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user: 3. 积分–微分方程 定理1： V ( x ， b ) 满足以下的积分微分方程组， 当 0 ≤ x < b 时， σ 2 2 V x x ( x ， b ) − c 1 V x ( x ， b ) − ( λ 1 + λ 2 + δ ) V ( x ， b ) + λ 1 ∫ 0 ∞ V ( x + u ， b ) d F U ( u ) + λ 2 ∫ 0 ∞ V ( x + v ， b ) d F V ( v ) = 0 ， (2) 当 x > b 时， σ 2 2 V x x ( x ， b ) − c 2 V x ( x ， b ) − ( λ 1 + λ 2 + δ ) V ( x ， b ) + λ 1 ∫ 0 ∞ V ( x + u ， b ) d F U ( u ) + λ 2 ∫ 0 ∞ V ( x + v ， b ) d F V ( v ) + η ( c 2 − c 1 ) = 0 ， (3) 初始条件为 V ( 0 ， b ) = 0 ，连续条件为 V ( b − ， b ) = V ( b + ， b ) 且 V x ( b − ， b ) = V x ( b + ， b ) 。 证明：首先我们考虑 x > b 时的情况，取一个足够小的时间 h 使得 x − c 2 h > b ，则在区间 ( 0 ， h ) 内发生的时间分为以下四种情况： (1) 在到时刻 h 前，两类项目均无收益； (2) 在到时刻 h 前，第一类项目有收益第二类项目无收益； (3) 在到时刻 h 前，第一类项目无收益第二类项目有收益； (4) 在到时刻 h 前，两类项目都有收益； V ( x ， b ) = η ( c 2 − c 1 ) ∫ 0 h e − δ t d t + ( 1 − δ h ) { ( 1 − λ 1 h ) ( 1 − λ 2 h ) E [ V ( x − c 2 h + σ W ( h ) ， b ) ]     + λ 1 h ( 1 − λ 2 h ) ∫ 0 ∞ E [ V ( x + u − c 2 h + σ W ( h ) ， b ) ] d F U ( u )     + ( 1 − λ 1 h ) λ 2 h ∫ 0 ∞ E [ V ( x + v − c 2 h + σ W ( h ) ， b ) ] d F V ( v ) } + o ( h ) . (4) 用泰勒公式展开 V ( x − c 2 h + σ W ( h ) ， b ) ，得到 V ( x − c 2 h + σ W ( h ) ， b ) = V ( x ， b ) + V x ( x ， b ) ( − c 2 h + σ W ( h ) ) + V x x ( x ， b ) ( − c 2 h + σ W ( h ) ) 2 2 + o ( h ) . 由布朗运动的性质，对上式取期望可得 E [ V ( x − c 2 h + σ W ( h ) ， b ) ] = V ( x ， b ) − c 2 h V x ( x ， b ) + σ 2 2 h V x x ( x ， b ) + o ( h ) . (5) 将(5)代入(4)可得 σ 2 2 h V x x ( x ， b ) + η h ( c 2 − c 1 ) − c 2 h V x ( x ， b ) − ( λ 1 + λ 2 + δ ) h V ( x ， b ) + λ 1 h ∫ 0 ∞ V ( x + u ， b ) d F U ( u ) + λ 2 h ∫ 0 ∞ V ( x + v ， b ) d F V ( v ) + o ( h ) = 0. (6) 然后对(6)式两侧关于 h 求导并令 h → 0 可得(3)。利用类似的讨论方式可以得到积分微分方程(2)。 当公司的初始准备金为零时，公司立即破产，即分红现值的期望为零。故初始条件满足。 注1：① 尽管 V ( x ， b ) 和 V x ( x ， b ) 在点 b 是连续的，但 V x x ( x ， b ) 未必是连续的。