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user: 4. 突发事件干扰下的应急均衡决策 正常运营环境中，制造商和零售商依据命题1安排生产/销售计划。突发事件发生了，使得产品的最大市场需求规模由 α 变为 α + Δ α ，则其市场需求函数变为 q = α + Δ α − β p 。相比正常运营环境中系统的均衡决策，产品订购/销售量的变化为 Δ q = q − q d * 。其中，1) 当 Δ q > 0 时，调整生产计划多生产产品会产生额外单位生产成本 λ 1 > 0 ；2) 当 Δ q < 0 时，调整生产计划处理产品会产生额外单位处理成本 λ 2 > 0 。假设由制造商承担额外总成本，可得制造商和零售商的利润函数分别为： Π ¯ m ( w ， q r ) = w ( q n + q r ) − p r q r − c n q n 2 − c r q r 2 − λ 1 ( q − q d * ) + − λ 2 ( q d * − q M ) + (3) Π ¯ r ( q n ) = ( α + Δ α − q n − q r β − w ) ( q n + q r ) (4) 其中， ( x ) + = max { 0 ， x } 。 命题2：最大市场需求规模扰动下，制造商决策产品的单位批发价格为 w ¯ ，废旧品的回收量为 q ¯ r ，零售商决策新产品的订购/销售量为 q ¯ n ，各企业可得最优利润。其中，1)当 Δ α ≥ β λ 1 ， w ¯ = w * + Δ α [ ( 1 + b c r ) ( 1 + β c n ) + b c n ] + β λ 1 ( 1 + b c n + b c r ) β [ ( 1 + b c r ) ( 2 + β c n ) + 2 b c n ] 、 q ¯ r = q r * + b c n ( Δ α − β λ 1 ) 2 [ ( 1 + b c r ) ( 2 + β c n ) + 2 b c n ] 、 q ¯ n = q n * + ( 1 + b c r ) ( Δ α − β λ 1 ) 2 [ ( 1 + b c r ) ( 2 + β c n ) + 2 b c n ] ；2)当 − β λ 2 < Δ α < β λ 1 ， w ¯ = w * + Δ α β 、 q ¯ r = q r * 、 q ¯ n = q n * ；3)当 2 a ( 1 + b c r ) − α − β λ 2 < Δ α ≤ − β λ 2 ， w ¯ = w * + Δ α [ ( 1 + b c r ) ( 1 + β c n ) + b c n ] − β λ 2 ( 1 + b c n + b c r ) β [ ( 1 + b c r ) ( 2 + β c n ) + 2 b c n ] 、 q ¯ r = q r * + b c n ( Δ α + β λ 2 ) 2 [ ( 1 + b c r ) ( 2 + β c n ) + 2 b c n ] 、 q ¯ n = q n * + ( 1 + b c r ) ( Δ α + β λ 2 ) 2 [ ( 1 + b c r ) ( 2 + β c n ) + 2 b c n ] 。 证明：首先，分析 Δ α > 0 ，即突发事件干扰最大市场需求规模变大的情况。 假设1：当 Δ α > 0 时，有 q ¯ ≥ q * 、 q ¯ r ≥ q r * 成立。基于式(3)和(4)，利用逆向归纳法求解，易得零售商关于制造商决策的反应函数为 q ¯ n = α + Δ α − 2 q r − β w 2 ，将其代入式(3)可得： Π ¯ m ( w ， q r ) = w ( α + Δ α − β w 2 + q r )     − q r 2 b + a b q r − c n ( α + Δ α − 2 q r − β w 2 ) 2     − c r q r 2 − λ 1 ( α + Δ α − β w 2 + q r − q * ) (5) 基于本假设约束，可得如下K-T条件： { α + Δ α − 2 q ¯ r − 2 β w ¯ 2 + q ¯ r + β c n ( α + Δ α − β w ¯ − 2 q ¯ r 2 ) + β λ 1 2 − β γ 1 2 = 0 − 2 q ¯ r b + a b + c n ( α + Δ α − 2 q ¯ r − β w ¯ ) − 2 c r q ¯ r + γ 2 = 0 γ 1 ( α + Δ α − β w ¯ 2 − q d * ) = 0 ， γ 2 ( q ¯ r − q r * ) = 0 γ 1 ， γ 2 ≥ 0 ， w ¯ ≥ 0 ， q ¯ ≥ q * > 0 ， q ¯ r ≥ q r * > 0 (6) 情况1：当 γ 1 = 0 ， γ 2 > 0 时，由式(6)可得 w ¯ = w * + Δ α ( 1 + β c n ) + β λ 1 β ( 2 + β c n ) 、 q ¯ r = q r * 、 q ¯ n = q n * + Δ α − β λ 1 2 ( 2 + β c n ) 。