DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 1. 引言 分数阶微分方程产生于一些反常扩散模型，有着深入的物理背景和丰富的理论意义。其特点在于它反映的不仅是局部或某个点的性质或数量，还考虑了历史以及非局部分布式的影响 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]。在分数阶反常扩散模型中，时间分数阶导数主要刻画反常扩散过程具有的历史依赖性和路径依赖性，空间分数阶导数主要描述扩散过程的非局域特征，它们被用于许多物理、化学过程的数学建模中 [ 4 ]。 分数阶微分算子已成为一个描述各种复杂力学行为的重要工具。由于分数阶微分方程的解析解大多很难显式给出，因此研究解决分数阶微分方程的数值解法是必要且具有实际工程意义的 [ 5 ] [ 6 ]。近些年对于各类分数阶扩散方程的数值解法，已有不少的研究成果 [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]。Wang Hong等对于空间分数阶扩散方程，根据所建立差分格式的特殊结构，提出了快速求解算法 [ 11 ]。崔明荣对具有非局部边界条件的时间分数阶扩散方程，考虑了两种不同的时间导数，即Caputo导数和Riemann-Liouville (R-L)导数，构造了其四阶紧致差分格式 [ 12 ]。张亚楠等提出了一种求解分数阶慢扩散方程的Crank-Nicolson型差分格式，并对其截断误差进行了详细分析 [ 13 ]。刘发旺等对一类多项分数阶波–扩散方程，提出了一些计算有效的隐式数值方法；数值结果表明了理论分析的有效性，这些方法和技术也可以推广到其他具有分数拉普拉斯的多项分数阶时空模型 [ 14 ]。吴立飞等给出时间Caputo型分数阶慢扩散方程的交替分段C-N差分格式，将经典C-N格式与四类非对称格式交替使用，提高算法的计算效率 [ 15 ]。陈昌明等人根据对分数阶导数的不同定义，利用傅里叶方法证明了显式及隐式格式的稳定性，同时结合外推技术构造了一类高精度算法 [ 16 ]。陈昌明等对具有非齐次强迫项的R-L型分数阶导数广义二阶流体的斯托克斯第一问题，构造其隐式差分格式，并分析格式的稳定性、收敛性 [ 17 ]；最后数值试验验证了算法的有效性。高广花和孙志忠对分数阶扩散方程构造了一类紧致差分格式，并用能量法证明了格式无条件稳定以及精度为时间(2-a)阶，空间四阶收敛 [ 18 ]。 分数动力学方程已被证实在描述反常扩散(慢扩散)的情况下特别适用。近几年，分数扩散方程的理论证明以及丰富的物理和生物实验验证了反常扩散现象的普遍性；对于反常慢扩散随机游走模型，以分数阶慢扩散方程代替了原来的常规扩散方程，提出描述反常扩散粒子遵循分数阶扩散方程 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]： ∂ u ( x ， t ) ∂ t = D 0 t 1 − γ [ ∂ 2 u ( x ， t ) ∂ x 2 ] + f ( x ， t ) ， t ≥ 0 . (1) 其中 u ( x ， t ) 是概率密度函数， D 0 t 1 − γ u 表示 u ( x ， t ) 的 1 − γ 阶R-L型分数阶导数， D 0 t 1 − γ u ( x ， t ) = 1 Γ ( γ ) ∂ ∂ t ∫ 0 t u ( x ， τ ) ( t − τ ) 1 − γ d τ . 针对此问题，Langlands和Henry构造了隐式格式(L1近似)，并讨论了格式的稳定性和收敛性 [ 19 ]；此后，刘发旺等使用傅里叶分析法，分析了对 0 < γ < 1 情形下隐式格式的稳定性和收敛性，以及全局精度 [ 16 ] [ 17 ]。但是由于分数阶导数的非局部性，分数阶扩散方程数值模拟的计算量和存储量极大，即便使用高性能计算机，也很难进行长时间历程或大计算域的模拟。对于这个问题，本文尝试使用经典显式格式和隐式格式交替使用的方法来提高数值模拟的计算效率 [ 20 ] [ 21 ]，即对分数阶次扩散模型构造显–隐(E-I)和隐–显(I-E)格式；理论分析和数值试验表明，显–隐和隐–显格式的计算效率和计算精度均优于隐式差分格式。
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user: 2. 分数阶扩散方程显–隐和隐–显方法 2.1. R-L型时间分数阶扩散方程 本文主要考虑描述慢扩散现象的R-L型分数阶扩散方程的初边值问题 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] ∂ u ( x ， t ) ∂ t = D 0 t 1 − γ [ ∂ 2 u ( x ， t ) ∂ x 2 ] + f ( x ， t ) ，     0 < t ≤ T ，     0 < x < L . (2) 初始条件为： u ( 0 ， t ) = φ ( t ) ， 0 ≤ t ≤ T ， 边值条件为： u ( 1 ， t ) = ψ ( t ) ， 0 ≤ t ≤ T ， u ( x ， 0 ) = w ( x ) ， 0 ≤ x ≤ L 。 其中 0 < γ < 1 ， f ( x ， t ) 、 φ ( t ) 、 ψ ( t ) 、 w ( x ) 都是足够光滑的函数。 给出方程(2)式两边作积分 D 0 t γ − 1 运算，可得 D 0 t γ − 1 ( ∂ u ( x ， t ) ∂ t ) = D 0 t γ − 1 { D 0 t 1 − γ [ K γ ∂ 2 u ( x ， t ) ∂ x 2 ] + f ( x ， t ) } ，(3) 上式等价为 D 0 C t γ ∂ u ( x ， t ) ∂ t = K γ ∂ 2 u ( x ， t ) ∂ x 2 − { D 0 t − γ [ K γ ∂ 2 u ( x ， t ) ∂ x 2 ] } | t = 0 + D 0 t γ − 1 f ( x ， t ) ， (4) 由文献 [ 3 ] 可知，如果 u ( x ， t ) ∈ C x ， t 2 ， 1 ( [ 0 ， L ] × [ 0 ， T ] ) ，则有 { D 0 t − γ [ K γ ∂ 2 u ( x ， t ) ∂ x 2 ] } | t = 0 = 0 . 即(4)式为 0 C D t γ ∂ u ( x ， t ) ∂ t = K γ ∂ 2 u ( x ， t ) ∂ x 2 + g ( x ， t ) ， g ( x ， t ) = D 0 t γ − 1 f ( x ， t ) (5) 2.2. 显–隐和隐–显格式的构造 令 t k = k τ ， k = 0 ， 1 ， ⋯ ， N ， x j = j h ， j = 0 ， 1 ， ⋯ ， M ， τ = T / N ， h = L / M 。定义网格函数 u i n = u ( x i ， t n ) ， f i n = f ( x i ， t n ) ， g i n = g ( x i ， t n ) ， ( x i ， t n ) ∈ [ 0 ， L ] × [ 0 ， T ] . 定义如下记号： δ x 2 u i = 1 h 2 ( u i + 1 − 2 u i + u i − 1 ) 。 定义离散分数阶导数算子 D τ γ w n = τ − γ Γ ( 2 − γ ) [ w n − ∑ k = 1 n − 1 ( a n − k − 1 − a n − k ) w k − a n − 1 w 0 ] ， a k = ( k + 1 ) 1 − α − k 1 − α . 引理1 [ 6 ] 假设 0 < α < 1 ， y ∈ C 2 [ 0 ， t n ] ，有 1 Γ ( 1 − α ) ∫ 0 t n y ′ ( ξ ) d ξ ( t − ξ ) α − τ − α Γ ( 2 − α ) [ y n − ∑ k = 1 n − 1 ( a n − k − 1 − a n − k ) y k − a n − 1 y 0 ] ≤ 1 Γ ( 2 − α ) [ 1 − α 12 + 2 2 − α 2 − α − ( 1 + 2 α ) ] max 0 ≤ t ≤ t n | y ″ ( t ) | τ 2 − α . 