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user: 2. 预备知识 在这一节，我们介绍Finsler几何的一些基础知识和Finsler流形到Riemann流形的调和映射。另外，我们还将推导最大值原理和Bochner公式。 设M是m维光滑流形， ( x i ， y i ) 是切丛TM上的局部坐标，若函数 F : T M → [ 0 ， + ∞ ) 满足： i) 正齐性： F ( x ， λ y ) = λ F ( x ， y ) ， ∀ λ > 0 ； ii) 光滑性： F | T M \ { 0 } 是 C ∞ 的； iii) 正定性：对于任意向量 y ∈ T M \ { 0 } ， g i j ( x ， y ) = 1 2 ∂ 2 F 2 ∂ y i ∂ y j ( x ， y ) = 1 2 ( F 2 ) y i y j . 是正定矩阵，则称F为流形M上的Finsler度量。具备Finsler度量的光滑流形M称为Finsler流形，记为 ( M ， F ) 。记M的射影球丛为SM，切丛TM的自然投影确定了射影球丛SM上的一个投影 π : S M → M 。 我们仍用 ( x i ， y i ) 表示球丛上的局部坐标，其中 ( y i ) 是齐次坐标。记 π * T M 是切丛TM的拉回，其局部自然标架为 { ∂ ∂ x i } 。我们用 { d x i } 表示自然标架 { ∂ ∂ x i } 的对偶。基本张量g定义为 g = ∑ i ， j = 1 m g i j ( x ， y ) d x i ⊗ d x j ， 其中 g i j = [ 1 2 F 2 ] y i y j 。如果 g i j ( x ， y ) 不依赖于向量y的选取，那么F是Riemann度量。令 ω = ∑ i = 1 m ∂ F ∂ y i d x i ∈ Γ ( π * T * M ) ， 称为Hilbert形式。其对偶向量场记为 l = ∑ i = 1 m y i F ∂ ∂ x i ∈ Γ ( π * T M ) . Cartan张量C是定义在 π * T M 上的三阶对称张量： C = ∑ i ， j ， k = 1 m C i j k ( x ， y ) d x i ⊗ d x j ⊗ d x k ， 其中 C i j k = 1 4 [ F 2 ] y i y j y k = 1 2 ∂ g i j ∂ y k 。它的平均值 η 称为Cartan形式： η = ∑ i ， j ， k = 1 m C i j k g j k d x i ， 其中 g j k = ( g j k ) − 1 。Deicke定理 [ 9 ] 表明，正定的Finsler度量是Riemann度量的充要条件为Cartan形式消失。 设 ( M ， F ) 是m维Finsler流形，由于l是单位长的向量场，因此总存在 π * T M 上的局部正交标架场 { e i } 使得 e n = l ，它的对偶标架场记为 { ω i } 且 。在此标架下陈联络 ∇ 的结构方程可表为： d ω i = ∑ j = 1 m ω j ∧ ω j i ，     ω j i + ω i j = − 2 ∑ λ = 1 m − 1 H i j λ ω n λ (4) 其中 ω i j ’s是陈联络1形式， H i j k ’s是Cartan张量在 { e i } 下的分量。曲率形式 Ω j i 可表示为： Ω j i = ∑ k ， s = 1 m 1 2 R j k s i ω k ∧ ω s + ∑ k = 1 m ∑ λ = 1 m − 1 P j k λ i ω k ∧ ω n λ . 其中 R j k s i 和 分别称为Finsler流形M的Riemann曲率和Minkowski曲率。记Riemann曲率张量 R = R j k s i ω j ⊗ ω k ⊗ ω s ⊗ e i ， (5) 由于 t r 〈 R ( X ， ⋅ ) ⋅ ， Y 〉 一般不具有对称性 [ 9 ]，因此我们定义对称张量 R ˜ 如下： R ˜ ( X ， Y ) = 1 2 t r [ 〈 R ( X ， ⋅ ) ⋅ ， Y 〉 + 〈 R ( Y ， ⋅ ) ⋅ ， X 〉 ] . (6) Landsberg曲率L和平均Landsberg曲率J分别定义为： L = − ∇ l C ，     J = − ∇ l η . 若(平均)Landsberg曲率恒为零，则称Finsler流形 ( M ， F ) 是(弱) Landsberg流形。众所周知， { ω i ， ω n λ } 是 T * S M 上的局部标架场 [ 7 ]，它的对偶标架场记为 { ε i ， η λ } 。球丛 SM上的Sasaki型Riemann度量定义为： G = ∑ i = 1 m ω i ⊗ ω i + ∑ α = 1 m − 1 ω n α ⊗ ω n α . 它与局部坐标系的选取无关。为简便起见，我们规定指标 1 ≤ i ， j ， k ， ⋯ ≤ m ， 1 ≤ α ， β ， λ ， ⋯ ≤ m − 1 遵循Einstein 求和约定。记垂直子丛 V S M = K e r ( d π ) ，其中 d π : T S M → T M 是自然投影 π 的切映射。在Sasaki 型Riemann度量G之下，切丛TSM可以分解为 T S M = H S M ⊕ V S M ， 其中HSM称为水平子丛。