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user: 3. 主要结果 3.1. k次十二面体–师连通圈网络 引理1 [ 4 ] ：十二面体DH是Hamilton图。 如图1、图2所示。 图1. 十二面体DH 图2. 十二面体DH的圈表示 Hamilton圈为：1-8-9-18-19-20-16-17-7-6-15-14-13-12-11-10-2-3-4-5-1。 为了统一起见，我们用 D S C C ( 0 ) 表示十二面体DH。 定理1 1次十二面体–师连通圈网络 D S C C ( 1 ) 是Hamilton图。 证明：如图3、图4所示。 图3. DSCC(1) 图4. DSCC(1)的圈表示 由图3、图4可知，Hamilton圈为： (1，1)-(1，3)-(1，2)-(8，1)-(8，2)-(8，3)-(9，1)-(9，3)-(9，2)-(18，1)-(18，2)-(18，3)-(19，1)-(19，3)-(19，2)-(20，1)-(20，3)-(20，2)-(16，1)-(16，3)-(16，2)-(17，1)-(17，2)-(17，3)-(7，1)-(7，2)-(7，3)-(6，1)-(6，2)-(6，3)-(15，1)-(15，3)-(15，2)-(14，1)-(14，2)-(14，3)-(13，1)-(13，3)-(13，2)-(12，1)-(12，2)-(12，3)-(11，1)-(11，3)-(11，2)-(10，1)-(10，3)-(10，2)-(2，1)-(2，3)-(2，2)-(3，1)-(3，2)-(3，3)-(4，1)-(4，2)-(4，3)-(5，1)-(5，2)-(5，3)-(1，1)。 由此可知，1次十二面体–师连通圈网络 D S C C ( 1 ) 是Hamilton图。 定理2：2次十二面体–师连通圈网络 D S C C ( 2 ) 是Hamilton图。 证明：如图5、图6所示。 由图5、图6可知，Hamilton圈为： (1，1，1)-(1，1，2)-(1，1，3)-(1，3，1)-(1，3，3)-(1，3，2)-(1，2，1)-(1，2，2)-(1，2，3)-(8，1，1)-(8，1，3)-(8，1，2)-(8，2，1)-(8，2，2)-(8，2，3)-(8，3，1)-(8，3，3)-(8，3，2)-(9，1，1)-(9，1，2)-(9，1，3)-(9，3，1)-(9，3，3)-(9，3，2)-(9，2，1)-(9，2，2)-(9，2，3)-(18，1，1)-(18，1，3)-(18，1，2)-(18，2，1)-(18，2，2)-(18，2，3)-(18，3，1)-(18，3，3)-(18，3，2)-(19，1，1)-(19，1，2)-(19，1，3)-(19，3，1)-(19，3，3)-(19，3，2)-(19，2，1)-(19，2，2)-(19，2，3)-(20，1，1)-(20，1，2)-(20，1，3)-(20，3，1)-(20，3，3)-(20，3，2)-(20，2，1)-(20，2，2)-(20，2，3)-(16，1，1)-(16，1，2)-(16，1，3)-(16，3，1)-(16，3，3)-(16，3，2)-(16，2，1)-(16，2，2)-(16，2，3)-(17，1，1)-(17，1，3)-(17，1，2)-(17，2，1)-(17，2，2)-(17，2，3)-(17，3，1)-(17，3，3)-(17，3，2)-(7，1，1)-(7，1，3)-(7，1，2)-(7，2，1)-(7，2，2)-(7，2，3)-(7，3，1)-(7，3，3)-(7，3，2)-(6，1，1)-(6，1，3)-(6，1，2)-(6，2，1)-(6，2，2)-(6，2，3)-(6，3，1)-(6，3，3)-(6，3，2)-(15，1，1)-(15，1，2)-(15，1，3)-(15，3，1)-(15，3，3)-(15，3，2)-(15，2，1)-(15，2，2)-(15，2，3)-(14，1，1)-(14，1，3)-(14，1，2)-(14，2，1)-(14，2，2)-(14，2，3)-(14，3，1)-(14，3，3)-(14，3，2)-(13，1，1)-(13，1，2)-(13，1，3)-(13，3，1)-(13，3，3)-(13，3，2)-(13，2，1)-(13，2，2)-(13，2，3)-(12，1，1)-(12，1，3)-(12，1，2)-(12，2，1)-(12，2，2)- 图5. DSCC(2) 图6. DSCC(2)的圈表示 (12，2，3)-(12，3，1)-(12，3，3)-(12，3，2)-(11，1，1)-(11，1，2)-(11，1，3)-(11，3，1)-(11，3，3)-(11，3，2)-(11，2，1)-(11，2，2)-(11，2，3)-(10，1，1)-(10，1，2)-(10，1，3)-(10，3，1)-(10，3，3)-(10，3，2)-(10，2，1)-(10，2，2)-(10，2，3)-(2，1，1)-(2，1，2)-(2，1，3)-(2，3，1)-(2，3，3)-(2，3，2)-(2，2，1)-(2，2，2)-(2，2，3)-(3，1，1)-(3，1，3)-(3，1，2)-(3，2，1)-(3，2，2)-(3，2，3)-(3，3，1)-(3，3，3)-(3，3，2)-(4，1，1)-(4，1，3)-(4，1，2)-(4，2，1)-(4，2，2)-(4，2，3)-(4，3，1)-(4，3，)-(4，3，2)-(5，1，1)-(5，1，3)-(5，1，2)-(5，2，1)-(5，2，2)-(5，2，3)-(5，3，1)-(5，3，3)-(5，3，2)-(1，1，1)。 