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user: 3. 基于压缩感知的二维DOA估计 3.1. 阵列结构和信号模型 阵列信号波达方向估计侧重于通过对感兴趣的空域信号进行处理计算，实现对信号参数的准确估计，从而获得信号源的位置信息。一般来说，整个估计过程分为三部分 [ 1 ]：目标空间、观察空间和估计空间，如图2所示。 图2. 空间谱估计过程 目标空间是由复杂环境和信号源参数组成，也就是我们通过特定的算法对信号参数进行估计的目的；观察空间主要由天线阵元和多个通道组成，其目的是接收目标空间发射过来的信号，环境的复杂性使得其信号信息可能包括噪声干扰信息；估计空间是利用相关的估计算法对信号的各参数进行计算。重构性能的好坏与很多因素有关，比如阵元间的互耦、通道之间的不一致性等。为了利于研究，通常假设： 1) 目标信号为远场窄带信号，阵列接收到的信号可视为平面波； 2) 天线阵列为全向天线，入射平面波的波长远，接收阵列阵元间距大于其几何尺寸，且各个阵元间的相互影响可忽略不计； 3) 信号在信道中的传输介质均匀、线性、同向性及非扩散的。 论文采用如图3所示的均匀圆形阵列接收信号，半径为r，均匀分布M个阵元，并以圆阵天线的圆心作为参考点。 图3. 均匀圆形阵列结构 假设有K个远场窄带信号源 { s k ( t ) } ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， K ，分别由方向 ( θ k ， ϕ k ) 入射到阵列上，其中方位角 θ k 定义为第k个入射信号在xoy平面投影与坐标系x轴的夹角： 0 < θ k < 360 ∘ ；俯仰角 ϕ k 定义为第k个入射信号与坐标系z轴的夹角： 0 < ϕ k < 90 ∘ ，则t时刻第m个阵元接收到的单快拍信号为： y m ( t ) = ∑ k = 1 K a ( θ k ， ϕ k ) s k ( t ) + n m ( t ) (8) 式中， m = 1 ， 2 ， ⋯ ， M ， { n m ( t ) } 表示各阵元上的高斯白噪声， a ( θ k ， ϕ k ) 表示第k个信号的导向矢量，即： a ( θ k ， ϕ k ) = [ e j 2 π r sin ϕ k cos ( θ k ) / λ ， e j 2 π r sin ϕ k cos ( θ k − 2 π M ) / λ ， ⋯ ， e j 2 π r sin ϕ k cos ( θ k − 2 π ( M − 1 ) M ) / λ ] T (9) 则t时刻，M个阵元接收的信号可表示为： y ( t ) = A ( θ ， ϕ ) s ( t ) + n ( t ) (10) 式中， y ( t ) 为阵元接收的 M × 1 维数据矢量，信号源 s ( t ) = [ s 1 ( t ) ， s 2 ( t ) ， ⋯ ， s K ( t ) ] T ，阵列导向矢量矩阵 A ( θ ， ϕ ) = [ a ( θ 1 ， ϕ 1 ) ， a ( θ 2 ， ϕ 2 ) ， ⋯ ， a ( θ k ， ϕ k ) ] 。为简便起见，式(9)改写为： a ( θ k ， ϕ k ) = [ e j ς cos ( θ k − γ 0 ) ， e j ς cos ( θ k − γ 1 ) ， ⋯ ， e j ς cos ( θ k − γ M − 1 ) ] T (11) 式中， γ m = 2 π m / M ， ς = k 0 r sin ϕ ， k 0 = 2 π / λ ， λ 为载波波长。 假设采样数为L，即考虑多快拍数模型下，阵列的接收数据的矢量 Y 为： Y = [ y ( 1 ) ， y ( 2 ) ， ⋯ ， y ( L ) ] ( Y ∈ C M × L ) ，空域信号源矢量变为： S = [ s ( 1 ) ， s ( 2 ) ， ⋯ ， s ( L ) ] ( S ∈ C K × L ) ，对应地，噪声矢量为： N = [ n ( 1 ) ， n ( 2 ) ， ⋯ ， n ( L ) ] ( N ∈ C M × L ) 。因此，接收端阵列接收到的数据矢量表达式如下： Y = A ( θ ， ϕ ) S + N (12) 3.2. 模式空间转换 均匀圆阵的天线模型有着巨大的优势，但其阵列流型矩阵却不符合Vandermonde结构，限制了很多优良算法的直接应用。由此，运用文献 [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] 所提的模式空间转换。 