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user: 2. 定理的证明 高斯超几何函数的如下导数公式和变换公式是众所周知的 [ 16 ] ：对 | x | < 1 d d r F ( a ， b ; c ; x ) = a b c F ( a + 1 ， b + 1 ; c + 1 ; x ) (3) ( 1 − x ) F ( a + 1 ， b + 1 ; a + b + 1 ; x ) = F ( a ， b ; a + b + 1 ; x ) (4) ( c − b ) F ( a ， b ; c + 1 ; x ) = c F ( a ， b ; c ; x ) − b F ( a ， b + 1 ; c + 1 ; x ) (5) 2.1. 凹凸性 首先，我们证明 Δ p ( r ) 在区间 ( 0 ， 1 ) 上是严格凸的。令 r ∈ ( 0 ， 1 ) ，并且令 H a ( r ) = ε p − r ′ p k p r p                   = π p 2 r p [ F ( a − 1 ， 1 − a ; 1 ; r p ) − r ′ p F ( a ， 1 − a ; 1 ; r p ) ] . 那么 H a ( r ) = π p 2 r p [ ∑ n = 0 ∞ ( a − 1 ) n ( 1 − a ) n 1 n ( r p ) n n ! − r ′ p ∑ n = 0 ∞ a n ( 1 − a ) n 1 n ( r p ) n n ! ] = π p 2 [ ∑ n = 0 ∞ ( ( a − 1 ) n + 1 ( 1 − a ) n + 1 ( ( n + 1 ) ! ) 2 − a n + 1 ( 1 − a ) n + 1 ( ( n + 1 ) ! ) 2 ) r p n + ∑ n = 0 ∞ a n ( 1 − a ) n ( n ! ) 2 r p n ] = π p 2 ∑ n = 0 ∞ a n ( 1 − a ) n ( ( n + 1 ) ! ) 2 [ ( a − 1 ) ( n + 1 − a ) − ( n + a ) ( n + 1 − a ) + ( n + 1 ) 2 ] r p n = π p 2 ∑ n = 0 ∞ a n ( 1 − a ) n ( ( n + 1 ) ! ) 2 a ( n + 1 ) r p n = a π p 2 ∑ n = 0 ∞ a n ( 1 − a ) n 2 n ( r p ) n n ! = a π p 2 F ( a ， 1 − a ; 2 ; r p ) 所以 Δ p ( r ) = H a ( r ) − H a ( r ′ ) = a π p 2 [ F ( a ， 1 − a ; 2 ; r p ) − F ( a ， 1 − a ; 2 ; 1 − r p ) ] . 由此可知 d d r Δ p ( r ) = a 2 ( 1 − a ) π p p r p − 1 4 [ F ( a + 1 ， 2 − a ; 3 ; r p ) + F ( a + 1 ， 2 − a ; 3 ; 1 − r p ) ] ， 并且 d 2 d r 2 Δ p ( r ) = a 2 ( 1 − a ) π p p ( p − 1 ) r p − 2 4 { F ( a + 1 ， 2 − a ; 3 ; r p ) + F ( a + 1 ， 2 − a ; 3 ; 1 − r p )     + ( a + 1 ) ( 2 − a ) p r p 3 ( p − 1 ) [ F ( a + 2 ， 3 − a ; 4 ; r p ) − F ( a + 2 ， 3 − a ; 4 ; 1 − r p ) ] } . 根据变换公式(4)和(5)，得到 d 2 d r 2 Δ p ( r ) = a 2 ( 1 − a ) π p p ( p − 1 ) r p − 2 4 { F ( a + 1 ， 2 − a ; 3 ; r p ) + F ( a + 1 ， 2 − a ; 3 ; 1 − r p )     + ( a + 1 ) ( 2 − a ) p r p 3 ( p − 1 ) [ F ( a + 2 ， 3 − a ; 4 ; r p ) − F ( a + 1 ， 2 − a ; 4 ; 1 − r p ) r p ] } = a 2 ( 1 − a ) π p p ( p − 1 ) r p − 2 4 [ F ( a + 1 ， 2 − a ; 3 ; r p ) + ( a + 1 ) ( 2 − a ) p r p 3 ( p − 1 ) F ( a + 2 ， 3 − a ; 4 ; r p )     + a p − p − 1 p − 1 F ( a + 1 ， 2 − a ; 3 ; 1 − r p ) + ( 2 − a ) 2 p 3 ( p − 1 ) F ( a + 1 ， 3 − a ; 4 ; 1 − r p ) ] 。 记 W = a 2 ( 1 − a ) π p p ( p − 1 ) r p − 2 4 > 0 . 那么 1 W d 2 d r 2 Δ p ( r ) > 1 + a p − p − 1 p − 1 F ( a + 1 ， 2 − a ; 3 ; 1 − r p ) + ( 2 − a ) 2 p 3 ( p − 1 ) F ( a + 1 ， 3 − a ; 4 ; 1 − r p ) = 1 + ∑ n = 0 ∞ ( 2 − 1 p ) n ( 1 + 1 p ) n 3 n n ( p − 1 ) + p + 1 p − 4 ( p − 1 ) ( 3 + n ) ( 1 − r p ) n n ! > 1 + ∑ n = 0 1 ( 2 − 1 p ) n ( 1 + 1 p ) n 3 n n ( p − 1 ) + p + 1 p − 4 ( p − 1 ) ( 3 + n ) ( 1 − r p ) n n ! = 20 p 4 − 36 p 3 − p 2 + 6 p − 1 12 p 3 ( p − 1 ) − 4 p 4 − 8 p 3 − 5 p 2 + 6 p − 1 12 p 3 ( p − 1 ) r p 由 n ( p − 1 ) + p + 1 p − 4 ( p − 1 ) ( 3 + n ) > 0 可知上面的第二个不等号成立。