DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 4. 未来中国的选择 自20世纪80年代以来，中国的经济发展驶入了快车道。2010年中国GDP超越日本，位居全球第二。与此同时，中国也成为位了全球第一大能源消费国和碳排放国。然而，由于国家工业化发育的初级阶段、以及受国内资源基础(煤多、油少、气缺)和市场供应结构(煤炭绝对主导)所限，中国能源的产出效 益改善远不尽人意。2010年中国的单位GDP 的能源消费为4.0吨标油/亿美元(按当年价计算，下同)，约为全球均值水平1.9吨标油/亿美元的211.8%，而同期单位GDP的碳排放(3.7吨碳/亿美元)更是高出全球均值水平(1.5吨碳/亿美元)157个多百分点(图11)。显然，如此高的一次能源投入和碳排放水平已经对国家持续发展的愿景诉求和全球大气环境治理的现实责任形成了严峻挑战，因此，中国应重新审视现行的国家能源战略，以期在能源的整体利用和基本路径选择上做出更加理性和更加科学的选择。 4.1. 利用模式改变 对于世界上第一能源与煤炭消费大国，中国未来低碳经济的发展应从资源利用模式的再选择入手。具体而言，就是将传统低效的“重开发、轻使用”模式逐步过渡到现代高效的“使用与开发并重”，并最终定格于地球友好型的“重使用、轻开发”能源利用模式。这应是中国未来低碳经济发展的一条必由之路。 为了实现上述资源利用模式的转变，中国未来的低碳发展首先要解决当前环境与发展管理在很大程度上存在着“三重三轻”的问题[ 12 ] -[ 14 ] 。一是在能源发展战略中重能源替代扩张、轻能源效率改善。例如，在低碳发展的技术路径选择中，总是过多地强调新能源的开发和替代作用，而不是强调能源利用效率的提高。二是在减排环节中重技术减排、轻结构减排。如总是过多的强调在现有产业结构的条件下推进技术节能与减排，而不是强调改变重型化的产业结构，强调减少钢铁、化工、水泥等产业在工业发展中的比重。三是在绿色发展中重供给管理、轻需求管理。如在能源资源使用的管理重点对象中，总是单一地关注生产性的技术改进管理，而忽视消费性的社会需求管理，忽视资源利用链条中下游消费对于上 图9. 全球能源利用状态，1860~2008年 图10. 中国能源利用状态，1950~2008年 图11. 中国能源利用及产出效益国际比较，2010年 游生产潜在的倍增节能效应。这是中国能否取得从“重开发、轻使用”向“利用与开发并重”转变的关键所在。 “重开发、轻使用”模式在中国有两个典型事例。其一，中国现有建筑面积430亿平方米，其门窗保温性能低下(例如北京节能门窗的标准为K = 2.8 w/m 2 ∙k，仅相当于欧洲1980年代的水平)，如果采用欧洲现行标准，中国的建筑能耗将因此每年减少4.3亿吨标煤和13.8亿吨的CO 2 排放量 [ 15 ] ；其二，中国目前约80%的照明市场仍然在使用传统的白炽灯。如果全国城市道路照明光源的1/3更换为高效节能的照明产品，其节约的用电量相当于一个三峡工程的发电量。遗憾的是，面对日益增长的用电消费需求，每年中国要投入3600亿元用于电厂建设，而政府用于鼓励节能灯使用的补偿却不足4亿元人民币 [ 16 ] 。 “重使用、轻开发”的地球友好型能源利用模式，其核心任务是建立一种新型的社会财富积累体系。在这种新型体系中，人类智力资源的开发将成为整个社会财富积累的倍增器。换言之，通过人类智力的深度开发，以使现有能源的利用效率倍增。为此，中国应从现在开始，不断加大科研和教育两方面的投入，以便尽早建立起“重使用、轻开发”能源利用模式所必需的科技创新和人才开发支撑平台(图12)。 4.2. 基本路径选择 全球实践表明，国家或地区节能减排主要通过能源消费和供给2个渠道来实现(图13)。 第一是能源消费。现代能源消费是一种社会公共行为。能源消费的节能减排大体可以通过以下三种方式来实现：第一是产业结构节能减排。这种方式主要表现在国家和地区层面上。它是通过产业结构的正常演进来提高社会总体能源投入的产出效率，实现减排；第二是技术节能减排。这种方式主要发生在生产企业层面上，或可称为社会生产节能减排。它是通过提高具体产品的综合能源使用效率实现节能减排；第三是社会生活节能减排。这种方式主要通过家庭、个人乃至社会群体的行为来实现的，或可称为社会消费节能减排。结构节能减排则是集社会生产和生活于一体的节能减排集合行为，而技术与生活节能减排则是结构节能减排的具体体现。换言之，产业结构的有序演进是实现国家和地区节能减排的最基本途径和方式。 第二是供给。现代能源供应不仅表现在总量增长方面，而且表现在质量提高方面。对于后者而言，低碳能源产品(如天然气、可在生能源及其他绿色能源产品)快速取代高碳能源产品正在成为现代能源供应新的目标追求。因此，从节能减排的角度看，能源供应的节能减排除了总量控制外，一个重要任务就是供应结构的高效低碳演进。 发生于上述消费与供给方面结构节能减排正是探讨中国节能减排问题的中心所在。 根据我们得分析，2020年我国总体上可以实现单位GDP碳排放下降48%的基本目标，但是每个阶 图12. 中国未来低碳经济发展路径选择 图13. 中国结构节能减排路径选择框架 段减排的具体效应有所差异。尽管如此，产业结构演进都是实现减排的最主要途径，可以达到90%左右的贡献率；而能源供应结构演进缓慢，减排贡献相对较小，只有10%左右。因此，未来节能节减排目标能否实现的关键在于产业结构演进状态的发育，尤其是第三产业的发展[ 13 ] 。
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user: 5. 结论 如果说，从体内能源向体外能源的成功转变只是实现了人类能源利用的一次革命话，那么，推动体外能源的智能化开发将为人类能源利用带来又一次革命。 迄今为止，人类社会大体经历了2次能源利用革命。其中，第一能源利用变革的目的在于解决人类自身的基本生存(温饱)问题；第二能源利用革命的目的则在于提高人类社会的财富积累水平，但是这次革命却引发了整个地球物种生存环境的不断恶化。目前，人类社会正处在第三次能源利用革命的前夜，因为惟有有限资源的开发和高效率的能源使用，才能最终使人类社会之舟驶上一条可持续发展的航程。 作为世界上最大的发展中国家，中国的低碳发展应实现其自身能源利用需求与全球可持续发展趋势的有机结合，逐步将传统低效的“重开发、轻使用”能源利用模式转变到现代高效的“使用与开发并重”模式，并最终完成“重使用、轻开发”的地球友好能源利用模式建立，为人类社会从人类文明走向地球文明做出自己的贡献。而实现这一利用模式转变的基本途径则是集结构优化、技术开发和社会消费于一体的节能减排集合行为。
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user: 摘 要 图像去噪的空间分数阶偏微分方程方法是图像去噪领域中的一个重要方向，对于它的数值方法研究有重要的理论意义和实用价值。本文研究基于空间分数阶偏微分方程的图像去噪方法，对空间分数阶图像去噪模型构造隐式差分格式，分析格式解的存在唯一性和格式的稳定性、收敛性，并给出精度分析。理论分析和数值试验证实：隐式差分格式对求解空间分数阶偏微分方程是可行的，且去噪效果优良。 关键词 :图像去噪，空间分数阶偏微分方程，隐式差分方法，数值试验
