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user: 5. 回购–成本损失分担契约 根据假设，在随机产出的环境下，当产出量超过订购量时，供应商产生积压损失；而当产出量不能满足的订购量时，供应商从现货市场够买补足，产生缺货损失。为了协调供应链，一方面，为激励供应商满足零售商的订购量，零售商分担供应商的缺货损失，损失分担系数为 ， 0 ≤ α 1 ≤ 1 ，且分担供应商的生产成本，成本分担系数为 β 1 ， 0 ≤ β 1 ≤ 1 。另一方面，为了鼓励零售商多订货，在销售季节末，供应商以单位回购价格b回购零售商剩余产品，从而降低零售商因订购过多而产生的损失。 5.1. 供应商的决策 假设零售商的订购量是q，供应商决策使其利润最优计划生产量R。供应商的收益是销售收入减去生产成本和回购费用，其损失为采购现货成本。供应商的收益 S R a 2 和损失 S L a 2 为 S R a 2 = w q − ( 1 − β 1 ) c R − b [ q − x ] + ， S L a 2 = ( 1 − α 1 ) v [ q − y R ] + . 其效用函数为 U S 2 = S R a 2 − η S L a 2 ，即 U S 2 = w q − ( 1 − β 1 ) c R − b [ q − x ] + − η v ( 1 − α 1 ) [ q − y R ] + . 其中 η 是供应商的风险厌恶系数， η ≥1 。供应商的期望效用函数为 E U S 2 = w q − ( 1 − β 1 ) c R − b ∫ 0 q ( q − x ) f ( x ) d x − η v ( 1 − α 1 ) ∫ 0 q / R R G ( y ) d y . (6) 命题4 当零售商的订购量为q时，如果 ( 1 − β 1 ) c ≤ η v μ y ( 1 − α 1 ) 成立，供应商的最优计划生产量 R = k 2 q ，且 k 2 满足 ∫ 0 1 / k 2 y g ( y ) d y = ( 1 − β 1 ) c η v ( 1 − α 1 ) . (7) 证明：经计算， ∂ E U S 2 ∂ R = − ( 1 − β 1 ) c + η v ( 1 − α 1 ) ∫ 0 q / R y g ( y ) d y . 当 0 ≤ z ≤ 1 时，定义函数 H ( z ) = − ( 1 − β 1 ) c + η v ( 1 − α 1 ) ∫ 0 z y g ( y ) d y ， 则 H ( 1 ) = − ( 1 − β 1 ) c + η v ( 1 − α 1 ) μ y ， H ( 0 ) = − ( 1 − β 1 ) c ，由 ( 1 − β 1 ) c ≤ η v μ y ( 1 − α 1 ) 可得到： H ( 1 ) > 0 ， H ( 0 ) < 0 。因此， H ( z ) = 0 存在唯一解 z 2 。 令 z 2 = 1 / k 2 ，将 R = k 2 q 代入方程 ∂ E π c ( q ， R ) / ∂ R = 0 ，得到k 2 满足(7)。 由 g ( x ) > 0 及 ∂ 2 E U S 2 / ∂ R 2 = − η v ( 1 − α 1 ) q 2 R 3 g ( q / R ) < 0 ， E U S 2 是关于R的凹函数，所以当零售商的 订购量为q时，供应商的最优生产量满足 R = k 2 q 。 5.2. 零售商的决策 零售商的收益 R R a 2 为销售收入加上回购收入，再减去采购成本、分担的部分生产成本及分担供应商的部分损失，即 R R a 2 = p min { q ， x } + b [ q − x ] + − w q − β 1 c R − α 1 v [ q − y R ] + . 零售商的损失 R L a 2 为缺货损失，即 R L a 2 = s [ x − q ] + ， 于是，零售商的效用函数为 U R 2 = R R a 2 − λ R L a 2 ，即 U R 2 = p min { q ， x } + b [ q − x ] + − w q − β 1 c R − α 1 v [ q − y R ] + − λ ( s [ x − q ] + ) ， 其中 λ 是零售商的风险厌恶系数， λ ≥ 1 。零售商的期望效用函数是 E U R 2 = ( p + λ s − w ) q − β 1 c k 2 q − λ s μ x − ( p + λ s − b ) ∫ 0 q F ( x ) d x − α 1 v ∫ 0 1 / k 2 k 2 q G ( y ) d y . (8) 命题5 在联合契约下，当 R = k 2 q 且 b − w < β 1 c k 2 + α 1 v ∫ 0 1 / k 2 k 2 G ( y ) d y < p + λ s − w (9) 时，零售商的最优订购量 q 2 满足 ( p + λ s − b ) F ( q 2 ) = p + λ s − w − β 1 c k 2 − α 1 v ∫ 0 1 / k 2 k 2 G ( y ) d y . (10) 证明：将 R = k 2 q 代入 E U R 2 ，求关于q的一阶导数得： ∂ E U R 2 / ∂ q = p + λ s − w − β 1 c k 2 − ( p + λ s − b ) F ( q ) − α 1 v ∫ 0 1 / k 2 k 2 G ( y ) d y . 