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user: 3. 全局收敛性 本节将分析算法A的适定性。为此，需作如下基本假设： 假设A： A1：函数 f ( x ) ， h ( x ) ， G ( x ) 是二阶连续可微； A2：算法A产生的序列 { x k } 包含于某个紧凸集中； A3：存在正常数a和b，使得 a ‖ y ‖ 2 ≤ y T B k y ≤ b ‖ y ‖ 2 ， ∀ y ∈ ℝ n 。 现将非线性规划的稳定点和不可行稳定点的定义(见文 [ 9 ] )推广到非线性半定规划。 定义2.1：设 x ∈ ℝ n ，若对于任意非零向量 y ∈ ℝ n ，函数 w ( x ) 的方向导数 w ′ ( x ; y ) ≥ 0 ，则称x为 w ( x ) 的一个稳定点。 定义2.2：设 x ∈ ℝ n ，若对于任意向量 y ∈ ℝ n ，有 v ′ ( x ; y ) ≥ 0 ，则称x为NLSDP (0.1)的一个稳定点。同时若 v ( x ) > 0 ，则称x为NLSDP (0.1)的一个不可行稳定点。 引理2.1：设 x k 为当前迭代点，则 v ′ ( x k ; y ) = m ′ k ( 0 ; y ) ， P ′ α ( x k ; y ) = ( Q k α ) ′ ( 0 ; y ) ， ∀ y ∈ ℝ n . (2.1) 证明：由文 [ 4 ] 的引理5知 v ′ ( x k ; y ) = ‖ D h ( x k ) y ‖ + [ λ 1 ( ⋅ ) + ] ′ ( G ( x k ) ; D G ( x k ) y ) . (2.2) 另外，对于 d ˜ ∈ ℝ n ，由文 [ 4 ] 的引理5知 m ′ k ( d ˜ ; y ) = ‖ ( h ( x k ) + D h ( x k ) d ) ′ ( d ˜ ; y ) ‖ + [ λ 1 ( G ( x k ) + D G ( x k ) d ) + ] ′ ( d ˜ ; y ) = ‖ D h ( x k ) y ‖ + [ λ 1 ( ⋅ ) + ] ′ ( G ( x k ) + D G ( x k ) d ˜ ; D G ( x k ) y ) ， 令 d ˜ = 0 ，可得 m ′ k ( 0 ; y ) = ‖ D h ( x k ) y ‖ + [ λ 1 ( ⋅ ) + ] ′ ( G ( x k ) ; D G ( x k ) y ) . (2.3) 由(2.2)和(2.3)即知(2.1)的第一个式子成立。由方向导数的定义以及(2.1)的第一个式子即知(2.1)的第二个式子成立。 引理2.2：设当前点为 x k ，则如下结论成立： (1) x k 为 P α ( x ) 的稳定点当且仅当子问题 QM ( x k ， α ) ( 1.5 ) 的最优解 d k ( α ) = 0 。 (2) 若 x k 为 P α ( x ) 的稳定点且 v ( x k ) = 0 ，则 x k 是NLSDP (0.1)的一个KKT点。 (3) x k 为 v ( x ) 的稳定点当且仅当对于任意给定的信赖域半径 Δ > 0 ，子问题 LM ( x k ， Δ k ) ( 1.7 ) 的最优解 d L M k 满足如下等式： m k ( d L M k ) = v ( x k ) . (2.4) 证明：(1) 子问题 QM ( x k ， α ) ( 1.5 ) 的最优解 d k ( α ) = 0 当且仅当对于任意方向 y ∈ ℝ n ，有 ( Q k α ) ′ ( 0 ; y ) ≥ 0 。再由引理2.1和稳定点的定义知结论成立。 (2) 若 x k 是 P α ( x ) 的稳定点，则由结论(1)知子问题 QM ( x k ， α ) ( 1.5 ) 的最优解 d k ( α ) = 0 。由子问题(1.6)的KKT条件可得 ∇ f ( x k ) + B k d k ( α ) + D h ( x k ) T λ k + D G ( x k ) ∗ Y k = 0， (2.5a) h ( x k ) + D h ( x k ) d k ( α ) = z 1 k ， (2.5b) G ( x k ) + D G ( x k ) d k ( α ) ≼ z 2 k I m ， (2.5c) Y k ≽ 0， (2.5d) Tr ( Y k ( G ( x k ) + D G ( x k ) d k ( α ) − z 2 k I m ) ) = 0. (2.5e) 将 d k ( α ) = 