叶的研究发现，大麻二酚不具神经毒性，有重要药用价值。 大麻二酚分子式为C 21 H 30 O 2 ，化学结构见图1。性状表现为白色至淡黄色树脂或结晶，熔点为66℃~67℃，几乎不溶于水，溶于乙醇、甲醇、乙醚、苯、氯仿等有机溶剂。 图1. 大麻二酚化学结构示意图 大麻二酚提取自雌性大麻植株。根据雌株花穗中四氢大麻酚的含量，可将大麻分为药用型、中间型和纤维型3种类型。花穗中四氢大麻酚含量大于等于0.5%为药用型。四氢大麻酚含量介于0.3%至0.5%之间为中间型。四氢大麻酚含量小于0.3%为纤维型，又称工业大麻 [ 1 ]。常用来提取大麻二酚的原料为工业大麻，又称为火麻或者汉麻。工业大麻起源于中亚 [ 2 ]，且作为纤维、食物的来源已经有30多年的历史 [ 3 ]。随着工业大麻类产品的深入研究和发展，科学家认识到工业大麻对人体的有益作用，随之低毒型工业大麻的种植在全球普遍开展。中国工业大麻的种植主要集中在广西一带，可以为工业大麻产品的科学研究与应用提供大量的原料。
system: [SYSTEM]

user: 2. 大麻二酚的生物学功效 大麻二酚具有阻断某些多酚对人体神经系统的不利影响，并且具有阻断乳腺癌转移 [ 4 ] [ 5 ]、治疗癫痫 [ 6 ] [ 7 ]、抗类风湿关节炎 [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]、抗失眠 [ 11 ] 等一系列生理活性功能，对治疗多发性硬化症具有良好的效果 [ 12 ] [ 13 ]。 医疗应用： 止痛抗炎：大麻二酚可产生镇痛作用。镇痛的药理机制主要与CB1受体和CB2受体有关。CB1受体通过直接抑制中脑导水管周围灰质和RVM内的γ-氨基丁酸，(GABA)以及脊髓内谷氨酸的释放来达到镇痛效果。CB2受体通过减弱神经生长因子诱发的肥大细胞脱颗粒以及嗜中性粒细胞聚集来抑制过敏性炎症，并由此介导免疫抑制作用，达到消炎止痛的效果，且效果强于人们所熟知和广泛运用的阿司匹林 [ 14 ]。 抗癫痫：人类大脑中的GABA神经递质有镇静效果，抑制大脑中枢的兴奋性。大麻二酚可以帮助控制GABA神经递质的消耗量，抑制大脑兴奋，降低癫痫发作，还可以帮助提高其他抗癫痫药物的疗效。 抗焦虑：内源性大麻二酚是帮助抑郁症病人降低焦虑情绪的一种重要物质，存在于人体内。大麻二酚能够帮助内源性大麻素维持在一个合理的水平，让病人身体感觉良好、愉悦，又不会像四氢大麻酚一样成瘾。
system: [SYSTEM]

user: 3. 大麻二酚的最新研究进展 2019年3月Erika Simmerman [ 15 ] 等人最新研究通过小鼠模型试验，证明了CBD对于小鼠体内的恶性黑色素瘤的生长有一定的抑制效果，并且发现CBD可以提高小鼠的生存率并降低致瘤性。皮肤癌是美国最常见的癌症形式。它可以分为两种：黑色素瘤和非黑色素瘤皮肤癌。恶性黑色素瘤是皮肤中色素生成细胞的实体瘤，是美国最致命的皮肤癌形式，也是青少年和年轻人中第三大常见癌症。虽然对于此癌症的研究取得了新进展，其中包括免疫疗法和采用各种联合方案的BRAF靶向治疗，但成功治疗黑色素瘤仍然是具有挑战性的。同时Erika Simmerman [ 15 ] 等人表明大麻药物的医疗利用会对肿瘤学领域产生积极影响，并减少治疗剂和化疗的副作用。去除了治疗癌症的许多副作用，如恶心，呕吐和厌食。 同年3月，Liat Shbiro [ 16 ] 等人研究表明CBD是有希望治疗抑郁症的新药。抑郁症是世界第四大疾病，很大一部分反应敏感的患者还会出现口干，腹痛，性功能障碍，焦虑增加，暴力表达甚至自杀等负面因素。目前用于治疗MDD的药物的主要目标是单胺神经传递。而对血清素(一种单胺)的作用进行了40多年的研究，并未找出普遍有效的治疗方法或药物治愈该疾病。因此，非常需要新的药理学方法来治疗重度抑郁症患者，并减轻现有治疗药物的普遍存在的不利影响。 同时Liat Shbiro [ 16 ] 等人还证明了CBD也对其他具有无助或快感缺乏症状的疾病具有临床价值。如阿尔茨海默病，多发性硬化症(MS)，帕金森病和肌萎缩侧索硬化症。
system: [SYSTEM]

user: 4. 大麻二酚含量的测定方法 目前文献中对大麻二酚的含量的测定方法主要为气相色谱法和高效液相色谱法。高效液相色谱法主要用两种检测器：紫外检测器(HPLC-UV)和蒸发光散射检测器(HPLC-ELSD)。 4.1. 高效液相色谱法操作条件 [ 17 ] 1) HPLC-UV法： 色谱柱：C18柱(3.9 mm × 300 mm，10 µm)；流动相：甲醇-水(80:20)；检测波长：210 nm；流速：1 mL/min；进样量：20 µL。 2) HPLC-ELSD法： 色谱柱：C18柱(3.9 mm × 300 mm，10 µm)；流动相：甲醇-水(80:20)；流速：1 mL/min；漂移管温度：76℃，载气流速：3 L/min；进样量：20 µL。 4.2. 气相色谱法 [ 18 ] 文献报道的两种气相色谱的分析检测条件如下： 1) 色谱柱：HP-5毛细管柱(30 m × 0.32 mm × 0.25 µm，5%苯基甲基聚硅氧烷为固定液)；进样口温度：250℃；检测器温度：270℃；柱温：程序升温，100℃持续3 min，30℃/min升至250℃持续14 min，30℃/min升至280℃持续3 min；分流比：5:1；流速：1 mL/min；进样量：1 µL。 2) 色谱柱：HP-5型石英毛细管柱(10 m × 0.53 mm × 2.65 μm)；FID检测器；检测器温度：260℃；柱温：220℃；空气流速：300 mL/min，氢气25 mL/min，氮气40 mL/min；进样口温度：240℃；进样量：1 μL。
system: [SYSTEM]

