DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 2. 病例和方法 2.1. 病例资料 以2019年1月~2020年3月在青岛市中心医院收治的行SRT的50例脑转移瘤患者为研究对象，其中35例为男性，15例为女性；年龄在33岁~82岁之间，其中≥60岁28例，<60岁22例；35例肺癌，6例乳腺癌，4例结直肠癌，1例胃癌，1例胸膜间皮瘤，非霍奇金淋巴瘤(NHL)、输尿管癌和肾盂癌各１例。50例脑转移瘤患者都有病理明确诊断为恶性肿瘤，原发肿瘤最常见位于肺部(70%)；颅脑MRI明确为脑转移瘤；均符合进行SRT治疗的相关要求。根据脑转移瘤患者有无神经系统症状，分为有神经症状者(有神经症状组) 27例、无神经症状者(无神经症状组) 23例两组。两组患者的一般临床特征差异均无统计学意义(P > 0.05)。具体见表1。 Table 1 Clinical characteristics of patients with two group brain metastase Clinical characteristics Neurological symptoms group (n = 27) Non-neural symptoms group (n = 23) χ 2 P Gender Male 17 18 1.384 0.239 Female 10 5 Age(y) ≥60 13 15 1.469 0.266 <60 14 8 Primary tumor Lung cancer 18 17 Breast cancer 4 2 Colorectal cancer 2 2 5.410 0.610 Pleural mesothelioma 1 0 NHL 1 0 Ureteral cancer 0 1 Renal Pelvis Cancer 1 0 Number of brain metastases ≥3 15 12 0.057 0.811 <3 12 11 Maximum diameter of brain metastases (cm) ≥3 9 6 0.311 0.577 <3 18 17 Transfer to other parts Yes 21 12 3.628 0.057 No 6 11 Previous history of chemotherapy Yes 22 17 0.415 0.520 No 5 6 Previous molecular targeted therapy Yes 19 14 0.500 0.480 No 8 9 Previous intracranial pressure reduction treatment Yes 17 12 0.593 0.441 No 10 11 表1. 两组脑转移患者临床特征 2.2. 纳入依据 ① 颅脑MRI确诊为脑转移瘤；② 病理确诊为恶性肿瘤；③ KPS评分 ≥ 70分；④ 能够配合完成颅脑放射治疗及量表评估；⑤ 预计生存期 ≥ 3个月。 2.3. 排除依据 ① 原发颅内肿瘤；② 近期脑卒中病史；③ 已经痴呆的患者；④ 精神病患者；⑤ KPS评分 < 70分；⑥ MMSE评分 < 24分；⑦ 有影响神经认知功能的颅脑疾病或严重躯体疾病。 2.4. 治疗方法 头颈肩膜固定患者头部，行CT模拟机三维定位，定位范围上界为颅顶，下界为C1下缘以下，应用直线加速器，能量为6MV-X线。根据CT断层图像，融合颅脑增强MRI，进行靶区的逐层勾画，并勾画需要保护的重要器官(眼球、垂体、海马、视神经、视交叉等)并进行限量。根据靶区大小和形状，使用精准放疗设备--瓦里安速锋刀EDGE，进行SRT治疗，单次剂量为2.5 GY~5.0 GY，1次/d，每周照射5次，共计8~20次。 2.5. 观察指标 该研究已通过青岛市中心医院医学伦理委员会审查，在取得患者知情同意后，使用MMSE和ADLS量表进行NCF和QoL检测。NCF使用MMSE量表评估，从方向、记忆、注意与计算能力、回忆能力、语言能力等7个方面共30个问题进行评测，每题答对得1分，共30分；生活质量评价采用ADLS量表，应用10个项目，对脑转移瘤患者的基本生活活动能力和操作生活活动能力来进行评估，总分为100分；两种量表的得分与神经认知功能和生活质量呈正相关。两项量表均在放疗前1周内评定一次，以此得分作为基线水平，放疗结束时和放疗后3个月再各复测一次，并分别记录下分值进行后续差异比较。同时根据放疗后3个月所复查的颅脑MRI，来观察两组放疗前后脑转移病灶治疗情况，作为分析MMSE和ADLS分值变化的因素。 2.6. 统计分析 为了评估NCF和QoL变化，计算3个不同时间点的MMSE和ADLS分数变化：放疗前1周内基线水平、放疗结束时和结束后3个月。使用SPSS 26.0版本来进行统计学分析，使用Student’s t检验或Mann-Whitney U检验来比较两级连续变量(取决于数据的分布)，组间差异的统计学意义比较采用分类变量的χ 2 检验。以P < 0.05为差异有统计学意义。
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user: 3. 结果 3.1. SRT前后两组的MMSE分值差异比较 SRT前后，有神经症状组比较：放疗结束时与放疗前1周比较(t = 10.25， P < 0.05)；放疗结束后3个月与放疗前1周比较(t = 18.38， P < 0.05)；放疗结束后3个月与放疗结束时比较(t = 13.60， P < 0.05)；差异均有统计学意义。SRT前后，无神经症状组比较：放疗结束时与放疗前1周比较(t = 0.44， P > 0.05)；放疗结束后3个月与放疗前1周比较(t = 1.85， P > 0.05)；放疗结束后3个月与放疗结束时比较(t = 1.11， P > 0.05)；差异均无统计学意义。见表2。 Table 2 Results of MMSE scores of two groups of patients with brain metastases ( X ¯ ± S Point in time Neurological symptoms Group (n = 27) Non-neural symptoms group (n = 23) One week before SRT 24.41 ± 0.73 27.96 ± 0.91 End of SRT 26.52 ± 0.69 ♦ 28.04 ± 1.23 Three months after SRT 28.30 ± 0.81 ♦□ 28.35 ± 0.87 表2. 两组脑转移瘤患者MMSE分值结果 X ¯ ± S ♦ Compared with one week before SRT (P < 0.05); □ Compared with end of SRT (P < 0.05). 3.2. SRT前后两组的ADLS分值差异比较 SRT前后，有神经症状组比较：放疗结束时与放疗前1周比较(t = 14.73， P < 0.05)；放疗结束后3个月与放疗前1周比较(t = 10.11， P < 0.05)；放疗结束后3个月与放疗结束时比较(t = 5.48， P < 0.05)；差异均有统计学意义。