system: [SYSTEM]

user: 1. 引言 2005年，Lutwak，Yang和Zhang [ 1 ] 三人研究小组发表的一篇杰出的文章表明，对于给定的凸体K，存在着一族L p -John椭球 E p K ，使得经典的John椭球JK，Petty椭 [ 2 ] [ 3 ] 球以及最近发现的对偶Legendre椭球 Γ − 2 K [ 4 ] 都是这一族L p -John椭球 E p K 的特殊情况( p = ∞ ， p = 1 和 p = 2 )。这种把椭球统一起来的关键点是L p -John椭球 E p K 是给定凸体的L p -混合体积的极值问题的解 [ 1 ]：若K是 ℝ n 中包含原点为其内点的凸体， 0 < p ≤ ∞ ，在所有原点对称的椭球E中，满足极值问题 max E | E | 限制于 V ¯ p ( K ， E ) ≤ 1 的解的唯一椭球 E p K 称之为L p -John椭球；在所有原点对称的椭球E中，满足极值问题 min E V ¯ p ( K ， E ) 限制于 | E | = ω n 的解的唯一椭球 E ¯ p K 称之为K的规范化的L p -John椭球。这里 V ¯ p ( K ， E ) 表示K和E的L p -混合体积 [ 5 ]， | K | 表示K的n维体积， ω n 表示欧氏单位球 B 2 n 的n维体积。 另一个经典的结果(其根源来自于力学)可以表述如下：对于 ℝ n 中的凸体K，存在唯一的椭球使得这个椭球在每个方向上的运动惯量与K在相应方向上的运动惯量相同。这个椭球称为K的Legendre椭球 Γ − 2 K 。Legendre椭球是一个很重要的椭球，它与迷向位置的概念以及著名的截面问题紧密相关。 Yu，Leng和Wu [ 6 ] 提出了对偶L p -John椭球 E ˜ p K 的概念，证明了经典的Löwner椭球 J ˜ K 和Legendre椭球 Γ 2 K 都是对偶L p -John椭球 E ˜ p K 的特殊情况( p = ∞ 和 p = 2 )。这种把椭球统一起来的关键点是对偶L p -John椭球 E ˜ p K 是给定凸体的对偶L p -混合体积的极值问题的解 [ 6 ]：若K是 ℝ n 中包含原点为内点的凸体， 0 < p ≤ ∞ ，在所有原点对称的椭球E中，满足极值问题 max E ( ω n | E | ) 1 n 限制于 V ¯ − p ( K ， E ) ≤ 1 的解的唯一椭球 E ˜ p K 称之为K的对偶L p -John椭球；在所有原点对称的椭球E中，满足极值问题 min E V ¯ − p ( K ， E ) 限制于 | E | = ω n 的解的唯一椭球 E ˜ ¯ p K 称之为K的规范化的对偶L p -John椭球。这里 V ¯ − p ( K ， E ) 表示K和E的对偶调和L p -混合体积 [ 7 ]。 2010年，在两篇具有里程碑意义的文章 [ 8 ] [ 9 ] 中，Orlicz Brunn-Minkowski理论浮出了水面，这是Brunn-Minkowski理论的延续和发展。在文章中，Lutwak，Yang和Zhang建立了Orlicz Busemann-Petty质心不等式和Orlicz投影不等式。这个理论是基于L p -类非对称问题的解决基础之上的，L p -Brunn-Minkowski理论的非对称问题最早是由Lutwak [ 5 ] 提出来的，之后由Ludwig [ 10 ]，Haberl和Schuster [ 11 ] [ 12 ] 等人给出了补充和发展。作为L p -Minkowski问题的延续，偶的Orlicz Minkowski问题也被Haberl [ 13 ] 等人解决。虽然Orlicz Brunn-Minkowski理论研究的对象和Brunn-Minkowski理论相比范围扩大了，但我们从Lutwak，Yang和Zhang的工作可以看出，很多基本的性质还是保持了下来，比如仿射等周不等式，这也是我们研究Orlicz Brunn-Minkowski理论的目的所在。可以参考更多文献，如 [ 4 ] [ 14 ] - [ 23 ] 等。 作为L p -John椭球 E p K 和对偶L p -John椭球 E ˜ p K 的自然推广，最近，Du和Xiong [ 24 ] [ 25 ] 提出了Orlicz John椭球和对偶Orlicz John椭球(他们将后者称为Orlicz-Legendre椭球)的概念，并研究了其相应的特征性质，其结果丰富了Orlicz Brunn-Minkowski理论。文 [ 26 ] 也独立地研究了Orlicz John椭球。本文中，我们应用完全不同于文 [ 25 ] 的方法重新研究对偶Orlicz John椭球，解决其相应极值问题的存在性，唯一性和其特征表示。 事实上，一个凸体K的对偶Orlicz John椭球也是规范化的对偶Orlicz混合体积的相应极值问题的解。受Gruber和Schuster [ 27 ] [ 28 ] 工作的启发，我们将应用正定二次型的方法来解决与对偶Orlicz John椭球有关的极值问题的存在性、唯一性和其特征表示。