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user: 3. 限制情形下的Dynkin对策 在这一节中，我们回顾一些与反射BSDE和Dykin对策问题相关的一些结果。 在J. Cvitanic；I. Karatzas [ 3 ] 中，作者证明了如果(X，Y，Z)是反射BSDE的解，那么X(t)和由(1.1)，(1.2)定义的Dynkin对策问题的价值函数相等，其中 R t ( τ ， σ ) = ∫ t τ ∧ σ g ( s ， X ( s ) ， Y ( s ) ) d s + L ( τ ) 1 ( τ < T ， τ ≤ σ ) + U ( σ ) 1 ( σ < τ ) + ξ 1 ( τ ∧ σ = T ) (I) 更一般地，在S. Hamadene，J. -P. Lepeltier [ 4 ] 中，作者讨论了以 R t ( τ ， σ ) = E ( u ， v ) ∫ t τ ∧ σ g ( s ， X ( s ) ， u ( ( s ) ， v ( s ) ) d s + L ( τ ) 1 ( τ < T ， τ ≤ σ ) + U ( σ ) 1 ( σ < τ ) + ξ 1 ( τ ∧ σ = T ) (II) 为支付函数的混合零和微分对策问题。 在本文中，当 g ( ω ， t ， x ， 0 ) = 0 时，我们可以把 E t g [ L ( τ ) 1 ( τ ≤ σ ) + U ( σ ) 1 ( σ < τ ) ] 展开为 E [ ∫ t τ ∧ σ g ( s ， X τ ， σ ( s ) ， Y τ ， σ ( s ) ) d s + L ( τ ) 1 ( τ < T ， τ ≤ σ ) + U ( σ ) 1 ( σ < τ ) + ξ 1 ( τ ∧ σ = T ) | Γ t ] (III) 其中 ( X τ ， σ ( t ) ， Y τ ， σ ( t ) ) 是以 η = L ( τ ) 1 ( τ < T ， τ ≤ σ ) + U ( σ ) 1 ( σ < τ ) + ξ 1 ( τ ∧ σ = T ) 为终端的BSDE的解， ξ = L ( T ) 。 上述停时对策问题看起来很相似，但有本质的区别。 从上面(I)，(II)和(III)的表达式中，我们比较容易看出它们积分项中被积函数的区别。 在(I)中， ( X ( s ) ， Y ( s ) ) 是事先确定的；在(II)中，X(s)只依赖于 ( u ， v ) ；但是在我们的问题(III)中， ( X τ ， σ ( t ) ， Y τ ， σ ( t ) ) 依赖于停时 ( τ ， σ ) 利用反射BSDE和BSDE的比较性质或g-鞅理论，我们可以找到非线性g-期望下的Dynkin对策的一组鞍点。 其中的主要原因是g-期望拥有很多和线性期望一样的性质，我们可以从以后的证明中看出，线性在反射BSDE和Dynkin对策的联系中不是关键的。 按照J. Cvitanic；I. Karatzas [ 3 ] 的思路，利用g期望理论，我们可以很容易证明下面在非受限情形下的结果。 定理1 假设 L ( t ) ， U ( t ) ∈ S 1 2 并且 L ( t ) ≤ U ( t ) ， 0 ≤ t ≤ T 。生成元 g ( t ， x ， y ) 满足条件(A1)，(A2)并且 g ( t ， x ， 0 ) = 0 ， ∀ t ， x 。假定 ( X ( t ) ， Y ( t ) ， K ( t ) ) 是以 L ( T ) 为终端的反射倒向随机微分方程(2.1)的解，那么由 (1.4)，(1.5)确定的Dynkin对策有一组鞍点 ( τ t * ， σ t * ) ，从而价值函数存在。更进一步，这组鞍点为 τ t * = inf { s ≥ t : L ( s ) = X ( s ) } ∧ T (3.1) 和 σ t * = inf { s ≥ t : U ( s ) = X ( s ) } ∧ T (3.2) 并且 V _ ( t ) = V ¯ ( t ) = X (t) 证明：我们只要证明(1.6)。 