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user: 2. 多面体空间上的保正交算子 定义1 [ 2 ] 设X是一个赋范线性空间， x ， y ∈ X 。若不等式 ‖ x + α y ‖ ≥ ‖ x ‖ 对任意的实数 α 都成立，则我们称x Birkhoff正交于y，记作 x ⊥ B y 。 如果 x ⊥ B y ，可以理解为x到y所在直线上任意一点的距离都不小于 ‖ x ‖ ，也可以理解为 x + α y 所在直线在x点支撑球面 { z : z ∈ s p a n { x ， y } ， ‖ z ‖ = ‖ x ‖ } 。 定理1 设x和y是赋范线性空间X中两个线性无关的向量， L = s p a n { x ， y } ，则 x ⊥ B y 当且仅当直线 x + 〈 − y ， y 〉 在x点出支撑球面 ‖ x ‖ B L 。 定理2 [ 3 ] 设X为一个赋范线性空间， x ， y ∈ X ，则 x ⊥ B y 当且仅当存在线性泛函f，满足 | f ( x ) | = ‖ f ‖ ‖ x ‖ ，并且 f ( y ) = 0 。 定理3设X是一个二维赋范线性空间， x ， y ∈ S ( X ) ，若X上存在一个非零元 z，使得 x ⊥ B z ， y ⊥ B z ，则我们有 [ x ， y ] ⊂ S ( X ) 或者 [ x ， − y ] ⊂ S ( X ) 。 证明：由于X是一个二维赋范线性空间，故存在 f ∈ S ( X * ) 。使得 f ( z ) = 0 因此，对于任意的 x 0 ∈ S ( X ) ， α ∈ R ，有 f ( x 0 ) = f ( x 0 + α z ) ≤ inf α ∈ R ‖ x 0 + α z ‖ ≤ ‖ x 0 ‖ = 1 故有 sup x 0 ∈ S ( X ) f ( x 0 + α z ) = sup x 0 ∈ S ( X ) ( inf α ∈ R ‖ x 0 + α z ‖ ) = 1 由于 x ⊥ B z ，故有 sup x 0 ∈ S ( X ) ( inf α ∈ R ‖ x 0 + α z ‖ ) = inf α ∈ R ‖ x + α z ‖ = 1 那么 f ( x ) = 1 又因为 y ⊥ B z ，根据Birkhoff正交定义，对任意的 α ∈ R 有 ‖ y + α z ‖ ≥ ‖ y ‖ ， ‖ − y − α z ‖ ≥ ‖ − y ‖ ， 取 β = − α ，有 ‖ − y + β z ‖ ≥ ‖ − y ‖ ， 则 − y ⊥ B z ， 故同理可得 f ( y ) = 1 或 f ( − y ) = 1 。 由映射f的线性性可得 f ( λ x + ( 1 − λ ) y ) = 1 或 f ( λ x + ( 1 − λ ) ( − y ) ) = 1 其中 λ ∈ [ 0 ， 1 ] 。由于 ‖ λ x + ( 1 − λ ) y ‖ ≥ f ( λ x + ( 1 − λ ) y ) = 1 ‖ λ x + ( 1 − λ ) y ‖ ≤ λ ‖ x ‖ + ( 1 − λ ) ‖ y ‖ = 1 ‖ λ x + ( 1 − λ ) ( − y ) ‖ ≥ f ( λ x + ( 1 − λ ) ( − y ) ) = 1 ‖ λ x + ( 1 − λ ) ( − y ) ‖ ≤ λ ‖ x ‖ + ( 1 − λ ) ‖ − y ‖ = 1 所以 ‖ λ x + ( 1 − λ ) y ‖ = 1 ‖ λ x + ( 1 − λ ) ( − y ) ‖ = 1 根据 λ 的任意性有 [ x ， y ] ⊂ S ( X ) 或 [ x ， − y ] ⊂ S ( X ) 。 定理4 [ 4 ] 对赋范线性空间中的任意两个向量x和y，总存在一个实数 α 使得 x ⊥ B α x + y 。 已知多边形空间X的单位球上的不光滑点至多可数个，现设 e x t ( A ) 为 B X 的端子集， N o n S ( S X ) 是 S X 上不光滑点集，显然 N o n S ( S X ) ⊂ e x t ( A ) 。