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user: 3. 主要结果的证明 引理3.1：设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 4 ) 和 ( f 1 ) - ( f 3 ) 成立，则对任意的 c > 0 ，泛函 I λ 满足 ( C ) c 条件。 证明：设 ( C ) c 序列 { u n } ⊂ W 0 1 ， Φ ( Ω ) ，满足 I λ ( u n ) → c ， n → ∞ ， (4) ‖ I ′ λ ( u n ) ‖ ∗ ( 1 + ‖ u n ‖ ) → 0 ， n → ∞ 。 (5) 由(4)、(5)可得 I λ ( u n ) + o ( 1 ) = c ，(6) 〈 I ′ λ ( u n ) ， v 〉 = o ( 1 ) 。 (7) 首先，证明序列 { u n } ⊂ W 0 1 ， Φ ( Ω ) 有界。事实上，如果 { u n } ⊂ W 0 1 ， Φ ( Ω ) 无界，则存在子序列(仍记为其本身)，使得 lim n → ∞ ‖ u n ‖ = ∞ ，且 ‖ u n ‖ > 1 ， ∀ n ∈ ℕ 。 令 w n : = u n ‖ u n ‖ ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ，则 { w n } ⊂ W 0 1 ， Φ ( Ω ) 且 ‖ w n ‖ = 1 ， ∀ n ∈ ℕ ，因此，存在子列(仍记为其本身)， w n ⇀ w (在 W 0 1 ， Φ ( Ω ) 中)， (8) w n → w (在 L q ( Ω ) 中)， (9) w n → w a . e .   x ∈ Ω 。 (10) 我们断言 w n → 0 a.e. x ∈ Ω 。事实上，令 Ω 0 = { x ∈ Ω | w ( x ) ≠ 0 } ，假设 m e a s ( Ω 0 ) > 0 ，那么，对给定的 x ∈ Ω 0 ，由(6)推得 | u n ( x ) | = | w n ( x ) | ‖ u n ( x ) ‖ → ∞ ， n → ∞ 。由 ( f 2 ) 可得 F ( x ， u n ) ‖ u n ‖ m = F ( x ， u n ) | u n | m | w n | m → ∞ ， n → ∞ ， 且存在 t 0 > 0 ，使得对任意的 x ∈ Ω ，当 | t | > t 0 > 0 时，有 F ( x ， t ) | t | m > 1 。 (11) 因为 F ( x ， t ) 在 Ω ¯ × [ − t 0 ， t 0 ] 上连续，所以存在 c 1 > 0 ，使得对任意的 ( x ， t ) ∈ Ω ¯ × [ − t 0 ， t 0 ] ，有 | F ( x ， t ) | ≤ c 1 。 (12) 因此，由(11)、(12)式知，存在 c 2 > 0 ，使得 F ( x ， t ) ≥ c 2 ， F ( x ， u n ) − c 2 ‖ u n ‖ m = F ( x ， u n ) − c 2 | u n | m | w n | m ≥ 0 。 根据(6)式，有 c + o ( 1 ) = I λ ( u n ) = ∫ Ω Φ ( | ∇ u n | ) d x − λ τ ∫ Ω | u n | τ d x − ∫ Ω F ( x ， u n ) d x 。 再结合引理2.2和 ‖ u n ‖ > 1 推得 lim _ n → ∞ ∫ Ω F ( x ， u n ) ‖ u n ‖ m d x = lim _ n → ∞ ∫ Ω Φ ( | ∇ u n | ) d x − λ τ ∫ Ω | u n | τ d x − ( c + o ( 1 ) ) ‖ u n ‖ m ≤ lim _ n → ∞ ∫ Ω Φ ( | ∇ u n | ) d x − ( c + o ( 1 ) ) ‖ u n ‖ m ≤ lim _ n → ∞ ‖ u n ‖ m − ( c + o ( 1 ) ) ‖ u n ‖ m 。 由Fatou引理，可得 ∞ = ∫ Ω 0 lim _ n → ∞ F ( x ， u n ) − c 2 ‖ u n ‖ m d x ≤ lim _ n → ∞ ∫ Ω 0 F ( x ， u n ) − c 2 ‖ u n ‖ m d x = lim _ n → ∞ ∫ Ω 0 F ( x ， u n ) ‖ u n ‖ m d x − lim ¯ n → ∞ c 2 ∫ Ω 0 1 ‖ u n ‖ m d x ≤ lim _ n → ∞ ∫ Ω F ( x ， u n ) ‖ u n ‖ m d x ≤ 1 ， 上式是一个矛盾的结论。故 w n → 0 a.e. x ∈ Ω 。 因为对任意的 n ∈ ℕ ，当 t ∈ [ 0 ， 1 ] 时， I λ ( t u n ) 连续，则存在 ，使得 I λ ( t n u n ) = max t ∈ [ 0 ， 1 ] I λ ( t u n ) 。 