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user: 2. 主要结果和证明 2.1. 定理 设 B = arcsin 2 x 2 1 − x 2 ，则二项式系数级数连带续奇数倒数平方和 1) 分母含有1个线性因子的二项式系数级数连带奇数倒数平方和 ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( ∑ j = 1 m + 1 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( − 2 x 2 + 2 ) B + 1 (1) ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 2 ) ( ∑ j = 1 m + 2 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( − 4 3 x 4 + 2 3 x 2 + 2 3 ) B + 2 3 x 2 + 2 9 (2) ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( − 16 15 x 6 + 8 15 x 4 + 2 15 x 2 + 2 5 ) B + 8 15 x 4 + 8 45 x 2 + 64 675 (3) ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( − 32 35 x 8 + 16 35 x 6 + 4 35 x 4 + 2 35 x 2 + 2 7 ) B + 16 35 x 6 + 16 105 x 4 + 128 1575 x 2 + 64 1225 (4) ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 5 ) ( ∑ j = 1 m + 5 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( − 256 315 x 10 + 128 315 x 8 + 32 315 x 6 + 16 315 x 4 + 2 63 x 2 + 2 9 ) B       + 128 315 x 10 + 128 945 x 6 + 1024 14175 x 4 + 512 11025 x 2 + 16384 496125 (5) 2) 分母含有2个线性因子的二项式系数级数连带奇数倒数平方和 ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( ∑ j = 1 m + 2 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( 4 3 x 4 − 2 3 x 2 − 2 3 ) B − 2 3 x 2 + 7 9 (6) ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m + 2 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( 8 15 x 6 − 4 15 x 4 − 16 15 x 2 + 4 5 ) B − 4 15 x 4 − 4 45 x 2 + 611 1350 (7) ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m + 2 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( 16 15 x 6 − 28 15 x 4 + 8 15 x 2 + 4 15 ) B − 8 15 x 4 + 22 45 x 2 + 86 675 (8) ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( 32 105 x 8 − 16 105 x 6 − 4 105 x 4 − 24 35 x 2 + 4 7 ) B − 16 105 x 6 − 16 315 x 4 − 128 4725 x 2 + 387 1225 (9) ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 2 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( 16 35 x 8 − 8 35 x 6 − 76 105 x 4 + 32 105 x 2 + 4 21 ) B − 8 35 x 6 − 8 105 x 4 + 461 1575 x 2 + 937 11025 (10) ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( 32 35 x 8 − 32 21 x 6 + 44 105 x 4 + 8 105 x 2 + 4 35 ) B − 16 35 x 6 + 8 21 x 4 + 152 1575 x 2 + 1408 33075 (11) 3) 分母含有3个线性因子的二项式系数级数连带奇数倒数平方和 ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( − 8 15 x 6 + 8 5 x 4 − 8 5 x 2 + 8 15 ) B + 4 15 x 4 − 26 45 x 2 + 439 1350 (12) ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( − 16 105 x 8 + 8 105 x 6 + 24 35 x 4 − 104 105 x 2 + 8 21 ) B + 8 105 x 6 + 568 105 x 4 − 1511 4725 x 2 + 2546 11025 (13) ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( − 32 105 x 8 + 24 35 x 6 − 8 35 x 4 − 8 21 x 2 + 8 35 ) B + 16 105 x 6 − 68 315 x 4 − 292 4725 x 2 + 9041 66150 (14) ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( − 16 35 x 8 + 136 105 x 6 − 8 7 x 4 + 8 35 x 2 + 8 105 ) B + 8 35 x 6 − 16 35 x 4 + 103 525 x 2 + 1403 33075 (15) 4) 分母含有4个线性因子的二项式系数级数连带奇数倒数平方和 ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( 16 105 x 8 − 64 105 x 6 + 32 35 x 4 − 64 105 x 2 + 16 105 ) B     − 8 105 x 6 + 76 315 x 4 − 1219 4725 x 2 + 1247 13230 (16) ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 4 ) ( m + 5 ) ( ∑ j = 1 m + 5 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( 64 945 x 10 − 176 945 x 8 + 64 945 x 6 + 32 135 x 4 − 256 945 x 2 + 16 189 ) B       − 32 945 x 8 + 184 2835 x 6 + 828 42525 x 4 − 671 6615 x 2 + 311081 5953500 (17) ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( m + 5 ) ( ∑ j = 1 m + 5 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( 32 315 x 10 − 16 45 x 8 + 128 315 x 6 − 32 315 x 4 − 32 315 x 2 + 16 315 ) B       − 16 315 x 8 + 128 945 x 6 − 1298 14175 x 4 − 766 33075 x 2 + 124031 3969000 (18) ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( m + 5 ) ( ∑ j = 1 m + 5 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( 128 945 x 10 − 496 945 x 8 + 704 945 x 6 − 416 945 x 4 + 64 945 x 2 + 16 945 ) B       − 64 945 x 8 + 584 2835 x 6 − 8612 42525 x 4 + 1823 33075 x 2 + 2179 212625 (19) 5) 分分母含有5个线性因子的二项式系数级数连带奇数倒数平方和 ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( m + 5 ) ( ∑ j = 1 m + 5 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( − 32 945 x 10 + 32 189 x 8 − 64 189 x 6 + 64 189 x 4 − 32 189 x 2 + 32 945 ) B         + 16 945 x 8 − 40 567 x 6 + 674 6075 x 4 − 863 11025 x 2 + 250069 11907000 (20) 推论1 设 b = − ln 2 ( x + 1 + x 2 ) 2 1 + x 2 ，则交错二项式系数连带续奇数倒数平方和级数 1) 分母含有1个因子交错的二项式系数级数连带奇数倒数平方和 ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( ∑ j = 1 m + 1 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( 2 x 2 + 2 ) b + 1 (21) ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 2 ) ( ∑ j = 1 m + 2 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( − 4 3 x 4 − 2 3 x 2 + 2 3 ) b − 2 3 x 2 + 2 9 (22) ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( 16 15 x 6 + 8 15 x 4 − 2 15 x 2 + 2 5 ) b + 8 15 x 4 − 8 45 x 2 + 64 675 (23) ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( − 32 35 x 8 − 16 35 x 6 + 4 35 x 4 − 2 35 x 2 + 2 7 ) b − 16 35 x 6 + 16 105 x 4 − 128 1575 x 2 + 64 1225 (24) ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 5 ) ( ∑ j = 1 m + 5 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( 256 315 x 10 + 128 315 x 8 − 32 315 x 6 + 16 315 x 4 − 2 63 x 2 + 2 9 ) b       + 128 315 x 8 − 128 945 x 6 + 1024 14175 x 4 − 512 11025 x 2 + 16384 496125 (25) 2) 母含有2个因子交错的二项式系数级数连带奇数倒数平方和 ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( ∑ j = 1 m + 2 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( 