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user: 3. 定理1.1的证明 设图 G = P l + ( n − l ) K 1 为 K n \ P l 的补图，则图G有n个顶点， l − 1 条边，不含子图 C 3 ，并且其度序列为 { 0 n − l ， 1 2 ， 2 l − 2 } 。因此， K n \ P l 中的子图 C 3 数量 t ¯ 为 t ¯ = ( n 3 ) − ( n − 2 ) ( l − 1 ) + l − 2 = ( n 3 ) − ( n − 1 ) ( l − 1 ) + 1 2 ( 4 l − 6 ) . 设图 Γ = H + ( n − | V ( H ) | ) K 1 为 K n \ H 的补图，则其有n个顶点， l − 1 条边， t ′ 个子图 C 3 ，度序列为 { 0 n − ∑ i = 1 k x i ， 1 x 1 ， 2 x 2 ， ⋯ ， k x k } 。那么图 K n \ H 中子图 C 3 数量 t ¯ ′ 为 t ¯ ′ = ( n 3 ) − ( n − 1 ) ( l − 1 ) + 1 2 ∑ i = 1 k ( i 2 x i ) − t ′ . 设图 K n \ H 和图 K n \ P l 同谱，则两图含有相同数量的子图 C 3 。而且由于删去了相同数量的边，那么删去的度数也是相等。因此有 ∑ i = 1 k i x i = 2 l − 2 ， ∑ i = 1 k i 2 x i = 4 l − 6 + 2 t ′ . (1) 定理1.1的证明：当 l = 10 时，图H含有9条边，其最多含有7个子图 C 3 ，则有 0 ≤ t ′ ≤ 7 . (2) 当 l = 10 ， t ′ = 7 时，有 ∑ i = 1 k i 2 x i = 4 l − 6 + 2 t ′ = 48 ，当 k = 7 时不成立，所以k最大取6，则有 0 ≤ k ≤ 6 . (3) 对于 x i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 6 ) 取值范围确定，当 l = 10 时，由 ∑ i = 1 k i x i = 2 l − 2 = 18 和 ∑ i = 1 k i 2 x i = 4 l − 6 + 2 t ′ = 34 + 2 t ′ ， 可以得到 0 ≤ x i ≤ min { 18 i ， 34 + 2 t ′ i 2 } . (4) 结合式子(1)-(4)，及Matlab计算，可以得到组合 { t ′ ， x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ， x 5 ， x 6 } 的所有情况如下： { 0 ， 2 ， 8 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 } ， { 0 ， 5 ， 5 ， 1 ， 0 ， 0 ， 0 } ， { 0 ， 8 ， 2 ， 2 ， 0 ， 0 ， 0 } ， { 0 ， 10 ， 2 ， 0 ， 1 ， 0 ， 0 } ， { 1 ， 0 ， 9 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 } ， { 1 ， 3 ， 6 ， 1 ， 0 ， 0 ， 0 } ， { 1 ， 6 ， 3 ， 2 ， 0 ， 0 ， 0 } ， { 1 ， 8 ， 3 ， 0 ， 1 ， 0 ， 0 } ， { 1 ， 9 ， 0 ， 3 ， 0 ， 0 ， 0 } ， { 1 ， 11 ， 0 ， 1 ， 1 ， 0 ， 0 } ， { 2 ， 1 ， 7 ， 1 ， 0 ， 0 ， 0 } ， { 2 ， 4 ， 4 ， 2 ， 0 ， 0 ， 0 } ， { 2 ， 6 ， 4 ， 0 ， 1 ， 0 ， 0 } ， { 2 ， 7 ， 1 ， 3 ， 0 ， 0 ， 0 } ， { 2 ， 9 ， 1 ， 1 ， 1 ， 0 ， 0 } ， { 2 ， 13 ， 