system: [SYSTEM]

user: 4. 实验研究分析方法 4.1. 多元线性回归模型 4.1.1. 模型概念 多元线性回归模型是以多个特征向量作为前提，研究因变量与自变量之间的相关性，从而确立能够体现两者关系的模型，然后依据得到的模型来处理实验数据，并加以预测，多元线性回归方程的矩阵能够体现为： y = X β + ε (3) y = [ y 1 y 2 ⋮ y n ] ， ε = [ ε 0 ε 1 ⋮ ε n ] ， β = [ β 0 β 1 ⋮ β p ] ， X = [ 1 x 11 x 12 ⋯ x 1 p 1 x 21 x 22 ⋯ x 2 p ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 x n 1 x n 2 ⋯ x n p ] (4) 其中， ( x i 1 ， x i 2 ， ⋯ ， x i p ， y i ) 是n次独立观测值， ε i ∼ N ( O ， σ 2 ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，且独立同分布，最小二乘估计值 β ^ 即 β 的最小二乘函数。 Q ( β ) = ( Y − X β ) T ( Y − X β ) (5) 达到最小的 β 值，估计为： (6) 从而可以得到经验回归方程 Y ^ = β ^ 0 + β ^ 1 X 1 + ⋯ + β ^ p X p (7) 根据实验所得样本数据，我们能够看出：数据具有极强的波动性与不稳定性，在实际应用中因变量与自变量的观测值往往是由其真实值与随机观测误差两部分构成，因此简单地认为线性回归方程中只存在模型固有误差会给最终结果造成较大影响。为了提高模型的精确度，结合Errors in Variables模型，在针对本文中绝缘子进行分析时对所有变量都考虑随机误差，多元线性回归模型 y = X β + ε 即变为： Y − v = β ( x + u ) + ε (8) y = [ y 1 y 2 ⋮ y n ] ， ε = [ ε 0 ε 1 ⋮ ε n ] ， β = [ β 0 β 1 ⋮ β p ] ， X = [ 1 x 11 x 12 ⋯ x 1 p 1 x 21 x 22 ⋯ x 2 p ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 x n 1 x n 2 ⋯ x n p ] Y = [ Y 1 Y 2 ⋮ Y n ] ， u = [ u 1 u 2 ⋮ u n ] ， v = [ v 1 v 2 ⋮ v n ] (9) 其中， E ( u ) = E ( v ) = 0 ， u ， v ， x 不相关。其经验回归方程随之变为： Y ^ − v ^ = β ^ 0 + β ^ 1 X 1 + ⋯ + β ^ p X p + ( β ^ 0 + β ^ 1 + ⋯ + β ^ p ) u ^ (10) 4.1.2. 代价函数 我们在确定了模型之后，引入一个代价函数来进一步评价模型的好坏 [ 9 ] ，代价函数不单能够评估模型优劣，且可以不断训练模型的参数 β ，因此，我们能够获得较小的代价函数的平均值 J ( β ) 用公式可以表示为： J ( β i ) = 1 2 m ∑ i = 1 m ( y ^ ( i ) − y ( i ) ) 2 = 1 2 m ∑ i = 1 m ( h β ( x ( i ) ) − y ( i ) ) 2 (11) 其中，m代表训练样本数目， h β ( x ( i ) ) 代表用参数 β 和x预测的y值， y ( i ) 代表原始训练样本的y值，也就是真实值。 4.1.3. 评价标准 由上述确定了模型的相关参数之后，我们需对其进行一定的评价，来确定模型的预测情况，一般常用的评价指标有直接误差、绝对平均误差等，根据本问题的研究需求，我们使用平均误差、绝对平均误差、均方根误差、拟合优度检验来评价模型。相关公式分别为： 1) 平均误差。 μ = ∑ i = 1 n δ i n (12) 其中， δ 表示模型的误差，即输出值与实际值之差。 2) 绝对平均误差。 μ ′ = ∑ i = 1 n | δ i | n (13) 3) 均方根误差。 σ = ∑ i = 1 n ( δ i ) 2 n (14) 4) 拟合优度检验。 R 2 = E T = 1 − R T (15) { T = ∑ ( Y i − Y ¯ ) 2 离 差 平 方 和 R = ∑ ( Y i − Y ^ i ) 2 残 差 平 方 和 E = ∑ ( Y ^ i − Y ¯ ) 2 回 归 平 方 和 (16) 4.1.4. 算法简介 在计算模型最优解的过程中，我们一般可将其视为一个迭代过程，以均方根误差为衡量标准，不断地训练数据。 Step1：收集数据样本。 Step2：计算初始的代价函数值。 Step3：以均方根误差为标准，不断改变 β i 的值，最终得到代价函数的最小值。 Step4：分别得到不同的预测评价标准值，结合得到的最优的模型参数。 通过MATLAB和SPSS仿真计算和建立多元线性回归模型： 1组：蒸馏水对照组 Y = 0.010683 − 0.03687 x 1 − 0.00019 x 2 2组：低浓度硝酸盐雾霾组 Y = − 0.00025 + 0.029613 x 1 − 0.00013 x 2 3组：高浓度硝酸盐雾霾组 Y = − 0.00038 + 0.019528 x 1 − 0.00013 x 2 4组：高浓度硫酸盐雾霾组 Y = 0.00079 − 0.02419 x 1 − 0.00067 x 2 4.2. 