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user: 2. 模型与方法 线性随机效应模型是一类重要的统计模型，常用于生物统计，公共卫生，心理计量学，教育学和社会学等领域纵向数据和相关数据的统计分析。 线性随机效应模型的一般形式如下 M 1 :           y = X β + ε ，     β = Z α + γ (1) 其中 y ∈ ℝ n × 1 是可观测的响应变量， y ∈ ℝ n × 1 表示 n × 1 实矩阵构成的集合， X ∈ ℝ n × p 是已知的任意秩矩阵， β ∈ ℝ p × 1 是未知参数向量， ε ∈ ℝ n × 1 是不可观测的随机误差向量， Z ∈ ℝ p × k 是已知的任意秩矩阵， α ∈ ℝ k × 1 是固定的未知参数向量， γ ∈ ℝ p × 1 是不可观测的随机向量。 考虑在模型(1)中添加新的变量项 F ζ ，则得到新的线性随机效应模型 M 2 :               y = X β + F ζ + ε ，     β = Z α + γ (2) 其中 F ∈ ℝ n × q 是已知的任意秩矩阵， ζ ∈ ℝ q × 1 是固定的未知参数向量。我们把模型(2)称为相对模型(1)的过参数线性随机效应模型，模型(1)称为一般线性随机效应模型。 同时，我们约定模型(1)和(2)中未知随机参数向量 γ 和 ε 的期望及协方差矩阵满足 E [ γ ε ] = 0 ， C o v [ γ ε ] = [ Σ 11 Σ 12 Σ 21 Σ 22 ] = Σ (3) 这里 Σ ∈ ℝ ( p + n ) × ( p + n ) 是一个已知或未知的任意秩非负定矩阵，其中 Σ 11 ∈ ℝ p × p ， Σ 12 = Σ ′ 21 ∈ ℝ p × n ， Σ 22 ∈ ℝ n × n ， Σ ′ 21 表示 Σ 21 的转置。 对模型(1)和模型(2)中的y， γ 和 ε ，若记 X ˜ = [ X ， I n ] ， S = [ 0 ， I n ] ，则 D ( y ) ， C o v ( X γ ， y ) ， C o v ( ε ， y ) 可表示成 D ( y ) = D ( X γ + ε ) = X Σ 11 X ′ + X Σ 12 + Σ 21 X ′ + Σ 22 = X ˜ Σ X ˜ ′ (4) C o v ( X γ ， y ) = C o v ( X γ ， X γ + ε ) = X Σ 11 X ′ + Σ 12 = X Σ X ˜ ′ (5) (6) 模型(2)相对模型(1)多了一个变量项 F ζ ，那么模型(1)和模型(2)关于向量参数 α 、 γ 和 的统计推断有着怎样的关系呢？受文献 [ 7 ] 的启发，我们构造向量参数 α 、 γ 和 ε 的线性函数如下 ϕ = A α + B γ + C ε (7) 以此研究两个模型下向量 φ 的预测量或估计之间的关系。这里 A ∈ ℝ s × k ， B ∈ ℝ s × p 和 C ∈ ℝ s × n 分别是三个已知的任意秩矩阵。 若记 H = [ B ， C ] ，易知 ϕ 的协方差矩阵为 D ( ϕ ) = H Σ H ′ ，则 ϕ 与y协方差矩阵可表示为 C o v ( ϕ ， y ) = H Σ X ˜ ′ 。 参照文献 [ 8 ]，下面我们给出向量函数 ϕ 可预测及 ϕ 的最佳线性无偏预测或最佳线性无偏估计的定义。 定义1：若存在矩阵 L ∈ ℝ k × n ，满足 E ( L y − ϕ ) = 0 ，则称向量函数 ϕ 在模型(1)或模型(2)下可预测。 