DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 4. 实验结果 我们使用一组数据集来做实验，完成分词处理的词语(删除停顿词和常用词)，由定向链接转化为不定向链接，删除没有直接链接的文件 [ 22 ] ，Cora数据 [ 23 ] 包含使用论文搜素引擎搜索出来的摘要，以及文件间相互引用的链接 [ 2 ] 。 评估 RTM模型对未经训练的数据定义了概率分布，根据第三部分所描述的，从数据中推断潜在变量，我们需要知道的是在预测未经训练的数据时这个模型的效果有多好，我们研究上面所说的RTM的两种变体： 图3. 链接预测结果对比图 图4. 词语预测结果对比图 利用等式1使用逻辑链接的逻辑RTM01和利用等式二使用指数链接的指数RTM02，通过两种备选方案来比较这两种模型，首先是基准模型，在这个模型中词语和链接是相互独立的，使用多项分布对词语建模，使用伯努利对链接进行建模；第二种是回归LDA，首次拟合LDA模型对文件处理，然后对观测到的链接进行逻辑回归，并输入每对文件的潜在链接，而不是进行降维和回归，该方法首先进行无监督降维，然后回归潜在空间和潜在的连结结构之间的关系。所有的模型都进行了训练， 的值取5.0。 通过对上面所说模型关于词语预测和链接预测的计算，我们将数据集分成四份，对于每一份数据对应一种模型，我们提出两个预测查询：给定一个未知文档中的词语，他们之间的链接是怎样的；给定文档中的链接，它包含的词语有哪些。其次，预测查询是针对未经过观测训练的文件，在训练测试文档时，它们之间的链接，在图3中显示了链接预测的结果，图4显示的是词语预测的结果。 在预测链接上，RTM的两个变体比另外两个模型在所有数据集上表现都要好，Cora数据集是例证，指数RTM比基准模型提高了6%，比回归LDA提高了5%；逻辑RTM比基准模型提高了将近5%，比回归LDA提高了4%。在词语预测上，RTM的两个变体又一次的比其他模型都要好，这是因为RTM模型使用链接信息去影响词语的预测分布，LDA回归模型和预测和基准模型相似。
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user: 摘 要 蓝靛果忍冬作为一种纯天然、绿色、野生的可食用浆果，具有极高的营养价值、药用价值和商业价值。文章介绍了蓝靛果忍冬及其主要功能活性成分花青苷的研究概况及常用的研究方法，重点阐述了蓝靛果忍冬花青苷的功能活性、提取和分离技术和开发现状及前景。为蓝靛果忍冬的深入研究和深度开发提供重要的理论依据。 关键词 :植物，蓝靛果，花青苷，功能活性，提取和分离 Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 蓝靛果忍冬(Lonicera caerulea)又名蓝靛果、羊奶子、黑瞎子果、山茄子等，忍冬科(Caprifoliaceae)、忍冬属(Lonicera Linn)。因其潜在的营养价值、药用价值和商用价值，具有极为广阔的国内外市场和开发利用前景。相关研究表明蓝靛果花青苷抗氧化能力与其含量呈现一定的相关性 [ 1 ] 。与此同时，我国丰富的蓝靛果资源和相关技术的快速发展也为蓝靛果及其花青苷的进一步开发和利用提供了广阔和优质的平台。
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user: 2. 蓝靛果忍冬概述 2.1. 蓝靛果忍冬资源分布 蓝靛果忍冬原种产于欧洲，主要分布在欧洲、亚洲和美洲。在我国境内主要分布在吉林省长白山、黑龙江省大兴安岭东部山区，因此也被誉为“北大荒严寒下的宠儿”。此外，在内蒙古、华北、西北和四川等地也有分布。在国外主要分布于俄罗斯远东地区、日本及朝鲜北部等地。蓝靛果忍冬的休眠期很短，所以在温暖地区一般不能栽植，海拔2600~3500米地势的河岸、沼泽灌木或高山林下是它最适宜的生长环境。 2.2. 蓝靛果忍冬生物学特征 蓝靛果忍冬树高1~2 m，落叶灌木，幼枝被毛，老枝棕色，冬芽叉开，叶稀卵形，两面疏生短硬毛，花冠外面有柔毛，花柱无毛，果蓝黑色，稍被白粉，5~6月开花，7~9月结果。果实呈椭圆形或长圆形，果粒长10 mm左右，短径6~8 mm，是林区野生动物的采食对象 [ 2 ] 。雌蕊先熟是蓝靛果忍冬固有的特征，并且可以自花结实，但单一品种自花授粉形成的果实不饱满、无种子。蓝靛果果实见图1。 2.3. 蓝靛果忍冬在食品生产中的开发现状及前景 俄罗斯最早在20世纪60年代将蓝靛果开发成为宇航员专用的饮料。正是由于蓝靛果的果实出汁率高、安全无毒、具有极高的营养价值，它被誉为“饮料之王”。目前以它作为原料的保健饮品已悄然进入市场，虽尚未形成大气候，但已成为人们追求的新型饮品。东北地区建设了很多以蓝靛果为主要原料的酒厂，如吉林的蓝宝酒业公司、著名的黑龙江勃利蓝靛果酒厂等。 杨占江公开了一种开胃型蓝莓蓝靛果复合果酒及其制备方法，其发明所提供的蓝莓蓝靛果复合果酒，酒精度为4%~12%(V/V)，含糖量为8%~24% (W/W)。该饮品清心爽口、风味纯正、营养丰富，具有开胃健脾的效果 [ 3 ] 。薛桂新对不同蓝莓添加量的蓝靛果蓝莓复合果酒进行了研制，实验表明10%蓝莓添加量的复合果酒在陈酿期间抗氧化能力最好 [ 4 ] 。刘艳霞等人以牛乳、蓝靛果为主要原料，以感官评分为指标，通过单因素试验和正交实验确定了蓝靛果酸奶的最佳工艺条件。所得的蓝靛果酸奶产品色泽均匀一 图1. 蓝靛果果实 致、呈微玫瑰红色、口感细腻润滑、酸甜适度、组织细腻 [ 5 ] 。程兆宇等人以蓝靛果、钙果为主要原料，开发出一种天然复合饮料。该饮料具有抗疲劳功效，兼有蓝靛果和钙果的香味、色泽 [ 6 ] 。越来越多以蓝靛果为原料的产品开发不仅扩大了以营养保健为主导的市场，同时也为蓝靛果的深加工提供了经验。 蓝靛果的美好前景值得国内外具有远见卓识的科研人员对其进行深入的研究和开发。进一步开发利用蓝靛果资源可从以下几方面入手：1) 改进现有产品线的生产工艺，使之更加高效化、科学化和产业化，使特种果品资源变成经济优势。2) 进一步做好蓝靛果深加工的研究工作，开发出符合消费者需求的保健食品、营养滋补品、功能食品和药品等系列产品，打造出企业的名牌产品。3) 深入研究蓝靛果生长的分子调控机制及遗传改良，为培育出高产、优质的蓝靛果品种提供理论和技术支持。
