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user: 3. MB-矩阵的k-子直和 先给出 M ¯ 为非奇异的Z-矩阵的充要条件。 定理3.1. 设 A z ， B z 为M-矩阵， det H ^ = det { ( B 11 z ^ + A 22 z ^ ) + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ − A 13 r B 21 z ^ ) − ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ } ≠ 0 且 B 23 r = O ，则 M ¯ 为非奇异的Z-矩阵。 证明：由(*)式得 ( A z ) − 1 [ I n 1 − k O B 13 r I k ] = [ A 11 z + A 12 z ^ B 13 r A 12 z ^ A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 22 z ^ ] 再由 det ( A z ) − 1 det [ I n 1 − k O B 13 r I k ] ≠ 0 得 det [ A 11 z + A 12 z ^ B 13 r A 12 z ^ A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 22 z ^ ] ≠ 0 于是由 A z ( A z ) − 1 = I n 1 ，得 A 11 z A 11 z ^ + A 12 z A 12 z ^ = I n 1 − k = I n − n 2 ， A 11 z A 12 z ^ + A 12 z A 22 z ^ = 0 ， A 21 z A 11 z ^ + A 22 z A 21 z ^ = 0 ， A 21 z A 12 z ^ + A 22 z A 22 z ^ = I k 由 ( A z ) − 1 A z = I n 1 ，得 A 11 z ^ A 11 z + A 12 z ^ A 12 z = I n − n 2 ， A 11 z ^ A 12 z + A 12 z ^ A 22 z = 0 A 21 z ^ A 11 z + A 22 z ^ A 21 z = 0 ， A 21 z ^ A 12 z + A 22 z ^ A 22 z = I k 由 B z ( B z ) − 1 = I n 2 ，得 B 11 z B 11 z ^ + B 12 z B 21 z ^ = I k ， B 11 z B 12 z ^ + B 12 z B 22 z ^ = 0 ， B 21 z B 11 z ^ + B 22 z B 21 z ^ = 0 ， B 21 z B 12 z ^ + B 22 z B 22 z ^ = I n − n 1 由 ( B z ) − 1 B z = I n 2 ，得 B 11 z ^ B 11 z + B 12 z ^ B 21 z = I k ， B 11 z ^ B 12 z + B 12 z ^ B 22 z = 0 ， B 21 z ^ B 11 z + B 22 z ^ B 21 z = 0 ， B 21 z ^ B 12 z + B 22 z ^ B 22 z = I n − n 1 故有 [ A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r A 12 z ^ 0 A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 22 z ^ 0 0 0 I n − n 1 ] M ¯ [ I n − n 2 0 0 0 B 11 z ^ B 12 z ^ 0 B 21 z ^ B 22 z ^ ] = [ A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r A 12 z ^ 0 A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 22 z ^ 0 0 0 I n − n 1 ] [ A 11 z A 12 z − A 13 r A 21 z − B 13 r A 22 z + B 11 z B 12 z − A 23 r − B 23 r B 21 z B 22 z ] [ I n − n 2 0 0 0 B 11 z ^ B 12 z ^ 0 B 21 z ^ B 22 z ^ ] = [ ( A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ) A 11 z + A 12 z ^ ( A 21 z − B 13 r ) ( A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ) A 12 z + A 12 z ^ ( A 22 z + B 11 z ) ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 11 z + A 22 z ^ ( A 21 z − B 13 r ) ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 12 z + A 22 z ^ ( A 22 z + B 11 z ) − B 23 r B 21 z       − ( A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ) A 13 r + A 12 z ^ ( B 12 z − A 23 r ) − ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 13 r + A 22 z ^ ( B 12 z − A 23 r ) B 22 z ] [ I n − n 2 0 0 0 B 11 z ^ B 12 z ^ 0 B 21 z ^ B 22 z ^ ] = [ ( A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ) A 11 z + A 12 z ^ ( A 21 z − B 13 r ) ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 11 z + A 22 z ^ ( A 21 z − B 13 r ) − B 23 r         ( ( A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ) A 12 z + A 12 z ^ ( A 22 z + B 11 z ) ) B 11 z ^ + ( − ( A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ) A 13 r + A 12 z ^ ( B 12 z − A 23 r ) ) B 21 z ^ ( ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 12 z + A 22 z ^ ( A 22 z + B 11 z ) ) B 11 z ^ + ( − ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 13 r + A 22 z ^ ( B 12 z − A 23 r ) ) B 21 z ^ B 21 z B 11 z ^ + B 22 z B 21 z ^             ( ( A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ) A 12 z + A 12 z ^ ( A 22 z + B 11 z ) ) B 12 z ^ + ( − ( A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ) A 13 r + A 12 z ^ ( B 12 z − A 23 r ) ) B 22 z ^ ( ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 12 z + A 22 z ^ ( A 22 z + B 11 z ) ) B 12 z ^ + ( − ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 13 r + A 22 z ^ ( B 12 z − A 23 r ) ) B 22 z ^ B 21 z B 12 z ^ + B 22 z B 22 z ^ ] = [ A 11 z ^ A 11 z + A 12 z ^ B 13 r A 11 z + A 12 z ^ A 21 z − A 12 z ^ B 13 r A 21 z ^ A 11 z + A 22 z ^ B 13 r A 11 z + A 22 z A 21 z − A 22 z ^ B 13 r ^ − B 23 z           A 11 z ^ A 12 z B 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r A 12 z B 11 z ^ + A 12 z ^ A 22 z B 11 z ^ + A 12 z ^ B 11 z B 11 z ^ − A 11 z ^ A 13 r B 21 z ^ − A 12 z ^ B 13 r A 13 r B 21 z ^ + A 12 z ^ B 12 z B 21 z ^ − A 12 z ^ A 23 r B 21 z ^ A 21 z ^ A 12 z B 11 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 12 z B 11 z ^ + A 22 z ^ A 22 z B 11 z ^ + A 22 z ^ B 11 z B 11 z ^ − A 21 z ^ A 13 r B 21 z ^ − A 22 z ^ B 13 r A 13 r B 21 z ^ + A 22 z ^ B 12 z B 21 z ^ − A 22 z ^ A 23 r B 21 z ^ B 21 z B 11 z ^ + B 22 z B 21 z ^       A 11 z ^ A 12 z B 12 z ^ + A 12 z ^ B 13 r A 12 z B 12 z ^ + A 12 z ^ A 22 z B 12 z ^ + A 12 z ^ B 11 z B 12 z ^ − A 11 z ^ A 13 r B 22 z ^ − A 12 z ^ B 13 r A 13 r B 22 z ^ + A 12 z ^ B 12 z B 22 z ^ − A 12 z ^ A 23 r B 22 z ^ A 21 z ^ A 12 z B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 12 z B 12 z ^ + A 22 z ^ A 22 z B 12 z ^ + A 22 z ^ B 11 z B 12 z ^ − A 21 z ^ A 13 r B 22 z ^ − A 22 z ^ B 13 r A 13 r B 22 z ^ + A 22 z ^ B 12 z B 22 z ^ − A 22 z ^ A 23 r B 22 z ^ B 21 z B 12 z ^ + B 22 z B 22 z ^ ] = [ A 11 z ^ A 11 z + A 12 z ^ A 21 z ( A 11 z ^ A 12 z + A 12 z ^ A 22 z ) B 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ − A 13 r B 21 z ^ ) + A 12 z ^ ( B 11 z B 11 z ^ + B 12 z B 21 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ A 21 z ^ A 11 z + A 22 z ^ A 21 z ( A 21 z ^ A 12 z + A 22 z ^ A 22 z ) B 11 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ − A 13 r B 21 z ^ ) + A 22 z ^ ( B 11 z B 11 z ^ + B 12 z B 21 z ^ ) − ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ − B 23 z 0       ( A 11 z ^ A 12 z + A 12 z ^ A 22 z ) B 12 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) + A 12 z ^ ( B 11 z B 12 z ^ + B 12 z B 22 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ ( A 21 z ^ A 12 z + A 22 z ^ A 22 z ) B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) + A 22 z ^ ( B 11 z B 12 z ^ + B 12 z B 22 z ^ ) − ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ I n − n 1 ] = [ I n − n 2 A 12 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ − A 13 r B 21 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ 0 H ^ B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) − ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ − B 23 r 0 I n − n 1 ] 由此式知，当 det H ^ ≠ 0 且 B 23 r = O 时， M ¯ 为非奇异的。 