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user: 2. 主要结果 假设 (H1) ϕ ( t ) 是定义在 [ 0 ， ∞ ) 的非负单增连续函数且 ϕ ( ∞ ) = ∞ ； (H2) 是定义在 [ t 0 ， ∞ ) 上的非负连续函数， α i ( t ) 是定义在 的非负可导函数，且 α i ( t ) ≤ t ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， t ∈ [ t i − 1 ， t i ] 时 ； (H3) 是定义在 [ t 0 ， ∞ ) 上的非负分段连续函数，其中 0 ≤ t 0 < t 1 < ⋯ ， t j 是 u ( t ) 的第一类不连续点， u ( t j − 0 ) = lim t → t j − u ( t ) 且 lim j → ∞ t j = ∞ ； (H4) ω ( u ) 是定义在 [ 0 ， ∞ ) 上的单调不减连续函数，且当 u > 0 时， ω ( u ) > 0 ； (H5) c 0 ， q ， m ， β j 都是常数且 c 0 ≥ 0 ， q > 0 ， m > 0 ， β j ≥ 0 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ 。 定理：假设条件(H1)~(H5)成立，且 u ( t ) 满足不等式(5)。如果对任意 t ∈ [ t j ， t j + 1 ) ， j = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ，令 ，则函数 u ( t ) 的估计可由下式递归给出 u j ( t ) ≤ ϕ − 1 { G − 1 [ W − 1 ( W ( p j ( t ) ) + ∑ i = 1 n ∫ α i ( t j ) α i ( t ) f i ( s ) d s ) ] } ， t ∈ [ t j ， t j + 1 ) ， (6) 其中 c j + 1 ( t ) = c 0 + ∑ k = 1 j ∑ i = 1 n ∫ α i ( t k − 1 ) α i ( t k ) u k − 1 q ( s ) [ f i ( s ) ω ( u k − 1 ( s ) ) + g i ( s ) ] d s + h ( t ) ∑ k = 1 j β k u k − 1 m ( t k − 0 ) (7) p j ( t ) = G ( c j ) + ∑ i = 1 n ∫ α i ( t j ) α i ( t ) g i ( s ) d s ， (8) 并且 G ( t ) = ∫ t 0 t d s [ ϕ − 1 ( s ) ] q ， W ( t ) = ∫ t 0 t d s ω [ ϕ − 1 ( G − 1 ( s ) ) ] q ， r ≥ r 0 > 0 ， (9) 且 W ( p j ( t ) ) + ∑ i = 1 n ∫ α i ( t j ) α i ( t ) f i ( s ) d s ≤ ∫ t 0 t d s ω [ ϕ − 1 ( G − 1 ( s ) ) ] q ， W − 1 ( W ( p j ( t ) ) + ∑ i = 1 n ∫ α i ( t j ) α i ( t ) f i ( s ) d s ) ≤ ∫ t 0 t d s [ ϕ − 1 ( s ) ] q 。 证明：首先，考虑 j = 0 即 t ∈ [ t 0 ， t 1 ) ，此时(5)中不含有脉冲项，故(5)式变为 ϕ ( u ( t ) ) ≤ c 0 + ∑ i = 1 n ∫ α i ( t 0 ) α i ( t ) u q ( s ) [ f i ( s ) ω ( u ( s ) ) + g i ( s ) ] d s 。 (10) 先讨论 c 0 > 0 情形。 令 X ( t ) = c 0 + ∑ i = 1 n ∫ α i ( t 0 ) α i ( t ) u q ( s ) [ f i ( s ) ω ( u ( s ) ) + g i ( s ) ] d s ， (11) 则 ， ϕ ( u ( t ) ) ≤ X ( t ) ，即 u ( t ) ≤ ϕ − 1 ( X ( t ) ) ，且 X ( t ) 为 [ t 0 ， ∞ ) 上非负不减函数。(11)式两边对 t 求导，有 X ′ ( t ) = ∑ i = 1 n u q ( α i ( t ) ) [ f i ( α i ( t ) ) ω ( u ( α i ( t ) ) ) + g i ( α i ( t ) ) ] α ′ i ( t ) 。 而 u ( α i ( t ) ) ≤ ϕ − 1 ( X ( α i ( t ) ) ) ≤ ϕ − 1 ( X ( t ) ) ，所以 X ′ ( t ) ≤ ( ϕ − 1 ( X ( t ) ) ) q ∑ i = 1 n [ f i ( α i ( t ) ) ω ( ϕ − 1 ( X ( α i ( t ) ) ) ) + g i ( α i ( t ) ) ] α ′ i ( t ) ， (12) 即 X ′ ( t ) ( ϕ − 1 ( X ( t ) ) ) q ≤ ∑ i = 1 n [ f i ( α i ( t ) ) ω ( ϕ − 1 ( X ( α i ( t ) ) ) ) + g i ( α i ( t ) ) ] α ′ i ( t ) 。 (13) (13)式两边对 t 从 到 t 积分得 G ( X ( t ) ) = G ( c 0 ) + ∑ i = 1 n ∫ α i ( t 0 ) α i ( t ) [ f i ( s ) ω ( ϕ − 1 ( X ( s ) ) ) + g i ( s ) ] d s = G ( c 0 ) + ∑ i = 1 n ∫ α i ( t 0 ) α i ( t ) g i ( s ) d s + ∑ i = 1 n ∫ α i ( t 0 ) α i ( t ) f i ( s ) ω ( ϕ − 1 ( X ( s ) ) ) d s 。 (14) 记 ， (15) 则 。(16) 任取 T ∈ [ t 0 ， t 1 ) ，因 为非减函数，故对于任意 t ∈ [ t 0 ， T ) 有如下不等式成立 G ( X ( t ) ) ≤ p 0 ( T ) + ∑ i = 1 n ∫ α i ( t 0 ) α i ( t ) f i ( s ) ω ( ϕ − 1 ( X ( s ) ) ) d s 。 (17) (17)式右端为 Y ( t ) ，则 Y ( t ) 为非减函数， Y ( t 0 ) = p 0 ( T ) 且 X ( t ) ≤ G − 1 ( Y ( t ) ) ， Y ( t ) 对 t 求导得 Y ′ ( t ) = ∑ i = 1 n f i ( α i ( t ) ) ω ( ϕ − 1 ( X ( α i ( t ) ) ) )   α ′ i ( t ) ≤ ω ( ϕ − 1 ( G − 1 ( Y ( t ) ) ) ) ∑ i = 1 n f i ( α i ( t ) )   α ′ i ( t ) 。 (18) 从而 Y ′ ( t ) ω ( ϕ − 1 ( G − 1 ( Y ( t ) ) ) ) ≤ ∑ i = 1 n f i ( α i ( t ) )   α ′ i ( t ) 。 (19) (19)两边对 t 从 到 t 积分，得 W ( Y ( t ) ) ≤ W ( Y ( t 0 ) ) + ∑ i = 1 n ∫ α i ( t 0 ) α i ( t ) f i ( s ) d s ， 即， Y ( t ) ≤ W − 1 [ W ( p 0 ( T ) ) + ∑ i = 1 n ∫ α i ( t 0 ) α i ( t ) f i ( s ) d s ] 。 (20) 所以， u ( t ) ≤ ϕ − 1 { G − 1 [ W − 1 ( W ( p 0 ( T ) ) + ∑ i = 1 n ∫ α i ( t 0 ) α i ( t ) f i ( s ) d s ) ] } ， (21) 由 的任意性，用 t 代替 T ，即有 u ( t ) ≤ ϕ − 1 { G − 1 [ W − 1 ( W ( p 0 ( t ) ) + ∑ i = 1 n ∫ α i ( t 0 ) α i ( t ) f i ( s ) d s ) ] } . (22) 若 c 0 = 0 ，选取小正数 ε > 0 代替 c 0 ，然后让 ε 趋于0，同样证明。 所以对于 j = 0 ， t ∈ [ t 0 ， t 1 ) ，用 u 0 ( t ) 代替(22)中的 u ( t ) ，估计式(6)成立。 j = 1 时， t ∈ [ t 1 ， t 2 ) ，此时不等式(5)有脉冲项。将(5)变形为 ϕ ( u ( t ) ) ≤ c 0 + ∑ i = 1 n ∫ α i ( t 0 ) α i ( t ) u q ( s ) [ f i ( s ) ω ( u ( s ) ) + g i ( s ) ] d s + h ( t ) β 1 u m ( t 1 − 0 ) ≤ c 0 + ∑ i = 1 n ∫ α i ( t 0 ) α i ( t 1 ) u 0 q ( s ) [ f i ( s ) ω ( u 0 ( s ) ) + g i ( s ) ] d s + h ( t ) β 1 u 0 m ( t 1 − 0 ) + ∑ i = 1 n ∫ α i ( t 1 ) α i ( t ) u q ( s ) [ f i ( s ) ω ( u ( s ) ) + g i ( s ) ] d s ≤ c 1 + ∑ i = 1 n ∫ α i ( t 1 ) α i ( t ) u q ( s ) [ f i ( s ) ω ( u ( s ) ) + g i ( s ) ] d s ， (23) 这里 c 1 的定义如(7)， u 0 ( t ) 的估计式见(22)。如果用 α i ( t 1 ) 和 c 1 代替 α i ( t 0 ) 和 c 0 ， 代替 p 0 ( t ) ( p 1 ( t ) 如(8)式定义)，(23)式完全类似于(10)式。故 (24) 故对于 j = 1 ， t ∈ [ t 1 ， t 2 ) ，用 代替(24)中的 u 1 ( t ) ，估计式(6)成立。 假设对任意 t ∈ [ t j ， t j + 1 ) ( 0 ≤ j ≤ k ) 估计式(6)成立，即 (25) 则当 t ∈ [ t j + 1 ， t j + 2 ) 时，由(5)知 ϕ ( u ( t ) ) ≤ c 0 + ∑ i = 1 n ∫ α i ( t 0 ) α i ( t ) u q ( s ) [ f i ( s ) ω ( u ( s ) ) + g i ( s ) ] d s + h ( t ) ∑ t 0 < t j < t β j u m ( t j − 0 ) = c 0 + ∑ k = 1 j + 1 ∑ i = 1 n ∫ α i ( t k − 1 ) α i ( t k ) u k − 1 q ( s ) [ f i ( s ) ω ( u k − 1 ( s ) ) + g i ( s ) ] d s + ∑ k = 1 j + 1 β k u k − 1 m ( t k − 0 ) + ∑ i = 1 n ∫ α i ( t j + 1 ) α i ( t ) u q ( s ) [ f i ( s ) ω ( u ( s ) ) + g i ( s ) ] d s = c j + 2 + ∑ i = 1 n ∫ α i ( t j + 1 ) α i ( t ) u q ( s ) [ f i ( s ) ω ( u ( s ) ) + g i ( s ) ] d s (26) 这里 c j + 2 的定义如(7)。由假设知 t ∈ [ t 0 ， t j + 1 ) 时， u ( t ) 的估计式可由(25)给出，同样用 α i ( t j + 1 ) 和 c j + 2 代替 α i ( t 0 ) 和 c 0 ， p j + 1 ( t ) 代替 p 0 ( t ) ，(26)完全类似于(10)，故有 。 (27) 综上所述，估计式(6)成立，定理得证。