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user: 10. 人工智能、算法与人脑、人的智力孰强问题的由来及哥德尔定理及其相关问题详析 哥德尔定理由一个特殊的、看似怪异的命题(夲句不可证)，得到一般性的结论，总有牵强之感。其解释历来存在争议，比如有“哥德尔命题G与﹁G都不是定理，但GÚ﹁G却是定理”这样的怪事出现。大逻辑学家维特格斯坦、策墨罗等都曾经提出过异议。笔者这里对此进行一些分析以图得到更为确实可信的结论。 哥德尔在给策墨罗的信中说：“真”这个概念不能归结为有穷组合的性质，而只能取决于它的超穷性质。这就足以反映哥德尔定理就其解释层面的问题所在。正如笔者一贯认为并证明的，在本质上，根本就不会有必须的、不可缺少的“超穷”系统。因此把“真”这个概念推到超穷以试图回避，除了需要对理论做重新解释外，没有其它意义。哥德尔以为，只要把说谎者悖论“夲句错”改成“夲句不可证(非定理)”就可以回避矛盾也就是得不到悖论了。但事实上不然。我们可以证明如下：哥德尔定理，作为定理依赖于系统内的公理，因此只能是系统内的定理。其结论自然也都是系统内的。也就是它只能得到关于系统内的相关结论。而系统内定理其值必真，可是一个二值系统(非真必假。此为以下结论的必要条件)非定理也就是不可证的命题必假。而哥德尔定理既然叫“定理”，也就是承认自己是依据系统内的公理推导出来的，其一切结论如前所述就应该都是系统内的。也就是不可能由它得到一个系统内的的命题但其真值只能由系统外在所谓“超穷意义上”才可确定。如果这种说法站的住脚，那罗素悖论、说谎者悖论(直接与哥德尔命题相关)的另一半，也可以说是另外层次的而不构成悖论，这不就是罗素并不很成功的“类型论”吗？事实上，这种说法直接与定理的定义是矛盾的：一个系统内的定理，得到了一个在系统内不可判定、不可证明的也就是不是系统内的定理但又实际上是真的命题，却又在系统外可以确定其为真。为了刻意回避这个显明的矛盾，人们只能把一个一眼就能看出(其实也就是可以最后一步被显然证明出)的真的结论，非常造作地“假装”成在系统内是得不到的、不知道的，不可证的。而彭罗斯、卢卡斯等人，据此甚至得出“人脑直觉比机器、算法强”这样牵强附会而且充满玄学意味的结论(算法不可证，但人脑可判断或知道其为真)。而另一方面，一旦把人脑、“心智”看成形式系统的一部分，立刻又会有如何知道哥德尔命题(“夲句不可证”)是真的？关于这种两难的局面，各种观点足足争论了近一个世纪。显然，这可看作是理论的困境。按过去的解释，这里面有没有澄清的地方。事实上，既然哥德尔定理最后一步推得了一个明确地必须为系统内的真命题“夲句非定理(不可证)”，与它上一步得到的系统内的假命题“夲句为定理(可证)”就必然在二值逻辑下构成矛盾(悖论)。我们必须明确也只能承认此点。只是在二值逻辑系统中，这个状态尽管在现实世界中不但早就存在而且也早已被发现，但在二值系统中无法进行真值归类。由以上分析可知，哥德尔进而哥德尔定理并没有证明系统内的一个不可证(非定理)的命题而只能由系统外判定其真这回事，因此如果非要下这个结论，它只能是一个“认识”、“断言”“猜想”(而且是如它自己所言，是不可证的！)，而且是系统外的。哥德尔定理所实际能够得到的，仍然是与说谎者悖论同构的一个系统内的悖论。那种什么“哥德尔定理巧妙地在悖论的边缘构造了一个命题证明了什么什么”的说辞，或说哥德尔定理是“元数学意义上的定理”(而元数学是什么，它凭什么存在，从来就没有定义清楚过)等附会说法，是无法成立的。既然哥德尔构造的哥德尔语句(夲句不可证)兜了个大圈子，由上文分析知道不过是个系统内的悖论性命题(说谎者悖论，哥德尔一直辩解想否定其构造的那个语句是悖论，但事实上做不到)，那么它就应该可以由形式系统和公理集合论所排除，尽管其在系统内可以被表达也允许被表达。 