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user: 3. 关于齐次函数的欧拉定理的必要性的证明和该定理的应用 3.1. 必要性的证明 定理 [ 4 ] 若函数 u = F ( x ， y ， z ) 满足恒等式 F ( t x ， t y ， t z ) = t k F ( x ， y ， z ) ( t > 0 ) ，则称 F ( x ， y ， z ) 为k次齐次函数。试证下述关于齐次函数的欧拉定理：可微函数 F ( x ， y ， z ) 为k次齐次函数的充要条件是 x F x ( x ， y ， z ) + y F y ( x ， y ， z ) + z F z ( x ， y ， z ) = k F ( x ， y ， z ) [ 5 ] 给出了证明。现在给出必要性的另一种证法。 由于 F ( t x ， t y ， t z ) = t k F ( x ， y ， z ) ，取 t = 1 x ，则 F ( x ， y ， z ) = t − k F ( 1 ， y x ， z x ) = x k F ( 1 ， y x ， z x ) ， (8) 于是 F x ( x ， y ， z ) = k x k − 1 F ( 1 ， y x ， z x ) + x k [ F 1 ( 1 ， y x ， z x ) ⋅ 0 + F 2 ( 1 ， y x ， z x ) ⋅ ( − y x 2 ) + F 3 ( 1 ， y x ， z x ) ⋅ ( − z x 2 ) ] = k x k − 1 F ( 1 ， y x ， z x ) − x k − 2 y F 2 ( 1 ， y x ， z x ) − x k − 2 z F 3 ( 1 ， y x ， z x ) ， F y ( x ， y ， z ) = x k ⋅ 1 x F 2 ( 1 ， y x ， z x ) = x k − 1 F 2 ( 1 ， y x ， z x ) ， F z ( x ， y ， z ) = x k ⋅ 1 x F 3 ( 1 ， y x ， z x ) = x k − 1 F 3 ( 1 ， y x ， z x ) 。 从而 x F X ( x ， y ， z ) + y F y ( x ， y ， z ) + z F z ( x ， y ， z ) = k x k F ( 1 ， y x ， z x ) ， 注意到式(8)，则 x F X ( x ， y ， z ) + y F y ( x ， y ， z ) + z F z ( x ， y ， z ) = k F ( x ， y ， z ) 。 3.2. 例子 例4 [ 1 ] 试证齐次微分方程 M ( x ， y ) d x + N ( x ， y ) d y = 0 当 x M + y N ≠ 0 时有积分因子 μ = 1 x M + y N 。 证 只需证明二元函数 μ = 1 x M ( x ， y ) + y N ( x ， y ) 满足 ∂ ( μ M ) ∂ y = ∂ ( μ N ) ∂ x 。 因 ∂ ( μ M ) ∂ y = ∂ ∂ y ( M x M + y N ) = 1 ( x M + y N ) 2 [ ∂ M ∂ y ⋅ ( x M + y N ) − M ⋅ ∂ ( x M + y N ) ∂ y ] = 1 ( x M + y N ) 2 ( x M ∂ M ∂ y + y N ∂ M ∂ y − M x ∂ M ∂ y − M N − y M ∂ N ∂ y ) = 1 ( x M + y N ) 2 ( y N ∂ M ∂ y − y M ∂ N ∂ y − M N ) ，(9) 同理可得 ∂ ( μ N ) ∂ x = 1 ( x M + y N ) 2 ( x M ∂ N ∂ x − x N ∂ M ∂ x − M N ) 。 (10) 不妨设M、N为m次齐次函数，则有 x ∂ M ∂ x + y ∂ M ∂ y = m M 与 x ∂ N ∂ x + y ∂ N ∂ y = m N ， 从而 x ∂ M ∂ x = m M − y ∂ M ∂ y ， x ∂ M ∂ x = m M − y ∂ M ∂ y 。 将它们代入(10)，则 ∂ ( μ N ) ∂ x = 1 ( x M + y N ) 2 ( m M N − y M ∂ N ∂ y − m M N + y N ∂ M ∂ y − M N ) = 1 ( x M + y N ) 2 ( y N ∂ N ∂ y − y M ∂ N ∂ y − M N ) 。 注意到式(9)，于是 ∂ ( μ M ) ∂ y = ∂ ( μ N ) ∂ x 。 例5 [ 3 ] 证明齐次方程 P ( x ， y ) d x + Q ( x ， y ) d y = 0 的一个等价定义是，它可以化为如下的形式： d y d x = ϕ ( y x ) 。 证 设 P ( t x ， t y ) = t m p ( x ， y ) ， Q ( t x ， t y ) = t m Q ( x ， y ) 。取 t = 1 x ，则 P ( 1 ， y x ) = 1 x m P ( x ， y ) ， Q ( 1 ， y x ) = 1 x m Q ( x ， y ) ， 从而 P ( x ， y ) = x m P ( 1 ， y x ) ， Q ( x ， y ) = x m Q ( 1 ， y x ) 。 原齐次方程可写成 d y d x = − P ( x ， y ) Q ( x ， y ) = − x m P ( 1 ， y x ) x m Q ( 1 ， y x ) = ϕ ( y x ) 。 例6 [ 1 ] 假设例4中微分方程还是恰当的，试证它的通解可表为 x M ( x ， y ) + y N ( x ， y ) = c (c为任意常数)。 证 由于方程 M d x + N d y = 0 是恰当的，则 ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x 。 (11) 又由于方程是齐次的，不妨设M、N是m次齐次函数，则有 x ∂ M ∂ x + y ∂ M ∂ y = m M ， (12) x ∂ N ∂ x + y ∂ N ∂ y = m N 。 (13) 结合上述(11)、(12)、(13)，可得到 ∂ ∂ x [ x M ( x ， y ) + y N ( x ， y ) ] = M + x ∂ M ∂ x + y ∂ N ∂ x = M + x ∂ M ∂ x + y ∂ M ∂ y = ( m + 1 ) M ，(14) ∂ ∂ y [ x M ( x ， y ) + y N ( x ， y ) ] = x ∂ M ∂ y + N + y ∂ N ∂ y = N + x ∂ N ∂ x + y ∂ N ∂ y = ( m + 1 ) N 。 (15) 原方程为 d y d x = − M N ，由(14)、(15)，则方程化为 d y d x = − ∂ ∂ x [ x M ( x ， y ) + y N ( x ， y ) ] ∂ ∂ y [ x M ( x ， y ) + y N ( x ， y ) ] 。 即 ∂ ∂ x [ x M ( x ， y ) + y N ( x ， y ) ] d x + ∂ ∂ y [ x M ( x ， y ) + y N ( x ， y ) ] d y = 0 ， 或 d [ x M ( x ， y ) + y N ( x ， y ) ] = 0 。从而方程的通解为 x M ( x ， y ) + y N ( x ， y ) = c ，这里c是任意常数。