DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 2. 用MATLAB验算网上常见的一个推导E = Mc 2 过程 网上常见的一个推导E = Mc 2 的过程如图1所示 [ 1 ]。限于条件，作者未能查到其原始出处，这里只是转引。 图1. 网上常见的一个推导E = Mc 2 过程 在函数记号 y = f ( x ) 中，x称为自变量，y称为因变量。定积分的一般形式为 ∫ a b f ( x ) d x ，式中积分下限a和积分上限b均为常数，即 ∫ a b f ( x ) d x 为固定积分限的积分。积分号里面dx之外的部分称为被积函数。如果积分限是变化的，则称为变限积分；变限可以是只变一个积分限，例如 ∫ 0 sin t sin x x d x 等；也可以是两个积分限同时变化，例如 等。变限积分还有一种比较特殊的形式，即以被积函数f(x)的自变量x作为积分的上限或者下限，例如 等。 MATLAB是一款功能强大的工程计算软件，是科学技术领域应用和影响最广泛的三个计算机数学语言之一。利用MATLAB的符号运算工具箱，可以直接求解一般的微积分计算问题。当然MATLAB不是万能的，对于某些特殊的微积分问题，MATLAB同样无能为力。 y = f ( x ) 的微分定义为 [ 2 ] d y = f ′ ( x ) d x (1) 式中 f ′ ( x ) 为一阶导数。进一步取 f ′ ( x ) 的导数可以得到二阶、三阶及高阶导数。在MATLAB中，如果函数及自变量已知且均为符号变量，可以用diff( )命令求解给定函数的各阶导数。 具体到图1中的(F)环节，这里用圆括号( )代替图1中的○，记 y = y ( v ) = m 0 v 1 − ( v / c ) 2 (2) 这里为了便于比较，式(2)与图1中的记号对应一致，有关符号均未使用斜体。 在MATLAB中输入下列语句 >> syms m0 c v; >> simple(diff((m0*v)/sqrt(1-(v/c)^2)，v)) simple( )为MATLAB的化简命令。化简后的最终结果为 ans =m0/(-(-c^2+v^2)/c^2)^(3/2) 将上述结果写成解析形式，即有 y ′ ( v ) = m 0 [ 1 − ( v / c ) 2 ] 3 / 2 (3) 于是图1中的(F)环节为 d y = d ( m 0 v 1 − ( v / c ) 2 ) = y ′ ( v ) d v = m 0 [ 1 − ( v / c ) 2 ] 3 / 2 d v (4) 由此得到图1中的(H)环节 ∫ 0 v v d ( m 0 v 1 − ( v / c ) 2 ) = m 0 ∫ 0 v v d v [ 1 − ( v / c ) 2 ] 3 / 2 (5) 注意到这是一个以被积函数的自变量v为上限的变限积分。输入下列命令， >> syms v c m0 >> m0*int(v/(1-(v/c)^2)^(3/2)，v，0，v) 显示的信息为 ??? Error using ==> sym/maple Error， (in limit) invalid limiting point 表明MATLAB无法直接计算式(5)所示的自变量v为上限的变限积分。需要指出的一点是，由于MATLAB不是一个开源软件，在满足MATLAB使用规则的前提下，对于MATLAB不能计算的情况，无法追溯到MATLAB源码处理层次找到运算过程，看一看它为什么不能计算，具体到这里的情况，无法解释到底为什么出错或者为什么不能计算，也无法补充支持不规范的源码级运算过程内容，只能选择接受或者不接受。 下面换一个角度来看一看图1中的(H)环节即式(5)的计算问题。文献 [ 3 ] 第294~295页给出了一道例题33，为了方便对比，现将该例题及有关证明部分摘录如下： 设函数f(x)在闭区间 [ a ， b ] 上具有连续的二阶导数，试证：存在 ，使得 ∫ a b f ( x ) d x = ( b − a ) f ( a + b 2 ) + 1 24 ( b − a ) 3 f ″ ( ξ ) (6) 证法一：设 F ( x ) = ∫ a x f ( x ) d x ，在 的二阶泰勒公式为 F ( x ) = ∫ a x f ( x ) d x = ∫ a a + b 2 f ( x ) d x + f ( a + b 2 ) ( x − a + b 2 ) + 1 2 ! f ′ ( a + b 2 ) ( x − a + b 2 ) 2 + 1 3 ! f ″ ( ξ 1 ) ( x − a + b 2 ) 3 (7) 式(7)中的 ξ 1 在 ( a + b ) / 2 和x之间。该题后面的证明过程与本文无关，暂略。 具体到式(5)来说，其中的被积函数可以记为 f ( v ) = v [ 1 − ( v / c ) 2 ] 3 / 2 (8) 利用diff( )可以求出其一阶导数 >> diff(v/(1-(v/c)^2)^(3/2)，v) ans =1/(1-v^2/c^2)^(3/2)+3*v^2/(1-v^2/c^2)^(5/2)/c^2 即 f ′ ( v ) = 1 [ 1 − ( v / c ) 2 ] 3 / 2 + 3 [ 1 − ( v / c ) 2 ] 5 / 2 ⋅ ( v c ) 2 (9) 利用diff( )还可以求出其二阶导数 >> diff(v/(1-(v/c)^2)^(3/2)，v，2) ans = 9/(1-v^2/c^2)^(5/2)*v/c^2+15*v^3/(1-v^2/c^2)^(7/2)/c^4 即 f ″ ( v ) = 9 v c 2 [ 1 − ( v / c ) 2 ] 5 / 2 + 15 v 3 c 4 [ 1 − ( v / c ) 2 ] 7 / 2 (10) 比较一下式(5)和(7)，如果再把一阶导数表达式(9)和二阶导数表达式(10)代入，可以看出在图1所示的计算过程中难以从(H)得到(I)。那么(I)是如何得到的？ 在MATLAB中输入下列语句 >> syms v c m0 >> simple(m0*int(v/(1-(v/c)^2)^(3/2)，v，0，w)) 化简后的最终结果为 ans =m0*c^2/(1-1/c^2*w^2)^(1/2)-m0*c^2 即 E = ⋯ = m 0 ∫ 0 w v d v [ 1 − ( v / c ) 2 ] 3 / 2 = m 0 c 2 ( 1 [ 1 − ( w / c ) 2 ] 1 / 2 − 1 ) (11) 得到这个形式的结果仅仅是因为改变了一下积分上限的符号；换言之，在图1所示的计算过程中，从(F)环节到(H)环节，积分上限均为被积函数的自变量v；等到(H)环节要具体计算定积分的时候，先把v换成另外一个非自变量符号例如w，得到积分结果以后再将w换回v，于是得到了(I)环节所示的结果，即 (12) 但是这种处理方式无论是从逻辑还是从数学角度来看都是不正确的，在这种情况下，再讨论后面的处理步骤已经没有任何意义。换言之，在规范使用数学工具和满足逻辑一致性的前提下，按照图1所示的步骤不可能推导出E = Mc 2 。
