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user: 3. 动液面时间序列的特性分析 本文研究的潜油柱塞泵主要应用在油田开发中后期的油井或贫油井，并且有注水井配合工作。相比其他油井，这类油井的动液面是十分不稳定的，主要受到柱塞泵自身工作状态、地下油流状态及注水井状态等因素影响。有必要对潜油往复抽油机油井的动液面时间序列进行分析，以揭示其特性 [ 5 ] 。 3.1. 动液面数据的采集 本文对大庆油田采油厂的14口使用潜油往复抽油机的油井进行了跟踪测试，在一段时间内，所在作业区每日对油井动液面测量一次，采样时做多次测量取平均值处理。其中动液面使用超声波测距仪进行测量，记录为当日动液面测量值。通过对十余口潜油往复抽油机的测试分析，由于周围环境相对复杂，可能存在多口其他油井或注水井等，这些外在因素的影响加上泵自身状态的变化，动液面变化的周期性不明显。以葡54-12井为例，井深1202.6 m，图2和给出其动液面的变化数据。 3.2. 动液面数据的预处理 动液面预测需要完整、丰富和准确的时间序列样本。由于实际生产过程中，动液面原始数据经常会出现不连续，并间杂很多异常值，如果直接利用这样的原始数据进行动液面预测，会降低预测的可信性和准确度。因此，需要首先对原始数据进行预处理，对异常数据、不良数据进行剔除并补足缺损数据是 图2. 葡54-12井动液面变化 进行准确、合理动液面预测的前提和基础。处理这些异常数据，首先需要找到这类数据，即数据筛选，主要的处理对象是非空缺类数据，经常采用的方法是分段阈值筛选法。针对时间序列的变化特点，将其划分为若干区段，对不同区段内的动液面变化设定上限阈值和下限阈值，利用阈值对区间内数据进行筛选，然后在通过修正方法对这些异常数据进行修正和补全 [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] 。 根据空缺异常数据的种类，其补全的方法主要有两种。一种是缺失值的补全，另一种是待补足数据的补全。对于非空缺类异常数据，处理方法相对较多，主要有：1) 插值法、2) 纵向对比法、3) 横向对比法、4) 经验修正法、5) 概率统计法、6) 曲线置换法等。按照非空缺类异常数据的种类，其处理方式主要是：含有冲击类的数据可采用4)、5)、6)等方法；毛刺类原始数据可采用1)、4)等方法；极值类数据可以采用2)、3)、4)、5)等方法进行处理。 3.3. 动液面时间序列混沌特性的识别 3.3.1. 饱和关联维数法 关联维数法是识别混沌序列比较常用的方法。如果一个序列是随机序列，随着嵌入维数的增大，关联维数也会相应增大，不会进入饱和状态。如果一个序列的关联维数逐渐进入到饱和状态，则说明这个序列具有混沌特性。可用G-P算法计算其饱和关联维数，图3给出了葡54-12井动液面时间序列的 ln C ( r ) - ln ( r ) ， C ( r ) 是相关函数，r是 Y i 为球面中心的半径， ln C ( r ) - ln ( r ) 曲线上直线段斜率就是关联维数 [ 9 ] [ 10 ] 。 3.3.2. 最大Lyapunov指数法 Lyapunov指数是一个定量描述混沌运动对初始条件敏感度的量。混沌运动具有对其初始条件极为敏感的特征，即便轨道是由非常靠近的初始值形成的，也会随着时间快速分离。 如果用 x n + 1 = F ( x n ) 表示一个系统，那么 | d F / d x | 的取值决定了最初的两点迭代之后是互相聚合还是互相发散。如果 | d F / d x | > 1 ，那么经过迭代，它们互相发散。如果 | d F / d x | < 1 ，那么经过迭代，它们互相聚合。在迭代的进程里， | d F / d x | 取值不是确定的，这表明它们运动的趋势也是处于不断变化的状态之中。通过将迭代次数进行平均化处理，可以在一定的时间范畴之内观察相邻状态是聚合还是发散。所以，设 λ 是平均迭代所引起的发散程度中的指数。容易得到，n次迭代后，原距离为 ε 的两点此时距离为： 图3. 