system: [SYSTEM]

user: 3. 主要结果 为了叙述方便，引入以下符号：对 ∀ i ∈ Λ 2 ，记 α i = ∑ i 2 i 3 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | ，       β i = ∑ i 2 i 3 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | ， x i = { | a i i ⋯ i | − α i β i ，                                                                             | a i i ⋯ i | > α i ， | a i i ⋯ i | − β i α i ，                                                                             | a i i ⋯ i | > β i ， | a i i ⋯ i | R i ( A ) ，                                                                                   | a i i ⋯ i | ≤ min { α i ， β i } . δ = max i ∈ Λ 2 ( x i ) 再记 r = max i ∈ Λ 3 ( δ ( ∑ i 2 i 3 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 i 3 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | ) | a i i ⋯ i | − ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | ) ， P i ， r ( A ) = δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | ) + r ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m |                             ( i ∈ Λ 3 ) ， h = max i ∈ Λ 3 ( δ ( ∑ i 2 ， i 3 ， ⋯ ， i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 i 3 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | ) P i ， r ( A ) − ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 max j ∈ { i 2 ， i 3 ， ⋯ ， i m } P j ， r ( A ) | a j j ⋯ j | | a i i 2 ⋯ i m | ) . 易知 0 ≤ r < 1 ，且对任意的 i ∈ Λ 3 ， r | a i i ⋯ i | ≥ δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | ) + r ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | = P i ， r ( A ) ， 从而有 0 ≤ P i ， r ( A ) | a i i ⋯ i | ≤ r < 1 ， ∀ i ∈ Λ 3 。注意到 δ ( ∑ i 2 i 3 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 i 3 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | ) P i ， r ( A ) − ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 max j ∈ { i 2 ， i 3 ， ⋯ ， i m } P j ， r ( A ) | a j j ⋯ j | | a i i 2 ⋯ i m | = P i ， r ( A ) − r ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | P i ， r ( A ) − ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 max j ∈ { i 2 ， i 3 ， ⋯ ， i m } P j ， r ( A ) | a j j ⋯ j | | a i i 2 ⋯ i m | ≤ 1. 故 0 ≤ h ≤ 1 ，进而由h的定义可知，对于任意 i ∈ Λ 3 ，有 h P i ， r ( A ) ≥ δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | ) + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 max j ∈ { i 2 ， i 3 ， ⋯ ， i m } h P j ， r ( A ) | a j j ⋯ j | | a i i 2 ⋯ i m |     . (5) 定理3.1：设 A = ( a i 1 i 2 ⋯ i m ) 为m阶n维张量。若对任意的 i ∈ Λ 2 ， A 满足 | a i i ⋯ i | x i > δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | ) + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 max j ∈ { i 2 ， i 3 ， ⋯ ， i m } h P j ， r ( A ) | a j j ⋯ j | | a i i 2 ⋯ i m |     ， (6) 且对 ∀ i ∈ Λ 1 ，存在 i 2 i 3 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 ，使得 ，则 A 是 H -张量。 证明：由(6)式知，对对任意的 i ∈ Λ 2 ， 令 T i ≡ | a i i ⋯ i | x i − δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | ) − ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 max j ∈ { i 2 ， i 3 ， ⋯ ， i m } h P j ， r ( A ) | a j j ⋯ j | | a i i 2 ⋯ i m | ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | . (7) 当 ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | = 0 时，记 T i = + ∞ 。由(7)式知 T i > 0 ( ∀ i ∈ Λ 2 ) ，且 0 ≤ h P j ， r ( A ) | a j j ⋯ j | < 1 ( ∀ j ∈ Λ 3 ) ， 从而必有充分小的正数 ε ，使 0 < ε < min i ∈ Λ 2 T i ≤ + ∞ ，且 max j ∈ Λ 3 { h P j ， r ( A ) | a j j ⋯ j | + ε } < 1 。 