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user: 2. 多性能退化参数的时间序列建模 2.1. 一元时间序列模型 实际工程中的单性能参数退化量时间序列多为方差平稳时序，根据方差平稳时序分解原理，可分为确定性部分和平稳随机性部分。以f t 表示确定性部分，即方差平稳时序的均值，并以一元回归模型描述，r t 表示平稳随机性部分，则组成的单性能参数的一元时序模型为： { y t = f t + r t r t = ∑ i = 1 p φ i r t − i + ε t − ∑ j = 1 q θ j ε t − j (1) 其中，f t 为以时间t为自变量的回归函数，p为自回归模型阶数； φ i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， p ) 为自回归参数， θ j ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， q ) 为滑动平均参数； ε t 为均值为0，方差为 σ 2 的高斯白噪声。若考虑多个性能参数的时序模型，首先想到的是将每个性能参数分别利用一元时间序列模型描述，而后组成方程组形式，此时则有： { y 1 t y 2 t ⋮ y n t } = { f 1 t f 2 t ⋮ f n t } + { r 1 t r 2 t ⋮ r n t } = { f 1 ( t ) f 2 ( t ) ⋮ f n ( t ) } + ∑ i = 1 p { φ 1 i r 1 ( t − i ) φ 2 i r 2 ( t − i ) ⋮ φ n i r n ( t − i ) } + { ε 1 t ε 2 t ⋮ ε n t } + ∑ j = 1 q { θ 1 j ε 1 ( t − i ) θ 2 j ε 2 ( t − i ) ⋮ θ n 1 j ε n ( t − i ) } (2) 其中，f it 为第i个性能参数的确定性部分，r it 为第i个性能参数的平稳随机性部分，f i (t)为第i个性能参数的以时间t为自变量的回归函数，r i(t-j) 为第i个性能参数在t-j时刻下的平稳随机性部分，ε it 为第i个性能参数的白噪声， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。 可见，多性能参数的一元时序模型方程组公式(1)的本质仍然是只能分别反映单个性能参数的退化过程，而不能够反映各性能参数间的相关性。 为弥补多性能参数的一元时序模型公式(2)不能够反映各性能参数间的相关性的不足，并同时考虑各性能参数之间及其自身不同时刻变化的多元相关性，本文借鉴Copula理论来解决多性能参数间的相关性问题。 2.2. Copula函数 Copula函数通过构造多元随机变量的概率分布函数，来描述多元变量间的相关结构，能较好地解决多元随机变量的相关性问题 [ 5 ]。 根据Sklar定理，由n个性能参数组成的n维随机向量 Y = [ Y 1 ， Y 2 ， ⋯ ， Y n ] 表示，其联合累积概率分布函数可用一个Copula函数C表示，即： H ( y 1 ， ⋯ ， y n ) = C ( F 1 ( y 1 ) ， ⋯ ， F n ( y n ) ) 其联合概率密度函数可表示为： h ( y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n ) = c ( F 1 ( y 1 ) ， ⋯ ， F n ( y n ) ) ∏ i = 1 n f i ( y i ) (3) 其中，c为Copula函数C的密度函数。常用的Copula函数主要有：多元正态Copula函数、多元t-Copula函数、阿基米德Copula函数等。 多元Copula函数的仿真： 对于从m维Copula函数 C ( u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u m ) 中产生随机数，第j维边缘分布可表示如下： C j ( u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u m ) = C ( u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u j ， 1 ， 1 ， ⋯ ， 1 )     ( j = 2 ， 3 ， ⋯ ， m − 1 ) 其中， C 1 ( u 1 ) = u 1 ， C m ( u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u m ) = C ( u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u m ) 。