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user: 3. 数据分析和结果解释 此节主要是对数据进行可视化处理，获得直观的信息。 3.1. 数据分析 从图1中可以看出，GDP(国内生产总值)的增长趋势最大，总量最大。第二产业增加值的增长趋势和增加的量和第三产业相似，但第一产业增长随着时间的推移而放缓，但四个经济指标都表明他们有相似的趋势，有一个近似的线性增长，说明取了对数之后，对于数据的处理可以得到简化。 为了说明截取的原因，我们在这里给出取对数前的数据图示。从图2中可以看出，1958年至1963年间，自然增长率在1959后急剧下降达到−4.57%并且快速上升到峰值33.5%，之后有逐渐下降的趋势。此外，1958~1961年的死亡率呈现出激增的现象，我国在这一阶段遭遇了历史上的大饥荒，导致死亡人数出现了这样的突然增加，自然增长率下降到负数的情况。1962年后，随着饥荒的结束和当时医疗技术的进步，死亡人数总体呈下降趋势。相反，由于政策的宣传，自然增长率达到了33.5%，在那之后，由于政策的改变与计划生育政策的实施，呈现了一个下降的趋势。由于这段时间数据波动太大，因此再一次得证：需要删除这10年的数据。 从图3中可以看出，虽然1968年以后政策因素也发生了很大的变化，如1971年附近，由于某些因素，导致本科生毕业生波动较为剧烈，但是从图1可以看出，1971年附近的经济发展也是减缓的。因此删除1971年附近数据也会很影响模型准确性，所以文章没有因为这个波动的影响而删除数据。实际上，通过这个总体的趋势，可以从宏观角度看出，它与经济指标有一定的关系，为后文的分析提供了初步的判断依据。 图4以经济学为基础，从居民总消费水平、农村居民消费水平、城镇居民消费水平三个维度来探讨经济发展程度。从图8看出，三个消费水平整体呈现一个线性增长趋势，和经济指标相似，因此可以得出结论：它们和经济指标都有一定的联系。 图1. 截取后经济指标的可视化 图2. 截取前的死亡率与自然增长率 图3. 截取后普通本专科毕业生 图4. 截取后的居民消费水平 3.2. 相关分析 这一小节主要对所有变量进行强线性相关性的探索，从而筛选出相关性强的变量，为后面具体关系的探索提供理论基础。相关性系数的计算公式为 C o v ( X ， Y ) = E ( X Y ) − E ( X ) E (Y) ρ X Y = C o v ( X ， Y ) D ( X ) D (Y) 其中Cov(X，Y)代表随机变量X，Y之间的协方差，E(X)代表X的期望，D(X)代表X的方差。相关系数用来刻画随机变量X和Y之间的线性相关性，其值介于−1与1之间。正值为正相关，负值为负相关，且绝对值越接近1线形相关性越强 [ 4 ] 。 为检查各个因素之间的相关性，选择出具有强线性关系的指标来进行关系的探索，所以将使用以“person”为基础的相关性分析并且从R语言的“corrgram”包中调用函数“corrgram”来进行操作。通过使用该方法，可以初步筛选出相关性较强的变量，为后续研究这些变量与应变量之间的关系奠定基础。结果如图5所示。从图中我们可以得到几个结果： 1) 死亡率与其他各项经济指标的线性相关性都相对较低，因此在这个探索强相关因素的框架下，死亡率对经济的影响将不在下文讨论。 2) 经济指标与自然增长率呈负相关关系。对这一结果的可能的解释是：经济越好，人们要孩子的愿望就越低。因此，较低的自然增长率可以在一定程度上反映经济的发展，具体的关系应当在后文继续探索。 3) 本科毕业生人数和三个消费水平这四个变量都与经济指标都有很强的正相关关系，所以可以看出：这些因素增加，对经济的影响相对较强，并且是正向影响的，因此具体的关系在后文也会继续探索。 4) 并且，注意到所有三个消费水平之间有很高的相关性，这就意味着如果我们只需寻找定性关系，而不是定量的关系，只需要探索其中一个消费水平与经济指标的关系，就可以得出另外两个消费水平和经济指标的关系，从而在后文的建议里面，能够给出较为宏观的建议。 5) 从相关图中可以看出，用来衡量经济好坏的五个经济指标两两之间的相关系数相当高，这意味着中国在经济增长方面不是一个跛足巨人，而是同时从多个方面发展起来的。当然，在后续工作中，这一信息也可以用于这种情况下：对于GDP的准确趋势判断，我们可以从其他经济指标中推断出同样的趋势。