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user: 3. 星算子的构造性定义及局部表达式子 3.1. 体积元和整体内积 设 A p ， q ( M ) 表示M上 C ∞ ( p ， q ) 型外形式的层，下面对 φ ， ψ ∈ Γ ( A p ， q ( M ) ) 引入Hermite内积 ( φ ， ψ ) ，使得 Γ ( A p ， q ( M ) ) 成为一个内积空间。 前面在紧复流形M上引进Hermite度量 d s 2 = ∑ i ， j = 1 n h i   j ¯ ( z ) d z i ∧ d z ¯ j ，伴随这个度量，就有近Kähler形式 ω = ( − 1 / 2 ) ∑ i ， j = 1 n h i   j ¯ ( z ) d z i ∧ d z ¯ j = ( − 1 / 2 ) ∑ j = 1 n φ j ∧ φ ¯ j 和体积元 Ω ( t ) = ω n / n ! = ( − 1 / 2 ) n ( − 1 ) C n 2 φ 1 ∧ ⋯ ∧ φ n ∧ φ ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ n = ( − 1 / 2 ) n ( − 1 ) C n 2 det ( h i   j ¯ ) d z 1 ∧ ⋯ ∧ d z n ∧ d z ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ d z ¯ n = ( − 1 / 2 ) n det ( h i   j ¯ ) d z 1 ∧ d z ¯ 1 ∧ d z 2 ∧ d z ¯ 2 ∧ ⋯ ∧ d z n ∧ d z ¯ n                                                                                                                                                                                                                                                                                                               ( 3.1 ) = det ( h i   j ¯ ) d x 1 ∧ d y 1 ∧ d x 2 ∧ d y 2 ∧ ⋯ ∧ d x n ∧ d y n                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           ( 3.2 ) 这里 d z i = d x i + − 1 d y i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。 记 ( h i   j ¯ ) 的逆矩阵 ( h i   j ¯ ) − 1 为 ( h i ¯ j ) ，即 ( h i ¯ j ) = ( h i   j ¯ ) − 1 ，则 ∑ j = 1 n h i ¯ j h j   k ¯ = δ k ¯ i ¯ = { 1 ，                                                               i ¯ = k ¯ ， 0 ，                                                           i ¯ ≠ k ¯ ; ∑ j = 1 n h i   j ¯ h j ¯   k = δ k i = { 1 ，                                                             i = k ， 0 ，                                                             i ≠ k . 