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user: 2. 正文 本章建立了研究保险投资与再保险问题所涉及的模型。首先，保险公司可以通过比例再保险方式来收取保费，假定保险公司的盈余过程满足扩散近似过程；而金融市场由无风险资产和风险资产这两个资产组成，而风险资产的价格过程服从几何布朗运动；然后分析保险公司的财富过程，研究兼顾风险和收益的最优投资与比例再保险模型；假定保险公司的投资决策在给定均值的情况下使得风险最小化，利用HJB方法，给出最优保险投资策略与最优再保险策略的解的形式。最后，分析了各个经济意义下的参数等对所求得的最优策略的影响，并给出了相应的经济学意义上的解释，为保险事业作参考价值。 2.1. 基本模型 考察完备概率测度空间 ( Ω ， F ， P ) ，本文中假定所涉及到的随机过程都在概率空间 ( Ω ， F ， P ) 上有定义，且皆为适应过程。接下来将介绍本文开展的工作需要涉及到的模型如下。 2.1.1. 保险公司理赔过程 保险公司的财富过程可以简化为两个部分——盈余过程和投资过程。其中盈余过程又可以拆分为下面三个组成方面：保险人收取保费，并支付再保险费用和支付理赔费用；而投资过程这里先假设只考虑两种资产，简化模型方便计算 [ 6 ]。 考虑有限的连续时间 [ 0 ， T ] ，给定一个完备概率空间 ( Ω ， F ， P ) ，在其上定义两个一维的标准布朗运动 W C ( t ) 和 W S ( t ) ，并假设这两个布朗运动 W C ( t ) 和 W S ( t ) 之间是相互独立的，分别代表保险赔付过程的随机性和金融市场中风险资产的随机性。令 F W C ( t ) 和 F W S ( t ) 分别代表 W C ( t ) 和 W S ( t ) 产生的自然信息流。令 { F t } 0 ≤ t ≤ T = { F W C ( t ) ⊗ F W S ( t ) } 0 ≤ t ≤ T ， F = F T . (1) 记 E [ ⋅ ] 是概率测度P下的期望。 1) 假设本文所考虑的整个保险公司的保费收入为 X 1 ，则实务中保险费用的确定需依据复杂地计算每个保险种类的责任才可以得到。假设保险公司的保费是经验赔付金额的一定比例，则有 X 1 = ( 1 + θ ) μ C (2) 其中， μ C 是理赔费用的均值，而 θ 是一个安全负载系数，为能保证在该保险费用下，保险公司可以盈利。 2) 本文所采用再保险方式为比例再保险，假设t时刻保险公司的再保险比例水平为 a ( t ) ，则 ( 1 − a ( t ) ) 称为保险公司的风险暴露水平，即保险公司的自留水平。若 a ( t ) 已确定，则保险公司需要支付每次索赔额的 100 ( 1 − a ( t ) ) % ，而剩下的由再保险公司赔付，现记 C ( t ) 表示t时刻发生的理赔金额。保险公司需要支付给再保险公司的再保费满足： X 0 = ( 1 + η ) μ C a ( t ) (3) 其中， η 是一个再保险费用安全负载系数， η ≥ θ > 0 可满足实际上保险的再次保险生效，以达到再保险公司盈利的目的。 3) 假设保险公司的理赔过程 C ( t ) 满足如下的扩散近似模型，实际上，扩散近似模型适用于保险组合规模较大且单个索赔额较小的情形。保险公司在承担保险的过程中可能会受到外在等随机因素的影响，理赔过程 C ( t ) 服从如下式(4)的近似扩散过程： d C ( t ) = μ C d t − σ C d W C ( t ) (4) 其中， μ C 是一个正的漂移项， W C ( t ) 是一个标准布朗运动。上式(4)理赔过程中波动部分的系数是负的，以上两种对比情况的分析可以知道，当赔付较大时可以将该模型近似看作是布朗运动。 由上可知，保险公司的盈余过程 R ( t ) 描绘保险公司关于保险责任t时刻的收入支出过程是通过收入保费 X 1 ，支付再保保费 X 0 以及支付自留风险部分保险理赔费用 ( 1 − a ( t ) ) C ( t ) 来衡量的，则盈余过程在很短的一段时间的变化量可被描述为： d R ( t ) = X 1 d t − X 0 d t − ( 1 − a ( t ) ) d C ( t ) = ( 1 + θ ) μ C d t − ( 1 + η ) μ C a ( t ) d t − ( 1 − a ( t ) ) ( μ C d t − σ C d W C ( t ) ) = ( θ − η a ( t ) ) μ C d t + ( 1 − a ( t ) ) σ C d W C ( t ) (5) 2.1.2. 