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user: 2. 解的全局有界性 为了证明定理1的结果，先给出一个必要的引理。 引理1：设 n = 2 ， m > q − 1 − μ 4 ⋅ ( 1 + C ¯ λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) 3 2 3 ) ， 1 < q ≤ 2 ， λ 0 ， μ > 0 。令 ( u ， v ， w ) 是模型(1.1) 的解，则对任意 p > 1 ， t ∈ ( 0 ， T max ) ，存在一个正常数C使得 ∫ Ω ( u ( ⋅ ， t ) + 1 ) p ≤ C 。 证明：第一步：当 1 < p < 2 时，对趋化模型(1.1)的第一个方程乘 ( u + 1 ) p − 1 并在 Ω 上积分， 1 p d d t ∫ Ω ( u + 1 ) p d x + ( p − 1 ) ∫ Ω ( u + 1 ) m + p − 3 | ∇ u | 2 d x ≤ − p + 1 p ∫ Ω ( u + 1 ) p d x − ∫ Ω ∇ ( S ( u ) ∇ v ) ( u + 1 ) p − 1 d x       + p + 1 p ∫ Ω ( u + 1 ) p d x + μ ∫ Ω ( u − u 2 ) ( u + 1 ) p − 1 d x (2.1) 对(2.1)右端第二项运用Young’s不等式可得 − ∫ Ω ( u + 1 ) p − 1 ∇ ( S ( u ) ∇ v ) d x = ( p − 1 ) ∫ Ω S ( u ) ( u + 1 ) p − 2 ∇ u ⋅ ∇ v d x = ( p − 1 ) ∫ Ω ∇ Ψ ( u ) ⋅ ∇ v d x = − ( p − 1 ) ∫ Ω Ψ ( u ) Δ v ≤ ( p − 1 ) ∫ Ω Ψ ( u ) | Δ v | ≤ ( p − 1 ) p + q − 2 ∫ Ω ( u + 1 ) p + q − 2 | Δ v | d x ≤ ( p − 1 ) ∫ Ω ( u + 1 ) p + q − 1 d x + ( p − 1 ) ∫ Ω | Δ v | p + q − 1 d x + C 1 (2.2) 其中 Ψ ( u ) = ∫ 0 u S ( σ ) ( 1 + σ ) p − 2 ⋅ ∇ σ 。 再对(2.1)右端第三项和第四项运用 ( u + 1 ) β ≤ 2 β ( u β + 1 ) 可得 p + 1 p ∫ Ω ( u + 1 ) p d x + μ ∫ Ω ( u − u 2 ) ( u + 1 ) p − 1 d x ≤ p + 1 p ∫ Ω ( u + 1 ) p d x + μ ∫ Ω ( u + 1 ) p d x + μ ∫ Ω ( u + 1 ) p − 1 d x − μ 4 ∫ Ω ( u + 1 ) p + 1 d x ≤ ( ε 1 − μ 4 ) ∫ Ω ( u + 1 ) p + 1 d x + C 2 ， 其中， C 2 = 1 p + 1 ( ε 1 p + 1 p ) − p ( p + 1 p + 2 μ ) p + 1 | Ω | + 2 p + 1 ( p + 1 p − 1 ) − ( p − 1 ) 2 μ | Ω | 。 对(2.2)右端第一项运用Young’s不等式可得 ( p − 1 ) ∫ Ω ( u + 1 ) p + q − 1 d x ≤ ( p − 1 ) ∫ Ω ( u + 1 ) p + 1 + ( p − 1 ) | Ω | p + 1 2 − q 最后整理可得 1 p d d t ∫ Ω ( u + 1 ) p d x + ( p − 1 ) ∫ Ω ( u + 1 ) m + p − 3 | ∇ u | 2 d x ≤ − p + 1 p ∫ Ω ( u + 1 ) p d x + ( p − 1 ) ∫ Ω ( u + 1 ) p + 1 d x         + ( p − 1 ) ∫ Ω | Δ v | p + q − 1 + ( ε 1 − μ 4 ) ∫ Ω ( u + 1 ) p + 1 d x + C 3 (2.3) 对任意 t ∈ ( s 0 ， T max ) ，对(2.3)运用常数变易法可得 1 p ∫ Ω ( u + 1 ) p d x ≤ 1 p e − ( p + 1 ) ( t − s 0 ) ‖ u ( s 0 ) ‖ L p ( Ω ) p + ( ε 1 + ( p − 1 ) − μ 4 ) ∫ s 0 t e − ( p + 1 ) ( t − s ) ∫ Ω ( u + 1 ) p + 1 d x d s       + ( p − 1 ) ∫ s 0 t e − ( p + 1 ) ( t − s ) ∫ Ω | Δ v | p + q − 1 d x d s + C 3 ∫ s 0 t e − ( p + 1 ) ( t − s ) d s ≤ ( ε 1 + ( p − 1 ) − μ 4 ) ∫ s 0 t e − ( p + 1 ) ( t − s ) ∫ Ω ( u + 1 ) p + 1 d x d s       + ( p − 1 ) ∫ s 0 t e − ( p + 1 ) ( t − s ) ∫ Ω | Δ v | p + q − 1 d x d s + C 4 (2.4) 其中 C 4 = 1 p e − ( p + 1 ) ( t − s 0 ) ‖ u ( s 0 ) ‖ L p ( Ω ) p + C 3 ∫ s 0 t e − ( p + 1 ) ( t − s ) d s 。 对任意的 s 0 ∈ ( 0 ， T max ) ， s 0 ≤ 1 ，令 t ∈ ( s 0 ， T max ) ，并对模型(1.1)第二个方程变形可得 v t − Δ v + v = − v w + v 。 对(2.4)右端第二项运用文献 [ 6 ] 的引理3.3和文献 [ 7 ] 的引理2.3可得 ( p − 1 ) ∫ s 0 t e − ( p + 1 ) ( t − s ) ∫ Ω | Δ v | p + q − 1 d x d s ≤ ( p − 1 ) e − ( p + 1 ) t λ 0 [ ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) p + q − 1 2 p + q − 1 ∫ s 0 t e ( p + 1 ) s ∫ Ω ( w p + q − 1 + 1 ) d x d s + e ( p + 1 ) s 0 ‖ v ( s 0 ， t ) ‖ L 2 ， p + q − 1 ( Ω ) p + q − 1 ] (2.5) 对(2.5)右端运用Young’s不等式可得 ∫ Ω w p + q − 1 d x < ∫ Ω w p + 1 d x + C 5 (2.6) 对模型(1.1)第三个方程两边同乘以 w p 并在 Ω 上积分， d d t ∫ Ω w p + 1 + ( p + 1 ) 2 ∫ Ω w p + 1 d x ≤ ( p + 1 ) C 6 ∫ Ω u p + 1 d x (2.7) 再对(2.7)运用常数变易法可得 ∫ Ω w p + 1 ≤ e − ( p + 1 ) 2 ( t − s 0 ) ‖ w ( s 0 ) ‖ L p + 1 p + 1 + ( p + 1 ) C 6 ∫ s 0 t e − p + 1 2 ( t − s ) ∫ Ω u p + 1 d x d s (2.8) 将(2.8)代入到(2.6)中可得 ∫ Ω w p + q − 1 d x ≤ C 7 ∫ Ω u p + 1 d x d s + C 8 < C 7 ∫ Ω ( u + 1 ) p + 1 d x d s + C 8 (2.9) 其中 C ¯ = C 7 = ( p + 1 ) C 6 ∫ s 0 t e − p + 1 2 ( t − s ) d s ， C 8 = e − ( p + 1 ) 2 ( t − s 0 ) ‖ w ( s 0 ) ‖ L p + 1 p + 1 + C 5 。 整理(2.4)，(2.5)和(2.9)可得 1 p ∫ Ω ( u + 1 ) p ≤ ( ε 1 + ( p − 1 ) + C ¯ ( p − 1 ) λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) p + q − 1 2 p + q − 1 − μ 4 ) ∫ s 0 t e − ( p + 1 ) ( t − s ) ∫ Ω ( u + 1 ) p + 1 d x d s     + C 9 ( p − 1 ) λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) p + q − 1 2 p + q − 1 e − ( p + 1 ) t ∫ s 0 t ∫ Ω e ( p + 1 ) s d x d s     + ( p − 1 ) λ 0 e − ( p + 1 ) ( t − s 0 ) ‖ v ( s 0 ， t ) ‖ L 2 ， p + q − 1 ( Ω ) p + q − 1 令 p = p 0 : = 1 + μ 4 ⋅ ( 1 + C ¯ λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) 3 2 3 ) > 1 ，当 p < 2 ，   1 < q ≤ 2 时，有 μ = 4 ⋅ ( ( p 0 − 1 ) + C ¯ ( p 0 − 1 ) λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) 3 2 3 ) > 4 ⋅ ( ( p 0 − 1 ) + C ¯ ( p 0 − 1 ) λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) p 0 + q − 1 2 p 0 + q − 1 ) 当 0 < ε 1 < μ 4 − ( p 0 − 1 ) + C ¯ ( p 0 − 1 ) λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) p 0 + q − 1 2 p 0 + q − 1 时，存在一个正常数 C 10 ，使得 ∫ Ω ( u + 1 ) p 0 d x ≤ C 10 再令 p < 2 p 0 ( 2 − p 0 ) + ， α > 1 2 ，则 p < 1 1 p 0 − 1 2 + 2 2 ( α − 1 2 ) ≤ 2 p 0 ( 2 − p 0 ) + (2.10) 由常数变易法和Hölder’s不等式可得 v ( t ) = e − τ ( A + 1 ) v ( s 0 ) + ∫ s 0 t e − ( t − s ) ( A + 1 ) ( − v ( s ) w ( s ) + v ( s ) ) d s (2.11) ‖ w ( ⋅ ， t ) ‖ L p 0 ( Ω ) ≤ ‖ w 0 ‖ L p 0 ( Ω ) + ∫ 0 t e − ( t − s ) ‖ u ( ⋅ ， s ) ‖ L p 0 ( Ω ) d s ≤ ‖ w 0 ‖ L p 0 ( Ω ) + ‖ u ( ⋅ ， s ) ‖ L p 0 ( Ω ) ( p 0 p 0 − 1 ) − p 0 − 1 p 0 ≤ C 11 (2.12) 其中 τ ∈ [ 0 ， s 0 ] ，再运用文献 [ 6 ] 的引理3.3和(2.11)可得 ‖ ( A + 1 ) α v ( t ) ‖ L p ( Ω ) ≤ C 12 s 0 − α − 2 2 ( 1 − 1 p ) ‖ v ( s 0 ， t ) ‖ L 1 ( Ω ) + C 12 ∫ s 0 t ( t − s ) − α − 2 2 ( 1 p 0 − 1 p ) e − μ ( t − s ) ‖ − v ( s ) w ( s ) + v ( s ) ‖ L p 0 ( Ω ) d s ≤ C 13 ∫ 0 + ∞ σ − α − 2 2 ( 1 p 0 − 1 p ) e − μ σ d σ + C 14 s 0 − α − 2 2 ( 1 − 1 p ) (2.13) 由(2.10)，(2.13)和文献 [ 10 ] 的引理3.1可知对所有的 t ∈ ( 0 ， T max ) ，   p ∈ [ 1 ， 2 p 0 ( 2 − p 0 ) + ) 有 ∫ Ω | ∇ v | p ≤ C 15 。 第二步：对任意的 p > 1 ，在模型(1.1)的第一个方程两边同乘 ( u + 1 ) p − 1 并在 Ω 上积分并运用Young’s不等式可得 1 p d d t ∫ Ω ( u + 1 ) p d x + ( p − 1 ) ∫ Ω ( u + 1 ) m + p − 3 | ∇ u | 2 d x ≤ p − 1 2 ∫ Ω ( u + 1 ) m + p − 3 | ∇ u | 2 d x + p − 1 2 ∫ Ω ( u + 1 ) p + 2 q − m − 3 | ∇ v | 2 d x − μ 2 ∫ Ω ( u + 1 ) p + 1 d x + C (2.14) 令 1 < l 0 < 2 p 0 2 ( 2 − p 0 ) + ，对(2.14)右端第二项运用Hölder’s不等式可得 p − 1 2 ∫ Ω ( u + 1 ) p + 2 q − m − 3 | ∇ v | 2 d x ≤ p − 1 2 ( ∫ Ω ( u + 1 ) l 0 l 0 − 1 ( p + 2 q − m − 3 ) ) l 0 − 1 l 0 ( ∫ Ω | ∇ v | 2 l 0 ) 1 l 0 d x ≤ C ‖ ( u + 1 ) m + p − 1 2 ‖ L 2 l 0 l 0 − 1 p + 2 q − m − 3 m + p − 1 2 p + 2 q − m − 3 m + p − 1 (2.15) 由于 l 0 > 1 ， p > max { 2 q − m − 3 ， p 0 − p 0 l 0 − 2 q + m + 3 } ，所以 p 0 m + p − 1 ≤ l 0 l 0 − 1 p + 2 q − m − 3 m + p − 1 < ∞ ， 对(2.15)右端运用文献 [ 7 ] 的引理2.1可得 C ‖ ( u + 1 ) m + p − 1 2 ‖ L 2 l 0 l 0 − 1 p + 2 q − m − 3 m + p − 1 2 p + 2 q − m − 3 m + p − 1 ≤ C ( ‖ ∇ ( u + 1 ) m + p − 1 2 ‖ L 2 ( Ω ) μ 1 ‖ ( u + 1 ) m + p − 1 2 ‖ L 2 p 0 m + p − 1 ( Ω ) 1 − μ 1 + ‖ ( u + 1 ) m + p − 1 2 ‖ L 2 p 0 m + p − 1 ( Ω ) ) 2 p + 2 q − m − 3 m + p − 1 ≤ C ( ‖ ∇ ( u + 1 ) m + p − 1 2 ‖ L 2 ( Ω ) 2 μ 1 p + 2 q − m − 3 m + p − 1 + 1 ) ≤ C ( ‖ ∇ ( u + 1 ) m + p − 1 2 ‖ L 2 ( Ω ) 2 l 0 ( p + 2 q − m − 3 ) − p 0 ( l 0 − 1 ) l 0 ( m + p − 1 ) + 1 ) 其中， μ 1 = 2 m + p − 1 2 p 0 − 2 ( l 0 − 1 ) ( m + p − 1 ) 2 l 0 ( p + 2 q − m − 3 ) 1 − 2 2 + 2 ( m + p − 1 ) 2 p 0 = ( m + p − 1 ) 2 2 p 0 − 2 ( l 0 − 1 ) 2 l 0 ( p + 2 q − m − 3 ) 1 − 2 2 + 2 ( m + p − 1 ) 2 p 0 ∈ ( 0 ， 1 ) 。 由 p = p 0 : = 1 + μ 4 ⋅ ( 1 + C ¯ λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) 3 2 3 ) > 1 ， l 0 < 2 p 0 2 ( 2 − p 0 ) + 和 m > q − 1 − μ 4 ⋅ ( 1 + C ¯ λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) 3 2 3 ) 可知 l 0 ( p + 2 q − m − 3 ) − p 0 ( l 0 − 1 ) l 0 ( m + p − 1 ) < 1 。 最后，利用Young’s不等式整理可得 1 p d d t ∫ Ω ( u + 1 ) p d x + ( p − 1 ) 4 ∫ Ω ( u + 1 ) m + p − 3 | ∇ u | 2 d x + μ 2 ∫ Ω ( u + 1 ) p + 1 d x ≤ C (2.16) 对(2.16)在 ( 0 ， t ) 上积分可得对任意的 p > 1 ，有 ∫ Ω ( u + 1 ) p d x ≤ C 。 