system: [SYSTEM]

user: 3. 可靠性分析 3.1. 固定变点情形下考虑竞争失效的二元多阶段随机退化系统的可靠度 本节将建立固定变点情形下的可靠度模型，仅考虑累积冲击过程，倘若系统的任意一个性能指标的总的性能退化量大于等于失效阈值时，系统失效。记两个性能指标的失效阈值分别 D 1 和 D 2 ，故性能指标i的可靠度表达式为： R i ( t ) = ∑ n = 0 ∞ P { S i ( t ) < D i | N ( t ) = n } P { N ( t ) = n } = ∑ n = 0 ∞ P { ∑ m = 1 j X i ， m ( t ) I [ τ m − 1 ， τ m ) ( t ) + ∑ k = 0 N ( t ) Y n < D i } P { N ( t ) = n } = ∑ n = 0 ∞ Φ ( D i − ( ∑ m = 0 j ( X i ( τ m − 1 ) + ( t − τ j − 1 ) μ i ， m ) I [ τ m − 1 ， τ m ) ( t ) + ( n + 1 ) μ y ) ∑ m = 0 j ( ( t − τ j − 1 ) σ i ， m ) 2 I [ τ m − 1 ， τ m ) ( t ) + ( n + 1 ) σ y 2 ) ( λ t ) n e − λ t n ! ， (10) 令 T i = inf { t ≥ 0 | Y i ( t ) ≥ D i } 表示性能指标 i 首次到达失效阈值的时间，则系统整个的寿命 T = min { T 1 ， T 2 } ，故系统的可靠度函数 R ( t ) 为： R ( t ) = P { T > t } = P { T 1 > t ， T 2 > t } = 1 − P { T 1 ≤ t } − P { T 2 ≤ t } + P { T 1 ≤ t ， T 2 ≤ t } = R 1 ， j ( t ) + R 2 ， j ( t ) − 1 + P { S 1 ( t ) > D 1 ， S 2 ( t ) > D 2 } = R 1 ， j ( t ) + R 2 ， j ( t ) − 1 + C ( F 1 ， j ( t ) ， F 2 ， j ( t ) ; θ ) . (11) 本节假设系统产生变点的时间固定已知，则当系统运行时刻 t 处在不同的阶段时，其初始退化量为随机变量。 如果 t ∈ [ 0 ， τ 1 ) ，则该阶段的系统可靠度为： R 1 ( t ) = ∑ i = 1 2 ∑ n = 0 ∞ Φ ( D i − ( X i ( τ 0 ) + t μ i ， 1 + ( n + 1 ) μ y ) t 2 σ i ， 1 2 + ( n + 1 ) σ y 2 ) ( λ t ) n e − λ t n ! − 1 + C ( F 1 ， 1 ( t ) ， F 2 ， 1 ( t ) ; θ ) ， (12) 其中 F i ， 1 ( t ) ， i = 1 ， 2 的表达式为： F i ， 1 ( t ) = 1 − ∑ n = 0 ∞ Φ ( D i − ( X i ( τ 0 ) + t μ i ， 1 + ( n + 1 ) μ y ) t 2 σ i ， 1 2 + ( n + 1 ) σ y 2 ) . (13) 如果 t ∈ [ τ 1 ， τ 2 ) ，则该阶段性能指标 i 的可靠度： R i ， 2 ( t ) = ∑ n = 0 ∞ P { S i ( t ) < D i ， sup 0 ≤ u < τ 1 S i ( u ) < D i | N ( t ) = n } P { N ( t ) = n } = ∑ n = 0 ∞ P { S i ( t ) < D i ， sup 0 ≤ u < τ 1 S i ( u ) < D i } P { N ( t ) = n } = ∑ n = 0 ∞ P { S i ( t ) < D i | sup 0 ≤ u < τ 1 S i ( u ) < D i } P { sup 0 ≤ u < τ 1 S i ( u ) < D i } P { N ( t ) = n } = ∑ n = 0 ∞ lim u → τ 1 P { S i ( u ) < D i } P { N ( t ) = n } P { S i ( t ) < D i | sup 0 ≤ u < τ 1 S i ( u ) < D i } = ∑ n = 0 ∞ lim u → τ 1 P { S i ( u ) < D i } P { N ( t ) = n } ∫ − ∞ D i P { S i ( t ) < D i | sup 0 ≤ u < τ 1 S i ( u ) < D i ， S i ( τ 1 ) = s i ， 1 } f S i ( τ 1 ) ( s i ， 1 ) d s i ， 1 = ∑ n = 0 ∞ lim u → τ 1 P { S i ( u ) < D i } P { N ( t ) = n } ∫ − ∞ D i P { S i ( t − τ 1 ) < D i − s i ， 1 } f S i ( τ 1 ) ( s i ， 1 ) d s i ， 1 ， (14) 其中 P { S i ( u ) < D i } ， P { N ( t ) = n } 和 P { S i ( t − τ 1 ) < D i − s i ， 1 } 的表达式分别为： P { S i ( u ) < D i } = Φ ( D i − ( u μ i ， 1 + ( n + 1 ) μ y ) u 2 σ i ， 1 2 + ( n + 1 ) σ y 2 ) ， (15) P { N ( t ) = n } = ( λ t ) n e − λ t n ! ， (16) P { S i ( t − τ 1 ) < D i − s i ， 1 } = Φ ( D i − s i ， 1 − ( ( t − τ 1 ) μ i ， 2 + ( n + 1 ) μ y ) ( t − τ 1 ) 2 σ i ， 1 2 + ( n + 1 ) σ y 2 ) . (17) 由于 E [ S i ( τ 1 ) ] = E [ X i ( τ 1 ) + Y ( τ 1 ) ] = τ 1 μ i ， 1 + ( n + 1 ) μ y ， V a r [ S i ( τ 1 ) ] = τ 1 2 σ i ， 1 2 + ( n + 1 ) σ y 2 ，故： f S i ( τ 1 ) ( s i ， 1 ) = 1 2 π ( τ 1 2 σ i ， 1 2 + ( n + 1 ) σ y 2 ) exp ( − ( s i ， 1 − τ 1 μ i ， 1 − ( n + 1 ) μ y ) 2 2 ( τ 1 2 σ i ， 1 2 + ( n + 1 ) σ y 2 ) ) . (18) 则该阶段的可靠度为： R 2 ( t ) = ∑ i = 1 2 R i ， 2 ( t ) − 1 + C ( F 1 ， 2 ( t ) ， F 2 ， 2 ( t ) ; θ ) ∑ i = 1 2 ∑ n = 0 ∞ lim u → τ 1 P { S i ( u ) < D i } P { N ( t ) = n } ∫ − ∞ D i P { S i ( t − τ 1 ) < D i − s i ， 1 } f S i ( τ 1 ) ( s i ， 1 ) d s i ， 1 − 1 + C ( F 1 ( t ) ， F 2 ( t ) ; θ ) ， (19) 其中 F i ， 2 ( t ) ， i = 1 ， 2 的表达式为： F i ， 2 ( t ) = 1 − ∑ n = 0 ∞ lim u → τ 1 P { S i ( u ) < D i } P { N ( t ) = n } ∫ − ∞ D i P { S i ( t − τ 1 ) < D i − s i ， 1 } f S i ( τ 1 ) ( s i ， 1 ) d s i ， 1 . (20) 如果 t ∈ [ τ j − 1 ， τ j ) ， j > 2 ，则该阶段性能指标 i 的可靠度为： R i ， j ( t ) = ∑ n = 0 ∞ P { S i ( t ) < D i ， ∩ m = 2 1 { sup τ m − 2 ≤ u < τ m − 1 S i ( u ) < D i } | N ( t ) = n } P { N ( t ) = n } = ∑ n = 0 ∞ P { S i ( t ) < D i ， sup 0 ≤ u < τ j − 1 S i ( u ) < D