DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 1. 引言 19世纪60年代引入的经典 B M O ( ℝ n ) 函数空间在现代调和分析中具有重要作用(可参见文献 [ 1 ] [ 2 ] )。设 f ∈ L l o c 1 ( ℝ n ) ，对任意的球 B ⊂ ℝ n ，称 f ∈ B M O ( ℝ n ) ，若 ， 其中 f B = 1 | B | ∫ B f ( x ) d x 。在文献 [ 1 ] 中，John和Nirenberg证明了对任意的 1 < p < ∞ ， B M O ( ℝ n ) 空间与 B M O p ( ℝ n ) 空间等价，其中 B M O p ( ℝ n ) 空间定义如下：对任意的 f ∈ L l o c 1 ( ℝ n ) ，任意的球 B ⊂ ℝ n ，称 f ∈ B M O p ( ℝ n ) ，若 ‖ f ‖ B M O p ( ℝ n ) = sup B ⊂ ℝ n ( 1 | B | ∫ B | f ( x ) − f B | p d x ) 1 / p < ∞ . 众所周知，许多算子并不是从 L 1 到 L 1 有界的，而是从 L 1 到 L 1 ， ∞ 有界的，例如Ricci-Stein震荡奇异积分算子，Carderón-Zygmund算子，Hardy-Littlewood极大算子。因此，弱型空间在算子理论研究中具有重要的意义。最近，王定怀等 [ 3 ] 引进了弱型BMO空间 W B M O p ( ℝ n ) ， ，它是类似于弱型Lebesgue空间 L p ， ∞ 所对应的BMO空间。并且他们证明了 ‖ ⋅ ‖ B M O 与 ‖ ⋅ ‖ W B M O p 的等价性。 空间 [ 3 ] 定义如下：设 f ∈ L l o c 1 ( ℝ n ) ，对任意的球 B ⊂ ℝ n ，称 f ∈ W B M O p ( ℝ n ) ，若 ‖ f ‖ W B M O p ( ℝ n ) = sup B ⊂ ℝ n 1 | B | 1 / p sup λ > 0 λ | { x ∈ B : | f ( x ) − f B | > λ } | 1 / p < ∞ . 显然地，当 1 ≤ p 1 ≤ p 2 < ∞ 时， B M O p 2 ⊂ W B M O p 1 。 此外，Duong和Yan [ 4 ] 引进了齐型空间 χ 上适当的函数集 Μ ( χ ) ，并进一步引进了与广义逼近恒等式相关的一类新的BMO型函数空间 B M O A ( χ ) ，它是经典BMO函数空间的推广。确切地说，设 { A t } t > 0 是由核 { a t } t > 0 (其衰减速度足够快)所定义的一类积分算子，对任意的 x ∈ χ 和满足 χ 上某类增长条件的任意函数 f ， A t f ( x ) = ∫ χ a t ( x ， y ) f ( y ) d μ ( y ) . 称 f ∈ B M O A ( χ ) ，如果对任意的 f ∈ Μ ( χ ) ，任意的球 B ⊂ χ ， ‖ f ‖ B M O A ( χ ) = sup B ⊂ χ 1 μ ( B ) ∫ B | f ( x ) − A t B f ( x ) | d μ ( x ) < ∞ ， 其中 t B = r B m ， r B 是球B的半径，m是一个正常数。相应地，他们证明了对任意的 1 < p < ∞ ， B M O A ( χ ) 空间与 B M O A p ( χ ) 空间等价，其中 B M O A p ( χ ) 空间定义如下：称 f ∈ B M O A p ( χ ) ，如果对任意的 f ∈ Μ ( χ ) ，任意的球 B ⊂ χ ， ‖ f ‖ B M O A p ( χ ) = sup B ⊂ χ ( 1 μ ( B ) ∫ B | f ( x ) − A t B f ( x ) | p d μ ( x ) ) 1 / p < ∞ . 本文将文献 [ 4 ] 中的一些结论进行推广，引进了一类齐型空间 χ 上与广义逼近恒等式相关的新的弱BMO型函数空间 W B M O A p ( χ ) ，它是 [ 4 ] 中所引进的 W B M O p ( χ ) 空间的推广。而且我们证明了 B M O A p ( χ ) 空间和 W B M O A p ( χ ) 空间的等价性，并对 W B M O A p ( χ ) 空间与 L p ( χ ) 空间的插值理论进行了研究。 在本文中，字母 c 表示与主要参数无关的常数，并且每一处取值不一定相等。
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user: 2. 预备知识和主要结果 我们首先回忆齐型空间上的一些基本定义，可见文献 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] 。 给定非空集合 χ ，满足下列条件的函数 d ： χ × χ → [ 0 ， ∞ ) 称为 χ 上的拟度量： i) 对任意的 x ， y ∈ χ ， d ( x ， y ) ≥ 0 ， d ( x ， y ) = 0 当且仅当 x = y ； ii) 对任意的 x ， y ∈ χ ， d ( x ， y ) = d ( y ， x ) ； iii) 存在常数 C 1 ∈ [ 1 ， ∞ ) ，使得对任意的 x ， y ， z ∈ χ ， d ( x ， y ) ≤ C 1 ( d ( x ， z ) + d ( z ， y ) ) . (1) 拟度量d决定了一个拓扑，且对任意的 x ∈ χ 和 r ∈ ( 0 ， ∞ ) ，所有的球 B ( x ， r ) = { y ∈ χ : d ( y ， x ) < r } 组成一个拓扑基。但当 C 1 > 1 时，这些球不一定为开集(可参见文献 [ 6 ] )。 定义1：设 χ 是一个集合，称 ( χ ， d ， μ ) 是齐型空间，其中d是 χ 上的拟度量， μ 是 χ 上满足二倍条件的Borel测度，即存在常数 C 2 ∈ [ 1 ， ∞ ) ，对任意的 x ∈ χ ， r ∈ ( 0 ， ∞ ) ，使得 μ ( B ( x ， 2 r ) ) ≤ C 2 μ ( B ( x ， r ) ) < ∞ . 由上述二倍条件可得如下强齐次性：存在常数n和c，使得对任意的 x ∈ χ ， r ∈ ( 0 ， ∞ ) 和 λ ∈ [ 1 ， ∞ ) ， μ ( B ( x ， λ r ) ) ≤ c λ n μ ( B ( x ， r ) ) ， (2) 其中参数n是空间的维数。且存在 c 和 N ， 0 ≤ N ≤ n ，使得对任意的 x ， y ∈ χ 和 r > 0 ， μ ( B ( y ， r ) ) ≤ c ( 1 + d ( x ， y ) r ) N μ ( B ( x ， r ) ) ， (3) 事实上， N = n 时，(3)式可由拟度量d的三角不等式和强齐次性直接得到。