DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 摘要 随着大数据技术在应用层面的日渐普及，机器学习、深度学习相关算法在金融风控行业的应用得到了积极的探索。本文基于开源的信用卡数据(该数据具有样本比例极度不平衡的特点)，比较不同采样方法对类别不平衡数据分类结果的影响，并应用集成学习算法Stacking融合多个基分类器训练数据，得到更为稳健的分类模型，有效避免了过拟合现象的发生。
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user: 1. 引言 信用卡欺诈模型是用于检测用户信用卡被盗用的风险，信用卡欺诈识别问题实质上是一个二分类问题。随着2016年央行发布的“信用卡新规”执行以来，信用卡市场再一次被激活，信用卡的使用率保持增长。信用卡欺诈识别是长久以来亟待解决的问题之一，传统的信用卡欺诈方式主要是伪卡盗刷，但在新兴互联网时代这一方式不再是主流。信用卡欺诈行为的检测已成为一个不容忽视的问题，这一问题不但会给银行造成巨大的经济损失，而且还会影响银行的信誉，给银行带来潜在的风险。 当前，银行业风险防控得到了广泛的关注，作为银行系统风险防控中的关键一环，信用卡欺诈行为的检测发挥着重要的作用，引起了众多学者的关注。经典的机器学习算法，如逻辑斯蒂回归、决策树、支持向量机以及集成学习方法等被应用到信用卡欺诈行为的研究中；深度学习网络，如GAN网络也被应用于预测银行信用卡欺诈。分析已有的论文发现，基于Stacking的集成学习算法在信用卡欺诈检测上的应用较少，大部分论文是基于bagging或基于boosting，受此现象启发，本文基于Stacking集成学习算法的思想，融合多种常用分类算法实现信用卡欺诈数据二分类，有效解决了不平衡数据容易过拟合的问题。
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user: 2. 相关工作 信用卡欺诈检测是典型的样本不平衡分类问题，到目前为止有不少学者已经对信用卡欺诈检测和样本不平衡数据分类问题做出了相关的阐述。在信用卡欺诈检测中，徐永华 [ 1 ] 提出一种基于支持向量机的信用卡欺诈检测算法，用以提高检测的准确率。李赛虎等人 [ 2 ] 基于特征工程提出一个取决于样本实际财务成本的代价矩阵，并针对决策树(DT)、Logistic回归和随机森林三种代价敏感性分类算法检测信用卡欺诈。陈冠宇 [ 3 ] 提出一种基于KNN-Smote-LSTM的信用卡欺诈检测模型，通过KNN判别分类器筛选出样本以提升模型的性能，克服了Smote算法在生成新样本时的盲目性和局限性。Brause [ 4 ] 提出一种基于规则，并结合自适应神经数据挖掘方法的信用卡欺诈检测方法。Kokkinaki [ 5 ] 利用决策树和布尔逻辑函数构造单用户模型，结合聚类分析挖掘正常和异常交易的区别，从而来判断用户的交易是否正常。Maes等人 [ 6 ] 进行了人工神经网络和贝叶斯网络在信用卡欺诈检测中的性能对比。除此之外，还有很多学者对不平衡数据的处理进行了相关研究。相关研究人员提出了经典的少类样本合成过采样技术(Synthetic minority oversampling technique， SMOTE)，随后为了解决新样本带来的噪声、样本重叠等问题，有学者相继提出了一系列SMOTE的改进算法，如N-SMOTE、Borderline-SMOTE等；Batista等 [ 7 ] 出了SMOTE与Tome Link相结合的算法，能很好地克服SMOTE带来的噪声问题。利用采样解决样本不平衡问题是分类算法中最常使用的方法，一般而言，采样方法能够很好地提升常见分类算法的性能，但对于集成学习算法来说这样的说法还有商榷。
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user: 3. 模型介绍 3.1. 集成学习 集成学习是使用一系列学习器进行学习，并使用某种规则把单个学习器的结果进行整合，从而获得比单个学习器更好的效果的一种及其学习算法，集成学习算法的分类有基于bagging的集成学习方法、基于boosting的集成学习方法和基于Stacking的集成学习方法。 3.1.1. Bagging (Bootstrap Aggregating，装袋法) Bagging即是套袋法，使用有放回的抽样方法从原始样本中随机抽取训练集，进行k轮抽取，得到K个训练集，每个训练集得到一个模型，共K个模型。Bagging的性能依赖于其基分类器的稳定性，通过降低基分类器的方差，能够有效改善模型的泛化误差。常见的基于bagging的集成学习方法有随机森林。 3.1.2. Boosting Boosting算法的核心思想是将多个弱分类器组合成强学习器，通过提高在前一轮训练中被弱分类器错分样例的权值，较小前一轮正确分类的样本的权值，使分类器对误分的数据有很好的分类效果。常见的基于boosting的集成学习方法有adaboost、GBDT (梯度提升树)算法。 3.1.3. Stacking Stacking方法是指先训练多个模型，然后把训练所得的输出作为输入来训练一个模型，得到最终的输出，在实际应用中，我们通常使用logistic回归作为组合策略。 3.2. 采样方法 由于数据分布不均匀，少数类样本仅占很小一部分，模型很难辨别少数类，容易造成过拟合。目前解决样本不平衡数据分类的手段主要是采样，包括过采样、欠采样和综合采样。 3.2.1. 过采样 过采样是对原始数据中的少数类进行采样，以合成新样本来缓解类别不平衡问题。常见的过采样方法有随机过采样、SMOTE (Synthetic Minority Oversampling Technique)，即合成少数类过采样技术、Border-line SMOTE、自适应合成抽样ADASYN等。 3.2.2. 欠采样 欠采样是对原始数据中的多数类进行采样，较少多数类样本以使数据类别分布达到平衡。欠采样的分类有随机欠采样、EasyEnsemble、BalanceCascade、NearMiss、Tomek Link、Edited Nearest Neighbours (ENN)等。 3.2.3. 综合采样 综合采样方法是将欠采样和过采样结合，利用欠采样中的数据清洗技术如ENN处理过采样中出现的重叠样本，得到更为准确的分类数据。综合采样是处理不平衡分类数据最常使用的方法，常见的综合采样方法有SMOTE + ENN和SMOTE + Tomek Link Removal。 本文选取smote + ENN作为不平衡数据的采样方法。ENN针对类别比例大的样本进行操作，如果某一个样本的大部分K邻近样本都跟它自身的类别不一致，说明这个样本处于类别边缘交界处或者少数类别簇中，即可以删除这个样本。 3.3. 基分类器 3.3.1. K近邻算法 K近邻算法是一种基本的分类和回归算法，其原理是给定一个训练数据集，当新实例输入时，首先在给定的训练集中找到与该实例最邻近的K个实例，然后判断这K个实例中的多数实例属于哪一类，把新实例划分为同样的类中。 3.3.2. 逻辑斯蒂回归 逻辑斯蒂回归是针对线性可分问题的常用分类算法，通过训练数据样本，学习样本特征到样本标签之间的假设函数，是机器学习算法容易实现且表现优异的算法。