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user: 2. 模型建立 我们试图简化一切不必要的环境与参数假设，简单而完备地建立鱼群的聚集过程模型。我们认为，鱼群从松散状态到聚集状态的全过程主要可以分为以寻找同伴和自适应调整个体运动速度为主的第1阶段和以组成稳定的团簇结构为主的第2阶段。 显而易见，前者是后者的预备过程。我们不妨将第1阶段称为“非稳态”过程，而将第2阶段称为“稳态”过程。 在下文中，我们将使用一类改进的Boid模型近似描述鱼群聚集的第1阶段。当鱼群在系统中的位置和速度已经近似稳定时，我们使用粒子环绕模型近似描述鱼群聚集的第2阶段。 为直观、准确地描述上述过程，我们借由鱼群的感知区域假说 [ 12 ] 在二维体系内建立模型。这样考虑的主要原因是，描述二维空间中的运动更加直观，而且针对本模型，维数的扩展几乎不改变系统内粒子的运动性质。这一结论将在模型的仿真结果中被证明。 为保证模拟时不同的空间彼此等价，我们将鱼群的运动视为粒子簇在边界条件“一定”的二维平面范围的运动。这里的“一定”主要受以下2方面的限制： (i) 被边界包围的系统中粒子(即鱼群)的数量保持不变。当有粒子从边界某处离开时，会有同样速度的粒子从对称或同一位置进入该区域； (ii) 延展边界。当粒子存在于边界时，它会受到边界在延展后的相邻的粒子的作用。 2.1. 鱼群聚集的非稳态过程 在Boid模型中，粒子仅能观察到固定范围内的其他临近粒子，同时，为逼近现实中鸟类的运动规律，Boid模型必须满足三条具体的演化规则： (i) 近心原则：粒子具有一定的感知范围，具体而言，是以自己为中心、以某一距离为半径的圆形(球形)区。在这一感知范围下，粒子将会靠近与其临近的群体所组成的中心位置，如图1(a)所示； (ii) 对齐原则：粒子的运动方向与周围个体运动方向尽量保持相同。如果方向有所偏离，它会调整自己的方向以满足对齐原则，如图1(b)所示； (iii) 避免碰撞原则：在群体中，粒子之间的距离太近时，至少有一方将会主动避让，以避免发生碰撞，如图1(c)所示。 注意，在图1中，我们人为地将感知区域划分成了3个部分，按覆盖聚集的从小到大依次被称为排斥区域、一致区域和吸引区域。Boid模型认为，对于一个确定的粒子而言，三个区域中的其他粒子对其造成的影响是不同的。在排斥区域，演化规则(iii)起决定性的作用，而在一致区域和吸引区域，则分别是演化规则(ii)和(i)起决定性作用。基于此，我们可以简单地描述Boid模型。 图1. Boid模型的演化规则示例 在Boid模型中，假设群体中有N个粒子存在，它们被位置矢量 x i 和速度矢量 v i 所确定，并且空间内按一定速率v运动。我们关心的是粒子在时刻t+1时的运动方向，因此可以设 d i ( t ) 表示粒子在t时刻的运动方向，并规定 d r i ( t + 1 ) = − ∑ j ≠ i n r x i j ( t ) | x i j ( t ) | (1) d o i ( t + 1 ) = ∑ j ≠ i n o v i ( t ) | v i ( t ) | (2) d a i ( t + 1 ) = ∑ j ≠ i n a x i ( t ) | x i ( t ) | (3) 其中 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 且t>0，并规定 x i j ( t ) = x i − x j 。公式(1)~(3)分别描述粒子受排斥区域、一致区域与吸引区域内其他粒子的不同影响而在运动方向方面作出的反应，因此容易理解，公式内参数 n r ， n o ， n a 分别表示排斥区域、一致区域与吸引区域内其他粒子的数目。 现在需要考虑利用(1)~(3)具体模拟系统内每个粒子的运动方向变化。实际上，为自身安全考虑，粒子将优先受排斥区域的影响，随后再受余下2个区域的影响。