DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 1. 绪论 诚如诺贝尔经济学奖得主萨缪森(Samuelson， 1947) [ 1 ] 所说的：「在一般经济理论的教科书中，常执意分成生产、价值、及分配几个不紧凑的部门个别讨论。」 1 无疑地，这样的处理虽便利于教学，但本质上却因而丧失诸经济力量之相互相关性和统一性；易言之，经济学者利用几何图形分析厂商行为时，传统均采部份均衡分析法，分别单独讨论厂商在货品市场与要素市场的均衡，因而忽略了厂商在货品与要素市场短期均衡的对称性。 最早论及厂商在货品与要素市场同时达成均衡之对称性关系，应溯及娄纳(Lerner， 1944) [ 2 ] 和席克斯(Hicks， 1946) [ 3 ] 两位大师的研究。可惜他们的研究仅局限于厂商在货品与要素市场上均处于完全竞争的情况而已。尔后，萨缪森(1947)以数学式进一步证明厂商达成均衡时，在生产面和要素面之间的联系关系。后来，赛伯特和爱迪生(Siebert and Addison， 1981) [ 4 ] 曾结合货品与要素市场几何导引完全竞争厂商长短期的劳动需求函数。贺薛莱佛(Hirshleifer， 1962) [ 5 ] 虽已将分析推展至不完全竞争市场，证明厂商以产出面和要素面衡量的收入和成本之间存在倒置的对称关系(inverse symmetries)，但该文图解并未直接说明上述的联系关系。 本文首先拟利用四象限图形，经由生产轮廓图(production contour)的媒介，说明生产过程中厂商在货品与要素两市场的联系关系，且可清楚看出诸经济变量间的对应关系；其次，利用成长理论广泛使用的人均资本(per capita capital)概念说明长期的联系关系；最后，进一步说明厂商发生技术进步对厂商最适的人均资本量与人均产出量影响。
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user: 2. 短期生产决策 我们假定厂商利用劳动(L)和资本(K)两要素去生产同质的单一货品(X)，令生产函数为一阶齐次函数 。在短期中，设资本为一固定要素，厂商的生产函数受制于可变比例法则(the law of variable proportions)。在长期中，劳动和资本的雇用都可以调整，皆为可变要素。 2 这一节中，我们先讨论厂商在短期间不同市场情况的倒置对称关系，下一节再讨论长期间的倒置对称关系。假设厂商在短期间资本雇用量固定在 单位，短期TP曲线皆图标于图1至图4中第一象限所示的生产轮廓图。 2.1. TR曲线与TRP曲线的倒置对称关系 从要素市场面来看，劳动的总生产收入(total revenue product，缩写为TRP)定义为 ，式中 为货品X的单位价格。图1至图4中第四象限之 曲线代表K投入量维持固定在 单位，L投入量与总收入之间的关系。从另一方面来看，厂商雇用生产要素所生产出来的货品于市场上销售，其销售量和总货币收入的关系，谓之总收入函数，依据定义， 。因此，上述的TRP函数和TR函数实为一体的两面；在货品市场上 为总收入，在要素市场上 为劳动的总生产收入，只是差异在于 ，而 。接着我们可藉由第三象限的 线与第一象限的生产轮廓图为中介，将第二象限的TR函数映成到第四象限中而得出TRP函数。 如果厂商在货品市场上为一完全竞争卖者，每一家厂商面对一既定的货品市价 ，故在第二象限中，TR曲线为一条自原点出发的正斜率直线。为便于绘图起见，我们假定 ，于是TR曲线为一条自原点出发的 线，如图1和图2所示；反之，如果厂商在货品市场上为一不完全竞争卖者，每一家厂商面对的货品市价会随着货品产量增加而下跌，故在第二象限中，TR曲线不再是一条自原点出发的直线，而是一条凹向TP纵轴的拋物线，如图3和图4所示。 接续，我们再把TR曲线经由第三象限与第一象限的生产轮廓图对应连结，导引出第四象限的TRP曲线。如果TR曲线是一条直线，则TRP曲线和TP曲线呈现倒置的完全对称关系，参见图1和图2；反之，如果TR曲线是一条凹向TP纵轴的拋物线，依同法导出的TRP曲线形状自然有异于图1和图2所示之TRP，此时TRP曲线和TP曲线呈现倒置的不完全对称关系，参见图3和图4。 图1. 厂商在货品与要素市场皆为完全竞争的短期均衡 图2. 厂商在货品市场为完全竞争卖者在要素市场为买方垄断者的短期均衡 图3. 厂商在货品市场为卖方垄断者在要素市场为完全竞争买者的短期均衡 2.2. TC曲线与TIC曲线的倒置对称关系 其次，我们先从要素市场来看厂商的成本面，在固定要素既定的雇用量 下，厂商雇用不同单位 图4. 厂商在货品市场为卖方垄断者在要素市场为买方垄断者的短期均衡 劳动所耗去的总成本，称之为总投入成本(total input cost，缩写为TIC)。依据定义，TIC由总可变成本(TVC)与总固定成本(TFC)所组成。 ，式中 ， ，我们将之图示于第四象限中。然后，我们再从货品市场去看厂商的成本面，生产既定产品所耗去的总货币成本为该产出的总成本(TC)，它表示货品产量与总货币成本之间的关系。依据定义，TC为总可变成本(TVC)与总固定成本(TFC)两项的总和，就厂商而言，TC与TIC函数亦为一体之两面，其差异在于 ，而 。同样地，我们可借用 线与生产轮廓图为中介，将第四象限之 函数映成到第二象限中得出 函数。 接着，我们拟说明市场结构对厂商成本曲线与收入曲线的影响。如果厂商在要素市场为一完全竞争买者，该厂商面对既定的劳动价格 ， 曲线为一条从纵轴截距绘出的直线，意味着纵轴截距部分为 ，w与L的雇用量多寡无关；如果厂商在要素市场为一不完全竞争买者，其劳动价格会随着劳动雇用量增加而提高，致使第四象限之TIC曲线凹向TIC纵轴的拋物线。我们将TIC曲线经由第三象限与第一象限的生产轮廓图对应连结，导出第二象限以货品产出量衡量的TC曲线。厂商在要素市场为完全竞争买者(参见图1和图3)，TIC曲线为一条从纵轴截距绘出的直线，对应的TC曲线将凸向TP纵轴且在TC横轴上有一正截距 ，其形状和TP曲线刚好相反，这正可以说明生产‐成本对偶性(production-cost duality)之关系。当工资率为 时，对应的TIC曲线为 曲线，TC曲线为 曲线，当工资率为 时，对应的TIC曲线为 曲线，TC曲线为 曲线；反之，如果厂商在要素市场为不完全竞争买者(参见图2和图4)，则TIC曲线为一条从纵轴截距绘出之凹向TIC纵轴的拋物线，对应的TC曲线将凸向TP纵轴且在TC横轴上有一正截距的曲线，其形状正与TP曲线刚好相反。 2.3. 市场结构与厂商短期生产决策 讨论短期间厂商在各种不同市场情况下生产、收入、及总成本之间的联系关系后，接下来我们进一步讨论短期间厂商在各种不同市场情况下均衡生产决策。图1所示为某一厂商在货品市场为一完全竞争卖者，同时该厂商在要素市场为一完全竞争买者之生产均衡。从要素面来看，厂商总利润定义为 当TRP曲线与TIC曲线斜率相等(即 )时，该厂商获致最大利润，也决定了货品最适产出量 。藉生产轮廓图的中介，当厂商在要素市场达成均衡时，同时该厂商在生产面也应达成均衡，亦即厂商满足 条件，同时也应满足 条件。 至于厂商面临其他市场结构的均衡状况，参见图2至图4说明。图2说明某一厂商在货品市场为一完全竞争卖者，同时该厂商在要素市场为买方垄断者(monopsonist)之生产均衡。图3和图4分别说明某一厂商在货品市场为一卖方垄断者(monopolist)，前者所指的是厂商在要素市场为一完全竞争买者，后者是指厂商在要素市场为买方垄断者。不论厂商所面临的市场结构为何，经由四象限图形的解说，当 和 条件同时满足时，我们可清楚看出厂商同时达成最适要素雇用量和最适货品产出量之联系关系。 接下来，我们拟进一步讨论工资率变动对最适要素雇用量与货品产出量的影响。假定其他情况不变，如果工资率由 下降至 ，图1中第四象限的TIC曲线由 曲线以逆时针方向转移至 曲线；至于第二象限的TC曲线则会因工资率下降，由 曲线向下转移至 曲线。当TRP曲线与TIC曲线斜率相等 (即 )时，厂商获致最大利润 ，劳动投入的最适雇用量由 增至 单位(参见图1第四象限)，符合劳动的需求法则。同时当TR曲线与TC曲线斜率相等(即 )时，厂商获致最大利润 ，货品最适产出量也由 增至 单位(参见图1第二象限)，货品产出量随着劳动雇用量增加而增加。 3