金融市场投资模型 本文所考虑的金融市场中理论资产配置由一个无风险资产和一个风险资产组成。其中，假设无风险资产在t时刻满足如下式(6)： d B ( t ) = r B ( t ) d t B ( 0 ) = B 0 (6) 令 B 0 = 1 ，而 r > 0 表示无风险利率，一般其被假定为一个正的常数。 股票作为一种风险资产，是典型的风险投资工具，高风险高回报是其最为明显的特点。本文考虑的风险资产落实为股票，假设股票在时刻t的价格记为 S ( t ) ，其满足以下的GBM模型(7)，即几何布朗运动： d S ( t ) = S ( t ) ( μ S d t + σ S d W S ( t ) ) S ( 0 ) = S 0 (7) 其中， μ S 是风险资产的瞬时收益率。假设 r < μ S < 2 r ， σ S > 0 为一正常数，而 { W S ( t ) ， t ≥ 0 } 是标准布朗运动。 保险公司的整体财富过程 X ( t ) 包括两个部分，一个部分是保险盈余部分，另一个部分则是金融投资部分。其中，盈余过程满足 R ( t ) 过程，而投资部分则用式(6)中的无风险资产 B ( t ) 和式(7)中风险资产 S ( t ) 的组合来描述。 在任意时刻 t ≥ 0 记 π ( t ) = ( a ( t ) ， u ( t ) ) 是t时刻的策略，其中，设 a ( t ) 是t时刻分出给再保公司保险责任的比例， u ( t ) 是t时刻全部资金中投资于风险资产的比例。策略 π ( t ) 选定后设财富过程为 X ( t ， π ) ，简记为 X ( t ) ，满足下面的随机微分方程： d X ( t ) = d R ( t ) + r ( 1 − u ( t ) ) X ( t ) d t + u ( t ) X ( t ) [ μ S d t + σ S d W S ( t ) ] = { [ r + ( μ S − r ) u ( t ) ] X ( t ) + ( θ − η a ( t ) ) μ C } d t       + ( 1 − a ( t ) ) σ C d W C ( t ) + σ S u ( t ) X ( t ) d W S ( t ) (8) 初始条件， X ( 0 ) = x 0 。上式中涉及的布朗运动 W C ( t ) 和 W S ( t ) 是相互独立的。 现对 X ( t ) 进行二次变差的处理，则 d 〈 X 〉 t = [ ( 1 − a ( t ) ) 2 σ C 2 + σ S 2 u 2 ( t ) X 2 ( t ) ] d t 定义再保险–投资策略 { π ( t ) ， t ∈ [ 0 ， T ] } 是可允许的，若满足以下条件： 1) { π ( t ) ， t ∈ [ 0 ， T ] } 是关于 { F t } 0 ≤ t ≤ T 可测的； 2)对任意的 t ∈ [ 0 ， T ] ，有 a ( t ) ≥ 0 ， a . s . ； 3) E { ∫ t T [ u ( t ) 2 + ( 1 − a ( t ) ) 2 ] d s } < ∞ ； 4) 随机微分方程(8)中的控制 { π ( t ) ， t ∈ [ 0 ， T ] } 有唯一的强解。 令 ℚ : [ 0 ， T ] × R ，当初始条件满足 ( t ， x ) ∈ ℚ 时，令 Π 表示所有可允许策略集。 2.1.3. 均值–方差问题 现实生活中，一部分保险投资者可能不是很愿意承担来自风险资产与保险业务的额外风险，他们更倾向于投资到较多的无风险资产与较少的保险业务上；而有一部分人可能会愿意承担上面的风险，而去投资更多的风险资产与保险业务。最优化问题一般会假定保险公司的决策者对风险保持厌恶的心理，但这一假设不能客观反映所有人对风险持有的态度，不同的风险态度对决策的影响亦不同。