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user: 3. 六阶分圆类构造差族或几乎差族 3.1. 六阶分圆数 对于每一个素数 p = 6 f + 1 ，p可以被分解为 p = a 2 + 3 b 2 。设 θ 是 GF ( p ) 的一个本原元，且 θ m = 2 。36个分圆数有10个不同的值，这10个值由 a ， b 的取值，本原元 θ 的选取及m的值唯一决定 [ 9 ]。以下 ( i ， j ) 6 简写为 ( i ， j ) ， C j ( 6 ， p ) 简写为 C j 。下面的表1给出了f为奇数时6阶分圆数之间的关系，表2给出了基本的6阶分圆数 [ 9 ]。 Table 1 The relations of the cyclotomic numbers of order 6 when f is odd [9 ( i ， j ) 0 1 2 3 4 5 0 (0，0) (0，1) (0，2) (0，3) (0，4) (0，5) 1 (1，0) (1，1) (1，2) (0，4) (0，2) (1，2) 2 (1，1) (2，1) (1，0) (0，5) (1，2) (0，1) 3 (0，0) (1，0) (1，1) (0，0) (1，0) (1，1) 4 (1，0) (0，5) (1，2) (0，1) (1，1) (2，1) 5 (1，1) (1，2) (0，4) (0，2) (1，2) (1，0) 表1. f为奇数时6阶分圆数之间的关系 Table 2 The ten basic cyclotomic numbers of order 6 when f is odd [9 36倍分圆数 m ≡ 0 ( mod 3 ) m ≡ 1 ( mod 3 ) m ≡ 2 ( mod 3 ) 36(0，0) p − 11 − 8 a p − 11 − 2 a p − 11 − 2 a 36(0，1) p + 1 − 2 a + 12 b p + 1 + 4 a p + 1 − 2 a − 12 b 36(0，2) p + 1 − 2 a + 12 b p + 1 − 2 a + 12 b p + 1 − 8 a + 12 b 36(0，3) p + 1 + 16 a p + 1 + 10 a − 12 b p + 1 + 10 a + 12 b 36(0，4) p + 1 − 2 a − 12 b p + 1 − 8 a − 12 b p + 1 − 2 a − 12 b 36(0，5) p + 1 − 2 a − 12 b p + 1 − 2 a + 12 b p + 1 + 4 a 36(1，0) p − 5 + 4 a + 6 b p − 5 − 2 a + 6 b p − 5 + 4 a + 6 b 36(1，1) p − 5 + 4 a − 6 b p − 5 + 4 a − 6 b p − 5 − 2 a − 6 b 36(1，2) p + 1 − 2 a p + 1 + 4 a p + 1 + 4 a 36(2，1) p + 1 − 2 a p + 1 − 8 a − 12 b p + 1 − 8 a + 12 b 表2. f为奇数时10个基本6阶分圆数 3.2. 新的差族和几乎差族 下面我们给出利用6阶分圆类构造得到的差族和几乎差族的结论。 定理1：设奇素数 p = 6 f + 1 = a 2 + 3 b 2 ， a ≡ 1 ( mod 3 ) ， θ 是 GF ( p ) 的一个本原元，且 θ m = 2 ，则 ①当f为奇数， m ≡ 0 ( mod 3 ) ，且 a − 6 b = − 2 时， ( C 0 ∪ C 1 ， C 3 ∪ C 5 ) 是一个 ( p ， { p − 1 3 ， p − 1 3 } ， 2 p − 8 9 ) -DF; ( C 0 ∪ C 2 ， C 0 ∪ C 1 ∪ C 5 ) 是一个 ( p ， { p − 1 3 ， p − 1 2 } ， 13 p − 43 36 ) -DF. ②当f为奇数， m ≡ 1 ( mod 3 ) ，且 a + 3 b = 7 时， ( C 0 ∪ { 0 } ， C 1 ∪ C 2 ) 是一个 ( p ， { p + 5 6 ， p − 1 3 } ， 5 p − 11 36 ) -DF. ③当f为奇数， m ≡ 1 ( mod 3 ) ，且 a + 3 b = 1 时， ( C 0 ∪ { 0 } ， C 1 ∪ C 2 ∪ { 0 } ) 是一个 ( p ， { p + 5 6 ， p + 2 3 } ， 5 p + 13 36 ) -DF. 