DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 2. 主要定理及引理 定理2.1：(Erdös和Gallai [ 2 ] )设 π = ( d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d n ) ∈ N S n 且 ∑ i = 1 n d i 是偶数。则 π ∈ G S n 当且仅当对任意整数t， ∑ i = 1 t d i ≤ t ( t − 1 ) + ∑ j = t + 1 n min { d i ， t } ，   1 ≤ t ≤ n 都成立。 设 P : = ( p 1 ， p 2 ， ⋯ ， p m ) ， Q : = ( q 1 ， q 2 ， ⋯ ， q n ) 是两个非负整数序列。如果存在一个简单二部图 G [ X ， Y ] 使得X和Y中的顶点度分别是 ( p 1 ， p 2 ， ⋯ ， p m ) 和 ，那么称序列对 是二部可图的，并称二部图 为 的一个实现。Gale [ 3 ] 和Ryser [ 4 ] 分别独立地给出了关于二部可图序列的刻划定理。 定理2.2：(Gale [ 3 ] ， Ryser [ 4 ] ) 设 和 是两个非负整数序列且满足 ， 。若 ，则 是二部可图的当且仅当 成立。 引理2.3：(Yin和Li [ 5 ] )设 ， 且 是偶数。如果 ，则 。 设 ，若 ，则称π是 -双正则可图的。本文主要给出双正则可图序列 的公平划分的上下界。
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user: 3. (k， k − 1)-双正则可图序列的公平划分 的上界 定理3.1：设 是一个正整数，m是4的整数倍且 。那么 1) 若 ，则 ； 2) 若 ，则 。 证明：情形(1)： 。 设 ， ，那么 是π的一个平衡二部 划分。这里， (1) 且 (2) 接下来我们比较 和 的大小。显然，由(1)和(2)得 且 。 若 ，由(1)和(2)得， ； 。 据 和 可得 。 若 ，由(1)和(2)得， ； 。 显然， 。 由定理2.2， 是二部可图的。设 是 的一个实现，则G也是 的一个实现且 是G的一个平衡二部划分。因此， 。 故， ，且 。 情形(2)： 。 设 ， 。由于 是偶数，所以 的度和 为偶数。由引理2.3知， 。设 是 的一个实现且 ， 。令 。容易验证G是π的一个实现，且 。 证毕。
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user: 4. (k， k-1)-双正则可图序列的公平划分 的下界 定理4.1：设 是一个正整数，m是4的整数倍且 。那么 1) 若 ，则 ； 2) 若 ，则 。 证明：情形(1)： 。 设 ， ，则 是π的一个平衡二部划分。由于 是偶数，所以 的度和 为偶数。又由引理2.3可得， 。设 是 的一个实现且 ，令 。容易验证G是π的一个实现， 是G的一个平衡二部划分且 。 情形(2)： 。显然 。 设 ， 。这里， (3) 且 (4) 接下来我们比较 和 的大小。显然，由(3)和(4)得 且 。 若 ，由(3)和(4)得， ； 。 据 和 可知 若 ，由(3)和(4)得， ； 。 显然， 。 由定理2.2， 是二部可图的。设 是 的一个实现， 且 。令 ，则G是 的一个实现且 是G的一个平衡二部划分。故， 。 因此， ， 。证毕。
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user: 摘 要 Bi 2 S 3 纳米材料是一种重要的半导体，拥有良好的光氧化和还原能力，在光催化方面有着非常大的潜力和应用前景。针对其光生电子和空穴再复合几率高的缺陷，本文通过WO 3 与Bi 2 S 3 复合对Bi 2 S 3 进行改性，采用水热合成的方法制备了Bi 2 S 3 -WO 3 纳米半导体复合材料，并对样品的组成、形貌和光催化析氢性能进行研究。复合材料中Bi 2 S 3 纳米棒和WO 3 纳米棒彼此交叉、重叠交织在一起，且具有良好的结晶性。Bi 2 S 3 -WO 3 复合材料具有很好的光催化析氢性能，当WO 3 的摩尔含量为40%时其析氢性能可达到17.95 μmol∙h −1 g −1 ，约为纯Bi 2 S 3 的1.5倍，光催化析氢稳定性良好，循环使用4次后光催化析氢效率降低了约11.1%。 关键词 :水热合成，Bi 2 S 3 -WO 3 ， 光催化析氢 Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 随着社会的飞速发展，能源问题已成为人们面临的首要问题，随着不可再生能源的持续消耗，清洁、可再生的新型能源渐渐成为了人们关注的焦点 [ 1 ] 。氢能由于利用率高、储运方便和来源广泛等特点为解决能源危机提供了希望。而太阳能取之不尽，用之不竭，利用半导体进行光催化分解水制氢成为可行的制氢方法，为人们利用氢能提供了一种有效的途径 [ 2 ] 。 Bi 2 S 3 纳米材料是一种重要的半导体，拥有良好的光氧化和还原能力，以及优异的光催化性能 [ 3 ] 。由于良好的形貌和晶体结构，合适的禁带宽度以及卓越的化学稳定性使其在催化方面应用广泛，是一种非常有潜质的催化材料，尤其是在光催化析氢领域得到很多研究 [ 4 ] 。然而Bi2S3本身的一些缺陷限制了其发展，单一半导体在光催化过程中存在非常严重的电子和空穴再复合的问题，往往会使得量子产量比较低，很难得到稳定良好的光催化析氢性能 [ 5 ] [ 6 ] 。通过对半导体进行改性是提高其光催化性能的有效方法 [ 7 ] 。WO 3 的禁带宽度约为2.7 eV [ 8 ] ，因为其优异的性能，近几年来受到广泛关注，通过WO 3 与Bi 2 S 3 复合对Bi 2 S 3 进行改性，可以促进光生电子和空穴的分离，从而提高材料的光催化性能。 本文针对目前Bi 2 S 3 半导体的研究现状，聚焦于Bi 2 S 3 半导体的复合改性研究，采用水热法制备Bi 2 S 3 -WO 3 复合材料，并对其光催化析氢性能进行研究。
