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user: 3. 正则性估计 本节我们证明方程(2)解的Schauder估计。证明的主要思路 [ 14 ] 是：首先利用C-C度量的性质(3)和紧方法，来研究在区域 { x = 0 } 附近的正则性，然后利用一致抛物方程的正则性结论得到方程解在远离 { x = 0 } 区域时的Schauder估计。 3.1. { ( x ， y ， t ) ∈ Q 1 : x = 0 } 区域附近的估计 不妨假设u满足方程 u t − Δ γ u = f ( x ， y ， t ) ， 令 v ( x ， y ， t ) = u ( r x ， r 1 + γ y ， r 2 t ) ，由C-C度量可知，在 { x = 0 } 附近满足方程 v t − Δ γ v = r 2 f ( r x ， r 1 + γ y ， r 2 t ) . 这是我们研究方程解在 { ( x ， y ， t ) ∈ Q 1 : x = 0 } 区域附近正则性的基础。 定理2：设 u ∈ W γ 1 ， 2 为方程(2)的弱解，对任意的 0 < α < 1 ，存在一个正常数 C 1 ，若 f ∈ C α ， α 1 + γ ， α 2 ( Q 1 ) ，那么存在一个多项式 p ( x ， y ， t ) = 1 2 x T A x + B x + C y + D t + E + F y 2 + G x y 满足 p t − Δ γ p = f ( 0 ， 0 ， 0 ) ，且 1 | Q ρ | ∫ Q ρ | u − p ( 0 ， 0 ， 0 ) | 2 d z d t ≤ C 1 ρ 2 ( 2 + α ) . (5) 其中 0 < ρ ≤ 1 ，常数 C 1 与 [ f ] C 2 α ， α 1 + γ ， α 2 ( 0 ， 0 ， 0 ， Q ρ ) 以及 ‖ u ‖ L 2 ( Q ρ ) 有关。 在证明定理前，我们先给出所需用到的两个引理。 引理1：设u为方程(2)的弱解，对任意的正数 ε ，存在一个 δ = δ ( ε ) ∈ ( 0 ， 1 ) ，当u满足 1 | Q 2 | ∫ Q 2 | ∇ γ u | 2 d z d t ≤ 1 (6) 且 1 | Q 2 | ∫ Q 2 f 2 d z d t ≤ δ 2 ， (7) 则存在一个函数h满足 h t − Δ γ h = 0 ，   Z ∈ Q 1 ， (8) 使得 1 | Q 1 | ∫ Q 1 | u − h | 2 d z d t ≤ ε 2 . (9) 证明：反证法，假设存在 ε 0 > 0 ，使得对任意的 δ = 1 / n ，存在 u n ， f n 满足 ∫ Q 2 u n φ t d z d t − ∫ Q 2 ∇ γ u n ⋅ ∇ γ φ d z d t = ∫ Q 2 ∇ γ φ ⋅ f n d z d t ， (10) 且 1 | Q 2 | ∫ Q 2 | ∇ γ u n | 2 d z d t ≤ 1 ，   1 | Q 2 | ∫ Q 2 | f n | 2 d z d t ≤ 1 n 2 ， (11) 但是 1 | Q 2 | ∫ Q 2 | u n − h | 2 d z d t ≥ ε 0 . (12) 由于 W γ 1 ， 2 ( Q 2 ) 紧嵌入 L 2 ( Q 2 ) 及有界性条件 1 | Q 2 | ∫ Q 2 | ∇ γ u n | 2 d z d t ≤ 1 ，则存在一个子序列，不妨仍记为 { u n } 使得 u n 在 L 2 ( Q 2 ) 中强收敛于 u ∞ ， ∇ γ u n 在 L 2 ( Q 2 ) 中弱收敛于 ∇ γ u ∞ 令 n → ∞ ，由(10)和(11)可得 ∫ Q 2 u ∞ φ t d z d t − ∫ Q 2 ∇ γ u ∞ ⋅ ∇ γ φ d z d t = 0 ， 这说明了 u ∞ 和h都是方程(8)的弱解。这与(12)式矛盾，证毕。 