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user: 2. Hom-约当三系的表示 本文所指的线性空间都是数域K上的有限维线性空间。 定义1.1 [ 5 ] 设J是线性空间， α 1 ， α 2 ∈ E n d ( J ) ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } : J × J × J → J 是三线性映射，如果对于任意的 x ， y ， z ， u ， v ∈ J 满足下列条件 { x ， y ， z } = { z ， y ， x } ， (1.1) { α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ， { z ， u ， v } } − { α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ， { x ， y ， v } } = { { x ， y ， z } ， α 1 ( u ) ， α 2 ( v ) } − { α 1 ( z ) ， { y ， x ， u } ， α 2 ( v ) } ， (1.2) 则称 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 为Hom-约当三系。 当 α 1 = i d ， α 2 = i d 时， ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 为约当三系。 定义1.2设 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 为Hom-约当三系，V是线性空间， A 1 ， A 2 ∈ E n d ( V ) ， θ 12 ， θ 13 : J × J → E n d ( V ) 为双线性映射，如果对于任意的 x ， y ， z ， u ∈ J 有 θ 13 ( x ， y ) = θ 13 ( y ， x ) ， (1.3) θ 12 ( α 2 ( x ) ， α 1 ( u ) ) θ 12 ( z ， y ) − θ 13 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( x ) ) θ 13 ( y ， u )   − θ 12 ( { z ， u ， x } ， α 2 ( y ) ) A 1 + θ 12 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) θ 12 ( x ， y ) = 0 ， (1.4) θ 12 ( α 2 ( y ) ， α 1 ( u ) ) θ 13 ( x ， z ) − θ 13 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( y ) ) θ 12 ( u ， x )   − θ 13 ( α 1 ( x ) ， { z ， u ， y } ) A 2 + θ 12 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) θ 13 ( x ， y ) = 0 ， (1.5) θ 12 ( α 2 ( z ) ， α 1 ( u ) ) θ 12 ( x ， y ) − θ 12 ( α 2 ( z ) ， { y ， x ， u } ) A 1   − θ 12 ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) θ 12 ( z ， u ) + θ 12 ( { x ， y ， z } ， α 2 ( u ) ) A 1 = 0 ， (1.6) θ 13 ( { x ， y ， z } ， α 2 ( u ) ) A 1 − θ 13 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) θ 12 ( y ， x )   − θ 12 ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) θ 13 ( z ， u ) + θ 13 ( α 1 ( z ) ， { x ， y ， u } ) A 2 = 0 ， (1.7) θ 12 ( { x ， y ， z } ， α 1 ( u ) ) A 2 − θ 12 ( α 1 ( z ) ， { y ， x ， u } ) A 2   − θ 12 ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) θ 12 ( z ， u ) + θ 12 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) θ 12 ( x ， y ) = 0 ， (1.8) 则称 ( V ， θ 12 ， θ 13 ， A 1 ， A 2 ) 是 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 的表示。 例1.1设 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 为Hom-约当三系， L : J × J → E n d ( J ) ， M : J × J → E n d ( J ) 为双线性映射，其中 L ( x ， y ) ( z ) = { x ， y ， z } ， M ( x ， y ) ( z ) = { x ， z ， y } ( ∀ x ， y ， z ∈ J ) ，则 ( J ， L ， M ， α 1 ， α 2 ) 为 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 的表示，称为伴随表示。 