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user: 2. 预备知识 设 P 是Banach空间 E 中的锥， E 中的半序由锥 P 导出。若存在常数 N > 0 ，使得 θ ≤ x ≤ y ⇒ ‖ x ‖ ≤ N ‖ y ‖ ，则称 P 是正规锥。如果 P 含有内点，即 P 的内部 int P ≠ ∅ ，则称 P 是体锥。 E 在半序 ≤ 下成为一个格，即对任意的 x ， y ∈ E ， sup { x ， y } 和 inf { x ， y } 都存在。对 x ∈ E ， x + = sup { x ， θ } ， x − = sup { − x ， θ } ，分别称为 x 的正部和负部， | x | = x + + x − 称为 x 的模。显然， x + ∈ P ， x − ∈ ( − P ) ， | x | ∈ P ， x = x + − x − 。 为了文中叙述方便，使用下列符号： x + = x + ，   x − = − x − 。于是 x = x + + x − ，   | x | = x + − x − 。 设 E = C [ 0 ， 1 ] ，范数 ‖ u ‖ = max t ∈ [ 0 ， 1 ] | u ( t ) | ， P = { u ∈ E : u ( t ) ≥ 0 ， t ∈ [ 0 ， 1 ] } 。显然 E 是Banach空间。 P 是 E 的一个正规体锥，且 E 在锥 P 导出的半序“ ≤ ”下成为一个格。 分别定义算子 K ， F 和 A 如下： K u ( t ) = ∫ 0 1 G ( t ， s ) u ( s ) d s ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ， ∀ u ∈ E F u ( t ) = f ( u ( t ) ) ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ， ∀ u ∈ E A = K F 其中 G ( t ， s ) = { s ( t − s 2 ) ， 0 ≤ s ≤ t ≤ 1 ， 1 2 t 2 ， 0 ≤ t ≤ s ≤ 1 是问题(1)所对应的Green函数。利用Green函数的性质，容易证明 A : E → E 是全连续算子，并且 u ∈ C 3 [ 0 ， 1 ] 是问题(1)的解当且仅当 u ∈ E 是算子 A 在 E 中的不动点。 引理1： [ 7 ] 算子 F 与 A = K F 在格 E = C [ 0 ， 1 ] 上都是拟可加的。 引理2：设 0 < λ 1 < λ 2 < ⋯ < λ n < λ n + 1 < ⋯ 是方程 e − 3 2 λ 3 + 2 cos 3 2 λ 3 = 0 的正解，则 1 λ 1 > 1 λ 2 > ⋯ > 1 λ n > 1 λ n + 1 > ⋯ > 0 分别为线性算子 K 的特征值，且每个特征值 1 λ i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ) 的代数重数为1。 证明：先考虑特征值问题 { − u ‴ ( t ) = λ u ( t ) ， t ∈ [ 0 ， 1 ] u ( 0 ) = u ′ ( 0 ) = u ″ ( 1 ) = 0 (2) 当 λ > 0 时，记 λ 3 = a ，则(2)的通解为 u ( t ) = C 1 e − a t + C 2 e 1 2 a t cos 3 2 a t + C 3 e 1 2 a t sin 3 2 a t ，   t ∈ [ 0 ， 1 ] 。 其中 C i ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 是任意常数，由 u ( 0 ) = u ′ ( 0 ) = 0 ，可得 C 2 = − C 1 ，   C 3 = 3 C 1 ，所以 u ( t ) = C 1 ( e − a t − e 1 2 a t cos 3 2 a t + 3 e 1 2 a t sin 3 2 a t ) ，     t ∈ [ 0 ， 1 ] 又由 u ″ ( 1 ) = 0 ，可得 C 1 ( a 2 e − a + 2 a 2 e 1 2 a cos 3 2 a ) = 0 ，由于 C 1 ≠ 0 ，故 a 2 e − a + 2 a 2 e 1 2 a cos 3 2 a = 0 ，即 e − 3 2 a + 2 cos 3 2 a = 0 。 又因为 e − 3 2 a + 2 cos 3 2 a = 0 有无穷多个正解，记为 0 < a 1 < a 2 < ⋯ < a n < a n + 1 < ⋯ ，所以 e − 3 2 λ 3 + 2 cos 3 2 λ 3 = 0 有无穷多个正解 0 < λ 1 < λ 2 < ⋯ < λ n < λ n + 1 < ⋯ ，其中 λ n = a n 3 ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ，所以问 题(2)有无穷多个正特征值 { λ n } n = 1 ∞ 。 设 μ 是线性算子 K 的特征值， u ∈ E \ { 0 } 是对应的特征函数。则 { − u ‴ ( t ) = 1 μ u ( t ) ， t ∈ [ 0 ， 1 ] u ( 0 ) = u ′ ( 0 ) = u ″ ( 1 ) = 0 所以 1 λ 1 > 1 λ 2 > ⋯ > 1 λ n > 1 λ n + 1 > ⋯ 是线性算子 K 的正特征值。 