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user: 3. 广义枢轴量法在假设检验与置信区间中的应用 3.1. 两正态分布均值差的检验 设 X 1 ， X 2 ， ⋯ ， X m 和 Y 1 ， Y 2 ， ⋯ ， Y n 是分别来自两正态总体 N ( μ 1 ， σ 1 2 ) ， N ( μ 2 ， σ 2 2 ) 的随机样本， X i ， Y j ， i = 1 ， ⋯ ， m ， j = 1 ， ⋯ ， n 相互独立，其中考虑检验问题： H 0 : μ 1 − μ 2 ≤ 0 ， H 1 : μ 1 − μ 2 > 0 (2) 令 X ¯ = ∑ i = 1 m X i m ， Y ¯ = ∑ i = 1 n Y i n ， S 1 2 = ∑ i = 1 m ( X i − X ¯ ) 2 m ， S 2 2 = ∑ i = 1 n ( Y i − Y ¯ ) 2 n 已知 X ¯ ， Y ¯ ， S 1 2 ， S 2 2 是独立的充分统计量，分别是 μ 1 ， μ 2 ， σ 1 2 ， σ 2 2 的极大似然估计。其中： U 1 = X ¯ − μ 1 σ 1 2 / m ~ N ( 0 ， 1 ) ， U 2 = Y ¯ − μ 2 σ 2 2 / n ~ N ( 0 ， 1 ) K 1 = m S 1 2 σ 1 2 ~ χ m − 1 2 ， K 2 = n S 2 2 σ 2 2 ~ χ n − 1 2 是相互独立的随机变量。 设 ( x ¯ ， y ¯ ， s 1 2 ， s 2 2 ) 是 ( X ¯ ， Y ¯ ， S 1 2 ， S 2 2 ) 的观测值。 令 R ( X ， Y ， x ， y ， η ) = ( X ¯ − Y ¯ ) − ( U 1 s 1 2 / K 1 − U 2 s 2 2 / K 2 ) ， r o b s = R ( x ， y ， x ， y ， η ) = μ 1 − μ 2 ，则关于检验问题(2)的广义p值为： p = Pr ( R ( X ， Y ， x ， y ， η ) ≤ r ( x ， y ， x ， y ， η ) | μ 1 − μ 2 = 0 ) = Pr ( U 1 s 1 2 K 1 − U 2 s 2 2 K 2 ≤ x ¯ − y ¯ ) = Pr ( s 1 2 m − 1 U 1 K 1 / m − 1 − s 2 2 n − 1 U 2 K 2 / n − 1 ≤ x ¯ − y ¯ ) = Pr ( s 1 2 m − 1 T 1 − s 2 2 n − 1 T 2 ≤ x ¯ − y ¯ ) = Pr ( T 1 ≤ ( ( x ¯ − y ¯ ) + s 2 2 n − 1 T 2 ) ( s 1 2 m − 1 ) − 1 2 ) = E T 2 ( F T 1 ( ( x ¯ − y ¯ ) + s 2 2 n − 1 T 2 ) ( s 1 2 m − 1 ) − 1 2 ) 其中 T 1 = U 1 K 1 / m − 1 ， T 2 = U 2 K 2 / n − 1 ，并且分别服从自由度为 m − 1 和 n − 1 的t分布。 F T 1 ( ⋅ ) 是自由度为 m − 1 的t分布的分布函数， E T 2 是对 T 2 来求得。 根据假设检验与区间估计的一一对应关系，我们可以得到 μ 1 − μ 2 的置信系数为 γ 单侧置信下限。 具体可以通过下面的形式得出： P ( R ( X ， Y ， x ， y ， η ) ≥ c ) = P r ( T 1 ≥ ( x ¯ − y ¯ + c ) + s 2 2 n − 1 T 2 ) ( s 1 2 m − 1 ) − 1 2 = 1 − E T 2 ( F T 1 ( ( x ¯ − y ¯ + c ) + s 2 2 n − 1 T 2 ) ( s 1 2 m − 1 ) − 1 2 ) = γ 因此， μ 1 − μ 2 的置信系数为 γ 的置信区间为 ( c γ ， ∞ ) ，其中 c γ 满足： 1 − E T 2 ( F T 1 ( ( x ¯ − y ¯ + c γ ) + s 2 2 n − 1 T 2 ) ( s 1 2 m − 1 ) − 1 2 ) = γ 3.2. 