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user: 3. Q n ( d ， w ) 的基本性质 由定义可得 A ( n ， d ， w ) = α ( Q n ( d − 1 ， w ) ) ，即n维超立方体 d − 1 次幂图中由所有重量为w的点导出子图的独立数等于给定最小Hamming距离为d，重量为w的最大n长二元常重码集的大小。现令 u 0 = ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) ， D i = { u ∈ V ( Q n d ) | d H ( u ， u 0 ) ≤ i } ( 0 ≤ i ≤ n ) 。为便于观察，给出如下对 Q n d 的距离划分(见图1)，则 Q n ( d ， w ) 就是由 D w 导出的子图。在此基础上，本节对 Q n ( d ， w ) 进行了研究，并得到了它的一些基本性质。 图1. Q n d 的距离划分图 定理3.1： Q n ( d ， w ) 是k-正则图，其中 k = ∑ i = 1 ⌊ d / 2 ⌋ ( w w − i ) ( n − w i ) 。 证明：对于任意的 x ， y ∈ V ( Q n ( d ， w ) ) ，设 | x ∩ y | = t ，则 d H ( x ， y ) = 2 ( w − t ) 。x与y相邻当且仅当 d H ( x ， y ) = 2 ( w − t ) ≤ d ，即 t ≥ w − ⌊ d / 2 ⌋ 。因此，对于 Q n ( d ， w ) 中的任意一点x有 d ( x ) = ( w w − 1 ) ( n − w 1 ) + ( w w − 2 ) ( n − w 2 ) + ⋯ + ( w w − d 2 ) ( n − w d 2 ) = ∑ i = 1 ⌊ d / 2 ⌋ ( w w − i ) ( n − w i ) ，即 Q n ( d ， w ) 是 Q n ( d ， w ) -正则图。 定理3.2： Q n ( d ， w ) 是点传递图。 证明：根据定义2.5，要证明 Q n ( d ， w ) 是点传递图，我们只需证明对于任意的 x ， y ∈ V ( Q n ( d ， w ) ) ，存在 φ ∈ Aut ( Q n ( d ， w ) ) 满足 φ ( x ) = y 即可。不妨设 x = ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ) ， y = ( y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n ) ，其中 x 1 = x 2 = ⋯ = x k = x k + 1 = ⋯ = x w = 1 ， x w + 1 = ⋯ = x n = 0 ， y 1 = y 2 = ⋯ = y k = 1 ， y k + 1 = ⋯ = y w = 0 ， y w + 1 = ⋯ = y 2 w − k = 1 ， y 2 w − k + 1 = ⋯ = y n = 0 。 现假设 f ∈ S n ，即f是集合 { 1 ， 2 ， ⋯ ， n } 上的一个置换，且 f = ( 1 2 ⋯ 1 2 ⋯       k k + 1 k + 2 k w + 1 w + 2       ⋯ w w + 1 ⋯ 2 w − k k + 1       ⋯ 2 w − k 2 w − k + 1 ⋯ w 2 w − k + 1       ⋯ n ⋯ n ) 。 对于任意的 u = ( u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u n ) ∈ V ( Q n ( d ， w ) ) ，令 φ ( u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u n ) = ( u f ( 1 ) ， u f ( 2 ) ， ⋯ ， u f ( n ) ) 。显然， φ 是点集 V ( Q n ( d ， w ) ) 到其本身的一个映射，且 φ ( x ) = y 。下面只需要证明 φ ∈ Aut ( Q n ( d ， w ) ) 。 1) φ 为双射。 φ 为单射：任取 u ， v ∈ V ( Q n ( d ， w ) ) ，若 u ≠ v ，则一定存在 i ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， n } 有 u i ≠ v i 。而对于 i ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， n } 存在 j ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， n } 使得 f ( j ) = i ，故 u f ( j ) ≠ v f ( j ) ，即 φ ( u ) ≠ φ ( v ) ，故 φ 为单射。 