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user: 3. 主要结果 本节给出弱链对角占优B-矩阵线性互补问题误差界新的上界估计式，并和现有结果进行比较。首先给出一个引理： 引理3：设矩阵 M = [ m i j ] ∈ R n × n 主对角元全为正，记 M = B + + C ，其中 B + 形如(3)式。令 B D = I − D + D B + = [ b ¯ i j ] ，则对任意的 k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， l = k ， k + 1 ， ⋯ ， n 有 h l ( k − 1 ) ( B D + ) | b ¯ l l | ≤ h l ( k − 1 ) ( B + ) | b l l | ，(5) 其中 h l ( k − 1 ) 如(2)式所定义。 证明：下面利用数学归纳法证明(5)式成立。 情形一：k = 1，此时 l = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。 当l = 1时， h 1 ( 0 ) ( B D + ) | b ¯ 11 | = d 1 ∑ j = 2 n | b 1 j | 1 − d 1 + d 1 b 11 ≤ ∑ j = 2 n | b 1 j | b 11 = h 1 ( 0 ) ( B + ) | b 11 | ， 假设当 l = i ( 2 < i < n ) 时， h i ( 0 ) ( B D + ) | b ¯ i i | ≤ h i ( 0 ) ( B + ) | b ¯ i i | 式成立，现证 l = i + 1 时(5)式也成立，利用引理2易证 h i + 1 ( 0 ) ( B D + ) | b ¯ i + 1 ， i + 1 | = ∑ j = k n | b ¯ i + 1 ， j | | b ¯ j j | ⋅ h j ( 0 ) ( B D + ) + ∑ j = i + 2 n | b ¯ i + 1 ， j | | b ¯ i + 1 ， i + 1 | ≤ h i + 1 ( 0 ) ( B + ) | b i + 1 ， i + 1 | . 因此，对于 l = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，有 h l ( 0 ) ( B D + ) | b ¯ l l | ≤ h l ( 0 ) ( B + ) | b 11 | 。 情形二：当 k = 2 ， 3 ， ⋯ ， n 时，同理可证(5)式成立。 综合情形一与情形二，结论成立。 定理1：设 M ∈ R n × n 是弱链对角占优B-阵， M = B + + C ，其中 B + = [ b i j ] 形如(3)式。若 u k ( B + ) q k ( B + ) < 1 ， k = 1 ， ⋯ ， n ，则 max d ∈ [ 0 ， 1 ] n ‖ ( I − D + D M ) − 1 ‖ ∞ ≤ ( n − 1 ) ⋅ max { 1 min { α 1 ( B + ) ， 1 } + ∑ i = 2 n [ 1 min { α i ( B + ) ， 1 } ⋅ ∏ j = 1 n b j j ⋅ u j ( B + ) α i ( B + ) ] ，                                           q 1 ( B + ) min { α 1 ( B + ) ， 1 } + ∑ i = 2 n [ q i ( B + ) min { α i ( B + ) ， 1 } ⋅ ∏ j = 1 i − 1 b j j α j ( B + ) ] } (6) 其中 α i ( B + ) = b i i − ∑ j = i + 1 n | b i j | ⋅ q i ( B + ) ， q i ( B + ) 由(2)式所给。 证明：令 M D = I − D + D M ，则 M D = I − D + D M = I − D + D ( B + + C ) = B D + + C D ，其中 B D + = I − D + D B + ， C D = D C 。由文献 [ 15 ] 中的定理2知， 是弱链严格对角占优M-阵 ‖ M D − 1 ‖ ∞ ≤ ( n − 1 ) ⋅ ‖ ( B D + ) − 1 ‖ ∞ . (7) 由引理1知 ‖ ( B D + ) − 1 ‖ ∞ ≤ max { 1 b ¯ 11 [ 1 − u 1 ( B D + ) q 1 ( B D + ) ] + ∑ i = 2 n [ 1 b ¯ i i [ 1 − u i ( B D + ) q i ( B D + ) ] ⋅ ∏ j = 1 n u j ( B D + ) 1 − u j ( B D + ) q j ( B D + ) ] ， q 1 ( B D + ) b ¯ 11 [ 1 − u 1 ( B D + ) q 1 ( B D + ) ] + ∑ i = 2 n [ q i ( B D + ) b ¯ i i [ 1 − u i ( B D + ) q i ( B D + ) ] ⋅ ∏ j = 1 i − 1 1 1 − u j ( B D + ) q j ( B D + ) ] } . 由引理2和引理3，得 u i ( B D + ) = ∑ j = i + 1 n | b i j | d i 1 − d i + b i i d i ≤ ∑ j = i + 1 n | b i j | b i i = u i ( B + ) ， q k ( B D + ) = max 1 ≤ i ≤ n − k { | b ¯ i + k ， k | + ∑ h = k + 1 ， h ≠ i + k n | b ¯ i + k ， h | ⋅ c ¯ k | b ¯ i + k ， i + k | } ≤ max 1 ≤ i ≤ n − k d i + k [ | b i + k ， k | + ∑ h = k + 1 ， h ≠ i + k n | b i + k ， h | ⋅ c k ] 1 − d i + k ， i + k + d i + k ， i + k | b i + k ， i + k | ≤ max 1 ≤ i ≤ n − k { | b i + k ， k | + ∑ h = k + 1 ， h ≠ i + k n | b i + k ， h | ⋅ c k | b i + k ， i + k | } = q k ( B + ) ， 1 b ¯ i i [ 1 − u i ( B D + ) ⋅ q i ( B D + ) ] = 1 b ¯ i i − b ¯ i i ⋅ u i ( B D + ) ⋅ q i ( B D + ) ≤ 1 b ¯ i i − ∑ j = i + 1 n | b ¯ i j | ⋅ q i ( B + ) ≤ 1 min { b i i − ∑ j = i + 1 n | b i j | ⋅ q i ( B + ) ， 1 } = 1 min { α i ( B + ) ， 1 } ， 及 1 1 − u j ( B D + ) ⋅ q j ( B D + ) ≤ b j j b j j − ∑ k = j + 1 n | b j k | ⋅ q j ( B + ) = b j j α j ( B + ) . 则 ‖ ( B D + ) − 1 ‖ ∞ ≤ max { 1 min { α 1 ( B + ) ， 1 } + ∑ i = 2 n [ 1 min { α i ( B + ) ， 1 } ⋅ ∏ j = 1 n b j j ⋅ u j ( B + ) α i ( B + ) ] ， q 1 ( B + ) min { α 1 ( B + ) ， 1 } + ∑ i = 2 n [ q i ( B + ) min { α i ( B + ) ， 1 } ⋅ ∏ j = 1 i − 1 b j j α j ( B + ) ] } .(8) 由(7)式和(8)式可知，(6)式成立。