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user: 4. 展望 具有“果中之王”美称的蓝靛果是继蓝莓之后的“第三代”功能性蓝色果品之一。其高含量的花青苷不仅具有很高的食用价值，也具有较高的医疗保健作用。过去几十年各国学者对蓝靛果的研究主要集中在花青苷的功能活性及生理作用机制、提取及分离鉴定技术等方面，并且取得了可喜的成果，但是高含量花青苷的蓝靛果品种选育、蓝靛果成熟过程中，花青苷的分子调控机制等若干关键领域仍有待进一步探索。
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user: 摘 要 本研究以棕榈藤为原料，对其各部位(包括棕榈藤果皮与果肉、棕榈藤嫩茎、棕榈藤叶鞘和叶片、棕榈藤藤茎)进行匀浆辅助提取后，分别采用水加热搅拌提取和80%乙醇回流提取，然后对水提取物和醇提取物中的多糖、多酚及黄酮类化合物进行测定，从而研究多糖、多酚及黄酮类化合物在棕榈藤植物的不同部位中的分布情况。本文还对匀浆辅助萃取的机理进行了阐释。实验结果表明：糖类化合物多分布于果实与嫩茎中，果皮与果肉中含多糖29.31%和7.27%，嫩茎中含多糖12.14%，叶鞘、叶片和藤茎中的多糖含量分别为2.91%、1.87%和1.99%。多酚和黄酮类化合物多分布于果实中，果皮(多酚5.33%，黄酮4.67%)略高于果肉(多酚5.22%，黄酮4.64%)，其次是叶片(多酚3.35%，黄酮2.92%)、叶鞘(多酚2.68%，黄酮2.37%)和嫩茎(多酚1.97%，黄酮1.83%)，藤茎中含量最少(多酚0.55%，黄酮0.47%)。 关键词 :棕榈藤，多糖，多酚，黄酮，匀浆 Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 棕榈藤属(Rattan)棕榈科(Palmae)植物属种子植物门被子植物亚门单子叶植物纲的初生目(Principes)，攀援带刺植物 [ 1 ] 。是世界热带地区最重要的代表科之一，主要分布在热带美洲、热带亚洲和太平洋及附近岛屿，热带非洲也有少量分布，目前全世界共存约210余属2800~3000种左右 [ 2 ] 。棕榈科植物因其种类繁多、形态各异、具有其他树种无可媲美的优点，而被世界各地广泛种植和利用 [ 3 ] ，因其质地柔软被称为“绿色金子” [ 1 ] 。目前，我国广东、广西、海南、云南及福建等省有自然分布，也有人工栽培 [ 4 ] 。我国对于棕榈藤的研究主要是材性研究，棕榈藤藤材是仅次于木材和竹材的，非常重要的非木材林产品，对替代木材和保护森林资源发挥着重要作用。藤材的利用可在一定程度上保护树木，而且，棕榈藤能够在维持天然生态环境的条件下，提供与伴生树木相同甚至更多的使用效益 [ 5 ] 。 国内对于棕榈藤植物的药理作用研究甚少，本草纲目中早有记载，棕榈藤成熟果实，又称棕笋，其气味苦、涩、平、无毒 [ 6 ] 。有文献报道棕榈成熟果实水–醇提取物具有显著降低血糖的药理作用 [ 7 ] 。而对于棕榈藤植物化学成分分析的研究几乎没有。 本实验的目的是研究在棕榈藤植物的不同部位中，多糖、多酚及黄酮类化合物的分布情况，如棕榈藤果实包括果皮与果肉、棕榈藤嫩茎、棕榈藤叶鞘和叶片、棕榈藤藤茎。将棕榈藤各器官进行匀浆辅助提取后，分别采用蒸馏水加热搅拌提取和80%乙醇回流提取，然后对水提取物和醇提取物中的多糖、多酚及黄酮类化合物进行测定，不仅分析了多糖、多酚及黄酮类化合物在棕榈藤植物的不同部位中的分布情况，还对匀浆辅助萃取的机理进行了详尽的阐释。
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user: 2. 实验 2.1. 材料与仪器 棕榈藤资源采摘自海南省，将各部位(包括棕榈藤果皮与果肉、棕榈藤嫩茎、棕榈藤叶鞘和叶片、棕榈藤藤茎)人工分离后，未经粉碎风干后作为有效成分的提取原料。 HANUO-JJ2型匀浆机(上海汉诺仪器有限公司)，KQ-250DB型超声机(昆山超声设备有限公司)，RE-52A型旋转蒸发水浴槽(上海青浦沪西仪器厂)，SHB-Ⅲ型循环水式多用真空泵(郑州长城科工贸有限公司)，UV-2600岛津紫外可见分光光度计(Shimadzu，日本)。 葡萄糖、没食子酸、芦丁对照品购自中国药品生物制品检定所，纯度均大于98%；其余试剂均为国产分析纯。 2.2. 实验方法 2.2.1. 棕榈藤多糖的测定方法 本研究采用苯酚—硫酸法测定棕榈藤提取物中多糖的含量 [ 8 ] 。准确称取棕榈藤水提取物5.0 mg，加入5.0 mL蒸馏水充分溶解后吸取0.2 mL的样品液，用蒸馏水补至2.0 mL，然后加入质量分数为6%的苯酚溶液1.0 mL及浓硫酸5.0 mL，摇匀后室温放置20 min以后于490 nm处测定吸光值A490。 标准曲线的制备：准确称取标准葡萄糖20.0 mg于500 mL容量瓶中，加蒸馏水定容至刻度为葡萄糖储备液，分别吸取上述储备液0.4、0.6、0.8、1.0、1.2、1.4、1.6及1.8 mL，分别以蒸馏水补至2.0 mL，然后分别加入6%苯酚溶液1.0 mL及浓硫酸5.0 mL，摇匀冷却，室温放置20 min以后于490 nm测定吸光值，以2.0 mL蒸馏水按同样显色操作为空白，横坐标为葡萄糖的浓度，纵坐标为吸光值，绘制标准曲线。按照标准曲线计算棕榈藤水提取物中多糖的葡萄糖当量。 2.2.2. 棕榈藤多酚的测定方法 本研究采用福林酚显色法测定棕榈藤提取物中多酚的含量 [ 9 ] 。以没食子酸为标准品。精密称取没食子酸5.0 mg用80%乙醇完全溶解后定容至100 mL为标准储备液，分别移取标准储备液0.00、0.10、0.20、0.30、0.40、0.50 mL置于10 mL具塞试管中，再分别加入2.5 mL超纯水，0.5 mL福林试剂和7.5%Na 2 CO 3 溶液1.5 mL，充分混匀后在45℃水浴反应1.5 h后在765 nm处测其吸光值。用80%乙醇将棕榈藤醇提取物配制成0.1 mg/mL溶液依照上述方法显色后在765 nm处测吸光值，依据没食子酸标准曲线计算多酚的质量浓度，并计算出提取物中总多酚的没食子酸当量。 