这里我们介绍一个对保险公司而言能够更好地管理风险的最优化问题。 记 X T π 为终值时刻T时，在策略 π ( ⋅ ) 下，保险公司的财富。保险人希望能在所有可行策略中寻找到一个策略 π ( ⋅ ) ，使得 E X T π = k 同时使下式(9)最小： V a r X T π = E [ X T π − E X T π ] 2 = E [ X T π − k ] 2 (9) 该问题称为均值–方差组合选择问题，即如下的描述： 定义均值–方差组合选择问题是以参数 k ∈ R 为限制的随机最优化问题，目标函数也就是 { V ( t ， x ) = inf π E t ， x [ X T π − k ] 2 s . t .   E X T π = k ， π ∈ Π ， ( X ( ⋅ ) ， π ( ⋅ ) )   satisfies   ( 8 ) (10) 定义 E t ， x ( ⋅ ) = E [ ⋅ | F t ， X ( t ) = x ] ， V a r t ， x ( ⋅ ) = V a r [ ⋅ | F t ， X ( t ) = x ] 。 式(10)中 E t ， x ( ⋅ ) ， V a r t ， x ( ⋅ ) 是给定 X t π = x 下的条件期望和条件方差。定义中的均值–方差组合选择问题对每一个都是可行的，当且仅当 μ S > r > 0 。 2.2. 模型求解 在整篇论文中，我们将致力于解出 π ∗ ( t ， x ) = ( a ∗ ( t ， x ) ， u ∗ ( t ， x ) ) 。在该部分中，我们引入伊藤公式。首先定义Ito process (伊藤过程)： 定义 X t = X 0 + ∫ 0 t u t d t + ∫ 0 t σ t d W t (11) 其中 W t 服从标准布朗运动， X 0 是常数。对 f ( t ， W t ) 进行泰勒展开来求伊藤公式： f ( t ， W t ) = f ( 0 ， W 0 ) + ∑ i d f d t Δ t i + ∑ i d f d W t Δ W t + 1 2 ∑ i d 2 f d t 2 ( Δ t i ) 2                                 + 1 2 ∑ i d 2 f d W t 2 ( Δ W t ) 2 + ∑ i d 2 f d W t d t Δ t i Δ W t + ο ( t ， W t ) (12) 在二次项中，标准布朗运动的方差可求得为t，有 d W t 2 = t ，其余项为0。 由此，令 Δ t i ， Δ W t → 0 ，则： d f ( t ， W t ) = d f d t d t + d f d W t d W t + 1 2 d 2 f d W t 2 d t 下面将确定性策略与适应性策略进行对比： 1) 适应情形下的策略 针对式(8)，则相应的对汉密尔顿–雅可比–贝尔曼(HJB)方程进行一定的推导，最终得到： { 0 = inf π ∈ Π { v t + v x { r x + ( μ S − r ) u ( t ) x + ( θ − η a ( t ) ) μ C } + 1 2 v x x ( ( 1 − a ( t ) ) 2 σ C 2 + σ S 2 u ( t ) 2 x 2 ) } ( x − l ) 2 = v ( T ， x ) (13) 其中， v t 和 v x 分别是对变量t和x的一阶偏导数， v x x 是对变量x的二阶偏导数。通过目标泛函和值函数的关系，我们可以知道： 当选择最优策略 π ∗ ( t ， x ) = ( a ∗ ( t ， x ) ， u ∗ ( t ， x ) ) 时的目标泛函等于值函数，可以证明通过值函数求解的控制就是希望得到的最优控制。这样就将一个最优控制问题，转化为求解(13)式中的HJB方程的问题。在(13)式中，包含控制 a ∗ ( t ) 和 u ∗ ( t ) ，它们是函数而不是常数，且满足 a ( t ) > 0 ， u ( t ) > 0 。 