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user: 3. 主要结果 命题3.1 设R是任意环。则下列条件等价： 1) G P ac ⊆ G F 。 2) 对任意的R-模 M ∈ G P ac ，有 M + ∈ G I 。 3) I + ⊆ G P ac ⊥ 。 证明 1) ⟹ 2) 设 M ∈ G P ac 。因为 G P ac ⊆ G F ，所以M是Gorenstein平坦的，从而由( [ 9 ]，定理3.6)知， M + ∈ G I 。 2) ⟹ 1) 设 M ∈ G P ac 。则存在投射R-模的正合列 ℙ : ⋯ → P 1 → P 0 → P − 1 → P − 2 → ⋯ 其中 M ≅ Ker ( P − 1 → P − 2 ) ， Z j ℙ = Ker ( P j → P j − 1 ) ∈ G P ac 且对任意的Level R-模L，有 Hom R ( ℙ ， L ) 正合。所以有内射R-模的正合列 ℙ + : ⋯ → P − 1 + → P 0 + → P 1 + → P 2 + → ⋯ 又由假设知 Z j ℙ + ∈ G I ，所以对任意的内射右R-模I，有 Hom R ( I ， ℙ + ) 正合。由伴随同构知 Hom R ( I ， ℙ + ) ≅ ( I ⊗ R ℙ ) + ，所以 ( I ⊗ R ℙ ) + = Hom R ( I ⊗ R ℙ ， Q / Z ) 正合。又因为 Q / Z 是忠实内射的，所以 I ⊗ R ℙ 正合，因此 M ∈ G F 。 2) ⟹ 3) 设 M ∈ G P ac 。则 M + ∈ G I 。从而对任意的内射右R-模I，有 Ext R 1 ( M ， I + ) ≅ Ext R 1 ( I ， M + ) = 0 ， 所以 I + ⊆ G P ac ⊥ 。 3) ⟹ 2) 设 M ∈ G P ac 。则存在投射R-模的正合列 ℙ : ⋯ → P 1 → P 0 → P − 1 → P − 2 → ⋯ 其中 M ≅ Ker ( P − 1 → P − 2 ) 且有 Z j ℙ = Ker ( P j → P j − 1 ) ∈ G P ac 。因为 I + ⊆ G P ac ⊥ ，所以对任意的内射右R-模I，有 Ext R 1 ( Z j ℙ ， I + ) = 0 。因此对任意的内射右R-模I，有 Ext R 1 ( I ， Z j ℙ + ) = 0 。故对任意的内射右R-模I， Hom R ( I ， ℙ + ) 正合且 ℙ + 是内射模的正合列。从而证得 M + ∈ G I 。 下面我们讨论 G P ac = G P 的条件。 引理3.2 在任意环R上， G P ac ⊆ P G F 。 证明 设 M ∈ G P ac 。则存在投射R-模的正合列 ℙ : ⋯ → P 1 → P 0 → P 0 → P 1 → ⋯ 其中 M ≅ Ker ( P 0 → P 1 ) 且对任意的Level R-模L，有 Hom R ( ℙ ， L ) 正合。由( [ 10 ]，命题2.7)知，对任意的绝对clean右R-模A，有 A ⊗ R ℙ 正合。又因为内射R-模一定是绝对clean R-模，所以对任意的内射右R-模I，有 I ⊗ R ℙ 正合。因此 M ∈ P G F 。 定理3.3 若R是凝聚环，则 G P ac = D P = P G F 。 证明 由定义知， G P ac ⊆ D P 。设 M ∈ D P 。则存在投射R-模的正合列 ℙ : ⋯ → P 1 → P 0 → P 0 → P 1 → ⋯ 其中 M ≅ Ker ( P 0 → P 1 ) 且对任意的平坦R-模F，有 Hom R ( ℙ ， F ) 正合。又因为R是凝聚环。由( [ 8 ]，推论2.11)知，Level R-模是平坦R-模，所以对任意的Level R-模L，有 Hom R ( ℙ ， L ) 正合。因此 M ∈ G P ac 。