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user: 2. 预备知识 本节将介绍Kurzweil积分与文 [ 6 ] [ 8 ] 中的相关结论。 定义2.1 [ 6 ] 递增函数 W : [ 0 ， + ∞ ) → [ 0 ， + ∞ ) 称为是楔子是指 W ( 0 ) = 0 ，对 s > 0 ， W ( s ) > 0 ， ，当 s → + ∞ ， W ( s ) → + ∞ 。 定义2.2 [ 2 ] 称函数 U : [ a ， b ] × [ a ， b ] → R n 在区间 [ a ， b ] 上Kurzweil可积，如果存在 I ∈ R n ，使得对任意的 ε > 0 ，存在正值函数 δ : [ a ， b ] → ( 0 ， + ∞ ) ，对 [ a ， b ] 的任何 δ ( τ ) − 精细分划 D = { ( τ j ， [ α j − 1 ， α j ] ) ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， k } ，其中 τ j ∈ [ α j − 1 ， α j ] ⊂ [ τ j − δ ( τ j ) ， τ j + δ ( τ j ) ] ，有 ‖ ∑ j = 1 k [ U ( τ j ， α j ) − U ( τ j ， α j − 1 ) ] − I ‖ < ε 则称 I 为 U 在 [ a ， b ] 上的Kurzweil积分，记作 I = ∫ a b D U ( τ ， t ) 。特别地，当 U ( τ ， t ) = f ( τ ) g ( t ) 时， ∫ a b D U ( τ ， t ) = ∫ a b f ( s ) d g ( s ) 。称积分为Kurzweil-Stieltjes积分，当 U ( τ ， t ) = f ( τ ) t 时， ∫ a b D U ( τ ， t ) = ∫ a b f ( s ) d s 。称积分为Kurzweil-Henstock积分。 定义2.3 [ 2 ] 称函数 F ∈ F ( Ω ， h ) 是指存在函数 h : [ t 0 ， + ∞ ) → R 使得 F : Ω → X 满足对所有的 ( x ， s i ) ∈ Ω ， i = 1 ， 2 ，有 ‖ F ( x ， s 2 ) − F ( x ， s 1 ) ‖ ≤ | h ( s 2 ) − h ( s 1 ) | ， (2.1) 对所有的 ( x ， s i ) ， ( y ， s i ) ∈ Ω ， i = 1 ， 2 ，有 ‖ F ( x ， s 2 ) − F ( x ， s 1 ) − F ( y ， s 2 ) + F ( y ， s 1 ) ‖ ≤ | h ( s 2 ) − h ( s 1 ) | ‖ x − y ‖ . 定义2.3 [ 8 ] 称函数 M : [ t 0 ， + ∞ ) → R n 相对于 g 是局部Kurzweil可积的是指 M 在 [ t 0 ， + ∞ ) 的每个子区间 [ a ， b ] 上相对于 g Kurzweil可积。 引理2.1 [ 8 ] 设函数 f : B c × [ t 0 ， + ∞ ) → R n 和 g : [ t 0 ， + ∞ ) → R 满足以下条件： (A1) 函数 g : [ t 0 ， + ∞ ) → R 在 ( t 0 ， + ∞ ) 上是不减左连续的。 (A2) 对每个 x ∈ G ( [ t 0 ， + ∞ ) ， B c ) ， u 1 ， u 2 ∈ [ t 0 ， + ∞ ) 积分 ∫ u 1 u 2 f ( x ( s ) ， s ) d g ( s ) 存在。 (A3) 存在局部Kurzweil可积函数 M : [ t 0 ， + ∞ ) → R + ，使得对任意的 x ， z ∈ G 0 ( [ t 0 ， + ∞ ) ， B c ) ， u 1 ， u 2 ⊆ [ t 0 ， + ∞ ) ， u 1 ≥ u 2 时，有 ‖ ∫ u 1 u 2 f ( x ( t ) ， t ) d g ( t ) ‖ ≤ ∫ u 1 u 2 M ( t ) d g ( t ) . (A4) 存在局部Kurzweil可积函数 L : [ t 0 ， + ∞ ) → R + ，使得对任意的 x ， z ∈ G 0 ( [ t 0 ， + ∞ ) ， B c ) ， u 1 ， u 2 ⊆ [ t 0 ， + ∞ ) ， u 1 ≥ u 2 时，有 ‖ ∫ u 1 u 2 [ f ( x ( t ) ， t ) − f ( z ( t ) ， t ) ] d g ( t ) ‖ ≤ ‖ x − z ‖ [ t 0 ， + ∞ ) ∫ u 1 u 2 L ( t ) d g ( t ) . 