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user: 3. 新摆线谐波传动共轭特性分析 综合考虑谐波传动轮齿齿廓、弹性变形、共轭理论等因素，采用新型摆线齿廓作为柔轮齿廓，基于包络法精确共轭理论 [ 17 ] 求解表2参数的柔轮摆线齿廓的共轭解，获得如图3所示的2条共轭解曲线，如图4所示的共轭齿廓。为更加直观的反映新齿形的啮合状态，图5给出了柔轮齿相对于刚轮齿槽的啮合运动轨迹图。 图3. 共轭区域图 图4. 共轭齿廓图 图5. (a) 啮合运动轨迹及局部放大图；(b) 啮合运动轨迹及局部放大图 Table 2 Calculation parameters of new cycloidal tooth profile of soft whee 参数 参数值 参数 参数值 z r 200 h a ， h f 0.65 m 0.254 mm h q 0.25 α 12˚ c * 0.25 w o 0.254 mm r w 0.4 mm K 1.2 r n 0.4 mm 表2. 柔轮新摆线齿廓计算参数 图3中横轴表示为柔轮齿廓对应的极角，纵轴表示为波发生器的转角，由图可见，新摆线齿形谐波传动存在两个共轭区域，一个在长轴0˚附近很窄的区间(实线对应的纵坐标M3M4)，共轭区间[−0.343˚，2.331˚]，此时轮齿处于完全啮合状态，该区间称为共轭区I；另一个处于波发生器长轴与短轴中间较大区域(虚线对应的纵坐标M1M2)，共轭区间[20.26˚，52.42˚]，此时柔轮处于啮入状态，称为共轭区Ⅱ；在两共轭区之间的区间(M2M3)，称为空白区。 图3中，柔轮齿廓上给定的D点与刚轮齿廓分别在A、C两个波发生器转角位置处于共轭状态，这称为二次共轭现象；在给定的波发生器转角位置E处，柔轮齿廓上存在A、B两点与刚轮齿廓同时处于共轭状态，称为二点共轭现象。二次共轭现象的存在可以显著地提高啮合区域范围，有效地提高谐波传动重合度；二点共轭现象可以有效增加啮合弧长，提高谐波传动承载能力。 图4中，虚线为共轭区Ⅱ对应的共轭齿廓，实线为共轭区Ⅰ对应的共轭齿廓。由图5啮合轨迹线可见，为避免干涉刚轮齿廓只能由1、2、3 (部分)、C1 (该曲线由柔轮齿顶点包络形成，不存在共轭解，属于尖点啮合状态)曲线组成，由于齿廓4、5、6均不能成为刚轮齿廓，所以该齿廓不存在二次共轭现象，啮合区范围很小。若可使得共轭齿廓3与4重合，则对应图3中共轭区域为1、2、3、4，可以显著地提高啮合区域范围，二次共轭与二点共轭同时存在，即保证双共轭现象存在，显著提高谐波传动性能。 3.1. “双共轭现象”分析 为保证双共轭现象存在，必须使共轭齿廓3与4重合，以此为优化设计目标，在保证轮齿不产生啮合干涉的条件下，尽可能增大共轭区域，从而优化柔轮摆线齿廓参数。优化设计后的柔轮齿廓齿形的基本参数如表3所示，对应的共轭齿廓如图6所示，其中共轭齿廓3与4的重合误差不超过0.0005 mm。选取图6中的ABCD段共轭齿廓作为设计刚轮齿廓。 图6. (a) 优化后有效共轭齿廓及运动轨迹验证图；(b) 优化后有效共轭齿廓及运动轨迹验证图 Table 3 The basic profile parameters of the soft wheel are optimize 参数 参数值 参数 参数值 z r 200 h a ， h f 0.65 m 0.254 mm h q 0.20 α 12˚ c * 0.25 w o 0.254 mm r w 0.233 mm K 1.2 r n 0.233 mm 表3. 优化后柔轮基本齿廓参数 3.2. 齿形参数对共轭特性影响分析 由图4可见，柔轮齿廓在整个啮合区上均存在共轭齿廓，但考虑到轮齿啮合要求，柔轮切线共轭齿廓5、与柔轮内摆线共轭齿廓6不可用。共轭齿廓4刚好完全包络共轭齿廓3时，该柔轮齿廓为“二次共轭齿廓”，反之为“二点共轭齿廓”，共轭齿廓4与共轭齿廓3重合时，该柔轮齿廓为“双共轭齿廓”。 由表4可见，“双共轭齿廓”存在两个共轭区，其共轭区大小是“二次共轭齿廓”的1.06倍，是“二点共轭齿廓”的17.33倍；其啮合弧长与“二点共轭齿廓”接近，是二次共轭齿廓的2.65倍，“双共轭齿廓”优势彰显无遗。 3.3. 