定义2：假设向量 ϕ 是可预测的，若存在 L o p t ∈ K = { L | E ( L y − ϕ ) = 0 ， L ∈ ℝ k × n } ，使得对任意的 L ∈ K 都有 D ( L o p t y − ϕ ) ≤ D ( L y − ϕ ) 成立，即 D ( L o p t y − ϕ ) = min { D ( L y − ϕ ) } ，则称 L o p t y 为模型(1)或模型(2)下向量函数 ϕ 的最佳线性无偏预测。当 B = 0 ， C = 0 时，我们把 L o p t y 称为向量函数 ϕ 的最佳线性无偏估计。 接下来我们给出下文讨论用到的几个引理。 引理1： [ 9 ] 令 f ( L u ) = ( L u C 1 + D 1 ) M ( L u C 1 + D 1 ) ′             s .t           L u A 1 = B 1 这里 A 1 ∈ ℝ p × q ， B 1 ∈ ℝ n × q ， C 1 ∈ ℝ p × m ， D 1 ∈ ℝ n × m 和 M ∈ ℝ p × p 是半正定的，矩阵方程 L u A 1 = B 1 是相容的，则总是存在 L 0 A 1 = B 1 的解 L 0 使得 f ( L u ) ≥ f (L0) 对于 L u A 1 = B 1 的所有解都成立，则满足(8)的矩阵 L 0 也满足下面相容的矩阵方程 L 0 [ A 1 ， C 1 M C ′ 1 A 1 ⊥ ] = [ B 1 ， − D 1 M C ′ 1 A 1 ⊥ ] L 0 的一般表达式及相应地 f ( L 0 ) 和 f ( L u ) − f ( L 0 ) 如下 L 0 = arg min L u A 1 = B 1 f ( L u ) = [ B 1 ， − D 1 M C ′ 1 A 1 ⊥ ] [ A 1 ， C 1 M C ′ 1 A 1 ⊥ ] + + U [ A 1 ， C 1 M C ′ 1 ] ⊥ f ( L 0 ) = min L u A 1 = B 1 f ( L u ) = K M K ′ − K M C 1 T C ′ 1 M K ′ f ( L u ) = f ( L 0 ) + ( L u C 1 + D 1 ) M C ′ 1 T C 1 M ( L u C 1 + D 1 ) ′ = f ( L 0 ) + ( L u C 1 M C ′ 1 A 1 ⊥ + D 1 M C ′ 1 A 1 ⊥ ) T ( L u C 1 M C ′ 1 A 1 ⊥ + D 1 M C ′ 1 A 1 ⊥ ) ′ 这里 K = B 1 A 1 + C 1 + D 1 ， T = ( A 1 ⊥ C 1 M C ′ 1 A 1 ⊥ ) + ，且 U ∈ ℝ n × p 是任意的， A 1 + 表示 A 1 的Moore-Penrose逆， A 1 ⊥ 表示正交投影矩阵。 引理2 [ 10 ]：令 A 2 ∈ ℝ m × n ， B 2 ∈ ℝ m × k 和 C 2 ∈ ℝ l × n ，因此 r [ A 2 ， B 2 ] = r ( A 2 ) + r ( E A 2 B 2 ) = r ( B 2 ) + r ( E B 2 A 2 ) (8) r [ A 2 C 2 ] = r ( A 2 ) + r ( C 2 F A 2 ) = r ( C 2 ) + r ( A 2 F C 2 ) (9) r [ A 2 B 2 C 2 0 ] = r ( B 2 ) + r ( C 2 ) + r ( E B 2 A 2 F C 2 ) (10) 引理3 [ 11 ]：线性矩阵方程 A 0 X 0 = B 0 相容的充要条件是 r [ A 0 ， B 0 ] = r ( A 0 ) ，即 A 0 A 0 + B 0 = B 0 则线性矩阵方程的一般解可表示为 X 0 = A 0 + B 0 + ( I − A 0 + A 0 ) U ，这里U是任意矩阵，I表示单位矩阵。