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user: 4. 数值实验 在这一部分中，我们给出了一些数值插图，以更好地解释上述分析结果使用不同的初始条件和参数。如果非线性项为 f ( u ， v ) = u ( α − β u ) − c u v m v + 1 ， g ( u ， v ) = s u v m v + 1 − r v 时，则反应扩散体系(1)则变为例1 [ 10 ] 形式。其中 [ 10 ] E * = ( u 0 ， v 0 ) ， u 0 = s ( m α − c ) + s 2 ( m α − c ) 2 + 4 c m r s β 2 m s β ， v 0 = s u 0 − r m r . A 0 = [ − β u 0 − c u 0 ( m v 0 + 1 ) 2 s v 0 ( m v 0 + 1 ) − m s u 0 v 0 ( m v 0 + 1 ) 2 ] . 例1 考虑以下形式的交叉反应扩散模型 [ 10 ]： { ∂ u ∂ t − d 11 Δ u − d 12 Δ v = u ( α − β u ) − c u v m v + 1 ， ( x ， t ) ∈ Ω × [ 0 ， ∞ ] ∂ v ∂ t − d 21 Δ u − d 22 Δ v = s u v m v + 1 − r v ， ( x ， t ) ∈ Ω × [ 0 ， ∞ ] ∂ u ∂ n = ∂ v ∂ n = 0 ， ( x ， t ) ∈ ∂ Ω × [ 0 ， ∞ ] u ( x ， 0 ) = u 0 ( x ) ≥ 0 ， v ( x ， 0 ) = v 0 ( x ) ≥ 0 ， x ∈ Ω (13) 这里 d 11 ， d 12 ， d 21 ， d 22 > 0 ， α ， β ， γ ， s ， m ， c 为常数， t ∈ R + 为时间变量， x ， y ∈ R 是空间变量， u ， v 是t与 x ， y 的函数。其中参数1 β = 1 ， c = 1 ， γ = 1 ， s = 1 ， m = 4 ， α = 0.8 ， d 11 = 1 ， d 22 = 10 ， d 12 = 1 ， d 21 = 10 和参数2 β = 1 ， c = 1 ， γ = 2 ， s = 1 ， m = 4 ， α = 1.2 ， d 11 = 1 ， d 22 = 1 ， d 12 = 0.4 ， d 21 = 2 ，固定一个初始条件 v = 0.5 o n e s ( N ) ，当u以及参数变化时模拟的结果见图1~11，具体初始条件见表1。 如果非线性项为 f ( u ， v ) = u ( σ ( 1 − u β ) − ( 1 + α v ) v ) ， g ( u ， v ) = v ( ( 1 + α v ) − 1 ) 时，则反应扩散体系(1)则变成例2形式。其中 [ 11 ] u 0 = β ( 1 − v 0 ( 1 + α v 0 ) σ ) ，而 v 0 是下列三次多项式方程 β α 2 v 3 + 2 β α v 2 + β ( 1 − α σ ) v + σ ( 1 − β ) = 0 的根。 A 0 = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] ， a 11 = σ − 2 σ u 0 β − v 0 − α v 0 2 ， a 12 = − u 0 − 2 α u 0 v 0 ， a 21 = v 0 + α v 0 2 ， a 22 = u 0 + 2 α u 0 v 0 − 1 。 例2 考虑以下形式的交叉反应扩散模型[ 11 ]： { ∂ u ∂ t − d 11 Δ u − d 12 Δ v = u ( σ ( 1 − u β ) − ( 1 + α v ) v ) ， ( x ， t ) ∈ Ω × [ 0 ， ∞ ] ∂ v ∂ t − d 21 Δ u − d 22 Δ v = v ( ( 1 + α v ) u − 1 ) ， ( x ， t ) ∈ Ω × [ 0 ， ∞ ] ∂ u ∂ n = ∂ v ∂ n = 0 ， ( x ， t ) ∈ ∂ Ω × [ 0 ， ∞ ] u ( x ， 0 ) = u 0 ( x ) ≥ 0 ， v ( x ， 0 ) = v 0 ( x ) ≥ 0 ， x ∈ Ω (14) 这里 d 11 ， d 12 ， d 21 ， d 22 > 0 ， α ， β ， σ 为常数， t ∈ R + 为时间变量， x ， y ∈ R 是空间变量， u ， v 是t与 x ， y 的函数。其中 δ = 4 ， α = 0.3 ， β = 1.5 ， d 11 = 0.5 ， d 22 = 10 ，参数1为 d 12 = 0.2 ， d 21 = 10.5 ；参数2为 d 12 = 1 ， d 21 = 0.2 ，固定一个初始条件 v = 0.5 o n e s ( N ) ，当v固定时改变参数和u得到的模拟结果见图12~19，固定 u = cos ( x 2 + y 2 ) 时得到的模拟结果见图20、图21，具体的初始条件见表2。 Table 1 The different initial conditions corresponding to the numerical solution and pattern in example 1 are shown in Figures 1~1 图 u ( x ， y ， 0 ) 图1~3 u = o n e s ( N ) + sech ( x 2 / 0.02 − 9 + 2 y / 0.01 ) 图4、图5 u = sin ( x 2 / 0.02 − 9 + 2 y / 0.01 ) 图6、图7 u = sin ( exp ( ( x − 0.4 ) 2 + ( y + 0.4 ) 2 ) ) − sin ( cos ( ( x + 0.4 ) 3 + ( y − 0.4 ) 2 ) ) 图8、图9 u = sech ( ( − x 3 − y 5 ) 3 ) 图10、图11 u = cos ( sin ( − x 3 + y 5 ) ) 表1. 