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user: 3. 长期生产决策 在长期中，由于资本、劳动、及产出量可以同时变动，以上图形解说只适用于厂商在货品和要素市场皆为完全竞争的长期生产决策分析，若厂商处在不完全竞争情况则难以适用。因此，我们拟改用平均每一位劳动拥有资本量的观念出发 4 ，来讨论厂商长期的生产决策。 由于假定厂商生产函数满足一阶齐次特性，因此，我们可以将上述生产函数改换为人均生产函数(per capita production function) ，式中 ， 。图5至图8中第一象限所示之人均生产轮廓图，便是以 表示的生产函数，其形状为一拋物线。 从要素市场来看，劳动的总生产收入为 ，以人均角度来看，可改换为 ，我们将trp曲线图标于图5至图8第四象限中 5 。同样地，我们也以人均角度来看，将TIC改换为 。如果某一厂商在要素市场为一完全竞争买者，厂商接纳既定的要素价格，因此tic曲线为一条直线(参见图5与图7第四象限)；反之，如果某一厂商在要素市场为一不完全竞争买者，随着k的增加，工资率和利率也会跟着上升 6 ，因此对应的tic曲线会更凸向k轴(参见图6与图8第四象限)。 人均总收入可定义为 。同理tr函数和trp函数仍为一体之两面，此一连结关系如图5第三象限一条自原点出发之 线关系所示。tr函数和trp函数差异在于前者为q的函数，后者为k的函数。同样地，我们借着第三象限 线和第一象限的人均生产轮廓图，将第二象限的tr曲线映成至第四象限中导出trp曲线。 图5. 厂商在货品与要素市场皆为完全竞争的长期均衡 图6. 厂商在货品市场为完全竞争卖者在要素市场为买方垄断者的长期均衡 如果厂商在货品市场为一完全竞争卖者，则厂商面对着既定的货品价格。为了绘图方便起见，假定 ，故图5和图6第二象限tr曲线为一条自原点出发之 线，表示tr随着货品产出量增加而比例增加。我们将tr曲线经由第三象限中介与第一象限的人均生产轮廓图对应连结，即可导出第四象限trp曲线；反之，如果厂商在货品市场为一不完全竞争卖者，货品价格将会随着货品产出量增加而下跌，此 图7. 厂商在货品市场为卖方垄断者在要素市场为完全竞争买者的长期均衡 图8. 厂商在货品市场为卖方垄断者在要素市场为买方垄断者的长期均衡 时图7和图8第二象限tr曲线为一条凹向q轴的拋物线，表示tr随着货品产出量增加而以递减速度增加。 同样地，tc函数和tic函数也是一体之两面，其差异在于前者为q的函数，后者为k的函数。如果厂商在要素市场为一完全竞争买者，图5和图7第四象限tic曲线代表一条工资率为 的直线，而第二象限tc曲线为一条凸向q轴且有一正截距的曲线，其形状与 相对称。相对地，如果厂商在要素市场为一买方垄断者，图6和图8第四象限tic曲线为一条凸向k轴的拋物线，其形状与 相对称。 3.1. 市场结构与厂商长期生产决策 同理，我们以要素面的人均总利润定义如下： 亦即人均总利润可界定为厂商在任意k之下，trp曲线和tic曲线的垂直差距。由于长期间完全竞争厂商可以自由进出市场，致使厂商长期均衡只获得正常利润。在图5第四象限中，当trp曲线和tic曲线相切时，其斜率相等 (即 )，厂商支付最小成本，决定了厂商长期最适的人均资本量( )。另外从货品空间来看，当tr曲线和tc曲线相切(即 )时，决定厂商长期最大利润下的均衡货品产出量 ，厂商在此最适人均产出量的人均总利润为零。由人均生产函数得知，当厂商在要素市场达到均衡，同时在货品市场也达到均衡。 如果某一厂商面临不完全竞争的货品市场或要素市场的话，她将获有租值(rent)。例如，图6代表厂商在要素市场为一买方垄断者，同时她在货品市场为一完全竞争卖者，该厂商将获致要素市场人均买方垄断租(per capita monopsonist rent)，如图6中第二象限和第四象限所示的人均买方垄断租 ，它属于该厂商在要素市场买方垄断的利得。图7展示某一厂商在要素市场为一完全竞争买者，同时她在货品市场为一卖方垄断者的情况。该厂商处在长期均衡时可获致人均卖方垄断租(per capita monopolist rent)。 图8展示某一厂商在要素市场为一买方垄断者，同时她在货品市场为一卖方垄断者，该厂商在长期均衡时可获致人均卖方垄断租，同时也获得人均买方垄断租，合计该厂商获致的人均总垄断租为 。 3.2. 厂商技术进步的影响 以下我们试图讨论厂商发生技术进步(technical progress)，对最适的人均资本量与人均产出量的影响。 7 假定图9第二象限A点为厂商最初的长期均衡点，当厂商发生技术进步时，使得人均生产函数由 上移至 ，也使得第二象限中的tc曲线由 曲线以顺时针方向转移到 曲线；同时第四象限的trp曲线由 曲线以顺时针方向转移到 曲线。倘若货品价格在技术进步后仍维持不变，当trp曲线与tic曲线斜率相等时，厂商获致最大人均利润 ，人均资本量最适水平由 增至 。同时对应在第二象限的tr曲线和tc曲线斜率也正好相等，货品最适产出水平由 增至 。起初技术进步促使厂商获致超额利润，从而吸引新的厂商加入该产业。 为了简化分析，我们假定新厂商加入不会影响既存厂商的成本结构。然而新厂商加入会增加市场供给，致使货品价格下降是不争的事实，于是在第二象限的tr曲线由 曲线以顺时针方向转移到 曲线，在第四象限的trp曲线则由 曲线以逆时针方向移回 曲线。最后当新的trp曲线与tic曲线斜率相等时，厂商达成长期均衡，人均资本量最适水平再度回到 ；在第二象限新的tr曲线和tc曲线斜率也正好相等，最适的人均货品产出水平由 稍微缩减至 。由于发生技术进步的厂商在货品市场为完全竞争卖者，在要素市场为完全竞争买者，故最后厂商达成长期均衡时只获得正常利润。
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user: 4. 结语 虽然我们都知道生产过程中，厂商在货品市场与要素市场上扮演双重角色，但是一般经济学教科书 图9. 技术进步对厂商在货品与要素市场皆为完全竞争短期均衡的影响 为了教学便利，常将厂商的货品生产与要素需求行为分开独立讨论，因而忽略厂商生产行为的一致性。职是之故，我们无法清楚完整得知当厂商在货品市场达成最适决策时，是否也同时在要素市场达成最适决策。此外，经济学教科书在介绍厂商生产行为时，对于长期分析除了一般惯用的等产量曲线和等成本曲线分析法外，无法如短期所利用的总收入曲线和总成本曲线分析法讨论。基于这个观点，本文利用几何图形解说厂商长短期在各种不同市场情况下同时达成利润最大化与成本最小化的均衡决策。我们利用此种四象限图形分析虽稍嫌复杂，但有助于了解生产过程中，厂商在货品市场与要素市场上的双重角色，而且长短期均能兼顾总量分析法和边际量分析法，也能够进一步阐释生产‐成本的联系关系和生产均衡的对称性，具有较强的理论意义。最后值得一提的是，本文利用人均资本概念说明长期均衡的联系关系，以及有关厂商发生技术进步的讨论为本文的创意，方法新颖，颇富教学意义。
