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user: 1. 引言 本文研究如下带有扩散项的非线性抛物方程组的初边值问题 { u t − ( ∫ Ω | ∇ u | 2 d x ) γ Δ u = | u | p − 1 u + α ( u − v ) ，     ( x ， t ) ∈ Ω × [ 0 ， T ] ， v t − ( ∫ Ω | ∇ u | 2 d x ) γ Δ v = | v | p − 1 v + α ( v − u ) ，     ( x ， t ) ∈ Ω × [ 0 ， T ] ， u ( x ， 0 ) = u 0 ( x ) ，     x ∈ Ω ， v ( x ， 0 ) = v 0 ( x ) ，     x ∈ Ω ， u ( x ， t ) = v ( x ， t ) = 0 ，     ( x ， t ) ∈ ∂ Ω × [ 0 ， T ] ， (1.1) 其中， ( ∫ Ω | ∇ u | 2 d x ) γ Δ u ， ( ∫ Ω | ∇ v | 2 d x ) γ Δ v 为扩散项，可知，其为非线性的， Ω ∈ R n 为边界充分光滑的有界 区域。常数 α ， γ ∈ R ， p > 1 。 (1.1)可用来描述热传导现象、半导体中的电子与空穴流、液体在多孔介质中的运动规律等问题。当 γ = 0 时，(1.1)是经典的抛物型方程组，与之相关的抛物方程组整体解的存在和爆破已被众多学者进行了广泛的研究。当 γ ≠ 0 时，(1.1)即为反应扩散耦合系统，与之相关的抛物方程组的研究也有一些成果。例如，在文献 [ 1 ] 中，Carlos等考虑了如下反应扩散耦合系统 { u t − a ( l ( u ) ) Δ u + f ( u − v ) = α ( u − v ) ，     ( x ， t ) ∈ Ω × [ 0 ， T ] ， v t − a ( l ( v ) ) Δ v − f ( u − v ) = α ( v − u ) ，     ( x ， t ) ∈ Ω × [ 0 ， T ] ， u ( x ， 0 ) = u 0 ( x ) ，     x ∈ Ω ， v ( x ， 0 ) = v 0 ( x ) ，     x ∈ Ω ， u ( x ， t ) = v ( x ， t ) = 0 ，     ( x ， t ) ∈ ∂ Ω × [ 0 ， T ] ， 其中， Ω ∈ R n 为边界充分光滑的有界区域，常数 α > 0 ， f : R → R ， a : R → R 是利普希茨连续函数，且 a ( s ) ≥ m > 0 ( s ∈ R ) ， l : L 2 ( Ω ) → R 是线性连续函数。采用Galerkin方法和Aubin紧性定理，研究了弱解的整体存在性、唯一性及指数衰减。 Rui等在文献 [ 2 ] 中考虑了有界域上带有更一般的非局部扩散项的非线性反应扩散耦合系统，其扩散项作用于两个线性形式 l 1 ， l 2 上，即 { u t − a 1 ( l 1 ( u ) ， l 2 ( u ) ) Δ u + λ 1 | u | p − 2 u = f 1 ，     ( x ， t ) ∈ Ω × [ 0 ， T ] ， v t − a 2 ( l 1 ( v ) ， l 2 ( v ) ) Δ v + λ 2 | v | p − 2 v = f 2 ，     ( x ， t ) ∈ Ω × [ 0 ， T ] ， u ( x ， 0 ) = u 0 ( x ) ，     x ∈ Ω ， v ( x ， 0 ) = v 0 ( x ) ，     x ∈ Ω ， u ( x ， t ) = v ( x ， t ) = 0 ，     ( x ， t ) ∈ ∂ Ω × [ 0 ， T ] ， 其中， Ω ∈ R n 为边界充分光滑的有界区域，常数 λ 1 ， λ 2 > 0 ， p > 1 。 f 1 ， f 2 ∈ L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) ， l i : L 2 ( Ω ) → R ， i = 1 ， 2 是线性连续函数，即存在一个函数 g i ∈ L 2 ( Ω ) ，使得对所有的 u ∈ L 2 ( Ω ) ，都有 l i ( u ) = l g i ( u ) = ∫ Ω g i ( x ) u ( x ) d x ， i = 1 ， 2 成立。 0 < m ≤ a i ( s ) ≤ M ( s ， r ∈ R ， i = 1 ， 2 ) ，且 a i : R 2 → R ， i = 1 ， 2 是整体利普希茨连续函数，同样采用Galerkin方法和Aubin紧性定理，研究了弱解的整体存在性、唯一性以及指数衰减。 事实上，在以往大多是文献中，均假设扩散项系数的有界的，即存在正常数 m ， M ，使得 0 < m ≤ a ( s ) ≤ M < ∞ ( s ， r ∈ R ) ，此时问题总是非退化的。但在刻画扰动传播的有限性等问题的反应扩散方程组时总会出现退化情形，因此有必要研究具有退化性的反应扩散方程组。本文旨在研究一种扩散项 为 ( ∫ Ω | ∇ u | 2 d x ) γ Δ u ， ( ∫ Ω | ∇ v | 2 d x ) γ Δ v ( γ ∈ R ) 的情形，此时扩散项系数 ( ∫ Ω | ∇ u | 2 d x ) γ ， ( ∫ Ω | ∇ v | 2 d x ) γ ( γ ∈ R ) 可能 是零或无穷大。