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user: 4. 几个重要引理及性质 通过变换α和变换β可知，在具体的拓扑情况中有以下几个重要引理： 引理4.1 考虑交运算封闭，当 A 1 ≠ { ϕ } 时，α-2情况不构成拓扑。 证明：记 A 1 = { C 1 ， C 2 ， ⋯ ， C k } ， A 2 = { B 1 ， B 2 ， ⋯ ， B k } ，其中 B i = C i ∪ { x n } ，则 ( B i ∩ X n − 1 ) ∉ { ϕ ， X n − 1 ， X n } ∪ A 2 故而，当 A 1 ≠ { ϕ } 时， { ϕ ， X n − 1 ， X n } ∪ A 2 的类型不构成拓扑。 引理4.2 记 A 1 中的元素分别为 C 1 ， C 2 ， ⋯ ， C k ； A 2 中的元素分别为 B 1 ， B 2 ， ⋯ ， B k ；其中 B i = C i ∪ { x n } ，则对于 { ϕ ， X n − 1 ， X n ， C 1 ， C 2 ， ⋯ ， C k ， B 1 ， B 2 ， ⋯ ， B k } ，当 A 1 = { C 1 ， C 2 ， ⋯ ， C k } ∈ X n − 1 ∗ 时，只有 A 2 为单元素时才能构 成拓扑，其中 X n − 1 ∗ 表示n − 1元有限集 { x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n − 1 } 的分割成各个子集 C a 1 ， C a 2 ， ⋯ ， C a k ( k ≥ 2 )，使得 ∩ s = 1 k C a s = ϕ 且 ∪ s = 1 k C a s = X n − 1 ，同时 C a s ≠ ϕ 成立的情况种数。 证明：若 k ≥ 2 ，则当 A 1 = { C 1 ， C 2 ， ⋯ ， C k } ∈ X n − 1 ∗ 时，有 B a ∩ B b = { x n } ∉ { ϕ ， X n − 1 ， X n } ∪ A 1 ∪ A 2 ， ∀ a ， b ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， k } 故而，当 A 1 = { C 1 ， C 2 ， ⋯ ， C k } ∈ X n − 1 ∗ 时，只有 A 2 为单元素时才能构成拓扑。 引理4.3 A 1 中只有单个子集设为 A 1 ∘ ， A 1 ∘ ⊆ X n − 1 ，且 A 1 ∘ ≠ ϕ ， A 1 ∘ ≠ ϕ ； 记 A 2 • = X n \ A 1 ∘ ，比如当n = 3时， A 1 ∘ = { x 1 } ，那么 A 2 • = { x 2 ， x 3 } ； 此时， { ϕ ， X n − 1 ， X n ， A 1 ∘ ， A 2 • } 的类型不构成拓扑。 证明：因 A 1 ∘ ≠ ϕ ， A 1 ∘ ≠ X n − 1 ； A 2 • = X n \ A 1 ∘ ，所以有 ( A 2 • ∩ X n − 1 ) ∉ { ϕ ， X n − 1 ， X n ， A 1 ∘ ， A 2 • } ，故而此时， { ϕ ， X n − 1 ， X n ， A 1 ∘ ， A 2 • } 的类型不构成拓扑。 引理4.4 形如 { ϕ ， X n − 1 ， X n ， { x n } } ∪ A 2 的类型，当 A 1 ≠ { ϕ } 时，不构成拓扑情况。 证明：记 A 1 = { C 1 ， C 2 ， ⋯ ， C k } ， A 2 = { B 1 ， B 2 ， ⋯ ， B k } ，其中 B i = C i ∪ { x n } ，则 ( B i ∩ X n − 1 ) ∉ { ϕ ， X n − 1 ， X n ， { x n } } ∪ A 2 故而，当 A 1 ≠ { ϕ } 时， { ϕ ， X n − 1 ， X n ， { x n } } ∪ A 2 的类型不构成拓扑。 