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user: 3. 不等概率着色下的高维Ramsey数 3.1. 不等概率2-着色情况下的 问题 上面都是等概率情况下的情形，下面让我们看看不等概率的情形。 现在考虑 时的 的存在性的取值问题。我们考虑完全 -顶点 -一致超平面，它有 个超边，那么它的完全的 -顶点超图满足的结论是： 定理3.1 。 证明：我们设事件 表示任意完全的 -顶点超图没有单色的情况，事件 若是存在的话，那么我们最终要求的 必然要大于我们求出的 的取值要求。我们继续考虑事件 的补事件 ， 表示至少有一个完全的 -顶点超图是单色的情况，则： 而完全的 -顶点超图有 条超边，要让这些超边都是单色，要么都是红色，要么都是蓝色，而取红色的概率为 ，取蓝色的概率为 ，所以 ，而完全的k-顶点超图是单色的总共又有 个，所以： 上式 ，故： 又由： 我们让 ，即让 ，也即 ；所以 时， 成立，此时： 也成立，故此时 成立，事件 存在，即任意完全的 -顶点超图没有单色的情况存在，所以 。证毕。 我们现在再考虑一般的情形，即 与 有区分时的 的存在性的取值问题。我们考虑完全 -顶点 -一致超平面，它有 个超边，那么 满足的结论是： 定理3.2如果 ，则 。 证明： 是这样的最小整数 ，对于 有以下结论成立。给完全 -顶点 -一致超平面的超边着红色/蓝色，或者包含一个完全的 -顶点红色超图或者包含一个完全的 -顶点蓝色超图。完全 -顶点 -一致超平面有 个超边。我们设事件 表示任意完全的 -顶点超图不是红色或者任意完全的 -顶点超图不是蓝色的情况，事件 若是存在的话，那么我们最终要求的 必然要大于我们求出的 的 取值要求。我们继续考虑事件 的补事件 ， 表示至少有一个完全的 -顶点超图是红色的且至少有一个完全的 -顶点超图是蓝色的情况，则： 而完全的 -顶点超图有 条超边，要让这些超边都是红色，而取红色的概率为 ，所以 ；同理完全的 -顶点超图有 条超边，要让这些超边都是蓝色，而取蓝色的概率都是 ，所以 ，而完全的 -顶点超图是红色又有 个和完全的 -顶点超图是蓝色的又有 个，所以： 上式 ，故： 又由已知条件知： 所以： 故此时 成立，事件 存在，即任意完全的 -顶点超图不是红色或者任意完全的 -顶点超图不是蓝色的情况存在，所以 。证毕。 3.2.不等概率3-着色情况下的 问题 上面说的是2-着色时的 ，现在我们来考虑3-着色相应的情形，此时 ，对于 有以下结论成立。 是这样的最小整数 ，对于 有以下结论成立。给完全 -顶点 -一致超平面的超边着颜色1、颜色2和颜色3，或者包含一个完全的 -顶点颜色1的超图或者包含一个完全的 -顶点颜色2的超图或者包含一个完全的 -顶点颜色3的超图。 现在考虑 时的 的存在性的取值问题。我们考虑完全 -顶点 -一致超平面，它有 个超边，那么它的完全的 -顶点超图满足的结论是： 定理3.3 。 证明：我们设事件 表示任意完全的 -顶点超图没有单色的情况，事件 若是存在的话，那么我们最终要求的 必然要大于我们求出的 的取值要求。我们继续考虑事件 的补事件 ， 表示至少有一个完全的 -顶点超图是单色的情况，则： 而完全的 -顶点超图有 条超边，要让这些超边都是单色，要么都是颜色1，要么都是颜色2，要么都是颜色3，而取颜色1的概率为 ，取颜色2的概率为 ，取颜色3的概率为 ，所以 ，而完全的 -顶点超图是单色的总共又有 个，所以： 上式 ，故： 又由： 我们让 ，即让 ，也即 ；所以 时， 成立，此时： 也成立，故此时 成立，事件 存在，即任意完全的 -顶点超图没有单色的情况存在，所以 。证毕。 我们现在再考虑一般的情形，即 有区分时的 的存在性的取值问题。我们考虑完全 -顶点 -一致超平面，它有 个超边，那么 满足的结论是： 定理3.4 如果 ，则 。 证明： 是这样的最小整数 ，对于 有以下结论成立。给完全 -顶点 -一致超平面的超边着颜色1、颜色2和颜色3，或者包含一个完全的 -顶点颜色1的超图或者包含一个完全的 -顶点颜 色2的超图或者包含一个完全的 -顶点颜色3的超图。