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user: 1. 引言 基于空间分数阶偏微分方程(Space Fractional Partial Differential Equations)的图像去噪是一门崭新的交叉学科分支，而相比于整数阶偏微分方程，空间分数阶偏微分方程在图像去噪方面有更强大的生命力。 迄今为止，国内外许多学者已经建立了大量经典的基于整数阶PDE的图像去噪模型，但是许多学者在深入研究的过程中仍然发现整数阶PDE图像去噪模型存在很多不足之处。为了解决各种整数阶偏微分方程图像去噪模型存在的问题，有学者提出将分数阶微积分理论引入到偏微分方程图像去噪模型中，构建基于分数阶偏微分方程的图像去噪模型。其中Bai jian等人[ 1 ] [ 2 ] 以ROF去噪模型为基础，将分数阶微积分理论和偏微分方程相结合，提出了基于分数阶偏微分方程的图像去噪模型，该方法可以解决传统低阶次整数阶偏微分方程去噪模型容易产生阶梯效应，以及高阶次整数阶偏微分方程去噪模型去噪效果不佳的缺点。上述分数阶去噪模型的构造是利用分数阶导数来作为一种刻画图像的测度，然后根据变分法的相关理论及性质而得到相应能量泛函的Euler-Lagrange方程。 目前，将偏微分方程的图像去噪算子与其他的经典算子相结合的复合算法备受关注，张军等人 [ 3 ] 将负指数Sobolev空间的多尺度图像建模与基于分数阶微积分的图像建模有效结合，提出了统一的基于分数阶多尺度变分图像去噪模型，并初步设计了该模型涉及参数的自适应选择方法。吴亚东等人 [ 4 ] 提出利用图像分割最小化技术求解整体变分图像去噪模型，与经典梯度下降法相比，获得了较优的复原效果，但是这种方法构造复杂，在求解过程中，需要占用大量内存，耗费的运算时间非常巨大。针对这一缺点，Wu [ 5 ] 提出了一种基于交换移动空间的整体变分图像去噪算法，能够根据噪声图像局部特征自适应设定正则化参数，充分利用图像的先验知识。王嘉等人 [ 6 ] 利用神经网络求解整体变分图像去噪模型，与经典梯度下降法相比，具有收敛快速，在去除模糊的同时保持图像边缘，提高图像恢复的视觉效果等优点。王彪 [ 7 ] 等人将小波國值函数的取法移植到偏微分扩散模型的收缩系数构造中，通过正则化的桥梁将两者的思想统一到一个模型中，得到更好的处理结果。朱立新等人 [ 8 ] 引入梯度保真项来去除图像的噪声，有效的抑制了图像的阶梯效应。黄果、蒲亦非等人 [ 9 ] - [ 11 ] 认为，选择适当阶次的分数阶微分算子在图像去噪过程中可以在大幅提升边缘和纹理细节的同时，还能非线性地保留图像平滑区域的纹理信息。 然而，传统的整数阶偏微分方程去噪方法有很多局限性，现今对图像去噪的分数阶偏微分方程有限差分方法的研究和应用还很少。针对现有问题，我们对空间分数阶偏微分方程全变分去噪模型构造隐式差分格式，分析格式解的存在唯一性、稳定性和收敛性；最后，用数值试验验证隐式差分方法对于求解空间偏微分方程的有效性和优越性。
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user: 2. 空间分数阶偏微分方程图像去噪模型的隐式差分格式 2.1. 空间分数阶偏微分方程图像去噪模型 根据文献 [ 1 ] ，一种重要的整体变分图像去噪模型如下： (1) 上式中，第一项为残差，主要是为了保证所恢复出的图像 能够保留噪声图像 的主要特征，防止图像失真；第二项为正则项，作用是为了除去图像中噪声，在恢复图像的光滑的同时尽可能的保留图像的纹理细节信息。 式(1)可以转化成求解下面方程 (2) 式中 为时间步长， 。 考虑(2)的初边值条件，有 (3) 为避免数值求解的不稳定，一般用正则化梯度模值 代替 ， 为极小量( 根据不同的初值选定)。 进一步化简： 当N为符号距离函数时， ，而且即使稍微偏离符号距离函数，N也是一个极小量，尽管 是一个非线性算子，但当时间步长足够小( 时)， 作用的效果可以忽略 [ 12 ] 。 由此，(3)化简为： (4) 2.2. 隐式差分格式的构造 以空间步长 和时间步长 将求解区域划分为网格，网格点为 ， (5) 其中， 为采用基于修正的Grünwald-Letnikov逼近公式得到，且 ， 。 同理。
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user: 3. 隐式差分格式解的存在唯一性 记 则格式(5)有 矩阵形式为： (6) 令 ， ， 均为下三角矩阵。 进一步化简得： (7) 由式(7)，右边n层其系数矩阵 均为下三角阵，故格式的解是存在且唯一的。 综上分析，有如下定理 定理1：基于空间分数阶偏微分方程(3)的隐式差分格式(5)的解存在且唯一。
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user: 4. 隐式差分格式解的稳定性与收敛性分析及精度分析 一般情况下，Grünwald-Letnikov分数阶导数表述为 (8) 为分析隐式格式(5)的稳定性，需要如下引理。 引理1 [ 13 ] [ 14 ] ：假设 ， ， ， ，则有限Grünwald-Let- nikov分数阶微分算子 为Riemann-Liouville分数阶微分算子 的一阶逼近的充分必要条件是 ，即 。 而当 时，则有 。 由引理1知格式(5)逼近的精度为 且满足连续，于是有 定理2：基于空间分数阶偏微分方程(3)的隐式差分格式(5)的精度为 。 设 为差分格式(5)的解， 记 则 ， 而 ， 当 时， (9) 设 为A的特征值，X为对应的特征向量，即满足 ， 取i，使得 又由 (10) 若 或者 ，则 ； 否则，将式(10)代入式(9)，得到： 所以 ，A可逆。 设 特征值为 ， ，所以 。 所以隐式格式(5)无条件稳定。 因此有 定理3：基于空间分数阶偏微分方程(3)的隐式差分格式(5)是无条件稳定的。 再由Lax等价定理 [ 14 ] ，有如下推论： 推论1：基于空间分数阶偏微分方程(3)的隐式差分格式(5)是收敛的。
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user: 5. 数值试验 基于Pentium(R) Dual Core CPU 3.00GHz，在Matlab7.0环境下进行数值试验。 为便于比较，选取文献 [ 1 ] 中的数值算例，使用本文的隐式差分格式(分别取a = 1、1.2、1.4、1.6、1.8、2)来对噪声图像去噪。 在基于本文去噪模型的隐式差分格式下，分别取阶次 为1、1.2、1.4、1.6、1.8、2，对加入标准高斯白噪声的Lena图像进行去噪处理，并与文献 [ 1 ] 中的去噪效果进行对比。试验结果如表1。 由表1可看出，在相同的阶次下，本文的去噪方法得到的信噪比SNR值要比文献 [ 1 ] 所用方法得到的SNR值高，说明本文方法去噪效果较其优秀；其次，在阶次为1.6附近时，隐式差分方法所得的信噪比值较高，说明阶次在1.6附近的去噪效果较好。 本文方法与文献 [ 1 ] 方法(分数阶微分掩模算法)在阶次 分别为1.0、1.2、1.4、1.6、1.8、2.0时的去噪效果对比图如图1。 Table 1 SNR comparison between fractional differential mask algorithm and implicit difference metho a 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 文献 [ 1 ] SNR (DB) 15.55 15.87 16.09 16.26 16.39 16.2 本文方法 SNR (DB) 15.58 16.09 16.33 16.47 16.40 16.23 表1. 文献 [ 1 ] 方法(分数阶微分掩模算法)与本文方法(隐式差分)信噪比对比表 图1. Lena噪声图像在不同阶次下两种方法的去噪效果对比图