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user: 3. 从物理和数学角度推导E = Mc 2 的方法 质量、能量和速度三者之间在量纲上存在下列关系 能 量 ≡ 质 量 × ( 速 度 ) 2 (13) 式中的“≡”表示量纲意义上的等价关系。以式(13)为基础，可以分别从物理和数学角度简捷地导出E = Mc 2 ，文献 [ 4 ] [ 5 ] 详细了有关推导过程，感兴趣的读者可以参阅，本文不再重述。
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user: 4. 结束语 本文基于MATLAB的详细分析验算结果表明，在规范使用数学工具和满足逻辑一致性的前提下，按照图1所示的步骤不可能推导出E = Mc 2 。如果图1所示的推导过程就是相对论体系中导出E = Mc 2 的方法，并且除此之外没有其他方法，那么将引发对相对论基础的质疑。 另一方面，E = Mc 2 是有物理意义的，当然这种物理意义与相对论所说的物理意义是不相同的。基于量纲分析方法，可以分别从物理角度和数学角度简单地导出E = Mc 2 。
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user: 摘 要 同类机上工件实时到达的在线排序问题是给定m台分别具有加工速度 s 1 ， s 2 ， ⋯ ， s m 的同类机器 M 1 ， M 2 ， ⋯ ， M m 及实时到达的工件序列 L = { J 1 ， J 2 ， ⋯ ， J n } ，目标函数是最小化机器的最大完工时间，本文研究了 s 1 = s 2 = ⋯ = s m − 1 = 1 ， s m > 1 时同类机上工件实时到达的在线排序问题的LS算法，给出并证明了LS算法的最坏性能比。 关键词 :排序问题，相关平行机，LS算法，最坏性能比 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 同类机排序问题是将n个独立工件 J 1 ， J 2 ， ⋯ ， J n 分配到m台具有相同功能的机器 M 1 ， M 2 ， ⋯ ， M m 上加工，每台机器 M i 的加工速度为 s i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) ，不妨假设 s 1 ≤ s 2 ≤ ⋯ ≤ s m ，每个工件只需在其中一台机器上加工一次就能完工，每台机器每次只能加工一个工件。工件 J 1 ， J 2 ， ⋯ ， J n 之间没有先后的依存关系， 且 J j ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 的大小为 p j ，工件 J j 安排在机器 M i 上加工时所需的时间为 p j s i ，目标函数是使所有 工件在最早时间内完成加工，也就是使得所有机器中最大完工时间达到最小。该问题由Gonzalez [ 1 ] 等人首先提出。当 s 1 = s 2 = ⋯ = s m = 1 时称为相同平行机排序问题，相同平行机排序问题首先由Graham [ 2 ] 提出。根据排序者对工件信息的了解程度，排序问题分为离线和在线两种情形，离线情形是指在安排工件前，所有工件信息都已知道，包括工件大小及到达时间等，在线情形是指工件是逐个释放的，只有在当前出现了的工件被安排后下一个工件的信息才能释放。Granham [ 2 ] 首先研究了相同平行机在线排序问题， 给出了LS算法并证明了LS算法具有最坏性能比 2 − 1 m 。LS是指总是安排当前工件在能使这个工件最早 完工的机器上。Cho和Sahni [ 3 ] 首先研究了同类机在线排序问题，得到了 时LS算法的最坏性能比 为 1 + 5 2 ， m ≥ 3 时最坏性能比为 1 + 2 m − 2 2 ，当 s 1 = s 2 = ⋯ = s m − 1 = 1 ， s m > 1 ， 时最坏性能比为 3 − 4 m + 1 。Berman等 [ 4 ] 得到最坏性能比为 3 + 8 ≈ 5.828 ，并证明了问题的下界为≈4.311。此外，关于机器数m取较小的值时，也有一些结果。例如：当 m = 2 时，Epstein等 [ 5 ] 证明了LS是最好的在线算法，其最坏性能比为 min { 2 s + 1 s + 1 ， s + 1 s } ，这里的s为加工速度较快的机器与加工速度较慢的机器两者的加工速 度的比值。当 m = 3 时，蔡 [ 6 ] 证明了当 s 1 = s 2 = s ≥ 1 ， s 3 = 1 这一特殊情形下LS算法的最坏性能比。Cai和Yang [ 7 ] 也研究了当 m = 3 时的情形，证明了部分情形下LS算法是最好的在线算法。 经典排序问题假设机器开始加工时所有工件都已到达，但实际情况中工件不一定都已到达，所以提出了工件有到达时间的排序问题。有到达时间的在线问题又分为实时到达在线问题和订单到达在线问题。设工件序列 L = { J 1 ， J 2 ， ⋯ ， J n } 中 J j ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 的到达时间为 r j ，如果 r j ( 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 为任意实数序列，则称其为订单在线排序问题或工件有任意到达时间排序问题 [ 8 ]，当 r 1 ≤ r 2 ≤ ⋯ ≤ r n 时我们称其为工件实时到达在线排序问题。易知工件实时到达在线排序问题是订单在线排序问题的特例。文献 [ 8 ] 中只讨论相同平行机的订单在线排序问题，即 s i = 1 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 的情形。本文是首次讨论同类平行机的实时到达在线排序问题。
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user: 2. 符号及LS算法 我们后面所要引入的符号的的意义如下： 1) U i 表示在 LS 算法下机器 M i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 上面的空闲时间总和。 2) r j 和p j 分别表示工件J j 的到达时间和工件大小。 3) C max OPT ( L ) 表示在OPT算法下机器的最大完工时间。 4) C max LS ( L ) 表示在LS算法下机器的最大完工时间。 5) H i 表示在LS算法下安排最后一个工件J n 之前机器 M i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 的完工时间。 6) F i 表示在LS算法下安排完所有的工件后机器 M i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 的最后完工时间。 定义1：算法A是一个近似算法， C max A ( L ) 和 C max OPT ( L ) 分别表示在算法A和最优算法下该工件序列的最大完工时间。我们定义 R ( m ， A ) = sup L C max A ( L ) C max OPT (L) 为算法A的最坏性能比，其中 L = { J 1 ， J 2 ， ⋯ ， J n } 为任一符合条件的工件序列。 