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user: 2. 线性边值问题 定义1 [ 11 ]：若 α > 0 ， a < b ∈ ℝ 则 I a + t α D a + c t α u ( t ) = u ( t ) + c 1 + c 2 ( t − a ) + c 3 ( t − a ) 2 + ⋯ + c n ( t − a ) n − 1 ， I t b − α D t c b − α u ( t ) = u ( t ) + d 1 + d 2 ( b − t ) + d 3 ( b − t ) 2 + ⋯ + d n ( b − t ) n − 1 ， 其中 c i ， d i ∈ ℝ ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， n ∈ ℕ 。 引理1 [ 12 ]：令E为Banach空间，且 P ⊂ E 是一个正规体锥。如果存在 α 1 ， β 1 ， α 2 ， β 2 ∈ P 使 α 1 ≺ β 1 ≺ α 2 ≺ β 2 ， 且 A : [ α 1 ， β 2 ] → E 是全连续算子，且为强增算子，使 α 1 ≺ A α 1 ， A β 1 ≺ β 1 ， α 2 ≺ A α 2 ， A β 2 ≺ _ β 2 . 则算子A至少有三个不动点 x 1 ， x 2 ， x 3 使得 α 1 ≺ _ x 1 ≺ ≺ β 1 ， α 2 ≺ ≺ x 2 ≺ _ β 2 ， α 2 ≺ _ x 2 ≺ _ β 2 . 令 J = [ 0 ， 1 ] ， J 0 = J \ ξ ， E = P C [ J ， ℝ ] = { u : J → ℝ : u 在   J 0 上 是 连 续 的 ， u ( ξ + ) 与 u ( ξ − ) 存 在 且 u ( ξ − ) = u ( ξ ) } 。显然E是Banach空间且定义其范数为 ‖ u ‖ = sup t ∈ [ 0 ， 1 ] | u ( t ) | . 令 ‖ u ‖ [ 0 ， ξ ] = sup t ∈ [ 0 ， ξ ] | u ( t ) | ， ‖ u ‖ ( ξ ， 1 ] = sup t ∈ ( ξ ， 1 ] | u ( t ) | ，则 ‖ u ‖ = max { ‖ u ‖ [ 0 ， ξ ] ， ‖ u ‖ ( ξ ， 1 ] } 。 引理2：令 h ∈ C ( [ 0 ， ξ ] ， ℝ + ) ， y ∈ C ( ( ξ ， 1 ] ， ℝ + ) ，对任意 m i ， n i ∈ ℝ ， i = 1 ， 2 ，且 Δ 1 ≠ 0 。则边值问题 { D t c ξ − α u ( t ) = h ( t ) ， t ∈ ( 0 ， ξ ) ， D ξ + c t β u ( t ) = y ( t ) ， t ∈ ( ξ ， 1 ) ， Δ u ( ξ ) = I ，     Δ u ′ ( ξ ) = Q ， m 1 u ( 0 ) + n 1 u ( 1 ) = γ 0 ，     m 2 D t c ξ − α − 1 u ( 0 ) + n 2 D ξ + c t β − 1 u ( 1 ) = γ 1 (2) 在E中存在唯一解 u ( t ) = { ∫ 0 ξ G 1 ( t ， s ) h ( s ) d s + ∫ ξ 1 g 2 ( t ， s ) y ( s ) d s + Δ 2 + t Δ 1 ( − Q n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − γ 1 ) ，   t ∈ [ 0 ， ξ ] ， ∫ ξ 1 G 2 ( t ， s ) y ( s ) d s + ∫ 0 ξ g 1 ( t ， s ) h ( s ) d s + Δ 3 + t Δ 1 ( Q m 2 Γ ( 3 − β ) ξ 2 − α − γ 1 ) ，   t ∈ ( ξ ， 1 ] . (3) 其中 G 1 ( t ， s ) = { g 1 ( t ， s ) ，     0 ≤ s ≤ t ≤ ξ ， g 1 ( t ， s ) + 1 Γ ( α ) ( s − t ) α − 1 ，     0 ≤ t ≤ s ≤ ξ ; (4) G 2 ( t ， s ) = { g 2 ( t ， s ) + 1 Γ ( β ) ( t − s ) β − 1 ，     ξ ≤ s ≤ t ≤ 1 ， g 2 ( t ， s ) ，     ξ ≤ t ≤ s ≤ 1 ; (5) 记 Δ 1 = m 2 ξ 2 − α Γ ( 3 − α ) − n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) ; Δ 2 = − 1 m 1 + n 1 ( n 1 I + n 1 ( 1 − ξ + n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) Q − n 1 Δ 1 γ 1 − γ 0 ) ; Δ 3 = − 1 m 1 + n 1 ( − m 1 I + ( m 1 ξ + n 1 + n 1 n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) Q − n 1 Δ 1 γ 1 − γ 0 ) ; g 1 ( t ， s ) = − 1 m 1 + n 1 ( m 1 Γ ( α ) s α − 1 + n 1 m 2 Δ 1 ) + t m 2 Δ 1 ; g 2 ( t ， s ) = − n 1 m 1 + n 1 ( 1 Γ ( β ) ( 1 − s ) β − 1 + n 2 Δ 1 ) − t n 2 Δ 1 . 证明：设 u ∈ E 是边值问题(2)的解，则由定义1可知存在常数 c i ∈ ℝ ， i = 0 ， 1 ， 2 ， 3 使 D t C ξ − α u ( t ) = h ( t ) 的解为： u ( t ) = I t ξ − α h ( t ) + c 0 + c 1 t = 1 Γ ( α ) ∫ t ξ ( s − t ) α − 1 h ( s ) d s + c 0 + c 1 t ， u ′ ( t ) = − 1 Γ ( α − 1 ) ∫ t ξ ( s − t ) α − 2 h ( s ) d s + c 1 ， D t c ξ − α − 1 u ( t ) = ∫ t ξ h ( s ) d s − c 1 Γ ( 3 − α ) ( ξ − t ) 2 − α D ξ + c t β u ( t ) = y ( t ) 的解为： u ( t ) = I ξ + t β y ( t ) + c 2 + c 3 t = 1 Γ ( β ) ∫ ξ t ( t − s ) β − 1 y ( s ) d s + c 2 + c 3 t ， u ′ ( t ) = 1 Γ ( β − 1 ) ∫ ξ t ( t − s ) β − 2 y ( s ) d s + c 3 ， D ξ + c t β − 1 u ( t ) = ∫ ξ t y ( s ) d s + c 3 Γ ( 3 − β ) ( t − ξ ) 2 − β 由边值条件 Δ u ( ξ ) = I ， Δ u ′ ( ξ ) = Q 得 { c 2 − c 0 = I − Q ξ ， c 3 − c 1 = Q . 再由边值条件 m 1 u ( 0 ) + n 1 u ( 1 ) = γ 0 ， m 2 D t c ξ − α − 1 u ( 0 ) + n 2 D ξ + c t β − 1 u ( 1 ) = γ 1 ，可得 { c 0 = − 1 m 1 + n 1 ( ∫ 0 ξ ( m 1 Γ ( α ) s α − 1 + n 1 m 2 Δ 1 ) h ( s ) d s + n 1 ∫ ξ 1 ( 1 Γ ( β ) ( 1 − s ) β − 1 − n 2 Δ 1 ) y ( s ) d s               + n 1 I + n 1 ( 1 − ξ + n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) Q − n 1 Δ 1 γ 1 − γ 0 ) ， c 1 = 1 Δ 1 ( m 2 ∫ 0 ξ h ( s ) d s + n 2 ∫ ξ 1 y ( s ) d s + Q n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − γ 1 ) ， c 2 = − 1 m 1 + n 1 ( ∫ 0 ξ ( m 1 s α − 1 Γ ( α ) + n 1 m 2 Δ 1 ) h ( s ) d s + n 1 ∫ ξ 1 ( ( 1 − s ) β − 1 Γ ( β ) − n 2 Δ 1 ) y ( s ) d s             − m 1 I + ( m 1 ξ + n 1 + n 1 n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) Q − n 1 Δ 1 γ 1 − γ 0 ) ， c 3 = 1 Δ 1 ( m 2 ∫ 0 ξ h ( s ) d s + n 2 ∫ ξ 1 y ( s ) d s + Q m 2 Γ ( 3 − β ) ξ 2 − α − γ 1 ) . 