2.2.3. 棕榈藤黄酮的测定方法 本研究以芦丁为标准品测定棕榈藤提取物中总黄酮的含量 [ 10 ] 。精密称取芦丁标准品10.0 mg，以80%乙醇完全溶解后定容至100 mL作为标准储备液，分别精密吸取0.00，0.50，1.00，1.50，2.00，2.50 mL的芦丁标准储备液置于10 mL具塞试管中，再分别加入2.5、2.0、1.5、1.0、0.5和0 mL 80%乙醇溶液，再分别加入质量分数为5%的NaNO 2 溶液0.15 mL，摇匀后反应6 min，再分别加入10%Al(NO 3 ) 3 水溶液0.15 mL，摇匀放置6 min；然后分别加入4%的NaOH水溶液2.00 mL，摇匀后静置15 min，以2.5 mL蒸馏水为空白，在510 nm处测定吸光度，线性回归。用80%乙醇将棕榈藤醇提取物配制成2.5 mg/mL溶液，依照上述方法显色后在510 nm处测定吸光值，依据芦丁标准曲线计算醇提取物中总黄酮的质量浓度，并计算出提取物中总黄酮的芦丁当量。 2.2.4. 棕榈藤水提物的制备方法 将棕榈藤原料(绝干) 100.0 g以料液比1:30 g/mL加入蒸馏水进行匀浆处理3 min，匀浆辅助提取采用HANUO-JJ2匀浆机(上海汗诺仪器有限公司)，功率为200 W，然后将原料和提取液在95℃水浴中搅拌提取3 h，然后冷却至室温后过滤，减压浓缩水提取液至干，得棕榈藤水提取物。依据1.2.1~1.2.3项所述，测定水提物中多糖、多酚和总黄酮的含量。 2.2.5. 棕榈藤醇提物的制备方法 将棕榈藤原料(绝干)100.0 g以料液比1:30加入80%乙醇溶液进行匀浆处理3 min，匀浆辅助提取采用HANUO-JJ2匀浆机(上海汗诺仪器有限公司)，功率为200 W，然后将原料和提取液在95℃水浴中搅拌回流提取3 h，然后冷却至室温后过滤，减压浓缩醇提取液至干，得棕榈藤醇提取物。依据1.2.1~1.2.3项所述，测定水提物中多糖、多酚和总黄酮的含量。 2.2.6. 棕榈藤加热提取方法 将棕榈藤原料(绝干) 100.0 g以料液比1:30分别加入蒸馏水80%乙醇溶液在95℃水浴中搅拌回流提取6 h，然后冷却至室温后过滤，减压浓缩提取液至干，分别得棕榈藤水提取物和醇提取物。依据1.2.1~1.2.3项所述，测定水提物中多糖、多酚和总黄酮的含量。作为与匀浆辅助的对比方法。棕榈藤各器官原料包括棕榈藤果皮与果肉、棕榈藤嫩茎、棕榈藤叶鞘和叶片、棕榈藤藤茎，各部位处理方式相同。
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user: 3. 结果与分析 3.1. 棕榈藤水提取物和醇提取物的得率 本实验采用蒸馏水和80%乙醇分别作为提取溶剂，对棕榈藤的不同部位进行萃取，萃取前分别辅助以匀浆萃取，萃取完成后将所得的水提液或醇提液减压浓缩后60℃真空干燥，分别得到水提取物和醇提取物的质量(m)，与提取所用原料的绝干质量(M)的比值，乘以100% 即为水提取物或醇提取物的得率。 如图1所示，水提物的得率较高，而醇提物的得率较低，说明棕榈藤植物中的水溶性成分较多，其中果皮水溶性成分的得率为49.81%，接近50%，嫩茎的水溶性成分的得率也较高，为36.25%，果肉、叶鞘、叶片和藤茎的水溶性成分得率分别为14.85%、8.02%、7.53%和2.86%。棕榈藤嫩茎的醇溶性成分的得率最高，为9.25%，果皮、叶片、果肉和叶鞘的醇溶性成分得率分别为4.98%、4.43%、2.41%和2.39%，藤茎的醇溶性成分得率最低，为0.23%。 3.2. 棕榈藤中多酚、黄酮、多糖的分布情况 本实验分别对棕榈藤不同部位所得的水提取物和醇提取物中，总多酚、总黄酮和总多糖的含量进行了测定，以期了解总多酚、总黄酮和总多糖在棕榈藤植物中的分布情况，总多酚、总黄酮和总多糖分别在水提取物和醇提取物中的得率。提取物中有效物质的含量(m)与提取所用原料的绝干质量(M)的比值，乘以100% 即为提取物中有效物质的得率。 如图2所示，多糖多溶于水提物中，而多酚与黄酮类化合物多溶于醇提物中。多糖类化合物多分布于果实与嫩茎中，果皮与果肉中含多糖29.31%和7.27%，嫩茎中含多糖12.14%，叶鞘、叶片和藤茎中的多糖含量分别为2.91%、1.87%和1.99%。果实(种子)是储存营养物质的主要场所，营养物质包括：碳水化合物、半纤维素、蛋白质和脂肪等，所以糖类化合物的含量比较高；而嫩茎是生长最快的部位，需要更多的能量，所以糖类化合物的积累量也较高。而多酚和黄酮多分布于果实与叶片中，植物多酚又称为植物单宁，多为黄烷醇和黄酮醇等母核结构的聚合物，植物黄酮主要包括以色原酮和色原烯等母核结构的化合物，二者颜色众多，多存在于植物体内颜色鲜艳的器官，如果实(种子)和叶片等。如图3所示，棕榈藤的多酚和黄酮类化合物多分布于果实中，果皮(多酚5.33%，黄酮4.67%)略高于果肉(多酚5.22%，黄酮4.64%)，其次是叶片(多酚3.35%，黄酮2.92%)、叶鞘(多酚2.68%，黄酮2.37%)和嫩茎(多酚1.97%， 图1. 棕榈藤不同部位水提物与醇提物的得率 图2. 棕榈藤不同部位水提取物中有效成分的含量 黄酮1.83%)，藤茎中含量最少(多酚0.55%，黄酮0.47%)。 3.3. 匀浆辅助提取与非匀浆提取效果的对比 通过以上实验数据可知，果皮提取物中的多酚、多糖和黄酮化合物的含量都比较高，为了研究匀浆辅助方法的萃取效果，本实验选择棕榈藤果皮为原料，依2.2.4和2.2.5项所述方法，制备棕榈藤果皮的匀浆辅助加热法萃取的水提取物和醇提取物；依2.2.6项所述方法，制备棕榈藤果皮的非匀浆加热萃取的水提取物和醇提取物，测定各提取物中总多酚、总黄酮和总多糖的含量，以期比较匀浆辅助法在萃取过程中的贡献。 如图4所示，经过匀浆3 min前处理的提取物得率明显高于未经匀浆处理的提取物得率，匀浆辅助处理后水提物中多糖、多酚与黄酮类化合物的得率分别为29.31%、5.33%和4.67%；而未经匀浆预处理的水提物中多糖、多酚与黄酮类化合物的得率分别为19.23%、2.62%和2.31%；匀浆辅助处理后醇提物中多糖、多酚与黄酮类化合物的得率分别为29.31%、5.33%和4.67%；而未经匀浆预处理的水提物中多糖、多酚与黄酮类化合物的得率分别为1.92%、2.62%和2.31%；因为在匀浆的过程中不仅使物料得到充 图 3. 