记 1 μ n 3 = λ n 3 = a ，则对应于特征值 1 λ n 的特征函数为 u ( t ) = C ( e − a t − e 1 2 a t cos 3 2 a t + 3 e 1 2 a t sin 3 2 a t ) ，   t ∈ [ 0 ， 1 ] ， 其中 C 是非零常数，所以 dim ker ( 1 λ n I − K ) = dim ker ( I − λ n K ) = 1 (3) 下面我们证明 ker ( I − λ n K ) = ker ( I − λ n K ) 2 (4) 显然 ker ( I − λ n K ) ⊂ ker ( I − λ n K ) 2 ，从而只需要证明 ker ( I − λ n K ) 2 ⊂ ker ( I − λ n K ) 。 设 u ∈ ker ( I − λ n K ) 2 ，如果 ( I − λ n K ) u ≠ θ ，那么 ( I − λ n K ) u 是线性算子 K 对应于特征值 1 λ n 的特征函 数，故存在 γ ≠ 0 ，使得 ( I − λ n K ) u = γ ( e − a t − e 1 2 a t cos 3 2 a t + 3 e 1 2 a t sin 3 2 a t ) ，   t ∈ [ 0 ， 1 ] 两边求导可得 { u ‴ ( t ) + a 3 u ( t ) = γ ( − a 3 e − a t + a 3 e 1 2 a t cos 3 2 a t − a 3 3 e 1 2 a t sin 3 2 a t ) ， t ∈ [ 0 ， 1 ] u ( 0 ) = u ′ ( 0 ) = u ″ ( 1 ) = 0 于是 u ( t ) = C 1 e − a t + C 2 e 1 2 a t cos 3 2 a t + C 3 e 1 2 a t sin 3 2 a t     − 1 3 γ a t e − a t + 1 3 γ a t e 1 2 a t cos 3 2 a t + 3 3 γ a t e 1 2 a t sin 3 2 a t 代入边界条件 u ( 0 ) = u ′ ( 0 ) = 0 ，得 u ( 0 ) = C 1 + C 2 = 0 ， u ′ ( 0 ) = − a C 1 − 1 2 a C 1 + 3 2 a C 3 − 1 3 γ a + 1 3 γ a = 0 ， 故 C 2 = − C 1 ， C 3 = 3 C 1 ，从而 u ( t ) = C 1 ( e − a t − e 1 2 a t cos 3 2 a t + 3 e 1 2 a t sin 3 2 a t )     − 1 3 γ a t e − a t + 1 3 γ a t e 1 2 a t cos 3 2 a t + 3 3 γ a t e 1 2 a t sin 3 2 a t 再代入边界条件 u ″ ( 1 ) = 0 ，得 u ″ ( 1 ) = C 1 ( a 2 e − a + 1 2 a 2 e 1 2 a cos 3 2 a + 3 2 a 2 e 1 2 a cos 3 2 a ) − 1 3 γ a ( − 2 a e − a + a 2 e − a )                     + 1 3 γ a ( a e 1 2 a cos 3 2 a − 3 a e 1 2 a sin 3 2 a − 1 2 a 2 e 1 2 a cos 3 2 a − 3 2 a 2 e 1 2 a cos 3 2 a )                     + 3 3 γ a ( a e 1 2 a sin 3 2 a + 3 a e 1 2 a cos 3 2 a − 1 2 a 2 e 1 2 a sin 3 2 a + 3 2 a 2 e 1 2 a cos 3 2 a ) = 0 因为 e − 3 2 a + 2 cos 3 2 a = 0 ，所以 cos 3 2 a = − 1 2 e − 3 2 a ，代入化简为 γ 3 a ( − 3 2 a 2 e − a − 3 a 2 e 1 2 a sin 3 2 a ) = 0 。因为 γ ≠ 0 ，若 a ≠ 0 ，则 − 3 2 a 2 e − a − 3 a 2 e 1 2 a sin 3 2 a = 0 ，从而可知 sin 3 2 a = − 3 2 e − 3 2 a 。又 cos 3 2 a = − 1 2 e − 3 2 a ，所以 ( sin 3 2 a ) 2 + ( cos 3 2 a ) 2 = ( − 3 2 e − 3 2 a ) 2 + ( − 1 2 e − 3 2 a ) 2 = ( e − 3 2 a ) 2 = 1 ， 解得 a = 0 与 a ≠ 0 矛盾，即(3)式成立，由(3)和(4)可知特征值 1 λ n 的代数重数是1。 下面的引理是本文主要结果的理论依据。 引理3： [ 7 ] 设 E 为带有格结构的Banach序空间， P 为 E 的一个正规体锥，全连续算子 A 在 E 上拟可加。如果 1) A 在 P ， − P 上严格递增； 2) A ′ P ， A ′ − P 存在且 r ( A ′ P ) > 1 ， r ( A ′ − P ) > 1 ，1不是算子 A ′ P 或者 A ′ − P 的对应于正固有元的固有值； 3) A θ = θ ， A 在 θ 处的导算子 A ′ θ 是强正的，且 r ( A ′ θ ) < 1 ； 4) A 在 ∞ 点的导数 A ′ ∞ 存在，1不是算子 A ′ ∞ 的固有值， A ′ ∞ 在区间 ( 1 ， + ∞ ) 所有固有值代数重数之和为偶数。 那么 A 至少存在三个非零不动点，其中包含一个变号不动点。