引理4.5 形如 { ϕ ， X n ， X n − 1 ， A 1 ∘ ， A 2 • ， { A 1 ∘ ∪ x n } ， { x n } } 的类型，当 A 1 ≠ { ϕ } 时，不构成拓扑情况；其中， A 1 ∘ ≠ X n − 1 且 A 1 ∘ ≠ ϕ ， A 1 ∘ 为 X n − 1 的单个子集，而 A 2 • = X n \ A 1 ∘ 。 证明：因 A 1 ∘ ≠ X n − 1 且 A 1 ∘ ≠ ϕ ， A 1 ∘ 为 X n − 1 的单个子集，而 A 2 • = X n \ A 1 ∘ ，则 故而， { ϕ ， X n ， X n − 1 ， A 1 ∘ ， A 2 • ， { A 1 ∘ ∪ x n } ， { x n } } 的类型不构成拓扑。 引理4.6 考虑交运算封闭，当 A 1 ≠ { ϕ } 时，(β-2)情况只能是k = 1，总共有 ( 2 n − 1 − 2 ) 种。 证明：记 A 1 = { C 1 ， C 2 ， ⋯ ， C k } ∈ X n − 1 ∗ ， A 2 = { B 1 ， B 2 ， ⋯ ， B k } ，其中 B i = C i ∪ { x n } ， X n − 1 ∗ 同上述，若 k ≥ 2 ，则 B a ∩ B b = { x n } ∉ { ϕ ， X n } ∪ A 2 ， ∀ a ， b ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， k } 。 故而，当 A 1 ≠ { ϕ } 时，(β-2)的类型只能是k = 1，总共有 ( 2 n − 1 − 2 ) 种。 在具体情况中探究拓扑个数(比如以下两种情况)，也得到一些相关结论： 情况一：将 A 1 中的元素分类为 C j 1 ⊕ ， C j 2 ⊕ ， ⋯ ， C j p ⊕ ； 中的元素分类为 B i 1 ⊕ ， B i 2 ⊕ ， ⋯ ， B i q ⊕ ；其中 B i = C i ∪ { x n } ，且 p ≠ q ，同时满足 C j 1 ⊕ ⊆ C j 2 ⊕ ⊆ ⋯ ⊆ C j p ⊕ ， B i 1 ⊕ ⊆ B i 2 ⊕ ⊆ ⋯ ⊆ B i q ⊕ ；而且在这里假定 C j k + 1 ⊕ 比 C j k ⊕ 的元素个数多1，则也有 B i k + 1 ⊕ 比 B i k ⊕ 的元素个数多1。 引理4.7 当选定好了 { B i 1 ⊕ ， B i 2 ⊕ ， ⋯ ， B i q ⊕ } ( 1 < 2 < ⋯ < q )时，有 C i 1 ⊕ ∈ { C j 1 ⊕ ， C j 2 ⊕ ， ⋯ ， C j p ⊕ } ；同理，当选定好了 { C j 1 ⊕ ， C j 2 ⊕ ， ⋯ ， C j p ⊕ } ( 1 < 2 < ⋯ < p )时，有 B j p ⊕ ∈ { B i 1 ⊕ ， B i 2 ⊕ ， ⋯ ， B i q ⊕ } 。 引理4.8 { C j 1 ⊕ } 有 C n − 1 1 种情况， { C j p ⊕ } 有 C n − 1 p 种情况， C j k 1 ⊕ ⊆ C j p ⊕ 形式的情况有： ∑ k 1 = 1 p − 1 C n − 1 p C p k 1 种； C j k 1 ⊕ ⊆ C j k 2 ⊕ ⊆ C j p ⊕ 形式的情况有： ∑ k 1 = 1 k 2 − 1 ∑ k 2 = 2 p − 1 C n − 1 p C p k 2 C k 2 k 1 种； … C j k 1 ⊕ ⊆ C j k 2 ⊕ ⊆ ⋯ ⊆ C j k p − 1 ⊕ ⊆ C j p ⊕ 形式，即为 C j 1 ⊕ ⊆ C j 2 ⊕ ⊆ ⋯ ⊆ C j p − 1 ⊕ ⊆ C j p ⊕ 形式的情况有： C n − 1 p C p p − 1 C p − 1 p − 2 ⋯ C 2 1 种。 