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user: 3. 定理1的证明 第一步，构造修正问题： 定义截断函数： ζ ( x ， t ) = { u _ ( x ) ， t ≤ u _ ( x ) ， t ， u _ ( x ) ≤ t ≤ u ¯ ( x ) ， u ¯ ( x ) ， t ≥ u ¯ ( x ) . 令： 因为 h i : Ω ¯ × R → R + 是连续的函数，所以可令 M i = max ( h i ( x ， u ) | x ∈ Ω ¯ ， u ∈ [ u _ ， u ¯ ] ) ，再由 h ^ i ( x ， u ) 的定义易得： | h i ( x ， u ) | ≤ M i 。 定义函数： γ ( x ， t ) = − ( u _ − t ) + l + ( t − u ¯ ) + l ， (12) 其中， p − 1 p ≤ l ≤ p − 1 。 再定义修正函数： H ( x ， u ， s ， t ) = h ^ 1 ( x ， u ) s + h ^ 2 ( x ， u ) t − γ ( x ， u ) 。 利用上述函数我们研究下列Dirichlet问题： { − a ( ∫ | u | q ) Δ p u = H ( x ， u ， f ( ∫ | ζ ( x ， u ) | m ) ， g ( ∫ | ζ ( x ， u ) | r ) ) ，         x ∈ Ω ， u = 0 ， x ∈ ∂ Ω . (13) 第二步，对H作出估计： 在 u < u _ 时： | H ( x ， u ， f ， g ) | = h ^ 1 f + h ^ 2 g + ( u _ − u ) + l > 0 ，此时，对方程(13)用最值原理易得： u _ > u > 0 ，因此： | H ( x ， u ， f ， g ) | = | h ^ 1 f + h ^ 2 g + ( u _ − u ) + l | ≤ | h ^ 1 f | + | h ^ 2 g | + | ( u _ − u ) + l | ≤ | h ^ 1 f | + | h ^ 2 g | + | u _ | l . (14) 在 时： | H ( x ， u ， f ， g ) | ≤ | h ^ 1 f + h ^ 2 g | . (15) 第三步，证明 H ∈ L p * ( Ω ) ： 已知 u ¯ ， u _ ∈ L ∞ ( Ω ) ，显然有 u ¯ ， u _ ∈ L l p * ( Ω ) 。 令 ，利用上述条件以及Minkowski不等式我们有： ( ∫ | H ( x ， u ， f ， g ) | p * ) 1 p * ≤ ( ∫ | h ^ 1 f | p * ) 1 p * + ( ∫ | h ^ 2 g | p * ) 1 p * + ( ∫ | u _ | l p * ) 1 p * ≤ Γ 1 ( ∫ | h ^ 1 | p * ) 1 p * + Γ 2 ( ∫ | h ^ 2 | p * ) 1 p * + ( ∫ | u _ | l p * ) 1 p * ≤ Γ 1 M 1 | Ω | 1 p * + Γ 2 M 2 | Ω | 1 p * + ( ∫ | u _ | l p * ) 1 p * < ∞ 所以有 H ∈ L p * ( Ω ) ，且与u的选取无关。 第四步，作算子： B : W 0 1 ， p ( Ω ) → ( W 0 1 ， p ( Ω ) ) * 。 〈 B ( u ) ， v 〉 = a ( ∫ | ζ ( x ， u ) | q ) ∫ | ∇ u | p − 2 ∇ u ∇ v − ∫ H ( x ， u ， f ( ∫ | ζ ( x ， u ) | m ) ， g ( ∫ | ζ ( x ， u ) | r ) ) v ， (16) 对任意 。 