system: [SYSTEM]

user: 4. 收敛性分析 接下来，考虑时空谱元方法全离散格式(6)的收敛性。 定理4.1令 ( U ， P ) 和 ( u ， p ) 分别是式(5)和式(6)的解，假设 σ ≥ 2 ， s ≥ 1 ， 且 U ∈ H ω 0 ， − 1 s ( J t ; H σ ( I x ) ) ∩ H ^ 1 ( J t ; H σ ( I x ) ) ∩ L ω 1 ， − 1 2 ( J t ; H σ ( I x ) ) 。那么存在正常数 C ，有 ‖ U − u ‖ ω 0 ， − 1 2 + ‖ ∂ x ( U − u ) ‖ ω 1 ， − 1 2 ≤ C [ ℏ x 2 σ ( | U | σ ， ω 0 ， − 1 2 + | ∂ t U | σ ， ω 1 ， − 1 2 ) + ℏ x 2 ( σ − 1 ) | U | σ − 1 ， ω 0 ， − 1 2 + h t − 2 ℏ t 2 s ( ‖ ∂ t s U ‖ 2 + ‖ ∂ t s ∂ x U ‖ 2 ) ] . (12) 证明由(5)和(6)，可以得到以下方程 B i ， j ( U − u ， P − p ; v ， z ) I i × J j = 0 ，     ∀ v ， z ∈ V N ⊗ S M * ， (13) 其中 B i ， j ( U − u ， P − p ; v ， z ) I i × J j = ( ∂ t ( U − u ) ， v ) I i × J j + ( P − p ， z ) I i × J j + D [ ( P − p ， v x ) I i × J j + ( U − u ， z x ) I i × J j − ∫ J j ( ( P − p ^ ) w − ) i ， t d t + ∫ J j ( ( P − p ^ ) w + ) i − 1 ， t d t − ∫ J j ( ( U − u ^ ) z − ) i ， t d t + ∫ J j ( ( U − u ^ ) z + ) i − 1 ， t d t ] . 令 U * = P N − P M 0 ， − 1 U ， P * = P N + P M 0 ， − 1 P 。定义 U − u = ( U * − u ) − ( U * − U ) = a − a e ， P − p = ( P * − p ) − ( P * − P ) = b − b e . (14) 方程可重写为 B i ， j ( a ， b ; v ， z ) = B i ， j ( a e ， b e ; v ， z ) . (15) 首先，令 v = ω 1 ， − 1 a ， z = ω 1 ， − 1 b 考虑以上方程的左边项 B i ， j ( a ， b ; ω 1 ， − 1 a ， ω 1 ， − 1 b ) = ( ∂ t a ， a ) I i × J j ， ω 1 ， − 1 + ( b ， b ) I i × J j ， ω 1 ， − 1       + D [ ( b ， a x ) I i × J j ， ω 1 ， − 1 + ( a ， b x ) I i × J j ， ω 1 ， − 1 − ∫ J j ( b ^ ⋅ ω 1 ， − 1 a − ) i ， t d t       + ∫ J j ( b ^ ⋅ ω 1 ， − 1 a + ) i − 1 ， t d t − ∫ J j ( a ^ ⋅ ω 1 ， − 1 b − ) i ， t d t + ∫ J j ( a ^ ⋅ ω 1 ， − 1 b + ) i − 1 ， t d t ] . (16) 根据所设置的交替形式的数值流通量并进行分部积分，可以得到 B i ， j ( a ， b ; ω 1 ， − 1 a ， ω 1 ， − 1 b ) = ( ∂ t a ， a ) I i × J j ， ω 1 ， − 1 + ( b ， b ) I i × J j ， ω 1 ， − 1     + D [ − ∫ J j ( b ^ ⋅ ω 1 ， − 1 a − ) i ， t d t + ∫ J j ( a ^ ⋅ ω 1 ， − 1 b + ) i − 1 ， t d t ] . 对以上方程的所有小区域 I i × J j ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， K 1 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， K 2 求和并由周期边界条件，可以得到 ∑ i = 1 K 1 ∑ j = 1 K 2 B i ， j ( a ， b ; ω 1 ， − 1 a ， ω 1 ， − 1 b ) = ( ∂ t a ， a ) ω 1 ， − 1 + ( b ， b ) ω 1 ， − 1 . (17) 接下来，我们考虑式(15)的右端项。可以将其重写为以下形式 B i ， j ( a e ， b e ; ω 1 ， − 1 a ， ω 1 ， − 1 b ) = ( ∂ t a e ， a ) I i × J j ， ω 1 ， − 1 + ( b e ， b ) I i × J j ， ω 1 ， − 1 + D [ ( g 1 ， ω 1 ， − 1 a ) I i × J j + ( g 2 ， ω 1 ， − 1 b ) I i × J j ] ， (18) 其中 ( g 1 ， a ) I i × J j ， ω 1 ， − 1 = ( b e ， a x ) I i × J j ， ω 1 ， − 1 − ∫ J j ( ( b e ) + ， ω 1 ， − 1 a − ) i ， t d t + ∫ J j ( ( b e ) + ， ω 1 ， − 1 a + ) i − 1 ， t d t ≤ C ( g 1 ， a ) I i × J j ， ω 0 ， − 1 ， ( g 2 ， b ) I i × J j ， ω 1 ， − 1 = ( a e ， b x ) I i × J j ， ω 1 ， − 1 − ∫ J j ( ( a e ) − ， ω 1 ， − 1 b − ) i ， t d t + ∫ J j ( ( a e ) − ， ω 1 ， − 1 b + ) i − 1 ， t d t ≤ C ( g 2 ， b ) I i × J j ， ω 0 ， − 1 ， (19) C 是一个正常数。