同理，由于此文更关注宏观变化，在以后的研究中，将使用国内生产总值，即GDP，作为检验经济好坏的指标，在得到GDP和人口因素的关系之后，由于经济指标两两之间的强相关性的性质，也得到其他经济指标和人口因素也会有相似的关系。 图5. 解释变量的相关性 3.3. 单因素与经济指标的关系 这一小节主要对单个人口因素和经济指标的关系进行探讨。为定量探究变量间的关系，本节采用回归的方法进行分析。这是利用称为线性回归方程的最小二乘法对一个或多个自变量和因变量之间关系进行建模的一种回归分析。这种函数是一个或多个称为回归数的模型参数的线性组合。只有一个自变量的情况称为一元回归，大于一个自变量情况的叫做多元回归 [ 11 ] 。 Y i = ∑ i n α i X i + ε α i 为线性回归的系数，ε为误差。当n = 1时候为一元线性回归，反之为多元线性回归。基于相关性分析的结果，本文可以把两两之间关系的探索进行简化，即只需要探索“人口自然增长率”、“学生人数”、“城市居民消费水平”各自成为单变量与因变量GDP之间的关系。因此，我们可以知道各因素与经济指标之间的所有关系。在本文中，分别使用三种回归方法来进行探索，并在其中选择一种最好的回归方式，从而得到他们的具体的关系。此外，如果我们想知道哪种方法是最好的，我们需要建立一个标准。在本文中，决定使用残差平方之和来表示从各散点到回归线的距离，最终，选择残差平方和最小的方法作为其变量和GDP的关系。 人口自然增长率和GDP：图6~图8和表1给出人口增长率与GDP一个因子之间的线性回归、多项式回归和非线性回归的结果。从中可以得到以下的分析结果。 1) 由结果可知，“人口自然增长率”与GDP之间存在较好的线性关系，利用一元多项式回归(次数 = 3)可以较好地拟合该模型。因此，在“人口自然增长率”和GDP之间，可以认为存在一个多项式回归关系，即，这意味着对原数据取对数之后，人口自然增长率和GDP之间会有一个多项式关系。 2) 为了确保没有过度回归，只选择了二次和三次多项式回归。然而，在自然增长率的数据中，因为复杂的政策因素，波动还是比较大的，导致结果可能不够精准。我们可以看到在回归方程中自然增长率与GDP呈现了负相关的关系，这和我们日常认知不符，初步分析我们认为是自然增长率的下滑对GDP产生的负面影响被技术发展和人口素质的提高等其他因素产生的正面影响所抵消掉，与此同时经济社会的发展会对自然增长率的增长形成压力。从社会的角度来看，它确实符合人们的行为模式。随着经济的发展，社会观念的开放，越来越多高学历的女性进入职场，对于事业女性来说要孩子对自己的事业无疑是一项巨大的冲击。越来越多的晚婚、晚孕族，也极大的影响了出生率。另外，随着社会福利的完善与收入的增长人们并不需要生育更多的孩子来为老年的生活作保障，他们把多余的时间精力金钱，用于自己享受，或者人们想要存更多的钱提供更好的物质条件给孩子，然而当条件达不到的时候，往往选择放弃生孩子。因此，他们生育的计划会被推迟，使总的生育率降低。 Table 1 Data from regression analysi 残差平方和 Rank 单因素线性回归 0.5174033 4 单因素多项式回归(次数 = 2) 0.4832927 2 单因素多项式回归(次数 = 3) 0.4723901 1 非线性回归的一个因素(指数) 0.5125726 3 非线性回归的一个因素(倒指数) 0.5894593 5 表1. 回归分析的数据 图6. 人口自然增长率与GDP之间一个因子的线性回归 图7. 人口自然增长率与GDP之间一个因子的多项式回归 学生人数和GDP：图9~图11和表2给出学生人数与GDP之间单因素线性回归、多项式回归和非线性回归的结果。从中可以得到以下的分析结果。 1) 在前面段的年限里面，普通本专科学生毕业人数处于较低的数值，从而导致前面段的回归效果都会较差。 2) 通过具体的毕业人数，通过后半段的分析，在政策干扰的减少下，规律变得更加明显：在普通本专科毕业生人数的趋势可以看出，自改革开放以来，我国确定的优先发展教育的战略产生了巨大的作用。 图8. 人口自然增长率与GDP之间一个因子的非线性回归 普通本专科毕业生人数呈爆发性增长。从1978年的16.5万人达到2016年的704.18万人，教育事业的发展也取得了显著的成绩，对推动了我国经济的发展起到了举足轻重的作用。我们的回归分析也证明了这一点。