引理2：设u是方程(2)的弱解，对任意的 0 < α < 1 ，存在一个常数 C 0 ， 0 < λ < 1 2 ， 0 < δ < 1 ，当u，f分别满足 1 | Q 2 | ∫ Q 2 | ∇ γ u | 2 d z d t ≤ 1 和 1 | Q 2 | ∫ Q 2 f 2 d z d t ≤ δ 2 ， 则存在一个多项式 p ( x ， y ， t ) = 1 2 x T A x + B x + C y + D t + E + F y 2 + G x y 满足 p t − Δ γ p = 0 且 1 | Q λ | ∫ Q λ | u − p | 2 d z d t ≤ λ 2 ( 2 + α ) . 其中 | A | + | B | + | C | + | D | + | E | + | F | + | G | ≤ C 0 . 证明：由引理1知，给定一个 ε ∈ ( 0 ， 1 ) ，那么 1 | Q 1 | ∫ Q 1 | u − h | 2 d z d t ≤ ε 2 . (13) 我们把 h ( x ， y ， t ) 在 ( 0 ， 0 ， 0 ) 处展开，同时取 p ( x ， y ， t ) = 1 2 x T A x + B x + C y + D t + E + y 2 + x y = 1 2 x T D x 2 h ( 0 ， 0 ， 0 ) x + x D x h ( 0 ， 0 ， 0 ) + y D y h ( 0 ， 0 ， 0 ) + t D t h ( 0 ， 0 ， 0 )     + h ( 0 ， 0 ， 0 ) + 1 2 y 2 D y 2 h ( 0 ， 0 ， 0 ) + 1 2 x y D x D y h ( 0 ， 0 ， 0 ) 那么 p t − Δ γ p = 0 。由多元高阶Taylor公式可得 | h ( x ， y ， t ) − p ( x ， y ， t ) | ≤ C λ 3 ， 其中 Z = ( x ， y ， t ) ∈ Q λ ， 0 < λ < 1 2 ， 所以， 1 | Q λ | ∫ Q λ | u − p | 2 d z d t ≤ 2 | Q λ | ∫ Q λ | u − h | 2 d z d t + 2 | Q λ | ∫ Q λ | h − p | 2 d z d t ≤ 2 | Q λ | ∫ Q 1 | u − h | 2 d z d t + 2 | Q λ | ∫ Q λ | h − p | 2 d z d t ≤ 2 | Q 1 | | Q λ | 1 Q 1 ∫ Q 1 | u − h | 2 d z d t + 2 | Q λ | ∫ Q λ | h − p | 2 d z d t ≤ 2 ε 2 λ m ⋅ λ n ( 1 + γ ) ⋅ λ 2 + C λ 6 (14) 取   λ 足够小，使(14)第二项满足 C λ 6 ≤ 1 2 λ 2 ( 2 + α ) ， 取 ε 足够小，使(14)第一项满足 2 ε 2 λ m ⋅ λ n ( 1 + γ ) ⋅ λ 2 ≤ 1 2 λ 2 ( 2 + α ) . 因此 1 | Q λ | ∫ Q λ | u − p | 2 d z d t ≤ λ 2 ( 2 + α ) . 证毕。 定理2的证明：不妨假设 f ( 0 ， 0 ， 0 ) = 0 ，否则可以令 v ( x ， y ， t ) = u ( x ， y ， t ) − f ( 0 ， 0 ， 0 ) 2 n | x | 2 ， 那么 v t − Δ γ v = ∑ i = 1 n f x i + ∑ j = 1 m | x | γ f y j − f ( 0 ， 0 ， 0 ) − | x | 2 γ f ( 0 ， 0 ， 0 ) = : f ( x ， y ， t ) − f ( 0 ， 0 ， 0 ) ， 显然对v的估计可以转化成对u的估计。 