由 q ¯ ≥ q * ，可得 Δ α ≥ β λ 1 ；由 γ 2 > 0 ，可得 Δ α < β λ 1 ，故 Δ α 为空集，此解无效。 情况2：当 γ 1 > 0 ， γ 2 = 0 时，由式(6)可得 w ¯ = w * + Δ α β 、 q ¯ r = q r * 、 q ¯ n = q n * ；由 γ 1 > 0 ，可得 Δ α < β λ 1 ，故 0 < Δ α < β λ 1 时，此解有效。 情况3：当 γ 1 = 0 ， γ 2 = 0 时，由式(6)可得 w ¯ = w * + Δ α [ ( 1 + b c r ) ( 1 + β c n ) + b c n ] + β λ 1 ( 1 + b c n + b c r ) β [ ( 1 + b c r ) ( 2 + β c n ) + 2 b c n ] 、 q ¯ r = q r * + b c n ( Δ α − β λ 1 ) 2 [ ( 1 + b c r ) ( 2 + β c n ) + 2 b c n ] 、 q ¯ n = q n * + ( 1 + b c r ) ( Δ α − β λ 1 ) 2 [ ( 1 + b c r ) ( 2 + β c n ) + 2 b c n ] ；由 q ¯ ≥ q * ，可得 Δ α ≥ β λ 1 ；由 q ¯ r ≥ q r * ，可得 Δ α ≥ β λ 1 ，故 Δ α ≥ β λ 1 时，此解有效。 情况4：当 γ 1 > 0 ， γ 2 > 0 时，由式(6)可得 w ¯ = w * + Δ α β 、 q ¯ r = q r * 、 q ¯ n = q n * ；由 γ 1 > 0 ，可得 Δ α < β λ 1 ；由 γ 2 > 0 ，可得 Δ α < β λ 1 ，同时 Δ α > 0 ，故 0 < Δ α < β λ 1 时，此解有效。 综合情况1~4，1)若 0 < Δ α < β λ 1 ， w ¯ = w * + Δ α β 、 q ¯ r = q r * 、 q ¯ n = q n * ；2)若 Δ α ≥ β λ 1 ， w ¯ = w * + Δ α [ ( 1 + b c r ) ( 1 + β c n ) + b c n ] + β λ 1 ( 1 + b c n + b c r ) β [ ( 1 + b c r ) ( 2 + β c n ) + 2 b c n ] 、 q ¯ r = q r * + b c n ( Δ α − β λ 1 ) 2 [ ( 1 + b c r ) ( 2 + β c n ) + 2 b c n ] 、 q ¯ n = q n * + ( 1 + b c r ) ( Δ α − β λ 1 ) 2 [ ( 1 + b c r ) ( 2 + β c n ) + 2 b c n ] 。 同理可证，当 Δ α > 0 时，假设2：有 q ¯ ≥ q * 、 q ¯ r < q r * 成立；假设3：有 q ¯ < q * 、 q ¯ r ≥ q r * 成立；假设4：有 q ¯ < q * 、 q ¯ r < q r * 成立，均不存在有效解。 其次，分析 Δ α < 0 ，即突发事件干扰最大市场需求规模变小的情况。 假设5：当 Δ α < 0 时，有 q ¯ ≤ q * 、 q ¯ r ≤ q r * 成立。基于式(3)和(4)，利用逆向归纳法求解，易得零售商关于制造商决策的反应函数为 q ¯ n = α + Δ α − 2 q r − β w 2 ，将其代入式(3)可得： Π ¯ m ( w ， q r ) = w ( α + Δ α − β w 2 + q r )     − q r 2 b + a b q r − c n ( α + Δ α − 2 q r − β w 2 ) 2     − c r q r 2 + λ 2 ( α + Δ α − β w 2 + q r − q * ) (7) 基于本假设约束，可得如下K-T条件： { α + Δ α − 2 q ¯ r − 2 β w ¯ 2 + q ¯ r + β c n ( α + Δ α − β w ¯ − 2 q ¯ r 2 ) − β λ 4 2 + β γ 3 2 = 0 − 2 q ¯ r b + a b + c n ( α + Δ α − 2 q ¯ r − β w ¯ ) − 2 c r q ¯ r − γ 4 = 0 γ 3 ( q * − α + Δ α − β w ¯ 2 ) = 0 ， γ 4 ( q r * − q ¯ r ) = 0 γ 3 、 γ 4 ≥ 0 ， w ¯ ≥ 0 ， q * ≥ q ¯ > 0 ， q r * ≥ q ¯ r > 0 (8) 情况5：当 γ 3 = 0 ， γ 4 > 0 时，由式(8)可得 w ¯ = w * + Δ α ( 1 + β c n ) − β λ 2 β ( β c n + 2 ) 、 q ¯ r = q r * 、 q ¯ n = q n * + Δ α + β λ 2 2 ( β c n + 2 ) 。