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user: 3. 模型的建立与求解 3.1. 问题一分析海南省商品住宅价格的影响因素 3.1.1. 海南省主要城市商品住宅价格变化总体趋势 通过图1的趋势图可以看出，海口和三亚两个城市的商品住宅价格都呈现出总体上升的趋势，但是三亚商品住宅价格明显高于海口，初步考虑由于两个城市中某些因素不同导致的房价差别很大。并且海口在2010年有一个折点，三亚在2014年有一个折点，初步考虑分别为某些因素对商品住宅价格在这一年产生了一定的影响。故接下来分析影响海南省主要城市商品住宅价格的各种因素。 图1. 海南省主要城市商品住宅变化趋势图 3.1.2. 商品住宅价格影响因素的定性分析 1) 国家宏观政策： 近十年，国家出台近百个政策，从重点调控海口、三亚主力城市到全省大范围布局，勾勒出一条限制购房–鼓励购房–限制购房的起伏线。 2009年，国务院正式批复《国务院关于推进海南国际旅游岛建设发展的若干意见》，2010年，史上最严的房地产调控政策“新国十条”发布，但海南省受国际旅游岛概念影响，旅游业大幅度发展，游客对房地产需求增大，导致房价大幅上涨。2011年，楼市“三限”、一房一价出台，国家调控力度加大，全国房价继续上涨，海南省房价回落，降为近十年最低价格。2012、2013年，海南省要求清理楼市库存，商品住宅价格下行明显，开发商开始以价换量。 2014年，三亚停建80平以下户型，海口限购松绑，新政出台后，全国楼市普遍迎来成交高峰，但海南成交持续下行。2015、2016年，海南省停建60平以下小户型，中国人民银行降准降息，海南下调住房公积金存贷款利率，海南实施“两个暂停”政策，购房者回归理性，一线城市爆发涨价潮，海南依然以去库存为主，全省库存大幅下降，量价普涨 [ 1 ] 。 2) 交通发展： 交通线路的便捷程度也是影响房价的重要因素，对消费者而言，住宅周边环境设施越完善，便会极大地满足消费者的需求，消费者对住宅的需求量增大，在供给量不变的情况下，房价会升高；对开发商而言，住宅周边环境设施越完善，成本就会越高，房价上涨。近十年，海南省交通建设迅速发展。前半期，海南省的交通发展缓慢，交通对房价的影响较小，随着交通的发展，海口、三亚城市交通居省内前列，线路网密集程度高，带动房价的升高。 3) 消费者理性预期心理因素： 参考文献 [ 1 ] ，国家政策的实施、城市建设的发展、以往价格水平和居住环境等因素都会对消费者预期产生影响。针对房地产价格的波动变化，消费者在做出购置决策之前会对住宅价格及未来价值做出一定预测，预测前景乐观，则倾向于购买，住宅价格便会上涨；反之则不予购买，住宅价格便会回落。 3.1.3. 商品住宅价格影响因素的定量分析 通过查阅相关资料，参考文献 [ 2 ] ，初步确定了几个对商品住宅价格影响较大的因素：城市经济发展水平、居民可支配人均收入、城市常住人口数、旅游业发展经济额、商品住宅造价。广泛搜集有关资料，并进行筛选统计，得到了近八年海口和三亚各种影响因素的相关数据。 (I) 海口城市各相关因素变化情况 由图2，可以明显看出生产总值、人口总数、人均可支配收入、旅游业发展都是递年上升的。 图2. 海口市各因素变化趋势图 接着，使用MATLAB软件，分别画出各种因素数值变化趋势图，如图3所示。 图3. 四种因素趋势变化图 通过以上图形，可以看出人口总数在2010年急剧上升，这很好地解释了海口城市在2010年房价的突增情况。 (II) 三亚城市各相关因素变化情况 由图4，可以看出三亚的各种相关因素的变化趋势，再使用MATLAB软件，分别画出各种因素数值变化趋势图，如图5所示。 通过以上图形可以清楚地看到，三亚市生产总值、人口总数、人均可支配收入、旅游业发展也都是递年上升的，但是商业住宅造价在2014年达到峰值后，又呈现一个下降趋势，并且考虑到三亚市商品住宅价格也是在2014年达到最大值，因此，三亚市房价可能在一定程度上受到了住宅造价的影响。 图4. 三亚的各种相关因素变化趋势 图5. 三亚市各因素变化趋势图 3.2. 构建商品住宅价格数学模型 3.2.1. 初步分析商品住宅价格的线性相关模型 结合问题一，参考文献 [ 3 ] ，考虑到商品住宅价格变化与各种因素的影响关系，建立海南省主要城市的线性回归模型。 1) 模型建立 将商品住宅价格记为 y ，各影响因素分别记为 x 1 ， x 2 ， x 3 建立多元线性回归方程： y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x 3 其中参数 β i ( i = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ) 称为回归系数。 