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user: 1. 顾客满意度模型与协方差拟合算法和偏最小二乘算法 Customer Satisfaction Index，简称CSI，上世纪九十年代传入我国以后被翻译做顾客满意度，顾名思义，就是研究顾客对于商品和服务满意的程度。满意与否与满意程度，属于心理活动与心理映射的结果，因此它应该属于社会心理学范畴。该模型被Fornel教授提出 [ 1 ] 以后，其测度计量方法研究在不断深入，其应用日益广泛。使得这个模型生机勃勃的原因是，它的指标汇总系数不是事先指定的，而是根据观测样本去临时计算这些系数。这就给统计学提出了新的理论课题，也给实践注入新的活力。从此这个模型渐渐成为顾客满意度模型的主流和国际的通用模型。随着CSI模型测度与分析进入ISO9000标准，它可能成为社会心理学应用最广泛的范例。今天，人们又进一步提出客户满意度、公众满意度、军队士气的概念，满意度应用范围日渐扩充，从企业领域扩充到政务和一般服务领域，但是其测度方法则大同小异。 我们看一个美国顾客满意度模型(图1)，它是一种结构方程模型(Structural Equation Model) [ 2 ]。其中的6个结构变量(隐含变量) ξ 1 、 η 1 ~ η 5 我们放在上层，它们之间含有9个作用关系，我们用水平的箭头表示。我们要注意区分哪些是自变量，哪些是因变量。只对别的结构变量起作用的是自变量，受到别的结构变量作用的是因变量。在方程组里，因变量作用的关系(实线箭头所示)我们统一使用符号 β i ​ j 表示，而对自变量作用的关系我们使用符号 γ 1 ~ γ 3 表示，(虚线箭头所示)。 结构方程模型还有一个方程组，就是观测变量要汇总到结构变量，图1中我们把观测变量放在下层，每一个结构变量对应若干个观测变量，它们使用符号 x t 、 y k 表示。观测变量要汇总到结构变量，这种关系我们用竖直的箭头表示。假设观测变量一共有N个观测，它们是向量，汇总以后的结构变量也是向量。结构方程组就这样含有两层关系，一个是观测方程组；一个是结构方程组。 图1显示的结构变量之间的关系是如(1)表示的结构方程组。注意因变量之间的作用是互相的，所以第一个矩阵是方阵。图1的模型只含有一个自变量，它一共作用于三个因变量，于是方程组里就有1列。后面的误差是随机的，这是统计模型惯用的表示。 图1. 美国顾客满意指数模型 ( η 1 η 2 η 3 η 4 η 5 ) = ( 0 0 0 0 0 β 21 0 0 0 0 β 31 β 32 0 0 0 0 0 β 43 0 0 0 0 β 53 β 54 0 ) ( η 1 η 2 η 3 η 4 η 5 ) + ( γ 1 γ 2 γ 3 0 0 ) ξ 1 + ( ε η 1 ε η 2 ε η 3 ε η 4 ε η 5 ) (1) 下面我们来讨论观测数据矩阵的维数。对每一个观测变量有N个观测，因此观测数据有N行。设一共有M个观测变量，那么就有M列，这样就形成了一个 N × M 的观测数据阵。怎么排列观测变量呢？我们按照图1显示的关系排列好了，将各个观测变量按照它们所隶属的结构变量从左到右顺序排列。可以把原始数据矩阵记录在一个Excel表上。 一级指标(结构变量)与二级指标(观测变量)之间存在作用关系与影响关系，表达它们之间的关系，可以有两种互逆的方式。传统的是认为结构变量受对应的观测变量影响，如果观测变量改变了，当然对应的结构变量也就随着改变，正像一个班级的学生参加期末考试，如果某一门成绩或者各门成绩改变了，那么总分就随着改变。但是我们也可以反过来看，为什么各门成绩会不一样呢？还不是因为他们的成绩档次也就是总分不一样？两种看法都有道理，到底使用哪一种，要看解方程的需要。 与结构因变量 η i 对应的观测变量以 y i ​ ​ j 表示，图1中 i = 1 ， ⋯ ， 5 ， j = 1 ， ⋯ ， L ( i ) ， L ( i ) = 4 ， 3 ， 5 ， 4 ， 3 。与结构自变量 ξ 1 对应的观测变量以 x t ​ ​ j 表示，图1中 t = 1 ， j = 1 ， ⋯ ， K ( t ) ，并且 K ( 1 ) = 5 。认为观测变量是受结构变量影响的的观测方程组如(2) (3)所示。 ( x t 1 ⋮ x t K ( t ) ) = ( υ t 1 ⋮ υ t K ( t ) ) ξ 1 + ( ε x t 1 ⋮ ε x t K ( t ) ) ， t = 1 (2) ( y i 1 ⋮ y i   L ( i ) ) = ( λ i 1 ⋮ λ i   L ( i ) ) η i + ( ε y   i 1 ⋮ ε y   i   L ( i ) ) ， i = 1 ， ⋯ ， 5 (3) 其中 υ t   j 、 λ i   j 为载荷项。上面方程的右边是结构变量，左边是观测变量。