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user: 3. 主要结果 首先给出本文的主要结论之一如何构造一维超Gabor框架。在之前的基础上拓展到任意满秩的格 K ，而不是 K = ℤ 。首先，称 { d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d L } 是 ℤ / a ℤ ( a ∈ ℤ ) 的全数字集合如果 d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d L ∈ ℤ 满足 { a ℤ + d i } i = 1 L 是 ℤ 的划分区间。 定理3.1：令 K = a ℤ ， L = b ℤ 是满秩的格。若 { d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d L } 是 ℤ / ( a b ) − 1 ℤ 的全数字集合，那么对于任意的 a − 1 ℤ 的基本域 Ω ，向量 g = ( g 1 ， g 2 ， ⋯ ， g L ) 是长度为L的超Gabor框架生成元(特别当 a = 1 的时候，为一个正交超Gabor框架)，其中 g i = Ω i ， Ω i = ∪ n ∈ a − 1 ℤ [ ( ( a b ) Ω + b d i + n ) ∩ Ω ] ( 1 ≤ i ≤ L ， L = | a b | − 1 ). 证明：首先证明 { Ω } i = 1 L 是 Ω 的一个划分区间，因此每一个 Ω i 通过 b ℤ 为瓦格覆盖了 ℝ 。由 { d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d L } 是 ℤ / ( a b ) − 1 ℤ 的一个全数字集合，得到： b Z = ∪ i = 1 L ( a − 1 Z + b d i ) 。因此 接下来证明每一个 Ω i 的不相交性：如果 s ∈ Ω i ∩ Ω j ( i ≠ j ) ，那么 s ∈ ∪ n ∈ a − 1 ℤ [ ( ( a b ) Ω + b d i + n ) ∩ Ω ] 且 s ∈ ∪ n ∈ a − 1 ℤ [ ( ( a b ) Ω + b d j + n ) ∩ Ω ] 。因此 s = ( a b ) s 1 + b d 1 + n 1 且 s = ( a b ) s 2 + b d 2 + n 2 ，其中 s 1 ， s 2 ∈ Ω ， n 1 ， n 2 ∈ a − 1 ℤ 。又因为 ( a b ) s 1 + b d 1 + n 1 = ( a b ) s 2 + b d 2 + n 2 。因此我们得到： s 1 + a − 1 d 1 + ( a b ) − 1 n 1 = s 2 + a − 1 d 2 + ( a b ) − 1 n 2 . 因为 Ω 是一个瓦格，所以 d 1 + ( a b ) − 1 ℤ = d 2 + ( a b ) − 1 ℤ ，并且 d 1 − d 2 ∈ ( a b ) − 1 ℤ 。这与 d 1 − d 2 ∈ a − 1 ℤ 矛盾，因此我们得到 s ∈ Ω 1 ∩ Ω 2 = ∅ 。 下面证明每一个 Ω i 是以 b ℤ 为瓦格的：首先令 x ∈ Ω i ∩ ( Ω j + b l ) ， l ∈ ℤ 。记 x = ( a b ) x 1 + b d i + n 1 ， x = ( a b ) x 2 + b d i + n 2 + b ℤ = y + b l ，其中 x 1 ， x 2 ∈ Ω ， n 1 ， n 2 ∈ a − 1 ℤ ， y = ( a b ) x 2 + b d i + n 2 。因此得到 ( a b ) ( x 1 − x 2 ) = n 2 − n 1 + b l 。因为 Ω 是以 a − 1 ℤ 为瓦格的，有 x 1 = x 2 ， b l = n 1 − n 2 ，所以 x − y = n 1 − n 2 ∈ a − 1 ℤ ， x = y ， l = 0 。这样就证明了 Ω i 通过 b ℤ 包裹 ℝ ；第二，证明 μ ( Ω i ) = | b | 。