i } P { N ( t ) = n } = ∑ n = 0 ∞ P { S i ( t ) < D i | sup 0 ≤ u < τ j − 1 S i ( u ) < D i } P { sup 0 ≤ u < τ j − 1 S i ( u ) < D i } P { N ( t ) = n } = ∑ n = 0 ∞ lim u → τ j − 1 P { S i ( u ) < D i } P { N ( t ) = n } P { S i ( t ) < D i | sup 0 ≤ u < τ j − 1 S i ( u ) < D i } = ∑ n = 0 ∞ lim u → τ j − 1 P { S i ( u ) < D i } P { N ( t ) = n } ∫ − ∞ D i ⋯ ∫ − ∞ D i P { S i ( t ) < D i | sup 0 ≤ u < τ j − 1 S i ( u ) < D i ， ∩ m = 2 j S i ( τ m − 1 ) = s i ， m − 1 } f S i ( τ 1 ) ， ⋯ S i ( τ j − 1 ) ( s i ， 1 ， ⋯ s i ， j − 1 ) d s i ， 1 ⋯ d s i ， j − 1 = ∑ n = 0 ∞ lim u → τ j − 1 P { S i ( u ) < D i } P { N ( t ) = n } ∫ − ∞ D i ⋯ ∫ − ∞ D i P { S i ( t − ∑ m = 2 j τ m − 1 ) < D i − ∑ m = 2 j s i ， m − 1 } ∏ k = 1 j − 1 f S i ( τ k ) ( s i ， k ) d s i ， 1 ⋯ d s i ， j − 1 ， (21) 其中 P { S i ( u ) < D i } ， P { N ( t ) = n } 的表达式参见公式(15)到(17)，由于各阶段退化过程独立，故在变点处的退化量的联合分布独立，因此 f S i ( τ 1 ) ， ⋯ S i ( τ j − 1 ) ( s i ， 1 ， ⋯ s i ， j − 1 ) = ∏ k = 1 j − 1 f S i ( τ k ) ( s i ， k ) ， (22) f S i ( τ k ) ( s i ， k ) = 1 2 π ( τ k 2 σ i ， k 2 + ( n + 1 ) σ y 2 ) exp ( − ( s i ， k − τ k μ i ， k − ( n + 1 ) μ y ) 2 2 ( τ 1 2 σ i ， k 2 + ( n + 1 ) σ y 2 ) ) . (23) 则该阶段的可靠度为： R j ( t ) = ∑ i = 1 2 R i ， j ( t ) − 1 + C ( F 1 ， j ( t ) ， F 2 ， j ( t ) ; θ ) ∑ i = 1 2 ∑ n = 0 ∞ lim u → τ j − 1 P { S i ( u ) < D i } P { N ( t ) = n } ∫ − ∞ D i ⋯ ∫ − ∞ D i P { S i ( t − ∑ m = 2 j τ m − 1 ) < D i − ∑ m = 2 j s i ， m − 1 } ∏ k = 1 j − 1 f S i ( τ k ) ( s i ， k ) d s i ， 1 ⋯ d s i ， j − 1 − 1 + C ( F 1 ， j ( t ) ， F 2 ， j ( t ) ; θ ) ， (24) 其中 F i ， j ( t ) ， i = 1 ， 2 的表达式为： F i ， j ( t ) = 1 − ∑ n = 0 ∞ lim u → τ j − 1 P { S i ( u ) < D i } P { N ( t ) = n } ∫ − ∞ D i ⋯ ∫ − ∞ D i P { S i ( t − ∑ m = 2 j τ m − 1 ) < D i − ∑ m = 2 j s i ， m − 1 } ∏ k = 1 j − 1 f S i ( τ k ) ( s i ， k ) d s i ， 1 ⋯ d s i ， j − 1 . (25) 综上可得仅考虑累积冲击过程的二元性能相关多阶段退化可靠度表示为： R s ( t ) = R 1 ( t ) I [ τ 0 ， τ 1 ) ( t ) + R 2 ( t ) I [ τ 1 ， τ 2 ) ( t ) + ⋯ + R j ( t ) I [ τ j − 1 ， τ j ) ( t ) . (26) 当累积冲击过程引起的软失效和极值冲击引起的硬失效任意一种失效模式发生时，系统都会发生失效。