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user: 3. 结果与分析 3.1. 主成分分析 利用R软件将数据进行标准化，并作出相关系数矩阵。所得相关系数矩阵见如下表2： Table 2 Correlation matri X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X1 1 −0.292 0.435 0.375 −0.492 0.453 0.464 −0.518 −0.216 X2 −0.292 1 −0.596 0.48 0.698 0.297 −0.678 0.601 −0.563 X3 0.435 −0.596 1 0.008 −0.431 0.183 0.912 −0.339 0.227 X4 0.375 0.48 0.008 1 0.526 0.916 0.008 0.429 −0.59 X5 −0.492 0.698 −0.431 0.526 1 0.402 −0.477 0.956 −0.359 X6 0.453 0.297 0.183 0.916 0.402 1 0.158 0.35 −0.535 X7 0.464 −0.678 0.912 0.008 −0.477 0.158 1 −0.405 0.323 X8 −0.518 0.601 −0.339 0.429 0.956 0.35 −0.405 1 −0.33 X9 −0.216 −0.563 0.227 −0.59 −0.359 −0.535 0.323 −0.33 1 表2. 相关系数矩阵 从表2中可以看出九个原始变量指标存在较高的相关性，因此可以采用较少的综合指标进行主成分分析，对各变量中各类信息加以解释 [ 3 ]。然后，用R软件进行主成分分析，将数据降维，提取出主要的因素。结果整理如表3、表4，图3： Table 3 Operation result Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4 Comp.5 Comp.6 Comp.7 Comp.8 Comp.9 Standard deviation 2.3044 1.1700 1.0588 0.8127 0.5012 0.3824 0.2901 0.2235 0.0884 Proportion of Variance 0.5900 0.1521 0.1246 0.0734 0.0279 0.0162 0.0094 0.0055 0.0009 Cumulative Proportion 0.5900 0.7421 0.8667 0.9300 0.9678 0.9842 0.9936 0.9991 1.0000 表3. 运行结果 Table 4 Load lis Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4 Comp.5 Comp.6 Comp.7 Comp.8 Comp.9 X1 0.201 0.698 0.114 0.294 0.000 0.533 0.225 0.133 0.135 X2 −0.373 0.153 0.000 −0.257 −0.842 0.142 0.137 −0.124 0.000 X3 0.324 0.193 −0.534 0.000 −0.250 −0.516 0.325 0.345 0.128 X4 −0.387 0.143 0.000 0.446 −0.112 −0.152 −0.522 0.537 −0.352 X5 −0.381 0.000 −0.436 0.000 0.000 0.180 −0.170 0.000 0.747 X6 −0.371 0.193 0.000 0.508 0.125 −0.352 0.308 0.411 0.108 X7 0.353 0.142 −0.482 0.009 −0.163 0.159 −0.542 0.452 0.000 X8 −0.341 −0.104 −0.523 −0.135 0.259 0.368 0.303 0.24 −0.53 X9 0.206 −0.600 0.000 0.602 −0.312 0.299 0.208 0.000 0.000 表4. 载荷表 图3. 碎石图 由图显示，前三个结果的累计贡献率接近87%，因此可以舍去另外六个主成分，达到降维的目的。