若 χ 是 ℝ n 空间或多项式增长李群，则 N = 0 。 定义2：设 ε 是(6)式(见定义3)中的常数，且 0 < β < ε ， f ∈ L l o c 1 ( χ ) ，称 f 为以 x 0 ∈ χ 为心的 ( x 0 ， β ) 型函数，如果f满足 ∫ χ | f ( x ) | ( 1 + d ( x 0 ， x ) ) 2 N + β μ ( B ( x 0 ， 1 + d ( x 0 ， x ) ) ) d μ ( x ) ≤ c < ∞ . (4) 记 Μ ( x 0 ， β ) 为所有 ( x 0 ， β ) 型函数的集合，若 f ∈ Μ ( x 0 ， β ) ，则 f 在 Μ ( x 0 ， β ) 中的范数定义为 ‖ f ‖ Μ ( x 0 ， β ) = inf { c ≥ 0 : ( 4 ) 成 立 } . 对一个固定的 x 0 ∈ χ ，易知当 ‖ f ‖ Μ ( x 0 ， β ) < ∞ 时， Μ ( x 0 ， β ) 是一个Banach空间。此外，对任意的 x 1 ∈ χ ， Μ ( x 1 ， β ) = Μ ( x 0 ， β ) ，且它们的范数等价。 记 Μ ( χ ) = ∪ x 0 ∈ χ ∪ β : 0 < β < ε Μ ( x 0 ， β ) ， 其中 ε 是(6)式中的常数。 定义3：设函数f满足增长条件(4)，对任意的 t > 0 ，广义逼近恒等式 { A t } t > 0 定义为： A t f ( x ) = ∫ χ a t ( x ， y ) f ( y ) d μ ( y ) . 设核 a t 满足：对任意的 x ， y ∈ χ ， | a t ( x ， y ) | ≤ h t ( x ， y ) ， 其中 h t ( x ， y ) = 1 μ ( B ( x ， t 1 / m ) ) g ( d ( x ， y ) m t ) ， (5) m是一个正常数，g是一个正的、有界的、递减函数且对某个 ε > 0 ， lim r → ∞ r n + 2 N + ε g ( r m ) = 0 ， (6) 其中N取值与(3)式中相同，n取值与(2)式中相同。 引理1 [ 4 ] ：对任意的 1 ≤ p < ∞ ， B M O A p ( χ ) = B M O A ( χ ) ，且当p取值不同时，范数 ‖ ⋅ ‖ B M O A p ( χ ) 是等价的。 引理2 [ 4 ] ：设 1 ≤ s ≤ q ，T是一个次线性算子。若T在 L q ( χ ) 上是有界的， 1 ≤ q < ∞ ，且 ‖ M A ， s # T f ‖ L ∞ ( χ ) ≤ c ‖ f ‖ L ∞ ( χ ) ， 则对任意的 q < p < ∞ ，T在 L p ( χ ) 上是有界的。 现在我们介绍与广义逼近恒等式 { A t } t > 0 相关的 W B M O A p ( χ ) 空间。 定义4：设 1 < p < ∞ ，对任意的 f ∈ Μ ( χ ) ，任意的球 B ⊂ χ ，称 f ∈ W B M O A p ( χ ) ，如果 ‖ f ‖ W B M O A p ( χ ) = sup B ⊂ χ 1 μ ( B ) 1 / p sup λ > 0 λ μ ( { x ∈ B : | f ( x ) − A t B f ( x ) | > λ } ) 1 / p < ∞ .(7) 本文的主要结果如下。 定理1：设 1 < p < ∞ ， { A t } t > 0 是定义3中的广义逼近恒等式。则 B M O A p ( χ ) = W B M O A p ( χ ) ，且它们的范数等价。 定理2：设 1 < p < ∞ ， χ 是齐型空间。假设 { A t } t > 0 是满足(5)和(6)的广义逼近恒等式，且对任意的 t > 0 ， A t ( 1 ) = 1 几乎处处成立，即对几乎所有的 x ∈ χ ， ∫ χ a t ( x ， y ) d μ ( y ) = 1 ，则有 W B M O p ( χ ) ⊂ W B M O A p ( χ ) ，且存在一个正常数c使得 ‖ f ‖ W B M O A p ( χ ) ≤ c ‖ f ‖ W B M O p ( χ ) . (8) 但反向不等式不一定成立。 注：注意到对(8)式来说，条件 A t ( 1 ) = 1 几乎处处成立是必要的。事实上，对任意的 x ∈ χ ，考虑 f ( x ) = 1 ，由(8)式得 ‖ 1 ‖ W B M O A p ( χ ) = 0 。因此，对任意的 t > 0 ， A t ( 1 ) = 1 几乎处处成立。 由定理1和引理2，我们可得如下插值定理。 定理3：设T是一个次线性算子。对 1 < p < ∞ ，若T在 L p ( χ ) 上是有界的，且 ‖ T f ‖ W B M O A p ( χ ) ≤ c ‖ f ‖ L ∞ ( χ ) ， 则对任意的 p < q < ∞ ，T在 L q ( χ ) 上是有界的。
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user: 3. 定理证明 为了证明定理1，我们首先证明以下两个引理。 引理3：设 1 ≤ p 1 ≤ p 2 < ∞ ，则有 B M O A p 2 ( χ ) ⊂ W B M O A p 1 ( χ ) ，且存在一个正常数c使得 ‖ ⋅ ‖ W B M O A p 1 ( χ ) ≤ c ‖ ⋅ ‖ B M O A p 2 ( χ ) .(9) 证明：设 f ∈ B M O A p 2 ( χ ) ，由引理1得 1 μ ( B ) 1 / p 1 λ μ ( { x ∈ B : | f ( x ) − A t B f ( x ) | > λ } ) 1 / p 1 = 1 μ ( B ) 1 / p 1 ( ∫ { x ∈ B : | f ( x ) − A t B f ( x ) | > λ } λ p 1 d μ ( x ) ) 1 / p 1 ≤ 1 μ ( B ) 1 / p 1 ( ∫ { x ∈ B : | f ( x ) − A t B f ( x ) | > λ } | f ( x ) − A t B f ( x ) | p 1 d μ ( x ) ) 1 / p 1 ≤ ( 1 μ ( B ) ∫ B | f ( x ) − A t B f ( x ) | p 1 d μ ( x ) ) 1 / p 1 ≤ ‖ f ‖ B M O A p 1 ( χ ) ≤ c ‖ f ‖ B M O A p 2 (χ) 引理4. 