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user: 3. 数值结果与讨论 本文的分析以Si 3 N 4 和SUS304为例，取泊松比 ν = 0.3 ，材料性质参数值见表1。 Table 1 Temperature-dependent coefficients for ceramic (Si3N4) and metals (SUS304 Material Properties P −1 P 0 P 1 P 2 P 3 Si 3 N 4 E 0 348.43E9 −3.070E−4 2.160E−7 −8.946E−11 α 0 5.8723E−6 9.095E−4 0 0 K 0 13.727 −1.032E−3 5.466E−7 −7.876E−11 SUS304 E 0 201.04E9 3.079E−4 −6.534E−7 0 α 0 12.33E−6 8.086E−4 0 0 K 0 15.379 −1.264E−3 2.092E−6 −7.223E−10 表1. 陶瓷和金属的材料常数 3.1. 受机械载荷作用 我们先分析受均匀径向压力p的FGM简支圆板，边界条件为： w = 0 ， F 4 [ d u d x + ν u x + 1 2 ( d w d x ) 2 ] − ( d 2 w d x 2 + ν x d w d x ) = 0 [ d u d x + ν u x + 1 2 ( d w d x ) 2 ] − F 1 ( d 2 w d x 2 + ν x d w d x ) = − F p (14) 图1是均匀径向压力作用下的FGM简支可移圆板的载荷–挠度曲线。图中，1表示考虑前屈曲耦合变形，0表示未考虑前屈曲耦合变形。可以看出，从载荷作用之初，就有挠度产生，但在载荷–挠度曲线上存在quta所称的“平台” [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]。数值结果也表明，此种边界条件下FGM圆板的屈曲前变形是微小变形。因此，我们可以将式(9)进行线性化： d d x [ 1 x d d x ( x u ¯ ) ] − F 1 d d x ∇ 2 w ¯ = 0 ∇ 4 w ¯ = 0 (15a-b) 结合边界条件式(14)解得： u ¯ = − λ u 0 x ， w ¯ = λ w 0 ( 1 − x 2 ) (16a-b) 将式(16)代入式(13)，可得包含前屈曲耦合变形影响的控制方程： d 2 Δ u d x 2 + 1 x d Δ u d x − Δ u x 2 − c n 1 d 3 Δ w d x 3 − c n 1 ( 1 + c n 2 1 + ν λ x 2 ) 1 x d 2 Δ w d x 2 + c n 1 ( 1 − c n 2 2 − ν 1 + ν λ x 2 ) 1 x 2 d Δ w d x = 0 (17a) d 4 Δ w d x 4 + 2 x d 3 Δ w d x 3 − [ 1 − c n 2 ( c n 3 − 2 c n 4 ( 1 + ν ) ) λ x 2 + c n 2 2 c n 4 2 ( 1 + ν ) λ 2 x 4 ] 1 x 2 d 2 Δ w d x 2 + [ 1 + c n 2 ( c n 3 − 2 c n 4 ( 1 + ν ) ) λ x 2 − c n 2 2 c n 4 ( 2 + 3 ν ) 2 ( 1 + ν ) λ 2 x 4 ] 1 x 3 d Δ w d x + c n 2 c n 5 λ ( d Δ u d x + Δ u x ) = 0 (17b) 这里， D c = E c h 3 12 ( 1 − ν 2 ) ， λ = p b 2 D c ， c n 1 = B 11 A 11 h ， c n 2 = D c Ω ， u 0 = D 11 c n 2 A 11 h 2 ( 1 + ν ) ， w 0 = F 1 c n 2 2 ( 1 + ν ) ， c n 3 = D 11 Ω ， c n 4 = B 11 2 A 11 Ω ( 1 + ν ) ， c n 5 = B 11 h Ω 利用打靶法求解上式即可。 图1. 机械载荷下载荷–挠度曲线 图2. 机械载荷下临界载荷随n变化曲线 图2是临界载荷随梯度指数变化的曲线，虚线参见文献 [ 24 ] 中的公式。可以看出，临界载荷随着n的增加而减小。这是因为n越大，金属的组分越多，陶瓷的组分越少，从而导致抗弯刚度减小，这与文献 [ 25 ] 的结论一致。并且，前屈曲耦合变形使得FGM圆板的临界载荷增大。 3.2. 受热载荷作用 考虑两种边界条件： 简支不可移： u = w = 0 ， F 4 [ d u d x + 1 2 ( d w d x ) 2 ] − ( d 2 w d x 2 + ν x d w d x ) − M ¯ = 0 x = 1 (18) 简支可移： w = 0 ， [ d u d x + ν u x + 1 2 ( d w d x ) 2 ] − F 1 ( d 2 w d x 2 + ν x d w d x ) − N 0 ¯ = 0 ， F 4 [ d u d x + ν u x + 1 2 ( d w d x ) 2 ] − ( d 2 w d x 2 + ν x d w d x ) − M ¯ = 0 x = 1 (19) 这里， N 0 ¯ = N T b 2 A 11 h 2 。