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user: 3. 模型的建立与求解 3.1. 构建数学模型 设 T ( x ， y ， z ， t ) 表示物体在 ( x ， y ， z ) 处t时刻的温度， F ( x ， y ， z ， t ) 表示 ( x ， y ， z ) 处t时刻的热源强度，c为比热， ρ 为体密度。忽略热量传递过程中的热量损失，忽略人体热源的情况下，由热量守恒定律和傅里叶定律 [ 4 ] [ 5 ] ，得到无热源和有热源情况下三维热传导方程分别为 ∂ T ∂ t = a ( ∂ 2 T ∂ x 2 + ∂ 2 T ∂ y 2 + ∂ 2 T ∂ z 2 ) 和 ∂ T ∂ t = a ( ∂ 2 T ∂ x 2 + ∂ 2 T ∂ y 2 + ∂ 2 T ∂ z 2 ) + F ( x ， y ， z ， t ) c ρ (1) 其中，为单位时间内单位体积发生的热量。 由于人体着装状态和隔热材料围成柱状的情况比较类似，故在柱面坐标系下，(1)式热传导方程变为 ∂ T ∂ t = a ( 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ T ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 T ∂ ϕ 2 + ∂ 2 T ∂ z 2 ) + F ( x ， y ， z ， t ) c ρ 即 ∂ T ∂ t c ρ = k ( 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ T ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 T ∂ ϕ 2 + ∂ 2 T ∂ z 2 ) + F ( x ， y ， z ， t ) (2) 考虑到衣服的厚度远小于衣服的长度，同时衣服材质均匀，建立一维热传导模型为 ∂ T ∂ t c ρ = k ( 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ T ∂ r ) ) + F ( x ， y ， z ， t ) (3) 1) 第I层材料外的热源为恒温热源，其强度不随时间和空间位置的变化而变化，故为一常数，人体的热源强度为 F ( x ， y ， z ， t ) = γ T 0 ，其中 γ 为转换系数，记为 q 1 ( t ) 。 2) 第II层材料因为第I层材料是其热源，其强度温度随时间变化，而材料均匀，即热源强度与空间位置无关，人体的热源强度为 F ( x ， y ， z ， t ) = γ T ( t ， r 4 + r 3 + r 2 ) = q 2 ( t ) 。 3) 同理得到第III层材料，人体的热源强度为 F ( x ， y ， z ， t ) = γ T ( t ， r 4 + r 3 ) = q 3 ( t ) 。 4) 第IV层材料，人体的热源强度为 F ( x ， y ， z ， t ) = γ T ( t ， r 4 ) = q 4 ( t ) 。 5) 当服装的外层材料与外部环境之间的温差趋于恒定，热力平衡状态满足热平衡，组成热力系统的各个部分没有热量的传递，达到热力平衡状态，则 q 4 ( t ) = q 5 ( t ) ，则人体的热源强度为 F ( x ， y ， z ， t ) = γ T ( t ， 0 ) = q 5 ( t ) 。其中 T ( t ， r ) 表示在t时刻，位于半径为r处的温度。 整个服装热传导示意图如图1所示。 图1. 服装热传导示意图 根据热传导的规律，构造温度热传导模型为 { ∂ T ∂ t c 1 ρ 1 = k 1 ( 1 r ∂ T ∂ r ( r ∂ T ∂ r ) ) + q 1 ( t ) ，   r 4 + r 3 + r 2 ≤ r ≤ r 4 + r 3 + r 2 + r 1 ∂ T ∂ t c 2 ρ 2 = k 2 ( 1 r ∂ T ∂ r ( r ∂ T ∂ r ) ) + q 2 ( t ) ，   r 4 + r 3 ≤ r ≤ r 4 + r 3 + r 2 ∂ T ∂ t c 3 ρ 3 = k 3 ( 1 r ∂ T ∂ r ( r ∂ T ∂ r ) ) + q 3 ( t ) ，   r 4 ≤ r ≤ r 4 + r 3 ∂ T ∂ t c 4 ρ 4 = k 4 ( 1 r ∂ T ∂ r ( r ∂ T ∂ r ) ) + q 4 ( t ) ，   0 ≤ r ≤ r 4 (4) 假设防护服初始温度为人体温度，不妨设为37˚，则有初值条件为 T ( 0 ， r ) = 37 ， 0 ≤ r ≤ r 4 + r 3 + r 2 + r 1 考虑第二类边界条件 ∂ T ∂ r | r = r 0 = q ( r 0 ) k = T 1 − T 2 R − r 0 其中， q ( r 0 ) = k ( T 1 − T 2 ) / ( R − r 0 ) 为距离热源 R − r 0 处的热流密度，且 R = r 4 + r 3 + r 2 + r 1 。 