第五步，证明B是有界的： 已知 u ∈ W 0 1 ， p ( Ω ) ， 〈 B ( u ) ， v 〉 = a ( ∫ | ζ ( x ， u ) | q ) ∫ | ∇ u | p − 2 ∇ u ∇ v − ∫ H ( x ， u ， f ( ∫ | ζ ( x ， u ) | m ) ， g ( ∫ | ζ ( x ， u ) | r ) ) v ≤ a ( ∫ | ζ ( x ， u ) | q ) ∫ | ∇ u | p − 1 | ∇ v | + ∫ | H ( x ， u ， f ( ∫ | ζ ( x ， u ) | m ) ， g ( ∫ | ζ ( x ， u ) | r ) ) | | v | ≤ Γ ( ∫ | ∇ u | p ) 1 p * ( ∫ | ∇ v | p ) 1 p + ( ∫ | H ( x ， u ， f ( ∫ | ζ ( x ， u ) | m ) ， g ( ∫ | ζ ( x ， u ) | r ) ) | p * ) 1 p * ( ∫ | v | p ) 1 p ≤ C ‖ v ‖ W 0 1 ， p ( Ω ) ， (17) 其中， ( p − 1 ) p * = p ，那么由上式知B是有界的。 第六步，证明B是强制的： 〈 B ( u ) ， v 〉 ‖ u ‖ = a ( ∫ | ζ ( x ， u ) | q ) ∫ | ∇ u | p − ∫ H ( x ， u ， f ( ∫ | ζ ( x ， u ) | m ) ， g ( ∫ | ζ ( x ， u ) | r ) u ) ‖ u ‖ ≥ a 0 ( ∫ | ∇ u | p ) 1 − 1 p − ( ∫ | H ( x ， u ， f ( ∫ | ζ ( x ， u ) | m ) ， g ( ∫ | ζ ( x ， u ) | r ) ) | p * ) 1 p * ( ∫ | u | p ) 1 p ‖ u ‖ ， ( ‖ u ‖ = ( ∫ | ∇ u | p ) 1 p ) ， 当 ‖ u ‖ → ∞ 时，则 〈 B ( u ) ， v 〉 ‖ u ‖ → ∞ ， 因此，B是强制的。 第七步，证明B是一个伪单调算子： 根据定义(2.1)就是证明如果 且 u n → w u 并且： lim n → ∞ sup 〈 B ( u n ) ， u n − u 〉 ≤ 0 ， (18) 那么有： lim n → ∞ inf 〈 B ( u n ) ， u n − v 〉 ≥ 〈 B ( u ) ， u − v 〉 ， ∀ v ∈ W 0 1 ， p ( Ω ) . (19) 已知 u n → w u 且 u n ， u ∈ L p ( Ω ) ，又由第三步知 ，与 选取无关且 ，根据引理(2.4)得： 又已知 lim n → ∞ sup 〈 B ( u n ) ， u n − u 〉 ≤ 0 ， 因此 lim n → ∞ sup ∫ | ∇ u n | p − 2 ∇ u n ( ∇ u n − ∇ u ) ≤ 0. (20) 根据弱收敛的定义(2.3)可得： lim n → ∞ 〈 B ( u ) ， u n − u 〉 = 0 ， 类似可以证明： lim n → ∞ ∫ | ∇ u | p − 2 ∇ u ( ∇ u n − ∇ u ) = 0. (21) 联合(20)，(21)两式可得： 0 ≥ lim n → ∞ ∫ ( | ∇ u n | p − 2 ∇ u n − | ∇ u | p − 2 ∇ u ) ( ∇ u n − ∇ u ) ≥ lim n → ∞ ∫ 2 2 − p | ∇ u n − ∇ u | p ≥ 0 ， (22) 进而得出： ∫ | ∇ u n − ∇ u | p → 0 ， (23) 所以有： u n → u 。 由(22)，(23)易知： lim n → ∞ 〈 B ( u n ) − B ( u ) ， u n − u 〉 = 0 ， (24) 又已知 W 0 1 ， p ( Ω ) 是自反空间联合引理(2.7)可得： lim n → ∞ inf 〈 B ( u n ) ， u n − v 〉 ≥ lim n → ∞ inf 〈 B ( u n ) ， u n 〉 − lim n → ∞ sup 〈 B ( u n ) ， v 〉 = lim n → ∞ inf 〈 B ( u n ) ， u n − u 〉 + lim n → ∞ 〈 B ( u n ) ， u 〉 − 〈 B ( u ) ， v 〉 = lim n → ∞ 〈 B ( u ) ， u n − u 〉 + 〈 B ( u ) ， u 〉 − 〈 B ( u ) ， v 〉 = 〈 B ( u ) ， u 〉 − 〈 B ( u ) ， v 〉 = 〈 B ( u ) ， u − v 〉 . (25) 这就证明了B是伪单调算子。 