时间分数阶慢扩散方程的隐式格式为： τ − γ Γ ( 2 − γ ) [ u j k − ∑ i = 1 k − 1 ( a k − i − 1 − a k − i ) u j i − a k − 1 u j 0 ] = δ x 2 u j k + g j k ，(6) 时间分数阶慢扩散方程的显式格式为： τ − γ Γ ( 2 − γ ) [ u j k − ∑ i = 1 k − 1 ( a k − i − 1 − a k − i ) u j i − a k − 1 u j 0 ] = δ x 2 u j k − 1 + g j k ，     j = 1 ， 2 ， ⋯ ， M − 1 . (7) 初始、边界条件相应离散为： u 0 k = φ ( t k ) ，     u m k = ψ ( t k ) ，     k = 0 ， 1 ， ⋯ ， N u j 0 = w ( x j ) ，     j = 0 ， 1 ， ⋯ ， M 经典显式格式为条件稳定的，其优点是可以显式快速计算；而隐式格式为无条件稳定，但需要求解代数方程组，计算效率较低。结合两种差分格式的优点，在时间层上交替使用，可得显–隐和隐–显差分格式。 分数阶慢扩散方程的显–隐式格式为： { τ − γ Γ ( 2 − γ ) [ u j 2 k + 1 − ∑ i = 1 2 k ( a 2 k − i − a 2 k − i + 1 ) u j i − a 2 k u j 0 ] = δ x 2 u j 2 k + g j 2 k + 1 ， τ − γ Γ ( 2 − γ ) [ u j 2 k + 2 − ∑ i = 1 2 k + 1 ( a 2 k − i + 1 − a 2 k − i ) u j i − a 2 k + 1 u j 0 ] = δ x 2 u j 2 k + 2 + g j 2 k + 2 ， (8) 同理，可构造分数阶慢扩散方程的隐–显格式为 { τ − γ Γ ( 2 − γ ) [ u j 2 k + 1 − ∑ i = 1 2 k ( a 2 k − i − a 2 k − i + 1 ) u j i − a 2 k u j 0 ] = δ x 2 u j 2 k + 1 + g j 2 k + 1 ， τ − γ Γ ( 2 − γ ) [ u j 2 k + 2 − ∑ i = 1 2 k + 1 ( a 2 k − i + 1 − a 2 k − i ) u j i − a 2 k + 1 u j 0 ] = δ x 2 u j 2 k + 1 + g j 2 k + 2 . (9) 其中 k = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， M − 1 。
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user: 4. 显–隐和隐–显方法的收敛性分析 引理2 [ 13 ] 假设 0 < α < 1 ， y ∈ c 2 [ 0 ， t n ] ，有 1 Γ ( 1 − α ) ∫ 0 t n y ′ ( ξ ) d ξ ( t − ξ ) α − τ − α Γ ( 2 − α ) [ y n − ∑ k = 1 n − 1 ( a n − k − 1 − a n − k ) y k − a n − 1 y 0 ] ≤ 1 Γ ( 2 − α ) [ 1 − α 12 + 2 2 − α 2 − α − ( 1 + 2 α ) ] max 0 ≤ t ≤ t n | y ″ ( t ) | τ 2 − α (16) 引理3 [ 15 ] D τ α u j n = D 0 C τ α u j n − θ D 0 C τ α + 1 u j n + R 1 ， R 1 ≤ C τ 2 − α ， 0 ≤ θ ≤ 1 ，C是常数。 首先分别分析显–隐格式(8)中，显式格式和隐式格式的截断误差。 τ − γ Γ ( 2 − γ ) [ u j 2 k + 1 − ∑ i = 1 2 k ( a 2 k − i − a 2 k − i + 1 ) u j i − a 2 k u j 0 ] = ( 1 − θ ) δ x 2 u j 2 k + θ δ x 2 u j 2 k + g j 2 k + 1 ， (17) 可知，当q = 0时，为显式格式，当q = 1时，为隐式格式。定义截断误差 R j 2 k + 1 = τ − γ Γ ( 2 − γ ) [ u j 2 k + 1 − ∑ i = 1 2 k ( a 2 k − i − a 2 k − i + 1 ) u j i − a 2 k u j 0 ] − ( 1 − θ ) δ x 2 u j 2 k − θ δ x 2 u j 2 k − g j 2 k + 1 (18) θ K α δ x 2 u j k + ( 1 − θ ) K α δ x 2 u j k − 1 = u x x + h 2 12 u x x x x + ( 1 − θ ) τ u x x t + O ( τ 2 − α + h 2 ) (19) 由引理3可得 R j 2 k + 1 = τ − γ Γ ( 2 − γ ) [ u j 2 k + 1 − ∑ i = 1 2 k ( a 2 k − i − a 2 k − i + 1 ) u j i − a 2 k u j 0 ] − ( 1 − θ ) δ x 2 u j 2 k − θ δ x 2 u j 2 k − g j 2 k + 1 = D 0 C τ α u ( x i ， t k + 1 ) − ( 1 − θ ) τ D 0 C τ α + 1 u ( x i ， t k + 1 ) − u x x + h 2 12 u x x x x + ( 1 − θ ) τ u x x t + O ( τ 2 − α + h 2 ) = O ( τ 2 − α + h 2 ) 因此，存在正数 c 1 使得 | R j k | ≤ c 1 ( τ 2 − γ + h 2 ) ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， M − 1 . (20) 定义 e j k = u ( x j ， t k ) − u j k ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， M − 1 ) . 和 e k = [ e 1 k ， e 2 k ， ⋯ ， e M − 1 k ] T ， R k = [ R 1 k ， R 2 k ， ⋯ ， R M − 1 k ] T . 下面使用Fourier方法分析显–隐格式的收敛性。在此，定义网格函数 e k ( x ) = { 0 ，     0 ≤ x ≤ h 2 ， e j k ，     x j − h 2 < x ≤ x j + h 2 ，     j = 1 ， 2 ， ⋯ ， M − 1 ， 0 ，     L − h 2 < x ≤ L . ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ) 和 R k ( x ) = { 0 ，     0 ≤ x ≤ h 2 ， R j k ，     x j − h 2 < x ≤ x j + h 2 ，     j = 1 ， 2 ， ⋯ ， M − 1 ， 0 ，     L − h 2 < x ≤ L . ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ) e k ( x ) ， R k ( x ) 的Fourier展开形式为： e k ( x ) = ∑ l = − ∞ ∞ η k ( l ) e i 2 π l x / L ，其中系数 η k ( l ) = 1 L ∫ 0 L e k ( x ) e − i 2 π l x / L d x 。 R k ( x ) = ∑ l = − ∞ ∞ ξ k ( l ) e i 2 π l x / L ，其中系数 ξ k ( l ) = 1 L ∫ 0 L R k ( x ) e − i 2 π l x / L d x 。 同样，关于离散2模，有 ，(21) . (22) 基于上面的分析，假设 ， ，其中 ，可得 ， ， (23) 引理4 设 是方程(23)的解，存在一个正数 ，使得 . 证明：由定义，可知 ，有 。 另外，由(20)式和(22)式可知 (24) (22)式等式右边的系数数列是收敛的，因此存在一个正数 使得 . (25) 因此有 . 参考稳定性证明，使用数学归纳法可得 当 时， ， ， 当 时， ， ， ， 假设 . 由引理1，有 即 . 由于 . 则存在正常数 ，使得 . 综上，可有 定理3 R-L型分数阶扩散方程的显–隐格式是无条件收敛的，收敛阶是 . 证明：由引理4及 ，可得 . 定理3证毕。 同理，可有 定理4 R-L型分数阶扩散方程的隐–显格式是无条件收敛的，收敛阶是 .
