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user: 3. 实例分析 3.1. 预测模型的建立 笔者收集了2011~2016年成都市老年人口的统计资料(见表1)，对2017~2022年成都市老年人口做出预测。 由表1可得成都市老年人口的原始时间序列为 x ( 0 ) ( t ) = [ 1972 0 321422323624926 0 3 00 ] ，由一次累加数据序列 x ( 1 ) ( t ) = [ 1974 00 6148371 0 73132215821882 ] ，由(1)式可得 B T = [ − 256.6 − 499.4 − 719.8 − 950.1 − 1193.2 − 1448.1 − 1727.7 1 1 1 1 1 1 1 ] Y n = [ 400 ， 614 ， 837 ， 1073 ， 1322 ， 1582 ， 1882 ] 由此可得 [ α μ ] = [ − 0.0616 180.6150 ] ，代入(2)，(3)可得预测模型 { x ^ ( 1 ) ( t + 1 ) = 3129.1 e 0.0616 t − 2932.1 x ^ 0 ( t + 1 ) = x ^ ( 1 ) ( t + 1 ) − x ^ ( 1 ) ( t ) 3.2. 模型检验 为了最大限度的减小误差取得更好的预测效果，建立数据处理模型后需通过相关项的精度检验，否则不能进行预测，检验方法包括以下三种： 1) 残差检验。 逐点检验模型预测还原值与实际值的残差 [ 6 ] [ 7 ] 。绝对残差序列： Δ ( 0 ) ( k ) = | x ( 0 ) ( k ) − x ^ ( 0 ) ( k ) | ，平均 相对残差： Φ ¯ = 1 k ∑ i = 1 k φ i ，其中 φ i = Δ ( 0 ) ( k ) x ( 0 ) ( k ) ， ( i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n ) 。 在实际检验中，我们给定一个 α 值，当 Φ ¯ < α 且 φ i < α 成立时，称模型为残差合格模型。此篇文章中我们定义 α 的值如下：当 α 取0.02时，模型精度等级为优，当 α 取0.05时，模型精度为合格，当 α 取0.1时，模型精度为勉强合格。 2) 关联度检验。 检验模型序列曲线与原始序列曲线的相似程度 [ 6 ] [ 7 ] 。 令关联度 R = l n ∑ i = 1 n ξ i ( t ) ，令关联系数 ξ i = Δ min + k Δ max Δ i + k Δ max ，其中 Δ min = min Δ i ， Δ max = max Δ i ， Δ i = [ x i ( l ) ( t ) − x i ( 0 ) ( t ) ] ，通过关联度检验的标准就是关联系数大于0.6，当关联度检验通过时，我们给出的预测模型便是满意。 3) 后验差检验。检验残差分布的统计特性 [ 6 ] [ 7 ] 。 由原始数据序列和绝对误差序列计算得原始数据序列和绝对误差序列得标准差分别为： Table 1 The number of population aging in Chengdu (unit: ten thousand people 年份 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 人口 197 203 214 223 236 249 260 300 表1. 成都市老年人口数量(单位：万人) S 1 = ∑ ( x ( 0 ) ( t ) − x ^ ( 0 ) ( t ) ) 2 n − 1 S 2 = ∑ ( Δ ( 0 ) ( t ) − Δ ^ ( 0 ) ( t ) ) 2 n − 1 由此计算得方差比 C = S 2 S 1 ，小误差概率 P = { | Δ 0 ( t ) − Δ 0 ¯ | } < 0.6745 S 1 ，一般情况下，模型预测精度检 验等级标准见表2，模型精度等级为较好时，则 p > 0.95 ， C < 0.35 ；模型精度等级为合格时，则 p > 0.8 ， C < 0.5 ；模型精度等级为勉强合格时，则 p > 0.7 ， C < 0.65 ；模型精度等级为不合格时，则 p ≤ 0.7 ， C ≥ 0.65 时，这种情况下预测模型需要修正，直到预测精度等级为合格后再预测。 3.3. 成都市老年人口预测 我们利用Matlab (2014a)编程软件进行预测结果和精度检验，实际值与普通GM(1，1)模型、优化GM(1，1)模型对比如下表3，具体预测值和精度检验如下表4和表5。 由表3我们可知，优化的GM(1，1)模型比普通GM(1，1)模型在对实际值进行拟合的时候，很明显优化的模型拟合结果要好，说明优化是有提高精度的作用。 由表4我们可知，成都市的老年人口是呈持续增长状态的，由预测结果可知，2022年的老年人口达到了434万人，而2016年才300万人，6年时间增长了近130万人，增长速度之快，规模之大，值得我们关注老年人口，可知这预测结果是具有重要研究意义的。 表5是优化的GM(1，1)模型预测的精度检验，包括普通GM(1，1)模型和五次新陈代谢模型的检验。根据模型精度检验标准，结合精度检验结果可知，普通GM(1，1)模型平均相对残差值为0.0197，五次优化新陈代谢模型的平均相对残差最大值为0.0167，当 α = 0.02 时，普通GM(1，1)模型和优化GM(1，1)新陈代 Table 2 The grade standard of model predictive accuracy tes 检验指标 较好 合格 勉强合格 不合格 P >0.95 >0.8 >0.7 ≤0.7 C <0.35 <0.5 <0.65 ≥0.65 表2. 模型预测精度检验等级标准 Table 3 The actual value of the population aging in Chengdu in 2011~2016: Comparison of general model and optimization mode 年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 实际值 214 223 236 249 260 300 GM(1，1)模型 211 225 239 254 271 287 优化模型 212 222 235 250 269 292 表3. 2011~2016年成都市老年人口实际值：普通模型和优化模型对比表(单位：万人) Table 4 The prediction value of population aging in Chengdu in 2017-2022 (unit: ten thousand people 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 优化模型 307 329 353 379 405 434 表4. 2017~2022年成都市老年人口预测值(单位：万人) Table 5 Accuracy tes 模型精度 平均相对残差 关联度R 小误差概率P 后验方差比C 普通GM(1，1)模型 0.0197 61.8106% 1 0.201136 一次优化新陈代谢 0.0167 66.2660% 1 0.170145 二次优化新陈代谢 0.0140 69.6947% 1 0.143002 三次优化新陈代谢 0.0131 70.6008% 1 0.126634 四次优化新陈代谢 0.0125 71.8244% 1 0.115242 五次优化新陈代谢 0.0120 72.7630% 1 0.106322 表5. 精度检验表 谢模型的平均相对残差均小于0.02，由此我们可得无论是普通GM(1，1)模型还是优化GM(1，1)新陈代谢模型均为残差优秀模型；在分辨率 λ = 0.5 时，关联度R均大于0.6，说明普通GM(1，1)模型和优化GM(1，1)新陈代谢模型对原始数列的模拟度均为满意，都通过了关联度检验；小误差概率P均为1，且后验方差比C均小于0.35，表明普通GM(1，1)模型和优化GM(1，1)新陈代谢模型预测精度为较好，模型对成都市老年人口进行了较高精度的预测，预测结果适宜用于养老产业相关方面的分析。