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user: 4. 例子 例4.1. 考虑如下二阶微分系统： { − u ″ = a ( t ) φ u + λ ω ( t ) ( u + sin u ) θ ，   0 < t < 1 ， − φ ″ = μ b ( t ) u ，               0 < t < 1 ， u ( 0 ) = u ( 1 ) = 0 ， φ ( 0 ) = φ ( 1 ) = 0. (27) 其中， θ > 1 且 b ( t ) = { 27 ( 2 3 − t ) ，             t ∈ [ 0 ， 2 3 ] ， − 1 18 ( t − 2 3 ) ，         t ∈ [ 2 3 ， 1 ] ， a ( t ) = { 256 ( 2 3 − t ) ，             t ∈ [ 0 ， 2 3 ] ， − 1 45 ( t − 2 3 ) ，           t ∈ [ 2 3 ， 1 ] ， ω ( t ) = { 3 × 4 θ ( 2 3 − t ) ，       t ∈ [ 0 ， 2 3 ] ， − 1 4 ( t − 2 3 ) ，             t ∈ [ 2 3 ， 1 ] . 结论：当 λ ∈ [ 4507 794 × ( 1 5 + 4 sin 1 20 ) θ ， + ∞ ) ， μ ∈ ( 515 4396 ， 515 2198 ] 时，系统(27)至少存在两个正解。 为了验证满足定理3.1的条件的成立，根据文献 [ 2 ] 的命题2.3，我们给出以下命题： 命题4.1. 考虑如下问题 { − u ″ = k ( t ) u α ，   0 < t < 1 ， u ( 0 ) = u ( 1 ) = 0. 其中， α > 0 ， k ( t ) 满足 k ( t ) ≥ 0 ， t ∈ [ 0 ， ξ ] k ( t ) ≤ 0 ， t ∈ [ ξ ， 1 ] } 且 c 1 u α ≤ f ( u ) = u α ≤ c 2 u α . 如果存在 0 < σ < ξ 使得 c 1 ξ − σ 1 − ξ σ α + 1 k + ( ξ − ξ − σ 1 − ξ τ ) ≥ c 2 ξ α k − ( ξ + τ ) ，     τ ∈ [ 0 ， 1 − ξ ] . (28) 则下列不等式成立 σ α ∫ σ ξ G ( t ， s ) k + ( s ) d s ≥ c 2 c 1 ξ α ∫ ξ 1 G ( t ， s ) k − ( s ) d s . (29) 例4.1的证明：由 a ( t ) ， b ( t ) 和 ω ( t ) 的定义可知 ξ = 2 3 。下面来验证定理3.1的条件成立。 首先，条件(H1)~(H4)显然成立。其次，分三步验证条件(H5)~(H7)成立。 第一步验证条件(H5)的成立。令 c 1 = c 2 = 1 ， α = 1 和 σ 1 = 1 3 ，(28)式等价于下列不等式 1 9 b + ( 2 3 − τ ) ≥ 2 3 b − ( 2 3 + τ ) ，       τ ∈ [ 0 ， 1 3 ] . 令 2 3 − τ = γ 。则上述不等式等价于 1 9 b + ( γ ) ≥ 2 3 b − ( 4 3 − γ ) ，       γ ∈ [ 1 3 ， 2 3 ] . 由 b ( t ) 的定义可得上述不等式成立，则条件(H5)成立。 第二步验证条件(H6)的成立。令 c 1 = 1 ， c 2 = 9 2 ， α = 1 和 σ 2 = 1 3 ，则(29)式为 1 3 ∫ 1 3 2 3 G ( t ， s ) a + ( s ) d s ≥ 3 ∫ 2 3 1 G ( t ， s ) a − ( s ) d s . 