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user: 6. 结论 本文对R-L型分数阶扩散方程，构造了其显–隐和隐–显差分格式；通过傅里叶方法对构造格式进行了理论分析，得出显–隐和隐–显格式均为无条件稳定和收敛的，通过数值试验证实了理论分析。交替使用显式、隐式两个古典格式，可以使算法计算复杂度得到下降。由数值试验可知，显–隐和隐–显格式的计算精度与隐式格式相当，但计算效率与隐式格式相比有着明显的提高；表明显–隐和隐–显格式对求解R-L型分数阶扩散方程是有效的。
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user: 摘 要 利用区域自动气象站常规资料、探空资料、NCEP/NCAR 1˚ × 1˚再分析资料及新一代天气雷达资料，对2015年9月4日出现在新疆兵团阿拉尔市的一次冰雹天气过程的发生、发展机理进行分析。结果表明：1) 西西伯利亚低槽南部的分裂短波是造成此次新疆塔里木盆地西部局地冰雹天气的主要影响系统。2) 局地短时强降水的产生是在天气尺度背景和多个中小尺度系统共同作用的结果。高空短波槽的扰动与低层西南气流的相互作用促使中小尺度的生成，导致此次该区域局地强降水、冰雹的发生。3) 逆风区可以作为强降水中心区域的一个判别指标；逆风区与强回波中心有较好的对应关系。4) 雷达反射率因子强中心和反射率因子梯度最大值区域对冰雹的落区预报有很好的指示作用，当>50 dBZ的强回波中心达8~9 km，回波顶高达到10 km左右时，已形成明显的冰雹云结构。 关键词 :阿拉尔市，反射率因子，逆风区，云顶亮温 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 新疆兵团第一师阿拉尔市位于新疆塔里木盆地西部，地处欧亚大陆腹地，属温带典型大陆性气候，光照充足、雨热同季、无霜期长、昼夜温差较大。由于独特的地域环境和热力条件，大风、沙尘暴、局地短时强降水、冰雹等气象灾害频繁发生；近年来，局地暴雨和冰雹天气呈早发、频发的态势，给阿拉尔市经济和人民生命财产造成巨大损失。作为世界上冰雹灾害最严重的国家之一，国内诸多气象学者针对冰雹发生的天气环境条件、冰雹天气的判别等领域做了研究分析，同时也对冰雹探测和预警做了深入剖析，并取得了颇多科研成果 [ 1 ] - [ 6 ]。随着全球气候逐渐变暖，新疆局地发生短时强降水、冰雹等灾害性天气呈频发重发的态势；对此，新疆许多气象学者也从不同测重点、不同角度进行了分析和研究，并得出了诸多科学结论 [ 7 ] - [ 12 ]。
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user: 2. 天气实况及资料选择 2.1. 天气实况 2015年8月28日至9月4日，新疆兵团一师阿拉尔市的各垦区断续出现了降水天气，温度下降较明显，辖区内二团、四团、五团、六团、十六团等多个团场出现大雨加雹；其中，2015年9月4日19时10分至21时02分，新疆兵团第一师四团普遍遭受了暴雨和冰雹袭击，降水量为28.8毫米，致使该团玉米、马铃薯、果树等受灾严重，冰雹持续时间约5分钟，最大冰雹直径10毫米。 2.2. 资料选择 因新疆塔里木盆地西部的高空探测资料较少，且近年来南疆西部的短时强降水天气致灾重、降水成因复杂，预报难度较大，为不断提高该区域内强对流性天气的预报准确率，本文利用区域自动气象站常规资料、探空资料、NCEP/NCAR 1˚ × 1˚再分析资料及SCRXD-01型脉冲多普勒天气雷达资料(X波段)，对2015年9月4日出现在塔里木盆地西部一次强降水、冰雹天气过程的发生、发展机理进行分析，总结该区域内冰雹天气的预报经验，以期不断提高今后辖区内强对流性天气的预报预警水平。
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user: 3. 天气形势特征 受西伯利亚低槽南部短波扰动的影响，2015年8月末至9月初，新疆兵团一师阿拉尔垦区出现了一次较长时间的降水天气。 9月3日20时500 hPa形势场上(图1(a))巴尔喀什湖以东至贝加尔湖为高压脊，发展旺盛，其位稳定且少动，这使得低值系统维持时间相对较长。9月4日20时500 hPa形势场上(图1(b))，西西伯利亚南段的低槽在巴尔喀什湖一带加强并不断分裂短波，南疆盆地西部则位于低槽底前部，槽前正涡度平流易产生上升运动；当西西伯利亚低压槽开始影响新疆西部时，极易造成该区域对流性天气的发生。区域性短时强降水是在天气尺度背景下和多个中小尺度系统共同作用的结果。 图1. (a) 2015年9月3日20时500 hpa天气图；(b) 2015年9月4日20时500 hpa天气图 500 hpa风场上(图略)，南疆西部山区处于平直的西风环流中，极大风速14 m/s；中低层700 hpa至850 hpa风场上有4 m/s的弱西南气流，阿克苏地区到巴州区域还存在弱的偏东风气流，形成弱的风切变，中低层的风切变使得水汽和动量辐合得以维持。 9月4日14时700 hpa相对湿度场上(图略)，南疆西部山区相对湿度维持在60%~70%，4日20时该区域的相对湿度增大至70%~80%，这表明中低层水汽条件较好；加之本区域内前期的持续性降水，为9月4日强对流天气的发生提供了较好的水汽条件。
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user: 4. 探空资料分析 强对流天气的发生一般需要很大的潜在不稳定能量、充足的水汽和强烈的抬升条件，此外，冰雹天气的出现还需要适宜的0℃度层高度。通过制作2015年9月4日14时、20时新疆兵团第一师四团冰雹落区(79.3E，41.3N)的斜温图(skew-T/LogP) (图2(a)~(b))，从而得出该区域对应时段的对流参数(表1)可以看出：此次冰雹天气各项稳定度参数均达到该区域强对流天气的阈值。从k、LI、CAPE、CIN等物理量的时间变化可看出：9月4日14时K值为29℃，CAPE值为454 J/kg；4日20时K值增至30℃，CAPE值则增加到1091 J/kg，表明气层处于不稳定状态，说明冰雹发生前期大气中不稳定能量不断累积，为强冰雹的发生提供了十分有利的条件。伴随着对流的发生，CAPE值迅速减小，由此可见对流不稳定能量的迅速释放导致了强对流天气的发生。随着下垫面气温降低，边界层冷暖气流交汇产生剧烈的上升运动，造成该区域上空不稳定能量快速释放，则对应的地面新疆兵团一师四团出现冰雹，随之CAPE值明显减小。 图2. (a) 2015年9月4日14时新疆兵团第一师四团的斜温图(skew-T/LogP)；(b) 2015年9月4日20时新疆兵团第一师四团的斜温图(skew-T/LogP) Table 1 Physical parameters of sounding in hailfall area of the Fourth Regiment of the First Division of Xinjiang Production and Construction Corps at 08:00-20:00 on September 4th， 201 时间 K指数(℃) TT总指数(℃) LI (℃) Θse (℃) CAPE湿对流有效位能(J/kg) CIN对流抑制有效位能(J/kg) 2015年9月4日14时 29 49 −1 333 454 376 2015年9月4日20时 30 48 −2 338 1091 317 表1. 2015年9月4日08时至20时新疆兵团第一师四团冰雹落区的探空物理量参数
