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user: 4. 相对论物质波的概念基础：平等性原理 在物理学中，一个粒子的四维速度u满足 . (33) 无论哪一种粒子(电子，分子，中子，夸克)，它们的四维速度u都具有相同的数量大小： 。在相对论时空中 ，四维速度u具有平等性:对所有的粒子，四维速度u具有相同的数量大小，这叫做速度平等性原理。 假如电子具有最大极限加速度 ，即任何电子的加速度都不能超过这个最大极限加速度 ，那么电子的相对论加速度 应当满足 . (34) 对所有的电子，相对论加速度 具有相同的 数量大小，这叫做加速度平等性原理。很明显，这里的相对论加速度 概念对传统的动力学公式 有很大的冲击。实际上，我们希望看到：这里的加速度平等性原理能够导致粒子的Heisenberg不确定原理并且可以解释粒子的量子力学行为。为了达到这样的目的，我们下面讨论一下平等性原理与物质波之间的关系。 在一个实验室坐标系中，考虑一个质量为m的速度为v粒子，根据勾股定理(Pythagoras theorem)，在时间间隔 内，粒子移动的距离为 . (35) 两边同时减去 ，我们得到 . (36) 它可以重新写成 . (37) 我们定义第四坐标轴和固有时间间隔(proper time interval)如下 . (38) 那么，坐标系 构成了一个相对论时空，粒子的四维速度定义为 . (39) 我们有 . (40) 它意味着任何粒子的四维速度的数量大小取相同的值： (常虚数)，这叫做速度的平等性原理。 根据勾股定理(Pythagoras theorem)，粒子的相对论加速度a有 . (41) 假如电子具有最大极限加速度 ，即没有电子的加速度能超过这个最大极限加速度 ，那么上式两边同时减去 ，我们有 . (42) 它可以写成 . (43) 现在，上式左边包含五项，电子的相对论加速度可以看成五维加速度，定义为 . (44) 这里 是新定义的第五维加速度，其五维相对论空间是 ，这样我们有 . (45) 它意味着任何粒子的相对论加速度 的数量大小取相同的值： (常虚数)，这叫做加速度的平等性原理。 每一个电子的相对论加速度 的数量大小取固定值： ，每一个电子的相对论速度u的数量大小也取固定值： ，这是一种怎样的运动图像？在现实世界中，当一个小轿车做匀速圆周运动的时候，它具有常切向速度v和常向心加速度a，如图4所示。 图4. 小轿车做匀速圆周运动的时候，它具有常切向速度v和常向心加速度a 图5. 一个沿着x 1 轴以速度v做匀速运动的电子，它在图中沿着u方向以常速度 运动和沿着x 5 轴方向以常加速度 做半径iR (虚数)的圆周运动，它的坐标系 构成柱坐标系 类似于匀速圆周运动的小轿车，如图5所示，考虑一个沿着x 1 轴以速度v做匀速运动的电子，它在图中沿着u方向以常速度 运动和沿着x 5 轴方向以常加速度 做半径iR (虚数)的圆周运动，它的坐标系 构成柱坐标系，在其中，电子沿着x 1 轴以速度v做螺旋运动。根据我们熟知的向心加速度公式，在x 4 -x 5 平面的向心加速度是 . (46) 所以，在这个 柱坐标系中电子的轨迹形成一个螺旋包(spiral-package)，电子运动速度v越快，螺旋步距越长。而在狭义相对论的时空 中这个螺旋包是不可见的。 图5中的螺旋包像一个钢丝弹簧，可以用一个波函数来描述；电子向前运动137个螺旋步距(spiral step)，对应波函数相位增加2p，137个螺旋步距对应螺旋周长是137 ×2p(iR)。为什么是137个螺旋步距对应相位2p呢？因为它与精细结构常数f = 1/137相关联。既然电子在螺旋线上的每个微小位移是 (在四维速度u的方向上)，波函数相位增加量的计算公式为 . (47) 代入半径R，波函数 表示为 . (48) 在相对论理论中，我们知道沿着 的积分需要换算成现实世界的线积分，也就是 . (49) 所以波函数 表达式为 . (50) 容易发现，最大极限加速度 是一个傀儡，它是普兰克常数(Planck constant)的代理，那么波函数 表示为 . (51) 注意到 ，上面这个方程(51)强烈建议上述波函数 就是现实世界的德布罗意物质波(de Broglie matter wave)。 讨论：1) 平等性原理是一个很好的物理基础平台，它可以让我们合理地引入基本常数。因为它让每个粒子都平等地享有相同的物理学基本常数。