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user: 6. 结论 本文给出了含有初边值条件的空间分数阶偏微分方程(1)的隐式差分格式，理论分析表明隐式差分格式是绝对稳定的。数值试验的结果表明隐式差分格式的去噪效果较好，说明求解空间分数阶偏微分方程的隐式差分数值方法对于图像去噪是可行的，且效果优于分数阶微分掩模算法的图像去噪方法。
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user: 摘 要 本文给出关于二阶变系数线性微分方程的求解，转变以往降阶的常规思维，利用其标准型进行求解。在标准型的求解中，通过对原微分方程的化简，利用余函数和特积分，分别求出其标准型齐次和非齐次的解，最后构造出原方程通解。 关键词 :二阶变系数，线性微分方程，标准型，余函数，特积分，通解
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user: 1. 引言 常微分方程作为数学领域的重要分支，在实际生产生活中有着广泛的应用，特别是在许多工程问题中。二阶微分方程是工程问题中比较常见的，由参考文献[ 1 ] 、 [ 2 ] 对于二阶微分方程的解法有一些研究，例如：参考文献 [ 3 ] 中比较常用的降阶方法。而对于工程中出现较多的二阶变系数线性微分方程，在目前工程问题中，仅仅依靠文献 [ 4 ] 中一些数学方法求解还不能达到满意的效果，从而需要进一步探求新的解决问题的方法，而在文献 [ 5 ] 中提到的化为标准型求解就是一种比较基础的解法。探求标准型的解法不仅有助于我们解决一些工程问题，也进一步拓展和深化二阶微分方程的数学解法，对于丰富二阶微分方程的数学解法很有意义。
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user: 2. 标准型 二阶变系数线性微分方程 (1-1) 其中 均为x的连续函数。 设 (1-2) 其中 (1-3) 则 (1-4) 将(1-2)~(1-4)代入(1-1)式中得 (1-5) 或 (1-6) 令 的系数等于0，即 (1-7) (1-8) (1-9) 由(1-7)式可解得 (1-10) 再由(1-7)~(1-9)式可得 (1-11) (1-12) (1-13) (1-14) 再将(1-8)~(1-14)代入(1-6)式得 (1-15) 整理后可得 (1-16) 上式两边同时除以u后得 (1-17) 即 (1-18) 令 则 (1-19) 其中 (1-20) 称(1-19)式为二阶微分方程(1-1)式的标准型。
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user: 3. 标准型的求解 1) 余函数的求解 现在求解标准型(1-19)式的通解 (2-1) 首先求解余函数 。 由特征方程： (2-2) 得 所以 (2-3) 下面继续求解其特积分 。 2) n阶微分方程特积分的求解 关于特积分由参考文献[ 5 ] 我们知道 对于非齐次线性微分方程 (2-4) 设其通解为 (2-5) 其中，对于 (2-6) 的求法(齐次方程的通解)——特征方程，特征根。 假设已知 ，现在求 。 设待定函数 ，满足 (2-7) 其中： 是对应于(2-4)式的齐次微分方程的n个线性无关的解。下面要求(2-7)式满足(2-4)式和其它n−1个方程。为选择这n−1个方程，应使得(2-7)式的各阶导数尽可能有 为常数时所具有的形式。 所以，对(2-7)式求导可得 (2-8) 令 则 (2-9) 即 具有 为常数时所具有的形式。 对 继续求二阶导数 (2-10) 令 则 (2-11) 即 也具有 为常数时所具有的形式。 同理可求得 的三阶导数为 (2-12) 依次求导至 阶的导数，且每一次的导数满足 (2-13) 其中 。 (2-14) (2-15) 所以 (2-16) 在(2-16)式最后一个等式中，因为函数 已经满足n−1个方程(2-13)，且还需满足原方程式(2-4)，则要求 将 及其各阶导数代入式(2-4)中得 (2-17) 整理后得 (2-18) 因为所有的 都是相对应的齐次微分方程的特解，所以在式(2-18)中的 (2-19) 因此，式(2-18)可以改写为 (2-20) 则 (2-21) 由以上方程组可以确定函数 。 由于朗斯基行列式 ，所以存在唯一一组解 ，解方程组(2-21)可得 对以上各式积分后可得 (2-22) 将式(2-22)代入式(2-7)得 (2-23) 即式(2-23)为原方程的特积分表达式。 所以原方程的通解为 (2-24) 3) 二阶微分方程特积分 对于二阶非齐次微分方程 (2-25) 其特积分表达式为 (2-26) 由题可得方程组 (2-27) 解方程组得 (2-28) 其中 则关于方程 的特积分，根据式(2-26)可得 (2-29) 再根据式(2-27)得方程组 (2-30) 由此来确定 ，解此方程组得 (2-31) 其中 由(2-3)式得 所以 所以 由(2-31)式得 (2-32) (2-33) 所以标准型方程(1-19)式的特积分为 (2-34) 该标准型的通解为 (2-35) 则原二阶微分方程的通解解为 (2-36)
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user: 4. 例题 对于以上的求解方法，下面我们通过两个例子来进行说明，以验证化标准型解法的基础性和适用性。 例1. 求微分方程 的通解。 解：由题可知 化成标准型 由此得该微分方程的标准型为 先求其标准型的余函数 。 其特征方程为 由参考文献[ 6 ] 定理8：如果方程 的所有系数 都是实值函数，而 是方程的复值解，则 的实部，虚部以及其共轭复值 也都是方程的解。 所以 则 再解标准型的特积分 。 由以上特征根得 所以 则 由式(2-34)得标准型的特积分为 所以原微分方程的标准型的通解为 则原微分方程的通解为 例2. 求二阶微分方程 的通解。 解：由题可得 其化为标准型为 即 所以特征方程为 所以 则 所以 由以上得该标准型的特积分为 通解为 所以原微分方程的通解为
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user: 摘 要 本文利用Carleman线性化方法计算了一类平面退化系统的正规形，并给出相应的近恒等变量变换。这些结果把经典正规形理论中只能计算具非零线性部分动力系统的正规形推广到可以计算具零线性部分系统的正规形情形，为简化分析这类退化系统的动力学性质建立了基础。 关键词 :平面退化系统，正规形，近恒等变量变换，Carleman线性化方法
