system: [SYSTEM]

user: 4. 平衡点的全局稳定性 研究平衡点的稳定性有助于我们了解疾病的发展趋势，从而采取合适的策略对其传播过程进行控制。本章我们将运用极限系统的相关理论来研究系统平衡点的稳定性。 由前面定理1和2的证明可知，当 t → ∞ 时 N h ( t ) → A μ h : = N h 0 ，   A m → C η + μ A ，   N m → C η ( η + μ A ) μ m : = N m 0 考虑系统(4.1)的极限系统如下 { S ′ h = A − B β m h I m N h 0 S h − μ h S h E ′ h = B β m h I m N h 0 S h − γ E h − μ h E h I ′ h = γ E h − μ h I h − δ I h R ′ h = δ I h − μ h R h S ′ m = C η η + μ A − μ m S m − B β h m I h N h 0 S m I ′ m = B β h m I h N h 0 S m − μ m I m (3) 类似文献 [ 11 ] 的做法，假设 (A1) S h + E h + I h + R h = N h 0 = A μ h ，   S m + I m = N m 0 = C η ( η + μ A ) μ m 由于 R h 和其他项独立，只分析如下系统即可 { S ′ h = A − B β m h I m N h 0 S h − μ h S h E ′ h = B β m h I m N h 0 S h − γ E h − μ h E h I ′ h = γ E h − μ h I h − δ I h S ′ m = C η η + μ A − μ m S m − B β h m I h N h 0 S m I ′ m = B β h m I h N h 0 S m − μ m I m (4) 于是，可定义系统(4.4)的可行域为 Ω = { ( S h ( t ) ， E h ( t ) ， I h ( t ) ， S m ( t ) ， I m ( t ) ) ∈ R + 5 | S h ( t ) + E h ( t ) + I h ( t ) ≤ A μ h ， S m ( t ) + I m ( t ) ≤ C η ( η + μ A ) μ m } 类似定理1和2的证明，显然系统(4.4)在 Ω 内是正不变的。系统(4.4)的无病平衡点和地方病平衡点 分别为 E 1 0 = ( A μ h ， 0 ， 0 ， C η ( η + μ A ) μ m ， 0 ) 和 E 2 * = ( S h * ， E h * ， I h * ， S m * ， I m * ) ，具体证明过程可参考定理4。 根据文献 [ 12 ] 可知，在满足某些条件的前提下，常微分系统的极限系统的平衡点的动力学行为与该系统平衡点的动力学行为是一致的。借助这些性质，我们可以对比较复杂的系统做稳定性分析。 4.1. 无病平衡点的全局稳定性 在比较复杂的动力学模型中，直接通过构造李雅普诺夫函数来证明其无病平衡点的全局稳定性并不是太容易，我们可以借鉴文献 [ 13 ] [ 14 ] 中提出的一种等价的方法来证明无病平衡点的全局稳定性。 引理1 [ 13 ] [ 14 ]：考虑如下形式的传染病系统 { d X 1 d t = F ( X 1 ， X 2 ) d X 2 d t = G ( X 1 ， X 2 ) ，   G ( X 1 ， 0 ) = 0 其中， X 1 ∈ ℝ m 和 X 2 ∈ ℝ n 分别表示无病系统和患病系统(相对于原系统来说)， X 0 = ( X 1 E ， 0 ) 表示原系统的无病平衡点。若满足如下两个条件： (C 1 )：对 d X 1 d t = F ( X 1 ， 0 ) ， X 1 E 全局渐近稳定； (C 2 )： G ( X 1 ， X 2 ) = M X 2 − G ^ ( X 1 ， X 2 ) ，   G ^ ( X 1 ， X 2 ) ≥ 0 ，   ( X 1 ， X 2 ) ∈ Ω ，雅可比矩阵 M = ∂ G ∂ X 2 ( X 1 E ， 0 ) 的所 有非对角线元素都非负， Ω 为原系统的可行域。 则当 R 0 < 1 时，无病平衡点 X 0 = ( X 1 E ， 0 ) 全局渐近稳定。 定理5当 R 0 < 1 时，系统(4.4)的无病平衡点在 Ω 内全局渐近稳定。 证明：我们只需要验证系统(4.4)是否满足引理1的条件即可。