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user: 2. 新的四维超混沌系统 2.1. 系统形式 Moffatt [ 18 ] 提出了一种分段盘式发电机模型如下： { x ˙ = r ( y − x ) ， y ˙ = m x − ( 1 + m ) y + x z ， z ˙ = g ( m x 2 + 1 − ( 1 + m ) x y ) . 基于上述系统，我们构造了一个如下带有两个三角函数项的四维系统 { x ˙ = r ( y − x ) ， y ˙ = m x − ( 1 + m ) y + x z ， z ˙ = g ( m x 2 + 1 − ( 1 + m ) x y ) . (1) 记系统(1)的参数组为 p → = ( r ， m ， g ， k 1 ， k 2 ， k 3 ， k 4 ， k 5 ， k 7 ) 。在本文中令 p → ∈ S 0 ，其中 S 0 = { ( r ， m ， g ， k 1 ， k 2 ， k 3 ， k 4 ， k 5 ， k 7 ) | r ， m ， g > 0 ， k 5 ≥ 0 ， k 2 ≤ 0 ， g − k 3 ≠ 0 ， | k 1 | < 1 + m + r + k 5 } . 可以算出系统(1)的散度为 div   F = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z + ∂ F 4 ∂ u = − ( r + 1 + m + k 5 + k 1 cos u ) < 0. 因此系统(1)是耗散的。 令 p → = ( 0.1 ， 100 ， 0.1 ， 0 ， − 1 ， 1 ， − 1 ， 0 ， 1 ) ，此时系统(1)没有平衡点。选取初始条件为 ( 0 ， 0 ， 0 ， 0 ) ，则得到系统(1)有一个隐藏超混沌吸引子，四个李雅普诺夫指数为 ( λ L E 1 ， λ L E 2 ， λ L E 3 ， λ L E 4 ) = ( 0.1904 ， 0.1877 ， 0.0000 ， − 17.6277 ) ， 李雅普诺夫维数为 D L = 3.3388 。图1展示了 时的李雅普诺夫指数谱。 图1. 参数 ( r ， m ， g ， k 1 ， k 3 ， k 4 ， k 5 ， k 7 ) = ( 0.1 ， 100 ， 0.1 ， 0 ， 1 ， − 1 ， 0 ， 1 ) ，初始条件为 ( 0 ， 0 ， 0 ， 0 ) ， k 2 ∈ [ − 1.5 ， − 0.5 ] 时系统(1)的李雅普诺夫指数谱 2.2. 平衡点的数量 本小节研究系统(1)平衡点的数量。 定理1 设 p → ∈ S 0 ，则系统(1)可以有任意给定数量的平衡点，具体可以罗列为如下的性质： (I) 的情形 (1) 令 k 1 = 0 并且 k 7 ≠ 0 ，则 (a) 如果 ( k 2 + g − k 4 ) ( g − k 3 ) < 0 ，则系统(1)没有平衡点； (b) 如果 k 2 + g − k 4 = 0 ，则系统(1)有一条线平衡点 E * ( 0 ， 0 ， z * ， 0 ) ， z * ∈ ℝ . (c) 如果 ( k 2 + g − k 4 ) ( g − k 3 ) > 0 ，则系统(1)有两个平衡点 E ± ( ± x 0 ， ± x 0 ， 1 ， 0 ) ， 其中 x 0 = k 2 + g − k 4 g − k 3 . (2) 令 k 1 k 2 ≠ 0 ， k 7 = 0 并且 | g − k 4 | ≤ | k 2 | ，则系统(1)有无穷多个孤立平衡点，具体如下： (a) 如果 k 2 ( g − k 3 ) > 0 ，则系统(1)的平衡点为 E ± ， k ( ± x * ， ± x * ， 1 ， 2 k π ) ， k ∈ ℤ . (b) 如果 k 2 ( g − k 3 ) < 0 ，则系统(1)的平衡点为 E ± ， k ( ± x * ， ± x * ， 1 ， ( 2 k + 1 ) π ) ， k ∈ ℤ . 其中 x * = | k 2 | sgn ( g − k 3 ) + g − k 4 g − k 3 . (3) 令 k 1 k 7 ≠ 0 并且 ，则 (a) 如果 ( g − k 3 ) ( g − k 4 ) < 0 ，则系统(1)没有平衡点； (b) 如果 g − k 4 = 0 ，则系统(1)有一条线平衡点 E * ( 0 ， 0 ， z * ， 0 ) ， z * ∈ ℝ . (c) 如果 ( g − k 3 ) ( g − k 4 ) > 0 ，则系统(1)有 2 ( 2 N + 1 ) 个平衡点，其中N可以是任意预先给定非负整数。 (4) 令 k 1 k 2 k 7 ≠ 0 并且 g − k 3 > 0 ，则系统(1)有2N个平衡点，其中N可以是任意预先给定非负整数。 (II) k 5 > 0 并且 g − k 3 > 0 的情形 (1) 令 k 1 = 0 ， k 2 k 7 ≠ 0 并且 − k 5 + k 2 + g − k 4 ≤ 0 ，则系统(1)有唯一平衡点 E 0 ( 0 ， 0 ， k 2 + g − k 4 k 5 ， 0 ) . (2) 令 k 1 k 2 ≠ 0 ， k 7 = 0 并且 − k 2 + g − k 4 ≤ 0 ，则系统(1)有无穷多个孤立平衡点 E 1 ， k ( 0 ， 0 ， k 2 + g − k 4 k 5 ， 2 k π ) ， k ∈ ℤ ， (3) 令 k 1 k 7 ≠ 0 ， k 2 = 0 并且 g − k 4 ≤ k 5 ，则系统(1)可以有任意给定奇数个平衡点。 证明 假设 E 0 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ， u 0 ) 是系统(1)的一个平衡点。由 F 1 ( E 0 ) = 0 可以得到 x 0 = y 0 ，因此 E 0 可以记为 ( x 0 ， x 0 ， z 0 ， u 0 ) 。此外，我们有 { F 2 ( E 0 ) = x 0 ( z 0 − 1 ) − k 7 u 0 = 0 ， F 3 ( E 0 ) = − ( g − k 3 ) x 0 2 + ( − k 5 z 0 + k 2 cos u 0 + g − k 4 ) = 0 ， F 4 ( E 0 ) = x 0 ( z 0 − 1 ) − k 1 sin u 0 = 0. (2) (I) k 5 = 0 的情形 (1) 当 k 1 = 0 并且 k 7 ≠ 0 时，由 F 2 ( E 0 ) = F 4 ( E 0 ) = 0 可得 u 0 = 0 。于是 F 3 ( E 0 ) = − ( g − k 3 ) x 0 2 + ( k 2 + g − k 4 ) . 因此， (a) 如果 ( k 2 + g − k 4 ) ( g − k 3 ) < 0 ，则系统(1)没有平衡点； (b) 如果 k 2 + g − k 4 = 0 ，由 F 3 ( E 0 ) = 0 可得 x 0 = 0 ，这直接可以推得 F 4 ( E 0 ) = 0 。因此 z 0 ∈ ℝ ； (c) 如果 ( k 2 + g − k 4 ) ( g − k 3 ) > 0 ，由 F 3 ( E 0 ) = 0 可得 x 0 = ± k 2 + g − k 4 g − k 3 . 而由于 x 0 ≠ 0 以及 F 2 ( E 0 ) = x 0 ( z 0 − 1 ) = 0 ， z 0 必须取1。 (2) 当 k 1 k 2 ≠ 0 ， k 7 = 0 并且 | g − k 4 | ≤ | k 2 | 时，由 F 2 ( E 0 ) = F 4 ( E 0 ) = 0 可得 u 0 = k π ，因此 cos u 0 = ± 1 。很显然， sgn ( k 2 cos u 0 + g − k 4 ) = sgn ( k 2 cos u 0 ) ≠ 0. 考虑到 F 3 ( E 0 ) = − ( g − k 3 ) x 0 2 + ( k 2 cos u 0 + g − k 4 ) = 0 ，有 sgn ( g − k 3 ) = sgn ( k 2 cos u 0 + g − k 4 ) = sgn ( k 2 cos u 0 ) . 也就是说， cos u 0 = sgn ( k 2 ( g − k 3 ) ) ，因此 k 2 cos u 0 = | k 2 | sgn ( g − k 3 ) 。于是 x 0 = ± x * ，其中 x * = | k 2 | sgn ( g − k 3 ) + g − k 4 g − k 3 . 由于 x 0 ≠ 0 以及 F 2 ( E 0 ) = x 0 ( z 0 − 1 ) = 0 ， z 0 必须为1。因此， (a) 如果 k 2 ( g − k 3 ) > 0 ，则系统(1)的平衡点为 E ± ， k ( ± x * ， ± x * ， 1 ， 2 k π ) ， k ∈ ℤ . (b) 如果 k 2 ( g − k 3 ) < 0 ，则系统(1)的平衡点为 E ± ， k ( ± x * ， ± x * ， 1 ， ( 2 k + 1 ) π ) ， k ∈ ℤ . (3) 当 k 1 k 7 ≠ 0 并且 k 2 = 0 时，有 F 3 ( E 0 ) = − ( g − k 3 ) x 0 2 + ( g − k 4 ) . 