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user: 4. 案例分析(Examples Analysis) 为分析采空区上方高速公路建设场地残余变形特征，为此，沿高速公路路线方向布设沉降监测点，残余沉降监测自2013年11月起，截至2014年8月，获取了不等时间间隔观测10个周期的沉降数据，累计时长263天，为满足建模要求，首先需将沉降数据进行非负性处理，处理后的原始数据序列见表1。 Table 1 Original data serie 监测日期 J89 J90 J91 12月11日 1.54 1.53 1.17 1月3日 3.68 3.34 2.65 1月23日 5.33 4.94 4.18 2月25日 8.86 8.08 7.07 3月20日 10.85 10.10 9.25 4月20日 10.91 10.27 9.54 5月28日 12.21 11.63 10.85 6月24日 13.40 14.65 13.62 8月5日 15.31 16.24 15.34 表1. 原始数据序列 对以上原始数据分别建立非等间隔GM (1， 1)模型、非等间隔MGM (1， 3)模型，并分别采用传统方法以及本文提到的优化算法求取模型参数，之后将参数代入模型获取实验数据的拟合值和预测值，最终从模型参数的求取精度、实验数据的拟合均方误差以及预测值的残差大小三方面对以上两种模型及参数优化方法进行评价。具体方案设计如下： A方案：对选取的J89、J90、J91三个水准监测点的9期监测数据建立各自的非等间距GM (1， 1)模型，分别采用最小二乘法和上文中提到的总体最小二乘法进行模型参数求取，并建立相应的时间响应函数，进行拟合和预测； B方案：对选取的J89、J90、J91三个水准监测点的9期监测数据建立非等间距MGM (1， 3)模型，分别采用最小二乘法和上文中提到的总体最小二乘法进行模型参数求取，并建立相应的时间响应函数，进行拟合和预测。 为比较非等间距GM (1， 1)模型中传统最小二乘算法与总体最小二乘优化算法优劣，将A方案的部分实验结果分别列于表2、表3，表2为针对J89、J90、J91三个水准监测点建立的非等间距GM (1， 1)模型，并分别采用传统最小二乘法和总体最小二乘优化算法所求取的模型灰参数值，以及平差结果的单位权中误差。表3为将J90号点两种算法所求取的模型参数带入模型后，算得的拟合值和预报值以及拟合误差和预报误差。 Table 2 Calculation results of GM (1， 1) model parameters in scheme 点号 J89 J90 J91 参数/方法 LS 优化算法 LS 优化算法 LS 优化算法 a −0.0056 −0.0056 −0.0066 −0.0067 −0.0073 −0.0073 b 5.2391 5.2249 4.6588 4.6448 3.9661 3.9483 σ 0 1.8033 1.8035 1.4953 1.4953 1.4510 1.4511 表2. 方案A中GM (1， 1)模型参数计算结果 Table 3 Fitting error of point J90 of two algorithms under scheme 监测日期 实测值 LS 误差( Δ ) 优化算法 误差( Δ ) 12月11日 1.53 1.5300 0.0000 1.5300 0.0000 1月3日 3.34 5.0249 1.6889 5.0156 1.6796 1月23日 4.94 5.7710 0.8315 5.7725 0.8329 2月25日 8.08 6.8591 −1.2197 6.8790 −1.1999 3月20日 10.10 8.2727 −1.8248 8.3201 −1.7774 4月20日 10.27 9.9240 −0.3447 10.0085 −0.2602 5月28日 11.63 12.4329 0.7998 12.5818 0.9488 6月24日 14.65 15.3352 0.6890 15.5680 0.9218 8月5日 16.24 19.1647 2.9296 19.5221 3.2869 RMS (拟合) - 1.1414 1.1390 表3. 方案A下两种算法J90号点拟合误差 为比较非等间距MGM (1， 1)模型中传统最小二乘算法与总体最小二乘优化算法优劣，对B方案进行实施，需要指出的是，在建立非等间距MGM (1， 3)模型之前，首先对所选取的J89、J90、J91三个水准监测点的监测数据序列进行关联度分析，本次采用斜率关联度计算公式算得J89与J90序列间、J90与J91序列间、J89与J91序列间的关联度分别为0.92、0.97、0.92，这表明三个数据序列之间有很强的关联性，完全满足建模要求。建立好相应的非等间距MGM (1， 3)模型后，分别采用传统最小二乘法和本章的优化算法进行参数求取，所求模型参数及单位权中误差见表4。为进一步比较分析两种算法在模型进行拟合和预测两方面的效果，将所求参数代入模型，建立相应的时间响应函数，将两种方法所得的拟合值、预测值以及拟合误差、预测误差分别列于表5、表6。 Table 4 Calculation results of MGM (1， 3) model parameters in scheme 方法/参数 LS 优化算法 C 1 T −0.0569 −0.0378 −0.0232 −0.0758 −0.0492 −0.0333 0.3700 0.2819 0.2335 0.4234 0.3144 0.2622 −0.3372 −0.2608 −0.2241 −0.3746 −0.2835 −0.2442 C 2 T 1.7859 1.8229 1.2950 1.5500 1.6794 1.1685 σ 0 0.5501 0.4409 表4. 