由(7)式知， 〈 I ′ λ ( t n u n ) ， t n u n 〉 → 0 ， n → ∞ 。 一方面，取序列 { s k } ，使得对任意的 k ∈ ℕ ，有 s k > 1 ，且 lim k → ∞ s k = ∞ ，则对任意的 k ， n ∈ ℕ ，有 ‖ s k w n ‖ = s k > 1 。 根据 ( f 1 ) 和(9)知， lim n → ∞ ∫ Ω F ( x ， s k w n ) d x ≤ c 3 lim n → ∞ ∫ Ω ( s k | w n | + s k q | w n | q ) d x = 0 ，那么， lim n → ∞ ∫ Ω F ( x ， s k w n ) d x = 0 。 由于 lim n → ∞ ‖ u n ‖ = ∞ ，所以当n足够大时，有 ‖ u n ‖ > s k ，即 0 < s k ‖ u n ‖ < 1 。 于是结合引理2.2， I λ ( t n u n ) = max t ∈ [ 0 ， 1 ] I λ ( t u n ) ≥ I λ ( s k ‖ u n ‖ u n ) = I λ ( s k w n ) = ∫ Ω Φ ( | ∇ s k w n | ) d x − λ τ ∫ Ω s k | w n | τ d x − ∫ Ω F ( x ， s k w n ) d x ≥ min { ‖ s k w n ‖ l ， ‖ s k w n ‖ m } − λ τ ∫ Ω s k | w n | τ d x − ∫ Ω F ( x ， s k w n ) d x ≥ 1 2 ‖ s k w n ‖ l = 1 2 s k l 。 (13) 令 ， θ ∈ ( τ l ， + ∞ ) ，则 I λ ( t n u n ) ≥ 1 2 ‖ u k ‖ l θ 。 另一方面，由条件 ( f 3 ) 、 ( ϕ 4 ) 和(4)、(7)式，当n充分大时，有 I λ ( t n u n ) = I λ ( t n u n ) − 1 m 〈 I ′ ( t n u n ) ， t n u n 〉 + o ( 1 ) = 1 m ∫ Ω Φ ¯ ( | t n u n | ) d x + 1 m ∫ Ω F ¯ ( t n u n ) d x + λ ( 1 m − 1 τ ) ∫ Ω | t n u n | τ d x + o ( 1 ) ≤ 1 m ∫ Ω ( Φ ¯ ( | ∇ u n | ) + μ 1 ) d x + 1 m ∫ Ω ( F ¯ ( x ， u n ) + μ 2 ) d x + o (1) = ( ∫ Ω Φ ( | ∇ u n | ) d x − ∫ Ω F ( x ， u n ) d x )         − 1 m ( ∫ Ω ϕ ( | ∇ u n | ) | ∇ u n | 2 d x − ∫ Ω f ( x ， u n ) u n d x ) + μ 1 + μ 2 m | Ω | + o ( 1 ) = I λ ( u n ) − 1 m 〈 I ′ λ ( u n ) ， u n 〉 + λ ( 1 τ − 1 m ) ∫ Ω | u n | τ d x + μ 1 + μ 2 m | Ω | + o ( 1 ) ≤ c + c 4 ‖ u n ‖ τ + μ 1 + μ 2 m | Ω | + o (1) 结合(13)式，有 1 2 ‖ u k ‖ l θ − c 4 ‖ u n ‖ τ ≤ c + μ 1 + μ 2 m + o ( 1 ) 。 因为 l θ > τ ，当 n ≥ n k ≥ k → ∞ 时，从上式可得 + ∞ ≤ c ¯ ，矛盾。故 { u n } 在 W 0 1 ， Φ ( Ω ) 中有界，则存在子列(仍记为其本身)，有 u n ⇀ u (在 W 0 1 ， Φ ( Ω ) 中)， (14) u n → u (在 L q ( Ω ) 中)， (15) u n → u a . e .   x ∈ Ω 。 (16) 取测试函数 v = u n − u 代入(7)式中，再结合(14)、(15)式、Hölder不等式和Sobolev嵌入定理，可得 ∫ Ω ϕ ( | ∇ u n | ) ∇ u n ∇ ( u n − u ) d x = λ ∫ Ω | u n | τ − 2 u n ( u n − u ) d x + ∫ Ω f ( x ， u n ) ( u n − u ) d x + o ( 1 ) ≤ λ ‖ u n ‖ L τ ( Ω ) τ − 1 ‖ u n − u ‖ L τ ( Ω ) + c 5 ‖ u n ‖ L q ( Ω ) q − 1 ‖ u n − u ‖ L q ( Ω ) + c 6 ‖ u n − u ‖ L 1 ( Ω ) + o ( 1 ) → 0， n → ∞ 。 于是得到 lim sup n → ∞ 〈 − Δ Φ u n ， u n − u 〉 ≤ 0 。 (17) 又 − Δ Φ 算子满足 ( S + ) 型条件。