system: [SYSTEM]

user: 3. 模型解的唯一遍历平稳分布 在研究传染病模型的动态变化时，我们往往着重研究两点，即疾病的消失与流行。关于疾病的灭绝已在前面一部分讨论过，本节我们讨论疾病流行的条件。我们首先引入关于平稳分布的一些结果，详见 [ 11 ]。 设 X ( t ) ∈ E l ( E l 表示 l − 维的欧几里得空间)是齐次马尔可夫过程，满足随机方程 d X ( t ) = h ( X ) d t + ∑ m = 1 k g m ( X ) d B m ( t ) ， 其扩散矩阵为 A ¯ ( X ) = ( a ¯ i j ( X ) ) ， a ¯ i j ( X ) = ∑ m = 1 k { g m ( i ) ( X ) g m ( j ) ( X ) } . 假设1 存在具有规则边界 Γ 的有界域 U ⊂ E l ，它有下列性质： (B1) 在区域 U 及其邻域上，扩散矩阵 A ¯ ( X ) 的最小特征值是有界远离0的； (B2) 若 X ∈ E l \ U ，则从 X 出发到达集合 U 的路径所需的平均时间是有限的，并且对每一个紧子集 K ( ⊆ E l ) ，有 sup X ∈ K E X τ < + ∞ 。 引理4 若假设1成立，则马尔可夫过程 X ( t ) 有平稳分布 μ ( ⋅ ) ，即若 f ( ⋅ ) 是关于测度 μ 的可积函数，则 P { lim t → ∞ 1 t ∫ 0 t f ( X ( s ) ) d s = ∫ E l f ( X ) μ ( d X ) } = 1. 事实上，若要证明(B1)成立，我们只需证明F在U上是一致椭圆的，即 ∃ M ˜ > 0 ，对 X ∈ U ， ξ ∈ R k ，有 ∑ i ， j = 1 k a ¯ i j ( X ) ξ i ξ j > M ˜ | ξ | 2 . 若要证明(B2)成立，我们只需证明存在一个邻域 U 和一个非负 C 2 − 函数 V ，使得 X ∈ E l \ U ， L V 是负的。 定理2 设 ( S m ( t ) ， S f ( t ) ， I m ( t ) ， I f ( t ) ) 是系统(1)以 ( S m ( 0 ) ， S f ( 0 ) ， I m ( 0 ) ， I f ( 0 ) ) ( ∈ R + 4 ) 为初值的解。若条件(H1)或条件(H2)成立， (H1) R 0 1 = Γ 1 Γ 2 a 1 a 2 ( μ + 1 2 σ S m 2 ) ( μ + a 2 Γ 1 μ + β 1 + b 1 + 1 2 σ S f 2 ) ( μ + β 1 + b 1 + 1 2 σ I m 2 ) ( μ + β 2 + b 2 + 1 2 σ I f 2 ) > 1 ， (H2) R 0 2 = Γ 1 Γ 2 a 1 a 2 ( μ + a 1 Γ 2 μ + β 2 + b 2 + 1 2 σ S m 2 ) ( μ + 1 2 σ S f 2 ) ( μ + β 1 + b 1 + 1 2 σ I m 2 ) ( μ + β 2 + b 2 + 1 2 σ I f 2 ) > 1 ， 则模型(1)的解存在唯一正的平稳分布。 证明：由于(H2)与(H1)的证明类似，故我们只给出(H1)的证明。我们利用引理4来完成此定理的证明。为此，我们只需验证假设1成立，即存在具有规则边界 Γ 的有界域 U ⊂ E l ，有(B1)和(B2)成立。为了证明(B2)，定义一个 C 2 类非负函数，即： V ( S m ， S f ， I m ， I f ) = M ( − C 1 ln S m − C 2 ln S f − ln I m − C 3 ln I f + C 2 a 2 μ + β 1 + b 1 ( I m + S m ) ) + 1 θ + 1 ( S m + S f + I m + I f ) θ + 1 − ln S m − ln S f − ln I m − ln I f + M 1 ， 此处 M 1 > 0 足够大，以保证函数 V ( S m ， S f ， I m ， I f ) 的非负性。 