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user: 4. 具有扰动的分数阶超混沌系统的异结构鲁棒同步 目前，很多同步方法忽略了系统的不确定性因素，但是在实际应用中混沌系统经常会受到一些外部干扰，这些外部干扰会使一些理论上成立的同步方法在应用中得不到很好的同步效果。在本章中我们同时考虑了驱动系统和响应系统的外部干扰，基于分数阶稳定性理论提出了鲁棒同步的一种新的方案，设计了合适的控制器，并通过数值仿真实现了同维数的两个分数阶超混沌系统的鲁棒同步，并进一步用该同步方案实现了不同维数的分数阶超混沌系统的鲁棒同步。 4.1. 鲁棒同步方案的设计 假定驱动系统为： d q x d t q = F ( x ) + D 1 ( t ) ， (19) 其中， x ∈ R n 为状态变量， F ( x ) : R n → R n 为连续向量函数， D 1 ( t ) = ( d 11 ， d 12 ， ⋯ ， d 1 n ) 为系统(19)的外部干扰， 0 < q < 1 为系统阶数。 假定响应系统为： d q y d t q = G ( y ) + U + D 2 ( t ) ， (20) 其中， y ∈ R n 为状态变量， G ( y ) : R n → R n 为连续向量函数， U = ( u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u n ) 是我们要设计的控制器， D 2 ( t ) = ( d 21 ， d 22 ， ⋯ ， d 2 n ) 为系统(20)的外部干扰， 0 < q < 1 为系统参数。 定义同步误差为 e = ( e 1 ， e 2 ， ⋯ ， e n ) T = ( y 1 − x 1 ， y 2 − x 2 ， ⋯ ， y n − x n ) T ，那么，通过驱动系统(19)和响应系统 (20)我们可以得到误差动力系统 ， (21) 其中， 为系数矩阵， C = G ( y ) − F ( x ) − A e ， D = ( d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d n ) T = ( d 21 − d 11 ， d 22 − d 12 ， ⋯ ， d 2 n − d 1 n ) T 。 设计控制器 U = β e − C ， (22) 其中， β = − A + B − α ， ( α = diag ( α 1 ， α 2 ， ⋯ ， α n ) ， B = diag ( b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b n ) ) ，其中 B 为 A 的对角线元素组成的对角阵。 将式(22)代入式(21)可得新的误差动力系统为： d q e d t q = ( − α + B ) e + D . (23) 假设外部干扰的范围为 | d i j ( t ) | < d ( i = 1 ， 2 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ，那么 | d j ( t ) | < d ˜ = 2 d ， (24) 定义 d j ( t ) 与 e j ( t ) 之间的系数 p j ( t ) = d j ( t ) / e j ( t ) ，那么可以得到 D = P e ， (25) 其中， P = diag ( p 1 ， p 2 ， ⋯ ， p n ) 。 由式(23)和式(25)可得 d q e d t q = E e = ( − α + Β + P ) e ， (26) 我们控制的目标是： | e j ( t ) | < R j ， (27) 那么，如果 | e j ( t ) | > R j ，根据式(24)，(26)，(27)可得 | p j ( t ) | < d ˜ / R j ， (28) 由式(26)和式(28)可知，当满足条件 α i > d ˜ / R j + b i (29) 时，就可以得到我们的同步要求。 4.2. 数值仿真 4.2.1. 