因此，同时考虑系统的软失效和硬失效，此时的可靠度为： R ( t ) = ∑ m = 0 ∞ P { ∩ i = 1 2 S i ( u ) < D i ， ∩ k = 1 N ( t ) W k < D w | N ( t ) = m } P { N ( t ) = m } . (27) 假设累积冲击过程的系统退化量 Y n 和极值冲击过程的性能退化量 W k 是独立的。在已知冲击次数的条件下，系统发生的两种失效模式是独立的。故此模型的可靠度表达式为： R ( t ) = ∑ m = 0 ∞ P { ∩ i = 1 2 S i ( u ) < D i | N ( t ) = m } ( P { ∩ k = 1 N ( t ) W k < D w } ) m P { N ( t ) = m } ， (28) 其中 P { ∩ i = 1 2 S i ( u ) < D i | N ( t ) = m } 的表达式为 R s ( t ) 。结合公式(7)和公式(26)，公式(28)的表达式为： R ( t ) = ∑ m = 0 ∞ R s ( t ) ( Φ ( D w − μ w σ w ) ) m ( λ t ) m e − λ t m ! . (29) 3.2. 随机变点情形下考虑竞争失效的二元多阶段随机系统的可靠度 本节将在固定变点情形下的可靠度模型基础上，建立变点随机情形下的可靠度模型。令 T j 表示退化过程中退化性能从第 j 阶段到第 j + 1 阶段的随机变点的发生时刻，点过程 { N r ( t ) ， t ≥ 0 } 表示 t 时刻之前的变点个数，是强度为 λ r 的Poisson过程。 如果 t ∈ [ 0 ， T 1 ) ，表示 t 时刻之前未产生变点，此时的系统可靠度为： R r ， 0 ( t ) = R ( t ) P { N r ( t ) = 0 } . (30) 如果 t ∈ [ T 1 ， T 2 ) ，表示 t 时刻之前存在一个变点，此时的系统可靠度为： R r ， 1 ( t ) = ∫ 0 t R ( t ) P { N r ( t ) = 1 } f ( t 1 | N r ( t ) = 1 ) d t 1 . (31) 同理，如果 t ∈ [ T m ， T m + 1 ) ，表示 t 时刻之前存在 m 个变点，此时的系统可靠度为： R r ， m ( t ) = ∫ t m t ⋯ ∫ t 2 t 3 ∫ 0 t 2 R ( t ) P { N r ( t ) = m } f ( t 1 ， t 2 ， ⋯ ， t m | N r ( t ) = m ) d t 1 d t 2 ⋯ d t m . (32) 综上所述，可知在随机变点情形下的系统可靠度为： R r ( t ) = R r ， 0 ( t ) + R r ， 1 ( t ) + ⋯ + R r ， j ( t ) = R r ， 0 ( t ) + ∑ m = 1 j R r ， m ( t ) = R ( t ) P { N r ( t ) = 0 } + ∑ m = 1 j ∫ t m - 1 t ⋯ ∫ t 2 t 3 ∫ 0 t 2 R ( t ) P { N r ( t ) = m } f ( t 1 ， t 2 ， ⋯ ， t m | N r ( t ) = m ) d t 1 d t 2 ⋯ d t m = R ( t ) e − λ t + ∑ m = 1 j ∫ t m - 1 t ⋯ ∫ t 2 t 3 ∫ 0 t 2 R ( t ) λ m e − λ t d t 1 d t 2 ⋯ d t m ， (33) 其中 R ( t ) 的表达式参见公式(29)。 f ( ⋅ | N ( t ) = m ) 表示 t 时刻之前存在 m 个变点的条件下，各随机变点的联合条件概率密度函数。由文献 [ 22 ] 可知 f ( t 1 ， t 2 ， ⋯ ， t m | N ( t ) = m ) = m ! t m 。