DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 摘 要 股权结构是上市公司治理结构的重要组成部分，合理的股权结构能够有效地提高公司的管理决策水平，提高公司绩效。本文选择我国金融、保险业上市公司为样本，研究股权结构与公司绩效在金融保险行业的特点。实证结果表明加强金融和保险业上市公司的股权集中度有利于提高绩效水平，该结果对优化金融和保险行业上市公司股权结构有积极的指导意义。 关键词 :股权结构，公司绩效，金融保险业 Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 研究背景 随着经济的发展以及生产力的进步，公司的规模日益扩大，企业的管理也变得越来越复杂。股份制公司在一定程度上满足了发展的需求，但股份制也并不是尽善尽美的，也有其问题存在。股份制公司的所有者和经营者利益并不一致，这样就存在了相互侵害的可能。因此，公司的股权结构与公司绩效间的关系就成了很多学者研究的课题。 由于历史原因，我国的上市公司的股权结构被分为流通股和非流通股并存。其中非流通股主要由国家或法人持有，经常出现“一股独大”的情况。虽然股权的相对集中能够在一定程度上加强股东对企业管理层的监督，但由于股东间的信息不对称，大股东为了自身利益，侵害中小股东的情况屡见不鲜。很多学者认为，股权的高度集中，是我国上市公司治理机制的一大弊病。但事实是否真的如此呢？Berle和Means [ 1 ] 在其文章中提出：当公司的股权分散时，管理层由于缺少监督，会优先考虑自身利益最大化而非企业绩效最大，因此导致股权分散对公司绩效的负效用。Morck等 [ 2 ] 讨论了管理者所有权和公司绩效的关系，并指出托宾Q值与管理者持股比例之间是N字形的分段线性关系。McConnell等 [ 3 ] 的研究认为托宾Q值与股权结构之间存在显著的倒U型曲线关系。Claessens等 [ 4 ] 认为，公司价值会随着大股东现金持股比例增加而增加，但当大股东权力超过其现金持股比例时，公司价值会下降。Bae等 [ 5 ] 研究了危机期间和经济复苏期间，控股股东的征用激励效应，证实了公司治理和公司价值之间是有关联的。上市公司形成前几大股东持股比相当的股权结构，一定意义上是有助于股东间的相互制约与监督，抑制大股东对中小股东的侵害，有效提高公司绩效与股东权益 [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] 。 我国学者对于公司股权结构与公司绩效的关系研究始于上世纪90年代末。孙永祥和黄祖辉 [ 9 ] 选择沪深证券交易所的503家企业1998年的数据做样本，实证结果显示：公司的股权相对集中和大股东间能够形成制衡多对公司的绩效有促进作用。厉以宁 [ 10 ] 、黄渝祥 [ 11 ] 等(2003)的研究也支持股权制衡可以改善公司绩效，但国内有其他学者提出了不同观点。如，朱红军等 [ 12 ] 对宏智科技股份有限公司的股权结构进行案例分析，认为目前我国民营上市公司采取制衡的股权结构并不一定能够提高公司绩效，“一股独大”反而更有效率。 通过对国内外学者对公司股权结构及公司绩效研究的总结与梳理，可见关于股权结构与公司绩效关系的研究依然未能取得一致结果。这可能与样本选取、体制因素等客观原因有关。本文以我国金融、保险行业为样本，尝试研究该行业上市公司的股权结构与公司绩效的关系。
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user: 2. 研究设计 一般上市公司的第一大股东即控股股东，对公司的经营决策有一定的控制力，若没有其他股东可以对其形成有效的监督与制约，则很可能会出现控股股东侵占中小股东利益，影响公司绩效等情况。所以，若存在股权达到一定比例的第二大股东或更多大股东能够与控股股东兴城股权制衡，则可以很好的起到对控股股东的监督作用。这种监督，可以减少第一大股东对公司及中小股东利益的侵占，使其重心转移到提升公司整体绩效，共享收益。基于上文总结的研究成果及分析，本文提出以下假设： 假设1 (H1)：拥有持股超过10%的制衡股东有利于改善公司业绩。 假设2 (H2)：第二大股东的持股比例与公司绩效成正相关关系。 假设3 (H3)：控股股东与第二大股东的持股份额之差与公司绩效成正相关关系。 假设4 (H4)：公司制衡股东的个数与公司绩效成正相关关系。 根据研究分析需要，将模型中的变量定义为：解释变量、被解释变量和控制变量三类。 2.1. 解释变量 解释变量主要为反应公司的股权结构的指标，为了验证本文提出的四点假设，将从3个方面反应公司的股权结构。 ①第二大股东持股比例(X 1 )，反应公司第二大股东持股份额与公司所有股份的比例。X 1 越大表明该股东对公司的运营影响越大。 ②制衡股东个数(X 2 )，即持有公司股份10%以上的股东的个数。X 2 = 1表示公司内部没有能够对控股股东产生制衡效应的股东。 ③第一、二大股东持股比例差(X 3 )，即第一大股东持股份额减掉第二大股东的和持股份额之后除以总股数得到的值。X 3 越小表示两股东持股比例约接近。 2.2. 被解释变量 被解释变量即可以反映公司绩效的指标，传统的衡量指标有总资产收益率、净资产收益率、EPS等，本文选择会计业绩指标：总资产收益率(Y)来衡量公司绩效，作为被解释变量。 Y = 净 利 润 平 均 总 资 产 ∗ 100 % (1) 平 均 总 资 产 = 起 初 总 资 产 + 期 末 总 资 产 2 (2) 净资产收益率(ROE)虽然是国际通用指标，但在我国，由于证监会将其作为上市公司的考核指标，所以存在较严重的对该指标进行盈余管理的现象，而总资产收益率(ROA)具有一定的不可操作性，尽量缩小企业盈余管理的空间。 2.3. 控制变量 为了消除其他影响公司业绩的因素干扰本次研究的结论，本文引入以下三个变量作为控制变量，来尽量减小非股权结构的其他因素对结果的影响。 ①公司规模(S)，本文以公司的期初总资产的自然对数来定义公司规模，表示规模效应对公司业绩的影响。 S = Ln ( 公 司 期 初 总 资 产 ) (3) 随着公司规模的扩大，其充足的资金量，大范围的网络布局都可以帮助公司树立良好的公司形象，在同行业竞争中取得优势以获得更多利润，所以公司的规模是影响其绩效的一个因素。 ②公司成长能力(G)，用公司净利润增长率来表示。 G = 本 期 利 润 − 上 期 利 润 上 期 利 润 ∗ 100 % (4) 在资本市场中，净利润的增长率越高，表示期盈利能力在增长，企业成长性越强。由此，可以带来良好的口碑，市场对其预期约好，因而能够带来良好的绩效表现。因此，公司的成长性也是影响公司绩效的因素之一。 ③财务杠杆(L)，以公司的资产负债率来衡量。反应公司的资本结构和偿债能力。 L = 总 负 债 总 资 产 ∗ 100 % (5) 2.4. 内生性检验 股权结构本身可能是公司特性所决定的，即其可能是一个内生变量，因此在研究股权结构和公司绩效关系时，应用OLS方法估计参数会产生偏差。本文参考Lin等 [ 13 ] 和Petersen [ 14 ] 的研究，分别以总资产收益率(Y)、第二大股东持股比例(X 1 )、制衡股东个数(X 2 )、第一、二大股东持股比例差(X 3 )为因变量建立联立方程组，应用两阶段最小二乘法(Two -stage least squares， 2SLS)进行模型参数估计 [ 15 ] ，并引入两个工具变量： ①Ａ股比例IS：定义为流通中Ａ股数量占公司总股本的比值。 ②归一化每股收益IY：定义为每股收益与年末收盘价之比。
