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user: 3. Weitzenböck公式 3.1. 向量丛E值p形式的Weitzenböck公式 命题3.1 [ 1 ] (Weitzenböck公式)对任意一个向量丛值p形式 ω 有 Δ ω = − ∇ 2 ω + S ， (3.1.1) 其中 ∇ 2 = T r g ∇ · ， · = ∇ · ∇ · − ∇ ∇ · · 表示Laplace算子的迹，即迹-Laplace算子，且对任意的 X 1 ， ⋯ ， X p ∈ Γ ( T M ) ， S ( X 1 ， ⋯ ， X p ) = ∑ i = 1 n ∑ k = 1 p ( − 1 ) k ( R ( e i ， X k ) ω ) ( e i ， X 1 ， ⋯ ， X ^ k ， ⋯ ， X p ) . (3.1.2) 证明：在M上的任何一点q附近取局部幺正标架场 { e i } ，并且 ∇ e i e j | q = 0 。那么，对 ∀ X 1 ， ⋯ ， X p ∈ Γ ( T M ) ， ∇ X k δ ω ( X 1 ， ⋯ ， X ^ k ， ⋯ ， X p ) = ( ∇ X k δ ω ) ( X 1 ， ⋯ ， X ^ k ， ⋯ ， X p ) + ∑ l δ ω ( X 1 ， ⋯ ， X l − 1 ， ∇ X k X l ， X l + 1 ， ⋯ ， X ^ k ， ⋯ ， X p ) (3.1.3) 因为 ∇ e i e j | q = 0 ，所以 ∑ l δ ω ( X 1 ， ⋯ ， X l − 1 ， ∇ X k X l ， X l + 1 ， ⋯ ， X ^ k ， ⋯ ， X p ) = 0. (3.1.4) 由余微分算子的定义得 ∇ X k δ ω ( X 1 ， ⋯ ， X ^ k ， ⋯ ， X p ) = − ∇ X k ∇ e i ω ( e i ， X 1 ， ⋯ ， X ^ k ， ⋯ ， X p ) . (3.1.5) 其中由 ∇ e i e j | q = 0 知， ∇ e i ω ( ∇ X k e i ， X 1 ， ⋯ ， X ^ k ， ⋯ ， X p ) = 0 ，   ∑ l ∇ e i ω ( e i ， X 1 ， ⋯ ， ∇ X k X l ， ⋯ ， X ^ k ， ⋯ ， X p ) = 0. (3.1.6) 由此 d δ ω ( X 1 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， X p ) = ( − 1 ) k − 1 ∇ X k δ ω ( X 1 ， ⋯ ， X ^ k ， ⋯ ， X p ) − ∑ l ( − 1 ) k − 1 δ ω ( X 1 ， ⋯ ， ∇ X k X l ， ⋯ ， X ^ k ， ⋯ ， X p ) = ( − 1 ) k ( ∇ X k ∇ e i ω ) ( e i ， X 1 ， ⋯ ， X ^ k ， ⋯ ， X p ) (3.1.7) 另一方面， δ d ω ( X 1 ， ⋯ ， X p ) = − ( ∇ e i ∇ e i ω ) ( X 1 ， ⋯ ， X p ) − ( − 1 ) k ( ∇ e i ∇ X k ω ) ( e i ， X 1 ， ⋯ ， X ^ k ， ⋯ ， X p )     + ( − 1 ) l ( ∇ ∇ e i X l ω ) ( e i ， X 1 ， ⋯ ， X ^ l ， ⋯ ， X p ) (3.1.8) 从而 Δ ω ( X 1 ， ⋯ ， X p ) = − ( ∇ 2 ω ) ( X 1 ， ⋯ ， X p ) + S ( X 1 ， ⋯ ， X p ) = ( − ∇ 2 ω + S ) ( X 1 ， ⋯ ， X p ) . (3.1.9) 即 Δ ω = − ∇ 2 ω + S . □ 3.2. 向量丛E值p形式的Weitzenböck公式的应用 由Weitzenböck公式可推导出调和映照的能量密度的Bochner公式 [ 1 ]。 