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user: 3. 主要结果及其证明 借助上述引理，我们可以证明下面的定理。 定理1：对于 α ≥ 1 2 令初值满足 u ˜ 0 ( x ) ∈ H α + 1 ( Ω ) ，且 μ ∈ C ( R ; R ) ，   μ ( 0 ) = 0 ，   μ ( z ) > 0 ( ∀ z ∈ R ， z ≠ 0 ) ， (40) σ ∈ C 1 ( R ; R ) ，   σ ( 0 ) = 0 ，   σ ( z ) > 0 ( ∀ z ∈ R ， z ≠ 0 ) ， (41) f ∈ L 2 ( 0 ， ∞ ; H 1 ( Ω ) ) . (42) 那么问题(1)-(3)有一个弱解u，满足 u ∈ L ∞ ( 0 ， ∞ ; H α + 1 ( Ω ) ) ， u t ∈ L 2 ( 0 ， T ; H α ( Ω ) ) . (43) 证明：第一步：Galerkin逼近 在 H α 上取特殊的正交基 { w j } ： 由拉普拉斯特征函数形成： Δ w j = λ j w j ，   w j ∈ C ∞ ( Ω ) ，   0 < λ 1 ≤ λ 2 ≤ ⋯ ≤ λ j → ∞ . (44) 定义 u m ( t ) = ∑ j = 1 m c m j ( t ) w j ， (45) 其中 c m j ( t ) ( j = 1 ， ⋯ ， m ) 满足下面逼近方程 〈 ( − Δ ) α u m t ( t ) ， w j 〉 + 〈 ( 1 + σ ( ∇ u m ( t ) ) ) u m ( t ) ， w j 〉 + 〈 ( − Δ ) α u m ( t ) ， w j 〉 + 〈 u m t ( t ) ， w j 〉 − 〈 μ ( ∇ u m ( t ) ) Δ u m ( t ) ， w j 〉 = 〈 f ( t ) ， w j 〉 ， 1 ≤ j ≤ m ， (46) 初始条件 u m ( 0 ) = u 0 m ∈ s p a n { w j ， 1 ≤ j ≤ m } ， u 0 m → u ˜ 0 ( m → ∞ ) 在 H α + 1 ( Ω ) 中强收敛。(47) 显然，此时的方程(46)-(47)是一组常微分方程。应用标准常微分方程的理论，易知当 0 ≤ t ≤ t m = T 时，方程(46)-(47)具有唯一解。 第二步：取极限 根据以上估算，存在 { u m ( t ) } 的子序列，仍用 { u m ( t ) } 表示，满足 u m → u 在 L ∞ ( 0 ， ∞ ; H α + 1 ( Ω ) ) 中弱 ∗ 收敛， (48) u m t → u t 在 L 2 ( 0 ， T ; H α ( Ω ) ) 中弱 ∗ 收敛。 (49) 应用Riesz定理，有 u m → u 在 L 2 ( 0 ， ∞ ; H α ( Ω ) ) 中强收敛且几乎处处收敛于 Q T ，(50) ∇ u m → ∇ u 在 L 2 ( Q T ) 中强收敛且几乎处处收敛于 Q T ，(51) Δ u m → Δ u 在 L 2 ( Q T ) 中强收敛且几乎处处收敛于 Q T 。 (52) 考虑引理1、引理2和引理3，我们可以得到 ‖ ∫ 0 ∇ u m μ ( z ) d z ‖ L ∞ ( Ω ) < C ， ‖ σ ( ∇ u m ) u m ‖ L ∞ ( Ω ) < C . (53) 应用控制收敛定理，我们发现 ∫ 0 ∇ u m μ ( z ) d z → ∫ 0 ∇ u μ ( z ) d z 在 L 2 ( Q T ) 中强收敛， (54) σ ( ∇ u m ) u m → σ ( ∇ u ) u 在 L 2 ( Q T ) 中强收敛。 (55) 通过(47)-(52)和(54)-(55)，在(46)中取极限，我们获得 〈 u t ( t ) ， w 〉 + 〈 ( − Δ ) α 2 u ( t ) ， ( − Δ ) α 2 w 〉 + 〈 ∫ 0 ∇ u ( t ) μ ( z ) d z ， ∇ w 〉 + 〈 ( − Δ ) α u t ( t ) ， ( − Δ ) α 2 w 〉 + 〈 ( 1 + σ ( ∇ u ( t ) ) ) u ( t ) ， w 〉 = 〈 f ( t ) ， w 〉 ，   ∀ w ∈ H α ( Ω ) ， u ( 0 ) = u ˜ 0 . (56) 另外 u ∈ L ∞ ( 0 ， ∞ ; H α + 1 ( Ω ) ) ， u t ∈ L 2 ( 0 ， T ; H α ( Ω ) ) . (57) 第三步：解的唯一性 令u和v是(1)-(3)的弱解。定义 w = u − v ，我们有 w t + ( − Δ ) α w t + ( − Δ ) α w − ( μ ( ∇ u ) Δ u − μ ( ∇ v ) Δ v )   + w + ( σ ( ∇ u ) u − σ ( ∇ v ) v ) = 0 ， w ( 0 ) = 0. (58) 将(58)与w相乘，然后关于时间变量t和空间变量x从 ( 0 ， t ) × Ω 进行积分，我们得到 ‖ w ( t ) ‖ H α ( Ω ) 2 − 2 ∫ 0 t 〈 μ ( ∇ u ( s ) ) Δ u ( s ) − μ ( ∇ v ( s ) ) Δ v ( s ) ， w ( s ) 〉 d s + 2 ∫ 0 t ‖ w ( s ) ‖ H α ( Ω ) 2 d s + 2 ∫ 0 t 〈 σ ( ∇ u ( s ) ) u ( s ) − σ ( ∇ v ( s ) ) v ( s ) ， w ( s ) 〉 d s = 0. (59) 利用函数的单调性，我们推断 − 2 ∫ 0 t 〈 μ ( ∇ u ( s ) ) Δ u ( s ) ， w ( s ) 〉 − 〈 μ ( ∇ v ( s ) ) Δ v ( s ) ， w ( s ) 〉 d s = 2 ∫ 0 t 〈 ∫ 0 ∇ u ( s ) μ ( z ) d z − ∫ 0 ∇ v ( s ) μ ( z ) d z ， ∇ w ( s ) 〉 d s ≥ 0. (60) 另一方面，我们发现 − 2 ∫ 0 t 〈 σ ( ∇ u ( s ) ) u ( s ) − σ ( ∇ v ( s ) ) v ( s ) ， w ( s ) 〉 d s = − 2 ∫ 0 t [ 〈 σ ( ∇ u ( s ) ) v ( s ) ， w ( s ) 〉 + 〈 σ ( ∇ u ( s ) ) w ( s ) ， w ( s ) 〉       − 〈 σ ( ∇ v ( s ) ) v ( s ) ， w ( s ) 〉 ] d s . (61) 利用估计，我们有 | σ ( ∇ v ( s ) ) − σ ( ∇ u ( s ) ) | < L 1 | ∇ v ( s ) − ∇ u ( s ) | ， (62) 那么，由(62)，可知 − 2 ∫ 0 t 〈 σ ( ∇ u ( s ) ) v ( s ) ， w ( s ) 〉 − 〈 σ ( ∇ v ( s ) ) v ( s ) ， w ( s ) 〉 d s = 2 ∫ 0 t 〈 ( σ ( ∇ v ( s ) ) − σ ( ∇ u ( s ) ) ) v ( s ) ， w ( s ) 〉 d s ≤ 2 L 1 ‖ v ( s ) ‖ L ∞ ( Ω ) ∫ 0 t | 〈 | ∇ w ( s ) | ， w ( s ) 〉 | d s ≤ L 1 ‖ v ( s ) ‖ L ∞ ( Ω ) ∫ 0 t ∫ Ω ( ‖ ∇ w ( s ) ‖ 2 + ‖ w ( s ) ‖ 2 ) d x d s ≤ C ∫ 0 t ‖ w ( s ) ‖ H α ( Ω ) 2 d s . (63) 回顾(61)，从(63)可推出 − 2 ∫ 0 t 〈 σ ( ∇ u ( s ) ) u ( s ) − σ ( ∇ v ( s ) ) v ( s ) ， w ( s ) 〉 d s ≤ C ∫ 0 t ‖ w ( s ) ‖ H α ( Ω ) 2 d s . (64) 令 ρ ( s ) = ‖ w ( s ) ‖ H α ( Ω ) 2 ，从(58)-(60)和(64)，我们有 ρ ( s ) ≤ C ∫ 0 t ρ ( s ) d s . (65) 此时，应用Gronwall引理，我们有 ρ ( s ) = 0 ，即 w = 0 。