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user: 3. 非线性Galerkin-Legendre谱方法 3.1. 准备知识 先引进一些记号。设 S N = s p a n { L 0 ( x ) ， L 1 ( x ) ， ⋯ ， L N ( x ) } ， Q 2 N = s p a n { L N − 1 ( x ) ， L N ( x ) ， ⋯ ， L 2 N ( x ) } ， W 2 N = { w ∈ Q 2 N / w ( ± 1 ) = 0 } ， S 2 N = Q 2 N ⊕ S N − 2 = s p a n { L 0 ( x ) ， L 1 ( x ) ， ⋯ ， L 2 N ( x ) } ， V 2 N = V N ⊕ W 2 N = { v ∈ S 2 N / v ( ± 1 ) = 0 } . 注意到 V N 和 中的元素均在 x = ± 1 处为零，即在边界上为零。 设 P N 是 L 2 ( Ω ) → V N 的正交投影算子，即 ( u − P N u ， v ) = 0 ， ∀ v ∈ S N ， u ∈ L 2 (Ω) 设 Π N 是 H 0 1 ( Ω ) → V N 的投影算子，即 a ( u − Π N u ， v ) = 0 ， ∀ v ∈ S N ， u ∈ H 0 1 (Ω) 3.2. 非线性Galerkin-Legendre方法 问题I的非线性Galerkin-Lengedre格式为 [ 9 ] 问题I ** 求 u N ∈ V N ，和 u 2 N ∈ W 2 N ，使得 { d d t ( u N ， ϕ ) + a ( u N ， ϕ ) + a 1 ( u N + u 2 N ， u N + u 2 N ， ϕ ) − b ( p N ， ϕ ) = ( f ， ϕ ) ， ∀ ϕ ∈ V N a ( u 2 N ， ω ) + a 1 ( u N + u 2 N ， u N ， ω ) − b ( p 2 N ， ω ) = ( f ， ω ) ( q ， ∇ ⋅ v ) = 0 ， ∀ ω ∈ W 2 N (3) 引理2.1根据三线性泛函的性质，有以下结论 ‖ u N ‖ 2 ≤ C ( ‖ u ‖ 1 2 + ‖ f ‖ 2 ) 以上引理在 [ 10 ] 中已经得证。 定理2.1 在引理2.1成立下，对充分大的N，我们有 ‖ u − u N − u 2 N ‖ ≤ C N 1 − s + K Δ t 2 ， ‖ p − p N − p 2 N ‖ ≤ M N d − 1 2 − m 其中C为与 ‖ u ‖ s 有关的常数，K为与 ‖ u t ‖ 有关的常数，M为与 ‖ p ‖ m 有关的常数， d ≥ 1 ，N为插值多项式的个数。 证明：因为 Π 2 N 的定义满足 { d d t ( u ， ϕ + ω ) + ν ( ( ∏ 2 N u ) x ， ( ϕ + ω ) x ) + a 1 ( u ， u ， ϕ + ω ) = ( f ， ϕ + ω ) ， ∀ ϕ ∈ V N ， ω ∈ W 2 N b ( q ， ∇ ⋅ ( ϕ + ω ) ) = 0 ， ∀ ϕ ∈ V N ， ω ∈ W 2 N 记 e = ∏ 2 N u − ( u N + u 2 N ) ， ξ = ∏ N u − u N ， η = ∏ 2 N u − u N − u 2 N . 显然 ξ ∈ V N ， η ∈ W 2 N ， e = ξ + η ，特别地 ‖ e ‖ 1 2 = ‖ ξ ‖ 1 2 + ‖ η ‖ 1 2 由(1)式与(3)相减 d d t ( u ， ϕ + ω ) − d d t ( u N ， ϕ ) + a ( e ， ϕ + ω ) + a 1 ( u ， u ， ϕ )   − a 1 ( u N + u 2 N ， u N + u 2 N ， ϕ ) + a 1 ( u ， u ， ω ) − a 1 ( u N + u 2 N ， u N ， ω ) = 0 整理得到 a ( e ， ϕ + ω ) + ( ξ t ， ϕ ) = [ a 1 ( u N + u 2 N ， u N + u 2 N ， ϕ ) − a 1 ( u ， u ， ϕ ) ]       + [ a 1 ( u N + u 2 N ， u N ， ω ) − a 1 ( u ， u ， ω ) ] + ( ( Π N u − u ) t ， ϕ ) − ( u t ， ω ) 不妨取 ϕ = ξ ， ω = η ，于是 ‖ e ‖ 1 2 + 1 2 d d t ‖ ξ ‖ 2 = [ a 1 ( u N + u 2 N ， u N + u 2 N ， ξ ) − a 1 ( u ， u ， ξ ) ]     + [ a 1 ( u N + u 2 N ， u N + u 2 N ， η ) − a 1 ( u ， u ， η ) ]     + [ ( ( Π N u − u ) t ， ξ ) − ( u t ， η ) ] ≜ I 1 + I 2 + I 3 其中 I 1 = a 1 ( u N + u 2 N ， u N + u 2 N ， ξ ) − a 1 ( u ， u ， ξ ) = − a 1 ( u N + u 2 N ， u − ∏ 2 N u ， ξ ) − a 1 ( u N + u 2 N ， e ， ξ ) − a 1 ( u − ∏ 2 N u + e ， u ， ξ ) ≜ I 11 + I 12 + I 13 I 2 = a 1 ( u N + u 2 N ， u N ， η ) − a 1 ( u ， u ， η ) = − a 1 ( u N + u 2 N ， u − ∏ N u ， η ) − a 1 ( u N + u 2 N ， ξ ， η ) − a 1 ( u − ∏ 2 N u + e ， u ， η ) ≜ I 21 + I 22 + I 23 注意到 I 12 + I 22 = 0 。