SRT前后，无神经症状组比较：放疗结束时与放疗前1周比较(t = 2.06， P > 0.05)；放疗结束后3个月与放疗前1周比较(t = 1.16， P > 0.05)；放疗结束后3个月与放疗结束时比较(t = 1.01， P > 0.05)；差异均无统计学意义。见表3。 Table 3 Results of ADLS scores of two groups of patients with brain metastases ( X ¯ ± S Point in time Neurological symptoms Group (n = 27) Non-neural symptoms group (n = 23) One week before SRT 77.72 ± 4.16 97.83 ± 2.48 End of SRT 87.04 ± 4.36 ♦ 98.91 ± 2.06 Three months after SRT 82.96 ± 3.91 ♦□ 98.48 ± 2.30 表3. 两组脑转移瘤患者ADLS分值结果 X ¯ ± S ♦ Compared with one week before SRT (P < 0.05); □ Compared with end of SRT (P < 0.05). 3.3. SRT后脑转移病灶治疗疗效情况 根据颅脑MRI结果对照显示，在SRT治疗后，对于有神经系统症状组的脑转移瘤患者，脑转移病灶缓解率为77.8% (21/27)；而无神经系统症状组脑转移瘤患者，脑转移病灶缓解率为82.6% (19/23)。其余患者均为疾病稳定(SD)状态，未有患者明显进展(PD)。
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user: 4. 讨论 本研究资料显示，对于脑转移瘤患者而言，有神经症状者，患者在放疗结束时和放疗结束后3个月MMSE分值、ADLS分值都高于放疗前1周内所测得的基线水平，且差异均具有统计学意义(P < 0.05)。然而对于无神经症状者，患者在放疗结束时、放疗结束后3个月所评测的MMSE和ADLS分值无明显上升或下降趋势，与放疗前1周时的基线水平比较，差异均不具备统计学意义(P > 0.05)。根据结果显示，对有神经症状的脑转移瘤患者，SRT能够改善其短期神经认知功能和生活质量；但对无神经症状脑转移瘤患者无明显效果。长期的研究随访有待进一步进行。 随着BM患者生存期的延长及放疗技术的进步，在多种治疗方式的选择中，神经系统症状可能会出现在WBRT治疗过程中，导致认知功能出现异常，进而降低患者的生活质量，严重影响患者的生存。与WBRT相比，SRT是一种年轻的精准技术，提高了肿瘤的局控率，对脑转移瘤患者神经认知功能和生活质量的危害小 [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]，SRT已经成为BM治疗的主要方法之一，这些试验 [ 12 ] - [ 18 ] 共同证明单独使用SRT与WBRT相比较，在总生存期方面，两者并无显著差异；但在认知功能和生活质量方面，SRT疗效更佳。目前有研究表明，对于单发脑转移病灶，SRT与手术治疗的局部控制率都高，生存疗效接近，考虑到SRT的非创伤性，优先选择SRT；对于多发脑转移病灶，转移灶数目在5个~10个的SRT疗效不差于2~4个的疗效。 Soffietti等 [ 19 ] 研究显示对于脑转移瘤患者，有神经系统症状者，在SRT治疗后，和放疗前1周时ADLS分数相比较，放疗结束时的分数提高(P < 0.05)；而对于无神经症状者，SRT治疗后对短期内ADLS分数无重大影响。所以，对ADLS分数减低的脑转移患者早期行SRT可帮助其尽早恢复日常生活能力。而这项研究表明，在延长无进展生存期和改善颅内进展方面，WBRT具有一定的作用；但就生活质量而言，WBRT并未具备相应优势。Cheng H等 [ 20 ] 研究显示与放疗前相比，WBRT后脑转移瘤患者MMSE分值明显降低，提示对于脑转移瘤患者而言，WBRT对其造成了一定程度神经认知功能方面的损伤。而Masaaki Yamamoto等 [ 7 ] 试验显示SRT对于2~4个或5~10个BM患者放疗前后MMSE评分均没有显著差异，维持稳定，展现出对于BM患者神经认知功能，SRT对其影响较小，对于有神经症状者有利于NCF的恢复。Habets EJ等 [ 8 ] 研究表明在进行SRT之前，患者的神经认知领域和生活质量得分均低于健康对照组，受到中等程度损害，随时间推移，SRT对神经认知功能和生活质量无其他不良影响。 综上所述，脑转移患者的预后很差，如果治疗方式选择不当，导致患者神经认知功能出现不可逆的下降，进而影响患者的生活质量，对其生存产生显著不利影响。在本研究中，显然存在一些局限性，研究对象的异质性(包括几种类型的原发肿瘤)；入组患者数量偏少；未设置WBRT组相对照；随访时间较短。有待将来进一步深入长期研究。当前脑转移瘤的研究重点是防止认知能力下降，而不是在症状出现后减轻症状。在目前实际的临床工作中要注意排兵布阵，一定要合理优化各种治疗方式，争取最好的治疗效果，优先保留脑转移患者的神经认知功能，使脑转移患者取得最大的生存获益及最佳的生存质量。总而言之，这项前瞻性的研究表明SRT在保留神经认知功能和保证脑转移瘤患者生活质量方面是安全的，在与WBRT具有相似的总生存期的情况下，SRT应作为脑转移瘤患者治疗的首选。在治疗过程中评估神经认知功能和生活质量对于为脑转移患者提供充分的信息和治疗措施的调整至关重要。
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user: 摘要 本文研究了极大极小问题的求解方法，利用指数罚函数对该问题进行光滑化处理，将其转化成光滑的无约束优化问题，并利用共轭梯度法来求解含有罚参数的无约束优化问题。最后，我们给出了数值算例来验证该算法求解极大极小问题的有效性。
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user: 1. 引言 极大极小问题是一类重要的非光滑优化问题，且在工程设计、经济管理 [ 1 ] [ 2 ] 等领域有着广泛的应用，同时也与非线性规划问题有着密切的联系。 极大极小问题的一般形式为 min x ∈ R n F ( x ) F ( x ) = max i = 1 ， ⋯ ， m f i ( x ) ， (1) 其中， f i ( x ) : R n → R 是连续可微的函数。 近年来，众多学者对极大极小问题的算法进行了研究。通过构造罚函数，提出一个有效的算法求解极大极小问题，如文献 [ 3 ]；通过构造可调节熵函数的区间扩展和一些区域删除测试规则， [ 4 ] 提出了一种新的区间算法，该算法可以获得极大极小问题的最优解；文献 [ 5 ] 提出了一种截断的集合平滑牛顿法来解决极小极大问题。最近，一种用于求解极大极小问题的平滑FR共轭梯度法由文献 [ 6 ] 提出，其实验结果表现良好。 综上文献，我们知道罚函数在极大极小问题的求解过程中起到了重要的作用，该罚函数由 [ 7 ] 提出，其形式为 g ( x ， t ) = t ln ∑ i = 1 m exp ( g i ( x ) t ) ， (2) 其中，t是罚参数， g i ( x ) 是光滑可微的函数。