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user: 2. 主要结论 结合( [ 2 ]，引理4.8(i))和( [ 2 ]，命题5.4(iii))，如下命题给出 C S ∘ C S 的一个等价刻画。 命题2.1 完全π-正则半群S上的下列条件等价： (i) S ∈ C S ∘ C S ； (ii) 存在S上的同余 ρ 使得 ( ≤ ∪ P ) ⊆ ρ ，且对 e ∈ E S ，有 e ρ ⊆ J e 。 命题2.2 作为完全π-正则半群类， C S ∘ C S ∩ N ∘ C S = T ∘ C S 。 证明 明显 T ∘ C S ⊂ C S ∘ C S ∩ N ∘ C S 。对于反包含，令 S ∈ C S ∘ C S ∩ N ∘ C S ，设 λ ， ρ 是S上的 C S -同余，其幂等元同余类分别为 C S ， N 。则 λ ∩ ρ 的幂等元同余类为 C S ∩ N = T 。从而 S / ( λ ∩ ρ ) 为 S / λ 和 S / ρ 的子直积，而完全单半群的子直积仍为完全单半群，这说明 S / ( λ ∩ ρ ) ∈ C S ，故 S ∈ T ∘ C S 。 ■ 定理2.3 作为完全π-正则半群类， C S ⊊ T ∘ C S ⊊ C S ∘ C S ⊊ C S ∘ N 。 证明 明显 C S ⊆ T ∘ C S ⊆ C S ∘ C S 。 对于要证明的第三个包含关系 C S ∘ C S ⊂ C S ∘ N ，令 S ∈ C S ∘ C S ，设 ρ 为S上的同余使得 S / ρ ∈ C S ， ρ 的幂等元类属于 C S 。取 a ， b ∈ S ，既然 S / ρ ∈ C S ⊂ C S ∘ N ，则由( [ 2 ]，命题5.1)， ( a ω b a ω ) ω ρ a ω 。由于 ( a ω b a ω ) ≤ a ω ，则 ( a ω b a ω ) = a ω ，既然 a ω ρ ∈ C S ，而完全单半群的偏序关系 ≤ 是平凡的(详见 [ 4 ]，命题III.1.5)。这样S满足等式 ( x ω y x ω ) ω = x ω ，再由( [ 2 ]，命题5.1)，有 S ∈ C S ∘ N 。这样我们就证明了 C S ∘ C S ⊆ C S ∘ N 。 考虑半群 L 3 ， 1 和生成元为g、阶为 n ∪ ∞ (n为正整数)的循环群 C 1 ， n 的直积，其中 g n = g ω 记作e。容易验证子集 ( a ， g ) ∪ f × C 1 ， n ∪ a f × C 1 ， n ∪ a 2 × C 1 ， n 为 L 3 ， 1 × C 1 ， n 的子半群，记作 L 3 ， 1 ( n ) 。 对 n = 1 ，显然 L 3 ， 1 ( 1 ) ≅ L 3 ， 1 ，且 L 3 ， 1 ∈ L Z ∘ N ，当然 L 3 ， 1 ∈ C S ∘ N 。又注意到 ( a 2 ， e ) ≤ ( a ， e ) ，而 ( ( a 2 ， e ) ， ( a ， e ) ) ∉ J 。则由命题2.1， L 3 ， 1 ∈ C S ∘ C S 。这样就说明了 C S ∘ C S ⊊ C S ∘ N 。 对 n = 2 ， L 3 ， 1 ( 2 ) = { ( a ， g ) ， ( f ， g ) ， ( f ， e ) ， ( a f ， g ) ， ( a f ， e ) ， ( a 2 ， g ) ， ( a 2 ， e ) } ，其Green关系蛋壳图由图1给出(或见附录GAP输出的其对偶半群的结果，关于GAP软件信息详见文献 [ 5 ] )。现在考虑该半群 L 3 ， 1 ( 2 ) 作为集合的分割(见图1)， { ( a ， g ) ， ( a 2 ， g ) ， ( a f ， g ) } ， { ( a 2 ， e ) ， ( a f ， e ) } ， { ( f ， g ) } ， { ( f ， e ) } 。 可以证明该分割诱导 L 3 ， 1 ( 2 ) 上的同余 ρ ，且有 L 3 ， 1 ( 2 ) / ρ ≅ L 2 × C 1 ， 2 ∈ CS ，其中 L 2 表示二元左零半群，每一个幂等元 ρ -类为平凡半群或二元左零半群，注意代表元为 ( a ， g ) 的 ρ -类不是幂等的。这样 L 3 ， 1 ( 2 ) ∈ C S ∘ C S 。 我们断言 L 3 ， 1 ( 2 ) ∈ T ∘ C S 。否则 L 3 ， 1 ( 2 ) ∈ N ∘ C S ，由( [ 2 ]，命题5.5)， L 3 ， 1 ( 2 ) 中任意元满足等式 ( x y x ) ω = x ω 。