system: [SYSTEM]

user: 3. 具有n个转移条件的三阶边值问题的有限谱 在这一部分中我们设对于区间J有如下分割 { a = a 0 < a 1 < a 2 < ⋯ < a 2 m 0 < a 2 m 0 + 1 = c 1 − ， c 1 + = c 1 ， 0 < c 1 ， 1 < c 1 ， 2 < ⋯ < c 1 ， 2 m 1 < c 1 ， 2 m 1 + 1 = c 2 − ， ⋯ c n − 1 + = c n − 1 ， 0 < c n − 1 ， 1 < c n − 1 ， 2 < ⋯ < c n − 1 ， 2 m n − 1 < c n − 1 ， 2 m n − 1 + 1 = c n − ， c n + = c n ， 0 < c n ， 1 < c n ， 2 < ⋯ < c n ， 2 m n < c n ， 2 m n + 1 = b ， (9) 对于某些正整数 m 0 ， m 1 ， m 2 ， ⋯ ， m n ，当 r ( t ) = 1 p ( t ) = 0 时，我们有 { ∫ a 2 k a 2 k + 1 w ( t ) ≠ 0， ∫ a 2 k a 2 k + 1 w ( t ) t d t ≠ 0， k = 0，1， ⋯ ， m 0 ， t ∈ ( a 2 k ， a 2 k + 1 ) ， ∫ c 1 ， 2 i c 1 ， 2 i + 1 w ( t ) ≠ 0， ∫ c 1 ， 2 i c 1 ， 2 i + 1 w ( t ) t d t ≠ 0， i = 0，1， ⋯ ， m 1 ， t ∈ ( c 1 ， 2 i ， c 1 ， 2 i + 1 ) ， ⋯ ∫ c n ， 2 z c n ， 2 z + 1 w ( t ) ≠ 0， ∫ c n ， 2 z c n ， 2 z + 1 w ( t ) t d t ≠ 0， z = 0，1， ⋯ ， m n ， t ∈ ( c n ， 2 z ， c n ， 2 z + 1 ) . (10) 而 q ( t ) = w ( t ) = 0 时，则有 { ∫ a 2 k + 1 a 2 k + 2 r ( t ) ≠ 0 ， ∫ a 2 k + 1 a 2 k + 2 r ( t ) t d t ≠ 0 ， k = 0 ， 1 ， ⋯ ， m 0 − 1 ， t ∈ ( a 2 k + 1 ， a 2 k + 2 ) ， ∫ c 1 ， 2 i + 1 c 1 ， 2 i + 2 r ( t ) ≠ 0 ， ∫ c 1 ， 2 i + 1 c 1 ， 2 i + 2 r ( t ) t d t ≠ 0 ， i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m 1 − 1 ， t ∈ ( c 1 ， 2 i + 1 ， c 1 ， 2 i + 2 ) ， ⋯ ∫ c n ， 2 z + 1 c n ， 2 z + 2 r ( t ) ≠ 0 ， ∫ c n ， 2 z + 1 c n ， 2 z + 2 r ( t ) t d t ≠ 0 ， z = 0 ， 1 ， ⋯ ， m n ， t ∈ ( c n ， 2 z + 1 ， c n ， 2 z + 2 ) ， (11) 引理2：设(9)~(11)成立，对于每一个 λ ∈ ℂ 。 Φ ( t ， λ ) = [ ϕ e f ( t ， λ ) ] ( t ∈ ( a ， c 1 ) ) 为系统(5)满足初始条件 Φ ( a ， λ ) = I 的基解矩阵； Ψ i ( t ， λ ) = [ ψ i ， e f ( t ， λ ) ] ( t ∈ ( c i ， c i + 1 ) ， c n + 1 = b = c n ， 2 m n + 1 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 为系统(5)满足初始条件 Ψ i ( c i + ， λ ) = I (此处 Ψ i ( c i + ， λ ) = Ψ i ( c i ， 0 ， λ ) = Φ ( c i + ， λ ) )的基解矩阵，则有 1) Φ ( a 1 ， λ ) = ( 1 a 1 − a 0 0 0 1 0 λ w 0 − q 0 ( λ w 0 − q 0 ) ( a 1 − a 0 ) 1 ) ， (12) Φ ( a 3 ， λ ) = ( ϕ 11 ( a 3 ， λ ) ϕ 12 ( a 3 ， λ ) r 0 ( a 3 − a 1 ) r 0 ( λ w 0 − q 0 ) 1 + r 0 ( λ w 0 − q 0 ) ( a 1 − a 0 ) r 0 ϕ 31 ( a 3 ， λ ) ϕ 32 ( a 3 ， λ ) ( λ w 1 − q 1 ) [ r 0 ( a 3 − a 1 ) ] + 1 ) . (13) 其中 ϕ 11 ( a 3 ， λ ) = ( a 3 − a 1 ) r 0 ( λ w 0 − q 0 ) + 1， ϕ 12 ( a 3 ， λ ) = ( a 3 − a 1 ) [ r 0 ( λ w 0 − q 0 ) ( a 1 − a 0 ) + 1 ] + ( a 1 − a 0 ) ， ϕ 31 ( a 3 ， λ ) = [ ( a 3 − a 1 ) r 0 ( λ w 0 − q 0 ) + 1 ] ( λ w 1 − q 1 ) + ( λ w 0 − q 0 ) ， 一般地，对于 1 ≤ k ≤ m 0 ， Φ ( a 2 k + 1 ， λ ) = ( 1 1 r k − 1 0 1 r k − 1 λ w k − q k λ w k − q k r k − 1 ( λ w k − q k ) ) Φ ( a 2 k − 1 ， λ ) . (14) 2) Ψ i ( c i ， 1 ， λ ) = ( 1 c i ，1 − a 0 0 0 1 0 λ w i ，0 − q i ，0 ( λ w i ，0 − q i ，0 ) ( c i ，1 − a 0 ) 1 ) ， (15) Ψ i ( c i ， 3 ， λ ) = ( ψ i ，11 ( c i ，3 ， λ ) ψ i ，12 ( c i ，3 ， λ ) r i ，0 ( c i ，3 − c i ，1 ) r i ，0 ( λ w i ，0 − q i ，0 ) 1 + r i ，0 ( λ w i ，0 − q i ，0 ) ( c i ，1 − a 0 ) r i ，0 ψ i ，31 ( c i ，3 ， λ ) ψ i ，32 ( c i ，3 ， λ ) ( λ w i ，1 − q i ，1 ) [ r i ，0 ( c i ，3 − c i ，1 ) ] + 1 ) . (16) 其中 ψ i ，11 ( c i ，3 ， λ ) = ( c i ，3 − c i ，1 ) r i ，0 ( λ w i ，0 − q i ，0 ) + 1， ψ i ，31 ( c i ，3 ， λ ) = [ ( c i ，3 − c i ，1 ) r i ，0 ( λ w i ，0 − q i ，0 ) + 1 ] ( λ w i ，1 − q i ，1 ) + ( λ w i ，0 − q i ，0 ) ， ψ i ，32 ( c i ，3 ， λ ) = ( λ w i ，1 − q i ，1 ) ( c i ，3 − c i ，1 ) r i ，0 + 1. 更一般地，对于 1 ≤ κ ≤ m i ( κ = i ， j ， ⋯ ， z ) ， Ψ i ( c i ， 2 κ + 1 ， λ ) = ( 1 1 r i ， κ − 1 0 1 r i ， κ − 1 λ w i ， κ − q i ， κ λ w i ， κ − q i ， κ r i ， κ − 1 ( λ w i ， κ − 1 − q i ， κ − 1 ) ) Ψ i ( b i ，2 κ − 1 ， λ ) . (17) 证明：由(5)可知在r恒等于零的子区间v是常数，而在 q ， w 恒等于零的子区间上z是常数。通过反复应用(5)，即可得出结论。 □ 引理3：设(9)~(11)成立，对于每一个 λ ∈ ℂ ， Φ ( t ， λ ) = [ ϕ e f ( t ， λ ) ] ( t ∈ ( a ， c 1 ) ) 为系统(5)满足初始条件 Φ ( a ， λ ) = I 的基解矩阵； Ψ i ( t ， λ ) = [ ψ i ， e f ( t ， λ ) ] ( t ∈ ( c i ， c i + 1 ) ， c n + 1 = b = c n ， 2 m n + 1 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 为系统(5)满足初始条件 Ψ i ( c i + ， λ ) = I (此处 Ψ i ( c i + ， λ ) = Ψ i ( c i ， 0 ， λ ) = Φ ( c i + ， λ ) )的基解矩阵，则有 Φ ( b ， λ ) = Ψ n ( b ， λ ) G n Ψ n − 1 ( c n − ， λ ) G n − 1 Ψ n − 2 ( c n − 1 − ， λ ) ⋯ G 1 Φ ( c 1 − ， λ ) ， 其中 G i = [ g i ， e f ] 2 × 2 = − D i − 1 C i . 证明：证明方法与文献 [ 21 ] 中引理3.3类似，具体参见文献 [ 21 ] 和 [ 22 ]。□ 引理4：设(9)~(11)成立，对于每一个 λ ∈ ℂ ， Φ ( t ， λ ) = [ ϕ e f ( t ， λ ) ] ( t ∈ ( a ， c 1 ) ) 为系统(5)满足初始条件 Φ ( a ， λ ) = I 的基解矩阵； Ψ i ( t ， λ ) = [ ψ i ， e f ( t ， λ ) ] ( t ∈ ( c i ， c i + 1 ) ， c n + 1 = b = c n ， 2 m n + 1 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 为系统(5)满足初始条件 Ψ i ( c i + ， λ ) = I (此处 Ψ i ( c i + ， λ ) = Ψ i ( c i ， 0 ， λ ) = Φ ( c i + ， λ ) )的基解矩阵。