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user: 2. 模型建立 设 ( Ω ， F ， P ) 是完备的概率空间， { F t } 0 ≤ t ≤ T 是由 ， W 1 ( t ) ， W 2 ( t ) ， B 1 ( t ) 和 B 2 ( t ) 五个独立的、标准的一维布朗运动所生成的过滤，表示当前时刻t获得的所有信息， 且假设所有在t时刻作的决定都是基于这些信息。此外，在本文中假设所有的随机变量和随机过程都可以被很好的定义且都是关于 { F t } 0 ≤ t ≤ T 是适应的。 2.1. 盈余过程 如果不考虑再保险，保险公司的盈余过程由经典的C-L风险模型给出 d R ( t ) = c d t + ∑ i = 1 K ( t ) Y i ， 其中 c ≥ 0 是保费率， ∑ i = 1 N ( t ) Y i 是复合泊松过程， 是强度为 λ N 的齐次泊松过程， { Y i ， i ≥ 1 } 是一列正的独立同分布的随机变量，且分布函数为 F ( y ) 。此外，假设 { K ( t ) ， t ≥ 0 } 和 { Y i ， i ≥ 1 } 是独立的。记 { Y i ， i ≥ 1 } 的一阶矩和二阶矩分别为 E [ Y i ] = μ Y 和 E [ Y i 2 ] = σ Y 2   。我们采用期望值原则去计算保费率，因此，保费率 c = ( 1 + η ) λ K μ Y   ，其中 η 是保险公司的安全荷载。 保险公司也可以通过购买比例再保险或开展新的业务来对冲其风险，从而增强其承担风险的能力。记 π q ( t ) ( 0 ≤ π q ( t ) ≤ 1 ) 是 t ∈ [ 0 ， T ] 时刻比例再保险的水平。假设再保险公司的保费率也采用期望值原则，即再保险公司的保费率为 ( 1 + θ ) λ K μ Y π q ( t ) ，其中 θ > η 是再保险公司的安全荷载。注意到，当 0 ≤ π q ( t ) ≤ 1 时，相应的保险公司会有一个比例再保险的覆盖。也意味着保险公司会转移一部分风险给再保险公司。在这种情况下，保险公司所承受的索赔额为 ( 1 − π q ( t ) ) Y ，再保险公司所承受的索赔额为 π q ( t ) Y ；当 π q ( t ) > 1 时，保险公司会有来自其他公司额外的业务。 记保险公司总的索赔过程 H ( t ) : = ∑ i = 1 K ( t ) Y i 根据Oksendal和Sulem [ 13 ] 给出的结果，一个Levy过程可以被分解成三个部分，即线性部分，布朗运动和纯跳部分。因此，我们可以假设总的累计索赔 H ( t ) 满足 d H ( t ) = A d t + B d W 0 ( t ) + γ d N ( t ) ， 其中 W 0 ( t ) 和 N ( t ) 分别是一维标准的布朗运动和强度为 λ N 的过程，A，B和 γ 都是常数，满足 A + λ N γ = λ K μ Y ， B 2 + λ N γ 2 = λ K σ Y 2 . 故考虑再保险之后保险公司的盈余过程 R 1 和再保险公司的盈余过程 分布服从下面两个随机微分方程 d R 1 ( t ) = { [ ( 1 − π q ( t ) ) + ( η − θ π q ( t ) ) ] λ K μ Y − ( 1 − π q ( t ) ) A − λ N γ ( 1 − π q ( t ) ) } d t     − ( 1 − π q ( t ) ) B d W 0 ( t ) − ( 1 − π q ( t ) ) B d N ˜ ( t ) ， 和 d R 2 ( t ) = { ( 1 + θ ) λ K μ Y π q ( t ) − π q ( t ) A − λ N γ π q ( t ) } d t − π q ( t ) B d W 0 ( t ) − π q ( t ) γ d N ˜ ( t ) . 其中 N ˜ ( t ) = N ( t ) − λ N t 被称为补偿泊松过程，是个鞅。 2.2. 金融市场 除了再保险之外，管理者管理其风险还通过对金融市场的投资。假设保险公司和再保险公司都被允许投资无风险资产和风险资产。其中无风险资产的价格过程满足下面的微分方程 d S 0 ( t ) S 0 ( t ) = r d t ，     S 0 ( 0 ) = 0 ， 保险公司投资的风险资产 S 1 ( t ) 和再保险公司投资的风险资产 S 2 ( t ) 的价格过程分别由下面的微分方程给出 d S 1 ( t ) S 1 ( t ) = a 1 ( t ) d t + b 1 ( t ) d W 1 ( t ) + ∑ i = 1 K 1 ( t ) Y i 1 ， 和 d S 2 ( t ) S 2 ( t ) = a 2 ( t ) d t + b 2 ( t ) d W 2 ( t ) + ∑ i = 1 K 2 ( t ) Y i 2 ， 其中r是常数的无风险利率， a j ( t ) 是第j个风险资产的瞬时收益率， b j ( t ) 是第j个风险资产的波动率。 a j ( t ) 和 b j ( t ) 都是正的有界函数。记 Y i j 的一阶矩和二阶矩分别为 E [ Y i j ] = μ j 和， E [ ( Y i j ) 2 ] = σ j 2 ， K j ( t ) 是强度为 λ j 的泊松过程， 。为了方便假设 a j ( t ) > r > 0 。 对于风险资产中跳过程，我们用扩散过程来逼近，即 d ∑ i = 1 K j ( t ) Y i j = λ j μ j d t − λ j σ j d B j ( t ) ，     j = 1 ， 2. 因此保险公司投资的风险资产 S 1 ( t ) 和再保险公司投资的风险资产 S 2 ( t ) 的价格过程可以被重新写为 d S 1 ( t ) S 1 ( t ) = [ a 1 ( t ) + λ 1 μ 1 ] d t + b 1 ( t ) d W 1 ( t ) − λ 1 σ 1 d B 1 ( t ) ， 和 记 X 1 π ( t ) 和 X 2 π ( t ) 分别是保险公司和再保险公司的总财富过程。