system: [SYSTEM]

user: 2. 康普顿散射 2.1. 康普顿散射原理 X射线通过实物物质发生散射时，散射光中除了有原波长λ 0 的X射线外，还产生了波长λ大于λ 0 的X射线，其波长的增量随散射角的不同而变化。这种现象称为康普顿散射，亦称康普顿效应。 康普顿散射过程发生在入射射线光子与靶物质原子核外电子之间，如图1所示。入射X射线光子与靶原子核外电子发生碰撞，碰撞后的光子并没有消失，而只是损失了自己的部分能量给电子。能量损失后的X光子改变运动方向后继续在物质中穿行，而获得能量后的电子则脱离原子核的约束成为反冲电子 [ 7 ]。 图1. 康普顿散射示意图 入射光子的能量E 0 ，康普顿散射光子的能量E 1 以及散射角之间的关系，符合康普顿方程，可以根据能量守恒定律与动量守恒定律求得。通过推导计算能够得到波长改变量Δλ与散射光子能量E 1 为： Δ λ = λ − λ 0 = c ν − c ν 0 = h m 0 c ( 1 − cos θ ) (1) 其中h为普朗克常数；c为光速；m 0 为静态电子质量；θ为康普顿散射的散射角。 E 1 = E 0 1 + α ( 1 − cos θ ) (2) α = h υ m 0 c 2 = h m 0 c × υ c = λ e λ 其中E 0 为入射光子能量；λ e 为电子的康普顿散射波长；λ为入射光子的波长，康普顿散射只有在入射光子的波长与电子的康普顿波长相比拟时，散射才显著，所以α的值可判别康普顿散射是否显著。由上式可以看出散射光子能量E 1 只与入射光子能量E 0 和散射角θ有关。 2.2. 康普顿微分散射截面 康普顿微分散射截面的意义是一个能量为 h υ 的入射光子与原子中的一个核外电子作用后被散射到θ方向单位立体角里的概率 [ 8 ] (记作 d σ ( E 0 ， θ ) d Ω ，单位：cm 2 /单位立体角)，为： d σ ( E 0 ， θ ) d Ω = r e 2 2 ( E 0 E 1 + E 1 E 0 − sin 2 θ ) ( E 1 E 0 ) 2 = r e 2 2 [ cos 2 θ + α ( 1 − cos θ ) + 1 1 + α ( 1 − cos θ ) ] [ 1 1 + α ( 1 − cos θ ) ] 2 = r e 2 [ 1 1 + α ( 1 − cos θ ) ] 2 [ 1 + cos 2 θ 2 ] [ 1 + α 2 ( 1 − cos θ ) 2 ( 1 + cos 2 θ ) [ 1 + α ( 1 − cos θ ) ] ] (3) 其中r e 为经典电子半径， r e = e / m 0 c 2 = 2.8 × 10 − 13 cm ；E 1 为散射角度为θ时的散射光子能量；E 0 为入射光子能量。由上述公式可看出，康普顿微分散射截面只与入射光子能量E 0 和散射角θ有关，当入射光子能量一定时，微分散射截面只与散射角有关 [ 9 ]。不同能量下的微分散射截面与散射角度的关系如图2所示，由图可见，随着入射光子能量的降低，微分散射截面逐渐增加，背散射概率增大。 图2. 微分散射截面与入射光子能量及散射角度的关系图 2.3. 射线衰减校正 射线穿过物质时，主要发生光电效应、康普顿效应和电子对效应 [ 10 ]，这几种效应都会使入射线的方向改变、射线强度发生衰减，物质衰减系数如下式所示： μ = μ 光 电 效 应 + μ 康 普 顿 效 应 + μ 电 子 对 效 应 (4) 而在入射线能量介于0.3 MeV~2 MeV时康普顿效应 [ 11 ] 占据主要地位，其余两种效应可忽略。 而 [ 12 ] μ 康 普 顿 效 应 = σ ( E ) ⋅ N A ⋅ ρ A (5) σ ( E ) 为单个原子的康普顿散射截面，有 [ 13 ]： σ ( E ) = Z ⋅ σ c ( E ) (6) σ c ( E ) 为单个电子的康普顿散射截面，是单个电子的康普顿微分散射截面对整个立体角的积分： σ c = 2 π r e 2 { 1 + α α 2 [ 2 ( 1 + α ) 1 + 2 α − ln ( 1 + 2 α ) α ] + ln ( 1 + 2 α ) 2 α − 1 + 3 α ( 1 + 2 α ) 2 } (7) α = E 2 π m 0 c 2 则上式可化成 [ 14 ] μ 康 普 顿 效 应 = σ c ( E ) ⋅ N A ⋅ ρ A ⋅ Z (8) 而 ρ e = ρ ⋅ N A ⋅ Z A (9) 最终可得： μ 康 普 顿 效 应 = σ c ( E ) ⋅ ρ e (10) 散射光子数公式如下所示： n = n 0 × d σ d Ω ( E 0 ， θ ) × d V × d Ω × ρ e × f i ( E 0 ) × f s ( E 1 ) × k (11) f i ( E 0 ) = e − ∫ a r μ ( l ) d l f s ( E 1 ) = e − ∫ r b μ ( l ) d l n为接收到的背散射光子数；n 0 为入射光子数； d σ d Ω ( E 0 ， θ ) 为康普顿微分散射截面； d V = d S ∗ d z 代表着单次测量的有效体积，dS为射线束的横截面积，dz是入射线方向上的一个线元；dΩ是探测器对散射点所张的立体角； f i ( E 0 ) 代表入射线到达散射点前的入射衰减、 f s ( E 1 ) 代表散射点到达探测器前的出射衰减，其中 μ ( l ) 为线性衰减系数值；k为探测器的探测效率。 