例1中数值解和斑图所对应的不同的初始条件在图1~11 图1. 在参数1和初始条件为 u = o n e s ( N ) + sech ( x 2 / 0.02 − 9 + 2 y / 0.01 ) 的数值解 图2. 例1在参数1和初始条件为 u = o n e s ( N ) + sech ( x 2 / 0.02 − 9 + 2 y / 0.01 ) 的斑图 图3. 例1在参数2和初始条件为 u = o n e s ( N ) + sech ( x 2 / 0.02 − 9 + 2 y / 0.01 ) 的斑图 图4. 例1在参数1和初始条件为 u = sin ( x 2 / 0.02 − 9 + 2 y / 0.01 ) 的数值解 图5. 例1在参数1和初始条件为 u = sin ( x 2 / 0.02 − 9 + 2 y / 0.01 ) 的斑图 图6. 例1在参数1和初始条件为 u = sin ( exp ( ( x − 0.4 ) 2 + ( y + 0.4 ) 2 ) ) − sin ( cos ( ( x + 0.4 ) 3 + ( y − 0.4 ) 2 ) ) 的数值解 图7. 例1在参数1和初始条件为 u = sin ( exp ( ( x − 0.4 ) 2 + ( y + 0.4 ) 2 ) ) − sin ( cos ( ( x + 0.4 ) 3 + ( y − 0.4 ) 2 ) ) 的斑图 图8. 例1在参数1和初始条件为 u = sech ( ( − x 3 − y 5 ) 3 ) 的数值解 图9. 例1在参数1和初始条件为 u = sech ( ( − x 3 − y 5 ) 3 ) 的斑图 图10. 例1在参数1和初始条件为 u = cos ( sin ( − x 3 + y 5 ) ) 的数值解 图11. 图为例1在参数1和初始条件为 u = cos ( sin ( − x 3 + y 5 ) ) 的斑图 图12. 为例2在参数1和初始条件为 u = sin ( sin ( ( x − 0.4 ) 3 ( y + 0.4 ) 2 ) ) − cos ( exp ( ( x + 0.4 ) 2 + ( y − 0.4 ) 2 ) ) 的数值解 图13. 为例2在参数1和初始条件为 u = sin ( sin ( ( x − 0.4 ) 3 ( y + 0.4 ) 2 ) ) − cos ( exp ( ( x + 0.4 ) 2 + ( y − 0.4 ) 2 ) ) 的斑图 图14. 图为例2在参数2和初始条件为 u = sin ( sin ( ( x − 0.4 ) 3 ( y + 0.4 ) 2 ) ) + cos ( exp ( ( x + 0.4 ) 2 + ( y − 0.4 ) 2 ) ) 的数值解 图15. 为例2在参数2和初始条件为 u = sin ( sin ( ( x − 0.4 ) 3 ( y + 0.4 ) 2 ) ) + cos ( exp ( ( x + 0.4 ) 2 + ( y − 0.4 ) 2 ) ) 的斑图 图16. 图为例2在参数1和初始条件为 u = sech ( π ( − x 2 + y 2 ) ) 的数值解 图17. 为例2在参数1和初始条件为 u = sech ( π ( − x 2 + y 2 ) ) 的斑图 图18. 图为例2在参数1和初始条件为 u = cos ( exp ( sin ( − x 2 − y 2 ) ) ) 的数值解 图19. 为例2在参数1和初始条件为 u = cos ( exp ( sin ( − x 2 − y 2 ) ) ) 的斑图 图20. 图为例2在参数2和初始条件为 u = cos ( x 2 + y 2 ) ， v = sin ( x 2 / 0.02 − 9 + 2 y / 0.01 ) 的数值解 图21. 为例2在参数2和初始条件为 u = cos ( x 2 + y 2 ) ， v = sin ( x 2 / 0.02 − 9 + 2 y / 0.01 ) 的斑图 Table 2 The different initial conditions corresponding to the numerical solution and pattern in example 2 are shown in Figures 12~2 图 u ( x ， y ， 0 ) 图12、图13 u = sin ( sin ( ( x − 0.4 ) 3 ( y + 0.4 ) 2 ) ) − cos ( exp ( ( x + 0.4 ) 2 + ( y − 0.4 ) 2 ) ) 图14、图15 u = sin ( sin ( ( x − 0.4 ) 3 ( y + 0.4 ) 2 ) ) + cos ( exp ( ( x + 0.4 ) 2 + ( y − 0.4 ) 2 ) ) 图16、图17 u = sech ( π ( − x 2 + y 2 ) ) 图18、图19 u = cos ( exp ( sin ( − x 2 − y 2 ) ) ) 图20、图21 v = sin ( x 2 / 0.02 − 9 + 2 y / 0.01 ) 表2. 例2中数值解和斑图所对应的不同的初始条件在图12~21