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user: 4. 模型的建立 根据所涉及的问题，我们分别建立整数规划模型，TLBMCLP模型和主成分分析模型来解决上述问题，并用相应的算法来进行求解。最终建立了结合以上所有模型的多目标优化模型，来求出最优结果。具体流程如图1所示： 图1. 建模流程图 4.1. 整数规划下的装箱模型 [ 1 ] 4.1.1. 约束条件与目标函数 在集装箱装载问题中，集装箱装载能力、装载利用率受多种复杂因素的约束，影响因素整理如图2所示： 图2. 约束条件 根据已知条件，为使容器体积利用率达到最大，我们有目标方程为： Max U = α ( l i ω i h i β i ) V + ( 1 − α ) ∑ n i = 1 ( g i β i G ) 根据前述所涉及的约束条件，我们得到以下约束方程： 体积约束方程： ∑ i = 1 n l i ω i h i β i ≤ V 重心约束方程： a ′ ≤ ∑ i = 1 n g i x i β i ∑ i = 1 n g i β i ≤ a ″ ，   b ′ ≤ ∑ i = 1 n g i y i β i ∑ i = 1 n g i β i ≤ b ″ ，   ∑ i = 1 n g i z i β i ∑ i = 1 n g i β i ≤ c 其中货物重心坐标用 ( x i ， y i ， z i ) 表示且 x i ∈ [ a ′ ， a ″ ] ， y i ∈ [ b ′ ， b ″ ] ， z i ∈ [ 0 ， c ] 。货物装载后的重心坐标边界 用 a ′ ， a ″ ， b ′ ， b ″ ， c 表示。 4.1.2. 装箱模型的求解 装箱模型由于传统算法都存在收敛速度过快，易陷入局部最优解等缺陷。故我们采用改进后的智能算法 [ 2 ] 来对模型进行求解。 编码预处理： 1) 货物编号：将货物按体积由大到小降序排列， i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n 2) 设置方向编号：编号0代表货物不能旋转；编号1代表货物只能水平旋转；编号2代表货物能任意方向旋转。 编码及解码： 我们规定每种装载方案都对应一个编码长度为2n的符号串个体 S q g e n = ( S 1 ， S 2 ， ⋯ ， S n ， S n + 1 ， ⋯ ， S 2 n ) ，其中表示 S 1 ~ S n 货物装载顺序，是由 [ 1 ， n ] 随机产生的一组非重复整数序列，对应序列号表示货物装载序列。 S n + 1 ~ S 2 n 表示货物放置方向， [ 0 ， 2 ] 是由随机产生的一组可重复整数序列。 适应度函数： 此函数用以评价解的好坏，其值越大则解的质量越高。在此我们使用本文中的目标函数来定义适应度函数： Max U = α ( l i ω i h i β i ) V + ( 1 − α ) ∑ n i = 1 ( g i β i G ) 根据上述算法我们用两种无人机货舱对不同类型货物进行装箱处理，所得结论如表1、表2所示： Table 1 Drone cargo bay type 1 MED loading schem 药包1 药包2 药包3 总计 体积利用率% 方案1 2 0 0 2 87.50 方案2 0 4 0 4 71.43 方案3 0 0 2 2 60.00 方案4 1 2 0 3 79.46 方案5 1 0 1 2 73.75 方案6 0 1 2 3 65.71 表1. 无人机货舱型号1装载药物方案 Table 2 Drone cargo bay type 2 MED loading schem 药包1 药包2 药包3 总计 体积利用率% 方案1 16 0 0 16 81.67 方案2 0 48 0 48 100.00 方案3 0 0 25 25 87.50 方案4 17 10 0 27 86.46 方案5 15 0 6 21 83.13 方案6 0 18 14 32 86.50 方案7 8 4 10 22 84.17 表2. 无人机货舱型号2装载药物方案 我们对上述表格中较复杂情况进行分析，图3为表2方案6、7的安装方案： 图3. 