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user: 3. 基于偏最小二乘回归的养老床位需求实证分析 3.1. 偏最小二乘回归原理 假设养老床位数和各指标均已经按照式(1)(2)进行标准化，将结果记为式(3)。 将y对每个指标 x i 单独进行回归，即： y ^ ( x i ) = x i T y x i T x i x i ，   x i = ( x 1 i ⋮ x n i ) ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， p (5) 其中 x i 表示资料向量， x i 表示影响养老床位数的指标。 取权 w i = x i T x i ，令 t 1 = ∑ i = 1 p w i x i T y x i T x i x i = ∑ i = 1 p ( x i T y ) x i ，则得到n个资料为 t 1 = ∑ i = 1 p ( x i T y ) x i 。现在令 t 1 为自变量，让y与 t 1 建立回归方程，即 y ^ ( t 1 ) = t i T y t i T x i t i (6) 得到y的预测向量 y ^ ( t i ) ，表达式为： y ^ ( t 1 ) = t i T y t i T x i t i (7) 将残差表示为 y ( 1 ) = y − y ^ ( t 1 ) 。同样，让每个自变量 x i 对 t 1 进行回归，得到回归方程，即： x ^ i ( t 1 ) = t 1 T x i t 1 T t 1 t 1 ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， p (8) 利用上式，得到预测值，即： x ^ i ( t 1 ) = t 1 T x i t 1 T t 1 t 1 ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， p (9) 将残差表示为 x i ( 1 ) = x i − x ^ i ( t 1 ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， p 。 再将 y ( 1 ) ， x 1 ( 1 ) ， ⋯ ， x p ( 1 ) 作为新的原始资料，重复操作，逐步求得 t 1 ， t 2 ， ⋯ ， t r ，其中 r = r a n k ( X T X ) 。最后利用y对 t 2 ， t 3 ， ⋯ ， t r 使用普通最小二乘法进行回归，得到回归方程，即： y = ∑ i = 1 r α i t i (10) 进行变量转换，得到y关于 x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x p 的回归方程，即： y = ∑ i = 1 r α i ( ∑ j = 1 p ( ( x j ( r − 1 ) ) T y ( r − 1 ) ) x j ) = ∑ i = 1 r β i x j (11) 事实上，上式得到的是标准化后的养老床位数与各指标变量的回归方程，经过坐标变换： y = y ˜ − y ˜ ¯ s y ˜ ， x i = x ˜ i − x ˜ ¯ i s x ˜ i ， ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， p ) (12) 其中： y ˜ ¯ ， s y ˜ 分别表示各类养老床位数样本均值和标准差； x ˜ ¯ i ， s x ˜ i 表示各指标均值和标准差。 则得到未经过标准化的养老床位数 y ˜ 和各指标 x ˜ 1 ， x ˜ 2 ， ⋯ ， x ˜ p 的回归方程，即 y ˜ = ∑ i = 1 p β ˜ i x ˜ j (13) 3.2. 模型参数的选择 3.2.1. 模型参数选择原理 采用留一交叉验证法，将全部数据集中的一个元素作为验证集，其余部分作为训练集。通过训练集拟合得到一个偏最小二乘模型，再将测试集中的数据代入拟合模型中，计算预测值误差平方和以及所有样本的预测值误差平方和称为PRESS，即 PRESS i = ∑ ( y i − y ^ i ) 2 (14) PRESS = ∑ i = 1 g PRESS i (15) 3.2.2. 结果分析 根据表4，我们可以知道：当选取主成分个数为3时，对应的PRESS值(残差值)为0.1328；当选取主成分个数为4时，对应的PRESS值为0.06283，可以知道此时PRESS值迅速减小；当主成分个数为5时，对应PRESS值为0.08534，相对于四个主成分时，无较大变化。