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user: 2. 证明正交4球球面内凹和外凸各4交点共球半径及其坐标 2.1. 设共球半径及其球心坐标符号 2.1.1. 正交4球球面内凹4交点坐标见文 [ 2 ]，其共球半径及球心符号为 设4个球面内凹交点 A − ， B − ， C − ， D − 坐标见文 [ 2 ]，共球半径平方为 r − 2 ，共球球心为 O − 。 2.1.2. 正交4球球面外凸4交点坐标见文 [ 2 ]，其共球半径及球心符号为 设4个球面外凸交点 A + ， B + ， C + ， D + 坐标见文 [ 2 ]，共球半径平方为 r + 2 ，共球球心为 O + 。 2.2. 计算证明正交4球球面内凹、外凸各4点2个共球半径及其球心坐标 根据文 [ 2 ] 得知，正交4球的球面构成内凹、外凸各4点3球面交点为8原点，其中可分内凹4点和外凸4点2组。计算证明2组各4原点共球和球心坐标如下： 2.2.1. 计算证明正交4球球面内凹4交点的共球半径及其球心坐标 证明正交4球面4内凹交点共球球心有相同的3个分坐标，且均为共球半径的 1 3 ，即共球半径为各相同分坐标的 3 倍。即证明： 正交4球面4内凹交点共球半径为： r − = 3 a b c d a b c + a b d + a c d + b c d + v (1) 3个分坐标相同的共球球心坐标为： O − { x = a b c d a b c + a b d + a c d + b c d + v y = a b c d a b c + a b d + a c d + b c d + v z = a b c d a b c + a b d + a c d + b c d + v (2) 证明如下： • 根据2点距离公式，球面内凹4原点A − ，B − ，C − ，D − ，与其共球球心O − 可联立方程组为： r − 2 = { | O − A − | 2 = [ x − − a b c ( a b c + b c d + v ) t d ( v + b c d ) ] 2 + ( y − − a 2 b c 2 t v + b c d ) 2 + ( z − − a 2 b 2 c t v + b c d ) 2 | O − B − | 2 = ( x − − a b 2 c 2 t v + a c d ) 2 + [ y − − a b c ( a b c + a c d + v ) t d ( v + a c d ) ] 2 + ( z − − a 2 b 2 c t v + a c d ) 2 | O − C − | 2 = ( x − − a b 2 c 2 t v + a b d ) 2 + ( y − − a 2 b c 2 t v + a b d ) 2 + [ z − − a b c ( a b c + a b d + v ) t d ( v + a b d ) ] 2 | O − D − | 2 = ( x − 0 ) 2 + ( y − 0 ) 2 + ( z − 0 ) 2 这里： t = − d 2 v + a b c ， v = a 2 b 2 c 2 + a 2 b 2 d 2 + a 2 c 2 d 2 + b 2 c 2 d 2 = 6 V A B C D ； • 用高斯消元法求得内凹4点共球心 O − ( x ， y ， z ) 坐标为： O − { x = a b c d a b c + a b d + a c d + b c d + v y = a b c d a b c + a b d + a c d + b c d + v z = a b c d a b c + a b d + a c d + b c d + v (注：上述3个分坐标代数值均相同) • 将上述坐标代入联立公式任何一行，得内凹4点共球半径为： r − = 3 a b c d a b c + a b d + a c d + b c d + v 公式(1)、公式(2)证毕。 2.2.2. 计算证明正交4球球面外凸4交点的共球半径及其球心坐标 证明正交4球面4外凸交点共球球心有相同的3个分坐标，且均为共球半径的 1 3 ( 1 − 2 b c d a b c + v ) ，其共球半径为各相同分坐标的 3 ( a b c + v ) a b c − 2 b c d + v 倍，且与内凹共球半径共轭，区别在分母正的体积元为负。即证明： 正交4球面4外凸交点共球半径为： r + = 3 a b c d a b c + a b d + a c d + b c d − v (3) 3个分坐标相同的共球球心坐标为： O + { x = a b c d ( v + a b c − 2 b c d ) ( a b c + a b d + a c d + b c d − v ) ( v + a b c ) y = a b c d ( v + a b c − 2 b c d ) ( a b c + a b d + a c d + b c d − v ) ( v + a b c ) z = a b c d ( v + a b c − 2 b c d ) ( a b c + a b d + a c d + b c d − v ) ( v + a b c ) (4) 证明如下： • 根据2点距离公式，球面外凸4原点A + ，B + ，C + ，D + 与其共球球心O + 可联立方程组为： r + 2 = { | O + A + | 2 = [ x − a b c ( a b c − b c d + v ) t d ( v − b c d ) ] 2 + ( y − − a 2 b c 2 t v − b c d ) 2 + ( z − − a 2 b 2 c t v − b c d ) 2 | O + B + | = 2 ( x − − a b 2 c 2 t v − a c d ) 2 + [ y − a b c ( a b c − a c d + v ) t d ( v − a c d ) ] 2 + ( z − − a 2 b 2 c t v − a c d ) 2 | O + C + | 2 = ( x − − a b 2 c 2 t v − a b d ) 2 + ( y − − a 2 b c 2 t v − a b d ) 2 + [ z − a b c ( a b c − a b d + v ) t d ( v − a b d ) ] 2 | O + D + | 2 = ( x − − 2 a b 2 c 2 t v − a b c ) 2 + ( y − − 2 a 2 b c 2 t v − a b c ) 2 + ( z − − 2 a 2 b 2 c t v − a b c ) 2 这里： t = − d 2 v + a b c ， v = a 2 b 2 c 2 + a 2 b 2 d 2 + a 2 c 2 d 2 + b 2 c 2 d 2 = 6 V A B C D ； • 用高斯消元法求得外凸4点共球心 O + ( x ， y ， z ) 坐标为： O + { x = a b c d ( v + a b c − 2 b c d ) ( a b c + a b d + a c d + b c d − v ) ( v + a b c ) y = a b c d ( v + a b c − 2 b c d ) ( a b c + a b d + a c d + b c d − v ) ( v + a b c ) z = a b c d ( v + a b c − 2 b c d ) ( a b c + a b d + a c d + b c d − v ) ( v + a b c ) (注：上述3个分坐标代数值均相同) • 将上述坐标代入联立公式任何一行，得外凸4点共球半径为： r + = 3 a b c d a b c + a b d + a c d + b c d − v 公式(3)、公式(4)证毕。 2.2.3. 计算证明正交4球球面内凹、外凸共球球心间距 证明正交4球面内凹、外凸交点2共球球心间距为： O − O + = ( 1 − 2 b c d v + a b c ) r + − r − (5) • 根据2点距离公式，因内凹、外凸2共球球心坐标均分别相同，其距离公式 | O + O − | 2 = 3 [ a b c d ( v + a b c − 2 b c d ) ( a b c + a b d + a c d + b c d − v ) ( v + a b c ) − a b c d a b c + a b d + a c d + b c d + v ] 2 • 两边开方为： | O + O − | = 3 [ a b c d ( v + a b c − 2 b c d ) ( a b c + a b d + a c d + b c d − v ) ( v + a b c ) − a b c d a b c + a b d + a c d + b c d + v ] = 3 a b c d a b c + a b d + a c d + b c d − v v + a b c − 2 b c d v + a b c − 3 a b c d a b c + a b d + a c d + b c d + v = ( 1 − 2 b c d v + a b c ) r + − r − 公式(5)验证毕。 2.3. 证明正交4球球面内凹、外凸2共球心与欧拉线关系 2.3.1. 证明当4维相同，5点共点 当正交4球半径均相同时，内凹、外凸球面交点2共球球心 O − ， O + 与 H ， G ， O 欧拉线(欧拉线权取3点坐标见文 [ 3 ]，其余点作省略) 5点均共点。其坐标为位置：见图1。 H ( a 6 ， a 6 ， a 6 ) = G ( a 6 ， a 6 ， a 6 ) = O ( a 6 ， a 6 ， a 6 ) = O − ( a 6 ， a 6 ， a 6 ) = O + ( a 6 ， a 6 ， a 6 ) (6) 图1. 