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user: 2. 主要结果及证明 本文利用可导映射刻画von Neumann代数上的导子，主要结论如下： 定理2.1 设 Α 是von Neumann代数， Ω ∈ Α 是任意但固定的算子，则有界线性映射 δ : Α → Α 在 Ω 可导，即 δ ( A B ) = δ ( A ) B + A δ ( B ) ， ∀ A ， B ∈ Α ， A B = Ω 当且仅当存在导子 τ : Α → Α 使得 δ ( A ) = τ ( A ) + δ ( I ) A ， ∀ A ∈ Α ，其中 δ ( I ) ∈ Ζ ( Α ) ， δ ( I ) Ω = 0 。 为证明定理2.1，需要如下几个引理。 引理2.2 设 Α i 是Banach代数，其单位元 I i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。设代数 Α 的形式为 Α = ∑ i = 1 n ⊕ Α i ， Ω = ∑ i = 1 n Ω i ∈ Α ， Ω i ∈ Α i 。若 Ω i 是 Α i 的可加广义全可导点，则 Ω 是 Α 的可加广义全可导点。 证明 由假设可得 Α 是含单位元 I = ∑ i = 1 n I i 的Banach代数。假设 A i 是 Α i 中的可逆元，t是任意非零有理数。由 ( I − I i + t − 1 Ω A i − 1 ) [ ( I − I i ) Ω + t A i ] = Ω 和假设 δ 在 Ω 可导，有 δ ( Ω ) = δ ( I − I i + t − 1 Ω A i − 1 ) [ ( I − I i ) Ω + t A i ] + ( I − I i + t − 1 Ω A i − 1 ) δ [ ( I − I i ) Ω + t A i ] ， 因此 δ ( I − I i ) A i + ( I − I i ) δ ( A i ) = 0 ， δ ( A i ) = I i δ ( A ) + δ ( I i ) A i − δ ( I ) A i ，则 δ ( A i ) ∈ Α i 。由于 Α i 是Banach代数，每个元都可以写成两个可逆元的和，因此 δ ( A i ) ∈ Α i ， ∀ A i ∈ Α i 。 设 δ i = δ | Α i ，对 ∀ A = ∑ i = 1 n A i ， B = ∑ i = 1 n B i ∈ A 且 A B = Ω ，则 A i B i = Ω i 。由假设 δ 在 Ω 可导，可得 ∑ i = 1 n δ i ( Ω i ) = ∑ i = 1 n δ ( Ω i ) = δ ( Ω ) = δ ( A ) B + A δ ( B ) = ∑ i = 1 n δ ( A i ) ∑ i = 1 n B i + ∑ i = 1 n A i ∑ i = 1 n δ ( B i ) = ∑ i = 1 n δ i ( A i ) ∑ i = 1 n B i + ∑ i = 1 n A i ∑ i = 1 n δ i ( B i ) = ∑ i = 1 n ( δ i ( A i ) + B i + A i δ i ( B i ) ) δ i ( Ω i ) = δ i ( A i ) B i + A i δ i ( B i ) ， ∀ A i ， B i ∈ Α i ， A i B i = Ω i ，即 δ i 在 Ω i 可导。因此，由假设可知 δ i 是标准广义导子，设 δ i ( A i ) = τ i ( A i ) + δ i ( I i ) A i ， ∀ A i ∈ Α i ，其中 δ i ( I i ) ∈ Ζ ( Α i ) ， τ i : Α i → Α i 是导子。