对于任意 x ∈ Ω 1 ，有一些 y ∈ Ω ， n ∈ a − 1 ℤ 使得 x = ( a b ) y + b d 1 + n 。不失一般性，假设 d 1 ∈ ( a b ) − 1 ℤ ，则 b d 1 ∈ a − 1 ℤ ， x − ( a b ) y = b d 1 + n ∈ a − 1 ℤ 。这意味着 Ω 1 是 b ℤ 平移的 ( a b ) Ω 的同余子集。对于任意 y ∈ ( a b ) Ω ，有一些 x ∈ Ω ，使得 y = ( a b ) x 。由于 Ω 是 a − 1 Z 瓦格的，有 y = z + n ，其中 z ∈ Ω ， n ∈ a − 1 ℤ 。这意味着 Z = ( a b ) x + b d 1 − n − b d 1 。因为 − n − b d 1 ∈ a − 1 ℤ ，因此 z ∈ Ω 1 。这样就证明了 ( a b ) Ω 是 b ℤ 平移的 Ω 1 的同余子集。所以 Ω 1 是 b ℤ 平移的 ( a b ) Ω 的同余子集，即 μ ( Ω i ) = | b | 。 Ω j 是 b ℤ 平移的 Ω 1 + b d j 的同余子集的证明可以在 [ 5 ] 中看到。最后我们证明 g = ( g 1 ， g 2 ， ⋯ ， g L ) 是长度为L的超Gabor框架。这就要求 G ( g i ， Λ ) 是 L 2 ( ℝ ) 的Parseval框架并且 G ( g i ， Λ ) 和 G ( g j ， Λ ) ( i ≠ j ) 是强不相交的。 由上可知 Ω j 通过 b ℤ 为瓦格覆盖了 ℝ 通过 a − 1 ℤ 包裹 ℝ 。由此可得 L 2 ( ℝ ) = ⊕ l ∈ a − 1 ℤ L 2 ( Ω j + l ) ， ‖ f ‖ 2 = ∑ k ∈ a ℤ | 〈 f ， e i 2 π k x g j ( x − l ) 〉 | ，对于任意 f ∈ L 2 ( Ω j + l ) 。记 f = ∑ l ∈ b ℤ f l 对每一个 f ∈ L 2 ( ℝ ) ，可得 〈 f l ， e i 2 π k x g j ( x − l ) 〉 = 〈 f ， e i 2 π k x g j ( x − l ) 〉 。这样可知： ‖ f ‖ 2 = ∑ l ∈ b ℤ | f L | 2 = ∑ l ∈ b ℤ ∑ k ∈ a ℤ | 〈 f l ， e i 2 π k x g j ( x − l ) 〉 | 2 = ∑ l ∈ b ℤ ∑ k ∈ a ℤ | 〈 f ， e i 2 π k x g j ( x − l ) 〉 | 2 . 因此 G ( g j ， Λ ) 是一个 L 2 ( ℝ ) 的Parseval框架。 对于每一个l有： l ∑ k ∈ a ℤ 〈 f ， e i 2 π k x g j ( x − l ) 〉 e i 2 π k x g i ( x − l ) = 0 ， 其中 f ∈ L 2 ( ℝ ) 。因为 Ω j 和 Ω i 是 Ω 的不相交的基本域。这样得到： ∑ l ∈ b ℤ ∑ k ∈ a ℤ 〈 f ， e i 2 π k x g j ( x − l ) 〉 e i 2 π k x g i ( x − l ) = 0 ， 因此 G ( Ω j ， Λ ) 和 G ( Ω i ， Λ ) 是强不交的 [ 6 ] 。所以 g = ( g 1 ， g 2 ， ⋯ ， g L ) 是一个长度为L的超Gabor框架。 特别的，当 a = 1 时， ‖ g ‖ 2 = ∑ j = 1 L ‖ g j ‖ 2 = ∑ j = 1 L μ ( Ω j ) = 1 。所以 g = ( g 1 ， g 2 ， ⋯ ， g L ) 是一个长度为L的正交超Gabor框架。 上述定理给出了一维空间对于任何满秩的格 K = a ℤ ， L = b ℤ 如何构造超Gabor框架。下个定理将给出如何在 L 2 ( ℝ 2 ) 上构造超Gabor框架的方法。首先定义一些概念：记 S i ( i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 是 ( A B ) Ω 的四条边线， S L 是其中最短的一条。