故 G P ac = D P 。又由引理3.2和( [ 7 ]，推论1)知， G P ac ⊆ P G F ， P G F ⊆ D P 。因此 G P ac = D P = P G F 。 命题3.4 G P ac = G P 当且仅当 L ∈ G P ⊥ 。 证明 必要性：由定义知， L ⊆ G P ac ⊥ ，而 G P ac = G P ，所以 L ∈ G P ⊥ 。 充分性：由定义知， G P ac ⊆ G P 。设 M ∈ G P 。则存在投射R-模的正合列 ℙ : ⋯ → P 1 → P 0 → P − 1 → P − 2 → ⋯ 其中 M ≅ Ker ( P − 1 → P − 2 ) 且有 Z j ℙ = Ker ( P j → P j − 1 ) ∈ G P 。因为 L ∈ G P ⊥ ，所以对任意的Level R-模L，有 Ext R 1 ( Z j ℙ ， L ) = 0 。因此对任意的Level R-模L， Hom R ( ℙ ， L ) 正合。故 M ∈ G P ac 。 推论3.5 设R是凝聚环。则 P G F = G P 当且仅当 L ∈ G P ⊥ 。 证明 必要性：由定理3.3知， P G F = G P ac 。因为 L ⊆ G P ac ⊥ ，所以 L ⊆ P G F ⊥ 。又因为 P G F = G P ，所以 L ∈ G P ⊥ 。 充分性：因为R是凝聚环，所以由定理3.3知， G P ac = D P = P G F 。又因为 L ∈ G P ⊥ ，所以由命题3.4，得 P G F = G P 。 定理3.6 设R是凝聚环。则下列条件等价： 1) G P ⊆ G F 。 2) G P ac = G P 。 3) 对任意的R-模 M ∈ G P ，有 M + ∈ G I 。 4) I + ⊆ G P ⊥ 。 证明 2) ⟹ 1) 因为 G P ac ⊆ P G F ⊆ G F ，而 G P ac = G P ，所以 G P ⊆ G F 。 1) ⟹ 2) 由定义知， 。下证 。设M是强Gorenstein投射模。则存在投射R-模的正合列 其中 。由假设知， ，所以对任意的内射右R-模I，有 。又因为有短正合列 ，所以对任意的内射右R-模A，有正合列 所以 正合。因此 。设 。因为 是强Gorenstien投射模的直和项且投射余可解的Gorenstien平坦模的类关于直和项封闭，所以 。又因为R是凝聚环，由定理3.3知， ，所以 。 1) ⇔ 3) 由( [ 11 ]，定理2.2)可得。 3) ⟹ 4) 设 。因为 ，所以对任意的内射右R-模I，有 。又因为 ，所以 。 4) ⟹ 3) 设 。则存在投射R-模的正合列 其中 。从而有正合列 且 。因为 ，所以对任意的内射右R-模I，有 。因此 正合。故 。 下面我们讨论模的Gorenstein AC投射预覆盖的存在性。 引理3.7 设R是凝聚环。若 ，则存在特殊的Gorenstein AC投射预覆盖 ，其中 。 证明 因为由( [ 12 ]，定理2.13)知， 是完全的余挠对，所以存在短正合列 其中 ， 。又因为 且 ，所以 。因此 。由( [ 6 ]，定理4.11)知， 。又因为R是凝聚环，所以对上述短正合列，由定理3.3知， 且 。从而得 是M的一个特殊的Gorenstein AC投射预覆盖。 设 是环。我们记 且称之为R-模M的Gorenstein平坦维数。 命题3.8 设R是凝聚环。则每一个Gorenstein平坦维数有限的模都有一个特殊的Gorenstein AC投射预覆盖。 证明 设M的Gorenstein平坦维数有限。则由( [ 9 ]，引理3.17)知，存在短正合列 其中 且D的平坦维数有限。对T，由引理3.7知，T有一个特殊的Gorenstein AC投射预覆盖，即存在正合列 其中 且 。从而有拉回图 所以 正合，其中 。又因为D的平坦维数有限且 ，所以X的平坦维数有限。因此 。故 是M的一个特殊的Gorenstein AC投射预覆盖。