对于 p ≥ 2 ，由于 20 p 4 − 36 p 3 − p 2 + 6 p − 1 12 p 3 ( p − 1 ) > 0 ， − 4 p 4 − 8 p 3 − 5 p 2 + 6 p − 1 12 p 3 ( p − 1 ) > 0 易知 d 2 d r 2 Δ p ( r ) > 0 . 从而可知 Δ p ( r ) 在区间 ( 0 ， 1 ) 上是严格凸的。 2.2. 单调性 由上节可知 H α ( r ) = ε p − r ′ p k p r p = a π p 2 F ( a ， 1 − a ; 2 ; r p ) = a π p 2 ∑ n = 0 ∞ a n ( 1 − a ) n 2 n ( r p ) n n ! 求导数得到 d d r H α ( r ) = a π p 2 ∑ n = 0 ∞ a n ( 1 − a ) n 2 n ( r p ) n − 1 p r p − 1 ( n − 1 ) ! 所以 H α ( 0 ) = a π p 2 和 H ′ α ( 0 ) = 0 。根据已知极限 lim r → 1 − ( k p ( r ) + log r ′ − R ( 1 / p ) p ) = 0 我们可得 lim r → 1 − H α ( r ) = lim r → 1 − ε p − r ′ p k p r p = 1 − 0 1 = 1 令 Q p ( r ) = Δ p ( r ) − Δ p ( 0 ) r − 0 ，则有 lim r → 0 + Q p ( r ) = lim r → 0 + ( H α ( r ) − H α ( r ′ ) − [ H α ( 0 ) − H α ( 1 ) ] r − 0 ) = lim r → 0 + ( H α ( r ) − H α ( 0 ) r − 0 − H α ( r ′ ) − H α ( 1 ) r − 0 ) = H ′ α ( 0 ) − lim x → 1 − H α ( x ) − 1 x ′ = − lim x → 1 − x − 1 x ′ H α ( x ) − 1 x = − lim x → 1 − x − 1 ( 1 − x p ) 1 p H ′ α ( 1 ) = − lim x → 1 − 1 1 p ( 1 − x p ) 1 p − 1 ( − p x p − 1 ) H ′ α ( 1 ) = lim x → 1 − ( 1 − x p ) 1 − 1 p x p − 1 = 0 因为 Δ p ( r ) 是严格凸的，所以 d d r Δ p ( r ) 在 ( 0 ， 1 ) 上递增。因此 d d r Δ p ( r ) > d d r Δ p ( 0 ) = Q p ( 0 ) = 0 ， 这就证明了函数 Δ p ( r ) 在 ( 0 ， 1 ) 上严格递增。 2.3. 不等式 显然地， Δ p ( 0 ) = H α ( 0 ) − H α ( 1 ) = a π p 2 − 1 Δ p ( 1 ) = H α ( 1 ) − H α ( 0 ) = 1 − a π p 2 由函数 Δ p ( r ) 在 ( 0 ， 1 ) 上严格递增，可知 Q p ( r ) = Δ p ( r ) − Δ p ( 0 ) r − 0 在 ( 0 ， 1 ) 上严格递增。从而 Q p ( 1 ) > Q p ( r ) > Q p ( 0 ) . 由此即得 α = 0 = Q p ( 0 ) < Q p ( r ) < Q p ( 1 ) = 2 − a π p = β 0 < Δ p ( r ) − Δ p ( 0 ) r − 0 < 2 − a π p 以及 Δ p ( 0 ) + 0 ⋅ r < Δ p ( r ) < Δ p ( 0 ) + ( 2 − a π p ) ⋅ r 因此 a π p 2 − 1 + α r < Δ p ( r ) < a π p 2 − 1 + β r . 推论：当 p ≥ 2 时，对所有的 r ， s ∈ ( 0 ， 1 ) ，有如下精确不等式成立： a π p 2 − 1 < Δ p ( r s ) − Δ p ( r ) − Δ p ( s ) < 1 − a π p 2 . 证明：记 G ( r ， s ) = Δ p ( r s ) − Δ p ( r ) − Δ p ( s ) . 求导数得 ∂ ∂ r G ( r ， s ) = s Δ ′ p ( r s ) − Δ ′ p ( r ) ， 以及 ∂ 2 ∂ r ∂ s G ( r ， s ) = Δ ′ p ( r s ) + r s Δ ″ p ( r ) . 由于 Δ ′ p ( r ) > 0 且 Δ ″ p ( r ) > 0 ，我们可得 ∂ 2 ∂ r ∂ s G ( r ， s ) > 0 . 因此 ∂ ∂ r G ( r ， s ) 关于变量s严格递增，从而有 ∂ ∂ r G ( r ， s ) < ∂ ∂ r G ( r ， s ) | s = 1 = Δ ′ p ( r ) − Δ ′ p ( r ) = 0 . 所以 G ( r ， s ) 关于r严格递减，从而有 a π p 2 − 1 = − Δ p ( 1 ) = G ( 1 ， s ) < G ( r ， s ) < G ( 0 ， s ) = − Δ p ( s ) < − Δ p ( 0 ) = 1 − a π p 2 . 推论得证。