本专科毕业生人数与GDP在次数为三的多项式回归中平均残差绝对值仅有0.2104003。在各种方程中拟合效果最好，而次数为三也恰恰表明了这项指标对GPD的推动作用。可以说社会经济的发展离不开高素质人才，随着高素质人才的增多，他们对社会的贡献越大，从而经济会变得更好。所以中国在狠抓普及义务教育，扫除文盲这两大重点的同时，也要积极发展高等教育，完善国内本专科的教育制度，提升专科，本科学校的办学质量，为社会源源不断地输出高素质人才，在长期逐渐提高人口的文化素质水平。 图9. 学生人数与GDP之间一个因子的线性回归 图10. 学生人数与GDP之间一个因子的多项式回归 图11. 学生人数与GDP之间一个因子的非线性回归 Table 2 Data from regression analysi 平均残差绝对值 Rank 单因素线性回归 0.5195956 5 单因素多项式回归(次数 = 2) 0.2958184 2 单因素多项式回归(次数 = 3) 0.2104003 1 单因素非线性回归(指数) 0.4521024 4 单因素非线性回归(非指数) 0.3696944 3 表2. 回归分析的数据 城市居民消费水平与GDP：图12~图13和表3给出城市居民消费水平与GDP之间单因素线性回归、多项式回归的结果。1、由于前面已经讨论过消费水平之间的相关性非常强，所以只需要找出其中一个消费水平与GDP的关系就可以类似找到了所有消费水平和经济指标的关系。具体来说，本文利用城市居民的消费水平来探讨消费水平与经济指标之间的关系。2、从上述三种方法来看，效果都很不错，而之所以这种线性关系如此明显，主要是因为消费水平与经济指标之间的关系存在。从回归结果可以看出，城市居民消费水平与GDP呈正相关的关系，而且GDP和城市居民消费水平的增长是相辅相成，并且幅度相似，否则不能出现如此显著的正相关关系。使用经济学理论也可以得出同样的结果，城市居民消费水平的提高，反映出市场需求的增加，从而可以带动供给的提高，有利于促进企业生产。而企业的营运情况良好，则又会使居民收入提高，从而有更高的居民消费水平。可见我们要发展国民经济，就需要提高消费水平，拉动内需，形成经济发展良性的循环。 3) 由于线性关系的显著，此处不再讨论非线性回归的结果。 3.4. 多因素与经济指标的关系 本节主要是对多因素综合考虑的情况下，与经济指标的关系进行探索，并选取最佳方法进行经济指标的预测。建立在分析单因素与经济指标关系的基础上，利用已有的变量来探讨经济指标的走势。因此，在接下来的文章中，我们将用四种方法来探讨多种因素与经济指标之间的关系。 多因素的线性回归：图14和表4给出多元回归分析给出以下的相关结果。可以得到以下的几点结 论： 1) 通过方差齐性检验，F检验统计量是1158，自由度5和44，p值接近为0，这意味着它是非常显著的。 2) 农村居民消费消费水平和自然增长率是最显著的影响因素，普通本专科毕业生人数所带来的影响不明显。 3) 另外，由于农村居民消费水平、城市居民消费水平、居民消费水平之间有一定的关系，这个现象肯定会影响整体回归结果。站在这个角度来看，直接使用多元线性回归并不是一个好的选择。 图12. 城市居民消费水平与GDP之间单因素线性回归 图13. 城市居民消费水平与GDP之间单因子多项式回归 Table 3 Data from regression analysi 平均残差绝对值 Rank 单因素线性回归 0.01185898 3 单因素多项式回归(次数 = 2) 0.0114601 2 单因素多项式回归(次数 = 3) 0.006362047 1 表3. 回归分析的数据 图14. 多因素的线性回归 4) 再有，注意到学生人数变量对应的p值非常的大，意味着显著的认为这个变量不显著。事实上，在现实生活里面，可以说明普通本专科毕业人数对国内生产总值等经济指标的影响会转变成：对三个消费水平和人口自然增长率的影响，从而间接影响国内生产总值。 Table 4 Results of linear regression of multiple factor 系数估计值 标准差 T值 P值 截距项 2.7984114 0.3135388 8.925 1.97 × 10 − 11 城市居民消费水平 0.1399219 1.786 0.0810 \ 乡村居民消费水平 0.1875385 2.270 0.0282 \ 居民消费水平 0.4784187 0.2683962 1.783 0.0816 学生人数 −0.0004804 0.0148853 −0.032 0.9744 人口自然增长率 −0.2805960 0.0526438 −5.330 3.22 × 10 −6 余项标准差：0.05863有44个自由度 R方：0.9992；调整后R方：0.9992 F值：1.158 × 10 6 ；P值：<2.2 × 10 − 16 表4. 