设 1 ≤ p 1 < p 2 < ∞ ，则有 W B M O A p 2 ( χ ) ⊂ B M O A p 1 ( χ ) ，且存在一个正常数c使得 ‖ ⋅ ‖ B M O A p 1 ( χ ) ≤ c ‖ ⋅ ‖ W B M O A p 2 ( χ ) .(10) 证明：设 f ∈ W B M O A p 2 ( χ ) ，对任意给定的球 B ⊂ χ 和 λ > 0 ， 1 μ ( B ) 1 / p 2 ( λ p 2 μ ( { x ∈ B : | f ( x ) − A t B f ( x ) | > λ } ) ) 1 / p 2 ≤ ‖ f ‖ W B M O A p 2 ( χ ) ， 即 μ ( { x ∈ B : | f ( x ) − A t B f ( x ) | > λ } ) ≤ ‖ f ‖ W B M O A p 2 ( χ ) p 2 μ ( B ) λ − p 2 . 取 N = ‖ f ‖ W B M O A p 2 ( χ ) ( p 1 p 2 − p 1 ) 1 / p 2 ， 因此 ∫ B | f ( x ) − A t B f ( x ) | p 1 d μ ( χ ) = p 1 ∫ 0 ∞ λ p 1 − 1 μ ( { x ∈ B : | f ( x ) − A t B f ( x ) | > λ } ) d λ ≤ p 1 ∫ 0 N λ p 1 − 1 μ ( B ) d λ + p 1 ∫ N ∞ λ p 1 − 1 ‖ f ‖ W B M O A p 2 ( χ ) p 2 μ ( B ) λ − p 2 d λ = μ ( B ) N p 1 + p 1 p 2 − p 1 ‖ f ‖ W B M O A p 2 ( χ ) p 2 μ ( B ) N p 1 − p 2 . 于是 ( 1 μ ( B ) ∫ B | f ( x ) − A t B f ( x ) | p 1 d μ ( x ) ) 1 / p 1 ≤ 2 ( p 1 p 2 − p 1 ) 1 / p 2 ‖ f ‖ W B M O A p 2 ( χ ) ， 则 ‖ f ‖ B M O A p 1 ( χ ) ≤ 2 ( p 1 p 2 − p 1 ) 1 / p 2 ‖ f ‖ W B M O A p 2 ( χ ) . 定理1的证明：对任意的 1 < p < ∞ ，由引理3可得 B M O A p ( χ ) ⊂ W B M O A p ( χ ) 。因此，我们只需证明 W B M O A p ( χ ) ⊂ B M O A p ( χ ) 。对任意的 f ∈ W B M O A p ( χ ) ，由引理1和引理4得 ‖ f ‖ B M O A p ( χ ) ≤ c ‖ f ‖ B M O A ( χ ) ≤ c ‖ f ‖ W B M O A p ( χ ) . 定理2的证明：当 1 < p < ∞ 时，由定理1得 ‖ f ‖ W B M O A p ( χ ) ≤ c ‖ f ‖ B M O A p ( χ ) ， 再由命题2.5 [ 4 ] 和命题2.3 [ 3 ] 可得 ‖ f ‖ B M O A p ( χ ) ≤ c ‖ f ‖ B M O p ( χ ) ≤ c ‖ f ‖ W B M O p ( χ ) ， 因此， ‖ f ‖ W B M O A p ( χ ) ≤ c ‖ f ‖ W B M O p ( χ ) 。 下证(8)的反向不等式不一定成立。 设 χ = ℝ ，对任意的 x ， y ∈ χ ，设 { A t } t > 0 的核 a t ( x ， y ) = 1 2 t 1 / m χ ( x − t 1 / m ， x + t 1 / m ) ( y ) ， 对任意的 x ∈ χ ，令 f ( x ) = x 。则对任意的 t > 0 ， A t f ( x ) = x 且 ‖ f ‖ W B M O A p ( χ ) = 0 ，但 ‖ f ‖ W B M O p ( χ ) ≠ 0 。 因此，(8)的反向不等式不一定成立。
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user: 摘 要 本文根据Baskakov-Kantorovich算子在复空间的定义及性质研究Baskakov-Kantorovich算子在复空间的逼近性质，得到了Baskakov-Kantorovich算子在紧圆盘上的同时逼近性质。 关键词 :Baskakov-Kantorovich算子，同时逼近，Voronovskaja型结果 Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 在复空间C上，令 D R : = { z ∈ C : | z | < R ， R > 1 } ， H ( D R ) 表示 D R 上解析函数空间。 函数 f : [ R ， + ∞ ) ∪ D R ¯ → C 在 [ R ， + ∞ ) ∪ D R ¯ 上连续，在 D R 上解析。若 f ∈ H ( D R ) ，对所有的 z ∈ D R ，有 f ( z ) = ∑ m = 0 ∞ a m z m ，其中 ‖ f ‖ r = sup { | f ( z ) | : | z | ≤ r } 。则复的改进的Baskakov-Kantorovich型算子的定义为： K n ( f ， z ) = ∑ j = 0 ∞ v n ， j ( z ) ∫ 0 1 f ( j + t n + 1 ) d t ， 其中 v n ， j ( z ) = ( n + j − 1 j ) z j ( 1 + z ) − n − j . [ 1 ] - [ 10 ] 引理1.1 [ 11 ] ：[Cauchy积分公式]设区域D的边界是周线(或复周线) C，函数 f ( z ) 在D内解析，在 D ¯ = D + C 上连续，则有 f ( z ) = 1 2 π i ∫ c f ( ξ ) ξ − z d ξ ( z ∈ D ) . 引理1.2 [ 11 ] ：[泰勒展式]设 f ( z ) 在区域D内解析， a ∈ D ，只要圆 L : | z − a | < R 含于D，则 f ( z ) 在L内能展成幂级数 f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ c n ( z − a ) n ， 其中系数 c n = 1 2 π i ∫ τ ρ f ( ξ ) ( ξ − a ) n + 1 d ξ = f ( n ) ( a ) n ! ， ( τ ρ : | ξ − a | = ρ ， 0 < ρ < R ; n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ) 且展式是惟一的。 