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user: 3. 渐近周期解 定义3.1 一个函数 x ( t ) 称为渐近T-周期的，如果存在两个函数 x 1 ( t ) 和 x 2 ( t ) ，使得 x ( t ) = x 1 ( t ) + x 2 ( t ) ，其中 x 1 ( t ) 是T-周期的， lim t → ∞ x 2 ( t ) = 0 。 假设 h 1 ( t ) ， p 1 ( t ) 是T-周期的，且 ∫ 0 T h 1 ( s ) d s = 0 ，     ∫ 0 T p 1 ( s ) d s = 0 (3.1) 从而存在常数 m k ， M k ， k = 1 ， 2 ，使得 m 1 ≤ e ∫ 0 t h 1 ( s ) d s ≤ M 1 ∗ ，     m 2 ≤ e ∫ 0 t p 1 ( s ) d s ≤ M 2 ∗ (3.2) 假设存在正数A，B使得 ∫ 0 ∞ ∫ − ∞ s | a ( s ， u ) | d u d s ≤ A ，       ∫ 0 ∞ ∫ − ∞ s | b ( s ， u ) | d u d s ≤ B (3.3) 另外，假设 ∫ t ∞ | h 2 ( s ) | d s ≤ M 3 ∗ ，       ∫ t ∞ | p 2 ( s ) | d s ≤ M 4 ∗ (3.4) b k ≥ 0 ，     c k ≥ 0 ，     ∑ k = 1 ∞ b k < ∞ ，     ∑ k = 1 ∞ c k < ∞ (3.5) 定理3.1 假设(2.4)，(3.1)~(3.5)成立，存在正常数 Q ¯ 1 ， Q ¯ 2 ，使得 | f ( x ， y ) | ≤ Q ¯ 1 | y | ，     | g ( x ， y ) | ≤ Q ¯ 2 | x | 且 1 − M 3 ∗ M 1 ∗ m 1 − 1 − M 1 ∗ m 1 − 1 A Q ¯ 1 − M 1 ∗ M 5 ∗ > 0 ， 1 − M 4 ∗ M 2 ∗ m 2 − 1 − M 2 ∗ m 2 − 1 B Q ¯ 2 − M 2 ∗ M 6 ∗ > 0 则系统(1.1)有渐近T-周期解 ( x ， y ) ，满足 x ( t ) = x 1 ( t ) + x 2 ( t ) ，     y ( t ) = y 1 ( t ) + y 2 (t) 其中， x 1 ( t ) = c 1 e ∫ 0 t h 1 ( s ) d s ，     y 1 ( t ) = c 2 e ∫ 0 t p 1 ( s ) d s ，   t ∈ R c 1 ， c 2 为固定的非零常数， lim t → ∞ x 2 ( t ) = lim t → ∞ y 2 ( t ) = 0 . 证明：定义 H T = { ( φ ， ψ ) : φ = φ 1 + φ 2 ， ψ = ψ 1 + ψ 2 ， ( φ 1 ， ψ 1 ) ( t + T ) = ( φ 1 ， ψ 1 ) ( t ) ，                   ( φ 2 ， ψ 2 ) ( t ) → ( 0 ， 0 ) ， t → ∞ } 。定义范数 ‖ ( x ， y ) ‖ = max { max t ∈ [ 0 ， T ] | x ( t ) | ， max t ∈ [ 0 ， T ] | y ( t ) | } 则 H T 是一个Banach空间。记 Ω M * = { ( x ， y ) : ( x ， y ) ∈ H T ， ‖ ( x ， y ) ‖ ≤ M * } ，则 Ω M * 是 H T 中的有界闭凸子集。 