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user: 4. 主要结论证明 4.1. 定理一的证明 任取 v ( ⋅ ) ∈ L ∞ ( 0 ， T ; R m ) ∩ Ω ，则对任意的 ε > 0 ，定义： u ε ( ⋅ ) ≡ u ¯ ( ⋅ ) + ε ( v ( ⋅ ) − u ¯ ( ⋅ ) ) ∈ Ω 以及记 u ε ( ⋅ ) 为控制(0.1)的解为 y ε ( ⋅ ) ，由引理1，当 ε > 0 充分小，可定义： V ε ( t ) = exp y ¯ ( t ) − 1 y ε ( t ) ，   ∀   t ∈ [ 0 ， T ] 现单位化 V ε ( ⋅ ) ： V ^ ε ( ⋅ ) = { V ε ( t ) ρ ( y ¯ ( t ) ， y ε ( t ) ) ，         | V ε ( t ) | ≠ 0 0                                                     | V ε ( t ) | = 0 (3.1) β ( θ ; t ) = exp y ¯ ( t ) θ V ε ( t ) ，       θ ∈ [ 0 ， ρ ( y ¯ ( t ) ， y ε ( t ) ) ] (3.2) ∂ ∂ θ | θ = 0 β ( θ ; t ) = d e x p y ¯ ( t ) | O V ^ ε ( t ) = V ^ ε ( t ) (3.3) 由 u ¯ ( ⋅ ) 的最优性有： 0 ≤ J ( u ε ( ⋅ ) ) − J ( u ¯ ( ⋅ ) ) = ∫ 0 T [ f 0 ( t ， y ε ( t ) ， u ε ( ⋅ ) ) − f 0 ( t ， y ¯ ( t ) ， u ¯ ( t ) ) ] d t = ∫ 0 T [ f 0 ( t ， y ε ( t ) ， u ¯ ( t ) ) − f 0 ( t ， y ¯ ( t ) ， u ¯ ( t ) )     + f 0 ( t ， y ε ( t ) ， u ε ( ⋅ ) ) − f 0 ( t ， y ε ( t ) ， u ¯ ( t ) ) ] d t 令： I 1 = ∫ 0 T [ f 0 ( t ， y ε ( t ) ， u ¯ ( t ) ) − f 0 ( t ， y ¯ ( t ) ， u ¯ ( t ) ) ] d t I 2 = ∫ 0 T [ f 0 ( t ， y ε ( t ) ， u ε ( ⋅ ) ) − f 0 ( t ， y ε ( t ) ， u ¯ ( t ) ) ] d t 则有： I 1 = ∫ 0 T [ f 0 ( t ， β ( θ ; t ) ， u ¯ ( t ) ) − f 0 ( t ， β ( 0 ; t ) ， u ¯ ( t ) ) ] d t = ∫ 0 T { ∂ ∂ θ | θ = 0 f 0 ( t ， β ( θ ; t ) ， u ¯ ( t ) ) ρ ( y ¯ ( t ) ， y ε ( t ) )     + 1 2 ∂ 2 ∂ θ 2 | θ = 0 f 0 ( t ， β ( θ ; t ) ， u ¯ ( t ) ) ρ 2 ( y ¯ ( t ) ， y ε ( t ) ) + o ( ρ 2 ( y ¯ ( t ) ， y ε ( t ) ) ) } d t = ∫ 0 T { ∇ x f 0 ( t ， β ( 0 ; t ) ， u ¯ ( t ) ) ( ∂ ∂ θ | θ = 0 β ( θ ; t ) ) ρ ( y ¯ ( t ) ， y ε (t) ) + 1 2 ∇ x 2 f 0 ( t ， β ( 0 ; t ) ， u ¯ ( t ) ) ( ∂ ∂ θ | θ = 0 β ( θ ; t ) ， ∂ ∂ θ | θ = 0 β ( θ ; t ) ) ρ 2 ( y ¯ ( t ) ， y ε ( t ) )         + o ( ρ 2 ( y ¯ ( t ) ， y ε ( t ) ) ) } d t = ∫ 0 T { ∇ x f 0 [ t ] ( V ^ ε ( t ) ) ρ ( y ¯ ( t ) ， y ε ( t ) )       + 1 2 ∇ x 2 f 0 [ t ] ( V ^ ε ( t ) ， V ^ ε ( t ) ) ρ 2 ( y ¯ ( t ) ， y ε ( t ) ) + o ( ρ 2 ( y ¯ ( t ) ， y ε ( t ) ) ) } d t 则： I 2 = ∫ 0 T ∫ 0 ε ∂ ∂ θ f 0 ( t ， y ε ( t ) ， u ¯ ( t ) + θ ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ) ) d θ d t = ∫ 0 T ∫ 0 ε ∇ u f 0 ( t ， y ε ( t ) ， u ¯ ( t ) + θ ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ) ) d θ d t = ε ∫ 0 T ∇ u f 0 ( t ， y ε ( t ) ， u ¯ ( t ) ) ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ) d t     + ∫ 0 T ∫ 0 ε [ ∇ u f 0 ( t ， y ε ( t ) ， u ¯ ( t ) + θ ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ) )     − ∇ u f 0 ( t ， y ε ( t ) ， u ¯ ( t ) ) ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ) d θ d t = ε ∫ 0 T ∇ u f 0 ( t ， y ¯ ( t ) ， u ¯ ( t ) ) ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ) d t     + ε ∫ 0 T [ ∇ u f 0 ( t ， y ε ( t ) ， u ¯ ( t ) ) − ∇ u f 0 ( t ， y ¯ ( t ) ， u ¯ ( t ) ) ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ) d t     + ∫ 0 T ∫ 0 ε ∫ 0 θ ∂ ∂ τ ∇ u f 0 ( t ， y ε ( t ) ， u ¯ ( t ) + τ ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ) ) ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ) d τ 记： I 2 = ε ∫ 0 T ∇ u f 0 ( t ， y ¯ ( t ) ， u ¯ ( t ) ) ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ) d t + I 3 + I 4 其中， I 3 = ε ∫ 0 T [ ∇ u f 0 ( t ， y ε ( t ) ， u ¯ ( t ) ) − ∇ u f 0 ( t ， y ¯ ( t ) ， u ¯ ( t ) ) ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ) d t I 4 = ∫ 0 T ∫ 0 ε ∫ 0 θ ∂ ∂ τ ∇ u f 0 ( t ， y ε ( t ) ， u ¯ ( t ) + τ ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ) ) ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ) d τ d θ d t 则： I 4 = ∫ 0 T ∫ 0 ε ∫ 0 θ ∇ u 2 f 0 ( t ， y ε ( t ) ， u ¯ ( t ) + τ ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ) ) ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ) d τ d θ d t = ε 2 2 ∫ 0 T ∇ u 2 f 0 [ t ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ， v ( t ) − u ¯ ( t ) ) ( ε − τ ) d τ d t     + ∫ 0 T ∫ 0 ε ∇ u 2 f 0 ( t ， y ε ( t ) ， u ¯ ( t ) )     − ε 2 2 ∫ 0 T ∇ u 2 f 0 [ t ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ， v ( t ) − u ¯ ( t ) ) d t 由积分中值定理： = ε 2 2 ∫ 0 T ∇ u 2 f 0 [ t ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ， v ( t ) − u ¯ ( t ) ) d t     + ε 2 2 ∫ 0 T [ ∇ u 2 f 0 ( t ， y ε ( t ) ， u ¯ ( t ) + τ ε ， t ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ) )     + ∇ u 2 f 0 ( t ， y ε ( t ) ， u ¯ ( t ) ) ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ， v ( t ) − u ¯ ( t ) ) d t 再由Lebesgue控制收敛定理： = ε 2 2 ∫ 0 T ∇ u 2 f 0 [ t ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ， v ( t ) − u ¯ ( t ) ) d t + o (ε2) 对于 I 3 ，记： β ^ ( θ ; t ) = e x p y ¯ ( t ) θ V ε (t) 其中： ∂ ∂ θ β ^ ( θ ; t ) = L β ^ ( 0 ) β ^ ( θ ) ∂ ∂ θ | O β ^ ( θ ; t ) = L y ¯ ( t ) β ^ ( θ ) V ε ( t ) 。 