system: [SYSTEM]

user: 2. 预备工作 为了方便起见，给出如下简写： L p = L p ( Ω ) ， H k = H k ( Ω ) ， H = L 2 ， V 1 = H 0 1 ， V 2 = H 2 ∩ H 0 1 ，其中 p ≥ 1 ， k > 0 。这里 H k 是Sobolev空间， H 0 k 是 C 0 ∞ ( Ω ) 在 H k 中的闭包。 用 ‖ ， ‖ 和 ( ， ) 分别表示空间 H 中的范数和内积， V − 2 表示 V 2 的对偶空间， 〈 ， 〉 表示对偶空间之间的对偶积。 定义算子 A : V 2 → V − 2 ， 〈 A u ， v 〉 = 〈 Δ u ， Δ v 〉 ，     ∀ u ， v ∈ V 2 ， D ( A ) = { u ∈ H | A u ∈ H } = { u ∈ H 4 | u ， Δ u ∈ H 0 1 } ， 则 A 是空间 H 中的自伴算子，且在空间 V 2 中是严格正的。因此可以定义算子 A 的能量为 A s ( s ∈ ℝ ) ，于是空间 V s = D ( A s 4 ) 是Hilbert空间，并且具有如下的内积和范数 ( u ， v ) s = ( A s 4 u ， A s 4 v ) ， ‖ u ‖ V s = ‖ A s 4 u ‖ . 显然， ‖ u ‖ V 2 = ‖ A 1 2 u ‖ = ‖ Δ u ‖ ，   ‖ u ‖ V 1 = ‖ A 1 4 u ‖ = ‖ ∇ u ‖ 。 下面介绍一些非自治动态系统的基本概念和定理，至于更详细的理论可参考文献 [ 8 ] [ 9 ]。 空间 L loc r ( ℝ ;   L k ( Ω ) )   ( r ， k ≥ 1 ) 中的平移有界函数空间 L b r ( ℝ ;   L k ( Ω ) ) = { h ∈ L loc r ( ℝ ;   L k ( Ω ) ) : sup t ∈ ℝ ∫ t t + 1 ‖ h ( x ， s ) ‖ L k ( Ω ) r d s < ∞ } . 假设X是Banach空间， ∑ 是参数集。如果对任意的 σ ∈ ∑ ， τ ∈ ℝ ， U σ ( t ， s ) ∘ U σ ( s ， τ ) = U σ ( t ， τ ) ，           ∀ t ≥ s ≥ τ ， (11) U σ ( τ ， τ ) = Id ( 恒 等 算 子 ) ， (12) 则称算子 { U σ ( t ， τ ) } ( t ≥ τ ，       τ ∈ ℝ ，       σ ∈ ∑ ) 为 X 中的带有符号空间 ∑ 的过程族。 假设 { T ( s ) } s ≥ 0 是作用于 ∑ 的平移半群，如果 U σ ( t + s ， τ + s ) = U T ( s ) σ ( t ， τ ) ，       ∀ σ ∈ ∑ ，     t ≥ τ ，     τ ∈ ℝ ，     s ≥ 0 ， (13) T ( s ) ∑ = ∑ ，         ∀ s ≥ 0 ，(14) 则称过程族 { U σ ( t ， τ ) } ( t ≥ τ ，       τ ∈ ℝ ，       σ ∈ ∑ ) 满足平移恒等式。 用 B ( X ) 表示 X 中所有有界集的集合， ℝ τ = { t ∈ ℝ ，     t ≥ τ } 。 定义1 [ 8 ] 设 B 0 ∈ B ( X ) ，如果对任意的 τ ∈ ℝ ， B ∈ B ( X ) ，存在时刻 T 0 = T 0 ( B ， τ ) ≥ τ ，使得 ∪ σ ∈ ∑ U σ ( t ， τ ) B ⊂ B 0 ，           t ≥ T 0 ， 则称 B 0 是过程族 { U σ ( t ， τ ) } ( t ≥ τ ，       τ ∈ ℝ ，       σ ∈ ∑ ) 的一致(关于 σ ∈ ∑ )有界吸收集。 