system: [SYSTEM]

user: 2. 模型的求解 为方便讨论，令 Γ ( t ) = r ( t ) A ( t ) L β ( t ) 这里本文作如下假设： (H1)对任意 ( r ， t ， U ) ∈ Q T × ( 0 ， + ∞ ) ， μ ( r ， t ， U ) ≥ 0 ；对固定U， μ ∈ L l o c 1 ( [ 0 ， a m ) × [ 0 ， T ] ) ， ∫ 0 a m μ ( r ， t − a m + r ， U ) d r = + ∞ ， μ 关于U局部Lipschitz连续，即对任意 M > 0 ，存在 L ( M ) ，满足： | μ ( r ， t ， U 1 ) − μ ( r ， t ， U 2 ) | ≤ L ( M ) ⋅ | U 1 − U 2 | ，对任意的 U 1 ， U 2 ∈ [ 0 ， M ] 。 (H2) Γ ( t ) ∈ L ∞ ( 0 ， T ) ，且存在常数 Γ > 0 ，满足 0 ≤ Γ ( t ) ≤ Γ ，几乎处处成立； (H3) u 0 ( r ) ∈ L 1 ( 0 ， a m ) ，且存在 η ， δ ， T δ > 0 ，当 0 ≤ t ≤ T δ 时，有 ∫ 0 a m − t − δ u 0 ( r ) d r ≥ η 1 ， u 0 ( r ) ≥ 0 ，几乎处处成立； (H4) g ( r ， t ) ∈ L 1 ( Q T ) ， ‖ g ‖ L 1 ( Q T δ ) ≥ η 2 ， Q T δ = ( 0 ， a m − δ ) × ( 0 ， T δ ) ， g ( r ， t ) ≥ 0 ，几乎处处成立。 定义2.1 所谓系统(1)的解是指函数 u ( r ， t ) ∈ L ∞ ( 0 ， T ; L 1 ( 0 ， a m ) ) ，沿着每条特征线( r − t = k ， ( r ， t ) ∈ Q T ¯ ， k ∈ R )绝对连续，满足： { D u ( r ， t ) + μ ( r ， t ， U ( t ) ) u ( r ， t ) = g ( r ， t ) ，                                                                                                                   a . e .           ( r ， t ) ∈ Q T ， lim ε → 0 + u ( r + ε ， ε ) = u 0 ( r ) ，                                                                                                                                                                                                                                                 a . e .           r ∈ ( 0 ， a m ) ，   lim ε → 0 + u ( ε ， t + ε ) = φ ( t ) = Γ ( t ) [ ∫ 0 a m u ( r ， t ) d r ] α ，                                                                 a . e .             t ∈ ( 0 ， T ) ，   U ( t ) = ∫ 0 a m u ( r ， t ) d r ，                                                                                                                                                                                                                                                                               a . e .           t ∈ ( 0 ， T ) . (2) 其中， D u ( r ， t ) = lim ε → 0 u ( r + ε ， t + ε ) − u ( r ， t ) ε 第一步：固定函数 U ∈ L ∞ ( 0 ， T ) ， U ( t ) ≥ 0       a . e .       