切向量 u ∈ T z ( M ) 的长度 | u | 2 = ∑ i ， j = 1 n h i   j ¯ u i u j ¯ ，而 u ， v ∈ T z ( M ) 的局部内积 〈 u ， v 〉 z = ∑ i ， j = 1 n h i   j ¯ ( z ) u i v j ¯ . 对于 z ∈ M ， φ ， ψ ∈ Γ ( A p ， q ( M ) ) 的局部表达式为 φ ( z ) = 1 p ! q ! ∑ i 1 ， ⋯ i p ， j 1 ， ⋯ j q = 1 n φ i 1 ⋯ i p j ¯ 1 ⋯ j ¯ q d z i 1 ∧ ⋯ ∧ d z i p ∧ d z ¯ j 1 ∧ ⋯ ∧ d z ¯ j q = ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ i p ≤ n 1 ≤ j 1 < j 2 < ⋯ j q ≤ n φ i 1 ⋯ i p j ¯ 1 ⋯ j ¯ q d z i 1 ∧ ⋯ ∧ d z i p ∧ d z ¯ j 1 ∧ ⋯ ∧ d z ¯ j q (3.3) φ ( z ) = 1 p ! q ! ∑ k 1 ， ⋯ k p ， l 1 ， ⋯ l q = 1 n φ k 1 ⋯ k p l ¯ 1 ⋯ l ¯ q d z k 1 ∧ ⋯ ∧ d z k p ∧ d z ¯ l 1 ∧ ⋯ ∧ d z ¯ l q = ∑ 1 ≤ k 1 < k 2 < ⋯ k p ≤ n 1 ≤ l 1 < l 2 < ⋯ l q ≤ n φ k 1 ⋯ k p l ¯ 1 ⋯ l ¯ q d z k 1 ∧ ⋯ ∧ d z k p ∧ d z ¯ l 1 ∧ ⋯ ∧ d z ¯ l q (3.4) 则 φ 和 ψ 的局部内积定义为 〈 φ ， ψ 〉 ( z ) = 1 p ! q ! ∑ i 1 ， ⋯ ， i p ， j 1 ， ⋯ ， j q = 1 n ∑ k 1 ， ⋯ ， k p ， l 1 ， ⋯ ， l q = 1 n h k ¯ 1 i 1 ⋯ h k ¯ p i p h j ¯ 1 l 1 ⋯ h j ¯ q l q φ i 1 ⋯ i p j ¯ 1 ⋯ j ¯ q ψ k 1 ⋯ k p l ¯ 1 ⋯ l ¯ q ¯ (3.5) 和整体内积定义为 ( φ ， ψ ) = ∫ M 〈 φ ， ψ 〉 ( z ) ω n n ! = ( − 1 2 ) n ∫ M 〈 φ ， ψ 〉 ( z ) det ( h i   j ¯ ) d z 1 ∧ d z ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ d z n ∧ d z ¯ n (3.6) 满足： 1) ( φ ， ψ ) = ( ψ ， φ ) ¯ ； 2) ( a φ + b η ， ψ ) = a ( φ ， ψ ) + b ( η ， ψ ) ， ∀ a ， b ∈ ℂ ； 3) ( φ ， φ ) ≥ 0 ， ( φ ， φ ) = 0 当且仅当 φ = 0 。 按照通常范数的表示， ‖ φ ‖ 的定义为 ‖ φ ‖ = ( φ ， φ ) 。 3.2. 多重指标记符的引进 为了简化(3.3)至(3.5)的符号，有必要引进如下一些多重指标等记符： I p = ( i 1 ， i 2 ， ⋯ ， i p ) ，   1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i p ≤ n ， I n − p = ( i p + 1 ， i 2 ， ⋯ i n ) ，   1 ≤ i p + 1 < i p + 2 < ⋯ < i n ≤ n ， I p I n − p = ( i 1 ， i 2 ， ⋯ ， i p ， i p + 1 ， i p + 2 ， ⋯ ， i n ) 为 ( 1 ， ⋯ ， p ， p + 1 ， ⋯ ， n ) 的一个置换。类似的， J q = ( j 1 ， ⋯ ， j q ) ， J n − q = ( j q + 1 ， ⋯ ， j n ) ， K p = ( k 1 ， ⋯ ， k p ) ， K n − p = ( k p + 1 ， ⋯ ， k n ) ， L q = ( l 1 ， ⋯ ， l q ) ， L n − q = ( l q + 1 ， ⋯ ， l n ) 。 