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user: 3. 主要结论及其证明 定理1 H = [ 0 B C 0 ] : D ( C ) × D ( B ) ⊂ X × X → X × X 是斜对角无穷维Hamilton算子，如果 D ( B ) = D ( C ) ，则有如下结论： i) W H 关于虚轴对称。 ii) W H 关于实轴对称。 iii) W H 关于原点对称。 证明 i) 若 λ ∈ W H ，则存在 x 0 ∈ D ( H ) ， ‖ x 0 ‖ = 1 ，使得 λ = ( H x 0 ， x 0 ) . 由命题1和命题2， H = J 3 ( − H * ) J 3 ， J 3 = J 3 * ， D ( H ) = D ( H * ) ，则 λ = ( − J 3 H * J 3 x 0 ， x 0 ) = − ( H * J 3 x 0 ， J 3 x 0 ) = − ( J 3 x 0 ， H J 3 x 0 ) . 两边取共轭，则 ( H J 3 x 0 ， J 3 x 0 ) = − λ ¯ 又由 ‖ J 3 x 0 ‖ = 1 ，所以 − λ ¯ ∈ W H 。当 − λ ¯ ∈ W H 时， λ ∈ W H 的证明是类似的。即 W H 关于虚轴对称。 ii) 若 λ ∈ W H ，则存在 x 0 ∈ D ( H ) ， ‖ x 0 ‖ = 1 ，使得 λ = ( H x 0 ， x 0 ) . 由命题1和命题2， H = J 2 H * J 2 ， J 2 = J 2 * ， D ( H ) = D ( H * ) ，则 λ = ( J 2 H * J 2 x 0 ， x 0 ) = ( H * J 2 x 0 ， J 2 x 0 ) = ( J 2 x 0 ， H J 2 x 0 ) . 两边取共轭，则 ( H J 2 x 0 ， J 2 x 0 ) = λ ¯ . 又由 ‖ J 2 x 0 ‖ = 1 ，所以 λ ¯ ∈ W H 。当 λ ¯ ∈ W H 时， λ ∈ W H 的证明是类似的。即 W H 关于实轴对称。 iii) 若 λ ∈ W H ，则存在 x 0 ∈ D ( H ) ， ‖ x 0 ‖ = 1 ，使得 λ = ( H x 0 ， x 0 ) . 由命题1和命题2， H = J 1 ( − H ) J 1 ， J 1 = J 1 * ， D ( H ) = D ( H * ) ，则 λ = ( − J 1 H J 1 x 0 ， x 0 ) = − ( H J 1 x 0 ， J 1 x 0 ) . 则 ( H J 1 x 0 ， J 1 x 0 ) = − λ . 又由 ‖ J 1 x 0 ‖ = 1 ，所以 − λ ∈ W H 。当 − λ ∈ W H 时， λ ∈ W H 的证明是类似的。即 W H 关于原点对称。 定理2 H = [ 0 B C 0 ] : D ( C ) × D ( B ) ⊂ X × X → X × X 是斜对角无穷维Hamilton算子，如果 D ( B ) = D ( C ) ，则有如下结论： i) W H 2 关于虚轴对称。 ii) W H 2 关于实轴对称。 iii) W H 2 关于原点对称。 证明 i) 若 λ ∈ W H 2 ，则存在 ( x y ) ∈ D ( H ) 且 ‖ x ‖ = 1 ， ‖ y ‖ = 1 ，使得 det ( [ − λ ( B y ， x ) ( C x ， y ) − λ ] ) = 0 . 又因为 D ( B ) = D ( C ) ，从而有 λ 2 = ( B y ， x ) ( C x ， y ) = ( y ， B x ) ( x ， C y ) . 两边取共轭后得 λ ¯ 2 = ( B x ， y ) ( C y ， x ) . 进而得 det ( [ λ ¯ ( B x ， y ) ( C y ， x ) λ ¯ ] ) = | λ ¯ ( C y ， x ) ( B x ， y ) λ ¯ | = 0 . 则 − λ ¯ ∈ W H 2 ，从而 W H 2 关于虚轴对称。 ii) 同理，可以得到 det ( [ − λ ¯ ( B y ， x ) ( C x ， y ) − λ ¯ ] ) = 0 . 则 λ ¯ ∈ W H 2 ，从而 W H 2 关于实轴对称。 iii) 同理，可得 det ( [ λ ( B y ， x ) ( C x ， y ) λ ] ) = 0 . 则 − λ ∈ W H 2 ，从而 W H 2 关于原点对称。 定理3 H = [ 0 B C 0 ] : D ( C ) × D ( B ) ⊂ X × X → X × X 是斜对角无穷维Hamilton算子，如果 D ( B ) = D ( C ) ，则有如下结论： i) σ ( H ) ⊂ W H ¯ 。 ii) σ ( H ) ⊂ W H 2 ¯ 。 证明 i) 令 λ 0 ∈ σ p ( H ) ，由点谱的定义，存在 x ≠ 0 ，使得 H x = λ 0 x 。 