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user: 2. 实验 2.1. 主要试剂 五水合硝酸铋(Bi(NO 3 ) 3 ∙5H 2 O，分析纯)、硫代乙酰胺(CH 3 CSNH 2 ，分析纯)、二水合钨酸钠(Na 2 WO 4 ∙2H 2 O，分析纯)、氯化钠(NaCl，分析纯)、盐酸(HCl，37%，分析纯)、无水乙醇(C 2 H 5 OH，分析纯)、去离子水(H 2 O，自制)等。 2.2. 实验 2.2.1. Bi 2 S 3 纳米材料的制备 水热法制备Bi 2 S 3 半导体纳米材料的一般流程 [ 9 ] ：称取0.3600 g五水合硝酸铋，加入到60 ml去离子水中，搅拌至完全溶解，然后称取0.1800 g硫代乙酰胺加入到溶液中，放入到超声清洗仪器中超声处理5 min，得到红棕色溶液，继续搅拌10 min后，转移并密封到100 ml反应釜中，使用烘箱在200℃的条件下水热反应24 h。反应结束自然冷却至室温，将反应产物转移至50 ml离心管中，加入适量的去离子水和乙醇，使用高速离心机8000 rpm/min离心10 min，并在离心、洗涤3次后将沉淀产物在70℃的烘箱中恒温干燥6 h。 2.2.2. WO 3 纳米材料的制备 水热法制备WO 3 半导体纳米材料的一般流程 [ 10 ] ：称取0.5500 g的二水合钨酸钠，加入到50 ml的去离子水中，搅拌至完全溶解，称取0.1933 g氯化钠溶解到溶液中，持续搅拌10 min直至溶液变为澄清无色液体，随后将1 M的稀盐酸缓缓滴加到溶液中，直至溶液的pH变为2.0。将溶液转移并密封到100 ml反应釜中，使用烘箱在180℃的条件下水热反应24 h。反应结束后自然冷却至室温，将反应产物转移至50 ml的离心管中，加入适量的去离子水和乙醇，使用高速离心机8000 rpm/min离心10 min，并在离心、洗涤3次后将得到的沉淀产物在60℃的烘箱中恒温干燥6 h。 2.2.3. Bi 2 S 3 -WO 3 纳米材料的制备 本实验以Bi 2 S 3 为基底进行WO 3 的半导体复合。以WO 3 摩尔含量为90%的样品为例(表1)，称取0.8661 g的二水合钨酸钠，加入到50 ml的去离子水中，搅拌至完全溶解，然后将0.3044 g的氯化钠加入到溶液中，持续搅拌至溶液变为澄清无色液体，然后将事先制备的0.1500 g Bi 2 S 3 加入到溶液中，继续搅拌10 min使其混合均匀。随后实验操作与水热法制备WO 3 半导体相同。通过调节原料配比，得到WO 3 摩尔含量占总摩尔含量10%到90%的Bi 2 S 3 -WO 3 复合物。 2.3. 实验表征 使用Bruker D8 Advance X射线衍射仪进行X-射线衍射表征，CuKα辐射，扫描范围2θ = 10˚~70˚，扫描速率为4˚/min。使用JEM 1200透射电子显微镜进行形貌表征，加速电压为100 kV。 2.4. 光催化析氢性能测试 利用CEL-SPH2N-S9双反全自动光催化制氢系统进行光催化析氢性能的测试。光化学反应仪主要由光催化反应器、气相色谱分析仪和全自动控制器组成，其中反应器部分采用300 W的氙灯作为可见光光源，并配有直径12 cm的石英玻璃盖，控制部分采用软件进行全自动控制。 Table 1 The raw material dosage during Bi2S3-WO3 composites synthesi Sample Na 2 WO 4 ∙2H 2 O(g) NaCl(g) Water(ml) 90% 0.8661 0.3044 50 80% 0.3849 0.1353 50 70% 0.2245 0.0789 50 60% 0.1443 0.0507 50 50% 0.1283 0.0451 50 40% 0.0855 0.0301 50 30% 0.0413 0.0145 50 20% 0.0241 0.0085 50 10% 0.0110 0.0039 50 表1. Bi 2 S 3 -WO 3 复合材料合成的原料配比 在进行光催化析氢测试时选用无水亚硫酸钠和九水硫化钠作为牺牲试剂，首先在反应器中加入100 ml的去离子水，并将3.5 g的无水亚硫酸钠和8.4 g的九水硫化钠加入到反应器中，通过磁力搅拌器对溶液进行搅拌，使牺牲试剂充分溶解，然后加入25 mg光催化剂，在整个反应过程中对液体进行持续搅拌，使样品在溶液中保持悬浮状态，反应器的器口与光源间距为5 cm。 2.5. 光催化析氢稳定性测试 将光催化析氢反应6 h后的样品进行离心、洗涤，并在60℃的烘箱中恒温干燥6 h。称量干燥后的样品，加入同种样品直至反应样品质量为25 mg，并将称取好的样品进行光催化析氢性能的测试，重复上述操作步骤3次，在实验测试过程中其他试剂用量和测试条件保持一致。
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user: 3. 实验结果分析 图1为采用水热法合成的Bi 2 S 3 、WO 3 和不同比例的Bi 2 S 3 -WO 3 复合样品的XRD谱图。从图中可以看出Bi 2 S 3 样品与标准图谱相对应，图中显示在2θ为15.8˚、17.6˚、22.4˚、23.7˚、25.1˚、27.4˚、28.6˚、31.8˚、46.6˚和52.7˚的衍射峰与辉铋矿斜方晶系的Bi 2 S 3 (JCPDS:17-0320)相对应，产物的主要衍射峰比较尖锐，并且谱图中没有明显的杂峰，表明制备得到了纯的Bi 2 S 3 样品。图1中WO 3 的衍射峰与JCPDS：33-1387相一致，衍射峰清晰且没有杂峰，表明生成了纯的WO 3 样品，样品属于六方晶系。从图1复合样品的衍射峰可以看出，复合产物表现出相似的XRD谱图，并且复合物的衍射峰均可以在Bi 2 S 3 (JCPDS:17-0320)和WO 3 (JCPDS:33-1387)中找到。谱图中，复合产物的衍射峰比较清晰，没有多余的杂峰，产物结晶性良好，表明合成的样品均由Bi 2 S 3 和WO 3 这两种半导体所组成。 图2为水热合成的Bi 2 S 3 、WO 3 以及不同比例的Bi 2 S 3 -WO 3 复合样品的TEM照片。图2(a)为Bi 2 S 3 样品的照片，可以看出样品为棒状结构，纳米棒的直径约为20~50 nm，长度约为400~700 nm，产物的形貌均一，结构比较规则，并且直径波动范围较小，产物整体分布较为均匀。图2(b)为WO 3 样品的照片，可以看出WO 3 为棒状结构，形貌清晰且表面光滑，长度均在几微米左右，直径约90~100 nm，样品具有良好的分散性。图2中复合的Bi 2 S 3 -WO 3 的TEM照片显示，复合产物由两种棒状结构的材料组成，结合XRD分析这些棒状的结构为Bi 2 S 3 和WO 3 。在图中，比较长且直径较小的为Bi 2 S 3 半导体，较短且直径较大的为WO 3 半导体，这些棒状结构分散杂乱，Bi 2 S 3 和WO 3 彼此交叉重叠，一般在Bi 2 S 3 棒的周围交织生长着大量的WO 3 棒，这种相互支撑的结构增加了半导体的接触面积，为提高光催化析氢性能提供了可能。 XRD和TEM表征证明本实验成功制得了Bi 2 S 3 -WO 3 纳米半导体复合材料。 图1. Bi 2 S 3 -WO 3 纳米复合材料的XRD图谱 图3(a)为Bi 2 S 3 -WO 3 纳米半导体复合材料的光催化析氢曲线图，从图中可以看出，样品的光催化析氢性能比较稳定，且在光催化析氢10 h后仍然能够分解水产生氢气。复合样品Bi 2 S 3 -WO 3 (40%)和Bi 2 S 3 -WO 3 (50%)的光催化析氢曲线位于其他样品曲线的上方，其光催化析氢性能要高于其他比例的样品和Bi 2 S 3 半导体。