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user: 5. 多普勒雷达资料分析 所用雷达资料来自于新疆兵团第一师八团机械大队(121˚31'E，31˚20'N，拔海高度1015米)，雷达型号安徽四创电子股份有限公司SCRXD-01型脉冲多普勒天气雷达(X波段)。 9月4日19:03仰角为1.5℃ (图3(a))，300 km距离处监测到雷达站西北面距离120~180 km，方位270℃~315℃范围内出现强对流回波，呈西南—东北走向，沿纵向排列4个明显的单体风暴，其分布较均匀，大致相距30 km。最强一个单体风暴，其云顶高度达12 km，≥50 dbz强回波中心的垂直高度上升至9 km (图3(a))。经连续监测：位于西部阿合奇、乌什山区一带的云系不断发展并向东北方向移动，将影响其移动路径上的沙井子片区一团、二团、三团、四团和六团，阿克苏和温宿、5团等区域。19:03仰角3℃ 150 km距离档的强度PPI显示图上可以看到(图略)，沙井子片区以西至四团上空回波范围长度大约130 km，宽度近50 km (图3(a))，对流回波带在继续向东北方向推进过程中，基本保持着完整清晰的前边缘和外形轮廓，回波强度变化不大。 9月4日19:21大面积的强对流回波主体进入并开始影响兵团一师四团(图3(a))，1号、7号作业点降雹，19:31，1号作业点上空强中心回波顶高上升至12 km，≥50 dbz强回波中心的垂直高度达8 km (图3(b))，雷暴闪电频繁，1号点大雨夹带软雹，四团出现短时强降水，降水量为28.8 mm。随着强对流回波主体移出四团，并继续向东北方向推进，该区域的降水天气趋于结束。 图3. (a) 2015年9月4日19:21新疆兵团第一师四团的回波强度及剖面；(b) 2015年9月4日19:48新疆兵团第一师四团的回波强度及剖面 强对流发生时，在径向速度图像上显示(图4)：一师四团区域出现逆风区，受环境风影响，逆风区在整个发展演变过程中，其移动速度较慢，且维持时间较长，对应的地现一师四团出现短时强降水、冰雹天气；由此可见，逆风区可以作为强降水中心区域的一个判别指标。与此同时，经监测发现：逆风区与强回波中心有较好的对应关系。
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user: 6. 中尺度云团特征分析 高时空分辨率的云图资料能够较好地反映强天气落区中尺度云团的演变过程。利用FY-2G卫星高分辨率云顶亮温(TBB)资料，对此次发生在新疆兵团第一师四团的冰雹天气过程进行分析，可以看出强天气时段与中尺度云团的演变有较好的对应关系。 图4. 2015年9月4日19:20 新疆兵团第一师四团1.5℃径向速度图 2015年9月4日16时(图5(a))，南疆盆地西南部有近于圆形的α中尺度对流云团，其在向东北移动过程中不断加强，中心TBB ≤ −55℃。9月4日19时(图5(b))该中尺度云团进入兵团一师西部区域，两个对流单体合并增强，TBB梯度逐渐增大，一师四团则处于该中尺度云团前沿TBB梯度大值区(图5(c))，对应着强对流的发生时段。4日21时起(图5(d))，中尺度对流云团逐渐移出兵团一师四团，该区域的降水也随之减弱并逐渐停止。 图5. 2015年9月4日FY-2E (a~d)卫星云图TBB演变(单位：℃)；(a) 9月4日16时，(b) 9月4日19时，(c) 9月4日20时，(d) 9月4日21时；
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user: 7. 小结 1) 西西伯利亚低槽南部的分裂短波是造成此次新疆塔里木盆地西部局地冰雹天气的主要影响系统。 2) 局地短时强降水的产生是在天气尺度背景和多个中小尺度系统共同作用的结果。高空短波槽的扰动与低层西南气流的的相互作用促使中小尺度的生成，导致此次该区域局地强降水、冰雹的发生。 3) 逆风区可以作为强降水中心区域的一个判别指标；逆风区与强回波中心有较好的对应关系。 4) 雷达反射率因子强中心和反射率因子梯度最大值区域对冰雹的落区预报有很好的指示作用，当>50 dBZ的强回波中心达8~9 km，回波顶高达到10 km左右时，已形成明显的冰雹云结构。
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user: 摘 要 本文针对脉冲调焰烧嘴在不同功率下的NO x 排放进行了研究，发现了NO x 排放在不同运行功率下的变化规律，为降低NO x 排放提供了一定的理论依据。 关键词 :脉冲调焰烧嘴，NO x 排放，长火焰，短火焰 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 概述 脉冲烧嘴是冶金行业加热炉普遍采用的一种加热工具，NO x 是燃气燃烧后产生的一系列危害环境的气体(NO x 是NO，NO 2 等几种氮氧化合物的总称)。随着人类环保意识的加强和国家相关法律法规的就进一步要求，对NO x 排放的关注已经提高到了前所未有的高度。脉冲烧嘴具备不同燃烧模式(长、短火焰)及不同功率燃烧的功能，本文研究了脉冲烧嘴在实验室模拟现场不同工艺需求，在不同功率燃烧模式和不同功率下的NO x 排放规律，为降低NO x 排放提供了参考。
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user: 2. 产品概述 该烧嘴主要是由烧嘴砖、壳体、长短火焰切换阀等附属部分组成。应用在大型板坯加热炉上。烧嘴结构图见图1： 图1. 烧嘴装配剖面图(示意) 烧嘴基本参数见表1： Table 1 Basic parameters of burner 项目 参数 单位 项目 参数 单位 烧嘴名称 脉冲调焰烧嘴 烧嘴型号 WFMB-G7 (样品) 烧嘴能介 混合煤气 点火能介 焦炉煤气 能介低位热值 8100 KJ/Nm 3 火焰检测方式 电离 额定功率 1840 kW 工艺炉温 1200 ℃ 设计额定空燃比 1.05 表1. 烧嘴基本参数
