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user: 4. 模型分析 我们通过建立复制者动态方程，求解平衡点来分析演化过程。复制者动态方程描述了种群中选择合作的比例的演化过程，该过程受不同策略的收益影响。比例的增加可以由方程直接计算出来，且与收益呈正相关。例如，当新能源整车企业通过合作能获得比不合作时更高的收益时，新能源整车企业选择合作的比例会增加，增加的比例与两种策略的收益差呈线性关系。当比例增加为零时，比例将达到一个稳定的水平。当种群不能从改变策略中获得更高的收益时，原来的策略被称为演化稳定策略，即ESS [ 15 ] [ 16 ]。 4.1. 复制者动态方程 U x 为新能源整车企业选择合作时的期望收益， U 1 − x 为新能源整车企业选择不合作时的期望收益， U ¯ 为新能源整车企业的平均收益，则： { U x = y [ z a 1 + ( 1 − z ) b 1 ] + ( 1 − y ) [ z c 1 + ( 1 − z ) d 1 ] U 1 − x = y [ z e 1 + ( 1 − z ) f 1 ] + ( 1 − y ) [ z g 1 + ( 1 − z ) h 1 ] U ¯ = x U x + ( 1 − x ) U 1 − x V y 为电池企业选择合作时的期望收益， V 1 − y 为电池企业选择不合作时的期望收益， V ¯ 为电池企业的平均收益，则： { V y = z [ x a 2 + ( 1 − x ) e 2 ] + ( 1 − z ) [ x b 2 + ( 1 − x ) f 2 ] V 1 − y = z [ x c 2 + ( 1 − x ) g 2 ] + ( 1 − z ) [ x d 2 + ( 1 − x ) h 2 ] V ¯ = y V y + ( 1 − y ) V 1 − y W z 为新能源汽车车主选择换电时的期望收益， W 1 − z 为车主选择自行充电时的期望收益， W ¯ 为车主的平均收益，则： { W z = x [ y a 3 + ( 1 − y ) c 3 ] + ( 1 − x ) [ y e 3 + ( 1 − y ) g 3 ] W 1 − z = x [ y b 3 + ( 1 − y ) d 3 ] + ( 1 − x ) [ y f 3 + ( 1 − y ) h 3 ] W ¯ = z W z + ( 1 − z ) W 1 − z 将新能源车企的复制者动态方程记为 F ( x ) ，电池企业的复制者动态方程记为 G ( y ) ，新能源车主的复制者动态方程记为 H ( z ) ，则有： F ( x ) = d x d t = x ( U x − U ¯ ) = x ( 1 − x ) { y [ z ( C 4 − C 5 − B 1 − F 1 − F 2 + M 2 + E i 1 T ) − α C 1 − α C 3 − C 4 + C 11 + M 1 ]     + z ( B 1 − M 2 − E i 1 T + F 1 + F 2 ) + K 1 + G 1 − C 11 − C 3 − M 1 − K 2 + C 4 } G ( y ) = d y d t = y ( V y − V ¯ ) = y ( 1 − y ) [ z ( B 1 + F 1 + F 2 − M 2 − E i 1 T ) + x ( α C 11 + α C 3 ) + G 2 − C 11 − C 3 − M 1 − K 3 ] H ( z ) = d z d t = z ( W z − W ¯ ) = z ( 1 − z ) { x [ y ( F 2 − F 3 ) + F 3 − F 2 ] + y ( F 3 − F 2 ) + G 3 + R − V 1 − F 1 − F 3 + E i 2 T + V 2 } 从复制者动态方程中可以得出，三方的合作意愿受他们在不同情形下的收益的影响。在 F ( x ) 中，当新能源整车企业选择合作时的期望收益高于平均期望收益时，车企的合作意愿将会增加， x 的比例将会增大，而 d x / d t 也与两种期望收益的差成正相关。同样解释也适用于 G ( y ) 和 H ( z ) 中。 4.2. 平衡点的稳定性分析 令 F ( x ) = 0 ， G ( y ) = 0 ， H ( z ) = 0 ，并联立复制者动态方程组，只考虑纯策略，不考虑混合策略求得8个平衡点，分别为(0， 0， 0)，(1， 0， 0)，(0， 1， 0)，(0， 0， 1)，(1， 1， 0)，(1， 0， 1)，(0， 1， 1)，(1， 1， 1)。