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user: 3. 比较原理 在讨论方程(1.1)解的淬灭现象之前，先给出比较原理及相关定理。比较原理在处理抛物方程问题是一个基础而有效的工具。 定义3.1 函数 u ¯ ( x ， t ) ∈ C ( V ) × C ( 0 ， T ) 如果满足 { u ¯ t ≥ Δ p ， ω u ¯ − λ u ¯ − q ，     x ∈ S ，   t ∈ ( 0 ， T ) ， u ¯ ( x ， t ) ≥ 1 ，                         x ∈ ∂ S ，   t ∈ ( 0 ， T ) ， u ¯ ( x ， 0 ) ≥ u 0 ( x ) ，         x ∈ S ， 则称 u ¯ ( x ， t ) 是方程(1.1)的上解，类似，如果 u _ ( x ， t ) 满足上述不等式反向不等号，则称其为方程(1.1)的下解。 定理3.1 假设 u ¯ ( x ， t ) ， u _ ( x ， t ) 是方程(1.1)的上解与下解，那么对于任意 ( x ， t ) ∈ V × ( 0 ， T ) ，都有 u ¯ ( x ， t ) ≥ u _ ( x ， t ) 证明 设对于任意 0 < t 0 < T ，设 m = min S × ( 0 ， t 0 ] { u _ ， u ¯ } 和 M = max S × ( 0 ， t 0 ] { u _ ， u ¯ } ，这里 m ， M 都是正的常数。接下来， 令 U ( x ， t ) = u _ ( x ， t ) − u ¯ ( x ， t ) ，显然 x ∈ S ， U ( x ， 0 ) < 0 ，那么通过上解与下解的定义可得 U t ≤ ( Δ p ， ω u _ ( x ， t ) − Δ p ， ω u ¯ ( x ， t ) ) − λ ( u _ − q ( x ， t ) − u ¯ − q ( x ， t ) ) ，     ( x ， t ) ∈ S × ( 0 ， T ) . (3.1) 令 U + ( x ， t ) = max { U ( x ， t ) ， 0 } ，现在不等式(3.1)两边同乘 U + 并在S积分 1 2 ∫ x ∈ S ( U + 2 ( x ， t ) ) t ≤ ∫ x ∈ S U + ( x ， t ) [ ( Δ p ， ω u _ ( x ， t ) − Δ p ， ω u ¯ ( x ， t ) ) − λ ( u _ − q ( x ， t ) − u ¯ − q ( x ， t ) ) ] ， (3.2) 事实上，令 J ( t ) = { x ∈ V | U ( x ， t ) ≥ 0 } ，如果 J ( t ) 非空集合，命题自然得证。现在，假设 J ( t ) ⊂ S 是非空集合，现在我们来定义一个辅助函数 F p ， ω ( u ¯ ， u _ ) ( x ， y ， t ) = ω ( x ， y ) { | u _ ( y ， t ) − u _ ( x ， t ) | p − 2 ( u _ ( y ， t ) − u _ ( x ， t ) )                                                         − | u ¯ ( y ， t ) − u ¯ ( x ， t ) | p − 2 ( u ¯ ( y ， t ) − u ¯ ( x ， t ) ) } ， 运用引理2.1中的不等式(2.2)，对于任意 ( x ， t ) ，   ( y ， t ) ∈ V × ( 0 ， T ) ，可得 F p ， ω ( u ¯ ， u _ ) ( x ， y ， t ) [ U ( y ， t ) − U ( x ， t ) ] ≥ 0 ， (3.3) 另外一方面，还有 ∫ S U ( x ， t ) ( Δ p ， ω u _ ( x ， t ) − Δ p ， ω u ¯ ( x ， t ) ) = ∑ x ∈ J ( t ) ∑ y ∈ V U ( x ， t ) F p ， ω ( u ¯ ， u _ ) ( x ， y ， t ) = ∑ x ∈ J ( t ) ∑ y ∈ J ( t ) U ( x ， t ) F p ， ω ( u ¯ ， u _ ) ( x ， y ， t )       + ∑ x ∈ J ( t ) ∑ y ∈ V \ J ( t ) U ( x ， t ) F p ， ω ( u ¯ ， u _ ) ( x ， y ， t )   . 