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user: 3. 三次复合曲面的分类 定义3.1：如果一个3次曲面能写成如下形式 Φ 3 ( x ， y ， z ) = F ( x ， y ， z ) ( a 1 x + a 2 y + a 3 z + a 4 ) = 0 (4) 其中 F ( x ， y ， z ) 是2次曲面函数， a 1 x + a 2 y + a 3 z + a 4 是一次曲面(即平面)函数，则称这个3次曲面为3次复合曲面(或可分的3次曲面)；并分别称2次曲面 F ( x ， y ， z ) = 0与平面 a 1 x + a 2 y + a 3 z + a 4 = 0 为这个3次复合曲面的二次分曲面与分平面；如果不能，则称为不可分的3次曲面。 为了对三次复合曲面进行分类，下面先对平面的分类进行讨论： 定义3.2：设平面的一般方程为 A x + B y + C z + D = 0 (5) 其中实常数A，B，C不全为0。如果在交换变元x，y，z及重新命名平面系数A，B，C与D的条件下，不能化为同一形式的任意两个平面方程，称为不同类型的平面方程。 定理3.1：如果平面方程(5)中的变元x，y，z可以自由交换，则平面方程可以分为以下6类： (i) A x + B y + C z + D = 0 ， A B C D ≠ 0 ( 与 三 个 坐 标 轴 都 相 交 于 非 零 点 的 平 面 ) (ii) A x + B y + C z = 0 ， A B C ≠ 0 ( 过 原 点 的 平 面 ) (iii) A x + B y + D = 0 ， A B D ≠ 0 ( 平 行 于 坐 标 轴 的 平 面 ) (iv) A x + B y = 0 ， A B ≠ 0 ( 过 坐 标 轴 的 平 面 ) (v) A x + D = 0 ， A D ≠ 0 ( 平 行 于 坐 标 平 面 的 平 面 ) (vi) A x = 0 或 x = 0 ， A ≠ 0 ( 坐 标 平 面 ) 证明：在方程(5)中，当A，B，C与D都不为0就是第(i)类；当A，B与C都不为0，且D为0，则化为第(ii)类；当A，B与C中有一个为0，而D不为0，则化为第(iii)类；当A，B与C中有一个为0，且D为0，则化为第(iv)类；当A，B与C中有两个为0，而D不为0，则化为第(v)类；当A，B与C中有两个为0，且D为0，则化为第(vi)类。毫无疑问，(i)~(vi)属于不同的类，因为他们相互间在交换变元x，y，z及重新命名平面系数A，B，C与D的条件下，不能互化。 □ 定理3.2：适当选取坐标系，三次复合曲面的一般方程(4)总可化为下列5大类简化方程中的一个： (I) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + a 44 ) ( A x + B y + C z + D ) = 0 ， a 11 a 22 a 33 ≠ 0 ; (II) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z ) ( A x + B y + C z + D ) = 0 ， a 11 a 22 a 34 ≠ 0 ; (III) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 44 ) ( A x + B y + C z + D ) = 0 ， a 11 a 22 ≠ 0 ; (IV) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) ( A x + B y + C z + D ) = 0 ， a 11 a 24 ≠ 0 ; (V) ( a 11 x 2 + a 44 ) ( A x + B y + C z + D ) = 0 ， a 11 ≠ 0 ; 其中A，B，C不全为0。 证明：根据3次复合曲面(4)的2次分曲面 F ( x ， y ， z ) = 0 的特点，由定理2.1知，适当选取坐标系，即进行恰当的坐标的转轴与平移变换(3)，可以把 F ( x ， y ， z ) = 0 化为定理2.1中的5种形式，同时此变换把平面方程 a 1 x + a 2 y + a 3 z + a 4 = 0 化为了 A x + B y + C z + D = 0 形式。由于平面方程在任何坐标系下都是一次方程，因此A，B，C不全为0。所以，适当选取坐标系后，任一3次复合曲面(4)都可以化为本定理描述的5大类形式之一。 □ 定理3.2的分类是在平面方程 A x + B y + C z + D = 0 中的系数A，B，C不全为0的条件下得到的，并没有考虑A，B，C及D的具体情况。为了得到标准方程，我们有必要加以考虑。由定理3.1知，平面 A x + B y + C z + D = 0 可以分为6类，是否意味着能利用乘法原理，得到由定理3.2的5大类扩展成30小类的结论呢？我们说不能，因为定理3.1有一个先决条件：能自由交换变元x，y，z，而定理3.2中的平面方程 A x + B y + C z + D = 0 中的变元及其系数是不自由的，是被动得到的，因此如果仅考虑A，B，C，D中有几个为0而不考虑他们的正负号的条件下，我们有 定义3.3：在定理3.2的5大分类方程中，如果进一步考虑A，B，C，D中有几个为0而不考虑他们的正负号的条件下得到的方程称为三次复合曲面(4)的小类方程；如果在交换变元x，y，z及重新命名二次分曲面函数系数a ij (不同大类有不同的a ij )与平面系数A，B，C的条件下，不能化为同一形式的两个小类方程称为不同类型的小类方程。 