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user: 2. 理论基础 2.1. 模糊集 经典集合理论中，元素的隶属度只能取0或1，是一种非此即彼的关系。基于对集合中元素隶属关系不确定性考量，Zadeh于上世纪六十年代提出了以隶属函数为理论基础的模糊集概念 [ 6 ]，元素隶属度不再是{0， 1}，而是拓展到了区间[0， 1]。隶属度的模糊化使模糊集具备了对不确定性概念的描述能力。 定义1 [ 6 ]：设U是一非空有限论域，则其上的模糊集F可表示为 F = { ( x ， F ( x ) ) | x ∈ U } ， (1) 其中， F : U → [ 0 ， 1 ] ， F ( x ) 表示模糊集的隶属函数，取值范围为[0， 1]，反映了论域U中的元素x隶属于集合F的程度。 与经典集合中的补、交、并等运算规则相应，Zadeh提出了模糊集的运算规则。 定义2 [ 6 ]:设U是一非空有限论域，F 1 和F 2 为论域上的两个模糊集，则有 1) F 1 c ( x ) = 1 − F 1 ( x ) ， 2) ( F 1 ∩ F 2 ) ( x ) = F 1 ( x ) ∧ F 2 ( x ) ， 3) ( F 1 ∪ F 2 ) ( x ) = F 1 ( x ) ∨ F 2 ( x ) 。 2.2. 梯形区间二型模糊数 Zadeh教授于1975年提出了二型模糊集(Type-2 Fuzzy Set)的概念 [ 7 ]。二型模糊集是对一型模糊集的拓展，其核心思想是将一型模糊集的隶属度模糊化，以此表示高阶不确定性。 定义3 [ 8 ]：设X为论域，则定义在论域X上的二型模糊集A可表示为 A = { ( x ， u ) ， μ A ( x ， u ) | ∀ x ∈ X ， u ∈ J x ， 0 ≤ μ A ( x ， u ) ≤ 1 } ， (2) 其中，x是主要变量， J x ∈ [ 0 ， 1 ] 是x的主要隶属度函数， μ 是次要变量。式(2)可等价表示为 A = ∫ x ∈ X ∫ u ∈ J x u A ( x ， u ) / ( x ， u ) = ∫ x ∈ X ( ∫ u ∈ J x u A ( x ， u ) / ( x ， u ) ) / x ，(3) 其中， ∫ u ∈ J x u A ( x ， u ) / ( x ， u ) 是x的次隶属度函数，积分符号 ∬   表示遍历所有的x和u。 当二型模糊集A中变量x的次隶属度恒为1时，二型模糊集A成为区间二型模糊集 A ˜ ，其定义如下。 定义4 [ 8 ]：设X为论域，若论域上的二型模糊集A满足 μ A ( x ， u ) = 1 ，则称 A ˜ 为区间二型模糊集，其表达式如下所示： A ˜ = ∫ x ∈ X ∫ u ∈ J x 1 / ( x ， u ) = ∫ x ∈ X ( ∫ u ∈ J x 1 / ( x ， u ) ) / x ，(4) 其中，x是主要变量， J x ∈ [ 0 ， 1 ] 是x的主隶属度函数。 定义5 [ 8 ]：区间二型模糊集 A ˜ 的全体主隶属函数围成的区域称为不确定迹，其表达式为 F O U ( A ˜ ) = ∪ x ∈ X J x = [ μ A ˜ L ( x ) ， μ A ˜ R ( x ) ] 。 (5) 显然，区间二型模糊集的不确定迹是由上隶属度函数和下隶属度函数所围成的区域。 定义6 [ 9 ]：当区间二型模糊集的上下隶属度函数为梯形模糊数时，则称其为梯形区间二型模糊数，表示为 T i = ( T i L ， T i U ) = 〈 ( a i 1 L ， a i 2 L ， a i 3 L ， a i 4 L ; H 1 ( T i L ) ， H 2 ( T i L ) ) ， ( a i 1 U ， a i 2 U ， a i 3 U ， a i 4 U ; H 1 ( T i U ) ， H 2 ( T i U ) ) 〉 ， (6) 其中， T i L ， T i U 是一型模糊集， a i 1 U ， a i 2 U ， a i 3 U ， a i 4 U 表示上隶属度函数的参数值，对应的隶属度值为 0 ， H 1 ( T i U ) ， H 2 ( T i U ) ， 0 ； a i 1 L ， a i 2 L ， a i 3 L ， a i 4 L 表示下隶属度函数的参数值，对应的隶属度值分别为 0 ， H 1 ( T i L ) ， H 2 ( T i L ) ， 0 。梯形区间二型模糊数的几何表示如图1所示。 图1. 