system: [SYSTEM]

user: 3. 方程(1)的显式行波解 在本节中，我们力求方程(1)所有显式行波解的表达式。根据能量函数水平来区分系统(5)的每一类轨道以及系统(5)的定义，从而利用椭圆函数积分来求解各类表达式。 3.1. 系统(5)的有界行波解 目前，系统(5)的有界行波解已经得到解决。周期轨对应周期波，同宿轨对应孤立波。 周期轨的精确表达式： u 1 ( ξ ) = v 1 ξ + 6 ( v 3 − v 1 ) [ E ( v 3 − v 1 6 ξ ) + v 3 − v 2 v 3 − v 1 ⋅ c d ( v 3 − v 1 6 ξ ) ] ，     − T < ξ < T . 同宿轨的精确表达式： u 2 ( ξ ) = v 4 ξ − 2 6 v 5 − v 4 1 + exp ( 2 3 v 5 − v 4 ξ ) + C 1 ，     − ∞ < ξ < + ∞ ，     C 1 是 常 数 . 3.2. 系统(5)的无界行波解 根据定理(2.1)，我们知道无界行波解分为三种情况。 Case 1：首先，考虑 A 2 c 2 + 4 A e > 0 的情况。这里有5种类型的无界情况(I-V)，我们以无界轨道能量由高到低的顺序分析这5种类型。 (І) 图2(a)中的第一种无界轨道，以轨道 Γ 1 为例。其能量高于鞍点 E 1 。它们的任意轨道可以用以下来表示： y = ± 2 3 ( v 6 − v ) [ v 2 + ( v 6 − 3 A c 2 ) v + ( v 6 2 − 3 A c 2 v 6 − 3 A e ) ] 其中 v 6 是一个实数，有关系式 v 6 > A c + 2 c 2 A 2 + 4 A e 2 ，并且 − ∞ < v < v 6 。取 Γ 1 轨道的上半支，给一个初始值 v ( 0 ) = − ∞ ，得到如下的积分表达式： ∫ − ∞ v d v 2 3 ( v 6 − v ) [ v 2 + ( v 6 − 3 A c 2 ) v + ( v 6 2 − 3 A c 2 v 6 − 3 A e ) ] = ∫ 0 ξ d ξ ，     0 < ξ . 根据积分公式： ∫ − ∞ v d v ( v 6 − v ) [ v 2 + ( v 6 − 3 A c 2 ) v + ( v 6 2 − 3 A c 2 v 6 − 3 A e ) ] = g ⋅ c n − 1 ( v 6 − B − v v 6 + B − v ， k ) 这里 B 2 = 3 ( v 6 2 − A c v 6 − A e ) ， g = 1 B ， k 2 = 4 B − 3 A c + 6 v 6 8 B ，计算得出系统(5)第一种行波解的精确表达式： v ( 1 ) ( ξ ) = v 6 + 3 ( v 6 2 − A c v 6 − A e ) − 2 3 ( v 6 2 − A c v 6 − A e ) 1 − c n ( 4 3 ( v 6 2 − A c v 6 − A e ) 4 ξ ) ，     0 < ξ < ξ 1 . 其中 ξ 1 = 4 4 3 ( v 6 2 − A c v 6 − A e ) 4 ∫ 0 π 2 d θ 1 − 4 3 ( v 6 2 − A c v 6 − A e ) − 3 A c + 6 v 6 8 3 ( v 6 2 − A c v 6 − A e ) ⋅ sin 2 θ 。 根据系统(4)，为了到方程(1)的行波解，我们需要对上述表达式再一次积分。利用椭圆函数积分公式： ∫ ​ d u 1 − c n ( u ) = u − E ( u ) − s n ( u ) ⋅ d n ( u ) 1 − c n ( u ) 最终得到方程(1)的第一种类行波解形式如下： u ( 1 ) ( ξ ) = ( v 6 − 3 ( v 6 2 − A c v 6 − A e ) ) ξ + 3 ⋅ 4 3 ( v 6 2 − A c v 6 − A e ) 4 ⋅ [ E ( 4 3 ( v 6 2 − A c v 6 − A e ) 4 ξ ) + s n ( 4 3 ( v 6 2 − A c v 6 − A e ) 4 ξ ) ⋅ d n ( 4 3 ( v 6 2 − A c v 6 − A e ) 4 ξ ) 1 − c n ( 4 3 ( v 6 2 − A c v 6 − A e ) 4 ξ ) ] ，     0 < ξ < ξ 1 当然，如果选择轨道 Γ 1 的下半支，同样的取 v ( 0 ) = − ∞ ，采用类似的方法可以求出相应的无界行波解。