C 1 ， C 2 ， C 3 定义如下： C 1 = Γ 1 Γ 2 a 1 a 2 ( μ + 1 2 σ S m 2 ) 2 ( μ + a 2 Γ 1 μ + β 1 + b 1 + 1 2 σ S f 2 ) ( μ + β 2 + b 2 + 1 2 σ I f 2 ) ， C 2 = Γ 1 Γ 2 a 1 a 2 ( μ + 1 2 σ S m 2 ) ( μ + a 2 Γ 1 μ + β 1 + b 1 + 1 2 σ S f 2 ) 2 ( μ + β 2 + b 2 + 1 2 σ I f 2 ) ， C 3 = Γ 1 Γ 2 a 1 a 2 ( μ + 1 2 σ S m 2 ) ( μ + a 2 Γ 1 μ + β 1 + b 1 + 1 2 σ S f 2 ) ( μ + β 2 + b 2 + 1 2 σ I f 2 ) 2 ， M > 0 ， θ ∈ ( 0 ， 1 ) 为常数，且分别满足下列不等式， f 3 ∨ + M 0 − M ( μ + β 1 + b 1 + 1 2 σ I m 2 ) ( R 0 1 − 1 ) ≤ − 2 ， (9) ρ : = μ − θ 2 ( σ S m 2 ∨ σ S f 2 ∨ σ I m 2 ∨ σ I f 2 ) > 0 ， (10) 此处的 M 0 和 f 3 将在稍后给出。为方便讨论，特记 V 1 = − C 1 ln S m − C 2 ln S f − ln I m − C 3 ln I f + C 2 a 2 μ + β 1 + b 1 ( I m + S m ) ， V 2 = 1 θ + 1 ( S m + S f + I m + I f ) θ + 1 ， V 3 = − ln S m − ln S f − ln I m − ln I f + M 1 . 由ITO公式，我们有 L V 1 = C 1 ( μ + a 1 I f − Γ 1 S m + 1 2 σ S m 2 ) + C 2 ( μ + a 2 I m − Γ 2 S f + 1 2 σ S f 2 )     + ( μ + β 1 + b 1 + 1 2 σ I m 2 − a 1 S m I f I m ) + C 3 ( μ + β 2 + b 2 + 1 2 σ I f 2 − a 2 S f I m I f )     + C 2 a 2 μ + β 1 + b 1 ( Γ 1 − μ S m − ( μ + β 1 + b 1 ) I m ) ≤ C 1 ( μ + 1 2 σ S m 2 ) + C 2 ( μ + a 2 Γ 1 μ + β 1 + b 1 + 1 2 σ S f 2 ) + ( μ + β 1 + b 1 + 1 2 σ I m 2 )     + C 3 ( μ + β 2 + b 2 + 1 2 σ I f 2 ) + C 1 a 1 I f − 4 C 1 C 2 C 3 Γ 1 Γ 2 a 1 a 2 4 = − ( μ + β 1 + b 1 + 1 2 σ I m 2 ) ( R 0 1 − 1 ) + C 1 a 1 I f ， L V 2 = ( S m + S f + I m + I f ) θ [ Γ 1 + Γ 2 − μ ( S m + S f + I m + I f ) − ( β 1 + b 1 ) I m − ( β 2 + b 2 ) I f ]     + θ 2 ( S m + S f + I m + I f ) θ − 1 ( σ S m 2 S m 2 + σ S f 2 S f 2 + σ I m 2 I m 2 + σ I f 2 I f 2 ) ≤ ( Γ 1 + Γ 2 ) ( S m + S f + I m + I f ) θ − μ ( S m + S f + I m + I f ) θ + 1 + θ 2 ( σ S m 2 ∨ σ S f 2 ∨ σ I m 2 ∨ σ I f 2 ) ( S m + S f + I m + I f ) θ + 1 ≤ A − ρ 2 ( S m + S f + I m + I f ) θ + 1 ≤ A − ρ 2 ( S m θ + 1 + S f θ + 1 + I m θ + 1 + I f θ + 1 ) ， (11) 此处 A = sup ( S m ， S f ， I m ， I f ) ∈ R + 4 [ ( Γ 1 + Γ 2 ) ( S m + S f + I m + I f ) θ − ρ 2 ( S m + S f + I m + I f ) θ + 1 ] 。 L V 3 = ( μ + a 1 I f − Γ 1 S m + 1 2 σ S m 2 ) + ( μ + a 2 I m − Γ 2 S f + 1 2 σ S f 2 ) + ( μ + β 1 + b 1 + 1 2 σ I m 2 − a 1 S m I f I m )     + ( μ + β 2 + b 2 + 1 2 σ I f 2 − a 2 S f I m I f ) . 