这个方法的大致思路如下：对于 ℝ n 中的线性变换，在正交变换下可看成 ℝ 1 2 n ( n + 1 ) 中的向量，这就把极值问题转化成 ℝ 1 2 n ( n + 1 ) 中相应的锥的子集上的几何问题。于是对于最小位置问题，我们需要找到有公共切点的光滑的凸子集。这个公共切点就是相应的极值问题的解，使得凸集相切的条件就是解的极值特征。 假设函数 ϕ : [ 0 ， ∞ ) → [ 0 ， ∞ ) 是凸的、严格递增的且 ϕ ( 0 ) = 0 。这种 ϕ 的集合记为 C 。我们记 K n 为 ℝ n 中凸体的集合，并记 K o n 为包含原点为其内点的凸体的集合。下面关于两个星体的规范化对偶Orlicz混合体积的概念与已有文献 [ 22 ] [ 29 ] 的定义有所不同。 定义1.1：定义泛函 V ¯ − ϕ ( ⋅ ， ⋅ ) : S o n × S o n → [ 0 ， ∞ ) 为 V ¯ − ϕ ( K ， L ) = inf { λ > 0 : 1 n | K | ∫ S n − 1 ϕ ( ρ K ( u ) λ ρ L ( u ) ) ρ K n ( u ) d S ( u ) ≤ 1 } ， 其中 S o n 表示 ℝ n 中所有包含原点为其内点的星体的集合， K ， L ∈ S o n ，且 ρ K ( ⋅ ) ， ρ L ( ⋅ ) 分别为它们的径向函数。 V ¯ − ϕ ( K ， L ) 可以看作是K和L的规范化的对偶Orlicz混合体积。事实上， V ¯ − ϕ ( K ， L ) 是K和L的规范化的对偶调和L p -混合体积的推广。令 ϕ ( t ) = | t | p 且 p ∈ ( 0 ， ∞ ) ，则规范化的对偶调和L p -混合体积为 V ¯ − p ( K ， L ) = ( V − p ( K ， L ) | K | ) 1 p = ( 1 n | K | ∫ S n − 1 ( ρ K ( u ) ρ L ( u ) ) p ρ K n ( u ) d S ( u ) ) 1 p ; 对于 p = ∞ ，有 V ¯ − ∞ ( K ， L ) = max u ∈ S n − 1 ( ρ K ( u ) ρ L ( u ) ) . 值得指出的是，我们这里对 ϕ 的限制是凸的，也就是说，本文对对偶L p -John椭球的推广是对于 1 ≤ p ≤ ∞ 这个范围内的。 现在，我们考虑如下优化问题。 优化问题：若 ϕ ∈ C 以及 K ∈ K o n 。在所有原点对称的椭球中，找到一个椭球E是下面极值问题的解： max E ( ω n | E | ) 1 n 限制于 V ¯ − ϕ ( K ， E ) ≤ 1 ， ( S − ϕ ) 这个满足约束条件的最大化问题的椭球E称之为K的 S − ϕ 解。其对偶问题是： min E V ¯ − ϕ ( K ， E ) 限制于 | E | = ω n ， ( S ¯ − ϕ ) 这个满足约束条件的最小化问题的椭球E称之为K的 S ¯ − ϕ 解。 问题 S − ϕ (或 S ¯ − ϕ )的解的存在性可由Blaschke选择定理得到保证，我们将在第4节给出证明。 S − ϕ 和 S ¯ − ϕ 的解只差一个标量因子，即下面的引理1.1。 引理1.1：设 K ∈ K o n 。若 E 0 是一个关于原点对称的椭球，它是关于K的 S − ϕ 的解，则 ( ω n | E 0 | ) 1 n E 0 是一个关于K的 S ¯ − ϕ 的解。反之，若 E 1 是一个关于原点对称的椭球，它是关于K的 S ¯ − ϕ 的解，则 V ¯ − ϕ ( K ， E 1 ) E 1 是一个关于K的 S − ϕ 的解。 引理1.1的证明将在第4节给出。进一步，上面最优化问题的解及解的特征可以表述如下： 定理1.1：若 ϕ ∈ C 以及 K ∈ K o n ，那么 S − ϕ 和 S ¯ − ϕ 有唯一解，而且椭球E是 S − ϕ (或者 S ¯ − ϕ )的解当且仅当它满足 ρ E ∘ − 2 ( x ) = β n | K | V ¯ − ϕ ( K ， E ) ∫ S n − 1 ϕ ′ ( ρ K ( u ) ρ E ( u ) V ¯ − ϕ ( K ， E ) ) ρ E ( u ) ρ K n + 1 ( u ) 〈 x ， u 〉 2 d S ( u ) ， (1) 对于所有 x ∈ ℝ n 和适当的 β > 0 。其中 E ∘ 表示E的极体。 因此，解的存在唯一性允许我们提出如下定义。 定义1.2：若 ϕ ∈ C 以及 K ∈ K o n 。在所有关于原点对称的椭球E中，满足下列有约束最大化极值问题 max E ( ω n | E | ) 1 n 限制于 V ¯ − ϕ ( K ， E ) ≤ 1 的解的唯一椭球称为K的对偶Orlicz John椭球，且记为 E − ϕ K 。在所有原点对称的椭球E中，满足下列有约束最小化极值问题 min E V ¯ − ϕ ( K ， E ) 限制于 | E | = ω n 的解的唯一椭球称为K的规范化的对偶Orlicz John椭球，且记为 E ¯ − ϕ K 。