由此可知，2次十二面体–师连通圈网络 D S C C ( 2 ) 是Hamilton图。 定理3：k次十二面体–师连通圈网络 D S C C ( k ) 是Hamilton图。 证明：当k = 0、1、2时，由引理1、定理1、2知，是Hamilton图。 假设k − 1次十二面体–师连通圈网络 D S C C ( k − 1 ) 是Hamilton图，即存在Hamilton圈 H k − 1 。 设 v 0 是k − 1次十二面体–师连通圈网络 D S C C ( k − 1 ) 中的任意一个顶点， v 1 ， v 2 ， v 3 是与 v 0 相邻的三个顶点，则Hamilton圈 H k − 1 中必含有边 v 0 v 1 ， v 0 v 2 ， v 0 v 3 中的两条边。假设Hamilton圈 H k − 1 中含有边 v 0 v 1 ， v 0 v 2 (其它情况证明类似)，如图7所示。 当用一个小三角形分别代替k − 1次十二面体–师连通圈网络 D S C C ( k − 1 ) 中的每个顶点时，我们假设用三角形 Δ v ( i ， 1 ) v ( i ， 2 ) v ( i ， 3 ) 代替顶点 v i ( i = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ) ，则 v 0 ， v 1 ， v 2 ， v 3 四点处变化后的图 D S C C ( k ) 如图8所示。用路 P k = v ( 1 ， 1 ) v ( 0 ， 1 ) v ( 0 ， 3 ) v ( 0 ， 2 ) v ( 2 ， 1 ) 代替Hamilton圈 H k − 1 中的路 P k − 1 = v 1 v 0 v 2 后，得到的圈 H k 即为k次十二面体–师连通圈网络 D S C C ( k ) 中的Hamilton圈。 综上所述，由数学归纳法知k次十二面体–师连通圈网络 D S C C ( k ) 是Hamilton图。 定理4：k次十二面体–师连通圈网络 D S C C ( k ) 的性质： 1) k次十二面体–师连通圈网络 有 20 × 3 k 个顶点，有 30 × 3 k 条边； 2) k次十二面体–师连通圈网络 D S C C ( k ) 是3正则3连通的； 3) k次十二面体–师连通圈网络 D S C C ( k ) 是平面图； 4) k次十二面体–师连通圈网络是Hamilton图。 定理5：任何一个3正则3连通的平面Hamilton图 ( 3 ， 3 ) − H G ，每个顶点用一个三角形代替后得到的图 ( 3 ， 3 ) − H G C C ( 1 ) 一定是3正则3连通的平面Hamilton图。 图7. DSCC(k-1)的局部图示 图8. DSCC(k)的局部图示 证明：设 H 0 是任意3正则3连通平面Hamilton图 ( 3 ， 3 ) − H G 的一个Hamilton圈， v 1 是 ( 3 ， 3 ) − H G 中的任意一个顶点， v 2 ， v 3 ， v 4 是与 v 1 相邻的三个顶点。则Hamilton圈 H 0 中必含有边 v 1 v 2 ， v 1 v 3 ， v 1 v 4 中的两条边，假设Hamilton圈 H 0 中含有边 v 1 v 2 ， v 1 v 3 (其它情况同理可证)，如图9所示。 当用小三角形分别代替3正则3连通平面Hamilton图 ( 3 ， 3 ) − H G 中的每个顶点时，我们假设用三角形 Δ v ( i ， 1 ) v ( i ， 2 ) v ( i ， 3 ) 代替顶点 v i ( i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ) ，则 v 1 ， v 2 ， v 3 ， v 4 四点处变化后的平面图 ( 3 ， 3 ) − H G C C ( 1 ) 如图10所示。在 H 0 中，用路 P 1 = v ( 2 ， 1 ) v ( 1 ， 1 ) v ( 1 ， 3 ) v ( 1 ， 2 ) v ( 3 ， 1 ) 代替Hamilton圈 H 0 中的路 P 0 = v 2 v 1 v 3 后，得到的圈 H 1 是一个Hamilton圈。所以，任何一个3正则3连通的平面Hamilton图 ( 3 ， 3 ) − H G 的每个顶点用一个三角形代替后，得到的图 ( 3 ， 3 ) − H G C C ( 1 ) 是3正则3连通的平面Hamilton图。 