将上式右边记为 T ( q ) 。因为 是分布函数，所以 T ( 0 ) = p + λ s − w − β 1 c k 2 − α 1 v ∫ 0 1 / k 2 k 2 G ( y ) d y ， T ( + ∞ ) = b − w − β 1 c k 2 b − α 1 v ∫ 0 1 / k 2 k 2 G ( y ) d y ， 当(9)成立时， T ( 0 ) < 0 且 T ( + ∞ ) > 0 ，于是方程 T ( q ) = 0 存在唯一解 q 2 满足(10)。 由 f ( x ) 是分布函数及 ∂ 2 E U R 2 / ∂ q 2 = − ( p + λ s − b ) f ( q ) < 0 ， E U R 2 是关于q的凹函数。 于是，在联合契约下，零售商的最优订购量 q 2 满足(10)。 根据命题4，5可以得到，供应商的最优订购量为 R 2 = k 2 q 2 。 简单计算可得下面结论： 结论3 供应商的最优计划生产量 R 2 随着风险厌恶系数 η 和现货成本v的增加而增加；随着成本c，损失分担系数 α 1 和成本分担系数 β 1 的增加而减少。 结论4 零售商的最优订购量 q 2 随着风险厌恶系数 λ ，单位缺货损失s，零售价格p、回购系数b的增大而增大；随着批发价w，损失分担系数 α 1 和成本分担系数 β 1 的增大而减小。 5.3. 供应链协调 命题6 如果参数 ( b ， α 1 ， β 1 ) 满足 b − w < β 1 c k 2 + α 1 v ∫ 0 1 / k 2 k 2 G ( y ) d y < p + λ s − w (11) 且 α 1 = 1 + ( β 1 − 1 ) / η (12) (13) 则在联合契约下，供应链可以实现协调。 证明：根据定义，要协调供应链，必须有： q 2 = q 1 c 和 R 2 = R 1 c 。 由 q 2 = q 1 c 和 R 2 = R 1 c ，命题1，4和5，得到： k 2 = k 1 c 。 由 q 2 = q 1 c ，命题1和5得 F − 1 { p + λ s − w − β 1 c k 2 − α 1 v ∫ 0 1 / k 2 k 2 G ( y ) d y p + λ s − b } = F − 1 ( p + s − v G ( 1 / k 1 c ) p + s ) ; (14) 由 R 2 = R 1 c ，命题1和4得 (15) 整理即得(12)和(13)。 因此，当参数 ( b ， α 1 ， β 1 ) 满足(11)，(12)和(13)时，供应链系统的期望利润达到最优，且供应链和零售商的期望效用最优，即供应链实现协调。若要供应链实现完美协调，还应该调整联合契约参数，使得供应链成员的期望利润不低于保留值。 根据简单计算可得： 结论5 当风险厌恶系数 λ 和 η 给定时， α 1 关于 β 1 的增大而增大，b关于 β 1 的增大而增大。 结论6 其他条件不变时， α 1 关于风险厌恶系数 η 的增大而增大，b关于风险厌恶系数 λ 的增大而减小。 5.4. 数值算例 模型参数 p = 22 ， v = 13.5 ， s = 1 ， c = 6.2 ， w = 16.5 。假设市场需求x服从 [ 0 ， 2000 ] 上的均匀分布，生产率y服从 [ 0 ， 1 ] 上的均匀分布， f ( x ) = 1 / 2000 ， F ( x ) = x / 2000 ， μ x = 1000 ， g ( y ) = 1 ， G ( y ) = y ， μ y = 0.5 。 在集中决策下，零售商的最优订购量 q 1 c = 874.9291 ，供应商的最优生产量 ，供应链系统的最优期望利润是 E π c = 3401.6305 。在批发价契约( )下，零售商和供应商的期望利润分别为 E π r 1 = 834 .9942 和 E π s 1 = 2047.5220 。 首先，验证命题6的结论。取 λ = 1.3 ， η = 1.2 。在回购-成本损失分担契约下，将模型参数代入(11)，(12)和(13)，经计算知：契约参数 ( b ， α 1 ， β 1 ) 的满足 α 1 = 0.1667 + 0.8333 β 1 ， b = 27.111 β 1 + 10.221 且 0 ≤ β 1 ≤ 0.4610 . 