先固定 σ t * ，对任意取值于 [ t ， T ] 的一个停时 τ ，因为 L ≤ X 和 X ( σ t * ) = U ( σ t * ) ， 所以我们有 E t g [ R t ( τ ， σ t * ) ] = E t g [ L ( τ ) 1 ( τ ≤ σ t * ) + U ( σ t * ) 1 ( σ t * < t ) ] ≤ E t g [ X ( τ ) 1 ( τ ≤ σ t * ) + U ( σ t * ) 1 ( σ t * < t ) ] = E t g [ X ( τ ∧ σ t * ) ] 至此，我们将要证明 E t g [ X ( τ ∧ σ t * ) ] ≤ E t g [ X ( τ t * ∧ σ t * ) ] (3.3) 对任意取值于 [ t ， T ] 的停时 τ 成立。 由(2.3)和(3.1)，(3.2)，我们有当 τ ≤ τ t * 时， ；当 σ ≤ σ t * 时， A − ( σ ) = A − ( t ) 。 因此在集合 ( τ ≤ τ t * ) 上，由方程(2.1)，我们有 X ( τ ∧ σ t * ) = X ( τ t * ∧ σ t * ) + ∫ τ ∧ σ t * τ t * ∧ σ t * g ( s ， X ( s ) ， Y ( s ) ) d s − ∫ τ ∧ σ t * τ t * ∧ σ t * Y ′ ( s ) d W (s) 这意味着 X ( τ ∧ σ t * ) = E t ∧ σ t * g [ X ( τ t * ∧ σ t * ) ] (3.4) 在另一方面，当 τ > τ t * ，类似地，我们有 X ( τ t * ∧ σ t * ) = X ( τ ∧ σ t * ) + ∫ τ t * ∧ σ t * τ ∧ σ t * g ( s ， X ( s ) ， Y ( s ) ) d s + A + ( τ ∧ σ t * )     − A + ( τ t * ∧ σ t * ) − ∫ τ t * ∧ σ t * τ ∧ σ t * Y ′ ( s ) d W (s) 由此意味着 E t t * ∧ σ t * g [ X ( τ ∧ σ t * ) ] ≤ X ( τ t * ∧ σ t * ) (3.5) 在(3.4)和(3.5)中取条件g-期望，由g-解的相容性，参考Shige Peng [ 10 ] ，我们得到(3.3)。 现在，我们确定 τ t * ，对任意取值于 [ t ， T ] 的停时 σ ，我们将证明 E t g [ X ( τ t * ∧ σ t * ) ] ≤ E t g [ X ( τ t * ∧ σ ) ] (3.6) 类似地，当 σ ≤ σ t * 时，我们有 X ( τ t * ∧ σ ) = X ( τ t * ∧ σ t * ) + ∫ τ ∧ σ τ t * ∧ σ t * g ( s ， X ( s ) ， Y ( s ) ) d s − ∫ τ ∧ σ τ t * ∧ σ t * Y ′ ( s ) d W (s) 因此 X ( τ t * ∧ σ ) = E t t * ∧ σ g [ X ( τ t * ∧ σ t * ) ] (3.7) 成立。 当 σ > σ t * 时，(2.1)成为 X ( τ t * ∧ σ t * ) = X ( τ t * ∧ σ ) + ∫ τ t * ∧ σ t * τ t * ∧ σ g ( s ， X ( s ) ， Y ( s ) ) d s     − ( A − ( τ t * ∧ σ ) − A − ( ( τ t * ∧ σ t * ) ) − ∫ τ t * ∧ σ t * τ t * ∧ σ Y ′ ( s ) d W (s) 而这就意味着 E t t * ∧ σ t * g [ X ( τ t * ∧ σ ) ] ≥ X ( τ t * ∧ σ t * ) (3.8) 在(3.7)和(3.8)中取g-期望，我们有(3.6)证完。 注记1：比较J. Cvitanic；I. Karatzas [ 3 ] 中证明4.1的方法和我们证明定理3.1的方法，尽管它们非常类似，但是我们的好处在于直接利用了g-鞅理论，这样方便我们以后处理带限制的情形。 下面我们讨论带限制的情形，也就是我们用带限制的g-期望，既S. G. Peng；M. Y. Xu [ 9 ] 中定义的 g Γ 期望来计量回报过程。 