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user: 2. 模型构建及其基本性质 本文，我们提出一个研究登革热病毒传播的模型。该模型将人分为易感类、感染类和康复类，分别用 S h ( t ) ， I h ( t ) ， 表示，将蚊子分为易感类、感染类，分别用 S m ( t ) ， I m ( t ) 表示。人和蚊子的总数分别用 N h ( t ) = S h ( t ) + I h ( t ) + R h ( t ) ， 。取一个Ricker型函数，在文献 [ 17 ] 和文献 [ 18 ] 中就选取过Ricker型函数来建模。蚊子的孵化期，即从卵发育成成年蚊子这个过程所需要的平均时间用常数 τ 2 ≥ 0 表示，幼蚊的死亡率用 d j 表示。用 r m N m ( t − τ 2 ) e − d j τ 2 e − α N m 表示蚊子的出生率函数，其中每只蚊子的最大蚊卵日产率用 r m 表示；忽略孵化期时滞产卵量最大时蚊子的数量用 1 / α 表示。 r m N m ( t − τ 2 ) 表示 τ 2 单位之前蚊子产卵的个数， e − d j τ 2 反映了潜伏期内幼蚊的存活率。即使蚊卵在潜伏期内存活下来，现时的环境也决定着它们能否转变为成年蚊子，因此在当前时间Ricker型出生率函数 含有 N m 。 e − μ h τ 3 ， 分别表示感染类人在 τ 3 和感染类蚊子在 τ 1 的存活率，其中 τ 1 ， τ 3 分别表示登革热病毒在蚊子和人体内的潜伏期， μ h ， μ m 分别表示人和蚊子的死亡率。用 Λ h 表示人的补充率，用a表示蚊子的平均叮咬率，用 γ 表示人的康复率，感染类人将病毒传播给易感类蚊子的传播率用 β h m 表示，感染类蚊子将病毒传播给易感类人的传播率用 β m h 表示。由上述假设我们得到下列模型 { d S h ( t ) d t = Λ h − a β m h e − μ m τ 1 S h ( t ) I m ( t − τ 1 ) N h ( t ) − μ h S h ( t ) ， d I h ( t ) d t = a β m h e − μ m τ 1 S h ( t ) I m ( t − τ 1 ) N h ( t ) − ( μ h + γ ) I h ( t ) ， d R h ( t ) d t = γ I h ( t ) − μ h R h ( t ) ， d S m ( t ) d t = r m N m ( t − τ 2 ) e − d j τ 2 e − α N m − a β h m e − μ h τ 3 S m ( t ) I h ( t − τ 3 ) N h ( t ) − μ m S m ( t ) ， d I m ( t ) d t = a β h m e − μ h τ 3 S m ( t ) I h ( t − τ 3 ) N h ( t ) − μ m I m ( t ) . (1) 初始条件为 I h ( θ ) = ϕ 1 ( θ ) > 0 ， I m ( θ ) = ϕ 2 ( θ ) > 0 ， S h ( 0 ) = S h 0 > 0 ， R h ( 0 ) = R h 0 ≥ 0 ， S m ( 0 ) = S m 0 ( 0 ) > 0 ， (2) 其中， ϕ i ( θ ) ， i = 1， 2， θ ∈ [ − τ ， 0 ] ， τ = max { τ 1 ， τ 2 ， τ 3 } 是正的连续函数。 模型(1)蚊子的总数满足下列方程： d N m ( t ) d t = r m N m ( t − τ 2 ) e − d j τ 2 e − α N m ( t ) − μ m N m ( t ) ， (3) 初始条件为 ， θ ∈ [ − τ ， 0 ] 。 (4) 令 N m ∗ = 1 α ln ( r m μ m e d j τ 2 ) ， (5) 由此可知 N m ∗ = N m 是方程(3)的唯一正解，该解存在当前仅当 r m e − d j τ 2 > μ m 。定义 和 H = 1 + max { max θ ∈ [ − τ ， 0 ] { S m ( 0 ) + ϕ m ( θ ) } ， N m ∗ } ，则描述(3)的全局动力学行为的定理如下。 定理1：以(4)为初始条件的模型(3)，对任意的 t ≥ 0 ，解 N m ( t ) 是正的且 1) 若 r m e − d j τ 2 > μ m ，则对任意的 t ≥ 0 ，有 ，此外，存在一个全局渐近稳定的正解 N m ∗ 。 2) 若 r m e − d j τ 2 ≤ μ m ，则解 N m ( t ) 是有界的，平衡点 N m = 0 关于初始条件是全局渐近稳定的。 