0 代入，即有 ∇ f ( x k ) + D h ( x k ) T λ k + D G ( x k ) ∗ Y k = 0， (2.6a) h ( x k ) = z 1 k ， (2.6b) G ( x k ) ≼ z 2 k I m ， (2.6c) Y k ≽ 0， (2.6d) Tr ( Y k ( G ( x k ) − z 2 k I m ) ) = 0. (2.6e) 由 v ( x k ) = 0 知 x k 为NLSDP (0.1)的可行点，故结合(2.6b)，(2.6c)和 z 2 k ≥ 0 知 ( z 1 k ， z 2 k ) = ( 0 ， 0 ) 。再结合(2.6a)，(2.6d)，(2.6e)即知 x k 是NLSDP (0.1)的KKT点。 (3) 由引理2.1知 x k 是 v ( x ) 的稳定点当且仅当0是 m k ( d ) 的稳定点，结合 m k ( d ) 是凸函数知0是 LM ( x k ， Δ k ) ( 1.7 ) 的一个最优解，因此， m k ( d L M k ) = m k ( 0 ) ，结合 m k ( 0 ) = v ( x k ) 即得 m k ( d L M k ) = v ( x k ) 。反之，若 m k ( d L M k ) = m ( 0 ) ，即0是子问题 LM ( x k ， Δ k ) ( 1.7 ) 的一个最优解，由此知0是 m k ( d ) 的稳定点，于是对任意方向 y ∈ ℝ n ，有 m ′ k ( 0 ; y ) ≥ 0 。由引理2.1即知 x k 是 v ( x ) 的稳定点。 为了方便起见，记 q k f ( d ) : = f ( x k ) + ∇ f ( x k ) T d + 1 2 d T B k d ， (2.7) 则由(1.4)知 Q k α ( d ) = q k f ( d ) + α m k ( d ) 。下面引理给出算法A的适定性。 引理2.3：设当前点 x k 既不是NLSDP (0.1)的KKT点，也不是约束违反度函数 v ( x ) 的稳定点，则以下结论成立： (1) 若算法A执行到步骤4，则当 m k ( d L M k ) = 0 时，存在 α ¯ k > 0 ，使得(1.10)式成立；当 m k ( d L M k ) > 0 时，存在 α ¯ k > 0 ，使得(1.11)式成立。另外，若(1.12)不成立，则通过(1.13)式产生的 α k 满足如下不等式： Q k α k ( 0 ) − Q k α k ( d k ( α k ) ) ≥ ϵ 2 α k [ m k ( 0 ) − m k ( d L M k ) ] ， (2.8) 其中 是子问题 QM ( x k ， α k ) ( 1.5 ) 的最优解。同时该 α k 也满足不等式(1.10)和(1.11)。 (2) 若算法A执行到步骤5，则 d k ( α k ) 是罚函数 P α k ( x ) 在 x k 处的下降方向，并且总存在步长 t k > 0 ，使得(1.14)式成立。 证明：(1) 若算法A执行到步骤4，由于子问题(1.8)的最优解 ( d L M k ， z 1 k ， z 2 k ) 是子问题(1.6)的可行解，故有 m k ( d k ( α ¯ k ) ) ≤ m k ( d L M k ) . (2.9) 若 m k ( d L M k ) = 0 ，则由上式知(1.10)成立。若 m k ( d L M k ) > 0 ，注意到 ϵ 1 ∈ ( 0，1 ] 。由于0是子问题(1.7)的可行解，因此有 m k ( 0 ) − m k ( d L K k ) ≥ 0 。于是由(2.9)有 m k ( 0 ) − m k ( d k ( α ¯ k ) ) ≥ m k ( 0 ) − m k ( d L M k ) ≥ ϵ 1 [ m k ( 0 ) − m k ( d L M k ) ] ， 故(1.11)式成立。 若(1.12)不成立，注意到当前的 α ¯ k 为步骤4.1或步骤4.2更新后的罚参数且子问题 QM ( x k ， α ¯ k ) ( 1.5 ) 的最优解是 d k ( α ¯ k ) ，下面分两种情况讨论： 若 m k ( 0 ) − m k ( d L M k ) = 0 ，注意到 d k ( α ¯ k ) 是子问题 QM ( x k ， α k ) ( 1.5 ) 的最优解，则有 Q k α k ( 0 ) ≥ Q k α k ( d k ( α k ) ) 。