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user: 3. 主要定理 定理若复合超几何微分方程的边值问题(1)在奇点 x = 0 处有唯一解，那么其左区( α < x < θ )解有如下相似结构： y 1 = Q 1 e + 1 f + Φ ( α ) 1 f + Φ ( α ) Φ ( x ) ， (11) 右区( θ < x < β )解为： y 2 = Q 1 e + 1 f + Φ ( α ) 1 f + Φ ( α ) φ 0 ， 1 1 ( θ ， θ ) λ Φ * ( θ ) φ 1 ， 1 1 ( α ， θ ) − μ φ 1 ， 0 1 ( α ， θ ) Φ * ( x ) ， (12) 其中 Φ * ( x ) 是右相似核函数，且 Φ * ( x ) = G φ 0 ， 0 2 ( x ， β ) + H φ 0 ， 1 2 ( x ， β ) G φ 1 ， 0 2 ( θ ， β ) + H φ 1 ， 1 2 ( θ ， β ) ， θ < x < β ; (13) Φ ( x ) 是左相似核函数，且 Φ ( x ) = λ Φ * ( θ ) φ 0 ， 1 1 ( x ， θ ) − μ φ 0 ， 0 1 ( x ， θ ) λ Φ * ( θ ) φ 1 ， 1 1 ( α ， θ ) − μ φ 1 ， 0 1 ( α ， θ ) ， α < x < θ ; (14) φ m ， n i ( x ， ξ ) ， ( i = 1 ， 2 ;   m ， n = 0 ， 1 ) 是引解函数。 证明：由预备知识可知超几何方程的通解为(3)式，且其导数为(5)式。则根据左边值条件 [ e y 1 + ( 1 + e f ) y ′ 1 ] | x = α = Q 有 C 11 [ e F ( a 1 ， b 1 ， c 1 ， α ) + ( 1 + e f ) a 1 b 1 c 1 F ( a 1 + 1 ， b 1 + 1 ， c 1 + 1 ， α ) ]   + C 12 { e α 1 − c 1 F ( a 1 + 1 − c 1 ， b 1 + 1 − c 1 ， 2 − c 1 ， α )   + ( 1 + e f ) [ ( 1 − c 1 ) α − c 1 F ( a 1 + 1 − c 1 ， b 1 + 1 − c 1 ， 2 − c 1 ， α )   + α 1 − c 1 ( a 1 + 1 − c 1 ) ( b 1 + 1 − c 1 ) 2 − c 1 F ( a 1 + 2 − c 1 ， b 1 + 2 − c 1 ， 3 − c 1 ， α ) ] } = Q (15) 由衔接条件 y 1 | x = θ = λ y 2 | x = θ ， y ′ 1 | x = θ = μ y ′ 2 | x = θ 有 C 11 F ( a 1 ， b 1 ， c 1 ， θ ) + C 12 θ 1 − c 1 F ( a 1 + 1 − c 1 ， b 1 + 1 − c 1 ， 2 − c 1 ， θ )   − C 21 λ F ( a 2 ， b 2 ， c 2 ， θ ) − C 22 λ θ 1 − c 2 F ( a 2 + 1 − c 2 ， b 2 + 1 − c 2 ， 2 − c 2 ， θ ) = 0 (16) C 11 [ a 1 b 1 c 1 F ( a 1 + 1 ， b 1 + 1 ， c 1 + 1 ， θ ) ] − C 21 μ [ a 2 b 2 c 2 F ( a 2 + 1 ， b 2 + 1 ， c 2 + 1 ， θ ) ]   + C 12 [ ( 1 − c 1 ) θ − c 1 F ( a 1 + 1 − c 1 ， b 1 + 1 − c 1 ， 2 − c 1 ， θ )   + θ 1 − c 1 ( a 1 + 1 − c 1 ) ( b 1 + 1 − c 1 ) 2 − c 1 F ( a 1 + 2 − c 1 ， b 1 + 2 − c 1 ， 3 − c 1 ， θ ) ]   − C 22 μ [ ( 1 − c 2 ) θ − c 2 F ( a 2 + 1 − c 2 ， b 2 + 1 − c 2 ， 2 − c 2 ， θ )   + θ 1 − c 2 ( a 2 + 1 − c 2 ) ( b 2 + 1 − c 