DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 2. 主要结果 2.1. 最优标准评价量 记 X 1 ， ⋯ ， X p 的协方差阵为 Σ ，则 Σ 的迹 t r Σ 反映了 X 1 ， ⋯ ， X p 的信息量的大小，由于 Σ 是对称矩阵，所以存在p个非负特征值： λ 1 ≥ λ 2 ≥ ⋯ ≥ λ p ≥ 0 ，其对应的标准特征向量记为 e 1 ， e 2 ， ⋯ ， e p 。 定理2.1设一个二级指标是由一级指标 X 1 ， ⋯ ， X p 所决定的，则 1) 该二级指标的最优标准评价量为 P = e 1 T X 其中 X = ( X 1 ， ⋯ ， X p ) T ， e 1 为 Σ 的最大特征值 λ 1 所对应的标准特征向量。 2) 最优标准评价量的信息损失比为 1 − λ 1 ∑ i = 1 p λ i 证 因为标准评价量为 P = ω 1 X 1 + ω 2 X 2 + ⋯ + ω p X p = ω T X ，其中 ∑ i = 1 p ω i 2 = 1 ， 其方差 V a r ( P ) = V a r ( ω T X ) = ω T C o v ( X ) ω = ω T Σ ω 。由于P的方差就反映了P的信息量的大小，所以最优标准评价量满足 max V a r ( P ) = max ‖ ω ‖ = 1 ( ω T Σ ω ) 由二次型极值理论知，最优解为 ω 0 = e 1 ， max V a r ( P ) = λ 1 。 又因为 t r Σ = ∑ i = 1 p λ i ，所以最优标准评价量 e 1 T X 所损失的信息量等于 ∑ i = 2 p λ i ，信息损失比为 ∑ i = 2 p λ i ∑ i = 1 p λ i = 1 − λ 1 ∑ i = 1 p λ i 2.2. 上市公司投资价值评价的一种新方法 下面我们基于定理2.1，利用因子分析法，构造上市公司投资价值的评价模型。 第一步，利用因子分析，确定二级指标及其对应的一级指标。 设 X = ( X 1 ， ⋯ ， X m ) T 为全体一级指标构成的m维可观察的随机向量， μ = E ( X ) 为其均值向量， Φ = C o v ( X ) 为其协方差阵，则 k ( k < m ) 因子正交因子分析模型为 X = μ + Q F + ε (2.1) 其中 Q = ( q i j ) m × k 是因子载荷阵， F = ( f 1 ， ⋯ ， f k ) T 与 ε = ( ε 1 ， ⋯ ， ε m ) T 是不可观察的随机向量，分别称为公共因子和特殊因子，满足 E ( F ) = 0 ，   E ( F F T ) = I ， E ( ε ) = 0 ， E ( ε ε T ) = Ψ ， E ( F ε T ) = 0 ， Ψ 是一个对角阵， Ψ = d i a g ( ψ 1 ， ⋯ ， ψ m ) 。X的协方差可以表示为 Φ = Q Q T + Ψ (2.2) 由协方差结构(2.2)可知， V a r ( X j ) = ∑ l = 1 k q j l 2 + ψ j 2 ，称 h j 2 = ∑ l = 1 k q j l 2 为公共方差， ψ j 2 为特殊方差。协 方差结构意味着X的变化信息完全可以用公共方差和特殊方差来解释，并且绝大部分可以用公共方差来解释，因此由k个公共因子 f 1 ， ⋯ ， f k ，我们可以构造k个二级指标。 因子载荷阵 Q = ( q i j ) m × k 的第j列元素的平方和 g j 2 = ∑ i = 1 m q i j 2 反映了第j个公共因子 f j 对于m个原始变量 X 1 ， ⋯ ， X m 总变差的贡献程度，当因子载荷阵稀疏化时，第j列中的一部分元素，不妨假设为 ，显著地大于本列中的其他元素，于是 g j 2 ≈ q i 1 j 2 + ⋯ + q i l j 2 ，这说明第j个公共因子 f j 主要反映了m个原始变量中 X i 1 ， ⋯ ， X i l 的信息，因此可以把一级指标 X i 1 ， ⋯ ， X i l 作为一类，由它决定第j个二级指标(不妨就记为 f j )。基于这样的方法，对于k个公共因子，分别确定对应的一级指标，从而产生k个二级指标，并且根据一级指标来刻画二级指标的性质。 第二步，计算二级指标的最优标准评价量。 二级指标 f j ， j = 1 ， ⋯ ， k 对应的一级指标为 X i 1 ， ⋯ ， X i l ，令 Σ j 表示 X i 1 ， ⋯ ， X i l 的协方差阵， e 1 = ( e 11 ， ⋯ ， e 1 l ) T 为 Σ j 的最大特征值所对应的标准特征向量，令 P j = e 11 X i 1 + ⋯ + e 1 l X i l ，则由定理2.1知， P j 为二级指标 f j 的最优标准评价量。 第三步，综合评价。 令 Σ 0 表示k个二级指标的最优标准评价量 P 1 ， ⋯ ， P k 的协方差阵， γ 1 = ( γ 11 ， ⋯ ， γ 1 k ) T 为 Σ 0 的最大特征值所对应的标准特征向量，令 P 0 = γ 11 P 1 + ⋯ + γ 1 k P k ，则 P 0 为投资价值的综合最优标准评价量。
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user: 4. 结论 根据实证分析，得到如下结论： 1) 各个二级指标的信息损失比可能相差较大，其中盈利能力的信息损失比仅仅为1.4%，说明盈利能力的评价结果是很准确的，而成长能力的信息损失比高达47.2%，所以它的评价结果是不够准确的，并且受它的影响，导致了综合最优标准评价量出现负权重的不合理现象。 2) 我们的评价方法不仅能够得到最优标准评价量，而且还能够根据信息损失比，分析评价结果的准确性，信息损失比越小，则评价结果越准确。 3) 与文献 [ 5 ] 中的评价结果相比较，在盈利能力指标上，两者在位次上的一致性达到90%，而在其余的三个指标上，两者的一致性不高。说明当信息损失比很小时，改进的熵权法的评价效果能接近于最优标准评价量。
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user: 泰特猜想的延续 ——四色定理的书面证明 韩文镇 晋城能源有限责任公司，山西 晋城 收稿日期：201
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user: 摘 要 四色定理，又称四色猜想、四色问题，是世界三大数学猜想之一。计算机证明虽然做了百亿次判断，终究只是在庞大的数量优势上取得成功，这并不符合数学严密的逻辑体系，至今仍有无数数学爱好者投身其中研究。本文另辟蹊径，创新提出两色可染连续线、偶数环消除法等新概念，用新的办法证明3-正则平面图线的3着色与极大图点的4着色等价，且证明了3-正则平面图线的3着色是必然可以的，以此给予任意极大图顶点一个普遍四色可染的方法。 关键词 :四色定理，两色可染连续线，3-正则平面，极大图，偶数环消除法 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 百度上是这么说的：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”目前只有通过计算机经过百亿次计算得以证明，还没有可信服的书面证明方式，下面我们来尝试书面证明。
