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user: 3. 跨临界分岔和Flip分岔 本节考虑不动点 的跨临界分岔和flip分岔，选取 γ 为分岔参数。 3.1. E 0 ( 0 ， 0 ) 处的跨临界分岔和Flip分岔 从第2节可知，当 ( γ ， ε 1 ) ∈ l 1 时，有 ，当 ，有 λ 2 = − 1 ， λ 1 = ε 1 + ε 1 γ + 1 ，定义如下符号： f 1 = ε 2 − ε 1 λ 2 ; f 2 = ε 2 − ε 1 λ 1 ; f 3 = ε 1 2 ; f 4 = ε 2 ( 1 + S ) 2 = ( 1 − ε ) 4 . 定理3.1.1 当 γ = 1 时，不动点 E 0 ( 0 ， 0 ) 产生跨临界分岔。具体地讲，对 γ 的微小扰动使得 γ < 1 时不动点 E 0 是双曲且稳定的；当 γ > 1 时不动点 E 0 双曲且不稳定。 证明：把 γ 看作分岔参数并把F写成 F γ 来体现对 的依赖性，易得 D F γ ( E 0 ) = [ ε 1 γ ( 1 − ε 1 ) ( 1 − ε 1 ) γ ε 1 ] ， 其特征方程为 λ 2 − ( ε 1 + ε 1 γ ) λ + 2 ε 1 γ − γ = 0 ，特征值为 λ 1 = ε 1 ( 1 + γ ) − ( ε 1 + γ ε 1 ) 2 − 8 ε 1 γ + 4 γ 2 ， λ 2 = ε 1 ( 1 + γ ) + ( ε 1 + γ ε 1 ) 2 − 8 ε 1 γ + 4 γ 2 ， 特征值 λ 1 ， λ 2 对应的特征向量为 ( ε ， λ 1 − ε 1 γ ) τ ， ( ε ， λ 2 − ε 1 γ ) τ ， (3) 利用特征向量组(3)得到如下变换 [ x y ] = [ − ε − ε λ 1 − ε 1 γ λ 2 − ε 1 γ ] [ u v ] ， (4) 由变换(4)可以把系统(1)变为 [ u v γ ] ↦ [ λ 1 u λ 2 v γ ] + 1 λ 2 − λ 1 [ f 1 γ ( u + v ) + f 3 γ 2 ( u + v ) − f 1 γ ( u + v ) + f 3 γ 2 ( u + v ) 1 + k ε ( u + v ) − f 2 γ ( u + v ) − f 3 γ 2 ( u + v ) + f 2 γ ( u + v ) + f 3 γ 2 ( u + v ) 1 + k ε ( u + v ) 0 ] . (5) 当 ( γ ， ε 1 ) ∈ l 1 时，有 λ 2 = 1 ， λ 1 = ε 1 + ε 1 γ − 1 ，由文献 [ 10 ] 的定理2.1.4可知，令 γ 1 = γ − 1 ，在 附近，不动点 ( u ， v ) = ( 0 ， 0 ) 的稳定性与分岔可通过研究在中心流形上一参数族映射来确定，中心流形有如下形式： 假设中心流形如下， u = h ( v ， γ 1 ) = a v 2 + b v γ 1 + c γ 1 2 + O ( 3 ) . 其中 O ( 3 ) 表示次数大于或等于3的项，由中心流形的不变性质可得， N ( h ( u ， γ 1 ) ) = h ( u ， γ 1 ) − λ 1 h ( u ， γ 1 ) − 1 λ 2 − λ 1 { f 1 ( γ 1 + 1 ) [ h ( v ， γ 1 ) + v ] + f 3 ( γ 1 + 1 ) 2 [ h ( v ， γ 1 ) + v ]           − f 1 ( γ 1 + 1 ) [ h ( u ， γ 1 ) + v ] + f 3 ( γ 1 + 1 ) 2 [ h ( u ， γ 1 ) + v ] 1 + k ε [ h ( v ， γ 1 ) + v ] } = 0. 