利用罚函数(2)，极大极小问题(1)可以被转化为一个光滑的无约束优化问题，其形式为 min F ˜ ( x ， t ) ， (3) F ˜ ( x ， t ) 是光滑可微函数，且被定义为 F ˜ ( x ， t ) = t ln ∑ i = 1 m exp ( f i ( x ) t ) ， 其中 t > 0 是罚参数。此时，对非光滑的极大极小问题(1)的求解可以等价于对光滑的无约束优化问题(3)的求解。 另外，我们还对带有张量结构的极大极小问题进行研究。一个m阶n维的张量 A = ( a i 1 ， i 2 ， ⋯ ， i m ) ，其中 1 ≤ i 1 ， i 2 ， ⋯ ， i m ≤ n ，对一个n维向量x， A x m − 1 是一个向量，它的第i的元素是 ( A x m − 1 ) i = ∑ i 2 ， … ， i m = 1 n a i i 2 ⋯ i m x i 2 ⋯ x i m ，     i ， j = 1 ， ⋯ ， n 下面我们给出具有张量结构的极大极小问题的形式。首先定义如下函数： w i ( x ) = A i x m − 1 − | x | − b i ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， h (4) 其中， A 是一个m阶n维的张量， b i 是n维向量。对(4)中的绝对值项进行光滑化处理后，有 w i ( x ) = A i x m − 1 − x 2 + t − b i ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， h 则对于 max { w 1 i ( x ， t ) ， w 2 i ( x ， t ) ， ⋯ ， w m i ( x ， t ) } ，由(2)可得出如下函数 w ˜ i ( x ， t ) = t ln ∑ j = 1 n exp ( ( A i x m − 1 ) j − x j 2 + t − b j i t ) 此时，对于下式 max { w ˜ 1 i ( x ， t ) ， w ˜ 2 i ( x ， t ) ， ⋯ ， w ˜ m i ( x ， t ) } 利用指数罚函数(2)，我们可以得到如下光滑的函数 O ˜ i ( x ， t ) = t ln ∑ i = 1 h exp ( w ˜ i ( x ， t ) t ) (5) 那么，对于张量结构的极大极小问题就可以转化为对(5)式的求解。 本文的目的是使用共轭梯度法来求解光滑后的极大极小问题，具体安排如下：第2部分，给出求解光滑后的极大极小问题的算法；第3部分给出该算法求解两类极大极小问题的数值实验；第4部分总结。
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user: 3. 数值实验 本部分，我们给出用算法2.1求解极大极小问题的数值算例，3.1中计算常规的极大极小问题，算例取自文献 [ 3 ]，通过给出算例结果与最优值的误差证明算法的有效性。3.2中给出算法2.1计算带有张量结构的极大极小问题的数值结果，数值结果表明算法2.1在求解带有张量结构的极大极小问题时有良好的数值表现。 3.1. 极大极小问题 本部分给出光滑化算法计算极大极小问题的数值算例，其中的参数设置具体为 ε = 10 e − 4 ， ρ = 0.3 ， σ = 0.7 ， ς = 0.5 ， t 0 = 2 。表1给出实验结果，其中n，m分别为变量、函数的数目，图1~3为算法2.1在求解算例时，函数值随着迭代步数的数值表现。由表1和图1~3我们可以观察到算法2.1在求解极大极小问题时具有良好的数值表现。 例1 Cresent [ 3 ] h ( x ) = max { x 1 2 + ( x 2 − 1 ) 2 + x 2 − 1 ， − x 1 2 − ( x 2 − 1 ) 2 + x 2 + 1 } ， n = 2 ， h ( x * ) = 0 ， x 0 = ( 0 ， 0 ) T . 例2 Mifflin 1 [ 3 ] h ( x ) = − x 1 + max { x 1 2 + x 2 2 − 1 ， 0 } ， n = 2 ， h ( x * ) = − 1 ， x 0 = ( 2 ， 2 ) T . 例3 Mifflin 2 [ 3 ] h ( x ) = − x 1 + 2 ( x 1 2 + x 2 2 − 1 ) + 1.75 max { ± ( x 1 2 + x 2 2 − 1 ) } ， n = 2 ， h ( x * ) = − 1 ， x 0 = ( 0 ， 0 ) T . Table 1 Numerical results for example 1 - 问题 n m 误差 迭代步数 Cresent 2 2 6.8645e−05 99 Mifflin 1 2 2 8.4613e−05 36 Mifflin 2 2 2 5.4972e−05 276 表1. 例1~例3的实验结果 图1. Cresent的实验结果 图2. Mifflin 1的实验结果 图3. Mifflin 2的实验结果 3.2. 带张量结构的极大极小问题 本部分给出算法2.1求解带有张量结构的极大极小问题的数值算例，为了便于计算，数值算例中的张量使用的是对称张量，其中的参数设置为 ε = 10 e − 2 ， σ = 0.7 ， ρ = 0.3 ， ς = 0.5 ， t 0 = 2 ，且选取 ‖ x k + 1 − x k ‖ ≤ ε 作为算法的终止条件。表2给出实验结果，其中n，m分别是张量的阶数和维数，图4~5为算法2.1在求解算例时，函数值随着迭代步数的数值表现。由表2和图4~5我们可以观察到算法2.1可以有效求解带有张量结构的极大极小问题。 考虑两个3阶2维的张量 A 1 = ( a i 1 i 2 i 3 1 ) 和 A 2 = ( a i 1 i 2 i 3 2 ) ，以及两个向量为 b 1 = ( 6 ， 2 ) T 和 b 2 = ( 2 ， 8 ) T ，给出如下两个算例： 例4： A 1 为 a 1 1 1 1 = a 222 1 = 1 0 ，其余元素为3， A 2 为 a 1 1 1 2 = a 222 2 = 6 ，其余元素为3。初始向量为 x 0 = ( 2 ， 6 ) T 。 例5： A 1 为 a 1 1 1 1 = a 222 1 = 1 ，其余元素为3， A 2 为 a 1 1 1 1 = a 222 1 = 1 0 ，其余元素为6。初始向量为 x 0 = ( 5 ， 2 ) T 。 Table 2 Numerical results for example 4 - 问题 n m 误差 迭代步数 例4 2 3 −2.3002 6 例5 2 3 −2.3032 22 表2. 例4~例5的实验结果 图4. 例4的实验结果 图5. 例5的实验结果
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user: 4. 结论 本文通过指数罚函数，对极大极小问题进行光滑化处理，将非光滑的极大极小问题转化为光滑的无约束优化问题，并给出针对带有罚参数的无约束优化问题的共轭梯度算法。为验证算法的有效性，我们同时给出了该算法求解常规的极大极小问题和带有张量结构的极大极小问题的数值实验，根据数值实验的结果，该算法在迭代次数、下降速度、误差等方面都具有良好的表现。在以后的研究中，对于更复杂的大规模的极大极小问题，可以运用不同的线搜索或不同的步长进行优化，以得到更快的下降速度和更良好的数值表现。