根据时间方向上投影算子的性质，有 ( g 1 ， a ) I i × J j ， ω 0 ， − 1 = − ( P − P N + P ， a x ) I i × J j ， ω 0 ， − 1     + ∫ J j ( ( P − P N + P ) + ， ω 0 ， − 1 a − ) i ， t d t − ∫ J j ( ( P − P N + P ) + ， ω 0 ， − 1 a + ) i − 1 ， t d t ， ( g 2 ， b ) I i × J j ， ω 0 ， − 1 = − ( U − P N − U ， b x ) I i × J j ， ω 0 ， − 1     + ∫ J j ( ( U − P N − U ) − ， ω 0 ， − 1 b − ) i ， t d t − ∫ J j ( ( U − P N − U ) − ， ω 0 ， − 1 b + ) i − 1 ， t d t . 引入算子 D ，并对上式所有子区域求和。可重写为 ( g 1 ， a ) ω 0 ， − 1 = D ( P − P N + P ， ω 0 ， − 1 a ; ( P − P N + P ) + ) ， ( g 2 ， b ) ω 0 ， − 1 = D ( U − P N − U ， ω 0 ， − 1 b ; ( U − P N − U ) − ) . 根据引理2.3，可知式(15)的右端项可以重写为 ∑ i = 1 K 1 ∑ j = 1 K 2 B i ， j ( a e ， b e ; ω 1 ， − 1 a ， ω 1 ， − 1 b ) = ( ∂ t a e ， a ) ω 1 ， − 1 + ( b e ， b ) ω 1 ， − 1 . (20) 因此，由式(15)可以得到以下方程 ( ∂ t a ， a ) ω 1 ， − 1 + ( b ， b ) ω 1 ， − 1 = ( ∂ t a e ， a ) ω 1 ， − 1 + ( b e ， b ) ω 1 ， − 1 = ( ∂ t ( P N − U − U ) ， U * − u ) ω 1 ， − 1 + ( P * − P ， P * − p ) ω 1 ， − 1 . (21) 由Cauchy-Schwarz不等式，有 ‖ U * − u ‖ ω 0 ， − 2 2 + ‖ P * − p ‖ ω 1 ， − 1 2 ≤ C ( ‖ ∂ t ( P N − U − U ) ‖ ω 1 ， − 1 2 + ‖ P * − P ‖ ω 1 ， − 1 2 ) . (22) 根据三角不等式，可得 ‖ U − u ‖ ω 0 ， − 1 2 + ‖ P − p ‖ ω 1 ， − 1 2 ≤ C ( ‖ U * − U ‖ ω 0 ， − 1 2 + ‖ P * − P ‖ ω 0 ， − 1 2 + ‖ ∂ t ( P N − U − U ) ‖ ω 1 ， − 1 2 ) . (23) 由引理2.1， N = min 1 ≤ k ≤ K N k 及 ℏ x 的定义，得到估计 ‖ ω e ‖ ≤ C h σ ( Γ ( N + 2 − σ ) Γ ( N + 2 + σ ) ) 1 2 | u | σ ≤ C h σ ( 1 ( N ) 2 σ ) 1 2 | u | σ ≤ C ℏ x σ | u | σ . 由引理2.2，其中 l = 0 ，可以得到以下估计结果 ‖ U * − U ‖ ω 0 ， − 1 = ‖ P N − P M 0 ， − 1 U − U ‖ ω 0 ， − 1 = ‖ − ( I − P N − ) U + ( I − P N − ) ( I − P M 0 ， − 1 ) U − ( I − P M 0 ， − 1 ) U ‖ ω 0 ， − 1 ≤ C ( ‖ ( I − P N − ) U ‖ ω 0 ， − 1 + ‖ ( I − P M 0 ， − 1 ) U ‖ ω 0 ， − 1 ) ≤ C ( ℏ x σ | U | σ ， ω 0 ， − 1 + h t − 1 ℏ t s ‖ ∂ t s U ‖ ) ， (24) ‖ P * − P ‖ ω 0 ， − 1 = ‖ P N + P M 0 ， − 1 P − P ‖ ω 0 ， − 1 = ‖ − ( I − P N + ) P + ( I − P N + ) ( I − P M 0 ， − 1 ) P − ( I − P M 0 ， − 1 ) P ‖ ω 0 ， − 1 ≤ C ( ‖ ( I − P N + ) ∂ x U ‖ ω 0 ， − 1 + ‖ ( I − P M 0 ， − 1 ) ∂ x U ‖ ω 0 ， − 1 ) ≤ C ( ℏ x σ − 1 | U | σ − 1 ， ω 0 ， − 1 + h t − 1 ℏ t s ‖ ∂ t s ∂ x U ‖ ) ， (25) ‖ ∂ t ( P N − U − U ) ‖ ω 1 ， − 1 ≤ C ℏ x σ | ∂ t U | σ ， ω 1 ， − 1 . (26) 至此，全离散格式的收敛性得以证明。