本文后面我们总是假设m台具有相同功能的机器 M 1 ， M 2 ， ⋯ ， M m 的加工速度为 s 1 = s 2 = ⋯ = s m − 1 = 1 ， 。下面给出LS算法： LS算法： 设当前工件是 J j ，大小为 p j 及到达时间为 r j ，各个机器当前的完工时间为 L i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) ，我们将 安排在机器 M k 上，这里 M k 满足如下条件： min { max { L i ， r j } + p j ， max { L m ， r j } + p j s | i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 } = { max { L k ， r j } + p j ，                                 k < m max { L k ， r j } + p j s ，                           k = m (1) 即算法总是安排当前工件 J j 在能使这个工件最早完工的机器上。 如果(1)中有 L k < r j ，则 J j 在机器 M k 上产生空闲，空闲长度为 r j − L k 。下面给出一个实例说明LS算法的应用。设 m = 2 ， ， s 2 = s = 2 ， ， r 1 = 1 ， r 2 = 1 ， r 3 = 2 ， p 1 = 4 ， p 2 = 1 ， p 3 = 4 。显然J 1 被安排在机器M 2 的[1， 3]时间段上加工，而J 2 被安排在机器M 1 的时间段[1， 2]上加工。J 3 安排在M 1 上的起始时间为2，完工时间为6，安排在M 2 上的起始时间为3，完工时间为5，故按LS算法规则，J 3 应安排在M 2 上。 LS算法中每个工件的安排需要找出最早完工的机器，机器台数为m，最多m次可以找出，注意到工件个数为n，所以复杂度为O(mn)。 下面我们分析LS算法的最坏性能比。
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user: 4. 小结 本文研究了特殊情形下在同类机上工件实时到达的在线排序问题的LS算法，给定m台同类机器 M 1 ， M 2 ， ⋯ ， M m ，机器加工速度假设为 ， s m > 1 时，目标函数是最小化机器的最大完工时间，我们给出了LS算法的最坏性能比为 C max LS ( L ) C max OPT ( L ) ≤ { 2 ，                                                                                                                                                                                                                                                                 s ≤ m − 1 m − 2 1 + m − 1 m + s − 1 min { 3 ， s } ，                                                                   m − 1 m − 2 < s ≤ m − 1 2 + m − 1 m + s − 1 ，                                                                                                                                                                     s > m − 1 进一步的研究可设计比LS算法具有更好性能比的算法。
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user: 摘 要 本文运用黎卡提方程法解决Klein-Gordon方程的行波解问题，得到了几类特殊形式的行波解。 关键词 :黎卡提方程，行波解 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 基础知识 形如 d y d t = A ( t ) y 2 + B ( t ) y + C (t) 的方程称为黎卡提方程，其中 A ( t ) ， B ( t ) 和 C ( t ) 在所讨论的区间内为连续函数。1841年法国数学家刘维尔证明了在一般情形下黎卡提方程的解不能运用函数的有限次积分以及有限次代数运算而得到，然而他得到了特殊类型的黎卡提方程可化为伯努利方程求解的方法。国内外在黎卡提方程的推广研究侧重点各有差异，比如代数微分方程，离散微分方程，KdV方程的无穷序列复合型类孤子解等。 1) 运用黎卡提方程，可以求解非线性波动方程 p ( u ， u t ， u x ， u t t ， u t x ， u x x ， ⋯ ) = 0 的行波解，该方法主要步骤如下： 我们首先引入波动变量 ξ = x − c t 使得 u ( x ， t ) = u ( ξ ) ，因此偏微分方程化为关于 u = u ( ξ ) 的常微分方程 p ( u ， − c u ′ ， u ′ ， c 2 u ″ ， − c u ″ ， u ″ ， ⋯ ) = 0 (1) 2) 然后我们假设方程(1)的解可以表示为 u ( ξ ) = ∑ k = 0 N a k ( ξ ) y ( μ ξ ) k (2) a k ( ξ ) ( k = 0 ， 1 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， N )是关于 ξ 的函数， 是需要进一步确定的常数， y ( t ) 是黎卡提方程的解。之后有 { d d t y k ( t ) = k [ A ( t ) y k + 1 + B ( t ) y + C ( t ) y k − 1 ] d 2 d t 2 y k ( t ) = k ( k + 1 ) A 2 ( t ) y k + 2 + k [ ( 2 k + 1 ) A ( t ) B ( t ) + A ′ ( t ) ] y k + 1                                 + k [ 2 k A ( t ) C ( t ) + k B 2 ( t ) + B ′ ( t ) ] y k                                 + k [ ( 2 k − 1 ) B ( t ) C ( t ) + C ′ ( t ) ] y k − 1 + k ( k − 1 ) C 2 ( t ) y k − 2 (3) 其他导数也是如此。因此， d d ξ u ( ξ ) 和 d 2 d ξ 2 u ( ξ ) 分别是 N + 1 和 N + 2 次黎卡提微分方程的多项式。 3) 将(2)代入到方程(1)中，通过(3)得到关于 y ( u ξ ) 的代数方程。