0 ， 0 ， 0 ， 1 ， 0 } ， { 3 ， 2 ， 5 ， 2 ， 0 ， 0 ， 0 } ， { 3 ， 4 ， 5 ， 0 ， 1 ， 0 ， 0 } ， { 3 ， 5 ， 2 ， 3 ， 0 ， 0 ， 0 } ， { 3 ， 7 ， 2 ， 1 ， 1 ， 0 ， 0 } ， { 3 ， 11 ， 1 ， 0 ， 0 ， 1 ， 0 } ， { 4 ， 0 ， 6 ， 2 ， 0 ， 0 ， 0 } ， { 4 ， 2 ， 6 ， 0 ， 1 ， 0 ， 0 } ， { 4 ， 3 ， 3 ， 3 ， 0 ， 0 ， 0 } ， { 4 ， 5 ， 3 ， 1 ， 1 ， 0 ， 0 } ， { 4 ， 6 ， 0 ， 4 ， 0 ， 0 ， 0 } ， { 4 ， 8 ， 0 ， 2 ， 1 ， 0 ， 0 } ， { 4 ， 9 ， 2 ， 0 ， 0 ， 1 ， 0 } ， { 4 ， 10 ， 0 ， 0 ， 2 ， 0 ， 0 } ， { 5 ， 0 ， 7 ， 0 ， 1 ， 0 ， 0 } ， { 5 ， 1 ， 4 ， 3 ， 0 ， 0 ， 0 } ， { 5 ， 3 ， 4 ， 1 ， 1 ， 0 ， 0 } ， { 5 ， 4 ， 1 ， 4 ， 0 ， 0 ， 0 } ， { 5 ， 6 ， 1 ， 2 ， 1 ， 0 ， 0 } ， { 5 ， 7 ， 3 ， 0 ， 0 ， 1 ， 0 } ， { 5 ， 8 ， 1 ， 0 ， 2 ， 0 ， 0 } ， { 5 ， 10 ， 0 ， 1 ， 0 ， 1 ， 0 } ， { 6 ， 1 ， 5 ， 1 ， 1 ， 0 ， 0 } ， { 6 ， 2 ， 2 ， 4 ， 0 ， 0 ， 0 } ， { 6 ， 4 ， 2 ， 2 ， 1 ， 0 ， 0 } ， { 6 ， 5 ， 4 ， 0 ， 0 ， 1 ， 0 } ， { 6 ， 6 ， 2 ， 0 ， 2 ， 0 ， 0 } ， { 6 ， 8 ， 1 ， 1 ， 0 ， 1 ， 0 } ， { 7 ， 0 ， 3 ， 4 ， 0 ， 0 ， 0 } ， { 7 ， 2 ， 3 ， 2 ， 1 ， 0 ， 0 } ， { 7 ， 3 ， 0 ， 5 ， 0 ， 0 ， 0 } ， { 7 ， 3 ， 5 ， 0 ， 0 ， 1 ， 0 } ， { 7 ， 4 ， 3 ， 0 ， 2 ， 0 ， 0 } ， { 7 ， 5 ， 0 ， 3 ， 1 ， 0 ， 0 } ， { 7 ， 6 ， 2 ， 1 ， 0 ， 1 ， 0 } ， { 7 ， 7 ， 0 ， 1 ， 2 ， 0 ， 0 } ， { 7 ， 12 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 1 } . 有这样一组参数 { t ′ ， x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ， x 5 ， x 6 } ，如果存在一个与该参数相同的图，那么称这组参数为该图的图解。实际上，并不是所有的这些参数组合都是图解，有部分是不符合图条件要求的。并且这些有效的图解中可能存在多个图的表示。如表1所示，这里只给出有效图解的组合和其相对应的图(表1中相关的子图见图2)。 根据引理2.8~2.12，除了图 Y 1 ， 1 ， 1 ， 1 ∪ 2 P 3 、 2 T 1 ， 1 ， 2 ∪ P 2 、和 G d ∪ 2 P 3 以外，这里剩余的所有图的 K n \ H 都与 K n \ P 10 不同谱。接下来将计算在这三个图中4-闭途径的数量，并在表2中给出它们各子图的数量。 