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user: 2. ZZ分布的参数估计 2.1. 首先介绍ZZ分布及其相关结论 定义1 [ 12 ] 若随机变量X的分布函数为 F ( t ) = 1 − exp { 1 − e ( t η ) m } ， t > 0     ( m > 0 ， η > 0 ) 称X服从参数为 m ， η 的ZZ分布，记为 X ~ Z Z ( m ， η ) 。 引理2 [ 14 ] 若 X ~ B e ( a ， b ) ，则 b a X 1 − X ~ F ( 2 a ， 2 b ) 。 引理3 设 B i ，则有 ∫ 0 c x a − 1 ( 1 − x ) b − 1 d x = Γ ( a ) Γ ( b ) Γ ( a + b ) F ( 2 a ， 2 b ， b a c 1 − c ) 其中 F ( 2 a ， 2 b ， x ) 为 F ( 2 a ， 2 b ) 分布的分布函数。 证明 设 X ~ B e ( a ， b ) ， 2.2. 基于频率方法的参数估计及性质 模型 假设元件的寿命 X ~ z z ( m ， η ) ，即分布函数为 F ( t ) = 1 − exp { e 1 − e ( t η ) m } ≜ 1 − exp { 1 − e 1 − e t m β } 对元件做如下成败实验，时间节点为 t 1 ， t 2 ， ⋯ ， t l 。对每个 t j 对应的试验投入 n j 个样品，到 t j 时刻有 f j 个失效。 对于上面模型，由于 ln ln ( 1 − ln ( 1 − F ( t ) ) ) = m ln t − ln β 将时间节点代入得 ln ln ( 1 − ln ( 1 − F ( t j ) ) ) = m ln t j − ln β ，   j = 1 ， 2 ， ⋯ ， l 用 f j n j 来估计 P j = F ( t j ) ，如果 f j n j = 0 ，或 f j n j = 1 ，则用其修正估计替代，仍记为 f j n j ，那么有 ln ln [ 1 − ln ( 1 − f j n j ) ] = m ln t j − ln β + ε j ，   j = 1 ， 2 ， ⋯ ， l 其中 ε j 为估计误差。 记 y j = ln ln [ 1 − ln ( 1 − f j n j ) ] ，   x j = ln t j ，   β 0 = − ln β ，   β 1 = m 则 y j = β 0 + β 1 x j + ε j ，   j = 1 ， 2 ， ⋯ ， l (1) 进一步令 Y = ( y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y l ) T ， B = ( β 0 ， β 1 ) T X = ( 1 x 1 1 x 2 ⋮ ⋮ 1 x l ) ， ε = ( ε 1 ε 2 ⋮ ε l ) 则(1)式变为 Y = X B + ε ，则B的简单最小二乘估计为 B ^ = ( X T X ) − 1 X T Y ≜ ( β ^ 0 ， β ^ 1 ) T 那么有 β ^ = e − β ^ 0 ， m ^ = β ^ 1 (2) 可以证明该估计具有渐近正态性。记 p ^ j = f j n j 由中心极限定理 [ 15 ] n j ( p ^ j − p j ) → L N ( 0 ， p j ( 1 − p j ) ) ;   j = 1 ， 2 ， ⋯ ， l 假设 n n j ≜ min 1 ≤ j ≤ l { n j } n j → λ j 2   ( n → ∞ ) 则 n ( p ^ j − p j ) → L N ( 0 ， λ j 2 p j ( 1 − p j ) ) 进而有 n ( ( p ^ 1 p ^ 2 ⋮ p ^ l ) − ( p 1 p 2 ⋮ p l ) ) → L N ( 0 ， Σ ) 这里 Σ = d i a g ( λ 1 2 p 1 ( 1 − p 1 ) ， λ 2 2 p 2 ( 1 − p 2 ) ， ⋯ ， λ l 2 p l ( 1 − p l ) ) 。