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user: 4. 2-D切换连续离散系统的无源滤波 在本节中，我们将分别设计基于观测器和一般形式的滤波器。考虑如下的带扰动的2-D切换连续离散系统： [ x ˙ h ( t ， k ) x v ( t ， k + 1 ) ] = A σ ( t ) [ x h ( t ， k ) x v ( t ， k ) ] + G σ ( t ) w ( t ， k ) (8) y ( t ， k ) = C σ ( t ) [ x h ( t ， k ) x v ( t ， k ) ] + F σ ( t ) w ( t ， k ) (9) z ( t ， k ) = E σ ( t ) [ x h ( t ， k ) x v ( t ， k ) ] (10) 边界条件为： x ( 0 ， k ) = x 0 ， k ， x ( t ， 0 ) = x t ， 0 。其中 x h ( t ， k ) ∈ R m 和 x v ( t ， k ) ∈ R n 分别是水平和垂直状态， y ( t ， k ) ∈ R q 是测量输出， w ( t ， k ) ∈ R p 是外部扰动， z ( t ， k ) ∈ R r 是待估信号。 σ ( t ) : R + → N ¯ = { 1 ， 2 ， ⋯ ， N } 是切换信号，其中N是子系统个数。 σ ( t ) = l ， l ∈ N ¯ 表示第l个子系统是激活的。系数矩阵 A l = [ A 11 l A 12 l A 21 l A 22 l ] ， C l = [ C 1 l C 2 l ] ， G l = [ G 1 l G 2 l ] ， E l = [ E 1 l E 2 l ] 是适维常数矩阵。 4.1. 基于观测器的无源滤波器 为2-D切换连续离散系统(8)~(10)设计如下基于观测器的2-D滤波器： [ x ^ ˙ h ( t ， k ) x ^ v ( t ， k + 1 ) ] = A σ ( t ) [ x ^ h ( t ， k ) x ^ v ( t ， k ) ] + L σ ( t ) { y ( t ， k ) − C σ ( t ) [ x ^ h ( t ， k ) x ^ v ( t ， k ) ] } (11) z ^ ( t ， k ) = E σ ( t ) [ x ^ h ( t ， k ) x ^ v ( t ， k ) ] (12) 其中 x ^ h ( t ， k ) ， x ^ v ( t ， k ) 和 z ^ ( t ， k ) 分别是 x h ( t ， k ) ， x v ( t ， k ) 和 z ( t ， k ) 的估计， L l = [ L 1 l L 2 l ] 是滤波器增益。定义滤波误差 e h ( t ， k ) = x h ( t ， k ) − x ^ h ( t ， k ) ， ， z ˜ ( t ， k ) = z ( t ， k ) − z ˜ ( t ， k ) ，我们得到如下2-D滤波误差系统： [ e h ( t ， k ) e v ( t ， k + 1 ) ] = ( A σ ( t ) − L σ ( t ) C σ ( t ) ) [ e h ( t ， k ) e v ( t ， k ) ] + ( G σ ( t ) − L σ ( t ) F σ ( t ) ) w ( t ， k ) (13) z ˜ ( t ， k ) = E σ ( t ) [ e h ( t ， k ) e v ( t ， k ) ] (14) 下面我们给出2-D滤波器(11)~(12)是无源滤波器的定义。 定义2 [ 41 ] ：2-D滤波器(11)~(12)称为是系统(13)~(14)的无源滤波器如果存在储能函数(3)使得如下条件成立 D i v V ( x h ( t ， k ) ， x v ( t ， k ) ) ≤ 2 z ˜ T ( t ， k ) w ( t ， k ) + α w T ( t ， k ) w ( t ， k ) (15) 如下定理给出了2-D切换连续离散系统(8)~(10)存在基于观测器的2-D无源滤波器的充分条件，并且给出了滤波器增益。 定理3.2：给定常数 α > 0 ，如果存在对称正定矩阵 P l ， Q l ，和矩阵 X l ， Y l ， l ∈ N ¯ 与元素是 π l s 的Metzler矩阵 Π ，不等式 [ s y m { A 11 l T P l − C 1 l T X l T } + ∑ s = 1 N π l s P s P l A 12 l − X l C 2 l P l G 1 l − X l F l − E 1 l T A 21 l T Q l − C 1 l T Y l T A 12 l T P l − C 2 l T X l T − Q l + ∑ s = 1 N π l s Q s − E 2 l T A 22 l T Q l − C 2 l T Y l T G 1 l T P l − F l T X l T − E 1 l − E 2 l − α I G 2 l T Q l − C 2 l T Y l T Q l A 21 l − Y l C 1 l Q l A 22 l − Y l C 2 l Q l G 2 l − Y l C 2 l − Q l ] < 0 (16) 在如下切换律 σ ( t ) = arg min l ∈ N V l ( t ， k ) (17) 下成立，其中 V l ( t ， k ) = x h ( t ， k ) T P l x h ( t ， k ) + x v ( t ， k ) T Q l x v ( t ， k ) ，那么滤波器(11)，(12)是2-D切换连续离散系统(8)~(10)的无源滤波器。其中滤波器增益为 L 1 l = P l − 1 X l ， L 2 l = P l − 1 Y l 。 