两指数分布均值差的检验 设 G ( α ， β ) 表示形状参数为 α ，尺度参数为 β 的伽马分布， 和 Y 1 ， Y 2 ， ⋯ ， Y n 是分别来自指数分布总体 G ( 1 ， 1 / μ 1 ) ， G ( 1 ， 1 / μ 2 ) 的随机样本，均值分别为 μ 1 和 μ 2 ， X i ， Y j ， i = 1 ， ⋯ ， m ， j = 1 ， ⋯ ， n 相互独立，考虑检验问题： H 0 : μ 1 − μ 2 ≤ δ 0 ， H 1 : μ 1 − μ 2 > δ 0 (3) 其中 δ 0 ≥ 0 。 已知 X = ∑ X i ~ G ( m ， 1 / μ 1 ) ， Y = ∑ X i ~ G ( n ， 1 / μ 2 ) 是独立的充分统计量，因此检验可以基于两个充 分统计量来进行。 令 U = X μ 1 ~ G ( m ， 1 ) ， V = Y μ 2 ~ G ( n ， 1 ) ， R ( X ， Y ， x ， y ， η ) = x U − y V ，其中 ，则关于检验问题(3)的广义p值为： p = Pr ( R ( X ， Y ， x ， y ， η ) ≤ r ( x ， y ， x ， y ， η ) | μ 1 − μ 2 = δ 0 ) = Pr ( x U − y V ≤ δ 0 ) = Pr ( U ≥ x δ 0 + y / V δ 0 ) = 1 − E V ( F U ( x δ 0 + y / V ) ) 根据假设检验与区间估计的一一对应关系，我们可以得到 μ 1 − μ 2 的置信系数为 γ 单侧置信下限。具体可以通过下面的形式得出： Pr ( x U − y V ≥ c ) = Pr ( V ≥ y x / U − c ) = 1 − E U ( F V ( y x / U − c ) ) = γ μ 1 − μ 2 的置信系数为 γ 的置信区间为 ( c γ ， ∞ ) ，其中 c γ 满足： 1 − E U ( F V ( y x / U − c γ ) ) = γ 3.3. 截尾指数分布均值差的检验 设 X 1 ， X 2 ， ⋯ ， X m 来自一截尾指数分布的一个样本，其密度函数为： p ( x ; α ， β ) = { 1 β { − x − α β } ，       x ≥ α 0 ，                                       x ≤ α 其中， α ∈ R 为门限参数， β ∈ R 为尺度参数。考虑假设检验问题： H 0 : α + β ≤ μ 0 ， (4) 其中， μ = α + β 是分布的均值。 已知 U = min X i 和 V = X ¯ − min X i 是两个独立的充分统计量。并且有： U − α ~ G ( 1 ; n / β ) ; Y 1 = 2 n β ( U − α ) ~ χ 2 2 ; Y 2 = 2 n β V ~ χ 2 ( n − 1 ) 2 令 R ( ( U ， V ) ; ( u ， v ) ， η ) = u − v Y 1 Y 2 + 2 n v 1 Y 2 ，其中 r o b s = α + β ， 因此关于检验问题(4)的广义p值为： p = Pr ( R ( ( V ， U ) ; ( v ， u ) ， θ ) ≤ r ( ( u ， v ) ; ( u ， v ) ， θ ) | θ = μ 0 ) Pr ( u − v Y 1 Y 2 + 2 n v 1 Y 2 ≤ μ 0 ) = Pr ( ( Y 1 − 2 n ) / Y 2 ≥ ( u − μ 0 ) / v ) = E Y 1 ( ψ Y 2 ( ( Y 1 − 2 n ) ( u − μ 0 ) − 1 ) ) 其中， ψ ( ⋅ ) 是自由度为 2 ( n − 1 ) 的卡方分布的分布函数。 根据假设检验与区间估计的一一对应关系，我们可以得到 α + β 的置信系数为 γ 单侧置信下限。具体可以通过下面的形式得出： Pr ( u − v Y 1 Y 2 + 2 n v 1 Y 2 ≥ c ) = Pr ( u − v Y 1 Y 2 + 2 n v 1 Y 2 ≥ c ) = 1 − E Y 1 ( ψ Y 2 ( ( Y 1 − 2 n ) ( u − c ) − 1 ) ) = γ 因此 α + β 的置信系数为 γ 单侧置信区间为 ( c γ ， ∞ ) ，其中 满足： 3.4. 