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user: 3. 大学生高等数学成绩影响因素建模分析 本文研究数据取自某重点工科高校2014级不同专业不同班级大学生两个学期高等数学课程考试成绩和学生的一些基本资料。由于部分学生出现转专业、降级、退学、休学等情况，造成了数据的不完整，本文将相应数据进行了删除，通过变量之间的相关性分析和一些基本常识，本文初始选定学生性别 X 1 、学生年龄 X 2 、生源地 X 3 、地区人均GDP X 4 、地区人均可支配收入 X 5 、地区教育投入 X 6 、地区师生比 X 7 、将高考成绩依地区进行中心化后得到 X 8 作为自变量，因变量为学生高等数学成绩 Y 。一般检验方法为似然比检验，但我们考虑到了检验在边界上的问题。最终在数据收集整理过程中得到的样本数据的样本容量为1409，男女比例约为3.9。生源地共计28个省及直辖市。表1为部分数据。 进行探索性分析，可以得到高考成绩与高数成绩的关系如图1。 Table 1 The information on freshmen in science and engineering college come from different major and classe X 1 X 2 X 3 Y X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 男 22 新疆 21 40，648 15，097 599 12.8 −8 男 22 河北 62 39，984 16，647 1030 13.3 4 男 21 吉林 80 50，160 17，520 548 16.5 2 男 20 河北 77 39，984 16，647 1030 13.3 0 男 20 云南 41 27，264 13，772 901 15.6 4 表1. 某重点工科高校2014级不同专业不同班级大学生个人信息情况 注：资料来源：学校教务处。 图1. 某重点工科高校2014级大学生高考数学成绩和高等数学成绩回归分析图 图1所示横轴为高考数学成绩，纵轴为高等数学成绩，以广东省为例，随着横轴高考成绩的增加，纵轴高数成绩也在增加，整体表现为高考成绩越高的学生高等数学成绩越好；以天津省为例，随着横轴高考成绩的增加，纵轴高数成绩在减少，即高考成绩越高的学生高数成绩反而越低。故由图可知各省图示高考数学成绩与高等数学成绩的回归图像之间有较大差异，斜率和截距都显著不同，说明不同省份高考数学成绩对高数成绩的影响不同，初步可以得出分层是合理的。接下来进行数学建模，定量分析高考数学成绩与高等数学成绩的关系。 1) 模型1：零模型 { Y i j = β 0 j + ε i j ε i j ~ N ( 0 ， σ 2 ) β 0 j = γ 00 + u 0 j u 0 j ~ N ( 0 ， σ 00 2 ) Y i j = γ 00 + u o j + ε i j Y i j ：第j个地区的第i个学生高数成绩 u 0 j ：每个地区高数成绩均值与总均值 γ 00 之间的差异；组间差异 ε i j ：每个学生高数成绩与地区均值之间的差异；组内差异 通过模型的构建我们发现，通过检验在边界的方法，得到 P < 0.05 ，显著拒绝原假设 [ 3 ] ，即随机截距项显著不为零，说明截距项随省及直辖市的不用显著不同，所以使用分层线性模型构建模型是合理的，协方差参数估计部分报告了水平1随机截距方差( σ ^ u 0 2 = 89.17 )和水平1残差方差估计( σ ^ 2 = 353.00 )。结果显示：① 各省的高等数学平均成绩有显著差异；② 尽管组间差异显著，组内差异仍然很大；水平1残差方差(即 σ ^ 2 )约为组间方差( σ ^ u 0 2 )的3.96倍。组内相关系数( I C C )得0.2016，即结局测量中约20.16%的总变异是由生源地的不同引起的。为了考虑省与省之间的差异是哪些因素造成的，我们建立模型2。 