另外，假设 [ f ] C 2 α ， α 1 + γ ， α 2 ( 0 ， 0 ， 0 ， Q 1 ) < δ ， (15) 1 | Q 1 | ∫ Q 1 ∇ γ u 2 d z d t ≤ 1. (16) 否则，取 u ˜ = δ u 1 | Q 1 | ∫ Q 1 u 2 d z d t + [ f ] C 2 α ， α 1 + γ ， α 2 ( 0 ， 0 ， 0 ， Q 1 ) ， f ˜ = δ f 1 | Q 1 | ∫ Q 1 u 2 d z d t + [ f ] C 2 α ， α 1 + γ ， α 2 ( 0 ， 0 ， 0 ， Q 1 ) 那么，计算容易得到 u ˜ ， f ˜ 满足 u ˜ t − Δ γ u ˜ = ∑ i = 1 n f ˜ x i + | x | γ ∑ j = 1 m f ˜ y j = : f ˜ ( x ， y ， t ) ， 且由 δ 充分小可得 [ f ˜ ] C 2 α ， α 1 + γ ， α 2 ( 0 ， 0 ， 0 ， Q 1 ) < δ ， 1 | Q 1 | ∫ Q 1 u ˜ 2 d z d t ≤ 1 。 然后通过计算对 u ˜ 的估计来得到对u的估计。 下面用归纳法证明：存在多项式 p k ( x ， y ， t ) = 1 2 x T A k x + B k x + C k y + D k t + E k + F k y 2 + G k x y (17) 满足 ( p k ) t − Δ γ p k = 0 ，使得 1 | Q λ k | ∫ Q λ k | u − p k | 2 d z d t ≤ λ 2 k ( 2 + α ) ， | x | ≤ λ k ， | y | ≤ λ k ( 1 + γ ) ， | t | ≤ λ 2 k ， (18) 并且系数满足 | A k + 1 − A k | ≤ C λ α k ， | B k + 1 − B k | ≤ C λ k ( 1 + α ) ， | C k + 1 − C k | ≤ C λ k ( 1 + α − γ ) ， (19) | D k + 1 − D k | ≤ C λ α k ， | E k + 1 − E k | ≤ C λ k ( 2 + α ) ， | F k + 1 − F k | ≤ C λ k ( α − 2 γ ) ， (20) | G k + 1 − G k | ≤ C λ k ( α − γ ) . (21) 1) 当 k = 0 时。取 p 0 ( x ， y ， t ) = 0 ，那么 1 | Q 1 | ∫ Q 1 u 2 d z d t ≤ 1 结果显然成立。 2) 当 k = 1 时。取 p 1 ( x ， y ， t ) = p ( x ， y ， t ) ，这里的 p ( x ， y ， t ) 满足引理2的条件。那么 1 | Q λ | ∫ Q λ | u − p | 2 d z d t ≤ λ 2 ( 2 + α ) 结果亦成立。 3) 假设 k = k 时成立。令 ω ( x ， y ， t ) = u ( λ k x ， λ k ( 1 + γ ) y ， λ 2 k t ) − p k ( λ k x ， λ k ( 1 + γ ) y ， λ 2 k t ) λ k ( 2 + α ) 那么计算得 ω t − Δ γ ω = f ( λ k x ， λ k ( 1 + γ ) y ， λ 2 k t ) λ α k ， 1 | Q 1 | ∫ Q 1 ω 2 d z d t ≤ 1 ， 且 1 | Q 1 | ∫ Q 1 | f ( λ k x ， λ k ( 1 + γ ) y ， λ 2 k t ) | 2 λ 2 k α d z d t ≤ [ f ] C 2 α ， α 1 + γ ， α 2 ( 0 ， 0 ， 0 ， Q 1 ) 2 ≤ δ 2 . 由引理2知：存在一个二次多项式 p k 满足 p t − Δ γ p = 0 且 1 | Q λ | ∫ Q λ | ω − p | 2 d z d t ≤ λ 2 ( 2 + α ) 即 1 | Q λ k + 1 | ∫ Q λ k + 1 | u ( x ， y ， t ) − p k ( x ， y ， t ) − λ k ( 2 + α ) p ( x λ k ， y λ k ( 1 + γ ) ， t λ 2 k ) | 2 d z d t ≤ λ 2 ( k + 1 ) ( 2 + α ) . 