system: [SYSTEM]

user: 2. 主要结果及证明 为方便讨论，令 { E i ， j } i . j = 1 n 为 M n ( ℂ ) 的矩阵单位，即 ( i ， j ) 位置为1，其他位置为0的矩阵， I n 为n阶单位矩阵。设 U = ∑ i = 1 n 1 2 i E i ， i ， V = ∑ i = 2 n E i − 1 ， i ，则若 A ∈ M n ( ℂ ) ，使得 A U = U A ，则A为对角矩阵。若 A V = V A ，则 A = ( a 1 a 2 ⋯ a n 0 a 1 a 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ a 2 0 0 ⋯ a 1 ) (1) 引理2.1 ( [ 10 ]， Problem230) 若 A ， B ∈ M n ( ℂ ) ， [ A ， B ] = λ I ， λ ∈ ℂ ，则 λ = 0 。 引理2.2 若 L : M n ( ℂ ) → M n ( ℂ ) 为2-局部Lie导子，则 L ( α A ) = α L ( A ) ， ∀ α ∈ ℂ ， A ∈ M n ( ℂ ) 。 证明 对 ∀ A ， α A ， α ∈ ℂ ， A ∈ M n ( ℂ ) ，存在Lie导子 L A ， α A : M n ( ℂ ) → M n ( ℂ ) ，使得 L ( α A ) = L A ， α A ( α A ) = α L A ， α A ( A ) = α L ( A ) 。 □ 定理2.3 若 L : M n ( ℂ ) → M n ( ℂ ) ( n ≥ 2 ) 为2-局部Lie导子，则存在 T ∈ M n ( ℂ ) 和映射 τ : M n ( ℂ ) → ℂ I n ，使得 L ( A ) = T A − A T + τ ( A ) ， ∀ A ∈ M n ( ℂ ) ， 其中 τ ( A + F ) = τ ( A ) ， F = [ A ， B ] ， ∀ A ， B ∈ M n ( ℂ ) 。 证明 设 L : M n ( ℂ ) → M n ( ℂ ) 为2-局部Lie导子，则对 ∀ A ， B ∈ M n ( ℂ ) ，存在导子 δ A ， B : M n ( ℂ ) → M n ( ℂ ) 及线性映射 τ A ， B : M n ( ℂ ) → ℂ I n 使得 L ( A ) = L A ， B ( A ) = δ A ， B ( A ) + τ A ， B ( A ) ， L ( B ) = L A ， B ( B ) = δ A ， B ( B ) + τ A ， B ( B ) ， 其中 τ A ， B [ C ， D ] = 0 ， ∀ C ， D ∈ M n ( ℂ ) 。因为 M n ( ℂ ) 上的导子为内导子，故存在 T A ， B ∈ M n ( ℂ ) 使得 L ( A ) = T A ， B A − A T A ， B + τ A ， B ( A ) ， L ( B ) = T A ， B B − B T A ， B + τ A ， B ( B ) ， (2) 下证(2)中 τ A ， B ( A ) ， τ A ， B ( B ) 是唯一确定的。 若 L ( A ) = T A ， B A − A T A ， B + τ A ， B ( A ) = S A ， B A − A S A ， B + f A ， B ( A ) ，则 [ T A ， B − S A ， B ， A ] = f A ， B ( A ) − τ A ， B ( A ) ，由引理2.1知 f A ， B ( A ) − τ A ， B ( A ) = 0 ， τ A ， B ( A ) = f A ， B ( A ) ，所以 τ A ， B ( A ) ， τ A ， B ( B ) 是唯一确定的。 令 τ : M n ( ℂ ) → ℂ I n ， τ ( A ) = τ A ， B ( A ) ， τ ( B ) = τ A ， B ( B ) ， ∀ A ， B ∈ M n ( ℂ ) ，则(2)可以重写为 L ( A ) = T A ， B A − A T A ， B + τ ( A ) ， L ( B ) = T A ， B B − B T A ， B + τ ( B ) ，(3) 由引理2.2和(3)知 τ ( α A ) = α τ ( A ) ， ∀ α ∈ ℂ ， A ∈ M n ( ℂ ) ，且 τ ( E i ， j ) = 0 ， i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ; i ≠ j ，因为 E i ， j = [ E i ， i ， E i ， j ] 。 