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user: 3. 系统存在稳态的充要条件及稳态队长 定理1：QBD过程 { Q ( t ) ， J ( t ) } 正常返的充分必要条件是 μ α > ( λ + p ¯ μ ) ( λ + μ ) 。 证明：首先，我们假设 A = A 0 + A 1 + A 2 = ( − ( η + θ ) η θ 0 λ + α − ( λ + α + θ ) 0 θ 0 0 − μ μ 0 0 λ + α − ( λ + α ) ) 根据文献 [ 10 ] ，定理7.3.1，对行列式进行变换得到QBD正常返条件为： π * ( 0 0 α 0 ) e > π * ( λ p ¯ μ 0 0 ) e 其中e为单位列向量， π * 为 π * ( − μ μ λ + α − ( λ + α ) ) = 0 ， π * e = 1 的唯一解。经过运算可得QBD的正常返条件为 μ α > ( λ + p ¯ μ ) ( λ + μ ) 。证毕。 定理2：当 μ α > ( λ + p ¯ μ ) ( λ + μ ) 时，矩阵方程 R 2 A 2 + R A 1 + A 0 = 0 有最小非负解： R = ( r 1 r 2 r 3 r 4 0 0 0 0 0 0 r 5 r 6 0 0 0 0 ) 其中 r 1 = [ ( λ + η + θ ) ( λ + α + θ ) − p ¯ η α − p η λ ] − Δ 2 p η α ， r 2 = p ¯ η + r 1 p η λ + α + θ ， r 3 = r 1 r 2 α θ + r 2 θ ( λ + μ ) ( λ + α ) − p μ − p μ λ − ( r 6 α − r 1 θ ) ( λ + α ) ， r 4 = r 2 θ + r 3 p μ λ + α ， r 5 = λ ( λ + α + p ¯ μ ) ， r 6 = λ p μ + p ¯ p μ 2 ， Δ = [ p ¯ η α − ( λ + η + θ ) ( λ + α + θ ) + p η λ ] 2 − 4 p η α λ ( p ¯ η + λ + α + θ ) . 证明：根据 A 0 ， A 1 ， A 2 的结构，我们假设 R = ( R 11 R 12 0 R 22 ) ，其中 R 11 ， R 12 和 R 22 都是 2 × 2 的矩阵。把R带入方程 R 2 A 2 + R A 1 + A 0 = 0 中得到一系列方程 { ( 0 0 0 0 ) = R 11 2 ( 0 0 α 0 ) + R 11 ( − ( λ + η + θ ) p η λ − ( λ + α + θ ) ) + ( λ p ¯ η 0 0 ) ， ( 0 0 0 0 ) = ( R 11 R 12 + R 12 R 22 ) ( 0 0 α 0 ) + R 11 ( θ 0 0 θ ) + R 12 ( − ( λ + μ ) p μ λ − ( λ + α ) ) ， ( 0 0 0 0 ) = R 22 2 ( 0 0 α 0 ) + R 22 ( − ( λ + μ ) p μ λ − ( λ + α ) ) + ( λ p ¯ μ 0 0 ) . 由第一个方程，我们可以得到 R 11 = ( r 1 r 2 0 0 ) ，同理 R 22 = ( r 5 r 6 0 0 ) 可以由第三个方程解得，将 R 11 和 R 22 代入第二个方程，可以经过计算得到 R 12 = ( r 3 r 4 0 0 ) 。证毕。 在稳态条件下，我们有 π n = ( π n 1 ， π n 2 ， π n 3 ， π n 4 ) ， n ≥ 0 ， π n j = P { Q = n ， J = j } = lim t → ∞ P { Q ( t ) = n ， J ( t ) = j } ， ( n ， j ) ∈ Ω ， 值得注意的是，当重试组中没有顾客时，正常工作期服务员忙的概率是0，因此 π 04 = 0 。 