取 p k + 1 ( x ， y ， t ) = p k ( x ， y ， t ) + λ k ( 2 + α ) p ( x λ k ， y λ k ( 1 + γ ) ， t λ 2 k ) (22) 故对 k + 1 的情况也成立。再由(22)式可得结论(17)~(21)亦成立。 下面证明当 k → ∞ 时， A k ， B k ， C k ， D k ， E k ， F k ， G k 收敛于A，B，C，D，E，F，G，且 p k ( x ， y ， t ) = 1 2 x T A k x + B k x + C k y + D k t + E k + F k y 2 + G k x y 满足 | p k − p | ≤ C λ k ( 2 + α ) ， | x | ≤ λ k ， | y | ≤ λ k ( 1 + γ ) ， | t | ≤ λ 2 k ， (23) 因为 | A k + 1 − A k | ≤ C λ α k ，所以 | A k + m − A k | ≤ | A k + m − A k + m − 1 | + ⋯ + | A k + 1 − A k | ≤ C λ α ( k + m − 1 ) + ⋯ + C λ k α   ≤ C λ α ( k − 1 ) ( λ α m + ⋯ + λ α ) ≤ C 1 − λ α λ α k . 由Cauchy收敛定理知， { A k } 收敛，且 | A k − A | ≤ C λ α k 。 同理可得 { B k } ， { C k } ， { D k } ， { E k } ， { F k } ， { G k } 收敛，并且 | B k − B | ≤ C λ k ( 1 + α ) ， | C k − C | ≤ C λ k ( 1 + α − γ ) ， | D k − D | ≤ C λ α k ， | E k − E | ≤ C λ k ( 2 + α ) ， | F k − F | ≤ C λ k ( α − 2 γ ) ， | G k − G | ≤ C λ k ( α − γ ) . 因此，对任意的 | x | ≤ λ k ， | y | ≤ λ k ( 1 + γ ) ， | t | ≤ λ 2 k ，有 | p k − p | ≤ C ( λ α k | x | 2 + λ k ( 1 + α ) | x | + λ k ( 1 + α − γ ) | y | + λ α k | t |     + λ k ( 2 + α ) + λ k ( α − 2 γ ) | y | 2 + λ k ( α − γ ) | x | | y | ) ≤ C λ k ( 2 + α ) . 最后，对任意的 ρ ∈ ( 0 ， 1 ] ，一定存在非负整数k，使得 λ k + 1 ≤ ρ ≤ λ k 。因此，由(18)和(23)可得 1 | Q ρ | ∫ Q ρ | u − p | 2 d z d t ≤ 2 ∫ Q ρ | u − p k | 2 d z d t | Q ρ | + 2 ∫ Q ρ | p k − p | 2 d z d t | Q ρ |   ≤ 2 ∫ Q λ k | u − p k | 2 d z d t | Q λ k + 1 | + 2 ∫ Q λ k | p k − p | 2 d z d t | Q λ k + 1 |   ≤ 1 λ m ⋅ λ n ( 1 + γ ) ⋅ λ 2 ⋅ 2 ∫ Q λ k | u − p k | 2 d z d t | Q λ k | + 2 ∫ Q λ k | p k − p | 2 d z d t | Q λ k |   ≤ 2 + 2 C λ m + n ( 1 + γ ) + 2 ( 2 + α ) ⋅ λ 2 ( 2 + α ) ( k + 1 ) ≤ C 1 ρ 2 ( 2 + α ) . 