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user: 2. 问题描述及系统建模 2.1. 问题描述 考虑如图2所示的过程工业广泛应用的蒸汽动力系统 [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]，该系统分为超高(SS)、高(HS)、中(MS)、低压(LS)、冷凝水(SC)五个等级，不同等级的管网之间安装汽轮机，汽轮机做功产生计划生产的电力和动力，假使系统的发电量不满足计划，也可以使用国家电网买电。不同等级的蒸汽量可以通过减温减压器来进行调节，使得不同等级的蒸汽满足需求，也不会出现过多的情况。 超结构模型需要包括所有系统可以产生的方案，理论上每一个等级的蒸汽都能由锅炉、余热锅炉生产，每种等级的蒸汽之间都应有蒸汽透平：包括单级背压透平、冷凝透平、多级抽汽透平，超结构模型的设备和结构都足够复杂。在有针对性的设计超结构模型，要结合经验方法和实际结果，排除不具有可行性的结构方案，通过实际需求来设计各级之间的流量限制和运行设备的负荷，确定具体的结构和设备个数。 图2. 超结构系统 对系统建立集成模型，主要的方法是出混合整数线性规划(MILP)和混合整数非线性规划(MINLP)这两种模型。其中包括锅炉、汽轮机等系统主要设备的数学模型，分析设备的工作运行原理建立物料平衡和能量平衡等方程，用连续变量表示系统设备进出口的流程，流量，对于设备的启用情况和运行情况用0-1变量表示。 2.2. 确定性优化数学模型 2.2.1. 目标函数 设置经济效益函数为目标函数，包括运行的燃料成本、外购蒸汽成本、生产所需水的成本。 min C t o t = C f u e l ∑ b M f u e l ， b + ∑ s h C s t ， s h i n M s t ， s h i n + C w a t e r ∑ l v ( l l v − 1 ) M w a t e r ， l v + C w a t e r ∑ s h M s t ， s h o u t − ∑ s h C s t ， s h o u t M s t ， s h o u t (1) 其中，C tot 为年度总成本，C fuel 为使用的燃料的单价，M in，b 为锅炉b理想消耗燃料量， C s t ， s h i n 为在sh等级外购蒸汽单价， M s t ， s h i n 为在sh等级所需的外购蒸汽量，C water 为减温减压器中水的单价。 ∑ l v ( l l v − 1 ) M w a t e r ， l v 为减温减压器的消耗量，l lv 为减温减压器模型系数 [ 12 ]， l l v = h i n ， l v − h w a t e r ， l v h o u t ， l v − h w a t e r ， l v ， C s t ， s h o u t 为在sh等级外售蒸汽单价， M s t ， s h o u t 为在sh等级所需的外售蒸汽量。 2.2.2. 约束条件 1) 蒸汽锅炉效率模型 公式(2)为锅炉效率的经验模型 [ 14 ] η = α b M w a t e r ， b i n / M s t ， b max + β b ， ∀ b (2) 其中， M w a t e r ， b i n 为锅炉产气量， M s t ， b max 为锅炉最大产气量， α b ， β b 为回归参数。 2) 锅炉能量平衡方程： M f u e l ， b Q f u e l ， b = M s t ， b o u t ( H s t ， b o u t − H w a t e r ， b i n ) ， ∀ b (3) 其中， Q f u e l ， b 为单位体积燃料输入锅炉的热量， M s t ， b o u t 为锅炉出口产气量， H s t ， b o u t 为锅炉出口蒸汽的焓值， H w a t e r ， b i n 为锅炉给水的焓值。从式(2)及式(3)可以看出锅炉效率直接影响锅炉进水量和燃料量，对于蒸汽动力系统的成本紧密相关。 3) 质量平衡约束 M t ， s l i n y t ， s l i n = M t ， s l e x t y t ， s l e x t + M t ， s l o u t ， ∀ t (4) 其中， M t ， s l i n 为汽轮机t在sl等级的接口蒸汽量， y t ， s l i n 为汽轮机t的sl等级的选型函数， M t ， s l e x t 为汽轮机t在sl等级的抽汽量， y t ， s l e x t 为汽轮机t在sl等级抽汽的选型函数， M t ， s l o u t 为汽轮机t在sl等级的出口蒸汽量。 