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user: 3. 马尔可夫预测模型 为了研究阿片类药物在五个州内未来的发展趋势，在五个州内特定的阿片类药物总量保持不变的假设前提下，可以视为各州(县)合成类阿片类药物和海洛因数量的增减视为相互转移。根据缉毒局年度报告的数据相互独立的假设，因此，用马尔可夫链模型 [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] 来进行预测。 记状态空间为 E = { X 1 ， X 2 ， X 3 ， X 4 ， X 5 } ，在第 t + 1 年，阿片类药物从第i个州转移至第j个州的转移概率为： P { ξ t + 1 = X j | ξ t = X i } = p i j (5) 因此，5个州之间特定的阿片类药物转移的一步转移概率矩阵可记为： P = ( p 11 p 12 p 13 p 14 p 15 p 21 p 22 p 23 p 24 p 25 p 31 p 32 p 33 p 34 p 35 p 41 p 42 p 43 p 44 p 45 p 51 p 52 p 53 p 54 p 55 ) (6) 其中，该矩阵满足以下条件： l 对于任意的 X i ， X j ∈ E ，有 p i j ∈ [ 0 ， 1 ] 成立； l 对于任意的 X i ∈ E ， ∑ j ∈ E p i j = 1 。 本文将按如下步骤来确定一步转移概率矩阵： 1) 记对角线上的元素为保留概率，将下一年的某一特定的阿片类药物总数与当年的该种特定的阿片类药物总数之比与和1进行比较，如果比值大于或等于1，则保留概率记为1，否则记为0。 2) 保留概率为1的行，该行其他列的元素记为0。基于前提假设2，将五个州特定的阿片类药物总量视为衡量，针对比值小于1的行，其他列的元素将按如下公式计算： p i j = [ ( 1 − p i i ) ] * | X j ( t + 1 ) − X j ( t ) | | X 1 ( t + 1 ) − X 1 ( t ) | + ⋯ + | X i − 1 ( t + 1 ) − X i − 1 ( t ) | + | X i + 1 ( t + 1 ) − X i + 1 ( t ) | + ⋯ (7) 即每个元素的值是根据 1 − p i i 按 t 年和 t + 1 年特定的阿片类药物的州之间差异的比例来分配。 从上述两个步骤中，可以得到2010~2017年7个一步概率转移矩阵，将该7个矩阵元素之间的平均值作为最终一步概率转移矩阵中的元素，由此得到的一步转移概率矩阵是齐次的。在构建州际间概率转移矩阵的过程中，以下对几种特殊情况作解释： a) 在部分州中，由于政府在对其数据进行统计时没有检测出特定的阿片类药物。因此，将缺失年份的数量记为0。 b) 如果在 t + 1 年特定的阿片类药物数量减少至0，则将其保留概率记为0。 c) 如果在 t 和 t + 1 年特定的阿片类药物数量都为0，则将其保留概率记为1。 在分析州内县与县之间的传播特征时，同样按上述方法求解，本文不再重复。本文将马尔可夫链的一步转移概率矩阵的图像如表1形式表示： 由表1中图像可知： 1) 对于海洛因，只有西弗吉尼亚州的马尔可夫链是遍历的，这表明海洛因可以转移到该州的每个县。根据其平稳分布可知：三个较大的转移概率对应的县是Logan，Kanawha以及Harrison。表明它们是潜在的海洛因交易中心。对于其他四个州而言，肯塔基州的海洛因药物滥用县分别是Caldwell，Fulton，Knott，Monroe，Morgan，Washington以及Wayne；俄亥俄州的海洛因滥用县是Summit；宾夕法尼亚州的海洛因滥用县是Lancaster；弗吉尼亚州的海洛因药物滥用县分别Dinwiddie，Halifax，King and Queen，Lee，Mecklenburg，Nelson，Bedford City以及Martinsville City。 