由 q ¯ ≤ q * ，可得 Δ α ≤ − β λ 2 ；由 γ 4 > 0 ，可得 Δ α > − β λ 2 ，故 Δ α 为空集，此解无效。 情况6：当 γ 3 > 0 ， γ 4 = 0 时，由式(8)可得 w ¯ = w * + Δ α β 、 q ¯ r = q r * 、 q ¯ n = q n * ；由 γ 3 > 0 ，可得 Δ α > − β λ 2 ，故 − β λ 2 < Δ α < 0 时，此解有效。 情况7：当 γ 3 = 0 ， γ 4 = 0 时，由式(8)可得 w ¯ = w * + Δ α [ ( 1 + b c r ) ( 1 + β c n ) + b c n ] − β λ 2 ( 1 + b c n + b c r ) β [ ( 1 + b c r ) ( 2 + β c n ) + 2 b c n ] 、 q ¯ r = q r * + b c n ( Δ α + β λ 2 ) 2 [ ( 1+ b c r ) ( 2 + β c n ) + 2 b c n ] 、 q ¯ n = q n * + ( 1 + b c r ) ( Δ α + β λ 2 ) 2 [ ( 1 + b c r ) ( 2 + β c n ) + 2 b c n ] ；由 q ¯ ≤ q * ，可得 Δ α ≤ − β λ 2 ；由 q ¯ r ≤ q r * ，可得 Δ α ≤ − β λ 2 ，故 2 a ( 1 + b c r ) − α − β λ 2 < Δ α ≤ − β λ 2 时，此解有效。 情况8：当 γ 3 > 0 ， γ 4 > 0 时，由式(8)可得 w ¯ = w * + Δ α β 、 q ¯ r = q r * 、 q ¯ n = q n * ；由 γ 3 > 0 ，可得 Δ α > − β λ 2 ；由 γ 4 > 0 ，可得 Δ α > − β λ 2 ，同时 Δ α < 0 ，故 − β λ 2 < Δ α < 0 时，此解有效。 综合情况5-8，1)若 − β λ 2 < Δ α < 0 ， w ¯ = w * + Δ α β 、 q ¯ r = q r * 、 q ¯ n = q n * ；2)若 2 a ( 1 + b c r ) − α − β λ 2 < Δ α ≤ − β λ 2 ， w ¯ = w * + Δ α [ ( 1 + b c r ) ( 1 + β c n ) + b c n ] − β λ 2 ( 1 + b c n + b c r ) β [ ( 1 + b c r ) ( 2 + β c n ) + 2 b c n ] 、 q ¯ r = q r * + b c n ( Δ α + β λ 2 ) 2 [ ( 1 + b c r ) ( 2 + β c n ) + 2 b c n ] 、 q ¯ n = q n * + ( 1 + b c r ) ( Δ α + β λ 2 ) 2 [ ( 1 + b c r ) ( 2 + β c n ) + 2 b c n ] 。 同理可证，当 Δ α > 0 时，假设6：有 q ¯ ≥ q * 、 q ¯ r < q r * 成立；假设7：有 q ¯ < q * 、 q ¯ r ≥ q r * 成立；假设8：有 q ¯ < q * 、 q ¯ r < q r * 成立，均不存在有效解。 命题2得证。 命题2表明，与正常运营环境下闭环供应链系统的均衡决策相比： 1) 当最大市场需求规模的正扰动程度不大，即 0 < Δ α < β λ 1 时，制造商应保持废旧品的回收量不变，而应提高产品的单位批发价格，以获取更多的利润；同时，零售商应保持产品的订购/销售量不变。 2) 当最大市场需求规模的负扰动程度不大，即 − β λ 2 < Δ α < 0 时，制造商应保持废旧品的回收量不变，而应降低产品的单位批发价格，以此来激励零售商保持产品的订购/销售量不变。 3) 当最大市场需求规模的扰动程度较大，即 Δ α ≥ β λ 1 或 Δ α ≤ − β λ 2 时，制造商应按扰动的方向调整废旧品的回收量和产品的单位批发价格，零售商应按扰动的方向调整产品的订购/销售量。即在产品的最大市场需求规模变的较大时，提高其价格和销量，以获取更多的利润；在产品的最大市场需求规模变的较小时，降低其价格和销量，以此来拉动需求，避免利润的过多损失。 4) 当最大市场需求规模减少的程度很大，即 Δ α < 2 a ( 1 + b c r ) − α − β λ 2 时，因产品的订购/销售量小于零，闭环供应链系统会停产。