对于给定的输入实例x，条件概率分布如下 P ( Y = 1 | x ) = exp ( w ∗ x + b ) 1 + exp ( w ∗ x + b ) P ( Y = 0 | x ) = exp ( w ∗ x + b ) 1 + exp ( w ∗ x + b ) 根据样本数据求出 P ( Y = 1 | x ) 和 P ( Y = 0 | x ) ，通过比较两个条件概率值的大小，将x划分为概率值大的那一类。 3.3.3. 贝叶斯算法 贝叶斯模型是以概率论上的贝叶斯原理为基础来进行分类的算法。朴素贝叶斯算法的假设前提是：每一个属性在目标值相同时是相互独立的。朴素贝叶斯算法的优点是时间和空间复杂度相比较于其他算法而言较低，算法的逻辑清晰，容易理解。但由于朴素贝叶斯分类的最小错误率是在条件独立的假设前提下发生的。在现实情况下进行分类时，数据之间往往是不独立的，因此朴素贝叶斯算法的分类效果会受到一定程度的影响。 3.3.4. 决策树和随机森林 决策树是一种树形结构，使用决策树算法进行分类的过程就是从根节点开始，测试待分类项中相应的特征属性，并按照其值选择输出分支，直到到达叶子节点，将叶子节点存放类别作为决策结果。 随机森林(Random Forest， RF)是对决策树算法的改进，算法的本质是由多棵决策树整合形成的多分类器，通过决策树的投票结果决定数据的类别。随机森林是采用重采样方法，从训练数据中有放回地抽取固定数量的样本生成样本子集，使用生成的样本子集生成多棵决策树，进行训练。当输入测试集时，每一棵决策树都进行判断，最后统计所有决策树判断的类别总数，最多的分类类别即是测试集的类别。随机森林解决了决策树算法泛化能力差的缺点。
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user: 4. 模型评价标准 分类任务中常用的评价指标有准确度、精确率、召回率、F1 Score、P-R曲线等，针对不同的训练集，需要根据数据的特性采用不同的评价指标。本文采用的数据集存在样本类别不平衡的特性，故选取精确率和F1值的平均值作为Stacking集成学习模型的分类评价指标。 算法分类的精确率是直观地衡量一个算法分类结果好坏的指标。对于一个分类模型，其训练过程是首先用划分好的训练集进行训练，然后使用测试集测试模型对于新样本的分类结果，在测试集上算法分类的准确度被认为是该算法的分类准确度。准确度作为分类算法中最常使用的指标，对于正负样本数量相当的数据集的分类结果的衡量比较可靠，本文通过采样平衡样本数据，使用交叉验证训练模型，并求解交叉验证后的平均精确率作为评价指标。 F1-score是精确率(precision)和召回率(recall)的调和平均值，是分类结果的综合评价指标。F1值的适用范围很广，无论是类别不平衡数据还是样本比例相当的数据都可适用。 F 1 score = 2 precision ∗ recall precision + recall
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user: 5. 实验过程 5.1. 数据描述及预处理 本文使用的是开源的信用卡交易数据进行训练，数据集中包含正常交易样本284，315条，异常交易的样本492条，异常交易比率为0.173%。该数据集是信用卡反欺诈模型最常使用的数据之一，具有代表性。 数据预处理过程包括：数据清洗，包括重复数据的删除、缺失数据的填充；数据转换，对数据集中数值相差较大的特征列进行标准化处理，并使用主成分分析(Principal Components Analysis， PCA)对高维特征进行降维处理。 5.2. 实验结果 5.2.1. 不同单模型的分类结果 Stacking集成学习算法的常使用Logistic回归作为元模型，基模型可以是任何一种分类模型。模型的选取将影响分类结果，为此我们将训练集输入到不同的分类模型中进行训练，得到各个单模型的分类结果，如表1所示。 Table 1 Single model classificatio 模型 F1-score Accuracy KNN 0.6 1 SVM 0.5 1 贝叶斯 0.62 0.99 决策树 0.88 1 逻辑回归 0.85 1 随机森林 0.85 1 表1. 单模型分类结果 如上表，在此数据集下，K邻近、支持向量机、贝叶斯算法分类的F1值分别为0.6，0.5，0.62，相比较于决策树、逻辑回归和随机森林算法(F1值分别为0.88，0.85，0.85)而言，分类表现欠佳；而六种单模型除贝叶斯算法外分类的准确度都为1，存在过拟合的现象，验证了准确度并不适合作为类别不平衡数据分类评价指标的观点。 5.2.2. 不同采样方法下各单模型的分类结果 采样方法在一定程度上会对数据集的分类结果产生影响，但从目前查询的资料来看，并未有学者对采样方法在具体分类算法上的表现进行阐述。因此，本文通过比较不同采样方法在5种常见分类算法中的性能表现，选择效果最优的采样方法(结果见表2)。 Table 2 Sampling with single model classificatio 模型 未采样 SMOTE SMOTE + ENN SMOTE + Tmoek link KNN 0.6 0.91 0.94 0.91 贝叶斯 0.62 0.54 0.52 0.53 决策树 0.88 0.93 0.96 0.93 逻辑斯蒂回归 0.85 0.54 0.55 0.54 随机森林 0.85 0.54 0.55 0.54 表2. 采样 + 单模型分类结果 我们选取过采样技术SMOTE、综合采样技术SMOTE + ENN和SMOTE + Tomek Link Removal作为三种主要的采样方法。如表2所示，KNN和决策树算法采样之后的分类结果优于未采样时；除贝叶斯算法外，其余四种算法在SMOTE + ENN采样方法下的性能表现略优于SMOTE和SMOTE + Tomek Link Removal。随机森林算法经过采样之后的分类性能比采样前更差，这在一定程度上可以说明采样方法并不会对集成学习算法在类别不平衡数据上的分类结果产生提升作用。 5.2.3. Stacking集成学习算法分类结果 基于Stacking集成学习算法的思想，对比分析采样与否对样本不平衡数据分类效果的影响。Stacking的优点在于能够“取长补短”，故选取在同一数据集下在二分类中表现不一样的单模型，尽可能地提高模型的泛化能力。我们以logistic回归模型作为Stacking的组合策略，使用不同的基分类器进行组合，同时根据5.2.2的实验结果选取综合采样方法SMOTE + ENN作为对照组，对不同组合的分类结果进行分析。我们将预处理后的数据输入Stacking集成学习算法中进行训练，得到的分类结果如表3。 Table 3 Stacking learning algorith 方法 平均F1值 平均准确度 KNN + 贝叶斯 + 决策树(SMOTEENN) 0.34 0.50 KNN + 贝叶斯 + 决策树(未采样) 0.67 0.67 KNN + 决策树 + 随机森林(SMOTEENN) 0.42 0.55 KNN + 决策树 + 随机森林(未采样) 0.75 0.76 表3. Stacking集成学习算法 如上表所示，未采样的KNN + 决策树 + 随机森林组合模型得到的平均准确度和平均F1值相比其余三种组合策略来说是最高的，其值分别达到了0.75和0.76，分别比采样后的KNN + 决策树 + 随机森林组合模型高0.27和0.21。采样后两种组合策略的Stacking模型平均F1值分别为0.5和0.55，平均准确度都不超过0.5，分类表现并不突出，这意味着采样方法对集成学习算法Stacking分类性能的提升并没有显著的促进作用。未采样的数据在Stacking模型上进行训练得到的结果相较而言更稳健。