故障诊断预测模型 得到的不同组别的线性回归模型、结合对应的故障诊断模型进行预测 [ 10 ] [ 11 ] ，由于平均误差表示的是预测得到的所有随机误差的平均值，拟合优度检验则是用来检验预测值和理论值之间的一致程度，故当评价标准中的平均误差与拟合优度检验值最小时，我们便认为是用最适合该故障的线性回归模型来对其进行诊断预测的，不同模型预测参数如表3所示，综上述，故障诊断预测的方法可大抵描述为： Step1：利用待判别故障的数据求得线性回归模型，以及对应的平均误差和拟合优度检验等评价标准； Step2：利用最小信息准则Akaike information criterion，对多种模型进行选择和判别； Step3：以绝对平均误差与拟合优度检验值为标准，前者值最小且后者值最大的即认为是待判别故障的故障类型。 Table 3 Prediction parameters of different model 评价标准 应用模型 1组 2组 平均误差 0.034689 0.046729 拟合优度检验 99.412% 99.422% 3组 4组 平均误差 0.056087 0.034928 拟合优度检验 99.837% 99.825% 表3. 不同模型预测参数 4.3. 小波分析参数区间预测模型 绝缘子在发生闪络现象时产生的电流和闪络电压会随着故障类别而不同，然而数据的复杂性导致我们无法直接获取这之间的联系，我们借用小波分析法，通过伸缩与平移多种运算功能，从所得函数中提取有效信息，进行多尺度细化分析得出故障类别。之后通过小波分析法得到不同故障类别的高频信号，当故障的类别变化时，其参数区间也有所不同，由此可以通过待判别故障的参数所在的参数区间，来判断其对应的故障类别。 小波分析法是一种时域与频域的局部变换的信号分析方法，也是一种克服其他信号处理技术缺陷的独特方法，具体表现为低频区域时：高频分辨率且低时间分辨率、高频区域时：低频分辨率且高时间分辨率。设 ψ ( t ) ∈ L 2 ( R ) ，其中 L 2 ( R ) 代表实数空间信号，当 ψ ^ ( ω ) 满足容许条件时，有： C ψ = ∫ R | ψ ^ ( ω ) | 2 | ω | d ω < ∞ (17) ψ ^ ( ω ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ψ ( ω ) e − i ω t d t (18) 对于连续信号 f ( t ) 的连续小波变换，即Continue Wavelet Transform，可以表现为： W ψ f ( a ， b ) = 1 a ∫ R f ( t ) ψ ¯ ( t − b a ) d t (19) 其中a代表尺度对应于频率，可将小波伸缩变换；b代表平移量对应于时间，可将小波位移变换，然而实际应用中，我们一般分析小波的离散变换，令 a = a 0 m ， b = n b 0 a 0 m ， m ， n ∈ R ，有： W ψ f ( m ， n ) = a 0 − 1 2 m ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) ψ ¯ ( a 0 − m t − n b 0 ) d t (20) 关于小波分析的多层分解，其结构图大致表现如下图2所示。 图2. 小波多层分解图 对于信号 f ( t ) ∈ L 2 ( R ) ，其分解公式可以写作： f ( t ) = ∑ i I s i j ϕ i j ( t ) + ∑ i I ∑ j J d i j ψ i j ( t ) (21) s i ， j + 1 = ∑ m M S ( m − 2 j ) s i j (22) d i ， j + 1 = ∑ m M D ( m − 2 j ) s i j (23) 其中 ϕ i j ( t ) 代表尺度函数，i表示其分解程度，j表示其离散程度， S ( j ) 、 D ( j ) 分别表示低通滤波与高通滤波。 由上述方法得到的多元线性回归模型的绝对平均误差，结合小波分析法 [ 12 ] ，迭代计算出各层的参数最大值和最小值，即得到不同故障的参数区间，如表4和图3所示。 Table 4 Parameter intervals of different fault 层数/组别 1组 2组 3组 4组 1 (0.787757， 0.865019) (0.814693， 0.838927) (0.930914， 0.971973) (0.930656， 0.966157) 2 (0.435653， 0.529503) (0.466552， 0.504104) (0.392601， 0.473892) (0.361127， 0.481962) 3 (0.213846， 0.275497) (0.244269， 0.275722) (0.066372， 0.103894) (0.114866， 0.166756) 4 (0.114643， 0.194785) (0.125532， 0.138133) (0.033541， 0.089738) (0.067834， 0.096726) 5 (0.061842， 0.078823) (0.055726， 0.091050) (0.010288， 0.029376) (0.032246， 0.047197) 表4. 不同故障的参数区间 图3. 不同故障的参数区间柱形图 图4. 小波分析参数区间预测模型流程图 根据图4所示的模型流程图，进一步分析参数区间的图表可以发现，不同类别的故障在2层时参数结果较为接近，在接下来判断类别时我们可以将其看作是否会发生闪络现象的依据，其余层数则看作类别判断的依据；1组对照组和2组低浓度硝酸盐组所得结果较为接近，即参数区间重合部分较多，分析原因可能是由于模拟雾霾成分较为接近。