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user: 2. 主要结果 本节中，我们将利用实值函数给出 γ -空间，c-层空间，kc-半层空间的若干等价刻画。 引理2.1 [ 7 ] ：X为 γ -空间当且仅当存在X上的g-函数g使得若 K ∈ C ( X ) ， F ∈ τ c 且 K ∩ F = Φ ，则存在 m ∈ N 使得 F ∩ g ( m ， K ) = Φ 。 定理2.2：X为 γ -空间当且仅当对每一 K ∈ C ( X ) ，存在递减函数列 满足 (1) lim n → ∞ δ n K = χ K ； (2) 若 K 1 ， K 2 ∈ C ( X ) 且 K 1 ⊂ K 2 ，则对每一 n ∈ N ， δ n K 1 ≤ δ n K 2 ； (3) 对每一紧集 K ∈ X 及 F ∈ τ c 且 K ∩ F = Φ ，存在 m ∈ N 使得对任意 有 δ m K ( x ) = 0 。 证：设 X 为 γ -空间，g为引理2.1中的g-函数，对每一 n ∈ N 及 K ∈ C ( X ) ，令 δ n K = χ g ( n ， K ) ，则 { δ n K : n ∈ N } 关于n递减且 δ n K ∈ L ( X ) 。 (1) 设 K ∈ C ( X ) ，对每一 x ∈ X ，若 x ∈ K ，则对每一 n ∈ N ， x ∈ g ( n ， K ) ，于是 lim n → ∞ δ n k ( x ) = 1 = χ k ( x ) ；若 x ∉ K ，则存在 m ∈ N 使得 { x } ∩ g ( m ， K ) = Φ ，于是当 n ≥ m 时，有 ，故 lim n → ∞ δ n K ( x ) = 0 = χ K ( x ) 。 (2) 设 K 1 ， K 2 ∈ C ( X ) 且 K 1 ⊂ K 2 ，则对每一 n ∈ N ，有 g ( n ， K 1 ) ⊂ g ( n ， K 2 ) ，由此可得 δ n K 1 ≤ δ n K 2 。 (3) 设 K ∈ C ( X ) ， F ∈ τ c 且 K ∩ F = Φ ，由引理2.1，存在 m ∈ N 使得 ，故对任意 x ∈ F ，有 x ∉ g ( m ， K ) ，则 δ m k ( x ) = 0 。 反之，对每一 x ∈ X 及 n ∈ N ，令 g ( n ， x ) = { y ∈ X : δ n { x } ( y ) = 1 / 2 } 。由(1)，对每一 ，有 lim n → ∞ δ n { x } ( x ) = χ { x } ( x ) = 1 > 1 / 2 ，故存在 m ∈ N 使得对任意 n ≥ m ， δ n { x } ( x ) > 1 / 2 。由于 { δ n { x } : n ∈ N } 关于n递减，故对每一 n ∈ N ， δ n { x } ( x ) > 1 / 2 ，则 x ∈ g ( n ， x ) 。显然对每一 x ∈ X 及 n ∈ N ，有 g ( n + 1 ， x ) ⊂ g ( n ， x ) ，故g为X上的g-函数。 对每一 n ∈ N 及 K ∈ C ( X ) ，令 G ( n ， K ) = { y ∈ X : δ n K ( y ) > 1 / 2 } 。设 y ∈ g ( n ， K ) ，则存在 x ∈ K 使得 y ∈ g ( n ， x ) ，则 δ n { x } ( y ) > 1 / 2 ，由条件(2)得 1 / 2 < δ n { x } ( y ) ≤ δ n K ( y ) ，故 y ∈ G ( n ， K ) ，这表明 g ( n ， K ) ⊂ G ( n ， K ) 。设 x ∈ F ， F ∈ τ c 且 K ∩ H = Φ ，由条件(3)，存在 m ∈ N 使得对任意 x ∈ F 有 δ m K ( x ) = 0 ，故 F ∩ G ( m ， K ) = Φ ，从而 F ∩ g ( m ， K ) = Φ 。由引理2.1， X 为 γ -空间。 定理2.3：X为 γ -空间当且仅当对每一 K ∈ C ( X ) ，存在递减函数列 { δ n K ∈ L ( X ) : n ∈ N } 满足： (1) 对每一 及 K ∈ C ( X ) ，若 x ∈ K ，则 δ n K ( x ) = 1 ； (2) 若 K 1 ， K 2 ∈ C ( X ) 且 K 1 ⊂ K 2 ，则对每一 n ∈ N ，有 ； (3) 若 K ∈ C ( X ) ， F ∈ τ c 且 K ∩ F = Φ ，则 〈 δ n K 〉 在 F 上一致收敛于0。 