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user: 2. 基本引理 在这一节我们先给出一些相关引理。设 K l 是一个 l ( l ≥ 3 ) 阶团， V ( K l ) = { v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v l } 。设 H ( K l ， H ) = { G : G 是 一 个 具 有 团 数 为 l   的 n   阶 简 单 连 通 图 } ， H ( K l ; T k 1 ， T k 2 ， ⋯ ， T k l ) 是一个n阶简单连通图，它是在团 K l 的每个顶点 v i 上分别附上阶为 k i 的树 T k i 得到的图， H ( K l ; P k 1 ， P k 2 ， ⋯ ， P k l ) 是一个n阶简单连通图，它是在团 K l 的每个顶点 v i 上分别附上阶为 k i 的路 P k i 得到的图，其中 n = ∑ i = 1 l k i ( k i ≥ 1 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， l ) 。记 H ( K l ， T ) = { H ( K l ; T k 1 ， T k 2 ， ⋯ ， T k l ) : n = ∑ i = 1 l k i ， k i ≥ 1 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， l } H ( K l ， P ) = { H ( K l ; P k 1 ， P k 2 ， ⋯ ， T k l ) : n = ∑ i = 1 l k i ， k i ≥ 1 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， l } 引理1 [ 2 ] 设G是一个连通图， G 1 ， G 2 是G的两个连通子图并且有唯一的公共点u， G 1 ∪ G 2 = G 。设 n 1 = | V ( G 1 ) | ， n 2 = | V ( G 2 ) | 。那么 W ( G ) = W ( G 1 ) + W ( G 2 ) + ( n 1 − 1 ) D G 2 ( u ) + ( n 2 − 1 ) D G 1 ( u ) 。 引理2设 T n ， P n 分别是阶为n的树和路。 P k 是 T n 中最长的一条路。如果 u ∈ V ( P k ) 且 d T n ( u ) = 1 ， v ∈ V ( P n ) 且 d p n ( v ) = 1 ，那么 D T n ( u ) ≤ D P n ( v ) 且等号成立当且仅当 T n ≅ P n 。 证明： D T n ( u ) = D P k ( u ) + D T n \ P k ( u ) ≤ D P k ( u ) + k ( n − k ) ， D P n ( v ) = D P k ( u ) + D P n \ P k ( u ) ≥ D P k ( u ) + k ( n − k ) ， 我们有 D P n ( v ) − D T n ( u ) ≥ 0 ，因此 D T n ( u ) ≤ D P n ( v ) 且等号成立当且仅当 T n ≅ P n 。 设图 H 1 ， H 2 是两个连通图且 V ( H 1 ) ∩ V ( H 2 ) = { v } 。 G = H 1 v H 2 是一个连通图且 V ( G ) = V ( H 1 ) ∪ V ( H 2 ) ， V ( H 1 ) ∩ V ( H 2 ) = { v } ， E ( G ) = E ( H 1 ) ∪ E ( H 2 ) 。 引理3 [ 13 ] 设 T ， P 分别是阶为n的树和路，那么 W ( T ) ≤ W ( P ) 且等号成立当且仅当 T ≅ P 。 引理4 设H是阶为 n − k 的连通图， T k + 1 是一棵阶为 k + 1 的树， P k + 1 是一条阶为 k + 1 的路且 V ( H ) ∩ V ( T k + 1 ) = { u } ， V ( H ) ∩ V ( P k + 1 ) = { u } ，则 W ( H u T k + 1 ) ≤ W ( H u P k + 1 ) 且等号成立当且仅当 T k + 1 ≅ P k + 1 。 证明：由引理1有 W ( H u T k + 1 ) − W ( H u P k + 1 ) = W ( T k + 1 ) − W ( P k + 1 ) + k ( D T k + 1 ( u ) − D P k + 1 ( u ) ) ，根据引理2，3有 W ( H u T k + 1 ) − W ( H u P k + 1 ) ≤ 0 ，因此 W ( H u T k + 1 ) ≤ W ( H u P k + 1 ) 且等号成立当且仅当 T k + 1 ≅ P k + 1 。 由Wiener指数的定义我们有 引理5 设G是一个简单连通图且 x ， y ∈ V ( G ) 。如果边 x y ∉ E ( G ) ，那么 。 由引理5我们有 引理6 设 G ∈ H ( K l ， T ) ( l ≥ 3 ) 且 x ∈ V ( T i ) ， y ∈ V ( T j ) ， i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， l ，如果 x y ∉ E ( G ) ，那么 G ′ = G + x y ∈ H ( K l ， H ) 且 W ( G ) > W ( G ′ ) ，其中 G + x y 表示添加一条连接图G中不相邻的两点 x ， y 的边得到的图。 引理7 设 G 1 ∈ H ( K l ， P ) ， P k i ， P k j 分别是阶为 k i ， k j ≥ 2 的两条不同的路。 H = G 1 \ ( ( P k i − { v i } ) ∪ ( P k j − { v j } ) ) ， G 2 = H v i P k i w P k j (见图1)。则 W ( G 2 ) > W ( G 1 ) 。 图1. 两种图例 证明：由引理1我们有 W ( G 1 ) = W ( P k i v i H ) + W ( P k j ) + ( n P k i v i H − 1 ) D P k j ( v j ) + ( k j − 1 ) D P k i v i H ( v j ) ， W ( G 2 ) = W ( H v i P k i ) + W ( P k j ) + ( n H v i P k i − 1 ) D P k j ( w ) + ( k j − 1 ) D H v i P k i ( w ) 。 直接计算有 D H v i P k i ( w ) = D H \ { v i } ( w ) + D P k i ( w ) = D H \ { v i } ( v i ) + ( k i − 1 ) ( n H − 1 ) + D P k i ( v i ) = D H \ { v i } ( v i ) + ( k i − 1 ) ( n H − 1 ) + D P k i ( v j ) − k i = D H \ { v i ， v j } ( v j ) + d H ( v i ， v j ) + ( k i − 1 ) ( n H − 1 ) + D P k i ( v j ) − k i = D H \ { v i } ( v j ) + 1 + ( k i − 1 ) ( n H − 1 ) + D P k i ( v j ) − k i = D H \ { v i } ( v j ) + ( k i − 1 ) ( n H − 2 ) + D P k i (vj) D H v i P k i ( v j ) = D H \ { v i } ( v j ) + D P k i (vj) 因为 K l ⊆ H ( l ≥ 3 ) ，所以 n H ≥ 3 。因此 D H v i P k i ( w ) − D P k i v i H ( v j ) = ( k i − 1 ) ( n H − 1 ) > 0 ，也即 D H v i P k i ( w ) > D P k i v i H ( v j ) 。又因为 D P k j ( w ) = D P k j ( v j ) ， H v i P k i ≅ P k i v i H ，所以 W ( G 2 ) − W ( G 1 ) = ( n H v i P k i − 1 ) D P k j ( v j ) + ( k j − 1 ) ( D H v i P k i ( w ) − D P k i v i H ( v j ) ) > 0 故 W ( G 2 ) > W ( G 1 ) 。