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user: 2. 证明思路 2.1. 证明范围及限制条件 平面或球面地图，不考虑“飞地”。 2.2. 思路 根据坎泊关于四色猜测的证明，地图可以认为是无割边的3-正则平面图，其对偶图是一个极大图，泰特猜想认为证明3-正则平面图线的3着色等价于极大图顶点的4着色 [ 1 ] 。所以我下面的证明分为两个步骤，第一证明3-正则平面图线的3着色与极大图点的4着色等价，第二证明3-正则平面图线的3着色是必然可以的。 我们不再讨论前人的各种各样的图，现在把所有极大图归为一个图集，把所有3-正则平面图归为一个图集，那么意味着下面的证明只能从这两个图集各自存在的普遍性质及两集之间的固有联系出发来展开论述。 2.3. 证明步骤 步骤一：证明3-正则平面图线的3着色与极大图点的4着色等价。 步骤二：证明3-正则平面图线的3着色是必然可以的。
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user: 3. 证明步骤一 3.1. 找出任意3-正则平面图及其对偶图(极大图)之间的点、线、面之间的对应关系 以任意一个极大图为例，我们设此极大图顶点个数为V (V为大于2的自然数)，线数为Y，图中三边形(边可能是曲线，后文不再解释)个数为X，由于要证明球面的情况，所以我们认为图外部也是一个三边形，那么三者之间存在如下关系： Y = 3V − 6，此式可以说是定理，证明也很简单，不再解释； X = 2Y/3，因为每个三边形需要三根线，每根线均为2个三边形共用； X = 2V −4，由以上两式推出，显然X必是一个大于等于2的偶数。 我们继续以任意一个3—正则平面图为例，设3-正则图的顶点(三界点)个数为x，线数为y，那么两者之间会有如下关系： x = 2y/3，每个顶点都通过3根线连接其它顶点，每根线连接2个顶点。 那么我们看对于任意一个固定的3-正则图与其对偶图(极大图)之间存在的必然联系，把3-正则图每一个面浓缩为1个顶点，用线代替面与面之间的邻接关系，即可得到其对偶图。在3-正则图里2个相邻面之间只可能存在1根共线(边)，其对偶图里2个相邻顶点之间也只存在一根邻接线，所以此两图线数是相等的并且存在一一对应关系，也就是Y = y = 3V − 6。 另外，3-正则图里的每个顶点也都为3个面所共有，所以在转换成其对偶图的过程中，每个顶点(三界点)都必然化为极大图内的一个三边形，也就是说3-正则图内的每个顶点与其对偶图内的三边形存在一一对应关系，即x = X = 2V − 4，为偶数。 3.2. 根据点、线、面之间的对应关系，以简单图为例找出染色对应规律 根据以上对应关系，如果我们能够对3-正则平面图线进行3色区分，那么3-正则图内的每个顶点所连接的线必然包含3色，然后把每根线的染色一一对应到其对偶图中，也必然导致此对偶图(极大图)中所有三边形的边线包含3色。如图1： 图1. 简单3-正则图与其对偶图的对应关系 图1中左图为3-正则图，右图为其对偶图，3-正则图的顶点与其对偶图的三边形存在一一对应关系，我用s1、s2……sn标注，A、B、C代表3种颜色，对左图线3着色并一一对应到右图，右图中每个三边形的边线均为3色。把图1右图中同一色线加粗，如下图2： 从图2中我们很容易发现，只需要任选一图把同一根加粗线上的顶点交互染A、B两色，另一个根加粗线上的顶点交互染C、D两色，即可完成对此极大图的顶点4染色。 3.3. 以更复杂的图为例，验证染色规律 我们直接引入更复杂的极大图，对所有三边形的边进行3染色，并分别对同一色线加粗，如下图3~5： 图2. 对同一色线加粗处理 图3. 复杂极大图A色线加粗并分类 仔细观察以上3图，我们可以把图中同一色线的加粗线归为两类，两类线之间存在另外2色的连接线，而同一类之间不存在连接线，因此我们依然可以一类线的顶点交替染A、B两色，另一类线交替染C、D两色，从而实现极大图的顶点染4色。 图4. 复杂极大图B色线加粗并分类 图5. 复杂极大图C色线加粗并分类 3.4. 证明3-正则平面图线的3着色与极大图点的4着色等价 以上我们仅证明了3-正则图与其对偶图(也就是极大图)线的一一对应关系，以及如果可以对3-正则图线3染色，即可对其对偶图(极大图)中每个三边形的三边3染色。至于极大图同一色线加粗后可对其顶点4染色，只是我们发现的规律，下面我们来继续证明其必然性。 我们先引入一个定义，我称为两色可染连续线。 两色可染连续线：任意数量点、线连接构成的一条连续线，如果此线的顶点两色可区分，我们称为一条两色可染连续线。 如图6所示，两色可染连续线具备以下几点性质： a、可以是点、线、环线、树状线及其组合组成； b、必须是连续的，除了一个点的特殊情况外，可以从任意一个点出发经过不重复路径到达另外一个任意点； c、环线必须是偶数环，不可存在任何形式的奇数环。 d、如果设点数为v，连线数为y，则y大于或等于v − 1，环越多，点数与线数差值越大。 图6. 两色可染连续线 以上图2~5，各图加粗线每一条都是两色可染连续线，但所有极大图中的线按照我们给定规则3染色，是不是同一色线中的任意一条线都是两色可染连续线？我们只需要证明最重要的一点，那就是没有奇数环。 如图7给出一个A色线的奇数环，并且把此图连接至极大图。 图7. A色线的奇数环 我们上文已经提到，对于一个极大图来说，如果极大图外部也认为是一个三边形，那么三边形个数X = 2V − 4是一个偶数，图7奇数环外可以看做有3个三边形(放球面上会更加明白)，是一个奇数，所以奇数环内部三边形个数也必然是一个奇数；又因为每增加1个顶点都必然增加2个三边形，如果增加的这个顶点不在奇数环上，那么增加的两个三边形只能同时在环内或者环外，所以会得到一个推论：当一个极大图被一个奇数环分为内外两部分时，不管存在多少顶点，环内外分别存在的三边形个数都必将是一个奇数；同理被偶数环分为两部分时，环内外三边形的个数都必将是一个偶数。 按照我们前文对线的染色方法可知，任何一色的线数我们需要X/2，也就是说环内B、C两色所染的线数之和与环内三边形个数相等，那么当环内三边形个数X为奇数时必然造成B、C两色的线数不等，所以至少会有一个三边形边线只有两色，如图7中4-5-8三边形。 因此，当我们对一个极大图中所有三边形的边线都用A、B、C三色染色完毕时，同一色线所构成的环必将不会出现奇数环，只能是偶数环。所以，可以确定给定任意极大图，如果对极大图内所有三边形边线进行3色区分，那么同一色线构成的每条连续线均为两色可染连续线。 还有一点要说明，我们上文说两色连续线的点、线关系，同一根两色可染连续线连线数y大于或等于点v − 1，也就是说y最小值是v − 1，而极大图我们染色后同一色线的数量Ya = Y/3 = V − 2，如此则在一个我们给线染色后的极大图中至少会存在两条不连通的同一色线的两色可染连续线，如此才能满足两色可染连续线的点、线关系。 