由载荷图可以得到各主成分表达式： F 1 = 0.201 x 1 − 0.373 x 2 + 0.324 x 3 − 0.387 x 4 − 0.381 x 5 − 0.371 x 6 + 0.353 x 7 − 0.341 x 8 + 0.206 x 9 ; F 2 = 0.698 x 1 + 0.153 x 3 + 0.193 x 3 + 0.143 x 4 + 0.193 x 6 + 0.142 x 7 − 0.104 x 8 − 0.600 x 9 ; F 3 = 0.114 x 1 − 0.534 x 3 − 0.436 x 5 − 0.482 x 7 − 0.534 x 8 将原始数据标准化后的变量值 x 1 ，   x 2 ， ⋯ ，   x 9 带入主成分表达式，可以计算出每个城区在经济发展研究中各主成分的得分，充分利用各主成分的方差贡献率，以得到更加准确的综合评价公式 [ 4 ]，再以各主成分的加权方差贡献率为权重，得到武汉区经济发展的综合评价公式为： Y = ( F 1 * 0.5900 + F 2 * 0.1521 + F 3 * 0.1246 ) / 0.8667 根据综合得分对各城区经济发展进行排名，见下表5： Table 5 Scores of principal component and comprehensive rankin F1 第一主成分得分排名 F2 第二主成分得分排名 F3 第三主成分得分排名 Y 综合得分排名 江汉区 1.7014 1 −0.32154 4 −0.57124 11 0.96 1 江岸区 1.3046 2 0.07245 5 0.34561 7 0.83 2 洪山区 0.9628 4 −0.02361 7 0.65232 4 0.68 3 武昌区 1.0986 3 0.0568 6 −0.56442 10 0.57 4 汉阳区 0.3254 6 0.42063 3 0.96001 3 0.43 5 青山区 −1.3212 13 2.88634 1 −0.52883 9 0.24 6 东西湖区 0.23538 7 0.44827 2 0.52346 5 0.12 7 硚口区 0.6213 5 −0.29367 8 −1.12517 12 0.08 8 江夏区 −0.76684 9 −0.41712 9 1.41523 1 −0.23 9 黄陵区 −0.59846 8 −0.84126 12 1.29634 2 −0.38 10 新洲区 −0.85956 10 −0.80123 11 0.34999 6 −0.64 11 蔡甸区 −0.96077 11 −0.6321 10 0.02436 8 −0.75 12 汉南区 −1.06345 12 −1.14257 13 −2.2834 13 −1.32 13 表5. 各主成分得分及综合排名 从表中综合得分排名来看，可以看出各中心城区排名比远郊城区排名靠前，表中不仅给出了综合得分排名，也给出了每一个主成分排名，从中可以发现，第一主成分能最大限度的反映样品间的差异，是影响各城区经济发展排名的最关键因素。 3.2. 因子分析 3.2.1. 利用SPSS进行因子分析 因子分析法是从原始变量的相关矩阵R出发，建立因子模型，将一些具有错综复杂关系的变量综合为少数几个新的不可观测而又彼此独立的综合指标(称为“因子”)，这几个相互无关的因子能够结实原始变量的绝大部分信息，并且相关性较低，基于这种思想，本文用因子分析来研究武汉个城区经济发展情况。 利用SPSS 25进行因子分析(结果见表6、表7、表8、表9、表10、图4)，首先将原始数据标准化，得到标准化矩阵和相关系数矩阵，下表是KMO和Barlett的检验结果，从中可以看出KMO的值为0.611，大于最低标准0.5，表明该数据适合做因子分析。Barlett的球形度检验的显著性水平小于0.01，表明标准化原始变量值的相关系数矩阵间有共同元素存在，适合做因子分析。 Table 6 KMO and Barlett tes KMO和巴特利特检验 KMO取样适切性量数。 0.611 巴特利特球形度检验 近似卡方 97.554 自由度 36 显著性 0.000 表6. KMO和Barlett的检验 Table 7 Common factor varianc 公因子方差 初始 提取 全社会固定资产投资 1.000 0.896 社会消费品零售额 1.000 0.773 从业人员平均人数 1.000 0.929 分区生产总值 1.000 0.825 城镇居民人均可支配收入 1.000 0.986 公共财政总收入 1.000 0.784 主营业务收入 1.000 0.950 城镇居民人均消费支出 1.000 0.939 工业总产值 1.000 0.720 表7. 公因子方差 提取方法：主成分分析法。 