令 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 是 S L 的两个端点，那么 S x = | x 1 | + | x 2 | ， S y = | y 1 | + | y 2 | 。并且定义以下符号( 1 ≤ i ， j ≤ L )： σ = { [ | x 1 − x 2 | 0 0 | y 1 | + | y 2 | ] ， S x < S y [ | x 1 | + | x 2 | 0 0 | y 1 − y 2 | ] ， S x > S y [ | x 1 | + | x 2 | 0 0 | y 1 | + | y 2 | ] ， S x = S y ， k i ， j = { [ i − 1 0 ] ， S x < S y [ 0 i − 1 ] ， S x > S y [ i − 1 j − 1 ] ， S x = S y 定理3.2：令 K = A ℤ 2 和 L = B ℤ 2 是满秩的格，并且 A B − 1 ∈ M ( d × d ) ( ℤ ) 。则对 | d e t A | − 1 ℤ 2 的任意基本域 Ω ，向量 g = ( g 1 ， g 2 ， ⋯ ， g L ) 是长度为L的超Gabor框架生成元(特别的当 | d e t A | = 1 时，是一个正交超Gabor框架)，其中 g i = Ω i 并且 Ω i ， j = ∪ k ∈ A ℤ 2 [ ( A B ) Ω + σ k i ， j + k ] . 因为 μ ( A B Ω ) = μ ( Ω ) L 并且每一个 μ ( Ω i ， j ) = μ ( A B Ω ) ，所以得到L个 Ω i 。因此 Ω i = ∪ k ∈ A ℤ 2 [ ( ( A B ) Ω + σ k i ， j + k ) ∩ Ω ] ( 1 ≤ i ≤ L ， L = | d e t A B | − 1 ). 这个定理可以非常简单的证明。我们可以关注以下几点：第一， { Ω i } 是 Ω 的划分区间；第二，每一个 Ω i 是 σ ℤ 2 瓦格的；最后 ∑ l ∈ B ℤ 2 ∑ k ∈ A ℤ 2 〈 f ， e i 2 π 〈 k ， x 〉 g j ( x − l ) 〉 e i 2 π 〈 k ， x 〉 g m ( x − l ) = 0   ( i ≠ m ) . 因此在这种情况下存在超Gabor框架。当 | d e t A | = 1 ，   ‖ g ‖ 2 = ∑ j = 1 L ‖ g j ‖ 2 = μ ( Ω ) = 1 时，存在正交超Gabor 框架。下一节给出如何用定理3.1和定理3.2构造超Gabor框架的例子。接下来从格同构和矩阵格变换算子的定义开始，研究矩阵格变换算子 [ 7 ] 。 定义3.3：令 K 1 = A ℤ 2 ， L 1 = B ℤ 2 和 K 2 = C ℤ 2 ， L 2 = D ℤ 2 是 ℝ 2 中四个满秩的格。一个超Gabor框架： G ( g ， Λ ) = { g k ， l ( i ) ∣ g k ， l ( i ) = e i 2 π k x g ( i ) ( x − l ) : k ∈ K 1 ， l ∈ L 1 ， 1 ≤ i ≤ L m } 和另外一个超Gabor框架： G ( h ， Λ ) = { h k ， l ( j ) ∣ h k ， l ( j ) = e i 2 π k x h ( i ) ( x − l ) : k ∈ K 2 ， l ∈ L 2 ， 1 ≤ j ≤ L n } 称为格同构的，如果 | d e t A B | = | d e t C D | ， ( L m ， L n ∈ ℤ ， L m ， L n > 0 ) 。 定义3.4：矩阵 X ( x i j ∈ R ) 称为超Gabor框架的矩阵格变换算子，如果 X [ A B ] = [ C D ] ，其中A、B、C、 D如同定义3.3里一样。 一维超Gabor框架的矩阵格变换算子有一个性质。 定理3.5：对角矩阵或者反对角矩阵A是一个超Gabor框架的矩阵格变换算子当且仅当 | d e t ( A ) | = 1 。 