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user: 2. 主要结论 通过简单计算，可得 λ K m ， n * 存在 P ⇀ 7 -因子分解的必要条件。 定理2.1 如果对称完全二部多重有向图 λ K m ， n * 存在 P ⇀ 7 -因子分解，则1) 3 m ≤ 4 n ，2) 3 n ≤ 4 m ，3) m + n ≡ 0 ( mod 7 ) ，4) 7 λ m n / [ 3 ( m + n ) ] 是整数。 为了证明 λ K m ， n * 存在 P ⇀ 7 -因子分解的充分条件，需要以下几个引理，其中 gcd ( a ， b ) 表示a和b的最大公约数。 引理2.2 设 a ， b ， u 和v是正整数。如果 gcd ( a u ， b v ) = 1 ，则 gcd ( u v ， a u + b v ) = 1 。 引理2.3 设s是任意正整数。如果 λ K m ， n * 存在 P ⇀ 7 -因子分解，则 λ s K m ， n * 存在 P ⇀ 7 -因子分解。 引理2.4 设s是任意正整数。如果 λ K m ， n * 存在 P ⇀ 7 -因子分解，则 λ K m s ， n s * 存在 P ⇀ 7 -因子分解。 引理2.2~2.4的证明参见文献 [ 7 ] [ 8 ]。 引理2.5 K 3 ， 4 * 存在 P ⇀ 7 -因子分解。 证明设 K 3 ， 4 * 的两个部分点集为 { x 1 ， x 2 ， x 3 } 和 { y 1 ， y 2 ， y 3 ， y 4 } ，则 y 1 x 1 y 2 x 2 y 3 x 3 y 4 ， y 4 x 3 y 3 x 2 y 2 x 1 y 1 ， y 3 x 1 y 4 x 2 y 1 x 3 y 2 ， y 2 x 3 y 1 x 2 y 4 x 1 y 3 是 K 3 ， 4 * 的 P ⇀ 7 -因子分解。 根据引理2.3、2.4和2.5，可得以下结论。 引理2.6 当 4 m = 3 n 或 4 n = 3 m 时， λ K m ， n * 存在 P ⇀ 7 -因子分解。 考虑 3 m < 4 n 且 3 n < 4 m 时的情形。此时，设 a = ( 4 n − 3 m ) / 7 ， b = ( 4 m − 3 n ) / 7 ， t = ( m + n ) / 7 和 r = 7 λ m n / [ 3 ( m + n ) ] 。显然 a ， b ， t ， r 是整数，同时 0 < a < m ， 0 < b < n 。于是 3 a + 4 b = m ， 4 a + 3 b = n 。可得 r = 4 λ ( a + b ) + λ a b / [ 3 ( a + b ) ] 。令 z = λ a b / [ 3 ( a + b ) ] ，则z是整数。令 gcd ( 3 a ， 4 b ) = d ， 3 a = d p ， 4 b = d q ， gcd ( p ， q ) = 1 。因而 z = λ d p q / [ 3 ( 4 p + 3 q ) ] 。通过计算可得下列各式： d = 3 ( 4 p + 3 q ) z / ( λ p q ) m = 3 ( p + q ) ( 4 p + 3 q ) z / ( λ p q ) n = ( 16 p + 9 q ) ( 4 p + 3 q ) z / ( 4 λ p q ) r = ( p + q ) ( 16 p + 9 q ) z / ( p q ) a = p ( 4 p + 3 q ) z / ( λ p q ) b = 3 q ( 4 p + 3 q ) z / ( 4 λ p q ) 为了对上面的则有式子进行分类，我们引入以下引理 引理2.7 1) 假设 gcd ( p ， 9 ) = 1 ， gcd ( q ， 16 ) = 1 ，令 gcd ( 4 p + 3 q ， λ ) = γ ，那么 m = 12 ( p + q ) ( 4 p + 3 q ) s / γ ， n = ( 16 p + 9 q ) ( 4 p + 3 q ) s / γ ， r = 4 ( p + q ) ( 16 p + 9 q ) s λ / γ ， a = 4 p ( 4 p + 3 q ) s / γ ， b = 3 q ( 4 p + 3 q ) s / γ 这里s为正整数。 