分数阶超混沌系统的鲁棒同步 选取分数阶超混沌Lorenz系统作为驱动系统，在系统中添加外部干扰 D 1 ( t ) = ( d 11 ， d 12 ， d 13 ， d 14 ) 得到系统的表示形式如下： { d α x 1 d t α = a ( x 2 − x 1 ) + x 4 + d 11 d α x 2 d t α = c x 1 − x 2 − x 1 x 3 + d 12 d α x 3 d t α = x 1 x 2 − b x 3 + d 13 d α x 4 d t α = − x 2 x 3 + r x 4 + d 14 ， (30) 选取Gao等人提出的分数阶超混沌Chen系统作为响应系统，在系统中加外部干扰 D 2 ( t ) = ( d 21 ， d 22 ， d 23 ， d 24 ) 得到系统的表示形式如下： { d α y 1 d t α = l ( y 2 − y 1 ) + u 1 + d 21 d α y 2 d t α = m y 1 + n y 2 − y 1 y 3 − y 4 + u 2 + d 22 d α y 3 d t α = y 1 y 2 − p y 3 + u 3 + d 23 d α y 4 d t α = y 1 + g + u 4 + d 24 ， (31) 可得误差动力学方程为： ， (32) 这里我们构造控制器： { u 1 = − α 1 e − 1 a e 2 − e + 4 ( l − a ) y 1 − ( l − a ) y 2 + y 4 u 2 = − α 2 e 2 + ( − c + x 3 ) e 1 + y 1 e 3 + ( − m + c ) y 1 − ( n + 1 ) y 2 + y 4 u 3 = − α 3 e 3 − x 2 e 1 − y 1 e 2 − ( b − p ) y 3 u 4 = − α 4 e 4 − y 1 + r y 4 − x 2 x 3 − g ， (33) 将式(33)代入式(32)中，可得误差动力学方程为： { d α e 1 d t α = ( − α 1 − a ) e + 1 d 1 d α e 2 d t α = ( − α 2 − 1 ) e 2 + d 2 d α e 3 d t α = ( − α 3 − b ) e 3 + d 3 d α e 4 d t α = ( − α 4 + r ) e 4 + d 4 . (34) 假设驱动系统与响应系统的的外部干扰为分别为 d 1 j ( t ) = sin ( x i ) ， d 2 j ( t ) = sin ( y i ) 。那么外部干扰的范围为 ， ( i = 1 ， 2 ， j = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 。所以， d ˜ = | d j ( t ) | < 4 。 由式(34)和式(26)可得误差动力系统的系统矩阵 E = [ − α 1 − a + p 1 ( t ) 0 0 0 0 − α 2 − 1 + p 2 ( t ) 0 0 0 0 − α 3 − b + p 3 ( t ) 0 0 0 0 − α 4 + r + p 4 ( t ) ] ， (35) 由式(29)与式(35)可得 { α 1 > d ˜ / R 1 − a α 2 > d ˜ / R 2 − 1 α 3 > d ˜ / R 3 − b α 4 > d ˜ / R 4 + r . (36) 驱动系统与响应系统的阶数都取 α = 0. 98 ，取 R i = 0.05 ，那么由式(36)可得 α 1 > 70 ， α 2 > 79 ， α 3 > 231 / 3 ≈ 77.3 ， α 4 > 81 ，这里，我们选取 α 1 = 75 ， α 2 = 80 ， α 3 = 78 ， α 4 = 82 。当选取状态变量初值为状态变量的初值为 ( x 1 ( 0 ) ， x 2 ( 0 ) ， x 3 ( 0 ) ， x 4 ( 0 ) ) = ( 2 ， 1 ， 3 ， 4 ) ， ( y 1 ( 0 ) ， y 2 ( 0 ) ， y 3 ( 0 ) ， y 4 ( 0 ) ) = ( 3 ， 4 ， 2 ， 1 ) ，此时分数阶超混沌系统(30)和(31)将获得鲁棒同步。同步结果如图1所示。 图1. R i = 0.05 时系统(30)和(31)的鲁棒同步误差图 取 R i = 0.01 ，那么由式(36)可知当选取 α 1 = α 2 = α 3 = α 4 = 400 时符合鲁棒同步的条件。当选取状态变量初值为状态变量的初值为 ( x 1 ( 0 ) ， x 2 ( 0 ) ， x 3 ( 0 ) ， x 4 ( 0 ) ) = ( 2 ， 1 ， 3 ， 4 ) ， ( y 1 ( 0 ) ， y 2 ( 0 ) ， y 3 ( 0 ) ， y 4 ( 0 ) ) = ( 3 ， 4 ， 2 ， 1 ) ，此时分数阶超混沌系统(30)和(31)获得鲁棒同步。同步结果如图2所示。 图2. R i = 0.01 时系统(30)和(31)的鲁棒同步误差图