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user: 4. 仿真实验与结果分析 4.1. 实验环境 为验证新算法的性能，本文引入九个基准函数进行测试，其中既有单峰函数又有多峰函数，基准函数的具体信息见表2；本文实验在高维搜索空间进行，取维数 D = 150 ，粒子数 S = 20 ，最大迭代次数为20，000次，为消除随机因素的影响，每次实验重复40次，最后取平均值。每次实验之初随机初始化粒子的速度 V i 和位置 X i ， i ∈ I ，然后计算出每一个粒子的适应度值，根据适应度值确定个体最优粒子的位置 P i 和全局最优粒子的位置 P G 。 4.2. 上限值N的选取 在PSO-DW算法中，分布式时延步数的上限值N是一个非常重要的参数，不同的N将影响算法的收敛速度和最终的收敛值。本文将通过实验，对比N取75、100、125、150、175、200时，根据算法在150维空间中的九个基准函数上的不同表现，选取鲁棒性最强的N。实验结果如图1所示。在图1中，纵坐标是平均适应度值的对数值，横坐标是迭代次数。 从图1中可以看出，当分布时延项数的上限值N取125时算法在 f 1 ( x ) ， f 3 ( x ) ， f 8 ( x ) ， f 9 ( x ) 相对于其他的N性能更优，不仅拥有较好的适应度值，而且相对而言较早开始收敛。对于函数 f 2 ( x ) ， f 4 ( x ) ， f 5 ( x ) ， f 6 ( x ) ， f 7 ( x ) ，虽然N取125没有最优的适应度值，但与其它适应度值相差不大，而 N = 125 时有更早的收敛趋势，因此本文选取 N = 125 。 Table 2 Benchmark functio 函数 名字 搜索空间 f 1 ( x ) Griewank [−600， 600] f 2 ( x ) Penalized 1 [−50， 50] f 3 ( x ) Schwefel 1.2 [−100， 100] f 4 ( x ) Rastrigin [−5.12， 5.12] f 5 ( x ) Schwefel [−500， 500] f 6 ( x ) Penalized 2 [−50， 50] f 7 ( x ) Step [−100， 100] f 8 ( x ) Schwefel2.22 [−10， 10] f 9 ( x ) Schwefel2.21 [−100， 100] 表2. 基准函数 图1. 由PSO-DW算法训练N 4.3. 实验结果与分析 为验证算法性能在高维搜索空间中的优越性，本文选用PSO-CK、PSO-TVAC、PSO-LDIW、RODDPSO四种算法作对比，评价指标为最小值、均值、方差。实验结果如表3和图2所示。表3表明，在相同的实验环境下，PSO-DW算法在九个基准函数上表现出明显优势。首先九个平均适应度值都是最小的，这表明PSO-DW算法有较好的寻优质量，其收敛精度更高；其次除了在 f 4 ( x ) 上，PSO-DW算法的方差也是最小的，这说明PSO-DW算法的稳定性较好；就最小值而言PSO-DW算法的仅在 f 3 ( x ) 上略逊于PSO-CK算法。进一步仔细比较，算法性能表现次优的是RODDPSO算法，而PSO-CK、PSO-TVAC、PSO-LDIW算法精确度普遍较差，这表明在高维搜索空间中，PSO-CK、PSO-TVAC、PSO-LDIW算法容易收敛于局部极值，而引入时延项的PSO算法，充分考虑了种群的个体最优历史信息和全局历史信息，更加有利于增加粒子的多样性，表现出更好的跳出局部最优的能力。 Table 3 Comparison of performance of five algorithms in 150 D search spac 函数 评价指标 PSO-CK PSO-LDIW PSO-TVAC RODDPSO PSO-DW f 1 ( x ) 最小值 2.71 × 10 2 3.43 × 10 −2 2.99 × 10 2 2.32 × 10 −11 8.66 × 10 −15 均值 5.50 × 10 2 3.27 × 10 2 4.13 × 10 2 1.43 × 10 −1 2.15 × 10 −2 方差 1.83 × 10 2 1.63 × 10 2 4.13 × 10 2 1.43 × 10 −1 2.15 × 10 −2 f 2 ( x ) 最小值 4.17 × 10 −2 2.51 × 10 −4 5.71 × 10 6 4.93 × 10 −9 