system: [SYSTEM]

user: 3. 模型的重构及控制器的设计 对于上述精密运动控制问题，为了克服压电陶瓷驱动器的迟滞非线性对驱动精度的影响，提高系统定位精度，本文提出了一种基于径向基神经网络的压电陶瓷驱动器复合控制方法。 将压电陶瓷驱动器的动态方程改写为： x ¨ = − c m x ˙ − k m x − 1 m F h + T m u (4) 假设1：压电陶瓷驱动器的期望位移 x d 和输出位移x是连续的，关于时间t是二阶可导的。 由于跟踪误差e定义为： e = x d − x (5) 所以跟踪误差e关于时间t的二阶导数为： e ¨ = x ¨ d − x ¨     = x ¨ d + c m x ˙ + k m x + 1 m F h − T m u     = x ¨ d − c m x ˙ d + c m x ˙ + c m x ˙ d − k m x d + k m x + k m x d + 1 m F h − T m u     = − c m e ˙ − k m e − T m u + 1 m F h + T m ( m T x ¨ d + c T x ˙ d + k T x d ) (6) 令： − T m H ( x ) = 1 m F h (7) 其中， H [ x ( t ) ] 是未知的非线性光滑函数。 于是： e ¨ = − c m e ˙ − k m e − T m u − T m H ( x ) + T m ( m T x ¨ d + c T x ˙ d + k T x d ) (8) 因为误差系统上串联一个积分器可以有： d d t ∫ 0 t e ( τ ) d τ = e (9) 所以所形成的新系统状态变量为 x 1 = ∫ 0 t e ( τ ) d τ ， x 2 = e 和 x 3 = e ˙ 。 再定义 X = [ x 1 x 2 x 3 ] T ，然后将式(8)转化为等价状态空间表达式，有： X ˙ = A X + B u + B H ( x ) + B ( m T x ¨ d + c T x ˙ d + k T x d ) (10) 其中， A = [ 0 1 0 0 0 1 0 − k m − c m ] ， B = [ 0 0 − T m ] 。 此外，微驱动器的控制电压u可取为： u = u 1 + u 2 + u 3 (11) 其中 u 1 ， u 2 ， u 3 分别设计如下： 1) 前馈控制器输出的电压信号 u 1 为： u 1 = − m T x ¨ d − c T x ˙ d − k T x d (12) 2) 系统的PID控制部分为： X ˙ ( t ) = A X ( t ) + B u ( t ) (13) 所以确定PID控制器输出的电压信号 u 2 为： u 2 = K X = k p x 1 + k i x 2 + k d x 3 = k p ∫ 0 t e ( t ) d t + k i e ( t ) + k d e ˙ ( t ) (14) 其中， K = [ k p k i k d ] T ， k p 是比例系数， k i 是积分时间常数， k d 是微分时间常数。 对式(13)求解，有唯一的最优控制为： u 2 = − R − 1 B T P X ( t ) (15) 其中，正定对称矩阵P是黎卡提(Riccati)方程的解， A T P + P A + P B B T P + Q = 0 (16) 并且，Q是非负定对称矩阵( Q = H T H )，R是正定对称矩阵。 3) 神经网络补偿控制器的设计 为了进一步提高性能，引入径向基函数(RBF)对非线性迟滞进行建模，用RBF神经网络逼近系统径向基神的非线性部分，使余项线性化。 由于 F h 是迟滞非线性的，所以 H [ x ( t ) ] 也是迟滞非线性的。理论和实践都已经证明神经网络只能逼近一对一映射或多对一映射关系，而对迟滞这样的多映射无能为力。因此，通过引入基本迟滞算子，将基本迟滞算子的输出与迟滞输入同时作为神经网络的输入，拓展了神经网络的输入空间，使得神经网络的输入与输出之间形成一对一映射，从而可以用神经网络逼近非线性迟滞 H [ x ( t ) ] 。 如文献 [ 20 ] 的模型所示，本文所采用的基本迟滞算子(EHO)表达式为： f [ x ( t ) ] = { f ( x e ) + [ x ( t ) − x e ] 2 ，       x ˙ ( t ) > 0 f ( x e ) − [ x e − x ( t ) ] 2 ，       x ˙ ( t ) < 0 (17) 其中，x是基本迟滞算子的当前输入， f [ x ( t ) ] 是基本迟滞算子的当前输出，基本迟滞算子所采用的单调曲线为 f ( x ) = x 2 ， x e 是位于 x ( t ) 之前最近的一个输入极值，称为主导极值， f ( x e ) 是输入为 x e 时基本迟滞算子的输出。此时，基于EHO的迟滞模型，如图1所示。 由于引入基本迟滞算子扩展了非线性迟滞 H [ x ( t ) ] 在神经网络的输入空间，在三维空间上将迟滞的多映射转化为一一映射，所以 H [ x ( t ) ] 可以表示成一组基函数的线性组合，而RBF神经网络相当于用隐层单元的输出构成一组基函数，然后用输出层来进行线性组合，以完成逼近功能。故所用3层径向基神经网络的结构图，如图2所示。 图1. 基于基本迟滞算子的迟滞模型 图2. 径向基神经网络结构图 第一层：输入层。输入向量为 x v = [ x ( t ) f [ x ( t ) ] ] T 。 第二层：隐藏层。径向基函数神经网络隐层节点的基函数的第i个隐藏节点的输出为： φ i ( x v ) = exp ( − ‖ x v − c i ‖ 2 2 σ i 2 ) / ∑ i = 0 m exp ( − ‖ x v − c i ‖ 2 2 σ i 2 ) (18) 其中， c i 是第i个隐藏节点基函数的中心向量， σ i 是第i个隐藏节点基函数的宽度参数。 故非线性迟滞 H [ x ( t ) ] 可以用径向基神经网络逼近为： H [ x ( t ) ] = ∑ i = 1 m ω i φ i ( x v ) + ξ (19) 其中， φ i ( x v ) 是径向基函数， ω i 是权重， ξ 是输出层节点的阈值。 当 | ξ | ≤ ε 时，对 H [ x ( t ) ] 的径向基神经网络估计为： H ^ [ x ( t ) ] = ∑ i = 1 m φ i ( x v ) ω ^ i (20) 其中， ε 是适当的误差精度， ω ^ i 是径向基神经网络理想权重的估值。 因此，径向基神经网络适配器输出自适应调整后的电压信号表示为： u 3 = − H ^ [ x ( t ) ] (21) 将式(11)、(12)、(15)和(21)代入式(10)，可以得到系统： X ˙ = A X + B ( u 1 + u 2 + u 3 ) + B H [ x ( t ) ] + B ( m T x ¨ d + c T x ˙ d + k T x d )       = ( A − B R − 1 B T P ) X − B ∑ i = 1 m φ i ω ^ i + B ( ∑ i = 1 m φ i ω i + ξ )       = ( A − B R − 1 B T P ) X + B ( ∑ i = 1 m φ i ω ˜ i + ξ ) (22) 其中， ω ˜ i = ω i − ω ^ i 。 综上，我们对模型进行了重构，并设计了复合控制方法，基于重构模型使得系统的稳定性分析更加方便。