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user: 4. 高超声速飞行器的轨迹跟踪与预测 针对高超声速飞行器机动能力强、运动特征复杂以及目标先验知识掌握情况不同等问题，目前一般有基于动力学模型和运动学模型两种轨迹预测方法。前者通过分析高超声速飞行器的受力情况，对目标进行动力学建模或进行特征参数拟合，利用飞行约束条件进行弹道反设计，获得运动轨迹的解析形式，但该类方法对没有足够目标先验信息的防御方而言实现难度较大。而后者利用运动学模型拟合高超声速飞行器的运动特征，对目标进行持续跟踪观测，该方法对目标的先验信息需求较小。所以本文采用第二种方法，针对非弹道式高超声速飞行器周期跳跃的运动的特点，应用成熟的运动学模型描述目标的运动模型，结合改进的滤波方法对目标运动状态进行估计，通过函数逼近的方法对目标航迹拟合得到目标模型，最后将滤波估计状态值代入双正弦和函数拟合的速度曲线中，进一步递推目标运动轨迹 [ 4 ]。 4.1. Singer运动模型 Singer模型又称为时间相关模型，是一种机动模型，其将目标的机动认为是与时间相关的有色噪声序列，并不是如匀速运动(CV)模型和匀加速运动(CA)模型那样将机动认为是高斯白噪声序列。Singer模型认为目标的加速度 是零均值的一阶时间相关的稳态马尔科夫过程，则加速度 满足时间相关函数： (17) 式中， 分别为 区间内决定目标机动特性的待定参数， 为机动加速度， 为机动加速度方差， 为机动时间常数的倒数，即机动频率，通常其经验取值范围为：转弯机动 ；逃避机动 ；大气扰动 。 对时间相关函数 应用Wiener-Kolmogorov白程序化处理后，机动加速度 可用输入为白噪声的一阶时间相关模型来表示为： (18) 式中， 是零均值高斯白噪声，方差为 。 则目标机动模型可以描述为如下的一阶时间相关模型： (19) 将上式离散化，其状态—空间模型可以表示为： (20) 当 时， 时，此时目标做匀加速运动，时间相关模型趋近于CA模型。当 时， ，目标做匀速直线运动，时间相关模型可简化为CV模型。当 时，时间相关模型介于匀速和匀加速之间。因此，时间相关模型有较大的目标机动覆盖范围，是更有效的目标机动模型 [ 5 ]。 一般情况下一阶时间相关模型就可以很好地描述目标的运动状态，但当目标做持续长时间的剧烈机动时，该模型具有较大误差，必须建立如下的二阶时间相关模型： (21) 其中 为单位强度白噪声，参数 。 4.2. 无迹卡尔曼算法 无迹卡尔曼滤波(UKF)是基于线性回归的思想，通过UT变换技术构造Sigma点，基于Kalman的基本框架来进行状态和协方差的更新。UKF是针对状态概率密度函数进行近似，与扩展卡尔曼(EKF)对非线性模型进行近似不同，即便模型比较复杂，也不增加算法的实现难度，而且其不受限于系统的形式，不需要计算雅可比矩阵，可以处理不可导非线性函数。其中UT变换所得到的非线性函数的统计量的准确性可以达到三阶Taylor级数相当或更高，UKF的采用形式为确定性采样，Sigma点与状态的维数有关。 4.2.1. UKF非线性状态方程 UKF离散非线性状态方程如下 [ 6 ]： (22) 其中状态向量 为 维向量，观测量 为 维向量，模型的过程噪声 是均值为零的高斯白噪声向量，其方差阵 为对角矩阵，观测噪声 也是均值为零的高斯白噪声向量，其方差阵 也是对角阵矩阵。 4.2.2. 量测方程 系统的量测信息是基于双星观测系统探测得到的，目标的位置信息为 ，通过转换可得质心距、方位角和俯仰角的量测信息 。 建立高超声速目标量测方程如下： (23) 其中， 为状态向量 中位置信息部分， 也是均值为零的高斯白噪声。 4.2.3. UKF滤波算法步骤(图12) 下面将从4个方面介绍UKF滤波方法的核心思想： 1) 初始化 状态向量初始估计值： 原状态向量协方差初始估计值: 2) 计算采样点 UT变换构造2n + 1个对称的Sigma采样点如下： (24) 其中 和 分别是当前 时刻的状态估计值和协方差矩阵，n为状态量的维数， ， 决定采样点距离均值的远近程度，通常取值比较小； 保证方差阵的半正定性。 3) 时间更新方程 系统状态更新方程和一步预测协方差更新方程为： (25) 计算权值为： (26) 4) 量测更新方程 系统测量预测协方差为： (27) 权值： (28) 系统增益矩阵为： (29) 系统状态估计及其协方差矩阵分别为： (30) 图12. 基于Singer模型的无迹卡尔曼滤波算法示意图 4.3. 基于双因子加强的自适应Singer-UKF算法 一方面本文将基于双星观测系统而得到的目标定位信息作为滤波的状态初值与先验信息，由于双星定位算法本身存在误差，所以随着误差的引入，必然会影响后面跟踪滤波算法的精度，并且量测模型中将三维坐标间接计算转换为量测量，使得量测噪声不准确。另一方面很难存在某一种模型能将目标的整个运动状态描述的非常完美，若运动模型与实际目标运动状态失配较严重就会导致滤波效果发散，进而增大跟踪滤波算法误差。基于以上问题，本文引入双调节因子 ，通过选择合适的调节因子 自适应调节状态预测值与观测值在滤波算法中的所占的比重，进而减小因滤波初值不准确以及状态方程偏差对滤波的影响，同时降低因异常扰动引起的滤波跟踪误差。