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user: 2. 半主动控制隔振振动系统分析 2.1. 系统模型 含有半主动控制隔振的单自由度振动系统如图1所示，其中线性刚度 k 1 线性阻尼 c 1 和伺服传动装置(摩擦力 F D ( x ， x ˙ ) )与主系统质量块 m 1 相连，非线性能量阱由非线性刚度 k 2 线性阻尼 c 2 和小质量块 m 2 组成。 图1. 半主动控制隔振振动系统模型 简谐激励u作用在系统的底座上，其中A为位移幅值，f为激励频率。 x 1 和 x 2 分别为主系统质量块 m 1 和非线性能量阱质量块 m 2 的位移。根据牛顿第二定律系统的运动方程如下所示： m 1 x ¨ 1 + c 1 ( x ˙ 1 − u ˙ ) + k 1 ( x 1 − u ) + F D ( x 1 − u ， x ˙ 1 − u ˙ ) + c 2 ( x ˙ 1 − x ˙ 2 ) + k 2 ( x 1 − x 2 ) 3 = 0 m 2 x ¨ 2 + c 2 ( x ˙ 2 − x ˙ 1 ) + k 2 ( x 2 − x 1 ) 3 = 0 u = A sin ( ω t ) = A sin ( 2 π f t ) (1) 本文中的半主动控制隔振主要由一个伺服传动装置完成。 F D ( x ， x ˙ ) 为可控库伦摩擦阻尼力，主要由伺服传动装置调节施加在摩擦板上的法向力来来随时控制其阻尼力的大小 [ 13 ] 。本文采用逻辑控制原理中的平衡逻辑控制对振动系统进行半主动控制，其主要目的是控制库伦摩擦阻尼力 F D ( x ， x ˙ ) 使其尽可能平衡系统的弹簧力，从而降低从底座传递到主系统的振动 [ 7 ] 。具体的控制原理是：当弹簧力方向与阻尼力方向相反时，控制器便开始工作，使弹簧力和阻尼力达到平衡；当弹簧力与阻尼力方向相同时，控制器停止工作，阻尼力变为零。相比于主动控制，伺服传动装置仅需要少部分电量便可以进行振动控制调节。 F D ( x 1 − u ， x ˙ 1 − u ˙ ) = { 2 α k 1 | x 1 − u | sgn ( x ˙ 1 − u ˙ ) ，     ( x 1 − u ) ( x ˙ 1 − u ˙ ) < 0 0 ，                                                                 ( x 1 − u ) ( x ˙ 1 − u ˙ ) ≥ 0 (2) 其中参数 α 为增益，主要通过阻尼力确定在振动控制开启时对弹性力的抵消程度 [ 7 ] 。 将方程(2)带入到方程(1)的动力学方程中，经过简化后可得到： m 1 x ¨ 1 + c 1 ( x ˙ 1 − u ˙ ) + ( 1 - α ) k 1 ( x 1 − u ) + α k 1 | x 1 − u | sgn ( x ˙ 1 − u ˙ ) + c 2 ( x ˙ 1 − x ˙ 2 ) + k 2 ( x 1 − x 2 ) 3 = 0 m 2 x ¨ 2 + c 2 ( x ˙ 2 − x ˙ 1 ) + k 2 ( x 2 − x 1 ) 3 = 0 (3) 2.2. 系统减振分析 振动系统参数使用 [ 14 ] 中的数据，其中 m 1 = 60   kg ， m 2 = 7   kg ， k 1 = 2.1346 × 10 6 N / m ， k 2 = 500   N / m 3 ， c 1 = 10   N ⋅ s / m ， c 2 = 1000   N ⋅ s / m ， A = 0.002   m 。使用龙格－库塔法在MATLAB中对方程(3)进行了数值仿真分析。在固有频率附近 f = 30   Hz 处对振动系统进行了时域分析和主系统阻尼能量耗散分析，并与被动控制( α = 0 )进行对比进一步研究了半主动控制( α = 0.45 )对系统减振的影响。在如图2所示的时域对比分析中，可以看出半主动控制系统比被动控制系统具有明显更好的减振性能。 系统在受到外界激励后开始振动，其本质是能量由外界向系统内部传递的过程。