由(3)知对 U ， V ∈ M n ( ℂ ) ，存在 T U ， V ∈ M n ( ℂ ) 使得 L ( U ) = T U ， V U − U T U ， V + τ ( U ) ， L ( V ) = T U ， V V − V T U ， V + τ ( V ) ， 令 T = T U ， V ， δ ( A ) = T A − A T ， L ′ ( A ) = L ( A ) − δ ( A ) ， ∀ A ∈ M n ( ℂ ) ，则 L ′ 仍是 M n ( ℂ ) 上的2-局部Lie导子。由证明 τ A ， B ( A ) ， τ A ， B ( B ) 的唯一性给出 τ 的定义知 L ′ ( A ) 也满足(3)，且 L ′ ( U ) = τ ( U ) ， L ′ ( V ) = τ ( V ) 。 对 E i ， i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 及U，存在 T E i ， i ， U ∈ M n ( ℂ ) 使得 L ′ ( U ) = T E i ， i ， U U − U T E i ， i ， U + τ ( U ) ， L ′ ( E i ， i ) = T E i ， i ， U E i ， i − E i ， i T E i ， i ， U + τ ( E i ， i ) ， 因为 L ′ ( U ) = τ ( U ) ∈ ℂ I n ，所以由引理2.1知 T E i ， i ， U U = U T E i ， i ， U ，故 T E i ， i ， U 为对角阵， T E i ， i ， U E i ， i − E i ， i T E i ， i ， U = 0 ，故 L ′ ( E i ， i ) = τ ( E i ， i ) ∈ ℂ I n 。 对 E i ， j ， i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， i ≠ j 及U，存在 T E i ， j ， U ∈ M n ( ℂ ) 使得 L ′ ( U ) = T E i ， j ， U U − U T E i ， j ， U + τ ( U ) ， L ′ ( E i ， j ) = T E i ， j ， U E i ， j − E i ， j T E i ， j ， U ， 因为 L ′ ( U ) = τ ( U ) ∈ ℂ I n ，所以由引理2.1知 T E i ， j ， U U = U T E i ， j ， U ，故 T E i ， j ， U 为对角阵， L ′ ( E i ， j ) ∈ ℂ E i ， j 。 对 E i ， j ， i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ; i ≠ j 及V存在 T E i ， j ， V ∈ M n ( ℂ ) 使得 L ′ ( V ) = T E i ， j ， V V − V T E i ， j ， V + τ ( V ) ， L ′ ( E i ， j ) = T E i ， j ， V E i ， j − E i ， j T E i ， j ， V 因为 L ′ ( V ) = τ ( V ) ∈ ℂ I n ，由引理2.1知 T E i ， j ， V V = V T E i ， j ， V ，故 T E i ， j ， V 形如(1)。由于 T E i ， j ， V E i ， j − E i ， j T E i ， j ， V 的 ( i ， j ) 位置为0，所以 L ′ ( E i ， j ) = T E i ， j ， V E i ， j − E i ， j T E i ， j ， V = T E i ， j ， U E i ， j − E i ， j T E i ， j ， U = 0 。 对 ∀ E i ， j ( i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， A = ∑ i ， j = 1 n a i ， j E i ， j ∈ M n ( ℂ ) ，存在内导子 δ A ， E i ， j : M n ( ℂ ) → M n ( ℂ ) 使得 L ′ ( A ) = δ A ， E i ， j ( A ) + τ ( A ) ， L ′ ( E i ， j ) = δ A ， E i ， j ( E i ， j ) + τ ( E i ， j ) ， 由 L ′ ( E i ， j ) = τ ( E i ， j ) 知 δ A ， E i ， j ( E i ， j ) = 0 。