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user: 3. 共形超代数 下面给出的概念可以看成李共形超代数概念的自然推广。 定义3.1 (共形超代数)设R是一个 Ζ / ( 2 ) -阶化的 F [ ∂ ] -模，并带有双线性映射 [ . λ . ] ： R × R → R [ λ ] ，称其为 λ -括积，如果满足下列条件： [ ∂ a λ b ] = − λ [ a λ b ] ， [ a λ ∂ b ] = ( ∂ + λ ) [ a λ b ] ， 其中元素 a ， b ∈ R ，符号 λ 可以看成是形式变量，算子 ∂ 在向量超空间R上的线性作用是阶化的，也称 ∂ 为平移算子。 带有 λ -括积的 Ζ / ( 2 ) -阶化 F [ ∂ ] -模R，称为域F上的一个共形超代数。此时，对元素 ， [ a λ b ] = ∑ j = 0 ∞ λ j j ! a ( j ) b 是关于变量 λ 的多项式， ( j ) 也可以看成向量超空间R上的一个双线性运算，且 a ( j ) b ≥ 0 ， j ≫ 0 。 引理3.2 设 是域F上的共形超代数，定义双线性映射 [ . λ . ] o p : R × R → R [ λ ] ， ( a ， b ) ↦ [ a λ b ] o p ， 使得 [ a λ b ] o p = − ( − 1 ) p ( a ) p ( b ) [ b − λ − ∂ α ] ，这里 a ， b ∈ R 是齐次元素，则 ( R ， [ . λ . ] o p ) 也是域F上的共形超代数，称其为 ( R ， [ . λ . ] ) 的反共形超代数。 证明 由定义不难直接验证，引理结论成立。 引理3.3 设 ( V ， Y ， | 0 〉 ) 是任意给定的态场对应， ( V ， Y o p ， | 0 〉 ) 相应的反态场对应。对V的任意齐次元素 u ， v ，令 [ u λ v ] = R e s z e λ z Y ( u ， z ) v ， [ u λ v ] o p = R e s z e λ z Y o p ( u ， z ) v ， 经线性扩充得到双线性映射 [ . λ . ] ， [ . λ . ] o p : R × R → R [ λ ] ，则 ( V ， [ . λ . ] ) 是共形超代数，且 ( V ， [ . λ . ] o p ) 是相应的反共形超代数。 证明 只需证明关于 λ -括积 [ λ ] 的结论，关于 [ . λ . ] o p 的结论的证明是类似的。令 ∂ = T ，从而有下列所要求的等式 [ ∂ u λ v ] = R e s z e λ z Y ( ∂ u ， z ) v = − λ R e s z e λ z Y ( u ， z ) v = − λ [ u λ v ] ， [ u λ ∂ v ] = R e s z e λ z Y ( u ， z ) ∂ v = ∑ n = 0 ∞ λ n n ! u ( n ) ∂ v = ∑ n = 0 ∞ λ n n ! ( ∂ ( u ( n ) v ) + n u ( n − 1 ) v ) = ( ∂ + λ ) [ u λ v ] . 引理3.4 设R是域F上的共形超代数，带有平移算子 ∂ ，构造向量超空间的张量积 R ˜ 及相应的算子T如下： R ˜ = R ⊗ F [ t ， t − 1 ] = R [ t ， t − 1 ] ， ， 对单项式元素 a t m ， b t n ∈ R ˜ ， a ， b ∈ R 及 m ， n ∈ Ζ ，定义它们的括积 [ a t m ， b t n ] = ∑ j = 0 ∞ ( m j ) ( a ( j ) b ) t m + n − j . 这里 a ( j ) b 是共形超代数R中的 ( j ) -运算， j ≥ 0 。通过线性扩充，上述等式在向量超空间 R ˜ 上定义了一个双线性运算，使其成为一个非结合超代数，并且子空间 是它的一个双边齐次理想。 证明 子空间 T R ˜ 有齐次张成元： ( ∂ a ) t m + m a t m − 1 ， ∀ m ∈ Ζ ，这里 a ∈ R 是齐次元素。从而由下面的计算结果可知， T R ˜ 是一个双边齐次理想。 [ ( ∂ a ) t m + m a t m − 1 ， b t n ] = ∑ j = 0 ∞ ( m j ) ( ( ∂ a ) ( j ) b ) t m + n − j + m ∑ j = 0 ∞ ( m − 1 j ) ( a ( j ) b ) t m + n − j − 1 = − ∑ j = 1 ∞ j ( m j ) ( a ( j − 1 ) b ) t m + n − j + m ∑ j = 0 ∞ ( m − 1 j ) ( a ( j ) b ) t m + n − j − 1 = − ∑ j = 0 ∞ ( j + 1 ) ( m j + 1 ) ( a ( j ) b ) t m + n − j − 1 + ∑ j = 0 ∞ m ( m − 1 j ) ( a ( j ) b ) t m + n − j − 1 = 0 这里用到： ( j + 1 ) ( m j + 1 ) = m ( m − 1 j ) ， ( ∂ a ) ( j ) = ( − j ) a ( j − 1 ) 。 [ a t m ， ( ∂ b ) t n + n b t n − 1 ] = ∑ j = 0 ∞ ( m j ) ( a ( j ) ∂ b ) t m + n − j + n ∑ j = 0 ∞ ( m j ) ( a ( j ) b ) t m + n − j − 1 = ∑ j = 0 ∞ ( m j ) ∂ ( a ( j ) b ) t m + n − j + ∑ j = 0 ∞ ( m j ) j ( a ( j − 1 ) b ) t m + n − j + n ∑ j = 0 ∞ ( m j ) ( a ( j ) b ) t m + n − j − 1 = ∑ j = 0 ∞ ( m j ) ( ∂ ( a ( j ) b ) t m + n − j + ( m + n − j ) ( a ( j ) b ) t m + n − j − 1 )     − ∑ j = 0 ∞ ( m j ) ( m + n − j ) ( a ( j ) b ) t m + n − j − 1 + ∑ j = 0 ∞ ( m j ) j ( a ( j − 1 ) b ) t m + n − j + n ∑ j = 0 ∞ ( m j ) ( a ( j ) b ) t m + n − j − 1 . 在上述最后的表达式中，第1个和式含于子空间 T R ˜ ，而后3个和式之和为零。 引理3.5 术语如上，在非结合超代数 R ˜ / T R ˜ 中，用符号 a ( m ) 表示元素 a t m 所在的等价类，则有下列诱导括积的表达式： [ a ( m ) ， b ( n ) ] = ∑ j = 0 ∞ ( m j ) ( a ( j ) b ) ( m + n − j ) . 此时，还有等式： [ a ( m ) ， b ( n ) ] = − ( − 1 ) p ( a ) p ( b ) [ b ( n ) ， a ( m ) ] o p ，这里 a ， b 是R的齐次元素， [ . ， . ] o p 是由运算 [ . λ . ] o p 导出的括积运算。 证明 根据共形超代数R中的反 λ -括积 [ . λ . ] o p 的定义，不难看出： [ b λ a ] = − ( − 1 ) p ( a ) p ( b ) [ a ( − λ − ∂ ) b ] o p ， 等式两边展开，可以得到下面的一系列式子： ∑ j = 0 ∞ λ j j ! b ( j ) a = − ( − 1 ) p ( a ) p ( b ) ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m m ! ( λ + ∂ ) m a ( m ) b = − ( − 1 ) p ( a ) p ( b ) ∑ m = 0 ∞ ∑ k = 0 m ( − 1 ) m m ! ( m k ) λ m − k ∂ k ( a ( m ) b ) = − ( − 1 ) p ( a ) p ( b ) ∑ j = 0 ∞ ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) j + k k ! j ! λ j ∂ k ( a ( j + k ) b ) ， b ( j ) a = − ( − 1 ) p ( a ) p ( b ) ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) j + k k ! ∂ k ( a ( j + k ) b ) . 从而有如下等式： [ b ( n ) ， a ( m ) ] = ∑ j = 0 ∞ ( n j ) ( b ( j ) a ) ( m + n − j ) = − ( − 1 ) p ( a ) p ( b ) ∑ j = 0 ∞ ∑ k = 0 ∞ ( n j ) ( − 1 ) j + k k ! ( ∂ k ( a ( j + k ) b ) ) ( m + n − j ) = − ( − 1 ) p ( a ) p ( b ) ∑ j = 0 ∞ ∑ k = 0 ∞ ( n j ) ( − 1 ) j ( m + n − j k ) ( a ( j + k ) b ) ( m + n − j − k ) = − ( − 1 ) p ( a ) p ( b ) ∑ r = 0 ∞ ∑ k = 0 ∞ ( n r − k ) ( − 1 ) r + k ( m + n − r + k k ) ( a ( r ) b ) ( m + n − r ) . 