对 ∀ A = ∑ i = 1 n A i ∈ Α ，由定义 τ : Α → Α 为 τ ( A ) = ∑ i = 1 n τ i ( A i ) ，易得 τ 是导子。因此由 δ ( A ) = ∑ i = 1 n δ ( A i ) = ∑ i = 1 n δ i ( A i ) = ∑ i = 1 n ( τ i ( A i ) + δ i ( I i ) A i ) = τ ( A ) + δ ( I ) A 知 δ 是标准广义导子， Ω 是 Α 的可加广义全可导点。 引理2.3 设 Α 是von Neumann代数，投影 P ∈ Α 使得 P _ = 0 ， C ( P ) = I 。 1) 对 T ∈ Α ，若 T P A ( I − P ) = 0 ， ∀ A ∈ Α ，则 T P = 0 。 2) 对 T ∈ Α ，若 P A ( I − P ) T = 0 ， ∀ A ∈ Α ，则 ( I − P ) T = 0 。 3) 对 Z ∈ Ζ ( Α ) ，若 Z Α 12 = 0 ，则 Z = 0 。 证明 由core-free和中心覆盖的定义知 I − P _ = 0 且 C ( I − P ) = I 。 1) 由 { A ( I − P ) x : ∀ A ∈ Α ， x ∈ H } 在H中稠密显然可得。 2) 由 P A ( I − P ) T = 0 得 T ∗ ( I − P ) A ∗ P = 0 ， ∀ A ∈ Α 。由 { A ∗ P x : ∀ A ∈ Α ， x ∈ H } 在H中稠密，可得 T ∗ ( I − P ) = 0 且 ( I − P ) T = 0 。 3) 由 Z Α 12 = 0 ， Z ∈ Ζ ( Α ) ，得 Z Α 12 = Α 12 Z = 0 ，因此 Z P = 0 ， ( I − P ) Z = Z ( I − P ) = 0 且 Z = Z P + Z ( I − P ) = 0 。 引理2.4 设 Α 是von Neumann代数， Ω ∈ Α 且P是 Ω 的值域投影，若 C ( P ) = C ( I − P ) = I ，则 Ω 是 Α 的可加全可导点。 证明 令 P 1 = P ， P 2 = I − P ， Α i j = P i Α P j ， i ， j = 1 ， 2 则 Α = Α 11 + Α 12 + Α 21 + Α 22 。对 ∀ A ∈ Α ， A i j = P i A P j ∈ Α i j ， 1 ≤ i ， j ≤ 2 。由 P 1 = P 是 Ω 的值域投影，有 P 1 Ω = Ω 。若 A Ω = 0 ，则 A P 1 = 0 。 设可加映射 δ : Α → Α 在 Ω 可导，令 T = P 1 δ ( P 2 ) P 2 − P 2 δ ( P 2 ) P 1 ，定义 τ ( A ) = δ ( A ) − ( T A − A T ) ， ∀ A ∈ Α ，则 τ 在 Ω 可导当且仅当 δ 在 Ω 可导。此外 τ ( P 2 ) ∈ Α 11 + Α 22 ，不失一般性，假设 δ ( P 2 ) ∈ Α 11 + Α 22 。 下证 δ 是一个导子。 设 A 11 ∈ Α 11 是 Α 11 中的可逆元，对任意的非零有理数 t ∈ Q ，由 ( A 11 + t A 11 A 12 ) ( A 11 − 1 Ω − A 12 A 22 + t − 1 A 22 ) = Ω 且 δ 在 Ω 可导，可得 δ ( Ω ) = δ ( A 11 + t A 11 A 12 ) ( A 11 − 1 Ω − A 12 A 22 + t − 1 A 22 )     + ( A 11 + t A 11 A 12 ) δ ( A 11 − 1 Ω − A 12 A 22 + t − 1 A 22 ) = δ ( A 11 ) ( A 11 − 1 Ω − A 12 A 22 ) + A 11 δ ( A 11 − 1 