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user: 3. 主要结果 考虑系统 { x ˙ = − y + δ x + m x y + l x 2 + y 3 y ˙ = x ( 1 + a x + b y ) (3.1) 通过定性分析可知系统(3.1)有鞍点 O ( 0 ， 1 ) ，鞍点 B ( 0 ， − 1 ) ，另外， A ( 0 ， 0 ) 为焦点( 0 < δ 2 < 4 )、或结点( δ 2 ≥ 4 )、或中心型奇点( δ = 0 )。(中心型奇点指中心或细焦点)。当 δ < 0 时 是稳定的，当 δ > 0 时 A ( 0 ， 0 ) 是不稳定的。 令 p = δ 2 + m 2 ， q = δ p ， l = p k ， a = p r ， b = p s ，则 p > 0 ， δ = p q ， δ 与q同号， m = s i g n ( m ) p 1 − q 2 。从而系统(3.1)化为： { x ˙ = − y + y 3 + p [ q x + s i g n ( m ) 1 − q 2 x y + k x 2 ] y ˙ = x + p ( r x 2 + s x y ) (3.2) 令 { x = u y = v + 1 ，则系统(3.2)化为： (3.3) 考虑(3.3)的未扰系统 ( 3.3 ) | p = 0 ： { u ˙ = v 3 + 3 v 2 + 2 v v ˙ = u (3.4) 易知系统(3.4)有三个平衡点 A ( 0 ， − 1 ) 、 O ( 0 ， 0 ) 和 B ( 0 ， − 2 ) 。由线性变换的拓扑不变性，得到 O ( 0 ， 0 ) 和 B ( 0 ， − 2 ) 为系统(3.4)的鞍点(如图1所示)， A ( 0 ， − 1 ) 为中心型奇点，当 p < 0 时 A ( 0 ， 0 ) 是稳定的，当 p > 0 时 A ( 0 ， 0 ) 是不稳定的。 图1. 异宿环 系统(3.4)为Hamilton系统，解得其首次积分为： H ( u ， v ) = 1 2 u 2 − 1 4 v 4 − v 3 − v 2 = h (3.5) 经简单计算可知，当 h = 0 时，(3.5)为(3.4)的过鞍点 O ( 0 ， 0 ) 和鞍点 B ( 0 ， − 2 ) 的异宿环，记为 Γ = Γ 1 + Γ 2 ，即 Γ = { u = u ( t ) ， v = v ( t ) ， t ∈ ( − ∞ ， + ∞ ) } = { ( u ， v ) : H ( u ， v ) = 0 } ，其中 Γ 1 为 Γ 在v轴的右侧部分的异宿轨， Γ 2 为 Γ 在v轴的左侧部分的异宿轨。由 v ˙ = u 知v的单调性，故 Γ 1 沿着 t → + ∞ 方向自下而上从 B ( 0 ， − 2 ) 到 O ( 0 ， 0 ) ， Γ 2 沿着 t → + ∞ 方向自上而下从 O ( 0 ， 0 ) 到 B ( 0 ， − 2 ) 。即 Γ 为顺时针走向。 将 A ( 0 ， − 1 ) 代入(3.5)得 H ( 0 ， − 1 ) = − 1 4 。经分析可知，当 − 1 4 < h < 0 时，(3.5)为(3.4)的异宿环 Γ 内的一簇包围奇点 A ( 0 ， − 1 ) 的闭轨，此亦说明 A ( 0 ， − 1 ) 为(3.4)的中心。 下面我们讨论系统(3.3)在奇点 A ( 0 ， − 1 ) ， O ( 0 ， 0 ) 和 B ( 0 ， − 2 ) 附近的轨线结构。 记 f = v 3 + 3 v 2 + 2 v ， g = u ， f 0 = [ q + s i g n ( m ) 1 − q 2 ( v + 1 ) + k u ] u ， g 0 = [ r u + s ( v + 1 ) ] u 。 取 Γ 1 上一点 P 0 ( 2 2 ， − 1 ) ，不妨设此时 t = 0 ，即 u ( 0 ) = 2 2 ， v ( 0 ) = − 1 ，过 P 0 ( 2 2 ， − 1 ) 作 Γ 1 的截线 l 1 与 n 1 ( Γ 1 在 P 0 点的外法线方向)同向。