本文研究在PPP模式下三方的合作条件，即平衡点(1， 1， 1)的稳定性条件。根据复制者动态方程求出的平衡点不一定是系统的演化稳定策略，因此，根据李雅普诺夫稳定性理论，系统在平衡点的稳定性可以通过分析系统的雅克比矩阵的特征值来判断，即系统的稳定性的充分必要条件是雅克比矩阵的所有特征值均具有负实部 [ 16 ] [ 17 ]。 J = [ ∂ F ( x ) ∂ x ∂ F ( x ) ∂ y ∂ F ( x ) ∂ z ∂ G ( y ) ∂ x ∂ G ( y ) ∂ y ∂ G ( y ) ∂ z ∂ H ( z ) ∂ x ∂ H ( z ) ∂ y ∂ H ( z ) ∂ z ] 下面我们讨论各平衡点的稳定性： 在平衡点(0， 0， 0)， J 的特征值为： { λ 1 1 = K 1 + G 1 − C 11 − C 3 − M 1 − K 2 + C 4 λ 2 1 = G 2 − C 11 − C 3 − M 1 − K 3 λ 3 1 = G 3 + R − V 1 − F 1 − F 3 + E i 2 T + V 2 当 λ 1 1 < 0 ，即 K 1 + G 1 + C 4 < C 11 + C 3 + M 1 + K 2 ； λ 2 1 < 0 ，即 G 2 < C 11 + C 3 + M 1 + K 3 ； λ 3 1 < 0 ，即 G 3 + R + E i 2 T + V 2 < V 1 + F 1 + F 3 时，平衡点(0， 0， 0)为ESS。此时整车企业在政府补贴后换电模式中的净利润小于当前的利润 K 2 ；电池企业在政府补贴后换电模式中的净利润小于不合作时将电池直接售卖给整车企业的利润 K 3 ；车主选择则换电模式的风险 V 1 大于充电模式的风险 V 2 ，且所付出的电池租用费和补能费 F 1 + F 3 相比自行充电的费用 E i 2 T 过高。在这种情形下，三方都会选择不合作。 在平衡点(1， 0， 0)， J 的特征值为： { λ 1 2 = − λ 1 1 λ 2 2 = α C 11 + α C 3 + G 2 − C 11 − C 3 − M 1 − K 3 λ 3 2 = G 3 + R − V 1 − F 1 − F 2 + E i 2 T + V 2 因 λ 1 2 = − λ 1 1 ，则平衡点(0， 0， 0)和(1， 0， 0)不可能同时为ESS。当 K 1 + G 1 + C 4 > C 11 + C 3 + M 1 + K 2 ； G 2 < ( 1 − α ) ( C 11 + C 3 ) + M 1 + K 3 ； G 3 + R + E i 2 T + V 2 < V 1 + F 1 + F 2 时，平衡点(1， 0， 0)为ESS。此时整车企业在政府补贴后换电模式中的净利润大于当前的利润 K 2 ；电池企业在政府补贴后换电模式中的净利润小于不合作时将电池直接售卖给整车企业的利润 K 3 ；车主选择换电模式的风险 V 1 大于充电模式的风险 V 2 ，且所付出的电池租用费和补能费 F 1 + F 2 相比自行充电的费用 E i 2 T 过高。在这种情形下，电企和车主都会选择不合作。 在平衡点(0， 1， 0)， J 的特征值为： { λ 1 3 = K 1 + G 1 − α C 11 − ( 1 + α ) C 3 − K 2 λ 2 3 = − λ 2 1 λ 3 3 = λ 3 2 因 λ 2 3 = − λ 2 1 ，则平衡点(0， 1， 0)和(1， 0， 0)不能同时为ESS。当 K 1 + G 1 < α C 11 + ( 1 + α ) C 3 + K 2 ， G 2 > C 11 + C 3 + M 1 + K 3 ， G 3 + R + E i 2 T + V 2 < V 1 + F 1 + F 2 时，平衡点(0， 1， 0)为ESS。此时，政府补贴车企后的净利润 K 1 + G 1 − α C 11 − ( 1 + α ) C 3 小于当前的利润 K 2 时，车企会选择保持现状；政府补贴 G 2 > ( 1 − α ) ( C 11 + C 3 ) + M 1 + K 3 ，电池企业会选择合作；车主选择换电模式的风险 V 1 大于充电模式的风险 V 2 ，且所付出的电池租用费和补能费 F 1 + F 2 相比自行充电的费用 E i 2 T 较高，也会选择不合作。 