指数分布定数截断寿命试验均值差的检验 设 X 1 ， X 2 ， ⋯ ， X m 和 Y 1 ， Y 2 ， ⋯ ， Y n 是代表寿命的随机样本，分别来自指数分布总体 G ( 1 ， 1 / μ x ) ， G ( 1 ， 1 / μ y ) ，其均值分别为 μ x 和 μ y ， X i ， Y j ， ， j = 1 ， ⋯ ， n ，相互独立，同时假设对两总体寿命的观察分 别在抽取的第m个和第n个样本之后结束，考虑检验问题： H 0 : μ x − μ y ≥ δ 0 ， H 1 : μ x − μ y < δ 0 (5) 已知 U = ∑ i = 1 m X ( i ) + ( M − m ) X ( m ) 和 V = ∑ i = 1 n Y ( i ) + ( N − n ) Y ( n ) 是 μ x 和 μ y 的充分统计量。并且有： U ~ G ( m ， 1 / μ x ) ， V ~ G ( n ， 1 / μ y ) ，因此： W 1 = 2 U μ x ~ χ 2 m 2 ; W 2 = 2 V μ y ~ χ 2 n 2 令 R ( ( U ， V ) ; ( u ， v ) ， η ) = 2 u W 1 − 2 v W 2 ，其中 r o b s = μ x − μ y ， 因此关于检验问题(5)的广义p值为： p = Pr ( R ( ( V ， U ) ; ( v ， u ) ， η ) ≥ r ( ( u ， v ) ; ( u ， v ) ， η ) | θ = δ 0 ) = Pr ( 2 u W 1 − 2 v W 2 ≥ δ 0 ) = Pr ( W 2 ≥ 2 v 2 u / W 1 − δ 0 ) = 1 − E W 1 ( F W 2 ( 2 v 2 u / W 1 − δ 0 ) ) 其中 F W 2 ( ⋅ ) 是自由度为2n的卡方分布的分布函数。 根据假设检验与区间估计的一一对应关系，我们可以得到 μ x − μ y 的置信系数为 γ 单侧置信上限。具体可以通过下面的形式得出： Pr ( 2 u W 1 − 2 v W 2 ≤ c ) = 1 − E W 2 ( F W 1 ( 2 u c + 2 v / W 2 ) ) = γ 因此 μ x − μ y 的置信系数为 γ 单侧置信区间为 ( ∞ ， c γ ) ，其中 满足： . 3.5. 关于随机效应模型的检验 考虑随机效应模型： X i j = μ + α i + e i j ， i = 1 ， ⋯ ， a ; j = 1 ， ⋯ ， n ， 其中 μ 是未知参数， α i 是随机效应项，且 α i ~ N ( 0 ， σ α 2 ) ， e i j 是误差项，且 e i j ~ N ( 0 ， σ e 2 ) 。令 X ¯ i 为第i个随机效应的样本均值并且 X ¯ 为所有观测者的均值。令： S 1 = ∑ i = 1 a ∑ j = 1 n ( X i j − X ¯ i ) 2 ， S 2 = n ∑ i = 1 a ( X ¯ i − X ¯ ) 2 其中 为组内平方和， S 2 为组间平方和。考虑假设检验问题： H 0 : σ α 2 ≤ δ 0 ， H 1 : σ α 2 > δ (6) 已知 S 1 和 S 2 为充分统计量，且有： U = S 1 σ e 2 ~ χ a ( n − 1 ) 2 ， V = S 2 σ e 2 + n σ α 2 ~ χ a − 1 2 构造广义枢轴量 R = s 2 n V − s 1 n U ，其中 ，且R关于 非减，因此关于检验问题(6)的广义p值为： p = P r ( s 2 n V − s 1 n U ≤ δ ) = P r ( V ≥ s 2 s 1 / U + n δ ) = 1 − E U ( F V ( s 2 s 1 / U + n δ ) ) . 其中 F V ( ⋅ ) 是自由度为 a − 1 的卡方分布的分布函数。 根据假设检验与区间估计的一一对应关系，我们可以得到 σ α 2 的置信系数为 单侧置信下限。具体可以通过下面的形式得出： P ( s 2 n V − s 1 n U ≥ c ) = E U ( F V ( s 2 s 1 / U + n c ) ) = γ 因此 σ α 2 的置信系数为 γ 置信区间为 ( c γ ， ∞ ) ，其中 c γ 满足 E U ( F V ( s 2 s 1 / U + n c γ ) ) = γ 。