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user: 摘 要 为提高分布式电源并网的效率，减小并网电流总的谐波畸变率，降低并网逆变器的开关损耗，研究了一种新型双频并网逆变器，其中一部分工作在低频，采用电流滞环控制，快速跟踪高频单元电流，传递大部分功率；另一部分工作在高频，采用空间矢量调制，改善并网电流的动态性能，使并网电流和电网电压同频同相，并且实现了电流有功分量和无功分量的解耦控制。以双频逆变器A相工作的四种状态为例分析了系统的工作原理。Simulink仿真模型验证了双频并网逆变器能够大大降低开关损耗，使并网电流总的谐波畸变率减小，提高了并网效率。 关键词 :分布式电源并网，双频逆变器，总谐波畸变率，电流滞环控制
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user: 1. 引言 能源紧缺，环境恶化已成为日趋严重的全球性问题，引起了世界各国政府和能源专家的日益重视。人类为追求可持续发展，正积极发展可再生能源技术，风能、太阳能作为可再生能源之一具有很大的开发潜力，同时新能源发电有望在未来缓解能源紧张这一紧张局面 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] 。作为并网发电技术的重要设备－并网逆变器近来已成为太阳能应用研究的一个热点，为了使输出电能质量高又提高效率，研究新型拓扑与控制方法已成重点 [ 5 ] [ 6 ] 。 文献 [ 6 ] 针对系统并网时冲击电流大和动态响应较慢的问题，采用幅相控制中的相量调节原理，有效地改善了系统在控制过程并网时刻的动态性能，不足之处为逆变器输出电流相位不能较好地同步于网侧电压相位，影响了并网效率。文献 [ 7 ] 提出了一种新型并网逆变器，其结构简单、易于控制，而逆变器开关管处于高频开关状态，增加了开关损耗。文献 [ 8 ] 采用一种新的拓扑来实现高功率因数电流源并网逆变，相比于传统三相并网逆变器，具有系统冗余性好，抗电网波动能力强等优点，但增加了电路结构和控制的复杂性，降低了系统的可靠性。根据文献 [ 9 ] [ 10 ] 提出的一种新的变换器级联控制思想，即双频理论，本文研究了一种三相桥式双频光伏并网逆变器的拓扑结构，该结构由两个传统的三相桥式逆变器级联而成，其中一个工作在高频状态，采用空间矢量调制，改善系统的动态性能，使逆变器输出电流频率、相位同步于网侧电压的频率、相位；另一个工作在低频状态，跟踪高频单元电流采用滞环控制，负责传递大部分能量。
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user: 2. 双频逆变器拓扑结构及其工作原理 2.1. 双频逆变器的拓扑结构 双频逆变器是由传统的两个三相桥式逆变器级联而成，其主电路图如图1所示。 在上图中，C为直流侧支撑电容，开关S 1 ~S 6 构成高频逆变单元，开关S L 1 ~S L 6 ，滤波电感L La ~L Lc 构成低频逆变单元，L a ~L c 是并网滤波电感，u ga ~u gc 为电网电压。新能源产生的电能首先转换成直流电源，然后经过三相桥式双频逆变器的转换，经过滤波电感L滤波后，向电网馈入与电网电压同步的正弦波。 2.2. 双频逆变器的工作模式 下面以A相桥臂为例来说明双频逆变器的工作原理，S 1 ，S 2 是高频逆变单元的开关，S L 1 ，S L 2 是低频 逆变单元的开关，L La 是低频逆变单元的滤波电感，L a 是并网滤波电感。由于开关管S 1 ，S 2 工作在高频状态，开关频率为f H ；S L 1 ，S L 2 工作在低频状态，开关频率为f L 。不妨设 ，即低频开关的一个开关周期包含N个高频开关周期。由于只有四个开关S 1 ，S 2 ，S L 1 ，S L 2 ，则一个低频开关的周期内对应着四种状态 [ 11 ] ，每种状态所对应的导通电路如图2所示。 通过图2可以看出在每种状态下双频逆变器的工作模式，为使双频逆变器输出的并网电流波形是与电网电压同频同相的正弦波，同时满足并网谐波小，系统动态性能好，不受电压波动变化影响的要求，应对双频并网逆变器采取适当的控制策略。
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user: 3. 系统控制策略 双频逆变器由高频逆变单元和低频逆变单元两部分构成，高、低频单元分别采用不同的控制策略，其中高频单元采用单周控制，低频单元采用电流滞环控制，跟踪高频单元电流。 3.1. 高频单元的控制策略 在本论文中所讨论的三相桥式双频逆变器的高频单元采用空间矢量调制算法进行控制，低频单元采用 图1. 双频逆变器并网主电路图 图2. 4种状态时A相桥臂电路 电流滞环控制。由于双频逆变器的低频单元跟踪系统输出电流采用电流滞环控制，且高低频单元控制相对独立，因此可以对立地先对高频单元进行分析，首先对高频单元进行分析，高频单元的等效电路如图3所示。 假设三相对称电网中电压为： (1) 式(1)中 为相电压幅值，将三相电网电压通过坐标变换为同步旋转坐标系下的为 [ 12 ] ： (2) 由图3得出高频等效电路的以下关系 (3) 将式(3)通过坐标变换到两相旋转坐标下得(由于是三相对称系统，可令 ， )： (4) 由式(4)可知， 、 轴电流是一个强耦合系统，为了消除 、 轴之间的相互影响，实现对不同轴独立控制，可令调制电压为： (5) 上式中， 、 分别含解耦项 、 和调节项 、 两部分，解耦项 、 为： (6) 图3. 高频单元的等效电路 其中调节项 、 为 、 轴电流PI调节器输出即： (7) 由式(4)~(7)可得解耦后的系统控制框图如图4所示，由控制框图可知，通过控制旋转坐标下电流的直轴分量和交轴分量来控制系统输出有功和无功大小，电流环实现了解耦， 、 的控制互不影响。 3.2. 空间矢量电压分配 三相逆变器中的6个功率开关器件可以产生8个基本的电压矢量，包括6个非零电压矢量(u 1 ~u 6 )和两个零电压矢量(u 0 ， u 7 )，六个非零电压矢量将整个平面分为6个扇区，任意给定的电压矢量便可以用它所在扇区的两个相邻基本电压矢量来合成。在每一个采样周期内可利用若干个基本电压矢量合成任意给定的参考电压矢量u ref 。对任意的参考电压矢量u ref ，当它位于由u k 和u k +1 组成的扇区内时，利用两个非零电压矢量u k 、u k +1 和两个零电压矢量合成参考电压矢量u ref ，如图5所示。当参考矢量u ref 在任一扇区时，都可以由相邻两矢量u k 、u k +1 以及零矢量u 0 或u 7 来合成，根据伏秒平衡原则有 (8) 其中T s 为系统采用周期，t k 、t k +1 、t 0 为对应矢量电压作用的时间，根据图5中各个电压矢量关系可以得出 (9) 式中u dc 直流母线电压。在实际应用中，为了尽量减小开关状态变化时引起的开关损耗，因此在每个扇区内都应保证每次开关切换状态时只切换一个开关器件，以Ⅰ扇区各个开关的开关序列为例，如图6所示，各个扇区电压矢量作用序列总结为表1所示。 