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user: 3. 热电材料断裂力学的理论分析 断裂力学是研究材料裂纹扩展规律的学科，从裂纹起裂、扩展到失稳过程都在其分析范围内。其核心任务就是求解含各种缺陷的固体材料或结构在外载荷作用下的应力、应变场和确定裂纹尖端处的应力强度因子，应力强度因子是衡量裂纹尖端区应力场强度的参量 [ 17 ] 。 裂纹尖端应力场强度表示为 σ i j = K 2 π r f i j ( θ ) . (2) 其中 σ i j 为应力分量，K为应力强度因子， 为极坐标角 θ 的函数。 图1. 三种不同的热电材料的晶体结构图 在断裂力学研究中，断裂准则是含裂纹构件的应力强度因子小于材料断裂韧度时，裂纹不扩展，构件安全；反之，裂纹扩展，构件不安全 [ 18 ] 。由于热电材料通常是脆性半导体材料，因其固有的脆性和低的韧性，对热电材料施加力、热或电载荷时，材料会出现裂纹或微裂纹的情况，所以要对裂纹尖端场进行分析。 热电材料断裂理论研究的求解方法中，最常见的是Westergaard应力函数法和Muskhelishvili方法。对于张开型和滑开型裂纹在求解时通常使用Westergaard应力函数法，而在研究复合型裂纹时习惯使用Muskhelishvili应力函数法。Muskhelishvili方法是通过保角变换将物理平面上的区域映射为数学平面上的单位圆上去求解。由于复变函数的实部和虚部都满足Laplace方程，求解共轭的调和函数。如果知道一个调和函数，则可以由柯西–黎曼方程求出与之共轭的调和函数。对于Muskhelishvili方法在求解二维平面问题时需要求解两个解析函数，而Westergaard应力函数法在求解过程中，可以不必先求得应力场，而先求得复应力函数从而求解应力强度因子，只需要求解一个解析函数。从断裂力学的观点来看，对于大多数结构和零件来说，宏观裂纹的存在是不可避免的。用复变函数方法研究热电材料裂纹的二维问题，求解热电材料断裂力学中的裂纹问题，首要解决的是裂纹尖端应力奇异性 [ 19 ] 。 设静止条件下，仅在平面内考察无限均匀热电材料，假设自由电荷和热源不存在，热电材料控制场方程为 j e = − γ Δ V − γ ε Δ T ， (3) q = − γ ε T Δ V − ( k − γ ε 2 T ) Δ V . (4) 其中V是电势，T是温度， j e 是电流密度，q是热通量， γ 、 k 和 ε 分别是电导率热导率和赛贝克系数。 由于能量能通过电子和热传输，因此能量通量表示为 j u = q + j e V (5) Zhang和Wang用复变函数方法解决了无限介质中的裂纹问题 [ 20 ] ，得出了热通量，电通量和裂纹尖端附近的应力场表达式 σ x x + σ y y = 4 Re [ φ ′ ( z ) ] + μ α ′ γ 2 k f 1 ( z ) f 1 ( z ) ¯ ， (6) σ y y − σ x x + 2 i σ x y = 2 [ z φ ″ ( z ) + ϕ ′ ( z ) ] + μ α ′ γ 2 k f 2 ( z ) f ′ 1 ( z ) ¯ ， (7) 2 μ [ u x + i u y ] = κ φ ( z ) − z φ ′ ( z ) ¯ − ϕ ( z ) ¯ + 2 μ α ∗ ∫ g ( z ) d z − μ α ′ γ 4 k f 2 ( z ) f 1 ( z ) ¯ . (8) 边界条件为 ϕ ( z ) + z ϕ ′ ( z ) ¯ + φ ( z ) ¯ = i ∫ ( P x + i P y ) d s − μ α ′ γ 4 k f 2 ( z ) f 1 ( z ) ¯ + constant . (9) 其中常数项 p x 和 p y 是施加到边界上的外力。结果表明：电通量强度因子和热流强度因子取决于远场电 通量负荷和应用的总能量的负荷。同样地运用复变函数方法和共形映射方法，还研究了椭圆孔或裂纹的二维问题 [ 21 ] 。研究发现当椭圆孔退化为贯通裂纹时，裂纹尖端处的电流密度，能量通量，热通量和应力场呈现传统的平方根奇异性。之后Zhang等人基于电和热的非线性耦合控制方程，采用傅里叶变换和奇异积分方程分析了裂纹为有限高和宽的热电材料的热电转换效率，得出在有裂纹的热电材料中可以得到更高的转换效率 [ 22 ] 。Zeleke在不考虑材料中缺陷的影响下，使用经典理论同时对热电转换器中的热和电流进行建模。利用广义傅立叶定律和欧姆定律的动力学方程，导出了耦合热电现象的能量守恒和电荷守恒的动力学方程 [ 23 ] 。Wang首次建立了热电材料的倾斜椭圆形热电耦合的理论模型。