假设全阵元互不相耦，构造加权矩阵： F = W / M W = [ w − h ， w − h + 1 ， ⋯ ， w 0 ， ⋯ ， w h − 1 ， w h ] T w i = [ 1 ， e j i γ 0 ， ⋯ ， e j i γ M − 1 ] (13) 式中， i = − h ， ⋯ ， 0 ， ⋯ ， h ，h表示模式数。相应的模式空间阵列流形为： w i H a ( θ k ， ϕ k ) = b i ( ϕ k ) e j i θ k + ∑ q = 1 + ∞ [ b i + q M ( ϕ k ) e j ( i + q M ) θ k + b i − q M ( ϕ k ) e j ( i − q M ) θ k ] (14) 式中， b i ( ϕ ) = M j i J i ( ς ) 表示第i阶相位模式， J i ( ς ) 表示第i阶第一类贝塞尔函数。式(14)的第一项为主项，其他项为残余项。文献 [ 7 ] 证明：当 | i | > h = [ k 0 r ] 时， b i ( ϕ ) 的模值可以忽略。因此，当满足 M > 2 h + 1 时，即阵元间距小于 λ / 2 的均匀圆阵，残余项可以忽略，即： w i H a ( θ k ， ϕ k ) ≈ b i ( ϕ k ) e j i θ k (15) 有： b i − 1 ( ϕ k ) w i H a ( θ k ， ϕ k ) ≈ e j i θ k (16) 则阵列输出信号变换为： Y ¯ = J F Y = J F A ( θ ， ϕ ) S + J F N = A ¯ ( θ ) S + J F N (17) 其中， J = d i a g [ 1 / b i ( θ ) ] A ¯ ( θ ) = [ e − j h θ 1 e − j h θ 2 ⋯ e − j h θ K e − j ( h − 1 ) θ 1 e − j ( h − 1 ) θ 2 ⋯ e − j ( h − 1 ) θ K ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ e j h θ 1 e j h θ 2 ⋯ e j h θ K ] (18) 显然，此时的阵列流型矩阵满足Vandermonde结构， A ¯ ( θ ) ∈ C ( 2 h + 1 ) × K ，可以直接运用一维DOA估计算法进行求解。 3.3. SVD处理方法 对于实际情况，接收到的信号可能含有大量快拍数L，可能会造成计算量过高。由此论文将接收到的信号进行奇异值分解(Singular Value Decomposition， SVD)，得到信号子空间和噪声子空间 [ 15 ]，将高维接收信号矩阵映射到低维子空间，以减少计算量。即： Y ¯ = U L V H (19) 式中， i = − h ， ⋯ ， 0 ， ⋯ ， h ，h表示模式数。相应的模式空间阵列流形为： Y ¯ S = U L D k = Y ¯ V D k (20) 式中， D k = [ I k     O ] H ， I k 为 K × K 维单位矩阵， O 为 K × ( L − K ) 维零矩阵。由于右乘矩阵为矩阵初等列变换，故 Y ¯ S 与 Y ¯ 具有相同的稀疏特征，且 Y ¯ S 包含了信号大部分的能量。式(20)中无论信号源是否相干，大奇异值对应的奇异矢量都是各信号源阵列导向矢量的一个线性组合，从上述分析可知SVD分解本质是一个信号分量累积的过程，使得在低信噪比条件下能够进行信号处理。对比式(12)和式(20)可知，接收数据矩阵 Y ¯ 由 M × L 维降至 M × K 维，对于实际情况，快拍数L很大，而信源数目K通常很小，即有： L ≫ K ，因此求解式(20)显著降低了运算量。下面对式(20)所示的降维CS信号模型进行优化求解。 3.4. 稀疏信号求解 由CS理论可知，信号满足稀疏特性，则可借助稀疏分解求解原始信号。论文采用正交匹配追踪算法 [ 16 ] 进行求解，进而根据非零元素的位置得到信源对应的方位角估计值。再根据式(16)反推得到俯仰角估计值。 综合以上分析，该算法的基本实现步骤如表1： Table 1 2-D DOA estimation algorithm step 序号 算法步骤内容 1 利用模式空间转换将阵元空间的均匀圆阵转换成模式空间的虚拟线阵； 2 基于阵列流型矩阵的形式构造稀疏表示问题，建立一维DOA估计模型； 3 按照式(20)对 Y ¯ 进行SVD分解，获得信号子空间 Y ¯ S ； 4 利用OMP算法进行求解，并根据非零元素的位置得到对应的 θ 值； 5 按照式(16)反推得到 ϕ 值。 表1. 二维DOA估计算法步骤