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user: 2. 主要结果及证明 定理2.1 图G i (i = 0， 1， 2)是优美图，且G 0 是k-优美图。 图1. 图G 0 图2. 图G 1 图3. 图G 2 在图G i (i = 0， 1， 2)中，有 | V ( G i ) | = m + n   ( i = 0 ， 1 ， 2 ) ， | E ( G i ) | = m + n + r − 2   ( i = 0 ， 1 ， 2 ) ， | E ( G 2 ) | = m + n + r − 1 。在G 0 中，由于 u 0 v 1 ∉ E ( G 0 ) ，不妨设， ；在G 1 中，由于 u 0 v 1 ∈ E ( G 0 ) ，不妨设， v 1 u i ∈ E ( G 0 ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， r − 1 ) ；在G 0 中，由于 u 0 v 1 ， u 0 v 2 ∈ E ( G 2 ) ，不妨设 v 1 u i ∈ E ( G 0 ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， r − 2 ) 。 2.1. 证明G 0 是k-优美图 分两种情况证明G 0 是k-优美图。 情况1 n ≡ 0 ( mod 2 ) 定义G 0 的顶点标号f为： f ( u 0 ) = 0 ， ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， r ， f ( u r + i ) = n + k − 2 + 2 r + i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m − r − 1 ， f ( v 2 i − 1 ) = i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 2 ， f ( v 2 i ) = n + k − i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 2 . 由f的定义有，f是V(G 0 )到 { 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n + m + r + k − 3 } 的一个单射。 图G 0 中， ∀ x ， y ∈ V ( G 0 ) ， x ≠ y ， f ( x ) ≠ f ( y ) ， max { f ( x ) | x ∈ V ( G 0 ) } = f ( u m − 1 ) = | E ( G 0 ) | + k − 1 。 ∀ e = x y ∈ E ( G 0 ) ，由 f ′ ( x y ) = | f ( x ) − f ( y ) | 易推得， ∀ e 1 ， e 2 ∈ E ( G 0 ) ，若 e 1 ≠ e 2 ，有 f ( e 1 ) ≠ f ( e 2 ) ，且有 max { f ( e ) | e ∈ E ( G 0 ) } = | f ( u m − 1 ) − f ( u 0 ) | = f ( u m − 1 ) = | E ( G 0 ) | + k − 1 。事实上，设 A 1 = E ( P n ) ， A 2 = { v 1 u i | i = 1 ， 2 ， ⋯ ， r } ， A 3 = { u 0 u i | i = 1 ， 2 ， ⋯ ， r } ， A 4 = { u 0 u i | i = r + 1 ， ⋯ ， m − 1 } 。于是有 I 1 = { f ′ ( e ) | e ∈ E ( P n ) } = { f ( u 2 i ) − f ( v 2 i − 1 ) | i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 2 } = { n + k − 2 i | i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 2 } = { k ， k + 1 ， ⋯ ， n + k − 3 ， n + k − 2 } ， I 2 = { f ′ ( e ) | e ∈ E ( P n ) } = { f ( u i ) − f ( v 1 ) | i = 1 ， 2 ， ⋯ ， r } = { n + k − 3 + 2 i | i = 1 ， 2 ， ⋯ ， r } = { n + k − 1 ， n + k + 1 ， ⋯ ， n + k − 3 + 2 r } ， I 3 = { f ′ ( e ) | e ∈ A 3 } = { f ( u i ) − f ( u 0 ) | i = 1 ， 2 ， ⋯ ， r } = { n + k − 2 + 2 i | i = 1 ， 2 ， ⋯ ， r } = { n + k ， n + k + 2 ， ⋯ ， n + k − 2 + 2 r } ， I 4 = { f ′ ( e ) | e ∈ A 4 } = { f ( u r + i ) − f ( u 0 ) | i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 − r } = { n + k − 2 + 2 r + 2 i | i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 − r } = { n + k − 1 + 2 r ， n + k + 2 r ， ⋯ ， m + n + k − 3 } . 由集合I i (i = 1， 2， 3， 4)，有 I i ∩ I j = ∅ ， i ≠ j ， 1 ≤ i ， j ≤ 4 ，且 ∀ e 1 ， e 2 ∈ E ( G 0 ) ，若 e 1 ≠ e 2 ，有 f（e 1 ） ≠ ( f（e 2 ） 。于是得f是G 0 的k-优美标号。 情况2 n ≡ 1 ( mod 2 ) 定义G 0 的顶点标号f为： f ( u 0 ) = 0 ， f ( u i ) = n + k − 2 + 2 i ， ， f ( u r + i ) = n + k − 2 + 2 r + i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m − r − 1 ， f ( v 2 i − 1 ) = i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n + 1 2 ， f ( v 2 i ) = n + k − i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 2 . 类似情况1的论证，在情况中易验证f是G 0 的k-优美标号。 2.2. 证明G 1 是优美图 分两种情况证明G 1 是优美图。 情况1 n ≡ 0 ( mod 2 ) 定义G 1 的顶点标号f为： f ( u 0 ) = 0 ， f ( u i ) = n + 2 i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， r ， f ( u r + i ) = n + 2 r + i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m − r − 1 ， f ( v 2 i − 1 ) = i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 2 ， f ( v 2 i ) = n + 2 − i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 2 . 情况2 n ≡ 1 ( mod 2 ) 定义G 1 的顶点标号f为： f ( u 0 ) = 0 ， f ( u i ) = n + 2 i ， ， f ( u r + i ) = n + 2 r + i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m − r − 1 ， f ( v 2 i − 1 ) = i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n + 1 2 ， f ( v 2 i ) = n + 2 − i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 2 . 类似2.1的论证，易验证标号f是G 1 的优美标号。 2.3. 证明G 2 是优美图 分两种情况证明G 2 是优美图。 情况1 n ≡ 0 ( mod 2 ) 定义G 2 的顶点标号f为： f ( u 0 ) = 0 ， f ( u i ) = n + 1 + 2 i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， r ， f ( u r + i ) = n + 1 + 2 r + i ， ， f ( v 2 i − 1 ) = i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 2 ， f ( v 2 i ) = n + 2 − i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 2 . 情况2 n ≡ 1 ( mod 2 ) 定义G 2 的顶点标号f为： f ( u 0 ) = 0 ， ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， r ， f ( u r + i ) = n + 1 + 2 r + i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m − r − 1 ， f ( v 2 i − 1 ) = i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n + 1 2 ， f ( v 2 i ) = n + 2 − i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 2 . 类似2.1的论证，标号f是G 2 的优美标号。 定理2.1证毕。