user: 5. 大麻二酚的制备方法 目前工业上制取大麻二酚有植物提取法和化学合成法。对于大麻二酚的纯化方法目前主要为树脂吸附法。 5.1. 提取法 截止目前为止，国内大麻二酚原料来源于四氢大麻酚含量低于千分之三的工业大麻，产品性状有晶体、膏状物、油状物。 提取纯化工业大麻中大麻二酚，目前有三篇相关专利文献，如表1所示： Table 1 Patentsrelated to the isolation and purification of cannabidio 专利名称 提取剂 层析材料 洗脱剂 从工业大麻中提取 二氢大麻酚工艺 [ 19 ] 石油醚、正己烷 或6#溶剂油 大孔树脂或硅胶 二氯甲烷、石油醚、乙酸乙酯、 乙醇、甲醇中的一种， 或者是任意几种的混合物 一种大麻二酚的 提取方法 [ 20 ] 乙醇 大孔树脂、MCI树脂、 十八烷基硅烷键合硅胶中的一种或多种 乙醇 一种富集大麻 二酚的方法 [ 21 ] 超临界CO 2 大孔吸附树脂AB-8、D101、DA210、HPD-100、HPD-100A、LSA-10、 MCI GEL、DIAION或SEPABEADS 水、甲醇、乙醇、正丁醇、丙酮和 氯仿中的一种或它们中任意几种的 混合液进行梯度洗脱或等度洗脱 表1. 大麻二酚提取纯化的专利 第1篇专利 [ 19 ]，提取的原料部位为工业大麻盛花期的花叶，此时大麻二酚的含量较高，同时采用有机溶剂如石油醚、正己烷或6#溶剂油对原料进行浸提，此方法因原植物中大麻酚类成分复杂，极性相似成分较多，提取、精制后，最终产品中大麻二酚纯度不高，仍可检出精神毒性成分四氢大麻酚，产品安全性不能得到保证。制备过程中采用了石油醚、正己烷、二氯甲烷等有毒有机溶剂，此类有机溶剂的使用会对环境产生危害，而且若终产品中溶剂残留不能除尽，对产品安全性也会有影响。 第2篇专利 [ 20 ]，是在第1篇专利的工艺基础上改用了采用乙醇对原料进行浸提和做层析洗脱介质，既提高了成品中大麻二酚纯度，又去除了一定量的精神毒性成分四氢大麻酚，提高产品安全性，适合工业化生产。 第3篇专利 [ 21 ]，是对第2篇专利 [ 19 ] 的进一步改进，采用二氧化碳超临界萃取，得到粗提物后，再采用乙醇溶解，然后进行后续的一系列分离纯化操作。该法提高了大麻二酚的纯度，去除了成品中精神毒性成分四氢大麻酚，使产品安全性得到保障，而且使用的试剂为乙醇和水，减少了对环境、操作人员、产品溶剂残留的影响，同时减少了柱层析过程中造成的环境污染，对人员造成的伤害。但超临界萃取设备昂贵。 吴俊峰等 [ 22 ] 研究了添加酶采用酶辅助溶剂法对原材料进行预处理从大麻的植物叶中提取大麻二酚的浸膏，得出加热处理对大麻二酚提取率有一定程度上的促进作用，但是这个幅度并不大，酶的加入增加了生产成本和处理时间，所以在工业化生产中，应根据实际的经济效益而定。 5.2. 化学合成法 目前大麻二酚产品主要来源于化学合成法，以国际专利为主，不同方法比较如下： 1) 专利WO2006053766A1 [ 23 ] (一种顺式四氢大麻酚和反式四氢大麻酚的纯化方法)利用氯化锌催化进行目标产品的合成。采用的是不过柱结晶纯化工艺，纯度只有97.1%，收率只有22%。因为反应过程最大杂质为二聚体，达到20%以上，而该杂质需要3次以上结晶才能降至0.1%以内(达到原料药指标要求)。最后获得合格原料药时总收率仅有13%，工艺成本较高。 2) 专利US20090036523A1 [ 24 ] (一种大麻二酚的前体药物以及前体药物的组成成份的使用方法)以橄榄醇作为起始原料，用对甲苯磺酸催化，一步法获得目标产物，但该反应体系复杂，有较多异构体和二聚体，后处理麻烦，需要柱层析纯化且收率较低，只有24%。 3) 专利US20100298579A1 [ 25 ] (一种制备合成大麻二酚的方法)以2，4-二羟基-6-戊烷基苯甲酸甲酯为起始原料，用三氟化硼乙醚催化，制备出偶联的甲酯中间体(一)，该反应纯度比一步法稍高，异构体和二聚体也明显比一步法少。但偶联后甲酯中间体经过酸碱处理后纯度依然只有约75%的纯度，加之该化合物的熔点可能较低，无法结晶。甲酯中间体(一)无法通过常规方法进行重结晶纯化，从而无法达到作为原料药的关键中间体的化学纯度和杂质指标要求。
system: [SYSTEM]

user: 6. 结论 1) 大麻二酚具有神经系统保护作用，具有重要的药学功效，最近的研究表明，大麻二酚可以缩短癌症的治疗过程，降低癌症治疗费用，改善癌症患者和幸存者的生活质量和整体健康状况。 2) 目前大麻二酚的测定可以采用气相色谱法和高效液相色谱法。 3) 化学合成法生产大麻二酚产量高，成本较低，但有毒杂质含量高；植物提取法生产大麻二酚，成本较高，但产品含有毒类杂质少，纯度高，工业生产有广阔的前景，国内需要加强研究。
system: [SYSTEM]

user: 摘 要 利用1990~2016年的市区非农业人口数据，首先对山东省城市规模等级结构演变概况进行研究，并运用城市首位指数、位序–规模法则对地区城市规模分布演变进行计量分析，并将2016年的计算结果与其它省区对比，进一步分析城市规模演变的空间特征。结果表明：山东省城市体系规模结构呈双核心结构，首位城市垄断性较弱，中间位序城市数量较多且较为发育，小城市规模发育水平偏低；城市规模分布集中性较为波动，集中度不足，但呈增强趋势；城市体系结构容量不断增大；城市体系规模结构属于首位分布和位序–规模分布的过渡类型，首位城市济南有较大的发展空间；影响城市等级规模结构演变的因子主要有经济因素、交通因素、自然因素、政策因素，四大因素共同作用于城市数量、城市规模、城市结构等方面，最终影响城市等级规模结构的演变。 关键词 :山东省，位序–规模法，城市规模结构特征，影响机理 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
system: [SYSTEM]

user: 1. 引言 规模结构是城市体系的三大结构之一，是城市体系内不同层次、不同规模的城市在质和量方面的组合形式，包括城市间相互的组合关系、特征及差异 [ 1 ] 。不同地区、不同城市化水平下的城市体系，具有不同的城市规模分布特征。规模结构可以反映出城市在不同规模级中的分布状况及城市人口集中或分散的程度，有助于认识城市体系发展所处的阶段以及该地区城市化进程的某些特点 [ 2 ] 。 本文以山东省城镇体系为研究对象，计算1990~2016年山东省城市体系规模分布首位城市指数、位序－规模法则和城市基尼指数，并与其他部分省区对比，揭示山东省城市体系等级规模结构的特征与发展趋势，分析影响山东省城市规模的机理，并针对山东省城镇规模结构发展提出构想。
system: [SYSTEM]