证明：直接验证可知对于 ( J ， L ， M ， α 1 ， α 2 ) 有(1.3)~(1.8)成立。 定理1.1设 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 为Hom-约当三系，V是线性空间， A 1 ， A 2 ∈ E n d ( V ) ， θ 12 ， θ 13 : J × J → E n d ( V ) 为双线性映射，在 J ⊕ V 上定义 { x + a ， y + b ， z + c } = { x ， y ， z } + θ 12 ( z ， y ) a + θ 13 ( x ， z ) b + θ 12 ( x ， y ) c ， ( α 1 + A 1 ) ( x + a ) = α 1 ( x ) + A 1 ( a ) ， ( α 2 + A 2 ) ( x + a ) = α 2 ( x ) + A 2 ( a ) ， 其中 ∀ x ， y ， z ∈ J ， ∀ a ， b ， c ∈ V ，则 ( J ⊕ V ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 + A 1 ， α 2 + A 2 ) 为Hom-约当三系当且仅当 ( V ， θ 12 ， θ 13 ， A 1 ， A 2 ) 是 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 的表示。 证明: ( J ⊕ V ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 + A 1 ， α 2 + A 2 ) 为Hom-约当三系当且仅当下列等式成立 { x + a ， y + b ， z + c } = { z + c ， y + b ， x + a } ， (1.9) { { x + a ， y + b ， z + c } ， ( α 1 + A 1 ) ( u + d ) ， ( α 2 + A 2 ) ( v + e ) }   − { ( α 1 + A 1 ) ( z + c ) ， { y + b ， x + a ， u + d } ， ( α 2 + A 2 ) ( v + e ) }   − { ( α 1 + A 1 ) ( x + a ) ， ( α 2 + A 2 ) ( y + b ) ， { z + c ， u + d ， v + e } }   + { ( α 1 + A 1 ) ( z + c ) ， ( α 2 + A 2 ) ( u + d ) ， { x + a ， y + b ， v + e } } = 0 ， (1.10) 其中 ∀ x + a ， y + b ， z + c ， u + d ， v + e ∈ J ⊕ V 。 由于 { x + a ， y + b ， z + c } − { z + c ， y + b ， x + a } = { x ， y ， z } − { z ， y ， x } + θ 12 ( z ， y ) a − θ 12 ( z ， y ) a + θ 13 ( x ， z ) b         − θ 13 ( z ， x ) b + θ 12 ( x ， y ) c − θ 12 ( x ， y ) c ， 因此(1.9)成立当且仅当 θ 13 对称，即(1.3)式成立。 (1.10)式左边直接计算得 { { x + a ， y + b ， z + c } ， ( α 1 + A 1 ) ( u + d ) ， ( α 2 + A 2 ) ( v + e ) }   − { ( α 1 + A 1 ) ( z + c ) ， { y + b ， x + a ， u + d } ， ( α 2 + A 2 ) ( v + e ) }   − { ( α 1 + A 1 ) ( x + a ) ， ( α 2 + A 2 ) ( y + b ) ， { z + c ， u + d ， v + e } }   + { ( α 1 + A 1 ) ( z + c ) ， ( α 2 + A 2 ) ( u + d ) ， { x + a ， y + b ， v + e } } = { { x ， y ， z } ， α 1 ( u ) ， α 2 ( v ) } − { α 1 ( z ) ， { y ， x ， u } ， α 2 ( v ) }     − { α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ， { z ， u ， v } } + { α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ， { x ， y ， v } }     + ( θ 12 ( α 2 ( v ) ， α 1 ( u ) ) θ 12 ( z ， y ) − θ 13 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( v ) ) θ 13 ( y ， u )     − θ 12 ( { z ， u ， v } ， α 2 ( y ) ) A 1 + θ 12 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) θ 12 ( v ， y ) ) ( a )     + ( θ 12 ( α 2 ( v ) ， α 1 ( u ) ) θ 13 ( x ， z ) − θ 13 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( v ) ) θ 12 ( u ， x ) − θ 13 ( α 1 ( x ) ， { z ， u ， v } ) A 2 + θ 12 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) θ 13 ( x ， v ) ) ( b )   + ( θ 12 ( α 2 ( v ) ， α 1 ( u ) ) θ 12 ( x ， y ) − θ 12 ( α 2 ( v ) ， { y ， x ， u } ) A 1   − θ 12 ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) θ 12 ( v ， u ) + θ 12 ( { x ， y ， v } ， α 2 ( u ) ) A 1 ) ( c )   + ( θ 13 ( { x ， y ， z } ， α 2 ( v ) ) A 1 − θ 13 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( v ) ) θ 12 ( y ， x ) − θ 12 ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) θ 13 ( z ， v ) + θ 13 ( α 1 ( z ) ， { x ， y ， v } ) A 2 ) ( d )   + ( θ 12 ( { x ， y ， z } ， α 1 ( u ) ) A 2 − θ 12 ( α 1 ( z ) ， { y ， x ， u } ) A 2   − θ 12 ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) θ 12 ( z ， u ) + θ 12 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) θ 12 ( x ， y ) ) ( e ) 由 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 为Hom-约当三系，则等式(1.2)成立。因此，(1.10)式成立当且仅当(1.4)~(1.8)成立。因此，结论成立。 设 V ， W 为线性空间， φ : V → W 为线性映射，定义 φ * : W * → V * ，其中 〈 φ * ( f ) ， v 〉 = 〈 f ， φ ( v ) 〉 ( ∀ f ∈ W * ， v ∈ V ) ， 则 φ * 为线性映射，称为 φ 的对偶映射。 设 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 为Hom-约当三系，V为线性空间， θ : J × J → E n d ( V ) 为线性映射，定义 θ * : J × J → E n d ( V * ) ，其中 〈 θ * ( x ， y ) f ， v 〉 = 〈 f ， θ ( x ， y ) v 〉 ( ∀ x ， y ∈ J ， v ∈ V ， f ∈ V * ) ， 则 θ * 为线性映射。 定理1.2设 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 为Hom-约当三系， ( V ， θ 12 ， θ 13 ， A 1 ， A 2 ) 是 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 的表示，则 ( V * ， θ 12 * ， θ 13 * ， A 1 * ， A 2 * ) 也是 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 的表示当且仅当满足下列条件 θ 12 ( z ， y ) θ 12 ( α 2 ( x ) ， α 1 ( u ) ) − θ 13 ( y ， u ) θ 13 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( x ) )   − A 1 θ 12 ( { z ， u ， x } ， α 2 ( y ) ) + θ 12 ( x ， y ) θ 12 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) = 0 ， (1.11) θ 13 ( x ， z ) θ 12 ( α 2 ( y ) ， α 1 ( u ) ) − θ 12 ( u ， x ) θ 13 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( y ) )   − A 2 θ 13 ( α 1 ( x ) ， { z ， u ， y } ) + θ 13 ( x ， y ) θ 12 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) = 0 ， (1.12) θ 12 ( x ， y ) θ 12 ( α 2 ( z ) ， α 1 ( u ) ) − A 1 θ 12 ( α 2 ( z ) ， { y ， x ， u } )   − θ 12 ( z ， u ) θ 12 ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) + A 1 θ 12 ( { x ， y ， z } ， α 2 ( u ) ) = 0 ， (1.13) A 