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user: 3. 主要结果 引理2.1 [ 5 ] φ ( r e i θ ) = e i δ θ φ 0 ( r ) ∈ L ∞ ( D ) ， δ ∈ Ζ ， φ 0 ( r ) ∈ ℜ a ， 其中 ℜ a = { a : D → C : a ( z ) = a ( | z | ) ， 且 ∫ 0 1 | a ( r ) | 2 r ( 1 − r 2 ) a d r < ∞ } ， 那么有对于非负整数n，有 1) T φ = { ( 2 n + 2 δ + 2 ) ( n + δ + 1 ) ! Γ ( n + δ + 2 + α ) Γ ( 1 + α ) φ ^ α ， 0 ( 2 n + δ + 2 ) z n + δ ，             n + δ ≥ 0 0 ，                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     n + δ < 0 2) T φ ¯ z α = { ( 2 n − 2 δ + 2 ) ( n − δ + 1 ) ! Γ ( n − δ + 2 + α ) Γ ( 1 + α ) φ ^ α ， 0 ( 2 n − δ + 2 ) z n − δ ，       n − δ ≥ 0 0 ，                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   n − δ < 0 其中 φ ^ α ， 0 ( z ) = ∫ 0 1 φ 0 ( r ) r z − 1 ( 1 − r 2 ) α d r 为 φ 0 ( r ) ( 1 − r 2 ) α 的Mellin变换。 定理2.1 φ ( r e i θ ) = e i δ θ φ 0 ( r ) ∈ L ∞ ( D ) ， δ ∈ Ζ 且 δ < 0 ， φ α ( r ) ∈ ℜ a 。若 T φ 2 为亚正规算子，则 1) − δ ≤ n < − 2 δ 时， φ ^ α ， 0 ( 2 n − δ + 2 ) φ ^ α ， 0 ( 2 n − 3 δ + 2 ) = 0 。 2) 时， | φ ^ α ， 0 ( 2 n + 2 δ + 2 ) φ ^ α ， 0 ( 2 n − 3 δ + 2 ) | ≥ Γ ( n − δ + 2 + α ) Γ ( n + δ + 2 + α ) ( n + δ ) ! ( n − δ ) ! ⋅ Γ ( n − 2 δ + α + 2 ) Γ ( n + 2 δ + α + 2 ) ( n + 2 δ ) ! ( n − 2 δ ) !         × | φ ^ α ， 0 ( 2 n − δ + 2 ) φ ^ α ， 0 ( 2 n − 3 δ + 2 ) | 。 证明：由引理2.1，当 n + δ ≥ 0 时， n ∈ N 0 。 T φ z n = { ( 2 n + 2 δ + 2 ) ( n + δ + 1 ) ! Γ ( n + δ + 2 + α ) Γ ( 1 + α ) ( 2 n + 4 δ + 2 ) ( n + 2 δ + 1 ) ! Γ ( n + 2 δ + 2 + α ) Γ ( 1 + α ) φ ^ α ， 0 ( 2 n + δ + 2 ) φ ^ α ， 0 ( 2 n + 3 δ + 2 ) z n + 2 δ       n + δ ≥ 0 且 n + 2 δ ≥ 0 0                                                                                                                                                                               n − 2 δ < 0 又 时， T φ z n = ( 2 n − 2 δ + 2 ) ( n − δ + 1 ) ! Γ ( n − δ + 2 + α ) Γ ( 1 + α ) φ ^ α ， 0 ( 2 n − δ + 2 ) z n − δ T φ ¯ z n = { ( 2 n − 2 δ + 2 ) ( n − δ + 1 ) ! Γ ( n − δ + 2 + α ) Γ ( 1 + α ) ( 2 n + 4 δ + 2 ) ( n − 2 δ + 1 ) ! Γ ( n − 2 δ + 2 + α ) Γ ( 1 + α ) φ ^ α ， 0 ( 2 n − δ + 2 ) φ ^ α ， 0 ( 2 n − 3 δ + 2 ) z n − 2 δ             n − δ ≥ 0 且 n − 2 δ ≥ 0 0                                                                                                                                                                                   n − 2 δ < 0 若 δ = 0 ， ‖ T φ 2 z n ‖ 2 = ‖ T φ ¯ 2 z n ‖ 2 。 