因此， Q k α k ( 0 ) − Q k α k ( d k ( α k ) ) − ϵ 2 α k [ m k ( 0 ) − m k ( d L M k ) ] ≥ 0 ，即(2.8)成立。 若 m k ( 0 ) − m k ( d L M k ) > 0 ，则 m k ( 0 ) > m k ( d L M k ) ≥ 0 ，故 m k ( 0 ) > 0 。 记 Γ : = m k ( 0 ) − m k ( d k ( α ¯ k ) ) + ϵ 2 [ m k ( d L M k ) − m k ( 0 ) ] ，往证 Γ > 0 。 若(1.10)成立，则 Γ = m k ( 0 ) + ϵ 2 [ m k ( d L M k ) − m k ( 0 ) ] = ( 1 − ϵ 2 ) m k ( 0 ) + ϵ 2 m k ( d L M k ) > 0. 若(1.11)成立，结合 0 < ϵ 2 < ϵ 1 及 m k ( 0 ) − m k ( d L M k ) > 0 ，则有 Γ ≥ ϵ 1 [ m k ( 0 ) − m k ( d L M k ) ] + ϵ 2 [ m k ( d L M k ) − m k ( 0 ) ] = ( ϵ 1 − ϵ 2 ) [ m k ( 0 ) − m k ( d L M k ) ] ， 由此可知 Γ > 0 。 接下来证明 α k 满足(2.8)。由(1.13)得 α k [ m k ( 0 ) − m k ( d k ( α ¯ k ) ) ] + ϵ 2 α k [ m k ( d L M k ) − m k ( 0 ) ] = ∇ f ( x k ) T d k ( α ¯ k ) + 1 2 ( d k ( α ¯ k ) ) T B k d k ( α ¯ k ) + Γ ⋅ ρ ， 结合 Γ > 0 ， ρ > 0 和(1.4)，得 ϵ 2 α k [ m k ( 0 ) − m k ( d L M k ) ] ≤ − ∇ f ( x k ) T d k ( α ¯ k ) − 1 2 ( d k ( α ¯ k ) ) T B k d k ( α ¯ k ) + α k [ m k ( 0 ) − m k ( d k ( α ¯ k ) ) ] = Q k α k ( 0 ) − Q k α k ( d k ( α ¯ k ) ) ≤ Q k α k ( 0 ) − Q k α k ( d k ( α k ) ) ， 即 α k 满足(3.8)。 最后证明 α k 满足(1.10)和(1.11)。设罚参数 α 1 < α 2 ，由于 d k ( α ) 是子问题 QM ( x k ， α ) ( 1.5 ) 的最优解，故有 Q k α 2 ( d k ( α 1 ) ) ≥ Q k α 2 ( d k ( α 2 ) ) ， Q k α 1 ( d k ( α 2 ) ) ≥ Q k α 1 ( d k ( α 1 ) ) ，即 q k f ( d k ( α 1 ) ) + α 2 m k ( d k ( α 1 ) ) ≥ q k f ( d k ( α 2 ) ) + α 2 m k ( d k ( α 2 ) ) ， q k f ( d k ( α 2 ) ) + α 1 m k ( d k ( α 2 ) ) ≥ q k f ( d k ( α 1 ) ) + α 1 m k ( d k ( α 1 ) ) ， 两式相减，得 m k ( d k ( α 1 ) ) ≥ m k ( d k ( α 2 ) ) ，因此， m k ( d k ( α ) ) 是关于罚参数 α 的单调减函数。由于(1.12)式不成立，故有 Q k α ¯ k ( 0 ) − Q k α ¯ k ( d k ( α ¯ k ) ) < ϵ 2 α ¯ k [ m k ( 0 ) − m k ( d L M k ) ] ，结合 Γ > 0 ，化简得 α ¯ k < ∇ f ( x k ) T d k ( α ¯ k ) + 1 2 ( d k ( α ¯ k ) ) T B k d k ( α ¯ k ) m k ( 0 ) − m k ( d k ( α ¯ k ) ) + ϵ 2 [ m k ( d L M k ) − m k ( 0 ) ] ， 结合(1.13)式，可得 α ¯ k < α k ，因此有 m k ( d k ( α k ) ) ≤ m k ( d k ( α ¯ k ) ) . (3.10) 若 m k ( d L M k ) = 0 ，则由(2.10)和(2.9)得 0 ≤ m k ( d k ( α k ) ) ≤ m k ( d k ( α ¯ k ) ) ≤ m k ( d L M k ) = 0 ，故 m k ( d k ( α k ) ) = 0 ，即 α k 满足(1.10)式。 