证明：只证①，②和③类似可证。 设 x ∈ C i ( 0 ≤ i ≤ 5 ) ，则 | ( ( C 0 ∪ C 1 ) + x ) ∩ ( C 0 ∪ C 1 ) | = | ( C 0 + x ) ∩ C 0 | + | ( C 0 + x ) ∩ C 1 | + | ( C 1 + x ) ∩ C 0 | + | ( C 1 + x ) ∩ C 1 | = ( − i ， − i ) + ( − i ， 1 − i ) + ( 1 − i ， − i ) + ( 1 − i ， 1 − i ) = ( i ， 0 ) + ( i ， 1 ) + ( i − 1 ， − 1 ) + ( i − 1 ， 0 ) . | ( ( C 3 ∪ C 5 ) + x ) ∩ ( C 3 ∪ C 5 ) | = | ( C 3 + x ) ∩ C 3 | + | ( C 3 + x ) ∩ C 5 | + | ( C 5 + x ) ∩ C 3 | + | ( C 5 + x ) ∩ C 5 | = ( 3 − i ， 3 − i ) + ( 3 − i ， 5 − i ) + ( 5 − i ， 3 − i ) + ( 5 − i ， 5 − i ) = ( i − 3 ， 0 ) + ( i − 3 ， 2 ) + ( i − 5 ， − 2 ) + ( i − 5 ， 0 ) . 令 Δ i = ( i ， 0 ) + ( i ， 1 ) + ( i − 1 ， − 1 ) + ( i − 1 ， 0 ) + ( i − 3 ， 0 ) + ( i − 3 ， 2 ) + ( i − 5 ， − 2 ) + ( i − 5 ， 0 ) ， 则 Δ ( C 0 ∪ C 1 ， C 3 ∪ C 5 ) = ∪ i = 0 5 Δ i C i . 当f为奇数， m ≡ 0 ( mod 3 ) 时，由表1和表2的数据可得 Δ 0 = Δ 3 = − 10 9 − a 9 + 2 b 3 + 2 p 9 ， Δ 1 = Δ 2 = Δ 4 = Δ 5 = − 7 9 + a 18 − b 3 + 2 p 9 . ( C 0 ∪ C 1 ， C 3 ∪ C 5 ) 为差族，当且仅当 Δ 0 = Δ 1 ，即 − 10 9 − a 9 + 2 b 3 + 2 p 9 = − 7 9 + a 18 − b 3 + 2 p 9 。化简，得 a − 6 b = − 2 ，此时，参数 λ = 2 p − 8 9 ，所以 ( C 0 ∪ C 1 ， C 3 ∪ C 5 ) 是一个 ( p ， { p − 1 3 ， p − 1 3 } ， 2 p − 8 9 ) -DF。 对于集族 ( C 0 ∪ C 2 ， C 0 ∪ C 1 ∪ C 5 ) ，仍然假设 Δ ( C 0 ∪ C 2 ， C 0 ∪ C 1 ∪ C 5 ) = ∪ i = 0 5 Δ i C i ， 与上面的计算过程类似，可得 Δ 0 = Δ 2 = Δ 3 = Δ 5 = − 47 36 − a 18 + b 3 + 13 p 36 ， Δ 1 = Δ 4 = − 35 36 + a 9 − 2 b 3 + 13 p 36 . 要使 ( C 0 ∪ C 2 ， C 0 ∪ C 1 ∪ C 5 ) 是差族，当且仅当 Δ 0 = Δ 1 ，即 − 47 36 − a 18 + b 3 + 13 p 36 = − 35 36 + a 9 − 2 b 3 + 13 p 36 . 化简，得 a − 6 b = − 2 。此时，参数 λ = 13 p − 43 36 ，所以 ( C 0 ∪ C 2 ， C 0 ∪ C 1 ∪ C 5 ) 是一个 ( p ， { p − 1 3 ， p − 1 2 } ， 13 p − 43 36 ) -DF。证毕。 例如当 p = 16699 ，对应的 a = 124 ， b = 21 ，此时， ( C 0 ∪ C 1 ， C 3 ∪ C 5 ) 是一个 ( 16699 ， { 5566 ， 5566 } ， 3710 ) -DF， ( C 0 ∪ C 2 ， C 0 ∪ C 1 ∪ C 5 ) 是一个 ( 16699 ， { 5566 ， 8349 } ， 6029 ) -DF。 