对于 Φ ( b ， λ ) 则有如下结果 ϕ 11 ( b ， λ ) = R ∏ i = 1 n R i G * G * * ∏ k = 0 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) ∏ i = 1 m 1 − 1 ( λ w 1 ， i − q 1 ， i ) ∏ i = 2 n [ ∏ j = 1 m i − 1 ( λ w i ， j − q i ， j ) ] + ϕ ′ 11 ( b ， λ ) ， ϕ 12 ( b ， λ ) = R ∏ i = 1 n R i G * G * * ∏ k = 0 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) ∏ i = 1 m 1 − 1 ( λ w 1 ， i − q 1 ， i ) ∏ i = 2 n [ ∏ j = 1 m i − 1 ( λ w i ， j − q i ， j ) ] + ϕ ′ 12 ( b ， λ ) ， ϕ 13 ( b ， λ ) = R ∏ i = 1 n R i G * G * * ∏ k = 1 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) ∏ i = 1 m 1 − 1 ( λ w 1 ， i − q 1 ， i ) ∏ i = 2 n [ ∏ j = 1 m i − 1 ( λ w i ， j − q i ， j ) ] + ϕ ′ 13 ( b ， λ ) ， ϕ 21 ( b ， λ ) = R ∏ i = 1 n R i G * G * * ∏ k = 0 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) ∏ i = 1 m 1 − 1 ( λ w 1 ， i − q 1 ， i ) ∏ i = 2 n [ ∏ j = 1 m i ( λ w i ， j − q i ， j ) ] + ϕ ′ 21 ( b ， λ ) ， ϕ 22 ( b ， λ ) = R ∏ i = 1 n R i G * G * * ∏ k = 0 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) ∏ i = 1 m 1 − 1 ( λ w 1 ， i − q 1 ， i ) ∏ i = 2 n [ ∏ j = 1 m i ( λ w i ， j − q i ， j ) ] + ϕ ′ 22 ( b ， λ ) ， ϕ 23 ( b ， λ ) = R ∏ i = 1 n R i G * G * * ∏ k = 1 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) ∏ i = 1 m 1 − 1 ( λ w 1 ， i − q 1 ， i ) ∏ i = 2 n [ ∏ j = 1 m i ( λ w i ， j − q i ， j ) ] + ϕ ′ 23 ( b ， λ ) ， ϕ 31 ( b ， λ ) = R ∏ i = 1 n R i G * G * * ∏ k = 0 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) ∏ i = 1 m 1 − 1 ( λ w 1 ， i − q 1 ， i ) ∏ i = 2 n [ ∏ j = 1 m i ( λ w i ， j − q i ， j ) ] + ϕ ′ 31 ( b ， λ ) ， ϕ 32 ( b ， λ ) = R ∏ i = 1 n R i G * G * * ∏ k = 0 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) ∏ i = 1 m 1 − 1 ( λ w 1 ， i − q 1 ， i ) ∏ i = 2 n [ ∏ j = 1 m i ( λ w i ， j − q i ， j ) ] + ϕ ′ 32 ( b ， λ ) ， ϕ 33 ( b ， λ ) = R ∏ i = 1 n R i G * G * * ∏ k = 0 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) ∏ i = 1 m 1 − 1 ( λ w 1 ， i − q 1 ， i ) ∏ i = 2 n [ ∏ j = 1 m i ( λ w i ， j − q i ， j ) ] + ϕ ′ 33 ( b ， λ ) . 其中 G * = g 1 ， 11 ( λ w 1 ， 0 − q 1 ， 0 ) + g 1 ， 21 ( λ w 1 ， 0 − q 1 ， 0 ) + g 1 ， 31 + g 1 ， 12 ( λ w 1 ， 0 − q 1 ， 0 ) + g 1 ， 22 ( λ w 1 ， 0 − q 1 ， 0 )     + g 1 ， 32 + g 1 ， 13 ( λ w 1 ， 0 − q 1 ， 0 ) + g 1 ， 23 ( λ w 1 ， 0 − q 1 ， 0 ) + g 1 ， 33 ， G * * = ∏ i = 2 n [ g i ， 11 ( λ w i ， 0 − q i ， 0 ) + g i ， 21 ( λ w i − 1 ， m i − 1 − q i − 1 ， m i − 1 ) + g i ， 12 ( λ w i − 1 ， m i − 1 − q i − 1 ， m i − 1 )     + g i ， 31 + g i ， 32 + g i ， 13 ( λ w i − 1 ， m i − 1 − q i − 1 ， m i − 1 ) + g i ， 23 ( λ w i − 1 ， m i − 1 − q i − 1 ， m i − 1 ) + g 1 ， 33 ] ， R = ∏ k = 0 m 0 − 1   r k ，     R i = ∏ j = 0 m i − 1   r i ， j ，     ϕ ′ e f ( b ， λ ) = o ( R ∏ i = 1 n   R i ) . 