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user: 4. 模型求解 4.1. 数据预处理 由卫健委官网得2020年1月10日到2020年4月7日之间的累计确诊数、部分重症危重症数、累计治愈人数和累计死亡人数等信息。而通报数据中存在一定缺失，由于需确定所建模型常微分方程组初值，故首先进行数据预处理。 4.1.1. 缺失值H补齐 在本研究中，假设重症、危重症均纳入重症感染者(H)。首先绘出重症比例(H/(I + H))的时序图，见图2。利用对数回归对缺失数据进行补齐，然后根据各时段通报的感染者人数(普通感染者与重症感染者之和)及预测出的重症比例，反推各时段重症感染者人数。 图2. 重症比例时序图(含缺失) 为对重症感染者进行补全，利用线性回归对重症比例进行拟合和预测。由于该序列显然不是平稳的时间序列，本文对其取对数后再作线性回归。重症比例取对后的回归直线见图3，对数线性回归的残差序列图见图4。 4.1.2. 缺失值E补齐 新型冠状病毒肺炎的平均潜伏期为5.1天 [ 7 ]，本文取平均潜伏期5天。由所建模型，易感者(S)受传染后首先变为潜伏者(E)，潜伏者再转为普通感染者(I)，普通感染者可能直接治愈移出到治愈者(C)，或者转为重症感染者(H)。重症感染者或者因病情减轻而转化为普通感染者，或者因病情加重最终不幸移出到死亡者(D)。由潜伏期含义，其数量由下式推算可得： E n = ( I n + 5 + H n + 5 + C n + 5 + D n + 5 ) − ( I n + H n + C n + D n ) (8) E n ， I n ， H n ， C n ， D n 分别表示时刻n的潜伏者，普通感染者，重症感染者，治愈者和病亡者的实时数量。由此，潜伏者的数量可以全部推算出。 图3. 重症率的对数回归 图4. 重症率对数回归的残差序列图 4.1.3. 确定N的取值 在传统的SEIR模型中，N (见(6)式)表示传染地区忽略自然出生率及死亡率的总人口数。但在本研究中，N并不表示武汉地区的总人口数。由于传统SEIR模型假定各群体个体自由流动。实际上，由于防控隔离等政策，武汉总人口中可能接触到具备感染能力的人数是一定的，而并非全部人口 [ 8 ]。由参数估计结合经验测算，得该数值约为200万。 4.1.4. “换帅”骤跳修正 由卫健委通报数据，2020年2月12日当天通报数据显示武汉新增确诊病例13，436例，该数值较之前出现明显陡增。卫健委的解释为湖北省新增“临床诊断病例”分类，对疑似病例具有肺炎影像学特征者，也确定为临床诊断病例。不难判断，这些大量新增的临床诊断病例并非一天之内增加，其中累积了部分在诊断标准尚未变更之前的临床诊断病例。 为更贴切实际情况，需要修正陡增数据。由本文所建立模型，潜伏者必将转化为普通感染者，故本文对普通感染者数目进行修正。由于疫情初期感染者的数量呈指数上升，故本文采用指数函数对普通感染者的数量进行拟合，拟合函数如该式： I n = A e B t (9) 其中t从武汉封城2020年1月23日为第1天开始，通过对拟合函数取对数化成线性回归问题，再利用最小二乘法等方法估计参数。本文利用最小二乘法估计参数，通报情况及修正后图像见图5。通过对普通感染者数目进行修正，将累积临床诊断病例合理地回放到之前时间段，骤跳现象被明显改善。 经过以上处理，得到研究期间各群体每日数量。由于潜伏者S与其他群体数量级相差太大，其他群体经处理后的实时数量见图6。 4.2. 参数估计 4.2.1. 估计说明 设 α 1 = λ 1 N ， α 2 = λ 2 N ，由公式(1)~(5)得 d S ( t ) d t = − α 1 β S ( t ) E ( t ) − α 2 β S ( t ) I ( t ) (10) d E ( t ) d t = α 1 β S ( t ) E ( t ) + α 2 β S ( t ) I ( t ) − α E ( t ) (11) 图5. “换帅”骤跳及其修正 图6. 通报数据经预处理后的完整数据 由(10) (11)及(3) (4) (5)可知，待估参数为 α 1 ， α 2 ， β ， α ， κ ， θ ， γ ， τ 。 α 1 ， α 2 分别反映了易感者受潜伏者和普通感染者传染的力度，与该传染动力系统有效总人口数、潜伏者和普通感染者的接触率有关。 