定理1.1：设 f ∈ H ( D R ) 且有界于 [ 0 ， + ∞ ) ， f ( z ) = ∑ m = 0 ∞ a m z m ， z ∈ D R ，若 1 ≤ r < r 1 < R 2 ，对任意 | z | ≤ r ， z ≠ − 1 以及 n ， p ∈ N ，有 | K n ( p ) ( f ， z ) − f ( p ) ( z ) | ≤ p ! r 1 C r 1 ( f ) n ( r 1 − r ) p + 1 ， 其中 C r 1 ( f ) = 3 2 ∑ m = 1 ∞ | a m | m ( m + 1 ) ( m + 1 ) ! ( 2 r 1 ) m < + ∞ . 定理1.2：设 f ∈ H ( D R ) 且有界于 [ 0 ， + ∞ ) ， f ( z ) = ∑ m = 0 ∞ a m z m ， z ∈ D R ，若 1 ≤ r < r 1 < R 2 ，对任意 | z | ≤ r ， z ≠ − 1 以及 n ， p ∈ N ，假设f在 D R 上不是阶小于等于 max { 1 ， p − 1 } 的多项式，当引理2.2中级数收敛时，有 ‖ K n ( p ) ( f ， z ) − f ( p ) ( z ) ‖ r ≥ 1 n B r 1 ( f ) ， 其中 B r 1 ( f ) 依赖于f和 r ， r 1 ，但 n ， p 与无关。 推论：设 f ∈ H ( D R ) 且有界于 [ 0 ， + ∞ ) ， f ( z ) = ∑ m = 0 ∞ a m z m ， z ∈ D R ，若 1 ≤ r < r 1 < R 2 ，对任意 | z | ≤ r ， z ≠ − 1 以及 n ， p ∈ N ，假设f在 D R 上不是阶小于等于 max { 1 ， p − 1 } 的多项式，当引理2.2中级数收敛时，有 ‖ K n ( p ) ( f ， z ) − f ( p ) ( z ) ‖ r ~ 1 n N r 1 ( f ) ， 其中 N r 1 ( f ) 依赖于f和 r ， r 1 ，但 n ， p 与无关。 注：本文C表示不依赖于x或者z与n的常数，不同地方代表不同数值。
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user: 2. 重要引理 引理2.1 [ 12 ] ：设 f ∈ H ( D R ) 且有界于 [ 0 ， + ∞ ) ， f ( z ) = ∑ m = 0 ∞ a m z m ， z ∈ D R ，若 1 ≤ r < R 2 ，对任意 | z | ≤ r ， z ≠ − 1 以及 n ∈ N ，有 | V n ∗ ( f ， z ) − f ( z ) | ≤ 3 2 n ∑ m = 1 ∞ | a m | m ( m + 1 ) ( m + 1 ) ! ( 2 r ) m ， 其中 C r ( f ) = 3 2 ∑ m = 1 ∞ | a m | m ( m + 1 ) ( m + 1 ) ! ( 2 r ) m < + ∞ . 引理2.2 [ 12 ] ：设 f ∈ H ( D R ) 且有界于 [ 0 ， + ∞ ) ， f ( z ) = ∑ m = 0 ∞ a m z m ， z ∈ D R ，若 1 ≤ r < R 2 ，对任意 | z | ≤ r ， z ≠ − 1 以及 n ∈ N ，有 | V n ∗ ( f ， z ) − f ( z ) − 1 − 2 z 2 ( n + 1 ) f ′ − z ( 1 + z ) 2 ( n + 1 ) f ″ ( z ) | ≤ 11 n 2 ∑ m = 2 ∞ | a m | m ( m − 1 ) 2 ( m + 1 ) ! ( 2 r ) m ， 其中 A r ( f ) = 11 ∑ m = 2 ∞ | a m | m ( m − 1 ) 2 ( m + 1 ) ! ( 2 r ) m < + ∞ . 引理2.3 [ 12 ] ：设 f ∈ H ( D R ) 且有界于 [ 0 ， + ∞ ) ， f ( z ) = ∑ m = 0 ∞ a m z m ， z ∈ D R ，若 1 ≤ r < R 2 ，对任意 | z | ≤ r ， z ≠ − 1 以及 n ∈ N ，有 ‖ V n ∗ ( f ) − f ‖ ≥ 1 n B r ( f ) ， 其中 B r ( f ) 依赖于f和r，但与n无关。
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user: 3. 定理的证明 定理1.1的证明 证明：令 γ 是以 O 为圆心，半径 r 1 > 1 的圆，对任意 | z | ≤ r ， z ≠ − 1 和 v ∈ γ ，此时， | v − z | ≥ r 1 − r ，由高阶Cauchy积分公式得 | K n ( p ) ( f ， z ) − f ( p ) ( z ) | = p ! 2π | ∫ γ K n ( f ， v ) − f ( v ) ( v − z ) p + 1 d v | ≤ C r 1 ( f ) n ⋅ p ! 2π ⋅ 2 π r 1 ( r 1 − r ) p + 1 = p ! r 1 C r 1 ( f ) n ( r 1 − r ) p + 1 . 命题得证。 定理1.2的证明 证明：对所有的 v ∈ γ 和 n ∈ N ，有 K n ( f ， v ) − f ( v ) = 1 n { 1 − 2 v 2 ( n + 1 ) f ′ ( v ) + v ( 1 + v ) 2 ( n + 1 ) f ″ ( v ) + 1 n [ n 2 ( K n ( f ， v ) − f ( v ) − 1 − 2 v 2 ( n + 1 ) f ′ ( v ) − v ( 1 + v ) 2 ( n + 1 ) f ″ ( v ) ) ] } 运用高阶Cauchy积分公式，可得： K n ( p ) ( f ， z ) − f ( p ) ( z ) = 1 n { p ! 2 π i ∫ γ ( 1 − 2 v ) f ′ ( v ) 2 ( v − z ) p + 1 d v + ∫ γ v ( 1 + v ) f ″ ( v ) 2 ( v − z ) p + 1 d v     + 1 n p ! 2 π i ∫ γ n 2 [ ( K n ( f ， v ) − f ( v ) − 1 − 2 v 2 ( n + 1 ) f ′ ( v ) − v ( 1 + v ) 2 ( n + 1 ) f ″ ( v ) ) ] ( v − z ) p + 1 d v } = 1 n { [ ( 1 − 2 z ) 2 f ′ ( z ) ] ( p ) + [ z ( 1 + z ) 2 f ″ ( z ) ] ( p )     + 1 n p ! 