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user: 2. 多水平混合IRT模型简介 多水平混合IRT模型是建立在混合IRT模型和多水平IRT模型两个重要概念之上的现代心理、教育计量学模型。认识多水平混合IRT模型首先要了解混合IRT模型和多水平IRT模型。以下对这两种模型进行简要说明。 2.1. 混合IRT模型 Rost (Rost， 1990)在成人物理知识测验中，为提高模型对数据的拟合性能，首先将Rasch模型与LCA相结合，提出了混合Rasch模型(Mixture Rasch Model， MRM) (黄明明，王立君，2015)。即在原始的Rasch模型中引入“被试所属的潜在类别c”，用来诊断说明不同潜在类别被试之间质的差异，同时量化同一类别内被试在相同项目下的能力结构差异。自此之后，其他IRT模型也都相继与LCA相结合，并最终形成了混合IRT模型体系。这种混合模型体系使得IRT模型具有了潜在类别的特性。因此，混合IRT的形成丰富了IRT的理论体系，也是对LCA的有效改进，它的提出不仅弥补了IRT仅能处理连续潜变量和LCA仅能处理分类潜变量的不足，也为心理、社会、医学等领域的研究者面对复杂数据时提供了一种新的思路和有力的分析工具(王霞，谭国华，王旭，张敏强，骆聪，2014)。混合IRT模型中，以最为典型的MRM为例作为说明，1990年Rost (Rost， 1990)首次提出的MRM表达式如下： P ( X i j = 1 | θ j c ， β i c ， C ) = ∑ c C π c [ exp ( θ j c − β i c ) 1 + exp ( θ j c − β i c ) ] (1) θ j 为被试 j 的能力， β i 是项目 i 的难度，c表示被试所属的潜在类别 ( c = 1 ， 2 ， ⋯ ， C ) ， π c 表示第c类别的大小，也称为混合比例大小， 0 < π c < 1 。 P ( X i j = 1 | θ j c ， β i c ， C ) 是被试j在所有类别c中的项目i上正确作答(0、1计分时得1分)的概率之和，反映出被试的整体能力水平。 Mixture IRT已经被用来描述和分析多种类型的数据特征，并应用在跨文化研究(Smit， Kelderman， & Flier， 2003)、教育测评(Cho & Cohen， 2010)、人格测验(Austin， Deary， & Egan， 2006)和网络成瘾潜在结构探索(马文超，边玉芳，骆方，2012)等研究中。 2.2. 多水平IRT模型 多水平IRT模型是将IRT嵌套在HLM中，根据所结合的IRT模型和HLM的不同，多水平IRT发展出多种表现形式(刘慧，简小珠，张敏强，熊悦欣，2012)。其中，1991年，Zwinderman (Zwinderman， 1991)将Rasch模型和多元回归模型相结合，实现了IRT模型和HLM的初步结合；Adams等人(Adams， Wilson， & Wu， 1997)提出两水平IRT模型，Kamata (Kamata， 2001)在广义线性模型的框架下对Rasch模型进行重组，提出了三水平Rasch模型，三水平分别为项目水平、个体水平和群体水平(刘慧等，2012)。Fox和Glas (Fox & Glas， 2003)将预测变量也定义为IRT模型中的潜在特质参数，从而提出了HLM与多个IRT模型结合的复杂多水平IRT模型。紧接着Fox (Fox， 2005)提出将等级反应模型与HLM相结合的多水平IRT模型，该模型主要用于多级计分项目。刘红云等(刘红云，骆方，2008)进一步探讨了多水平IRT模型与一般IRT模型参数之间的关系，并初步探索了多水平IRT模型的推广模型。 目前来说，对于多水平IRT的应用已不在少数，模型大多被用在探讨测验等值(Chu & Kamata， 2000; Chu & Kamata， 2005)、项目功能差异(differential item functioning， DIF) (Cheong， 2006)和学校效能评估(Fox， 2004)中。在单维多水平IRT模型不断开发的同时，研究者们陆续提出了一些涉及多个潜在特质维度的多维多水平IRT模型(刘慧等，2012)。Cheong和Raudenbush (Cheong & Raudenbush， 2000)使用儿童行为清单将行为问题外化，运用多维多水平Rasch模型测量和建模了来自79个城市的2177名9~15岁儿童和青少年问题行为的分析策略。Raudenbush等(Raudenbush， Johnson， & Sampson， 2003)在研究社会行为、态度和信念的相关性时，也提出了“多水平Rasch模型”这一具有随机效应的多变量模型，并将其应用在犯罪行为的自我报告中。 2.3. 多水平混合IRT模型 2007年，Vermunt在国际统计学会第五十六届会议公报上首次将多水平IRT模型的第二水平潜变量看做类别型数据，即初步形成多水平的混合IRT模型(Vermunt， 2007)。