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user: 摘要 裂缝宽度是钢筋与混凝土间裂缝两侧滑移的和，而滑移是关于裂缝间距的函数。本文在随机模型的基础上，得到裂缝宽度的分布函数和密度函数。
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user: 1. 引言 二十世纪初，马尔可夫研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链，这标志着随机过程的诞生。随机过程是一连串随机事件动态关系的定量描述，它与其他数学、物理分支如位势论、微分方程、复变函数论、力学等有密切的联系，是在自然科学、工程科学及社会科学各领域研究随机现象的重要工具 [ 1 ]。例如在桥梁建设工程飞快发展的过程中，经常只追求建设速度而忽视桥梁建设基本规律和质量规定；只重视桥梁的建设施工过程，而忽视后期的管理养护工作。相当数量的在役桥梁出现了带病服役、使用性能差、使用寿命短、耐久性差等问题，造成桥梁维护成本过高。因此，可以运用灰色系统预测模型、马尔科夫预测模型等对桥梁性能进行预测，分析模型的优劣性，并对桥梁维修加固策略进行了优化 [ 2 ]。另外，还可以对海洋各种环境随机荷载的概率模型及参数估计，在此基础上对一些工程实践常见的荷载组合方法进行比较分析。然后根据海洋环境随机荷载的原始资料进行不相关及相关性荷载的组合分析，研究基于可靠度的海洋工程随机荷载组合及设计方法 [ 3 ]。本文主要研究钢筋混凝土裂缝间距即裂缝间距的随机分析。 钢筋与混凝土共同协调工作是因其自身材料性质决定的 [ 4 ]。首先它们的膨胀系数近似相同，且不会因环境变换产生过大的应力。其次钢筋与混凝土间有良好的粘结力，有时钢筋的表面也被加工成有间隔的肋条(称为变形钢筋)来提高混凝土与钢筋之间的机械咬合，当此仍不足以传递钢筋与混凝土之间的拉力时，通常将钢筋的端部弯起180˚弯钩。此外混凝土中的氢氧化钙提供的碱性环境，在钢筋表面形成了一层钝化保护膜，使钢筋相对于中性与酸性环境下更不易腐蚀。 在裂缝计算理论方面，传统的钢筋混凝土梁裂缝计算理论大致可以归为三类 [ 5 ]：一类认为裂缝是由于钢筋和混凝土之间不再保持变形协调而出现相对滑动形成的，即“滑移理论”；第二种理论认为在钢筋表面处的裂缝宽度为零，随着逐渐接近构件的表现，裂缝的宽度不断增加，到混凝土表面缝宽达到最大值，即“无滑移理论”，现在英国钢筋混凝土设计规范(CP110)计算裂缝的公式，就是依据这种理论；第三种为把滑移和无滑移结合起来的“一般裂缝理论”，欧洲混凝土委员会(CEB) 1970年设计建议的裂缝宽度公式即依据这种理论 [ 6 ]。除了利用上述理论来判定混凝土开裂状态和计算裂缝数值外，有限元方法在模拟结构开裂情况、计算裂缝间距、深度和宽度方面的研究方兴未艾 [ 7 ]。此外，线弹性段断裂有限元法对分析钢筋混凝土受弯构件的裂缝失稳扩展有一定的进展 [ 8 ]。 混凝土在凝结硬化过程中就有微裂缝存在，这是因为混凝土中的水泥石和骨料在温度、湿度变化条件下产生不均匀的体积形变，而它们又粘结在一起不能自由变形，于是形成相互间的约束应力；一旦约束应力大于水泥石和骨料间的粘结强度，以及水泥自身的抗拉强度，就会产生微裂缝 [ 9 ] [ 10 ]。 未出现裂缝时，在受弯构件纯弯曲段内，各截面受拉，混凝土的拉应力、拉应变大致相同，当受拉区外边缘的混凝土达到其抗拉强度时，由于混凝土的塑性变形，因此还不会马上开裂；当其拉应变接近混凝土的极限拉应变值时，就处于即将出现裂缝的状态，当受拉区外边缘混凝土在最薄弱的截面处达到其极限拉应变值后，就会出现第一批裂缝，一条或几条裂缝。 混凝土一旦开裂，张紧的混凝土就像剪断了的橡皮筋那样向裂缝两侧回缩，但这种回缩是不自由的，它收到钢筋的约束，直到被阻止，在回缩的那一段长度中，混凝土与钢筋之间有相对滑移，产生粘结应力，通过粘结应力的作用，随着离裂缝截面距离的增大，混凝土拉应力由裂缝处的零逐渐增大，当距离达到粘结伸长度 l e 后，粘结应力消失，混凝土的应力又趋于均匀分布。 裂缝处，钢筋的情况与混凝土相反。在裂缝出现的瞬间，裂缝处的混凝土应力突然降至零，使得钢筋的拉应力突然增大，通过粘结应力的作用，随着离开裂缝截面距离的增大，钢筋拉应力逐渐降低，混凝土逐渐张紧达到 l e 后，混凝土又处于要开裂的状态。很多研究领域都需要探测裂缝分布，比如地震预测、油气勘探、二氧化碳封存及矿产开发等。 本文中，我们定义两条裂缝间距为其中心点间距，记w和s分别为裂缝宽度和裂缝间距， s l ( s r ) 为裂缝与其左(右)侧裂缝间距， v ( s ) 为钢筋与混凝土间的滑移， A s 和 A c 分别为钢筋和混凝土横截面积， E s ( E c ) 为钢筋(混凝土)的弹性模量， d s 为钢筋直径， σ s 和 σ c 分别表示钢筋和混凝土的应力， τ ( r ) 为r处粘结应力，N为拉力， N c r 为混凝土开裂的临界力， l e 为粘结延伸长度， f t 为混凝土抗拉强度。
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user: 2. 钢筋混凝土受力的力学分析 粘结滑移理论是由Saliger [ 11 ] 于1936年根据钢筋混凝土拉杆试验提出的一种最早的裂缝理论，直至60年代中期这个理论还一直被广泛应用。这一理论认为，裂缝的展开是由于钢筋与混凝土间不再保持变形协调，出现相对滑移而产生的，它假定混凝土开裂后，开裂截面仍然保持平截面，构件开裂后横贯截面的裂缝宽度相同，因此裂缝宽度等于裂缝间距范围内钢筋和混凝土的变形差，而裂缝的间距取决于钢筋与混凝土间粘结应力的大小与分布，粘结应力越大，混凝土拉应力沿构件纵向从零增大到其极限抗拉强度所需的粘结传递长度会越短，裂缝间距也就越短，裂缝宽度越小，此时裂缝“密而多”；反之，裂缝“疏而稀”，裂缝宽度越大。 2.1. 应力与应力平衡状态 考虑一段长度为l的构件(见图1)，在其端头，混凝土受到向外的拉力，达到抗拉强度后，混凝土出现裂缝，裂缝出现后，裂缝处混凝土表面应力为零，在一定距离内，离裂缝越远处的横截面上的点的应力越大，假设与裂缝 C i 的距离为r，应力为，不妨假设 τ ( r ) = { a r + b ， 0 ≤ r ≤ l e M ，     r > l e (1) 当距离达到粘结延伸长度 l e 时，混凝土的应力分布不再受裂缝影响，这时混凝土与钢筋间的粘结力为零，裂缝使其附近 l e 区段内的混凝土表面应力低于其他区段，也使混凝土的抗拉强度高于其他区段，所以下一条裂缝只能出现在 l e 区段以外，这样两条裂缝之间的距离大于 2 l e 时，在它们之间就可能形成一条新的裂缝；当两条裂缝之间的距离小于 2 l e 时，在它们之间就不会出现新的裂缝，那么当所有裂缝出现时，裂缝的最小间距为 l e ，最大间距为 2 l e 。 图1. 张力作用下钢筋混凝土构件的开裂 2.2. 