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user: 3. 点态化完备代数正规类中的κ-根与β-根 A 是一个点态化完备代数正规类。 定义3.1 [ 21 ] ： a ∈ A 。 1) 如果 ∀ x ∈ S a ，存在正整数 n > m (n，m都与x有关)，使得 〈 x n 〉 = 〈 x m 〉 ，则称a是周期代数； 2) 如果 ∀ x ∈ S a ，存在正整数 n > 1 (n与x有关)，使得 〈 x n 〉 = 〈 x 〉 ，则称a是Jacobson代数； 3) x ∈ S a ，如果有 〈 x 2 〉 = 〈 x 〉 ，则称x是一个幂等元； 4) 如果 ∀ x ∈ S a ，有 〈 x 2 〉 = 〈 x 〉 ，则称a是Boolean代数； 5) 如果有 e ∈ S a ， ∀ x ∈ S a ，都有 e x = x e = x ，则称e是交换代数a的单位元，e通常记为1。 定理3.1：设 a ∈ A 。 1) a是Boolean代数，则a是Jacobson代数； 2) a是Jacobson代数，则a是不含非0幂零元素的周期代数； 3) a是Jacobson代数，如果a有单位元1，则a是正则代数及λ-代数。 证明：1) 显然。 2) a是Jacobson代数，则显然a是周期代数。设 x ∈ S a 是a的幂零元素，则存在的 k > 0 ，使得 〈 x k 〉 = 0 。又因为a是Jacobson代数，故存在正整数 n > 1 ，使得 〈 x n 〉 = 〈 x 〉 ，设 n ， k 是分别满足条件的最小正整数。 如果 n = k ，则 〈 x n 〉 = 〈 x k 〉 = 0 = 〈 x 〉 ，所以 x = 0 ； 如果 n > k ，则 〈 x n 〉 = 〈 x k + ( n − k ) 〉 = 〈 x k 〉 〈 x ( n − k ) 〉 = 0 〈 x ( n − k ) 〉 = 0 = 〈 x 〉 ，所以 x = 0 ； 如果 n < k 。当 n − 1 | k − 1 时，则有 k − 1 = l ( n − 1 ) + r ， 0 ≤ r < n − 1 ， 〈 x k 〉 = 〈 x 1 + l ( n − 1 ) + r 〉 = 〈 x 1 + r 〉 = 0 ，即存在 1 + r < 1 + ( n − 1 ) = n < k ，使得 〈 x 1 + r 〉 = 0 ，与k的最小性矛盾，即有 n − 1 | k − 1 。设 k − 1 = l ( n − 1 ) ， l > 1 ，则 〈 x k 〉 = 〈 x 1 + l ( n − 1 ) 〉 = 〈 x 〉 = 0 ，所以 x = 0 。 综上所述有 x = 0 ，即a是不含非0幂零元素的周期代数。 3) 如果a有单位元1，则 ∀ x ∈ S a ， x = x ⋅ 1 ⋅ x = 1 ⋅ x ⋅ 1 ，所以 x ≤ ϕ a ( 〈 x 〉 〈 1 〉 〈 x 〉 ) ⊆ ϕ a ( 〈 x 〉 A 〈 x 〉 ) ， x ∈ ϕ a ( 〈 1 〉 〈 x 〉 〈 1 〉 ) ⊆ ϕ a ( A 〈 x 〉 A ) ，故 〈 x 〉 ≤ 〈 x 〉 A 〈 x 〉 ， 〈 x 〉 ≤ A 〈 x 〉 A ，即a是正则代数及λ-代数。证毕。 由周期代数、Jacobson代数、Boolean代数的定义，即有定理3.2、定理3.3： 定理3.2：设 a ∈ A ， i ⊲ l a ( i ⊲ r a 或 i ⊲ a )。