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user: 5. 随机分岔分析 随机分岔理论 [ 4 ] [ 5 ] 是通过研究参数的变化，对随机动态系统进行性态分析，我们将应用拟不可积Hamilton系统随机平均法来解决随机分岔动力学行为。 5.1. 随机D-分岔分析 当Itô随机微分方程(11)中 v 2 = 0 时，方程即为： d r = v 1 8 r d t + ( v 3 8 r 2 ) 1 2 d w (13) 由于 v 3 = 0 方程变为不发生分岔的确定系统，我们讨论 v 3 ≠ 0 时的情形，令 m ( 0 ) = ( v 1 8 − v 3 16 ) r ， σ ( 0 ) = ( v 3 8 ) 1 2 r ，方程(13)生成的连续动态系统为： μ ( t ) = x + ∫ 0 t m ( μ ( s ) x ) d s + ∫ 0 t σ ( μ ( s ) x ) ∘ d w (14) 式(14)为方程(13)以x为初值的唯一强解。当 m ( 0 ) = 0 ， σ ( 0 ) = 0 时，0是 μ 的固定点，对此固定点， ∘ d w 是Stratonovich的随机意义下的激参，设 m ( r ) 有界，则对 r ≠ 0 满足椭圆性条件的 σ ( 0 ) ≠ 0 ，保证最多有一个平稳概率，则对应的FPK方程为： ∂ p ∂ t = − ∂ ∂ r { ( v 1 8 r ) p } − ∂ 2 ∂ r 2 { ( v 3 8 r 2 ) p } (15) 其中，令 ∂ p ∂ t = 0 得到与方程(15)相应的平稳概率密度： p ( r ) = c | σ − 1 ( r ) | exp ( ∫ 0 r 2 m ( v ) σ 2 ( v ) d v ) (16) 这样，则该动态系统可能有不动点、非平凡平稳两种平稳状态，且二者不变测度 δ 0 和 ε 的密度分别为 δ ( x ) 和(16)式，此时还需确定两不变测度的Lyapunov指数，解线性Itô随机微分方程(13)为： r ( t ) = r ( 0 ) exp [ ∫ 0 t [ m ˙ ( r ) + σ ( r ) σ ¨ ( r ) 2 ] d s + ∫ 0 t σ ˙ ( r ) d w ] (17) 已知系统测度的Lyapunov指数： λ μ = lim t → + ∞ 1 t ln ‖ r ( t ) ‖ (18) 根据公式 σ ( 0 ) = 0 ， σ ˙ ( 0 ) = 0 得，不动点状态的Lyapunov指数： λ μ ( δ 0 ) = lim t → + ∞ 1 t ln ‖ r ( 0 ) ‖ + m ˙ ( 0 ) ∫ 0 t d s + σ ˙ ( 0 ) ∫ 0 t d w ( s ) = m ˙ ( 0 ) + σ ˙ ( 0 ) lim t → + ∞ w r ( t ) t = m ˙ ( 0 ) = v 1 8 − v 3 16 (19) 设 σ ˙ 有界， m ˙ ( r ) + σ ( r ) σ ¨ ( r ) 可积，将式(17)代入方程(18)，非平凡平稳状态的Lyapunov指数为： λ μ ( ε ) = lim t → + ∞ 1 t [ ∫ 0 t [ m ˙ ( r ) + σ ( r ) σ ¨ ( r ) ] d s ] = ∫ [ m ˙ ( r ) + σ ( r ) σ ¨ ( r ) 2 ] p ( r ) d r = − 2 ∫ ( m ( r ) σ ( r ) ) 2 p ( r ) d r     m ˙ ( 0 ) = − 2 v 3 3 2 ( v 1 8 − v 3 16 ) exp [ ( 16 v 3 ) ( v 1 8 − v 3 16 ) ] (20) 令 κ = v 1 8 − v 3 16 ，则根据二者不变测度的Lyapunov指数可判定，当 κ ≤ 0 时前者不变测度稳定，当 κ > 0 时后者不变测度稳定，即系统(2)的一个D-分岔在 κ = κ D = 0 处发生。 