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user: 6. 结论 使用常见的分类模型进行不平衡数据的分类容易造成过拟合问题，分类模型很难识别少数类样本，在信用卡欺诈这类更重视少数类样本识别的实际应用问题中，常见的分类算法并不具备现实应用意义。本文通过不同的对照实验，验证了准确度不适合作为类别不平衡数据分类评价指标的观点，并发现在Stacking集成学习方法下是否对不平衡数据采样对分类结果没有太大的影响。Stacking集成学习算法虽然牺牲了时间复杂性，但在很大程度上提高了类别不平衡数据分类的准确性，得到了更为稳健的分类模型。未来可以尝试缩短Stacking的运行时间，研究效率更高的分类模型。
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user: 摘要 本文对WTI (West Texas Intermediate)美国原油期货和伦敦布伦特原油期货2019年5月6日至2020年5月4日收盘价时间序列数据进行研究，基于组合模型及GARCH模型联立方程，对于WTI原油期货收盘价格的波动变化进行分析，并借助平稳性检验、协整检验、格兰杰因果(Granger)检验等方法，结果表明，WTI原油期货价格与布伦特原油期货价格存在长期均衡关系，且WTI原油期货价格是布伦特原油期货价格的格兰杰原因。故以时间序列WTI原油收盘价为解释变量，以伦敦布伦特原油收盘价的时序数据为被解释变量，基于传统一元线性回归模型，探究WTI原油期货收盘价的波动变化对于伦敦布伦特原油期货收盘价的影响，并对伦敦布伦特原油价格做出预测。最终得出结论，认为此次WTI原油价格暴跌会影响布伦特原油价格进一步走低，但此次WTI负油价对于布伦特原油并不会有极其严重的影响。
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user: 1. 引言 WTI (纽约商业交易所的轻质低硫原油期货)、北海布伦特Brent (伦敦国际石油交易所的布伦特原油期货)是国际原油期货市场中重要的原油期货合约，作为轻质低硫原油的价格基准具有稳固的市场地位，且已成为全球经济的“晴雨表”和世界原油市场的风向标 [ 1 ]。2020年，新型冠状病毒在全球爆发，因此引发了一系列连锁反应，公共交通严重受阻，基础设施的使用大大降低等，在此背景之下，2020年1月至5月4日期间，WTI原油价格一直呈骤降趋势，从最初的60多美元/桶，跌至19.31美元/桶，跌幅高达40多美元/桶，在此期间，甚至一度跌为负值。国际原油WTI期货合约，作为世界原油市场上的三大基准价格之一，具有良好的流动性及很高的价格透明度。故此次WTI原油价格暴跌，势必会对同样在世界上交易量巨大的北海布伦特原油价格造成很大影响。本文欲探究此次WTI原油期货价格暴跌对于布伦特原油期货价格的影响。 关于WTI原油价格与其他市场价格关系的实证研究，部分学者做过以下研究： 文献 [ 2 ] 对2006年3月24日至2006年8月25日的国际原油WTI期货市场价格与现货市场价格数据序列进行单位根检验及协整检验，采用长期均衡方程、短期误差修正模型，通过多维度的方法实证分析了国际原油WTI期货价格与现货价格关系。 文献 [ 3 ] 使用协整检验、向量误差修正模型、格兰杰因果检验以及脉冲响应、方差分解等方法，从期货价格与现货价格的动态关系入手，挖掘并定量分析国际原油期货市场的价格发现功能。最后结果表明，WTI原油期货价格与现货价格存在长期均衡关系。期货合约初期WTI原油现货市场具有部分价格发现功能，但随后将减弱并最终趋于消失。WTI原油期货市场在价格发现过程中起主导作用。 文献 [ 4 ] 基于BEKK模型，对道琼斯股票市场与WTI原油期货市场相关性进行实证检验。结果表明：道琼斯股票市场存在向WTI原油期货市场单向波动溢出效应，WTI原油期货价格波动更多受外部金融市场风险影响，其金融属性日益体现。 文献 [ 5 ] 的作者认为期货市场成为国际原油价格变化的预先指标，并在某种程度上替代了现货市场的价格发现功能。借助ADF单位根检验、协整检验、误差修正模型(ECM)和Granger因果关系检验等常用的数学方法，基于短期误差修正模型和长期均衡方程式，进一步估测伦敦商品期货交易所(IPE)中布伦特原油期货价格和现货价格关系。 文献 [ 6 ] 针对WTI原油期货价格和离岸人民币汇率报价的日样本数据，探究了离岸人民币汇率与国际原油价格的影响关系。采用的DCC-MVGARCH模型，最后的实证分析结果表明，二者存在长期的反向变动关系，且两市场动态相关系数的时变程度有增大趋势。 综合上述文献可知，针对国际WTI原油期货价格与其他价格的关系，许多文献主要通过协整检验、格兰杰因果检验，并往往采用长期均衡方程及短期误差修正模型进而研究两者间的价格关系。本文则是基于协整检验、格兰杰因果检验等方法，初步探究WTI原油期货收盘价的波动变化与伦敦布伦特原油期货收盘价的价格关系，并基于一元线性回归模型以及组合-GARCH联立模型，深入分析此次WTI原油期货价格大跌对于布伦特原油的实际影响。因WTI原油、布伦特原油在国际石油市场价格体系中居于主导地位，此次原油价格的大波动势必影响能源企业制定决策，故探究两种原油价格变化的相互关系是一个非常值得关注的问题。
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user: 2. 研究思路 与其他研究文献不同的是，如图1研究思路图所示，本文首先经格兰杰因果检验初步得到两者的格兰杰因果关系后，本文采用组合模型及GARCH模型联立方程，结合新冠疫情爆发的社会背景，预测在得到负价时的WTI的“理论价格”如何，并且以此预测伦敦北海布伦特原油的收盘价，在排除异常值的影响后，进而分析此次WTI原油价格暴跌对于布伦特的影响，并结合新冠肺炎疫情全球大流行的背景，对影响国际原油期货价格变动因素与负油价给全球石油市场带来冲击的同时带来的机遇与挑战进行分析。 图1. 研究思路图
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user: 4. 模型的经济意义解读 4.1. 油价变化的非平稳性 根据已有数据可以看出，经ADF检验，近一年来WTI原油期货价格与伦敦布伦特期货价格都并非平稳性数据，二者在近一年的时间里都具明显的下跌趋势，由于新型冠状肺炎疫情的冲击带来的一系列负面影响，全球能源需求遭遇严重冲击，市场出现严重需求疲弱，这一切都大大打击了油价。 4.2. 两种油价的关系 另一方面，二者价格走势具高度的相似性，二者均为一阶单整序列I(1)，且二者具有相似的价格走势，模型预测结果也验证了这一观点，经E-G协整检验，发现两种油价序列存在长期均衡关系。且经格兰杰因果检验，发现WTI油价在一定程度上可以用来预测布伦特原油价格的变动，同时，经模型验证，以回归模型及WTI的预测值预测未来布伦特原油期货收盘价值的准确度较高，进而验证了WTI原油期货价格在国际原油市场中的重要地位。因此，此次WTI原油价格的暴跌势必会打击人们对于原油市场的信心，进而影响布伦特原油期货价格的走势。 4.3. 