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user: 2. 准备工作 2.1. 双树四元数小波 2.1.1. 四元数代数 首先，本文给出四元数代数的一些基本理论。 四元数代数于1843年由爱尔兰数学家W. R. Hamilton提出。四元数代数只是四维质点空间中实体的另一个名称，就像复数是平面中二维矢量空间中实体的另一个名称一样。事实上，四元数是复数到四维的扩展，因为我们可以用类似于将两个复数相乘的方式将两个四元数相乘 [ 14 ]。四元数代数的乘法具有不可交换性。对于任意的四元数代数q有如下表示： q = q 4 + q 1 i + q 2 j + q 3 k (1) 其中， q 1 ， q 2 ， q 3 ， q 4 ∈ R ， i 2 = j 2 = k 2 = i j k = − 1 。 2.1.2. 双树四元数小波变换 1999年，Bulow提出了四元傅里叶变换(Quaternion Fourier Transform， QFT)、二维希尔伯特变换(Hilbert Transform， HT)和一种二维解析信号新的理论。在Bulow定义的HT中，二维解析信号是通过将二维傅立叶谱限制在单个象限来定义的。Chan对其理论进行研究 [ 13 ]，证明了HT是二维双树连续小波变换的另一种选择。基于四元数代数理论以及Bulow的相关理论，Chan等人开发和研究了一种新的双树四元数小波变换(dual-tree quaternion wavelet transform， DTQWT)，其中每个四元数小波由一个实部(通常的实值离散小波)和三个虚部组成，这三个虚部根据四元数代数理论来组织。Chan所提出的DTQWT，是一个具有一个近似子带与三个细节子带(水平、垂直和对角)的4倍冗余的紧框架，同时它也是近乎平移不变的。 对于二维图像，双树四元数小波的分解和合成算法类似于复小波算法。将原始图像空间投影到相应的基函数之后，可以将小波系数组织成如下矩阵： Q = [ L L φ h ( x ) φ h ( y ) L H φ h ( x ) ψ h ( y ) H L ψ h ( x ) φ h ( y ) H H ψ h ( x ) ψ h ( y ) L L φ g ( x ) φ h ( y ) L H φ g ( x ) ψ h ( y ) H L ψ g ( x ) φ h ( y ) H H ψ g ( x ) ψ h ( y ) L L φ h ( x ) φ g ( y ) L H φ h ( x ) ψ g ( y ) H L ψ h ( x ) φ g ( y ) H H ψ h ( x ) ψ g ( y ) L L φ g ( x ) φ g ( y ) L H φ g ( x ) ψ g ( y ) H L ψ g ( x ) φ g ( y ) H H ψ g ( x ) ψ g ( y ) ] (2) 矩阵 Q 的每一列对应一个四元数代数，DTQWT分解的结果仍然是四元数代数，如下所示： { q 1 = L L φ h ( x ) φ h ( y ) + i L L φ g ( x ) φ h ( y ) + j L L φ h ( x ) φ g ( y ) + k L L φ g ( x ) φ g ( y ) q 2 = L H φ h ( x ) ψ h ( y ) + i L H φ g ( x ) ψ h ( y ) + j L H φ h ( x ) ψ g ( y ) + k L H φ g ( x ) ψ g ( y ) q 3 = H L ψ h ( x ) φ h ( y ) + i H L ψ g ( x ) φ h ( y ) + j H L ψ h ( x ) φ g ( y ) + k H L ψ g ( x ) φ g ( y ) q 4 = H H ψ h ( x ) ψ h ( y ) + i H H ψ g ( x ) ψ h ( y ) + j H H ψ h ( x ) ψ g ( y ) + k H H ψ g ( x ) ψ g ( y ) (3) 本文使用双树滤波器组 [ 15 ] Q-shift来实现DTQWT。在数字图像水印算法中，载体图像经过DTQWT变换后，可以提取其在不同频域的特征。由于DTQWT的系数也是四元数，我们可以在不同的尺度上获得相应的幅度、相位和频率信息。