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user: 3. 数据说明 由于本文目的在于研究公司股权制衡与公司绩效间的相关关系，所以采用截面数据，运用回归分析的方法，来验证前面提出的假设。 由于传统的研究大都以所有上市公司为样本，不能很好的反应特殊行业的行业特点，所以本文以金融保险也得上市公司为样本，研究该行业的特性，以为日后相关研究及个人发展做准备。本文所采集的样本为中国证监会公布的《上市行业分类指引》中被定义为金融保险也得31家上市公司。 由于公司数量较少，统计误差较大，本文选取各公司2009~2011年三年间的数据进行分析，为避免其他因素对研究结果的干扰，我们选择剔除ST的公司、剔除数据不完整的公司、剔除没有持股超过10%的股东的公司。最终筛选出的样本数据共62组。样本数据均采自公司的财务报表，数据统计处理软件选用Microsoft Excel 2010和SPSS19.0。
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user: 4. 实证分析 4.1. 描述性分析 本文首先对所有数据进行了描述性统计，结果如下： ①第二大股东持股份额均值为15.66%，最小值1.33%，最大值39.21%，差距较大，其在企业内的影响力差距也会较大，这就为我们的研究提供了很好的样本。 ②持股份额超过10%的股东个数从1个到4个不等，即存在无制衡股东的公司又存在有多个制衡股东的公司，这为我们进一步验证假设2提供了良好的数据。 ③第一、二大股东的持股份额差的均值为16.08%，差距较大，表明控股股东掌握着公司的大部分股权。 ④从总资产收益率来看，最小值为6.35%，最大值达到245.37%，均值为27.32%。这表明我国金融、保险行业发展快速，有很高的收益效率。 4.2. 均值检验 为了对假设1进行验证，本文以X 1 是否超过10%为标准，经样本分为两组，对其进行独立样本T检验，验证这两组的总资产收益率Y是否有显著差异。检验结果如表1所示。 由表1统计结果发现，X 1 小于10%的样本，其总资产收益率高于X 1 大于等于10%的样本，且由表1可以看出其通过显著性检验。由此我们可以得出公司第二大股东持股数不大于10%有利于改善公司业绩，这一结果否定了假设1。即在我国金融、保险业并不和其他行业一样，当拥有持股超过10%的股东可以提高公司绩效。这体现了该行业的特殊性，即第一大股东“一股独大”更有利于金融、保险业上市公司运营，以提高其绩效。 4.3. 多元回归分析 为验证假设2、3、4，我们对样本数据进行线性回归分析，建立基础外生模型；然后采用Hausman (1978)提出的方法对股权结构变量进行内生性检验，得到Y的残差系数为−0.029，其t值为−4.376，说明其在0.01的水平上显著，即股权结构存在显著的内生性问题。进而分别建立四个内生性方程，并利用两阶段最小二乘方法(2SLS)进行参数估计，其结果如表2所示。 基础模型回归的结果来看，X 1 ，X 2 ，L均未通过显著性检验，即公司第二大股东的持股份额与公司绩效并非正向相关关系，也就是说，第二大股东的持股份额的增加并不能改善公司绩效，提升公司价值。而制衡股东的数量的增加，也不能够提升公司绩效。前文提出的假设2、4没有得到肯定。X 3 的回归系数通过了显著性检验，但其回归系数为正值，即公司第一、二大股东的持股份额差与公司绩效成正相关关系，支持了本文假设3。即表示第一、二大股东持股份额相差越多，公司绩效水平越高。从内生性模型的结果来看，一方面证明股权结构和公司绩效的相互作用是存在的，同时第二大股东持股比例(X 1 )和制衡股东个数(X 2 )的系数并不显著，只有第一、二大股东持股比例差(X 3 )的作用是显著的，这与基础模型的结果基本一致。 三个控制变量的回归结果与同类文章的结果答题一致，G和S均通过显著性检验，而财务杠杆并未通过显著性检验。其中，S即公司规模的回归系数为负，表示总资产收益率与公司规模是负相关的。表 Table 1 Hypothesis test of ownership share rati X1 N 均值 标准差 标准误差均值 Y 大于等于10% 43 20.0832% 18.2698% 2.7861 小于10% 19 43.6835% 55.2661% 12.6789 方差Levene检验 均值t检验 F Sig. t df Sig. Y 假设方差相等 7.787 0.007 −2.526 60 0.014 假设方差不等 −1.818 19.761 0.044 表1. 股权占比假设检验 Table 2 Regression result 模型 OLS 2SLS Y Y X 1 X 2 X 3 常量 76.009 *** (0.000) 70.055 *** (0.004) 1.478 *** (0.000) 3.235 *** (0.000) 1.221 *** (0.000) Y 1.272 (0.061) 0.985 (0.105) 0.535 ** (0.002) X1 0.307 (0.489) 0.287 (0.687) −0.831 (0.176) −0.062 (0.013) X2 −1.241 (0.805) −1.290 (0.248) −0.062 ** (0.006) 0.296 (0.030) X3 0.431 ** (0.037) 0.811 (0.004) 0.296 ** (0.013) −1.653 ** (0.011) S −8.755 *** (0.000) −6.293 (0.000) −3.209 (0.329) 4.562 (0.301) −3.209 (0.329) G 4.645 ** (0.029) 3.105 (0.030) 2.342 ** (0.018) −3.212 ** (0.012) 2.342 ** (0.018) L −8.847 (0.660) −9.059 (0.510) −5.132 ** (0.029) 5.325 ** (0.031) −5.132 ** (0.029) IS 1.959 ** (0.001) 0.876 (0.831) 0.963 (0.532) 0.876 (0.082) IY −0.013 *** (0.000) −0.020 *** (0.001) 0.021 *** (0.000) −0.020 *** (0.000) Prob > F 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 Adj-R 2 0.237 0.151 0.013 0.291 0.059 表2. 回归结果 示公司规模越大，其利润率越低，反而是资本量较小的公司更加灵活，能够取得更高的收益率。而G代表的公司成长性的回归系数为正，表示其与公司总资产收益率正向相关，公司的成长性越好，其公司绩效水平越高。经分析，我们认为其原因在于：若公司内存在制衡股权结构，有多个大股东对公司决策同时存在较强的影响力，当大股东间存在利益冲突或产生纠纷时，则大股东间的相互制约将会导致公司内部决策效率降低，错失机会，影响公司业绩。金融、保险业公司则是公司规模越小，公司运营越灵活，能够取得更高的收益率。公司规模越大，其投资越加分散，而小规模企业只能够将其业务专注于相对少量的业务，而此业务若能够有较高回报，则收益率将会很高。