为了确定参数N，一般我们会平衡得到的方程中最高阶的线性项与最高阶的非线性项，并收集所有相同 y ( u ξ ) 的系数，把这些系数都消去，最后得到一个包括函数 a k ( ξ ) ( k = 0 ， 1 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， N )，c和 μ 的方程组。 4) 求解步骤3的代数方程组得到了函数 a k ( ξ ) ( k = 0 ， 1 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， N )，c和 μ 的所有可能值，确定了这些函数和参数，知道N是正整数，通过(2)得到封闭形式的解析解 u ( x ， t ) 。 注1：如果我们用黎卡提方程 y ′ ( t ) = y 2 ( t ) + 1 的解 y ( t ) = tanh ( t ) ，当 a k ( ξ ) ( k = 0 ， 1 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， N )，则黎卡提方程法可转化为tanh思想 [ 1 ]。 注2：若我们用黎卡提方程 y ′ ( t ) = − ( y 2 ( t ) + α y ( t ) + β ) 的解 ，当 ω ( t ) 是二阶线性微分方程 ω ″ ( t ) + α ω ′ ( t ) + β ω ( t ) = 0 时，取 μ = 1 ，则黎卡提方程法转化为 ( G ′ G ) -展开法 [ 2 ] [ 3 ]。
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user: 摘 要 本文将Hartmann函数推广到空间情形，实现了两个异面直线的光滑拼接。但是参数变换 p ( λ ， t ) 不再具备调节空间曲线的功能。在用Hartmann函数光滑拼接轴线异面管道轴线的基础上，进一步研究了椭圆管道光滑拼接问题，很好地解决了给定的两个轴线异面椭圆管道长半轴和短半轴不相对应时过渡管道的构造问题。 关键词 :Hartmann函数，异面直线，光滑拼接，参数变换，椭圆管道 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 计算机辅助几何设计主要研究曲线曲面的表示、逼近、分析和综合。在CAGD中，几何造型是基本问题之一，它有着广泛的用途 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]。而轴线异面管道光滑拼接问题的算法问题，属于计算几何中经典的难题基础问题。在文 [ 5 ] [ 6 ] 中Hartmann定义了一个函数，并由这个函数光滑拼接了多个共面的直线的基础上，构造了光滑拼接多个轴线共面的圆管道，取得了较好的效果。文 [ 7 ] 中刘雪峰利用Hartmann函数研究了轴线共面的椭圆管道的拼接问题。在文 [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] 中我们用基于轴线光滑拼接的方法构造了轴线异面的管道的光滑拼接管道。本文我们将利用Hartmann函数光滑拼接异面直线，并可应用于轴线异面管道的光滑拼接。 引理 [ 6 ] 给定两条正则 C 2 连续的空间曲线 Γ 1 : x = γ 1 ( t ) ， t ∈ [ 0 ， 1 ] 和 ，构造过渡函数 f n ( t ) = t n + 1 t n + 1 + ( 1 − t ) n + 1 ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ， n ≥ 0 (1) 则过渡曲线 Γ : x ( t ) = γ 1 ( t ) ( 1 − f n ( t ) ) + γ 2 ( t ) f n ( t ) ， t ∈ [ 0 ， 1 ] 与 Γ 1 和 Γ 2 分别在 γ 1 ( 0 ) 和 γ 2 ( 1 ) 点处 C n 连续。我们称 f n ( t ) 为Hartmann函数。 实际上 f n ( t ) 只是一个平面曲线，图1是当 n = 2 ， 3 时 f 2 ( t ) 和 f 3 ( t ) 的图像。 文 [ 7 ] 中还定义了有理参数变换 p ( λ ， t ) = { t 1 − λ + λ t ， 0 ≤ λ < 1 t ( 1 − λ ) 1 − λ t ， − 1 < λ ≤ 0 (2) 来调整设计参数。我们在按照文献给出的参数变换公式，得不到应有的图像。可将原参数变换公式改成下面的形式 p ( λ ， t ) = { t 1 − λ + λ t ， 0 ≤ λ < 1 t ( 1 + λ ) 1 + λ t ， − 1 < λ ≤ 0 (3) 下面是 n = 2 时，分别取 λ = 0.5 ， 0.9 ， − 0.5 ， − 0.9 可以得到图2中一些平面曲线。 图1. n = 2， 3时， f 2 ( t ) 和 f 3 ( t ) 的图像 图2. 作参数变换后分别取 λ = 0.5 ， 0.9 ， − 0.5 ， − 0.9 时的 f 2 ( t ) 的图像
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user: 2. 推广的Hartmann函数 仍然定义有理参数变换 f n ( t ) = t n + 1 t n + 1 + ( 1 − t ) n + 1 ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ， n ≥ 0 只有将Hartmann函数与待拼接的异面直线联系起来，得到光滑拼接两个异面直线的空间曲线。 设 γ 1 ( t ) : { x = x 1 + 0 ⋅ t ， y = y 1 + b 1 t ， z = 0 + 0 ⋅ t ， 和 γ 2 ( t ) : { x = 0 + 0 ⋅ t ， y = y 2 + b 2 ⋅ t ， z = z 2 + c 2 t . t ∈ [ t 1 ， t 2 ] 是两个异面直线，分别位于OXY平面上与Y轴平行和位于OYZ平面上与Y轴相交。利用Hartmann函数 f n ( t ) 可以光滑拼接两个轴线异面椭圆管道的轴线 Γ : γ ( t ) = γ 1 ( t ) ( 1 − f n ( t ) ) + γ 2 ( t ) f n ( t ) ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ，其参数形式为 Γ : { x = ( 1 − t n + 1 t n + 1 + ( 1 − t n + 1 ) ) ⋅ x 1 + t n + 1 t n + 1 + ( 1 − t n + 1 ) ⋅ x 2 ， y = ( 1 − t n + 1 t n + 1 + ( 1 − t n + 1 ) ) ⋅ y 1 + t n + 1 t n + 1 + ( 1 − t n + 1 ) ⋅ y 2 ， t ∈ [ 0 ， 1 ] z = ( 1 − t n + 1 t n + 1 + ( 1 − t n + 1 ) ) ⋅ z 1 + t n + 1 t n + 1 + ( 1 − t n + 1 ) ⋅ z 2 . 