对比 v 2 ， v γ 1 ， γ 1 2 的系数解得 a = b = c = 0 ，因此系统(1)在 ( u ， v ) = ( 0 ， 0 ) 附近中心流形为 u = h ( v ， γ 1 ) = O ( 3 ) . 将其代入(5)中的第二个等式可得一维映射 v ↦ Φ γ 1 ( v ) = λ 2 v + 1 λ 2 − λ 1 [ − f 2 ( γ 1 + 1 ) v − f 3 ( γ 1 + 1 ) 2 v + f 2 ( γ 1 + 1 ) v + f 3 ( γ 1 + 1 ) 2 v 1 + k v ] + O ( 3 ) . 当 时，验算如下式子成立： ∂ Φ γ 1 ∂ γ 1 ( 0 ， 0 ) = 0 ， ∂ Φ γ 1 ∂ v ∂ γ 1 ( 0 ， 0 ) ≠ 0 ， ∂ 2 Φ ∂ v 2 ( 0 ， 0 ) ≠ 0. (6) 根据文献 [ 10 ] 第369页公式知系统(1)在 E 0 产生跨临界分岔，式子(6)表表明在 附近系统(1)的拓扑结构与如下式子的拓扑结构是局部拓扑等价的。 v ↦ Φ γ 1 ( v ) = λ 2 v + 1 λ 2 − λ 1 [ − f 2 ( γ 1 + 1 ) v − f 3 ( γ 1 + 1 ) 2 v + f 2 ( γ 1 + 1 ) v + f 3 ( γ 1 + 1 ) 2 v 1 + k v ] 定理3.1.2 当 ( γ ， ε 1 ) ∈ l 2 ， α 1 ≠ 0 ， α 2 ≠ 0 时，系统(1)在不动点 E 0 ( 0 ， 0 ) 经历Flip分岔。具体地讲，当 α 2 > 0 时，系统在不动点 E 0 ( 0 ， 0 ) 处分岔出稳定的2周期轨；当 α 2 < 0 时，系统在不动点 E 0 ( 0 ， 0 ) 分岔出的2周期轨是不稳定的。 证明：令 γ 2 = γ − γ 1 * ，计算得在 γ 2 附近的中心流形为 u = h ( v ， γ 2 ) = O ( 3 ) 。 类似定理3.1.1的计算可得一维映射： v ↦ Φ γ 2 ( v ) = λ 2 v + 1 λ 2 − λ 1 [ − f 2 ( γ 2 + γ 1 * ) v − f 3 ( γ 2 + γ 1 * ) 2 v                                             + f 2 ( γ 2 + γ 1 * ) v + f 3 ( γ 2 + γ 1 * ) 2 v 1 + k v ] + O ( 3 ) . 当 ( γ ， ε 1 ) ∈ l 2 时，有 ，系统(1)在不动点 E 0 有 [ ∂ Φ γ 2 ∂ γ 2 ∂ 2 Φ γ 2 ∂ v 2 + 2 ∂ 2 Φ γ 2 ∂ v ∂ γ 2 ] | ( 0 ， 0 ) = α 1 ≠ 0 ， [ 1 2 ( ∂ 2 Φ γ 2 ∂ v 2 ) 2 + 1 3 ∂ 3 Φ γ 2 ∂ v 3 ] | ( 0 ， 0 ) = α 2 ≠ 0. 其中 由文献 [ 11 ] 中的定理3.5.1可知，当 ( γ ， ε 1 ) ∈ l 2 ， α 1 ≠ 0 ， α 2 ≠ 0 时不动点 E 0 经历flip分岔。 