棕榈藤不同部位醇提取物中有效成分的含量 图 4. 匀浆辅助提取与非匀浆提取有效成分提取率的比较 分粉碎，可以增加后续升温提取过程中溶剂的渗入与有效物质的溶出，而且还大大缩短了升温萃取的时间，经过匀浆3 min前处理的物料，加热萃取的时间为3 h，而未经匀浆处理的物料，加热萃取的时间为6 h。 3.4. 匀浆辅助萃取机理分析 从植物细胞中提取天然产物是获得生物活性成分最直接的方式，避免了化学合成所带来的副产物复杂，毒性未知和生产成本高等问题。从植物细胞中提取生物活性成分主要是利用天然产物与有机溶剂的“相似相溶”原理，使有机溶剂渗透入细胞壁，与活性成分相溶后，再迅速溶出。 植物细胞壁是存在于植物细胞外围的一层厚壁，由胞间层，初生壁，次生壁三部分构成，主要参与维持细胞的形态、增强细胞的机械强度，因此在提取的过程中，采用具有机械强度的方法使细胞壁破裂，加速了有机溶剂渗入细胞内部，提高目标产物的提取率。 匀浆萃取就是一种借助于外来机械剪切力的固-液萃取方式，在湍动的有机溶剂中将物料粉碎，有利于细胞壁和细胞膜的破裂，原料无需进行粉碎预处理，不但降低了原料预处理的能耗，而且避免了在粉碎过程中由于摩擦而使物料局部升温，破坏热敏性活性成分。而且匀浆萃取在室温条件下进行，无需加热，一般用于萃取室温易挥发，热敏性较差的活性物质，如茄尼醇 [ 11 ] 、植物多酚 [ 12 ] 等。 匀浆提取过程机理示意图如图5所示，在固体物料和有机溶剂所组成的固–液萃取体系中，将植物细胞的微观结构具体分为三部分，细胞壁、细胞膜和细胞质，细胞外部形成一个固–液的界面，在界面上形成一层液体膜。在匀浆萃取过程中，在机械剪切力的作用下，固体原料的粒径不断减小，粒径越小，固体颗粒与溶剂接触的比表面积越大，细胞壁和细胞膜的破裂使溶剂能够更快速地渗入到固体内部，溶质溶解于溶剂后，溶有溶质的溶液扩散至固体表面。此外，在匀浆处理的过程中伴随着溶剂的高速湍动，溶液的湍动越强烈，固-液两相的边界层越薄，也就在固体颗粒表面形成了一层薄薄的液膜，高速湍动的溶剂将扩散至固体表面的溶液迅速稀释，降低固体表面溶液的浓度，细胞外部溶剂的更新加快，也加快了内部溶液扩散至固体表面的速度，提高了有效成分的溶出速率。但在匀浆处理的过程中，匀浆时间过长使原料粒径过小，造成杂质的溶出量增加，给后续的分离纯化带来困难。本实验对匀浆萃取的时间进行了优化，以有效成分的提取率为指标，匀浆萃取3 min为最佳。 综上所述，匀浆萃取实质上是一种溶剂强化浸取的过程，既是物料粉碎的过程，又是物料与溶剂充分混合的过程，因此实质上是一种强化固–液传质的过程。粉碎可使较大的固体颗粒变小，同时使大部分的组织破坏，使细胞内的目标成分充分地释放到有机溶剂中；颗粒变小则相应增大固相与液相接触的比表面积，扩大了液体膜的总面积，因此缩短了溶剂渗入到固体内部的时间，提高了传质速率，使物料中的有效成分与溶剂中的浓度短时间内趋于平衡，达到了强化浸取的目的 [ 13 ] 。
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user: 4. 结论 本研究以棕榈藤为原料，采用匀浆辅助萃取的方法对棕榈藤各部位(包括棕榈藤果皮与果肉、棕榈藤 图 5. 匀浆提取过程机理示意图 嫩茎、棕榈藤叶鞘和叶片、棕榈藤藤茎)进行处理后，分别采用水加热搅拌提取法和80%乙醇回流提取法进行提取，然后对所得水提取物和醇提取物中的多糖、多酚及黄酮类化合物的含量进行测定，从而研究多糖、多酚及黄酮类化合物在棕榈藤植物不同部位中的分布情况。本文还对匀浆辅助萃取的机理进行了详尽的阐释。实验结果表明：糖类化合物多分布于果实与嫩茎中，果皮与果肉中含多糖29.31%和7.27%，嫩茎中含多糖12.14%，叶鞘、叶片和藤茎中的多糖含量分别为2.91%、1.87%和1.99%。多酚和黄酮类化合物多分布于果实中，果皮(多酚5.33%，黄酮4.67%)略高于果肉(多酚5.22%，黄酮4.64%)，其次是叶片(多酚3.35%，黄酮2.92%)、叶鞘(多酚2.68%，黄酮2.37%)和嫩茎(多酚1.97%，黄酮1.83%)，藤茎中含量最少(多酚0.55%，黄酮0.47%)。
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user: 摘 要 本文给出了非均匀复变函数积分的定义和性质，建立了非均匀Cauchy积分定理和Cauchy积分公式，并且获得了非均匀解析函数与非均匀拉普拉斯方程的关系。 关键词 :非均匀复变函数积分，非均匀Cauchy积分定理，非均匀Cauchy积分公式，非均匀拉普拉斯方程 Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 介绍 本文在文献 [ 1 ] 的基础上进一步讨论非均匀复变函数的积分理论，将会为文献 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] 解决生物学的一些反应扩散模型建立更合理的数学方法。我们知道，原来的复数空间瑞士数学家欧拉在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，用符号“ ” 作为虚数的单位，建立了复数，随后发现复数与调和函数有密切的联系 [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] ，在文献 [ 8 ] [ 9 ] 建立了广义解析函数理论，这些问题自然与扩散问题也有紧密联系，从而可以用复变函数理论解扩散问题的解，但当空间非常不均匀，扩散也不均匀时，解决问题会非常繁琐，鉴于上述问题，作者们在文献 [ 1 ] 中引入非均匀复数和非均匀复变函数，并且建立了非均匀解析函数与非均匀C.-R.方程组的关系，本文在 [ 1 ] 的基础上进一步讨论非均匀复变函数的积分理论，利用这些理论讨论非均匀拉普拉斯方程的解析解。