可以验证其表达式与 u ( 1 ) ( ξ ) 相同，这里就不再写出详细的步骤。 (II) 图2(a)中的第二种无界轨道 Γ 3 + 和 Γ 3 − ，其能量等于鞍点 E 1 的能量，也等于 Γ 2 有界轨道的能量。 Γ 3 + 和 Γ 3 − 轨道可以用以下形式来表示： y = ± 2 3 ( v 8 − v ) v 7 − v 这里 v 8 = A c − A 2 c 2 + 4 A e 2 ， v 7 = A c + 2 A 2 c 2 + 4 A e 2 ，有关系式 − ∞ < v < v 8 < v 7 。首先选择 Γ 3 + 来计算相应的行波解，因为计算 Γ 3 − 有相同的结果。取初始值 v ( 0 ) = − ∞ ，得到如下积分表达式： ∫ − ∞ v d v 2 3 ( v 8 − v ) v 7 − v = ∫ 0 ξ d ξ ，     ξ > 0. 直接计算得到： v ( 2 ) ( ξ ) = v 8 − 4 ( v 7 − v 8 ) ⋅ exp ( 2 3 v 7 − v 8 ξ ) [ 1 − exp ( 2 3 v 7 − v 8 ξ ) ] 2 ，     ξ > 0 根据系统(4)的第一个方程，需要对上述表达式进行再一次的积分，最后得到方程(1)的第二种无界行波解形式如下： u ( 2 ) ( ξ ) = v 8 ξ − 2 6 v 7 − v 8 1 − exp ( 2 3 v 7 − v 8 ξ ) ，     ξ > 0 (III) 图2(a)中的第三种无界轨道，以轨道 Γ 5 为例。其能量高于中心 E 2 ，低于鞍点 E 1 的能量，这意味着在上述一族周期轨中会有一条周期轨的能量等于轨道 Γ 5 的能量。轨道 Γ 5 可以被表示为： y = ± 2 3 ( v 9 − v ) ( v 10 − v ) ( v 11 − v ) 这里 − ∞ < v < v 11 < v 8 < v 10 < v 9 < v 7 。和(І)类似，选择 Γ 5 上支的轨道，取初始值 v ( 0 ) = − ∞ ，得到如下积分表达式： ∫ − ∞ v d v 2 3 ( v 9 − v ) ( v 10 − v ) ( v 11 − v ) = ∫ 0 ξ d ξ ，     ξ > 0 ， 根据椭圆函数积分公式： ∫ − ∞ v d v ( v 9 − v ) ( v 10 − v ) ( v 11 − v ) = g ⋅ s n − 1 ( v 9 − v 11 v 9 − v ， k ) ， 这里 g = 2 v 9 − v 11 ， k 2 = v 9 − v 10 v 9 − v 11 。得到系统(5)的第三种的无界行波解： v ( 3 ) ( ξ ) = v 9 − v 9 − v 11 s n 2 ( v 9 − v 11 6 ⋅ ξ ) ，     0 < ξ < ξ 2 其中 ξ 2 = 4 6 v 9 − v 11 ⋅ ∫ 0 π 2 d θ 1 − v 9 − v 10 v 9 − v 11 ⋅ sin 2 θ 。 同样的，为了得到方程(1)的行波解，根据系统(4)的第一个方程，需要对上式再一次积分。这里会使用到椭圆函数积分公式： ∫ ​ d u s n 2 ( u ) = ∫ n s 2 ( u ) d u = u − E ( u ) − d n ( u ) ⋅ c s ( u ) ， 最后得到方程(1)的第三种无界行波解精确表达式： u ( 3 ) ( ξ ) = v 11 ξ + 6 ( v 9 − v 11 ) [ E ( v 9 − v 11 6 ⋅ ξ ) + d n ( v 9 − v 11 6 ⋅ ξ ) ⋅ c s ( v 9 − v 11 6 ⋅ ξ ) ] ，     0 < ξ < ξ 2 (IV) 图2(a)中的第四种无界轨道，以 Γ 6 为例，该种类型轨道的能量等于中心 E 1 的能量。轨道 Γ 6 表示为如下： y = ± 2 3 ( v 12 − v ) ( v 13 − v ) ， 这里 v 12 = A c + A 2 c 2 + 4 A e 2 ， v 13 = A c − 2 A 2 c 2 + 4 A e 2 ，有关系式 − ∞ < v < v 13 < v 12 ，选择 Γ 6 的上半支，仍然取初始值为 v ( 0 ) = − ∞ ，有 ∫ − ∞ v d v 2 3 ( v 12 − v ) ( v 13 − v ) = ∫ 0 ξ d ξ ， 直接计算，得到系统(5)的第四种无界行波解： v ( 4 ) ( ξ ) = v 13 − ( v 12 − v 13 ) cot 2 ( v 12 − v 13 6 ξ ) ，     0 < ξ < ξ 3 ， 这里 ξ 3 = 6 v 12 − v 13 ⋅ π 。