梯形区间二型模糊数 定义7 [ 9 ] [ 10 ]：若 λ > 0 ，对于任意三个梯形区间二型模糊数 T 1 = ( T 1 L ， T 1 U ) = 〈 ( a 11 L ， a 12 L ， a 13 L ， a 14 L ; H 1 ( T 1 L ) ， H 2 ( T 1 L ) ) ， ( a 11 U ， a 12 U ， a 13 U ， a 14 U ; H 1 ( T 1 U ) ， H 2 ( T 1 U ) ) 〉 ， T 2 = ( T 2 L ， T 2 U ) = 〈 ( a 21 L ， a 22 L ， a 23 L ， a 24 L ; H 1 ( T 2 L ) ， H 2 ( T 2 L ) ) ， ( a 21 U ， a 22 U ， a 23 U ， a 24 U ; H 1 ( T 2 U ) ， H 2 ( T 2 U ) ) 〉 ， T = ( T L ， T U ) = 〈 ( a 1 L ， a 2 L ， a 3 L ， a 4 L ; H 1 ( T L ) ， H 2 ( T L ) ) ， ( a 1 U ， a 2 U ， a 3 U ， a 4 U ; H 1 ( T U ) ， H 2 ( T U ) ) 〉 ， 其对应的运算规则如下： 1) T 1 ⊕ T 2 = 〈 ( a 11 L + a 21 L ， a 12 L + a 22 L ， a 13 L + a 23 L ， a 14 L + a 24 L ; min ( H 1 ( T 1 L ) ， H 1 ( T 2 L ) ) ， min ( H 2 ( T 1 L ) ， H 2 ( T 2 L ) ) ) ，                           ( a 11 U + a 21 U ， a 12 U + a 22 U ， a 13 U + a 23 U ， a 14 U + a 24 U ; min ( H 1 ( T 1 U ) ， H 1 ( T 2 U ) ) ， min ( H 2 ( T 1 U ) ， H 2 ( T 2 U ) ) ) 〉 ， 2) T 1 ⊗ T 2 = 〈 ( a 11 L × a 21 L ， a 12 L × a 22 L ， a 13 L × a 23 L ， a 14 L × a 24 L ; min ( H 1 ( T 1 L ) ， H 1 ( T 2 L ) ) ， min ( H 2 ( T 1 L ) ， H 2 ( T 2 L ) ) ) ，                           ( a 11 U × a 21 U ， a 12 U × a 22 U ， a 13 U × a 23 U ， a 14 U × a 24 U ; min ( H 1 ( T 1 U ) ， H 1 ( T 2 U ) ) ， min ( H 2 ( T 1 U ) ， H 2 ( T 2 U ) ) ) 〉 ， 3) λ T = 〈 ( λ a 1 L ， λ a 2 L ， λ a 3 L ， λ a 4 L ; H 1 ( T L ) ， H 2 ( T L ) ) ， ( λ a 1 U ， λ a 2 U ， λ a 3 U ， λ a 4 U ; H 1 ( T U ) ， H 2 ( T U ) ) 〉 ， 4) T 1 / T 2 = 〈 ( a 11 L / a 24 L ， a 12 L / a 23 L ， a 13 L / a 22 L ， a 14 L / a 21 L ; min ( H 1 ( T 1 L ) ， H 1 ( T 2 L ) ) ， min ( H 2 ( T 1 L ) ， H 2 ( T 2 L ) ) ) ，                       ( a 11 U / a 24 U ， a 12 U / a 23 U ， a 13 U / a 22 U ， a 14 U / a 21 U ; min ( H 1 ( T 1 U ) ， H 1 ( T 2 U ) ) ， min ( H 2 ( T 1 U ) ， H 2 ( T 2 U ) ) ) 〉 。 定义8 [ 11 ]:对于梯形区间二型模糊数 T = 〈 ( a 1 U ， a 2 U ， a 3 U ， a 4 U ; H 1 ( T U ) ， H 2 ( T U ) ) ， ( a 1 L ， a 2 L ， a 3 L ， a 4 L ; H 1 ( T L ) ， H 2 ( T L ) ) 〉 ，其期望值定义为： E ( T ) = 1 2 × ( a 1 U + a 2 U + a 3 U + a 4 U 4 + a 1 L + a 2 L + a 3 L + a 4 L 4 ) × H 1 ( T U ) + H 2 ( T U ) + H 1 ( T L ) + H 2 ( T L ) 4 。