四维相同，5点共点图 公式(1)坐标共点验证如下： 当 ( a = b = c = d ) 时： v = a 2 b 2 c 2 + a 2 b 2 d 2 + a 2 c 2 d 2 + b 2 c 2 d 2 ⇒ v = 2 a 3 ; t = − d 2 v + a b c ⇒ t = − a 2 2 a 3 + a 3 = − 1 3 a • 验算垂心H坐标： H { x = − a b 2 c 2 t v y = − a 2 b c 2 t v z = − a 2 b 2 c t v ⇒ H { x = − a 5 2 a 3 ( − 1 3 a ) = a 6 y = − a 5 2 a 3 ( − 1 3 a ) = a 6 z = − a 5 2 a 3 ( − 1 3 a ) = a 6 • 验算重心G坐标： G { x = a + b c t 4 y = b + a c t 4 z = c + a b t 4 ⇒ G { x = a + a 2 ( − 1 3 a ) 4 = a 6 y = a + a 2 ( − 1 3 a ) 4 = a 6 z = a + a 2 ( − 1 3 a ) 4 = a 6 • 验算外接球球心O坐标： O { x = 1 2 ( a + b c t v + 2 a b c v ) y = 1 2 ( b + a c t v + 2 a b c v ) z = 1 2 ( c + a b t v + 2 a b c v ) ⇒ O { x = 1 2 [ a + a 2 ( − 1 3 a ) 2 a 3 + 2 a 3 2 a 3 ] = a 6 y = 1 2 [ a + a 2 ( − 1 3 a ) 2 a 3 + 2 a 3 2 a 3 ] = a 6 z = 1 2 [ a + a 2 ( − 1 3 a ) 2 a 3 + 2 a 3 2 a 3 ] = a 6 • 验算内凹球面交点共球心 O − 坐标： O − { x = a b c d a b c + a b d + a c d + b c d + v y = a b c d a b c + a b d + a c d + b c d + v z = a b c d a b c + a b d + a c d + b c d + v ⇒ O − { x = a 4 4 a 3 + 2 a 3 = a 6 y = a 4 4 a 3 + 2 a 3 = a 6 z = a 4 4 a 3 + 2 a 3 = a 6 • 验算外凸球面交点共球心 O + 坐标： O + { x = a b c d ( v + a b c − 2 b c d ) ( a b c + a b d + a c d + b c d − v ) ( v + a b c ) y = a b c d ( v + a b c − 2 b c d ) ( a b c + a b d + a c d + b c d − v ) ( v + a b c ) z = a b c d ( v + a b c − 2 b c d ) ( a b c + a b d + a c d + b c d − v ) ( v + a b c ) ⇒ O + { x = a 4 ( 2 a 3 + a 3 − 2 a 3 ) ( 4 a 3 − 2 a 3 ) ( 2 a 3 + a 3 ) = a 6 y = a 4 ( 2 a 3 + a 3 − 2 a 3 ) ( 4 a 3 − 2 a 3 ) ( 2 a 3 + a 3 ) = a 6 z = a 4 ( 2 a 3 + a 3 − 2 a 3 ) ( 4 a 3 − 2 a 3 ) ( 2 a 3 + a 3 ) = a 6 公式(6)验证毕。 2.3.2. 当3维相同，5点共垂线 当3维相同：正交4球球面内凹、外凸2共球球心 O − ， O + 连线与 H ， G ， O 欧拉线各点，5点共垂线(且该垂线过另一点球心)。见图2。 根据文 [ 2 ] 得知：垂线过球心 D ( b c t ， a c t ， a b t ) ，也过原点 D − ( 0 ， 0 ， 0 ) ，根据2点式过D点垂线的直线坐标参数方程为： l D { x = b c t t n y = a c t t n z = a b t t n 这里： t = − d 2 v + a b c ， v = a 2 b 2 c 2 + a 2 b 2 d 2 + a 2 c 2 d 2 + b 2 c 2 d 2 。 当 ( a = b = c ) 时：根据2点式过D垂线的直线坐标参数方程为： l D { x = a 2 t t n y = a 2 t t n z = a 2 t t n = l D { x = 1 3 ( a − a 2 + 3 d 2 ) t n y = 1 3 ( a − a 2 + 3 d 2 ) t n z = 1 3 ( a − a 2 + 3 d 2 ) t n ⇒ 即： x = y = z = a − a 2 + 3 d 2 3 t n (7) 这里： v = a 2 a 2 + 3 d 2 ， t = a − a 2 + 3 d 2 3 a 2 ， a 2 t = a − a 2 + 3 d 2 3 以下同。 可见当3维相同时，该线每点的3个分坐标均相同，点的变化仅在于参数 t n 。 图2. 三维相同6点共线图 验证如下： 当 ( a = b = c ) 时 • 验算垂心H坐标为： H { x H = − a b 2 c 2 t v y H = − a 2 b c 2 t v z H = − a 2 b 2 c t v ⇒ H { a ( − a + a 2 + 3 d 2 ) 3 a 2 + 3 d 2 = a − a 2 + 3 d 2 3 t H a ( − a + a 2 + 3 d 2 ) 3 a 2 + 3 d 2 = a − a 2 + 3 d 2 3 t H a ( − a + a 2 + 3 d 2 ) 3 a 2 + 3 d 2 = a − a 2 + 3 d 2 3 t H 解方程得参数： t H = − a a 2 + 3 d 2 。 • 验算重心G坐标为： G { x G = a + b c t 4 y G = b + a c t 4 z G = c + a b t 4 ⇒ G { 4 a − a 2 + 3 d 2 12 = a − a 2 + 3 d 2 3 t G 4 a − a 2 + 3 d 2 12 = a − a 2 + 3 d 2 3 t G 4 a − a 2 + 3 d 2 12 = a − a 2 + 3 d 2 3 t G 解方程得参数： t G = d 2 − a ( a + a 2 + 3 d 2 ) 4 d 2 = 1 4 − a 2 4 d 2 − a a 2 + 3 d 2 4 d 2 。 • 验算外接球球心O坐标为： O { x O = 1 2 ( a + b c t v + 2 a b c v ) y O = 1 2 ( b + a c t v + 2 a b c v ) z O = 1 2 ( c + a b t v + 2 a b c v ) ⇒ O { a 2 − 3 d 2 + 2 a a 2 + 3 d 2 6 a 2 + 3 d 2 = a − a 2 + 3 d 2 3 t O a 2 − 3 d 2 + 2 a a 2 + 3 d 2 6 a 2 + 3 d 2 = a − a 2 + 3 d 2 3 t O a 2 − 3 d 2 + 2 a a 2 + 3 d 2 6 a 2 + 3 d 2 = a − a 2 + 3 d 2 3 t O 解方程得参数： t O = − a ( a 2 + d 2 ) + ( − a 2 + d 2 ) a 2 + 3 d 2 2 d 2 a 2 + 3 d 2 = 1 2 − a 2 2 d 2 − a 2 a 2 + 3 d 2 − a 3 2 d 2 a 2 + 3 d 2 。 • 验算内凹球面交点共球心 O − 坐标为： O − { x O − = a b c d a b c + a b d + a c d + b c d + v y O − = a b c d a b c + a b d + a c d + b c d + v z O − = a b c d a b c + a b d + a c d + b c d + v ⇒ O − { a d a + 3 d + a 2 + 3 d 2 = a − a 2 + 3 d 2 3 t O − a d a + 3 d + a 2 + 3 d 2 = a − a 2 + 3 d 2 3 t O − a d a + 3 d + a 2 + 3 d 2 = a − a 2 + 3 d 2 3 t O − 解方程得参数： t O − = a a − d − a 2 + 3 d 2 。 • 验算外凸球面交点共球心 O + 坐标为： O + { x O + = a b c d ( v + a b c − 2 b c d ) ( a b c + a b d + a c d + b c d − v ) ( v + a b c ) y O + = a b c d ( v + a b c − 2 b c d ) ( a b c + a b d + a c d + b c d − v ) ( v + a b c ) z O + = a b c d ( v + a b c − 2 b c d ) ( a b c + a b d + a c d + b c d − v ) ( v + a b c ) ⇒ O + { a ( 3 a + d − a 2 + 3 d 2 ) 6 ( a + d ) = a − a 2 + 3 d 2 3 t O + a ( 3 a + d − a 2 + 3 d 2 ) 6 ( a + d ) = a − a 2 + 3 d 2 3 t O + a ( 3 a + d − a 2 + 3 d 2 ) 6 ( a + d ) = a − a 2 + 3 d 2 3 t O + 解方程得参数： t O + = a ( − 3 a − d + a 2 + 3 d 2 ) 2 ( a + d ) ( − a + a 2 + 3 d 2 ) 。 • 验算正交球球心D坐标为： D { x D = b c t y D = a c t z D = a b t ⇒ D { a − a 2 + 3 d 2 3 = a − a 2 + 3 d 2 3 t D a − a 2 + 3 d 2 3 = a − a 2 + 3 d 2 3 t D a − a 2 + 3 d 2 3 = a − a 2 + 3 d 2 3 t D 解方程得参数： t D = 1 。 公式(7)证毕。 同理：当其余3组ABD，ACD，BCD半径相同时，上述5点坐标，且依次共线过球心C、B、A垂线(略)。 2.3.3. 当2维相同，5点共垂面 当2维相同：正交4球球面内凹、外凸2共球球心 O − ， O + 线与 H ， G ， O 欧拉线交于H，5点共垂直面。且该面垂直交同维长2球心连线中点、且过另2点球心间连线。见图3。 图3. 