对光滑映照 f : M → N ，取 ω = d f ∈ Γ ( T ∗ M ⊗ f − 1 T N ) ，对 ∀ X ∈ Γ ( T M ) ， S ( X ) = − R N ( f ∗ e i ， f ∗ X ) f ∗ e i + f ∗ R i c M X . (3.2.1) 命题3.2：设 f : M → N 是调和映照，那么证明下式成立， Δ e ( f ) = | B ( f ) | 2 − 〈 R N ( f ∗ e i ， f ∗ e j ) f ∗ e i ， f ∗ e j 〉 + 〈 f ∗ R i c M e i ， f ∗ e i 〉 . (3.2.2) 证明：取M上的任何一点q附近局部幺正标架场 { e i } ，并且 ∇ e i e j | q = 0 ，因为 e ( f ) = ( 1 / 2 ) | d f | 2 = ( 1 / 2 ) 〈 d f ， d f 〉 ，   | B ( f ) | 2 = 〈 ∇ d f ， ∇ d f 〉 . 因此 Δ e ( f ) = Δ ( 1 / 2 ) 〈 d f ， d f 〉 = 〈 ∇ 2 d f ， d f 〉 + 〈 ∇ d f ， ∇ d f 〉 = 〈 ∇ 2 d f ， d f 〉 + | B ( f ) | 2 . (3.2.3) 又由Weitzenböck公式可得， 〈 ∇ 2 d f ， d f 〉 = 〈 − Δ d f + S ， d f 〉 = 〈 − Δ d f ， d f 〉 − 〈 R N ( f ∗ e i ， f ∗ e j ) f ∗ e i ， f ∗ e j 〉 + 〈 f ∗ R i c M e i ， f ∗ e i 〉 . (3.2.4) 考虑到f是调和映照， Δ d f = 0 ，因此就可得到所证公式，即 Δ e ( f ) = | B ( f ) | 2 − 〈 R N ( f ∗ e i ， f ∗ e j ) f ∗ e i ， f ∗ e j 〉 + 〈 f ∗ R i c M e i ， f ∗ e i 〉 . □ 3.3. Weitzenböck恒等式 命题3.3：复流形M上 ∂ ¯ -Laplace算子 Δ ∂ ¯ = ∂ ¯ ∘ ∂ ¯ ∗ + ∂ ¯ ∗ ∘ ∂ ¯ 的Weitzenböck恒等式为： ( Δ ψ ) I ， J ¯ = ( − ∑ k = 1 n ∇ k ∇ k ¯ ψ I ， J ¯ ) + A 1 ( ψ ) ， (3.3.1) 其中 ψ ∈ A p ， q ( M ) ， ψ = ( 1 / p ! q ! ) ∑ # I = p # J = q ψ I ，   J ¯ φ I ∧ φ ¯ J   = ( 1 / p ! q ! ) ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i p ≤ n 1 ≤ j 1 < ⋯ < j q ≤ n ψ i 1 ， ⋯ ， i p   j ¯ 1 ， ⋯ ， j ¯ q φ i 1 ∧ ⋯ ∧ φ i p ∧ φ ¯ j 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ j q (3.3.2) 其中 ψ I ， J ¯ 对指标 i α 和 j ¯ β 是反对称的，对 φ 1 ， ⋯ ， φ n 是Hermite度量 d s 2 = ∑ i = 1 n φ i φ ¯ i 的局部幺正余标架。 精确的Weitzenböck公式与低阶项有关。对于一个一般的厄米特度量， A 1 ( ψ ) 是在它的第一阶项中包含挠率的麻烦的算子。然而，当度量是Kähler度量时，它们消失了，并且 A 1 ( ψ ) 是一个代数算子， A 1 ( ψ ) I J ¯ = ∑ k ， j α R j α k ¯ ψ I   j ¯ 1 ⋯ j ¯ α − 1 k ¯   j ¯ α + 1 ⋯ j ¯ q ， 其中 R j k ¯ = ∑ i R i j k ¯ i 是Ricci曲率。 证明：令 v 1 ， ⋯ ， v n 是 φ 1 ， ⋯ ， φ n 的对偶向量标架场，记 v i ¯ = v ¯ i 。对于函数f， ∂ ¯ f = ∑ i ( v i ⋅ f ) φ ¯ i ，对于张量 τ = { τ I } ，它的 z ¯ -协变微分 ∇ ¯ τ 的分量为 ( ∇ ¯ τ ) I = ∂ ¯ τ I + A 0 ( τ ) ，为方便，使用“ ≡ ”表示“模掉低价项”，则有 ( ∇ ¯ τ ) I ≡ ∂ ¯ τ I 。 设 Φ ′ = φ 1 ∧ φ 2 ∧ ⋯ ∧ φ n ，下面只需证 ψ = f φ I ∧ φ ¯ J (不求和)时，(3.3.1)式成立。 由于 d z 的作用尤如向量丛指标，我们将假定 p = 0 ，根据式(3.3.1)的对称性，取 J = ( 1 ， ⋯ ， q ) ，有 ψ = f φ ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ q ∈ A 0 ， q ( M ) . 