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user: 2. 研究方法 先采用偏相关排除混杂因素影响，初步验证相互间的关系，再以信息论为基础的特征指标，分析得出变量关系的详细时空变化特征。 2.1. 偏相关分析 当变量y同时与变量x 1 、x 2 相关，可采用偏相关法剔除变量x 1 的影响，只分析y和x 2 的相关关系，被剔除的变量为控制变量。在包含3个自变量x 1 、x 2 、x 3 和1个因变量y的系统中，偏相关系数的计算公式如下： r x 1 y = ∑ i = 1 n [ ( x i − x ¯ ) ( y i − y ¯ ) ] ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 2 ∑ i = 1 n ( y i − y ¯ ) 2 (1) r x 1 y ⋅ x 2 = r x 1 y − r x 1 x 2 r x 2 y ( 1 − r x 1 x 2 2 ) ( 1 − r x 2 y 2 ) (2) r x 1 y ⋅ x 2 x 3 = r x 1 y ⋅ x 2 − r x 1 x 3 . x 2 r y x 3 . x 2 ( 1 − r x 1 x 3 . x 2 2 ) ( 1 − r y x 3 . x 2 2 ) (3) 式中：x i 、y i ( i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n )是第i个数据中的x、y值， x ¯ 、 y ¯ 是 x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n 和 y 2 ， y 2 ， ⋯ ， y n 的均值；r表示变量间的相关关系，如 r x 1 y 表示变量y和x 1 的Pearson相关系数； r x 1 y ⋅ x 2 表示在控制变量x 2 时，变量y和x 1 的一阶偏相关系数； r x 1 y ⋅ x 2 x 3 是控制变量为x 2 、x 3 时，变量y和x 1 的二阶偏相关系数。 2.2. 转移熵方法 与模型模拟方法相比，信息论不受物理过程参数化和数据时空分辨率的影响；与现有统计方法相比，转移熵采用非参数估计的概率密度来描述，而不仅仅是数值的大小 [ 18 ]，可不带假设条件地衡量传统相关性指标等不能反映的非线性关系，从信息论的视角认识水文过程 [ 13 ] [ 14 ]。 2.2.1. 数据预处理 1) 归一化 每个时间序列变量x按下式将标准值映射至(0， 1)： x Norm = x − x min x max − x min (4) 式中： x max 和 x min 是样本数据的最大值和最小值，x和 x Norm 是标准值和映射结果值。 2) 零值效应 若变量x、y有大量零值，二维概率密度函数按下式计算： { p ( x i ， y i ) = p                                                   if   i = 1 ， j = 1 p ( x i ， y i ) = p x 0 f x 0 ( x i ) h i                     if   i > 1 ， j = 1 p ( x i ， y j ) = p 0 y f 0 y ( y j ) h j                 if   i = 1 ， j > 1 p ( x i ， y i ) = p x y f x y ( x i ， y j ) h i h j       if     i > 1 ， j > 1 (5) 式中： f x 0 ( x i ) 和 f 0 y ( y j ) 是边缘概率密度函数， p x x 是直接计数得到的各类数据点所占的比例。 3) 巴特沃斯高通滤波 对于变量x，巴特沃斯高通滤波可以保留短期波动以及忽略日或季节周期。 2.2.2. 信息熵和互信息 在信息论中，信息熵可定量描述不确定性，信息熵越大，表明不确定性越大。互信息是两个或多个变量共享的信息量，相关性越大，则互信息量越大。 H ( x ) = − ∑ p ( x i ) log 2 p ( x i ) (6) H ( x | y ) = − ∑ ∑ p x | y ( x i | y i ) p x | y ( x i | y i ) log 2 p x | y ( x i | y i ) d x (7) 式中： H ( x ) 是离散型随机变量x的信息熵， H ( x | y ) 是随机变量x在得到变量y提供的信息后所剩余的不确定性，即条件互信息熵；x的可能取值x i 的概率为 p ( x i ) ，x i 关于y i 的条件分布函数为 p x | y ( x i | y i ) 。 互信息 I ( x ; y ) 为信息熵与条件互信息熵的差值。同理，偏互信息 I ( x ; y | z ) 定义为除去变量z的影响后，y对x提供的信息量。 