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user: 4. 点态化完备代数正规类中的亚直既约代数类 A 是一个点态化完备代数正规类。 定义4.1 [ 21 ] ：1) ∀ a ∈ A ， p ⊲ a ，如果 ∀ i ， j ⊲ a ， i j ≤ p 可推出 i ≤ p 或者 j ≤ p ，则称p是a的一个素理想； 2) ∀ a ∈ A ，如果0是a的一个素理想，则称a是一个素代数； 3) ∀ a ∈ A ， p ⊲ a ，如果 ∀ i ⊲ a ， i 2 ≤ p 可推出 i ≤ p ，则称p是a的一个半素理想； 4) ∀ a ∈ A ，如果0是a的一个半素理想，则称a是一个半素代数； 5) ∀ a ∈ A ，如果存在正整数n，使 a n = 0 ，则称a是幂0代数； ∀ a ∈ A ， i ⊲ a ，如果存在正整数n，使 i n = 0 ，则称i是a的幂0理想； 6) ∀ a ∈ A ， i ⊲ a ，如果∀ t ∈ ϕ a ( i ) ，都有 t ∈ ϕ a ( ( t ) 2 ) ( ( t ) 是t在a中生成的主理想)，则称i是a的f-正则理想。 定义4.2 [ 21 ] ： ∀ K ⊆ A ，称K是一个特殊类，如果K满足以下3条： 1) ∀ a ∈ K ，a是一个素代数； 2) ∀ a ∈ K ， i ⊲ a ，则 i ∈ K ； 3) ∀ a ∈ A ， i ⊲ a ， i ∈ K ，则 a / i * ∈ K ，其中i * 是a的使得 k i = i k = 0 的最大理想(称i的0化子)。 定义4.3 [ 21 ] ： ∀ K ⊆ A ，称K是一个弱特殊类，如果K满足以下3条： 1) ∀ a ∈ K ，a中无非0幂0理想； 2) ∀ a ∈ K ， i ⊲ a ，则 i ∈ K ； 3) ∀ a ∈ A ， i ⊲ a ， i ∈ K ， i * = 0 ，则 a ∈ K 。 定义4.4 [ 21 ] ：设R为 A 中的一个根类。如果存在一个特殊类K，使得R = UK，则称R是一个特殊根类。 定义4.5 [ 21 ] ：设R为 A 中的一个根类。如果 ∀ a ∈ R ， i ⊲ a ，都有i∈R，则称R是遗传根。 引理4.6 [ 13 ] [ 14 ] ：设R为 A 中的一个根类。R是遗传根当且仅当 ∀ a ∈ A ， i ⊲ a ，都有 R ( i ) = i ∧ R ( a ) 。 定义4.7 [ 21 ] ：设S为 A 中的一个根类。如果S满足以下2条，则称根类S是一个超幂0根： 1) S是遗传根； 2) ∀ a ∈ A ，如果a是幂0代数，则 a ∈ S 。 定义4.8 [ 15 ] ：1) ∀ a ∈ A ， { a α | α ∈ Γ } 是一个代数集，如果存在a的一个理想集 { i α | α ∈ Γ } 满足 ∧ { i α | α ∈ Γ } = 0 ，且 ∀ α ∈ Γ ， a α ∼ a / i α ，则称代数a是代数集 { a α | α ∈ Γ } 的亚直和，记为 a = ∑ s { a α | α ∈ Γ } 。 2) ∀ a∈A，如果 h = ∧ { i | 0 ≠ i ⊲ α } ≠ 0 ，则称a是一个亚直既约代数，h称亚直既约代数a的心。 注1：0是一个特殊的亚直既约代数，其心h为0。 引理4.9： ∀ a ∈ A ，a都可表示为亚直既约代数的亚直和。 证明：设 a ∈ A 是一个非零代数，且 ϕ a : L a s → P ( S a ) ，则 S a 含有非零元t。对每个非零元t由引理3.2 1)知存在a的一个最大的理想 i t ，使得 t ∉ ϕ a ( i t ) 。设 d = ∧ { i t | 0 ≠ t ∈ S a } ，则 d ⊲ a ，且 ∀ 0 ≠ t ∈ S a 有 ϕ a ( d ) ⊆ ϕ a ( i t ) ，从而 ∀ 0 ≠ t ∈ S a ， t ∉ ϕ a ( d ) 。如果 d ≠ 0 ， ϕ a ( d ) 有非零元u，则 u ∉ ϕ a ( i u ) ，从而 u ∉ ϕ a ( d ) ，矛盾。故 d = 0 ，从而 a = ∑ s { a / i t | 0 ≠ t ∈ S a } 。 下证对每个非零元t， a / i t 都是亚直既约代数。 a / i t 的非0理想都可表示为 b / i t ， i t ≤ b ⊲ a ， b ≠ i t 。