system: [SYSTEM]

user: 2. 框架在图像处理中的应用 2.1. 图像去噪 噪声是影响图像质量的一个重要因素，在数据传输以及接受的过程中，噪声极易对数据产生影响，导致图像的某些特征细节无法识别，信噪比降低，因此图像去噪是图像处理中的一个重要问题。 2006年Lixin Shen、Manos Papadakis等人提出了一种构造提升框架的方法，即通过对原有的滤波器进行修改，构造了新结构的Parseval框架滤波器，应用数学理论从分段线性样条紧框架的张量乘积中设计出不可分离的Parseval框架。新构成的框架系统包含了加权平均算子、Sobel算子和相位为 k 45 ˚ ， k ∈ z 的Laplacian算子。基于新的Parseval框架的系统特性，提出了一种新的图像去噪算法。并通过实验演示了新算法在一组不同的图像上的性能，实验证明，基于Parseval框架上的图像去噪方法去噪效果更好，相比与一般去噪方法，具有较少的振铃伪影和更好的PSNR [ 3 ] 。 目前研究的对图像产生污染的噪声大多都是高斯白噪声，但通过天文成像、计算x射线成像(cR)、荧光共焦显微成像等获取到的图像一般会受到量子噪声的污染，而量子噪声往往服从泊松分布。而其中针对于服从泊松噪声的处理，都是应用于灰色图像，在彩色图像去噪方面，还很少有人研究。 2017年高涛，何秀丽提出了一种基于小波紧框架的彩色图像泊松去噪模型。该模型实质上是由保真项和正则项构成的最小凸问题。泊松噪声基于泊松噪声的概率密度函数特征，将赋权的二范数项作为保真项，在正则项中引入小波紧框架，从而获得更好的图像边缘细节处理效果。针对泊松去噪模型的重新赋权问题，又提出split Bregman算法，并通过实验表明，使用split Bregman算法在彩色图像去噪方面的具有一定的实用性 [ 4 ] 。 2.2. 图像恢复 图像恢复是图像处理和分析领域的一个重要领域，其目的在于提高图像采集中带噪声图像的质量，以恢复原始图像的关键细节。在图像恢复的过程中，假设在一定的系统中，底层图像都具有良好的稀疏逼近。而小波紧框架系统已经被证明了是一种有效的稀疏逼近分段光滑图像的系统。因此，小波紧框架变换在图像恢复问题中应用十分广泛。然而，需要处理的图像是多种多样的，并没有一个静态的小波紧帧系统能够很好地处理恢复它们。 在许多图像恢复任务中，寻找给定图像的稀疏逼近具有重要的意义。小波紧框架可以利用小波紧框架下的稀疏性来成功地恢复图像。 此外，在图像传输以及处理的过程中，脉冲噪声和高斯白噪声是比较常见的噪声类型，而传统的图像恢复模型具有很强的随机性，不能有效地去除脉冲噪声。因此，现阶段的去除图像的脉冲噪声模型还需要有很大的改进。 2008年Jing Fang Cai提到图像通常在由过采样离散余弦或傅里叶变换导出的紧框架系统中具有稀疏近似性。并根据这种稀疏近似性提出了一种紧框架域的图像去模糊方法，其实质上是系数为矩阵形式的线性方程组的稀疏解。数值算例表明，该方法实现简单，对噪声有较强的鲁棒性，对图像有着较好的去模糊效果 [ 5 ] 。 2010年Javier Portilla提出了一种基于 l 0 -analysis的稀疏性反褶积方法，对模型参数具有较强的鲁棒性，并将其转化成了一个用于图像处理的有效算法。目前基于稀疏优化的反褶积方法中大多数采用 l 1 -SBS方法，只有少数是 l 0 -SBS，而ABS方法更是多被用于其他图像处理任务如：修复、超分辨率或图像形态分解，从未应用于图像反褶积。但是在一般框架表示的情况下 l 0 -ABS方法却表明了分析系数具有可压缩性。因此将分析系数建模为一个严格的稀疏向量加上一个高斯修正项，在处理含噪图像时，图像密度并没有发生退化，同时提出了一种 l 0 -SbS方法，实验表明该方法的图像处理性能十分优越 [ 6 ] 。 2011年Jian Feng Cai分析了一类基于框架的随机样本数据恢复方法的误差，并且估计了底层原始数据与近似解之间的误差。从部分样本中恢复缺失数据不仅是一个基本的数学问题，同时也在图像和信号处理中有着广泛的应用。