在平衡点(0， 0， 1)， J 的特征值为： { λ 1 4 = B 1 − M 2 − E i 1 T + F 1 + F 2 + K 1 + G 1 − C 11 − C 3 − M 1 − K 2 + C 4 λ 2 4 = B 1 + F 1 + F 2 − M 2 − E i 1 T + G 2 − C 11 − C 3 − M 1 − K 3 λ 3 4 = − λ 3 1 因 λ 3 4 = − λ 3 1 ，则平衡点(0， 0， 1)和(0， 0， 0)不能同时为ESS。当 B 1 + F 1 + F 2 + K 1 + G 1 + C 4 < M 2 + E i 1 T + C 11 + C 3 + M 1 + K 2 ， B 1 + F 1 + F 2 + G 2 < M 2 + E i 1 T + C 11 + C 3 + M 1 + K 3 ， G 3 + R + E i 2 T + V 2 > V 1 + F 1 + F 3 时，平衡点(0， 0， 1)为ESS。此时，车企在政府补贴后换电模式带来净收益的小于目前的利润 K 2 ；电池企业在政府补贴后进行换电模式的净收益 B 1 + F 1 + F 2 + G 2 − M 2 − E i 1 T − C 11 − C 3 − M 1 小于将电池直接售卖给整车企业的利润 K 3 ；车主选择换电模式的风险 V 1 小于充电模式的风险 V 2 ，且所付出的电池租用费和补能费 F 1 + F 3 相比自行充电的费用 E i 2 T 较低。在这种情形下，只有车主会采取换电策略，其他两方将不会合作。 在平衡点(1， 1， 0)， J 的特征值为： { λ 1 5 = − λ 1 3 λ 2 5 = − λ 2 2 λ 3 5 = λ 3 2 因 λ 1 5 = − λ 1 3 ， λ 2 5 = − λ 2 2 ，则当平衡点(0， 1， 0)或(1， 0， 0)为ESS时，平衡点(1， 1， 0)不是ESS。当 K 1 + G 1 > α C 11 + ( 1 + α ) C 3 + K 2 ， G 2 > ( 1 − α ) ( C 11 + C 3 ) + M 1 + K 3 ， G 3 + R + E i 2 T + V 2 < V 1 + F 1 + F 2 时，平衡点(1， 1， 0)为ESS。此时政府补贴后车企的市场竞争力 K 1 + G 1 大于成本和当前的利润 α C 11 + ( 1 + α ) C 3 + K 2 ；政府对电池企业的补贴 G 2 较高，成本 ( 1 − α ) ( C 11 + C 3 ) + M 1 较低；车主选择换电模式的风险 V 1 大于充电模式的风险 V 2 ，且所付出的电池租用费和补能费 F 1 + F 2 相比自行充电的费用 E i 2 T 较高。在这种情形下，车主不会合作。 在平衡点(1， 0， 1)， J 的特征值为： { λ 1 6 = − λ 1 4 λ 2 6 = B 1 + F 1 + F 2 − M 2 − E i 1 T + α C 11 + α C 3 + G 2 − C 11 − C 3 − M 1 − K 3 λ 3 6 = − λ 3 2 因 λ 1 6 = − λ 1 4 ， λ 3 6 = − λ 3 2 ，当平衡点(0， 0， 1)或(1， 0， 0)是ESS时，平衡点(1， 0， 1)不会是ESS。当 B 1 + F 1 + F 2 + K 1 + G 1 + C 4 > M 2 + E i 1 T + C 11 + C 3 + M 1 + K 2 ， B 1   + F 1   + F 2   + G 2   < M 2   + E i 1 T + ( 1 − α ) ( C 11 + C 3 ) + M 1   + K 3 ， G 3 + R + E i 2 T + V 2 > V 1 + F 1 + F 2 时，(1， 0， 1)是ESS。此时，车企在政府补贴后换电模式的净收益大于当前的利润 K 2 ；电池企业在政府补贴后换电模式的净收益小于电池企业在不合作时将电池售卖给整车企业的利润 K 3 ；车主选择换电模式的风险 V 1 小于充电模式的风险 V 2 ，且所付出的电池租用费和补能费 F 1 + F 2 低于自行充电的费用 E i 2 T 。在这种情形下，只有电池企业不会合作。 在平衡点(0， 1， 1)， J 的特征值为： { λ 1 7 = K 1 + G 1 + C 4 − α C 11 − α C 3 − C 3 − C 5 − K 2 λ 2 7 = − λ 2 4 λ 3 7 = − λ 3 2 因 λ 2 7 = − λ 2 4 ， λ 3 7 = − λ 3 2 ，当平衡点(0， 0， 1)或(0， 1， 0)是ESS时，平衡点(0， 1， 1)不会是ESS。