2) 假设 gcd ( p ， 9 ) = 1 ， gcd ( q ， 16 ) = 2 ，设 q = 2 q 1 ，令 gcd ( 2 p + 3 q 1 ， λ ) = γ ，那么 m = 6 ( p + 2 q 1 ) ( 2 p + 3 q 1 ) s / γ ， n = ( 8 p + 9 q 1 ) ( 2 p + 3 q 1 ) s / γ ， r = 2 ( p + 2 q 1 ) ( 8 p + 9 q 1 ) s λ / γ ， a = 2 p ( 2 p + 3 q 1 ) s / γ ， b = 3 q 1 ( 2 p + 3 q 1 ) s / γ 这里s为正整数。 3) 假设 gcd ( p ， 9 ) = 1 ， gcd ( q ， 16 ) = 4 ，设 q = 4 q 2 ，令 gcd ( 2 ( p + 3 q 2 ) ， λ ) = γ ，那么 m = 3 ( p + 4 q 2 ) ( p + 3 q 2 ) s / γ ， n = ( 4 p + 9 q 2 ) ( p + 3 q 2 ) s / γ ， r = ( p + 4 q 2 ) ( 4 p + 9 q 2 ) s λ / γ ， a = p ( p + 3 q 2 ) s / γ ， b = 3 q 2 ( p + 3 q 2 ) s / γ 这里s为正整数。 4) 假设 gcd ( p ， 9 ) = 1 ， gcd ( q ， 16 ) = 8 ，设 q = 8 q 3 ，令 gcd ( p + 6 q 3 ， λ ) = γ ，那么 m = 3 ( p + 8 q 3 ) ( p + 6 q 3 ) s / γ ， n = 2 ( 2 p + 9 q 3 ) ( p + 6 q 3 ) s / γ ， r = 2 ( p + 8 q 3 ) ( 2 p + 9 q 3 ) s λ / γ ， a = p ( p + 6 q 3 ) s / γ ， b = 6 q 3 ( p + 3 q 3 ) s / γ 这里s为正整数。 5) 假设 gcd ( p ， 9 ) = 1 ， gcd ( q ， 16 ) = 16 ，设 q = 16 q 4 ，令 gcd ( p + 12 q 4 ， λ ) = γ ，那么 m = 3 ( p + 16 q 4 ) ( p + 12 q 4 ) s / γ ， n = 4 ( p + 9 q 4 ) ( p + 12 q 4 ) s / γ ， r = 4 ( p + 16 q 4 ) ( p + 9 q 4 ) s λ / γ ， a = p ( p + 12 q 4 ) s / γ ， b = 12 q 4 ( p + 12 q 4 ) s / γ 这里s为正整数。 6) 假设 gcd ( p ， 9 ) = 3 ， gcd ( q ， 16 ) = 1 ，设 p = 3 p 1 ，令 gcd ( 3 ( 4 p 1 + q ) ， λ ) = γ ，那么 m = 12 ( 3 p 1 + q ) ( 4 p 1 + q ) s / γ ， n = 3 ( 16 p 1 + 3 q ) ( 4 p 1 + q ) s / γ ， r = 4 ( 3 p 1 + q ) ( 16 p 1 + 3 q ) s λ / γ ， a = 12 p 1 ( 4 p 1 + q ) s / γ ， b = 3 q ( 4 p 1 + q ) s / γ 这里s为正整数。 7) 假设 gcd ( p ， 9 ) = 3 ， gcd ( q ， 16 ) = 2 ，设 p = 3 p 1 ， q = 2 q 1 ，令 gcd ( 2 p 1 + q 1 ， λ ) = γ ，那么 m = 6 ( 3 p 1 + 2 q 1 ) ( 2 p 1 + q 1 ) s / γ ， n = 3 ( 8 p 1 + 3 q 1 ) ( 2 p 1 + q 1 ) s / γ ， r = 2 ( 3 p 1 + 2 q 1 ) ( 8 p 1 + 3 q 1 ) s λ / γ ， a = 6 p 1 ( 2 p 1 + q 1 ) s / γ ， b = 3 q 1 ( 2 p 1 + q ) s / γ 这里s为正整数。 