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user: 4. 数值模拟与讨论 为了验证同伦分析方法应用于非线性多自由度系统的正确性和有效性，针对耦合van der Pol系统(3-2)，我们将分四种情形对其数值模拟进行讨论，并对分别对这四种情形下的理论结果与数值结果进行比较。而耦合项 f i ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 的取值可借鉴文献 [ 29 ] [ 30 ]。 4.1. 所有振子都同步运动 令 f 1 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ) = x 1 − x 2 f 2 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ) = x 2 − x 3 f 3 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ) = x 3 − x 1 (4-1) 我们取 μ i = 1 ， ε i = 1 ， η i = 1 ， λ = 1 ( i = 1 ， 2 ， 3 ) ，且令 a ， b ， c ， d ， e ， ω 的初始猜测值分别为 a 0 = 2 ， b 0 = 0 ， c 0 = 2 ， d 0 = 2 ， e 0 = 2 ， ω 0 = 1 ，我们需要选取合适的收敛控制参数h来确保级数解的收敛。为此，我们给出了图2所示的ω-h曲线来确定h的取值范围。细观图2可知，当 − 1.85 < h < − 0.25 时，级数解 ω 是收敛的。为简便起见，我们取 h = − 1 ，图3和图4分别给出了八阶近似相图和时间历程曲线。 图2. μ i = 1 ， ε i = 1 ， η i = 1 ， λ = 1 ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 时的八阶ω-h近似曲线 图3. μ i = 1 ， ε i = 1 ， η i = 1 ， λ = 1 ( i = 1 ， 2 ， 3 ) ， a 0 = 2 ， b 0 = 0 ， c 0 = 2 ， d 0 = 2 ， e 0 = 2 ， ω 0 = 1 时的八阶近似相图与数值积分法的比较 图4. μ i = 1 ， ε i = 1 ， η i = 1 ， λ = 1 ( i = 1 ， 2 ， 3 ) ， a 0 = 2 ， b 0 = 0 ， c 0 = 2 ， d 0 = 2 ， e 0 = 2 ， ω 0 = 1 时的八阶时间历程曲线 利用相图(图3)与时间历程图(图4)可证明同伦分析方法求得的相图与数值分析方法所求得的相图结果比较吻合，且能明显看出 x 1 ( τ ) ， x 2 ( τ ) ， x 3 ( τ ) 三个振子同步运动。其中初始条件为： x 1 ( 0 ) = 2.008600 ，     x ′ 1 ( 0 ) = 0 ， x 2 ( 0 ) = 2.008600 ，     x ′ 2 ( 0 ) = 0 ， x 3 ( 0 ) = 2.008600 ，     x ′ 3 ( 0 ) = 0 ， 根据文献 [ 31 ] 并且可求得 x 1 ( τ ) ， x 2 ( τ ) ， x 3 ( τ ) ， ω 的八阶近似表达式为 x 1 ( τ ) = 1.881842 cos ω ¯ τ + 0.720593 sin ω ¯ τ + 0.720593 cos 3 ω ¯ τ − 1.881842 sin 3 ω ¯ τ     + 0.158456 cos 5 ω ¯ τ − 0.530028 sin 5 ω ¯ τ − 0.176676 cos 7 ω ¯ τ − 0.475368 sin 7 ω ¯ τ     − 0.020655 cos 9 ω ¯ τ − 0.218080 sin 9 ω ¯ τ − 0.043616 cos 11 ω ¯ τ + 0.103273 sin 11 ω ¯ τ     − 0.010428 cos 13 ω ¯ τ − 0.000519 sin 13 ω ¯ τ − 0.000074 cos 15 ω ¯ τ + 0.072994 sin 15 ω ¯ τ ， x 2 ( τ ) = 1.881842 cos ω ¯ τ + 0.720593 sin ω ¯ τ + 0.720593 cos 3 ω ¯ τ − 1.881842 