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user: 3. 方法 在信号处理中，时域中的序列通常被转换成频域，使一些重要特征直观化。通过这种转换，没有信息丢失，而且一些隐藏的属性可以被揭示。 离散傅里叶变换是较最常见的转换方法之一。对于长度为N的信号 f ( n ) ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 。在频率k的信号的DFT为 F ( k ) = ∑ n = 1 N f ( n ) e − i ( 2π / N ) k n ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 。频率k处的信号的功率谱被定义为 P S ( k ) = | F ( k ) | 2 ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 。 通过DFT功率谱将蛋白质序列转换成相应的数字序列之后，不同长度的数字序列之间进行相似性比较仍然很困难，解决这个问题的一个常用方法是矩向量，将不同长度的数字序列转换为相同维数的距向量，求出向量之间的中间距离矩阵，利用SAS软件建立基于距离矩阵的系统聚类树。我们将PS-M方法建立在蛋白质序列的不同属性上进行了比较。 Table 1 31 influenza viruses and their corresponding serial number No. Virus’s name No. Virus’s name 1 A/New York/4/1918 17 A/Oslo/868/2001 2 A/London/1/1919 18 A/swine/Iowa/H02NJ56391/2002 3 A/Fort Monmouth/1/1947 19 A/swine/Italy/151672-3/2003 4 A/Netherlands/001G1/1950 20 A/swine/North Carolina/00321/2004 5 A/Yamagishi/50 21 A/Massachusetts/6/2006 6 A/Kw/1/1957 22 A/swine/Kansas/01797/2007 7 A/Denver/1957 23 A/Brisbane/59/2007 8 A/swine/Hong Kong/1/1974 24 A/Kisii/5896/2008 9 A/swine/Hong Kong/59/1977 25 A/Tehran/2a/2008 10 A/USSR/90/1977 26 A/Thailand/CU-H1039/2009 11 A/mallard/Marquenterre/Z237/1983 27 A/Singapore/GP1022/2009 12 A/Memphis/12/1986 28 A/Japan/636/2009 13 A/Goroka/2/1990 29 A/Thailand/CU-H2717/2010 14 A/blue-wingedteal/Alberta/141/1992 30 A/swine/England/453/2006 15 A/Tokushima/20/1996 31 A/Shiraz/11/2013 16 A/swine/Hong Kong/5273/1999 表1. 31条流感病毒及其对应的序号 3.1. 符号序列的数字表达HP模型 3.1.1. 基于20种氨基酸的功率谱 对于一个长度为N的蛋白质序列 ，序列中 s n ( n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N )属于一个有限的符号集合 T = { A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A 20 } ，其中 A t 为20种氨基酸中的一种， s n 是 A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A 20 中的某个字母，符号序列 s 1 ， s 2 ， ⋯ ， s N 中符号 A t 的指示函数为 [ 22 ] ： u A t ( n ) = { 1                       s n = A t   0                       其 他                                         n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N (1) 例如，蛋白质序列EVLVLWGVHHPPTGTDQQS，核苷酸V的相应指示剂序列是 u A 15 = 01010001000000000000 。 通过指示函数得到20个长度为N的二进制数列设为 w 1 ， w 2 ， ⋯ ， w 20 ，那么符号序列 s 1 ， s 2 ， ⋯ ， s N 可以表示为 ∑ t = 1 20 u A t ( 1 ) w t ， ∑ t = 1 20 u A t ( 2 ) w t ， ⋯ ， ∑ t = 1 20 u A t ( N ) w t ，记 s ( n ) = ∑ t = 1 20 u A t ( n ) w t ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 。 