通过对系统能量传递过程的分析，从能量的角度评价系统的减振性能。根据动能、重力势能和弹性势能公式，可以得到系统结构的能量吸收如下所示 [ 14 ] ： 图2. 时域对比分析 T PS ( t ) = 1 2 m 1 x ˙ 1 2 ( t ) ； V PS ( t ) = 1 2 k 1 [ x 1 ( t ) − u ( t ) ] 2 (4) T NES ( t ) = 1 2 m 1 x ˙ 2 2 ( t ) ； V NES ( t ) = 1 4 k 2 [ x 1 ( t ) − x 2 ( t ) ] 4 (5) W PS ( t ) = ∫ 0 t c 1 [ x ˙ 1 ( t ) − u ˙ ( t ) ] 2 d t + ∫ 0 t α k 1 [ x ˙ 1 ( t ) − u ˙ ( t ) ] × | x 1 ( t ) − u ( t ) | × sgn [ x ˙ 1 ( t ) − u ˙ ( t ) ] d t (6) W NES ( t ) = ∫ 0 t c 2 [ x ˙ 1 ( t ) − x ˙ 2 ( t ) ] 2 d t (7) W in ( t ) = T ps ( t ) + V ps ( t ) + W ps ( t ) + T NES ( t ) + V NES ( t ) + W NES ( t ) (8) 其中 T PS 和 V PS 分别是主系统的动能和弹性势能， T NES 和 V NES 分别是非线性能量阱的动能和弹性势能， W PS 和 W NES 分别是主系统阻尼和非线性能量阱阻尼的能量耗散， W in 是由外界输入到系统的总能量。其中主系统阻尼在振动过程中耗散的能量占系统总能量的百分比如下所示： η PS ， W ( t ) = W PS ( t ) W in ( t ) × 100 % (9) 图3为被动控制时 η PS ， W 随时间的变化曲线，可以看出在系统刚开始振动的短暂时间主系统阻尼耗散的能量占系统总能量的百分比急速下降，最后经过10 s稳定在1.68%左右，系统中剩下的大部分能量被系统的其他减振组件(非线性能量阱)耗散掉。造成这种现象的原因主要是：当振动系统为被动控制时，系统在受到外界激励后的瞬间，振动能量由底部的基座传递到主系统，此瞬间主系统阻尼为主要能量耗散组件。然后很快主系统将振动能量传递给依附其的非线性能量阱，此后非线性能量阱开始在系统的能量耗散中占据主要作用，主系统阻尼耗散的能量在系统总能量的占比开始降低并逐渐趋于稳定值。 图3. 被动控制能量耗散分析 图4为半主动控制时 η PS ， W 随时间的变化曲线，可以看出在系统刚开始振动的短暂时间主系统阻尼耗散的能量占系统总能量的百分比急速下降后又逐渐上升，最后经过10 s稳定在94.5%左右，系统中的大部分能量被主系统阻尼(半主动控制)耗散掉。造成这种现象的原因主要是：当振动系统为半主动控制时，系统在受到外界激励后的瞬间，振动能量由底部的基座传递到主系统，此瞬间主系统阻尼为主要能量耗散组件。然后很快主系统将振动能量传递给依附其的非线性能量阱，非线性能量阱开始在系统的能量耗散中占据主要作用，主系统阻尼耗散的能量在系统总能量的占比开始降低。之后很快半主动控制装置采用平衡逻辑控制原理开始对系统进行振动控制，主系统阻尼(半主动控制)又开始在系统的能量耗散中占据主要作用并最后趋于稳定。这进一步说明了半主动控制在减振方向的优越性。 图4. 半主动控制能量耗散分析 传递率是衡量系统减振性能的一个重要指标。在非线性振动系统中，传递率可以在一定程度上消除激励振幅的影响 [ 15 ] 。传递率越大，系统的减振能力就越弱。其定义为振动系统位移与外部激励位移的均方根(RMS)比值 [ 16 ] ： T x = RMS ( x 1 ) RMS ( u ) (10) 图5为半主动控制和被动控制时的系统的传递率对比分析曲线，可以看出在低频段(0~15 Hz)时，半主动控制系统和被动控制系统具有几乎相同的减振性能。然后随着频率的增大，半主动控制系统相比于被动控制系统具有明显更好的减振性能。 图5. 传递率对比分析