构造正对角矩阵 D = d i a g ( d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d n ) ，记 ，其中 d i = { ( δ ) 1 m − 1 ，                                                                                                                                 i ∈ Λ 1 ， ( x i ) 1 m − 1 ，                                                                                                                             i ∈ Λ 2 ， ( h P i ， r ( A ) | a i i ⋯ i | + ε )   1 m − 1 ，                                       i ∈ Λ 3 . (a) 对 ∀ i ∈ Λ 1 ，存在 i 2 i 3 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 ，使得 a i i 2 ⋯ i m ≠ 0 ，且对任意 j ∈ Λ 3 ，总可以取到充分小的正数 ，使得 0 < h P j ， r ( A ) | a j j ⋯ j | + ε ≤ r < δ < 1 ，则 R i ( B ) ≤ δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | ) + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | ( ε + max j ∈ { i 2 i 3 ⋯ i m } h P j ， r ( A ) | a j j ⋯ j | ) < δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ， ⋯ ， i m ∈ Λ 2 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ， ⋯ ， i m ∈ Λ 3 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | ) = δ R i ( A ) = | a i i ⋯ i | δ = | b i i ⋯ i | . (b) 对 ∀ i ∈ Λ 2 ，由 (7)式知 R i ( B ) ≤ δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | ) + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | ( ε + max j ∈ { i 2 ， i 3 ， ⋯ ， i m } h P j ， r ( A ) | a j j ⋯ j | ) = ε ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | ) + h ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 max j ∈ { i 2 ， i 3 ， ⋯ ， i m } P j ， r ( A ) | a j j ⋯ j | | a i i 2 ⋯ i m | < T i ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + μ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | ) + h ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 max j ∈ { i 2 ， i 3 ， ⋯ ， i m } P j ， r ( A ) | a j j ⋯ j | | a i i 2 ⋯ i m | = | a i i ⋯ i | x i = | b i i ⋯ i | . (c) 对 ∀ i ∈ Λ 3 ，由(5)式知 R i ( B ) ≤ δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | ) + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | ( ε + max j ∈ { i 2 ， i 3 ， ⋯ ， i m } h P j ， r ( A ) | a j j ⋯ j | ) = ε ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | + δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | ) + h ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 max j ∈ { i 2 ， i 3 ， ⋯ ， i m } P j ， r ( A ) | a j j ⋯ j | | a i i 2 ⋯ i m | ≤ ε ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | + h P i ， r ( A ) < ε | a i i ⋯ i | + h P i ， r ( A )     = | b i i ⋯ i | . 综上所述， ，即 B 是严格对角占优的。由引理2.1知 B 是 H -张量，进而由引理2.3知 A 是 H -张量。 定理3.2：设 A = ( a i 1 i 2 ⋯ i m ) 为m阶n维张量， A 不可约，若对任意的 i ∈ Λ 2 ， | a i i ⋯ i | x i ≥ δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | ) + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 max j ∈ { i 2 ， i 3 ， ⋯ ， i m } h P j ， r ( A ) | a j j ⋯ j | | a i i 2 ⋯ i m |     ， (8) 且(8)中至少有一个严格不等式成立，则 A 是 H -张量。 证明：类似定理3.1的证明方法。由于 A 是不可约的，则 δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | ) ≠ 0 ，     ∀ i ∈ Λ 3 . 构造正对角矩阵 D = d i a g ( d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d n ) ，其中 d i = { ( δ ) 1 m − 1 ，                                                                                                                               i ∈ Λ 1 ， ( x i ) 1 m − 1 ，                                                                                                                           i ∈ Λ 2 ， ( h P i ， r ( A ) | a i i ⋯ i | + ε )   1 m − 1 ，                                       i ∈ Λ 3 . 