多因素线性回归的结果 主成分分析 + 多因素线性回归：通过上面的信息，我们知道我需要用一些方法来降低变量共线性问题。经典的操作是主成分分析，即PCA，它可以建立出一个因素之间互相线性无关的模型，这意味着它在理论中更可靠。其中主成分分析的本质是：一个正交化的线形变化，把数据变换到一个新的坐标系统中，使得这一数据的任何投影的第一大方差在第一个坐标(第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推起到降维的作用： Y T = X T W = V B T W T W = V B T 其中X T 为标准化的数据，W为一个正交矩阵，V是矩阵X T X的特征向量矩阵 [ 12 ] 。在R语言中，本文利用“pls”包来实现主成分分析，并且在此之后，再一次进行多项式回归。主成分分析后的多元线性回归结果如下： 国 内 生 产 水 平 = 10.406726 + 0.019648 * 普 通 本 专 科 毕 业 人 数 + 0.409492 * 城 镇 居 民 消 费 水 平 + 0.362156 * 农 村 居 民 消 费 水 平 + 0.418580 * 居 民 消 费 水 平 − 0.092223 * 人 口 自 然 增 长 率 数值结果如图15和表5~表7所示。我们得到几点结论： 1) 通过方差齐性检验，F检验统计量是2278，自由2和47，p值 = 0，这意味着它是显著的，它比不使用主成分分析的多元线性回归方法好。 2) comp1和comp2是最显著的因素，并且通过累积贡献率来看，这两个因素达到的贡献率为99.5%，意味着已经可以表示99.5%的数据信息，所以其他的因素不需要再考虑。 3) 该方法不仅在数据角度上，而且在实际理论分析和现实情况下都有较好的效果。因此用这个方法预测GDP的未来，结果也肯定会更加可信。 逐步回归法：该方法将删除一些数据，以便更好地从数据角度，得到GDP的变化规律。在R中，我决定使用“nutshell”和“MASS”包进行操作。结果如图16和表8所示。我们也得到几点： 1) 通过方差齐性检验，F检验统计量是1481，自由度是4和45，p值接近于0，这意味着它是显著的，但是F检验统计量没有主成分分析后的多元线性回归大，在这个维度上，结果没有主成分分析后的多元线性回归方法好。 图15. 多因素的PCA + 线性回归 Table 5 Results of PC 系数估计值 标准差 T值 P值(>|t|) 截距项 10.406726 0.009349 1113.19 <2 × 10 −16 成分1 0.610752 0.002873 212.59 <2 × 10 −16 成分2 −0.331471 0.017337 −19.12 <2 × 10 −16 余项标准差：0.0661；自由度：47 R方：0.999 调整后R方：0.9989 F统计量：2.278 × 10 4 ；自由度5和47 F的P值：<2.2 × 10 −16 表5. 主成分分析的数据 Table 6 Details of two component 成分1 成分2 成分3 成分4 成分5 累计贡献率 0.9691031 0.99571335 0.999415916 0.9999457307 1.000 表6. 两个成分的具体信息 Table 7 Coefficients of each facto 成分1 成分2 成分3 成分4 成分5 学生人数 0.500 0.862 \ \ \ 城市居民消费水平 0.493 −0.327 0.726 −0.338 \ 乡村居民消费水平 0.460 −0.245 0.277 −0.625 −0.512 居民消费水平 0.522 −0.301 −0.114 0.787 \ 人口自然增长率 −0.151 0.952 0.258 \ 表7. 