3.2. E 1 ( x ∗ ， x ∗ ) 的跨临界分岔和Flip分岔 为讨论 E 1 ( x ∗ ， x ∗ ) 的分岔情况，我们定义如下符号： j 4 = ε ε 1 2 − ε ε 1 λ 1 ( γ 3 + 1 ) − ε 3 ( γ 3 + 1 ) ， j 5 = ε ε 1 2 − ε ε 1 λ 2 ( γ 4 + γ 2 * ) − ε 3 ( γ 4 + γ 2 * ) ， j 6 = ε ε 1 2 − ε ε 1 λ 1 ( γ 4 + γ 2 * ) − ε 3 ( γ 4 + γ 2 * ) ， j 7 = ε 1 λ 2 γ 2 * − ε 1 2 + ε 2 γ 2 * j 8 = 1 + e * 3 ε − 2 2 − ε ， j 9 = ε ε 1 λ 2 + ε 3 ， e = 2 j 4 ε ( λ 1 − λ 2 ) ( λ 2 − 1 ) ， e * = 2 ( 3 ε − 2 ) ( 2 − ε ) j 6 ε λ 2 ( λ 1 − λ 2 ) ( λ 2 − 1 ) ( 3 ε − 2 ) 2 − ε j 6 ( 8 ε − 2 ) . 定理3.2.1 当 时，不动点 E 1 ( x ∗ ， x ∗ ) 发生跨临界分岔。具体地讲，对 γ 的微小扰动使得 γ < 1 时不动点 是双曲且不稳定的；当 时不动点 E 1 是非双曲的；当 γ > 1 时不动点 是双曲且稳定的，平衡点的稳定性在 γ = 1 处发生了交替。 证明：对于 ( γ ， ε ) ∈ D 2 ，我们有 λ 1 = 1 ， λ 2 = ε 1 + ε 1 γ γ − 1 ，作平移变换 x ˜ = x − x ∗ ，把不动点 E 1 ( x ∗ ， x ∗ ) 移动到 E ˜ 1 ( 0 ， 0 ) 处，得到Jacobian矩阵，把 γ 看作分岔参数且把 F ˜ 写成 F ˜ γ 来体现对 γ 的依赖性，易得 D F ˜ γ ( E 1 ) = [ ε 1 γ ε ε γ ε 1 ] ， 其特征方程为 γ λ 2 − ( ε 1 + ε 1 γ ) λ + ε 1 2 − ε 2 = 0 ，易得特征值为 λ 1 = ( ε 1 + ε 1 γ ) γ − ( ε 1 γ − ε 1 ) 2 + 4 ε 2 γ 2 γ ， λ 2 = ( ε 1 + ε 1 γ ) γ + ( ε 1 γ − ε 1 ) 2 + 4 ε 2 γ 2 γ ， 及特征值 λ 1 ， λ 2 对应的特征向量为 ( − ε ， λ 1 − ε 1 γ ) τ ， ( − ε ， λ 2 − ε 1 γ ) τ 。 利用变换 ( x ， y ) τ = T ( u ， v ) τ ，则系统(1)变为 [ u v γ ] ↦ [ λ 1 u λ 2 v γ ] + 1 ε ( λ 1 − λ 2 ) [ j 1 ( u + v ) 1 − k ε ( u + v ) − j 1 ( u + v ) γ 2 − j 2 ( u + v ) 1 − k ε ( u + v ) + j 2 ( u + v ) γ 2 0 ] . (7) 其中 T = [ − ε − ε λ 1 − ε 1 γ λ 2 − ε 1 γ ] j 1 = ε ε 1 2 − ε ε 1 λ 2 γ − ε 3 γ ， j 2 = ε ε 1 2 − ε ε 1 λ 1 γ − ε 3 γ . 令 γ 3 = γ − 1 ，假设在 γ 3 附近的中心流形的形式为 v = h ( u ， γ 3 ) = d u 2 + e u γ 3 + f γ 3 2 + O ( 3 ) . 