虽然有了两色可染连续线，但要实现极大图顶点4色可染，还要解决另外一个问题，那就是会不会存在三条两色可染连续线循环连接问题？所谓循环连接，就是一条A、B染色的连续线同时与两条C、D染色连续线存在连接线，而两条C、D染色连续线之间同样存在连接线。事实证明这是不可能的，看下图8： 图8. 循环连接 其实这个问题和上个问题原因雷同，如图8(左)所示，如果循环连接，一定会形成像1-2-3一样的边线仅有两色的三边形，如果边线改成三色，如图8(右)则上下两条连续线会连接成一条，在我们染色后的极大图中根本不会出现。 也就是说，如果我们从内到外给两色可染连续线排序，那么只能是按顺序1号线连2号线、2号线连3号线，3号线连4号线，以此类推。对于任意一个n号线，他只能连接n − 1与n + 1号线，而绝不可能越过相邻的两条线与其它两色可染连续线连接，这是一种“平行”关系。因此，我们按照两色可染连续线的排序，如果奇数号线顶点染A、B两色，那么偶数号线顶点我们就染C、D两色，极大图的顶点就必然4色可区分。 要注意的一点是，在及其复杂的极大图中，同一根两色可染连续线上的多个偶数环会包围多条两色可染连续线，因此我们同一个编号的线也会存在多条。 综上所述，如果能实现3-正则平面图线的3着色，那么必然可以实现极大图顶点的4着色，这是完全等价的。
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user: 4. 证明步骤二 4.1. 证明思路 下面我们继续来证明任意3-正则平面图线的3着色。上文我们已经完成了第一步的证明，而这第二步的证明更为重要也更为困难。曾经泰特就是因为第二步错误认为所有3-正则图都存在哈密顿圈而错过了四色猜想的书面证明，我在这个问题上用了一年的时间，想了几十种方法，下面我来介绍我自己认为最可靠的一种方法，我称为偶数环消除法。 我的思路是这样的，对于任意一个无割边3-正则图，如果我们能找到同一类型的一种单元，这个单元是3色可染的，另外增加或者减少一个这样的单元都依然会形成3-正则图，且不影响原有3-正则图线的染色，那么对于任意3-正则图来说在不断减去这样一种单元的情况下就会得到顶点比较少的3-正则图，例如x = 4、6等，而这些顶点比较少的3-正则图都已经证明了是3色可染的，我们再用这些顶点比较少的3-正则图一步一步加上我们减少的每个单元，原路返回，并且一步一染色，即可得到任意无割边3-正则图线的3染色。 4.2. 选择要消除基本单元，并分析其特点 这个单元我选择的是偶数环及部分附属线，准确的来说是环内无点的偶数环，也就是说偶数环内部是可以有线的，我们来看看3-正则图内偶数环的特点。 如图9所示，偶数环必然是3色可染的，这些偶数环内部并无点，也无连接线。左图环线我们只用了A、B两色，偶数环外必然有偶数根线与偶数环相连接，且连接线全为第三色C色，也是偶数根线；中间图点1与点8连接我们用了第三色C色，而环外连线多了两根A色线，是偶数，环外总线数也是偶数；同理右图，我们用相对更复杂的3色染色，但环外与环上点相连的线都必然是偶数，且同一颜色的连接线也必然是偶数。我们再看看一些特殊的环内无点偶数环，我们让偶数环内有连接线，如下图10： 图9. 3-正则图内的偶数环 此图就是偶数环内有连接线，连接了点4和点8，那么依据3-正则图点、线连接方式，此时点4与点8将不可能再与外部其它点连接，又因为每一根连接线都连接两个点，所以偶数环内每多一个连接线，与环外点相连的连接线必然少两根，依然会保持偶数，同一色线也依然会保持偶数根；另外，上图10如果点1与点7连接，偶数环不与点9、15连接，那么这根连接线可以在环外部，但环上的点与环外的点之间的连接线还是会保有以上性质，就是线数是偶数，同一色线也是偶数。 值得一提的并不是所有3-正则图都存在环内无点且无线的偶数环，例如正12面体，每个面都是5条边，都是奇数环，但如果考虑环内无点且有线的情况，等同于我们把相邻的两个奇数环拼接成一个偶数环，这样在3-正则图里就必然可以找到偶数环了。 图10. 环内存在线的偶数环 我们把3-正则图中环内无点的偶数环、偶数环上点之间的所有连接线，以及偶数环与外部点连接线数的一半(消除的点、线数量关系必须保证x = 2y/3)看做一个基本单元。 4.3. 说明偶数环消除法的染色步骤及注意事项 首先任何一个上文中选定的基本单元的线必然是3色可染的；在任意一个复杂的3-正则图里我们都可以一步一步消除这样的单元；那么剩下的线数，都必然是剩下的点所需要的，我们把剩下的点、线对应连接也必然还是一个3-正则图。按照这样一步一步消除的办法，我们最终会得到点数x = 4或者6的3-正则图，这些3-正则图都已经证明是3色可染的。最后我们原路返回，把每一步消除的单元加进来，并一步一染色，在这个过程中每一步只需要对新加入的单元的线3染色，而不会改变原有线的染色，至于点、线之间连接方式的改变我们可以原路复原，这样我们将可以得到任意无割边3-正则图线的3染色。 要注意的是一种特殊情况，我们消除的单元是3色可染的，因为在恢复过程中偶数环与外部点连接线的颜色的限定，偶数环并不全都是3色可染，但此时要形成新的3-正则平面图，会存在偶数环外部同一个点发出两条线与偶数环上两个不同的点连接，此时这两条线互换颜色将不影响上一个3-正则平面图染色，互换颜色后将可以对偶数环的线3染色；如果既不存在同一个点发出两条线也限定颜色造成偶数环线3色不可染，此时将无法形成下一个3-正则平面图，而我们每一个单元都是从3-正则平面图上消去的，所以恢复过程中不会出现此类状况。 4.4. 举例演示3-正则图染色步骤 下面我们以12面体所对应的3-正则图举例来说明我们的证明，我会选择一个一个的单元一步一步拆除，拆除过程中改变线的连接形成点数较少的3正则图，最后当x=4时我对这个3-正则图线染3色，并一步一步复原，在过程中一步一步染色，看我们是否能一次为正12面体的边线染色。如下图11就是正12面体对应的3-正则图： 第一步，加粗线部分是我选择的第一个偶数环及相关要拆除的线，拆除后及连接成新的3-正则图如下图12： 第二步，选择新的拆除单元，并拆除，如下图13： 第三步，连接成新的3-正则图，此时x = 4，对x = 4的3-正则图染色，如下图14： 第四步，开始还原一个单元，并染色，如下图15： 第五步，还原最后一个单元，并染色，如下图16： 如此，我们就给正12面体所对应的3-正则图的线3染色完毕。 图11. 正12面体对应的3-正则图 图12. 拆除第一个单元并连接成新的3-正则图 图13. 选择第二个单元并拆除 图14. 回归x = 4的3-正则图并染色 图15. 第一次还原并染色 图16. 最后一次还原并染色 总结第二阶段的证明：如果给定一个3-正则图，我们总能在3-正则图内找到一个环内无点的偶数环，把这个环内无点的偶数环及其环上各点之间的连接线，以及环上各点与环外点之间连接线的一半数量的线看成一个单元，我们消除这个单元后一定还可以连接成一个顶点数变少的3-正则平面图；在我们不断消除此类单元的情况下，就一定可以得到顶点数x = 4、6等顶点数极少的3-正则图，然后我们可以给这个3-正则图的线3染色，并且可以把消除的单元一步一步恢复，恢复过程中即可完成原给定3-正则图线的3染色。 如果用一句话叙述，即如果一个3-正则图线3色可染，那么这个3正则图加入一个环内无点的偶数环及对应的若干连接线(点、线关系保持x = 2y/3)，必然可以形成另一个线3色可染的3-正则平面图；又因为我们不限定环内无点偶数环的个数、顶点数及连接形式，且顶点数x = 4、6等顶点数极少的3-正则图3色可染，所以原则上我们可以做出任意的3-正则平面图，且所有3-正则图的线必然是3色可区分的。