因此 E i ， j δ A ， E i ， j ( A ) E i ， j = δ A ， E i ， j ( E i ， j A E i ， j ) − δ A ， E i ， j ( E i ， j ) A E i ， j − E i ， j A δ A ， E i ， j ( E i ， j ) = δ A ， E i ， j ( a j ， i E i ， j ) − 0 − 0 = a j ， i δ A ， E i ， j ( E i ， j ) = 0 即 δ A ， E i ， j ( A ) = 0 ， L ′ ( A ) = τ ( A ) ∈ ℂ I n ， ∀ A ∈ M n ( ℂ ) 。故 L ( A ) = δ ( A ) + L ′ ( A ) = T A − A T + τ ( A ) ， ∀ A ∈ M n ( ℂ ) 。 对 ∀ A ， B ∈ M n ( ℂ ) ，令 F = [ A ， B ] ，则存在 T A + F ， A ∈ M n ( ℂ ) 及线性映射 τ A + F ， A : M n ( ℂ ) → ℂ I n ， τ A + F ， A ( F ) = 0 ，使得 τ ( A + F ) = L ( A + F ) − [ T ， A + F ] = [ T A + F ， A ， A + F ] + τ A + F ， A ( A + F ) − [ T ， A + F ] = [ T A + F ， A − T ， A + F ] + τ A + F ， A ( A + F ) 另一方面， τ ( A ) = L ( A ) − [ T ， A ] = [ T A + F ， A ， A ] + τ A + F ， A ( A ) − [ T ， A ] = [ T A + F ， A − T ， A ] + τ A + F ， A ( A ) 因此 τ ( A + F ) − τ ( A ) = [ T A + F ， A − T ， F ] + τ A + F ， A ( A + F ) − τ A + F ， A ( A ) = [ T A + F ， A − T ， F ] + τ A + F ， A ( F ) = [ T A + F ， A − T ， F ] ， 由引理2.1知 τ ( A + F ) = τ ( A ) 。因此 L ( A ) = T A − A T + τ ( A ) ， 其中 τ : M n ( ℂ ) → ℂ I n ，且 τ ( A + F ) = τ ( A ) ， F = [ A ， B ] ， ∀ A ， B ∈ M n ( ℂ ) 。 □ 下面我们运用类似于定理2.3的方法刻画 T n ( ℂ ) 上的2-局部Lie导子。 定理2.4若 L : T n ( ℂ ) → T n ( ℂ ) 为2-局部Lie导子，则 i) 存在 T ∈ T n ( ℂ ) 及映射 τ : T n ( ℂ ) → ℂ I n 使得 L ( E i ， j ) = [ T ， E i ， j ]   ( i ≠ j ) ， L ( E i ， i ) = [ T ， E i ， i ] + τ ( E i ， i ) ，且 ∑ i = 1 n E i ， i ( L ( A ) − [ T ， A ] ) E i ， i = τ ( A ) ； ii) 当 L ( A + B ) − L ( A ) − L ( B ) ∈ ℂ I n 时，存在 T ∈ T n ( ℂ ) 及映射 ω : T n ( ℂ ) → ℂ I n 使得 L ( A ) = T A − A T + ω ( A ) ； 特别地，当 L ( A + B ) = L ( A ) + L ( B ) 时，存在 T ∈ T n ( ℂ ) 及线性映射 ω : T n ( ℂ ) → ℂ I n 使得 L ( A ) = T A − A T + ω ( A ) 。 