system: [SYSTEM]

user: 3. HPUS格式 由前文可知一维非线性交通流双曲守恒方程为 ∂ t ρ + ∂ x f ( ρ ) = 0 (1) 其中 ρ = ρ ( x ， t ) 表示t时刻时不同位置的车流密度， f ( ρ ) = ρ v 表示流通量，指单位时间单位面积的车流通量，现利用有限体积法对上述方程进行空间离散。 3.1. 空间离散 首先将区间 [ a ， b ] 平均剖分成N个控制单元，记： a = x 1 2 ≤ x 3 2 ≤ ⋯ ≤ x ( N − 1 ) + 1 2 ≤ x N + 1 2 = b ，每个控制单元记为 I j = [ x j − 1 2 ， x j + 1 2 ]   ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ) ，现定义控制单元的积分平均值为： ρ ¯ ( x j ， t ) = 1 Δ x ∫ x j − 1 2 x j + 1 2 ρ ( x ， t ) d x 。 在区间 上对方程(1)进行积分化简得： d ρ ¯ j ( t ) d t = − 1 Δ x ( f ^ j + 1 2 − f ^ j − 1 2 ) 其中 ρ ¯ j ( t ) 、 f ^ j 分别为 ρ ¯ ( x j ， t ) 、 f ( ρ j ， t ) 的近似值。 之后引入全局Lax-Friedrichs数值流通量来确定 f ^ j + 1 2 ， f ^ j − 1 2 的值 [ 16 ] f ^ j + 1 2 = 1 2 [ f ^ ( ρ j + 1 2 + ) + f ^ ( ρ j + 1 2 − ) − α ( ρ j + 1 2 − − ρ j + 1 2 + ) ] f ^ j − 1 2 = 1 2 [ f ^ ( ρ j − 1 2 + ) + f ^ ( ρ j − 1 2 − ) − α ( ρ j − 1 2 − − ρ j − 1 2 + ) ] 其中 α = max u | f ′ ( ρ ) | ，之后利用HPUS格式重构 ρ j + 1 2 + ρ ， j + 1 2 − ， ρ j − 1 2 + ， ρ j − 1 2 − 。 3.2. 对流有界性 现取三个相邻的网格节点U、C、D分别表示上游、中心、下游网格节点如图1所示，这三个节点所 图1. 三个相邻节点与单元边界 对应的函数值分别为 ϕ U ， ϕ C ， ϕ D ，取f表示均匀网格上的界面，则 ϕ f 表示均匀网格的界面值，通过相邻的三个节点对其进行重构，可将一些常见的线性格式统一为如下表达式： ϕ f = ϕ C + [ 1 + κ 4 ( ϕ D − ϕ C ) + 1 − κ 4 ( ϕ C − ϕ U ) ] 其中 k ∈ [ − 1 ， 1 ] ，此时 ϕ f 的取值与 ϕ U ， ϕ C ， ϕ D 有关，由如下Leonard正则化思想 [ 17 ] ϕ ^ = ϕ − ϕ U ϕ D − ϕ U 将上述格式转化为如下正则化形式(Normalized Variable Formulation， NVF)为 ϕ ^ f = ( 1 − 1 2 k ) ϕ ^ c + 1 4 ( 1 + k ) 发现正则化后 ϕ f 的值只与 ϕ C 和参数k有关，表1给出几种常见线性对流格式正则化前后的形式： Table 1 System resulting data of standard experimen Schemes k Non-normalized Normalized SOU −1 ϕ f = 3 2 ϕ C − 1 2 ϕ U ϕ ^ f = 3 2 ϕ ^ C CD 1 ϕ f = 1 2 ϕ C + 1 2 ϕ D ϕ ^ f = 1 2 ϕ ^ C + 1 2 Fromm 0 ϕ f = ϕ C + 1 4 ( ϕ D − ϕ U ) ϕ ^ f = ϕ ^ C + 1 4 QUICK 1 2 ϕ f = 3 4 ϕ C + 3 8 ϕ D − 1 8 ϕ U ϕ ^ f = 3 4 ϕ ^ C + 3 8 CUI 1 3 ϕ f = 5 6 ϕ C + 1 3 ϕ D − 1 6 ϕ U ϕ ^ f = 5 6 ϕ ^ C + 1 3 表1. 几种常见线性对流格式及其正则化格式 这些格式在光滑初值下都可达到二阶及以上的精度，但对于间断初值不满足对流有界性，在间断解处产生非物理振荡。