图3(b)为根据图3(a)计算的样品光催化析氢速率图，从图中可以看出，Bi 2 S 3 表现出较低的光催化析氢性能，随着复合物中WO 3 含量的不断增加，Bi 2 S 3 -WO 3 的光催化析氢性能先提高后降低，在WO 3 的摩尔含量为40%的时候达到最大值，为17.95 μmol∙h −1 g −1 ，这一光催化析氢速率约为纯Bi 2 S 3 的1.5倍。导致这一结果的原因可能为当WO 3 含量较低时，随着含量的增加，WO 3 与Bi 2 S 3 的接触面积变大，电子传输的效率提高，提高了光生载流子的分离效率，从而光催化析氢性能有所提高；但随着WO 3 的含量继续变大时，由于WO 3 材料的不透明性，阻碍了Bi 2 S 3 对光的吸收，反而减弱了复合样品的光催化性能。 图4为Bi 2 S 3 -WO 3 (40%) 半导体复合材料的光催化析氢循环测试曲线，可以看出，半导体的光催化析氢性能较为稳定，随着循环次数的增加，样品的光催化效率逐渐降低，在进行4次循环后其光催化分解水的产氢量由36.04 μmol∙g −1 降到了32.05 μmol∙g −1 ，光催化效率只降低了约11.1%，复合材料表现出较好的光催化析氢稳定性。 图2. Bi 2 S 3 -WO 3 纳米复合材料的TEM照片。(a) Bi 2 S 3 ; (b) WO 3 ; (c) Bi 2 S 3 -WO 3 (20%); (d) Bi 2 S 3 -WO 3 (40%); (e) Bi 2 S 3 -WO 3 (70%); (f) Bi 2 S 3 -WO 3 (80%) 图3. (a) Bi 2 S 3 -WO 3 纳米复合材料的光催化析氢性能图；(b) 复合材料中WO 3 的含量与光催化析氢速率的关系图 图4. Bi 2 S 3 -WO 3 (40%) 纳米复合材料的光催化析氢循环测试曲线
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user: 4. 结论 通过WO 3 与Bi 2 S 3 复合对Bi 2 S 3 进行改性，采用水热法制备了Bi 2 S 3 -WO 3 纳米半导体复合材料，并对样品的组成、形貌和光催化析氢性能进行了研究。结果表明：制备的Bi 2 S 3 和WO 3 半导体具有良好的结晶性，呈棒状，形貌比较规则，复合产物由这两种半导体组成，Bi 2 S 3 纳米棒和WO 3 纳米棒彼此交叉重叠。复合材料具有较强的光催化析氢性能，当WO 3 的摩尔含量为40%时析氢效率可达到17.951 μmol∙h −1 g −1 ，约为纯Bi 2 S 3 的1.5倍，样品表现出较好的光催化析氢稳定性，4次循环后光催化效率只降低了约11.1%。
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user: 摘 要 MDS矩阵在密码学中有重要的应用，可以用来构造分组密码。MDS矩阵的异或数是衡量密码算法的有效性的一个重要指标。本文研究MDS矩阵的性质，考虑循环、矩阵分块和迭代等思想，分别针对几类特殊性质的MDS矩阵构造，包括循环MDS矩阵、Hadar MDS矩阵和迭代MDS矩阵等。在m = 4， 8情况下，使用程序来搜索满足条件的MDS矩阵，给出了具有最小异或数的MDS矩阵的数目和例子，得到m = 4， 8情况下许多具有已知最小异或数的MDS矩阵，得到了m = 4时具有异或数12的循环MDS矩阵，也构造了m = 8时具有异或数10的最佳MDS矩阵。 关键词 :MDS矩阵，线性扩散层，循环矩阵，Hadamard矩阵，异或数 Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 绪论 1.1. 引言 混乱原则和扩散原则是保证分组密码安全性的重要原则，线性扩散层是分组对称密码算法的重要组成部分，其扩散特性是通过特定的内部结构来实现的。扩散结构的设计十分重要，直接关系到分组密码的安全性能和实现性能 [ 1 ] 。在轻量级加密过程中，通过有限的资源环境保证信息安全，线性扩散层发挥着重要作用。 分支数是分组密码设计中的一个重要组成成分，可以根据分支数的大小从理论上给出差分和线性攻击的抵抗界限。线性扩散层是一个线性变换，可以通过一个n阶矩阵表示，若这个n阶矩阵的最大分支数是n + 1，则这个扩散层就称为完美扩散层。MDS矩阵的分支数达到最大，在分组密码的扩散结构中得到广泛应用，比如Advanced Encryption Standard (AES) [ 2 ] 、Shark [ 3 ] 以及Twofish [ 4 ] 和Khazad [ 5 ] 分组密码算法等。此外，为了保证解密结构和加密结构的一致性，通常采用对合MDS矩阵，因此，如何构造良好性质的对合MDS矩阵成为了研究的目标。 构造MDS矩阵的方法通常利用有限域及MDS码。为提高运算效率，通常考虑有限域上具有较少非零元素的矩阵。循环矩阵以及Hadamard矩阵是主要选取的对象，AES扩散层就是使用此类矩阵。为了适用于轻量密码算法，目前主要使用递归扩散层构造最优扩散层，具体是首先构造一个简单的矩阵，然后该矩阵复合若干次(通常大于等于矩阵的阶数)，得到MDS矩阵。在轻量级的Hash函数设计中，比如PHOTON，以及分组密码LED [ 6 ] ，均是通过此类MDS矩阵构造。利用上述想法并用具有较少异或操作的线性变换替换有限域上的乘法，实现效率得以提高。如何构造轻量级MDS矩阵，既能减少矩阵乘法运算中出现的困难又能避免迭代构造出现的问题，是进一步需要研究的问题。 本文考虑m = 4， 8时具有小异或数的MDS矩阵，首先给出了MDS矩阵异或数的性质，然后使用直接搜索满足性质的特殊循环MDS矩阵，并分析MDS矩阵的异或数最小值和数目，为了改进MDS矩阵的构造方法和效率，使用循环、分块和迭代等思想，来考虑特殊MDS矩阵，并分析这些MDS矩阵的异或数最小值和数目。 本文的主要结构是：第二节给出了一些基本概念和MDS矩阵性质；第三节使用循环、分块和迭代等思想，给出几种特殊类型MDS矩阵的构造，并分析这些MDS矩阵的最小异或数和数目。 1.2. 预备知识 记 为一个有 个元素的有限域，当m = 1时，值为0或1， 可以看成 上的m维线性空间，记 为 上的m维线性空间。一个矩阵成为二元矩阵，若矩阵的每个元素都在有限域 中，即每个元素都是0或1。 一个 映射L被称为是线性的，若 ，其中 。确定 上的一个基， 上的线性映射可以用 的二元矩阵L表示，即 ，其中 为一个列向量。 记 为所有的 的非奇异二元矩阵的集合，其中 。取一个二元矩阵 其中 为 中一个二元矩阵。定义L的一个t阶子方阵为 ，其中 ， 是两个长度为t的序列，并且 ， 。二元矩阵L称为MDS矩阵，若L的任意阶数为t的子方阵都是满秩矩阵。 对任意的二元矩阵L，记L的异或数为 ，其中 ，m为L的阶数， 为L的第i行中1的个数。对任意的 ，通过提取L中每一行不为零元素的位置而将L的简化形式给出，例如矩阵[[1，3]， 2， 3， [1，4]]表示如下矩阵 线性扩散层是一个线性变换，每一个线性变换都可以用一个m阶矩阵表示。所以每一个线性扩散层都可以有一个m阶矩阵表示，众所周知，m阶矩阵的最大分支数是m + 1。具有最大分支数的线性扩散层是一个完美扩散层或者是一个MDS矩阵。 一个矩阵被称为循环矩阵，若这个矩阵每一行的最后一个分块被旋转到下一行的最左边。四阶循环矩阵如下 ， 其中 一个 的矩阵被称为Hadamard矩阵，若它具有如下形式 ， 其中 是两个 的Hadamard矩阵。四阶Hadamard矩阵如下 其中 。 文献 [ 7 ] 给出了循环MDS矩阵和Hadamard MDS矩阵的一个下界，提出一种利用非对合矩阵，建构出异或数较小的MDS矩阵，主要的思想是对构造的非对合MDS矩阵，通过不同矩阵的性质的研究，借助搜索，得到最终异或数最小的MDS矩阵。
