system: [SYSTEM]

user: 3. 二维中心流形 将 w = v ( z ， z ¯ ) 展开成级数 w = v ( z ， z ¯ ) = ( ∑ 2 ≤ i + j v i j ( 1 ) i ! j ! ( z ， z ¯ ) ∑ 2 ≤ i + j v i j ( 2 ) i ! j ! ( z ， z ¯ ) ) (13) 其中系数 { v i j } 依赖于 θ ，令 G ( z ， z ¯ ) = q ¯ * ( 0 ) F * ( z ， z ¯ ) ，把方程(11)写作 z ′ ( t ) = i ω 0 z + G ( z ， z ¯ ) (13) 其中 G ( z ， z ¯ ) 有展式 G ( z ， z ¯ ) = ∑ 2 ≤ i + j G i j i ! j ! ( z ， z ¯ ) (14) 其中 G i j 为常数，计算见附录。 从方程(9)和(11)可得 d v d t = { A v − 2 Re { q ¯ * ( 0 ) F ^ q ( θ ) } ，                         − τ N ≤ θ < 0 ， A v − 2 Re { q ¯ * ( 0 ) F ^ q ( θ ) } + F ^ ，                       θ = 0 ， (15) 方程(14)的第一个方程可以写成 d v d t = A v ( z ， z ¯ ) + R ( z ， z ¯ ) (16) 其中 R ( z ， z ¯ ) = − 2 Re { q ¯ * ( 0 ) F ^ q ( θ ) } = ( R 20 ( 1 ) 2 z 2 + R 11 ( 1 ) z z ¯ + R 02 ( 1 ) 2 z ¯ 2 + ⋯ R 20 ( 2 ) 2 z 2 + R 11 ( 2 ) z z ¯ + R 02 ( 2 ) 2 z ¯ 2 + ⋯ ) 其中系数 R i j ( 1 ， 2 ) = R i j ( 1 ， 2 ) ( θ ) 。 由于 − 2 Re { q ¯ * ( 0 ) F ^ q ( θ ) } = − G ( z ， z ¯ ) q ( θ ) − G ¯ ( z ， z ¯ ) q ¯ ( θ ) = − ( G 20 2 z 2 + G 11 z z ¯ + G 02 2 z ¯ 2 ) q ( θ ) − ( G ¯ 20 2 z ¯ 2 + G ¯ 11 z z ¯ + G ¯ 02 2 z 2 ) q ¯ ( θ ) 所以 R 20 ( 1 ) = − G 20 q 1 e i ω 0 θ − G ¯ 02 q ¯ 1 e − i ω 0 θ ， R 20 ( 2 ) = − G 20 q 2 e i ω 0 θ − G ¯ 02 q ¯ 2 e − i ω 0 θ R 11 ( 1 ) = − G 11 q 1 e i ω 0 θ − G ¯ 11 q ¯ 1 e − i ω 0 θ ， R 11 ( 2 ) = − G 11 q 2 e i ω 0 θ − G ¯ 11 q ¯ 2 e − i ω 0 θ R 02 ( 1 ) = − G 02 q 1 e i ω 0 θ − G ¯ 20 q ¯ 1 e − i ω 0 θ ， R 02 ( 2 ) = − G 02 q 2 e i ω 0 θ − G ¯ 20 q ¯ 2 e − i ω 0 θ 为了决定分岔解的行为，通过下式计算 w = v ( z ， z ¯ ) 。 