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user: 2. 研究方法 2.1. 贝叶斯模型加权平均方法 贝叶斯模型平均方法是对预报成员的分布函数加权平均，降低预报量的不确定性，得到更为可靠的后验分布函数，其原理如下： p ( h | s 1 ， s 2 ， ⋯ ， s i ， H ) = ∑ i = 1 k p ( s i | H ) ⋅ p ( h | s i ， H ) (1) 式中：h是预报量；H表示实测流量；k是模型个数； s i 是各个模型的预报值； p ( s i | H ) 是给定实测数据H，第i模型预报值 s i 的后验概率，反映了预报值与实测流量的匹配程度，可视为BMA方法的权重 w i ， ∑ i = 1 k w i = 1 。预报结果越好，其所分配的权重就越大； p ( h | s i ， H ) 是给定第i模型预报值 s i 和实测数据H，预报量h的后验概率密度。 在实际应用中，径流系列往往不服从正态分布，需要采用Box-Cox转换法，将偏态变量转换为正态变量，具体公式如下： s ^ = { s θ − 1 θ               θ ≠ 0 ln ( s )                 θ = 0 (2) 式中： θ 为Box-Cox变换系数， s ^ 为正态变换后的变量。 Sloughter [ 11 ] 等对BMA方法进行了改进，假设非正态分布变量服从Gamma分布，即公式(1)中的 p ( h | s i ， H ) 可由Gamma分布概率密度函数来表达： h ( x | α ， β ) = 1 β α ⋅ Γ ( α ) ⋅ x α − 1 ⋅ e − x b ， x > 0 (3) 式中： Γ ( ⋅ ) 代表伽马函数； α ， β 分别为伽马分布的参数，可根据变量的均值和方差进行计算： α = μ 2 σ 2 ，     β = σ 2 μ (4) 在M-BMA方法中，分布的统计参数均值和标准差可以由各个模型的预报值估计得到： μ = b 0 k + b 1 k ⋅ s k ，     σ 2 = ( c 0 k + c 1 k ⋅ s k ) 2 (5) 式中： s k 是每个模型的预报值； b 0 k ， b 1 k ， c 0 k ， c 1 k 分别是需要估计的参数；其中 b 0 k ， b 1 k 可通过线性回归进行估计得到，假定每个模型的 c 0 k ， c 1 k 是相同的，即为 c 0 ， c 1 。 M-BMA方法的表达式为： p ( h | s 1 ， s 2 ， ⋯ ， s k ) = ∑ i = 1 k w i ⋅ g i ( h | s i ) (6) 式中： w i 为每个模型预报值的权重。 两种统计后处理方法得到后验概率预报的期望值作为确定性预报结果，并且可以与集合预报成员进行对比，期望值采用下式计算： E ( h | s 1 ， s 2 ， ⋯ ， s k ) = ∫ 0 + ∞ h ⋅ p ( h | s 1 ， s 2 ， ⋯ ， s i ) d h (7) 有相关研究表明，基于正态分布的BMA方法在采用期望最大化(EM)算法估计参数时具有较强的鲁棒性，在应用BMA方法变种时采用全局优化算法较为合适 [ 13 ]。因此，BMA和M-BMA方法的参数分别采用EM算法和拟牛顿法中的BFGS算法进行估计，BFGS算法的优化目标函数为连续概率排位分数(CRPS)。 2.2. 模型评价指标 采用纳什效率系数(NSE)和径流总量相对误差(RE)以及平均绝对误差(MAE) 3个常用指标对确定性预报结果精度进行评价。采用Q-Q图、可靠性(α_index)和连续概率排位分数(CRPS)等指标来评定概率预报的性能。采用覆盖率(CR)、平均带宽(B)和单位平均相对区间宽度所包含的实测点据比例(PUCI)来评价预报置信区间的优良性。 2.2.1. 