那么有 n ( y j − ( β 0 + β 1 x j ) ) → L N ( 0 ， σ j 2 ) 其中 σ j 2 = ( ∂ ln ln ( 1 − ln ( 1 − x ) ) ∂ x | x = p j ) 2 λ j 2 p j ( 1 − p j ) = λ j 2 p j ( 1 − p j ) [ ( 1 − p j ) ( 1 − ln ( 1 − p j ) ) ] ln ln [ 1 − ln ( 1 − p j ) ] 2 所以 n ( ( y 1 y 2 ⋮ y l ) − ( β 0 + β 1 x 1 β 0 + β 1 x 2 ⋮ β 0 + β 1 x l ) ) → L N ( 0 ， Σ ∗ ) 其中 Σ ∗ = d i a g ( σ 1 2 ， σ 2 2 ， ⋯ ， σ l 2 ) 则 n ( B ^ − B ) → L N ( 0 ， ( X T X ) − 1 X T Σ ∗ X ( X T X ) − 1 ) 令 ( m β ) = ( β 1 e − β 0 ) ≜ ( g 1 ( β 0 ， β 1 ) g 0 ( β 0 ， β 1 ) ) 则 ( ∂ g 1 ∂ β 0 ∂ g 1 ∂ β 1 ∂ g 2 ∂ β 0 ∂ g 2 ∂ β 1 ) = ( 0 1 − e − β 0 0 ) ≜ Q 故 n ( ( m ^ β ^ ) − ( m β ) ) → L N ( 0 ， Q ( X T X ) − 1 X T Σ ∗ X ( X T X ) − 1 Q T ) 即该估计具有渐近正态性。 2.3. 基于Bayes方法的参数估计及性质 在模型中，不妨设时间节点为 t 1 < t 2 < ⋯ < t l ，对每个 t j 对应的试验投入 n j 个样品，到 t j 时刻有 f j 个失效，无失效个数为 r j = n j − f j ，   r j ≤ n j ，   j = 1 ， 2 ， ⋯ ， l 在 t j 时刻，可靠度 R ( t j ) 的估计自然可取 R ^ ( t j ) = r j n j ≜ R ^ j 当然希望 R ^ 1 ≥ R ^ 2 ≥ ⋯ ≥ R ^ l ，但由于样本的随机性，这种序关系未必成立，这种情况称为数据倒挂。采用数据倒挂的一般方法，对每个 R ^ j 进行修正，使之序关系成立。为方便起见修正后的数据依然记为 R ^ j ，此时序关系 R ^ 1 ≥ R ^ 2 ≥ ⋯ ≥ R ^ l 成立。记 Q j = [ R ^ j n j ]   ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， l ) 符号 [ x ] 表示取x的整数部分。 Q j 表示 r j 的修正，可认为 Q j ~ B ( n j ， R j ) ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， l ) 其中 R j = R ( t j ) 。 由于 R ^ 1 ≥ R ^ 2 ≥ ⋯ ≥ R ^ l ，一旦有 R ^ 1 = 1 (无失效数出现)，若用 R ^ 1 来估计 R ( t 1 ) 显然不合适，所以借鉴处理无失效数据的办法，取 R ˜ 1 = { Q 1 + 0.5 n 1 + 1 = r 1 + 0.5 n 1 + 1 ，       R ^ 1 = 1 R ^ 1 ，               R ^ 1 < 1 由文献 [ 10 ] 可知 R 2 < exp { 1 − ( 1 − ln R 1 ) t 2 t 1 } 记 R 2 * = exp { 1 − ( 1 − ln R ˜ 1 ) t 2 t 1 } 当对 R 2 没有更多信息时，那么可取 R 2 的先验分布是均匀分布 U ( 0 ， R 2 * ) ，根据 Q 2 ~ B ( n 2 ， R 2 ) ，可得到 R 2 的后验密度为 π ( R 2 | Q 2 ) = R 2 Q 2 ( 1 − R 2 ) n 2 − Q 2 ∫ 0 R 2 * R 2 Q 2 ( 1 − R 2 ) n 2 − Q 2 d R 2 ， ( 0 < R 2 < R 2 * ) 所以 R 2 的贝叶斯估计 R ˜ 2 为 R ˜ 2 = ∫ 0 R 2 * R 2 Q 2 + 1 ( 1 − R 2 ) n 2 − Q 2 d R 2 ∫ 0 R 2 * R 2 Q 2 ( 1 − R 2 ) n 2 − Q 2 d R 2 由引理3可知 ∫ 0 R 2 * R 2 Q 2 + 1 ( 1 − R 2 ) n 2 − Q 2 d R 2 = Γ ( Q 2 + 2 ) Γ ( n 2 − Q 2 + 1 ) Γ ( n 2 + 3 ) F ( 2 ( Q 2 + 2 ) ， 2 ( n 2 − Q 2 + 1 ) ， n 2 − Q 2 + 1 Q 2 + 2 ⋅ R 2 * 1 − R 2 * ) ∫ 0 R 2 * R 2 Q 2 ( 1 − R 2 ) n 2 − Q 2 d R 2 = Γ ( Q 2 + 1 ) Γ ( n 2 − Q 2 + 1 ) Γ ( n 2 + 2 ) F ( 2 ( Q 2 + 1 ) ， 2 ( n 2 − Q 2 + 1 ) ， n 2 − Q 2 + 1 Q 2 + 1 ⋅ R 2 * 1 − R 2 * ) 所以 R ˜ 2 = Q 2 + 1 n 2 + 2 F ( 2 ( Q 2 + 2 ) ， 2 ( n 2 − Q 2 + 1 ) ， n 2 − Q 2 + 1 Q 2 + 1 ⋅ R 2 * 1 − R 2 * ) F ( 2 ( Q 2 + 1 ) ， 2 ( n 2 − Q 2 + 1 ) ， n 2 − Q 2 + 1 Q 2 + 1 ⋅ R 2 * 1 − R 2 * ) 又由于 R 3 < exp { 1 − ( 1 − ln R 2 ) t 3 t 2 } 记 R 3 * = exp { 1 − ( 1 − ln R ˜ 2 ) t 3 t 2 } 那么可取 R 3 的先验分布是均匀分布 U ( 0 ， R 3 * ) ，根据 Q 3 ~ B ( n 3 ， R 3 ) ，同理可得到 R 3 的贝叶斯估计 R ˜ 3 为 R ˜ 3 = Q 3 + 1 n 3 + 2 F ( 2 ( Q 3 + 2 ) ， 2 ( n 3 − Q 3 + 1 ) ， n 3 − Q 3 + 1 Q 3 + 1 ⋅ R 3 * 1 − R 3 * ) F ( 2 ( Q 3 + 1 ) ， 2 ( n 3 − Q i 3 + 1 ) ， n 3 − Q 3 + 1 Q 3 + 1 ⋅ R 3 * 1 − R 3 * ) 依此类推可得到 R ˜ i 4 ， R ˜ i 5 ， ⋯ ， R ˜ i l i 的贝叶斯估计。 易知，这些贝叶斯估计满足 1 > R ˜ 1 ≥ R ˜ 2 ≥ ⋯ ≥ R ˜ l > 0 。由于元件的可靠度函数为 R ( t ) = exp { 1 − e t m β } 那么有 ln ln ( 1 − ln R ( t ) ) = − ln β + m ln t 用 R ˜ j 去估计 R ( t j ) 其误差记为 ε j ，则得到 ln ln ( 1 − ln R ˜ j ) = − ln β + m ln t j + ε j   ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， l ) (4) 记 Y j = ln ln ( 1 − ln R ˜ j ) ， Y = ( Y 1 ， Y 2 ， ⋯ ， Y l ) T ， B = ( − ln β ， m ) T X = ( 1 ln t 1 1 ln t 2 ⋮ ⋮ 1 ln t l ) ， ε = ( ε 1 ε 2 ⋮ ε l ) 则(4)式可表示为 Y = X B + ε ，由此 B i 的最小二乘估计为 B ^ = ( X T X ) − 1 X T Y 记 ξ 1 = ( 1 ， 0 ) T ， ξ 2 = ( 0 ， 1 ) T ，那么有 { β ^ = e − ξ 1 T B ^ m ^ = ξ 2 T B ^ (5) 2.4. 算例 参数的真值和样本容量设定数如表1。 Table 1 True value of parameters and number of test sample 寿命分布 ( m 真 ， η 真 ) n Z Z ( m ， η ) ( 3 ， 6 ) 20 表1. 参数真值和试验样品数 由Monte-Carlo模拟法，在每个设定的时间节点分别产生样本总数为n，寿命服从ZZ分布的成败数据，如表2。 Table 2 Failure frequency table of each time nod f j / n j t 1 = 2.5 t 2 = 3 t 3 = 3.5 t 4 = 4 t 5 = 4.5 t 6 = 5 t 7 = 5.5 频率 0/20 1/20 3/20 5/20 6/20 10/20 16/20 表2. 各时间节点失效频率表 表3基于Bayes方法，模拟列出各时间节点的 R ^ j ， Q j ， R ˜ j 数值。 Table 3 Value of each R ^ j ， Q j ， R ˜ j = 1 j = 2 j = 3 j = 4 j = 5 j = 6 j = 7 R ^ j 20/20 19/20 17/20 15/20 14/20 10/20 4/20 Q j 20 19 17 15 14 10 4 R ˜ j 0.9762 0.9092 0.8186 0.7279 0.6806 0.5015 0.2279 表3. 各 R ^ j ， Q j ， R ˜ j 的值 由此得到参数m和 η 的估计如表4。 Table 4 Estimation of parameters m and 寿命分布 ( m 真 ， η 真 ) ( m ^ 频 ， η ^ 频 ) ( m ^ B a y e s ， η ^ B a y e s ) Z Z ( m ， η ) ( 3 ， 6 ) ( 3.3364 ， 5.6254 ) ( 3.1820 ， 5.6324 ) 表4. 参数m和 η 的估计