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user: 2. Q γ 1 γ 2 ( ℝ n ) 的基本性质 在本节当中，我们给出 Q γ 1 γ 2 ( ℝ n ) 的一些基本性质，以及 Q γ 1 γ 2 ( ℝ n ) 空间的等价刻画如下： 引理1 令 γ 1 ≥ 0 ， γ 2 ≥ 0 。若 sup I ( l ( I ) ) γ 1 − n ∫ | y | < l ( I ) ∫ I | f ( x + y ) − f ( x ) | 2 d x d y | y | n + γ 2 < ∞ 则 f ∈ Q γ 1 γ 2 ( ℝ n ) 。 引理2 令 γ 1 ≥ 0 ， γ 2 ≥ 0 。 1) 设 { γ 1 ， γ 2 } 和 { k 1 ， k 2 } 为两常数对，其中 γ 1 − γ 2 = γ ′ 1 − γ ′ 2 。若 γ 1 ， γ 2 ≥ 0 ， γ ′ 2 > γ 2 ，则 Q k 1 k 2 ( ℝ n ) ⊂ Q γ 1 γ 2 ( ℝ n ) 。 2) 若 γ 2 ∈ ( − ∞ ， 0 ) ，则 Q γ 1 γ 2 ( ℝ n ) ⊂ B M O γ 1 ， γ 2 ( ℝ n ) ，其中 B M O γ 1 ， γ 2 ( ℝ n ) 的定义为： sup I ( l ( I ) ) γ 1 − γ 2 − 2 n ∫ I ∫ I | f ( x ) − f ( y ) | 2 d x d y < ∞ I 为 ℝ n 上平行于坐标轴的方体。 引理3 令 n ≥ 2 ， γ 1 ， γ 2 ≥ 0 。 1) 若 1 ≤ q ≤ 2 ， 0 < γ 1 < 1 ，则 B ˙ n γ 1 / 2 ， q γ 2 2 ( ℝ n ) ⊆ Q γ 1 γ 2 ( ℝ n ) 。 2) 令 1 ≤ q ≤ ∞ ， γ 1 ， γ 2 ≥ 0 。若 γ 1 − γ 2 = γ 2 − γ 1 2 ，则 B ˙ n γ 2 ， q γ 1 ( ℝ n ) ⊆ Q γ 1 γ 2 ( ℝ n ) 。 引理4 任取 N ∈ ℕ ，则存在一个函数 ϕ : ℝ n → ℝ n 使得以下条件成立： 1) sup p ( ϕ ) ⊂ { x ∈ ℝ n : | x | ≤ 1 } ； 2) ϕ 是径向函数； 3) ϕ ∈ C ∞ ( ℝ n ) ； 4) 若 γ ∈ ℕ n ，则 ∫ ℝ n x γ ϕ ( x ) d x = 0 ，其中 x γ = x 1 γ 1 x 2 γ 2 ⋯ x n γ n ， | γ | = γ 1 + γ 2 + ⋯ + γ n ； 5) 若 ξ ∈ ℝ n \ { 0 } ，则 ∫ 0 ∞ ( ϕ ^ ( t ξ ) ) 2 d t t = 1 。 定理1 令 ϕ 为满足上述引理的一个函数，并且满足 ∫ ℝ n ϕ ( x ) d x = 0 ， 0 ≤ γ 1 < n ， γ 2 ≥ 0 。若函数 f ∈ Q γ 1 γ 2 ( ℝ n ) ，则 d μ f ， ϕ ， γ 1 ， γ 2 ( t ， x ) = | ( f * ϕ t ) ( x ) | 2 t − 1 − γ 2 d t d x 是一个 ( 1 − γ 1 / n ) − Carleson测度。 证明 由 ∫ ℝ n ϕ ( x ) d x = 0 ，则有 ( f * ϕ t ) ( x ) = ∫ | y | < t ( f ( x − y ) − f ( x ) ) ϕ t ( y ) d y 。