system: [SYSTEM]

user: 2. 先验估计 为了得到光滑解的存在性，需要先进行解的正则性估计。在这一部分，我们构造了方程组(2.1)~(2.2)的一个近似解，并得到了近似解的正则性估计，最后证明了近似解的收敛性。 2.1. 构造近似解 首先，我们通过迭代法构造近似解。假设 ， · 定义 u 0 = 0 。 · 对 k ≥ 1 ，给定 u k − 1 ，则由 [ 9 ] ，我们得到下列模型的光滑解 ( ρ k ， u k ) ： ρ t k + u k − 1 ρ x k + u x k − 1 ρ k = 0 ， (2.1) ρ k u t k + ρ k u k − 1 u x k − μ 0 u x x k − ( μ 1 | u x k | p − 2 u x k ) x + P x ( ρ k ) = 0 ， (2.2) 初边值条件如下 ( ρ k ， u k ) | t = 0 = ( ρ 0 ， u 0 ) ，   x ∈ I ，         u k | x = 0 = u k | x = 1 = 0 ，   t ∈ [ 0 ， T ] . (2.3) 接下来，我们将证明近似解的一致能量估计。 2.2. 近似解的一致估计 为了简化计算，我们首先定义 M 0 为： M 0 = 1 + μ 0 + μ 1 + ‖ u 0 ‖ H 0 1 ( I ) ∩ H 3 ( I ) + ‖ ρ 0 ‖ H 2 ( I ) . 应用 [ 12 ] 中类似的方法，我们可以得到逼近解 ( ρ k ， u k ) 如下能量估计。 引理1：若 ( ρ k ， u k ) 是(2.1)~(2.2)的光滑解，那么存在 T 1 ∈ ( 0 ， ∞ ) ，使得 esssup 0 ≤ t ≤ T 1 ( ‖ ρ k ( t ) ‖ H 1 ( I ) + ‖ u k ( t ) ‖ W 0 1 ， p ( I ) ∩ H 2 ( I ) + ‖ u t k ( t ) ‖ L 2 ( I ) + ‖ P t ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) + ‖ P x ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) + ‖ ρ t k ( t ) ‖ L 2 ( I ) ) + ∫ 0 T 1 ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) 2 d s ≤ C ( M 0 ) . (2.4) 其中 T 1 仅与 有关。 为了得到问题的光滑解，我们需要证明逼近解 ( ρ k ， u k ) 的高阶能量估计。 引理2：若 ( ρ k ， u k ) 是(2.1)~(2.2)的光滑解，则存在仅与 M 0 有关的 T 2 ，使得 esssup 0 ≤ t ≤ T 2 ( ‖ P x x ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) + ‖ P x t ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) + ‖ ρ x x k ‖ L 2 ( I ) + ‖ ρ x t k ‖ L 2 ( I ) ) ≤ C ( M 0 ) . (2.5) 证明：应用 γ ( ρ k ) γ − 1 乘以方程(2.1)两端，我们得到 P t ( ρ k ) + P x ( ρ k ) u k − 1 + γ P ( ρ k ) u x k − 1 = 0. (2.6) 接下来对(2.6)式关于x求导得 P x t ( ρ k ) + u k − 1 P x x ( ρ k ) + u x k − 1 P x ( ρ k ) + γ u x k − 1 P x ( ρ k ) + γ u x x k − 1 P ( ρ k ) = 0. (2.7) 由(2.4)式，(2.7)式和Sobolev不等式，可以推出 ‖ P x t ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) ≤ ‖ u k − 1 ‖ L ∞ ( I ) ‖ P x x ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) + ‖ u x k − 1 ‖ L ∞ ( I ) ‖ P x ( ρ k ) ‖ L 2 ( I )     + γ ‖ u x k − 1 ‖ L ∞ ( I ) ‖ P x ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) + γ ‖ u x x k − 1 ‖ L 2 ( I ) ‖ P ( ρ k ) ‖ L ∞ ( I ) ≤ C ( M 0 ) ( 1 + ‖ P x x ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) ) . (2.8) 进一步地，我们对(2.7)式关于x求导，有 P x x t ( ρ k ) + P x x x ( ρ k ) u k − 1 + ( γ + 2 ) P x x ( ρ k ) u x k − 1 + ( 2 γ + 1 ) P x ( ρ k ) u x x k − 1 + γ P ( ρ k ) u x x x k − 1 = 0. (2.9) 方程(2.9)两边同乘以 P x x ( ρ k ) ，并在(0， 1)上关于x积分有 1 2 d d t ∫ 0 1 | P x x ( ρ k ) | 2 d x ≤ C ( ‖ u x k − 1 ‖ L ∞ ( I ) ‖ P x x ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) 2     + ‖ P x ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) ‖ P x x ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) ‖ u x x k − 1 ‖ L ∞ ( I )     + ‖ P ( ρ k ) ‖ L ∞ ( I ) ‖ P x x ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) ‖ u x x x k − 1 ‖ L 2 ( I ) ) ≤ C ‖ P x x ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) 2 ( ‖ u x x x k − 1 ‖ L 2 ( I ) 2 + 1 ) . (2.10) 另一方面，由(2.2)式， u x x k = ρ k u t k + ρ k u k − 1 u x k + P x ( ρ k ) ， (2.11) 这蕴含 μ 0 | u x x k | ≤ | ( μ 0 + μ 1 ( p − 1 ) | u x k | p − 2 ) u x x k | = | ρ k u t k + ρ k u k − 1 u x k + P x ( ρ k ) | ， (2.12) 进一步，我们有 应用Sobolev嵌入定理和Hölder不等式，我们得到 ‖ I 1 ‖ L 2 ( I ) = C ‖ | u x k | p − 3 ( u x x k ) 2 ‖ L 2 ( I ) ≤ C ‖ u x k ‖ L ∞ ( I ) p − 3 ‖ ( ρ k u t k ) 2 + ( ρ k u k − 1 u x k ) 2 + ( P x ( ρ k ) ) 2 ‖ L 2 ( I ) ≤ C ‖ u x x k ‖ L 2 ( I ) p − 3 ( ‖ ( ρ k u t k ) 2 ‖ L 2 ( I ) + ‖ ( ρ k u k − 1 u x k ) 2 ‖ L 2 ( I ) + ‖ P x ( ( ρ k ) ) 2 ‖ L 2 ( I ) ) ≤ C [ ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) + ‖ P x x ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) + 1 ] ， ‖ I 2 ‖ L 2 ( I ) = C ‖ ρ x k u t k + ρ k u x t k + ρ x k u k − 1 u x k + ρ k u x k − 1 u x k + ρ k u k − 1 u x x k + P x x ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) ≤ C ( ‖ ρ x k ‖ L ∞ ( I ) ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) + ‖ ρ k ‖ L ∞ ( I ) ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) + ‖ u k − 1 ‖ L ∞ ( I ) ‖ ρ x k u x k ‖ L 2 ( I )     + ‖ ρ k ‖ L ∞ ( I ) ‖ u x k − 1 u x k ‖ L 2 ( I ) + ‖ ρ k ‖ L ∞ ( I ) ‖ u k − 1 u x x k ‖ L 2 ( I ) + ‖ P x x ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) ) ≤ C [ ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) + ‖ P x x ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) + 1 ] . 