system: [SYSTEM]

user: 3. 主要结论及讨论 考虑一系列模型中的第n个模型，下面建立与到达过程有关的高负荷极限，对于单服务台的高负荷极限，通常使负荷强度逐渐趋于1，这里当 n → ∞ 时，令 ρ n = 1 − 1 n 。当 t ≥ 0 、 n ≥ 1 时，对到达函数 λ n ( t ) 和累积到达函数 Λ n ( t ) 进行流体刻画，分别为： λ ¯ n ( t ) ≡ λ n ( n t ) ， Λ ¯ n ( t ) ≡ Λ n ( n t ) n . 则有 Λ ¯ n ( t ) = ∫ 0 t λ ¯ n ( s ) d s 。 另外，为了后续研究的方便，对累积到达函数 Λ n ( t ) 在时间 n t 通过增量 n 进行刻画，即 ∀ u ， − ∞ < u < + ∞ ，当 n → ∞ 时，有： Λ ˜ n ， t ( u ) ≡ Λ n ( n t + u n ) − Λ n ( n t ) n ， t ≥ 0 ， n ≥ 1 . 假设在D空间中，当 n → ∞ 时， λ ¯ n → λ f ， Λ ¯ n → Λ f 。 累积到达函数 Λ n ( t ) 的扩散刻画如下 Λ ^ n ( t ) ≡ Λ n ( n t ) − n Λ f ( t ) n ， 假设 Λ ^ n → Λ d ， Λ d 为连续函数。 到达过程满足： A n ( t ) ≡ N a ( Λ n ( t ) ) = N a ( ∫ 0 t λ n ( s ) d s ) ， 根据以上到达函数的刻画，接下来对到达过程进行刻画，如下： A ¯ n ( t ) ≡ N a ( Λ n ( n t ) ) n ， A ^ n ( t ) ≡ A n ( n t ) − n Λ f ( t ) n ， A ˜ n ， t ( u ) ≡ A n ( n t + u n ) − A n ( n t ) n ， t ≥ 0 ， n ≥ 1 . 定理1 (到达过程的极限)：在以上刻画的前提下，在D空间中，当 n → ∞ 时， 有如下的泛函强大数定理： A ¯ n = N ¯ a ， n ∘ Λ ¯ n → Λ f 。 以及泛函中心极限定理： A ^ n = N ^ a ， n ∘ Λ ¯ n + Λ ^ n ⇒ c a B a ∘ Λ f + Λ d ， A ˜ n ， t ( u ) → λ f ( t ) u . 证明：根据文献 [ 11 ] 中13.2以及连续映射定理， 且由 N ¯ a ， n → e ， N ¯ a ， n ≡ N a ( n t ) n ，得 A ¯ n ( t ) ≡ N a ( Λ n ( n t ) ) n = n N ¯ a ， n ( Λ n ( n t ) n ) n = N ¯ a ， n ( Λ n ( n t ) n ) = N ¯ a ， n ∘ Λ ¯ n → Λ f ， 又由 N ^ a ， n ⇒ c a B a ， N ^ a ， n ≡ N a ( n t ) − n t n ，得： A ^ n ( t ) ≡ A n ( n t ) − n Λ f ( t ) n = A n ( n t ) n − n Λ f ( t ) = N a ( Λ n ( n t ) ) n − n Λ f ( t )                 = n N ^ a ， n ( Λ n ( n t ) n ) + Λ n ( n t ) n − n Λ f ( t ) = N ^ a ， n ( Λ n ( n t ) n ) + Λ n ( n t ) n − n Λ f ( t )                 = N ^ a ， n ( Λ ¯ n ( t ) ) + Λ n ( n t ) − n Λ f ( t ) n = N ^ a ， n ∘ Λ ¯ n ( t ) + Λ ^ n ( t )                 ⇒ c a B a ∘ Λ f + Λ d 由 N ^ a ， n ⇒ c a B a ，以及胎紧性，有： N a ( n t + u n ) − N a ( n t ) n ⇒ u ，进而得： A ˜ n ， t ( u ) ≡ A n ( n t + u n ) − A n ( n