若 m k ( d L M k ) > 0 ，则由(2.10)和(2.11)得 m k ( 0 ) − m k ( d k ( α k ) ) ≥ m k ( 0 ) − m k ( d k ( α ¯ k ) ) ≥ ϵ 1 [ m k ( 0 ) − m k ( d L M k ) ] ， 即 α k 满足(1.11)式。 (2) 若 x k 不是罚函数 P α k ( x ) 的稳定点，则由引理2.2 (1)知 d k ( α k ) ≠ 0 。由于 Q k α k ( d ) 是凸的且 d k ( α k ) 为 QM ( x k ， α k ) ( 1.5 ) 的最优解，故有 Q k α k ( d k ( α k ) ) < Q k α k ( 0 ) 。由方向导数的定义和 Q k α k ( d ) 的凸性得 ( Q k α k ) ′ ( 0 ; d k ( α k ) ) = lim t → 0 + Q k α k ( t d k ( α k ) ) − Q k α k ( 0 ) t = lim t → 0 + Q k α k ( ( 1 − t ) 0 + t d k ( α k ) ) − Q k α k ( 0 ) t ≤ lim t → 0 + ( 1 − t ) Q k α k ( 0 ) + t Q k α k ( d k ( α k ) ) − Q k α k ( 0 ) t = Q k α k ( d k ( α k ) ) − Q k α k ( 0 ) < 0 ， 因此， d k ( α k ) 是 Q k α k ( d ) 在0处的下降方向。由引理2.1可得： P ′ α k ( x k ; d k ( α k ) ) = ( Q k α k ) ′ ( 0 ; d k ( α k ) ) < 0 因此， d k ( α k ) 是罚函数 P α k ( x ) 在 x k 处的下降方向。从而当 t > 0 充分小时，有如下不等式成立： P α k ( x k + t d k ( α k ) ) < P α k ( x k ) + t η P ′ α k ( x k ; d k ( α k ) ) . (2.11) 由 Q k α k ( d ) 的凸性可得 Q k α k ( 0 + t d k ( α k ) ) ≥ Q k α k ( 0 ) + t ( Q k α k ) ′ ( 0 ; d k ( α k ) ) ，故有 − t ( Q k α k ) ′ ( 0 ; d k ( α k ) ) ≥ Q k α k ( 0 ) − Q k α k ( 0 + t d k ( α k ) ) = Q k α k ( 0 ) − Q k α k ( ( 1 − t ) 0 + t d k ( α k ) ) ≥ Q k α k ( 0 ) − ( 1 − t ) Q k α k ( 0 ) − t Q k α k ( d k ( α k ) ) = t [ Q k α k ( 0 ) − Q k α k ( d k ( α k ) ) ] ， 结合引理2.1和(2.11)，可知不等式(1.14)成立。 若算法有限步终止，则由引理2.2知当前点 x k 或为NLSDP (0.1)的KKT点，或为NLSDP (0.1)的不可行稳定点。在以下讨论中，不妨假设算法A产生无穷序列 { x k } 且 x * 为其任一聚点。 类似文 [ 8 ] 的证明，可得如下引理成立。 引理2.4：若假设A成立，则对于任意 α > 0 ，子问题 QM ( x k ， α ) ( 1.5 ) 的最优解 d k ( α ) 包含于如下闭球： B k : = { d | ‖ d ‖ ≤ r k } ， 其中， r k = b 3 + b 4 ‖ d ¯ k ‖ ， b 3 ， b 4 > 0 ， d ¯ k 是子问题 LM ( x k ， Δ k ) ( 1.7 ) 的解集中最小范数值点。 下面给出算法A的全局收敛性定理。 定理2.1：若假设A成立，罚参数序列 { α k } 有界，算法A产生无穷序列 { x k } 且 x * 为其任一聚点，则 (1) 若 v ( x * ) = 0 ，则 x * 为NLSDP (0.1)的一个KKT点； (2) 若 v ( x * ) > 0 ，则 x * 为NLSDP (0.1)的一个不可行稳定点。 