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user: 3. 分数布朗运动下的亚式重置期权定价 定义2.1 设期权的敲定价格为K， J = exp { 1 T ∫ 0 T ln S ( u ) d u } 表示到时间T的股票价格的几何平均值，则分数布朗运动下的亚式重置看涨期权在到期日为T的收益为 V ( S ， J ， T ) = { S T − J ， S T ≥ J ， J < K . S T − K ， S T > K ， J ≥ K . 定理2.1 标的资产价格在Black-Scholes模型下，期权的敲定价格为K，到期日为T的分数布朗运动下的亚式重置看涨期权的价格为 C ( S ， K ， t ) = S 0 N ( d 3 ， d 4 ; ρ ) − K e − r T N ( d 1 ， d 2 ; ρ ) + S 0 N ( d 5 ) N ( d 6 ) − e u 1 + σ Y 2 2 − r T N ( d 7 ) N (d8) 其中 d 1 = ln S 0 K + 1 2 r T − σ 2 T 2 H 2 ( 2 H + 1 ) σ σ 1 ， d 2 = ln S 0 K + r T − σ 2 T 2 H 2 σ σ 2 ， d 3 = d 1 + σ σ 2 ， d 4 = d 2 + ρ σ σ 2 ， d 5 = ln K S 0 − 1 2 r T − σ 2 T 2 H 2 ( 2 H + 1 ) σ σ 1 ， d 6 = 1 2 r T + σ 2 H T 2 H 2 H + 1 σ σ 3 ， d 7 = 1 2 r T − σ 2 H T 2 H 2 H + 1 σ σ 3 ， ， σ 1 2 = T 2 H 2 ( H + 1 ) ， σ 2 2 = T 2 H ， σ 3 2 = ( 2 H + 3 ) T 2 H 2 ( H + 1 ) ， ρ = 2 ( H + 1 ) 2 ， u 1 = ln S 0 + r T − σ 2 T 2 H 2 ( 2 H + 1 ) ， σ Y 2 = σ 2 T 2 H 2 ( H + 1 ) 。 ρ 是 σ B H ( T ) 和 σ T ∫ 0 T B H ( u ) d u 的相关系数。 证明：在风险中性下，亚式看涨重置期权在t时刻的价格为 [ 9 ] C ( S ， K ， t ) = E t ( e − r ( T − t ) ( S T − K ) 1 ( J ≥ K ， S T > K ) ) + E ( e − r ( T − t ) ( S T − J ) 1 ( J < K ， S T ≥ J ) ) = I 1 − I 2 + I 3 − I 4 . 由于 J = exp { 1 T ∫ 0 T ln S ( u ) d u } = S 0 exp { 1 2 r T − σ 2 T 2 H 2 ( 2 H + 1 ) + σ T ∫ 0 T B H ( u ) d u } 。 所以有 I 1 = E t ( e − r T S T 1 ( S T > K ， J ≥ K ) ) = E t ( S 0 exp ( σ B H ( T ) − 1 2 σ 2 T 2 H ) 1 A ) A = { ln J ≥ ln K ， ln S T > ln K } = { − σ T ∫ 0 T B H ( u ) d u σ σ 1 < d 1 ， − σ B H ( T ) σ σ 2 ≤ d 2 } . 因为 ρ = corr ( σ B H ( T ) ， σ T ∫ 0 T B H ( u ) d u ) = cov ( σ B H ( T ) ， σ T ∫ 0 T B H ( u ) d u ) var ( σ B H ( T ) ) var ( σ T ∫ 0 T B H ( u ) d u ) = 2 ( H + 1 ) 2 . 则 [ 10 ] I 1 = E t ( e − r T S T 1 A ) = S 0 exp { − 1 2 σ 2 T 2 H } ∫ − ∞ d 1 ∫ − ∞ d 2 1 2 π ( 1 − ρ 2 ) σ 1 σ 2 exp { − ( x σ 1 ) 2 − 2 ρ x y σ 1 σ 2 + ( y σ 2 ) 2 2 ( 1 − ρ 2 ) } exp σ y d x d y . 作变换 { x σ 1 − ρ σ σ 2 = z 1 y σ 2 − σ σ 2 = z 2 代入上式积分中，得 I 1 = S 0 ∫ − ∞ d 3 ∫ − ∞ d 4 1 2 π ( 1 − ρ 2 ) exp { − z 1 2 − 2 ρ z 1 z 2 + z 2 2 2 ( 1 − ρ 2 ) } d z 1 d z 2 = S 0 N ( d 3 ， d 4 ; ρ ) . 同理可得 I 2 = E t ( e − r T K 1 ( J ≥ K ， S T > K ) ) = K e − r T E t ( 1 A ) = K e − r T N ( d 1 ， d 2 ; ρ ) . 计算 I 3 ，构造测度R，由Girsanov定理， B H ˜ ( t ) = B H ( t ) − σ t 2 H 且 B H ˜ ( t ) 在R下仍为分数布朗运动，且该测度下标的资产价格为： S ( T ) = S ( 0 ) exp { r T + σ B H ˜ ( T ) + 1 2 σ 2 T 2 H } 从而 I 3 = E t ( e − r T S T 1 ( J < K ， S T ≥ J ) ) = S 0 E t ( e − r T S T S 0 1 ( J < K ， S T ≥ J ) ) = S 0 Q R ( J < K ， S T ≥ J ) = S 0 Q R ( σ T ∫ 0 T B H ˜ ( u ) d u σ σ 1 < ln K S 0 − 1 2 r T − σ 2 T 2 H 2 ( 2 H + 1 ) σ σ 1 ， − σ B H ˜ ( T ) − σ T ∫ 0 T B H ˜ ( u ) d u σ σ 3 ≤ 1 2 r T + σ 2 H T 2 H 2 H + 1 σ σ 3 ) = S 0 N ( d 5 ) N ( d 6 ) . 因为 I 4 = E t ( e − r T J 1 ( J < K ， S T ≥ J ) )         = e − r T E Q ( J 1 ( J < K ) ) P ( S T ≥ J ) = e − r T E Q ( J 1 ( J < K ) ) N ( d 7 ) . 又有 E Q ( J 1 ( J < K ) ) = ∫ − ∞ K x f J ( x ) d x = ∫ − ∞ ln K e y f J ( e y ) e y d y . 其中 f J 是在测度Q下的密度函数，在测度Q下 。 可知 E Q ( J 1 ( J < K ) ) = ∫ − ∞ ln K e y f J ( e y ) e y d y = ∫ − ∞ ln K 1 2 π σ 1 exp { − ( y − u 1 ) 2 2 σ 1 2 } e y d y = e u 1 + σ Y 2 2 N ( d 8 ) . 所以 I 4 = E t ( e − r T J 1 ( J < K ， S T ≥ J ) ) = e u 1 + σ Y 2 2 − r T N ( d 7 ) N ( d 8 ) . 综合 I 1 ， I 2 ， I 3 ， I 4 可得到最终结果，证毕。