局部上， { η λ } 是垂直子丛VSM的一组基， { ε i } 是水平子丛HSM的一组基。 设 ( N ， h ) 是Riemann流形， { θ a } 是 T * N 上的局部正交标架场，它的对偶向量场记为 { v a } 。Levi-Civita 联络的结构方程可表示为： d θ a = θ b ∧ θ b a ，     θ b a + θ a b = 0 ，     d θ b a = θ b c ∧ θ c a + 1 2 R ^ b c d a θ c ∧ θ d (7) 其中 R ^ b c d a 是Riemann流形N的Riemann曲率张量。 设 φ : M → N 是光滑映射。它在SM上的提升仍然记为 φ ，能量定义为： E ( φ ) = 1 c ∫ S M 1 2 | d φ | 2 Π ， 这里c是 ( m − 1 ) 维标准球面的体积， Π 是G下的标准体积形式。值得注意的是， φ 是水平的，i.e. d φ ( V ) = 0 对任意 V ∈ Γ ( V S M ) 都成立。由引言可知能量泛函的极值点是调和映射，它具有如下重要性质： 定理5 [ 7 ] 设 φ 是从Finsler流形M到Riemann流形N的光滑映射。则 φ 是调和映射当且仅当 φ 具有消失的张力场。 设 f : S M → R 是光滑函数。水平Laplace算子定义为 Δ H f = d i v G ( d H f ) = g i j ( δ 2 f δ x i δ x j − δ f δ x k Γ i j k + δ f δ x k L i j k ) . (8) 其中 δ δ x i = ∂ ∂ x i − N i j ∂ ∂ y j ，     N i k = γ i j k y j − C i j k γ r s j y r y s ，     γ i j k = 1 2 g k l ( ∂ g l j ∂ x i + ∂ g l i ∂ x j − ∂ g i j ∂ x l ) . 这里 是HSM的局部标架场。若f是流形M上的函数的提升 [ 10 ] [ 11 ]，则 Δ H f = τ ( f ) 。水平 Laplace算子同样满足最大值原理。 引理1 设 A n × n 是半正定矩阵， B n × n 是半负定矩阵，那么 t r ( A B ) ≤ 0 。 证明 因为A是一个半正定矩阵，所以存在一个 n × n 矩阵C使得 A = C C T ，又因为B是一个半负定矩阵，我们有， t r ( A B ) = t r ( C C T B ) = t r ( C T B C ) ≤ 0. 引理2 (最大值原理)设 f : S M → R 是光滑函数。若 x 0 ∈ M 是函数f的最大值点，则 Δ H f ≤ 0 。 证明 在最大值点 x 0 处， ∂ f ∂ x i 和 ∂ f ∂ y i 恒为零。因此，利用(8)，我们有在 x 0 处 Δ H f = g i j δ 2 f δ x i δ x j = g i j ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j − g k j N k i ∂ 2 f ∂ x j ∂ y i − g i k N k j ∂ 2 f ∂ x i ∂ y j + N k i g k l N l j ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j 它的系数矩阵： ( A − A N T − N A N A N T ) 是半正定的，这里 A = ( g i j ) ， N = ( N k i ) 。根据引理1，得证。 现在，我们将推导Bochner公式。光滑映射的提升 φ : S M → N 的协变导数可表示为： d φ = φ i a ω i ⊗ v a (9) ∇ d φ = φ i | j a ω i ⊗ ω j ⊗ v a + φ i ; λ a ω i ⊗ ω n λ ⊗ v a (10) ∇ 2 d φ = φ i | j | k a ω i ⊗ ω j ⊗ ω k ⊗ v a + φ i | j ; λ a ω i ⊗ ω j ⊗ ω n λ ⊗ v a . (11) 引理3 设 φ : M → N 是光滑映射，我们有如下交换关系： φ i | j a = φ j | i a ，     φ i ; λ a = 0 ， (12) φ i | j | k a = φ i | k | j a + φ s a R i j k s − φ i b φ j c φ k d R ^ b c d a ， (13) φ j | k ; λ a = φ i a P j k λ i . (14) 证明 利用(9)，可得 φ * θ a = φ i a ω i . (15) 对(15)两边外微分得到， ( d φ i a − φ j a ω i j + φ i b φ * θ b a ) ∧ ω i = 0 ， 因为 d φ i a − φ j a ω i j + φ i b φ * θ b a = φ i | j a ω j + φ i ; λ a ω n λ ， (16) 所以， φ i | j a ω j ∧ ω i + φ i ; λ a ω n λ ∧ ω i = 0. 于是(12)成立。 