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user: 2. 理论模型与分析 2.1. 问题描述 如图1所示，弹性半空间介质内含有一个密度 ρ g 和剪切模量 μ g 的可动刚性夹杂( μ g ≫ μ )，夹杂的半径为R，掩埋深度为H。假设基体的剪切模量和质量体密度分别为 μ ， ρ 。一列稳态入射平面SH波 W ( I ) (入射波函数)在介质内传播，由于可动夹杂的存在，它将与半空间边界作用产生一列反射波 W ( r ) ，与夹杂相互作用产生散射波 W ( s ) 。引入复变量 z = x + i y ， z ¯ = x − i y ，在复平面 ( z ， z ¯ ) 下，它们都满足如下Helmholtz方程 ∂ 2 W ∂ z ∂ z ¯ + 1 4 k 2 W = 0 (1) 图1. 纳米尺度下半空间内浅埋可动夹杂对SH波的散射问题 其中 k = ω V s 为波数， ω 为圆周频率， V s = μ ρ 为波速。文中忽略了时间因子 e − i ω t 。 在复变坐标系下，经典弹性力学中应力和位移的关系为 τ r z = μ ( ∂ W ∂ z e i θ + ∂ W ∂ z ¯ e − i θ ) ， τ θ z = i μ ( ∂ W ∂ z e i θ − ∂ W ∂ z ¯ e − i θ ) . (2) 其中 z = r e i θ ， z ¯ = r e − i θ ， i 2 = − 1 ，i为虚数单位， τ r z 和 τ θ z 分别是反平面问题中的径向和环向的切应力。 入射SH波的波函数可表示为 [ 3 ] W ( I ) = W 0 e i k 2 ( z 1 e − i α + z ¯ 1 e i α ) = W 0 e i k 2 [ ( z − 2 H i ) e − i α + ( z ¯ + H i ) e i α ] = W 0 e i k 2 [ ( z e − i α + z ¯ e i α ) ] e − i H k sin α (3) 反射波的波函数可表示为 W ( r ) = W 0 e i k 2 ( z 1 e i α + z ¯ 1 e − i α ) = W 0 e i k 2 [ ( z − 2 H i ) e i α + ( z ¯ + H i ) e − i α ] = W 0 e i k 2 [ ( z e − i α + z ¯ e i α ) ] e i H k sin α (4) 其中 W 0 为入射波振幅。 由于入射波 W ( I ) ，反射波 W ( r ) 与可动夹杂及其边界共同作用产生了散射波 W ( s ) ，利用设虚源法，得到在复平面下满足半空间水平边界处应力自由的散射波函数为 W ( s ) = ∑ n = − ∞ ∞ A n { H n ( 1 ) ( k | z | ) ( z | z | ) n + H n ( 1 ) ( k | z − 2 H i | ) ( z − 2 H i | z − 2 H i | ) − n } (5) 其中 A n ( n = 0 ， n = ± 1 ， n = ± 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ) 是待定的系数， H n ( 1 ) ( ⋅ ) 表示n阶第一类Hankel函数。 利用Graf加法公式， H n ( 1 ) ( k | z − 2 H i | ) ( z − 2 H i | z − 2 H i | ) − n = ∑ t = − ∞ ∞ e i ( t − n ) π 2 H t − n ( 1 ) ( 2 k H ) J t ( 1 ) ( k | z | ) ( z | z | ) − t (6) 将(6)代入(5)，散射波函数可以表示为 W ( s ) = ∑ n = − ∞ ∞ A n { H n ( 1 ) ( k | z | ) ( z | z | ) n + ∑ t = − ∞ ∞ e i ( t − n ) π 2 H t − n ( 1 ) ( 2 k H ) J t ( 1 ) ( k | z | ) ( z | z | ) − t } (7) 将公式(3)，(4)和(7)分别代入(2)，入射波，反射波，散射波对应的应力场分别为 τ r z ( I ) = i k μ W 0 2 [ e i ( θ − α ) + e − i ( θ − α ) ] e − i H k sin ( α ) e i k 2 ( z e − i α + z ¯ e i α ) (8) τ θ z ( I ) = − k μ W 0 2 [ e i ( θ − α ) + e − i ( θ − α ) ] e − i H k sin ( α ) e i k 2 ( z e − i α + z ¯ e i α ) (9) τ r z ( r ) = i k μ W 0 2 [ e i ( θ + α ) + e − i ( θ + α ) ] e i H k sin ( α ) e i k 2 ( z e i α + z ¯ e − i α ) (10) τ θ z ( r ) = − k μ W 0 2 [ e i ( θ + α ) − e − i ( θ + α ) ] e i H k sin ( α ) e i k 2 ( z e i α + z ¯ e − i α ) (11) τ r z ( s ) = k μ 2 ∑ n = − ∞ ∞ A n [ H n − 1 ( 1 ) ( k | z | ) ( z | z | ) n − 1 e i θ − H n + 1 ( 1 ) ( k | z | ) ( z | z | ) n + 1 e − i θ     − H n + 1 ( 1 ) ( k | z − 2 H i | ) ( z − 2 H i | z − 2 H i | ) − n − 1 e i θ + H n − 1 ( 1 ) ( k | z − 2 H i | ) ( z − 2 H i | z − 2 H i | ) − n + 1 e − i θ ] (12) τ θ z ( s ) = i k μ 2 ∑ n = − ∞ ∞ A n [ H n − 1 ( 1 ) ( k | z | ) ( z | z | ) n − 1 e i θ + H n + 1 ( 1 ) ( k | z | ) ( z | z | ) n + 1 e − i θ     − H n + 1 ( 1 ) ( k | z − 2 H i | ) ( z − 2 H i | z − 2 H i | ) − n − 1 e i θ − H n − 1 ( 1 ) ( k | z − 2 H i | ) ( z − 2 H i | z − 2 H i | ) − n + 1 e − i θ ] (13) 其中 τ r z ( I ) ， τ r z ( r ) ， τ r z ( s ) 分别为入射波，反射波，散射波对应的径向应力。 τ θ z ( I ) ， τ θ z ( r ) ， τ θ z ( s ) 分别为入射波，反射波，散射波对应的环向应力。 利用叠加原理，介质内总应力场 τ r z ( t ) 、 τ θ z ( t ) 可以表示为 τ r z ( t ) = τ r z ( I ) + τ r z ( r ) + τ r z ( s ) (14) τ θ z ( t ) = τ θ z ( I ) + τ θ z ( r ) + τ θ z ( s ) (15) 介质内的总位移场为 W ( t ) = W ( I ) + W ( r ) + W ( s ) (16) 2.2. 边界条件 不计表面残余张力，表面应力与表面应变的关系为 τ α β s = 2 μ s ε α β + λ s ε r r δ α β (17) 其中 μ s 和 λ s 为材料表面的Lamé常数， δ α β 为Kronecker符号。 假设弹性表面与基体并无滑移，则表面处的平衡方程为 τ β α n β + τ β α ， β s = 0 (18) τ i j n i n j = τ α β s k α β (19) 其中 τ β α s 为界面的应力张量， n β 为表面的外法向向量， k α β 为表面的曲率张量，希腊字母 α 、 β 取1、2、3，拉丁字母i、j均取1、2，下标中的逗号表示求导。 在 r = R 处，根据(18)式和(19)式，得到夹杂表面处边界条件为 τ r z = − 1 R ∂ τ θ z s ∂ θ (20) 根据表界面本构关系式(17)得到界面的切应力 τ θ z s 为 τ θ z s = 2 μ s ε θ z (21) 将(21)式代入(20)式，得到边界条件为 τ r z = − s ∂ τ θ z ∂ θ (22) 式中 s = μ s μ R ，s为纳米尺度下衡量表面效应的参数，可以看出s和夹杂半径R成反比关系。对于宏观问题，半径R非常大，那么s远远小于1，因此表面效应可以忽略不计，但缩小R到纳米尺度时，s的作用就非常显著，此时必须要考虑表面效应 [ 11 ] 。 2.3. 问题求解 由于刚性动夹杂内部产生的应力和应变场可以忽略不计，仅仅考虑其反平面运动。进一步假设动夹杂本身的反平面运动 U ( t ) = W g e − i ω t ，利用牛顿第二定律，列出动夹杂满足的运动方程为 ∫ 0 2π τ r z ( t ) ( R ， θ ) R d θ = − m ⋅ a (23) 其中单位厚度上的质量 m = π R 2 ρ g ，加速度 a = ω 2 W g ，则(23)变为 ∫ 0 2π τ r z ( t ) ( R ， θ ) R d θ = − π R 2 ω 2 ρ g W g (24) 在上式中考虑到 k = ω V ， k g = ω V g ，及 V = μ ρ ， V g = μ g ρ g ，则又有 ∫ 0 2π τ r z ( t ) ( R ， θ ) | r = R d θ = − π R W g μ g k 2 (25) 根据边界条件(22)和牛顿第二定律，我们有 ∫ 0 2π − s ∂ τ θ Z ∂ θ | r = R d θ = − π R W g μ g k 2 (26) 由于夹杂和基体之间是密切接触的，因此基体内的总位移场在夹杂处应该与夹杂的反平面位移一致。即得到下面这个等式 W g = W ( t ) = [ W ( I ) + W ( r ) + W ( s ) ] | r = R (27) 将(3)、(4)和(5)式代入(27)式得到 W g = W 0 e i k 2 [ ( z e − i α + z ¯ e i α ) ] e − i H k sin α + W 0 e i k 2 [ ( z e − i α + z ¯ e i α ) ] e i H k sin α     + ∑ n = − ∞ ∞ A n [ H n ( 1 ) ( k | z | ) ( z | z | ) n + H n ( 1 ) ( k | z − 2 H i | ) ( z − 2 H i | z − 2 H i | ) − n ] (28) 式中 z = R ⋅ e i θ 。 