证明：我们只证明对角矩阵的情形就可以，反对角矩阵同理可得。我们先证定理3.5的必要性。如果 G ( g ， Λ ) = { g k ， l ( 1 ) ⊕ g k ， l ( 2 ) ⊕ ⋯ ⊕ g k ， l ( L ) : k ∈ K 1 ， l ∈ L 1 } 和 G ( h ， Λ ) = { h k ， l ( 1 ) ⊕ h k ， l ( 2 ) ⊕ ⋯ ⊕ h k ， l ( L ) : k ∈ K 2 ， l ∈ L 2 } 是两个超Gabor框架，其中 K 1 = a ℤ ，   L 1 = b ℤ ，   K 2 = c ℤ ，   L 2 = d ℤ 是 ℝ 中四个满秩的格 [ 8 ] 。存在一个矩阵 格变换算子，使得 A [ a b ] = [ c d ] 。 令 A = [ a 11 0 0 a 22 ] ，所以我们可以得到 [ a 11 0 0 a 22 ] [ a b ] = [ c d ] ，所以 { a 11 a = c a 22 b = d . 由上式可得： a 11 = c a ， a 22 = d b 。用以上方程直接计算 | d e t ( A ) | 。因为 | a b | = | c d | ，所以 | d e t ( A ) | = | a 11 a 22 | = | c a × d b | = | c d a b | = 1 。 现在证明定理3.5的充分性：如果有一个对角矩阵形如 A = [ a 11 0 0 a 22 ] 并且满足 | d e t ( A ) | = | a 11 a 22 | = 1 。存在 K 1 = a ℤ ， L 1 = b ℤ ( a ， b ∈ ℝ )的超Gabor框架 G ( g ， Λ ) = { g k ， l ( 1 ) ⊕ g k ， l ( 2 ) ⊕ ⋯ ⊕ g k ， l ( L ) : k ∈ K 1 ， l ∈ L 1 } 。则我们用A对 [ a b ] 做变换。得到 A [ a b ] = [ a 11 0 0 a 22 ] [ a b ] = [ c d ] ，所以 { c = a 11 a d = a 22 b 。 那么存在 K 2 = c ℤ ， L 2 = d ℤ 作为时频格的超Gabor框架 G ( h ， Λ ) = { h k ， l ( 1 ) ⊕ h k ， l ( 2 ) ⊕ ⋯ ⊕ h k ， l ( L ) : k ∈ K 2 ， l ∈ L 2 } 。 [ 9 ] | c d | = | a 11 a × a 22 b | = | a 11 a 22 a b | = | a b | 。因此A符合定义3.4，即A是一个超Gabor框架的矩阵格变换算子。 需要注意的是：如果一个矩阵A满足 [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] [ a b ] = [ c d ] ，其中a、b、c、d是两个超Gabor框架的四个满秩的格。A不一定是一个矩阵格变换算子。例如： a = 2 ，   b = 1 4 ，   c = 1 4 ，   d = 2 ，则存在一个矩阵 A = [ 1 / 4 − 1 1 / 2 4 ] 使得 [ 1 / 4 − 1 1 / 2 4 ] [ 2 1 / 4 ] = [ 1 / 4 2 ] 并且 | 2 × 1 4 | = | 1 4 × 2 | = 1 2 .，但是 | A | ≠ 1 。 推论3.6：对于一维超Gabor框架： G ( g ， Λ ) = { g k ， l ( 1 ) ⊕ g k ， l ( 2 ) ⊕ ⋯ ⊕ g k ， l ( L ) : k ∈ K 1 ， l ∈ L 1 } ( K 1 = x ℤ ， L 1 = y ℤ ) ， 它一定格同构于另一个超Gabor框架： G ( h ， Λ ) = { h k ， l ( 1 ) ⊕ h k ， l ( 2 ) ⊕ ⋯ ⊕ h k ， l ( L ) : k ∈ K 2 ， l ∈ L 2 } ( K 2 = ℤ ， L 2 = z ℤ ) . 并且存在一个矩阵格变换算子A使得 A [ x y ] = [ 1 z ] 。