为了在间断处有效抑制振荡，Gaskell和Lau提出了CBC准则 [ 8 ]，但CBC准则只能保证数值格式的有界性，并不能保证数值格式的精度，为了提高数值格式的精度，Wei和Hou提出BAIR准则，即改进的CBC准则 [ 18 ] [ 19 ] ： { 3 2 ϕ ^ c ≤ f ( ϕ ^ c ) < 1 2 ( ϕ ^ c + 1 ) ，                                             0 < ϕ ^ c < 1 2 1 2 ( ϕ ^ c + 1 ) ≤ f ( ϕ ^ c ) ≤ 3 2 ϕ ^ c ， f ( ϕ ^ c ) ≤ 1 ，               1 2 ≤ ϕ ^ c < 1 ϕ ^ f = ϕ ^ c ，                                                                                               ϕ ^ c ≥ 1 ϕ ^ f = ϕ ^ c ，                                                                                             ϕ ^ c ≤ 0 此外，TVD约束条件在归一化变量公式可定义为 { ϕ ^ f ≤ 1 ，   ϕ ^ f ∈ [ ϕ ^ c ， 2 ϕ ^ c ] ，         0 < ϕ ^ c < 1 ϕ ^ f = ϕ ^ c ，                                                 ϕ ^ c ≤ 0 ϕ ^ f = ϕ ^ c ，                                                 ϕ ^ c ≥ 1 现以 ϕ ^ c 图为横坐标， ϕ ^ f 为纵坐标将BAIR准则和TVD约束条件表示在图2中，当格式的NV线落在图中阴影部分时表示该格式既满足BAIR准则又满足TVD约束条件。 图2. BAIR区域(虚线部分)和TVD区域(阴影部分) 3.3. 对流项离散 现已知高分辨率格式在归一化变量公式下可统一表示为： ϕ ^ f = f ( ϕ ^ c ) ，由Zijlema和Wesseling所提出的结论可知 [ 20 ]，下列性质适用于这类格式： 1) 若对流格式的NV线过点 ( 1 2 ， 3 4 ) ，则该式具有二阶局部截断误差。 2) 对流格式的NV线需满足 f ( 1 2 ) = 3 4 ， f ′ ( 1 2 ) = 1 − 1 2 k 。 3) 为使对流格式同时满足BAIR准则和TVD约束条件，格式的图像应落在图中阴影部分且 ϕ ^ c ∈ [ 0 ， 1 ] 。 故所取对流格式需满足：当 ϕ ^ c ∈ [ 0 ， 1 ] 时，方程需过点 ( 0 ， 0 ) ，点 ( 1 2 ， 3 4 ) 与点 ( 1 ， 1 ) ，且满足 f ′ ( 0 ) = θ 1 ， f ′ ( 1 2 ) = 1 − 1 2 k ， f ′ ( 1 ) = θ 2 ，由图可知当 θ 1 ∈ [ 3 2 ， 2 ] ， θ 2 ∈ [ 0 ， 1 2 ] 时，格式的图像落在阴影部分。 现取 θ 1 = 2 ， θ 2 = 0 得满足上述条件的HPUS格式为： ϕ ^ f = { ϕ ^ c ( − 4 ϕ ^ c 4 + 10 ϕ ^ c 3 − 8 ϕ ^ c 2 + ϕ ^ c + 2 ) ，       0 < ϕ ^ c < 1 ϕ ^ c ，                                                                                     其 他 3.4. 时间离散 空间离散之后方程变为只与时间有关的常微分方程，为了有效的抑制振荡，利用三阶Runge-Kutta方法对时间进行离散，三阶R-K格式如下： { ρ ( 1 ) = ρ n + Δ t L ( ρ n ) ρ ( 2 ) = 3 4 ρ n + 1 4 [ ρ ( 1 ) + Δ t L ( ρ ( 1 ) ) ] ρ n + 1 = 1 3 ρ n + 2 3 [ ρ ( 2 ) + Δ t L ( ρ ( 2 ) ) ]