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user: 3. 主要结果 把经典行列式的倍加性质推广，可得量子行列式的相应性质如下。 定理1 设A是代数A上的n阶量子矩阵，若A中的第 i ， i + 1 ， ⋯ ， j − 1 ( i < j ) 行和第 1 ， 2 ， ⋯ ， n 列组成的矩阵 A i ， i + 1 ， ⋯ ， j − 1 1 ， 2 ， ⋯ ， n 中不同行不同列的元素乘积都可交换，且b是代数A的中心元，则把A中第i行的b倍加到第j行后，量子行列式不变。 证明 由定义1得，若 i < j ，把A中第i行的b倍加到第j行后的量子行列式展开为 b ∑ σ ∈ S n ( − q ) − l ( σ ) a 1 σ ( 1 ) ⋯ a i σ ( i ) ⋯ a i σ ( j ) ⋯ a n σ ( n ) + ∑ σ ∈ S n ( − q ) − l ( σ ) a 1 σ ( 1 ) ⋯ a j σ ( j ) ⋯ a n σ ( n ) ， 考虑其一般项 ( − q ) − l ( σ ) a 1 σ ( 1 ) ⋯ a i σ ( i ) ⋯ a i σ ( j ) ⋯ a n σ ( n ) . 由条件得， ( − q ) − l ( σ ) a 1 σ ( 1 ) ⋯ a i σ ( i ) ⋯ a i σ ( j ) ⋯ a n σ ( n ) = ( − q ) − l ( σ ) a 1 σ ( 1 ) ⋯ a i σ ( i ) a i σ ( j ) ⋯ a n σ ( n ) 相等。由定义2得， ( − q ) − l ( σ ) a 1 σ ( 1 ) ⋯ a i σ ( i ) a i σ ( j ) ⋯ a n σ ( n ) 与 ( − q ) − l ( σ ) − 1 a 1 σ ( 1 ) ⋯ a i σ ( i ) a i σ ( j ) ⋯ a n σ ( n ) 能成对抵消，则量子行列式不变，结论成立。 文献 [ 2 ] 的定理2把行列式乘法公式 | A X | = | A | | X | 推广，得到了更一般的结果。实际上，若把这个结果放到量子行列式上讨论，结论在一定条件下仍成立。 定理2 设矩阵 A = ( a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 ⋯ a m n ) ， B = ( b 11 ⋯ b 1 n ⋮ ⋱ ⋮ b m 1 ⋯ b m n ) 是代数A上的量子矩阵，且矩阵A与B的元素可交换，设 d i j = a i 1 b j 1 + a i 2 b j 2 + ⋯ + a i n b j n ( i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ，作一个m阶量子行列式 D = | d 11 ⋯ d 1 m ⋮ ⋱ ⋮ d m 1 ⋯ d m m | q ，则当 m ≤ n 时， D = ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i m ≤ n A i 1 i 2 ⋯ i m B i 1 i 2 ⋯ i m ，其中 A i 1 i 2 ⋯ i m = | a 1 i 1 ⋯ a 1 i m ⋮ ⋱ ⋮ a m i 1 ⋯ a m i m | q ， B i 1 i 2 ⋯ i m = | b 1 i 1 ⋯ b 1 i m ⋮ ⋱ ⋮ b m i 1 ⋯ b m i m | q ；当 m > n 时， D = 0 。 证明 为方便起见，只证明 m = 2 时的情形，当 m > 2 时，证明过程类似。 设A与B为 2 × n 矩阵且A与B的元素可交换， D = | d 11 d 12 d 21 d 22 | q 。若 n < 2 ，由定义1，2易得 D = a 11 b 11 a 21 b 21 − q − 1 a 11 b 21 a 21 b 11 = 0 。若 n ≥ 2 ，对列数n作数学归纳法。 当 n = 2 时，由定义1及定义2得， ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 ≤ n A i 1 i 2 B i 1 i 2 = a 11 a 22 b 11 b 22 + a 12 a 21 b 12 b 21 − q − 1 a 11 a 22 b 12 b 21 − q − 1 a 12 a 21 b 22 b 11 = D . 假设当 n = k ( k > 2 ) 时，命题成立，即 D = | a 11 b 11 + ⋯ + a 1 k b 1 k a 11 b 21 + ⋯ + a 1 k b 2 k a 21 b 11 + ⋯ + a 2 k b 1 k a 21 b 21 + ⋯ + a 2 k b 2 k | q = ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 ≤ k A i 1 i 2 B i 1 i 2 . 则当 n = k + 1 时， D = | ( a 11 b 11 + ⋯ + a 1 k b 1 k ) + a 1 k + 1 b 1 k + 1 ( a 11 b 21 + ⋯ + a 1 k b 2 k ) + a 1 k + 1 b 2 k + 1 ( a 21 b 11 + ⋯ + a 2 k b 1 k ) + a 2 k + 1 b 1 k + 1 ( a 21 b 21 + ⋯ + a 2 k b 2 k ) + a 2 k + 1 b 2 k + 1 | q = | a 11 b 11 + ⋯ + a 1 k b 1 k a 11 b 21 + ⋯ + a 1 k b 2 k a 21 b 11 + ⋯ + a 2 k b 1 k a 21 b 21 + ⋯ + a 2 k b 2 k | q + | a 11 b 11 + ⋯ + a 1 k b 1 k a 1 k + 1 