system: [SYSTEM]

user: 2. 准备工作及数值方法 2.1. 基本矩阵关系 首先，将 J n ( x ) 写成矩阵形式 J T ( x ) = D X T ( x ) ⇔ J ( x ) = X ( x ) D T (2.1) 其中 J ( x ) = [ J 0 ( x ) ， J 1 ( x ) ， ⋯ ， J n ( x ) ] X ( x ) = [ 1 ， x ， x 2 ， ⋯ ， x N ] 如果N是奇数， D = [ 1 0 ! 0 ! 2 0 0 − 1 1 ! 1 ! 2 2 ⋯ ( − 1 ) N − 1 2 ( N − 1 2 ) ! ( N − 1 2 ) ! 2 N − 1 0 0 1 0 ! 1 ! 2 1 0 ⋯ 0 ( − 1 ) N − 1 2 ( N − 1 2 ) ! ( N + 1 2 ) ! 2 N 0 0 1 0 ! 2 ! 2 2 ⋯ ( − 1 ) N − 3 2 ( N − 3 2 ) ! ( N + 1 2 ) ! 2 N − 1 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 0 ! ( N − 1 ) ! 2 N − 1 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 ! N ! 2 N ] ( N + 1 ) × ( N + 1 ) 如果N是偶数， D = [ 1 0 ! 0 ! 2 0 0 − 1 1 ! 1 ! 2 2 ⋯ 0 ( − 1 ) N 2 ( N 2 ) ! ( N 2 ) ! 2 N 0 1 0 ! 1 ! 2 1 0 ⋯ ( − 1 ) N − 2 2 ( N − 2 2 ) ! ( N 2 ) ! 2 N − 1 0 0 0 1 0 ! 2 ! 2 2 ⋯ 0 ( − 1 ) N − 2 2 ( N − 2 2 ) ! ( N + 2 2 ) ! 2 N ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 0 ! ( N − 1 ) ! 2 N − 1 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 ! N ! 2 N ] ( N + 1 ) × ( N + 1 ) 然后，考虑(1.1)中方程所需的解 y ( x ) 由截断的贝塞尔序列(1.2)来定义，则函数可写成矩阵形式 [ y ( x ) ] = J ( x ) A ; A = [ A 0 ， A 1 ， ⋯ ， A N ] T (2.2) 或者根据(2.1)，有 [ y ( x ) ] = X ( x ) D T A (2.3) 核函数 K ( x ， t ) 可以用截断的麦克劳林序列和截断的贝塞尔序列来逼近 K ( x ， t ) = ∑ m = 0 N ∑ n − 0 N k m n t x m t n (2.4) 其中 k m n t = 1 m ! n ! ∂ m + n K ( 0 ， 0 ) ∂ x m ∂ t n ; m ， n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， N 接着，式(2.4)可以转换成矩阵形式 K ( x ， t ) = X ( x ) K t X T ( t ) ， K t = [ k m n t ] ， m ， n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， N (2.5) 和 K ( x ， t ) = J ( x ， t ) K b J T ( t ) ， K b = [ k m n b ] ， m ， n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， N (2.6) 根据(2.5)和(2.6)，得到以下关系 X ( x ) K t X T ( t ) = J ( x ) K b J T ( t ) ⇒ X ( x ) K t X T ( t ) = X ( x ) D T K b D X T ( t ) K t = D T K b D ， K b = ( D T ) − 1 K t D − 1 (2.7) 现在，令 V ( x ) = ∫ a x K ( x ， t ) y ( t ) d t ，然后将矩阵形式(2.1)和(2.6)替换为积分部分 V ( x ) ，得到矩阵关系 [ V ( x ) ] = ∫ a x J ( x ) K b J T ( t ) J ( t ) A d t = J ( x ) K b Q ( x ) A (2.8) 因此 Q ( x ) = ∫ a x J T ( t ) J ( t ) d t = ∫ a x D X T ( t ) X ( t ) D T d t = D H ( x ) D T 其中 H ( x ) = ∫ a x X T ( t ) X ( t ) d t = [ h i ， j ( x ) ] ， h i ， j ( x ) = x i + j + 1 − a i + j + 1 i + j + 1 ， i ， j = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， N 通过将矩阵形式(2.1)替换为表达式(2.8)，得到了矩阵关系 [ V ( x ) ] = X ( x ) M H ( x ) D T A ， M = D T K b D (2.9) 2.2. 数值方法 现在，可以将(1.1)写成矩阵形式 y ( x ) − λ V ( x ) = g ( x ) (2.10) 在这里，矩阵 y ( x ) 可以表示如下 y ( x ) = X * ( x ) D * A (2.11) 其中 y ( x ) = [ y 0 ( x ) y 1 ( x ) ⋮ y N ( x ) ] ， X * ( x ) = [ X ( x ) 0 ⋯ 0 0 X ( x ) ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ X ( x ) ] ( N + 1 ) × ( N + 1 ) A = [ A 0 A 1 ⋮ A N ] ， D * = [ D T 0 ⋯ 0 0 D T ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ D T ] ( N + 1 ) × ( N + 1 ) 则积分部分 V ( x ) 可以转换为 V i ( x ) = ∫ a x ∑ j = 0 N K i ， j ( x ， t ) y j ( t ) d t ， i ， j = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， N (2.12) 接着，将(2.12)写成矩阵形式 V ( x ) = ∫ a x K ( x ， t ) y ( t ) d t (2.13) 其中 V ( x ) = [ V 0 ( x ) V 1 ( x ) ⋮ V N ( x ) ]   ， K ( x ， t ) = [ K 0 ， 0 ( x ， t ) K 0 ， 1 ( x ， t ) ⋯ K 0 ， N ( x ， t ) K 1 ， 0 ( x ， t ) K 1 ， 1 ( x ， t ) ⋯ K 1 ， N ( x ， t ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ K N ， 0 ( x ， t ) K N ， 1 ( x ， t ) ⋯ K N ， N ( x ， t ) ] 因为核函数 K i ， j ( x ， t ) ， i ， j = 0 ， 1 ， ⋯ ， N 可以分别用截断Taylor级数和截断贝塞尔级数近似，则有 K i ， j ( x ， t ) = ∑ m = 0 N ∑ n = 0 N k m n i j ( t ) x m t n (2.14) 其中 k m n i j ( t ) = 1 m ! n ! ∂ m + n K ( 0 ， 0 ) ∂ x m ∂ t n ， m ， n ， i ， j = 0 ， 1 ， ⋯ ， N 表达式(2.14)可以写成矩阵形式 K i ， j ( x ， t ) = X ( x ) K t i j X T ( t ) ; K t i j = [ k m n i j ( t ) ] (2.15) K i ， j ( x ， t ) = J ( x ) K b i j J T ( t ) ; K b i j = [ k m n i j ( b ) ] (2.16) 根据式(2.15)和(2.16)，得到以下关系 X ( x ) K t i j X T ( t ) = J ( x ) K b i j J T ( t ) ⇒ X ( x ) K t i j X T ( t ) = X ( x ) D T K b i j D X T ( t ) K t i j = D T K b i j D ， K b i j = ( D T ) − 1 K t i j D − 1 (2.17) 接着，得到了矩阵关系 [ V i ( x ) ] = ∫ a x ∑ j = 0 N J ( x ) K b i j J T ( t ) X ( t ) D T A j d t = ∑ j = 0 N ∫ a x J ( x ) K b i j J T ( t ) X ( t ) D T A j d t = ∑ j = 0 N J ( x ) K b i j Q ( x ) A j (2.18) 其中 Q ( x ) = ∫ a x J T ( t ) J ( t ) d t = ∫ a x D X T ( t ) X ( t ) D T d t = D H ( x ) D T H ( x ) = ∫ a x X T ( t ) X ( t ) d t = [ h i ， j ( x ) ] ， h i ， j ( x ) = x i + j + 1 − a i + j + 1 i + j + 1 ， i ， j = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， N 将矩阵形式(1.1)代入表达式(2.18)中，得到矩阵关系 [ V i ( x ) ] = ∑ j = 0 N X ( x ) D T K b i j Q ( x ) A j (2.19) 在方程(2.10)中，给出配置点 x i = a + b − a N i ， i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， N (2.20) 最终，可以得到矩阵方程的系统如下 y ( x i ) − λ V ( x i ) = g ( x i ) 或者简化成基本矩阵方程 Y − λ V = G (2.21) 其中 Y = [ y 0 ( x ) y 1 ( x ) ⋮ y N ( x ) ]     ，                 V = [ V 0 ( x ) V 1 ( x ) ⋮ V N ( x ) ] ，                     G = [ g 0 ( x ) g 1 ( x ) ⋮ g N ( x ) ] 利用关系(2.11)和配置点(2.20)，有 y ( x i ) = X * ( x i ) D * A ， i = 0 ， 1 ， ⋯ ， N (2.22) 通过将配置点(2.20)替换为式(2.18)中定义的矩阵 V i ( x ) ，得到 [ V i ( x s ) ] = ∑ j = 0 N X ( x s ) D T K b i j Q i j ( x s ) A j ， s ， i = 0 ， 1 ， ⋯ ， N (2.23) 同样，可以得到 V ( x s ) = [ V 0 ( x ) V 1 ( x ) ⋮ V N ( x ) ] = X * ( x s ) D * K v Q * ( x s ) A (2.24) 其中 X * ( x s ) = [ X ( x s ) 0 ⋯ 0 0 X ( x s ) ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ X ( x s ) ] ( N + 1 ) × ( N + 1 ) ， D * = [ D T 0 ⋯ 0 0 D T ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ D T ] ( N + 1 ) × ( N + 1 ) K v = [ K b 00 K b 01 ⋯ K b 0 N K b 10 K b 11 ⋯ K b 1 N ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ K b N 0 K b N 1 ⋯ K b N N ] ( N + 1 ) × ( N + 1 ) ， Q * ( x s ) = [ Q ( x s ) 0 ⋯ 0 0 Q ( x s ) ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ Q ( x s ) ] ( N + 1 ) × ( N + 1 ) A = [ A 0 ， A 1 ， ⋯ ， A N ] T 现在，根据关系(2.10)、(2.11)和(2.24)，方程(1.1)可以用贝塞尔系数A的矩阵形式表示如下 { X * D * − λ X * D * K v Q * } A = G (2.25) 因此，基本矩阵方程(2.25)对应于方程(1.1)，可以表示成如下形式 W A = G   或 [ W ; G ] ; W = X * D * − λ X * D * K v Q * (2.26) 等式(2.26)对应于具有未知贝塞尔系数A的线性代数方程组。 换句话说，如果 r a n k W = N + 1 ，那么有 A = ( W ) − 1 G