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user: 4. 解析分析方法二(基于戴维宁和诺顿等效电路及Mason信号流图法) 下面我们参考 [ 3 ] [ 9 ]，提出一种新的中频模拟电路解析分析法，其适用于各种类型的中频模拟电路分析。即基于戴维宁和诺顿等效电路 [ 10 ] [ 11 ]，并且把电路中的叠加原理扩展到对受控电源也成立，从而大大简化分析过程，可以用非常简单的变换和运算得到想要的参数(本文的分析与仿真验证了这种扩展是成立的)。由于使用了一些新的分析方法(如后面例子中的解耦的手段)，其结论的正确性需要验证。基于作者的研究，通过对很多类型电路(如多级放大、差分放大、负反馈放大电路等)的分析，用这种方法的分析结果和用上面方法一(传统方法)的分析结果，或和用Multisim仿真 [ 13 ] 结果对比，是完全一致的，因而验证了其的正确性，故可在工程实践中广泛应用。这种方法由于是对电路逐级(逐个三极管)进行分析的，因而避免了传统方法的繁琐。且每一级的电流或电压都可求得，各种电路参数(如放大倍数，输入输出电阻)可一并得到。 下面我们用这种方法对上面的例子进行求解。展示所用的技巧，并对这种方法的正确性进行验证。 4.1. 方法二原理简介 [ 3 ] 这里，三极管的小信号交流等效电路我们采用国际教材 [ 3 ] - [ 8 ] 常用的混合π模型或T模型(如图5)。 图5. (a) 混合π模型；(b) T模型 模型中的参数可由直流工作点确定，可证明有： g m = I C V T ， r o = V A + V C E I C ， r π = V T I B ， β = i ′ c i b = g m v π i b = g m r π = I C I B ， i ′ e = i ′ c α ， α = β 1 + β ， r e = r π 1 + β = V T I E 其中 I C 等为直流工作点的值，而 V T = k T / q 为热电压， V A 为early voltage [ 5 ] [ 7 ] [ 8 ]。和前面的h参数模型相比较可见有： r b e = r x + r π ， r c e = r 0 作为一个例子，下面我们推导从三极管集电极看进去的诺顿等效电路。如图6(a)，基极和发射极之外的电路都等效为一个戴维宁等效电路。我们假设静态工作点都已设好且已知。我们将三极管用混合π模型代替得到图6(b)。从集电极看进去的诺顿等效电路如图6(c)所示。 i c ( s c ) 的值是将集电极节点接地时(即 v c = 0 )的短路电流。 图6. 推导从三极管集电极看进去的诺顿等效电路 有： i c ( s c ) = i ′ c + i 0 ≈ i ′ c 这里做了近似，假设 i 0 相比 i ′ c 很小，可忽略。由于 r 0 是个很大的电阻，这通常是一个很好的近似；但在求集电极端输出电阻时则不能随意忽略。在后面，当忽略 i 0 时我们称之为“做了 r 0 近似”。 由图6(b)可求得 [ 3 ]： i c ( s c ) = i ′ c = G m ( v t b − v t e ) 这里 G m 是个等效跨导，为： G m = 1 R t b + r x + r π β + R t e α = 1 R t b + r x β + 1 g m + R t e α = 1 R t b + r x β + r e + R t e α = β R t b + r i b = α r i e + R t e 而 r i c = r 0 ( 1 + β R t e R t b + r x + r π + R t e ) + ( R t b + r x + r π ) R t e = r 0 + r i e R t e 1 − α R t e / ( r i e + R t e ) 这里在求 r i c 时并没有做任何近似。 根据类似的原理可以推得从基极或发射极看进去的戴维宁等效电路，总结为下图7： 图7. 三极管集电极、基极、发射极等效模型总结 其中， r i b = r x + r π + ( 1 + β ) R t e = r x + ( 1 + β ) ( r e + R t e ) r i e = R t b + r x + r π 1 + β = R t b + r x 1 + β + r e 这些构成了我们用方法二解题时的基本公式。