二维相同，7点共面图(上述为2个视点图) 例： • 证明当 ( a = b ) 2维相同， O − ， O + ， H ， G ， O ， C ， D 7点中任意取C，D，H 3点的平面方程见文 [ 4 ] 为： 0 = | x − 0 y − 0 z − c a c t − 0 a c t − 0 a 2 t − c a 3 c 2 d 2 a 2 c v + v 2 − 0 a 3 c 2 d 2 a 2 c v + v 2 − 0 a 4 c d 2 a 2 c v + v 2 − c | = x − y (8) 当 ( a = b ) 2维相同，欧拉线各点H，G，O与球面内凹、外凸2共球球心 O − ， O + 连线约交于垂心H，上述5点共面，该共面垂直交于A，B 2球心连线中点，且与C、D 2球心连线共面。其平面方程 Π C D 见文 [ 4 ]：见图3。 当 ( a = b ) 时： v = a a 2 c 2 + a 2 d 2 + 2 c 2 d 2 = a s A C D 2 + c 2 d 2 ， t = − d 2 v + a 2 c = − d 2 a ( a c + a 2 c 2 + a 2 d 2 + 2 c 2 d 2 ) H { x H = − a b 2 c 2 t v y H = − a 2 b c 2 t v z H = − a 2 b 2 c t v ⇒ H { x H = a 3 c 2 d 2 a 2 c v + v 2 = a c 2 d 2 c 2 d 2 + c v + s A C D 2 y H = a 3 c 2 d 2 a 2 c v + v 2 = a c 2 d 2 c 2 d 2 + c v + s A C D 2 z H = a 4 c d 2 a 2 c v + v 2 = a 2 c d 2 c 2 d 2 + c v + s A C D 2 G { x G = a + b c t 4 y G = b + a c t 4 z G = c + a b t 4 ⇒ G { x G = a ( a 2 c − c d 2 + v ) 4 ( a 2 c + v ) y G = a ( a 2 c − c d 2 + v ) 4 ( a 2 c + v ) z G = a 2 c 2 − a 2 d 2 + c v 4 ( a 2 c + v ) O { x O = 1 2 ( a + b c t v + 2 a b c v ) y O = 1 2 ( b + a c t v + 2 a b c v ) z O = 1 2 ( c + a b t v + 2 a b c v ) ⇒ O { x O = a ( − 2 a 2 c 2 d 2 + a 2 c v − c d 2 v + v 2 ) 2 v ( a 2 c + v ) y O = a ( − 2 a 2 c 2 d 2 + a 2 c v − c d 2 v + v 2 ) 2 v ( a 2 c + v ) z O = − 2 a 4 c d 2 + a 2 ( c 2 − d 2 ) v + c v 2 2 v ( a 2 c + v ) O − { x O − = a b c d a b c + a b d + a c d + b c d + v y O − = a b c d a b c + a b d + a c d + b c d + v z O − = a b c d a b c + a b d + a c d + b c d + v ⇒ O − { x O − = a 2 c d a 2 c + a 2 d + 2 a c d + v y O − = a 2 c d a 2 c + a 2 d + 2 a c d + v z O − = a 2 c d a 2 c + a 2 d + 2 a c d + v O + { x O + = a b c d ( v + a b c − 2 b c d ) ( a b c + a b d + a c d + b c d − v ) ( v + a b c ) y O + = a b c d ( v + a b c − 2 b c d ) ( a b c + a b d + a c d + b c d − v ) ( v + a b c ) z O + = a b c d ( v + a b c − 2 b c d ) ( a b c + a b d + a c d + b c d − v ) ( v + a b c ) ⇒ O + { x O + = a 2 c d ( a 2 c − 2 a c d + v ) ( a 2 c + a 2 d + 2 a c d − v ) ( a 2 c + v ) y O + = a 2 c d ( a 2 c − 2 a c d + v ) ( a 2 c + a 2 d + 2 a c d − v ) ( a 2 c + v ) z O + = a 2 c d ( a 2 c − 2 a c d + v ) ( a 2 c + a 2 d + 2 a c d − v ) ( a 2 c + v ) C ( 0 ， 0 ， c ) D ( b c t ， a c t ， a b t ) ⇒ D { x O + = a 2 c d ( a 2 c − 2 a c d + v ) ( a 2 c + a 2 d + 2 a c d − v ) ( a 2 c + v ) y O + = a 2 c d ( a 2 c − 2 a c d + v ) ( a 2 c + a 2 d + 2 a c d − v ) ( a 2 c + v ) z O + = a 2 c d ( a 2 c − 2 a c d + v ) ( a 2 c + a 2 d + 2 a c d − v ) ( a 2 c + v ) 0 = | x − 0 y − 0 z − c a c t − 0 a c t − 0 a 2 t − c a 3 c 2 d 2 a 2 c v + v 2 − 0 a 3 c 2 d 2 a 2 c v + v 2 − 0 a 4 c d 2 a 2 c v + v 2 − c | = x − y (这里取 C ， D ， H   3 点 ) 将上述 O − ， O + ， H ， G ， O ， C ， D 7点中任意3点的 Π C D 平面方程均为： 0 = x − y 公式(8)证毕。 