2) 模型求解 使用MATLAB软件，利用regress函数进行求解，使用格式为[b， bint， r， rint， stats] = regress(y， x) [ 4 ] ，得到回归系数估计值及其置信区间(置信水平 ∂ = 0 .05 )，检验统计量如表1所示。 Table 1 Test statisti 参数 参数估计值 参数置信区间 15，208 [−14，000， 44，417] β 1 −1 [−9， 6] β 2 13 [561， 587] β 3 162 [162， 414] R 2 = 0.3313， F = 111， P < 0.1259， S 2 = 2.0372 表1. 检验统计量 在此回归分析中， R 2 的值较小，只为0.3313，因此回归结果可能不是非常准确。接着使用MATLAB画出残差图，检验此回归精确程度。 3) 残差分析 从图6可以看出，除第五个数据外，其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，但是因为数据较少，因此不应该允许出现异常点。 图6. 残差图 通过以上分析可以看出，不管是计算回归方程的决定系数，还是统计量的检验值，统计量所对应的概率值，还是通过对残差的分析，此模型都不是非常合理的。因此，需要舍弃这种函数模型，考虑多重共线性，建立一个多元回归方程。 3.2.2. 自变量多重共线性的处理 在问题一中，已经分析得出很多因素之间是相互影响的，存在着一定的相关关系。基于各种变量之间的这种交互作用，采用主成分分析的方法，实现海南省主要城市商品住宅价格数学模型的建立。主要使用SPSS软件，考虑多线性交互作用来建立模型。主要步骤如下： (I) 海口市共线性处理 1) 相关性检验 问题一中已知商品住宅价格主要与城市居民可支配收入、城市经济发展和旅游业这三种因素有关。首先检验这三种因素之间的相关关系，采用因子分析中的主成分分析方法， 首先进行相关性检验，得到表2如下。 Table 2 Test of KMO and Bartlet 取样足够度的Kaiser-Meyer-Olkin度量 0.644 Bartlett的球形度检验 近似卡方 43.711 df 3 Sig. 0.000 表2. KMO和Bartlett的检验 综合KMO值小于0.7，且Bartlett球形度检验，P值 < 0.001，说明这三种因素之间具有一定的相关性。可以进行主成分分析。 a) 提取主成分和公因子 输出主成分结果并输出碎石图，如表3和图7所示。 Table 3 Total variance explaine 成份 初始特征值 提取平方和载入 合计 方差的% 累积% 合计 方差的% 累积% 1 2.965 98.836 98.836 2.965 98.836 98.836 2 0.033 1.091 99.927 3 0.002 0.073 100.000 提取方法：主成份分析。 表3. 解释的总方差 图7. 碎石图 从表中数据可以看出，成分1的特征值大于1，且能解释98.836%的方差，且通过碎石图可以看出，前边陡峭的部分特征值大，包含的信息多，后边相对比较平坦，包含信息少。故可以提取成分1作为主要解释变量。 得到的成分矩阵如表4所示。 2) 计算正交化单位特征向量 根据主成分载阵的计算公式，可以得到主成分的特征向量值。计算公式为： l i = λ i e i ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 代入相关数值，可以得到表格如表5所示。 3) 建立回归方程并拟合其相关性 使用SSPS软件，利用回归的方法，建立商品住宅价格 与主成分变量 X 之间的函数关系，在这里，首先要排除掉量纲的影响，因此使用MATLAB对量纲进行了标准化处理。其次分析了线性建模和二次建模，得到图形如图8所示。 Table 4 Component matri 成份 1 居民人均可支配收入 0.998 城市经济发展水平生产总值 0.995 旅游业发展 0.989 提取方法：主成份。 a . 已提取了1个成份。 表4. 成份矩阵 a Table 5 Principal component eigenvector valu e 1 0.580 e 2 0.578 e 3 0.43 表5. 主成分特征向量值 图8. 曲线拟合图形 通过图8可以看出，线性模型和二次模型的拟合优度相差不大。为了使得最后的模型更加简练，在此选择线性函数模型。得到系数图表，如图所示：(表6) 并进行相关检验，得到表7。 由此， r 2 比较接近于1，因此，此模型的拟合程度比较高，是适用的。 Table 6 Coefficien 未标准化系数 标准化系数 t Sig. B 标准误 Beta 主成分1 0.766 0.262 0.766 2.918 0.027 (常数) 1.000E−013 0.246 0.000 1.000 表6. 