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user: 2. 正交球心间存在同构的场方程行列式的证明 1球至4球正交，其球心间所围场方程行列式可分为繁式和简式2种，以及所有球半径均相等公式。 2.1. (繁式)正交球心场方程行列式 类似Cayley-Menger行列式 [ 3 ] ，或可称2点间距式， ℝ n 代表球心所围场(含所有子集)，行列式为： ( ℝ n ) 2 = ( − 1 ) n ( 1 2 ) n − 1 ( 1 ( n − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 1 1 ⋯ 1 1 0 d 12 2 d 13 2 d 14 2 ⋯ d 1 n 2 1 d 21 2 0 d 23 2 d 24 2 ⋯ d 2 n 2 1 d 31 2 d 32 2 0 d 34 2 ⋯ d 3 n 2 1 d 41 2 d 42 2 d 43 2 0 ⋯ d 4 n 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 d n 1 2 d n 2 2 d n 3 2 d n 4 2 ⋯ 0 | (1) n ∈ 1 ， 2 ， 3 ， 4 表示参与正交球的数量，下标： i j ∈ 1 ， 2 ， 3 ， 4 表示各球心点，d ij 是连接两个球心连线的长度。 2.1.1. 例：4球正交球心间场为垂心四面体的体积的平方 ( ℝ 1234 4 ) 2 = ( − 1 ) 4 ( 1 2 ) 4 − 1 ( 1 ( 4 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 1 1 1 0 d 12 2 d 13 2 d 14 2 1 d 21 2 0 d 23 2 d 24 2 1 d 31 2 d 32 2 0 d 34 2 1 d 41 2 d 42 2 d 43 2 0 | = 1 288 | 0 1 1 1 1 1 0 a 2 + b 2 a 2 + c 2 a 2 + d 2 1 b 2 + a 2 0 b 2 + c 2 b 2 + d 2 1 c 2 + a 2 c 2 + b 2 0 c 2 + d 2 1 d 2 + a 2 d 2 + b 2 d 2 + c 2 0 | = 1 36 ( a 2 b 2 c 2 + a 2 b 2 d 2 + a 2 c 2 d 2 + b 2 c 2 d 2 ) 各球半径 ∈ a ， b ， c ， d 。 2.1.2. 例：4个3球正交球心间场为三角形的面积的平方 ( ℝ 123 3 ) 2 = ( − 1 ) 3 ( 1 2 ) 3 − 1 ( 1 ( 3 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 1 1 0 d 12 2 d 13 2 1 d 21 2 0 d 23 2 1 d 31 2 d 32 2 0 | = 1 16 | 0 1 1 1 1 0 a 2 + b 2 a 2 + c 2 1 b 2 + a 2 0 b 2 + c 2 1 c 2 + a 2 c 2 + b 2 0 | = 1 4 ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) 下标 i j ∈ 1 ， 2 ， 3 ， 4 表示各球心点。 或 ( ℝ 124 3 ) 2 = ( − 1 ) 3 ( 1 2 ) 3 − 1 ( 1 ( 3 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 1 1 0 d 12 2 d 14 2 1 d 21 2 0 d 24 2 1 d 41 2 d 42 2 0 | = 1 16 | 0 1 1 1 1 0 a 2 + b 2 a 2 + d 2 1 b 2 + a 2 0 b 2 + d 2 1 d 2 + a 2 d 2 + b 2 0 | = 1 4 ( a 2 b 2 + a 2 d 2 + b 2 d 2 ) 或 ( ℝ 134 3 ) 2 = ( − 1 ) 3 ( 1 2 ) 3 − 1 ( 1 ( 3 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 1 1 0 d 13 2 d 14 2 1 d 31 2 0 d 34 2 1 d 41 2 d 43 2 0 | = 1 16 | 0 1 1 1 1 0 a 2 + c 2 a 2 + d 2 1 c 2 + a 2 0 c 2 + d 2 1 d 2 + a 2 d 2 + c 2 0 | = 1 4 ( a 2 c 2 + a 2 d 2 + c 2 d 2 ) 或 ( ℝ 234 3 ) 2 = ( − 1 ) 3 ( 1 2 ) 3 − 1 ( 1 ( 3 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 1 1 0 d 23 2 d 24 2 1 d 32 2 0 d 34 2 1 d 42 2 d 43 2 0 | = 1 16 | 0 1 1 1 1 0 b 2 + c 2 b 2 + d 2 1 c 2 + b 2 0 c 2 + d 2 1 d 2 + b 2 d 2 + c 2 0 | = 1 4 ( b 2 c 2 + b 2 d 2 + c 2 d 2 ) 2.1.3. 