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user: 2. 短正合列 为了研究短正合列的相关性质，我们先引出以下一些定义 [ 1 ] [ 5 ]。 定义2.1 [ 1 ] 如果 ker ( g ) = i m ( f ) ，则由Abel群和同态组成的序列 C → f D → g E 在D处正合。如果它在每个Abel群处正合，则由Abel群和同态组成的序列 ⋯ → D i − 1 → φ i − 1 D i → φ i D i + 1 → ⋯ 是一个正合序列。 定义2.2 一个链复形是一串Abel群 C q 和一串同态 ∂ q : C q → C q − 1 ，排成一个序列 ⋯ → C q + 1 → ∂ q + 1 C q → ∂ q C q − 1 → ∂ q − 1 C q − 2 → ⋯ 对每个维数q，满足 ∂ q ∘ ∂ q + 1 = 0 。 定义2.3 [ 2 ] 如果对每个维数q，Abel群和同态组成的序列 C q → f q D q → g q E q 都在 D q 处正合，则由链复形和链映射组成的序列 C → f D → g E 在D处正合。 定义2.4 设 C = { C q ， ∂ q } 为链复形，那么商群 H q ( C ) : = ker ∂ q i m ∂ q + 1 称为C的同调群，它的元素称为C的同调类。 定义2.5 [ 1 ] 设由链复形和链映射组成的短正合列 0 → C → f D → g E → 0 。 对每个维数q，我们来定义一个边缘同态 ∂ ∗ : H q ( E ) → H q − 1 ( C ) 。 考察下面的交换图表(图1) 图1. 链复形和链映射交换图 交换图表的每个横行都是正合序列。对于 e q ∈ Z q ( E ) ，定义 ∂ ∗ : H q ( E ) → H q − 1 ( C ) ， [ e q ] ↦ [ f q − 1 − 1 ∂ q g q − 1 ( e q ) ] . (1) 根据图像的交换性，且每个横行是正合序列，通过在交换图上追踪，在(1)式中，可以得到 1) 需要取逆像的地方都能取得； 2) 逆像不唯一的地方，最后结果跟逆像的选取没有关系； 3) 在同调类 [ e q ] 中取不同的代表闭链 e q ，所得最后结果相同。 下面我们来证明这个定义的合理性： 证明：1) 由定义可得， ∂ ∗ : H q ( E ) → H q − 1 ( C ) ， 假定 e q ∈ E q ，则 ∂ q e q = 0 。 因为 g q 是满射，所以存在 d q ∈ D q ，使得 g q d q = e q 。 下面证明 ∂ q d q ∈ D q − 1 ，根据交换性，可得 g q − 1 ∂ q d q = ∂ q g q d q = ∂ q e q = 0 ， 所以 ∂ q d q ∈ ker g q − 1 = i m f q − 1 . 因为 f q − 1 是单射，所以存在唯一的 c q − 1 ∈ C q − 1 ，使得 f q − 1 c q − 1 = ∂ q d q . 所以 f q − 1 − 1 ∂ q g q − 1 ( e q ) 有意义，则 [ e q ] ↦ [ f q − 1 − 1 ∂ q g q − 1 ( e q ) ] 是合理的定义。 2) 令 g q d ′ q = e q ，其中 d ′ q ∈ D q ，则 g q ( d q − d ′ q ) = g q d q − g q d ′ q = e q − e q = 0 ， 所以 d q − d ′ q ∈ ker g q = i m f q 。则存在 c q ∈ C q ，使得 f q c q = d q − d ′ q 。 根据交换性，可得 f q − 1 ∂ q c q = ∂ q f q c q = ∂ q ( d q − d ′ q ) = ∂ q d q − ∂ q d ′ q . 所以 f q − 1 − 1 ∂ q d q − f q − 1 − 1 ∂ q d ′ q = ∂ q c q ∈ B q − 1 ( C ) ， 则 f q − 1 − 1 ∂ q d q + B q − 1 ( C ) = f q − 1 − 1 ∂ q d ′ q + B q − 1 ( C ) ，得证。 