Ω − A 12 A 22 ) + δ ( A 11 A 12 ) A 22     + A 11 A 12 δ ( A 22 ) + t − 1 [ δ ( A 11 ) A 22 + A 11 δ ( A 22 ) ]     + t [ δ ( A 11 A 12 ) ( A 11 − 1 Ω − A 12 A 22 ) + A 11 A 12 δ ( A 11 − 1 Ω − A 12 A 22 ) ] 由t的任意性可得 δ ( A 11 A 12 ) ( A 11 − 1 Ω − A 12 A 22 ) + A 11 A 12 δ ( A 11 − 1 Ω − A 12 A 22 ) = 0 (1) δ ( A 11 ) A 22 + A 11 δ ( A 22 ) = 0 (2) δ ( Ω ) = δ ( A 11 ) A 11 − 1 Ω + A 11 δ ( A 11 − 1 Ω ) − δ ( A 11 ) A 12 A 22 − A 11 δ ( A 12 A 22 ) + δ ( A 11 A 12 ) A 22 + A 11 A 12 δ ( A 22 ) 。另一方面，由 A 11 A 11 − 1 Ω = Ω ，可得 δ ( Ω ) = δ ( A 11 ) A 11 − 1 Ω + A 11 δ ( A 11 − 1 Ω ) 。因此 δ ( A 11 ) A 12 A 22 + A 11 δ ( A 12 A 22 ) − δ ( A 11 A 12 ) A 22 − A 11 A 12 δ ( A 22 ) = 0 (3) 在(2)式中，令 A 22 = P 2 ，由 δ ( P 2 ) ∈ Α 11 + Α 22 ，得 δ ( A 11 ) P 2 + A 11 δ ( P 2 ) = 0 ， δ ( A 11 ) P 2 = 0 。由(2)式，得 A 11 δ ( A 22 ) = 0 ，因此 P 1 δ ( P 2 ) = 0 。所以 P 1 δ ( A 22 ) = 0 ， δ ( A 11 ) P 2 = 0 ， ∀ A 11 ∈ Α 11 ， ∀ A 22 ∈ Α 22 ， δ ( P 2 ) ∈ Α 22 (4) 由 I Ω = Ω ， δ ( Ω ) = δ ( I ) Ω + I δ ( Ω ) ，可得 δ ( I ) Ω = 0 ， δ ( I ) P 1 = 0 和 δ ( P 1 ) P 1 = 0 。结合 δ ( P 1 ) P 2 = 0 得 δ ( P 1 ) = 0 。在(3)式中，令 A 11 = P 1 ， A 22 = P 2 得 δ ( P 1 ) A 12 + P 1 δ ( A 12 ) − δ ( A 12 ) P 2 − A 12 δ ( P 2 ) = 0 ， P 1 δ ( A 12 ) P 1 = P 2 δ ( A 12 ) P 2 = 0 ， A 12 δ ( P 2 ) P 2 = P 1 δ ( P 1 ) A 12 ， ∀ A 12 ∈ Α 12 (5) 由(5)式和 δ ( P 1 ) P 1 = 0 ，可得 A 12 δ ( P 2 ) P 2 = 0 ， ∀ A 12 ∈ Α 12 。由引理2.3的(2)得 δ ( P 2 ) P 2 = 0 且由(4)式得 δ ( P 2 ) = 0 ， δ ( I ) = 0 (6) 对 ∀ A 12 ∈ Α 12 ， t ∈ Q ，由 ( P 1 + t A 12 ) Ω = Ω ，得 δ ( Ω ) = δ ( P 1 ) Ω + P 1 δ ( Ω ) + t [ δ ( A 12 ) Ω + A 12 δ ( Ω ) ] ，故 δ ( A 12 ) Ω + A 12 δ ( Ω ) = 0 。