4 3 x 4 + 2 3 x 2 − 2 3 ) b + 2 3 x 2 + 7 9 (26) ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m + 2 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( − 8 15 x 6 − 4 15 x 4 + 16 15 x 2 + 4 5 ) b − 4 15 x 4 + 4 45 x 2 + 611 1350 (27) ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m + 2 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( − 16 15 x 6 − 28 15 x 4 − 8 15 x 2 + 4 15 ) b − 8 15 x 4 − 22 45 x 2 + 86 675 (28) ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( 32 105 x 8 + 16 105 x 6 − 4 105 x 4 + 24 35 x 2 + 4 7 ) b + 16 105 x 6 − 16 315 x 4 + 128 4725 x 2 + 387 1225 (29) ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 2 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( 16 35 x 8 + 8 35 x 6 − 76 105 x 4 − 32 105 x 2 + 4 21 ) b + 8 35 x 6 − 8 105 x 4 − 461 1575 x 2 + 937 11025 (30) ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( 32 35 x 8 + 32 21 x 6 + 44 105 x 4 − 8 105 x 2 + 4 35 ) b + 16 35 x 6 + 8 21 x 4 − 152 1575 x 2 + 1408 33075 (31) 3) 母含有3个因子交错的二项式系数级数连带奇数倒数平方和 ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( 8 15 x 6 + 8 5 x 4 + 8 5 x 2 + 8 15 ) b + 4 15 x 4 + 26 45 x 2 + 439 1350 (32) ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( − 16 105 x 8 − 8 105 x 6 + 24 35 x 4 + 104 105 x 2 + 8 21 ) b − 8 105 x 6 + 568 105 x 4 + 1511 4725 x 2 + 2546 11025 (33) ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( − 32 105 x 8 − 24 35 x 6 − 8 35 x 4 + 8 21 x 2 + 8 35 ) b − 16 105 x 6 − 68 315 x 4 + 292 4725 x 2 + 9041 66150 (34) ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( − 16 35 x 8 − 136 105 x 6 − 8 7 x 4 − 8 35 x 2 + 8 105 ) b − 8 35 x 6 − 16 35 x 4 − 103 525 x 2 + 1403 33075 (35) 4) 分母含有4个因子交错的二项式系数级数连带奇数倒数平方和 ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( 16 105 x 8 + 64 105 x 6 + 32 35 x 4 + 64 105 x 2 + 16 105 ) b + 8 105 x 6 + 76 315 x 4 + 1219 4725 x 2 + 1247 13230 (36) ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 4 ) ( m + 5 ) ( ∑ j = 1 m + 5 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( − 64 945 x 10 + 176 945 x 8 − 64 945 x 6 + 32 135 x 4 + 256 945 x 2 + 16 189 ) b         − 32 945 x 8 − 184 2835 x 6 + 828 42525 x 4 + 671 6615 x 2 + 311081 5953500 (37) ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( m + 5 ) ( ∑ j = 1 m + 5 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( − 32 315 x 10 − 16 45 x 8 − 128 315 x 6 − 32 315 x 4 + 32 315 x 2 + 16 315 ) b       − 16 315 x 8 − 128 945 x 6 − 1298 14175 x 4 + 756 33075 x 2 + 124031 3969000 (38) ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( m + 5 ) ( ∑ j = 1 m + 5 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( − 128 945 x 10 − 496 945 x 8 − 704 945 x 6 − 416 945 x 4 − 64 945 x 2 + 16 945 ) b       − 64 945 x 8 − 584 2835 x 6 − 8612 42525 x 4 − 1823 33075 x 2 + 2179 212625 (39) 5) 分母含有5个因子交错的二项式系数级数连带奇数倒数平方和 ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( m + 5 ) ( ∑ j = 1 m + 5 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( 32 945 x 10 + 32 189 x 8 + 64 189 x 6 + 64 189 x 4 + 32 189 x 2 + 32 945 ) b       + 16 945 x 8 + 40 567 x 6 + 674 6075 x 4 + 863 11025 x 2 + 250069 11907000 (40) 2.2. 