system: [SYSTEM]

user: 3. 平衡状态下的一些结果 由第二节中推导的平稳分布，可以得到随机环境中的M/M/n排队系统的几个重要的数量指标和一些重要结果。对 ∀ θ * ∈ Θ * ， L ( θ * ) 表示给定环境为 θ * 时的系统的队长， L q ( θ * ) 为给定 θ * 时的等待队长， K ( θ * ) 表示平均占用服务台数。 命题1 当 ξ * = θ * 且满足系统平稳条件 P { θ ∗ ∈ Θ ∗ | ρ ( θ ∗ ) < 1 } = 1 的情况下，我们有： K ( θ ∗ ) = λ ( θ ∗ ) μ ( θ ∗ ) ，       E ( L q ( θ ∗ ) ) = ρ ( θ ∗ ) π n * ( 1 − ρ ( θ ∗ ) ) 2 ， E ( L ( θ ∗ ) ) = E ( L q ( θ ∗ ) ) + K ( θ ∗ ) = ρ ( θ ∗ ) π n * ( 1 − ρ ( θ ∗ ) ) 2 + λ ( θ ∗ ) μ ( θ ∗ ) . 证：由(2)式和(3)式可以得到 L q ( θ * ) 的分布律： { P { L q ( θ ∗ ) = k } = π n + k * = n n ρ n + k ( θ ∗ ) n ! π 0 * ，                   k = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ P { L q ( θ ∗ ) = 0 } = ∑ j = 0 n π j * = ∑ j = 0 n ( n ρ ( θ ∗ ) ) j j ! π 0 * ，           k = 0 其中 π 0 * 由(3)式确定。从而可得 E ( L q ( θ * ) ) = E [ L q ( θ * ) | ξ * = θ * ] = ∑ k = 0 ∞ k ( n ρ ( θ * ) ) n ρ k ( θ * ) n ! π 0 * = ( n ρ ( θ * ) ) n ρ ( θ * ) n ! ( 1 − ρ ( θ * ) ) 2 π 0 * = ρ ( θ * ) π n * ( 1 − ρ ( θ * ) ) 2 由重期望的计算公式可得 E ( L ( θ ∗ ) ) = E [ L ( θ ∗ ) | ξ * = θ * ] = ∑ k = 0 ∞ k π k * = [ ∑ k = 1 n − 1 k ( n ρ ( θ ∗ ) ) k k ! + ∑ k = n ∞ k n n ρ k ( θ ∗ ) n ! ] π 0 * = { ∑ k = 1 n − 1 ( n ρ ( θ ∗ ) ) k ( k − 1 ) ! + ( n ρ ( θ ∗ ) ) n [ ρ ( θ ∗ ) + n ( 1 − ρ ( θ ∗ ) ) ] n ! ( 1 − ρ ( θ ∗ ) ) 2 } π 0 * 那么根据 E ( L ( θ ∗ ) ) 和 E ( L q ( θ ∗ ) ) 的表达式，平均占用服务台的个数 K ( θ * ) 为 K ( θ ∗ ) = E ( L ( θ ∗ ) ) − E ( L q ( θ ∗ ) ) = [ ∑ k = 1 n − 1 ( n ρ ( θ ∗ ) ) k ( k − 1 ) ! + ( n ρ ( θ ∗ ) ) n [ ρ ( θ ∗ ) + n ( 1 − ρ ( θ ∗ ) ) ] n ! ( 1 − ρ ( θ ∗ ) ) 2 ] π 0 * − ( n ρ ( θ ∗ ) ) n ρ ( θ ∗ ) π 0 * n ! ( 1 − ρ ( θ ∗ ) ) 2 = [ ∑ k = 1 n − 1 ( n ρ ( θ ∗ ) ) k ( k − 1 ) ! + ( n ρ ( θ ∗ ) ) n ( n − 1 ) ! ( 1 − ρ ( θ ∗ ) ) ] π 0 * = n ρ ( θ * ) π 0 * ∑ k = 0 n − 1 ( n ρ ( θ ∗ ) ) k k ! + n ρ ( θ * ) ( n ρ ( θ * ) ) n n ! ( 1 − ρ ( θ ∗ ) ) π 0 * = n ρ ( θ * ) = λ ( θ * ) μ ( θ * ) 再由 K ( θ * ) 的表达式，可以得到 E ( L ( θ * ) ) 更为简洁的表达式 E ( L ( θ * ) ) = E ( L q ( θ * ) ) + K ( θ * ) = ρ ( θ * ) π n * ( 1 − ρ ( θ * ) ) 2 + λ ( θ * ) μ ( θ * ) 命题2 当 ξ * = θ * 且满足系统平稳条件 P { θ ∗ ∈ Θ ∗ | ρ ( θ ∗ ) < 1 } 的情况下，记 W * 为随机环境下顾客的等待时间，则 W * 的分布函数 F W * ( t ， θ * ) 为 F W * ( t ， θ * ) = { 0 ，                                                                                 t ≤ 0 ， 1 − π n * 1 − ρ ( θ * ) e − n μ ( θ * ) ( 1 − ρ ( θ * ) ) t ，           t > 0. 