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user: 2. 精子研究的数值建模方法 精子游动的雷诺数Re为0.01左右 [ 36 ]，粘性力远大于惯性力，N-S方程中对流项可被忽略使方程线性化为Stokes方程，这种微尺度低雷诺数游动通常以求解Stokes方程来求解流体流动。本节针对当前精子CFD研究领域使用的流场求解方法及精子建模方法进行简要概述，并讨论其各自优缺点及所能解决的相应问题。 2.1. 精子研究的流场求解方法 2.1.1. 有限元法 有限元法是一种求解偏微分方程近似解的纯数值方法。其将问题区域分解为相互连接的小子域，然后将子域上的简单方程联系起来使用近似解去推导求解域满足的条件，最终得到问题的解。有限元法可用于研究精子鞭毛摆动的稳定性 [ 37 ]、头部形状对游动影响 [ 38 ] 等问题，相应的还有COMSOL有限元软件研究精子与圆形细胞在通道中分离状况的例子 [ 39 ]。有限元法应用领域较广，由于其有比较成熟的建模软件可以使用，所以在精子研究时建模方便简单易操作。但其适用于精度要求不高、精子数量少、计算量不高的场合，对于无限域内建模及多精子模拟不是很理想，且精度限制了精子游动中的力学机理的研究分析，所以目前有限元法在精子游动模拟中不是特别广泛。近年来有限元法多与实际工程问题结合，探究宏观运动规律、参数特性等，如有学者对声波驱动的精子机器人建模研究，从而参考模拟结果设计材料、声场等参数 [ 40 ]。 2.1.2. 边界元法 Youngren等提出了一种新的“边界积分方程”方法既解决了流场中形状不规则的stokes流问题，又解决了有限元等纯数值解法难以处理较大区域(如半无限域)计算量问题 [ 41 ]，以stokes流积分方程的解为基础的方法大多可以称为边界元法。近年来许多精子CFD研究应用了边界元法，如研究精子近壁游动规律 [ 21 ] [ 23 ] [ 25 ] [ 26 ]、趋流性 [ 30 ]、游动效率与流体粘弹性关系 [ 34 ] 等。不同于有限元法在整个连续区域内划分单元，边界元法仅需将求解区域边界离散划分为单元，并用微分算子解析解作为边界上积分方程的核函数，所以称为半数值半解析方法。相较于有限元法，离散方便、精度高、便于处理无限域等优点，使得边界元法成为近年来精子CFD研究多喜欢采用的方法，多用于研究单精子的水动力学特征。但其也有许多不足，如需要计算相当数量的奇异积分、应用领域不如有限元广、计算量依然很大难以大规模计算等。 2.1.3. 格子玻尔兹曼方法 有限元、边界元等传统方法是计算流体宏观物理量(质量、动量、能量等)的宏观连续性方法。而格子玻尔兹曼方法(Lattice Boltzmann Method， LBM)作为一种介于微观粒子与宏观参量之间的数值模拟方法，其将微观粒子运动的统计平均结果来描述流体运动，避免了直接求解复杂的N-S方程，流体的宏观参量也可由微观粒子统计平均值得到，目前已有研究采用这种方法模拟纤毛细丝在流场中运动 [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ]。相较于有限元、边界元等传统方法，LBM能够避免网格划分复杂性建立简易网格，结合浸入边界法可以更好地处理流固耦合中的细节问题。低雷诺数下微流场的模拟方面LBM有着巨大优势，能够深入揭示水动力学机理，如Liu等详细分析了精子的近壁面吸引力产生的水动力学机理 [ 22 ]。LBM目前在流体力学等领域得到了广泛关注，具有算法简单易懂、编程容易、可大规模并行式计算等优点。目前对于较低雷诺数下的精子游动模拟有着天然优势与适用性，但对于高马赫数、高雷诺数的气动力学仍然较难使用。 2.1.4. 多粒子碰撞动力学 以上有限元等方法属于有网格方法，均是基于一套已经预设好的网格来划分流场。而多粒子碰撞动力学(Multi particle collision， MPC)属于一种无网格方法，将流体建模为一组任意分布粒子而不再预设一套网格系统，通过粒子间碰撞迁移模拟流体运动，在处理复杂边界作用结构时有很大优势 [ 45 ]。