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user: 3. 模型的建立 在建立数学模型之前，本文首先做出如下假设： 假设1：忽略衣服褶皱，将织物层视为多层平行材料； 假设2：假设各层材料质地均匀，且保持各向同性，本文选定热量从外界环境垂直于皮肤表面进行传递； 图1. 模型抽象示意图 假设3：系统传热过程忽略水汽、汗液的影响 [ 1 ] ； 假设4：假设每层材料介质的热传导率在各个方向相同。 其次，对一类三织物材料层的作业服抽象为一维模型，见图1。将一名身着高温作业服的工作人员抽象化为一个多均匀质地层的圆柱体，在空间上，高温作业服和人体是三维的。但对于本传热问题，基于模型假设2且无其他不均匀热源及传热过程，因而可将三维模型简化为一维传热模型，仅研究热量由作业服外层到皮肤表面的传热过程，并建立坐标系。 3.1. “模型一”的建立 对于热传导、热辐射、热对流三种基本传热方式，由表1可获知空气层厚度最大为6.4 mm (<8 mm)，间隙太小无法形成对流运动，这时空气层以热传导为主 [ 2 ] 。由于作业服第I层织物材料阻挡了大部分外界高温环境的辐射传热，因此在I至III层织物材料中的传热过程可以忽略热辐射 [ 1 ] 。作业服的温度不会超过外界温度，此时辐射传递的热量较对流和传导的热量小，在考虑第IV层的传热方式中可以忽略热辐射 [ 3 ] 。人体皮肤下毛细血管中存在大量流动的血液，所以在空气层与人体皮肤的交界 τ 4 以热对流为主 [ 1 ] [ 2 ] 。根据上述对每一层织物材料(包括空气层和交界面)传热方式的分析(见表2)，本文所需要建立的作业服传热模型为一维分段常系数热传导方程，在热扩散系数为间断点处添加交界条件使温度分布函数 u ( x ， t ) 连续。 Table 2 Main heat transfer mode of fabric material and air laye 材料层及交界面 主要考虑传热方式 I、II、III、IV层织物材料内部 热传导 第i与i + 1层织物材料交界处 τ i ( i + 1 ) ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 热传导 I层材料与高温环境的外边界 τ 01 对流换热 IV层空气层与人体皮肤的交界 τ 4 对流换热 表2. 织物材料与空气层的主要传热方式 图2. 细杆示意图 设温度分布函数 u ( x ， t ) 关于时间t有一阶连续的导数，关于空间x有二阶连续的导数，在推导一维非稳态热传导方程之前，本文选择了一个单一介质、质地均匀的细杆(见图2)作为研究对象，考虑其热量传播过程。根据热量计算公式 Δ Q = c m Δ u ， 其中c为细杆的比热容，m为体积微元的质量， Δ u 为温度变化，在温度场 u ( x ， t ) 中，时间间隔 Δ t 内，体积微元 Δ V (长度微元为 Δ x )吸收的热量为 Δ Q = c ρ S Δ x ( u ( x ， t + Δ t ) − u ( x ， t ) ) ， 当 Δ t → 0 + 时， Δ Q = c ρ S Δ x ∂ u ∂ t ( x ， t ) Δ t .(1) 根据Fourier实验定律可知，当物质内外存在温度差时，热量从高温侧流向低温侧，时间间隔 内，流过一个面积为 的截面的热量与截面外法线方向的温度变化成正比 [ 4 ] ，即 Δ Q = − λ ∂ u ∂ e n ( x ， t ) S Δ t ， 其中 e n 为截面的单位外法向量， λ 为细杆在x处的热传导系数，负号表示热量从温度高的一侧流向温度低的一侧。参照假设2，本文研究的一维热传导问题中 ∂ u ∂ e n = ∂ u ∂ x ，由此可知热流密度(单位时间流过单位面积的热量)为 . (2) 结合上述分析，可以得出以下两条结论： 其一，在时间间隔 Δ t 内，细杆x处流入的热量为 Q i n = − λ ∂ u ∂ x ( x ， t ) S Δ t ; (3) 其二，在时间间隔 Δ t 内，细杆 x + Δ x 处流出的热量为 Q o u t = − λ ∂ u ∂ x ( x + Δ x ， t ) S Δ t . (4) 由(3)式与(4)式可得 Δ Q = Q i n − Q o u t = − λ ( ∂ u ∂ x ( x ， t ) − ∂ u ∂ x ( x + Δ x ， t ) ) S Δ t . (5) 根据能量守恒定律，联立(1)式和(5)式可得 c ρ   Δ x ∂ u ∂ t ( x ， t ) = λ ( ∂ u ∂ x ( x + Δ x ， t ) − ∂ u ∂ x ( x ， t ) ) ， 移项后有 ∂ u ∂ t ( x ， t ) = λ c ρ ( ∂ u ∂ x ( x + Δ x ， t ) − ∂ u ∂ x ( x ， t ) ) Δ x ≜ a ( ∂ u ∂ x ( x + Δ x ， t ) − ∂ u ∂ x ( x ， t ) ) Δ x ， 其中a称为热扩散率，当 Δ x → 0 + 时 ∂ u ∂ t ( x ， t ) = a ∂ 2 u ∂ x 2 ( x ， t ) . 本文的研究对象为3层织物材料的隔热服，其一维热传导方程具体为 ∂ u ∂ t = a i ∂ 2 u ∂ x 2 ， ( x ， t ) ∈ ( X i ， X i + 1 ) × ( 0 ， T ] ， a i = λ i c i Δ ρ i ( i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) ， 其中 λ i ， c i ， ρ i 分别为第i层织物材料的热传导率、比热和密度，T为总时长。