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user: 3. 多智能体一致性编队控制问题的理论研究 3.1. 一阶系统一致性编队控制问题 x i 表示第 i 个智能体的相关参数，如：位置，速度，加速度等，最后的多智能体系统 [ 10 ] 中所有的多智能体的参数信息都将趋于一致。 一阶系统的模型为： x ˙ = u i (1) 其中 u i 为控制协议。Saber在文献 [ 11 ] 中提出的线性系统分布式一致性协议如下： x ˙ = − ∑ j ∈ N i a i j ( x i ( t ) − x j ( t ) ) (2) 其中 x i ( 0 ) = z i ∈ R 。 一阶系统的一致性稳定判据已经得到了理论证明，参考文献 [ 12 ] 给出的一致性稳定判据，只要通信拓扑结构中含有最小生成树 [ 13 ] [ 14 ] 就可以实现渐近一致性稳定 [ 15 ] 。 3.2. 带领导者二阶系统一致性编队控制问题 3.2.1. 一位主领导者的模型描述与分析 对于带有一位主领导者 [ 16 ] 的二阶系统，其动态模型为： { x ˙ i ( t ) = v i ( t ) ， v ˙ i ( t ) = u i ( t ) . (3) 其中 i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， x i ∈ R 表示位移， v i ∈ R 表示速度， u i ∈ R 表示控制输入， i = 0 代表的是领导者。其拓扑结构可简化为图1。 我们给出一致性协议 [ 17 ] 形式如下： 图1. 多带一位主领导者 u i = − ∑ j = 0 n a i j [ ( x i − x j ) + b i ( x i − x 0 ) + γ [ ( v i − v j ) + b i ( v i − v 0 ) ] ] .(4) 其中 a i j 表示节点 i 与节点 j 之间的权值， a i j > 0 表示有信息传递，否则 a i j = 0 ， b i 表示领导者向与其邻接的成员传递信息的权值， γ > 0 是调整因子。当系统最终实现一致性，即当 t → ∞ 时， | x i − x j | → 0 ， | v i − v j | → 0 。 A = [ 0 a 01 ⋯ a 0 n b 1 d 1 0 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b n d n a n 2 ⋯ 0 ] ， D = [ d 0 ( b 1 + 1 ) d 1 ⋱ ( b n + 1 ) d n ] ， 则得到拉普拉斯矩阵 L n + 1 = [ d 0 − b 1 d 1 ( b 1 + 1 ) d 1 ⋱ − b n d n ( b n + 1 ) d n ] 令 x = [ x 0 ， ⋯ ， x n ] T ， v = [ v 0 ， ⋯ ， v n ] T ，应用协议(4)，模型(3)可以写成矩阵的形式，如下： [ x ˙ v ˙ ] = Γ [ x v ] (5) 其中， Γ = [ 0 ( n + 1 ) ( n + 1 ) I n + 1 − L n + 1 − γ L n + 1 ] ， L n + 1 是不对称的Laplace矩阵。 在求解 Γ 的特征值之前，我们首先求解 det ( λ I 2 ( n + 1 ) − Γ ) = 0 ， det ( λ I 2 ( n + 1 ) − Γ ) 为矩阵 Γ 的特征多项式，则有下面式子： det ( λ I 2 ( n + 1 ) − Γ ) = det ( [ λ I n + 1 − I n + 1 L n + 1 λ I n + 1 + γ L n + 1 ] ) (6) = det ( λ 2 I n + 1 + ( 1 + γ λ ) L n + 1 ) (7) 以及： det ( λ I n + 1 + L n + 1 ) = ∏ i = 0 n ( λ − η i ) (8) 其中 η i 是 − L n + 1 的第 i 个特征值。