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user: 2. 预备知识及基本引理 点态化完备代数正规类的相关概念及性质参见文献 [ 24 ] [ 25 ] 。 定义2.1 [ 12 ] ： A 是一个代数类， R ⊆ A ，如果R满足： a) ∀ a ∈ A ， i ⊲ a ，如果a∈R，则 a / i ∈ R (即R商闭)； b) ∀ a ∈ A ，a有一个最大的R-理想(记为R(a))，称a的R-根； c) ∀ a ∈ A ，有 R ( a / R ( a ) ) = 0 。 则称R为 A 中的一个根类，简称根。 定义2.2 [ 12 ] ： A 是一个代数类， R ⊆ A 是一个根类， A 中代数类 PR = { a | R ( a ) = 0 } 称为R的半单类，PR中元素称为R-半单代数。 引理2.3 [ 15 ] ： A 是一个完备代数正规类，则： 1) 如果 i ， j ⊲ a ，则 i j ≤ i ∧ j ，特别 i i ≤ i ； 2) 如果 i ， j ⊲ a ，则 i j ⊲ a ； 3) n是正整数，如果 i 1 ， i 2 ， ⋯ ， i n ⊲ a ，则 i 1 i 2 ⋯ i n ⊲ a 。 引理2.4 [ 13 ] [ 14 ] ： A 是一个完备代数正规类，R为 A 中的一个根类， a ∈ A ， i ⊲ a 。如果 a / i ∈ PR ，则 R ( a ) ≤ i 。 引理2.5 [ 15 ] ： A 是一个完备代数正规类，K为 A 的一个子类，K中每个代数的理想都在K中(即K对理想封闭)。则 t ∈ ϕ a ( ( t ) 2 ) 是一个根类(称由K确定的上根，记为UK)，且 K ⊆ PR 。进一步有：如果 R 1 是一个根类，且 K ⊆ PR 1 ，则 R 1 ⊆ R ，记为根类 R 1 ≤ R 。 引理2.6 [ 15 ] ： A 是一个完备代数正规类， ∀ a ∈ A ， i ⊲ a ， k ⊲ i ， k ¯ 是a的包含k的最小理想。则 k ¯ = k ∨ a k ∨ k a ∨ a k a ，且 k ¯ 3 ≤ k 。 引理2.7 [ 24 ] [ 25 ] ：设 a ∈ A 是一个非零代数， ϕ a : L a s → P ( S a ) 是完备代数正规类中 L a s 到 P ( S a ) 的映射。则 ∀ i ， j ∈ L a s 有： i ≤ j 当且仅当 ϕ a ( i ) ⊆ ϕ a ( j ) 。 引理2.8 [ 24 ] [ 25 ] ：设 a ∈ A 是一个非零代数， ϕ a : L a s → P ( S a ) 是完备代数正规类中 L a s 到 P ( S a ) 的映射， 0 ≠ t ∈ S a ， ∅ ≠ A ⊆ S a 。则： 1) 存在a的一个最大的理想 i t ，使得 t ∉ ϕ a ( i t ) ； 2) 分别存在a的一个最小的在 ϕ a 下的像包含t的子代数 〈 t 〉 、右理想 〈 t ) 、左理想 ( t 〉 、理想 ( t ) ，且 〈 t 〉 = ∧ { b ∈ L a s | t ∈ ϕ a ( b ) } ， 〈 t ) = ∧ { b ∈ L a r | t ∈ ϕ a ( b ) } ， ( t 〉 = ∧ { b ∈ L a l | t ∈ ϕ a ( b ) } ， ( t ) = ∧ { b ∈ L a | t ∈ ϕ a ( b ) } ， 分别称t生成的主子代数 〈 t 〉 、主右理想 〈 t ) 、主左理想 ( t 〉 及主理想 ( t ) ； 3) 分别存在a的一个最小的 ϕ a 下的像包含A的子代数 〈 A 〉 、右理想 〈 A ) 、左理想 ( A 〉 、理想 ( A ) ，且 〈 A 〉 = ∧ { b ∈ L a s | A ∈ ϕ a ( b ) } ， 〈 A ) = ∧ { b ∈ L a r | A ⊆ ϕ a ( b ) } ， ( A 〉 = ∧ { b ∈ L a l | A ∈ ϕ a ( b ) } ， ( t ) = ∧ { b ∈ L a | A ∈ ϕ a ( b ) } ， 分别称A生成的子代数 〈 A 〉 、右理想 〈 A ) 、左理想 ( A 〉 及理想 ( A ) ； 4) ∀ i ∈ L a s ， i = ∨ { 〈 t 〉 | t ∈ ϕ a ( i ) } ； ∀ i ∈ L a r ， i = ∨ { 〈 t ) | t ∈ ϕ a ( i ) } ； ∀ i ∈ L a l ， i = ∨ { ( t 〉 | t ∈ ϕ a ( i ) } ； ∀ i ∈ L a ， i = ∨ { ( t ) | t ∈ ϕ a ( i ) } ； 5) ∀ i ∈ L a ， t ∈ S a ，则 i ∧ 〈 t 〉 = 〈 t 〉 当且仅当 t ∈ ϕ a ( i ) 。 