两种油价变化的区别 尽管在一定程度上，WTI油价变动会对布伦特原油期货收盘价产生影响，但是两种原油期货价格的变动仍然存在差异。经组合模型与GARCH模型联立方程组预测，在2020年4月20日的WTI原油期货的理论收盘价为17.44641，与负油价−37.63相差超过50的价差，故可以认为此次WTI油价突然暴跌至负价可能是因为部分偶然事件发生所致，可能是出于原油库存压力、地缘政治持续升温等等因素所致。而WTI油价之所以能“影响”布伦特原油价格的波动，极大程度上是因为两种油价都共同受到了包括石油输出国组织与非欧佩克产油国减产力度不及市场预期、新冠肺炎疫情全球大流行、经济萧条和需求走低等方面的影响，进而导致布伦特油价不断下跌。因此，可以认为此次WTI原油价格的暴跌会对布伦特原油产生影响，但是此次负价并不会对于布伦特原油价格产生极其不利好的影响。 4.4. 负油价带来的转机 总的来说，本次WTI原油期货“负油价”在给国际石油市场带来重创的同时，也有助于市场趋向平衡，加快油价走出底部的步伐。油价下跌会严重影响经济，因为石油开采成本较高，石油价格如此之低，会造成利润空间进一步压缩，亏损不可避免。但可以猜想，等到全球疫情得以控制，各国经济发展逐渐恢复到正常水平时，石油需求会逐步提高，石油市场终将趋向平衡。
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user: 5. 结论 本文利用WTI原油期货和伦敦布伦特原油期货从2019年5月6日至2020年5月4日的已知价格数据，以美国原油收盘价的时间序列X为解释变量，以伦敦布伦特原油收盘价的时序数据Y为被解释变量，基于软件Eviews11，经过分析，最终选择了单方程线性模型。然后不断对模型进行检验与优化，从而保证了模型与数据有较好的拟合效果，最后利用模型分析的结果，联合实际经济社会背景对二者进行分析、探究与预测。最终经模型验证，得出结论，认为此次WTI原油价格的大暴跌对于布伦特原油市场会产生不利影响，但是此次WTI原油的“负油价”并不会严重打击布伦特原油价格的未来走势。
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user: 摘要 惯性导航作为一种战时能全面提供导航信息的可靠手段在一定时段内能保证精度，但由于惯性器件漂移的影响，其导航精度难以满足舰载武器长航时需求；星光导航以宇宙中具有精确空间位置的天体作为导航信标，其精度主要取决于光轴测量精度，无时间累积误差。本文讨论惯性/星光导航技术中，利用星光导航误差有界性特点克服惯性导航误差随时间发散的缺点；同时惯导将持续提供高精度水平基准给星光导航系统，采用基于星光系统位置和姿态信息的互补手段，解决星光导航精度受制于惯性水平基准的问题，构造高精度水平基准，保证星光误差的有界性，从而保障星光量测信息的准确性。
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user: 1. 引言 惯性导航设备以完全自主、隐蔽性好、导航信息完备、短时精度高、数据输出连续等优点，已作为主要的关键设备广泛应用于我国水面舰艇、潜艇。但由于惯性元器件误差所引起的导航结果误差，随时间积累，在舰船长时间航行的条件下，惯导设备的导航精度逐渐降低。惯性导航设备属于精度保持时间受限的自主导航设备。星光定向仪是一种以恒星为参照系，以星空为工作对象的高精度的空间姿态测量装置，能提供不随时间变化的姿态信息。星光定向仪具有精度高、体积小、质量轻、功耗低的优点；缺点为数据输出率低，仪器使用受天气影响较大。星光定向仪属于与工作时间无关但受天气条件限制的自主导航设备 [ 1 ]。 星敏感器截止到目前经历了3个阶段的发展历程：第一代小视场CCD星敏感器，第二代大视场CCD星敏感器和第三代基于CMOS APS的星敏感器 [ 2 ] [ 3 ]。第一代星载星敏感器是在CCD图像传感器研制成功后出现的CCD星敏感器，其典型代表有美国喷气动力试验室(JPL)研制的ASTROS星敏感器。第一代CCD星敏感器具有如下特点： 1) 视场较小，如JPL的ASTROS星敏感器视场为2.2˚ × 3.3˚；2) 姿态精度较低，如JPL的ASTROS星敏感器纵摇和航行精度为4″，横摇精度为50″；3) 更新率较低，小于≤10 Hz；4) 星敏感器的体积、质量和功耗较大；5) 不具备独立自主获取载体惯性系姿态的能力。 第二代星敏感器出现在20世纪80年代中期后，第二代星敏感器采用大面阵CCD作为图像传感器，其具有如下特点 [ 4 ]： 1) 视场较大，德国Jena-Optronik的ASTRO15星敏感器视场为13.3˚ × 13.3˚；2) 姿态精度较高，如德国Jena-Optronik的ASTRO15星敏感器纵摇和航行精度为1″，横摇精度为10″；3) 更新率较低，小于≤10 Hz；4) 体积小，重量轻，功耗低；5) 具有独立自主获取载体惯性系姿态的能力。 第三代CMOS APS星敏感器是20世纪90年代美国喷气动力实验室(JPL)研发的一种CMOS图像传感器，CMOS星敏感器已成为目前主流的星敏感器。与CCD星敏感器相比，CMOS APS星敏感器具有明显的不同 [ 5 ]，主要表现为： 1) 更大的视场，德国Jena-Optronik的ASTRO APS星敏感器视场为20˚ × 20˚；2) 较高的姿态精度，如德国Jena-Optronik的ASTRO APS星敏感器纵摇和航行精度为1″，横摇精度为8″；3) 更新率较高，德国Jena-Optronik的ASTRO APS星敏感器的更新率高达104 Hz；4) CMOS APS探测器集成度较高，因此具有极低的功耗、更小的体积和重量；5) 可实现红外波段探测功能。 第一代星敏感器通常采用多框架伺服机构，依靠惯导平台的控制提供的水平基准，从而实现星光通过高度角差分法实现定位，校正惯导系统输出导航位置信息，通常应用于早期的机载平台和舰载平台。第一代惯性/星光组合系统的水平基准的构建依赖于惯导的水平姿态以及伺服框架的控制精度。第二代、第三代星敏采用星图匹配的方式，因此这类惯性/星光的高精度水平基准的建立通过卡尔曼滤波的方式进行“数学平台”构建。 在利用惯性导航系统“数学平台”建立水平基准时，采用的组合方式有三种，第一种方式是姿态组合模式，在已知准确位置的前提下，通过天文系统测量载体的航向和水平姿态，利用此信息与惯导的姿态信息比较进行滤波组合，主要用于修正载体的航向和水平姿态。第二种方式是位置组合模式，天文系统接收惯导提供的水平姿态信息，输出载体当前的位置信息，天文/惯性组合系统利用位置信息进行组合。本文采用第三种即基于陀螺漂移校正的组合模式，本文根据天文系统测量得到的载体坐标系相对于惯性坐标系高精度的姿态信息、通过姿态信息(四元数表示)这一物理量，构建了惯性基准误差与陀螺漂移之间的关系。建立天文导航系统和惯导系统以四元数误差的量测方程，并分析了两者之间的关联性，实现对惯性元件的补偿 [ 6 ]。