定理6：一个3正则3连通平面图 ( 3 ， 3 ) − H G P 的每个顶点用一个三角形来代替得到的图 ( 3 ， 3 ) − H G P C C ( 1 ) 是Hamilton图，则： 1) 图 ( 3 ， 3 ) − H G P C C ( 1 ) 是3正则3连通的平面图； 2) 原图 ( 3 ， 3 ) − H G P 是Hamilton图。 证明：1)结论显然成立。 2) 设Hamilton图 ( 3 ， 3 ) − H G P C C ( 1 ) 中的一个Hamilton圈为 H 1 = v ( 1 ， 1 ) v ( 1 ， 2 ) v ( 1 ， 3 ) v ( 2 ， 1 ) v ( 2 ， 2 ) v ( 2 ， 3 ) ⋯ v ( n ， 1 ) v ( n ， 2 ) v ( n ， 3 ) v ( 1 ， 1 ) ，其中 v ( i ， 1 ) ， v ( i ， 2 ) ， v ( i ， 3 ) 是代替顶点 v i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 的三角形的三个顶点，如图11所示。 当用一个点去代替一个三角形时(可以看作是把这个三角形缩小为一个顶点)，我们假设用点 v i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 代替顶点为 v ( i ， 1 ) ， v ( i ， 2 ) ， v ( i ， 3 ) 的三角形，则代替后得到的图正是原图 ( 3 ， 3 ) − H G P ，如图12所示。在 H 1 中，用顶点 v i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 代替 H 1 中的路 P 1 = v ( i ， 1 ) v ( i ， 2 ) v ( i ， 3 ) 后，得到图 ( 3 ， 3 ) − H G P 中的圈 H 1 = v 1 v 2 ⋯ v n − 1 v n v 1 是一个Hamilton圈。所以，原图 ( 3 ， 3 ) − H G P 是Hamilton图。 图9. (3，3)-HG的局部图示 图10. (3，3)-HGCC(1)的局部图示 图11. (3，3)-HGPCC(1)的局部图示 图12. (3，3)-HGP的局部图示 3.2. 十二面体连通圈网络的3维变体 在笛卡尔乘积图中，为了方便统一起见，我们用 D S C C ( 0 ) 表示十二面体DH。 猜想4： D S C C ( k ) × K 2 是边不交的2个Hamilton圈的并。 在猜想4中，当k = 0时，笛卡尔乘积图为 D S C C ( k ) × K 2 ，我们得到如下结论。 定理7： D S C C ( 0 ) × K 2 是边不交的1个Hamilton圈和2个完美对集的并。 证明： D S C C ( 0 ) × K 2 如图13、图14所示，我们能够找到 Hamilton圈 H 1 为： 01-08-09-018-019-020-016-017-07-06-015-014-013-012-011-010-02-03-04-05-15-14-13-12-110-111-112-113-114-115-16-17-117-116-120-119-118-19-18-11-01。 完美对集 M 1 为：01-02，03-012，04-014，05-06，07-08，09-010，011-019，013-020，015-016，017-018，11-12，13-112，14-114，15-16，17-18，19-110，111-119，113-120，115-116，117-118。 完美对集 M 2 为：01-05，11-15，02-12，03-13，04-14，05-15，06-16，07-17，08-18，09-19，010-110，011-111，012-112，013-113，014-114，015-115，016-116，017-117，018-118，019-119，020-120。 图13. DSCC(0)圈表示后的DSCC(0)xK 2 图14. DSCC(0)xK 2 定理得证。 引理2 [ 2 ] ：设 G i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 是连通图，则 d ( G 1 × G 2 × ⋯ × G n ) = d ( G 1 ) + d ( G 2 ) + ⋯ + d ( G n ) ， 这里 d ( G ) 表示图G的直径。 引理3 [ 2 ] ：如果 k ( G i ) = δ ( G i ) > 0 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，那么 k ( G 1 × G 2 × ⋯ × G n ) = k ( G 1 ) + k ( G 2 ) + ⋯ + k ( G n ) ， 这里 k ( G ) 表示图G的连通度， δ ( G ) 表示图G的最小度。 