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user: 3. 实验条件概述 3.1. 介质条件 实验用混合煤气采用高炉煤气、焦炉煤气和转炉煤气三种煤气进行混合 [ 1 ]，与现场的混合煤气配比方式一致，热值8000~8100 KJ/Nm 3 ，成分见表2： Table 2 Composition and calorific value of mixed ga H 2 O 2 N 2 CH 4 CO CO 2 C 2 H 4 C 2 H 6 C 3 H 6 热值 % % % % % % % % % KJ/Nm 3 17.3 0.175 29.23 6.28 29.08 17.21 0.45 0.125 0 8100 表2. 混合煤气成分及热值 不同烧嘴功率下的混合煤气配比及空气量 [ 2 ]，按照空燃比1:1.05计算空气量，详见表3： Table 3 Mixed gas volume corresponding to different powe 烧嘴型号 烧嘴功率 实验用气 热值 混合比例 不同烧嘴功率对应的气体量(Nm 3 ) KW.h KJ/m 3 30% 50% 80% 100% WFMB-G7 1840 高炉煤气 3277 45% 112 187 300 375 焦炉煤气 17，098 25% 62 104 167 208 转炉煤气 7894 30% 75 125 200 250 总流量 100% 250 416 666 833 空气量 1:1.05 1.88 470 783 1252 1566 表3. 不同功率对应的混合气体量 3.2. 实验炉条件与生产符合性 实验炉按照生产现场模拟生产现场加热炉的模式设计，试验炉设有燃气供配气系统、助燃风系统、排烟系统、冷却水系统等配套设施。试验炉能模拟烧嘴不同功率条件下燃烧的工况。 3.3. 实验系统 明火炉实验系统由供气系统(空气 + 煤气)、烧嘴及控制系统(含BCU)、辐射管试验炉及温度检测系统和烟气排放及检测系统组成。煤气系统取自××钢铁厂煤气主管道(含高炉、焦炉、转炉煤气)、经减压阀减压后到实验室混合管混合。进入实验室的煤气管道布设压力、流量检测装置。空气系统由离心式助燃风机(含变频器)、压力、流量检测装置及相关管道阀门组成。煤气、空气管道将实验所需气体送到烧嘴附件，按照实验要求采用软管连接到烧嘴接口。烧嘴燃烧(点火 + 信号)由一台BCU控制及采集。辐射管炉内按照等距离布置热电偶检测烧嘴工作时的温度场分布。烟气排放及检测系统由排烟风机、温度、压力、流量检测及相关管道(阀门)组成。烟气排放系统根据辐射管炉压力需求、排烟压力、排烟温度实时控制。详见图2： 图2. 明火炉烧嘴测试系统原理图
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user: 4. 实验过程简述 4.1. 实验过程 在封闭炉膛的状态下测试烧嘴在不同功率下的烟气成分 [ 3 ]。从10%功率开始至100%功率，依次调节供风量、煤气量，能介流量稳定在要求的范围内及火焰稳定后，记录烟气成分。 4.2. 实验注意事项 ➢ 当CO含量小于50 ppm，O 2 含量在0.3%范围内波动时，记录烟气成分。
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user: 摘 要 研究一类三阶中立型半线性时滞微分方程，在最近参考文献结果的启发下，探讨不同条件采用了Riccati变换函数以及经典不等式等方法技巧，确立了方程的若干个新振动结果。文献中的一些结果得到了较好推广和改进，并给出了定理的应用。 关键词 :广义Riccati变换，振动，半线性，时滞，三阶微分方程 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 考虑一类三阶中立型半线性时滞微分方程 [ r ( t ) | u ″ ( t ) | θ − 1 u ″ ( t ) ] ′ + q ( t ) | x ( τ ( t ) ) | θ − 1 x ( τ ( t ) ) = 0 ， t ≥ t 0 (E) 假设以下条件都成立 (H 1 )： u ( t ) = x ( t ) + p ( t ) x ( σ ( t ) ) ； (H 2 )： r ( t ) ， σ ( t ) ∈ C r d ( [ t 0 ， ∞ ) ， ( 0 ， ∞ ) ) ， p ， q ， τ ∈ ( [ t 0 ， ∞ ) ， R ) ； (H 3 )： τ ( t ) ≤ t ， τ ( t ) ≤ t ， τ ′ ( t ) > 0 ， lim t → ∞ σ ( t ) = lim t → ∞ τ ( t ) = + ∞ ； (H 4 )： 0 ≤ p ( t ) ≤ p 0 < 1 ， q ( t ) > 0 ， r ( t ) > 0 ， r ′ ( t ) ≥ 0 。 若连续可微的函数 x ( t ) 在定义域上是满足方程(E)的非平凡解，即方程(E)是拥有无数多个零解，我们就说它是振动的；不然，就称它为非振动的，也就是说，方程最终是一个正解或是一个负解。若 Ω ( t ) = ∫ t + ∞ 1 r 1 θ ( s ) d s = ∞ ，则称 Ω ( t ) 是正则的，否则称 Ω ( t ) 是收敛的。 近年来，许多数学学者对二阶、三阶半线性中立型阻尼泛函微分方程和时滞微分方程等做了深入研究，并取得了一系列优秀的研究成果，如 [ 1 ] - [ 9 ]。在文献 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] 和 [ 5 ] 等结果的启发下，通过建立了几个不同的Riccati变换函数和应用经典不等式确立了方程(E)的振动准则。并在几个前提下，获得了合理的结果，这是对文献中的一些结果进行了推广和改良。 引理1 [ 1 ] 如果 x ( t ) 是方程的非振动解，且 x ( t ) 是非负不为零的，则 u ( t ) 只有以下两种情况： 1) u ( t ) > 0 ， u ′ ( t ) > 0 ， u ″ ( t ) > 0 ； 2) u ( t ) > 0 ， u ′ ( t ) < 0 ， u ″ ( t ) > 0 。 