通过上面这三个式子(6) (7) (8)，可以得到： det ( λ 2 I n + 1 + ( 1 + γ λ ) L n + 1 ) = ∏ i = 0 n ( λ 2 − ( 1 + γ λ ) η i ) (9) 由式子(9)，可知，通过求解 λ 2 = ( 1 + γ λ ) η i 便能够求解式子(7)的根。因此， Γ 的特征值如下： λ i ± = γ η i ± γ 2 η i 2 + 4 η i 2 (10) 其中 λ i + 和 λ i − 是矩阵 Γ 关于 η i 的特征值。 从特征值的式子(10)可以看出，如果 − L 含有 m 个零特征值，则 Γ 就有 2 m 个零特征值。因为 − L 行向量之和为零，所以 − L 关于向量1至少有一个零特征值，那么 Γ 就至少有2个零特征值。不失一般性，我们令 λ i + = λ i − = 0 。此外， − L 是对角占优矩阵且对角元素是非正的，可知 − L 的所有非零特征值均有负实部。 引理3.1：控制协议(4)渐近收敛到一致的条件是矩阵 Γ 含有两个零特征值，且其余所有特征值均有负实部。即当 t → ∞ 时， x → 1 p T x ( 0 ) + t 1 p T v ( 0 ) ， v → 1 p T v ( 0 ) ，其中 p ∈ R n + 1 ，是 − L 关于零特征值的非负左特征向量且 p T 1 = 1 。 证明：充分性。 令 q = [ q a T ， q b T ] 是矩阵 Γ 关于零特征值的特征向量，其中 q a ， q b ∈ R n + 1 ，有： Γ q = [ 0 n + 1 I n + 1 − L n + 1 − γ L n + 1 ] [ q a q b ] = [ 0 0 ] (11) 计算可知 q b = 0 ， − L n + 1 q a = 0 。 q a 是矩阵 − L n + 1 关于零特征值的特征向量。当矩阵 Γ 含有两个零特征值时， − L n + 1 便有一个零特征值，因此 − L n + 1 只含有一个关于零特征值的线性独立特征向量 q a ，反过来矩阵 Γ 就只有一个关于零特征值的线性独立特征向量 q = [ q a T ， 0 T ] T 。将 Γ 写成Jordan标准型 [ 18 ] ： Γ = P J P − 1 (12) = [ w 1 ， ⋯ ， w 2 ( n + 1 ) ] [ 0 1 0 1 × ( 2 n ) 0 0 0 1 × ( 2 n ) 0 ( 2 n ) × 1 0 ( 2 n ) × 1 J ′ ] [ v 1 T ⋮ v 2 ( n + 1 ) T ] (13) 其中 w j ∈ R 2 ( n + 1 ) ， j = 1 ， ⋯ ， 2 ( n + 1 ) ，为 Γ 的右特征向量或者广义特征向量， v j ∈ R 2 ( n + 1 ) ， j = 1 ， ⋯ ， 2 ( n + 1 ) 为 Γ 的左特征向量或者广义特征向量， J ′ 是非零特征值 λ i + ， λ i − ， i = 2 ， ⋯ ， ( n + 1 ) 的Jordan对角矩阵。 不失一般性，我们令 ω 1 = [ I T ， 0 T ] ， ω 2 = [ 0 T ， I T ] T ，其中 ω 1 ， ω 2 分别为矩阵 Γ 关于特征值0的特征向量和广义特征向量。矩阵 Γ 有两个零特征值，那么 − L 只有一个零特征值，即存在一个非负向量 p ，其中 p T L = 0 ， p T 1 = 1 。 v 1 = [ p T ， 0 T ] T ， v 2 = [ 0 T ， p T ] T 分别为矩阵 Γ 关于特征值0的广义左特征向量和左特征向量。其中： v 1 T w 1 = 1 ， v 2 T w 2 = 1 。