对于图 P 10 ，直接计算得 m 1 = l − 2 = 8 ， m 2 = ( l − 2 ) ( l − 3 ) 2 = 28 ， m 3 = l − 3 = 7 ， m 4 = 0. Table 1 Complements of all possible K n   \ H of the same spectrum as K n   \ P 1 图解组合 相对应的图H { 0 ， 2 ， 8 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 } C 8 ∪ P 2 ， C 7 ∪ P 3 ， C 6 ∪ P 4 ， C 5 ∪ P 5 ， C 4 ∪ P 6 { 0 ， 5 ， 5 ， 1 ， 0 ， 0 ， 0 } T 1 ， 1 ， 6 ∪ P 2 ， T 1 ， 2 ， 5 ∪ P 2 ， T 1 ， 3 ， 4 ∪ P 2 ， T 2 ， 2 ， 4 ∪ P 2 ， T 2 ， 3 ， 3 ∪ P 2 ， T 1 ， 1 ， 5 ∪ P 3 ， T 1 ， 2 ， 4 ∪ P 3 ， T 1 ， 3 ， 3 ∪ P 3 ， T 2 ， 2 ， 3 ∪ P 3 ， T 1 ， 1 ， 4 ∪ P 4 ， T 1 ， 2 ， 3 ∪ P 4 ， T 2 ， 2 ， 2 ∪ P 4 ， T 1 ， 1 ， 3 ∪ P 5 ， T 1 ， 2 ， 2 ∪ P 5 ， T 1 ， 1 ， 2 ∪ P 6 ， T 1 ， 1 ， 1 ∪ P 7 { 0 ， 5 ， 5 ， 1 ， 0 ， 0 ， 0 } Y 1 ， 1 ， 1 ， 1 ∪ 2 P 3 ， G e ∪ P 3 ∪ P 2 ， G f ∪ P 3 ∪ P 2 ， G k ∪ 2 P 2 ， G l ∪ 2 P 2 ， G m ∪ 2 P 2 ， G n ∪ 2 P 2 ， T 1 ， 1 ， 2 ∪ K 1 ， 3 ∪ P 3 ， T 1 ， 1 ， 3 ∪ K 1 ， 3 ∪ P 2 ， T 1 ， 2 ， 2 ∪ K 1 ， 3 ∪ P 2 ， 2 T 1 ， 1 ， 2 ∪ P 2 ， 2 K 1 ， 3 ∪ P 4 { 0 ， 10 ， 2 ， 0 ， 1 ， 0 ， 0 } T 1 ， 1 ， 2 ， 2 ∪ 3 P ， 2 T 1 ， 1 ， 1 ， 3 ∪ 3 P 2 ， T 1 ， 1 ， 1 ， 1 ∪ 2 P 2 ∪ P 4 ， T 1 ， 1 ， 1 ， 1 ∪ P 2 ∪ 2 P 3 { 1 ， 0 ， 9 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 } C 3 ∪ C 6 { 1 ， 3 ， 6 ， 1 ， 0 ， 0 ， 0 } G a ∪ P 6 ， G h ∪ P 5 ， G q ∪ P 4 { 1 ， 6 ， 3 ， 2 ， 0 ， 0 ， 0 } G c ∪ 2 P 3 ， G i ∪ P 2 ∪ P 3 ， G r ∪ 2 P 2 ， G s ∪ 2 P 2 { 1 ， 8 ， 3 ， 0 ， 1 ， 0 ， 0 } G j ∪ 2 P 2 ∪ P 3 ， G t ∪ 3 P 2 { 1 ， 9 ， 0 ， 3 ， 0 ， 0 ， 0 } G u ∪ 3 P 2 { 2 ， 1 ， 7 ， 1 ， 0 ， 0 ， 0 } G q ∪ C 3 { 2 ， 4 ， 4 ， 2 ， 0 ， 0 ， 0 } G d ∪ 2 P 3 ， G v ∪ 2 P 2 ， 2 G a ∪ P 2 { 2 ， 6 ， 4 ， 0 ， 1 ， 0 ， 0 } G w ∪ 3 P 2 { 2 ， 7 ， 1 ， 3 ， 0 ， 0 ， 0 } G x ∪ 3 P 2 表1. 所有可能与 K n \ P 10 同谱的 K n \ H 的补图 Table 2 The number of related subgraphs of 图H m ′ 1 m ′ 2 m ′ 3 m ′ 4 Y 1 ， 1 ， 1 ， 1 ∪ 2 P 3 8 28 4 0 2 T 1 ， 1 ， 2 ∪ P 2 8 28 4 0 G d ∪ 2 P 3 10 26 4 1 表2. 图H的相关子图数量 通过表2中图H与图 P 10 的各子图数量对比，以及引理2.6，则这三个图作为H时，图 K n \ H 与图 K n \ P 10 有不同数量的4-闭途径，因此它们不同谱。综上所述，证得图 K n \ P 10 是DS。定理1.1得证。 £ 图2. 文中涉及到的一些相关子图