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user: 2. 惯性/星光坐标系及其关系 相关坐标系 星光/惯导组合导航系统机械编排所涉及到的坐标系有： 1) 地心惯性坐标系(i系) 2) 地球坐标系(e系) 3) 地理坐标系(t系) 4) 载体坐标系(b系) 5) 平台坐标系(p系) 6) 导航坐标系(n系) 7) 星敏感器坐标系(s系) 对各坐标系的具体说明如下： 地心惯性坐标系(i系， O - X i Y i Z i )：以地球球心O为原点， O Z i 轴沿地轴方向， O X i 轴指向春分点， O Y i 轴在赤道面内与 O X i 轴、 O Z i 轴构成右手直角坐标系。i系的三轴相对惯性空间指向不变，地心惯性坐标系又称为惯性坐标系。 地球坐标系(e系， O - X e Y e Z e )：以地球球心O为原点， O Z e 轴沿地轴方向， O X e 轴指向格林威治子午线， O Y e 轴在赤道面内与 O X e 轴、 O Z e 轴构成右手直角坐标系。e系的三轴与地球固连，随地球自转而转动。其关系如图1所示。 地理坐标系(t系， O - X t Y t Z t )：原点为载体的中心， O X t 轴、 O Y t 轴、 O Z t 轴分别指向当地东、北、天方向构成右手坐标系。也可按“北、西、天”、“东、北、地”为顺序构成右手坐标系，选取“东、北、天”为顺序构成的地理坐标系。 载体坐标系(b系， O - X b Y b Z b )：原点为载体的中心， O X b 轴、 O Y b 轴、 O Z b 轴在甲板平面内且相互垂直， O X b 轴指向右舷方向， O Y b 轴指向载体艏向， O Z b 轴与甲板垂直向上； 平台坐标系(p系， O - X p Y p Z p )：是惯性导航系统用来复现导航坐标系时所获得的坐标系，平台坐标系是通过储存在计算机中的方向余弦阵来实现。由于惯性器件是捷联安装在载体上当惯性导航系统不存在误差时，平台坐标系(p系)与载体坐标系(b系)重合；当惯导系统有误差时，两坐标系之间的夹角，即为失调角； 导航坐标系(n系， O - X n Y n Z n )：是用于导航解算的坐标系，在不同场合下可选取不同坐标系作为导航坐标系。在舰船导航研究中常采用地理坐标系为导航坐标系。 星敏感器坐标系(s系)：星敏感器测量坐标系定义为沿光轴方向为 O s Z s ，接插件面向外为 O s Y s ， O s X s 与 O s Y s ， O s Z s 构成右手坐标系，如图2所示。 图1. 地球坐标系与地心惯性坐标系关系示意图 图2. 星敏感器测量坐标系(s系)
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user: 3. 惯性/星光导航方案 3.1. 船舶平台星光特点 基于星敏感器技术的星光定向仪，其导航原理是以恒星为参照物，利用摄像探测单元对天空进行拍摄直接捕获星图，经过数据处理单元对星图进行恒星质点提取、星图识别、星图跟踪等一系列的计算，确定出星体跟踪器光轴在惯性空间的瞬时指向。星光定向仪不需要任何外部信息自主的确定运载体相对于惯性空间的姿态；通过外部提供水平基准信息进行进一步的坐标变化，即可确定运载体的位置和航向。星光导航的机械编排原理如图3所示： 图3. 星光导航的机械编排原理图 根据国外天文导航的研究现状，CMOS APS星敏感器已经成为主流的星敏感器，通过美国的Daystar系统和Daytime Stellarimager系统可以发现，船舶平台星光系统具有如下特点： 1) 采用多孔径星体敏感器技术，Daystar和Daytime Stellarimager均通过三个独立的星体捕获、成像与检测单元增强观星效果； 2) 采用红外探测器，满足白天海上观星导航的要求； 3) 具有较强的白天测星能力，最高白天测星能力达到+7.1等； 4) 定位精度高，Daytime Stellarimager定位精度优于200 m； 5) 采用固态形式，捷联系统的组合方式，提高系统的可靠性。 因此船用惯性/天文导航的发展趋势是：全天时、全固态、捷联组合、多视场方向发展，但是惯性/星光的发展趋势也对支撑星光观测的水平基准补偿技术的准确性、高效性、实时性提出了更高的要求。本文提出的基于陀螺漂移校正的水平基准构建技术以适应惯性/星光组合发展需求。 3.2. 船舶平台惯导特点 由于船舶惯性导航系统运行时间长，需要在几十天甚至上百天保证惯性元件的稳定性，这样无疑对惯性元件提出了苛刻的筛选条件。为了降低对惯性元件的要求，船舶平台的惯导通常采用系统技术调制元件误差，常用的技术手段如旋转调制技术，通过旋转调制技术加速度计零位可观测性较好，对准期间可以较快的估计出加速度计零位，系统长时间运行的情况下可以重新估计加表零位，补偿加表零位误差；从而达到提高惯导系统的导航精度的目的。因此在船舶平台惯性/星光组合中采用的是具有旋转调制功能的惯性导航系统与星光组合。 捷联式惯性导航设备(简称捷联惯导)的惯性测量单元(IMU)中，正交安装三个敏感载体角速度的激光陀螺仪和三个敏感线加速度的加速度计。设备与船体固联，载体坐标系以右舷为X轴，艏向为Y轴，Z轴与X、Y轴形成右手坐标系，以当地地理坐标系为导航坐标系，进行固定指北式导航解算。陀螺仪测得载体坐标系相对于惯性坐标系的姿态角速度，加速度计测得载体沿坐标系各轴向的加速度分量，利用陀螺测得的角速度信息计算出姿态矩阵并提取姿态角，利用姿态矩阵将加速度计的测量信息变换到导航坐标系上，然后在导航坐标系中进行加速度到速度的积分以及速度到位置的积分。 单轴旋转激光陀螺捷联惯导设备，是在捷联式惯导系统工作原理的基础上，通过方位轴的正反往复的旋转，对水平陀螺仪和加速度计的误差进行调制，从而达到提高系统精度的目的。其机械编排原理框图如图4所示： 图4. 单轴旋转捷联式惯导的机械编排原理图 3.3. 惯性/星光组合特点 惯性/星光组合系统组合模式基本原理是：将两套系统输出参数进行组合，应用卡尔曼滤波技术，将惯性导航系统的误差方程作为组合系统的状态方程，根据星光导航系统得到载体导航信息，将惯性导航系统与星光导航的导航参数误差作为系统量测，通过滤波估计并补偿惯性导航系统误差如图5所示。该组合模式实质上是为星光定向系统提供阻尼后的水平姿态的基础上进行位置组合，该模式下既可有效补偿惯性导航系统中由于陀螺漂移而引起的导航误差累积，还能有效地估计惯性导航中航向误差，从而提高组合导航的精度 [ 7 ]。 图5. 惯性/星光组合模式
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user: 4. 高精度水平姿态基准构造 由星光定向仪工作原理可知，在不需要任何外部基准信息的前提下，星敏感器可提供载体相对惯性系下的姿态信息，且精度保持稳定，误差不会积累；惯导系统的陀螺组件是直接敏感载体相对惯性系下的角速度，通过积分求出载体相对惯性系下的姿态，其精度随着时间增长而降低惯导系统平基准。通过比较星敏感器输出的惯性姿态和惯性导航系统输出的惯性姿态之间的误差，就可以估计陀螺漂移，进而修正捷联惯导的姿态信息 [ 8 ]，从而避免引入惯性导航系统本身的累计误差。 本文采用姿态四元数来描述载体在惯性系下的姿态，由于星敏感器得出的姿态四元数 q ˜ i / b 精度相对较高，可作为姿态四元数的真值，惯性导航系统输出的四元数 q ˜ i / b 为估计值，姿态四元数误差为： δ q i / b = q ˜ i / b − q ^ i / b 。具体高精度虚拟水平姿态基准构造方案如下图6所示 [ 9 ]： 图6. 高精度水平姿态基准构造方案 通过图6可知，高精度虚拟水平基准的构造实质上是通过星敏/惯导姿态组合(惯性系下)，利用高精度星敏定姿修正惯导姿态，有效抑制惯导姿态漂移，保证星光定向仪对水平姿态基准精度的要求。 构造高精度水平姿态基准的算法如下 [ 10 ] [ 11 ]： 第一步，建立以四元数误差和陀螺漂移为状态变量的状态方程。 