t ∈ ( 0 ， T ) ，应用特征线法可将系统(1)的解表示为： u ( r ， t ; U ) = { u 0 ( r − t ) E ( r ， t ， t ; U ) + ∫ 0 t g ( r − s ， t − s ) E ( r ， t ， s ; U ) d s ，         r ≥ t ， φ ( t − r ; U ) E ( r ， t ， r ; U ) + ∫ 0 r g ( r − s ， t − s ) E ( r ， t ， s ; U ) d s ，         r < t (3) 其中： E ( r ， t ， s ; U ) = exp { − ∫ 0 s μ ( r − τ ， t − τ ， U ( t − τ ) ) d τ } φ ( t ; U ) = Γ ( t ) [ ∫ 0 t φ ( t − r ; U ) E ( r ， t ， r ; U ) d r + ∫ 0 t ∫ 0 r g ( r − s ， t − s ) E ( r ， t ， s ; U ) d s d r     + ∫ t a m u 0 ( r − t ) E ( r ， t ， t ; U ) d r + ∫ t a m ∫ 0 t g ( r − s ， t − s ) E ( r ， t ， s ; U ) d s d r ] α 对上式做变量替换得： φ ( t ; U ) = Γ ( t ) [ ∫ 0 t φ ( r ; U ) E ( t − r ， t ， t − r ; U ) d r + ∫ 0 t ∫ 0 r g ( r − s ， t − s ) E ( r ， t ， s ; U ) d s d r     + ∫ 0 a m − t u 0 ( r ) E ( t + r ， t ， t ; U ) d r + ∫ t a m ∫ 0 t g ( r − s ， t − s ) E ( r ， t ， s ; U ) d s d r ] α 令 ϕ ( t ; U ) = ( φ ( t ; U ) Γ ( t ) ) 1 / α ，则 φ ( t ; U ) = ϕ α ( t ; U ) Γ ( t ) ，从而上式变为： ϕ ( t ; U ) = ∫ 0 t Γ ( r ) ϕ α ( r ; U ) E ( t − r ， t ， t − r ; U ) d r + ∫ 0 t ∫ 0 r g ( r − s ， t − s ) E ( r ， t ， s ; U ) d s d r     + ∫ 0 a m − t u 0 ( r ) E ( t + r ， t ， t ; U ) d r + ∫ t a m ∫ 0 t g ( r − s ， t − s ) E ( r ， t ， s ; U ) d s d r 则： ϕ ( t ; U ) = F ( t ; U ) + ∫ 0 t K ( t ， t − r ; U ) ϕ α ( r ; U ) d r (4) { F ( t ; U ) = ∫ 0 t ∫ 0 r g ( r − s ， t − s ) E ( r ， t ， s ; U ) d s d r + ∫ 0 a m − t u 0 ( r ) E ( t + r ， t ， t ; U ) d r                           + ∫ t a m ∫ 0 t g ( r − s ， t − s ) E ( r ， t ， s ; U ) d s d r K ( t ， r ; U ) = Γ ( t − r ) E ( r ， t ， r ; U ) 由标准证明，易得以下引理。 引理2.1：在假设(H1)-(H4)成立情况下，非线性Volterra积分方程(4)的解在 L ∞ ( 0 ， T ) 上存在且唯一。 引理2.2：对任意给定的T，假设 u ( r ， t ) 是模型(1)的解，由假设(H1)知， 0 ≤ μ _ = inf ( r ， t ) ∈ Q T U ≥ 0 μ ( r ， t ; U ) 那么，对 0 ≤ t ≤ T ，有： φ ( t ; U ) ≤ Γ M 1 e ( Γ − μ _ ) t ≤ Γ M 1 e Γ T ≜ Γ M 1 T ， U ( t ) ≤ M 1 e ( Γ − μ _ ) t ≤ M 1 e Γ T = M 1 T . 