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user: 7. 对LIGO干涉相移的定性与定量讨论 我们讨论由引力波引起的LIGO干涉相位的移动。我们先定性讨论(假设引力波波长远远大于激光干涉臂长度)，然后再来进行定量讨论(假设引力波是一个时谐波)。当然这两种情形其实都不完全符合实际：虽然GW150914和GW151226引力波波长(与地球半径同数量级)确实远比美国(路易斯安那州和华盛顿州)现有的LIGO 4千米干涉臂长，但是为了增加干涉相移，需要让激光在干涉臂上不断循回振荡以增大有效臂长，若振荡次数太多，那么此时引力波波长就会比LIGO有效干涉臂长度短，定性讨论也就无意义了；另外，由螺旋双黑洞合并产生的引力波(到达地球时)频率是随着时间增长而增长的(Blanchet频率关系)，所以引力波也不是时谐波。但是讨论这类简化的情形具有例行的价值，至少是具有玩具模型的意义。 我们已经得到了由引力波潮汐加速度引起的两干涉臂长度变化量(36)，由潮汐力引起的X轴干涉臂变化量是 ， 。注意，这里我们采用相位定义： (类比平直时空内)。于是X轴干涉臂相位改变量是 (其中 为无引力波存在时的激光频率)。这是单臂(X轴)单程的相移。考虑来回传播(激光在X轴干涉臂上一去一回)，这个相移就要放大一倍，即 (82) 我们已经使用 。注意：协变波数 是一个负数。设臂长 。说明： 并不受引力波影响(它恒为 ， 为无引力波存在时的激光频率)。Y轴干涉臂相位改变量是 。这也是单臂(Y轴臂)单程的相移。考虑激光来回传播(Y轴干涉臂上一去一回)，这个相移就要放大一倍，即 (83) 这里我们已经使用 ，设臂长 。注意 并不受引力波影响(它恒为 ， 为无引力波存在时的激光频率)。这样两干涉臂因为潮汐加速度导致的干涉臂长变化产生的相位差是(设激光在干涉臂上仅经历一个循回) (84) 现在要特别注意：这里得到的 只有在引力波波长远远大于(有效)干涉臂长且观察时间远远小于引力波周期时(准静态)才成立。但是实际上准静态条件并不满足，观察时间 与引力波周期可以比拟。此时干涉臂长变化量 是随着观察时间 逐渐演化的(它并不可以被看作为一个与时间无关的常数)，光子在干涉臂 内传播时，不同的时刻 受不同的引力波振幅 影响，每通过一段距离 ，增加额外相位。前面已经得到，X与Y干涉臂上的激光频率并不相同(弱相干)，即频率改变量分别为 ， 。由此弱相干相位是 。如果引力波波长比干涉臂长，那么这个结果(设激光在干涉臂上仅经历一个循回)是 (85) 这与前面(84)的潮汐力相移 大小相等。所以，本文的一个重要结论是：由两臂中的干涉激光频率不等(由引力波导致)所引起的“弱相干相位差” 与由干涉臂长差(由引力波潮汐加速度引起)产生的“潮汐相位差” 恰好相等。我们相信，引力波通过激光干涉仪时，干涉相位的移动来自两个根源(激光频率弱相干、引力波潮汐力)。过去一般文献内仅仅考虑了后者(由引力波潮汐加速度引起的干涉臂长变化导致的LIGO相移)，而忽略了前者(由激光频率弱相干引起的相移)。 下面进行定量讨论，假设引力波是时谐波。实际上从几亿光年外的双黑洞合并事件辐射出来的引力波到达地球时，也并非是严格的时谐波，它的振幅与频率都是随时间变化的(Blanchet频率方程)。双黑洞合并事件主要包含三个过程：螺旋式旋进(in spiral)、合并(merger) 与振铃(ring-down) [ 13 ] 。一般在合并的前半阶段(如螺旋式旋进)，由于过程相对缓慢以及不剧烈，是可以用解析方法研究的，但在后半阶段(合并与振铃阶段)，必须要用数值相对论来研究。在双黑洞合并事件中，两个黑洞螺旋式靠拢，辐射出来的引力波频率越来越大。这个关系可以由Blanchet频率方程(包含各阶后牛顿近似)决定，精确到一阶的Blanchet引力波频率 方程具有如下简单的数学结构形式： (其中系数 由合并的双黑洞引力源决定) [ 14 ] [ 15 ] 。