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user: 4. 数值模拟 4.1. 数据的选取 本文数值模拟工作基于以下模型： d X t = μ t d t + σ t d W 1， t ， (4.1) d σ t 2 = β ( α − σ t 2 ) d t + κ σ t 2 d W 2， t ， (4.2) 其中 d W 1， t 和 W 2， t 是相互独立的标准布朗运动，参数分别取 β = 0.510 ， α = 0.476 和 κ 2 = 0.0518 。 在实际模拟中，我们采用以下离散模型： Δ X i δ = μ t δ + σ ( i − 1 ) δ δ ε 1， i ， (4.3) Δ σ i δ 2 = β ( α − σ ( i − 1 ) δ 2 ) δ + κ σ ( i − 1 ) δ 2 δ ε 2 ， i ， (4.4) 并假设游离项 μ t = 0 ，以及观测时长为 T = 2 天，其中 { ε 1， i } 和 { ε 2， i } i . i . d N ( 0，1 ) ， δ > 0 是离散化的步长。 具体操作步骤如下： (1) 依据离散模型(4.4)获取真值 { σ t } 。因离散模型(4.4)在提取间隔尽可能小的时候才会近似于连续模型(4.2)，所以在离散模型(4.4)中我们取时间间隔 δ = Δ / 100 ，其中 Δ − 1 = 3 × 60 × 24 × 2 。 (2) 依据离散模型(4.3)以20秒为提取间隔来产生样本 { Δ X i δ } 。离散模型(4.3)中与20秒提取间隔对应的抽样频率为 δ − 1 = 3 × 60 × 24 × 2 。 (3) 选取核函数和窗宽。本文选用高斯核来作为核估计中的核函数，而窗宽则依照无偏最小平方交叉实证法来选取。 (4) 取 r = 1 ，根据公式 σ ^ τ r = k r − 1 δ 1 − r / 2 ∑ i = 1 n     K h ( t i − τ ) | Δ X t i | r ， (4.5) 产生对应时刻 τ 的瞬时波动率核估计序列 { σ ^ τ r } 。 4.2. 数据的基本统计特征及正态性检验 表1为对数收益率序列的基本统计量，从表看出序列均值在0附近；偏度系数近乎为0，峰度系数约为3，符合正态分布的特征；J-B统计量的值较小，而p值却很大，说明无法拒绝原假设，序列服从正态分布。 图1为对数收益率序列Q-Q图，图中的样本线与理论线几乎重合，由此进一步从直观上验证了序列服从正态分布。 Table 1 Basic statistics of the log-retur 均值(×10 −4 ) 中位数(×10 −4 ) 标准差(×10 −4 ) 偏度(×10 −4 ) 峰度 J-B统计量 p值 1.0192 1.2315 80.7956 −6.2037 3.0359 0.4624 0.7936 表1. 对数收益率基本统计量 图1. 对数收益率序列Q-Q图 4.3. 数据的平稳性检验 在实际分析中，往往需要保证对数收益率序列 { Δ X t ， t ∈ T } 具有平稳性，即对于任意 t ∈ T ，都有 ， V a r ( Δ X t ) 为常数；对于任意 s ， t ∈ T ，协方差 C o v ( Δ X s ， Δ X t ) 只与时间间隔 | s − t | 有关。从图2可以看出对数收益率围绕0上下波动，无明显的趋势特征，而不同时刻的波动大小也没有太大区别，由此从直观上初步判断序列平稳。为了进一步验证这个想法，本文接下来采用ADF单位根检验的方法来判 图2. 对数收益率时序图 断序列的平稳性。 从表2可以看出，检验概率p值为0.01，所以拒绝原假设，认为序列平稳。 Table 2 ADF test result of the log-return based on simulated dat Dickey-Fuller统计量 滞后阶数 p值 −20.016 20 0.0100 表2. 模拟数据对数收益率ADF检验结果 4.4. 数据的自相关性检验 为确保对数收益率序列满足随机游走假设，下面对模拟数据对数收益率序列作相关性检验，自相关图与偏自相关图如图3和图4所示。 从图3和图4可见，无论是自相关系数还是偏自相关系数，绝大部分均在两倍标准差范围内，可以认为没有显著的相关性。 图3. 模拟数据对数收益率自相关图 图4. 模拟数据对数收益率偏自相关图 4.5. 数据的异方差检验 为了检验序列是否存在异方差性，本文采用ARCH-LM检验法来对其进行分析，为此提出的原假设为“序列不存在ARCH效应”，即不存在异方差性及自相关性。 从表3可知，卡方统计量p值大于0.05，所以在5%的显著性水平下，无法拒绝原假设，认为序列不存在异方差性。 Table 3 ARCH-LM test result of the log-return based on simulated dat 卡方统计量 自由度 p值 18.696 12 0.0961 表3. 模拟数据对数收益率ARCH-LM检验结果 4.6. VaR的定义及计算 VaR通常可理解为“给定某置信水平，投资组合在一定持有期内的最大损失”。设 X t i 为投资组合在时刻 t i 时的对数价格，则该投资组合在持有期 δ 内的收益率为 Δ X t i = X t i − X t i − 1 (4.6) 在随机扩散模型下，根据 P ( Δ X t i ≥ − V a R ) = 1 − α ，利用参数法对VaR进行计算，其定义的公式如下 V a R = v o z α σ δ (4.7) 其中 v o 为资产初期价值，在后面模拟章节中，我们将其设定为1； z α 为标准正态分布的 α 分位数， σ 为波动率。由此可见，计算VaR的关键是对参数 σ 进行估计。 利用对数收益率序列 { Δ X t i } ，可计算出在时刻 τ 上的r次幂瞬时波动率估计值 σ ^ τ r = κ r − 1 Δ n 1 − r / 2 ∑ i = 1 n     K h ( t i − τ ) | Δ X t i | r . (4.8) 取 r = 1 ，将估计值 σ ^ τ r 代入(4.7)中，即可得到 { V a R τ ， τ ∈ [ 0， T ] } 序列 V a R τ = v o z α σ ^ τ δ (4.9) 在显著性水平为5%的情形下，由此计算得到的VaR值各统计量如表4所示。 Table 4 Statistics of the Va VaR最大值 VaR最小值 VaR平均值 VaR标准差 0.0129 0.0047 0.0113 0.0008 表4. VaR统计量 4.7. VaR的有效性检验 为了度量在随机扩散模型下利用核权r阶幂变差瞬时波动率估计所计算的VaR有效性，本文采用Kupiec失败频率检验法。 构造LR统计量： L R = − 2 ln ( ( 1 − α ) T − N α N ) + 2 ln ( ( 1 − N / T ) T − N ( N / T ) N ) (4.10) 其中 α 为显著性水平， L R ∼ χ ( 1 ) ，T为VaR值的个数，N为VaR失效的个数，即实际损失值大于VaR的个数。 在显著性水平为5%的情况下将数据代入相关公式进行计算，得到检验结果如下。 由表5可知，LR统计量为3.0781，小于 χ ( 1 ) 的5%分位数3.48，所以无法拒绝原假设，认为在随机扩散模型下由核权r阶幂变差瞬时波动率估计所计算得到的VaR是有效且可靠的。 Table 5 The result of the Kupiec test under the significance level of 5 失败次数 失败频率 LR值 468 5.417% 3.0781 表5. 显著性水平5%下的Kupiec失败率检验结果