这样水印算法就可以应用到对载体图像影响较小的稳定分量上，然后利用逆DTQWT在不破坏图像特征的情况下将水印嵌入到载体图像中 [ 13 ]。DTQWT不仅提供了丰富的相位信息，解决了小波变换的共同缺点，而且在不同分辨率下考虑了图像的局部特性，显示出了比QFT [ 12 ] 更优越的性能。这些特性使得DTQWT成为一种很好的鲁棒水印构造候选算法。 2.2. 奇异值分解 奇异值分解(SVD)是一种用于各种数值应用的变换工具。它可以将任意矩形或正方形矩阵 A 分成三个矩阵， U 和 V 是正交矩阵， S 是包含原始矩阵 A 的奇异值的对角矩阵。从图像处理的角度来看，图像可以看作具有非负标量性质的矩阵。所以奇异值分解在信号处理、模式识别与数字图像处理方面有广泛的应用。设矩阵 A 是一个 m × n 维的矩阵，其中 m ≥ n ，则矩阵 A 奇异值分解 [ 8 ] 的数学公式如下： A = U S V T (4) 上式中， U = [ μ 1 ， μ 2 ， ⋯ ， μ m ] ， U 是 m × m 维的列正交矩阵，即 U U T = U T U = I m 其中 μ i ( i = 1 ， ⋯ ， m ) 称为左奇异向量， S = d i a g ( σ 1 ， σ 2 ， ⋯ ， σ n ) ， S 是 m × n 维对角线元素为降序排列的非负奇异值的对角矩阵， V = [ ν 1 ， ν 2 ， ⋯ ， ν n ] ， V 是 n × n 维的正交矩阵，即 V V T = V T V = I n ，其中 ν i ( i = 1 ， ⋯ ， n ) 称为右奇异向量。 若矩阵 A 的秩为r，则对角矩阵 S 满足 σ 1 ≥ σ 2 ≥ ⋯ ≥ σ r = σ r + 1 = ⋯ = σ n = 0 。 对于奇异值，在奇异值矩阵 S 中是按照从大到小的顺序排列，并且奇异值递减的速度特别快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和99%以上的比例，因此，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵，此过程的数学表达式如下： A m × n = U m × m S m × n V n × n T ≈ U m × k S k × k V k × n T (5) 其中k要比n小很多，即一个大的矩阵 A 可以用三个小的矩阵 U m × k 、 S k × k 、 V k × n 来表示。图像经过奇异值分解后可以用少量的奇异值代表整个图像的信息，在图像去噪和图像水印领域具有重要的意义。 2.3. Arnold变换 Arnold变换，由俄国数学家弗拉基米尔·阿诺德(Vladimir Igorevich Arnold)提出，由于Arnold本人最初对一张猫的图片进行了此种变换，所以又被称为“猫脸变换” (cat map)。Arnold变换可以把图像中各像素点的位置进行置乱，使其达到加密的目的，多应用在多媒体混沌加密中，同时其在数字水印图像置乱的领域上应用广泛。对于一幅大小为 N × N 的数字图像，其离散化的Arnold变换 [ 16 ] 如下： ( x ∗ y ∗ ) = ( a b c d ) n ( x y ) mod ( N ) ，     x ， y ∈ { 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， N − 1 } (6) 上式中， ( x ， y ) 是原始图像的像素坐标， ( x ∗ ， y ∗ ) 是经过Arnold变换后的像素坐标，mod(N)表示对N求模的运算，n表示对原始图像的置乱次数，置乱矩阵 ( a b c d ) 其中元素满足条件 | a d − b c | = 1 ，如置换次 数 n = 20 ，置乱矩阵中元素 a = b = 1 ， c = 2 ， d = 3 ，则此变换可以作为置乱变换，此时密钥 k e y = [ n ， a ， b ， c ， d ] ，在提取数字水印图像时，对置乱后的水印进行Arnold逆变换，key可以作为一种解密的工具。上述Arnold变换只能用于置乱正方形的数字图像。 图1(a)为一幅256 × 256大小的陕西师范水印的原始图像，图1(b)为经过30次Arnold变换置乱后的水印图像。 图1. Arnold置乱变换