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user: 1. 引言 令 是特征零的交换域，通常取实数域或复数域， 表示数域 上关于 个变元 的形式幂级数环。我们考虑如下自治动力系统 ， (1.1) 其中 是形式幂级数向量，并且假设各分量是两两互素且不含常数项，因此原点 是该动力系统的一个孤立奇点。令 ，其中 由 次齐次多项式向量场，其线性部分是 ， ，其中 表示域 上的 矩阵构成的向量空间。 在非线性系统(1.1)的孤立奇点 的局部分析中，正规形理论是一个重要的分析工具，其基本思想是寻找合适的变量变换，在保持变换前后两个系统的局部定性性质不变的同时，使得变换后的系统在形式上尽可能的简单，以便最大程度地简化非线性系统在奇点邻域中的局部动力学分析。这种方法在分支理论、中心-焦点问题、系统的可积性问题、泛函微分方程等方面有很广泛的应用[ 1 ] -[ 4 ] 。 在正规形理论中，首要的问题是对于给定的一个非线性动力系统(1.1)，我们如何计算它的正规形以及相应的变量变换。到目前为止，已发展了许多计算正规形的有效方法，例如李括号方法 [ 5 ] [ 6 ] 、内积法 [ 7 ] 、无穷小生成子法 [ 8 ] 、直接计算法 [ 9 ] [ 10 ] 、Carleman线性化方法 [ 11 ] [ 12 ] 以及sl 2 (R)群表示理论法 [ 13 ] [ 14 ] 等。这些方法主要计算了具非零系数矩阵 的动力系统正规形，但除Carleman线性化方法以外的其他方法，并不能同时给出所作的变量变换，而理论与实际问题需要探讨当动力系统的系数矩阵 为零(即所谓退化动力系统)时正规形的计算。直到最近几年才涉及退化动力系统正规形计算方面的工作：文献 [ 15 ] 利用李括号方法结合(1.1)的主系统(即(1.1)的最低次齐次项定义的系统)的守恒–耗散分解研究了一类所谓广义幂零系统 的齐次分解正规形的计算及其解析可积性问题；文献 [ 16 ] 利用李括号方法结合(1.1)的拟主系统(即(1.1)的最低次拟齐次项定义的系统)的守恒–耗散分解研究了一类平面退化系统 的拟齐次分解正规形的计算及其解析可积性问题。 本文主要是利用Carleman线性化方法研究一类我们称之为广义鞍结系统 的正规形的计算，其中 。Carleman线性化方法的主要思想是把一个非线性系统用线性形式表示出来，从而通过纯矩阵的运算就可以把系统化为正规形，同时给出所作的变量变换。而用李括号方法是难以做到这一点的[ 15 ] [ 16 ] 。另外我们将看到，由于系统是退化的，与文献[ 11 ] [ 12 ] 中研究具非零系数矩阵 的动力系统时仅需考虑所作的近恒等变量变换对相同次数项的影响不同，我们还需考虑所作的近恒等变量变换对更高次项的影响。
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user: 2. Carleman线性化方法 为了内容完整，在这一节，我们介绍文献 [ 12 ] 中关于Carleman线性化方法。由于对一般的正整数 并不会复杂些，因此我们将对正整数 来叙述。对整数 ，用 表示 个变量 的 次齐次多项式空间。在 中选择一组标准基 ，其中 ， 是 重指标，且 。我们采取由序 诱导的字典序对单项式集合 中元素进行排序，并把 中的标准基记为 ， 容易验证其维数为 。记 ， 则 中任何元素可写成 。 于是 中的任何元素可以写成 ，其中 。于是 中的元素可以写成 ， 其中 。为了把一个形式向量场通过矩阵的运算表示出来，从而可以用线性的方法去研究非线性动力系统，我们引进作用在 上的与系统(1.1)相关联的导算子 如下：对任意的 ，令 ，其中 表示 的梯度。特别地， ，其中 是 的第 个分量。因此系统(1)可以表示成 ， (2.1) 其中 ， 是系统的 次齐次部分且 是系统的线性部分的系数矩阵。 现在我们把 推广到作用在 空间中的基 的元素上 [ 12 ] 。例如， 在 中元素 上的作用定义为 ， 其中 和 由(2)式给出。类似地， 和 ， 于是当 时，对 ，有 ， 其中 。 一般地，对 ， ，其中， 。 令 作为正规形理论一般框架中线性空间[ 8 ] ，则 是 的一组基。于是可以定义 ， 它是从 到 的线性映射，并且 在 的基 上可以表示为 ， (2.2) 其中 是一个无穷维上三角分块矩阵，而 是一个 矩阵。显然 是由矩阵 所唯一决定的。因此为了记号方便，我们可以把 表示为 ，而用 或 表示 的左上角分块矩阵，即 ， (2.3) 并称之为 的 阶截断分块矩阵。在正规性理论的一般框架中，除了刚才引进的线性空间 外，还需要引进另外一个对象——变换群 [ 8 ] 。令 是 上与恒等变换相切的一个形式自同构群，并且称 中的元素为近恒等变量变换。令 ，我们现在把 也用矩阵形式表示出来。令 ， 其中 ( ； )表示既不含常数项又不含一次项的形式幂级数，即 ， 其中 。我们也可以把 看成是 在 中前 个基元素 上的矩阵表示。为了给出 在 中其它基元素上的表示，我们现在推广上面关于 的矩阵表示如下：例如当 时，定义 ， 其中 。一般地，对 ，令 ， 其中 。对一般的 ，可类似地定义，因此近恒等变量变换 可以用矩阵形式表示如下： ， 其中， 是 的单位矩阵， 是 矩阵。这样，近恒等变量变换 (作为 上的映射一般是非线性的)可以作为 上的一个线性映射，并且可以表示为如下的无穷维上三角分块矩阵： 。 (2.4) 现在我们可以对动力系统(1.1)通过 做变量变换。记 ，则可以证明 是 中的一组基且 。我们得到 。 因此 在 中另外一组基 下的矩阵为 。 引理1.1 [ 12 ] 令 ，则 并且 ，而且 ，且 。 我们注意到矩阵(2.4)中各分块矩阵 由第一行中的各分块矩阵 所唯一确定，因此，我们可以使用记号 来表示矩阵 ，而用 或 表示 的左上角分块矩阵，即 ， (2.5) 并称之为 的 阶截断分块矩阵。 正规形理论的目标是解决下列问题：设 是 上的与系统(1.1)相关联的导算子 ，我们设法找到一个近恒等的变量变换 ，使得变换后的无穷维矩阵 第一行中的各分块矩阵尽可能的简单，也就是说，在这些分块矩阵中包含尽可能多的零。
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user: 3. 一类退化系统的正规形计算 这一节我们利用上节中介绍的Carleman线性化方法计算下面的所谓广义鞍结系统 (3.1) 的正规形，其中 ， 。这里 ，于是非线性系统(3.1)在 中标准基 下的矩阵为 ， 其中 。于是我们可以把系统(3.1)写成 。 (3.2) 若记 为 的系数， ， 为其在矩阵第 行的分量，则可得 ， 。 在正规形的经典理论中，对于一个线性部分的系数矩阵 为非零矩阵的动力系统，求其正规形的通常做法是：假设已经求得阶数小于等于 的正规形，然后去求 阶的正规形 [ 8 ] [ 12 ] ，并且通常难以求得所作的变量变换。然而对退化系统(3.1)，为求其正规形，我们的做法是假设已经求得阶数小于等于 的正规形，然后去求 阶正规形。为此设有一个待求的近恒等变量变换 ， 其中 是 次齐次多项式的向量，即 ， 。 于是 ， 其中 。同理 ， 其中 。 一般地， ， 其中 。 所以 。 在经典的正规形理论中我们只关心是否能通过近恒等变量变换使 尽可能简单(即包含尽可能多的零！)；类似地，在计算退化系统(3.1)的正规形时，我们也只需求合适的近恒等变量变换使 尽可能简单(即包含尽可能多的零)。为此，我们先考虑当 时的情形(即求系统(3.1)的3阶正规形)。