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user: 5. DCC动态相关性和Copula函数尾依赖检验结果 5.1. GARCH(1，1) 模型 表9列出了上证收益指数 和深证收益指数 的滞后一阶自回归模型 和一般自回归条件异方差模型 。所有参数的对数最大似然估计均依据单变量正态分布来估计。很显然，两个收益指数 和 的一般自回归条件异方差模型 的参数在1%概率值下都是显著有效的。 两个 模型中，由于GARCH项变量 和 的系数 值都很大，对动态方差 和 影响很大，这说明上证收益指数和深证收益指数的动态方差都具有很强的聚集效应，并且从时间变量 到 ，两个收益指数的波动性都具有扩散和溢出效应。 两个 模型中，由于ARCH项变量 和 的系数 值都不为零，这说明上证收益指数和深证收益指数的自回归模型误差项的滞后项对于动态方差 和 也有一定影响。 截距项 的值很小，表明长期平均波动性影响较小。 图1是上证收益指数 的 模型下的动态条件方差 曲线图示。图2是深证收益指数 的 模型下的动态条件方差 曲线图示。 统计分析显示，上证收益指数的动态方差 和深证收益指数的动态方差 的均值分别为0.0155、0.0175；标准误差分别为0.0064、0.0062；偏度分别为1.2269、1.2366；峰度分别为4.0321、3.9471；二者之间的相关系数为0.9681。显然，二者的各项参数之间具有一定的相似性，并且相关性很高。 5.2. DCC模型 通常，GARCH模型主要用于观察单变量序列的动态条件方差；而DCC模型主要用于观察多变量序列之间的动态条件相关系数。为了估计DCC模型的动态条件相关系数，第一步就是估计GARCH(1， 1)模型下的动态条件方差、以及标准误差，然后根据标准误差估计DCC模型的参数。 为了估计DCC模型的参数，需要先得到标准误差项 之间的静态相关系数 作为初值。实际验证发现收益指数变量 之间的静态相关系数值为0.9330；自回归AR(1)模型误差变量 之间的静态相关系数值为0.9332；GARCH(1，1)模型标准误差变量 之间的静态相关系数值为0.9333。由于DCC模型参数的对数最大似然估计需要，静态相关系数初值就定义为 ， ， 。 表10列出了DCC的模型估计结果。在1%概率水平下，参数的t检验结果都显著有效。模型中，变量 是标准误差 的动态条件方差；变量 表现了标准误差 的动态条件方差；变量 和 表现了两个标准误差 之间的动态条件协方差。在得到动态DCC模型参数之后，动态条件相关系数(dynamic conditional correlations)的计算就参照公式 和 进行。 Table 9 AR(1) and GARCH(1，1) regressive models for the both return indices of Shanghai composite index and Shenzhen component inde 变量 对数最大似然值 AR(1) GARCH(1，1) 20361.45 20361.45 表9. 上证收益指数与深证收益指数的AR(1)和GARCH(1，1) 回归模型 备注: 1) 和 模型参数的对数最大似然估计以正态分布密度函数为基础； 2) 参考自相关性检验结果，自回归模型均使用滞后一阶 模型；3) 是z-statistic的概率值；4) 初始GARCH值满足条件 ， 最大似然估计参数满足 ， ， ， ，对数最大似然估计参数计算依据单变量正态分布；5) 标准误差计算来自公式 ，其中 。 图1. 上证收益指数GARCH(1，1)模型曲线图示 图2. 深证收益指数GARCH(1，1)模型曲线图示 Table 1 0 DCC-GARCH(1，1) models from the standard residual 对数最大似然值 DCC-GARCH (1，1)模型 ， MLL = 8167.932 0.9333 AIC = −4.414129 SIC = −4.407408 HIC = −4.411737 表10. 由标准误差项所得到的DCC-GARCH(1，1) 模型 备注: 1) MLL是对数最大似然估计(maximum log likelihood)值；AIC是Akaike信息准则值；SIC是Schwarz信息准则值；HIC 是Hannan-Quinn信息准则值。 显然，与GARCH(1，1)模型类似，在滞后时间变量为 时的动态条件方差和协方差变量 、 、 、 对于今后在时间变量为 时的动态条件方差和协方差 、 、 、 都有显著、且较大的影响，说明聚集效应、扩散效应、或溢出效应是收益指数波动性的主要特征。 描述性统计分析发现，动态条件相关系数 ， 的均值，也即DCC均值分别为0.935334，它们与 之间的静态相关系数值0.9330， 之间的静态相关系数值0.9332， 之间的静态相关系数值0.9333，都非常接近，误差小于0.005。 动态条件相关系数 ， 的值表现了三组变量 、 、 中每组变量内部两个变量之间相关系数的变化过程。统计显示，DCC最小值为0.8345，最大值为1，说明上证收益指数与深证收益指数之间具有很高的相关性。