则，已知前j-1个变量的条件分布可以表示如下： C j ( u j | u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u j − 1 ) = ∂ j − 1 C j ( u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u j − 1 ) ∂ u 1 ∂ u 2 ⋯ ∂ u j − 1 / ∂ j − 1 C j − 1 ( u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u j − 1 ) ∂ u 1 ∂ u 2 ⋯ ∂ u j − 1 (4) Copula函数产生随机变量的一般过程如下： a) 从均匀分布U (0，1)上随机产生一个u 1 ； b) 已知u 1 ，利用式(4)，得到随机变量u 2 的条件分布C 2 (u 2 |u 1 )，并在其中随机产生u 2 ； …… m) 已知u 1 ，u 2 ，u m -1 ，利用式(4)得到随机变量u m 的条件分布 C 2 ( u 2 | u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u m − 1 ) 并在其中随机产生u m 。 通过上述随机数产生过程，就可以得到一组m维Copula函数的随机数(u 1 u 1 ， ⋯ ， u m )。 2.3. 基于Copula-ARMA时序模型的多性能退化参数建模 工程实际中产品失效通常是多个错综复杂的性能参数综合退化作用的结果，多性能参数退化量时序通常为多元方差平稳时序，即该时序的均值是一组关于时间t的确定性函数，当对该时序减去均值后，就是一个多元平稳时序。显然，同一产品多个性能参数退化量时序之间会具有一定的相关性。 以Y t 表示t时刻多性能参数退化量向量，将Y t 分为确定性部分和平稳随机性部分，F t 表示Y t 的确定性部分，即多元方差平稳时序的均值向量，由于多参数时序的均值向量为时间t 这个单自变量的确定性函数，因此仍可对其以一元回归方程组模型描述，U t 表示Y t 的平稳随机性部分并以多元自回归 (也称向量自回归)模型描述。将一元回归方程组模型与多元自回归模型结合，得到多性能参数退化量时序的多元Copula-ARMA时序模型表示如下： Y t = F t + R t ( y 1 ， t ， ⋯ ， y n ， t ) ~ C a ( F 1 ( y 1 ， t ) ， ⋯ ， F n ( y n ， t ) ) (5) 其中： Y t = { y 1 t y 2 t ⋮ y n t } ， F t = { f 1 ( t ) f 2 ( t ) ⋮ f n ( t ) } ， R t = { r 1 t r 2 t ⋮ r n t } 将(5)式展开，可得到： { { y 1 t y 2 t ⋮ y n t } = { f 1 t f 2 t ⋮ f n t } + { r 1 t r 2 t ⋮ r n t } = { f 1 ( t ) f 2 ( t ) ⋮ f n ( t ) } + ∑ i = 1 p { φ 1 i r 1 ( t − i ) φ 2 i r 2 ( t − i ) ⋮ φ n i r n ( t − i ) } + { ε 1 t ε 2 t ⋮ ε n t } + ∑ j = 1 q { θ 1 j ε 1 ( t − i ) θ 2 j ε 2 ( t − i ) ⋮ θ n 1 j ε n ( t − i ) } ( y 1 t ， ⋯ ， y n t ) ~ C a ( F 1 ( y 1 t ) ， ⋯ ， F n ( y n t ) ) (6) 根据Copula函数的性质可知，对变量做严格的单调递增变换，相应的Copula函数不变。 上述模型，存在 ∂ y i t / ∂ ε i t = 1 > 0 ，因此，则有： C y t = C ε t 即连接 ε 1 t ， ⋯ ， ε n t 的Copula函数 C ε t 和连接 y 1 t ， ⋯ ， y n t 的Copula函数相同。这样我们就可以将多性能参数之间的相关性简化为研究残差项之间的相关性。对于一个确定的ARMA模型，高斯白噪声是唯一的“干扰源”，因此，我们可以利用高斯白噪声序列的相关程度来描述多性能退化参数时间序列的空间相关性。用一个Copula函数 C b 来描述高斯白噪声的相关性，即： ( ε 1 t ， ⋯ ， ε n t ) ~ C b ( ϕ ( ε 1 t σ 1 ) ， ⋯ ， ϕ ( ε n t σ n ) ) 式中， ( σ 1 ， ⋯ ， σ n ) 为每个白噪声序列的标准差； ϕ ( ⋅ ) 为标准正态分布函数。 因此式(6)的模型可进一步改写为： { { y 1 t y 2 t ⋮ y n t } = { f 1 t f 2 t ⋮ f n t } + { u 1 t u 2 t ⋮ u n t } = { f 1 ( t ) f 2 ( t ) ⋮ f n ( t ) } + ∑ i = 1 p { φ 1 i r 1 ( t − i ) φ 2 i r 2 ( t − i ) ⋮ φ n i r n ( t − i ) } + { ε 1 t ε 2 t ⋮ ε n t } + ∑ j = 1 q { θ 1 j ε 1 ( t − i ) θ 2 j ε 2 ( t − i ) ⋮ θ n 1 j ε n ( t − i ) } ( ε 1 t ， ⋯ ， ε n t ) ~ C b ( ϕ ( ε 1 t σ 1 ) ， ⋯ ， ϕ ( ε n t σ n ) ) (7)