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user: 2. 预备知识与引理 定义2.1 函数 u : ( 0 ， + ∞ ) → R 的 α > 0 阶Riemann-Liouville分数积分定义为 I 0 + α u ( x ) = 1 Γ ( α ) ∫ 0 x u ( t ) ( x − t ) 1 − α d t ， 等式的右端在 ( 0 ， + ∞ ) 有定义。 定义2.2 连续函数 u : ( 0 ， + ∞ ) → R 的 α > 0 阶Riemann-Liouville分数导数定义为 D 0 + α u ( x ) = 1 Γ ( n − α ) ( d d x ) n ∫ 0 x u ( t ) ( x − t ) α − n + 1 d t ， 等式的右端在 ( 0 ， + ∞ ) 有定义，其中 n = min { m ∈ Z : m ≥ α } 。 定义2.3 边值问题(1.1)的解u称为正解，如果 u ( t ) ≥ 0 ， t ∈ ( 0 ， 1 ] ，且 ∃ t 0 ∈ ( 0 ， 1 ] ，使得 u ( t 0 ) > 0 。 下面，给出半序Banach空间中的一些基本概念 [ 9 ]。 设 ( E ， ‖   ⋅   ‖ ) 是实Banach空间， θ 表示E中的零元。 P ⊂ E 是一个锥，“ ≤ ”是由P引出的半序，即 ∀ x ， y ∈ E ， y − x ∈ P ⇔ x ≤ y 。称锥P为正规的，如果存在常数 N > 0 ，使得 θ ≤ x ≤ y ⇒ ‖ x ‖ ≤ N ‖ y ‖ ，称最小的N为P的正规常数。称 x ~ y ，若 ∀ x ， y ∈ E ， ∃ λ ， μ > 0 ，使得 λ x ≤ y ≤ μ x 。对于给定的 h > 0 ，定义 P h = { x ∈ P : x ~ h } 。 定义2.4 称 A : P × P → P 是混合单调算子，若 A ( x ， y ) 关于x是增算子，关于y是减算子。即 ∀ u 1 ， u 2 ， v 1 ， v 2 ∈ P ， u 1 ≤ u 2 ， v 1 ≤ v 2 ，有 A ( u 1 ， v 1 ) ≤ A ( u 2 ， v 2 ) 。 引理2.5 [ 10 ] 设E是一个实Banach空间，P是E中的正规锥， h > θ ，算子 A : P → P 是增算子， ∃ h 0 ∈ P h ，使得 A h 0 ∈ P h ，且 ∀ x ∈ P ， r ∈ ( 0 ， 1 ) ， ∃ ϕ ( r ) ∈ ( r ， 1 ) ，使得 A ( r x ) ≥ ϕ ( r ) A x 。则 (i) 方程 A x = x 在 P h 中有唯一解 x * ； (ii) ∀ x 0 ∈ P h ，设 x n = A x n − 1 ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ，当 n → ∞ 时，有 x n → x * 。 引理2.6 [ 10 ] 假设引理2.5中的条件成立， x λ 是方程 A x = λ x 的唯一解。则 (i) x λ 关于 λ 严格单调递减，即 ∀ 0 < λ 1 < λ 2 ，有 x λ 1 > x λ 2 ； (ii) 若 ∃ β ∈ ( 0 ， 1 ) ，当 τ ∈ ( 0 ， 1 ) 时，有 ϕ ( τ ) ≥ τ β ，则 x λ 关于 λ 连续，即由 λ → λ 0 ( λ > 0 ) 有 ‖ x λ − x λ 0 ‖ → 0 ； (iii) lim λ → 0 + ‖ x λ ‖ = ∞ ， lim λ → ∞ ‖ x λ ‖ = 0 。 引理2.7 [ 11 ] 设E是一个实Banach空间，P是E中的正规锥，算子 A : P × P → P 是混合单调算子， ∃ h ∈ P ， h ≠ θ ，使得 A ( h ， h ) ∈ P h ，且 ∀ x ， y ∈ P ， r ∈ ( 0 ， 1 ) ， ∃ ϕ ( r ) ∈ ( r ， 1 ) ，使得 A ( r x ， r − 1 y ) ≥ ϕ ( r ) A ( x ， y ) 。则 (i) 方程 A ( x ， x ) = x 在 P h 中有唯一解 x * ； (ii) ∀ x 0 ， y 0 ∈ P h ，令 x n = A ( x n − 1 ， y n − 1 ) ， y n = A ( y n − 1 ， x n − 1 ) ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ，有 ‖ x n − x * ‖ → 0 ， ‖ y n − x * ‖ → 0 ( n → ∞ )。 