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user: 3. 主要结果 引理3.1 [ 5 ] 设M是内射左R-模，则以下表述等价： 1) M是弱Gorenstein内射模； 2) 存在一个左R-模的正合序列 ⋯ → I 1 → I 0 → M → 0 ，其中对任意的 i ∈ Z ， I i 是内射的； 3) 存在一个左R-模的正合序列 0 → L → I 0 → M → 0 ，其中 I 0 是内射的，L是弱Gorenstein内射的。 命题3.2 设 0 → M → N → E → 0 是一个左R-模的正合序列。若M是弱Gorenstein内射模且E是内射的，则N是弱Gorenstein内射的。 证明：因为M是弱Gorenstein内射的，所以由引理3.1知存在一个左R-模的正合列 0 → M → I → L → 0 ，其中I是内射的且L是弱Gorenstein内射的。考虑如下推出图： 在中间行正合列 0 → I → D → E → 0 中，因为I与E是内射的，所以D也是内射的。在中间列正合列 0 → N → D → L → 0 中，L是弱Gorenstein内射模，D是内射模，那么根据引理3.1知N是弱Gorenstein内射的。 命题3.3 设 0 → M ′ → M → M ″ → 0 是左R-模的正合序列。若 M ′ 和 M ″ 是弱Gorenstein内射模，则M是弱Gorenstein内射模。 证明：因为 M ″ 是弱Gorenstein内射模，所以由引理3.1知存在一个左R-模的短正合列 0 → M ″ → I → N → 0 ，其中I是内射的且N是弱Gorenstein内射模。考虑 M → M ″ 和 M ″ → I 的拉回： 在行正合列 0 → M ′ → E → I → 0 中， M ′ 是弱Gorenstein内射模且I是内射模，那么由命题3.2知E是弱Gorenstein内射模，在列正合列 0 → M → E → N → 0 中，E和N是弱Gorenstein内射左R-模，令 M = K er ( E → N ) ，那么M是弱Gorenstein内射模。 推论3.4 设 0 → M → I 1 → I 2 → N → 0 是左R-模的正合序列。如果 I 1 和 I 2 是弱Gorenstein内射模，那么有正合列 0 → M → G → E → N → 0 和 0 → M → I → D → N → 0 ，其中E和I是内射左R-模，G和D是弱Gorenstein内射的。 证明：因为 I 2 是弱Gorenstein内射模，所以由引理3.1 (3)知存在一个左R-模的短正合列 0 → I 3 → E → I 2 → 0 ，其中E是内射的且 I 3 是弱Gorenstein内射的。令 H = Im ( M → I 1 ) 考虑以下交换图： 在列正合列 0 → I 3 → G → I 1 → 0 中，由条件知 I 3 和 I 1 是弱Gorenstein内射左R-模，根据命题3.3得 G 是弱Gorenstein内射模。那么有以下交换图： 其中 E 是内射模， G 是弱Gorenstein内射模。同理可证在正合列 0 → M → I → D → N → 0 中， I 是内射的左R-模， D 是弱Gorenstein内射的。 命题3.5 设R是交换环。如果 M 是弱Gorenstein内射左R-模，那么对任意的平坦左R-模 F ， H o m R ( F ， M ) 是弱Gorenstein内射左R-模。 证明：设 M 是弱Gorenstein内射模，则存在一个内射左R-模的正合序列 I = ⋯ → I 1 → I 0 → I 0 → I 1 → ⋯ 使得 M = K er ( I 0 → I 1 ) ，于是 ⋯ → H o m R ( F ， I 1 ) → H o m R ( F ， I 0 ) → H o m R ( F ， I 0 ) → H o m R ( F ， I 1 ) → ⋯ 是正合的且由文献 [ 6 ] 定理3.44知对任意的 i ∈ Z ， H om R ( F ， I i ) 和 H om R ( F ， I i ) 是内射的。因此 H om R ( F ， M ) = K er ( H o m R ( F ， I 0 ) → H o m R ( F ， I 1 ) ) ，可证 H om R ( F ， M ) 是弱Gorenstein内射模。 称环R是左IF环。如果每个内射左R-模是平坦的。 推论3.6 设R是交换的IF环。如果 M 是弱Gorenstein内射左R-模，那么对任意的内射左R-模 E ， H o m R ( E ， M ) 是弱Gorenstein内射左R-模。 证明：证明过程与命题3.5类似。 我们称环R是Gorenstein环，如果它是双边Noether环且它作为模时有有限的自内射维数。若它的自内射维数为n，则环R是n-Gorenstein环。 命题3.7 设R是n-Gorenstein环，则以下条件等价： 1) M 是弱Gorenstein内射右R-模； 2) M 是Gorenstein内射右R-模； 3) M + 是Gorenstein平坦左R-模； 4) ( M + ) + 是Gorenstein内射右R-模； 5) M + 是强余纯平坦左R-模。 证明： ( 2 ) ⇒ ( 1 ) 显然的。 ( 1 ) ⇒ ( 2 ) 由文献 [ 3 ] 注2.11可证。 ( 2 ) ⇒ ( 3 ) 由文献 [ 7 ] 推论10.3.9可证。 ( 3 ) ⇒ ( 4 ) 假设 M + 是Gorenstein平坦左R-模，那么存在一个平坦左R-模的正合序列 F = ⋯ → F 1 → F 0 → F 0 → F 1 → ⋯ 其中 M + = K e r ( F 0 → F 1 ) 。于是 F + = ⋯ → ( F 1 ) + → ( F 0 ) + → ( F 0 ) + → ( F 1 ) + → ⋯ 是正合的，其中对任意的 i ∈ Z ， ( F i ) + 与 ( F i ) + 是内射右R-模。