证：在证明之前给出在随机环境 ξ * = θ * 下，顾客到达服务机构需要等待和不需要等待的概率，记需要等待的概率为 p * ，于是 p * = P { L ( θ * ) ≥ n | ξ * = θ * } = ∑ k = n ∞ π k * = ∑ k = n ∞ n n ρ k ( θ * ) n ! π 0 * = ( n ρ ( θ * ) ) n n ! ( 1 − ρ ( θ * ) ) π 0 * = π n * 1 − ρ ( θ * ) 从而在随机环境 ξ * = θ * 下，顾客到达服务机构不需要等待的概率为 1 − p * = 1 − ( n ρ ( θ ∗ ) ) n n ! ( 1 − ρ ( θ ∗ ) ) π 0 * = 1 − ρ ( θ ∗ ) − π n * 1 − ρ ( θ ∗ ) 易见 P { W * = 0 } = P { L ( θ * ) < n } = 1 − π n * 1 − ρ ( θ * ) 对 ∀ t > 0 ， F W * ( t ， θ * ) = P { W * < t } = P { W * = 0 } + P { 0 < W * < t } . 接下来要解决 P { 0 < W * < t } 的具体表达式，因为 P { 0 < W * < t } = P { 0 < W * < t | ξ * = θ * } = ∑ k = n ∞ P { 0 < W * < t | L ( θ * ) = k } P { L ( θ * ) = k }                                         = ∑ k = n ∞ P { 0 < W * < t | L ( θ * ) = k } π k * = ∑ k = n ∞ π k * ∫ 0 t ( n μ ( θ * ) ) k − n + 1 x k − n Γ ( k − n + 1 ) e − n μ ( θ * ) x d x                                         = ∫ 0 t π n * ∑ k = n ∞ ( n μ ( θ * ) x ρ ( θ * ) ) k − n ( k − n ) ! n μ ( θ * ) e − n μ ( θ * ) x d x                                         = n μ ( θ * ) π n * ∫ 0 t e − n μ ( θ * ) ( 1 − ρ ( θ * ) ) x d x = π n * 1 − ρ ( θ * ) [ 1 − e − n μ ( θ * ) ( 1 − ρ ( θ * ) ) t ] 因此 F W * ( t ， θ * ) = { 0 ，                                                                                 t ≤ 0 ， 1 − π n * 1 − ρ ( θ ∗ ) e − n μ ( θ ∗ ) ( 1 − ρ ( θ ∗ ) ) t ，           t > 0. 注1：上述 P { 0 < W * < t } 的推导过程中，利用到了如下引理： 引理1见 [ 11 ]。设 ξ 1 ， ξ 2 ， ⋯ ， ξ n 为n个独立同分布的随机变量，且 ξ 1 ~ Γ ( 1 ， α ) ，则 ∑ i = 1 n ξ i ~ Γ ( n ， α ) ，即 ∑ i = 1 n ξ i 为具有密度函数 f ( x ) = { α n x n − 1 Γ ( n ) e − α x ，       x > 0 0 ，                                   x ≤ 0         ( α > 0 ) 的n阶埃尔朗随机变量，其中 Γ ( n ) = ∫ 0 ∞ x n − 1 e − x d x ，称 Γ ( n ) 为参数是n的 Γ 函数。 由 F W * ( t ， θ * ) 的表达式，我们可以得到 W * 的密度函数 f W * ( t ， θ * ) = { 0 ，                                                                                                                                 t < 0 ， ( 1 − π n * 1 − ρ ( θ ∗ ) ) δ ( t ) + n μ ( θ ∗ ) π n * e − n μ ( θ ∗ ) ( 1 − ρ ( θ ∗ ) ) t ，       t ≥ 0 ， 其中 δ ( t ) 为狄拉克函数，简称为 δ 函数。它有如下性质： 1) 当 t ≠ 0 时， δ ( t ) = 0 ；当 t = 0 时， δ ( t ) = ∞ 。 2) δ ( − t ) = δ ( t ) 。 3) 对任意连续函数 φ ( t ) 有 ∫ − ∞ ∞ φ ( t ) δ ( t ) d t = φ ( 0 ) 。 