例：6个2球正交球心间场为2点间直线的平方 ( ℝ 12 2 ) 2 = ( − 1 ) 2 ( 1 2 ) 2 − 1 ( 1 ( 2 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 1 0 d 12 2 1 d 21 2 0 | = 1 2 | 0 1 1 1 0 a 2 + b 2 1 b 2 + a 2 0 | = a 2 + b 2 或 ( ℝ 13 2 ) 2 = ( − 1 ) 2 ( 1 2 ) 2 − 1 ( 1 ( 2 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 1 0 d 13 2 1 d 31 2 0 | = 1 2 | 0 1 1 1 0 a 2 + c 2 1 c 2 + a 2 0 | = a 2 + c 2 或 ( ℝ 14 2 ) 2 = ( − 1 ) 2 ( 1 2 ) 2 − 1 ( 1 ( 2 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 1 0 d 14 2 1 d 41 2 0 | = 1 2 | 0 1 1 1 0 a 2 + d 2 1 d 2 + a 2 0 | = a 2 + d 2 或 ( ℝ 23 2 ) 2 = ( − 1 ) 2 ( 1 2 ) 2 − 1 ( 1 ( 2 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 1 0 d 23 2 1 d 32 2 0 | = 1 2 | 0 1 1 1 0 b 2 + c 2 1 c 2 + b 2 0 | = b 2 + c 2 或 ( ℝ 24 2 ) 2 = ( − 1 ) 2 ( 1 2 ) 2 − 1 ( 1 ( 2 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 1 0 d 24 2 1 d 42 2 0 | = 1 2 | 0 1 1 1 0 b 2 + d 2 1 d 2 + b 2 0 | = b 2 + d 2 或 ( ℝ 34 2 ) 2 = ( − 1 ) 2 ( 1 2 ) 2 − 1 ( 1 ( 2 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 1 0 d 34 2 1 d 43 2 0 | = 1 2 | 0 1 1 1 0 c 2 + d 2 1 d 2 + c 2 0 | = c 2 + d 2 2.1.4. 例：4个球正交球心为点的平方 ( ℝ 1 1 ) 2 = ( − 1 ) 1 ( 1 2 ) 1 − 1 ( 1 ( 1 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 0 | = − 1 | 0 1 1 0 | = 1 或 ( ℝ 2 1 ) 2 = ( − 1 ) 1 ( 1 2 ) 1 − 1 ( 1 ( 1 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 0 | = − 1 | 0 1 1 0 | = 1 或 ( ℝ 3 1 ) 2 = ( − 1 ) 1 ( 1 2 ) 1 − 1 ( 1 ( 1 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 0 | = − 1 | 0 1 1 0 | = 1 或 ( ℝ 4 1 ) 2 = ( − 1 ) 1 ( 1 2 ) 1 − 1 ( 1 ( 1 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 0 | = − 1 | 0 1 1 0 | = 1 2.2. (简式)正交球心场方程行列式 直接使用各正交球半径的行列式为： ( ℝ n ) 2 = ( − 1 ) n ( 1 ( n − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 1 1 ⋯ 1 1 0 r 2 2 r 3 2 r 4 2 ⋯ r n 2 1 r 1 2 0 r 3 2 r 4 2 ⋯ r n 2 1 r 1 2 r 2 2 0 r 4 2 ⋯ r n 2 1 r 1 2 r 2 2 r 3 2 0 ⋯ r n 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 r 1 2 r 2 2 r 3 2 r 4 2 ⋯ 0 | (2) 下标： n ∈ 1 ， 2 ， 3 ， 4 表示参与正交球的数量， r n 为各正交球半径。 2.2.1. 例：4球正交球心间场为垂心四面体的体积的平方 ( ℝ 1234 4 ) 2 = ( − 1 ) 4 ( 1 ( 4 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 1 1 1 0 r 2 2 r 3 2 r 4 2 1 r 1 2 0 r 3 2 r 4 2 1 r 1 2 r 2 2 0 r 4 2 1 r 1 2 r 2 2 r 3 2 0 | = 1 36 | 0 1 1 1 1 1 0 b 2 c 2 d 2 1 a 2 0 c 2 d 2 1 a 2 b 2 0 d 2 1 a 2 b 2 c 2 0 | = 1 36 ( a 2 b 2 c 2 + a 2 b 2 d 2 + a 2 c 2 d 2 + b 2 c 2 d 2 ) 各球半径 ∈ a ， b ， c ， d 。 2.2.2. 例：4个3球正交球心间场为三角形的面积的平方 ( ℝ 123 3 ) 2 = ( − 1 ) 3 ( 1 ( 3 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 1 1 0 r 2 2 r 3 2 1 r 1 2 0 r 3 2 1 r 1 2 r 2 2 0 | = − 1 4 | 0 1 1 1 1 0 b 2 c 2 1 a 2 0 c 2 1 a 2 b 2 0 | = 1 4 ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) 下标 ∈ 1 ， 2 ， 3 ， 4 表示各球心点。 