Vermunt (Vermunt， 2008)将初期的多水平混合IRT模型应用于数学测验。De Jong和Steenkamp (Jong & Steenkamp， 2010)将多水平多维混合IRT模型应用于跨文化研究，分析潜变量的结构(王霞等，2014)。Cho和Cohen于2010年(Cho & Cohen， 2010)将多水平结构引入混合IRT模型，并将该模型扩展为多水平混合IRT模型，明确提出了MMIRTM的概念，提出的MMIRTM混合了两个水平(学生水平和学校水平)的潜在类别，并谈及该模型在DIF中的应用。总之，根据所结合的IRT模型的不同，混合IRT模型发展出多种表现形式，从混合Rasch模型拓展到多维混合IRT、多水平混合IRT、多维多水平混合IRT，从外显变量为二分变量拓展到称名变量和多级计分的度量模型等(王霞等，2014)。此外，还形成了用于研究某些外显分组变量与潜变量之间关系的带协变量的混合模型。并最终形成了混合IRT模型体系，MMIRTM也是混合IRT模型体系中的一种，单参数的MMIRTM就是多水平混合Rasch模型(Multilevel Mixture Rasch Model， MMRM)，标准Rasch模型如公式(2)所示，MMRM是将Rasch模型和潜在类别分析以及多水平模型相结合，不仅可以提高模型参数估计的精确性，同时可以获得不同潜在类别群体的测量特征(Cho & Cohen， 2010；李美娟，刘玥，刘红云，2020) {Cho， 2010 #81;李美娟， 2020 #1853} ，在Cho和Cohen (Cho & Cohen， 2010)研究提出的单维MMRM中，被试在0~1计分的项目上正确作答反应的概率如公式(3)所示： p i j = 1 1 + exp [ − ( θ j − β i ) ] ​ ​ ​ (2) P = ( y i j t = 1 | g ， k ， θ j t g k ) = 1 1 + exp [ − ( θ j t g k − β i g k ) ] (3) 式(2)中 θ j 为被试j的能力值， β i 为项目i的难度参数， p i j 为被试j在项目i上正确作答反应的概率；式(3)中， g = 1 ， ⋯ ， G 是第一水平潜在类别指标， k = 1 ， ⋯ ， K 是第二水平潜在类别指标， j = 1 ， ⋯ ， J 表示被试， t = 1 ， ⋯ ， T 表示学校， i = 1 ， ⋯ ， I 表示项目， θ j t g k 表示被试j在学校t和在潜在类别g、k的能力， β i g k 表示潜在类别g和k的项目i难度。MMRM不同水平和潜在类别的混合结构如表1所示： Table 1 Mixed proportional structure of MMR K = 1 K = 2 ...... K = K G = 1 Π1|1 Π1|2 ...... Π1|K G = 2 Π2|1 Π2|2 ...... Π2|K ...... ...... ...... ...... ...... G = G ΠG|1 ΠG|2 ...... ΠG|K 总和 ∑ g = 1 G π g | 1 = 1 ∑ g = 1 G π g | 2 = 1 ...... ∑ g = 1 G π g | k = 1 表1. MMRM的混合比例结构 表1中，纵列表示第二水平潜在类别，横列表示第一水平的潜在类别，在第一水平的潜在类别确定后，在此基础上进行第二水平潜在类别的确定，进而形成多水平的模型。由此，可更加清晰得到多水平混合Rasch模型与Rasch模型的关系，即多水平混合Rasch模型是在Rasch模型的基础上加入了多个水平(水平数 ≥ 2)，每个水平上又分别加入了其潜在类别参数，因此被试最终作答的正确率同时受到两水平嵌套以及其内部潜在类别的影响。对于两水平的数据，MMIRTM可以在第一水平和第二水平进行非连续潜在变量(潜在类别)和连续潜在变量(能力)的分析，第一水平的潜类别分析主要基于被试作答反应之间的关系，第二水平的潜类别分析主要基于组内被试作答反应之间的关系(李美娟，刘玥，刘红云，2020；Vermunt， 2003)。 目前来说，MMIRTM的参数估计方法有极大似然估计(Maximum likelihood Estimation， MLE) (Finch & Finch， 2013)、贝叶斯估计(Bayesian Estimation， BE)，还可以使用WinBUGS 1.4编写的马尔可夫链蒙特卡罗(MCMC)算法进行估计(Spiegelhalter， Thomas， & Best， 2003)。大多数估计方法都通过MPLUS实现，也可以通过在R中自主编程来实现(李美娟，刘玥，刘红云，2020)，最近有研究者(Chung & Houts， 2020)开发出适用于多维IRT模型的flexMIRT软件包，它可以处理一维和多维IRT模型的二分、多级和混合项目，并支持多水平和多题组分析，就项目模型而言，两参数和三参数的logistic模型都可适用。