sin 3 ω ¯ τ     + 0.158456 cos 5 ω ¯ τ − 0.530028 sin 5 ω ¯ τ − 0.176676 cos 7 ω ¯ τ − 0.475368 sin 7 ω ¯ τ     − 0.020655 cos 9 ω ¯ τ − 0.218080 sin 9 ω ¯ τ − 0.043616 cos 11 ω ¯ τ + 0.103273 sin 11 ω ¯ τ     − 0.010428 cos 13 ω ¯ τ − 0.000519 sin 13 ω ¯ τ − 0.000074 cos 15 ω ¯ τ + 0.072994 sin 15 ω ¯ τ ， x 3 ( τ ) = 1.881842 cos ω ¯ τ + 0.720593 sin ω ¯ τ + 0.720593 cos 3 ω ¯ τ − 1.881842 sin 3 ω ¯ τ     + 0.158456 cos 5 ω ¯ τ − 0.530028 sin 5 ω ¯ τ − 0.176676 cos 7 ω ¯ τ − 0.475368 sin 7 ω ¯ τ     − 0.020655 cos 9 ω ¯ τ − 0.218080 sin 9 ω ¯ τ − 0.043616 cos 11 ω ¯ τ + 0.103273 sin 11 ω ¯ τ     − 0.010428 cos 13 ω ¯ τ − 0.000519 sin 13 ω ¯ τ − 0.000074 cos 15 ω ¯ τ + 0.072994 sin 15 ω ¯ τ ， ω = 0.942953. 4.2. 两个振子同步运动，而第三个振子以一无关的方式运动(除它与第二个振子有相同周期地振动外) 令 f 1 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ) = x 1 − x 2 f 2 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ) = x 2 − x 1 f 3 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ) = x 1 − x 2 − 10 x 3 (4-2) 在此情况中，我们取和情形4.1一样的参数值，即 μ i = 1 ， ε i = 1 ， η i = 1 ， λ = 1 ( i = 1 ， 2 ， 3 ) ， a ， b ， c ， d ， e ， ω 的初始猜测值取为 a 0 = 2 ， b 0 = 0 ， c 0 = 2 ， d 0 = 0 ， e 0 = 2 ， ω 0 = 1 ，我们可以从图5中确定出h的取值范围来确保级数解的收敛。因为h的取值范围为 − 1.05 < h < − 0.65 ，为简便起见故仍然取 h = − 1 ，一阶近似相图与时间历程图如图6与图7所示。 图5. μ i = 1 ， ε i = 1 ， η i = 1 ， λ = 1 ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 时一阶ω-h近似曲线 图6. μ i = 1 ， ε i = 1 ， η i = 1 ， λ = 1 ( i = 1 ， 2 ， 3 ) ， a 0 = 2 ， b 0 = 0 ， c 0 = 2 ， d 0 = 0 ， e 0 = 2 ， ω 0 = 1 时的一阶近似相图与数值积分法的比较 图7. μ i = 1 ， ε i = 1 ， η i = 1 ， λ = 1 ( i = 1 ， 2 ， 3 ) ， a 0 = 2 ， b 0 = 0 ， c 0 = 2 ， d 0 = 0 ， e 0 = 2 ， ω 0 = 1 时的一阶时间历程曲线 利用相图(图6)与时间历程图(图7)可证明同伦分析方法求得的相图与数值分析方法所求得的相图结果比较吻合。观察图7可发现，振子 x 1 ( τ ) 与 x 2 ( τ ) 同步运动，而第三个振子 x 3 ( τ ) 则以一种无关于前两个振子的方式运动。