system: [SYSTEM]

user: 2 预备知识 2.1. 系统描述 考虑一般的带有时变时滞的线性系统 { x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B x ( t − h ( t ) ) ， x ( t ) = φ ( t ) ， t ∈ [ − h ， 0 ] (1) 其中 x ( t ) ∈ R n 是系统的状态向量； A ∈ R n × n 和 B ∈ R n × n 是已知的实数矩阵；初始条件 φ ( t ) 是连续的微分函数，h和u是已知的常数，且满足如下条件： 0 < h ( t ) < h ， h ˙ ( t ) < u . (2) 2.2. 引理 在分析系统(1)的时滞依赖稳定性判据之前，本节首先引入如下一些重要的引理： 引理1 [ 16 ] 给定一个二次函数 f ( y ) = a 2 y 2 + a 1 y + a 0 ，当 β ∈ [ 0 ， 1 ] 时，如果有 T 1 = f ( h i ) < 0   ( i = 1 ， 2 ) ， T 2 = − β 2 h 12 2 a 2 + f ( h 1 ) < 0 ， T 3 = − ( 1 − β ) 2 h 12 2 a 2 + f ( h 2 ) < 0 ，(3) 那么 f ( y ) < 0   ( h 1 ≤ y ≤ h 2 ) 成立，其中 h 12 = h 2 − h 1 。 引理2 [ 12 ] w ( t ) 是一个可微函数： [ a ， b ] → R n ，若存在对称正定矩阵 H ∈ R n × n ，对于任意矩阵L，M，则下列的不等式成立： ∫ a b w T ( s ) H w ( s ) d s ≥ − sym { σ 0 T L σ 1 + σ 0 T M σ 2 } − ( b − a ) σ 0 T ( 3 L H − 1 L T + M H − 1 M T 3 ) σ 0 (4) 其中 σ 1 = [ ∫ a b x ( s ) d s x ( b ) − x ( a ) ] ， σ 2 = [ − ∫ a b x ( s ) d s + 2 b − a ∫ a b ∫ s b x ( u ) d u d s x ( b ) + x ( a ) − 2 b − a ∫ a b x ( s ) d s ] ， σ 0 是任意向量。 引理3 [ 9 ] 若对称正定矩阵 R > 0 ， x ( t ) 是一个可微函数： [ a ， b ] → R n ，则下列不等式成立 ∫ a b x T ( s ) Ω x ( s ) d s ≥ 1 b − a ( ∫ a b x ( s ) d s ) T R ( ∫ a b x ( s ) d s ) + 3 b − a Ω 1 T R Ω 1 ， ∫ a b ∫ β b x T ( s ) R x ( s ) d s d β ≥ 2 ( b − a ) 2 ( ∫ a b ∫ β b x ( s ) d s d β ) T R ( ∫ a b ∫ β b x ( s ) d s d β ) ， 其中 Ω 1 = ∫ a b x ( s ) d s − 2 b − a ∫ a b ∫ β b x ( s ) d s d β 。 引理4 若正定对称矩阵 Y i ∈ R n × n ( i = 1 ， 3 ) ， X i ∈ R n × n ( i = 1 ， 2 ) ，任意矩阵 Y 2 ∈ R n × n ， x ( t ) 是一个可微函数： [ a ， b ] → R n ，满足： Ω 0 = [ Y 1 Y 2 * Y 3 ] ≥ 0 ， Ω 1 = [ Y 1 Y 2 + X 1 * Y 3 ] ≥ 0 ， Ω 2 = [ Y 1 Y 2 + X 2 * Y 3 ] ≥ 0 ， 那么，对任意向量 c ∈ [ a ， b ] ，下面的不等式成立 − ∫ a b ∫ θ b W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s d θ ≤ ξ T Ω ξ (5) 其中 W ( s ) = col { x ˙ ( s ) ， x ( s ) } ， ξ = col { x ( b ) ， x ( c ) ， x ( a ) ， w 1 ， w 2 ， v 1 ， v 2 } ， w 1 = 1 b − c ∫ c b x ( s ) d s ， w 2 = 1 c − a ∫ a c x ( s ) d s ， v 1 = 1 ( b − c ) 2 ∫ c b ∫ θ b x ( s ) d s d θ ， v 2 = 1 ( c − a ) 2 ∫ a c ∫ θ c x ( s ) d s d θ ， Ω = ( c − a ) e 2 T X 2 e 2 + ( b − c ) e 1 T X 1 e 1 − ( b − c ) e 4 T X 1 e 4 − ( c − a ) e 5 T X 2 e 5 − ( c − a ) ( b − a ) e 4 T Y 1 e 4     − sym { ( b − c ) 2 e 6 T Y 1 e 6 + 2 ( b − a ) e 6 T ( Y 1 + X 1 ) ( e 1 − e 4 ) + ( e 1 − e 4 ) T Y 3 ( e 1 − e 4 ) + ( c − a ) 2 e 7 T Y 1 e 7     + 2 ( c − a ) e 7 T ( Y 2 + X 2 ) ( e 2 − e 5 ) + ( e 2 − e 5 ) T Y 3 ( e 2 − e 5 ) + ( c − a ) e 4 T Y 2 ( e 1 − e 2 ) }     − c − a b − a ( e 1 − e 2 ) T Y 3 ( e 1 − e 2 ) ， e i = [ 0 n ， ( i − 1 ) n I n 0 n ， ( 7 − i ) n ]   ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 7 ) 。 