det ( h i   j ¯ ) = | h 1 1 ¯ h 1 2 ¯ ⋯ h 1 n ¯ h 2 1 ¯ h 2 2 ¯ ⋯ h 2 n ¯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ h n 1 ¯ h n 2 ¯ ⋯ h n n ¯ | = h 12 ⋯ n 1 ¯   2 ¯ ⋯ n ¯ (3.7) | h i 1 j ¯ 1 h i 1 j ¯ 2 ⋯ h i 1 j ¯ n h i 2 j ¯ 1 h i 2 j ¯ 2 ⋯ h i 2 j ¯ n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ h i n j ¯ 1 h i n j ¯ 2 ⋯ h i n j ¯ n | = h i 1 i 2 ⋯ i n j ¯ 1 j ¯ 2 ⋯ j ¯ n = h I p I n − p J ¯ q J ¯ n − q                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           ( 3.8 ) = sgn ( 1 2 ⋯ n i 1 i 2 ⋯ i n ) h 12 ⋯ n   j ¯ 1 j ¯ n ⋯ j ¯ n = sgn ( 1 2 ⋯ n i 1 i 2 ⋯ i n ) sgn ( 1 2 ⋯ n j 1 j 2 ⋯ j n ) det ( h i   j ¯ )                                                                                                                                                                                         ( 3.9 ) 这样， φ ， ψ ， ψ ¯ 可以简记为 φ ( z ) = ∑ I p ， J q φ I p J ¯ q d z I p ∧ d z J ¯ q ，                   d z I p = d z i 1 ∧ ⋯ ∧ d z i p (3.10) ψ ( z ) = ∑ K p ， L q ψ K p L ¯ q d z K p ∧ d z L ¯ q ，                       d z L ¯ q = d z ¯ l 1 ∧ ⋯ ∧ d z ¯ l q (3.11) ψ ¯ ( z ) = ∑ K p ， L q ψ K p L ¯ q ¯ d z K ¯ p ∧ d z L q = ∑ K p ， L q ψ K p L ¯ q ¯ ( − 1 ) p q d z L q ∧ d z K ¯ p = ∑ K p ， L q ψ ¯ L q K ¯ p d z L q ∧ d z K ¯ p (3.12) 其中， ψ ¯ L q K ¯ p = ( − 1 ) p q ψ K p L ¯ q ¯ (3.13) 再引进记号 ψ I ¯ p   J q = ∑ K p ， L q h i ¯ 1   k 1 ⋯ h i ¯ p k p h l ¯ 1 j 1 ⋯ h l ¯ q j q ψ K p L ¯ q (3.14) 则 φ ， ψ 的局部内积可表示为 〈 φ ， ψ 〉 ( z ) = ∑ I p ， J q φ I p J ¯ q ψ I ¯ p J q ¯ = ( − 1 ) p q ∑ I p ， J q φ I p J ¯ q ψ ¯ J ¯ q I p = ( − 1 ) p q ∑ K p ， L q φ K p L ¯ q ψ ¯ L ¯ q K p . (3.15) 3.3. 星算子的构造与定义 为了便于从整体内积 ( φ ， ψ ) 的表达式(3.6)中构造互相伴随的算子，我们引进一种线性算子称为 ∗ 算子。 定理3.1：存在一个线性算子 ∗ : Γ ( A p ， q ( M ) ) → Γ ( A n − p ， n − q ( M ) ) 满足 i) 存在 〈 φ ， ψ 〉 ( z ) ω n n ! = φ ( z ) ∧ ∗ ψ ¯ ( z ) (3.16) ii) ∗   ψ ¯ = ∗ ψ ¯ ，即 ∗ 是一个实算子； iii) ∗ ∗ ψ = ( − 1 ) p + q ψ 。 