又因为 ⋯ → F 1 → F 0 → M + → 0 是正合的，所以 0 → ( M + ) + → ( F 0 ) + → ( F 1 ) + → ⋯ 是正合的且 ( M + ) + = K e r ( ( F 0 ) + → ( F 1 ) + ) 。下证对任意的内射右R-模E使得 H o m R ( E ， F + ) 正合。因为 ⋯ → E ⊗ F 1 → E ⊗ F 0 → E ⊗ F 0 → E ⊗ F 1 → ⋯ 是正合的，于是 ⋯ → ( E ⊗ F 1 ) + → ( E ⊗ F 0 ) + → ( E ⊗ F 0 ) + → ( E ⊗ F 1 ) + → ⋯ 是正合的，我们可以构造同构映射 η : H om ( E ⊗ F ， Q / Z ) → H o m ( E ， H o m R ( F ， Q / Z ) ) 因此我们可以得到 ⋯ → H o m ( E ， ( F 1 ) + ) → H o m ( E ， ( F 0 ) + ) → H o m ( E ， ( F 0 ) + ) → H o m ( E ， ( F 1 ) + ) → ⋯ 是正合的，即 ( M + ) + 是Gorenstein内射右R-模。 ( 4 ) ⇒ ( 5 ) 因为 ( M + ) + 是Gorenstein内射右R-模。那么存在正合列 0 → ( M + ) + → ( F 0 ) + → ( F 1 ) + → ⋯ 且每个 ( F i ) + 是内射右R-模且 0 → H o m ( E ， ( M + ) + ) → H o m ( E ， ( F 0 ) + ) → H o m ( E ， ( F 1 ) + ) → ⋯ 是正合的。那么对所有的 i ≥ 1 ， E x t i ( E ， ( M + ) + ) = 0 。因此我们有 T o r i ( E ， M + ) + ≅ E x t i ( E ， ( M + ) + ) = 0 。即 T o r i ( E ， M + ) = 0 ，可证 M + 是强余纯平坦左R-模。 ( 5 ) ⇒ ( 3 ) 设R是n-Gorenstein环，那么对任意的内射右R-模 E ， P d ( E R ) ≤ n 。因为当 i ≥ n + 1 时， T o r i ( E ， M + ) = 0 。作 M + 的平坦分解 ⋯ → F 1 → F 0 → M + → 0 其中对任意的 i ≥ Z ， F i 是平坦模。那么 ⋯ → E ⊗ F 1 → E ⊗ F 0 → E ⊗ M + → 0 是正合的。同理作 M + 的余真的右平坦分解 0 → M + → F 0 → F 1 → ⋯ 其中对任意的 i ≥ Z ， F i 是平坦模。那么 0 → E ⊗ M + → E ⊗ F 0 → E ⊗ F 1 → ⋯ 是正合的。因此可以得到正合序列 ⋯ → E ⊗ F 1 → E ⊗ F 0 → E ⊗ F 0 → E ⊗ F 1 → ⋯ 因此 M + 是Gorenstein平坦左R-模。 定理3.8 设R是任意环。若 M 0 → M 1 → M 2 → ⋯ 是弱Gorenstein内射左R-模构成的序列，则正向极限 L i m → M n 是弱Gorenstein内射的。 证明：结合文献 [ 8 ]，我们只要证明弱Gorenstein内射模类在良序正向极限下封闭。设 ( M n ) n < λ 是一个弱Gorenstein内射模良序正向系统。我们假设 ( M n ) n < λ 是连续的。如果 ω 是 ω < λ 的极限序，那么 L i m → M n = M ω 。利用超限归纳法证明 L i m → M n 是弱Gorenstein内射的。 当 λ = n = 1 时， L i m → M n = M 1 是弱Gorenstein内射的，结论成立。假设当 λ = n < ω 时， L i m → M n = M n − 1 是弱Gorenstein内射的，下证当 λ = ω 时， L i m → M n ( n < ω ) 是弱Gorenstein内射的。 因为 M 0 是弱Gorenstein内射的，所以有正合列 0 → M 0 → I 0 0 → I 0 1 → I 0 2 ⋯ 其中对任意的 i ≥ 0 ， I 0 i 都是内射的，令 K 0 i = K e r ( I 0 i → I 0 i + 1 ) 。那么由文献 [ 2 ] 推论2.11知 K 0 i 是弱Gorenstein内射的且 i = 0 时 K 0 0 = M 0 。作 M 0 → M 1 和 M 0 → I 0 0 的推出图： 在行正合列 0 → M 1 → E → K 0 1 → 0 中， M 1 和 K 0 1 是弱Gorenstein内射的，结合命题3.3得 E 是弱Gorenstein内射的。因此存在正合列 0 → E → I 0 1 → N → 0 其中 I 1 0 是内射的， N 是弱Gorenstein内射的。考虑以下推出图： 在列正合列 0 → K 0 1 → K 1 1 → N → 0 ， K 0 1 和 N 是弱Gorenstein内射左R-模，同理可得 K 1 1 也是弱Gorenstein内射的。那么通过态射 M 0 → M 1 ，可诱导出以下正合列的态射： 同理，我们可通过态射 K 0 1 → K 1 1 诱导出以下正合列的态射： 其中 I 1 1 是内射的， K 1 2 是弱Gorenstein内射的。继续重复上述过程，我们可得到以下交换图： 其中每行都正合，对任意的 i ≥ 0 ， j ≥ 0 ， I j i 是内射的左R-模。因此上述每一列又是一个正向系，所以我们可获得一个正合列 0 → L im → M n → L im → I n 0 → L im → I n 1 → ⋯ 其中 L i m → I n i 是内射的。由引理3.1(2)知 L i m → M n 是弱Gorenstein内射的。