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user: 3. 总结 本文考虑具有小的异或数MDS矩阵的构造，使用循环、分块和迭代等思想来考虑MDS矩阵，分析MDS矩阵的性质，考虑特殊情况下的矩阵，分别对几种情况的特殊矩阵，在m = 4和8下，使用程序搜索，得到这些MDS矩阵的异或数最小的情况，并计数和给出相关例子。如何构造最小的异或数的MDS矩阵是一个有趣和实际应用的问题，需要进一步研究。
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user: 1. 引言 在经典排序问题中一个公认的假设是工件的加工时间不受其他因素影响，即为一个恒定的常值，但在实际生产过程中，会经常遇到工件的实际加工时间可变的情况。影响工件的实际加工时间因素多种多样，如因机器老化而造成的退化效应或因工人反复操作提高技术而产生的学习效应，或资源分配等情况。Biskup [ 1 ] ，Gawiejnowicz [ 2 ] ，Shabtay [ 3 ] 分别研究了工件加工时间变化的问题。Wang and Wang [ 4 ] [ 5 ] 研究了工件的加工时间依赖于退化效应和资源分配的情况。Wang，Wang and Ji [ 6 ] 研究了单机排序问 题，且工件 的实际加工时间的表达式为 其中 表示工件 的正常加工时间，t为工件 的开始加工时间， 为学习指数，r为工件 所在的序列位置， 为所有工件的退化率， 为分配给工件 的不可再生资源数量， 为正参数。文献 [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] 相继研究了带有三种交货期的单机排序问题，其中Sun [ 10 ] 中工件 的实际加工时间为 ，目标是极小化带有提前、延误、交货期和资源总费用的和。 近年来带有工期窗口和资源分配的单机排序问题逐步进入了人们的视野。文献 [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] 所研究问题中，如果一个工件在工期窗口开始之前完工，则相应受到提前惩罚。如果一个工件在工期窗口结束之后完工，则相应接受延误惩罚，如果一个工件在工期窗口之内完工，则无需接受惩罚。本文研究的是工件的加工时间受学习效应、退化效应以及资源分配的影响。所有工件有一个公共工期窗口，我们需要确定最优工期窗口位置以及大小，最优资源分配方案及最优排序。分别考虑了三种情况，第一种是使带有提前，延误，公共工期开始时间，工期窗口大小，资源成本费用，最大完工时间以及总完工时间和最小的问题；第二种是资源费用受限的情况下，极小化带有提前，延误，公共工期开始时间，工期窗口大小，资源成本费用，最大完工时间以及总完工时间和问题。第三种是在带有提前，延误等总费用受限的情况下，极小化总资源量。证明所研究的三种问题是多项式时间可解的并给出三个最优算法。
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user: 2. 问题描述 考虑如下的问题：n个独立且在零时刻到达的工件 需要在一台机器上加工，在同一时刻机器最多只能加工一个工件，所有工件必须连续加工不能中断。本文中凸资源消耗模型中工件 的实际加工时间表达式为 其中 是一个表示分配给工件 工作量的正参数，m表示一个恒定的正值， 表示学习指数， 为分配给工件 的不可再生的资源数量，r为工件 所在位置，工件 的开始加工时间为 ， 为公共退化率。 对于给定排序 ，令 表示工件 在排序π下的完工时间， ， 分别表示最大完工时间和总完工时间。所有的工件有一个公共工期窗口 ， 和 分别表示工期窗口开始时间和结束时间， 表示工期窗口的大小。如果一个工件在工期窗口开始时间d之前完成，则会导致提前惩罚，另一方面，如果一个工件在工期窗口结束时间ω之后完工，则会造成延误惩罚。对于给定排序 ，我们用 和 分别表示提前量和延误量，即 ， ，其中 表示工件在排序π下的第j个位置。决策变量为π，d，u，ω。 问题1：目标是求出最优资源分配 和最优工件排序，最优交货期窗口位置d，ω，使带有提前、延误、工期窗口位置、工期窗口大小、资源总费用，最大完工时间以及总完工时间的总和最小，即目标函数为 其中 为给定常数。 问题2：目标是在资源消耗总费用不大于常数 的前提下，求出最优资源分配方案和最优工件排序，最优交货期窗口位置d，ω，使带有提前、延误、工期窗口位置、工期窗口大小、总完工时间、完工时间绝对差的总和最小，即目标函数为 问题3：目标是在 不大于常数 的前提下，决定最优工期窗口 和 的位置，最优资源分配 及最优排序 使总资源消耗量最小，所以目标函数为 使用文献 [ 16 ] 的三参数表示法，可将上述问题分别表示为： (1) (2) (3)
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user: 3. 最优算法 3.1. 最优解性质 首先在最优排序下，首个工件在0时刻开始加工，工件之间无空闲时间。 引理1：对于排序 ，工件 的完工时间和实际加工时间分别为 (4) (5) 引理2：对于任何给定排序 ，存在一个最优公共工期窗口，其中工期窗口的开始时间d和结束时间ω与某些工件的完工时间一致。 证明 存在一个排序π，从0时刻开始加工， ， ，其中 ，令 ， ，则 ， 。 和 分别表示 和 的实际加工时间。 工件 提前的总费用为 工件 延误的总费用为 工期窗口开始时间费用为 工期窗口大小费用为 最大完工时间费用为 完工总时间费用为 因此，总费用可以表示为 ， 其中， ， ， 为恒定常数，与 无关。为了最小化总成本，下列条件之一成立： 1) 如果 且 ，则 ， ； 2) 如果 且 ，则 ， ； 3) 如果 且 ，则 ， ； 4) 如果 且 ，则 ， 。 故我们得到结论：存在一个最优排序，工期窗口的开始时间d和结束时间ω与某些工件的完工时间一致。引理2证毕。 引理3：存在一个最优排序，工期窗口的开始时间 ，其中 ，工期窗口结束时间 ，其中 。 表示不超过x的最大整数。 证明：详细证明见文献 [ 17 ] ，略。 3.2. 最优算法 问题1对于公共工期排序问题，显然，k是独立于排序π与实际加工时间 的，因此，对于问题1我们有 ， ， (6) 其中 (7) 且 (8) 引理4：问题(1)中对于给定的工件排序 ，最优资源分配为 (9) 引理5：参考文献 [ 17 ] 给定两个数列 和 ， 。