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user: 5. 结论与展望 本文对我国金融、保险行业上市公司其股权结构对公司绩效的影响进行了研究，实证结果表明在我国金融、保险行业的上市公司里，第二大股东持股比例不超过10%的公司绩效水平显著优于第二大股东持股比超过10%的上市公司，且第一大股东与第二大股东持股比例差距越大，公司绩效水平越高，反之越低，即该差额对公司绩效水平起正效用。这说明在金融、保险行业中，第一大股东“一股独大”更有利于提升公司整体绩效水平，而若出现制衡股东则会使绩效水平降低。第一大股东对公司持有绝对优势比例的股票，有助于提高其对公司整体的掌控能力，更大程度地控制与影响公司的运营与决策。有利于公司战略层面的同一与执行，有利于公司绩效水平的提高。因此，本文的研究结论对我国金融、保险行业的公司治理具有积极的参考意义，有助于其优化股权结构设计，从而提高公司绩效水平。
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user: 摘 要 本文主要通过新消元法来对勾股定理进行机械化证明，这里的机械化证明是可以通过电脑编程进行的，这种方法也是首次的(即不同于吴方法的一种方法)，同时在对本文进行证明后，希望本文可以引发后续的初等几何机械化证明的持续性工作。 关键词 :新消元法 Copyright © 2018 by author and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 Tarski在1948年的一篇经典著作 [ 1 ] 中，解决了闭实数域的判定问题，其主要目的之一，是给出初等几何的机械化证明。以后Seidenberg [ 2 ] ，Robinson [ 3 ] 与Cohen [ 4 ] 等人又给出了Tarski定理的不同证法。同时这些作者也给出了初等几何定理机械化证明的一些建议，但这些建议离真正的机械化证明甚远，最终由中国科学家吴文俊院士在1977年文献 [ 5 ] 中给出了一种初等几何定理机械化证明的一种设计方法——吴方法。吴方法主要是引进笛卡尔直角坐标系，即引进坐标，然后代数化，这里条件和结论都进行代数化，即用条件代数方程组去推出结论代数方程式，从而对命题判断真伪。这里条件代数方程组运用的是吴文俊消元法进行得出结论代数方程式，从而实现定理的机械化证明。2014年初周亚南在文献 [ 6 ] 中发明了一种新的消元法，从而试想用这种新的消元法对定理的机械化证明一个大的改进，使机械化证明不在单一化，而是多元化，不仅仅世上仅存吴方法。而周亚南在文献 [ 7 ] 的论述与一些猜想和问题更使我们认为定理的机械化证明可以用新的消元法来实现。当然，这里同样离不开笛卡尔直角坐标系，同样需要对线段的长度，以及垂直关系，平行关系，相等关系等进行代数化，这里由于在文献 [ 5 ] 中吴文俊院士已经给出，我们这里省略，需要者可以查阅文献 [ 5 ] 。还有是否能够用吴方法或者本文的消元技术对文献 [ 8 ] 进行数学的机械化证明，当然如果能够对文献 [ 8 ] 进行定理的机械化证明这将是科学的一大进步。最后，能否将本文的方法推广到数学的其他科目上面，比如微分几何定理的机械化证明，对于文献 [ 6 ] 中的消元技术能否应用到代数几何以及曲面造型等上面等，由于篇幅原因，本文作者仅给出一个例子，即勾股定理的机械化证明，希望读者群体敬请谅解。
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user: 2. 命题与一些必要的条件和结论 2.1. 命题 设△ABC，∠C为直角，AC、BC为直角边，AB为斜边，则下面的结论成立： (1)结论 2.2. 条件 首先将直角三角形ABC放入笛卡尔直角直角坐标系中，这里有一个特殊要求三角形三个顶点不在笛卡尔直角直角坐标系的两坐标轴上面，那么引入坐标 ，由坐标及文献 [ 5 ] 可以知道下面的代数式子成立： A B 2 = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 (2)条件 A C 2 = ( x 3 − x 1 ) 2 + ( y 3 − y 1 ) 2 (3)条件 (4)条件 ( y 3 − y 2 ) ( y 3 − y 1 ) + ( x 3 − x 2 ) ( x 3 − x 1 ) = 0 (5)条件 对条件(2) (3) (4) (5)进行整理可以得到下面的条件式子 A B 2 = x 1 2 + x 2 2 + y 1 2 + y 2 2 − 2 x 1 x 2 − 2 y 1 y 2 (2a)变形条件 A C 2 = x 1 2 + x 3 2 + y 1 2 + y 3 2 − 2 x 1 x 3 − 2 y 1 y 3 (3a)变形条件 B C 2 = x 2 2 + x 3 2 + y 2 2 + y 3 2 − 2 x 2 x 3 − 2 y 2 y 3 (4a)变形条件 y 3 2 + y 1 y 2 + x 3 2 + x 1 x 2 − y 1 y 3 − y 2 y 3 − x 1 x 3 − x 2 x 3 = 0 (5a)变形条件 在这里为了得到变形条件，同时运用文献 [ 6 ] 中的消元法，我们保持其AB、AC、BC不变，对未知量 x 1 ， x 2 ， x 3 ， y 1 ， y 2 ， y 3 进行消元技术，这里我们给出下面的消元关系： x 1 = r 1 y 3 ， x 2 = r 2 y 3 ， x 3 = r 3 y 3 ， y 1 = r 4 y 3 ， y 2 = r 5 y 3 (6) 将(6)式代入(2a) (3a) (4a) (5a)并进行新的消元法得到下面的关系式 A B 2 A C 2 = r 1 2 + r 2 2 + r 4 2 + r 5 2 − 2 r 1 r 2 − 2 r 4 r 5 r 1 2 + r 3 2 + r 4 2 + 1 − 2 r 1 r 3 − 2 r 4 (7) A B 2 B C 2 = r 1 2 + r 2 2 + r 4 2 + r 5 2 − 2 r 1 r 2 − 2 r 4 r 5 r 2 2 + r 3 2 + r 5 2 + 1 − 2 r 2 r 3 − 2 r 2 (8) 1 + r 4 r 5 + r 3 2 + r 1 r 2 − r 4 − r 5 − r 1 r 3 − r 2 r 3 = 0 (9) 