接下来，我们利用富比尼定理和(3.3)，可得 ∑ x ∈ J ( t ) ∑ y ∈ J ( t ) U ( x ， t ) F p ， ω ( u ¯ ， u _ ) ( x ， y ， t ) = 1 2 ∑ x ∈ J ( t ) ∑ y ∈ J ( t ) U ( x ， t ) F p ， ω ( u ¯ ， u _ ) ( x ， y ， t ) + 1 2 ∑ x ∈ J ( t ) ∑ y ∈ J ( t ) U ( x ， t ) F p ， ω ( u ¯ ， u _ ) ( x ， y ， t ) = 1 2 ∑ x ∈ J ( t ) ∑ y ∈ J ( t ) U ( x ， t ) F p ， ω ( u ¯ ， u _ ) ( x ， y ， t ) − 1 2 ∑ y ∈ J ( t ) ∑ x ∈ J ( t ) U ( y ， t ) F p ， ω ( u ¯ ， u _ ) ( x ， y ， t ) = − 1 2 ∑ x ∈ J ( t ) ∑ y ∈ J ( t ) ( U ( y ， t ) − U ( x ， t ) ) F p ， ω ( u ¯ ， u _ ) ( x ， y ， t ) ≤ 0 ， (3.4) 另外，如果 x ∈ J ( t ) ，   y ∈ V \ J ( t ) ，那么，可得 U ( x ， t ) > 0 ， U ( y ， t ) < 0 ，进一步，可得 U ( y ， t ) − U ( x ， t ) < 0 ， 因此，通过 ∑ x ∈ J ( t ) ∑ y ∈ V \ J ( t ) U ( x ， t ) F p ， ω ( u ¯ ， u _ ) ( x ， y ， t ) = ∑ x ∈ J ( t ) ∑ y ∈ V \ J ( t ) U ( x ， t ) 1 U ( y ， t ) − U ( x ， t ) ( U ( y ， t ) − U ( x ， t ) ) F p ， ω ( u ¯ ， u _ ) ( x ， y ， t ) < 0 ， (3.5) 进而，我们利用中值定理可得 u _ − q ( x ， t ) − u ¯ − q ( x ， t ) = − q ξ − q − 1 ( x ， t ) U ( x ， t ) ， 这里 ξ ( x ， t ) = θ ( x ) u _ ( x ， t ) + ( 1 − θ ( x ) ) u ¯ ( x ， t ) 和 0 ≤ θ ( x ) ≤ 1 ，那么 m ≤ ξ ( x ， t ) ≤ M ，因此对于不等式(3.2)的右边第二项，可得 ∫ x ∈ S U ( x ， t ) ( u _ − q ( x ， t ) − u ¯ − q ( x ， t ) ) ≤ − m − q − 1 λ ∫ x ∈ S ( U + ( x ， t ) ) 2 ， (3.6) 组合上述不等式(3.2)，(3.4)，(3.5)和(3.6)可得 ∫ x ∈ S ( ( U + ( x ， t ) ) 2 ) t < λ m − q − 1 ∫ x ∈ S ( U + ( x ， t ) ) 2 ， 设 L ( t ) = ∫ x ∈ S ( U + ( x ， t ) ) 2 ，我们有 L ′ ( t ) < k L ( t ) 这里 k = λ m − q − 1 ，因为 U + ( x ， 0 ) = 0 ，而且 L ( 0 ) = 0 ，因此，我们有 L ( u ) ≡ 0 ，于是得到 U + ( x ， t ) = 0 ，因此可推出 u ¯ ( x ， t ) ≥ u _ ( x ， t ) 。