取 阶截断式，即 ， ， 其中 ， 是待求的矩阵。经计算可得 ， 所以 ， 其中 。 于是为了简化 (即 中包含尽可能多的零！)，设待定的矩阵 为 。 因为 ， 即 ， 所以 。 又因为 ， 即 ， 所以 。 我们注意到矩阵 的特点，可以看出对于 来说只需求出第一行和最后一行即可。类似地，在之后的 中我们也只需要求出 的第一行和最后一行。所以 。 令 则 。 所以 可化为至多有4项不为0，这表明系统(3.1)的3阶正规形中的非零参数最多有4个。 我们继续考虑当 时的情形(即求系统(3.1)的4阶正规形)。取 阶截断式，即 ， 。 经计算得 。 所以 ， 其中 。 现设待定的矩阵 为 。 因为 ， 即 ， 所以 。 又因为 ， 即 ， 所以 。 于是 。 令 ， ， 则可得到 ， 所以 可化为至多含有2项不为0，这表明系统(3.1)的4阶正规形中的非零参数最多有2个。 类似地，考虑当 时的情形(即求系统(3.1)的 阶正规形)。取 次截断式 ， 。 经计算得 。 于是 ， 其中 。 现设待定的矩阵 为 。 因为 ， 即 。 又因为 ， 即 ， 所以 ， 其中 ， ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， 。 令 则由以上递推关系和给定的 我们可以依次得出直到 的值，再令 则可给出 的第一行，同理我们令 ，则由以上递推关系和给定的 我们可以依次得出直到 的值，再令 ，则可给出 的第二行。从而我们可以得到 ， 其中“*”表示仅有可能的非零元素，所以 可化为至多有2项不为0，这表明当 时，系统(3.1)的 阶正规形中的非零参数最多有2个。 综上，我们得到系统(3.1)的正规形定理如下： 定理 考虑形式为(3.1)的广义鞍结动力系统，它的矩阵表示为(3.1)。对任意的正整数 ，我们可以约化系统到一个正规形 ，其中 是变换后系统 次齐次多项式的系数矩阵。当 时， 中最多含4个非零元素，当 时， 中最多含2个非零元素。
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user: 摘 要 通过计算RLW-Burgers方程的势对称扩大了其古典对称，并获得了RLW-Burgers方程的一系列新的精确解。首先，基于微分特征列集算法确定了RLW-Burgers方程的古典对称和势对称。其次，利用推广的Tanh函数法构造了RLW-Burgers方程的不变解，这些解分别以含任意参数的双曲函数、三角函数和有理函数表示。最后，分别选择一个势对称和古典对称的Lie变换群，将其作用于RLW-Burgers方程的不变解上获得了新的精确解，重要的是这些解都不能由方程的古典对称得到。 关键词 :势对称，微分特征列集算法，推广的Tanh函数法，RLW-Burgers方程，精确解
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user: 1. 引言 Lie对称是公认的普适性最广的方法。近几十年，古典对称的概念得到了很多的推广，人们提出了各种新对称的概念。1988年，Bluman和Cole在Lie群基础上提出了势对称概念[ 1 ] 。在诸多新对称中，势对称具有理论简单，算法实现容易，扩展对称性良好的特点。势对称是由微分方程守恒律(守恒形式)引出的扩充方程组来发现原方程的更多相应方程组的古典对称，它可以有效扩大方程对称，并且可以得到方程的更多的精确解。但求偏微分方程的势对称具有很大的局限性，只有少数的偏微分方程具有势对称，具有什么条件的偏微分方程才有势对称也自然而然成为了国内外学者研究的重要课题，并且已有了相关研究 [ 2 ] - [ 10 ] 。 Lie算法是确定对称的主要方法，该算法的计算过程将涉及到大量、复杂的机械化计算，并且传统的Lie算法中未能考虑未知量的序关系，导致计算机上的无穷循环及工作量大等许多困难。研究发现微分特征列集算法是有效克服Lie算法缺陷的方法之一，该算法主要考虑控制计算过程中符号堆积及易于在机器上实现的问题 [ 11 ] 。目前该算法已成功的应用在微分方程的古典对称、非古典对称、高阶对称、近似对称、势对称、守恒律、对称分类、最优系统 [ 17 ] 等方面得到了广泛的应用 [ 4 ] - [ 6 ] [ 12 ] - [ 17 ] 。本文将基于微分特征列集算法，确定RLW-Burgers方程的古典对称和势对称。
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user: 2. RLW-Burgers方程的古典对称和势对称 考虑RLW-Burgers方程 (1) 方程(1)是用来描述河道里水波表面的传播问题，其中 表示距水的表面平衡位置的纵位移， 表示沿河道流动水的横坐标， 表示所需的时间， 为耗散项， 为耗散系数， 为色散项， 为色散系数， [ 18 ] 。 下面我们基于微分特征列集算法研究RLW-Burgers方程的古典对称和势对称。 2.1. 古典对称分类 假设方程(1)对应的对称向量为 (2) 其中 ， ， 是该对称的无穷小生成函数。根据Lie算法，我们可得到方程(1)的对称的确定方程组。但是确定方程组很难人工求解，所以我们可以利用微分特征列集算法 [ 11 ] 进行计算得到与确定方程组等价的特征列集对应的方程组，将其求解计算得到以下对称分类结果，见表1。 2.2. 势对称 对于RLW-Burgers方程(1)，可以将其写成一次守恒形式 (3) 为了获得方程(1)的势对称，我们根据此守恒形式引进势变量 ，将方程(3)写成如下等价形式 (4) 假设方程组(4)对应的对称向量为 (5) 其中 ， ， ， 是该对称的无穷小生成函数。 定义1. 若 ，即当且仅当无穷小函数 ， ， 中至少有一个依赖于势变量 ，那么 称为RLW-Burgers方程(1)的势对称。 与上一目的计算类似，很容易得到 和 时方程组(4)的对称，见表2。 Table 1 The classification of Classical symmetr 参数 无穷小向量 表1. 古典对称的对称分类 其中 ， 为任意常数。 Table 2 The classification of potential symmetr 参数 无穷小向量 表2. 势对称的对称分类 其中 ， 为任意常数。 下面我们详细讨论 的情况。此时方程组(4)变为 (6) 利用Lie算法和微分特征列集算法进行计算得到与确定方程组等价的特征列集对应的如下方程组 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 。 对其进行求解得到无穷小生成函数 ， ， ， 。 其中 为任意常数，且函数 满足关系式： (7) 根据Lie对称法我们将无穷小函数 中出现的函数 视为对称参数。当选取一个对称参数为1，其余参数为0时，可得到方程组(4)的6个有限维对称和1个无穷维对称，对应的无穷小向量分别为 ， ， ， ， ， ， 。 由定义1可知， 为RLW-Burgers方程的势对称。 一般地，我们选择满足关系式(7)的 ，可得到新的势对称。如 1) 取 时，得到势对称 . (8) 2) 取 时，得到势对称 . (9) 注：只有当 时，RLW-Burgers方程存在势对称。