再利用下述注记3.6，有等式 ∑ k = 0 ∞ ( n r − k ) ( − 1 ) r + k ( m + n − r + k k ) = ( − 1 ) r ∑ k = 0 ∞ ( n r − k ) ( − 1 ) k ( m + n − r + k k ) = ( − 1 ) r ∑ k = 0 ∞ ( n r − k ) ( − m − n + r − 1 k ) = ( − 1 ) r ( − m + r − 1 r ) = ( m r ) . 从而，上述等式可以写成下列形式： − ( − 1 ) p ( a ) p ( b ) ∑ r = 0 ∞ ( m r ) ( a ( r ) b ) ( m + n − r ) = − ( − 1 ) p ( a ) p ( b ) [ a ( m ) ， b ( n ) ] o p . 注记3.6 对任意 m ， n ∈ Ζ ，有组合等式： ∑ k = 0 ∞ ( n k ) ( m j − k ) = ( n + m j ) 。 对顶点代数或顶点算子代数的情形，上述引理3.5中的括积公式等价于局部性质，见文献 [ 3 ] [ 10 ] 等。对态场对应的情形，相应的代数结构是非结合的，需要推广局部性的定义，从而可以得到类似的结论，这就是下面的定理3.8及注记3.9，它也是本文的主要结果。 定义3.7 设A是域F上的任意非结合代数， 是所有A-值Laurent-幂级数构成的向量空间，称元素 a ( z ) ， b ( z ) ∈ A 〚 z ， z − 1 〛 是相互局部的，如果存在正整数N，使得下列等式成立： ( z − w ) N a ( z ) b ( w ) = 0 . 定理3.8 术语如上，取 ，它是域F上的一个非结合超代数。对齐次元素 a ∈ R ，定义Laurent-幂级数 如下 其中 a ( m ) 是 a t m 所在的等价类，则 Y ( a ， z ) ， Y ( b ， z ) 是相互局部的，这里a，b是向量超空间R中的齐次元素。 证明 利用前面给出的括积公式： [ a ( m ) ， b ( n ) ] = ∑ j = 0 ∞ ( m j ) ( a ( j ) b ) ( m + n − j ) ，不难验证下列等式成立： [ Y ( a ， z ) ， Y ( b ， z ) ] = ∑ j = 0 ∞ Y ( a ( j ) b ， w ) ∂ w j j ! δ ( z ， w ) . 根据R中 -括积的定义，对元素 a ， b ∈ R ，必有 a ( j ) b = 0 ， j ≫ 0 。从而上述和式只包含有限项，再利用 δ -函数的性质，必存在正整数N，使得 ( z − w ) N [ Y ( a ， z ) ， Y ( b ， w ) ] = 0 . 注记3.9 术语如上。设 T ( A ) 是非结合超代数A作为向量超空间的张量代数，定义结合代数 T ( A ) 的双边理想I，它由下列齐次元素所生成 a ( m ) ⊗ b ( n ) − ( − 1 ) p ( a ) p ( b ) b ( n ) ⊗ a ( m ) − [ a ( m ) ， b ( n ) ] ， 其中 m ， n ∈ Ζ ， a ， b ∈ R 是齐次元素。 令 B = T ( A ) / I 是相应的商代数，它有生成元集： a ( n ) + I ，这里a是向量超空间R的齐次元素，n是任意整数。把等价类 a ( n ) + I 简记为 a ( n ) ，从而得到下列括积的等式： [ a ( m ) ， b ( n ) ] = ∑ j = 0 ∞ ( m j ) ( a ( j ) b ) ( m + n − j ) . 结合代数B可以看成括积运算下的李代数，并构造它的子代数 g ， g − 如下： g = s p a n { a ( n ) ; a ∈ R 0 ¯ ∪ R 1 ¯ ， n ∈ Ζ } ， g − = s p a n { a ( n ) ; a ∈ R 0 ¯ ∪ R 1 ¯ ， n ≥ 0 } ⊂ g . 不难看出：作为结合代数B的伴随模的商模，向量空间 V = B / B g − 有下列形式的单项式基： a ( − m 1 ) 1 a ( − m 2 ) 2 ⋯ a ( − m r ) r ⋅ 1 ， m 1 ≥ m 2 ≥ ⋯ ≥ m r ≥ 1 . 最后，令 ∑ = { a ( z ) = ∑ n ∈ Ζ a ( n ) z − n − 1 ; a ∈ R 0 ¯ ∪ R 1 ¯ } ，其元素可以自然看成是 E n d V -值的Laurent-幂级数。这些元素还满足下方截断性，且是两两相互局部的，从而子集 ∑ 成一个顶点代数。