因此，当 t ∈ [ 0 ， ξ ] 时， u ( t ) = 1 Γ ( α ) ∫ t ξ ( s − t ) α − 1 h ( s ) d s − 1 m 1 + n 1 ( ∫ 0 ξ ( m 1 Γ ( α ) s α − 1 + n 1 m 2 Δ 1 ) h ( s ) d s   + n 1 ∫ ξ 1 ( 1 Γ ( β ) ( 1 − s ) β − 1 − n 2 Δ 1 ) y ( s ) d s + n 1 I + n 1 ( 1 − ξ + n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) Q − n 1 Δ 1 γ 1 − γ 0 )   + t Δ 1 ( m 2 ∫ 0 ξ h ( s ) d s + n 2 ∫ ξ 1 y ( s ) d s + Q n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − γ 1 ) = ∫ 0 ξ G 1 ( t ， s ) h ( s ) d s + ∫ ξ 1 g 2 ( t ， s ) y ( s ) d s + Δ 2 + t Δ 1 ( Q n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − γ 1 ) . 当 t ∈ ( ξ ， 1 ] 时， u ( t ) = 1 Γ ( β ) ∫ ξ t ( t − s ) β − 1 y ( s ) d s − 1 m 1 + n 1 ( ∫ 0 ξ ( m 1 Γ ( α ) s α − 1 + n 1 m 2 Δ 1 ) h ( s ) d s   + n 1 ∫ ξ 1 ( 1 Γ ( β ) ( 1 − s ) β − 1 + n 2 Δ 1 ) y ( s ) d s − m 1 I + ( m 1 ξ + n 1 + n 1 n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Δ 1 Γ ( 3 − β ) ) Q − n 1 Δ 1 γ 1 − γ 0 )   + t Δ 1 ( m 2 ∫ 0 ξ h ( s ) d s + n 2 ∫ ξ 1 y ( s ) d s + Q m 2 Γ ( 3 − β ) ξ 2 − α − γ 1 ) = ∫ ξ 1 G 2 ( t ， s ) y ( s ) d s + ∫ 0 ξ g 1 ( t ， s ) h ( s ) d s + Δ 3 + t Δ 1 ( Q m 2 Γ ( 3 − β ) ξ 2 − α − γ 1 ) . 易证(3)是方程(2)的解，反之亦然。 证毕。 为了以后证明，我们给出如下假设： (H1) m i ， n i ∈ ℝ ( i = 1 ， 2 ) ， n 1 > 0 ，   n 2 > 0 ， − n 1 > m 1 > − n 1 ξ ， γ 1 ≤ 0 ， γ 0 ≤ 0 ， m 2 > max { Γ ( 3 − α ) ξ α − 1 n 2 Γ ( 3 − β ) ( Γ ( 3 − α ) Γ ( α ) − ξ ) ， − Γ ( 3 − α ) n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) ξ 2 − α } . 引理3：假设(H1)成立，则由式(4)、(5)定义的函数 G i ( t ， s ) ， i = 1 ， 2 满足以下性质： 1) 0 < G 1 ( 0 ， s ) ≤ G 1 ( t ， s ) ≤ G 1 ( ξ ， s ) ，对任意 ( t ， s ) ∈ [ 0 ， ξ ] × [ 0 ， ξ ] ； 2) 0 < G 2 ( ξ ， s ) ≤ G 2 ( t ， s ) ≤ G 2 ( 1 ， s ) ，对任意 ( t ， s ) ∈ [ ξ ， 1 ] × [ ξ ， 1 ] 。 证明：1) 显然 G i ( t ， s ) ， i = 1 ， 2 为连续函数。 由(H1)知， Δ 1 > 0 ， m 2 > ξ α − 1 Γ ( α ) Δ 1 ，则对于 t ∈ [ 0 ， ξ ] ，当 0 ≤ s ≤ t ≤ ξ 时， G 1 ( t ， s ) = g 1 ( t ， s ) = − 1 m 1 + n 1 ( m 1 Γ ( α ) s α − 1 + n 1 m 2 Δ 1 ) + t m 2 Δ 1 ， ∂ g 1 ( t ， s ) ∂ t = m 2 Δ 1 > 0 ; 当 0 ≤ s ≤ t ≤ ξ 时，由于 G 1 ( t ， s ) = g 1 ( t ， s ) + 1 Γ ( α ) ( s − t ) α − 1 ， ∂ G 1 ( t ， s ) ∂ t = − 1 Γ ( α − 1 ) ( s − t ) α − 2 + m 2 Δ 1 ， ∂ 2 G 1 ( t ， s ) ∂ t 2 = α − 2 Γ ( α − 1 ) ( s − t ) α − 3 < 0 ， 则 ∂ G 1 ( t ， s ) ∂ t ≥ ∂ G 1 ( s ， s ) ∂ t = m 2 Δ 1 > 0 。因此， G 1 ( t ， s ) 是关于t的单调递增函数，且 G 1 ( 0 ， s ) ≤ G 1 ( t ， s ) ≤ G 1 ( ξ ， s ) . 