显然此结论不真，因为在 L 3 ， 1 ( 2 ) 中 ( ( a ， g ) ( f ， e ) ( a ， g ) ) ω = ( a f ， e ) ≠ ( a 2 ， e ) = ( a ， g ) ω 。从而 T ∘ C S ⊊ C S ∘ C S 。 考虑 L 3 ， 1 ( 2 ) 的子半群 M = { ( a ， g ) ， ( a 2 ， g ) ， ( a 2 ， e ) } 。显然 M ∉ C S 。考察M的分割 { ( a ， g ) ， ( a 2 ， g ) } ， { ( a 2 ， e ) } 。可以验证该分割诱导M上的同余 σ ， M / σ ≅ C 1 ， 2 ∈ G ， σ 的幂等元同余类为平凡半群。这样 M ∈ T ∘ C S 。这就说明 C S ⊊ T ∘ C S 。 ■ 图1. 半群 L 3 ， 1 ( 2 ) 的蛋壳图及其一个分割 在图1半群 L 3 ， 1 ( 2 ) 的蛋壳图中，每一个蛋壳作为一个等价类，这些等价类构成一个 L 3 ， 1 ( 2 ) 的分割，得到 L 3 ， 1 ( 2 ) 上的Green关系 H 。由( [ 2 ]，引理5.3)， H 是 L 3 ， 1 ( 2 ) 上的同余， L 3 ， 1 ( 2 ) / H ≅ L 3 ， 1 ，即半群 L 3 ， 1 是半群 L 3 ， 1 ( 2 ) 的同态象。现在由定理2.3的证明 L 3 ， 1 ( 2 ) ∈ C S ∘ C S ，而 L 3 ， 1 ∈ C S ∘ C S 。这样可以断言 推论 2.4完全π-正则半群类 C S ∘ C S 同态下不封闭。 下面给出完全π-正则半群类 C S ∘ C S 成员的几个元素性质。 引理 2.5令 S ∈ C S ∘ C S 。 i) 对 a ∈ S ， e ∈ E S ，若 e ≤ a ，则 a = e ； ii) 对 a ， x ∈ S ，若 ( a x ) ω a = ( ( a x ) ω a ) ω ，则 a = a ω ； iii) 对 a ∈ S ，若 a a ω = a ω ，则 a = a ω 。 证明i) 由( [ 2 ]，命题5.4)和本文命题2.1， a ( ρ C S ∩ D ) e 。同时由定理2.3， S ∈ C S ∘ N ，这样，a为一群元，即 a = a a ω 。 另一方面，因为 e ≤ a ，存在 f ， g ∈ E S 1 使得 e = f a = a g 。若 f = 1 ，或 g = 1 ，当然有 a = e ；若 f ， g ∈ E S ，则由命题( [ 2 ]，命题5.1)， e = e ω = ( a g f a ) ω = ( a ω a g f a a ω ) ω = a ω 。这样 e ( H ∩ ≤ ) a a ω = a ，从而由( [ 2 ]，引理2.4) a = e 。 ii) 因 ( a x ) ω a ≤ a ，由i)和条件 ( a x ) ω a = ( ( a x ) ω a ) ω ，可得 a = a ω ，即a为幂等元。 iii) 令 x = a ，由ii)和条件 a a ω = a ω ，可得 a = a ω 。 ■ 命题2.6 作为完全π-正则半群类， i) C S ∘ C S 和 N ∘ C S 关于包含偏序是不可比的； ii) 对 a ， x ∈ S ，若 ( a x ) ω a = ( ( a x ) ω a ) ω ，则 C S ∘ C S ∩ N ∘ C S = T ∘ C S 。 证明i) 令 N 2 = { a ， 0 } 为二元幂零半群，其中 a 2 = 0 a = a 0 = 0 ，令 C 1 ， 2 = { g ， e } 为2阶循环群，并且它们的交集为空集，即它们是非交的。 一方面，首先考察直积 N 2 × C 1 ， 2 。由( [ 2 ]，命题5.5)， N 2 × C 1 ， 2 ∈ N ∘ C S 。观察到 ( a ， e ) P ( 0 ， e ) ⇏ ( a ， e ) D ( 0 ， e ) ，由命题2.1， N 2 × C 1 ， 2 ∉ C S ∘ C S 。这样就证明了 N ∘ C S ⊈ C S ∘ C S 。 令一方面，由定理2.3中的证明， L 3 ， 1 ( 2 ) ∈ C S ∘ C S ，而 L 3 ， 1 ( 2 ) ∈ N ∘ C S 。所以 C S ∘ C S ⊈ N ∘ C S 。 ii) 显然 T ∘ C S ⊆ C S ∘ C S ∩ N ∘ C S 。对于反包含，令 S ∈ C S ∘ C S ∩ N ∘ C S ，设 λ ， ρ 为S上的 C S -同余，且其幂等元同余类分别属于 C S ， N 。则同余 λ ， ρ 的交 λ ∩ ρ 的幂等元同余类为 C S ∩ N = T ，且有 S / ( λ ∩ ρ ) 为 S / λ 和 S / ρ 的子直积。从而得 S ∈ T ∘ C S 。 ■