从而，在进一步考虑A，B，C，D中有几个为0而不考虑他们的正负号的条件下，我们有下面引理3.1~3.5： 引理3.1：适当选取坐标系，定理3.2中的(I)式可化为下列6小类简化方程中的一个： (1-1) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + a 44 ) ( A x + B y + C z + D ) = 0 ， A B C D ≠ 0 ; (1-2) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + a 44 ) ( A x + B y + C z ) = 0 ， A B C ≠ 0 ; (1-3) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + a 44 ) ( A x + B y + D ) = 0 ， A B D ≠ 0 ; (1-4) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + a 44 ) ( A x + B y ) = 0 ， A B ≠ 0 ; (1-5) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + a 44 ) ( A x + D ) = 0 ， A D ≠ 0 ; (1-6) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + a 44 ) x = 0 ， 其中 a 11 a 22 a 33 ≠ 0 。 证明：在(I)式中的二次分曲面函数 F ( x ， y ， z ) = a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + a 44 关于 x ， y ， z 对称，使得 A x + B y + C z + D 中的 x ， y ， z 可以自由交换，满足定理3.1的条件，因此组合分配一下就可得到本引理中的6类简化方程。 □ 引理3.2：适当选取坐标系，定理3.2中的(II)式可化为下列10小类简化方程中的一个： (2-1) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z ) ( A x + B y + C z + D ) = 0 ， A B C D ≠ 0 ; (2-2) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z ) ( A x + B y + C z ) = 0 ， A B C ≠ 0 ; (2-3) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z ) ( A x + B y + D ) = 0 ， A B D ≠ 0 ; (2-4) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z ) ( A x + C z + D ) = 0 ， A C D ≠ 0 ; (2-5) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z ) ( A x + B y ) = 0 ， A B ≠ 0 ; (2-6) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z ) ( A x + C z ) = 0 ， A C ≠ 0 ; (2-7) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z ) ( A x + D ) = 0 ， A D ≠ 0 ; (2-8) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z ) ( C z + D ) = 0 ， C D ≠ 0 ; (2-9) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z ) x = 0 ， (2-10) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z ) z = 0 ， 其中 a 11 a 22 a 34 ≠ 0 。 证明：(2-1)与(2-2)是显然的，因为分平面函数关于 x ， y ， z 对称，因此只能形成这两个类。但(2-3)以下的方程与引理3.1中的(1-3)以下的有些不同，因为二次函数 F ( x ， y ， z ) = a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z 仅关于 x ， y 对称，关于x与 z ， y 与z都不对称，且定理3.1中的(iii)式中的平面函数 A x + B y + D 也仅关于 x ， y 对称，关于x与 z ， y 与z不对称，因此x与z或y与z不能交换，这就造成(2-3)与(2-4)是不一样的类，因为通过交换变元及重新命名系数不能实现两个方程的互化，但曲面方程 ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z ) ( B y + C z + D ) = 0 ， B C D ≠ 0 ，不是全新的类，因为它中的x与y交换，并重新命名系数就可以得到(2-4)。因此，在二次分曲面函数为 F ( x ， y ， z ) = a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z 及平面函数 A x + B y + C z + D 中的系数 A ， B ， C 中仅有一个为0的条件下，会产生两个完全不同的类(2-3)与(2-4)。同理我们可以得到(2-5)~(2-10)等6个不同的类。 □ 引理3.3：适当选取坐标系，定理3.2中的(III)式可化为下列10小类简化方程中的一个： (3-1) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 44 ) ( A x + B y + C z + D ) = 0 ， A B C D ≠ 0 ; (3-2) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 44 ) ( A x + B y + C z ) = 0 ， A B C ≠ 0 ; (3-3) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 44 ) ( A x + B y + D ) = 0 ， A B D ≠ 0 ; (3-4) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 44 ) ( A x + C z + D ) = 0 ， A C D ≠ 0 ; (3-5) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 44 ) ( A x + B y ) = 0 ， A B ≠ 0 ; (3-6) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 44 ) ( A x + C z ) = 0 ， A C ≠ 0 ; (3-7) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 44 ) ( A x + D ) = 0 ， A D ≠ 0 ; (3-8) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 44 ) ( C z + D ) = 0 ， C D ≠ 0 ; (3-9) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 44 ) x = 0 ， (3-10) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 44 ) z = 0 ， 其中 a 11 a 22 a 44 ≠ 0 。 证明：与引理3.2的证明类似。 □ 引理3.4：适当选取坐标系，定理3.2中的(IV)式可化为下列14小类简化方程中的一个： (4-1) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) ( A x + B y + C z + D ) = 0 ， A B C D ≠ 0 ; (4-2) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) ( A x + B y + C z ) = 0 ， A B C ≠ 0 ; (4-3) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) ( A x + B y + D ) = 0 ， A B D ≠ 0 ; (4-4) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) ( A x + C z + D ) = 0 ， A C D ≠ 0 ; (4-5) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) ( B y + C z + D ) = 0 ， B C D ≠ 0 ; (4-6) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) ( A x + B y ) = 0 ， A B ≠ 0 ; (4-7) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) ( A x + C z ) = 0 ， A C ≠ 0 ; (4-8) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) ( B y + C z ) = 0 ， B C ≠ 0 ; (4-9) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) ( A x + D ) = 0 ， A D ≠ 0 ; (4-10) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) ( B y + D ) = 0 ， B D ≠ 0 ; (4-11) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) ( C z + D ) = 0 ， C D ≠ 0 ; (4-12) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) x = 0 ， (4-13) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) y = 0 ， (4-14) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) z = 0 ， 其中 a 11 a 24 ≠ 0 。 证明：(4-1)与(4-2)是显然的。二次分曲面函数 F ( x ， y ， z ) = a 11 x 2 + 2 a 24 y 关于 x ， y ， z 都不对称，且定理3.1中的(iii)式中的平面函数 A x + B y + D 仅关于 x ， y 对称，关于x与 与z不对称，因此总体而言，x与y，x与z或y与z都不能交换，因此(4-3)与(4-4)是不一样的；另外，与引理3.2不一样的是(4-5) 是全新的类，因为通过交换变元及重新命名系数不能与(4-3)或(4-4)中的任意一个互换。同理我们可以得到(4-6)~(4-14)。 □ 引理3.5：适当选取坐标系，定理3.2中的(V)式可化为下列10小类简化方程中的一个： (5-1) (5-2) (5-3) (5-4) (5-5) (5-6) (5-7) (5-8) (5-9) (5-10) 其中 。 证明：(5-1)与(5-2)是显然的。由于二次分曲面函数 仅关于y与z对称，且定理3.1中的(iii)式中的平面函数 关于 对称，关于x与 与z不对称，因此x与y及x与z都不能交换，这就造成(5-3)与(5-4)是不一样的类，因为通过交换变元及重新命名系数不能互换，但曲面方程 ，不是全新的类，因为它中的y与z交换，并重新命名系数就可以得到(5-3)。同理我们可以得到(5-5)~(5-10)。 □ 定理3.3：适当选取坐标系，三次复合曲面的一般方程(4)总可化为引理3.1~3.5中的50小类简化方程中的一个。 证明：由引理3.1~3.5知。 □