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user: 5. Hodge定理的证明：整体理论 在环面 T n = ( ℝ / 2 π ℤ ) n 上，Sobolev s-范数由加权Fourier级数或由 L 2 -范数 ∑ | α | ≤ s ∫ T | D α φ | 2 d x 给出。设 U ⊂ V ⊂ ℝ n ，并且U相对于V是紧致的。U上具有紧致支集的函数可以看作 T n = ( ℝ / 2 π ℤ ) n 上的函数。假设 v 1 ( x ) ， ⋯ ， v n ( x ) 是V上处处线性无关的 C ∞ 矢量场， ρ ( x ) 是V上的正定函数。对 φ ∈ C c ∞ ( U ) ，Sobolev 0-范数和1-范数分别等价于 ∫ V ρ ( x ) | φ ( x ) | 2 d x ， ∫ V ρ ( x ) { | φ ( x ) | 2 + ∑ i | v i ( x ) ⋅ φ ( x ) | 2 } d x . (5.1) 注意到交换子 [ v i ， v j ] φ = v i ( v j φ ) − v j ( v i φ ) 是一个阶为1的算子，其中一个阶为s的算子最多包含s次微分。表达式 v α φ = v 1 α 1 ( v 1 α 2 ⋯ ( v n α n φ ) ⋯ ) 和模阶 < [ α ] 的算子的顺序无关。所以 φ ∈ C c ∞ ( U ) 的Sobolev s-范数等价于 ∑ | α | ≤ s ∫ | v α φ ( x ) | 2 d x 。 假设 E → M 是紧致流形M上的矢量丛。若 ∇ 是E和M的切丛TM上的联络， { e α } 是E的局部标架， { v i } 是TM的局部标架， { φ i } 是TM的余标架，则 E → M 的截面 f = ∑ α f α e α 的协变微分 ∇ i f α = f α ， i 定义为 ∇ f = ∑ α ， i f α ， i e α ⊗ φ i . 我们得到 f α ， i = v i f α + A 0 ( f ) ， (5.2) 其中， A 0 是包括联络矩阵阶为0的算子。 把这些讨论应用到 E ⊗ T ∗ ( M ) ，定义 f α ， i ， j = ∇ j ( ∇ i f α ) ，则有 [ ∇ i ， ∇ j ] f α = A 1 ( f ) . 假设E和 T ( M ) 有度量，并且 { e α } ， { v i } 是正交标架。截面 f ∈ C ∞ ( M ， E ) 的整体Sobolev s-范数定义为 ‖ f ‖ s 2 = ∑ k ≤ s ‖ ∇ k f ‖ 0 2 d x ， (5.3) 其中， ∇ k f = ∇ ( ∇ ( ⋯ ( ∇ f ) ⋯ ) ) ︸ k 次 用 H s ( M ， E ) 表示在这个范数 C ∞ ( M ， E ) 的完备化。那么由单位分解，整体的Sobolev范数诱导了一个范数，这个范数与某点邻域中有紧致支集的截面上的通常Sobolev范数等价，我们可以得到： 引理5.1 [ 2 ] (整体Sobolev引理) H [ n / 2 ] + 1 + s ( M ， E ) ⊂ C ∞ ( M ， E ) ，它是M上可微类的截面，并且 ∩ s H ( M ， E ) = C ∞ ( M ， E ) . (5.4) 引理5.2 [ 2 ] (整体Rellich引理)对于 s > r ，包含映射： H s ( M ， E ) → H r ( M ， E ) 是一个紧致算子。 现在，设M是一个在切丛上有Hermite联络的紧致Hermite流形， H s p ， q ( M ) 表示 A p ， q ( M ) 在Sobolev s-范数 ‖     ⋅     ‖ = ‖ ‖ 0 下的完备化，把Dirichlet内积和Dirichlet范数分别定义为 D ( φ ， ψ ) = ( φ ， ψ ) + ( ∂ ¯ φ ， ∂ ¯ ψ ) + ( ∂ ¯ ∗ φ ， ∂ ¯ ∗ ψ ) = ( φ ， ( I + Δ ) ψ ) D ( φ ) = D ( φ ， φ ) = ‖ φ ‖ 2 + ‖ ∂ ¯ φ ‖ 2 + ‖ ∂ ¯ ∗ φ ‖ 2 理论中的基本估计来自 Gårding不等式：对 φ ∈ A p ， q ( M ) ， ‖ φ ‖ 1 2 ≤ C D ( φ ) ( C > 0 ) . (5.5) 我们注意到，不只是Laplace算子 Δ ，而是算子 I + Δ 被采用，这是因为 Δ ≥ 0 意味着 I + Δ 没有核，并且因此我们可以求它的逆。 Gårding不等式的一个用处就是证明定理4.1，例如，假设 ψ ∈ H 0 p ， q ( M ) 是Laplace算子的特征函数，意思就是，对常数 λ ，方程 Δ φ = λ φ (5.6) 在弱解的意义上成立，那么，由正则性引理，对所有的s有 φ ∈ H s p ， q ( M ) ，并且由整体Sobolev引理，我们得到，任意 Δ 的本征函数是光滑的。 我们注意到，任意的本征函数 λ ≥ 0 ，并且 λ = 0 ⇔ φ 在弱解上的意义是调和的。由正则性和Sobolev引理，任意这样的弱解调和形式在通常意义上是和 C ∞ 调和的。 