因此蛋白质序列对应的离散傅里叶变换为: S ( k ) = ∑ n = 1 N s ( n ) e − i 2 π N k n = ∑ n = 1 N u A 1 ( n ) w 1 e − i 2 π N k n + ∑ n = 1 N u A 2 ( n ) w 2 e − i 2 π N k n + ⋯ + ∑ n = 1 N u A 20 ( n ) w 20 e − i 2 π N k n = U A 1 ( k ) w 1 + U A 2 ( k ) w 2 + ⋯ + U A 20 ( k ) w 20 (2) 其中 U A t ( n ) 为 u A t ( n ) 的离散傅里叶变换，即 U A t ( k ) = ∑ n = 1 N u A t ( n ) e − i 2 π N k n = ∑ n = 1 N u A t ( n ) ( cos 2 π n k N − i sin 2 π n k N ) ， t = 1 ， 2 ， ⋯ ， 20 ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， N (3) 因此，得到数列的离散傅里叶变换为 S ( k ) = ∑ t = 1 20 U A t ( k ) w t ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， N (4) 定义 u A t 的功率谱为 P A t ( k ) = | U A t ( k ) | 2 ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ，原蛋白质序列的功率谱函数为 P ( k ) = ∑ t = 1 20 P A t ( k ) ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， N (5) 3.1.2. 基于电荷和极性性质的功率谱 蛋白质序列的经典HP模型是以构成蛋白质序列的氨基酸的结构分类到物化特征间的对应关系为基础，将20种氨基酸分为4大类，分别是极性且亲水性(pq)极性且疏水性(pr)、非极性且亲水性(sq)和非极性且疏水性(sr)， p q = { G } ， p r = { A ， V ， L ， I ， F ， P } ， s q = { S ， C ， N ， E ， T ， Q ， K ， R ， H } 和 s r = { W ， Y ， M } 。这也为蛋白质序列的结构与功能的研究提供了新思路，蛋白质序列的组成相似，进而推测出它们的结构和功能也相似，这就是经典HP模型的意义所在 [ 23 ] 。 经过分类之后，对任意一个长度为N的蛋白质序列 S = s 1 s 2 ⋯ s N ，其中 s i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 为20种氨基酸中的某一种，进行数据化定义，以非极性氨基酸(NP)为例说明： u N P = { 1 ，                         s i ∈ p q 2 ，                     s i ∈ p r − 1 ，                 s i ∈ s q − 2 ，                 s i ∈ s r (6) 显然， u p q 是一长度为N的二进制的数列，将20个氨基酸一一对应于4个不同的向量 w 1 ，   w 2   ，   w 3 ，   w 4 。利用离散的傅里叶变换，可将指示函数得到的蛋白质序列数据离散化： U p q ( n ) = ∑ n = 1 N u p q ( n ) e − i 2π N k n ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， N (7) 序列的功率谱： P p q ( k ) = | U p q ( k ) | 2 ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ，同样可以得到 P p r ( k ) ， P U P ( k ) 和 P P P ( k ) 。原蛋白质序列的功率谱为 ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， N (8) 定义j阶距 [ 21 ] M j p q = 1 N p q j − 1 ( N − N p q ) j − 1 ∑ k = 1 N / 2 ( P p q ( k ) ) j (9) 同样可以求得 M p r j ， M s q j 和 M s r j 。我们的实验结果表明 j = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 对于精确聚类来说是足够的。因此，每个蛋白质序列可以在20维欧氏空间中作为几何点来实现，即 ( M 1 p q ， M 1 p r ， M 1 s q ， M 1 s r ， M 2 p q ， M 2 p r ， M 2 s q ， M 2 s r ， M 3 p q ， M 3 p r ， M 3 s q ， M 3 s r ， M 4 p q ， M 4 p r ， M 4 s q ， M 4 s r   ， M 5 p q ， M 5 p r ， M 5 s q ， M 5 s r ) 3.1.3. 聚类 聚类分析在数据分析领域应用甚广，如在数据挖掘、生物信息学和统计学等领域中扮演这非常重要的角色。聚类分析不仅可以达到物以类聚的效果，还可以探索和提取数据中隐含的新规律和新知识。本 文将基于Q型系统聚类法，对所获得的数据进行聚类分析。设n个样本构成的有限集为 X = { x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n } ， d = d ( x i ， x j ) ( x i ， x j ∈ X ) 是任意两个样本之间的中间距离，记 D = { d ( x i ， x j )     |   x i ， x j ∈ X } = { d 0 ， d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d m } ，其中 d 0 = 0 < d 1 < ⋯ < d m 。