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user: 2. Bezout等式在矩阵多项式中的推广 将不同形式推广的一些结论写成下面定理： 定理1设矩阵多项式 A ( λ ) = ∑ i = 0 m A i λ i ， B ( λ ) = ∑ i = 0 n B i λ i ，则 (1) ( det A ( λ ) ， det B ( λ ) ) = 1 当且仅当对于任意矩阵多项式 M ( λ ) ，都存在矩阵多项式 C ( λ ) ， D ( λ ) ，使得 C ( λ ) A ( λ ) + B ( λ ) D ( λ ) = M ( λ ) 同理， ( det A ( λ ) ， det B ( λ ) ) = 1 当且仅当对于任意矩阵多项式 M ( λ ) ，都存在 S ( λ ) ， T ( λ ) ，使得 A ( λ ) S ( λ ) + T ( λ ) B ( λ ) = M ( λ ) (2) 存在 E 1 ( λ ) ， F 1 ( λ ) 使得 E 1 ( λ ) A ( λ ) + F 1 ( λ ) B ( λ ) = I 当且仅当对任意的矩阵多项式 M ( λ ) 都存在 E ( λ ) ， F ( λ ) 使得 E ( λ ) A ( λ ) + F ( λ ) B ( λ ) = M ( λ ) 同理，存在 G 1 ( λ ) ， H 1 ( λ ) 使得 A ( λ ) G 1 ( λ ) + B ( λ ) H 1 ( λ ) = I 当且仅当对任意的矩阵多项式 M ( λ ) 都存在 G ( λ ) ， H ( λ ) 使得 A ( λ ) G ( λ ) + B ( λ ) H ( λ ) = M ( λ ) 。 证 (1) 由文献 [ 4 ] 中关于Smith标准型的相关理论(定理S1.1)可知，存在可逆的多项式矩阵 X ( λ ) ， Y ( λ ) ， P ( λ ) ， Q ( λ ) ，通过左右乘矩阵得到 X ( λ ) A ( λ ) Y ( λ ) = [ a 1 ( λ ) ⋱ a h ( λ ) ] ， P ( λ ) B ( λ ) Q ( λ ) = [ b 1 ( λ ) ⋱ b h ( λ ) ] ， 因为 ( det A ( λ ) ， det B ( λ ) ) = 1 ， det A ( λ ) = a 1 ( λ ) ⋯ a h ( λ ) ， det B ( λ ) = b 1 ( λ ) ⋯ b h ( λ ) 。 所以 ( a i ( λ ) ， b j ( λ ) ) = 1 ，所以存在 u i j ( λ ) ， v j i ( λ ) ，使得 u i j ( λ ) a i ( λ ) + d j ( λ ) v j i ( λ ) = 1 因此，存在矩阵 U ( λ ) ， V ( λ ) 使得 U ( λ ) [ a 1 ( λ ) ⋱ a h ( λ ) ] + [ b 1 ( λ ) ⋱ b h ( λ ) ] V ( λ ) = P ( λ ) M ( λ ) Y ( λ ) 所以 U ( λ ) X ( λ ) A ( λ ) Y ( λ ) + P ( λ ) B ( λ ) Q ( λ ) V ( λ ) = P ( λ ) M ( λ ) Y ( λ ) 左乘 P − 1 ( λ ) ，右乘 Y − 1 ( λ ) 可得 P − 1 ( λ ) U ( λ ) X ( λ ) A ( λ ) + B ( λ ) Q ( λ ) V ( λ ) Y − 1 ( λ ) = M ( λ ) 即 C ( λ ) A ( λ ) + B ( λ ) D ( λ ) = M ( λ ) ， 其中 C ( λ ) = P − 1 ( λ ) U ( λ ) X ( λ ) ， D ( λ ) = Q ( λ ) V ( λ ) Y − 1 ( λ ) 。 同理可得，存在 S ( λ ) ， T ( λ ) ，使得 A ( λ ) S ( λ ) + T ( λ ) B ( λ ) = M ( λ ) (2) 若存在 E 1 ( λ ) ， F 1 ( λ ) 使得 E 1 ( λ ) A ( λ ) + F 1 ( λ ) B ( λ ) = I 则等式左端同乘 M ( λ ) ，有 E ( λ ) A ( λ ) + F ( λ ) B ( λ ) = M ( λ ) ，其中 E ( λ ) = M ( λ ) E 1 ( λ ) ， F ( λ ) = M ( λ ) F 1 ( λ ) 。 反之，由于 M ( λ ) 的任意性，显然成立。 下面给出关于不同推广形式的两个例子，上述证明过程中使用了辗转相除法，这为求解问题提供了一种方法。 