结论得证。 3.2. 远离 { ( x ， y ， t ) ∈ Q 1 : x = 0 } 区域估计 上节得到了在区域 { ( x ， y ， t ) ∈ Q 1 : x = 0 } 附近的估计。接下来研究在 Q 1 ⊂ Ω ∗ 内任意一点的估计。 定理3：假设 | x 0 | ≠ 0 。设u为方程(2)的弱解，任意的正数 α 满足 0 < α < 1 ，存在一个正常数C，若 f ∈ C ∗ α ， α 1 + γ ， α 2 ( Q 1 ) ，那么存在多项式 p ( x ， y ， t ) = 1 2 x T A x + B x + C y + D t + E + F y 2 + G x y ， 使得 1 | Q r | ∫ Q r | u − p ( x 0 ， y 0 ， t 0 ) | 2 d z d t ≤ C r 2 ( 2 + α ) . 其中 0 < r < 1 ，常数C与 [ f ] C ∗ α ， α 1 + γ ， α 2 ( Q 1 ) 和 ‖ u ‖ L 2 ( Q 1 ) 有关。 证明：令 Z 0 = ( x 0 ， y 0 ， t 0 ) ∈ Q 1 。由假设 | x 0 | ≠ 0 及定理2知，存在一个多项式 p ( 0 ， 0 ， 0 ) ( x ， y ， t ) ，使得 1 | Q ρ | ∫ Q ρ | u − p ( 0 ， 0 ， 0 ) | 2 d z d t ≤ C ρ 2 ( 2 + α ) . 取 ρ = 2 | x 0 | ，有 1 | Q 2 | x 0 | | ∫ Q 2 | x 0 | | u − p ( 0 ， 0 ， 0 ) | 2 d z d t ≤ C | x 0 | 2 ( 2 + α ) . 令 v ( x ， y ， t ) = ( u − p ( 0 ， 0 ， 0 ) ) ( | x 0 | x ， | x 0 | 1 + γ y ， | x 0 | 2 t ) | x 0 | 2 + α ， (24) 那么 v t − Δ γ v = f ( | x 0 | x ， | x 0 | 1 + γ y ， | x 0 | 2 t ) | x 0 | α . 算子L在区域 Q ¯ = [ 1 4 ， 5 4 ] × [ − 1 2 ， 1 2 ] 内是一致抛物的，且当 | x | ， | y | ~ 1 时， d 1 s 2 ~ d s 2 = d t 2 − d x 2 − d y 2 ，这表明我们可以在Minkowski度量下研究方程的正则性。根据二阶一致抛物方程经典的 C 2 ， α 估计(见[ 12 ])，可知存在一个二阶多项式 p 1 ( x ， y ， t ) ，使得 1 | Q r | x 0 | | ∫ Q r | x 0 | | v − p 1 | 2 d z d t ≤ C 1 ( r | x 0 | ) 2 ( 2 + α ) ， (25) 其中 0 < r < 1 4 。 再结合(24)和(25)，可以得到 1 | Q r | x 0 | ( Z 0 ) | ∫ Q r | x 0 | ( Z 0 ) | u − p ( 0 ， 0 ， 0 ) − | x 0 | 2 + α p 1 ( x | x 0 | ， y | x 0 | 1 + γ ， t | x 0 | 2 ) | 2 d z d t ≤ C 1 ( r | x 0 | ) 2 ( 2 + α ) . 令 p ( x 0 ， y 0 ， t 0 ) ( x ， y ， t ) = p ( 0 ， 0 ， 0 ) ( x ， y ， t ) + | x 0 | 2 + α p 1 ( x | x 0 | ， y | x 0 | 1 + γ ， t | x 0 | 2 ) . 后面迭代过程与前文相同。 至此我们分别得到了方程(2)在 { x = 0 } 附近区域和远离 { x = 0 } 的区域解的Schauder估计。 综上所述，定理1得证。