则 ∂ ¯ ψ ≡ ∂ ¯ f ∧ φ ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ q = ∑ k = p + 1 n f k ¯ φ ¯ k ∧ φ ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ q = ∑ k = p + 1 n f k ¯ ( − 1 ) q φ ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ q ∧ φ ¯ k ∈ A 0 ， q + 1 ( M ) ， (3.3.3) ∗ ∂ ¯ ψ = ( − 1 ) q ⋅ 2 q + 1 − n ∑ k = p + 1 n ( − 1 ) ( k − ( q + 1 ) ) n ( − 1 ) n ( n − k ) f ¯ k ¯ ⋅ φ ¯ q + 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ k ^ ∧ ⋯ ∧ φ ¯ n ∧ Φ ′ ∈ A n ， n − q − 1 ( M ) ， (3.3.4) ∂ ¯ ∗ ∂ ¯ ψ = 2 q + 1 − n ( ∑ k = p + 1 n ( − 1 ) k − 1 ∑ l = 1 q f ¯ k ¯ ， l φ ¯ l ∧ φ ¯ q + 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ k ^ ⋯ ∧ φ ¯ n ∧ Φ ′                         + ∑ k = p + 1 n f ¯ k ¯ ， k φ ¯ q + 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ k ^ ⋯ ∧ φ ¯ n ∧ Φ ′ ) ∈ A n ， n − q ( M ) (3.3.5) ∗ ∂ ¯ ∗ ∂ ¯ ψ = 2 ∑ k = p + 1 n f k ¯ ， k φ ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ q + 2 ∑ k = q + 1 n ∑ l = 1 q ( − 1 ) l − 1 + q f k ¯ ， l φ ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ l ^ ∧ ⋯ ∧ φ ¯ q ∧ φ ¯ k ∈ A 0 ， q ( M ) ， (3.3.6) 对另一项 ∂ ¯ ∗ ∂ ¯ ∗ ψ ，同理得 ∗ ψ = 2 0 + q − n f ¯ φ ¯ q + 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ n ∧ Φ ′ ∈ A n ， n − q ( M ) ， (3.3.7) ∂ ¯ ∗ ψ = 2 q − n ∑ l = 1 q f ¯ l φ ¯ l ∧ φ ¯ q + 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ n ∧ Φ ′ ∈ A n ， n − q + 1 ( M ) ， (3.3.8) ∗ ∂ ¯ ∗ ψ = 2 ∑ l = 1 q ( − 1 ) l − 1 f l φ ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ l ^ ∧ ⋯ ∧ φ ¯ q ∈ A 0 ， q − 1 ( M ) ， (3.3.9) ∂ ¯ ∗ ∂ ¯ ∗ ψ = 2 ∑ l = 1 q f l ， l ¯ φ ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ q + 2 ∑ l = 1 q ∑ k = q + 1 n ( − 1 ) q + l f l ， k ¯ φ ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ l ∧ ⋯ ∧ φ ¯ q ∧ φ ¯ k ∈ A 0 ， q ( M ) ， (3.3.10) 注意到 v i ( v j ¯ f ) − v j ¯ ( v i f ) = 0 ， f j ¯ ， i − f i ， j ¯ ≡ A 1 ( f ) ，模掉 A 0 ， q ( M ) 中的一阶项，便得 Δ ∂ ¯ ψ = ( ∂ ¯   ∂ ¯ ∗ + ∂ ¯ ∗ ∂ ¯ ) ψ = − ∂ ¯ ∗ ∂ ¯ ∗ ψ − ∗ ∂ ¯ ∗ ∂ ¯ ψ = − 2 ∑ k = 1 n f k ¯ ， k φ ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ q 这就证明了Weitzenböck公式。 □ 3.4. Gårding不等式的证明 已证得的Weitzenböck公式形如： ( Δ ψ ) I ， J ¯ = ( − 2 ∑ k = 1 n ψ I ， J ¯ ， k ¯ ， k ) + A 1 ( ψ ) ，   ∀ ψ ∈ A p ， q ( M ) . (3.4.1) 记 Φ = C n Φ ′ ∧ Φ ¯ ′ 为体积形式，其中 C n = ( − 1 / 2 ) n ( − 1 ) C n 2 ， Φ ′ = φ 1 ∧ ⋯ ∧ φ n ，设 η = C n ( − ∑ I ， J ， k ( − 1 ) k − 1 ψ I J ¯ ， k ¯ ψ I J ¯ ¯ φ 1 ∧ ⋯ ∧ φ ^ k ∧ ⋯ ∧ φ n ) ∧ Φ ′ = C ′ n ( ∇ ¯ ψ ， ψ ) ∧ ω n − 1 ， (3.4.2) 这表明 η 是整体定义的，并且因为它有 ( n − 1 ， n ) 型， ∂ ¯ | A n − 1 ， n ( M ) = 0 ， η ∈ A n − 1 ， n ( M ) ，所以 d η = ( ∂ + ∂ ¯ ) η = ∂ η ，由Stokes定理有 ∫ M ∂ η = ∫ M d η = ∫ ∂ M η = 0                     ( ∂ M = ∅ ) ， 又 ∂ η = ( − 2 ∑ I ， J ， k ψ I J ¯ ， k ¯ ， k ψ ¯ I J ) Φ − ( 2 ∑ I ， J ， k ψ I J ¯ ， k ¯ ψ I J ¯ ， k ¯ ¯ ) Φ + ( A 1 ψ ， ψ ) Φ ， 所以，由Weitzenböck公式， ( Δ ψ ， ψ ) = ‖ ∇ ¯ ψ ‖ 2 + ( A 1 ψ ， ψ ) ， (3.4.3) 其中， ‖ ∇ ¯ ψ ‖ 2 = ∫ M ( ∇ ¯ ψ ， ∇ ¯ ψ ) Φ 是张量 ψ 的 z ¯ 协变微分的 L 2 -范数， A 1 ( ψ ) 是包括 ψ 的 z ¯ 微分的第一阶算子，利用不等式 2 α β ≤ ε α 2 + ( 1 / ε ) β 2 ，有 2 | ( A 1 ψ ， ψ ) | ≤ ε ‖ ∇ ¯ ψ ‖ 2 + ( 1 / ε ) ‖ ψ ‖ 2 ， (3.4.4) 即 ‖ ∇ ¯ ψ ‖ 2 ≤ C ′ { ( Δ ψ ， ψ ) + ‖ ψ ‖ 2 } ， C ′ > 0. (3.4.5) 将上面的讨论重复到 γ = C n ( − ∑ I ， J ， k ( − 1 ) k − 1 ψ I J ¯ ， k ψ I J ¯ ¯ φ ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ φ ¯ k ^ ∧ ⋯ ∧ φ ¯ n ) ∧ Φ ′ ， 通过Dirichlet范数，由 f k ， k ¯ = f k ¯ ， k + A 1 ( f ) 去估计z微分的 L 2 -范数 ‖ ∇ ψ ‖ 2 。那么， ‖ ∇ ψ ‖ 2 + ‖ ∇ ¯ ψ ‖ 2 + ‖ ψ ‖ 2 ≥ C ″ ( ( Δ ψ ， ψ ) + ‖ ψ ‖ 2 ) = C ″ D ( ψ ) . (3.4.6) 这就是Gårding不等式。 注：在Kähler情形，可以利用精确的Weitzenböck公式和分部积分运算来证明Kodaira恒等式 ( Δ ψ ， ψ ) = ‖ ∇ ¯ ψ ‖ 2 + ( R ψ ， ψ ) ， (3.4.7) 其中，对 ψ ∈ A 0 ， q ( M ) 和重复指标求和，得 ( R ψ ， ψ ) = q ∫ M ( R i j ψ i ¯ 1 ⋯ i ¯ q − 1 i ¯ ψ ¯ i ¯ 1 ⋯ i ¯ q − 1 j ¯ ) Φ ， 如果 ψ 是调和的，并且Hermite形式 R i   j ¯ ξ i ξ ¯ j 是正定的，那么我们推到出 ψ = 0 。由Hodge定理， 0 = H 0 ， q ( M ) ≅ H ∂ ¯ 0 ， q ( M ) ，   q > 0. (3.4.8) 这是著名的Kodaira消没定理的特殊情形。