其中一个数列按递增顺序排列，另一个数列按递减顺序排列，则对应元素乘积和 最小。 将等式(9)代入到等式(6)中，得到 (10) 其中 由等式(8)中结果，显然，若使等式(10)中所给的 极小化等价于极小化 的值。根据分析以及引理2-5，得到问题(1)的一个算法。 算法1 第一步 根据引理2，计算出k与q的值； 第二步 对于 ，计算出 和 的值， 由等式 确定； 第三步 根据引理5得到，最优排序 ； 第四步 根据等式(9)计算出最优资源分配 ； 第五步 应用等式(5)计算出最优排序中每个工件的加工时间； 第六步 令 ， ； 第七步 通过等式(10)计算 最优值。 定理1：对于问题1)：可以通过求解匹配问题在 时间内求得最优解。 证明：定理结论的正确性由上述分析保证。第一、二、四、五、六步可以在线性时间内完成， 第三步需要 时间内完成，所以算法的时间复杂性为 。证毕。 问题2)：在本部分中，求出问题(2)的最优解 引理6：问题2)对于给定排序 最优资源分配如下： (11) 证明：对于给定排序，拉格朗日函数为 其中λ为拉格朗日乘子。分别对 求偏导，令其为零，得 (12) (13) 利用(12)和(13)得到 ， ， (14) (15) 由(14)和(15)我们得到(11)。证毕。 将等式(11)带入到目标函数中，得到 (16) 根据上述分析以及引理2-5，得到问题(2)的一个算法。 算法2 第一步 根据引理2，计算出k与q的值； 第二步 对于 。计算出 和 的值， 由等式(8)计算得到； 第三步 由引理5得，最优排序 ； 第四步 根据等式(9)计算出最优资源分配 ； 第五步 应用等式(5)计算出最优排序中每个工件的加工时间； 第六步 令 ， ； 第七步 通过等式(16)计算 最优值。 定理2：对于问题(2)可以通过求解匹配问题在 时间内求得最优解。 证明：类似于定理1证明，从略。 问题(3) 在这个部分里，求出问题(3)的最优解。首先，与引理6类似，有 引理7：问题(3)对于给定排序 可以得到最优资源分配如下： (17) 将式(17)代入 中，得 (18) 根据上述分析以及引理2-5，得到问题(3)的一个算法。 算法3 第一步 根据引理2，计算出k与q的值； 第二步 对于 。计算出 和 的值， 由等式(8)计算得到； 第三步 根据引理5得，最优排序 ； 第四步 根据等式(17)计算出最优资源分配 ； 第五步 应用等式(5)计算出最优排序中每个工件的加工时间； 第六步 令 ， ； 第七步 通过等式(18)计算 最优值。 定理3：对于问题(3)可以通过求解匹配问题在 时间内求得最优解。 证明：类似于定理1证明，从略。
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user: 4. 结论 本文研究的是具有学习效应和退化效应且加工时间是关于资源的凸函数并且带有公共工期窗口的问题。本文列举了三种问题，第一种是使带有提前，延误，公共工期开始时间，工期窗口大小，资源成本费用，最大完工时间以及总完工时间和最小的问题；第二种是资源费用受限的情况下，极小化带有提前，延误，公共工期开始时间，工期窗口大小，资源成本费用，最大完工时间以及总完工时间和问题。第三种是在带有提前，延误等总费用受限的情况下，极小化总资源量。我们分别给出了目标函数求得最小值的最优算法，并证明问题是多项式时间可解的，并确定最优排序及最优资源分配，将问题转化为匹配问题证明问题在多项式时间內可解，并给出了相应的多项式时间算法。
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user: 摘 要 本文提出了一个求解非线性半定规划的序列二次半定规划(SSDP)算法。算法每次迭代通过求解两个半定规划子问题确定搜索方向；通过引进距离函数来构造效益函数用于线搜索，从而产生新的迭代点。在适当的假设条件下，算法或收敛到问题的不可行稳定点，或收敛到问题的KKT点。 关键词 :非线性半定规划，SSDP算法，KKT点，全局收敛性 Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 本文考虑如下非线性半定规划(NLSDP)： min f ( x ) s .t .     A ( x ) ≺ _ 0 ，     h ( x ) = 0 ， (1) 其中，函数 f : ℝ n → ℝ ， A : ℝ n → S m 1 和 h ( x ) : ℝ n → ℝ m 2 是连续可微函数， S m 1 表示所有 m 1 阶实对称矩阵构成的集合。“ A ( x ) ≺ _ 0 ”表示 A ( x ) 为对称半负定矩阵。 非线性半定规划在工程设计、最优控制、金融风险等领域有着广泛的应用，见文 [ 1 ] - [ 6 ] 。序列二次规划(SQP)算法是求解传统非线性规划的有效算法之一，一些学者在非线性规划的SQP算法思想的基础上，提出了求解非线性半定规划的序列二次半定规划(SSDP)算法。Correa和Ramirez [ 7 ] 提出通过求解一个二次半定规划子问题产生搜索方向并将罚函数作为效益函数用于线搜索的SSDP方法。在一定的假设条件下，证明了算法的某些全局收敛性质。但该文没有分析产生搜索方向的子问题的相容性。 本文通过引进距离函数，提出一个新的SSDP算法，该算法具有如下特点： · 产生搜索方向的子问题是相容的； · 初始点任意，并且算法的线搜索保证效益函数的充分下降； · 在一定条件下算法或收敛到问题的不可行稳定点，或收敛到问题的KKT点。
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user: 2. 算法 记 ℝ m × n 为所有 m × n 矩阵构成的集合， S + m ( S + + m ) 为所有对称半正定(正定)矩阵构成的集合， S − m ( S − − m ) 为所有对称半负定(负定)矩阵构成的集合。记NLSDP (0.1)的可行集为S。 定义1.1：对于任意矩阵 A = ( a i j ) ∈ ℝ m × n ， B = ( b i j ) ∈ ℝ m × n ，定义A，B的内积为 〈 A ， B 〉 : = Tr ( B T A ) = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j b i j ， 其中 Tr ( • ) 为矩阵的迹算子。 对于可微函数 h ( x ) : ℝ n → ℝ m 2 ，我们给出其微分为： D h ( x ) = ( ∂ h 1 ( x ) ∂ x 1 ⋯ ∂ h 1 ( x ) ∂ x n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ h m 2 ( x ) ∂ x 1 ⋯ ∂ h m 2 ( x ) ∂ x n ) . (1.1) 对于可微矩阵值函数 ，引入如下符号表示该函数在点x处的微分算子 [ 7 ] ： D A ( x ) = ( ∂ A ( x ) ∂ x 1 ， ⋯ ， ∂ A ( x ) ∂ x n ) T ， 其中 ∂ A ( x ) ∂ x p 表示 A ( x ) 关于 x p 的偏导数。