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user: 2. 推广的拉普拉斯矩阵的特征多项式 2.1. 完全图的推广的拉普拉斯矩阵的特征多项式 定理1：设G是具有n个顶点的完全图，则它的推广拉普拉斯矩阵L k 的特征多项式为 L k ( λ ) = [ λ − ( k − 1 ) ( n − 1 ) ] [ λ − k ( n − 1 ) − 1 ] n − 1 证明：因为G是完全图，则图G的推广拉普拉斯矩阵的特征多项式为 L k ( λ ) = | λ I n − L k | = | λ − k ( n − 1 ) 1 1 ⋯ 1 1 λ − k ( n − 1 ) 0 ⋯ 0 1 0 λ − k ( n − 1 ) ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 0 0 ⋯ λ − k ( n − 1 ) | (1) 计算 L k ( λ ) ，首先需把(1)式中第2至n行同时加到第1行，即可提出公因子 λ − [ ( k − 1 ) ( n − 1 ) ] 得： L k ( λ ) = [ λ − ( k − 1 ) ( n − 1 ) ] |   1 1 1 ⋯ 1 1 λ − k ( n − 1 ) 0 ⋯ 0 1 0 λ − k ( n − 1 ) ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 0 0 ⋯ λ − k ( n − 1 ) | (2) 将(2)式中的第一行乘以−1加到第2至n行，得： L k ( λ ) = [ λ − ( k − 1 ) ( n − 1 ) ] |   1 1 1 ⋯ 1 0 λ − k ( n − 1 ) − 1 0 ⋯ 0 0 0 λ − k ( n − 1 ) − 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ λ − k ( n − 1 ) − 1 | (3) 再将(3)式根据行列式的上三角计算公式可得： L k ( λ ) = [ λ − ( k − 1 ) ( n − 1 ) ] [ λ − k ( n − 1 ) − 1 ] n − 1 易得， L k ( λ ) 的特征根如下： λ 1 = ( k − 1 ) ( n − 1 ) ，   λ 2 = λ 3 = ⋯ = λ n = k ( n − 1 ) + 1 在完全图中 L k = k D − A ， k 取值不同，会有以下性质： (1) 当 k = 0 时， L 0 = − A ，其特征根与邻接矩阵的特征根互为相反数。 (2) 当 k = 1 时， L 1 = D − A ，此矩阵就是拉普拉斯(Laplace)矩阵。 (3) 当 k = − 1 时， L − 1 = − ( D + A ) ，其特征根与无符号的拉普拉斯矩阵互为相反数。 (4) 当 k = 2 时， L 2 = 2 D − A ，得到的是推广的拉普拉斯矩阵，其特征多项式与特征根分别如下： L k ( λ ) = [ λ − ( n − 1 ) ] [ λ − ( 2 n − 1 ) ] n − 1 ， λ 1 = n − 1 ，   λ 2 = λ 3 = ⋯ = λ n = 2 n − 1 2.2. 二部图的推广的拉普拉斯矩阵的特征多项式 定理2：设 G = ( U ∪ V ， E ) 是具有n个顶点的二部图，其中(U，V)是G的一个二分类， | U | = n 1 ， | V | = n 2 ，则其推广的拉普拉斯矩阵L k 的特征多项式为： L k ( λ ) = ( λ − k n 1 ) n 2 − 1 ( λ − k n 2 ) n 1 − 1 [ λ 2 − ( k n 1 + k n 2 ) λ + ( k 2 − 1 ) n 1 n 2 ] 证明：因为G是二部图，则图G的推广拉普拉斯矩阵的特征多项式为： L k ( λ ) = | λ I n − L k | = | λ − k n 2 ⋯ 0 1 ⋯ 1 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 ... λ − k n 2 1 ⋯ 1 1 ⋯ 1 λ − k n 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 ⋯ 1 0 ⋯ λ − k n 1 | (4) 计算 L k ( λ ) ，首先需将(4)式根据行列式的特征将其分成四块，可得： L k ( λ ) = | A B C D | 那么子行列式A，B，C，D分别如下： A = | λ − k n 2 