由表7、表8公因子方差值、总解释方差和图4碎石图可知，前三个因子的累计贡献率已达86.668%，即选取这三个因子作为主因子就可以解释原始变量86.668%的信息，也就是说，通过选择三个因子进行分析，就能充分反应武汉市城区经济发展的综合水平。 Table 8 Total variance interpretatio 总方差解释 成分 初始特征值 提取载荷平方和 旋转载荷平方和 总计 方差百分比 累积% 总计 方差百分比 累积% 总计 方差百分比 累积% 1 5.310 59.004 59.004 5.310 59.004 59.004 3.124 34.710 34.710 2 1.369 15.209 74.213 1.369 15.209 74.213 2.956 32.839 67.550 3 1.121 12.455 86.668 1.121 12.455 86.668 1.721 19.118 86.668 4 0.661 7.339 94.007 5 0.251 2.791 96.798 6 0.146 1.625 98.423 7 0.084 0.935 99.358 8 0.050 0.555 99.913 9 0.008 0.087 100.000 表8. 总方差解释 提取方法：主成分分析法。 图4. 碎石图 为了更加明确各因子的经济含义，下面对因子载荷矩阵进行正交旋转，使得旋转后的因子载荷值向0和1靠近，得到的正交因子旋转成分矩阵见表9。 Table 9 Rotating component matri 旋转后的成分矩阵 a 成分 1 2 3 x1 −0.435 0.348 0.765 x2 0.588 −0.589 0.283 x3 −0.166 0.946 0.078 x4 0.622 −0.602 0.274 x5 0.958 −0.262 −0.002 x6 0.651 −0.508 0.319 x7 −0.251 0.941 0.017 x8 0.955 −0.145 −0.085 x9 −0.325 0.223 −0.752 表9. 旋转成分矩阵 提取方法：主成分分析法；旋转方法：凯撒正态化最大方差法；a. 旋转在5次迭代后已收敛。 通过因子旋转，容易看出旋转之后的三个主因子均有比较典型的代表变量。第一个主因子在指标X8：城镇居民人均消费支出、X5：城镇居民人均可支配收入、X6：公共财政总收入具有较高载荷和解释能力，该类指标主要反映了经济发展的总量以及人民生活水平的状况，故将其命名为综合经济实力因子，第二主因子在X2：社会消费品零售额、X3：从业人员平均人数、X7：主营业务收入上具有较高载荷和解释能力，该指标主要反映地区的收入和劳动力水平，可以将其命名为收入和劳动力水平发展因子。第三主因子在X1：全社会固定资产投资、X9：工业总产值上具有较高载荷和解释能力，该指标主要反映了地区投资规模水平和工业发展水平状况，可以将其命名为投资规模以及工业发展水平因子。 在SPSS中采用主成分方法提取主因子，下面输出因子得分系数矩阵H，见表10： Table 1 0 Component score coefficient matri 成分得分系数矩阵 成分 1 2 3 x1 −0.240 0.130 0.549 x2 0.054 −0.109 0.176 x3 0.228 0.492 0.086 x4 0.068 −0.107 0.168 x5 0.410 0.172 −0.015 x6 0.109 −0.039 0.203 x7 0.193 0.455 0.044 x8 0.464 0.230 −0.069 x9 0.038 −0.058 −0.516 表10. 成分得分系数矩阵 提取方法：主成分分析法；旋转方法：凯撒正态化等量最大法；组件得分。 由 F = H ′ X − 1 B ′ 计算其因子得分，其中 F = ( F 1 ，     F 2 ，     F 3 ) ，Fi为第i个公因子的得分，以各因子的加权方差贡献率作为权重，最后得到武汉市城区经济发展研究的综合评价公式为： Y = ( F 1 * 0.59004 + F 2 * 0.15209 + F 3 * 0.12455 ) / 0.86668 根据综合得分对经济发展进行排名，得到表11如下： Table 1 1 Factor score and comprehensive scor F1 第一主因子得分排名 F2 第二主因子得分排名 F3 第三主因子得分排名 Y 综合排名 青山区 0.67806 5 2.82153 1 −1.31211 12 1.13 1 江汉区 1.62743 1 −0.84021 12 −0.23189 9 0.67 2 江岸区 1.0542 2 −0.61234 10 0.61533 5 0.53 3 汉阳区 0.22333 7 0.41234 4 0.92345 3 0.41 4 洪山区 0.82345 4 −0.4263 9 0.82316 4 0.39 5 武昌区 0.98742 3 −0.0003 5 −0.32189 10 0.28 6 东西湖区 0.0327 8 0.57476 2 0.51207 6 0.26 7 江夏区 −0.98234 9 0.4715 3 1.15876 2 −0.16 8 硚口区 0.35182 6 −0.77476 11 −0.92627 11 −0.24 9 黄陂区 −1.07169 10 −0.0782 7 1.21641 1 −0.37 10 新洲区 −1.2371 13 −0.09692 8 0.32643 7 −0.58 11 蔡甸区 −1.23101 11 −0.0094 6 −0.00087 8 −0.62 12 汉南区 −1.20121 12 −1.03121 13 −2.21252 13 −1.19 13 表11. 主因子的得分以及综合得分表 表11中不仅有各城区综合排名，还可以通过主因子得分看出各城区综合经济实力、工业发展水平、投资规模上的排名情况，有利于更好的对十三个城区的经济发展水平进行评价。由表可知，综合因子得分在平均水平之上的城区有7个，依次为青山区、江汉区、江岸区、汉阳区、洪山区、武昌区和东西湖区。 3.2.2. 利用R软件进行因子分析 利用R软件进行因子分析，结果如图5所示： 图5. 因子分析图 从图5中可以看出，保留三个主成分即可。将所得结果进行统计整理，所得数据如下表12、表13、表14： Table 1 2 Output result ML1 ML2 ML3 SS loadings 5.21 1.05 0.78 Proportion Var 0.58 0.12 0.09 Cumulative Var 0.58 0.70 0.78 Proportion Explained 0.74 0.15 0.11 Cumulative Proportion 0.74 0.99 1.00 表12. 输出结果 Table 1 3 Output result ML1 ML2 ML3 u2 com V1 −0.53 0 0.54 0.4339 2 V2 0.8 −0.03 0.09 0.3453 1 V3 −0.75 0.52 0.03 0.1639 1.8 V4 0.87 0.02 0.48 0.0232 1.6 V5 0.88 0.46 −0.03 0.0048 1.5 V6 0.83 0.08 0.43 0.1194 1.5 V7 −0.83 0.56 0.05 0.0050 1.8 V8 0.81 0.50 −0.24 0.0346 1.9 V9 −0.40 −0.01 −0.09 0.8301 1.1 表13. 输出结果 Table 1 4 Output result ML1 ML2 ML3 Correlation of scores with factors 1.00 1.00 0.97 Multiple R square of scores with factors 1.00 0.99 0.94 Minimum correlation of possible factor scores 0.99 0.98 0.87 表14. 输出结果 fa函数中，第一个参数为数据，第二个参数说明要保留3个主成分，第三个参数为旋转方法，为none，即不进行主成分旋转，第四个参数表示提取公因子的方法为最大似然法。上图表明输出结果与主成分输出结果基本一致，并可看出该数据选取三个主成分解释了原始变量80%的方差。 因子分析的目的不仅是要找出公因子，还要能解释每一个公因子所代表的实际含义，未旋转的因子载荷矩阵可能某一行有多个载荷系数比较大，也有可能某一列有多个载荷系数比较大，这表明公因子可能解释了多个变量的信息，导致该公因子代表性不强，为此，我们可以将初始公因子进行线性组合，也就是进行因子旋转，经过适当变换，解决上述问题 [ 5 ]，利用R软件所得结果如表15、表16、表17所示： Table 1 5 Output result ML1 ML2 ML3 h2 u2 com V1 0.02 0.38 −0.65 0.57 0.4339 1.6 V2 0.59 −0.44 0.35 0.65 0.3453 2.5 V3 −0.33 0.83 −0.17 0.84 0.1639 1.4 V4 0.91 −0.36 0.13 0.98 0.0232 1.3 V5 0.69 −0.09 0.71 1 0.0048 2 V6 0.87 −0.30 0.17 0.88 0.1194 1.3 V7 −0.36 0.91 −0.20 1.00 0.0050 1.4 V8 0.51 −0.06 0.84 0.97 0.0346 1.7 V9 −0.33 0.16 −0.16 0.17 0.8301 2 表15. 