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user: 2. 棱切球心的坐标公式 2.1. 四面体的棱切球心 若四面体ABCD的三组对棱之和相等即存在棱切球，则四面体ABCD的棱切球心坐标为 ( F 1 ( a + b ) ( a + c ) ( a + d ) F ， F 2 ( a + b ) ( a + c ) ( a + d ) F ， F 3 ( a + b ) ( a + c ) ( a + d ) F ) 。其中， F 1 = | ( O B → − O A → ) ( a ⋅ O B → + b ⋅ O A → ) ( a + b ) ( y 2 − y 1 ) ( a + b ) ( z 2 − z 1 ) ( O C → − O A → ) ( a ⋅ O C → + c ⋅ O A → ) ( a + c ) ( y 3 − y 1 ) ( a + c ) ( z 3 − z 1 ) ( O D → − O A → ) ( a ⋅ O D → + d ⋅ O A → ) ( a + d ) ( y 4 − y 1 ) ( a + d ) ( z 4 − z 1 ) | ， F 2 = | ( a + b ) ( x 2 − x 1 ) ( O B → − O A → ) ( a ⋅ O B → + b ⋅ O A → ) ( a + b ) ( z 2 − z 1 ) ( a + c ) ( x 3 − x 1 ) ( O C → − O A → ) ( a ⋅ O C → + c ⋅ O A → ) ( a + c ) ( z 3 − z 1 ) ( a + d ) ( x 4 − x 1 ) ( O D → − O A → ) ( a ⋅ O D → + d ⋅ O A → ) ( a + d ) ( z 4 − z 1 ) | ， F 3 = | ( a + b ) ( x 2 − x 1 ) ( a + b ) ( y 2 − y 1 ) ( O B → − O A → ) ( a ⋅ O B → + b ⋅ O A → ) ( a + c ) ( x 3 − x 1 ) ( a + c ) ( y 3 − y 1 ) ( O C → − O A → ) ( a ⋅ O C → + c ⋅ O A → ) ( a + d ) ( x 4 − x 1 ) ( a + d ) ( y 4 − y 1 ) ( O D → − O A → ) ( a ⋅ O D → + d ⋅ O A → ) | ， F = | 1 x 1 y 1 z 1 1 x 2 y 2 z 2 1 x 3 y 3 z 3 1 x 4 y 4 z 4 | . 证明：设四面体ABCD的棱切球心为P，由棱切球的性质可知 P M A B ⊥ A B ， P M A C ⊥ A C ， P M A D ⊥ A D [ 2 ] . 再设平面 π 1 、 π 2 、 π 3 分别过 M A B 、 M A C 、 M A D 且分别垂直于AB、AC、AD，则四面体ABCD的棱切球心P即为 π 1 、 π 2 、 π 3 这三个平面的交点。 由定比分点公式可得 M A B 、 M A C 、 M A D 三点的坐标分别为 ( a x 2 + b x 1 a + b ， a y 2 + b y 1 a + b ， a z 2 + b z 1 a + b ) 、 ( a x 3 + c x 1 a + c ， a y 3 + c y 1 a + c ， a z 3 + c z 1 a + c ) 、 ( a x 4 + d x 1 a + d ， a y 4 + d y 1 a + d ， a z 4 + d z 1 a + d ) 。 则平面 π 1 的方程为： ( x 2 − x 1 ) ( x − a x 2 + b x 1 a + b ) + ( y 2 − y 1 ) ( y − a y 2 + b y 1 a + b ) + ( z 2 − z 1 ) ( z − a z 2 + b z 1 a + b ) = 0 . 整理可得： ( a + b ) [ ( x 2 − x 1 ) x + ( y 2 − y 1 ) y + ( z 2 − z 1 ) z ] = ( x 2 − x 1 ) ( a x 2 + b x 1 ) + ( y 2 − y 1 ) ( a y 2 + b y 1 ) + ( z 2 − z 1 ) ( a z 2 + b z 1 ) = ( O B → − O A → ) ( a ⋅ O B → + b ⋅ O A → ) . ① 同理平面 π 2 、 π 3 的方程分别为： ( a + c ) [ ( x 3 − x 1 ) x + ( y 3 − y 1 ) y + ( z 3 − z 1 ) z ] = ( O C → − O A → ) ( a ⋅ O C → + c ⋅ O A → ) . ② ( a + d ) [ ( x 4 − x 1 ) x + ( y 4 − y 1 ) y + ( z 4 − z 