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user: 2. 主要结论 若所给半群中任一元都是幂等元，这样的半群称作带，记作B。乘积可交换的带称作半格，记作S。下述结论给出了利用等式和禁止因子来刻画局部半群的核为带的完全π-正则半群。 定理2.1完全π-正则半群S上的下列条件等价： (1) S ∈ L C ( B ) ； (2) S 满足等式 ( ( e x e ) ω ( e y e ) ω ) ω = ( e x e ) ω ( e y e ) ω ； (3) S 不含因子 V 1 和 M p 1 ，p为任意素数。 证明 (1) ⇒ (2)。若(1)成立，则对幂等元 e ∈ E S ，局部半群 e S e 的核为带，从而对任意 x ， y ∈ S ， ( e x e ) ω ( e y e ) ω 为幂等元，即 ( ( e x e ) ω ( e y e ) ω ) ω = ( e x e ) ω ( e y e ) ω 。这样证得(2)成立。 (2) ⇒ (3)。对幂等元 e ∈ S ，考察局部半群 e S e 。若(2)成立，则 〈 E e S e 〉 = E e S e 是带，从而 为完全正则半群，即 S ∈ L C ( C R ) 。由( [ 7 ] ，定理2.2)，S不含因子 V 1 。若S含因子 M p 1 ，其中 p ≥ 2 为某一素数。此时对 e ， f ∈ M p 1 \ { 1 } ，必有 ( e f ) 2 ≠ e f 。另一方面，因为 M p 1 是S的因子，则存在S的完全π-正则子半群T和满同态 φ : T → M p 1 。由( [ 8 ] ，推论1.4.9)，有 1 T ， e ′ ， f ′ ∈ E T 使得 e ′ φ = e ， f ′ φ = f ， 1 T φ = 1 。作为S的完全π-正则子半群，局部半群 1 T T 1 T 亦满足(2)中等式，这样 e f = 1 e 1 f 1 = ( 1 T e ′ 1 T ) ω φ ( 1 T f ′ 1 T ) ω φ = ( ( 1 T e ′ 1 T ) ω ( 1 T f ′ 1 T ) ω ) φ = ( ( 1 T e ′ 1 T ) ω ( 1 T f ′ 1 T ) ω ) ω φ = ( e f ) ω ， 这说明 e f 为幂等元，此与前述事实 ( e f ) 2 ≠ e f 矛盾。由此证得S不含因子 M p 1 ，p为任意素数。 (3) ⇒ (1)。若(3)成立，则由( [ 7 ] ，定理2.2)，首先有 S ∈ L C ( C R ) ，即对任意 e ∈ E S ， 〈 E e S e 〉 为完全正则半群。另一方面，S不含因子 M p 1 (p为任意素数)，类似于( [ 2 ] ，引理9)，S不含因子 M n 1 ( n > 1 为任意正整数或为无穷大)。从而 〈 E e S e 〉 亦不含因子 M n ，否则 M n 1 必定为 〈 E e S e 〉 的因子(注意到 〈 E e S e 〉 含幺元e)。由( [ 10 ] ，推论III.5.5) 〈 E e S e 〉 的幂等元集合为子半群，从而 〈 E e S e 〉 = E e S e ，即 S ∈ L C ( B ) 。□ 下述结论是对( [ 7 ] ，命题3.2)的推广，给出了局部半群的核为半格的完全π-正则半群类的刻画。 定理2.2完全 π -正则半群S上的下列条件等价： (1) S ∈ L C ( S ) ； (2) S 满足等式 ( e x e ) ω ( e y e ) ω = ( e y e ) ω ( e x e ) ω ； (3) S 不含因子 V 1 ， L 2 1 ， R 2 1 。 证明 (1) ⇔ (2)。对任意 x ， y ∈ S ，以及 e ∈ E S ， S ∈ L C ( S ) ⇔ e S e ∈ C ( S )                                 ⇔ 〈 E e S e 〉 ∈ S ⇔ E e S e ∈ S                                 ⇔ ( e x e ) ω ( e y e ) ω = ( e y e ) ω ( e x e ) ω (2) ⇔ (3)。容易验证半群 V 1 ， L 2 1 ， R 2 1 都不满足(2)中等式，从而蕴含“(2) ⇒ (3)”成立。 反正，若(3)成立，因为S不含禁止因子 V 1 ，则由( [ 7 ] ，定理2.2)， S ∈ L C ( C R ) ，即对任意幂等元 e ∈ S ， 〈 E e S e 〉 ∈ C R 。余下证明采用反证法。