8) 假设 gcd ( p ， 9 ) = 3 ， gcd ( q ， 16 ) = 4 ，设 p = 3 p 1 ， q = 4 q 2 ，令 gcd ( 6 ( p 1 + q 2 ) ， λ ) = γ ，那么 m = 3 ( 3 p 1 + 4 q 2 ) ( p 1 + q 2 ) s / γ ， n = 3 ( 4 p 1 + 3 q 2 ) ( p 1 + q 2 ) s / γ ， r = 2 ( 3 p 1 + 4 q 2 ) ( 4 p 1 + 3 q 2 ) s λ / γ ， a = 3 p 1 ( p 1 + q 2 ) s / γ ， b = 3 q 2 ( p 1 + q 2 ) s / γ 这里s为正整数。 9) 假设 gcd ( p ， 9 ) = 3 ， gcd ( q ， 16 ) = 8 ，设 p = 3 p 1 ， q = 8 q 3 ，令 gcd ( 3 ( p 1 + 2 q 3 ) ， λ ) = γ ，那么 m = 3 ( 3 p 1 + 8 q 3 ) ( p 1 + 2 q 3 ) s / γ ， n = 6 ( 2 p 1 + 3 q 3 ) ( p 1 + 2 q 3 ) s / γ ， r = 2 ( 3 p 1 + 8 q 3 ) ( 2 p 1 + 3 q 3 ) s λ / γ ， a = 3 p 1 ( p 1 + 2 q 3 ) s / γ ， b = 6 q ( p 1 + 2 q 3 ) s / γ 这里s为正整数。 10) 假设 gcd ( p ， 9 ) = 3 ， gcd ( q ， 16 ) = 16 ，设 p = 3 p 1 ， q = 16 q 4 ，令 gcd ( 3 ( p 1 + 4 q 4 ) ， λ ) = γ ，那么 m = 3 ( 3 p 1 + 16 q 4 ) ( p 1 + 4 q 4 ) s / γ ， n = 12 ( p 1 + 3 q 4 ) ( p 1 + 4 q 4 ) s / γ ， r = 4 ( 3 p 1 + 16 q 4 ) ( p 1 + 3 q 4 ) s λ / γ ， a = 3 p 1 ( p 1 + 4 q 4 ) s / γ ， b = 12 q 4 ( p 1 + 4 q 4 ) s / γ 这里s为正整数。 11) 假设 gcd ( p ， 9 ) = 9 ， gcd ( q ， 16 ) = 1 ，设 p = 9 p 2 ，令 gcd ( 12 p 2 + q ， λ ) = γ ，那么 m = 4 ( 9 p 2 + q ) ( 12 p 2 + q ) s / γ ， n = 3 ( 16 p 2 + 3 q ) ( 12 p 2 + q ) s / γ ， r = 4 ( 9 p 2 + q ) ( 16 p 1 + q ) s λ / γ ， a = 12 p 2 ( 12 p 2 + q ) s / γ ， b = q ( 12 p 2 + q ) s / γ 这里s为正整数。 12) 假设 gcd ( p ， 9 ) = 9 ， gcd ( q ， 16 ) = 2 ，设 p = 9 p 2 ， q = 2 q 1 ，令 gcd ( 6 p 2 + q 1 ， λ ) = γ ，那么 m = 2 ( 9 p 2 + 2 q 1 ) ( 6 p 2 + q 1 ) s / γ ， n = 3 ( 8 p 2 + q 1 ) ( 6 p 2 + q 1 ) s / γ ， r = 2 ( 9 p 2 + 2 q 1 ) ( 8 p 2 + 3 q 1 ) s λ / γ ， a = 6 p 2 ( 6 p 2 + q 1 ) s / γ ， b = q 1 ( 6 p 2 + q 1 ) s / γ 这里s为正整数。 13) 假设 gcd ( p ， 9 ) = 9 ， gcd ( q ， 16 ) = 4 ，设 p = 9 p 2 ， q = 4 q 2 ，令 gcd ( 2 ( 3 p 2 + q 2 ) ， λ ) = γ ，那么 m = ( 9 p 2 + 4 q 2 ) ( 3 p 2 + q 2 ) s / γ ， n = 3 ( 4 p 2 + q 2 ) ( 3 p 2 + q 2 ) s / γ ， r = ( 9 p 2 + 4 q 2 ) ( 4 p 2 + q 2 ) s λ / γ ， a = 3 p 2 ( 3 p 2 + q 2 ) s / γ ， b = q 2 ( 3 p 2 + q 2 ) s / γ 这里s为正整数。 