其初始条件为 x 1 ( 0 ) = 4 ， x ′ 1 ( 0 ) = 0 ， x 2 ( 0 ) = 4 ， x ′ 2 ( 0 ) = 0 ， x 3 ( 0 ) = 4 ， x ′ 3 ( 0 ) = 0 ，且可得 x 1 ( τ ) ， x 2 ( τ ) ， x 3 ( τ ) ， ω 近似表达式为： x 1 ( τ ) = 1.844822 cos ω ¯ τ − 0.118627 sin ω ¯ τ − 0.273745 cos 3 ω ¯ τ − 1.844822 sin 3 ω ¯ τ     + 0.453207 cos 5 ω ¯ τ − 0.120863 sin 5 ω ¯ τ − 1.836718 cos 7 ω ¯ τ − 0.135962 sin 7 ω ¯ τ     − 0.047096 cos 9 ω ¯ τ − 0.125599 sin 9 ω ¯ τ − 0.144917 cos 11 ω ¯ τ + 0.235481 sin 11 ω ¯ τ     + 0.500366 cos 13 ω ¯ τ − 0.003442 sin 13 ω ¯ τ − 0.021553 cos 15 ω ¯ τ − 0.035026 sin 15 ω ¯ τ ， x 2 ( τ ) = 1.844822 cos ω ¯ τ − 0.118627 sin ω ¯ τ − 0.273745 cos 3 ω ¯ τ − 1.844822 sin 3 ω ¯ τ     + 0.453207 cos 5 ω ¯ τ − 0.120863 sin 5 ω ¯ τ − 1.836718 cos 7 ω ¯ τ − 0.135962 sin 7 ω ¯ τ     − 0.047096 cos 9 ω ¯ τ − 0.125599 sin 9 ω ¯ τ − 0.144917 cos 11 ω ¯ τ + 0.235481 sin 11 ω ¯ τ     + 0.500366 cos 13 ω ¯ τ − 0.003442 sin 13 ω ¯ τ − 0.021553 cos 15 ω ¯ τ − 0.035026 sin 15 ω ¯ τ ， x 3 ( τ ) = 1.124328 cos ω ¯ τ + 0.573061 sin ω ¯ τ + 0.134443 cos 3 ω ¯ τ − 1.131251 sin 3 ω ¯ τ     + 0.359854 cos 5 ω ¯ τ − 0.670447 sin 5 ω ¯ τ − 0.001711 cos 7 ω ¯ τ − 0.223488 sin 7 ω ¯ τ     + 0.271384 cos 9 ω ¯ τ + 0.348288 sin 9 ω ¯ τ + 0.054345 cos 11 ω ¯ τ − 0.059881 sin 11 ω ¯ τ     − 0.171917 cos 13 ω ¯ τ − 0.066372 sin 13 ω ¯ τ + 0.167520 cos 15 ω ¯ τ − 0.089623 sin 15 ω ¯ τ ， ω = 1.208175. 4.3. 环上相邻的振子之间彼此都相位差1/3周期的运动 令 f 1 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ) = 3 / 9 ( x 1 + 2 x 2 ) 3 f 2 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ) = 3 / 9 ( x 2 + 2 x 3 ) 3 f 3 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ) = 3 / 9 ( x 3 + 2 x 1 ) 3 (4-3) 在此情况中，环上相邻的振子之间彼此都相位差 周期的运动，因而对系统(3-1)中的各系数取值与前两种情况有所不同。这里我们取 μ i = 1 ， ε i = 1 ， η i = 4 ， λ = 1 ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 。同样地，初始猜测值也被赋予一些新的数值， a 0 = − 10 / 5 ， b 0 = 30 / 5 ， c 0 = − 10 / 5 ， d 0 = − 30 / 5 ， e 0 = 2 10 / 5 ， ω 0 = 2 。为确保级数解的收敛，我们取 h = − 1 ，从而得到相应地相图与时间历程图(见图8与图9)。 