2 ) 2 − c 2 F ( a 2 + 2 − c 2 ， b 2 + 2 − c 2 ， 3 − c 2 ， θ ) ] = 0 (17) 由右边值条件 [ G y 2 + H y ′ 2 ] | x = β = 0 有 C 21 { G F ( a 2 ， b 2 ， c 2 ， β ) + H [ a 2 b 2 c 2 F ( a 2 + 1 ， b 2 + 1 ， c 2 + 1 ， β ) ] }   + C 22 { G β 1 − c 2 F ( a 2 + 1 − c 2 ， b 2 + 1 − c 2 ， 2 − c 2 ， β )   + H [ ( 1 − c 2 ) β − c 2 F ( a 2 + 1 − c 2 ， b 2 + 1 − c 2 ， 2 − c 2 ， β )   + β 1 − c 2 ( a 2 + 1 − c 2 ) ( b 2 + 1 − c 2 ) 2 − c 2 F ( a 2 + 2 − c 2 ， b 2 + 2 − c 2 ， 3 − c 2 ， β ) ] } = 0 (18) 联立方程(15)、(16)、(17)、(18)，利用(6)~(10)式化简可得 D = μ [ e φ 0 ， 0 1 ( α ， θ ) + ( 1 + e f ) φ 1 ， 0 1 ( α ， θ ) ] [ G φ 0 ， 1 2 ( β ， θ ) + H φ 1 ， 1 2 ( β ， θ ) ]             − λ [ e φ 0 ， 1 1 ( α ， θ ) + ( 1 + e f ) φ 1 ， 1 1 ( α ， θ ) ] [ G φ 0 ， 0 2 ( β ， θ ) + H φ 1 ， 0 2 ( β ， θ ) ] (19) D 1 = Q { θ 1 − c 1 F ( a 1 + 1 − c 1 ， b 1 + 1 − c 1 ， 2 − c 1 ， θ ) × μ [ G φ 0 ， 1 2 ( β ， θ ) + H φ 1 ， 1 2 ( β ， θ ) ]               − [ ( 1 − c 1 ) θ − c 1 F ( a 1 + 1 − c 1 ， b 1 + 1 − c 1 ， 2 − c 1 ， θ ) + θ 1 − c 1 ( a 1 + 1 − c 1 ) ( b 1 + 1 − c 1 ) 2 − c 1           × F ( a 1 + 2 − c 1 ， b 1 + 2 − c 1 ， 3 − c 1 ， θ ) ] λ [ G φ 0 ， 0 2 ( β ， θ ) + H φ 1 ， 0 2 ( β ， θ ) ] } (20) D 2 = − Q { F ( a 1 ， b 1 ， c 1 ， θ ) μ [ G φ 0 ， 1 2 ( β ， θ ) + H φ 1 ， 1 2 ( β ， θ ) ]               − a 1 b 1 c 1 F ( a 1 + 1 ， b 1 + 1 ， c 1 + 1 ， θ ) λ [ G φ 0 ， 0 2 ( β ， θ ) + H φ 1 ， 0 2 ( β ， θ ) ] } (21) D 3 = Q { G β 1 − c 2 F ( a 2 + 1 − c 2 ， b 2 + 1 − c 2 ， 2 − c 2 ， β )   + H [ ( 1 − c 2 ) β − c 2 F ( a 2 + 1 − c 2 ， b 2 + 1 − c 2 ， 2 − c 2 ， β )   + β 1 − c 2 ( a 2 + 1 − c 2 ) ( b 2 + 1 − c 2 ) 2 − c 2 F ( a 2 + 2 − c 2 ， b 2 + 2 − c 2 ， 3 − c 2 ， β ) ] } φ 0 ， 1 1 ( θ ， θ ) (22) D 4 = − Q { G F ( a 2 ， b 2 ， c 2 ， β ) + H [ a 2 b 2 c 2 F ( a 2 + 1 ， b 2 + 1 ， c 2 + 1 ， β ) ] } φ 0 ， 1 1 ( θ ， θ ) (23) 再根据Cramer法则： C 11 = D 1 D ， C 12 = D 2 D ， C 21 = D 3 D ， C 22 = D 4 D ，即可证明复合超几何微分方程的边值 问题(1)的左和右区解分别为(11)和(12)式。