表示经过 r 0 的热流密度达到平衡状态时，边界条件为 q 4 ( t ) = q 5 ( t ) ， t ≥ t 0 即 T ( t ， r 4 ) = T ( t ， 0 ) ， t ≥ t 0 表1给出了对环境温度为75℃、II层厚度为6 mm、IV层厚度为5 mm、工作时间为90分钟的情形，测量得到皮肤外侧的温度数据。 Table 1 Parameter value of special clothing materia 分层 密度ρ kg/m 3 比热c (J/(kg·℃)) 热传导率k W/m·℃ 厚度r m I层 300 1377 0.082 0.6 × 10 − 3 II层 862 2100 0.37 6 × 10 − 3 III层 74.2 1726 0.045 3.6 × 10 − 3 IV层 1.18 1005 0.028 5 × 10 − 3 表1. 专用服装材料的参数值 将表1中数据代入(4)式，得到温度热传导方程为 { 413100 ∂ T ∂ t = 0.082 ∂ ∂ r ( ∂ T ∂ r ) + 75 γ ，   14.6 × 10 − 3 ≤ r ≤ 15.2 × 10 − 3 1810200 ∂ T ∂ t = 0.37 ∂ ∂ r ( ∂ T ∂ r ) + γ T ( t ， 14.6 × 10 − 3 ) ，   8.6 × 10 − 3 ≤ r ≤ 14.6 × 10 − 3 128069.2 ∂ T ∂ t = 0.045 ∂ ∂ r ( ∂ T ∂ r ) + γ T ( t ， 8.6 × 10 − 3 ) ，   5 × 10 − 3 ≤ r ≤ 8.6 × 10 − 3 1185.9 ∂ T ∂ t = 0.028 ∂ ∂ r ( ∂ T ∂ r ) + γ T ( t ， 5 × 10 − 3 ) ，   0 ≤ r ≤ 5 × 10 − 3 (5) 3.2. 问题一的求解 式(5)中的温度热传导方程是分段的偏微分方程，需要分段求解，每次求解所得的温度即为下一段的边界条件 [ 6 ] [ 7 ] 。 利用MATLAB软件绘制出整个传热模型过程的温度三维分布图。由式(5)，材料I的温度热传导方程的求解，取参数 ，利用MATLAB软件绘制90分钟内传热模型过程的三维温度分布如图2。对于材料I，防护服在较短的时间20秒内达到了较高的温度，三维温度分布如图3。 图2. 材料I的三维温度分布图 图3. 材料I的三维温度分布图 同时，解得温度边界上的分布的数值解为 T ( t ， 14.6 × 10 − 3 ) = 38.3 ( 1 + 0.6723 t ) t 和 T ( t ， 15.2 × 10 − 3 ) = 43.43 ( 1 + 0.5466 t ) t 综合上述模型和皮肤温度与时间的拟合关系，利用MATLAB，我们得到数值解的温度拟合曲线如图4，蓝色曲线为数值解，红色曲线为拟合函数。 图4. 温度拟合曲线 由式(5)，材料II的温度传导方程为 1810200 ∂ T ∂ t = 0.37 ∂ ∂ r ( ∂ T ∂ r ) + γ 38.3 ( 1 + 0.6723 t ) t ， 8.6 × 10 − 3 ≤ r ≤ 14.6 × 10 − 3 初值条件为 T ( 0 ， r ) = 37 ， 8.6 × 10 − 3 ≤ r ≤ 14.6 × 10 − 3 边界条件为 ∂ T ∂ r | r = 14.6 × 10 − 3 = 43.43 ( 1 + 0.5466 t ) t − 38.3 ( 1 + 0.6723 t ) t 0.6 × 10 − 3 ∂ T ∂ r | r = 8.6 × 10 − 3 = 38.3 ( 1 + 0.6723 t ) t − T ( t ， 8.6 × 10 − 3 ) 6.6 × 10 − 3 由式(5)，材料II的温度热传导方程的求解，取参数 γ = 1 ，得到温度在90分钟内的三维温度分布如图5。