证明：1˚从(3.1)知 ω n / n ! = ( − 1 / 2 ) n det ( h i   j ¯ ) d z 1 ∧ d z ¯ 1 ∧ d z 2 ∧ d z ¯ 2 ∧ ⋯ ∧ d z n ∧ d z ¯ n = ( − 1 / 2 ) n ( − 1 ) C n 2 det ( h i   j ¯ ) d z 1 ∧ d z ¯ 1 ∧ d z 2 ∧ d z ¯ 2 ∧ ⋯ ∧ d z n ∧ d z ¯ n 结合(3.8)和(3.9)，将   I p 换成 K p ， J p 换成 L p ，得 ω n n ! = ( − 1 2 ) n ( − 1 ) C n 2 sgn ( 1 2 ⋯ n k 1 k 2 ⋯ k n )     ⋅ sgn ( 1 2 ⋯ n l 1 l 2 ⋯ l n ) h K p K n − p L q L ¯ n − q d z 1 ∧ ⋯ ∧ d z n ∧ d z ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ d z ¯ n (3.17) 注意到 d z K p K n − p = d z K p ∧ d z K n − p = d z k 1 ∧ ⋯ ∧ d z k p ∧ d z k p + 1 ∧ ⋯ ∧ d z k n = sgn ( 1 ⋯ p p + 1 ⋯ n k 1 ⋯ k p k p + 1 ⋯ k n ) d z 1 ∧ ⋯ ∧ d z n d z L ¯ q L ¯ n − q = d z L ¯ q ∧ d z L ¯ n − q = d z ¯ l 1 ∧ ⋯ ∧ d z ¯ l q ∧ d z ¯ l q + 1 ∧ ⋯ ∧ d z ¯ l n = sgn ( 1 ⋯ q q + 1 ⋯ n l 1 ⋯ l q l q + 1 ⋯ l n ) d z ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ d z ¯ n (3.17)可以改写为 ω n / n ! = ( − 1 / 2 ) n ( − 1 ) C n 2 h K p K n − p L ¯ q L ¯ n − q d z K p ∧ d z K n − p ∧ d z L ¯ q ∧ d z L ¯ n − q         (3.18) 结合(3.15)，(3.18)变为 〈 φ ， ψ 〉 ( z ) ω n n ! = ( − 1 ) p q ( − 1 / 2 ) n ( − 1 ) C n 2 ∑ K p ， L q φ K p ， L ¯ q ψ ¯ L ¯ q ， K p h K p K n − p L q L ¯ n − q d z K p ∧ d z K n − p ∧ d z L ¯ q ∧ d z L ¯ n − q . (3.19) 2˚为了从(3.19)中分离出 φ ( z ) ，由(3.10)知应交换 d z K n − p 和 d z L ¯ q ，而 d z K n − p ∧ d z L ¯ q = ( − 1 ) ( n − p ) q d z L ¯ q ∧ d z K n − p ， 所以(3.19)可以改写为 〈 φ ， ψ 〉 ( z ) ω n n ! = ( − 1 / 2 ) n ( − 1 ) C n 2 + n q ∑ K p ， L q φ K p ， L ¯ q ψ ¯ L ¯ q K p h K p K n − p L q L ¯ n − q d z K p ∧ d z L ¯ q ∧ d z K n − p ∧ d z L ¯ n − q . (3.20) 下面从(3.20)中的 φ K p L ¯ q d z K p ∧ d z L ¯ q 引出(3.10)的 φ ( z ) 表达式。