定理2：设奇素数 p = 6 f + 1 = a 2 + 3 b 2 ， a ≡ 1 ( mod 3 ) ， θ 是 GF ( p ) 的一个本原元，且 θ m = 2 ，则 ①当f为奇数， m ≡ 0 ( mod 3 ) 时， 若 a = 4 ，则 ( C 0 ∪ { 0 } ， C 0 ∪ C 1 ∪ C 4 ) 是一个 ( p ， { p + 5 6 ， p − 1 2 } ， 5 p − 17 18 ， 2 ( p − 1 ) 3 ) -ADF， ( C 0 ∪ C 3 ∪ { 0 } ， C 1 ∪ C 5 ) 是一个 ( p ， { p + 2 3 ， p − 1 3 } ， 2 p − 5 9 ， 2 ( p − 1 ) 3 ) -ADF； 若 a = 16 ，则 ( C 0 ∪ C 3 ∪ { 0 } ， C 1 ∪ C 5 ) 是一个 ( p ， { p + 2 3 ， p − 1 3 } ， 2 p − 8 9 ， p − 1 3 ) -ADF。 ②当f为奇数， m ≡ 1 ( mod 3 ) 时，若 a = − 2 ，则 ( C 0 ∪ C 1 ∪ { 0 } ， C 1 ∪ C 5 ) 及 ( C 0 ∪ C 2 ∪ { 0 } ， C 0 ∪ C 3 ) 是 ( p ， { p + 2 3 ， p − 1 3 } ， 2 p − 5 9 ， 2 ( p − 1 ) 3 ) -ADF； 若 a = 10 ，则 ( C 0 ∪ C 2 ∪ { 0 } ， C 0 ∪ C 3 ) 是一个 ( p ， { p + 2 3 ， p − 1 3 } ， 2 p − 8 9 ， p − 1 3 ) -ADF。 ③当f为奇数， m ≡ 2 ( mod 3 ) 时， 若 a − 3 b = − 5 ，则 ( C 0 ∪ C 2 ， C 0 ∪ C 1 ∪ C 3 ) 是一个 ( p ， { p − 1 3 ， p − 1 2 } ， 13 p − 55 36 ， 2 ( p − 1 ) 3 ) -ADF； 若 a − 3 b = 1 ，则 ( C 0 ∪ C 2 ， C 0 ∪ C 1 ∪ C 3 ) 是一个 ( p ， { p − 1 3 ， p − 1 2 } ， 13 p − 67 36 ， p − 1 3 ) -ADF； 若 a = − 2 ，则 ( C 0 ∪ C 3 ， C 0 ∪ C 4 ∪ { 0 } ) 是一个 ( p ， { p − 1 3 ， p + 2 3 } ， 2 p − 5 9 ， 2 ( p − 1 ) 3 ) -ADF； 若 a = 10 ，则 ( C 0 ∪ C 3 ， C 0 ∪ C 4 ∪ { 0 } ) 是一个 ( p ， { p − 1 3 ， p + 2 3 } ， 2 p − 8 9 ， p − 1 3 ) -ADF。 证明：只证①。设 x ∈ C i ( 0 ≤ i ≤ 5 ) ，则 | ( C 0 + x ) ∩ C 0 | = ( − i ， − i ) = ( i ， 0 ) ，所以 Δ C 0 = ∪ i = 0 5 ( i ， 0 ) C i 。当f为奇数时， Δ ( C 0 ∪ { 0 } ) = ( ( 0 ， 0 ) + 1 ) C 0 ∪ ( 1 ， 0 ) C 1 ∪ ( 2 ， 0 ) C 2 ∪ ( ( 3 ， 0 ) + 1 ) C 3 ∪ ( 4 ， 0 ) C 4 ∪ ( 5 ， 0 ) C 5 . | ( ( C 0 ∪ C 1 ∪ C 4 ) + x ) ∩ ( C 0 ∪ C 1 ∪ C 4 ) | = | ( C 0 + x ) ∩ C 0 | + | ( C 0 + x ) ∩ C 1 | + | ( C 0 + x ) ∩ C 4 |       + | ( C 1 + x ) ∩ C 0 | + | ( C 1 + x ) ∩ C 1 | + | ( C 1 + x ) ∩ C 4 |       + | ( C 4 + x ) ∩ C 0 | + | ( C 4 + x ) ∩ C 1 | + | ( C 4 + x ) ∩ C 4 | = ( i ， 0 ) + ( i ， 1 ) + ( i ， 4 ) + ( i − 1 ， − 1 ) + ( i − 1 ， 0 )       + ( i − 1 ， 3 ) + ( i − 4 ， − 4 ) + ( i − 4 ， − 3 ) + ( i − 4 ， 0 ) . Δ ( C 0 ∪ C 1 ∪ C 4 ) = ∪ i = 0 5 ( ( i ， 0 ) + ( i ， 1 ) + ( i ， 4 ) + ( i − 1 ， − 1 ) + ( i − 1 ， 0 )     + ( i − 1 ， 3 ) + ( i − 4 ， − 4 ) + ( i − 4 ， − 3 ) + ( i − 4 ， 0 ) ) C i . 