证明：存在 t 1 ∈ [ t 0 ， + ∞ ) ，设 x ( t ) 为方程(E)在 t ∈ [ t 1 ， ∞ ) 上的一个非振动正解，根据方程(E)，有 [ r ( t ) | u ″ ( t ) | θ − 1 u ″ ( t ) ] ≤ − q ( t ) x θ ( τ ( t ) ) < 0 设 Γ ( t ) = r ( t ) | u ″ ( t ) | θ − 1 u ″ ( t ) ，即有 Γ ( t ) 是单调递减并且最终定号，可以判断 u ″ ( t ) > 0 ；否则，当 t 2 ∈ [ t 1 ， ∞ ) 时，令 t ∈ [ t 2 ， ∞ ) ，若 u ″ ( t ) < 0 ，存在一个正数C，使得 u ′ ( t ) ≤ u ′ ( t 2 ) − C 1 θ ∫ t 2 t 1 ( r ( s ) ) 1 θ d s 令 k = u ′ ( t 2 ) ，则 u ( t ) ≤ u ( t 2 ) = k ，积分得 ∫ t t 2 u ′ ( s ) d s = − u ( t ) + u ( t 2 ) < k ( t 2 − t ) 令 t → ∞ ，则 u ( t ) → − ∞ ，这与 u ( t ) > 0 矛盾，引理得证。 引理2 [ 9 ] 假设 g ( y ) = B y − A y θ + 1 θ ， A > 0 ， B > 0 ，则 g ( y ) 当且仅当 y 0 = [ B A ] θ 处有最大值 g ( y 0 ) = θ θ B θ + 1 ( θ + 1 ) θ + 1 A θ 引理3 [ 3 ] 如果 u f ( u ) > 0 ， u ≠ 0 ，且 f ( u ) u θ ≥ L > 0 ，则有 f ( u ) u θ ≥ L > 0 ， f ( u ) ≥ L u θ 引理4 [ 2 ] 存在 t 1 ∈ [ t 0 ， + ∞ ) ，假设 x ( t ) 为方程(E)在 t ∈ [ t 1 ， ∞ ) 上的一个非振动正解，满足 u ( t ) > 0 ， u ′ ( t ) < 0 ， u ″ ( t ) > 0 ，且有 lim t → ∞ 1 2 ∫ t + ∞ L 1 θ ∫ μ + ∞ [ ( 1 r ( v ) ∫ v + ∞ q ( s ) d s ) ] 1 θ d v d μ = ∞ 则有 lim t → ∞ x ( t ) = 0 。 引理5 [ 3 ] 若 h ( t ) > 0 ， h ′ ( t ) > 0 ， h ″ ( t ) > 0 ， h ‴ ( t ) ≤ 0 ，存在 0 < β < 1 ，使得 lim t → ∞ inf t h ( t ) h ′ ( t ) β t 2 ≥ 1
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user: 3. 例子 例1考虑三阶微分方程 ( t [ ( x ( t ) + p 0 x ( t 2 ) ) ′ ​ ′ ] 2 ) ′ + t 3 x 2 ( t 3 ) = 0 ， t ≥ t 0 > 0 (16) 其中取 φ ′ ( t ) = 1 ， p ( t ) = p 0 ，由(1)式得 lim t → ∞ [ φ ( t ) r ′ ( t ) ( Ω ( t ) ) θ r 2 ( t ) − ( φ ′ ( t ) ) 1 θ + 1 ( θ + 1 ) θ + 1 ( φ ( t ) τ ′ ( t ) ) θ ] = lim t → ∞ ( t − 1 9 t 1 2 ) = ∞ 由(2)式得 lim t → ∞ 1 2 ∫ t + ∞ L 1 2 ∫ μ + ∞ [ ( 1 v ∫ v + ∞ q ( s ) d s ) ] 1 2 d v d μ = ∞ 故方程(16)满足定理2.1，易证得方程(16)是振动的或者 lim t → ∞ x ( t ) = 0 。用文 [ 9 ] 的推论是不能证明本文 例3.1的。 例2考虑三阶微分方程 ( t 3 [ ( x ( t ) + p 0 x ( t 2 ) ) ′ ​ ′ ] 3 2 ) ′ + t 3 x 3 2 ( t 3 ) = 0 ， t ≥ t 0 > 0 (17) 其中 θ = 3 2 ， φ ( t ) = t ， φ ′ ( t ) = 1 ， q ( t ) = t 3 ， ，由式(9)得 由(10)式得 故方程(17)满足定理2.2，因此方程(17)是振动的或者 ，发现用定理2.1是判断不了方程(17) 的振动性质，但定理2.2是可以证明例1的。定理2.1比定理2.2的适用范围更小，限制为偶数与奇数商，定理2.2是把文 [ 2 ] 中定理1的 是两个正奇数商推广到 。
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user: 摘 要 帘线钢广泛用于制造钢绞线、航空和汽车轮胎子午线，是超洁净钢的标志性产品。本文首先介绍了帘线钢中主要夹杂物的形态和帘线钢产品的质量要求，然后对帘线钢生产过程中的主要净化技术进行了归纳，包括无铝脱氧工艺、钙处理工艺、钢水中钛和氮、氢的控制，重点介绍了惰性气体搅拌和多孔吹头氩气吹喷技术，认为多孔吹头氩气吹喷是钢水净化的高效工艺。 关键词 :帘线钢，夹杂物，净化 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 帘线钢是超洁净钢的代表产品和钢铁企业线材生产水平的标志性产品，它具有弹性好、强度高、抗冲击等优异的力学性能，使用寿命长 [ 1 ] [ 2 ]。帘线钢在生产中对冶炼、轧制、加工等每个环节都有特殊的要求，是不折不扣的精品钢材。帘线钢在拉拔成丝后，直径一般为0.15~0.38 mm，其质量取决于帘线用钢坯的质量及帘线盘条性能要求。帘线钢对钢中夹杂物、硫化物、氮含量要求十分严格，对夹杂物的大小、形状和可变形性也提出了很高要求。鉴于生产帘线钢技术含量极高，被誉为“线材中的极品”、“线材皇冠上的明珠” [ 3 ]。 一般来说，钢帘线拉得越细，生产难度越大。最小线径是衡量帘线钢生产技术水平的重要标准。我国钢厂帘线钢大多能拉到Φ0.22 mm左右，武钢、兴澄特钢等少数几家试拉成功Φ0.175 mm。欧洲、巴西等一些钢厂可以拉到Φ0.15 mm，而日本神户则可以拉到Φ0.08 mm以下 [ 4 ]。拉成如此细丝，任何稍大尺寸的硬性夹杂、偏析、非常规组织、内部及表面缺陷都可能是致命的，都可能造成断丝，可见生产难度之高。此外，帘线钢盘条对化学成分、偏析、脱碳层、晶粒度、组织、表面质量、内部缺陷等都有非常严格的要求 [ 5 ]。本文仅就帘线钢中的常见夹杂物及生产中的钢水净化技术的研究进展进行综述。