但是，静态相关系数无法像动态相关系数一样反映两个收益指数之间相关性随时间动态变化的情况。 图3表现了两个标准误差项在DCC模型下的动态条件协方差 和 曲线图示。图4表现了两个标准误差项在DCC模型下的动态条件相关系数 和 曲线图示。条件相关系数 和 曲线反映了上证收益指数 与深证收益指数 之间的动态相关关系。 条件相关系数 (与 一致重合)与异方差 和 之间具有负相关性，相关系数值分别为−0.2124、−0.2308，这表明，当股票市场波动性较小时，两市之间相关性较强；反之，当股票市场波动性较强时，两市之间相关性较弱。 5.3. Copula尾部依赖关系 首先，考虑标准误差项满足Gaussian正态分布的情况。理论上来说，标准误差项 服从 正态分布。但是，在实证分析中，由于理论值与实际值之间存在差异，所以，为了提高计算的精度，需要对实际值重新计算正态分布的均值 、方差 ，以及联合分布相关系数 。 其次，考虑标准误差项满足学生t分布的情况。从之前的分析已经知道，两个收益指数并不完全符合正态分布，而具有厚尾分布特点，所以，我们也要在学生t分布环境下进行分析。 表11列出了标准误差项在Gaussian正态分布和学生t分布下的参数估计值。在Gaussian正态分布情 图3. DCC模型下标准误差项的动态条件协方差曲线图示 图4. DCC模型下标准误差项的动态条件相关系数曲线图示 Table 1 1 Parameter estimated values of Gaussian normal distribution and Student-t distribution from the standard residual 分布 Gaussian正态分布( ) 学生t分布( ) 参数 取值 −0.000186 0.123462 0.000534 0.131790 0.933391 12.16330 13.37605 7.489979 0.952569 表11. 标准误差项在Gaussian正态分布和学生t分布下的参数估计值 况下，标准误差 的均值和方差分别为 、 ；标准误差 的均值和方差分别为 、 ； 为联合分布相关系数。在学生t分布下，标准误差 和 的学生t分布自由度分别为 ，联合分布的自由度为 、相关系数为 。这些参数将被用来为标准误差 和 定义Gaussian边际分布和学生t边际分布。 根据已经估计出的参数，就可以很容易地计算出标准误差变量 和 在Gaussian正态分布和学生t分布下的单变量概率密度函数值，以及单变量概率分布函数值。据此，就可以估计出Clayton Copula和Gumbel Copula的参数值。对于Clayton Copula，必须满足参数 ；而对于Gumbel Copula，必须满足参数 。 表12列出了在标准误差变量 和 在满足Gaussian正态分布和学生t分布两种情况下，所计算出的Clayton Copula和Gumbel Copula的参数估计值，以及Clayton Copula的下尾分布和Gumbel Copula的上尾分布概率值。 第一，在学生t分布情况下，标准误差变量 和 之间的相关系数为0.952569，明显高于在Gaussian正态分布情况下的相关系数0.933391。不仅如此，在学生t分布情况下，Clayton Copula的下尾概率值0.986292和Gumbel Copula的上尾概率值0.980082都高于在Gaussian正态分布情况下Clayton Copula的下尾概率值0.847796和Gumbel Copula的上尾概率值0.815683。这说明，对于两种收益指数来说，学生t分布比Gaussian正态分布具有更好的性质来表现上证收益指数和深证收益指数之间的普通相关性、以及尾部相关性之间的关系。 第二，在Gaussian正态分布情况下，Clayton Copula下尾分布概率为0.847796，Gumbel Copula上尾分布概率为0.815683；在学生t分布情况下，Clayton Copula下尾分布概率为0.986292，Gumbel Copula Table 1 2 Parameter and tail distribution values of Clayton Copula and Gumbel Copula based on Gaussian and Student-t distribution Copula函数 Gaussian正态分布( ) 学生t分布( ) Clayton 4.197961 下尾 0.847796 50.22091 下尾 0.986292 Gumbel 4.097447 上尾 0.815683 35.14641 上尾 0.980082 表12. 基于Gaussian正态分布和学生t分布的Clayton Copula和Gumbel Copula参数和尾分布估计值 上尾分布概率为0.980082。由于不论哪种情况，它们的上尾、下尾分布条件概率值都很高，这说明：在一个指数提高的情况下另外一个指数提高的概率值也很高；反之，在一个指数降低的情况下另外一个指数降低的概率值也很高。这个结果表明，上证收益指数与深证收益指数之间，既存在显著的上尾依赖关系，也存在显著的下尾依赖关系。这一点，与之前得出的上证收益指数与深证收益指数之间的双向格兰杰因果关系完全一致。