1 θ 13 ( { x ， y ， z } ， α 2 ( u ) ) − θ 12 ( y ， x ) θ 13 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) )   − θ 13 ( z ， u ) θ 12 ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) + A 2 θ 13 ( α 1 ( z ) ， { x ， y ， u } ) = 0 ， (1.14) A 2 θ 12 ( { x ， y ， z } ， α 1 ( u ) ) − A 2 θ 12 ( α 1 ( z ) ， { y ， x ， u } )   − θ 12 ( z ， u ) θ 12 ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) + θ 12 ( x ， y ) θ 12 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) = 0 ， (1.15) 其中 ∀ x ， y ， z ， u ∈ J 。 证明； ( V * ， θ 12 * ， θ 13 * ， A 1 * ， A 2 * ) 为 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 的表示当且仅当 ( V * ， θ 12 * ， θ 13 * ， A 1 * ， A 2 * ) 满足等式(1.3)~(1.8)。 ∀ x ， y ， z ， u ∈ J ， f ∈ V * ， v ∈ V ，直接计算得 〈 [ θ 13 * ( x ， y ) − θ 13 * ( y ， x ) ] f ， v 〉 = 〈 f ， [ θ 13 ( x ， y ) − θ 13 ( y ， x ) ] v 〉 ， 〈 [ θ 12 * ( α 2 ( x ) ， α 1 ( u ) ) θ 12 * ( z ， y ) − θ 13 * ( α 1 ( z ) ， α 2 ( x ) ) θ 13 * ( y ， u )   − θ 12 * ( { z ， u ， x } ， α 2 ( y ) ) A 1 * + θ 12 * ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) θ 12 * ( x ， y ) ] f ， v 〉 = 〈 f ， [ θ 12 ( z ， y ) θ 12 ( α 2 ( x ) ， α 1 ( u ) ) − θ 13 ( y ， u ) θ 13 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( x ) )         − A 1 θ 12 ( { z ， u ， x } ， α 2 ( y ) ) + θ 12 ( x ， y ) θ 12 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) ] v 〉 ， 〈 [ θ 12 * ( α 2 ( y ) ， α 1 ( u ) ) θ 13 * ( x ， z ) − θ 13 * ( α 1 ( z ) ， α 2 ( y ) ) θ 12 * ( u ， x )   − ( α 1 ( x ) ， { z ， u ， y } ) A 2 * + θ 12 * ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) θ 13 * ( x ， y ) ] f ， v 〉 = 〈 f ， [ θ 13 ( x ， z ) θ 12 ( α 2 ( y ) ， α 1 ( u ) ) − θ 12 ( u ， x ) θ 13 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( y ) )         − A 2 ( α 1 ( x ) ， { z ， u ， y } ) + θ 13 ( x ， y ) θ 12 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) ] v 〉 ， 〈 [ θ 12 * ( α 2 ( z ) ， α 1 ( u ) ) θ 12 * ( x ， y ) − θ 12 * ( α 2 ( z ) ， { y ， x ， u } ) A 1 *   − θ 12 * ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) θ 12 * ( z ， u ) + θ 12 * ( { x ， y ， z } ， α 2 ( u ) ) A 1 * ] f ， v 〉 = 〈 f ， [ θ 12 ( x ， y ) θ 12 ( α 2 ( z ) ， α 1 ( u ) ) − A 1 θ 12 ( α 2 ( z ) ， { y ， x ， u } )       − θ 12 ( z ， u ) θ 12 ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) + A 1 θ 12 ( { x ， y ， z } ， α 2 ( u ) ) ] v 〉 ， 〈 [ θ 13 * ( { x ， y ， z } ， α 2 ( u ) ) A 1 * − θ 13 * ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) θ 12 * ( y ， x )   − θ 