性质4.1 当 a ≥ b 时，有 C j a ⊕ ∩ B i b ⊕ = C j b ⊕ ； C j a ⊕ ∪ B i b ⊕ = B i a ⊕ ；即是 C j a ⊕ ∩ B i b ⊕ = C j u ⊕ ； C j a ⊕ ∪ B i b ⊕ = B i v ⊕ ，其中， u = min { a ， b } ， v = max { a ， b } 。 情况二：针对 { ϕ ， X n − 1 ， X n } ∪ A 1 ∪ A 2 的拓扑类型，设 A 1 中的元素分别为 C r 1 ， C r 2 ， ⋯ ， C r m ， C j p ⊕ ； A 2 中的元素分别为 B z 1 ， B z 2 ， ⋯ ， B z q ； 假定 C r 1 ， C r 2 ， ⋯ ， C r m ， C j p ⊕ 等各自所含元素个数均不相同，且 { C r 1 ， C r 2 ， ⋯ ， C r m } ⊆ { C j 1 ⊕ ， C j 2 ⊕ ， ⋯ ， C j p − 1 ⊕ } ； B z 1 ， B z 2 ， ⋯ ， B z q 等各自所含元素个数也均不相同。 性质4.2 对于选定的 { C r 1 ， C r 2 ， ⋯ ， C r m ， C j p ⊕ } ， { B z 1 ， B z 2 ， ⋯ ， B z x } 可选择 { B r 1 ⊕ ， B r 2 ⊕ ， ⋯ ， B r m ⊕ ， B z x + 1 ， B z x + 2 ， ⋯ ， B z k } 或 { B r 2 ⊕ ， B r 3 ⊕ ， ⋯ ， B r m ⊕ ， B z x + 1 ， B z x + 2 ， ⋯ ， B z k } 或 { B r 3 ⊕ ， B r 4 ⊕ ， ⋯ ， B r m ⊕ ， B z x + 1 ， B z x + 2 ， ⋯ ， B z k } … 或 { B r m ⊕ ， B z x + 1 ， B z x + 2 ， ⋯ ， B z k } 证明：可由性质4.1可证。 引理4.9 对于 C j p ⊕ 的取定，有 C n − 1 p 种情况；若取定了 C j p ⊕ ，将 { C r 1 ， C r 2 ， ⋯ ， C r m ， C j p ⊕ } 的取法记为 T 1 ， n − 2 = ∑ p = 1 n − 2 ( ∑ k 1 = 0 k 2 − 1 ∑ k 2 = 0 k 3 − 1 ⋯ ∑ k p − 1 = 0 p − 1 C n − 1 p C p k p − 1 C k p − 1 k p − 2 ⋯ C k 2 k 1 ) ， 则， { C r 1 ， C r 2 ， ⋯ ， C r m ， C j p ⊕ } 的取法总共有 ( C n − 1 p T 1 ， n − 2 ) 种。 证明：可由引理4.8证得。 引理4.10 对于取定了的 { C r 1 ， C r 2 ， ⋯ ， C r m ， C j p ⊕ } ，构造拓扑情况： { ϕ ， X n − 1 ， X n ， C r 1 ， C r 2 ， ⋯ ， C r m ， C j p ⊕ ， B j p ⊕ ， B k 1 ， B k 2 ， ⋯ ， B k s } 其中， { B k 1 ， B k 2 ， ⋯ ， B k s } ⊆ { B i p + 1 ⊕ ， B i p + 2 ⊕ ， ⋯ ， B i n − 2 ⊕ } ，且 B z 1 ， B z 2 ， ⋯ ， B z q 等各自所含元素个数也均不相同， k 1 < k 2 < ⋯ < k s 。 