各指标对各成分的系数 2) 结果表明，通过这种方法的操作，不得不删除变量“普通本专科毕业学生人数”，然而，现实表明：“普通本专科毕业学生人数”对社会和经济有一定的贡献，这意味着这个结果是违背现实的。出现这样的现象的根本原因是：这个方法是通过逐步剔除线性因素，使最终的各个因素都不是线性的，但是这个方法只是单纯从数据角度出发，所以会存在违背现实的情况。因此，本文不认为这是一个好方法。而由于这种方法本身的原因，本文不认为这样的经济指标的预测具有实际意义。 图16. 逐步回归 Table 8 Results of stepwise regressio 系数估计值 标准差 T值 P值(>|t|) 截距项 2.79217 0.24405 11.441 6.5 × 10 −15 城市居民消费水平 0.25070 0.13608 1.842 0.0720 乡村居民消费水平 0.42463 0.18250 2.327 0.0245 居民消费水平 0.47832 0.26538 1.802 0.0782 人口自然增长率 −0.27999 0.04867 −5.753 7.27 × 10 −7 余项标准差：0.05798；自由度：45 R方：0.9992；调整后R方:0.9992 F统计值1.481 × 10 4 ；自由度：4和45；P值 < 2.2 × 10 −16 表8. 逐步回归的结果 时间序列分析方法：时间序列分析方法是分析时间序列中观察值之间相关性的一种有效的方法。借助差分运算和平稳时间序列的ARMA建模方法，可以构建有效刻画时间序列中的相关性模型。从原始的GDP序列看一看出序列是一个有趋势的非平稳时间序列。可以通过一阶差分消除线性增长趋势，然后对差分后的平稳序列进一步采用自回归和移动平均模型，模拟一个较好的模型用于对未来序列观察值的预测。对此序列进行一阶差分，得到的一阶差分序列图如图17。 图17. 一阶差分序列图 观察图18可以知道，一阶差分提取了线性增长的趋势，并且时序图已经没有明显的趋势，整个波动比较平稳，所以对差分序列使用ARIMA模型。通过差分序列的自相关图和偏自相关图，我们可以发现自相关系数图存在三阶截尾现象，而从偏自相关图可以看出，存在拖尾现象，所以使用MA(3)模型拟合差分后的序列较为合适。 图18. GDP的相关图表 完成模型定阶后，我们需要检验模型，其中包括两个方面，对模型残差的白噪声检验以及对参数的显著非零检验。对残差进行白噪声检验，看看是否把有效信息提取干净。结果如下： 由于各阶的P值都大于0.05可以知道，接受H0原假设，即认为此序列为白噪声，因此信息提取完毕，残差检验通过。参数的显著性检验也均通过。得到的模型为 ∇ x t = ( 1 + 0.77201 B + 0.34853 B 2 + 0.30393 B 3 ) ε t 在以预测为目的的回归模型下，如果选用残差平方和作为模型筛选的指标，则只能保证回归的结果整体来看比较靠近真实情况，然而实际上，回归曲线会对数据中间部分进行尽可能靠近的回归，而两边的数据会出现一些偏差，即两边的偏差会有比较大的不确定性，所以在这个情况下，需要使用另外一个模型评判指标。此处使用AIC，即最小信息量准则 [ 13 ] 。 AIC = − 2 ln ( 模 型 的 极 大 似 然 函 数 值 ) + 2 ( 模 型 中 未 知 的 参 数 个 数 ) 结果如表9。 Table 9 AIC among different model AIC Rank 多因素线性回归 −134.1414 3 PCA+多因素线性回归 −124.852 4 逐步回归法 −136.1402 2 时间序列法 −157.631 1 表9. 几种模型的AIC值比较 表9中AIC最小的方法效果最佳，因此可以知道使用时间序列是最好的方法。然后是逐步回归，但 图19. GDP预测值 是，如果我们需要使用所有的因素，我们不应该选择逐步回归，因为它会删除一些数据，然而这些被删除的数据在前面已经被证实：它们会对国内生产总值造成影响。至于比较使用主成分分析和没有主成分分析的多元线性回归方法，从AIC结果上来看，使用了主成分分析后的结果会较差，经检验，发现前面段的数据偏差比较大，所以出现了AIC较大的情况。但实际上，使用主成分分析可以减少共线性问题，让后半段的回归效果变得更好，从而使预测结果更具有信服力。用时间序列分析方法拟合值和5期预测值如图19所示，其中图中的红色线为MA(3)时间序列的结果，黑色点为原始时间序列数据，绿色线分别为95%置信区间的上限。