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user: 3. 主要结果 对于复杂网络(1)，假设 a i i = − ∑ j = 1 ， j ≠ i N a i j ，则有： x ˙ i = f ( x i ( t ) ， x i ( t − τ ) ) + ∑ j = 1 m a i j Γ x j ( t ) (2) 邻接矩阵A对应的Laplacian矩阵 L = ( l i j ) 定义为 l i j = − a i j ， i ≠ j ， l i j = ∑ j = 1 ， j ≠ i m a i j ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ，则(2)可以化为： x ˙ i = f ( x i ( t ) ， x i ( t − τ ) ) − ∑ j = 1 m l i j Γ x j ( t ) (3) 引入记号 x ¯ ( t ) = ∑ k = 1 m ξ k x k ( t ) ，其中 ξ = [ ξ 1 ， ⋯ ， ξ m ] T 为矩阵L的0特征值对应的左特征向量，满足 ∑ k = 1 m ξ k = 1 ， ξ k ≥ 0 ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 。由于 ∑ i = 1 m l i j ξ i = 0 ，则 x ¯ ( t ) 的动态方程可以描述为 d x ¯ ( t ) d t = ∑ i = 1 m ξ i d x i ( t ) d t = ∑ i = 1 m ξ i ( f ( x i ( t ) ， x i ( t − τ ) ) − ∑ j = 1 m l i j Γ x j ( t ) ) = ∑ i = 1 m ξ i f ( x i ( t ) ， x i ( t − τ ) ) − ∑ j = 1 m Γ x j ( t ) ∑ i = 1 m ξ i l i j = ∑ i = 1 m ξ i f ( x i ( t ) ， x i ( t − τ ) ) (4) 定义误差向量 e i = x i ( t ) − x ¯ ( t ) ，利用线性化方法，可得 e i ( t ) 满足的变分方程： d e i ( t ) d t = d x i ( t ) d t − d x ¯ ( t ) d t = f ( x i ( t ) ， x i ( t − τ ) ) − ∑ j = 1 m l i j Γ x j ( t ) − ∑ k = 1 m ξ k f ( x k ( t ) ， x k ( t − τ ) ) = ∑ k = 1 m ξ k ( f ( x i ( t ) ， x i ( t − τ ) ) − f ( x k ( t ) ， x k ( t − τ ) ) ) − ∑ j = 1 m l i j Γ x j ( t ) = ∑ k = 1 m ξ k ( f ( x i ( t ) ， x i ( t − τ ) ) − f ( x ¯ ( t ) ， x ¯ ( t − τ ) ) + f ( x ¯ ( t ) ， x ¯ ( t − τ ) )     − f ( x k ( t ) ， x k ( t − τ ) ) ) − ∑ j = 1 m l i j Γ x j (t) = ∑ k = 1 m ξ k ( f ( x i ( t ) ， x i ( t − τ ) ) − f ( x ¯ ( t ) ， x ¯ ( t − τ ) ) )     − ( ∑ k = 1 m ξ k f ( x k ( t ) ， x k ( t − τ ) ) − f ( x ¯ ( t ) ， x ¯ ( t − τ ) ) ) − ∑ j = 1 m l i j Γ x j ( t ) = ∑ k = 1 m ξ k ( D 1 f ( x ¯ ( t ) ， x ¯ ( t − τ ) ) ( x i ( t ) − x ¯ ( t ) ) + D 2 f ( x ¯ ( t ) ， x ¯ ( t − τ ) ) ( x i ( t − τ ) − x ¯ ( t − τ ) ) )     − ∑ k = 1 m ξ k ( D 1 f ( x ¯ ( t ) ， x ¯ ( t − τ ) ) ( x k ( t ) − x ¯ ( t ) ) + D 2 f ( x ¯ ( t ) ， x ¯ ( t − τ ) ) ( x k ( t − τ ) − x ¯ ( t − τ ) ) )     − ∑ j = 1 m l i j Γ x j (t) = ∑ k = 1 m ξ k ( D 1 f ( x ¯ ( t ) ， x ¯ ( t − τ ) ) e i ( t ) + D 2 f ( x ¯ ( t ) ， x ¯ ( t − τ ) ) e i ( t − τ ) )     − ∑ k = 1 m ξ k ( D 1 f ( x ¯ ( t ) ， x ¯ ( t − τ ) ) e k ( t ) + D 2 f ( x ¯ ( t ) ， x ¯ ( t − τ ) ) e k ( t − τ ) )     − ∑ j = 1 m l i j Γ x j ( t ) = D 1 f ( x ¯ ( t ) ， x ¯ ( t − τ ) ) e i ( t ) + D 2 f ( x ¯ ( t ) ， x ¯ ( t − τ ) ) e i ( t − τ ) − ∑ j = 1 m l i j Γ x j ( t ) = D 1 f ( x ¯ ( t ) ， x ¯ ( t − τ ) ) e i ( t ) + D 2 f ( x ¯ ( t ) ， x ¯ ( t − τ ) ) e i ( t − τ ) − ∑ j = 1 m l i j Γ e j (t) 其中 D 1 f ( x ¯ ( t ) ， x ¯ ( t − τ ) ) 是函数 f ( x i ( t ) ， x i ( t − τ ) ) 在 x ¯ ( t ) 处的雅克比矩阵。 