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user: 2. 预备知识 下面给出非均匀复数、非均匀复变函数的一些基本定义及性质，具体参考文献 [ 1 ] 。 2.1. 非均匀复数的定义 考虑到复数在各个领域的广泛应用，我们对复数单位做进一步推广，定义非均匀复数。 定义集合 ，其中 为实数 ， 。 在 中引入数乘 在 中引入加法 定理 2.1在上式数乘和加法运算下，C k 为R上的一个线性空间。 定理2.2 为 上的一个域。 2.2. 非均匀复变函数的定义及性质 非均匀复变函数的定义，类似于复变函数的定义，形式上和数学分析中函数定义相同，此时自变量和函数的取值均为新定义的非均匀复数。在定义函数之前，根据复平面点集的几个基本概念，我们可以推广到非均匀复平面上。 定义2.1由 由不等式所确定的平面点集(简称点集)，就是以 为圆心，以 为半径的圆，称为点 的 邻域。 注2.1：考虑点集E，同样也有聚点或极限点、孤立点、外点、闭集、内点、开集、边界点、边界的概念，与复变平面定义相同，在此不再一一赘述。 定义2.2设f：从C k 到C k 的映射，则称为f为C k 上的非均匀复函数。 非均匀函数的导数，解析的定义及与偏微分方程组的关系在文献 [ 1 ] 中给出，本文在下面给出结论： 定义2.3 设函数 于点集 上有定义， 为 的聚点，若存在非均匀复数 ，对任给的 ，有 ，只要 ，就有 则称函数 沿 于 有极限 ，并记为 定义2.4 设函数 于点集 上有定义， 为 的聚点，且 ，若 即对任给的 ，有 ，只要 ，就有 则称函数 沿 于 连续。 2.3. 非均匀复变函数的导数 定义2.5 设函数 在点 的邻域内或者包含 的区域 内有定义，考虑比值 如果当 按照任意方式趋于 时，即当 按照任意方式趋于0时，比值 的极限都存在，且其值有限，则称此极限为函数 在 的导数，并记为 ，即 这时称函数 于点 可导。 设函数 在点 可导，于是 即是 其中 为比 高阶无穷小。 我们称 为 在点 的微分，记为 或者 ，此时也称 在点 可微，即 . 特别，当 时， ，于是上式为 ，即 由此可见， 在 处可导与 在 处可微是等价的。 2.4. 非均匀复变函数的解析性 定义2.6 如果函数 在区域 内可微，则称 为区域 内的解析函数，或称函数 在区域 内解析。函数在某点解析，是指在该点的某一个邻域内是解析的：函数在某个闭域解析，是指在包含该闭域的某区域内解析。 定理2.3 设函数 在区域 内有定义，且在 内一点 可微，则必有 1) 偏微分 在点 连续； 2) 在点 满足非均匀C.-R.方程。 而且这是可微的必要条件，并非充分的。 定理2.4 设函数 在区域 内解析，则 1) 二元函数 在区域 内解析； 2) 在区域 内满足非均匀C.-R.方程。 定理2.5 设函数 在区域 内解析，则 1) 偏微分 在区域 内连续； 2) 在区域 内满足非均匀C.-R.方程。 这也是可微的充要条件。 其中非均匀C.-R.方程为：
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user: 3. 非均匀复积分的概念及基本性质 3.1. 非均匀复变函数积分的定义 定义3.1设非均匀复数域 上的有向曲线 ： 以 为起点， 为终点， 沿 有定义，顺着 从 到 的方向在 上取分点： ，这样可以将曲线 划分为 个弧段，在从 到 的每一个弧段上任取一点 ，那么 当分点增多时，弧段逐渐加细，如果和数 极限存在且为S，则称 沿 (从 到 )可积， 为其上的积分，记号为 ，其中 为积分路径。 定理3.1若函数 沿曲线 连续，则该函数沿曲线 可积，且 .(3.1) 证明：设 ， ， ， ， ， ， 则 右端的两个和数是对应的两个曲线积分的积分和数。在定理连续条件下，函数的实部和虚部必沿曲线 连续，于是这两个曲线积分都是存在的。因此，积分 存在。 例3.1 令 是非均匀复数域 上的表示连接点 及 的任一曲线，证明： 1) ；2) 。 证明： 1) 注意到： ，由定义可知 ，为定值，只与起点和终点有关，从而 。 2) 因 ，首先选 ，则得 ， 又选 ，则得 ， 由定理3.1可知积分 存在，因而 的极限存在，且应与 及 的极限相等， 从而应与 的极限相等。 令 ，所以 。 3.2. 非均匀复变函数积分的计算问题 设有非均匀复数域 上的光滑曲线 ： ， 这就表示 在 上连续且有不为零的导数 ，又设 沿 连续，令 ， 根据式(3.1) 即 例3.2 证明 ， 其中， 为复数单位， 表示以 为心， 为半径的圆周。 证明：设圆周 参数方程为： ， 。 下面我们利用留数定理可以证明它的值是 。令 ，则， 因此有， 在 分别讨论，利用留数定理得 注3.1：当 时，我们获得的结论与复变函数中的结论是一致的，那么当 为其它自然数结论是否与复变函数中的结论一致呢?有兴趣的读者可以利用留数理论讨论。 3.3. 非均匀复积分的基本性质 设函数 ， 沿曲线 连续，我们可以得到以下基本性质： 1) ， 是复常数； 2) ； 3) ，其中 由曲线 衔接而成； 4) ； 5) 。
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user: 4. 非均匀复变函数的柯西积分定理 4.1. 非均匀柯西积分定理 我们在上一节例题3.1中，可以发现被积函数在非均匀复数域 上的单连通区域 内处处解析，则积分与路径无关，或者说沿区域 内任何闭曲线的积分为零；而例题3.2中，被积函数有奇点 ，也就是说，被积函数 平面上除去点 后的非单连通区域内处处解析，积分结果为 ， 是圆周，从而说明在此区域内积分与路径有关。 由此可见，非均匀复积分值与路径无关的条件，或沿区域内任何闭曲线积分值为0的条件，可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通性有关。 1825年法国著名数学家柯西给出研究复变函数的钥匙——柯西积分定理，经过验证，该定理同样适用非均匀复变函数 情形。为了做一些区分，我们称为非均匀柯西积分定理。 定理4.1 设函数 在非均匀复数域 上的单连通区域 内解析， 为 内任一条周线，则 . 直接证明该定理是有困难的，从德国数学家黎曼对原柯西积分定理的证明角度出发，我们在附加假设“ 在区域 内连续”的条件下，得到简单证明。 借助黎曼证明：令 ， ，由公式(3.1)， ， 在附加条件下，偏导数 ， ， ， 在区域 内连续，由非均匀复变函数C.