引理2.8 [ 11 ] 假设引理2.7中的条件成立， x λ 是方程 A x = λ x 的唯一解。则 (i) 若 ∀ τ ∈ ( 0 ， 1 ) ，有 ϕ ( τ ) > τ 1 2 ，则 x λ 关于 λ 严格单调递减，即 ∀ 0 < λ 1 < λ 2 ，有 x λ 1 > x λ 2 ； (ii) 若 ∃ β ∈ ( 0 ， 1 ) ，当 τ ∈ ( 0 ， 1 ) 时，有 ϕ ( τ ) ≥ τ β ，则 x λ 关于 λ 连续，即由 λ → λ 0 ( λ > 0 ) 有 ‖ x λ − x λ 0 ‖ → 0 ； (iii) 若 ∃ β ∈ ( 0 ， 1 2 ) ，当 τ ∈ ( 0 ， 1 ) 时，有 ϕ ( τ ) ≥ τ β ，则 lim λ → ∞ ‖ x λ ‖ = 0 ，     lim λ → 0 + ‖ x λ ‖ = ∞ . 引理2.9 当 α ∈ ( 1 ， 2 ] ， λ > 0 ， b ≥ 0 ， y ， z ∈ L ( 0 ， 1 ] 时，边值问题 { D 0 + α u ( t ) + y ( t ) = 0 ， t ∈ ( 0 ， 1 ] ， lim t → 0 + t 2 − α u ( t ) = a ， u ( 1 ) = ∫ 0 1 k ( s ) z ( s ) d s + λ b ， (2.1) 的解等价于如下积分方程的解 u ( t ) = ∫ 0 1 G ( t ， s ) y ( d ) d s + t α − 1 ∫ 0 1 k ( s ) z ( s ) d s + λ b t α − 1 ， (2.2) 其中 G ( t ， s ) = 1 Γ ( α ) { ( 1 − s ) α − 1 t α − 1 − ( t − s ) α − 1 ， 0 ≤ s ≤ t ≤ 1 ， ( 1 − s ) α − 1 t α − 1 ，       0 ≤ t ≤ s ≤ 1. 证明由 D 0 + α u ( t ) + y ( t ) = 0 ， 得 u ( t ) = − 1 Γ ( α ) ∫ 0 t ( t − s ) α − 1 y ( s ) d s + c 1 t α − 1 + c 2 t α − 2 ， (2.3) t 2 − α u ( t ) = − 1 Γ ( α ) t 2 − α ∫ 0 t ( t − s ) α − 1 y ( s ) d s + c 1 t + c 2 . 当 t → 0 + 时，得 c 2 = 0 。将 c 2 = 0 代入上式并令 t = 1 ，得 c 1 = ∫ 0 1 k ( s ) z ( s ) d s + 1 Γ ( α ) ∫ 0 1 ( 1 − s ) α − 1 y ( s ) d s + λ b . 将 c 1 ， c 2 代入(2.3)，得 u ( t ) = ∫ 0 1 G ( t ， s ) y ( s ) d s + t α − 1 ∫ 0 1 k ( s ) z ( s ) d s + λ b t α − 1 . 另一方面，若u满足(2.2)，经计算u是边值问题的一个解。证毕。 引理2.10 [ 8 ] G ( t ， s ) 满足以下性质 (1) G ( t ， s ) > 0 ， t ， s > 0 ； (2) G ( t ， s ) < 1 Γ ( α ) ， t ， s ≥ 0 ； (3) G ( t ， s ) 在 [ 0 ， 1 ] × [ 0 ， 1 ] 上连续； (4) 当 0 ≤ s < t ≤ 1 时， G ( t ， s ) 关于t单调递减。当 0 ≤ t < s ≤ 1 时， G ( t ， s ) 关于t单调递增。 (5) 1 Γ ( α ) ( α − 1 ) t ( 1 − t ) s ( 1 − s ) α − 1 ≤ t 2 − α G ( t ， s ) ≤ 1 Γ ( α ) s ( 1 − s ) α − 1 ， t ， s ∈ ( 0 ， 1 ) 。 令 E = { u ∈ C ( 0 ， 1 ] : lim t → 0 + t 2 − α u ( t ) < + ∞ } . 定义E中范数 ‖ u ‖ = sup t ∈ ( 0 ， 1 ] t 2 − α | u ( t ) | ，由 [ 8 ] 可知E是Banach空间。 令 P = { u ∈ E : u ( t ) ≥ 0 ， t ∈ ( 0 ， 1 ] } . 则P为E中的正规锥。