system: [SYSTEM]

user: 2. 模型建立及再生数的计算 为研究人口迁移与疫苗接种对肺结核传播的影响，基于靳帧 [ 6 ] 等人模型，建立以下带有疫苗项的两城市之间人口流动的肺结核SEIR动力学模型。 d S 11 d t = A 11 − σ 12 S 11 + ρ 12 S 12 − S 11 ∑ j = 1 2 k 1 β 11 j I j 1 N 1 t − χ 11 S 11 − d S 11 d S 12 d t = A 12 + σ 12 S 11 − ρ 12 S 12 − S 12 ∑ j = 1 2 k 2 β 12 j I j 2 N 2 t − χ 12 S 12 − d S 12 d S 22 d t = A 22 − σ 21 S 22 + ρ 21 S 21 − S 22 ∑ j = 1 2 k 1 β 22 j I j 2 N 2 t − χ 22 S 22 − d S 22 d S 21 d t = A 21 + σ 21 S 22 − ρ 21 S 21 − S 21 ∑ j = 1 2 k 1 β 21 j I j 1 N 1 t − χ 21 S 21 − d S 21 d E 11 d t = S 11 ∑ j = 1 2 k 1 β 11 j I j 1 N 1 t − σ 12 E 11 + ρ 12 E 12 − ( α + d ) E 11 d E 12 d t = S 12 ∑ j = 1 2 k 2 β 12 j I j 2 N 2 t + σ 12 E 11 − ρ 12 E 12 − ( α + d ) E 12 d E 22 d t = S 22 ∑ j = 1 2 k 1 β 22 j I j 2 N 2 t − σ 21 E 22 + ρ 21 E 21 − ( α + d ) E 22 d E 21 d t = S 21 ∑ j = 1 2 k 1 β 21 j I j 1 N 1 t + σ 21 E 22 − ρ 21 E 21 − ( α + d ) E 21 d I 11 d t = α E 11 − σ 12 I 11 + ρ 12 I 12 − ( γ + d ) I 11 d I 12 d t = α E 12 + σ 12 I 11 − ρ 12 I 12 − ( γ + d ) I 12 d I 22 d t = α E 22 − σ 21 I 22 + ρ 21 I 21 − ( γ + d ) I 22 d I 21 d t = α E 21 + σ 21 I 22 − ρ 21 I 21 − ( γ + d ) I 21 d R 11 d t = γ I 11 − σ 12 R 11 + ρ 12 R 12 + χ 11 S 11 − d R 11 d R 12 d t = γ I 12 + σ 12 R 11 − ρ 12 R 12 + χ 12 S 12 − d R 12 d R 22 d t = γ I 22 − σ 21 R 22 + ρ 21 R 21 + χ 22 S 22 − d R 22 d R 21 d t = γ I 21 + σ 21 R 22 − ρ 21 R 21 + χ 21 S 21 − d R 21 (1) 其中， S i j ， E i j ， I i j ， R i j 表示分别表示t时刻i户籍迁移到j地区的易感者，潜伏者，染病者，恢复者。 N i t 表示t时刻在i地区的总人口，t时刻两地的总人数分别为 N 1 t = S 11 ( t ) + S 21 ( t ) + E 11 ( t ) + E 21 ( t ) + I 11 ( t ) + I 21 ( t ) + R 11 ( t ) + R 21 ( t ) N 2 t = S 12 ( t ) + S 22 ( t ) + E 12 ( t ) + E 22 ( t ) + I 12 ( t ) + I 22 ( t ) + R 12 ( t ) + R 22 (t) 表1对模型(1)中参数进行说明。 Table 1 The meaning of parameter in mode 参数符号 意义 k i ( i = 1 ， 2 ) i地区的接触率 α 潜伏期转入到染病期的转化率 γ 恢复率 i户籍人口从i地区迁移到j地区移出率 ρ i j i户籍人口从j地区回到i地区返回率 d 死亡率 χ i j 在j地区i户籍易感者疫苗注射率 β i k j 在k地区i户籍易感者与j户籍染病者接触染病的概率 A i j 在j地区i户籍的出生率 表1. 模型参数含义表 由模型(1)得 { d N 1 ( t ) d t = A 11 + A 21 − d N 1 d N 2 ( t ) d t = A 12 + A 22 − d N 2 ， 可以推出：当时间 t → ∞ 时，1，2两地区的人口总数趋于稳定，分别趋于 A 11 + A 21 d ， A 12 + A 22 d 。 需要注意的是流动的人口(即户籍地与所在地不同的人群)流动的原因分是短期旅行和因工作长期居住两种情况，当短期旅行时，流动人口就不存在出生人口，假设不存在旅行者在异地生育的情况，此时有异地生育率 A 12 = A 21 = 0 ，当长期居住时，则存在异地生育，则 A 12 ， A 21 不为0。 