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user: 3. 多元复合函数的一阶、二阶偏导数 遍及本节，我们有下述假设： 假设 ω = f ( z ， r ) ，且中间变量与自变量之间满足如下关系： { ξ = ξ ( z ， r ) η = η ( z ， r ) 进而对上式两边分别关于 求偏导，由定理2.1，得到： { ∂ z ∂ ξ = 1 | J | ∂ η ∂ r ∂ r ∂ ξ = − 1 | J | ∂ z ∂ η ∂ η ∂ z = − 1 | J | ∂ r ∂ ξ ∂ η ∂ r = 1 | J | ∂ z ∂ ξ (3.1) 其中 J = ( ∂ z ∂ ξ ∂ r ∂ ξ ∂ z ∂ η ∂ r ∂ η ) ，     | J | = ∂ z ∂ ξ ∂ r ∂ η − ∂ r ∂ ξ ∂ z ∂ η (3.2) 接下来，我们首先导出多元复合函数一阶偏导数定理。 定理3.1 设 w = f ( u ， v ) ，函数 x = x ( u ， v ) ， y = y ( u ， v ) 关于变量 u ， v 具有连续的一阶偏导数，记： J = ( ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ) (3.3) 若 ，则 ( ∂ w ∂ x ∂ w ∂ y ) T = 1 | J | ( ∂ f ∂ u ∂ f ∂ v ) J − 1 (3.4) 证明：依据链式求导法则，有 ∂ w ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x = ( ∂ f ∂ u ∂ f ∂ v ) ( ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ) (3.5) ∂ w ∂ y = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y = ( ∂ f ∂ u ∂ f ∂ v ) ( ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ) (3.6) 进一步，通过(3.1)式，可以得到 ∂ w ∂ x = 1 | J | ( ∂ f ∂ u ∂ f ∂ v ) ( ∂ y ∂ v − ∂ y ∂ u ) (3.7) ∂ w ∂ y = 1 | J | ( ∂ f ∂ u ∂ f ∂ v ) ( − ∂ x ∂ v ∂ x ∂ u ) (3.8) 结合(3.7)~(3.8)，易得(3.4)，证毕。 进一步，我们导出多元复合函数的二阶偏导数定理。 由文献 [ 1 ] 中矩阵求多元抽象复合函数二阶偏导数的方法，可以知道 ( ∂ 2 ∂ z 2 ) = ( ∂ ξ ∂ z ∂ η ∂ z ) [ ∂ 2 ∂ ξ 2 ∂ 2 ∂ ξ ∂ η ∂ 2 ∂ η ∂ ξ ∂ 2 ∂ η 2 ] ( ∂ ξ ∂ z ∂ η ∂ z ) + ( ∂ ∂ ξ ∂ ∂ η ) ( ∂ 2 ξ ∂ z 2 ∂ 2 η ∂ z 2 ) (3.9) ( ∂ 2 ∂ ξ 2 ) = ( ∂ z ∂ ξ ∂ γ ∂ ξ ) [ ∂ 2 ∂ z 2 ∂ 2 ∂ z ∂ γ ∂ 2 ∂ z ∂ γ ∂ 2 ∂ γ 2 ] ( ∂ z ∂ ξ ∂ γ ∂ ξ ) + ( ∂ ∂ z ∂ ∂ γ ) ( ∂ 2 z ∂ ξ 2 ∂ 2 γ ∂ ξ 2 ) (3.10) 进而我们可以得到如下关于多元复合函数求二阶偏导数的定理。 