证明： φ ( t ; U ) = Γ ( t ) [ ∫ 0 t φ ( r ; U ) E ( t − r ， t ， t − r ; U ) d r + ∫ 0 t ∫ 0 r g ( r − s ， t − s ) E ( r ， t ， s ; U ) d s d r     + ∫ 0 a m − t u 0 ( r ) E ( t + r ， t ， t ; U ) d r + ∫ t a m ∫ 0 t g ( r − s ， t − s ) E ( r ， t ， s ; U ) d s d r ] α ≤ Γ ( t ) [ ∫ 0 t φ ( r ; U ) e − μ _ ( t − r ) d r + ‖ g ‖ L 1 ( Q T ) e − μ _ t + e − μ _ t ∫ 0 a m ( u 0 ( r ) + 1 a m ) d r ] α ≤ Γ ( t ) [ ∫ 0 t φ ( r ; U ) e − μ _ ( t − r ) d r + ‖ g ‖ L 1 ( Q T ) e − μ _ t + e − μ _ t ( ∫ 0 a m u 0 ( r ) d r + 1 ) ] α ≤ e − μ _ t Γ ( t ) [ ∫ 0 t φ ( r ; U ) e μ _ r d r + ‖ g ‖ L 1 ( Q T ) + ‖ u 0 ‖ L 1 ( 0 ， a m ) + 1 ] φ ( t ; U ) e λ _ t ≤ Γ [ ∫ 0 t φ ( r ; U ) e λ _ r d r + ‖ g ‖ L 1 ( Q T ) + ‖ u 0 ‖ L 1 ( 0 ， a m ) + 1 ] 由Gronwall不等式得： φ ( t ; U ) ≤ Γ ( ‖ g ‖ L 1 ( Q T ) + ‖ u 0 ‖ L 1 ( 0 ， a m ) + 1 ) e ( Γ − μ _ ) t = Γ M 1 e ( Γ − μ _ ) t ≤ Γ M 1 e Γ t U ( t ) = ∫ 0 t φ ( t − r ) E ( r ， t ， r ; U ) d r + ∫ 0 t ∫ 0 r g ( r − s ， t − s ) E ( r ， t ， s ; U ) d s d r     + ∫ t a m u 0 ( r − t ) E ( r ， t ， t ; U ) d r + ∫ t a m ∫ 0 t g ( r − s ， t − s ) E ( r ， t ， s ; U ) d s d r = ∫ 0 t φ ( t − r ) E ( r ， t ， r ; U ) d r + ∫ 0 t ∫ 0 r g ( r − s ， t − s ) E ( r ， t ， s ; U ) d s d r     + ∫ 0 a m − t u 0 ( r ) E ( r + t ， t ， t ; U ) d r + ∫ t a m ∫ 0 t g ( r − s ， t − s ) E ( r ， t ， s ; U ) d s d r U ( t ) ≤ ∫ 0 t φ ( t − r ) e − λ _ r d r + e − λ _ t ( ‖ g ‖ L 1 ( Q T ) + ‖ u 0 ‖ L 1 ( 0 ， a + ) + 1 ) ≤ ∫ 0 t Γ M 1 e ( Γ − λ _ ) ( t − r ) e − λ _ r d r + e − λ _ t M 1 ≤ Γ M 1 e ( Γ − λ _ ) t ∫ 0 t e − Γ r d r + e − λ _ t M 1 = M 1 e ( Γ − λ _ ) t 令 W = { v ∈ L ∞ ( 0 ， T ; L 1 ( 0 ， a m ) ) ; v ( r ， t ) ≥ 0 ， ‖ v ( ⋅   ， t ) ‖ L 1 ( 0 ， a m ) ≤ M 1 T } ， W 1 = { h ∈ L ∞ ( 0 ， T ) ; 0 ≤ h ( t ) ≤ M 1 T ， t ∈ ( 0 ， T ) } 显然W是 L ∞ ( 0 ， T ; L 1 ( 0 ， a m ) ) 的闭子集。 