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user: 3. 主要结果 定义2.1 设n是正整数，F是包含所有平坦模的类，称R-模M是n-强-F-Ding投射模，如果存在R-模的正合序列 0 → M → f n P n − 1 → f n − 1 ⋯ → f 1 P 0 → f 0 M → 0 ， 其中 ∀ P ∈ Proj ，且对 ∀ F ∈ F ， Hom R ( − ， F ) 保持以上序列正合。记M为 n - S - F - D P 模。所有 n - S - F - D P 模的类记为 n - S - F - D P ( R ) 。 注1： Proj ⊆ n - S - F - D P ( R ) ⊆ n -SDP ( R ) 。 命题2.2 设 { M j } j ∈ I 是一簇 n - S - F - D P 模，那么 ⊕ j ∈ I M j ∈ I 是 n - S - F - D P 模。 证 通过定义对 ∀ j ∈ I 有正合列 0 → M j → P n − 1 j → ⋯ → P 0 j → M j → 0 ， 其中 ∀ P i j ∈ Proj ，对 ∀ F ∈ F ， Hom ( − ， F ) 作用下依旧正合。所以有正合列 0 → ⊕ j ∈ I M j → ⊕ j ∈ I P n − 1 j → ⋯ → ⊕ j ∈ I P 0 j → ⊕ j ∈ I M j → 0 ， 其中 ∀ ⊕ j ∈ I P i j ∈ Proj ，对 ∀ F ∈ F ， Hom ( − ， F ) 作用下依旧正合。通过定义知 ⊕ j ∈ I M j 是 n - S - F - D P 模。 引理2.3 如果存在正合列 0 → M → h n P n − 1 → h n − 1 ⋯ → h 1 P 0 → h \ 0 M → 0 ， 其中 ∀ P i ∈ Proj 且 M ∈ n - S - F - D P ( R ) ，那么 ∀ Im h i ∈ n - S - F - D P ( R ) 。 对照文献 [ 7 ] 的定义我们可以定义R-模M的F-投射维数 F - p d ( M ) = inf { n | 存 在 F - 分 解 0 → F n → ⋯ → F 0 → M → 0 ， 其 中 ∀ F i ∈ F } 。当n不存在时记 F -   dim = ∞ ，下面给出n-强F-Ding投射模的等价刻画： 命题2.4 n是正整数，设M是R-模，则以下等价： 1) M ∈ n - S - F - D P ( R ) 。 2) 存在R-模的短正合列 0 → M → f n P n − 1 → f n − 1 ⋯ → f 1 P 0 → f \ 0 M → 0 ， 其中 ∀ P i ∈ Proj ，且对 ∀ F - p d ( H ) < ∞ ， E x t R i > 0 ( M ， H ) = 0 。 3) 存在R-模的短正合列 0 → M → f n P n − 1 → f n − 1 ⋯ → f 1 P 0 → f 0 M → 0 ， 其中 ∀ P i ∈ Proj ，且对 ∀ F ∈ F ， E x t R i > 0 ( M ， F ) = 0 。 证 ( 1 ) ⇔ ( 3 ) ， ( 2 ) ⇒ ( 3 ) 显然。现在证 ( 3 ) ⇒ ( 2 ) 。 假设 ∀ F - p d ( H ) = m < ∞ 。则有正合列 0 → F m → F m − 1 → ⋯ → F 0 → H → 0 ， 其中 ∀ F i ∈ F 。取 k i = K e r ( F i → F i − 1 ) ， i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m − 3 ， m − 2 ，其中 F − 1 = H 则有短正合列 0 → k 0 → F 0 → H → 0 ， ( 1 ) 0 0 → k 1 → F 1 → k 0 → 0 ， ( 2 ) 0 ⋯ 0 → k m − 2 → F m − 2 → k m − 3 → 0 ， ( m − 1 ) 0 0 → F m → F m − 1 → k m − 2 → 0 ， ( m ) 0 对短正合列 ( 1 ) 0 ， ( 2 ) 0 ， ⋯ ， ( m − 1 ) 0 ， ( m ) 0 用 Hom R ( M ， − ) 作用并由长正合列定理及维数转移可得 E x t R m + j ( M ， F m ) ≅ E x t R j ( M ， H ) = 0 ， 故 E x t R i > 0 ( M ， H ) = 0 。 我们回顾一下投射可解的定义，称R-模类X是投射可解的，那么对于R-模的短正合列 0 → A → B → C → 0 ，若 C ∈ X ，则 B ∈ X 当且仅当 C ∈ X 。而我们知道n-强Gorenstein模类通常情况下并不投射可解。