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user: 4. 数值实验 在这部分中，为了检验显式两步方法的有效性和准确性，我们给出了不同时间层上单波传播以及双波碰撞数值算例。为了检验数值格式的守恒，我们可以考虑如下三个不变量： I 1 = ∫ a b u d x ≈ h ∑ j = 1 N u j n ， I 2 = ∫ a b ( u 2 + μ ( u x ) 2 ) d x ≈ h ∑ j = 1 N [ ( u j n ) 2 + μ [ ( u x ) j n ] 2 ]   ， I 3 = ∫ a b ( u 4 − μ ( u x ) 2 ) d x ≈ h ∑ j = 1 N [ ( u j n ) 4 − μ [ ( u x ) j n ] 2 ]   . 其中 I 1 ， I 2 ， I 3 通常被称为质量，动量和能量。 我们考虑MRLW方程(1.1)，其单波解为 u ( x ， t ) = c   sech ( p ( x − ( c + 1 ) t − x 0 ) ) (4.1) 其中 p = c μ ( 1 + c ) ， x 0 和c是任意的常数。变量的解析值为 I 1 = π c p ， I 2 = 2 c p + 2 μ p c 3 ， I 3 = 4 c 2 3 p − 2 μ p c 3 . 我们讨论单孤立波的运动，并且令初始条件为 u ( x ， 0 ) = c   sech ( p ( x − x 0 ) ) (4.2) 其中 c = 1 ， x 0 = 20 。在整个过程中，我们令 0 ≤ x ≤ 100 ， 0 ≤ t ≤ 10 。 表1中，令空间剖分的步长为 h = 0.125 ，时间剖分的步长为 Δ t = 0.0125 ，表中列出了三个不变量 I 1 ， I 2 ， I 3 在不同时间 t = 2 ，   4 ，   6 ，   8 ，   10 的具体数值。从表中的结果可以看出我们的方法对不变量保持的是比较好的。 表2中，令空间剖分步长固定为 h = 0.125 ，得到了u在不同时间层 t = 2 ，   4 ，   6 ，   8 ，   10 上，时间剖分步长为 Δ t = 0.025 ，   0.05 ，   0.1 时，在 L 2 模下的最优误差结果。从表2中我们容易看到时间的收敛阶为2。同理，q的相关结果在表3中体现。 表4中，我们固定时间剖分步长为 Δ t = 0.01 ，得到了u在不同时间层 t = 2 ，   4 ，   6 ，   8 ，   10 上，空间剖分步长为 h = 0.2 ，   0.4 ，   0.8 下的 L 2 模最优误差结果。从表中易知，在空间方向上的收敛阶为2。同理，q的相关结果在表5中体现。 Table 1 Invariants of single solitary wave. h = 0 ， 125 ， Δ t = 0.0125 ， c 1 = 1 ， c 2 = 0. 时间 I 1 I 2 I 3 准确值 4.4429 3.2998 1.4142 2 4.4429 3.2999 1.4143 4 4.4429 3.3000 1.4143 6 4.4429 3.3000 1.4144 8 4.4429 3.3001 1.4145 10 4.4429 3.3001 1.4145 表1. 孤立波的不变量。 h = 0 ， 125 ， Δ t = 0.0125 ， c 1 = 1 ， c 2 = 0.5 Table 2 Convergence order and error in L2-norm for u of time. h = 0.125 ， c = 时间 Δt=0.025 Δt=0.05 Δt=0.01 Order(0.025/0.05) Order(0.05/0.1) 2 0.0028 0.0111 0.0461 1.9871 2.0542 4 0.0036 0.0178 0.0886 2.3058 2.3154 6 0.0041 0.0256 0.1483 2.6424 2.5343 8 0.0049 0.0355 0.2298 2.8570 2.6945 10 0.0058 0.0475 0.3346 3.0338 2.8164 表2. u的L 2 误差和时间收敛阶。 h = 0.125 ， c = 1 Table 3 Convergence order and error in L2-norm for q of time. h = 0. 125 ， c = 时间 Δt=0.025 Δt=0.05 Δt=0.01 Order(0.025/0.05) Order(0.05/0.1) 2 0.0035 0.0129 0.0519 1.8819 2.0084 4 0.0036 0.0164 0.0779 2.1876 2.2479 6 0.0040 0.0221 0.1242 2.4660 2.4905 8 0.0045 0.0299 0.1918 2.7321 2.6814 10 0.0052 0.0398 0.2799 2.9362 2.8141 表3. q的L 2 误差和时间收敛阶。 h = 0. 125 ， c = 1 Table 4 Convergence order and error in L2-norm for u of space. Δ t = 0.01 ， c = 时间 h=0.2 h=0.4 h=0.8 Order(0.02/0.4) Order(0.4/0.8) 2 0.0027 0.0111 0.0562 2.0395 2.3400 4 0.0048 0.0203 0.0919 2.0804 2.1786 6 0.0070 0.0303 0.1334 2.1139 2.1384 8 0.0094 0.0406 0.1768 2.1107 2.1226 10 0.0118 0.0510 0.2211 2.1117 2.1161 表4. u的L 2 误差和空间收敛阶。 Δ t = 0.01 ， c = 1 Table 5 Convergence order and error in L2-norm for q of space. Δ t = 0.01 ， c = 时间 h=0.2 h=0.4 h=0.8 Order(0.02/0.4) Order(0.4/0.8) 2 0.0026 0.0105 0.0533 2.0138 2.3437 4 0.0042 0.0176 0.0818 2.0671 2.2165 6 0.0061 0.0260 0.1167 2.0916 2.1662 8 0.0080 0.0346 0.1532 2.1127 2.1466 10 0.0100 0.0433 0.1905 2.1144 2.1374 表5. q的L 2 误差和空间收敛阶。 Δ t = 0.01 ， c = 1 图1. 精确解u 图2. 数值解u h 图1为精确解u在 ( x ， t ) ∈ [ 0 ， 100 ] × [ 0 ， 10 ] 下的三维图像，图2为 h = 0.2 ， Δ t = 0.02 时，数值解u h 的三维图像。从图1和图2可以看出，数值解u h 很好的近似了精确解u。图3和图4分别为q的精确值与 h = 0.2 ， Δ t = 0.02 下的数值解q h 的三维对比图，我们可以看出数值解q h 很好的近似了精确解q。 图3. 精确解q 图4. 数值解q h 图5. u和u h 对比图 图6. q和q h 对比图 图7. 数值解u h 图8. 数值解q h 图5表示在 h = 0.2 ， Δ t = 0.02 时，不同时间层 t = 2 ，   4 ，   6 ，   8 ，   10 上数值解u h 和精确值u的对比图。同理，图6为q的相关对比图。图5和图6表示的单孤立波朝右运动时u和q保持波形和速度不变。可以看出数值解u h 和q h 可以很好的近似精确值u和q。 图7和图8表示的是单孤立波在不同时间层 t = 2 ，   4 ，   6 ，   8 ，   10 的三维线图。 从上述表1~5和图1~8的分析，我们知道数值结果与定理3.6中的理论结果是比较吻合的，并且也验证了的我们的方法对于MRLW方程的有效性。