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user: 2. 从散射矩阵理论推导有效参数 2.1. 从S参数获取有效参数 我们从一个均匀的超材料介质板出发，如图1所示。 介质板的厚度为d，我们将超材料介质板的中心设为原点。我们假定此介质板摆放在空气中，y偏振平面电磁波从 垂直入射。透射波为 ，反射波为 ，其中 ， ， ， 是S参数，“y”，“z”表示电场的偏振方向，“+”，“−”表示入射波和反射波，前者代表 图1. 各向异性介质板的透反射示意图 接收方，后者代表发射方。 代表y偏振电磁波+向发射，在−向，也就是发射方向接受的y偏振电磁波。请注意虽然只有y偏振电磁波入射，出射/反射的平面电磁波既可以有y偏振分量也可以有x偏振分量。在这里，我们约定沿着x轴方向为正方向。 首先根据亥姆霍兹–洛伦茨模型，写出麦克斯韦方程组： (1) 波沿着x方向传播，即 ，k 0 为空气中的波矢。材料的本构关系(Constitution Relation)我们记为： (2) [P]就是我们需要求解的超材料有效参数。 考虑到我们目前采用的传播方向，(1)式就可以用矩阵形式表示成： (3) 假设： ， ，则(3)式可简化写成： (4) 我们主要需要通过实验/仿真得出入射样品的电磁波来确定样品的有效参量，所以样品在入射/出射面的信息非常关键。在 和 ，也就是待测样品的两个边界面的电场和磁场记为E 1 ，H 1 和E 2 ，H 2 。 对(4)式进行从 到 的积分： 。 解得： ，展开为 (5) 由于材料是各向异性，而且结构上存在不对称性，我们在这里明确一个方向，满足这样的关系式： (6) 其中，H，E满足 ，i = (1， 2)，表示不同的区域，“y”和“z”表示平面波的偏振方向，把上述关系式写成矩阵的形式： (7) 其中： 。 对(5)式两边同时乘上 ，并当d很小的时候对其进行泰勒展开，同时联合(7)式，可得： (8) 其中， 是 的单位矩阵。 (8) 式两边同乘 ，并对 和 进行展开后，可以得到： (9) 同时，我们知道关系式： ， 带入(9)式得： (10) 我们同时给出16个S参数的关系式： (11) 把(11)式代入(10)式可得： (12) 对(12)式进行代数运算后可得： (13) 对于[S]的矩阵元，yy表示接收电场和发射电场的偏振方向，++分别表示出射和发射的电磁波的方向。有些超材料的结构复杂，而且有低对称性，电场和磁场不但可以单独起作用，由于电磁场的共振，它们还可以发生耦合，这些在双各向异性材料以及手性材料中普遍存在。这时我们用16个参数矩阵来表示[P]，[P]中不光含有介电常数 ε和磁导率µ的张量形式，还含有耦合系数的张量形式，分别用ξ，ζ来表示，因此[P]的完整形式为： (14) 全波模拟和实验的方法，都可以得到矩阵[S]，从而根据(13)式，就可以求解出[P]。 于是，我们得到了16个有效参数和16个S参数之间的关系，从而对于那些结构复杂，低对称性，电磁耦合的双各向异性或者手型材料，不光可以反演计算出介电常数，磁导率的张量形式，还可以反演计算出两个耦合项的张量形式，对比与经典的Smith反演计算法，已经对求解超材料结构的有效参数有了很大的发展，这种计算方法更有普适性，适用于最一般的双各向异性材料有效参数的获得，通过测出的16个S参数，利用公式(13)便可得到16个有效参数。接下来，我们将重点讨论，如何在实验上测得16个S参数。 2.2. S参数的实验测量 我们利用微波网络分析仪(Agilent E5071C)进行微波发射和接收。一块大背景铝板上开了一个12 cm × 12 cm的孔。一对北京西宝电子出品的HA90-20S X波段(8.2~12.4 GHz)角锥喇叭天线(照片中蓝色) (图2)被用来发射和接收信号。