对 ( x ， y ) ∈ Ω M * ，定义算子 E : Ω M * → H T E ( x ， y ) ( t ) = ( E 1 ( y ) ( t ) ， E 2 ( x ) (t)) 其中 E 1 ( y ) ( t ) = c 1 e ∫ 0 t h 1 ( s ) d s − ∫ t ∞ e ∫ 0 t h 1 ( l ) d l e ∫ 0 s h 1 ( l ) d l h 2 ( s ) y ( s ) d s − ∫ t ∞ ∫ − ∞ s e ∫ 0 t h 1 ( l ) d l e ∫ 0 s h 1 ( l ) d l a ( s ， u ) f ( x ( u ) ， y ( u ) ) d u d s         − ∑ t < t k < ∞ e ∫ t k t h 1 ( s ) d s I k ( x ( t k ) ) E 2 ( x ) ( t ) = c 2 e ∫ 0 t p 1 ( s ) d s − ∫ t ∞ e ∫ 0 t p 1 ( l ) d l e ∫ 0 s p 1 ( l ) d l p 2 ( s ) x ( s ) d s − ∫ t ∞ ∫ − ∞ s e ∫ 0 t p 1 ( l ) d l e ∫ 0 s p 1 ( l ) d l b ( s ， u ) g ( x ( u ) ， y ( u ) ) d u d s         − ∑ t < t k < ∞ e ∫ t k t p 1 ( s ) d s J k ( y ( t k ) ) 下证映射E在 Ω M * 中有一个不动点。由(3.5)可知，存在正常数 M 5 ∗ ， M 6 ∗ 使得 | ∑ k = 1 ∞ b k | ≤ M 5 ∗ ，     | ∑ k = 1 ∞ c k | ≤ M 6 ∗ 设 M * = { c 1 M 1 ∗ 1 − M 3 ∗ M 1 ∗ m 1 − 1 − M 1 ∗ m 1 − 1 A Q ¯ 1 − M 1 ∗ M 5 ∗ ， c 2 M 2 ∗ 1 − M 4 ∗ M 2 ∗ m 2 − 1 − M 2 ∗ m 2 − 1 B Q ¯ 2 − M 2 ∗ M 6 ∗ } | E 1 ( y ) ( t ) − c 1 e ∫ 0 t h 1 ( s ) d s | ≤ M * M 3 ∗ M 1 ∗ m 1 − 1 + M 1 ∗ m 1 − 1 Q ¯ 1 ∫ t ∞ ∫ − ∞ s | a ( s ， u ) | | x | d u d s + ∑ t < t k < ∞ e ∫ t k t h 1 ( s ) d s | I k ( x ( t k ) ) | ≤ M * M 3 ∗ M 1 ∗ m 1 − 1 + M 1 ∗ m 1 − 1 Q ¯ 1 ‖ x ‖ ∫ 0 ∞ ∫ − ∞ s | a ( s ， u ) | d u d s + | ∑ t < t k < ∞ b k | M 1 ∗ M * ≤ M * M 3 ∗ M 1 ∗ m 1 − 1 + M 1 ∗ m 1 − 1 A Q ¯ 1 M * + M 1 ∗ M * M 5 ∗ 同理， | E 2 ( x ) ( t ) − c 2 e ∫ 0 t p 1 ( s ) d s | ≤ M * M 4 ∗ M 2 ∗ m 2 − 1 + M 2 ∗ m 2 − 1 B Q ¯ 2 M * + M 2 ∗ M * M 6 ∗ 因此， | E 1 ( y ) ( t ) | ≤ M * M 3 ∗ M 1 ∗ m 1 − 1 + M 1 ∗ m 1 − 1 A Q ¯ 1 M * + M 1 ∗ M * M 5 ∗ + c 1 M 1 ∗ ≤ M * | E 2 ( x ) ( t ) | ≤ M * M 4 ∗ M 2 ∗ m 2 − 1 + M 2 ∗ m 2 − 1 B Q ¯ 2 M * + M 2 ∗ M * M 6 ∗ + c 2 M 2 ∗ ≤ M * 设 x 1 ( t ) = c 1 e ∫ 0 t h 1 ( s ) d s ，     y 1 ( t ) = c 2 e ∫ 0 t p 1 ( s ) d s ，   t ∈ R x 2 ( t ) = − ∫ t ∞ e ∫ 0 t h 1 ( l ) d l e ∫ 0 s h 1 ( l ) d l h 2 ( s ) y ( s ) d s − ∫ t ∞ ∫ − ∞ s e ∫ 0 t h 1 ( l ) d l e ∫ 0 s h 1 ( l ) d l a ( s ， u ) f ( x ( u ) ， y ( u ) ) d