定理的证明 由文 [ 11 ] 公式 ∑ k = 1 ∞ ( 2 k k ) 2 2 k ( ∑ j = 1 k 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 k + 1 2 k + 1 = 1 6 ( arcsin 3 x ) 两端关于x微分 ∑ k = 1 ∞ ( 2 k k ) x 2 k 2 2 k ( ∑ j = 1 k 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 1 2 arcsin 2 x 1 − x 2 = B (41) 1) 对(41)式左端裂项 x 2 2 + ∑ k = 1 ∞ ( 2 k − 2 ) ! ( 2 k − 1 ) 2 k 2 2 k ( ( k − 1 ) ! ) 2 ( k ) 2 ( ∑ j = 1 k 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 k = B 令 k − 1 = m ，化成 x 2 2 + ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! ( 2 m + 1 ) ( 2 m + 2 ) 2 2 m + 2 ( m ! ) 2 ( m + 1 ) 2 ( ∑ j = 1 m + 1 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m + 2 = B ，两端同乘以 2 x 2 ，得出 1 + ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! ( 2 m + 1 ) 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( ∑ j = 1 m + 1 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = 2 x 2 B 1 + ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( 2 − 1 m + 1 ) ( ∑ j = 1 m + 1 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = 2 x 2 B ，整理得到如下(1)式，令其为 B 1 ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( ∑ j = 1 m + 1 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( − 2 x 2 + 2 ) B + 1 2) 对(41)式左端裂项 x 2 2 + 5 x 4 12 + ∑ k = 1 ∞ ( 2 k − 4 ) ! ( 2 k − 3 ) ( 2 k − 2 ) ( 2 k − 1 ) ( 2 k ) 2 2 k ( ( k − 2 ) ! ) 2 ( k − 1 ) 2 ( k ) 2 ( ∑ j = 1 k 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 k = B ，令 k − 2 = m x 2 2 + 5 x 4 12 + ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! ( 2 m + 1 ) ( 2 m + 2 ) ( 2 m + 3 ) ( 2 m + 4 ) 2 2 m + 4 ( m ! ) 2 ( m + 1 ) 2 ( m + 2 ) 2 ( ∑ j = 1 m + 2 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m + 4 = B 两端同乘以 4 x 4 得 2 x 2 + 5 3 + ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! ( 2 m + 1 ) ( 2 m + 3 ) 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( ∑ j = 1 m + 2 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = 4 x 4 B 2 x 2 + 5 3 + ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( 2 − 1 m + 1 ) ( 2 − 1 m + 2 ) ( ∑ j = 1 m + 2 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = 4 x 4 B 2 x 2 + 5 3 + ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( 4 − 2 m + 1 − 2 m + 2 + 1 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ) ( ∑ j = 1 m + 2 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = 4 x 4 B (42) a) (42)式化成部分分式，得出 2 x 2 + 5 3 + ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( 4 − 1 m + 1 − 3 m + 2 ) ( ∑ j = 1 m + 2 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = 4 x 4 B 由于 B ， B 1 已知，计算得出下面(2)式，并令其为 B 2 ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 2 ) ( ∑ j = 1 m + 2 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( − 4 3 x 4 + 2 3 x 2 + 2 3 ) B + 2 3 x 2 + 2 9 b) 在(42)式， B ， B 1 ， B 2 已知，易得2个因子乘积的二项式系数级数连带奇数倒数平方和公式(6)。 