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user: 3. RLW-Burgers方程的精确解 根据势对称可以构造出微分方程的新不变解，并且这些不变解不能由所研究方程的古典对称求出来的特点，下面我们利用推广的Tanh函数法 [ 19 ] 和势对称的单参数Lie变换群构造RLW-Burgers方程的新精确解。 3.1. RLW-Burgers方程的精确行波解 下面我们利用推广的Tanh函数法求解方程(1)在 时的行波解。推广的Tanh函数法是最近提出的求解非线性方程精确解的有效方法之一 [ 19 ] 。 令 ，即在 ， ， ， 中选取 其余 可得到 ，则 的特征方程为 得到不变量 ，其中 为任意常数。利用特征法可将方程(1)约化为如下的常微分方程 (10) 其中 ， 。 考虑方程(10)中最高阶导数项 与最高阶非线性项 的齐次平衡，选择解表达式 (11) 其中 ， 均为待定常数，而且函数 满足辅助方程 (12) 其中 ， ， 为常数。辅助方程(12)有27种解 [ 19 ] ，所以在下文中 都将以 的形式出现，其中 。将表达式(11)代入方程(10)中，并利用方程(12)，通过计算可得到方程(1)如下的解 (13) 其中 。 3.2. 利用Lie变换群作用得到的新精确解 下面将RLW-Burgers方程的势对称及古典对称对应的Lie变换群作用在解(13)上获得新的精确解。我们根据 的取值不同选取三角函数解和双曲函数解两类具有代表性的解进行讨论。 首先确定对称 和 对应的Lie变换群。求解势对称 对应的初值问题，得到其单参数Lie变换群为 同理，古典对称 所对应的单参数Lie变换群为 下面将在解(13)的表达式中选择两个具有代表意义的 ，分别在势对称群和古典对称群的作用下得到新的精确解。 1) 三角函数解： 当 ， 时，得到 ， (14) 其中 。将解(14)带入守恒形式(4)，得到 (15) 其中 为任意常数。 下面我们将Lie变换群 作用于解 ， 即可以得到方程组的另一组解 (16) 其中 ， 的表达式为 将Lie变换群 作用于解 ， 又可以得到方程组的另一组新解 (17) 其中 ， 的表达式为 2) 双曲函数解： 当 ， 时，得到 ， (18) 其中 。将解(18)带入守恒形式(4)，得到 ， (19) 其中 为任意常数， 的表达式为 下面我们将Lie变换群 作用于解 ， 即可以得到方程组的另一组解 (20) 其中 ， ， 的表达式为 将Lie变换群 作用于解 ， 又可以得到方程组的另一组新解 (21) 其中 ， ， 的表达式为 如此利用势对称和古典对称对应的Lie变换群作用下去，可以得到更多的精确解。例如我们可确定 对应的Lie变换群 我们可将群 作用于精确解构造新的解，因篇幅所限不再一一列出。
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user: 4. 本文结论 本文我们基于微分特征列集算法计算了RLW-Burgers方程的古典对称和势对称，并且得到了无穷维对称。为了构造RLW-Burgers方程的新解，利用推广的Tanh函数法构造了RLW-Burgers方程的不变解。并将势对称和古典对称对应的Lie变换群作用于不变解上获得了一系列新的精确解，重要的是这些解(18)~(21)都不能由方程的古典对称得到，这些解丰富了方程原来的精确解 [ 20 ] - [ 22 ] 。同理我们还可以继续以上过程，即通过对称交替作用得到Lie变换群，并将其作用于RLW-Burgers方程的解得到更多的精确解，这样可以达到通过方程守恒律扩充对称(即势对称)求出更多精确解的目的。
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user: 摘 要 设 及 是两个由非负整数构成的不增序列。如果存在一个简单X，Y-二部图使得 中的顶点的度分别为 且 中的顶点的度分别为 ，那么称序列对 是二部可图的。如果 二部可图且任何两个来自不同部集的顶点之间最多连有t条边，那么称 是t-二部可图的。本文给出一个t-二部可图序列的刻划定理。事实上，该定理是Gale-Ryser型刻划定理的一个推广。 关键词 :度，二部可图序列，t-二部可图序列
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user: 1. 引言 设 及 是两个由非负整数构成的不增序列。如果存在一个简单 -二部图使得 中的顶点的度分别为 且 中的顶点的度分别为 ，那么称序列对 是二部可图的。以下是著名的Gale-Ryser型关于二部可图序列的刻划定理。 定理1 (Gale [ 1 ] ， Ryser [ 2 ] )设 及 是两个由非负整数构成的不增序列且满足条件 ，则序列对 是二部可图的当且仅当对于任意的整数 ， ，有 如果 二部可图且任何两个来自不同部集的顶点之间最多连有t条边，其中t是正整数，那么称 是t-二部可图的。本文给出一个t-二部可图序列的刻划定理。事实上，该定理是Gale-Ryser型刻划定理的一个推广，当 时下面的定理2即为定理1。 定理2 设 及 是两个由非负整数构成的不增序列且它们满足条件 ，则序列对 是t-二部可图的当且仅当对于任意的整数 ， ，有 (1)
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user: 2. 定理2的证明 必要性。设 是实现 的一个t-二部图，其部集为 和 。考虑关联到 中的 个顶点的所有边。由于 是t-二部图，因此每个 最多关联到这些边中的 条，而且 也最多关联到这些边中的 条。于是， 是关联到 的任意 个顶点的所有边的条数的上界，这个界在度为 的那些顶点上取得。 充分性。设有两个非增非负整数序列 及 ，它们满足(1)式。首先，我们构造一个t-二部图 ，其部集 和 满足条件 及 。定义一个临界指标 ，它是满足条件 且 的最大的下标。我们将逐步去掉顶点 处的差额 而保持 及 。我们从 个顶点的空图开始，此时 ，除非对于所有的 都有 ，在这种情况下结论已成立。为了方便，记 为顶点 与 之间的边所构成的集合， 。对于顶点 ，由于 ，因此一定存在顶点 使得 。 情形(1) 对于某个 和 ， ，且存在某个 使得 。当 时，在顶点 与 之间去掉一条边，在 与 之间连上一条边。当 时，分别在 与 ， 与 之间去掉一条边，分别在 与 ， 与 之间连上一条边，其中 。 情形(2) 对于某个 和 ， 且 。当 时，在 与 之间连上一条边。当 时，在 与 之间去掉一条边，分别在 与 ， 与 之间连上一条边，其中 。 若以上两种情形均不能应用，则 由(1)知 ，又 ，故 。重复上述步骤可得到图 ，满足 且 。又因为 ，从而有 。因此 就是想要的t-二部图，即 是t-二部可图的。
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user: 摘 要 本文针对一类带区间系数的非线性优化问题，提出了一种基于均匀搜索的遗传算法。首先，将原问题分解为两个确定的双层规划问题；其次，对两个双层问题的上层变量进行编码，通过求解相应的双层规划获得对个体的评估；最后，为避免近亲繁殖产生相似后代，采用相对距离控制杂交运算；并且引进摆动式正交杂交算子产生后代个体，使后代尽可能均匀产生。数据仿真结果表明，该算法是可行有效的。 关键词 :区间系数，非线性规划，遗传算法，正交设计