图4. 系统控制框图 图5. 空间电压矢量关系 图6. I扇区开关序列 Table 1 The sequence voltage vector of every secto 作用时间 扇区 I II III IV V VI t 0 /4 u 0 (000) u 0 (000) u 0 (000) u 0 (000) u 0 (000) u 0 (000) t a /2 u 1 (100) u 3 (010) u 3 (010) u 5 (001) u 5 (001) u 1 (100) t b /2 u 2 (110) u 2 (110) u 4 (011) u 4 (011) u 6 (101) u 6 (101) t 7 /2 u 7 (111) u 7 (111) u 7 (111) u 7 (111) u 7 (111) u 7 (111) t b /2 u 2 (110) u 2 (110) u 4 (011) u 4 (011) u 6 (101) u 6 (101) t a /2 u 1 (100) u 3 (010) u 3 (010) u 5 (001) u 5 (001) u 1 (100) t 0 /4 u 0 (000) u 0 (000) u 0 (000) u 0 (000) u 0 (000) u 0 (000) 表1. 各扇区作用电压矢量分配序列 3.3. 低频单元控制策略 对于双频逆变器低频单元的滞环控制以A相桥臂为例进行分析，其电路如图7所示。其中i a 为双频逆变器A相输出电流，i la 为低频单元A相输出电流，二者的误差通过滞环比较器，环宽为2h。当 ，且 ，滞环控制器输出高电平，驱动上桥臂开关器件S L 1 导通，逆变器输出正电压，使i la 增大。当i la 增长到与i a 相等时，虽然 ，但滞环比较器仍保持正电平输出，关器件S L 1 保持导通，使i la 继续增大。直到 ， ，使滞环翻转，滞环比较器输出低电平，关断开关器件S L 1 ，并经延时后驱动S L 2 。此后，i la 逐渐减小，直到 时，到达滞环偏差的下限值，使滞环比较器翻转，又重新使S L 1 导通。如此循环，使低频电流i la 与系统电流i a 之间的偏差保持在±h范围内，在正弦波i a 上下作锯齿状变化，如图8所示。对于低频单元B、C桥臂工作原理和A桥臂相同，在此不再赘述。
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user: 4. 仿真分析 根据双频逆变器主电路图1，由MATLAB/Simulink建立系统的仿真模型，假设直流侧电压稳定，仿真参数设置如下：直流侧电压 ， ， ，电网电压有效值 ，高频开关频率 ，低频开关频率约为 。仿真结果如图9~11所示。 图9为A相并网电流和A相电网电压的波形，从可以看出，并网电流和电网电压同频同相，在双频 图7. 低频单元电流滞环控制原理图 图8. 低频单元电流滞环控制原理图 图9. A相并网侧电压与并网电流波形 图10. 双频并网逆变器开关S 1 和S L 1 的电流 并网逆变器的作用下实现了良好的并网效果；图10(a)为A相桥臂高频开关S 1 和低频开关S L 1 的电流波形，图10(b)为高低频开关电流展开图，可以看出流过高频开关的电流远远小于低频开关电流，因此大大降低了开关损耗，提高了光伏并网的效率。 图11. 双频并网逆变器输出电流
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user: 5. 结论 双频并网逆变器是由低频单元和高频单元两部分构成，其中低频单元采用电流滞环控制，迅速跟踪高频单元电流，传递大部分功率；高频单元采用空间矢量调制，实现并网电流与电网电压同频同相，并且并网电流的有功分量和无功分量实习了解耦控制。由于系统电流主要经低频单元流过，高频单元电流很小，因此大大降低了开关损耗，提高并网的效率，同时系统控制简单，易于实现，并网电流能够较好跟踪电网电压，并且使并网电流总的谐波畸变率降低，开关损耗低，提高了系统的动静态性能，通过仿真验证了理论分析的正确性。
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user: 摘 要 双稳系统中的不稳定点对图像增强起到了决定性的作用，使其充当了一个阈值的角色，在一定条件下，使得不稳定的点(也就是阈值)趋于稳定的点，以实现图像增强。本文研究了一类双稳系统，分析了该系统的线性稳定性，利用该性质，在特殊的时间点下，通过初值遍历每一个像素值，实现了图像直方图均衡化，达到了图像增强较好的效果。 关键词 :图像增强，双稳系统，像素值，直方图均衡化
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user: 1. 引言 图像增强就是指按照特定的需要去突出一幅图像中的某些信息，同时去除某些不需要信息的处理方法。针对给定图像的应用场合，有目的地强调图像的整体或局部特征，将原来不清晰的图像变得清晰或强调某些感兴趣的特征，扩大图像中不同物体特征之间的差别，使之改善图像质量，丰富信息量，加强图像的识别效果，满足一些较为特殊分析的需要。图像增强有很多种方法，本文介绍基于一类简易双稳系统的图像加强，即将双稳系统看成一个机器，像素值作为输入值，经过机器后，就会有一个输出值，从而达到图像像素值的改变。进一步的说，上述过程只有在系统满足一些特定的条件下才可以实现。 近年来，关于双稳系统的研究有很多，大多是关于随机共振的研究，即在双稳系统与噪声及弱信号的共同作用下达到图像处理的目的。1981年，Benzi提出随机共振的概念时研究了具有双稳态的朗之万(Langevin)方程 [ 1 ] 。试想，若只有一个双稳系统图像又是否可以加强呢？在文献 [ 2 ] 中，作者提出了一种通过非线性振子实现的图像对比度增强的算法；2008年，Morfu通过雅可比椭圆函数分析了动力系统在不耦合下的解与时间的关系，也强调了阈值的概念，从而实现了图像对比度增强 [ 3 ] 。Morfu算法实现的图像处理主要针对低对比度的图片，通过非线性系统作用，可以达到使其对比度增强的目的，而对于像素缺失图片如木材缺陷，该算法是无能为力的。 本文首先引入一个简单的双稳模型，讨论其线性稳定性，得到该系统达到双稳的条件，并利用该系统双稳态下的性质对木材缺陷图片进行纹理增强的处理，使得木材图片纹理更清晰。
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user: 2. 双稳系统简介 双稳系统是一种非线性动力学模型，此系统的特点是系统有三个平衡态P，Q和R，其中，P和R是稳定的，而Q态是不稳定的，因此称为双稳系统 [ 4 ] 。1981年，Benzi提出随机共振的概念时研究了具有双稳态的朗之万(Langevin)方程，由(1)式描述： (1) 其中，系统中的系数a和b为正数，该系统描述了双稳态系统势阱的形状参数。此双稳系统描述了由两个势阱和一个势垒所组成的双稳态系统，系统存在两个对称的势阱，分别对应系统的两个稳定状态 [ 5 ] 。图1是非线性系统的分叉图，其稳定性可以用一个小球O在不同形式的势阱中的运动情况来表示，小球O从势垒会朝两个势阱的方向运动，如图2： 图1. 分叉图 图2. 双稳势函数 如图2，小球在0点易从势垒到两边的势阱。由图1知，系统在 处产生分叉， 为系统的分叉值。若给定初值 (或 )，系统要趋于稳态解 ，当 时，系统无穷逼近该定态，且再不会离开该定态 [ 5 ] 。