因为 i t 是a的使得 t ∉ ϕ a ( i t ) 是a的最大理想，故 t ∈ ϕ a ( b ) ，所以 h = ∧ { j | 0 ≠ j ⊲ α / i t } = ( ( t ) ∨ i t ) / i t ≠ 0 ，即 a / i t 都是亚直既约代数。证毕。 引理4.10：设R为 A 中的一个遗传根， a ∈ A ，a是心为h的亚直既约代数。则： 1) h 2 = 0 或 h 2 = h ； 2) R(h) = h或者R(h) = 0，即心h是R根代数或者R-半单代数； 3) h是R-半单代数当且仅当a是R-半单代数； 4) h是单代数或者 h 2 = 0 。 证明：1) 因为 h 2 ≤ h ， h 2 ⊲ a ，如果 h 2 ≠ 0 ，则 h 2 是a的一个非0理想，从而 h ≤ h 2 ，故 h 2 = h ； 2) 因为R为 A 中的一个遗传根，故 R ( h ) = h ∧ R ( a ) ⊲ a ，如果 R ( h ) ≠ 0 ，则 R ( h ) 是a的非0理想，从而 R ( h ) ≥ h 。又因为 R ( h ) = h ∧ R ( a ) ≤ h ，因此 R ( h ) = h ； 3) 如果a是R-半单代数，则 R ( a ) = 0 ，从而 R ( h ) = h ∧ R ( a ) = 0 。如果a不是R-半单代数，则 R ( a ) ≠ 0 ，从而 h ≤ R ( a ) ， R ( h ) = h ∧ R ( R ( a ) ) = h ，因此h不是R-半单代数。故h是R-半单代数当且仅当a是R-半单代数； 4) 如果 h 2 ≠ 0 ， 0 ≠ i ⊲ h ，则 h 2 = h 及 h 3 = h 。 设 i ¯ 是i在a中生成的理想，则 0 ≠ i ¯ = i ∨ a i ∨ i a ∨ a i a ⊲ a ，故 h ≤ i ¯ 。因为 h = h 3 ≤ i ¯ 3 ≤ i ，故 i = h ，即h是单代数。证毕。 注2：代数0也认为是具有幂等心的亚直既约代数，其心h为0。 引理4.11：设 a ∈ A ，a是有幂等心h的亚直既约代数， 0 ≠ i ⊲ a 。则i也是心为h的亚直既约代数。 证明：设 0 ≠ i ⊲ a ， 0 ≠ j ⊲ i ，因此 h ≤ i 。设 j ¯ 是j在a中生成的理想，则 0 ≠ j ¯ = j ∨ a j ∨ j a ∨ a j a ⊲ a ，故 h ≤ j ¯ 。由引理4.10、引理2.8有 h = h 3 ≤ j ¯ 3 ≤ j ，所以 ∧ { j | 0 ≠ j ⊲ i } = h ，即i也是心为h的亚直既约代数。证毕。 定义4.12：如果 A 中的一个性质E对于 A 中的等价关系~不变，则称性质E是 A 中的一个代数性质。 引理4.13：设 a ∈ A ，如果a是有幂等心h的亚直既约代数，则a是素代数。 证明：设 i ， j ⊲ a ， i j = 0 。如果 i ≠ 0 ， j ≠ 0 ，则 h ≤ i ， h ≤ j ，从而 0 ≠ h = h 2 ≤ i j ，矛盾。故 i = 0 或者 j = 0 ，即0是a的素理想，故a是素代数。证毕。 定理4.14：设E是 A 中的一个代数性质，K是所有幂等E心的亚直既约代数类。则K是一个特殊类，从而上根UK是一个特殊根。 证明：根据引理4.13，下面只证明K满足定义4.2的条件2)，3)。/ 设 a ∈ K ， i ⊲ a ，a的心为h。如果 i = 0 ，则 i ∈ K 。如果 i ≠ 0 ，根据引理4.11，i是心为h的亚直既约代数，故 i ∈ K 。即K满足定义4.2的条件2)。 ∀ a ∈ A ， i ⊲ a ， i ∈ K ，i * 是i的0化子，记 b = a / i ∗ 。则i是有幂等E心的亚直既约代数，因此 h a = h 2 a = h ( h a ) ≤ h i ≤ h ， a h = a h 2 = ( a h ) h ≤ i h ≤ h ，根据A7(子代数乘积公理)有 h ⊲ a 。进一步，如果 i ∧ i * ≠ 0 ，则 0 ≠ i ∧ i * ⊲ a ，因此 h ≤ i ∧ i * ， h = h 2 ≤ ( i ∧ i * ) ( i ∧ i * ) ≤ i i * = 0 ，矛盾，故 i ∧ i * = 0 ，并且 ( h ∨ i * ) / i * ∼ h / ( i ∧ i * ) ∼ h 。