因此，我们有 ‖ u x x x k ‖ L 2 ( I ) ≤ C [ ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) + ‖ P x x ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) + 1 ] . (2.13) 联立(2.4)式，(2.10)式，和(2.13)式，可以得到 sup 0 ≤ s ≤ T 2 ‖ P x x ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) ≤ ‖ ρ 0 ‖ H 2 ( I ) γ exp ( C ∫ 0 t ( ‖ u x x x k − 1 ( s ) ‖ L 2 ( I ) + 1 ) d s ) ≤ C 1 ( M 0 ) exp ( C 2 ( M 0 ) ( ∫ 0 t ‖ P x x ( ρ k − 1 ) ‖ L 2 ( I ) d s + 1 ) ) . 应用Gronwall’s不等式，我们可以证明存在 T 2 = min { C 1 − 1 ( M 0 ) exp ( − C 2 ( M 0 ) ) ， T 1 } ，使得 sup 0 ≤ s ≤ T 2 ‖ P x x ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) ≤ C ( M 0 ) ， (2.14) 由(2.8)式，可以推得 sup 0 ≤ s ≤ T 2 ‖ P x t ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) ≤ C ( M 0 ) . 应用同样的方法，我们可以得到 ρ k 的估计 sup 0 ≤ s ≤ T 2 ( ‖ ρ x x k ‖ L 2 ( I ) + ‖ ρ x t k ‖ L 2 ( I ) ) ≤ C ( M 0 ) ， (2.15) 其中 t ∈ [ 0 ， T 2 ] 。 引理得证。 引理3：假定 ( ρ k ， u k ) 是方程(2.1)~(2.2)的光滑解，则 esssup 0 ≤ t ≤ T 3 ( ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ P t t ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) + ‖ ρ t t k ‖ L 2 ( I ) ) + ∫ 0 1 ( ‖ ρ k u t t k ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ u x x t k ‖ L 2 ( I ) 2 ) d s ≤ C ( M 0 ) ， (2.16) 对任意的 t ∈ [ 0 ， T 3 ] 都成立。 证明：首先，为了证明的需要，我们定义如下函数 Γ K ( t ) = max 1 ≤ k ≤ K sup 0 ≤ s ≤ t ( 1 + ‖ u x t k ( s ) ‖ L 2 ( I ) 2 ) ， 这里， K ≥ 1 是某一个足够大的正整数。 对(2.1)式关于t求导，得到 ρ t t k + u k − 1 ρ x t k + u t k − 1 ρ x k + u x k − 1 ρ t k + u x t k − 1 ρ k = 0 ， (2.17) 应用引理1和2，可以证明 ‖ ρ t t k ‖ L 2 ( I ) 2 ≤ ‖ u k − 1 ‖ L ∞ ( I ) 2 ‖ ρ x t k ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ u x t k − 1 ‖ L 2 ( I ) 2 ‖ ρ x k ‖ L ∞ ( I ) 2     + ‖ u x k − 1 ‖ L ∞ ( I ) 2 ‖ ρ t k ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ u x t k − 1 ‖ L 2 ( I ) 2 ‖ ρ k ‖ L ∞ ( I ) 2 ≤ C + C ‖ u x t k − 1 ‖ L 2 ( I ) 2 + C + C ‖ u x t k − 1 ‖ L 2 ( I ) 2 ≤ C ( M 0 ) Γ K ( t ) . 类似地，我们还可以得到P的估计 ‖ P t t ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) 2 ≤ C ( M 0 ) ( 1 + Γ K ( t ) ) . (2.18) 由(2.13)式，我们得到， ‖ u x x x k ‖ L 2 ( I ) 2 ≤ C ( M 0 ) Γ K ( t ) . 