user: 2. 研究区概况和数据来源 山东省地处我国东部沿海，黄河下游。总面积为15.6万平方公里，占全国1.62%；2016年人口为9947万，占全国7.19%。2016年共有建制市44个，其中设区的市17个(济南、青岛、淄博、枣庄、东营、烟台、潍坊、济宁、泰安、威海、日照、莱芜、临沂、德州、聊城、滨州、菏泽)，县级市27个(胶州、即墨、平度、莱西、滕州、龙口、莱阳、莱州、蓬莱、招远、栖霞、海阳、青州、诸城、寿光、安丘、高密、昌邑、曲阜、邹城、新泰、肥城、荣成、乳山、乐陵、禹城、临清)。 鉴于数据的可获取性和能否反映城市化水平，研究选用市区非农业人口作为城市规模的特征量，其具体数值源于历年《中国人口统计年鉴》、《中国城市统计年鉴》、《中国城市建设统计年鉴》。以1990~2016年为时间序列，选取山东省建制城市1990~2016年的相关数据，对1990年以来城市规模结构特征及其影响机理进行研究。并选取2016年各省份建制城市的相关数据进行分析并与山东省作比较，进而得出山东省城市规模结构的特征。
system: [SYSTEM]

user: 4. 山东省城市规模演变的影响机理 城镇体系是一个完整的空间系统，随经济和社会的发展发生演变。城镇体系的发展受制于经济、交通、自然、政策等诸多因素。这些因素在区域空间内有机结合，相互影响，共同作用于区域空间。 4.1. 经济因素 城市基尼指数用于研究不同规模城市的发育成长状况。其取值范围为0~1，越接近0，说明城市规模越分散；越接近1，说明城市规模越集中 [ 13 ] 。一般认为G在0.6以上表示城市规模分布极不均衡 [ 14 ] 。 计算1990~2016年山东省城市体系历年的人口规模基尼指数，可以发现人口基尼指数始终处于0.42~0.47之间，在1990~2016年人口基尼指数整体降低了0.03，表明在山东省城镇体系中大城市和中小城市非农业人口规模差距缩小，且非农人口规模集聚作用减缓。对1990~2016年山东省经济基尼系数进行计算，并与城市基尼指数进行对比，如图1。可以发现，城市基尼指数与基尼系数的变化趋势大体一致，说明城市规模结构变化与经济发展相关性较强。 经济发展水平决定着城市化的速度。城市规模发展比较快的城市，一般都具有良好的产业基础，尤其是一些工业基础较好的城市，就业拉动了人口的增长，人口增长引发了一系列的城市基础设施、社会服务设施的建立，从而促进城市用地规模的扩张 [ 15 ] 。随着新旧动能转换重大工程的全面展开，“四新”促“四旧”步伐明显加快，产业结构不断升级演进，吸引人才流入，提高整体人口规模质量。推进供给侧结构性改革，推动乡村振兴、海洋强省建设两大战略尽快突破，能更好地为山东省产业结构优化和经济增长服务，更好地为山东省城市体系等级规模结构的优化升级服务。 4.2. 交通因素 交通条件是城市发展的必要保证，任何交通方便的地方都会出现城市。交通条件好的地方城市发展往往较快，交通条件不好的地方城市发展往往较慢。将地级城市作为研究单位，从市域内和市域外两个维度测算综合交通可达指数，对2016年山东省17地级市的交通通达性指数计算 [ 16 ] ，得出交通通达性指数处于2.83~6.68的水平，极差为3.85，城市之间差异较大。具体地，青岛的综合交通可达性指数最大为6.68，菏泽最小为2.83。运用系统聚类方法将17城市的综合交通可达性指数划分为4个类型，如表4。 图1. 1990~2016年山东省城市基尼指数与经济基尼系数对比 Table 4 Traffic accessibility index and types of 17 cities in Shandong provinc 类型 交通通达性指数范围 个数 城市 低可达性城市 [2.83， 3.15) 3 菏泽、东营、济宁 较低可达性城市 [3.15， 4.00) 7 枣庄、德州、聊城、莱芜、潍坊、滨州、淄博 较高可达性城市 [4.00， 4.90) 3 泰安、临沂、威海 高可达性城市 [4.90， 6.68] 4 烟台、日照、济南、青岛 表4. 山东省17地市交通通达性指数及类型 结合表4计算结果以及山东省城市规模结构发现，在山东省城市体系等级规模结构中处于较高级别的城市其交通通达性性高，大都是区域交通枢纽，如青岛、济南、烟台，它们是地区重要的航空、公路、铁路枢纽，具有便利的交通条件。以济南为中心的山东中部铁路公路网和以青岛港口为中心的山东半岛铁路公路网 [ 16 ] ，形成了以济南、青岛为中心的城镇密集区。山东省海岸线较长，沿海港口城市，具有天然的交通区位优势，因此这些城市的城镇化水平较高。但是西部地区因远离济南、青岛两大经济中心，运输费用较高，受到的经济辐射较弱，城镇体系发展较慢。 4.3. 自然因素 自然资源是城镇化初级阶段的主要影响因素，在这个阶段，工业化发展水平低，信息传递成本高，交通基础设施较落后，导致运输费用高。因此，在自然资源丰富的地区产生了人口集聚和二三产业集聚，促进了城镇的发展。随着交通系统和信息系统的不断升级，自然禀赋对城镇体系的影响逐渐减弱。山东省全省土地面积15.58万平方公里，大部分地区处于华北平原，气候温暖，土壤适宜耕种，降水适中，在农业发展方面具有明显的区位优势。小麦、玉米、大豆、谷子等农产品产量较大，农业发展水平高，促进了以农产品为中心的手工业和商业贸易服务业的发展，因此山东省城镇发展较早。 同时，山东省自然资源丰富，工业发展所需的石油和煤炭等资源储量巨大。靠近资源原产地和地理位置优越的地区，运输成本较低，产生了规模经济，促使工业和劳动力进一步集聚。工业发展产生了经济集聚，不同的发展水平集聚能力大小不同，因此城市规模演化也不同。济宁、枣庄和东营等市矿产资源丰富，矿产采掘业在国民经济中所占比重较大，矿产采掘从业人员集聚推动了这些地区的城镇体系发展。而黄河三角洲城镇带的发展受水资源影响较大。 4.4. 政策因素 政策是指一系列用来建立生产、交换与分配基础的政治、社会和法律基础规则。自然禀赋、经济增长和交通体系是影响城镇体系结构的市场因素，但在现实中城镇体系结构的发展会受到许多非市场因素的影响，特别是地方政府行为的影响。地方政府为了本地区经济发展的需要和官员政绩的考核表现为“经济人”政府 [ 17 ] 。政府对公共物品特别是基础交通设施的建设和指导，导致城镇体系结构演变的变形。 1996~2005年间，山东省提出加快小城镇发展步伐，强化小城镇发展政策。小城镇建设要坚持统一规划、合理布局、综合开发、配套建设，在搞好现有重点城镇改造、改建、提高的基础上，依托区域经济中心，有计划地在沿海、沿交通干线、重要商品集散地、旅游开发区和新兴工矿区等建设一批新型城镇。并按照合理发展大城市、重点发展中小城市、积极发展小城镇的总体思路、以中心城市和沿海港口为依托，以交通干线为主轴，逐步构建起功能互补、布局合理、等级规模有序的城镇体系，形成“两大中心、四个层次、五条城镇发展轴线”的总体格局。期间，山东省大城市中小城市规模稳步增长，《山东省国民经济和社会发展第十三个五年规划纲要》中提出，以镇区常住人口规模、人口密度和经济规模为基准，加快一批符合条件的县城和特大镇整合提升，培育形成20个左右功能完善、特色鲜明的新生中小城市。
system: [SYSTEM]

