system: [SYSTEM]

user: 2. 系统的描述和准备 考虑以下含参数不确定性的带有记忆的变时滞广义Lurie切换系统： { E x ˙ ( t ) = ( A σ ( t ) + Δ A σ ( t ) ( t ) ) x ( t ) + ( A 1 σ ( t ) + Δ A 1 σ ( t ) ( t ) ) x ( t − d 1 ( t ) )                         + ( A 2 σ ( t ) + Δ A 2 σ ( t ) ( t ) ) x ( t − d 2 ( t ) ) + B 1 σ ( t ) u ( t ) + B 2 σ ( t ) ω ( t ) + D f ( μ ( t ) ) z ( t ) = C σ ( t ) x ( t ) + C 1 σ ( t ) u ( t ) + C 2 σ ( t ) ω ( t ) μ ( t ) = C x ( t ) x ( t ) = φ ( t ) ∈ C ( [ − d ， 0 ] ， R n ) (1) 其中， x ( t ) ∈ R n 为系统的被控对象状态变量， u ( t ) ∈ R p 为控制输入状态变量， z ( t ) ∈ R m 为控制输出变量， σ ( ⋅ ) : [ 0 ， ∞ ] → { 1 ， 2 ， ⋯ ， N } = N ¯ 为分段常值切换信号，且 σ ( t ) = i 表示第i个子系统在t时刻被激活， ω ( t ) ∈ R q 为外部干扰，且系数矩阵 A σ ( t ) ∈ R n × n ， A 1 σ ( t ) ∈ R n × n ， A 2 σ ( t ) ∈ R n × n ， B 1 σ ( t ) ∈ R n × p ， B 2 σ ( t ) ∈ R n × q ， C σ ( t ) ∈ R m × n ， C 1 σ ( t ) ∈ R m × p ， C 2 σ ( t ) ∈ R m × q ， C = [ C 1 ， C 2 ， ⋯ ， C l ] ∈ R l × n ， D ∈ R n × l ，d为正实数， d 1 ( t ) ， d 2 ( t ) 表示时变的状态时滞，并且时滞变化率满足 0 < d ˙ 1 ( t ) ≤ h 1 < 1 ， 0 < d ˙ 2 ( t ) ≤ h 2 < 1 。 Δ A σ ( t ) ， Δ A 1 σ ( t ) ， Δ A 2 σ ( t ) 为参数不确定性矩阵，且满足关系式 [ Δ A σ ( t ) ( t ) ， Δ A 1 σ ( t ) ( t ) ， Δ A 2 σ ( t ) ( t ) ] = N σ ( t ) F σ ( t ) ( t ) [ G σ ( t ) ， G 1 σ ( t ) ， G 2 σ ( t ) ] 。 N σ ( t ) ∈ R n × n ， G σ ( t ) ∈ R n × n ， G 1 σ ( t ) ∈ R n × n ， G 2 σ ( t ) ∈ R n × n ， F σ ( t ) ( t ) 是具有Lebesgue可测的未知矩阵，满足 F σ ( t ) T ( t ) F σ ( t ) ( t ) ≤ I ； f ( μ ) 表示非线性向量，且位于有限的霍尔维茨角域内， f j ( · ) ∈ K [ 0 ， k j ] = { f j ( μ j ) | f j ( 0 ) = 0 ， 0 < μ j f j ( μ j ) ≤ λ j μ j 2 ， ( μ j ≠ 0 ) } ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， l (2) 其中， λ 1 ， λ 2 ， ⋯ ， λ l 为常数，记 ƛ = d i a g { λ 1 ， λ 2 ， ⋯ ， λ l } ， μ ( t ) = ( μ 1 ( t ) ， μ 2 ( t ) ， ⋯ ， μ n ( t ) ) T ∈ R n ， f ( μ ) = ( f 1 ( μ 1 ) ， f 2 ( μ 2 ) ， ⋯ f l ( μ l ) ) T ∈ R l 设计带有记忆的输出反馈控制器为 u ( t ) = K σ ( t ) x ( t ) + K 1 σ ( t ) x ( t − d 1 ( t ) ) + K 2 σ ( t ) x ( t − d 2 ( t ) ) 且 K σ ( t ) ∈ R p × n ， K 1 σ ( t ) ∈ R p × n ， K 2 σ ( t ) ∈ R p × n 。 