钢筋混凝土在产生裂缝时的受力分析 由Saliger的粘结滑移理论，裂缝宽度 w = v ( s l ) + v ( s r ) (2) 我们从长度为l的拉杆上取出两条相邻裂缝的一段(图2)，令其长度为S，以中点处为原点，取距原点距离为r处的横截面(图3)，从钢筋和混凝土层面分别考察受力情况。 图2. 裂缝的滑移 图3. r处横截面受力分析 在r处，钢筋的力平衡公式为 N = σ s A s + ∫ r s / 2 τ ( t ) ⋅ π d s d t 混凝土的力平衡公式为 σ c A c − ∫ r s / 2 τ ( t ) ⋅ π d s d t = 0 其中 ∫ r s / 2 τ ( t ) ⋅ π d s d t 为钢筋与混凝土之间的粘结力(图4)， 图4. 钢筋与混凝土之间的受力分析 钢筋受粘结力作用下的应变： ε τ ， s ( r ) = 1 A s E s ∫ r s / 2 τ ( t ) ⋅ π d s d t 混凝土受粘结力作用下的应变： ε τ ， c ( r ) = 1 A c E c ∫ r s / 2 τ ( t ) ⋅ π d s d t 在混凝土的端头(裂缝一侧)，钢筋单独受拉力N作用下的变形： v N = ∫ 0 s / 2 N A s E s d r = N ⋅ s 2 A s E s 钢筋受粘结力作用下的变形： v τ ， s = ∫ 0 s / 2 ε τ ， s ( r ) d r 混凝土受粘结力作用下的变形： v τ ， c = ∫ 0 s / 2 ε τ ， c ( r ) d r 因此，钢筋和混凝土变形的叠加： v ( s ) = v N − ( v τ ， s + v τ ， c ) = N ⋅ s 2 A s E s − ∫ 0 s / 2 [ ε τ ， s ( r ) + ε τ ， c ( r ) ] d r = N ⋅ s 2 A s E s − ( 1 A s E s + 1 A c E c ) ∫ 0 s / 2 ∫ r s / 2 τ ( t ) ⋅ π d s d t d r 由于 A s = π ( d s 2 ) 2 ，故 v ( s ) = c N s − c 0 ∫ 0 s / 2 ∫ r s / 2 τ ( t ) d t d r (3) 其中， c N = N 2 A s E s ， c 0 = 4 ( 1 + n μ ) d s E s ， n = E s E c ， μ = A s A c 。
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user: 3. 钢筋混凝土裂缝分布的随机过程 本文假设裂缝间距、滑移v和裂缝宽度w均为随机变量。为得出裂缝的分布，我们假设： ① 构件长度 l > 2 l e ； ② 裂缝在区间 ( l e ， l − l e ) 内服从均匀分布； ③ 一个裂缝将构件被分成长度分别为t和 l − t 的两部分，可视为两个独立构件； ④ 当两条相邻裂缝的间距s满足 l e ≤ s ≤ 2 l e (4) 在其之间不再出现新的裂缝。 由于对称性，我们只需考虑构件左侧裂缝间距s，令 h ( s ¯ ) ， l e ≤ s ¯ ≤ 2 l e 为满足条件 ∫ l e 2 l e h ( s ¯ ) d s ¯ < ∞ (5) 的非负函数，定义 H ( l ) ， l ≥ l e 为 h ( s ) 的均值，由假设①知： H ( l ) = h ( l ) ， l e ≤ l ≤ 2 l e (6) 当 l > 2 l e 时， H ( l ) = E [ h ( s ) ] = ∫ l e l − l e h ( s ) p ( s ) d s 其中， p ( s ) 为s的密度函数，由假设②知， p ( s ) = 1 l − 2 l e ，故 H ( l ) = 1 l − 2 l e ∫ l e l − l e h ( s ) d s 而 ∫ l e l − l e h ( s ) d s = ∫ l e 2 l e h ( s ) d s + ∫ 2 l e 3 l e h ( s ) d s + ⋯ + ∫ k l e k l e + ε h ( s ) d s   ( k l e + ε = l − l e ) = ∫ l e 2 l e h ( l ) d l + ∫ 2 l e 3 l e h ( l ) d l + ⋯ + ∫ k l e k l e + ε h ( l ) d l   ( 由 假 设 ③ 独 立 性 可 得 ) = ∫ l e 2 l e H ( l ) d l + ∫ 2 l e 3 l e H ( l ) d l + ⋯ + ∫ k l e k l e + ε H ( l ) d l = ∫ l e l − l e H ( l ) d l 因此 H ( l ) = 1 l − 2 l e ∫ l e l − l e H ( l ) d l ， l > 2 l e (7) 显然， H ( l ) ， l ≥ l e 由积分式(7)和条件(6)一起决定，但是，对于一般的 h ( s ¯ ) ，不能给出式(6)和式(7)的解，因此我们将(7)改写为： H ( l + Δ l ) = 1 l + Δ l − 2 l e ∫ l e l + Δ l − l e H ( l + Δ l ) d l = 1 l + Δ l − 2 l e [ ∫ l e l − l e H ( l ) d l + ∫ l − l e l + Δ l − l e H ( l ) d l ] = 1 l + Δ l − 2 l e [ ( l − 2 l e ) H ( l ) + ∫ l − l e l + Δ l − l e H ( l ) d l ] (8) 将积分用梯形法则近似，得到 ∫ l − l e l + Δ l − l e H ( l ) d l = Δ l 2 [ H ( l − l e ) + H ( l + Δ l − l e ) ] (9) 这样就得到了计算 H ( l ) ， l > 2 l e 的简单递推公式： H ( l + Δ l ) = 1 l + Δ l − 2 l e { ( l − 2 l e ) H ( l ) + Δ l 2 [ H ( l − l e ) + H ( l + Δ l − l e ) ] }
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user: 4. 裂缝分布的密度函数与分布函数 首先确定裂缝间距s的密度函数 f ( s ， l ) ， l e ≤ s ≤ 2 l e 。令 h ( s ¯ ) = δ s ( s ¯ ) ( δ s 为Dirac函数)，则 H ( l ) = Ε [ h ( s ) ] = ∫ l e 2 l e h ( s ¯ ) f ( s ¯ ， l ) d s ¯ = ∫ l e 2 l e δ s ( s ¯ ) f ( s ¯ ， l ) d s ¯ = ∫ l e 2 l e δ ( s ¯ − s ) f ( s ¯ ， l ) d s ¯ = f ( s ， l ) (10) 当 l → ∞ 时， f ( s ， l ) 收敛，且极限在 l = 5 l e 即可得到，所以式(6)和(7)的解都存在极限 H = lim l → ∞ H ( l ) ， 当 l ≥ 5 l e 时， H = H ( l ) ，说明 l ≥ 5 l e 时裂缝间距分布独立于l。