鉴于这种优势，Elgeti等得以研究多精子绑定聚集时复杂的多鞭毛边界相互作用，能够很好地揭示其中的水动力学机理 [ 46 ]，其之后又探究了三维情况下精子近壁吸引现象 [ 19 ] 及精子在直角通道转向时壁面吸引机理 [ 47 ]。MPC方法有些类似于LBM同样包含粒子迁移与碰撞的计算步骤，相较于LBM不需要划分网格，能够更好地处理不规则复杂边界。但是诸如MPC等基于粒子的无网格方法，其需要大量的粒子来保证模拟的求解精度与结构的精细度，这无疑大大增加了计算量与成本。目前其在精子研究方面无法满足更多精子的计算模拟，但未来计算集群算力提高、程序并行化优化更好的情况下，MPC等无网格方法将在计算流体领域有更好前景，其应用于精子研究也成为可能。 2.2. 精子建模中的流固耦合问题 目前在精子模型的构建方面，通常将精子视为一根连续分布离散点连接构成的摆动细丝，指定各点之间相对运动规律来产生鞭毛波动效果，处理这种波动与流体的相互作用的方法，称之为流固耦合。常见的流固耦合方法有阻力理论(Resistive Force Theory， RFT)，斯托克斯子方程(Stokeslet)与浸入边界法(Immersed Boundary Method， IBM)。 浸入边界法(Immersed Boundary， IB)最早于1972年提出并用于模拟血液在可收缩心脏瓣膜中的运动 [ 48 ]。这种方法将浸没在流体中的复杂边界看作以拉格朗日网格表示的无质量边界，将其上每个点的力模化为体积力，以正则化的插值函数实现流体与边界的相互作用。目前已有研究应用该方法模拟精子游动 [ 22 ] [ 24 ] [ 49 ]，由于IB能够很好处理复杂边界，所以能很好地研究精子游动的力学机理、多精子问题，是较新、可行性较高的方法。并且其具有计算效率高的优势，在精子三维模拟、可压缩流体及非牛顿流体模拟方面，未来将有着十足的发展空间，而提高收敛性与稳定性也是IB需要解决的问题。阻力理论(RFT)通过计算固体微元和本地流体微元同向运动速度之差，然后加权得到流体对本微元的粘性阻力，是由细长体理论发展而来的代数近似方法 [ 38 ]。使用RFT可以研究剪切流中 [ 50 ] 与壁面附近运动规律 [ 26 ]、精子转向机制关系等 [ 51 ]，但其将精子当作鞭毛与头部的线性叠加，所以RFT多适用于研究鞭毛自身特性机理及头尾相互耦合作用可以忽略的精子游动 [ 52 ] [ 53 ] [ 54 ]。也正是因为这种相互作用的忽略，使得RFT并不能完美、准确地探究精子力学机理，如其将粘性力作用简化为当地速度处理，无法具体分析许多现象的力学本质。此外，当前RFT仅限于模拟二维情况下鞭毛波动，无法对三维情况下螺旋形摆动进行建模分析 [ 38 ]，所以泛化性与发展前景较差。对于正则化斯托克斯子方法(RSM)，公式(1)表示stokes流场在精子表面附近的边界积分方程，在处理细长鞭毛时可以忽略后一项的双层积分，只保留前一项单层积分。RSM将中心节点力平滑到表面导出压力速度表达式，再引入截止函数对当地流体速度正则化来解决 J ( x ，   y ) 导致的积分奇异性问题 [ 55 ]。 V ( x ) = − 1 8 π μ ∫ J ( x ，   y ) ⋅ q ( y ) d s ( y ) + 1 8 π ∫ v ( y ) ⋅ T ( x ，   y ) ⋅ n ( y ) d s ( y ) (1) 此方法大多与边界元法结合，且其可以很好地适用于高粘度微流动环境下的柔性边界，故在精子研究方面也有许多应用，尤其在无界流场中的精子游动，如研究精子游动速度与效率 [ 36 ]、建立趋化因子耦合模型研究趋化性 [ 28 ] [ 29 ]、精子趋流性 [ 31 ] 等。相较于RFT方法，RSM能处理头尾相互耦合作用，且可以用于三维鞭毛螺旋摆动的建模，未来也有望与更多的流场建模方法结合来应用于精子研究。