假若S不满足(2)中等式。则存在 e ∈ E S ， a ， b ∈ S ，使得 ( e a e ) ω ( e b e ) ω ≠ ( e b e ) ω ( e a e ) ω . (1) 既然如前所述 ( e a e ) ω ( e b e ) ω ， ( e b e ) ω ( e a e ) ω ∈ 〈 E e S e 〉 ∈ C R ，由( [ 1 ] ，引理5)，可得 ( e a e ) ω ( e b e ) ω H ( ( e a e ) ω ( e b e ) ω ) ω D ( ( e b e ) ω ( e a e ) ω ) ω H ( e b e ) ω ( e a e ) ω . 此时，必有 ( ( ( e a e ) ω ( e b e ) ω ) ω ， ( ( e b e ) ω ( e a e ) ω ) ω ) ∈ H 。否则，若 ( ( e a e ) ω ( e b e ) ω ) ω H ( ( e b e ) ω ( e a e ) ω ) ω ， 则由( [ 5 ] ，引理2.4)， ( e a e ) ω ( e b e ) ω = ( ( e b e ) ω ( e a e ) ω ) ω ⋅ ( e a e ) ω ( e b e ) ω = ( ( e b e ) ω ( e a e ) ω ) ω ( e b e ) ω = ( e b e ) ω ( ( e a e ) ω ( e b e ) ω ) ω = ( e b e ) ω ( e a e ) ω ⋅ ( ( e a e ) ω ( e b e ) ω ) ω = ( e b e ) ω ( e a e ) ω 此结果与(1)矛盾。从而 ( ( e a e ) ω ( e b e ) ω ) ω ≠ ( ( e b e ) ω ( e a e ) ω ) ω . 现在可以断言 e ， ( ( e a e ) ω ( e b e ) ω ) ω 和 ( ( e b e ) ω ( e b e ) ω ) ω 各不相同。既然 ( ( e a e ) ω ( e b e ) ω ) ω D ( ( e b e ) ω ( e a e ) ω ) ω ，我们考虑如下可能情形： (a) ( ( e a e ) ω ( e b e ) ω ) ω L ( ( e b e ) ω ( e a e ) ω ) ω ：此种情形下，显然有 〈 e ， ( ( e a e ) ω ( e b e ) ω ) ω ， ( ( e b e ) ω ( e a e ) ω ) ω 〉 ≅ L 2 1 ，此与(3)中条件S无因子 L 2 1 相矛盾； (b) ( ( e a e ) ω ( e b e ) ω ) ω R ( ( e b e ) ω ( e a e ) ω ) ω ：此种情形下，显有 〈 e ， ( ( e a e ) ω ( e b e ) ω ) ω ， ( ( e a e ) ω ( e a e ) ω ) ω 〉 ≅ R 2 1 ， 此与(3)中条件S无因子 R 2 1 相矛盾； (c) ( ( ( e a e ) ω ( e b e ) ω ) ω ， ( ( e b e ) ω ( e a e ) ω ) ω ) ∈ R ∩ L ：此种情形下，易见 ( ( e a e ) ω ( e b e ) ω ( e a e ) ω ) ω ≠ ( ( e a e ) ω ( e b e ) ω ) ω 。否则， ( ( ( e a e ) ω ( e b e ) ω ) ω ， ( ( e b e ) ω ( e a e ) ω ) ω ) ∈ L 。现在 〈 e ， ( ( e a e ) ω ( e b e ) ω ( e a e ) ω ) ω ， ( ( e a e ) ω ( e b e ) ω ) ω 〉 ≅ R 2 1 ， 此与(3)中条件S无因子 R 2 1 相矛盾。□ 带S称作左(右)正则带，若其满足等式 x y = x y x ( x y = y x y )，该类半群记作LRB (RRB)。在论文结束时我们给出关于集合包含序下，介于 L C ( B ) 与 L C ( S ) 的一类完全π-正则半群。其证明可以参考定理2.2的证明，此处从略。 定理2.3完全π-正则半群S上的下列条件等价： (1) S ∈ L C ( L R B ) ； (2) S 满足等式 ( e x e ) ω ( e y e ) ω = ( e x e ) ω ( e y e ) ω ( e x e ) ω = ( ( e x e ) ω ( e y e ) ω ) ω ； (3) S 不含因子 V 1 ， R 2 1 。