可知变形条件经过新消元法第一次消元后变成了(7) (8) (9)这样的方程式，同样联立(7) (8) (9)这样的方程式得到一个新的方程组，这个方程组再次进行新消元，其消元关系如下： (10) 将(10)代入方程式(7) (8) (9)并经过新消元后将得到下面的方程式 A B 2 ( q 3 − q 4 ) r 1 = A B 2 + A B 2 q 3 2 − A B 2 q 2 − A C 2 q 1 2 − A C 2 − A C 2 q 3 2 − A C 2 q 4 2     + 2 A C 2 q 1 + 2 A C 2 q 3 q 4 − A B 2 q 1 − A B 2 q 3 q 4 + A B 2 q 1 q 2 (11) A B 2 ( q 4 − q 3 ) r 1 = A B 2 q 1 2 + A B 2 q 4 2 − A B 2 q 3 q 4 − B C 2 − B C 2 q 1 2 − B C 2 q 3 2 − B C 2 q 4 2     + 2 B C 2 q 1 + 2 B C 2 q 3 q 4 − A B 2 q 1 − A B 2 q 2 q 3 + A B 2 q 2 (12) 在这里联立(11) (12)可以得到结论方程式(1)，即所要证明的勾股定理，至此定理证明完毕。
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user: 3. 另一种证明方法 在这里仅是讲述一下如何证明，但不做式子上的证明，对于变形式子(2a) (3a) (4a) (5a)，将(3a) (4a)两边同时相加，再由式子(5a)可以得到式子(2a)，进而得到结论方程式。
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user: 4. 一个悖论性问题 在本文中，我们主要证明勾股定理，这里有一个问题，线段AB，AC，BC的长度是怎么算出来的或者满足某种关系，这里的关系是否为勾股定理，若用的是勾股定理。那么，在本文的证明中将是一个悖论性问题，同样对于吴方法也是一个悖论性问题。用勾股定理证明勾股定理，这对于初等几何将是一个很有名的悖论难题。
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user: 5. 勾股定理的一个延伸 在这里我们将给出一个新型的勾股定理，当然证明是初等的，我们的目的是希望能有人给出这个新型的勾股定理的机械化证明，如下： 已知：如图1，半径为R的圆，内接三角形为ABC，∠A、∠B所对的边分别为边a，b。现使a边固 图1. 半径为R的圆 定不动，边a，b上的高AD，BE交于点O。 求证： O A 2 + a 2 = ( 2 R ) 2 证明：我们使 A B = c ， B C = a ， A C = b ，在直角三角形AEB中，我们可以得到下面的关系式： A E 2 = A B 2 − B E 2 = c 2 − ( 2 s b ) 2 (5.1) A D = 2 S a (5.2) 又因为三角形AOD相似于三角形ACD，所以我们可以得到下面的式子 A E A D = O A A C (5.3) 所以： O A = A E A D A D = c 2 − ( 2 S b ) 2 2 S a b = a b c 2 − ( 2 S b ) 2 2 S (5.4) 由四式我们可以得到下面的式子 (5.5) 又因为 sin A = 2 S b c (5.6) 所以： a sin A = a b c 2 S (5.7) 又因为： (5.8) 由(5.5) (5.7) (5.8)我们可以得到我们所要的 O A 2 + a 2 = ( 2 R ) 2 证毕。
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user: 摘 要 根据向量调度问题和带等级约束的任务调度问题，我们提出了带等级约束的多维任务调度问题。我们首先设计了一个5 d/4-近似算法。然后，我们给出一个动态规划算法和一个完全多项式时间近似方案。 关键词 :向量调度，动态规划，服务等级，近似算法 Copyright © 2018 by author and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 向量调度问题是经典的完工时间最小化问题的推广。一般来说，向量调度问题是将n个d-维向量分配给m台机器以使得所有机器、所有维数的最大负载尽可能小。在文 [ 1 ] 中，由于Graham创造性的工作，单维负载均衡问题被广泛的研究。然而在许多问题中，一项任务可能需要不同的资源来完成，因此任务就无法用单一的量来度量。例如，如果一项任务同时需要CPU和内存，任务的需求最好用一个2-维向量来刻画，向量的每个分量对应一种资源的数目。 Chekuri和Khanna [ 2 ] 首次提出向量调度问题，算法调度d-维工件给机器加工以使得所有机器、所有维数的最大负载尽可能小。当d是任意常数时，除非 P = N P ，Chekuri和Khanna证明向量调度问题不能在常数因子内近似。此外，他们 [ 2 ] 设计了一个 O ( ln 2 d ) -近似算法。当d是固定常数时，他们提出了一个运行时间为 ( n d / ε ) O ( ( ln ( d / ε ) ε ) d ) 的多项式时间近似方案(PTAS)。最近，Bansal等人 [ 3 ] 在 exp ( ( 1 / ε ) O ( d log log d ) ) + n d 时间内设计了一个有效的多项式时间近似方案(EPTAS)。 对于在线向量调度问题，Zhu等人 [ 4 ] 提出了一个竞争比为 O ( log d m ) 的在线算法。Meyerson等人 [ 5 ] 改进了文 [ 4 ] 中的算法，而且得到了一个 O ( log d ) -近似算法。通过给出一个在线下界，Im等人 [ 6 ] 证明 Θ ( log d / log log d ) 是在线向量调度问题的最优竞争比。 对于经典的带等级约束的离线调度问题，当机器台数m为固定常数时，Hwang等人在文 [ 7 ] 证明了LG-LPT算法的近似比：当 m = 2 时为5/4，当 m ≥ 3 时为 2 − 1 / ( m − 1 ) 。在2007年，Glass和Kellerer在文 [ 8 ] 对离线排序问题的特殊情形：当任务的加工时间只能是1或者 λ 时，证明了近似比趋于 。当任务的加工时间无限制时，他们给出了一个3/2-近似算法。Ou等人在文 [ 9 ] 给出了一个4/3-近似算法同时设计了一个多项式时间近似方案。Li等人在文 [ 10 ] 中对 l p 范数下具有等级约束的问题进行研究，并给出了一个基于线性规划解的全范数2-近似算法。 近年来，许多研究人员开始关注云计算中的资源分配问题。Liu等人在文 [ 11 ] 研究了异构物理机环境下的资源管理问题。云供应商给物理机提供异构资源，资源种类分别为CPU，存储，硬盘大小等。在实际问题中，为了提高异构资源的利用效率，一些异构资源只能分配给一些特定的物理机。受Liu等人的启发，结合文 [ 2 ] 和 [ 7 ] 的创作思想，我们提出一种新的调度模型：带等级约束的多维任务调度问题。在这里，每个多维任务和每台机器都有一个等级，我们需要把每个多维任务调度到等级不高于它的机器上加工。目标是最小化所有机器、所有维数的最大负载。明显地，当 d = 1 时，带等级约束的多维任务调度问题就是经典的带等级约束的平行机调度问题。在本文，我们研究两台平行机上带等级约束的多维任务调度问题。为了便于分析，我们把这个问题简记为 P 2 | G o S ， V C | C max 。