2 π i ∫ γ n 2 [ ( K n ( f ， v ) − f ( v ) − 1 − 2 v 2 ( n + 1 ) f ′ ( v ) − v ( 1 + v ) 2 ( n + 1 ) f ″ ( v ) ) ] ( v − z ) p + 1 d v } 所以对所有的 | z | ≤ r ， z ≠ − 1 和 n ， p ∈ N ，有 | K n ( p ) ( f ， z ) − f ( p ) ( z ) | ≥ 1 n { | [ ( 1 − 2 z ) 2 f ′ ( z ) ] ( p ) + [ z ( 1 + z ) 2 f ″ ( z ) ] ( p ) |     − 1 n | p ! 2 π i ∫ γ n 2 [ ( K n ( f ， v ) − f ( v ) − ( 1 − 2 v ) 2 ( n + 1 ) f ′ ( v ) − v ( 1 + v ) 2 ( n + 1 ) f ″ ( v ) ) ] ( v − z ) p + 1 d v | } ， 由引理2.2，对所有的 | z | ≤ r ， z ≠ − 1 和 n ， p ∈ N ，有 | p ! 2 π i ∫ γ n 2 [ ( K n ( f ， v ) − f ( v ) − 1 − 2 v 2 ( n + 1 ) f ′ ( v ) − v ( 1 + v ) 2 ( n + 1 ) f ″ ( v ) ) ] ( v − z ) p + 1 d v | ≤ p ! 2 π i ⋅ 2 π r 1 n 2 ( r 1 − r ) p + 1 ⋅ 11 n 2 ∑ m = 2 ∞ | a m | m ( m − 1 ) 2 ( m + 1 ) ! ( 2 r ) m ≤ 11 p ! r 1 ( r 1 − r ) p + 1 ∑ m = 2 ∞ | a m | m ( m − 1 ) 2 ( m + 1 ) ! ( 2 r ) m . 由f的假设条件，知 ‖ ( 1 − 2 z 2 f ′ ( z ) + z ( 1 + z ) 2 f ″ ( z ) ) ( p ) ‖ r > 0 。事实上，若否，则任意 z ∈ D r ¯ ，有 ( 1 − 2 z ) f ′ ( z ) + z ( 1 + z ) f ″ ( z ) = Q p − 1 ( z ) ，其中 Q p − 1 ( z ) 为阶小于等于 p − 1 的多项式，故 Q p − 1 ( z ) = ∑ j = 1 p − 1 A j z j 。令 f ′ ( z ) = g ( z ) ，对任意 z ∈ D r ¯ ，有 ( 1 − 2 z ) g ( z ) + z ( 1 + z ) g ′ ( z ) = Q p − 1 ( z ) ，由于 g ( z ) 解析，令 g ( z ) = ∑ j = 0 ∞ α j z j 代入上述微分方程，比较系数可知： g ( z ) 为阶小于等于 p − 2 的多项式，故 f ( z ) 为阶小于等于 p − 1 的多项式，与假设矛盾。令 C 0 = ‖ ( 1 − 2 z 2 f ′ ( z ) + z ( 1 + z ) 2 f ″ ( z ) ) ( p ) ‖ r ，参照引理2.3证明过程(参见文献 [ 12 ] )，可以得到定理1.2。即存在一个整数 n 0 ∈ N 取决于 f ， r ， r 1 和 p ，使得 n ≥ n 0 ，有 ‖ K n ( p ) ( f ， z ) − f ( p ) ( z ) ‖ r ≥ 1 n ⋅ C 0 2 。当 n ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， n 0 − 1 } 时类似可证。
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user: 摘 要 运用有限p-群的有关知识，给出了两个判定广义四元数2-群的充要条件，进而得到结论：设G是一个有限p-群。则G的每个交换子群皆循环当且仅当G仅有一个p-阶子群。 关键词 :有限p-群，广义四元数2-群，充要条件 Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 本文中G表示有限群。若G为p-群， s k ( G ) 表示G的 p k 阶子群的个数，从而 s 1 ( G ) 表示G的p阶子群的个数。本文的其他数学符号都是标准的，如果有需要可参考文献 [ 1 ] [ 2 ] 。 众所周知，广义四元数2-群 Q 2 n ， Q 2 n = 〈 a ， b | a 2 n − 1 = 1 ， b 2 = a 2 n − 2 ， b − 1 a b = a − 1 〉 ，   n ≥ 3 ， 是四元数群 Q 8 Q 8 = 〈 a ， b | a 4 = 1 ， b 2 = a 2 ， b − 1 a b = a − 1 〉 在有限p-群上的推广。 Q 2 n 是一类十分重要的有限p-群，具有很多优良的性质。例如， 1) Q 2 n 是一类具有极大循环的子群的有限p-群； 2) Q 2 n 是一类最大类有限p-群； 3) Q 2 n 是一类仅有一个2阶元的有限p-群等等。本文讨论了广义四元数2-群另两个性质： 4) Q 2 n 的每一个交换子群都循环； 5) Q 2 n 仅有一个2阶子群， 从而得到两个判定广义四元数2-群的充要条件，进而也得到如下有趣结论： 设G是一个有限p-群。则G的每个交换子群皆循环的充要条件是G仅有一个p阶子群。
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user: 2. 预备引理 为了方便主要定理的证明，下面引入几个引理。 引理1：设G是一个p-群，且G的每个交换正规子群皆循环。 1) 若 p > 2 ，则G本身是循环群； 2) 若 p = 2 ，则G有极大循环子群。 证明：可参考文献 [ 1 ] 第V章定理5.10。 引理2：设 | G | = p n ，G有 p n − 1 阶循环子群 〈 a 〉 。则G只有以下七种不同构的类型： I) p n 阶循环群： G = 〈 a | a p n = 1 〉 ，   n ≥ 1 。 II) ( p n − 1 ， p ) 型交换群： G = 〈 a ， b | a p n − 1 = b p = 1 ， a b = b a 〉 ， n ≥ 1 。 III) G = 〈 a ， b | a p n − 1 = b p = 1 ， b − 1 a b = a 1 + p n − 2 〉 ， p ≠ 2 ， n ≥ 3 。 