对于任意 d = ( d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d n ) T ∈ ℝ n ， D A ( x ) d 定义为 D A ( x ) d : = ∑ i = 1 n d i ∂ A ( x ) ∂ x i . (1.2) 若线性算子 V : ℝ n → S m 1 定义为 V y = ∑ i = 1 n y i V i ， ∀ y ∈ ℝ n ，其中 V i ∈ S m 1 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ，则伴随算子 V * : S m 1 → ℝ n 为 V * Z = ( 〈 V 1 ， Z 〉 ， ⋯ ， 〈 V n ， Z 〉 ) T ， ∀ Z ∈ S m 1 . NLSDP (0.1)的Lagrange函数 定义为 (1.3) 定义1.2 [ 7 ] ：对于向量 ，若存在 ，使得 (1.4a) (1.4b) 则称x为NLSDP (0.1)的一个KKT点，称 为相应的Lagrange乘子。 设 ，定义 为 到集合K的距离，其中 表示向量的欧式范数。 本文用于线搜索的效益函数定义如下： (1.5) 其中 由下式定义： (1.6) 显然 当且仅当x为NLSDP (0.1)的可行点。 下面给出求解NLSDP (0.1)的SSDP算法的具体步骤。 算法A 参数： ， ，选取初始迭代点 和初始矩阵 (单位阵)。令 。 步骤1：求解如下二次半定规划子问题(简记为 )，得最优解 (1.7) 其中 为m-阶单位阵。记 (1.8) 若 不全为0，且 ，则算法终止，否则转步骤2； 步骤2：令 为如下二次半定规划子问题(简记为 )的最优解： (1.9) 若 ，则算法停止；否则，转步骤3。 步骤3：(更新罚参数)罚参数 的更新方式如下： (1.10) 其中 。 步骤4：(计算步长)取 为 中满足如下式子的最大值： (1.11) 步骤5：令 ，利用某种更新方式更新 为对称正定阵 ，返回步骤1。 注2.1： 的最优解中的 可能不唯一，我们将其构成的集合记 。 注2.2： 的KKT条件为 (1.2a) (1.12b) (1.12c) (1.12d) 注2.3：步骤3的(1.10)能够保证罚参数的更新是单调不减的。事实上，若 执行更新，则由 可得 。 下面分析算法A的适定性，类似非线性半定规划的不可行稳定点的定义 [ 8 ] [ 9 ] ，首先给出非线性半定规划NLSDP (0.1)的不可行稳定点的定义。 定义1.3：设 为NLSDP(0.1)的不可行点，若 则称 为NLSDP (0.1)的不可行稳定点。 本文需作如下基本假设： A1：函数 和 是连续可微的。 A2：存在正数a和 使得 A3：由算法A产生的迭代点列 是有界的。 A4：对任意的 ，Mangasarian-Fromovitz约束规格(MFCQ)成立，即 1) 行满秩； 2) 存在非零向量 ，使得 引理1.1：若假设1~3成立， 是由算法A产生的点列， 为 的最优解，则方向导数 满足如下不等式： 进一步的，若 且 是NLSDP (0.1)的不可行点，则 是NLSDP (0.1)的一个不可行稳定点。 证明：设 ，则 则由方向导数的定义及Taylor展式知 显然 时， ，因此结合(1.8)可得 ，因此结合以上分析可知 。 若 ，此时若 为NLSDP (0.1)的不可行点，由不可行稳定点的定义知 为NLSDP (0.1)的不可行稳定点。因此综合以上所述引理结论得证。， 引理1.2：若假设1~3成立，算法有限步终止于 ，则 或是NLSDP (0.1)的不可行稳定点，或是NLSDP (0.1)的一个KKT点。 证明：若算法终止于步骤1，则结合不可行稳定点的定义知 是NLSDP (0.1)的不可行稳定点。若算法终止于步骤2，则可知 是 的最优解，将 带入(1.12)可得 (1.13a) (1.13b) (1.13c) (1.13d) 下面证明 。(反证)若不成立，则 ，则可知 为不可行点。显然 为 的可行解，因此 ， 其中 ，又因为算法在步骤1不终止，因此 ，因此可知 不是 的可行解。矛盾。因此 ，将 代入(1.13)可知 是NLSDP (0.1)的一个KKT点。 基于以上引理，若算法A在步骤1~2未终止，则结合更新公式(1.10)可知 ，因此，线搜索(1.11)可执行，从而知算法A是适定的。，
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user: 3. 全局收敛性 基于引理1.2，本节中不妨假设算法A产生无限点列 。接下来将证明 的聚点或是NLSDP (0.1)的不可行稳定点，或是NLSDP (0.1)的一个KKT点。 引理2.1：假设1~4成立， 是由算法A产生的点列，若罚参数 ，则 为NLSDP(0.1)的一个不可行稳定点。 证明：首先证明 是有界的。由 可知 。显然 是 的可行解，因此我们可以得到 此外，由上式结合假设2，有 另一方面我们根据假设2，有 以上两式可以得到 是有界的。因 ，则由罚参数更新公式(1.10)可知 趋于 。而又结合 和 的有界性可知： 趋于0，若此式成立，则结合κ的定义及罚参数的更新方式可知 ，且 为不可行点。下面证明 为不可行点。 由(1.12a)可知 (2.1) 根据(1.12b)可知 (2.2) 由(2.1)，(2.2)，结合(1.13c)可知 则结合罚参数 无界易得 无界，因此 为不可行点(否则若 为NLSDP (0.1)的可行点，则由假设4，可知MFCQ在 处成立。类似于文献 [ 10 ] 中定理5.1的证明，可知 的KKT乘子集合 是非空且有界的。注意到 且 ，因此 是有界的)。再结合 ，由定义即知 为NLSDP (0.1)的不可行稳定点。， 基于引理2.1，在下面的分析和讨论中不妨假设 ，结合罚参数的更新公式(1.10)，可得如下结论成立： 引理2.2：若假设1~4成立。则存在自然数 ，使得对任意的 ，都有 。基于引理2.2，在下面的分析中，不失一般性，假设 定理2.1：假设1~4成立， 为算法A产生的无限序列 的任意一个聚点，即 ，则 或是NLSDP(0.1)的一个不可行稳定点，或是NLSDP (0.1)的一个KKT点。 证明：不失一般性，假设 不是NLSDP (0.1)的不可行稳定点，下面将证明 是NLSDP (0.1)的一个KKT点。首先证明若 不是NLSDP (0.1)的不可行稳定点，则 反证法，假设 ，则存在常数 以及一个指标集 ，使得 ，且 (2.3) 下面将证明分成两部分。 a) 证明存在 ，使得 。 于是有 结合 以及(2.3)可知 ，因此当 充分大时有 (2.4) 由此可知存在 ，使得 。 b) 基于 ，将导出矛盾。 由线搜索(1.11)可知 为非增序列。由 以及 的有界性可知 有下界。因此 收敛。令 ，对(2.4)取极限得 显然矛盾。因此 。进而知 。将 带入 的KKT条件，得 (2.5a) (2.5b) (2.5c) (2.5d) (2.5e) 下证 和 均为0。反证法，若不成立，易知 为不可行点，则 ，结合 为 的一个可行解知 ，故 为不可行稳定点，矛盾。因此 和 均为0。将 代入(2.5)即知 为NLSDP (0.1)的KKT点。，