这样，就得到式(13)关于 u ( t ) 和 a ( t ) 的一阶可导条件分别为： − v x η μ C a ( t ) + v x x [ a ( t ) − 1 ] σ C 2 = 0 v x ( μ S − r ) x + v x x σ S 2 x 2 u ( t ) = 0 最终可以求得适应策略下的最优再保险策略与风险投资比例的函数表达式为如下： a ∗ ( t ) = η μ C σ C 2 v x v x x + 1 u ∗ ( t ) = − ( μ S − r ) v x σ S 2 X ( t ) v x x (14) 由于得到满足式(8)的问题的解析解是较为困难的，先拟设， v ( t ， x ) = A ( t ) + B ( t ) x + C ( t ) x 2 ，很容易得到HJB方程如下改进形式： 0 = inf π ∈ R { A ˙ ( t ) + B ˙ ( t ) x + C ˙ ( t ) x 2 + ( B ( t ) + 2 C ( t ) x ) [ r x + ( μ S − r ) u ( t ) x + ( θ − η a ( t ) ) μ C ]           + C ( t ) ( ( 1 − a ( t ) ) 2 σ C 2 + σ S 2 u ( t ) 2 x 2 ) } (15) 注意值函数是二次函数，对应术语x，x 2 前的系数满足为零，则： C ˙ ( t ) = − C ( t ) ( 2 r − ( μ S − r ) 2 σ S 2 − η 2 μ C 2 σ C 2 ) B ˙ ( t ) = − B ( t ) ( r − ( μ S − r ) 2 σ S 2 − η 2 μ C 2 σ C 2 ) + 2 C ( t ) ( η − θ ) μ C A ˙ ( t ) = B ( t ) ( η − θ ) μ C − B 2 ( t ) 4 C ( t ) ( ( μ S − r ) 2 σ S 2 + η 2 μ C 2 σ C 2 ) (16) 有着边界条件为 C ( T ) = 1 ， B ( T ) = − 2 l ， A ( T ) = l 2 。我们对最优策略的解的形式很感兴趣，令 p ( t ) = B ( t ) C ( t ) ，代入式(16)可得： 关于 ， 分别求导，且求解出 ，则 最后，我们要解决的问题即可变为求取最佳的。因此，我们必须计算 ，即最优投资与再保险策略下的预期终端财富。我们可以得到： 其中， 。下有： 确定性策略中的再保险比例和投资数量，为能过有效的对比，我们采取了将适应下策略进行期望取值。 根据有 这一关系，则 注意该情形下的 是与理赔的漂移率 呈正相关关系，与再保费相对保费安全负载 呈正相关趋势。 其中， 。 2) 确定情形下的策略 上一部分主要是介绍了适应性最优策略下的解析形式，我们假设现在投资策略必须预先确定，即财富过程中 是关于 可测的，这意味着它是确定性的，只是时间t的函数。因此，保险公司的基金经理必须在 解释 时的投资策略，而不使用关于过程演化的进一步知识，这看起来至少有时比自适应策略方程更现实些。一般情况下，管理基金者会激励这种只依赖时间的投资策略战略，因此对确定性策略的研究也就显得极为重要。 针对确定性的投资，这里我们需要对最优投资所涉及的参数含义进行一定的修改，可仍设 是确定初始投资 的再保险比例，而 为最初投资为 时所确定的投资数量，则相应的财富过程 如下表示： 首先，我们定义 为贴现财富过程，此下定义的过程在另一个测度Q下进行的，但是可以找 到P和Q之间的联系，本文中先不讨论它们之间的关系。 下面这样做可以消除t时刻财富过程 对所确定的策略的影响，则有： 其中， 是将两个布朗运动信息整合起来而构建的一个新的布朗运动，可令 为 上的函数，其中： 利用拉格朗日算子可得： 该问题的值函数即可满足如下式： (17) 现可拟设 ，有 。 我们有 (18) 分别对式(17)中关于 ， 求一阶导数，则最终的最优策略为： (19) 计算得到 (20) 将上式中的 代入到式(17)中。最终可求得确定情形下的均值–方差的有效策略为： 上文已介绍了最优投资与再保险问题需要用到的模型，且对终端时间确定的适应性策略与确定性策略皆作了一定的推导与分析。事实上，在确定性下的再保险与金融投资策略中，策略仅作为时间t的函数；而适应性策略或多或少会依赖于t时刻的财富，相较于确定性的策略更为复杂。