system: [SYSTEM]

user: 3. 系统的平稳分布 令 N ( t ) 表示t时刻系统队列中的顾客数， I ( t ) 表示t时刻系统的状态。根据第2节的模型描述，有： { I ( t ) = 0 ，     启 动 或 关 闭 状 态 I ( t ) = 1 ，     休 眠 状 态 I ( t ) = 2 ，     正 常 服 务 状 态 I ( t ) = 3 ，     故 障 状 态 I ( t ) = 4 ，     维 修 状 态 由此可知， { ( N ( t ) ， I ( t ) ) ， t ≥ 0 } 是一个二维连续时间马尔可夫过程，状态空间为 Ω = { { ( 0 ， 0 ) ， ( 0 ， 1 ) ， ( 0 ， 4 ) } ∪ ( k ， j ) : 1 ≤ k ≤ N ， j = 0 ， 1 ， 2 ， 3 } 。 特别地， ( 0 ， 0 ) 表示的是系统关闭期； ( 0 ， 1 ) 表示的是系统休眠期； ( 0 ， 4 ) 表示系统维修期； ( k ， j ) 表示系统当前状态为j，同时系统中有k个顾客。系统的状态转移图如图1所示。从图1中，可以看到上述二维连续时间马尔可夫过程是不可约的，根据 [ 20 ] 文中的定理6.2.16和推论6.2.6，可知本文系统的平稳分布是存在且唯一的。 令 P ( k ， j ) = lim t → ∞ P { N ( t ) = k ， I ( t ) = j }   ( 0 ≤ k ≤ N ， j = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) ，为系统的平稳分布，则平衡方程如下 λ P ( 0 ， 0 ) = θ P ( 0 ， 1 ) ， (1) ( λ + θ ) P ( 0 ， 1 ) = μ P ( 1 ， 2 ) + β P ( 0 ， 4 ) ， (2) β P ( 0 ， 4 ) = μ w P ( 1 ， 3 ) ， (3) ( λ + s ) P ( 1 ， 0 ) = λ P ( 0 ， 0 ) ， (4) ( λ + θ ) P ( 1 ， 1 ) = λ P ( 0 ， 1 ) 。 (5) 由归一化条件知 P ( 0 ， 0 ) + P ( 0 ， 1 ) + P ( 0 ， 4 ) + ∑ k = 1 N ∑ j = 0 3 P ( k ， j ) = 1 (6) 图1. 状态转移图(a) 根据删失技巧，可以得到删失后的马尔可夫过程的状态转移图，如图2所示，然后通过一些简单的计算，就可以得到本文模型的平稳分布。 图2. 状态转移图(b) 删失掉状态 ( 0 ， 0 ) ， ( 0 ， 1 ) ， ( 0 ， 4 ) ，可知一些状态转移速率变为： ( 1 ， 3 ) → λ μ w / ( λ + θ ) ( 1 ， 1 ) ， ( 1 ， 3 ) → θ μ w / ( λ + θ ) ( 1 ， 0 ) ， ( 1 ， 2 ) → λ μ / ( λ + θ ) ( 1 ， 1 ) ， ( 1 ， 2 ) → μ θ / ( λ + θ ) ( 1 ， 0 ) 。 下面我们就来研究删失后的马尔可夫过程。 根据图2，易知删失后的马尔可夫过程的Q矩阵为 Q = [ A 1 C B A C B A C ⋱ ⋱ ⋱ B A C B A N ] ， 其中 A 1 = [ − ( λ + s ) 0 s 0 0 − ( λ + θ ) θ 0 μ θ λ + θ λ μ λ + θ − ( λ + μ + α ) α θ μ w λ + θ λ μ w λ + θ 0 − μ w ] ， C = [ λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 0 ] ， B = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 μ 0 0 0 0 μ w ] ， A = [ − ( λ + s ) 0 s 0 0 − ( λ + θ ) θ 0 0 0 − ( λ + μ + α ) α 0 0 0 μ w ] ， A N = [ − s 0 s 0 0 − θ θ 0 0 0 − ( α + μ ) α 0 0 0 − μ w ] ， 状态空间为 Ω 0 = { ( k ， j ) ， 1 ≤ k ≤ N ， j = 0 ， 1 ， 2 ， 3 } 。 根据上文中的Q矩阵，易知删失后的马尔可夫过程是不可约的，且有唯一的平稳分布。