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user: 4. 模型(7)的约化摄动分析和孤立波 交通堵塞其实质就是交通流模型的孤立波现象。根据前面第3节的稳定性条件，交通流区域可以分为：稳定区域、不稳定区域和亚稳态区域。在三种不同的区域可以用约化摄动法导出各自的非线性波方程，从而给出相应的交通流密度波。 为后面的计算方便，我们将模型(7)改写为 d 2 ( Δ x n ( t ) ) d t 2 = a [ V ( Δ x n + 1 ( t ) ) − V ( Δ x n ( t ) ) − d ( Δ x n ( t ) ) d t ]     + λ [ d ( Δ x n ( t + t 0 ) ) d t − d ( Δ x n ( t ) ) d t ] (15) 4.1. 在稳定流区域导出Burgers方程 在稳定流区域，满足线性稳定性条件 a > 2 ( 1 − λ t 0 ) V ′ ( h ) 。 对于空间变量n和时间变量t，我们定义慢变量X和T： X = ε ( n + b t ) ， T = ε 2 t (16) 这里 0 < ε ≪ 1 且b是一个待确定的常数。设车头时距为： Δ x n ( t ) = h + ε R ( X ， T ) (17) 将式(16)和(17)代入(15)，泰勒展开至 ε 3 量级，得到如下非线性偏微分方程： a ε 2 ( b − V ′ ( h ) ) ∂ X R + ε 3 [ ( b 2 − a V ′ ( h ) 2 − λ t 0 b 2 ) ∂ X 2 R − a V ″ ( h ) R ∂ X R + a ∂ T R ] = 0 (18) 其中， V ′ ( h ) = d V ( Δ x n ) d Δ x n | Δ x n = h ， V ″ ( h ) = d 2 V ( Δ x n ) d Δ x n 2 | Δ x n = h ， ∂ T R = ∂ R ∂ T ， ∂ X R = ∂ R ∂ X ， ∂ X k R = ∂ k R ∂ X k 。 令 b = V ′ ( h ) ，消去 ε 的二次项后，将(18)简化为： a ∂ T R − a V ″ ( h ) R ∂ X R + V ′ ( h ) ( V ′ ( h ) − a 2 − λ t 0 V ′ ( h ) ) ∂ X 2 R = 0 (19) 因此，在稳定性条件下，在稳定区域可得到 1 2 V ′ ( h ) [ a − 2 ( 1 − λ t 0 ) V ′ ( h ) ] > 0 (20) 此时，(19)是一个Burgers方程，它有一个解为： R ( X ， T ) = 1 | V ″ ( h c ) | T [ X − 1 2 ( η n + η n + 1 ) ] − 1 2 | V ″ ( h c ) | T ( η n + 1 − η n )     × tanh [ c 1 4 | V ″ ( h c ) | T ( η n + 1 − η n ) ( X − ζ n ) ] (21) 其中， c 1 = 1 2 a V ′ ( h ) [ a − 2 ( 1 − λ t 0 ) V ′ ( h ) ] ， η n 表示沿着x轴的斜率， ζ n 表示激波波前的坐标。 b = V ′ (h) 恰好为三角激波的传播速度。三角激波相对运动车辆向后传播，随着平均车间距的增加，传播速度减小。从 c 1 可看出，当 t 0 → 0 时， c 1 的极限值为经典的OVM，即没有考虑驾驶员提前 t 0 时间获知限速信息，结果为OVM的极限状态。 4.2. 