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user: 3. 复杂网络的基本模型及参数 从复杂网络研究的起源可以看出最早的相关研究属于数学领域的研究分支，因此可以用数学的方法去定义网络。从数学的角度来说网络可以定义为一幅图，节点和边是构成图的基本元素相应的在网络中也有节点和边的存在，如互联网中的一台电脑或主机、万维网中的一个网站、社会网中的一个人或一个集团、通信网中的一个移动终端、生物网中的一个生物个体或物种、神经网中的一个神经元细胞等，都可以看成是网络中的一个节点。而边则是表示节点与节点间的某种特殊关系，如互联网物理层中的一条光纤、万维网中的一个链接通路、社会网中的一层关系、通信网中的一次会话、生物网中的食物链、神经网中的一个经络等。对于不同网络的节点间相互联系起来的联结方式是不同的所以不同的网络就有其自己特有的拓扑方式，从宏观上表现为网络的性质各不相同每一个网络都存在其特性，因此针对每一种网络的定性定量研究就成为利用网络的关键，作为研究网络的主要手段建立可靠的网络模型也要针对所研究的网络进行相应的调整。接下来将对网络模型中的一些重要参数和上面提到的三种网络模型及其性质进行介绍。 3.1. 主要参数 这个部分只列举参数并解释基本含义，在下文中重要网络模型的性质部分中会对不同网络模型的重要参数进行介绍。 度(degree)和度分布(degree distribution)：度是一个反映节点在网络中与其他节点连边情况的量。通常我们定义一个节点具有的与其他节点连边的数目总和为该节点的度，如果1个节点与除其本身以外的n个节点有连边那么这个节点的度为n。度分布是对于网络中节点的度的总体的描述，将具有相同度数的节点统计在一起并以度数为横坐标节点个数为纵坐标建立可以建立起一个分布图，这就类似于常见的学生成绩分布图可以直观地反映出不同网络模型度数的分布特性。如随机网络模型与小世界网络模型的度服从泊松分布，无标度网络模型的度则服从幂律分布，由此可以看出具有相同性质的不同网络可以具有相同的度分布，但值得注意的是即便是有相同的度分布其分布中的各参数值有可能是不相同的。 距离(distance)和平均最短路径长度(average shortest path-length)：在网络模型中距离表示一个节点到另一个节点的最短连边的条数，这是距离最常用也是最简单的一种定义方式。如在一个网络模型中节点A与它的邻居节点B，即A与B之间有边直接相连那么它们的距离是1，如果节点B也存在一个邻居节点C且A与C之间不存在边相连，那么A和C的距离就是2。一个网络上所有的节点距离的平均值就是这个网络的平均最短路径长度。 群集系数(clustering coefficient)：为了研究网络中的某一个节点它的直接邻居节点之间相互连接的稠密程度，人们提出了群集系数这个概念。群集系数的取值范围为0到1之间，假设网络中节点A的度为N，即A与其他n个节点相连(A有n个邻居节点)如果这n个邻居节点又全都相互连接则A的群集系数为1，反之如果A的所有邻居节点均互不相连则A的群集系数为0。将网络中所有节点的群集系数取值求平均值得到一个取值范围在0到1之间的实数，这个数就是整个网络的群集系数。星形规则网络和全连接的规则网络在说明这个问题上具有很好的代表性，星型规则网络中节点的邻居节点之间都不相互连接，星型规则网络的群集系数是0；全连接的规则网络从其名称就可以知道网络中所有节点都相互连接，因此任意节点的群集系数都为1整个网络的群集系数也是1。 介数(betweenness)：网络中两两相连的节点对之间通过该节点的所有连边的总数量称为节点介数；网络中两两相连节点对之间通过该边的所有连边的总数量称为连边介数，从概念上来说介数可以理解为在网络上通过人们关注的节点或者连边的数据流通量 [ 2 ] 。显然，在讨论网络数据流通管理控制时，节点介数比节点度常常更为重要；但是节点度相对容易计算获得，而节点介数很难进行计算因此有关节点介数的讨论相对较少。一个网络的节点(连边)平均介数就是网络上所有节点(连边)介数的平均值，一般来说，网络介数随着网络稠密程度的提高增加，相对稠密的网络比相对稀疏的网络介数要高。 3.2. 网络模型 在对不同的复杂网络进行研究时由于不同网络即存在着不同的特性和参数，如不同的网络节点度数存在差异，在某些方面又具有相似的特性，如现实生活中的许多复杂网络度分布都具有“幂律截尾”。因此首先要建立相应的数学模型来描述复杂网络，目前对网络模型的分类没有一个明确的标准，通常人们根据网络的生成方式大致上将复杂网络划分为三大类：规则网络、随机网络以及介于这两种极端情况之间的网络模型(图1)。 