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user: 3. 结果分析 3.1. H-圈与完美匹配 现在，我们就C 60 的计算结果对问题3作出回答。现在，我们来分析一下2.2节中程序输出结果中的1090组完美匹配，以第一组{1，{4573，10565}}为例。“1，4573，10565”都是完美匹配的编号，这三个完美匹配意思是，直接把1号完美匹配删掉后得到H-圈，这个H-圈就是由4573号和10565号这两个完美匹配的不交并得到。写成{*，{*，*}}这种形式是为了把完美匹配与H-圈一一对应起来，第一个数字是完美匹配，后面两个是用完美匹配来表示的H-圈。这样的话问题3的答案就有了，即每一组的第一个完美匹配就是问题3要找的完美匹配。 我们统计一下这1090组数据共有多少个完美匹配。我们把每一组的第一个完美匹配与第二、三个分开，构成两大类，第一类是每组的第一个完美匹配，共1090个，第二类是由每组剩下的两个完美匹配构成；可以发现第二类内部有重复元素，互不相同的有1350个，当然这里面也包含第一类里面的完美匹配；把这两大类进行对比，重复的有490个，那么第二类中互不相同的，且与第一类不重复的就有860个。所以那1090组数据共涉及到1950个互不相同的完美匹配。事实上，第一类就是删掉之后会产生H-圈的完美匹配，第二类是可以通过不交并构成H-圈的完美匹配。然而我们只清楚第一类完美匹配的情况，对于第二类完美匹配的情况，以及这两类完美匹配之间的关系我们还不知道，所以需要进一步探索。 3.2. 与H-圈相关的完美匹配之间的关系 H-圈是一个比较特殊的图论概念，所以我们就想知道与H-圈有关的完美匹配是否也与其它完美匹配有所不同，或者说它们之间有没有什么特殊的关系。为此，我们以程序计算结果中涉及到的1950个完美匹配为顶点构造图，以此来探索一下它们之间的联系。由于这其中有1090个完美匹配，每个删掉之后都会产生H-圈，即两个完美匹配的不交并，所以以那1090个完美匹配为出度点，以与之对应的H-圈中的两个完美匹配为入度点构造有向图。由于删除之后产生H-圈的完美匹配(1090个)与构成H-圈的完美匹配(1350个)有重复(490个)，这些重复的完美匹配在这个有向图中既有出度又有入度，所以这个有向图中只有出度的完美匹配有600个，只有入度的完美匹配有860个。我们利用Mathematica画出了这个有1950个有向图，发现它有290个连通分支。为给出它的连通分支，我们需要做些准备工作。 我们先把那些删掉之后能得到H-圈的完美匹配挑出来，并把它们按照C 60 的完美匹配的158个等价类进行分类，分类结果见附录2。分类之后共有16个等价类，选取这16类的每一类中的编号最小的完美匹配作为代表元，代表元的编号和它所在类中完美匹配的个数见图4。 图4. 16个代表完美匹配及所在分类的大小 我们在此给出这16个完美匹配的边集形式如下。 {1， 6， 10， 13， 17， 20， 23， 27， 30， 33， 36， 39， 43， 45， 49， 51， 55， 57， 61， 63， 66， 69， 72， 75， 77， 80， 83， 85， 88， 90}， {1， 6， 10， 13， 17， 20， 23， 27， 30， 33， 36， 39， 43， 45， 49， 52， 53， 56， 59， 62， 65， 68， 71， 73， 78， 79， 81， 84， 87， 88}， {1， 6， 10， 13， 17， 20， 23， 27， 30， 33， 36， 39， 43， 45， 49， 52， 53， 56， 60， 61， 64， 65， 68， 71， 73， 78， 79， 82， 85， 88}， {1， 6， 10， 13， 17， 20， 23， 27， 30， 33， 36， 39， 43， 46， 47， 50， 53， 56， 60， 61， 63， 66， 69， 73， 76， 79， 82， 84， 86， 89}， {1， 6， 10， 13， 17， 20， 23， 27， 30， 33， 36， 40， 41， 44， 48， 49， 51， 55， 57， 61， 64， 65， 70， 71， 74， 76， 79， 81， 85， 90}， {1， 6， 10， 13， 17， 20， 23， 27， 30， 34， 35， 38， 41， 44， 47， 50， 54， 55， 58， 59， 64， 65， 68， 71， 73， 76， 81， 85， 88， 90}， {1， 6， 10， 13， 17， 20， 23， 27， 31， 32， 35， 38， 42， 43， 45， 49， 51， 55， 57， 62， 65， 68， 72， 75， 77， 80， 83， 85， 88， 90}， {1， 6， 10， 13， 17， 20， 24， 25， 28， 32， 35， 38， 41， 44， 47， 52， 54， 55， 58， 59， 62， 65， 68， 71， 73， 78， 82， 83， 85， 88}， {1， 6， 10， 13， 17， 21， 22， 25， 28， 32， 35， 38， 41， 44， 48， 50， 53， 56， 59， 62， 65， 68， 71， 74， 76， 79， 81， 84， 86， 90}， {1， 6， 10， 13， 17， 21， 22， 25， 28， 32， 35， 38， 41， 44， 48， 50， 53， 56， 60， 61， 63， 66， 69， 72， 76， 79， 82， 84， 86， 89}， {1， 6， 10， 13， 17， 21， 22， 25， 28， 32， 35， 38， 42， 43， 45， 50， 53， 56， 60， 61， 63， 66， 70， 72， 