令 Δ ( C 0 ∪ { 0 } ， C 0 ∪ C 1 ∪ C 4 ) = ∪ i = 0 5 Δ i C i ，则 Δ i = 2 ( i ， 0 ) + ( i ， 1 ) + ( i ， 4 ) + ( i − 1 ， − 1 ) + ( i − 1 ， 0 ) + ( i − 1 ， 3 )     + ( i − 4 ， − 4 ) + ( i − 4 ， − 3 ) + ( i − 4 ， 0 ) + δ i ， 其中 δ i = { 0 ，       i = 1 ， 2 ， 4 ， 5 ， 1 ，         i = 0 ， 3. 由表1和表2，得 Δ 0 = Δ 3 = − 1 18 − 2 a 9 + 5 p 18 ， Δ 1 = Δ 4 = − 25 18 + a 9 + 5 p 18 ， Δ 2 = Δ 5 = − 7 18 + a 9 + 5 p 18 . 因为 Δ 1 − Δ 2 = − 1 ，因此 ( C 0 ∪ { 0 } ， C 0 ∪ C 1 ∪ C 4 ) 为几乎差族，当且仅当 Δ 0 = Δ 1 或 Δ 0 = Δ 2 。由 Δ 0 = Δ 1 ，得 a = 4 。此时，参数 λ = 5 p − 17 18 ， t = 2 ( p − 1 ) 3 。由 Δ 0 = Δ 2 ，得 a = 1 ，此时 a ≡ 1 ( mod 3 ) ，舍去。所以，当 a = 4 时， ( C 0 ∪ { 0 } ， C 0 ∪ C 1 ∪ C 4 ) 是一个 ( p ， { p + 5 6 ， p − 1 2 } ， 5 p − 17 18 ， 2 ( p − 1 ) 3 ) -ADF. 对于集族 ( C 0 ∪ C 3 ∪ { 0 } ， C 1 ∪ C 5 ) ，仍然假设 Δ ( C 0 ∪ C 3 ∪ { 0 } ， C 1 ∪ C 5 ) = ∪ i = 0 5 Δ i C i 。与上面得计算过程类似，可得 Δ 0 = Δ 3 = 8 9 − a 9 + 2 p 9 ， Δ 1 = Δ 2 = Δ 4 = Δ 5 = − 7 9 + a 18 + 2 p 9 . ( C 0 ∪ C 3 ∪ { 0 } ， C 1 ∪ C 5 ) 为几乎差族，当且仅当 | Δ 0 − Δ 1 | = 1 ，即 | 8 9 − a 9 + 2 p 9 + 7 9 − a 18 − 2 p 9 | = 1. 化简计算，得 a = 16 或 a = 4 。当 a = 4 时，参数 λ = 2 p − 5 9 ， t = 2 ( p − 1 ) 3 ，此时， ( C 0 ∪ C 3 ∪ { 0 } ， C 1 ∪ C 5 ) 是一个 ( p ， { p + 2 3 ， p − 1 3 } ， 2 p − 5 9 ， 2 ( p − 1 ) 3 ) -ADF。当 a = 16 时，参数 λ = 2 p − 8 9 ， t = p − 1 3 ，此时， ( C 0 ∪ C 3 ∪ { 0 } ， C 1 ∪ C 5 ) 是一个 ( p ， { p + 2 3 ， p − 1 3 } ， 2 p − 8 9 ， p − 1 3 ) -ADF。证毕。 例如，当 a = 4 ， b = 63 时， p = 11923 。此时， ( C 0 ∪ { 0 } ， C 0 ∪ C 1 ∪ C 4 ) 是一个 ( 11923 ， { 1988 ， 5961 } ， 3311 ， 7948 ) -ADF， ( C 0 ∪ C 3 ∪ { 0 } ， C 1 ∪ C 5 ) 是一个 ( 11923 ， { 3975 ， 3974 } ， 2649 ， 7948 ) -ADF。当 a = 16 ， b = 51 时， p = 8059 。此时， ( C 0 ∪ C 3 ∪ { 0 } ， C 1 ∪ C 5 ) 是一个 ( 8059 ， { 2687 ， 2686 } ， 1790 ， 2686 ) -ADF。