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user: 1. 引言 非奇异H-矩阵是一种很重要的矩阵类。它在数学物理、统计学、神经网络等各个领域中都有着重要的地位。对于判定线性方程组(尤其是超大型方程组)是否具有稳定解时，往往需要先通过判定其系数矩阵是否为非奇异H-矩阵来体现。如：当一个线性方程组的系数矩阵为非奇异H-矩阵，那么该方程组对Jacobi，Gauss-seidel，SOR，SSOR，AOR等经典算法均是收敛的，即该方程组具有稳定解。因此，非奇异H-矩阵判定问题一直是研究的热点，近年来国内外许多学者给出了一些实用的判定条件。 范迎松、徐仲、陆全等人在文献 [ 1 ] 中先使用了细分矩阵的下标区间的办法，并由新构造的递进系数提出了关于非奇异H-矩阵新的判别准则；尹军茹等人在文献 [ 2 ] 中使用细分矩阵下标区间的方法，构造出新的迭代系数得到了不一样的判别准则。在此基础上，山瑞平等人在文献 [ 3 ] 中，根据广义严格对角占优矩阵与非奇异H-矩阵之间蕴含的关系，细分了下标区间，并构造出不同的正对角矩阵，从而得到更好的判定条件。此外，庹清、刘长太等学者近年来在此领域也得出了一些很好的结果(见文献 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ])。 本文中，用 M n ( C ) ( M n ( R ) ) 来表示n阶复(实)矩阵的集合。设 A = ( a i j ) ∈ M n ( C ) ， 记 R i = R i ( A ) = ∑ j ≠ i | a i j | ， C i = C i ( A ) = ∑ j ≠ i | a j i | ， ∀ i ， j ∈ N ， N = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。为使所讨论的矩阵为非零矩阵且所论内容有意义，以下假设：在全文中， | a i i | ≠ 0 ， R i ≠ 0 ， C i ≠ 0 ( ∀ i ∈ N ) ，且规定 ∑ t ∈ ∅ · = 0 。 定义1：设 A = ( a i j ) ∈ M n ( C ) ，若 | a i i | ≥ R i ( A ) ， ∀ i ∈ N ，则称A为对角占优矩阵，记为 A ∈ D 0 ；若 | a i i | > R i ( A ) ， ∀ i ∈ N ，则称A为严格对角占优矩阵，记为 A ∈ D ；若存在正对角阵X，使得X右乘到矩阵A后的乘积矩阵为严格对角占优矩阵，则称A为广义严格对角占优矩阵，记为 A ∈ D ˜ 。 定义2：设 A = ( a i j ) ∈ M n ( C ) ， α ∈ ( 0 ， 1 ] ，若 | a i i | ≥ α R i ( A ) + ( 1 − α ) C i ( A ) ， ∀ i ∈ N ，则称A为α-对角占优矩阵，记为 A ∈ D 0 ( α ) ；若 | a i i | > α R i ( A ) + ( 1 − α ) C i ( A ) ， ∀ i ∈ N ，则称A为严格α-对角占优矩阵，记为 A ∈ D ( α ) ；若存在正对角阵X，使得X右乘到矩阵A后的乘积矩阵为严格α-对角占优矩阵，则称A为广义严格α-对角占优矩阵，记为 A ∈ D ˜ ( α ) 。 定义3：设 为不可约矩阵， ，若 | a i i | ≥ α R i ( A ) + ( 1 − α ) C i ( A ) ，则称A为不可约α-对角占优矩阵。 定义4：设 A = ( a i j ) ∈ M n ( C ) 为α-对角占优阵， α ∈ ( 0 ， 1 ] ，若对满足 的每个下标i，存在非零元素链 a i i 1 a i 1 i 2 ⋯ a i r k ，使得 k ∈ { i ∈ N : | a i j | = R i α ( A ) C i ( 1 − α ) ( A ) } ≠ ∅ ，则称A为具非零元素链α-对角占优矩阵。 引理1 [ 8 ] 设 A = ( a i j ) ∈ M n ( C ) ， α ∈ ( 0 ， 1 ] ， A ∈ D ˜ 当且仅当 A ∈ D ˜ ( α ) 。 引理2 [ 8 ] 设 A = ( a i j ) ∈ M n ( C ) 为不可约α-对角占优矩阵，且至少有一个对角占优行，则 A ∈ D ˜ 。 引理3 [ 9 ] 设 A = ( a i j ) ∈ M n ( C ) 为具有非零元素链α-对角占优矩阵，则 A ∈ D ˜ 。 以下是下标集的符号解释： N 1 = { i ∈ N : 0 < | a i i | < α R i + ( 1 − α ) C i } ， ， N 3 = { i ∈ N : | a i i | > α R i ( A ) + ( 1 − α ) C i ( A ) } ， 。 若 N 3 = ∅ ，则 A ∉ D ˜ ；若 N 1 ∪ N 2 = ∅ ，显然 A ∈ D ˜ 。为使所论内容有意义，以下假设： N 1 ⊕ N 2 ≠ ∅ ， N 3 ≠ ∅ 。 文献 [ 3 ] 给出的主要结果如下： 首先，划分下标区间：令 N 1 = N 1 ( 1 ) ∪ N 1 ( 2 ) ∪ ⋯ ∪ N 1 ( m ) ， N 1 ( 1 ) = { i ∈ N : 0 < | a i i | < 1 m [ α R i + ( 1 − α ) C i ] } ， N 1 ( k ) = { i ∈ N : k − 1 m [ α R i + ( 1 − α ) C i ] ≤ | a i i | ≤ k m [ α R i + ( 1 − α ) C i ] } ， k = 2 ， 3 ， ⋯ ， m 。 记， ∀ i ∈ N 1 ( k ) ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 时， x 1 i ( k ) = k | a i i | m [ α R i + ( 1 − α ) C i ] ； ∀ i ∈ N 2 ， p ≥ 1 时， x 2 i = 1 p m ； ∀ i ∈ N 3 时， r 0 = 1 ， r 1 = max i ∈ N 3 { α R i + ( 1 − α ) C i | a i i | } ， r l + 1 = max i ∈ N 3 { α [ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 i ( k ) ) + α ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 i + r l ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | ] + ( 1 − α ) C i | a i i | } ， l ∈ Z + ， ， δ l + 1 ， i = M l + 1 ， i ( A ) | a i i | ， l ∈ Z ， W l + 1 ， i ( A ) = α [ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t ] + ( 1 − α ) C i M l + 1 ， i ( A ) − α ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | δ l + 1 ， i ， h l = max i ∈ N 3 W l + 1 ， i ( A ) ， l ∈ Z 。 定理. 设 A ∈ M n ( C ) ， ，若存在 l 0 ∈ Z ， p ≥ 1 ，使满足 | a i i | x 1 i ( k ) > α [ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) ， t ≠ i | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + h l 0 ∑ t ∈ N 3 | a i t | δ l 0 + 1 ， t ] + ( 1 − α ) C i x 1 i ( k ) ，   ∀ i ∈ N 1 ( k ) ; k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ， | a i i | x 2 i > α [ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 ， t ≠ i | a i t | x 2 t + h l 0 ∑ t ∈ N 3 | a i t | δ l 0 + 1 ， t ] + ( 1 − α ) C i x 2 i ，     ∀ i ∈ N 2 ， 则A是非奇异H-矩阵。