输出结果 Table 1 6 Output result ML1 ML2 ML3 SS loading 3.04 2.11 1.88 Proportion Var 0.34 0.23 0.21 Cumulative Var 0.34 0.57 0.78 Proportion Explained 0.43 0.3 0.27 Cumulative Proportion 0.43 0.73 1.00 表16. 输出结果 Table 1 7 Output result ML1 ML2 ML3 Correlation of (regression) scores with factors 0.98 1.00 0.98 Multiple R square of possible factor scores 0.97 0.99 0.97 Minimum correlation of possible factor scores 0.93 0.98 0.93 表17. 输出结果 由图5可以看出，两个因子的方差比例不变，但在各观测值的载荷上发生了改变。 下图6是利用R软件进行数据可视化的结果： 图6. 数据可视化 3.3. 结果检验 运用SPSS 25对主成分分析和因子分析所得排名进行Spearman相关性检验，结果见下表18： Table 1 8 Correlation tes 相关性 主成分分析排名 因子分析排名 斯皮尔曼Rho 主成分分析排名 相关系数 1.000 0.896 ** Sig.(双尾) 0.0 0.000 N 13 13 因子分析排名 相关系数 0.896 ** 1.000 Sig.(双尾) 0.000 0.0 N 13 13 表18. 相关性检验 ** .在0.01级别(双尾)，相关性显著。 由表可知，相关系数为0.896，说明两者之间存在较强的正相关，同时sig值为0，通过显著性检验，因此我们可以认为基于主成分分析和因子分析对武汉市城区经济发展研究的排名结果具有一致性，其综合评价模型公式等价。 3.4. 聚类分析 将所得标准化数据利用R软件按照最短距离法、重心法和Ward法进行聚类分析，得到分类结果(见图7，图8，图9)，运行结果表明三种方法聚类效果高度吻合。 图7. 最短距离法 图8. 重心法 图9. Ward法 从树状图中可以将城区进行划分类别，以聚类结果来看，武汉市13个城区其城区经济发展结构存在较明显的差异，结合原始数据，具体表现为青山区在主营业务收入、工业总产值、从业人员平均人数上远远高于其他城区，说明青山区工业发展势头很好，汉南区在社会消费品零售额、生产总值、财政总收入上明显低于其他城区，由此可见，汉南区总体经济实力发展较弱，剩下的其他城区发展结构较一致，再细分观察，发现中心城区与中心城区之间有更相似，远郊城区与远郊城区之间也更为相似 [ 4 ]。 3.5. 判别分析 将聚类结果分成4类，第一类：青山区，汉南区；第二类，武昌区、江岸区、江汉区；第三类：硚口区、汉阳区、洪山区；第四类：蔡甸区、黄陂区、新洲区、东西湖区、江夏区。下面利用R软件做贝叶斯判别和距离判别(见表19、表20)，检验聚类分析结果的合理性，其中数字1~4表示类别，相同的数字代表同一个类别，结果表明判别分析误判率为0.07，即约93%的对象能被分到正确的类中，判别分析的结果与聚类分析几乎吻合，因此聚类分析是合理的。 Table 1 9 Distance discrimination result 城区 汉南区 青山区 武昌区 江汉区 江岸区 蔡甸区 东西湖区 黄陂区 新洲区 江夏区 硚口区 汉阳区 洪山区 类别 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 4 2 4 表19. 距离判别结果 Table 2 0 Bayes discrimination result 城区 汉南区 青山区 武昌区 江汉区 江岸区 蔡甸区 东西湖区 黄陂区 新洲区 江夏区 硚口区 汉阳区 洪山区 类别 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 4 2 4 表20. 贝叶斯判别结果