system: [SYSTEM]

user: 4. 基于熵权法的利率期限结构的实证研究 4.1. 样本数据的选取 本文选取2015年4月30日上海交易所的国债收盘价格数据，共选取148只国债。剔除以下几种类型数据： 1) 剔除浮动利率国债，因为浮动利率会带来不确定性。 2) 剔除上市一个月内的债券以及剩余期限不足两个月的国债。刚上市债券，交易价格接近票面值，成本低，流动性好，投资者更偏好，因此收益率较高；即将到期债券，流动性差，收益率容易为负，这两类容易导致曲线拟合问题。 3) 剔除贴现债券和到期还本付息债券，中国的市场中大部分为付息债券，因此本文为了计算方便，剔除了以上两种债券类型。 得到的部分数据情况表2所示： Table 2 Closing bonds of treasury bonds of Shanghai Stock Exchange on April 30， 201 序号 Maturity Coupon Rate Price 序号 Maturity Coupon Rate Price 1 2015-07-08 0.0252 101.59 2 2020-06-24 0.0341 101.2 3 2015-08-26 0.0258 101.75 4 2020-09-16 0.0329 100.02 5 2015-09-13 0.031 102.05 6 2020-11-15 0.0365 102.73 7 2015-10-21 0.0291 101.53 8 2020-12-16 0.0377 101.41 表2. 2015年4月30日上交所国债收盘债券 数据来源：wind资讯。 4.2. 模型的样本内拟合实证分析 4.2.1. 基于多项式样条函数的实证分析 根据样本发现大部分债券的期限为30年内，剩余期限大部分为8年内，因此本文选取3年和8年作为分界点，共选取94只国债作为参考债券。 本文运用eviews对多项式样条函数模型进行普通最小二乘法分析，结果显示模型具有异方差，异方差会导致参数估计量无效、使得变量的t检验无效，因此将债券的久期作为权重进行加权最小二乘法分析。通过最小二乘法得到简化方程的参数估计如表3所示： Table 3 Parameter estimates and T statistic 参数 取值 T统计量 伴随概率 b1 −0.052529 −1.93179 0.0636 c1 0.031863 1.518537 0.1401 d1 −1.01E−02 −2.19646 0.0365 d2 0.000941 0.75147 0.4586 d3 −5.70E−05 −2.21007 0.0361 表3. 参数估计值及t统计量 由表分析可得，该模型回归的变量十分显著。因此，模型的简约方程组为： { D 1 ( t ) = 1 − 0.053 t + 0.032 t 2 + 0.0010 t 3 ， t ∈ [ 0 ， t 1 ] D 2 ( t ) = 1 − 0.053 t + 0.032 t 2 + 0.0010 t 3 − 0.0006 ( t − 3 ) 3 ， t ∈ [ t 1 ， t 2 ] D 3 ( t ) = 1 − 0.053 t + 0.032 t 2 + 0.0010 t 3 − 0.0006 ( t − 3 ) 3 − 0.000957 ( t − 8 ) 3 ， t ∈ [ t 2 ， t 3 ] 国债的理论价格为： P ^ s k = ∑ t = 1 n k C i k D ( 0 ， t ) = ∑ i = 1 n k C i k exp ( − r ( t ) ∗ t ) ，   k = 1 ， 2 ， ⋯ ， K (4-1) 通过贴现函数与零息债券的即期利率的关系，借助matlab的cftool工具箱，则多项式样条函数模型拟合的利率期限结构曲线如下图1所示： 图1. 多项式样条函数模型拟合的利率期限结构 4.2.2. 基于NS模型的实证分析 根据远期利率与即期利率关系，可以得到即期利率与时间的函数关系。本文利用MATLAB基于非线性fminbnd函数算法进行参数估计。Fminbnd函数是求解约束性的非线性最小解的中型算法，利用fminbnd函数求出的参数估计如下： τ = 0.1374 ， β 0 = 0.038 ， β 1 = − 0.1716 ， β 2 = 0.00001 因此，函数的基本形式为： f ( t ) = 0.038 − 0.1716 e − t 0.1374 + 0.00001 t 0.1374 e − t 0.1374 根据以上模型，可以利用公式(3-2)求解即期利率，构建利率期限结构曲线图，然后利用即期利率与价格的关系求解国债的理论价格。 