系数 Table 7 Model summar R R方 调整R方 估计值的标准误 0.956 0.914 0.518 778.514 表7. 模型汇总 最终得到函数表达式： y = 0 .766 X 根据主成分的单位特征向量值，得到最终的函数模型为： y = 0.444 x 1 + 0.443 x 2 + 0.329 x 3 (II) 三亚 对于三亚，同题(I)海南的相关解答，进行同样的主成分分析，得到单位特征向量如表8所示。 Table 8 Unit eigenvecto e 1 0.52 e 2 0.52 e 3 0.52 e 4 0.43 表8. 单位特征向量 然后进行线性回归，得到表9。 Table 9 Coefficien 未标准化系数 标准化系数 t Sig. B 标准误 Beta 主成分1 0.933 0.161 0.933 5.791 0.002 (常数) −1.000E−013 0.149 0.000 1.000 表9. 系数 并进行相关检验，得到表10。 Table 1 0 Model summar R R方 调整R方 估计值的标准误 0.933 0.870 0.844 1512.704 自变量为REGR factor score 1 for analysis 1 表10. 模型汇总 由此， r 2 比较接近于1，因此，此模型的拟合程度比较高，是适用的。 最终得到函数表达式： y = 0 .933 X 根据主成分的单位特征向量值，得到最终的函数模型为： y = 0.48516 ( x 1 + x 2 + x 3 ) + 0.40119 x 4 3.2.3. 模型的最终确定 根据以上分析，可以得到海南省主要城市商品住宅价格数学模型： 海口： y = 0.444 x 1 + 0.443 x 2 + 0.329 x 3 三亚： y = 0.48516 ( x 1 + x 2 + x 3 ) + 0.40119 x 4 3.3. 按月分析2018年6月~2019年5月海南省商品住宅房价格 3.3.1. 粗糙集的划分 选取全国平均水平作为标准，比较历年海南省与该标准的各指标情况如表11所示(0表示低于全国平均水平1表示高于全国平均水平)。 Table 1 1 Indicators of Hainan province in the past year 年份 居民人均可支配收入 人口总数 造价 城市经济发展水平 旅游业 房价 2009 0 0 0 0 1 0 2010 0 0 0 0 1 0 2011 0 1 0 1 1 0 2012 1 1 1 0 1 0 2013 1 1 1 1 1 1 2014 1 1 0 1 1 1 2015 1 1 1 1 1 1 2016 1 1 1 1 1 1 表11. 海南省历年指标情况 假设A代表年份集合， ，C代表条件属性集合， C = { c 1 ， c 2 ， c 3 ， c 4 ， c 5 } ，其中c 1 为居民人均可支配收入，c 2 为人口总数，c 3 为造价，c 4 为城市经济发展水平，c 5 为旅游业收入，D代表决策属性集合，这里为房价集合， Pos _ R { X } 为X的正域， Pos _ c { D } = { 2013 ， 2014 ， 2015 ， 2016 } Pos _ ( c − c 2 ) { D } = { 2011 ， 2013 ， 2014 } = Pos _ c { D } Pos _ ( c − c 3 ) { D } = { 2012 ， 2015 ， 2016 } = Pos _ c { D } 因此c 2 和c 3 为冗余项，即可删除的属性，所以C的D约简为 C − { c 2 ， c 3 } = { c 1 ， c 4 ， c 5 } ，于是我们得到影响海口市房价的主要因素为居民人均可支配收入、城市经济发展水平和旅游业收入三个指标，这也进一步验证了第一问结论的正确性。同样，也可做出三亚市2009年~2016年各指标与全国平均水平的比较结果(见附录)，得到影响三亚市房价的主要因素除了与海口市相同的三个外还包括房屋造价。 3.3.2. 灰色模型GM(1， 1)建立 参考文献 [ 5 ] ，设时间序列 X ( 0 ) 有 n 个观测值 X ( 0 ) = { X ( 0 ) ( 1 ) ， X ( 0 ) ( 2 ) ， ⋯ ， X ( 0 ) ( n ) } ，通过累加生成新序列 X ( 1 ) = { X ( 1 ) ( 1 ) ， X ( 1 ) ( 2 ) ， ⋯ ， X ( 1 ) ( n ) } ，则 G M ( 1 ， 1 ) 模型相应的微分方程为： d X ( 1 ) d t + a X ( 1 ) = μ (5.12) 其中， a ——发展灰度， μ ——内生控制灰度。 