接下来，我们对(2.2)式关于t求导， ρ t k u t k + ρ k u t t k + ρ t k u k − 1 u x k + ρ k u t k − 1 u x k + ρ k u k − 1 u x t k − μ 0 u x x t k − ( μ 1 | u x k | p − 2 u x k ) x t + P x t ( ρ k ) = 0. (2.19) 由上式可以得到如下估计， ‖ u x x t k ‖ L 2 ( I ) 2 ≤ ‖ − μ 0 u x x t k − μ 1 ( p − 1 ) ( ( u x k ) 2 ) p − 2 2 u x x t k ‖ L 2 ( I ) 2 ≤ ‖ μ 1 ( p − 1 ) ( p − 2 ) | u x k | p − 2 u x t k u x x k ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ ρ x k u k − 1 u t k ‖ L 2 ( I ) 2     + ‖ ρ k u x k − 1 u t k ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ ρ k u t t k ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ ( ρ k u k − 1 ) x u k − 1 u x k ‖ L 2 ( I ) 2     + ‖ ρ k u t k − 1 u x k ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ ρ k u k − 1 u x t k ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ P x t ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) 2 ≤ C ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) 2 ‖ u x x k ‖ L ∞ ( I ) 2 + ‖ ρ x k u k − 1 ‖ L 2 ( I ) 2 ‖ u t k ‖ L ∞ ( I ) 2 + ‖ ρ k u x k − 1 ‖ L 2 ( I ) 2 ‖ u t k ‖ L ∞ ( I ) 2     + ‖ ρ k ‖ L ∞ ( I ) 2 ‖ ρ k u t t k ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ ( ρ k u k − 1 ) x u x k ‖ L 2 ( I ) 2 ‖ u k − 1 ‖ L ∞ ( I ) 2     + ‖ ρ k u x k ‖ L 2 ( I ) 2 ‖ u t k − 1 ‖ L ∞ ( I ) 2 + ‖ ρ k u k − 1 ‖ L ∞ ( I ) 2 ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ P x t ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) 2 ≤ C ( ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ u x t k − 1 ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ ρ k u t t k ‖ L 2 ( I ) 2 + 1 ) ≤ C ( M 0 ) ( Γ K 2 ( t ) + ‖ ρ k u t t k ‖ L 2 ( I ) 2 ) . 接下来，我们估计 ‖ u x t k ( s ) ‖ L 2 ( I ) 。用 u t t k 乘以方程(2.19)两端，并在(0， 1)上关于x积分，可得 ∫ 0 1 ρ k | u t t k | 2 d x + μ 0 2 d d t ∫ 0 1 | u x t k | 2 d x + μ 1 ( p − 1 ) 2 d d t ∫ 0 1 | u x k | p − 2 ( u x t k ) 2 d x = μ 1 ( p − 1 ) ( p − 2 ) 2 ∫ 0 1 | u x k | p − 4 u x k ( u x t k ) 3 d x − ∫ 0 1 ρ t k u t k u t t k d x − ∫ 0 1 ρ t k u k − 1 u x k u t t k d x       − ∫ 0 1 ρ k u t k − 1 u x k u t t k d x − ∫ 0 1 ρ k u k − 1 u x t k u t t k d x − ∫ 0 1 P x t ( ρ k ) u t t k d x = ∑ j = 1 6 I j . (2.20) 应用Young不等式和Sobolev不等式，我们得到 I 1 ≤ C ∫ 0 1 | u x k | p − 3 | u x t k | 3 d x ≤ C ‖ u x k ‖ L ∞ ( I ) p − 3 ∫ 0 1 ( u x t k ) 3 2 ( u x t k ) 3 2 d x ≤ C ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) 3 2 ‖ u x t k ‖ L 6 ( I ) 3 2 ≤ C ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) 