当 K 1 + G 1 + C 4 < α C 11 + ( 1 + α ) C 3 + C 5 + K 2 ， B 1 + F 1 + F 2 + G 2 > M 2 + E i 1 T + C 11 + C 3 + M 1 + K 3 ， G 3 + R + E i 2 T + V 2 > V 1 + F 1 + F 2 时，平衡点(0， 1， 1)是ESS。此时，整车企业在政府补贴后换电模式的净收益小于当前的利润 K 2 ；电池企业在政府补贴后进行换电模式的净收益 B 1 + F 1 + F 2 + G 2 − M 2 − E i 1 T − C 11 − C 3 − M 1 大于将电池直接售卖给整车企业的利润 K 3 ；车主选择换电模式的风险 V 1 小于选择充电模式的风险 V 2 ，且所付出的电池租用费和补能费 F 1 + F 2 低于自行充电的费用 E i 2 T 。在这种情形下，只有新能源汽车企业不会合作。 在平衡点(1， 1， 1)， J 的特征值为： { λ 1 8 = − λ 1 7 = − K 1 − G 1 − C 4 + α C 11 + α C 3 + C 3 + C 5 + K 2 λ 2 8 = − λ 2 6 = − B 1 − F 1 − F 2 + M 2 + E i 1 T − α C 11 − α C 3 − G 2 + C 11 + C 3 + M 1 + K 3 λ 3 8 = − λ 3 5 = − G 3 − R + V 1 + F 1 + F 2 − E i 2 T − V 2 因 λ 1 8 = − λ 1 7 ， λ 2 8 = − λ 2 6 ， λ 3 8 = − λ 3 5 ，当(1， 1， 1)是ESS时，(1， 1， 0)、(1， 0， 1)和(0， 1， 1)的稳定性条件不能被满足。我们的目的是保证平衡点(1， 1， 1)成为ESS，其稳定性条件如下： 1) λ 1 8 < 0 、 λ 2 8 < 0 、 λ 3 8 < 0 。即 K 1 + G 1 + C 4 > α C 11 + ( 1 + α ) C 3 + C + K 2 ，此时整车企业在政府补贴后的净收益大于当前模式下的利润 K 2 ； B 1 + F 1 + F 2 + G 2 > M 2 + E i 1 T + ( 1 − α ) ( C 11 + C 3 ) + M 1 + K 3 ，此时电池企业在政府补贴后的净收益大于电池企业在不合作时将电池售卖给整车企业的利润 K 3 ； G 3 + R + E i 2 T + V 2 > V 1 + F 1 + F 2 此时，车主选择换电模式的风险 V 1 小于选择充电模式的风险 V 2 ，且所付出的电池租用费和补能费 F 1 + F 2 相比自行充电的费用 E i 2 T 要低。以上三个条件须同时满足。 2) λ 1 1 > 0 或 λ 2 1 > 0 或 λ 3 1 > 0 ，即 K 1 + G 1 + C 4 > C 11 + C 3 + M 1 + K 2 此时整车企业在政府补贴后换电模式中的净利润大于目前的利润 K 2 ； G 2 > C 11 + C 3 + M 1 + K 3 电池企业在换电模式中政府补贴后的净利润大于不合作时将电池直接售卖给整车企业的利润 K 3 ， G 3 + R + E i 2 T + V 2 > V 1 + F 1 + F 3 车主由于换电模式的风险 V 1 小于充电模式的风险 V 2 ，且所付出的电池租用费和补能费 F 1 + F 3 相比自行充电的费用 E i 2 T 较低。 3) λ 1 2 > 0 或 λ 2 2 > 0 或 λ 3 2 > 0 。因 λ 3 2 = − λ 3 8 ， λ 3 8 < 0 ，则条件3) 满足。 4) λ 1 3 > 0 或 λ 2 3 > 0 或 λ 3 3 > 0 。因 λ 3 3 = λ 3 2 ，由条件3) 则条件4) 满足。 5) λ 1 4 > 0 或 λ 2 4 > 0 或 λ 3 4 > 0 。 B 1 + F 1 + F 2 + K 1 + G 1 + C 4 > M 2 + E i 1 T + C 11 + C 3 + M 1 + K 2 ，此时车企在政府补贴后单独做换电模式带来净收益大于目前的利润 K 2 ； B 1 + F 1 + F 2 + G 2 > M 2 + E i 1 T + C 11 + C 3 + M 1 + K 3 电池企业在政府补贴后单独做换电模式的净收入 B 1 + F 1 + F 1 + G 2 − M 1 − E i 1 T − C 11 − C 3 − M 1 大于将电池直接售卖给整车企业的利润 K 3 。以上五个条件必须同时满足。下面我们讨论有一方不合作时，如何控制参数，使得演化稳定策略向平衡点(1， 1， 1)演化。