在不稳定区域导出mKdV方程 在不稳定区域内，研究(15)在临界点 ( h c ， a c ) ( a c 为临界敏感度， h c 为临界车头间距)附近空间变量n和时间变量t的慢变行为，我们定义慢变量X和T： X = ε ( n + b t ) ， T = ε 3 t ， (22) 设车头时距为： Δ x n ( t ) = h c + ε R ( X ， T ) (23) 将式(22)和(23)代入(15)，泰勒展开至 ε 5 量级，得到如下非线性偏微分方程： a ε 2 ( b − V ′ ) ∂ X R + ε 3 [ ( b 2 − a V ′ 2 − λ t 0 b 2 ) ∂ X 2 R − V ″ ∂ X R 2 ]   + ε 4 [ a ∂ T R − a V ‴ 2 ∂ X R 3 − ( a V ′ 6 + 1 2 λ t 0 2 b 3 ) ∂ X 3 R ]   + ε 5 [ − 2 b t 0 λ ∂ X R ∂ T R − a V ‴ 2 ∂ X 2 R 3 − ( a V ′ 24 + 1 6 λ t 0 3 b 4 ) ∂ X 4 R − a V ( 4 ) 6 ∂ X R 4 ] = 0 (24) 令 b = V ′ ( h c ) ， a = ( 1 − ε 2 ) a c ，和 a c = 2 V ′ ( 1 − λ t 0 ) 。在临界点 ( h c ， a c ) 附近，忽略 ε 2 和 ε 3 量级，方程(24)可简化为： ∂ T R − k 1 ∂ X 3 R + k 2 ∂ X R 3 + ε ( k 3 ∂ X 2 R + k 4 ∂ X 4 R + k 5 ∂ X 2 R 3 ) = 0 (25) 其中， k 1 = V ′ 6 + 1 2 a c λ t 0 2 V ′ 3 ， k 2 = − V ‴ 2 ， k 3 = V ′ 2 a c ， k 4 = ( V ′ 3 a c λ t 0 − 1 24 ) V ′ − 1 6 a c 2 ( 1 + 6 λ ) λ t 0 3 V ′ 4 ， k 5 = ( V ′ a c λ t 0 − 1 2 ) V ‴ 对(25)作如下变换： T ′ = k 1 T ， R = k 1 k 2 R ′ (26) 得到含有 O ( ε ) 校正项的mKdV方程： ∂ T ′ R ′ − ∂ X 3 R ′ + ∂ X R ′ 3 + ε M [ R ′ ] = 0 (27) 其中， M [ R ′ ] = 1 k 1 ( k 3 ∂ X 2 R ′ + k 4 ∂ X 4 R ′ + k 1 k 5 k 2 ∂ X 2 R ′ 3 ) (28) 忽略(27)中的校正项 O ( ε ) ，(27)就是mKdV方程，它的扭结—反扭结波解为： R ′ 0 ( X ， T ) = c tanh ( c 2 ( X − c T ′ ) ) (29) 为了得到方程(27)的传播速度c， R ′ 0 ( X ， T ′ ) 必须满足可解性条件： ( R ′ 0 ， M [ R ′ 0 ] ) = ∫ − ∞ + ∞ d X R ′ 0 ( X ， T ′ ) M [ R ′ 0 ( X ， T ′ ) ] = 0 (30) 其中c为解的传播速度。通过求解下面的积分方程可得到扭结—反扭结波的传播速度c为： ∫ − ∞ + ∞ c k 1 k 2 ( k 2 k 3 ∂ X 2 R ′ + k 2 k 4 ∂ X 4 R ′ + k 1 k 5 ∂ X 2 R ′ 3 ) tanh ( c 2 ( X − c T ′ ) ) d X = 0 (31) 用Zhang G [ 22 ] 等人的方法来求解方程(31)，可得到c的表达式为 c = 5 k 2 k 3 2 k 2 k 4 − 3 k 1 k 5 (32) 因此，车头间距的扭结—反扭结波的解为： Δ x n ( t ) = h c + c k 1 k 2 ( 1 − a a c ) tanh c 2 ( 1 − a a c ) [ n + ( 1 − c k 1 ( 1 − a a c ) ) t ] (33) 扭结–反扭结密度波的振幅A为： A = c k 1 k 2 ( 1 − a a c ) ，其中， a c = 2 V ′ ( h c ) ( 1 − λ t 0 ) (34) 扭结–反扭结解代表共存相，包括低密度的自由运动相和高密度的拥挤相，自由运动相和拥挤相的车头时距分别由 Δ x n ( t ) = h c + A 和 Δ x n ( t ) = h c − A 给出。