定理3：如果 μ α > ( λ + p ¯ μ ) ( λ + μ ) ，则QBD过程 { Q ( t ) ， J ( t ) } 的平稳分布由下式给出： { π n 1 = π 01 r 1 n ， n ≥ 1 ， π n 2 = π 01 r 1 n − 1 r 2 ， n ≥ 1 ， π n 3 = π 01 [ r 3 r 5 − r 1 ( r 5 n − r 1 n ) ] + π 03 r 5 n ， n ≥ 1 ， π n 4 = π 01 [ r 4 r 1 n − 1 + r 3 r 6 r 5 − r 1 ( r 5 n − 1 − r 1 n − 1 ) ] + π 03 r 5 n − 1 r 6 ， n ≥ 1 ， (1) 并且 { π 02 = ( λ + η + θ ) + r 2 α λ π 01 ， π 03 = r 4 α + θ ( λ + μ ) − r 6 α π 01 . (2) 其中 π 01 可由归一化条件求得。 证明：由 π n = ( π n 1 ， π n 2 ， π n 3 ， π n 4 ) = π 0 R n = ( π 01 ， π 02 ， π 03 ， π 04 ) R n ， n ≥ 0 R n = ( r 1 n r 1 n − 1 r 2 r 3 r 5 − r 1 ( r 5 n − r 1 n ) r 4 r 1 n − 1 + r 3 r 6 r 5 − r 1 ( r 5 n − 1 − r 1 n − 1 ) 0 0 0 0 0 0 r 5 n r 5 n − 1 r 6 0 0 0 0 ) ， n ≥ 1 将 R n 代入上述方程，我们可以得到(1)式。并且 π 0 满足下述方程： π 0 ( B 1 + R A 2 ) = 0 . (3) 通过(3)式我们可以计算得到(2)式。 再由 ∑ j = 1 4 ∑ n = 0 ∞ π n j = 1 ， 我们得到 π 01 = ( 1 + x + y + z ) − 1 。 其中 x = ( 1 − r 1 ) ( λ + η + θ + r 2 α ) + ( r 1 + r 2 + r 4 ) λ λ ( 1 − r 1 ) ， y = ( r 4 α + θ ) ( 1 − r 5 + r 5 r 6 ) ( 1 − r 5 ) ( λ + μ − r 6 α ) ， z = r 3 ( r 5 − r 1 ) + r 3 r 6 ( r 1 + r 5 ) ( 1 − r 5 ) ( 1 − r 1 ) ( r 5 − r 1 ) . 证毕。 服务员不同状态下的概率如下： P 1 = P { J = 1 } = ∑ n = 0 ∞ π n 1 = 1 1 − r 1 π 01 ， P 2 = P { J = 2 } = ∑ n = 0 ∞ π n 2 = r 2 ( 1 − r 1 ) r 1 π 01 ， P 3 = P { J = 3 } = ∑ n = 0 ∞ π n 3 = [ r 3 ( 1 − r 5 ) ( 1 − r 1 ) + r 4 α + θ ( 1 − r 5 ) [ ( λ + μ ) − r 6 α ] ] π 01 ， P 4 = P { J = 4 } = ∑ n = 1 ∞ π n 4 = { r 4 ( 1 − r 1 ) r 1 + r 3 r 6 ( r 1 + r 5 − 1 ) ( 1 − r 1 ) ( 1 − r 5 ) r 1 r 5 + r 6 ( r 4 α + θ ) ( 1 − r 5 ) r [ ( λ + μ ) − r 6 ] } π 01 . 服务员忙时的概率为： P b = P { J = 1 } + P { J = 3 } = P 1 + P 3 . 服务员闲时的概率为： P c = P { J = 2 } + P { J = 4 } = P 2 + P 4 = 1 − P b . 用L表示重试组中的顾客数，我们可以得到 E [ L ] = ∑ n = 1 ∞ n ( π n 1 + π n 2 + π n 3 + π n 4 )                     = ( r 1 + r 2 + r 4 ) ( 1 − r 5 ) 2 + ( 1 − r 1 r 5 ) r 3 + ( 2 − r 1 − r 5 ) r 3 r 6 ( 1 − r 5 ) 2 ( 1 − r 1 ) 2 π 01 + r 5 + r 6 ( 1 − r 5 ) 2 π 03 . 用 L ˜ 表示系统中的顾客数，我们可以得到 E [ L ˜ ] = ∑ n = 1 ∞ n ( π n 2 + π n 4 ) + ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) ( π n 1 + π n 3 ) = E [ L ] + P 1 + P 3 = E [ L ] + P b .