再一次积分，计算得到方程(1)的第四种无界行波解形式如下： u ( 6 ) ( ξ ) = v 12 ξ + 6 ( v 12 − v 13 ) cot ( v 12 − v 13 6 ξ ) + C 2 ，     0 < ξ < ξ 3 ，     C 2 是 常 数 (V) 图2(a)中的第五种无界轨道，以 Γ 7 为例，该种类型轨道能量低于中心 E 2 的能量。其轨道可以被表示为： y = ± 2 3 ( v 14 − v ) [ v 2 + ( v 14 − 3 A c 2 ) v + ( v 14 2 − 3 A c 2 v 14 − 3 A e ) ] ， 在这里有关系式 − ∞ < v < v 14 < A c − 2 A 2 c 2 + 4 A e 2 ，仍然选择初始值 v ( 0 ) = − ∞ ，取轨道 Γ 7 上半支，有以下积分表达式： ∫ − ∞ v d v 2 3 ( v 14 − v ) [ v 2 + ( v 14 − 3 A c 2 ) v + ( v 14 2 − 3 A c 2 v 14 − 3 A e ) ] = ∫ 0 ξ d ξ 和(І)有类似的计算，直接给出系统(5)的第五种无界解表达式： v ( 5 ) ( ξ ) = v 14 + 3 ( v 14 2 − A c v 14 − A e ) − 2 3 ( v 14 2 − A c v 14 − A e ) 1 − c n ( 4 3 ( v 14 2 − A c v 14 − A e ) 4 ) ，     0 < ξ < ξ 4 . 这里 ξ 4 = 4 4 3 ( v 14 2 − A c v 14 − A e ) 4 ∫ 0 π 2 d θ 1 − 3 ( v 14 2 − A c v 14 − A e ) 4 − 3 A c + 6 v 14 8 3 ( v 14 2 − A c v 14 − A e ) ⋅ sin 2 θ 。 最后，方程(1)的第五种无界解的精确形式如下： u ( 5 ) ( ξ ) = ( v 14 − 3 ( v 14 2 − A c v 14 − A e ) ) ξ + 3 ⋅ 4 3 ( v 14 2 − A c v 14 − A e ) 4 ⋅ [ E ( 4 3 ( v 14 2 − A c v 14 − A e ) 4 ξ ) + s n ( 4 3 ( v 14 2 − A c v 14 − A e ) 4 ξ ) ⋅ d n ( 4 3 ( v 14 2 − A c v 14 − A e ) 4 ξ ) 1 − c n ( 4 3 ( v 14 2 − A c v 14 − A e ) 4 ξ ) ] ，     0 < ξ < ξ 4 . Case 2：接着，考虑 A 2 c 2 + 4 A e = 0 的情况。有2种类型的无界行波解情况(VI)~(VII)。 (VI) 图2(b)中的第一种无界轨道 Π 2 + 和 Π 2 − ，其能量等于平衡点 E 3 的能量。轨道 Π 2 + 和 Π 2 − 表示为： y = ± 2 3 ( A c 2 − v ) A c 2 − v ， 有关系式 − ∞ < v < A c 2 ，这里选择计算 Π 2 + 所对应的行波解，因为 Π 2 − 对应的行波解是一样的表达式。取初始值 v ( 0 ) = − ∞ ，有： ∫ − ∞ v d v 2 3 ( A c 2 − v ) A c 2 − v = ∫ 0 ξ d ξ ，     ξ > 0 ， 直接计算，得到系统(5)的第六种类型无界行波解： v ( 6 ) ( ξ ) = A c 2 − 6 ξ 2 ，     ξ > 0 ， 最后，得到方程(1)的第六种无界行波解形式如下： u ( 6 ) = A c 2 ξ + 6 ξ + C 4 ，     ξ > 0 ，     C 4 常 数 (VII) 考虑图2(b)中的另一种无界轨道 Π 1 或 Π 3 ，其不等于能量等于尖点 E 3 。任意一个轨道可被表示为： y = ± 2 3 ( v 15 − v ) [ v 2 + ( v 15 − 3 A c 2 ) v + ( v 15 2 − 3 A c 2 v 15 − 3 A 2 c 2 4 ) ] ， 在这里 − ∞ < v < v 15 ，注意 v 15 ≠ A c 2 。