则： 1) 如果a是周期代数，则i是周期代数； 2) 如果a是Jacobson代数，则i是Jacobson代数； 3) 如果a是Boolean代数，则i是Boolean代数。 定理3.3：设 a ∈ A ， s ≤ a 。则： 1) 如果a是周期代数，则s是周期代数； 2) 如果a是Jacobson代数，则s是Jacobson代数； 3) 如果a是Boolean代数，则s是Boolean代数。 记所有Jacobson代数的类为κ，记所有Boolean代数的类为β。 定理3.4：Jacobson代数类κ是一个根类。 证明：1) 设 a ∈ κ ， i ⊲ a ， ∀ x ∈ S a / i ，对满射 γ i : S α → S α / i ，存在 y ∈ S a ， x = γ i ( y ) 。由 a ∈ κ ，存在正整数 n > 1 ，使得 〈 y n 〉 = 〈 y 〉 ，所以 〈 x n 〉 = 〈 ( γ i ( y ) ) n 〉 = 〈 γ i ( y n ) 〉 = 〈 γ i ( y ) 〉 = 〈 x 〉 ，从而a/i是Jacobson代数，代数类κ对商闭。 2) ∀ a ∈ A ，如果 i 1 ⊲ i 2 ⊲ ⋯ ⊲ i μ ⊲ ⋯ 是a的λ-理想升链， ∀ x ∈ ϕ a ( ∨ i μ ) = ∪ ϕ a ( i μ ) ，故存在μ，使得 x ∈ ϕ a ( i μ ) ，因此存在正整数 n > 1 ，使得 〈 x n 〉 = 〈 x 〉 ，即 ∨ i μ 是Jacobson代数，代数类κ有归纳性质。 3) ∀ a ∈ A ， i ⊲ a ，如果 i ， a / i ∈ κ 。 ∀ x ∈ S a ， y = γ i ( x ) ∈ a / i ，存在正整数 n > 1 ，使得 〈 y n 〉 = 〈 y 〉 ，即 〈 y 〉 = ( 〈 x 〉 ∨ i ) / i = 〈 y n 〉 = ( 〈 x n 〉 ∨ i ) / i ，故而 〈 x 〉 ∨ i = 〈 x n 〉 ∨ i ，因此 〈 x 〉 ≤ 〈 x n 〉 ∨ i ，所以有 x 1 ∈ 〈 x n 〉 ， x 2 ∈ i ，使得 〈 x 〉 ≤ 〈 x 1 〉 ∨ 〈 x 2 〉 ， 〈 x 2 〉 ≤ 〈 x 〉 ∨ 〈 x 1 〉 。由于 x 1 ∈ 〈 x n 〉 ≤ 〈 x 〉 ，所以 〈 x 1 〉 ≤ 〈 x 〉 ，故 〈 x 2 〉 ≤ 〈 x 〉 ∨ 〈 x 〉 = 〈 x 〉 。又因为 i ∈ κ ， x 2 ∈ ϕ a ( i ) ，所以存在正整数 m > 1 ，使得 〈 x 2 m 〉 = 〈 x 2 〉 ，故 〈 x m 〉 = 〈 x 〉 m = 〈 x 2 〉 m = 〈 x 2 m 〉 = 〈 x 2 〉 = 〈 x 〉 ，即 a ∈ κ ，代数类κ扩张闭。 根据引理2.2，代数类κ是一个根类。证毕。 Jacobson代数类κ确定的根类κ称κ-根。 定理3.5：Boolean代数类β是一个根类。 证明：1) 设 a ∈ β ， i ⊲ a ， ∀ x ∈ S a / i ，对满射 γ i : S α → S α / i ，存在 y ∈ S a ， x = γ i ( y ) 。由 a ∈ β ，则 〈 y 2 〉 = 〈 y 〉 ，所以 〈 x 2 〉 = 〈 ( γ i ( y ) ) 2 〉 = 〈 γ i ( y 2 ) 〉 = 〈 γ i ( y ) 〉 = 〈 x 〉 ，从而a/i是Boolean代数，代数类β对商闭。 