引理2.3：存在常数 M 2 T > 0 (依赖于T)，对任意的 U 1 ， U 2 ∈ W 1 ，有： | φ ( t ; U 1 ) − φ ( t ; U 2 ) | ≤ M 2 T | U 1 ( t ) − U 2 ( t ) | 证明： φ ( t ; U 1 ) − φ ( t ; U 2 ) = Γ ( t ) [ ∫ 0 t φ ( r ; U 1 ) Π ( t − r ， t ， t − r ; U 1 ) d r + ∫ 0 t ∫ 0 r g ( r − s ， t − s ) Π ( r ， t ， s ; U 1 ) d s d r     + ∫ 0 a + − t u 0 ( r ) Π ( t + r ， t ， t ; U 1 ) d r + ∫ t a + ∫ 0 t g ( r − s ， t − s ) Π ( r ， t ， s ; U 1 ) d s d r ] α     − Γ ( t ) [ ∫ 0 t φ ( r ; U 2 ) Π ( t − r ， t ， t − r ; U 2 ) d r + ∫ 0 t ∫ 0 r g ( r − s ， t − s ) Π ( r ， t ， s ; U 1 ) d s d r     + ∫ 0 a + − t u 0 ( r ) Π ( t + r ， t ， t ; U 2 ) d r + ∫ t a + ∫ 0 t g ( r − s ， t − s ) Π ( r ， t ， s ; U 2 ) d s d r ] α ≤ Γ ( t ) α ( γ ρ ) α − 1 [ ∫ 0 t φ ( r ; U 1 ) Π ( t − r ， t ， t − r ; U 1 ) d r + ∫ 0 t ∫ 0 r g ( r − s ， t − s ) Π ( r ， t ， s ; U 1 ) d s d r     + ∫ 0 a m − t u 0 ( r ) Π ( t + r ， t ， t ; U 1 ) d r + ∫ t a m ∫ 0 t g ( r − s ， t − s ) Π ( r ， t ， s ; U 1 ) d s d r     − ∫ 0 t φ ( r ; U 2 ) Π ( t − r ， t ， t − r ; U 2 ) d r + ∫ 0 t ∫ 0 r g ( r − s ， t − s ) Π ( r ， t ， s ; U 1 ) d s d r     + ∫ 0 a + − t u 0 ( r ) Π ( t + r ， t ， t ; U 2 ) d r + ∫ t a + ∫ 0 t g ( r − s ， t − s ) Π ( r ， t ， s ; U 2 ) d s d r ] = Γ ( t ) α ( γ ρ ) α − 1 ∫ 0 a + ( u ( r ， t ; U 1 ) − u ( r ， t ; U 2 ) ) d r 从而有： | φ ( t ; U 1 ) − φ ( t ; U 2 ) | ≤ Γ α ( γ ρ ) α − 1 | ∫ 0 a + ( u ( r ， t ; U 1 ) − u ( r ， t ; U 2 ) ) d r | = M 2 T | U 1 ( t ) − U 2 ( t ) | 令 M 2 T = Γ α ( γ ρ ) α − 1 ，则有： | φ ( t ; U 1 ) − φ ( t ; U 2 ) | ≤ M 2 T | U 1 ( t ) − U 2 ( t ) | 定义算子： K : W → L ∞ ( 0 ， T ; L 1 ( 0 ， a m ) ) ， ( K v ) ( r ， t ) = u ( r ， t ， V ( t ) ) ，           V ( t ) = ∫ 0 a m v ( r ， t ) d r 引理2.4：算子K满足： ∀ v ∈ W ， K v ∈ W ，且存在常数 M T * > 0 ，对任意的 u 1 ， u 2 ∈ H ， 有： ‖ ( K u 1 ) ( t ) − ( K u 2 ) ( t ) ‖ L 1 ( 0 ， a m ) ≤ M T * ∫ 0 t ‖ u 1 ( ⋅ ， s ) − u 2 ( ⋅ ， s ) ‖ L 1 ( 0 ， a m ) d s 。 证明：对任意的 v ∈ W ，令 V ( t ) = ∫ 0 a m v ( r ， t ) d r ，显然， V ∈ L ∞ ( 0 ， T ) ， V ( t ) ≥ 0 令 φ ( t ; V ) 为积分方程(4)的解，则由引理2.2知， φ ( t ; V ) ≤ Γ M 1 T ， ∫ 0 a m u ( r ， t ; V ( t ) ) d r ≤ M 1 T 从而 u ( r ， t ; V ( t ) ) = ( K v ) ( r ， t ) ∈ W 。 