结合边界条件，利用打靶法可以得到热载荷作用下的载荷–挠度曲线。 图3是热载荷作用下，简支不可移FGM圆板的载荷挠度曲线，这里， T r = T m / T c 。实线表示考虑材料性质温度依赖性(TD)，虚线表示未考虑材料性质温度依赖性(TID)。从图可知，FGM圆板在同一载荷下可能存在三种构形。受热载荷的简支不可移圆板的载荷–挠度曲线与夹紧圆板的载荷–挠度曲线 [ 3 ] 有明显的不同，夹紧边界的圆板发生典型的分支屈曲，而简支不可移的圆板出现了前屈曲耦合变形，这与受均匀径向压力的简支可移圆板的变形很相似，都出现了“平台” [ 17 ]。但随着圆板两侧的温差增大，即 T r 越来越大或越来越小，“平台”越来越不明显。另外，在图3(c)中，n = 100的曲线与其它的曲线是不一样的。结合图3(a)，图3(b)，图3(d)，我们发现，这是随着温差 T r 变化，FGM圆板的构形在发生翻转，且均温时，n = 100的FGM圆板中陶瓷的材料组份非常大，很难发生翻转。再者，当均温时两个分支最接近，温差越大，两个分支距离越远。 图3. 非均匀热载荷FGM简支不可移圆板载荷–挠度曲线 在均温或温差较小时，前屈曲耦合挠度很明显，且属于小变形，因此，我们可以将式(9)线性化： d d x [ 1 x d d x ( x u ¯ ) ] − F 1 d d x ∇ 2 w ¯ = 0 (20a) ∇ 4 w ¯ + N ¯ ∇ 2 w ¯ = 0 (20b) 结合边界条件式(18)解得前屈曲耦合变形为： u ¯ = F 1 β A 0 ( J 1 ( β ) x − J 1 ( β x ) ) ， w ¯ = A 0 ( J 0 ( β x ) − J 0 ( β ) ) (21) 其中， β = N ¯ ， A 0 = M ¯ H ， H = ( 1 − F 1 F 4 ) β J 0 ( β ) + β J 1 ( β ) ( ν − 1 + 2 F 1 F 4 ) ，并且 J 0 和 J 1 分别为零阶第一类Bessel函数和一阶第一类Bessel函数。 将式(21)代入式(13)，可得热载荷作用下受前屈曲耦合变形影响的控制方程： d 2 Δ u d x 2 + 1 x d Δ u d x − Δ u x 2 − F 1 d 3 Δ w d x 3 − ( F 1 + x A 0 β J 1 ( β x ) ) 1 x d 2 Δ w d x 2 + [ F 1 − x 2 A 0 β ( J 0 ( β x ) − ν x J 1 ( β x ) ) ] 1 x 2 d Δ w d x = 0 (22a) d 4 Δ w d x 4 + 2 x d 3 Δ w d x 3 − [ 1 + x β A 0 J 1 ( β x ) ( F 1 F 2 − 2 F 3 ) ( 1 − ν ) + 1 2 x 2 A 0 2 β 2 ( J 1 ( β x ) ) 2 ] 1 x 2 d 2 Δ w d x 2 − [ − x 2 β A 0 ( J 0 ( β x ) ( F 1 F 2 − 2 F 3 ) − ( 1 + ν ) F 1 F 2 J 1 ( β ) ) ] 1 x 2 d 2 Δ w d x 2 + [ 1 + x β A 0 J 1 ( β x ) ( F 1 F 2 − 2 F 3 ) ( 1 − ν ) + 3 ν 2 F 2 x 2 A 0 2 β 2 ( J 1 ( β x ) ) 2 ] 1 x 3 d Δ w d x + [ − x 2 ( ( 1 + ν ) β A 0 F 1 F 2 J 1 ( β ) − ν β A 0 J 0 ( β x ) ( F 1 F 2 − 2 F 3 ) ) ] 1 x 3 d Δ w d x − [ F 2 A 0 2 β 2 J 1 ( β x ) ( J 0 ( β x ) − 1 x J 1 ( β x ) ) ] d Δ w d x + N ¯ ( d 2 Δ w d x 2 + 1 x d Δ w d x ) + F 2 x β A 0 J 1 ( β x ) ( ν d Δ u d x + Δ u x ) + F 2 β A 0 [ J 0 ( β x ) − 1 x J 1 ( β x ) ] ( d Δ u d x + ν x Δ u ) = 0 (22b) 利用打靶法求解即可得到热载荷作用下受前屈曲耦合变形影响的临界载荷。 图4是临界载荷随梯度指数变化曲线，不考虑前屈曲耦合变形的数据参见文献 [ 24 ] 中的公式。数据表明，前屈曲耦合变形对稳定性是有影响的。非均温时，前屈曲耦合变形使得临界载荷增大，而考虑材料性质温度依赖性会让临界载荷变小，但依然大于不考虑前屈曲耦合变形时的临界载荷。均温时，前屈曲耦合变形只在局部范围内对临界载荷有明显影响，当n > 20后，几乎没有影响。随着 T r 逐渐增大，即陶瓷侧温度越来越低，金属侧温度越来越高，FGM圆板的临界载荷也在逐渐减小。 图5是热载荷作用下简支可移FGM圆板的载荷–挠度曲线。这是热弯曲现象，相同热载作用下，考虑温度依赖性时产生的挠度更小，这可能是因为温度依赖性减弱了拉弯耦合效应对挠度的影响。 图4. 非均匀热载荷下临界载荷随梯度指数n变化曲线 图5. 均温下FGM简支可移圆板载荷–挠度曲线