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user: 3. 数学模型应用问题 偏微分方程的重要源泉是物理学、力学、电磁学与几何学。20世纪末以来，偏微分方程在备受关注的生物医学、物理学、金融数学与图像处理等领域大量涌现。这里首先介绍了年龄结构SIS型的传染病模型，其次是物理学中KdV方程流体模型，最后是微分几何、证券投资与图像处理中的应用模型。 3.1. 年龄结构的SIS型传染病模型 运用数学方法去研究传染病的发病机理、动态过程以及发展趋势，已经为现在一个比较活跃的研究领域。很多传染病的传播都与年龄有关，因此，建立年龄结构的传染病模型具有重要意义。下面建立传染病动力学的偏微分方程模型。 将人口种群分为两种，一种是正常易受感染者；另一种为患病者。第一种人因受感染而变成第二种人，而第二种人因治愈而重新变回为第一种人。并且这两种人都存在自然死亡。其中我们记 μ 为自然死亡率， λ 为感染率， γ 为康复率。 设 u ( t ， x ) 表示第一种人在时刻t按年龄x的分布密度函数， v ( t ， x ) 表示第二种人在时刻t按年龄x的分布密度函数，于是在时刻t，年龄在区间 [ x ， x + d x ] 中的第一种人数为 u ( t ， x ) d x ，年龄在区间 [ x ， x + d x ] 中的第二种人数为 v ( t ， x ) d x 。 u ( t + d t ， x ) d x 表示在时刻 t + d t ，年龄在区间 [ x ， x + d x ] 中的第一种人数，即其对应的人数是第一种人在时刻t，年龄区间 [ x ， x + d x ] 在其任意小的一个 d t 区间的人数 u ( t ， x − d t ) d x 减去在该时段的自然死亡的人数 μ ( x − d t ) u ( t ， x − d t ) d x d t ，再减去第一种人因受感染而成为第二种人的人数 λ ( t ， x − d t ) u ( t ， x − d t ) d x d t ，最后还需加上第二种人被治愈康复成为第一种人的人数 γ ( x − d t ) v ( t ， x − d t ) d x d t ，即 u ( t + d t ， x ) d x = u ( t ， x − d t ) d x − μ ( x − d t ) u ( t ， x − d t ) d x d t     − λ ( t ， x − d t ) u ( t ， x − d t ) d x d t + γ ( x − d t ) v ( t ， x − d t ) d x d t 则有 u ( t + d t ， x ) d x − u ( t ， x − d t ) d x = − μ ( x − d t ) u ( t ， x − d t ) d x d t − λ ( t ， x − d t ) u ( t ， x − d t ) d x d t     + γ ( x − d t ) v ( t ， x − d t ) d x d t 类似于人口方程的推导，得 ∂ u ( t ， x ) ∂ t + ∂ u ( t ， x ) ∂ x = − [ μ ( x ) + λ ( t ， x ) ] u ( t ， x ) + γ ( x ) v ( t ， x ) 同理， v ( t + d t ， x ) d x 表示在时刻t + dt，年龄在区间 [ x ， x + d x ] 中的第二种人数，即其对应的人数是第二种人在时刻t年龄区间 [ x ， x + d x ] 在其任意小的一个dt区间人数 v ( t ， x − d t ) d x 减去在该时段的自然死亡的人数 μ ( x − d t ) v ( t ， x − d t ) d x d t ，再减去第二种人被治愈康复成为第一种人的人数 γ ( x − d t ) v ( t ， x − d t ) d x d t ，最后还需加上第一种人因受感染而成为第二种人的人数 λ ( t ， x − d t ) u ( t ， x − d t ) d x d t ，即 v ( t + d t ， x ) d x = v ( t ， x − d t ) d x − μ ( x − d t ) v ( t ， x − d t ) d x d t     − γ ( x − d t ) v ( t ， x − d t ) d x d t + λ ( t ， x − d t ) u ( t ， x − d t ) d x d t 则有 v ( t + d t ， x ) d x − v ( t ， x − d t ) d x = − μ ( x − d t ) v ( t ， x − d t ) d x d t − γ ( x − d t ) v ( t ， x − d t ) d x d t     + λ ( t ， x − d t ) u ( t ， x − d t ) d x d t 因此有 ∂ v ( t ， x ) ∂ t + ∂ v ( t ， x ) ∂ x = − [ μ ( x ) + γ ( x ) ] v ( t ， x ) + λ ( t ， x ) u ( t ， x ) 又有初始条件： u ( 0 ， x ) = φ ( x ) ， v ( 0 ， x ) = ψ (x) 和边界条件： u ( t ， 0 ) = ∫ 0 ∞ β ( x ) [ u ( t ， x ) + ( 1 − k ) v ( t ， x ) ] d x ， v ( t ， 0 ) = ∫ 0 ∞ k β ( x ) v ( t ， x ) d x 所以可得，年龄结构的SIS型的传染病模型为 { ∂ u ( t ， x ) ∂ t + ∂ u ( t ， x ) ∂ x = − [ μ ( x ) + λ ( t ， x ) ] u ( t ， x ) + γ ( x ) v ( t ， x ) ， ∂ v ( t ， x ) ∂ t + ∂ v ( t ， x ) ∂ x = − [ μ ( x ) + γ ( x ) ] v ( t ， x ) + λ ( t ， x ) u ( t ， x ) ， u ( 0 ， x ) = φ ( x ) ，     v ( 0 ， x ) = ψ ( x ) ， u ( t ， 0 ) = ∫ 0 ∞ β ( x ) [ u ( t ， x ) + ( 1 − k ) v ( t ， x ) ] d x ， v ( t ， 0 ) = ∫ 0 ∞ k β ( x ) v ( t ， x ) d x . 3.2. KdV方程流体模型 由流体力学知，在重力的作用下，不可压缩无粘流体的运动满足连续方程 ∇ ⋅ u = 0 (1) 和动量方程 ∂ u ∂ t + ( u ⋅ ∇ ) u = − 1 ρ ∇ p + g (2) 其中 是流速， 是重力加速度， 是梯度算子， 是密度(常数)，p是压强。 选取适当的空间坐标系，使得重力加速度向量 指向z坐标轴的负方向。当 满足 ，即 的旋度为零向量时，流动称为是无旋的。对单连通区域，无旋的流动一定存在一势函数 (在多连通区域时有多值函数)，使得满足 ， (3) 此时有 ， 从而动量方程(2)式通过积分可化为 ， 其中 分别是由积分产生的积分常数和只依赖于t的函数， 为某一处的压强。若用 代替 ，则(2)式不受影响，从而上式可化简为 (4) 其中 是一个任意常数，可取为某个基准高度。由连续方程(1)式和(3)式得到 ， (5) 其中 为Laplace算子，(5)式为Laplace方程。若此方程依赖于t的解 ， 从(4)式就可以得出速度 ，此时动量方程(2)式也就满足了。 若假设流体在具有固壁的容器中运动，而流体表面是和空气接触的。设流体表面的方程为 ， (6) 若设 表示流体表面上一条流线的方程，沿此流线流速向量 的分量为 对流线上任意点 ，则有 ， 关于t求导得 这是流体表面上的一个边界条件。特别地，当流体表面方程可表为显性方程 ， 则在此表面上的上述边界条件可写为 ， (7) 流体表面上的压强应和大气的压强相等，设为 ，则有(4)式得出流体表面上另一边界条件 (8) 流体表面形状事先未定， 为未知函数，因此 也是一个自由边界。此外，在容器固壁处的边界条件是 即在固壁处流动的法向速度为零。 从而有流体在固壁的容器中流动的边值问题 (9) 进一步考虑流体在水槽(或河道)中的运动。设底部是水平的固壁，即 ，对应的边界条件是 。假设流动状态只和坐标 有关，其在y方向的流速为零，将波的表面记为 ，其中 为表面的基准高度。l表示波长， 表示近似的波速，重选自变量和未知函数的单位，令 ， 其中a是表示表面波的波幅大小的常数。此时方程(5)式和边界条件 ，(7)式和(8)式可化为 ， ， ， . (10) 其中 。由此可知，当 取小值时表示波长较长，当a取小值时表示波幅较小。