4) 各等级蒸汽需求约束 ∑ b y s h ， b o u t M s t ， b o u t + ∑ l v ( y s h i n ， l v M w a t e r i n ， l v + y s h o u t ， l v M w a t e r o u t ， l v ) + ∑ s h ( y s h i n M s t ， s h − y s h o u t M s t ， s h o u t ) ≥ M s t ， s h d e m ， ∀ s h ∈ S H (5) 其中， y s h ， b o u t ， y s h i n ， l v ， y s h ， l v o u t ， y s h i n ， y s h o u t 分别为锅炉产汽、减温减压器入口和出口、外购和售出蒸汽等级的在sh等级的选型参数， M s t ， b o u t 为锅炉b在sh等级的产汽量， M w a t e r i n ， l v ， M w a t e r o u t ， l v 分别为减温减压器在sh等级的入口和出口流量， M s t ， s h ， M s t ， s h o u t 分别为外购和售出的sh等级蒸汽量， M s t ， s h d e m 为运行过程对sh等级蒸汽的需求量。 5) 机械能需求约束 W t ≥ W D t ， ∀ t ∈ T (6) 其中， W t 为汽轮机提供的机械能， W D t 为压缩机或泵的机械工作需求。 6) 变量约束 根据设计和操作条件，该优化模型中的所有变量必须在安全范围内 M min ≤ M ≤ M max (7) M表示操作变量的集合，包括锅炉燃料量 M f u e l ， b ，锅炉的产气量 M w a t e r ， b i n ，各等级外购蒸汽量 M s t ， s h ，减温减压器消耗量 ( l l v − 1 ) M w a t e r ， l v 。 综上，模型为确定性条件下经济函数的蒸汽动力系统优化设计，以式(1)为目标函数，考虑约束条件式(2)~(7)的MILP优化问题。 2.3. 数据驱动的考虑锅炉效率不确定条件的鲁棒优化建模 选用高斯核函数作为鲁棒核密度估计的核函数，并对数据进行鲁棒处理 [ 11 ] - [ 16 ]，极端值对应的函数值分配极小的权重w i ，得到鲁棒核密度估计函数。 根据不确定量得到的数据建立不确定集合，改善保守度，根据决策者的需要，在不确定集中增加一个不确定预算参数 μ ，来进一步调节集合的保守度，以使其在经济性方面的表现更符合决策者的需要。 U = { r | F ^ R K D E ( i ) − 1 ( α ) ≤ r i ≤ F ^ R K D E ( i ) − 1 ( 1 − α ) ， ∀ i ∑ i r i 0 ( 1 − ε i μ ) ≤ ∑ i r i ≤ ∑ i r i 0 ( 1 + ε i μ ) } (8) 其中 r i 0 = ( F ^ R K D E ( i ) − 1 ( α ) + F ^ R K D E ( i ) − 1 ( 1 − α ) ) / 2 为中心值， ε i = ( F ^ R K D E ( i ) − 1 ( 1 − α ) − r i 0 ) / r i 0 为相应中心值的偏移量。 ‖ σ ( r − r 0 ) ‖ 1 ≤ ψ (9) 其中， σ = Δ − 1 / 2 ，∆是不确定参数的协方差矩阵， ψ 用于调整约束中范数的大小。 U c o r = { r | F ^ R K D E ( i ) − 1 ( α ) ≤ r i ≤ F ^ R K D E ( i ) − 1 ( 1 − α ) ， ∀ i ∑ i r i 0 ( 1 − ε i μ ) ≤ ∑ i r i ≤ ∑ i r i 0 ( 1 + ε i μ ) ‖ σ ( r − r 0 ) ‖ 1 ≤ ψ } (10) 首先，锅炉效率的不确定参数从历史数据中收集，利用RKDE从不确定参数中构造不确定集式(11)，参照不确定集合常规构造方法 [ 12 ]。置信水平为(1-2α)，增大α值意味着置信水平小，减小α值使解更保守。 由于蒸汽动力系统的系数参数存在不确定性，我们将目标函数(1)重新表述为： min M max r ∈ u   C f u e l ∑ b M f u e l ， b + ∑ s h C s t ， s h i n M s t ， s h + C w a t e r ∑ l v ( l l v − 1 ) M w a t e r ， l v + C w a t e r ∑ s h M s t ， s h o u t − ∑ s h C s t ， s h o u t M s t ， s h o u t (11) 针对蒸汽动力系统不确定性模型式(8)，其中把含有不确定参数的目标函数其中包含的最大最小问题转化为最小化问题，转换形式如下： min M ， z z s .t . C f u e l ∑ b M f u e l ， b ( r ) + ∑ s h C s t ， s h i n M s t ， s h + C w a t e r ∑ l v ( l l v − 1 ) M w a t e r ， l v + C w a t e r ∑ s h M s t ， s h o u t − ∑ s h C s t ， s h o u t M s t ， s h o u t ≤ z ， ∀ r ∈ U c o r (12) r表示锅炉中的不确定因素，锅炉效率从燃料的种类到燃尽的情况，从烟气的燃烧情况到排出烟气的容积和温度等等因素，都共同影响着锅炉效率 [ 17 ]，在多种因素作用下很难得到准确的关系式，所以采用建立不确定集合的方式，使用鲁棒优化算法对锅炉效率影响的目标函数进行求解。 