-R.方程(参见文献 [ 1 ] )： ， ， 再由格林定理， ， ， 故得 . 由定理4.1，可以得到 定理4.2设函数 在非均匀复数域 上的单连通区域 内解析， 为 内任一条闭曲线(不必是简单的)，则 . 证明：因为任意闭曲线 总是可以看成区域 内很多条周线衔接而成，由非均匀复积分基本性质及非均匀柯西积分定理4.1，即可证明。 推论4.3 设函数 在 平面上的单连通区域 内解析，则 在 内积分与路径无关，即对 内任意两点 与 ，积分 之值，不依赖于 内连接起点 与终点 的曲线。 证明：不妨假设在区域 内有任意两条连接起点 与终点 的曲线 与 ，定义曲线 的方向为正方向，则正方向曲线 与负方向曲线 就衔接成 内的一条闭曲线 。由定理4.2与非均匀复积分的基本性质，有 ， 因而 . 4.2. 不定积分 在4.1节中，非均匀柯西积分定理说明了积分与路径无关。也就是说，若函数 在 平面上的单连通区域 内解析，则沿 内任意曲线 的积分 只与其起点和终点有关，当起点 固定时，积分在 内定义了一个变上限 的单值函数，我们把它记成变上限积分 . (4.1) 定理4.4 设函数 在 平面上的单连通区域 内解析，则由式(4.1)定义的函数 在 内解析，且 。 定理4.5 设 1) 函数 在单连通区域 内连续； 2) 沿区域 内任一周线的积分值为零，则函数 (为内一定点) 在 内解析，且 。 定义4.1在区域 内，如果函数 连续，则称符合条件 的函数 为 的一个不定积分或原函数，且 在区域 内解析。 如果在定理4.4或者定理4.5的条件下，式(4.1)应该就是函数 的一个原函数。这一系列原函数可以表示为： ，其中 为常数 (4.2) 定理4.6在定理4.4或者定理4.5的条件下，若 为函数 在单连通区域 内的一个任一原函数，则 (4.3) 定理4.6与积分基本定理，即牛顿–莱布尼兹公式，类似。 例4.1 在单连通区域 内： 内，函数 是 的一个原函数，而 在单连通区域 内解析，故根据定理4.6有 . 4.3. 非均匀柯西积分公式 根据非均匀柯西积分定理，我们可以导出对应的非均匀柯西积分公式。 定理4.7 设区域 的边界是周线(复周线) ，函数 在 内解析，在 上连续，则有 (4.4) 证明：任意固定 ， 作为 的函数在区域 内除点 外均解析。今以点 为心，充分小的 为半径作圆周 ，使得 及其内部均含于 。对于复周线 及函数 ，有 . 因此我们只需要证明 . (4.5) 在第三节例题3.2中，当 时， ，那么 (4.6) 根据 的连续性，写成 语言形式，即对任给的 ，存在 ，只要 ，就有 从而式(4.6)不超过 ，式(4.5)得证。 定义4.2 在定理4.7条件下， 称为非均匀柯西积分。 此外，式(4.4)又可写为 (4.7) 在定理4.7下，我们将式(4.4)对 求导，得到 ，(4.8) 继续求导，可以得到 ， (4.9) 如此下去，可得下面定理。 定理4.8 在定理4.7的条件下，函数 在区域 内有各阶导数，且 . (4.10) 式(4.10)也可以表示为 .(4.11) 例4.2 计算积分 ，其中 。 解：因 在 上是解析的，满足柯西积分公式定理条件，再利用式(4.11)，得 .
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user: 5. 非均匀解析函数与非均匀调和函数的关系 在4.3节中，我们知道了在区域 内解析的函数有各阶导数，从而其虚部和实部都应有二阶连续偏导数。这里，我们可以将判断函数解析的一个充分条件弱化为充要条件。 定理5.1 函数 在区域 内解析的充要条件是： 1) ， ， ， 在 内连续； 2) ， 在 内满足非均匀C.-R.方程。 证明： 充分性 显然； 必要性 条件(2)的必要性显然；条件(1)因解析函数 的无穷可微性， 必在 内连续，从而 ， ， ， 在 内连续。 不妨设 在区域 内解析，则由非均匀C.-R.方程 [ 1 ] 可知 则 因 与 在区域 内连续，必定相等，故在区域 内有 (5.1) 同理可得 (5.2) 这里与拉普拉斯方程有所区别，即非均匀复变函数下， 与 不再满足拉普拉斯方程，我们定义一种新的算子： 算子，运算符号为 ； 与 满足式(5.1)和(5.2)，称 与 满足系数为 的非均匀拉普拉斯方程。 定义5.1如果二元实函数 在区域 内有二阶连续偏导数，且满足非均匀拉普拉斯方程，则称 为区域 内的系数为 的非均匀调和函数。 定义5.2 在区域 内满足非均匀C.-R.方程的两个非均匀调和函数 、 中， 称为 在区域 内的系数为 的非均匀共轭调和函数。 根据上面的讨论，我们得出下面定理： 定理5.2若 在区域 内非均匀解析，则在区域 内 必为 的系数为 非均匀共轭调和函数。 自然我们会想定理反过来是否成立，显然结论是不一定的。 若要 在区域 内非均匀解析， 与 还必须满足非均匀C.-R.方程。由此，在已知某解析函数实部或虚部下就可以求出其虚部或实部。 假设 是一个单连通区域， 是区域内的系数为 的非均匀调和函数，则其在区域内有二阶连续偏导数，由式(5.1)可知 (5.3) 在数学分析中，表达式 是全微分，那么 (5.4) 则 (5.5) 类似地， (5.6) (5.7) 其中 是区域内的定点，在选取时，可以选择原点(0，0)这是因为单连通区域含原点； 是区域内的动点， 和 是常数，积分与路径无关。 由于任一个二元调和函数都可作为一个解析函数的实部或虚部，而虚部或实部自然可以由非均匀C.-R.方程确定，且得到的函数非均匀解析。可以得到下述定理。 定理5.3设 是在单连通区域 内的非均匀调和函数，根据式(5.5)可以确定出一个 ，从而由 与 确定出的 是区域 内的非均匀解析函数。 例5.1 验证 ( 为非零实数)是 平面上的系数为 的调和函数，并求以 为实部的非均匀解析函数 ，使满足 。 解：在 平面上任意一点， ， 满足： ，故 为 平面上的系数为 的非均匀调和函数。 根据非均匀C.-R.方程，可知 ， 根据式(5.4)和(5.5)，得出 ，从而 ， 对 求 偏导， ，得出 ，从而 。 因此 。 那么 ，这是通解，代入已知条件，可以得到一个满足条件的特解： ，那么 ，故 .