且当选取四个主成分时，此时PRESS总和最小。当选取4个主成分时，4个主成分对于因变量的累计贡献率为99.97%，对于因变量的累计贡献率为9.93%，即4个成分对各变量的累计贡献率均大于99%，因此我们最终选取4个主成分用于回归。 Table 4 Leave a cross validation resul (Intercept) 1 comps 2 comps 3 comps 4comps 5comps 6comps 7comps 8comps CV 1.054 0.3171 0.1964 0.1328 0.06283 0.08534 0.09093 0.09275 0.09069 adjCV 1.054 0.3127 0.1910 0.1268 0.06094 0.08148 0.08672 0.08815 0.08607 TRAINING: % variance explained 1 comps 2 comps 3 comps 4 comps 5 comps 6 comps 7comps 8comps x 98.44 99.27 9982 99.97 99.98 99.99 99.99 100 y 93.97 99.89 99.85 99.93 99.98 99.99 100 100 表4. 留一交叉验证结果 下面将利用均方根图，从直观角度进行说明。当主成分个数从1变化到8时，均方根误差图如图1。根据均方根误差图，我们可以得知：当选定主成分的个数为4时，此时均方根误差较小，说明上面建模过程中选取4个主成分是合理的。 图1. 主成分个数为1~8时偏最小二乘回归相应的均方根误差图 3.3. 偏最小二乘回归结果 根据Helland算法 [ 13 ]，我们得到已经过标准化的因变量y与主成分 t 1 ， t 2 ， t 3 ， t 4 的回归方程，再带回各主成分对已经过标准化的自变量X的回归方程，经过坐标变换，即式(12)，最终得到因变量y与自变量X的回归方程。需要注意的是，得到的回归方程中，从直观上各指标前的系数可能存在与经验相违背的情况，这是由于实际变量之间具有重叠关系，相应自变量对因变量的影响可能通过其他变量已经表达出来。 3.4. 显著性检验 3.4.1. 回归系数显著性检验 对于模型参数的检验原理为：对于回归参数 β ，原假设为 β = 0 ，在原假设成立的条件下，统计量 T = β ^ σ ^ c ~ t ( n − p − 1 ) ，其中：p指标个数，c为 c = ( X T X ) − 1 对角线上的元素。在给定的显著性水平 α 下，当 | T | ≥ t α / 2 ( n − p − 1 ) 时，拒绝原假设，认为回归参数显著。对回归参数进行假设检验，结果如表5所示。根据表5，我们可以看到各类养老床位合计主要与社区服务机构数、离退人员参加养老保险人数、医疗保险支出显著相关。这说明，在进行预测养老床位时，要充分考虑相应地区的养老机构数、可能选择养老机构的老人总数以及养老机构的医疗卫生条件等。 Table 5 Partial least squares significance test tabl 指标 估计 标准误 DF t值 Pr(>|t|) 相关性 NCSA 0.701391 0.124035 9 5.6548 0.0003117 极其显著 NRPIEI 0.265439 0.049384 9 5.3749 0.0004475 极其显著 MIE −0.476433 0.123760 9 −3.8497 0.0039084 非常显著 OSR 0.1427606 0.0870465 9 1.6401 0.1619190 比较显著 ABBEI −0.130237 0.048107 9 −2.7072 0.0241059 比较显著 UPDI 0.099480 0.035409 9 2.8095 0.0203947 比较显著 GDP −0.098985 0.046287 9 −2.1385 0.0611670 显著 MGDP −0.098513 0.047132 9 −2.0902 0.0661658 显著 表5. 偏最小二乘显著性检验表 3.4.2. 回归方程显著性检验 对于模型参数的检验原理为：对于所有的回归参数 β 1 ， β 2 ， ⋯ ， β p ，原假设为 β 1 = β 2 = ⋯ = β p = 0 ，在原假设成立的条件下，统计量 F = SSR SSE / ( n − p − 1 ) ~ F ( p ， n − p − 1 ) ，其中：p指标个数，SSR为回归平方和，SSE为残差平方和。在给定的显著性水平 α 下，当 F ≥ F α ( p ， n − p − 1 ) 时，拒绝原假设，认为回归方程显著。