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user: 3. 二次多项式曲线模型在露天矿山生产成本中的应用 本文数据来自某露天矿山开采的实际数据，并经过前期的处理得到下面的具体数值，见表1。 对表1的数据，我们采用二次多项式曲线模型分别进行建模，求解模型参数的具体数值以及对应的计算结果，并在此基础上求解最优的成本单耗值。 Table 1 Statistical table of production cost of surface min 序号 炸药单耗(kg/吨) 穿孔(元/吨) 爆破(元/吨) 铲装(元/吨) 二次爆破(元/吨) 1 0.117 1.21 1.43 2.08 0.26 2 0.128 1.37 1.55 1.91 0.22 3 0.129 1.47 1.61 1.88 0.26 4 0.131 1.59 1.63 1.98 0.23 5 0.133 1.51 1.58 1.85 0.21 6 0.136 1.52 1.70 1.83 0.19 7 0.145 1.56 1.78 1.68 0.21 8 0.146 1.58 1.80 1.67 0.22 9 0.147 1.59 1.81 1.76 0.24 10 0.148 1.63 1.84 1.88 0.20 11 0.153 1.73 1.92 1.84 0.21 12 0.159 1.74 1.94 1.72 0.22 13 0.168 1.85 2.18 2.17 0.28 表1. 矿山开采作业成本分析数据统计表 (a) 二次多项式曲线模型在穿孔单耗成本中的应用 首先，由表1的数据和计算公式：穿孔单耗成本 = 穿孔/炸药单耗，得到 Y = ( y ( 1 ) ， y ( 2 ) ， ⋯ ， y ( 13 ) ) = ( 10.3419 ， 10.7031 ， 12.1705 ， 12.1374 ， 11.3534 ， 11.1765 ， 10.7586 ，         10.8219 ， 10.8163 ， 11.0135 ， 11.3072 ， 10.9434 ， 11.0119 ) 此处共有13个数据，根据第2节的理论推导需要3的倍数个数据进行建模。为此，取前12个数据进行建模，通过计算有 { S 1 = 10.3419 + 10.7031 + 12.1705 + 12.1374 = 45 .3529 ， S 2 = 11.3534 + 11.1765 + 10.7586 + 10.8219 = 44 .1104 ， S 3 = 10.8163 + 11.0135 + 11.3072 + 10.9434 = 44 .0804 . (14) 于是，分别得到 W 1 和 W 2 的具体值为 { W 1 = S 2 − S 1 = 44.1104 − 45.3529 = − 1.2425 ， W 2 = S 3 − S 2 = 44.0804 − 44.1104 = − 0.0300. (15) 将相应的数值代入表达式(8)~(10)得到 { a = 0.0095 ， b = − 0.1629 ， c = 11.6745. (16) 进一步，二次多项式曲线模型的方程为 y ( t ) = 0.0095 t 2 − 0.1629 t + 11.6745 ， (17) 方程(17)即为二次多项式曲线模型对穿孔单耗成本拟合的函数表达式。通过此方程，可以计算相应点的拟合值，并可计算最优的单耗成本值，具体结果见下表2和图1。从计算结果可以看到均方根误差分别为5.0985%，1.3224%和4.9122%，平均绝对百分比误差分别为3.8069%，1.3224%和3.6158%。其结果都非常的小，说明二次多项式曲线对穿孔单耗成本数据拟合得很好。进一步，通过方程(17)和图1可以计算得到，最优的穿孔单耗成本为10.9740元/千克。 Table 2 Calculation results of the unit cost of perforation by the quadratic polynomial curve mode 序号 穿孔单耗成本(元/千克) 二次多项式计算结果 APE (%) 1 10.3419 11.5210 11.4018 2 10.7031 11.3865 6.3852 3 12.1705 11.2710 −7.3912 4 12.1374 11.1744 −7.9343 5 11.3534 11.0967 −2.2607 6 11.1765 11.0380 −1.2389 7 10.7586 10.9982 2.2272 8 10.8219 10.9774 1.4369 9 10.8163 10.9755 1.4721 10 11.0135 10.9926 −0.1897 11 11.3072 11.0286 −2.4634 12 10.9434 11.0836 1.2813 13 11.0119 11.1575 1.3224 RMSPE simu (%) 5.0985 MAPE simu (%) 3.8069 RMSPE pred (%) 1.3224 MAPE pred (%) 1.3224 RMSPE total (%) 4.9122 MAPE total (%) 3.6158 表2. 