所以B是有界的、强制的、伪单调的，根据引理(2.2)可知方程(13)有解已经证明。 第八步，我们证明方程(1)有解： 即证明 u _ ≤ u ≤ u ¯ 。 先令 ϕ = ( u − u ¯ ) + ， a ( ∫ | u | q ) ∫ | ∇ u | p − 2 ∇ u ∇ ( u − u ¯ ) + = ∫ H ( x ， u ， f ( ∫ | ζ ( x ， u ) | m ) ， g ( ∫ | ζ ( x ， u ) | r ) ) ( u − u ¯ ) + ， 进而有： a ( ∫ | u | q ) ∫ | ∇ u | p − 2 ∇ u ∇ ( u − u ¯ ) + = f ( ∫ | ζ ( x ， u ) | m ) ∫ h 1 ( x ， u ) ( u − u ¯ ) + + g ( ∫ | ζ ( x ， u ) | r ) ∫ h 2 ( x ， u ) ( u − u ¯ ) + − ∫ γ ( x ， u ) ( u − u ¯ ) + ， 因此， ∫ | ∇ u | p − 2 ∇ u ∇ ( u − u ¯ ) + ≤ 1 a 0 ‖ f ‖ ∞ ∫ h 1 ( x ， u ¯ ) ( u − u ¯ ) + + 1 a 0 ‖ g ‖ ∞ ∫ h 2 ( x ， u ¯ ) ( u − u ¯ ) + − 1 a ( ∫ | u | q ) ∫ ( u − u ¯ ) + l + 1 . 对(4)分步积分可得： ∫ | ∇ u | p − 2 ∇ u ∇ ( u − u ¯ ) + ≤ ∫ | ∇ u ¯ | p − 2 ∇ u ¯ ∇ ( u − u ¯ ) + − a ( ∫ | u | q ) ∫ ( u − u ¯ ) + l + 1 ， ， 所以， ∫ | ∇ u | p − 2 ∇ u ∇ ( u − u ¯ ) + − ∫ | ∇ u ¯ | p − 2 ∇ u ¯ ∇ ( u − u ¯ ) + ≤ − a ( ∫ | u | q ) ∫ ( u − u ¯ ) + l + 1 ≤ 0 ， 又由(11)知， 左 边 ≥ ∫ 2 2 − p | ∇ ( u − u ¯ ) + | p ≥ 0 ，进而有： ( u − u ¯ ) + = 0 。 再令 ϕ = ( u _ − u ) + ， a ( ∫ | u | q ) ∫ | ∇ u | p − 2 ∇ u ∇ ( u _ − u ) + = ∫ H ( x ， u ， f ( ∫ | ζ ( x ， u ) | m ) ， g ( ∫ | ζ ( x ， u ) | r ) ) ( u _ − u ) + ， 进而有： a ( ∫ | u | q ) ∫ | ∇ u | p − 2 ∇ u ∇ ( u _ − u ) + = f ( ∫ | ζ ( x ， u ) | m ) ∫ h 1 ( x ， u ) ( u _ − u ) + + g ( ∫ | ζ ( x ， u ) | r ) ∫ h 2 ( x ， u ) ( u _ − u ) + − ∫ γ ( x ， u ) ( u _ − u ) + . 又由前面的 h i 和 的定义得到： 对(5)分步积分得： ∫ | ∇ u | p − 2 ∇ u ∇ ( u _ − u ) + ≥ a 0 Γ ∫ h 1 ( x ， u _ ) ( u _ − u ) + a 0 Γ ∫ h 1 ( x ， u _ ) ( u _ − u ) + 1 Γ ∫ ( u _ − u ) + l + 1 ≥ ∫ | ∇ u _ | p − 2 ∇ u _ ∇ ( u _ − u ) + + 1 Γ ∫ ( u _ − u ) + l + 1 ， (26) 进而有： ∫ | ∇ u _ | p − 2 ∇ u ∇ ( u _ − u ) + − ∫ | ∇ u | p − 2 ∇ u ∇ ( u _ − u ) + ≤ − 1 Γ ∫ ( u _ − u ) + l + 1 ≤ 0 ， 左 边 ≥ ∫ 2 2 − p | ∇ ( u _ − u ) + | p ≥ 0 ， 进而可得， ( u _ − u ) + = 0 。 综上， u _ ≤ u ≤ u ¯ 。 因此，定理1得证。