DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 2. 预备知识 记 E 为模糊数空间。对 u ∈ E ，令 [ u ] r = { x ∈ R : u ( x ) ≥ r } ， r ∈ ( 0 ， 1 ] ， [ u ] 0 = c l { x ∈ R : u ( x ) > 0 } 。称 [ u ] r 为水平集，记为 [ L u ( r ) ， R u ( r ) ] 。根据模糊数的定义可知 L u ( r ) 为关于水平 r 的单调递增函数， R u ( r ) 为关于水平 r 的单调递减函数， r ∈ [ 0 ， 1 ] 。根据Zadeh扩张原理得到的加法运算，若存在模糊数 w 使得 w + v = u ，则称 u ， v 的H差存在，称 w 为 u ， v 的H差，记为 u − h v = w 。记 a ^ 为隶属函数是单点集合 { a } 特征函数的模糊数。 定理2.1 [ 5 ] ：如果 u ， v ∈ E ， k ∈ R ，则 [ u + v ] r = [ u ] r + [ v ] r = [ L u ( r ) + L v ( r ) ， R u ( r ) + R v ( r ) ] ，并且 k ≥ 0 时， [ k u ] r = k [ u ] r = [ k L u ( r ) ， k R u ( r ) ] ， k < 0 时 [ k u ] r = k [ u ] r = [ k R u ( r ) ， k L u ( r ) ] 。 定理2.2 [ 5 ] ：如果 u ， v ∈ E ， u − h v 存在，则 [ u − h v ] r = [ L u ( r ) − L v ( r ) ， R u ( r ) − R v ( r ) ] 。
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user: 3. 模糊数的三角模糊数幂级数展开 根据参考文献 [ 6 ] 的论证可知：模糊数的H差可能不存在，并且Zadeh扩张原理下，模糊数的线性组合无法表示H差，这使得含有H差的算式不能利用线性组合表示。为了计算表达的便捷性，我们引入下述概念： 定义3.1：如果 u ， v ∈ E ，记 u − h v = u + ( − 1 ) * v ，称 ( − 1 ) * v 为H差虚模糊数。 定理3.1：如果 u ∈ E ，则 [ ( − 1 ) * u ] r = [ − L u ( r ) ， − R u ( r ) ] 。 证明：根据定理2.1和定理2.2可得。 对于任意的 u ∈ E ， r ∈ [ 0 ， 1 ] ，有 L u ( r ) ≤ R u ( r ) ，因此 [ − L u ( r ) ， − R u ( r ) ] 并不存在。可知 ( − 1 ) * v 是不存在的，只是一个形式符号。 记 L ( u ) = u ∩ [ L u ( 0 ) ， L u ( 1 ) ] ， R ( u ) = u ∩ [ R u ( 1 ) ， R u ( 0 ) ] ，因此 u = L ( u ) ∪ [ L u ( 1 ) ， R u ( 1 ) ] ∪ R ( u ) ，为了表述方便，这里我们称 L ( u ) ， R ( u ) 分别称为模糊数 u 的左部和右部，根据定义可知， L ( u ) ， R ( u ) 均为模糊数。 定理3.2：如果 u n ∈ E ， ∑ n = 0 ∞ a n u n 收敛，则 [ ∑ n = 0 ∞ a n u n ] r = [ ∑ n = 0 ∞ a n L u n ( r ) ， ∑ n = 0 ∞ a n R u n ( r ) ] ，其中 a n < 0 时，模糊数的运算为H差。 证明：根据定理2.1，定理2.2，以及文献 [ 5 ] 中的定理7，可知结论成立。 