证明i) 由于 T n ( ℂ ) 上的Lie导子为标准Lie导子 [ 11 ]，且其上的导子为内导子( [ 12 ]， Corollary2.6)，类似于定理2.3的证明，令 T = T U ， V ， L ′ ( A ) = L ( A ) − ( T A − A T ) ，则 L ′ ( E i ， j ) = 0 ， ( i ≠ j ) ， L ′ ( E i ， i ) = τ ( E i ， i ) ，所以 L ( E i ， j ) = [ T ， E i ， j ]   ( i ≠ j ) ， L ( E i ， i ) = [ T ， E i ， i ] + τ ( E i ， i ) 。 对 ∀ E i ， j ， A = ∑ 1 ≤ i ≤ j ≤ n n a i ， j E i ， j ， i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ; i ≤ j ，存在内导子 δ A ， E i ， j : T n ( ℂ ) → T n ( ℂ ) 及映射 τ : T n ( ℂ ) → ℂ I n 使得 L ′ ( A ) = δ A ， E i ， j ( A ) + τ ( A ) ， L ′ ( E i ， j ) = δ A ， E i ， j ( E i ， j ) + τ ( E i ， j ) 。因为 L ′ ( E i ， j ) ∈ ℂ I n ，由引理2.1得 δ A ， E i ， j ( E i ， j ) = 0 ，因此 E i ， i δ A ， E i ， i ( A ) E i ， i = δ A ， E i ， i ( E i ， i A E i ， i ) − E i ， i A δ A ， E i ， i ( E i ， i ) − δ A ， E i ， i ( E i ， i ) A E i ， i = a i ， i δ A ， E i ， i ( E i ， i ) = 0 ， 故 ∑ i = 1 n E i ， i ( L ( A ) − [ T ， A ] ) E i ， i = τ ( A ) 。 ii) 若 L ( A + B ) − L ( A ) − L ( B ) ∈ ℂ I n ，则由(i)知 L ( E i ， j ) = [ T ， E i ， j ] ( i ≠ j ) ， L ( E i ， i ) = [ T ， E i ， i ] + τ ( E i ， i ) 。对 ∀ A ∈ T n ( ℂ ) ， 记 μ ( A ) = L ( ∑ 1 ≤ i ≤ j ≤ n n a i ， j E i ， j ) − ∑ 1 ≤ i ≤ j ≤ n n a i ， j L ( E i ， j ) ，则 L ( A ) = L ( ∑ 1 ≤ i ≤ j ≤ n n a i ， j E i ， j ) = ∑ 1 ≤ i ≤ j ≤ n n a i ， j L ( E i ， j ) + μ ( A ) = ∑ 1 ≤ i ≤ j ≤ n n a i ， j ( [ T ， E i ， j ] + τ ( E i ， j ) ) + μ ( A ) = [ T ， ∑ 1 ≤ i ≤ j ≤ n n a i ， j E i ， j ] + ∑ 1 ≤ i ≤ j ≤ n n a i ， j τ ( E i ， j ) + μ ( A ) = [ T ， A ] + ω ( A ) 其中 ω : T n ( ℂ ) → ℂ I n ， ω ( A ) = ∑ 1 ≤ i ≤ j ≤ n n a i ， j τ ( E i ， j ) + μ ( A ) = ∑ i = 1 n a i ， i τ ( E i ， i ) + μ ( A ) 。同定理2.3中证明 τ ( A + F ) = τ ( A ) 类似，可得 ω ( A + F ) = ω ( A ) ， F = [ A ， B ] ， ∀ A ， B ∈ T n ( ℂ ) 。故 L ( A ) = T A − A T + ω ( A ) ， ∀ A ∈ T n ( ℂ ) 。 当 L ( A + B ) = L ( A ) + L ( B ) 时， μ ( A ) = 0 ， ω ( A ) = ∑ i = 1 n a i ， i τ ( E i ， i ) 。由 T ( A + B ) − ( A + B ) T + ω ( A + B ) = L ( A + B ) = L ( A ) + L ( B ) = T A − A T + ω ( A ) + T B − B T + ω ( B ) ， 知 ω ( A + B ) = ω ( A ) + ω ( B ) ， ∀ A ， B ∈ T n ( ℂ ) 。由引理2.2知 ω ( α A ) = α ω ( A ) ， ∀ α ∈ ℂ ， A ∈ T n ( ℂ ) ，因此 ω : T n ( ℂ ) → ℂ I n 是线性映射。 □ 下面的例子表明若上三角矩阵代数 T n ( ℂ ) 上的2-局部Lie导子L不满足条件 L ( A + B ) − L ( A ) − L ( B ) ∈ ℂ I n ，则L不具有定理2.4中的形式。 例2.5 设 T 2 ( ℂ ) = { ( a 11 a 12 0 a 22 ) : a 11 ， a 12 ， a 22 ∈ ℂ } 为 2 × 2 的上三角矩阵代数， f : T 2 ( ℂ ) → ℂ I 2 为线性映射。对任意的 A = ( a 11 a 12 0 a 22 ) ∈ T 2 ( ℂ ) ，定义 L : T 2 ( ℂ ) → T 2 ( ℂ ) ： L ( A ) = f ( A ) 若 a 11 ≠ a 22 ； L ( A ) = ( 0 − a 12 0 0 ) + f ( A ) 若 a 11 = a 22 。则L为 T 2 ( ℂ ) 上的2-局部Lie导子，但L不满足条件 L ( A + B ) − L ( A ) − L ( B ) ∈ ℂ I 2 ，L不具有定理2.4中的形式。 事实上对 ∀ A = ( a 11 a 12 0 a 22 ) ， B = ( b 11 b 12 0 b 22 ) ∈ T 2 ( ℂ ) ， i) 当 a 11 ≠ a 22 ， b 11 ≠ b 22 时，令 δ ( X ) = 0 ， ∀ X ∈ T 2 ( ℂ ) ， f : T 2 ( ℂ ) → ℂ I 2 为L定义中的映射，则存在Lie导子 L A ， B : T 2 ( ℂ ) → T 2 ( ℂ ) 为 L A ， B ( X ) = δ ( X ) + f ( X ) ， ∀ X ∈ T 2 ( ℂ ) ，且 L ( A ) = f ( A ) = L A ， B ( A ) ， L ( B ) = f ( B ) = L A ， B ( B ) ； ii) 当 a 11 = a 22 ， b 11 = b 22 时，令 T = ( − 1 0 0 0 ) ∈ T 2 ( ℂ ) ， δ ( X ) = T X − X T ， ∀ X ∈ T 2 ( ℂ ) ， f : T 2 ( ℂ ) → ℂ I 2 为L定义中的映射，则存在Lie导子 L A ， B : T 2 ( ℂ ) → T 2 ( ℂ ) 为 L A ， B ( X ) = δ ( X ) + f ( X ) ， ∀ X ∈ T 2 ( ℂ ) ，且 L ( A ) = ( 0 − a 12 0 0 ) + f ( A ) = L A ， B ( A ) ， L ( B ) = ( 0 − b 12 0 0 ) + f ( B ) = L A ， B ( B ) ； iii) 当 a 11 ≠ a 22 ， b 11 = b 22 时，令 T = ( − 1 2 a 12 a 22 − a 11 0 1 2 ) ， δ ( X ) = T X − X T ， ∀ X ∈ T 2 ( ℂ ) ， f : T 2 ( ℂ ) → ℂ I 2 为L定义中的映射，则存在Lie导子 L A ， B : T 2 ( ℂ ) → T 2 ( ℂ ) 为 L A ， B ( X ) = δ ( X ) + f ( X ) ， ∀ X ∈ T 2 ( ℂ ) ，且 L ( A ) = f ( A ) = L A ， B ( A ) ， L ( B ) = ( 0 − b 12 0 0 ) + f ( B ) = L A ， B ( B ) 。类似地若 a 11 = a 22 ， b 11 ≠ b 22 ，令 T = ( − 1 2 b 12 b 22 − b 11 0 1 2 ) ， δ ( X ) = T X − X T ， L A ， B ( X ) = δ ( X ) + f ( X ) ， ∀ X ∈ T 2 ( ℂ ) ，则 L ( A ) = ( 0 − a 12 0 0 ) + f ( A ) = L A ， B ( A ) ， L ( B ) = f ( B ) = L A ， B ( B ) 。 因此L为 T 2 ( ℂ ) 上的2-局部Lie导子。当取 A = ( 1 0 0 0 ) ， B = ( 0 1 0 0 ) ∈ T 2 ( ℂ ) 时， L ( A + B ) − L ( A ) − L ( B ) = ( 0 1 0 0 ) + f ( A + B ) − f ( A ) − f ( B ) ∉ ℂ I 2 ，L不满足条件 L ( A + B ) − L ( A ) − L ( B ) ∈ ℂ I 2 。 