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user: 2. 基本理论和计算原理 2.1. 基本原理 软化桁架理论的基本假定为：构件中混凝土平均应力和平均应变分别服从莫尔应力和应变圆，且主应力与主应变方向一致；混凝土和钢筋应力应变曲线均采用软化的应力应变曲线，软化系数由主应变决定。根据开裂后裂缝方向是否变化分为变角软化桁架理论和定角软化桁架理论 [ 2 ]。 根据软化桁架模型，配有腹筋的梁在受剪时，先是混凝土沿倾角θ开裂，形成“混凝土斜压杆”。随着剪切荷载的增加，“混凝土斜压杆”中的主压应变ε n 逐渐增大，同时由于主拉应变ε t 的存在和增大，使得平均主压应力σ n 被“软化”。裂缝间纵向钢筋和竖向钢筋中的平均应力也逐渐增加。在梁发生受剪破坏之前，梁底纵向钢筋一般达不到屈服，否则在梁弯矩最大而剪力较小的截面将发生受弯破坏。然而，当斜裂缝处竖向钢筋(主要是箍筋)达到屈服后，箍筋对“混凝土斜压杆”的横向约束作用明显降低，主拉应变ε t 的增加显著，使得“混凝土斜压杆”的平均主压应力σ n 增长缓慢。当“混凝土斜压杆”的主压应力σ n 下降时，桁架模型中的斜向压杆软化失效，造成桁架内的荷载传递线路发生改变，箍筋的内力将急剧增加，同时斜裂缝将迅速增宽，使得裂缝处骨料咬合力急剧下降，梁沿斜裂缝断面发生错动，形成受剪破坏。因而，受剪破坏的控制条件应该是“混凝土斜压杆”平均主压应力σ n 达到最大值。将上述理论应用于高强细晶粒钢筋和纤维增强水泥基复合材料人防框架梁的受剪承载力计算，仍可通过截面平衡方程、变形协调方程和本构关系得到。为方便表述，本文将高强细晶粒钢筋简称为钢筋；纤维增强水泥基复合材料简称为水泥基材。 图1. 软化桁架模型图 2.2. 截面平衡方程 取弯剪区钢筋水泥基材软化桁架模型如图1，取斜截面中微元体进行分析，图2。在平面内应力—应变坐标变换中，x、y坐标为初始坐标，x方向和纵向钢筋方向一致，y方向和箍筋方向一致；n、t坐标为主应力方向坐标，n为主压应力，t为主拉应力。根据假定，作用在水泥基材微元体上的应力符合摩尔应力圆。若不考虑钢筋的销栓作用，即钢筋仅能抵抗轴向应力，钢筋水泥基材平面微元体的应力状态即等价于水泥基材应力状态与钢筋应力状态之和。 图2. 钢筋水泥基材平面微元体应力状态 根据以上微元体受力平衡原则，由水泥基材和钢筋的应力变换关系，即得软化桁架模型的三个平衡方程： { σ x = σ t sin 2 α + σ n cos 2 α + ρ x σ s x σ y = σ t cos 2 α + σ n sin 2 α + ρ y σ s y τ x y = ( σ n − σ t ) sin α ⋅ cos α (1) 式中：σ x 、σ y —x和y方向的正应力(受拉为正)；σ n 、σ t —n和t方向的主应力(受拉为正)；τ xy —x、y坐标系中的剪应力(图2所示为正方向)；α—n轴对x轴的倾角；ρ x 、ρ y —纵向非预应力钢筋、箍筋的配筋率；σ sx 、σ sy —纵向非预应力钢筋、箍筋的应力。 2.3. 变形协调方程 根据假定，钢筋应变与水泥基材应变协调，且水泥基材单元中的应力σ x 、σ y 、τ xy 相对应的应变ε x 、ε y 、γ xy 符合Mohr应变圆，从而可得桁架模型的三个变形协调方程： { ε x = ε t sin 2 α + ε n cos 2 α ε y = ε t cos 2 α + ε n sin 2 α γ x y = ( ε n − ε t ) sin α ⋅ cos α (2) 式中：ε x 、ε y —x和y方向的正应变(受拉为正)；ε n 、ε t —n和t方向的主应变(受拉为正)；γ xy —x、y坐标系中的剪应变(图2所示为正方向)；α—n轴对x轴的倾角。 2.4. 材料本构关系 FRCC受压区应力—应变分段曲线为 [ 3 ] ： σ c f = { f c f [ α 1 ξ + ( 3 − 2 α 1 ) ξ 2 + ( α 1 − 2 ) ξ 3 ]       ε c f ≤ ε 0 c f f c f ξ α 2 ( ξ − 1 ) 2 + ξ                                       ε c f > ε 0 c f (3) 式中， ξ = ε c f / ε 0 c f ， α 1 = E 0 / E p ；E 0 为初始弹模，E p 为峰值弹模；f cf 为FRCC的抗压强度；ε 0cf 为FRCC的峰值压应变；σ cf 和ε cf 分别为FRCC在任意点的压应力和压应变。 