中心流形满足 N ( h ( u ， γ 3 ) ) = h ( u ， γ 3 ) − λ 2 h ( u ， γ 3 ) + 1 ε ( λ 1 − λ 2 ) { j 4 ( u + h ( u ， γ 3 ) ) 1 − k ε ( u + h ( u ， γ 3 ) ) − j 4 ( u + h ( u ， γ 3 ) ) ( γ 3 + 1 ) 2 } = 0. 对比 u 2 ， u γ 3 ， γ 3 2 的系数解得 d = 0 ， e = 2 j 4 ε ( λ 1 − λ 2 ) ( λ 2 − 1 ) ， f = 0 ， 故(8)表达式为 v = h ( u ， γ 3 ) = e u γ 3 + O ( 3 ) . (8) 将(8)代入(7)的第一个式子得映射 验算如下式子成立： ∂ Φ γ 3 ∂ γ 3 ( 0 ， 0 ) = 0 ， ∂ Φ γ 3 ∂ u ∂ γ 3 ( 0 ， 0 ) ≠ 0 ， ∂ 2 Φ γ 3 ∂ u 2 ( 0 ， 0 ) ≠ 0. 从而当 ( γ ， ε ) ∈ D 2 ，时，系统(1)在 产生跨临界分岔。 定理3.2.2 当 ( γ ， ε ) ∈ D 2 ， α 3 ≠ 0 ， α 4 ≠ 0 时，系统(1)在不动点 E 1 ( x ∗ ， x ∗ ) 经历flip分岔；当 α 4 > 0 时，系统在不动点 E 0 分岔出稳定的2周期轨；当 时系统在不动点 E 0 分岔出的2周期轨是不稳定的。 证明：当 ( γ ， ε ) ∈ D 2 时，令 γ 4 = γ − γ 2 * ，在 附近的中心流形为 v = h ( u ， γ 4 ) = e * u γ 4 + O ( 3 ) ，其中 e * = 2 ( 3 ε − 2 ) ( 2 − ε ) j 6 ε λ 2 ( λ 1 − λ 2 ) ( λ 2 − 1 ) ( 3 ε − 2 ) 2 − ε j 6 ( 8 ε − 2 ) . 类似定理3.2.1计算可得到一维映射： Φ γ 4 ( u ) = λ 1 u + 1 ε ( λ 1 − λ 2 ) [ j 5 ( u + e * u γ 4 ) 1 − k ε ( u + e * u γ 4 ) − j 5 ( u + e * u γ 4 ) ( γ 4 + 3 ε − 2 2 − ε ) 2 ] + O ( 3 ) . 系统(1)在不动点 E 1 发生flip分岔需满足： [ ∂ Φ γ 4 ∂ γ 4 ∂ 2 Φ γ 4 ∂ u 2 + 2 ∂ 2 Φ γ 4 ∂ u ∂ γ 4 ] | ( 0 ， 0 ) = α 3 ≠ 0 ， [ 1 2 ( ∂ 2 Φ γ 4 ∂ u 2 ) 2 + 1 3 ∂ 3 Φ γ 4 ∂ u 3 ] | ( 0 ， 0 ) = α 4 ≠ 0. 其中 α 3 = − 2 ε ( λ 1 − λ 2 ) { 2 ε j 2 2 + k ε j 8 2 ( j 9 + ε j 7 j 8 ) + j 8 ( 2 k e * ε 2 j 7 + j 9 ) + j 9 − 2 ε 3 ( 3 ε − 2 ) 2               − ( 2 − ε ) 2 ( 3 e * ε − ε − e * + 2 ) ( 3 ε − 2 ) 2 + ( 2 − ε ) [ 2 ε ε 1 2 + e * ( 2 − ε ) ] + j 9 ( 3 ε − 2 ) 3 − ε ε 1 2 ( 2 − ε ) ( 3 ε − 2 ) 4 } ， α 4 = 2 k 2 ε 2 λ 1 − λ 2 j 8 2 [ j 7 2 λ 1 − λ 2 − j 5 j 8 ] . 从而当 ( γ ， ε ) ∈ D 2 ， α 3 ≠ 0 ， α 4 ≠ 0 时，系统(1)在不动点 E 1 经历flip分岔。