1.88 × 10 −15 均值 8.96 × 10 7 1.92 × 10 7 2.23 × 10 7 4.42 × 10 −1 7.98 × 10 −2 方差 1.79 × 10 8 6.83 × 10 7 9.90 × 10 6 5.66 × 10 −1 1.51 × 10 −1 f 3 ( x ) 最小值 3.30 × 10 3 1.54 × 10 5 2.12 × 10 5 1.70 × 10 4 8.04 × 10 3 均值 9.21 × 10 4 2.29 × 10 5 3.07 × 10 5 6.00 × 10 4 1.45 × 10 4 方差 5.69 × 10 4 6.01 × 10 4 4.69 × 10 4 2.30 × 10 4 4.01 × 10 3 f 4 ( x ) 最小值 7.26 × 10 2 5.49 × 10 2 1.23 × 10 3 3.69 × 10 2 2.71 × 10 2 均值 9.01 × 10 2 7.72 × 10 2 1.40 × 10 3 5.24 × 10 2 3.80 × 10 2 方差 1.20 × 10 2 1.14 × 10 2 8.44 × 10 1 7.11 × 10 1 8.17 × 10 1 f 5 ( x ) 最小值 2.55 × 10 4 2.56 × 10 4 3.88 × 10 4 2.20 × 10 4 2.18 × 10 4 均值 3.09 × 10 4 3.07 × 10 4 4.44 × 10 4 3.05 × 10 4 2.59 × 10 4 方差 2.28 × 10 3 2.50 × 10 3 4.52 × 10 3 9.51 × 10 3 1.98 × 10 3 f 6 ( x ) 最小值 1.59 × 10 0 6.42 × 10 −1 4.17 × 10 7 4.61 × 10 −8 1.40 × 10 −12 均值 5.33 × 10 8 1.33 × 10 8 9.14 × 10 7 1.81 × 10 0 3.51 × 10 −1 方差 4.17 × 10 8 2.35 × 10 8 3.44 × 10 7 2.31 × 10 0 9.70 × 10 −1 f 7 ( x ) 最小值 4.13 × 10 4 1.00 × 10 4 2.42 × 10 4 2.70 × 10 1 1.20 × 10 1 均值 7.75 × 10 4 3.53 × 10 4 4.18 × 10 4 2.04 × 10 2 4.06 × 10 1 方差 1.93 × 10 4 1.65 × 10 4 7.92 × 10 3 1.05 × 10 2 3.03 × 10 1 f 8 ( x ) 最小值 9.07 × 10 1 1.60 × 10 2 3.55 × 10 2 2.40 × 10 −1 9.20 × 10 −9 均值 1.89 × 10 2 2.79 × 10 2 4.67 × 10 2 3.41 × 10 1 4.19 × 10 −6 方差 4.52 × 10 1 9.75 × 10 1 3.45 × 10 2 2.13 × 10 1 1.51 × 10 −5 f 9 ( x ) 最小值 2.93 × 10 1 2.98 × 10 1 5.52 × 10 1 1.64 × 10 1 6.34 × 10 0 均值 3.31 × 10 1 3.48 × 10 1 6.13 × 10 1 2.36 × 10 1 8.17 × 10 0 方差 1.87 × 10 0 2.32 × 10 0 3.42 × 10 0 2.77 × 10 0 1.42 × 10 0 表3. 五种算法在150D的搜索空间中的性能比较 图2表明在150维搜索空间中，五种算法都有较好的收敛，但PSO-DW的优势更加明显。由于分布式时延的引入，历史最优信息被充分考虑，PSO-DW和RODDPSO算法在寻优前期都表现出较好的全局搜索能力，快速朝最优解方向搜索，并且在寻优中期和晚期中表现出较好的局部搜索和跳出局部最优的能力，实现收敛能力的提升。对比RODDPSO算法，一方面由于考虑了时延的时变性，PSO-DW算法具有更加准确的搜索性能，大大提升了收敛精确度；另一方面，由预计状态确定的强度因子的引入，促使种群由当前状态快速向下一进化状态转化，加快了算法的收敛速度。综上所述，在150维的搜索空间中，改进的PSO-DW算法在搜索过程中较好地平衡了全局搜索和局部搜索的能力，降低了陷入局部最优的可能性，实现了收敛速度和收敛精度的提升。 图2. 五种算法在150维的搜索空间中的对比图