当没有染病者且不考虑注射疫苗措施时：模型(1)转化为模型(2) d S 11 d t = A 11 − σ 12 S 11 + ρ 12 S 12 − d S 11 d S 12 d t = A 12 + σ 12 S 11 − ρ 12 S 12 − d S 12 d S 22 d t = A 22 − σ 21 S 22 + ρ 21 S 21 − d S 22 d S 21 d t = A 21 + σ 21 S 22 − ρ 21 S 21 − d S 21 (2) 求得模型(2)的平衡点为： ( S 011 * ， S 012 * ， S 021 * ， S 022 * ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ) ，其中有： S 011 * = ρ 12 ( A 11 + A 12 ) + A 11 d ( ρ 12 + d ) ( σ 12 + d ) − σ 12 ρ 12 ， S 012 * = A 12 d + σ 12 ( A 11 + A 12 ) ( ρ 12 + d ) ( σ 12 + d ) − σ 12 ρ 12 S 022 * = ρ 21 ( A 21 + A 22 ) + A 22 d ( ρ 21 + d ) ( σ 21 + d ) − σ 21 ρ 21 ， S 021 * = A 21 d + σ 21 ( A 21 + A 22 ) ( ρ 21 + d ) ( σ 21 + d ) − σ 21 ρ 21 此时达到平衡点时的两地区总人口分别为 N 1 t * = S 011 * + S 021 * ， N 2 t * = S 022 * + S 012 * 在平衡点处模型(2)的系数矩阵为 ( − σ 12 − d ρ 12 0 0 σ 12 − ρ 12 − d 0 0 0 0 − σ 21 − d ρ 21 0 0 σ 21 − ρ 21 − d ) 其对应的特征方程的特征根具有负实部 [ 6 ] ，则平衡点为全局渐近稳定的。 当没有染病者且考虑注射疫苗措施时：则有模型(3) d S 11 d t = A 11 − σ 12 S 11 + ρ 12 S 12 − χ 11 S 11 − d S 11 d S 12 d t = A 12 + σ 12 S 11 − ρ 12 S 12 − χ 12 S 12 − d S 12 d S 22 d t = A 22 − σ 21 S 22 + ρ 21 S 21 − χ 22 S 22 − d S 22 d S 21 d t = A 21 + σ 21 S 22 − ρ 21 S 21 − χ 21 S 21 − d S 21 d R 11 d t = σ 12 R 11 + ρ 12 R 12 + χ 11 S 11 − d R 11 d R 12 d t = σ 12 R 11 − ρ 12 R 12 + χ 12 S 12 − d R 12 d R 22 d t = σ 21 R 22 + ρ 21 R 21 + χ 22 S 22 − d R 22 d R 21 d t = σ 21 R 22 − ρ 21 R 21 + χ 21 S 21 − d R 21 (3) 求得系统(3)的平衡点为： ( S 111 * ， S 112 * ， S 121 * ， S 122 * ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， R 111 * ， R 112 * ， R 121 * ， R 122 * ) ，其中有 S 111 * = A 11 ( χ 12 + d ) + ρ 12 ( A 11 + A 12 ) ( ρ 12 + χ 12 + d ) ( σ 12 + χ 11 + d ) − σ 12 ρ 12 ， S 112 * = A 12 ( χ 11 + d ) + σ 12 ( A 11 + A 12 ) ( ρ 12 + χ 12 + d ) ( σ 12 + χ 11 + d ) − σ 12 ρ 12 S 122 * = A 22 ( χ 21 + d ) + ρ 21 ( A 22 + A 21 ) ( ρ 21 + χ 21 + d ) ( σ 21 + χ 22 + d ) − σ 21 ρ 21 ， S 121 * = A 21 ( χ 22 + d ) + σ 21 ( A 22 + A 21 ) ( ρ 21 + χ 21 + d ) ( σ 21 + χ 22 + d ) − σ 21 ρ 21 R 111 * = ρ 12 χ 12 S 112 * + ( ρ 12 + d ) χ 11 S 111 * d ( σ 12 + ρ 12 + d ) ， R 112 * = σ 12 χ 11 S 111 * + ( σ 12 + d ) χ 12 S 112 * d ( σ 12 + ρ 12 + d ) R 122 * = ρ 21 χ 21 S 121 * + ( ρ 21 + d ) χ 22 S 22 * d ( σ 21 + ρ 21 + d ) ， R 121 * = σ 21 χ 22 S 122 * + ( σ 21 + d ) χ 21 S 121 * d ( σ 21 + ρ 21 + d ) 此时达到平衡点时的两地区总人口分别为 N 1 t * = S 111 * + S 121 * + R 111 * + R 121 * ， N 2 t * = S 222 * + S 212 * + R 222 * + R 212 * 利用文献 [ 8 ] 中再生矩阵法求得有效再生数 R v ，由模型(1)得 