定理3.3：对 u ∈ E ，任意的 r ∈ [ 0 ， 1 ] ， L u ( r ) 关于变量 r 能展开成麦克劳林级数，则 L ( u ) = ∑ n = 0 ∞ L u ( n ) ( 0 ) n ! a n * ( 0 ， a ， a ) n ，其中 ( 0 ， a ， a ) 为三角模糊数。 证明：设三角模糊数 v = ( a 1 ， a 2 ， a 2 ) ，根据已知及定理3.2，可知对任意的 r ∈ [ 0 ， 1 ] ，有 L u ( r ) = ∑ n = 0 ∞ L u ( n ) ( 0 ) n ! r n = ∑ n = 0 ∞ L u ( n ) ( 0 ) n ! ( L v ( r ) − a 1 a 2 − a 1 ) n = ∑ n = 0 ∞ L u ( n ) ( 0 ) n ! 1 ( a 2 − a 1 ) n ( L v ( r ) − a 1 ) n R u ( r ) = L u ( 1 ) = ∑ n = 0 ∞ L u ( n ) ( 0 ) ⋅ 1 n n ! = ∑ n = 0 ∞ L u ( n ) ( 0 ) n ! ( a 2 − a 1 a 2 − a 1 ) n = ∑ n = 0 ∞ L u ( n ) ( 0 ) n ! 1 ( a 2 − a 1 ) n ( L v ( 1 ) − a 1 ) n 根据定理2.1和定理2.2，可知 [ ( a 1 ， a 2 ， a 2 ) − h a ^ 1 ] r = [ L v ( r ) − a 1 ， L v ( 1 ) − a 1 ] ，对任意的 r ∈ [ 0 ， 1 ] 成立。因此 L ( u ) = ∑ n = 0 ∞ L u ( n ) ( 0 ) n ! * 1 ( a 2 − a 1 ) n ( ( a 1 ， a 2 ， a 2 ) − h a ^ 1 ) n = ∑ n = 0 ∞ L u ( n ) ( 0 ) ( a 2 − a 1 ) n n ! * ( 0 ， a 2 − a 1 ， a 2 − a 1 ) n 其中 L u ( n ) ( 0 ) ( a 2 − a 1 ) n n ! 为正数时， * 运算表示模糊数的数乘运算， L u ( n ) ( 0 ) ( a 2 − a 1 ) n n ! 为负数时， * 运算表示H差虚模糊数运算。记 a = a 2 − a 1 ，由此可知 L ( u ) = ∑ n = 0 ∞ L u ( n ) ( 0 ) n ! a n * ( 0 ， a ， a ) n 。 定理3.4：对 u ∈ E ，任意的 r ∈ [ 0 ， 1 ] ， R u ( r ) 关于变量 r 能展开成麦克劳林级数，则 R ( u ) = − ∑ n = 0 ∞ − R u ( n ) ( 0 ) n ! a n * ( 0 ， a ， a ) n ，其中 ( 0 ， a ， a ) 为三角模糊数。 证明：根据定理2.1及左部右部的定义， R ( u ) = − L ( − u ) ，并且有 L − u ( 0 ) = − R u ( 0 ) ，根据定理3.3，可知 R ( u ) = − L ( − u ) = − ∑ n = 0 ∞ L − u ( n ) ( 0 ) n ! a n * ( 0 ， a ， a ) n = − ∑ n = 0 ∞ − R u ( n ) ( 0 ) n ! a n * ( 0 ， a ， a ) n 其中，连加号前面的负号表示模糊数的数乘。 定理3.5：对 u ∈ E ，任意的 r ∈ [ 0 ， 1 ] ， L u ( r ) 与 R u ( r ) 能展开成麦克劳林级数，则 u = ∑ n = 0 ∞ L u ( n ) ( 0 ) n ! a n * ( 0 ， a ， a ) n ∪ [ L u ( 1 ) ， R u ( 1 ) ] ∪ ( − ∑ n = 0 ∞ − R u ( n ) ( 0 ) n ! a n * ( 0 ， a ， a ) n ) 证明：根据定理3.3和定理3.4及模糊数左部右部的定义可知结论成立。
