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user: 2. L-M算法 2.1. L-M算法在测温系统中的实现 定义待测荧光信号的模型为： I ( t ) = ∑ i = 1 k A i exp ( − t / τ i ) (3) 在这里，构造一个代价函数来估计衰减残差的平方和： S ( β ; t ) = 1 2 ∑ j = 1 n [ I j ( β ; t ) − y j ] 2 = 1 2 ∑ j = 1 n f j ( x ) 2 ≡ 1 2 F ( x ) T F ( x ) (4) 式(4)中的 F ( x ) 是由 f ( x ) 组成的向量值函数， β 是由A i 和 τ 组成的参数。这样一来，求取荧光寿命 τ 就变成了求取参数 β 来使得S最小化的问题。考虑到S不是呈线性关系，需要更加精确、快速的收敛方法，因此提出了使用LM算法来进行拟合。 LM算法的迭代格式为： x k + 1 = x k + d k (5) 其中d k 为搜索方向，在高斯牛顿法的迭代条件基础上，Levenberg和Marquardt提出了通过对角截断来对J T J矩阵进行衰减，即引进一个阻尼因子 λ ，使其能够在较大的初始范围内进行收敛： x k + 1 = x k − ( J T J + λ diag ( J T J ) ) − 1 J F ( x ) (6) 式中：J为I对 β 的梯度；J T J为Hessian矩阵；用Hessian的对角矩阵来代替单位矩阵，可以减小计算机字长短带来的累积舍入误差的影响，提高计算结果的精度。 阻尼因子 λ 在每次迭代过程中会进行自我调整，当S减小时， λ 相应减小，当 λ → 0 时，上式近似为高斯牛顿法；当S增大时， λ 相应增大，当 λ → ∞ 时，上式近似于最速下降法。当目标函数的精度达到预设值时，迭代结束。因此只要选择合适的迭代初值，就可以兼顾高斯牛顿法和最速下降法的优点，使得迭代收敛速度快，全局稳定性高。 在仿真过程中，使用LM算法分别对单指数模型和双指数模型进行了分析。 2.2. L-M算法单指数仿真分析 针对单指数模型，此时荧光信号为： I ( t ) = A 1 exp ( − t / τ ) + I d + I n 利用MATLAB做一条单指数函数曲线，设其模型为： y = A exp ( − i Δ t / τ ) + I d + I n 采样时间间隔 Δ t = 0.01   ms 。假设荧光寿命 τ = 0. 5   ms ，通过仿真反求 τ 值偏离0.5 ms的大小来分析LM算法对直流分量和噪声分量的敏感程度及算法处理速度。 2.2.1. 直流分量的影响 令 A = 1 ，噪声信号 I n = 0 ，改变直流分量I d 的幅度与荧光信号强度的比，结果如表1所示。可以看出，利用LM算法求取荧光寿命 τ 时，会受到直流分量的影响，随着直流分量的增大，荧光寿命 τ 也逐渐偏离理论值。因此若想应用此法得到较高的测量精度需要想办法去掉直流分量，这是此法的一个弊端。 Table 1 The τ value table of the DC component is 0.5% - 2.5% of the fluorescence intensit 采样点 直流幅度与荧光强度比 0.5% 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% 30 0.500135 0.500341 0.500573 0.500680 0.500833 60 0.500179 0.500436 0.500663 0.500744 0.500927 90 0.500170 0.500396 0.500697 0.500817 0.501005 120 0.500075 0.500402 0.500649 0.500855 0.501017 150 0.500190 0.500489 0.500754 0.500962 0.501293 表1. 直流分量为荧光强度的0.5%~2.5%时的 τ 值表 2.2.2. 噪声信号的影响 令直流分量 I d = 0 ，改变噪声信号I n 的幅度与荧光信号强度的比，结果如表2所示。可以看出，LM算法对噪声不敏感，是一种精度较高的算法。采样点的选取不仅决定了数据处理速度，还与噪声有关，采样长度并不是越大越好，例如在0.5%的幅度比情况下，采样长度120的仿真结果最接近理论值，因此要根据实际情况确定采样长度。 Table 2 The τ value table of the noise amplitude is 0.5% - 2.5% of the fluorescence intensit 采样点 噪声幅度与荧光强度比 0.5% 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% 30 0.499912 0.499937 0.499267 0.500507 0.499987 60 0.500063 0.500128 0.500101 0.500141 0.500616 90 0.500017 0.499746 0.500116 0.499800 0.499363 120 0.500014 0.500126 0.499800 0.500157 0.499010 150 0.500037 0.500310 0.499695 0.500272 0.500713 表2. 噪声幅度为荧光强度的0.5%~2.5%时的 τ 值表 2.3. LM算法双指数仿真分析 用MATLAB做一条双指数曲线，设其模型为： y = A 1 exp ( − i Δ t / τ 1 ) + A 2 exp ( − i Δ t / τ 2 ) + I d + I n 假设荧光寿命 τ 1 = 0. 5   ms ， τ 2 = 0. 3   ms ，通过仿真反求两个 τ 值偏离程度来进行对比分析。 噪声信号的影响 通过单指数模型仿真分析可知，算法受直流分量的影响，因此此处讨论无直流情况下对噪声的敏感程度。选择采样长度为120，改变噪声幅度与荧光强度的比例，得到表3所示的结果。 Table 3 The τ value table of the fitting length of l-m algorithm is 120 point 采样点120 噪声幅度与荧光强度比 0.5% 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% τ 1 0.500014 0.499933 0.499865 0.500428 0.503992 τ 2 0.300196 0.300387 0.300392 0.300601 0.298640 仿真时长(s) 0.352149 0.355530 0.352190 0.349143 0.350027 表3. L-M算法拟合长度为120点时的 τ 值表 这里对比传统的最小二乘拟合法和FFT拟合法，分别在采样长度相同的情况下求取荧光寿命 τ 1 进行对比，结果如表4所示。 Table 4 The τ value table of the fitting length of traditional algorithm is 120 point 采样点120 噪声幅度与荧光强度比 0.5% 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% 最小二乘拟合 τ 1 0.380714 0.380733 0.380928 0.380765 0.380725 仿真时长(s) 0.001171 0.001132 0.001150 0.001185 0.001149 FFT拟合法 τ 1 0.412866 0.412858 0.412946 0.413007 0.412547 仿真时长(s) 0.001103 0.001055 0.001058 0.001072 0.001091 表4. 传统算法拟合长度为120点时的 τ 值表 对比以上两表数据可知，传统最小二乘法和FFT拟合法等算法在针对双指数模型时 τ 值计算效果较差，精度很低，误差最小在0.12 ms，受噪声影响明显，并不适合处理多指数荧光信号；而LM算法的误差维持在 0 −4 ms到10 −3 ms，测量精度较高，但由于算法需要使用到大量的迭代技术，对初值的猜测也有一定的要求，导致运行时间较长。针对这种情况，提出另一种扩充Prony算法进行改进。