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user: 1. 引言 积分不等式在研究积分与微分方程中起着非常重要的作用。本文讨论Grüss不等式。 1935年，G. Grüss [ 3 ] 提出了Grüss不等式： 命题1.1 [ 3 ] ：设 f ( t ) 和 g ( t ) 是 [ a ， b ] 上两个可积函数。若存在 m ， M ， n ， N ∈ ℝ ，使得当 t ∈ [ a ， b ] 时，有 m ≤ f ( t ) ≤ M ， n ≤ g ( t ) ≤ N ，则 | 1 b − a ∫ a b f ( t ) g ( t ) d t − 1 ( b − a ) 2 ∫ a b f ( t ) d t ∫ a b g ( t ) d t | ≤ 1 4 ( M − m ) ( N − n ) . (1.1) Grüss不等式在1935年提出后备受关注。学者们基于经典Grüss不等式(即1.1式)建立了大量的Grüss型不等式，并将其应用于一些分析问题中。 1993年，Mitrinovic [ 4 ] 考察了Grüss不等式的离散形式以及行列式形式，并将其用于估计集合 A = { f ( t ) | f ( t ) ∈ A C [ a ， b ] ， f ′ ( t ) ∈ L 2 [ a ， b ] } ( A C [ a ， b ] 表示区间 [ a ， b ] 上的绝对连续函数)中元素的范数。1998年，Dragomir [ 5 ] 将经典Grüss不等式中的积分推广到加权积分，得到了一个Grüss型不等式。然后又讨论被积函数 f ( t ) 和 g ( t ) 是否满足Lipschitz条件和Hölder条件，从而给出一系列Grüss型不等式。1999年，Dragomir [ 6 ] 将Grüss不等式应用于内积空间，从而得到了一个新的Grüss型不等式。2002年，Dragomir [ 7 ] 将Grüss型不等式 [ 5 ] 中的加权积分推广为Riemann-Stieltjes积分，并讨论被积函数的各种情形，从而得到一系列新的Grüss型不等式。2010年，Moslehian [ 8 ] 将Grüss不等式推广到了线性算子空间。 Grüss不等式在发展初期，人们主要考虑在不同空间中的Grüss型不等式。而随着空间理论的成熟，人们开始将关注点转向Grüss不等式中积分(整数阶积分)的变化。例：1998年，Dragomir [ 5 ] 将经典Grüss不等式中的积分推广到加权积分；2002年，Dragomir [ 7 ] 将Grüss型不等式 [ 5 ] 中的加权积分推广为Riemann-Stieltjes积分等。随着积分理论的发展，一些学者开始考虑分数阶积分与不等式的结合，例 [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] 。Grüss不等式主要考虑与Riemann-Liouville分数阶积分结合。 2010年，Dahmani [ 12 ] 第一次将Riemann-Liouville分数阶积分与Grüss不等式结合在一起得到了分数阶积分不等式： 命题1.2：(见 [ 12 ] 的定理3.1)设 f ( t ) ， g ( t ) 是 [ 0 ， ∞ ) 上两个可积函数。若存在常数 m ， M ， n ， N ，使得 f ( t ) 和 g ( t ) 满足 m ≤ f ( t ) ≤ M ， n ≤ g ( t ) ≤ N ， t ∈ [ 0 ， ∞ ) 。那么当 t > 0 ， α > 0 时，有 | t α Γ ( α + 1 ) J α f ( t ) g ( t ) − J α f ( t ) J α g ( t ) | ≤ ( t α 2 Γ ( α + 1 ) ) 2 ( M − m ) ( N − n ) ， (1.2) 这里 J α f ( t ) 是 f ( t ) 的Riemann-Liouville分数阶积分(将在第二部分给出它的定义)。