本文进行理论推导时，认为探测器收集到的光子是对应深度的散射点发生散射得到的固定散射角度的散射光子，在实际情况中由于探测器尺寸的限制，导致每个探测单元接收到的是多个散射点散射的固定散射角的散射光子的集合。引入平均的思想对该问题加以讨论，能够得出：探测单元的尺寸决定了对物体深度信息获取的精度。 已知线性衰减系数表达式后，将表达式代入入射线和散射线的衰减公式中，最终能够得到该点的电子密度，完成对衰减的校正，实现图像重建，如下式所示： n = n 0 ⋅ k ⋅ d σ d Ω ( E 0 ， θ ) ⋅ d S ⋅ d z ⋅ d Ω ⋅ ρ e ⋅ exp ( − ∫ A X ρ e ⋅ σ c ( E 0 ) d l ) ⋅ exp ( − ∫ X C ρ e ⋅ σ c ( E 1 ) d l ) (12) ρ e ⋅ exp ( − ∫ A X ρ e ⋅ σ c ( E 0 ) d l ) ⋅ exp ( − ∫ X C ρ e ⋅ σ c ( E 1 ) d l ) = n n 0 ⋅ k ⋅ d σ d Ω ( E 0 ， θ ) ⋅ d S ⋅ d z ⋅ d Ω (13) 根据上式可以看出，电子密度ρ e 待求，而其他不含ρ e 的项都为常数，对于入射线衰减和散射线衰减的表达式可以做以下讨论。 dl为入射线方向上的一个线元，将衰减系数的表达式中的积分变成求和后，dl不再是趋于无限小，而是一个可根据探测单元尺寸求出的定值Δl，这样就把求解每个散射点的电子密度变成求解每个散射单元的平均电子密度的问题了。 ∫ A X ρ e ⋅ σ c ( E 0 ) d l ≈ σ c ( E 0 ) ⋅ ∑ i = 1 n ρ e i ∫ X C ρ e ⋅ σ c ( E 1 ) d l ≈ σ c ( E 1 ) ⋅ ∑ i = 1 m ρ e i (14) ρ e ⋅ exp ( − σ c ( E 0 ) ⋅ ∑ i = 1 n ρ e i ) ⋅ exp ( − σ c ( E 1 ) ⋅ ∑ j = 0 m ρ e j ) = n n 0 ⋅ k ⋅ d σ d Ω ( E 0 ， θ ) ⋅ d S ⋅ d z ⋅ d Ω (15) ρ e ⋅ exp ( − σ c ( E 0 ) ⋅ ∑ i = 1 n -1 ρ e i − σ c ( E 0 ) ⋅ ρ e ) ⋅ exp ( − σ c ( E 1 ) ⋅ ρ e − σ c ( E 1 ) ⋅ ∑ j = 1 m ρ e j ) = n n 0 ⋅ k ⋅ d σ d Ω ( E 0 ， θ ) ⋅ d S ⋅ d z ⋅ d Ω (16) ρ e ⋅ exp { − [ σ c ( E 0 ) + σ c ( E 1 ) ] ⋅ ρ e } ⋅ exp { − [ σ c ( E 0 ) ⋅ ∑ i = 1 n -1 ρ e i + σ c ( E 1 ) ⋅ ∑ j = 1 m ρ e j ] } = n n 0 ⋅ k ⋅ d σ d Ω ( E 0 ， θ ) ⋅ d S ⋅ d z ⋅ d Ω (17) 具体实现办法，将样品在xoy面分解成如p * q个待测物体单元，首先从最上方的一行从左往右的利用线阵探测器(假设有n个探测单元)进行散射光子的获取，因为最上一行不用担心散射线的衰减，因为发生散射后直接出射出物体了，不会进入其他单元中，因此最上一行中的散射衰减系数 = 1，此时对于入射线的衰减系数来说， n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ，散射深度nΔl，从n = 1开始计算，利用n = 1时求得的电子密度求n = 2的电子密度，最终求得n个点的电子密度，完成该待测物体单元上各个深度对应的散射单元的电子密度的计算。我们可以通过式(16)公式计算出最上面一层的电子密度。 式(15)右侧为定值，左侧含E 0 的是入射衰减，入射衰减的距离为nΔl；含E 1 的是散射衰减，在计算第一层时为1。m为散射线穿过的上层散射单元的数量 紧接着是第二层，在第二层发生的若干散射单元发出的散射线，由于本课题带有准直器的线阵探测器，待测样品间的夹角是固定的，所以很容易就能够知道散射线穿过第一层的哪些散射单元，而这些散射单元的电子密度我们在求第一层时已经得到了，所以将已知的数据代入到式(17)中，可得到第二层中各散射单元的平均电子密度了。经过多次计算，最终得到p * q * n的三维空间电子密度图，之后对p * q * n的电子密度数据进行处理，完成电子密度–灰度的转换，最终输出一幅二维的代表着电子密度投影的灰度图像，完成图像重建。