3) 对(41)式左端裂项 x 2 2 + 5 x 4 12 + 259 x 6 720 + ∑ k = 1 ∞ ( 2 k − 6 ) ! ( 2 k − 5 ) ⋯ ( 2 k − 1 ) ( 2 k ) 2 2 k ( ( k − 3 ) ! ) 2 ( k − 2 ) 2 ( k − 1 ) 2 ( k ) 2 ( ∑ j = 1 k 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 k = B 令 k − 2 = m ， x 2 2 + 5 x 4 12 + 259 x 6 720 + ∑ k = 1 ∞ ( 2 m ) ! ( 2 m + 1 ) ( 2 m + 2 ) ( 2 m + 3 ) ( 2 m + 4 ) ( 2 m + 5 ) ( 2 m + 6 ) 2 2 k + 6 ( m ! ) 2 ( m + 1 ) 2 ( m + 2 ) 2 ( m + 3 ) 2 ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m + 6 = B 两端同乘以 8 x 6 得 4 x 4 + 10 3 x 2 + 259 90 + ∑ k = 1 ∞ ( 2 m ) ! ( 2 m + 1 ) ( 2 m + 3 ) ( 2 m + 5 ) 2 2 k ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = 8 x 6 B 4 x 4 + 10 3 x 2 + 259 90 + ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( 2 − 1 m + 1 ) ( 2 − 1 m + 2 ) ( 2 − 1 m + 3 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = 8 x 6 B 4 x 4 + 10 3 x 2 + 259 90 + ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( 8 − 4 m + 1 − 4 m + 2 − 4 m + 3 + 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) + 2 ( m + 1 ) ( m + 3 ) + 2 ( m + 2 ) ( m + 3 ) − 1 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 ) ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = 8 x 6 B (43) a) 将上式所有分式化成部分分式，得出 4 x 4 + 10 3 x 2 + 259 90 + ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( 8 − 3 / 2 m + 1 − 3 m + 2 − 15 / 2 m + 3 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = 8 x 6 B 由于 B ， B 1 ， B 2 已知，计算得出下面(3)式，并令其为 B 3 ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( − 16 15 x 6 + 8 15 x 4 + 2 15 x 2 + 2 5 ) B + 8 15 x 4 + 8 45 x 2 + 64 675 为行文简便，今后将 ∑ m = 1 ∞ 2 m ! x 2 m 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( ∑ j = 1 m + 2 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) ， ∑ m = 1 ∞ 2 m ! x 2 m 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m + 2 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) 等用符号 B 12 ， B 123 表示。 以 B 3 证明级数连带奇数倒数平方和上标增加1项或几项不改变其和式收敛性。 ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( − 16 15 x 6 + 8 15 x 4 + 2 15 x 2 + 2 5 ) B + 8 15 x 4 + 8 45 x 2 + 64 675 ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! x 2 m 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m 1 ( 2 j − 1 ) 2 + 1 [ 2 ( m + 1 ) − 1 ] 2 + 1 [ 2 ( m + 2 ) − 1 ] 2 + 1 [ 2 ( m + 3 ) − 1 ] 2 ) = ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! x 2 m 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m 1 ( 2 j − 1 ) 2 )         + 2 m ! x 2 m 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 3 ) ( 1 [ 2 ( m + 1 ) − 1 ] 2 + 1 [ 2 ( m + 2 ) − 1 ] 2 + 1 [ 2 ( m + 3 ) − 1 ] 2 ) 前和式为二项式系数级数连带奇数倒数平方和表达式，后式极限趋于0。 