而由(2)可得 σ 2 2 V x x ( b − ， b ) − c 1 V x ( b − ， b ) − ( λ 1 + λ 2 + δ ) V ( b − ， b ) + λ 1 ∫ 0 ∞ V ( b + u ， b ) d F U ( u ) + λ 2 ∫ 0 ∞ V ( b + v ， b ) d F V ( v ) = 0 ， 由(3)可得 σ 2 2 V x x ( b + ， b ) − c 2 V x ( b + ， b ) − ( λ 1 + λ 2 + δ ) V ( b + ， b ) + λ 1 ∫ 0 ∞ V ( b + u ， b ) d F U ( u ) + λ 2 ∫ 0 ∞ V ( b + v ， b ) d F V ( v ) + η ( c 2 − c 1 ) = 0. 将以上两式相减可得 σ 2 2 [ V x x ( b − ， b ) − V x x ( b + ， b ) ] + c 2 V x ( b + ， b ) − c 1 V x ( b − ， b ) = η ( c 2 − c 1 ) ， 上式说明当 V x x ( b − ， b ) = V x x ( b + ， b ) 时，若 V x ( b + ， b ) = V x ( b − ， b ) = η 则上式成立。这一结论在后面确定最优分红边界时会用到。 ② V ( x ， b ) 是有界的。 因为 ( c 2 − c 1 ) ∫ 0 T e − δ t η I ( X ( t ) > b ) d t ≤ ( c 2 − c 1 ) ∫ 0 ∞ e − δ t η I ( X ( t ) > b ) d t ， 易得 0 ≤ V ( x ， b ) ≤ η ( c 2 − c 1 ) δ 。 注2：为方便起见，我们做如下定义： V ( x ， b ) = { V 1 ( x ) ， 0 < x < b ， V 2 ( x ) ， x > b . (7) 则(2)和(3)可重新改写成如下方程组 当 0 ≤ x < b 时， σ 2 2 V ″ 1 ( x ) − c 1 V ′ 1 ( x ) − ( λ + δ ) V 1 ( x ) + λ 1 ∫ 0 b − x V 1 ( x + u ) d F U ( u ) + λ 1 ∫ b − x ∞ V 2 ( x + u ) d F U ( u ) + λ 2 ∫ 0 b − x V 2 ( x + v ) d F V ( v ) + λ 2 ∫ b − x ∞ V 2 ( x + v ) d F V ( v ) = 0 ， (8) 当 x > b 时， σ 2 2 V ″ 2 ( x ) − c 2 V ′ 2 ( x ) − ( λ + δ ) V 2 ( x ) + λ 1 ∫ 0 ∞ V 2 ( x + u ) d F U ( u ) + λ 2 ∫ 0 ∞ V 2 ( x + v ) d F V ( v ) + η ( c 2 − c 1 ) = 0 ， (9) 其中， λ = λ 1 + λ 1 ，初始条件为 V 1 ( 0 ) = 0 ，连续条件为 V 1 ( b − ) = V 2 ( b + ) 且 V ′ 1 ( b − ) = V ′ 2 ( b + ) 。 3.1. 收益服从指数分布 第一类项目的收益分布为 d F U ( u ) = α e − α u ，第二类项目的收益分布为 d F V ( v ) = β e − β v 。不失一般性，我们给定 α > β 。将分布函数代入到(9)式，变量替换后得到 当 x > b 时， σ 2 2 V ″ 2 ( x ) − c 2 V ′ 2 ( x ) − ( λ + δ ) V 2 ( x ) + λ 1 ∫ x ∞ V 2 ( u ) α e − α ( u − x ) d u + λ 2 ∫ x ∞ V 2 ( v ) β e − β ( v − x ) d v + η ( c 2 − c 1 ) = 0. (10) 令 I 表示值函数 V 2 ( x ) 的恒等算子， Q 表示值函数 V 2 ( x ) 的微分算子。