如果 ( g − k 3 ) ( g − k 4 ) < 0 ，则系统(1)没有平衡点。若 g − k 4 = 0 ，则有 x 0 = 0 ，再结合 F 2 ( E 0 ) = F 4 ( E 0 ) = 0 可以得到 u 0 = 0 以及 z 0 ∈ ℝ 。 现在考虑 ( g − k 3 ) ( g − k 4 ) > 0 的情形。由 F 2 ( E 0 ) = F 4 ( E 0 ) = 0 可得 k 7 u 0 = k 1 sin u 0 ， 该方程关于 u 0 有 2 N + 1 个解 0 ， ± u 1 ， ± u 2 ， ⋯ ， ± u N ，其中 0 < u 1 < u 2 < ⋯ < u N 。于是系统(1)可以有 2 ( 2 N + 1 ) 个平衡点 E ± ( ± x * ， ± x * ， 1 ， 0 ) ， P ± ( n ) ( ± x * ， ± x * ， ± x * + k 7 u n ± x * ， u n ) ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ， Q ± ( n ) ( ± x * ， ± x * ， ± x * − k 7 u n ± x * ， − u n ) ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N . 其中， x * = g − k 4 g − k 3 . (4) 当 k 1 k 2 k 7 ≠ 0 并且 g − k 3 > 0 时，仍设关于 u 0 的方程 k 7 u 0 = k 1 sin u 0 有 2 N + 1 个解 0 ， ± u 1 ， ± u 2 ， ⋯ ， ± u N ， 并且 0 < u 1 < u 2 < ⋯ < u N 。图2显示了当 时曲线 v = sin u 和直线 v = k 7 k 1 u 在 u − v 平面第一(四) 象限的交点。 图2. 曲线 和直线 v = k 7 k 1 u 的交点 可以看出， cos u 2 k > 0 ， cos u 2 k + 1 < 0 并且 | cos u n | > | cos u n + 1 | ，即 cos u 1 < cos u 3 < ⋯ < cos u 2 ⌊ N 2 ⌋ + 1 < 0 < cos u 2 ⌊ N 2 ⌋ < ⋯ < cos u 2 < cos 0 = 1. 对这些解做一个重排 ( u 1 ， u 3 ， ⋯ ， u 2 ⌊ N 2 ⌋ + 1 ， u 2 ⌊ N 2 ⌋ ， ⋯ ， u 2 ， 0 ) = ( w 1 ， w 2 ， ⋯ ， w N ， w N + 1 ) . 则有 cos w 1 < cos w 2 < ⋯ < cos w N < cos w N + 1 = 1. 考虑 F 3 ( E 0 ) = − ( g − k 3 ) x 0 2 + ( k 2 cos u 0 + g − k 4 ) . 定义一个函数 f ( u ) = k 2 cos u 0 + g − k 4 。结合 k 2 < 0 可知 f ( w 1 ) > f ( w 2 ) > ⋯ > f ( w N ) > f ( w N + 1 ) = k 2 + g − k 4 . 因此， (a) 如果 f ( w 1 ) = f ( u 1 ) < 0 ，则系统(1)没有平衡点； (b) 如果存在 i ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， N } ，使得 f ( w i ) > 0 > f ( w i + 1 ) ，则系统(1)有4i个平衡点 P ± ( n ) = ( ± x n ， ± x n ， ± x n + k 7 w n ± x n ， w n ) ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， i ， Q ± ( n ) = ( ± x n ， ± x n ， ± x n − k 7 w n ± x n ， − w n ) ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， i ， 其中 (c) 如果 f ( w N + 1 ) = f ( 0 ) = k 2 + g − k 4 > 0 ，则系统(1)有 4 N + 2 个平衡点 P ± ( n ) ， Q ± ( n ) ( n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ) 及 E ± = ( ± x N + 1 ， ± x N + 1 ， 1 ， 0 ) ， 其中 x N + 1 = k 2 + g − k 4 g − k 3 . (II) k 5 > 0 并且 g − k 3 > 0 的情形 (1) 当 k 1 = 0 ， k 2 k 7 ≠ 0 并且 − k 5 + k 2 + g − k 4 ≤ 0 ，可以得到 u 0 = 0 以及 x 0 ( z 0 − 1 ) = 0 。