IV) 广义四元数2-群： G = 〈 a ， b | a 2 n − 1 = 1 ， b 2 = a 2 n − 2 ， b − 1 a b = a − 1 〉 ， p = 2 ， n ≥ 3 . V) 二面体2-群： G = 〈 a ， b | a 2 n − 1 = b 2 = 1 ， b − 1 a b = a − 1 〉 ， p = 2 ， n ≥ 3 . VI) 半广义四元数2-群： G = 〈 a ， b | a 2 n − 1 = b 2 = 1 ， b − 1 a b = a 1 + 2 n − 2 〉 ， p = 2 ， n ≥ 4 . VII) G = 〈 a ， b | a 2 n − 1 = b 2 = 1 ， b − 1 a b = a − 1 + 2 n − 2 〉 ， p = 2 ， n ≥ 4 。 证明：可参考文献 [ 1 ] 第V章定理5.14。 引理3：设 | G | = p n 。若 s 1 ( G ) = 1 ，则G是循环群或广义四元数2-群。 证明：可参考文献 [ 1 ] 第IV章定理6.1。 引理4：若G是一个广义四元数2-群，则G的每个交换子群皆是循环群。 证明：设G是 2 n − 1 ( n ≥ 3 ) 阶的广义四元数2-群。由参考文献 [ 3 ] 的引理3(2)和定理1(3)知， i) G的2阶和 2 2 阶子群都是循环的； ii) G的 2 k 阶子群除一个循环群外，其余都是广义四元数2-群类型的群，其中 k = 3 ， ⋯ ， n − 1 。 因此广义四元数2-群的循环子群就是它的全部交换子群，即证。
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user: 3. 主要定理 定理1：设G是一个非循环p-群。则下列三个条件等价。 1) G是一个广义四元数2-群； 2) G的每个交换子群皆循环； 3) G仅有一个p阶子群。 证明：首先证明(1)和(2)等价。由引理4知，(1) Þ (2)显然成立。下证(2) Þ (1)。 由于G的每个交换子群皆循环，所以G的每个交换正规子群也皆循环。因而由引理1知，G要么为循环群，要么为具有循环极大子群的2-群。既然G不循环，从而G是有循环极大子群的2-群。因此G可能为引理2中七类群中 ( 2 n − 1 ， 2 ) 型交换群(II)、广义四元数2-群(VI)、二面体2-群(V)、半广义四元数2-群(VI)和(VII)类型群。但由文献 [ 3 ] 的定理1的证明过程知，(II)、(VI)、(V)和(VII)类型群都有 ( 2 ， 2 ) 型的交换子群，故G仅能为广义四元数2-群。 其次证明(1)和(3)等价。 (1) Þ (3)。设G是一个广义四元数2-群 Q 2 n 。则 Q 2 n 仅有一个2阶元 〈 a 2 n − 1 〉 ，从而G仅有一个2-阶子群。 (3) Þ (1)。既然G仅有一个p阶子群，即 s 1 ( G ) = 1 。由引理3知，G要么为循环群，要么为广义四元数2-群。又由G不循环，G仅能为广义四元数2-群。 因此在命题假设下，(1)，(2)，(3)条是等价的，即证。 从定理1中，我们很容易得到一个有趣的推论。 推论：设G是一个有限p-群。则G的每个交换子群皆循环当且仅当G仅有一个p阶子群。 证明：对于G循环的情形是显然的；对于G不循环的情形可由定理1得到，即证。
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user: 摘 要 “拍照赚钱”是移动互联网下的一种自助式服务模式，这种自助式劳务众包平台主要为企业提供各种商业检查和信息搜集。为使拍照的任务尽可能多的被完成，核心就是为给各个任务合理定价。本文首先根据已有数据建立逐步线性回归的定价模型，其次采用双目标优化的模型对定价模型进行改进，最后对模型进行仿真模拟，得出最合理的定价方案。 关键词 :任务定价，逐步线性回归，双目标优化，仿真模拟 Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 “拍照赚钱”是一种新兴的移动互联网下的自助式服务模式。用户下载APP，注册成为APP的会员，然后从APP上领取需要拍照的任务(比如上超市去检查某种商品的上架情况)，赚取APP对任务所标定的酬金。这种基于移动互联网的自助式劳务众包平台，为企业提供各种商业检查和信息搜集，相比传统的市场调查方式可以大大节省调查成本，而且有效地保证了调查数据真实性，缩短了调查的周期。因此APP成为该平台运行的核心，而APP中的任务定价又是其核心要素。如果定价不合理，有的任务就会无人问津，而导致商品检查的失败。本文的目的就是使任务尽可能多的被完成，同时使商家的利益最大化。
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user: 2. 定性分析任务定价规律 首先根据已知数据，我们用MATLAB做出不同地理位置的任务价格分布的热图，并将任务的分布及完成情况在图1中显示。
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user: 3. 任务定价规律的影响因素 3.1. 平均距离d 一定区域上的任务地点与会员所在地的平均距离会直接影响该区域任务的价格，平均距离小说明会员容易到达任务地，预定任务的人就会相对多，从而导致任务的价格可以偏低一些。 3.2. 人均任务数w 一定区域内，会员的人均任务数表示着会员的工作量大小。若会员的人均任务数大，则一定范围内的任务价格应该越高，才能使更多的任务被完成。 3.3. 信誉总和s 一定区域内会员的信誉总和表示该区域内会员完成任务的概率大小。若某区域内会员信誉值较高，任务被完成的可能性越大，任务的价格可以降低。
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user: 4. 逐步回归模型 [ 1 ] 逐步回归法的主要是想是将所有自变量按其对因变量作用的大小、显著程度大小或者对因变量的贡献大小，从小到大的逐步引入回归模型，而那些对因变量作用不显著的变量可能被移除回归方程，逐个分析变量，最终得到多元回归模型： y ¯ = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x 3 + β 4 x 4 . 其中 x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 表示通过逐步回归分析确定的因素， β 1 ， β 2 ， β 3 ， β 4 分别为因素系数，y表示某区域内任务价格的平均值。 图1. 任务分布热图 由于任务定价的一些主观原因导致的不确定性无法分析，所以我们在回归模型里加入随机误差 β 0 ，表示主观不确定因素对任务定价的影响。 由最小二乘法原理，用SPSS求得上述线性回归函数为： y = 68.060 − 5.580 × 10 − 5 x 1 + 0.233 x 2 + 2.141 x 3 .
