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user: 2. (2 + 1)维色散的长波方程的新精确解 为了求得(2 + 1)维色散的长波方程 { u y t + v x x + 1 2 ( u 2 ) x y = 0 v t + ( u v + u + u x y ) x = 0 ， (1) 的行波解，我们先设该方程的有如下形式的行波变换： u ( x ， y ， t ) = u ( ξ ) ， v ( x ， y ， t ) = v ( ξ )   ( ξ = k x + h y + w t + ξ 0 ) ， (2) 其中 k ， h ， w 为代定实常数， ξ 0 为任意实常数。把式(2)代入(2 + 1)维色散的长波方程，并且积分两次，积分常数设为零，可得 { h w u + k 2 v + 1 2 k h u 2 = 0 w v + k u v + k u + k 2 h u ξ ξ = 0 . (3) 设上面方程中的 u ( ξ ) 和 v ( ξ ) 为 的有限项级数形式，如下： u ( ξ ) = ∑ i = 1 n a i F i ( ξ ) + a 0 ， v ( ξ ) = ∑ i = 1 m b i F i ( ξ ) + b 0 ， (4) 而 F ( ξ ) 满足一阶非线性常微分方程： ( F ′ ) 2 = h 6 F 6 + h 4 F 4 + h 2 F 2 + h 0 . (5) 平衡非线性常微分方程(3)中的 u ( ξ ) 和 最高阶导数项与最高次非线性项，得 m = 2 ， n = 4 ，即 (6) 把式(6)代入非线性常微分方程(3)，并利用常微分方程(5)可以得到关于 F i ( ξ ) ， ( i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， 6 ) 的方程，设其各次方的系数为零，得到如下超越代数方程组： k h a 2 2 + 2 k 2 b 4 = 0 ， (7) k h a 1 a 2 + k 2 b 3 = 0 ， (8) k h ( a 1 2 + 2 a 0 a 2 ) + 2 k 2 b 2 + 2 h w a 2 = 0 ， (9) k h a 0 a 1 + k 2 b 1 + h w a 1 = 0 ， (10) k h a 0 2 + 2 k 2 b 0 + 2 h w a 0 = 0 ， (11) 8 k 2 h a 2 h 6 + k a 2 b 4 = 0 ， (12) 3 k 2 h a 1 h 6 + k ( a 1 b 4 + a 2 b 3 ) = 0 ， (13) 6 k 2 h a 2 h 4 + k ( a 0 b 4 + a 1 b 3 + a 2 b 2 ) + w b 4 = 0 ， (14) 2 k 2 h a 1 h 4 + k ( a 0 b 3 + a 1 b 2 + a 2 b 1 ) + w b 3 = 0 ， (15) 4 k 2 h a 2 h 2 + k ( a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 ) + w b 2 + k a 2 = 0 ， (16) k 2 h a 1 h 2 + k ( a 0 b 1 + a 1 b 0 ) + w b 1 + k a 1 = 0 ， (17) 2 k 2 h a 2 h 0 + k a 0 b 0 + w b 0 + k a 0 = 0 ， (18) 利用Maple求解以上超越代数方程组，得到下面这组解： a 1 = 0 ， b 1 = 0 ， b 3 = 0 ， a 2 = 4 k h 6 ， a 0 = k B ， b 4 = 8 ( b 0 + 1 ) h 6 2 4 h 2 h 6 − h 4 2 ， b 2 = 4 ( b 0 + 1 ) h 4 h 6 4 h 2 h 6 − h 4 2 ， h = ( b 0 + 1 ) h 6 k ( h 4 2 − 4 h 2 h 6 ) ， w = k 2 h 6 ( h 4 h 6 − B ) ， k为任意常数， (19) 而 b 0 由下式给出： 8 ( b 0 + 1 ) h 0 h 6 2 h 6 = ( 4 h 2 h 6 − h 4 2 ) ( B + b 0 h 4 h 6 ) ， (20) 其中， B = h 4 h 6 ± h 4 2 h 6 ( 3 b 0 + 1 ) − 8 b 0 h 2 h 6 2 b 0 + 1 。 