I ( x ; y ) = H ( x ) − H ( x | y ) (8) I ( x ; y | z ) = H ( x | z ) − H ( x | y ， z ) (9) 信息熵计算的关键是估计联合概率密度，可用非参数方法求得，包括直方图法、核函数法和平均直方图法等。 2.2.3. 特征指标 在过程网络中，多个变量通过信息流相互关联。根据信息分离理论 [ 14 ]，U指仅由一个源变量单独提供目标变量的信息；R指多个源变量提供目标变量的重复信息源变量共同提供目标变量的信息。设每条信息流始于源变量x，终于目标变量y，本文用到以下特征指标： 1) 显著滞时 即x对y发生最大影响的时间 τ 0 ，于 I max ( τ = τ 0 ) = max τ = 1 t I ( x ( t − τ ) ; y ( t ) ) 取得，其中 τ 是滞时( τ = 0 ， 1 ， ⋯ ， t )。 2) 不同滞时的相对预测度 将总信息量 I t o t ， τ 按式(10)分解，滞时1个单位时间跟 τ 个单位时间( τ = 2 ， 3 ， ⋯ ， t )的x分别提供y的信息比例为 г 和 η ( г + η = 1 )，即x的长短滞时历史对y现在状态的相对预测度(式(11)和式(12)) [ 19 ]。根据分离出的信息种类U、S、R，可指示链接冗余度， η 值小则冗余度高。 I t o t ， τ = I ( x ( t − 1 ) ， x ( t − τ ) ; y ( t ) ) = I ( x ( t − 1 ) ; y ( t ) ) + I ( x ( t − τ ) ; y ( t ) | x ( t − 1 ) ) (10) I ( x ( t − 1 ) ; x ( t ) ) I t o t = U x ( t − 1 ) + R x ( t − 1 ) ， x ( t − τ ) = г (11) I ( x ( t − τ ) ; y ( t ) | x ( t − 1 ) ) I t o t = U x ( t − τ ) + S x ( t − 1 ) ， x ( t − τ ) = η (12) 3) 归一化转移熵 当式(9)的z设置为x的滞时序列，得到的偏互信息称转移熵TE，可指示信息转移强度，但未考虑自信息差异。本文提出指标TE/H，以源变量的熵值为底进行归一化，使不同自信息量条件下的耦合强度可比。 T E / H ( x ( t − τ ) → y ) = T E ( x ( t − τ ) → y ) H ( x ( t − τ ) ) = I ( x ( t − τ ) ; y | y ( t − τ ) ) − ∑ p ( x ( t − τ ) ) log 2 p ( x ( t − τ ) ) (13) 以土壤湿度–降水耦合为例，降水时间序列为 P ( t ) ，土壤湿度时间序列为 S M ( t ) ( t = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n )，设置滞时状态为 t − τ ( τ = 0 ， 1 ， ⋯ ， t )。当 I ( P ( t − τ ) ; S M ( t ) ) 取最大值， τ 01 代表前期降水对土壤湿度发生显著影响的滞时，同理，当 I ( P ( t ) ; S M ( t − τ ) ) 取最大值， τ 02 代表前期土壤湿度对降水发生显著影响的滞时； г 量化了仅通过了解滞时1个单位时间的土壤湿度 S M ( t − 1 ) 的信息而减少 P ( t ) 信息量的比例，包含 S M ( t − 1 ) 单独提供的U信息，以及 S M ( t − 1 ) 和 S M ( t − τ ) 提供的R信息。 η 则表示 S M ( t − τ ) 提供的U信息以及 S M ( t − 1 ) 和 S M ( t − τ ) 共同提供的S信息所减少 P ( t ) 信息量的比例，该比例量化了较长滞时 S M ( t − τ ) 对 P ( t ) 影响的相对重要程度。因此， η = 0 ，代表 P ( t ) 的不确定性通过了解 S M ( t − 1 ) 获得了最大程度的降低， S M ( t − τ ) 提供的信息必定是冗余的。相反地， η = 1 ，代表了解 S M ( t − 1 ) 不能降低 P ( t ) 任何不确定性，而要通过更长滞时 S M ( t − τ ) 的额外信息来降低；归一化转移熵指标 T E ( P ( t − τ ) − S M ( t ) ) / H ( P ( t − τ ) ) ，即降水显著滞时下的历史序列 P ( t − τ ) 向当前土壤湿度状态 S M ( t ) 转移的信息强度；而指标 T E ( S M ( t − τ ) − P ( t ) ) / H ( S M ( t − τ ) ) ，即土壤湿度显著滞时下的历史序列 S M ( t − τ ) 向当前降水状态 P ( t ) 转移的信息强度。