定义2 [ 8 ] 设 A ⊂ X ，如果对任意固定的 τ ∈ ℝ ，以及每一个 B ∈ B ( X ) ， lim t → + ∞ ( sup σ ∈ ∑ d i s t ( U σ ( t ， τ ) B ， A ) ) = 0 ， 则称 A 是过程族 { U σ ( t ， τ ) } ( t ≥ τ ，       τ ∈ ℝ ，       σ ∈ ∑ ) 的一致(关于 σ ∈ ∑ )吸引集，其中 d i s t ( ⋅ ， ⋅ ) 表示 X 中两个集合的Hausdorff半距离。特别地，如果闭的一致吸引集 A ∑ ⊂ X 包含在任何封闭的一致吸引集中(最小性)，则称 A 为过程族 { U σ ( t ， τ ) } ( t ≥ τ ，       τ ∈ ℝ ，       σ ∈ ∑ ) 的一致(关于 σ ∈ ∑ )吸引子。 定义3 [ 9 ] 设 X 是Banach空间， B 是 X 的有界子集， ∑ 是符号空间，若对任何序列 { x n } n = 1 ∞ ⊂ B 和每个 { σ n } ⊂ ∑ ，都存在子序列 { x n k } k = 1 ∞ ⊂ { x n } n = 1 ∞ 和 { σ n k } k = 1 ∞ ⊂ { σ n } n = 1 ∞ ，使得 lim k → ∞ lim l → ∞ ϕ ( x n k ， x n l ; σ n k ， σ n l ) = 0 ， 则称 ( X × X ) × ( ∑ × ∑ ) 上的函数 ϕ ( ⋅ ， ⋅ ; ⋅ ， ⋅ ) 是定义在 B × B 上的收缩函数。 contr ( B ， ∑ ) 表示所有定义在 B × B 上收缩函数的集合。 定理A [ 9 ] 设 { U σ ( t ， τ ) } ( t ≥ τ ，       τ ∈ ℝ ，       σ ∈ ∑ ) 是Banach空间 ( X ， ‖ ⋅ ‖ ) 中的一个过程族，满足平移恒等式(13)和(14)，并且有一致(关于 σ ∈ ∑ )有界吸收集 B 0 ⊂ X 。进一步，假设对任意的 ε > 0 ，存在 T = T ( B 0 ， ε ) 和 ϕ T ∈ contr ( B ， ∑ ) ，使得 ‖ U σ 1 ( T ， 0 ) x − U σ 2 ( T ， 0 ) y ‖ ≤ ε + ϕ T ( x ， y ; σ 1 ， σ 2 ) ，         ∀ x ， y ∈ B 0 ，     ∀ σ 1 ， σ 2 ∈ ∑ ， 则称 { U σ ( t ， τ ) } ( t ≥ τ ，       τ ∈ ℝ ，       σ ∈ ∑ ) 在 X 中是一致(关于 σ ∈ ∑ )渐近紧的。 非线性阻尼函数 φ 满足以下结果 引理1 [ 10 ] 设非线性函数 φ ( s ) 满足(W2)，则对任意的 δ > 0 ，存在 C δ > 0 ，使得 | u − v | 2 ≤ δ + C δ ( φ ( u ) − φ ( v ) ) ( u − v ) ，           ∀ u ， v ∈ ℝ . 类似于文献 [ 7 ] 中定理3.1，可以得到问题(1)~(3)解的存在性和唯一性结果如下： 定理1 设(W1)~(W4)成立，则对任意的初值 ( u τ 0 ， u τ 1 ) ∈ V 2 × H ，问题(1)~(3)有唯一的解 u ( t ) 满足 ( u ( t ) ， u t ( t ) ) ∈ C ( ℝ τ ;   V 2 × H ) 和 ∂ t t u ( t ) ∈ L l o c 2 ( ℝ τ ;   H − 2 ( Ω ) ) . 设 y ( t ) = ( u ( t ) ， u t ( t ) ) ， y τ = ( u τ 0 ， u τ 1 ) ， E 0 = V 2 × H ，其范数为 ‖ y ‖ E 0 = ‖ Δ u ‖ 2 + ‖ u t ‖ 2 . 系统(1)~(3)等价于如下系统 { ∂ t u t = − a ( x ) φ ( u t ) − ( β − α ‖ ∇ u ‖ 2 ) Δ u − Δ 2 u − μ u − g ( u ) + h ( x ， t ) ，   t ≥ τ ， u | ∂ Ω = ∂ ∂ ν u | ∂ Ω = 0 ，     u ( x ， τ ) = u τ 0 ( x ) ，     u t ( x ， τ ) = u τ 1 ( x ) ， 该系统的算子表示形式如下 ∂ t y = A σ ( t ) ( y ) ，     y | t = τ = y τ ， (15) 其中 σ ( t ) = h ( x ， t ) 是方程(15)的符号。