user: 5. 结论与建议 5.1. 结论 通过对1990~2016年山东省城市体系规模结构演变的研究，表明山东省城镇规模结构符合位序–规模分布规律，城市规模分布较均衡，中小城市规模相差不大，比较发育，首位城市垄断作用不突出，但呈增强趋势。对2016年山东省与其他省区的首位度与位序规模的检验进行对比发现，山东省城市规模分布相对分散，首位城市对区域带动作用不足，济南–青岛双核心结构的规模层次较低。经济因素、交通因素、政策因素和自然因素是影响山东省城市规模结构演变的重要因素。 5.2. 建议 1) 强化大城市的作用。首先济南作为山东省省会，应进一步加强其龙头带动作用，充分发挥其省会城市优势及集聚效益，增强其核心竞争力；其次沿海城市重点发展青岛，使青岛发展为国际城市，增强济南–青岛双核心的带动作用。 2) 重点发展作为区域中心的地级市，进一步扩大地级市的城市规模，增强与区域中城镇的良性互动，充分发挥他们承上启下的连接作用。 3) 积极发展县级市，它们作为地方性中心城市，处于城市与县和乡镇的中间环节，腹地广阔，可稳中有升并适当提高它们的人口规模，加强其自身建设，完善其经济功能，加强它们的地方性聚集效益。 4) 加强高低等级城市间产业、基础设施等的联系。首先，应加强高低等级城市间产业的关联度，发挥城市的产业优势，进而提高城市等级规模。其次，完善各级中心城市职能体系，使城市功能进一步加强，发挥各中心城市的带动作用。最后，在一些落后地区，应重点加强交通、信息服务等设施的建设，形成完善的基础设施网络系统。
system: [SYSTEM]

user: 摘 要 本文构建了线性负反馈方程，对封闭系统从一个状态到另一个状态演变过程中，系统自身的维持和对系统内环境的适应性作了简化性的数学描述。 关键词 :封闭系统，负反馈，数学模型 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
system: [SYSTEM]

user: 1. 引言 反馈现象源自于电子放大电路的“反馈”概念，主要是指信号经过放大电路时，输出信号回授至输入端时所引起的输出信号加强(正反馈)或减弱(负反馈)现象。目前有关反馈现象的研究，除去电子放大电路之外，还常见于系统动力学的基本理论研究 [ 1 ] 。但有关负反馈方程的研究仅局限于电子线路中的放大器，并且多以实验性测试而进行的定性或半定量分析为主 [ 2 ] ，缺少具体的反馈机制性的研究。反馈机制的复杂程度是显而易见的，本文所要讨论的是反馈现象中的负反馈现象，并且仅限于反馈因子是线性的线性负反馈。 在电子放大电路中，负反馈是通过反馈信号使得净输入量减小，从而提高增益的稳定性，减小非线性失真 [ 3 ] 。许多现象表明，负反馈在系统从平衡态被破坏到新平衡态建立过程中，同样起着重要的作用，在诸如燃烧、落体运动、LR电路等系统中都有负反馈现象发生。 本文旨在建立一类线性负反馈的数学模型，完整反映封闭系统中相关物理量变化的规律。
system: [SYSTEM]

user: 2. 线性负反馈问题 2.1. 燃烧现象中的负反馈 我们观察到，在一个封闭系统中，燃烧生成物CO 2 气体对燃烧的进程会有阻碍作用。由反应方程式C + O 2 = CO 2 知，随着CO 2 气体浓度的升高，O 2 的浓度在下降，因它们的浓度变化比例相同。由燃烧规律，设CO 2 气体浓度的变化率和O 2 浓度成正比，且O 2 起始浓度为 ρ 0 ，产生的CO 2 气体浓度为 ρ ，则有 d ρ d t = k ( ρ 0 − ρ ) ，其中k为比例系数。 即 k ρ 0 − k ρ = d ρ d t (1) 分离变量并积分有 ∫ d ρ k ρ 0 − k ρ = ∫ d t 得 − 1 k ln ( k ρ 0 − k ρ ) = t + C 1 即 ρ = ρ 0 + C e − k t (其中 C = − e − k C 1 k ) (2) 将初始条件 ρ | t = 0 = 0 代入(2)式，得 C = − ρ 0 。于是所求CO 2 浓度的解为 ρ = ρ 0 ( 1 − e − k t ) (3) 由(3)式可以看出，随着时间t的增加，CO 2 气体浓度 ρ 逐渐接近于常数 ρ 0 ，且不会超过O 2 的开始浓度 ρ 0 ，CO 2 达到一定浓度，燃烧就会停止。 2.2. 自由落体中的负反馈 在物体自由下落过程中，我们注意到，随着物体速度的增大，物体所受空气阻力也会增大，最终速度趋于稳定值，冰雹、雨滴的运动都是这样的。 现有质量为m的物体在空气中自由下落，若物体所受空气阻力与速度成正比，根据牛顿第二定律，有 m g − k v = m d v d t (4) 注意到 v | t = 0 = 0 ，易知方程(4)的解 [ 4 ] 为 v = m g k ( 1 − e − k m t ) (5) 从(5)式可以看出，随着时间t的增加，物体下落的速度逐渐接近于常数 m g k ，最后物体的运动趋于匀速下降。 2.3. LR电路中的负反馈 当线圈中的电流变化时，它所激发的磁场通过线圈自身的磁通量也在变化 [ 5 ] ，线圈自身通过产生感应电动势来减弱这一变化。法拉第电磁感应定律就是对这一负反馈现象的描述。 如图1所示，电阻R和电感L都是常量(电感L的电阻不计)，当开关S闭合时，电路中的电流开始 增加。由法拉第电磁感应定律知，当电流i变化时，L上有感应电动势 − L d i d t 。由回路电压定律可得 E − i R = L d i d t (6) 图1. RL电路 注意到 i | t = 0 = 0 ，解方程(6)可得 i = E R ( 1 − e − R L t ) (7) 从(7)式看出，随着时间t的增大，电路中电流i逐渐稳定于常数 。
system: [SYSTEM]