75， 77， 80， 84， 87， 89}， {1， 6， 10， 13， 17， 21， 22， 25， 28， 32， 35， 38， 42， 43， 45， 50， 54， 55， 57， 61， 63， 67， 68， 72， 75， 78， 80， 83， 87， 88}， {1， 6， 10， 13， 17， 21， 22， 25， 29， 30， 33， 36， 39， 43， 45， 50， 53， 58， 60， 61， 63， 66， 69， 72， 75， 77， 82， 84， 86， 89}， {1， 6， 10， 14， 15， 18， 22， 25， 28， 32， 35， 39， 43， 45， 49， 51， 55， 57， 61， 64， 65， 68， 71， 73， 76， 79， 81， 85， 88， 90}， {1， 6， 10， 14， 15， 18， 22， 25， 28， 32， 35， 39， 43， 45， 49， 51， 55， 58， 60， 61， 63， 66， 69， 72， 75， 77， 82， 84， 86， 89}， {1， 6， 10， 14， 15， 18， 22， 25， 29， 30， 34， 35， 39， 43， 46， 48， 49， 52， 53， 58， 59， 63， 66， 69， 74， 77， 81， 84， 86， 90}. 我们把含表2中的16个代表元的那些连通分支给出来，见图5；它们是按照16个代表元编号的大小顺序排列的。 由图5可以看到，三个完美匹配中任意删掉一个都会得到另外两个的不交并的，这种完美匹配只有30组，如图5中的(k)和(n)，这30组分别是 {9869， 4176， 2204}， {4236， 10780， 994}， {6851， 7256， 691}， {5806， 7304， 2974}， {7097， 3210， 5585}， {8696， 1666， 5814}， {4645， 10337， 510}， {10213， 4431， 1260}， {10432， 487， 4633}， {6948， 7149， 477}， {9149， 5552， 1261}， {9058， 1452， 5581}， {10086， 1445， 4555}， {6904， 7350， 513}， {5474， 7733， 3167}， {11107， 4187， 586}， {5436， 7781， 3110}， {5791， 8711， 1678}， {4725， 9621， 1411}， {9563， 4225， 2294}， {7145， 5828， 3020}， {7090， 902， 6829}， {4317， 10510， 697}， {10263， 1226， 4318}， {6748， 7797， 655}， {5674， 9085， 1232}， {7290， 3087， 5558}， {4422， 10492， 823}， {8601， 1426， 5933}， {6689， 7751， 914}. 图5. 包含16个代表元的连通分支 这些30组特殊的完美匹配，每一组中的任意两个完美匹配作对称差得到的H-圈都相当于删掉剩下的那个完美匹配得到的H-圈；反之，删掉任意一个剩下的子图就是另外两个的不交并构成的H-圈，这就是对问题4的回答.我们把同一组的三个完美匹配画到同一个图中，以第一组为例，见图6。 以上是按照完美匹配同构类进行分类的，也可以按照图同构更加细致的分类，这样分类以后就只剩下(a)，(b)，(c)，(d)，(h)，(i)了。我们对这6个连通分支中出度的点进行分析，其它10个与这些是图同构的。在分支(a)中，有4个完美匹配，删掉任意两个剩下的都是4573号完美匹配，而且这4个完美匹配来自不同的匹配等价类，分别是1，286，490，511所代表的等价类，这4个等价类中均有60个完美匹配，一个等价类取出两个，就会有60个与(a)同构的分支；与(a)同构(图同构)的分支有(j)和(p)，在(j)中同样有4个完美匹配，删掉任意两个剩下的都是6420号完美匹配，1197和8102属于同一等价类，7795和478属于另一等价类；(p)中有同样的情况，而且711，4206与1197，8102属于同一等价类，692，4188与7795和478属于同一等价类，这两个等价类中均有20个完美匹配，一个类中取两个，构成10个这样的分支；这样一来，与(a)同构的分支就有70个。用类似的方法分析(b)，(c)，(d)，(h)，(i)就得到表2。 我们再给860个在关系图只有入度的完美匹配按158个等价类进行分类，共有11类，结果见附录3。关系图中含这些代表元的连通分支参见图5。类似地，我们从这11类中每一类选一个元素作为代表元，除8086号完美匹配外的其他代表元在图5中均可找到，8086号完美匹配所在分支与图5中的(d)同构，代表元的具体入度数见表3。由此我们有 命题2 C 60 的每个完美匹配至多包含在4个H-圈中。 图6. 三个特殊的完美匹配匹配 Table 2 The result of components under graph isomorphis 连通分支 (a) (b) (c) (d) (h) (o) 完美匹配数 5 7 25 5 3 3 同构的分支数 70 40 30 60 60 30 表2. 连通分支按图同构分类的结果 Table 3 The sizes of isomorphism classes of perfect matchings with only indegre 代表元 23 384 6684 7443 2433 4573 8086 2729 6420 7362 10480 入度 2 1 2 1 4 4 2 1 4 3 2 完美匹配个数 120 120 120 129 30 60 60 120 10 40 60 表3. 仅有入度的完美匹配同构类的大小