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user: 2. 帘线钢中非金属氧化物夹杂物的控制 2.1. 帘线钢中的夹杂物种类 根据GB/T 10561-2005《钢中非金属夹杂物钢中非金属夹杂物含量的测定标准评级图显微检验法》，钢中夹杂物的分类主要是以夹杂物的分布和形貌为标准，其主要分为硫化物类(A)、氧化铝类(B)、硅酸盐类(C)、球状氧化物类(D)和单颗粒球状类(DS)五种，其分别具有以下特点： 1) A类：以单个深灰色夹杂物为主，形貌上端部无角，其变形能力强，夹杂物的长宽比较大，例如MnS夹杂物； 2) B类：以排状黑蓝颗粒为主，形貌上有角，难变形，夹杂物长宽比较小，例如Al 2 O 3 夹杂物、SiO 2 夹杂物和(Fe， Mn)O夹杂物； 3) C类：以单个黑蓝色夹杂物为主，形貌上端部有尖角，变形能力强，夹杂物的长宽比较大，例如锰橄榄石、硅钙石和钙长石； 4) D类：以不规则分布的黑蓝色颗粒为主，形貌上呈圆形或有角，不变形，夹杂物的长宽比较小，例如有CaS包裹的铝酸镁夹杂物； 5) DS类：一般以单个圆形夹杂物(D ≥ 13 μm)为主，例如球状铝酸盐夹杂物。 同时，还可分出尖晶石类、氮化物类和夹杂类等夹杂物。 2.2. 夹杂物含量及尺寸 夹杂物的控制是控制帘线钢产品性能的关键。脱氧和凝固过程中析出的夹杂物称为原生夹杂物，而从炉渣和耐火材料带入的夹杂物称为外来夹杂物。外来夹杂物可以采用某些工艺技术从钢液中去除。由于原生夹杂物会损害帘线钢的疲劳强度以及其他的力学性能，所以对于原生夹杂物的控制尤为重要 [ 6 ]。 在帘线钢的研发中，对于断面出现的夹杂物进行分析，发现引起拉拔断丝的夹杂物主要是以Al 2 O 3 为主的高硬度脆性夹杂物。Al 2 O 3 的来源主要分为从钢水中脱氧产生和耐火材料带入两种情况。可以通过调整炉渣成分，从而有效的调整夹杂物成分使之成为延伸性很高的塑性夹杂物，减轻其危害；同时选取质量更好的耐火材料，减少外来夹杂物。国内外在帘线钢夹杂物的要求常采用意大利的皮拉利标准，其要求如下 [ 7 ]： 1) 钢中T[O] ≤ 30 × 10 −6 ； 2) 钢中脆性夹杂物尺寸不超过15 μm； 3) 纯Al 2 O 3 和TiN夹杂物不允许出现在帘线钢中，且帘线钢夹杂物中Al 2 O 3 的含量要低于50%； 4) 夹杂物密度小于1000个/cm 2 。 皮拉利标准通常仅被看作对帘线钢的夹杂物含量及尺寸的最低要求。随着对帘线钢的性能要求越来越高，帘线钢对夹杂物含量及尺寸都有着更严格的要求 [ 8 ] [ 9 ]。对于含钛夹杂物等不变形夹杂物的尺寸不超过10 μm。对于子午线钢丝中的非金属夹杂物尺寸更是要求不能大于所加工的钢丝直径D的2%，否则钢丝在拉拔和合股中极易造成脆性断裂 [ 10 ]。 2.3. 有害气体含量 研究发现应将有害气体的含量控制在：[O] ≤ 30 ppm，[N] ≤ 30 ppm，[H] ≤ 1.8 ppm。为达到这一要求，应采用低N 2 、O 2 吹炼制度及保护浇铸技术。为了降低钢中[H]含量，应采取VD或RH真空脱气处理 [ 11 ]。
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user: 4. 结语 在我国钢帘线产业的快速发展和不断提出更高要求的推动下，经过几十年的不懈努力，国产钢帘线专用线材可满足钢帘线生产的一般要求，但距国际先进水平还有一定距离。其主要技术瓶颈就是钢水中夹杂物和杂质元素的控制。为了提高钢水的洁净度，对钢水采取精细化的净化操作非常重要，包括使用无铝脱氧工艺、钙处理工艺、控制钢水中钛和氮、氢、进行真空精炼等等。炉外精炼和吹氩搅拌是帘线钢钢水净化的主要工艺手段。惰性气体搅拌和多孔吹头氩气吹喷技术是钢水净化的高效工艺，值得推广。
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user: 摘 要 设 d k ( n ) 为k重除数函数。本文证明了一个短区间上权为 d k ( n ) 的Erdös-Kac型定理，并证明了其中的余项估计是最优的。这推广了K. Liu和J. Wu最近的一个结果。 关键词 :中心极限定理，短区间，算术函数，Dirichlet级数 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 介绍 对于固定的整数 k ≥ 2 ，k重除数函数 d k ( n ) 是指 n = n 1 n 2 ⋯ n k 的解的个数，其中 n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n k 为正整数。如果n的标准分解形式 n = p 1 α 1 ⋯ p s α s ， α i ≥ 1 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， s )， p i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， s )是不同的素数，则有(可参见 [ 1 ] ) d k ( n ) = ( α 1 + k − 1 ) ! α 1 ! ( k − 1 ) ! ⋯ ( α s + k − 1 ) ! α s ! ( k − 1 ) ! . (1) 当 k = 2 时， d k ( n ) 即为经典除数函数 d ( n ) 。 当 x ≥ 2 时，定义 d k ( n ) 的和函数 D k ( x ) : = ∑ n ≤ x d k ( n )     . Landau [ 2 ] 和Voronoi [ 3 ] 证明了 D k ( x ) = x P k − 1 ( x ) + Δ k (x) Δ k ( x ) ≪ ε x k − 1 k + 1 + ε ， 其中 P k − 1 是 k − 1 次的多项式。对于 k ≥ 4 ，Hardy和Littlewood改进了以上余项的上界估计，证明了 Δ k ( x ) ≪ x k − 1 k − 2 + ε . 相关文献还可参见 [ 4 ]， [ 5 ]， [ 6 ] 和 [ 7 ]。 同时，人们还研究函数 d k ( n ) 在短区间上的均值问题。例如，Garaev，Luca和Nowak [ 8 ] 证明了当 x 1 / 2 log x < y < x 1 / 2 ( log x ) 5 / 2 时，有 ∑ x < n ≤ x + y d 4 ( n ) = 1 6 y log 3 x ( 1 + O ( x 1 / 3 ( log x ) 2 / 3 y 2 / 3 ) ) . 当 k ≠ 4 时，目前短区间上相应问题的最佳结果可由 D k ( x ) 的渐进公式(“长区间”)推得。 本文中，我们考虑了 d k ( n ) 在短区间上另一种形式的均值问题。