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user: 3. 几个含时演化量子系统 在这里，我们举若干含时演化量子系统的例子。这些例子包括：约瑟夫森隧穿电流效应、二能级原子在经典光场下的Rabi振荡、运动中子或电子磁矩与电磁场的耦合等。 如果两块超导体之间有(使用某种介质或真空间隙隔离的)弱接触或弱连接(根据简要分析或者根据有关固体理论、超导物理学或量子物理学专著 [ 51 ]，研究人员知道可以用几纳米到几十纳米厚的绝缘体材料形成弱接触或弱连接；对于自由电子密度越大的弱连接材料，间隙厚度允许更大一点，例如一些资料如 [ 51 ] 所引用的超导隧穿电流文献表明，由于超导电子库伯对本身几何尺寸或空间上的相干长度有微米或若干微米量级 [ 11 ]，那么使用稍厚一点的几百纳米宽的半导体材料或更厚的几千纳米尺寸的金属材料来连接该两超导体，也有可能造成两块超导体之间的弱连接效果 [ 51 ] )，超导体之间就有隧道贯穿电流，此谓约瑟夫森(Josephson)隧穿电流效应，两块超导体之间的电子库伯对波函数相位之间有关联 [ 51 ]。这是比较容易理解的，因为电子库伯对的波长比较长，长于弱接触间隔距离。我们设左右两块超导体内的库伯电子对的波函数分别是 ψ 1 和 ψ 2 ，那么约瑟夫森隧穿效应的费曼方程是 [ 51 ]。 i ℏ ∂ ψ 1 ∂ t = ε 2 ψ 1 + K ψ 2 ，     i ℏ ∂ ψ 2 ∂ t = − ε 2 ψ 2 + K * ψ 1 。 该方程也可以写为矩阵形式 i ℏ ∂ ∂ t ( ψ 1 ψ 2 ) = ( ε 2 K K * − ε 2 ) ( ψ 1 ψ 2 ) ≡ H ( ψ 1 ψ 2 ) 。 上述Schrödinger方程的哈密顿量H可以写为三个泡利矩阵的线性叠加。这类方程比较典型，除了约瑟夫森超导结，很多二态系统(如二能级原子、在磁场中进动的电子或中子自旋、耦合波导体系如两根临近波导线之间的耦合系统)以及所有哈密顿量满足SU(2)群结构的体系的动力学效应均可以用该方程来描述(以上这些体系可在量子力学、量子光学以及导波光学教材内找到)。如果哈密顿量不含时间，那么该系统没有几何相位。如果耦合系数K有一含时因子，如 K → K e i ω t (这可以通过添加一个磁通量来实现，磁通量可以让约瑟夫森效应耦合系数K由实数变为复数) [ 51 ]，那么此时描述约瑟夫森效应的费曼方程是 i ℏ ∂ ψ 1 ∂ t = ε 2 ψ 1 + K e i ω t ψ 2 ， i ℏ ∂ ψ 2 ∂ t = − ε 2 ψ 2 + K * e − i ω t ψ 1 。 我们可以定义一个新的波函数 ψ ˜ 1 = ψ 1 e i α t ， ψ ˜ 2 = ψ 2 e i β t 。于是计算得到 i ℏ ∂ ψ ˜ 1 ∂ t = i ℏ ∂ ψ 1 ∂ t e i α t − ℏ α ψ ˜ 1 = ( ε 2 ψ 1 + K ψ 2 e i ω t ) e i α t − ℏ α ψ ˜ 1 = ( ε 2 − ℏ α ) ψ ˜ 1 + K ψ 2 e i ( α t + ω t ) ； i ℏ ∂ ψ ˜ 2 ∂ t = i ℏ ∂ ψ 2 ∂ t e i β t − ℏ β ψ ˜ 2 = ( − ε 2 ψ 2 + K * ψ 1 e − i ω t ) e i β t − ℏ β ψ ˜ 2 = ( − ε 2 − ℏ β ) ψ ˜ 2 + K * ψ 1 e i ( β t − ω t ) 。 我们希望 ψ 2 e i ( α t + ω t ) = ψ ˜ 2 = ψ 2 e i β t 、 ψ 1 e i ( β t − ω t ) = ψ ˜ 1 = ψ 1 e i α t ，也就是 β − α = ω 。那么 ψ ˜ 1 和 ψ ˜ 2 就化为了如下形式 i ℏ ∂ ψ ˜ 1 ∂ t = ( ε 2 − ℏ α ) ψ ˜ 1 + K ψ ˜ 2 ， i ℏ ∂ ψ ˜ 2 ∂ t = ( − ε 2 − ℏ β ) ψ ˜ 2 + K * ψ ˜ 1 。 