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user: 4. 模型的求解 4.1. 问题一的求解 有限差分法是一种微分方法，广泛应用于偏微分方程的求解。以式(8)、(9)、(10)、(16)建立以下热传递模型 ρ I c I ∂ T ∂ t = ∂ ∂ x ( k I ∂ T ∂ x ) + ∂ ϕ L ∂ x − ∂ ϕ R ∂ x ， ( x ， t ) ∈ ( 0 ， L I ) × ( 0 ， t exp ) ， ρ II c II ∂ T ∂ t = ∂ ∂ x ( k II ∂ T ∂ x ) ， ( x ， t ) ∈ ( L I ， L 2 ) × ( 0 ， t exp ) ， ρ III c III ∂ T ∂ t = ∂ ∂ x ( k III ∂ T ∂ x ) ， ( x ， t ) ∈ ( L 2 ， L 3 ) × ( 0 ， t exp ) ， ρ IV c IV ∂ T ∂ t = ∂ ∂ x ( k IV ∂ T ∂ x ) − ∂ q IV ∂ x ， ( x ， t ) ∈ ( L 3 ， L 4 ) × ( 0 ， t exp ) 。 对于各层材料的偏微分方程组，采用有限差分法来处理，将这四层材料离散为若干个点。令 0 = x 0 < x 1 < ⋯ < x m 1 = L I ， L I = x m 1 < x m 1 + 1 < ⋯ < x m 1 + m 2 = L 2 ， L 2 = x m 1 + m 2 < x m 1 + m 2 + 1 < ⋯ < x m 1 + m 2 + m 3 = L 3 ， L I = x m 1 < x m 1 + 1 < ⋯ < x m 1 + m 2 = L II 。同样的方法，将时间离散成 N + 1 个点，分别为 0 = t 0 < t 1 < ⋯ < t N = t exp ，令 t j = j τ ，其中 j = 0 ， ⋯ ， N ， τ = t exp / N 。 以第I层为例，求其离散格式 [ 6 ]。令 x i = i h 1 ，其中 i = 0 ， ⋯ ， m 1 ， h 1 = L I / m 1 ，则第I层的离散格式为 ρ I c I ， i j + 1 T i j + 1 − T i j τ = k I ， i + 1 j + 1 − k I ， i j + 1 h T i + 1 j + 1 − T i j + 1 h + k I ， i j + 1 T i − 1 j + 1 − 2 T i j + 1 + T i + 1 j + 1 h 2 + θ i j + 1 ， 第I层与空气的接触面的离散格式为 − k I ， 0 j + 1 T 1 j + 1 − T 0 j + 1 h = h 1 ( T g − T 0 j + 1 ) ， 第I层与第II层的接触面的离散格式为 − k I ， m 1 j + 1 T m 1 j + 1 − T m 1 − 1 j + 1 h = − k II ， m 1 j + 1 T m 1 + 1 j + 1 − T m 1 j + 1 h 。 同理可得第II、III、IV层以及其接触面的离散格式，利用Matlab软件计算得到每一时刻每一坐标点处的温度。 将算法用流程图进行展示，如图4所示。 图4. 有限差分法的流程图 取时间间隔 Δ t = 25   s ，筛选得到216条关于某一固定时刻各坐标点处的温度，其中10条记录的数据如表1所示。 Table 1 Table of material temperature distribution of each layer at part tim t 0.2 mm 0.4 mm 2.6 mm 4.6 mm 8.4 mm 10.2 mm 14.5 mm 15 mm 25 s 63.09 52.92 37.00 37.00 37.00 37.00 38.73 44.61 300 s 71.44 67.93 41.78 37.25 37.00 37.00 37.04 44.54 600 s 72.48 69.97 47.60 39.10 37.07 37.41 45.54 47.34 900 s 72.94 70.89 51.31 41.47 