2) ∀ a ∈ A ，如果 i 1 ⊲ i 2 ⊲ ⋯ ⊲ i μ ⊲ ⋯ 是a的λ-理想升链， ∀ x ∈ ϕ a ( ∨ i μ ) = ∪ ϕ a ( i μ ) ，故存在μ，使得 x ∈ ϕ a ( i μ ) ，因此有 〈 x 2 〉 = 〈 x 〉 ，即 ∨ i μ 是Boolean代数，代数类β有归纳性质。 3) ∀ a ∈ A ， i ⊲ a ，如果 i ， a / i ∈ κ 。 ∀ x ∈ S a ， y = γ i ( x ) ∈ a / i ，则 〈 y 2 〉 = 〈 y 〉 ，即 〈 y 〉 = ( 〈 x 〉 ∨ i ) / i = 〈 y 2 〉 = ( 〈 x 2 〉 ∨ i ) / i ，故而 〈 x 〉 ∨ i = 〈 x 2 〉 ∨ i ，因此 〈 x 〉 ≤ 〈 x 2 〉 ∨ i ，所以有 x 1 ∈ 〈 x 2 〉 ， x 2 ∈ i ，使得 〈 x 〉 ≤ 〈 x 1 〉 ∨ 〈 x 2 〉 ， 〈 x 2 〉 ≤ 〈 x 〉 ∨ 〈 x 1 〉 。由于 x 1 ∈ 〈 x 2 〉 ≤ 〈 x 〉 ，所以 〈 x 1 〉 ≤ 〈 x 〉 ，故 〈 x 2 〉 ≤ 〈 x 〉 ∨ 〈 x 〉 = 〈 x 〉 。又因为 i ∈ β ， x 2 ∈ ϕ a ( i ) ，所以 〈 x 2 2 〉 = 〈 x 2 〉 ，故 〈 x 2 〉 = 〈 x 〉 2 = 〈 x 2 〉 2 = 〈 x 2 2 〉 = 〈 x 2 〉 = 〈 x 〉 ，即 a ∈ β ，代数类β扩张闭。 根据引理2.2，代数类β是一个根类。证毕。 Jacobson代数类β确定的根类β称β-根。 定理3.6：κ-根与β-根都是左遗传根、右遗传根及强遗传根。 证明：由定理3.3知Jacobson代数、Boolean代数都对子代数封闭即得κ-根与β-根都是强遗传根，从而都是左、右遗传根。证毕。 定理3.7：κ-根与β-根都是遗传根，但都不是超幂零根，从而都不是特殊根。 证明：由定理3.6知Jacobson代数类κ，Boolean代数类β都是遗传根。由定理3.1知Jacobson代数、Boolean代数都不含非0幂零元素，从而Jacobson代数类κ，Boolean代数类β中都不含非0幂零代数，故κ-根与β-根都是遗传根，但都不是超幂零根，从而都不是特殊根。证毕。 定理3.8：设 a ∈ A ，a是正则代数， i ⊲ a ，则i是正则代数，即正则代数对理想封闭，从而正则根是遗传根，但正则根不是超幂零根，从而不是特殊根。 证明： ∀ x ∈ ϕ a ( i ) ⊆ S a ，于是 〈 x 〉 ≤ 〈 x 〉 a 〈 x 〉 ，所以存在 y ∈ S a ，使得 〈 x 〉 ≤ 〈 x 〉 〈 y 〉 〈 x 〉 ≤ 〈 x 〉 〈 y 〉 ( 〈 x 〉 〈 y 〉 〈 x 〉 ) = 〈 x 〉 ( 〈 y 〉 〈 x 〉 〈 y 〉 ) 〈 x 〉 。因为 〈 y 〉 〈 x 〉 〈 y 〉 ≤ 〈 y 〉 ( x ) 〈 y 〉 ≤ ( x ) ≤ i ，所以 〈 x 〉 ≤ 〈 x 〉 i 〈 x 〉 ，即x是正则元素，从而i是正则代数。 取a是非0零乘代数，即 a 2 = 0 ， 0 ≠ x ∈ S a ，则 〈 x 〉 a 〈 x 〉 ≤ a 3 = 0 ，故 〈 x 〉 a 〈 x 〉 = 0 ， 〈 x 〉 ≤ 〈 x 〉 a 〈 x 〉 ，从而x不是正则元，即a不是正则代数，所以正则根不是超幂零根，从而不是特殊根。证毕。