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user: 2. 热量传导模型 2.1. 模型建立 本文将温度分布理解分为时间分布与空间分布，各层织物对热量的吸收，传递能力不同，温度在厚度坐标轴上呈空间分布。热交换通过热传导，热辐射与热对流三种方式进行。I层织物与外界环境间三种方式均存在，IV层与皮肤表层(记作V层)间存在热辐射与热传导，IV层缝隙足够小，认为其热对流可忽略不计。其他各层间热辐射相抵，仅计算热传导对温度的改变。规定热量传递方向始终垂直于人体皮肤外侧，简化为一维模型，为着重观察人体皮肤温度的变化，不考虑同层织物间差异。建立以I层与空气交接面为原点的x坐标轴，以织物厚度增加的方向为正向。 根据能量守恒定律，t时刻体积元 Δ V 内的热量 Δ Q = c ρ u Δ V ，其中c是比热， ρ 是密度，u是温度.不考虑织物传热的层内差异，温度u可视作仅与厚度x和时间t有关的函数，体积元 Δ V = S Δ x ，则 Δ Q = c ρ u Δ V 可变形为： Δ Q = c ρ u ( x ， t ) S Δ x (1) 其中， Δ x ( a < x < b ) 为足够小区域，随时间变化动态表示其热量，t时刻该区域的热量 Q ( t ) 为： Q ( t ) = ∫ a b c ρ u ( x ， t ) S d x (2) 为探讨热量随时间的变化率，对热量 Q ( t ) 关于时间进行求导得： d Q ( t ) d t = S ∫ a b c ρ ∂ u ∂ t d x (3) 其中 a ， b 分别为 Δ x 在厚度坐标轴上的左右坐标。热量从温度较高侧传递向温度较低侧，传递速度与区域长度成反比，与横截面积成正比，上式可表为： Q ( t ) = ∫ a b − k u ( b ， t ) − u ( a ， t ) Δ x S d x (4) 其中，k为有效导热传导率，热量随时间变化率还可表示为： d Q ( t ) d t = k [ ∂ u ∂ x ( b ， t ) − ∂ u ∂ x ( a ， t ) ] S (5) 为处理热量变化率的两种表示方法，将式(5)化为积分处理的方式： d Q ( t ) d t = k ∫ a b ∂ 2 u ∂ x 2 d x S (6) 联立式(5)与式(6)后可消去热量变化率 d Q ( t ) d t ： k ∫ a b ∂ 2 u ∂ x 2 d x S = S ∫ a b c ρ ∂ u ∂ t d x (7) 假设各层织物的温度为 u i ( x ， t ) ，第IV层空气温度为 u a i r ( x ， t ) ， T i 为各层左侧温度。I层织物与外界环境直接接触，而空气层与其之间的热对流无法忽视，即该层三种热传导方式均存在。已知环境温度 T a i r ，人体体表温度 T p h y ，各层织物热传导率 k i ， ( i = 1 ， 2 ， 3 ) ，建立各层热传递协调方程。针对于第I层织物，由能量守恒定律得： c ρ ∂ u 1 ∂ t = ∂ ∂ x ( k 1 ∂ u 1 ∂ x ) + ∂ q r 1 ∂ x (8) 由辐射换热表达式对上式进行变形，可描述为： q r 1 = α R | a i r [ ( T a i r 100 ) 4 − ( T 1 100 ) 4 ] S 1 (9) 其中 q r 1 是在单位时间内第I层织物辐射换热的热量， α R | a i r 为空气辐射系数， S 1 为第I层交界面表面积； T a i r 为外界环境温度； T 1 为第I层左侧温度。 为获得方程所求问题的解，需确定定解条件，其中织物的初始条件为： ( x ， 0 ) = U 1 ( x ) ， x ∈ ( 0 ， L 1 ) (10) 织物左边界条件为： − k 1 ∂ u 1 ∂ x | x = 0 = ( q c ) x = 0 (11) q c = h c ( T a i r − T 1 ) S 1 (12) 其中 q c 为在单位时间内外界环境对流换热的热量， T a i r 为外界环境温度， T 1 为第I层织物左侧的温度， h c 为对流换热系数。织物右边界条件为： u 1 ( L 1 ， t ) = U 2 ( t ) ， t ∈ ( 0 ， T 1 ) (13) 第II，III层织物层间热辐射相抵，仅考虑热传导对温度的改变。