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user: 3. 主要结果 引理1 [ 7 ]： D S C C ( 0 ) × C 3 是边偶泛圈的。 引理2 [ 7 ]： D S C C ( k ) × C m 是边偶泛圈的。 在引理1和引理2的基础上，我们进一步探究得到笛卡尔乘积网络 D S C C ( k ) × C m 的泛圈性如下： 定理1： D S C C ( 0 ) × C 3 是泛圈的。 证明： D S C C ( 0 ) × C 3 如图1所示，在 D S C C ( 0 ) × C 3 中存在任意长为 l ( 3 ≤ l ≤ 60 ) 的圈 C l 如下： C 3 ：01-21-11-01； C 4 ：将 C 3 中的21变为02~12； C 5 ：将 C 4 中的12变为22-21； C 6 ：在 C 5 中02~22之间增加顶点12； C 7 ：将 C 6 中的12变为03-23； C 8 ：在 C 7 中03~23之间增加顶点13； C 9 ：将 C 8 中的13变为04~24； C 10 ：在 C 9 中04~24之间增加顶点14； C 11 ：将 C 10 中的14变为05~25； C 12 ：在 C 11 中05~25之间增加顶点15； C 13 ：将 C 12 中的15变为06~26； C 14 ：在 C 13 中06~26之间增加顶点16； C 15 ：将 C 14 中的16变为07~27； C 16 ：在 C 15 中07~27之间增加顶点17； C 17 ：将 C 16 中的17变为08~28； C 18 ：在 C 17 中08~28之间增加顶点18； C 19 ：将 C 18 中的18变为09~29； C 20 ：在 C 19 中09~29之间增加顶点19； 图1. DSCC(0) × C 3 C 21 ：将 C 20 中的19变为010~210； C 22 ：在 C 21 中010~210之间增加顶点110； C 23 ：将 C 22 中的110变为011~211； C 24 ：在 C 23 中011~211之间增加顶点111； C 25 ：将 C 24 中的111变为012~212； C 26 ：在 C 25 中012~212之间增加顶点112； C 27 ：将 C 26 中的112变为013~213； C 28 ：在 C 27 中013~213之间增加顶点113； C 29 ：将 C 28 中的113变为014~214； C 30 ：在 C 29 中014~214之间增加顶点114； C 31 ：将 C 30 中的114变为015~215； C 32 ：在 C 31 中015~215之间增加顶点115； C 33 ：将 C 32 中的115变为016~216； C 34 ：在 C 33 中016~216之间增加顶点116； C 35 ：将 C 34 中的116变为017~217； C 36 ：在 C 35 中017~217之间增加顶点117； C 37 ：将 C 36 中的117变为018~218； C 38 ：在 C 37 中018~218之间增加顶点118； C 39 ：将 C 38 中的118变为019~219； C 40 ：在 C 39 中019~219之间增加顶点119； C 41 ：将 C 40 中的119变为020~220； C 42 ：在 C 41 中020~220之间增加顶点120； C 43 ：01-08-09-018-019-020-016-017-07-06-015-014-013-012-011-010-02-03-04-05-15-11-12-22-210- 211-219-220-216-217-218-29-28-27-26-215-214-213-212-23-24-25-21-01； C 44 ：将 C 43 中的11变为14-13； C 45 ：01-08-09-018-019-020-016-017-07-06-015-014-013-012-011-010-02-03-04-05-15-14-13-23-212- 213-220-216-217-218-219-211-210-29-28-27-26-215-214-24-25-21-22-12-11-01； C 46 ：01-08-09-018-019-020-016-017-07-06-015-014-013-012-011-010-02-03-04-05-15-16-17-18-11-12- 22-210-211-219-220-216-217-218-29-28-27-26-215-214-213-212-23-24-25-21-01； C 47 ：将 C 46 中的11变为19~110； C 48 ：将 C 47 中的18变为117~118； C 49 ：将 C 48 中的19变为119-111； C 