t ) n                     = N a ( Λ n ( n t + u n ) ) − N a ( Λ n ( n t ) ) n                     = N a ( Λ n ( n t ) + λ f ( t ) u n + ο ( n ) ) − N a ( Λ n ( n t ) ) n                     ⇒ λ f ( t ) u 接下来刻画队长和虚等待时间： 当 t ≥ 0 时， Q ^ n ( t ) ≡ Q n ( n t ) n ， W ^ n ( t ) ≡ W n ( n t ) n 。 R ( t ; a ， b ) 是漂移系数为a，扩散系数为b的反射布朗运动。 定理2 (虚等待时间的高负荷极限)：假定系统开始为空，在以上刻画的基础上，且满足以上到达函数，则在 D 2 空间中，当 n → ∞ 时，有 ( Q ^ n ， W ^ n ) ⇒ ( Q ^ ， W ^ ) ，这里当 t ≥ 0 时， ， Q ^ ( t ) ≡ R ( Λ f ( t ) ; − 1 ， c a 2 + c s 2 ) ，对于每一个 ，当 时， 。 证明：首先刻画到达和服务过程，当 、 n ≥ 1 时， A ^ n ( t ) ≡ N a ( n t ) − n t n ， S ^ n ( t ) ≡ N s ( n t / ρ n ) − n t n = N s ( n t / ρ n ) − n t / ρ n n + n n − 1 t ， 所以当 n → ∞ 时，在 空间中， ( A ^ n ， S ^ n ) ⇒ ( B a ， B s + e ) ， 其中 B a 和 B s 是相互独立的布朗运动， 因此在D空间中， A ^ n − S ^ n ⇒ B a − B s − e ， 其次应用 [ 11 ] 中的定理9.3.4以及连续映射定理，当 n → ∞ 时，得： Q ^ n ⇒ R ( ⋅ ) ≡ R ( ⋅ ; − 1 ， c a 2 + c s 2 ) ，且 Q ^ n ⇒ R ( Λ f ( ⋅ ) ) 。 D n ( t ) 代表第n个系统中的离去过程， W ^ n ( t ) ≡ W n ( n t ) n = inf { u ≥ 0 : D n ( n t + u n ) − D n ( n t ) ≥ Q n ( n t ) } = inf { u ≥ 0 : ( D n ( n t + u n ) − D n ( n t ) ) / n ≥ Q n ( n t ) / n } = inf { u ≥ 0 : D ^ n ， t ( u ) ≥ Q ^ n ( t ) } ， 其中 D ^ n ， t ( u ) ≡ D n ( n t + u n ) − D n ( n t ) n 。 在D空间中，当 n → ∞ 时， Q ^ n ⇒ R ( Λ f ( ⋅ ) ) 。 B n ( t ) 是 [ 0 ， t ] 时间内忙的服务台。 D n ( n t ) = N s ( ρ n − 1 B n ( Λ n ( n t ) ) ) ， t ≥ 0 根据 Λ ˜ n ， t ( u ) → λ f ( t ) u 以及 [ 11 ] 中的定理9.3.4，可得： B n ( Λ n ( n t + u n ) ) − B n ( Λ n ( n t ) ) n → u λ f ( t ) ， 由 N ¯ s ， n → e ， N ^ s ， n ⇒ c s B s 得 D ^ n ， t ( u ) → u λ f ( t ) 。 由 Q ^ n ⇒ Q ^ ，及 W ^ ( t ) ≡ Q ^ ( t ) λ f ( t ) ， Q ^ ( t ) ≡ R ( Λ f ( t ) ; − 1 ， c a 2 + c s 2 ) ，得： 对于每一个 T > 0 ，当 时， sup 0 ≤ t ≤ T { | W ^ n ( t ) − ( Q ^ n ( t ) / λ f ( t ) ) | } ⇒ 0 . 由联合极限以及 [ 11 ] 中的定理11.4.7，得： 在 D 2 空间中，当 n → ∞ 时，有 ( Q ^ n ， W ^ n ) ⇒ ( Q ^ ， W ^ ) 。