证明：由算法A和假设可知，罚参数序列 { α k } 是单调不减且有界，因此，存在常数 α ¯ > 0 ，当k充分大时，有 α k ≡ α ¯ 。记 K ⊆ { 1，2， ⋯ } ，不失一般性，当 k ∈ K 时，设 x k → x * ， B k → B * ， Q k α ¯ → Q * α ¯ 。记 d * 是子问题 QM ( x * ， α ¯ ) ( 1.5 ) 的最优解，往证 d * = 0 。 (反证)假设 d * ≠ 0 ，则 Q * α ¯ ( 0 ) − Q * α ¯ ( d * ) > 0 。于是有 Q k α ¯ ( 0 ) − Q k α ¯ ( d * ) → K Q * α ¯ ( 0 ) − Q * α ¯ ( d * ) > 0. 记 Q * α ¯ ( 0 ) − Q * α ¯ ( d * ) = 2 ε ，其中 ε > 0 。因此存在指标 k 0 ，当 k ( ∈ K ) > k 0 时，由上式和 Q k α ¯ ( d * ) ≥ Q k α ¯ ( d k ( α ¯ ) ) 得 Q k α ¯ ( 0 ) − Q k α ¯ ( d k ( α ¯ ) ) ≥ Q k α ¯ ( 0 ) − Q k α ¯ ( d * ) > ε . (2.12) 当 t > 0 足够小时，由引理2.4，(1.1)，(1.3)，假设A1和Taylor展开式得 v ( x k + t d k ( α ¯ ) ) − m k ( t d k ( α ¯ ) ) = ‖ h ( x k ) + t D h ( x k ) d k ( α ¯ ) + O ( ‖ t d k ( α ¯ ) ‖ 2 ) ‖ − ‖ h ( x k ) + t D h ( x k ) d k ( α ¯ ) ‖     + λ 1 ( G ( x k ) + t D G ( x k ) d k ( α ¯ ) + O ( ‖ t d k ( α ¯ ) ‖ 2 ) ) +     − λ 1 ( G ( x k ) + t D G ( x k ) d k ( α ¯ ) ) + = O ( ‖ t d k ( α ¯ ) ‖ 2 ) (2.13) 由引理2.4，(1.3)，假设A及Taylor展开式得 f ( x k + t d k ( α ¯ ) ) − q k f ( t d k ( α ¯ ) ) = f ( x k ) + t ∇ f ( x k ) T d k ( α ¯ ) + 1 2 t 2 ( d k ( α ¯ ) ) T ∇ 2 f ( ξ ) d k ( α ¯ ) − q k f ( t d k ( α ¯ ) ) = 1 2 t 2 ( d k ( α ¯ ) ) T ( ∇ 2 f ( ξ ) − B k ) d k ( α ¯ ) = O ( ‖ t d k ( α ¯ ) ‖ 2 ) ， (2.14) 其中 ξ 介于 x k 与 x k + t d k ( α k ) 之间。 由(2.13)和(2.14)知当 t > 0 足够小时，有 P α ¯ ( x k + t d k ( α ¯ ) ) − Q k α ¯ ( t d k ( α ¯ ) ) = O ( ‖ t d k ( α ¯ ) ‖ 2 ) ， 故存在一个常数 b 1 > 0 ，使得 | P α ¯ ( x k + t d k ( α ¯ ) ) − Q k α ¯ ( t d k ( α ¯ ) ) | ≤ b 1 ‖ t d k ( α ¯ ) ‖ 2 . (2.15) 由 Q k α ¯ ( d ) 的凸性可得 Q k α ¯ ( 0 ) − Q k α ¯ ( t d k ( α ¯ ) ) ≥ Q k α ¯ ( 0 ) − ( 1 − t ) Q k α ¯ ( 0 ) − t Q k α ¯ ( d k ( α ¯ ) ) = t ( Q k α ¯ ( 0 ) − Q k α ¯ ( d k ( α ¯ ) ) ) . (2.16) 由 P α ¯ ( x k ) ， Q k α ¯ ( d ) 的定义知 P α ¯ ( x k ) = Q k α ¯ ( 0 ) ，结合(2.12)，(2.15)和(2.16)，可得 P α ¯ ( x k ) − P α ¯ ( x k + t d k ( α ¯ ) ) = ( Q k α ¯ ( 0 ) − Q k α ¯ ( t d k ( α ¯ ) ) ) + Q k α ¯ ( t d k ( α ¯ ) ) − P α ¯ ( x k + t d k ( α ¯ ) ) ≥ t ( Q k α ¯ ( 0 ) − Q k α ¯ ( d k ( α ¯ ) ) ) − b 1 ‖ t d k ( α ¯ ) ‖ 2 = η t ( Q k α ¯ ( 0 ) − Q k α ¯ ( d k ( α ¯ ) ) ) + ( 1 − η ) t ( Q k α ¯ ( 0 ) − Q k α ¯ ( d k ( α ¯ ) ) ) − b 1 ‖ t d k ( α ¯ ) ‖ 2 ≥ η t ( Q k α ¯ ( 0 ) − Q k α ¯ ( d k ( α ¯ ) ) ) + ( 1 − η ) t ε − b 1 ‖ t d k ( α ¯ ) ‖ 2 . 若 t ≤ ( 1 − η ) ε b 1 ‖ d k ( α ¯ ) ‖ 2 ，结合上式，则知(1.14)成立。由步长 t k 的选择可知， t k ≥ min { 1， τ ( 1 − η ) ε b 1 ‖ d k ( α ¯ ) ‖ 2 } . (2.17) 注意到 d k ( α ¯ ) 是子问题 QM ( x k ， α ¯ ) ( 1.5 ) 的最优解，可以证明 ‖ d k ( α ¯ ) ‖ ≤ max { 2 a ( ‖ ∇ f ( x k ) ‖ + α ¯ m k ( 0 ) ) ， 1 } . (2.18) (反证)假设上式不成立，则 ‖ d k ( α ¯ ) ‖ > 1 ， ‖ d k ( α ¯ ) ‖ > 2 a ( ‖ ∇ f ( x k ) ‖ + α ¯ m k ( 0 ) ) 。由(1.4)，假设A2以及上式可得 Q k α ¯ ( 0 ) − Q k α ¯ ( d k ( α ¯ ) ) = − ∇ f ( x k ) T d k ( α ¯ ) − 1 2 ( d k ( α ¯ ) ) T B k d k ( α ¯ ) − α ¯ m k ( d k ( α ¯ ) ) + α ¯ m k ( 0 ) ≤ ‖ ∇ f ( x k ) ‖ ‖ d k ( α ¯ ) ‖ − 1 2 a ‖ d k ( α ¯ ) ‖ 2 + α ¯ m k ( 0 ) < ‖ ∇ f ( x k ) ‖ ‖ d k ( α ¯ ) ‖ − 1 2 a ‖ d k ( α ¯ ) ‖ ⋅ 2 a ( ‖ ∇ f ( x k ) ‖ + α ¯ m k ( 0 ) ) + α ¯ m k ( 0 ) = α ¯ m k ( 0 ) ( 1 − ‖ d k ( α ¯ ) ‖ ) < 0 ， 这与“ d k ( α ¯ ) 是 QM ( x k ， α ¯ ) ( 1.5 ) 的最优解”矛盾。因此不等式(2。18)成立。 由假设A1，(2.17)和(2.18)可知，存在常数 b 2 > 0 ，使得 t k > b 2 成立，于是结合(1.14)和(2.12)可得 P α ¯ ( x k ) − P α ¯ ( x k + t k d k ( α ¯ ) ) > η b 2 ε ，由此可推知 P α ¯ ( x k ) → ∞ ，这与“ P α ¯ ( x k ) 有界”矛盾。因此， d * = 0 。 于是由引理2.2 (1)知 x * 是罚函数 P α ¯ ( x ) 的稳定点。若 v ( x * ) = 0 ，则由引理2.2 (2)知 x * 为NLSDP (0.1)的KKT点，即结论(1)成立。 若 v ( x * ) > 0 ，往下证明 x * 为NLSDP (0.1)的不可行稳定点。 下面证明 m * ( d L M * ) = v ( x * ) 。由于 d k ( α ¯ ) → 0， k ∈ K ，则当 k ( ∈ K ) 充分大时 Q k α ¯ ( 0 ) − Q k α ¯ ( d k ( α ¯ ) ) → 0， (2.19) 由步骤4.3知 Q k α ¯ ( 0 ) − Q k α ¯ ( d k ( α ¯ ) ) ≥ ϵ 2 α ¯ [ m k ( 0 ) − m k ( d L M k ) ] ， (2.20) 因此，由(2.19)和(2.20)有 m k ( 0 ) − m k ( d L M k ) → 0 。由此可知 m k ( 0 ) − m k ( d L M k ) → m * ( 0 ) − m * ( d L M * ) = 0 ， 从而 m * ( d L M * ) = m * ( 0 ) = v ( x * ) ，于是由引理2.2 (3)可知 x * 是 v ( x ) 的稳定点。又因 v ( x * ) > 0 ，所以 x * 是NLSDP (0.1)的不可行稳定点。