证明：对于对称半正定矩阵 X i ∈ R n × n ( i = 1 ， 2 ) ，有下面的零等式成立 0 = − 2 ∫ c b ∫ θ b x T ( s ) X 1 x ˙ ( s ) d s d θ + ( b − c ) x T ( b ) X 1 x ( b ) − ∫ c b x T ( s ) X 1 x ( s ) d s ， 0 = − 2 ∫ a c ∫ θ c x T ( s ) X 2 x ˙ ( s ) d s d θ + ( c − a ) x T ( c ) X 2 x ( c ) − ∫ a c x T ( s ) X 2 x ( s ) d s 。 将上面两个零等式加入 − ∫ a b ∫ θ b W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s d θ 。 可得 Φ = − ∫ a b ∫ θ b W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s d θ − 2 ∫ c b ∫ θ b x T ( s ) X 1 x ˙ ( s ) d s d θ + ( b − c ) x T ( b ) X 1 x ( b ) − ∫ c b x T ( s ) X 1 x ( s ) d s       − 2 ∫ a c ∫ θ c x T ( s ) X 2 x ˙ ( s ) d s d θ + ( c − a ) x T ( c ) X 2 x ( c ) − ∫ a c x T ( s ) X 2 x ( s ) d s 其中 − ∫ a b ∫ θ b W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s d θ = − ∫ a c ∫ θ b W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s d θ − ∫ c b ∫ θ b W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s d θ − ∫ a c ∫ θ b W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s d θ = − ∫ a c ∫ θ c W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s d θ − ∫ a c ∫ c b W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s d θ − ∫ c b ∫ θ b W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s d θ = − ∫ c b ∫ θ c W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s d θ − ∫ c b ∫ c b W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s d θ 合并同类项后可以得到 Φ = − ∫ c b ∫ θ b W T ( s ) Ω 1 W ( s ) d s d θ − ∫ a c ∫ θ c W T ( s ) Ω 2 W ( s ) d s d θ − ( c − a ) ∫ c b W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s       − ∫ c b x T ( s ) X 1 x ( s ) d s − ∫ a c x T ( s ) X 2 x ( s ) d s + ( b − c ) x T ( b ) X 1 x ( b ) + ( c − a ) x T ( c ) X 2 x ( c ) . 利用Jensen不等式可得 − ∫ c b x T ( s ) X 1 x ( s ) d s ≤ − ( b − c ) w 1 T X 1 w 1 − ∫ a c x T ( s ) X 2 x ( s ) d s ≤ − ( c − a ) w 2 T X 2 w 2 由引理3，可以得到 − ∫ c b ∫ θ b W T ( s ) Ω 1 W ( s ) d s d θ ≤ − 2 [ ( b − c ) v 1 x ( b ) − w 1 ] T [ Y 1 Y 2 + X 1 * Y 3 ] [ ( b − c ) v 1 x ( b ) − w 1 ] − ∫ a c ∫ θ c W T ( s ) Ω 2 W ( s ) d s d θ ≤ − 2 [ ( c − a ) v 2 x ( c ) − w 2 ] T [ Y 1 Y 2 + X 2 * Y 3 ] [ ( c − a ) v 2 x ( c ) − w 2 ] − ( c − a ) ∫ c b W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s ≤ − ( c − a ) { 1 b − c [ ( b − c ) w 1 x ( b ) − x ( c ) ] T [ Y 1 Y 2 * Y 3 ] [ ( b − c ) w 1 x ( b ) − x ( c ) ]     + 3 b − c [ ( b − c ) ( w 1 − 2 v 1 ) 2 w 1 − x ( b ) − x ( c ) ] T [ Y 1 Y 2 * Y 3 ] [ ( b − c ) ( w 1 − 2 v 1 ) 2 w 1 − x ( b ) − x ( c ) ] } 整理可得 Φ ≤ − 2 [ ( b − c ) v 1 x ( b ) − w 1 ] T [ Y 1 Y 2 + X 1 * Y 3 ] [ ( b − c ) v 1 x ( b ) − w 1 ] − 2 [ ( c − a ) v 2 x ( c ) − w 2 ] T [ Y 1 Y 2 + X 2 * Y 3 ] [ ( c − a ) v 2 x ( c ) − w 2 ]     − ( c − a ) { 1 b − c [ ( b − c ) w 1 x ( b ) − x ( c ) ] T [ Y 1 Y 2 * Y 3 ] [ ( b − c ) w 1 x ( b ) − x ( c ) ]     + 3 b − c [ ( b − c ) ( w 1 − 2 v 1 ) 2 w 1 − x ( b ) − x ( c ) ] T [ Y 1 Y 2 * Y 3 ] [ ( b − c ) ( w 1 − 2 v 1 ) 2 w 1 − x ( b ) − x ( c ) ] }     + ( b − c ) x T ( b ) X 1 x ( b ) + ( c − a ) x T ( c ) X 2 x ( c ) − ( b − c ) w 1 T X 1 w 1 − ( c − a ) w 2 T X 2 w 2 . 同时加上和减去 ( x ( c ) − x ( a ) ) T Y 3 ( x ( c ) − x ( a ) ) + 3 ( 2 w 2 − x ( c ) − x ( a ) ) T Y 3 ( 2 w 2 − x ( c ) − x ( a ) ) ，运用互凸组合可以得到 Φ ≤ − 2 ( b − c ) 2 v 1 T Y 1 v 1 − 4 ( b − c ) v 1 T ( Y 1 + X 2 ) ( x ( b ) − w 1 ) − 2 ( x ( b ) − w 1 ) T Y 3 ( x ( b ) − w 1 )       − 2 ( c − a ) 2 v 2 T Y 1 v 2 − 4 ( c − a ) v 2 T ( Y 2 + X 2 ) ( x ( c ) − w 2 ) − 2 ( x ( c ) − w 2 ) T Y 3 ( x ( c ) − w 2 )       − ( c − a ) ( b − c ) w 1 T Y 1 w 1 − 2 ( c − a ) w 1 T Y 2 ( x ( b ) − x ( c ) ) − c − a b − a ( x ( b ) − x ( c ) ) T Y 3 ( x ( b ) − x ( c ) )       − 3 ( c − a ) ( b − c ) ( w 1 − 2 v 1 ) T Y 1 ( w 1 − 2 v 1 ) − 6 ( c − a ) ( w 1 − 2 v 1 ) T Y 2 ( 2 w 1 − x ( b ) − x ( c ) )       − 3 ( c − a ) b − c ( 2 w 1 − x ( b ) − x ( c ) ) T Y 3 ( 2 w 1 − x ( b ) − x ( c ) ) + ( b − c ) x T ( b ) X 1 x ( b )       + ( c − a ) x T ( c ) X 2 x ( c ) − ( b − c ) w 1 T X 1 w 1 − ( c − a ) w 2 T X 2 w 2 因此，结论成立，证毕。 目前已有的文献中，处理带增广的二重积分不等式都是直接用Jenson不等式处理，带有很强的保守性。在本篇文章中，结合前人研究以及所学知识，通过引入两个零等式来估计积分的上限，引入自由矩阵让这个积分拥有更多的自由度。 为了便于后面的研究，需要对带有分母的积分项进行处理，因此在这个不等式中，引入 ( x ( c ) − x ( a ) ) T Y 3 ( x ( c ) − x ( a ) ) + 3 ( 2 w 2 − x ( c ) − x ( a ) ) T Y 3 ( 2 w 2 − x ( c ) − x ( a ) ) 让它与后面这一项组合 − ( c − a ) { 1 b − a ( x ( b ) − x ( c ) ) T Y 3 ( x ( b ) − x ( c ) ) + 3 b − c ( 2 w 1 − x ( b ) − x ( c ) ) T Y 3 ( 2 w 1 − x ( b ) − x ( c ) ) } ，然后巧妙地 运用互凸组合进行化简和放缩。通过这一系列的处理后，我们可以得到一个拥有多个松弛矩阵和大量状态向量交叉信息的具有增广的二重积分不等式。利用这个不等式对二重积分进行放缩，在降低保守性具有非常良好的效果。