对于材料II，为了便于观察，取前一小段时间的温度变化，防护服在较短的时间20秒内达到了较高的温度，如图6。 图5. 材料II三维温度分布图 图6. 材料II的三维温度分布图 同时，解得温度边界上的分布的数值解为 T ( t ， 8.6 × 10 − 3 ) = 0.01515 ( 1 + 29.8 t ) t + 8.019 利用MATLAB，我们得到数值解的温度拟合曲线如图7，蓝色曲线为数值解，红色曲线为拟合函数。从图像上看，两者非常接近。 图7. 温度拟合曲线 由式(5)，材料III的温度传导方程为 128069.2 ∂ T ∂ t = 0.045 ∂ ∂ r ( ∂ T ∂ r ) + γ 0.01515 ( 1 + 29.8 t ) t + 8.019 ， 5 × 10 − 3 ≤ r ≤ 8.6 × 10 − 3 初值条件为 T ( 0 ， r ) = 37 ， 5 × 10 − 3 ≤ r ≤ 8.6 × 10 − 3 边界条件为 ∂ T ∂ r | r = 5 × 10 − 3 = 0.01515 ( 1 + 29.8 t ) t + 8.019 − T ( t ， 5 × 10 − 3 ) 10.2 × 10 − 3 ∂ T ∂ r | r = 8.6 × 10 − 3 = 38.3 ( 1 + 0.6723 t ) t − 0.01515 ( 1 + 29.8 t ) t + 8.019 6.6 × 10 − 3 第IV层的初值条件为 T ( 0 ， r ) = 37 ， 0 ≤ r ≤ 5 × 10 − 3 边界条件为 ∂ T ∂ r | r = 5 × 10 − 3 = T ( t ， 8.6 × 10 − 3 ) − T ( t ， 5 × 10 − 3 ) 10.2 × 10 − 3 ∂ T ∂ r | r = 0 = T ( t ， 5 × 10 − 3 ) − T ( t ， 0 ) 15.2 × 10 − 3 根据上述求法，确定系统达到平衡时刻的时间 t 0 。 T ( t ， 5 × 10 − 3 ) = T ( t ， 0 ) ， t ≥ t 0 . 3.3. 问题二的求解 由问题二条件可知，我们可以利用线性规划的方法解题，设第II层的厚度为d，得到优化模型如下 (6) 我们需要分段求解 1) 材料I的温度传导 413100 ∂ T ∂ t = 0.082 ∂ ∂ r ( ∂ T ∂ r ) + 75 γ ， ( 9.1 + d ) × 10 − 3 ≤ r ≤ ( 9.7 + d ) × 10 − 3 初值条件为 T ( 0 ， r ) = 37 ， ( 9.1 + d ) × 10 − 3 ≤ r ≤ ( 9.7 + d ) × 10 − 3 边界条件为 ∂ T ∂ r | r = ( 9.7 + d ) × 10 − 3 = 65 − T ( t ， ( 9.7 + d ) × 10 − 3 ) 0.001 × 10 − 3 ∂ T ∂ r | r = ( 9.1 + d ) × 10 − 3 = T ( t ， ( 9.7 + d ) × 10 − 3 ) − T ( t ， ( 9.1 + d ) × 10 − 3 ) 0.6 × 10 − 3 2) 材料II的温度传导 1810200 ∂ T ∂ t = 0.37 ∂ ∂ r ( ∂ T ∂ r ) + γ T ( t ， 14.6 × 10 − 3 ) ， 9.1 × 10 − 3 ≤ r ≤ ( 9.1 + d ) × 10 − 3 初值条件为 T ( 0 ， r ) = 37 ， 9.1 × 10 − 3 ≤ r ≤ ( 9.1 + d ) × 10 − 3 边界条件为 ∂ T ∂ r | r = ( 9.1 + d ) × 10 − 3 = T ( t ， ( 9.7 + d ) × 10 − 3 ) − T ( t ， ( 9.1 + d ) × 10 − 3 ) 0.6 × 10 − 3 . ∂ T ∂ r | r = 9.1 × 10 − 3 = T ( t ， ( 9.1 + d ) × 10 − 3 ) − T ( t ， 9.1 × 10 − 3 ) ( 0.6 + d ) × 10 − 3 3) 材料III的温度传导 128069.2 ∂ T ∂ t = 0.045 ∂ ∂ r ( ∂ T ∂ r ) + γ T ( t ， 8.6 × 10 − 3 ) ， 5.5 × 10 − 3 ≤ r ≤ 9.1 × 10 − 3 初值条件为 T ( 0 ， r ) = 37 ， 5.5 × 10 − 3 ≤ r ≤ 9.1 × 10 − 3 边界条件为 ∂ T ∂ r | r = 9.1 × 10 − 3 = T ( t ， ( 9.1 + d ) × 10 − 3 ) − T ( t ， 9.1 × 10 − 3 ) ( 0.6 + d ) × 10 − 3 ∂ T ∂ r | r = 5.5 × 10 − 3 = T ( t ， 9.1 × 10 − 3 ) − T ( t ， 5.5 × 10 − 3 ) ( 4.2 + d ) × 10 − 3 4) 第IV层的温度传导 1185.9 ∂ T ∂ t = 0.028 ∂ ∂ r ( ∂ T ∂ r ) + γ T ( t ， 5 × 10 − 3 ) ， 0 ≤ r ≤ 5.5 × 10 − 3 初值条件为 0 ≤ r ≤ 5.5 × 10 − 3 边界条件为 ∂ T ∂ r | r = 5.5 × 10 − 3 = T ( t ， 9.1 × 10 − 3 ) − T ( t ， 5.5 × 10 − 3 ) ( 4.2 + d ) × 10 − 3 ∂ T ∂ r | r = 0 = T ( t ， 5.5 × 10 − 3 ) − T ( t ， 0 ) ( 9.7 + d ) × 10 − 3 ∂ T ∂ r | r = 9.1 × 10 − 3 = T ( t ， ( 9.1 + d ) × 10 − 3 ) − T ( t ， 9.1 × 10 − 3 ) ( 0.6 + d ) × 10 − 3 ∂ T ∂ r | r = 5.5 × 10 − 3 = T ( t ， 9.1 × 10 − 3 ) − T ( t ， 5.5 × 10 − 3 ) ( 4.2 + d ) × 10 − 3 选择二分法对式(6)进行求解，首先确定一个初始求解范围 [ d l ， d r ] ，(其中两最值在附件中已经给出 分别是0.6 mm，2.5 mm)计算当 d = d l 和 d = d r 时，上述微分方程组的解，判断是否满足条件，其结果会出现下面三个结果： 1) 若 d = d l 时的解满足约束条件，那么 d = d r 时也一定满足约束条件，因此最优解 d * ≤ d l ，在 d l 的 左侧取值 d w ，从而令 [ d l ， d r ] = [ d w ， d l ] ，按照上述方程进行带入重复的计算，直至得出我们所需要的最优解。 2) 若 d = d r 时的解不满足约束条件，则最优解 d * ≥ d r ，在 d r 的右侧取值 d u ，从而令 [ d l ， d r ] = [ d r ， d u ] ， 重复上述过程，直至求出所求的最优解。 3) 若 d = d l 时的解不满足约束条件， d = d r 时的解满足约束条件，取区间中点 d v = d l + d r 2 ，从而令 [ d l ， d r ] = [ d v ， d r ] ，重复上述过程直至求出所求温度的最优解。 在上述三种情况下，重复过程中，只要找到为毫米(mm)时，有效数字为四位可以满足条件，即可求得最优解。 3.4. 问题三的求解 问题三，综合两个变量，即II层及IV层的厚度表示为未知量 d 2 ， d 4 ，运用一维热传导方程和问题二模型，得到优化模型如下 min d 2 d 4     s .t .   { T ( t ， 0 ) ≤ 47 ，   0 ≤ t ≤ 30 ， T ( t ， 0 ) ≤ 44 ，   0 ≤ t ≤ 25. 对应的温度传导方程为 { 413100 ∂ T ∂ t = 0.082 ∂ ∂ r ( ∂ T ∂ r ) + 75 γ ，   ( 3.6 + d 4 + d 2 ) × 10 − 3 ≤ r ≤ ( 4.2 + d 4 + d 2 ) × 10 − 3 1810200 ∂ T ∂ t = 0.37 ∂ ∂ r ( ∂ T ∂ r ) + γ T ( t ， 14.6 × 10 − 3 ) ，   ( 3.6 + d 4 ) × 10 − 3 ≤ r ≤ ( 3.6 + d 4 + d 2 ) × 10 − 3 128069.2 ∂ T ∂ t = 0.045 ∂ ∂ r ( ∂ T ∂ r ) + γ T ( t ， 8.6 × 10 − 3 ) ，   d 4 × 10 − 3 ≤ r ≤ ( 3.6 + d 4 ) × 10 − 3 1185.9 ∂ T ∂ t = 0.028 ∂ ∂ r ( ∂ T ∂ r ) + γ T ( t ， 5 × 10 − 3 ) ，   0 ≤ r ≤ d 4 × 10 − 3 与问题二类似，分段求解，由二分法最后得到第II层材料厚度和第IV层材料厚度的最优解如图8所示。