证明：将滤波器增益 L 1 l = P l − 1 X l ， L 2 l = P l − 1 Y l 代入条件(16)，再利用Schur补可得条件(6)，则对滤波器误差系统(13)~(14)利用定理1可得系统是无源的。 4.2. 一般形式的无源滤波器 本节为2-D切换连续离散系统(8)~(10)设计如下的一般形式2-D滤波器： [ x ^ ˙ h ( t ， k ) x ^ v ( t ， k + 1 ) ] = A f σ ( t ) [ x ^ h ( t ， k ) x ^ v ( t ， k ) ] + G f σ ( t ) y ( t ， k ) (18) z ^ ( t ， k ) = E f σ ( t ) [ x ^ h ( t ， k ) x ^ v ( t ， k ) ] + F f σ ( t ) y ( t ， k ) (19) 其中 A f l = [ A f 11 l A f 12 l A f 21 l A f 22 l ] ， E f l = [ E f 1 l E f 2 l ] ， G f l = [ G f 1 l G f 2 l ] ， F f l 是滤波器增益。则2-D 切换连续离散系统(8)-(10)的扩维系统为： [ x ¯ ˙ h ( t ， k ) x ¯ ˙ v ( t ， k + 1 ) ] = A ¯ σ ( t ) [ x ¯ h ( t ， k ) x ¯ v ( t ， k ) ] + G ¯ σ ( t ) w ( t ， k ) (20) z ˜ ( t ， k ) = E ¯ σ ( t ) [ x ¯ h ( t ， k ) x ¯ v ( t ， k ) ] (21) 其中 A ¯ l = Ξ ( A l + B Θ f l C l ) Ξ T ， G ¯ l = Ξ G l ， E ¯ l = Ξ ( E l + I ¯ Θ f l C l ) Ξ T ， x ¯ h ( t ， k ) = [ x h ( t ， k ) x ^ h ( t ， k ) ] ， x ¯ v ( t ， k ) = [ x v ( t ， k ) x ^ v ( t ， k ) ] ， Ξ = [ I 0 0 0 0 0 I 0 0 I 0 0 0 0 0 I ] ， A l = [ A l 0 0 0 ] ， B = [ 0 0 0 I ] ， C l = [ C l 0 0 I ] ， G l = [ G l 0 ] ， I ¯ = [ − I 0 ] ， E l = [ E l 0 ] ， Θ f l = [ F f l E f l G f l A f l ] 。 下面的定理，给出了2-D切换连续离散系统(8)~(10)在一般形式滤波器(18)，(19)下是无源的充分条件，并且给出了滤波器系数矩阵的设计方法。 定理3.3：给定常数 α > 0 ，如果存在对称正定矩阵 P 1 l ， Q 1 l ， Q 2 l 和矩阵 X 1 l ， X 2 l ， Y 1 l ， Y 2 l ， l ∈ N ¯ 与元素是 π l s 的Metzler矩阵 Π ，不等式 (22) 在如下切换律 σ ( t ) = arg min l ∈ N V l ( t ， k ) (23) 下成立，其中 V l ( t ， k ) = x ¯ h ( t ， k ) T P l x ¯ h ( t ， k ) + x ¯ v ( t ， k ) T Q l x ¯ v ( t ， k ) ，那么滤波器(18)，(19)是2-D切换连续离散系统(8)-(10)的无源滤波器。其中 P l = d i a g { P 1 l ， P 1 l } ， Q l = d i a g { Q 1 l ， Q 2 l } 。滤波器增益 A f l = [ P 1 l − 1 0 0 Q 2 l − 1 ] [ X 1 l X 2 l Y 1 l Y 2 l ] 。 证明：计算可得 A ¯ l = [ A 11 l 0 A 12 l 0 G f 1 l C 1 l A f 11 l G f 1 l C 2 l A f 12 l A 12 l 0 A 12 l 0 G f 2 l C 1 l A f 21 l G f 2 l C 2 l A f 22 l ] ， G ¯ l = [ G 1 l 0 G 2 l 0 ] ， E ¯ l = [ − F f l C 1 l + E 1 l − E f 1 l − F f l C 2 l + E 2 l − E f 2 l ] 。 对定理1中条件(6)用Schur补可得 [ s y m { A 11 l T P l } + ∑ s = 1 N π l s P s P l A 12 l P l B 1 l − C 1 l T A 21 l T Q l A 12 l T P l − Q l + ∑ s = 1 N π l s Q s − C 2 l T A 22 l T Q l B 1 l T P l − C 1 l − C 2 l − D l T − D l − α I B 2 l T Q l Q l A 21 l Q l A 22 l Q l B 2 l − Q l ] < 0 (24) 根据如下的对应关系 A l = [ A 11 l A 12 l A 21 l A 22 l ] ← [ A 11 l 0 A 12 l 0 G f 1 l C 1 l A f 11 l G f 1 l C 2 l A f 12 l A 12 l 0 A 12 l 0 G f 2 l C 1 l A f 21 l G f 2 l C 2 l A f 22 l ] ， B l = [ B 1 l B 2 l ] ← [ G 1 l 0 G 2 l 0 ] ， C l = [ C 1 l C 2 l ] = [ − F f l C 1 l + E 1 l − E f 1 l − F f l C 2 l + E 2 l − E f 2 l ] ， D l ← 0 得到 (25) 将滤波器增益 A f l = [ P 1 l − 1 0 0 Q 2 l − 1 ] [ X 1 l X 2 l Y 1 l Y 2 l ] 代入(25)即可得2-D切换连续离散系统(8)~(10)是无源的。