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user: 3. 主要结果及其证明 借助于如上两个引理，我们可以证明下面的主要定理。 定理1：假设 H ， h 1 ， h 2 如前所定义，若对于任一 t ≥ l ≥ t 0 ，存在 H ∈ C ( D ， ℝ + ) 以及 ρ ∈ C 1 ( I ， ℝ + ) 满足 lim t → ∞ sup ∫ l t { k 1 k 2 ρ ( s ) q ( s ) ( 1 − p ( σ i 0 ( s ) ) ) H ( s ， l ) − ρ ( s ) a ( σ ( s ) ) 4 σ ′ ( s ) [ h 2 ( s ， l ) + ρ ′ ( s ) ρ ( s ) H ( s ， l ) ] 2 } d s > 0. (6) 和 lim t → ∞ sup ∫ l t { k 1 k 2 ρ ( s ) q ( s ) ( 1 − p ( σ i 0 ( s ) ) ) H ( t ， s ) − ρ ( s ) a ( σ ( s ) ) 4 σ ′ ( s ) [ h 2 ( t ， s ) + ρ ′ ( s ) ρ ( s ) H ( t ， s ) ] 2 } d s > 0. (7) 则方程(1)是振动的。 证明：我们这里使用反证法证明。若不然，假设 x ( t ) 是方程(1)的一个非振动正解，而且 x ( t ) 最终为正。不失一般性，我们不妨可以假设，存在充分大的 T 0 ≥ t 0 使得对所有的 t ≥ T 0 都有， x ( t ) > 0 ， x ( τ ( t ) ) > 0 ， x ( σ ( t ) ) > 0 ， x ( σ i ( t ) ) > 0 ( i ∈ I m ) ，令 a = T 0 ，在(6)式中，令 l = a ，则存在 c > a 满足 ∫ a t { k 1 k 2 ρ ( s ) q ( s ) ( 1 − p ( σ i 0 ( s ) ) ) H ( s ， a ) − ρ ( s ) a ( σ ( s ) ) 4 σ ′ ( s ) [ h 1 ( s ， a ) + ρ ′ ( s ) ρ ( s ) H ( s ， a ) ] 2 } d s > 0. (8) 在(7)式中，令 l = c ，则存在 b > c 满足 ∫ c b { k 1 k 2 ρ ( s ) q ( s ) ( 1 − p ( σ i 0 ( s ) ) ) H ( b ， s ) − ρ ( s ) a ( σ ( s ) ) 4 σ ′ ( s ) [ h 2 ( b ， s ) + ρ ′ ( s ) ρ ( s ) H ( b ， s ) ] 2 } d s > 0. (9) 由(8)式移项可知 ∫ a t k 1 k 2 ρ ( s ) q ( s ) ( 1 − p ( σ i 0 ( s ) ) ) H ( s ， a ) d s > ∫ a t ρ ( s ) a ( σ ( s ) ) 4 σ ′ ( s ) [ h 1 ( s ， a ) + ρ ′ ( s ) ρ ( s ) H ( s ， a ) ] 2 d s . 由(9)式移项可知 ∫ c b k 1 k 2 ρ ( s ) q ( s ) ( 1 − p ( σ i 0 ( s ) ) ) H ( b ， s ) d s > ∫ c b ρ ( s ) a ( σ ( s ) ) 4 σ ′ ( s ) [ h 2 ( b ， s ) + ρ ′ ( s ) ρ ( s ) H ( b ， s ) ] 2 d s . 如上两式左边和右边分别乘以 1 H ( c ， a ) 和 1 H ( b ， c ) 再相加，可得 1 H ( c ， a ) ∫ a c k 1 k 2 ρ ( s ) q ( s ) ( 1 − p ( σ i 0 ( s ) ) ) H ( s ， a ) d s + 1 H ( b ， c ) ∫ a c k 1 k 2 ρ ( s ) q ( s ) ( 1 − p ( σ i 0 ( s ) ) ) H ( b ， s ) d s > 1 4 H ( c ， a ) ∫ a c ρ ( s ) a ( σ ( s ) ) σ ′ ( s ) [ h 