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user: 5. 结论 至此，我们已经证明了开篇表明的两个观点，即第一证明3-正则平面图线的3着色与极大图点的4着色等价，第二证明3-正则平面图线的3着色是必然可以的。这也就等同书面证明了四色猜想是一个真命题。 现实中证明这个命题之所以困难，我分析原因主要是在极大图顶点数足够多，或者3-正则平面图线数比较多的情况下，正确解的数量会随之增加，过程中进入误区的概率也会更大。想要寻找一个固定解，那么因为解的不确定性，必然面临随机选择，如果这种随机选择不能保证是正确的方向，那下一步就是误区。而我们的方法，也存在随机性，但这种随机性只会在正确解的范围内波动，例如在3-正则平面图偶数环的消除过程中，不同的选择就可能会有不同的正确解。 以后的研究中，正解的数量与点、线数量的关系应该作为努力的方向。
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user: 摘 要 本文研究了一类半线性抛物方程的有限体积元全离散格式。首先在空间上以插值系数线性有限体积元进行半离散，得到关于时间的一阶非线性常微分方程组的初值问题，然后在时间上采用向后差分方法得到全离散格式。其次讨论了该全离散格式的稳定性和收敛性。最后给出了一个数值例子说明所研究方法的高效性。 关键词 :半线性抛物方程，插值系数有限体积元，全离散格式，稳定性 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 前言 有限体积元方法(Finite Volume Method)是一种求解偏微分方程的数值方法，国内学者最早由李荣华教授提出 [ 1 ]，在国外，该方面文章较早出现于二十世纪八十年代末 [ 2 ]。插值系数有限元方法的基本思想最早在1980年由Zlamal等提出 [ 3 ] [ 4 ]，并用这种思想成功解决拟线性抛物问题，它的基本思路是在用有限元方法求解的过程中对非线性项直接插值处理，这样既简化了计算存储空间，又能保证所求数值解的超收敛性 [ 5 ]。插值系数有限元方法对于求解半线线性问题非常有效 [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]。类似地，将插值思想应用于微分方程的有限体积元法中，就得到插值系数有限体积元方法 [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]。 本文将把插值系数有限体积元方法推广到半线性抛物问题中。考虑如下半线性抛物方程的初边值问题的有限体积元全离散格式 { u t − ( p ( x ) u x ) x + f ( u ) = g ( x ， t ) ，                                 ( x ， t ) ∈ ( a ， b ) × [ 0 ， T ] ， u ( a ， t ) = u ( b ， t ) = 0     ，                                           t ∈ [ 0 ， T ] ， u ( x ， 0 ) = φ ( x ) ，                                                                                     x ∈ [ a ， b ] ， (1.1) 其中 p ( x ) ， f ( s ) ， g ( x ， t ) 为充分光滑函数，且 f ′ ( s ) > 0 。本文将作如下安排：第2节构造出有限体积元的全离散格式，先在空间方向上进行半离散，再在时间方向上分别采用向前差分法、向后差分法得到两种全离散格式。第3节针对本文所给的问题得到的两种全离散格式，讨论其稳定性并给出证明。第4节给出两个数值例子以说明该方法的有效性。
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user: 3. 有限体积元全离散格式的稳定性与收敛性 本节讨论有限体积元全离散格式的稳定性，在这之前，先做一些准备工作。 定义3.1 设 A ∈ R n × n 的特征值为 λ i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ，称 ρ ( A ) = max 1 ≤ i ≤ n | λ i | 为 A 的谱半径。 设 x * 是方程组 x = B x + f 的精确解， x ( k ) 是其迭代解，记误差向量 e ( k ) = x ( k ) − x * ，则有 即 e ( k ) = B k e ( 0 ) ，         k = 0 ， 1 ， ⋯ ， n − 1 ， 其中 与k无关，所以 x = B x + f 迭代收敛的充要条件为对于任意   x ( 0 ) ∈ R n ，都有 lim k → ∞ e ( k ) = lim k → ∞ B k e ( 0 ) = 0. 根据文献 [ 13 ]，有如下两个引理： 引理3.1 设矩阵 B ∈ R n × n ，则 的充要条件是 ρ ( B ) < 1 。 引理3.2 对于任意的初始向量 x ( 0 ) 和右端向量f，解方程组 x = B x + f 的迭代法 x ( k + 1 ) = B x ( k ) + f 稳定的充要条件是 ρ ( B ) < 1 。 引理3.3 对于本文中的矩阵 A ，若 A = O ( h ) ，则 A − 1 = O ( h − 1 ) 。 证明 由于 A = O ( h ) ，则 | A | = O ( h n − 1 ) ， | A i j | = O ( h n − 2 ) ， 其中 A i j 表示伴随矩阵 的元素，从而 A − 1 = A * | A | = O ( h n − 2 ) O ( h n − 1 ) = O ( h − 1 ) . 引理3.3得证。 为了方便起见，引入一些记号，令 u j n 为方程(1.1)的精确解， u j ( t n ) 为方程(1.1)的半离散解，   u ( x j ， t n ) 为方程(1.1)的全离散解，即有限体积元方法的数值解。 有了上面的准备，下面来讨论有限体积元方法的稳定性及其证明。 本小节中考虑线性有限体积元向后差分全离散格式，由式(1.19)得向后差分全离散迭代格式为 { M u ( k ) = u ( k − 1 ) ，   u ( 0 ) = α 0 ， (3.5) 其中 M = I + Δ t A − 1 B . 定理3.2对方程(1.1)采用有限体积元向后差分全离散迭代格式(3.5)时，在任何剖分的情况下都是稳定的，即稳定性与时间剖分、空间剖分的密度无关。 证明 由于 A − 1 B 是正定的，因此特征值 ，从而 M = I + Δ t A − 1 B 的特征值 λ ( M ) > 1 ，即 ρ ( M ) > 1 ，亦即 ‖ M ‖ > 1 ，所以 ‖ ( M − 1 ) k ‖ < 1 ，即 ρ ( ( M − 1 ) k ) < 1 ， (3.6) 由(3.5)可得 u ( k ) = M − 1 u ( k − 1 ) = ( M − 1 ) k u ( 0 ) ，所以 ε ( k ) = ( M − 1 ) k ε ( 0 ) ， 其中 ε ( k ) = u j n − u ( x j ， t n ) ， ，则由式(3.6)及引理3.2可得迭代格式(3.5)是稳定的，与h无关。定理3.2得证。
