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user: 3. 8阶分圆类构造几乎差集偶 对有限域 Z q ，当 q = 8 f + 1 时，q可分解为 q = x 2 + 4 y 2 = a 2 + 2 b 2 ， x ≡ a ≡ 1 ( mod 4 ) [ 9 ]。Lehmer [ 9 ]指出64个8阶分圆数最多有15个不同的值，称为基本分圆数。表1给出了当f是偶数时64个分圆数与基本分圆数的关系，f是奇数时见 [ 9 ]。这15个基本分圆数可以用 q ， x ， y ， a ， b 表示，具体依据f是否是偶数以及2是否是 Z q 中的四次剩余共分为四种情况，本文用到了f是偶数且2不是四次剩余的情况(见表2)，其余请参见 [ 9 ]。 黄丹芸 [ 4 ] 利用8阶分圆类 C 0 ， C 4 ， C 0 ∪ { 0 } ， C 4 ∪ { 0 } 、刘晓惠和王金华 [ 5 ] 利用8阶分圆类中的 C 0 和 C 0 ∪ { 0 } 分别构造了若干几乎差集偶。下面采用8阶分圆类中的四个分圆类或其与{0}的并集构造新的几乎差集偶。 定理1：设奇素数 q = 8 f + 1 = x 2 + 4 y 2 = a 2 + 2 b 2 ， x ≡ a ≡ 1 ( mod 4 ) 。令 U = C 0 ∪ C 4 ∪ C 5 ∪ C 6 ， W = C 0 ∪ C 1 ∪ C 2 ∪ C 4 。 U ′ = U ∪ { 0 } ， W ′ = W ∪ { 0 } ，则 1) 当f为偶数且2不是4次剩余，且 b = − y ， x − a = 4 时， 1、 ( U ， W ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f ， 4 f ， 2 f ， 2 f − 1 ， 2 f ) − ADSP ； Table 1 Relations of cyclotomic numbers of order 8 for even (i， j) 0 1 2 3 4 5 6 7 0 (0， 0) (0， 1) (0， 2) (0， 3) (0， 4) (0， 5) (0， 6) (0， 7) 1 (0， 1) (0， 7) (1， 2) (1， 3) (1， 4) (1， 5) (1， 6) (1， 2) 2 (0， 2) (1， 2) (0， 6) (1， 6) (2， 4) (2， 5) (2， 4) (1， 3) 3 (0， 3) (1， 3) (1， 6) (0， 5) (1， 5) (2， 5) (2， 5) (1， 4) 4 (0， 4) (1， 4) (2， 4) (1， 5) (0， 4) (1， 4) (2， 4) (1， 5) 5 (0， 5) (1， 5) (2， 5) (2， 5) (1， 4) (0， 3) (1， 3) (1， 6) 6 (0， 6) (1， 6) (2， 4) (2， 5) (2， 4) (1， 3) (0， 2) (1， 2) 7 (0， 7) (1， 2) (1， 3) (1， 4) (1， 5) (1， 6) (1， 2) (0， 1) 表1. f为偶数时8阶分圆数关系 [ 9 ] Table 2 The fifteen basic cyclotomic numbers of order 8 when f is even and 2 is not a quartic residu 64倍分圆数 若2不是4次剩余 64倍分圆数 若2不是4次剩余 64(0， 0) q − 23 + 6 x 64(1， 2) q + 1 − 6 x + 4 a 64(0， 1) q − 7 + 2 x + 4 a 64(1， 3) q + 1 + 2 x − 4 a − 16 b 64(0， 2) q − 7 − 2 x − 8 a − 16 y 64(1， 4) q + 1 + 2 x − 4 a + 16 y 64(0， 3) q − 7 + 2 x + 4 a 64(1， 5) q + 1 + 2 x − 4 a − 16 y 64(0， 4) q − 7 − 10 x 64(1， 6) q + 1 + 2 x − 4 a + 16 b 64(0， 5) q − 7 + 2 x + 4 a 64(2， 4) q + 1 + 6 x + 8 a 64(0， 6) q − 7 − 2 x − 8 a + 16 y 64(2， 5) q + 1 − 6 x + 4 a 64(0， 7) q − 7 + 2 x + 4 a 表2. f为偶数且2不是四次剩余时8阶分圆数中的15个基本分圆数 [ 9 ] 2、 ( U ′ ， W ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f + 1 ， 4 f ， 2 f ， 2 f ， 6 f ) − ADSP ； 3、 ( U ， W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f ， 4 f + 1 ， 2 f ， 2 f ， 6 f ) − ADSP ； 4、 ( U ′ ， W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f ， 4 f + 1 ， 2 f + 1 ， 2 f ， 2 f ) − ADSP 。 