φ 为满射：对于任意的 u = ( u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u n ) ∈ V ( Q n ( d ， w ) ) ，存在 v = ( v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v n ) ∈ V ( Q n ( d ， w ) ) ，其中 v i = u i ( 1 ≤ i ≤ k 或 2 w − k + 1 ≤ i ≤ n )， v k + j = u w + j ( 1 ≤ j ≤ w − k ) ， v w + j = u k + j ( 1 ≤ j ≤ w − k ) ， 使得 φ ( v ) = u ，故 φ 为满射。 2) 对于任意的 u ， v ∈ V ( Q n ( d ， w ) ) ， u ~ v 当且仅当 φ ( u ) ~ φ ( v ) 。 由 φ 和f定义可知， d H ( φ ( u ) ， φ ( v ) ) = ∑ i = 1 n | u f ( i ) − v f ( i ) | = ∑ i = 1 n | u i − v i | = d H ( u ， v ) ，故 u ~ v 当且仅当 φ ( u ) ~ φ ( v ) 。 综上， φ ∈ Aut ( Q n ( d ， w ) ) ，故 Q n ( d ， w ) 是点传递图。 定理3.3：当 2 ≤ d ≤ 3 时， Q n ( d ， w ) 的团数 ω ( Q n ( d ， w ) ) = { w + 1   ( w ≥ ⌈ n / 2 ⌉ ) n − w + 1   ( w < ⌈ n / 2 ⌉ ) 。 证明：令点 u 0 = ( u 1 0 ， u 2 0 ， ⋯ ， u n 0 ) ∈ V ( Q n ( d ， w ) ) ，其中 u 1 0 = u 2 0 = ⋯ = u w 0 = 1 ， u w + 1 0 = ⋯ = u n 0 = 0 。为了便于观察，我们给出如下对图 Q n ( d ， w ) 的距离划分(见图2)，其中 D i w = { u ∈ V ( Q n ( d ， w ) ) | d H ( u ， u 0 ) = i } ，i为偶数，而且若 w < n 2 ，则 2 ≤ i ≤ 2 w ，否则 2 ≤ i ≤ 2 ( n − w ) 。 图2. Q n ( d ， w ) 的距离划分图 由 Q n ( d ， w ) 的点传递性，我们只需考虑其包含点 u 0 的最大团即可得 Q n ( d ， w ) 的团数。求 Q n ( 2 ， w ) 与 Q n ( 3 ， w ) 最大团的方法完全一样，下面我们只给出 Q n ( 2 ， w ) 最大团的构造过程。 当 d = 2 时，假设T为 Q n ( 2 ， w ) 中包含点 u 0 的团，则任取 u ∈ T ， d H ( u ， u 0 ) = 2 ( w − | u 0 ∩ u | ) ≤ 2 ，故 ( T − { u 0 } ) ⊆ D 2 w 。令 D 2 ( w ， i ) = { u ∈ D 2 w | u i = 0 } ( 1 ≤ i ≤ w ) ， I = { i : ( T − { u 0 } ) ∩ D 2 ( w ， i ) ≠ ∅ } 。 1) 若 | I | ≥ 2 ，则为满足 ∀ u ， v ∈ T ， d H ( u ， v ) ≤ 2 ，任取 i ∈ I ， | ( T − { u 0 } ) ∩ D 2 ( w ， i ) | = 1 。此时，T最大可取为 T = ∪ i = 1 w D 2 ( w ， i ， j ) ( j ∈ [ w + 1 ， n ] ) ，其中 D 2 ( w ， i ， j ) = { u ∈ D 2 ( w ， i ) | u j = 1 } ( j ∈ [ w + 1 ， n ] ) ，而且 | T | = w + 1 。 2) 若 | I | ≤ 1 ，由于对于任意的 u ， v ∈ D 2 ( w ， i ) ， d H ( u ， v ) = 2 ，故此时T最大可取为 T = { u 0 } ∪ D 2 ( w ， i ) ( i ∈ [ 1 ， w ] ) ，而且 | T | = n − w + 1 。 综上， ω ( Q n ( 2 ， w ) ) = { w + 1 ( w ≥ ⌈ n / 2 ⌉ ) n − w + 1 ( w < ⌈ n / 2 ⌉ ) 。 推论3.4：当 2 ≤ d ≤ 3 时， Q n ( d ， w ) 的独立数 α ( Q n ( d ， w ) ) ≤ { ( n w ) w + 1 ( w ≥ ⌈ n / 2 ⌉ ) ( n w ) n − w + 1 ( w < ⌈ n / 2 ⌉ ) ，即当 3 ≤ d ≤ 4 时， A ( n ， d ， w ) ≤ { ( n w ) w + 1 ( w ≥ ⌈ n / 2 ⌉ ) ( n w ) n − w + 1 ( w < ⌈ n / 2 ⌉ ) 。 证明：结合定理2.6，定理3.2及定理3.3很容易得证。