因此 L V = L ( M V 1 ) + L ( V 2 ) + L ( V 3 ) ≤ A + 4 μ + b 1 + b 2 + β 1 + β 2 + σ S m 2 + σ S f 2 + σ I m 2 + σ I f 2 2     + M [ − ( μ + β 1 + b 1 + 1 2 σ I m 2 ) ( R 0 1 − 1 ) + C 1 a 1 I f ] − ρ 2 I f θ + 1 + a 1 I f + a 2 I m − ρ 2 I m θ + 1     − Γ 1 S m − Γ 2 S f − ρ 2 S m θ + 1 − ρ 2 S f θ + 1 − a 1 S m I f I m − a 2 S f I m I f = M 0 + f 2 ( I f ) + f 3 ( I m ) − Γ 1 S m − Γ 2 S f − ρ 2 S m θ + 1 − ρ 2 S f θ + 1 − a 1 S m I f I m − a 2 S f I m I f ， (12) 此处： M 0 = A + 4 μ + b 1 + b 2 + β 1 + β 2 + σ S m 2 + σ S f 2 + σ I m 2 + σ I f 2 2 ， f 2 ( I f ) = M [ − ( μ + β 1 + b 1 + 1 2 σ I m 2 ) ( R 0 1 − 1 ) + C 1 a 1 I f ] − ρ 2 I f θ + 1 + a 1 I f ， f 3 ( I m ) = a 2 I m − ρ 2 I m θ + 1 . 接下来，我们构造一个有界闭集合 U = { k ≤ S m ≤ 1 k ， k ≤ S f ≤ 1 k ， k 3 ≤ I m ≤ 1 k 3 ， k ≤ I f ≤ 1 k } ，k为充分小的正常数，且使得下列不等式成立： M 0 + f 2 ∨ + f 3 ∨ − Γ 1 k ≤ − 1 ， (13) M 0 + f 3 ∨ − M ( μ + β 1 + b 1 + σ I m 2 2 ) ( R 0 1 − 1 ) + ( M C 1 a 1 + a 1 ) k ≤ − 1 ， (14) M 0 + f 2 ∨ + f 3 ∨ − Γ 2 k ≤ − 1 ， (15) M 0 + f 2 ∨ + f 3 ∨ − a 1 k ≤ − 1 ， (16) M 0 + f 2 ∨ + f 3 ∨ − ρ 2 k θ + 1 ≤ − 1 ， (17) M 0 + B − ρ 4 k θ + 1 ≤ − 1 ， (18) M 0 + C − ρ 4 k 3 ( θ + 1 ) ≤ − 1 ， (19) 不等式(14)可由(9)式推出，常数 B 和 C 将在随后给出。显然， R + 4 \ U = U 1 c ∪ U 2 c ∪ U 3 c ∪ U 4 c ∪ U 5 c ∪ U 6 c ∪ U 7 c ∪ U 8 c ， 此处 U 1 c = { ( S m ， S f ， I m ， I f ) ∈ R + 4 | 0 < S m < k } ， U 2 c = { ( S m ， S f ， I m ， I f ) ∈ R + 4 | 0 < I f < k } ， U 3 c = { ( S m ， S f ， I m ， I f ) ∈ R + 4 | 0 < S f < k } ， U 4 c = { ( S m ， S f ， I m ， I f ) ∈ R + 4 | S m ≥ k ， I f ≥ k ， 0 < I m < k 3 } ， U 5 c = { ( S m ， S f ， I m ， I f ) ∈ R + 4 | S m > 1 k } ， U 6 c = { ( S m ， S f ， I m ， I f ) ∈ R + 4 | S f > 1 k } ， U 7 c = { ( S m ， S f ， I m ， I f ) ∈ R + 4 | I f > 1 k } ， U 8 c = { ( S m ， S f ， I m ， I f ) ∈ R + 4 | I m > 1 k 3 } . 下面，我们来证明对 ∀ ( S m ， S f ， I m ， I f ) ∈ R + 4 \ U ， L V ( S m ， S f ， I m ， I f ) 是负的。 情况1：若 ( S m ， S f ， I m ， I f ) ∈ U 1 c ，则由(13)式可得 L V ≤ M 0 + f 2 ( I f ) + f 3 ( I m ) − Γ 1 S m ≤ M 0 + f 2 ∨ + f 3 ∨ − Γ 1 k ≤ − 1. 