下面我们用方法二对前面的例题求解，可以充分体会它带给我们的便捷。 4.2. 用方法二对例题求解 图2的小信号交流等效电路如图8。电流源相当于断路。差分放大器输入为差分信号 v i d ，我们求一下它的差分放大倍数 A u 及输出电阻 r o u t 。并和方法一的结果作个对照。第二级放大器是从 T 3 的基极和发射极同时输入的，为了应用此方法，我们需要解耦。将 T 3 的发射极电位 v e 3 看作为一个电压源，从 T 2 的集电极向外看出去的电路用一个戴维宁等效电路代替；同理，将从 T 3 的发射极向外看去的电路也用一个戴维宁等效电路代替(这是此方法的关键一步，且由本文的计算和仿真证明其是正确的)。则得到图9。我们在 v o 节点上连接一个测试电流源 i t 用来在后面计算输出电阻 r o u t 。 图8. 图2的小信号交流等效电路 图9. 图8解耦后的等效电路 已知 T 1 管和 T 2 管完全相同，从 T 2 管发射极看进去的电路可以用一个戴维宁电路等效；其次从 T 1 管集电极看进去的电路可以用一个诺顿等效电路等效；最后从 T 3 集电极看进去的电路可以用一个诺顿等效电路等效。以此得到各变量间的关系。首先，从 T 2 管发射极看进去的等效电路如图10(a) (虽然 T 2 集电极有一个受控电压源，但可证明图7的发射极等效模型依然成立)。有： v t b 1 = v i d 2 ， R t e 1 = r i e 2 = r x 2 + r π 2 1 + β = r i e 1 = r x 1 + r π 1 1 + β v t e 1 = v t b 2 = − v i d 2 从 T 1 集电极看进去的等效电路如图10(b)，有： i c 1 ( s c ) = i ′ c 1 = G m 1 ( v t b 1 − v t e 1 ) 其中， G m 1 = α r i e 1 + R t e 1 = α 2 r i e 1 ， r i c 1 = r 01 + r i e 1 R t e 1 1 − α R t e 1 / ( r i e 1 + R t e 1 ) = r 01 + r i e 1 1 − α / 2 从 T 3 基极向外看等效为一个戴维宁等效电路，有， v t b 3 = − i c 1 ( s c ) R c 1 ‖ r i c 1 ≈ − i c 1 ( s c ) R c 1 ，     R t b 3 = R c 1 ‖ r i c 1 ≈ R c 1 最后，从 T 3 集电极看进去的等效电路如图10(d)。其中 i c 3 ( s c ) = G m 3 ( v t b 3 − v e 3 ) ， r i c 3 = r 03 + r i e 3 ‖ R t e 3 1 − α R t e 3 / ( r i e 3 + R t e 3 ) = r 03 (因为 R t e 3 = 0 ) 且有 G m 3 = α r i e 3 + R t e 3 = α r i e 3 ，而 r i e 3 = R t b 3 + r x 3 + r π 3 1 + β = R c 1 + r x 3 + r π 3 1 + β 注意，虽然 T 3 是PNP管，但其交流等效电路中 i c 3 ( s c ) 的方向选取了和NPN管同样的方向；则 T 3 管射极交流电流 i e 3 的方向应如图8所示，与NPN管方向相同。由图8知： v e 3 = i e 3 R c 1 − i c 2 R c 1 = i c 3 ( s c ) α R c 1 + i c 1 ( s c ) R c 1 这里应用了关系： i c 2 = α i e 2 = − α i e 1 = − α i c 1 ( s c ) α = − i c 1 ( s c ) (使用了 r 0 近似)。 由图10(d)求 v o 时，对电源 i c 3 ( s c ) 和 i t 运用叠加原理(即令 i c 3 ( s c ) 和 i t 分别为0求 v o )，得： v o = − i c 3 ( s c ) ( r i c 3 ‖ R c 2 ) + i t ( r i c 3 ‖ R c 2 ) ≈ − i c 3 ( s c ) R c 2 + i t R c 2 求解以上关系，我们可求出差分增益 A u = v o / v i d 。