此处有 X 0 = ( X 1 E ， 0 ) = E 1 0 = ( A μ h ， 0 ， 0 ， C η ( η + μ A ) μ m ， 0 ) 条件C 1 显然成立，下面证明条件C 2 也成立。简单计算，有 M = [ − γ − μ h 0 B β m h S h 0 N h 0 γ − δ − μ h 0 0 B β h m S m 0 N h 0 − μ m ] 进一步计算，得到 G ^ ( X 1 ， X 2 ) = ( G ^ 1 ( X 1 ， X 2 ) G ^ 2 ( X 1 ， X 2 ) G ^ 3 ( X 1 ， X 2 ) ) = ( B β m h I m S h 0 N h 0 ( 1 − S h S h 0 ) 0 B β h m I h S m 0 N h 0 ( 1 − S m S m 0 ) ) 由于 S h ≤ S h 0 ，   S m ≤ S m 0 ，显然 G ^ ( X 1 ， X 2 ) ≥ 0 ，于是系统(4.4)的无病平衡点在 Ω 内全局渐近稳定。 4.2. 地方病平衡点的全局稳定性 本节我们将运用单调系统的一些基本结论来证明平衡点的全局稳定性。 引理2 [ 15 ]：令 X = ℝ n ( I n t ℝ n ， 〚 p ， q 〛 ) ，若以下条件满足 1) 当 t > 0 时，系统(2.7)的解 x ( t ) 在X中存在紧的闭包； 2) 系统(2.7)最多只有1个平衡点。 则系统(2.7)的平衡点是全局渐近稳定的。 4.2.1. 合作系统 命题1系统(4.4)在条件(A1)下为合作系统。 证明：由条件(A1)知， I m = N m 0 − S m ， I h = N h 0 − S h − E h − R h ，分别代入系统(4.4)中的第一、第四个方程，再对其求雅可比矩阵，得到如下结果： J = [ * 0 0 B β m h S h N h 0 0 B β m h I m N h 0 * 0 0 B β m h S h N h 0 0 γ * 0 0 B β m h S m N h 0 B β m h S m N h 0 0 * 0 0 0 B β m h S m N h 0 B β m h I h N h 0 * ] 根据文献 [ 16 ]，显然J满足合作系统的定义，故系统(4.4)为合作系统。 4.2.2. 系统(4.4)的一致持久性 证明地方病平衡点的稳定性，可首先证明系统的持久性，再利用合作系统的相关结论，予以实现。 定理6当 R 0 > 1 时，系统(4.4)在 Ω 内一致持久，即存在 c 1 ， c 2 ， c 2 ， c 4 ， c 5 > 0 使得系统(4.3)的任意解 ( S h ， E h ， I h ， S m ， I m ) 满足 l i m inf t → ∞ S h ( t ) ≥ c 1 ，   l i m inf t → ∞ E h ( t ) ≥ c 2 ，   l i m inf t → ∞ I h ( t ) ≥ c 3 ，   l i m inf t → ∞ S m ( t ) ≥ c 4 ，   l i m inf t → ∞ I m ( t ) ≥ c 5 证明：根据文献 [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] 相关知识，定义 X = Ω ， X 1 = int Ω ， X 2 = ∂ Ω ，由定理2可知，系统(4.1) 的解最终一致有界，则系统(4.4)的一致持久性证明等价于证明 E 1 0 = ( A μ h ， 0 ， 0 ， C η ( η + μ A ) μ m ， 0 ) 在集合 X 1 内 弱排斥。首先假设存在满足初始条件 ( S h ( 0 ) ， E h ( 0 ) ， I h ( 0 ) ， S m ( 0 ) ， I m ( 0 ) ) 的正解 ( S h ( t ) ， E h ( t ) ， I h ( t ) ， S m ( t ) ， I m ( t ) ) ，使得当 t → ∞ 时，有 ( S h ( t ) ， E h ( t ) ， I h ( t ) ， S m ( t ) ， I m ( t ) ) → E 1 0 即t充分大时，对任意的 ε > 0 ，满足 S h ( t ) > A μ h − ε ，   E h ( t ) < ε ，   I h ( t ) < ε ，   S m > C η ( η + μ A ) μ m − ε ，   I m < ε 将其代入系统(4.4)得到 { E ′ h > B β m h A / μ h ( A μ h − ε ) I m − γ E h − μ h E h I ′ h = γ E h − μ h I h − δ I h I ′ m > B β h m A / μ h ( C η ( η + μ A ) μ m − ε ) I h − μ m I m 进一步地，考虑如下辅助系统 { E ¯ ′ h = B β m h A / μ h ( A μ h − ε ) I ¯ m − γ E ¯ h − μ h E ¯ h I ¯ ′ h = γ E ¯ h − μ h I ¯ h − δ I ¯ h I ¯ ′ m = B β h m A / μ h ( C η ( η + μ A ) μ m − ε ) I ¯ h − μ m I ¯ m (5) 将系统(4.5)改写为如下形式 U ′ = W U 其中 U = ( E ¯ h ， I ¯ h ， I ¯ m ) T ，得到 W = [ − γ − μ h 0 B β m h A / μ h ( A μ h − ε ) γ − μ h − δ 0 0 B β h m A / μ h ( C η ( η + μ A ) μ m − ε ) − μ m ] 定义 R 0 ε = μ h ( η C − ε μ m ( η + μ A ) ) β h m β m h B 2 γ ( A − ε μ h ) ( δ + μ h ) ( γ + μ h ) ( η + μ A ) μ m 2 A 2 设矩阵W所对应的特征值方程的特征值为 ω i ( i = 1 ， 2 ， 3 ) ，根据特征值和特征方程系数之间的关系，显然有 ω 1 + ω 2 + ω 3 = − a < 0 ， ω 1 ω 2 ω 3 = − b 其中 a = ( γ + μ h ) + ( μ h + δ ) + μ m ， b = ( γ + μ h ) ( δ + μ h ) μ m ( 1 − ( R 0 ε ) 2 ) 由于 ε 是充分小的正数，则当 ε 取得足够小的时候，满足 R 0 > 1 时，必有 R 0 ε > 1 。所以当 R 0 > 1 时，有 ω 1 ω 2 ω 3 = − b > 0 ，同时，特征值 ω i ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 中必有一个为正数，另外两个具有负实部。现假设 ω 1 是正的特征值， ω i ( i = 2 ， 3 ) 是具有负实部的特征值，记 ω 1 对应的特征向量为 v 1 = ( v 11 ， v 12 ， v 13 ) T ，其中 v 11 = B β m h ( A / μ h − ε ) ( ω 1 + μ h + δ ) μ h A γ ，   v 12 = B β m h ( A / μ h − ε ) A / μ h ，   v 13 = ( ω 1 + μ h + γ ) ( ω 1 + μ h + δ ) γ 显然 v 1 = ( v 11 ， v 12 ， v 13 ) T 为正的特征向量。另取充分小的数l，使得 l v 11 < E h ( 0 ) ，   l v 12 < I h ( 0 ) ，   l v 13 < I m ( 0 ) 令 E ¯ h ( 0 ) = l v 11 ，   I ¯ h ( 0 ) = l v 12 ，   I ¯ m ( 0 ) = l v 13 是满足系统(4.5)的初始条件。易证 U ( t ) = l exp ( ω 1 t ) v 1 是系统(4.5)满足初始条件 ( E ¯ h ( 0 ) ， I ¯ h ( 0 ) ， I ¯ m ( 0 ) ) T 的一个解。由于系统(4.5)任意解处的Jacobian矩阵为W，其所有非对角线元素均为非负数，故系统(4.5)为拟单调增系统。根据文献 [ 20 ] 中推论1.1，得到当 t > 0 时，有 Y ( t ) > U ( t ) ，其中 Y ( t ) = ( E h ， I h ， I m ) T 。再由前面 ω 1 > 0 ， l > 0 及 v 1 是正特征向量，因此当 t → ∞ 时，有 U ( t ) → ∞ ，进一步，得到 Y ( t ) → ∞ ，由于 ( S h ( t ) ， E h ( t ) ， I h ( t ) ， S m ( t ) ， I m ( t ) ) → E 1 0 ，显然矛盾，故系统(4.3)是一致持久的，定理得证。 定理7当 R 0 > 1 时，系统(4.4)的地方病平衡点在 Ω 内全局渐近稳定。 证明：根据定理6的证明，系统(4.4)是一致持久的，从而在其可行域内具有紧的闭包，又由定理4可推出系统(4.4)具有唯一地方病平衡点，结合命题1得到系统(4.4)为其可行域上的合作系统。综上，系统(4.4)满足引理2的所有条件，其地方病平衡点的全局稳定性得证。