根据阶乘斯特林渐进公式 n ! ∼ 2 n π n n e − n ，注意到变量 | x | < 1 ， 2 m ! ( m ! ) 2 ∼ 4 π m ( 2 m ) 2 m e − 2 m 2 m π m m e − m m m e − m ( 2 m ) 2 m m π ( m ) 2 m = 2 2 m m π lim m → ∞ 2 m ! x 2 m 2 2 m ( m ! ) ( m + 3 ) ( 1 [ 2 ( m + 1 ) − 1 ] 2 + 1 [ 2 ( m + 2 ) − 1 ] 2 + 1 [ 2 ( m + 3 ) − 1 ] 2 ) = lim m → ∞ x 2 m m π ( m + 3 ) ( 1 [ 2 ( m + 1 ) − 1 ] 2 + 1 [ 2 ( m + 2 ) − 1 ] 2 + 1 [ 2 ( m + 3 ) − 1 ] 2 ) = 0 因此 ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m 1 ( 2 j − 1 ) 2 + 0 ) x 2 m = ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m 所以，级数连带奇数倒数平方和上标增加1项或几项不改变其和式收敛性。 b) 在(43)保留2个因子分式，(在(41)式中出现的2个因子分式不再计算)，对这些2个因子的分式，每次保留1个，其余化成部分分式，得到： 4 x 4 + 10 3 x 2 + 259 90 + B 13 + 8 B − 2 B 1 − 3 B 2 − 7 B 3 = 8 x 6 B 4 x 4 + 10 3 x 2 + 259 90 + B 23 + 8 B − 4 B 1 − 3 B 2 − 13 2 B 3 = 8 x 6 B 由于 B ， B 1 ， B 2 ， B 3 已知，计算得出公式(7)~(8) c) 在(43)保留3个因子分式，其他分式化成部分分式得到： 4 x 4 + 10 3 x 2 + 259 90 + B 123 + 8 B − 2 B 1 − 2 B 2 − 8 B 3 = 8 x 6 B 由于 B ， B 1 ， B 2 ， B 3 已知，计算得出公式(12)式。 4) 对(41)式左端裂项 x 2 2 + 5 x 4 12 + 259 x 6 720 + 3229 x 8 10080 + ∑ k = 1 ∞ ( 2 k − 8 ) ! ( 2 k − 7 ) ⋯ ( 2 k − 1 ) ( 2 k ) 2 2 k ( ( k − 4 ) ! ) 2 ( k − 3 ) 2 ( k − 2 ) 2 ( k − 1 ) 2 ( k ) 2 ( ∑ j = 1 k 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 k = B ， k − 4 = m x 2 2 + 5 x 4 12 + 259 x 6 720 + 3229 x 8 10080   + ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! ( 2 m + 1 ) ( 2 m + 2 ) ( 2 m + 3 ) ⋯ ( 2 m + 6 ) ( 2 m + 7 ) ( 2 m + 8 ) 2 2 m + 8 ( m ! ) 2 ( m + 1 ) 2 ( m + 2 ) 2 ( m + 3 ) 2 ( m + 4 ) 2 ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m + 8 = B x 2 2 + 5 x 4 12 + 259 x 6 720 + 3229 x 8 10080 + ∑ m = 1 ∞ 8 ( 2 m ) ! ( 2 m + 1 ) ( 2 m + 3 ) ( 2 m + 5 ) ( 2 m + 7 ) 2 2 m + 8 ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m + 8 = B ，两端同乘以 16 x 8 得 8 x 6 + 20 3 x 4 + 259 45 x 2 + 3229 630 + ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( 2 − 1 m + 1 ) ( 2 − 1 m + 2 ) ( 2 − 1 m + 3 ) ( 2 − 1 m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = 16 x 8 B 8 x 6 + 20 3 x 4 + 259 45 x 2 + 3229 630 + ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( 16 − 8 m + 1 − 8 m + 2 − 8 m + 3 − 8 m + 4 + 4 ( m + 1 ) ( m + 2 ) + 4 ( m + 1 ) ( m + 3 ) + 4 ( m + 2 ) ( m + 3 ) + 4 ( m + 1 ) ( m + 4 ) + 4 ( m + 2 ) ( m + 4 ) + 4 ( m + 3 ) ( m + 4 ) + − 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 ) + − 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 4 ) + − 2 ( m + 1 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) + − 2 ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) + 