将(15)和(28)式代入(26)式，得到关于待定系数 A n ( n = 0 ，   n = ± 1 ，   n = ± 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ) 的无穷代数方程组 ∑ n = − ∞ ∞ ς n A n = ξ (29) 其中 ς n = − 2 π μ g k g μ k [ H n ( 1 ) ( k | z | ) ( z | z | ) n + H n ( 1 ) ( k | z − 2 H i | ) ( z − 2 H i | z − 2 H i | ) − n ]     − ∫ 0 2π ∂ ∂ θ { H n − 1 ( 1 ) ( k | z | ) ( z | z | ) n − 1 + H n + 1 ( 1 ) ( k | z | ) ( z | z | ) n + 1 e − i θ     − H n + 1 ( 1 ) ( k | z − 2 H i | ) ( z − 2 H i | z − 2 H i | ) − n − 1 e i θ − H n − 1 ( 1 ) ( k | z − 2 H i | ) ( z − 2 H i | z − 2 H i | ) − n + 1 e − i θ } d θ (30) ξ = ∫ 0 2π ∂ ∂ θ { − k μ W 0 2 [ e i ( θ − α ) + e − i ( θ − α ) ] e − i H k sin ( α ) e i k 2 ( z e − i α + z ¯ e i α )     + − k μ W 0 2 [ e i ( θ + α ) − e − i ( θ + α ) ] e i H k sin ( α ) e i k 2 ( z e i α + z ¯ e − i α ) } d θ     − 2 π μ g k g μ k [ W 0 e − i H k sin ( α ) e − i k R cos ( θ − α ) + W 0 e i H k sin ( α ) e i k R cos ( θ + α ) ] (31) 其中 z = R ⋅ e i θ ， θ ∈ [ 0 ， 2 π ] 。 在具体求解时，在方程(29)两边同时乘以 e − i m θ ，并在 [ 0 ， 2 π ] 内积分。 ∑ n = − ∞ ∞ ϕ m n A n = ε m ( m = 0 ， ± 1 ， ± 2 ⋅ ⋅ ⋅ ) (32) 在上式中 { ϕ m n = 1 2π ∫ 0 2π ς n e − i m θ d θ ε m = 1 2π ∫ 0 2π ξ n e − i m θ d θ (33) 根据上面的理论推导，给出了半空间内浅埋纳米移动夹杂对SH波散射的无穷代数方程组，利用截取有限项的方法求得待定系数 A n 。 1) 当 m = 0 时 2π R k g 2 μ g k μ { A 0 H 0 ( 1 ) ( k R ) + ∑ n = − ∞ ∞ A n [ e i ( − n ) π 2 H − n ( 1 ) ( 2 k H ) J 0 ( 1 ) ( k R ) ] } = 4 π W 0 J 1 ( 1 ) ( k R ) − s k W 0 R π [ J 0 ( 1 ) ( k R ) + J 2 ( 1 ) ( k R ) ] ⋅ ( e − i H k sin α + e i H k sin α )     + 2 π R k g 2 μ g k μ J 0 ( 1 ) ( k R ) ⋅ ( e − i H k sin α + e i H k sin α ) (34) 2) 当 m > 0 时 2π R k g 2 μ g k μ [ A m H m ( 1 ) ( k R ) + ∑ n = − ∞ ∞ A n [ e i ( − m − n ) π 2 H − m − n ( 1 ) ( 2 k H ) J − m ( 1 ) ( k R ) ] ] = 2 π R W 0 k g 2 μ g k μ i m J m ( 1 ) ( k R ) e − i m α ⋅ ( e − i H k sin α + e i H k sin α ) (35) 3) 当 m < 0 时 2π R k g 2 μ g k μ [ A m H m ( 1 ) ( k R ) + ∑ n = − ∞ ∞ A n [ e i ( − m − n ) π 2 H − m − n ( 1 ) ( 2 k H ) J − m ( 1 ) ( k R ) ] ] = 2 π R W 0 k g 2 μ g k μ i − m J − m ( 1 ) ( k R ) e − i m α ⋅ ( e − i H k sin α + e i H k sin α ) (36) 最后将数值结果代入(14)、(15)和(16)式可以得到介质内的总位移场 W ( t ) 和总应力场 τ r z ( t ) 与 τ θ z ( t ) 。