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user: 4. 收敛性分析 4.1. 收敛性证明 本文采用间接方法来证明算法的收敛性，即利用时滞分割的方法，首先将时滞区间进行分割来等效算法的收敛性分析，然后证明每个时滞区间的稳定性，最后推出整个系统的稳定性，从而证明算法的收敛性。具体方法如下： 设N为大于零的正整数， h i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N + 1 ) 为标量，对时滞区间进行如下平均分割： h m = h 1 < h 2 < ⋯ < h N < h N + 1 = h M (14) 用 h δ 表示子区间 [ h i ， h i + 1 ] 的长度，即 h δ = h i + 1 − h i = ( h M − h m ) / N ，则满足 0 ≤ h m ≤ h ( t ) ≤ h M ， h ˙ ( t ) ≤ μ ， ∀ t ≥ 0 时以下定理成立。 定理1 对于给定值 h m 和 h M ，如果存在矩阵 P = [ P 11 P 12 P 13 ∗ P 22 P 23 ∗ ∗ P 33 ] ， Q i ， Z i ， R i ( i = 2 ， 3 ) h m (正定对称)和适当维度的矩阵 T a ， Y a ( a = 1 ， 2 ， 3 ) ，使得如下线性矩阵不等式成立： [ ψ 11 ψ 12 ψ 13 ψ 14 ψ 15 ψ 16 0 ∗ ψ 22 ψ 23 ψ 24 ψ 25 ψ 26 h δ Y 1 T ∗ ∗ ψ 33 ψ 34 ψ 35 ψ 36 h δ Y 2 T ∗ ∗ ∗ ψ 44 ψ 45 ψ 46 h δ Y 3 T ∗ ∗ ∗ ∗ ψ 55 ψ 56 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ψ 6 6 0 ] < 0 ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N (15) [ ψ 11 ψ 12 ψ 13 ψ 14 ψ 15 ψ 16 0 ∗ ψ 22 ψ 23 ψ 24 ψ 25 ψ 26 h δ T 1 T ∗ ∗ ψ 33 ψ 34 ψ 35 ψ 36 h δ T 2 T ∗ ∗ ∗ ψ 44 ψ 45 ψ 46 h δ T 3 T ∗ ∗ ∗ ∗ ψ 55 ψ 56 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ψ 6 6 0 ] < 0 ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N (16) 则系统是渐近稳定的。 其中， ψ 11 = P 11 A + A T P 11 + P 12 + P 12 T + Q 2 + Q 3 − Z 2 − h i 2 R 2 − h δ 2 R 3 + A T M A ， ψ 13 = P 11 B + A T M B ， ψ 12 = Z 2 − P 12 + P 13 ， ψ 14 = − P 13 ， ψ 15 = A T P 21 + P 22 T + h i R 2 ， ψ 16 = A T P 31 + P 32 T + h i R 3 ， ψ 22 = − Q 2 − Z 2 + Y 1 + Y 1 T ， ψ 23 = − Y 1 + T 1 + Y 2 T ， ψ 24 = − T 1 + Y 3 T ， ψ 25 = − P 22 T + P 23 T ， ψ 26 = − P 32 T + P 33 T ， ψ 33 = − Y 2 − Y 2 T + T 2 + T 2 T + B T M B ， ψ 34 = − T 2 − Y 3 T + T 3 T ， ψ 35 = − B T P 21 T ， ψ 36 = B T P 31 T ， ψ 44 = − T 3 − T 3 T − Q 3 ， ψ 45 = − P 23 T ， ψ 46 = − P 33 T ， ψ 55 = − R 2 ， ψ 56 = 0 ， ψ 66 = − R 3 ， h δ = h i + 1 − h i = ( h M − h m ) / N ， h i = h 1 + ( i − 1 ) ( h M − h m ) / N ， M = h i 2 Z 2 + h δ Z 3 + 1 4 [ ( h i 4 R 2 ) + ( h i + 1 2 − h i 2 ) 2 R 3 ] . 证明：首先证明 h ( t ) ∈ [ h 2 ， h 3 ] 子区间段时，定理成立，进而推广到 h ( t ) ∈ [ h i ， h i + 1 ] 时成立。 