根据样本内数据，基于NS模型的利率期限结构图形如图2所示： 图2. NS模型拟合的利率期限结构 由结合图1和图2，能观察到符合各自理论的趋势。如前者，整体趋势短期内上升较快，中期趋于平稳，最远端上升趋势加快，表明多样式样条函数对于远期利率拟合较差；后者，短期上升较快，中远期趋势平稳且持久，符合NS模型水平因子的经济含义。 4.2.3. 基于组合优化模型的实证分析 在进行熵权法时，首先我们可以确定两种模型和两种准则所得到的一个2 × 2的模型的效果评价准则的矩阵，然后对矩阵进行规范化处理，得到规范化的矩阵，根据公式(2-1)、(2-2)、(2-3)、(2-4)确定的均方误差重要性熵值为1.050751，平均绝对误差的重要性熵值为0.85997，则赋予多项式样条函数的权重为0.5315，而NS模型的为0.4685。 利用matlab做出的基于组合预测所得到的利率曲线结构图3为： 图3. 组合优化模型的利率期限结构 由图3可得，组合优化模型拟合的利率期限结构模型的形状比较复杂，利率随着时间呈上升趋势，在短期(0~5年)内，利率平稳上升，在中期(5~10年)利率上升速度变慢，随着期限越长，利率波动性较大。组合优化模型在远端的利率呈现快速上升状态是受到多项式样条函数模型的影响，但是比单一的多项式样条函数模型波动要小，在短期和中期的拟合较好。 4.2.4. 样本内的数据拟合的分析 根据第三章的建模原理，本文将多项式样条函数模型、NS模型以及组合模型分别定义为i种模型，将均方误差和平均绝对误差定义为j种准则。利用Eviews分析三种模型的理论价格和市场价格的拟合效果，得到的基于两种的准则的分析结果如表4所示： Table 4 Pricing fitting analysis results based on mean square error and mean absolute erro 评价准则 均方误差 平均绝对误差 模型的种类 平均值 中间值 最大值 最小值 标准差 平均值 中间值 最大值 最小值 标准差 多项式样条函数模型 0.1052 0.0217 2.5067 0 0.2853 0.0229 0.0152 0.1633 0.0002 0.0246 NS模型 0.2067 0.0292 3.9797 0 0.5718 0.0295 0.0177 0.2058 0.0002 0.0367 组合优化模型 0.0693 0.013 0.8534 0 0.1473 0.0185 0.0119 0.0953 0.0005 0.02 表4. 基于均方误差、平均绝对误差的定价拟合分析结果 由表4可得，在平均值、中间值和标准差三个指标上，组合优化模型优于其它两个单一模型，虽然组合优化模型的最小值比其它两个模型大，但不会影响组合优化模型在其它四项指标优于两个单一模型的结论。其中，上表显示的最小值并不是真正的最小值的数值，是拟合的精确度不足。 由图4和图5观察到，三个模型随着剩余期限拟合误差增加。从两个图形中可以观测到组合优化模型的误差在大部分时是小于两个单一模型的，即组合的模型优于两个单一模型。 图4. 基于均方误差的价格误差图 图5. 基于平均绝对误差的价格误差图 4.3. 模型的样本外预测实证分析 为了进一步地验证三种模型的拟合情况，故在选取样本时保留了34只国债作为样本外数据进行检测，然后基于均方误差和平均绝对误差进行国债定价分析 由表5可得到以下结论：1) 中间值的指标反映NS模型的中短期误差比较小；2) 组合优化模型在平均值和标准差的两个重要指标都优于两个单一模型，因此在均方误差和平均绝对误差的准则下组合优化模型的拟合优度得到了改进。 Table 5 Pricing fitting analysis results based on mean square error and mean absolute erro 评价准则 均方误差 平均绝对误差 模型的种类 平均值 中间值 最大值 最小值 标准差 平均值 中间值 最大值 最小值 标准差 多项式样条函数模型 0.4826 0.1211 5.8578 0.0009 1.0964 0.0825 0.0597 0.415 0.0051 0.0873 NS模型 0.917 0.0785 9.4012 6.89E-05 2.0408 0.102 0.0477 0.5258 0.0014 0.1306 组合优化模型 0.3397 0.0691 3.8438 2.05E-05 0.7817 0.067 0.045 0.3362 0.0008 0.0753 表5. 基于均方误差、平均绝对误差的定价拟合分析结果 由图6、图7可得，在短期内，三个模型拟合优度均较好，在长期时，组合优化模型仍是比较好，比较平稳。 图6. 基于均方误差的样本外数据的价格误差图 图7. 基于平均绝对误差的样本外数据的价格误差图