通过试验数据的统计分析，可以得出 α 2 = 0.29 f c p 0.78 + 0.42 ，α 2 为反映水泥基材塑性和脆性的参数，通过变化α 1 、α 2 两个参数的值可以得到不同强度等级、不同材料水泥基材的应力—应变曲线，这样，就有可能利用既有的普通混凝土的本构关系将FRCC的本构关系构造出来，α 1 一般可以直接给出，而α 2 需要利用模型公式，根据实测曲线数据用最小二乘法计算求出，对FRCC而言，这两个参数和纤维品种、纤维掺量和材料配合比相关。这时，已将重新建立FRCC本构关系的问题转化为对特定混凝土本构方程中有关参数及关键指标的研究，从而提出符合FRCC受力特点的参数或指标的问题。 同样的，对抗拉试验，可采用的分段拟合曲线方程为 [ 3 ] ： σ t f = { f t f ( α 0 + α 1 ξ + α 6 ξ 6 )       ε t f ≤ ε 0 t f f t f ξ α t ( ξ − 1 ) β + ξ         ε t f > ε 0 t f (4) 上式中， ξ = ε t f / ε 0 t f ， f t f 为FRCC的抗拉强度；ε 0tf 为FRCC的峰值拉应变；σ tf 和ε tf 分别为FRCC在任意点的拉应力和拉应变；指数β一般可取为1.8，α t 根据实测曲线数据用最小二乘法计算求出， α t f = 0.44 f t f 2 。由于对于上升段，需要满足边界条件为：x = 0时，y = 0和dy/dx = E 0 /E p ；x = 1时，y = 1和dy/dx = 0；对于下降段，需要满足边界条件为：x = 1时，y = 1和dy/dx = 0；x→∞时，y→0和dy/dx→∞；通过联立方程组，可以求出α 0 、α 1 、α 6 的值。 目前尚无针对水泥基材材料受双向应力状态时软化特征方面的研究，但可以将软化系数ψ引入(3)式，将上述试验得到的受压区本构关系乘以软化系数ψ，从而构造出具有软化特征的水泥基材本构模型： σ n = { ψ f c p [ α 1 ξ + ( 3 − 2 α 1 ) ξ 2 + ( α 1 − 2 ) ξ 3 ]     ε ≤ ψ ε 0 ψ f c p ξ α 2 ( ξ − 1 ) 2 + ξ                                 ε > ψ ε 0 (5) 上式中，ψ—软化系数， ψ = 0.9 ( 1 + 400 ε t ) − 0.5 。 2.5. 剪跨区内微元体的应力 根据假定，剪应力在正截面上平均分布，对于矩形截面有： τ x y = Q b h 0 (6) 竖向正应力σ y 是由荷载与支座反力的联合作用或两者的局部作用产生的。对于集中荷载作用的人防框架梁，剪跨比较小时，上部荷载和反力的联合作用导致水平轴上有很大的横向压应力，这些应力和弯曲正应力及剪应力的联合作用在腹板中形成复杂的应力状态。根据文献分析 [ 2 ]，σ t 与外荷载Q成正比，与剪应力τ xy 的关系，可用比例常数k 1 确定。 当 a / h ≤ 0.5 时， k 1 = 2 d c h ；当 0.5 < a / h ≤ 2 时， k 1 = d c h ( 4 h 3 a − 2 3 ) ；当 a / h > 2 时， k 1 = 0 。 在计算竖向正应力σ y 时，还需考虑荷载或者反力的局部作用。该应力的实际分布情况非常复杂。根据文献 [ 2 ] 分析，可按下述方法近似计算。 k 2 = d c 2 h ( 1 − 0.3 λ h 0 h ) (7) 总的来说，σ y 可用剪应力τ xy 与某一比例常数k乘积决定，即： σ y = k τ x y (8) 对于人防框架梁，弯矩对截面纵向应力的影响不可忽视，应考虑剪跨比的影响，根据软化桁架理论的基本假设，引用平截面假定，首先确定截面的平均纵向应变ε x ，以代表σ x 的作用。由于腹板的平均纵向应变为： ε x = 1 2 ( ε a + ε b ) (9) 式中：ε a —桁架上弦杆的应变；ε b —桁架下弦杆的应变。 σ x = E ε x = E 2 ( ε a + ε b ) (10)