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user: 3. 模型建立 3.1. 周期演绎充电模型(PDC模型) 依据已知的最优路径，给定移动充电器移动速度参数即可求得MC在一个周期内处于移动状态时的总时间消耗，按照路线顺序，则可推导出充电时间与充电量关系如式(3.1)： { t 1 i = x 1 i r − C i ， x 1 i = ( d D C → S i v + ∑ j = 0 i − 1 t 1 j ) ∗ C i ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n (3.1) 其中， t 1 i ( i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n ) 和 x 1 i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 分别表示第1轮充电周期里给第i个传感器的充电时间和所需充电量，设 t 10 = 0 ； d A → B 代表节点A到节点B的移动距离， C i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 为第i个传感器能量的消耗速率，r为MC的恒定充电输出速率。 对于第2轮充电周期，利用第1轮所求 t 1 i 进行推导，类似于第1轮周期，可以得到第2轮的表达式。以此类推，可以推导出第 N ( N ≥ 2 ) 轮充电周期的传感器的充电时间和所需充电量的计算式如式(3.2)所示： { t N i = x N i r − C i ， x N i = ( T 1 + ∑ j = i + 1 n t N − 1 ， j + ∑ j = 0 i − 1 t N ， j ) ∗ C i ， t N n = x N n r − C n ， x N n = ( T 1 + ∑ j = 1 n − 1 t N ， j ) ∗ C n . i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 (3.2) 其中， T 1 为计算TSP所得最短路径下的MC在路径上移动总时间，设 t N 0 = 0 。 对于任一节点 S i 而言，第一次等待时间仅为充电器从数据中心出发到达其位置的时间，第二次等待时间为充电器以 S i 为起点的一个完整充电周期所用时间。时间的增加导致传感器电量消耗增加，进而引发一个循环周期内节点等待时间递增的连锁效应，因此对于每个传感器而言，一定存在一个足够大的电池容量使得其充满电量后足以等到下一次充电，推导可知满足各个传感器正常工作的MBC在经过多周期循环后会收敛于定值，在这个容量下整个充电循环能实现系统稳定运作。此时，每个传感器 S i 的MBC为 E i = x N i + f 。 3.2. 稳定系统充电模型(SSC模型) 由PDC模型的推导，在运行有限个周期之后充电模式会逐渐趋向一个稳定的充电循环系统，在该稳定系统下，MC到达传感器节点位置时传感器恰好达到最低工作电量，本文建立WRSN的稳定系统充电模型(SSC模型)并求解出稳定系统下每个传感器的MBC。 1) 传感器能量消耗模型 为了更好地结合实际情况进行分析，本模型引入MC在上一周期回到DC后距下一次出发的间隔时间 t 0 ，为简化问题，设该时间为定值，这时MC在非充电状态下消耗的时间即为定值： t d = T 1 + t 0 . (3.3) 稳态时，设MC在每个传感器节点处的充电时长记为 t i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ，不影响传感器工作的电池最小阈值记为f。