完全 -顶点 -一致超平面有 个超边。我 们设事件 表示任意完全的 -顶点超图不是颜色1或者任意完全的 -顶点超图不是颜色2或者任意完全的 -顶点超图不是颜色3的情况，事件 若是存在的话，那么我们最终要求的 必然要大于我们求出的 的取值要求。我们继续考虑事件 的补事件 ， 表示至少有一个完全的 -顶点超图是颜色1的且至少有一个完全的 -顶点超图是颜色2的且至少有一个完全的 -顶点超图是颜色3的情况，则： 而完全的 -顶点超图有 条超边，要让这些超边都是颜色1，而取颜色1的概率为 ，所以 ；同理完全的 -顶点超图有 条超边，要让这些超边都是颜色2，而取颜色2的概率是 ，所以 ；完全的 -顶点超图有 条超边，要让这些超边都是颜色3，而取颜色3的概率是 ，所以 。而完全的 -顶点超图是颜色1又有 个，完全的 -顶点超图是颜色2的又有 个和完全的 -顶点超图是颜色3的又有 ，所以： 上式 ，故： 又由已知条件知： 所以： 故此时 成立，事件 存在，即任意完全的 -顶点超图不是颜色1或者任意完全的 -顶点超图不是颜色2或者任意完全的 -顶点超图不是颜色3的情况存在，所以 。证毕。 3.3.不等概率r-着色情况下的 问题 现在我们来考虑r-着色相应的情形，此时 ，对于 有以下结论成立。 是这样的最小整数 ，对于 有以下结论成立。给完全 -顶点 -一致超平面的超边着颜色1，颜色2， ，颜色r，或者包含一个完全的 -顶点颜色1的超图或者包含一个完全的 -顶点颜色2的超图， ，或者包含一个完全的 -顶点颜色r的超图。 现考虑 时的 (有 个 )的存在性的取值问题。我们考虑完全 -顶点 -一致超平面，它有 个超边，那么它的完全的 -顶点超图满足的结论是： 定理3.5 。 证明：我们设事件X表示任意完全的 -顶点超图没有单色的情况，事件X若是存在的话，那么我们最终要求的 必然要大于我们求出的 的取值要求。我们继续考虑事件X的补事件 ， 表示至少有一个完全的 -顶点超图是单色的情况，则： 而完全的 -顶点超图有 条超边，要让这些超边都是单色，要么都是颜色1，要么都是颜色2， ，要么都是颜色r，而取颜色1的概率为 ，取颜色2的概率为 ， ，取颜色r的概率为 ，所以 ，而完全的 -顶点超图是单色的总共又有 个，所以： 上式 ，故： 又由： 我们让 ，即让 ，也即 ；所以 时， 成立， 此时： 也成立，故此时 成立，事件X存在，即任意完全的 -顶点超图没有单色的情况存在，所以 。证毕。 我们现在再考虑一般的情形，即 有区分时的 的存在性的取值问题。我们考虑完全 -顶点 -一致超平面，它有 个超边，那么 满足的结论是： 定理3.6 如果 ，则 。 证明： 是这样的最小整数 ，对于 有以下结论成立。给完全 -顶点 -一致超平面的超边着颜色1，颜色2， ，颜色r，或者包含一个完全的 -顶点颜色1的超图或者包含一个完全的 -顶点颜色2的超图， ，或者包含一个完全的 -顶点颜色r的超图。完全 -顶点 -一致超平面有 个超边。我们设事件 表示任意完全的 -顶点超图不是颜色1或者任意完全的 -顶点超图不是颜色2， ，或者任意完全的 -顶点超图不是颜色r的情况，事件X若是存在的话，那么我们最终要求的 必然要大于我们求出的 的取值要求。我们继续考虑事件X的补事件 ， 表示至少有一个完全的 -顶点超图是颜色1的且至少有一个完全的 -顶点超图是颜色2的， ，且至少有一个完全的 -顶点超图是颜色r的情况，则： 而完全的 -顶点超图有 条超边，要让这些超边都是颜色1，而取颜色1的概率为 ，所以 ；同理完全的 -顶点超图有 条超边，要让这些超边都是颜色2，而取颜色2的概率是 ，所以 ； ；完全的 -顶点超图有 条超边，要让这些超边都是颜色r，而取颜色r的概率是 ，所以 。而完全的 -顶点超图是颜色1又有 个，完全的 -顶点超图是颜色2的又有 个， ，完全的 -顶点超图是颜色r的又有 ，所以： 上式 ，故： 又由已知条件知： 所以： 故此时 成立，事件 存在，即任意完全的 -顶点超图不是颜色1或者任意完全的 -顶点超图不是颜色2， ，或者任意完全的 -顶点超图不是颜色r的情况存在，所以 。证毕。