设 W O s 与 W B u 分别为 Γ 1 经扰动破裂以后系统(3.3)过点 O ( 0 ， 0 ) 的稳定流形与过点 B ( 0 ， − 2 ) 的不稳定流形，且 W O s 与 W B u 与 l 1 交点分别是 P s ， P u ，由预备知识2.2中的Melnikov函数知，在扰动充分小的情况下， P s 到 P u 点的有向距离为： d ( P s ， P u ) = p M 1 f 2 ( P 0 ) + g 2 ( P 0 ) + o ( p ) (3.6) 其中， M 1 = ∫ − ∞ + ∞ e − ∫ 0 t ( f x + g y ) d τ ( f g 0 − g f 0 ) p = 0 d t 为沿着 Γ 1 的积分的Melnikov函数。 类似地，取 Γ 2 上一点 Q 0 ( − 2 2 ， − 1 ) ，不妨设此时 t = 0 ，即 u ( 0 ) = − 2 2 ， v ( 0 ) = − 1 ，过 Q 0 ( − 2 2 ， − 1 ) 作 Γ 2 的截线 l 2 与 n 2 ( Γ 2 在 Q 0 点的外法线方向)同向。设 W B s 与 W O u 分别为 Γ 2 经扰动破裂以后系统(3.3)过点 B ( 0 ， − 2 ) 的稳定流形与过点 O ( 0 ， 0 ) 的不稳定流形(如图2所示)，且 W B s 与 W O u 与 l 2 交点分别是 Q s ， Q u ，由预备知识2.2中的Melnikov函数知，在扰动充分小的情况下， Q s 到 Q u 点的有向距离为： 图2. 轨线相对位置 d ( Q s ， Q u ) = p M 2 f 2 ( Q 0 ) + g 2 ( Q 0 ) + o ( p ) (3.7) 其中， M 2 = ∫ − ∞ + ∞ e − ∫ 0 t ( f x + g y ) d τ ( f g 0 − g f 0 ) p = 0 d t 为沿着 Γ 2 的积分的Melnikov函数。 由(3.5)知 Γ 1 与 Γ 2 的表达式分别为 Γ 1 ： u = − 2 2 v ( v + 2 ) ， Γ 2 ： u = 2 2 v ( v + 2 ) 。由于 Γ 为逆时针走向。由(3.4)知 d v = u d t 。则 M 1 = ∫ − ∞ + ∞ { ( v 3 + 3 v 2 + 2 v ) [ r u + s ( v + 1 ) ] − [ q + s i g n ( m ) 1 − q 2 ( v + 1 ) + k u ] u } u d t = ∫ − 2 0 [ − 2 2 r ( v 5 + 5 v 4 + 8 v 3 + 4 v 2 ) + s ( v 4 + 4 v 3 + 5 v 2 + 2 v ) ] d v     + 2 2 ∫ − 2 0 [ q ( v 2 + 2 v ) + s i g n ( m ) 1 − q 2 ( v 3 + 3 v 2 + 2 v ) − 2 2 k ( v 4 + 4 v 3 + 4 v 2 ) ] d v = − 4 15 s − 8 15 k − 2 2 3 q 又 f = v 3 + 3 v 2 + 2 v ， g = u ， P 0 ( 2 2 ， − 1 ) ， f ( P 0 ) = 0 ， g ( P 0 ) = 2 2 ，故 d ( P s ， P u ) = p M 1 f 2 ( P 0 ) + g 2 ( P 0 ) + o ( p ) = 2 p ( − 4 15 s − 8 15 k − 2 2 3 q ) + o (p) 由于 p > 0 ，故而 d ( P s ， P u ) 与 − 4 15 s − 8 15 k − 2 2 3 q 同号。当 − 4 15 s − 8 15 k − 2 2 3 q < 0 时， d ( P s ， P u ) < 0 ，此时异宿轨 Γ 1 破裂以后稳定流形 W O s 在不稳定流形 W B u 的外部。当 − 4 15 s − 8 15 k − 2 2 3 q > 0 时， d ( P s ， P u ) > 0 ，此时异宿轨 Γ 1 破裂以后稳定流形 W O s 在不稳定流形 W B u 的内部。 