3) 假定 e ′ q = ∂ q + 1 e q + 1 ， e q + 1 ∈ E q + 1 。设 g q + 1 d q + 1 = e q + 1 ，其中 d q + 1 ∈ D q + 1 。 根据交换性，可得 g q ∂ q + 1 d q + 1 = ∂ q + 1 g q + 1 d q + 1 = ∂ q + 1 e q + 1 = e q . 由此，可以证明边缘同态 ∂ * 是良定义的。 定理2.6 [ 2 ] 设有链复形和链映射的短正合列 0 → C → f D → g E → 0 ， 则有长的正合同调序列 ⋯ → H q + 1 ( E ) → ∂ ∗ H q ( C ) → f ∗ H q ( D ) → g ∗ H q ( E ) → ∂ ∗ H q − 1 ( C ) → ⋯ . (2) 证明：(A) 在 H q ( E ) 处的正合性： (A1) 设 d q ∈ Z q ( D ) 。则 ∂ ∗ g ∗ [ d q ] = ∂ ∗ [ g q ( d q ) ] = [ f q − 1 − 1 ∂ q g q − 1 g ( d q ) q ] = [ f q − 1 − 1 ∂ q ( d q ) ] = [ f q − 1 − 1 ( 0 ) ] = [ 0 ] . 所以 i m g ∗ ⊂ ker ∂ ∗ 。 (A2) 设 e q ∈ Z q ( E ) ，且 ∂ ∗ [ e q ] = 0 ，则有 c q ∈ C q ，使得 f q − 1 − 1 ∂ q g q − 1 ( e q ) = ∂ q ( c q ) . 取 d q = g q − 1 ( e q ) − f q ( c q ) ，则 ∂ q ( d q ) = f q − 1 ∂ q ( c q ) − ∂ q f q ( c q ) = 0 ， 即 d q ∈ Z q ( D ) 。 而 g ∗ [ d q ] = [ g q d q ] = [ e q − g q f q ( c q ) ] = [ e q ] ，所以 ker ∂ ∗ ⊂ i m g ∗ 。 所以 ker ∂ ∗ = i m g ∗ ，得证。 (B) 在 H q ( D ) 处的正合性： (B1) 设 c q ∈ Z q ( C ) ，则 g ∗ f ∗ [ c q ] = ( g ⋅ f ) ∗ [ c ∗ ] = ( 0 ) ∗ [ c q ] = 0 ， 所以 i m f ∗ ⊂ ker g ∗ 。 (B2) 设 d q ∈ Z q ( D ) ，且 g ∗ [ d q ] = 0 。 则 ∃ e q + 1 ∈ E q + 1 ，使得 g q d q = ∂ q + 1 e q + 1 。 由于 g q + 1 是满射的，所以至少 ∃ 一个 d q + 1 ∈ D q + 1 ，使得 e q + 1 = g q + 1 d q + 1 ， 所以 g q d q = ∂ q + 1 e q + 1 = ∂ q + 1 g q + 1 d q + 1 = g q ∂ q + 1 d q + 1 . 因为 g q 是链映射，所以 g q ( d q − ∂ q + 1 d q + 1 ) = 0 。 根据正合性，存在 c q ∈ C q ，使得 f q c q = d q − ∂ q + 1 d q + 1 ，所以 f q − 1 ∂ q c q = ∂ q f q c q = ∂ q d q − ∂ q ∂ q d q = 0 . 又因为 f q 是单射，所以 ∂ q c q = 0 ，则 f ∗ ( [ c q ] ) = [ f q c q ] = [ d q − ∂ q + 1 d q + 1 ] = [ d q ] 。 由此可得， ker g ∗ ⊂ i m f ∗ ， 所以 ker g ∗ = i m f ∗ ，得证。 (C) 在 H q ( C ) 处的正合： (C1) 设 e q + 1 ∈ Z q + 1 ( E ) ，则 f ∗ ∂ ∗ [ e q + 1 ] = f ∗ [ f q − 1 ∂ q + 1 g q + 1 − 1 ( e q + 1 ) ] = [ f q f q − 1 ∂ q + 1 g q + 1 − 1 ( e q + 1 ) ] = [ ∂ q + 1 g q + 1 − 1 ( e q + 1 ) ] = 0 ， 所以 i m ∂ ∗ ⊂ ker f ∗ 。 (C2) 设 c q ∈ Z q ( C ) ，且 f ∗ [ c q ] = 0 ，则存在 d q + 1 ∈ D q + 1 ，使得 f q c q = ∂ q + 1 d q + 1 = e q + 1 ， 所以 ∂ ∗ [ e q + 1 ] = [ f q − 1 ∂ q + 1 g q + 1 − 1 g q + 1 d q + 1 ] = [ f q − 1 ∂ q + 1 d q + 1 ] = [ f q − 1 f q c q ] = [ c q ] ， 所以 c q ∈ i m ∂ ∗ ，则 ker f ∗ ⊂ i m ∂ ∗ 。 所以 ker f ∗ = i m ∂ ∗ ，得证。 定理2.7 [ 2 ] 设有链复形和链映射的交换图表 其中两个横行都是链复形的短正合列。则它们的正合同调序列之间有交换图表 证明：行的正合性是定理2.6已证明，下面我们来证明列的正合性，先画出以下交换图表(图2)： 1) 如果 [ e q ] ∈ H q ( E ) ，则需证明 α ∗ ∂ ∗ [ e q ] = ∂ ′ ∗ γ ∗ [ e q ] 。 因为g是满射的，所以存在 d q ∈ D q ，使得 g q ( d q ) = e q . ∂ ∗ [ e q ] = [ f q − 1 − 1 ∂ q g q − 1 ( e q ) ] = [ f q − 1 − 1 ∂ q g q − 1 g q ( d q ) ] = [ f q − 1 − 1 ∂ q ( d q ) ] ， 图2. 链复形和链同态三维交换图 所以 f q − 1 − 1 ∂ q ( d q ) = c q − 1 ，则 f q − 1 ( c q − 1 ) = ∂ q ( d q ) ，其中 c q − 1 ∈ C q − 1 。 α ∗ ∂ ∗ [ e q ] = [ α q − 1 f q − 1 − 1 ∂ q ( d q ) ] = [ α q − 1 ( c q − 1 ) ] ， 因为 γ 是链映射，所以 g ′ q β q ( d q ) = γ q g q ( d q ) = γ q ( e q ) ， 所以 ∂ ′ ∗ [ γ q ( e q ) ] = [ f q − 1 − 1 ∂ ′ q g ′ q − 1 g ′ q β q ( d q ) ] = [ f q − 1 − 1 ∂ ′ q β q ( d q ) ] = [ c ′ q − 1 ] ， 其中 c ′ q − 1 ∈ C ′ q − 1 。 则 f ′ q − 1 ( c ′ q − 1 ) = ∂ ′ q β q ( d q ) ，因此， f ′ q − 1 α q − 1 ( c q − 1 ) = β q − 1 f q − 1 ( c q − 1 ) = β q − 1 ∂ q ( d q ) = ∂ ′ q β q ( d q ) = f ′ q − 1 ( c ′ q − 1 ) ， 又由于 f ′ q − 1 是单射，所以 α q − 1 ( c q − 1 ) = c ′ q − 1 。 所以 α ∗ ∂ ∗ [ e q ] = ∂ ′ ∗ γ ∗ [ e q ] 。 2) 因为 ∂ q + 1 ( d q + 1 ) = d q ，根据交换性，可得 γ q g q ( d q ) = γ q g q ∂ q + 1 ( d q + 1 ) = γ q ∂ q + 1 g q + 1 ( d q + 1 ) = ∂ q + 1 γ q + 1 g q + 1 ( d q + 1 ) = ∂ q + 1 ( e ′ q + 1 ) ， γ ∗ g ∗ [ d q ] = [ γ q g q ( d q ) ] ， ∂ q γ q g q ( d q ) = γ q − 1 ∂ q g q ( d q ) = γ q − 1 g q − 1 ∂ q ( d q ) = 0 ， 所以 [ g ′ q β q ( d q ) ] = [ γ q g q ( d q ) ] .