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user: 5. 双目标优化模型 5.1. 目标一 给任务进行定价，首先要考虑商家的利益，即利益最大化原理。那么，新定价方案的目标之一就是让项目任务的价格尽可能低，从而使商家获得的利益最大化。根据问题一，我们分四个区域考虑，目标是综合考虑四个区域价格的平均值，使加权后的价格4低，即目标函数之一是： min ∑ k = 1 4 ω k y k ¯ 其中， ω k 为第k个区域的权重系数。 5.2. 目标二 在考虑价格尽量低的同时，应该要求项目任务完成的数量尽量多，即完成度尽量高。同样考虑四个区域，根据仿真得到每个区域的任务完成度，目标是综合考虑四个区域后，使总的完成度高，即： max ∑ k = 1 4 ω k γ k 其中， γ k 为第k个区域的任务完成度。 5.3. 仿真步骤 [ 2 ] Step 1：输入任务完成情况的历史数据； Step 2：对于每一个任务，选取距离它五公里范围内的所有会员； Step 3：给定设定的规则，任务是由会员中选出的95%人领单去完成，其他人定义为有事不能去； Table 1 The overall average price and completion rate change with the coefficien β 2 取值 0.133 0.173 0.213 0.233 0.253 0.293 0.333 平均价格 64.5 66.3 68.7 69.1 70.9 71.7 73 完成率 59.1% 61.8% 60.6% 62.4% 62.5% 64.1% 66.5% β 3 取值 1.141 1.541 1.941 2.141 2.341 2.741 3.141 平均价格 60.78 66.4 67.5 69.1 70.1 71.15 70.6 完成率 54.1% 57.5% 59.3% 62.4% 62.9% 63.5% 63.4% 表1. 整体平均价格与完成率随系数变化情况 Step 4：数据归一化，对会员与任务之间的距离以及会员的信誉进行归一化处理； Step 5：将距离、信誉、价格分配比例，得到一个概率，用所得概率确认为任务的完成情况。 根据逐步线性回归函数，分别给定各系数的变化范围，在这个范围内，调动影响因素的系数，得到新的任务定价，并对新的定价进行仿真模拟得到其新的完成率。比较新设计方案与原方案的价格以及完成率，对这两个目标进行分析达到更好的定价方案。整体区域的平均价格和完成率随系数的变化结果如表1。 因此得到新任务定价方案方程为： y = 68.060 − 5.580 × 10 − 5 x 1 + 0.293 x 2 + 2.741 x 3 。
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user: 6. 总结 本文所采用的逐步线性回归模型，可以自动剔除与任务价格相关性较差的影响因素，自动选择相关性最强的因素，从而得到的回归函数的变量比较理想。在制定新的定价方案时，采用双目标优化模型，可以兼顾商家最关注的两个目标，得到的定价方案合乎现实，而且仿真模拟的结果验证了模型的合理性。 另外基于本文对于任务定价的研究，我们可以将此模型推广至滴滴打车、美团外卖等应用平台。用户在一定的位置发出需求信号，滴滴司机或外卖员可根据具体的位置及酬劳进行选择抢单，进而完成用户的要求。
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user: 摘 要 四元数矩阵在工程技术、物理学和计算机科学等学科有广泛的应用。本文首先简述了四元数及四元数矩阵的背景和发展状况；其次列出了基本定义和定理；最后借助于四元数矩阵的实表示，讨论了实自共轭四元数矩阵右特征值的Jacobi迭代。 关键词 :四元数，四元数矩阵，右特征值，Jacobi迭代 Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 四元数是继复数之后的又一新的数系，它是英国数学家哈密尔顿在1843年首先提出来的，至今已有一个半世纪了。哈密尔顿建立四元数理论最初的目的是为研究空间矢量，通过类似解决平面问题中使用的复数方法寻找到了四元数。但由于当时数学工具所限，四元数最初只是在刚体定位中得到某些简单应用，学者并未发掘四元数真正的优越性，因而在整整一个世纪中四元数的研究基本上是停滞的。随着研究不断深入，数学物理学者们发现四元数和四元数矩阵可以较好地处理刚体运动学，尤其是旋转矩阵运算与单位四元数的运算非常相似，因此四元数作为一种非常有效的工具被运用到理论力学刚体运动的研究中。之后，在计算机图形学中，四元数被广泛的用于彩色图像处理。如今，四元数及其矩阵在越来越多的领域得到运用，得到了国内外学者的关注 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] 。而矩阵与其特征值不仅仅是数学理论研究中重要组成部分，在理论物理、工程力学和计算机科学中也有非常重要的应用。因此，国内外许多学者对四元数矩阵特征值在理论和实际应用方面做了很多研究 [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] 。借助于经典的矩阵特征值的计算方法，我们希望可以对四元数矩阵的特征值问题做简单的理论研究，直观地分析特征值的性质，继而可以进一步地研究四元数矩阵的特征值的精确计算问题。 本文讨论了自共轭实四元数矩阵特征值的Jacobi迭代。第二部分简单介绍了四元数与四元数矩阵，第三部分将经典的Jacobi迭代推广到对自共轭四元数矩阵的特征值的计算中，最后一部分对文章内容进行了小结。
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user: 2. 基础知识 首先介绍一些四元数和四元数矩阵基础的概念和命题，更多其他相关知识可以参考文献 [ 1 ] [ 2 ] 。 定义2.1：设 q = a + b i + c j + d k a ， b ， c ， d ∈ R (2.1.1) 其中 i ， j ， k 满足 i 2 = j 2 = k 2 = − 1 ， i j = − j i = k ， j k = − k j = i ， k i = − i k = j ，则称形为(2.1.1)的数为四元数，四元数的全体记为Q，即 Q = { a + b i + c j + d k | a ， b ， c ， d ∈ R } . 设 q 1 = a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k ∈ Q ， q 2 = a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k ∈ Q ，则两个四元数的相等、加法与乘法分别规定如下： q 1 = q 2 ⇔ a 1 = a 2 ， b 1 = b 2 ， c 1 = c 2 ， d 1 = d 2 q 1 + q 2 = ( a 1 + a 2 ) + ( b 1 + b 2 ) i + ( c 1 + c 2 ) j + ( d 1 + d 2 ) k q 1 q = 2 ( a 1 a 2 − b 1 b 2 − c 1 c 2 − d 1 d 2 ) + ( a 1 b 2 + b 1 a 2 + c 1 d 2 − d 1 c 2 ) i + ( a 1 c 2 + a 2 c 1 + b 2 d 1 − d 2 b 1 ) j + ( a 1 d 2 + d 1 a 2 + b 1 c 2 − c 1 b 1 ) k 容易验证四元数的乘法不满足交换律，即 a b = b a 不一定成立。