下面我们先给出如下定义： π k j = lim t → ∞ P { N ( t ) = k ， I ( t ) = j } ， ( k ， j ) ∈ Ω 0 ， π k = ( π k 0 ， π k 1 ， π k 2 ， π k 3 ) ， 1 ≤ k ≤ N ， π = ( π 1 ， π 2 ， π 3 ， ⋯ ， π N ) 。 根据删失后的马尔可夫过程的平衡方程，可得 π 1 A 1 + π 2 B = 0 ， (7) π 1 C + π 2 A + π 3 B = 0 ， (8) π k − 1 C + π k A + π k + 1 B = 0 ， k = 2 ， 3 ， ⋯ ， N − 2 ， (9) π N − 2 C + π N − 1 A + π N B = 0 ， (10) π N − 1 C + π N A N = 0 。 (11) 假设 π k = π k − 1 R k ， 2 ≤ k ≤ N ， (12) 其中 R k 是4阶方阵。如果 A 1 和 A N 是非奇异的，则 π 1 = − π 2 B A 1 − 1 = π 2 R 1 ， (13) π N = − π N − 1 C A N − 1 = π N − 1 R N ， (14) 其中 R 1 = − B A 1 − 1 ， R N = − C A N − 1 。 接下来，将(14)代入(10)中，如果 ( A − C A N − 1 B ) 也是非奇异的，可得 π N − 1 = − π N − 2 C ( A − C A N − 1 B ) − 1 = π N − 2 R N − 1 ， (15) 其中 R N − 1 = − C ( A − C A N − 1 B ) − 1 。 最后，根据(9)和(12)，有 π k = − π k − 1 C ( A + R k + 1 B ) − 1 = π k − 1 R k ， k = 2 ， 3 ， ⋯ ， N − 2 ， (16) 其中 R k = − C ( A + R k + 1 B ) − 1 。 显然， R k 可由(12)~(16)推出。根据Elhafs和Molle [ 16 ] 文中所述，可知 π k = π 2 R k * ， k = 2 ， 3 ， ⋯ ， N ， 其中 R k * = ∏ j = 2 k R j ， R 1 = − B A 1 − 1 ， R 2 = I 。在(12)中，令 k = 3 ，可得 π 3 = π 2 R 3 。 (17) 将(13)和(17)代入(8)中， π 2 ( R 1 C + A + R 3 B ) = 0 。 (18) 根据归一化条件 π 1 e 1 + ∑ k = 2 N π k e = 1 ， 得 π 1 e + π 2 ∑ k = 2 N R k * e = 1 ， (19) 其中e是单位列向量。将(13)代入(19)中，易得 π 2 ( R 1 e + ∑ k = 2 N R k * e ) = 1 。 (20) 结合(18)和(20)， π 2 易知，再由(13)便可得 π 1 。接着根据(12)，有 π k = π k − 1 R k = π k − 2 R R k − 1 k = ⋯ = π 2 R k * ， 2 ≤ k ≤ N 。 由于删失后的马尔可夫过程满足下面的归一化条件 ∑ k = 1 N ∑ j = 0 3 π k j = 1 ， (21) 由(6)和(21)，易知 π k j = P ( k ， j ) 1 − P ( 0 ， 0 ) − P ( 0 ， 1 ) − P ( 0 ， 4 ) ， ( 1 ≤ k ≤ N ， j = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ) 。 同时，基于(3)~(5)，可以得到下面的等式： { P ( 0 ， 0 ) = ( λ + s ) π 10 / λ 1 + ( λ + s ) π 10 / λ + μ π 11 / ( λ + θ ) + μ w π 13 / β P ( 0 ， 1 ) = μ π 11 / ( λ + θ ) 1 + ( λ + s ) π 10 / λ + μ π 11 / ( λ + θ ) + μ w π 13 / β P ( 0 ， 4 ) = μ w π 13 / β 1 + ( λ + s ) π 10 / λ + μ π 11 / ( λ + θ ) + μ w π 13 / β