我们进一步处理系统(16)可以得到： p s t ( r ) = c r 2 ( v 1 − v 3 ) v 3 = o ( r χ ) r → 0 (21) 其中：c为归一化常数， χ = 2 ( v 1 − v 3 ) v 3 ，当 χ < − 1 ，即 v 1 v 3 < 1 2 时， p s t ( r ) 是一个 δ 函数，当 − 1 < χ < 0 ，即 v 1 v 3 > 1 2 时， r = 0 是 p s t ( r ) 在该区间的最大值点，所以随机系统(2)发生D-分岔的临界条件为， χ = − 1 ，即 v 1 v 3 = 1 2 。 当Itô随机微分方程(11)中 v 2 ≠ 0 时，令 Φ = ( − v 3 8 r ) 1 2 ， v 2 < 0 ，则方程(11)变为： d Φ = ( κ ⋅ Φ − Φ 3 ) d t + ( v 3 8 ) 1 2 Φ ∘ d w (22) 当 v 3 = 0 时，系统为确定分岔-叉形分岔，当 v 3 ≠ 0 时，讨论 κ < 0 时，有唯一密度为 δ ( x ) 不变测度 δ 0 ； κ > 0 时，动态系统的平衡状态相应的不变测度分别为 δ κ 和非平凡平稳状态测度 ，密度为： P κ + ( Φ ) = { G κ Φ 2 κ v 3 / 8 − 1 exp ( − 8 Φ 2 v 3 ) ，           Φ > 0 0 ，                                                                     Φ ≤ 0 (23) F κ − ( Φ ) = P κ + ( − Φ ) (24) 其中 G κ − 1 = Γ ( 8 κ v 3 ) ⋅ ( v 3 8 ) − 8 κ v 3 ，则根据式(19)得 δ κ 的Lyapunov指数为： λ μ ( δ κ ) = κ = v 1 8 − v 3 16 (25) 根据方程(20)，(23)，(25)可得两个非平凡平稳状态测度 ε χ ± 的Lyapunov指数为： λ μ ( ε χ ± ) = − 2 κ = − v 1 4 + v 3 8 (26) 所以 κ = κ D = 0 时，随机系统(2)的发生D-分岔。 5.2. 随机P-分岔分析 令 Φ = ( − v 3 8 r ) 1 2 ， v 2 < 0 ，则方程(11)变为： d Φ = ( ( v 1 8 − v 3 16 ) Φ − Φ 3 ) d t + ( v 3 8 ) 1 2 Φ ∘ d w (27) 可得到方程(27)的FKP方程为： ∂ p ∂ t = − ∂ ∂ r [ ( v 1 8 r − v 3 2 v 2 r − r 3 ) p ( r ) ] − v 3 2 v 2 ∂ 2 ∂ r 2 ( r 2 p ( r ) ) (28) 其初值条件为： v 2 = 0 ， p ( r ， t | r 0 ， t 0 ) → δ ( r − r 0 ) ， t → t 0 ， p ( r ， t | r 0 ， t 0 ) 为扩散过程的转移概率密度， r ( t ) 的不变测度是平稳概率密度，若令 ∂ p ∂ t = 0 ，则退化系统的解为： p ( r ) = exp ( r 2 v 2 v 3 ) r 1 − v 1 v 2 4 v 3 Γ [ − v 1 v 2 8 v 3 ] ( − v 2 v 3 ) v 1 v 2 8 v 3 对系统进行P-分岔分析时，我们的思路是由线性Itô随机微分方程的概率密度 p ( r ) 计算不变测度极值，进而分析分岔。根据Namachivay’s理论 [ 4 ] [ 10 ] [ 12 ]，当噪声 σ 趋于0时， 的极值趋表现稳态特征，当系统响应 r ( t ) 是遍历的，由乘积遍历性定理得 p ( r ) 是样本轨线在 的邻域内访问时间的度量。 若 p ( r ) 在 r 0 处为极大值，轨线在 r 0 的邻域内停留时间较长，说明 r 0 在概率意义下是稳定点；若 p ( r ) 在 r 0 处为极小值，轨线在 r 0 的邻域内停留时间较短，说明 r 0 在概率意义下是不稳定点。