user: 3. 线性负反馈数学模型 3.1. 模型的建立 从式(1)、(4)、(6)式看出，在线性负反馈中，都有一个稳定的诱导量I (如以上各式中的 k ρ 0 、 m g 和 E )，反馈量kf (如上述各式中的 k ρ 、 k v 和 R i )，以及内禀常数m (如以上(4)、(6)式中的m，L，(1)式中的常数为1)。由此，负反馈标准方程可经验地表示为 I − k f = m d f d t (8) 这个方程的一个特解是 (9) 3.2. 模型讨论及意义 3.2.1. 负反馈方程的性质 负反馈方程(8)是具有线性反馈因子kf的一阶微分方程。“负反馈”概念虽然来自于电子放大电路，很明显，本文所建立的负反馈方程远远超出了电子放大器所研究的范围，其意义更广，范围也更大。需要说明的是，相比于那些非线性反馈因子kf n (n > 1)，本文所讨论的线性负反馈是最简单的一种类型。在涉及速度负反馈问题中，指的是低速反馈现象 [ 6 ] 。 由于负反馈方程(8)中的相关物理量在不同事件中的意义不同，所以说负反馈方程式(8)，更多意义上表达的是，不同负反馈现象中相关因素的一种结构关系。在诸多负反馈现象中，凡反馈方程可以表达成形如式(8)的，说明他们都有相同的反馈结构。对于同一反馈类型，反馈因子k是相同的常数。但在不同形式的反馈中，常数k又是不同的，它的大小由具体的反馈实验测量而得。 3.2.2. 负反馈方程的意义 1) 系统从一个平衡态到另一个平衡态发展的过程中，负反馈方程 I − k f = m d f d t 能帮助我们清楚这一演变的过程。在燃烧现象中，一个封闭系统，燃烧生成物CO 2 气体浓度的增加，是由碳在氧气中燃烧导致的，但随着CO 2 气体浓度的增加，又对燃烧的进程起阻碍作用。当CO 2 气体达到一定浓度时，燃烧就会停止，系统进入平衡态；在自由落体现象中，物体速度的增加是由重力引起的，但随着物体速度的增大，物体所受空气阻力也会增大，当阻力和重力平衡时，速度就趋于稳定值；同样，在LR电路中，感应电流i是由电动势Ｅ引起的，但随着电流i的产生，电感线圈中就会出现反向的感应电动势，这个感应的电动势削减了Ｅ的作用。由此看出，诱导量I促使物理量f的产生，但通过反馈因子k又对物理量f的产生起到抑制作用，保持了系统状态的相对稳定性。 2) 物体质量是物体惯性大小的量度，这一论断在负反馈方程的解 f = I k ( 1 − e − k m t ) 中得到了明确的、强有力的理论说明：内禀常数m的大小，决定了系统在诱导量I的作用下，重新达到稳定性的快慢。常数m越大，系统到达新平衡态越迟，体现的是系统保持原有状态不变的性质，即物体的惯性。 LR电路中的电感系数L，和内禀常数m相比，同样起到延缓电流i增长的作用。 3) 在负反馈方程中，当诱导量I消失后，方程就和法拉第电磁感应定律方程形式相同，意义也相同。反馈系数k的符号，对应的是楞次定律的思想。当环境中反馈因子不存在时，方程就和牛顿第二定律形式相同。 4) 在封闭系统内，反馈系数k削减了诱导量I的作用，最终使f稳定在 I k 的大小。和内禀常数m相 比，k是由系统内环境因素决定的。内禀常数m和反馈系数k，反映了在系统演化过程中，当一个平衡态被破坏后，在到达新的平衡态前，系统对自身稳定性的维持(通过m体现)和对环境适应性调整(通过k体现)的规律性。 5) 线性负反馈模型可以为更加复杂的非线性负反馈研究提供理论基础。
system: [SYSTEM]

user: 4. 结论 在系统平衡态演变过程中，存在负反馈现象。负反馈不但延缓了系统到达新平衡态的时间，同时也影响着系统新平衡态的状态。对于一些简单的系统，其平衡态演变过程可以用简化的数学模型表达出来。
system: [SYSTEM]

user: 摘 要 本文从狭义相对论的速度叠加原理出发，导出了星体速度随星体距离的变化关系。 关键词 :哈勃定律，星体速度，狭义相对论 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
system: [SYSTEM]

user: 1. 哈勃定律的局限 遥远星系的光谱存在红移，在1930年前后，Hubble从已测定距离的十几个星系中发现，星系光谱的红移量z与星系的距离d有正比关系 [ 1 ] 。用今天的方式来写，它是： z = H C r (1.1) 哈勃定律说明遥远星体正在退行，我们的宇宙在现阶段是膨胀的，是大爆炸理论的实验验证。 按狭义相对论，光频率ω与光源速度v的关系为 ω ω 0 = 1 + V / c 1 − V / c (1.2) 在非相对论近似下 [ 1 ] z = ω − ω 0 ω ≈ V C (1.3) 因此得到，星体退行速度V，与星体到观察者的距离(又称作光度距离) r的关系 [ 1 ] ： V = H r (1.4) H称作哈勃常数，其倒数具有时间的量纲，常常认为是宇宙的年龄，约为140亿年左右。 其实，当红移z不很小，它与距离的关系不是线性的，这一结果已得到实测的证实 [ 1 ] 。 由于哈勃定律的应用和星体红移对验证宇宙的状态有很大关系，宇宙参数是红移的函数 [ 2 ] ，所以哈勃定律适用范围非常重要。 但是，无论(1.1)或(1.4)，能否完全适用于更大尺度的距离，还有待验证。
system: [SYSTEM]

user: 2. 星体速度与距离的关系 虽然哈勃定律有局限，但各种观察测量，以及宇宙膨胀理论都认定以下事实，即星体速度与距离之间存在着函数关系： V = V ( r ) (2.1) 从这一事实出发，我们略去影响星体速度的其他因素，结合狭义相对论的速度叠加，找到速度与距离的比较理想的简单的可能的函数。 为此，假设某星体A，距离观察点o的距离为r，在r的延长线上存在一星体B，距离O点距离为r + dr。o点的观察者测到，A和B分别有向右的退行速度V(r)和V(r + dr)，如图1。 图1. 以o为观察点A距离为r，B距离为r + dr 星体A上的另一观察者，测得相距自己距离为dr′的星体B的速度为V(dr′)，如图2。 图2. 以A为观察点 由于是近距离(dr′是小量)，可以满足哈勃定律(1.4)： V ( d r ′ ) = H d r ′ (2.2) 在o看来，B的真实速度V(r + dr)是星体A的速度V(r)，与星体B相对A的速度V(dr′)的叠加。运用相对论速度叠加公式，就可以得到 V ( r + d r ) = V ( r ) + V ( d r ′ ) 1 + V ( r ) V ( d r ′ ) C 2 = V ( r ) + H ( d r ′ ) 1 + V ( r ) H ( d r ′ ) C 2 由于dr′是微元，所以，上式V(r + dr)可以写成 V ( r + d r ) = V ( r ) + H d r ′ 1 + V ( r ) H d r ′ C 2 ≈ ( V ( r ) + H d r ′ ) ( 1 − V ( r ) H d r ′ C 2 )                             = V ( r ) + H d r ′ − V ( r ) 2 H d r ′ C 2 − V ( r ) H 2 ( d r ′ ) 2 C 2 上式第四项为高阶小量，可以略去，把右边第一项移到左边，得 V ( r + d r ) − V ( r ) = H d r ′ − V ( r ) 2 H d r ′ C 2 = ( 1 − V ( r ) 2 C 2 ) H 0 d r ′ (2.3) dr′与dr的关系满足 d r ′ = γ d r (2.4) γ = 1 1 − V 2 C 2 又，根据微分定义， 上两式代入(2.3)后，有 d V 1 − V 2 C 2 = H d r (2.5) 根据(1.1)，有：r = 0时，V = 0，上式积分后，得 V = C sin ( H r C ) (2.6)
system: [SYSTEM]

