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user: 3. 一阶泊松随机系数混合算子整数值自回归时间序列模型 一阶泊松随机系数混合算子整值自回归模型(Po-RCMTINAR(1))被定义为： X t = α t ⋅ p X t − 1 + ε t ， t ≥ 2 (2) 这里 α t ⋅ p X t − 1 是由定义2.1给出的混合算子； { α t } 是[0，1)上独立同分布的随机序列具有概率分布 { P α } ； { ε t } 是服从参数为 λ 的泊松分布随机变量序列； X 1 、 { α t } 和 { ε t } 是相互独立的；对于 s > 0 ， { ε t } 与 α t ⋅ p X t − s 是相互独立的。令 E ( α t ) = α ， Var ( α t ) = σ α 2 ，并假设这些随机变量都是有限的。 下面研究模型中参数的统计性质。 模型的统计性质 1) E ( X t | X t − 1 ) = α X t − 1 + λ 2) E ( X t ) = λ 1 + α ，如果 E ( X 1 ) = λ 1 + α 3) Var ( X t | X t − 1 ， α t ) = α t ( 1 − 2 α t p + α t ) X t − 1 + λ 4) Var ( X t | X t − 1 ) = α X t − 1 − 2 p ( σ α 2 + α 2 ) X t − 1 + ( σ α 2 + α 2 ) X t − 1 2 + λ 5) Var ( X t ) = b 1 − ( σ α 2 + α 2 ) ，其中 b = α λ 1 − α − ( 1 − 2 p ) ( σ α 2 + α 2 ) λ 1 − α + σ α 2 λ 2 1 − α + λ ，如果 Var ( X t ) = b 1 − ( σ α 2 + α 2 ) 6) E ( X t + K | X t ) = α k X t + λ ( 1 − α k ) 1 − α 7) Cov ( X t + k ， X t ) = α k V a r ( X t ) ， k ≥ 0 。如果 Var ( X 1 ) = b 1 − ( σ α 2 + α 2 ) ， ρ ( k ) = α k 证明： 1) E ( X t | X t − 1 ) = E [ α t ⋅ p X t − 1 + ε t | X t − 1 ] = E [ E ( α t ⋅ p X t − 1 | X t − 1 ， α t ) | X t − 1 ] + λ = E [ α t X t − 1 ] + λ = α X t − 1 + λ 2) E ( X t ) = E [ α t ⋅ p X t − 1 + ε t ] = E [ E ( α t ⋅ p X t − 1 | X t − 1 ) ] + λ = E [ E ( α t ⋅ p X t − 1 | X t − 1 ， α t ) | X t − 1 ] + λ = E ( α t X t − 1 ) + λ = α X t − 1 + λ 3) Var ( X t | X t − 1 ， α t ) = E ( X t 2 | X t − 1 ， α t ) + [ E ( X t | X t − 1 ， α t ) ] 2 其中， E ( X t 2 | X t − 1 ， α t ) = E [ ( α t ⋅ p X t − 1 ) 2 | X t − 1 ， α t ] + 2 E ( ε t ⋅ α ⋅ p X t − 1 | X t − 1 ， α t ) + E ( ε t 2 | X t − 1 ， α t ) = Var ( α t ⋅ p X t − 1 | X t − 1 ， α t ) + E ( α t ⋅ p X t − 1 | X t − 1 ， α t ) 2 + 2 λ α t X t − 1 + λ + λ 2 = α t ( 1 − 2 p α t + α t ) X t − 1 + α t 2 X t − 1 2 + 2 λ α t X t − 1 + λ + λ 2 所以， Var ( X t | X t − 1 ， α t ) = α t ( 1 − 2 α t p + α t ) X t − 1 + λ 1) Var ( X t | X t − 1 ) = E ( X t 2 | X t − 1 ) + [ E ( X t | X t − 1 ) ] 2 其中 E ( X t 