现在讨论MB-矩阵的子直和为MB-矩阵的充分条件。 容易验证 [ I n − n 2 F Y 0 H ^ Q 0 0 I n − n 1 ] − 1 [ I n − n 2 C D O H ^ − 1 E O O I n − n 1 ] = [ I n − n 2 0 0 0 I k 0 0 0 I n − n 1 ] 其中 C = − [ A 12 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ − A 13 r B 21 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ ] × H ^ − 1 D = − [ A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ ]     + [ A 12 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ − A 13 r B 21 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ ]     × H ^ − 1 × [ B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) − ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ ] E = − H ^ − 1 × [ B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) − ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ ] F = A 12 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ − A 13 r B 21 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ Y = A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ Q = B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) − ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ 从而有 [ A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r A 12 z ^ 0 A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 22 z ^ 0 0 0 I n − n 1 ] M ¯ [ I n − n 2 0 0 0 B 11 z ^ B 12 z ^ 0 B 21 z ^ B 22 z ^ ] = [ I n − n 2 A 12 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ − A 13 r B 21 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ 0 H ^ − B 23 r 0       A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) − ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ I n − n 1 ] 对上式两边同时取逆得： [ I n − n 2 0 0 0 B 11 z ^ B 12 z ^ 0 B 21 z ^ B 22 z ^ ] − 1 ( M ¯ ) − 1 [ A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r A 12 z ^ 0 A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 22 z ^ 0 0 0 I n − n 1 ] − 1 = { [ I n − n 2 A 12 z ^ + A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ − A 13 r B 21 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ 0 H ^ − B 23 r 0 A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) − ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ I n − n 1 ] } − 1 A 12 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) − ( A 11 z ^ A 13 r + A 12 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ B 12 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 12 z ^ − A 13 r B 22 z ^ ) − ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 22 z ^ I n − n 1 ] } − 1 进而可得： ( M ¯ ) − 1 = [ I n − n 2 O O O B 11 z ^ B 12 z ^ O B 21 z ^ B 22 z ^ ] [ I n − n 2 C D O H ^ − 1 E O O I n − n 1 ] [ A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r A 12 z ^ O A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r A 22 z ^ O O O I n − n 1 ] 即 ( M ¯ ) − 1 = [ A 11 z ^ + A 12 z ^ B 13 r + C ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) A 12 z ^ + C A 22 z ^ D B 11 z ^ H ^ ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) B 11 z ^ H ^ − 1 A 22 z ^ B 11 z ^ E + B 12 z ^ B 21 z ^ H ^ − 1 ( A 21 z ^ + A 22 z ^ B 13 r ) B 21 z ^ H ^ − 1 A 22 z ^ B 21 z ^ E + B 22 z ^ ] (5) 定理3.2. 