特征值 λ i + ， λ i − ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n + 1 有负实部，有 e Γ t = P e J t p − 1 A = P [ 1 t O 1 × ( 2 n ) 0 1 O 1 × ( 2 n ) O ( 2 n ) × 1 O ( 2 n ) × 1 e J ′ t ] p − 1 ， 当 t → ∞ 时，收敛到 [ 1 p T t 1 p T 0 ( n + 1 ) × ( n + 1 ) 1 p T ] ， 注意到当 t → ∞ 时， [ x ( t ) v ( t ) ] → [ 1 p T t 1 p T 0 ( n + 1 ) × ( n + 1 ) 1 p T ] [ x ( 0 ) v ( 0 ) ] ， 由上可知 t → ∞ 时， x ( t ) → 1 p T x ( 0 ) + t 1 p T v ( 0 ) ， v ( t ) → 1 p T v ( 0 ) ，所以， t → ∞ 时， | x i ( t ) − x j ( t ) | → 0 ， | v i ( t ) − v j ( t ) | → 0 ，多智能体系统趋于一致。 必要性：假设矩阵 Γ 有两个零特征值，其他所有非零特征值均有负实部这个充分条件不成立，注意到矩阵 Γ 至少有两个零特征值，如果充分条件不成立，那么矩阵 Γ 的零特征值多于两个或者至少有一个其他非零特征值有正实部。不失一般性，我们令 ξ 1 = ξ 2 = 0 ， Re ( ξ 3 ) ≥ 0 ，其中 ξ k ， k = 1 ， ⋯ ， 2 n + 2 表示矩阵 Γ 的第 k 个特征值， Re ( ⋅ ) 表示实部。令 J = [ j k l ] 为矩阵 Γ 的Jordan标准型， j k k = ξ k ， k = 1 ， ⋯ ， 2 n + 2 ，可知 lim t → ∞ e j k k t ≠ 0 ， k = 1 ， 2 ， 3 。反过来说明 lim t → ∞ e J t 的前三行是线性独立的，因此， lim t → ∞ e J t 的秩至少为3，那么 lim t → ∞ e Γ t 的秩至少为3。只有当 lim t → ∞ e Γ t → [ 1 p T 1 q T ] 时系统渐近趋于一致，其中 p 和 q 是 n × 1 的向量。结果 lim t → ∞ e Γ t 的秩不可能超过2，与假设矛盾。 引理3.2：如果矩阵 − L 只有一零特征值且其它非零特征值都有负实部，那么对于所有的 γ > 0 ，一致性协议(4)渐近收敛。 欲证系统实现一致性的充分条件是网络拓 G 含有(有向)生成树，我们还需要给出下面引理： 引理3.3：只有当有向权重图 G 含有(有向)生成树时，其拉普拉斯矩阵 L 只有一个零特征值且其他非零特征值都具有负实部。 定理3.1：只有系统信息拓扑图含有(有向)生成树时，一致性协议(4)才能渐近收敛。 证明：如果一致性协议(4)渐近收敛，我们由引理3.1知矩阵 Γ 有两个零特征值，因此拉普拉斯矩阵 L 只有一个零特征根，再由引理3.3知网络拓扑 G 需含有(有向)生成树。 下面我们给出系统实现一致性的必要条件，首先给出下面的引理： 引理3.4：令 ρ ± = γ η − α ± ( γ η − α ) 2 + 4 η 2 ，如果 α ≥ 0 ， Re ( η ) < 0 ， γ > 2 | η | ⋅ cos ( π 2 − tan − 1 − Re ( η ) Im ( η ) ) ，那么 Re ( ρ ± ) < 0 ，其中 Re ( ⋅ ) 表示实部。 定理3.2：一致性协议(4)渐近实现一致的充分必要条件是系统网络拓扑含有(有向)生成树且 γ > max η i ≠ 0 2 | η i | ⋅ cos ( π 2 − tan − 1 − Re ( η i ) Im ( η i ) ) (14) 其中 η i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n + 1 为矩阵 − L 的特征值， Re ( ⋅ ) 和 Im ( ⋅ ) 分别代表实部和虚部。 证明：如果信息网络拓扑图含有(有向)生成树，由引理3.3可知 − L 有一个零特征值其他所有非零特征值有负实部，不失一般性，令 η 1 = 0 ， Re ( η i ) < 0 ， i = 2 ， ⋯ ， n ， n + 1 ，于是 Γ 有两个零特征值，非零特征值都具有负实部，如果式(14)成立，那么由引理3.4知 Re ( λ i ± ) < 0 ， i = 2 ， ⋯ ， n ， n + 1 ，其中 λ i ± 是 Γ 关于 η i 的特征值，最后由引理3.1可以得出系统会渐近收敛到一致。