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user: 3. 主要结果 称环R是左余凝聚的，如果每个1-余表现R-模是2-余表现的。以下R均是左余凝聚环。 命题3.1 设n是非负整数， M i ( i ∈ I ) 是R-模。如果对任意的 i ∈ I ， M i 是强n-Gorenstein FC-投射的，那么 ⊕ i ∈ I M i 是强n-Gorenstein FC-投射的。 证明 已知对任意的 i ∈ I ， M i 是强n-Gorenstein FC-投射模，所以存在R-模的正合序列 0 → M i → Q i → M i → 0 ，其中 F C - p d ( Q i ) ≤ n ，且对任意内射维数有限的有限余表现R-模L，有 E x t R n + 1 ( M i ， L ) = 0 ，因此有正合列 0 → ⊕ i ∈ I M i → ⊕ i ∈ I Q i → ⊕ i ∈ I M i → 0 ，由( [ 7 ] 命题2.2)和( [ 7 ] 命题2.7)易得， F C - p d ( ⊕ i ∈ I Q i ) ≤ n ，有 E x t R n + 1 ( ⊕ i ∈ I M i ， L ) ≅ ∏ i ∈ I E x t R n + 1 ( M i ， L ) = 0 。故 ⊕ i ∈ I M i 是强n-Gorenstein FC-投射的。 命题3.2 设n是非负整数，M是R-模，如果M是强n-Gorenstein FC-投射的，那么M是强m-Gorenstein FC-投射的，其中 m ( ≥ n ) 是整数。 证明 由已知存在正合序列 0 → M → P → M → 0 (1)，其中 F C - p d R ( P ) ≤ n ，且对任意内射维数有限的有限余表现R-模L，有 E x t R n + 1 ( M ， L ) = 0 ，显然 F C - p d R ( P ) ≤ m ，用 H o m R ( − ， L ) 作用在(1)上，由( [ 7 ] 命题2.7)可得， 0 = E x t R n + 1 ( M ， L ) ≅ E x t R n + 2 ( M ， L ) ≅ ⋯ ≅ E x t R m + 1 ( M ， L ) ，故M是强m-Gorenstein FC-投射的。 命题3.3 设n是非负整数，M是R-模，如果M的FC-投射维数不超过n，那么M是强n-Gorenstein FC-投射的。 证明 取正合序列 0 → M → M ⊕ M → M → 0 ，由( [ 7 ] 命题2.2)和( [ 7 ] 命题2.7)得， F C - p d R ( M ⊕ M ) ≤ n ，且对任意内射维数有限的有限余表现R-模L， E x t R n + 1 ( M ， L ) = 0 。 故M是强n-Gorenstein FC-投射的。 引理3.4 设n是正整数，M是强n-Gorenstein FC-投射模R-模，如果存在正合序列 0 → N → P n → ⋯ → P 1 → M → 0 ，其中 P i 是投射的 ( 1 ≤ i ≤ n ) ，那么N是强Gorenstein FC-投射的。 证明 由已知存在R-模的正合序列 0 → M → P → M → 0 ，其中 F C - p d R ( P ) ≤ n ，且对任意有限余表现R-模L，有 E x t R n + 1 ( M ， L ) = 0 ，考虑R-模的正合交换图： 因为 F C - p d R ( P ) ≤ n ，由( [ 7 ] 命题2.7)得，Q是FC-投射R-模，用 H o m R ( − ， L ) 作用在正合序列 0 → N → P n → ⋯ → P 1 → M → 0 上，可得 E x t R 1 ( N ， L ) ≅ E x t R n + 1 ( M ， L ) = 0 。由 [ 9 ] 推论3和以上交换图的第一列可得，N是强Gorenstein FC-投射的。 命题3.5 设n是非负整数，M是R-模，如果M是强n-Gorenstein FC-投射的，那么 G F C - p d R ( M ) ≤ n 。 