system: [SYSTEM]

user: 2. 天然气远期价格定价模型 2.1. 随机波动率的确定模型 假设市场不确定性由概率空间 ( Ω ， F ， Q ) 表示， Ω 为样本空间，F为 σ 代数，Q代表测度。t时刻资产的价格为 S t ，其便利收益为 δ t ，收益率为 r t ，标的资产价格、便利收益和收益率三者间具有相关性， v t 表示随机波动率过程。考虑标的资产波动率的不确定性性，在随机波动率模型的基础上提出如下标的资产价格模型： d S t = ( μ + r t − δ t ) S t d t + v t S t d W S ， t (1) d r t = k r ( m − r t ) d t + σ r d W r ， t (2) d δ t = k δ ( α − δ t ) d t + σ δ d W δ ， t (3) d v t = k v ( θ − v t ) d t + σ v v t d W v ， t (4) 式中， μ 表示标的资产价格的平均增长率， k r 、 k δ 和 k v 分别表示收益率、便利收益和随机波动率过程的均值回复速率，m、 α 和 θ 分别表示收益率、便利收益和随机波动率过程的均值回复水平， σ r 、 σ δ 和 σ v 分别表示收益率、便利收益和随机波动率过程的波动率系数， d t 为时间间隔， d W s 、 d W r 、 d W δ 和 d W v 均表示服从布朗运动。 2.2. 随机波动率模型的参数估计 典型非线性、非高斯状态空间随机波动率模型的似然函数是及其复杂的高维积分，难以得到精确似然函数，因此采用条件矩估计法 [ 16 ] 估计参数。然而波动率是不可观察的，我们必须通过标的资产价格适当构造波动率的样本，再利用方程(4)得到模型参数的估计。 设 S 0 ， S 1 ， ⋯ ， S n − 1 是标的资产价格 S t 在 [ 0 ， T ] 时段内的观察值，其中 S t 对应 t i = i T n 时刻的观察值。 根据 μ 的市场意义，它表示标的资产价格的平均增长率，即 μ = E ( S t − S j S j ( t − j ) ) 因此，构造 μ 的矩估计量为 μ ^ = 1 n ∑ t = 0 n = 1 ( S t + 1 − S t S t ( t t + 1 − t t ) ) 接下来构造随机波动率过程 v t 的样本。需先消去漂移项 μ + r t − δ t ，利用Ito公式，通过对过程 { S t ， t ≥ 0 } 的变换，构造 v t S t 的样本。以 F t 表示由 { W s ， 0 ≤ s ≤ t } 生成的 σ 域，Q表示由过程 W t 在 F t 上导出的测度，令 W S ， t ∗ = W S ， t + ∫ 0 t μ + r t − δ t v s d s W v ， t ∗ = W v ， t + ∫ 0 t γ s d s 式中， γ t ， t ∈ [ 0 ， T ] 是任意 F t 可测过程。不妨取 θ t ( 1 ) = μ + r t − δ t v s ， θ t ( 2 ) = γ t = − ρ 1 − ρ 2 θ t ( 1 ) ，根据Girsanov定理，定义Q的等价鞅测度 Q * d Q * d Q = exp { − 1 2 ∫ 0 T ( θ s ( 1 ) ) 2 + ( θ s ( 2 ) ) 2 d s − ∫ 0 T θ s ( 1 ) d W S ， s − ∫ 0 T θ s ( 2 ) d W v ， s } 则 ( W S ， t ∗ ， W v ， t ∗ ) 在测度 Q * 下为二维布朗运动。方程(1)可改写为 d S t = v t S t d W S ， t ∗ (5) 由 S i + 1 − S i = ∫ t i t i + 1 v t S t d W S ， t ∗ 利用二维Ito公式得： n T ( S i + 1 − S i ) 2 = n T ∫ t i t i + 1 v t S t 2 d t + 2 n T ∫ t i t i + 1 ( S t − S i ) S t v t d W S ， t ∗ 记 ε i = 2 n T ∫ t i t i + 1 ( S t − S i ) S t v t d W S ， t ∗ 。由Ito积分的性质知， ε i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 为鞅差序列，且 E ε i = 2 n T E { ∫ t i t i + 1 ( S t − S i ) S t v t d W S ， t ∗ } = 0 于是有如下近似式： n T ( S i + 1 − S i ) 2 ≈ v i S i 2 故有 v i ≈ n ( S i + 1 − S i ) 2 T S i 2 ， i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n − 1 这样我们便得到了随机波动率过程 v t 的样本。 过程 v t 的不变分布的均值和方差分别为 E ( v t ) = θ ， C o v ( v t ) = σ v 2 2 k v θ 由于 v t 过程具有均值和方差的各态历经性，因而可分别构造均值 θ ，方差 C o v = σ v 2 2 k v θ 矩估计 θ ^ = 1 n − n 0 ∑ t = n 0 + 1 n v t ， C o ^ v = 1 n − n 0 ∑ t = n 0 + 1 n v t 2 − θ ^ 2 式中 n 0 是一个适当的数，由过程 { v t ， t ≥ 0 } 从0时刻的初值 v 0 达到稳定所要的时间决定。于是 σ v 2 = 2 C o ^ v θ ^ k ^ v (6) 这就得到了当过程的平稳均值与平稳方差确定时，参数 k v 和 σ v 的关系。文献 [ 17 ] 给出了随机波动率的条件期望为 E ( v i + 1 | v i ) = e − k v v i + θ ( 1 − e − k v ) ， i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n − 1 Robigon [ 18 ] 给出了时间序列 v i ， i = 1 ， ⋯ ， n 的条件均值 ξ ( v ) = E ( v i + 1 | v i = v ) 的核估计并讨论了它们的渐进性质。 ξ ( v ) 的核估计为 ξ ^ ( v ) = 1 n − 1 ∑ i = 1 n − 1 v i + 1 K { h n − 1 ( v − v i ) } 1 n ∑ i = 1 n − 1 K { h n − 1 ( v − v i ) } 式中 K ( ⋅ ) 为核函数， h n 为带宽，满足条件：当 n → ∞ 时， h n → 0 ，而 n h n → ∞ 。只要得到 ξ ( v i ) = E ( v i + 1 | v i ) ， i = 0 ， ⋯ ， n − 1 的估计量，则利用非线性最小二乘法就可得到 k v 的估计值，再利用式(6)求得 σ v 的估计值。 随机波动率的条件均值呈标准正态分布，本文核函数取为 K ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 带宽 h n 的取值通过试算决定，选取 h n 使 ( v i ， ξ ( v i ) ) 的散点图有较强的回归趋势。见图1，图1(a)~(d)给出了 h n 分别取0.02，0.05，0.2，0.5时的散点图。从图中可见 h n 应取0.5。 图1. ( v i ， ξ ( v i ) ) 散点图 接下来对式(2)、(3)中的参数进行估计。本文所提模型为状态空间模型，可以用卡尔曼滤波方法对模型中的参数进行估计。下面以2010年1月至2015年12月美国LNG进口价格数据(www.eia.gov)为样本，对模型中的参数进行估计。参数估计值见表1。 Table 1 Parameter estimate 待估参数 估计值 待估参数 估计值 μ −0.0093 k r 0.0274 m 0.3217 σ r 0.5896 k δ 0.7262 α 0.1166 σ δ 0.1021 k v 5.1420 θ 0.0781 σ v 1.6477 表1. 参数估计值