2) 模型2：用省级别变量解释省际之间变异 { Y i j = β 0 j + ε i j         ε i j ~ N ( 0 ， σ 2 ) β 0 j = γ 00 + γ 01 X 4 j + γ 02 X 5 j + γ 03 X 6 j + γ 04 X 7 j + u 0 j u 0 j ~ N ( 0 ， σ 00 2 ) Y i j = γ 00 + γ 01 X 4 j + γ 02 X 5 j + γ 03 X 6 j + γ 04 X 7 j + u 0 j + ε i j “ X 4 ”人均GDP“ X 5 ”人均可支配收入 “ X 6 ”教育投入“ X 7 ”学生教师比 建模过程中最初考虑的省级别变量有地区人均GDP X 4 、地区人均可支配收入 X 5 、地区教育投入 X 6 、地区师生比 X 7 ，经过似然比检验，最终确定省级别变量地区教育投入 X 6 是显著的，纳入了我们的分层线性模型，从而得到最终用省级别变量解释省际差异的分层线性模型如下： { Y i j = β 0 j + ε i j β 0 j = γ 00 + γ 01 X 6 j + u 0 j ⇒ Y i j = γ 00 + γ 01 X 6 j + u 0 j + ε i j { ε i j ~ N ( 0 ， σ 2 ) u 0 j ~ N ( 0 ， σ 00 2 ) 由模型建模结果可以得到两个固定效应值： γ ^ 00 = 56.60 ，即不存在地区教育投入差别时相应的总体均数结局的估计值。即是说，在不存在地区教育投入差别时，模型估计的平均高数成绩约为56.60分。 省级别变量地区教育投入 X 6 的主效应为 γ ^ 01 = 0.0108 ( P = 0.002 )，表明在存在地区教育投入差别时，学生的高数成绩高于不存在地区教育差别时。模型估计结果表明，在存在1单位地区教育投入差别的情况下，学生的平均高数成绩估计约为 γ ^ 00 + γ ^ 01 = 56.60 + 0.01 = 56.61 分。至于方差/协方差成分，现有模型中组内方差的估计值为 σ ^ = 352.98 ，与空模型中方差的估计基本相同( σ ^ 2 = 353.00 )。然而，组间方差的估计值 σ u 0 2 却从89.17下降到57.27，表明省级别解释变量地区教育投入 X 6 能解释组间变异，而不能解释组内变异。 在模型纳入协变量后，组内相关系数( I C C )被称为条件相关系数(conditional ICC)，其反映的是在控制省级别解释变量地区教育投入 X 6 后的组内同质性或组间异质性。现有模型的条件组内相关系数为 I C C = σ ^ u 0 2 σ ^ u 0 2 + σ ^ 2 = 57.27 57.27 + 352.98 ≈ 0.1396 模型解释的结局测量组间变异可通过Raudenbush & Bryk方法或Snijders & Bosker方法进行估计。 采用Raudenbush & Bryk方法，现有模型的省级别解释方差的估计 [ 4 ] 为 ( RB : 省 级 别 可 解 释 变 异 % ) = 1 − 57.27 89.17 ≈ 0.36 采用Snijders & Bosker方法，现有模型的省级别解释方差可以通过 σ ^ 水 平 2- 总 2 的比例缩减来估计 [ 5 ] 。首先，计算空模型和现有设定模型的省级别总变异； ( 空 模 型 σ ^ 水 平 2- 总 2 ) = 89.17 + 353.00 48 ≈ 96.52 ( 设 定 模 型 σ ^ 水 平 2- 总 2 ) = 57.27 + 352.98 48 ≈ 64.62 ( SB : 省 级 别 可 解 释 变 异 % ) = 1 − 64.62 96.52 ≈ 0.33 与Raudenbush & Bryk方法计算的结果近似。也就是说，约有34.50%的高数成绩跨生源地的变异可以由省级别解释变量地区教育投入 X 6 解释。 为了考虑是否有个体变量影响个人的高数成绩，我们建立模型3。 3) 模型3：个体解释变量纳入模型 { Y i j = β 0 j + β 1 j X 1 + β 2 j X 2 + β 3 j X 3 + ε i j ε i j ~ N ( 0 ， σ 2 ) β 0 j = γ 00 + γ 01 X 6 j + u 0 j u 0 j ~ N ( 0 ， σ 00 2 ) Y i j = γ 00 + γ 01 X 6 j + β 1 j X 1 + β 2 j X 2 + β 3 j X 3 + u 0 j + ε i j “ X 1 ”性别“ X 2 ”年龄“ X 8 ”高考成绩依地区进行中心化 建模过程中最初考虑的个体级别变量有性别 X 1 、年龄 X 2 、高考成绩依地区进行中心化 X 8 ，经过似然比检验，最终确定个体级别变量性别 X 1 、高考成绩依地区进行中心化 X 8 是显著的，纳入了我们的分层线性模型，从而得到最终用个体级别变量解释个体差异的分层线性模型如下： { Y