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user: 4. 数值例子 为验证半线性抛物问题的有限体积元方法的有效性，本节给出下面例子。 例 求解如下半线性抛物问题 { u t − u x x + u 3 = g ( x ， t ) ，                               ( x ， t ) ∈ ( 0 ， 1 ) × [ 0 ， T ] ， u ( 0 ， t ) = u ( 1 ， t ) = 0   ，                                                                                                                   t ∈ [ 0 ， T ] ， u ( x ， 0 ) = x ( 1 − x ) ，                                                                                                                   x ∈ [ 0 ， 1 ] . (4.1) 这里取 g ( x ， t ) = ( x 2 − x + 2 ) e − t + x 3 ( 1 − x ) 3 e − 3 t ，则其精确解为 u ( x ， t ) = x ( 1 − x ) e − t 。 分别采用线性有限体积元半离散，时间向后差分全离散格式进行数值计算。依次取均匀空间步长h和均匀时间步长 Δ t 。表1给出了当 t = 1 时，网格比为 Δ t / h 3 = 1 / 10 的节点在N = 10，20，40，80的绝对误差值。其中u表示精确解， E H 1 至 表示在N = 10，20，40，80时相应剖分下的绝对误差。表2给出了相应剖分下的绝对误差最大值和节点平均值误差，其中 e H 1 表示在不同剖分下的节点绝对值误差最大值， e H 2 表示节点平均误差值。 Table 1 Absolute errors of linear finite element with time backward difference for (4.1) under different partition u 0.0331 0.0589 0.0773 0.0883 0.0920 0.0883 0.0773 0.0589 0.0331 E H 1 (*e−4) 0.1355 0.2236 0.2766 0.3042 0.3127 0.3042 0.2766 0.2236 0.1355 E 2 (*e−5) 0.3385 0.5585 0.6908 0.7598 0.7810 0.7598 0.6908 0.5585 0.3385 E 3 (*e−5) 0.0846 0.1396 0.1727 0.1899 0.1952 0.1899 0.1727 0.1396 0.0846 E 4 (*e−6) 0.2115 0.3490 0.4316 0.4747 0.4880 0.4747 0.4316 0.3490 0.2115 表1. 问题(4.1)线性有限元时间向后差分在不同剖分下的绝对误差 Table 2 Problem (4.1) maximum absolute error and average error of linear finite element with time backward difference under different subdivision N 10 20 40 80 h 1 10 1 20 1 40 Δ t 1 100 1 400 1 6400 e H 1 0.3127*e−4 0.7810*e−5 0.1952*e−5 0.4880*e−6 e H 2 0.2436*e−4 0.6084*e−5 0.1521*e−5 0.3802*e−6 表2. 问题(4.1)线性有限元时间向后差分在不同剖分下的绝对误差最大值和平均误差值 从表1，表2可以看出用线性有限元时间向后差分全离散格式求解半线性抛物问题是可靠的。它的精度不仅与剖分密度有关，还与时间和空间的相对密度有关，也就是说，当剖分密度越大，时间和空间的相对密度越大，则利用该方法的精度越高。
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user: 摘 要 近年来半导体量子点以其发光效率高、量子点尺寸具有可调的发射波长、特有的光学特性以及分离三角功能状态和光学振子密度大、温度不敏感的光学增益受到人们的极大关注。本文利用无机钙钛矿量子点(CsPbBr 3 )修饰ZnO基紫外探测器来改善响应时间。结果表明，修饰后的紫外探测器，在400 nm可见光照射下，器件的响应恢复时间反偏为2 s，正偏时间为10 s，恢复时间明显改善。 关键词 :无机钙钛矿量子点(CsPbBr 3 )，ZnO薄膜，紫外探测器 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 半导体量子点以其优异的光性能 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] ，如量子点尺寸决定发射波长，发光谱线窄和发光效率，使得量子点在下一代照明和显示以及光通信技术和太阳电池、发光二极管、光探测器及激光上都有广泛应用。 近年来卤化物钙钛矿材料被认为是潜能巨大的半导体材料 [ 4 ] ，其优异的性能不仅在太阳能电池而且在LED和激光都有所应用。然而有机钙钛矿因为从合成角度而言，金属有机卤化物钙钛矿量子点合成方法相对简单，但在得到量子点的同时，会伴有微米级尺寸钙钛矿的产生，最终量子点的纯度难以保证。此外，有机钙钛矿量子点溶液的稳定性较差 [ 5 ] ，无机卤化物钙钛矿量子点合成温度较高，稳定性较强，量子点可以溶解在甲苯或己烷中，应用潜力更广。虽然材料CsPbX 3 在50年前有过报道 [ 6 ] ，直到最近才有研究组将其合成为量子点，L.Protesescu等人 [ 7 ] 于2015年1月发表了合成CsPbX 3 (X = Cl、Br、I)量子点的文章，他们详细阐述了钙钛矿量子点制备过程。ZnO光电导探测器一般采用金属–半导体–金属(MSM)结构，欧姆接触电极做成叉指状。 MSM结构具有结构简单、量子效率高、内部增益高等优点，与平面场效应晶体管技术兼容，可应用在集成互连和高速取样方面，宽带大，可低压工作。ZnO材料的光反应包括快速和慢速两个过程，即电子空穴对的产生过程和氧吸收–解吸过程，后者在实际中往往起到主导作用，这使器件下降时间比较长，甚至可以达到秒(s)的量级。本文用无机钙钛矿量子点修饰ZnO表面，依靠量子点层与ZnO层之间所形成的半导体异质结，来提高光生载流子的分离速度，抑制ZnO的持续光电导效应，从而提高探测器的响应时间 [ 8 ] [ 9 ] 。