根据不确定参数的数据构建不确定集合，将式(2)用来描述锅炉实际使用的燃料量。 M f u e l ， b ( r ) = M f u e l ， b η + b b i a s ， ∀ b ， r ∈ U c o r (13) 锅炉实际使用的燃料量 M i n ， b ( r ) 范围约束重新表述为： M f u e l ， b min ≤ M f u e l ， b ( r ) ≤ M f u e l ， b max ， ∀ b ， r ∈ U c o r (14) 确定性锅炉能量平衡(3)被重新表述为： M f u e l ， b ( r ) Q f u e l ， b = M s t ， b o u t ( H s t ， b o u t − H w a t e r ， b i n ) ， ∀ b ， r ∈ U c o r (15) 采用线性对偶理论将目标函数式(12)内部的最大化问题转换为其对偶形式。该式内部优化问题为： max r ∈ U M f u e l ， b ( r ) C f u e l s .t . { r i ≤ F ^ R K D E ( i ) − 1 ( 1 − α ) ， ∀ i − r i ≤ − F ^ R K D E ( i ) − 1 ( α ) ， ∀ i ∑ i r i ≤ ∑ i r i 0 ( 1 + ε i μ ) − ∑ i r i = − ∑ i r i 0 ( 1 − ε i μ ) (16) 根据式(13)将(12)中的约束条件转化为： max r ∈ U c o r C f u e l ∑ b M f u e l ， b ( r ) η ≤ z − ∑ s h C s t ， s h i n M s t ， s h − C w a t e r ∑ l v ( l l v − 1 ) M w a t e r ， l v   − C w a t e r ∑ s h M s t ， s h o u t + ∑ s h C s t ， s h o u t M s t ， s h o u t − C f u e l ∑ b b b i a s (17) 约束式(10)在实际应用的数据集中建立相应约束条件： ∑ k θ k ≤ ψ (18) ∑ i σ k ， i r i − θ k ≤ r c o r ， s u m ， ∀ k (19) − ∑ i σ k ， i r i − θ k ≤ − r c o r ， s u m ， ∀ k (20) r c o r ， s u m = ∑ i σ k ， i r i 0 (21) 式(21)的约束条件为式(18)~(20)。 式(17)对偶形式为： ∑ i F ^ R K D E ( i ) − 1 ( 1 − α ) χ i − ∑ i F ^ R K D E ( i ) − 1 ( α ) δ i + α ∑ i r i 0 ( 1 + ε i μ ) − β ∑ i r i 0 ( 1 − ε i μ ) + ψ D 1 + D 2 k r c o r ， s u m − D 3 k r c o r ， s u m ≤ z − ∑ s h C s t ， s h i n M s t ， s h − C w a t e r ∑ l v ( l l v − 1 ) M w a t e r ， l v − C w a t e r ∑ s h M s t ， s h o u t + ∑ s h C s t ， s h o u t M s t ， s h o u t − C f u e l ∑ b b b i a s (22) χ i − δ i + α − β + ∑ k σ k ， i ⋅ D 2 k − ∑ k σ k ， i ⋅ D 3 k = C f u e l ∑ b M i n ， b η ， ∀ i (23) D 1 + D 2 k − D 3 k = 0 ， ∀ k (24) χ i ， δ i ， α ， β ， D 1 ， D 2 k ， D 3 k ≥ 0 ， ∀ i ， k (25) 其中， χ i ， δ i ， α ， β ， D 1 ， D 2 k ， D 3 k 是相应的对偶变量。 