精确到高阶后牛顿近似，目前看来还不需要，因为利用最近陈睿文献 [ 16 ] 借助高精度屏幕尺方法获取文献 [ 8 ] 内GW150914引力波信号的频率和频率变化率等数据，我们初步发现，即使在GW150914引力波事件中 [ 8 ] [ 16 ] ，Blanchet频率方程内的幂指数也并非是11/3，而是2.6到4.6之间(对于先到达的引力波，即时刻 在0.30秒到0.40秒之间到达LIGO的引力波，这个幂指数为2.6且略增；于时刻 在0.40秒到0.43秒之间到达的引力波，这个幂指数就上升为4.6左右)。这一指数不符合程度(大约 )可以解释如下：一方面GW150914信号的LIGO探测器本身有误差，另一方面导出Blanchet频率方程(针对螺旋环绕黑洞系统)的模型本身也有近似。至于高阶后牛顿近似在Blanchet频率方程内的贡献(粗略估算其大约为一阶贡献的1/30)，早已被上面所述的不确定性湮没了。在振铃阶段，高阶贡献会变大，此时当然需要考虑高阶贡献，但该过程需要用数值相对论研究，无法写出Blanchet频率方程这样的解析式。 我们在图2内给出了由激光干涉仪LIGO测量到的GW150914引力波信号频率 (及时间变化率 )的实测值 [ 8 ] [ 16 ] 拟合曲线与Blanchet频率关系( )理论曲线 [ 14 ] [ 15 ] 的比较结果。对Blanchet低阶频率方程 两边求自然对数，我们可以得到 ，即若Blanchet该幂律成立， 与 必然在一条直线上，斜率为11/3。从图中可以看出，尽管GW150914引力波信号频率 (及时间变化率 )之拟合曲线没有一个专门的斜率，但其在一定频率范围内是一条直线，因此算是对Blanchet低阶频率方程有较好的符合。 由几亿光年之外的螺旋合并的双黑洞系统产生并到达地球的引力波频率是强烈依赖于时间的。如时刻 在0.30秒到0.40秒之间到达的引力波，其频率 从30 Hz到达56 Hz；于时刻 在0.40秒到0.43秒之间到达的引力波，其频率 立即上升到250 Hz [ 8 ] [ 16 ] 。由此可见引力波频率变化很快，并非常量。但是，激光在干涉臂经过几十或几百个来回振荡这个过程中，引力波频率还是可以看作是近似不变的。以 为100 Hz的引力波为例，其周期是 秒，那么在这个周期中，干涉臂内的激光可以来回振荡375次( )。所以，如果激光振荡次数 远少于 次，引力波频率可以看作是近似不变的；如果振荡次数远远多于375次，那么计算就较为复杂了。下面我们以简单情形( 远少于375次)为例讨论。 图2. 由激光干涉仪LIGO测量到的GW150914引力波信号频率 (及时间变化率 )的实测值拟合曲线与Blanchet频率关系( )理论曲线的比较。图内圈点为GW150914引力波频率信号数据，红实线为圈点数据的拟合曲线，蓝点划线为Blanchet理论直线。从图中可以看出，尽管GW150914引力波信号频率拟合曲线没有一个专门的斜率，但其在引力波一定频率范围内近似是一条直线。GW150914引力波信号频率实测值(圈点数据)取自文献 [ 16 ] 。该文献作者利用高精度屏幕尺从文献 [ 8 ] 的引力波信号图示中提取出了这些数据 设时谐引力波为 ，由X轴干涉臂激光光子满足的关系式 ，我们得到 (86) 由Y轴干涉臂激光光子满足的关系式 ，我们得到 (87) 如果 、 远小于1(即引力波波长远远大于干涉臂有效长度)，则 (88) (89) 那么X轴与Y轴干涉臂内的激光循回的时间各自是 (90) 这里， 与 分别是X轴与Y轴干涉臂内的激光在从激光源出来后到达束分器的时刻； 为X轴与Y轴干涉臂内的激光经过若干次的循回振荡返回束分器的时刻。我们得到X轴与Y轴干涉臂内的激光在从激光源出来后到达束分器的时间差： (91) 于是LIGO巨型迈克尔逊干涉仪相移 与由激光频率弱相干导致的相移 之和是 (92) 前面我们已经要求 远小于1与 即 远小于1，也即要求干涉臂有效臂长 远小于引力波波长 。下面我们放弃“ 、 远小于1”这个条件，设 ， ，那么 ， ，那么我们可以得到 (93) (94) 原则上我们可以从这两个方程求出 和 。这是对于有效干涉臂长 与引力波波长 同数量级(或前者臂长远比后者波长大)的情形。