设 为待估参数向量， ，利用最小二乘法求解可得： δ = ( B T B ) ( − 1 ) B T Y n (5.13) 其中： B = [ − 1 2 [ X ( 1 ) ( 1 ) + X ( 1 ) ( 2 ) ] − 1 2 [ X ( 1 ) ( 2 ) + X ( 1 ) ( 3 ) ] ⋮ − 1 2 [ X ( 1 ) ( n − 1 ) + X ( 1 ) ( n ) ] ] ， Y n = [ X ( 0 ) ( 2 ) X ( 0 ) ( 3 ) ⋮ X ( 0 ) ( n ) ] ，求解微分方程，即可得到预测模型： X ( 1 ) ( k ^ + 1 ) = [ X ( 0 ) ( 1 ) − μ a ] ⋅ e − a k + μ a ( k = 0 ， 1 ， 2 ⋯ ， n ) (5.14) 3.3.3. 模型检验校正 灰色预测模型检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验。我们采用级比偏差值检验。首先参考数据 x ( 0 ) ( k − 1 ) ， x ( 0 ) ( k ) 计算出级比 λ ( k ) ，再用发展系数 α 求出相应级比偏差 ρ ( k ) = 1 − ( 1 − 0.5 a 1 + 0.5 a ) λ (k) 如果 ρ ( k ) < 0.2，则可认为达到一般要求；如果 ρ ( k ) < 0.1，则可以认为达到较高要求。 3.3.4. 模型求解 1) 数据检验和预处理 设参考序列为 x ( 0 ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) ， x ( 0 ) ( 2 ) ， ⋯ ， x ( 0 ) ( n ) ) ，计算序列的平均数和级比，其中级比的计算公式为： λ ( k ) = x ( 0 ) ( k − 1 ) x ( 0 ) ( k ) ， k = 2 ， 3 ， ⋯ ， n . 所有级比的值应落在可容覆盖区间 ( e − 2 n + 1 ， e 2 n + 1 ) 内，本题要预测12个月份，所以将n = 12代入得区间范围为(0.8669， 1.1535)内，否则须对序列做必要的变换处理，使其落入可容覆盖内，即选取适当常数C，做平移变换。 2) 利用matlab编程进行GM(1， 1)建模 分别将三组数据代入，可得待估参数向量与序列的解如下，预测值以及预测图如表12和图9所示。 δ 1 = [ − 0.034 13.185 ] ， y 1 = 405.085 * e 0.0342791 * t − 384.645 δ 2 = [ − 0.008 2442.56 ] ， y 2 = 325800 * e 0.0075673 * t − 322772 δ 3 = [ 0.0095 113.909 ] ， y 3 = − 11919.2 * e − 0.00945915 * t + 12042.2 Table 1 2 Prediction of data based on gray-scale mode 时间 预测值 2018年6月 2018年7月 2018年8月 2018年9月 2018年10月 2018年11月 旅游收入 19.81 22.19 20.82 23.55 21.52 26.10 可支配收入 2980.00 2782.00 2379.00 2588.00 3089.00 3125.00 GDP 125.97 122.18 117.36 117.48 117.91 118.03 时间 预测值 2018年12月 2019年1月 2019年2月 2019年3月 2019年4月 2019年5月 旅游收入 24.40 23.13 21.04 21.67 19.21 17.46 可支配收入 3353.00 3705.00 3187.00 3071.00 2765.00 2877.00 GDP 123.14 139.66 135.39 134.70 128.14 131.68 表12. 基于灰度模型的各数据预测值 图9. 基于灰度模型的各数据预测值变化趋势 3) 模型的检验 分别利用三个公式的发展系数 α 计算出相应的级比偏差值， ρ 1 ( k ) = 0.035 ρ 2 ( k ) = 0.116 ρ 3 ( k ) = 0.057 可知旅游收入和GDP的偏差值均小于0.1，因此预测具有较好的可靠性，而可支配输入的偏差值略大于0.1但小于0.2，故也达到了预测的一般要求，具有实际意义。 3.3.5. 模型的代入 将求解得到的数据代入第二问中建立好的多元线性回归模型中，得到海口市和三亚市房价预测结果，如表13~14和图10~11所示。 