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user: 3. 直觉正态模糊优先集成算子对财务风险相对大小进行评价 3.1. 直觉正态模糊数优先集成算子 直觉正态模糊数可以合理解释现实社会中很多服从或近似服从正态分布的现象，优先集可以有效处理准则间具有优先关系的信息集结问题。对于企业财务风险，同一社会环境下，不同企业财务风险近似服从正态分布，且财务风险评价指标之间也确实存在优先关系，因此，利用直觉正态模糊数优先集成算子可以很好地评价不同企业财务风险的相对大小 [ 8 ] 。 根据有关文献 [ 9 ] ，直觉正态模糊数优先集成算子可分为直觉正态模糊优先加权平均算子(INFPWA)、直觉正态模糊优先加权几何平均算子(INFPWG)、直觉正态模糊有序加权平均算子(INFPOWA)。这里，为了方便起见，我们一律采用直觉正态模糊优先加权平均算子进行接下来的讨论。 3.1.1. 直觉正态模糊数优先集成算子的定义 [ 7 ] 定义1：设X为一非空集合，则称 A = { ( x ， μ A ( x ) ， ϑ A ( x ) ) | x ∈ X } 为直觉模糊集。 μ A : X → [ 0 ， 1 ] ， ϑ A : X → [ 0 ， 1 ] 且满足 0 ≤ μ A ( x ) + ϑ A ( x ) ≤ 1 ，   ∀ x ∈ X ， μ A ( x ) 和 ϑ A ( x ) 分别是元素x属于A的隶属度和非隶属度。此外， 表示元素x属于X的犹豫度。 定义2：设实数域R上，隶属函数为： A ˜ ( x ) = e − ( ( x − α ) σ ) 2 ( σ > 0 ) 的模糊数A称为正态模糊数(NFN)，记 A ˜ = ( α ， σ ) 。全体正态模糊数的集合记为N。 定义3：设X为给定论域， ( α ， σ ) ∈ N ˜ ，则称 A = 〈 ( α ， σ ) ， μ A ， ϑ A 〉 为直觉正态模糊数，其隶属函数和非隶属函数分别为： μ A ( x ) = μ A e − ( x − α σ ) 2 ，     x ∈ X μ A 和 ϑ A 分别表示元素x隶属和非隶属于正态模糊数 ( α ， σ ) 的程度，且满足 0 ≤ μ A ≤ 1 ，   0 ≤ ϑ A ≤ 1 ，   0 ≤ μ A + ϑ A ≤ 1 。 定义4：设 A i = 〈 ( α i ， σ i ) ， μ i ， ϑ i 〉 ( i = 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， n ) 为一组直觉正态模糊数，设INFPWA： Ω n → Ω ，如果： INFPWA ( A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A n ) = T 1 ∑ j = 1 n T j A 1 ⊕ T 2 ∑ j = 1 n T j A 2 ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ T n ∑ j = 1 n T j A n 称INFPWA为直觉正态模糊优先算术平均算子。其中，Ω是直觉正态模糊集， T i = ∏ k = 1 i − 1 E ( A k )   ( i = 2 ， 3 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， n ) ， T 1 = 1 ， E ( A k ) 表示的是直觉正态模糊数的期望值。 定义5：设为直觉正态模糊数，称 S 1 ( A ) 为A的得分函数： S 1 ( A ) = α ( μ A − ϑ A ) ，我们正是基于得分函数进行最后的排序。 3.1.2. 直觉正态模糊数优先集成算子的相关定理及性质 [ 10 ] 定理1：设 A = 〈 ( α ， σ A ) ， μ A ， ϑ A 〉 为直觉正态模糊数，则称 E ( A ) 为A的期望值： E ( A ) = α × ( μ A + 1 − ϑ A 2 ) 其中， E ( A ) ∈ [ 0 ， α ] 。 定理2：设 A i = 〈 ( α i ， σ i ) ， μ i ， ϑ i 〉 ( i = 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， n ) 为一组直觉正态模糊数，则定义4的计算结果仍是直觉正态模糊数，且有： INFPWA ( A 1 ， A 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， A n ) = 〈 ( ∑ i = 1 n T i ∑ j = 1 n T j α i ， ∑ i = 1 n T i ∑ j = 1 n T j σ i ) ， 1 − ∏ i = 1 n ( 1 − μ i ) T i ∑ j = 1 n T j ， ∏ i = 1 n ( ϑ i ) T i ∑ j = 1 n T j 〉 其中， ， T 1 = 1 ， E ( A k ) 表示的是直觉正态模糊数 A k 的期望值。 定理3：设 A 1 和 A 2 为任意的两个直觉正态模糊数， S 1 ( A 1 ) 和 S 1 ( A 2 ) 分别是 A 1 和 A 2 的得分函数值，则有：如果 S 1 ( A 1 ) > S 1 ( A 2 ) ，那么 A 1 > A 2 。 性质1：幂等性：设 A i = 〈 ( α i ， σ i ) ， μ i ， ϑ i 〉 ( i = 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， n ) 为一组直觉正态模糊数，如果 A i = A ˜ ，则有： INFPWA ( A 1 ， A 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， A n ) = A ˜ 性质2：单调性：设 ( A 1 ， A 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， A n ) 和 ( B 1 ， B 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， B n ) 为两组直觉正态模糊数，对于任意的 i ( i = 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， n ) 有 A i ≤ B i ，则有： INFPWA ( A 1 ， A 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， A n ) ≤ INFPWA ( B 1 ， B 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， B n ) 性质3：边界性：设 A i = 〈 ( α i ， σ i ) ， μ i ， ϑ i 〉 ( i = 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， n ) 为一组直觉正态模糊数， A max = max ( A i ) ， A min = min ( A i ) ，则有： A min ≤ INFPWA ( A 1 ， A 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， A n ) ≤ A max . 