对任意的 u 1 ， u 2 ∈ W ， U 1 ( t ) = ∫ 0 a m u 1 ( r ， t ) d r ∈ W 1 ， U 2 ( t ) = ∫ 0 a m u 2 ( r ， t ) d r ∈ W 1 ， 由方程(3)、(4)知： ‖ ( K u 1 ) ( t ) − ( K u 2 ) ( t ) ‖ L 1 ( 0 ， a m ) = ‖ u ( ⋅ ， t ; U 1 ) − u ( ⋅ ， t ; U 2 ) ‖ L 1 ( 0 ， a m ) = ∫ 0 a m | u ( r ， t ; U 1 ) − u ( r ， t ; U 2 ) | d r = ∫ 0 t | u ( r ， t ; U 1 ) − u ( r ， t ; U 2 ) | d r + ∫ t a m | u ( r ， t ; U 1 ) − u ( r ， t ; U 2 ) | d r = ∫ 0 t | [ φ ( t − r ; U 1 ) E ( r ， t ， r ; U 1 ) − φ ( t − r ; U 2 ) E ( r ， t ， r ; U 2 )         + ∫ 0 r g ( r − s ， t − s ) ( E ( r ， t ， s ; U 1 ) − E ( r ， t ， s ; U 2 ) ) d s ] | d r     + ∫ t a m | [ u 0 ( r − t ) ( E ( r ， t ， t ; U 1 ) − E ( r ， t ， t ; U 2 ) )         + ∫ 0 t g ( r − s ， t − s ) ( E ( r ， t ， s ; U 1 ) − E ( r ， t ， s ; U 2 ) ) d s ] | d r ≤ ∫ 0 t | φ ( t − r ; U 1 ) − φ ( t − r ; U 2 ) | E ( r ， t ， r ; U 1 ) d r     + ∫ 0 t φ ( t − r ; U 2 ) | E ( r ， t ， r ; U 1 ) − E ( r ， t ， r ; U 2 ) | d r     + ∫ 0 t ∫ 0 r g ( r − s ， t − s ) | E ( r ， t ， s ; U 1 ) − E ( r ， t ， s ; U 2 ) | d s d r     + ∫ t a m u 0 ( r − t ) | E ( r ， t ， t ; U 1 ) − E ( r ， t ， t ; U 2 ) | d r     + ∫ t a m ∫ 0 t g ( r − s ， t − s ) | E ( r ， t ， s ; U 1 ) − E ( r ， t ， s ; U 2 ) | d s d r 根据假设(H3)、(H4)、引理2.2、引理2.3得： ‖ ( K u 1 ) ( t ) − ( K u 2 ) ( t ) ‖ L 1 ( 0 ， a m ) ≤ M 2 T ∫ 0 t | U 1 ( t − r ) − U 2 ( t − r ) | d r     + ∫ 0 t Γ M 1 T | exp { − ∫ 0 r μ ( r − τ ， t − τ ， U 1 ( t − τ ) ) d τ } − exp { − ∫ 0 r μ ( r − τ ， t − τ ， U 2 ( t − τ ) ) d τ } | d r     + ∫ 0 t ∫ 0 r g ( r − s ， t − s ) | exp { − ∫ 0 s μ ( r − τ ， t − τ ， U 1 ( t − τ ) ) d τ } − exp { − ∫ 0 s μ ( r − τ ， t − τ ， U 2 ( t − τ ) ) d τ } | d s d r     + ∫ t a m u 0 ( r − t ) | exp { − ∫ 0 s μ ( r − τ ， t − τ ， U 1 ( t − τ ) ) d τ } − exp { − ∫ 0 s μ ( r − τ ， t − τ ， U 2 ( t − τ ) ) d τ } | d r     + ∫ t a m ∫ 0 t g ( r − s ， t − s ) | exp { − ∫ 0 s μ ( r − τ ， t − τ ， U 1 ( t − τ ) ) d τ } − exp { − ∫ 0 s μ ( r − τ ， t − τ ， U 2 ( t − τ ) ) d τ } | d s d r ≤ M 2 T ∫ 0 t | U 1 ( s ) − U 2 ( s ) | d s + ∫ 0 t Γ M 1 T ∫ 0 r | μ ( r − τ ， t − τ ， U 1 ( t − τ ) ) − μ ( r − τ ， t − τ ， U 2 ( t − τ ) ) | d τ d r     + ∫ 0 t ∫ 0 r g ( r − s ， t − s ) ∫ 0 s | μ ( r − τ ， t − τ ， U 1 ( t − τ ) ) − μ ( r − τ ， t − τ ， U 2 ( t − τ ) ) | d τ d s d r     + ∫ t a m u 0 ( r − t ) ∫ 0 s | μ ( r − τ ， t − τ ， U 1 ( t − τ ) ) − μ ( r − τ ， t − τ ， U 2 ( t − τ ) ) | d τ d r     + ∫ t a m ∫ 0 t g ( r − s ， t − s ) ∫ 0 s | μ ( r − τ ， t − τ ， U 1 ( t − τ ) ) − μ ( r − τ ， t − τ ， U 2 ( t − τ ) ) | d τ d s d r ≤ M 2 T ∫ 0 t | U 1 ( s ) − U 2 ( s ) | d s + Γ M 1 T T L ( M 1 T ) ∫ 0 r | U 1 ( t − τ ) − U 2 ( t − τ ) | d τ     + 2 ‖ g ‖ L 1 ( 0 ， a m ) L ( M 1 T ) ∫ 0 s | U 1 ( t − τ ) − U 2 ( t − τ ) | d τ + ‖ u 0 ‖ L 1 ( 0 ， a m ) L ( M 1 T ) ∫ 0 s | U 1 ( t − τ ) − U 2 ( t − τ ) | d τ ≤ M 2 T ∫ 0 t | U 1 ( s ) − U 2 ( s ) | d s + Γ M 1 T T L ( M 1 T ) ∫ 0 t | U 1 ( s ) − U 2 ( s ) | d s     + 2 ‖ g ‖ L 1 ( 0 ， a m ) L ( M 1 T ) ∫ 0 s | U 1 ( s ) − U 2 ( s ) | d s + ‖ u 0 ‖ L 1 ( 0 ， a m ) L ( M 1 T ) ∫ 0 s | U 1 ( s ) − U 2 ( s ) | d s = { M 2 T + Γ M 1 T T L ( M 1 T ) + 2 ‖ g ‖ L 1 ( 0 ， a m ) L ( M 1 T ) + ‖ u 0 ‖ L 1 ( 0 ， a m ) L ( M 1 T ) } ∫ 0 t | U 1 ( s ) − U 2 ( s ) | d s ≤ M T * ∫ 0 t | U 1 ( s ) − U 2 ( s ) | d s ≤ M T * ∫ 0 t ‖ u 1 ( ⋅ ， s ) − u 2 ( ⋅ ， s ) ‖ L 1 ( 0 ， a m ) d s 其中 M T * = M 2 T + Γ M 1 T T L ( M 1 T ) + 2 ‖ g ‖ L 1 ( 0 ， a m ) L ( M 1 T ) + ‖ u 0 ‖ L 1 ( 0 ， a m ) L ( M 1 T ) 定理2.1：模型(1)有唯一非负解。 证明：任取 τ > M T * ，我们定义 L ∞ ( 0 ， T ; L 1 ( 0 ， a + ) ) 上的等价范数： ‖ u ‖ ∗ = Ess       sup t ∈ ( 0 ， T ) { e − τ t ‖ u ( ⋅   ， t ) ‖ L 1 ( 0 ， a m ) } ， 由引理2.4知： ‖ K u 1 − K u 2 ‖ ∗ = Ess     sup t ∈ ( 0 ， T ) { e − τ t ‖ K u 1 ( ⋅ ， t ) − K u 2 ( ⋅ ， t ) ‖ L 1 ( 0 ， a m ) } ≤ M T * Ess     sup t ∈ ( 0 ， T ) { e − τ t ∫ 0 t ‖ u 1 ( ⋅ ， s ) − u 2 ( ⋅ ， s ) ‖ L 1 ( 0 ， a m ) d s } ≤ M T * Ess     sup t ∈ ( 0 ， T ) { e − τ t ∫ 0 t e τ s e − τ s ‖ u 1 ( ⋅ ， s ) − u 2 ( ⋅ ， s ) ‖ L 1 ( 0 ， a m ) d s } ≤ M T * τ ‖ u 1 − u 2 ‖ ∗ < ‖ u 1 − u 2 ‖ ∗ 所以算子K是W上的严格压缩映射，由Banach不动点定理可得K在W上有唯一不动点。从而模型(1)有唯一非负解。