i j = β 0 j + β 1 j X 2 + β 2 j X 8 + ε i j β 0 j = γ 00 + γ 01 X 6 j + u 0 j ⇒ Y i j = γ 00 + γ 01 X 6 j + β 1 j X 2 + β 2 j X 8 + u 0 j + ε i j { ε i j ~ N ( 0 ， σ 2 ) u 0 j ~ N ( 0 ， σ 00 2 ) 由模型建模结果可以得到，2个个体级别的变量(性别、高考成绩依地区进行中心化)对结局变量有显著影响，在控制了其他个体级别变量和省级别变量(地区教育投入 X 6 )后，女生的高数成绩较男生要更具规律性。另外，高考成绩对高数成绩更具有显著的正效应。年龄对结局测量则无统计显著效应。 该模型的截距估计值为 γ ^ 00 = 55.03 ，较先前模型的截距估计值小，这是因为它们分别代表了不同的结局均数估计。这里 γ ^ 00 代表的是当所有解释变量均取0值(即： X 1 = 0 、 X 6 = 0 、 X 8 = 0 )时模型的的结局总均数计值。也就是说，这里的 γ ^ 00 代表模型估计的在无教育投入地区( X 6 = 0 )具有平均高考成绩( X 8 = 0 )的男生( X 1 = 0 )的子样本平均高考成绩。在有教育投入地区的相应数字为 55.03 + 0.0109 ≈ 55.04 。 紧接着，我们来看模型在多大程度上解释结局测量在个体和省级别的变异。为了计算个体和省级别的解释方差，我们需要将现有模型与不含任何可解释性变异的空模型进行比较。 用Raudenbush & Bryk方法估计的模型个体和省级别解释方差 [ 2 ] 分别为： ( RB : 个 体 可 解 释 变 异 % ) = 1 − σ ^ 2 ( 设 定 模 型 ) σ ^ 2 ( 空 模 型 ) = 1 − 338.25 353.00 ≈ 0.0418 ( RB : 省 可 解 释 变 异 % ) = 1 − σ ^ 2 ( 设 定 模 型 ) σ ^ 2 ( 空 模 型 ) = 1 − 59.22 96.52 ≈ 0.3864 用Snijders & Bosker方法计的模型个体和省级别解释方差分别为： ( SB : 个 体 可 解 释 变 异 % ) = 1 − σ 水 平 1- 总 2 ( 设 定 模 型 ) σ 水 平 1- 总 2 ( 空 模 型 ) = 1 − 338.25 + 59.22 353.00 + 96.52 ≈ 0.1158 ( SB : 省 可 解 释 变 异 % ) = 1 − σ 水 平 2- 总 2 ( 设 定 模 型 ) σ 水 平 2- 总 2 ( 空 模 型 ) = 1 − 59.22 + 338.25 / 48 96.52 + 353.00 / 48 ≈ 0.3620 使用不同方法，可解释个体变异的比例不同，用Raudenbush & Bryk方法，仅有低于1%的个体变异可以被模型解释；而用Snijders & Bosker方法，则约有11.58%的个体变异可以被模型解释。看来Snijders & Bosker方法为个体变异的解释提供了更为合理的结果。至于可解释性省变异的比例，两张方法的结果基本相同。省解释方差在现有模型中为37.5%，而在仅带有省级别变量的模型(2)中仅为34.50%。这表明了将个体变量纳入模型后，不仅可以解释个体差异(个体残差方差 σ 2 从353.00减少到338.25)，而且可以解释省级别变异(省级别残差方差 σ u 0 2 从96.52减少到59.22)。说明个体解释变量既可以在个体水平，也可以在省水平上影响结局变异，因为它们的值可能既有组内变异，也有组间变异。 4) 模型4：个体解释变量斜率的随机性检验 { Y i j = β 0 j + β 1 j X 8 + β 2 j X 1 + ε i j ε i j ~ N ( 0 ， σ 2 ) β 0 j = γ 00 + γ 01 X 6 j + u 0 j u 0 j ~ N ( 0 ， σ 00 2 ) β 1 j = γ 11 + u 1 j u 1 j ~ N ( 0 ， σ 11 2 ) β 2 j = γ 21 + u 2 j u 2 j ~ N ( 0 ， σ 22 2 ) Y i j = γ 00 + γ 01 X 6 j + γ 11 X 8 + γ 21 X 1 + u 0 j + u 1 j X 8 + u 2 j X 1 + ε i j “ X 1 ”性别“ X 8 ”高考成绩依地区进行中心化 考虑到检验在边界问题得P值如表2所示。 