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user: 4. 解存在唯一性定理及解的收敛性 这小结分为两部分，第一部分给出SDE (1.3)解存在唯一的证明，第二部分给出解收敛的证明。 注：从此刻起， C 代表一个取值依赖于 T ， p ， L 1 ， L 2 ， L 3 ， X 0 的常数。 4.1. 解的存在唯一性 定理B1：若假设A1~A3成立，则SDE (1.3)有一个唯一的全局解 x ( t ) 。 证明：令 k 0 > 0 充分大且 x 0 < k 0 。对各个整数规定 k > k 0 ，定义停时 τ k = inf { t ∈ [ 0 ， τ e ) : x ( t ) ∉ ( 1 k ， k ) } 因为SDE (1.3)的系数满足局部Lipschitz条件，所以，对于给定的初始值 x 0 ∈ R ，在 t ∈ [ 0 ， τ e ) 上存在一个唯一的局部解 x ( t ) ，其中 τ e 是爆炸的时刻。(参见Bao等 [ 7 ] ，Bao和Yuan [ 8 ] ，Bass [ 9 ] )。令 k 0 > 0 充分大且 x 0 < k 0 。对于各个整数 k > k 0 ，设 τ ∞ = lim k → ∞ τ k ，其中 τ ∞ < τ e a.s.若我们得到 τ ∞ = ∞ a.s.则 x ( t ) ∈ R a.s.对所有的 t ≥ 0 。对于 θ > 0 ， 0 < p < 1 ，令 V θ ( x ) = ( x 2 + θ 2 ) p 2 ， x ∈ R (3.6) 令 T > 0 ，对任意 0 ≤ t ≤ T ，由 I t o ^ 公式(参见Applebaum [ 6 ] )可得 V θ ( x ( t ∧ τ k ) ) = V θ ( x 0 ) + ∫ 0 t ∧ τ k L V θ ( x ( s ) ) d s + M 1 ( t ∧ τ k ) (3.7) 其中 L V θ : R → R 定义为： L V θ = p x ( x 2 + θ 2 ) p − 2 2 f ( x ) + ∫ 0 1 [ V θ ( x + g ( x ) z ) − V θ ( x ) − V θ ′ ( x ) g ( x ) z 1 { 0 ≤ z < 1 } ] C α | z | 1 + α d z = : A ( x ) + B ( x ) + C ( x ) (3.8) 其中 M 1 ( t ) 是一个局部鞅，定义如下： M 1 ( t ∧ τ k ) = ∫ 0 t ∧ τ k ∫ R * ( ( V θ ( x ( s − ) ) + g ( x ( s − ) ) ) − V θ ( x ( s − ) ) ) N ˜ ( d s ， d z ) 且 A ( x ) = p x ( x 2 + θ 2 ) p − 2 2 f ( x ) ， B ( x ) = ∫ 0 1 [ V θ ( x + g ( x ) z ) − V θ ( x ) − V θ ′ ( x ) g ( x ) z ] C α | z | 1 + α d z ， C ( x ) = ∫ 0 + ∞ [ V θ ( x + g ( x ) z ) − V θ ( x ) ] C α | z | 1 + α d z 令 g ( x ) z = y ，首先，我们计算 B (x) 由Taylor公式可知，存在一个 ξ 取值介于 x 与 x + y 之间，使得 B ( x ) = ∫ 0 1 [ V θ ( x + g ( x ) z ) − V θ ( x ) − V θ ′ ( x ) g ( x ) z ] C α | z | 1 + α d z ≤ sgn ( g ( x ) ) | g ( x ) | α ∫ 0 g ( x ) [ V θ ( x + y ) − V θ ( x ) − V θ ′ ( x ) y ] C α | y | 1 + α d y = sgn ( g ( x ) ) | g ( x ) | α ∫ 0 g ( x ) 1 2 V θ ' ' ( ξ ) C α | y | 1 + α d y (3.9) 其中 V θ ′ ​ ′ ( ξ ) = p ( ξ 2 + θ 2 ) p 2 − 2 ( ( p − 1 ) ξ 2 + θ 2 ) (3.10) 由基本不等式可知 − ξ 2 − θ 2 ≤ ( p − 1 ) ξ 