1 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = 16 x 8 B (44) a) 将上式所有分式化成部分分式，得出 8 x 6 + 20 3 x 4 + 259 45 x 2 + 3229 630 + ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! x 2 m 2 2 m ( m ! ) 2 ( 16 − 5 / 2 m + 1 − 9 / 2 m + 2 − 15 / 2 m + 3 − 35 / 2 m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 16 x 8 B 由于 B ， B 1 ， B 2 ， B 3 已知，计算得出下面(4)式，并令其为 B 4 ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! x 2 m 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = ( − 32 35 x 8 + 16 35 x 6 + 4 35 x 4 + 2 35 x 2 + 2 7 ) B + 16 35 x 6 + 16 105 x 4 + 128 1575 x 2 + 64 1225 b) 在(44)式，其余保留2个因子分式，(在(43)式中出现的2个因子分式不再计算)然后对这些2个因子的分式，每次保留1个，其余化成部分分式，得到： 8 x 6 + 20 3 x 4 + 259 45 x 2 + 3229 630 + 16 B + B 14 − 17 5 B 1 − 9 2 B 2 − 15 2 B 3 − 103 6 B 4 = 16 x 8 B 8 x 6 + 20 3 x 4 + 259 45 x 2 + 3229 630 + 16 B + B 24 − 5 2 B 1 − 5 B 2 − 15 2 B 3 − 17 B 4 = 16 x 8 B 8 x 6 + 20 3 x 4 + 259 45 x 2 + 3229 630 + 16 B + B 34 − 5 2 B 1 − 9 2 B 2 − 17 2 B 3 − 33 2 B 4 = 16 x 8 B 由于 B ， B 1 ， B 2 ， B 3 ， B 4 已知，计算得出公式(9)~(11)式。 c) 在(44)保留3个因子分式(在(43)式出现的3个因子分式不再计算)，然后对这些3个因子的分式，每次保留1个，其余化成部分分式，得到： 8 x 6 + 20 3 x 4 + 259 45 x 2 + 3229 630 + 16 B + B 124 − 17 6 B 1 − 4 B 2 − 15 2 B 3 − 53 3 B 4 = 16 x 8 B 8 x 6 + 20 3 x 4 + 259 45 x 2 + 3229 630 + 16 B + B 134 − 8 3 B 1 − 9 2 B 2 − 7 B 3 − 107 6 B 4 = 16 x 8 B 8 x 6 + 20 3 x 4 + 259 45 x 2 + 3229 630 + 16 B + B 234 − 5 2 B 1 − 5 B 2 − 13 2 B 3 − 18 B 4 = 16 x 8 B 由于 B ， B 1 ， B 2 ， B 3 ， B 4 ， B 5 已知，计算得出(13)~(15)式。 d) 在(44)保留4个因子分式，然后对这些2个因子的分式，每次保留1个，其余化成部分分式，得到： 8 x 6 + 20 3 x 4 + 259 45 x 2 + 3229 630 + 16 B + B 1234 − 8 3 B 1 − 4 B 2 − 8 B 3 − 52 3 B 4 = 16 x 8 B 由于 B ， B 1 ， B 2 ， B 3 ， B 4 ，已知，计算得出公式(16)式。 5) 对(41)式左端裂项 x 2 2 + 5 x 4 12 + 259 x 6 720 + 3229 x 8 10080 + 117469 403200 x 10   + ∑ k = 1 ∞ ( 2 k − 10 ) ! ( 2 k − 9 ) ⋯ ( 2 k − 1 ) ( 2 k ) 2 2 k ( ( k − 5 ) ! ) 2 ( k − 4 ) 2 ( k − 3 ) 2 ( k − 2 ) 2 ( k − 1 ) 2 ( k ) 2 ( ∑ j = 1 k 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 k = B ， k − 5 = m x 2 2 + 5 x 4 12 + 259 x 6 720 + 3229 x 8 10080 + 117469 403200 x 10 + ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! ( 2 m + 1 ) ( 2 m + 2 ) ( 2 m + 3 ) ⋯ ( 2 m + 8 ) ( 2 m + 9 ) ( 2 m + 10 ) 2 2 m + 10 ( m ! ) 2 ( m + 1 ) 2 ( m + 2 ) 2 ( m + 3 ) 2 ( m + 4 ) 2 ( m + 5 ) 2 ( ∑ j = 1 m + 5 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m + 10 = B 两端同乘以 32 x 10 得 16 x 8 + 40 3 x 6 + 518 45 x 4 + 3229 315 x 2 + 117469 12600 + ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( 2 − 1 m + 1 ) ( 2 − 1 m + 2 ) ( 2 − 1 m + 3 ) ( 2 − 1 m + 4 ) ( 2 − 1 m + 5 ) ( ∑ j = 1 m + 5 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = 32 x 10 B 展开乘积表达式 16 x 8 + 40 3 x 6 + 518 45 x 4 + 3229 315 x 2 + 117469 12600 + ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! x 