1 ) z ] = ( O D → − O A → ) ( a ⋅ O D → + d ⋅ O A → ) . ③ 联立① ② ③所组成的线性方程组，并运用克拉姆法则解得 [ 3 ]： x = | ( O B → − O A → ) ( a ⋅ O B → + b ⋅ O A → ) ( a + b ) ( y 2 − y 1 ) ( a + b ) ( z 2 − z 1 ) ( O C → − O A → ) ( a ⋅ O C → + c ⋅ O A → ) ( a + c ) ( y 3 − y 1 ) ( a + c ) ( z 3 − z 1 ) ( O D → − O A → ) ( a ⋅ O D → + d ⋅ O A → ) ( a + d ) ( y 4 − y 1 ) ( a + d ) ( z 4 − z 1 ) | ( a + b ) ( a + c ) ( a + d ) | x 2 − x 1 y 2 − y 1 z 2 − z 1 x 3 − x 1 y 3 − y 1 z 3 − z 1 x 4 − x 1 y 4 − y 1 z 4 − z 1 | = | ( O B → − O A → ) ( a ⋅ O B → + b ⋅ O A → ) ( a + b ) ( y 2 − y 1 ) ( a + b ) ( z 2 − z 1 ) ( O C → − O A → ) ( a ⋅ O C → + c ⋅ O A → ) ( a + c ) ( y 3 − y 1 ) ( a + c ) ( z 3 − z 1 ) ( O D → − O A → ) ( a ⋅ O D → + d ⋅ O A → ) ( a + d ) ( y 4 − y 1 ) ( a + d ) ( z 4 − z 1 ) | ( a + b ) ( a + c ) ( a + d ) | 1 x 1 y 1 z 1 1 x 2 y 2 z 2 1 x 3 y 3 z 3 1 x 4 y 4 z 4 | ， y = | ( a + b ) ( x 2 − x 1 ) ( O B → − O A → ) ( a ⋅ O B → + b ⋅ O A → ) ( a + b ) ( z 2 − z 1 ) ( a + c ) ( x 3 − x 1 ) ( O C → − O A → ) ( a ⋅ O C → + c ⋅ O A → ) ( a + c ) ( z 3 − z 1 ) ( a + d ) ( x 4 − x 1 ) ( O D → − O A → ) ( a ⋅ O D → + d ⋅ O A → ) ( a + d ) ( z 4 − z 1 ) | ( a + b ) ( a + c ) ( a + d ) | x 2 − x 1 y 2 − y 1 z 2 − z 1 x 3 − x 1 y 3 − y 1 z 3 − z 1 x 4 − x 1 y 4 − y 1 z 4 − z 1 | = | ( a + b ) ( x 2 − x 1 ) ( O B → − O A → ) ( a ⋅ O B → + b ⋅ O A → ) ( a + b ) ( z 2 − z 1 ) ( a + c ) ( x 3 − x 1 ) ( O C → − O A → ) ( a ⋅ O C → + c ⋅ O A → ) ( a + c ) ( z 3 − z 1 ) ( a + d ) ( x 4 − x 1 ) ( O D → − O A → ) ( a ⋅ O D → + d ⋅ O A → ) ( a + d ) ( z 4 − z 1 ) | ( a + b ) ( a + c ) ( a + d ) | 1 x 1 y 1 z 1 1 x 2 y 2 z 2 1 x 3 y 3 z 3 1 x 4 y 4 z 4 | ， z = | ( a + b ) ( x 2 − x 1 ) ( a + b ) ( y 2 − y 1 ) ( O B → − O A → ) ( a ⋅ O B → + b ⋅ O A → ) ( a + c ) ( x 3 − x 1 ) ( a + c ) ( y 3 − y 1 ) ( O C → − O A → ) ( a ⋅ O C → + c ⋅ O A → ) ( a + d ) ( x 4 − x 1 ) ( a + d ) ( y 4 − y 1 ) ( O D → − O A → ) ( a ⋅ O D → + d ⋅ O A → ) | ( a + b ) ( a + c ) ( a + d ) | x 2 − x 1 y 2 − y 1 z 2 − z 1 x 3 − x 1 y 3 − y 1 z 3 − z 1 x 4 − x 1 y 4 − y 1 z 4 − z 1 | = | ( a + b ) ( x 2 − x 1 ) ( a + b ) ( y 2 − y 1 ) ( O B → − O A → ) ( a ⋅ O B → + b ⋅ O A → ) ( a + c ) ( x 3 − x 1 ) ( a + c ) ( y 3 − y 1 ) ( O C → − O A → ) ( a ⋅ O C → + c ⋅ O A → ) ( a + d ) ( x 4 − x 1 ) ( a + d ) ( y 4 − y 1 ) ( O D → − O A → ) ( a ⋅ O D → + d ⋅ O A → ) | ( a + b ) ( a + c ) ( a + d ) | 1 x 1 y 1 z 1 1 x 2 y 2 z 2 1 x 3 y 3 z 3 1 x 4 y 4 z 4 | . 