对(10)两侧进行 Q ( Q − α I ) − β ( Q − α I ) 运算得到 σ 2 2 V 2 ( 4 ) ( x ) − [ σ 2 2 ( α + β ) + c 2 ] V 2 ( 3 ) ( x ) + [ c 2 ( α + β ) − ( λ + δ ) + α β σ 2 2 ] V 2 ( 2 ) ( x ) + [ ( α + β ) ( δ + λ ) − λ 1 α − λ 2 β − α β c 2 ] V ′ 2 ( x ) − α β δ V 2 ( x ) + α β η ( c 2 − c 1 ) = 0. 易见上面的四阶非齐次微分方程有一个特解 η ( c 2 − c 1 ) δ 。其所对应的特征微分方程为 σ 2 2 r 4 − [ σ 2 2 ( α + β ) + c 2 ] r 3 + [ c 2 ( α + β ) − ( λ + δ ) + α β σ 2 2 ] r 2 + [ ( α + β ) ( δ + λ ) − λ 1 α − λ 2 β − α β c 2 ] r − α β δ = 0 ， 其有一个负根 r 1 和三个正根 r 2 ， r 3 ， r 4 ( r 1 < 0 < r 2 < β < r 3 < α < r 4 )，故 V 2 ( x ) = D 1 e r 1 x + D 2 e r 2 x + D 3 e r 3 x + D 4 e r 4 x + η ( c 2 − c 1 ) δ ， (11) 其中， D 1 ， D 2 ， D 3 和 D 4 是待定的系数。 由注2可推知 D 4 ≤ 0 。为证 D 4 = 0 ，我们需研究 V 2 ( x ) 的微分 V ′ 2 ( x ) = D 1 r 1 e r 1 x + D 2 r 2 e r 2 x + D 3 r 3 e r 3 x + D 4 r 4 e r 4 x . 若 D 4 < 0 ，当 x 足够大时有 V ′ 2 ( x ) < 0 ，这与 V 2 ( x ) 是递增的事实相矛盾，所以 D 4 = 0 。同样可证得 D 3 = D 2 = 0 且 D 1 < 0 ，故 V 2 ( x ) = D 1 e r 1 x + η ( c 2 − c 1 ) δ . 为求解 V 1 ( x ) ，需将 V 1 和 V 2 代入(8)得 当 0 ≤ x ≤ b 时， σ 2 2 V ″ 1 ( x ) − c 1 V ′ 1 ( x ) − ( λ + δ ) V 1 ( x ) + α λ 1 e α x [ ∫ x b V 1 ( u ) e − α u d u + D 1 ∫ b ∞ e ( r 1 − α ) u d u + η c 2 − c 1 δ ∫ b ∞ e − α u d u ] + β λ 2 e β x [ ∫ x b V 1 ( v ) e − β v d v + D 1 ∫ b ∞ e ( r 1 − β ) v d v + η c 2 − c 1 δ ∫ b ∞ e − β v d v ] = 0 ， (12) 对上式两侧进行 Q ( Q − α I ) − β ( Q − α I ) 运算可得 σ 2 2 V 1 ( 4 ) ( x ) − [ σ 2 2 ( α + β ) + c 1 ] V 1 ( 3 ) ( x ) + [ c 1 ( α + β ) − ( λ + δ ) + α β σ 2 2 ] V 1 ( 2 ) ( x ) + [ ( α + β ) ( δ + λ ) − λ 1 α − λ 2 β − α β c 1 ] V ′ 1 ( x ) − α β δ V 1 ( x ) = 0. 因此 V 1 ( x ) = E 1 e s 1 x + E 2 e s 2 x + E 3 e s 3 x + E 4 e s 4 x ， 其中， E 1 ， E 2 ， E 3 和 E 4 是待定的系数。 s 1 ， s 2 ， s 3 和 s 4 ( s 1 < 0 < s 2 < β < s 3 < α < s 4 )是对应特征方程的解，特征方程如下 σ 2 2 s 4 − [ σ 2 2 ( α + β ) + c 2 ] s 3 + [ c 1 ( α + β ) − ( λ + δ ) + α β σ 2 2 ] s 2 + [ ( α + β ) ( δ + λ ) − λ 1 α − λ 2 β − α β c 1 ] s − α β δ = 0. 