β 反映了易感者一旦有效接触到新型冠状病毒(SARS-Cov-2)后感染的概率，由于该病毒传染性极强，本文设为0.99。 α 在数学含义上表示平均潜伏期的倒数，由 [ 7 ] 可知，新冠肺炎的平均潜伏期为5天，故 α 取为0.2。剩下四个参数 κ ， θ ， γ ， τ 由参数反演得到。 4.2.2. 经验取值 由以上说明，参照相应文献或经验可得 α 1 ， α 2 ， β ， α 的估计值，经验估值见表1。 Table 1 Empirical parameter estimate and its basi 参数 α 1 α 2 β α 含义 潜伏者对易感者的传染力度 普通感染者对易感者的传染力度 SARS-Cov-2的传染性 COVID-19平均潜伏期的倒数 经验估值依据 参考文献 [ 9 ] 并基于本文模型并根据实际数据拟合优化 文献 [ 1 ] 文献 [ 3 ] 和官网最新报道 [ 7 ] 表1. 参数估计的经验估值以及依据 4.2.3. 搜索估计 对上述4个参数进行经验估计后，还需要对参数 κ ， θ ， γ ， τ 进行估计。由模型含义可知，这4个参数的取值范围在0到1之间。采用搜索算法 [ 10 ]，取一定步长如0.1对参数进行遍历，得到4个参数的不同组合，将所有参数作为已知条件代入常微分方程组(8)~(12)利用Matlab进行数值求解，得到各群体实时模拟数量。以普通感染者数量的残差平方和最小化作为目标函数，得到 κ ， θ ， γ ， τ 的最小二乘估计： min ∑ t = 1 s [ I ( t ) − I * ( t ) ] 2 其中 I * ( t ) 表示普通感染者的模拟数量。 4.3. 估计结果 由湖北卫健委和国家卫健委通报的数据可以确定SEIHCD模型各群体部分初值，其余初值可通过上述的数据预处理得到。利用所估参数，代入所建传染动力系统常微分方程组，求解并绘出通报数据曲线图和利用所估参数模拟的曲线图 [ 11 ]。 4.3.1. 第一阶段潜伏蔓延期(2020/1/10~2020/1/22) 在第一阶段2020年1月10日到2020年1月22日期间，武汉地区尚未封城，新型冠状病毒肺炎疫情呈现潜伏蔓延的状态。初值条件即截止2020年1月10日的数据为： S = 1999959 ， E = 0 ， I = 31 ， H = 7 ， C = 2 。第一阶段具体参数估计见表2。 Table 2 Parameter estimation results of the first stag 参数 α 1 α 2 β α 含义 潜伏者对易感者的传染力度 普通感染者对易感者的传染力度 SARS-Cov-2的传染性 COVID-19平均潜伏期的倒数 本文估值 2.30e−7 1.60e−7 0.99 0.20 文献参考 文献 [ 9 ] 为2.05e−9 文献 [ 1 ] 为0.99 文献 [ 9 ] 为0.14 取值说明 基于本文模型并根据实际数据拟合优化 保持一致 根据参考文献 [ 7 ] 疫情平均潜伏期最新报道 参数 κ θ γ τ 含义 重症感染者转化为普通感染者的单位时间概率 普通感染者转化为重症感染者的单位时间概率 普通感染者转化为治愈者的单位时间概率 重症感染者转化为病亡者的单位时间概率 本文估值 0.157 0.259 0.101 0.057 取值说明 基于本文模型并根据实际数据拟合优化 表2. 第一阶段参数估计结果 将第一阶段的参数估计结果代入常微分方程组(8)~(12)，由Matlab绘出潜伏蔓延期该动力系统中普通感染者的实时模拟数量的图像见图7，治愈者的实时模拟数量的图像见图8。 图7. 第一阶段普通感染者通报人数曲线和模拟曲线 图8. 第一阶段治愈者通报人数曲线和模拟曲线 由上述图像，第一阶段普通感染者数量大体呈指数上升趋势。由于在疫情暴发初期，易感者不断地被传染为潜伏者，进而转为普通感染者，而该时间段内治愈率又较低，故普通感染者人数呈指数上升。同时，由于初期对新冠病毒了解尚不深入，故治愈者人数的上升较为平缓。 4.3.2. 第二阶段封城暴发期(2020/1/23~2020/2/12) 考虑到2月12日诊断标准发生变化，采用对骤跳现象进行修正后的数据。初值条件即截止2020年1月23日的数据为： S = 1998095 ， E = 1410 ， I = 314 ， H = 127 ， C = 31 。