因此，由引理2.4、(14)和(17)式，推得在 W 0 1 ， Φ ( Ω ) 中， 。证毕。 引理3.2 若 m < q < l ∗ ，则下式成立 α k : = sup { ‖ u ‖ L q ( Ω ) : ‖ u ‖ = 1 ， u ∈ Z k } → 0 ， k → ∞ 。 证明：显然，对任意的 k ∈ ℕ ，有 0 < α k + 1 ≤ α k ，则当 k → ∞ 时，。 令 u k ∈ Z k ，使得 ‖ u k ‖ = 1 ，且 0 ≤ α k − ‖ u k ‖ L q ( Ω ) < 1 k 。由此， { u k } 存在子列(仍记为其本身)，使得在 W 0 1 ， Φ ( Ω ) 中 u n ⇀ u ，且 〈 e j ∗ ， u 〉 = lim k → ∞ 〈 e j ∗ ， u k 〉 = 0 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ 。 由于 Z k 是 W 0 1 ， Φ ( Ω ) 的闭集，那么对任意的 k ∈ ℕ ， u ∈ Z k ，可推得在 W 0 1 ， Φ ( Ω ) 中 u n ⇀ 0 。又由 是紧的，则在 L q ( Ω ) 中 u n → 0 。故 lim k → ∞ α k = 0 。证毕。 引理3.3 在 ( f 1 ) 和 ( f 2 ) 假设下，对任意的 k ∈ ℕ ，存在 ρ k > r k > 0 ，使得 i) a k : = inf u ∈ Z k ， ‖ u ‖ = r k I λ ( u ) → + ∞ ， k → ∞ ； ii) b k : = max u ∈ Y k ， ‖ u ‖ = ρ k I λ ( u ) ≤ 0 。 证明：i) 对任意的 u ∈ Z k ，当 ‖ u ‖ > 1 时，由引理2.2和 ( f 1 ) ，有 I λ ( u ) = ∫ Ω Φ ( | ∇ u | ) d x − λ τ ∫ Ω | u | τ d x − ∫ Ω F ( x ， u ) d x ≥ min { ‖ u ‖ l ， ‖ u ‖ m } − λ τ ∫ Ω | u | τ d x − c 6 ∫ Ω ( | u | + | u | q ) d x ≥ ‖ u ‖ l − λ τ ‖ u ‖ τ − c 7 α k q ‖ u ‖ q − c 8 ‖ u ‖ ， 其中 α k : = sup { ‖ u ‖ L q ( Ω ) : ‖ u ‖ = 1 ， u ∈ Z k } 。取 ‖ u ‖ = r k = ( 2 c 7 α k q ) 1 l − q ，则 I λ ( u ) ≥ ( 2 c 7 α k q ) l l − q − λ τ r k τ − c 7 α k q ( 2 c 7 α k q ) q l − q − c 9 r k = 1 2 ( 2 c 7 α k q ) l l − q − λ τ r k τ − c 9 r k = 1 2 r k l − λ τ r k τ − c 9 r k 。 由引理3.2知， lim k → ∞ α k = 0 ，又 q > l > τ > 1 ，因此， lim k → ∞ r k = + ∞ 。故 lim k → ∞ a k : = inf u ∈ Z k ， ‖ u ‖ = r k I λ ( u ) = + ∞ 。 证毕。 ii) 根据 ( f 2 ) ，对任意的 M > 0 ，存在 C M > 0 (依赖于M)，使得 F ( x ， s ) ≥ M | s | m − C M ， ∀ ( x ， s ) ∈ Ω × ℝ 。 取 h ∈ Y k ，且 ‖ h ‖ = 1 ， t > 1 ，则 I λ ( t h ) = ∫ Ω Φ ( | ∇ t h | ) d x − λ τ ∫ Ω | t h | τ d x − ∫ Ω F ( x ， t h ) d x ≤ max { t l ‖ h ‖ l ， t m ‖ h ‖ m } − λ τ ∫ Ω | t h | τ d x − M ∫ Ω | t h | m d x + C M | Ω | ≤ t m ( ‖ h ‖ m − M ‖ h ‖ L m ( Ω ) m ) + C M | Ω | 。 当M充分大时， ‖ h ‖ m < M ‖ h ‖ L m ( Ω ) m 。因此， lim t → ∞ I λ ( t h ) = − ∞ 。于是，存在足够大的 t ¯ > r k > 1 ，使得 I λ ( t ¯ h ) ≤ 0 。 取 ρ k = t ¯ ，则 b k : = max u ∈ Y k ， ‖ u ‖ = ρ k I λ ( u ) ≤ 0 。证毕。 定理1.1的证明：首先，由引理3.1和引理3.3知泛函 I λ 满足喷泉定理的(i)-(iii)假设；再由 ( f 4 ) 知 I λ 为偶泛函。因此，应用喷泉定理，推得在 W 0 1 ， Φ ( Ω ) 中临界点序列 { u k } 满足 I λ ( u k ) → ∞ ， k → ∞ 。证毕。