引理4 [ 2 ] ：如果对每个 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，均有 k ( G i ) > 0 ， λ ( G i ) > 0 ，那么 k ( G 1 × G 2 × ⋯ × G n ) ≥ k ( G 1 ) + k ( G 2 ) + ⋯ + k ( G n ) ； λ ( G 1 × G 2 × ⋯ × G n ) ≥ λ ( G 1 ) + λ ( G 2 ) + ⋯ + λ ( G n ) ； 这里 k ( G ) 表示图G的连通度， λ ( G ) 表示图G的边连通度。 引理5 [ 2 ] ：设 G 1 和 G 2 是无向图， G 1 × G 2 是Hamilton图当且仅当 G 1 和 G 2 之一是Hamilton图，而另一个含Hamilton路。 定理8：十二面体–师连通圈网络 D S C C ( k ) 与 K 2 的笛卡尔乘积网络 D S C C ( k ) × K 2 的基本性质： 1) D S C C ( k ) × K 2 有 40 × 3 k 个顶点，有 80 × 3 k 条边； 2) D S C C ( k ) × K 2 是4正则4连通的； 3) D S C C ( k ) × K 2 的连通度 k ( D S C C ( k ) × K 2 ) = 4 ，边连通度 λ ( D S C C ( k ) × K 2 ) = 6 ； 4) 当 k = 0 时， D S C C ( k ) × K 2 是Hamilton图。 对于猜想4：当 k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ 时， D S C C ( k ) × K 2 是边不交的2个Hamilton圈的并。这个结论在此处并没有得到证明，它的正确性有待我们进一步探索。 猜想5： D S C C ( k ) × C m ( m ≥ 3 ) 是边不交的2个Hamilton圈和一个完美对集的并。 当 k = 0 ， m = 3 时，笛卡尔乘积网络 D S C C ( 0 ) × C 3 如图15所示。 注：图中内部对应点之间的部分连线未画出。 定理9： D S C C ( 0 ) × C 3 是Hamilton图。 证明：由图15可知，Hamilton圈为： 01-08-09-018-019-020-016-017-07-06-015-014-013-012-011-010-02-03-04-05-15-16-17-18-19-110-111-112-113-120-119-118-117-116-115-114-14-13-23-24-25-21-28-27-26-215-214-213-212-211-219-220-216-217-218-29-210-22-12-11-01。 因此， D S C C ( 0 ) × C 3 是Hamilton图。 当 k = 0 ， m = 4 时，笛卡尔乘积网络 D S C C ( 0 ) × C 4 如图16所示。 注：图中内部对应点之间的部分连线未画出。 定理10： D S C C ( 0 ) × C 4 是Hamilton图。 证明：由图16可知，Hamilton圈为： 01-08-09-018-019-020-016-017-07-06-015-014-013-012-011-010-02-03-04-05-15-14-13-12-110-111-112-113-114-115-16-17-117-116-120-119-118-19-18-12-11-21-28-29-218-219-220-216-217-27-26-215-214-213-212-211-210-22-23-24-25-35-34-33-32-310-311-312-313-314-315-36-37-317-316-320-319-318-39-38-31-01。 因此， D S C C ( 0 ) × C 4 是Hamilton图。 我们可以得到笛卡尔乘积网络 D S C C ( k ) × C m ( m ≥ 3 ) 的一些性质如下： 图15. DSCC(0)xC 3 定理11：十二面体–师连通圈网络 D S C C ( k ) 与环网络 C m 的笛卡尔乘积网络 D S C C ( k ) × C m 的基本性质： 1) D S C C ( k ) × C m 有 20 m × 3 k 个顶点，有 50 m × 3 k 条边； 2) D S C C ( k ) × C m 是5正则5连通的； 3) D S C C ( k ) × C m 的连通度 k ( D S C C ( k ) × C m ) = 5 ，边连通度 λ ( D S C C ( k ) × C m ) = 8 ； 4) 当 k = 0 ， m = 3 ， 4 时， D S C C ( k ) × C m 是Hamilton图。 猜想5的结论是否正确，我们在以后的研究中有待进一步探索。