3.2. 财务风险评价指标的选取及权重的确立 [ 11 ] 财务风险指标分为企业内部风险指标和外部环境风险指标，本文中，由于是在同一外部环境下，所以外部环境风险指标不予考虑，只考虑企业内部财务风险 [ 12 ] 。通过分析确定了企业内部财务风险评价的一级指标分别是：盈利能力、偿债能力、运营能力和发展能力，采用财务业绩定量评价法中相关规定确定的评价指标权重如表1所示。根据四个财务风险评价指标 [ 13 ] 及其权重，我们采用直觉正态模糊优先集结算子对不同企业的财务风险状况进行评估，最终得到不同企业财务风险相对大小。 3.3. 基于直觉正态模糊优先集结算子的多准则群决策方法 对于一个多准则的决策问题，我们需要根据准则集对可选方案集进行排序 [ 14 ] 。这里，设可选方案集 A = { A 1 ， A 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， A n } ，准则集 C = { C 1 ， C 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， C n } ，此外，设专家集为 E = { e 1 ， e 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， e p } 。需要注明的是，准则之间存在线性优先关系 C 1 > C 2 > ⋅ ⋅ ⋅ > C n ，即当 i < j 时， C i 的优先级高于 C j 的优先级。同样，专家之间存在着线性优先关系： e 1 > e 2 > ⋅ ⋅ ⋅ > e p ，即当 ξ < η 时， e ξ 的优先级高于 e η 的优先级。专家 e k 对可选方案 A i 在准则 C j 下的评价值用直觉正态模糊数来表示 r i j k = 〈 ( α i j k ， σ i j k ) ， μ i j k ， ϑ i j k 〉 ，决策者给出的评价信息构成决策矩阵 R k = [ r i j k ] m × n 。 Table 1 Financial risk indicator weights tabl 准则层指标 方案层指标 权重 盈利能力 (43.03) 营业利润率 22.78 总资产报酬率 13.29 成本费用利润率 6.96 偿债能力 (32.28) 资产负债率 17.10 速动比率 9.97 现金流动负债比 5.21 运营能力 (15.74) 应收账款周转率 8.42 存货周转率 5.41 资产现金回收率 1.91 发展能力 (8.95) 营业增长率 4.75 资本保值增值率 2.76 总资产增长率 1.44 表1. 财务风险指标权重表 对于多准则群决策问题，在基于直觉正态模糊数优先集结算子的情况下，一般的决策步骤 [ 15 ] 如下： Step 1：对决策矩阵进行规范化处理 针对多准则决策问题中效益型和成本型的准则类型，为了消除不同量纲对最终决策结果的影响，对原决策矩阵进行规范化处理，得到规范化矩阵。规范化公式如下所示： 对于效益型准则： r ˜ i j k = 〈 α ˜ i j k = α i j k max i ( α i j k ) ， σ ˜ i j k = σ i j k max i ( σ i j k ) × σ i j k α i j k ， μ ˜ i j k = μ i j k ， ϑ ˜ i j k = ϑ i j k 〉 (2.1) 对于成本型准则： r ˜ i j k = 〈 α ˜ i j k = α i j k min i ( α i j k ) ， σ ˜ i j k = σ i j k min i ( σ i j k ) × σ i j k α i j k ， μ ˜ i j k = μ i j k ， ϑ ˜ i j k = ϑ i j k 〉 (2.2) Step 2：计算 T i j k 的值 { T i j k = ∏ t = 1 k − 1 E ( r ˜ i j k )     ( k = 2 ， 3 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， p ; i = 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， m ; j = 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， n ) T i j 1 = 1 (2.3) 其中， E ( r ˜ i j k ) 为直觉正态模糊数 r ˜ i j k 的期望值。 Step 3：对不同专家的决策矩阵进行综合集成 利用公式(1.2)对不同专家的直觉正态模糊决策矩阵 R ˜ k = [ r ˜ i j k ] m × n   ( k = 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， p ) 的准则值进行综合集成，得到集成的直觉正态模糊决策矩阵 D ˜ = [ d ˜ i j ] m × n   ( i = 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， m ; j = 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， n ) 。 Step 4：计算 T i j 的值 ( i = 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， m ; j = 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， n ) { T i j = ∏ k = 1 j − 1 E ( r ˜ i k ) ( i = 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， m ; j = 2 ， 3 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， n ) T i 1 = 1     ( i = 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， m ) (2.4) 其中， E ( r ˜ i k ) 为直觉正态模糊决策矩阵 D ˜ 中 d ˜ i j 的期望值。 Step 5：利用公式(1.2)对直觉正态模糊决策矩阵 D ˜ = [ d ˜ i j ] m × n 进行可选方案的集成，得到可选方案 A i 的综合准则值。 Step 6：利用直觉正态模糊数的得分函数，计算 d ˜ i 的得分函数值，并根据定理3对可选方案进行排序，得到最优方案。