14) 假设 gcd ( p ， 9 ) = 9 ， gcd ( q ， 16 ) = 8 ，设 p = 9 p 2 ， q = 8 q 3 ，令 gcd ( 3 p 2 + 2 q 3 ， λ ) = γ ，那么 m = ( 9 p 2 + 8 q 3 ) ( 3 p 2 + 2 q 3 ) s / γ ， n = 6 ( 2 p 2 + q 3 ) ( 3 p 2 + 2 q 3 ) s / γ ， r = 2 ( 9 p 2 + 8 q 3 ) ( 2 p 2 + q 3 ) s λ / γ ， a = 3 p 2 ( 3 p 2 + 2 q 3 ) s / γ ， b = 2 q 3 ( 3 p 2 + 2 q 3 ) s / γ 这里s为正整数。 15) 假设 gcd ( p ， 9 ) = 9 ， gcd ( q ， 16 ) = 16 ，设 p = 9 p 2 ， q = 16 q 4 ，令 gcd ( 3 p 2 + 4 q 4 ， λ ) = γ ，那么 m = ( 9 p 2 + 16 q 4 ) ( 3 p 2 + 4 q 4 ) s / γ ， n = 12 ( p 2 + q 4 ) ( 3 p 2 + 4 q 4 ) s / γ ， r = 4 ( 9 p 2 + 16 q 4 ) ( p 2 + q 4 ) s λ / γ ， a = 3 p 2 ( 3 p 2 + 4 q 4 ) s / γ ， b = 4 q 4 ( 3 p 2 + 4 q 4 ) s / γ 这里s为正整数。 证明 (1)根据题意有 gcd ( p ， 9 ) = gcd ( q ， 16 ) = gcd ( p ， q ) = 1 ，所以 gcd ( 16 p + 9 q ， 2 ) = gcd ( 4 p + 3 q ， 2 ) = 1 且 gcd ( 16 p ， 9 q ) = gcd ( 4 p ， 3 q ) = 1 。这样 n = ( 16 p + 9 q ) ( 4 p + 3 q ) z / ( 4 λ p q ) 。 根据引理2.2，得 gcd ( p q ， 16 p + 9 q ) = gcd ( p q ， 4 p + 3 q ) = 1 。于是 z / ( 4 p q ) 是正整数。设 z ′ = z / ( 4 p q ) 。令 gcd ( 4 p ( 4 p + 3 q ) ， λ ) = γ 1 ， gcd ( q ( 4 p + 3 q ) ， λ ) = γ 2 。由 a = 4 p ( 4 p + 3 q ) z ′ / λ ， b = 3 q ( 4 p + 3 q ) z ′ / λ 。可得 z ′ γ 1 / λ 和 z ′ γ 2 / λ 是正整数。由于 gcd ( 4 p ， 3 q ) = 1 ，因此 z ′ γ / λ 是正整数，其中 gcd ( 4 p + 3 q ， λ ) = γ 。记 s = z ′ γ / λ ，于是可得1)中的结论。 2)~15)中各式的结论同理可证。 引理2.8 设 η ，p和q是正整数，如果 m = 3 ( p + 4 q ) ( p + 3 q ) ， n = ( 4 p + 9 q 2 ) ( p + 3 q ) ，那么当 ( p + 3 q ) / η 是正整数时， η K m ， n * 存在 P ⇀ 7 -因子分解。 证明 设 r = ( p + 4 q ) ( 4 p + 9 q ) ， a = p ( p + 3 q ) ， b = 3 q ( p + 3 q ) ， r 1 = p + 4 q 和 r 2 = 4 p + 9 q 。并设X和Y是多重二部图 η K m ， n * 的两个部分点集 X = { x i j | 1 ≤ i ≤ r 1 ，   1 ≤ j ≤ 3 ( p + 3 q ) / η } ， Y = { y i j | 1 ≤ i ≤ r 2 ，   1 ≤ j ≤ ( p + 3 q ) / η } 。 以下通过直接构造，证明 η K m ， n 存在 P ⇀ 7 -因子分解。