根据多边形定义，对任意的 x ∈ e x t ( A ) ，存在 S X 的支撑超平面 H f 1 ， H f 2 ，使得 x ∈ H f 1 ∩ H f 2 因此 N o n S ( S X ) = e x t ( A ) 于是有 S X ⊂ B X = c o n v ( e x t ( A ) ) = c o n v ( N o n S ( S X ) ) 不妨设 N o n S ( S X ) = { x 1 ， ⋯ ， x n ， ⋯ } 其中 x 1 ， x 2 ∈ H f 1 ， x 2 ， x 3 ∈ H f 2 ，于是有 S X = ∪ x i ∈ N o n S ( S X ) [ x i ， x i + 1 ] 。 定理5 [ 5 ] 设X和Y是赋范空间， T 0 : S X → S Y 是一个等距映射，那么自然拓展T是线性等距映射当且仅当对任意是 x ， y ∈ S X 且 ‖ x + y ‖ ≥ 1 ，有 T ( x + y ) = T ( x ) + T ( y ) 。 定理6 设X为二维多边形空间，Y为赋范线性空间，若 T : X → Y 为一个保Birkhoff正交的满线性映射，则存在F为X到Y上的一个满等距且Y为二维多边形空间。 证明：根据上文内容可知，存在 A = { x 1 ， ⋯ ， x n ， ⋯ } ⊂ N o n S ( S X ) ，满足对任意的 x i ∈ A ，有 x i ， x i + 1 ∈ H y i ， H y i 为 S X 的支撑超平面，使得 S X = ∪ x i ∈ N o n S ( S X ) [ x i ， x i + 1 ] 。 对于任意不同的点p和q，我们分别用 [ p ， q ] ， 〈 p ， q 〉 和 [ p ， q 〉 表示p和q之间的线段，穿过p和q的直线和从p开始穿过q的射线，令 y 1 ∈ S X ，我们用 H y 1 + 和 H y 1 + 表示以直线 〈 − y 1 ， y 1 〉 为边界的X两个半开平面，用 l ( y 1 ) ， r ( y 1 ) 表示 S X ∩ H y 1 + 上平行于直线 〈 − y 1 ， y 1 〉 的最大线段 [ r ( y 1 ) ， l ( y 1 ) ] 的两个端点，且有 r ( y 1 ) − l ( y 1 ) 是 y 1 的正整数倍，当 S X 上没有平行于直线 〈 − y 1 ， y 1 〉 的非平凡线段，那么 r ( y 1 ) = l ( y 1 ) ∈ S X ∩ H y 1 + 。 不妨设 y 1 满足 r ( y 1 ) ≠ l ( y 1 ) ，令 r ( y 1 ) = x 1 ， l ( y 1 ) = x 2 则有 x 1 ⊥ B y 1 ， x 2 ⊥ B y 1 y 1 = k 1 ( x 2 − x 1 ) ， k 1 ∈ R 由于T为保Birkhoff正交映射，故 T ( x 1 ) ⊥ B T ( y 1 ) T ( x 2 ) ⊥ B T ( y 1 ) 设映射 T 1 : Y → Y 满足 T 1 T ( x 1 ) = T ( x 1 ) ‖ T ( x 1 ) ‖ T 1 T ( x 2 ) = T ( x 2 ) ‖ T ( x 2 ) ‖ T 1 ( 0 ) = 0 且 T 1 ( λ T ( x 1 ) + ( 1 − λ ) T ( x 2 ) ) = λ T ( x 1 ) + ( 1 − λ ) T ( x 2 ) ， λ ∈ R 故 T 1 T ( x 1 ) ， T 1 T ( x 2 ) ∈ S Y 易知 T 1 T 是一个线性算子。由于 ‖ T 1 T ( x 1 ) + α T ( y 1 ) ‖ = ‖ 1 ‖ T ( x 1 ) ‖ T ( x 1 ) + α T ( y 1 ) ‖ = 1 ‖ T ( x 1 ) ‖ ‖ T ( x 1 ) + ‖ T ( x 1 ) ‖ α T ( y 1 ) ‖ ≥ 1 ‖ T ( x 1 ) ‖ ‖ T ( x 1 ) ‖ = ‖ T 1 T ( x 1 ) ‖ 故 T 1 T ( x 1 ) ⊥ B T ( y 1 ) 同理可得 T 1 T ( x 2 ) ⊥ B T ( y 1 ) 由定理3有 [ T 1 T ( x 1 ) ， T 1 T ( x 2 ) ] ⊂ S Y 或 [ T 1 T ( x 1 ) ， − T 1 T ( x 2 ) ] ⊂ S Y 由于不满足 T 1 T ( λ x 1 + ( 1 − λ ) ( − x 2 ) ) ⊥ B T ( y 1 ) 故 [ T 1 T ( x 1 ) ， − T 1 T ( x 2 ) ] ⊄ S Y 现需证 T 1 T ( x 1 ) ≠ T 1 T ( x 2 ) ，即T为单射，若T不是单射，则存在 x ≠ y 使得 T ( x ) = T ( y ) 令 z = x − y 根据定理4，对任意的 v ∉ 〈 − z ， z 〉 ，存在 α ∈ R ，满足 z ⊥ B α z + v 于是有 T ( z ) ⊥ B T ( α z + y ) 由于 T ( z ) = T ( x − y ) = T ( x ) − T ( y ) = 0 故 T ( z ) ⊥ B T ( y ) 由于v的任意性，故存在 v ∈ X ，使得 z ⊥ B v 这与 T ( z ) ⊥ B T ( y ) 矛盾，故T为单射。于是有 T ( y ) = α 1 ( T 1 T ( x 1 ) − T 1 T ( x 2 ) ) ， α 1 ∈ R 那么就有 α 1 ( T 1 T ( x 1 ) − T 1 T ( x 2 ) ) = T ( k 1 ( x 1 − x 2 ) ) ⇒ T 1 T ( x 2 − x 1 ) = k 1 α 1 T ( x 2 − x 1 ) ⇒ T 1 T ( x 2 ) − T 1 T ( x 1 ) = T ( x 2 ) ‖ T ( x 2 ) ‖ − T ( x 1 ) ‖ T ( x 1 ) ‖ = k 1 α 1 T ( x 2 ) − k 1 α 1 T ( x 1 ) 故 1 ‖ T ( x 1 ) ‖ = 1 ‖ T ( x 2 ) ‖ = k 1 α 1 故 T 1 T ( x ) = k 1 α 1 T ( x ) ， x ∈ [ x 1 ， x 2 ] 故有 ‖ T 1 T ( x ) ‖ = ‖ x ‖ = 1 现取 x i ， x i + 1 ， y i ∈ S X ，令 T i : Y → Y 为如下定义算子 T i T ( x i ) = T ( x i ) ‖ T ( x i ) ‖ T i T ( x i + 1 ) = T ( x i + 1 ) ‖ T ( x i + 1 ) ‖ T i ( 0 ) = 0 且 T i ( λ T ( x i ) + ( 1 − λ ) T ( x i + 1 ) ) = λ T ( x i ) + ( 1 − λ ) T ( x i + 1 ) ， λ ∈ R 使得 T i T ( x ′ i ) = k i α i T ( x ′ i ) 其中 k i ， α i ∈ R ， x ′ i ∈ [ x i ， x i + 1 ] ，且有 1 ‖ T ( x i ) ‖ = 1 ‖ T ( x i + 1 ) ‖ = k i α i 令 T i + 1 : Y → Y 为 T i + 1 T ( x i + 1 ) = T ( x i + 1 ) ‖ T ( x i + 1 ) ‖ T i + 1 T ( x i + 2 ) = T ( x i + 2 ) ‖ T ( x i + 2 ) ‖ T i + 1 ( 0 ) = 0 且 T i + 1 ( λ T ( x i + 1 ) + ( 1 − λ ) T ( x i + 2 ) ) = λ T ( x i + 1 ) + ( 1 − λ ) T ( x i + 2 ) ， λ ∈ R 使得 T i + 1 T ( x ′ i + 1 ) = k i + 1 α i + 1 T ( x ′ i + 1 ) 其中 k i + 1 ， α i + 1 ∈ R ， x ′ i + 1 ∈ [ x i + 1 ， x i + 2 ] ，且有 1 ‖ T ( x i + 1 ) ‖ = 1 ‖ T ( x i + 2 ) ‖ = k i + 1 α i + 1 = k i α i 故取 x ′ i = x i + 1 ， x ′ i + 1 = x i + 1 时，有 T i T ( x i + 1 ) = T i + 1 T ( x i + 1 ) 因此 T i = T i + 1 ，由i的任意性可知，对任意的 x ∈ S X 有 ‖ T 1 T ( x ) ‖ = ‖ x ‖ 令 F = T 1 T ，则F是单位球面间的满等距且Y为二维多边形空间。 球面间的满等距成立，根据定理5，可以延拓到全空间等距。