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user: 4. GARCH-EVT-Copula下的鲁棒投资组合模型 本文通过GARCH-EVT-Copula模型刻画多种金融资产收益率的多元分布，然后运用不同的Copula函数构建资产收益分布的混合不确定集合，在WCVAR鲁棒投资组合模型基础上建立稳健的投资组合模型。 令 x ∈ R n 表示随机收益率向量， w ∈ R n 表示决策向量， f ( w ， x ) 表示相应的损失函数。假设 x 服从密度函数为 p ( . ) 的连续分布。 给定决策向量 w ∈ W ，损失 f ( w ， x ) 不超过阈值 α 的概率为 Ψ ( w ， α ) ≜ ∫ ​ f ( w ， x ) ≤ α p ( x ) d x 对于固定的决策向量 w ∈ W 及置信水平 β ，用 V a R β ( w ) 及 C V a R β ( w ) 表示相应的风险度量VaR与CVaR，则 V a R β ( w ) ≜ min { α ∈ R : Ψ ( w ， α ) ≥ β } C V a R β ( w ) ≜ 1 1 − β ∫ ​ f ( w ， x ) ≥ V a R β ( w ) f ( w ， x ) p ( x ) d x Rockafellar和Uryasev (2003) [ 11 ] 证明了对于CVaR的计算可以由如下公式代替： F β ( w ， α ) ≜ α + 1 1 − β ∫ ​ x ∈ R n [ f ( w ， x ) − α ] + p ( x ) d x (3) C V a R β ( w ) = min a ∈ R F β ( w ， α ) Kakouris和Rustem (2014) [ 4 ] 研究了用Coupla理论构建的多元分布下的VaR和CVaR，有如下结论： 结论1：设随机向量 u ∈ [ 0 ， 1 ] n ， F ( x ) = ( F 1 ( x 1 ) ， ⋯ ， F n ( x n ) ) 表示边缘累计分布的集合，令 u = F ( x ) ，损失函数为 f ˜ ( w ， u ) ，假设 u 服从Copula密度函数为 c ( ⋅ ) 的连续分布。则对于置信度为 β 的VaR及CVaR定义为 V a R β ( w ) ≜ min { α ∈ R : c ( u | f ˜ ( w ， u ) ≤ α ) ≥ β } C V a R β ( w ) ≜ 1 1 − β ∫ ​ f ˜ ( w ， u ) ≥ V a R β ( w ) f ˜ ( w ， u ) c ( u ) d u 所以，根据(3)式，求 C V a R β ( w ) 可简化为求解如下最小化问题： Y β ( w ， α ) = α + 1 1 − β ∫ ​ u ∈ I n [ f ˜ ( w ， u ) − α ] + c ( u ) d u C V a R β ( w ) = min a ∈ R Y β ( w ， α ) 本文使用GARCH-EVT模型来刻画收益率的边缘分布， u = F ( x ) = ( F 1 ( x 1 ) ， ⋯ ， F n ( x n ) ) ，其中 F i ( x i ) 表示由GARCH-EVT模型(2)描述的第i种资产的收益率分布；然后假设Copula函数 c ( u ) 属于一个Copula函数集合 C = ( c 1 ( u ) ， ⋯ ， c l ( u ) ) ，通过不同的Copula函数 c i ( u ) 建立相应的GARCH-EVT-Copula模型得到刻画收益率的混合不确定多元分布集合 H ( x ) 。通过使此不确定集合下的风险度量CVaR在最坏情况(worst-case CVaR)下达到最优，建立鲁棒投资组合模型。 描述资产收益率向量 x 的混合不确定多元分布集合 H ( x ) ： H ( x ) ≜ { ∑ i = 1 l λ i c i ( F ( x ) ) : λ = ( λ 1 ， ⋯ ， λ l ) ∈ Λ ， c i ∈ C ， i = 1 ， ⋯ ， l } 其中 Λ = { λ = ( λ 1 ， ⋯ ， λ l ) | ∑ i = 1 l λ i = 1 ， λ i ≥ 0 } 。 所以，在混合不确定多元分布集合 H ( x ) 下的风险度量CVaR有如下形式： C V a R β ( w ) = min a ∈ R Y β ( w ， α ) Y β ( w ， α ) = α + 1 1 − β ∫ ​ u ∈ I n [ f ˜ ( w ， u ) − α ] + ∑ i = 1 l λ i c i ( u ) d u = ∑ i = 1 l λ i Y β i ( w ， α ) 当收益率的分布是不确定的，可以通过定义不确定分布下最坏的CVaR (worst-case CVaR)来建立鲁棒投资组合模型。根据Zhu和Fukushima (2009) [ 3 ] 及Kakouris和Rustem (2014) [ 4 ] 的研究，有如下定义及结论。 定义：对于Copula函数集合C、置信度 β 及固定的决策向量 w ∈ W ，定义WCVaR： W C V a R β ( w ) ≜ sup c ( . ) ∈ C C V a R β ( w ) 结论2：对于任意的 w 及不确定分布集合 H ( x ) ， W C V a R β ( w ) = min a ∈ R max λ ∈ Λ Y β ( w ， α ) 所以，在混合不确定集合 H ( x ) 下最小化 W C V a R β ( w ) 的鲁棒投资组合模型为： min w ∈ W W C V a R β ( w ) = min w ∈ W min a ∈ R max λ ∈ Λ Y β ( w ， α ) 该模型可以简化成如下形式： min ( w ， α ， θ ) ∈ W × R × R { θ : ∑ i = 1 l λ i Y β i ( w ， α ) ≤ θ ， λ ∈ Λ } Zhu和Fukushima (2009) [ 3 ] 证明了上述模型可以进一步简化为如下形式： min ( w ， α ， θ ) ∈ W × R × R { θ : Y β i ( w ， α ) ≤ θ ， i = 1 ， ⋯ ， l } (4) 综上，在Zhu和Fukushima (2009) [ 3 ] 建立的WCVaR下的鲁棒投资组合模型框架下，本文由GARCH-EVT模型刻画边缘分布，在Copula函数属于一个不确定集合的C时，由模型(4)并运用蒙特卡洛方法可得到在混合不确定多元分布集合 H ( x ) 下的GARCH-EVT-Copula-WCVaR鲁棒模型： min w ∈ R n ， v ∈ R l ， α ∈ R ， θ ∈ R θ s . t .   w ∈ W ， v ∈ R m ， α ∈ R ， θ ∈ R α + 1 S i ( 1 − β ) ( 1 i ) T v i ≤ θ ，     i = 1 ， ⋯ ， l v k i ≥ f ˜ ( w ， u k i ) − α ，     k = 1 ， ⋯ ， S i ，     i = 1 ， ⋯ ， l v k i ≥ 0 ，     k = 1 ， ⋯ ， S i ，     i = 1 ， ⋯ ， l 其中 u k i 表示从第i个Copula函数 c i 建立的多元分布中抽取的第k个样本， v = ( v 1 ， ⋯ ， v l ) ∈ R m ， m = ∑ i = 1 l S i ， 1 i = ( 1 ， ⋯ ， 1 ) ∈ R S i ， W 表示决策向量的限制集合， W = { e T w = 1 ， w i ≥ 0 ， E ( u T w ) ≥ γ } ，其中 表示最小的要求回报。