选取 h ( s ¯ ) = { 1 s ¯ ≤ s 0 s ¯ > s (11) 可以得到s处裂缝间距的分布函数 F ( s ) ，即 H ( l ) = Ε [ h ( s ) ] = ∫ l e l − l e h ( s ¯ ) f ( s ¯ ) d s ¯ = ∫ l e s h ( s ¯ ) f ( s ¯ ) d s ¯ + ∫ s l − l e h ( s ¯ ) f ( s ¯ ) d s ¯ = ∫ l e s f ( s ¯ ) d s ¯ = F ( s ) 即为式(6)和(7)的解。图5中给出了 f ( s ) 和 F ( s ) 的图像，可以知道 f a ( s l e ) = 0.57 ( s l e − 1 ) − 0.43 ， F ( s l e ) = ( s l e − 1 ) 0.57 (12) 这与Krips [ 12 ] 的结论相对照，上式是近似可接受的。 图5. 裂缝间距的密度函数(左)和分布函数(右) 我们可以计算出裂缝间距的均值 s m = Ε ( s ) = ∫ s f ( s l e ) d s l e = ∫ 1 2 l e ⋅ s l e ⋅ 0.57 ( s l e − 1 ) − 0.43 d s l e 令 x = s l e − 1 ，故 s m = 0.57 l e ∫ 0 1 ( x + 1 ) x − 0.43 d x = 0.57 l e ∫ 0 1 ( x 0.57 + x − 0.43 ) d x = 0.57 l e [ x 1.57 1.57 + x 0.57 0.57 ] | 0 1 = 1.36 l e 选取 h ( s ¯ ) = 1 v ′ ( s ( v ) ) δ s ( v ) ( s ¯ ) (13) 可以得到v处滑移的密度函数 g ( v ) ，即 H ( l ) = ∫ l e l − l e h ( s ¯ ) f ( s ¯ ) d s ¯ = ∫ l e l − l e 1 v ′ ( s ( v ) ) δ s ( v ) ( s ¯ ) f ( s ¯ ) d s ¯ = ∫ l e l − l e δ [ s ¯ − s ( v ) ] f ( s ¯ ) v ′ [ s ( v ) ] d s ¯ = f [ s ( v ) ] v ′ [ s ( v ) ] = g ( v ) (14) 同理，选取 h ( s ¯ ) = { 1 s ¯ ≤ s ( v ) 0 s ¯ > s ( v ) (15) 可以得到它的分布函数 G ( v ) ，即 H ( l ) = ∫ l e l − l e h ( s ¯ ) f ( s ¯ ) d s ¯ = ∫ l e s ( v ) h ( s ¯ ) f ( s ¯ ) d s ¯ + ∫ s ( v ) l − l e h ( s ¯ ) f ( s ¯ ) d s ¯ = ∫ l e s ( v ) f ( s ¯ ) d s ¯ = G ( v ) (16) 这里我们考虑粘结应力的两个近似： { ( i )         τ ( r ) = τ 0         N = N c r ( ii )       τ ( r ) = 0           N ≫ N c r 其中 N c r = ( 1 + n μ ) A c f t 。 情形(i)： τ ( t ) = τ 0 ，应用式(3)，得 v ( s ) = c N s − c 0 ∫ 0 s / 2 ∫ r s / 2 τ 0 d t d r = c N s − c 0 τ 0 ∫ 0 s / 2 ( s 2 − r ) d r = c N s − 1 8 c 0 τ 0 s 2 = c N l e [ s l e − 1 4 ( s l e ) 2 ] (17) 而 1 ≤ s l e ≤ 2 ，故 v min = 3 4 c N l e ， v max = 4 3 v min ，均值 v m = Ε [ v ( s ) ] = ∫ v ( s ) f ( s l e ) d s l e = ∫ 1 2 c N l e [ s l e − 1 4 ( s l e ) 2 ] ⋅ 0.57 ( s l e − 1 ) − 0.43 d s l e 令 x = s l e − 1 ，故 v m = 0.57 c N l e ∫ 0 1 [ ( x + 1 ) − 1 4 ( x + 1 ) 2 ] x − 0.43 d x = 0.57 c N l e ∫ 0 1 [ − 1 4 x 1.57 + 1 2 x 0.57 + 3 4 x − 0.43 ] d x = 0.876 c N l e = 1.168 v min 情形(ii)： τ ( r ) = 0 ，同理可得 v ( s ) = c N s ， v min = c N l e ， v max = 2 v min ， v m = 1.363 v min (18) 最后，我们来决定裂缝宽度w的密度函数和分布函数，由假设③及上面得出的事实： l ≥ 5 l e 时，裂缝间距与构件长度无关，可以得出：两个相邻的裂缝其间距是相互独立的，所以 w = v ( s l ) + v ( s r ) 的分布是两个滑移分布的卷积： q ( w ) = ∫ v min w g ( v ) g ( w − v ) d v (19) Q ( w ) = ∫ v min w G ( v ) G ( w − v ) d v (20) w min ≤ w ≤ w max ， w min = 2 v min ， w max = 2 v max ，在情形(i) (ii)中，裂缝宽度的均值分别为 w m = 1.18 w min ， w m = 1.38 w min 。
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user: 5. 结论 本文首先通过对钢筋混凝土裂缝产生的基本原理进行分析，导出钢筋混凝土滑移距离的基本公式。利用该公式，结合随机变量的概率分布方法，在假设拉杆裂缝间距服从均匀分布的前提下，得到了滑移的分布函数和密度函数，证明了裂缝宽度为左右滑移之和，裂缝宽度的分布函数和密度函数分别为滑移的分布函数和密度函数的卷积。
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user: 摘要 本文利用间断有限体积元方法求解双曲守恒律方程。为克服传统TVD限制器的精度损失问题，本文采用了保极值限制器。时间离散上采用了三阶的SSP Runge-Kutta方法。经典算例结果验证了本方法计算的有效性和精度。
