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user: 2. 螺旋六角para-链的最大匹配的强迫数 一个螺旋六角链简记为 ，其中 是 中第i个六边形，两个六边形共用的点(是一个4度点)为图 的螺旋点，即一个螺旋点当且仅当被两个六边形占用。任意两个螺旋点 ， ，若u，v在 中是相邻的，称它们是ortho-连接；若u，v的距离为2，则称它们是meta-连接；若u，v的距离为3，则称它们是para-连接。只含有一个螺旋点的六边形称为端六边形，即 和 。其余的六边形称为内部六边形。若一个螺旋六角链的一个内部六边形的螺旋点以para-(或meta-或ortho-)相衔接，则这个内部六边形被称作para-六边形(或meta-六边形或ortho-六边形)。若这个螺旋六角链 的内部六边形都是para-六边形(或meta-六边形或ortho-六边形)，则这个螺旋六角链被称为螺旋六角para-链，记为 (或螺旋六角meta-链，记为 ，或螺旋六角ortho-链，记为 )。 本文我们只考虑螺旋六角para-链，很显然螺旋六角para-链 有5n + 1个点和6n条边。如果n是偶数，那么 的点数为奇数，易知 不存在完美匹配，此时我们考虑螺旋六角para-链 的最大匹配。 若图G的顶点集能划分为两个非空子集A和B，使得A中任何两个顶点之间无边相连，并且B中任何两点之间也没有边相连，则称该图是二部图(bipartite graph)， 称为其二部划分，记为 。如果对A的任意非空子集X，都有 则称二部图G关于A有正赢量，简称G有正赢量。设M是图G的一个最大匹配，M非饱和点的个数称为图G的亏量，记为def(G)。 令G是一个图。若D(G)是G中至少不被某个最大匹配所覆盖的顶点所构成的集合，而A(G)是V(G) − D(G)中与D(G)中至少一个顶点相邻的点所构成的集合， 。根据Gallai-Edmonds分解定理，G[D(G)]的每一个分支是因子临界图，G[C(G)]是具有完美匹配的图；令U(G)表示D(G)的每个分支收缩成的点所构成的集合，则以U(G)和D(G)为二部划分的二部图是一个具有正赢量的二部图。显然，若G有完美匹配，则C(G) = V(G)。 引理1 [ 5 ] ：令图 是一个二部图，若G关于A有正赢量，则 ， ， 且 。 引理2 [ 9 ] ：设G是有完美匹配M的平面二部图，则M的匹配强迫数等于不交的M-交错圈的最大数目，即有， 。 定理3：令G是含有2n个六边形的螺旋六角para-链，则G存在几乎完美匹配。 图1. 有2n个六边形的螺旋六角para-链图G 证明：假设G是含有2n个六边形的螺旋六角para-链。给图G的顶点进行如图1所示的标号，用 分别表示G中所有的点， 分别表示G中所有的边。 图2. 二部图G = (A， B) 显然图G也是一个平面二部图，其二部图 的二部划分为 ，其中A部分的点集记为： ； B部分的点集记为： ， 如图2所示，显然G关于A有正赢量。根据引理1， ， ， 且 ，即图G存在几乎完美匹配。 定理4：令G是含有2n个六边形的螺旋六角para-链，则图G含有 个最大匹配。 证明：假设G是含有2n个六边形的螺旋para-链。根据定理3，图G存在几乎完美匹配。则该图去掉B中任意一点，得到的新图存在完美匹配。我们将B中的点分成三部分。即 。其中： ； ； 。 情形1：最大匹配M不饱和 中一个顶点，图G删去 中任意一点，得到的图 恰好有两个一度点，并且 存在完美匹配，且这两个一度点相关联的两条边一定是固定允许边。继续删去 中这两条固定允许边相关联的点，得到图 是含有2n − 1个六边形的螺旋para-链，且具有完美匹配。把 中的六边形用阿拉伯数字进行标记，对于 的任意一个完美匹配M， 中所有被标记为奇数的六边形一定为M-交错六边形， 中所有被标记为偶数的六边形中的两条平行边(边的端点都是二度点)是 中固定允许边。 中每一个M-交错六边形有两个完美匹配， 中每一个M-交错六边形的一个完美匹配的并，加上 中所有被标记为偶数的六边形的两条固定允许边，以及 的两个一度点相关联的两条固定允许边构成 的一个完美匹配，从而是G的一个最大匹配，可得G的最大匹配的个数为2 n 个。 情形2：最大匹配M不饱和 中一个顶点，图G删去 中任意一点，得到的图 恰好有一个一度点，且 存在完美匹配，故这个一度点相关联的边一定是固定允许边，继续删去 中这条固定允许边相关联的点，得到的图 有两种子情况。