证：设 X 为 γ -空间，g为引理2.1中的g-函数，对每一 n ∈ N 及 K ∈ C ( X ) ，令 δ n K = χ g ( n ， K ) 则 { δ n K : n ∈ N } 关于 n 递减且 δ n K ∈ L ( X ) 。(1)，(2)显然成立。 (3)设 K ∈ C ( X ) ， F ∈ τ c 且 ，由引理2.1，存在 m ∈ N 使得 F ∩ g ( m ， K ) = Φ 。对 ∀ ε > 0 ，当 n ≥ m 时，对任意 x ∈ F 有 x ∉ g ( n ， K ) ，故 | δ n k ( x ) − 0 | < ε ，这说明 〈 δ n K 〉 在 F 上一致收敛于0。 反之，对每一 x ∈ X 及 n ∈ N ，令 。由(1)知，每一 x ∈ X 及 n ∈ N ， x ∈ g ( n ， x ) ，又 g ( n + 1 ， x ) ⊂ g ( n ， x ) ，故g为X上的g-函数。对每一 n ∈ N 及 k ∈ c（x） ，令 G ( n ， K ) = { y ∈ X : δ n K ( y ) > 1 / 2 } ，由定理2.2的充分性的证明知 g ( n ， K ) ⊂ G ( n ， K ) 。设 K ∈ C ( X ) ， 且 K ∩ F = Φ ，由条件(3)， 〈 δ n K 〉 在 F 上一致收敛于0，则存在 m ∈ N ，对任意 x ∈ F ，有 δ m K ( x ) = 0 ，于是 F ∩ G ( m ， K ) = Φ ，故 F ∩ g ( m ， K ) = Φ ，则X为 γ -空间。 定理2.4：X为正则 -空间当且仅当对每一 K ∈ C ( X ) ，存在递减函数列 ，满足： (1) lim n → ∞ δ n K = χ K ； (2) 若 K 1 ， K 2 ∈ C ( X ) 且若 K 1 ⊂ K 2 ，则对每一 n ∈ N ，有 δ n K 1 ≤ δ n K 2 ； (3) 若 K ∈ C ( X ) ， F ∈ τ c 且 K ∩ F = Φ ，则存在开集 V ⊃ F 及 m ∈ N 使得对任意 x ∈ V 有 δ m K (x)=0 。 证：设 X 为 γ -空间，g为引理2.1中的g-函数，对每一 及 ，令 δ n K = χ g ( n ， K ) ，则 { δ n K : n ∈ N } 关于 n 递减且 δ nk ∈L (X) 。(1) (2)的证明同定理2.2。设 K ∈ C ( x ) ， F ∈ τ c 且 K ∩ F = Φ ，由于 X 为正则空间，故X的无交开集U，V使得 K ⊂ U ， F ⊂ V ，存在 m ∈ N 使得 g ( m ， K ) ⊂ U ，则 V ∩ g ( m ， K ) = Φ ，故对任意一 x ∈ V ，有 δ m K ( x ) = 0 。 反之，由定理2.2知X为 γ -空间，下证 X 为正则空间。对每一 x ∈ X 及 n ∈ N ，令 U n ( x ) = { y ∈ X : δ n { x } ( y ) > 1 / 2 } 。设 x ∉ F ∈ τ c ，由(3)得，存在开集 及 n ∈ N 使得对任意 y ∈ V ， δ m { x } ( y ) = 0 ，则 y ∉ U m ( x ) ，故 ，这说明 X 为正则空间。 定理2.5：X为c-层空间当且仅当对每一 K ∈ C ( x ) ，存在递减函数列 ( δ n K ∈ L ( X ) : n ∈ N ) 及 { ζ n K ∈ U ( X ) : n ∈ N } 满足： (1) lim n → ∞ δ n K = lim n → ∞ ζ n K = χ K ； (2) 若 K 1 ， K 2 ∈ C ( x ) 且 K 1 ⊂ K 2 ，则对每一 ， δ n K 1 ≤ δ n K 2 ； (3) 对每一 K ∈ C ( X ) 及 n ∈ N ， δ n K ≤ ζ n K 。 证：设 g 为X的c-层函数，对每一 n ∈ N 及 K ∈ C ( X ) ，令 δ n K = χ g ( n ， K ) ， ζ n K = χ g ( n ， k ) ¯ ，则 { δ n K ∈ L ( X ) : n ∈ N } 关于n递减且 ζ n K ( X ) ∈ U ( X ) 。(2) (3)显然成立。 (1) 设 x ∈ X ，若 χ K ( x ) = 1 ，则 x ∈ K ，则对每一 n ∈ N ，有 x ∈ g ( n ， K ) ⊂ g ( n ， K ) ¯ ，则 lim n → ∞ δ n K ( x ) = lim n → ∞ ζ n K ( x ) = 1 = χ K ( x ) ；若 χ K ( x ) = 0 ，则 x ∉ K ，故存在 m ∈ n 使得对任意 n ≥ m ，有 ，于是 lim n → ∞ δ n K ( x ) = lim n → ∞ ζ n K ( x ) = 0 = χ K ( x ) 。 反之，对每一 x ∈ X 及 n ∈ N ，令 g ( n ， x ) = { y ∈ X : δ n { x } ( y ) > 1 / 2 } ，则g为X上的g-函数。对每一 n ∈ N 及 K ∈ C ( X ) ，令 F ( n ， K ) = { x ∈ X : ζ n K ( x ) ≥ 1 / 2 } ，则 F ( n ， K ) ∈ τ c 。设 y ∈ g ( n ， K ) ，则存在 x ∈ K 使得 y ∈ g ( n ， x ) 。由条件(2)，(3)得 ，故 y ∈ F ( n ， K ) ，这表明 g ( n ， K ) ⊂ F ( n ， K ) ，故 g ( n ， K ) ¯ ⊂ F ( n ， K ) 。 设 ，则对每一 n ∈ N ， x ∈ g ( n ， K ) ¯ ⊂ F ( n ， K ) ，则 χ K ( x ) = lim n → ∞ ζ n K ( x ) ≥ 1 / 2 ，故 x ∈ K ，这说明 ∩ n ∈ N g ( n ， K ) ¯ ⊂ K ，于是 K = ∩ n ∈ N g ( n ， K ) ¯ 。故 X 为c-层空间。 定理2.6：X为kc-半层空间当且仅当对每一 K ∈C(x) ，存在递减函数列 满足 (1) ； (2) 若 K 1 ， K 2 ∈ C ( x ) 且 K 1 ⊂ K 2 ，则对每一 n ∈ N ，有 δ n K 1 ≤ δ n K 2 ； (3)若 K ， H ∈ C ( x ) 且 K ∩ H = Φ ，则存在 m ∈ N 使得对任意 x ∈ H 有 δ m K ( x ) = 0 。 证：设g为kc-半层函数，对每一 n ∈ N 及 K ∈ C ( X ) ，令 δ n k ( X ) = χ g ( n ， K ) ，则 { δ n K : n ∈ N } 关于 n 递减且 δ n K ∈ L ( X ) 。(1) (2)的证明同定理2.2。设 K ， H ∈ C ( x ) 且 K ∩ H = Φ ，则存在 m ∈ N 使得 H ∩ g ( m ， K ) = Φ ，故对任意 x ∈ H ， δ m K ( x ) = 0 。 反之，对每一 x ∈ X 及 n ∈ N ，令 g ( n ， x ) = { y ∈ X : δ n { x } ( y ) > 1 / 2 } ，则g为X上的g-函数。对每一 n ∈ N 及 K ∈ C ( X ) ，令 ，则 g ( n ， K ) ⊂ G ( n ， K ) 。设 K ， H ∈ C ( X ) 且 K ∩ H = Φ ，由条件(3)，存在 m ∈ N 使得对任意 有 δ m K ( x ) = 0 ，故 H ∩ G ( m ， K ) = Φ ，从而 H ∩ g ( m ， K ) = Φ 。故 X 为kc-半层空间。 由定理2.2的证明可得： 定理2.7：X为kc-半层空间当且仅当对每一 K ∈ C ( x ) ，存在递减函数列 { δ n K ∈ L ( X ) : n ∈ N } 满足 (1) 对每一 n ∈ N 及 K ∈ C ( x ) ，若 x ∈ K ，则 δ n K ( x ) = 1 ； (2) 若 K 1 ， K 2 ∈ C ( x ) 且 K 1 ⊂ K 2 ，则对每一 n ∈ N ，有 δ n K 1 ≤ δ n K 2 ； (3) 若 K ， H ∈ C ( x ) ，且 K ∩ H = Φ ，则 〈 δ n K 〉 在 H 上一致收敛于0。 由定理2.5的证明可得： 命题2.8：X为c-半层空间当且仅当对每一 K ∈C(x)，存在递减函数列 { δ n K ∈ L ( X ) : n ∈ N } 满足 (1) lim n → ∞ δ n K = χ K ； (2) 若 且 K 1 ⊂ K 2 ，则对每一 n ∈ N ，有 δ n K 1 ≤ δ n K 2 。