高考数学成绩依地区进行中心化( X 8 )的P值显著小于0.05，说明高考数学成绩依地区进行中心化( X 8 )省与省之间有显著差异，即高考数学成绩依地区进行中心化( X 8 )回归系数是随机系数，说明高考成绩对 Table 2 P-Value of boundary verificatio 变量名 P值 高考数学成绩依地区进行中心化( X 8 ) 0.0057 性别( X 1 ) 0.5803 表2. 检验在边界P值表 高等数学的影响随省与省的变化而变化，性别( X 1 )不显著，无随机斜率，说明性别对高等数学的影响不随省与省的变化而变化。最终模型如下： { Y i j = β 0 j + β 1 j X 8 + β 2 j X 1 + ε i j ε i j ~ N ( 0 ， σ 2 ) β 0 j = γ 00 + γ 01 X 6 j + u 0 j u 0 j ~ N ( 0 ， σ 00 2 ) β 1 j = γ 11 + u 1 j u 1 j ~ N ( 0 ， σ 11 2 ) Y i j = γ 00 + γ 01 X 6 j + γ 11 X 8 + β 2 j X 1 + u 0 j + u 1 j X 8 + ε i j 5) 模型5：跨层交互作用的显著性检验 由于模型中既有省级别变量，又有个体变量，为了考虑这两个不同级别的变量之间是否存在交互作用，引入跨出交互作用的显著性检验 { Y i j = β 0 j + β 1 j X 8 + β 2 j X 1 + ε i j ε i j ~ N ( 0 ， σ 2 ) β 0 j = γ 00 + γ 01 X 6 j + u 0 j u 0 j ~ N ( 0 ， σ 00 2 ) β 1 j = γ 11 + γ 12 X 6 j + u 1 j u 1 j ~ N ( 0 ， σ 11 2 ) Y i j = γ 00 + γ 01 X 6 j + γ 11 X 8 + γ 12 X 6 j X 8 + β 2 j X 1 + u 0 j + u 1 j X 8 + ε i j 经过似然比检验，等到P值为0.90，故地区教育投入 X 6 与高考数学成绩依地区进行中心化 X 8 之间的交互作用统计不显著，表明个体水平解释变量 X 8 的效应并不受省级别变量 X 6 的影响，也就是说男生和女生在高等数学成绩上的差异与他们属于哪个省或直辖市并不相关，最终模型如下： { Y i j = β 0 j + β 1 j X 8 + β 2 X 1 + ε i j ε i j ~ N ( 0 ， σ 2 ) β 0 j = γ 00 + γ 01 X 6 j + u 0 j u 0 j ~ N ( 0 ， σ 00 2 ) β 1 j = γ 11 + u 1 j u 1 j ~ N ( 0 ， σ 11 2 ) Y i j = γ 00 + γ 01 X 6 j + γ 11 X 8 + β 2 X 1 + u 0 j + u 1 j X 8 + ε i j 固定效应系数估计如表3所示。 由检验结果显示，截距项为55.24，意味着男生在高考中数学成绩为该省的平均成绩，若他从未享受过该省的教育资源，则他高数成绩有55分；教育投入的回归系数为0.01，意味着其他变量保持不变时， Table 3 Estimation of fixed and random effect 固定效应 变量名 估计值 标准差 P值 截距项 55.24 3.36 <0.0001 教育投入 0.01 0.003 0.0017 高考数学 0.35 0.07 <0.0001 性别 6.79 1.24 <0.0001 随机效应 截距项 —— 7.99 —— 高考数学 —— 0.20 —— 残差离差：18.31。AIC：12，279.35 表3. 固定效应及随机效应估计表 某省每增加教育经费100万元时，则该省大学生在高数考试中可多得1分；由于性别变量为0~1 (男——0，女——1)虚拟变量，其回归系数为6.7，意味着平均意义下，其他条件控制不变时，女生的高等数学成绩比男生平均意义下高约6.79分；高考数学成绩的回归系数为0.35，意味着某学生高考数学每比该省数学平均分高10分，则其高数分数将多3分。同时，经过正态性检验，我们验证模型中 ε i j 、 u 0 j 、 u 1 j 服从正态分布的假设是成立的。