与没有限制的情形相似，我们分别定义下价值和上价值过程如下 V ¯ t = ess sup τ ∈ Π t ess inf σ ∈ Π t E t g ， ϕ [ R ( τ ， σ ) ] (3.9) 和 V _     t = ess inf τ ∈ Π t ess sup σ ∈ Π t E t g ， ϕ [ R ( τ ， σ ) ] (3.10) 其中 R ( τ ， σ ) = L ( τ ) 1 ( τ ≤ σ ) + U ( σ ) 1 ( σ < τ ) 。 对任意整数m，令 g m = g + m ϕ ，我们用 ( X m ， Y m ， K m ) ， m = 1 ， 2 ， ⋯ ，表示分别以U和L为上下反射壁的 g m 反射BSDE的解。因为 X m 能由惩罚方法得到，由比较定理， X m 是一列递增过程。 利用这一列过程，我们得到如下的一列停时 τ t * ( m ) = inf { s ≥ t : L ( s ) = X m ( s ) } ∧ T (3.11) 和 σ t * ( m ) = inf { s ≥ t : U ( s ) = X m ( s ) } ∧ T (3.12) 容易看出 τ t * ( m ) 递增并且 递减。 令 X ( t ) : = lim m → ∞ X m ( t ) 。为了后面的证明，我们希望 X ( t ) 是右连续的，为此我们证明 X m ( t ) 的右连续性。我们有下面引理 引理1 在函数 g ， ϕ ，障碍 满足和定理1一样的条件下， X m ( t ) ， m = 1 ， 2 ， ⋯ 以及其极限 X ( t ) 均为右连续。 证明：事实上，令 g m = g + m ϕ ， ( X m ， Y m ， K m ) ， m = 1 ， 2 ， ⋯ 是以U和L为上下反射壁的反射BSDE的解，那么由惩罚方法， X m ( t ) 是下列 X n ， m (t) X n ， m ( t ) = ξ + ∫ t T g m ( s ， X n ， m ( s ) ， Y n ， m ( s ) ) d s + n ∫ t T ( X n ， m ( s ) − L ) − d s     − n ∫ t T ( X n ， m ( s ) − U ) + d s − ∫ t T Y n ， m ( s ) d W (s) 当 n → ∞ 的极限，其中 ( K m ) + 和 ( K m ) − 分别是 n ∫ t T ( X n ， m ( s ) − L ) − d s 和 n ∫ t T ( X n ， m ( s ) − L ) − d s 那么由S. G. Peng，M. Y. Xu [ 9 ] 中的定理A.1或定理3.1， 右连续从而 X ( t ) 右连续。 在以上结果的基础上，我们得到下面带限制的Dynkin对策的结果。 定理2若g和 ϕ 满足假设(A1)和(A2)， L ( t ) 和 U ( t ) 是非负连续过程，并且存在 B > 0 ，使得对 ∀ t ∈ [ 0 ， T ] ， L ( t ) ≤ B ， U ( t ) ≤ B 。我们考虑由(3.9)和(3.10)定义的下价值和上价值函数的Dynkin对策。如果 L ( t ) 关于时间递增，那么由(3.13)定义的一对停时是一组鞍点。 证明：如引理1所证明， X ( t ) : = lim m → ∞ X m ( t ) 是右连续的，我们可以定义停时 τ t * = inf { s ≥ t : L ( s ) = X ( s ) } ∧ T ， σ t * = inf { s ≥ t : U ( s ) = X ( s ) } ∧ T (3.13) 并且对任意m， L ( τ t * ) = X ( τ t * ) ， U ( σ t * ) = X ( σ t * ) ， τ t * ≥ τ t * ( m ) ， σ t * ≤ σ t * ( m ) ， 对任意 n ≤ m ，由BSDE的比较定理和在非受限的情形下的定理3.1，我们有 E t g n [ X m ( τ ∧ σ t * ) ] ≤ E t g m [ X m ( τ ∧ σ t * ) ] ≤ E t g m [ X m ( τ t * ( m ) ∧ σ t * ( m ) ) ] = X m ( t ) (3.14) 对任意 τ 和由(3.11)与(3.12)定义的停时 τ t * ( m ) ， σ t * ( m ) 成立。 