注意到 d z I p ∧ d z K n − p ≠ 0 当且仅当 I p = K p ， d z J ¯ q ∧ d z L ¯ n − q ≠ 0 当且仅当 J ¯ q = L ¯ q ， 所以 φ K p L ¯ q d z K p ∧ d z L ¯ q ∧ d z K n − p ∧ d z L ¯ n − q = ∑ I p ， J q φ I p J ¯ q d z I p ∧ d z J ¯ q ∧ d z K n − p ∧ d z L ¯ n − q 代入(3.20)得 〈 φ ， ψ 〉 ( z ) ω n n ! = ( ∑ I p ， J q φ I p J ¯ q d z I p ∧ d z J ¯ q ) ∧ ( ( − 1 / 2 ) n ( − 1 ) C n 2 + n q ∑ K p ， L q ψ ¯ L ¯ q K p h K p K n − p L ¯ q L ¯ n − q d z K n − p ∧ d z L ¯ n − q ) . (3.21) 对照所证的(3.16)，只需定义 ∗ ˜   ψ ¯ ( z ) = d e f . ( − 1 / 2 ) n ( − 1 ) C n 2 + n q ∑ K p ， L q ψ ¯ L ¯ q K p h K p K n − p L ¯ q L ¯ n − q d z K n − p ∧ d z L ¯ n − q . (3.22) 结合(2.11)与(2.12)中的p与q的反转及(3.13)的因子 ( − 1 ) p q ， ∗ ˜   ψ ( z ) = ( − 1 / 2 ) n ( − 1 ) C n 2 + n p ∑ K q ， L p h K q K n − q L ¯ p L ¯ n − p ψ L ¯ p ， K q d z K n − q ∧ d z L ¯ n − p ， (3.23) 或 ∗ ˜   ψ ( z ) = ( − 1 / 2 ) n ( − 1 ) C n 2 + n p ∑ I q ， J p h I q I n − q J ¯ p J ¯ n − p ψ J ¯ p I q d z I n − q ∧ d z J ¯ n − p . (3.23)' 3˚至于定理3.1(ii)，由(3.23)得 ∗ ˜   ψ ¯ ( z ) = ( − 1 / 2 ) n ( − 1 ) C n 2 + n p ∑ K q ， L p h ¯ K q K n − q L ¯ p L ¯ n − p ψ L ¯ p K q ¯ d z K n − q ¯ ∧ d z L ¯ n − p ¯ = ( − 1 / 2 ) n ( − 1 ) C n 2 + n p ∑ K q ， L p h K ¯ q K ¯ n − q L p L n − p ( − 1 ) p q ψ ¯ K ¯ q L p d z K ¯ n − q ∧ d z L n − p = ( − 1 / 2 ) n ( − 1 ) C n 2 + n p ∑ K q ， L p ( − 1 ) n h L p L n − p K ¯ q K ¯ n − q ( − 1 ) p q ψ ¯ K ¯ q L p ( − 1 ) ( n − p ) ( n − q ) d z L n − p ∧ d z K ¯ n − q = ( − 1 / 2 ) n ( − 1 ) C n 2 + n p + n + p q + ( n − p ) ( n − q ) ∑ K q ， L p h L p L n − p K ¯ q K ¯ n − q ψ ¯ K ¯ q L p d z L n − p ∧ d z K ¯ n − q (3.24) 由于 C n 2 + p n + n + p q + ( n − p ) ( n − q ) = C n 2 + n ( n + 1 ) − 2 n q + n q ， ( − 1 ) n ( n + 1 ) = 1 ，   ( − 1 ) − 2 n q = 1 ，   ( − 1 ) C n 2 + p n + n + p q + ( n − p ) ( n − q ) = ( − 1 ) C n 2 + n q ， 所以将(3.24)中的 L p 换成 K p 、 K q 换成 L q ，结合(3.22)，得到 ∗ ˜   ψ ¯ ( z ) = ( − 1 / 2 ) n ( − 1 ) C n 2 + n q ∑ K p ， L q h K p K n − p L ¯ q L ¯ n − q ψ ¯ L ¯ q ， K p d z K n − p ∧ d z L ¯ n − q = ∗ ˜   ψ ¯ ( z ) . 4˚为简化计算，我们逐点检验定理3.1(iii)。对 ∀ z 0 ∈ M ，可以假定通过坐标变化使得 h i   j ¯ ( z 0 ) = δ i   j ¯ 。