2 + θ 2 ≤ ξ 2 + θ 2 从这个式子我们立即得到 | ( p − 1 ) ξ 2 + θ 2 | ≤ | ξ 2 + θ 2 | (3.11) 当 | x | ≠ | y | ，即 | g ( x ) z | ≠ | x | ，将式(3.11)带入式(3.10)我们得到 V θ ′ ​ ′ ( ξ ) ≤ p ( ξ 2 + θ 2 ) p 2 − 1 ≤ p ξ p − 2 结合式(3.9)可得 B ( x ) ≤ sgn ( g ( x ) ) | g ( x ) | α ∫ 0 g ( x ) 1 2 y 2 p | | x | − | g ( x ) z | | p − 2 C α | y | 1 + α d y ≤ sgn ( g ( x ) ) C α p | ω ( x ) | p − 2 2 ( 2 − α ) | g ( x ) | 2 (3.12) 当 | g ( x ) z | = | x | ，从式(3.9)我们可得 B ( x ) = sgn ( g ( x ) ) | g ( x ) | α ∫ 0 g ( x ) 1 2 y 2 V θ ' ' C α | y | 1 + α d y ≤ sgn ( g ( x ) ) | g ( x ) | α ∫ 0 g ( x ) 1 2 y 2 p ( ξ 2 + θ 2 ) p − 2 2 C α | y | 1 + α d y ≤ sgn ( g ( x ) ) | g ( x ) | α ∫ 0 g ( x ) 1 2 y 2 p ( | | x | − | g ( x ) z | | + θ 2 ) p − 2 2 C α | y | 1 + α d y ≤ C α p θ p − 2 2 ( 2 − α ) | g ( x ) | 2 (3.13) 从我们选择的p值不难看出 lim θ → ∞ C α p θ p − 2 2 ( 2 − α ) | g ( x ) | 2 = 0 (3.14) 即，对一个充分大的 θ ， B ( x ) 在 | g ( x ) z | = | x | 条件下是收敛的。 接下来，我们处理 C ( x ) 。 令 f ( θ ) = V θ ( x + y ) − V θ ( x ) ，则 f ′ ( θ ) = p θ [ ( ( x + y ) 2 + θ 2 ) p − 2 2 − ( x 2 + θ 2 ) p − 2 2 ] 当 | x + y | > x ， f ′ ( θ ) < 0 且 f ′ ( θ ) < 0 ，可得 f ( θ ) < f (0) 当 | x + y | < x ， f ′ ( θ ) < 0 且 f ′ ( θ ) > 0 ，可得 − f ( θ ) = | f ( θ ) | < f (0) 那么，我们的到 | f ( θ ) | = | V θ ( x + y ) − V θ ( x ) | < | f ( 0 ) | = | ( x + y ) p − x p | 结合我们对 p 的选择，由基本不等式可得 | V θ ( x + y ) − V θ ( x ) | < | y | p (3.15) 则 C ( x ) = ∫ 1 + ∞ [ V θ ( x + g ( x ) z ) − V θ ( x ) ] C α | z | 1 + α d z ≤ sgn ( g ( x ) ) | g ( x ) | α ∫ g ( x ) + ∞ | V θ ( x + y ) − V θ ( x ) | C α | y | 1 + α d y ≤ sgn ( g ( x ) ) | g ( x ) | α ∫ g ( x ) + ∞ | y | p C α | y | 1 + α d y = sgn ( g ( x ) ) | g ( x ) | α C α α − p | g ( x ) | p (3.16) 当 x ∈ ( − 1 ， 1 ) ，将式(3.12)和式(3.16)加入式(3.8)我们可以得到 L V θ ( x ) ≤ p x ( x 2 + θ 2 ) p − 2 2 f ( x ) + sgn ( g ( x ) ) C α p | ω ( x ) | p − 2 2 ( 2 − α ) | g ( x ) | 2 + sgn ( g ( x ) ) C α α − p | g ( x ) | p = p x ( x 2 + θ 2 ) p − 2 2 f ( x ) + sgn ( g ( x ) ) C α 2 ( 2 − α ) | g ( x ) | p ( | g ( x ) | | ω ( x ) | ) 2 − p + sgn ( g ( x ) ) C α α − p | g ( x ) | p = p x ( x 2 + θ 2 ) p − 2 2 f ( x ) + sgn ( g ( x ) ) C α | g ( x ) | p ( 1 2 ( 2 − α ) ( | g ( x ) | | ω ( x ) | ) 2 − p + 1 α − p ) (3.17) 结合假设式(3.2)，可得 L V θ ( x ) ≤ p x ( x 2 + θ 2 ) p − 2 2 f ( x ) + L 2 sgn ( g ( x ) ) C α | g ( x ) | p ( x 2 + θ 2 ) p − 2 2 ≤ ( x 2 + θ 2 ) p − 2 2 ( p x f ( x ) + M 1 | g ( x ) | p ) ≤ ( x 2 + θ 2 ) p − 2 2 L 3 ( x 2 + θ 2 ) ≤ C V θ ( x ) (3.18) 当 x = 0 ， V θ ( x ) = V θ ( 0 ) = θ p ，则， V θ ′ ( x ) = 0 且 L V θ ( x ) ≤ L 2 sgn ( g ( 0 ) ) C α | g ( 0 ) | p ( θ 2 ) p − 2 2 ≤ C 由 I t o ^ 公式，依据 x ( t ∧ τ k ) ∈ R ， 0 ≤ t ≤ T ， E V θ ( x ( T ∧ τ k ) ) = V θ ( x 0 ) + E ∫ 0 t ∧ τ k L V θ ( x ( s ) ) d s (3.19) 则，由式(3.19)我们可得 E V θ ( x ( T ∧ τ k ) ) ≤ V θ ( x 0 ) + C E ( T ∧ τ k ) ≤ V θ ( x 0 ) + C T (3.20) 注意到对于所有的 σ ∈ { τ k ≤ T } ，对于一个充分大的数 k ，满足 x ( τ k ， σ ) ≥ k 或者 x ( τ k ， σ ) ≤ 1 k 由于 V θ ( x ) 在 x ∈ ( − ∞ ， 0 ) 是非增的并且在 x ∈ ( 0 ， + ∞ ) 是非减的，所以 V θ ( x ( τ k ， σ ) ) 不小于 ( k 2 + θ 2 ) p 2 或 ( 1 / k 2 + θ 2 ) p 2 ，即 V θ ( x ( τ k ， σ ) ) ≥ ( k 2 + θ 2 ) p 2 ∧ ( 1 / k 2 + θ 2 ) p 2 (3.21) 从式(3.2.23)和式(3.2.24)可得 ( k 2 + θ 2 ) p 2 ∧ ( 1 / k 2 + θ 2 ) p 2 P ( τ k ≤ T ) ≤ E ( V θ ( τ k ， σ ) 1 { τ k ≤ T } ) ≤ V θ ( x 0 ) + C T 令 k → ∞ 可得 P ( τ ∞ ≤ T ) = 0 由 T 的任意性可知 P ( τ ∞ = ∞ ) = 1 综上，SDE (1.3)在 t ≥ 0 上存在一个唯一的全局解 x ( t ) ∈ R 。 4.2. 解的收敛性 若SDE (1.3)的解存在且唯一，即，定理B1成立下，对任意的 p ¯ ∈ ( 0 ， 1 ] ， p ∈ ( 0 ， p ¯ ) ，有 sup 0 ≤ t ≤ T E | x ( t ) | p < C ， ∀ T > 0. (4.1) 证明：由 I t o ^ 公式，对所有的 x ( 0 ) = x 0 ∈ R 且 0 ≤ t ≤ T 满足 E V θ ( x ( t ) ) = V θ ( x 0 ) + E ∫ 0 t L V θ ( x ( s ) ) d s (4.2) 由式(3.18)可得 E V θ ( x ( t ) ) = V θ ( x 0 ) + E ∫ 0 t L V θ ( x ( s ) ) d s ≤ V θ ( x 0 ) + E C V θ ( x ( s ) ) d s 由Gronwall不等式 E | x ( t ) | p ≤ E V θ ( x ( t ) ) ≤ V θ ( x 0 ) exp ( C t ) ≤ V θ ( x 0 ) exp ( C T ) ≤ C 证毕。