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user: 3. 主要结果 引理1 [ 1 ] (Roth定理)分块矩阵 [ A 0 0 B ] 与 [ A C 0 B ] 相似的一个充要条件是矩阵方程 A X − X B = C 有解。 定理1 已知方阵 A ， B ， C ， D ，其中A与B相似，C与D相似，则 [ A 0 0 C ] 与 [ B 0 0 D ] 相似。 由相似定义即可证明。 引理2 [ 1 ] 设A和B都为幂等矩阵，则分块矩阵 [ A 0 0 B ] 与 [ A C 0 B ] 相似的充分必要条件是 A C + C B = C 。 定理2 设 A 1 和 B 1 均为对合矩阵，则分块矩阵 [ A 1 0 0 B 1 ] 与 [ A 1 C 0 B 1 ] 相似的充分必要条件为 A 1 C + C B 1 = 0 。 证明：必要性：因为 A 1 2 = E m ， B 1 2 = E n ，所以 [ A 1 0 0 B 1 ] 为对合矩阵，又因为分块矩阵 [ A 1 0 0 B 1 ] 与 [ A 1 C 0 B 1 ] 相似， [ A 1 C 0 B 1 ] 也为对合矩阵， [ A 1 C 0 B 1 ] [ A 1 C 0 B 1 ] = [ A 1 2 A 1 C + C B 1 0 B 1 2 ] ， 即 A 1 C + C B 1 = 0 . 充分性：因为 A 1 C + C B 1 = 0 ，所以 A 1 2 C + A 1 C B 1 = 0 ， A 1 2 = E m ，从而 A 1 C B 1 = − C ，取 X 0 = 1 2 A 1 C ，则 X 0 为方程(1)的解。由Roth定理知分块矩阵 [ A 1 0 0 B 1 ] 与 [ A 1 C 0 B 1 ] 相似。 引理3 [ 1 ] 设A和B是两个2-幂零矩阵，则分块矩阵 [ A 0 0 B ] 与 [ A C 0 B ] 相似的充分必要条件为 r [ A C 0 B ] = r ( A ) + r ( B ) 和 A C + C B = 0 。 现将此结论做以下推广。 定理3 设 A 1 和 B 1 均为k-幂零矩阵，若满足 r [ A 1 C 0 B 1 ] = r [ A 1 0 0 B 1 ] = r ( A 1 ) + r ( B 1 ) ，且 A 1 C + C B 1 = 0 ，则分块矩阵 [ A 1 0 0 B 1 ] 与 [ A 1 C 0 B 1 ] 相似。 证明：因为 A 1 和 B 1 均为k-幂零矩阵，由k-幂零矩阵的性质可得 A 1 = P − 1 [ 0 A 11 0 0 ] P ， B 1 = Q [ 0 B 11 0 0 ] Q − 1 ， (2) 其中 A 11 和 B 11 是方阵。 代入(1)式得 P − 1 [ 0 A 11 0 0 ] P X − X Q [ 0 B 11 0 0 ] Q − 1 = C ， (3) [ 0 A 11 0 0 ] P X Q − P X Q [ 0 B 11 0 0 ] = P C Q ， (4) 此式是关于X的矩阵方程，下证明其有解。 设 P X Q = [ Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 ] ， P C Q = [ M 1 M 2 M 3 M 4 ] ， (5) 展开(4)式得 [ A 11 Y 3 A 11 Y 4 0 0 ] − [ 0 Y 1 B 11 0 Y 3 B 11 ] = [ A 11 Y 3 A 11 Y 4 − Y 1 B 11 0 − Y 3 B 11 ] = [ M 1 M 2 M 3 M 4 ] ， (6) 即 A 11 Y 3 = M 1 ， Y 3 B 11 = − M 4 ， M 3 = 0 ， A 11 Y 4 − Y 1 B 11 = M 2 ，(7) 又据文 [ 4 ] 中的结论，矩阵方程 A 11 Y 3 = M 1 和 Y 3 B 11 = − M 4 有一个公共解 Y 3 的充分必要条件是 R ( M 1 ) ⊆ R ( A 11 ) ， R ( M 4 T ) ⊆ R ( B 11 T ) ， A 11 M 4 + M 1 B 11 = 0 ， (8) (即 M 1 的列向量可由 A 11 的列向量组线性表出， M 4 的行向量可由 B 11 的行向量组线性表出，且 A 11 M 4 + M 1 B 11 = 0 ) [ 4 ]。