例1取 x 1 = 1 ， y 1 = − 1 ， y 2 = 1 ， z 2 = 1 ， b 1 = 1 ， b 2 = 0 ， c 2 = 1 ，则两个轴线异面管道的轴线的参数表示为 γ 1 ( t ) : { x = 1 ， y = − 1 + t ， z = 0. 和 γ 2 ( t ) : { x = 0 ， y = 1 ， z = 1 + t . t ∈ [ t 1 ， t 2 ] 则 n = 2 时， Γ : γ ( t ) = γ 1 ( t ) ( 1 − f n ( t ) ) + γ 2 ( t ) f n ( t ) ， t ∈ [ 0 ， 1 ] 是光滑拼接异面直线 γ 1 ( t ) 和 γ 2 ( t ) 的空间曲线，图3如下。 图3. 光滑拼接轴线异面管道轴线的效果图 定义 这种将Hartmann函数与待拼接的管道的轴线联系起来得到空间曲线的方法称为推广的Hartmann函数方法。 我们还将参数变换公式(3)与异面直线联系起来，对于不同的参数 λ ，试想得到满足不同要求的光滑拼接异面直线的空间曲线。 例2 设 γ 1 ( t ) : { x = 1 ， y = − 1 + t ， z = 0. 和 γ 2 ( t ) : { x = 0 ， y = 1 − 1 2 t ， z = t . t ∈ [ t 1 ， t 2 ] 当 n = 1 ， 2 时， Γ : γ ( t ) = γ 1 ( t ) ( 1 − f n ( t ) ) + γ 2 ( t ) f n ( t ) ， t ∈ [ 0 ， 1 ] 是光滑拼接异面直线 γ 1 ( t ) 和 γ 2 ( t ) 的空间曲线。 当 n = 1 ， 2 时， Γ : γ ( p ( λ ， t ) ) = γ 1 ( p ( λ ， t ) ) ( 1 − f n ( p ( λ ， t ) ) ) + γ 2 ( t ) f n ( p ( λ ， t ) ) ， t ∈ [ 0 ， 1 ] 是光滑拼接异面直线 γ 1 ( t ) 和 γ 2 ( t ) 的空间曲线。 但是当 λ = 0.1 ， 0.3 ， 0.5 ， 0.7 ， 0.9 和 λ = − 0.1 ， − 0.3 ， − 0.5 ， − 0.7 ， − 0.9 时，与 Γ : γ ( t ) = γ 1 ( t ) ( 1 − f n ( t ) ) + γ 2 ( t ) f n ( t ) ， t ∈ [ 0 ， 1 ] 重合，不再具备调节功能，图4如下。 图4. 参数变换后得到的图形与参数变换前重合
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user: 3. Hartmann函数在轴线异面椭圆管道拼接中的应用 利用推广后的Hartmann函数，我们研究椭圆管道的拼接问题。椭圆管道拼接问题较于圆管道拼接难度更大，可以构造基于轴线光滑拼接的椭圆管道，还可以在椭圆管道两端拼接长半轴和短半轴相对应的椭圆管道。但是，对于长半轴和短半轴给定的轴线异面椭圆管道，不论对应的长半轴和短半轴是否相同，仍然存在构造的椭圆管道与两端椭圆管道长半轴和短半轴不相对应的问题，需要预处理才能实现光滑拼接。 构造基于轴线光滑拼接的过渡管道时，在轴线每一点处与轴线垂直的平面上构造圆或椭圆。确定与轴线垂直的平面的方法有多种 [ 6 ] [ 12 ] [ 13 ]。至于运用哪一种方法，根据具体情况而定。 设给定两个轴线异面的长半轴和短半轴相等的椭圆管道 Φ 1 和 Φ 2 ，其参数表示为： Φ 1 : { X = x 1 ( t ) + a ⋅ e 11 cos φ + b ⋅ e 21 sin φ ， Y = y 1 ( t ) + a ⋅ e 12 cos φ + b ⋅ e 22 sin φ ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] Z = z 1 ( t ) + a ⋅ e 13 cos φ + b ⋅ e 23 sin φ . 和 Φ 2 : { X = x 2 ( t ) + a ⋅ e ′ 11 cos φ + b ⋅ e ′ 21 sin φ ， Y = y 2 ( t ) + a ⋅ e ′ 12 cos φ + b ⋅ e ′ 22 sin φ ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] Z = z 2 ( t ) + a ⋅ e ′ 13 cos φ + b ⋅ e ′ 23 sin φ . 其中 γ i ( t ) = { x i ( t ) ， y i ( t ) ， z i ( t ) ， ( i = 1 ， 2 ) 为管道 Φ 1 ， Φ 2 的轴线的参数表示， E i = ( e i 1 ， e i 2 ， e i 3 ) ， E ′ i = ( e ′ i 1 ， e ′ i 2 ， e ′ i 3 ) ( i = 1 ， 2 ) 分别为与轴心垂直平面的单位正交矢量。 在光滑拼接轴线异面的椭圆管道轴线上构造椭圆管道 Φ ( t ， φ ) = { x ( t ) + a e ″ 11 ( t ) cos φ + b e ″ 21 ( t ) sin φ ， y ( t ) + a e ″ 12 ( t ) cos φ + b e ″ 21 ( t ) sin φ ， x ( t ) + a e ″ 13 ( t ) cos φ + b e ″ 23 ( t ) sin φ . t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] 假设给定的椭圆管道 Φ 1 的长半轴与过渡管道在 处的长半轴的二面角为 θ 1 ，椭圆管道 Φ 1 的长半轴与椭圆管道 的长半轴二面角为 θ 2 ，旋转过渡管道 Φ 的轴线每一点 t ∈ [ 0 ， 1 ] 处长半轴和短半轴 θ 1 + ( θ 2 − θ 1 ) t 来调整过渡管道的走向，使过渡管道两端的长半轴和短半轴与待拼接的轴线异面椭圆管道的长半轴与短半轴相对应。 例3 对于给定的两个轴线异面的管道 取Hartmann函数为 f ( t ) = t 3 t 3 + ( 1 − t ) 3 则光滑拼接轴线的函数为 Γ : { x = 1 − f ( t ) ， y = ( 1 − f ( t ) ) t + f ( t ) ， z = f ( t ) . 光滑拼接两个轴线异面的管道的参数表示为 Φ : { X = x + 0 .2 ⋅ e ″ 11 cos φ + 0 .15 ⋅ e ″ 21 sin φ ， Y = y + 0 .2 ⋅ e ″ 12 cos φ + 0 .15 ⋅ e ″ 22 sin φ ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] Z = z + 0 .2 ⋅ e ″ 13 cos φ + 0 .15 ⋅ e ″ 23 sin φ . 其拼接效果图为图5。 