这是它与实数和复数最显著的差异，使得对它的研究要比对实数、复数的研究困难得多。 对于四元数 q = a + b i + c j + d k ∈ Q ，定义它的共轭和模分别为： q ¯ = a − b i − c j − d k 和 | q | = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 。 定义2.2：设矩阵 A = ( a i j ) m × n ， a i j ∈ Q 则称A为m ×n阶四元数矩阵，m ×n阶四元数矩阵的全体记为 Q m × n 。 众所周知，矩阵的特征值无论是在理论研究还是实际应用中都有非常重要的作用。1989年，Bunse-Gerstner等将复矩阵的QR算法应用到四元数矩阵中，给出了四元数矩阵的QR分解和Schur分解，从而得到该四元数矩阵的右特征值和右特征向量。下面给出四元数矩阵的特征值的定义。 定义2.3：对Q上n阶方阵A，如果存在 λ ∈ Q 与n维非零列(或行)向量 α 使得 A α = α λ (或 A α = λ α )，则称 λ 为A的右(左)特征值， α 是A的属于右(或左)特征值 λ 的右(或左)特征向量。 由于四元数不满足乘法交换律，因此与通常矩阵的特征值不同，一般情况下，四元数矩阵A的右特征值不一定是左特征值，反之，其左特征值也不一定为右特征值。到目前为止，关于四元数矩阵右特征值的研究已经得到了很多令人满意的结果，有兴趣的读者可以参见 [ 1 ] [ 2 ] 。 定理2.1：[见2，定理3.6.1]设 A ∈ Q n × n ，则A的右特征值存在，且有 1) A的为复数的右特征值的集合 = A σ 的复特征值的集合； 2) A的右特征值的集合 = { a − 1 λ a | 0 ≠ a ∈ Q ， λ 为 A σ 的复特征值}， 其中， A σ = ( A 1 A 2 − A 2 ¯ A 1 ¯ ) 为四元数矩阵A的复表示矩阵， A = A 1 + A 2 j ∈ Q m × n (其中 A 1 ， A 2 ∈ C m × n )是A在复数域C上的分解式。 但四元数矩阵左特征值的性质非常复杂，得到的成果还很有限。本文也只是对右特征值和右特征向量做简单研究。
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user: 3. 自共轭实四元数矩阵的特征值 四元数的计算本质上要化为复数的计算，而复数的计算又要化为实数的计算。因此，任何实四元数矩阵右特征值的计算本质上就是其复表示矩阵复特征值的计算。 定义3.1：设 A ∈ Q n × n ，如果 A ∗ = A ，则称A是Q上的一个n阶自共轭实四元数矩阵，其全体记为 Q ( n ， ∗ ) 。 A ∗ 表示四元数矩阵A的共轭转置矩阵。 为了研究四元数矩阵的特征值，将n阶自共轭实四元数矩阵A写成 A = A 0 + A 1 i + A j 2 + A 3 k 其中 A 0 ， A 1 ， A ， 2 A 3 均为实矩阵。 由 A ∗ = A 得 A 0 T = A 0 ， A 1 T = − A 1 ， A 2 T = − A 2 ， A 3 T = − A 3 (3.1.1) 设自共轭实四元数矩阵A的右特征值为 λ ，且对应特征向量为 U + V i + W j + G k ，其中 U ， V ， W ， G 均为实的n维列向量，则 ( A 0 + A 1 i + A 2 j + A 3 k ) ( U + V i + W j + G k ) = λ ( U + V i + W j + G k ) (3.1.2) 由文献 [ 10 ] 可知自共轭实四元数矩阵A的特征值均为实数，所以(3.1.2)式可以写成 ( A 0 − A 1 − A 2 − A 3 A 1 A 0 − A 3 A 2 A 2 A 3 A 0 − A 1 A 3 − A 2 A 1 A 0 ) ( U V W G ) = λ ( U V W G ) 令 S = ( A 0 − A 1 − A 2 − A 3 A 1 A 0 − A 3 A 2 A 2 A 3 A 0 − A 1 A 3 − A 2 A 1 A 0 ) 由(3.1.1)式知S为实对称矩阵。因而自共轭实四元数矩阵的特征值问题就可转化成实对称矩阵的特征值问题，再通过Jacobi方法、分治法或QR方法进行估计或求解，这比直接对自共轭实四元数矩阵求特征值和特征向量问题方便，也较容易理解。在此介绍经典的Jacobi方法，其他方法可以参考文献 [ 9 ] [ 10 ] 。 定义3.2：称矩阵 G i j ( θ ) = ( 1 ⋱ 1 cos θ sin θ 1 ⋱ 1 − sin θ cos θ 1 ⋱ 1 ) 为n维空间 R n 中(i，j)平面上的旋转矩阵或Givens矩阵。 经典Jacobi方法的基本思想是：对 S 0 = S ，构造一系列平面旋转矩阵 G 1 ， G 2 ， ⋯ ， G k ，并计算： S k = G k S k − 1 G k T ( k = 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ) (3.1.3) 虽然一般很难在经过有限次变换后将给定的矩阵S化为对角矩阵，但有如下收敛性定理。 定理3.1 [ 10 ] ：按经典Jacobi方法生成的矩阵序列 { S k } 的非对角元素均收敛于0，即 lim k → ∞ S k = d i a g ( λ 1 ， λ 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， λ n ) 。 由此我们可以通过上述Jacobi方法求出S的特征值，这同时也是实自共轭矩阵A的特征值。 由于经典Jacobi方法非常容易利用程序实现实对称矩阵的全部特征值及对应的特征向量的计算，这使得我们可以利用这种简单易于操作的方法求解实共轭四元数矩阵的特征值。
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user: 4. 小结 由于四元数的非交换性，四元数矩阵具有与复矩阵所不同的性质和特点。本文主要对自共轭四元数矩阵特征值的简单计算做了一些讨论，其中所介绍的Jacobi迭代法是复矩阵研究特征值问题的一种重要结论，借助于四元数矩阵的复表示，将复矩阵的研究方法到四元数矩阵中，希望通过这些尝试，我们可以对四元数矩阵特征值有进一步直观的了解。
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user: 摘 要 称Cayley图 Γ = C a y ( G ， S ) 是正规的，如果G在 A u t Γ 中正规。本文研究有限非交换单群上的连通5度2-传递Cayley图的正规性，并且证明：所有这样的图要么是正规的，要么 G = A 3 9 ， ， A 1 1 9 。这相当于给文献[Europ. J. Combin.， 63， 134~145， 2017]推论1.3的部分结果提供了另一种证明方法。 关键词 :对称图，单群，自同构群，正规Cayley图 Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/