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user: 2. 预备知识 引理1 Riccati-Bessel方程 x 2 y ″ i + [ ( μ n i a i ) 2 x 2 − l i ( l i + 1 ) ] y i = 0 ， ( i = 1 ， 2 ) (2) 通过变量代换 y i = π x 2 z i ， ξ = μ n i a i x ， ( i = 1 ， 2 ) 可化为标准Bessel方程 ξ 2 d 2 z d ξ 2 + ξ d z d ξ + [ ξ 2 − ( l i + 1 2 ) 2 ] z = 0. (3) 证：由 y i = π x 2 z i 可得 y ′ i = 1 2 π 2 x z i + π x 2 z ′ i ， y ″ i = π x 2 z ″ i + π 2 x z ′ i − 1 4 π 2 x z i x 。将 y ′ 1 ， y ″ 1 带入方程(2)可得 x 2 [ π x 2 z ″ + π 2 x z ′ − 1 4 π 2 x 1 x z ] + [ ( μ n i a i ) 2 x 2 − l i ( l i + 1 ) ] π x 2 z = 0 ，即 x 2 z ″ + x z ′ + [ ( μ n i a i ) 2 x 2 − ( l i + 1 2 ) 2 ] z = 0 。接着令 ξ = μ n i a i x 可得 ξ 2 d 2 z d ξ 2 + ξ d z d ξ + [ ξ 2 − ( l i + 1 2 ) 2 ] z = 0 。 引理2 Riccati-Bessel方程的通解为 [ 1 ] y 1 = π x 2 [ C 1 Y l 1 + 1 2 ( μ n 1 a 1 x ) + C 2 J l 1 + 1 2 ( μ n 1 a 1 x ) ] ， y 2 = π x 2 [ C 3 Y l 2 + 1 2 ( μ n 2 a 2 x ) + C 4 J l 2 + 1 2 ( μ n 2 a 2 x ) ] . (4) 其中 C 1 ， C 2 ， C 3 ， C 4 是常数， Y l i + 1 2 ( · ) ， J l i + 1 2 ( · ) ， ( i = 1 ， 2 ) 分别是第一、第二类 l i + 1 2 ， ( i = 1 ， 2 ) 阶Bessel函数。 证：已知标准Bessel方程的通解是 z 1 = C 1 Y 1 ( ξ ) + C 2 J 1 ( ξ ) ， z 2 = C 3 Y 1 ( ξ ) + C 4 J 1 ( ξ ) 。通过变量替换 y i = π x 2 z i ， ξ = μ n i a i x ， ( i = 1 ， 2 ) 得出Riccati-Bessel 方程的通解为(4)式。 引理3 构造二元函数 ψ m ， n ( x ， y ， t ) = Y m ( x t ) J n ( y t ) − J m ( x t ) Y n ( y t ) . (5) 其中 m ， n 为实常数，且 ∂ ∂ x ψ v ， v ( x ， y ， μ n i a i ) = v x ψ v ， v ( x ， y ， μ n i a i ) − μ n i a i ψ v + 1 ， v ( x ， y ， μ n i a i ) ， ∂ ∂ y ψ v ， v ( x ， y ， μ n i a i ) = v y ψ v ， v ( x ， y ， μ n i a i ) − μ n i a i ψ v ， v + 1 ( x ， y ， μ n i a i ) ， ∂ ∂ x ψ v ， v + 1 ( x ， y ， μ n i a i ) = v x ψ v ， v + 1 ( x ， y ， μ n i a i ) − μ n i a i ψ v + 1 ， v + 1 ( x ， y ， μ n i a i ) ， ∂ ∂ y ψ v + 1 ， v ( x ， y ， μ n i a i ) = v y ψ v + 1 ， v ( x ， y ， μ n i a i ) − μ n i a i ψ v + 1 ， v + 1 ( x ， y ， μ n i a i ) . (6) 证明：由Bessel 函数的微分性质 [ 1 ]： d J v ( x ) d x = v x J v ( x ) − J v ( x ) ， d Y v ( x ) d x = v x Y v ( x ) − Y v ( x ) 可得 d J v ( μ n i a i x ) d x = μ n i a i [ v μ n i a i x J v ( μ n i a i x ) − J v + 1 ( μ n i a i x ) ] = v x J v ( μ n i a i x ) − μ n i a i J v + 1 ( μ n i a i x ) ， d Y v ( μ n i a i x ) d x = μ n i a i [ v μ n i a i x Y v ( μ n i a i x ) − Y v + 1 ( μ n i a i x ) ] = v x Y v ( μ n i a i x ) − μ n i a i Y v + 1 ( μ n i a i x ) ， 所以 ∂ ∂ x ψ v ， v ( x ， y ， μ n i a i ) = ∂ ∂ x [ Y v ( μ n i a i x ) J v ( μ n i a i y ) − J v ( μ n i a i x ) Y v ( μ n i a i y ) ] = d Y v ( μ n i a i x ) d x J v ( μ n i a i y ) − d J v ( μ n i a i x ) d x Y v ( μ n i a i y ) = [ v x Y v ( μ n i a i x ) − μ n i a i Y v + 1 ( μ n i a i x ) ] J v ( μ n i a i y ) − [ v x J v ( μ n i a i x ) − μ n i a i J v + 1 ( μ n i a i x ) ] Y v ( μ n i a i y ) = v x [ Y v ( μ n i a i x ) J v ( μ n i a i y ) − J v ( μ n i a i x ) Y v ( μ n i a i y ) ] − μ n i a i [ Y v + 1 ( μ n i a i x ) J v ( μ n i a i y ) − J v + 1 ( μ n i a i x ) Y v ( μ n i a i y ) ] = v x ψ v ， v ( x ， y ， μ n i a i ) − μ n i a i ψ v + 1 ， v ( x ， y ， μ n i a i ) . 同理可证其他式子。 由引理2知 π x 2 Y l i + 1 2 ( μ n i a i x ) ， π x 2 J l i + 1 2 ( μ n i a i x ) ， ( i = 1 ， 2 ) 是Riccati-Bessel方程的两个线性无关的解，用 这两个线性无关的解构造如下引解函数 φ 0 ， 0 i ( x ， ξ ) = π 2 x ξ ψ l i + 1 2 ， l i + 1 2 ( x ， ξ ， μ n i a i ) ， φ 1 ， 0 i ( x ， ξ ) = π 2 ξ x [ ( l i + 1 ) ψ l i + 1 2 ， l i + 1 2 ( x ， ξ ， μ n i a i ) − μ n i a i x ψ l i + 3 2 ， l i + 1 2 ( x ， ξ ， μ n i a i ) ] ， φ 0 ， 1 i ( x ， ξ ) = π 2 x ξ [ ( l i + 1 ) ψ l i + 1 2 ， l i + 1 2 ( x ， ξ ， μ n i a i ) − μ n i a i ξ ψ l i + 1 2 ， l i + 3 2 ( x ， ξ ， μ n i a i ) ] ， φ 1 ， 1 i ( x ， ξ ) = π 2 1 x ξ [ ( l i + 1 ) 2 ψ l i + 1 2 ， l i + 1 2 ( x ， ξ ， μ n i a i ) − ( l i + 1 ) μ n i a i x ψ l i + 3 2 ， l i + 1 2 ( x ， ξ ， μ n i a i )                               − ( l i + 1 ) μ n i a i ξ ψ l i + 1 2 ， l i + 3 2 ( x ， ξ ， μ n i a i ) + μ n i 2 a i 2 x ξ ψ l i + 3 2 ， l i + 3 2 ( x ， ξ ， μ n i a i ) ] . (7)