因在 z 0 的邻域内不一定成立 h i   j ¯ = δ i   j ¯ ，只能假定在 z 0 处满足。于是 h K q K n − q L ¯ p L ¯ n − p ( z 0 ) = | h k 1 l ¯ 1 h k 1 l ¯ 2 ⋯ h k 1 l ¯ n h k 2 l ¯ 1 h k 2 l ¯ 2 ⋯ h k 2 l ¯ n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ h k n l ¯ 1 h k n l ¯ 2 ⋯ h k n l ¯ n | ( z 0 ) = sgn ( 1 2 ⋯ n k 1 k 2 ⋯ k n ) sgn ( 1 2 ⋯ n l 1 l 2 ⋯ l n ) | h 1 1 ¯ ( z 0 ) h 1 2 ¯ ( z 0 ) ⋯ h 1 n ¯ ( z 0 ) h 2 1 ¯ ( z 0 ) h 2 2 ¯ ( z 0 ) ⋯ h 2 n ¯ ( z 0 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ h n 1 ¯ ( z 0 ) h n 2 ¯ ( z 0 ) ⋯ h n n ¯ ( z 0 ) | = sgn ( k 1 k 2 ⋯ k n l 1 l 2 ⋯ l n ) ψ L ¯ p K q ( z 0 ) = ∑ I p ， J q h l ¯ 1 i 1 ( z 0 ) ⋯ h l ¯ p i p ( z 0 ) h j ¯ 1 k 1 ( z 0 ) ⋯ h j ¯ q k q ( z 0 ) ψ I p J ¯ q ( z 0 ) = ∑ I p ， J q δ l ¯ 1 i 1 ⋯ δ l ¯ p i p δ j ¯ 1 k 1 ⋯ δ j ¯ q k q ψ I p J ¯ q ( z 0 ) = ψ L p K ¯ q ( z 0 ) 从而(3.23)中 ∗ ˜ ψ ( z 0 ) = ∑ K q ， L p ( ∗ ˜ ψ ) K n − q L ¯ n − p ( z 0 ) d z K n − q ∧ d z L ¯ n − p ， 其中 ψ ( z ) = ∑ K p ， L q ψ K p L ¯ q ( z ) d z K p ∧ d z L ¯ q ， ( ∗ ˜ ψ ) k n − p L ¯ n - q ( z 0 ) = ( − 1 / 2 ) n ( − 1 ) C n 2 + n p h K q K n − q L ¯ p L ¯ n − p ψ L ¯ p K q ( z 0 ) = ( − 1 / 2 ) n ( − 1 ) C n 2 + n p sgn ( k 1 k 2 ⋯ k n l 1 l 2 ⋯ l n ) ψ L p K ¯ q ( z 0 ) (3.25) 进而由 ( ∗ ˜ ∗ ˜ ψ ˜ ) ( z 0 ) = ∑ K p ， L q ( ∗ ˜ ∗ ˜ ψ ) L p K q ( z 0 ) d z L p ∧ d z K ¯ q ， 的分量 ( ∗ ˜ ∗ ˜ ψ ) L p K ¯ q ( z 0 ) = ( − 1 / 2 ) n ( − 1 ) C n 2 + n ( n − q ) h L n − p L p K ¯ n − q K ¯ q ( ∗ ˜ ψ ) K ¯ n − q L n − p ( z 0 ) = ( − 1 / 2 ) n ( − 1 ) C n 2 + n ( n − q ) sgn ( l p + 1 ⋯ l n l 1 ⋯ l p k q + 1 ⋯ k n k 1 ⋯ k q ) ( ∗ ˜ ψ ) K n − q L ¯ n − p ( z 0 ) 代入(3.25)，得 ( ∗ ˜ ∗ ˜ ψ ) L p K ¯ q ( z 0 ) = ( 1 / 2 ) 2 n ( − 1 ) p + q [ sgn ( l 1 ⋯ l p l p + 1 ⋯ l n k 1 ⋯ k q k q + 1 ⋯ k n ) ] 2 ( − 1 / 2 ) n ( − 1 ) C n 2 + n p ψ L p K ¯ q ( z 0 )     = ( 1 / 2 ) 2 n ( − 1 ) p + q ψ L p K ¯ q ( z 0 ) 故 ∗ ˜ ∗ ˜ ψ = ( 1 / 2 2 n ) ( − 1 ) p + q ψ . (3.26) 为了得到定理3.1(iii)的结果，需要对(3.23)或(3.23)'的定义增添一个常数，才能抵消(3.26)中的 1 / 2 2 n 。