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user: 4. 结束语 本文提出了带有等式和半负定矩阵约束的非线性半定规划一个全局收敛的SSDP算法。基于非线性规划修正的序列二次规划算法思想构建两个半定规划子问题，通过求解子问题产生搜索方向，线搜索保证效益函数充分下降。在MFCQ等温和条件下，论证了算法的适定性和全局收敛性。
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user: 摘 要 本文应用Bayesian方法对经典随机前沿模型进行了推断，得到模型参数的后验条件分布，在此基础上对参数的后验均值进行了计算。将估计的该模型应用甘肃省14个市(州)的卫生技术效率评价中，测算了14个市(州)相对卫生绩效。得出卫生绩效较高的市为：天水市、张掖市、定西市、陇南市；卫生绩效居中的市为：兰州市、嘉峪关市、金昌市、武威市、平凉市、酒泉市、甘南州；卫生绩效较低的市为：白银市、庆阳市、临夏州。 关键词 :随机前沿模型，Bayesian估计，卫生绩效 Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 卫生经济领域内决策评价单元(DMU)的绩效测算一直是国内外研究关注的一个焦点。卫生医疗资源作为一种稀缺的资源，如何对卫生医疗资源进行优化配置，已经成为学术界和政府共同关心的话题。改革开放以来，我国卫生医疗事业取得了显著的成就，近几年也呈现出迅速的发展趋势。但是在其发展过程中出现了许多新问题和新矛盾，诸如城乡区域医疗卫生发展不平衡，医疗保障制度不健全，医疗卫生资源配置不合理。这使得医疗卫生与人民对美好生活的向往之间的矛盾更加凸显，如何提高卫生经济的效率以满足人民生活的需要成为亟待解决的问题。 甘肃省地处西北内陆，部分地区还完全没有解决“病有所医”这个民生问题，医疗技术人员不足以及医疗条件落后成为甘肃省的最大实际问题，如何测算客观的测算卫生效率以提高绩效，成为迫在眉睫的问题。 目前关于技术效率的测算主要有两种方法，一种是基于参数的随机前沿分析 [ 1 ] - [ 6 ] ，另一种是基于非参数的数据包络分析，大多数学者基于这两种方法对不同行业的技术效率作的测算。陈关聚(2014) [ 7 ] 运用随机前沿测度了中国制造业30个行业的全要素能源效率，分析了能源结构对技术效率的影响，表明2003~2010年制造业能源效率呈现先上升后停滞的阶梯形变化特征，行业间能源效率水平差异较大；张月玲、叶阿忠、陈泓(2015) [ 8 ] 基于我国要素禀赋非均衡分布的客观现实，从前沿技术结构与技术进步方向演进相融合的视角研究了人力资本结构、适宜技术选择与全要素生产率变动分解；陈洁(2016) [ 9 ] 构造超越对数生产函数，应用随机前沿分析方法对2005~2013年我国各省份用电技术效率进行测算；范兆斌、黄淑娟(2017) [ 10 ] 应用随机前沿贸易引力模型，评估了文化距离对“一带一路”沿线国家文化产品贸易效率的影响；王留鑫、洪名勇(2018) [ 11 ] 基于随机前沿分析对中国农业全要素生产率增长进行了实证研究。对于卫生经济效率测算的研究相对交少，对于甘肃省的卫生经济技术效率的研究更少。鉴于此本文以甘肃省14个地州市为评价单元，应用随机前沿模型对卫生经济效率作测算，在模型参数估计阶段文章应用贝叶斯方法做估计。全文的安排如下，第二部分的模型介绍以及模型的参数估计；第三部分的技术效率的测算；第四部分为实证部分即将该方法应用到甘肃14个地州市的技术效率测算上。
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user: 2. 模型介绍及参数估计 考虑如下随机前沿模型 y = X β + ε ε = v − u (1) 其中y是一个 n × 1 维的向量，表示n个生产单元的产出，X是一个 n × ( m + 1 ) 的矩阵，表示每个单元的m个投入，v是统计误差，设 v ~ N ( 0 ， σ v 2 I ) ，u是技术无效率项，设 u ~ N + ( 0 ， σ u 2 I ) ，v与u相互独立在，u已知的条件下，y服从正态分布。 在模型(1)中待估计的参数为 β ， σ v 2 ， σ u 2 和技术无效率项u， 为了进行贝叶斯推断，需要确定参数的先验分布。 σ v 2 与 σ u 2 的先验分布可取为倒Gamma分布，这恰为 σ v 2 与 σ u 2 的共轭先验分布，即取 π ( σ v 2 ) ∝ ( σ v 2 ) − ( N 0 − 1 2 + 1 ) e − a 0 σ v 2 ~ R G ( N 0 − 1 2 ， a 0 ) π ( σ u 2 ) ∝ ( σ u 2 ) − ( M 0 − 1 2 + 1 ) e − b 0 σ u 2 ~ R G ( M 0 − 1 2 ， b 0 ) β的先验分布取为 π ( β ) ∝ c o n s t 由 y = X β + v − u 和u已知的条件下得 v = y + u − X β ，根据 v ~ N ( 0 ， σ v 2 I ) 有 π ( v ) = ( 2 π σ v 2 ) − n 2 exp ( − 1 2 σ v 2 v T v ) 所以 π ( y | β ， σ v 2 ， σ u 2 ， u ) = π ( v ) | ∂ v ∂ y | = ( 2 π σ v 2 ) − n 2 exp { − 1 2 σ v 2 ( y + u − X β ) T ( y + u − X β ) } 由贝叶斯公式，经计算得参数联合后验分布为： π ( β ， σ v 2 ， σ u 2 ， u | y ， X ) = π ( y | β ， σ v 2 ， σ u 2 ， u ， X ) π ( β ， σ v 2 ， σ u 2 ) π ( u | σ u 2 ) π ( y | X ) ∝ ( 2 π σ v 2 ) − n 2 exp { − 1 2 σ v 2 ( y + u − X β ) T ( y + u − X β ) } ⋅ ( σ v 2 ) − ( N 0 2 + 1 )           ⋅ exp ( − a 0 σ v 2 ) ( σ u 2 ) − ( M 0 − 1 2 + 1 ) exp ( − b 0 σ u 2 ) ⋅ ( 2 2 π σ u 2 ) n exp ( − u T u 2 σ u 2 ) ∝ ( σ v 2 ) − ( n 2 + N 0 − 1 2 + 1 ) exp { − 1 2 σ v 2 [ ( y + u − X β ) T ( y + u − X β ) + 2 a 0 ] }       ⋅ ( σ u 2 ) − ( n 2 + M 0 − 1 2 + 1 ) exp { − 1 2 σ u 2 ( u T u + 2 b 0 ) } (2) 其中 u = ( u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u n ) T ，结构参数 ( β ， σ v 2 ， σ u 2 ) 的后验分布为 π ( β ， σ v 2 ， σ u 2 | y ， X ) = ∫ R + π ( β ， σ v 2 ， σ u 2 ， u | y ， X ) d u 其中 R + 表示正实数。 