图8. μ i = 1 ， ε i = 1 ， η i = 4 ， λ = 1 ( i = 1 ， 2 ， 3 ) ， a 0 = − 10 / 5 ， b 0 = 30 / 5 ， c 0 = − 10 / 5 ， d 0 = − 30 / 5 ， e 0 = 2 10 / 5 ， ω 0 = 2 时的一阶近似相图与数值积分法的比较 图9. μ i = 1 ， ε i = 1 ， η i = 4 ， λ = 1 ( i = 1 ， 2 ， 3 ) ， a 0 = − 10 / 5 ， b 0 = 30 / 5 ， c 0 = − 10 / 5 ， d 0 = − 30 / 5 ， e 0 = 2 10 / 5 ， ω 0 = 2 时的一阶时间历程曲线 图10. x 1 ， x 2 ， x 3 在同一条件下时间历程图的比较 由图8可知，利用同伦分析方法求得的近似解与数值积分法求得的解基本吻合，而由图10也可看出三个振子正相差1/3周期运动。我们同样可求得数值积分法的初始条件为 x 1 ( 0 ) = − 0.632455 ， x ′ 1 ( 0 ) = 1.095445 ， x 2 ( 0 ) = − 0.632455 ， x ′ 2 ( 0 ) = − 1.095445 ， x 3 ( 0 ) = 1.264911 ， x ′ 3 ( 0 ) = 0 。 我们也就能得到 x 1 ( τ ) ， x 2 ( τ ) ， x 3 ( τ ) 与 ω 的近似解表达式： x 1 ( τ ) = − 0.649572 cos τ + 1.089516 sin τ + 0.017116 cos 3 τ + 0.001976 sin 3 τ ， x 2 ( τ ) = − 0.615339 cos τ − 1.101374 sin τ − 0.017116 cos 3 τ + 0.001976 sin 3 τ ， x 3 ( τ ) = 1.264911 cos τ + 0.094868 sin τ − 0.031623 sin 3 τ ， ω = 2. 4.4. 两个振子相位差1/2周期，而第三个振子2倍于它们的频率振动 令 f 1 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ) = ( 1 − x 1 2 ) x ′ 2 f 2 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ) = ( 1 − x 2 2 ) x ′ 1 f 3 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ) = x 1 3 x ′ 2 3 (4-4) 此时，两个振子相位差1/2周期，而第三个振子 倍于它们的频率振动。为计算方便，我们取 μ i = 1 ， ε i = 1 ， η i = 1 ， λ = 1 ( i = 1 ， 2 ) ， μ 3 = 1 ， ε 3 = 1 / 16 ， η 3 = 4 ， 而初始猜测值求得为 a 0 = 1 ， b 0 = 0 ， c 0 = − 1 ， d 0 = 0 ， e 0 = 1 ， ω 0 = 1 。取 h = − 1 得近似解的相图和时间历程图如图11与图12所示。 图11. μ i = 1 ， ε i = 1 ， η i = 1 ， λ = 1 ( i = 1 ， 2 ) ， μ 3 = 1 ， ε 3 = 1 / 16 ， η 3 = 4 ， a 0 = 1 ， b 0 = 0 ， c 0 = − 1 ， d 0 = 0 ， e 0 = 1 ， ω 0 = 1 时的一阶近似相图 图12. μ i = 1 ， ε i = 1 ， η i = 1 ， λ = 1 ( i = 1 ， 2 ) ， μ 3 = 1 ， ε 3 = 1 / 16 ， η 3 = 4 ， a 0 = 1 ， b 0 = 0 ， c 0 = − 1 ， d 0 = 0 ， e 0 = 1 ， ω 0 = 1 时的一阶近似时间历程曲线 图13. x 1 ， x 2 ， x 3 在同一条件下时间历程图的比较 通过观察与计算可知，利用同伦法得到的相图与时间历程曲线是合适的，再次证明了同伦分析方法于耦合多自由度振子环系统上的适用性。其数值积分法满足的初始条件为 x 1 ( 0 ) = 1 ， x ′ 1 ( 0 ) = 0 ， x 2 ( 0 ) = − 1 ， x ′ 2 ( 0 ) = 0 ， x 3 ( 0 ) = 1 ， x ′ 3 ( 0 ) = 0 。 同样地，得到 x 1 ( τ ) ， x 2 ( τ ) ， x 3 ( τ ) 和频率 ω 的一阶近似解为： x 1 ( τ ) = cos τ ， x 2 ( τ ) = − cos τ ， x 3 ( τ ) = cos 2 τ ， ω = 1. 显然，此近似解就是满足条件(4-4)的系统(3-1)的精确解，也符合第四种情况的振子运动(见图13)。