二次多项式曲线模型对穿孔单耗成本的计算结果 图1. 二次多项式曲线模型对穿孔单耗成本的拟合图形 (b) 二次多项式曲线模型在爆破单耗成本中的应用 首先，由表1的数据和计算公式：爆破单耗成本 = 爆破/炸药单耗，得到 Y = ( y ( 1 ) ， y ( 2 ) ， ⋯ ， y ( 13 ) ) = ( 12.2222 ， 12.1094 ， 12.4806 ， 12.4427 ， 11.8797 ， 12.5000 ， 12.2759 ，         12.3288 ， 12.3129 ， 12.4324 ， 12.5490 ， 12.2013 ， 12.9762 ) 此处共有13个数据，根据第2节的理论推导需要3的倍数个数据进行建模。为此，取前12个数据进行建模，类似于计算穿孔单耗成本的计算过程得到二次多项式曲线模型的表达式为 y ( t ) = 0.0061 t 2 − 0.0719 t + 12.4477 ， (18) 方程(18)即为二次多项式曲线模型对爆破单耗成本拟合的函数表达式。通过此方程，可计算相应点的拟合值，并可计算最优单耗成本值，结果见下表3和图2。从计算结果可以看到均方根误差分别为1.5907%，3.3196%和1.7842%，平均绝对百分比误差分别为1.3634%，3.3196%和1.5139%。其结果都非常的小，说明二次多项式曲线对爆破单耗成本数据拟合得很好。进一步，通过方程(18)和图2可以计算得到，最优的爆破单耗成本为12.2361元/千克。 Table 3 Calculation results of the unit cost of blasting by the quadratic polynomial curve mode 序号 爆破单耗成本(元/千克) 二次多项式计算结果 APE (%) 1 12.2222 12.3819 1.3063 2 12.1094 12.3283 1.8080 3 12.4806 12.2870 −1.5517 4 12.4427 12.2578 −1.4862 5 11.8797 12.2409 3.0406 6 12.5000 12.2362 −2.1103 7 12.2759 12.2437 −0.2617 8 12.3288 12.2635 −0.5296 9 12.3129 12.2954 −0.1421 10 12.4324 12.3396 −0.7467 11 12.5490 12.3960 −1.2194 12 12.2013 12.4646 2.1584 13 12.9762 12.5454 −3.3196 RMSPE simu (%) 1.5907 MAPE simu (%) 1.3634 RMSPE pred (%) 3.3196 MAPE pred (%) 3.3196 RMSPE total (%) 1.7842 MAPE total (%) 1.5139 表3. 二次多项式曲线模型对爆破单耗成本的计算结果 (c) 二次多项式曲线模型在铲装单耗成本中的应用 首先，由表1的数据和计算公式：铲装单耗成本 = 铲装/炸药单耗，得到 Y = ( y ( 1 ) ， y ( 2 ) ， ⋯ ， y ( 13 ) ) = ( 17.7778 ， 14.9219 ， 14.5736 ， 15.1145 ， 13.9098 ， 13.4559 ， 11.5862 ，         11.4384 ， 11.9728 ， 12.7027 ， 12.0261 ， 10.8176 ， 12.9167 ) 图2. 二次多项式曲线模型对爆破单耗成本的拟合图形 此处共有13个数据，根据第2节的理论推导需要3的倍数个数据进行建模。为此，取前12个数据进行建模，类似于计算穿孔、爆破单耗成本的计算过程得到二次多项式曲线模型的表达式为 y ( t ) = 0.0713 t 2 − 1.3916 t + 18.5411 ， (19) 方程(19)即为二次多项式曲线模型对铲装单耗成本拟合的函数表达式。通过此方程，可以计算相应点的拟合值，并可计算最优的单耗成本值，具体结果见下表4和图3。