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user: 2. 预备知识 对于 P 2 | G o S ， V C | C max 问题，给定实例 I = ( M ， J ， p ， g ) 。集合 M = { M 1 ， M 2 } 包含两台平行机。集合 J = { J 1 ， J 2 ， ⋯ ， J n } 包含n项任务。每一项任务 J j 对应一个d-维向量 p j = ( p j 1 ， p j 2 ， ⋯ ， p j d ) 。在这里，我们要求 p j k 是整数。 g ( J j ) 是任务 J j 的等级，机器 M i 也有一个等级 g ( M i ) 。当 g ( J j ) ≥ g ( M i ) 时，任务 J j 可以在机器 M i 上加工。任务 J j 到达后即可开始加工，加工过程不可中断而且每项任务只需加工一次。把n项任务分配给两台机器加工，我们可以得到任务集J的一个划分 ( S 1 ， S 2 ) 。在这里，我们令 P i = max k ∑ J j ∈ S i p j k ( i = 1 ， 2 ; k = 1 ， ⋯ ， d ) 。对于 P 2 | G O S ， V C | C max 问题，我们的目标是使 max i P i 最小，也就是使所有机器、所有维数的最大负载尽可能小。 为了理解问题 P 2 | G O S ， V C | C max 。我们给出一个例子：给定两台机器M 1 和M 2 ，它们的等级分别为1和2。3个任务 J 1 = ( 3 ， 1 ， 1 ) T 、 J 2 = ( 3 ， 2 ， 5 ) T 、 J 3 = ( 1 ， 0 ， 1 ) T ，工件的等级分别是1，2，2。对于这个实例，最优的分配方案是把任务 J 1 和 J 3 分配给机器M 1 ，任务 J 2 分配给机器M 2 ，最优方案对应的最优值是5。 在实例I的基础上，我们构造实例 I ^ = ( M ， J ， p ^ ， g ) 。实例I与实例 I ^ 的差别是特征p与 p ^ ：在实例I中，任务 J j 对应一个d-维向量 p j = ( p j 1 ， p j 2 ， ⋯ ， p j d ) T 。在实例 I ^ 中，任务 J j 对应一个1维向量 p ^ j = ∑ k = 1 d p j k 。对应于实例I的目标函数，因为实例 I ^ 的每项任务对应一个1维向量，所以实例 I ^ 的目标是使 max i ( ∑ J j ∈ S i p ^ j ) ( i = 1 ， 2 ) 最小。
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user: 3. 5 d 4 -近似算法 对于实例 I ^ = ( M ， J ， p ^ ， g ) ，调用文 [ 7 ] 的LG-LPT算法，我们可以得到任务集J的一个调度方案 ( S 1 ， S 2 ) 。由实例 I ^ 和实例I的关系， ( S 1 ， S 2 ) 也是实例 I = ( M ， J ， p ， g ) 的一个调度方案。对于调度方案 ( S 1 ， S 2 ) ，我们假设实例 I ^ 和实例I的目标值分别是 O U T ( I ^ ) 和 O U T ( I ) 。我们令 O P T ( I ^ ) 和 O P T ( I ) 分别表示实例 I ^ 和实例I的最优值。 对与实例I，我们设计了一个近似比为 5 4 d -近似算法。 算法1：近似算法 步骤1：根据实例I，构造实例 I ^ ； 步骤2：对于实例 I ^ ，调用LG-LPT算法，我们得到调度方案 ( S 1 ， S 2 ) ； 步骤3：对于调度方案 ( S 1 ， S 2 ) ，实例I和实例 I ^ 的目标值分别是 O U T ( I ) 和 O U T ( I ^ ) ； 步骤4：返回 O U T ( I ) 。 定理1：对于问题 P 2 | G o S ， V C | C max ，算法1是一个 5 4 d -近似算法。 证明：根据文 [ 7 ] 的结论可知，当机器台数 m = 2 时，对于实例 I ^ ，我们有 O U T ( I ^ ) ≤ 5 4 O P T ( I ^ ) (1) 对于某个 S i ，我们假设 O U T ( I ) = max k ∑ J j ∈ S i p j k 。根据实例I的目标函数值的定义，我们有 O U T ( I ) ≤ ∑ J j ∈ S i ∑ k = 1 d p j k 。再根据实例 I ^ 的目标函数值的定义，我们有 O U T ( I ^ ) ≥ ∑ J j ∈ S i ∑ k = 1 d p j k 。因此，我们有 O U T ( I ) ≤ O U T ( I ^ ) (2) 我们用反证法证明 O P T ( I ^ ) ≤ d O P T ( I ) ，假设 O P T ( I ^ ) > d O P T ( I ) 。我们设 ( S 1 * ， S 2 * ) 是实例I的一个最优调度方案。根据实例I的目标函数值的定义，对于任意的 S i * ，我们有 d O P T ( I ) ≥ ∑ J j ∈ S i * ∑ k = 1 d p j k 。结合假设 O P T ( I ^ ) > d O P T ( I ) ，我们有 O P T ( I ^ ) > d O P T ( I ) ≥ ∑ J j ∈ S i * ∑ k = 1 d p j k 上式说明，如果用调度方案 ( S 1 * ， S 2 * ) 求解实例 I ^ ，我们可以得到一个比 O P T ( I ^ ) 更小的目标值，这与 O P T ( I ^ ) 的最优性矛盾，所以我们有 O P T ( I ^ ) ≤ d O P T ( I ) (3) 联立(1)式、(2)式、(3)式，我们可以得到 O U T ( I ) ≤ 5 4 d O P T (I) 因此对于 P 2 | G o S ， V C | C max 问题，算法1是一个 5 4 d -近似算法。