设 A z ， B z 为M-矩阵， det H ^ = det { ( B 11 z ^ + A 22 z ^ ) + A 22 z ^ B 13 r ( A 12 z B 11 z ^ − A 13 r B 21 z ^ ) − ( A 21 z ^ A 13 r + A 22 z ^ A 23 r ) B 21 z ^ } ≠ 0 且 B 23 r = O ，则当(5)式中的每一个分块为非负矩阵时， M = A ⊕ k B 为MB-矩阵。 证明：当 M ¯ 满足上述条件时，由定义2.1知 M ¯ 为非奇异M-矩阵。再由 M z ≥ M ¯ 及定理2.1的性质(2)知 M z 为非奇异M-矩阵，于是由定义2.2知 M = A ⊕ k B 为MB-矩阵。 下面对 B 23 r ≠ O 时的情况进行讨论。设 A = [ D E F G ] ∈ R n × n ，其中 D ∈ R k × k 且非奇异，矩阵 A 内 D 的Schur补记为 A / D ，即 A / D = G − F D − 1 E 。同样如果 G 为非奇异时， A / G = D − E G − 1 F 。 定理3.4. 设 A ， B 为MB-矩阵，若 ( D ˜ ) − 1 ≥ 0 ， ( G ˜ − F ˜ ( D ˜ ) − 1 E ˜ ) − 1 ≥ 0 则 M = A ⊕ k B 为MB-矩阵，其中 D ˜ = A 11 z − A 13 r ( B 22 z ) − 1 B 23 r ， E ˜ = A 12 z + A 13 r ( B 22 z ) − 1 B 21 z ≤ 0 ， F ˜ = A 21 z − B 13 r + B 12 z ( B 22 z ) − 1 B 23 r − A 23 r ( B 22 z ) − 1 B 23 r ≤ 0 ， G ˜ = A 22 z + B 11 z − B 12 z ( B 22 z ) − 1 B 21 z + A 23 r ( B 22 z ) − 1 B 21 z 证明：将 M ¯ 分块为 M ¯ = [ X Q ˜ S ˜ T ] ，其中 X = ( A 11 z A 12 z A 21 z − B 13 r A 22 z + B 11 z ) ， Q ˜ = [ − A 13 r B 12 z − A 23 r ] T ， S ˜ = [ − B 23 r B 21 z ] ， T = B 22 z 。由 A z ， B z 为M-矩阵，定义2.2及定理2.1得 Q ˜ ≤ 0 ， T − 1 ≥ 0 ， S ˜ ≤ 0 。由引理2.1得 ( M ¯ ) − 1 ≥ 0 当且仅当 ( M ¯ / T ) − 1 ≥ 0 ，其中 M ¯ / T = X − Q ˜ T − 1 S ˜ ，即 M ¯ / T = [ A 11 z − A 13 r ( B 22 z ) − 1 B 23 r A 12 z + A 13 r ( B 22 z ) − 1 B 21 z A 21 z − B 13 r + B 12 z ( B 22 z ) − 1 B 23 r − A 23 r ( B 22 z ) − 1 B 23 r A 22 z + B 11 z − B 12 z ( B 22 z ) − 1 B 21 z + A 23 r ( B 22 z ) − 1 B 21 z ] 令 M ¯ / T = [ D ˜ E ˜ F ˜ G ˜ ] ，则当 ( D ˜ ) − 1 ≥ 0 时，由引理2.1得 ( M ¯ / T ) − 1 ≥ 0 当且仅当 ( ( M ¯ / T ) / D ˜ ) − 1 = ( G ˜ − F ˜ ( D ˜ ) − 1 E ˜ ) − 1 ≥ 0 从而当 ( G ˜ − F ˜ ( D ˜ ) − 1 E ˜ ) − 1 ≥ 0 时， ( M ¯ ) − 1 ≥ 0 。又因 M ¯ 为Z-矩阵，故 M ¯ 为M-矩阵。由 M z ≥ M ¯ 且 M z 为Z-矩阵得， M z 为M-矩阵，再由定义2.2得 M = A ⊕ k B 为MB-矩阵。 下面我们将讨论 A ， B 均为MB-矩阵且 A 22 z = B 11 z 的特殊情况，定理3.7给出了它们的子直和仍为MB-矩阵的充分条件。 定理3.7. 设 A ， B 为MB-矩阵且 A 22 z = B 11 z ，若 C 为非奇异M-矩阵，则 M = A ⊕ k B 为MB-矩阵，其中 C = [ A 11 z A 12 z − A 13 r A 21 z − B 13 r A 22 z B 12 z − A 23 r − B 23 r B 21 z B 22 z ] 证明：构造一个Z-矩阵 T ∈ R n × n T = [ A 11 z 2 A 12 z − A 13 r A 21 z − B 13 r 2 A 22 z B 12 z − A 23 r − B 23 r 2 B 21 z B 22 z ] 则 T = C d i a g ( I ， 2 I ， I ) 且 T − 1 = d i a g ( I ， ( 1 / 2 ) I ， I ) C − 1 ≥ O ， T 是一个非奇异的M-矩阵。此时 M ¯ = [ A 11 z A 12 z − A 13 r A 21 z − B 13 r 2 A 22 z B 12 z − A 23 r − B 23 r B 21 z B 22 z ] 故 M ¯ ≥ T ，于是 M ¯ 为非奇异的M-矩阵。由 M z ≥ M ¯ 得 M z 也为非奇异的M-矩阵。 故由定义2.2得 M = A ⊕ k B 为MB-矩阵。 例3.3. 设矩阵 A ， B 及按定义2.2分裂为 A = [ 4 . 1 1 . . . . − 1 . 11 − 3 − 1 . − 13 8 ] = A z + A r = [ 3 0 0 − 1 11 − 3 − 1 − 13 8 ] + [ 1 1 1 0 0 0 0 0 0 ] B = [ 11 − 2 . − 1 − 13 8 . − 3 . . . . 1 1 . 3 ] [ 11 − 3 − 1 − 13 8 − 3 1 1 3 ] = B z + B r = [ 11 − 3 − 1 − 13 8 − 3 0 0 2 ] + [ 0 0 0 0 0 0 1 1 1 ] 按定理3.7取 C = [ 3 0 0 − 1 − 1 11 − 3 − 1 − 1 − 13 8 − 3 − 1 0 0 2 ] 容易验证 A ， B 为MB-矩阵和 C 为非奇异M-矩阵，则 A ， B 的子直和 M = A ⊕ 2 B = [ 4 1 1 0 − 1 22 − 6 − 1 − 1 − 26 16 − 3 0 1 1 3 ] 由定理3.7得 M = A ⊕ 2 B 为MB-矩阵。