user: 3. 结论与问题 3.1. 条件限制 1) 公式(2.6)的导出，隐含了宇宙是均匀的各向同性的宇宙学原理。在没有考虑宇宙在大尺度上的各向异性。 2) 假定了宇宙的近似平坦，这个假定与宇宙膨胀似乎不符，近似程度较难确定。 3.2. 公式的普适性 1) 近距离时，(2.6)可以回到哈勃定律。但近距离星体的本动有可能是决定性的，导致星体退行速度的测量值与公式可能有更大的偏差，不过，考虑到如果把哈勃定律适用的尺度作为距离的微元，有其合理的因素。 2) 当观察距离 r 1 = π C 2 H 0 时， 速度V达到最大值C。此时，距离r约为现在宇宙半径的1.57倍。这种宇宙视界的扩大，尚缺乏实验支持。 3) 当 r 2 = π C H 0 速度为零，宇宙停止膨胀，此时宇宙“半径”约为现在的3.14倍。
system: [SYSTEM]

user: 摘 要 本文研究一维有界区间上的可压非牛顿流体模型。在初始密度有正下界的情况下，通过构造逼近解，应用能量估计，得到了带有Power-Law结构粘性项的非牛顿流模型初边值问题光滑解的局部存在性。 关键词 :可压缩非牛顿流，Power-Law 型粘性项，光滑解 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
system: [SYSTEM]

user: 1. 引言 在这篇文章中，我们研究如下可压非牛顿流模型， (1.1) 初边值条件： (1.2) 其中 ρ ，   u 和 P = A ρ γ 表示的是未知的密度、速度和压力， A > 0 ，   γ > 1 是常数。为了简化计算，我们可假设 A = 1 。 为给定常数。 非牛顿流体的研究涉及到很多重要的领域，例如化学、生物、冰川、地质等，因此得到了许多专家的关注，上世纪七十年代Ladyzhenskaya [ 1 ] 和Lions [ 2 ] 证明了不可压缩非牛顿流模型的Dirichlet弱解存在性，这是此类问题最早的结果。 对于可压缩非牛顿流模型，文献 [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] 中研究了当空间维数 n ≥ 2 时测度值弱解的存在性。Feireisl，Liao和Málek在文献 [ 6 ] 中提出了相关初边值问题弱解的全局存在性。另外，Mamontov在文献 [ 7 ] 中研究了一维和二维空间中全局解的存在性。近些年来，关于一维空间下的可压缩非牛顿流问题强解的适定性研究取得了一些进展。在一维空间且允许真空出现时，Yuan和Xu证明了局部强解的存在唯一性(见 [ 8 ] [ 9 ] )。而在 1 < p < 2 的条件下，局部光滑解的存在性问题已经被Fang和Li证明(见 [ 10 ] )。更多相关结论，可以参考文献 [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] 。 本文将研究具有Power-Law型粘性项的一维可压缩非牛顿流光滑解的存在唯一性。在这里我们考虑初始密度具有正下界的情况。 我们的主要结论如下： 定理 1：假设 p > 3 ，初值 ( ρ 0 ， u 0 ) 满足 (1.3) 其中 为常数，那么存在一个时间 ，对于初边值问题(1.1)~(1.2)存在局部光滑解 且满足： ρ ∈ C ( [ 0 ， T * ] ; H 2 ( I ) ) ，   ρ t ∈ C ( [ 0 ， T * ] ; H 1 ( I ) ) ，   ρ t t ∈ L 2 ( [ 0 ， T * ] ; L 2 ( I ) ) ， ρ > 0 ， u t ∈ L ∞ ( [ 0 ， T * ] ; L 2 ( I ) ) ，   u ∈ C ( [ 0 ， T * ] ; H 0 1 ( I ) ∩ H 3 ( I ) ) ， u t ∈ C ( [ 0 ， T * ] ; H 0 1 ( I ) ) ∩ L 2 ( [ 0 ， T * ] ; H 2 ( I ) ) ，   ρ u t t ∈ L 2 ( [ 0 ， T * ] ; L 2 ( I ) ) ， P ( ρ ) ∈ C ( [ 0 ， T * ] ; H 2 ( I ) ) ，   P t ( ρ ) ∈ C ( [ 0 ， T * ] ; H 1 ( I ) ) ， P t t ( ρ ) ∈ L 2 ( [ 0 ， T * ] ; L 2 ( I ) ) ，   ( μ 1 | u x | p − 2 u x ) x ∈ C ( [ 0 ， T * ] ; H 1 ( I ) ) . (1.4) 本文共有三部分，在第二部分，我们将通过迭代的方法构造逼近方程，并得到逼近解的先验估计。定理1的证明将在第三部分完成。
system: [SYSTEM]

user: 3. 定理1的证明 这一部分，我们将证明定理1。首先因为 ρ 0 ≥ ρ ¯ > 0 ，应用特征线方法可以从(2.1)中推出 ρ ( t ， x ) ≥ ρ ¯ exp ( − ∫ 0 T ‖ u x k − 1 ( x ， s ) ‖ L ∞ ( I ) d s ) > 0 . 由(2.34)式，我们可以得到(1.1)~(1.2)的解 ( ρ ， u ) 满足 ρ ∈ L ∞ ( [ 0 ， T ∗ ] ; H 2 ( I ) ) ， ρ t ∈ L ∞ ( [ 0 ， T ∗ ] ; H 1 ( I ) ) ， ρ t t ∈ L 2 ( [ 0 ， T ∗ ] ; L 2 ( I ) ) ， ρ > 0 ， u ∈ L ∞ ( [ 0 ， T ∗ ] ; H 0 1 ( I ) ∩ H 3 ( I ) ) ， u t ∈ L ∞ ( [ 0 ， T ∗ ] ; H 0 1 ( I ) ) ∩ L 2 ( [ 0 ， T ∗ ] ; H 2 ( I ) ) ， ρ u t t ∈ L 2 ( [ 0 ， T ∗ ] ; L 2 ( I ) ) ， P ( ρ ) ∈ L ∞ ( [ 0 ， T ∗ ] ; H 2 ( I ) ) ， P t ( ρ ) ∈ L ∞ ( [ 0 ， T ∗ ] ; L 2 ( I ) ) ， P t t ( ρ ) ∈ L 2 ( [ 0 ， T ∗ ] ; L 2 ( I ) ) . (3.1) 然后，由 ( ρ ， u ) 的连续性，又因为 u ∈ L ∞ ( [ 0 ， T * ] ; H 3 ( I ) ) 和 u t ∈ L ∞ ( [ 0 ， T * ] ; H 0 1 ( I ) ) ，我们有 u ∈ C ( [ 0 ， T * ] ; H 2 ( I ) ) 。由(1.1)式和(3.1)式，可以得到 ρ ∈ C ( [ 0 ， T ∗ ] ; H 2 ( I ) ) ，         P ( ρ ) ∈ C ( [ 0 ， T ∗ ] ; H 2 ( I ) ) ， (3.2) 由(3.2)式和(1.1)式，结合 ( ρ ， u ) 的正则性估计，可得 ρ t ∈ C ( [ 0 ， T ∗ ] ; H 1 ( I ) ) ，         P t ( ρ ) ∈ C ( [ 0 ， T ∗ ] ; H 1 ( I ) ) . (3.3) 联合(1.1)式、(3.2)式和(3.3)式，我们有 ( ρ u ) t ∈ C ( [ 0 ， T ∗ ] ; H 1 ( I ) ) . (3.4) 对(1.1)式进行求导，有 ρ t t = − ( ρ u ) t x ，所以 ρ t t ∈ C ( [ 0 ， T ∗ ] ; L 2 ( I ) ) . (3.5) 进一步地，由 ( ρ ， u ) 的正则性估计，我们可以得到 ( μ 1 | u x | p − 2 u x ) x ∈ C ( [ 0 ， T ∗ ] ; H 1 ( I ) ) . (3.6) 则定理1中局部光滑解的存在性得证。关于解的唯一性可参考文献 [ 9 ] ，我们这里不再赘述。定理1得证。
system: [SYSTEM]

