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user: 2. BLICM的描述 我们考虑规则区域 Ω = [ 0 ， 1 ] × [ 0 ， 1 ] ，区间 [ 0 ， 1 ] 被分成M个不同的节点，区间 [ 0 ， 1 ] 也被分成N个不同 的节点。 为了提高计算精度，我们选则Chebyshev节点，切比雪夫节点计算公式如下： x i = − cos ( i − 1 M − 1 ) π ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， M ， t j = − cos ( j − 1 N − 1 ) π ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N . (3) 节点 ( x i ， t j ) 处的 u ( x ， t ) ， v ( x ， t ) 和 r ( x ， t ) 的重心插值可写为： u ( x ， t ) = ∑ i = 1 M ∑ j = 1 N ξ i ( x ) η j ( t ) u ( x i ， t j ) ， v ( x ， t ) = ∑ i = 1 M ∑ j = 1 N ξ i ( x ) η j ( t ) v ( x i ， t j ) ， r ( x ， t ) = ∑ i = 1 M ∑ j = 1 N ξ i ( x ) η j ( t ) r ( x i ， t j ) ， (4) 其中， ξ i ( x ) = ∏ k = 1 ， k ≠ i M ( x − x k ) ∏ k = 1 ， k ≠ i M ( x i − x k ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， M ， η j ( t ) = ∏ k = 1 ， k ≠ j N ( t − t k ) ∏ k = 1 ， k ≠ j N ( t j − t k ) ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 。 使用公式(4)，节点上函数 u ( x ， t ) 的l + k阶偏导数可表示为： ∂ l + k u ∂ x l ∂ t k = ∑ i = 1 M ∑ j = 1 N ξ i ( l ) ( x ) η j ( k ) ( t ) u ( x i ， t j ) ， l ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， ∂ l + k v ∂ x l ∂ t k = ∑ i = 1 M ∑ j = 1 N ξ i ( l ) ( x ) η j ( k ) ( t ) v ( x i ， t j ) ， l ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， ∂ l + k r ∂ x l ∂ t k = ∑ i = 1 M ∑ j = 1 N ξ i ( l ) ( x ) η j ( k ) ( t ) r ( x i ， t j ) ， l ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， (5) 在节点 ( x p ， t q ) 处，偏导数的函数值定义为： u ( l ， k ) ( x p ， t q ) = ∂ l + k u ( x p ， t q ) ∂ x l ∂ t k = ∑ i = 1 M ∑ j = 1 N ξ i ( l ) ( x p ) η j ( k ) ( t q ) u ( x p ， t q ) ， p = 1 ， 2 ， ⋯ ， M ; q = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ， v ( l ， k ) ( x p ， t q ) = ∂ l + k v ( x p ， t q ) ∂ x l ∂ t k = ∑ i = 1 M ∑ j = 1 N ξ i ( l ) ( x p ) η j ( k ) ( t q ) v ( x p ， t q ) ， p = 1 ， 2 ， ⋯ ， M ; q = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ， r ( l ， k ) ( x p ， t q ) = ∂ l + k r ( x p ， t q ) ∂ x l ∂ t k = ∑ i = 1 M ∑ j = 1 N ξ i ( l ) ( x p ) η j ( k ) ( t q ) r ( x p ， t q ) ， p = 1 ， 2 ， ⋯ ， M ; q = 1 ， 2 ， ⋯ ， N . (6) 令 x 0 = [ x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x M ] T ， t 0 = [ t 1 ， t 2 ， ⋯ ， t N ] T 分别定义为x轴和t轴，由张量型节点坐标组成的矩阵X和T 分别定义为： X = [ ( x 0 ) T ， ( x 0 ) T ， ⋯ ， ( x 0 ) T ] T ， T = [ t 0 ， t 0 ， ⋯ ， t 0 ] . (7) x ， t 是由矩阵 X ， T 拉伸的 ( N × M ) 维列向量： x = [ X 1 ， X 2 ， ⋯ ， X M × N ] T ，   t = [ T 1 ， T 2 ， ⋯ ， T M × N ] T . (8) 向量 x ， t 和向量 x 0 ， t 0 的分量之间的关系如下： X k = X ( i − 1 ) N + j = x i ，   T k = T ( i − 1 ) N + j = t j ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， M ; J = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ; k = 1 ， 2 ， ⋯ ， M × N . (9) 假设u和 u ( l ， k ) 是由 u ( x i ， t j ) 和 u ( l ， k ) ( x i ， t j ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， M ; j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ) 组成的列向量，即： u = [ u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u M × N ] T ，     u ( l ， k ) = [ u 1 ( l ， k ) ， u 2 ( l ， k ) ， ⋯ ， u M × N ( l ， k ) ] T ， u p = u ( X p ， T p ) ，     u p ( l ， k ) = u ( l ， k ) ( X p ， T p ) ，   p = 1 ， 2 ， ⋯ ， M × N . v = [ v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v M × N ] T ，     v ( l ， k ) = [ v 1 ( l ， k ) ， v 2 ( l ， k ) ， ⋯ ， v M × N ( l ， k ) ] T ， v p = v ( X p ， T p ) ，     v p ( l ， k ) = v ( l ， k ) ( X p ， T p ) ，   p = 1 ， 2 ， ⋯ ， M × N . r = [ r 1 ， r 2 ， ⋯ ， r M × N ] T ，     r p ( l ， k ) = [ r 1 ( l ， k ) ， r 2 ( l ， k ) ， ⋯ ， r M × N ( l ， k ) ] T ， r p = r ( X p ， T p ) ，     r p ( l ， k ) = r ( l ， k ) ( X p ， T p ) ，   p = 1 ， 2 ， ⋯ ， M × N . 因此，(4)可写成下列的矩阵形式： u ( l ， k ) = D ( l ， k ) u ，     v ( l ， k ) = D ( l ， k ) v ，     r ( l ， k ) = D ( l ， k ) r . (10) 在上面的公式中， D ( l ， k ) = C ( l ) ⊗ D ( k ) 是矩阵 C ( l ) 和 D ( k ) 的Kronecker乘积，也被称为在节点 { ( x i ， t j ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， M ; j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N } 的 ( l ， k ) 阶部分差分矩阵。 C ( l ) 是x方向节点上的l阶差分矩阵， D ( k ) 是t方向节点上的k阶差分矩阵。因此，(1)可写成以下矩阵形式： [ D ( 0 ， 1 ) − ε 1 D ( 2 ， 0 ) + α 1 I α 2 I α 3 I β 1 I D ( 0 ， 1 ) − ε 2 D ( 2 ， 0 ) + β 2 I β 3 I γ 1 I γ 2 I D ( 0 ， 1 ) − ε 3 D ( 2 ， 0 ) + γ 3 I ] [ u v r ] = [ f 1 f 2 f 3 ] (11) 将公式(3)代入初始边界条件(2)，我们可以得到关于 u ( x ， t ) ， v ( x ， t ) ， r ( x ， t ) 在 q = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 的初始边界条件的离散方程： ∑ i = 1 M ∑ j = 1 N ξ i ( x p ) η j ( 0 ) u i j = f 0 ( x p ) ， ∑ i = 1 M ∑ j = 1 N ξ ′ i ( x p ) η ′ j ( 0 ) v i j = g 0 ( x p ) ， ∑ i = 1 M ∑ j = 1 N ξ ″ i ( x p ) η ″ j ( 0 ) r i j = s 0 ( x p ) ， ∑ i = 1 M ∑ j = 1 N ξ i ( 0 ) η j ( t q ) u i j = f 1 ( t q ) ， ∑ i = 1 M ∑ j = 1 N ξ ′ i ( 0 ) η ′ j ( t q ) v i j = g 1 ( t q ) ， ∑ i = 1 M ∑ j = 1 N ξ ″ i ( 0 ) η ″ j ( t q ) r i j = s 1 ( t q ) ， ∑ i = 1 M ∑ j = 1 N ξ i ( 1 ) η j ( t q ) u i j = f 2 ( t q ) ， ∑ i = 1 M ∑ j = 1 N ξ i ′ ( 1 ) η ′ j ( t q ) v i j = g 2 ( t q ) ， ∑ i = 1 M ∑ j = 1 N ξ ″ i ( 1 ) η ″ j ( t q ) r i j = s 2 ( t q ) ， (12) 在本文中，我们用置换法来施加初始边界条件。