2 m 2 2 m ( m ! ) 2 [ 32 − 16 m + 1 − 16 m + 2 − 16 m + 3 − 16 m + 4 − 16 m + 5 + 8 ( m + 1 ) ( m + 2 ) + 8 ( m + 1 ) ( m + 3 ) + 8 ( m + 2 ) ( m + 3 ) + 8 ( m + 1 ) ( m + 4 ) + 8 ( m + 2 ) ( m + 4 ) + 8 ( m + 3 ) ( m + 4 ) + 8 ( m + 1 ) ( m + 5 ) + 8 ( m + 2 ) ( m + 5 ) + 8 ( m + 3 ) ( m + 5 ) + 8 ( m + 4 ) ( m + 5 ) + − 4 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 ) + − 4 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 4 ) + − 4 ( m + 1 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) + − 4 ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) + − 4 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 5 ) + − 4 ( m + 1 ) ( m + 3 ) ( m + 5 ) (45) 在(45)式有1个因子分式，2个因子分式4个，3个因子分式6个，4个因子分式4个，5个因子分式1个。为使论文简短写，我们仅选1个因子分式，4个因子分式，5个因子分式，通过如下操作程序：将分式化成分母为1个因子。4个因子(在(44)式出现的4个因子分式不再计算)，5个因子乘积的二项式系数连带连续奇数倒数平方和级数 a) 将(45)式所有分式化成部分分式，得出： 16 x 8 + 40 3 x 6 + 518 45 x 4 + 3229 315 x 2 + 117469 12600 + ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( 32 − 35 / 8 m + 1 − 15 / 2 m + 2 − 45 / 4 m + 3 − 35 / 2 m + 4 − 315 / 8 m + 5 ) ( ∑ j = 1 m + 5 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = 32 x 10 B 128 315 x 8 + 320 945 x 6 + 4144 14175 x 4 + 25832 99225 x 2 + 117469 496125 + ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( 256 315 − 1 / 9 m + 1 − 4 / 21 m + 2 − 2 / 7 m + 3 − 4 / 9 m + 4 − 1 m + 5 ) ( ∑ j = 1 m + 5 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = 256 315 x 10 B 由于 B ， B 1 ， B 2 ， B 3 ， B 4 已知，计算得出下面(5)式，并令其为 B 5 ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 5 ) ( ∑ j = 1 m + 5 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) x 2 m = ( − 256 315 x 10 + 128 315 x 8 + 32 315 x 6 + 16 315 x 4 + 2 63 x 2 + 2 9 ) B       + 128 315 x 10 + 128 945 x 6 + 1024 14175 x 4 + 512 11025 x 2 + 16384 496125 b) 在(45)式保留4个因子分式，然后对这些4个因子的分式，每次保留1个，其余化成部分分式，得到： 16 x 8 + 40 3 x 6 + 518 45 x 4 + 3229 315 x 2 + 117469 12600 + 32 B + B 1245 − 107 24 B 1 − 22 3 B 2 − 45 4 B 3 − 53 3 B 4 − 943 24 B 5 = 32 x 10 B 16 x 8 + 40 3 x 6 + 518 45 x 4 + 3229 315 x 2 + 117469 12600 + 32 B + B 1345 − 53 12 B 1 − 15 2 B 2 − 11 B 3 − 107 6 B 4 − 157 4 B 5 = 32 x 10 B 16 x 8 + 40 3 x 6 + 518 45 x 4 + 3229 315 x 2 + 117469 12600 + 32 B + B 2345 − 35 8 B 1 − 23 3 B 2 − 43 4 B 3 − 18 B 4 − 941 24 B 5 = 32 x 10 B 由于 B ， B 1 ， B 2 ， B 3 ， B 4 ， B 5 已知，计算得出(17)~(19)式。 c) 在(45)式保留5个因子分式，其余化成部分分式，得到： 16 x 8 + 40 3 x 6 + 518 45 x 4 + 3229 315 x 2 + 117469 12600 + 32 B + B 12345 − 53 12 B 1 − 22 3 B 2 − 23 2 B 3 − 52 3 B 4 − 473 12 B 5 = 32 x 10 B 由于 B ， B 1 ， B 2 ， B 3 ， B 4 ， B 5 已知，计算得出(20)式。定理证毕。 2.3. 推论的证明 在定理的公式用ix代替x，注意到 arcsin ( i x ) = i arcsin h x ， arcsin h x = ln ( x + 1 + x 2 ) ， arcsin 2 ( i x ) 2 1 − ( i x ) 2 = − ln 2 ( x + 1 + x 2 ) 2 1 + x 2 = b ，推论成立。