又 G 1 ( 0 ， s ) = g 1 ( 0 ， s ) + 1 Γ ( α ) s α − 1 = − 1 m 1 + n 1 ( m 1 Γ ( α ) s α − 1 + n 1 m 2 Δ 1 ) + 1 Γ ( α ) s α − 1                       = − 1 m 1 + n 1 ( − n 1 Γ ( α ) s α − 1 + n 1 m 2 Δ 1 ) > − n 1 m 1 + n 1 ( − 1 Γ ( α ) ξ α − 1 + m 2 Δ 1 ) > 0 ， 则 0 < G 1 ( 0 ， s ) ≤ G 1 ( t ， s ) ≤ G 1 ( ξ ， s ) 成立。 2) 对于 t ∈ [ ξ ， 1 ] ，当 ξ ≤ t ≤ s ≤ 1 时， G 2 ( t ， s ) = g 2 ( t ， s ) = − n 1 m 1 + n 1 ( 1 Γ ( β ) ( 1 − s ) β − 1 + n 2 Δ 1 ) + t n 2 Δ 1 ， ∂ g 2 ( t ， s ) ∂ t = n 2 Δ 1 > 0 ; 当 ξ ≤ s ≤ t ≤ 1 时， G 2 ( t ， s ) = g 2 ( t ， s ) + 1 Γ ( β ) ( t − s ) β − 1 ， ∂ G 2 ( t ， s ) ∂ t = n 2 Δ 1 + 1 Γ ( β − 1 ) ( t − s ) β − 2 > 0 ， 则 G 2 ( t ， s ) 是关于t的单调递增函数，那么 G 2 ( ξ ， s ) ≤ G 2 ( t ， s ) ≤ G 2 ( 1 ， s ) . 又 G 2 ( ξ ， s ) = − n 1 m 1 + n 1 ( 1 Γ ( β ) ( 1 − s ) β − 1 + n 2 Δ 1 ) + n 2 Δ 1 = 1 m 1 + n 1 ( n 1 Γ ( β ) ( 1 − s ) β − 1 + n 2 ( 1 − ( m 1 + n 1 ) ξ ) Δ 1 ) > 0 ， 因此， 0 < G 2 ( ξ ， s ) ≤ G 2 ( t ， s ) ≤ G 2 ( 1 ， s ) 成立。 证毕。 引理4：若(H1)成立， I ， Q ∈ ℝ + ， Δ 1 ≠ 0 。若u满足 { D t c ξ − α u ( t ) ≥ 0 ， t ∈ ( 0 ， ξ ) ， D ξ + c t β u ( t ) ≥ 0 ，     t ∈ ( ξ ， 1 ) ， Δ u ( ξ ) = I ，     Δ u ′ ( ξ ) = Q ， m 1 u ( 0 ) + n 1 u ( 1 ) ≤ 0 ，     m 2 D t c ξ − α − 1 u ( 0 ) + n 2 D ξ + c t β − 1 u ( 1 ) ≥ 0 ， (4) 则 u ( t ) ≥ 0 ， t ∈ [ 0 ， 1 ] 。 证明：对任意 h ∈ C ( [ 0 ， ξ ] ， ℝ + ) ， y ∈ C ( ( ξ ， 1 ] ， ℝ + ) ，由于 γ 1 ≤ 0 ， γ 0 ≤ 0 为常数。 考虑以下边值问题: { D t c ξ − α u ( t ) = h ( t ) ， t ∈ [ 0 ， ξ ] ， D ξ + c t β u ( t ) = y ( t ) ，     t ∈ ( ξ ， 1 ] ， Δ u ( ξ ) = I ，     Δ u ′ ( ξ ) = Q ， m 1 u ( 0 ) + n 1 u ( 1 ) = γ 0 ，     m 2 D t c ξ − α − 1 u ( 0 ) + n 2 D ξ + c t β − 1 u ( 1 ) = γ 1 . 由引理2可得 u ( t ) = { ∫ 0 ξ G 1 ( t ， s ) h ( s ) d s + ∫ ξ 1 g 2 ( t ， s ) y ( s ) d s + Δ 2 + t Δ 1 ( Q n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − γ 1 ) ，   t ∈ [ 0 ， ξ ] ， ∫ ξ 1 G 2 ( t ， s ) y ( s ) d s + ∫ 0 ξ g 1 ( t ， s ) h ( s ) d s + Δ 2 + t Δ 1 ( Q m 2 Γ ( 3 − β ) ξ 2 − α − γ 1 ) ，   t ∈ ( ξ ， 1 ] . 由(H1)可得， Δ 1 ， Δ 2 ， Δ 3 > 0 ， Q n 2 ( 1 − ξ ) 2 − β Γ ( 3 − β ) − γ 1 > 0 ， Q m 2 ξ 2 − α Γ ( 3 − β ) − γ 1 > 0 ， t ∈ [ 0 ， 1 ] 。再由引理3可得 u ( t ) ≥ 0 ， t ∈ [ 0 ， 1 ] 显然成立。 证毕。