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user: 1. 引言 随着优化理论知识的不断完善，越来越多的人投入到优化问题的研究当中。目前，常见的优化问题有：线性规划，非线性规划，目标规划，动态规划等，都是用确定型的数学模型去描述实际问题中的所有信息，我们将这一类优化问题称为确定优化问题。而在现实生活中，大部分问题由于一些不确定因素(如：环境变化，预算变动或者技术改革等)的存在，使得对应问题成为不确定问题，根据不确定参数的种类，常见的不确定优化问题可分为：随机规划问题、模糊规划问题和区间规划问题等三类。其中，随机规划问题是指已知随机变量分布函数且所含不确定参数类型为随机变量的优化问题，模糊规划问题是指已知隶属度函数且所含不确定参数类型为模糊数的优化问题。然而，在实际问题中，随机变量的分布函数和模糊数的隶属度函数的获取是很困难的。因此，通过解决上述两种问题来处理实际问题具有很大的局限性。区间规划问题是指优化问题所含的不确定参数是区间，且已知该参数区间的上下界或者中点值和半径。区间规划问题中的参数相对比较容易获取，而且随机变量和模糊数都可以通过一定方法转化为区间，从而随机规划和模糊规划问题均可以转化为区间规划问题。因此，不确定区间优化方法被更多的应用于解决实际问题当中，如铁路空车调配问题[ 1 ] ，飞机机翼设计问题 [ 2 ] ，最大化盈利问题 [ 3 ] ，以及汽油调和优化问题 [ 4 ] 等，所以，研究区间参数优化问题具有重要的实际应用价值。 区间规划方法作为一种更切合实际的数学规划，越来越多的人开始对其进行研究。针对区间规划所讨论问题的类型，通常分为以下几种：区间系数线性规划 [ 5 ] 、区间系数非线性规划 [ 6 ] 、区间系数多目标优化 [ 7 ] 和区间系数双层规划问题 [ 8 ] 等。一般采用定义新的区间序关系，通过该序关系给出问题的最优值区域或将问题转化为一个或多个确定性问题求解两大类。针对区间线性规划问题，郭均鹏等 [ 9 ] 提出了一种基于决策者满意度的区间排序关系，把区间不等式约束转化为确定型约束的求解方法。文献 [ 10 ] 基于可行性测试和压缩技术给出了一种求解区间线性规划问题的方法。对于区间系数非线性问题，蒋峥等 [ 11 ] 提出一种采用递阶优化方式求解区间参数不确定非线性规划的算法。文献 [ 12 ] 通过应用对偶定理和变量代换技术提出了一种解决区间二次规划的数值求解方法。对于区间多目标规划问题，巩敦卫等 [ 13 ] 通过定义区间序关系和拥挤距离来反映最优解质量和最优解分布情况，并基于排序关系和拥挤距离选择最优解。文献 [ 14 ] 提出一种基于区间权重解决多目标模糊规划问题的方法。对于区间系数双层规划问题，Calvete提出了一种基于极点排序技术求解区间系数线性双层规划的方法。由于问题本身的难度，目前给出的有效算法很少文，且主要针对线性规划问题。 本文讨论了一类带区间系数非线性规划问题，文中首先将目标区间系数进行编码，每一组系数取值作为一个个体。然后，将原问题转化为两个双层子问题。求解过程中本文使用正交设计矩阵产生均匀分布的初始种群，并采用随机抽取的方式进行杂交和变异操作，在杂交过程中，使用正交杂交算子 [ 15 ] 产生后代个体，并对每一个后代进行选择性单点摆动来保证个体的差异性，变异算子采用改进的随机变异，通过以上操作使得最终产生的后代个体尽可能均匀分布。最后，运用传统优化方法通过搜索目标系数区间求解得到两个目标值，并将这两个目标值作为遗传算法的个体适应度。算法通过比较个体的适应度，在一次的运算中同时获得问题的最优值区间上界和下界。
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user: 2. 问题模型及转化 本文讨论带区间系数的非线性优化问题，数学模型如下： (1) 其中， ， 为 维区间向量参数， 和 分别为区间的上下界标号， 为约束条件，问题(1)的目标函数值为区间。 首先，将原问题转化为如下 (2) 和 (3) 两个双层规划问题。 (2)可进一步写成如下单层规划： (4) 但这样我们需要设计两个算法求解最好最优解和最差最优解。为了避免这个问题，我们保留(2)的形式。利用(2)和(3)只差上层目标优化方向的区别，设计统一的算法。 (2)和(3)是双层规划问题，一般来讲是非凸不可微的，为了有效求解这个问题，我们采用遗传算法框架求解。利用上层变量c的取值区间作为搜索空间，求解下层，获得对应的目标值。通过比较目标值获得最好和最差最优解。
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user: 3. 算法设计 3.1. 个体编码 采用遗传算法搜索目标系数区间，因此，每一组系数的取值作为种群的个体。令个体 ，其中 。 3.2. 适应度评估 对任意一个个体 ，通过计算(2)和(3)的下层问题获得适应度评估，即计算如下非线性规划问题： (5) 算法通过比较所获得的目标函数值得到最优值的上界和下界。 3.3. 杂交算子 对于大部分杂交算子，若两个个体各分量都相近，杂交所产生的后代个体与父代个体依然相似，这样的近亲繁殖将导致获得的解不变，搜索速度变慢。为防止此类情况发生，本文采用计算相对距离的方法来克服近亲繁殖问题。 对任意两个个体 ，定义两者之间的相对距离公式为： 显然， 。 越小，两个个体的相似度越大，反之，相似度越小。通过设定相对距离的大小来确定两个个体是否杂交。本文的相对距离表示为 ，即两个个体的相对距离大于 是进行杂交的必要条件。若两个个体符合杂交条件，则采用离散化正交杂交算子进行杂交，具体操作如下： 设 和 为任意两个父代个体，它们定义的空间记为 ，其中， 离散化每个区间 为Q个水平，使得任何两个连续水平之间的距离相同。如：把第 维的区间离散化成 ，其中， 记 。随着种群的进化和改进，个体趋于一致，两个父代个体定义的区间越来越小。由于Q是固定的，离散化的点越来越近，因此，可以得到越来越多精确的结果。 在离散化 之后，本文采用正交设计选择一个小的但具有代表性的样本来作为后代备选集，然后在该集合中选择最好的点作为杂交后代。 由于父代个体是随机选取，若相同父代个体被重复选取，则导致后代个体相同。本文在杂交之前进行预处理，采用个体各分量选择性摆动克服该问题，即使在父代相同的情况下依然会产生不同的后代个体，具体方法如下： 首先，对两个父代个体各产生一个 之间的随机数 ，若 大于预先设定的阈值 ，则对相应个体各个分量进行摆动操作： 其中， ， 为 之间的随机数， 为一个小正数。在上式中，以相同的概率执行加减运算，若超过边界，则取边界值。 其次，用得到的 代替 ，完成对各个分量的摆动。 3.4. 变异算子 对参加变异的父代个体 进行变异，后代个体的分量按如下方式产生：随机产生一个0或者1，取 其中 为 之间的随机数，T为最大运行代数，g为代数。 3.5. 算法步骤 算法步骤如下： 1) 初始化：设置种群规模 ，杂交概率 ，变异概率 及算法最大运行代数 ； 2) 运用正交设计矩阵在系数区间内均匀产生 个个体，得到初始种群，记为 ，令 ； 3) 对每个个体进行适应度评估； 4) 对 中的个体通过相对距离的判定进行杂交，后代集记为 ； 5) 对 中的个体按变异概率 进行变异，变异后代集合记为 ； 6) 从 中根据适应度函数分别选择适应度最大和最小的 个个体组成下一代种群 ； 7) 若迭代次数达到 ，则停止迭代，输出适应度最大和最小的个体。否则，令 ，转4)。 该算法的显著特点是对解区间进行尽可能均匀地搜索，且问题的最优值的上下界在一次算法运行中同时获得，从而提高了求解效率。