定理3.2 设 ω = f ( z ， r ) ， ξ = ξ ( z ， r ) ， η = η ( z ， r ) ，且 f ， ξ ， η 均有连续的二阶偏导数。若记： B = ( ( ∂ r ∂ η ) 2 − ∂ r ∂ ξ ∂ r ∂ η − ∂ r ∂ ξ ∂ r ∂ η ( ∂ r ∂ ξ ) 2 − ∂ z ∂ η ∂ r ∂ η ∂ z ∂ ξ ∂ r ∂ η ∂ r ∂ ξ ∂ z ∂ η − ∂ z ∂ ξ ∂ r ∂ ξ − ∂ z ∂ η ∂ r ∂ η ∂ z ∂ η ∂ r ∂ ξ ∂ z ∂ ξ ∂ r ∂ η − ∂ z ∂ ξ ∂ r ∂ ξ ( ∂ z ∂ η ) 2 − ∂ z ∂ ξ ∂ z ∂ η − ∂ z ∂ ξ ∂ z ∂ η ( ∂ z ∂ ξ ) 2 ) (3.11) 且满足 | J | ≠ 0 ，则 (3.12) (3.13) 证明：对(2.6)和(2.7)两边分别关于 ξ ， η 求二阶偏导，易得 ∂ ξ ∂ z ⋅ ∂ 2 z ∂ ξ 2 + ∂ z ∂ ξ [ ∂ 2 ξ ∂ z 2 ⋅ ∂ z ∂ ξ + ∂ 2 ξ ∂ z ∂ r ⋅ ∂ r ∂ ξ ] + ∂ ξ ∂ r ⋅ ∂ 2 r ∂ ξ 2 + ∂ r ∂ ξ [ ∂ 2 ξ ∂ r ∂ z ⋅ ∂ z ∂ ξ + ∂ 2 ξ ∂ r 2 ⋅ ∂ r ∂ ξ ] = 0 ∂ ξ ∂ z ⋅ ∂ 2 z ∂ ξ ∂ η + ∂ z ∂ ξ [ ∂ 2 ξ ∂ z 2 ⋅ ∂ z ∂ η + ∂ 2 ξ ∂ z ∂ r ⋅ ∂ r ∂ η ] + ∂ ξ ∂ r ⋅ ∂ 2 r ∂ ξ ∂ η + ∂ r ∂ ξ [ ∂ 2 ξ ∂ r ∂ z ⋅ ∂ z ∂ η + ∂ 2 ξ ∂ r 2 ⋅ ∂ r ∂ η ] = 0 ∂ ξ ∂ z ⋅ ∂ 2 z ∂ η ∂ ξ + ∂ z ∂ η [ ∂ 2 ξ ∂ z 2 ⋅ ∂ z ∂ ξ + ∂ 2 ξ ∂ z ∂ r ⋅ ∂ r ∂ ξ ] + ∂ ξ ∂ r ⋅ ∂ 2 r ∂ ξ ∂ η + ∂ r ∂ η [ ∂ 2 ξ ∂ r ∂ z ⋅ ∂ z ∂ ξ + ∂ 2 ξ ∂ r 2 ⋅ ∂ r ∂ ξ ] = 0 联立上面4个式子，可得 ( ( ∂ z ∂ ξ ) 2 ∂ z ∂ ξ ∂ r ∂ ξ ∂ r ∂ ξ ∂ z ∂ ξ ( ∂ r ∂ ξ ) 2 ∂ z ∂ ξ ∂ z ∂ η ∂ z ∂ ξ ∂ r ∂ η ∂ r ∂ ξ ∂ z ∂ η ∂ r ∂ ξ ∂ r ∂ η ∂ z ∂ η ∂ z ∂ ξ ∂ z ∂ η ∂ r ∂ ξ ∂ r ∂ η ∂ z ∂ ξ ∂ r ∂ η ∂ r ∂ ξ ( ∂ z ∂ η ) 2 ∂ z ∂ η ∂ r ∂ η ∂ r ∂ η ∂ z ∂ η ( ∂ r ∂ η ) 2 ) ( ∂ 2 ξ ∂ z 2 ∂ 2 ξ ∂ z ∂ r ∂ 2 ξ ∂ r ∂ z ∂ 2 ξ ∂ r 2 ) = − ∂ ξ ∂ z ⋅ ( ∂ 2 z ∂ ξ 2 ∂ 2 z ∂ ξ ∂ η ∂ 2 z ∂ η ∂ ξ ∂ 2 z ∂ η 2 ) − ∂ ξ ∂ r ⋅ ( ∂ 2 r ∂ ξ 2 ∂ 2 r ∂ ξ ∂ η ∂ 2 r ∂ η ∂ ξ ∂ 2 r ∂ η 2 ) (3.14) 