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user: 4. 模糊数展开成三角模糊数幂级数的应用 例4.1：设模糊数 u 的 L u ( r ) = sin r ， R u ( r ) = sin 1 ，利用三角模糊数近似表示 u ，并估计误差。 解：根据 u 的隶属函数可知， u = L ( u ) 。利用定理3.3，可得 u = ∑ n = 0 ∞ L u ( n ) ( 0 ) n ! a n * ( 0 ， a ， a ) n = ∑ n = 0 ∞ sin ( n ) ( 0 ) n ! a n * ( 0 ， a ， a ) n ≈ 1 a * ( 0 ， a ， a ) + − 1 3 ! a n * ( 0 ， a ， a ) 3 取 a = 1 ，则有 u ≈ ( 0 ， 1 ， 1 ) + − 1 3 ! * ( 0 ， 1 ， 1 ) 3 = ( 0 ， 1 ， 1 ) − h 1 3 ! * ( 0 ， 1 ， 1 ) 3 ，根据 [ 6 ] 中的结论可知，上述H差存在。而实际上 u = ( 0 ， 1 ， 1 ) − h 1 3 ! * ( 0 ， 1 ， 1 ) 3 + 1 5 ! * ( 0 ， 1 ， 1 ) 5 − h 1 7 ! * ( 0 ， 1 ， 1 ) 7 + ⋯ 根据 [ 5 ] 中关于收敛模糊数项级数的结论可知，该模糊数项级数收敛，取前两项作为 u 的近似值，上确界度量下的误差 | r 2 | ≤ 1 5 ! = 1 120 。
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user: 5. 总结 本文通过引入H差虚模糊数的概念，使得多个模糊数的连加连减运算可以做形式运算。虽然有些中间结果是H差虚模糊数，但最终的运算结果仍可能是模糊数。这使得三角模糊数项级数的表达式可以涵盖某些项是H差虚模糊数的情况，大大强化了三角模糊数项级数的表示能力。这里还证明了一般的模糊数展开成三角模糊数项级数公式，即定理3.5。这个结论为模糊数的近似计算，以及在计算机中的储存提 供了工具。比如例4.1中的模糊数 u 可以近似储存为向量 ( 0 ， 1 ， 1 ， 0 ， 1 ， 0 ， − 1 3 ! ) ，这样在计算机中储存模糊数比直接储存模糊数的隶属函数简化了，更便于模糊数在计算机中的应用。
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user: 摘 要 干种子浸泡过程中会出现大量内含物外泄，外泄的量与种子活力存在明显的相关关系。为了探究干种子在浸泡过程中胚与胚乳对渗出物质的贡献率，本试验以邯郸6172和潍麦8号为材料，通过老化和去胚处理，检测单位时间内完整种子与去胚种子浸泡液的电导率和吸光度，以及干种子细胞对PI染料的透过程度来间接反应种子胚与胚乳的膜透过性。通过试验得出，小麦正常种子和胚乳的膜透性都是在吸胀第1 h渗透最快，之后缓慢增加。胚和胚乳在吸胀过程中电解质和有机物的渗出具有相似的趋势，活力低的胚渗出量远大于活力高胚的渗出量。组织学荧光观察显示，正常种子胚细胞膜透过性相对较低，胚外围组织及胚乳的透性高。活力显著下降的胚细胞膜透性明显增强。 关键词 :小麦，吸胀，胚，胚乳，膜透性 Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 众所周知，小麦种子由皮层、胚、胚乳组成。糊粉层分布在胚乳的最外层，胚与糊粉层细胞均为活细胞 [ 1 ] 。胚一般占种子质量的2%~3%，糊粉层约占种子质量的7%，胚乳大约占种子质量的90%~93%。成熟脱水的小麦种子含水量较低，在种子检验标准中，不超过13%为合格的含水量 [ 2 ] 。