情形1：当 h 2 > 0 时，非线性常微分方程(5)有如下双曲函数解： F 1 = ( − h 2 h 4 s e c h 2 ( h 2 ξ ) h 4 2 − h 2 h 6 ( 1 ± tanh ( h 2 ξ ) ) 2 ) 1 2 ， F 2 = ( h 2 h 4 c s c h 2 ( h 2 ξ ) h 4 2 − h 2 h 6 ( 1 ± coth ( h 2 ξ ) ) 2 ) 1 2 ， F 3 = 4 ( h 2 exp ( ± 2 h 2 ξ ) ( exp ( ± 2 h 2 ξ ) − 4 h 4 ) 2 − 64 h 2 h 6 ) 1 2 。将这些解代入式(6)，得到(2 + 1)维色散的长波方程的行波解为： { u 1 = k B + 4 k h 6 − h 2 h 4 s e c h 2 ( h 2 ξ ) h 4 2 − h 2 h 6 ( 1 ± tanh ( h 2 ξ ) ) 2 v 1 = b 0 − 4 ( b 0 + 1 ) 4 h 2 h 6 − h 4 2 { h 2 h 4 2 h 6 s e c h 2 ( h 2 ξ ) h 4 2 − h 2 h 6 ( 1 ± tanh ( h 2 ξ ) ) 2 − 2 ( h 2 h 4 h 6 s e c h 2 ( h 2 ξ ) h 4 2 − h 2 h 6 ( 1 ± tanh ( h 2 ξ ) ) 2 ) 2 } ， { u 2 = k B + 4 k h 6 h 2 h 4 c s c h 2 ( h 2 ξ ) h 4 2 − h 2 h 6 ( 1 ± coth ( h 2 ξ ) ) 2 v 2 = b 0 + 4 ( b 0 + 1 ) 4 h 2 h 6 − h 4 2 { h 2 h 4 2 h 6 c s c h 2 ( h 2 ξ ) h 4 2 − h 2 h 6 ( 1 ± coth ( h 2 ξ ) ) 2 + 2 ( h 2 h 4 h 6 c s c h 2 ( h 2 ξ ) h 4 2 − h 2 h 6 ( 1 ± coth ( h 2 ξ ) ) 2 ) 2 } ， { u 3 = k B + 64 k h 6 h 2 exp ( ± 2 h 2 ξ ) ( exp ( ± 2 h 2 ξ ) − 4 h 4 ) 2 − 64 h 2 h 6 v 3 = b 0 + 64 ( b 0 + 1 ) 4 h 2 h 6 − h 4 2 { h 2 h 4 h 6 exp ( ± 2 h 2 ξ ) ( exp ( ± 2 h 2 ξ ) − 4 h 4 ) 2 − 64 h 2 h 6 + ( 4 2 h 2 h 6 exp ( ± 2 h 2 ξ ) ( exp ( ± 2 h 2 ξ ) − 4 h 4 ) 2 − 64 h 2 h 6 ) 2 } ， 其中， ξ = k x + ( b 0 + 1 ) h 6 k ( h 4 2 − 4 h 2 h 6 ) y + k 2 h 6 ( h 4 h 6 − B ) t + ξ 0 ， k ， ξ 0 为任意常数。 情形2：当 h 2 > 0 ， h 4 2 − 4 h 2 h 6 > 0 时，非线性常微分方程(5)有如下双曲函数解： F 4 = ( 2 h 2 ± h 4 2 − 4 h 2 h 6 cosh ( 2 h 2 ξ ) − h 4 ) 1 2 ，把 F 4 代入式(6)，得到(2 + 1)维色散的长波方程的行波解为： { u 4 = k B + 4 k h 6 2 h 2 ± h 4 2 − 4 h 2 h 6 cosh ( 2 h 2 ξ ) − h 4 v 4 = b 0 + 8 ( b 0 + 1 ) 4 h 2 h 6 − h 4 2 { h 2 h 4 h 6 ± h 4 2 − 4 h 2 h 6 cosh ( 2 h 2 ξ ) − h 4 + ( 2 h 2 h 6 h 4 2 − 4 h 2 h 6 cosh ( 2 h 2 ξ ) ∓ h 4 ) 2 } ， 其中， ξ = k x + ( b 0 + 1 ) h 6 k ( h 4 2 − 4 h 2 h 6 ) y + k 2 h 6 ( h 4 h 6 − B ) t + ξ 0 ， k ， ξ 0 为任意常数。 