令 ，则 B 不可约。类似于定理3.1的证明，可得 | b i i ⋯ i | ≥ R i ( B ) ( ∀ i ∈ [ n ] ) ，且对 ∀ i ∈ Λ 2 ，(8)中至少有一个严格不等式成立，即存在一个 i 0 ∈ Λ 2 ，使得 | b i 0 i 0 ⋯ i 0 | > R i 0 ( B ) 。由引理2.2知 B 是 H -张量，进而由引理2.3知 A 也是 H -张量。 定理3.3：设 A = ( a i 1 i 2 ⋯ i m ) 为m阶n维张量。若对任意的 i ∈ Λ 2 ， | a i i ⋯ i | x i ≥ δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | ) + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 max j ∈ { i 2 ， i 3 ， ⋯ ， i m } h P j ， r ( A ) | a j j ⋯ j | | a i i 2 ⋯ i m |     ， K ( A ) = [ i ∈ Λ 2 : | a i i ⋯ i | x i > δ ( ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 0 m − 1 | a i i 2 ⋯ i m | + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 2 m − 1 δ i i 2 ⋯ i m = 0 | a i i 2 ⋯ i m | )                             + ∑ i 2 ⋯ i m ∈ Λ 3 m − 1 max j ∈ { i 2 ， i 3 ， ⋯ ， i m } h P j ， r ( A ) | a j j ⋯ j | | a i i 2 ⋯ i m | ] ≠ ∅ ， 且对 ∀ i ∈ [ n ] \ K ，存在从i到j的非零元素链使得 ，则 A 是 H -张量。 证明：构造正对角矩阵 D = d i a g ( d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d n ) ，记 ，其中 d i = { ( δ ) 1 m − 1 ，                                                                                                                                     i ∈ Λ 1 ， ( x i ) 1 m − 1 ，                                                                                                                               i ∈ Λ 2 ， ( h P i ， r ( A ) | a i i ⋯ i | )   1 m − 1 ，                                                                     i ∈ Λ 3 . 类似于的定理3.1的证明，可得 | b i i ⋯ i | ≥ R i ( B ) ( ∀ i ∈ [ n ] ) ，至少存在一个 i ∈ Λ 2 ，使得 | b i i ⋯ i | > R i ( B ) 。另外，如果 | b i i ⋯ i | = R i ( B ) ，那么 i ∈ [ n ] \ K 。假设 A 中存在一个从i到j非零元素链使得 k ∈ K ，那么 中也存在从i到j的非零元素链使得k满足 | b k k ⋯ k | > R k ( B ) 。因此， B 满足引理2.4的条件，所以 是 H -张量，进而由引理2.3知 A 是 H -张量。 例3.1：给定 ，其中 A ( 1 ， : ， : ) = ( 12 1 0 1 6 0 1 0 12 ) ，     A ( 2 ， : ， : ) = ( 1 0 0 0 10 2 0 2 2 ) ，     A ( 3 ， : ， : ) = ( 0 0 0 1 1 0 0 0 8 ) . 由张量 A 的元素得到 | a 111 | = 12 ，                 R 1 = 21 ，                 | a 222 | = 10 ，                 R 2 = 7 ，                 | a 333 | = 8 ，                 R 3 = 2 ， 所以 Λ 1 = ∅ ， Λ 2 = { 1 } ， Λ 3 = { 2 ， 3 } 。计算得 α 1 = 3 + 0 = 3 ，                   β 1 = 12 + 6 = 18 ， x 1 = 12 − 3 18 = 1 2 ，                 δ = 1 2 ，       r i = 2 = 1 2 ( 0 + 1 ) 10 − 6 = 1 8 ，                 r i = 3 = 1 2 ( 1 + 0 ) 8 − 1 = 1 14 ， P 2 ， r ( A ) = 1 2 ( 0 + 1 ) + 1 8 × 6 = 5 4 ，                 P 3 ， r ( A ) = 1 2 ( 1 + 0 ) + 1 8 × 1 = 5 8 ， P 2 ， r ( A ) | a 222 | = 5 4 10 = 1 8 ，                 P 3 ， r ( A ) | a 333 | = 5 8 8 = 5 64 ，                 h i = 2 = 1 2 ( 0 + 1 ) 5 4 − 1 8 × 6 = 1 ，                 h i = 3 = 1 2 ( 1 + 0 ) 5 8 − 1 8 × 1 = 1. 当 i = 1 时，有 δ ( ∑ k l ∈ Λ 0 2 | a 1 k l | + ∑ k l ∈ Λ 2 2 δ 1 k l = 0 | a 1 k l | ) + h ∑ k l ∈ Λ 3 2 max j ∈ { k ， l } P j ， r ( A ) | a j j j | | a 1 k l | = 1 2 ( 3 + 0 ) + 1 × 1 8 × ( 12 + 6 ) = 15 4 < 6 = 12 × 1 2 = | a 111 | x 1 . 所以张量 A 满足本文定理3.1的条件，故 A 是 H -张量。但 ∑ k l ∈ [ n ] 2 \ Λ 3 2 δ 1 k l = 0 | a 1 k l | + ∑ k l ∈ Λ 3 2 max j ∈ { k ， l } R j ( A ) | a j j ⋯ j | | a 1 k l | = 3 + 7 10 × ( 12 + 6 ) = 78 5 > 12 = | a 111 | . 因此， 不满足 [ 15 ] 中定理1.1的条件。