捷联式惯性导航系统中陀螺仪固联于载体之上，其敏感到的为载体在惯性系下的运动角速度，设角速度矢量为 ω i b b = [ ω i b x b ω i b y b ω i b z b ] ，四元数表示形式为 ω i / b b = [ 0 ω i b x b ω i b y b ω i b z b ] ，姿态四元数为 q i / b = [ q 0 q 1 q 2 q 3 ] ，则姿态转换矩阵 C i b 与载体在惯性下的姿态四元数 q i / b 之间具有如下关系： q ˙ i / b = 0.5 q i / b ⊗ ω i / b b (1) 相应的等效矩阵矢量形式为： Q ( q ˙ i / b ) = 0.5 M ( q i / b ) ⊗ Q ( ω i / b b ) = 0.5 M ∗ ( ω i / b b ) Q ( q i / b ) (2) 式中： M ∗ ( ω i / b b ) = [ 0 − ω i b x − ω i b y − ω i b z ω i b x 0 ω i b z − ω i b y ω i b y − ω i b z 0 ω i b x ω i b z ω i b y − ω i b x 0 ] ， Q ( q i / b ) = [ q 0 − q 1 − q 2 − q 3 q 1 q 0 − q 3 q 2 q 2 q 3 q 0 − q 1 q 3 − q 2 q 1 q 0 ] 。 将 Q ( q ˙ i / b ) = 0.5 M ∗ ( ω i / b b ) Q ( q i / b ) 两边同时微分，得四元数为状态变量的误差方程： Q ( δ q ˙ i / b ) = 0.5 M ∗ ( ω i / b b ) Q ( δ q i / b ) + 0.5 M ∗ ( q i / b ) Q ( δ ω i / b b ) (3) 式中： δ q i / b ——姿态四元数误差： δ q i / b = q ˜ i / b − q ^ i / b (4) δ ω i / b b ——陀螺角速度误差： δ ω i / b b = ε b + ε r + ε g { ε ˙ b = 0 ε ˙ r = − 1 T g ε r + w r (5) 式中： ε b ——随机常数； ε r ——一阶马尔可夫过程随机噪声； ω g ——白噪声； T g ——陀螺漂移的一阶马尔柯夫过程的相关时间。 将式(4)代入式(3)中，并联立式(5)，可得以四元数误差、陀螺误差为状态变量的状态方程： X ˙ = F ( t ) X ( t ) + G ( t ) W ( t ) (6) 其中系统状态变量为： X = [ δ q i / b 0 ， δ q i / b 1 ， δ q i / b 2 ， δ q i / b 3 ， ε b x ， ε b y ， ε b z ， ε r x ， ε r y ， ε r z ] T ； 量测噪声为： W ( t ) = [ ω g x ， ω g y ， ω g z ， ω r x ， ω r y ， ω r z ] T 。 F ( t ) 为系统状态矩阵， G ( t ) 为系统噪声矩阵，定义分别如下： F ( t ) = ( 0.5 M ∗ ( ω i b b ) 4 × 4 0.5 M ′ ( q i / b ) 4 × 3 0.5 M ′ ( q i / b ) 4 × 3 0 3 × 10 0 3 × 7 F M 3 × 3 ) 10 × 10 G ( t ) = ( 0.5 M ′ ( q i / b ) 4 × 3 ⋯ 0 4 × 7 ⋮ ⋱ ⋮ 0 6 × 7 ⋯ I 6 × 3 ) 10 × 10 其中， M ′ ( q i / b ) 4 × 3 = [ − q i / b 1 − q i / b 2 − q i / b 3 q i / b 0 − q i / b 3 q i / b 2 q i / b 3 q i / b 0 − q i / b 1 − q i / b 2 q i / b 1 q i / b 0 ] 4 × 3 ， F M = d i a g [ − 1 T g x ， − 1 T g y ， − 1 T g z ] 。 第二步，建立量测方程。 若星敏感器解算出的姿态四元数为 q ˜ i / b ，惯性导航系统解算出的姿态四元数为 q ^ i / b ，将两者之差作为量测量 [ 12 ]，可建立量测方程为： Z = q ˜ i / b − q ^ i / b = δ q i / b = H X + V (7) 式中： H = [ I 4 × 4 0 4 × 6 ] ，V为系统量测噪声。 根据惯性/星光高精度水平姿态算法建立仿真验证对比其姿态精度，设仿真时间总共24 h，卡尔曼滤波周期为1 s。初始位置设为北纬39˚11'，东经117˚8'，初始速度为0 m/s。加速度计零偏1 × 10 −4 g，加速度计白噪声1 × 10 −4 g。三个陀螺漂移变化用一阶马尔科夫过程表示如图7、图8所示。横摇误差对比如图9所示、纵摇误差对比如图10所示、航向误差对比如图11所示。 图7. 水平陀螺(X， Y)的一阶马氏过程描述 图8. 垂向陀螺(Z)的一阶马氏过程描述 图9. 纯惯导与星光/惯导姿态组合横摇误差对比 图10. 纯惯导与星光/惯导姿态组合纵摇误差对比 图11. 纯惯导与星光/惯导姿态组合航向误差对比
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user: 5. 结论 惯性/星光水平姿态补偿技术通过组合系统的迭代修正，在星光设备持续寻星过程中为惯导提供参考基准实现组合，使其惯导系统的姿态误差长时间处于收敛状态，达到提高惯导水平姿态的目的，水平基准补偿技术提高后的惯导系统的水平姿态精度约为47%。从而实现为组合系统星光设备提供高精度的姿态基准创造了条件，同时为组合系统中惯导元件误差的精确估计奠定了基础。
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user: 摘要 边缘检测是图像处理中的基本问题之一，边缘检测的许多算法是基于经典的图像处理技术。本文将介绍基于量子力学框架下的边缘检测量子算法，及其图像特征向量技术在图像检测中的应用。量子算法基于图像经典信息的量子化，通过图像处理中各类元素与量子力学基本物理量一一对应，通过图像特征构造的系统的哈密顿量，应用量子演化技术学习图像的轮廓，从而，给出我们期望的图像轮廓。我们应用像素灰度梯度、像素灰度的二阶差分、Sobel算子卷积等方法作为特征向量来构造哈密顿量。通过一组标准图(从BSDS500公开数据集的图片)测试我们的量子算法，结果显示我们的量子算法的灵敏度比传统Canny算法提高了25%，而且具有更强的抗噪声能力。