再对(16)两边外微分得到， − 1 2 φ i a R j k s i ω k ∧ ω s − φ i a P j k λ i ω k ∧ ω n λ + 1 2 φ i b φ j c φ k d R ^ b c d a ω j ∧ ω k = ( d φ i | j a − φ i | k a ω j k − φ k | j a ω i k + φ i | j b φ * θ b a ) ∧ ω j ， (17) 因为 d φ i | j a − φ i | k a ω j k − φ k | j a ω i k + φ i | j b φ * θ b a = φ i j | k a ω k + φ i j ; λ a ω n λ ， (18) 所以 − 1 2 φ i a R j k s i ω k ∧ ω s + 1 2 φ i b φ j c φ k d R ^ b c d a ω j ∧ ω k = φ i j | k a ω k ∧ ω j ， φ j | k ; λ a ω k ∧ ω n λ = φ i a P j k λ i ω k ∧ ω n λ . 即(13)和(14)得证。 为了证明Bochner公式，我们先介绍如下结论： 引理4 [ 7 ] 对 S = S i ω i ∈ Γ ( π * T * M ) ，我们有 d i v S = ∑ i S i | i + ∑ λ ， μ S μ L λ λ μ ， 其中 d i v S 表示S关于度量G的散度。 引理5 设 φ : M → N 是光滑映射，那么 1 2 Δ H | d φ | 2 = | ∇ H d φ | 2 + 〈 ∇ H τ ( φ ) ， d φ 〉 + 〈 d φ ( R ˜ ) ， d φ 〉     − ∑ i ， j = 1 m R ^ ( d φ ( e i ) ， d φ ( e j ) ， d φ ( e i ) ， d φ ( e j ) ) − 〈 d φ ， ∇ J ⊗ d φ 〉 . (19) 证明根据定义 1 2 Δ H | d φ | 2 = 1 2 d i v ( d H | d φ | 2 ) ， 因为 d H | d φ | 2 = e j ( | φ i a | 2 ) ω j = 2 φ i | j a φ i a ω j ， 所以，利用引理3和引理4，可得 1 2 Δ H | d φ | 2 = φ i | j a φ i | j a + φ i a φ j | j | i a + φ i a φ k a R j i j k − φ i a φ j b φ i c φ j d R ^ b c d a + L λ λ μ φ i | μ a φ i a . (20) 由于 φ i a φ k a R j i j k = 1 2 ( φ i a φ k a R j i j k + φ i a φ k a R j k j i ) = 1 2 φ i a φ k a ( R j i j k + R j k j i ) = φ i a φ k a R ˜ i k 根据(1)，证毕。 引理6 设M是非紧弱Landsberg流形满足 R ˜ ≥ − k 1 ，其中 k 1 ≥ 0 ，N是Riemann流形且截曲率有上界 k 2 。 若 φ : M → N 是调和映射，则 Δ H | d φ | 2 ≥ 2 | ∇ H d φ | 2 − 2 k 1 | d φ | 2 − 2 k 2 | d φ | 4 . (21) 证明 由于M是弱Landsberg流形，则 J = 0 。又因为 φ 是调和映射，所以 τ ( φ ) = 0 。从而结合引理5，我们有 1 2 Δ H | d φ | 2 = | ∇ H d φ | 2 + 〈 d φ ( R ˜ ) ， d φ 〉 − ∑ i ， j = 1 m R ^ ( d φ ( e i ) ， d φ ( e j ) ， d φ ( e i ) ， d φ ( e j ) )     . 再利用M与N的曲率条件，我们可得 Δ H | d φ | 2 ≥ 2 | ∇ H d φ | 2 − 2 k 1 | d φ | 2 − 2 k 2 | d φ | 4 . 在Riemann几何中，距离函数对于梯度估计具有重要作用。为了解决Finsler流形的梯度估计问题，我们需要一些类似的辅助函数。 定义1 我们称 C 2 函数 r : S M → R + ∪ { 0 } 满足比较定理性质，如果 i) 对于任意 R ≥ 0 ， r − 1 ( [ 0 ， R ] ) 都是SM上的紧集； ii) 存在常数 C 3 ，使得 | d H r | ≤ C 3 ，且 Δ H r ≤ C 3 ( 1 + 1 r ) 。 例1 设 ( M ， g ) 是完备非紧Riemann流形， γ 是定义在 x 0 ∈ M 处的距离函数。设SM是流形M的射影球丛，自然地，Riemann度量可以诱导一个Finsler度量 F ( x ， y ) 。由于M是一个Riemann流形，则陈联络正是Levi-Civita联络。故而 γ 在自然投影 π : S M → M 的提升 的梯度和Laplace算子满足 d H ( γ ∘ π ) = π * d γ ，     Δ H ( γ ∘ π ) = ( Δ γ ) ∘ π . 其中 Δ H 是水平Laplace算子。若流形M的Ricci曲率有下界，则根据Laplace比较定理，有 Δ H ( π * γ ) ≤ C ( 1 + 1 R ) ，因此， π * γ 满足比较定理性质。