user: 摘 要 本文研究广义Grötzsch环函数与一些初等函数组合的单调性，并由此获得新的精确不等式。同时，将所得结果应用于Ramanujan模方程理论，获得广义Hersch-Pfluger偏差函数新的下界。 关键词 :广义Grötzsch环函数，精确不等式，Ramanujan模方程，广义Hersch-Pfluger偏差函数 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
system: [SYSTEM]

user: 1. 引言 在本文中，arthr表示反双曲正切函数。对 r ∈ ( 0 ， 1 ) ，记 。对于正实数x和y，Γ-函数、B-函数以及ψ-函数分别定义 [ 1 ] 为： Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t ，     B ( x ， y ) = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) ，     ψ ( x ) = Γ ′ ( x ) Γ ( x ) (1) 令 γ = lim n → ∞ [ ∑ k = 1 n 1 k − log n ] = 0 .57721566 ⋯ ，是Euler-Mascheroni常数，则 ψ ( 1 ) = − γ ， ψ ( 1 / 2 ) = − γ − log 4 (2) 在 ( 0 ， ∞ ) × ( 0 ， ∞ ) 上定义Ramanujan常数 [ 2 ] [ 3 ] 为： R ( a ， b ) = − ψ ( a ) − ψ ( b ) − 2 γ (3) 当 b = 1 − a 时，式(3)记为 R ( a ) = R ( a ， 1 − a ) = − ψ ( a ) − ψ ( 1 − a ) − 2 γ ， 结合式(2)~(3)知 R ( 1 2 ， 1 2 ) = log 16 。 给定实数a，b， c ( c ≠ 0 ， − 1 ， − 2 ， − 3 ， ⋯ ) ，高斯超几何函数定义 [ 4 ] 为： F ( a ， b ; c ; z ) = F 2 1 ( a ， b ; c ; z ) = ∑ n = 0 ∞ ( a ， n ) ( b ， n ) ( c ， n ) z n n ! ， | z | < 1 (4) 这里，当 n ∈ N 时， ( a ， n ) = a ( a + 1 ) ( a + 2 ) ⋯ ( a + n − 1 ) ，且 ( a ， 0 ) = 1 。 当 a ∈ ( 0 ， 1 ) ，第一类、第二类广义椭圆积分分别定义 [ 5 ] 为： K a = K a ( r ) = π 2 F ( a ， 1 − a ; 1 ; r 2 ) ，     K ′ a = K ′ a ( r ) = K a ( r ′ ) (5) E a = E a ( r ) = π 2 F ( a − 1 ， 1 − a ; 1 ; r 2 ) ，     E ′ a = E ′ a ( r ) = E a ( r ′ ) (6) 因广义椭圆积分关于参数a的对称性，本文只考虑 a ∈ ( 0 ， 1 / 2 ) 的情形。特别地，当 a = 1 / 2 时， K 1 / 2 ( r ) = K = K ( r ) 与 E 1 / 2 ( r ) = E = E ( r ) 分别为第一类和第二类完全椭圆积分。 广义Grötzsch环函数 μ a : ( 0 ， 1 ) → ( 0 ， ∞ ) 定义 [ 6 ] 为： μ a ( r ) = π 2 sin ( a π ) K ′ a ( r ) K a ( r ) (7) 显然，当 a = 1 / 2 时， μ ( r ) = μ 1 / 2 ( r ) 表示平面拟共形映射单调递减的Grötzsch极值环 B 2 \ [ 0 ， r ] 的模，这里的 B 2 表示平面单位圆盘，且 ， μ a ( 1 ) = 0 。近几年，国内外很多学者对广义Grötzsch环函数的单调性、凹凸性及不等式进行研究，见文献 [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] 。 符号差 1 / a 的p次广义Ramanujan模方程定义 [ 5 ] 为： F ( a ， 1 − a ; 1 ; 1 − s 2 ) F ( a ， 1 − a ; 1 ; s 2 ) = p F ( a ， 1 − a ; 1 ; 1 − r 2 ) F ( a ， 1 − a ; 1 ; r 2 ) (8) 利用式(5)及式(7)，可将式(8)改写成 μ a ( s ) = p μ a ( r ) ， p > 0 (9) 式(9)的解可以表示为 s = φ K ( a ， r ) = μ a − 1 ( μ a ( r ) / K ) ， K = 1 / p (10) 称式(10)中的函数 φ K ( a ， r ) 为广义Hersch-Pfluger偏差函数， φ K ( a ， 0 ) = 0 ， 。当 a = 1 / 2 时， φ K ( a ， r ) 退化为Hersch-Pfluger偏差函数 φ K ( r ) 。此外，许多学者对广义Hersch-Pfluger偏差函数的性质做了深入的研究，见文献 [ 10 ] [ 11 ] 。 在文 [ 6 ] 中，裘松良获得如下结论：当 a ∈ ( 0 ， 1 / 2 ) ， r ∈ ( 0 ， 1 ) 时，不等式成立 μ ( r ) + C 1 ( 1 − r 2 ) ≤ μ a ( r ) ≤ μ ( r ) + C 1 − ( a − 1 / 2 ) r 2 当 a = 1 / 2 时等号成立，其中 C 1 = [ R ( a ) − log 16 ] / 2 。 在文 [ 7 ] 中，王根娣等揭示了广义Hersch-Pfluger偏差函数与广义Grötzsch环函数 μ a ( r ) 的关系： φ 1 / K ( a ， r ) > r K exp { ( 1 − K ) c ( r ) } (11) 当且仅当 μ a ( r ) + log r ≤ c ( r ) 。 本文主要揭示广义Grötzsch环函数的分析性质，获得新的精确不等式，并应用于Ramanujan模方程解的精确估计。
system: [SYSTEM]