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user: 2. 实验方案 实验采用射频磁控溅射设备，在ITO薄膜上溅射一层ZnO薄膜。在溅射ZnO薄膜之前分别用丙酮、乙醇、去离子水各超声清洗5 min，然后用干燥N 2 气吹干。ZnO靶材纯度为99.99%，生长真空为2.0 × 10 −6 mT。以纯度为99.99%的Ar和O 2 (Ar:O 2 = 95:5)作为溅射反应气体。溅射功率为100 W，生长时间为1 h。在所生长的薄膜上旋涂已经合成的无机钙钛矿量子点溶液放在真空环境中干燥，量子点溶液的合成借鉴别人的合成方法 [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] 。利用电子束蒸发设备，在真空度为2.5 × 10 −5 mT的条件下蒸镀厚度为150nm的金属Al电极。样品的尺寸为1.5 cm × 1 cm，匀胶仪转速为3500 rpm，旋涂时间为40 s。 对旋涂在ZnO薄膜上的无机钙钛矿量子点进行如下测试，样品的形貌是用电场发射扫描电子显微镜(SEM，日立S-4800型)测试。探测器的I-V曲线以及探测器的正偏和反偏响应由安捷伦B1500A和B2912A半导体设备分析测试，可见光照射用波长为400 nm，功率密度为2 mW/cm 2 的发光二极管照射。
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user: 3. 结果及分析 图1为ZnO表面和旋涂的量子点的扫描电子显微镜照片，溅射ZnO表面已经标出，而黄色圆圈内表示量子点区域图形，在实验中，量子点覆盖整个器件表面。从图中可以看出ZnO表面均匀的方格结构，说明钙钛矿量子点在ZnO表面均匀紧密的分布。量子点的尺寸在10 nm左右。氧化锌表面溅射不致密，导致陷阱和缺陷，对探测器的响应将生不良影响。 图1. 电子扫描电镜的样品表面图 由图2可以看出，该器件在外加偏压下的响应曲线是线性的，这通常被认为电极是欧姆接触，对于欧姆接触的ZnO紫外探测器，其响应恢复时间常数约为几秒至几十秒甚至更长。通过旋涂在ZnO表面的量子点，来提高响应时间。 图2. 探测器的光电流和暗电流 图3可以看出器件在光照400 nm，时间周期为10 s，在−2V的反向偏压下，器件的响应和恢复时间约为2 s，器件在反偏电压下的电流约为−3.3 × 10 −2 A。 图3. 400 nm光照下，光照周期为10 s，器件在反偏压的响应和恢复时间 图4为器件正偏时的响应程度与恢复时间拟合曲线，在2正偏压下，器件的电流约为5.1 × 10 −2 A。但是可以看出正偏的相应恢复时间相对较慢。 图4. 器件正偏响应曲线 从图5中看出，光照停止后，反偏的时间恢复为2 s，正偏的时间恢复为10 s。器件在正偏电压下，恢复慢的主要是原因在于量子点被激发传输载流子经过ZnO层，由于ZnO的持续光电导效应，光在ZnO材料中产生的光生载流子还未来得及在电极上收集就被晶体内部俘获。而且由于ZnO生长过程中，表面致密性差，导致陷阱增多，陷阱俘获载流子，从而影响光生载流子的传输，导致响应的时间恢复慢，使得恢复速度下降。当器件在反向偏压下时，由于量子点层与ZnO之间形成了半导体异质结，在界面处有空间电荷区的存在，当光照射在器件上时，空间电荷区的光生载流子会在电场的作用下快速分离。这样的空间电荷区在器件反偏时尤为明显。因此在反偏压下时，更强的电场会有着更快的载流子分离传输速度，因此反偏下的器件会有着更快的响应与回复速度。 图5. 器件结构和能带图
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user: 4. 结论 本文通过在磁控溅射制备的ZnO薄膜上旋涂无机钙钛矿量子点层，来减少ZnO基紫外探测器光响应时间。实验表明，在400 nm的可见光照射下，施加反向偏压的探测器响应回复速度比正向偏压下的响应回复速度快，器件性能得到改善。
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user: 摘 要 互联网信贷信用风险的预测是互联网金融可持续发展的关键因素，在放贷前准确预估借款人的信用风险，能有效较低企业可能的风险损失。随着机器学习的发展，机器学习的算法模型在互联网信贷信用风险方面的应用也越来越多。为了探究树模型和线性模型融合在互联网信贷信用风险预测的效果，本文采用Stacking模型融合方法设计了信用风险预测模型，其中第一层模型为随机森林、XGBoost、LightGBM，第二层模型为逻辑回归。并且在拍拍贷的真实数据上进行实验，对比了融合后的模型和单模型在AUC、准确率和耗时上的表现，结果表明融合后的模型虽然耗时长一些，但是在AUC和准确率方面都比单模型的效果要好，为互联网金融信贷风险预测模型的构建提供了一个新的思路。 关键词 :逻辑回归，信用风险，随机森林，XGBoost模型，LightGBM模型 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 网络借贷是一种新型的互联网金融模式，而在如何快速、准确的综合评估借款人的信用风险则成为了互联网金融能否健康可持续的发展的关键因素，这在工业界备受重视，如今在预测信贷信用风险领域有很多学者进行研究，也取得了不错的进展，但是还有待进一步的深入研究 [ 1 ]。 对用户的信用风险的评估本质是上是一个二分类问题，对此主要有三种解决方法：统计分析、定性分析、人工智能方法 [ 2 ]。近年来，随着机器学习算法的发展，机器学习在金融信用风险评估领域的应用也越来越广。Malekipirbazari等人提出了一种基于随机森林的借款人信用评估方法，利用借贷平台Lending Club上的真实用户数据进行预测，取得不错的效果 [ 3 ]。李昕、戴一成基于BP神经网络构建了信用风险评估模型，实验结果表明BP神经网络具有较高的预测准确率，适合平台和投资者甄选优质借款人 [ 4 ]。这些机器学习算法模型的单模型应用已经有了广泛的研究，而模型之间的融合还有进一步探讨的空间。2016年FaceBook提出了GBDT和逻辑回归相融合模型对点击率进行预测，融合后的模型比单模型效果的提升了3% [ 5 ]。本文将树模型和线性模型融合的方法引入信用风险评估中，基于拍拍贷的数据建立分类预测模型，为企业和投资者提供决策依据，结果表明树模型和线性模型的融合效果比单模型的效果要好。