令 τ 0 ∈ [ t 0 ， + ∞ ) 并且定义 F : B c × [ τ 0 ， + ∞ ) → R n F ( x ， t ) = ∫ τ 0 t f ( x ， s ) d g ( s ) ， ( x ， t ) ∈ B c × [ τ 0 ， + ∞ ) ， 则 F ∈ F ( Ω ， h ) 。其中 Ω = B c × [ τ 0 ， + ∞ ) ， h : [ τ 0 ， + ∞ ) → R 是不减左连续的， h ( t ) = ∫ τ 0 t [ M ( s ) + L ( s ) ] d g ( s ) ， t ∈ [ τ 0 ， + ∞ ) . 引理2.2 [ 8 ] 设函数 f : B c × [ t 0 ， + ∞ ) → R n ， g : [ t 0 ， + ∞ ) → R 满足条件(A1)~(A4)。假设对每个 ( z 0 ， s 0 ) ∈ B c × [ t 0 ， + ∞ ) ，有 z 0 + f ( z 0 ， s 0 ) Δ + g ( s 0 ) ∈ B c 。则对每个 ( x 0 ， τ 0 ) ∈ B c × [ t 0 ， + ∞ ) ，测度微分方程 x ( t ) = x ( t 0 ) + ∫ t 0 t f ( x ( s ) ， s ) d g ( s ) (2.2) 存在满足初始条件 x ( τ 0 ) = x 0 的唯一饱和解 x : J → R n ， J 为区间且 τ 0 = min J 。 引理2.3 [ 6 ] 设函数 f : B c × [ t 0 ， + ∞ ) → R n ， g : [ t 0 ， + ∞ ) → R 满足条件(A1)~(A4)。假定对每个 ( x 0 ， s 0 ) ∈ B c × [ t 0 ， + ∞ ) ，有 x 0 + f ( x 0 ， s 0 ) Δ + g ( s 0 ) ∈ B c 。存在函数 U : [ t 0 ， + ∞ ) × B c → R 和楔子 W i i : [ 0 ， + ∞ ) → [ 0 ， + ∞ ) ， i = 1 ， 2 ， 3 满足下列条件： (U1) 对测度微分方程(2.2)的每个解 x : I → B c 有 W 1 ( ‖ x ( t ) ‖ ) ≤ U ( t ， x ( t ) ) ≤ W 2 ( ‖ x ( t ) ‖ ) ， 其中 t ∈ I ， I ⊂ [ t 0 ， + ∞ ) ， I 为非退化区间。 (U2) 对测度微分方程(2.2)的每个饱和解 x ( t ) = x ( t ， s 0 ， x 0 ) ， ( s 0 ， x 0 ) ∈ [ t 0 ， + ∞ ) × B c ，有 U ( t ， x ( t ) ) − U ( s ， x ( s ) ) ≥ ∫ s t W 3 ( ‖ x ( ξ ) ‖ ) d l ( ξ ) ， 其中 t ， s ∈ [ s 0 ， ω ( s 0 ， x 0 ) ) ， t ≥ s . 。 l : [ s 0 ， + ∞ ) → R 是不减的，满足 lim t → + ∞ l ( t ) = + ∞ 。 若 ( s 0 ， x 0 ) ∈ [ t 0 ， + ∞ ) × B c ，则 ω ( s 0 ， x 0 ) < ∞ 。 引理2.4 [ 6 ] 设函数 f : B c × [ t 0 ， + ∞ ) → R n ， g : [ t 0 ， + ∞ ) → R 满足条件(A1)~(A4)。假定对每个 ( x 0 ， s 0 ) ∈ B c × [ t 0 ， + ∞ ) ，有 x 0 + f ( x 0 ， s 0 ) Δ + g ( s 0 ) ∈ B c 。存在函数 U : [ t 0 ， + ∞ ) × B c → R 和楔子 W i i : [ 0 ， + ∞ ) → [ 0 ， + ∞ ) ， i = 1 ， 2 满足下列条件： (H1) 对测度微分方程(2.2)的每个解 x : I → B c 有 | U ( t ， x ( t ) ) | ≤ W 1 ( ‖ x ( t ) ‖ ) ， 其中 t ∈ I ， I ⊂ [ t 0 ， + ∞ ) ， I 为非退化区间。 (H2) 对测度微分方程(2.2)的每个饱和解 x ( t ) = x ( t ， s 0 ， x 0 ) ， ( s 0 ， x 0 ) ∈ [ t 0 ， + ∞ ) × B c ，函数 t → U ( t ， x ( t ) ) 在 [ s 0 ， ω ( s 0 ， x 0 ) ) 上正则。有 U ( t ， x ( t ) ) − U ( s ， x ( s ) ) ≤ − ∫ s t W 2 ( | U ( ξ ， x ( ξ ) | ) d l ( ξ ) ， 其中 t ， s ∈ [ s 0 ， ω ( s 0 ， x 0 ) ) ， t ≥ s 。 l : [ s 0 ， + ∞ ) → R 是不减的，满足 lim t → + ∞ l ( t ) = + ∞ 。 若 ( s 0 ， x 0 ) ∈ [ t 0 ， + ∞ ) × B c ，使得 U ( s 0 ， x 0 ) < 0 ，则 ω ( s 0 ， x 0 ) < ∞ 。 引理2.5 [ 8 ] 假定函数 f : B c × [ t 0 ， + ∞ ) → R n ， g : [ t 0 ， + ∞ ) → R 满足条件(A1)~(A4)。进一步，设对每个 ( z 0 ， s 0 ) ∈ B c × [ t 0 ， + ∞ ) ，有 z 0 + f ( z 0 ， s 0 ) Δ + g ( s 0 ) ∈ B c 。令 ( x 0 ， τ 0 ) ∈ B c × [ t 0 ， + ∞ ) ， x : [ τ 0 ， ω ) → R n 是测度微分方程(2.2)满足 x ( τ 0 ) = x 0 的解。若对所有的 t ∈ [ τ 0 ， ω ) ， x ( t ) ∈ N 。其中 N ⊂ B c c 是 R n 中的闭集。则 ω = + ∞ 。 引理2.6 [ 7 ] 设 a ≤ η 1 < η 2 < ⋯ < η k < b 。函数 f : [ a ， b ] → R n 。令 f ˜ : [ a ， b ] → R n 使得对每个 s ∈ [ a ， b ] / { η 1 ， ⋯ ， η k } ，有 f ˜ ( s ) = f ( s ) 。令 g : [ a ， b ] → R 是不减左连续的，使得对每个 j ∈ { 1 ， ⋯ ， k } ，有 Δ + g ( η j ) = 1 。当 [ u ， v ] ∩ { η 1 ， η 2 ， ⋯ ， η k } = 0 / 时， g ( t ) − g ( u ) = t − u 。则Kurzweil-Stieltjes积 ∫ a b f ˜ ( s ) d g ( s ) 分存在当且仅当Kurzweil-Henstock积分 ∫ a b f ( s ) d g ( s ) 存在，且有 ∫ a b f ˜ ( s ) d g ( s ) = ∫ a b f ( s ) d s + ∑ j = 1 k f ˜ ( η j ) . 引理2.7 [ 7 ] 设 { τ j } j ∈ Z + ⊂ [ t 0 ， + ∞ ) 是一个递增正实数序列且满足 lim j → + ∞ τ j = + ∞ 。函数 f : B c × [ t 0 ， + ∞ ) → R n ， I j : R n → R n ， j ∈ Z + 。函数 x : [ a ， b ] → R n 是方程(1.3)在 [ a ， b ] 上的一个解当且仅当它是测度微分方程 x ( t ) = x ( t 0 ) + ∫ t 0 t f ˜ ( x ( s ) ， s ) d g ( s ) ， t ∈ [ a ， b ] (2.3) 的一个解。 其中 f ˜ : B c × [ t 0 ， + ∞ ) → R n 是由下式所给 f ˜ ( z ， t ) = { f ( z ， t ) ， [ t 0 ， + ∞ ) / { τ j ; j ∈ Z + } ， I j ( z ) ， t = τ j ， j ∈ Z + . (2.4) g : [ t 0 ， + ∞ ) → R 由 g ( t ) = t + j ， t ∈ ( τ j ， τ j + 1 ] ， j ∈ Z + (2.5) 所给。