F = ( S 11 ∑ j = 1 2 k 1 β 11 j I j 1 N 1 t S 12 ∑ j = 1 2 k 2 β 12 j I j 2 N 2 t S 22 ∑ j = 1 2 k 1 β 22 j I j 2 N 2 t S 21 ∑ j = 1 2 k 1 β 21 j I j 1 N 1 t 0 0 0 0 ) ， V = ( σ 12 E 11 − ρ 12 E 12 + ( α + d ) E 11 − σ 12 E 11 + ρ 12 E 12 + ( α + d ) E 12 σ 21 E 22 − ρ 21 E 21 + ( α + d ) E 22 − σ 21 E 22 + ρ 21 E 21 + ( α + d ) E 21 − α E 11 + σ 12 I 11 − ρ 12 I 12 + ( γ + d ) I 11 − α E 12 − σ 12 I 11 + ρ 12 I 12 + ( γ + d ) I 12 − α E 22 + σ 21 I 22 − ρ 21 I 21 + ( γ + d ) I 22 − α E 21 − σ 21 I 22 + ρ 21 I 21 + ( γ + d ) I 21 ) 令 m 12 = σ 12 + α + d ， n 12 = ρ 12 + α + d ， m 21 = σ 21 + α + d ， n 21 = ρ 21 + α + d ， p 12 = σ 12 + r + d ， q 12 = ρ 12 + r + d ， p 21 = σ 21 + r + d ， q 21 = ρ 21 + r + d F ， V 分别关于潜伏项 E i j 与染病项 I i j 求导得 F ， V F = ( 0 F 12 0 0 ) ，其中 F 12 = ( S 11 * k 1 β 111 N 1 t * 0 0 S 11 * k 1 β 112 N 1 t * 0 S 12 * k 2 β 121 N 2 t * S 12 * k 2 β 122 N 2 t * 0 0 S 22 * k 2 β 221 N 2 t * S 22 * k 2 β 222 N 2 t * 0 S 21 * k 1 β 211 N 1 t * 0 0 S 21 * k 1 β 212 N 1 t * ) V = ( V 11 0 V 21 V 22 ) ，其中 V 21 = ( − α 0 0 0 0 − α 0 0 0 0 − α 0 0 0 0 − α ) ， V 22 = ( p 12 − ρ 12 0 0 − σ 12 q 12 0 0 0 0 p 21 − ρ 21 0 0 − σ 21 q 21 ) 求逆得 V − 1 = ( V 11 − 1 0 − V 22 − 1 V 21 V 11 − 1 V 22 − 1 ) 其中： V 11 − 1 = ( n 12 m 12 n 12 − ρ 12 σ 12 ρ 12 m 12 n 12 − ρ 12 σ 12 0 0 σ 12 m 12 n 12 − ρ 12 σ 12 m 12 m 12 n 12 − ρ 12 σ 12 0 0 0 0 n 21 m 21 n 21 − ρ 21 σ 21 ρ 21 m 21 n 21 − ρ 21 σ 21 0 0 σ 21 m 21 n 21 − ρ 21 σ 21 m 12 m 21 n 21 − ρ 21 σ 21 ) V 22 − 1 = ( q 12 p 12 q 12 − ρ 12 σ 12 ρ 12 p 12 q 12 − ρ 12 σ 12 0 0 σ 12 p 12 q 12 − ρ 12 σ 12 p 12 p 12 q 12 − ρ 12 σ 12 0 0 0 0 q 21 p 21 q 21 − ρ 21 σ 21 ρ 21 p 21 n 21 − ρ 21 σ 21 0 0 σ 21 p 21 q 21 − ρ 21 σ 21 p 21 p 21 q 21 − ρ 21 σ 21 ) 令 U 12 = m 12 n 12 − ρ 12 σ 12 ， U 21 = m 21 n 21 − ρ 21 σ 21 ， W 12 = p 12 q 12 − ρ 12 σ 12 ， W 21 = p 21 q 21 − ρ 21 σ 21 ，有 − V 22 − 1 V 21 V 11 − 1 = ( α ( n 12 q 12 + σ 12 ρ 12 ) W 12 U 12 α ( ρ 12 q 12 + m 12 ρ 12 ) W 12 U 12 0 0 α ( σ 12 η 12 + σ 12 p 12 ) W 12 U 12 α ( σ 12 ρ 12 + p 12 m 12 ) W 12 U 12 0 0 0 0 α ( n 21 q 21 + σ 21 ρ 21 ) W 21 U 21 α ( ρ 21 q 21 + m 21 ρ 21 ) W 21 U 21 0 0 α ( σ 21 η 21 + σ 21 p 21 ) W 21 U 21 α ( σ 21 ρ 21 + p 21 m 21 ) W 21 U 12 ) 令 K 11 = − F 12 V 22 − 1 V 21 V 11 − 1 ，则有 再生矩阵为 K = F V − 1 ，得 K = ( K 11 ∗ 0 0 ) ，由于*不影响K的特征值 [ 9 ] ，则有 ρ ( K ) = ρ ( K 11 ) ，因此有效再生数 R v = ρ ( K 11 ) 。