当 n r ≠ 0 时，粒子的实际运动被认为几乎完全受排斥区域的影响，因此若设实际运动方向为 d i ( t + 1 ) ，则成立 d i ( t + 1 ) = d r i ( t + 1 ) ， (4) 而当排斥区域内不存在其他粒子时，其实际的运动方向同时受一致区域及吸引区域内其他粒子的影响，因此Boid模型将其定义为对以上2种方向的算术平均矢和，即 d i ( t + 1 ) = 1 2 [ d o i ( t + 1 ) + d a i ( t + 1 ) ] . (5) 一种最特殊的情况是，在某一粒子所能探测的所有区域内均不存在其他粒子，即这一粒子本身是孤立于群体而存在的。在这种情况下，Boid模型假设其将延续t时刻的运动方向继续运动。 可以看出，Boid模型没有考虑粒子的视野，也对速率的变化不敏感。然而，在模拟鱼群的运动状态时，如何描述这些因素却是模型的关键所在。因此，我们基于Boid模型提出一种考虑粒子视野域和可变速率的新模型，来更好地近似鱼群的运动状态。 2.1.1. 视野域 视野域 [ 12 ] [ 13 ] 的概念已经不是第一次被提及了，因此我们只需要简单介绍。 我们已经指出，粒子和鱼的概念是等价的。在我们的改进模型中，鱼的初始位置在运动空间内随机分布，且其初始运动方向在 [ − π ， π ] 内随机分布。在现实中，鱼不可能拥有360°的全景感知，因此Boid模型中定义的感知区域实际是不严谨的。我们假设鱼群中所有鱼的视角均为 θ ，则个体的感知区域将受其视角的影响而仅仅局限于一个扇形区域，如图2所示。我们将这样有所“缺损”的感知区域成为视野域。 图2. 考虑视野域的感知区域 当然，只有在视野域内的排斥区域、一致区域或吸引区域中存在其他的鱼，才会对位于区域中心的鱼有所影响。基于这种考虑，我们将公式(1)~(5)中的粒子数目进行修改，只需统计视野域中的粒子数目即可。为避免混淆，参数 n r ， n o ， n a 在下文中均表示这一含义，且认为鱼的感知区域就是它的视野域。 2.1.2. 鱼群速率的差异化 Boid模型假设粒子具有相同的速率，但这种假设在实际情况中并不常见，而且会干扰模型仿真的结果。这是因为，当鱼感知到其周围的鱼群大多在进行无序的运动时，它很可能无法做出确定的运动决策。这时，若将所有鱼的速率视为相等，则会增加群体聚集的时间，甚至使聚集状态无法达到。 为避免这种情况，我们假设鱼的速率可以随时变化，且不同鱼的速率也不尽相等。具体而言，当感知区域中鱼群运动的无序程度比较大时，区域内的鱼应该降低自己的速率，以观察整体运动的潜在趋势；否则，鱼应该以较快的速率进行运动，以尽快完成聚集。 为实现上述规则，我们引入 δ i 作为度量感知区域内鱼群运动的“有序程度”因子： δ i ( t ) = | ∑ j = 1 N i v j ( t ) | ∑ j = 1 N i | v j ( t ) | ， (6) 其中 N i 是个体i的感知区域内的鱼的数量。由(6)式可知， δ i 的取值在0~1之间，该值越大，则感知区域内鱼群运动的无序程度越低。特别，当 δ i = 1 时，感知区域内的鱼群运动是完全有序的。当然，在(6)式中，将 N i 替换为N，则可以同样度量系统内的“有序程度”。 假设鱼所能达到的最大速率为 v m ，则其速率范围在 [ 0 ， v m ] 内变化。我们定义鱼的速率满足以下规则： (i) 当 δ i = 1 时，鱼的速率达到最大的 v m ； (ii) 当 δ i = 0 时，鱼的速率降低为0。 然后，我们假设速率关系与有序程度之间满足非线性关系。经过仿真测试，指数函数是一类相对有效且简单的定义形式，即 v i ( t + 1 ) = v m e α [ δ i ( t ) − 1 ] (7) 其中， α 为调整参数。当 α = 0 时，模型即退化为Boid模型。 结合上述分析，改进的Boid模型综合考虑了鱼的视野域和速率的变化。 鱼在t+1时刻的速度和位置满足 v i ( t + 1 ) = v i ( t + 1 ) ⋅ ( d i ( t + 1 ) | d i ( t + 1 ) | + β ) (8) x i ( t + 1 ) = x i ( t ) + v i ( t + 1 ) ， (9) 其中 β 表示个体运动受到噪声影响的程度，是服从均匀分布的随机变量。联立(1)~(9)式，即可描述鱼群聚集时的非稳态过程。 