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user: 4. 动态规划算法 在这一部分，我们将给出问题 P 2 | G o S ， V C | C max 的动态规划算法。对于问题 P 2 | G o S ， V C | C max ，动态规划算法的设计策略是把n项任务所有可能的调度方案遍历一次，因此我们可以得到问题的最优解。 我们令 e i 表示第i列元素全为1，其余元素全为0的 d × 2 维矩阵。 p k 表示任务 J k 对应的向量， p k = ( p k 1 ， p k 2 ， ⋯ ， p k d ) T 。 p k ⊗ e i 表示向量 p k 与矩阵 e i 的第i列元素对应相乘。 比如 p 1 ⊗ e 2 = ( p 11 p 12 ⋮ p 1 d ) ⊗ ( 0 0 ⋮ 0 1 1 ⋮ 1 ) = ( 0 0 ⋮ 0 p 11 p 12 ⋮ p 1 d ) 。 我们用空间 Φ k ( k = 0 ， 1 ， ⋯ ， n ) 表示分配完前k个任务后所有可能的负载矩阵集，而且空间 Φ k 可由空间 Φ k − 1 拓展得到。 Φ k 的元素都是 d × 2 维负载矩阵，负载矩阵的第j列，第i行表示第j台机器的第i个负载分量。 v k = max { i | g ( M i ) ≤ g ( J k ) } 表示能加工任务 J k 的下标最大的机器的下标。 我们假设负载空间 Φ k − 1 = { A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A l } 。 我们下面定义 Φ k = Φ k − 1 + { p k ⊗ e i | i = 1 ， ⋯ ， v k } 。 如果 v k = 1 ，我们有 Φ k = Φ k − 1 + { p k ⊗ e i | i = 1 } = { A 1 + p k ⊗ e 1 ， A 2 + p k ⊗ e 1 ， ⋯ ， A l + p k ⊗ e 1 } 。 如果 v k = 2 ，我们有 Φ k = Φ k − 1 + { p k ⊗ e i | i = 1 ， 2 } = { A 1 + p k ⊗ e 1 ， A 2 + p k ⊗ e 1 ， ⋯ ， A l + p k ⊗ e 1 ，       A 1 + p k ⊗ e 2 ， A 2 + p k ⊗ e 2 ， ⋯ ， A l + p k ⊗ e 2 } 如果B是一个负载矩阵，我们定义B的最大元素是B中所有元素的最大值。 例如负载矩阵 B = ( b 11 b 12 ⋮ b 1 d b 21 b 21 ⋮ b 21 ) ，则B的最大元素为 max { b 11 ， ⋯ ， b 1 d ， b 21 ， ⋯ ， b 2 d } 。 动态规划算法 步骤1：我们将机器和任务都按等级从低到高的顺序重新标号，使得 g ( M 1 ) ≤ g ( M 2 ) 且 g ( J 1 ) ≤ g ( J 2 ) ≤ ⋯ ≤ g ( J n ) ； 步骤2：令 Φ 0 = { ( 0 ) d × 2 } ； 步骤3：对于 j = 1 ， ⋯ ， n ，做如下循环 Φ k = Φ k − 1 + { p k ⊗ e i | i = 1 ， ⋯ ， v k } ； 步骤4：对于 Φ n 中的每个矩阵，我们分别提取最大元素得到集合 α = { c 1 ， c 2 ， ⋯ ， c | Φ n | } 然后返回集合 α 中的最小值。 根据动态规划算法可知，负载空间 Φ n 包含了所有可能的负载矩阵，自然也包含对应于最优解的负载矩阵，所有动态规划算法可以得到问题 P 2 | G o S ， V C | C max 的最优解。 定理2 当d为固定常数时，动态规划算法的运行时间为 O ( n 2 d + 1 p max 2 d ) ，其中 p max = max j ， k p j k ( j = 1 ， ⋯ ， n ; k = 1 ， ⋯ ， d ) 。 证明：由于 p max = max j ， k p j k ，则任意机器、任意维数的负载不超过 n p max 。当任务 J j 被调度后，因为负载矩阵中的每个元素在集合 { 0 ， 1 ， ⋯ ， n p max } 内取值，所以我们可以在 O ( 1 + n p max ) 2 d 时间内得到当前的负载矩阵。又因为一共有n项任务，所以动态规划算法的运行时间为 O ( n ( 1 + n p max ) 2 d ) = O ( n 2 d + 1 p max 2 d ) 。
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user: 5. 完全多项式时间近似方案 在这一部分，对于问题 P 2 | G o S ， V C | C max ，当任务维数d为固定常数时，我们用动态规划算法设计了一个完全多项式时间近似方案。 定理3 当d是固定常数时，问题 P 2 | G o S ， V C | C max 在 O ( n 2 d + 1 ( d ε ) 2 d ) 时间内存在一个完全多项式时间近似方案。 证明：我们用L表示算法1求解实例I得到的目标值。根据定理1，我们有 O P T ( I ) ≤ L ≤ 5 4 d O P T (I) 在实例 I = ( M ， J ， p ， g ) 的基础上，我们构造实例 I ′ = ( M ， J ， p ^ ， g ) 。实例I与实例 I ′ 的差别是特征p与 p ^ ：在实例I中，任务 J j 对应一个d-维向量 p j = ( p j 1 ， p j 2 ， ⋯ ， p j d ) T 。在实例 I ′ 中，任务 J j 对应一个d-维向量 p ^ j = ( p ′ j 1 ， p ′ j 2 ， ⋯ ， p ′ j d ) T 。在这里，我们有 p ′ j k = ⌊ p j k 4 ε L / 5 d n ⌋ ⋅ 4 ε L 5 d n         ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， d ) 。因为 p ′ j k = ⌊ p j k 4 ε L / 5 d n ⌋ ⋅ 4 ε L 5 d n ，所以 p ′ j k ≤ p j k ≤ p ′ j k + 4 ε L 5 d n 。因为动态规划可以得到实例 I ′ = ( M ， J ， p ^ ， g ) 的最优方案 ( S ′ 1 ， S ′ 2 ) ，我们假设最优值 O P T ( I ′ ) = max i ， k ∑ J j ∈ S ′ i p ′ j k   ( i = 1 ， 2 ; k = 1 ， 2 ， ⋯ ， d ) 。假设实例I的最优方案是 ( O 1 ， O 2 ) ，则实例I的最优值 O P T ( I ) = max i ， k ∑ J j ∈ O i p j k   ( i = 1 ， 2 ; k = 1 ， 2 ， ⋯ ， d ) 。 用实例 I ′ 的最优调度方案 ( S ′ 1 ， S ′ 2 ) 求解实例I，我们可以得到下面的链式不等式 max i ， k ∑ J j ∈ S ′ i p j k ≤ max i ， k ∑ J j ∈ S ′ i ( p ′ j k + 4 ε L 5 d n ) = max i ， k ∑ J j ∈ S ′ i p ′ j k + | S i ' | 4 ε L 5 d n ≤ max i ， k ∑ J j ∈ S ′ i p ′ j k + 4 ε L 5 d ≤ max i ， k ∑ J j ∈ O i p ′ j k + 4 ε L 5 d ≤ max i ， k ∑ J j ∈ O i p j k + 4 ε L 5 d ≤ O P T ( I ) + ε O P T ( I ) = ( 1 + ε ) O P T (I) 当动态规划算法求解实例 I ′ 时，由于 O P T ( I ′ ) ≤ O P T ( I ) ≤ L ，我们只需要考虑负载不超过L的调度方案。因为任意机器的负载分量都是 4 ε L 5 d n 的整数倍，而且一共有n项任务，因此实例 I ′ 可以在 O ( n ( 5 d n 4 ε + 1 ) 2 d ) = O ( n 2 d + 1 ( d ε ) 2 d ) 时间内得到最优方案。