仍然取初始值 v ( 0 ) = − ∞ ，取轨道上半支，有： ∫ − ∞ v d v 2 3 ( v 15 − v ) [ v 2 + ( v 15 − 3 A c 2 ) v + ( v 15 2 − 3 A c 2 v 15 − 3 A 2 c 2 4 ) ] = ∫ 0 ξ d ξ ，     ξ > 0 根据椭圆函数积分公式： ∫ − ∞ v d v ( v 15 − v ) [ v 2 + ( v 15 − 3 A c 2 ) v + ( v 15 2 − 3 A c 2 v 15 − 3 A 2 c 2 4 ) ] = g ⋅ c n − 1 ( v 15 − D − v v 15 + D − v ， k ) 其中 D 2 = 3 v 15 2 − 3 A c v 15 − 3 A 2 c 2 4 ， g = 1 D ， k 2 = 4 D + 6 v 15 − 3 A c 8 D 。 得到系统(5)的第七种类型无界行波解： v ( 8 ) ( ξ ) = v 15 + 3 v 15 2 − 3 A c v 15 − 3 A 2 c 2 4 + 2 3 v 15 2 − 3 A c v 15 − 3 A 2 c 2 4 c n ( 4 3 ( v 15 2 − A c v 15 − A 2 c 2 4 ) 4 ξ ) − 1 ，     0 < ξ < ξ 5 ， 其中 ξ 5 = 4 4 3 ( v 15 2 − A c v 15 − A 2 c 2 4 ) 4 ⋅ ∫ 0 π 2 d θ 1 − 4 3 v 15 2 − 3 A c v 15 − 3 A 2 c 2 4 + 6 v 15 − 3 A c 8 3 v 15 2 − 3 A c v 15 − 3 A 2 c 2 4 。 再对上式进行一次积分，最终得到方程(1)的第七种无界行波表达式如下： u ( 7 ) ( ξ ) = ( v 15 − 3 v 15 2 − 3 A c v 15 − 3 A 2 c 2 4 ) ξ + 3 ⋅ 4 3 ( v 15 2 − A c v 15 − A 2 c 2 4 ) 4 ⋅ [ E ( 4 3 ( v 15 2 − A c v 15 − A 2 c 2 4 ) 4 ξ ) + s n ( 4 3 ( v 15 2 − A c v 15 − A 2 c 2 4 ) 4 ξ ) ⋅ d n ( 4 3 ( v 15 2 − A c v 15 − A 2 c 2 4 ) 4 ξ ) 1 − c n ( 4 3 ( v 15 2 − A c v 15 − A 2 c 2 4 ) 4 ξ ) ] ，     0 < ξ < ξ 5 . Case 3：最后，考虑 A 2 c 2 + 4 A e < 0 的情况。 (VIII) 由于这种情况下没有平衡点，我们将所有轨道归为一类。任意一个轨道的表达式为： y = ± 2 3 ( v 16 − v ) [ v 2 + ( v 16 − 3 A c 2 ) v + ( v 16 2 − 3 A c 2 v 16 − 3 A e ) ] ， 这里 v 16 是任意实数，有关系式 − ∞ < v < v 16 。仍然取初始值 v ( 0 ) = − ∞ ，选取任意轨道的上半支，有积分表达式： ∫ − ∞ v d v 2 3 ( v 16 − v ) [ v 2 + ( v 16 − 3 A c 2 ) v + ( v 16 2 − 3 A c 2 v 16 − 3 A e ) ] = ∫ 0 ξ d ξ 得到 v ( 8 ) ( ξ ) 的表达式后，再对 v ( 8 ) ( ξ ) 进行一次积分，和前面的计算类似，为了简便，这里直接给出方程(1)的第八种类型无界行波解的精确表达式： u ( 8 ) ( ξ ) = ( v 16 − 3 ( v 16 2 − A c v 16 − A e ) ) ξ + 3 ⋅ 4 3 ( v 16 2 − A c v 16 − A e ) 4 ⋅ [ E ( 4 3 ( v 16 2 − A c v 16 − A e ) 4 ξ ) + s n ( 4 3 ( v 16 2 − A c v 16 − A e ) 4 ξ ) ⋅ d n ( 4 3 ( v 16 2 − A c v 16 − A e ) 4 ξ ) 1 − c n ( 4 3 ( v 16 2 − A c v 16 − A e ) 4 ξ ) ] ，     0 < ξ < ξ 6 这里 ξ 6 = 4 4 3 ( v 16 2 − A c v 16 − A e ) 4 ⋅ ∫ 0 π 2 d θ 1 − 4 3 ( v 16 2 − A c v 16 − A e ) − 3 A c + 6 v 16 8 3 ( v 16 2 − A c v 16 − A e ) ⋅ sin 2 θ 。