选取的原则是我们希望设计的超材料工作频段在10 GHz附近，并且喇叭天线尺寸尽可能小从而可以摆放在样品同侧接收反射信号。由于喇叭天线发射出的电磁波只是近平面波，因此我们在背景板上贴上一层8 cm厚的吸波材料，这样可以把电磁波逐渐匹配的更加接近平面波，从而提高实验结果的正确性。样品将贴在铝板的背面。这样我们可以保证一个12 cm × 12 cm的平面电磁波可以入射到样品上。 背景板固定在铁架上，要尽可能的悬挂平整，底部要保证平稳，如果在实验过程中，背景板摇晃，就会干扰到透反射相位的测量。摆放喇叭天线的时候，尽可能的使天线对准天线的中心，这样可以有更多的电磁波入射在样品上，同时有更多的信号被接收到，从而可以减少噪音对实验结果的影响。在粘贴样品的时，如果样品的厚度比较小，则尽可能将样品贴的平整，更重要的一点就是，保证样品上微结构与电磁波偏振方向的关系，例如：垂直，平行等。天线喇叭到样品的距离一般为10倍的波长左右，过近或者过远都会对实验结果产生影响。 我们用(a)来表示E x ，(b)来表示E y ，(c)来表示空气，(d)来表示PEC，(e)来表示样品。通过这些简单的图形组合成的示意图，就可以清晰的阐述实验过程以及实验方法。 如图3(a)所示：把两个喇叭并排放，首先在偏振方向相同的情况下，使得两个喇叭的天线的中垂线通过正方形孔的中心。电场偏振方向一致，不放PEC和样品，放置好以后，在网分以上依次点击data-off/data-memory/data-memory。首先是把网分仪中存留的数据给清除掉，然后再把当下的环境场保存下来，接着再把环境场从将来的测量结果中扣除掉。这样做的目的是：把当下实验环境中的场清除干净，以保证接收到的场全部来自样品的反射。如图3(b)，把PEC贴在背景板的开孔处，保存数据，记为A。如图3(c)，把PEC慢慢拿下来以后，在贴上样品，保存数据，记为B。如图3(d)，这时候保证一个发射喇叭位置不变，把另外一个喇叭的偏振方向旋转90度，同时保证两个喇叭的天线的相对位置不发生变化，在网分仪上点击依次点击data-off/data-memory/data-memory。如图3(e)，在贴上样品，和之前贴的位置尽可能保持一致，避免实验测量的错误，然后保存数据，记为C。有了A，B，C三组数据，就可以计算出[S]中的部分反射系数的参数： (15) 图2. 实验测量平台 图3. 实验测量过程示意图 同理，我们还可以得到S 32 ，S 42 ，S 13 ，S 23 ，S 14 ，S 24 。 如图3(f)示，反射系数的测量结束以后，开始测量透射系数。固定一只喇叭位置不变，把另外一只喇叭转移到背景板的另外一侧，并使这只喇叭的接收天线对准方形孔的中心，尽可能多的接收到信号。两个喇叭天线的偏振方向要一致，放置好以后，在网分仪上点击data-off，目的是清除网分仪中的数据。然后在把空场的数据保存下来，记为：A1。如图3(g)所示，贴上样品以后，保存下数据，记为B1。接下来，撤下样品，并把接收喇叭旋转90度，变换其偏振方向，调整喇叭的位置，保证喇叭里面接收天线的位置不发生变化，如图3(h)。在网分仪上设置：data-off/data-memory/data-memory。如图3(i)，贴上样品，保存下数据，记为C1。测量得到了A1，B1，C1这三组数据，就可以得到一些反射系数的参数： (16) 同理我们还可以得到S 12 ，S 22 ，S 33 ，S 34 ，S 43 ，S 44 。 至此，16个S参数，我们通过实验的方法已经全部测量出来，带入到公式(13)，便可以得到材料的16个有效参数。 注：[S]的矩阵元的下标可以用数字来表示，即 (17) 这样，我们便得到了S参数矩阵元在实验上的测量方法，通过测量出的S参数矩阵，利用公式(13)便可很方便地得出有效参数，实现双各向异性有效参数的反演。下面通过两个实例来展示这种有效参数的反演法。