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user: 6. 结论 在本文，对于两台平行机上的 P 2 | G o S ， V C | C max 问题，我们首先设计了一个5 d/4-近似算法。然后，我们给出了一个求最优解的动态规划算法和一个完全时间多项式近似方案。对于带等级约束的多维向量调度问题，当机器台数为 m ( m ≥ 3 ) 时，我们以后将设计一个近似算法而且给出一个完全多项式时间近似方案。
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user: 摘 要 染色问题是图论中的著名问题，目前已有人用Groebner基方法解决了染色问题，本文另辟蹊径用吴方法来解决染色问题。吴方法又称特征列方法，是吴文俊于20世纪70年代提出的处理多项式代数问题的一种方法。与Groebner基方法不同之处在于，它完全采用零点集的观点来处理问题，因此在染色问题求解方面较Groebner基方法更有效，本文仅解决染色问题中的三色问题。 关键词 :染色问题，吴方法，零点集，Groebner基方法，三色问题 Copyright © 2018 by author and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 这部分内容涉及到图论的知识：一个图有n个顶点，任何两个顶点之间最多有一个边。我们想用三种颜色去染这些顶点，使得同一个边的两个顶点被染的颜色不同，即三色问题 [ 1 ]。我们认为地图与三色问题的原理是相同的，这些顶点代表着被染色的区域，两个顶点是被连接的通过一个边如果这两个相应的区域是毗邻的。 首先，我们令 ξ = e 2 π i 3 ∈ C 是单位1的立方根，我们用单位1的3个不同的立方根 1 ， ξ ， ζ 2 代表这三种 颜色，现在我们令 x ， 1 ⋯ ， x n 这n个变量代表图G的n个不同的顶点。每一个顶点是 1 ， ξ ， ζ 2 这三种颜色中的一个。以上通过下面的n个方程来表示： x i 3 − 1 = 0 ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n (1.1) 如果顶点 x i ， x j 是被连接的通过一条边，它们需要有不同的颜色。因为 x i 3 = x j 3 ，我们有 ( x i − x j ) ( x i 2 + x i x j + x j 2 ) = 0 。因此 x i ， x j 将会有不同的颜色当且仅当： x i 2 + x i x j + x j 2 = 0 (1.2) 令I是 C [ x 1 ， ⋯ ， x n ] 的理想， C [ x 1 ， ⋯ ， x n ] 是由(1.1)和(1.2)这些多项式产生的。我们将考虑包含在 C n 中的 V ( I ) ，将会有下面的定理。 定理1.2.1：一个图是三色问题当且仅当 V ( I ) ≠ ϕ 。 我们可以用Groebner基去决定是否 V ( I ) = ϕ ，我们首先计算I的一个可约的Groebner基，如果 1 ∈ G ，则 V ( I ) = ϕ ，否则 V ( I ) ≠ ϕ 。
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user: 2. 预备知识 我们首先回忆升列，矛盾列，基列和特征列的定义，可见文献 [ 2 ][ 3 ]。 2.1. 升列的定义 对于两个非零多项式F和G，如果下列两个条件之一成立： 1) c l ( F ) < c l ( G ) 。 2) c l ( F ) = c l ( G ) = p > 0 ，但 deg x p ( F ) < deg x p ( G ) 。 我们称F的级别比G低(或者称G的级别比F高)，记作 F ≺ G 或者 G ≻ F 。 设F是一个多项式， c l ( F ) = p > 0 。对任何一个相对于 x p 比F级别低的多项式G都称为相对于F是约化的，记为G red/F。 下面考虑有限多个多线式组成的序列 A : A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A r 如果下列两条件之一成立： 1) r = 1 ， A 1 ≠ 0 。 2) r > 1 ， 0 < c l ( A 1 ) < c l ( A 2 ) < ⋯ < c l ( A r ) ，且对任意 j > i ， A j r e d / A i 。 我们称A为一个升列 [ 2 ]。 2.2. 矛盾列的定义 一个升列称为矛盾列，如果 r = 1 ， A 1 ≠ 0 ，但 c l ( A 1 ) = 0 。即一个非零常数构成的升列是矛盾列。当把升列看成多项式方程组时，矛盾列总是没有解的。 2.3. 基列的定义 设A为一升列，G为一多项式。如果G相对于升列A中每个多项式都是约化的，则称G相对于升列A是约化的。 设另有升列 B : B 1 ， B 2 ， ⋯ ， B s 如果下列两条件之一成立： 1) 存在 j ≤ min ( r ， s ) ，使得 A 1 ~ B 1 ， ⋯ ， A j − 1 ~ B j − 1 ，但 A j ≻ B j 。 2) s > r 且 A 1 ~ B 1 ， ⋯ ， A r ~ B r 。 我们称A比B的级别高，或者说B比A的级别低，记为 A ≻ B 或 B ≺ A 。如果A和B中每个都不比另一个级别低，则称二者有相同的级别，记作 A ~ B 。此时必有 r = s ， A 1 ~ B 1 ， ⋯ ， A r ~ B r 。 定理2.3.1：(Ritt引理)设 A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A q ， ⋯ 为一不增的升列组成的序列，即对任何q，有 A q + 1 ≺ A q 或 A q + 1 ~ A q 成立，则存在指标 q ′ ，使得对任意 q > q ′ 恒有 A q ~ A q ′ ，即 A q ′ 为上述序列中级别最低的升列。 推论2.3.1：若由升列组成的序列严格下降，则该序列必定只由有限个升列构成。 现在我们来定义升列集合上的极小元。 设PS为有限多个非零多项式组成的多项式集合。一个升列A称为属于PS是指A的每个多项式都属于PS。因为单个多项式本身也构成一个升列，所以属于PS的升列集是非空的。于是属于PS的升列集上的级别是一个偏序。由定理2.3.1，按此偏序每个升列的不增序列都有一极小元，该极小元自然属于PS。我们称这种极小元为PS的一个基列 [ 2 ]。 2.4. 特征列的定义 定理2.4.1：设PS为非零多项式构成的有限集 A : A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A r ，是PS的基列， c l ( A 1 ) > 0 。