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user: 1. 引言 双曲方程作为偏微分方程中的一类重要方程，其解中往往出现间断，因此对于数值方法提出很大挑战。针对双曲守恒律方程，一系列的格式被提出和发展，例如Godunov格式 [ 1 ]，Lax-Friedrichs格式 [ 2 ]，总变差递减(Total Variation Diminishing， TVD) [ 3 ] [ 4 ]，总变差有界(Total Variation Bounded， TVB) [ 5 ]，加权本质无震荡格式(Weighted Essentially Non-Oscillatory， WENO) [ 6 ] 等。 间断有限体积元方法最早在2004年 [ 7 ] 中被YeXiu提出，作者将有限体积元方法与DG方法结合，针对椭圆问题提出了间断有限体积元方法。之后，毕春加将此方法推广到了抛物问题及双曲问题 [ 8 ] [ 9 ]。该方法不仅构造简单，还具备保持物理量间局部守恒、可以处理复杂边界、可并行计算等优点，发展前景广阔。在2009年，陈大伟等借鉴了控制体积有限元方法与龙格–库塔间断有限元方法，提出龙格-库塔控制体积间断有限元方法(Runge-Kutta Control Volume Discontinuous Finite Element Method， RKCVDFEM)，保证了数值解的局部守恒性且可以很好的处理激波间断问题。但RKCVDFEM使用了minmod限制器，由于该限制器中参数M的选取依赖于不同的问题，从而限制了方法的适用范围。 区别于传统的间断有限体积元方法 [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]，本文基于SSP Runge-Kutta时间离散方法，采用MPS (Maximum-principle-satisfying)的高阶精度限制器，构造了保极值间断有限体积元方法来求解双曲守恒律方程，并通过经典数值算例来验证方法的可行性与高效性。
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user: 2. 格式的构造 2.1. 空间离散 一维守恒律方程 { u t + f ( u ) x = 0 u ( x ， 0 ) = u 0 这里的f是流通量函数。剖分定义域，令 x i − 1 / 2 为剖分节点，第i个单元记为 I i = ( x i − 1 / 2 ， x i + 1 / 2 ) ，单元长度为 h = x i + 1 / 2 − x i − 1 / 2 。在每个控制单元 I i 上依次选取3个插值节点，分别记为 x i − 1 / 2 ， x i ， x i + 1 / 2 ，围绕插值节点选取控制体积，三个控制单元分别记为 I i − 1 / 2 * − = ( x i − 1 / 2 ， x i − 1 / 4 ) ， I i * = ( x i − 1 / 4 ， x i + 1 / 4 ) ， I i + 1 / 2 * + = ( x i + 1 / 4 ， x i + 1 / 2 ) ，试探函数空间 U h 选为线性元空间，相应的基函数选取为Lagrange基函数。选取的基函数记为 φ j ( l ) ，则单元形状函数 u h 为 u h ( x ， t ) = ∑ l = 1 3 u j ( l ) φ j ( l ) ( x ) 选取检验函数为控制单元 I ∗ 上的分片常数函数，相应的基函数 ψ j l = { 1 ， ∀ x ∈ I ∗ 0 ， 其 它 ， l = 1 ， 2 ， 3 从原方程出发进行空间离散。先在方程两边同时乘以检验函数v，并在一个单元 I i 上做积分，u用 u h 来代替 { d d t ( ∫ I i − 1 / 2 * + φ j ( 1 ) d x * u j ( 1 ) + ∫ I i − 1 / 2 * + φ j ( 2 ) d x * u j ( 2 ) + 0 ) = f i − 1 / 2 − f i − 1 / 4 d d t ( ∫ I i * φ j ( 1 ) d x * u j ( 1 ) + ∫ I i * φ j ( 2 ) d x * u j ( 2 ) + ∫ I i * φ j ( 3 ) d x * u j ( 3 ) ) = f i − 1 / 4 − f i + 1 / 4 d d t ( 0 + ∫ I i + 1 / 2 * − φ j ( 2 ) d x * u j ( 2 ) + ∫ I i + 1 / 2 * − φ j ( 3 ) d x * u j ( 3 ) ) = f i + 1 / 4 − f i + 1 / 2 其中 f i ± 1 / 4 = f ( u h ( x i ± 1 / 4 ， t ) ) ，即 f i ± 1 / 4 就是把 x i ± 1 / 4 带入单元形状函数 u h 中求得，而又由于 f i ± 1 / 2 无定义，故本文采用Lax-Friedrichs数值流通量来定义 f i ± 1 / 2 f 〈 u − ， u + 〉 = 1 2 [ f ( u − ) + f ( u + ) − C ( u + − u − ) ] 其中 C = max u | f ′ ( u ) | 。整理方程组得 A ∗ d u h d t = g ， u h = ( u j ( 1 ) u j ( 2 ) u j ( 3 ) ) ， g = ( f i − 1 / 2 − f i − 1 / 4 h f i − 1 / 4 − f i + 1 / 4 h f i + 1 / 4 − f i + 1 / 2 h ) 当基函数取线性元与二次元分别对应的矩阵A如下 A ( p 1 ) = ( 3 16 1 16 0 1 16 6 16 1 16 0 1 16 3 16 ) ， A ( p 2 ) = ( 1 6 5 48 − 1 48 1 48 11 24 1 48 − 1 48 5 48 1 6 ) 。 2.2. 斜率限制器 保极值的限制器 为了抑制数值振荡，引入MPS (Maximum-principle-satisfying)高阶精度限制器。 u ˜ j ( x ) = θ ( u j ( x ) − u ¯ j ) + u ¯ j ， θ = min { | u max − u ¯ j M j − u ¯ j | ， | u min − u ¯ j m j − u ¯ j | ， 1 } M j = max x ∈ I j u j ( x ) ， m j = min x ∈ I j u j ( x ) 其中 u ¯ j = 1 Δ x ∫ I j u j ( x ) d x = ∑ ∂ = 1 N ω ∂ u j ( x ) ，设 ω ∂ 是区间 [ − 1 2 ， 1 2 ] 上的正交权重，可以令 ∑ ∂ = 1 N ω ∂ = 1 。 在该限制器中 u j 表示在 t n 时刻单元上的数值解，其单元平均值 u ¯ j 属于区间 [ u min ， u max ] ，参考 [ 15 ] [ 16 ]。 Shu在 [ 17 ] 中证明了该限制器不会破坏高阶的精度。 2.3. 时间离散 半离散后得到常微分方程组，使用SSP Runge-Kutta格式 [ 18 ] u ( 1 ) = u n + Δ t ⋅ L ( u n ) u ( 2 ) = 3 4 u n + 1 4 u ( 1 ) + 1 4 Δ t ⋅ L ( u ( 1 ) ) u n + 1 = 1 3 u n + 2 3 u ( 2 ) + 2 3 Δ t ⋅ L ( u ( 2 ) )