D 2 f ( x ¯ ( t ) ， x ¯ ( t − τ ) ) 是函数 f ( x i ( t ) ， x i ( t − τ ) ) 在 x ¯ ( t − τ ) 处的雅克比阵。 记 e ( t ) = ( e 1 ( t ) ， e 2 ( t ) ， ⋯ ， e m ( t ) ) T ，则(5)的矩阵形式为 d e ( t ) d t = D 1 f ( x ¯ ( t ) ， x ¯ ( t − τ ) ) e ( t ) + D 2 f ( x ¯ ( t ) ， x ¯ ( t − τ ) ) e ( t − τ ) − Γ e ( t ) L T (5) 令矩阵L的Jordan分解为 L T = S J S − 1 ，其中 J = d i a g { λ 1 ， λ 2 ， ⋯ ， λ m } 是对角阵， λ 1 = 0 ， λ 2 ，   ⋯ ， λ m 是矩阵L的特征值。令 Y ( t ) = e ( t ) S = c o l { y 1 ( t ) ， y 2 ( t ) ， ⋯ ， y m ( t ) } ，则 Y ( t ) 的变分方程为 d Y ( t ) d t = D 1 f ( x ¯ ( t ) ， x ¯ ( t − τ ) ) Y ( t ) + D 2 f ( x ¯ ( t ) ， x ¯ ( t − τ ) ) Y ( t − τ ) − Γ Y ( t ) J (6) 定理1：由于S第一列是A对应特征值0的特征向量，由前面分析可知，因此只需考虑 m ≥ k ≥ 2 ， m − 1 个变分方程。若 k ≥ 2 ，则变分方程 d φ ( t ) d t = D 1 f ( x ¯ ( t ) ， x ¯ ( t − τ ) ) φ ( t ) + D 2 f ( x ¯ ( t ) ， x ¯ ( t − τ ) ) φ ( t − τ ) − Γ φ ( t ) λ k (7) 是渐进稳定的，则复杂网络(1)是局部同步稳定的。 定理2：设L的特征值全为实数， D 1 ( t ) = ( D i j 1 ( t ) ) 来记雅克比矩阵 D 1 f ( x ¯ ( t ) ， x ¯ ( t − τ ) ) ， D 2 ( t ) = ( D i j 2 ( t ) ) 来记雅克比矩阵 D 2 f ( x ¯ ( t ) ， x ¯ ( t − τ ) ) 对于 k = 2 ， m ，都存在正常数 ξ i ，其中 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ，使得 lim sup t → ∞ { ξ i [ D i i 1 ( t ) − γ i λ k + | D 2 ( t ) | ] + ∑ j = 1 ， j ≠ i m | D i j 1 ( t ) | ξ j } < 0 (8) 成立，则复杂网络(1)是局部稳定的。 证明：设 φ ( t ) = ( φ 1 ( t ) ， ⋯ ， φ n ( t ) ) T ∈ R n ，由条件(8)可知，存在 T > 0 ，当 t > T 时，有 − δ = max k = 2 ， ⋯ ， m { ξ i [ D i i 1 ( t ) − γ i λ k + | D 2 ( t ) | ] + ∑ j = 1 ， j ≠ i m | D i j 1 ( t ) | ξ j } < 0 (9) 对于任意的 k = 2 ， m ，定义Lyapunov泛函 V ( φ ) = ∑ i = 1 m ξ i | φ i ( t ) | + ∑ i = 1 m ξ i D i j 2 ( t ) ∫ t − τ τ | φ i ( s ) | d s (10) 对 V ( φ ) 求导得 d V ( φ ) d t = ∑ i = 1 m ξ i s i g n ( φ i ) [ ( D 2 ( t ) − γ i λ k ) φ i ( t ) + D 2 ( t ) φ i ( t − τ ) ] + ∑ i = 1 m ξ i D 2 ( t ) ( | φ i ( t ) | − | φ i ( t − τ ) | ) = ∑ i − 1 m ξ i s i g n ( φ i ) [ ( D i i 1 ( t ) − γ i λ k ) φ i ( t ) + ∑ j = 1 ， j ≠ i m D i j 1 ( t ) φ j ( t ) + D 2 ( t ) φ i ( t − τ ) ]     + ∑ i = 1 m ξ i D 2 ( t ) ( | φ i ( t ) | − | φ i ( t − τ ) | ) ≤ ∑ i = 1 m ξ [ ( D i i 1 ( t ) − γ i λ k ) | φ i ( t ) | + ∑ j = 1 ， j ≠ i m | D i j 1 ( t ) | | φ j ( t ) | + | D 2 ( t ) φ i ( t − τ ) | ]     + ∑ i = 1 m ξ i | D 2 ( t ) ( | φ i ( t ) | − | φ i ( t − τ ) | ) = ∑ i = 1 m ξ i [ ( D i i 1 ( t ) − γ i λ k ) + ∑ j = 1 ， j ≠ i m | D i j 1 ( t ) | + | D i j 2 ( t ) | ] | φ i ( t ) | = ∑ i = 1 m { ξ i [ D i i 1 ( t ) − γ i λ k + | D 2 ( t ) | ] + ∑ j = 1 ， j ≠ i m | D i j 1 | ξ j } | φ i ( t ) | ≤ − δ ∑ i = 1 m ( | u i ( t ) | + | v i ( t ) | ) 对充分大的t都成立。进一步，对 k = 2 ， m 成立，必然对 2 ≤ k ≤ m 都成立。因此，复杂网络(1)对 k > 2 都是稳定的，由定理1，可知本定理得证。