啮合侧隙与重合度分析 1) 啮合侧隙分析 啮合侧隙是评价谐波传动实际啮合特性和获得可靠啮合力的关键。在谐波传动中，对于柔轮轮齿与刚轮轮齿的每一个啮合位置(波发生器处于某个转角时)，以柔轮工作齿廓上取任一点 k 1 ，以柔轮回转中心为原点，以原点与 k 1 的距离 r k 为半径做圆弧，与相邻刚轮工作齿廓交点于 k 2 ，如图7侧隙计算模型可见， k 1 与 k 2 点圆周距离 j t 即为谐波传动在 k 1 的啮合侧隙 [ 2 ] ，选取柔轮右侧工作齿廓作为计算齿廓，给出了如图8所示新摆线谐波传动柔轮啮合侧隙变化图。 由图8可见，“双共轭齿廓”啮合侧隙呈现先增大后减小趋势，存在两个“零侧隙区域”；由图9可见，“零侧隙区域”分别发生在完全啮合区域与啮入区域；“双共轭齿廓”最大啮合侧隙发生在转角22˚左右，其值为2.5 um，在转角58˚附近脱离啮合。与“二次共轭齿廓”、“二点共轭齿廓”相比，其啮合侧隙分布更均匀，最大啮合侧隙更小，更有力于合理分配齿间载荷，提高谐波传动的承载能力与传动性能。 “二次共轭齿廓”与“双共轭齿廓”的啮合侧隙曲线接近，仅是提前脱离啮合，同时啮合齿对数略小；“二点共轭齿廓”啮合侧隙大，且仅在波发生器长轴附近处，存在“零侧隙区域”，所以从啮合传动角度，优选“双共轭齿廓”与“二次共轭齿廓”。 2) 重合度分析 由于谐波齿轮传动属于弹性共轭运动，所以无法用传统刚性齿轮的重合度计算方法。谐波传动重合度 [ 18 ] 实际上是指传动过程中同时参与啮合的齿对数。由表5可见，“双共轭齿廓”理论上同时啮合齿对数为64.898，达到谐波传动轮齿总对数的32.4%，因此与渐开线齿形谐波传动同时啮合齿对数总齿数的3%相比，新摆线齿形谐波传动重合度明显提升，啮合齿对数更多，传动平稳性更高，承载能力更强。 图7. 侧隙计算模型 图8. 啮合侧隙比较图 Table 4 The influence of the main parameters of the soft wheel on the conjugate interval and the long Angle of the meshing ar 名称 柔轮主要影响参数 共轭区间/˚ 啮合弧长极角/˚ r w /mm r n /mm α/˚ h q “二次共轭齿廓” 0.424 0.233 12 0.20 [19.85， 47.66] [0.234， 0.383] 0.233 0.251 12 0.20 [19.81， 58.41] [0.187， 0.385] 0.233 0.233 11.4 0.20 [18.55， 58.18] [0.190， 0.384] 0.233 0.233 12 0.226 [19.77， 58.41] [0.183， 0.379] “二点共轭齿廓” 0.151 0.233 12 0.20 [−0.458， 2.818] [0.193， 0.706] 0.233 0.221 12 0.20 [−0.436， 2.779] [0.187， 0.692] 0.233 0.233 12.3 0.20 [−0.457， 2.713] [0.185， 0.706] 0.233 0.233 12 0.1975 [−0.457， 2.808] [0.187， 0.706] “双共轭齿廓” 0.233 0.233 12 0.20 [−0.458， 2.818] [19.85， 58.41] [0.185， 0.706] 表4. 柔轮主要参数对共轭区间与啮合弧长极角的影响 图9. “双共轭齿廓”啮合投影图 Table 5 Calculation of recombinatio 共轭齿廓类型 符号 名称 参数值 重合度 双共轭齿廓 N 传动波数 2 ε = N ∅ Z C 360 = 64.898 Z C 刚轮齿数 202 ∅ 刚轮单个齿的啮合区间角 57.83˚ 二次共轭齿廓 N 传动波数 2 ε = N ∅ Z C 360 = 48.388 Z C 刚轮齿数 202 ∅ 刚轮单个齿的啮合区间角 43.94˚ 二点轭齿廓 N 传动波数 2 ε = N ∅ Z C 360 = 3.636 Z C 刚轮齿数 202 ∅ 刚轮单个齿的啮合区间角 3.24˚ 表5. 重合度计算