确定性预报 1) 纳什效率系数(NSE) NSE = ( 1 − ∑ t = 1 T ( h t − s t ) 2 ∑ t = 1 T ( h t − h ¯ ) 2 ) × 100 % (8) 2) 径流总量相对误差(RE) RE = ∑ t = 1 T s t − ∑ t = 1 T h t ∑ t = 1 T h t × 100 % (9) 3) 平均绝对误差(MAE) MAE = ∑ t = 1 T | h t − s t | T (10) 式中： h t ， s t 分别是t时刻实测流量和预报流量； h ¯ 是实测流量均值。 NSE表明预报流量与实测流量模拟精度，NSE越接近于1，表明精度越高，模型方法越优。RE的绝对值越小，表明实测流量总量和预报流量总量误差越小。MAE表征预报流量与实测流量之间的平均误差，MAE越小，精度越高。 2.2.2. 概率预报 1) Q-Q图。Q-Q图通过比较预报值概率分布与实测值概率分布的差异，从概率角度检验预报概率分布的准确性 [ 14 ]。设第t个时段的预报累积分布函数为 F t ( x ) ，P值是第t个时段实测流量 h t 对应的预报累积概率分布函数值，记为 P t = F t ( h t ) 。如果预报概率分布与实测值的概率分布相同，则 P t 符合标准均匀分布 U ~ ( 0 ， 1 ) ，对应于Q-Q图中的1:1线，否则就反映了预报概率的偏差。Q-Q图曲线越接近于1:1线，概率预报结果越合理。图1为概率预报Q-Q示意图 [ 15 ]。 2) 可靠性(α_index)。α_index用来定量描述可靠性的高低 [ 16 ]，计算公式如下： α _index = 1 − 2 T ∑ t = 1 T ( | q e m ( P t ) − q t h ( P t ) | ) (11) 式中： q e m ( P t ) 为P值的经验分位数，通过数学期望公式计算； q t h ( P t ) 为通过标准均匀分布 U ~ ( 0 ， 1 ) 计算得到的P值理论分位数。α_index取值为0~1，取值越接近1，表明概率预报可靠性越高。 3) 连续概率排位分数(CRPS)。连续概率排位分数是结合可靠性和集中度的综合指标，是评估概率预报结果总体效果的标准方法 [ 15 ]，数学表达式为： 图1. 概率预报Q-Q示意图 CRPS = 1 T ∑ t = 1 T ∫ 0 + ∞ ( F t ( r ) − H s ( r − h t ) ) 2 d r (12) 式中： F t ( x ) 是第t时段预报流量的累积分布函数； h t 是第t时段的实测流量；积分变量r表示流量； H s ( r − h t ) 是实际流量的累积分布函数，当 r < h t 时等于0，否则等于1。 当预报结果为单一确定性值时，CRPS变为平均绝对误差(MAE) [ 3 ]。CRPS指标是沟通确定性预报和概率预报的桥梁 [ 12 ]，使得我们可以更加直观地比较确定性预报和概率预报结果的性能优劣，CRPS越低表示预报结果越好。 4) 覆盖率(CR)和平均带宽(B)。覆盖率是指预报区间覆盖实测流量数据的比率，是最常用的预报区间评价指标。 CR = n T (13) B = 1 T ∑ t = 1 T ( h t u − h t l ) (14) 式中：n为预报区间覆盖的实测数据个数，T为总样本个数； h t u ， h t l 分别为第t时刻的预报区间的上界和下界。 5) 单位平均相对区间宽度所包含的实测点据比例(PUCI) PUCI = CR RB (15) 式中：RB为相对平均带宽，计算公式为 RB = 1 T ∑ t = 1 T ( ( h t u − h t l ) h t ) × 100 % 。PUCI是综合覆盖率和平均相对带宽评价预报区间优良性的指标。对于指定的置信水平，在保证有较高的覆盖率前提下，预报区间平均相对带宽越下越好。PUCI值越大，预报区间表现优良。