约定 x i j 的第一个下标i和第二个下标j分别在 { 1 ， 2 ， ⋯ ， r 1 } 和 { 1 ， 2 ， ⋯ ， 3 ( p + 3 q ) / η } 中进行模 r 1 和模 3 ( p + 3 q ) / η 的运算； y i j 的第一个下标i和第二个下标j分别在 { 1 ， 2 ， ⋯ ， r 2 } 和 { 1 ， 2 ， ⋯ ， ( p + 3 q ) / η } 中进行模 r 2 和模 ( p + 3 q ) / η 的运算。 对于正整数i， 1 ≤ i ≤ p ，构造如下有向弧集 E i = { x i ， j + ( u − 1 ) ( p + 3 q ) / η y 4 ( i − 1 ) + u ， j + i : 1 ≤ j ≤ ( p + 3 q ) / η ， 1 ≤ u ≤ 3 }               ∪ { y 4 ( i − 1 ) + u + 1 ， j + i + 1 x i ， j + ( u − 1 ) ( p + 3 q ) / η : 1 ≤ j ≤ ( p + 3 q ) / η ， 1 ≤ u ≤ 3 } 。 对于正整数i， 1 ≤ i ≤ q ，构造如下有向弧集 E p + i = { x p + 4 ( i − 1 ) + u ， j + ( v − 1 ) ( p + 3 q ) / η y 4 p + 9 ( i − 1 ) + 3 ( v − 1 ) + u ， p + 3 ( i − 1 ) + u + j : 1 ≤ j ≤ ( p + 3 q ) / η ， 1 ≤ u ， v ≤ 3 }                     ∪ { y 4 p + 9 ( i − 1 ) + 3 ( v − 1 ) + u ， p + 3 ( i − 1 ) + u + j x p + 4 ( i − 1 ) + u + 1 ， j + ( v − 1 ) ( p + 3 q ) / η : 1 ≤ j ≤ ( p + 3 q ) / η ， 1 ≤ u ， v ≤ 3 } 。 记 F = ∪ 1 ≤ i ≤ p + q E i ，那么F是 η K m ， n * 的一个 P ⇀ 7 -因子。定义一个双射 σ : σ ( x i ， j ) = x i + 1 ， j ， σ ( y i ， j ) = y i + 1 ， j 。 对于每一个i和每一个j(其中 i ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， r 1 } ， j ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， r 2 } )，令 F i ， j = { σ i ( x j ) σ i ( y j ) | x ∈ X ， y ∈ Y ， x y ∈ F } 。 通过验证可知每一个 F i ， j ( 1 ≤ i ≤ r 1 ， 1 ≤ j ≤ r 2 ) 都是 η K m ， n * 的 P ⇀ 7 -因子。并且它们有限弧集的并构成 η K m ， n * ，于是 { F i ， j ( 1 ≤ i ≤ r 1 ， 1 ≤ j ≤ r 2 ) } 就是 η K m ， n * 的一个 P ⇀ 7 -因子分解。 下列引理2.9和引理2.10的证明过程同引理2.8类似，我们在证明中只写出二部图的两个部分点集X、Y的表达式和有向弧集 E i 、 E p + i 的表达式。 引理2.9 设 η ，p和q是正整数，如果 m = 12 ( 3 p + q ) ( 4 p + q ) ， n = 3 ( 16 p + 3 q ) ( 4 p + q ) ，那么当 3 ( 4 p + q ) / η 是正整数时， η K m ， n * 存在 P ⇀ 7 -因子分解。 证明 设 r = 4 ( 3 p + q ) ( 16 p + q ) ， a = 12 p ( 4 p + q ) ， b = 3 q ( 4 p + q ) ， r 1 = 4 ( 3 p + q ) 和 r 2 = 16 p + q 。并设 X = { x i j | 1 ≤ i ≤ r 1 ， 1 ≤ j ≤ 3 ( 4 p + q ) / η } ， Y = { y i j | 1 ≤ i ≤ r 2 ， 1 ≤ j ≤ 3 ( 4 p + q ) / η } 。 