user: 2. 引理 本文为了证明第三部分的主要结果和引用方便，需要引入下面的导数公式 [ 4 ] ： d K a d r = 2 ( 1 − a ) E a − r ′ 2 K a r r ′ 2 ， d E a d r = 2 ( 1 − a ) E a − K a r (12) d μ a ( r ) d r = − π 2 4 r r ′ 2 K a 2 (13) 引理1 ( [ 4 ] ， Theorem 1.25)对 − ∞ < a < b < + ∞ ，设f和g是两个实值函数，并都在 [ a ， b ] 上连续，在 上可微且在 ( a ， b ) 上 g ′ ( x ) ≠ 0 ，如果 f ′ / g ′ 在 ( a ， b ) 上单调递增(递减)，那么函数 F ( x ) = f ( x ) − f ( a ) g ( x ) − g (a) 和 G ( x ) = f ( x ) − f ( b ) g ( x ) − g (b) 也在 ( a ， b ) 上单调递增(递减)。而且，若 f ′ / g ′ 的单调性是严格的，则F和G的单调性也是严格的。 引理2 ( [ 5 ] ， Lemma 5.4)对任意的 r ∈ ( 0 ， 1 ) 及 a ∈ ( 0 ， 1 / 2 ) ，则 (1) π 2 / 4 − r ′ K a 2 ( r ) r 2 从 ( 0 ， 1 ) 到 ( π 2 [ a 2 + ( 1 − a ) 2 ] / 4 ， π 2 / 4 ) 上严格单调递增。 (2) r ′ K a ( r ) 从 ( 0 ， 1 ) 到 ( 0 ， π / 2 ) 上严格单调递减。 引理3 ( [ 11 ] ，定理2.1(3))对任意的 r ∈ ( 0 ， 1 ) 及 a ∈ ( 0 ， 1 / 2 ) ，则 μ a ( r ) + log r r ′ 从 ( 0 ， 1 ) 到 ( R ( a ) / 2 ， + ∞ ) 上严格单调递增。
system: [SYSTEM]

user: 3. 主要结果及证明 利用上述引理，本节给出主要结果及证明。 定理3.1 设 C 1 = e ( R ( a ) − log 4 ) / 2 ，则函数 F ( r ) = C 1 − exp [ μ a ( r ) − a r t h ( r ′ ) ] r 2 从 ( 0 ， 1 ) 到 ( ( 1 / 2 − a ) 2 C 1 ， C 1 − 1 ) 上严格单调递增。特别地，当 0 < r < 1 时， log [ C 1 − ( C 1 − 1 ) r 2 ] + log ( 1 + r ′ ) < μ a ( r ) + log r < log C 1 + log [ 1 − ( 1 / 2 − a ) 2 r 2 ] + log ( 1 + r ′ ) (14) 证明：令 f 1 ( r ) = C 1 − exp [ μ a ( r ) − a r t h ( r ′ ) ] ， f 2 ( r ) = r 2 ，则 F ( r ) = f 1 ( r ) / f 2 ( r ) ， f 1 ( 0 ) = f 2 ( 0 ) = 0 。由式(12)、(13)，求导得 f ′ 1 ( r ) f ′ 2 ( r ) = 1 2 exp [ μ a ( r ) − a r t h ( r ′ ) ] r ′ π 2 / 4 − r ′ K a 2 r 2 1 r ′ K a 2 = 1 2 exp [ μ a ( r ) − a r t h ( r ′ ) + log 1 r ′ ] π 2 / 4 − r ′ K a 2 r 2 1 r ′ K a 2 = 1 2 exp [ μ a ( r ) + log r r ′ − log ( 1 + r ′ ) ] π 2 / 4 − r ′ K a 2 r 2 1 r ′ K a 2 = f 3 (r) 根据引理2.2 (1)、(2)及引理2.3可知， f 3 ( r ) 是三个正的单调递增函数的乘积。由引理2.1可得函数 F ( r ) 的单调性。显然， F ( 1 − ) = C 1 − 1 。根据l’Hôpital法则，结合引理2.1~2.3，极限 lim r → 0 + F ( r ) = lim r → 0 + f ′ 1 ( r ) f ′ 2 ( r ) = ( 1 / 2 − a ) 2 e ( R ( a ) − log 4 ) / 2 = ( 1 / 2 − a ) 2 C 1 . 显然，不等式(14)成立。 定理3.2设 C 2 = [ R ( a ) − log 16 ] / 2 ， α = ( 1 / 2 − a ) 2 ， β = e C 2 − 1 ，则函数 G ( r ) = exp [ C 2 − ( μ a ( r ) − μ ( r ) ) ] − 1 r 2 从 ( 0 ， 1 ) 到 ( α ， β ) 上严格单调递增。特别地，当 0 < r < 1 时， R ( a ) − log 16 2 − log ( 1 + α r 2 ) < μ a ( r ) − μ ( r ) < R ( a ) − log 16 2 − log ( 1 + β r 2 ) (15) 证明：令 g 1 ( r ) = exp [ C 2 − ( μ a ( r ) − μ ( r ) ) ] − 1 ， ，则 ， g 1 ( 0 ) = g 2 ( 0 ) = 0 。结合式(13)，求导得 g ′ 1 ( r ) g ′ 2 ( r ) = π 2 8 exp { C 2 − [ μ a ( r ) − μ ( r ) ] } K + K a r ′ K 2 1 r ′ K a 2 K − K a r 2 = g 3 (r) 由文 [ 7 ] 中定理1 (1)和引理2.1 (3)、引理2 (2)可知， g 3 ( r ) 是四个正的且单调递增的函数乘积。结合引理2.1可知 G ( r ) 的单调性。极限值 G ( 1 − ) = C 2 − 1 = β 。结合文 [ 7 ] 中引理2.1 (3)、引理2 (2)，运用l’Hôpital法则便知 lim r → 0 + G ( r ) = lim r → 0 + g ′ 1 ( r ) g ′ 2 ( r ) = ( 1 / 2 − a ) 2 = α . 推论3.3对所有的 r ∈ ( 0 ， 1 ) 和 K ∈ ( 1 ， + ∞ ) 时，成立不等式 φ 1 / K ( a ， r ) > r K { e [ R ( a ) − log 4 ] / 2 [ 1 − ( 1 / 2 − a ) 2 r 2 ] ( 1 + r ′ ) } 1 − K (16) 特别地当 a = 1 / 2 时，不等式退化为 φ 1 / K ( r ) > r K { 2 ( 1 + r ′ ) } 1 − K (17) 证明：根据式(11)及定理3.2的结论易得不等式(16)和(17)。
system: [SYSTEM]

user: 摘 要 图G的标号是指G的顶点集到一个整数集的映射g，且对 e = u v ∈ E ( G ) 由g(u)和g(v)诱导出边e的标号。本文给出了图 P n ⋎ S m 的优美性。即证明了图 P n ⋎ S m 是优美图。进而推广了原有的一些结果。 关键词 :优美图，顶点的度，顶点标号 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/