12 * ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) θ 13 * ( z ， u ) + θ 13 * ( α 1 ( z ) ， { x ， y ， u } ) A 2 * ] f ， v 〉 = 〈 f ， [ A 1 θ 13 ( { x ， y ， z } ， α 2 ( u ) ) − θ 12 ( y ， x ) θ 13 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) )         − θ 13 ( z ， u ) θ 12 ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) + A 2 θ 13 ( α 1 ( z ) ， { x ， y ， u } ) ] v 〉 ， 〈 [ θ 12 * ( { x ， y ， z } ， α 1 ( u ) ) A 2 ∗ − θ 12 * ( α 1 ( z ) ， { y ， x ， u } ) A 2 ∗   − θ 12 * ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) θ 12 * ( z ， u ) + θ 12 * ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) θ 12 * ( x ， y ) ] f ， v 〉 = 〈 f ， [ A 2 θ 12 ( { x ， y ， z } ， α 1 ( u ) ) − A 2 θ 12 ( α 1 ( z ) ， { y ， x ， u } )         − θ 12 ( z ， u ) θ 12 ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) + θ 12 ( x ， y ) θ 12 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) ] v 〉 ， 由 ( V ， θ 12 ， θ 13 ， A 1 ， A 2 ) 是 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 的表示可知 θ 13 ( x ， y ) = θ 13 ( y ， x ) ，则 ( V * ， θ 12 * ， θ 13 * ， A 1 * ， A 2 * ) 上等式(1.3)~(1.8)成立等价于等式(1.11)~(1.15)成立。因此结论成立。 推论1.1设 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 为Hom-约当三系，则 ( J * ， L * ， M * ， α 1 * ， α 2 * ) 为 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 的表示当且仅当J上的运算 { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } 满足下列条件 { z ， y ， { α 2 ( x ) ， α 1 ( u ) ， v } } − { y ， { α 1 ( z ) ， v ， α 2 ( x ) } ， u }   − α 1 ( { { z ， u ， x } ， α 2 ( y ) ， v } ) + { x ， y ， { α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ， v } } = 0 ， (1.16) { x ， { α 2 ( y ) ， α 1 ( u ) ， v } ， z } − { u ， x ， { α 1 ( z ) ， v ， α 2 ( y ) } }   − α 2 ( { α 1 ( x ) ， v ， { z ， u ， y } } ) + { x ， { α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ， v } ， y } = 0 ， (1.17) { x ， y ， { α 2 ( z ) ， α 1 ( u ) ， v } } − α 1 ( { α 2 ( z ) ， { y ， x ， u } ， v } )   − { z ， u ， { α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ， v } } + α 1 ( { x ， y ， z } ， α 2 ( u ) ， v ) = 0 ， (1.18) α 1 ( { x ， y ， z } ， v ， α 2 ( u ) ) − { y ， x ， { α 1 ( z ) ， v ， α 2 ( u ) } }   − { z ， { α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ， v } ， u } + α 2 ( { α 1 ( z ) ， v ， { x ， y ， u } } ) = 0 ， (1.19) α 2 ( { x ， y ， z } ， α 1 ( u ) ， v ) − α 2 ( { α 1 ( z ) ， { y ， x ， u } ， v } )   − { z ， u ， { α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ， v } } + { x ， y ， { α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ， v } } = 0 ， (1.20) 其中 ∀ x ， y ， z ， u ， v ∈ J 。 