我们也可以反过来写出观测方程，左边是结构变量，右边是观测变量： ξ t = ∑ j = 1 K ( t ) ψ t ​ ​ j x t ​ ​ j + ε x   t ， t = 1 (4) η i = ∑ j = 1 L ( i ) ω i ​ ​ j y i ​ ​ j + ε η   i ， i = 1 ， ⋯ ， 5 (5) 我们采用矩阵记法来一般描述结构方程组(1)。作为结构方程一般的系数矩阵，对角线表示的是自己对自己的作用，当然是0。一般的结构方程模型各个结构变量之间的作用可以安排从前到后，此时系数矩阵就是下三角矩阵。但是也有一些结构方程模型结构变量之间出现互相的作用，此时其系数矩阵可以不是下三角的。这种情况在我们的DASC软件里也可以计算。设结构方程组(1)含有k + m个结构变量，其中k个自变量，m个因变量，将(1)左边的向量记作记 η ，右边 η 的系数矩阵记为B，它是m阶方阵。方程组(1)的右边的自变量记作 ξ ， ξ 的系数矩阵为 m × k 阶矩阵，记为 Γ ，则结构方程组(1)可以扩展为： η = B η + Γ ξ + ε η (6) 其中残差向量为 ε ′ η = ( ε ′ 1 ， ⋯ ， ε ′ m ) 。 类似地记观测向量 x ′ t = ( x ′ t 1 ， ⋯ ， x ′ t S ( t ) ) ， t = 1 ， ⋯ ， k ， S ( t ) 是与第t个结构自变量相联系的观测变量个数，记 y ′ i = ( y ′ i 1 ， ⋯ ， y ′ i L ( i ) ) ， i = 1 ， ⋯ ， m ；记 υ ′ t = ( υ ′ t 1 ， ⋯ ， υ ′ t S ( t ) ) ， λ ′ i = ( λ ′ i 1 ， ⋯ ， λ ′ i L ( i ) ) ，则观测方程组(2)可以扩展为： x t = υ t ξ t + ε x   t ， t = 1 ， ⋯ ， k (7) (3)可以扩展为： y i = λ i η i + ε y   i ， i = 1 ， ⋯ ， m (8) 采用矩阵记法，令 X ′ = ( x ′ 1 ， ⋯ ， x ′ k ) ， Λ X = I k ⊗ υ t ， ε ′ X = ( ε ′ x 1 ， ⋯ ， ε ′ x k ) ， Y ′ = ( y ′ 1 ， ⋯ ， y ′ m ) ， Λ Y = I m ⊗ λ i ， ε ′ Y = ( ε ′ y 1 ， ⋯ ， ε ′ y m ) ，其中I是单位方阵，则(7)(8)可以表为： X = Λ X ξ + ε X (9) Y = Λ Y η + ε Y (10) 记 ψ ′ t = ( ψ ′ t 1 ， ⋯ ， ψ ′ t S ( t ) ) ， ω ′ i = ( ω ′ i 1 ， ⋯ ， ω ′ i L ( i ) ) ，令 ψ = I k ⊗ ψ t ， ω = I m ⊗ ω i ，则(4)、(5)可以记为： ξ = ψ X + ε ξ (11) η = ω Y + ε η (12) (6)、(7)、(8)合在一起组成了结构方程模型或者路径分析模型，类似的(6)、(11)、(12)也是如此。它们在心理学领域和其它领域都有广泛的应用 [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]。 SEM中只有观测变量已知，其余都是未知，就是说，在方程(4-5)或者(11-12)中只有右边的变量已知，其余的方程系数和方程左边的变量都未知，因此它属于不确定方程组，计算结果是不唯一的，同时算法也不止一个。目前主要流行算法有两个：偏最小二乘法(Partial Least Square， PLS) [ 6 ] [ 7 ] 与协方差拟合法(Linear Structure RELationship， LISREL)。 协方差拟合法(LISREL)的基本思想是认为样本协方差阵应该与模型协方差阵如出一辙，应该近似相等。而矩阵与矩阵相等就是矩阵的每个元素对应相等，于是矩阵有多少元素就可以得到多少方程等式，从而求得模型的参数估计。这个算法对样本容量和分布的要求严格，即使数据相同，仅仅分布假设不一样，计算结果会完全不同，所以很少在实际工作中使用。 偏最小二乘法(PLS)的基本思想是先赋予一组结构变量的初值，它就变成已知的了。于是可以求解各个方程组里的系数。有了系数的估计，又可以根据观测变量的数据求得结构变量的估计值。现在的结构变量就不再是任给的初值了，而是第一次迭代求得的解。于是又可以求得系数的估计值，又可以根据观测变量初值求得结构变量第二次的估计值。如此循环迭代下去，每一步都计算两次迭代结果的误差，如果误差小于某一个事先指定的小数字，就停止迭代。显然这是一种典型的不确定性迭代算法，简明实用，但是不一定能保证其迭代收敛性，收敛速度也可能太慢。同一个模型中，即使相同的数据，仅仅只是迭代精度不同，也可能得到完全不同的结果。这样就使得计算不具备可比较性。特别是，迭代初值对迭代结果有很大影响。那么什么是最佳的迭代初值呢？