记 A = ( ( ∂ z ∂ ξ ) 2 ∂ z ∂ ξ ∂ r ∂ ξ ∂ r ∂ ξ ∂ z ∂ ξ ( ∂ r ∂ ξ ) 2 ∂ z ∂ ξ ∂ z ∂ η ∂ z ∂ ξ ∂ r ∂ η ∂ r ∂ ξ ∂ z ∂ η ∂ r ∂ ξ ∂ r ∂ η ∂ z ∂ η ∂ z ∂ ξ ∂ z ∂ η ∂ r ∂ ξ ∂ r ∂ η ∂ z ∂ ξ ∂ r ∂ η ∂ r ∂ ξ ( ∂ z ∂ η ) 2 ∂ z ∂ η ∂ r ∂ η ∂ r ∂ η ∂ z ∂ η ( ∂ r ∂ η ) 2 ) (3.15) 为求 A − 1 ，依据分块矩阵表示方法，A可写为： A = ( ( ∂ z ∂ ξ ) 2 ∂ z ∂ ξ ∂ r ∂ ξ ∂ r ∂ ξ ∂ z ∂ ξ ( ∂ r ∂ ξ ) 2 ∂ z ∂ ξ ∂ z ∂ η ∂ z ∂ ξ ∂ r ∂ η ∂ r ∂ ξ ∂ z ∂ η ∂ r ∂ ξ ∂ r ∂ η ∂ z ∂ η ∂ z ∂ ξ ∂ z ∂ η ∂ r ∂ ξ ∂ r ∂ η ∂ z ∂ ξ ∂ r ∂ η ∂ r ∂ ξ ( ∂ z ∂ η ) 2 ∂ z ∂ η ∂ r ∂ η ∂ r ∂ η ∂ z ∂ η ( ∂ r ∂ η ) 2 )       = ( ∂ z ∂ ξ J ∂ r ∂ ξ J ∂ z ∂ η J ∂ r ∂ η J ) = ( ∂ z ∂ ξ E 2 ∂ r ∂ ξ E 2 ∂ z ∂ η E 2 ∂ r ∂ η E 2 ) ( J 0 0 J ) (3.16) 其中 E 2 是 2 × 2 阶单位矩阵，J是(3.3)中所定义的Jacobi矩阵。 进一步，结合(3.1)式，我们有 A − 1 = 1 | J | ( J − 1 0 0 J − 1 ) ( ∂ r ∂ η E 2 − ∂ r ∂ ξ E 2 − ∂ z ∂ η E 2 ∂ z ∂ ξ E 2 ) ，         J − 1 = 1 | J | ( ∂ r ∂ η − ∂ r ∂ ξ − ∂ z ∂ η ∂ z ∂ ξ ) (3.17) 则可得到 A − 1 = 1 | J | 2 ( ( ∂ r ∂ η ) 2 − ∂ r ∂ ξ ∂ r ∂ η − ∂ r ∂ ξ ∂ r ∂ η ( ∂ r ∂ ξ ) 2 − ∂ z ∂ η ∂ r ∂ η ∂ z ∂ ξ ∂ r ∂ η ∂ r ∂ ξ ∂ z ∂ η − ∂ z ∂ ξ ∂ r ∂ ξ − ∂ z ∂ η ∂ r ∂ η ∂ z ∂ η ∂ r ∂ ξ ∂ z ∂ ξ ∂ r ∂ η − ∂ z ∂ ξ ∂ r ∂ ξ ( ∂ z ∂ η ) 2 − ∂ z ∂ ξ ∂ z ∂ η − ∂ z ∂ ξ ∂ z ∂ η ( ∂ z ∂ ξ ) 2 ) (3.18) 结合(3.14)，易得 ( ∂ 2 ξ ∂ z 2 ∂ 2 ξ ∂ z ∂ r ∂ 2 ξ ∂ r ∂ z ∂ 2 ξ ∂ r 2 ) = − ∂ ξ ∂ z ⋅ A − 1 ( ∂ 2 z ∂ ξ 2 ∂ 2 z ∂ ξ ∂ η ∂ 2 z ∂ η ∂ ξ ∂ 2 z ∂ η 2 ) − ∂ ξ ∂ r ⋅ A − 1 ( ∂ 2 r ∂ ξ 2 ∂ 2 r ∂ ξ ∂ η ∂ 2 r ∂ η ∂ ξ ∂ 2 r ∂ η 2 ) (3.19) (3.19)左边可化为 (3.20) 同理，对(2.8)和(2.9)两边分别关于 ξ ， η 求偏导，可得 (3.21) 证毕。