方案6、方案7排布方案 结合无人机载重情况可以发现，使用无人机货舱型号2时，载药量主要受载重量的影响，而并非无人机货舱体积因素影响。在使用无人机货舱型号1时，由于体积小，载药量主要受体积影响，载重量将不再影响载药量。 同时该模型不仅能用于求解药物在无人机货舱中放置问题，还能进行无人机在集装箱中的最优排布问题，使得集装箱体积得到充分利用。 4.2. TLBMCLP模型 4.2.1. 模型的概述 在本文的选址问题中，由于无人机舰队需要尽可能多地经过多条路线以勘测道路的受损情况，故属于最大覆盖选址问题(MCLP)。同时由于无人机的电量限制，故其需要在规定时间内完成任务，所以本文建立了基于时间限制的最大覆盖选址模型 [ 3 ] (TLBMCLP)。图4说明了传统的MCLP [ 4 ] 与TLBMCLP模型的区别： 图4. 传统的MCLP与TLBMCLP模型 给定的网络中 G ( V ， A ) ，V为顶点集， | V | = n ，A为边集。 i ∈ I ， j ∈ J ，其中 I ∈ V ， J ∈ V 分别是救助点和候选停泊点的集合的下标集 I ∪ J = V 。 h i 为救助点i的需求量； t ij 为路网节点i接受停泊点j提供帮助的最短等待时间，也可以是两点间的最短距离表示；p为准备设立的停泊点的个数。我们希望停泊点集所能覆盖的道路节点总数达到最大。于是建立以下模型： Max ∑ i ∈ I ∑ j ∈ J h i d i j Y i j 为保证每个医院能收到至少1个集装箱的供给，得到以下约束条件： ∑ j ∈ J Y i j ≥ 1 ， ∀ i ∈ I 为保证集装箱的个数为p个(本文中p = 3)，我们得到： ∑ j ∈ J X j = p 通过集装箱的设立对其所供给的医院的限制，我们有： Y i j − X j ≤ 0 ， ∀ i ∈ I ， j ∈ J 4.2.2. TLBMCLP模型的算法 对于该模型的求解，我们采用拉格朗日松弛算法 [ 5 ] ，其求解步骤为： 步骤1：初始化参数。 k ← 1 ， U B ← + ∞ ， L B ← − ∞ ， λ i 1 ← h ¯ + 1 2 ( h i − h ¯ ) ， ∀ i ∈ I ， α k ← 2 步骤2：根据Dijkstra算法计算，求出 h i d i j ， ∀ i ∈ I ， j ∈ J 步骤3：寻找p个最大值的 V j k ← ∑ i ∈ I max ( 0 ， h i d i j − λ i k ) ，将与其标号相同的 X j k 值设为1，再通过下式求出 Y i j k ，并计算上限值 Z U k Y i j = { 1 if     X i = 1     and     h i d i j − λ i > 0 0 else ∀ i ∈ I ， j ∈ J 步骤4：通过下式找到TLBMCLE问题的可行解，计算 Z L k φ i = max { h i d i j } ，     ∀ i ∈ I 步骤5：更新TLBMCLE问题的最优值的上下限UB和LB。 U B ← min ( U B ， Z U k ) ， L B ← max ( L B ， Z L k ) 步骤6：更新步长参数 α k ，若UB连续4次迭代都没有改善。则令 α k ← α k / 2 步骤7：根据下式更新拉格朗日乘子 t k = α k ( Z U k − L B ) ∑ i ∈ I ( 1 − ∑ j ∈ J Y i j k ) 2 ， λ i k + 1 = max { 0 ， λ i k − t k ( 1 − ∑ j ∈ J Y i j k ) } 步骤8：判断是否达到程序终止条件，如果下面四个条件任何一个成立则结束程序，输出结果 { ∑ j ∈ I Y i j k = 1 ，     ∀ i ∈ I U B − L B ≤ 0.3 t k ≤ 0.0001 k = 400 步骤9：更新迭代次数， k ← k + 1 ，转到第三次， 根据上述所提供的求解方案，我们可以找到最优的选址方案以覆盖更大面积，同时能保证在充足电量的情况下巡视更多的道路。 4.3. 无人机种类的选取 由于无人机种类繁多并且参数各不相同，过多的模型种类会影响模型的求解，故我们需要先对部分明显不适用的无人机或者缺点明显的无人机进行剔除。选出几种较为实用的无人机来组成舰队，以此节约运输成本并且提高工作效率。 