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user: 1. 引言 在科学技术快速发展的今日，图像处理技术在科研、军事、工业生产、卫生、教育等与人类生活息息相关的领域得到广泛的应用。人脸识别、自动驾驶、各种无人服务，这些新兴技术都体现了机器视觉系统正确认知客观世界的重要性。1980年，MIT的Marr和Hildreth整合并提出了基本的边缘检测理论 [ 1 ]。1986年，Canny在IEEE的期刊发表了著名的A computational approach to edge detection，带来了流行至今的经典Canny边缘检测算法 [ 2 ]，包含了高斯滤波、非极大抑制、双阈值检测等步骤，在一般情况下的图像有不错的准确度。1987年JUN S. HUANG和DONG H. TSENG提出了基于相似度检验的边缘检测统计理论 [ 3 ]。2003年，Zhao，Wang和Yu将细胞神经网络CNN和吉布斯图像类比，并应用在基因算法来检测图像边缘 [ 4 ]。2010年后，Hongpeng TIAN使用了Julong DENG提出的灰度理论来进行边缘检测 [ 5 ]。Jan J. Koenderink则重新审视了前人工作，改进了边缘检测理论并带来了Three Pixels Representation方案 [ 6 ]。 量子力学是现代物理的重要基础，为微观系统提供了完整的理论和数学框架。基于量子力学理论，系统的状态由波函数描述，状态的演化遵守薛定谔方程，系统的演化依赖系统能量的哈密顿量算符。这一理论框架近年来被推广到量子信息和量子计算领域。经典比特推广到包含量子相干性的量子比特，通过量子力学的理论框架来处理经典信息和图像分析和学习等问题。 本世纪初开始，出现许多应用量子力学方法在图像处理的研究。Eldar和Oppenheim尝试在信号处理中使用量子方法，利用量子测量等概念进行信号估计和检测 [ 7 ]。Aytekin提出了一种应用量子力学方法，通过求解图像信息的薛定谔方程，给出图像波函数的分割部分 [ 8 ]。Fu和Lou等人提出医学图像边缘检测的量子算法 [ 9 ] [ 10 ]。Youssry、El-Rafei和Elramly比较了量子算法和经典算法的图像处理，并给出灵敏度与特异度测试 [ 11 ]。Mastriani引入了量子布洛赫球的概念量子化经典信息，并用于图像边缘检测 [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]。2019年，Yuan和Salvador等人利用NEQR模型和量子并行算法，设计了一个量子比较器来实现边缘检测的量子算法。该算法包括了图像平滑、寻找高光梯度和边缘跟踪三步骤 [ 15 ]。这些研究显示出量子算法在图像边缘检测方面具有超过经典算法的优越性。 本文先介绍图像边缘检测中的量子算法的基本理论框架。在第二节，介绍量子信息的布洛赫球表示和经典量子信息的对应，以及在图像边缘检测的基本理论框架。然后，在第三节，我们给出图像边缘检测的哈密顿量的构造，以及图像边缘检测的特征向量算法，并从无噪声下的单体对象推广到含噪声的复杂对象。在第四节，我们给出图像边缘检测的量子算法，并在第五节给出图像边缘检测的测试结果，及其各种算法的比较分析。我们给出基于特征向量技术的量子算法在灵敏度和特异度测试优于经典Canny边缘检测算法。最后，我们给出总结与展望。
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user: 2. 经典信息与量子信息对应 2.1. 布洛赫球和量子比特 经典的信息用二值函数(0， 1)表示(比特)。基于量子力学框架，二值函数表示的经典信息可以推广为0和1的叠加态表示，即量子比特(qubit)， 量子比特表示为 | ψ 〉 = α | 0 〉 + β | 1 〉 (1) 满足 | α | 2 + | β | 2 = 1 (2) 或者 | ψ 〉 = cos θ | 0 〉 + e i ϕ sin θ | 1 〉 (3) 状态 | 0 〉 可以由向量 ( 1 ， 0 ) T 表示，而状态 | 1 〉 可以由向量 ( 0 ， 1 ) T 表示。因此，系统的一般状态可以由向量 ( α ， β ) T 表示。通过(1)或者(3)，可以将经典比特推广到量子比特，并用布洛赫球面来表示，见图1。状态 | 0 〉 位于布洛赫球面的北极，状态 | 1 〉 处于布洛赫球面的南极。叠加态 | ψ 〉 可以由前面两个互相正交的基底以复数叠加构成。布洛赫球面提供了一种可视化单个量子比特状态的有效方法，经常用作有关量子计算和量子信息的测试，能更加直观地表示量子二态问题。经典比特位于布洛赫球面上的0和1两个点。而量子比特可以看成是把经典信息推广到复的布洛赫球面上。在执行测量操作前，图像像素均处在和的叠加态上，即可以位于球面上任意一点。 2.2. 经典边缘检测与量子力学概念的类比 图像边缘检测可以看成是通过一个二态封闭量子系统。待处理图像中的每个像素都在量子比特的布洛赫球面上的一个位置。我们希望检测后得到的边缘图每个像素占据南极和北极两个量子态之一。在边缘检测中属于前景的像素应该演变为相同的最终稳定状态，而属背景类的像素应该以更高的概率结束占据另一个稳定状态。背景类对应基态 | 0 〉 ，而前景类对应激发态 | 1 〉 。因此，未经过量子算法测量的原像素处于基态和激发态的叠加态。 因此，像素隶属于背景的概率是 | α | 2 ，而属于前景的概率是 | β | 2 。为了确定像素的类，每个态都必须依据薛定谔方程来演化至末态。因为将系统引至稳定态的哈密顿量是由一组基于图像的特征矩阵构成，所以系统的哈密顿量必须依赖于该特征向量。阈值操作等同于测量操作，使完成了演化后的量子态发生坍缩，使得像素坍缩到前景类或者背景类 [ 11 ]。在图2，我们给出了经典--量子类比。 图1. 经典比特和量子比特的布洛赫球面 图2. 单体对象的边缘检测和量子力学间的类比 2.3. 薛定谔方程的解 每个像素对应的初态都通过薛定谔方程演化到末态。在任意时刻t，薛定谔方程的一般解可以表示为 (4) 其中是初态，U是幺正算符，它表示量子态演化，也称为演化算符。一般来说，对于不同形式的哈密顿量，演化算符有三种可能的表达形式 [ 11 ] [ 19 ]： (1) 哈密顿量不依赖时间，演化算符可以表示为 U ( t ， t 0 ) = e − i ℏ ( t − t 0 ) H (5) 为了方便，可以令 t 0 = 0 ，即表示初态时刻为零，这样，t时刻的量子态表示为 | ψ ( t ) 〉 = e − i ℏ t H | ψ ( t 0 ) 〉 (6) (2) 哈密顿量与时间有关，不同时间的算符H是可交换的，即 [ H ( t 1 ) ， H ( t 2 ) ] = H ( t 1 ) H ( t 2 ) − H ( t 2 ) H ( t 1 ) = 0 (7) 这时，演化算符表示为 U ( t ， t 0 ) = e − i ℏ ∫ t 0 t H ( τ ) d τ (8) 同样令 t 0 = 0 ，t时刻的量子态表示为 | ψ ( t ) 〉 = e − i ℏ ∫ 0 t H ( τ ) d τ | ψ ( 0 ) 〉 (9) (3) 哈密顿量与时间有关，但不同时间的算符H是不可交换的，即 [ H ( t 1 ) ， H ( t 2 ) ] = H ( t 1 ) H ( t 2 ) − H ( t 2 ) H ( t 1 ) ≠ 0 (10) 在这种情况下，不可能得到封闭形式的解，仅有数值解和无穷级数解。