而引入合适的调节因子 能增强滤波器的跟踪能力，使输出残差矩阵一直保持相互正交，并且能实时调节状态协方差等项。 4.3.1. 构造调节因子 令 (31) 从上式中可以看出， ，将调节因子 代入UKF滤波算法中， (32) 由上式可以看出，当状态滤波初值以及状态方程存在误差时，改进后的UKF算法通过加入调节因子 ，将 、 以及 自适应膨胀，减小状态方程对滤波结果的影响，实时平衡初值和状态方程权重，从而减小滤波初始误差 [ 7 ]。 4.3.2. 构造调节因子 正交性原理是使得滤波器加强跟踪滤波性能的理论依据，因为增益是实时变化的，通过引入调节因子 不断调整系统增益，使得输出残差呈正交性。 系统状态估计为： (33) 令残差 ，则上式可写为 。 通过调整 ，并由正交性原理可得： (34) 构造调节因子 如下： (35) 其中： (36) 在上式中， 分别为系统噪声协方差阵和测量噪声方差矩阵， 为弱化因子， ， 为状态转移矩阵， 为系统协方差矩阵， 为残差协方差矩阵，如下式： (37) 其中， 为遗忘因子，且 。 将调节因子 代入UKF滤波算法中， (38) 4.3.3. 实时调整系统噪声 在实际应用中，系统噪声协方差阵 在非线性系统往往是时变且不确定的，可根据极大后验 (Maximum a posterior， MAP)估计原理 [ 8 ] 以及指数加权的方法，设计出次优无偏MAP常值噪声统计估计器，并推导出时变噪声统计估计器的递推公式。通过在滤波器中加入调节因子，让系统噪声能实时的调整。 在渐消记忆时变噪声统计估计器中， 有如下递推公式 [ 9 ]： (39) 其中 ，b为遗忘因子，取值范围为 ，通过多次仿真可知，b取0.89时能得到 较好的跟踪滤波效果。 将选择好的b值代入递推公式中，可以得到 如下： (40) 将 加入到UKF算法中就可以使其进行自适应滤波，提高了滤波精度。使滤波数值和真实数值更加接近，减小了跟踪误差。 4.4. 仿真实验与轨迹预测 4.4.1. 仿真实验 Singer模型有较大的目标机动覆盖范围，是有效的目标机动模型，所以Singer模型相对机动目标具有较好的跟踪性能。无迹卡尔曼滤波是基于统计线性回归的思想，与扩展卡尔曼(EKF)相比，不存在高阶截断误差，具有更大的发展优势。由于高超声速飞行器跳跃滑翔阶段机动性能好，运动特征复杂，故本文采用基于改进后的Singer-UKF对目标飞行器进行定位跟踪，为外推预测目标轨迹提供持续的跟踪信息(图13)。 取由双星定位的得到的目标信息作为目标状态向量初始值，其中初始位置(6433.53 km， 59.12 km， 5.93 km)、速度(−0.15 km/s， 6.43 km/s， 0.39 km/s)以及加速度(−0.0067 km/s 2 ， −0.0016 km/s 2 ， 0.0018km/s 2 )，系统误差方阵为 (单位：(km/s 2 ) 2 ，(km/s 2 ) 2 ，(km/s 2 ) 2 )。目标量测初始值为(6433.8 km， 0.52˚， 0.05˚)，量测噪声方差阵 (单位：km 2 ，(˚) 2 ，(˚) 2 )。因为本节是基于Singer模型的双因子自适应无迹卡尔曼滤波算法对目标飞行器进行定位跟踪，经过多次仿真实验，在实时调整系统噪声中对弱化因子 取0.8，遗忘因子 为0.95，对时间相关模型取机动频率为0.6具有较好的跟踪效果。UKF卡尔曼滤波器取 ，系统仿真时间200 s，周期为1 s。结果如图14和表1。 图13. 滤波算法跟踪轨迹图 图14. 滤波算法跟踪误差 Table 1 Statistical table of target error characteristic 名称 线性卡尔曼滤波 改进的无迹卡尔曼滤波 误差均值 均方根误差(RESM) 误差均值 均方根误差(RESM) X轴(km) 0.94 1.49 0.33 0.19 Y轴(km) 0.58 0.62 0.23 0.09 Z轴(km) 0.05 0.004 0.03 0.0013 位置(km) 1.20 1.61 0.45 0.21 表1. 目标误差特性统计表 从上面仿真图可以看出，与传统卡尔曼滤波算法对比，基于双因子加强的Singer-UKF算法在滤波初值存在误差的同时明显的减小了跟踪滤波的误差，并保持强跟踪性，跟踪性能稳定，改善了滤波发散，没有像卡尔曼滤波算法那样偶尔出现比较大的跟踪波动，同时保证在整个滤波过程中有较高的滤波精度。 4.4.2. 轨迹预测 对目标持续跟踪200 s后，开始预测目标飞行器轨迹。对目标三维速度曲线分析可知，其满足幅值衰减的周期性运动，可利用如下双正弦和函数拟合目标位置曲线，短期内这样既能达到理想精度，又能简化计算难度。 (41) 上式中， 为振幅， 为频率， 为每一个基波的初相。 利用经过滤波后的目标状态估计值得到拟合参数，然后计算速度函数的解析导数即得到目标加速度随时间变化的表达式，以跟踪最后数据作为初值代入拟合公式中，结合常加速度模型即可递推得到目标的预测轨迹。轨迹预测误差曲线如图15。 图15. 轨迹预测误差曲线 由于目标实际运动特性十分复杂，利用跟踪数据结合拟合函数进行飞行器的轨迹预测，轨迹预测误差后面随时间后移而不断增大，这是高超声速飞行器轨迹预测现在普遍面临的问题 [ 10 ]，但早期轨迹预测精度较高，误差较小，可为短期轨迹预测提供思路参考。