3 2 ‖ u x x t k ‖ L 2 ( I ) 3 2 ≤ C ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) 6 + 1 6 ‖ u x x t k ‖ L 2 ( I ) 2 ≤ C ( M 0 ) Γ K 3 ( t ) + 1 6 ‖ ρ k u t t k ‖ L 2 ( I ) 2 ; I 2 ≤ − 1 2 d d t ∫ 0 1 ρ t k ( u t k ) 2 d x + ‖ ρ t t k ‖ L 2 ( I ) ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) 2 ≤ − 1 2 d d t ∫ 0 1 ρ t k ( u t k ) 2 d x + C ( M 0 ) Γ K 2 ( t ) ; I 3 = − d d t ∫ 0 1 ρ t k u k − 1 u x k u t k d x + ∫ 0 1 ρ t t k u k − 1 u x k u t k d x + ∫ 0 1 ρ t k u t k − 1 u x k u t k d x + ∫ 0 1 ρ t k u k − 1 u x t k u t k d x ≤ − d d t ∫ 0 1 ρ t k u k − 1 u x k u t k d x + ‖ ρ t t k ‖ L 2 ( I ) ‖ u k − 1 ‖ L ∞ ( I ) ‖ u k ‖ H 2 ( I ) ‖ u x t k ‖ L 2 ( I )     + ‖ ρ t k ‖ H 1 ( I ) ‖ u x t k − 1 ‖ L 2 ( I ) ‖ u k ‖ H 2 ( I ) ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) + ‖ ρ t k ‖ L 2 ( I ) ‖ u k − 1 ‖ L ∞ ( I ) ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) ≤ − d d t ∫ 0 1 ρ t k u k − 1 u x k u t k d x + C ( M 0 ) Γ K 2 ( t ) ; I 4 ≤ ‖ ρ k ‖ L ∞ ( I ) 1 2 ‖ u x t k − 1 ‖ L 2 ( I ) ‖ u k ‖ H 2 ( I ) ‖ ρ k u t t k ‖ L 2 ( I ) ≤ C ( M 0 ) Γ k ( t ) + 1 6 ‖ ρ k u t t k ‖ L 2 ( I ) 2 ; I 5 ≤ ‖ ρ k ‖ L ∞ ( I ) 1 2 ‖ u k − 1 ‖ L ∞ ( I ) ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) ‖ ρ k u t t k ‖ L 2 ( I ) ≤ C ( M 0 ) Γ k ( t ) + 1 6 ‖ ρ k u t t k ‖ L 2 ( I ) 2 ; I 6 = d d t ∫ 0 1 P t ( ρ k ) u x t k d x − ∫ 0 1 P t t ( ρ k ) u x t k d x ≤ d d t ∫ 0 1 P t ( ρ k ) u x t k d x + ‖ P t t ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) ≤ d d t ∫ 0 1 P t ( ρ k ) u x t k d x + C ( M 0 ) Γ K ( t ) . 这里我们还用到了引理1和2的结论。将上述估计代入(2.20)式得到 ∫ 0 1 ρ k ( u t t k ) 2 d x + μ 0 d d t ∫ 0 1 ( u x t k ) 2 d x + μ 1 ( p − 1 ) d d t ∫ 0 1 ( | u t k | p − 2 ( u x t k ) 2 ) d x ≤ d d t ∫ 0 1 ( 2 P t ( ρ k ) u x t k − ρ t k ( u t k ) 2 − 2 ρ t k u k − 1 u x k u t k ) d x + C ( M 0 ) Γ K 3 ( t ) . (2.21) 另一方面，由于 u k ∈ C ( [ 0 ， T 2 ] ; H 0 1 ( I ) ) ，结合引理1，我们得到如下结论 ‖ u t k ( 0 ) ‖ H 0 1 ( I ) ≤ C ( M 0 ) . 我们定义一个函数 Λ ： Λ ( t ) = ∫ 0 1 μ 0 | u x t k | 2 + μ 1 ( p − 1 ) | u x k | p − 2 | u x t k | 2 − ( 2 P t ( ρ k ) u x t k − ρ t k ( u t k ) 2 − 2 ρ t k u k − 1 u x k u t k ) d x . 