2 | X t − 1 ) = E [ E ( X t 2 | X t − 1 ， α t ) | X t − 1 ] = E [ α t ( 1 − 2 p α t + α t ) X t − 1 + α t 2 X t − 1 2 + 2 λ α t X t − 1 + λ + λ 2 | X t − 1 ] = α X t − 1 − 2 p ( σ α 2 + α 2 ) X t − 1 + ( σ α 2 + α 2 ) X t − 1 + ( σ α 2 + α 2 ) X t − 1 2 + 2 λ α X t − 1 + λ + λ 2 所以 Var ( X t | X t − 1 ) = α X t − 1 − 2 p ( σ α 2 + α 2 ) X t − 1 + ( σ α 2 + α 2 ) + σ α 2 X t − 1 2 + α 2 X t − 1 2 + 2 λ α X t − 1 + λ + λ 2 = α X t − 1 − 2 p ( σ α 2 + α 2 ) X t − 1 + ( σ α 2 + α 2 ) X t − 1 + σ α 2 X t − 1 2 + λ 2) Var ( X t ) = Var [ E ( X t | X t − 1 ) ] + E [ Var ( X t | X t − 1 ) ] = α 2 Var ( X t − 1 ) + α E ( X t − 1 ) − ( 1 − 2 p ) ( σ α 2 + α 2 ) E ( X t − 1 ) + σ α 2 E ( X t − 1 2 ) + λ = ( σ α 2 + α 2 ) Var ( X t − 1 ) + α λ 1 − α − ( 1 − 2 p ) ( σ α 2 + α 2 ) λ 1 − α + σ α 2 λ 2 ( 1 − α ) 2 + λ = ( σ α 2 + α 2 ) Var ( X t − 2 ) + ( σ α 2 + α 2 ) b + b = ( σ α 2 + α 2 ) Var ( X 1 ) + b [ 1 − ( σ α 2 + α 2 ) t − 1 ] 1 − ( σ α 2 + α 2 ) 当 t → ∞ 时， Var ( X t ) = b 1 − ( σ α 2 + α 2 ) ， 其中 b = α λ 1 − α − ( 1 − 2 p ) ( σ α 2 + α 2 ) λ 1 − α + σ α 2 λ 2 ( 1 − α ) 2 + λ 。 3) E ( X t + k | X t ) = E ( E ( X t + k | X t + k − 1 ) | X t ) = E ( α X t + k − 1 + λ | X t ) = α E ( X t + k − 1 | X t ) + λ = α 2 E ( X t + k − 1 | X t ) + α λ + λ = α k X t + λ ( 1 − α k ) 1 − α 4) C o v ( X t + k ， X t ) = E ( X t + k X t ) − E ( X t ) E ( X t + k ) = E ( E ( X t + k X t | X t ) ) − E ( X t ) E ( X t + k ) = E ( X t ( α k X t + λ ( 1 − α k ) 1 − α ) ) − E ( X t ) [ α k E ( X t ) + λ ( 1 − α k ) 1 − α ] = α k E ( X t 2 ) − α k [ E ( X t ) ] 2 = α k V a r ( X t ) 如果 i = 0 ， α t + k ⋅ p ⋯ α t + + k − i + 1 ⋅ p ε t + k − i = ε t + k ， 因此， C o v ( X t + k ， X t ) = C o v ( α t + k ⋅ p ⋯ α t + 1 ⋅ p X t + ∑ i = 0 k − 1 α t + k ⋅ p ⋯ α t + k − i + 1 ⋅ p ε t + k − i + 1 ， X t ) = E ( X t ( α t + k ⋅ p ⋯ α t + 1 ⋅ p X t ) ) − E ( X t ) E ( α t + k ⋅ p ⋯ α t + 1 ⋅ p X t ) = α k E ( X t 2 ) − α k E ( X t ) 2 = α k V a r ( X t ) 根据以上统计性质，对模型中参数进行矩估计。