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user: 6. 结论 本文在文献 [ 1 ] 的基础上继续研究非均匀复变函数的积分，获得了解析函数的非均匀Cauchy积分公式和非均匀积分定理，建立了解析函数与非均匀调和的关系。还有很多进一步讨论的内容，如何建立非均匀复函数的泰勒展开和洛朗展开，奇点的分类，类似的留数定理；以及在物理，力学的应用。
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user: 摘 要 本文主要在动态建模过程中考虑易感染浮游植物吸收营养盐转化为自身能量所造成的时间滞后和易感浮游植物变为感染浮游植物所造成的时间滞后，进而建立了一类具有时滞效应的营养盐–浮游植物动态系统。在此基础上，主要采用Routh-Hurwitz判据和Lyapunov-Krasovskii函数对该系统内平衡点的稳定性和Hopf分支进行了理论分析，获得了系统具有这些特定动力学行为的临界条件，这些研究结果对预防和控制浮游植物大面积爆发具有一定的指导意义。 关键词 :时滞，平衡点，稳定性，Hopf分支 Copyright © 2017 by author and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 浮游生物在调节海洋和气候的变化中扮演着重要的角色，因为它们是食物链中最基础的生物部分，是全球碳循环不可缺少的一部分 [ 1 ] 。然而，随着人类社会经济的发展，化学物质已经被应用到日常生活的工业生产中，随着这些化学物质进入河流进入大海，从而造成浮游植物持续增长并导致水体富营养化，最终形成蓝藻水华和海洋赤潮，使得生态系统失稳，进而对人类造成极大损害 [ 2 ] [ 3 ] 。 为预防与控制有害藻类水华现象，并维持浮游动植物种群的长久共存，保护水生生态环境，使开发生态环境与人类生存相和谐 [ 4 ] ，有很多科学家都对浮游生物的生长繁殖进行了研究。数学生态学家对这一现象进行了研究，并建立了多种不同的数学模型来表述它们之间的关系。Chatterjee Anal. [ 5 ] 建立N-P-Z模型并且将Holling II模型作为功能反应项，文章中讨论了系统的边界性和Hopf分支，且采用数值模拟对结果进行了拟合。Mukhopadhyay B. [ 6 ] 研究的也是N-P-Z模型，他们将一种IV功能反应函数应用于系统当中，对ODE系统的平衡点稳定性及分支行为进行了研究，之后将模型空间扩展分析扩散对稳定性的影响。Chafferjee Anal and Yu Hengguo [ 7 ] [ 8 ] 分析这一系统由于妊辰引起的时间滞对系统稳定性和Hopf分支的影响。除了对N-P-Z模型研究，N-P模型和P-Z模型也吸引了很多的科学家。Chakraborty Sabhendu [ 9 ] 研究了关于营养盐和有毒浮游植物的空间动力学系统，考虑了系统的线性稳定性和图灵失稳的状态。Wang Yapei [ 10 ] 基于数值分析，发现浮游植物密度随着营养盐密度的增长而增长，并且由于扩散和浮游植物的下沉会影响系统的稳定。N-P系统中考虑了时滞的影响 [ 11 ] [ 12 ] ，对平衡点的存在性和稳定性、Hopf分支和方向以及分支周期解都进行了分析。Dai Chuanjun [ 1 ] 对影响N-P系统的反应扩散和时滞进行了系统的分析研究。总而言之，许多数学生态学家对P-Z模型做了大量的研究工作 [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] ，他们考虑不同的影响因素包括扩散、脉冲、时滞等和不同的功能反应函数结合进行研究以达到更接近实际环境的目的。 在水生生态系统中，浮游植物种群不仅相互竞争，而且产生的毒素会抑制对方生长 [ 17 ] 。本文主要研究了带有时滞因子的N-P系统，考虑了营养盐、易受感染的浮游植物和已经被感染的浮游植物三者之间的关系并建立数学模型。事实上，已经有很多科学家对这类系统进行了研究，Chattopadhyay J. [ 18 ] 研究了共存和不共存的一般性条件，例如考虑营养吸收函数和Holling II功能反应函数。他们考虑脉冲对系统的影响 [ 19 ] ，得到了系统灭绝的周期解、全局渐近稳定性和持续性存在的条件，揭示了脉冲扩散在系统中扮演的重要角色。Li Jianjun [ 20 ] 研究了关于N-P的反应扩散系统，得到了系统不恒稳定和存在分支的临界条件。 在这些模型的基础上，考虑由于消化和感染引起的时间滞后现象，进而建立具有时滞效应的营养盐、易感染浮游植物和被感染浮游植物动力学模型如下： (1.1) 这个模型的建立具有以下假设前提：N、P 1 、P 2 分别代表在时间t时刻营养盐浓度、易感染和被感染的浮游植物的浓度。此外，所有参数取值均为正数，其中 表示外部流入系统的营养盐总量，e代表营养盐从水面到水的深层造成的流失率，a 1 和a 2 是浮游植物吸收营养盐后的转化率，k是半饱和常数，b 1 和b 2 是浮游植物死亡后转化为营养盐的转化率， 和 分别表示浮游植物被感染率和易感染者的转化率，m 1 和m 2 表示易感染者和感染者的死亡率， 代表易感染者吸收营养盐消化的时间， 代表易感染的浮游植物从被感染到变成感染者的时间。 同时，系统(1)的初始函数应该满足下面的条件： 其中：
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user: 2. 稳定性和Hopf分支 这部分主要讨论系统(1.1)内平衡点的稳定性。内平衡点 代表三个种群共存，其中： 存在需满足下面的条件： (H1) 第一种情况： 定理2.1：当 时，满足条件(H2)时，平衡点 是局部渐近稳定的。 (H2) 证明：在假设(H1)条件下，对系统(1.1)进行换元变形： 将内平衡点 转化到原点，系统(1.1)可以重新写为： (2.1) 其中： 系统(2.1)对应的特征方程为： (2.2) 其中： 根据Routh-Hurwitz准则，满足条件(H2)时， 是局部渐近稳定的。 证明完毕。 第二种情况： 引理2.1：当 ，满足条件(H3)，系统内平衡点是局部渐近稳定的。 (H3) 证明：当 时，系统(1.1)可以写成： (2.3) 我们选择Lyapunov-Krasovskii函数做变换得到如下： 对 进行求导并且等于系统(2.3)的迹，得到： 因此，得到： ， 其中： 所以我们得到结果：如果 ，系统(2.3)是局部渐近稳定的，所以系统内平衡点 是局部渐近稳定的。证毕 系统(2.3)的特征方程可以写成如下： (2.4) 其中： 假设方程(2.4)的根 是纯虚根，将其带入方程(2.4)并且分离实部和虚部，得到下面的方程组(2.5)： (2.5) 平方并且相加两个方程得到方程(2.6)： (2.6) 其中： 。定义函数 。很明显如果 那么 。当 ，方程 有两个实根： ， 注意到 和 ， 通过方程(2.6)讨论 的稳定性。 引理 2.2 i) 如果(2.6)没有正根，满足条件(H1)、(H2)， ， 是局部渐近稳定的。 ii) 如果(2.6)存在几个正根 ，可以从(2.5)得到 ，令 。当 时，特征方程存在一对纯虚根 ； 当 时，特征方程没有纯虚根。 在第二种情况下讨论Hopf分支。 分别对方程(2.4)两边关于 进行微分求导，令 为方程(2.4)的根，并且 ，将 代入(2.4)求导，可得： 所以 其中 定理 2.2当 并且满足条件(H1)和(H2) i) 如果(2.6)没有正根，当 ，系统(1.1)的内平衡点 是局部渐近稳定的。 ii) 如果(2.6)有个不同的正根 ， ，系统是局部渐近稳定的；当 且 ，系统(1.1)在 产生Hopf分支。 第三种情况： 当 时，系统(1.1)可以写成如下形式： 我们将 放在其在第二种情况的稳定区间，将 看作变量进行研究 系统(1.1)的特征方程变为 (2.7) 其中 并且 假设 是方程(2.7)的纯虚根且将 代入方程(2.7)，两边同时乘以 ，可以得到： 其中 分离实部和虚部得到 (2.8) 对(2.8)进行处理得到 (2.9) 且 所以代入(2.9)并进行简化，得到关于 的函数 (2.10) 1) 如果(2.10)不存在正根，(2.8)没有关于 的正根。 2) 如果(2.10)存在几个不同的正根 ，我们就可以从(2.5)得到 ，取 ，当 ，特征方程存在一对纯虚根 ；当 ，特征方程没有纯虚根。 通过(2.8)，可以得到： ， 令 ， 定理2.3i) 当 且 时， 是局部渐近稳定的。 ii) 当 且 时，方程有一对纯虚根 。 ， 系统(1.1)在 处出现Hopf 分支。