低水分对种子细胞膜会产生不良影响。在水分含量降低的过程中，种子的膜失去水分，为确保磷脂双分子层表面氢键的形成，富含羟基的糖类 [ 3 ] [ 4 ] 、脯氨酸、两亲蛋白 [ 5 ] [ 6 ] 等替代水分聚集在膜表面，与磷脂发生相互作用 [ 7 ] ，维持膜的结构，减少脱水过程对细胞的损伤。随着脱水膜由溶液态转变为中间态 [ 8 ] ，进一步降低水分，低于5%还可以转变为玻璃态 [ 9 ] ，仍不失去活性，如果此时变为较硬的凝胶态细胞将失去活性 [ 10 ] 。细胞随着脱水逐渐从溶液态到粘液态、再到橡胶态、皮革态，最后是玻璃态 [ 11 ] 。无论哪种状态，细胞都可以是活的，但膜完整性存在细微差异 [ 11 ] 。 吸胀过程中种子内含物会大量渗出，豌豆种子由胚外的细胞最先渗出电解质 [ 12 ] 。电解质和有机物都可以渗出 [ 13 ] ，无机离子最常用的检测方法是浸泡液的电导率，电导率是代表质膜透性变化最常用指标之一 [ 14 ] [ 15 ] ，而对有机物，检测方法较多 [ 12 ] ，鲁黎明 [ 16 ] 等用260 nm和280 nm紫外吸光度法、Tai Gi Min [ 17 ] 用刃天青变色来表示，总之用紫外吸光度检测的较多。紫外吸光度与电导率检测相似，检测的是总有机物的量，不是针对某种物质进行的。种子浸出液中电导率和吸光度的大小在一定程度上反应种子内容物质外渗情况 [ 18 ] 。外渗量的多少会影响到种子的活力 [ 13 ] 。 种子活力测定的经典方法之一即通过种子浸泡液的电导率来反应种子活力 [ 18 ] [ 19 ] 。电解质渗出量越高，种子的活力越低，二者呈负相关关系。然而，影响电导率的因素颇多，通过24 h的浸泡，无法判断期间种子的具体变化，TTC染色可以看出颜色变化 [ 20 ] ，但是无法判断种子哪一部分渗出的物质较多，种子的膜系统修复发生在哪一时间段？是因为淹水缺氧还是因为膜修复慢导致了电导率的升高？ 细胞学的观察则可以对不同部位的细胞透性进行比较。荧光染料PI (碘化丙啶Propidium Iodide)是一种可对细胞核中DNA染色的荧光染色试剂，常用于细胞凋亡检测，在嵌入双链DNA后释放红色荧光 [ 21 ] 。尽管PI不能通过活细胞膜，但却能穿过破损的细胞膜而对核染色，通过活体切片的PI染色和荧光染色观察。可以了解不同部位细胞通透性的变化，对我们了解干种子膜的状态有一定的参考价值。
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user: 2. 材料与方法 2.1. 种子及去胚处理 供试品种为潍麦8号、邯郸6172，购自潍坊市种子销售点。潍麦8号是2003年通过山东省审定的高产、抗病、耐肥水小麦品种，邯郸6172是生产上的主推品种之一。将破损、霉变及畸形小麦种子剔除出去。去胚处理为将种子胚用小刀小心挖出，然后用502胶水将缺口封住。 2.2. 老化 根据种子含水量测定标准方法烘干法 [ 2 ] ，测出各样品的含水量，各取50 g种子分别加入分别4.69 g和5.75 g水，而后室温下充分混匀，使两种种子的含水量达到20%，用封口机把小麦种子封在塑料袋里，放在恒温箱中。42℃的劣变处理6 d。 2.3. 标准发芽试验与发芽指数的测定 用1%次氯酸钠溶液浸泡小麦种子5~8 min，然后用蒸馏水冲洗3~5次，按照标准发芽试验方法进行发芽率测定，4次生物学重复，在智能光照培养箱中，日温25℃，8 h，照光，夜温20℃ 16 h。每天统计发芽数，进行发芽指数的计算，发芽势以发芽第4 d的发芽率计算 [ 2 ] 。 2.4. 种子相对电导率的测定和渗漏有机物相对含量的测定 称取每个样品种子2 g (约50粒)，三次重复，去胚种子、老化去胚种子称重后进行去胚和封口处理。放入小塑料网中，迅速用纯净水冲洗，用滤纸吸干种子表面的水，然后分别放在含有50 ml纯净水的烧杯中，20℃浸泡，每隔1 h倒出浸泡液摇匀后进行电导率和260 nm处吸光度检测分析，检测后再倒回去，直至6 h。