正如我们利用速度平等性原理和加速度平等性原理，让每个电子都在运动的时候享有相同的速度数量大小和相同的普兰克常数，就像电子生命中的不变基因。2)实际上，平等性原理为传统物理学注入了新鲜血液，特别是对天体物理，超导电性等等。平等性原理特别适合用来建立物理学的基本概念。3) 在图5中，电子在这个 柱坐标系中螺旋步距是 . (52) 螺旋步距对应的螺旋周期是一个常数。在本文中，电子在这个 柱坐标系中的螺旋轨迹叫做螺旋包(spiral-package)，螺旋包的长度被认为是物质波的相干长度(coherent length)。4) 在图5中，电子的螺旋包有2种：顺时针螺旋包和逆时针螺旋包，本作者认为它们可以代表自旋朝上和自旋朝下。很容易计算出电子在做螺旋包运动时候的相心加速度(ultimate acceleration) ，半径R以及角动量J，如下 . (53) 在图6中，角动量J的方向会与电子前进的x 1 方向稍微不同，因为角动量J在绕着x 1 方向做进动，这是由于螺旋包造成的。很容易想到这个角动量J会被现实世界的外部磁场B捕获到。如何把这个角动量J投影到现实世界 中去，如何与自旋朝上和自旋朝下相关，如何与高能粒子的手征(chirality)相关，这些问题超出了本文预设的范围，参见文献 [ 9 ]。 重要提示：实际上，人们在狭义相对论时空 中是看不到上述螺旋包；人们只有在柱坐标系 时空中才能看到上述螺旋包。 如图7所示，螺旋包的长度被认为是物质波的相干长度(coherent length)，相应地，相干宽度(coherent width)是指物质波在横向的影响范围(不是指在x 5 轴上的螺旋包半径R，因为在现实世界时空 中看不到x 5 轴)。螺旋包限制在相干长度(coherent length)和相干宽度(coherent width)之间。 图6. 角动量J的方向会与电子前进的x 1 方向稍微不同 图7. 螺旋包的长度被认为是物质波的相干长度 图8. 波谱成分在k 0 处有一个峰值 很明显，螺旋包就是一个波包。考虑一个电子沿着x轴运动，它的物质波具有相干长度L，物质波的波包是 . (54) 它的波谱成分可以写成为 . (55) 既然波包中不同成分的传播速度不同，各种波谱成分可以由傅里叶分析得到 . (56) 现在，显然sinz/z在 有最大值，在 和 处下降到零。对于较大的L，波谱成分在k 0 处有一个峰值，如图8所示，它是一个动量确定而位置不确定的电子波包情形。波谱成分的傅里叶分析告诉我们，不确定关系是 . (57) 这就是Heisenberg不确定原理。我们可以放心地说，电子不是一个几何点，它生活在它的非现实世界的螺旋包中。 位置，速度，加速度是粒子物理学中的三个基本概念，对应地，我们有位置平等性原理，速度平等性原理，加速度平等性原理。位置平等性原理要求我们承认存在一个最大极限距离D，它自动被认为是宇宙直径：在D范围内，无物体可以逃脱。位置平等性原理允许我们引入哈勃常数(Hubble constant)和解释哈勃定律(Hubble law)。 考虑一个遥远恒星，它到太阳的距离为d，我们以太阳为原点建立一个参考坐标系 ，如图9所示，勾股定理(Pythagoras theorem)告诉我们 . (58) 图9. 太阳系中一个遥远的恒星 因为距离d是一个很大的距离，我们自然会担心非欧几何效应(non-Euclidian effect)对位置测量产生的影响，修改位置的测量公式为 . (59) 这里kd项代表非欧几何效应。假设在宇宙中存在这个最大极限距离D，那么上式两边同时减去D 2 ， . (60) 它可以被写成 . (61) 那么一个新坐标系必须建立起来，新坐标系定义为 . (62) 在这个新坐标系 中，所有的星球相对于这个坐标原点的位置都具有相同数量大小： . (63) 位置的数量大小是相同的！这个叫做位置平等性原理。 现在我们用哈勃定理来测试一下位置平等性原理。考虑一个遥远的位置 的原子，它发射出一束波长l的电磁波。我们必须保证位置平等性原理，所以我们实际上生活在新坐标系 中，我们看到 . (64) 根据(64)式的第一个式子，在我们的新坐标系原点接受到的电磁波的波长是 . (65) 这就是哈勃定理(Hubble law)，而D 2 /k等于哈勃常数(Hubble constant)。位置平等性原理的优点是，不需要让遥远星系按照多普勒效应预言的那样退行(或宇宙膨胀)。宇宙红移，或者宇宙蓝移，多普勒效应，宇宙膨胀，这些问题困扰了人们很长时间，有了位置平等性原理，我们对宇宙的认识将更近一步。