但为了计算更简洁清晰，下面我们用Mason信号流图的方法 [ 3 ] [ 14 ] 求 A u 和输出电阻 r o u t (当然类似地也可以同时求出输入电阻 r i n )。根据以上的关系，可以画出下面图11的信号流图： 图10. 对图9逐级等效简化后得到的电路 图11. 逐级求解图8时得到的Mason信号流图 计算 v o / v i d 时， v i d 是源节点， v o 是非源节点。计算此传输增益的公式是 [ 3 ] [ 14 ]： T = 1 Δ ∑ k     P k Δ k 图11只有一个反馈环路，故有： Δ = 1 + R c 1 α G m 3 = 1 + R c 1 r i e 3 从 v i d 到 v o 有4条前向通路，其传输增益分别为： P 1 = − 1 2 ( − G m 1 ) ( − R c 1 ) G m 3 ( − R c 2 ) ，       Δ 1 = 1 P 2 = − 1 2 ( − G m 1 ) ( R c 1 ) ( − G m 3 ) ( − R c 2 ) ，       Δ 2 = 1 P 3 = 1 2 G m 1 ( − R c 1 ) G m 3 ( − R c 2 ) ，       Δ 3 = 1 P 4 = 1 2 G m 1 ( R c 1 ) ( − G m 3 ) ( − R c 2 ) ，       Δ 4 = 1 故 A u = v o v i d = 1 Δ ∑ k P k Δ k = 2 G m 1 G m 3 R c 1 R c 2 1 + R c 1 r i e 3 = α 2 R c 1 R c 2 r i e 1 ( r i e 3 + R c 1 ) 根据共射h参数模型和混合π模型参数之间的关系有： r b e = r x + r π ， 故 r i e 1 = r b e 1 1 + β ， r i e 3 = R c 1 + r b e 3 1 + β ， 另 外 α = β 1 + β 带入上式得： A u = v o v i d = β 2 R c 1 R c 2 r b e 1 [ ( 2 + β ) R c 1 + r b e 3 ] 结果和方法一的结果(4)式完全一致，从而验证了这种方法是正确的。 下面求输出电阻 r o u t = v o / i t 。在图8中 i t 为源节点(可以设想 v i d 为0)，则 Δ = 1 ，只有一条前向通路， P 1 = R c 2 ， Δ 1 = 1 ，故 r o u t = v o i t = R c 2 与方法一的(7)式完全一样。再次验证了方法二的正确性。 由于方法二是逐级等效求解，故计算始终保持为一个三极管不变；而级数增多时，结合Mason信号流图法可方便地求解出要计算的参数，且用一个流图就可计算出电路的所有参数(如放大倍数，输入输出电阻等)。这种方法计算过程明显简洁得多，尤其当三极管数目很多时更能彰显其优越性。而我们通过对各种类型的电路的分析，都验证了其与传统方法的一致性。这些研究限于篇幅，将在后续文章中陆续阐述。故这种方法可作为实际工作中的一个有力的分析工具。 4.3. 用Multisim [ 13 ] 对电路进行仿真验证 在仿真时首先对电路设置正确的直流偏置，使3个三极管都工作在放大工作状态。我们设置 I 0 = 1   mA ， R c 1 = 10   kΩ， R c 2 = 20   kΩ 。 关于直流工作点的计算，限于篇幅，将另文阐述，这里就不展开了。要说明的是，由于采用了扩展的叠加原理，直流工作点的计算也变得非常便捷；而其正确性依然可以通过仿真验证。由于 r b e = r x + r π = r π = V T / I B (这里 r x 设置为0) 而仿真时 T = 300   K ，故 V T = 25.86   mV 。测出 I B 1 = 4.95   μ A ， I B 3 = 0.893   μ A 。故 r b e 1 = 5.224   k Ω ， r b e 3 = 28.959   k Ω 。又 β = 100 ，故 A u = v o v i d = β 2 R c 1 R c 2 r b e 1 [ ( 2 + β ) R c 1 + r b e 3 ] = 365 而通过仿真测得 A u = 345 ，这在误差允许范围内，因而仿真与理论结果是一致的。仿真还测得输出电阻为20 kΩ，即 R c 2 ，与理论分析完全一致。