证：我们利用反证法证明对任意的 t ≥ 0 ， N m ( t ) > 0 。注意到对任意的 ， N m ( θ ) > 0 ，假设存在一个 t ^ > 0 ，使得 N m ( t ^ ) = 0 ，对 t < t ^ ， N m ( t ) > 0 ，则有 d N m ( t ^ ) d t ≤ 0 。由(3)可得 d N m ( t ^ ) d t = r m N m ( t ^ − τ 2 ) e − d j τ 2 e − α N m ( t ^ ) > 0 ，矛盾。因此对任意的 ， N m ( t ) > 0 。 下面我们证明情况(i)和(ii)。 情况(i) 设 r m e − d j τ 2 > μ m 。令 L = max θ ∈ [ − τ ， 0 ] { S m ( 0 ) + ϕ m ( θ ) } ， l = min θ ∈ [ − τ ， 0 ] { S m ( 0 ) + ϕ m ( θ ) } ， L > l > 0 ，则有 h = 1 2 min { l ， N m ∗ } ， H = 1 + max { L ， N m ∗ } ，我们断言对任意 t ≥ 0 ， h < N m ( t ) < H 。否则存在 t ¯ > 0 ，使得 N m ( t ¯ ) = H ，对任意的 t < t ¯ ， 。又因为 H > N m ∗ ，故由(3)得 d N m ( t ¯ ) d t = r m N m ( t ¯ − τ 2 ) e − d j τ 2 e − α H − μ m H < H ( r m e − d j τ 2 e − α H − μ m ) ≤ 0 ， 由 t ¯ 的定义知 d N m ( t ¯ ) d t ≥ 0 ，矛盾。因此，对任意的 t ≥ 0 ， N m ( t ) < H 。类似地，我们假设存在 使得 N m ( t ˜ ) = h ，对任意的 t < t ˜ ， N m ( t ) > h ，且有 d N m ( t ˜ ) d t ≤ 0 。又 h ≤ N m ∗ ，故再由(3)得 d N m ( t ˜ ) d t = r m N m ( t ˜ − τ 2 ) e − d j τ 2 e − α h − μ m h > h ( r m e − d j τ 2 e − α h − μ m ) ≥ 0 ， 矛盾。因此，对任意的 t ≥ 0 ， h < N m ( t ) < H 。 情况(ii) 设 r m e − d j τ 2 ≤ μ m 。L定义如情况(i)，则 N m ( t ) ≤ L 。假设存在 ，使得 N m ( t ¯ ) = L ，对任意的 t < t ¯ ， N m (t) < L。且 d N m ( t ¯ ) d t ≥ 0 。由(3)得 d N m ( t ¯ ) d t = r m N m ( t ¯ − τ 2 ) e − d j τ 2 e − α L − μ m L < L ( r m e − d j τ 2 e − α L − μ m ) < L ( r m e − d j τ 2 − μ m ) ≤ 0 ， 矛盾。因此对任意的 t ≥ 0 ， N m ( t ) ≤ L 。 为了证明 N m ∗ 的全局渐近稳定性，我们记(3)的右边为 。因为 ∂ f ( x ， y ) ∂ y > 0 ，所以 模型(3)产生由定义在 [ − τ ， 0 ] 上的连续函数形成的空间C上的逐点排序的强单调半流 [ 19 ]。若 r m e − d j τ 2 ≤ μ m ，存在一个平衡点 N m = 0 。由定理2.3.1 [ 19 ] 知 N m = 0 是全局渐近稳定的。若 ，则有两个平衡点 N m = 0 和 N m ∗ 。由定理2.3.2 [ 19 ] 知，(3)的解收敛于这两个平衡点中的一个。为了排除 N m = 0 是吸引子的可能，我们在 N m = 0 处线性化模型并利用定理A2 [ 20 ] ，可得到当 r m e − d j τ 2 > μ m 时，它是不稳定的。因此，当 t → ∞ 时， N m ( t ) → N m ∗ 。 模型(1)人的总数满足下列方程： d N h ( t ) d t = Λ h − μ h N h ( t ) ， (6) 可得 N h → Λ h μ h 。 由于模型(1)中的其余四个方程都不含 ，故模型(1)等价于如下极限系统 (7) 令 Ω = { S h ( t ) ， I h ( t ) ， S m ( t ) ， I m ( t ) ∈ ℝ 4 + ∣ 0 ≤ S h + I h ≤ Λ h / μ h ， 0 ≤ S m + I m ≤ N m ∗ } ，易证 Ω 是模型(7)的正不变集。