对于正整数i ( 1 ≤ i ≤ 4 p )，构造有向弧集 E i = { x 3 ( i − 1 ) + u ， j y 4 ( i − 1 ) + u ， j + 3 ( i − 1 ) + u : 1 ≤ j ≤ 3 ( 4 p + q ) / η ， 1 ≤ u ≤ 3 }               ∪ { y 4 ( i − 1 ) + u + 1 ， j + 3 ( i − 1 ) + u + 1 x 3 ( i − 1 ) + u ， j : 1 ≤ j ≤ 3 ( 4 p + q ) / η ， 1 ≤ u ≤ 3 } 对于正整数i ( 1 ≤ i ≤ q )，构造有向弧集 E p + i = { x 12 p + 4 ( i − 1 ) + u ， j y 16 p + 3 ( i − 1 ) + u ， 12 p + 3 ( i − 1 ) + u + j : 1 ≤ j ≤ 3 ( 4 p + q ) / η ， 1 ≤ u ≤ 3 }                     ∪ { y 16 p + 3 ( i − 1 ) + u ， 12 p + 3 ( i − 1 ) + u + j x 12 p + 4 ( i − 1 ) + u + 1 ， j : 1 ≤ j ≤ 3 ( 4 p + q ) / η ， 1 ≤ u ≤ 3 } 。 引理2.10 设 η ，p和q是正整数，如果 m = 6 ( 3 p + 2 q ) ( 2 p + q ) ， n = 3 ( 8 p + 3 q ) ( 2 p + q ) ，那么当 3 ( 2 p + q ) / η 是正整数时， η K m ， n * 存在 P ⇀ 7 -因子分解。 证明 设 r = 2 ( 3 p + 2 q ) ( 8 p + 3 q ) ， a = 6 p ( 2 p + q ) ， b = 3 q ( 2 p + q ) ， r 1 = 2 ( 3 p + 2 q ) 和 r 2 = 8 p + 3 q 。并设 X = { x i j | 1 ≤ i ≤ r 1 ， 1 ≤ j ≤ 3 ( 2 p + q ) / η } ， Y = { y i j | 1 ≤ i ≤ r 2 ， 1 ≤ j ≤ 3 ( 2 p + q ) / η } 。 对于正整数i ( 1 ≤ i ≤ 2 p )，构造有向弧集 E i = { x 3 ( i − 1 ) + u ， j y 4 ( i − 1 ) + u ， j + 3 ( i − 1 ) + u : 1 ≤ j ≤ 3 ( 2 p + q ) / η ， 1 ≤ u ≤ 3 }               ∪ { y 4 ( i − 1 ) + u + 1 ， j + 3 ( i − 1 ) + u + 1 x 3 ( i − 1 ) + u ， j : 1 ≤ j ≤ 3 ( 2 p + q ) / η ， 1 ≤ u ≤ 3 } 。 对于正整数i ( 1 ≤ i ≤ q )，构造有向弧集 E p + i = { x 6 p + 4 ( i − 1 ) + u ， j y 8 p + 3 ( i − 1 ) + u ， 6 p + 3 ( i − 1 ) + u + j : 1 ≤ j ≤ 3 ( 2 p + q ) / η ， 1 ≤ u ≤ 3 }                     ∪ { y 8 p + 3 ( i − 1 ) + u ， 6 p + 3 ( i − 1 ) + u + j x 6 p + 4 ( i − 1 ) + u + 1 ， j : 1 ≤ j ≤ 3 ( 2 p + q ) / η ， 1 ≤ u ≤ 3 } 。 引理2.8~2.10构造了引理2.7中情形3、情形6和情形7的 P ⇀ 7 -因子分解。分别令引理2.8中p的为 2 p ′ 、 3 p ′ 、 4 p ′ 、 2 q ′ 、 4 q ′ ，可得到引理2.7中的情形2、情形8、情形1、情形4和情形5，再将情形1~7中的p和q互换，则得情形9~15。于是结合引理2.3~2.10，我们可得 λ K m ， n * 存在 P ⇀ 7 -因子分解的充分条件。 定理2.11 如果正整数 λ ，m和n满足1) 3 m ≤ 4 n ，2) 3 n ≤ 4 m ，3) m + n ≡ 0 ( mod 7 ) ，4) 7 λ m n / [ 3 ( m + n ) ] 是整数，则对称的完全二部多重有向图 λ K m ， n * 存在 P ⇀ 7 -因子分解。 结合定理2.1和定理2.11，即可完成定理1.1的证明。