为了选出综合评较高的无人机，我们采用主成分分析方法 [ 6 ] 。我们将从飞行距离、体积、载重、无人机货舱型号这四个因素进行综合打分。故我们根据题意整理得出以下数据，如表3所示： Table 3 Drone performance tabl 无人机类型 飞行距离(km) 体积(in 3 ) 最大有效负载(lbs.) 货仓型号 A 23.33 50，625 3.5 1 B 52.67 19，800 8 1 C 37.33 90，000 14 2 D 18.00 12，500 11 1 E 15.00 13，500 15 2 F 31.60 40，000 22 2 G 17.07 17，408 20 2 H 0 199，875 0 0 表3. 无人机性能表 以上因素中，除了体积因素以外，其他因素对结论的影响都是正相关的。故为了使得求解更加准确，我们将在之后求解中对体积因素进行取负处理。同时，为避免每个因素的量纲影响结论的准确性，故我们需要将每个因素求标准分 [ 7 ] ： 其中x为原始分， x ¯ 为原始分平均值，s为原始分的标准差。通过计算各因素的标准分，我们可以得出标准分矩阵，如表4所示： Table 4 Drone performance standard point 无人机类型 飞行距离 体积 最大有效负载 A −0.07 0.08 −1.07 B 1.77 0.56 −0.48 C 0.81 −0.54 0.30 D −0.40 0.67 −0.09 E −0.59 0.66 0.43 F 0.45 0.24 1.35 G −0.46 0.59 1.09 H −1.52 −2.26 −1.53 表4. 无人机性能标准分 根据以上矩阵，我们通过主成分分析得出了每种无人机的综合得分，并且根据无人机货舱型号和得分进行排序得到图5： 图5. 得分统计 从上表可以看出，在无人机货舱型号为1的无人机中，B、D得分较高，且可以从参数表可以看出A在各方面的性能都不及B。在B与D的比较中，我们发现B飞行距离更长，但是载重更轻。故在短距离运输时我们更倾向于采用D型无人机，而在D型无法抵达的情况时，我们采用B型无人机进行运输。 同样地，在无人机货舱型号为2的无人机中，F，E得分较高。对E和F进行比较可以发现，E体积非常小，但是飞行距离短。故无人机货舱型号为2的无人机时，若进行的运输距离短，我们更倾向于使用E无人机，否则使用F无人机。 4.4. 多目标规划模型 由于使用无人机的种类受集装箱的位置的影响，从而又会影响无人机的运载能力，进一步影响无人机的数量，再根据无人机种类和数量我们又要确定装箱方案，这是一个多目标规划问题 [ 8 ] [ 9 ] 。我们将三个集装箱所能维持各医院治疗天数为目标函数，我们将dh i 定为第i个医院所能维持的治疗天数，我们得到以下函数： M a x ( min i ∈ I d h i ) 由于医院的维持天数受到药物分配和每日需求影响，我们得到： d h i = min [ m k i r k i ] 其中m ki 表示第i个医院的第k种药物的供给量，r ki 表示第i个医院的第k种药物的需求量。 现在考虑到药物分配量与集装箱到医院的距离会对无人机种类和数量的选取产生影响，我们可以得到： p i j = f ( m k j ， d i ) 其中f为无人机选取函数，在di较小的情况下，优先选择负载高的无人机。在di较大的情况下，优先选择飞行距离较远的无人机；p ij 为第i个医院需要第j种无人机的数量；di表示第i个医院到最近的集装箱的距离，我们有： d i = min j { ( x h i − x c j ) 2 + ( y h i − y c j ) 2 } 其中xh i ，yh i 分别为第i个医院的经纬度，xc j ，yc j 分别为第j个集装箱的经纬度. 我们还需要考虑每个集装箱的安装能力，并且求出最优安装方案。我们需要先找出每个集装箱的每类无人机数量： N k j = ∑ j p i j χ k (i) 其中N kj 为第k个集装箱的第j类无人机数量， χ k ( i ) 为特征函数，当第j个医院接受第k个集装箱的货物时取值为1，否则为0。 根据该式求出所需无人机种类和数量，再结合装箱模型、选址模型可以得到最优的装箱、选址组合方案。使得最终结果中的无人机线路分布广，给各医院供给量多且均衡。