子情形一： 存在一个一度点，则这个一度点相关联的边也必是固定允许边，再删去其相关联的点，得到图 是含有2n − 1个六边形的螺旋para-链。与情形1类似可得 有2 n 个完美匹配，从而G有2 n 个最大匹配。子情形二： 存在三个一度点，这三个一度点相关联的三条边必是固定允许边，再删去这三条固定允许边相关联的点，得到 包含两个分支，分别是两个含有奇数个六边形的螺旋para-链。其不交的M-交错六边形共有n个 中每一个M-交错六边形有两个完美匹配， 中每一个M-交错六边形的一个完美匹配的并，加上 中所有剩下的六边形的两条固定允许边，以及 的三个一度点相关联的固定允许边，以及 的一度点相关联的边构成 的一个完美匹配，从而是G的一个最大匹配，最大匹配的个数为2 n 个。 情形3：最大匹配M不饱和 中一个顶点，图G删去 中任意一点，得到的图 含有四个一度点，它们相关联的边也一定是固定允许边，继续删去这四条固定允许边覆盖的点，得到的图 是两个分支，分别是含有奇数个六边形的螺旋六角para-链。其M-交错六边形的个数共n个， 中每一个M-交错六边形有两个完美匹配， 中每一个M-交错六边形的一个完美匹配的并，加上 中所有剩下的六边形的两条固定允许边，以及 的四个一度点相关联的固定允许边，构成 的一个完美匹配，从而是G的一个最大匹配，最大匹配的个数为2 n 个。 综上所述，去掉B中任意一点，得到的新图都有2 n 个完美匹配，故原图都有2 n 个最大匹配，又有 ，则图G含有 个最大匹配。 定理5：令G是含有2n个六边形的螺旋六角para-链，M是G的一个最大匹配，则 或n + 2或n + 4。 证明：由定理3和定理4可知，图G也是一个平面二部图，图 的二部划分为 ，其中A部分的点集记为： ；B部分的点集记为： ，其中 ； ； 。根据图G的最大匹配不饱和的点所在的位置分为以下三种情形： 情形1：若G的最大匹配M是不饱和 中任意一点的最大匹配，则这个最大匹配M是由 (G删去 中任意一点，得到的图 )的两个一度点相关联的固定允许边，并上 (是删去 中这两条匹配边相关联的点，而得到的含有2n − 1个六边形的螺旋para-链)的一个完美匹配所构成的。已知 含有最大边不交的M-交错圈的个数为n个。根据引理2，可知 的完美匹配的强迫数是n，又已知G的最大匹配是不饱和 中任意一点的最大匹配，那么 两个一度点相关联的边一定是固定允许边，否则就不满足G的最大匹配是不饱和 中任意一点的最大匹配。因此，不饱和 中任意一点的最大匹配的强迫数是n + 2。 情形2：若G的最大匹配M是不饱和 中任意一点的最大匹配，则这个最大匹配M有两种子情形。子情形1：最大匹配M是由 (G删去 中任意一点，得到的图 )的一个一度点相关联的边，加上 (删去 中一度点关联的这条匹配边饱和的点，得到的图 )的一个一度点相关联的边，以及 (删去 中这一个一度点关联的匹配边所覆盖的点，是含有2n − 1个六边形的螺旋para-链)的一个完美匹配所构成的。根据引理2，可知 的完美匹配的强迫数是n。子情形2：最大匹配M是由 (G删去 中任意一点，得到的图 )的一个一度点相关联的边，加上 (删去 中一度点关联的这条匹配边饱和的点而得到的图 )的三个一度点相关联的固定允许边，以及 (删去 中这三个一度点关联的匹配边所饱和的点后是两个分支，分别是含有奇数个六边形的螺旋para-链)的一个完美匹配所构成的。 的完美匹配是这两个分支各自的完美匹配的并。设其中一个分支含有x个不交的M-交错圈，那么另一个分支含有n − x个不交的交错圈。根据引理2，可知 的完美匹配的强迫数是n。又由已知G的最大匹配是不饱和 中任意一点的最大匹配，那么 的这个一度点相关联的边一定是固定允许边，否则就不满足G的最大匹配是不饱和 中任意一点的最大匹配，故不饱和 中任意一点的最大匹配的强迫数是 。 情形3：若G的最大匹配M是不饱和 中任意一点的最大匹配，则M是由 (G删去 中任意一点，得到的图 )四个一度点相关联的边，并上 (删去 中这四个一度点关联的这条匹配边饱和的点后是两个分支，分别是两个含有奇数个六边形的螺旋六角para-链)的一个完美匹配所构成的。 的完美匹配是这两个分支各自的完美匹配的并。设其中一个分支含有x个不交的M-交错圈，那么另一个分支含有n − x个不交的M-交错圈。同理可知 的完美匹配的强迫数是n。又由已知G的最大匹配是不饱和 中任意一点的最大匹配，那么 的这四个一度点相关联的边一定是固定允许边，否则就不满足G的最大匹配是不饱和 中任意一点的最大匹配，故不饱和 中任意一点的最大匹配的强迫数是n + 4。 推论6：令G是含有2n个六边形的螺旋六角para-链，则 。