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user: 3. 结论 本文建立一类具有时滞效应的营养盐-浮游植物动态系统，基础Routh-Hurwitz判据和Lyapunov-Krasovskii函数，详细讨论了系统正平衡点的局部渐近稳定性和Hopf分岔动力学行为，获得了系统在正平衡点发生Hopf分岔行为的临界条件，这些研究结果对预防和控制浮游植物大面积爆发具有一定的指导意义。
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user: 摘 要 本文提出了一种求解Burgers方程新的算子分裂有限元方法。该算法采用算子分裂法将Burgers方程分解成纯对流部分和扩散部分：对流方程时间离散采取中心差分格式，空间的离散采用标准的Galerkin有限元法；扩散子方程的时间离散采取向后差分格式，空间的离散仍采用标准的Galerkin有限元法。该方法特点是对流部分特殊的显式处理，对其使用多步法技术从根本上扩大稳定性区域，而且多步格式在选择适当步数的条件下可以呈现出无条件稳定。通过数值实验验证了该算法单步和多步格式的稳定性和收敛性，并对其进行了误差估计。 关键词 :算子分裂法，Burgers方程，有限元法，多步法 Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 Burgers方程是流体力学中一个非常重要和基本的非线性偏微分方程，广泛的应用于空气、动力学、湍流、热传导、交通流、半导体迷你以及地下水污染等领域；同时Burgers方程可以作为流体动力学中Navier-Stokes方程的简化模型方程，又可以作为浅水波等问题的数学模型。因此讨论这类方程的数值解法，具有重要的理论和现实意义。 求解Burgers方程的数值方法主要有有限差分法、有限体积法、有限元法 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] 。其中，有限元法由于适合处理复杂几何形状和边界条件而成为计算力学中的优选方法，目前已经发展了多种有限元数值计算方法。标准的Galerkin有限元法实质上采用的是中心差分格式，随着对流项越来越强，呈现强的非线性特性，从而引起数值解的振荡失真。Petrov-Galerkin法(P-G法) [ 6 ] 通过将权函数取为基函数的某种修正形式使计算格式具有人工耗散能力，提高了解的精度，随后发展了多种迎风方法，如流线迎风Petrov-Galerkin法等。上述各方法都包含一个对原Galerkin法的耗散修正项，产生了一个包括二阶空间导数的附加项。Taylor-Galerkin [ 7 ] 有限元法(T-G法)时间方向上的Taylor展开先于空间上的Galerkin离散，相比P-G法不需要使用特殊的权函数，也无需确定人工耗散自由参数来达到高精度。基于特征线的分裂算法(CBS法) [ 8 ] 是结合分裂算法与特征线Galerkin法的一种比较新的算法，在流体和固体动力学问题中得到了广泛的研究。 算子分裂法 [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] 是Yanenko在1971年提出的经典分裂法，该算法具有格式灵活、稳定性好等特点。曹志先 [ 12 ] 等用算子分裂法求解了Burgers方程，用显式差分格式处理扩散算子，用特征线法处理纯对流算子，并分析了该算法的稳定性条件，还对一、二维Burgers方程进行数值解，所得结果与分析解或已有数值解吻合。 本文在文献 [ 13 ] 的基础上，采用基于算子分裂的有限元方法求解二维非定常粘性的Burgers方程，在每个时间层上应用算子分裂技术将Burgers方程分裂成纯对流子方程和扩散子方程，这样可以避免两种不同性质的物理过程在一起求解时计算的困难。对流方程时间离散采取中心差分格式，空间的离散采用标准的Galerkin有限元法，将其结果作为求解扩散子方程的初始值。扩散子方程的时间离散采取向后差分格式，空间的离散仍采用标准的Galerkin有限元法。该方法的另一个创新之处在于对流部分特殊的显式处理，使得在一个步长的扩散修正过程中，对流部分以局部较小的时间步长执行有限次数，这样可以从根本上提高计算格式的稳定性。数值模拟验证了该算法单步和多步格式的稳定性和收敛性。
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user: 2. 计算方法 本文主要涉及的是二维粘性Burgers方程： in 具有的边界条件和初始条件分别为： ， in ， 这里的 表示粘性系数。 在这部分我们将推导出一种新的分裂法求解二维粘性的Burgers方程。首先介绍一些符号：剖分时间区间 ： ，其中 ， ； 和 分别代表近似解 在 和 处的值，但是当 给定时， 和 将表示精确解在 和 处的值； 类似于 。 2.1. 单步格式 首先采用标准算子分裂技术将对流扩散方程分裂成一个纯对流子方程和一个扩散子方程，在时间推进方面分别用中心差分格式和向后的欧拉格式近似这两个方程，得到： ， (1) ，其中 ， ； (2) 我们使用有限元方法分别求解方程(1)(2)的 和 ，因此需要两个方程的变分形式。直接可以得到方程(2)的变分形式即：找到 使得在边界 有 ，并且求解 (3) 方程(1)的求解比较复杂，因为该格式是隐式还涉及了一个线性化对流方程的解的问题。求解的主要思想还是找到一个显式的格式去计算这个线性化的对流方程。在此我们应用泰勒展开式去计算 即： 再使用对流子方程： ， 可以得到： 利用上述的关系式，方程(1)可以改写为： (4) 注意到方程(1)是一个纯对流方程，仅需要设置来流方向 的边界条件。 给方程(4)两边乘以一个测试函数 ，并且在 上积分，使用分部积分可以得到： 现在我们利用一些有限元方法转向空间的离散。假设 是近似Sobolev空间 有限元空间， 是 到 的算子插值。基于变分形式(3) (5)，下面提出求解二维粘性Burgers方程的单步算法。 单步算法： 1) 计算初始值 ，对于 2) 找到 使得在 满足 ，并且求解 3) 找到 使得在 满足 ，并且求解 2.2. 多步算法 由于单步格式显示的求解二维粘性Burgers方程的单步算法，其稳定性不够好，为了提高算法的稳定性，我们可以采用在每一步对扩散方程的修正过程中，多次的执行对流步，以至于在对流部分可以使用更小的时间步长。为此我们将步骤2的结果 写成如下的形式： (6) 为了得到 ，多步格式以较小的时间步长 运行对流步 次，即我们要计算： (7) 我们分别称 和 为局部时间步长和全局时间步长。利用多步迭代(7)代替步骤2，可以得到下面的多步格式。 多步算法： 1) 计算初始值 ，对于 2) 设 ，并计算 ，其中 ，使得在边界 有 ，对所有的 求解下面的方程： 3) 找到 使得在 满足 ，并且求解