完全透性对照种子加入50 ml蒸馏水后先放在沸腾的水浴锅中煮7 min，使种子完全丧失活力，然后将浸泡液倒出，测量体积，用纯净水补齐至50 ml，以后的浸泡和测量同其他种子。将6 h的总渗出量作为100%渗出量。 2.5. 数据统计分析 相对电导率的计算：以水煮死亡种子电导率为完全透性电导率，为100%，样品测定的电导率除以该种子完全透性电导率为该种子的相对电导率。发芽率、发芽指数和发芽势的统计分析和比较采用文献22的方法进行 [ 22 ] 。 2.6. 种子胚与胚乳的PI染色透性检验 冰冻切片的制作：采用日本樱花Tissue-Tek Cryo3冰冻切片机和奥林巴斯荧光显微镜，提前半小时开启冷冻切片机，冷冻室温度−30℃，等温度降下来后，设置切片厚度17 μm，在冷冻室的样品台涂一层OCT包埋剂，将含胚的小半粒干种子放入包埋剂中冷冻至成白色，装上样品，进行切片，载玻片上每粘贴一张切片后即观察，结构完整的进行染色，用移液器吸取10 μg∙mL −1 PI试剂工作液，进行染色，每个切片约1~2滴，盖上盖玻片，避光条件下染色25~30 min，染色完成后在荧光显微镜下镜检。分别在4倍目镜和10倍目镜下观察并拍照，以内标尺作为放大倍数的参考。
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user: 3. 结果与分析 3.1 老化处理后种子的发芽指标变化 两个品种中潍麦8号是2016年的种子，邯郸6172是2014年低温保存的种子，从表1标准发芽试验可知，种子的发芽率均较高。发芽势和发芽指数是种子活力的相关指标。经过老化处理后，两个品种的发芽率、发芽势和发芽指数下降显著，活力下降也显著，处理后的种子只有约80%的发芽率，发芽势下降了17.2%~18.2%，两品种有相似的变化趋势，经过老化处理均达到了种子活力差异显著，多数种子依然存活的目的。 3.2. 胚乳与完整种子浸泡液相对电导率的变化分析 2 g干种子胚的平均重量为0.02 ± 0.0052 g。重量小，又有伤口，无法直接测量胚的膜透性，只能间接测定完整种子和去胚种子的膜透性来推算。通过相对电导率的计算可以看出(图1)，种子相对电导率变化的趋势是在第1 h内渗出量最大，以后随着时间的推移，渗出量增量逐渐减少，活种子和死亡种子渗出量增量均减小。第1 h的渗透量是变化最大的，也是样品间差异最明显的时间段。 图1. 两品种种子与胚乳相对电导率的变化标准试验系统结果曲线 Table 1 Changes in germination index after aging treatment of the two varieties 发芽率 Germination Percentage 发芽势 Germiantion energy 发芽指数 Germination Index 潍麦8号正常 Weimai8 normal 98.80%A 98.50%A 43.9A 潍麦8号老化 Weimai8 AA 80.50%B 80.30%B 32.6B 下降率 Decreasing rate 18.30% 18.20% 11.3 邯郸6172正常 Weimai8 normal 96%A 95%A 39.4A 邯郸6172老化 Weimai8 AA 79.50%B 77.80%B 31.5B 下降率 Decreasing rate 16.50% 17.20% 7.9 表1. 两品种老化处理后发芽指标的变化 注：A、B字母表示统计分析显著性水平0.01。Note: The letters A and B indicate that statistical analysis difference at level of 0.01 is significant. 