近年来发展了许多研究数据恢复的算法，但很少有关于估计它们的误差方法。提出的误差估计方法实现了根据噪声水平对给定的数据进行插值(或与误差界近似)，一般来说，给定的数据都具有规范框架系数的最小 l 1 范数 [ 7 ] 。 2012年Nelly Pustelnik、Jean Christophe Pesquet等人提出一种求解涉及框架表示的图像反褶积问题的凸向优化方法。针对目前大多数基于框架的变分方法都具有Lipschitz可微性或紧表示性的此种情况，使用一种特定类别的框架来松弛紧框架，放宽条件，有利于广泛的图像恢复问题的解决。提出的算法可以同时解决不同噪声分布下的框架分析和框架综合问题，并应用(非紧)离散对偶树小波表示对泊松噪声破坏的数据进行恢复，证实了此算法的有效性 [ 8 ] 。 2014年Jian Feng Cai提出了一种迭代数值格式来构造适合于给定图像的离散紧框架的方法。与现有的大多数方法不同，在每一次迭代过程中，构建的字典始终是一个严密的框架。因此，所提出的方法计算效率很高。此外，所构造的紧框架比过完备的字典更适用于许多图像处理的应用，其重建效果较好。在此基础上，推导出的自适应紧框架去噪方法与传统的小波阈值法相比，具有明显的优越性。之后，还将进一步研究如何利用其他因素，如模糊化等，来构造自适应紧框架 [ 9 ] 。 2015年Jin Wang在文中提出了一种从输入多通道图像构造数据驱动紧框架的方法，为每个信道构造了一个离散的紧框架系统，并假定它们的稀疏系数具有联合稀疏性。将多通道数据驱动的紧框架构造方案应用于彩色和深度图像的联合重建。实验结果表明，该方法比目前最先进的彩色和深度图像重建方法具有更好的性能 [ 10 ] 。 2017年杜淋，王聪在基于数据驱动紧框架的图像恢复提出了一种基于数据驱动紧框架的变分模型，用于含有高斯脉冲混合噪声的图像恢复。该模型由包含 l 1 − l 2 范数的拟合项和包含 l 1 范数的光滑项构成，并使用了增广拉格朗日法–加速近端梯度ALM-APG算法用于解该模型。实验所表明文中所提出的模型与算法能够有效地进行图像恢复并且具有一定的实用性 [ 11 ] 。 2018年Wen Liang Hwang、Ping Tzan Huang等人探究了一种对偶框架的设计，其中通过信号分解得到的稀疏向量也是使用了重构框架的信号的稀疏解。尽管最终的研究结果表明，对于过完全的框架来说，这种对偶框架并不存在，但用典则对偶框架的分析系数可以得到稀疏合成解的最佳逼近。之后又利用了从框架的角度分析和综合信号表示的观点，针对与图像恢复有关的问题提出了优化公式，然后对使用不同的框架边界的解的性能进行比较。结果显示了恢复图像与字典的框架界之间的相关性，从而说明了在不同的应用中使用不同字典的重要性 [ 12 ] 。 2018年Dongmei Ma等人提出了一种基于数据驱动紧框架的变分模型，在高斯噪声和脉冲噪声混合的情况下，从观测图像中恢复原始图像。先将数据驱动的紧框架作为微分算子嵌入变分模型中。其次，采用增广拉格朗日法–加速近端梯度(ALM-APG)算法得到了变分模型的精确解。结果表明ALM-APG算法具有计算复杂度低、收敛速度快等优点。基于数据驱动紧帧的变分模型能够有效地去除图像中的混合高斯噪声和脉冲噪声，比其他图像恢复模型具有更好的图像恢复效果，PSNR提高了至少10%，且算法的峰值信噪比值也较高 [ 13 ] 。 2018年董卫东、彭宏京提出了一种基于紧框架域的全广义变分图像修复模型，这种模型与传统的小波修复相比，其紧凑的框架系统具有冗余性、时移不变性和线性相位等优点，非常适用于图像处理。新模型通过引入了多级紧框架分解系数的低阶和高阶导数，获取图像不同尺度多方向上的特征信息来对图像进行约束。模型的数值实现采用了分裂技术和原始对偶算法(PDSBA)相结合的优化算法，通过交替迭代解决了两个简单子问题。新模型不仅可以减少阶梯效应，产生图像边缘，而且可以恢复细节和纹理信息丰富的图像。实验结果表明，新模型的峰值信噪比(PSNR)、均方误差(MAE)和结构相似性指数(SSIM)的三项恢复性能均有显著改善 [ 14 ] 。