为此定义 ∗ ψ = 2 p + q ∗ ˜ ψ ， (3.27) 则 ∗ ( ∗ ψ ) = 2 ( n − p ) + ( n − q ) ∗ ˜ ( ∗ ψ )   = 2 ( n − p ) + ( n − q ) 2 p + q ∗ ˜ ∗ ˜ ψ = 2 2 n 1 2 2 n ( − 1 ) p + q ψ = ( − 1 ) p + q ψ . □ 定义3.2：对于n维紧致复流形M上的 ( p ， q ) 型 C ∞ 形式空间 Γ ( A p ， q ( M ) ) ，定义一个整体的 ∗ 算子 ∗ : Γ ( A p ， q ( M ) ) → Γ ( A n − p ， n − q ( M ) ) ， 使得 〈 φ ， ψ 〉 ( z ) ω n n ! = φ ∧ ∗ ψ ¯ ( z ) ， 即 ( φ ， ψ ) = ∫ M φ ( z ) ∧ ∗ ψ ¯ ( z ) ， 若 ψ ( z ) = ∑ I p ， J q ψ I p J ¯ q ( z ) d z I p ∧ d z J ¯ q ， 则由(3.27)的定义 ∗ ψ = 2 p + q ( − 1 / 2 ) n ( − 1 ) C n 2 + n p ∑ I q ， J p h I q I n − q J ¯ P J ¯ n − p ψ J ¯ p I q d z I n − q ∧ d z I ¯ n − p . (3.28) 根据定理3.1(iii)，知 ∗ ∗ ψ = ( − 1 ) p + q ψ . 即 ∗ ∗ | A ( p ， q ) ( M ) = ( − 1 ) p + q I d | A ( p ， q ) ( M ) . (3.29) 3.4. 星算子的性质和相关的伴随算子 命题3.3： ∀ φ ， ψ ∈ Γ ( A p ， q ( M ) ) ，有 φ ¯ ∧ ∗ ψ = ψ ∧ ∗ φ ¯ . (3.30) 证明：由于 φ ∧ ∗ ψ ¯ ( z ) = 〈 φ ， ψ 〉 ( z ) ω n n ! . 根据(2.15)知 ω = ∑ j = 1 n α j ∧ β j 为实形式， ω ¯ n = ω n ， 〈     ，     〉 为Hermite内积， 〈 φ ， ψ 〉 ¯ ( z ) = 〈 ψ ， φ 〉 ( z ) 所以 φ ∧ ∗ ψ ¯ ( z ) ¯ = 〈 ψ ， φ 〉 ( z ) ω n n ! = ψ ∧ ∗ φ ¯ ( z ) . 而由定理3.1(ii)知 φ ∧ ∗ ψ ¯ ¯ = φ ¯ ∧ ∗ ψ ¯ ¯ = φ ¯ ∧ ∗ ψ . 故 φ ¯ ∧ ∗ ψ = ψ ∧ ∗ φ ¯ . 有了 ∗ 算子，就可以定义 ∂ ¯ 、 ∂ 和d的伴随算子。 定义3.4：对于 ψ ∈ Γ ( A p ， q ( M ) ) ，分别定义3类线性算子如下： ∂ ∗ : Γ ( A p ， q ( M ) ) → Γ ( A p − 1 ， q ( M ) ) ， ∂ ¯ ∗ : Γ ( A p ， q ( M ) ) → Γ ( A p ， q − 1 ( M ) ) ， δ : Γ ( A r ( M ) ) = ⊕ p + q = r A p ， q ( M ) → Γ ( A r − 1 ( M ) ) = ⊕ p + q = r − 1 A p ， q ( M ) ， ∂ ∗ ψ = − ∗ ∂ ¯ ∗ ψ ， ∂ ¯ ∗ ψ = − ∗ ∂ ∗ ψ ， δ ψ = − ∗ d ∗ ψ 命题3.5：设M为紧致的n维复流形，则有 1) ( ∂ ¯ φ ， ψ ) = ( φ ， ∂ ¯ ∗ ψ ) ， ∀ φ ∈ Γ ( A p ， q − 1 ( M ) ) ， ψ ∈ Γ ( A p ， q ( M ) ) ; 2) ( ∂ φ ， ψ ) = ( φ ， ∂ ∗ ψ ) ， ∀ φ ∈ Γ ( A p ， q ( M ) ) ， ψ ∈ Γ ( A p + 1 ， q ( M ) ) ; 3) ( d φ ， ψ ) = ( φ ， δ ψ ) ， ∀ φ ∈ Γ ( A r ( M ) ) ， ψ ∈ Γ ( A r + 1 ( M ) ) . 