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user: 2. 预备知识 设X为Banach空间，其范数为 ‖ ⋅ ‖ 。又设 C ( I ， X ) 为定义于I取值于X的连续函数之集，按范数 ‖ x ‖ C = max t ∈ I ‖ x ( t ) ‖ 构成Banach空间，本文记N为正整数集。 下列关于分数阶微积分的概念参见文献 [ 10 ]。 定义2.1 区间I上的函数f的 q > 0 阶分数阶积分定义为 I q f ( t ) = 1 Γ ( q ) ∫ 0 t f ( s ) ( t − s ) q − 1 d s ， t > 0 ， 其中 Γ ( ⋅ ) 是Gamma函数。 定义2.2 区间I上的函数f的 q ∈ [ n − 1 ， n ] 阶Riemann-Liouville型分数阶导数定义为 D L q f ( t ) = 1 Γ ( n − q ) d n d t n ∫ 0 t f ( s ) ( t − s ) q + 1 − n d s ， t > 0 ， 其中 n = [ q ] 表示大于或者等于q的最小整数。 定义2.3 区间I上的函数f的 q ∈ [ n − 1 ， n ] 阶Caputo型分数阶导数定义为 D C q f ( t ) = 1 Γ ( n − q ) ∫ 0 t f ( n ) ( s ) ( t − s ) q + 1 − n d s = I t n − q f ( n ) ( t ) ， t > 0 ， 其中 n = [ q ] 。 注2.1 (I) Riemamn-Liouville型分数阶导数和Caputo型分数阶导数有下列关系： D C q f ( t ) = D L q ( f ( t ) − ∑ k = 0 n − 1 t k k ! f ( k ) ( 0 ) ) . (II) 常数的Caputo型导数为0。 (III) 如果f是X中的抽象函数，则定义2.1，2.2，2.3中的积分为Bochner意义下的积分。 由文献 [ 11 ] 的引理3.1可知，控制系统(1) mild解的定义如下： 定义 2.4 [ 11 ] 如果函数 x ∈ C ( I ， X ) 满足下列积分方程 x ( t ) = S q ( t ) ∫ 0 a g ( s ， x ( s ) ) d s + ∫ 0 t ( t − s ) q − 1 T q ( t − s ) [ f ( s ， x ( s ) ) + B u ( s ) ] d s ， t ∈ I ， 则称x是控制系统(1)的mild解，其中 S q ( t ) = ∫ 0 ∞ ξ q ( θ ) T ( t q θ ) d θ ; T q ( t ) = q ∫ 0 ∞ θ ξ q ( θ ) T ( t q θ ) d θ ; ξ q ( θ ) = 1 q θ − 1 − 1 q ϖ q ( θ − 1 q ) ≥ 0 ; ϖ q ( θ ) = 1 π ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 θ − q n − 1 Γ ( n q + 1 ) n ! sin ( n π q ) ， θ ∈ ( 0 ， ∞ ) ， 这里 是定义在 ( 0 ， ∞ ) 上的单边概率密度函数，且 ∫ 0 ∞ ξ q ( θ ) d θ = 1 ， θ ∈ ( 0 ， ∞ ) 。 引理 2.1 [ 11 ] 对任意给定的 t ≥ 0 ， S q ( t ) ， T q ( t ) 是有界线性算子，即对 ∀ x ∈ X ，有 ‖ S q ( t ) x ‖ ≤ M ‖ x ‖ ， ‖ T q ( t ) x ‖ ≤ q M Γ ( 1 + q ) ‖ x ‖ ， 其中 ‖ T ( t ) ‖ ≤ M ， ∀ t ≥ 0 。 下面给出精确可控的概念及相关结论： 定义2.5 [ 6 ] [ 9 ] (精确可控性) 若对任一给定的 x a ∈ X ，存在控制函数 u ( ⋅ ) ∈ L 2 ( I ， U ) ，使得系统(1)的mild解x满足 x ( a ) = x a ， 则称控制系统(1)在区间I上是精确可控的。 首先考虑相应的分数阶线性微分方程 { D C q x ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) ，     t ∈ I x ( 0 ) = x 0 (2) 定义方程(2)的控制算子如下： Γ 0 a = ∫ 0 a ( a − s ) q − 1 T q ( a − s ) B B * T q * ( a − s ) d s ， 其中 B * ， T q * ( t ) 分别是B， T q ( t ) 的共轭算子。显然 Γ 0 a 是线性算子。 