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user: 3. 量子力学的构造 量子算法成功的关键是构造适当的哈密顿算符。哈密顿算符是决定状态如何随时间演变的因素，因此它将由 n × n 矩阵表示，其中n是状态空间的维度。哈密顿算符通常是厄米算子，以确保其特征值是实的。在图像边缘检测中，哈密顿量将表示为2 × 2厄米矩阵。 为了不出现无穷级数解或数值解，哈密顿量应该满足前一小节中的情况(1)或(2)。我们构造哈密顿量的矩阵形式，使得它具有相同的时间依赖性。即 H ( t ) = g ( t ) S ¯ (11) 其中 S ¯ 是2×2矩阵，原则上g是t的任意函数，这样，有 [ H ( t 1 ) ， H ( t 2 ) ] = g ( t 1 ) S ¯ g ( t 2 ) S ¯ − g ( t 2 ) S ¯ g ( t 1 ) S ¯ = 0 (12) 通过求解薛定谔方程执行测量的某个时刻操作。为了解决这个问题，对哈密顿量附加一些条件：系统的末态得出的概率必须收敛到特定值，以确保系统演化时间够长时，获得的够准确的所需的概率。选择恰当的函数g使得等式(6)中的积分在 t → ∞ 收敛。令g函数为 (13) 这样满足了积分收敛的条件 (14) 这样，在给定二态量子力学系统的初始和最终状态，这形式的哈密顿量，可以使得初态正确演化为所需的末态。如果假设初始状态为 | 0 〉 并且将像素分类为背景像素，则最终状态应为 | 0 〉 。基于哈密顿量的这种构造，哈密顿量可以表示为 [ 16 ]， H = 2 i ℏ π e − t ( 0 − 1 1 0 ) (15) 另一方面，如果初态为 | 0 〉 且像素分类为前景像素，那么末态应为 | 1 〉 ，这时哈密顿量表示为 H = 1 2 i ℏ π e − t ( 0 − 1 1 0 ) (16) 这表明对于该特定的初始状态，哈密顿量的矩阵部分在背景和前景像素情况下都相同。两种情况之间的差异是常量。 也就是说，哈密顿量的具体形式依赖于像素提取的特征，并给出态的正确演化。这样，对于图像边缘检测，哈密顿量可以推广为 H = i ℏ π f ( x ¯ ) ( 0 − 1 1 0 ) (17) 其中 f ( x ) 是像素点的特征 x ¯ 的函数，也是哈密顿量中唯一未知量。函数f可以取不同的形式，取决于提取的特征向量，如下 f ( x ) = ∑ n = 0 m a n x n n ( m ∈ Z + ) ， f ( x ) = ∑ n = 0 m a n x n ( m ∈ Z + ) ， f ( x ) = W 2 ⋅ 1 1 + e − W 1 ⋅ X + b 1 + b 2 (18) 具体来讲，将待处理像素和其最临近的四个像素的差作为像素特征向量，以整个图像像素灰度矩阵为 p i j ，图3中 p 22 为待处理像素， 图3. 像素排列及四方向灰度差提取 特征向量 x ¯ 由四部分组成，分别是：向上灰度差， x 1 = p 22 − p 21 。向右灰度差， x 2 = p 22 − p 32 。向左灰度差， x 3 = p 22 − p 23 向下灰度差， x 4 = p 22 − p 12 。 特征向量函数 f ( x ¯ ) 表示为， f ( x ¯ ) = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 2 + a 3 x 3 3 + a 4 x 4 4 (19) 其中系数 a 0 ， a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 是需要训练的特征参数。也可以用图2模仿 [ 9 ] 的方法来考察 p 23 的特征。 我们使用监督学习方法来估计 f ( x ¯ ) 的系数 a n 。使用的样本可以来自有限大小的图像窗口，选择的是随机矩形窗口。此窗口的大小需小于原图像的10%，并且应包含图像前景和背景。我们选取的窗口大小为原图的1/16。 训练成功的判据为算法输出窗口与训练窗口的Ground Truth (下称GT)图像的相同像素数量(前景像素加背景像素)达到最大值，即， e i j = { 1 p i j t r a i n ≠ p i j w i n d o w 0 p i j t r a i n = p i j w i n d o w (20) 当 ∑ e i j 训练误差值取最小值时， f ( x ¯ ) 的系数 a n 训练成功。
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user: 4. 核心算法 输入图像中的每个像素都可被当作一个量子态。第一步：将像素初始化为状态 | 0 〉 的特定状态。选择任意初始状态不会影响结果。由于哈密顿量是某个像素的特征的函数，因此要对每个像素进行运算。第二步是构建哈密顿量：从理论上讲，每个系统都可以拥有特定的哈密顿算符。然而，我们决定对图像或类似图像中的所有像素使用单一形式的算符。哈密顿量的形式是从基于图像的特征估计构造的，所选图像窗口的监督学习训练得到特征向量的参数。特征可以是像素的灰度差，或者可以是从围绕像素的邻域导出的特征向量(Sobel等各类算子卷积)。训练结果要求总误差值达到最小。第三步：把运算算符代入薛定谔方程中求解。解决方案应该导致概率收敛到特定值，以便达到稳定状态，避免了时间相关的测量。第四步：使用阈值处理执行测量操作。指定阈值T。如果像素为前景 | β | 2 的概率大于阈值T，则像素的类将是前景，否则将其分类为背景。对输入图像中的每个像素重复该过程。核心阈值T的选取方法并未唯一。本文的处理方法是利用步骤二提取的训练窗口，在训练结束后的窗口边界寻找数值极大值，在将此极大值归一化为阈值T。算法的流程图见图4。特征向量选取见(19)式及之前的说明。 图4. 量子算法基本流程图
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user: 6. 总结与展望 传统的逐像素方法的缺点是不能明确地包含对象信息。本文给出的量子算法甚至在存在噪声的图像中实现更优的灵敏度结果，体现了强大的普适性。基于这些方法构造哈密顿量有许多优点。我们选择时间依赖的哈密顿量，避免了数值求解薛定谔方程。这使我们能够通过演化算符给出薛定谔方程的闭合解，从而在运行时提供了显著的计算速度增益。另一个优点是在算法中给出的普适的哈密顿量形式，可以很容易地适用于不同的图像边缘检测问题。这使量子算法具有很大的潜力。 值得指出的是，量子算法在特异度即确定背景的表现不如传统算法。对于图像中的所有像素，简单的阈值处理能产生较高精度。在像素级阈值处理或自适应阈值处理的复杂高级技术中可用于改善结果。对于噪声图像，导致误差的错误分类的像素也只与灰度这种特征有关，对象内部的较暗部分在加上噪声后无法被识别为前景类。该问题期望通过形态学手段来构造特征向量来解决。也可以考虑引入与像素相关联的量子系统之间的耦合。可见，量子力学的理论框架为研究耦合系统的图像处理提供了有效的量子算法。 在特征向量的选用上，像素梯度为特征向量的普遍最优解，但是在个别情况，该特征向量会引起算法特异度偏低。此时，可以将特征向量修改为像素差。旋度算子、拉普拉斯算子和Roberts算子一定程度会破坏目标信息的完整性，以至于无法检测噪声图像的目标边缘。而Sobel算子和Prewitt算子被广泛应用在各种编程语言中。使用这两种算子来构造哈密顿量的量子算法会比较方便，在减少代码行数的同时也能获得较好的结果。 量子算法在未来能通过优化哈密顿量的设计，引入更多的拟合手段，例如使用机器学习常用的非线性拟合公式，可望进一步提高结果。在实际应用上，量子算法可以在医学方面处理患者的X光图、CT图等，去除体内随机影响，更加精准地判断病灶。我们相信在不久的未来，量子算法在边缘检测和图像分割乃至信号处理领域上会大显身手。