情形3：当 时，非线性常微分方程(5)有如下三角函数解： ，把 F 5 代入式(6)，得到(2 + 1)维色散的长波方程的周期行波解为： { u 5 = k B + 4 k h 6 2 h 2 ± h 4 2 − 4 h 2 h 6 cos ( 2 − h 2 ξ ) − h 4 v 5 = b 0 + 8 ( b 0 + 1 ) 4 h 2 h 6 − h 4 2 { h 2 h 4 h 6 ± h 4 2 − 4 h 2 h 6 cos ( 2 − h 2 ξ ) − h 4 + ( 2 h 2 h 6 h 4 2 − 4 h 2 h 6 cos ( 2 − h 2 ξ ) ∓ h 4 ) 2 } 其中， ξ = k x + ( b 0 + 1 ) h 6 k ( h 4 2 − 4 h 2 h 6 ) y + k 2 h 6 ( h 4 h 6 − B ) t + ξ 0 ， k ， ξ 0 为任意常数。 情形4：当 h 2 > 0 ， h 4 2 − 4 h 2 h 6 < 0 时，非线性常微分方程(5)有如下双曲函数解： F 6 = ( 2 h 2 ± − h 4 2 + 4 h 2 h 6 sinh ( 2 h 2 ξ ) − h 4 ) 1 2 ，把 F 6 代入式(6)，得到(2 + 1)维色散的长波方程的行波解为： { u 6 = k B + 4 k h 6 2 h 2 ± − h 4 2 + 4 h 2 h 6 sinh ( 2 h 2 ξ ) − h 4 v 6 = b 0 + 8 ( b 0 + 1 ) 4 h 2 h 6 − h 4 2 { h 2 h 4 h 6 ± − h 4 2 + 4 h 2 h 6 sinh ( 2 h 2 ξ ) − h 4 + ( 2 h 2 h 6 − h 4 2 + 4 h 2 h 6 sinh ( 2 h 2 ξ ) ∓ h 4 ) 2 } 其中， ξ = k x + ( b 0 + 1 ) h 6 k ( h 4 2 − 4 h 2 h 6 ) y + k 2 h 6 ( h 4 h 6 − B ) t + ξ 0 ， k ， ξ 0 为任意常数。 情形5：当 h 2 < 0 ， h 4 2 − 4 h 2 h 6 < 0 时，非线性常微分方程(5)有如下三角函数解： F 7 = ( 2 h 2 ± − h 4 2 + 4 h 2 h 6 sin ( 2 − h 2 ξ ) − h 4 ) 1 2 ，把 F 7 代入式(6)，得到(2 + 1)维色散的长波方程的周期行波解为： { u 7 = k B + 4 k h 6 2 h 2 ± − h 4 2 + 4 h 2 h 6 sin ( 2 − h 2 ξ ) − h 4 v 7 = b 0 + 8 ( b 0 + 1 ) 4 h 2 h 6 − h 4 2 { h 2 h 4 h 6 ± − h 4 2 + 4 h 2 h 6 sin ( 2 − h 2 ξ ) − h 4 + ( 2 h 2 h 6 − h 4 2 + 4 h 2 h 6 sin ( 2 − h 2 ξ ) ∓ h 4 ) 2 } 其中， ξ = k x + ( b 0 + 1 ) h 6 k ( h 4 2 − 4 h 2 h 6 ) y + k 2 h 6 ( h 4 h 6 − B ) t + ξ 0 ， k ， ξ 0 为任意常数。 