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user: 3. 算例 3.1. 算例1线性对流方程 { u t + u x = 0 u ( x ， 0 ) = 1 2 + 1 4 sin ( π x ) 计算讨论在周期边界条件下的该算例在相同时间下，基函数分别为线性元、二次元时，它们的误差与收敛阶。计算结果见表1和表2。 Table 1 t = 0.1， p Scheme Grids L 1 error L 1 order L ∞ error L ∞ order P 1 40 7.7464 × 10 − 4 —— 6.0693 × 10 − 4 —— 80 1.9424 × 10 − 4 1.9961 1.5255 × 10 − 4 1.9926 160 4.6004 × 10 − 5 2.0784 3.6124 × 10 − 5 2.0786 320 1.1500 × 10 − 5 2.0005 9.0394 × 10 − 6 1.9993 640 3.0174 × 10 − 6 1.9306 2.3641 × 10 − 6 1.9349 表1. 线性元下算例1的数值误差和收敛阶 Table 2 t = 0.1， p Scheme Grids L 1 error L 1 order L ∞ error L ∞ order P 2 40 7.8257 × 10 − 4 —— 1.2529 × 10 − 3 —— 80 9.7962 × 10 − 5 2.9985 1.5995 × 10 − 4 2.9702 160 1.2319 × 10 − 5 2.9919 2.0824 × 10 − 5 2.9418 320 1.5768 × 10 − 6 2.9664 2.8129 × 10 − 6 2.8887 640 2.1549 × 10 − 6 2.8719 4.0568 × 10 − 7 2.7942 表2. 二次元下算例1的数值误差和收敛阶 通过例子可以看出，对于 p 1 元，实际计算可以达到二阶精度，而对 p 2 元，计算可以达到三阶精度。 3.2. 算例2 Burgers方程 { u t + ( u 2 2 ) x = 0 u ( x ， 0 ) = 1 2 + 1 4 sin ( π x ) 边界条件选取周期边界条件，在 t = 1 π ≈ 0.3183 时出现激波。由图1~2可知当 t = 0.3 时结果没有激波出现，由图3~6可知当 t = 2 π 和 t = 1.1 时，结果出现激波。可以看到数值解在间断附近有良好的分辨率。 图1. 剖分60份时的示意图， t = 0.3 图2. 剖分100份时的示意图， t = 0.3 图3. 剖分60份时的示意图， t = 2 π 图4. 剖分100份时的示意图， t = 2 π 3.3. 算例3 Buckely-Leverett方程 { u t + ( 4 u 2 4 u 2 + ( 1 − u ) 2 ) x = 0 u 0 = { 1                                   − 0.5 < x < 0 0                                                               其 他 图5. 剖分60份时的示意图， t = 1.1 图6. 剖分100份时的示意图， t = 1.1 由图7~8可知，通过比较数值解与五阶WENO格式下的参考解可以发现，保极值间断有限体积元方法下的数值解在大梯度处无震荡，而且与参考解有完全类似地良好计算效果。 3.4. 算例4 交通流问题 考虑一段20 km长的公路，入口的密度是50 veh/km。(入口密度用单位长度路段内的车辆总数来表示)对于所给出的初值条件，我们考虑入口条件变化。在两个小时段分析，最初10分钟入口关闭，10分钟到30分钟，提高到入口密度75 veh/km，30分钟后入口密度恢复到50 veh/km。初值条件见图9。 图7. 剖分40份时的示意图， t = 0.6 图8. 剖分80份时的示意图， t = 0.6 { u t + f ( u ) x = 0 u 0 = { 50                                                                                                                         0 ≤ x < 10 350                                                                                                               10 ≤ x < 15 1400 − 70 x                                                       15 ≤ x < 20 f ( u ) = { − 0.4 u 2 + 100 u                                                                                                 0 ≤ u < 50 − 0.1 u 2 + 15 u + 3500                                                   50 ≤ u < 100 − 0.024 u 2 − 5.2 u + 4760                       100 ≤ u < 350 图9. 算例4的初始条件 计算结果见图10~13，在本算例中，分析了90分钟内因入口条件变化导致的交通流问题，通过将各个时间节点的车流密度变化图与该算例的准确解作对比，可以看出吻合情况较好。
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user: 4. 结论 本文研究了保极值的间断有限体积元方法，通过使用MPS的限制器使其保持高阶精度，守恒的同时又能满足极值原理。通过计算结果进行对比分析，证实了该保极值的间断有限体积元方法具有其理论设计的高精度和对间断高分辨率的特性。 图10. t = 10   min 时的示意图 图11. t = 30   min 时的示意图 图12. t = 60   min 时的示意图 图13. t = 90   min 时的示意图
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user: 基金 内蒙古大学科研发展基金(21100-5187133)；内蒙古自治区人才开发基金项目(12000-1300020240)。
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user: 摘要 “课程思政”理念的推广应用关乎我国教育事业“培养什么样的人，怎样培养人，为谁培养人”这个根本问题。本文从“课程思政”的缘起、当前教学开展存在的不足、思政课协同创新教学体系的构建路径三个方面进行了梳理和探索，分析了当前“课程思政”教学开展存在理论课程缺乏创新、课程壁垒尚未打破、教学载体利用不足、教材内容的统一性和更新性四个方面的不足；提出了打破专业视野限制、推进理论课程的协同创新，寓德育于专业实践中、推进实践课程的协同创新，充分运用新媒体技术、推进网络课程的协同创新，挖掘专业知识中的思政素材、推进专业课程的协同创新等思政课协同创新教学体系的四条构建路径。