则： I 3 = ε ∫ 0 T ∫ 0 1 ∂ ∂ θ ∇ u f 0 ( t ， β ^ ( θ ; t ) ， u ¯ ( t ) ) ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ) d θ d t = ε ∫ 0 T ∫ 0 T ∇ x ∇ u f 0 ( t ， β ^ ( θ ; t ) ， u ¯ ( t ) ) ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ， L y ¯ ( t ) β ^ ( θ ; t ) V ε ( t ) ) d θ d t = ε ∫ 0 T ∫ 0 T L β ^ ( θ ; t ) y ¯ ( t ) ∇ x ∇ u f 0 ( t ， β ^ ( θ ; t ) ， u ¯ ( t ) ) ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ， V ε ( t ) ) d θ d t 由Lebesgue控制收敛定理且将(1.8)带入上式得： = ε ∫ 0 T ∇ x ∇ u f 0 [ t ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ， V ε ( t ) )     + ε ∫ 0 T ∫ 0 1 [ L β ^ ( θ ; t ) y ¯ ( t ) ∇ x ∇ u f 0 ( t ， β ^ ( θ ; t ) u ¯ ( t ) ) − ∇ x ∇ u f 0 [ t ] ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ， V ε ( t ) ) d θ d t = ε 2 ∫ 0 T ∇ x ∇ u f 0 [ t ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ， V ( t ) ) + o (ε2) 综上： 0 ≤ J ( u ε ( ⋅ ) ) − J ( u ¯ ( ⋅ ) ) = ε ∫ 0 T ∇ x f 0 [ t ] V ( t ) d t     + ε 2 ∫ 0 T [ ∇ x f 0 [ t ] ( Y ( t ) ) + 1 2 ∇ x 2 f 0 [ t ] ( V ( t ) ， V ( t ) ) ] d t + o ( ε 2 )     + ε ∫ 0 T ∇ u f 0 [ t ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ) d t     + ε 2 ∫ 0 T ∇ x ∇ u f 0 [ t ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ， V ( t ) ) d t     + ε 2 2 ∫ 0 T ∇ u 2 f 0 [ t ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ， v ( t ) − u ¯ ( t ) ) d t + o (ε2) 进一步有： 0 ≤ J ( u ε ( ⋅ ) ) − J ( u ¯ ( ⋅ ) ) ε 当 ε → 0 + 时， 0 ≤ ∫ 0 T [ ∇ x f 0 [ t ] ( V ( t ) ) + ∇ u f 0 [ t ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ) ] d t 将对偶方程(2.5)带入得到： 0 ≤ ∫ 0 T ( ∇ y ¯ ˙ ( t ) ψ ( t ) + ∇ x f [ t ] ( ψ ( t ) ， V ( t ) ) ) d t + ∫ 0 T ∇ u f 0 [ t ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ) ≥ 0 再由(1.6)得： 0 ≤ ∫ 0 T ( ∇ y ¯ ˙ ( t ) ψ ( t ) + ∇ y ¯ ˙ ( t ) V ( ψ ( t ) ) ) d t − ∫ 0 T ∇ u f [ t ] ( ψ ( t ) ， v ( t ) − u ¯ ( t ) ) d t     + ∫ 0 T ∇ u f 0 [ t ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ) d t = ∫ 0 T ∇ y ¯ ˙ ( t ) ψ ( t ) d t + 〈 V ( T ) ， ψ ( T ) 〉 − 〈 V ( 0 ) ， ψ ( 0 ) 〉     − ∫ 0 T ∇ y ¯ ˙ ( t ) ψ ( t ) d t − ∫ 0 T ∇ u f [ t ] ( ψ ( t ) ， v ( t ) − u ¯ ( t ) ) d t     + ∫ 0 T ∇ u f 0 [ t ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ) d t = ∫ 0 T [ − ∇ u f [ t ] ( ψ ( t ) ， v ( t ) − u ¯ ( t ) ) + ∇ u f 0 [ t ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ) ] = ∫ 0 T − ∇ u H ( t ， y ¯ ( t ) ， ψ ( t ) ， u ¯ ( t ) ) ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ) d t 由参考文献( [ 1 ] ， p.105)中的方法将以上积分型极大值原理变为(2.6)，证毕。 