方案B中MGM (1， 3)模型参数求取结果 Table 5 Residual error of least squares parameter fitting in scheme 监测日期 J89 J90 J91 拟合/预测 误差( Δ ) 拟合/预测 误差( Δ ) 拟合/预测 误差( Δ ) 12月11日 1.5400 0.0000 1.5300 0.0000 1.1700 0.0000 1月3日 3.3936 −0.2850 3.1388 −0.1973 2.4619 −0.1834 1月23日 6.1764 0.8426 5.5282 0.5887 4.6610 0.4819 2月25日 8.7455 −0.1164 7.9848 −0.0941 7.0599 −0.0076 3月20日 10.1536 −0.6945 9.6819 −0.4156 8.8444 −0.4091 4月20日 10.3007 −0.6093 10.3684 0.0997 9.6534 0.1172 5月28日 10.3082 −1.9018 10.9901 −0.6429 10.2775 −0.5695 6月24日 11.5696 −1.8335 12.5168 −2.1294 11.5640 −2.0519 8月5日 15.4243 0.1115 16.2402 0.0051 14.7728 −0.5710 RMS (拟合) 0.8913 0.3967 0.3525 表5. 方案B中最小二乘求参拟合残差 Table 6 Total least squares fitting residuals in scheme 监测日期 J89 J90 J91 拟合/预测 误差( Δ ) 拟合/预测 误差( Δ ) 拟合/预测 误差( Δ ) 12月11日 1.5400 0.0000 1.5300 0.0000 1.1700 0.0000 1月3日 3.3449 −0.3336 3.1099 −0.2261 2.4316 −0.2137 1月23日 6.3130 0.9792 5.6196 0.6801 4.7407 0.5616 2月25日 8.8021 −0.0599 8.0256 −0.0532 7.1059 0.0384 3月20日 9.9985 −0.8495 9.5755 −0.5220 8.7574 −0.4962 4月20日 10.1148 −0.7952 10.2339 −0.0348 9.5243 −0.0118 5月28日 10.4398 −1.7702 11.0752 −0.5579 10.3360 −0.5110 6月24日 12.0426 −1.3605 12.8381 −1.8081 11.8638 −1.7521 8月5日 15.7073 0.3946 16.3727 0.1376 14.9741 −0.3697 RMS (拟合) 0.8681 0.3761 0.3319 表6. 方案B中总体最小二乘拟合残差 为比较分析非等间隔GM (1， 1)模型、非等间隔MGM (1， 3)模型的拟合和预报效果，以总体最小二乘的求参结果为准，将J89、J90、J91三点的拟合误差以及预报误差制成柱状图列于图1、图2、图3。 图1. J89号点两种模型的拟合/预报误差 图2. J90号点两种模型的拟合/预报误差 图3. J91号点两种模型的拟合/预报误差 从表2可以看出，对于J89、J90、J91三点建立的非等间距GM (1， 1)模型，采用传统最小二乘法和总体最小二乘法的平差结果差异较小，其中发展系数a的值完全相同，而控制系数b的值略有不同，单位权中误差基本一致。从表3可以看出，比较分析J90点前七组数据的拟合均方误差来说，总体最小二乘算法优于最小二乘算法，但并不显著，而对于后两组数据的预报误差来说，总体最小二乘算法并不优于最小二乘。从此算例的实验结果来看，两种算法均能获取相同的发展系数a，而a代表了原始数据序列的发展态势，对于有限的数据来说这种结果是完全合理的，从单位权中误差以及拟合误差来看，总体最小二乘算法的优越性没有得到显著体现，而其预报效果明显低于传统算法，这与总体最小二乘理论上更严密的结论相违背，分析原因可能是针对本算例的实验数据，模型本身精度有限，顾及系数矩阵误差的总体最小二乘算法对模型的改进被模型误差所掩盖，其优越性得不到体现。 从表4可以看出，针对J89、J90、J91三点建立的非等间距MGM (1， 3)模型，采用传统最小二乘法和多元总体最小二乘优化算法的平差结果有所差异，采用优化算法计算的单位权中误差明显小于传统算法，这是因为优化算法顾及了系数矩阵中非随机元素所含的误差，使得平差模型更加严密，故所求模型参数的精度更高；比较表5、表6中的数据可以看出，无论是前七组建模数据的拟合误差还是后两组数据的预报误差，基于多元总体最小二乘的优化算法均小于传统的多元最小二乘算法，这进一步表明了优化算法较传统算法的严密性和优越性。 经过上述分析，在非等间距GM (1， 1)模型的求解中优化算法和传统算法效果相当，在非等间距MGM (1， 3)模型的求解中优化算法有一定的优越性。因此，统一以总体最小二乘优化算法为准，比较J89、J90、J91三点在两种模型下的拟合和预报效果，从图1、图2、图3中可以看出各点在非等间距MGM (1， 3)模型下的拟合误差和预报误差均明显小于非等间距GM (1， 1)模型，这是由于多变量灰色模型MGM (1， 3)不仅考虑了变形数据序列的时间相关性，还考虑了监测点的空间相关性，使得所建立的模型更能贴切的反映变形数据之间相互影响的发展态势。这也相应的证明了在此算例中非等间距GM (1， 1)模型具有较大的模型误差，从而佐证了关于总体最小二乘优化算法在非等间距GM (1， 1)模型求解中，其优越性得不到体现的解释的正确性。