37.39 38.01 46.00 47.48 1200 s 73.21 71.44 53.87 43.68 38.01 38.66 46.27 47.56 1800 s 73.54 72.09 57.23 47.32 39.77 40.08 46.61 47.66 2400 s 73.74 72.49 59.44 50.14 41.78 41.57 46.86 47.73 3000 s 73.88 72.77 61.07 52.41 43.74 43.07 47.08 47.79 3600 s 73.99 72.98 62.34 54.27 45.55 44.50 47.29 47.85 4800 s 74.15 73.30 64.27 57.19 48.66 47.05 47.68 47.97 表1. 部分时刻的各层材料温度分布表 根据有限差分法，使用Matlab计算得出，在材料的10.2 mm处温升最低。因外界的高温环境与人体皮肤均为热源，且外界温度大于人体温度，所以在材料靠近人体皮肤处的温升最低，符合实际情况，说明计算得出的数据具有一定的可靠性。 为更加直观地展示特定时刻( t = 25   s 、 t = 300   s 及 t = 600   s )材料各厚度处的温度分布，绘制“厚度–温度”二维图，如图5所示。 图5. t = 25 s、t = 300 s及t = 600 s时刻的温度分布二维图 由图5可知， t = 25   s 、 t = 300   s 及 t = 600   s 时刻每层厚度的温度变化程度十分相近，所以各个时刻的温度分布情况均相似，说明该曲线拟合程度较好。 为展示90分钟内所有时刻各层材料的温度，绘制温度分布的三维图，如图6所示。 图6. 各层材料的温度分布三维图 图中黄色表示温度较高区域，蓝色表示温度较低区域。 由图6可知，厚度与温度大致成反比，人穿着热防护服时，越接近皮肤温度越低，但由于人体存在热辐射，因此接近人体皮肤的第IV层温度略有升高；温度与时间的变化成正比，人待在高温环境的时间越久，温度会逐渐升高。 4.2. 问题二的求解 该问题属于单变量最优问题，利用最小二乘法对 ( L II ， f ) 的九组数据：(7.6，1.05)、(7.7，0.39)、(7.8，0.07)、(7.9，0)、(8.0，0.1)、(8.1，0.3)、(8.2，0.6)、(8.3，0.92)、(8.4，1.43)进行曲线拟合，得到 f − L II 的拟合函数为 f = 0.0069 L 2 − 0.1102 L + 0.4377 . 根据 f − L II 的拟合函数，绘制符合条件 0.6 ≤ L II ≤ 25 的曲线，见图7所示。 图7. f − L II 的曲线拟合图 由图7可知，当 L II = 7.92   mm ，f取到最小值0.01。因此，第II层的最优厚度为7.92 mm。 第II层的厚度 L II 不宜过大，否则会导致散热困难； L II 也不宜过小，否则外界热量将快速进入，因此猜想 L II 的厚度应是0.6~25 mm中间区域的一个值。本问题求解得到的最优厚度为7.92 mm，符合该猜想。 4.3. 问题三的求解 已知第I层、第III层厚度分别为 L I = 0.6   mm 和 L III = 3.6   mm 。利用热传导模型的偏微分方程组，通过有限差分法计算出环境温度为80℃时每一时刻每一坐标点处的温度，且满足工作时间为30分钟。同时绘制温度分布三维图，见图8所示。 图8. 环境温度为80℃时的温度分布图 要满足工作30分钟时，假人皮肤外侧温度在 44 ˚ C < T ≤ 47 ˚ C 之间的时间不超过5分钟这一条件，对80℃下的数据集进行筛选，得到总厚度在16.9 mm时满足要求，且为最小厚度，其中第II层织物材料的厚度为7.53 mm，即 L II = 7.53   mm 。 因此第IV层空气层的厚度为 L IV = L 总 − L I − L II − L III = 5.17   mm 。 根据各材料的参数值可知，第IV层的厚度范围为0.6~6.4 mm，计算所得的IV层最优厚度 L IV = 5.17   mm 在该范围内，因此认为是合理的。 所以，得到当环境温度为80℃时，II层和IV层的最优厚度分别为7.53 mm和5.17 mm。