2) 当f为偶数且2不是4次剩余，且 b = 4 − y ， x − a = 4 时， ( U ， W ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f ， 4 f ， 2 f ， 2 f − 1 ， 2 f ) − ADSP 。 证：我们以 ( U ， W ) 为例进行证明，其余情况类似。 首先易知属于同一个等价类 C i 中的两个元素 a 1 ， a 2 ，对应的两个同余方程 x − y ≡ a 1 ( mod q ) ， x − y ≡ a 2 ( mod q ) 解的个数一致，因此 C i 中元素对应的解的个数为 Δ i = | ( W + θ i ) ∩ U | = | ( C 0 ∪ C 1 ∪ C 2 ∪ C 4 ) + θ i ∩ ( C 0 ∪ C 4 ∪ C 5 ∪ C 6 ) | ， 0 ≤ i ≤ 7 ，其中 ( i ， j ) e = | ( C i + 1 ) ∩ C j | 。从而 Δ i = | ( C 0 + θ i ) ∩ C 0 | + | ( C 0 + θ i ) ∩ C 4 | + | ( C 0 + θ i ) ∩ C 5 | + | ( C 0 + θ i ) ∩ C 6 |     + | ( C 1 + θ i ) ∩ C 0 | + | ( C 1 + θ i ) ∩ C 4 | + | ( C 1 + θ i ) ∩ C 5 | + | ( C 1 + θ i ) ∩ C 6 |     + | ( C 2 + θ i ) ∩ C 0 | + | ( C 2 + θ i ) ∩ C 4 | + | ( C 2 + θ i ) ∩ C 5 | + | ( C 2 + θ i ) ∩ C 6 |     + | ( C 4 + θ i ) ∩ C 0 | + | ( C 4 + θ i ) ∩ C 4 | + | ( C 4 + θ i ) ∩ C 5 | + | ( C 4 + θ i ) ∩ C 6 | = ( − i ， − i ) + ( − i ， 4 − i ) + ( − i ， 5 − i ) + ( − i ， 6 − i ) + ( 1 − i ， − i ) + ( 1 − i ， 4 − i )         + ( 1 − i ， 6 − i ) + ( 1 − i ， 5 − i ) + ( 2 − i ， − i ) + ( 2 − i ， 4 − i ) + ( 2 − i ， 5 − i )         + ( 2 − i ， 6 − i ) + ( 4 − i ， − i ) + ( 4 − i ， 4 − i ) + ( 4 − i ， 5 − i ) + ( 4 − i ， 6 − i ) 当f为偶数且2不是4次剩余时，利用表1和表2可算得： Δ 0 = Δ 4 = 16 q − 4 x + 16 y + 4 a + 16 b − 64 64 Δ 1 = Δ 5 = Δ 2 = Δ 6 = 16 q + 4 x − 4 a − 32 64 Δ 3 = Δ 7 = 16 q − 4 x − 16 y + 4 a − 16 b 64 因此 ( U ， W ) 构成几乎差集偶当且仅当以下3种情况： ① Δ 0 = Δ 1 ， | Δ 1 − Δ 3 | = 1 ，即要满足 16 q − 4 x + 16 y + 4 a + 16 b − 64 64 = 16 q + 4 x − 4 a − 32 64 | 16 q + 4 x − 4 a − 32 64 − 16 q − 4 x − 16 y + 4 a − 16 b 64 | = 1 计算得 b = − y ， x = a − 4 或 b = 4 − y ， x = a + 4 。当 b = − y ， x = a − 4 时，由 x 2 + 4 y 2 = a 2 + 2 b 2 得 b 2 = 4 ( a − 2 ) ，则 a − 2 应为正，又由 a = 4 k + 1   ( k ∈ Z ) 得 a − 2 = 4 ( k − 1 ) + 3   ( k ∈ Z ) ，所以 a − 2 为非完全平方数，与b为整数矛盾，故舍。当 b = 4 − y ， x = a + 4 时， Δ 0 = Δ 1 = Δ 2 = Δ 4 = Δ 5 = Δ 6 = 2 f 且 Δ 3 = Δ 7 = 2 f − 1 ，所以此时 ( U ， W ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f ， 4 f ， 2 f ， 2 f − 1 ， 2 f ) − ADSP 。 ② Δ 0 = Δ 3 ， | Δ 1 − Δ 3 | = 1 ，即 16 q − 4 x + 16 y + 4 a + 16 b − 64 64 = 16 q − 4 x − 16 y + 4 a − 16 b 64 | 16 q + 4 x − 4 a − 32 64 − 16 q − 4 x − 16 y + 4 a − 16 b 64 | = 1 计算后可知 ( U ， W ) 不构成几乎差集偶，具体计算从略。 ③ Δ 1 = Δ 3 ， | Δ 0 − Δ 1 | = 1 ，即 16 q + 4 x − 4 a − 32 64 = 16 q − 4 x − 16 y + 4 a − 16 b 64 | 16 q − 4 x + 16 y + 4 a + 16 b − 64 64 − 16 q + 4 x − 4 a − 32 64 | = 1 计算得 b = − y 且 x = a + 4 或 b = 4 − y 且 x = a − 4 。当 b = 4 − y 且 x = a − 4 时， Δ 1 不是整数，故舍去。当 b = − y 且 x = a + 4 时， Δ 1 = Δ 2 = Δ 3 = Δ 5 = Δ 6 = Δ 7 = 2 f 且 Δ 0 = Δ 4 = 2 f − 1 ，此时 ( U ， W ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f ， 4 f ， 2 f ， 2 f − 1 ， 2 f ) − ADSP 。 用类似定理1的方法，还得到以下结论： 定理2：设奇素数 q = 8 f + 1 = x 2 + 4 y 2 = a 2 + 2 b 2 ， x = a ≡ 1 ( mod 4 ) 。令 U = C 0 ∪ C 2 ∪ C 3 ∪ C 4 ， W = C 0 ∪ C 4 ∪ C 6 ∪ C 7 ， U ′ = U ∪ { 0 } ， W ′ = W ∪ { 0 } ，则 1) 当f为偶数且2不是4次剩余，且 b = − y ， x − a = 4 时， 1、 ( U ， W ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f ， 4 f ， 2 f ， 2 f − 1 ， 2 f ) − ADSP ； 2、 ( U ′ ， W ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f + 1 ， 4 f ， 2 f ， 2 f ， 6 f ) − ADSP ； 3、 ( U ， W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f ， 4 f + 1 ， 2 f ， 2 f ， 6 f ) − ADSP ； 4、 ( U ′ ， W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f + 1 ， 4 f + 1 ， 2 f + 1 ， 2 f ， 2 f ) − ADSP 。 2) 当f为偶数且2不是4次剩余，且 b = 4 − y ， x − a = 4 时， ( U ′ ， W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f + 1 ， 4 f + 1 ， 2 f + 1 ， 2 f ， 2 f ) − ADSP 。 定理3：设奇素数 q = 8 f + 1 = x 2 + 4 y 2 = a 2 + 2 b 2 ， x ≡ a ≡ 1 ( mod 4 ) 。令 U = C 0 ∪ C 1 ∪ C 2 ∪ C 6 ， W = C 0 ∪ C 1 ∪ C 3 ∪ C 7 ， U ′ = U ∪ { 0 } ， W ′ = W ∪ { 0 } ，则 1) 当f为偶数且2不是4次剩余，且 b = − y ， x − a = 4 时， 1、 ( U ， W ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f ， 4 f ， 2 f ， 2 f − 1 ， 2 f ) − ADSP ； 2、 ( U ′ ， W ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f + 1 ， 4 f ， 2 f ， 2 f ， 6 f ) − ADSP ； 3、 ( U ， W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f ， 4 f + 1 ， 2 f ， 2 f ， 6 f ) − ADSP ； 4、 ( U ′ ， W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f + 1 ， 4 f + 1 ， 2 f + 1 ， 2 f ， 2 f ) − ADSP 。 2) 当f为偶数且2不是4次剩余，且 b = 4 − y ， x − a = 4 时， ( U ′ ， W ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f + 1 ， 4 f ， 2 f ， 2 f ， 6 f ) − ADSP 。 定理4：设奇素数 q = 8 f + 1 = x 2 + 4 y 2 = a 2 + 2 b 2 ， x ≡ a ≡ 1 ( mod 4 ) 。