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user: 2. 预备知识 2.1. 博弈论 博弈论是现代数学的一个新的重要分支，其研究的主体(称为玩家)是理性的，博弈则是研究玩家之间的相互作用，这种相互作用可能从合作扩展到冲突。玩家的收益仅仅取决于自己所采取的行动策略，还取决于其他玩家所采取的策略。博弈可以用作建模和解决在多个应用领域中遇到的各种问题的框架，其中包括经济，交通，军事战略和生物学等。 现在，我们来定义一般形式的博弈，令P为参加博弈的所有玩家的集合，那么 P = { 1 ， ⋯ ， n } ， n ≥ 2 。令 S i 为第i个玩家的策略集， U i 为第i个玩家的效用函数，S称为局势，是所有玩家策略集的笛卡尔积。于是，我们有如下定义， 定义2.1 [ 18 ] 令G为一般形式的博弈 G = P ， { S i } i ∈ P ， { U i } i ∈ P (1) · P = { 1 ， ⋯ ， n } ：表示参加博弈的所有玩家的集合； · S i ：表示玩家i的策略集； · s i ∈ S i ：表示玩家i所选择的策略； · s − i = ( s i ， ⋯ ， s i − 1 ， s i + 1 ， ⋯ ， s n ) ：表示玩家i的对手所选择的策略的组合； · S − i = ∏ j ∈ P ， j ≠ i S j ：表示玩家i的对手的局势的集合； · S = S i × S − i = ∏ i ∈ P S j ：表示该博弈的所有局势的集合； · s = ( s i ， s − i ) ∈ S ：表示该博弈的一个局势； · ∪ i ( ⋅ ) : S → ℝ ：玩家i的效用函数。 定义2.2 [ 18 ] (纳什均衡)局势 s * = ( s i * ， s − i * ) 是博弈(1)的纳什均衡，如果 ∪ i ( s i * ， s − i * ) ≤ ∪ i ( s i ， s − i * ) ， ∀ s i ∈ S i ， ∀ i ∈ P (2) 纳什均衡还可以定义为满足(3)式的一个局势 s i * ∈ B R i ( s − i * ) ， ∀ i ∈ P ， (3) 其中， B R i ( s − i * ) 是玩家i的最佳响应策略集。 定义2.3 [ 18 ] (势博弈–势函数)博弈(1)是势博弈，如果存在一个全局函数 ψ : S → ℝ ，对每个玩家i，每个 s − i ∈ S − i ，对所有的 s i ， s ′ i ∈ S i ，我们有 ∪ i ( s i ， s − i ) − ∪ i ( s ′ i ， s − i ) = ψ ( s i ， s − i ) − ψ ( s ′ i ， s − i ) . (4) 那么，这个全局函数 ψ 就是有限博弈(1)的势函数。 性质2.1 [ 18 ] 势博弈存在以下性质： · 势博弈至少有一个纯纳什均衡。 · 每一个最佳响应学习过程都趋于一个纯策略纳什均衡。 2.2. 聚类 考虑n个对象的集合 Ο = { o 1 ， ⋯ ， o n } ，其中，每个对象 o i ∈ Ο 具有r个属性，那么， o i 可进一步定义为 o i = ( o i 1 ， ⋯ ， o i r ) 。令 π = ( C 1 ， ⋯ ， C k ) 是将n个参与者分为k个没有交集的群组的一个结果，即 Ο = ∪ j = 1 k C j ，且 C i ∩ C j = ∅ ， i ， j ∈ { 1 ， ⋯ ， k } ， i ≠ j ，在同一个子集里面的所有对象都是相似性准则 ϕ 下的相似性最大。接下来，我们定义所有分组结果的集合Π，那么我们所研究的数据聚类问题可定义为： π * = arg min π ∈ Π f ( π ) ， (5) 其中， f ( ⋅ ) 是关于 ϕ 的一个函数表达。 为了方便接下来关于聚类稳定性的证明，下面我们将给出稳定的聚类的定义。 定义2.4 [ 18 ] (稳定的聚类)一个聚类结果 π = ( C 1 ， ⋯ ， C k ) ， π ∈ Π 是稳定的，如果 C 1 ， ⋯ ， C k 都是外部稳定和内部稳定的。 · C j ， j ∈ ( 1 ， ⋯ ， k ) 内部稳定：满足 ∀ o ∈ C j ， ϕ ( o ， C j ) ≥ ϕ ( o ， C j \ { o } ) . · C j ， j ∈ ( 1 ， ⋯ ， k ) 外部稳定：满足 ∀ o ∉ C j ， ϕ ( o ， C j ∪ { o } ) < ϕ ( o ， C j ) . 近年来，在聚类分析过程中已经提出众多聚类算法，最经典的就是属于基于划分的聚类算法 [ 6 ] 中的k均值算法和FCM，FCM算法在运行的精度上优于k均值算法，在计算速度上也比k均值要快，所以，本文讨论FCM算法与所提出的迭代最佳响应相结合，快速地得出势博弈的纯纳什均衡。 2.3. FCM算法 模糊 均值算法(Fuzzy C-Means，简称FCM)是根据隶属度来确定每个数据对象属于某个组别的程度的一种算法。FCM算法的基本思想是：建立基于隶属度矩阵的目标函数，通过对聚类中心以及隶属度矩阵的不断迭代优化，实现目标函数的收敛，从而实现对样本数据的聚类。 FCM算法的目标函数定义为 J ( u i j ， c i ) = ∑ i = 1 k ∑ j = 1 n u i j m ‖ o j − c i 2 ‖ ， (6) 其中， u i j 为隶属度矩阵U的元素，且 ∑ i = 1 k u i j = 1 ， i = 1 ， ⋯ ， k ; j = 1 ， ⋯ ， n 。 c i 为聚类中心，且 i = 1 ， ⋯ ， k 。m为模糊加权指数，且 m ≥ 1 ，m越大，聚类的模糊程度越高，本文默认m的取值为2。第j个样本数据到第i个聚类中心的欧氏距离为 d 2 = ‖ o j − c i 2 ‖ 。 根据拉格朗日乘数法，我们可由(6)式构造出n个限制条件，引入n个 λ 因子，进而可得到 L ( u i j ， c i ， λ 1 ， ⋯ ， λ n ) = ∑ i = 1 k ∑ j = 1 n u i j m ‖ o j − c i 2 ‖ − ∑ j = 1 n λ j ( ∑ i = 1 k u i j − 1 ) ， (7) 将(7)式分别对 u i j ， c i 求偏导，且令倒数为0，可得 ∂ L ∂ u i j = m u i j m − 1 ‖ o j − c i 2 ‖ − λ j = 0 (8) ∂ L ∂ c i = ( − 2 ) ∑ j = 1 n u i j m ( o j − c i ) = 0 (9) 由(8)式可得 u i j = 1 ∑ l = 1 k ( ‖ o j − c i ‖ ‖ o j − c l ‖ ) 2 m − 1 (10) 由(9)式可得 c i = ∑ j = 1 n u i j m o j ∑ j = 1 n u i j m (11) FCM算法的基本步骤如下 1) 初始化参数：确定聚类的数C，最大迭代次数M，迭代次数 t = 1 ，模糊加权指数 m = 2 ，迭代终止阈值为 ε ； 2) 初始化隶属度矩阵 U 0 ，且令此时 t = 0 ； 3) 计算聚类中心 c i t ， c i = ∑ j = 1 n u i j m o j ∑ j = 1 n u i j m ； 4) 计算并更新隶属度矩阵 U t ， u i j = 1 ∑ l = 1 k ( ‖ o j − c i ‖ ‖ o j − c l ‖ ) 2 m − 1 ； 5) 计算目标函数 J ( t ) ， J ( t ) = ∑ i = 1 k ∑ j = 1 n u i j m ‖ o j − c i 2 ‖ 2 ； 6) 直到 | J ( t ) − J ( t − 1 ) | < ε ，终止。否则，返回步骤(3)。 FCM算法是一种简单高效的聚类方法，已广泛应用于数据分析、图像分割、模式识别等领域。FCM算法相较于k均值算法对分割问题的描述更符合，有更强的灵活性。FCM将“硬聚类”扩展到“软聚类”，其中每个数据样本可以属于多个集群，这样可使数据点尽可能的分配到最佳的类别中，从而减少了后期对其收敛到最优聚类结果的时效，也降低了聚类结果收敛的复杂度。同时，也使得后续的迭代最佳响应算法实现最大的计算价值。这也是本文想要采用FCM算法所得聚类结果作为初始聚类的出发点之一。