设 π 1 ( t ) 是保险公司投资在风险资产 S 1 ( t ) 的总金额， π 2 ( t ) 是再保险公司投资在风险资产 S 2 ( t ) 的总金额，因此 X 1 π − π 1 ( t ) 和 X 2 π − π 2 ( t ) 分别是保险公司和再保险公司分别投资在无风险资产 S 0 ( t ) 的金额。假设一个贸易策略可以由一个三元组 π ( t ) : = ( π q ( t ) ， π 1 ( t ) ， π 2 ( t ) ) 表示。在策略 π ( t ) 下，保险公司的财富过程 X 1 π ( t ) 和再保险公司的财富过程 X 2 π ( t ) 的价格动态过程分别服从 d X 1 π ( t ) = { r X 1 π ( t ) + π 1 ( t ) ( a 1 ( t ) + λ 1 μ 1 − r ) + [ ( 1 − π q ( t ) ) + ( η − θ π q ( t ) ) ] λ K μ Y                                                                             − ( 1 − π q ( t ) ) A − λ N γ ( 1 − π q ( t ) ) } d t − ( 1 − π q ( t ) ) B d W 0 ( t )                                                                             + π 1 ( t ) b 1 ( t ) d W 0 ( t ) − π 1 ( t ) λ 1 σ 1 d B 1 ( t ) − ( 1 − π q ( t ) ) γ d N ˜ ( t ) (1) 和 d X 2 π ( t ) = { r X 2 π ( t ) + π 2 ( t ) ( a 2 ( t ) + λ 2 μ 2 − r ) + ( 1 + θ ) λ K μ Y π q ( t ) − π q ( t ) A − λ N γ π q ( t ) } d t     − π q ( t ) B d W 0 ( t ) + π 2 ( t ) b 2 ( t ) d W 2 ( t ) − π 2 ( t ) λ 2 σ 2 d B 2 ( t ) − π q ( t ) γ d N ˜ ( t ) ， (2) 其中 X 1 π ( t ) = x 1 ， X 2 π ( t ) = x 2 。 为了研究保险公司和再保险公司的共同利益，我们考虑保险公司和再保险公司终端财富的权重和 Y π ( t ) = α 1 X 1 π ( t ) + α 2 X 2 π ( t ) (3) 其中 α 1 和 α 2 是权重系数，且 α 1 ， α 2 ∈ [ 0 ， 1 ] 。假设 α 1 = 1 − α 2 ，易知 α 1 在保险公司和再保险公司之间做决策的时候会起一个平衡收益的作用。即当 α 1 增大时，保险公司财富的权重增加，再保险公司财富的权重减少；反之，当 α 1 减少时，保险公司的财富权重减少，再保险公司财富的权重增加。当 α 1 = 1 时， Y π ( t ) 就简化成保险公司的财富过程。也可以说它拓展了当前仅考虑保险公司利益的相关文献。通常情况下，在 α 1 = α 2 = 1 2 时，财富过程权重和 Y π ( t ) 等于保险公司财富一半加上再保险公司财富的一半。 根据(1)，(2)和(3)，财富过程权重和 Y π ( t ) 服从下面随机微分方程 d Y π ( t ) = { r Y π ( t ) + α 1 ( 1 + η ) λ K μ Y − α 1 ( A + λ N γ ) − ( α 1 − α 2 ) λ K μ Y π q ( t )                                                                         + ∑ j = 1 2 α j π j ( t ) ( α j ( t ) + λ j μ j − r ) − ( α 1 − α 2 ) θ λ K μ Y π q ( t ) + ( α 1 − α 2 ) π q ( t ) A                                                                         + ( α 1 − α 2 ) λ N γ π q ( t ) } d t − [ α 1 − ( α 1 − α 2 ) π q ( t ) ] B d W 0 ( t ) + ∑ j = 1 2 α j π j ( t ) b j ( t ) d W j ( t )                                                                       − ∑ j = 1 2 α j π j ( t ) λ j σ j d B j ( t ) − [ α 1 − ( α 1 − α 2 ) π q ( t ) ] γ d N ˜ ( t ) ， (4) 其中 Y π ( 0 ) = y : = α 1 x 1 + α 2 x 2 。 定义1： 对于任意 t ∈ [ 0 ， T ] ，交易策略 π ( t ) : = ( π q ( t ) ， π 1 ( t ) ， π 2 ( t ) ) 是可行策略，需要满足下列条件。对于初始状态 ( t ， s 1 ， s 2 ) ∈ [ 0 ， T × R × R ] ， (1) π ( t ) : = ( π q ( t ) ， π 1 ( t ) ， π 2 ( t ) ) 是可测的。 (2) 对于任意 t ∈ [ 0 ， T ] ， π q ∈ [ 0 ， 1 ] ， π 2 ( t ) = π q 2 ( t ) + π 1 2 ( t ) + π 2 2 ( t ) 。 (3) 方程(4)有唯一解。 对于 ∀ ( t ， s 1 ， s 2 ) ∈ [ 0 ， T ] × R × R ，随机微分方程(4)有唯一的解 Y π ( t ) ， t ∈ [ 0 ， T ] 且 E t ， y [ U ( Y π ( t ) ) ] < ∞ 。记 是所有可行策略的集合。