将过渡管道每一点 t ∈ [ 0 ， 1 ] 处长半轴和短半轴旋转 θ 1 + ( θ 2 − θ 1 ) t 角 { e ‴ 11 = − e ″ 11 sin ( θ 1 + ( θ 2 − θ 1 ) t ) + e ″ 21 cos ( θ 1 + ( θ 2 − θ 1 ) t ， e ‴ 12 = − e ″ 12 sin ( θ 1 + ( θ 2 − θ 1 ) t ) + e ″ 22 cos ( θ 1 + ( θ 2 − θ 1 ) t ， e ‴ 13 = − e ″ 11 sin ( θ 1 + ( θ 2 − θ 1 ) t ) + e ″ 21 cos ( θ 1 + ( θ 2 − θ 1 ) t . { e ‴ 2 1 = e ″ 11 sin ( θ 1 + ( θ 2 − θ 1 ) t ) + e ″ 21 cos ( θ 1 + ( θ 2 − θ 1 ) t ， e ‴ 2 2 = e ″ 12 sin ( θ 1 + ( θ 2 − θ 1 ) t ) + e ″ 22 cos ( θ 1 + ( θ 2 − θ 1 ) t ， e ‴ 2 3 = e ″ 11 sin ( θ 1 + ( θ 2 − θ 1 ) t ) + e ″ 21 cos ( θ 1 + ( θ 2 − θ 1 ) t .     t ∈ [ 0 ， 1 ] 图5. 轴线异面椭圆管道与过渡椭圆管道 后过渡管道的参数表示为 Φ : { X = x + 0 .2 ⋅ e ‴ 11 cos φ + 0 .15 ⋅ e ‴ 21 sin φ ， Y = y + 0 .2 ⋅ e ‴ 12 cos φ + 0 .15 ⋅ e ‴ 22 sin φ ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] Z = z + 0 .2 ⋅ e ‴ 13 cos φ + 0 .15 ⋅ e ‴ 23 sin φ . 其效果图为图6。 图6. 轴线异面椭圆管道的光滑拼接
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user: 4. 结束语 本文用Hartmann函数光滑拼接了两个轴线异面椭圆管道的轴线的基础上，研究了给定的两个轴线异面椭圆管道的光滑拼接问题，椭圆管道拼接问题相较于圆管道拼接问题难度更大，除了构造过渡椭圆管道，还需要考虑两端长半轴、短半轴相对应问题，我们很好地解决了提出的问题。
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user: 摘 要 随着互联网技术的飞速发展，互联网渠道已经成为了公募基金公司重点耕耘的销售渠道。精细化的营销对于降低营销成本，提高运营效率至关重要。面对随着互联网成长起来的具有巨大理财潜力的用户，如何对其进行有效区分，并针对不同类型人群实施精细化的营销策略，是当前公募基金公司急需解决的问题。本文提出了改进的RFM模型，从近度、频度、管理费三个维度对用户价值进行衡量，并通过K-Means算法对用户进行聚类，从而实现用户分群。并使用了某基金公司的某产品的申赎历史数据对模型进行了验证，得到了5个聚类结果，并针对5个聚类中用户的特点，提出了具有针对性的营销策略。 关键词 :RFM模型，用户聚类，基金精细化营销 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 近年来，得益于互联网的进一步普及，中国的互联网金融得到了快速发展。互联网金融的飞速发展，对传统金融机构既是一个巨大的挑战，也是一个转型的机遇。公募基金公司传统销售渠道主要以商业银行、券商为代表，过于依赖银行券商等机构，难以触及随着互联网成长起来的具有巨大理财潜力的用户，无法为其提供个性化的服务。因此，互联网渠道成为了基金公司目前重点耕耘的渠道。精细化的营销对于降低营销成本，提高运营效率至关重要，而用户区分是精细化营销的基础，如何对规模巨大的互联网用户进行有效区分，并针对不同类型人群实施针对性的营销策略，是当前公募基金公司急需解决的问题。 前人对于基金销售策略的研究多从公司层面进行展开，如裴蕾(2017)对基金公司产品、价格、服务、渠道等角度的策略 [ 1 ] 进行了定性的研究，缺乏从用户角度的定量的论据。邹定斌(2005)等人从宏观的角度，阐述了公募基金市场应当如何实施精细化营销，如推进网上销售、改进管理费计提方式、增强同业竞争等 [ 2 ]。总之，前人研究缺乏从基金公司层面，从用户角度出发的精细化营销的研究。
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user: 2. 模型和方法 2.1. RFMF模型 RFM模型是一种重要的客户响应分析方法 [ 3 ] [ 4 ]，该模型通过用户的最近购买的时间R、购买频率F以及购买的金额M三项指标来衡量用户的价值水平。RFM模型较为动态地层示了一个客户的基本行为特征轮廓，这对个性化的服务和营销提供了依据。但由于基金产品的特殊性，购买的金额不能较为全面表示用户的价值，因此，本文将购买金额改变为用户购买的金额与持有时长的乘积，得到了RFMF模型。 为了确定R、F、MF三者之间的权重关系，本文使用了美国运筹学家托马斯·塞蒂提出并广泛应用于经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥等领域的层次分析法。根据专家们用1~9标注法对各指标相对重要性程度的判断，构造出判断矩阵，通过比较判断矩阵一致性检验后，通过解矩阵最大特征值对应的特征向量便可确定出各特征的权值 [ 5 ]。 假设事先已知3个评价指标的权重向量为： W = [ w r w f w m ] ，比较R，F之间的重要性时， C r f = w r / w f 是精确比值。同理，任意两个指标之间的相对重要性都可以得到精确比值，从而可得构成的比较判断矩阵： A ¯ = [ w r / w r w r / w f w r / w m w f / w r w f / w f w f / w m w m / w r w m / w f w m / w m ] 是完全精确的比较判断矩阵，并且有： A ¯ ⋅ W = [ w r / w r w r / w f w r / w m w f / w r w f / w f w f / w m w m / w r w m / w f w m / w m ] ⋅ [ w r w f w m ] = 3 [ w r w f w m ] 其最大特征值为n = 3，对应特征向量为 W 。 因此，通过构造判断矩阵，求出矩阵最大特征值所对应的特征向量，即为欲求的权重向量。 判断矩阵构造步骤： 通过比较R、F、MF三个指标两两之间的相对重要性程度，比如判断矩阵的第一列元素的确定，根据图1中的1~9标注法，结合实际业务，专家打分认为相同指标R之间的重要性相同，因此判断矩阵元素C11为1，购买频次F比购买进度R稍微重要，因此，判断矩阵中元素C21为3，带来的管理费MF比购买进度R远远重要，因此判断矩阵中元素C31为7。同样的方法可以继续构造判断矩阵的其他两列。 通过计算构造好的图1中的判断矩阵的最大特征值所对应的特征向量即为所求的权重向量，计算得出R，F，MF之间权重为[0.08， 0.19， 0.73]。 RFMF _ score = 0.08 * R + 0.19 * F + 0.73 * MF (1) 图1. 1~9标注法以及比较判断矩阵 2.2. K均值聚类方法 “K均值”这一词最早由麦奎因(1967) [ 6 ] 提出，但本算法思想可以追溯到1957年，斯坦豪斯(1957) [ 7 ] 、劳埃德(1957) [ 8 ] 分别在各自的研究领域独立提出来的思想，这一思想在空间聚类分析种应用广泛。简单、高效、成功的应用案例和经验，是其出现数十年后，仍然广为使用的最重要的原因。该算法最常见的形式是采用被称为劳埃德算法(Lloydalgorithm)的迭代式改进探索法。算法首先把输入点分成k个初始化分组，可以是随机的或者使用一些启发式数据。然后计算每组的中心点，根据中心点的位置把对象分到离它最近的中心，重新确定分组。继续重复不断地计算中心并重新分组，直到收敛，即对象不再改变分组。