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ λ − k n 2 | ， B = | 1 ⋯ 1 ⋮ ⋱ ⋮ 1 ⋯ 1 | ， C = | 1 ⋯ 1 ⋮ ⋱ ⋮ 1 ⋯ 1 | ， D = | λ − k n 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ λ − k n 1 | 根据分块矩阵的行列式计算式 L k ( λ ) = | A | ⋅ | D − C A − 1 B | ，并且此时的行列式 | A | 必须可逆，所以得： L k ( λ ) = ( λ − k n 2 ) n 1 | [ λ − k n 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ λ − k n 1 ] − [ 1 ⋯ 1 ⋮ ⋱ ⋮ 1 ⋯ 1 ] [ 1 λ − k n 2 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 1 λ − k n 2 ] [ 1 ... 1 ... ... ... 1 ... 1 ] | (5) (5) 式根据矩阵的运算(即相乘和相减)可得： L k ( λ ) = ( λ − k n 2 ) n 1 | λ − k n 1 − n 1 λ − k n 2 − n 1 λ − k n 2 ⋯ − n 1 λ − k n 2 − n 1 λ − k n 2 λ − k n 1 − n 1 λ − k n 2 ⋯ − n 1 λ − k n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ − n 1 λ − k n 2 − n 1 λ − k n 2 ⋯ λ − k n 1 − n 1 λ − k n 2 | (6) 根据(6)式可得它与一种特殊的行列式相同(对角线上的元素为a，其余的都为b)，根据其计算公式 [ a + ( n − 1 ) b ] ( a − b ) n − 1 可得最终的特征多项式为： L ( λ ) k = ( λ − k n 1 ) n 2 − 1 ( λ − k n 2 ) n 1 − 1 [ λ 2 − ( k n 1 + k n 2 ) λ + ( k 2 − 1 ) n 1 n 2 ] 并且易得出其特征根如下： λ 1 = k ( n 1 + n 2 ) − k 2 ( n 1 − n 2 ) 2 + 4 n 1 n 2 2 ， λ 2 = λ 3 = ⋯ = λ n 2 = k n 1 λ n 2 + 1 = ⋯ = λ n 1 + n 2 − 1 = k n 2 ， λ n = k ( n 1 + n 2 ) + k 2 ( n 1 − n 2 ) 2 + 4 n 1 n 2 2 在二部图中 L k = k D − A ， k 取值不同，会有以下性质： (1) 当 k = 0 时， L 0 = − A ，其特征根与邻接矩阵的特征根互为相反数。 (2) 当 k = 1 时， L 1 = D − A ，此矩阵就是拉普拉斯(Laplace)矩阵。 (3) 当 k = − 1 时， ，其特征根与无符号的拉普拉斯矩阵互为相反数。 (4) 当 k = 2 时， L 2 = 2 D − A ，得到的是推广的拉普拉斯矩阵。 根据定理2及其二部图的特性可以得出以下两个推论 推论1：在二部图 G = ( U ∪ V ， E ) 中， | U | = n 1 = 1 ， | V | = n 2 = n − 1 时，此时的图为星图，其推广的拉普拉斯矩阵的特征多项式为： L k ( λ ) = ( λ − k ) n − 2 ( λ 2 − k n λ + k 2 n − k 2 − n + 1 ) 。 易得其特征根如下： λ 1 = k n 2 − k 2 n 2 4 − k 2 n + k 2 + n − 1 ， λ 2 = λ 3 = ⋯ = λ n − 1 = k ， λ n = k n 2 + k 2 n 2 4 − k 2 n + k 2 + n − 1 推论2：在二部图 G = ( U ∪ V ， E ) 中， | U | = n 1 = n / 2 ， | V | = n 2 = n / 2 时，此时是均匀分布的二部图，其推广的拉普拉斯矩阵矩阵的特征多项式为： L k ( λ ) = 1 4 [ ( λ − k n 2 ) n − 2 ] [ 4 ( λ − k n 2 ) 2 − n 2 ] 。 易得其特征根如下： λ 1 = n 2 − k n 2 ， λ 2 = λ 3 = ⋯ = λ n − 1 = k n 2 ， λ n = n 2 + k n 2