现在定义方程(15)的符号空间，取固定的符号 σ 0 ( t ) = h 0 ( x ， t ) ， h 0 ∈ L ∞ ( ℝ ;   L 2 ( Ω ) ) ∩ W b 1 ， r ( ℝ ;   L r ( Ω ) )   ( r > 2 n n + 4 ) 和集合 ∑ 0 = { h 0 ( x ， t + s ) : s ∈ ℝ } ， (16) 符 号 空 间 ∑ 是 ∑ 0 在 L ∞ ( ℝ ;   L 2 ( Ω ) ) ∩ W b 1 ， r ( ℝ ;   L r ( Ω ) ) 中 的 弱 * 闭 包 . (17) 于是有如下性质成立。 命题1 ∑ 在空间 L ∞ ( ℝ ;   L 2 ( Ω ) ) ∩ W b 1 ， r ( ℝ ;   L r ( Ω ) ) 中是有界的，并且对任意的 σ ∈ ∑ ，有以下估计成立 ‖ σ ‖ L ∞ ( ℝ ;   L 2 ( Ω ) ) ∩ W b 1 ， r ( ℝ ;   L r ( Ω ) ) ≤ ‖ h 0 ‖ L ∞ ( ℝ ;   L 2 ( Ω ) ) ∩ W b 1 ， r ( ℝ ;   L r ( Ω ) ) . 因此，由定理1可知，问题(1)~(3)对所有的 σ ∈ ∑ 是适定的，并且产生了一个由公式 U σ ( t ， τ ) y τ = y ( t ) 给出的过程族 { U σ ( t ， τ ) } ( t ≥ τ ，       τ ∈ ℝ ，       σ ∈ ∑ ) 。 y ( t ) 是问题(1)~(3)满足条件(W1)~(W4)的解，并且 { U σ ( t ， τ ) } ( t ≥ τ ，       τ ∈ ℝ ，       σ ∈ ∑ ) 满足(11)~(12)。同时，由唯一可解性知， { U σ ( t ， τ ) } ( t ≥ τ ，       τ ∈ ℝ ，       σ ∈ ∑ ) 满足平移等式(13)~(14)。 用 { U σ ( t ， τ ) } ( t ≥ τ ，       τ ∈ ℝ ，       σ ∈ ∑ ) 表示由(15)~(17)产生的过程族。 应用文献 [ 11 ] 中命题7.1，可以得出如下结果： 命题2 设 h ∈ L ∞ ( ℝ ;   L 2 ( Ω ) ) ∩ W b 1 ， r ( ℝ ;   L r ( Ω ) )   ( r > 2 n n + 4 ) ，则存在常数 M > 0 ，使得 sup t ∈ ℝ ‖ h ( x ， t + s ) ‖ L 2 ( Ω ) ≤ M ，     s ∈ ℝ 命题3 设 s i ∈ ℝ ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ) ， h ∈ L ∞ ( ℝ ;   L 2 ( Ω ) ) ∩ W b 1 ， r ( ℝ ;   L r ( Ω ) )   ( r > 2 n n + 4 ) ， { u n ( t ) : t ≥ 0 ， n = 1 ， 2 ， ⋯ } 在空间 H 2 ( Ω ) ∩ H 0 1 ( Ω ) 中有界，并且对每个 T 1 > 0 ， { u n t ( t ) | n = 1 ， 2 ， ⋯ } 在空间 L ∞ ( 0 ， T 1 ;   L 2 ( Ω ) ) 中有界，则对任意的 T > 0 ，存在子序列 { u n k } k = 1 ∞ ⊂ { u n } n = 1 ∞ 和 { s n k } k = 1 ∞ ⊂ { s n } n = 1 ∞ ，使得 lim k → ∞ lim l → ∞ ∫ 0 T ∫ s T ∫ Ω ( h ( x ， τ + s n k ) − h ( x ， τ + s n l ) ) ( u n k − u n l ) t ( τ ) d x d τ d s = 0 .