那么我们思考当在什么情况下有相似于投射可解的结论呢？于是我们有如下结果： 命题2.5 设 0 → N → M → P → 0 ，是R-模的短正合列，其中P是投射模，则 N ∈ n - S - F - D P ( R ) 当且仅当 M ∈ n - S - F - D P ( R ) 。 证 ⇒ ) 因为 N ∈ n - S - F - D P ( R ) ，则通过定义存在R-模的正合列 0 → N → P n − 1 → ⋯ → P 0 → N → 0 ， 其中 ∀ P i ∈ Proj ，且对 ∀ F ∈ F ， Hom ( − ， F ) 作用下依旧正合。那么有R-模的正合列 0 → N ⊕ P → P n − 1 ⊕ P → ⋯ → P 0 ⊕ P → N ⊕ P → 0 ， 通过定义知 N ∈ n - S - F - D P ( R ) 。 ⇐ ) 由于 M ∈ n - S - F - D P ( R ) ，且 M ≅ N ⊕ P ，则通过定义知存在R-模的正合列 0 → N ⊕ P → f n P n − 1 → f n − 1 ⋯ → f 1 P 0 → f 0 N ⊕ P → 0 ， 取 M 1 = K e r f 0 ， M n − 1 = c o K e r f n ，由引理2.4 M 0 ， M n − 2 ∈ n - S - F - D P ( R ) ⊆ D P ( R ) 。 由推出图 考虑短正合列 0 → N → Q n → M n − 1 → 0 ， 用 Hom ( − ， P ) 作用并由长正合列定理以及维数转移可得 E x t R 1 ( Q n ， P ) ≅ E x t R 1 ( N ， P ) 因为 M ≅ N ⊕ P ∈ n - S - F - D P ( R ) ⊆ n - S D P ( R ) ⊆ D P ( R ) ⊆ G P ( R ) ，则 E x t R 1 ( N ⊕ P ， P ) = E x t R 1 ( N ， P ) ⊕ E x t R 1 ( P ， P ) = 0 所以 E x t R 1 ( Q n ， P ) = 0 。即中间行的正合列可裂，可得 Q n ∈ Proj ，且有短正合列 0 → N → Q n → M n − 1 → 0 对 ∀ F ∈ F ， Hom ( − ， F ) 作用下依旧正合。 由拉回图 考虑到短正合列 0 → Q 1 → P 0 → P → 0 可裂，可得 Q 1 ∈ Proj 。且有短正合列 0 → M 1 → Q 1 → N → 0 ， 对 ∀ F ∈ F ， Hom ( − ， F ) 作用下依旧正合。从而有正合列 0 → N → Q n − 1 → P n − 2 → ⋯ → P 0 → Q 1 → N → 0 ， 对 ∀ F ∈ F ， Hom ( − ， F ) 作用下依旧正合。 命题2.6 设 0 → N → P → M → 0 ， P ∈ Proj 是R-模的短正合列。若 M ∈ n - S - F - D P ( R ) ，则 N ∈ n - S - F - D P ( R ) 。 证 由于 M ∈ n - S - F - D P ( R ) ，则存在R-模的正合列 0 → M → g n P n − 1 → g n − 1 ⋯ → g 1 P 0 → g 0 M → 0 ， 其中 ∀ P i ∈ Proj ，取 M 1 = K e r g 0 ，由引理2.3知 M 1 ∈ n - S - F - D P ( R ) 。 考虑拉回图 因为短正合列 0 → M 1 → X → P → 0 可裂，所以 X ≅ M 1 ⊕ P ∈ n - S - F - D P ( R ) ，由命题2.4知 N ∈ n - S - F - D P ( R ) 。 推论2.7 设 0 → N → P → M → 0 ，是R-模的短正合列，其中 P ∈ Proj ，则 N ∈ n - S - F - D P ( R ) 当且仅当 M ∈ n - S - F - D P ( R ) 。 命题2.8 设R是交换环， Q ∈ Proj 。若 M ∈ n - S - F - D P ( R ) ，则 M ⊗ R Q ∈ n - S - F - D P ( R ) 。 证 因为 M ∈ n - S - F - D P ( R ) ，则存在R-模的正合列 0 → M → P n − 1 → ⋯ → P 0 → M → 0 ， 其中 ∀ P i ∈ Proj ，那么 0 → M ⊗ R Q → P n − 1 ⊗ R Q → ⋯ → P 0 ⊗ R Q → M ⊗ R Q → 0 ， 因为R是交换环，所以 ∀ P i ⊗ R Q ∈ Proj ，由于 E x t R i ( M ⊗ Q ， F ) ≅ H o m R ( Q ， E x t R i ( M ， F ) ) = 0 ， 通过命题2.3知 M ⊗ R Q ∈ n - S - F - D P ( R ) 。