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user: 3. 一个双稳系统的线性稳定性分析 本文考虑如下双稳系统： (2) 其中 求解方程 ，显然系统有3个平衡点 ， ， 我们分别对系统在个平衡点处的稳定性情况进行讨论： 平衡点为 时，在此平衡点处线性化后得到系统(2)的特征方程为： 因为特征值小于0，此时系统稳定； ②当平衡点为 时线性化后得到系统(1)的特征方程为： 化简得 又 ， ， 特征值大于0，此时系统不稳定； ③当平衡点为 时，在此平衡点处线性化后得到系统(1)的特征方程为： 由于特征值小于0，此时系统稳定。 综上，双稳系统(2)在平衡点0与1时为稳定状态；在b时即为不稳定状态。 数值仿真 取系统(2)中的参数， ；在此系数条件下，方程变为 (3) 分别取系统(3)的初值为： 由上述稳定性分析得知此系统在b = 0.65平衡点处是不稳定的，而在0与1两个平衡点处是稳定的，下面进行数值仿真来分析这四个不同的初值下的解曲线。 取系统(3)的初值分别为 ，仿真的时间区间为[0，20]，得到四条解曲线A，B，C，D分别对应四个初值 下的解曲线，图3为仿真结果 在这四个初值下的解曲线，当初值 时，解曲线收敛到1；当初值 时，解曲线收敛到0。验证了双稳的定义，三个平衡点中不稳定的点附近的点会朝着两个稳定的点逐渐趋近。在t = 2时，解的变化的范围在[0.2，0.9]之间；在t = 4.5时，解的变化范围在[0，1]之间，且不同的初值下的解之间存在着差值；在t = 8时，解的范围在[0，1]之间，但几乎所有的解都会趋于0附近或者1附近，就会导致在中间值(0，1)的解过少。但当t = 8时也就是大多数灰度级是0或1，中间灰度值为(0，1)的值会偏少，进而不可以实现图像直方图均衡化，从理论上分析在t = 8时图像增强效果不好。 由此发现，若给系统一个初值，对应的就会有一个解，且在不同的时间下，解不同。由此可以把双稳系统的性质应用到图像增强上。从图像的灰度上考虑，一幅清晰的图像的灰度变化应是从[0，1]且均匀散开。若把原图像的像素值当做系统的一个初值，经过此双稳系统，在t = 2时灰度级就在[0.2，0.9]间，达不到图像直方图均衡化；当t = 8时也就是大多数灰度级是0或1，中间灰度值为(0，1)的值会偏少，进而不可以实现图像直方图均衡化；但是在t = 4.5时，灰度级为[0，1]，且灰度级为均匀散开，可以达到直方图均衡化。若要实现图像增强也就是要把图像对应的直方图均衡化，则系统解的时间就会显得尤为重要，这个问题在下一部分会给出实验结果的分析。 算法具体步骤： I. 数字图像m ´ n的每一个点(I，j)为一个像素值，把像素值作为初值，也就是输入值，原图像就是输入图像，像素值构成的矩阵为输入矩阵； II. 通过双稳系统输出方程的解，遍历图像的每一个点，从第一行第一列到第m行第n列，使每一个点都经过双稳系统，每一个点都会有一个输出解，这样就会得到一个与原图像行与列相同的矩阵，作为输出矩阵； III. 将输出矩阵生成新图像。 图3. 四个初值下的解曲线
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user: 4. 木材缺陷图像增强 取一副木材纹理不清图片作为输入图像并利用MATLAB仿真。其中，所选取的图像像素大小为128 ´ 128。 取系统(2)中的参数a = −1，b = 0.65；按照上述算法步骤，图像中的每一个像素值都会经过一次双稳的演化，通过稳定性分析选取tspan = 4.5，实验结果如下图4所示。 图4中的四幅图片从左至右，从上到下依次表示为原木材缺陷图像、经过双稳系统处理后的图像、原木材缺陷图像对应的直方图、经过双稳系统处理后的图像对应的直方图。观察图像，经过双稳系统处理后，原木材缺陷图像中的木结部分被突出出来，其余部分弱化掉，符合图像增强的思想；再观察直方图部分，经过双稳系统处理后，原木材缺陷图像的直方图的灰度级由[0.3，0.8]均衡到[0，1]且灰度级均匀散开。综上，双稳系统可以实现加强，并可以将直方图均衡化。 在上一部分提到的时间t影响图像处理后的效果与质量，下面我们观察在不同的时间t下图像的效果有何变化，从而验证我们的结论。 图5中的四幅图片从左至右、从上至下依次表示为tspan = 2时图像、tspan = 8时的图像、tspan = 2时的图像对应的直方图、tspan = 8时的图像对应的直方图。观察图像，tspan = 2时木结部分开始清晰，但周围的部分还未被弱化掉，从理论的稳定性分析的部分考虑，就是因为在tspan = 2时双稳系统的解还未收敛到1，所以灰度级就只会是[0.2，0.9]，此时图像加强处于“未达标”的状态；tspan = 8时，图像部分周围需要被弱化掉的部分已被弱化掉，但是木结部分已经全部变黑，再看它所对应的直方图，灰度级为[0，1]，但是在(0，1)上的灰度级过于分散，从稳定性分析的角度来说，就是在这个时间下大多数的解已经收敛到0或1，导致在(0，1)上的解过少，此时可以说图像被“过于”加强了。 从理论上的角度再分析一下“最佳时间”的产生，在第2部分中的稳定性分析中我们选取的最佳时间点的依据是解之间差值的大小，这样才会有图像对比度的产生。我们做第2部分中曲线A与D的差值曲线以及B与C的差值曲线P及Q，见图6，P曲线是初值为0.55以及0.8之间的差值曲线，Q曲线是 图4. 加强前后图像以及与之对应的直方图 图5. tspan = 2和8时的输出图像以及与之对应的直方图 图6. 时间t与初值不同下解之间的差的关系 初值为0.6以及0.7之间的差值曲线，若想增强对比度，只需找到解之间相差最合适的点，通过前文的分析，P曲线解之间的差距最合适范围应在[0.5，0.6]之间，Q曲线解之间的差距小于0.5即可，所以当t = [4.5，5.5]时，即为图像增强的最佳时间了。所以不在最佳时间就会产生图5的效果。
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user: 5. 结论 本文介绍了一种简单的双稳型系统并对其做了稳定性分析。通过观察其解曲线，选取特定的时间点，达到直方图均衡化，从而实现图像增强。主要结论如下：1) 双稳系统可以实现图像增强；2) 在不同的时间下，图像增强的效果不同；3) 此种模型较简单且实现速率较快。
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user: 摘 要 4关节欠驱动体操机器人是一个多变量、非线性、强耦合的复杂控制系统。本文针对该类机器人系统，首先利用拉格朗日法建立了其刚体动力学方程，然后探讨了非线性机器人数学模型在垂直倒立平衡点附近的线性化方法，接着采用了线性二次型调节器(LQR)对体操机器人进行了倒立平衡最优控制器的设计，最后通过仿真实验验证了提出方法的有效性。 关键词 :体操机器人，欠驱动系统，平衡控制，LQR，倒立稳定