定理1的证明：首先，假设 ( u ， v ， w ) 是模型(1.1)的解，对任意的 t ∈ ( 0 ， T max ) ，存在常数 C > 0 ，由一阶常微分方程理论和Hölder’s不等式可得 ‖ w ( ⋅ ， t ) ‖ L p ( Ω ) ≤ ‖ w 0 ‖ L p ( Ω ) + ∫ 0 t e − ( t − s ) ‖ u ( ⋅ ， s ) ‖ L p ( Ω ) d s ≤ ‖ w 0 ‖ L p ( Ω ) + ‖ u ( ⋅ ， s ) ‖ L p ( Ω ) ( p p − 1 ) − p − 1 p ≤ C 16 (2.17) 又因为 p > n 时， θ ∈ [ 1 ， ∞ ] 可得 ‖ ∇ v ( ⋅ ， t ) ‖ L θ ( Ω ) ≤ C 17 ‖ ∇ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) + C 18 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) ‖ w ( ⋅ ， t ) ‖ L p ( Ω ) ∫ 0 ∞ ( 1 + s ϕ ) − λ s d s ≤ C (2.18) 其中 ϕ > − 1 ，即可证明 ‖ ∇ v ( ⋅ ， t ) ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ C 。 其次，当 m > q − 1 − μ 4 ⋅ ( 1 + C ¯ λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) 3 2 3 ) ， 1 < q ≤ 2 。当 D ( u ) 和 S ( u ) 满足(1.2)，对任意的 p > 1 ， 模型(1.1)两边同乘 ( u + 1 ) p − 1 并在 Ω 上积分可得 1 p d d t ∫ Ω ( u + 1 ) p d x + ( p − 1 ) ∫ Ω ( u + 1 ) m + p − 3 | ∇ u | 2 d x ≤ p − 1 4 ∫ Ω ( u + 1 ) m + p − 3 | ∇ u | 2 d x + ( p − 1 ) C 19 2 ∫ Ω ( u + 1 ) p + 2 q − m − 3 d x + μ ∫ Ω ( u − u 2 ) ( u + 1 ) p − 1 d x ≤ p − 1 4 ∫ Ω ( u + 1 ) m + p − 3 | ∇ u | 2 d x + C 20 p ∫ Ω ( u + 1 ) p + 2 q − m − 3 d x − ∫ Ω ( u + 1 ) p d x − μ 4 ∫ Ω ( u + 1 ) p + 1 d x (2.19) 其中 C 20 = C 19 2 + 2 μ + 1 ， q − 1 − μ 4 ⋅ ( 1 + C ¯ λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) 3 2 3 ) < m < 2 q − 3 ，对上式右端第二项运用文献 [ 7 ] 的引理2.1和Young’s不等式可得 C 20 p ∫ Ω ( u + 1 ) p + 2 q − m − 3 d x ≤ C 21 ( ‖ ∇ ( u + 1 ) m + p − 1 2 ‖ L 2 ( Ω ) 2 ( p + 2 q − m − 3 ) m + p − 1 ς 1 ‖ ( u + 1 ) m + p − 1 2 ‖ L 1 ( Ω ) 2 ( p + 2 q − m − 3 ) m + p − 1 1 − ς 1 + ‖ ( u + 1 ) m + p − 1 2 ‖ L 1 ( Ω ) 2 ( p + 2 q − m − 3 ) m + p − 1 ) ≤ C 22 ‖ ∇ ( u + 1 ) m + p − 1 2 ‖ L 2 ( Ω ) 2 + C 23 ‖ ( u + 1 ) m + p − 1 2 ‖ L 1 ( Ω ) 2 ( p + 2 q − m − 3 ) m + p − 1 (2.20) 整理(2.19)和(2.20)可得 1 p d d t ∫ Ω ( u + 1 ) p d x + ∫ Ω ( u + 1 ) p d x + C 20 ∫ Ω | ∇ ( u + 1 ) m + p − 1 2 | 2 d x ≤ C 24 ， (2.21) 再运用Gronwall不等式可得 ‖ u ( ⋅ ， t ) ‖ L p ( Ω ) ≤ C 24 。 再对上式运用标准的Alikakos-Moser迭代即可得到 ‖ u ( ⋅ ， t ) ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ C 。 最后，对模型(1.1)的第三个方程求一阶线性常微分方程的解，显然可得 ‖ w ( ⋅ ， t ) ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ C 。 从而定理1得证。