证明：根据整体内积与 ∗ 算子的关系，结合分部积分来证明。 设 η = φ ∧ ∗ ψ ¯ ，则 η ∈ Γ ( A n ， n − 1 ( M ) ) ，这时 ∂ η = 0 ， d η = ( ∂ + ∂ ¯ ) η = ∂ ¯ η 。于是由Stokes公式，有 0 = ∫ ∂ M η = ∫ M d η = ∫ M ∂ ¯ η = ∫ M ∂ ¯ ( φ ∧ ∗ ψ ¯ ) = ∫ M ∂ ¯ φ ∧ ∗ ψ ¯ + ∫ M ( − 1 ) p + q − 1 ∂ ¯ ( ∗ ψ ¯ ) = ( ∂ ¯ φ ， ψ ) + ( − 1 ) p + q − 1 ∫ M φ ∧ ∂ ¯ ( ∗ ψ ¯ ) (3.31) 利用 ψ ¯ ∈ Γ ( A q ， p ( M ) ) ， ∗ ψ ¯ ∈ Γ ( A n − p ， n − q ( M ) ) ， ∂ ¯ ( ∗ ψ ¯ ) ∈ Γ ( A n − p ， n − q + 1 ( M ) ) ， ∗ ∗ | Γ ( A n − q ， n − p + 1 ( M ) ) = ( − 1 ) n − q + n − p + 1 I d = ( − 1 ) p + q − 1 I d ， (3.31)可写作 ( ∂ ¯ φ ， ψ ) = − ∫ M φ ∧ ( ( − 1 ) p + q − 1 ( ∂ ¯ ∗ ψ ¯ ) ) = − ∫ M φ ∧ ∗ ∗ ( ∂ ¯ ∗ ψ ¯ ) = − ∫ M φ ∧ ∗ ∗ ∂ ∗ ψ ¯ = ∫ M φ ∧ ∗ ∂ ¯ ∗ ψ ¯ = ( φ ， ∂ ¯ ∗ ψ ) 同理可证命题3.5(2)和(3)。 注记3.6：在应用 ∗ 算子时，要特别注意两个版本的差异： 1) Griffiths and Harris的《代数几何原理》定义的 ∗ 算子( [ 1 ]， p. 82])为 ( ψ ( z ) ， η ( z ) ) ( ω n / n ! ) = ψ ( z ) ∧ ∗ η ( z ) ，取 η ( z ) = ∑ I ， J η I   J ¯ φ I ∧ φ ¯ J ，则 ∗ η = 2 p + q − n ∑ I ， J ε I J η ¯ I J ¯ φ I 0 ∧ φ ¯ J 0 ， (3.32) 其中， I 0 = { 1 ， ⋯ ， n } − I ， ε I J 是下列置换的符号 ( 1 2 ⋯ p p + 1 ⋯ p + q p + q + 1 ⋯ n 1 ¯ ⋯ n ¯ i 1 i 2 ⋯ i p j 1 ⋯ j q i 1 0 ⋯ i n − p 0 j 1 0 ⋯ j n − q 0 ) ， 即 ε I J = sgn ( 1 2 ⋯ p p + 1 ⋯ p + q p + q + 1 ⋯ n 1 ¯ ⋯ n ¯ i 1 i 2 ⋯ i p j 1 ⋯ j q i 1 0 ⋯ i n − p 0 j 1 0 ⋯ j n − q 0 ) ， 这保持了紧致可定向光滑流形上 A r ( M ) 的 ∗ 算子形式(参阅 [ 3 ]， p. 346-348)。而这里定义3.2采用Morrow-Kodaira ( [ 2 ]， p. 93)定义 ψ ( z ) ∧ ∗ η ¯ ( z ) ，产生的过程主要兼顾Hermite内积的局部性质 〈 ψ ( z ) ， η ( z ) 〉 = 〈 η ( z ) ， ψ ( z ) 〉 ， ∗ ψ ∈ Γ ( A n − q ， n − p ( M ) ) ， ∗ ψ ¯ ∈ Γ ( A n − p ， n − q ( M ) ) 。 2) 定义的差异引起的 ∂ ， ∂ ¯ 的伴随算子 ∂ ∗ ， ∂ ¯ ∗ 与 ∗ 算子的表达差异。Griffiths和Harris版本的 ∗ 算子恰好有 ∂ ∗ = − ∗ ∂ ∗ ， ∂ ¯ ∗ = − ∗ ∂ ¯ ∗ ，而Morrow和Kodaira版本的 ∗ 算子恰好有 ∂ ∗ = − ∗ ∂ ¯ ∗ ， ∂ ¯ ∗ = − ∗ ∂ ∗ 。后者出现 ∂ ∗ 与 ∂ ¯ ， ∂ ¯ ∗ 与 ∂ 对应，这个共轭的差异，虽不如前者在代数基础和谐，但在几何意义注重了与整体内积 ( ψ ， η ) 满足 ( ψ ， η ) ¯ = ( η ， ψ ) 相对应。