若 δ < 0 ，当 0 ≤ n ≤ − 2 δ − 1 时， φ ^ α ， 0 ( 2 n − δ + 2 ) φ ^ α ， 0 ( 2 n − 3 δ + 2 ) = 0 。进一步有 φ ^ α ， 0 ( p ) φ ^ α ， 0 ( q ) = 0 ，其中， p ∈ M 0 = { 2 ( n + 1 ) − δ : 0 ≤ n ≤ − 2 δ − 1 ， n ∈ N 0 } ， q ∈ M 1 = { 2 ( n + 1 − δ ) − δ : 0 ≤ n ≤ − 2 δ − 1 ， n ∈ N 0 } . 选取 f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ a n z n ，使得f的幂级数展开式中前 2 δ 项为0，则 〈 T φ 2 ， T φ 2 〉 − 〈 T φ ¯ 2 ， T φ ¯ 2 〉 = ∑ n = − 2 δ ∞ 16 | a n | 2 ( α + 1 ) { [ Γ ( n + δ + 2 + α ) ( n + δ ) ! Γ ( 1 + α ) ] 2 Γ ( n + 2 δ + 2 + α ) ( n + 2 δ ) ! Γ ( 1 + α ) | φ ^ α ， 0 ( 2 n + δ + 2 ) φ ^ α ， 0 ( 2 n + 3 δ + 2 ) 2 |         − [ Γ ( n − δ + 2 + α ) ( n − δ ) ! Γ ( 1 + α ) ] 2 Γ ( n − 2 δ + 2 + α ) ( n − 2 δ ) ! Γ ( 1 + α ) | φ ^ α ， 0 ( 2 n − δ + 2 ) φ ^ α ， 0 ( 2 n − 3 δ + 2 ) | 2 } 由于 2 n + δ + 2 = 2 ( n + 1 + δ ) − δ ， 。那么有 φ ^ α ， 0 ( 2 n − δ + 2 ) φ ^ α ， 0 ( 2 n − 3 δ + 2 ) = 0 . 在 − 2 δ ≤ n ≤ − 4 δ − 1 时，故有 φ ^ α ， 0 ( 2 n − δ + 2 ) φ ^ α ， 0 ( 2 n − 3 δ + 2 ) = 0 . 如此下去， φ ^ α ， 0 ( 2 n − δ + 2 ) φ ^ α ， 0 ( 2 n − 3 δ + 2 ) = 0 。 ∀ n ∈ N 0 。而 2 n − 3 δ + 2 = 2 ( n + 1 − δ ) − δ ， 2 n − δ + 2 = 2 ( n + 1 ) − δ ， n = p ⋅ 2 δ + q ，故 φ 0 = 0 。 若 δ < 0 ， 〈 T φ 2 f ， T φ 2 〉 − 〈 T φ ¯ 2 f ， T φ ¯ 2 〉 = ∑ n = 0 2 δ − 1 16 | a n | 2 ( α + 1 ) [ Γ ( n + δ + 2 + α ) ( n + δ ) ! Γ ( 1 + α ) ] 2 Γ ( n + 2 δ + 2 + α ) ( n + 2 δ ) ! Γ ( 1 + α ) | φ ^ α ， 0 ( 2 n + δ + 2 ) φ ^ α ， 0 ( 2 n + 3 δ + 2 ) | 2         + ∑ n = 2 δ + ∞ 16 | a n | 2 ( α + 1 ) { [ Γ ( n + δ + 2 + α ) ( n + δ ) ! Γ ( 1 + α ) ] 2 Γ ( n + 2 δ + 2 + α ) ( n + 2 δ ) ! Γ ( 1 + α ) | φ ^ α ， 0 ( 2 n + δ + 2 ) φ ^ α ， 0 ( 2 n + 3 δ + 2 ) | 2         − [ Γ ( n − δ + 2 + α ) ( n − δ ) ! Γ ( 1 + α ) ] 2 Γ ( n − 2 δ + 2 + α ) ( n − 2 δ ) ! Γ ( 1 + α ) | φ ^ α ， 0 ( 2 n − δ + 2 ) φ ^ α ， 0 ( 2 n − 3 δ + 2 ) | 2 } 则 T φ 2 亚正规当且仅当 | φ ^ α ， 0 ( 2 n + δ + 2 ) φ ^ α ， 0 ( 2 n + 3 δ + 2 ) | ≥ Γ ( n − δ + 2 + α ) Γ ( n − δ + 2 + α ) ( n + δ ) ! ( n − δ ) ! Γ ( n − 2 δ + α + 2 ) Γ ( n + 2 δ + α + 2 ) ( n + 2 δ ) ! ( n − 2 δ ) !     × | φ ^ α ， 0 ( 2 n − δ + 2 ) φ ^ α ， 0 ( 2 n − 3 δ + 2 ) |