因此 P 2 δ ( A 12 ) Ω = 0 结合(5)式可得 P 2 δ ( A 12 ) P 1 = 0 ， δ ( A 12 ) ∈ Α 12 ， ∀ A 12 ∈ Α 12 (7) 由(3)式和(7)式，可得 A 12 δ ( A 22 ) P 1 = P 2 δ ( A 11 ) A 12 = 0 ， ∀ A 12 ∈ Α 12 。因此由引理2.3和(4)式得 P 2 δ ( A 22 ) P 1 = P 2 δ ( A 11 ) P 1 = 0 ， δ ( A 11 ) ∈ Α 11 ， δ ( A 22 ) ∈ Α 22 (8) 对 ∀ A 11 ∈ Α 11 ， A 12 ∈ Α 12 ， A 22 ∈ Α 22 ，由(3)式和(6)式可得 δ ( A 11 A 12 ) = δ ( A 11 ) A 12 + A 11 δ ( A 12 ) ， δ ( A 12 A 22 ) = δ ( A 12 ) A 22 + A 12 δ ( A 22 ) (9) 对 ∀ A 21 ∈ Α 21 ，由 P 1 Ω = Ω ， P 1 ( Ω + A 21 ) = Ω ，可得 δ ( Ω ) = δ ( P 1 ) Ω + P 1 δ ( Ω ) ， δ ( Ω ) = δ ( P 1 ) ( Ω + A 21 ) + P 1 δ ( Ω + A 21 ) 且 δ ( P 1 ) A 21 + P 1 δ ( A 21 ) = 0 。因为 δ ( P 1 ) = 0 ，所以 P 1 δ ( A 21 ) = 0 。另一方面，由 ( P 1 + A 12 ) ( Ω − A 12 A 21 − A 12 + A 21 + P 2 ) = Ω ，(7)式和(8)式可得 δ ( A 12 A 21 ) = δ ( A 12 ) A 21 + A 12 δ ( A 21 ) ， ∀ A 12 ∈ Α 12 ， A 21 ∈ Α 21 (10) (10)式右乘 P 2 ，得 A 12 δ ( A 21 ) P 2 = 0 ， P 2 δ ( A 21 ) P 2 = 0 。结合 P 1 δ ( A 21 ) = 0 ，可得 δ ( A 21 ) ∈ Α 21 ， ∀ A 21 ∈ Α 21 (11) 为证明 δ 是导子，只需证明 δ ( A i j A k l ) = δ ( A i j ) A k l + A i j δ ( A k l ) ， ∀ A i j ∈ Α i j ， A k l ∈ Α k l ， i ， j ， k ， l = { 1 ， 2 } 。记每种情形为Case ( i j ， k l ) 。Case (11， 12) (12， 22) (12， 21)分别由(9)式和(10)式可得。只需证Case(11， 11) (22， 22) (21， 11) (22， 12) (22， 21)。 对 ∀ A 11 ， B 11 ∈ Α 11 ， A 12 ∈ Α 12 ，由(9)式可得 δ ( A 11 B 11 A 12 ) = δ ( A 11 B 11 ) A 12 + A 11 B 11 δ ( A 12 ) = δ ( A 11 ) B 11 A 12 + A 11 δ ( B 11 A 12 ) = δ ( A 11 ) B 11 A 12 + A 11 δ ( B 11 ) A 12 + A 11 B 11 δ ( A 12 ) 则 [ δ ( A 11 B 11 ) − δ ( A 11 ) B 11 − A 11 δ ( B 11 ) ] A 12 = 0 。因此，由引理2.3可得 δ ( A 11 B 11 ) = δ ( A 11 ) B 11 + A 11 δ ( B 11 ) ， ∀ A 11 ， B 11 ∈ Α 11 (12) 类似可得 δ ( A 22 B 22 ) = δ ( A 22 ) B 22 + A 22 δ ( B 22 ) ， ∀ A 22 ， B 22 ∈ Α 22 。 