注1 引理2.8中性质(5)在文献 [ 24 ] [ 25 ] 中由于笔误写成了“ i ∨ 〈 t 〉 = 〈 t 〉 当且仅当 t ∈ ϕ a ( i ) ”。 根类的判别经常可用以下2组条件。 定理2.9: A 是一个代数类， R ⊆ A ，R为 A 中的一个根类 ⇔ R满足以下3个条件： a) ∀ a ∈ A ， i ⊲ a ，如果 a ∈ R ，则 a / i ∈ R (即R商闭)； b) ∀ a ∈ A ，a有一个最大的R-理想(记为R(a))； c ¯ ) ∀ a ∈ A ， i ⊲ a ，如果 i ， a / i ∈ R ，则有 a ∈ R (称R扩张闭)。 证明 “ ⇒ ”此处只需证明由条件(a)，(b)，(c)可推出条件( c ¯ )。 ∀ a ∈ A ， i ⊲ a ， i ， a / i ∈ R ，如果 a ∉ R ，则由条件(b)，(c)有 R ( a / R ( a ) ) = 0 ， a / R ( a ) ≠ 0 。又由条件(b)有 i ≤ R ( a ) ，所以 a / R ( a ) ~ ( a / i ) / ( R ( a ) / i ) ，由 a / i ∈ R 及性质(a)有 a / R ( a ) ∈ R ，即 R ( a / R ( a ) ) = a / R ( a ) ，矛盾。所以 a ∈ R ，即条件( c ¯ )成立； “ ⇐ ”此处只需证明由条件(a)，(b)，( c ¯ )可推出条件(c)。 ∀ a ∈ A ，有 R ( a / R ( a ) ) = i / R ( a ) ， i ⊲ a ， i ≥ R ( a ) ，则由条件( c ¯ )及i/R(a)， R ( a ) ∈ R 有 i ∈ R ，即i是a的R-理想，由条件(b)有 i ≤ R ( a ) ，所以 R ( a / R ( a ) ) = i / R ( a ) = 0 ，即条件(c)成立。证毕。 定理2.10： A 是一个代数类， R ⊆ A ，R为 A 中的一个根类 ⇔ R满足以下3个条件： a) ∀ a ∈ A ， i ⊲ a ，如果 a ∈ R ，则 a / i ∈ R (即R商闭)； b ¯ ) ∀ a ∈ A ，如果 i 1 ⊲ i 2 ⊲ ⋯ ⊲ i μ ⊲ ⋯ 是a的R-理想升链(即 ∀ μ ， i μ ∈ R )，则理想 ∨ μ i μ ∈ R (称R有归纳性质)； c ¯ ) ∀ a ∈ A ， i ⊲ a ，如果 i ， a / i ∈ R ，则有 a ∈ R (称R扩张闭)。 证明 “ ⇒ ”此处只需证明由条件(a)，(b)，( c ¯ )可推出条件( b ¯ )。 ∀ a ∈ A ，由条件(a)，(b)，(c)有 R ( a ) = { ∨ μ i μ | i μ ⊲ a ， i μ ∈ R } 。如果 i 1 ⊲ i 2 ⊲ ⋯ ⊲ i μ ⊲ ⋯ 是a的R-理想升链，取 b = ∨ i μ ⊲ a ，从而 i 1 ⊲ i 2 ⊲ ⋯ ⊲ i μ ⊲ ⋯ 是b的R-理想升链，则 R ( b ) = { ∨ ν j ν | j ν ⊲ b ， j ν ∈ R } ≥ ∨ μ i μ = b ，即 b = ∨ i μ ∈ R ，故条件( b ¯ )成立； “ ⇐ ”此处只需证明由条件(a)，( b ¯ )，( c ¯ )可推出条件(b)。 ∀ a ∈ A ，由条件( b ¯ )及Zorn引理a有极大R-理想b。对a的任意R-理想k，考虑 ( b ∨ k ) / k ~ b / ( b ∧ k ) ∈ R ， k ∈ R ，从而由条件( c ¯ )有 b ∨ k ∈ R ， 由b的极大性有 b ∨ k = b ，所以 b = { ∨ μ i μ | i μ ⊲ a ， i μ ∈ R } 是a的最大R-理想，即条件(b)成立。证毕。