第二阶段具体参数估计结果见表3。 Table 3 Parameter estimation results of the second stag 参数 α 1 α 2 β α 含义 潜伏者对易感者的传染力度 普通感染者对易感者的传染力度 SARS-Cov-2的传染性 COVID-19平均潜伏期的倒数 本文估值 1.92e−7 2.00e−7 0.99 0.20 文献参考 文献 [ 9 ] 为2.05e−9 文献 [ 1 ] 为0.99 文献 [ 9 ] 为0.14 取值说明 基于本文模型并根据实际数据拟合优化 保持一致 根据参考文献 [ 7 ] 疫情平均潜伏期最新报道 参数 κ θ γ τ 含义 重症感染者转化为普通感染者的单位时间概率 普通感染者转化为重症感染者的单位时间概率 普通感染者转化为治愈者的单位时间概率 重症感染者转化为病亡者的单位时间概率 本文估值 0.115 0.297 0.114 0.053 取值说明 基于本文模型并根据实际数据拟合优化 表3. 第二阶段参数估计结果 将第一阶段的参数估计结果代入常微分方程组(8)~(12)，由Matlab绘出封城暴发期该动力系统中普通感染者的实时模拟数量的图像见图9，治愈者的实时模拟数量的图像见图10。 图9. 第二阶段普通感染者通报人数曲线和模拟曲线 由图像可知，模拟曲线很好地拟合了由通报数据修正后的普通感染者人数。武汉封城后，普通感染者数目仍旧呈指数式攀升，但上升坡度相较于第一阶段有所放缓。一方面，疫情前线不断积累了预防、确诊与救治等经验，对普通感染者增加速度有所遏制。另一方面，在2020年1月23日至2020年2月12日期间，各级对疫情防控有更清醒认识，防控隔离措施更加严格。 4.3.3. 第三阶段攀升消退期(2020/2/13~2020/4/7) 由于2020年4月8日武汉解除离汉通道管控，故将此前一日作为本次研究第三阶段的结束时间节点。初值条件即截止2020年2月13日的数据为： S = 1955588 ， E = 8453 ， I = 25467 ， H = 7492 ， C = 2016 。第三阶段参数估计结果见表4。 Table 4 Parameter estimation results of the third stag 参数 α 1 α 2 β α 含义 潜伏者对易感者的传染力度 普通感染者对易感者的传染力度 SARS-Cov-2的传染性 COVID-19平均潜伏期的倒数 本文估值 9.00e−9 7.40e−9 0.99 0.20 文献参考 文献 [ 9 ] 为2.05e−9 文献 [ 1 ] 为0.99 文献 [ 9 ] 为0.14 取值说明 基于本文模型并根据实际数据拟合优化 保持一致 根据参考文献 [ 7 ] 疫情平均潜伏期最新报道 参数 κ θ γ τ 含义 重症感染者转化为普通感染者的单位时间概率 普通感染者转化为重症感染者的单位时间概率 普通感染者转化为治愈者的单位时间概率 重症感染者转化为病亡者的单位时间概率 本文估值 0.716 0.124 0.359 0.017 取值说明 基于本文模型并根据实际数据拟合优化 表4. 第三阶段参数估计结果 将第一阶段的参数估计结果代入常微分方程组(8)~(12)，由Matlab绘出攀升消退期该动力系统中普通感染者的实时模拟数量的图像见图10，治愈者的实时模拟数量的图像见图11，治愈者的实时模拟数量的图像见图12。 由图像可知，第三阶段即2020年2月13日至2020年4月7日之间，普通感染者数量呈现先增加后减少的趋势，在2月下旬到达峰值。对于普通感染者，其来源是潜伏者转为确诊及重症感染者病情减轻转回为普通感染者。其去向也有两个方面，一是由于病情好转而转为治愈者，另一个是因症状加重而转为重症感染者。由于普通感染者的流出要大于流入，因此在峰值之后，普通感染者的数目不断减少。与此同时，治愈者的数量不断增多，截止4月7日，这一数值为46，991人。 图10. 第二阶段治愈者通报人数曲线和模拟曲线 另外，当新发的疑似感染病例下降，确诊的发病患者数量下降时，可以认为新型冠状病毒肺炎发展的拐点特征出现。由图11可知，2020年2月19日附近出现了拐点，普通感染者的数量达到峰值，开始呈现下降的趋势。拐点判断可以帮助公共卫生政策的制定及病情救治方案的调整，对疫情整体防控有着重要作用。 图11. 第三阶段普通感染者通报人数曲线和模拟曲线