令 p + 1 ≤ t ≤ n − 2 ，若t存在，则 { B j p ⊕ ， B k 1 ， ⋯ ， B k s } 的情况个数为 U p + 1 n − 2 + 1 = ∑ t = p + 1 n − 2 ( ∑ k 1 = 0 k 2 − 1 ∑ k 2 = 0 k 3 − 1 ⋯ ∑ k t − 1 = 0 t − p − 1 C n − 1 − p t − p C t − p k t − 1 C k t − 1 k t − 2 ⋯ C k 2 k 1 ) + 1 若t不存在，则 U p + 1 n − 2 = 0 ；则，这种类型的拓扑数有 C n − 1 p T 1 ， n − 2 ( U p + 1 n − 2 + 1 ) 种。 注：结论的“+1”是考虑到 { ϕ ， X n − 1 ， X n ， C r 1 ， C r 2 ， ⋯ ， C r m ， C j p ⊕ ， B j p ⊕ } 这种情况。 引理4.11 若 p ≥ 2 ， { B z 1 ， B z 2 ， ⋯ ， B z k } 的取法为： B z 1 ∈ { B r 1 ⊕ ， B r 2 ⊕ ， ⋯ ， B r m ⊕ } ， B z k ∈ { B j p ⊕ ， B i p + 1 ⊕ ， ⋯ ， B i n − 2 ⊕ } ，且 B z 1 与 B z k 均要非空； 则，设 { B z 1 ， B z 2 ， ⋯ ， B z x } ⊆ { B r 1 ⊕ ， B r 2 ⊕ ， ⋯ ， B r m ⊕ } ，其中 z x < j p ， z x + 1 ≥ j p ；那么， { B z 1 ， B z 2 ， ⋯ ， B z x } 的种数即为 { C r 1 ， C r 2 ， ⋯ ， C r m } ⊆ { C j 1 ⊕ ， C j 2 ⊕ ， ⋯ ， C j p − 1 ⊕ } ，且 C r 1 ⊆ C r 2 ⊆ ⋯ ⊆ C r m 的种数(当 p ≥ 2 时存在这类情况)。 证明：由于 { B z 1 ， B z 2 ， ⋯ ， B z x } 的种数可分为以下情况： 当 A 1 中的情况为 C j k 1 ⊕ ⊆ C j p ⊕ 时，(此时 B z 1 = B j k 1 ⊕ ， x = 1 )，其种数再加上当 C j k 1 ⊕ ⊆ C j k 2 ⊕ ⊆ C j p ⊕ 时的种数(此时 B z 1 = B j k 1 ⊕ ， B z 2 = B j k 2 ⊕ ， x = 2 )，再加上当 C j k 1 ⊕ ⊆ C j k 2 ⊕ ⊆ C j k 3 ⊕ ⊆ C j p ⊕ 时的种数(此时 B z 1 = B j k 1 ⊕ ， B z 2 = B j k 2 ⊕ ， B z 3 = B j k 3 ⊕ ， x = 3 )，…(如此递推下去)…，再加上当 C j k 1 ⊕ ⊆ C j k 2 ⊕ ⊆ ⋯ ⊆ C j k p − 1 ⊕ ⊆ C j p ⊕ 时的种数(此时 B z α = B j k α ⊕ ， ( α = 1 ， 2 ， ⋯ ， p − 1 ) ， x = p − 1 )。 引理4.12 对于 { B z x + 1 ， B z x + 2 ， ⋯ ， B z k } ⊆ { B j p ⊕ ， B i p + 1 ⊕ ， ⋯ ， B i n − 2 ⊕ } ，其中 z x < j p ， z x + 1 ≥ j p ，若 z x + 1 = j p 则 { B z x + 1 ， B z x + 2 ， ⋯ ， B z k } 的种数为 ( U p + 1 n − 2 + 1 ) ；若 z x + 1 ≠ j p 则 { B z x + 1 ， B z x + 2 ， ⋯ ， B z k } 的种数为 U p + 1 n − 2 。 证明：可由引理4.10证得。