两边关于x作用内积得 λ 0 = ( H x ， x ) ( x ， x ) . 从而 λ 0 ∈ W H ，则 σ P ( H ) ⊂ W H 。令 λ 0 ∈ σ r ( H ) ，则 λ 0 ¯ ∈ σ p ( H * ) ，由命题2中 H = J 2 ( H * ) J 2 及 J 2 2 = 1 可知 λ 0 ¯ ∈ σ p ( H ) ，从而 λ 0 ¯ ∈ W H 。再由定理1得 W H 关于实轴对称，所以 λ 0 ∈ W H 。则 σ r ( H ) ⊂ W H 。 则 σ P ( H ) ∪ σ r ( H ) ⊂ W H . 令 λ 0 ∈ σ c ( H ) ，则存在正交化序列 { x n } n = 1 ∞ ， ( ‖ x n ‖ = 1 ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ) 使得当 n → ∞ 时， ( H − λ 0 I ) x n → 0 . 两边关于 x n 做内积得 ( H x n ， x n ) → λ 0 。 令 λ n = ( H x n ， x n ) ，则 λ n ∈ W H 且 λ n → λ 0 ，从而有 λ 0 ∈ W H ¯ 。 所以 σ c ( H ) ⊂ W H ¯ . 则 σ ( H ) ⊂ W H ¯ . ii) 令 λ 0 ∈ σ p ( H ) ，则存在 u = ( f g ) ≠ 0 使得 H u = λ 0 u ，即 B g = λ 0 f ， C f = λ 0 g 。 两边分别关于f和g做内积得 ( B g ， f ) = λ 0 ( f ， f ) ， ( C f ， g ) = λ 0 ( g ， g ) 。 当f和g全部非零时，有 ( B g ， f ) ( f ， f ) = ( C f ， g ) ( g ， g ) = λ 0 . 所以 H f ， g = [ 0 λ 0 ( f ， f ) ‖ g ‖ ‖ f ‖ λ 0 ( g ， g ) ‖ f ‖ ‖ g ‖ 0 ] . 所以 det ( H f ， g − λ 0 I ) = | − λ 0 λ 0 ‖ f ‖ 2 ‖ g ‖ ‖ f ‖ λ 0 ‖ g ‖ 2 ‖ f ‖ ‖ g ‖ − λ 0 | = λ 0 2 − λ 0 ‖ f ‖ ‖ g ‖ ⋅ λ 0 ‖ g ‖ ‖ f ‖ = 0 . 当f和g中一个为0时，不妨设 f = 0 ， g ≠ 0 ，则 λ 0 = 0 ， B g = 0 。 取 f ˜ = I ∈ D ( H ) ，则有 ( B g ， f ˜ ) = 0 ，从而 det ( H f ， g − λ 0 I ) = | 0 ( B g ， f ˜ ) ‖ g ‖ ‖ f ˜ ‖ ( C f ˜ ， g ) ‖ f ˜ ‖ ‖ g ‖ 0 | = 0 当 f ≠ 0 ， g = 0 时同理。 因此 λ 0 ∈ W H 2 ，所以 σ p ( H ) ⊂ W H 2 。令 λ 0 ∈ σ r ( H ) ，则 λ 0 ¯ ∈ σ p ( H * ) 。由命题2可知 λ 0 ¯ ∈ σ p ( H ) 。从而 λ 0 ¯ ∈ W H 2 。再由定理2得 W H 2 关于实轴对称，所以 λ 0 ∈ W H 2 。故 σ r ( H ) ⊂ W H 2 。 则 σ P ( H ) ∪ σ r ( H ) ⊂ W H 2 . 令 λ 0 ∈ σ c ( H ) ，则必存在一正交化序列 { x n = ( x n 1 x n 2 ) } n = 1 ∞ ，( ‖ x n ‖ = 1 ， n = 1 ， 2 ， ⋯ )使得当 n → ∞ 时， ( H − λ 0 I ) x n → 0 . 即 B x n 2 → λ 0 x n 1 ， C x n 1 → λ 0 x n 2 ，两边分别关于 x n 1 和 x n 2 做内积得， ( B x n 2 ， x n 1 ) → λ 0 ( x n 1 ， x n 1 ) ， ( C x n 1 ， x n 2 ) → λ 0 ( x n 2 ， x n 2 ) . 当 x n 1 和 x n 2 下极限都不为0时， det ( H f n ， g n − λ 0 I ) = [ − λ 0 ( B x n 2 ， x n 1 ) ‖ x n 1 ‖ ‖ x n 2 ‖ ( C x n 1 ， x n 2 ) ‖ x n 1 ‖ ‖ x n 2 ‖ − λ 0 ] → [ − λ 0 λ 0 ( x n 1 ， x n 1 ) ‖ x n 1 ‖ ‖ x n 2 ‖ λ 0 ( x n 2 ， x n 2 ) ‖ x n 1 ‖ ‖ x n 2 ‖ − λ 0 ] = 0 . 当 x n 1 和 x n 2 中有一个下极限为0时，不妨设 x n 1 → 0 ，则 λ 0 = 0 ， ( B x n 2 ， x n 1 ) → 0 。 则 det ( H f n ， g n − λ 0 I ) = 0 . 所以 λ 0 ∈ W H 2 ¯ ，进而 σ c ( H ) ⊂ W H 2 ¯ 。 则 σ ( H ) ⊂ W H 2 ¯ .