b 2 k + 1 a 21 b 11 + ⋯ + a 2 k b 1 k a 2 k + 1 b 2 k + 1 | q     + | a 1 k + 1 b 1 k + 1 a 11 b 21 + ⋯ + a 1 k b 2 k a 2 k + 1 b 1 k + 1 a 21 b 21 + ⋯ + a 2 k b 2 k | q + | a 1 k + 1 b 1 k + 1 a 1 k + 1 b 2 k + 1 a 2 k + 1 b 1 k + 1 a 2 k + 1 b 2 k + 1 | q = ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 ≤ k A i 1 i 2 B i 1 i 2 + A 1 k + 1 B 1 k + 1 + ⋯ + A k k + 1 B k k + 1 = ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 ≤ k + 1 A i 1 i 2 B i 1 i 2 故结论成立。 文献 [ 3 ] 的命题1给出了广义行列式的展开式，文献 [ 4 ] 进一步得出矩阵乘积的广义行列式。本文将这些结果推广至广义量子行列式情形，得定理3、4及推论1。 定理3 设矩阵A是代数A上的 m × n ( n ≥ m ) 量子矩阵，则A的广义量子行列式为 | A | q = ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i m ≤ n ( − q ) − l ( σ ) − [ i 1 + i 2 + ⋯ + i m − m ( m + 1 ) 2 ] a 1 i σ ( 1 ) a 2 i σ ( 2 ) ⋯ a m i σ ( m ) ， 其中 σ ∈ S m 。 证明 对矩阵A的行数m作数学归纳法。 当 m = 1 时，由定义3， | A | q = ∑ i = 1 n ( − q ) 1 − i a 1 i ，结论成立。 假设矩阵A的行数小于m时，结论成立。则当行数为m时，由定义3， | A | q = ∑ i = 1 n a 1 i A 1 ^ i ^ 且对任意的 1 ≤ i 1 ≤ n ， a 1 i 1 A 1 ^ i ^ 1 = ( − q ) 1 − i 1 a 1 i 1 M 1 ^ i ^ 1 ，结合定义1得， a 1 i 1 A 1 ^ i ^ 1 = ( − q ) 1 − i 1 a 1 i 1 ∑ 1 ≤ i 2 < ⋯ < i m ≤ n ( − q ) − l ( σ ( 2 ) ， ⋯ ， σ ( m ) ) − [ i 2 + ⋯ + i m − m ( m − 1 ) 2 − ( m − 1 − m 1 ) ] a 2 i σ ( 2 ) ⋯ a m i σ ( m ) = ∑ 1 ≤ i 2 < ⋯ < i m ≤ n ( − q ) − l ( σ ) − [ i 1 + i 2 + ⋯ + i m − m ( m + 1 ) 2 + m 1 ] a 1 i 1 a 2 i σ ( 2 ) ⋯ a m i σ ( m ) ， 其中 σ ∈ S m ， i 2 ， ⋯ ， i m ≠ i 1 ， i σ ( 1 ) = i 1 ， m 1 为 i 2 ， i 3 ， ⋯ ， i m 中小于 i 1 的个数，则 | A | q = ∑ i = 1 n a 1 i A 1 ^ i ^ = ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i m ≤ n ( − q ) − l ( σ ) − [ i 1 + i 2 + ⋯ + i m − m ( m + 1 ) 2 ] a 1 i σ ( 1 ) a 2 i σ ( 2 ) ⋯ a m i σ ( m ) . 由定理3易得以下推论成立。 推论1 设矩阵A是代数A上的 m × n ( n ≥ m ) 量子矩阵，则A的广义量子行列式为 | A | q = ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i m ≤ n ( − q ) − [ i 1 + i 2 + ⋯ + i m − m ( m + 1 ) 2 ] M i 1 i 2 ⋯ i m ， 其中 M i 1 i 2 ⋯ i m 是A的第 1 ， 2 ， ⋯ ， m 行和第 i 1 ， i 2 ， ⋯ ， i m 列组成的m阶矩阵的量子行列式。 定理4若 A = ( a i j ) m n 为代数A上 m × n ( m < n ) 量子矩阵， B = ( b i j ) n s 为代数A上 n × s ( m < s ) 量子矩阵，则乘积AB的广义量子行列式为 | A B | q = ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i m ≤ s ( − q ) − [ i 1 + i 2 + ⋯ + i m − m ( m + 1 ) 2 ] | A B i 1 i 2 ⋯ i m | q ， 其中 i 1 i 2 ⋯ i m 为 1 ~ s 中m个元素按自然顺序组成的m级排列， B i 1 i 2 ⋯ i m 为B中第 i 1 ， i 2 ， ⋯ ， i m 列构成的 n × m 子矩阵。 证明 由推论1知， | A B | q = ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i m ≤ n ( − q ) − [ i 1 + i 2 + ⋯ + i m − m ( m + 1 ) 2 ] M i 1 i 2 ⋯ i m ， 其中 M i 1 i 2 ⋯ i m 为乘积AB的第 1 ， 2 ， ⋯ ， m 行和第 i 1 ， i 2 ， ⋯ ， i m 列组成的m阶矩阵的量子行列式。由矩阵乘法的定义得 M i 1 i 2 ⋯ i m = | A B i 1 i 2 ⋯ i m | q ，则结论成立。