设B为一非零多项式，且 B r e d / A i ， i = 1 ， ⋯ ， r ，则 P S ′ = P S ∪ { B } 有一比A级别低的基列。 下面假设PS为一非零多项式构成的集合，我们来讨论其所谓特征列的构造。 对给定的 P S 1 = P S ，由定理2.4.1，存在 P S 1 的基列 B S 1 。将所有 P S 1 - B S 1 中的多项式对基列 B S 1 求余式，则得一余式的集合 R S 1 。若 R S 1 ≠ ϕ ，令 P S 2 = P S 1 ∪ R S 1 。再找出 P S 2 的基列 B S 2 。注意， P S 2 是由 P S 1 添加所有对 B S 1 的余式而得的，所以 B S 2 的级别比 B S 1 低。再将 P S 2 - B S 2 中的多项式对 B S 2 求余式，并记该余式集合为 R S 2 。如果 R S 2 ≠ ϕ ，令 P S 3 = P S 2 ∪ R S 2 ，并求其基列 B S 3 ，此时有 B S 1 ≻ B S 2 ≻ B S 3 ≻ ⋯ 。由推论2.3.1，这个基列构成的序列是有限的，因而必在某一步，比如说m，使得 R S m = ϕ 。此时我们称相应的基列 B S m 为PS的特征列 [ 2 ][ 3 ]，并记之为CS。 以下是多项组的零点分解定理，可见文献 [ 2 ]。 2.5. 多项式组的零点分解 设PS为给定的多项式集合，特征列为 C S : A 1 ， ⋯ ， A r ， A i 的初式为 I i ，并记 J = I 1 ⋯ I r ，则有 定理2.5.1： z e r o ( P S ) = z e r o ( C S / J ) + z e r o ( P S ， I 1 ) + ⋯ + z e r o ( P S ， I r ) 其中， z e r o ( C S / J ) = z e r o ( C S ) − z e r o ( J ) ，“+”表示求并集。
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user: 3. 主要结论 3.1. 吴方法解决染色问题的过程 定理3.1.1：一个图是三色问题当且仅当特征列为非矛盾升列。 证明：当特征列CS为矛盾列时，由矛盾列的定义可知特征列CS为一个非零常数构成的升列。因为当把升列看成多项式方程组时，矛盾列总是没有解的，所以可以得出 z e r o ( C S ) = ϕ ，因为 C S ⊂ P S m ， z e r o ( C S ) ⊃ z e r o ( P S m ) = z e r o ( P S ) ，即 z e r o ( P S ) = ϕ 。由定理1.2.1可知一个图是三色问题当且仅当 V ( I ) ≠ φ ，所以一个图是三色问题当且仅当特征列为非矛盾升列。 例题3.1：考虑图1中的图形G。 图G相应的多项式是： x i 3 − 1 = 0 ， i = 1 ， ⋯ ， 8 x i 2 + x i x j + x j 2 ， ( i ， j ) ∈ { ( 1 ， 2 ) ， ( 1 ， 5 ) ， ( 1 ， 6 ) ， ( 2 ， 3 ) ， ( 2 ， 4 ) ， ( 2 ， 8 ) ， ( 3 ， 4 ) ，       ( 3 ， 8 ) ， ( 4 ， 5 ) ， ( 4 ， 7 ) ， ( 5 ， 6 ) ， ( 5 ， 7 ) ， ( 6 ， 7 ) ， ( 7 ， 8 ) } 我们求得该多项式组的特征列 C S = { x 1 − x 7 ， x 2 + x 7 + x 8 ， x 3 − x 7 ， x 4 − x 8 ， x 5 + x 7 + x 8 ，                   x 6 − x 8 ， x 7 2 + x 7 x 8 + x 8 2 ， x 8 3 − 1 } 图1. 三色图 显然，各多项式的初式为 I i = 1 ， i = 1 ， ⋯ ， 8 . 由定理2.5.1有: z e r o ( P S ) = z e r o ( C S / J ) + z e r o ( P S ， I 1 ) + ⋯ + z e r o ( P S ， I 8 ) 容易看出，对 i = 1 ， ⋯ ， 8 ， { P S ， I i } 的特征列为矛盾列，故 z e r o ( P S ， I i ) = ϕ ， i = 1 ， ⋯ ， 8 。又因为 J = I 1 ⋯ I 8 = 1 ，即 z e r o ( J ) = ϕ 。由定理2.5.1可知： z e r o ( C S / J ) = z e r o ( C S ) − z e r o ( J ) 故 z e r o ( C S / J ) = z e r o ( C S ) ，于是 z e r o ( P S ) = z e r o ( C S ) 。因为特征列CS为非矛盾升列，所以图C是三色问题。我们假设三种颜色是蓝红绿，因为在CS中只有一个变量的多项式是 x 8 3 − 1 ，所以我们必须首先给 x 8 选一个颜色，假设是红色。因为多项式 x 7 2 + x 7 x 8 + x 8 2 ∈ C S ，所以我们为 x 7 选一个与 x 8 不同的颜色，比如是蓝色。因为多项式 x 1 − x 7 ， x 3 − x 7 ∈ C S ，所以 x 1 和 x 3 是蓝色。因为多项式 x 4 − x 8 ， x 6 − x 8 ∈ C S ，所以 x 4 和 x 6 是红色。因为 x 2 + x 7 + x 8 和 x 5 + x 7 + x 8 在CS中，所以 x 2 和 x 5 有相同的颜色且与 x 7 和 x 8 的颜色都不同，即 x 2 和 x 5 是绿色。 3.2. 吴方法和Groebner基方法在解决染色问题时的比较 Groebner基方法 [ 4 ][ 5 ][ 6 ]在计算过程中会使多项式对增加很快，选取多项式对的无序性也会造成结果不同，项序的选择和终止条件的复杂性与否都会影响计算的效率。吴方法 [ 7 ][ 8 ]在计算多项式方程组时效率较高，速度也很快，整体来说在解决染色问题上吴方法比Groebner基方法更快速和有效。
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user: 摘 要 本文先对人民币的现状进行基本面分析，分别从经济实力，币值内外稳定性，国际贸易实力，外汇储备情况，金融市场发展状况等五个方面对其进行分析。其次剖析从2000年至2015年这16年期间人民币的相关数据，通过SPSS软件的回归分析处理国内生产总值，净出口占世界净出口总额比重，对外直接投资占国内生产总值的比重等8个指标，阐明了决定一国货币国际储备货币份额的影响因素，再者借助时间序列法的指数平滑法模型对人民币2018，2019，2020年的国际化程度进行预测，并对此情况具体提出相关建议措施。 关键词 :人民币，回归分析，货币国际储备地位，指数平滑法，金融市场 Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/