Table 1 Image of one-step probability transition matrix， The horizontal white lines in each image represent the absorption state in the Markov process， Under each image， the state of absorption or traversal is shown. The numbers in the absorption brackets indicate the number of crisis centers， and the numbers in the traversal brackets indicate the time when the crisis occurre 肯塔基州 俄亥俄州 宾夕法尼亚州 弗吉尼亚州 西弗吉尼亚州 海洛因 遍历/吸收 吸收(7) 吸收(1) 吸收(1) 吸收(8) 遍历(113) 羟考酮 遍历/吸收 吸收(1) 遍历(20) 遍历(26) 遍历(40) 遍历 (11) 芬太尼 遍历/吸收 吸收(17) 吸收(21) 吸收(13) 吸收(11) 吸收(3) 氢可待因 遍历/吸收 遍历(7) 遍历(6) 遍历(3) 吸收(1) 吸收(1) 丁丙诺啡 遍历/吸收 吸收(1) 吸收(1) 吸收(1) 吸收(5) 遍历(4) 表1. 一步转移概率矩阵的图像，其中每幅图像中的横排列的白线表示马尔可夫过程中的吸收状态，在每幅图像下，显示了吸收或遍历的状态。吸收边括号内的数字表示危机中心的数目，遍历旁边括号内的数字表示危机发生的时间 2) 对于羟考酮，除肯塔基州外，其他四个州的马尔可夫链都是遍历的。表明羟考酮可以转移到这四个州的每个县。在肯塔基州，唯一的“吸收县”是Hancock。根据这四个州的平稳分布可知：它们的较大概率的县是Franklin，Philadelphia，Henrico，Raleigh。 3) 对于芬太尼，由图可知该药物对所有的州都不是遍历的，而是分别具有多种吸收态。表明美国对该阿片类药物依赖情况严重。 4) 对于氢可待因，肯塔基州、俄亥俄州和宾夕法尼亚州的马尔科夫过程是遍历的，而弗吉尼亚州和西弗吉尼亚州的马尔科夫过程存在吸引子，弗吉尼亚州和西弗吉尼亚州的唯一“吸引县”分别是Covington City和Tucker。 5) 对于丁丙诺啡，只有西弗吉尼亚州的马尔科夫过程是遍历的，其中概率最大的是Marshall。前三个州的“吸收县”分别是Edmonson，Monroe，Crawford。弗吉尼亚州的“吸收县”有Bath，King And Queen，Montgomery，Westmoreland以及Fairfax City。 为了确定特定的阿片类药物在州际间的传播特征，对其以上述相同的方法进行描述，求出它们的马尔可夫链都是遍历的。根据表2中结果可知，这些特定的阿片类药物在俄亥俄州的出现可能性最大，即5种特定类阿片物质以较大的概率将全部扩散到俄亥俄州。反映出如果俄亥俄州政府不采取措施积极应对，该州将来这5种阿片类药物将出现滥用灾难。针对宾夕法尼亚州而言，其政府应该加强对海洛因和羟考酮用量的控制；肯塔基州政府应该在芬太尼控制上加大力度；而对于弗吉尼亚州政府需要特别关注氢可待因和丁丙诺啡的使用情况。 Table 2 Stationary distribution of five specific Opioid drug 肯塔基州 俄亥俄州 宾夕法尼亚州 弗吉尼亚州 西弗吉尼亚州 海洛因 0.1278 0.3914 0.3594 0.0759 0.0455 羟考酮 0.1886 0.2950 0.2311 0.2058 0.0795 芬太尼 0.2111 0.4375 0.1436 0.1469 0.0608 氢可待因 0.2524 0.2847 0.1284 0.2718 0.0627 丁丙诺啡 0.1851 0.3436 0.2057 0.2259 0.0397 表2. 五种特定阿片类药物的稳态分布 最后，本文引入阿片类药物数量阈值的概念，政府通过参考此数据来把控社会的稳定与经济的发展。由于若存在一个正数 q ，使得 P q 的每个元素都是正数时， P q 被称为常返态，则本文提出计算阈值以及产生危机的时间的方法如下：本文将同种阿片类药物通过转移能返回到当前州的所需转移次数 q 视为危机在 q 年后可能出现。将保留概率乘以相应特定的阿片类药物数量作为出现阿片危机时药物数量的阈值。