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user: 3. 实验 3.1. 数据集 本文采用的数据集为某基金公司某产品在2018年12月11日上线互联网渠道至2019年8月14日的产品每一笔申购和赎回数据。通过数据处理，得到了每一个用户的R、F、MF数据。 3.2. 数据处理 为了去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或者量级的指标能够进行和加权，需要对数据进行标准化。由于大部分数据都呈现长尾分布，80%以上都集中在低频低额区间，少数的用户提供了大部分销售，数据的分布十分不均匀，如果直接对用户的RFMF数据做线性标准化，会使得80%的低频低额的用户之间的差别很小，难以做到用户区分，不符合业务场景和需求，因此本文采用分位数的方式，对用户的RFMF三维数据进行打分，1~10分。比如：MF这一特征，排名前10%的用户，在MF这个指标上给用户打10分，前10%~前20%的用户打9分，前20%~前30%的用户打8分，依此类推。 3.3. 聚类个数选择 K均值算法的第一步是确定聚类的个数，生成K个质心。确定聚类个数的常用方法包括肘部法则 [ 9 ] [ 10 ] 和CH指标 [ 11 ]。肘部法则是指：根据数据的潜在模式，当设定的聚类个数不断逼近真实聚类个数时，均方误差呈现快速下降态势，而当设定聚类个数超过真实聚类个数时，均方误差也会继续下降，但下降速度会趋于平缓。通过画出K-均方误差曲线，找出下降途中的拐点，即可较好的确定K值，如图2，可知K最优值为5。 图2. K-均方误差曲线 CH指标通过计算类中各点与类中心的距离平方和来度量类内的紧密度，通过计算各类中心点与数据集中心点距离平方和来度量数据集的分离度，CH指标由分离度与紧密度的比值得到，因此，CH越大代表着类自身越紧密，类与类之间越分散，即更优的聚类结果。画出K-CH值曲线，如图3可知，K的最优取值为5。两种K值确定方法都说明K取值为5为最优情况，因此，确定为5个聚类。 图3. K-CH值曲线
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user: 4. 实验结果分析 代码运行结束，得到如表1中5个聚类，为了更直观地了解到各聚类中用户的特点，统计了各聚类人数，用户R、F、MF三个指标的平均值和中位数，RFMF分值，以及各聚类的用户留存率。 Table 1 RFMF clustering resul 聚类 人数 留存用户比例 RFMF_score R (天数) F (频次) MF (管理费) 平均值 中位数 平均值 中位数 平均值 中位数 平均值 中位数 聚类一 36，948 44.10% 6.3 6.27 211.66 212 1.18 1 13.38 4.7 聚类二 40，589 40.86% 2.53 2.54 214.15 213 1.06 1 0.16 0.05 聚类三 35，017 46.90% 3.14 3.1 138.41 176 1.26 1 0.19 0.1 聚类四 35，396 60.24% 6.73 6.67 150.49 177 1.53 1 14.61 4.84 聚类五 7，338 99.95% 7.61 7.81 38.41 10 18.64 10 29.86 3.56 表1. 聚类RFMF结果 (1) 聚类一中的用户，总体价值较高，人均累计申购16，429.22元，带来的管理费人均13.38元，较高，但上次申购距今人均超过211天，近期不够活跃。 聚类一中这些客户已经不太活跃了，流失也比较多，首先基金公司应该了解用户的去向，是从本产品转到了公司的其他产品上，还是已经完全流失，成为其他公司的客户，如果已经完全流失的客户，可以通过短信推送的方式，在本产品业绩较好的时期向用户推荐，或者推送公司其他的产品，优先将用户拉回本公司产品线上。 (2) 聚类二中的用户属于一般挽留用户，用户数量最多，但用户价值最低，RFMF评分仅有2.53，最近一次申购时间平均超过了214天，人均累计申购580元，管理费人均0.16元，活跃时间也很久远，用户留存率最低，总体来说用户带来的效益很低。 聚类三中的用户为一般发展用户，RFMF价值评分较低，申购金额、持仓金额、管理费方面都比较低，人均累计申购1690元，管理费0.19元，但活跃时间比较近。总体用户价值仅高于聚类2的用户。 聚类二、三中的用户价值水平都比较低，这类用户对基金公司来说，挽留和保持成本较高，但经济收益较低，可适当降低在这些用户群体上的营销成本投入。 (3) 聚类四中的用户是重点发展客户，RFMF评分高，相对来讲近期比较活跃，最近一次申购行为距今仅150天左右，人均管理费方面也达到了14.61元，用户留存率超过60%，但申购频次比较低，具有成为高净值的发展潜力。 针对这类群体，基金公司应当加强投资者教育，多多宣传用户定投的好处，着重引导用户增加申购频次，同时帮助降低用户亏损的风险，将用户高净值潜力变现。 (4) 聚类五中的用户是重要价值用户，用户十分活跃，最近一次申购距今天数距今平均在38天左右，而人均购买频次超过18次，其中超过一般的用户的申购频次都在10次以上。用户带来的管理费方面，人均管理费达到了29.86元，是5个用户群体中最高的。这类用户群体是基金公司的高价值客户，也是基金公司重点保持的优质客户，为公司带来的经济效益最高，但实际用户比例却很低。 针对这类群体，一方面，基金公司应该注重用户留存，定期监测重要价值客户的流失情况，分析原因，并且推出一些鼓励性的活动，使其对于保持当前状态更有兴趣，例如每月推出专属福利，如申购费用折扣、礼品赠送、电话回访等。另一方面，基金公司可以进一步发展这类客户，如：从中抽取部分用户，提供VIP服务，引导其做更为丰富的大类资产配置，形成多元化的资产配置方案，提高风险收益比，增加用户更换基金公司的成本，增加用户粘性。
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user: 5. 研究局限与未来展望 5.1. 研究局限 1、限于数据来源，只运用了一只基金产品的申赎数据，对用户价值的概括较为片面。 2、本研究从事后的角度，研究了已经有过购买行为的用户对于基金公司的价值，对于新用户，本方法会有冷启动问题，无法衡量用户价值，并加以区分。 5.2. 未来展望 1、在丰富数据类型角度，一方面，可选择用户购买的所有产品的数据，而不仅限于一只产品，可以更加全面、准确地衡量用户的价值以及用户的偏好，并为其提供相应的营销策略。另一方面，可以增加用户个人信息，如用户所述地区、用户收入水平、用户年龄等，帮助刻画用户特征，事前衡量用户价值，解决冷启动问题。 2、模型优化角度，在本文模型的指标权重确定的方法上，采用的是专家打分和层次分析法，定性和定量的方法相结合，但总体来说难以避免专家个人主观因素的影响，缺乏客观性。未来的研究方向上，可以改进指标权重的确定方式，更加客观地优化各指标权重的赋值方式，增强客观性。