平衡约束(15)的对偶形式为: ∑ i F ^ R K D E ( i ) − 1 ( 1 − α ) τ b ， i − ∑ i F ^ R K D E ( i ) − 1 ( α ) π b ， i + α b ∑ i r i 0 ( 1 + ε i μ ) − β b ∑ i r i 0 ( 1 − ε i μ ) + ψ D 4 b   + D 5 b ， k r c o r ， s u m − D 6 b ， k r c o r ， s u m = M s t ， b o u t ( H s t ， b o u t − H w a t e r ， b i n ) − b b i a s Q f u e l ， b ， ∀ b (26) τ b ， i − π b ， i + α b − β b + ∑ k σ k ， i ⋅ D 5 b ， k − ∑ k σ k ， i ⋅ D 6 b ， k = Q f u e l ， b ∑ b M f u e l ， b η ， ∀ i ， b (27) D 4 b + D 5 b ， k − D 6 b ， k = 0 ， ∀ b ， k (28) τ b ， i ， π b ， i ， α b ， β b ， D 4 b ， D 5 b ， k ， D 6 b ， k ≥ 0 ， ∀ i ， b ， k (29) 其中， τ b ， i ， π b ， i ， α b ， β b ， D 4 b ， D 5 b ， k ， D 6 b ， k 是相应的对偶变量。 约束条件(14)对偶形式为： ∑ i F ^ R K D E ( i ) − 1 ( 1 − α ) τ 1 ， b ， i − ∑ i F ^ R K D E ( i ) − 1 ( α ) π 1 ， b ， i + α 1 ， b ∑ i r i 0 ( 1 + ε i μ ) − β 1 ， b ∑ i r i 0 ( 1 − ε i μ )   + ψ D 4 1 ， b + D 5 1 ， b ， k r c o r ， s u m − D 6 1 ， b ， k r c o r ， s u m = M f u e l ， b max − b b i a s ， ∀ b (30) τ 1 ， b ， i − π 1 ， b ， i + α 1 ， b − β 1 ， b + ∑ k σ k ， i ⋅ D 5 1 ， b ， k − ∑ k σ k ， i ⋅ D 6 1 ， b ， k = M f u e l ， b ， ∀ i ， b (31) D 4 1 ， b + D 5 1 ， b ， k − D 6 1 ， b ， k = 0 ， ∀ b ， k (32) ∑ i F ^ R K D E ( i ) − 1 ( 1 − α ) τ 2 ， b ， i − ∑ i F ^ R K D E ( i ) − 1 ( α ) π 2 ， b ， i + α 2 ， b ∑ i r i 0 ( 1 + ε i μ ) − β 2 ， b ∑ i r i 0 ( 1 − ε i μ )   + ψ D 4 2 ， b + D 5 2 ， b ， k r c o r ， s u m − D 6 2 ， b ， k r c o r ， s u m = − M f u e l ， b min + b b i a s ， ∀ b (33) τ 2 ， b ， i − π 2 ， b ， i + α 2 ， b − β 2 ， b + ∑ k σ k ， i ⋅ D 5 2 ， b ， k − ∑ k σ k ， i ⋅ D 6 2 ， b ， k = M f u e l ， b ， ∀ i ， b (34) D 4 2 ， b + D 5 2 ， b ， k − D 6 2 ， b ， k = 0 ， ∀ b ， k (35) τ 1 ， b ， i ， π 1 ， b ， i ， α 1 ， b ， β 1 ， b ， τ 2 ， b ， i ， π 2 ， b ， i ， α 2 ， b ， β 2 ， b ， D 4 1 ， b ， D 5 1 ， b ， k ， D 6 1 ， b ， k ， D 4 2 ， b ， D 5 2 ， b ， k ， D 6 2 ， b ， k ≥ 0 ， ∀ i ， b ， k (36) 其中， τ 1 ， b ， i ， π 1 ， b ， i ， α 1 ， b ， β 1 ， b ， τ 2 ， b ， i ， π 2 ， b ， i ， α 2 ， b ， β 2 ， b ， D 4 1 ， b ， D 5 1 ， b ， k ， D 6 1 ， b ， k ， D 4 2 ， b ， D 5 2 ， b ， k ， D 6 2 ， b ， k 是相应的对偶变量。 代入原模型中替换掉对应的约束条件，即可得到原模型的鲁棒对等式： min x z (37) 约束条件，式(4)~(7)式(14)~(15)式(18)~(20)及式(22)~(36)。 综上，基于锅炉效率不确定性的鲁棒优化设计问题即解决以式(37)为目标函数，考虑约束条件式(4)~(7)式(14)~(15)式(18)~(20)及式(22)~(36)的优化问题，通过建立锅炉效率不确定集合来对不确定因素进行描述，采用鲁棒对等优化的方法把目标函数的最大最小问题转化为最小化问题，遵循约束条件求解优化。