假设 x 0 ≠ 0 ，则 z 0 = 1 并且有 F 3 ( E 0 ) = − ( g − k 3 ) x 0 2 + ( − k 5 z 0 + k 2 + g − k 4 ) < 0. 因此， x 0 必须为0。所以系统(1)只有唯一平衡点 E 0 ( 0 ， 0 ， k 2 + g − k 4 k 5 ， 0 ) . (2) 当 k 1 k 2 ≠ 0 ， k 7 = 0 并且 − k 2 + g − k 4 ≤ 0 时，可以得到 u 0 = k π ，于是 cos u 0 = ± 1 。由 − k 2 + g − k 4 ≤ 0 和 k 2 ≤ 0 可得 − k 5 + k 2 cos u 0 + g − k 4 ≤ 0 。同样地，若假设 x 0 ≠ 0 则有 z 0 = 1 ，并有 F 3 ( E 0 ) = − ( g − k 3 ) x 0 2 + ( − k 5 z 0 + k 2 cos u 0 + g − k 4 ) < 0. 因此 x 0 同样必须为0。此时系统(1)有无穷多个孤立平衡点 E 1 ， k ( 0 ， 0 ， k 2 + g − k 4 k 5 ， 2 k π ) ， k ∈ ℤ ， E 2 ， k ( 0 ， 0 ， − k 2 + g − k 4 k 5 ， ( 2 k + 1 ) π ) ， k ∈ ℤ . (3) 当 k 1 k 7 ≠ 0 ， k 2 = 0 并且 g − k 4 ≤ k 5 时，仍设 k 7 u 0 = k 1 sin u 0 的解为 0 ， ± u 1 ， ± u 2 ， ⋯ ， ± u N 。对于 u 0 = 0 可以得到一个平衡点 E 0 ( 0 ， 0 ， g − k 4 k 5 ， 0 ) . 而对于 u 0 ≠ 0 ，由 F 2 ( E 0 ) = x 0 ( z 0 − 1 ) − k 7 u 0 = 0 可得 以及 x 0 = k 7 u 0 / ( z 0 − 1 ) 。将此式代入 F 3 ( E 0 ) = 0 可得 ( g − k 3 ) ( k 7 u 0 ) 2 + k 5 z 0 ( z 0 − 1 ) 2 = ( g − k 4 ) ( z 0 − 1 ) 2 . 作变换 z 1 = z 0 − 1 可得 (3) 即 z 1 3 + [ k 5 − ( g − k 4 ) ] k 5 z 1 2 + ( g − k 3 ) ( k 7 u 0 ) 2 k 5 = 0. (4) 由于 k 5 > 0 ， g − k 3 > 0 以及 g − k 4 ≤ k 5 ，关于 z 1 的一元三次方程(4)的判别式 Δ = ( g − k 3 ) ( k 7 u 0 ) 2 k 5 ( ( [ k 5 − ( g − k 4 ) ] 3 k 5 ) 3 + 1 4 ( g − k 3 ) ( k 7 u 0 ) 2 k 5 ) > 0. 于是对于每一个给定的 u 0 ≠ 0 ，方程(4)都有唯一解，进而关于 z 0 的方程(4)亦有唯一解。因此，系统(1)有 2 N + 1 个平衡点 E 0 = ( 0 ， 0 ， g − k 4 k 5 ， 0 ) ， P ± ( n ) = ( k 7 u n z ( u n ) − 1 ， k 7 u n z ( u n ) − 1 ， z ( u n ) ， u n ) ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ， Q ± ( n ) = ( − k 7 u n z ( u n ) − 1 ， − k 7 u n z ( u n ) − 1 ， z ( u n ) ， − u n ) ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ， 其中， z ( u n ) 是下列关于 z 0 的方程的唯一解： ( g − k 3 ) ( k 7 u n ) 2 + k 5 z 0 ( z 0 − 1 ) 2 = ( g − k 4 ) ( z 0 − 1 ) 2 . 2.3. 稳定性 本小节分析系统(1)在部分参数条件下平衡点的稳定性。 系统(1)的雅可比矩阵为 J = ( − r r 0 0 m + z − ( 1 + m ) x − k 7 g ( 2 m x − ( 1 + m ) y ) + 2 k 3 x − g ( 1 + m ) x − k 5 − k 2 sin u − 1 + z 0 x − k 1 cos u ) . 