问题究竟出在哪里？这里有一个以往被严重误读的重要问题需要澄清：如果哥德尔命题进而哥德尔定理涉及的是不可判定语句(也就是命题与其反命题都不是系统定理)，那么，哥德尔命题进而哥德尔定理甚至是根本无法表述的。因为一个有效的证明(也就是定理)必须在有限步骤内完成，于是与之相应的“哥德尔数”必然有限。而不可证(非定理)如果是不可判定意义上的(即该命题的否定也是不可证(非定理)的。而不是﹁A可证为定理了，进而推出A不可证(非定理)之意)，则必然是有效证明(可有限步内)的否定，有限的否定是无限，也就是不可能在有限步内得到。即，其涉及的是无限步，换言之在实际中(也就是有限步或有限时间内)根本就得不到“不可判定”(以及在此意义上的“不可证”、“非定理”)这样的结论。直观上，一个数学命题(这里不仅限于哥德尔命题类型的“自指代”、“自指否”命题)还没有被证明，不能叫不可证、非定理、不可判定，只有在时间上永远没有证明才行。但这个“永远”，是可以在现实中得到的吗？哥德尔命题的数码表示中，那个“对所有n”如何如何的表述，实际暗含不可能在所有有限的系统表述中发现这个关于不可证的涉及无限个字符的命题。即，这里的所谓“对所有的n”，不能按对应的有限个字符翻译成哥德尔编码，而是应该列出所有的n，这当然对应于无穷大。也就是在一个由有限字段表示的元素的表(集合)中，虽然可以把“无限个元素”这样表述作为元素，但不包括必须有无限字符才可表达(也就是实际不可表达)的元素。这一点事实上对应于自然数集合的元素个数虽然是无限的(有无限多的自然数)，但并没有叫无限的、也就是本身就是无限的那个自然数存在。明确说，一个系统中的证明、定理、可判定，可以在有限步内完成，因此就会有一个具体的、有限“长度”的哥德尔编码；但其否定不可证、非定理、不可判定，必然否定这个有限步或有限“长度”，也就是不可能给它配一个具体的、有限的哥德尔数。只是在表述中写上“对所有的n”如何如何，而不是真的可以列出这个”所有的n”(实际也就是无穷大，当然在现实中是无法列出的)。也就是那个有限哥德尔编码数表示的命题“夲句不可证(非定理)”在形式系统中根本就无法被表达。理由如下：设n为哥德尔编码数，当然是指的具体的某一个。由前文所述，要真正表达“夲句不可证(非定理)”，在哥德尔编码中只能表示成“本n表示在所有n下才能表示出的(也就是需要无穷个n)均构不成证明对的那个哥德尔数”，显而易见，这是试图用有限、具体的一个哥德尔数去表达哥德尔数为无穷也就是无法实际表达的一个命题。事实上，传统上认为的哥德尔命题，也就是“夲句不可证(不可表达)”或更确切地“夲句不可判定”，在实际用哥德尔编码数表示出来后，应该是“夲句为不可证(非定理)的定义”，因为在“不可证”的表述中，我们只是使用“对所有n”、“不存在n”这样的表述，并直接用这些字符的哥德尔数表示“不可证(非定理)”等概念的意思，这就是一个定义，而不是“不可证(非定理)”本身。即：我们当然没有可能在有限步或用有限的哥德尔数去表达真正的“所有n”，那是真的无穷，而不仅是“无穷的定义”也就是“无穷”这两个字而已。一个句子，如仅仅是对某概念命题定义的表述，当然不会再构成悖论。也就是说，要想在有限步内表达出在有限步内根本无法表达也就是必然要涉及无限步才可完成表达的一个命题，是不可能的。当然，我们仅就其定义，是可以给出的。定义当然可以用有限个词(对应于有限的哥德尔编码数)来表达。 经以上分析我们可以看出，现有形式系统对概念、命题的“表达”不完备，而非对可表达的命题本身不完备(哥德尔定理原先的解释)。即：并非有真而不可证或不可判定的命题在系统中，而是不可判定命题本身在形式系统中就是无法表达的(当然其定义可以)。也可以说，所谓不可判定命题需要无穷的时间或步骤才可确立，因此其本身就是在有限步内不可判定的(不可判定本身就不可判定。