动液面时间序列 ln C ( r ) - ln ( r ) 曲线 ε e n λ ( x 0 ) = | F n ( x 0 + ε ) − F n ( x 0 ) | (1) 取极限 ε → 0 ， n → ∞ ，则式(1)为： λ ( x 0 ) = lim n → ∞ lim ε → 0 1 n ln | F n ( x 0 + ε ) − F n ( x 0 ) ε | = lim n → ∞ 1 n ln | d F n ( x ) d x | x = x 0 (2) 经过简化计算得到： λ = lim n → ∞ 1 n ∑ i = 0 n − 1 ln | d F n ( x i ) d x | x = x i (3) 式(3)中， λ 为原动力系统的Lyapunov指数，其取值与选择初始值无关，表征了系统经过多次迭代后，平均每次迭代引起指数分离中的指数 [ 11 ] 。 如果 λ < 0 ，则系统具有稳定的不动点；如果 λ = 0 ，则对应了系统的周期解或者分岔点；如果 λ > 0 ，则说明系统具有混沌特征。 本文采用小数据量方法取动液面时间序列的最大Lyapunov指数。表1分别给出了演化次数为50、100、150、200、250、300时，潜油往复抽油机油井动液面时间序列的最大Lyapunov指数，图4和图5分别给出了演化次数为100和300时 y ( i ) 的变化趋势。观察表1、图4和图5能够看出，两油井动液面时间序列的最大Lyapunov指数均为正数，证明了两个时间序列都具有混沌性的判断。同时，可以观察到多数时间内，A油井的动液面时间序列的最大Lyapunov指数明显大于B油井的最大Lyapunov指数，并且其随演化次数的增加波动较大，B油井动液面时间序列的最大Lyapunov指数则相对稳定。 3.4. 动液面时间序列最大预测时间 一个系统演化的非确定性和随机性可以形象地称之为蝴蝶效应。最大Lyapunov指数可以表征一个系统的这种蝴蝶效应的程度。它定量地描述了一个相空间中两个相邻轨迹的发散情况。混沌系统本质上是遵循某一确定性的规律的，这也说明混沌系统存在一个最大可预测时间的。要对一个混沌系统的运行轨迹进行预测，需要确定其预测时间在这个尺度之内，才能保证预测的有效性 [ 12 ] [ 13 ] 。 在系统运行的过程中，两相邻轨道距离的初始值为 δ x ( 0 ) ，经过一段时间的演化后，它们之间的最大距离分量可以表示为： δ x ( t ) = δ x ( 0 ) e λ 1 t (4) t为演化时间，当 δ x ( t ) δ x ( 0 ) 超出某个阈值c的时候，我们就认为轨道发散。这时的系统运动是不可预测的，而演化过程中的这个时间称为临界点时间 t 0 。则： c = δ x ( t ) δ x ( 0 ) = e λ 1 t 0 (5) t 0 = 1 λ 1 ln c (6) Table 1 Largest Lyapunov exponent of producing fluid level time serie 演化步数i A井动液面时间序列 最大Lyapunov指数 B井动液面时间序列 最大Lyapunov指数 50 0.1043 0.0411 100 0.1153 0.0319 150 0.1308 0.0352 200 0.1305 0.0351 250 0.1481 0.0457 300 0.2318 0.0453 表1. 动液面时间序列的最大Lyapunov指数 图4. 动液面时间序列的最大Lyapunov指数(i = 100) 图5. 动液面时间序列的最大Lyapunov指数(i = 300) 一般情况下，当轨线间距达到原来距离的几倍或者十几倍 ( c ~ 10 ， ln c ~ 1 ) 的时候，轨迹就难以确定了。因此，混沌系统的最大可预测时间简化表示为： t 0 ~ 1 λ 1 (7) 式(7)中的 t 0 为Lyapunov时间，也就是可预测的最大时间。一般情况下，最大Lyapunov指数愈大，可预测最大时间 t 0 响应的愈短，这种情况说明此系统的预测性比较差。因此，根据上一节中求得的最大Lyapunov指数，可以预估出动液面时间序列的一个可预测最大时间： 1) A井动液面时间序列的可预测最大时间 t 0 为1/0.1305~1/0.2318。所以，A井的动液面序列可预测最大时间大概为4天。 2) B井动液面时间序列的可预测最大时间 t 0 为1/0.0457~1/0.319。所以，B井的动液面序列可预测最大时间大概是31天。