因初始条件为 V 1 ( 0 ) = 0 ，即 E 1 + E 2 + E 3 + E 4 = 0 (13) 又由连续条件 V 1 ( b − ) = V 2 ( b + ) 得 D 1 e r 1 b + η ( c 2 − c 1 ) δ = E 1 e s 1 b + E 2 e s 2 b + E 3 e s 3 b + E 4 e s 4 b . (14) 此外，由一阶连续性 V ′ 1 ( b − ) = V ′ 2 ( b + ) 可得 D 1 r 1 e r 1 b = E 1 s 1 e s 1 b + E 2 s 2 e s 2 b + E 3 s 3 e s 3 b + E 4 s 4 e s 4 b . (15) 将 V 1 和 V 2 的表达式代入(12)，可得 然后将 e α x 和 e β x 的系数化为零，得到 E 1 s 1 − α e s 1 b + E 2 s 2 − α e s 2 b + E 3 s 3 − α e s 3 b + E 4 s 4 − α e s 4 b − D 1 r 1 − α e r 1 b + η ( c 2 − c 1 ) α δ = 0 ， (16) E 1 s 1 − β e s 1 b + E 2 s 2 − β e s 2 b + E 3 s 3 − β e s 3 b + E 4 s 4 − β e s 4 b − D 1 r 1 − β e r 1 b + η ( c 2 − c 1 ) β δ = 0. (17) 联立(13)~(17)可解得 E i ( i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 和 D 1 。故 V ( x ， b ) 的表达式为 V ( x ， b ) = { E 1 e s 1 x + E 2 e s 2 x + E 3 e s 3 x + E 4 e s 4 x ， 0 ≤ x ≤ b ， D 1 e r 1 x + η ( c 2 − c 1 ) δ ， x > b . (18) 3.2. 用 V 1 ( x ) 求解 V ( x ， b ) 当收益服从指数分布时，我们得到 V 2 ( x ) = D 1 e r 1 x + η ( c 2 − c 1 ) δ ， (19) 本节证明当收益服从任何分布时 V ( x ， b ) 可以用 V 1 ( x ) 来表示，因此只需求解 V 1 ( x ) 就可以得到值函数。 引理1：考虑没有分红的二维复合泊松模型，其以 c 速率进行花费， X ˜ ( t ) = x − c t + S 1 ( t ) + S 2 ( t ) + σ W ( t ) . 破产时刻的Laplace变换 ψ 满足 ψ ( x ) = E [ e − δ T ˜ | X ˜ ( 0 ) = x ] = e R δ x (20) 其中， T ˜ = i n f { t : X ˜ ( t ) < 0 } (任意 t ≥ 0 有 X ˜ ( t ) > 0 则 T ˜ = ∞ )是破产时刻。 R δ 是以下拓展的Lundberg基本方程的非正根 − δ − c θ + λ 1 ( M U ( θ ) − 1 ) + λ 2 ( M V ( θ ) − 1 ) + σ 2 θ 2 2 = 0 ， 其中， M U ( θ ) 是 { U i ， i ≥ 1 } 的矩母生成函数， M V ( θ ) 是 { V i ， i ≥ 1 } 的矩母生成函数。 证明：定义一个过程 Z θ ( t ) = e − δ t + θ X ˜ ( t ) ，考虑过程 { Z θ ( t ) : t ≥ 0 } ，因 { X ˜ ( t ) } 具有独立平稳增量性，且 { Z θ ( t ) } 是鞅当且仅当 E ( Z θ ( t ) ) = Z θ ( 0 ) ，即 e − δ t + θ x − c t θ + λ 1 t ( M U ( θ ) − 1 ) + λ 2 t ( M V ( θ ) − 1 ) + t σ 2 θ 2 2 = e θ x . 