A v 20 ( 1 ， 2 ) = 2 i ω 0 v 20 ( 1 ， 2 ) − R 20 ( 1 ， 2 ) ， A v 11 ( 1 ， 2 ) = − R 11 ( 1 ， 2 ) ， A v 02 ( 1 ， 2 ) = − 2 i ω 0 v 02 ( 1 ， 2 ) − R 02 ( 1 ， 2 ) (17) 注意到算子 A 的定义，(17)式即 { d v 20 ( 1 ) d t = 2 i ω 0 v 20 ( 1 ) + G 20 q 1 e i ω 0 θ + G ¯ 02 q ¯ 1 e − i ω 0 θ d v 20 ( 2 ) d t = 2 i ω 0 v 20 ( 2 ) + G 20 q 2 e i ω 0 θ + G ¯ 02 q ¯ 2 e − i ω 0 θ { d v 11 ( 1 ) d t = G 11 q 1 e i ω 0 θ + G ¯ 11 q ¯ 1 e − i ω 0 θ d v 11 ( 2 ) d t = G 11 q 2 e i ω 0 θ + G ¯ 11 q ¯ 2 e − i ω 0 θ { d v 02 ( 1 ) d t = − 2 i ω 0 v 02 ( 1 ) + G 02 q 1 e i ω 0 θ + G ¯ 20 q ¯ 1 e − i ω 0 θ d v 02 ( 2 ) d t = − 2 i ω 0 v 02 ( 1 ) + G 02 q 2 e i ω 0 θ + G ¯ 20 q ¯ 2 e − i ω 0 θ ， − τ N ≤ θ < 0 (18) 相似地，由方程(15)的第二个方程得到初值条件 { a 11 v 20 ( 1 ) | θ = 0 + a 12 v 20 ( 2 ) | θ = 0 − 2 i ω 0 v 20 ( 1 ) | θ = 0 + b 1 v 20 ( 1 ) | θ = − τ s + R 20 ( 1 ) + 2 f 0 = 0 − γ N v 20 ( 2 ) | θ = 0 − 2 i ω 0 v 20 ( 2 ) | θ = 0 + b 2 v 20 ( 1 ) | θ = − τ N + b 3 v 20 ( 2 ) | θ = − τ N + R 20 ( 2 ) + 2 g 0 = 0 { a 11 v 11 ( 1 ) | θ = 0 + a 12 v 11 ( 2 ) | θ = 0 + b 1 v 11 ( 1 ) | θ = − τ s + R 11 ( 1 ) + f 1 = 0 − γ N v 11 ( 2 ) | θ = 0 + b 2 v 11 ( 1 ) | θ = − τ N + b 3 v 11 ( 2 ) | θ = − τ N + R 11 ( 2 ) + g 1 = 0 (19) { a 11 v 02 ( 1 ) | θ = 0 + a 12 v 02 ( 2 ) | θ = 0 + 2 i ω 0 v 02 ( 1 ) | θ = 0 + b 1 v 02 ( 1 ) | θ = − τ s + R 02 ( 1 ) + 2 f 2 = 0 − γ N v 02 ( 2 ) | θ = 0 + 2 i ω 0 v 02 ( 2 ) | θ = 0 + b 2 v 02 ( 1 ) | θ = − τ N + b 3 v 02 ( 2 ) | θ = − τ N + R 02 ( 2 ) + 2 g 2 = 0 对方程(18)积分在初值条件(19)下积分，可得出 { v 20 ( 1 ) = E 1 e 2 i ω 0 θ + i G 20 q 1 ω 0 e i ω 0 θ + i G ¯ 02 q ¯ 1 3 ω 0 e − i ω 0 θ v 20 ( 2 ) = E 2 e 2 i ω 0 θ + i G 20 q 2 ω 0 e i ω 0 θ + i G ¯ 02 q ¯ 2 3 ω 0 e − i ω 0 θ (20.1) { v 11 ( 1 ) = E 3 − i G 11 q 1 ω 0 e i ω θ 0 + i G ¯ 11 q ¯ 1 ω 0 e − i ω 0 θ v 11 ( 2 ) = E 4 − i G 11 q 2 ω 0 e i ω θ 0 + i G ¯ 11 q ¯ 2 ω 0 e − i ω 0 θ (20.2) (20.3) 其中系数 E 1 ， E 2 ， E 3 ， E 4 ， E 5 ， E 6 由方程初值条件(19)决定。