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user: 4. 算例 由于区间系数非线性规划问题算例极少，本文通过对现有确定系数算例 [ 16 ] 扰动系数，构造成新的算例。由于没有改变函数结构，同时，目标系数变成了区间，因此计算难度比原问题更大。 例： 该问题的最优值是−4.50。 Table 1 The optimal result 最好最优值 最好最差值 计算结果平均值 −10.0000 −10.0000 −10.0000 c = (1.2359， 1.0000， −1.2789， 7.3015， −7.0000) (x 1 ， x 2 ) = (0.0000， 2.0000) c = (2.0525， 1.0000， −0.8706， 7.5969， −7.0000) (x 1 ， x 2 ) = (0.0000， 2.0000) 表1. 最优计算结果 Table 2 The worst resul 最差最优值 最差最差值 计算结果平均值 −2.0833 −2.0833 −2.0833 c = (1.8209， 3.0000， −0.7083， 7.1530， −5.0000) (x 1 ， x 2 ) = (0.0000， 0.8333) c = (1.0127， 3.0000， −0.7262， 8.6655， −5.0000) (x 1 ， x 2 ) = (0.0000， 0.8333) 表2. 最差计算结果 将目标个别系数上下浮动一个单位，则问题变为如下区间系数的情形： 可见原问题的最优值应介于对应区间系数问题最优解区间之间。 在CPU2.6 GHZ，内存为4 GB的笔记本电脑上，利用提出的遗传算法求解该算例。算法的相关参数取值如下： ， ， ， ， ， ， 。 对每个问题，运行提出的遗传算法30次，记录问题的最好最优值和最差最优值及相应参数c的值。计算结果见表1和表2。其中表1给出了最好最优值的计算结果(最好值，平均值和最差值)以及最好值对应的c和x值；表2给出了最差最优值的计算结果以及对应的c和x值。 从计算结果来看，本次运算所获得的最优值区间包含原问题的最优值，因此算法运算是有效的。
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user: 5. 结束语 针对一类带区间系数的规划问题，基于目标系数区间搜索，给出了求解这类问题的一个遗传算法。该算法的特点是采用了点摆动式正交杂交算子使得后代个体尽可能均匀分布，有效提高了算法的搜索效率，并且算法能在一次运行中获得问题最优解区间。
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user: 摘 要 勇气是东西方文化中的传统美德，本文对勇气的哲学起源进行简要介绍，对勇气的定义、类型、测量方法、脑神经机制、相关因素以及在各领域尤其是在临床心理治疗的应用进行较深入的探讨，并对未来的研究提出展望。 关键词 :勇气，积极心理学，存在主义，临床心理治疗
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user: 1. 引言 勇气(courage)通常被描述为克服内心恐惧的力量，它是东西方各民族的传统美德，受到历代社会至上的尊崇。它多以古今英雄人物为载体，横跨东西文化，贯穿人类历史发展的进程。从孔孟之道到苏格拉底之死，从格萨尔王传到斯巴达克斯起义，从文天祥抗元、史可法抗清到圣女贞德抗英，从慷慨赴死的革命志士到马丁·路德·金的演讲，无不闪耀着勇气的光辉。勇气之所以重要是因为人类必须面对不确定和冲突的处境。勇气主题引发了人类大量的思考并留下了不朽的精神财富。长期以来，有关勇气的探讨者多为哲学家、文学家、史学家和神学家，他们主要讨论的是勇气的哲学本质、伦理价值及历史意义，而非人们在日常生活中所持有的勇气观念和行为。近年来，随着积极心理学的发展，勇气作为积极心理品质的重要组成部分而受到关注，并进行了一些有价值的研究。
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user: 2. 中西哲学与勇气缘起 2.1. 中国古代先贤对勇气的思考 在古汉语中，“勇”字的基本义项为果敢、胆大，人们也往往将“勇”与“气”连用，遂成“勇气”一词。孔子视勇为君子必备的美德之一。《论语·子罕》载：“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。”《中庸》有云：“知、仁、勇，三者天下之达德也。”《论语·述而》指出：“暴虎冯河，死而无悔者，吾不与也。”暴虎冯河之人，有勇无谋，不算勇德  (张燕婴，2006) 。孟子提出“养浩然之气”的思想  (杨伯峻，1985) 。老子在《道德经》里提出“慈故能勇”  (邱岳，2010) ，  朱熹(1992) 在《孟子集注·梁惠王章句下》中将勇分为两类：“小勇，血气所为。大勇，义理所发。”明清之际的哲学家  王夫之(1865) 认为：“智者心之能也，仁者性之能也，勇者气之能也。”  王夫之(1865) 还提出养勇的方法：“养勇以处不测之险阻，无他，爵禄不系其心”。 吕耀怀(2010) 总结我国古人所论的“勇”有三种情形：第一种是中性的“勇”，此“勇”既可用于行善，也可用于作恶；第二种是作为善德的“勇”；第三种是作为恶德的“勇”。正因为单一的“勇”不必然为善德，所以古人论“勇”往往兼言其他诸德。正统儒家思想认为君子之勇必须以“义”为终极目标。 2.2. 西方哲学对勇气的解读 对勇气的探讨具有悠久的西方哲学传统。古希腊的荷马(Homer)将尚武勇敢看成是英雄的最高美德，这种观点根植于古希腊的男性武士文化  (Homer， 1951) 。柏拉图(Plato)认为勇气与“thymos”(人之血气)的灵魂要素相联，将勇气看做是人的本质功能，具有伦理价值和社会学意义  (Rabieh， 2006) 。亚里士多德(Aristotle)认为对恐惧的控制是勇气的组成部分。有理性的人倾向于害怕某种特定的事物，真正有勇气的人必须理性地评估危险并面对之，并思索如何抗争以达到卓越和完善。亚里士多德对勇气的分析受到了荷马的影响，亚里士多德认为“andreia”(即勇气)必须为崇高的目的服务并旨在增加社会福祉。勇气行动需要与伦理学目标相联系。真正的勇气必须伴随着其他的美德如耐心，公正和智慧  (Aristotle， 1962) 。 存在主义哲学家保罗·蒂里希(Paul Tillich)指出，勇气是对一个人的本质、内在目的或完满性的肯定，但这是一种本身具有“不顾”(in-spite-of)性质的肯定  (Tillich， 1980) 。  宣庆坤(2006) 认为这种“不顾”是“不顾那些可能妨碍自我肯定的非存在的威胁，这种不顾是存在对非存在与自身的拥抱。通过肯定非存在达到对存在的肯定。存在主义治疗师罗洛·梅(Rollo May)认为，自我肯定的勇气分为四种：生理勇气、道德勇气、社会勇气和创造勇气。  罗洛·梅(1978) 认为勇气的每一个行动表现都提升了道德良知和社会意识，勇气行动宣告了价值和存在，没有勇气的生命是没有生活价值的。