u d s     − ∑ t < t k < ∞ e ∫ t k t h 1 ( s ) d s I k ( x ( t k ) ) y 2 ( t ) = − ∫ t ∞ e ∫ 0 t p 1 ( l ) d l e ∫ 0 s p 1 ( l ) d l p 2 ( s ) x ( s ) d s − ∫ t ∞ ∫ − ∞ s e ∫ 0 t p 1 ( l ) d l e ∫ 0 s p 1 ( l ) d l b ( s ， u ) g ( x ( u ) ， y ( u ) ) d u d s     − ∑ t < t k < ∞ e ∫ t k t p 1 ( s ) d s J k ( y ( t k ) ) 计算可知， x 1 ( t + T ) = c 1 e ∫ 0 t + T h 1 ( s ) d s = c 1 e ∫ 0 t h 1 ( s ) d s e ∫ t t + T h 1 ( s ) d s = c 1 e ∫ 0 t h 1 ( s ) d s y 1 ( t + T ) = c 2 e ∫ 0 t + T p 1 ( s ) d s = c 2 e ∫ 0 t p 1 ( s ) d s e ∫ t t + T p 1 ( s ) d s = c 2 e ∫ 0 t p 1 ( s ) d s 由(3.4)~(3.5)可知， lim t → ∞ | x 2 ( t ) | ≤ M * M 1 ∗ m 1 − 1 lim t → ∞ ∫ t ∞ | h 2 ( s ) | d s + M 1 ∗ m 1 − 1 Q ¯ 1 M * lim t → ∞ ∫ t ∞ ∫ − ∞ s | a ( s ， u ) | d u d s                                 + M * M 1 ∗ lim t → ∞ | ∑ t < t k < ∞ b k | = 0 lim t → ∞ | y 2 ( t ) | ≤ M * M 2 ∗ m 2 − 1 lim t → ∞ ∫ t ∞ | p 2 ( s ) | d s + M 2 ∗ m 2 − 1 Q ¯ 2 M * lim t → ∞ ∫ t ∞ ∫ − ∞ s | b ( s ， u ) | d u d s                                 + M * M 2 ∗ lim t → ∞ | ∑ t < t k < ∞ c k | = 0 因此， lim t → ∞ x 2 ( t ) = 0 ， lim t → ∞ y 2 ( t ) = 0 。故 E ( Ω M * ) ⊆ Ω M * 。 类似定理2.2可证E是全连续的。因此，由Schauder不动点定理，存在一个不动点 ( x ， y ) ∈ Ω M * ，使得 E ( x ， y ) ( t ) = ( E 1 ( y ) ( t ) ， E 2 ( x ) ( t ) ) = ( x ( t ) ， y (t)) 易知该不动点是(1.1)的解。所以 ( x ， y ) 是(1.1)的解，定理3.2得证。 例3.1 考虑下面的系统 { x ′ ( t ) = cos ( t ) x ( t ) + 2 t ( t 2 + 10 ) 2 y ( t ) + ∫ − ∞ t e − 6 t + 4 s sin ( x ( t ) + y ( t ) ) d s ，     t ≠ t k y ′ ( t ) = cos ( t ) y ( t ) + 2 t ( t 2 + 10 ) 2 x ( t ) + ∫ − ∞ t e − 6 t + 4 s cos ( x ( t ) + y ( t ) ) d s ，     t ≠ t k x ( t k + ) = x ( t k ) + ( 1 12 ) k ( x ( t k ) ) ，     t = t k y ( t k + ) = y ( t k ) + ( 1 13 ) k ( y ( t k ) ) ，     t = t k 经过简单的计算知，定理3.1中的条件均满足，因此，该系统有一个渐近2π-周期解。