这里先给出三个下文常用的量的定义 C = g x 0 2 ( m + 1 ) ，     D = 2 r ( g − k 3 ) x 0 2 ，     M = m + 1. (5) 其中 x 0 是正在讨论稳定性的平衡点的第一个分量。 (I) k 5 = 0 的情形 (1) 当 k 1 = 0 ， k 7 ≠ 0 并且 ( k 2 + g − k 4 ) ( g − k 3 ) > 0 时， E ± 的特征多项式都为 det ( J ( E ± ) − λ I ) = λ 4 + ( 1 + m + r ) λ 3 + C λ 2 + ( D − k 7 C ) λ − k 7 D . 根据Routh-Hurwitz判据， E ± 稳定当且仅当 { Δ 1 = 1 + m + r > 0 ， Δ 2 = | 1 + m + r D − k 7 C 1 C | > 0 ， Δ 3 = | 1 + m + r D − k 7 C 0 1 C − k 7 D 0 1 + m + r D − k 7 C | > 0. − k 7 D > 0. 即 { ( D − k 7 C ) [ ( M + r ) C − ( D − k 7 C ) ] + k 7 D ( M + r ) 2 > 0 ， k 7 < 0 < g − k 3 . (2) 当 k 1 k 2 ≠ 0 ， k 7 = 0 并且 | k 4 − g | ≤ | k 2 | ， E ± ， k 的特征方程皆为 det ( J ( E ± ， k ) − λ I ) = ( λ + k 1 sgn ( k 2 ( g − k 3 ) ) ) ( λ 3 + ( 1 + m + r ) λ 2 + C λ + D ) . 根据Routh-Hurwitz判据， E ± ， k 稳定当且仅当 { k 1 k 2 ( g − k 3 ) > 0 ， Δ 1 = 1 + m + r > 0 ， Δ 2 = | 1 + m + r D 1 C | > 0 ， D > 0. 即 { k 1 k 2 > 0 ， ( M + r ) g M − 2 r ( g − k 3 ) > 0 ， g − k 3 > 0. (II) k 5 > 0 并且 g − k 3 > 0 的情形 (1) 当 k 1 = 0 ， k 2 k 7 ≠ 0 并且 − k 5 − k 2 + g − k 4 ≤ 0 时， E 0 的特征多项式为 det ( J ( E 0 ) − λ I ) = ( λ + k 5 ) ( λ 3 + ( 1 + m + r ) λ 2 − r ( z 0 − 1 ) λ + k 7 r ( z 0 − 1 ) ) . 根据Routh-Hurwitz判据， E 0 稳定当且仅当 { Δ 1 = 1 + m + r > 0 ， Δ 2 = | 1 + m + r k 7 r ( z 0 − 1 ) 1 − r ( z 0 − 1 ) | > 0 ， k 7 r ( z 0 − 1 ) > 0. 由于 z 0 = ( k 2 + g − k 4 ) / k 5 ≤ 0 ，等价条件可以简化为 { 1 + m + r + k 7 > 0 ， k 7 < 0. (2) 当 k 1 k 2 ≠ 0 ， k 7 = 0 并且 − k 2 + g − k 4 ≤ 0 ， E 1 ， k 和 E 2 ， k 的特征多项式表示为 det ( J ( E i ， k ) − λ I ) = ( λ + k 1 cos u 0 ) ( λ + k 5 ) ( λ 2 + ( 1 + m + r ) λ − r ( z 0 − 1 ) ) . 由此，特征根分别为 λ 1 = − k 1 cos u 0 ， λ 2 = − k 5 < 0 以及 λ 3 ， 4 = − 1 + m + r 2 ± 1 2 ( 1 + m + r ) 2 + 4 r ( z 0 − 1 ) . 由 z | E 1 ， k = k 2 + g − k 4 k 5 < z | E 2 ， k = − k 2 + g − k 4 k 5 ≤ 0 ， 可得 ( 1 + m + r ) 2 + 4 r ( z 0 − 1 ) < ( 1 + m + r ) 2 ，于是 Re ( λ 3 ， 4 ) < 0 。又由 ( cos u ) | E 1 ， k = 1 ，       ( cos u ) | E 2 ， k = − 1 ， 可知，如果 k 1 > 0 ，则 E 1 ， k 稳定而 E 2 ， k 不稳定；否则 E 1 ， k 不稳定而 E 2 ， k 稳定。