证明：由引理2可知 Φ ( c 1 − ， λ ) = Φ ( a 2 m 0 + 1 ， λ ) = ( 1 0 r m 0 − 1 0 1 r m 0 − 1 λ w m 0 − q m 0 λ w m 0 − q m 0 ( λ w m 0 − q m 0 ) r m 0 − 1 ) Φ ( a 2 m 0 − 1 ， λ ) = ( 1 1 r m 0 − 1 0 1 r m 0 − 1 λ w m 0 − q m 0 λ w m 0 − q m 0 ( λ w m 0 − q m 0 ) r m 0 − 1 )     × ( 1 1 r m 0 − 2 0 1 r m 0 − 2 λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) r m 0 − 2 ) Φ ( a 2 m 0 − 3 ， λ ) = ( θ 11 θ 12 θ 13 θ 21 θ 22 θ 23 θ 31 θ 32 θ 33 ) Φ ( a 2 m 0 − 3 ， λ ) ， 其中 θ 11 = 1 + r m 0 − 1 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) = r m 0 − 1 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) + o ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ， θ 12 = 2 + r m 0 − 1 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) = r m 0 − 1 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) + o ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ， θ 13 = 2 r m 0 − 2 + r m 0 − 1 r m 0 − 2 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) = r m 0 − 1 r m 0 − 2 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) + o ( r m 0 − 1 r m 0 − 2 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ) ， θ 21 = r m 0 − 1 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) = r m 0 − 1 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) + o ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ， θ 22 = 1 + r m 0 − 1 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 )             = r m 0 − 1 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) + o ( r m 0 − 1 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ) ， θ 23 = r m 0 − 2 + r m 0 − 1 r m 0 − 2 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 )               = r m 0 − 1 r m 0 − 2 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) + o ( r m 0 − 1 r m 0 − 2 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ) ， θ 31 = λ w m 0 − q m 0 + r m 0 − 1 ( λ w m 0 − q m 0 ) ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) = r m 0 − 1 ( λ w m 0 − q m 0 ) ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) + o ( r m 0 − 1 ( λ w m 0 − q m 0 ) ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ) ， θ 32 = 2 ( λ w m 0 − q m 0 ) + r m 0 − 1 ( λ w m 0 − q m 0 ) ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) = r m 0 − 1 ( λ w m 0 − q m 0 ) ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) + o ( r m 0 − 1 ( λ w m 0 − q m 0 ) ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ) ， θ 33 = 2 r m 0 − 2 ( λ w m 0 − q m 0 ) + r m 0 − 1 r m 0 − 2 ( λ w m 0 − q m 0 ) ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) = r m 0 − 1 r m 0 − 2 ( λ w m 0 − q m 0 ) ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) + o ( r m 0 − 1 r m 0 − 2 ( λ w m 0 − q m 0 ) ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ) . 由于 Φ ( a 2 m 0 − 3 ， λ ) = ( 1 1 r m 0 − 3 0 1 r m 0 − 3 λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 ) r m 0 − 3 ) Φ ( a 2 m 0 − 5 ， λ ) ， 故 Φ ( c 1 − ， λ ) = ( θ 11 θ 12 θ 13 θ 21 θ 22 θ 23 θ 31 θ 32 θ 33 ) Φ ( a 2 m 0 − 3 ， λ ) = ( θ 11 θ 12 θ 13 θ 21 θ 22 θ 23 θ 31 θ 32 θ 33 ) ( 1 1 r m 0 − 3 0 1 r m 0 − 3 λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 ) r m 0 − 3 ) Φ ( a 2 m 0 − 5 ， λ ) = ( η 11 η 12 η 13 η 21 η 22 η 23 η 31 η 32 η 33 ) Φ ( a 2 m 0 − 5 ， λ ) ， 其中 η 11 = θ 11 + ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 ) θ 13 = r m 0 − 1 r m 0 − 2 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 ) + o ( r m 0 − 1 r m 0 − 2 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 ) ) ， η 12 = θ 11 + θ 12 + ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 ) θ 13 = r m 0 − 1 r m − 2 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 ) + o ( r m 0 − 1 r m 0 − 2 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 ) ) ， η 13 = r m 0 − 3 θ 11 + r m 0 − 3 θ 12 + r m 0 − 3 ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 ) θ 13 = r m 0 − 1 r m 0 − 2 r m 0 − 3 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 )     + o ( r m 0 − 1 r m 0 − 2 r m 0 − 3 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 ) ) ， η 21 = θ 21 + ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 ) θ 23 = r m 0 − 1 r m 0 − 2 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 )     + o ( r m 0 − 1 r m 0 − 2 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 ) ) ， η 22 = θ 21 + θ 22 + ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 ) θ 23 = r m 0 − 1 r m 0 − 2 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 )     + o ( r m 0 − 1 r m 0 − 2 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 ) ) ， η 23 = r m 0 − 3 θ 21 + r m 0 − 3 θ 22 + r m 0 − 3 ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 ) θ 23 = r m 0 − 1 r m 0 − 2 r m 0 − 3 