设 k ⊲ a 且 0 ≠ k / i * ⊲ a / i * ，则 i * ≤ k ， i * ≠ k ，从而 i k ≠ 0 或者 k i ≠ 0 及 0 ≠ i k ∨ k i ≤ i ∧ k ，因此 i ∧ k ≠ 0 ，即 i ∧ k ⊲ i 一个非0理想。故 h ≤ i ∧ k ≤ k 及 h ∨ i * ≤ k 。因此 ( h ∨ i * ) / i * ≤ k / i * = b ，即 b = k / i * 都含有非0理想 ( h ∨ i * ) / i * ∼ h ，h具有E性质，从而 ( h ∨ i * ) / i * 也具有E性质。因此 b = a / i * 也是具有心 ( h ∨ i * ) / i * 的亚直既约代数，心 ( h ∨ i * ) / i * 也是幂等并具有E性质，即 a / i * ∈ K ，因此K满足定义4.2的条件(3)。证毕。 定义4.15：设K是所有幂等心的亚直既约代数类，上根UK称为反单根，UK根代数称为反单代数。 定理4.16： ∀ a ∈ A ，以下5个条件等价。 1) a是反单代数； 2) a的商代数都不是具有幂等心的亚直既约代数的亚直和； 3) a的商代数都是具有幂0心的亚直既约代数的亚直和； 4) 不存在a的素理想p，使得商代数a/p有极小理想； 5) ∀ i ⊲ a ， ∀ j ⊲ i ，i/j都不是非平凡幂等单代数。 证明：根据上根UK的定义知1)与2)等价，下面证明1)，3)，4)与5)等价。 1)⇒3)：如果有 i ⊲ a 使得 b = a / i 不是具有幂0心的亚直既约代数的亚直和，根据引理4.10， b = a / i 可以表示为亚直既约代数的亚直和 b = ∑ s b α ，则其中至少有一个亚直既约代数 b α ( b α 是 b = a / i 的一个商代数)的心 h α 不是幂0的，从而 h α 是幂等的，与1) a是反单代数矛盾，故3)成立； 3)⇒1)：如果a不是反单代数，则存在a的非0商代数 b = a / i ，使得b是具有幂等心的亚直既约代数的亚直和，与3)矛盾，故1)成立； 3)⇒4)：如果存在a的素理想p，使得商代数a/p有极小理想k/p，其中 p ≤ k ⊲ a ， p ≠ k 。则有a/p是素代数且 k 2 ≤ p ，故 ( k / p ) 2 = ( k 2 ∨ p ) / p ≠ 0 。因为k/p是商代数a/p的极小理想且 ( k / p ) 2 ≤ k / p ，从而 ( k / p ) 2 = k / p 。如果 p ≤ l ⊲ a 且l/p是a/p的非0理想，则由a/p是素代数得 ( k / p ) ( l / p ) ≠ 0 。但 ( k / p ) ( l / p ) ≤ k / p 且k/p是a/p的极小理想，所以 ( k / p ) ( l / p ) = k / p ≤ l / p ，因此a/p是有幂等心k/p的亚直既约代数的亚直和，与(3)矛盾，故(4)成立； 4)⇒5)：如果存在 i ⊲ a ， j ⊲ i ， i / j ≠ 0 是幂等单代数，设 j ¯ 是j在a中生成的理想。如果 j ¯ ≠ j ，由于 i / j ≠ 0 是幂等单代数， j ¯ / j ⊲ i / j ，故 j ¯ / j = i / j ，即 j ¯ = i 。因为 j ¯ 3 ≤ j ⊲ i ，因此 ( i / j ) 3 = ( j ¯ / j ) 3 = 0 ，矛盾，所以 j = j ¯ ⊲ a ， i / j ⊲ a / j 且 ( i / j ) 2 = i / j 。由于 i / j ≠ 0 是幂等单代数，故i/j具有幂等心i/j的亚直既约代数，故i不是反单代数，因此a不是反单代数(因为反单根是遗传的)。因此存在 p ⊲ a 使得 a / p ∈ K ，即a/p是具有幂等心h/p的亚直既约代数，由引理4.13得p是素代数，且a/p有极小理想h/p，与(4)矛盾，故5)成立； 5)⇒3)：如果有 i ⊲ a 使得 b = a / i 不是具有幂0心的亚直既约代数的亚直和，由1)⇒3)证明可知有a的非0商代数 b α / j ，使得 b α 是具有幂等心 h / j ( j ≤ h ⊲ a ) 的亚直既约代数。由引理4.10此时h/j是一个非平凡幂等单代数，与5)矛盾，故3)成立。证毕。