令 ω ( n ) 表示正整数n的不同素因子个数，定义 π l ， k ( x ， y ) : = ∑ x < n ≤ x + y ω ( n ) = l d k ( n )     . 我们证明了下面的结果。 定理1.1对于固定的 k ≥ 2 ， B > 0 及任意的 ε > 0 ，有 π l ， k ( x ， y ) = y log x ( k log log x ) l − 1 ( l − 1 ) ! { λ ( l − 1 k log log x ) + O B ， ε ( log log x l log x + l − 1 ( log log x ) 2 ) } ， 对 x ≥ 2 ， x 7 / 12 + ε ≤ y ≤ x ， 1 ≤ l ≤ B k log log x 一致成立，这里 λ ( z ) = k Γ ( k z + 1 ) ∏ p ( 1 + ∑ v ≥ 1 ( v + k − 1 ) ! v ! ( k − 1 ) ! p v z ) ( 1 − 1 p ) k z ， 并且O-符号中的隐含常数只依赖于B和 ε 。 1939年，Erdös和Kac [ 9 ] 证明了 ω ( n ) 的概率分布，对于每一个 λ ∈ R ，他们证明了如下的中心极限定理： 1 x ∑ n ≤ x ω ( n ) − log log x ≤ λ log log x 1 → Φ ( λ ) ，     x → ∞ 其中 Φ ( λ ) : = 1 2 π ∫ − ∞ λ e − τ 2 / 2 d τ . 2015年，Elliott [ 10 ] [ 11 ] 证明了如下权为 d ( n ) α ( α ∈ R )的中心极限定理，即对每一个 λ ∈ R ，有 1 D α ( x ) ∑ n ≤ x ω ( n ) − 2 α log log x ≤ λ 2 α log log x d ( n ) α → Φ ( λ ) ，     x → ∞ 其中 D α ( x ) : = ∑ n ≤ x d ( n ) α 最近，K. Liu和J. Wu [ 12 ] 把此结果推广到了短区间。 本文中，我们推广了Elliott以及Liu和Wu的结果，证明了权为 d k ( n ) 的中心极限定理。 定理1.2对于每个实数 λ 和任意的 ε > 0 ，当 x → ∞ ， x 7 / 12 + ε < y ≤ x 时，有 1 D ( x ， y ) ∑ x < n ≤ x + y ω ( n ) − k log log x ≤ λ k log log x d k ( n ) = Φ ( λ ) + O ε ( 1 log log x ) ， 其中 D ( x ， y ) : = ∑ x < n ≤ y d k ( n )     ， O-符号中的隐含常数只依赖于 ε ，并且误差项的上界估计是最优的。 记号： N为全体自然数集，R为全体实数集，C为全体复数集； Γ ( z ) 伽马函数；Landau符号， f ( x ) = O ( g ( x ) ) ， f ( x ) ≪ g ( x ) 是指存在常数 c > 0 ，使得 | f ( x ) | ≤ c g ( x ) ； ∏ p   表示p遍历所有素数并求乘积； f ( x ) ∼ g ( x ) 是指 lim x → ∞ f ( x ) g ( x ) = 1 。
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user: 2. 预备知识 为了完成引理2.2的证明，我们需要下面的定义(参见 [ 12 ] )。令 f ( n ) 表示算术函数， F ( s ) 是 f ( n ) 的Dirichlet级数， F ( s ) : = ∑ n = 1 ∞ f ( n ) n − s . 设 z ∈ C ， ω ∈ C ， α > 0 ， δ ≥ 0 ， A ≥ 0 ， B > 0 ， C > 0 ， M > 0 为常数， s = σ + i τ 。如果 F ( s ) 满足下列条件，则称其是 P ( z ， ω ， α ， δ ， A ， B ， C ， M ) 型的： (a) 对于任意的 ε > 0 ，有 | f ( n ) | ≪ ε M n ε     ( n ≥ 1 ) ≪ -中的隐含常数只与 ε 有关。 (b) 当 σ > 1 时有 (c) Dirichlet级数 可以解析延拓成 上的全纯函数，并且 满足 此结果对 ， 及 一致成立。 我们需要如下引理来证明引理2.2，此引理为 [ 1 ] 的推论1.2。 引理2.1假设对任意的 ，Dirichlet级数 是 型的，则有 此结果对 ， ， ，及 一致成立，其中 O-符号中的隐含常数只依赖于A，B， ， 及 。 令引理2.1中的 ，我们得到如下结果。 引理2.2令 是一个常数，对于任意的 ，有 对 ， ，及 一致成立，其中 证明：因为函数 是可乘函数，当 时，我们有 (2) 把公式(1)带入公式(2)中，可得 其中欧拉乘积 的Dirichlet级数是 令 ，当 时，函数 是可乘函数，其在 (p为素数， )的值可由下列公式给出 特别地，当 ， 时，对于所有的素数p有 令 因为当 ， 时函数 收敛，所以该函数在 ， 时有最大值： 由Cauchy公式，当 ， 时有 所以 的上界为 (3) 当 ， 时，计算可得 再由公式(3)可得 这表明 在 ， 时收敛，且 有上界： 其中 综合上述计算结果，我们可以得到Dirichlet级数 是 型的。 这样应用引理2.1我们可以得到引理2.2. □ 注记：如果 ，则由引理2.2可以推出 对 ， 一致成立，其中 在证明定理1.2时，我们还需要下面的Berry-Esseen不等式(可参见 [ 13 ] )。 引理2.3令F、G为两个分布函数，f、g分别为F、G的特征函数。假设G可导，且 在R上有界。则有 对所有的 都成立。其中 。
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user: 3. 定理1.1的证明 设 由Cauchy公式，可得 其中 。 由引理2.2，可得 (4) 其中 首先计算 的主项M，令 其中 接下来计算 ，考虑 和 两种情况。当 时，因为 在 时解，所以 将此结果代入公式(4)，得到 当 时，因为 在 时解析，所以 ，其中 。 在点 处的Taylor展开为 (5) 这样，我们只需分别估计上述公式(5)右侧的三项对 的贡献即可。 第一项对 的贡献为： (6) 第二项对 的贡献为： (7) 当 ， ， 时，有 因为当 时 解析，所以 在 上有上界，即存在一个常数 ，使得 ，容易计算出 由Stirling公式，第三项对 的贡献为： (8) 现在来估计 的余项 。我们有 令 ，可得 将公式(6) (7)、(8)代入公式(4)，即得定理1.1。