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user: 2. 模型介绍 2.1. 逻辑回归模型 逻辑回归属于广义线性回归分析模型，在二分类问题中有广泛的应用，通过Logistic函数将目标值Y的取值归一化到0和1之间，使用梯度下降法或拟牛顿法不断的迭代，直到损失函数收敛为止。对于二分类问题，设： P ( Y = 1 | x ) = π ( x ) ，     P ( Y = 0 | x ) = 1 − π ( x ) (1) 则似然函数为： ∏ i = 1 N [ π ( x i ) ] y i [ 1 − π ( x i ) ] ( 1 − y i ) (2) 对数似然函数为： L ( w ) = ∑ i = 1 N [ y i log π ( x i ) + ( 1 − y i ) log ( 1 − π ( x i ) ) ] = ∑ i = 1 N [ y i log π ( x i ) 1 − π ( x i ) + log ( 1 − π ( x i ) ) ] = ∑ i = 1 N [ y i ( w ∗ x i ) − log ( 1 + exp ( w ∗ x i ) ) ] (3) 其中w是权重向量， w ∗ x 是w和x的内积。对L(w)求极大值，得到w的估计值 [ 6 ]。逻辑回归通常采用梯度下降法和拟牛顿法来求解对数似然函数的最优化问题。假设w的极大似然估计值为 w ¯ ，则逻辑回归模型为： P ( Y = 1 | x ) = e w ¯ x 1 + ( e w ¯ x ) (4) P ( Y = 0 | x ) = 1 1 + ( e w ¯ x ) (5) 2.2. 随机森林模型 随机森林是Bagging集成学习模型的代表，以决策树为基学习器构建Bagging模型，并且引入特征随机选择的思想，对模型进行训练，输出结果由多棵决策树决定 [ 7 ]。随机森林的主要流程是：对每棵树而言，随机有放回的抽取N个样本作为该树的训练集；如果每个样本的特征数量为M，则选择一个m，令 m ≪ M ，每次在M个特征中随机抽取m个特征进行分裂，分裂点是这个m个特征中最优的那个；每棵树都尽可能深的生长，不进行剪枝；对所有决策树的结果进行加总得到输出结果，回归问题使用多数投票方法，回归问题使用取平均值的方法。 2.3. XGBoost模型 XGBoost模型是Chen等人在2016年提出的一种Boosting模型 [ 8 ]，在传统GBDT算法的基础上，对损失函数进行二阶泰勒展开，并且加入了正则化项，平衡模型的复杂度和的目标函数的下降速度，能够有效解决过拟合问题。Boosting的思想是将多个弱学习分类器集合起来形成一个强学习分类器，而XGBoost所用到的树模型是CART树。XGBoost通过不断的添加树来分裂特征，每添加一棵树就是在学习一个新函数来拟合上个函数的残差。在对数据进行预测时，就是这个数据的每个特征都会落到一个叶子结点上，最后的输出值就是这些树的分数的和。XGBoost的算法模型如公式(6)所示，x i 为第i个样本的特征向量，f k 是一个回归树，F是回归树的集合。 y i ¯ = ∑ k = 1 K f k ( x i )   ，     f k ∈ F (6) 目标函数如公式(7)所示，包含了自身的损失函数和政策化惩罚项，其中f i 为第i棵树； y ¯ i ( t ) 表示t棵树模型的组合的预测值。 O b j ( t ) = ∑ i = 1 n l ( y i ， y ¯ i ( t ) ) + ∑ i = 1 t θ ( f i ) (7) XGBoost一次添加一棵树，整个优化流程如下： y ¯ i ( 0 ) = 0 y ¯ i ( 1 ) = f 1 ( x i ) = y ¯ i ( 0 ) + f 1 (xi) y ¯ i ( 2 ) = f 1 ( x i ) + f 2 ( x i ) = y ¯ i ( 1 ) + f 2 (xi) ⋯ y ¯ i ( t ) = ∑ k = 1 t f k ( x i ) = y ¯ i ( t − 1 ) + f t ( x i ) (8) 将公式(8)代入公式(7)得公式(9)，其中C为常数： O b j ( t ) = ∑ i = 1 n l ( y i ， y ¯ i ( t − 1 ) + f t ( x i ) ) + θ ( f t ) + C (9) XGBoost的思想是在 f t = 0 的二阶泰勒展开来求得近似值，引入正则项后，得： O b j ( t ) = ∑ i = 1 n [ g i f t ( x i ) + 1 2 h i f t 2 ( X i ) ] + θ ( f t ) (10) 其中： g i = α y ¯ i ( t − 1 ) l ( y i ， y ¯ i ( t − 1 ) ) ， h i = α y ¯ i ( t − 1 ) 2 l ( y i ， y ¯ i ( t − 1 ) ) 。 2.4. LightGBM模型 LightGBM是由微软亚洲研究院在2017年提出的一种GBDT框架 [ 5 ]，相较于传统的GBDT算法，LightGBM的优化主要包括三部分：基于Histogram的决策树算法、带有深度限制的Leaf-wise的叶子生长策略、直方图做差加速，既提升了算法的效率，又能防止过拟合。 Histogram算法的基本思想是先把连续的浮点特征值离散化为k个整数，同时构造一个宽度为k的直方图。在遍历数据的时候，根据离散化后的值作为索引在直方图中累计统计量，当遍历一次数据后，直方图累积了需要的统计量，然后根据脂肪乳的离散值，遍历寻找最优的分割点。 在Histogram算法的基础上，LightGBM进行进一步的优化，即带有深度限制的Leaf-wise的叶子生长策略，每次从当前所有叶子结点中，找到分裂增益最大的一个叶子，然后分裂，如此循环。LightGBM的另一个优化是直方图做差加速，一个叶子的直方图可以由它的父节点的直方图和兄弟节点的直方图做差得到，因此直方图做差仅需遍历直方图的k个桶，所以LightGBM可以用非常小的代价得到兄弟叶子的直方图，在速度上可以提升一倍。