类似地可以得到， M 2 = ∫ − ∞ + ∞ { ( v 3 + 3 v 2 + 2 v ) [ r u + s ( v + 1 ) ] − [ q + s i g n ( m ) 1 − q 2 ( v + 1 ) + k u ] u } u d t = ∫ 0 − 2 [ 2 2 r ( v 5 + 5 v 4 + 8 v 3 + 4 v 2 ) + s ( v 4 + 4 v 3 + 5 v 2 + 2 v ) ] d v     − 2 2 ∫ 0 − 2 [ q ( v 2 + 2 v ) + s i g n ( m ) 1 − q 2 ( v 3 + 3 v 2 + 2 v ) + 2 2 k ( v 4 + 4 v 3 + 4 v 2 ) ] d v = 4 15 s + 8 15 k − 2 2 3 q 又 f = v 3 + 3 v 2 + 2 v ， g = u ， Q 0 ( − 2 2 ， − 1 ) ， f ( Q 0 ) = 0 ， g ( Q 0 ) = − 2 2 ，故 d ( Q s ， Q u ) = p M 2 f 2 ( Q 0 ) + g 2 ( Q 0 ) + o ( p ) = 2 p ( 4 15 s + 8 15 k − 2 2 3 q ) + o (p) 由于 p > 0 ，故而 d ( Q s ， Q u ) 与 4 15 s + 8 15 k − 2 2 3 q 同号。当 4 15 s + 8 15 k − 2 2 3 q < 0 时， d ( Q s ， Q u ) < 0 ，此时异宿轨 Γ 2 破裂以后稳定流形 W B s 在不稳定流形 W O u 的外部。当 4 15 s + 8 15 k − 2 2 3 q > 0 时， d ( Q s ， Q u ) > 0 ，此时异宿轨 Γ 2 破裂以后稳定流形 W B s 在不稳定流形 W O u 的内部。 下面，我们要证明极限环的存在性，利用预备知识2.1环域定理，只需构造所需的内外境界即可。 首先，当 q > 0 (即 δ > 0 )， A ( 0 ， − 1 ) 为系统(3.3)的不稳定的结点 ( | δ | ≥ 2 ) 或焦点 ，因此可取 A ( 0 ， − 1 ) 作为环域定理所要求的环域D的内境界。 其次，我们选取 O P ⌢ s ∪ P s P u ¯ ∪ P u B ⌢ ∪ B Q s ⌢ ∪ Q s Q u ¯ ∪ Q u O ⌢ 作为环域D的外境界。由前面分析得知，当 − 4 15 s − 8 15 k − 2 2 3 q < 0 时， d ( P s ， P u ) < 0 ，此时异宿轨 Γ 1 破裂以后稳定流形 W O s 在不稳定流形 W B u 的外部，当 4 15 s + 8 15 k − 2 2 3 q < 0 时， d ( Q s ， Q u ) < 0 ，此时异宿轨 Γ 2 破裂以后稳定流形 W B s 在不稳定流形 W O u 的外 部。并且当系统(3.3)的轨线穿过线段 P s P u ¯ 时均沿自下而上的方向穿过进入D。当系统(3.3) 的轨线穿过线段 Q u Q s ¯ 时均沿自上而下的方向穿过进入D。同时(3.3)满足解的存在唯一条件，所以，由Poincare-Bendixson环域定理得，此时在环域定理D中系统(3.3)至少存在一个稳定的极限环。 其它情况类似可证明。于是我们得到： 定理：1) 当 q > 0 (即 δ > 0 )且 4 15 s + 8 15 k − 2 2 3 q < 0 ， − 4 15 s − 8 15 k − 2 2 3 q < 0 时，系统(3.3)在 Γ 的邻域内至少存在一条围绕 A ( 0 ， − 1 ) 的稳定极限环。 2) 当 q < 0 (即 δ < 0 )且 4 15 s + 8 15 k − 2 2 3 q > 0 ， − 4 15 s − 8 15 k − 2 2 3 q > 0 时，系统(3.3)在 Γ 的邻域内至少存在一条围绕 A ( 0 ， − 1 ) 的不稳定极限环。