system: [SYSTEM]

user: 1. 引言 定义1：设 v ， k ， λ 为正整数，满足 2 < k < v 。一个 2- ( v ， k ， λ ) 设计或2-设计 D 定义为符合以下条件的一对符号 ( P ， B ) ： 1) P 是有 v 个点的有限集， P 中的元素称为点； 2) B 是 P 中 b 个 k -子集构成的集族， B 的元素称为区组或区； 3) P 的任意给定的2-子集都恰好包含在 B 的 λ 个区组之中。 由于每个区组的长度相等，易知过一个点的区组的个数是常数，设为 r 。我们总假设 D 是单纯的，即 B 中的区组不允许重复出现。称5-元组 ( v ， b ， r ， k ， λ ) 为设计 D 的参数。 旗传递设计的分类工作早在30多年前就已经开始了，那时的研究对象主要是旗传递的线性空间。1987年，Davies [ 1 ] 证明了旗传递且自同构群的基柱是散在单群的 2- ( v ， k ， 1 ) 设计不存在。1990年，Bueken- hout，Delandtsheer，Doyen，Kleidman，Liebeck，Saxl [ 2 ] 合作完成了旗传递线性空间的分类(一维仿射型的情况除外)。这项工作的完成激起了许多学者的兴趣。近年来，人们开始了在某些限制条件下旗传递 2- ( v ， k ， λ ) 设计分类的有关研究，这些限制条件有 r = k ， λ = 2 ， ( r ， λ ) = 1 等等 [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] 。1998年，P. H. Zieschang [ 7 ] 证明了旗传递且 ( r ， λ ) = 1 的 2- ( v ， k ， λ ) 设计的自同构群是仿射型或者几乎单的；2013年，田德路和周胜林 [ 8 ] 完成了本原自同构群且基柱是散在单群的旗传递对称设计的分类问题。 本文研究了旗传递2-设计当 ( v − 1 ， k − 1 ) ≤ 2 且自同构群 G 的基柱 S o c ( G ) 为五个Mathieu群之一时的分类问题，得到下述结果： 定理1：设 D 是一个满足 ( v − 1 ， k − 1 ) ≤ 2 的 2- ( v ， k ， λ ) 设计， G ≤ A u t ( G ) 是旗传递的且 S o c ( G ) 是五个Mathieu群 M i ( i = 11 ， 12 ， 22 ， 23 ， 24 ) 之一。则在同构意义下存在62个2-设计 D i ( 1 ≤ i ≤ 62 ) ，它们对应的参数 ( v ， b ， r ， k ， λ ) ，自同构群 G ，如表1和表2所示。 下面给出本文常用的几个引理。 引理1 [ 9 ] ：若 D = ( P ， B ) 是一个 2- ( v ， k ， λ ) 设计。则下面式子成立： 1) b k = v r ； 2) λ ( v − 1 ) = r ( k − 1 ) ； 3) b ≥ v 。 引理2 [ 10 ] ：设 D = ( P ， B ) 是一个 2- ( v ， k ， λ ) 设计， G ≤ A u t ( G ) ，则对任意的 α ∈ P 和 B ∈ B ， G 旗传递当且仅当下列条件之一成立： 1) G 是点–传递的，并且 G α 在 P ( α ) 上传递，，其中 P ( α ) 表示所有过点 α 的区组； Table 1 54 designs and parameters with ( v − 1 ， k − 1 ) = D i ( | G | / b ， v ， b ， r ， k ， λ ) G 1 (12， 12， 660， 330， 6， 150) M 11 2 (24， 12， 330， 110， 4， 30) 3 (36， 12， 220， 110， 6， 50) 4 (48， 12， 165， 55， 4， 15) 5 (48， 12， 165， 110， 8， 70) 6 (60， 12， 132， 55， 5， 20) 7 (72， 12， 110， 55， 6， 25) 8 (120， 12， 792， 396， 6， 180) M 12 9 (360， 12， 264， 132， 6， 60) 10 (720， 12， 132， 66， 6， 30) 11 (720， 12， 132， 88， 8， 56) 12 (720， 12， 132， 99， 9， 72) 13 (48， 22， 9240， 2520， 6， 600) M 22 14 (72， 22， 6160， 2520， 9， 960) 15 (72， 22， 6160， 3360， 12， 1760) 16 (120， 22， 3696， 840， 5， 160) 17 (168， 22， 2640， 1680， 14， 1040) 18 (192， 22， 2310， 1260， 12， 660) 19 (360， 22， 1232， 336， 6， 80) 20 (660， 22， 672， 336， 11， 160) 21 (720， 22， 616， 336， 12， 176) 22 (960， 22， 462， 105， 5， 20) 23 (1344， 22， 330， 210， 14， 130) 24 (5760， 22， 77， 21， 6， 5) 25 (24， 22， 9240， 2520， 6， 600) M 22 : 2 26 (36， 22， 6160， 2520， 9， 960) 27 (36， 22， 6160， 3360， 12， 1760) 28 (96， 22， 2310， 1260， 12， 660) 29 (48， 