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user: 4. R c 与 E 1 的灵敏性分析 模型(2.2)的控制再生数 R c 表示：显性感染者、潜伏期患者、隐性感染者以及隔离感染者引入到有部分易感者中，导致的单位时间内平均新增的感染人数。初始的疾病传播与 R c 有关，而疾病的流行与地方病平衡点 E 1 紧密相关 [ 19 ]。我们将通过计算灵敏性指数 [ 19 ] [ 20 ] 来评估COVID-19防控措施的有效性，其本质上衡量了随着模型参数的变化， R c 在地方病平衡点 E 1 的状态变量的相对改变。 定义1 [ 19 ]：定义变量u的标准化向前灵敏性指数为： ϒ p u = p u × ∂ u ∂ p 。 我们计算了 R c 与 E 1 关于模型(2.2)中参数的灵敏性指数： ξ j ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， 7 ) : β ， σ ， δ ， κ ， α ， q ， ρ . 具体计算如下： ∂ R c ∂ β = σ κ + d + ρ α + q ( γ − α ) + d + ρ q γ ( α + d ) [ α + q ( γ − α ) + d ] + δ ( 1 − ρ ) η + d > 0. 因此 R c 随着 β 的增加而增加，并且 β R c × ∂ R c ∂ β = β R c × { σ κ + d + ρ α + q ( γ − α ) + d + ρ q γ ( α + d ) [ α + q ( γ − α ) + d ] + δ ( 1 − ρ ) η + d } = 1. 我们依次求 R c 关于 σ ， δ ， ρ 的偏导数，可得： ∂ R c ∂ σ > 0 ，     σ R c × ∂ R c ∂ σ = 1 R c × σ β κ + d < 1 ， ∂ R c ∂ δ > 0 ，     δ R c × ∂ R c ∂ δ = 1 R c × δ β ( 1 − ρ ) η + d < 1 ， ∂ R c ∂ ρ > 0 ，   ρ R c × ∂ R c ∂ ρ = 1 R c × { 1 α + q ( γ − α ) + d + q γ α + q ( γ − α ) + d − δ η + d } < 1 ， 由上面可知， R c 随着参数 σ ， δ ， ρ 的增加而增加，此外 R c 关于 κ ， α ， q 的偏导数为： ∂ R c ∂ κ < 0 ，   | κ R c × ∂ R c ∂ κ | = 1 R c × | − κ β ( κ + d ) 2 | < 1 ， ∂ R c ∂ α < 0 ，   | α R c × ∂ R c ∂ α | = 1 R c × | − β ( 1 − q ) [ α + q ( γ − α ) + d ] 2 − β ρ q γ [ α + q ( γ − α ) + d + ( α + d ) ( γ − α ) ] { ( α + d ) [ α + q ( γ − α ) + d ] } 2 | < 1 ， ∂ R c ∂ q < 0 ，   | q R c × ∂ R c ∂ q | = 1 R c × | − β ρ ( γ − α ) ( α + q ( γ − α ) + d ) 2 − ρ γ ( α + d ) [ α + q ( γ − α ) + d ] − ρ q γ ( α + d ) ( γ − α ) { ( α + d ) [ α + q ( γ − α ) + d ] } 2 | < 1. 根据上述计算结果，我们发现 κ ， α ， q 呈现的结果与 β ， σ ， δ ， ρ 正好相反， R c 随着 κ ， α ， q 参数的增加而减少。本文所取的模型参数来源于表1，代入公式(3.1)计算得 R c = 6.4089 ，这与文献 [ 10 ] 中预测的武汉COVID-19传播的基本再生数6.47基本一致，并用表2列出 R c 关于这7个参数的灵敏性指数 ϒ ξ j R c 。 Table 2 Sensitivity index ϒ ξ j R c of R 参数 ξ j R 0 的灵敏性指数 ϒ ξ j R c β +1.0000 ρ +0.9707 σ +0.0223 δ +0.0157 q −0.994 κ −0.0745 α −0.0338 表2. R c 的灵敏性指数 ϒ ξ j R c 根据表2可知， R c 对 β 的变化最为敏感，其余的依次是 q ， ρ ， κ ， α ， σ ， δ 。因此，为了抑制COVID-19疫情的传播，应当通过居家隔离、交通管制等预防措施降低传染率 β 将会最有效；其次是缩短确诊时间，加快确诊病例的转移率q。另外增加抗病毒治疗率 α 和缩短疾病平均报道延迟期 1 / κ ，最终使得 R c 小于1。 另外，我们还计算了地方病平衡点 E 1 的灵敏性指数，用来判断不同参数对COVID-19疫情流行的相对影响。用表1中的参数得出 E 1 ( S * ， E * ， I * ， C * ， A * ) = ( 2.0868 × 10 7 ， 2.38 × 10 5 ， 1.467 × 10 5 ， 2.927 × 10 6 ， 1 × 10 5 ) 。利用文献 [ 19 ] 的方法，可以计算出 E 1 关于 β ， σ ， δ ， κ ， α ， q ， ρ 这7个参数 ξ j 的灵敏性指数 ϒ ξ j E 1 (见表3)。 Table 3 Sensitivity index ϒ ξ j E 1 of E 参数 ξ j ϒ ξ j S * ϒ ξ j E * ϒ ξ j I * ϒ ξ j C * ϒ ξ j A * β −1 +0.701 +0.6907 +0.9109 +0.6912 ρ +0.6611 −0.4902 −0.644 −0.592 −2.411 σ −0.931 +0.562 +0.5502 +0.6092 +0.509 δ −0.5361 +0.3562 +0.4501 +0.357 +0.353 q +0.794 −0.594 −0.292 −0.6805 −0.514 κ +0.065 −0.0357 −0.0371 −0.065 −0.0362 α +0.943 −0.0257 −0.0254 −0.0252 −0.0256 表3. E 1 的灵敏性指数 ϒ ξ j E 1 由表3可看出：对 I * 最为敏感的是 β ，随后依次为 ρ ， σ ， δ ， q ， κ ， α ；对于 最为敏感的也是 β ，随后依次为 α ， σ ， q ， ρ ， δ ， κ ；对 E * 和 C * 最为敏感的是 β ，随后依次为 q ， σ ， ρ ， δ ， κ ， α ；对 A * 最为敏感的是 ρ ，随后依次为 β ， q ， σ ， δ ， κ ， α 。 针对以上的灵敏性指数分析，我们提出以下三个可行的新型冠病毒肺炎预防措施： a) 加强媒体宣传，提高人们的防范意识。 β 对 R c 的变化最为敏感，而且 β 是对 S * ， E * ， I * ， C * 最敏感的参数，对 A * 是第二敏感参数(详见表2以及表3)。因此，通过媒体宣传增强人们的防范意识，减少不必要的接触，使得传染率降低，能够有效地控制疾病的传播。 b) 加快检测率，并及时采取隔离措施。q对于 R c 、 E * 和 C * 是第二敏感参数(表2和表3)，因此，政府动员全国医护人员，并筹集调配医疗检测设备，在最短的时间内检查出疑似人员及确诊病例，以便于尽快做好隔离及防护措施。 c) 缩短显性感染者和隐性感染者的确诊时间。 ρ 是 R c 的第三敏感参数，而对 I * 是第二敏感参数，且对 A * 最为敏感。因此有必要检查及追踪与湖北地区有密切接触者、海外入境人员，并对以上人员采取适当的隔离措施。