1 ( s ， a ) + ρ ′ ( s ) ρ ( s ) H ( s ， a ) ] 2 d s     + 1 4 H ( b ， c ) ∫ a c ρ ( s ) a ( σ ( s ) ) σ ′ ( s ) [ h 2 ( b ， s ) + ρ ′ ( s ) ρ ( s ) H ( b ， s ) ] 2 d s (10) 而(2)式除以 H ( b ， c ) ，(5)式除以 H ( c ， a ) ，所得两式相加得到下式 1 H ( c ， a ) ∫ a c k 1 k 2 ρ ( s ) q ( s ) ( 1 − p ( σ i 0 ( s ) ) ) H ( s ， a ) d s + 1 H ( b ， c ) ∫ c b k 1 k 2 ρ ( s ) q ( s ) ( 1 − p ( σ i 0 ( s ) ) ) H ( b ， s ) d s < 1 4 H ( c ， a ) ∫ a c ρ ( s ) a ( σ ( s ) ) σ ′ ( s ) [ h 1 ( s ， a ) + ρ ′ ( s ) ρ ( s ) H ( s ， a ) ] 2 d s     + 1 4 H ( b ， c ) ∫ a c ρ ( s ) a ( σ ( s ) ) σ ′ ( s ) [ h 2 ( b ， s ) + ρ ′ ( s ) ρ ( s ) H ( b ， s ) ] 2 d s 显然此式与(10)式矛盾，故假设不成立，从而定理1得证。 令 H ( t ， s ) = H ( t − s ) ，如前所述，则有 h 1 ( t − s ) = h 2 ( t − s ) ，并记其为 h ( t − s ) ，则得到如下定理： 定理2：若对任一 t > t 0 ，存在 a ， c ∈ ℝ 使 t ≤ a < c 且存在 H ∈ C ( D ， ℝ + ) ， ρ ∈ C 1 ( I ， ℝ + ) 满足 ∫ a c k 1 k 2 [ ρ ( s ) q ( s ) ( 1 − p ( σ i 0 ( s ) ) ) − ρ ( 2 c − s ) q ( 2 c − s ) ( 1 − p ( σ i 0 ( 2 c − s ) ) ) ] H ( s − a ) d s > 1 4 ∫ a c [ ρ ( s ) σ ′ ( s ) + ρ ( 2 c − s ) σ ′ ( 2 c − s ) ] h 2 ( s − a ) d s     + 1 2 ∫ a c [ ρ ′ ( s ) σ ′ ( s ) + ρ ′ ( 2 c − s ) σ ′ ( 2 c − s ) ] h ( s − a ) H ( s − a ) d s     + 1 4 ∫ a c [ ρ ( s ) σ ′ ( s ) ρ ( s ) + ρ ′ 2 ( 2 c − s ) σ ′ ( 2 c − s ) ρ ( 2 c − s ) ] H ( s − a ) d s 则方程(1)是振动的。 又令 H ( t ， s ) = ( t − s ) λ ， λ > 1 是常数。此时， h 1 ( t ， s ) = λ ( t − s ) λ 2 − 1 ， h 2 ( t ， s ) = − λ ( t − s ) λ 2 − 1 ，则得到如下定理： 定理3：若对任一 t ≥ l ≥ t 0 ，存在 ρ ∈ C 1 ( I ， ℝ + ) 以及一常数 λ > 1 满足 lim t → ∞ sup 1 t λ − 1 ∫ l t ( s − l ) λ { k 1 k 2 ρ ( s ) q ( s ) ( 1 − p ( σ i 0 ( s ) ) ) − ρ ( s ) a ( σ ( s ) ) 4 σ ′ ( s ) [ λ s − l + ρ ′ ( s ) ρ ( s ) ] 2 } d s > 0 lim t → ∞ sup 1 t λ − 1 ∫ l t ( s − l ) λ { k 1 k 2 ρ ( s ) q ( s ) ( 1 − p ( σ i 0 ( s ) ) ) − ρ ( s ) a ( σ ( s ) ) 4 σ ′ ( s ) [ λ t − s + ρ ′ ( s ) ρ ( s ) ] 2 } d s > 0 则方程(1)是振动的。