规则网络是研究历史最长的一类网络模型，包括全连接网络、星形、环形、链形网络等规则且具有确定性的网络。规则网络具备节点群集系数高、平均最短路径长的特点。由于其结构简单研究起来也比较容易所以不做过多介绍。现实世界中存在的网络的模型大多属于第三种既具有一定的规则但也有一定的随机性，如之前提到的比较重要的小世界网络模型和无标度网络模型。 图1. 网络结构示意图 [ 5 ] 3.2.1. 随机网络模型 将随机图 [ 6 ] (也称ER随机图论)的数学理论应用于网络研究则称为随机网络模型，这种模型描述为：由n个节点构成，每个节点两两之间都是相互连接的则边的总数为 n ( n − 1 ) / 2 条，从这些边中随机选取m条边由这些边和节点可以构成一个网络，有这种随机选取的方法构成的网络总共有 C n ( n − 1 ) / 2 m 种可能的情况，且每种网络是等可能出现的(出现概率相同)。如图2所示为随机网络模型 [ 5 ] 。 随机网络的大部分节点的节点度相近，在很多文献中也都提到随机网络的这种度分布服从泊松分布的性质，随机网络还具有较小的平均路径长度和较小的群集系数的性质 [ 7 ] 。到20世纪90年代末这种网络模型作为描述复杂网络的重要工具。 3.2.2. 小世界网络 随着现代科技的发展计算机在数据处理等方面的能力得到了很大的提高使人们可以对很多现实生活中的复杂网络进行仿真试验，在对大量的结果进行分析时人们发现现实世界中绝大多数的网络即不能用规则网络模型描述也不能用随机网络模型进行描述，于是提出了一些更符合实际的网络模型，即介于规则网络和随机网络之间的一类网络模型 [ 8 ] ，其中就包扩小世界网络和无标度网络模型 [ 9 ] [ 10 ] 。已知一个具有n个节点的规则环形网络，且其环上每一个节点都与其他m各节点相连，即每个节点都有m条边相连，对每一条边都以概率p进行断开然后在与除自身以外的其他节点进行重新连接(不能进行重复连接)，由此规则生成的网络模型被称为小世界网络模型。如图3所示为小世界网络模型 [ 5 ] 。 根据小世界网络的生成规则可以看出重新连接的节点也是随机的新生成的边所连接的两个节点距离可能很远也可能很近，将连接距离较远的边称为“长程边”。不难看出因长程边的存在小世界网络模型具有较小的平均最短路径长度，而且重新连接操作对节点的群集系数影响不大，所以小世界网络区别于规则网络和随机网络的特点就是同时具有较小的平均最短路径长度和较大的群集系数。同时小世界网络模型节点的度分布近似服从泊松分布。 3.2.3. 无标度网络模型 在人们对现实生活中的网络进行研究观察的时候发现许多网络具有大规模的高度自组织特性，其中网络节点度分布近似服从幂律分布即大多数节点具有相近的度数，极少数节点具有较大的度数。通过对网络这一特点的研究发现，假设一个网络随机的加入一个节点，而新加入节点在与网络中已有节点进行连接时会较大概率的连接度比较大的节点，我们理解为优先连接度比较大节点这就是择优连接特点，是无标度网络的一个重要特点也是生成无标度网络的重要规则。如图4所示为无标度网络模型 [ 5 ] 由这个特点我们可以分析出无标度网络具有较小的平均最短路径长度和较小的群集系数。 图2. 随机网络模型 图3. 小世界网络模型 图4. 无标度网络模型 以上三种网络模型是在复杂网络研究过程中出现的具有代表性的网络模型，如之前所提到的现实网络大多即不是规则的也不是完全随机的，虽然小世界和无标度网络至今都是研究现实网络的重要手段，但是并不是说小世界和无标度网络模型可以描述所有网络的特征，比如有些的网络同时具备小世界和无标度两种网络的一些基本性质，近10年来，复杂网络的研究开展得更加广泛，随着研究的深入也会提出更适合描述现实网络的模型，很多目前没有解决或不能解决的问题也会被逐一解决。 在复杂网络的研究中人们发现复杂网络的同步现象普遍存在于与人类关系密切的诸如通信网络、电力网络等复杂网络中。同步现象的发现最早可以追溯到1665年惠更斯观察到的固定在同一个杆上的两个钟摆在一段时间后钟摆的摆动会趋于同步，之后在1680年有人观察到萤火虫的闪烁从起初的无序逐渐趋于同一频率。现在通过人们的研究这种趋于“统一”的现象普遍存在于自然界和人类社会当中。复杂网络同步的研究对于复杂网络系统存在着重要的意义，同步可以使复杂网络系统的功能得到优化。对于复杂网络模型来说同步是指节点之差为0 [ 11 ] 。但是在研究中发现许多复杂网络想要达到同步状态或者两个至多个复杂网络达到同步状态需要人为的施加控制。因此人们开始研究复杂网络的同步控制方法通过施加合适的控制器使网络趋于同步状态来提高复杂网络的各方面性能。