下证L不具有形式 L ( A ) = T A − A T + f ( A ) 。若 L ( A ) = T A − A T + f ( A ) ， T ∈ T 2 ( ℂ ) ， f : T 2 ( ℂ ) → ℂ I 2 。 设 A = ( a c 0 b ) ， T = ( t 11 t 12 0 t 22 ) ，则 L ( A ) = ( t 11 t 12 0 t 22 ) ( a c 0 b ) − ( a c 0 b ) ( t 11 t 12 0 t 22 ) + f ( A ) = ( 0 ( b − a ) t 12 + c ( t 11 − t 22 ) 0 0 ) + f ( A ) 。 当 a ≠ b 时，由L的定义得 L ( A ) = f ( A ) ，故 ( b − a ) t 12 + c ( t 11 − t 22 ) = 0 ，取 a = 1 ， b = 2 ， c = 1 得 t 12 + t 11 − t 22 = 0 ，取 a = 2 ， b = 1 ， c = 1 得 − t 12 + t 11 − t 22 = 0 ，所以 t 12 = 0 ， t 11 = t 22 。 当 a = b 时，由L的定义得 L ( A ) = ( 0 − c 0 0 ) + f ( A ) ，另一方面 L ( A ) = ( 0 c ( t 11 − t 22 ) 0 0 ) + f ( A ) ，因此 t 11 − t 22 = − 1 ，矛盾。故L不具有形式 L ( A ) = T A − A T + f ( A ) 。 定理2.6 i) 若 A = M n 1 ( ℂ ) ⊕ M n 2 ( ℂ ) ⊕ ⋯ ⊕ M n m ( ℂ ) ， Z ( A ) 为 A 的中心， I = I n 1 ⊕ I n 2 ⊕ ⋯ ⊕ I n m 为 A 的单位元， L : A → A 为2-局部Lie导子，则存在 T ∈ A 及映射 τ : A → Z ( A ) 使得 L ( A ) = [ T ， A ] + τ ( A ) ， ∀ A ∈ A ，其中 τ ( A + F ) = τ ( A ) ， F = [ A ， B ] ， ∀ A ， B ∈ A 。 ii) 若 A = T n 1 ( ℂ ) ⊕ T n 2 ( ℂ ) ⊕ ⋯ ⊕ T n m ( ℂ ) ， Z ( A ) 为 A 的中心， I = I n 1 ⊕ I n 2 ⊕ ⋯ ⊕ I n m 为 A 的单位元， L : A → A 为2-局部Lie导子且对 ∀ A ， B ∈ A ， L ( A + B ) − L ( A ) − L ( B ) ∈ Z ( A ) ，则存在 T ∈ A 及映射 τ : A → Z ( A ) 使得 L ( A ) = [ T ， A ] + τ ( A ) ， ∀ A ∈ A ，其中 τ ( A + F ) = τ ( A ) ， F = [ A ， B ] ， ∀ A ， B ∈ A 。特别地，当 L ( A + B ) = L ( A ) + L ( B ) 时， τ 为线性映射。 证明 为方便讨论，令 P k = 0 ⊕ ⋯ ⊕ I n k ⊕ 0 ⊕ ⋯ ⊕ 0 ， P k ⊥ = I − P k 。 对 ∀ A ， B ∈ A ，存在Lie导子 L A P k ⊥ ， B P k 使得 L ( A P k ⊥ ) = L A P k ⊥ ， B P k ( A P k ⊥ ) ， L ( B P k ) = L A P k ⊥ ， B P k ( B P k ) ， 0 = L A P k ⊥ ， B P k [ A P k ⊥ ， B P k ] = [ L A P k ⊥ ， B P k ( A P k ⊥ ) ， B P k ] + [ A P k ⊥ ， L A P k ⊥ ， B P k ( B P k ) ] = [ L ( A P k ⊥ ) ， B P k ] + [ A P k ⊥ ， L ( B P k ) ] ， 即 0 = L ( A P k ⊥ ) B P k − B P k L ( A P k ⊥ ) + A P k ⊥ L ( B P k ) − L ( B P k ) A P k ⊥ ，两边同乘以 P k 得 P k L ( A P k ⊥ ) B P k = B P k L ( A P k ⊥ ) P k ，因此存在 f k ( A P k ⊥ ) ∈ ℂ P k 使得 L ( A P k ⊥ ) P k = f k ( A P k ⊥ ) 。 (4) 根据2-局部Lie导子的定义，对 ∀ A ∈ A 和 A P k ，存在 T ∈ A 和线性映射 g : A → Z ( A ) 使得 L ( A ) = [ T ， A ] + g ( A ) ， L ( A P k ) = [ T ， A P k ] + g ( A P k ) ， 对 ∀ A ∈ A 和 A P k ⊥ ，存在 S ∈ A 和线性映射 h : A → Z ( A ) 使得 L ( A ) = [ S ， A ] + h ( A ) ， L ( A P k ⊥ ) = [ S ， A P k ⊥ ] + h ( A P k ⊥ ) ， 则 [ T ， A ] + g ( A ) = [ S ， A ] + h ( A ) ，即 ∑ k = 1 m ( [ T P k ， A P k ] + g ( A ) P k ) = ∑ k = 1 m ( [ S P k ， A P k ] + h ( A ) P k ) ，故 ∑ k = 1 m [ T P k − S P k ， A P k ] = ∑ k = 1 m ( h ( A ) − g ( A ) ) P k ，由于 ( h ( A ) − g ( A ) ) P k ∈ ℂ P k ，则由引理2.1可得 [ T P k − S P k ， A P k ] = 0 ， g ( A ) P k = h ( A ) P k ， [ T − S ， A ] = 0 ， g ( A ) = h ( A ) 。故 L ( A ) = [ T ， A ] + g ( A ) = [ T ， A P k ] + g ( A P k ) + [ T ， A P k ⊥ ] + g ( A P k ⊥ ) = [ T ， A P k ] + g ( A P k ) + [ S ， A P k ⊥ ] + h ( A P k ⊥ ) + g ( A P k ⊥ ) − h ( A P k ⊥ ) = L ( A P k ) + L ( A P k ⊥ ) + g ( A P k ⊥ ) − h ( A P k ⊥ ) ， 则由此式和(4)得 L ( A ) P k = L ( A P k ) P k + L ( A P k ⊥ ) P k + ( g ( A P k ⊥ ) − h ( A P k ⊥ ) ) P k = L ( A P k ) P k + f k ( A P k ⊥ ) + ( g ( A P k ⊥ ) − h ( A P k ⊥ ) ) P k 。 (5) i) 当 A = M n 1 ( ℂ ) ⊕ M n 2 ( ℂ ) ⊕ ⋯ ⊕ M n m ( ℂ ) 时，令 A k = 0 ⊕ ⋯ ⊕ M n k ( ℂ ) ⊕ ⋯ ⊕ 0 ，由于L为2-局部Lie导子，故 L ( A P k ) P k : A k → A k 也是2-局部Lie导子，由定理2.3知，存在 T k ∈ A k 及映射 l k : A k → ℂ P k 使得 L ( A P k ) P k = [ T k ， A P k ] + l k ( A P k ) ， (6) 令 τ k ( A ) P k : A → ℂ P k 为 τ k ( A ) P k = f k ( A P k ⊥ ) + ( g ( A P k ⊥ ) − h ( A P k ⊥ ) ) P k + l k ( A P k ) ， 则由(5)和(6)得 L ( A ) P k = [ T k ， A P k ] + τ k ( A ) P k 。 (7) 令 τ : A → Z ( A ) ， τ ( A ) = ∑ k = 1 m τ k ( A ) P k ， T = ∑ k = 1 m T k ，则由(7)得， L ( A ) = ∑ k = 1 m L ( A ) P k = ∑ k = 1 m ( [ T k ， A P k ] + τ k ( A ) P k ) = [ T ， A ] + τ ( A ) ， ∀ A ∈ A 。 (8) 对 ∀ A ， B ∈ A ，令 F = [ A ， B ] ，则存在 T A + F ， A ∈ A 及线性映射 ω A + F ， A : A → Z ( A ) ， ω A + F ， A ( F ) = 0 ，使得 τ ( A + F ) = L ( A + F ) − [ T ， A + F ] = [ T A + F ， A ， A + F ] + ω A + F ， A ( A + F ) − [ T ， A + F ] = [ T A + F ， A − T ， A + F ] + ω A + F ， A ( A + F ) 另一方面， τ ( A ) = L ( A ) − [ T ， A ] = [ T A + F ， A ， A ] + ω A + F ， A ( A ) − [ T ， A ] = [ T A + F ， A − T ， A ] + ω A + F ， A ( A ) 因此 τ ( A + F ) − τ ( A ) = [ T A + F ， A − T ， F ] + ω A + F ， A ( A + F ) − ω A + F ， A ( A ) = [ T A + F ， A − T ， F ] + ω A + F ， A ( F ) = [ T A + F ， A − T ， F ] ， ( τ ( A + F ) − τ ( A ) ) P k = [ T A + F ， A − T ， F ] P k 。由引理2.1知 τ ( A + F ) P k = τ ( A ) P k ， τ ( A + F ) = τ ( A ) 。因此 L ( A ) = T A − A T + τ ( A ) ，其中 τ ( A + F ) = τ ( A ) ， F = [ A ， B ] ， ∀ A ， B ∈ A 。 ii) 当 A = T n 1 ( ℂ ) ⊕ T n 2 ( ℂ ) ⊕ ⋯ ⊕ T n m ( ℂ ) 时，若对 ∀ A ， B ∈ A ， L ( A + B ) − L ( A ) − L ( B ) ∈ Z ( A ) ，则 L ( A + B ) P k − L ( A ) P k − L ( B ) P k ∈ ℂ P k ， L ( ( A + B ) P k ) − L ( A P k ) − L ( B P k ) ∈ ℂ P k 。 (9) 不妨设 g ( A ) = L ( A ) − L ( A P k ) − L ( A P k ⊥ ) ∈ Z ( A ) ，则由(5)有 L ( A ) P k = L ( A P k ) P k + L ( A P k ⊥ ) P k + g ( A ) P k = L ( A P k ) P k + f k ( A P k ⊥ ) + g ( A ) P k ， 令 A k = 0 ⊕ ⋯ ⊕ T n k ( ℂ ) ⊕ ⋯ ⊕ 0 ，因为L为2-局部Lie导子，所以 L ( A P k ) P k : A k → A k 也是2-局部Lie导子，由(9)和定理2.4知，存在 T k ∈ A k 和映射 l k : A k → ℂ P k 使得(6)成立。同(i)的证明类似，令 τ k ( A ) P k = f k ( A P k ⊥ ) + g ( A ) P k + l k ( A P k ) ，则(7)成立。令 τ ( A ) = ∑ k = 1 m τ k ( A ) P k ， T = ∑ k = 1 m T k ，则 L ( A ) 具有形式(8)，且 τ ( A + F ) = τ ( A ) ， F = [ A ， B ] ， ∀ A ， B ∈ A 。 当 L ( A + B ) = L ( A ) + L ( B ) 时， L ( A ) = L ( A P k + A P k ⊥ ) = L ( A P k ) + L ( A P k ⊥ ) ， L ( A ) P k = L ( A P k ) P k + L ( A P k ⊥ ) P k = L ( A P k ) P k + f k ( A P k ⊥ ) = [ T k ， A P k ] + l k ( A P k ) + f k ( A P k ⊥ ) ， 令 τ k ( A ) P k = f k ( A P k ⊥ ) + l k ( A P k ) ，则 L ( A ) P k = [ T k ， A P k ] + τ k ( A ) P k 。令 τ ( A ) = ∑ k = 1 m τ k ( A ) P k ， T = ∑ k = 1 m T k ，则对 ∀ A ∈ A ， L ( A ) 为形式(8)，且由于 L ( A + B ) = L ( A ) + L ( B ) ，故 T ( A + B ) − ( A + B ) T + τ ( A + B ) = T A − A T + τ ( A ) + T B − B T + τ ( B ) ， τ ( A + B ) = τ ( A ) + τ ( B ) ，且由引理2.2， τ 为线性映射。 □