从计算结果可以看到均方根误差分别为5.9335%，3.2200%和5.7702%，平均绝对百分比误差分别为5.1983%，3.2200%和5.0461%。其结果说明二次多项式曲线对铲装单耗成本数据拟合得比较合适。进一步，通过方程(19)和图3计算得到，最优的铲装单耗成本为11.7515元/吨。 Table 4 Calculation results of the unit cost of shovel loading by the quadratic polynomial curve mode 序号 铲装单耗成本(元/千克) 二次多项式计算结果 APE (%) 1 17.7778 17.2208 −3.1328 2 14.9219 16.0432 7.5145 3 14.5736 15.0081 2.9813 4 15.1145 14.1157 −6.6085 5 13.9098 13.3658 −3.9106 6 13.4559 12.7586 −5.1822 7 11.5862 12.2939 6.1083 8 11.4384 11.9719 4.6645 9 11.9728 11.7925 −1.5062 10 12.7027 11.7556 −7.4557 11 12.0261 11.8614 −1.3699 12 10.8176 12.1098 11.9450 13 12.9167 12.5007 −3.2200 RMSPE simu (%) 5.9335 MAPE simu (%) 5.1983 RMSPE pred (%) 3.2200 MAPE pred (%) 3.2200 RMSPE total (%) 5.7702 MAPE total (%) 5.0461 表4. 二次多项式曲线模型对铲装单耗成本的计算结果 图3. 二次多项式曲线模型对铲装单耗成本的拟合图形 (d) 二次多项式曲线模型在二次爆破单耗成本中的应用 首先，由表1的数据和计算公式：二次爆破单耗成本=二次爆破/炸药单耗，得到 Y = ( y ( 1 ) ， y ( 2 ) ， ⋯ ， y ( 13 ) ) = ( 2.2222 ， 1.7188 ， 2.0155 ， 1.7557 ， 1.5789 ， 1.3971 ， 1.4483 ，         1.5068 ， 1.6327 ， 1.3514 ， 1.3725 ， 1.3836 ， 1.6667 ) 此处共有13个数据，根据第2节的理论推导需要3的倍数个数据进行建模。为此，取前12个数据进行建模，类似于计算穿孔、爆破、铲装单耗成本的计算过程得到二次多项式曲线模型的表达式为 y ( t ) = 0.0124 t 2 − 0.2231 t + 2.3927 ， (20) 方程(20)即为二次多项式曲线模型对二次爆破单耗成本拟合的函数表达式。通过此方程，可以计算相应点的拟合值，并可计算最优的单耗成本值，具体结果见下表5和图4。从计算结果可以看到均方根误差分别为8.1325%，4.5063%和7.9127%，平均绝对百分比误差分别为6.5053%，4.5063%和6.3516%。其结果说明二次多项式曲线对二次爆破单耗成本数据拟合得比较可以。进一步，通过方程(20)和图4可以计算得到，最优的二次爆破单耗成本为1.3908元/千克。 Table 5 Calculation results of the unit cost of secondary blasting by the quadratic polynomial curve mode 序号 二次爆破单耗成本(元/千克) 二次多项式计算结果 APE (%) 1 2.2222 2.1820 −1.8106 2 1.7188 1.9961 16.1386 3 2.0155 1.8351 −8.9497 4 1.7557 1.6990 −3.2331 5 1.5789 1.5876 0.5507 6 1.3971 1.5012 7.4523 7 1.4483 1.4395 −0.6027 8 1.5068 1.4028 −6.9072 9 1.6327 1.3908 −14.8113 10 1.3514 1.4037 3.8774 11 1.3725 1.4415 5.0241 12 1.3836 1.5041 8.7062 13 1.6667 1.5916 −4.5063 RMSPE simu (%) 8.1325 MAPE simu (%) 6.5053 RMSPE pred (%) 4.5063 MAPE pred (%) 4.5063 RMSPE total (%) 7.9127 MAPE total (%) 6.3516 表5. 二次多项式曲线模型对二次爆破单耗成本的计算结果 图4. 二次多项式曲线模型对二次爆破单耗成本的拟合图形