对 ∀ A 21 ∈ Α 21 ， A 11 ∈ Α 11 和 A 12 ∈ Α 12 ，由(10)式，(12)式和 δ ( A 12 A 21 A 11 ) = δ ( A 12 ) A 21 A 11 + A 12 δ ( A 21 A 11 ) = δ ( A 12 A 21 ) A 11 + A 12 A 21 δ ( A 11 ) = δ ( A 12 ) A 21 A 11 + A 12 δ ( A 21 ) A 11 + A 12 A 21 δ ( A 11 ) 可得 A 12 δ ( A 21 A 11 ) = A 12 [ δ ( A 21 ) A 11 + A 21 δ ( A 11 ) ] ， δ ( A 21 A 11 ) = δ ( A 21 ) A 11 + A 21 δ ( A 11 ) ， ∀ A 21 ∈ Α 21 ， A 11 ∈ Α 11 。 类似可得 δ ( A 22 A 21 ) = δ ( A 22 ) A 21 + A 22 δ ( A 21 ) ， ∀ A 22 ∈ Α 22 ， A 21 ∈ Α 21 。 对 ∀ A 12 ， B 12 ∈ Α 12 ， A 21 ∈ Α 21 ，由(9)式，(10)式和 δ ( B 12 A 21 A 12 ) = δ ( B 12 ) A 21 A 12 + B 12 δ ( A 21 A 12 ) = δ ( B 12 A 21 ) A 12 + B 12 A 21 δ ( A 12 ) = δ ( B 12 ) A 21 A 12 + B 12 δ ( A 21 ) A 12 + B 12 A 21 δ ( A 12 ) 可得 B 12 δ ( A 21 A 12 ) = B 12 δ ( A 21 ) A 12 + B 12 A 21 δ ( A 12 ) 。结合引理2.3可得 δ ( A 21 A 12 ) = δ ( A 21 ) A 12 + A 21 δ ( A 12 ) ， ∀ A 21 ∈ Α 21 ， A 12 ∈ Α 12 因此 δ 是导子且 Ω 是 Α 的可加全可导点。证毕。 设 Α 是含单位元的代数， Μ 是含单位元的 Α -双模， ∀ M ∈ Μ ， A ∈ Α ，当A满足由 A M = 0 ( M A = 0 ) 有 M = 0 时，称A为 Μ 的左(右)分离点。 根据文献 [ 4 ] 引理2.5和von Neumann代数上的每个Jordan导子是导子这一事实，可得 引理2.5 von Neumann代数中的每个左或右分离点都是可加全可导点。 引理2.6 设 Α 是von Neumann代数，则有界线性映射 δ : Α → Α 在0点可导当且仅当存在可导映射 τ : Α → Α 使得 δ ( A ) = τ ( A ) + δ ( I ) A ， ∀ A ∈ Α ，其中 δ ( I ) ∈ Ζ ( Α ) 。 证明 对任意幂等元 P ∈ Α ，由 ( I − P ) P = 0 ，得 δ ( ( I − P ) P ) = ( δ ( I ) − δ ( P ) ) P + ( I − P ) δ ( P ) ，即 δ ( P ) = δ ( P ) P + P δ ( P ) − δ ( I ) P 。类似地，由 P ( I − P ) = 0 ，得 δ ( P ) = δ ( P ) P + P δ ( P ) − P δ ( I ) ，此蕴涵 δ ( I ) P = P δ ( I ) 。因为 Α 中投影的线性张在 Α 中稠密，所以 δ ( I ) ∈ Ζ ( Α ) 。对 ∀ A ∈ Α ，由 A P ( I − P ) = 0 ， A ( I − P ) P = 0 ，可得 δ ( A P ) ( I − P ) + A P δ ( I − P ) = 0 ， δ ( A ( I − P ) ) P + A ( I − P ) δ ( P ) = 0 ，即 δ ( A P ) − δ ( A P ) P + A P δ ( I ) − A P δ ( P ) = 0 ， δ ( A ) P − δ ( A P ) P + A δ ( P ) − A P δ ( P ) = 0 。