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user: 摘 要 在游离磨料多线切割工艺中，钢线切割到单晶与树脂板结合处(尾部)的裂片为常见异常，一直得不到有效的解决，本文分析了裂片位置的受力情况，指出切割浆料粘度高、浆料聚集效应以及钢线的振动为此异常的主要原因并给出了解决该异常的主要措施。 关键词 :游离磨料多线切割，硅晶圆加工，尾部裂片 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 近年来，随着电子设备的普及，半导体技术得到长足的进步和发展，硅晶圆作为目前最主要的半导体材料，主要包括抛光片、退火片、外延片、节隔离片和绝缘体上硅片，其中抛光片是用量最大的产品，其他的硅片产品也都是在抛光片的基础上二次加工产生的。硅晶圆片的市场销售额占整个半导体材料市场总销售额的32%~40% [ 1 ]。为了降低单颗芯片的成本，硅晶圆的尺寸要求越来越大，硅片尺寸的增加意味着每片硅片的价值也越来越高，因此提高多线切割中的硅片收率减少损失成为重中之重。 常见的硅晶圆多线切割中的异常包括重线痕残留，TTV异常，WARP异常，裂片，崩边等，本文主要针对硅晶圆切割中尾部裂片的异常展开分析和研究，以期给出相应的解决措施，为多线切割工艺人员解决切割裂片异常提高产品收率提供一些解决方案。
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user: 2. 多线切割技术 多线切割方式因具有厚度一致性高，切割后硅片几何参数一致性好，适于批量生产等优势，已经成为硅晶圆切割的主要方式。在实际切割中，按照磨粒与切割线的运动状态，线切割技术可分为游离式和固结式两种，按照切割线的运动方式，线切割技术可以分为往复式和单项式切割 [ 2 ]。在半导体硅晶圆切割中，为了保证切割后几何形状的一致性，降低切割后硅片表面残留线痕，一般在直径超过200 mm时使用游离往复式切割。 采用游离磨料多线切割的原理如图1所示，表面镀铜镍合金的高强度冷拔不锈钢丝(100~140 μm)通过一系列滑轮绕在放线轮和收线轮之间，在切割主辊上按照一定距离(控制切割后的厚度)形成切割线网，通过携带两侧浆料管喷出的浆料，往复运动形成锯切的效果，在实际切割中，工作台通过丝杠使硅单晶自上而下运动，往复运动的切割钢丝将切割液带到切割区域，切割液中的磨粒通过切割钢丝的高速带动及其载荷作用，如图2所示，在硅晶体表面滚动、擦滑、嵌入到材料的加工表面，使之产生裂纹和磨碎，最终实现材料去除的“三体磨料磨削加工” [ 3 ]。 图1. 多线切割原理图 图2. 加工区域示意图
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user: 3. 多线切割单晶硅尾部裂片异常现象及原因分析 3.1. 多线切割单晶硅尾部裂片现象 在实际的切割过程中，随着工作台位置的下降，切割钢线按照工作台的设定速度穿透单晶硅晶体，完成整个切割过程。在工作台下降的过程中，钢线位置切割到树脂板与单晶结合处时，易产生裂片的异常，裂片的规律为硅片从树脂板结合处开始裂，从单晶两侧的位置逐片往内断裂，如图3，图4所示。发生断裂的时间与切割剩余时间有关，工作台停止运动后钢线停止转动，断裂结束。该现象在切割各尺寸单晶时均有发生，为游离磨料多线切割常见裂片异常。 图3. 尾部裂片截面示意图 图4. 尾部裂片始裂位置示意图 3.2. 尾部裂片原因分析及解决措施 3.2.1. 切割液粘度高产生的径向剪切力引起裂片 切割浆料是由碳化硅砂和切割液按照一定的比例混合而成的，切割液的性能对硅片厚度偏差、表面粗糙度及表面形貌等有显著的影响，因此在生产工艺中要求切割液具有良好的渗透性、悬浮性、导热性、以及润滑性等，其中悬浮性与切割液的粘度有直接的关系 [ 4 ]。 在切割过程中，适中的粘度才能保证碳化硅在切割液中浮均匀。粘度过高会造成切割液流动性变差，不能及时散热，粘度过小则降低其挂线性能 [ 5 ]。砂浆切割中，切割液在切割加工区域形成液膜，其最小厚度与切割液粘度、走丝速度成正比，该液膜与滑动轴承的油膜层作用相同 [ 6 ]。 切割液粘度过大会造成碳化硅与切屑粘结，切割阻力增大，表面损伤加重，日本学者Ishaikawa等人发现，在切割线的往复运动中，空气会随着切割线进入切割区域形成气泡，从而阻止更多的浆料进入到切割区域 [ 7 ]，当两者作用相结合时，高粘度的浆料会在树脂板与单晶硅棒的结合处堆积产生剪切力引起胀裂的异常，如图5所示。 切割液粘度与温度直接相关 [ 8 ]，且与颗粒沉降速度有直接关系，进而影响浆料的稳定性。因此在工艺调试中，选中合适的切割液粘度，控制好浆料的温度，增加流动性和渗透性是降低异常的主要方法。 图5. 高粘度浆料切割示意图 3.2.2. 切割到尾部时浆料的聚集效应产生剪切力力引起裂片 如图6所示，钢线切割到树脂板与单晶硅棒结合处时，浆料由于切割位置的变化在此区域产生聚集效应，造成比切割其它位置更多的浆料随钢线的运动进入切割缝隙，产生径向剪切力，当剪切力 > 破断力时，该位置产生微裂纹，并由于硅硬脆的特性会沿着截理方向进行延伸，在浆料的冲击下硅片沿径向脱落，产生裂片。 图6. 浆料聚集效应示意图 为减少浆料的冲击，可以采用降低切割到该位置时浆料流量的方法或者在工作台夹具上增加相应的导流装置，如图7所示，将折返回的浆料通过导流装置进行疏解，防止二次聚集效应的产生，减少冲击力。 图7. 增加导流装置示意图 3.2.3. 切割钢线振动引起裂片 在游离磨料线切割过程中，由于磨粒处于游离状态，磨粒的大小和数量分布及切割液的状况都将直接影响到切割线的受力，使切割线的张紧力波动而最终影响到硅片的加工精度和质量。广东工业大学林建荣通过研究表明：切割钢线振动随着走丝速度、工作台进给速度、浆料浓度以及硅棒直径的增加而增加，而随切割线初始张紧力的增大而减小 [ 9 ]。切割钢线的振动不仅会引起主辊树脂槽的快速磨损，还会造成硅片切割时的抖动，加剧微裂纹的快速延伸，产生裂片异常。 减少切割钢线的振动，需要在机台设计时提高机械系统基频，提高承受动载荷的能力，另一方面也需要在工艺调试时，选择优化的工作台速度，钢线预紧力以及浆料的浓度，在此基础上，保证切割时钢线的稳定性，减少裂片的可能性。
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user: 4. 结论 尾部裂片的问题是游离磨料多线切割单晶硅时常见的异常，该异常与切割设备以及切割工艺条件和原辅材料的使用均有相关性，本文通过对切割部位断裂情况的分析，得到以及下初步结论： 1) 浆料的粘度与切割液的粘度是造成尾部裂片的主要原因，选择适当的粘度可以减少切割时径向剪切力的产生，减少裂片。 2) 切割到尾部时浆料的聚集效应会加速尾部微裂纹的产生，降低切割尾部时的浆料流量以及采用合适的导流装置能够减少切割时浆料对硅片的冲击。 3) 钢线的振动会加速产生此异常，造成切割中硅片自由度增大，产生裂片。