2.2. 鱼群聚集的稳态过程 当鱼群聚集的过程趋于稳定时，我们将鱼群的运动抽象为粒子绕圆心持续进行的环绕运动。现在，我们利用牛顿运动定律， x i = v i (10) m i v i = F i − ρ v i + f i ， (11) 不失一般性，设 m i = 1 ， F i 代表动力，是粒子由周围环境影响和在群体中位置产生的固有力，一般可以设定为常量 [ 20 ]； ρ v i 代表阻尼力； f i 代表临近粒子对其产生的作用力。需要注意的是，根据2.1.1节的设定，在t时刻，对粒子i能够产生影响的粒子j应满足定义 | x i ( t ) − x j ( t ) | < r a (12) 最后考虑(11)式中关于 f i 的设定。相互作用力可以分解为 f i = f i x + f i v = ∑ j g ( | x i j ( t ) | ) x i j ( t ) | x i j ( t ) | + ∑ j h ( | v i j ( t ) | ) v i j ( t ) | v i j ( t ) | ， (13) 其中 f i x 和 f i v 分别表示有关位置、速度的相互作用力，且 x i j ( t ) 仍与(1)式的规定相同， v i j ( t ) 同理。现在，我们重点考虑(13)式中关于函数g和h的设定。当相对位移较大时，g为正值，否则为负值，表示作用力 f i x 的短程互斥和长程吸引。同理，h为正值时表示作用力 f i v 使i粒子的速度趋近于j粒子的速度，为负值时则表示速度的偏离。 由以上分析可知，g和h的内涵基本一致。这样，我们只需要求解出其中一种函数即可。在粒子模型中，不妨设平面内共计N个粒子，以半径r绕圆心O点作持续的匀速转动，角速度为w，粒子等间距为d。在运动过程中，i粒子跟随第i+1个粒子，且相邻粒子相差的圆心角为 κ = 2 π / N ，如图3所示。 图3. 平衡过程的粒子环绕模型示例 图4. 作用力的分解 由图3可知，若设相邻粒子的连线方向与切线方向的夹角为 κ ′ ，与圆心连线的夹角为 κ ″ ，则 κ ′ = κ / 2 且 κ ″ = π / 2 − π / N 。因此，由三角函数关系可知， d = 2 r sin ( π N ) (14) 由(11)式的运动过程可知 d x i d t = v i (15) d v i d t = f i ( x i + 1 − x i ) − ρ v i (16) 将相互作用力分解为与圆相切的力 f r 和向心力 f e ，如图4所示。我们假设粒子绕圆心进行的是匀速运动，因此在切线方向不存在加速度，即满足平衡方程 f r − ρ v i = 0 (17) 再考虑向心力 f e 。根据向心力的定义， f e = ω 2 r E e ， (18) 其中 E e 表示单位径向矢量。注意到 | v | = ρ ω ，代入(17)式得 f e = | v | 2 r E e . (19) 再利用三角函数关系可知 | f r | = g ( d ) cos ( π N ) (20) | f e | = g ( d ) sin ( π N ) ， (21) 将(17)~(19)式代入(20)~(21)式得 g ( d ) cos ( π N ) = ρ | v | (22) g ( d ) sin ( π N ) = | v | 2 r (23) ω = | v | r = ρ tan ( π N ) . (24) 利用(22)~(23)式，解得 | v | = g ( d ) cos ( π N ) ρ (25) r = g ( d ) cos 2 ( π N ) ρ 2 sin ( π N ) ， (26) 再将(14)式代入(26)式，即可解得最终关于g的函数表达式 g ( d ) = ρ 2 2 cos 2 ( π N ) d . (27) 这表明，当且仅当给定的g或h满足(27)式所定义的形式时，粒子的匀速环绕模型才可成立。 最终，(10)~(13)式与(25)~(27)式给出了粒子进行匀速环绕时的运动模型。它近似等价于鱼群在聚集时的稳态过程模型。