或 ( ℝ 124 3 ) 2 = ( − 1 ) 3 ( 1 ( 3 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 1 1 0 r 2 2 r 4 2 1 r 1 2 0 r 4 2 1 r 1 2 r 2 2 0 | = − 1 4 | 0 1 1 1 1 0 b 2 d 2 1 a 2 0 d 2 1 a 2 b 2 0 | = 1 4 ( a 2 b 2 + a 2 d 2 + b 2 d 2 ) 或 ( ℝ 134 3 ) 2 = ( − 1 ) 3 ( 1 ( 3 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 1 1 0 r 3 2 r 4 2 1 r 1 2 0 r 4 2 1 r 1 2 r 3 2 0 | = − 1 4 | 0 1 1 1 1 0 c 2 d 2 1 a 2 0 d 2 1 a 2 c 2 0 | = 1 4 ( a 2 c 2 + a 2 d 2 + c 2 d 2 ) 或 ( ℝ 234 3 ) 2 = ( − 1 ) 3 ( 1 ( 3 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 1 1 0 r 3 2 r 4 2 1 r 2 2 0 r 4 2 1 r 2 2 r 3 2 0 | = − 1 4 | 0 1 1 1 1 0 c 2 d 2 1 b 2 0 d 2 1 b 2 c 2 0 | = 1 4 ( b 2 c 2 + b 2 d 2 + c 2 d 2 ) 2.2.3. 例：6个2球正交球心间场为2点间直线的平方 ( ℝ 12 2 ) 2 = ( − 1 ) 2 ( 1 ( 2 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 1 0 r 2 2 1 r 1 2 0 | = 1 | 0 1 1 1 0 b 2 1 a 2 0 | = a 2 + b 2 或 ( ℝ 13 2 ) 2 = ( − 1 ) 2 ( 1 ( 2 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 1 0 r 3 2 1 r 1 2 0 | = 1 | 0 1 1 1 0 c 2 1 a 2 0 | = a 2 + c 2 或 ( ℝ 14 2 ) 2 = ( − 1 ) 2 ( 1 ( 2 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 1 0 r 4 2 1 r 1 2 0 | = 1 | 0 1 1 1 0 d 2 1 a 2 0 | = a 2 + d 2 或 ( ℝ 23 2 ) 2 = ( − 1 ) 2 ( 1 ( 2 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 1 0 r 2 2 1 r 2 2 0 | = 1 | 0 1 1 1 0 c 2 1 b 2 0 | = b 2 + c 2 或 ( ℝ 24 2 ) 2 = ( − 1 ) 2 ( 1 ( 2 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 1 0 r 4 2 1 r 2 2 0 | = 1 | 0 1 1 1 0 d 2 1 b 2 0 | = b 2 + d 2 或 ( ℝ 34 2 ) 2 = ( − 1 ) 2 ( 1 ( 2 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 1 0 r 4 2 1 r 3 2 0 | = 1 | 0 1 1 1 0 d 2 1 c 2 0 | = c 2 + d 2 2.2.4. 例：4个球正交球心为点的平方 ( ℝ 1 1 ) 2 = ( − 1 ) 1 ( 1 ( 1 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 0 | = − 1 | 0 1 1 0 | = 1 或 ( ℝ 2 1 ) 2 = ( − 1 ) 1 ( 1 ( 1 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 0 | = − 1 | 0 1 1 0 | = 1 或 ( ℝ 3 1 ) 2 = ( − 1 ) 1 ( 1 ( 1 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 0 | = − 1 | 0 1 1 0 | = 1 或 ( ℝ 4 1 ) 2 = ( − 1 ) 1 ( 1 ( 1 − 1 ) ! ) 2 | 0 1 1 0 | = − 1 | 0 1 1 0 | = 1 2.3. 所有正交球半径均等于a时，正交球心场方程可简化为分式型公式为 ( ℝ n ) 2 = n a 2 ( n − 1 ) ( n − 1 ) ! 2 (3) 例： ( ℝ 4 ) 2 = 4 a 2 ( 4 − 1 ) ( 4 − 1 ) ! 2 = a 6 9 ( ℝ 3 ) 2 = 3 a 2 ( 3 − 1 ) ( 3 − 1 ) ! 2 = 3 a 4 4 ( ℝ 2 ) 2 = 2 a 2 ( 2 − 1 ) ( 2 − 1 ) ! 2 = 2 a 2 ( ℝ 1 ) 2 = 1 a 2 ( 1 − 1 ) ( 1 − 1 ) ! 2 = 1