system: [SYSTEM]

user: 3. 基于有限域构造QC­LDPC码的一般方法 令 α 为 G F ( q ) 的本原元。构造过程始于一个 G F ( q ) 上的 m × n 矩阵 B = [ b 0 b 1 ⋮ b m − 1 ] = [ b 0 ， 0 b 0 ， 1 ⋯ b 0 ， n − 1 b 1 ， 0 b 1 ， 1 ⋯ b 1 ， n − 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b m − 1 ， 0 b m − 1 ， 1 ⋯ b m − 1 ， n − 1 ] 其行满足如下两个约束条件：1) 若 0 ≤ i < m ， 0 ≤ k ， l < q − 1 ，且 k ≠ l ，则 α k b i 与 α l b i 至多有一个对应位置上的值相同(即它们至少有 n − 1 个对应位置上的值不同)；2) 若 0 ≤ i ， j < m ， i ≠ j ，且 0 ≤ k ， l < q − 1 ，则 α k b i 与 α l b j 至少有 n − 1 个对应位置上的值不同。矩阵B的两个约束条件分别称为 α 乘行约束1和2 (α­multiplied row constraint 1 and 2)。 定理1：如果矩阵B的每一行至多有一个0元素且矩阵B的任意一个 2 × 2 子矩阵是非奇异的，则矩阵B满足 α 乘行约束1和2。 证明：因为当且仅当 b i ， s = 0 时， α k b i ， s = α l b i ， s ，其中 0 ≤ i < m ， 0 ≤ k ， l < q − 1 ，且 k ≠ l ，所以当且仅当矩阵B的每一行至多有一个0元素，矩阵B满足 α 乘行约束1。假设矩阵B不满足 α 乘行约束2，则 α k b i ， s = α l b j ， s ， α k b i ， t = α l b j ， t ，其中 0 ≤ i ， j < m 且 i ≠ j ， 0 ≤ k ， l < q − 1 ， 0 ≤ s ， t < n 且 s ≠ t 。因此 α k b i ， s ⋅ α l b j ， t = α l b j ， s ⋅ α k b i ， t ，由此推得 b i ， s ⋅ b j ， t − b i ， t ⋅ b j ， s = 0 即矩阵B存在 2 × 2 奇异子矩阵，矛盾。 定理2：如果矩阵B满足 α 乘行约束1和2，则矩阵B满足 2 × 2 子矩阵约束，即矩阵B中任意 2 × 2 子矩阵至少有一个0元素或是非奇异的。 证明：如果B满足 α 乘行约束1和2，则 α k b i ， s = α l b i ， s 或 α k b i ， s ≠ α l b i ， s 且 α k b i ， s = α l b j ， s 或 α k b i ， s ≠ α l b j ， s ，其中 0 ≤ i ， j < m 且 i ≠ j ， 0 ≤ k ， l < q − 1 ， 0 ≤ s ， t < n 且 s ≠ t 。 情况1：当 α k b i ， s = α l b i ， s 且 α k b i ， s = α l b j ， s 时，因为 α k b i ， s = α l b i ， s ，所以 b i ， s = 0 ；又因为 α k b i ， s = α l b j ， s ，所以 b j ， s = b i ， s = 0 。因此 B 2 × 2 = [ b i ， s b i ， t b j ， s b j ， t ] = [ 0 b i ， t 0 b j ， t ] ，故B满足 2 × 2 子矩阵约束。 情况2：当 α k b i ， s = α l b i ， s 且 α k b i ， s ≠ α l b j ， s 时，因为 α k b i ， s = α l b i ， s ，所以 b i ， s = 0 ；又因为 α k b i ， s ≠ α l b j ， s ，所以 b j ， s ≠ 0 。因此 B 2 × 2 = [ b i ， s b i ， t b j ， s b j ， t ] = [ 0 b i ， t b j ， s b j ， t ] ， det ( B 2 × 2 ) = − b i ， t b j ， s ≠ 0 ，故B满足 2 × 2 子矩阵约束。 情况3：当 α k b i ， s ≠ α l b i ， s 且 α k b i ， s = α l b j ， s 时，因为 α k b i ， s = α l b i ， s 且 α k b i ， s = α l b j ， s ，所以 α k b i ， s α l b j ， t ≠ α k b i ， t α l b j ， s ，即 b i ， s b j ， t ≠ b i ， t b j ， s 。因此 B 2 × 2 = [ b i ， s b i ， t b j ， s b j ， t ] ， det ( B 2 × 2 ) = b i ， s b j ， t − b i ， t b j ， s ≠ 0 ，故B满足 2 × 2 子矩阵约束。 情况4：当 α k b i ， s ≠ α l b i ， s 且 α k b i ， s ≠ α l b j ， s 时，因为 α k b i ， s ≠ α l b i ， s 且 α k b i ， s ≠ α l b j ， s ，所以 α k b i ， s α l b j ， t ≠ α k b i ， t α l b j ， s ，即 b i ， s b j ， t ≠ b i ， t b j ， s 。因此 B 2 × 2 = [ b i ， s b i ， t b j ， s b j ， t ] ， det ( B 2 × 2 ) = b i ， s b j ， t − b i ， t b j ， s ≠ 0 ，故B满足 2 × 2 子矩阵约束。 因此如果矩阵B满足 α 乘行约束1和2，则矩阵B满足 2 × 2 子矩阵约束。 将矩阵B的每一项 b i ， j 用其相应的 ( q − 1 ) 重二进制矩阵散列 A b ( b i ， j ) 替换后，可以得到一个 m × n 阵列 H b ： H b = [ A b ( b 0 ， 0 ) A b ( b 0 ， 1 ) ⋯ A b ( b 0 ， n − 1 ) A b ( b 1 ， 0 ) A b ( b 1 ， 1 ) ⋯ A b ( b 1 ， n − 1 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A b ( b m − 1 ， 0 ) A b ( b m − 1 ， 1 ) ⋯ A b ( b m − 1 ， n − 1 ) ] 其中，若 b i ， j ≠ 0 ，则 A b ( b i ， j ) 是 G F ( 2 ) 上的一个 ( q − 1 ) × ( q − 1 ) CPM；若 b i ， j = 0 ，则 A b ( b i ， j ) 是一个全零矩阵。 H b 是 G F ( 2 ) 上的一个 m ( q − 1 ) × n ( q − 1 ) 矩阵。 类似地，将矩阵B的每一项 b i ， j 用其相应的 ( q − 1 ) 重q进制矩阵散列 A q ( b i ， j ) 替换后，可以得到一个 m × n 阵列 H q ： H q = [ A q ( b 0 ， 0 ) A q ( b 0 ， 1 ) ⋯ A q ( b 0 ， n − 1 ) A q ( b 1 ， 0 ) A q ( b 1 ， 1 ) ⋯ A q ( b 1 ， n − 1 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A q ( b m − 1 ， 0 ) A q ( b m − 1 ， 1 ) ⋯ A q ( b m − 1 ， n − 1 ) ] 其中，若 b i ， j ≠ 0 ，则 A q ( b i ， j ) 是 G F ( q ) 上的一个 α 倍循环置换矩阵；若 b i ， j = 0 ，则 A b ( b i ， j ) 是一个全零矩阵。 H b 和 H q 分别是 G F ( 2 ) 、 G F ( q ) 上的一个 m ( q − 1 ) × n ( q − 1 ) 矩阵，将其分别称矩阵B的 ( q − 1 ) 重二进制和q进制阵列散列((q-1)­fold binary and q­ary array dispersions)。 对于任意整数对 γ 和 ρ ， 1 ≤ γ ≤ m 且 1 ≤ ρ ≤ n ，令 H b ( γ ， ρ ) 和 H q ( γ ， ρ ) 分别表示 H b 和 H q 的一个 γ × ρ 子阵列，则 H b ( γ ， ρ ) 和 H q ( γ ， ρ ) 分别是 G F ( 2 ) 、 G F ( q ) 上的一个 γ ( q − 1 ) × ρ ( q − 1 ) 矩阵。 H b ( γ ， ρ ) 在 G F ( 2 ) 上的零空间给出了一个二进制QC­LDPC码 C b ，类似地， H q ( γ ， ρ ) 在 G F ( q ) 上的零空间给出了一个q进制QC­LDPC码 C q ，其码长均为 ( q − 1 ) ρ 。若 H b ( γ ， ρ ) 和 H q ( γ ， ρ ) 均不包含全零矩阵，则其具有固定的行重 γ 和列重 ρ ，码 C b 和 C q 均是规则的，反之，它们均为非规则的。 定理3：如果矩阵B满足 2 × 2 子矩阵约束，则 H b 、 H q 满足RC­约束(Row­column constraint)，即 H b 、 H q 中任意两行(或两列)至多有一个对应位置都为非零项。 证明：假设 H b 不满足RC­约束。因为 H b 是一个循环置换矩阵的阵列，所以存在 i ， j ， s ， t ， k ， l ，其中 0 ≤ i ， j < m 且 i ≠ j ， 0 ≤ s ， t < n 且 s ≠ t ， 0 ≤ k ， l < q − 1 ，使得 A b ( b i ， s ) 的第k行与 A b ( b j ， s ) 的第l行相等，即 z b ( α k b i ， s ) = z b ( α l b j ， s ) ；且 A b ( b i ， t ) 的第k行与 A b ( b j ， t ) 的第l行相等，即 z b ( α k b i ， t ) = z b ( α l b j ， t ) 。因为在 G F ( q ) 上不同的元素有不同的位置向量，所以 α k b i ， s = α l b j ， s 且 α k b i ， t = α l b j ， t 。因此 α k b i ， s α l b j ， t = α k b i ， t α l b j ， s ，即 b i ， s b j ， t = b i ， t b j ， s ，与矩阵B满足 2 × 2 子矩阵约束矛盾，故 H b 满足RC­约束。同理，可证 H q 也满足RC­约束。