因为 δ 是有界的且 Α 中投影的线性张是稠密的，所以 δ ( A P ) = δ ( A ) P + A δ ( P ) − A P δ ( I ) = 0 ， δ ( A B ) = δ ( A ) B + A δ ( B ) − δ ( I ) A B ， ∀ A ， B ∈ Α 。定义 τ ( A ) = δ ( A ) − δ ( I ) A ， ∀ A ∈ Α ，由 δ ( I ) ∈ Ζ ( Α ) ，易得 τ 是线性导子， δ ( A ) = τ ( A ) + δ ( I ) A ， ∀ A ∈ Α ，0是 Α 的广义线性全可导点。证毕。 由引理2.2-2.6，可证定理2.1。 定理2.1的证明 先证充分性。假设 δ ( A ) = τ ( A ) + δ ( I ) A ， ∀ A ∈ Α ，其中 τ : Α → Α 是导子， δ ( I ) ∈ Ζ ( Α ) ， δ ( I ) Ω = 0 。对 ∀ A ， B ∈ Α ， A B = Ω ， δ ( A B ) = τ ( A B ) + δ ( I ) A B = τ ( A B ) + δ ( I ) Ω = τ ( A B ) = τ ( A ) B + A τ ( B ) 。另一方面， δ ( A ) B + A δ ( B ) = ( τ ( A ) + δ ( I ) A ) B + A ( τ ( B ) + δ ( I ) B ) = τ ( A ) B + A τ ( B ) + 2 δ ( I ) A B = τ ( A ) B + A τ ( B ) 因此， δ ( A B ) = δ ( A ) B + A δ ( B ) ， ∀ A ， B ∈ Α ， A B = Ω ， δ 在 Ω 可导。 下证必要性。设 δ 在 Ω 是可导，由 I Ω = Ω 得 δ ( Ω ) = δ ( I ) Ω + I δ ( Ω ) ， δ ( I ) Ω = 0 。假设 Ω 的值域 投影是P，令 Θ 1 = I − C ( I − P ) ， Θ 2 = I − C ( P ) ， Θ 3 = I − Θ 1 − Θ 2 ，则 Θ 1 ≤ P ， Θ 2 ≤ I − P 且 { Θ i } i = 1 ， 2 ， 3 是相互正交的中心投影。故 Α = ∑ i = 1 3 ⊕ Α i = ∑ i = 1 3 ⊕ ( Θ i Α ) 。 A = ∑ i = 1 3 A i = ∑ i = 1 3 Θ i A ， ∀ A ∈ Α 。 情形1 ker ( Ω ) = 0 。 此时， Ω 是 Α 的左分离点，因此由引理2.5知 δ 是导子， Ω 是 Α 的可加(线性)全可导点。 情形2 ker ( Ω ) ≠ 0 。 因为 Θ 1 ≤ P ，有 r a n Ω 1 ¯ = r a n Θ 1 Ω ¯ = Θ 1 ，所以 Ω 1 是 Α 1 的右分离点，由引理2.5， Ω 1 是 Α 1 的可加(线性)全可导点。 因为 Θ 2 ≤ I − P ，有 Ω 2 = Θ 2 Ω = 0 ，所以由引理2.6， Ω 2 = 0 是 Α 2 的线性广义全可导点。 注意到 r a n Ω 3 ¯ = r a n Θ 3 Ω ¯ = Θ 3 P = P 3 ，记 C Α 3 ( P 3 ) 为 Α 3 中 P 3 的中心覆盖，有 Θ 3 − C Α 3 ( P 3 ) ≤ Θ 3 − P 3 = Θ 3 ( I − P ) ≤ I − P 。显然 Θ 3 − C Α 3 ( P 3 ) 是正交于 Θ 2 的中心投影，因此 Θ 3 − C Α 3 ( P 3 ) + I − C ( P ) ≤ I − P ，即 Θ 3 − C Α 3 ( P 3 ) + P ≤ C ( P ) 。