下一节将采用马尔科夫链蒙特卡罗(MCMC)方法中的Gibbs抽样对模型参数的后验均值进行推断。Gibbs抽样是一种解决高维Bayesian模型的后验积分问题的迭代Monte Carlo方法，它避免了对复杂表达式的数值计算。Gibbs抽样得到的样本 { β ( i ) ， σ v 2 ( i ) ， σ u 2 ( i ) ， u ( i ) ; i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n } 随着i的增大收敛到已知核的参数后验分布。因此所有关于参数的向量函数的后验期望可以通过Gibbs抽样得到的平均值来近似。即 E π [ f ( β ， σ v 2 ， σ u 2 ， u ) ] = 1 n ∑ i = 1 n f ( β ( i ) ， σ v 2 ( i ) ， σ u 2 ( i ) ， u (i) ) Gibbs抽样的具体迭代步骤如下：给定迭代初值 β ( 1 ) ， σ v 2 ( 1 ) ， σ u 2 ( 1 ) ， u ( 1 ) ，依次取 i = 2 ， ⋯ ， n ，按以下步骤产生一个Markov链。 步1 从分布 π ( β ( i ) | σ v 2 ( i − 1 ) ， σ u 2 ( i − 1 ) ， u ( i − 1 ) ) 里产生 β ( i ) ； 步2 从分布 π ( σ v 2 ( i ) | β ( i ) ， σ u 2 ( i − 1 ) ， u ( i − 1 ) ) 里产生 σ v 2 ( i ) ； 步3 从分布 π ( σ u 2 ( i ) | β ( i ) ， σ v 2 ( i ) ， u ( i − 1 ) ) 里产生 σ u 2 ( i ) ； 步4 从分布 π ( u ( i ) | β ( i ) ， σ v 2 ( i ) ， σ u 2 ( i ) ) 里产生 u ( i ) 。
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user: 3. 参数的条件分布及其抽样方法 首先推导出参数的条件分布，在给定u的条件下，由公式(2)可以分别得到以下参数后验分布的核。这里记 D = { y ， X } 。β的后验条件分布为： π ( β | σ v 2 ， σ u 2 ， u ， D ) ∝ exp { − 1 2 σ v 2 ( y + u − X β ) T ( y + u − X β ) } ∝ exp { − 1 2 σ v 2 ( y + u − X β ) T X ( X T X ) − 1 ( X T X ) ( X T X ) − 1 X T ( y + u − X β ) } ∝ exp { − 1 2 σ v 2 [ ( X T X ) − 1 X T ( y + u − X β ) ] T ( X T X ) [ ( X T X ) X T ( y + u − X β ) ] } ∝ exp { − 1 2 σ v 2 [ ( X T X ) − 1 X T ( y + u ) − β ] T ( X T X ) [ ( X T X ) − 1 X T ( y + u ) − β ] } ∝ exp { − 1 2 [ β − ( X T X ) − 1 X T ( y + u ) ] T ( σ v 2 ( X T X ) − 1 ) − 1 [ β − ( X T X ) − 1 X T ( y + u ) ] } ~ N ( ( X T X ) − 1 X T ( y + u ) ， σ v 2 ( X T X ) − 1 ) 由上式可以看出β后验条件分布为多元正态分布。 σ v 2 的后验条件分布为： π ( σ v 2 | β ， σ u 2 ， u ， D ) ∝ ( σ v 2 ) − ( n 2 + N 0 − 1 2 + 1 ) exp { − 1 σ v 2 [ ( y + u − X β ) T ( y + u − X β ) 2 + a 0 ] } 恰好为倒Gamma分布密度函数的核即 π ( σ v 2 | β ， σ u 2 ， u ， D ) ~ R G ( n 2 + N 0 − 1 2 ， ( y + u − X β ) T ( y + u − X β ) 2 + a 0 ) σ u 2 的后验条件分布为： π ( σ u 2 | β ， σ v 2 ， u ， D ) ∝ ( σ u 2 ) − ( n 2 + M 0 − 1 2 + 1 ) exp { − 1 σ u 2 [ u T u 2 + b 0 ] } 这恰好也为倒Gamma分布密度函数的核 π ( σ u 2 | β ， σ v 2 ， u ， D ) ~ R G ( n 2 + M 0 − 1 2 ， u T u 2 + b 0 ) 由以上可得 β ， σ v 2 ， σ u 2 这三个参数的后验条件分布都为标准分布，可直接对其进行抽样。 参数u的后验条件分布为 π ( u | β ， σ v 2 ， σ u 2 ， D ) ∝ 1 ( 2π ) n 2 | Ω | 1 2 Φ ( Ω − 1 2 μ ) exp { − 1 2 ( u − μ ) T Ω − 1 ( u − μ ) } 在上式中 μ = − σ u 2 σ v 2 + σ u 2 ε ，   Ω = σ v 2 σ u 2 σ v 2 + σ u 2 I 易见u的后验分布服从n元截尾正态分布 N + ( μ ， Ω ) ，可直接进行抽样。
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user: 4. 技术效率的估计 Jondrow， Lovell and Materovi等(JLMS) (1982)指出各个生产单元的技术无效率项 u i 可以通过 E ( u i | ε i ) 或 M o d e ( u i | ε i ) 来测算，第i个生产单元的技术效率 T E i = exp { − u ^ i } ，其中 u ^ i = E ( u i | ε i ) 或 M o d e ( u i | ε i ) 。因此，只要求的u的后验分布的均值或众数即可。因为u服从截尾正态分布，所以 M o d e ( u | ε ) = − σ u 2 σ u 2 + σ v 2 ε 每个生产单元的技术效率为 T E ^ = exp ( − u ^ ) = exp ( − σ u 2 σ u 2 + σ v 2 ε ^ )