或更确切地说，是不可判定本身在有限时间内不可判定。即：不可判定命题本身的确定或判定，需要无穷时间或步骤，而这根本不可能在现实中实现)，因为其严格表述也就是其定义即是如此：一个在有限步骤内无法判定或确定其是否真是不可判定的命题才是真正意义的不可判定命题。换言之，在有限时间或步骤内，不可能确立或得到一个不可判定的命题。有限时间或步骤中能现实得到的，充其量也就是一个“尚未被判定”或“尚待判定”的命题。但这不是“不可判定”。哥德尔定理是说，有一个实际是真的命题在系统内可表达但不可证(非定理)进而是不可判定的，似乎任何命题在系统内都可表达。但“本命题不可证(非定理)为真”却不可在系统内被表达，因为哥德尔为回避系统内的悖论和矛盾，声称这个“真”的结论在系统内是得不到的。但如前文分析，这也要产生问题。笔者实际得到的进展不过是：哥德尔命题“本命题不可证(非定理)”本身就是或才是不可在系统内被表达的。 事实上，证明不可判定(及其意义下的不可证)不能在有限时间、步骤中得到很容易：设可以在有限时得到，则其反命题可证必需要无限时才能达到。这与可证、可判定的定义与要求相悖(原始递归，有终止)，于是得证。 我们甚至可以直接定义命题或语句“需要无穷步或无穷时间才可表达的命题”，或“在系统中不可表达的命题”等这样的命题。这些命题当可在系统内被定义、被表述(写出来就是表述、定义了)，但不可表达，也就是真正实现。因为它们的表达都要涉及无穷步骤及无穷的时间成本。哥德尔命题(夲句不可证)不过是此类命题中的一个罢了。 总之，如果一个命题A不是定理也就是不可证可以在有限步内判定，那么﹁A必是定理(为真，当然在有限步内可判定)，这是前提。现在反过来了，认为(误认为)可以在有限步内判定A不是定理(不可证)，且事实为真。由此推得﹁A假，则假命题也必非定理，于是A不可判定。显然，我们可以看出这是本末倒置、循环论证。 至此，对哥德尔定理问题可以总结归纳如下： 由于一个形式系统中对命题的判定、证明只能是在有限时间、步骤内实现的，因此其逆命题不可判定的结论不可能在有限步或时间内达到，因此本质上在形式系统中无法真正被表达。哥德尔在证明中对全称量词下命题的表述(比如定义。有限字符即可充分实现)与真正表达(需要无限的字符，实际不可能在现实中实现)没有进行区分。这并不奇怪，在有限步内不能确定的“命题的不可判定性”，只能是在无限时间意义上的。有限时间或步骤下只能得到“还没证”、“未判定”这样的命题。哥德尔在此处没有明确表述；因此哥德尔意义上的不可判定语句(并非仅仅是其定义)等等，并不真的存在。希尔伯特纲领仍有实现可能。总之，哥德尔定理的实质，是对不可判定及与其相关的不可证需要无限的时间这个事实没有充分领悟，这当然涉及到量词“对所有n”或“不存在n”云云的实际实现(证明所要求的)而非仅仅是语言刻画即定义。既然有“不存在n”，怎么会有一个依赖于自然数n的哥德尔数？此外，都说哥德尔定理与康托对角线法有渊源，我们说，集合元素间的一一对应必须依赖于具体的对应方式也就是函数关系，根本就没有什么普适的一一对应关系。因此，可数的证明，只需有一个特殊的对应方式把所证集合与自然数一一对应起来即可。而不可数，则需要所有对应方式(函数关系)都不能建立起这种一一对应关系才行。而都知道，这样的函数关系有无穷种，因此理论上不可数根本就不可证。换言之，不可数的定义要求，因为它是一个普遍的、一般性的有关一一对应下的函数关系的结论，因此不能再依赖于任何具体的一一对应函数关系。但实际上被认为是证明了实数集合不可数的康托对角线法却恰恰没有做到这点(当然由前述理由也不可能做到)，它隐含了具体的对应方式(详见下文及参考文献笔者的讨论)。类似，可证、可判定概念要求步骤有限(进而时间有限)，因此作为其反命题的“不可证”、“不可判定”，必然涉及无限，也就是本质上是实现不了的。