下面我们将假定Gårding不等式和正则性引理成立，继续来完成Hodge定理的证明。 基本的Hilbert空间的工具是紧致自伴算子的谱定理，以及通过与一个固定向量取内积而表示有界线性函数的原理，形式如下： 引理5.3 [ 3 ] 给定 ψ ∈ H 0 p ， q ( M ) ，存在一个唯一的 ψ ∈ H 1 p ， q ( M ) ，使得对所有的 η ∈ A p ， q ( M ) ，有 ( φ ， η ) = D ( ψ ， η ) = ( ψ ， ( I + Δ ) η ) . (5.7) 从 H 0 p ， q ( M ) 到 H 1 p ， q ( M ) 的映射 ψ = T ( φ ) 是有界的，并且从而映射 T : H 0 p ， q ( M ) → H 1 p ， q ( M ) 是紧致和自伴的。 证明：从Gårding不等式得到，Dirichlet范数 D ( φ ) 等价于 H 1 p ， q ( M ) 上的Sobolev 1-范数 ‖ φ ‖ 1 2 。利用 | ( φ ， η ) | ≤ ‖ φ ‖ 0 ‖ η ‖ 0 ≤ ‖ φ ‖ 0 D ( η ) ， (5.8) 线性泛函 η → ( φ ， η ) ，                 ∀ η ∈ A p ， q ( M ) 扩张到有Dirichlet范数的 H 1 p ， q ( M ) 上的有界线性形式。从而方程 ( φ ， η ) = D ( ψ ， η ) (5.9) 有唯一解 ψ = T ( φ ) ，其特征为 ( φ ， η ) = ( T φ ， ( I + Δ ) η )                   ∀ η ∈ A p ， q ( M ) . 因为I和 Δ 是自伴的，所以T是自伴的。从不等式 2 α β ≤ ε α 2 + ( 1 / ε ) β 2 有 ‖ T φ ‖ 1 2 ≤ C D ( T φ ， T φ ) ≤ C ‖ φ ‖ 0 ‖ T φ ‖ 0 ≤ ( ε C / 2 ) ‖ T φ ‖ 0 2 + ( 2 C / ε ) ‖ φ ‖ 0 2 ， (5.10) 则我们可以推导出 ‖ T φ ‖ 1 2 ≤ C ′ ‖ φ ‖ 0 2 . (5.11) 也就是说，从 H 0 p ， q ( M ) 到 H 1 p ， q ( M ) 的映射T是有界的，并且由引理5.2 (整体Rillich引理)，T是紧致的。 □ 按照紧致自伴算子的谱定理 [ 4 ]，有一个Hilbert空间分解 H 0 p ， q ( M ) = ⊕ m E ( ρ m ) ， 其中 ρ m 是T的本特征值并且 E ( ρ m ) 是有限维特征空间。因为T是一对一的，所以所有的 ρ m ≠ 0 ，而且方程 T φ = ρ m φ 与 ( φ ， η ) = ( ρ m φ ， ( I + Δ ) η )                   ∀ η ∈ A p ， q ( M ) 是一样的，它意味着在弱的意义上， Δ φ = ( 1 − ρ m / ρ m ) φ . (5.12) 因此，T和 Δ 的特征空间是一样的，并且是由 C ∞ 形式组成的有限维向量空间。 Δ 的特征值 λ m 和T的特征值 ρ m 有下列关系 λ m = ( 1 − ρ m ) / ρ m ，   ρ m = 1 / ( 1 + λ m ) ， 假设 0 = λ 0 < λ 1 < ⋯ < λ m < ⋯ ， 其中当 m → ∞ 时， λ m 趋于 ∞ ， ρ m 趋于0。调和空间 H p ， q ( M ) 对应于 λ 0 = 0 ，对 φ ∈ H p ， q ( M ) ⊥ ， ‖ φ ‖ 0 ≥ λ 1 ‖ φ ‖ 0                       ( λ 1 > 0 ) ， 并且如果我们把Green算子定义为 { G = 0 ，                                                                                     在 H p ， q ( M ) 上 G φ = 1 / λ m φ ，                                 φ ∈ E ( 1 / ( 1 + λ m ) ) 那么G是紧致自伴算子，并且有谱分解 H 0 p ， q ( M ) = H p ， q ( M ) ⊕ ( ⊕ m E ( ρ m ) ) ，其中， G φ = ( ρ m / ( 1 − ρ m ) ) φ ，   φ ∈ E ( ρ m ) . 至此，我们已经证明了Hodge定理。本质的想法是由Hilbert空间技巧产生Green算子，再根据基本估计来证明它是紧致光滑算子。实际上，G是形式 ( G φ ) ( x ) = ∫ M G ( x ， y ) φ ( y ) (5.13) 的积分算子，其中 G ( x ， y ) 是 M × M 上的好核，沿着对角 Δ 有一定的奇异。Hilbert空间方法的缺点是没有在这种形式中给出Green算子。如果我们使用分布而不只是 L 2 -范数，那么，我们通过解 Δ x G ( x ， y ) = δ y + S y (5.14) 这种类型的分布方程来得到 G ( x ， y ) ，其中， δ y 是在y处的 δ 函数， S y 是阶为 − ∞ 的算子。