受文献 [ 3 ] 的启发，结合Sobolev嵌入定理、Gagliardo-Nirenberg不等式和伯努利不等式，利用Galerkin方法，建立了弱解的全局存在性、有界性及爆破的充分条件。 首先给出弱解的定义如下： 定义1 u ， v ∈ L ∞ ( 0 ， T ; H 1 ( Ω ) ) ， ∂ u ∂ t ， ∂ v ∂ t ∈ L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) ，对任意的 ω ∈ H 0 1 ( Ω ) ， t ∈ [ 0 ， T ] ，都有等式 ∫ Ω ∂ u ∂ t ω + ( ∫ Ω | ∇ u | 2 d x ) ∇ u ⋅ ∇ ω − | u | p − 1 u ω − α ( u − v ) ω d x = 0 和 ∫ Ω ∂ v ∂ t ω + ( ∫ Ω | ∇ v | 2 d x ) ∇ v ⋅ ∇ ω − | u | p − 1 v ω − α ( v − u ) ω d x = 0 成立，且 u ( x ， 0 ) = u 0 ( x ) ，     v ( x ， 0 ) = v 0 ( x ) ，     x ∈ Ω ， 则称 ( u ， v ) 是问题(1.1)的一个弱解。 现给出本文主要结论如下： 定理1 假设 u 0 ( x ) ， v 0 ( x ) ∈ H 0 1 ( Ω ) ， α > 0 ， γ > p − 1 2 ，当 n > 2 时， 1 < p ≤ n + 2 n − 2 ；当 n ≤ 2 时， 1 < p < ∞ 。 则问题(1.1)存在一个整体弱解 ( u ， v ) ，满足 u ， v ∈ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) ， ∇ u ， ∇ v ∈ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) ， ∂ u ∂ t ， ∂ v ∂ t ∈ L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) ， 若 n < 2 ，则由初值函数 ( u 0 ( x ) ， v 0 ( x ) ) 决定的整体弱解 ( u ， v ) 是唯一的。 定理2 假设定理1的条件成立，进一步假设 γ ≥ 2 α C 5 − 1 ，且 ‖ u 0 ‖ L 2 2 + ‖ v 0 ‖ L 2 2 ≥ C 4 + 2 C 5 γ C 5 ( γ + 1 ) − 2 α ， 则有 ‖ u ‖ L 2 2 + ‖ v ‖ L 2 2 ≤ ‖ u 0 ‖ L 2 2 + ‖ v 0 ‖ L 2 2 ， 其中， C 4 = 2 γ − P + 1 2 γ + 2 ( γ + 1 p + 1 ) − p + 1 2 γ − p + 1 ( C 2 ( p + 1 ) ( 2 γ + 2 ) 2 γ − p + 1 + C 3 ( p + 1 ) ( 2 γ + 2 ) 2 γ − p + 1 ) ， C 2 ， C 3 ， C 5 为嵌入定理中不等式的系数。 定理3 假设 u 0 ( x ) ， v 0 ( x ) ∈ H 0 1 ( Ω ) ， α < 0 ， 0 < γ < p − 1 2 ， 1 < p < n + 4 n ，则存在一个正常数 T 0 = n − n p + 4 γ + 4 c ( p − 1 ) ( 4 γ − 2 n γ + 4 ) ( ‖ u 0 ‖ L 2 2 + ‖ v 0 ‖ L 2 2 ) ( 1 − p ) ( 2 γ − n γ + 2 ) n − n p + 4 γ + 4 ，     c ∈ R + ， 使得当 0 ≤ t ≤ T 0 时，问题(1.1)存在一个局部弱解 ( u ， v ) ，满足 u ， v ∈ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) ， ∇ u ， ∇ v ∈ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) ; ∂ u ∂ t ， ∂ v ∂ t ∈ L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) . 注1 由 1 < p < n + 4 n 可推出当 n > 2 时， 1 < p ≤ n + 2 n − 2 ；当 n ≤ 2 时， 1 < p < ∞ 。 注2 因为 p < n + 4 n ，故有 n p − n − 4 4 < 0 < γ ，所以集合 ( n p − n − 4 4 ， p − 1 2 ) 不是空集。 定理4 假设定理3的条件成立，且 1 2 γ + 2 ‖ ∇ u 0 ‖ L 2 2 γ + 2 + 1 2 γ + 2 ‖ ∇ v 0 ‖ L 2 2 γ + 2 − 1 p + 1 ‖ u 0 ‖ L p + 1 p + 1 − 1 p + 1 ‖ v 0 ‖ L p + 1 p + 1 − α 2 ‖ u 0 − v 0 ‖ L 2 2 < 0 ， 则问题(1.1)满足初值函数的弱解不是全局的，即在有限时间 2 c ( p − 1 ) ( ‖ u 0 ‖ L 2 2 + ‖ v 0 ‖ L 2 2 ) − p − 1 2 < T 内爆破。其中， c = 2 p − 4 γ − 2 p + 1 ( 2 | Ω | ) 1 − p 2 。 全文将 ‖ ⋅ ‖ L p ( Ω ) 和 ‖ ⋅ ‖ H s ( Ω ) 分别简记为 ‖ ⋅ ‖ L p 和， ‖ ⋅ ‖ H s ，记 ( u ， v ) = ∫ Ω u v d x ，c表示不依赖于未知函数的正常数，在不同地方不一定相同。