为了方便，我们可以将哈密顿量写为三个泡利矩阵的线性叠加，由此要求 ε 2 − ℏ α = − ( − ε 2 − ℏ β ) ，也 即 β = − α 。于是，我们可以取 β = − α = ω / 2 (其它虽满足 β − α = ω 但不满足 β = − α 的 α ， β 也是允许的。所有多种选择之间无非仅仅差了一个或几个幺正变换)。现在我们看到，原本耦合系数含有“时谐振荡因子” e ± i ω t 的哈密顿量，通过一个幺正变换，就变为了不含时的哈密顿量。由此说明，耦合系数含“时谐振荡因子”的哈密顿量系统，不带有几何相位。但是，如果哈密顿量的耦合系数含时因子不能写成时谐振荡因子 e ± i ω t ，那么就不存在这么一个简单的幺正变换，因此也就无法将含时的哈密顿量变换为定态(不含时)的哈密顿量，这样的系统肯定会携带几何相位。 上述超导约瑟夫森效应方程的矩阵形式的哈密顿量可以写为三个SU(2)生成元的叠加形式： ( ε 2 K K * − ε 2 ) = K ( 0 1 0 0 ) + K * ( 0 0 1 0 ) + ε 2 ( 1 0 0 − 1 ) = K J + + K * J − + ε J 3 = ℏ ω 0 { 1 2 sin θ exp [ − i φ ] J + + 1 2 sin θ exp [ i φ ] J − + cos θ J 3 } 。 以上已经将哈密顿量参数化了。我们由此可以得到如下一组关系： ℏ ω 0 cos θ = ε ， ℏ ω 0 1 2 sin θ exp [ − i φ ] = K ， ℏ ω 0 1 2 sin θ exp [ i φ ] = K * 及 ( ℏ ω 0 ) 2 = ε 2 + 4 K * K 。 二能级原子系统(在光场驱动下)的几率幅方程 [ 52 ] [ 53 ] 与约瑟夫森效应的费曼方程 [ 51 ] 在数学结构上是一模一样的。这可以讨论如下：设二能级系统 { | 1 〉 ， | 2 〉 } 的几率幅为 a 1 、 a 2 ( | 1 〉 是低能级、 | 2 〉 是高能级)，频率失谐 Δ 定义为 Δ = ω 21 − ω ( ω 21 是跃迁频率， ω 为驱动 | 1 〉 − | 2 〉 跃迁的光场的频率)，按照量子力学Schrödinger方程，二能级原子系统(在光场驱动下)的常用的几率幅方程是 [ 52 ] [ 53 ] a ˙ 1 = i 2 Ω * a 2 ， a ˙ 2 = − i Δ a 2 + i 2 Ω a 1 。 此方程在所有量子光学教材中都能找到。为了能将它的哈密顿量写成三个泡利矩阵的组合，我们重新定义几率幅：设 a ˜ 1 = a 1 exp ( i Δ t / 2 ) ， a ˜ 2 = a 2 exp ( i Δ t / 2 ) ，于是计算如下 ∂ a ˜ 1 ∂ t = a ˙ 1 exp ( i Δ t / 2 ) + ( i Δ / 2 ) a ˜ 1 = i 2 Ω * a 2 exp ( i Δ t / 2 ) + ( i Δ / 2 ) a ˜ 1 = i Δ 2 a ˜ 1 + i 2 Ω * a ˜ 2 ， ∂ a ˜ 2 ∂ t = a ˙ 2 exp ( i Δ t / 2 ) + ( i Δ / 2 ) a ˜ 2 = ( − i Δ a 2 + i 2 Ω a 1 ) exp ( i Δ t / 2 ) + ( i Δ / 2 ) a ˜ 2 = − i 2 Δ a ˜ 2 + i 2 Ω a ˜ 1 。 我们就有新的几率幅方程 ∂ a ˜ 1 ∂ t = i Δ 2 a ˜ 1 + i 2 Ω * a ˜ 2 ， ∂ a ˜ 2 ∂ t = − i 2 Δ a ˜ 2 + i 2 Ω a ˜ 1 。 它可以写为矩阵方程形式 i ℏ ∂ ∂ t ( a ˜ 1 a ˜ 2 ) = ( − ℏ Δ 2 − 1 2 ℏ Ω * − 1 2 ℏ Ω ℏ Δ 2 ) ( a ˜ 1 a ˜ 2 ) ≡ H ( a ˜ 1 a ˜ 2 ) 。 