2.2. N维单形的棱切球心 由文献 [ 4 ] 可知，n维单形 A 0 A 1 ⋯ A n 存在棱切超球的充要条件是其各棱长满足： A i A j = a i + a j ， ( 0 ≤ i ≠ j ≤ n ， a i ， a j ∈ R + ). 设 A i 的坐标为 ( x i ， 1 ， x i ， 2 ， ⋯ ， x i ， n ) ，参照前面的方法可以求出n维单形 A 0 A 1 ⋯ A n 的棱切超球球心坐标为 ( F 1 F ∏ i = 1 n ( a 0 + a i ) ， F 2 F ∏ i = 1 n ( a 0 + a i ) ， ⋯ ， F n F ∏ i = 1 n ( a 0 + a i ) ) 。其中， F 1 = | ( O A 1 → − O A 0 → ) ( a 0 ⋅ O A 1 → + a 1 ⋅ O A 0 → ) ( a 0 + a 1 ) ( x 1 ， 2 − x 0 ， 2 ) ⋯ ( a 0 + a 1 ) ( x 1 ， n − x 0 ， n ) ( O A 2 → − O A 0 → ) ( a 0 ⋅ O A 2 → + a 2 ⋅ O A 0 → ) ( a 0 + a 2 ) ( x 2 ， 2 − x 0 ， 2 ) ⋯ ( a 0 + a 2 ) ( x 2 ， n − x 0 ， n ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ( O A n → − O A 0 → ) ( a 0 ⋅ O A n → + a n ⋅ O A 0 → ) ( a 0 + a n ) ( x n ， 2 − x 0 ， 2 ) ⋯ ( a 0 + a n ) ( x n ， n − x 0 ， n ) | ， F 2 = | ( a 0 + a 1 ) ( x 1 ， 1 − x 0 ， 1 ) ( O A 1 → − O A 0 → ) ( a 0 ⋅ O A 1 → + a 1 ⋅ O A 0 → ) ( a 0 + a 1 ) ( x 1 ， 3 − x 0 ， 3 ) ⋯ ( a 0 + a 1 ) ( x 1 ， n − x 0 ， n ) ( a 0 + a 2 ) ( x 2 ， 1 − x 0 ， 1 ) ( O A 2 → − O A 0 → ) ( a 0 ⋅ O A 2 → + a 2 ⋅ O A 0 → ) ( a 0 + a 2 ) ( x 2 ， 3 − x 0 ， 3 ) ⋯ ( a 0 + a 2 ) ( x 2 ， n − x 0 ， n ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ( a 0 + a n ) ( x n ， 1 − x 0 ， 1 ) ( O A n → − O A 0 → ) ( a 0 ⋅ O A n → + a n ⋅ O A 0 → ) ( a 0 + a n ) ( x n ， 3 − x 0 ， 3 ) ⋯ ( a 0 + a n ) ( x n ， n − x 0 ， n ) | ， ⋯ ， F n = | ( a 0 + a 1 ) ( x 1 ， 1 − x 0 ， 1 ) ⋯ ( a 0 + a 1 ) ( x 1 ， n − 1 − x 0 ， n − 1 ) ( O A 1 → − O A 0 → ) ( a 0 ⋅ O A 1 → + a 1 ⋅ O A 0 → ) ( a 0 + a 2 ) ( x 2 ， 1 − x 0 ， 1 ) ⋯ ( a 0 + a 2 ) ( x 2 ， n − 1 − x 0 ， n − 1 ) ( O A 2 → − O A 0 → ) ( a 0 ⋅ O A 2 → + a 2 ⋅ O A 0 → ) ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ( a 0 + a n ) ( x n ， 1 − x 0 ， 1 ) ⋯ ( a 0 + a n ) ( x n ， n − 1 − x 0 ， n − 1 ) ( O A n → − O A 0 → ) ( a 0 ⋅ O A n → + a n ⋅ O A 0 → ) | ， F = | 1 x 0 ， 1 ⋯ x 0 ， n 1 x 1 ， 1 ⋯ x 1 ， n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 x n ， 1 ⋯ x n ， n | .