4.2. 定理二的证明 若 v ( ⋅ ) ∈ Ω 满足(2.6)有： 0 ≤ J ( u ε ( ⋅ ) ) − J ( u ¯ ( ⋅ ) ) ε 2 = ∫ 0 T [ ∇ x f 0 [ t ] ( Y ( t ) ) + 1 2 ∇ x 2 f 0 [ t ] ( V ( t ) ， V ( t ) ) ]     + ∫ 0 T ∇ x ∇ u f 0 [ t ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ， V ( t ) ) d t     + 1 2 ∫ 0 T ∇ u 2 f 0 [ t ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ， v ( t ) − u ¯ ( t ) ) d t + o ( ε 2 ) ε 2 当 ε → 0 + 时， 0 ≤ J ( u ε ( ⋅ ) ) − J ( u ¯ ( ⋅ ) ) ε 2 = ∫ 0 T [ ∇ x f 0 [ t ] ( Y ( t ) ) + 1 2 ∇ x 2 f 0 [ t ] ( V ( t ) ， V ( t ) ) ]     + ∫ 0 T ∇ x ∇ u f 0 [ t ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ， V ( t ) ) d t     + 1 2 ∫ 0 T ∇ u 2 f 0 [ t ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ， v ( t ) − u ¯ ( t ) ) d t 将对偶方程(2.5)带入得到： 0 ≤ ∫ 0 T [ ∇ y ¯ ˙ ( t ) ψ ( t ) + ∇ x f [ t ] ( ψ ( t ) ， Y ( t ) ) + 1 2 ∇ x 2 f 0 [ t ] ( V ( t ) ， V ( t ) )     + 1 2 ∇ u 2 f 0 [ t ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ， v ( t ) − u ¯ ( t ) ) + ∇ x ∇ u f 0 [ t ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ， V ( t ) ) ] d t 再将(1.7)带入其中，利用与证明定理一相同的方法得到： 0 ≤ ∫ 0 T [ ∇ y ¯ ˙ ( t ) ψ ( t ) + ∇ y ¯ ˙ ( t ) Y ( ψ ( t ) ) − ∇ x ∇ u f [ t ] ( ψ ( t ) ， v ( t ) − u ¯ ( t ) ， V ( t ) )       + 1 2 R ( ψ ˜ ( t ) ， V ( t ) ， y ¯ ˙ ( t ) ， V ( t ) ) − 1 2 ∇ x 2 f [ t ] ( ψ ( t ) ， V ( t ) ， V ( t ) )     − 1 2 ∇ u 2 f [ t ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ， v ( t ) − u ¯ ( t ) ) + 1 2 ∇ x 2 f 0 [ t ] ( V ( t ) ， V ( t ) )     + 1 2 ∇ u 2 f 0 [ t ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ， v ( t ) − u ¯ ( t ) ) + ∇ x ∇ u f 0 [ t ] ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ， V ( t ) ) ] d t = 1 2 ∫ 0 T − [ ∇ x 2 H ( t ， y ¯ ( t ) ， ψ ( t ) ， u ¯ ( t ) ) ( V ( t ) ， V ( t ) ) ]     + 2 ∇ x ∇ u H ( t ， y ¯ ( t ) ， ψ ( t ) ， u ¯ ( t ) ) ( v ( t ) − u ¯ ( t ) ， V ( t ) )     + ∇ u 2 H ( t ， y ¯ ( t ) ， ψ ( t ) ， u ¯ ( t ) ) − R ( ψ ˜ ( t ) ， V ( t ) ， y ¯ ˙ ( t ) ， V ( t ) ) ] d t 证毕。