证明：利用定理1.2，取 θ 12 = L ， θ 13 = M ，通过计算可直接得出。 设 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 为Hom-约当三系， V ， W 为线性空间， θ ′ : J × J → E n d ( V ) ， θ ″ : J × J → E n d ( W ) 为双线性映射， A ′ ∈ E n d ( V ) ， A ″ ∈ E n d ( W ) ，定义 θ ′ ⊗ θ ″ : J × J → E n d ( V ⊗ W ) ， A ′ ⊗ A ″ ∈ E n d ( V ⊗ W ) ，其中 θ ′ ⊗ θ ″ ( x ， y ) ( v ⊗ w ) = θ ′ ( x ， y ) v ⊗ w + v ⊗ θ ″ ( x ， y ) w ， A ′ ⊗ A ″ ( v ⊗ w ) = A ′ ( v ) ⊗ A ″ ( w ) ， 其中 ∀ x ， y ∈ J ， v ∈ V ， w ∈ W 。 定理1.3设 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 为Hom-约当三系， ( V ， θ ′ 12 ， θ ′ 13 ， A ′ 1 ， A ′ 2 ) ， ( W ， θ ″ 12 ， θ ″ 13 ， A ″ 1 ， A ″ 2 ) 均为 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 的表示，则 ( V ⊗ W ， θ ′ 12 ⊗ θ ″ 12 ， θ ′ 13 ⊗ θ ″ 13 ， A ′ 1 ⊗ A ″ 1 ， A ′ 2 ⊗ A ″ 2 ) 是 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 的表示当且仅当 ( V ， θ ′ 12 ， θ ′ 13 ， A ′ 1 ， A ′ 2 ) ， ( W ， θ ″ 12 ， θ ″ 13 ， A ″ 1 ， A ″ 2 ) 满足下列条件 θ ′ 12 ( { z ， u ， x } ， α 2 ( y ) ) A ′ 1 ( v ) ⊗ w − θ ′ 12 ( { z ， u ， x } ， α 2 ( y ) ) A ′ 1 ( v ) ⊗ A ″ 1 ( w )   + v ⊗ θ ″ 12 ( { z ， u ， x } ， α 2 ( y ) ) A ″ 1 ( w ) − A ′ 1 ( v ) ⊗ θ ″ 12 ( { z ， u ， x } ， α 2 ( y ) ) A ″ 1 ( w )   + θ ′ 12 ( α 2 ( x ) ， α 1 ( u ) ) ( v ) ⊗ θ ″ 12 ( z ， y ) ( w ) + θ ′ 12 ( z ， y ) ( v ) ⊗ θ ″ 12 ( α 2 ( x ) ， α 1 ( u ) ) ( w )   − θ ′ 13 ( y ， u ) ( v ) ⊗ θ ″ 13 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( x ) ) ( w ) − θ ′ 13 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( x ) ) ( v ) ⊗ θ ″ 13 ( y ， u ) ( w )   + θ ′ 12 ( x ， y ) ( v ) ⊗ θ ″ 12 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) ( w ) + θ ′ 12 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) ( v ) ⊗ θ ″ 13 ( x ， y ) ( w ) = 0 ， (1.21) θ ′ 13 ( α 1 ( x ) ， { z ， u ， y } ) A ′ 2 ( v ) ⊗ w − θ ′ 13 ( α 1 ( x ) ， { z ， u ， y } ) A ′ 2 ( v ) ⊗ A ″ 2 ( w )   + v ⊗ θ ″ 13 ( α 1 ( x ) ， { z ， u ， y } ) A ″ 2 ( w ) − A ′ 2 ( v ) ⊗ θ ″ 13 ( α 1 ( x ) ， { z ， u ， y } ) A ″ 2 ( w )   + v ⊗ θ ″ 13 ( α 1 ( x ) ， { z ， u ， y } ) A ″ 2 ( w ) − A ′ 2 ( v ) ⊗ θ ″ 13 ( α 1 ( x ) ， { z ， u ， y } ) A ″ 2 ( w )   + θ ′ 13 ( x ， z ) ( v ) ⊗ θ ″ 12 ( α 2 ( y ) ， α 1 ( u ) ) ( w ) + θ ′ 12 ( α 2 ( y ) ， α 1 ( u ) ) ( v ) ⊗ θ ″ 13 ( x ， z ) ( w )   + θ ′ 13 ( x ， y ) ( v ) ⊗ θ ″ 12 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) ( w ) + θ ′ 12 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) ( v ) ⊗ θ ″ 13 ( x ， y ) ( w ) = 0 ， (1.22) θ ′ 12 ( α 2 ( z ) ， α 1 ( u ) ) θ ′ 12 ( x ， y ) ( v ) ⊗ w + θ ′ 12 ( x ， y ) ( v ) ⊗ θ ″ 12 ( α 2 ( z ) ， α 1 ( u ) ) ( w )   + θ ′ 12 ( α 2 ( z ) ， α 1 ( u ) ) ( v ) ⊗ θ ″ 12 ( x ， y ) ( w ) + v ⊗ θ ″ 12 ( α 2 ( z ) ， α 1 ( u ) ) θ ″ 12 ( x ， y ) ( w )   − θ ′ 12 ( α 2 ( z ) ， { y ， x ， u } A ′ 1 ( v ) ⊗ A ″ 1 ( w ) − A ′ 1 ( v ) ⊗ θ ″ 12 ( α 2 ( z ) ， { y ， x ， u } ) A ″ 1 ( w )   − θ ′ 12 ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) θ ′ 12 ( z ， u ) ( v ) ⊗ w − θ ′ 12 ( z ， u ) ( v ) ⊗ θ ″ 12 ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) w   − θ ′ 12 ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) ( v ) ⊗ θ ″ 12 ( z ， u ) ( w ) − v ⊗ θ ″ 12 ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) θ ″ 12 ( z ， u ) w   + θ ′ 12 ( { x ， y ， z } ， α 2 ( u ) ) A ′ 1 ( v ) ⊗ A ″ 1 ( w ) + A ′ 1 ( v ) ⊗ θ ″ 12 ( { x ， y ， z } ， α 2 ( u ) ) A ″ 1 ( w ) = 0 ， (1.23) θ ′ 13 ( { x ， y ， z } ， α 2 ( u ) ) A ′ 1 ( v ) ⊗ A ″ 1 ( w ) + A ′ 1 ( v ) ⊗ θ ″ 13 ( { x ， y ， z } ， α 2 ( u ) ) A ″ 1 ( w )   − θ ′ 13 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) θ ′ 12 ( y ， x ) ( v ) ⊗ ( w ) − θ ′ 12 ( y ， x ) ( v ) ⊗ θ ″ 13 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) ( w )   − θ ′ 13 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) ( v ) ⊗ θ ″ 12 ( y ， x ) ( w ) − v ⊗ θ ″ 13 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) θ ″ 12 ( y ， x ) ( w )   − θ ′ 12 ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) θ ′ 13 ( z ， u ) ( v ) ⊗ w − θ ′ 13 ( z ， u ) ( v ) ⊗ θ ″ 12 ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) ( w )   − θ ′ 12 ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) ( v ) ⊗ θ ″ 13 ( z ， u ) ( w ) − v ⊗ θ ″ 12 ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) θ ″ 13 ( z ， u ) ( w )   + θ ′ 13 ( α 1 ( z ) ， { x ， y ， u } ) A ′ 1 ( v ) ⊗ A ″ 2 ( w ) + A ′ 2 ( v ) ⊗ θ ″ 13 ( α 1 ( z ) ， { x ， y ， u } ) A ″ 2 ( w ) = 0 ， (1.24) θ ′ 12 ( { x ， y ， z } ， α 1 ( u ) ) A ′ 2 ( v ) ⊗ A ″ 2 ( w ) + A ′ 2 ( v ) ⊗ θ ″ 12 ( { x ， y ， z } ， α 1 ( u ) ) A ″ 2 ( w )   − θ ′ 12 ( α 1 ( z ) ， { y ， x ， u } ) A ′ 2 ( v ) ⊗ A ″ 2 ( w ) − A ′ 2 ( v ) ⊗ θ ″ 12 ( α 1 ( z ) ， { y ， x ， u } ) A ″ 2 ( w )   − θ ′ 12 ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) θ ′ 12 ( z ， u ) ( v ) ⊗ w − θ ′ 12 ( z ， u ) ( v ) ⊗ θ ″ 12 ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) ( w )   − θ ′ 12 ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) ( v ) ⊗ θ ″ 12 ( z ， u ) w − v ⊗ θ ″ 12 ( α 1 ( x ) ， α 2 ( y ) ) θ ″ 12 ( z ， u ) ( w )   + θ ′ 12 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) θ ′ 12 ( x ， y ) ( v ) ⊗ w + θ ′ 12 ( x ， y ) ( v ) ⊗ θ ″ 12 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) ( w )   + θ ′ 12 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) ( v ) ⊗ θ ″ 12 ( x ， y ) ( w ) + v ⊗ θ ″ 12 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) θ ″ 12 ( x ， y ) ( w ) = 0 ， (1.25) 其中 ∀ x ， y ， z ， u ∈ J ， v ∈ V ， w ∈ W 。 证明：由 θ ′ 12 ⊗ θ ″ 12 ， θ ′ 13 ⊗ θ ″ 13 ， A ′ 1 ⊗ A ″ 1 ， A ′ 2 ⊗ A ″ 2 的定义知为线性映射。 ( V ⊗ W ， θ ′ 12 ⊗ θ ″ 12 ， θ ′ 13 ⊗ θ ″ 13 ， A ′ 1 ⊗ A ″ 1 ， A ′ 2 ⊗ A ″ 2 ) 是 ( J ， { ⋅ ， ⋅ ， ⋅ } ， α 1 ， α 2 ) 的表示当且仅当对于 ( V ⊗ W ， θ ′ 12 ⊗ θ ″ 12 ， θ ′ 13 ⊗ θ ″ 13 ， A ′ 1 ⊗ A ″ 1 ， A ′ 2 ⊗ A ″ 2 ) 有(1.3)~(1.8)成立。由于 θ ′ 13 ⊗ θ ″ 13 ( x ， y ) ( v ⊗ w ) − θ ′ 13 ⊗ θ ″ 13 ( y ， x ) ( v ⊗ w ) = θ ′ 13 ( x ， y ) v ⊗ w − θ ′ 13 ( y ， x ) v ⊗ w + v ⊗ θ ″ 13 ( x ， y ) w − v ⊗ θ ″ 13 ( y ， x ) w ， 则 θ ′ 13 ⊗ θ ″ 13 满足等式(1.3)当且仅当 θ ′ 13 ， θ ″ 13 满足等式(1.3)。在 V ⊗ W 上等式(1.4)左边 θ ′ 12 ⊗ θ ″ 12 ( α 2 ( x ) ， α 1 ( u ) ) θ ′ 12 ⊗ θ ″ 12 ( z ， y ) ( v ⊗ w ) − θ ′ 13 ⊗ θ ″ 13 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( x ) ) θ ′ 13 ⊗ θ ″ 13 ( y ， u ) ( v ⊗ w )   − θ ′ 12 ⊗ θ ″ 12 ( { z ， u ， x } ， α 2 ( y ) ) A ′ 1 ⊗ A ″ 1 ( v ⊗ w ) + θ ′ 12 ⊗ θ ″ 12 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) θ ′ 12 ⊗ θ ″ 12 ( x ， y ) ( v ⊗ w ) = θ ′ 12 ( { z ， u ， x } ， α 2 ( y ) ) A ′ 1 ( v ) ⊗ w − θ ′ 12 ( { z ， u ， x } ， α 2 ( y ) ) A ′ 1 ( v ) ⊗ A ″ 1 ( w )         + v ⊗ θ ″ 12 ( { z ， u ， x } ， α 2 ( y ) ) A ″ 1 ( w ) − A ′ 1 ( v ) ⊗ θ ″ 12 ( { z ， u ， x } ， α 2 ( y ) ) A ″ 1 ( w ) + θ ′ 12 ( α 2 ( x ) ， α 1 ( u ) ) ( v ) ⊗ θ ″ 12 ( z ， y ) ( w ) + θ ′ 12 ( z ， y ) ( v ) ⊗ θ ″ 12 ( α 2 ( x ) ， α 1 ( u ) ) ( w )   − θ ′ 13 ( y ， u ) ( v ) ⊗ θ ″ 13 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( x ) ) ( w ) − θ ′ 13 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( x ) ) ( v ) ⊗ θ ″ 13 ( y ， u ) ( w )   + θ ′ 12 ( x ， y ) ( v ) ⊗ θ ″ 12 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) ( w ) + θ ′ 12 ( α 1 ( z ) ， α 2 ( u ) ) ( v ) ⊗ θ ″ 12 ( x ， y ) ( w ) ， 因此 ( V ⊗ W ， θ ′ 12 ⊗ θ ″ 12 ， θ ′ 13 ⊗ θ ″ 13 ， A ′ 1 ⊗ A ″ 1 ， A ′ 2 ⊗ A ″ 2 ) 满足等式(1.4)当且仅当等式(1.21)式成立。同理， ( V ⊗ W ， θ ′ 12 ⊗ θ ″ 12 ， θ ′ 13 ⊗ θ ″ 13 ， A ′ 1 ⊗ A ″ 1 ， A ′ 2 ⊗ A ″ 2 ) 满足等式(1.5)当且仅当等式(1.22)成立，满足等式(1.6)当且仅当 等式(1.23)成立，满足等式(1.7)当且仅当等式(1.24)成立，满足等式(1.8)当且仅当等式(1.25)成立，因此，结论成立。