当满足 h ( t ) ∈ [ h 2 ， h 3 ] 时，构造Lyapunov-Krasovskii泛函： V 2 ( t ) = V 21 ( t ) + V 22 ( t ) + V 23 ( t ) (17) 其中， V 21 ( t ) = ξ 2 T ( t ) P ξ 2 ( t ) V 22 ( t ) = ∫ t − h 2 t x T ( s ) Q 2 x ( s ) d s + ∫ t − h 3 t x T ( s ) Q 3 x T ( s ) d s                       + h 2 ∫ − h 2 0 ∫ t + θ t x ˙ T ( s ) Z 2 x ˙ ( s ) d s d θ + ∫ − h 3 − h 2 ∫ t + θ t x ˙ T ( s ) Z 3 x ˙ ( s ) d s d θ V 23 ( t ) = h 2 2 2 ∫ − h 2 0 ∫ θ 0 ∫ t + λ t x ˙ T ( s ) R 2 x ˙ ( s ) d s d λ d θ + h 3 2 − h 2 2 2 ∫ − h 3 − h 2 ∫ θ 0 ∫ t + λ t x ˙ T ( s ) R 3 x ˙ ( s ) d s d λ d θ ξ 2 T ( t ) = [ x T ( t ) ∫ t − h 2 t x T ( s ) ∫ t − h 3 t − h 2 x T ( s ) d s ] 取Lyapunov-Krasovskii泛函 V 2 ( t ) 沿系统(11)的导数，有 V ˙ 2 ( t ) = V ˙ 21 ( t ) + V ˙ 22 ( t ) + V ˙ 23 ( t ) (18) 其中， V ˙ 21 ( t ) = 2 ξ 2 T ( t ) P ξ ˙ 2 ( t ) ， V ˙ 22 ( t ) = x T ( t ) ( Q 2 + Q 3 ) x ( t ) − x T ( t − h 2 ) Q 2 x T ( t − h 2 )                       − x T ( t − h 3 ) Q 2 x T ( t − h 3 ) + x T ( t ) [ h 2 2 Z 2 + ( h 3 − h 2 ) Z 3 ] x ˙ ( t )                       − h 2 ∫ t − h 2 t x ˙ T ( s ) Z 2 x ˙ ( s ) d s − ∫ t − h 3 t − h 2 x ˙ T ( s ) Z 3 x ˙ ( s ) d s V 23 ( t ) = x ˙ T ( t ) [ 1 4 [ ( h 2 4 R 2 ) + ( h 3 2 − h 2 2 ) 2 R 3 ] ] x ˙ ( t ) − h 2 2 2 ∫ − h 2 0 ∫ t + θ t x ˙ T ( s ) R 2 x ˙ ( t ) d s d θ 根据引理1可得 − h 2 ∫ t − h 2 t x ˙ T ( s ) Z 2 x ˙ ( s ) d s ≤ [ x ( t ) x ( t − h 2 ) ] T [ − Z 2 Z 2 ∗ − Z 2 ] [ x ( t ) x ( t − h 2 ) ] (19) − h 2 2 2 ∫ − h 2 0 ∫ t + θ t x ˙ T ( s ) R 2 x ˙ ( t ) d s d θ ≤ [ h 2 x ( t ) ∫ t − h 2 t x ( s ) d s ] T [ − R 2 R 2 ∗ − R 2 ] [ h 2 x ( t ) ∫ t − h 2 t x ( s ) d s ] (20) h 3 2 − h 2 2 2 ∫ − h 3 − h 2 ∫ t + θ t x ˙ T ( s ) R 3 x ˙ ( t ) d s d θ ≤ [ ( h − 3 − h 2 ) x ( t ) ∫ t − h 3 t − h 2 x ( s ) d s ] T [ − R 3 R 3 ∗ − R 3 ] [ ( h − 3 − h 2 ) x ( t ) ∫ t − h 3 t − h 2 x ( s ) d s ] (21) 由引理2可得： − ∫ t − h 3 t − h 2 x ˙ T ( s ) Z 3 x ˙ ( s ) d s ≤ δ T ( t ) { ( h 3 − h ( t ) ) T Z 3 − 1 T T + ( h ( t ) − h 2 ) Y Z 3 − 1 T T   + [ Y       − Y + T       − T ] + t [ Y       − Y + T       − T ] T } δ ( t ) (22) 将式(19)~(22)不等式右边代入(18)，则 V ˙ 2 ( t ) 可表示为 V ˙ 2 ( t ) ≤ ς T ( t ) ( ψ + ( h 3 − h ( t ) ) T Z 3 − 1 T T + ( h ( t ) − h 2 ) Y Z 3 − 1 T T ) ς ( t ) (23) 其中， ς T ( t ) = [ x T ( t )       x T ( t − h 2 )       x T ( t − h ( t ) )       x T ( t − h 3 )       ∫ t − h 2 t x T ( s ) d s       ∫ t − h 3 t − h 2 x T ( s ) d s ] 如果对于 h ( t ) ∈ [ h 2 ， h 3 ] ，令 ψ = ( ψ i ， j ) 6 × 6 ，有以下条件成立： ψ + ( h 3 − h ( t ) ) T Z 3 − 1 T T + ( h ( t ) − h 2 ) Y Z 3 − 1 T T < 0 (24) 则根据Lyapunov-Krasovskii稳定性定理 [ 15 ]，存在 ε > 0 ，满足 V ˙ 2 ( t ) < − ε ‖ x ( t ) ‖ 2 ，可进一步得出系统(11)是渐近稳定的。 根据引理3，式(24)等价于 ψ + ( h 3 − h 2 ) T Z 3 − 1 T T < 0 (25) ψ + ( h 3 − h 2 ) Y Z 3 − 1 Y T < 0 (26) 根据schur补知，式(29)和(30)分别等价于当i = 2时的(25)和(26)。 因此，当 h ( t ) ∈ [ h i ， h i + 1 ] ( i − 1 ， 2 ， ⋯ ， N ) 时，可构造如下Lyapunov-Krasovskii泛函： V i ( t ) = V i 1 ( t ) + V i 2 ( t ) + V i 3 ( t ) (27) 同理可证得当 h ( t ) ∈ [ h i ， h i + 1 ] 时，有 V ˙ ( t ) < − ε ‖ x ( t ) ‖ 2 ，由此可知系统(11)是渐近稳定的。 定理证毕。 □ 4.2. 基于Q因子的迭代辨识算法收敛速度分析 基于Q因子的迭代辨识算法收敛速度分析如下： 考虑如(28)所示的系统， { x ˙ = A x + b u y = c x + d u           x ( 0 ) = x 0 (28) x、u、y分别表示系统的状态，输入和输出。A是未知的矩阵，b和c是未知矢量，d是未知标量， 0 < α 1 ≤ d ≤ α 2 ， α 1 和 α 2 是已知的常数。 每次迭代辨识过程系统如(29)所示。 ℜ : { x ˙ i = A x i + b u i y i = c x i + d u i           x i ( 0 ) = x 0 (29) 控制目标就是去寻找一个控制输入序列使输出y i (t)能够追踪期望输出y d (t)，即，随着迭代次数增加，系统输出能够收敛到期望输出。令 lim i → ∞ | Δ y i | = 0 ，其中， Δ y i ( t ) = y d ( t ) − y i ( t ) 。Q因子定义为： Q p = lim i → ∞ sup | Δ y i + 1 | | Δ y i | p (30) 迭代学习的控制机制为： u i + 1 ( t ) = p 1 u i + p 2 u i − 1 + q 1 Δ y i + q 2 Δ y i − 1 (31) 其中， p 1 + p 2 = 1 ， q 1 和 q 2 是常数，满足 | p 1 − q 1 d | + | p 2 − q 2 d | < 1 ，在文献 [ 18 ] 中已证明随着迭代次数i趋向于无穷大，跟踪误差是收敛的，且得到 | Δ y i − 1 | λ ≤ | p 1 − q 1 d | | Δ y i | λ + | p 2 − q 2 d | | Δ y i − 1 | λ ，根据Q因子的定义公式(30)，得到： Q = lim i → ∞ sup | Δ y i + 1 | λ | Δ y i | λ = γ 1 + γ 2 lim i → ∞ | Δ y i − 1 | λ | Δ y i | λ (32) 其中， γ 1 = | p 1 − q 1 d | ， γ 2 = | p 2 − q 2 d | ，迭代学习控制的特征方程为： z 2 − | p 1 − q 1 d | z − | p 2 − q 2 d | = 0 (33) 用g 1 ，g 2 表示方程(33)的根， g 1 = γ 1 − γ 1 2 + 4 γ 2 2 ， g 2 = γ 1 + γ 1 2 + 4 γ 2 2 (34) 因为 | g 2 | ≥ | g 1 | ，因此Q因子由 g 2 决定，我们将迭代辨识过程构造为如下最优问题： J = min p ∈ R min ( q 1 ， q 2 ) ∈ R 2 max d ∈ D γ 1 + γ 1 2 + 4 γ 2 2 (35) 因此给出如下定理： 定理2：最优问题(35)的解是 J = θ = α 2 − α 1 α 2 + α 1 ，当 p 1 = 1 ， p 2 = 0 ， q 1 = 2 α 2 + α 1 ， q 2 = 0 时取得最优值，收敛速度达到最大。 