情形6：当 h 2 > 0 ， h 6 > 0 时，非线性常微分方程(5)有如下双曲函数解： F 8 = ( − h 2 s e c h 2 ( h 2 ξ ) h 4 ± 2 h 2 h 6 tanh ( h 2 ξ ) ) 1 2 ，把 F 8 代入式(6)，得到(2 + 1)维色散的长波方程的行波解为： { u 8 = k B + 4 k h 6 − h 2 s e c h 2 ( h 2 ξ ) h 4 ± 2 h 2 h 6 tanh ( h 2 ξ ) v 8 = b 0 + 4 ( b 0 + 1 ) h 4 h 6 4 h 2 h 6 − h 4 2 − h 2 s e c h 2 ( h 2 ξ ) h 4 ± 2 h 2 h 6 tanh ( h 2 ξ ) + 8 ( b 0 + 1 ) h 6 2 4 h 2 h 6 − h 4 2 ( − h 2 s e c h 2 ( h 2 ξ ) h 4 ± 2 h 2 h 6 tanh ( h 2 ξ ) ) 2 ， 其中， ξ = k x + ( b 0 + 1 ) h 6 k ( h 4 2 − 4 h 2 h 6 ) y + k 2 h 6 ( h 4 h 6 − B ) t + ξ 0 ， k ， ξ 0 为任意常数。 情形7：当 h 2 < 0 ， h 6 > 0 时，非线性常微分方程(5)有如下三角函数解： F 9 = ( − h 2 sec 2 ( − h 2 ξ ) h 4 ± 2 − h 2 h 6 tan ( − h 2 ξ ) ) 1 2 ，把 F 9 代入式(6)，得到(2 + 1)维色散的长波方程的周期行波解为： { u 9 = k B + 4 k h 6 − h 2 sec 2 ( − h 2 ξ ) h 4 ± 2 − h 2 h 6 tan ( − h 2 ξ ) v 9 = b 0 + 4 ( b 0 + 1 ) h 4 h 6 4 h 2 h 6 − h 4 2 − h 2 sec 2 ( − h 2 ξ ) h 4 ± 2 − h 2 h 6 tan ( − h 2 ξ ) + 8 ( b 0 + 1 ) h 6 2 4 h 2 h 6 − h 4 2 ( − h 2 sec 2 ( − h 2 ξ ) h 4 ± 2 − h 2 h 6 tan ( − h 2 ξ ) ) 2 其中， ξ = k x + ( b 0 + 1 ) h 6 k ( h 4 2 − 4 h 2 h 6 ) y + k 2 h 6 ( h 4 h 6 − B ) t + ξ 0 ， k ， ξ 0 为任意常数。 情形8：当 h 2 > 0 ， h 4 < 0 ， h 0 = 8 h 2 2 27 h 4 ， h 6 = h 4 2 4 h 2 时，非线性常微分方程(5)有如下三角函数解： F 10 = ( 8 h 2 tan 2 ( ± h 2 / 3 ξ ) 3 h 4 ( 3 − tan 2 ( ± h 2 / 3 ξ ) ) ) 1 2 ， ，将这些三角函数解代入式(6)，得到(2 + 1)维色散的长波方程的周期行波解为： { u 10 = k B + 4 k h 6 8 h 2 tan 2 ( ± h 2 / 3 ξ ) 3 h 4 ( 3 − tan 2 ( ± h 2 / 3 ξ ) ) v 10 = b 0 + 4 ( b 0 + 1 ) h 4 h 6 4 h 2 h 6 − h 4 2 8 h 2 tan 2 ( ± h 2 / 3 ξ ) 3 h 4 ( 3 − tan 2 ( ± h 2 / 3 ξ ) ) + 8 ( b 0 + 1 ) h 6 2 4 h 2 h 6 − h 4 2 ( 8 h 2 tan 2 ( ± h 2 / 3 ξ ) 3 h 4 ( 3 − tan 2 ( ± h 2 / 3 ξ ) ) ) 2 ， { u 11 = k B + 4 k h 6 8 h 2 cot 2 ( ± h 2 / 3 ξ ) 3 h 4 ( 3 − cot 2 ( ± h 2 / 3 ξ ) ) v 11 = b 0 + 4 ( b 0 + 1 ) h 4 h 6 4 h 2 h 6 − h 4 2 8 h 2 cot 2 ( ± h 2 / 3 ξ ) 3 h 4 ( 3 − cot 2 ( ± h 2 / 3 ξ ) ) + 8 ( b 0 + 1 ) h 6 2 4 h 2 h 6 − h 4 2 ( 8 h 2 cot 2 ( ± h 2 / 3 ξ ) 3 h 4 ( 3 − cot 2 ( ± h 2 / 3 ξ ) ) ) 2 ， 其中， ξ = k x + ( b 0 + 1 ) h 6 k ( h 4 2 − 4 h 2 h 6 ) y + k 2 h 6 ( h 4 h 6 − B ) t + ξ 0 ， 为任意常数。