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user: 1. 引言 生物力学研究表明，人类和其它生物的运动之所以自然、优美、高效，原因是人类和生物极善于利用躯体各部分的动力耦合来实现运动能量的传递，达到整个机体的高度协调。因此，对基于动力学耦合驱动原理的欠驱动机器人展开研究，将会促进机器人从呆板机械的运动向接近人体或生物的动力协调运动发展。由于欠驱动系统的高度非线性、参数摄动、多目标控制要求及控制量受限等原因，系统的动特性显得非常复杂，其一般力学特性，包括其固有运动在内，理论解析上还很不明确 [ 1 ] 。作为欠驱动机器人家族中的一员，单杠体操机器人可以简化成由一个被动关节和多个主动关节组成的欠驱动连杆系统模型。近年来，国内外相继报道了许多以该类机器人为对象的研究成果 [ 2 ] - [ 8 ] 。 在国内外早期关于体操机器人的研究中，大都采用Acrobot的欠驱动两关节体操机器人模型 [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] 。Acrobot是一种具有2个自由度和1个主动关节的两关节机器人，它能简单的模拟体操运动员在单杆上的摆起、倒立、大回环等体操动作，其第一个关节是非驱动的，模拟了体操运动员的腕关节，第二个关节是驱动的，模拟了体操运动员的髋关节。随着研究的深入，目前较多采用的是三关节体操机器人模型，其具有3个自由度和2个主动关节，其中肩关节和髋关节为主动关节，腕关节为被动关节，是一种典型的欠驱动机器人 [ 8 ] [ 12 ] 。该机器人可以有效地模拟体操运动员肩关节和髋关节的主动控制作用，相比于Acrobot，三杆体操机器人具有更强的非线性和耦合性，其控制具有高度的复杂性和非线性，可用来检验控制理论和控制方法在类似复杂控制系统的有效性 [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] 。 四关节欠驱动体操机器人具有4个自由度和3个主动关节可有效模拟运动员的肩关节、髋关节和膝关节的主动控制作用。膝关节的加入使得单杠体操机器人能做出更加复杂的体操动作，因此，四关节单杠体操机器人能更好地反映真实体操运动员的肢体运动，当然，这类机器人也具有更复杂的非线性特性，目前国内外尚鲜有相关研究成果报道。4关节单杠体操机器人的运动控制研究，对于进一步实现更逼真的类人体操机器人具有重要的意义。本文以4关节体操机器人在单杠上倒立稳定运动作为控制目标，提出了一种采用LQR的平衡控制方法。
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user: 2. 动力学分析与建模 2.1. 物理模型 四关节体操机器人能够被抽象为一个如图1所示的由4节连杆、4个关节连接构成的刚体。第i 个连杆分别定义为机器人的手臂、躯干、大腿和小腿，第i 个关节分别对应为腕关节、肩关节、髋关节及膝关节。 ， ， ， 分别定义为第i 个连杆的长度、质心–轴心距、质量以及以质心为转轴时的转动惯量， 为第i 个关节的角度，角度的正方向为逆时针方向。 4关节欠驱动体操机器人，腕部的旋转为完全不受限的旋转，转角范围 ，肩关节、髋关节和膝关节不能做完整的旋转。采用拉格朗日力学的方法建立体操机器人的动力学模型，拉格朗日运动方程式为： (1) 图1. 四关节体操机器人物理模型 式中， 为拉格朗日算子； 为系统的广义坐标； 称为系统的广义外力。求解拉格朗日算子，可得到4关节欠驱动体操机器人的动力学模型： (2) 式中， 其中， 称为惯性矩阵，是对阵正定矩阵， 是离心力矩阵， 表示加在机器人上的重力项。 的表达式见附录。 另外，由于在广义坐标 上无外力作用，则下式成立： (3) 因此，4关节欠驱动机器人是典型的多输入( )多输出( )的非线性多变量系统，在系统的各变量间存在有较强的耦合作用。 2.2. 倒立平衡点附近状态空间模型推导 4关节欠驱动体操机器人的平衡是把机器人稳定在垂直倒立的不稳定平衡区。虽然体操机器人在整个运动范围内是非线性的，但在其垂直向上的平衡点附近，体操机器人的动力学模型可以采用线性化的近似模型来表示。 由方程式(2)可以推导出： (4) 其中， 。 定义状态变量 如下： (5) 则可以将式(4)写成： (6) 机器人在垂直向上的倒立位置时， ，则可定义 。在倒立平衡点 附近对系统进行线性化处理，可得到体操机器人系统的状态空间描述为 (7) 式中， ， ， ， ， 。
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user: 3. 倒立平衡控制 体操机器人倒立稳定控制的目标就是控制机器人在垂直向上不稳定平衡点附近达到并保持倒立状态，但该过程是一个动态平衡，因为机器人在平衡位置是不稳定的，因此需要设计一个平衡控制器才能实现这一目标。 LQR(Linear Quadratic Regulator)即线性二次型调节器可得到状态线性反馈的最优控制规律，易于构成闭环最优控制。由式(7)的状态方程 确定最佳控制向量 (8) 的反馈矩阵 ，使得下述二次型性能指标最小 (9) 式(8)中， ，其中，对称矩阵 为式(10)所示的定常黎卡提(Ricatti)矩阵微分方程 (10) 的唯一正定解。此外，矩阵 和 为加权矩阵，其确定了误差和能量损耗的重要性。
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user: 4. 数值仿真 为了验证LQR平衡控制器的控制效果，使用MATLAB进行仿真。体操机器人模型的参数设置如表1所示。 基于表1的机器人模型参数，由式(7)可求得机器人线性化系统的矩阵 ， 如下： ， . 将求得的系统矩阵 ， 代入式(10)中，选取 ， ，可得到状态反馈增益矩阵K为 假设系统初始状态分别取下式(11)所示的值， (11) 利用求得的LQR控制器参数，仿真可以得到图1~6所示的机器人倒立稳定的仿真曲线，其中，图1~3 Table 1 Model parameters of gymnastic robot 第1杆 第2杆 第3杆 第4杆 [kg] 6.87 33.57 14.07 7.54 [kg×m 2 ] 0.205 1.61 0.173 0.164 [m] 0.548 0.601 0.374 0.362 [m] 0.239 0.337 0.151 0.227 表1. 体操机器人模型参数 图2. 平衡控制的角度变化(Case 1) 图3. 平衡控制的角速度变化(Case 1) 图4. 平衡控制的力矩变化(Case 1) 图5. 平衡控制的角度变化(Case 2) 图6. 平衡控制的角速度变化(Case 2) 图7. 平衡控制的力矩变化(Case 2) 为取式(11)中的Case 1所示的初始状态所得到的响应曲线，图4~6为取式(11)中的Case 2的初始状态所得到的响应曲线。图1和图4分别显示两种状态下的4个关节角度 的变化曲线，图2和图5分别为4个关节角速度 的变化曲线，而3个主动关节的控制力矩 的变化曲线分别如图3、图6、图7所示。仿真结果表明，机器人即使在不同的初始条件下，不改变控制器参数，基于LQR的控制器仍然能够使系统达到倒立稳定。
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user: 5. 结束语 本文在分析并建立四关节欠驱动单杠体操机器人的数学模型及其在倒立平衡点附近线性化方法的基础上，基于LQR设计了一种控制器以实现对该机器人直体倒立的稳定控制，仿真实验验证了该控制方法的有效性。本文的工作为下一步实现四关节单杠体操机器人更加复杂的运动动作控制奠定了基础。