证明 取R-模的正合列 0 → N → P n → ⋯ → P 1 → M → 0 ，其中 P i 是投射模， 1 ≤ i ≤ n 。由引理2.4知，N是强Gorenstein FC-投射的，从而N是Gorenstein FC-投射的，故 G F C - p d R ( M ) ≤ n 。 称环R [ 7 ] 是左GFCP-闭的，如果Gorenstein FC-投射R-模对扩张是封闭的，即R-模的正合列 0 → N → M → Q → 0 ，如果N，Q是Gorenstein FC-投射的，那么M是Gorenstein FC-投射的。 设X是R-模的类， y ⊆ X 。称y是X的生成子，如果对任意的 x ∈ X ，存在R-模的正合列 0 → x 1 → y → x → 0 ，其中 y ∈ Y ， x 1 ∈ X 。 对偶地，可以定义X的余生成子。 显然，FC-投模类是Gorenstein FC-投射模类的生成子和余生成子。 由( [ 10 ] 定理5.5)可得以下结论。 引理3.6 设R是GFCP-闭左余凝聚环，M是R-模，n是非负整数，则以下条件等价： (1) G F C - p d R ( M ) ≤ n ； (2) 存在R-模的正合列 0 → G n → G n − 1 → ⋯ → G 1 → G 0 → M → 0 ，其中 G n 是GFC-投射模， G i ( 0 ≤ i ≤ n − 1 ) 是FC-投射模； (3) 存在R-模的正合列 0 → G n → G n − 1 → ⋯ → G 1 → G 0 → M → 0 ，其中 G 0 是GFC-投射模， G i ( 1 ≤ i ≤ n ) 是FC-投射模； (4) 对任意的非负整数t， 0 ≤ t ≤ n ，存在R-模的正合列 0 → G n → G n − 1 → ⋯ → G 1 → G 0 → M → 0 ，其中 G t 是GFC-投射模，当 i ≠ t 时， G t 是FC-投射模。 引理3.7 设n是非负整数，M是R-模，如果 G F C - p d ( M ) ≤ n ，那么对任意的 i > n 和任意内射维数有限的有限余表现模L，有 E x t R i ( M ， L ) = 0 。 证明 由( [ 7 ] 引理2.3)和维数转移易得结论。 定理3.8 设R是左GFCP-闭环，n是非负整数，M是R-模。 G F C - p d R ( M ) ≤ n 当且仅当M是某个强n-Gorenstein FC-投射模的直和项。 证明 当 n = 0 时，即证明M是Gorenstein FC-投射的当且仅当M是某个强Gorenstein FC-投射R-模的直和项。 ( ⇒ ) 设M是Gorenstein FC-投射R-模，则存在FC-投射R-模的正合序列 X = ⋯ → P 0 → f 0 P 1 → f 1 P 2 → f 2 P 3 → ⋯ 使 M ≅ K e r f 0 ，且对任意内射维数有限的有限余表现R-模Q， H o m R ( X ， Q ) 是正合的。记复形 X 的m次平移为 Σ m ( X ) 。 X = ⋯ → P 0 → f 0 P 1 → f 1 P 2 → f 2 P 3 → ⋯ Σ 1 ( X ) = ⋯ → P 1 → f 1 P 2 → f 2 P 3 → f 3 P 4 → ⋯ Σ 2 ( X ) = ⋯ → P 2 → f 2 P 3 → f 3 P 4 → f 4 P 5 → ⋯ ⋯ Σ m ( X ) = ⋯ → P m → f m P m + 1 → f m + 1 P m + 2 → f m + 2 P m + 3 → ⋯ 对上述正合列作直和得正合列 ⊕ i ∈ I Σ i ( X ) = ⋯ → ⊕ i ∈ I P i → ⊕ i ∈ I f i ⊕ i ∈ I P i → ⊕ i ∈ I f i ⊕ i ∈ I P i → ⋯ 令 N = K e r ( ⊕ i ∈ I f i ) = ⊕ i ∈ I K e r ( f i ) ，则M是N的直和项， H o m R ( ⊕ i ∈ I Σ i ( X ) ， Q ) ≅ ∏ i ∈ I H o m R ( Σ i ( X ) ， Q ) 是正合的，由( [ 7 ] 命题2.2)可得， ⊕ i ∈ I P i 是FC-投射的，从而N是强Gorenstein FC-投射模。 ( ⇐ ) 设N是强Gorenstein FC-投射R-模，M是N的直和项，则N是Gorenstein FC-投射的，由( [ 7 ] 推论4.5)可得，M是Gorenstein FC-投射的。 假设 G F C - p d R ( M ) ≤ n ≠ 0 。 ( ⇒ ) 由引理3.6知，存在R-模的正合列 0 → K → G → M → 0 ，其中G是Gorenstein FC-投射模， F C - p d R ( K ) ≤ n − 1 ，从而有R-模的正合列 0 → G → P → G 0 → 0 ，其中P是FC-投射R-模， G 0 是Gorenstein FC-投射R-模，考虑 G → M 和 G → P 的推出图 [ 11 ]： 由正合列 0 → K → P → D → 0 知， F C - p d R ( D ) ≤ n ，设M的Gorenstein FC-投射分解为 0 → G n → P n → ⋯ → P 1 → M → 0 ，其中 P i 是FC-投射模 ( 1 ≤ i ≤ n ) ， G n 是Gorenstein FC-投射的，令 G i = K e r ( P i → P i − 1 ) ，其中 P 0 = M ， i ≥ 1 ，则有 0 → G 1 → P 1 → M → 0 0 → G 2 → P 2 → G 1 → 0 ⋯ 0 → G n → P n → G n − 1 → 0 且 G F C - p d R ( G i ) ≤ n − 1 ， 1 ≤ i ≤ n 。 设 G n 的FC-投射分解为 ⋯ → P n + 2 → P n + 1 → G n → 0 ，从而得正合列 0 → G i + 1 → P i + 1 → G i → 0 ，其中 G i 是Gorenstein FC-投射的， i ≥ n ，在正合列 0 → M → D → G 0 → 0 中， G 0 是Gorenstein FC-投射的，所以存在R-模的正合列 0 → G 0 → P 1 → P 2 → ⋯ ，其中 P i 是 FC-投射的，令 G i = I m ( P i → P i + 1 ) ，进而有正合列 0 → G i → P i + 1 → G i + 1 → 0 ， i ≥ 0 。从而有正合列 ⋯ 0 → G 1 → P 2 → G 2 → 0 0 → G 0 → P 1 → G 1 → 0 0 → M → D → G 0 → 0 0 → G 1 → P 1 → M → 0 0 → G 2 → P 2 → G 1 → 0 ⋯ 将上述序列作直和得到正合列 0 → N → Q → N → 0 ， 其中 N = ⊕ i ≥ 1 G i ⊕ M ⊕ i ≥ 0 G i ， Q = ⊕ i ≥ 1 P i ⊕ D ⊕ i ≥ 1 P i ，则M是N的直和项，由( [ 7 ] 命题5.5)知， G F C - p d R ( N ) = S u p { G F C - p d R ( G i ) ， G F C - p d R ( G i ) ， G F C - p d R ( M ) | i ∈ I } ≤ n ， F C - p d R ( Q ) = S u p { F C - p d R ( P i ) ， F C - p d R ( P i ) ， F C - p d R ( D ) | i ∈ I } ≤ n ，由引理3.7知，对任意内射维数有限的有限余表现模Q，都有 E x t R n + 1 ( N ， Q ) = 0 ，因此N是强n-Gorenstein FC-投射模。 ( ⇐ ) 设N是强n-Gorenstein FC-投射R-模，且 N = M ⊕ Q ，由命题3.5可得， G F C - p d R ( N ) ≤ n 。又由( [ 7 ] 命题5.5)可得， G F C - p d R ( N ) = S u p { G F C - p d R ( M ) ， G F C - p d R ( Q ) } ，所以 G F C - p d R ( M ) ≤ n 。