让 B 1 在 [ 0 ， 0.4610 ] 取的值，分别计算 α 1 ，b， q 2 ， R 2 ，零售商和供应商的期望利润( E π r 和 E π s )及期望效用( E U R 2 和 E U S 2 )，得到 q 2 = q 1 c = 874.9291 ， R 2 = R 1 c = 912.9120 ，其余结果如表1所示。 Table 1 The impact of contract coefficients on the expected utility and expected profits of supply chain member β 1 α 1 b E π r E π s E U R 2 0.0000 0.1667 10.2205 1298.0216 2103.6089 1203.1000 1160.2665 0.0461 0.2051 11.4703 1058.8372 2342.7933 963.9033 1442.9390 0.0922 0.2435 12.7202 819.6527 2581.9778 724.7189 1725.6116 0.1383 0.2819 13.9700 580.4682 2821.1622 485.5344 2008.2841 0.1844 0.3203 15.2198 341.2838 3060.3467 246.3499 2290.9567 0.2305 0.3588 16.4696 102.0993 3299.5312 7.1655 2573.6291 0.2766 0.3972 17.7194 −137.0851 3538.7156 −232.0190 2856.3017 0.3227 0.4356 18.9693 −402.2215 3803.8420 −471.2034 3138.9742 0.3688 0.4740 20.2191 −615.4541 4017.0846 −710.3879 3421.6468 0.4149 0.5124 21.4689 −854.6385 4256.2690 −949.5724 3704.3194 0.4610 0.5508 22.7187 −1093.8230 4495.4534 −1188.7568 3987.9919 表1. 契约系数对供应链成员期望效用和期望利润的影响 由表1可以看到：参数满足命题6的条件时， E π r 与 E π s 之和等于3401.6035，即 E π c 。因此，供应链得到协调。还可以看出：随着 β 1 的变大， α 1 和b逐步变大， E U R 2 和 逐步减少， E U S 2 和 E π s 逐步增加，即在协调的情况下，当成本分担系数增加时，损失系数和单位回购价也增加，零售商期望效用和期望利润逐步减少，而供应商的期望效用和期望利润则逐步增加。因此，要实现供应链完美协调，必须选取适当的成本分担系数的值，使得供应链成员的期望利润不小于保留值。例如，当保留值为批发价契约( w = 16.5 )下的期望利润时，取 β ≤ 0.0461 ，则有 E π r ≥ E π r 1 ， E π s ≥ E π s 1 ，此时，供应链可以实现完美协调。 其次，考察风险厌恶程度对联合契约参数取值的影响。在 λ = 1.5000 且 η 在 [ 1.0000 ， 2.0000 ] 取值， λ 在 [ 1.0000 ， 2.0000 ] 取值且 η = 1.5000 和 λ ， η 均在在 [ 1.0000 ， 2.0000 ] 取值的三种情况下，分别计算满足命题6条件的成本分担系数 β 1 的取值范围，结果如表2。由表2可知：在 λ 或 β 1 取值不变、另一个变化的情况下，随着风险厌恶系数不断增大，成本分担系数 β 1 取值范围也不断扩大；但是，当在 λ 和 η 的取值逐步变大时，成本分担系数 β 1 取值范围先是逐步变大然后逐步变小。这说明供应链成员的风险厌恶程度对协调契约的参数取值是有影响的。 Table 2 Impact of risk aversion coefficient on contract parameter λ = 1.5 η = 1.5 η β 1 λ β 1 λ η β 1 1.0000 [0， 0.4310] 1.0000 [0， 0.4236] 1.0000 1.0000 [0， 0.3935] 1.2000 [0， 0.4830] 1.2000 [0， 0.4431] 1.3000 1.2000 [0， 0.4610] 1.4000 [0， 0.5102] 1.4000 [0， 0.4626] 1.5000 1.4000 [0， 0.5102] 1.6000 [0， 0.5178] 1.6000 [0， 0.4821] 1.7000 1.7000 [0， 0.5331] 1.8000 [0， 0.5677] 1.8000 [0， 0.5016] 1.8000 1.9000 [0， 0.5288] 2.0000 [0， 0.6043] 2.0000 [0， 0.5211] 1.9000 2.0000 [0， 0.4207] 表2. 风险厌恶系数对契约参数的影响