设 x a ( x 0 ; u ) 为系统(2)相应于控制函数u和初值 x 0 在右端点 t = a 处的状态值，记 ℜ ( a ， x 0 ) : = { x a ( x 0 ; u ) | u ∈ L 2 ( I ， U ) } ， 称 ℜ ( a ， x 0 ) 为系统(2)的可达集。 引理2.2 [ 9 ] 若 ℜ ( a ， x 0 ) = X ， 则称线性系统(2)在区间I上精确可控。换而言之，如果对给定的终状态值 x a ∈ X ，存在控制函数 u ∈ L 2 ( I ， U ) ，使得线性系统(2)的mild解x满足 x ( a ) = x a ， 则称系统(2)在区间I上精确可控。 引理 2.3 [ 9 ] 若线性方程(2)精确可控，则 ( Γ 0 a ) − 1 存在，且存在 γ > 0 ，使得 〈 Γ 0 a x ， x 〉 ≥ γ ‖ x ‖ 2 ， ∀ x ∈ X . 引理 2.3蕴含了 ‖ ( Γ 0 a ) − 1 ‖ ≤ 1 γ 。 下面我们给出一些关于非紧性测度的概念和结论，这些结论将在后续证明中用到。设X是Banach空间， D ⊂ Χ 是非空有界集。令 β ( D ) = inf { μ > 0 | D = ∪ i = 1 n D i ， d ( D i ) ≤ μ } ， 其中 d ( D i ) 表示 D i 的直径，则称 β ( D ) 为X中D的Kuratowski非紧性测度。显然， 0 ≤ β ( D ) < + ∞ ， β C ( D ) 表示 C ( I ， X ) 中D的Kuratowski非紧性测度。 引理2.4 [ 12 ] 设X为Banach空间， D 1 ， D 2 ⊂ Χ 非空有界集，则有 (i) β ( D 1 ) = 0 当且仅当 D 1 是相对紧集； (ii) 若 D 1 ⊂ D 2 ，则 β ( D 1 ) ≤ β ( D 2 ) ； (iii) β ( D 1 + D 2 ) ≤ β ( D 1 ) + β ( D 2 ) 。 引理 2.5 [ 13 ] 设X为Banach空间，若 D ⊂ C ( I ， X ) 为有界且等度连续集，则 β ( D ( t ) ) 在I上连续，且 β C ( D ) = max t ∈ I β ( D ( t ) ) = β ( D ( I ) ) . 引理2.6 [ 14 ] 设X为Banach空间， D = { x n } ⊂ C ( I ， X ) 为可列集，若存在 ϕ ∈ L 1 ( I ) ，使得 ‖ x n ( t ) ‖ ≤ ϕ ( t ) ， a . e . t ∈ I ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ，则 β ( D ( t ) ) 在I上Lebesgae可积，且 β ( { ∫ I x n ( t ) d t | n ∈ Ν } ) ≤ 2 ∫ I β ( D ( t ) ) d t . 引理2.7 [ 15 ] 设X是Banach空间， D ⊂ Χ 有界，则存在可列集 D 0 ⊂ D ，使得 β ( D ) ≤ 2 β ( D 0 ) . 定义2.6 [ 16 ] 设X是Banach空间， A : D ( A ) ⊂ Χ → Χ 连续，如果对任意 S ⊂ Χ 有界集，满足下列不等式 β ( A ( S ) ) < β ( S ) ， 则称A是凝聚映射。 引理2.8 [ 16 ] (Sadovskii定理) 设X为Banach空间， D ⊂ Χ 为有界凸闭集， A : D → D 为凝聚映射，则A在D中至少有一个不动点。 为了证明主要结论，我们给出下列假设条件： (H 1 ) 线性方程(2)在区间I上精确可控。 (H 2 ) g : I × Χ → Χ 是连续函数，对 ∀ t ∈ I ， x ， y ∈ Χ ， ∃ L 1 > 0 ，使得 ‖ g ( t ， x ) − g ( t ， y ) ‖ ≤ L 1 ‖ x − y ‖ . (H 3 ) f : I × Χ → Χ 是连续函数， ∃ ψ ∈ C ( I ， R + ) ，使得 ‖ f ( t ， x ) ‖ ≤ ψ ( t ) ‖ x ‖ ， ∀ x ∈ Χ ， t ∈ I . (H 4 ) 对 ∀ η ∈ ( 0 ， t ) ， t ∈ I ， δ > 0 ，集合 W η ， δ ( t ) = { ( F 2 ， η ， δ x ) ( t ) | x ∈ D } 在X中相对紧，其中 D ⊂ Χ 为任意有界集， ( F 2 ， η ， δ ) ( t ) = ∫ 0 t − η ∫ δ ∞ ( t − s ) q − 1 θ ξ q ( θ ) q T ( ( t − s ) q θ ) [ f ( s ， x ( s ) ) + B u ( s ) ] d θ d s .