从扭结波的振幅(34)中可看出，提前时间 t 0 越大，振幅A越小，即考虑驾驶员获取限速信息的提前时间越早，交通堵塞现象越弱。 4.3. 在亚稳态区域导出KdV方程 现在分析方程(15)在中性稳定线 a = 2 ( 1 − λ t 0 ) V ′ ( h ) 附近亚稳定区域内的交通流性态。对于空间变量n和时间变量t，我们仍然定义慢变量X和T： X = ε ( n + b t ) ， T = ε 3 t ， (35) 这里 0 < ε ≪ 1 且b是一个待确定的常数。设车头时距为： Δ x n ( t ) = h c + ε 2 R ( X ， T ) (36) 将(35)和(36)代入(15)，泰勒展开到 ε 6 量级，并令 b = V ′ ( h c ) ， a = ( 1 − ε 2 ) a s ，和 a s = 2 V ′ ( 1 − λ t 0 ) ，我们有 ∂ T R − m 1 ∂ X 3 R − m 2 ∂ X R 2 + ε [ m 3 ∂ X 2 R − m 4 ∂ X 4 R − m 5 ∂ X 2 R 2 ] = 0 (37) 其中， m 1 = 1 6 V ′ + 1 2 a s λ t 0 2 V ′ 3 ， m 2 = V ″ ， m 3 = V ′ 2 a s ， m 4 = 1 2 a s + 2 V ′ a s ( λ − 1 ) ， m 5 = t 0 a s ( t 0 2 6 + λ t 0 2 − t 0 a s ) λ V ′ 4 + λ t 0 − 1 3 a s V ′ 2 + V ′ 24 。 对(37)作如下变换： T = m 1 T ′ ， X = − m 1 X ′ ， R = 1 m 2 R ′ ， (38) 得到含有校正项 O ( ε ) 的KdV方程： ∂ T ′ R ′ + ∂ X ′ 3 R ′ + R ′ ∂ X ′ R ′ + ε 1 m 1 ( m 3 ∂ X ′ 2 R ′ − m 4 m 1 ∂ X ′ 4 R ′ − m 5 m 2 ∂ X ′ 2 R ′ 2 ) = 0 (39) 忽略(39)中的 O ( ε ) 项，得到标准的KdV方程，其孤立波解为： R ′ 0 ( X ′ ， T ′ ) = A sech 2 [ A 12 ( X ′ − A 3 T ′ ) ] (40) 其中，振幅A的取值将在下面给出。假设 R ′ ( X ′ ， T ′ ) = R ′ 0 ( X ′ ， T ′ ) + ε R ′ 1 ( X ′ ， T ′ ) ，考虑(39)中的 O ( ε ) 项，可以在孤立波解系中确定式(39)的唯一解。由文献 [ 23 ] 得振幅满足的可解性条件为： ( R 0 ， M [ R 0 ] ) ≡ ∫ − ∞ ∞ d X ′ R 0 M [ R 0 ] = 0 (41) 积分后，得到孤立波的振幅A为： A = 21 m 1 m 2 m 3 5 m 2 m 4 − 24 m 1 m 5 (42) 故(39)的解变为： R ( X ， T ) = 1 m 2 A sech 2 A 12 m 1 ( n + V ′ + A ε 2 3 ) t (43) 替换回原有变量，从而求得由孤立波表示的车头间距为： Δ x n ( t ) = h c + A m 2 ( 1 − a a s ) × sech { A 12 m 1 ( 1 − a a s ) × [ n + ( V ′ ( h ) + A 3 ( 1 − a a s ) ) t ] } (44) 孤立波形式的密度波解刻画了交通流的拥堵。如果孤立波的振幅越小，那么交通堵塞就越严重。从(44)分析发现：当 t 0 变大时，车头间距 Δ x n ( t ) 变大，交通就会越通畅，进而减少交通拥堵的发生。