已知每个传感器的电池容量大小为 E i ，在非充电时刻，每个传感器节点的能量消耗速率为 C i ，则有： 定理3.1每个传感器的电池容量大小可表示为： E i = C i ( T 2 − t i + t d ) + f . (3.4) 证由条件可知，MC对传感器充电的总时长为： T 2 = ∑ j = 1 n t j . (3.5) 则每个传感器节点在充电之后的能量贮存为： e z i = E i − f . (3.6) 则传感器节点维持工作需要消耗的总能量为： e x i = C i ( T 2 − t i + t d ) . (3.7) 假设MC到达每个节点的充电时刻恰为传感器节点能量到达最小阈值f的时刻，则传感器充满电之后的能量贮存正好满足其维持工作需要的能量消耗，即有： e z i = e x i . (3.8) 由(3.3)，(3.5)~(3.8)综合，可得证。 2) 传感器的充电模型 传感器在充电时仍存在固定速率的能量消耗，因此在已知传感器充电速率r的条件下，传感器的相对充电速率为： c i = r − C i . (3.9) 又有传感器能量贮存来源于充电接收能量，则有： c i t i = E i − f . (3.10) 3) 周期性移动充电规划模型 基于以上分析，本文建立了周期性移动充电规划模型： { E i − f = C i ⋅ ( T 2 − t i + t d ) ， c i t i = E i − f . (3.11) 可以求得以上模型的解析解，得每个传感器的最小电池容量 E i 和MC在每个传感器处的充电时间 t i 计算公式如下： { E i = C i ( t 0 + T 1 ) ( r − C i ) r − C z + f ， t i = C i ( t 0 + T 1 ) r − C z ， C z = ∑ j = 1 n C j . (3.12) 因此，可根据上式计算出SSC模型下每个传感器的MBC和MC在每个传感器处的充电时间。同时由表达式也可以看出，其MBC恰好为某一常数与阈值f的和，也验证了PDC模型的推导。 3.3. 基于MBC-GA-MTSP的多MC路线规划模型 在实际情况中，为了提高充电效率，有时会派出多个充电器进行充电，此时最短路线规划由TSP问题变成MTSP问题。这时，首先考虑分组利用遗传算法求得至少通过不同个数传感器的多MC最短充电路径。进一步考虑不同路径下传感器消耗的电量不同，多MC的最优充电路径不仅仅考虑MC的移动总路程，即充电路径的最小消耗，也要考虑多个MC的工作量均衡，因此综合考虑这些因素得到的最优路线即为基于MBC-GA-MTSP的多MC的最优充电路线。 1) 基于GA-MTSP的多MC最优路线规划 利用遗传算法(GA)求解MTSP问题，在求解最短路径时控制MC至少通过的传感器个数，即可得到基于MBC-GA的多MC路线规划，该路线规划优先考虑MBC的最大值，在MBC最大值相等的情况下选择总路线长度最短的路线规划作为最优路线规划。 对于一个WRSN，我们设派出M个MC为n个传感器进行充电( M ≤ n )，则由抽屉原理，派出的MC至少通过的传感器个数最大值为： k = [ n M ] (3.13) 2) 基于MBC最大值考虑的多MC最优路线规划 求解MTSP问题可得到若干条路线，每条路线的MC的路径消耗和充电量同样也只与MC行走的路线长度有关；若对于整个WRSN良性运行，可进而考虑整体的协调和均衡。因此，可从MBC均衡角度考虑MTSP的分组选择。由(3.12)可计算每天线路下传感器的MBC。若有n个传感器的WRSN系统得到 k ( k ≤ K ) 种可能的分组充电策略，将传感器MBC最大值最小的分组方案记入集合S中，即： S = { i | min 1 ≤ i ≤ k max 1 ≤ j ≤ n E i j ， i ， j ∈ Z } (3.14) 其中， E i j 表示第i中路线下第j个传感器的MBC。 将数据代入(3.14)式即可求出集合S。对于集合S下对应的若干条路线，我们选择总路线长度最短的路线作为最优路线，即同时满足(3.14)和(3.15)对应的路线，其中， s i 表示第i条路线的路线长度。 min i ∈ S s i (3.15) 3.4. 支持增加传感器的SSC模型 基于SSC模型，本文以系统中传感器数量稳定为前提，得到了各传感器的MBC。为保证系统能够正常工作，在增加新传感器后，充电路径长度会增加，进而导致下一周期中MC的移动时间增加，因此在移动速率不变的前提下，可以通过减少间隔时间 t 0 ，使系统能够正常工作。