(7) 2.3. 影像模糊集 影像模糊集(Picture Fuzzy Set)是由Cuòng提出的新型模糊集 [ 12 ]。影像模糊集是对经典模糊集的拓展，它包含支持、反对、中立等三个方面的隶属度，可以更全面地刻画不确定性信息。 定义9 [ 12 ]：设集合X为一给定的论域，则其上的影像模糊集P可定义为： P = { 〈 μ ( x ) ， η ( x ) ， ν ( x ) 〉 | x ∈ X } ， (8) 其中， μ ( x ) ∈ [ 0 ， 1 ] 是 x ∈ P 的支持隶属度， η ( x ) ∈ [ 0 ， 1 ] 是 x ∈ P 的中立隶属度， ν ( x ) ∈ [ 0 ， 1 ] 是 x ∈ P 的反对隶属度， μ ( x ) ， η ( x ) ， ν ( x ) 满足约束条件 μ ( x ) + η ( x ) + ν ( x ) ≤ 1 。同时，对于 x ∈ X ， π ( x ) = 1 − μ ( x ) − η ( x ) − ν ( x ) 是 x ∈ P 的拒绝隶属度。当 η ( x ) = 0 时，影像模糊集退化为直觉模糊集。为表示简便，影像模糊数可表示为 p = 〈 μ ， η ， ν 〉 ，其中， μ ∈ [ 0 ， 1 ] ， η ∈ [ 0 ， 1 ] ， ν ∈ [ 0 ， 1 ] 且 π = 1 − μ − η − ν 。影像模糊数中的支持度，反对度，中立度和拒绝度分别表示了决策者在评价过程中支持、反对、中立和拒绝的不同态度。 定义10 [ 13 ]：对于影像模糊数 p = 〈 μ ， η ， ν 〉 ，其得分函数与准确函数可分别定义为： S ( p ) = μ − η − ν ， (9) V ( p ) = μ + η + ν 。 (10) 定义11 [ 13 ]：设 p 1 和 p 2 为任意两个影像模糊数，则依据影像模糊数的得分函数与精确函数可对影像模糊数 p 1 和 p 2 进行排序： 1) 若 S ( p 1 ) < S ( p 2 ) ，则 p 1 < p 2 。 2) 若 S ( p 1 ) > S ( p 2 ) ，则 p 1 > p 2 。 3) 若 S ( p 1 ) = S ( p 2 ) ，则 a) 若 H ( p 1 ) < H ( p 2 ) ，则 p 1 < p 2 ， b) 若 H ( p 1 ) > H ( p 2 ) ，则 p 1 > p 2 ， c) 若 H ( p 1 ) = H ( p 2 ) ，则 p 1 = p 2 。 2.4. 区间二元语义 定义12 [ 7 ]: S = { s 0 ， s 1 ， ⋯ ， s g } 为语言术语集，其中， s i 为语言术语， i = 0 ， 1 ， ⋯ ， g ，g为偶数，g+1为语言术语集的粒度。通常，语言术语集应满足以下性质： 1) 有序性：若 i > j ，则 s i > s j 。 2) 逆算子： n e g ( s i ) = s j ，则 j = g − i 。 3) 极大化和极小化运算：若 s i ≥ s j ，则 max { s i ， s j } = s i ， min { s i ， s j } = s j 。 在决策过程中，直接以对语言评价信息进行集成运算会造成评价信息的丢失，从而导致决策结果失真。为解决这一问题，Herrera和Martínez基于符号平移提出了二元语义的概念 [ 14 ]，采用一个二元组 ( s i ， a i ) 表示语言评价信息。 定义13 [ 14 ]：设 S = { S 0 ， S 1 ， ⋯ ， S g } 为语言术语集，则 β ∈ [ 0 ， g ] 对应的二元语义可由如下函数获得 Δ : [ 0 ， g ] → S × [ − 0.5 ， 0.5 ) ， Δ ( β ) = { s i ，                                                                                           i = r o u n d ( β ) α i = β − i ，                         α i ∈ [ − 0.5 ， 0.5 ) (11) 其中，s i 是语言术语集中的语言术语， α i 是符号转移值，满足 α i ∈ [ − 0.5 ， 0.5 ) ，round为取整算子，g + 1为语言术语集的粒度。 