根据Young不等式 I 13 + I 23 = − a 1 ( u − ∏ 2 N u + e ， u ， e ) ≤ C ( ‖ u − ∏ 2 N u ‖ 1 + ‖ e ‖ 1 ) ‖ u ‖ 1 ‖ e ‖ ≤ ν 8 ‖ e ‖ 1 2 + M ( ‖ u − ∏ 2 N u ‖ 1 2 + ‖ e ‖ 2 ) 因为 ‖ ∏ N ‖ 1 ≤ C ‖ u ‖ 1 ，应用Young不等式，Poincare不等式以及 ‖ η ‖ 1 ≤ ‖ e ‖ 1 ，对充分大的N，有 I 11 + I 21 = a 1 ( e − ∏ 2 N u ， u − ∏ 2 N u ， e ) + a 1 ( e − ∏ N u ， ∏ 2 N u − ∏ N u ， η ) ≤ ν 4 ‖ e ‖ 1 2 + M ( ‖ u − ∏ 2 N u ‖ 1 2 + ‖ e ‖ 2 ) + M N − 2 ‖ ∏ N u − ∏ 2 N u ‖ 1 2 因为 η ∈ W 2 N ， I 3 = [ ( ( Π N u − u ) t ， ξ ) − ( ( I − P N − 2 ) u t ， η ) ] ≤ ν 8 ( ‖ ξ ‖ 1 2 + ‖ η ‖ 1 2 ) + C ( ‖ ( Π N u − u ) ‖ − 1 2 + ‖ ( I − P N − 2 ) u t ‖ − 1 2 ) ≤ ν 8 ‖ e ‖ 1 2 + C ( ‖ ( Π N u − u ) ‖ − 1 2 + ‖ ( I − P N − 2 ) u t ‖ − 1 2 ) ≤ ν 8 ‖ e ‖ 1 2 + Δ t 2 ‖ u t ‖ − 1 2 综上 ‖ e ‖ 1 2 + 1 2 d d t ‖ ξ ‖ 2 ≤ M ‖ e ‖ 2 + M N − 2 ‖ ∏ N u − ∏ 2 N u ‖ 1 2 + Δ t 2 ‖ u t ‖ − 1 2 . 由Gronwall不等式 ‖ u − u N − u 2 N ‖ ≤ N 1 − s ‖ u ‖ s + Δ t 2 ‖ u t ‖ − 1 2 其中 s ≥ 1 ，N为基函数个数。 现在对压力作误差估计。 记 V N = { v N ∈ H 0 1 ( Ω ) / ( q N ， ∇ ⋅ v N ) = 0 ， ∀ q N ∈ M N } 在文献 [ 11 ] 中有以下结果： 引理2.2 如果Babuška条件成立，则 β N ‖ p − p N − p 2 N ‖ ≤ inf     u N ∈ V N u 2 N ∈ W 2 N | ‖ u − u N − u 2 N ‖ | + inf q N ∈ M N ‖ p − q N ‖ 下面我们根据Babuška不等式性质以及速度误差的相关结论有 (1)式减去(3)式 ‖ e ‖ 1 2 − ( p − p N − p 2 N ， ∇ ⋅ v N ) = 0 由Babuška不等式，找任意 q N ∈ M N ， q 2 N ∈ M 2 N 则 β N ‖ q − p N − p 2 N ‖ ≤ sup v N ∈ H 0 1 ( Ω ) ( q N − p N − p 2 N ， ∇ ⋅ v N ) | ‖ v N ‖ | = sup v N ∈ H 0 1 ( Ω ) α ( u − u N − u 2 N ， v N ) + ν ( ∇ ( u − u N − u 2 N ) ， ∇ v N ) − ( p − q N ， ∇ ⋅ v N ) | ‖ v N ‖ | 注意到 ， ∀ v ∈ H 0 1 ( Ω ) 。 因此 β N ‖ q − p N − p 2 N ‖ ≤ β N inf { ‖ p − q N ‖ + ‖ q N − p N − p 2 N ‖ } ≤ inf q N ∈ M N ‖ p − q N ‖ + ‖ u − u N − u 2 N ‖ 根据 ‖ e ‖ 1 2 ≤ N 1 − s ‖ u ‖ s ，考虑到 P N 与 P N − 2 正交，文献 [ 5 ] 有以下结论 β N ≥ C ( α ， ν ) N − d − 1 2 ， ( d = 2 或 3 ) 因此 N − d − 1 2 ‖ p − p N − p 2 N ‖ ≤ N − m ‖ p ‖ m 综上结论，我们有如下误差估计 | u − u ˜ N | 1 + ‖ p − p ˜ N ‖ L 2 ≤ C N 1 − s + M N d − 1 2 − m + K Δ t 2 其中C是与 ‖ u ‖ s 有关的常数，K是与 ‖ u t ‖ 有关的常数，M是与 ‖ p ‖ m 有关的常数， d ≥ 2 。