例1设 A ( λ ) = [ λ 2 + 2 λ 1 λ + 2 λ ] = [ 1 0 0 0 ] λ 2 + [ 2 0 1 1 ] λ + [ 0 1 2 0 ] B ( λ ) = [ λ 3 − λ 2 λ 2 λ 2 + 5 λ 3 ] = [ 1 0 0 0 ] λ 3 + [ 0 2 1 0 ] λ 2 + [ − 1 0 5 0 ] λ + [ 0 0 0 3 ] 则 det A ( λ ) = | λ 2 + 2 λ 1 λ + 2 λ | = ( λ − 1 ) ( λ + 1 ) ( λ + 2 ) ， det B ( λ ) = | λ 3 − λ 2 λ 2 λ 2 + 5 λ 3 | = − λ ( 2 λ 3 + 7 λ 2 + 3 ) ， 因此 ( det A ( λ ) ， det B ( λ ) ) = 1 。 设 M ( λ ) = [ 3 λ 4 + 3 λ 3 − 2 λ 2 + 3 λ + 2 λ 4 + 2 λ 2 + 2 λ 3 λ 3 + 19 λ 2 + 11 λ − 3 λ 3 + 7 λ 2 + 5 ] 则存在矩阵多项式 C ( λ ) = [ λ λ + 1 2 2 λ ] = [ λ λ 0 2 λ ] + [ 0 1 2 0 ] = [ 1 1 0 2 ] λ + [ 0 1 2 0 ] ， D ( λ ) = [ 3 λ λ λ − 1 1 ] = [ 3 λ λ λ 0 ] + [ 0 0 − 1 1 ] = [ 3 1 1 0 ] λ + [ 0 0 − 1 1 ] ， 使得 [ λ λ + 1 2 2 λ ] [ λ 2 + 2 λ 1 λ + 2 λ ] + [ λ 3 − λ 2 λ 2 λ 2 + 5 λ 3 ] [ 3 λ λ λ − 1 1 ] = [ 3 λ 4 + 3 λ 3 − 2 λ 2 + 3 λ + 2 λ 4 + 2 λ 2 + 2 λ 3 λ 3 + 19 λ 2 + 11 λ − 3 λ 3 + 7 λ 2 + 5 ] ， 即 C ( λ ) A ( λ ) + B ( λ ) D ( λ ) = M ( λ ) 。 例2. 设 A ( λ ) = [ 1 − λ λ 2 λ λ λ − λ 1 + λ 2 λ 2 − λ 2 ] = [ 0 1 0 0 0 0 1 1 − 1 ] λ 2 + [ − 1 0 0 1 1 − 1 0 0 0 ] λ + [ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 ] B ( λ ) = [ λ − 2 − 1 0 0 λ − 2 − 1 0 0 λ − 2 ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] λ + [ − 2 − 1 0 0 − 2 − 1 0 0 − 2 ] 则 det A ( λ ) = | 1 − λ λ 2 λ λ λ − λ 1 + λ 2 λ 2 − λ 2 | = − λ 2 ( λ + 1 ) ， det B ( λ ) = | λ − 2 − 1 0 0 λ − 2 − 1 0 0 λ − 2 | = ( λ − 2 ) 3 ， 因此 ( det A ( λ ) ， det B ( λ ) ) = 1 。 设 M ( λ ) = [ λ 3 + 2 λ 2 − 2 λ λ 3 + 2 λ − 6 − λ 3 − λ − 3 2 λ 3 + 5 λ 2 − 4 λ 2 λ 3 + 4 λ 2 − 2 λ − 12 − 2 λ 3 − λ 2 − 5 λ − 6 λ 2 + λ λ 3 + 8 λ 2 − 12 λ − 8 λ ] 则存在矩阵多项式 E ( λ ) = [ 0 1 λ 0 λ + 2 2 λ λ 2 λ 0 ] ， F ( λ ) = [ 2 λ 3 0 4 λ 3 λ + 6 0 0 6 λ λ ] 使得 [ 0 1 λ 0 λ + 2 2 λ λ 2 λ 0 ] [ 1 − λ λ 2 λ λ λ − λ 1 + λ 2 λ 2 − λ 2 ] + [ 2 λ 3 0 4 λ 3 λ + 6 0 0 6 λ λ ] [ λ − 2 − 1 0 0 λ − 2 − 1 0 0 λ − 2 ] = [ λ 3 + 2 λ 2 − 2 λ λ 3 + 2 λ − 6 − λ 3 − λ − 3 2 λ 3 + 5 λ 2 − 4 λ 2 λ 3 + 4 λ 2 − 2 λ − 12 − 2 λ 3 − λ 2 − 5 λ − 6 λ 2 + λ λ 3 + 8 λ 2 − 12 λ − 8 λ ] ， 即 E ( λ ) A ( λ ) + F ( λ ) B ( λ ) = M ( λ ) 。