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user: 2. 基本理论 2.1. 模糊金融时间序列 模糊理论在改进模型预测方面具有广阔的应用前景，对称模糊数 [ 23 ] 是最常用的模糊变量。通常，对称模糊数为 a = ( a ， d ) L ，其中a和d分别表示中心和展形，隶属度函数如下： A ( X ) = L ( x − a d ) ，                 d > 0 (1) 其中， L ( ⋅ ) 是 R 1 在 [ 0，1 ] 模糊数的隶属函数，满足1) L ( x ) = L ( − x ) ，2) L ( 0 ) = 1 ，3)在 [ 0 ， + ∞ ] 上递减。如果 d = 0 ，对称模糊数A退化为清晰值a。 对称模糊数最常见的隶属度函数是对称三角模糊数，记作 A = ( a ， d ) ，其中L的形式为 L ( x ) = max ( 0 ， 1 − | x | ) 。 模糊时间序列的概念最早由Song和Chissom [ 24 ] 提出，并在多个领域得到了应用。 定义1 设 R 1 的子集 Y ( t ) ( t = ⋯ ， 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ) 是定义模糊集 f i ( t ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ) 的论域， F ( t ) 是 f i ( t ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ) 的集合，则 F ( t ) 称为 Y ( t ) ( t = ⋯ ， 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ) 上的模糊时间序列。 定义2 假定 {   [ x t L ， x t U ] ， t = 1 ， 2 ， ⋯ ， n   } 是金融产品价格的区间序列，相对应的模糊描述为 {   [ x t ， s t ] ， t = 1 ， 2 ， ⋯ ， n   } ，称为模糊金融时间序列，其中 x t = ( x t L + x t U ) / 2 ， s t = ( x t L − x t U ) / 2 。 定义 3 假设 {   [ x t L ， x t U ] ， t = 1 ， 2 ， ⋯ ， n   } 是金融产品价格的区间序列，我们定义模糊金融收益序列 {   r t ˜ ，   t = 1 ， 2 ， ⋯ ， n   } 如下: r t ˜ = [ ln x t U ， ln x t L ] − [ ln x t − 1 L ， ln x t − 1 U ] = [ ln x t L x t − 1 U − ln x t U x t − 1 L ] . (2) 模糊描述为 { ( c t ， u t ) ， t = 2 ， ⋯ ， n } ，其中， c t = ( ln x t L x t − 1 U + ln x t U x t − 1 L ) / 2 反映金融资产收益率的集中趋势， u t = ( ln x t L x t − 1 U − ln x t U x t − 1 L ) / 2 反映金融资产收益率的非随机波动。 定义4 当中心序列 { c t } 为平稳时， { r t ˜ } 称为条件平稳模糊金融收益率序列。 将区间数据转化的对称的三角模糊数，如图1所示。 图1. 区间数据向对称三角模糊数转换 2.2. 模糊回归模型 设M维模糊响应变量Y和m个非模糊解释变量 X i ， ⋯ ， X m ，记为 ( Y j ， x j ) ， j = 1 ， ⋯ ， M ，其中 Y j = ( y j ; e j ) L ， x j = ( x j 1 ， ⋯ ， x j m ) ′ ( x j 1 = 1 ) 。建立如下所示的模糊线性回归(FLR)模型： Y j = A 1 x j 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + A m x j m = A x j ，         j = 1 ， ⋯ ， M ， (3) 其中未知参数 A   = ( A 1 ， ⋯ ， A m ) ， A 1 ， ⋯ ， A m 是对称模糊数， A i = ( a i ， d i ) ，     i = 1 ， ⋯ ， m 。根据扩张定理，对称模糊输出变量Y如下所示： Y j = ( a 1 ， d 1 ) L x j 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + ( a m ， d m ) L x j m = ( a ′ x j ， d ′ | x j | ) L ，         j = 1 ， ⋯ ， M ， (4) 其中， a = ( a 1 ， ⋯ ， a m ) ′ ， d = ( d 1 ， ⋯ ， d m ) ′ ， | x j | = ( | x j 1 | ， ⋯ ， | x j m | ) ′ 。 