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 )     + o ( r m 0 − 1 r m 0 − 2 r m 0 − 3 ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 ) ) ， η 31 = θ 31 + ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 ) θ 33 = r m 0 − 1 r m 0 − 2 ( λ w m 0 − q m 0 ) ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 )     + o ( r m 0 − 1 r m 0 − 2 ( λ w m 0 − q m 0 ) ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 ) ) ， η 32 = θ 31 + θ 32 + ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 ) θ 33 = r m 0 − 1 r m 0 − 2 ( λ w m 0 − q m 0 ) ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 )     + o ( r m 0 − 1 r m 0 − 2 ( λ w m 0 − q m 0 ) ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 ) ， η 33 = r m 0 − 3 θ 31 + r m 0 − 3 θ 32 + r m 0 − 3 ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 ) θ 33 = r m 0 − 1 r m 0 − 2 r m 0 − 3 ( λ w m 0 − q m 0 ) ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 )     + o ( r m 0 − 1 r m 0 − 2 r m 0 − 3 ( λ w m 0 − q m 0 ) ( λ w m 0 − 1 − q m 0 − 1 ) ( λ w m 0 − 2 − q m 0 − 2 ) ) ， ⋯ 重复上述方法，我们得到 Φ ( c 1 − ， λ ) = ( ξ 11 ξ 12 ξ 13 ξ 21 ξ 22 ξ 23 ξ 31 ξ 32 ξ 33 ) Φ ( a 1 ， λ ) ， 其中 ξ 11 = ∏ k = 1 m 0 − 1   r k ∏ k = 1 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) + o ( ∏ k = 1 m 0 − 1   r k ∏ k = 1 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) ) ， ξ 12 = ∏ k = 1 m 0 − 1   r k ∏ k = 1 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) + o ( ∏ k = 1 m 0 − 1   r k ∏ k = 1 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) ) ， ξ 13 = ∏ k = 0 m 0 − 1   r k ∏ k = 1 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) + o ( ∏ k = 0 m 0 − 1   r k ∏ k = 1 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) ) ， ξ 21 = ∏ k = 1 m 0 − 1   r k ∏ k = 1 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) + o ( ∏ k = 1 m 0 − 1   r k ∏ k = 1 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) ) ， ξ 22 = ∏ k = 1 m 0 − 1   r k ∏ k = 1 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) + o ( ∏ k = 1 m 0 − 1   r k ∏ k = 1 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) ) ， ξ 23 = ∏ k = 0 m 0 − 1   r k ∏ k = 1 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) + o ( ∏ k = 0 m 0 − 1   r k ∏ k = 1 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) ) ， ξ 31 = ∏ k = 1 m 0 − 1   r k ∏ k = 1 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) + o ( ∏ k = 1 m 0 − 1   r k ∏ k = 1 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) ) ， ξ 32 = ∏ k = 1 m 0 − 1   r k ∏ k = 1 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) + o ( ∏ k = 1 m 0 − 1   r k ∏ k = 1 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) ) ， ξ 33 = ∏ k = 0 m 0 − 1   r k ∏ k = 1 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) + o ( ∏ k = 0 m 0 − 1   r k ∏ k = 1 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) ) . 且 Φ ( a 1 ， λ ) = ( 1 a 1 − a 0 0 0 1 0 λ w 0 − q 0 ( λ w 0 − q 0 ) ( a 1 − a 0 ) 1 ) ， 故 Φ ( c 1 − ， λ ) = ( ξ 11 ξ 12 ξ 13 ξ 21 ξ 22 ξ 23 ξ 31 ξ 32 ξ 33 ) Φ ( a 1 ， λ ) = ( ξ 11 ξ 12 ξ 13 ξ 21 ξ 22 ξ 23 ξ 31 ξ 32 ξ 33 ) ( 1 a 1 − a 0 0 0 1 0 λ w 0 − q 0 ( λ w 0 − q 0 ) ( a 1 − a 0 ) 1 ) = ( ϕ 11 ( c 1 − ， λ ) ϕ 12 ( c 1 − ， λ ) ϕ 13 ( c 1 − ， λ ) ϕ 21 ( c 1 − ， λ ) ϕ 22 ( c 1 − ， λ ) ϕ 23 ( c 1 − ， λ ) ϕ 31 ( c 1 − ， λ ) ϕ 32 ( c 1 − ， λ ) ϕ 33 ( c 1 − ， λ ) ) . 因此 ϕ 11 ( c 1 − ， λ ) = ∏ k = 0 m 0 − 1   r k ∏ k = 0 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) + o ( ∏ k = 0 m 0 − 1   r k ∏ k = 0 m 0 − 1 ( q k − λ w k ) ) ， ϕ 12 ( c 1 − ， λ ) = ∏ k = 0 m 0 − 1   r k ∏ k = 0 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) + o ( ∏ k = 0 m 0 − 1   r k ∏ k = 0 m 0 − 1 ( q k − λ w k ) ) ， ϕ 13 ( c 1 − ， λ ) = ∏ k = 0 m 0 − 1   r k ∏ k = 1 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) + o ( ∏ k = 0 m 0 − 1   r k ∏ k = 1 m 0 ( q k − λ w k ) ) ， ϕ 21 ( c 1 − ， λ ) = ∏ k = 0 m 0 − 1   r k ∏ k = 0 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) + o ( ∏ k = 0 m 0 − 1   r k ∏ k = 0 m 0 − 1 ( q k − λ w k ) ) ， ϕ 22 ( c 1 − ， λ ) = ∏ k = 0 m 0 − 1   r k ∏ k = 0 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) + o ( ∏ k = 0 m 0 − 1   r k ∏ k = 0 m 0 − 1 ( q k − λ w k ) ) ， (18) ϕ 23 ( c 1 − ， λ ) = ∏ k = 0 m 0 − 1   r k ∏ k = 1 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) + o ( ∏ k = 0 m 0 − 1   r k ∏ k = 1 m 0 − 1 ( q k − λ w k ) ) ， ϕ 31 ( c 1 − ， λ ) = ∏ k = 0 m 0 − 1   r k ∏ k = 0 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) + o ( ∏ k = 0 m 0 − 1   r k ∏ k = 0 m 0 − 1 ( q k − λ w k ) ) ， ϕ 32 ( c 1 − ， λ ) = ∏ k = 0 m 0 − 1   r k ∏ k = 0 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) + o ( ∏ k = 0 m 0 − 1   r k ∏ k = 0 m 0 − 1 ( q k − λ w k ) ) ， ϕ 33 ( c 1 − ， λ ) = ∏ k = 0 m 0 − 1   r k ∏ k = 1 m 0 − 1 ( λ w k − q k ) + o ( ∏ k = 0 m 0 − 1   r k ∏ k = 1 m 0 − 1 ( q k − λ w k ) ) . 