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user: 3. 第一类扩展的(3 + 1)维Jimbo-Miwa方程 第一类扩展的(3 + 1)维Jimbo-Miwa方程为 u x x x y + 3 u y u x x + 3 u x u x y + 2 u y t − 3 ( u x z + u y z + u z z ) = 0. (8) 首先作行波变换 u ( x ， y ， z ， t ) = u ( ξ ) ， ξ = a x + b y + c z − ω t ， a ， b ， c 是波数， ω 是波频。可将方程(8)约化为下面的常微分方程， a 3 b u ( 4 ) + 6 a 2 b u ′ u ″ − ( 2 b ω + 3 a c + 3 b c + 3 c 2 ) u ″ = 0 ， (9) 其中(9)中的各阶导数表示u关于 ξ 求导。 然后对方程(9)关于 ξ 积分并取积分常数为0得 a 3 b u ‴ + 3 a 2 b ( u ′ ) 2 − ( 2 b ω + 3 a c + 3 b c + 3 c 2 ) u ′ = 0. (10) 设 r = 1 ， u ′ ( ξ ) = v ( η ) ，我们得到了方程(8)的变换形式， a 3 b T 2 v ″ + a 3 b T T ′ v ′ + 3 a 2 b v 2 − ( 2 b ω + 3 a c + 3 b c + 3 c 2 ) v = 0. (11) 3.1. 当 η ′ = η 时 (11)可以变成 a 3 b η 2 v ″ + a 3 b η v ′ + 3 a 2 b v 2 − ( 2 b ω + 3 a c + 3 b c + 3 c 2 ) v = 0. (12) 平衡(12)中的最高阶导数项和最高阶非线性项，有 m = n 。为了计算方便，我们取 m = n = 3 ，借助于符号计算，得到了(12)的有理解v， v ( η ) = 4 a q 1 q 2 η 4 q 2 2 η 2 + 4 q 1 q 2 η + q 1 2 ，   ω = a 3 b − 3 a c − 3 b c − 3 c 2 2 b (13) 和 v ( η ) = p 2 ( 4 q 2 2 η 2 − 8 q 1 q 2 η + q 1 2 ) q 2 ( 4 η 2 q 2 2 + 4 q 1 q 2 η + q 1 2 ) ， a = − 3 p 2 q 2 ，   ω = − 3 ( b c q 2 3 + c 2 q 2 3 − 9 b p 2 3 − 3 c p 2 q 2 2 ) 2 q 2 3 b . (14) 由于 η = e ξ 满足一阶常微 η ′ = η ，所以第一类扩展的(3 + 1)维Jimbo-Miwa方程的指数函数行波解为 u ( x ， y ， z ， t ) = − 2 a q 1 2 q 2 e ξ + q 1 + d ， ξ = a x + b y + c z − a 3 b − 3 a c − 3 b c − 3 c 2 2 b t 和 u ( x ， y ， z ， t ) = 6 p 2 q 1 q 2 ( 2 q 2 e ξ + q 1 ) + p 2 q 2 ξ + d ， ξ = − 3 p 2 q 2 x + b y + c z + 3 2 ( b c q 2 3 + c 2 q 2 3 − 9 b p 2 3 − 3 c p 2 q 2 2 ) t q 2 3 b ， d为积分常数，其余的参数均为任意常数。 3.2. 当 η ′ = 1 2 − 1 2 η 2 时 (11)可以变成 ( 1 4 a 3 b η 4 − 1 2 a 3 b η 2 + 1 4 a 3 b ) v ″ + ( 1 2 a 3 b η 3 − 1 2 a 3 b η ) v ′ + 3 a 2 b v 2 − ( 2 b ω + 3 a c + 3 b c + 3 c 2 ) v = 0. (15) 平衡(15)中的最高阶导数项和最高阶非线性项，有 m = n + 2 。我们取 m = 3 ， n = 1 ，借助于符号计算，得到了(15)的有理解v， v ( η ) = − ( η 2 − 1 ) p 1 q 1 ，   ω = − 3 b c q 1 3 + 3 c 2 q 1 3 − 8 b p 1 3 + 6 c p 1 q 1 2 2 q 1 3 b (16) 和 v ( η ) = − ( 3 η 2 − 1 ) p 1 q 1 ，   ω = − 3 ( b c q 1 3 + c 2 q 1 3 + 72 b p 1 3 + 6 c p 1 q 1 2 ) 2 q 1 3 b . (17) 由于 η = tanh ( ξ ) + i sech ( ξ ) 和 η = coth ( ξ ) + csch ( ξ ) 均满足一阶常微 η ′ = 1 2 − 1 2 η 2 ，所以第一类扩展的(3 + 1)维Jimbo-Miwa方程的双曲函数行波解为 u ( x ， y ， z ， t ) = 2 p 1 q 1 tanh ( ξ ) + 2 i p 1 q 1 cosh ( ξ ) + d ， u ( x ， y ， z ， t ) = 2 p 1 q 1 coth ( ξ ) + 2 p 1 q 1 sinh ( ξ ) + d ， ξ = 2 p 1 x q 1 + b y + c z + ( 3 b c q 1 3 + 3 c 2 q 1 3 − 8 b p 1 3 + 6 c p 1 q 1 2 ) t 2 q 1 3 b ， 和 u ( x ， y ， z ， t ) = 6 p 1 q 1 tanh ( ξ ) + 6 i p 1 q 1 cosh ( ξ ) − 2 p 1 ξ q 1 + d ， u ( x ， y ， z ， t ) = 6 p 1 q 1 tanh ( 1 2 ξ ) + 2 p 1 q 1 ln ( tanh ( 1 2 ξ ) − 1 tanh ( 1 2 ξ ) + 1 ) + d ， ξ = 6 p 1 x q 1 + b y + c z + 3 ( b c q 1 3 + c 2 q 1 3 + 72 b p 1 3 + 6 c p 1 q 1 2 ) t 2 q 1 3 b ， d为积分常数，其余的参数均为任意常数。 3.3. 当 η ′ = 1 + η 2 时 (11)可以变成 ( a 3 b + 2 a 3 b η 2 + a 3 b η 4 ) v ″ + ( 2 a 3 b η 3 + 2 a 3 b η ) v ′ + 3 a 2 b v 2 − ( 3 a c + 3 b c + 2 b ω + 3 c 2 ) v = 0. (18) 平衡(18)中的最高阶导数项和最高阶非线性项，有 m = n + 2 。类似地，我们取 m = 3 ， n = 1 ，借助于符号计算，得到了(18)的有理解v， v ( η ) = ( η 2 + 1 ) p 1 q 1 ，   ω = − 6 b c q 1 3 + 6 c 2 q 1 3 − b p 1 3 − 3 c p 1 q 1 2 4 q 1 3 b (19) 和 v ( η ) = ( 3 η 2 + 1 ) p 1 q 1 ，   ω = − 3 ( 2 b c q 1 3 + 2 c 2 q 1 3 + 9 b p 1 3 − 3 c p 1 q 1 2 ) 4 q 1 3 b . (20) 由于 η = tan ( ξ ) 满足一阶常微 η ′ = 1 + η 2 ，则第一类扩展的(3 + 1)维Jimbo-Miwa方程的周期行波解为 u ( x ， y ， z ， t ) = p 1 q 1 tan ( ξ ) + d ， ξ = − p 1 x 2 q 1 + b y + c z + ( 6 b c q 1 3 + 6 c 2 q 1 3 − b p 1 3 − 3 c p 1 q 1 2 ) t 4 q 1 3 b 和 u ( x ， y ， z ， t ) = p 1 ( − 2 ξ cos ( ξ ) + 3 sin ( ξ ) ) q 1 cos ( ξ ) + d ， ξ = − 3 p 1 x 2 q 1 + b y + c z + 3 ( 2 b c q 1 3 + 2 c 2 q 1 3 + 9 b p 1 3 − 3 c p 1 q 1 2 ) t 4 q 1 3 b ， d为积分常数，其余的参数均为任意常数。 3.4. 当 η ′ = R η 2 ， R ≠ 0 时 (11)可以变成 R 2 a 3 b η 4 v ″ + 2 R 2 a 3 b η 3 v ′ + 3 a 2 b v 2 − ( 3 a c + 3 b c + 2 b ω + 3 c 2 ) v = 0. (21) 我们取 m = 3 ， n = 1 ，借助于符号计算，得到了(27)的有理解v， v ( η ) = − 2 R 2 a η 2 ，   ω = − 3 c ( a + b + c ) 2 b (22) 和 v ( η ) = − 2 R 2 a q 0 η 2 − p 0 q 0 ，   ω = 3 ( 2 a 2 b p 0 − a c q 0 − b c q 0 − c 2 q 0 ) 2 q 0 b . (23) 由于 η = − 1 R ξ + c 0 满足一阶常微 η ′ = R η 2 ， R ≠ 0 ，则第一类扩展的(3 + 1)维Jimbo-Miwa方程的有理解为 u = 2 a R R ξ + c 0 + d ，   ξ = a x + b y + c z + 3 c ( a + b + c ) t 2 b 和 u ( x ， y ， z ， t ) = R p 0 ξ 2 + 2 R a q 0 + c 0 p 0 ξ q 0 ( R ξ + c 0 ) + d ， ξ = a x + b y + c z − 3 ( 2 a 2 b p 0 − a c q 0 − b c q 0 − c 2 q 0 ) t 2 b q 0 . d为积分常数，其余的参数均为任意常数。