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user: 2. 基本定义和基本定理 本文主要研究在四面体网格上进行多元Lagrange插值的问题. 首先引入若干基本概念： 基本引理： { Q i } i = 1 l 是 ℘ 的适定结点组的充分必要条件是 { Q i } i = 1 l 不落在 ℘ 中的任何一个曲面上。 Lagrange方法：设 { Q i j k } i ， j ， k = 1 l 是多项式空间 ℘ 的适定结点组。设法求得 L j ( x ， y ， z ) ∈ ℘ ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， l L k ( x ， y ， z ) ∈ ℘ ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， l 使得满足 L i j k ( Q i ) = ∂ i j k ， i = j = k = 1 ， 2 ， ⋯ ， l ，则对 f ( x ， y ， z ) ∈ D ( R 3 ) 可求得它 的插值多项式如下： p ( x ， y ， z ) = ∑ i ， j ， k = 1 l f ( Q i j k ) L i j k ( x ， y ， z ) ，这种方法称为Lagrange方法， L i j k ( x ， y ， z ) 称为Lagrange基本多项式。 定理1：若m次代数曲面 f 1 ( x ， y ， z ) ，n次代数曲面 f 2 ( x ， y ， z ) 和k次代数曲面 f 3 ( x ， y ， z ) 交点个数多于 m n k ，则一定有次数不超过m也不超过n和k的非零多项式 q ( x ， y ， z ) 存在，使得 f 1 ( x ， y ， z ) = q ( x ， y ， z ) ⋅ r 1 ( x ， y ， z ) ， f 2 ( x ， y ， z ) = q ( x ， y ， z ) ⋅ r 2 ( x ， y ， z ) ， f 3 ( x ， y ， z ) = q ( x ， y ， z ) ⋅ r 3 ( x ， y ， z ) ，式中， r 1 ( x ， y ， z ) ， r 2 ( x ， y ， z ) 和 r 3 ( x ， y ， z ) 分别是次数不小于m，n和k的三元实系数多项式。 定理2：若 { Q i } i = 1 k 是 R 3 上关于插值空间 ℘ m ， n ， l 的适定结点组。若它的每个点都不在水平面 x + y = a 上，则在该水平面上任取 n + 1 个互不相同的点与 { Q i } i = 1 k 一起必定构成 ℘ m + 1 ， n ， l 的适定结点组。同样 α 0 ( x ， y ， z ) = A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 地，若 { Q i } i = 1 k 的每个点都不在 x + z = b ( y + z = c )上，则在该平面上任取 m + 1 ( l + 1 )个互不相同的点与 { Q i } i = 1 k 一起必定构成 ℘ m ， n + 1 ， l ( ℘ m ， n ， l + 1 )的适定结点组。 特殊的Lagrange插值：四面体网格上的Lagrange插值，设四面体O-ABC的四面体分别为OAB，OBC，OAC，ABC，且四面体的方程分别为： α 0 ( x ， y ， z ) = A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ， β 0 ( x ， y ， z ) = A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ， γ 0 ( x ， y ， z ) = A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 ， λ 0 ( x ， y ， z ) = A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 ， 用4簇平行平面： α i ( x ， y ， z ) = A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + i E 1 = 0 ， i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n β j ( x ， y ， z ) = A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 + j E 2 = 0 ， j = 0 ， 1 ， ⋯ ， n γ k ( x ， y ， z ) = A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 + k E 3 = 0 ， k = 0 ， 1 ， ⋯ ， n τ h ( x ， y ， z ) = A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 + h E 4 = 0 ， h = 0 ， 1 ， ⋯ ， n 将该四面体作等距剖分。我们用 Q i j k 表 α i ( x ， y ， z ) = 0 示， β j ( x ， y ， z ) = 0 与 γ k ( x ， y ， z ) = 0 的交点则有 ℑ n = { Q i j k | i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n ， j = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n − i ， k = 0 ， 1 ， ⋯ ， n − i − j } 构成 ℘ n 的适定结点组。 