于是可以得到拓展的Lundberg基本方程 − δ − c θ + λ 1 ( M U ( θ ) − 1 ) + λ 2 ( M V ( θ ) − 1 ) + σ 2 θ 2 2 = 0. 令 ϕ ( θ ) : = − c θ + λ 1 ( M U ( θ ) − 1 ) + λ 2 ( M V ( θ ) − 1 ) + σ 2 θ 2 2 ，可得到 lim θ → − ∞ ϕ ( θ ) = + ∞ ，     ϕ ( 0 ) = 0 ， ϕ ″ ( θ ) = λ 1 ∫ 0 ∞ u 2 e − θ u d F U ( u ) + λ 2 ∫ 0 ∞ v 2 e − θ v d F V ( v ) + σ 2 > 0 ， 因此 ϕ ( θ ) 在 ( − ∞ ， 0 ) 是凹函数， ϕ ( θ ) − δ = 0   ( δ > 0 ) 有唯一非正根记为 R δ 。当 0 ≤ t ≤ T ˜ 时，有 0 < Z R δ ( t ) ≤ 1 ，故 { Z R δ ( t ∧ T ˜ ) } 为有界鞅。又由最优停时定理得到对任意 t 有 E ( Z R δ ( t ∧ T ˜ ) ) = Z R δ ( 0 ) 。应用局部收敛定理得 E ( Z R δ ( T ˜ ) ) = Z R δ ( 0 ) ，也就是(20)。 定理2：当 x > b 时， V ( x ， b ) = η ( c 2 − c 1 ) 1 − e R ¯ δ ( x − b ) δ + e R ¯ δ ( x − b ) V ( b ， b ) ， (21) R ¯ δ 是以下拓展的Lundberg基本方程的唯一非正根 σ 2 θ 2 2 + λ 1 ( M U ( θ ) − 1 ) + λ 2 ( M V ( θ ) − 1 ) = δ + c 2 θ . 证明：盈余第一次下降 χ 个单位所用时间记为 T ¯ − χ ，其中 χ = x − b 。以 δ 为折现率，在 T ¯ − χ 时刻支付1个单位的数额折现值的期望表达式为 E [ e − δ T ¯ | X ( 0 ) − b = χ ] ，由引理1知其等值于 e R δ ¯ χ 。在盈余下降到 b 后到破产时的分红现值期望为 V ( b + χ ) = V ( x ， b ) = E [ η ( c 2 − c 1 ) ∫ 0 T ¯ − χ e − δ t | X ( 0 ) − b = χ ] + e R δ ¯ χ V ( b ， b ) = − η ( c 2 − c 1 ) δ ( e R δ ¯ χ − 1 ) + e R δ ¯ χ V ( b ， b ) = η ( c 2 − c 1 ) 1 − e R ¯ δ ( x − b ) δ + e R ¯ δ ( x − b ) V ( b ， b ) . 由定理2可知在对 V 2 ( x ) 求解时可以不用(8)。当 0 < x ≤ b 时，可直接将(21)代入(2)得到一个如下的积分微分方程来求解 V ( x ， b ) 。 σ 2 2 V x x ( x ， b ) − c 1 V x ( x ， b ) − ( λ + δ ) V ( x ， b ) + λ 1 ∫ 0 b − x V ( x + u ， b ) d F U ( u ) + λ 1 { ∫ b − x ∞ η ( c 2 − c 1 ) δ d F U ( u ) + [ V ( b ， b ) − η ( c 2 − c 1 ) δ ] ∫ b − x ∞ e R ¯ δ ( x + u − b ) d F U ( u ) } + λ 2 ∫ 0 b − x V ( x + v ， b ) d F V ( v ) + λ 2 { ∫ b − x ∞ η ( c 2 − c 1 ) δ d F V ( v ) + [ V ( b ， b ) − η ( c 2 − c 1 ) δ ] ∫ b − x ∞ e R ¯ δ ( x + v − b ) d F V ( v ) } = 0. (22)