定义14 [ 14 ]：设 S = { S 0 ， S 1 ， ⋯ ， S g } 为语言术语集， ( s i ， α i ) 为二元语义， s i ∈ S ， α i ∈ [ − 0.5 ， 0.5 ) ，则 ( s i ， α i ) 对应的实数可由如下函数求得： Δ − 1 : S × [ − 0.5 ， 0.5 ) → [ 0 ， g ] ， Δ − 1 ( s i ， α i ) = α i + i = β 。 (12) 定义15 [ 14 ]:设 S = { S 0 ， S 1 ， ⋯ ， S g } 为语言术语集， [ ( s i ， α i ) ， ( s j ， α j ) ] 可称为区间二元语义， s i ， s j ∈ S 为语言术语， α i ， α j ∈ [ − 0.5 ， 0.5 ) ，其中 i ≤ j (当 i = j 时， α i ≤ α j )，则区间数 [ β 1 ， β 2 ] ( β 1 ， β 2 ∈ [ 0 ， 1 ] 且 β 1 ≤ β 2 )可通过函数 Δ 转换为相应的区间二元语义： Δ : [ 0 ， g ] → S × [ − 0.5 ， 0.5 ) ， Δ [ β 1 ， β 2 ] = [ ( s i ， α i ) ， ( s j ， α j ) ] ，其中 { s i ，                                                                                                     i = r o u n d ( β 1 ) s j ，                                                                                             j = r o u n d ( β 2 ) α i = β 1 − i ，                         α i ∈ [ − 0.5 ， 0.5 ) α j = β 2 − j ，                 α j ∈ [ − 0.5 ， 0.5 ) (13) 相反，区间二元语义 [ ( s i ， α i ) ， ( s j ， α j ) ] 也可以通过函数 Δ − 1 转换为相应的区间数 [ β 1 ， β 2 ] ： Δ − 1 ( [ ( s i ， α i ) ， ( s j ， α j ) ] ) = [ i + α i ， j + α j ] 。 (14) 在实际决策过程中，不同决策者往往会倾向于选择不同的语言评价粒度。因此，在对语言评价信息进行集成前，需要首先将不同粒度语言评价信息进行一致化，即将不同粒度的语言评价信息转化为同一个语言术语集中的语言评价信息 [ 15 ]，该语言术语集称为基础语言术语集。 2.5. 后悔理论 后悔理论是行为决策中得到广泛应用的研究成果 [ 16 ] [ 17 ]。后悔理论认为决策者在决策过程中不仅只关注当前所选方案的获得结果，还会将所选方案的结果与其它方案可能获得的结果进行比较，如果发现其它方案可能获得更好的结果时会感到后悔，反之，则感到欣喜。因此，决策者的后悔–欣喜心理都会不同程度地影响到决策者的实际决策行为，决策者在决策过程中会尽量规避选择使自己后悔的方案。后悔理论的决策过程分为两个阶段：前期编辑阶段和后期评价阶段。编辑阶段主要是感知效用函数的构建过程，通过构建效用函数和后悔–欣喜函数，将不确定属性信息转化为感知效用；评价阶段是对综合感知效用的评估和选择，基于效用函数和后悔–欣喜函数共同确定方案综合感知效用，并依据综合感知效用值进行决策。因此，后悔理论中，决策者的感知效用函数由所选方案效用函数和后悔–欣喜函数两部分组成。设x 1 和x 2 分别表示方案A 1 和A 2 的预期结果，则决策者对方案A 1 的感知效用为 μ 1 = v ( x 1 ) + R ( v ( x 1 ) − v ( x 2 ) ) ， (15) 其中， v ( x 1 ) 和 v ( x 2 ) 分别表示方案A 1 和A 2 的效用函数， R ( Δ v ) 表示后悔–欣喜函数。因此，在后悔理论中，效用函数和后悔–欣喜函数是研究的关键。在后悔理论中，效用函数反映了决策者对当前方案的各项指标进行综合评价后所形成的主观结果感受效用。在实际决策中，由于决策者往往是风险规避的，效用函数 v ( x ) 通常是单调递增的凹函数。此外，后悔–欣喜函数反映了决策者对当前方案所获的结果与其它方案获得的结果进行比较之后的心理感受程度，通常是单调递增的凹函数。