2016年，Erden [ 1 ] 建立一个新的分数阶积分，并得到一个与此积分有关的Grüss型不等式： 命题1.3：(见 [ 1 ] 的定理2)设 h ( t ) : [ 0 ， ∞ ) → ( 0 ， ∞ ) 是 [ 0 ， ∞ ) 上的单调增函数并在 ( 0 ， ∞ ) 上有连续导函数 h ′ ( t ) 。若 f ( t ) 和 g ( t ) 是 [ 0 ， ∞ ) 上两个可积函数并且满足 m ≤ f ( t ) ≤ M ， n ≤ g ( t ) ≤ N ; m ， M ， n ， N ∈ ℝ ， t ∈ [ 0 ， ∞ ) . 那么当 α > 0 时，有 | ( h ( t ) − h ) ( 0 ) α Γ ( α + 1 ) J h α f ( t ) g ( t ) − J h α f ( t ) J h α g ( t ) | ≤ ( ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α 2 Γ ( α + 1 ) ) 2 ( M − m ) ( N − n ) ， (1.3) 这里 J h α f ( t ) 是 f ( t ) 推广的Riemann-Liouville分数阶积分(将在第二部分给出其定义)。 在过去的几年中，人们只考虑Grüss型不等式中被积函数的限制条件是常数的情况。而近些年，人们开始关注其限制条件是可积函数的情形。2014年，Tariboon [ 2 ] 将 [ 12 ] 中被积函数 f ( t ) ， g ( t ) 的四个常边界 m ， M ， n ， N 用四个可积函数 φ 1 ( t ) ， φ 2 ( t ) ， ψ 1 ( t ) ， ψ 2 ( t ) 取代，从而得到新的Grüss型不等式： 命题1.4：(见 [ 2 ] 的定理9)设 f ( t ) ， g ( t ) 是 [ 0 ， ∞ ) 上两个可积函数。若 (C 1 ) 在 [ 0 ， ∞ ) 上存在两个可积函数 φ 1 ( t ) ， φ 2 ( t ) 且满足 φ 1 ( t ) ≤ f ( t ) ≤ φ 2 ( t ) ， t ∈ [ 0 ， ∞ ) . (1.4) (C 2 ) 在 [ 0 ， ∞ ) 上存在两个可积函数 ψ 1 ( t ) ， ψ 2 ( t ) 且满足 ψ 1 ( t ) ≤ g ( t ) ≤ ψ 2 ( t ) ， t ∈ [ 0 ， ∞ ) . (1.5) 那么当 t > 0 ， α > 0 时，有 | t α Γ ( α + 1 ) J α f ( t ) g ( t ) − J α f ( t ) J α g ( t ) | ≤ S ( f ， φ 1 ， φ 2 ) S ( g ， ψ 1 ， ψ 2 ) ， (1.6) 这里 S ( x ， y ， z ) = ( J α z ( t ) − J α x ( t ) ) ( J α x ( t ) − J α y ( t ) )     + t α Γ ( α + 1 ) J α y ( t ) x ( t ) − J α y ( t ) J α x ( t )     + t α Γ ( α + 1 ) J α z ( t ) x ( t ) − J α z ( t ) J α x ( t )     − t α Γ ( α + 1 ) J α y ( t ) z ( t ) + J α y ( t ) J α z ( t ) (1.7) 从Grüss不等式的发展历程来看，我们可从两个方面来研究它。一方面，我们考虑在Grüss不等式中使用何种类型的分数阶积分。另一方面，考虑不等式中被积函数的限制条件。由于Rieamm-Liouville分数阶积分在分形分析和相关理论中有着广泛的应用，例 [ 13 ] [ 14 ] 。因此本文讨论有关推广的Riemann-Liouville分数阶积分 J h α 的Grüss型不等式。而从命题1.3和命题1.4中，我们又可以将被积函数的限制条件推广到函数的情形。以上就是本文研究的主要内容。 我们将在第二部分给出本文必要的定义及引理，在第三部分给出本文结论。最后可以看出本文结论是新的。并且本文结论可以用于无界函数(将在例子中展出)。