系统(1)的闭环系统： { E x ˙ ( t ) = ( A σ ( t ) + N σ ( t ) F σ ( t ) ( t ) G σ ( t ) + B 1 σ ( t ) K σ ( t ) ) x ( t )                         + ( A 1 σ ( t ) + N σ ( t ) F σ ( t ) ( t ) G 1 σ ( t ) + B 1 σ ( t ) K 1 σ ( t ) ) x ( t − d 1 ( t ) )                         + ( A 2 σ ( t ) + N σ ( t ) F σ ( t ) ( t ) G 2 σ ( t ) + B 1 σ ( t ) K 2 σ ( t ) ) x ( t − d 2 ( t ) ) + B 2 σ ( t ) ω ( t ) + D f ( μ ( t ) ) z ( t ) = ( C σ ( t ) + C 1 σ ( t ) K σ ( t ) ) x ( t ) + C 1 σ ( t ) K 1 σ ( t ) x ( t − d 1 ( t ) ) + C 1 σ ( t ) K 2 σ ( t ) x ( t − d 2 ( t ) ) + C 2 σ ( t ) ω ( t ) x ( t ) = φ ( t ) ， φ ∈ C [ − d ， 0 ] (3) 记 A ¯ σ ( t ) = A σ ( t ) + N σ ( t ) F σ ( t ) ( t ) G σ ( t ) ， A ¯ 1 σ ( t ) = A 1 σ ( t ) + N σ ( t ) F σ ( t ) ( t ) G 1 σ ( t ) ， A ¯ 2 σ ( t ) = A 2 σ ( t ) + N σ ( t ) F σ ( t ) ( t ) G 2 σ ( t ) 则系统(3)变为： { E x ˙ ( t ) = ( A ¯ σ ( t ) + B 1 σ ( t ) K σ ( t ) ) x ( t ) + ( A ¯ 1 σ ( t ) + B 1 σ ( t ) K 1 σ ( t ) x ( t − d 1 ( t ) ) )                         + ( A ¯ 2 σ ( t ) + B 1 σ ( t ) K 2 σ ( t ) x ( t − d 2 ( t ) ) ) + B 2 σ ( t ) ω ( t ) + D f ( μ ( t ) ) z ( t ) = ( C σ ( t ) + C 1 σ ( t ) K σ ( t ) ) x ( t ) + C 1 σ ( t ) K 1 σ ( t ) x ( t − d 1 ( t ) ) + C 1 σ ( t ) K 2 σ ( t ) x ( t − d 2 ( t ) ) + C 2 σ ( t ) ω ( t ) x ( t ) = φ ( t ) ， φ ∈ C [ − d ， 0 ] (4) 定义1：使得广义Lurie不确定切换系统(1)具有鲁棒无源的。如果： 1) 当外部扰动输入 ω ( t ) ≡ 0 时，闭环系统是渐近稳定的。 2) 在系统初始条件 φ ( t ) ≡ 0 ， t ∈ [ − d ， 0 ] 时，对于所有非零的 ω ，使得无源不等式成立 V ˙ ( x ( t ) ， t ) ≤ ω T ( t ) z ( t ) ， ω ∈ L 2 [ 0 ， ∞ ] ；若无源不等式换为严格不等式，则称广义Lurie切换不确定性系统(1)是严格无源的。 在分析和推导的过程中，我们会用到以下的引理。 引理1 [ 26 ] ：给定适当维数的矩阵Y，D和E，其中Y是对称的，则 Y + D F E + E T F T D T < 0 ，对所有满足 F T F ≤ I 的矩阵成立，当且仅当存在一个常数 ε > 0 ，使得 Y + ε D D T + ε − 1 E T E < 0 。 引理2 [ 27 ] (Schur补引理)：对给定的对称矩阵 S = [ S 11 S 12 S 21 S 22 ] ，其中 S 11 ∈ R r × r ，以下三个条件是等价的： (I) S < 0 ； (II) S 11 < 0 ， S 22 − S 21 S 11 − 1 S 12 < 0 ； (III) S 22 < 0 ， S 11 − S 12 S 22 − 1 S 21 < 0 。 引理3 [ 27 ] ：对于任意适当维数的矩阵X，Y，且存在一个常数 ε > 0 ，有 X T Y + Y T X ≤ ε X T X + 1 ε Y T Y