而文 [ 5 ] 中给出了矩阵方程 A 11 Y 4 − Y 1 B 11 = M 2 有解的充分必要条件为 r [ A 11 M 2 0 B 11 ] = r ( A 11 ) + r ( B 11 ) [ 5 ]， (9) 因为 M 3 = 0 ，(8)式前两个包含关系和(9)式一起等价于矩阵秩的方程如下： r [ 0 A 11 M 1 M 2 0 0 M 3 M 4 0 0 0 B 11 0 0 0 0 ] = r [ 0 A 11 0 0 ] + r [ 0 B 11 0 0 ] ， (10) 因 M 1 的列向量可由 A 11 的列向量组线性表出， M 4 的行向量可由 B 11 的行向量组线性表出，所以由矩阵的初等变换即可得(10)式。又对(10)做分块矩阵的初等变换，给其左乘分块矩阵 [ P − 1 0 0 Q ] ，右乘分块矩阵 [ P 0 0 Q − 1 ] ，即化为 [ A 1 C 0 B 1 ] ，故(10)等价于 r [ A 1 C 0 B 1 ] = r ( A 1 ) + r ( B 1 ) . (11) 另外， A 11 M 4 + M 1 B 11 = 0 等价于 [ 0 A 11 0 0 ] [ M 1 M 2 M 3 M 4 ] + [ M 1 M 2 M 3 M 4 ] [ 0 B 11 0 0 ] = 0 ， (12) 由(2)、(4)及(5)得 P − 1 [ 0 A 11 0 0 ] P C + C Q [ 0 B 11 0 0 ] Q − 1 = 0 ， (13) 即 A 1 C + C B 1 = 0 . (14) 综上所述在(11)和(14)的情况下，矩阵方程(4)有解，即矩阵方程(1)有解，故 [ A 1 0 0 B 1 ] 与 [ A 1 C 0 B 1 ] 相似。 定理3仅给出了 [ A 1 0 0 B 1 ] 与 [ A 1 C 0 B 1 ] 相似的充分条件，其逆命题并不成立。 若 [ A 1 0 0 B 1 ] 与 [ A 1 C 0 B 1 ] 相似，因 A 1 和 B 1 均为k-幂零矩阵，故 [ A 1 0 0 B 1 ] 也为k-幂零矩阵。 从而 [ A 1 C 0 B 1 ] 为k-幂零矩阵。所以 [ A 1 C 0 B 1 ] k = [ A 1 k ∑ i = 0 k − 1 A 1 i C B 1 k − 1 − i 0 B 1 k ] = 0 ， 又因为 A 1 k = 0 ， B 1 k = 0 ， 故 ∑ i = 0 k − 1 A 1 i C B 1 k − 1 − i = 0 . 当k为奇数时 C B 1 k − 1 + A 1 C B 1 k − 2 + A 1 2 C B 1 k − 3 + ⋯ + A 1 k − 2 C B 1 + A 1 k − 1 C = C B 1 k − 1 + A 1 ( C B 1 + A 1 C ) B 1 k − 3 + ⋯ + A 1 k − 2 ( C B 1 + A 1 C ) = 0 ; 当k为偶数时 C B 1 k − 1 + A 1 C B 1 k − 2 + A 1 2 C B 1 k − 3 + ⋯ + A 1 k − 2 C B 1 + A 1 k − 1 C = ( C B 1 + A 1 C ) B 1 k − 2 + ⋯ + A 1 k − 2 ( C B 1 + A 1 C ) = 0 . 由此可知， A 1 C + C B 1 = 0 不是必要条件。