同理可证：(平面方程参见文 [ 4 ]) 当 a = c 则 H ， G ， O ， O − ， O + ， B ， D 7点共面于 Π B D 平面，该平面⊥交于AC连线中点，平面方程为： 0 = x − z ; 当 b = c 则 H ， G ， O ， O − ， O + ， A ， D 7点共面于 Π A D 平面，该平面⊥交于BC连线中点，平面方程为： 0 = y − z ; 当 a = d 则 H ， G ， O ， O − ， O + ， B ， C 7点共面于 Π B C 平面，该平面⊥交于AD连线中点，平面方程为： 0 = ( 2 b c + a 2 b 2 + a 2 c 2 + 2 b 2 c 2 ) x + a c y + a b z − a b c ; 当 b = d 则 H ， G ， O ， O − ， O + ， A ， C 7点共面于 Π A C 平面，该平面⊥交于BD连线中点，平面方程为： 0 = b c x + ( 2 a c + a 2 b 2 + 2 a 2 c 2 + b 2 c 2 ) y + a b z − a b c ; 当 c = d 则 H ， G ， O ， O − ， O + ， A ， B 7点共面于 Π A B 平面，该平面⊥交于CD连线中点，平面方程为： 0 = b c x + a c y + ( 2 a b + 2 a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) z − a b c ; • 共面的欧拉线 H ， G ， O 与 O − ， O + 连线约交于H点，计算证明交点不在H点： 根据 G ， O 2点式直线参数方程： L G O L G O = { x = x G − ( x O − x G ) t 1 y = y G − ( y O − y G ) t 1 z = z G − ( z O − z G ) t 1 (9) 根据 O − ， O + 2点式直线参数方程： L O − O + = { x = x O − − ( x O + − x O − ) t 2 y = y O − − ( y O + − y O − ) t 2 z = z O − − ( z O + − z O − ) t 2 (10) 将公式(9)、(10)联立将垂心坐标代入： H = { x H = x G − ( x O − x G ) t 1 = x O − − ( x O + − x O − ) t 2 y H = y G − ( y O − y G ) t 1 = y O − − ( y O + − y O − ) t 2 z H = z G − ( z O − z G ) t 1 ≠ z O − − ( z O + − z O − ) t 2 (11) 由于 O − ， O + 2点坐标的x，y，z分坐标均各自相同，而H仅x，y 2分坐标相同 z坐标则不同，因此计算出上述2线仅约交于H点。 不妨将图3的代数值 ( a = 2 ， b = 2 ， c = 5 ， d = 6 ) 计算证明 O − ， O + ， H 3点的间距为： | O + H | = ( x O + − x H ) 2 + ( y O + − y H ) 2 + ( z O + − z H ) 2 = 1.29344283577058378 | O − H | = ( x O − − x H ) 2 + ( y O − − y H ) 2 + ( z O − − z H ) 2 = 0.39753076973069135 | O + O − | = ( x O + − x O − ) 2 + ( y O + − y O − ) 2 + ( z O + − z O − ) 2 = 1.06198212275930686 O + O − + O − H = 1.45951289248999821 | O + O − | + | O − H | − | O + H | = 1.45951289248999821 − 1.29344283577058378 = 0.1660700567194144 因此：虽然共面不平行的2线有交点，目测约交点在H点。其间距和夹角的精确数值仍然需由点坐标得出。 2.3.4. 当4维均不同，5点共体 当四维均不同时，正交4球球面内凹、外凸2共球球心 O − ， O + 线与 H ， G ， O 欧拉线交于H，5点共体(该体包含：4个正交球的综合体)。其2线交点同样无法用公式证明，仅作3D图目测可见约交于H点。 例：当 a = 1 ， b = 2. c = 3 ， d = 4 ，作图后可见欧拉线与凹凸球面共球球心2点连线约交于垂心。见图4 图4. 四维不相同，5点2线约交于H点图