根据Minkowski不等式和Fubini定理得： μ f ， ϕ ， γ 1 ， γ 2 ( S ( I ) ) ≤ ∫ 0 l ( I ) ( ∫ | y | < t ‖ f ( ⋅ − y ) − f ( ⋅ ) ‖ L 2 ( I ) | ϕ t ( y ) | d y ) 2 t − 1 − γ 2 d t ≤ C ∫ | y | < l ( I ) ∫ I | f ( u − y ) − f ( u ) | 2 | y | n + γ 2 d u d y ≤ C ∫ 3 I ∫ 3 I | f ( x ) − f ( y ) | 2 | x − y | n + γ 2 d x d y 其中C为任意常数。 定义2 令 γ 1 ≥ 0 且 γ 2 ≥ 0 ，我们定义 T γ 1 ， γ 2 ∞ 为 ℝ + n + 1 上的全体Lebesgue可测函数 f 的类，且满足： ‖ f ‖ T γ 1 ， γ 2 ∞ = sup B ⊂ ℝ n ( 1 | B | 1 − γ 1 / n ∫ T ( B ) | f ( t ， y ) | 2 d y d t t 1 + γ 2 ) 1 / 2 < ∞ 其中 B 为 ℝ n 上的球， T ( B ) 为球 B 上的帐篷，定义为： T ( B ) = { ( x ， t ) ∈ ℝ + n + 1 : x ∈ B ( x 0 ， r ) ， 0 < t < r B } 。 下面我们定义帐篷空间的原子分解： 定义3 令 γ 1 ≥ 0 且 γ 2 ≥ 0 ，在 ℝ n 上存在一个函数 a ，使得 a 支于帐篷 T ( B ) ，且满足： ∫ T ( B ) | a ( t ， y ) | 2 d t d y t 1 − γ 2 ≤ 1 | B | 1 − γ 1 / n 则称 a 为 ℝ + n + 1 上的 T γ 1 ， γ 2 1 原子，其中 B 为 ℝ n 上的球。 下面我们引入 T γ 1 ， γ 2 ∞ 的对偶空间 T γ 1 ， γ 2 1 ： 定义4 令 γ 1 ≥ 0 且 γ 2 ≥ 0 ，设 f 为 ℝ + n + 1 上的全体Lebesgue可测函数，且满足如下条件： ‖ f ‖ T γ 1 ， γ 2 1 = inf ω ( ∫ ℝ + n + 1 | f ( t ， x ) | 2 ω − 1 ( t ， x ) d t d x t 1 − γ 2 ) 1 / 2 < ∞ 则称为 f ∈ T γ 1 ， γ 2 1 。其中， ω 为 ℝ + n + 1 上满足 ∫ ℝ n N ω   dΛ n − γ 1 ∞ ≤ 1 的全体非负Borel可测函数。 引理5 若 ∑ j | g j | T γ 1 ， γ 2 1 < ∞ ，则 g = ∑ j g j ∈ T γ 1 ， γ 2 1 且 | g | T γ 1 ， γ 2 1 ≤ C 1 − 1 C 2 ∑ j | g j | T γ 1 ， γ 2 1 其中 C 1 − 1 ， C 2 为常数。 引理6 令 γ 1 ≥ 0 且 γ 2 ≥ 0 1) 若 f ∈ T γ 1 ， γ 2 1 ，当且仅当存在一个 T γ 1 ， γ 2 1 原子序列 a j 和一个 l 1 序列使得 f = ∑ j λ j a j 。更进一步， | f | T γ 1 ， γ 2 1 ≈ inf { ∑ j | λ j | : f = ∑ j λ j a j } ， 等式右边定义了一个 T γ 1 ， γ 2 1 空间上的范数，使得 T γ 1 ， γ 2 1 空间成为Banach空间。 2) 若 f ∈ T γ 1 ， γ 2 1 ， g ∈ T γ 1 ， γ 2 ∞ ，则不等式 ∫ ℝ + n + 1 | f ( t ， y ) g ( t ， y ) | d t d y t ≤ C ‖ f ‖ T γ 1 ， γ 2 1 ‖ g ‖ T γ 1 ， γ 2 ∞ 成立。 3) T γ 1 ， γ 2 1 空间的Banach对偶可由 T γ 1 ， γ 2 ∞ 空间在如下条件： 〈 f ， g 〉 = ∫ ℝ + n + 1 f ( t ， y ) g ( t ， y ) d t d y t 成立，来等价定义。