重复上述方法，可得 ψ i ， 11 ( c i + 1 − ， λ ) = ∏ i = 0 m i − 1   r i ， j ∏ j = 0 m i − 1 ( λ w i ， j − q i ， j ) + o ( ∏ i = 0 m i − 1   r i ， j ∏ j = 0 m i − 1 ( λ w i ， j − q i ， j ) ) ， ψ i ， 12 ( c i + 1 − ， λ ) = ∏ i = 0 m i − 1   r i ， j ∏ j = 0 m i − 1 ( λ w i ， j − q i ， j ) + o ( ∏ i = 0 m i − 1   r i ， j ∏ j = 0 m i − 1 ( λ w i ， j − q i ， j ) ) ， ψ i ， 13 ( c i + 1 − ， λ ) = ∏ i = 0 m i − 1   r i ， j ∏ j = 1 m i − 1 ( λ w i ， j − q i ， j ) + o ( ∏ i = 0 m i − 1   r i ， j ∏ j = 1 m i − 1 ( λ w i ， j − q i ， j ) ) ， ψ i ， 21 ( c i + 1 − ， λ ) = ∏ i = 0 m i − 1   r i ， j ∏ j = 0 m i − 1 ( λ w i ， j − q i ， j ) + o ( ∏ i = 0 m i − 1   r i ， j ∏ j = 0 m i − 1 ( λ w i ， j − q i ， j ) ) ， ψ i ， 22 ( c i + 1 − ， λ ) = ∏ i = 0 m i − 1   r i ， j ∏ j = 0 m i − 1 ( λ w i ， j − q i ， j ) + o ( ∏ i = 0 m i − 1   r i ， j ∏ j = 0 m i − 1 ( λ w i ， j − q i ， j ) ) ， (19) ψ i ， 23 ( c i + 1 − ， λ ) = ∏ i = 0 m i − 1   r i ， j ∏ j = 1 m i − 1 ( λ w i ， j − q i ， j ) + o ( ∏ i = 0 m i − 1   r i ， j ∏ j = 1 m i − 1 ( λ w i ， j − q i ， j ) ) ， ψ i ， 31 ( c i + 1 − ， λ ) = ∏ i = 0 m i − 1   r i ， j ∏ j = 0 m i − 1 ( λ w i ， j − q i ， j ) + o ( ∏ i = 0 m i − 1   r i ， j ∏ j = 0 m i − 1 ( λ w i ， j − q i ， j ) ) ， ψ i ， 32 ( c i + 1 − ， λ ) = ∏ i = 0 m i − 1   r i ， j ∏ j = 0 m i − 1 ( λ w i ， j − q i ， j ) + o ( ∏ i = 0 m i − 1   r i ， j ∏ j = 0 m i − 1 ( λ w i ， j − q i ， j ) ) ， ψ i ， 33 ( c i + 1 − ， λ ) = ∏ i = 0 m i − 1   r i ， j ∏ j = 1 m i − 1 ( λ w i ， j − q i ， j ) + o ( ∏ i = 0 m i − 1   r i ， j ∏ j = 1 m i − 1 ( λ w i ， j − q i ， j ) ) . 结合引理3可知 Φ ( b ， λ ) = Ψ n ( b ， λ ) G n Ψ n − 1 ( c n − ， λ ) G n − 1 Ψ n − 2 ( c n − 1 − ， λ ) ⋯ G 1 Φ ( c 1 − ， λ ) ， 综合(18)和(19)，结论得证。 □ 定理3：设 m ， n ∈ ℕ ， g 1，12 g i ，21 ≠ 0 ，且(9)~(11)成立，则问题(1)~(3)至多有 m 0 + m 1 + ⋯ + m n 个特征值。 证明：由引理1可知 Δ ( λ ) = det ( A ) + det ( B ) + ∑ i = 1 4 ∑ j = 1 4   c i j ϕ i j + ∑ 1 ≤ i ， j ， k ， l ≤ 4 d i j k l ϕ i j ϕ k l ， 再由引理4可知， ϕ 11 ( b ， λ ) ， ϕ 12 ( b ， λ ) ， ϕ 13 ( b ， λ ) 关于 λ 的次数都 m 0 + m 1 + ⋯ + m n ，而 ϕ 21 ( b ， λ ) ， ϕ 22 ( b ， λ ) ， ϕ 23 ( b ， λ ) ， ϕ 31 ( b ， λ ) ， ϕ 32 ( b ， λ ) ， ϕ 33 ( b ， λ ) 关于 λ 的次数都为 m 0 + m 1 + ⋯ + m n + n − 1 ，由代数学基本定理可知， Δ ( λ ) = 0 时，至多有 m 0 + m 1 + ⋯ + m n 个特征值。其它情况判断函数 Δ ( λ ) 关于 λ 的次数必定小于或等于 m 0 + m 1 + ⋯ + m n 。定理得证。 □