求(10)式的 通解并代入边界条件，同时在长波长和小振幅的假设下忽略含 的项，可知 ， 再作变换 ， ， ， 且将 仍记作 ，则可得到KdV方程 [ 10 ] [ 11 ] . 3.3. 极小曲面方程 极小曲面问题最早是由物理学家普拉托(Joseph Antoine Ferdinand Plateau，1801~1883，比利时)通过“肥皂泡现象”而提出，又被称为普拉托问题。1840年，普拉托关于最小表面积问题的基础上进行了实验研究。通过在做实验的过程中偶然发现，一位仆人不小心将油溅入盛有混合水和酒精的容器里，从而他注意到此时所呈现出的球形。随后，普拉托改用肥皂溶液和甘油进行实验，并把蘸湿的线框放入其中，得到了结果。正如我们现在的生活中小时候的吹泡泡游戏，把一个带柄的塑料环浸入肥皂水中，然后轻轻的取出，在塑料环上就会形成一个处于平衡状态的彩色薄膜，见图1。 图1. 肥皂泡中的彩色薄膜 若忽略混合液体自身的重量、风力等外部因素，则薄膜的势能在表面张力的作用下会达到最小值，肥皂膜呈现出的曲面形状就是具有相对小的面积，即局部极小。对于极小曲面的研究，一般认为是“最伟大的数学家”拉格朗日(Joseph Lagrange，1763~1813，法国籍意大利裔)从1760年开始的，他第一次给出了这类曲面所应满足的偏微分方程。 在 中考虑曲面 ， ， D是 中的某一区域。拉格朗日利用变分法原理得出结论：在所有定义在区域D上且在其边界 上取同样值的函数图像中，若存在曲面M的面积是局部极小的曲面，则u满足极小曲面方程 ， ， (11) 记M的变形 ， ， 其中 ， 为一个正常数， ，则 的面积 由 的局部极小性可知， 作为t的函数 处取极小值 从而 ， 即 又由散度定理，并注意到 ，记 是 的单位外法向量，可得 由 的任意性，在D中有 ， 由此得到方程(11)式。极小曲面方程是二阶拟线性方程的代表，其中这里用到的极小曲面是局部极小的。 3.4. 布莱克–舒尔斯–默顿方程(BSM方程) 金融数学是近年来蓬勃发展的新兴学科，在金融界和数学界受到极大地关注度。它是运用数学工具建立合理的数学模型，进而对所建立的模型作进一步的分析、计算，目的是为了找出金融学中的相关规律，从而更好地运用于实践。金融数学可分为三类，分别为投资组合理论、衍生品定价理论和风险管理理论。其中在衍生品定价理论中的BSM方程最为出名。衍生品的定价理论起源于数学家布莱克(Fischer Sheffey Black，1938~1995，美国)、金融学家舒尔斯(Myron Scholes，1941~ ，美国)和默顿(Robert Cox Merton，1944~ ，美国)1973 年所开启的无套利定价理论，其核心是构造了一个定价测度。可以证明，一旦有了这个定价测度，衍生产品现时的价格就是其(经折现后的)到期价格的期望值。 以股票期权为例。设 为t时刻的股票价格，T为期权的到期日，r为市场的短期利率， 为到期日的合约价格函数，则t时刻的期权价格(即期权金)由下式给出： ， 其中S是t时刻的股票价格， 是条件数学期望。“对冲”是定价理论的一个重要概念，指特意减少另一项投资的风险的投资。通过支付期权金，投资人将风险转移给庄家，而庄家则通常要为期权卖出作对冲。标准的做法是买入或卖出一定数量的股票，而这个数量正是期权价格相对于股票价格的变化率 假设在股票价格的变化下需满足： (1) 证券价格服从几何布朗运动，即 和 为常数； (2) 允许卖空标的证券； (3) 没有交易费用和税收，所有证券是全部可分的； (4) 衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付； (5) 不存在无风险套利机会； (6) 证券交易是连续的，价格变动也是连续的； (7) 衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。 由于假设股票价格S遵循几何布朗运动，所以有： ， 在一个小的时间间隔 中，S的变化值 为： ， 设V是依赖于S的衍生证券的价格，则V一定是S和t的函数，由伊藤引理(Ito’s Lemma)可知， ， 在一个小的时间间隔 中，V的变化值 满足： ， 为了消除风险源 ，可构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合。令 表 示为投资组合的价值，则有 ， 在一个小的时间间隔 后，投资组合的价值V的变化值 满足： ， 将 和 代入，可得 ， 又由于消除了风险，组合 需获得无风险收益 ，所以有 ， 化简整理可得， ， 此方程为BSM微分方程，其适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。 