令 U = C 0 ∪ C 1 ∪ C 3 ∪ C 5 ， W = C 0 ∪ C 2 ∪ C 3 ∪ C 6 ， U ′ = U ∪ { 0 } ， W ′ = W ∪ { 0 } ，则 1) 当f为偶数且2不是4次剩余，且 b = y ， x − a = 4 时， 1、 ( U ， W ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f ， 4 f ， 2 f ， 2 f − 1 ， 2 f ) − ADSP ； 2、 ( U ′ ， W ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f + 1 ， 4 f ， 2 f ， 2 f ， 6 f ) − ADSP ； 3、 ( U ， W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f ， 4 f + 1 ， 2 f ， 2 f ， 6 f ) − ADSP ； 4、 ( U ′ ， W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f + 1 ， 4 f + 1 ， 2 f + 1 ， 2 f ， 2 f ) − ADSP 。 2) 当f为偶数且2不是4次剩余类，且 b = y − 4 ， x − a = 4 时， ( U ′ ， W ) 构成 。 定理5：设奇素数 q = 8 f + 1 = x 2 + 4 y 2 = a 2 + 2 b 2 ， x ≡ a ≡ 1 ( mod 4 ) 。令 U = C 0 ∪ C 1 ∪ C 4 ∪ C 6 ， W = C 0 ∪ C 2 ∪ C 4 ∪ C 5 ， U ′ = U ∪ { 0 } ， W ′ = W ∪ { 0 } ，则 1) 当f为偶数且2不是4次剩余， b = y ， x − a = 4 时， 1、 ( U ， W ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f ， 4 f ， 2 f ， 2 f − 1 ， 2 f ) − ADSP ； 2、 ( U ′ ， W ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f + 1 ， 4 f ， 2 f ， 2 f ， 6 f ) − ADSP ； 3、 ( U ， W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f ， 4 f + 1 ， 2 f ， 2 f ， 6 f ) − ADSP ； 4、 ( U ′ ， W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f + 1 ， 4 f + 1 ， 2 f + 1 ， 2 f ， 2 f ) − ADSP 。 2) 当f为偶数且2不是4次剩余，且 b = y − 4 ， x − a = 4 时， ( U ， W ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f ， 4 f ， 2 f ， 2 f − 1 ， 2 f ) − ADSP 。 定理6. 设奇素数 q = 8 f + 1 = x 2 + 4 y 2 = a 2 + 2 b 2 ， x ≡ a ≡ 1 ( mod 4 ) 。令 U = C 0 ∪ C 2 ∪ C 4 ∪ C 7 ， W = C 0 ∪ C 3 ∪ C 4 ∪ C 6 ， U ′ = U ∪ { 0 } ， W ′ = W ∪ { 0 } ，则 1) 当f为偶数且2不是4次剩余，且 b = y ， x − a = 4 时， 1、 ( U ， W ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f ， 4 f ， 2 f ， 2 f − 1 ， 2 f ) − ADSP ； 2、 ( U ′ ， W ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f + 1 ， 4 f ， 2 f ， 2 f ， 6 f ) − ADSP ； 3、 ( U ， W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f ， 4 f + 1 ， 2 f ， 2 f ， 6 f ) − ADSP ； 4、 ( U ′ ， W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f + 1 ， 4 f + 1 ， 2 f + 1 ， 2 f ， 2 f ) − ADSP 。 2) 当f为偶数且2不是4次剩余类，且 b = y − 4 ， x − a = 4 时， ( U ′ ， W ′ ) 构成 ( 8 f + 1 ， 4 f + 1 ， 4 f + 1 ， 2 f + 1 ， 2 f ， 2 f ) − ADSP 。 定理1~定理6所列出的ADSP均不能表达为2阶、4阶分圆类的形式，因而是新的。 例1：当 q = 193 时，选5作为 Z 193 的本原元。 U = C 0 ∪ C 4 ∪ C 5 ∪ C 6 ， W = C 0 ∪ C 1 ∪ C 2 ∪ C 4 ，计算可得 x = − 7 ， y = 6 ， a = − 11 ， b = − 6 ， ( U ， W ) 构成 ( 193 ， 96 ， 96 ， 48 ， 47 ， 48 ) − ADSP 。 例2：当 q = 929 时，选3作为 Z 929 的本原元。 U = C 0 ∪ C 1 ∪ C 3 ∪ C 5 ， W = C 0 ∪ C 2 ∪ C 3 ∪ C 6 ，计算可得 x = − 23 ， y = − 10 ， a = − 27 ， b = − 10 ， ( U ， W ) 构成 ( 929 ， 464 ， 464 ， 232 ， 231 ， 232 ) − ADSP 。