海口： y = 0.444 x 1 + 0.443 x 2 + 0.329 x 3 三亚： 1) 海口 Table 1 3 Forecast of house price in Haikou cit 时间 预测值 2018年6月 2018年7月 2018年8月 2018年9月 2018年10月 2018年11月 房价 20，158 18，302 17，889 15，864 16，125 16，868 时间 预测值 2018年12月 2019年1月 2019年2月 2019年3月 2019年4月 2019年5月 房价 16，303 14，124 15，523 17，413 18，365 19，266 表13. 海口市房价预测值 图10. 海口市房价预测值变化趋势 2) 三亚 Table 1 4 Forecast of house price in Sanya cit 时间 预测值 2018年6月 2018年7月 2018年8月 2018年9月 2018年10月 2018年11月 房价 40，863 39，747 38，665 38，132 37，094 36，685 时间 预测值 2018年12月 2019年1月 2019年2月 2019年3月 2019年4月 2019年5月 房价 36，439 35，103 36，278 37，018 37，654 40，251 表14. 三亚市房价预测值 3.4. 按月分析政策出台后2018年6月~2019年5月海南省商品住宅房价格 3.4.1. 数据预处理及海口市VAR模型的构建 本问题采用2013年1月到2018年5月海南省(主要考虑海口和三亚)商品住宅价格月度数据，数据的处理和建模采用Eviews 8.0。 VAR模型对于相互联系的时间序列变量系统是有效的预测模型，对于政策虚拟变量，本问题将运用VAR模型来研究其对商品住宅价格的动态影响。参考文献 [ 6 ] ，为减小数据序列的异方差影响，首先对政策虚拟变量取自然对数，得到ln(P)的一个新的时间序列数据。从而建立滞后K期的VAR模型如下： 图11. 三亚市房价预测值变化趋势 ( ln Price t ln P t ln T t lnGDP t ) = c + ∑ i = 1 k ( ln Price t − 1 ln P t − 2 ln T t − 3 lnGDP t 3 ) + ( u 1 u 2 u 3 u 4 ) 其中，c为常数项， 为1 × 4的系数矩阵，u为随机扰动项。 用Eviews 8.0计量经济学软件对变量进行平稳性检验和季节性调整，检验结果表见附录，符合VAR模型的变量要求。 3.4.2. 脉冲函数响应分析 根据脉冲响应函数理论 [ 7 ] ，选定上述四个原始变量，运用Eviews 8.0软件进行操作，选择impulse菜单，Responses只留房价，得到脉冲响应曲线图12。 图12. 房价脉冲响应图 Impluses只留P (政策虚拟变量)，得到脉冲曲线图13。 图13. 政策虚拟变量脉冲响应图 3.4.3. 商品住宅价格预测 经过上述检验和分析，用Eviews 8.0进行自回归分析，最终得到海口市商品住宅价格的预测模型VAR(2)如下： Δ ln Price t = ( 1.231831 82.31819 − 0.365957 0.247278 ) T ( ln Price t − 1 Δ ln P t − 1 Δ ln T t − 1 Δ ln GDP t − 1 ) + ( − 0.194865 − 148.1100 10.97197 1.030293 ) T ( Δ ln Price t − 2 Δ ln P t − 2 Δ ln T t − 2 Δ ln GDP t − 2 ) − 384.6593 三亚市商品住宅价格的预测模型如下： Δ ln Price t = ( 0.917230 − 649.9250 3.401510 2.948141 ) T ( ln Price t − 1 Δ ln P t − 1 Δ ln T t − 1 Δ ln GDP t − 1 ) + ( 0.184801 463.2524 13.73099 0.261242 ) T ( Δ ln Price t − 2 Δ ln P t − 2 Δ ln T t − 2 Δ ln GDP t − 2 ) − 2143.552 3.4.4. 模型预测 最终通过所建立的VAR模型预测出2018年6月~2019年5月三亚的商品住宅价格为：33，847、32，647、31，185、30，735、30，142、28，765、28，103、27，831、28，940、29，462、30，913、33，721。 海口的商品住宅价格为：13，292、12，075、11，630、10，428、9762、9631、8815、9682、10，378、11，196、12，193、13，086。 3.4.5. 结合数据定性分析政策影响 在政策实施后，商品住宅价格会有一短下行期，限购令造成房价下降；但房价不是持续下降的，在一段时间后，由于房地产市场需求大于供给，导致房价回升，预测结果与数据相吻合，即房价是先下降后回升，在以后较长一段时间内，会形成往复循环现象。