又由于欧式看涨期权的价格c等于此期望值按无风险利率进行贴现后的现值，即 ， 其中 表示为风险中性条件下的期望值，和 ， 再令 ， 其中 ， ， 可知，有 ， 所以，随机变量W的密度函数 为： ， 从而可有， 所以，可得 ， 其中 和 从上面可看出， 是风险中性世界中W大于 的概率，即风险中性世界中 的概率。 所以证明了 满足偏微分方程终值问题： 其中 为股价的波动率。该方程在定价方面存在一定的偏差，但仍是至今为止解决期权价格动态的最佳模型之一，应用十分广泛。 3.5. AMSS (Affine Morphological Scale Space仿射形态尺度空间)方程 将偏微分方程引入图像处理领域中的一个研究方向是图像滤波。作为一个预处理手段，图像滤波几乎成为所有图像处理方法的前奏。早在1984年，Koenderink就发现了图像信号经过高斯滤波后的结果与热传导方程存在一定的联系。在许多场合图像滤波作为图像识别的一种预处理手段，它需要满足两个限制条件：对比度不变和仿射不变。而仿射不变性可以被分解为平移不变、旋转不变、欧氏不变、伸缩不变等。满足相关不变性条件的滤波器都有相对应的一族偏微分方程，随着逐渐对图像变换不变性要求的加强，可以选择的图像变换范围也在逐渐缩小，相应的可供选择的偏微分方程范围也在逐渐的缩小，最后只剩AMSS方程初值问题的解作为图像变换满足仿射不变性和对比不变性。 设 是图像函数空间， 是 中所有水平集的集合。设对比变化下是稳定的，并且包含了T中所有元素的特征函数。令 是T的伴随集合算子。如果对 ，集合族 ，那么 有： 对x几乎处处成立。其中 。 另外，如果T是位移不变算子，则 反之，若有一算子可表示成上式，则该算子是单调和对比不变的。 所以，若T是仿射不变的形态学算子，则必定是平移不变的形态学算子。通过上面的叙述可知，任意一个平移不变的形态学算子T都具有 (12) 的表现形式。通过给(12)式加上一个局部化参数 ，构造出 (13) 其中 。 如果：(i) 与任何满足 的矩阵 是可以交换的， (ii) 常数c， 满足 和 又假设图像函数u在x的某个邻域内是 的，且 时， (14) 其中 是一个仅仅与 有关的常数。即，仿射不变形态学算子的微分特性 [ 12 ]。其中(ii)限制的条件是为了使 满足局部化条件。否则，无论h取多么小的值， 的取值不仅仅依赖于x某个邻域内的图像灰度值。 与线性滤波器和热传导方程中的方法类似，如果知道一个图像变换的微分性质后，可以通过局部化和迭代的方法导出相关的偏微分方程。令 ，且 ，令 ，则有 是偏微分方程 (15) 初值问题在t时刻的解。在零时刻的初始值为原始图像 ，此时(15)式所表示的方程被称为AMSS方程。该方程在t时刻的解可以作为对图像 滤波的结果，近似地用 表示。这个滤波器通常被称为AMSS算子 [ 13 ]。该算子满足了平移不变、灰度平移不变、仿射不变、对比不变和数学形态等多种不变性，作为最好的一类滤波器可用于图像处理中以满足多种需求的光滑性。通过图像经过AMSS算子作用后在不同时刻的解可知，虽图像质量在 比较大的时候出现了退化，但它还是比较好的保留了边缘的信息，见图2。 图2. AMSS滤波器作用效果 若变换 满足 [ 14 ] 中的条件，则 是下列方程在t时刻的解： 其中 是连续的非减函数： 该式表示u的曲率，其中u表示为图像的亮度值。 在二维情况下，可以得知用于图像处理的简便形式的方程： (16) 或 (17) 称(16)式为MCM (Mean Curvature Motion)中值曲率驱动)方程，(17)式就是AMSS方程。用(17)式在t时刻的解作为滤波后的图像进行数字图像处理 [ 12 ]，其具有独特的性能：可不依靠图像在三维空间中位置和方向的条件下，对平面形状进行细致的分析。因此，它是在基于微分方程的图像处理中举足轻重的地位，不仅能够很好地去除偏微分方程中的噪声，也能很好地保留图像的边缘信息，它是最具典型性的代表。例如：法国宇航局已采用AMSS算子作为对航拍图像进行图像增强的标准方法 [ 15 ]。通过利用偏微分方程去对于图像进行相关的处理就是利用偏微分方程把图像变形，然后求解出该方程进而获得图形处理的预期效果。偏微分方程在图像分割、图像重建、图像检索、对比度增强和医学图像处理等相关的图像处理方面都取得了很好的效果。