在另一方面，我们有 X m ( t ) = E t g m [ X m ( τ t * ( m ) ∧ σ t * ( m ) ) ] ≤ E t g m [ X m ( τ t * ( m ) ∧ σ ) ] ≤ E t g ， ϕ [ X m ( τ t * ( m ) ∧ σ ) ] (3.15) 对任意取值于 [ t ， T ] 的停时 τ 成立。 在(3.15)中，我们将要证明 E t g ， ϕ [ X m ( τ t * ( m ) ∧ σ ) ] ≤ E t g ， ϕ [ X m ( τ t * ∧ σ ) ] (3.16) 由 τ t * ( m ) ， m = 1 ， 2 ， ⋯ 和 τ t * 的定义，我们有 X m ( τ t * ( m ) ∧ σ ) = L ( τ t * ( m ) ) 1 ( τ t * ( m ) ≤ σ ) + X m ( σ ) 1 ( σ < τ t * (m)) 和 X ( τ t * ∧ σ ) = L ( τ t * ) 1 ( τ t * ≤ σ ) + X ( σ ) 1 ( σ < τ t * ) 因此由 L ( t ) 关于时间的单调性，我们得 i) 当 σ < τ t * ( m ) ≤ τ t * 时 X m ( τ t * ( m ) ∧ σ ) = X m ( σ ) = X m ( τ t * ∧ σ ) ≤ X ( τ t * ∧ σ ) ii) 当 τ t * ( m ) ≤ σ < τ t * 时 X m ( τ t * ( m ) ∧ σ ) = X m ( τ t * ( m ) ) = L m ( τ t * ( m ) ) ≤ L ( σ ) ≤ X ( σ ) = X ( τ t * ∧ σ ) iii) 当 时 X m ( τ t * ( m ) ∧ σ ) = X m ( τ t * ( m ) ) = L m ( τ t * ( m ) ) ≤ L ( τ t * ) ≤ X ( τ t * ) = X ( τ t * ∧ σ ) 首先我们在(3.14)和(3.15)中取 m → ∞ 时的极限，由(3.16)和 g Γ -解的比较定理，我们有 E t g n [ X ( τ ∧ σ t * ) ] ≤ X ( t ) (3.17) 和 X ( t ) ≤ E t g ， ϕ [ X ( τ t * ∧ σ ) ] (3.18) 然后，我们在(3.17)中取 n → ∞ 时的极限。由惩罚方法， g Γ -期望由一列单增的 g n -期望取极限而得，我们有 E t g ， ϕ [ X ( τ ∧ σ t * ) ] ≤ X ( t ) (3.19) 把(3.18)和(3.19)放在一起，注意到 R ( τ ∧ σ t * ) = L ( τ ) 1 ( τ ≤ σ t * ) + U ( σ t * ) 1 ( σ t * < τ ) ≤ X ( τ ∧ σ t * ) 和 R ( τ t * ∧ σ ) = L ( τ t * ) 1 ( τ t * ≤ σ ) + U ( σ ) 1 ( σ < τ t * ) ≤ X ( τ t * ∧ σ ) 那么由 g Γ -期望的比较性质，我们知道Dynkin对策(3.9)和(3.10)有价值函数 X ( t ) 。 更进一步，我们容易看出 ( τ t * ， σ t * ) 是一组鞍点，既如果我们分别在(3.18)和(3.19)令 τ = τ t * ， σ = σ t * ，则有 E t g ， ϕ [ R ( τ t * ∧ σ t * ) ] = E t g ， ϕ [ X ( τ t * ∧ σ t * ) ] = X ( t ) (3.20) 证完。 注记 2注意到当 g ( t ， x ， 0 ) = 0 和 ϕ ( t ， x ， 0 ) = 0 时，那么 g Γ -解在 L T ∞ ( P ) 上有定义。 事实上，对任意 ξ ∈ L T ∞ ( P ) ，假设 ξ ≤ D ， a . s 对某个实数 D 成立，那么 ( X ( t ) ， Y ( t ) ， C (t)) 是满足限制条件 ϕ ( X ( t ) ， Y ( t ) ) = 0 ， a . s ， a . e 和终端条件 X ( T ) = ξ 的g-上解，其中 X ( t ) = { D       0 ≤ t < T ; ξ             t = T . Y ( t ) = 0 以及 C ( t ) = ( 0                 0 ≤ t < T ; D − ξ           t = T . 因此最小g-上解存在。