50 ：将 C 49 中118变为116~120； C 51 ：将 C 50 中的111变为118-19； C 52 ：将 C 51 中的17-117-116-120变为115-114-113-112-111； C 53 ：将 C 52 中的112-111-119-118-19变为120-116-117-118-119-111； C 54 ：将 C 53 中的16-115-114-113-120-116-117-118-119-11变为14-13-112-113-114-115-16-17-117-118- 19； C 55 ：将 C 54 中的114变为120-116； C 56 ：将 C 55 中的113-120-116-115-16-17-117-118 变为111-119-120-113-114-115-16-17-18； C 57 ：将 C 56 中的18变为117~118； C 58 ：将 C 57 中的14-13-112-111-119-120-113-114-115-16-17-117-118-19变为11-18-19-118-119-120- 116-117-17-16-115-114-113-112-111； C 59 ：将 C 58 中的19-118-119-120-116-117-17-16-115-114-113-112变为17-16-115-114-14-13-112-113- 120-116-117-118-119； C 60 ：01-08-09-018-019-020-016-017-07-06-015-014-013-012-011-010-02-03-04-05-15-14-13-23-212- 213-220-216-217-218-219-211-210-29-28-27-26-215-214-24-25-21-22-12-110-111-112-113-114-115-16-17- 117-116-120-119-118-19-18-11-01。 所以， D S C C ( k ) × C m 是泛圈的。 定理2： D S C C ( 0 ) × C m ( m > 3 ) 是边偶泛圈的。 证明： 由引理2知，显然 D S C C ( 0 ) × C m ( m > 3 ) 是边偶泛圈的。 定理3： D S C C ( k ) × C m ( k > 0 ， m ≥ 3 ) 是泛圈的。 证明： 由泛圈性的定义知，我们只需证明在 D S C C ( k ) × C m ( k > 0 ， m ≥ 3 ) 中存在任意长为 l ( 3 ≤ l ≤ 20 m × 3 k ) 的圈即可。根据l的奇偶性，我们对l进行分情况讨论： 情形1：当l为偶数时，令 l = p 。 下面证明 D S C C ( k ) × C m ( k > 0 ， m ≥ 3 ) 中存在任意长为偶数 p ( 3 ≤ p ≤ 20 m × 3 k ) 的偶圈。根据引理2，我们知道 D S C C ( k ) × C m 是边偶泛圈的，故也是偶泛圈的，所以在 D S C C ( k ) × C m 中任意长为偶数p的偶圈都是存在的。 情形2：当l为奇数时，令 l = q 。 下面证明 D S C C ( k ) × C m ( k > 0 ， m ≥ 3 ) 中存在任意长为奇数 q ( 3 ≤ q ≤ 20 m × 3 k ) 的奇圈。 当 q = 3 时，因为 k > 0 ，所以在 D S C C ( k ) × C m 中显然存在3长的圈 C 3 。 当 q > 3 时，我们来证明在 D S C C ( k ) × C m 中存在长为 q ( 5 ≤ q ≤ 20 m × 3 k − 1 ) 的任意奇圈 C q 。由情形1知， D S C C ( k ) × C m 中任意长为偶数p的偶圈都存在，我们任取其中一个偶圈 C p ，通过 C p 来构造奇圈 C q = C p + 1 。首先，因为 D S C C ( k ) × C m 中的每个顶点都是某一个三角形的顶点，所以偶圈 C p 中的每个顶点也都属于某一个三角形。其次，在构造偶圈 C p 时，我们总能找到只包含某一个三角形中两个顶点的偶圈 C p 存在。假设 C p 包含某个三角形的顶点 v 1 和 v 2 ，现在我们把该三角形的另一个顶点 v 3 嵌入到 v 1 和 v 2 之间，于是就得到奇圈 C q = C p + 1 。由p的任意性知，故在 D S C C ( k ) × C m 中能找到任意长为 q ( 5 ≤ q ≤ 20 m × 3 k − 1 ) 的奇圈。 综合以上两种情形， D S C C ( k ) × C m ( k > 0 ， m ≥ 3 ) 中任意长度的圈 l ( 3 ≤ l ≤ 20 m × 3 k ) 均存在，故 D S C C ( k ) × C m ( k > 0 ， m ≥ 3 ) 是泛圈的。