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user: 3. Levy过程模型 (一) Levy过程与Levy测度介绍 为较好拟合隔夜的SHIBOR时间序列，解决其尖峰、有偏，拖尾等问题，本文引入了默顿跳过程(MJ Process)、双指数跳过程(KOU Process)、正态逆高斯过程(NIG Process)、方差伽玛过程(VG Process)与α稳态过程(α stable Process)。关于Levy过程具体定义、性质与Levy分解本文不做过多详述，接下来主要介绍这几种Levy过程的测度见表2。 Table 2 Measure and characteristic function of five kinds of Levy processe Levy过程 Levy测度 特征函数 MJ λ t 1 2 π σ J exp { − ( x − μ J ) 2 2 σ J 2 } exp { λ ( e i α u − 1 2 δ 2 u 2 − 1 ) } KOU { p λ η 1 e − η 1 x               x > 0 ( 1 − p ) λ η 2 e η 2 x     x < 0 exp { t [ i μ u − 1 2 σ 2 u 2 + i u λ ( p η 1 − i u − 1 − p η 2 + i u ) ] } NIG e β x δ α π | x | K 1 ( α | x | ) exp { − δ ( α 2 − ( β + i u ) 2 − α 2 − β 2 ) } VG { C e G x | x | ，   x < 0 C e − M x x ， x > 0 ( G M G M + ( M − G ) i u + u 2 ) C α stable { C + x α + 1 ，   x > 0 C − | x | α + 1 ， x < 0 { exp { − σ α | θ | α ( 1 − i β ( s i g n ( θ ) tan π α 2 ) ) + i μ θ } ， α ≠ 1 exp { − σ α | θ | ( 1 + i β 2 π ( s i g n ( θ ) ln | θ | ) ) + i μ θ } ，     α = 1 表2. 5种Levy过程的测度及其分布函数 (二) 具体模型介绍 默顿跳过程是由默顿 [ 13 ] (1976)提出，即在B-S模型的基础上，加入了一个复合跳过程。用其布朗运动的跳模拟合一般时间的波动，用复合跳过程模拟合商业时间的波动。引入默顿跳后模型结构如下： X t = μ t + σ W t + ∑ i = 1 N t Y i 其中 μ 为模型的漂移项，t为时间， W t 为布朗运动， N t 是以 λ 为期望的泊松过程， Y i 为 α 为期望， δ 2 为方差的高斯分布。根据模型的表达式，可以推出其特征函数为 E [ e i u X t ] = exp { t ( i μ u − 1 2 σ 2 u 2 + λ ( e i α u − 1 2 δ 2 u 2 − 1 ) ) } 。 双指数跳过程是Kou [ 17 ] (2002)以默顿跳过程的思想为基础建立的Levy过程。与默顿跳的差别是不再假定跳跃幅度服从高斯分布，而是服从双指数分布。引入双指数跳后其模型结构为 X t = μ t + σ W t + ∑ i = 1 N t Y i ， 其他假定为引入默顿跳后的模型一样，唯有 Y i 服从双指数分布。 Y i 中有四个参数，p > 0表示上跳的概率， λ 为跳跃强度， η 1 > 0 与 η 2 > 0 分别为上跳与下跳的收敛速度。模型的特征函数为： E [ e i u X t ] = exp { t [ i μ u − 1 2 σ 2 u 2 + i u λ ( p η 1 − i u − 1 − p η 2 + i u ) ] } 基于双指数跳的模型较之基于默顿跳的模型优点在于考虑了SHIBOR时间序列数据的拖尾与厚尾现象。 默顿跳过程与双指数跳过程都属于有限跳过程，另外三种跳过程都属于无限跳跃过程。Barndorff-Nielsen提出了正态逆高斯过程，也是目前金融学界应用较多的纯跳过程。由于它的混合密度函数服从逆高斯分布，因而得名正态逆高斯过程。正态逆高斯过程有三个参数( α ， β ， δ )，其中 α 是控制峰度的函数， β 是控制偏度的函数，而参数 δ 是控制跳跃尺度的参数，对整个分布的二阶矩有较大的影响。引入 正态逆高斯过程后其模型的特征函数为 E [ e i u X t ] = exp { t ( i μ u − 1 2 σ 2 u 2 − δ ( α 2 − ( β + i u ) 2 − α − 2 β 2 ) ) } 。 正态逆高斯过程不仅能较好的控制跳跃过程的拖尾与尾部不对称，更能较好的拟合跳跃过程的偏度与跳跃尺度。 方差伽玛过程是Madan和Seneta [ 18 ] (1987)提出，并且他们 [ 19 ] (1990)论证了这个过程可由两个伽玛过程合成。引入方差伽玛过程后其模型结构为 X t = μ t + W t + Y t ，与前面定义相同， Y t 为方差伽玛过程，它有三个 参数C，G和M。引入VG过程后模型的特征函数为 E [ e i u X t ] = exp ( i t μ u − 1 2 t σ 2 u 2 ) ( G M G M + ( M − G ) i u + u 2 ) C t 。大量实践证明，基于方差伽玛过程的模型能够更好地拟合金融数据的尾部分布。 介绍稳态过程之前，先介绍一下稳态分布。稳态分布的定义是根据中心极限定理定义的，即从一个随机变量X中取独立同分布 X 1 ， X 2 ， ⋯ ， X n ，如果存在正实数 C n ， D n ，满足以下等价分布条件，即 X 1 + X 2 + ⋯ + X n → d C n X + D n ，其中 → d 表示等价分布，则称随机变量X服从稳态分布。 α 稳态过程的Levy测度为 V s ( d x ) = ( C + / x 1 + α 1 x > 0 + C − / | x | 1 + α 1 x < 0 ) d x 。其中 C + 与 C − 分别为控制正负跳的参数， d x 表示跳跃幅度， α 作为系数控制尖峰厚尾程度。基于 α 稳态过程Levy模型，其模型结构为 X t = μ t + W t + Y t ，其中 Y t 是 α 稳态过程。Weron R. [ 20 ] (1995)与Nolan J. P. [ 21 ] (1998)提出 α 稳态分布涉及多个不同的参数系表征方法，在不同的参数系下，其特征函数表达式也不一样。本文引入的引入 α 稳态过程是在标准参数系下，引入 稳态过程后模型的特征函数为： E [ e i u X t ] = { exp { t [ i μ u − 1 2 σ 2 u 2 − σ 1 α | u | α ( 1 − i β s i g n ( u ) tan π α 2 ) ] } ，     if   α ≠ 1 exp { t [ i μ u − 1 2 σ 2 u 2 − σ 1 | u | ( 1 + i β s i g n ( u ) 2 π log | θ | ) ] } ，     if   α = 1 在以上几种Levy过程模型中，用Levy跳过程刻画商业时间给SHIBOR时间序列带来的波动。而商业时间给SHIBOR带来的波动在金融数据中反映为不对称跳，拖尾，尖峰等现象，引入的Levy跳过程也正能反映这一些问题。