由引理1和2得 | Λ ( t ) | ≤ C ( ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ u x k ‖ L 2 ( I ) p − 2 ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ ρ t k ‖ L 2 ( I ) ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) 2     + ‖ ρ t k ‖ L 2 ( I ) ‖ u k − 1 ‖ L ∞ ( I ) ‖ u k ‖ H 2 ( I ) ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) + ‖ P t ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) ) ≤ C ( ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) 2 + 1 ) ; | Λ ( t ) | ≥ 1 C ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) 2 − C ，           Λ ( 0 ) ≤ C ( M 0 ) . 应用引理1，对(2.21)式关于t在(0， t)上积分，得到 esssup 0 ≤ t ≤ T 2 ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) 2 + ∫ 0 t ‖ ρ k u t t k ( t ) ‖ L 2 ( I ) 2 d s ≤ C ( M 0 ) + C ( M 0 ) ∫ 0 t Γ K 3 ( t ) d s . (2.22) 所以 Γ K ( t ) ≤ C ( M 0 ) ( 1 + ∫ 0 t Γ K 3 ( t ) ) d s ， (2.23) 容易证明存在 T 3 = min { C ( M 0 ) − 3 ， T 2 } ，使得 sup 0 ≤ t ≤ T 3 Γ K ( t ) ≤ C ( M 0 ) . (2.24) 收集所有的估计，我们可以得到 esssup 0 ≤ t ≤ T 3 ( ‖ u ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ P t t ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) + ‖ ρ t t k ‖ L 2 ( I ) + ‖ u x x x k ‖ L 2 ( I ) )   + ∫ 0 t ( ‖ ρ k u t t k ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ u x x t k ‖ L 2 ( I ) 2 ) d s ≤ C ( M 0 ) . (2.25) 引理得证。 最后，总结引理1~3，我们有如下结论：对 0 ≤ t ≤ T * = T 3 ，下式成立， esssup 0 ≤ t ≤ T * ( ‖ ρ k ‖ H 1 ( I ) + ‖ u k ‖ W 0 1 ， p ( I ) ∩ H 2 ( I ) + ‖ u t k ‖ L 2 ( I ) + ‖ P t ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) + ‖ P x ( ρ k ) ‖ L 2 ( I )   + ‖ ρ t k ‖ L 2 ( I ) + ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ u x x x k ‖ L 2 ( I ) + ‖ P x x ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) + ‖ ρ x x k ‖ L 2 ( I ) + ‖ P x t ( ρ k ) ‖ L 2 ( I )   + ‖ ρ x t k ‖ L 2 ( I ) + ‖ P t t ( ρ k ) ‖ L 2 ( I ) + ‖ ρ t t k ‖ L 2 ( I ) ) + ∫ 0 T ∗ ( ‖ ρ k u t t k ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ u x x t k ‖ L 2 ( I ) 2 ) d s ≤ C ( M 0 ) . (2.26) 2.3. 逼近解的收敛性 在这一部分，将证明我们所构造的逼近解的收敛性。 令 ρ ¯ k + 1 = ρ k + 1 − ρ k ，         u ¯ k + 1 = u k + 1 − u k . 