δ ( t ) 可以看成单跳跃函数 μ ( t ) = { 1 ，       t > 0 0 ，     t ≤ 0 的导数，即 δ ( t ) = d μ ( t ) d t 由 F W * ( t ， θ * ) ，或 f W * ( t ， θ * ) 的表达式可以得到 W * 的数学期望： E [ W * | ξ * = θ * ] = ∫ 0 − ∞ t d F W * ( t ， θ * ) = ∫ 0 − ∞ t f W * ( t ， θ * ) d t = ∫ 0 − ∞ ( 1 − π n * 1 − ρ ( θ * ) ) δ ( t ) t d t + ∫ 0 − ∞ n μ ( θ * ) π n * t e − n μ ( θ * ) ( 1 − ρ ( θ * ) ) t d t = π n * n μ ( θ * ) ( 1 − ρ ( θ * ) ) 2 = ρ ( θ * ) π n * λ ( θ * ) ( 1 − ρ ( θ * ) ) 2 = E ( L q ( θ * ) ) λ ( θ * ) 定理1 当 ξ * = θ * ，且满足随机环境中的排队系统平稳条件，设 T * 表示一位顾客在系统中的逗留时间，那么有 E [ T * | ξ * = θ * ] = E ( L ( θ * ) ) / λ ( θ * ) ，并且 T * 的分布函数为： F T * ( t ， θ * ) = { 0 ，                                                                                                                                                           t ≤ 0 ， 1 − e − μ ( θ * ) t − n μ ( θ * ) t π n * e − μ ( θ * ) t ，     n μ ( θ * ) = λ ( θ * ) + μ ( θ * ) ，         t > 0 ， 1 − e − μ ( θ * ) t − μ ( θ * ) π n * ( 1 − ρ ( θ * ) ) ( n μ ( θ * ) − λ ( θ * ) − μ ( θ * ) ) × [ e − μ ( θ * ) t − e − ( n μ ( θ * ) − λ ( θ * ) ) t ] ，               n μ ( θ * ) ≠ λ ( θ * ) + μ ( θ * ) ，       t > 0. 证：1) 由于在随机环境 ξ * = θ * 下，顾客接受服务的时间 B * 与等待时间 W * 独立，于是 T * = W * + B * 因此 E ( T * | ξ * = θ * ) = E ( W * | ξ * = θ * ) + E ( B * | ξ * = θ * ) = ρ ( θ * ) π n * λ ( θ * ) ( 1 − ρ ( θ * ) ) 2 + 1 μ ( θ * ) = E ( L ( θ * ) ) λ ( θ * ) 2) 当 t > 0 时，我们有 P { T * < t | ξ * = θ * } = P { W * + B * < t | ξ * = θ * } = ∫ 0 t P { W * + B * < t | B * = x } μ ( θ ∗ ) e − μ ( θ ∗ ) x d x = ∫ 0 t P { W * < t − x } μ ( θ ∗ ) e − μ ( θ ∗ ) x d x = ∫ 0 t [ 1 − π n * 1 − ρ ( θ ∗ ) e − ( n μ ( θ ∗ ) − λ ( θ ∗ ) ) ( t − x ) ] μ ( θ ∗ ) e − μ ( θ ∗ ) x d x = { 1 − e − μ ( θ ∗ ) t − μ ( θ * ) t π n * 1 − ρ ( θ ∗ ) e − ( n μ ( θ ∗ ) − λ ( θ ∗ ) ) t ，       n μ ( θ ∗ ) = λ ( θ ∗ ) + μ ( θ ∗ ) 1 − e − μ ( θ ∗ ) t − μ ( θ * ) t π n * ( 1 − ρ ( θ * ) ) ( n μ ( θ * ) − λ ( θ * ) − μ ( θ * ) ) × [ e − μ ( θ ∗ ) t − e − ( n μ ( θ ∗ ) − λ ( θ ∗ ) ) t ] ，                                 n μ ( θ * ) = λ ( θ * ) + μ ( θ * ) 所以 T * 的分布函数为 F T * ( t ， θ * ) = { 0 ，                                                                                                                                                           t ≤ 0 ， 1 − e − μ ( θ ∗ ) t − n μ ( θ * ) t π n * e − μ ( θ * ) t ，     n μ ( θ * ) = λ ( θ * ) + μ ( θ * ) ，     t > 0 ， 1 − e − μ ( θ ∗ ) t − μ ( θ * ) π n * ( 1 − ρ ( θ * ) ) ( n μ ( θ * ) − λ ( θ * ) − μ ( θ * ) ) × [ e − μ ( θ ∗ ) t − e − ( n μ ( θ ∗ ) − λ ( θ ∗ ) ) t ] ，               n μ ( θ * ) ≠ λ ( θ * ) + μ ( θ * ) ，       t > 0. 