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user: 5. 总结与运用 本文研究了在微积分中的导数微分及Fréchet微分及Gâteaux微分的概念，应用案例分析及相互关系。泛函中的微分是微积分中微分的推广。微积分中讨论的微分是比较具体的，泛函所讨论的微分更一般化，因为Gâteaux微分是弱微分，而Fréchet微分是强微分，可知Gâteaux微分比Fréchet微分更弱，最后通过分析总结，得出微积分中的微分与泛函中的微分，它们定义的空间发生变化，只要定义的空间转变，可相互转化；Fréchet可微可以推导出Gâteaux可微，而Gâteaux可微要保证连续性才能推出Fréchet可微。而且在微积分普通导数中，有单向导数的说法，但是在Fréchet微分及Gâteaux微分中没有单向导数的说法，最后补充弱导数的定义及其一些性质。 下述是几种导数微分的一些应用： 导数的应用：插值与拟合；当某一个函数的解析式比较复杂或只知函数表时，直接研究它比较困难，通过逼近，引入多项式的插值问题。本节引入n次Lagrange插值公式 [ 15 ]，即可表示为 L n ( x ) = ∑ i = 0 n y i w n ( x ) ( x − x i ) w ′ n ( x i ) 其中 x 0 ， x 1 ， ⋯ ， x n 为插值节点， y i 为其相应的函数值，记 w n ( x ) = ∏ j = 0 n ( x − x j ) ，则 w ′ n ( x ) = ∏ j = 0 j ≠ i n ( x i − x j ) 。特别地，当 n = 1 时，有线性插值公式 p 1 ( x ) = y 0 × x − x 1 x 0 − x 1 + y 1 × x − x 0 x 1 − x 0 当 n = 2 时，有抛物插值公式 p 2 ( x ) = y 0 × ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x 0 − x 1 ) ( x 0 − x 2 ) + y 1 × ( x − x 0 ) ( x − x 2 ) ( x 1 − x 0 ) ( x 1 − x 2 ) + y 1 × ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ( x 2 − x 0 ) ( x 2 − x 1 ) 例5.1 已知 100 = 10 ， 121 = 11 ， 144 = 12 ，用线性插值公式和抛物插值公式求 125 的近似值。 解 线性插值公式：由题可取 x 0 = 121 ， x 1 = 144 ; y 0 = 11 ， y 1 = 12 ，由上述线性插值公式，则得 p 1 ( x ) = 11 × x − 144 121 − 144 + y 1 × x − 121 144 − 121 ， 125 ≈ p 1 ( 125 ) = 11.17391 。 抛物插值公式： 取 x 0 = 100 ， x 1 = 121 ， x 2 = 144 ; y 0 = 10 ， y 1 = 11 ， y 2 = 12 ，由上述的抛物插值公式，则得 p 2 ( x ) = 10 × ( x − 121 ) ( x − 144 ) ( 100 − 121 ) ( 100 − 144 ) + 11 × ( x − 100 ) ( x − 144 ) ( 121 − 100 ) ( 121 − 144 ) + 12 × ( x − 100 ) ( x − 121 ) ( 144 − 100 ) ( 144 − 121 ) 125 ≈ p 2 ( 125 ) = 11.18107 。值得注意的是 125 = 11.1803398 ⋯ ，上述两种插值所得的近似值分别达到3位和4位有效数值，且相对于线性插值公式，抛物插值公式所得值更加精确。 例5.2 考虑拟合下列数据的最小二乘解。 解 在坐标平面上描出点 ( x i ， y i ) ， ( i = 0 ， 1 ， ⋯ ， 6 ) ，分布大致成一直线，故设 s ( x ) = a 0 + a 1 x 。则 ψ ( a 0 ， a 1 ) = ∑ i = 0 6 [ s ( x i ) − y i ] 2 = ∑ i = 0 6 ( a 0 + a 1 x i − y i ) 故而 { ∂ ψ ∂ a 0 = 0 ⇔ ∑ i = 0 6 2 ( a 0 + a 1 x i − y i ) × 1 = 0 ∂ ψ ∂ a 1 = 0 ⇔ ∑ i = 0 6 2 ( a 0 + a 1 x i − y i ) × x i = 0 ⇔ a 0 ∑ i = 0 6 1 + a 1 ∑ i = 0 6 x i = ∑ i = 0 6 y i ⇔ a 0 ∑ i = 0 6 x i + a 1 ∑ i = 0 6 x i 2 = ∑ i = 0 6 y i x i ⇔ ( ∑ i = 0 6 1 ∑ i = 0 6 x i ∑ i = 0 6 x i ∑ i = 0 6 x i 2 ) ( a 0 a 1 ) = ( ∑ i = 0 6 y i ∑ i = 0 6 y i x i ) 即 ( 7 4.2 4.2 3.64 ) ( a 0 a 1 ) = ( 25.1 20.18 ) 则可得出 a 0 = 0.843 ， a 1 = 4.57 ，故 s ∗ ( x ) = 0.843 + 4.57 x 为所求的最小二乘解。 通过观察数据，预测函数的表达式，与插值法类似，进行数据拟合，与插值法不同的是插值时函数必须通过所有点，而数据拟合的最小二乘法 [ 15 ] 不需要，只要求在最小二乘意义下最接近的所有数据点即可。例5.2说明了一般形式的曲线拟合。 涉及到导数的问题非常多，如文献 [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] 等，不仅用到各种导数，还涉及计算的问题。 弱导数的应用：可以用来定义弱解 [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]；设 Ω ⊂ R 是有界区间， h ( x ， t ) : Ω × R → R 是关于t的连续函数，考虑第一边值问题 { − u ″ = h ( x ， u ) ， x ∈ Ω u = 0 ， x ∈ ∂ Ω 其中 u = u ( x ) 表示待求函数，如果存在 u ∈ H 0 1 ( Ω ) ，使得对任意 φ ∈ H 0 1 ( Ω ) ，都有 ∫ Ω v ( x ) φ ′ ( x ) d x = ∫ Ω φ ( x ) ⋅ h ( x ， u ) d x 则称 f ( x ) 为对应问题的弱解。其中v(x)为u(x)的一阶弱导数，记为 u ′ ( x ) = v ( x ) 。 事实上，根据原方程左右两边同时乘以任意 φ ∈ H 0 1 ( Ω ) 再在W上积分，同时使用格林公式就得到弱解的定义式。 G、F导数的应用：将微分方程的弱解转化为对应泛函的临界点：在上述第一边值问题中，其弱解等价于下面泛函的临界点： J ( u ) = 1 2 ∫ Ω | u ′ | 2 d x − ∫ Ω H ( x ， u ) d x ， 其中 H ( x ， u ) = ∫ 0 u ( x ， t ) d t ，此时泛函J的G或者F导数为 〈 J ′ ( u ) ， φ 〉 = 1 2 ∫ Ω u ′ φ ′ d x − ∫ Ω φ h ( x ， u ) d x ， ∀ φ ∈ H 0 1 ( Ω ) ， 然而，该泛函的临界点为其G导数恒为零的点，亦即 〈 J ′ ( u ) ， φ 〉 ≡ 0 时对任意的 φ ∈ H 0 1 ( Ω ) ，有 ∫ Ω v ( x ) φ ′ ( x ) d x = ∫ Ω φ ( x ) ⋅ h ( x ， u ) d x ， 这恰好是原问题弱解的定义从而实现了原问题弱解与泛函临界点之间的转化。