由能量守恒定律得第II层织物热传递方程： c ρ ∂ u 2 ∂ t = ∂ ∂ x ( k 2 ∂ u 2 ∂ x ) (14) 第II，III层织物边界条件为： u 2 ( L 1 ， t ) = U 2 ( t ) ，   t ∈ ( 0 ， T 2 ) (15) u 2 ( L 2 ， t ) = U 3 ( t ) ，   t ∈ ( 0 ， T 3 ) (16) 第III层织物和人体皮肤表层实则并未直接接触，期间存在第IV层空气层，所以要考虑和空气层之间的热辐射，由能量守恒定律得第III层织物热传递方程为： c ρ ∂ u 3 ∂ t = ∂ ∂ x ( k 3 ∂ u 3 ∂ x ) (17) 第III层织物边界条件为： u 3 ( L 2 ， t ) = U 3 ( t ) ， t ∈ ( 0 ， T 4 ) (18) − k 3 ∂ u 3 ∂ x | x = L 3 = ( q r 3 ) x = L 3 (19) q r 3 = α R | a i r [ ( T ′ a i r 100 ) 4 − ( T 4 100 ) 4 ] S 3 (20) 式(20)中， q r 3 是在单位时间内第III层辐射换热的热量， α R | a i r 为空气辐射系数， S 3 为第III层交界面表面积； T ′ a i r 为第IV层空气温度， T 4 为第IV层左侧温度。考虑第IV层与人体间的热量传递，IV层与皮肤表层(记作V层)间存在热辐射与热传导，因为IV层缝隙足够小，我们认为其热对流可忽略不计。当外界 温度 T a i r 小于37˚时，人体向外界发出热辐射，此时 Q = α R | p h y ( T p h y 100 ) 4 S ，其中Q为辐射热量， α R | p h y 为人 体辐射系数，S为人体表面积， T p h y 为人体温度。当外界温度 T a i r 大于37˚时，外界向人体发出热辐射： Q = α R | a i r [ ( T 4 100 ) 4 − ( T p h y 100 ) 4 ] S (21) 其中T 4 为IV层织物左侧温度， α R | a i r 为空气辐射系数，S为IV层交界面表面积。第IV层热量传递方程为： c ρ ∂ u 4 ∂ t = ∂ ∂ x ( k 4 ∂ u 4 ∂ x ) (22) q r 4 = α R | a i r [ ( T 4 100 ) 4 − ( T p h y 100 ) 4 ] S 4 (23) 式(22)中， q r 4 是在单位时间内第IV层辐射换热的热量， α R | a i r 为空气辐射系数， S 4 为第IV层交界面表面积； T p h y 为人体体表温度； T 4 为第IV层左侧温度。 第IV层织物初始条件为： u 4 ( x ， 0 ) = U 4 ( x ) ， x ∈ ( L 3 ， L 4 ) (24) 第IV层织物边界条件为： u 4 ( L 3 ， t ) = U 4 ( t ) ， t ∈ ( 0 ， T 4 ) (25) u 4 ( L 4 ， t ) = U p h y ( t ) ， t ∈ ( 0 ， T 5 ) (26) 2.2. 模型优化 为平衡计算得到的皮肤外侧温度值与实际皮肤外侧温度值的差异，引入补偿函数 H = ξ ∂ u ∂ x 。前期空 间上温差较大时温度上升速度较快，经过足够长时间后温度趋于稳定，不存在能量传递。温度上升速度递减，即传热量递减，温差递减，假设传热量与温差成正比参数 ξ 取值与温度u的变化量有关，引入补 偿系数a，令 ξ = a ∂ u ∂ t ，更新补偿函数 H = a ∂ u ∂ t ∂ u ∂ x ，优化热传导模型得： T n e w = c ρ ∂ u ∂ t = k ∂ 2 u ∂ x 2 + a ∂ u ∂ t ∂ u ∂ x (27) 其中， T n e w 为优化后的皮肤外侧温度，c是比热， ρ 是密度，u是第IV层温度。为估计补偿系数a值，将同一时间内附件所给皮肤外侧温度与计算得到的皮肤外侧温度值作一组观测值，对5401组观测值作最小二乘拟合。 2.3. 模型求解 第I层厚度0.6 mm，第II层厚度6 mm，第III层厚度3.6 mm，第IV层厚度5 mm，总厚度为15.2 mm，将其分割为152个单位元(厚度为0.1 mm)，对应x坐标为0-151。以第I层织物与外界环境的接触处作为x轴的原点，外界环境温度 T a i r = 75 ˚ C ，所得温度空间分布表部分摘录如表1。 Table 1 Temperature distribution table of protective clothing in the first secon 体积元序号 温度/℃ 1 75 2 71.39608565 3 64.1887333 4 60.58529681 … … 151 37 152 37 表1. 第1秒内防护服温度空分布表