又因为 T * 是连续型随机变量，我们可以由 F T * ( t ， θ * ) 得到 T * 的密度函数： f T * ( t ， θ * ) = { 0 ，                                                                                                                                                                                                     t ≤ 0 ， ( n μ 2 ( θ * ) t π n * + μ ( θ * ) − n μ ( θ * ) π n * ) e − μ ( θ ∗ ) t ，         n μ ( θ * ) = λ ( θ * ) + μ ( θ * ) ，           t > 0 ， [ μ ( θ * ) + μ 2 ( θ * ) π n * ( 1 − ρ ( θ * ) ) ( n μ ( θ * ) − λ ( θ * ) − μ ( θ * ) ) ] e − μ ( θ ∗ ) t − n μ 2 ( θ * ) π n * n μ ( θ * ) − λ ( θ * ) − μ ( θ * ) × e − ( n μ ( θ ∗ ) − λ ( θ ∗ ) ) t ，       n μ ( θ * ) ≠ λ ( θ * ) + μ ( θ * ) ，             t > 0. 在之前的讨论中，我们得到了 E ( W * | ξ * = θ * ) 与 E ( L q ( θ * ) ) 的关系，以及 E ( T * | ξ * = θ * ) 与 E ( L ( θ * ) ) 的关系，下面给出随机环境 ξ * = θ * 下的利特尔公式及证明，该定理是经典利特尔公式的推广，适用范围更加广泛。 定理2 (随机环境下的利特尔公式)在随机环境 ξ * = θ * 下的排队系统中， E ( W * | ξ * = θ * ) 与 E ( L q ( θ * ) ) ， E ( T * | ξ * = θ * ) 与 E ( L ( θ * ) ) 分别满足： E ( W * | ξ * = θ * ) = E ( L q ( θ * ) ) / λ ( θ * ) ¯ ，         E ( T * | ξ * = θ * ) = E ( L ( θ * ) ) / λ ( θ * ) ¯ . 其中 λ ( θ * ) ¯ 为系统的进入率。 证：1) 设 α ( t ， θ * ) 表示 ( 0 ， t ] 时间内， ξ * = θ * 下，进入服务系统的顾客数，那么系统在这段时间内的平均进入率为： λ ( θ * ) ¯ = E [ α ( t ， θ * ) | ξ * = θ * ] t . 设 γ ( t ， θ * ) 表示 α ( t ， θ * ) 个顾客到时刻t为止在系统中花费的总时间，那么在这段时间内每个顾客的平均逗留时间为： T t ( θ * ) ¯ = E [ γ ( t ， θ * ) | ξ * = θ * ] E [ α ( t ， θ * ) | ξ * = θ * ] 从而在这段时间里，单位时间中系统的平均顾客数为： L t ( θ * ) ¯ = E [ γ ( t ， θ * ) | ξ * = θ * ] t . 也可以表示为： L t ( θ * ) ¯ = E [ γ ( t ， θ * ) | ξ * = θ * ] E [ α ( t ， θ * ) | ξ * = θ * ] . E [ α ( t ， θ * ) | ξ * = θ * ] t . (4) 接下来，我们记 λ ( θ * ) ¯ = lim t → ∞ λ t ( θ * ) ¯ ，     E ( T * | ξ * = θ * ) = lim t → ∞ T t ( θ * ) ¯ ，     E ( L ( θ * ) ) = lim t → ∞ L t ( θ * ) ¯ 在系统平衡条件下，上述三个极限存在，对(4)式两端取极限，令 t → ∞ 得： E ( L ( θ * ) ) = λ ( θ * ) ¯ E ( T * | ξ * = θ * ) 即 E ( T * | ξ * = θ * ) = E ( L ( θ * ) ) λ ( θ * ) ¯ 2) 设 γ * ( t ， θ * ) 表示在 ( 0 ， t ] 内进入系统的 α ( t ， θ * ) 个顾客到时刻t为止等待时间之和。那么每个顾客的平均等待时间为： W t ( θ * ) ¯ = E [ γ * ( t ， θ * ) | ξ * = θ * ] E [ α ( t ， θ * ) | ξ * = θ * ] . 从而在 ( 0 ， t ] 里，单位时间中系统的平均等待顾客数为： L q t ( θ * ) ¯ = E [ γ * ( t ) | ξ * = θ * ] t = E [ γ * ( t ) | ξ * = θ * ] E [ α * ( t ) | ξ * = θ * ] ⋅ E [ α * ( t ) | ξ * = θ * ] t . 所以当 λ ( θ * ) ¯ = lim t → ∞ λ t ( θ * ) ¯ ， E ( W * | ξ * = θ * ) = lim t → ∞ W t ( θ * ) ¯ 存在时， E [ L q ( θ * ) ] = lim t → ∞ L q t ( θ * ) ¯ 也存在，从而可得： E [ L q ( θ * ) ] = λ ( θ * ) ¯ E ( W * | ξ * = θ * ) ， 即 E ( W * | ξ * = θ * ) = E ( L q ( θ * ) ) λ ( θ * ) ¯ 注2：随机环境下的利特尔公式的推导与顾客到达时间间隔、服务时间、以及排队的规则无关。