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user: 3. 三角势垒的相位时间 在我们计算三角势垒的相位时间之前，先简要回顾下相位时间，或称为Eisenbud-Wigner [ 8 ] 时间，它是通过跟踪入射波包的相位变化来定义的。考虑一个能量集中在 E ( k ) 的分布很窄的入射波包 I ( k ) e i k x − i E ( k ) t / ℏ 向一个宽度为l的势垒运动，撞上势垒后透射波包和反射波包分别为： T ( k ) e i [ α ( k ) + k x − E ( k ) t / ℏ ] (13) R ( k ) e i [ β ( k ) + k x − E ( k ) t / ℏ ] (14) 对于透射波包，跟随波峰 x p ( t ) 的运动，在稳态相位近似 [ 14 ] 下满足方程： d α d k + x p ( t ) − 1 ℏ d E d k t = 0 (15) 显然，隧穿引起了空间延迟 δ x = α ′ ( k ) = d α / d k 和透射时间延迟： δ τ T P = ℏ d α d E = 1 v ( k ) d α d k (16) 其中 v ( k ) 是群速度。同理，我们可以得到反射相位时间延迟为： δ τ R P = ℏ d β d E = 1 v ( k ) d β d k (17) 假定在k-空间的窄波包近似下，根据(16)和(17)式对于相位时间延迟的定义，可以计算出三角势垒下的透射相位时间延迟(某种程度上等价于计算Peres时间 [ 15 ] )： τ T P = − g 2 ( F 2 k 2 l + F g M + g 2 l M 2 + 2 F k 2 l P ) + F g k 2 Q + k 4 l Q 2 F 2 g 2 k 3 + k ( g 2 M + k 2 Q ) 2 (18) 为了令反射相位时间的表达式更为紧凑，我们作如下定义： H = Bi [ − E D + l d ] A i ′ [ − E D ] − Bi [ − E D ] A i ′ [ − E D + l d ]   − Ai [ − E D + l d ] B i ′ [ − E D ] + Ai [ − E D ] B i ′ [ − E D + l d ] G = Bi [ − E D ] A i ′ [ − E D + l d ] − Ai [ − E D ] B i ′ [ − E D + l d ] q 1 = i F g k − g 2 M − k 2 Q ， q 2 = − i F g k − g 2 M − k 2 Q (19) q 3 = − g M + i k P ， q 4 = − g M − i k P q 5 = − k 2 g 3 + l ， q 6 = − 2 k 2 g 4 + 2 l g 其中 g = 1 / L C ，则反射相位时间为： τ R p = ( i ( 1 − 2 g q 4 q 2 ) ( − q 2 ( q 2 − 2 g q 4 ) ( − 2 i k 4 Q q 1 − 2 g 2 k 2 ( − i M q 1 + ( G + H ) k q 3 )       + 2 g k 3 ( G q 1 + i k Q q 3 ) − g 4 ( 2 k Q q 3 + P q 1 ( i + 2 k q 5 ) ) + g 6 k P q 3 q 6         − i g 5 q 3 ( F − k 2 Q q 6 ) ) + q 1 ( q 1 − 2 g q 3 ) ( 2 i k 4 Q q 2 − 2 g 2 k 2 ( i M q 2 + ( G + H ) k q 4 )         + 2 g k 3 ( G q 2 − i k Q q 4 ) + g 4 ( − 2 k Q q 4 + P q 2 ( i − 2 k q 5 ) ) + g 6 k P q 4 q 7 + i g 5 q 4 ( F − k 2 Q q 6 ) ) ) ) / ( g 3 q 1 ( k q 1 − 2 g k q 3 ) ( q 2 − 2 g q 4 ) 2 ) (20) 图3. 相位时间随波数k的变化 图3是相位时间随波数 的变化情况，其中(a)图为透射相位时间随波数k的变化，(b)图是反射相位时间与波数k的关系。