故 Θ 3 − C Α 3 ( P 3 ) = 0 ， C Α 3 ( P 3 ) = Θ 3 。类似可得 C Α 3 ( Θ 3 − P 3 ) = Θ 3 。由引理2.4，得 Ω 3 是 Α 3 的可加(线性)全可导点。 因此由引理2.2， Ω 是 Α 的线性广义全可导点，即存在导子 τ : Α → Α 使得 δ ( A ) = τ ( A ) + δ ( I ) A ， ∀ A ∈ Α ，其中 δ ( I ) ∈ Ζ ( Α ) 且 δ ( I ) Ω = 0 。定理得证。 若von Neumann代数不包含非零的有限中心投影，则称该代数为真无限von Neumann代数。由真无限von Neumann代数中的每个元最多是五个幂等元的和(见 [ 12 ])，通过类似于引理2.6的证明有 引理2.7 设 Α 是真无限von Neumann代数，则可加映射 δ : Α → Α 在0点可导当且仅当存在导子 τ : Α → Α 使得 δ ( A ) = τ ( A ) + δ ( I ) A ， ∀ A ∈ Α ，其中 δ ( I ) ∈ Ζ ( Α ) 。 由引理2.7和定理2.1的类似证明有 定理2.8设 Α 是真无限von Neumann代数， Ω ∈ Α 是任意但固定算子，则可加映射 δ : Α → Α 在 Ω 可导当且仅当存在导子 τ : Α → Α 使得 δ ( A ) = τ ( A ) + δ ( I ) A ， ∀ A ∈ Α ，其中 δ ( I ) ∈ Ζ ( Α ) 且 δ ( I ) Ω = 0 。 由文献 [ 7 ] 中的定理3.1有 引理2.9设 Α 是没有 I 1 型中心直和项的von Neumann代数，则可加映射 δ : Α → Α 在0点可导当且仅当存在导子 τ : Α → Α ，使得 δ ( A ) = τ ( A ) + δ ( I ) A ， ∀ A ∈ Α ，其中 δ ( I ) ∈ Ζ ( Α ) 且 δ ( I ) Ω = 0 。 由引理2.9和定理2.1的类似证明有 定理2.10 设 Α 是无 I 1 型中心直和项的von Neumann代数， Ω ∈ Α 是任意但固定算子，则可加映射 δ : Α → Α 在 Ω 可导当且仅当存在导子 τ : Α → Α 使得 δ ( A ) = τ ( A ) + δ ( I ) A ， ∀ A ∈ Α ，其中 δ ( I ) ∈ Ζ ( Α ) ， δ ( I ) Ω = 0 。 显然因子von Neumann代数是没有 I 1 型中心直和项的von Neumann代数，由定理2.10，我们得到以下结果 推论2.11 设 Α 是因子von Neumann代数， Ω ∈ Α 且 δ : Α → Α 是可加映射 1) 若 Ω = 0 ，则 δ 在 Ω 可导当且仅当存在导子 τ : Α → Α 和 λ ∈ C 使得 δ ( A ) = τ ( A ) + λ A ， ∀ A ∈ Α 。 2) 若 Ω ≠ 0 ，则 δ 在 Ω 可导当且仅当它是导子。 证明 因为 Α 是因子von Neumann代数，由定理2.1，存在 λ ∈ C ，使得 δ ( I ) = λ I ，因此(1)成立。由 δ ( I ) Ω = 0 ， Ω ≠ 0 和定理2.1，可得 δ ( I ) = λ I = 0 ，(2)成立。 由推论2.11，我们得到了文献 [ 5 ] 中的以下结论 推论2.12 设可加映射 δ : Β ( H ) → Β ( H ) ， Ω ∈ Β ( H ) 。 1) 若 Ω = 0 ，则 δ 在 Ω 可导当且仅当存在导子 τ : Β ( H ) → Β ( H ) 且 λ ∈ C ，使得 δ ( A ) = τ ( A ) + λ A ， ∀ A ∈ Β ( H ) 。 2) 若 Ω ≠ 0 ，则 δ 在 Ω 可导当且仅当它是导子。