情况2：若 ( S m ， S f ， I m ， I f ) ∈ U 2 c ，则由(14)式可得 L V ≤ M 0 + f 3 ( I m ) − M ( μ + β 1 + b 1 + σ I m 2 2 ) ( R 0 1 − 1 ) + ( M C 1 a 1 + a 1 ) I f ≤ M 0 + f 3 ∨ − M ( μ + β 1 + b 1 + σ I m 2 2 ) ( R 0 1 − 1 ) + ( M C 1 a 1 + a 1 ) k ≤ − 1. 情况3：若 ( S m ， S f ， I m ， I f ) ∈ U 3 c ，则由(15)式可得 L V ≤ M 0 + f 2 ( I f ) + f 3 ( I m ) − Γ 2 S f ≤ M 0 + f 2 ∨ + f 3 ∨ − Γ 2 k ≤ − 1. 情况4：若 ( S m ， S f ， I m ， I f ) ∈ U 4 c ，则由(16)式可得 L V ≤ M 0 + f 2 ( I f ) + f 3 ( I m ) − a 1 S m I f I m ≤ M 0 + f 2 ∨ + f 3 ∨ − a 1 k ≤ − 1. 情况5：若 ( S m ， S f ， I m ， I f ) ∈ U 5 c ，则由(17)式可得 L V ≤ M 0 + f 2 ( I f ) + f 3 ( I m ) − ρ 2 S m θ + 1 ≤ M 0 + f 2 ∨ + f 3 ∨ − ρ 2 k θ + 1 ≤ − 1. 情况6：若 ( S m ， S f ， I m ， I f ) ∈ U 6 c ，则由(17)式可得 L V ≤ M 0 + f 2 ( I f ) + f 3 ( I m ) − ρ 2 S f θ + 1 ≤ M 0 + f 2 ∨ + f 3 ∨ − ρ 2 k θ + 1 ≤ − 1. 情况7：若 ( S m ， S f ， I m ， I f ) ∈ U 7 c ，则由(18)式可得 L V ≤ M 0 + M [ − ( μ + β 1 + b 1 + 1 2 σ I m 2 ) ( R 0 1 − 1 ) + C 1 a 1 I f ] − ρ 4 I f θ + 1 + f 3 ( I m ) − ρ 4 I f θ + 1 + a 1 I f ≤ M 0 + B − ρ 4 k θ + 1 ≤ − 1 ， 此处 B : = sup I f ∈ ( 0 ， ∞ ) { − M ( μ + β 1 + b 1 + 1 2 σ I m 2 ) ( R 0 1 − 1 ) + ( M C 1 a 1 + a 1 ) I f − ρ 4 I f θ + 1 + f 3 ∨ } 。 情况8：若 ( S m ， S f ， I m ， I f ) ∈ U 8 c ，则由(19)式可得 L V ≤ M 0 + f 2 ( I f ) + a 2 I m − ρ 4 I m θ + 1 − ρ 4 I m θ + 1 ≤ M 0 + C − ρ 4 k 3 ( θ + 1 ) ≤ − 1 ， 此处 C : = sup I m ∈ ( 0 ， ∞ ) { f 2 ∨ + a 2 I m − ρ 4 I m θ + 1 } 。 综合上述讨论，我们便可得到 L V ( S m ， S f ， I m ， I f ) ≤ − 1 ， ∀ ( S m ， S f ， I m ， I f ) ∈ R + 4 \ U . 条件(B2)得证。 接下来，我们证明条件(B1)成立。显然，模型(1)的扩散矩阵为 A ¯ ( X ) = ( σ S m 2 S m 2 0 0 0 0 σ S f 2 S f 2 0 0 0 0 σ I m 2 I m 2 0 0 0 0 σ I f 2 I f 2 ) . 令 D ¯ = [ 1 k ， k ] × [ 1 k ， k ] × [ 1 k ， k ] × [ 1 k ， k ] ， k > 1 且 k 是充分大的整数。这样，对 ∀ ( S m ， S f ， I m ， I f ) ∈ D ¯ ， ξ ∈ R + 4 ，我们有 ∑ i ， j = 1 4 a ¯ i j ( X ) ξ i ξ j = ( σ S m S m ) 2 ξ 1 2 + ( σ S f S f ) 2 ξ 2 2 + ( σ I m I m ) 2 ξ 3 2 + ( σ I f I f ) 2 ξ 4 2 ≥ M ˜ | ξ | 2 ， 这里 M ˜ = min ( S m ， S f ， I m ， I f ) ∈ D ¯ k ⊂ R + 4 { σ S m 2 S m 2 ， σ S f 2 S f 2 ， σ I m 2 I m 2 ， σ I f 2 I f 2 } > 0 ，条件(B1)证得成立。由引理4，模型(1)的解存在唯一正的遍历平稳分布。