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user: 摘 要 工程和自然科学中的许多问题常常可以归结为非线性系统的求解。多年来，作为非线性逼近的典型之一的有理函数逼近愈来愈引起人们的关注。本文主要研究了帕德逼近这一经典的有理函数逼近。我们以正交函数系作为基函数，分别研究了正交三角函数系和正交多项式函数系下的帕德逼近问题，并通过具体的例子展示了其逼近效果。最后，我们将帕德逼近与同伦分析方法结合来求解非线性系统，并通过一个三自由度系统验证了它的有效性。 关键词 :帕德逼近，正交函数系，同伦分析方法，非线性系统
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user: 1. 引言 在自然科学和工程技术的实际计算中，用函数的泰勒展开的部分和作为该函数的近似是一种最基本的方法。有理函数因为其自身的特点，使得我们在它的极点附近得到的近似的效果比较好。此外，逼近公式计算的应用，因为不需要考虑自变量的高次幂，使得有理函数分式形式的逼近显得比较简单有效。此外，因为应用有理函数逼近求解时需要联立求解的高次方程的次数比应用多项式逼近求解时更低，所以有理分式逼近在求解已知函数的极点和零点时有着很大的方便性 [ 1 ] [ 2 ] 。此外，在逼近过程中应用公式进行计算时，由于无须计算自变量的高次幂，有理分式逼近表现出了有效的简化性。帕德逼近则是一种特定类型的有理函数逼近，它是泰勒多项式逼近的自然引申。也就是说，要寻找一个分子和分母的数目有限的有理函数，使得它的幂级数展开式的各项系数和给定的幂级数所对应的系数尽可能多的相同 [ 3 ] 。早在19世纪，弗罗贝尼乌斯、雅可比、帕德和其他数学家就对这种逼近进行了深入的研究，并且开发和建立了一系列重要和基本的结果，这为其今后的发展奠定了坚实的基础，后来我们称之为帕德逼近。自上世纪七十年代以来，帕德逼近的理论、方法及其应用得到了迅速发展，越来越多的科学家已经重视并对其开展了大量的研究。事实证明，帕德逼近与数学中的几个分支有着非常紧密的联系，比如逼近理论、微分方程 [ 4 ] [ 5 ] 、解析函数论等。它在量子场论 [ 6 ] 、数值分析、临界现象和控制论等其他自然科学领域的应用已经取得了显著的成效。
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user: 2. Padé逼近方法介绍 定义1 [ 7 ] [ 8 ] 经典的Padé逼近方法定义如下： 设 是由下述形式幂级数定义的函数 (1) 如果存在两个无公共因子且次数不超过 、 的多项式 、 ，它们的系数由下列方程所确定 [ 9 ] ： (2) 并且假定有标准化条件 ，则称有理因式 为 的 阶Padé逼近，并记为： ，其中 (3) 用 乘以(2)式并比较方程两端系数，可得关于 ； 的线性方程组(假设 )： (4) (5) 利用行列式的变换可直接求得： (6)
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user: 3. 正交基函数下Padé逼近 3.1. 正交基函数下Padé逼近的概念 定义2设 为 上的连续函数，若 (7) 则称 与 在 上正交。 若函数 满足 (8) 称 在 上是标准化的。 我们自然考虑函数集合 ， ，且具有下面性质： (9) 可以看出，这个集合中每两个元素都是正交的， 我们称这样的函数集合为正交函数系。 若 称该函数系为标准正交系。一般限制正交系中的第一个函数恒等于1。 设 为一组标准正交基函数系，则 。 定义3称 为 的 阶帕德近似，若 ， 其中 。当 时， 的 阶帕德近似为 取前 项。 解的存在性和唯一性是判断帕德逼近在同一组基的作用下是否唯一的重要理论依据， [ 10 ] 给出了有理样条帕德逼近解的存在性和唯一性，及其相关性质，为后面的研究打下了基础。 下面考虑 的 阶帕德近似解的存在唯一性： (1) 当 时， 。求出 的值，自然就知道 的值； (2) 当 时， ， ，即 (10) 方程组(10)的系数矩阵 和增广矩阵 分别为 所以，当 时，方程组(10)存在唯一解，即 的值唯一。 3.2. 正交三角函数系下的Padé逼近 考虑在区间 上的三角函数系 ，通过简单计算，有如下结论： (11) 三角函数系 ，在内积运算 下构成一组正交函数系。 例1求 的 阶帕德近似。 解：选取三角函数系 作为正交基函数，考虑 的 阶帕德近似。 设 的 阶帕德近似为 ，则 (12) 解得： 故 的 阶帕德近似为： (13) 同理可求得 的 阶帕德近似为： (14) 的 阶帕德近似为： (15) 的 阶帕德近似为： (16) 的 阶帕德近似为： (17) 的 阶帕德近似为： (18) 由上述 的帕德近似解的存在唯一性条件，我们可以知道： ， ， ， 阶帕德近似不止一个，即它们不存在唯一解。 我们可以得到：图1中， 帕德近似逼近 的效果是最好的，其次是图2，图3，图4，但图5，图6逼近效果最差。 3.3. 正交多项式函数系下的Padé逼近 定义4 [ 11 ] 若 在区间 上可积，且 ，则 可作为权函数。对于一个多项式的序列 和权函数 ，定义内积： 若 则这些多项式称为正交多项式。 若 除了正交之外，还有 ，则称 为标准正交多项式。 例2若权函数为1，区间为 ， ，对应的正交多项式序列有： 图1. (11，3)阶帕德逼近与f(x)的比较 图2. (11，4)阶帕德逼近与f(x)的比较 (19) 图3. (11，2)阶帕德逼近与f(x)的比较 图4. (10，2)阶帕德逼近与f(x)的比较 它们称为勒让德多项式。 对于任意向量空间的基，Gram-Schmidt正交化可以求出一个正交基。对于多项式空间的基，正交化的结果便是勒让德多项式。 例3设 ，利用勒让德多项式作为基函数，求 的 阶帕德近似。 当 时，求 的 阶帕德近似，求得在勒让德多项式作为基函数时， 的 阶帕德近似为： (20) 根据正交多项式下Padé逼近的定义，求得 的 阶帕德近似为： (21) 图5. (10，3)阶帕德逼近与f(x)的比较 图6. (10，4)阶帕德逼近与f(x)的比较 的 阶帕德近似为： (22) 的 阶帕德近似为： (23) 的 阶帕德近似为： (24) 图7，图8的逼近效果最理想。图9的整体趋势吻合，但 的帕德近似与 的解吻合效果并不好。图10在 上 的帕德近似与 的解是吻合的，当 时，误差也随之变大。图11在 这段逼近效果最佳，但当 时， 的帕德近似与 整体趋势不吻合。