根据表2给出的各层传热分析，对方程做出如下限定条件： (A1)初始条件：假设进入高温环境时，人体与作业服已达到稳定状态，作业服温度分布的初始值为假人温度37℃，即 u ( x ， 0 ) = 37 ( x ∈ [ X 1 ， X 5 ] ) 。 (A2)边界条件：牛顿冷却定律表明，当物体表面与周围存在温度差时，单位时间从单位面积散失的热量与温度差成正比 [ 5 ] 。在传热系统左边界 x = X 1 和右边界 x = X 5 分别应用之，结合式(2)得到两个第三类边界条件，即 − λ 1 ∂ u ∂ x ( X 1 ， t ) = h 1 ( u e n v − u ( X 1 ， t ) ) ， λ 4 ∂ u ∂ x ( X 5 ， t ) = h 2 ( u ( X 5 ， t ) − 37 ) ， 其中 u e n v 为外界高温环境温度， h 1 与 h 2 为对流换热系数。 (A3)交界条件：假设材料间接触良好，忽略接触热阻，在交界面上温度与热流密度连续，结合式(2)，可得 { u ( X i − 0 ， t ) = u ( X i + 0 ， t ) λ i ∂ u ∂ x ( X i + 1 − 0 ， t ) = λ i + 1 ∂ u ∂ x ( X i + 1 + 0 ， t ) ， i = 1 ， 2 ， 3 . 综合上述的讨论，本文建立“一维非稳态作业服传热模型”，即 { ∂ u ∂ t = a i ∂ 2 u ∂ x 2 ， ( x ， t ) ∈ ( X i ， X i + 1 ) × ( 0 ， T ) ， a i = λ i c i Δ ρ i ( i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) ( 初 值 条 件 ) u ( x ， 0 ) = 37 ( x ∈ [ X 1 ， X 5 ] ) ( 边 界 条 件 ) { − λ 1 ∂ u ∂ x ( X 1 ， t ) = h 1 ( u e n v − u ( X 1 ， t ) ) λ 4 ∂ u ∂ x ( X 5 ， t ) = h 2 ( u ( X 5 ， t ) − 37 ) ( 交 界 条 件 ) { u ( X i − 0 ， t ) = u ( X i + 0 ， t ) λ i ∂ u ∂ x ( X i + 1 − 0 ， t ) = λ i + 1 ∂ u ∂ x ( X i + 1 + 0 ， t ) ( i = 1 ， 2 ， 3 ) . 3.2. “模型二”、“模型三”的建立 在n层织物材料厚度未知的情况下，不妨设每一层织物材料的厚度为 d i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ，记空气层厚度为 d n + 1 ，根据表1所给数据可知，作业服的部分织物材料层厚度是固定的，为此构造示性函数 δ j = { 0 ， j ∉ A 1 ， j ∈ A ， 其中A为指标集，对于 ∀ j ∈ A ，织物材料层厚度 d j 是可变的。在构建目标函数时，可以只考虑集合 中的层指标，构建刻画生产高温作业服所需成本的目标函数 v ( d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d n + 1 ) 为 v = p 1 δ 1 d 1 + p 2 δ 2 d 2 + ⋯ + p n δ n d n ， 其中 p j 为第j层织物材料的单价(元/mm)且 p j > 0 ；构建刻画高温作业服重量大小的目标函数 w ( d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d n + 1 ) 为 w = ρ 1 δ 1 d 1 + ρ 2 δ 2 d 2 + ⋯ + ρ n δ n d n + ρ n + 1 δ n + 1 d n + 1 ， 其中 ρ i 为第i织物材料层的密度；构建刻画高温作业服薄厚程度的目标函数 h ( d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d n + 1 ) 为 h = δ 1 d 1 + δ 2 d 2 + ⋯ + δ n d n + δ n + 1 d n + 1 . 本文研究的问题2与问题3中，指标集A是不同的，表3中对具体问题进行具体分析。 Table 3 Objective function of establishing multi-objective programming mode 指标集A 目标函数v 目标函数w 目标函数h 问题2 { 2 } v = p 2 d 2 w = ρ 2 d 2 h = d 2 问题3 { 2 ， 4 } v = p 2 d 2 w = ρ 2 d 2 + ρ 4 d 4 h = d 2 + d 4 表3. 建立多目标规划模型的目标函数 根据表3，建立“模型二”如下 min p 2 d 2 min ρ 2 d 2 min d 2 s . t . { u ( X 5 ， 3600 ) ≤ 47 u ( X 5 ， 3300 ) ≤ 44 0.6 ≤ d 2 ≤ 25 ⇔ min d 2 s . t . { u ( X 5 ， 3600 ) ≤ 47 u ( X 5 ， 3300 ) ≤ 44 0.6 ≤ d 2 ≤ 25 同理建立“模型三”如下 min p 2 d 2 min ρ 2 d 2 + ρ 4 d 4 min d 2 + d 4 s . t .   { u ( X 5 ， 3600 ) ≤ 47 u ( X 5 ， 3300 ) ≤ 44 0.6 ≤ d 2 ≤ 25 0.6 ≤ d 4 ≤ 6.4 ⇔ min d 2 min ρ 2 d 2 + ρ 4 d 4 min d 2 + d 4 s . t .   { u ( X 5 ， 3600 ) ≤ 47 u ( X 5 ， 3300 ) ≤ 44 0.6 ≤ d 2 ≤ 25 0.6 ≤ d 4 ≤ 6.4