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user: 4. 模型训练 4.1. 模型调参与融合 模型的参数对模型的预测结果的影响很大，本实验使用Python的Hyperopt包进行模型调参，Hyperopt通过贝叶斯优化来调整模型的参数，而且相较于基于全局搜索的GridSearch方法而言，Hyperopt速度更快效率更高；Random Search虽然速度比较快，但是可能遗漏空间上一些比较重要的点，Hyperopt则精度更高。而且Hyperopt支持暴力调参、随机调参等策略，也可结合MongoDB进行分布式调参。 模型融合是构建并结合多个学习器来完成学习任务，模型融合的方法主要有Blending和Stacking。Stacking是一种分层模型集成框架。以两层为例，第一层由多个基学习器组成，其输入原始训练集，第二层的模型以第一层基学习器的输出作为特征加入训练集进行再训练，从而得到完整的stacking模型。Blending和Stacking大致相同，但是Blending的主要区别在于训练集不是通过K-Fold的CV策略得到预测值从而生成第二阶段模型的特征，而是将K-Fold CV换成HoldOut CV。但是Blending可能会产生过拟合问题，Stacking使用多次的CV会比较稳健，所以本实验选用Stacking的方法进行模型融合。 海量的离散特征 + 逻辑回归模型，因其较高的精度和较少的运算开销在业界广为使用。但是逻辑回归无法捕捉到非线性特征对标签的影响，因而提升逻辑回归精度的有效方法时构造有效的交叉特征。2014年FaceBook提出了树模型GBDT和逻辑回归的融合模型 [ 8 ]，利用GBDT构造有效的交叉特征，从根节点到叶子结点的路径代表部分特征组合的一个规则，提升树将连续特征转化为离散特征，明显提升了线型模型的精度。 所以本实验也采用树模型和线性模型相结合的方法进行模型融合。本实验的第一层模型是XGBoost、随机森林和LightGBM，对着三个模型进行调参后找到最优参数值，将其产生的预测值作为新特征，输入第二层模型逻辑回归模型中，进而对数据进行预测。 4.2. 模型评价标准 分类模型常用的评价标准有召回率、精确率、F1分数、准确率、AUC。召回率又被称为查全率，是正确预测的样本中实际为正的样本的占比。精确率又被成为查准率，是预测为正的样本中实际为正的样本占比。召回率和精确率是互相矛盾的，一个取值高，另一个取值则会低，需要根据不同的情况选择使哪个指标更高。F1分数是精确率和召回率的调和，同时兼顾了精确率和召回率，在多分类任务中，F1分数是最常用的指标。准确率表示的正确预测的样本数占总数的比例。AUC是接受者操作特征曲线下的面积，常用来评估二分类模型。 本文主要采用AUC和准确率分数为模型的主要评价标准。相较于召回率、精确率、F1分数、准确率，AUC在二分类任务中应用的更多。因为一般分类模型输出的都是概率，这时就需要设置一个阈值来进行分类，阈值的大小则会对召回率、精确率、F1分数、准确率产生影响，而AUC则没有这个问题。AUC和准确率有时会产生矛盾，这时则优先选择AUC，因为准确率是基于较佳的截断值进行计算的，但是这个较佳的截断值并不是总体分布的最佳截断值，只是某个随机样本的一个属性指标，而AUC基于所有可能的截断值进行计算，所以更稳健 [ 11 ]。
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user: 5. 实验结果 5.1. 模型调参结果 使用Hyperopt对XGBoost、随机森林、LightGBM三个算法模型分别进行调参，调参前后对比如表6所示，可以发现调参后模型的AUC和准确率值均有所提升。其中随机森林调参后AUC提升，准确率却降低，因AUC相对准确率来说更稳健，所以两者冲突的时候以AUC为准，因此随机森林的性能在调参后是有所提升的。 Table 6 Compare before and after adjusting parameter 模型 调参前 调参后 AUC 准确率 AUC 准确率 XGBoost 0.6736 0.8473 0.7220 0.9098 随机森林 0.6329 0.8918 0.6950 0.8358 LightGBM 0.7028 0.8866 0.7278 0.9073 表6. 调参前后对比 XGBoost、随机森林、LightGBM三个算法模型的最优参数分别如表7、表8、表9所示： Table 7 The optimal parameter of XGBoos 参数 最优值 learning_rate 0.0512 n_estimators 411 max_depth 16 min_child_weight 6 subsample 0.55 表7. XGBoost最优参数 Table 8 The optimal parameter of random forest 参数 最优值 max_depth 18 max_features 3 n_estimators 16 表8. 随机森林最优参数 Table 9 The optimal parameter of LightGB 参数 最优值 bagging_fraction 0.55 learning_rate 0.0511 max_depth 18 num_leaves 85 num_trees 584 表9. LightGBM最优参数 5.2. 不同算法模型结果对比分析 本实验对比了XGBoost、随机森林、LightGBM、逻辑回归，以及模型融合的性能，如表10所示： Table 1 0 Performance comparison of different model 模型 AUC 准确率 耗时 XGBoost 0.7220 0.9098 23.00 随机森林 0.6950 0.8358 1.72 LightGBM 0.7278 0.9073 11.79 逻辑回归 0.6813 0.6993 0.95 模型融合 0.7537 0.9180 43.77 表10. 不同模型性能对比 由表10可知，四个单模型和融合模型的AUC排名由高到低是融合模型、LightGBM、XGBoost、随机森林、逻辑回归。在模型融合之前，对单模型的调参提升了单模型的AUC，而经过Stacking的融合后，信用风险预测模型的AUC和准确率得到进一步提升，融合后的模型AUC比表现最差的逻辑回归提升了0.0724，准确率提升了0.2187；比表现最好的LightGBM的AUC提升了0.0319，准确率提升了0.0107。 融合后的模型虽然在AUC和准确率上都有所提升，但是确实耗时最长的，耗时43.77，比四个单模型中耗时最长的XGBoost的耗时还要多近一倍的时间。这是因为模型的复杂度越高，耗时也就越长。在本实验中模型融合的耗时还是可以承受的，在实际应用中面对海量信息如果耗时太长则需要权衡一下耗时和预测准确率之间的关系。
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user: 6. 总结 本文针对金融领域的信用风险评估问题，建立了信用风险评估模型，以随机森林、XGBoost、LightGBM为第一层模型，逻辑回归为第二层模型，使用Stacking的融合方法进行模型融合。最后结果表明模型融合的效果要优于单模型，但是耗时也更长。本文的创新点之一在于数据预处理方面，本文对原始特征进行挖掘，使得特征和预测目标之间的联系更明显一些，在实际应用中，可以考虑根据现有特征衍生出一些在区分高风险用户方面效果更好的特征；其次是树模型和线性模型的融合，将Bagging类算法的代表——随机森林、Boosting算法的代表——XGBoost、以及XGBoost的改进算法LightGBM和逻辑回归进行了融合，并且最终取得融合效果较好。