在上文中，已知SSC模型为PDC模型迭代后的一般化模型，随着加入新传感器后周期数的增加，新系统最终也能达到稳定系统的状态，因此在原传感器电池容量不变的情况下，可以利用SSC模型对新加入传感器的MBC进行求解。 新问题可表述为：在原有系统基础上，新增m个传感器，记作 S n + 1 ， ⋯ ， S n + m 。加入新传感器后，最优路径会发生变化，新路径长度增加，每个周期MC在系统中的移动时间变为 T ′ 1 ，充电完成后的间隔时间变为 t ′ 0 ，全部耗电速率的数值和记为 C ′ z ： C ′ z = ∑ j = 1 n + m C j . (3.16) 在系统中原传感器的MBC E 1 ， E 2 ， ⋯ ， E n 大小不变的前提下，利用上述公式，可求解新系统下各传感器的理论MBC： E ′ i = C i ( t ′ 0 + T ′ 1 ) ( r − C i ) r − C ′ z + f ，   i = 1 ， ⋯ ， n ， n + 1 ， ⋯ ， n + m . (3.17) 为保证原系统中n个传感器能够正常工作，需要满足： E ′ i ≤ E i ，   i = 1 ， ⋯ ， n . (3.18) 化简，得： t ′ 0 ≤ min { t t e m p = ( E i − f ) ( r − C ′ z ) C i ( r − C i ) − T ′ 1 } ， i = 1 ， ⋯ ， n . (3.19) 定理3.2在支持新增加传感器的WRSN中，(3.19)式中的 t t e m p 在系统充电循环内为定值，即与 E i 和 C i 无关。 证将(3.12)式中的 E i 代入到(3.19)式，计算可得： t ′ 0 ≤ ( t 0 + T 1 ) ( r − C ′ Z ) r − C Z − T ′ 1 ，   i = 1 ， ⋯ ， n . (3.20) 即上限值与原先单个传感器的 E i 与 C i 无关，新系统的间隔时间仅与加入的新传感器有关。 此时，间隔时间的改变量： Δ t 0 = t 0 − t ′ 0 . (3.21) 因此，添加新传感器的位置和自身的能量消耗速率后可得到新的WRSN系统相较于原先系统的间隔时间改变量 Δ t 0 ，将满足(3.19)式的 t ′ 0 代入到(3.17)式中计算出每个新加入传感器的MBC，这样我们就给出了支持增加传感器的SSC模型的计算公式。 3.5. 支持增加传感器的多MC模型 本节将单MC下支持增加传感器的SSC模型进行推广，由基于MBC-GA-MTSP的多MC路线规划模型得到的每个MC的最优充电路线，以原系统各传感器所属子回路和实际最小MBC不变为前提，考虑新加入传感器的多MC充电路径规划问题。 问题可表述为：设原系统有M个充电器和n个传感器 S i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ，利用MBC-GA-MTSP规划出的最优路线中M条子路线分别记作 R i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 。在此基础上，该稳定系统新增m个传感器，记作 S j ( j = n + 1 ， n + 2 ， ⋯ ， n + m ) 。已知新传感器的位置(经纬度)和能量消耗速率，利用(3.12)式可计算原MC稳定系统下每个传感器的理论MBC，而利用(3.17)式和(3.21)式即可求出改变的间隔时间和新传感器的MBC。 为了便于说明，定义 d i j ( i = 1 ， ⋯ ， n ; j = n + 1 ， ⋯ ， n + m ) 为原传感器 S i 和新传感器 S j 之间的距离，可得出与每个新传感器最近的原传感器标号： y j = { i | min 1 ≤ i ≤ n d i j } ， j = n + 1 ， ⋯ ， n + m . (3.22) 对于每个新传感器 S j ( j = n + 1 ， ⋯ ， n + m ) ，将与其对应的 S y j 所属子路线 R k ( k = 1 ， ⋯ ， M ) 作为新传感器的所属路径，最终确定每条子路线新增的传感器。基于以上分析，将每一个条子路线相关数据代入(3.17)和(3.21)式中即可算出对应子路线的充电器间隔时间及新加入传感器的MBC。