模糊线性回归模型由Tanaka等 [ 23 ] 提出，描述了真实值和估计输出之间的关系，通过，将模糊回归系数求解问题转化为一个线性规划问题。以数据集模糊输出的展形估计值最小为目标函数Tanaka (1987)，系数估计问题的可以表示为： min a ， d                     J = ∑ j = 1 M d ′ | x j | s .     t   .               { a ′ x j + | L − 1 ( h ) | d ′ | x j | ≥ y j + | L − 1 ( h ) | e j ， a ′ x j − | L − 1 ( h ) | d ′ | x j | ≤ y j − | L − 1 ( h ) | e j ， d i ≥ 0 ，     i = 1 ， ⋯ ， m ;     j = 1 ， ⋯ ， m   . (5) 其中h是一个阈值， h ∈ [ 0 ， 1 ] ，表示分配给估计模糊输出包括观测输出的关系程度。 Diamond [ 9 ] 利用三角模糊数的水平紧集之间的距离提出了一种最小二乘方法，通过最小化平方欧几里得距离，得到最小二乘回归估计： Q = ∑ j = 1 M ( y j − a ′ x j ) 2 − ∑ j = 1 M ( e j − d ′ | x j | ) 2 . (6) 得到 a ， d 的估计如下： { a ^ = ( X ′ X ) − 1 X ′ y d ^ = ( | X | ′ | X | ) − 1 | X | ′ e (7) 其中， X = ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x M ) ′ ， | X | = ( | x 1 | ， | x 2 | ， ⋯ ， | x M | ) ′ ， y = ( y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y M ) ′ ， e = ( e 1 ， e 2 ， ⋯ ， e M ) ′ 。 其回归区间由给定度量空间中给定数据的最小距离推导而来，通常比Tanaka等人的方法得到的区间更窄，且在计算复杂度方面，Tanaka等人的模型优于LS方法。因此，从预测的角度来看。LS方法具有较好的优越性，从计算角度看，LP方法更有效。 LP方法和LS方法不是稳健的，即使观测值与估计值有很小的误差，大量的数据也会有很大的偏差，会是参数估计产生失真现象。随后，有越来越多的学者研究FLR模型 [ 25 ] - [ 30 ]。 2.3. 概率神经网络 概率神经网络是由Specht [ 31 ] 提出的，它是一种基于监督学习算法的前馈人工神经网络，是基于贝叶斯最小风险准则开发的，在缩短训练过程的计算时间和解决非线性问题方面具有良好的性能。它一般由四层组成，即输入层、模式层、求和层和输出层。 对于输入向量 X = ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ) ，在输入层，该向量被分为y类， y ∈ { y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y s } 。一个简单的概率神经网络结构如图2所示，包含n个输入变量和2个类，其中 N 1 个训练例属于第1类， N 2 个训练例属于第2类。对于输入向量 X ，每一类 y j ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ) 的概率密度函数使用高斯径向基函数进行估计，概率密度函数 P y j ( X ) 如下所示： P y j ( X ) = 1 ( 2 π ) n / 2 σ n × 1 n j ∑ i = 1 n j exp [ − ( X − X j i ) T ( X − X j i ) 2 σ 2 ] (8) 其中 n j 为属于 y j 类的训练样本的个数， X j i 是 y j 类的第i个训练向量， σ 是一个平滑参数。输出层根据求和层输出将输入向量 X 分类为： C l a s s ( X ) = arg max { P y j ( X ) } (9) 其中， C l a s s ( X ) 是输入向量 X 的估计类 [ 32 ]。 概率神经网络能模拟神经系统的功能并解决实际中的复杂问题，它具有出色的分类能力；训练速度快，可以快速更新训练方案；具有很好的容错性，可以减轻异常值或可疑数据点的影响 [ 33 ]。 图2. 概率神经网络