此方程在数学结构上与约瑟夫森效应的费曼方程是一模一样的( ε → − ℏ Δ ， K → − 1 2 ℏ Ω * ， K * → − 1 2 ℏ Ω )。 当然，我们也可以有更为简单的论证：在如下方程 ∂ ∂ t ( a 1 a 2 ) = ( 0 i 2 Ω * i 2 Ω − i Δ ) ( a 1 a 2 ) 的基础之上，在哈密顿量上可以新添加一个单位矩阵的能量算符，即 H = ( 0 i 2 Ω * i 2 Ω − i Δ ) = ( i Δ 2 i 2 Ω * i 2 Ω − i Δ 2 ) − ( i Δ 2 0 0 i Δ 2 ) 。 于是只要定义 ( a 1 a 2 ) = ( a ˜ 1 a ˜ 2 ) exp ( − i Δ 2 t ) ，我们就有 ∂ ∂ t ( a 1 a 2 ) = [ ∂ ∂ t ( a ˜ 1 a ˜ 2 ) ] exp ( − i Δ 2 t ) + ( − i Δ 2 ) ( a ˜ 1 a ˜ 2 ) exp ( − i Δ 2 t ) 。 从而有 [ ∂ ∂ t ( a ˜ 1 a ˜ 2 ) ] exp ( − i Δ 2 t ) + ( − i Δ 2 ) ( a ˜ 1 a ˜ 2 ) exp ( − i Δ 2 t ) = ( i Δ 2 i 2 Ω * i 2 Ω − i Δ 2 ) ( a ˜ 1 a ˜ 2 ) exp ( − i Δ 2 t ) − ( i Δ 2 0 0 i Δ 2 ) ( a ˜ 1 a ˜ 2 ) exp ( − i Δ 2 t ) 。 最终我们得到矩阵形式的新的几率幅方程： ∂ ∂ t ( a ˜ 1 a ˜ 2 ) = ( i Δ 2 i 2 Ω * i 2 Ω − i Δ 2 ) ( a ˜ 1 a ˜ 2 ) 。 在中子、电子自旋磁矩与磁感应强度相互作用的体系中，哈密顿量是 H = − μ ⋅ B 。如果在空间上放置一个电场 E ，那么在运动的中子或电子看来，根据相对论电动力学，电场会感应出一个磁感应强度： B ′ = − 1 c 2 v × E 。于是自旋磁矩与磁感应强度的耦合哈密顿量是 H = − μ ⋅ B ′ = μ ⋅ ( 1 c 2 v × E ) = v ⋅ ( 1 c 2 E × μ ) 。 令 1 c 2 E × μ = − g A ，那么自旋粒子与场的耦合哈密顿量是 H = − g A ⋅ v (其在数学结构上类似于电流与磁 矢量势的耦合)。由于 A 中的磁矩 μ 含有自旋算符(SU(2)规范群生成元)，那么 A 就是一种非阿贝尔(磁矢量)规范势。类似的，对二能级原子也可以作类似操作。如在前述与光波发生电偶极相互作用的原子体系中，其Rabi频率 为电场与电偶极矩的点乘，如果在空间中放一个磁场，那么在运动原子看来，这个磁场就会感应出一个电场 E = v × B ，于是在效果上造成了电偶极原子与磁场的耦合。那么类似上面的讨论，也可以出现类似 H = − g A ⋅ v 这样的耦合哈密顿量，它在效果上表现为某种流与某种非阿贝尔“磁”矢量势 A 的耦合。如果 A 是阿贝尔规范势，那么与哈密顿量有关的相位十分简单，只要计算哈密顿量的时间积分即可，如 ∫ − g A ⋅ v d t = ∫ − g A ⋅ d l 。但是在上面的例子中， A 是一种非阿贝尔“磁”矢量规范势。直接计算 A ⋅ d l 积分一般是错误的(除非不同位置上的“磁”矢量规范势 A 的分量可以彼此对易)。在非阿贝尔形式的哈密顿量 H = − g A ⋅ v 中，等效“磁”场(曲率张量或规范场张量)是 F i j = ∂ i A j − ∂ j A i − i g [ A i ， A j ] 。上述的电子、中子或二能级原子会受到与 H = − g A ⋅ v 有关的等效Lorentz“磁”力，因此处于不同自旋态或者不同能级态的原子受到的Lorentz“磁”力并不相同，这是类似自旋Hall效应的一种现象。 