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user: 2. 传染病模型 记 S k ( t ) ， I 1 k ( t ) ， I 2 k ( t ) ， R k ( t ) 分别表示为t时刻度为k的易感个体的密度，低风险染病个体的密度， 高风险染病个体的密度以及康复个体的密度，其中 k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n (n为网络的最大度)表示该节点与其他节点之间的连边数。根据异质平均场理论，可得到如下的SIRS传染病模型 ( d S k ( t ) d t = − k S k ( t ) Θ ( t ) + δ R k ( t ) ， d I 1 k ( t ) d t = α k S k ( t ) Θ ( t ) − γ 1 I 1 k ( t ) ， d I 2 k ( t ) d t = ( 1 − α ) k S k ( t ) Θ ( t ) − γ 2 I 2 k ( t ) ， d R k ( t ) d t = γ 1 I 1 k ( t ) + γ 2 I 2 k ( t ) − δ R k ( t ) ， (1) 其中 k S k ( t ) Θ ( t ) 表示单位时间内新感染的度为k的个体密度， α 代表新的感染个体为低风险感染个体的比率。 γ 1 ， γ 2 分别表示低风险染病个体，高风险染病个体的治愈率。 δ 为康复个体的免疫丧失率。 Θ ( t ) = Θ 1 ( t ) + Θ 2 ( t ) 表示为一个易感个体被一个感染的邻居节点感染的概率，并且 Θ 1 ( t ) = ∑ i = 1 n P ( i | k ) φ 1 ( i ) i λ i k I 1 i ( t ) = 1 〈 k 〉 ∑ i = 1 n   λ i k φ 1 ( i ) P ( i ) I 1 i ( t ) ， Θ 2 ( t ) = ∑ i = 1 n P ( i | k ) φ 2 ( i ) i λ i k I 1 i ( t ) = 1 〈 k 〉 ∑ i = 1 n   λ i k φ 2 ( i ) P ( i ) I 2 i ( t ) ， (2) 其中 P ( i | k ) 是度为k的节点连向度为i的节点的概率。在度不相关的网络中 [ 13 ] ， P ( i | k ) = i P ( i ) / 〈 k 〉 。 φ 1 ( k ) ， φ 2 ( k ) 分别表示度为k的低风险感染，高风险感染节点的感染力， λ i k 代表度为i的节点到度为k的节点之间的感染率。 P ( k ) 是网络中节点的度分布且 ∑ k = 1 n   P ( k ) = 1 。 〈 k 〉 = ∑ k = 1 n   k P ( k ) 则为网络的平均度。对于一般的函数 f ( k ) ，记 〈 f ( k ) 〉 = ∑ k = 1 n f ( k ) P ( k ) 。 对疾病传播而言，权重用来表示传染病传播的强弱程度，因此可以用节点的度来表示连边的权重，若度为i和j的两个节点相连，那么它们之间的权重可以用一个关于i， j的函数 ϕ ( i ， j ) 来表示 [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]。 其一般表达式为 ϕ ( i ， j ) = g ( i ) g ( j ) 。因为度越大，表示节点影响力越大，权重也会越大，所以 g ( k ) 是一个关于k的增函数。函数 ϕ ( i ， j ) 表示的是连边之间的权重，类似的也可建立有关节点的权重表达式 [ 8 ] ：设 Ψ k 表示度为k的节点的权重，代表所有与它相连的边的权重之和，故 Ψ k = k ∑ i = i n   P ( i | k ) ϕ ( i ， j ) ，并且在度不相关网络上，有 Ψ k = k g ( k ) 〈 k g ( k ) 〉 / 〈 k 〉 。 设度为i的节点有一个固定的传播率 λ i ，并且通过一条从度为i的节点到度为k的节点的连边的传播概率可由这条边的权重占节点权重的比例表示 [ 8 ] ，由此可得到感染率的表达式 λ i k = λ i ϕ ( i ， k ) Ψ i = λ g ( k ) 〈 k 〉 〈 k g ( k ) 〉 . (3) 将(3)代入(2)，得 Θ ¯ 1 ( t ) = λ g ( k ) 〈 k g ( k ) 〉 ∑ i = 1 n   φ 1 ( i ) P ( i ) I 1 i ( t ) ， Θ ¯ 2 ( t ) = λ g ( k ) 〈 k g ( k ) 〉 ∑ i = 1 n   φ 2 ( i ) P ( i ) I 2 i ( t ) . (4) 然后将(4)代(1)，得到如下系统 ( d S k ( t ) d t = − λ k S k ( t ) g ( k ) 〈 k g ( k ) 〉 θ ( t ) + δ R k ( t ) ， d I 1 k ( t ) d t = α λ k S k ( t ) g ( k ) 〈 k g ( k ) 〉 θ ( t ) − γ 1 I 1 k ( t ) ， d I 2 k ( t ) d t = ( 1 − α ) λ k S k ( t ) g ( k ) 〈 k g ( k ) 〉 θ ( t ) − γ 2 I 2 k ( t ) ， d R k ( t ) d t = γ 1 I 1 k ( t ) + γ 2 I 2 k ( t ) − δ R k ( t ) ， (5) 其中 θ ( t ) = θ 1 ( t ) + θ 2 ( t ) ，且 θ 1 ( t ) = ∑ i = 1 n   φ 1 ( i ) P ( i ) I 1 i ( t ) ， θ 2 ( t ) = ∑ i = 1 n   φ 2 ( i ) P ( i ) I 2 i ( t ) 。记 Q k ( t ) = S k ( t ) + I 1 k ( t ) + I 2 k ( t ) + R k ( t ) ，则有 d Q k ( t ) d t = 0 ，即总的个体数是常数，因此不妨设 S k ( t ) + I 1 k ( t ) + I 2 k ( t ) + R k ( t ) = 1 。且系统(5)的初始条件具有如下形式： 0 ≤ S k ( 0 ) ， I 1 k ( 0 ) ， I 2 k ( 0 ) ， R k ( 0 ) ≤ 1 ， S k ( 0 ) + I 1 k ( 0 ) + I 2 k ( 0 ) + R k ( 0 ) = 1 ， θ ( 0 ) > 0 ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n . 由于 S k ( t ) = 1 − I 1 k ( t ) − I 2 k ( t ) − R k ( t ) ，因而系统(5)等价于如下系统： ( d I 1 k ( t ) d t = α λ k ( 1 − I 1 k ( t ) − I 2 k ( t ) − R k ( t ) ) g ( k ) 〈 k g ( k ) 〉 θ ( t ) − γ 1 I 1 k ( t ) ， d I 2 k ( t ) d t = ( 1 − α ) λ k ( 1 − I 1 k ( t ) − I 2 k ( t ) − R k ( t ) ) g ( k ) 〈 k g ( k ) 〉 θ ( t ) − γ 2 I 2 k ( t ) ， d R k ( t ) d t = γ 1 I 1 k ( t ) + γ 2 I 2 k ( t ) − δ R k ( t ) . (6) 因此只需在区域 Ω = { ( I 1 k ( t ) ， I 2 k ( t ) ， R k ( t ) ) | 0 ≤ I 1 k ( t ) ， I 2 k ( t ) ， R k ( t ) ≤ 1， k = 1，2， ⋯ ， n } 上研究系统(6)即可，并且容易验证 Ω 是关于系统(6)的正不变集。