(a)图顶部显示了透射相位时间在三角势垒宽度为 l = 2   nm ，粒子质量为中子质量， 势垒斜率 α = V 0 l ，特征能量为 E c ≡ ( ℏ 2 α 2 / 2 m ) 1 3 时，三种不同势垒高度下透射相位时间与波数k的关系。 在势垒宽度相同时，随着波数k的增大，三种不同高度下的透射相位时间均随着波数k的增加先增加后减小，出现峰值；其峰值的变化如表1所示： Table 1 Transmission time peaks and corresponding k values at different heights with the same barrier width 势垒宽度(nm) 势垒高度(μeV) 透射相位时间峰值(ns) 时间峰值对应的k (μm −1 )值 2 0.749 0.71 1.48 0.874 0.68 1.66 0.999 0.66 1.80 表1. 势垒宽度相同时，不同高度下的透射时间峰值及对应的k值 由表1可以明显看出势垒宽度一致时，随着势垒高度增加，意味着三角势垒的斜率增大(势垒陡峭)，透射时间峰值逐渐下降；其峰值对应的k值增加(峰右移)。 图3(a)底部为三角势垒高度(1.8 μeV)不变时，五种不同势垒宽度下的透射相位时间。通过图3(a)底部可以看出：在势垒宽度取五个不同值时，随着波数k的增大，透射相位时间都是先增加后减小，出现峰值；其峰值的变化如表2所示： Table 2 Transmission time peaks and corresponding k values at different width with the same barrier heigh 势垒高度(μeV) 势垒宽度(nm) 透射相位时间峰值(ns) 时间峰值对应的k (μm −1 )值 1.8 3.6 1.70 1.85 6 2.98 1.95 9 4.61 1.96 11.25 5.91 1.999 15 7.95 2.06 表2. 势垒高度相同时，不同宽度下的透射时间峰值及对应的k值 通过表2可以明显看出：当势垒宽度增加，且势垒高度不变，即三角势垒的斜率减小(势垒平缓)，透射相位时间峰值变大，且随着势垒宽度的增加，时间峰值对应的k值变大，出现峰右移；同时透射相位时间出现振荡，与势垒宽度较小时对比，如势垒宽度为15 nm和势垒宽度为3.6 nm，势垒越宽振荡越明显，原因之一可能是：势垒越宽，意味着势垒越平缓，对应的入射、反射分波具有更大的干涉重叠区，因而干涉越明显，所以表现为振荡越明显。 对比图3(a)顶部和底部可以发现：无论势垒高度相同或势垒宽度相同，粒子的透射相位时间均随波数k的增大先增加后减小——即出现峰值；且随势垒宽度增加或势垒高度的减小，相位时间峰值所对应的k值都会变大，峰右移；将峰作为特征时间似乎并不奇怪，粒子能量越高，隧穿深度越深，自然越陡峭的势垒也越难隧穿，故而对于隧穿时间的峰值对应的k也越大，但隧穿的相位时间反而越小；而对同一高度不同宽度的势垒，峰值k越大，其对应隧穿深度越大，相应相位时间自然也越大；且相位时间明显的振荡行为出现在宽度较大时，而窄势垒下单纯高度的变化并不会有振荡行为产生。 图3(b)顶部为反射相位时间在三种不同势垒高度下，势垒宽度为2 nm时的变化情况。其中随着波数k的增加，反射相位时间逐渐减小；即使改变势垒高度，反射相位时间随波数k的变化趋势几乎一致，无明显的峰出现，这是符合我们预期的：k越大，速度越快，势垒宽度不变自然反射时间越短；而势垒高度越高，势垒越硬，自然反射时间也越短；而当势垒高度相同( V 0 = 1.8   μeV )，势垒宽度不同时，如图3(b)底部所示：反射相位时间出现明显区分。 图3(b)底部中反射相位时间在势垒宽度增大时，随着波数k的增加先减小后增大，即反射相位时间出现峰值。其原因是：当势垒不是太硬的时候，即斜率较小时，越大的k隧穿深度越大，带来反射时间的增加；另一方面，越大的k速度越快，又导致反射时间的减少；两者竞争的结果导致当k不是太大时，就会出现先增加后减少的趋势，因而出现峰值。且通过图(b)，我们可以看出反射相位时间同透射相位时间一致，在高度一致，宽度增加时，峰值增加且峰右移；此外，反射相位时间在势垒宽度较大(15 nm)时有明显振荡，势垒宽度较小(3.6 nm)时，振荡不明显，而在2 nm时(图3(b)顶部)几乎没有振荡。