与不变量有关的幺正变换理论 [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] 是用来将哈密顿量算符对角化的有效方法。通常使用了该幺正变换方法，还必需使用Baker-Campbell-Hausdorff公式 [ 54 ]，以便计算经过了幺正变换(与不变量有关) 之后的新的哈密顿量 V + H V − V + i ℏ ∂ ∂ t V (尤其是几何相规范势 V + i ℏ ∂ ∂ t V )。不过对于三生成元量子系统(即 哈密顿量算符可以写为某李代数三个闭合、完备的生成元的线性叠加)，其实可以不必使用该幺正变换方法；即使使用了该幺正变换，也可以避开使用Baker-Campbell-Hausdorff公式。对于生成元多余四个的哈密顿系统，使用与不变量有关的幺正变换理论方法 [ 26 ] 可能是避免不了的，使用它，应当可以为计算带来大量方便。下面介绍本专题的基本计算方法(Lewis-Riesenfeld不变量理论 [ 24 ] 及其幺正变换方法 [ 26 ] )，其余进一步论述与讨论，则属于笔者个人的思考和总结。 为了便于叙述含时量子系统的计算过程，有必要对Lewis-Riesenfeld不变量理论 [ 24 ] 的要点进行总结。Lewis-Riesenfeld不变量理论的要旨可以用如下几个公式概括 [ 24 ]：含时Schrödinger方程是 i ℏ ∂ ∂ t | Ψ ( t ) 〉 s = H ^ ( t ) | Ψ ( t ) 〉 s ，它的解可以写为 | Ψ ( t ) 〉 s = exp [ 1 i ℏ ϕ ( t ) ] | Ψ ( t ) 〉 I ，其中 | Ψ ( t ) 〉 I 是 Lewis-Riesenfeld不变量算符 I ( t ) 的本征态： I ( t ) | Ψ ( t ) 〉 I = σ | Ψ ( t ) 〉 I 。此不变量 I ( t ) 满足方程 ∂ I ( t ) ∂ t + 1 i ℏ [ I ( t ) ， H ( t ) ] = 0 。含时Schrödinger方程解析解 | Ψ ( t ) 〉 s 中的相位为 ϕ ( t ) = 1 ℏ ∫ 0 t I 〈 Ψ ( t ′ ) | H ( t ′ ) − i ℏ ∂ ∂ t ′ | Ψ ( t ′ ) 〉 I d t ′ 。这个相位为两部分之和。我们可以分别称呼其为动力学相位(与哈密顿量算符 H ( t ′ ) 有关)和几何相位(与导数算符 − i ℏ ∂ ∂ t ′ 有关)。我们的任务就落实于求解 Lewis-Riesenfeld不变量方程中的不变量算符 I ( t ) 以及本征值方程( I ( t ) | Ψ ( t ) 〉 I = σ | Ψ ( t ) 〉 I )。 不少量子力学系统的哈密顿量具有某个李代数结构，它们往往是李群生成元的线性组合。所包含的李群可以多种多样，如SO(2)群、SU(2)群、SU(1，1)群、SO(3)群、SU(3)群等。例如经典光场与二或三能级原子的相互作用，其哈密顿量为SU(2)或SU(3)李代数生成元的叠加；量子化光场与二或三能级原子相互作用，即用所谓Jaynes-Cummings模型描述 [ 55 ]，其哈密顿量具有超对称李代数结构(尤其是当二能级跃迁过程中同时牵涉到多个光子的吸收和发射 [ 56 ] [ 57 ] [ 58 ]，那么光子-原子相互作用哈密顿量更能体现超对称代数结构 [ 56 ] [ 57 ] [ 58 ] [ 59 ] [ 60 ] )。哈密顿量内李代数生成元越多，计算越复杂。因此我们在这里选择尽可能少的系统来研究，钻研本主题微分几何概念。SO(2)群过于简单，SU(2)群、SU(1，1)群、SO(3)群是最合适的手工分析对象。在本主题中，我们选择简单的SU(2)群结构的哈密顿量来研究(因为对它我们可以进行手工计算。当然对SU(1，1)群、SO(3)群也可以进行手工计算，只是它们所对应的物理系统不如SU(2)群那么广泛)，但其结果对其它群结构的哈密顿量系统也有借鉴意义。