23， 212520， 73920， 8， 23520) M 23 30 (120， 23， 85008， 36960， 10， 15120) 31 (144， 23， 70840， 27720， 9， 10080) 32 (336， 23， 30360， 18480， 14， 10920) 33 (720， 23， 14168， 3696， 6， 840) 34 (720， 23， 14168， 6160， 10， 2520) 35 (1344， 23， 7590， 4620， 14， 2730) 表1. ( v − 1 ， k − 1 ) = 1 时的54个设计及参数 Continued Table 2 8 designs and parameters with ( v − 1 ， k − 1 ) = D i ( | G | / b ， v ， b ， r ， k ， λ ) G 55 (20， 11， 396， 180，5， 72) M 11 56 (120， 11， 66， 30， 5， 12) 57 (360， 23， 28336， 6160， 5， 1120) M 23 58 (660， 23， 15456， 7392， 11， 3360) 59 (1920， 23， 5313， 1155， 5， 210) 60 (2520， 23， 4048， 1232， 7， 336 ) 61 (2520， 23， 4048， 2640， 15， 1680) 62 (40320， 23， 253， 77， 7， 21) 表2. ( v − 1 ， k − 1 ) = 2 时的8个设计及参数 2) G 是区–传递的，并且 G B 在区组 B 上传递。 定理2 [ 11 ] ：传递群 G 的正规子群 N ≠ 1 是半传递的。 定理3 [ 11 ] ：设 k = 1 ， 2 ， ⋯ ，每个 k 重传递群是 k − 1 / 2 重传递的，每个 k + 1 / 2 重传递是 k 重传递的而且每个以它为子群的群也是 k 重传递的(但不一定是 k + 1 / 2 重传递的)。 引理3 [ 12 ] ：设 G 是几乎单型的有限本原置换群。若 G 作用在 Ω 上3/2-传递，则下列之一成立： 1) G 在 Ω 上是2-传递的； 2) n = 21 且 G 是 A 7 或 S 7 作用在集合 { 1 ， 2 ， ⋯ ， 7 } 的无序二元组上；且非平凡的次级数为10。 引理4 [ 6 ] ：设 D 是一个 2- ( v ， k ， λ ) 且 G ≤ A u t ( G ) 是旗传递的，则下列成立： 1) r 2 > λ v ≥ v ； 2) r | | G α | ， G α 是 G 的点稳定子群， | G α | 3 > | G | ； 3) r | λ d ，其中 d 表示 G 的任一非平凡次轨道长度。特别地， r ( r ， λ ) | d 。 证明：1) 由Fisher-不等式， b k = v r ， b ≥ v ，所以有 r ≥ k ； 又 λ ( v − 1 ) = r ( k − 1 ) ，即 λ v − λ + r = r k ， v ≤ λ v < λ v − λ + r = r k ≤ r 2 ； 2) 由上式和引理2，我们有 r | | G α | ，所以 r ≤ | G α | ， v < r 2 ≤ | G α | 2 ，又 v = | G : G α | ，所以 | G | < | G α | 3 ； 3) 设 α ∈ P ， G α 的一个非平凡轨道为 Γ ，长度为 d 。令 B 是过点 α 的一个区组， m = | Γ ∩ B | 。因为 G 是旗传递的，所以 m 与 B 的选取无关。我们用两种不同的方法计数旗 ( β ， B ) ， β ∈ Γ ， α ∈ B ，即得 r m = λ | Γ | 。所以， r | λ d 。 引理5：设 D 是一个 2- ( v ， k ， λ ) 且 G ≤ A u t ( G ) 是旗传递的，若 ( v − 1 ， k − 1 ) ≤ 2 ，则 G 是点本原的。特别地， G 是2-传递或是3/2-传递且为秩3的本原群。 证明：由引理1知 λ ( r ， λ ) ( v − 1 ) = r ( r ， λ ) ( k − 1 ) 。下面我们分两种情况来证明： 当 ( v − 1 ， k − 1 ) = 1 时， ( v − 1 ) | r ( r ， λ ) ，由引理4可知 r ( r ， λ ) | d ，所以 ( v − 1 ) | d ， ( v − 1 ) ≤ d 。又 d 是 G 的非平凡轨道长，显然 ( v − 1 ) ≥ d ，即 d = v − 1 ，从而 G α 在 Ω − α 上传递，所以 G 在 Ω 上2-传递。 当 ( v − 1 ， k − 1 ) = 2 时， v − 1 2 | r ( r ， λ ) | d ，所以 d = v − 1 2 或者 d = v − 1 。如果 d = v − 1 ，那么 G 在 Ω 上2-传递。如果 d = v − 1 2 ，那么 G 是 Ω 上3/2-传递秩3群。下证 G 必定是本原的。当 G 2-传递时，显然是本原的。当 G 3/2-传递秩3群，假设 G 是非本原的，则存在非本原块 Δ 使得 α ∈ Δ ， 1 < | Δ | < n 。但 Δ 是 G α 的一些轨道的并。设 G α 的轨道为 { α } ， Δ 1 ， Δ 2 ，其中 | Δ 1 | = | Δ 2 | = n − 1 2 ，则 Δ = α ∪ Δ 1 或 Δ = α ∪ Δ 2 ，此时 | Δ | = 1 + n − 1 2 = n + 1 2 ，而 n + 1 2 n，所以 G 是本原的。