证明：将p 1 范围分为3部分，分别计算目标函数。 1) p 1 ≤ 0 ，令 J a ( p 1 ) = min ( q 1 ， q 2 ) ∈ R 2 max d ∈ D g 2 ，且 J A = min p 1 ∈ ( − ∞ ， 0 ) J a ( p 1 ) 。由文献 [ 19 ] 可以得到： min q 1 ∈ R max d ∈ D | p 1 − q 1 d 1 | = | p 1 θ | = − p 1 θ ， q 1 ， a = 2 α 2 + α 1 (36) 我们得到 J a ( p 1 ) = − p 1 θ + p 1 2 θ 2 + 4 ( 1 − p 1 ) θ 2 (37) 取关于p 1 的偏导，得到 ∂ J a ( p 1 ) ∂ ( p 1 ) = − θ 2 + p 1 θ 2 − 2 θ 2 p 1 2 θ 2 + 4 ( 1 − p 1 ) θ < 0 (38) 由此可得当 p 1 ∈ ( − ∞ ， 0 ] ， J a ( p 1 ) 是单调递减的，因此当 p 1 = 0 时，取得最小值 J A = min p 1 ∈ ( − ∞ ， 0 ) J a ( 0 ) = θ 。 2) 0 < p 1 ≤ 1 令 J b ( p 1 ) = min ( q 1 ， q 2 ) ∈ R 2 max d ∈ D g 2 ，且 J B = min p 1 ∈ ( − ∞ ， 0 ) J b ( p 1 ) 。由文献 [ 19 ] 可以得到： min q 1 ∈ R max d ∈ D | p 1 − q 1 d 1 | = | p 1 θ | = − p 1 θ ， q 1 ， b = 2 α 2 + α 1 (39) 我们得到 J b ( p 1 ) = p 1 θ + p 1 2 θ 2 + 4 ( 1 − p 1 ) θ 2 (40) 取关于p 1 的偏导，得到 ∂ J b ( p 1 ) ∂ ( p 1 ) = θ 2 + p 1 θ 2 − 2 θ 2 p 1 2 θ 2 + 4 ( 1 − p 1 ) θ < 0 (41) 由此可得当 p 1 ∈ ( 0 ， 1 ] ， J b ( p 1 ) 是单调递减的，因此当 p 1 = 1 时，取得最小值 J B = min p 1 ∈ ( 0 ， 1 ] J b ( 1 ) = θ 。 3) p 1 > 1 令 J c ( p 1 ) = min ( q 1 ， q 2 ) ∈ R 2 max d ∈ D g 2 ，且 J C = min p 1 ∈ ( 1 ， − ∞ ) J c ( p 1 ) 。由文献 [ 19 ] 可以得到： min q 1 ∈ R max d ∈ D | p 1 − q 1 d 1 | = | p 1 θ | = p 1 θ (42) 我们得到 J c ( p 1 ) = p 1 θ + p 1 2 θ 2 + 4 ( 1 − p 1 ) θ 2 (43) 取关于p 1 的偏导，得到 ∂ J c ( p 1 ) ∂ ( p 1 ) = θ 2 + p 1 θ 2 − 2 θ 2 p 1 2 θ 2 + 4 ( 1 − p 1 ) θ > 0 (44) 由此可得当 p 1 ∈ ( 1， ∞ ) ， J b ( p 1 ) 是单调递增的，因此当 p 1 = 1 时，取得最小值 J C = min p 1 ∈ ( 1 ， ∞ ) J c ( 1 ) = θ 。 所以 J = min { J A ， J B ， J C } = θ 。 定理证毕。 □ 4.3. 收敛速度仿真 4.1节及4.2节是对算法进行收敛性及收敛速度的理论分析，本节是从实际仿真角度来验证算法的收敛性及收敛速度。图5为本文与其它算法在四机两区系统模型上的收敛速度对比图。为了更清晰地分析本算法的收敛性，我们从Vinnicombe距离 [ 20 ] 的角度来衡量本文算法的收敛性。闭环电力系统模型G与不确定性模型集合B i 之间的Vinnicombe距离曲线如图6所示。 图5. 不同算法收敛速度对比图 三种控制器设计算法的收敛速度对比如图5所示，由图5可知，三种算法收敛速度排序为：本文 >文献 [ 21 ] > 文献 [ 22 ]，且在收敛时间上，本文 < 文献 [ 21 ] < 文献 [ 22 ]。通过分析可得：与其它两个算法相比，在达到同样误差条件下，本文所设计的时滞控制器设计算法能在10秒内有效收敛，收敛速度相对来说是较快的。 图6. G与B i 间的Vinnicombe距离 图6是Vinnicombe距离曲线变化图，它反映了电力系统降阶模型G与不确定模型集合B i 之间距离在迭代辨识过程中的变化关系，图6表明得到的辨识模型与G之间的距离的趋势是越来越小的，在第15次辨识的时候由于误差因素出现距离突变，最终G与B i 之间的Vinnicombe距离固定在0.01059。因此说明，根据本辨识及控制器设计算法，从Vinnicombe距离的角度来说，本算法是收敛的，可以得到有效的电力系统模型。