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user: 4. 帕德逼近在非线性系统求解中的应用 实际生活中非线性问题是经常出现的。由于非线性系统的复杂性，求解时直接法几乎是不能使用的。 图7. (5，2)阶帕德逼近与f(x)的比较 图8. (5，4)阶帕德逼近与f(x)的比较 图9. (5，1)阶帕德逼近与f(x)的比较 图10. (5，3)阶帕德逼近与f(x)的比较 本文中我们引用同伦分析法来求解非线性系统，因为同伦分析法的优点是克服了摄动方法依赖于小参数的局限性，而且它在逻辑上包含了其他非摄动方法，更具有一般性。但是这种方法也有无法回避的缺点，因此我们很有必要发展一种能解决多自由度线性系统的解析近似方法。鉴于帕德逼近的高度精确性的优势 [ 12 ] ，也有很多学者在研究如何将其应用于求解中，并且取得了一些较大的进展。如对最低阶的函数求解其帕德逼近，展开后得到一种新的非线性方程求根的迭代算法。 受帕德逼近的启发，我们想到能否将帕德逼近应用于非线性系统中的求解呢？将求解非线性系统的一种方法——同伦分析法与帕德逼近相结合再进行求解。 4.1. 同伦分析方法 考虑多自由度非线性系统的一般表达式： (25) 图11. (5，5)阶帕德逼近与f(x)的比较 其中， 是质量系数矩阵、 是 维未知向量、 是线性刚度系数矩阵、 是阻尼系数矩阵，它们都是 阶仿真， 是关于 的向量值函数。系统的非线性体现在 上。特别地，若 ，则该系统为线性系统。 下面我们用同伦分析的思想来求解系统(24)，先定义一个非线性算子： (26) 这里 是未知向量函数， 和 分别代表时间和空间自变量，设 (27) 且 (28) (29) 设 为系统(24)的精确解 的初始猜测解， ， 其中 ， 为非零实数。一般情况下，我们取 ， ，这样 可以看成是一个非零常数。 引进辅助线性算子 ，满足：若 为 维零向量，则有 。设 为嵌入变量，构造如下同伦： (30) 令 ，得到零阶形变方程： (31) 当 时，由 的性质知 为(30)的解；当 时，(25)的精确解 为(31)的解。因此，根据微分方程中解对初值的连续依赖性，当嵌入变量 从0增大到1时， 从初始猜测解 连续变化到原始方程的精确解 。这种连续变化在同伦理论中称为形变。 现定义 阶形变向量导数 利用向量值函数的泰勒展开定理， 可以展开成关于 的幂级数： (32) 于是 (33) 需要注意的是，我们拥有很大的自由选取辅助线性算子 、辅助矩阵参数 、初始猜测解 。假设它们选取合适，那么有： 对所有的 ，零阶形变方程(31)的解 都存在； 对 ，形变向量导数 都存在； 的幂级数(33)在 时收敛。 在上述假设下，我们求得系统(25)的级数解为 (34) 为方便起见，以向量函数为分量构成的向量定义如下： (35) 将零阶形变方程(31)对嵌入变量 求导 次，然后除以 ，最后令 ，得到 阶形变方程 (36) 其中 且 (37) 于是 (38) 该高阶形变方程只依赖于向量函数构成的矢量 ，所以通过依次求解线性高阶形变方程(37)可一次得到 ，易知 的 阶近似解为 (39) 利用maple，mathematica等数学软件可以求出满足一定精度条件的近似解。 4.2. 同伦帕德逼近方法 帕德逼近可以应用到同伦分析方法中去，我们把这种改进的方法称为同伦–帕德逼近。从级数(33)出发，我们对嵌入变量 使用帕德近似，得到 阶同伦–帕德近似解为 (40) 很多时候， 阶同伦–帕德近似比 阶同伦分析解更加精确。 由于级数(34)是收敛的，因此如果我们选取的基函数是 ，那么就可以按照变量 的幂对级数(39)进行重排，设 (41) 则改进的 阶同伦–帕德逼近就可以写成如下形式 (42) 4.3. 具体例子 下面看一个非线性系统的例子： (43) 满足初始条件 ， ， ， ， ， 该系统满足初始条件的精确解为 ， ， (44) 初始猜测解： ， ， (45) 辅助线性算子： (46) 非线性算子： (47) 零阶形变方程： (48) 阶形变方程： (49) 根据初始条件和初始猜测解有： 且 (50) 仿照(25)的做法，我们再用mathematica编程，对 解 阶形变方程(48)： (51) 再令 ，算得 的6阶解析近似分别为 (52) (53) (54) 在 范围内，我们画出 的10阶解析近似的图像。 如图12所示，我们可以看出：当 时，用我们的同伦分析方法求得的非线性系统(43)的近似解与其精确解的确非常接近；但当 在更大的范围内取值时，就会产生较大的误差。因此，我们考虑用同伦Padé逼近方法来改进，过程如上诉方法分析，求得[5，5]阶同伦–帕德近似解，其图像如下所示。 如图13所示，我们可以看出：同伦Padé逼近求解的近似解和精确解的吻合范围差不多，并没有扩大，即帕德逼近对于用同伦方法求解非线性方程时能加速解的收敛性。 由上述分析结果显示，即使时间历程 处于一个较大的范围，结合了帕德逼近和同伦分析方法的解析解仍然与数值积分解吻合得很好。也就是说，运用同伦–帕德逼近的技巧加速解的收敛性。在求非线性解析解的时候，帕德逼近作为一种特殊的有理函数逼近，能够有效的将结果的正确范围扩大，从而有利 图12. 非线性系统同伦分析方法所得x 1 (t)，x 2 (t)，x 3 (t) 图13. 同伦Padé逼近方法所得x 1 (t)，x 2 (t)，x 3 (t) 于我们对于数学问题结果的计算和预测 [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] 。因此，研究帕德逼近及在非线性系统中的应用是十分必要的。
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user: 摘 要 目的：分析诸城市2015年气候变化特征、主要气象灾害及其对各行业的影响。方法：利用诸城市2015年1~12月平均气温、降水、日照与常年、2014年气温、降水、日照对比，采用柱形图、数据对比等方法进行了统计分析。结果：诸城市2015年年平均气温13.8℃，较常年偏高1.0℃，较2014年偏低0.1℃。年降水量493.2毫米，较常年偏少208.3毫米，较2014年偏少28.7毫米。年日照时数2400.8小时，较常年偏多9.1小时，较2014年偏多8.1小时。2015年主要气象灾害为干旱和雾、霾，对工农业生产造成一定损失。结论：通过分析2015年气温、降水、日照等气象资料，做到科学指导农业生产，有效地防御气象灾害，减少损失。 关键词 :气候概况，气象灾害，影响评价
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user: 1. 引言 气候变化对全球的自然生态系统以及社会经济体系具有深远影响 [ 1 ] 。自80年代以来，气候变化已成为全球关注的焦点问题，大量研究结果表明，我国年平均气温以0.04℃、10年的倾向率上升，年降水量以12.66 mm/10年的速度减少 [ 2 ] [ 3 ] 。很多学者对异常气候进行过分析和探讨 [ 4 ] - [ 6 ] 。付彦兵等对山东省栖霞市气候变化对农业生产的关系分析得出果树等农作物更容易遭受春季晚霜冻害 [ 7 ] 。裴洪芹等分析了气候变化对临沂市冬小麦生产的影响及对策得出小麦易遭受春霜冻危害 [ 8 ] ，农业是对气候变化最敏感领域之一 [ 9 ] 。通过分析诸城市2015年气候特点、主要气象灾害及其影响，做出科学评价，并提出相应的对策，做到科学指导农业生产，有效地防御气象灾害，减少损失。
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user: 2. 资料来源及方法 所用资料来源于诸城市气象局的气象月报表及1980~2010年的气温、降水量和日照实数30年的平均值作为历年气象资料(常年)，选取了2015年年平均气温、降水、日照与常年、2014年对比，采用柱形图、数据对比等方法进行了统计分析。
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user: 3. 诸城市地理概况 诸城市地处鲁中南山区的东南部，属潍坊市地区，北为安丘市，南为五莲县，东为临沂市，西为青岛市，属暖温带大陆性季风区半湿润气候，冬季寒冷干燥，春季干旱风大，夏季炎热多雨，秋季秋高气爽，四季分明。主要气象灾害有大风、局地冰雹、雷电、大雾、干旱、寒潮、低温等灾害性天气。