讨论了双轴加载下椭圆孔的扩展问题。结果表明：对于双轴加载椭圆孔，由于非线性耦合，解不能是两个单轴受力情况的解的线性叠加。当长轴垂直于加载方向时有最大的热电集中 [ 24 ] 。 热电材料在服役期间常因热冲击而产生机械失效甚至断裂 [ 25 ] ，因此对热电材料的热冲击应力及断裂分析是非常必要的。Jin对多层热电薄膜材料的热应力进行了研究。通过建立新的模型得到比材料强度模型更高的热应力 [ 26 ] ，同时研究了Bi 2 Te 3 基于沿其厚度方向的一维温度荷载作用下的热电材料板，解决了稳态和瞬态时的温度场和应力场 [ 27 ] 。基于奇异积分方程研究热电薄膜，发现在薄膜末端剪切应力存在奇异性。讨论了界面导电率的影响以及薄膜的弹塑性变形 [ 28 ] 。郭亚博用解析法研究了单层热电材料板和层合热电材料板的热冲击，发现应力强度因子随着热电材料板厚度的增加而增加，而热冲击阻力随着热电材料板的厚度的增加而减小，也得到了在稳态和瞬态状态下的相关温度和应力场 [ 29 ] 。在此基础上Wang等人研究了沿其厚度方向施加热载荷的Bi 2 Te 3 热电材料板，同样得到了稳态和瞬态中的相关温度和应力场表达式，发现瞬态应力远大于稳态应力，应力强度因子随着板厚度的增加而增加。如图2表示了三种不同厚度热电材料板的热冲击阻力，可知当板较薄时，抗热冲击性的值增大 [ 30 ] 。 Huang对热电薄膜制冷器的热应力进行了研究，假定汤姆逊效应的冷却功率，对一维和二维温度场和应力场进行了分析，发现了热应力的分层结构和温度差引起的非耦合热弹性理论可以作为判定薄膜结构是否受热应力破坏，并对相邻层间的剪切应力提供了初步认识 [ 31 ] 。Hikage等人研究了热电发电器的热膨胀，得到了热电材料的热膨胀系数受材料内部晶体大小的影响的结论 [ 32 ] 。在此之后Ravi等人对高温热电材料的热膨胀性能进行了研究，证明了热电材料的热膨胀系数对材料的内部应力大小具有重要影响 [ 33 ] 。Chuan-Bin研究了无限远热电介质中圆弧裂纹的平面问题。结果表明，电通量强度因子和能量通量强度因子分别取决于远场电通量负荷和施加的总能量通量负荷 [ 34 ] 。Song等在研究热电材料裂纹问题中用复变函数方法，讨论裂纹对热电材料的转换效率的影响，分析了当电流流动和热通量分离时，热电转换效率可以高于在相同温度条件下一维热电偶的最大转换效率 [ 35 ] 。文中给出电流密度和热通量的表达式为 J y = − σ i 2 [ f ′ ( z ) − f ′ ( z ) ¯ ] = J y ∞ + a J y ∞ 2 a ( z − a ) ， (10) J Q x − i J Q y = σ 2 ε κ f ( a ) f ( a ) ¯ f ′ ( a ) − σ ε C 2 f ′ ( a ) + 2 σ f ′ ( a ) f ( a ) ¯     − 2 σ ε f ′ ( a ) Re [ f 2 ( a ) ] − 2 κ f ′ 2 ( a ) . (11) 由(10)和(11)式可知，在热和电不可渗透裂纹的情况下，电流密度和热通量在裂纹尖端处具有奇异性。 J y = − σ i 2 [ f ′ ( z ) − f ′ ( z ) ¯ ] = J y ∞ ， (12) J Q x − i J Q y = σ 2 ε κ f ( a ) f ( a ) ¯ f ′ ( a ) − σ ε C 2 f ′ ( a ) + 2 σ f ′ ( a ) f ( a ) ¯     − 2 σ ε f ′ ( a ) Re [ f 2 ( a ) ] − 2 κ f ′ 2 ( a ) . (13) 由(12)和(13)式可知，在电渗透热不渗透裂纹的时候，电流密度在裂纹尖端处没有奇异性，热通量具有平方根奇异性。 Wang采用有限厚度切口方法讨论了裂纹表面热电边界条件对材料的影响 [ 36 ] 。之后用复变函数法研究了填充在裂纹中的空气的导热率以及裂纹厚度对裂纹尖端场的影响 [ 37 ] 。如图3和图4为热电材料中裂纹为a时裂纹表面的温度场和电势场，发现裂纹内的空气的导热性不能忽略，并且应该考虑裂纹的有限厚度的影响。 Ding等人研究了梯度非均匀材料的热弹性断裂，探究材料非均匀性参数和热阻对热应力强度因子的影响，热阻的变化会显著影响到裂纹表面的温度 [ 38 ] 。为更好的研究梯度层的热行为提供了依据。之后Ding和Li使用傅立叶变换、叠加原理和奇异积分方程等方法研究受热与机械应力载荷下部分绝缘的两种不同功能梯度材料间的界面裂纹，推导出温度和位移场的表达式。同时对材料的非均匀性参数，热应力强度因子和最小应变能密度进行了研究 [ 39 ] 。