另外，由上述不等式可得 1 3 ∫ 1 3 2 3 G ( t ， s ) 2 9 a + ( s ) d s ≥ 2 3 ∫ 2 3 1 G ( t ， s ) a − ( s ) d s ⇔ 1 3 ∫ 1 3 2 3 G ( t ， s ) ( min s ∈ [ 1 3 ， 2 3 ] G ( s ， s ) ) a + ( s ) d s         ≥ 2 3 ∫ 2 3 1 G ( t ， s ) a − ( s ) d s ⇒ 1 3 ∫ 1 3 2 3 G ( t ， s ) G ( s ， s ) a + ( s ) d s ≥ 2 3 ∫ 2 3 1 G ( t ， s ) a − ( s ) d s . 即由上述不等式可得条件(H6)的成立。 与第一步的证明类似，(28)式等价于下列不等式 1 9 a + ( γ ) ≥ 3 a − ( 4 3 − γ ) ，       γ ∈ [ 1 3 ， 2 3 ] . 由 a ( t ) 的定义可得上述不等式成立，则条件(H6)成立。 第三步验证条件(H7)的成立。令 c 1 = 2 θ ， c 2 = 1 ， α = θ 和 σ 2 = 1 3 ，与第一步的证明类似，(28)式等价于下列不等式 ( 1 3 ) θ + 1 ω + ( γ ) ≥ ( 4 3 ) θ ω − ( 2 3 + γ ) ，       γ ∈ [ 1 3 ， 2 3 ] . 由 ω ( t ) 的定义可得上述不等式成立，可得条件(H7)成立。因此，条件(H1)~(H7)成立。 最后，由计算可得 Γ = min σ 3 2 ≤ t ≤ σ 3 δ ( t ) = 1 4 ，     M = 2198 515 ， M 1 = 267 3320 × 4 θ ，         N = 1363 24352 ， max t ∈ J ∫ σ 3 2 σ 3 G ( t ， s ) ω + ( s ) d s = 3 × 4 θ × 113 9634 . 取 r 1 = 1 5 ， r = 1 2 ，则 β r 1 = min Γ r 1 ≤ u ≤ r 1 { f ( u ) } = ( 1 20 + sin 1 20 ) θ ，       D = 5 ， μ ″ 2 = 515 4396 ，     λ 0 = 4507 794 × ( 1 5 + 4 sin 1 20 ) θ ，     μ 1 = 515 2198 . 取 R = 77 ，可得 μ ′ 2 = 318 2741 。则 μ 2 = max { μ ′ 2 ， μ ″ 2 } = μ ″ 2 = 515 4396 。 综上所述，由定理3.1可得，当 λ ∈ [ 4507 794 × ( 1 5 + 4 sin 1 20 ) θ ， + ∞ ) ， μ ∈ ( 515 4396 ， 515 2198 ] 时，系统(27)至少存在两个正解。 例4.2. 考虑如下二阶微分系统： { − u ″ = a ( t ) φ u + λ ω ( t ) ( u + sin u ) θ ，   0 < t < 1 ， − φ ″ = μ b ( t ) u ，                     0 < t < 1 ， u ( 0 ) = u ( 1 ) = 0 ， φ ( 0 ) = φ ( 1 ) = 0. (30) 其中， 0 < θ < 1 ，且 a ( t ) ，   b ( t ) ，   ω ( t ) 定义与例4.1中相同。 结论：当 λ ∈ ( 0 ， 332 267 × ( 4 5 + 4 sin 1 5 ) θ ] ， μ ∈ ( 0 ， 2575 4396 ] 时，若 k 2 满足 0 < k 2 < 1660 267 λ × 4 θ ( 515 4396 μ ) 1 − θ ，则系统(30)至少存在三个正解。 例4.2的证明：类似与例4.1的证明，条件(H1)~(H7)成立。 取 r 1 = 1 5 ，则 λ 1 * = 332 267 × ( 4 5 + 4 sin 1 5 ) θ ， μ 1 * = 2575 4396 。由定理3.3可得，若 k 2 满足 0 < k 2 < 1660 267 λ × 4 θ ( 515 4396 μ ) 1 − θ ， 则系统(30)至少存在三个正解。