那么 ( ρ ¯ k + 1 ， u ¯ k + 1 ) 满足下列方程： ρ ¯ t k + 1 + ( ρ ¯ k + 1 u k ) x + ( ρ k u ¯ k ) x = 0 ， (2.27) ρ k + 1 u ¯ t k + 1 + ρ k + 1 u k u ¯ x k + 1 + P x ( ρ k + 1 ) − P x ( ρ k ) − μ 0 u ¯ x x k + 1 − μ 1 [ | u x k + 1 | p − 2 u x k + 1 − | u x k | p − 2 u x k ] x = − ρ ¯ k + 1 u t k − ρ ¯ k + 1 u k u x k − ρ k u ¯ k u x k . (2.28) 其初边值条件为 ( ρ ¯ k + 1 ， u ¯ k + 1 ) | t = 0 = ( 0 ， 0 ) ， x ∈ [ 0 ， 1 ] ; u ¯ k + 1 | x = 0 = u ¯ k + 1 | x = 1 = 0， t ∈ [ 0 ， T ] . (2.29) 方程(2.27)两边同乘以 ρ ¯ k + 1 并关于x在(0， 1)上积分，结合估计(2.26)可得 d d t ‖ ρ ¯ k + 1 ‖ L 2 ( I ) 2 ≤ ∫ 0 t | ( ρ ¯ k + 1 ) x ρ ¯ k + 1 u k + ( ρ ¯ k + 1 ) u x k + ρ x k u ¯ k ρ ¯ k + 1 + ρ k u ¯ x k ρ ¯ k + 1 | d x ≤ C ( ‖ ρ ¯ k + 1 ‖ L 2 ( I ) 2 ‖ u x k ‖ L ∞ ( I ) + ‖ ρ k ‖ H 1 ( I ) ‖ u x k ‖ L 2 ( I ) ‖ ρ ¯ k + 1 ‖ L 2 ( I ) ) ≤ C η ‖ ρ ¯ k + 1 ‖ L 2 ( I ) 2 + η ‖ u x k ‖ L 2 ( I ) 2 ， (2.30) 对任意的 和 k ≥ 1 都成立。 另外将方程(2.28)两边同乘以 u ¯ k + 1 并关于x在(0， 1)上积分得 d d t ∫ 0 1 ρ k + 1 | u ¯ k + 1 | 2 d x + ∫ 0 1 | u ¯ x k + 1 | 2 d x ≤ C ( ‖ ρ k u ¯ k ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ ρ ¯ k + 1 ‖ L 2 ( I ) 2 ) + 1 2 ‖ u x k + 1 ‖ L 2 ( I ) 2 . (2.31) 联立(2.30)式和(2.31)式，我们有 d d t ( ‖ ρ k + 1 u ¯ x k + 1 ( t ) ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ ρ ¯ k + 1 ( t ) ‖ L 2 ( I ) 2 ) + ∫ 0 1 | u ¯ x k + 1 | 2 d x ≤ C ‖ ρ k u ¯ k ‖ L 2 ( I ) 2 + C η ‖ ρ ¯ k + 1 ‖ L 2 ( I ) 2 + η ‖ u ¯ x k + 1 ‖ L 2 ( I ) 2 . 我们对上式关于 k = 1 ， 2 ， ⋯ 求和，在 ( 0 ， t ) ⊂ ( 0 ， T * ) 上关于t积分，选取足够小的 η 并应用Gronwall’s不等式有 ∑ k = 1 K [ sup 0 ≤ t ≤ T * ( ‖ ρ k + 1 u ¯ x k + 1 ( t ) ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ ρ ¯ k + 1 ( t ) ‖ L 2 ( I ) 2 ) + ∫ 0 t ‖ u ¯ x k + 1 ( t ) ‖ L 2 ( I ) 2 d s ] ≤ ∞ . (2.32) 联立上式和(2.26)式，应用Gagliardo-Nirenberg不等式可以得出，当 k → ∞ 时，序列 收敛于 ( ρ ， u ) ，其中 ( ρ ， u ) 为序列 ( ρ k ， u k ) 的极限。易证明 ( ρ ， u ) 是方程(2.1)~(2.2)的解，且满足以下正则性估计： esssup 0 ≤ t ≤ T 3 ( ‖ ρ ‖ H 1 ( I ) + ‖ u ‖ W 0 1 ， p ( I ) ∩ H 2 ( I ) + ‖ u t ‖ L 2 ( I ) + ‖ P t ( ρ ) ‖ L 2 ( I ) + ‖ P x ( ρ ) ‖ L 2 ( I ) + ‖ ρ t ‖ L 2 ( I )   + ‖ u x t ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ u x x x ‖ L 2 ( I ) + ‖ ρ x x ‖ L 2 ( I ) + ‖ P x x ( ρ ) ‖ L 2 ( I ) + ‖ ρ x t ‖ L 2 ( I ) + ‖ P x t ( ρ ) ‖ L 2 ( I )   + ‖ ρ t t ‖ L 2 ( I ) + ‖ P t t ( ρ ) ‖ L 2 ( I ) + ∫ 0 T ∗ ( ‖ ρ u t t ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ u x x t ‖ L 2 ( I ) 2 ) ds ≤ C ( M 0 ) . (2.33)