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user: 3. 全局吸引性 本节讨论系统(1.4)的解得全局吸引性。为此，需要下面三个引理。 引理3.1：( [ 22 ] )如果 [ 0 ， ∞ ) 上的实值随机过程 x ( t ) 满足 E | x ( t ) − x ( s ) | α ≤ c | t − s | 1 + β ，     0 ≤ s ， t < + ∞ ， 其中 α 、 β 和c均为正常数，那么存在 x ( t ) 的一个连续修正 x ˜ ( t ) ，使得对于任意的 γ ∈ ( 0 ， β α ) ，存在正随机变量 h ( ω ) 满足 P { ω : sup 0 < | t − s | < h ( ω ) ， 0 ≤ s ， t < + ∞ | x ˜ ( t ， ω ) − x ˜ ( s ， ω ) | | t − s | γ ≤ 2 1 − 2 − γ } = 1. 换言之， x ˜ ( t ) 几乎所有的样本轨道都以指数 γ 局部但一致Hölder连续。 引理3.2：( [ 26 ] )若非负函数 f ( t ) 在 [ 0 ， ∞ ) 一致连续且可积，则 lim t → ∞ f ( t ) = 0 。 引理3.3：对于任意初值 x ( 0 ) ∈ R + 2 ，系统(1.4)的解 x ( t ) 几乎所有的样本轨道都是一致Hölder连续的。 证明：对任意 p > 1 ，定义Lyapunov函数： V 1 ( x 1 ) = e t x 1 p 。由Itô公式得 d ( e t x 1 p ) = e t x 1 p [ 1 + p ( r 1 ( t ) − b 1 ( t ) e − k 1 ( t ) x 2 − c 1 ( t ) x 1 ) + 0.5 p ( p − 1 ) σ 1 2 ( t ) ] d t + p e t x 1 p σ 1 d B 1 ( t ) ≤ e t x 1 p [ 1 + p r ⌣ 1 + 0.5 p ( p − 1 ) σ ⌣ 1 2 − p c ⌢ 1 x 1 ] d t + p e t x 1 p σ 1 ( t ) d B 1 ( t ) (3.1) 令 H ( x ) = x p [ 1 + p r ⌣ 1 + 0.5 p ( p − 1 ) σ ⌣ 1 2 − p c ⌢ 1 x ] 。易知 H ( x ) 在上 ( 0 ， ∞ ) 有正上界，记为 K ( p ) 。对(3.1)两边从0到t积分，并取数学期望得 e t E x 1 p ( t ) − E x 1 p ( 0 ) ≤ ∫ 0 t e s H ( x 1 ( s ) ) d s ≤ K ( p ) e t . 从而， lim sup t → ∞ E x 1 p ( t ) ≤ K ( p ) . 于是，存在与p和 x 1 ( 0 ) 有关的正常数 K ˜ ( p ， x 1 ( 0 ) ) ，使得对任意 t ≥ 0 ，有 E x 1 p ( t ) ≤ K ˜ ( p ， x 1 ( 0 ) ) . (3.2) 考虑系统(1.4)的第一个方程的随机积分形式： x 1 ( s ) = x 1 ( 0 ) + ∫ 0 t f 1 ( s ) d s + ∫ 0 t g 1 ( s ) d B 1 ( s ) ， (3.3) 其中 f 1 ( s ) = x 1 ( s ) [ r 1 ( s ) − b 1 ( s ) e − k 1 ( s ) x 2 ( s ) − c 1 ( s ) x 1 ( s ) ] ，   g 1 ( s ) = σ 1 ( s ) x 1 ( s ) . 利用均值不等式，由(3.2)得 E | f 1 ( s ) | p = E ( x 1 p ( s ) | r 1 ( s ) − b 1 ( s ) e − k 1 ( s ) x 2 ( s ) − c 1 ( s ) x 1 ( s ) | p ) ≤ 0.5 E x 1 2 p ( s ) + 0.5 E | r 1 ( s ) − b 1 ( s ) e − k 1 ( s ) x 2 ( s ) − c 1 ( s ) x 1 ( s ) | 2 p ≤ 0.5 E x 1 2 p ( s ) + 2 2 p − 2 ( r ⌣ 1 + b ⌣ 1 ) 2 p + 2 2 p − 2 c ⌣ 1 E x 1 2 p ( s ) ≤ ( 0.5 + 2 2 p − 2 c ⌣ 1 ) K ˜ ( 2 p ， x 1 ( 0 ) ) + 2 2 p − 2 ( r ⌣ 1 + b ⌣ 1 ) 2 p ， (3.4) 以及 E | g 1 ( s ) | p = E ( σ 1 p ( s ) x 1 p ( s ) ) ≤ σ ⌣ 1 p E x 1 p ( s ) ≤ σ ⌣ 1 p K ˜ ( p ， x 1 ( 0 ) ) . (3.5) 对任意 0 ≤ t 1 < t 2 ≤ t 1 + 1 和 p > 2 ，利用随机积分的矩不等式 [ 23 ] ，由(3.5)得 E | ∫ t 1 t 2 g 1 ( s ) d B 1 ( s ) | p ≤ [ p ( p − 1 ) 2 ] p 2 ( t 2 − t 1 ) p − 2 2 ∫ t 1 t 2 E | g 1 ( s ) | p d s ≤ σ ⌣ 1 p K ˜ ( p ， x 1 ( 0 ) ) [ p ( p − 1 ) 2 ] p 2 ( t 2 − t 1 ) p 2 . (3.6) 令 1 p + 1 q = 1 ， 利用Hölder不等式，由(3.4)得 E ( ∫ t 1 t 2 | f 1 ( s ) | d s ) p ≤ E { ( ∫ t 1 t 2 1 q d s ) 1 q ⋅ ( ∫ t 1 t 2 | f 1 ( s ) | p d s ) 1 p } p = ( t 2 − t 1 ) p q ⋅ ∫ t 1 t 2 E | f 1 ( s ) | p d s ≤ [ ( 0.5 + 2 2 p − 2 c ⌣ 1 ) K ˜ ( 2 p ， x 1 ( 0 ) ) + 2 2 p − 2 ( r ⌣ 1 + b ⌣ 1 ) 2 p ] ( t 2 − t 1 ) p . (3.7) 由(3.3)、(3.6)和(3.7)得 E | x 1 ( t 2 ) − x 1 ( t 1 ) | p ≤ 2 p − 1 E ( ∫ t 1 t 2 | f 1 ( s ) | d s ) p + 2 p − 1 E | ∫ t 1 t 2 g 1 ( s ) d B 1 ( s ) | p ≤ 2 p − 1 { ( 0.5 + 2 2 p − 2 c ⌣ 1 ) K ˜ ( 2 p ， x 1 ( 0 ) ) + 2 2 p − 2 ( r ⌣ 1 + b ⌣ 1 ) 2 p + σ ⌣ 1 p K ˜ ( p ， x 1 ( 0 ) ) [ p ( p − 1 ) 2 ] p 2 } ( t 2 − t 1 ) p 2 . 由引理3.1，对任意 γ ∈ ( 0 ， p − 2 2 p ) 时， x 1 ( t ) 的几乎所有的样本轨道关于指数 γ 是一致Hölder连续的。对 x 2 ( t ) ，同理可证。证毕。 下面给出系统(1.4)的解的全局吸引性结果。 定理3.1：若 min { inf t ≥ 0 [ c 1 ( t ) − b 2 ( t ) k 2 ( t ) ] ， inf t ≥ 0 [ c 2 ( t ) − b 1 ( t ) k 1 ( t ) ] } > 0 ，则对任意初值 x ( 0 ) ∈ R + 2 ，系统(1.4)的解 x ( t ) 是全局吸引的。 证明：记 μ = min { inf t ≥ 0 [ c 1 ( t ) − b 2 ( t ) k 2 ( t ) ] ， inf t ≥ 0 [ c 2 ( t ) − b 1 ( t ) k 1 ( t ) ] } ， 则 μ > 0 。设 x ( t ) = ( x 1 ( t ) ， x 2 ( t ) ) 和 x ¯ ( t ) = ( x ¯ 1 ( t ) ， x ¯ 2 ( t ) ) 分别系统(1.4)的初值为 x ( 0 ) 和 x ¯ ( 0 ) 的两个解，由Itô公式和Lagrange中值定理，可得 d ( ln x 1 ( t ) − ln x ¯ 1 ( t ) ) = { − b 1 ( t ) [ e − k 1 ( t ) x 2 ( t ) − e − k 1 ( t ) x ¯ 2 ( t ) ] − c 1 ( t ) [ x 1 ( t ) − x ¯ 1 ( t ) ] } d t = { b 1 ( t ) k 1 ( t ) e − k 1 ( t ) ξ 1 ( t ) [ x 2 ( t ) − x ¯ 2 ( t ) ] − c 1 ( t ) [ x 1 ( t ) − x ¯ 1 ( t ) ] } d t ， (3.8) d ( ln x 2 ( t ) − ln x ¯ 2 ( t ) ) = { − b 2 ( t ) [ e − k 2 ( t ) x 1 ( t ) − e − k 2 ( t ) x ¯ 1 ( t ) ] − c 2 ( t ) [ x 2 ( t ) − x ¯ 2 ( t ) ] } d t = { b 2 ( t ) k 2 ( t ) e − k 2 ( t ) ξ 2 ( t ) [ x 1 ( t ) − x ¯ 1 ( t ) ] − c 2 ( t ) [ x 2 ( t ) − x ¯ 2 ( t ) ] } d t ， (3.9) 其中 ξ 1 ( t ) 位于 x 2 ( t ) 和 x ¯ 2 ( t ) 之间，而 ξ 2 ( t ) 位于 x 1 ( t ) 和 x ¯ 1 ( t ) 之间。令 V 2 ( t ) = | ln x 1 ( t ) − ln x ¯ 1 ( t ) | + | ln x 2 ( t ) − ln x ¯ 2 ( t ) | ， 利用Tanaka-Meyer公式 [ 22 ] ，由(3.9)得 V 2 ( t ) − V 2 ( 0 ) = ∫ 0 t sgn ( ln x 1 ( s ) − ln x ¯ 1 ( s ) ) d ( ln x 1 ( s ) − ln x ¯ 1 ( s ) )       + ∫ 0 t sgn ( ln x 2 ( s ) − ln x ¯ 2 ( s ) ) d ( ln x 2 ( s ) − ln x ¯ 2 ( s ) ) = ∫ 0 t sgn ( x 1 ( s ) − x ¯ 1 ( s ) ) { b 1 ( s ) k 1 ( s ) e − k 1 ( s ) ξ 1 ( s ) [ x 2 ( s ) − x ¯ 2 ( s ) ] − c 1 ( s ) [ x 1 ( s ) − x ¯ 1 ( s ) ] } d s       + ∫ 0 t sgn ( x 2 ( s ) − x ¯ 2 ( s ) ) { b 2 ( s ) k 2 ( s ) e − k 2 ( s ) ξ 2 ( s ) [ x 1 ( s ) − x ¯ 1 ( s ) ] − c 2 ( s ) [ x 2 ( s ) − x ¯ 2 ( s ) ] } d s ≤ ∫ 0 t [ b 1 ( s ) k 1 ( s ) | x 2 ( s ) − x ¯ 2 ( s ) | − c 1 ( s ) | x 1 ( s ) − x ¯ 1 ( s ) | ] d s       + ∫ 0 t [ b 2 ( s ) k 2 ( s ) | x 1 ( s ) − x ¯ 1 ( s ) | − c 2 ( s ) | x 2 ( s ) − x ¯ 2 ( s ) | ] d s ≤ − ∫ 0 t { [ c 1 ( s ) − b 2 ( s ) k 2 ( s ) ] | x 1 ( s ) − x ¯ 1 ( s ) | + [ c 2 ( s ) − b 1 ( s ) k 1 ( s ) ] | x 2 ( t ) − x ¯ 2 ( t ) | } d s ≤ − μ ∫ 0 t [ | x 1 ( s ) − x ¯ 1 ( s ) | + | x 2 ( s ) − x ¯ 2 ( s ) | ] d s . 即 V 2 ( t ) + μ ∫ 0 t [ | x 1 ( s ) − x ¯ 1 ( s ) | + | x 2 ( s ) − x ¯ 2 ( s ) | ] d t ≤ V 2 ( 0 ) . 于是， | x 1 ( t ) − x ¯ 1 ( t ) | + | x 2 ( t ) − x ¯ 2 ( t ) | 在上 [ 0 ， ∞ ) 可积。另一方面，由引理3.3， | x 1 ( t ) − x ¯ 1 ( t ) | + | x 2 ( t ) − x ¯ 2 ( t ) | 在 [ 0 ， ∞ ) 上一致连续。由引理3.2可知 lim t → ∞ [ | x 1 ( t ) − x ¯ 1 ( t ) | + | x 2 ( t ) − x ¯ 2 ( t ) | ] = 0. 从而，对任意初值 x ( 0 ) ∈ R + 2 ，系统(1.4)的解 x ( t ) 是全局吸引的。证毕。