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user: 3. 过指定顶点的三次有理B样条曲线及其在轴线异面管道拼接中的应用 在以上讨论中，假设 P 0 P 1 和 P 2 P 3 是异面直线，而三次有理B样条曲线的端点是 P 0 和 P 3 ，且曲线在 P 0 和 P 3 处分别与 P 0 P 1 和 P 2 P 3 相切。这样，我们可以利用文 [ 2 ] 和 [ 7 ] 中方法，将此三次均匀有理B样条曲线应用于轴线异面管道拼接中。 例2 设 Φ 1 ( t ， φ ) : { x ( t ， φ ) = 3 + a e 11 ⋅ sin φ + a e 21 ⋅ cos φ ， y ( t ， φ ) = − 3 + t + a e 12 ⋅ sin φ + a e 22 ⋅ cos φ ， z ( t ， φ ) = 0 + a e 13 ⋅ sin φ + a e 23 ⋅ cos φ . t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] 和 Φ 2 ( t ， φ ) : { x ( t ， φ ) = 0 + a e ′ 11 ⋅ sin φ + a e ′ 21 ⋅ cos φ ， y ( t ， φ ) = 4 + a e ′ 12 ⋅ sin φ + a e ′ 22 ⋅ cos φ ， z ( t ， φ ) = 3 + t + a e ′ 13 ⋅ sin φ + a e ′ 23 ⋅ cos φ . t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] 是两个轴线异面的粗细相同的圆管道。其中 γ 1 ( t ) = { x 1 ( t ) = 3 ， y 1 ( t ) = − 3 + t ， z 1 ( t ) = 0. γ 2 ( t ) = { x 2 ( t ) = 0 ， y 2 ( t ) = 4 ， z 2 ( t ) = 3 + t . t ∈ [ 0 ， 1 ] 为管道 Φ 1 ， Φ 2 的轴线的表达式， E i = ( e i 1 ， e i 2 ， e i 3 ) ， E ′ i = ( e ′ i 1 ， e ′ i 2 ， e ′ i 3 ) ( i = 1 ， 2 ) 分别为与轴心垂直平面的单位正交矢量。则光滑拼接两个轴线异面管道 Φ 1 ( t ， φ ) 和 Φ 2 ( t ， φ ) 的以三次B样条曲线为轴线的管道的参数表达式为 [ 2 ] Φ ( t ， φ ) : { x ( t ， φ ) = x ( t ) + a B 1 ( t ) sin φ + a N 1 ( t ) cos φ ， y ( t ， φ ) = y ( t ) + a B 2 ( t ) sin φ + a N 2 ( t ) cos φ ， z ( t ， φ ) = z ( t ) + a B 3 ( t ) sin φ + a N 3 ( t ) cos φ . t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] 其中 γ ( t ) = { x ( t ) ， y ( t ) ， z ( t ) . 是当 ω 0 = ω 3 = 1 ， ω 1 = ω 2 = 1 50 时，光滑拼接两个轴线异面管道轴线的三次有理B样条曲线。 γ ( t ) : { x ( t ) = − 3 ( 37 t 3 − 129 t 2 + 147 t − 55 ) 147 t 2 − 147 t + 55 ， y ( t ) = 424 t 3 − 645 t 2 + 666 t − 165 147 t 2 − 147 t + 55 ， z ( t ) = 276 t 3 − 111 t 2 147 t 2 − 147 t + 55 . t ∈ [ 0 ， 1 ] 拼接效果图为图2所示 图2. ω 0 = ω 3 = 1 ， ω 1 = ω 2 = 1 50 时，以三次有理B样条曲线为轴线的管道粗细相同圆管道效果图 例3 设 Φ 1 ( t ， φ ) : { x ( t ， φ ) = 3 + a e 11 ⋅ sin φ + a e 21 ⋅ cos φ ， y ( t ， φ ) = − 3 + t + a e 12 ⋅ sin φ + a e 22 ⋅ cos φ ， z ( t ， φ ) = 0 + a e 13 ⋅ sin φ + a e 23 ⋅ cos φ . t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] 和 Φ 2 ( t ， φ ) : { x ( t ， φ ) = 0 + b e ′ 11 ⋅ sin φ + b e ′ 21 ⋅ cos φ ， y ( t ， φ ) = 4 + b e ′ 12 ⋅ sin φ + b e ′ 22 ⋅ cos φ ， z ( t ， φ ) = 3 + t + b e ′ 13 ⋅ sin φ + b e ′ 23 ⋅ cos φ . t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] 是两个轴线异面的粗细相同的圆管道。其中 γ 1 ( t ) = { x 1 ( t ) = 3 ， y 1 ( t ) = − 3 + t ， z 1 ( t ) = 0. γ 2 ( t ) = { x 2 ( t ) = 0 ， y 2 ( t ) = 4 ， z 2 ( t ) = 3 + t . t ∈ [ 0 ， 1 ] 为管道 Φ 1 ， Φ 2 的轴线的表达式， E i = ( e i 1 ， e i 2 ， e i 3 ) ， E ′ i = ( e ′ i 1 ， e ′ i 2 ， e ′ i 3 ) ( i = 1 ， 2 ) 分别为与轴心垂直平面的单位正交矢量。则光滑拼接两个轴线异面管道 Φ 1 ( t ， φ ) 和 Φ 2 ( t ， φ ) 的以三次B样条曲线为轴线的管道的参数表达式为 [ 7 ] Φ ( t ， φ ) = { x ( t ) + d ( t ) N 1 ( t ) cos φ + d ( t ) B 1 ( t ) sin φ ， y ( t ) + d ( t ) N 2 ( t ) cos φ + d ( t ) B 2 ( t ) sin φ ， z ( t ) + d ( t ) N 3 ( t ) cos φ + d ( t ) B 3 ( t ) sin φ . t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] . 其中 γ ( t ) = { x ( t ) ， y ( t ) ， z ( t ) . 和 γ ′ ( t ) = { x ′ ( t ) ， y ′ ( t ) ， z ′ ( t ) . 是当 ω 0 = ω 3 = 1 ， ω 1 = ω 2 = 1 50 时，分别光滑拼接两个轴线异面管道轴线 和粗细不同管道某两个母线的三次有理B样条曲线， d ( t ) = ‖ γ ′ ( t ) − γ ( t ) ‖ 。 γ ′ ( t ) = { x ′ ( t ) = − 2 ( 49 t 3 − 165 t 2 + 183 t − 67 ) 147 t 2 − 147 t + 55 ， y ′ ( t ) = 360 t 3 − 681 t 2 + 606 t − 165 147 t 2 − 147 t + 55 ， z ′ ( t ) = 276 t 3 − 111 t 2 147 t 2 − 147 t + 55 . t ∈ [ 0 ， 1 ] 拼接效果图为图3所示 图3. ω 0 = ω 3 = 1 ， ω 1 = ω 2 = 1 50 时，以三次有理B样条曲线为轴线的管道粗细不同圆管道效果图