令 A i ( x ， y ， z ) = ∏ l = 0 i − 1 α l ( x ， y ， z ) ， A 0 ( x ， y ， z ) ≡ 1 ， B j ( x ， y ， z ) = ∏ l = 0 j − 1 β l ( x ， y ， z ) ， B 0 ( x ， y ， z ) ≡ 1 ， C k ( x ， y ， z ) = ∏ l = 0 k − 1 γ l ( x ， y ， z ) ， C 0 ( x ， y ， z ) ≡ 1 ， D h ( x ， y ， z ) = ∏ l = 0 h − 1 τ l ( x ， y ， z ) ， D 0 ( x ， y ， z ) ≡ 1 则对应 Q i j k 的Lagrange插值基本多项式为 L i j k ( x ， y ， z ) = A i ( x ， y ， z ) A i ( Q i j k ) ⋅ B j ( x ， y ， z ) B j ( Q i j k ) ⋅ C k ( x ， y ， z ) C k ( Q i j k ) ⋅ D n − i − j − k ( x ， y ， z ) D n − i − j − k ( Q i j k ) 从而得到 ℑ n 上的Lagrange插值公式如下： P ( x ， y ， z ) = ∑ 0 ≤ i + j + k ≤ n f ( Q i j k ) L i j k ( x ， y ， z ) 。 例1：利用四面体网格上的Lagrange插值公式，构造如下多项式：四面体O-ABC为OAB，OAC，OBC 三个面分别是直角三角形的四面体，被插值函数为 f ( x ， y ， z ) = 2 x + 3 y + z + 1 构造出三元一次插值多项式。 解： Q 000 ( 0 ， 0 ， 0 ) Q 001 ( 0 ， 1 ， 0 ) Q 010 ( 1 ， 0 ， 0 ) Q 100 ( 0 ， 0 ， 1 ) A 0 ≡ 1 A 1 = α 0 = z B 0 ≡ 1 B 1 = β 0 = x C 0 ≡ 1 C 1 = γ 0 = y D 0 ≡ 1 D 1 = τ 0 = x + y + z − 1 L 000 ( x ， y ， z ) = − x − y − z + 1 L 001 ( x ， y ， z ) = y L 010 ( x ， y ， z ) = x L 100 ( x ， y ， z ) = z f ( Q 000 ) = 1 f ( Q 001 ) = 4 f ( Q 010 ) = 3 f ( Q 100 ) = 2 经验证： P ( x ， y ， z ) = f ( x ， y ， z ) 例2：利用四面体网格上的Lagrange插值公式，构造如下多项式：四面体O-ABC为OAB，OAC，OBC三个面分别是直角三角形的四面体，被插值函数为 f ( x ， y ， z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 1 ，构造出三元二次插值多项式。 解： Q 000 ( 0 ， 0 ， 0 ) Q 001 ( 0 ， 1 ， 0 ) Q 002 ( 0 ， 2 ， 0 ) Q 010 ( 1 ， 0 ， 0 ) Q 011 ( 1 ， 1 ， 0 ) Q 020 ( 2 ， 0 ， 0 ) Q 100 ( 0 ， 0 ， 1 ) Q 101 ( 0 ， 1 ， 1 ) Q 110 ( 1 ， 0 ， 1 ) Q 200 ( 0 ， 0 ， 2 ) A 0 ≡ 1 A 1 = α 0 = z A 2 = α 1 ⋅ α 0 = z 2 − z B 0 ≡ 1 B 1 = β 0 = x B 2 = β 1 ⋅ β 0 = x 2 − x C 0 ≡ 1 C 1 = γ 0 = y C 2 = γ 1 ⋅ γ 0 = y 2 − y D 0 ≡ 1 D 1 = τ 0 = x + y + z − 2 D 2 = τ 1 ⋅ τ 0 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 x y + 2 x z + 2 y z − 3 x − 3 y − 3 z + 2 L 000 ( x ， y ， z ) = 1 2 x 2 + 1 2 y 2 + 1 2 z 2 + x y + y z + x z − 3 2 x − 3 2 y − 3 2 z + 1 L 001 ( x ， y ， z ) = − x y − y 2 − y z + 2 y L 002 ( x ， y ， z ) = 1 2 y 2 − 1 2 y L 010 ( x ， y ， z ) = − x 2 − x y − x z + 2 x L 011 ( x ， y ， z ) = x y L 020 ( x ， y ， z ) = 1 2 x 2 − 1 2 x L 100 ( x ， y ， z ) = − x z − y z − z 2 + 2 z L 101 ( x ， y ， z ) = y z L 110 ( x ， y ， z ) = x z L 200 ( x ， y ， z ) = 1 2 z 2 − 1 2 z f ( Q 000 ) = 1 f ( Q 001 ) = 2 f ( Q 002 ) = 5 f ( Q 010 ) = 2 f ( Q 011 ) = 3 f ( Q 020 ) = 5 f ( Q 100 ) = 2 f ( Q 101 ) = 3 f ( Q 110 ) = 3 f ( Q 200 ) = 5 经验证： P ( x ， y ， z ) = f ( x ， y ， z ) 。