从相对电导率可以看出老化处理使种子渗透量显著升高，两个品种未经老化的高活力种子渗透量分别占总渗漏量的28%和33%，老化后两品种均升高到45%。两个品种老化去胚种子第1 h分别有37%和38%渗出量(包含未完全封闭的伤口的渗出量)，胚在老化处理后的吸胀1 h电解质渗出量增幅分别为7%和8%。这些增量应该是胚的渗出量。 种胚的电导率需要通过正常种子和去胚种子相比电解质的减少量表示，胚本身较小，如果胚的离子渗出较少，应具有与干种子相似的电导率。但未经老化的种子去胚后电导率却略大于正常种子的电导率。说明在处理过程中胶并不能完全封闭住伤口，去胚后不但未减少，反而略微升高。说明上面计算的增量值是偏低的，实际应该包括未封闭住伤口导致的误差。 3.3. 胚乳与完整种子有机物渗透量分析 对于简单的公式，小麦种子浸泡液渗出量的全波长扫描分析结果见图2，从图2可知，种子由于渗漏的可发生光吸收的物质是混合物，因而图上没有特定波长下的吸收峰，随着波长的增长吸光度逐渐减少，不同浸泡时间下的曲线吸收值不同，250~280 nm是相对吸收量变化较平稳的区间，在此区间内选择260 nm作为有机物的检测波长进行有机物的相对含量检测。 根据表2可知，以死种子6 h的渗透量为100%计算。两个品种不同处理在第1 h内的相对渗出量都比较高，说明浸泡的第1 h种子内的有机物大量渗出，随着时间的推移，种子浸泡液总有机物渗出量不断增加，但后期变化缓慢。 老化和正常种子间的渗出量差异是显著的。两个品种的老化及去胚处理种子渗透量的变化趋势存在一定差异，潍麦8号变化趋势与电导率相似，即老化和老化去胚的渗出量差异是显著的，在第1 h经老化处理，与正常种子相比，老化种子相对渗漏量增加了11.4%，说明老化使相对透性提高了，而老化去胚即仅有胚乳的种子相对渗出量为49.29% (包括由于缺口未完全封闭而造成的损伤泄漏)。由此可以推算出， 图2. 小麦种子在不同波长下光吸收的变化 Table 2 Relative changes in the absorbance of steeping solution in the first hour 邯郸6172浸泡1 h (%) 潍麦8号浸泡1 h (%) 正常去胚Normal De-embryonated 39.14a 42.52a 正常Normal 41.53a 43.73a 老化去胚AA De-embryonated 50.41b 49.29b 老化AA 54.71b 55.13b 表2. 浸泡液吸光度在第1 h的相对变化 注：a、b字母表示统计分析显著性水平0.05。Note: The letters a and b indicate that statistical analysis difference at level of 0.05 is significant. 在第1 h渗透增量约有5%是由胚引起的。胚的重量远远小于胚乳，50粒胚重量约0.025 g，说明相同体积水中胚用远小于胚乳的重量提供了至少5%的渗透增量。邯郸6172老化与老化去胚相比，渗漏有机物的增量并不高，约4%，但正常种子的渗漏量较小。 3.4. 胚与胚乳透性的解剖学观察 从前面的结果可以看出，干种子的细胞膜是不完整的，可以透过大量的有机物和电解质，然而我们并不清楚胚和胚乳哪里的选择透过性高。PI在膜具有选择透过性的前提下是不能透过细胞进入核的，但如果细胞膜有损伤或伤口，PI就可以进入。从图3我们看出，干种子的胚乳及胚外层细胞与经过FAA固定后没有选择透过性的死亡组织具有相似的红色荧光亮度，说明干种子的胚乳以及胚组织外层细胞均透性较高。胚乳组织可染色的有核细胞密度较小。胚根和胚芽部位荧光亮度明显下降，而死亡的胚根和胚芽则亮度极高。说明尽管是干种子，胚部位的选择透过性依然较好。 从图4可以看出，经过劣变老化处理后，胚与胚乳都具有较强的透性，PI可以透过胚根及胚其他部位，从而显出较强的红色荧光。胚内部的红色荧光强度不及外围细胞，说明具有一定的选择透过性。胚内细胞密度大，细胞较小，细胞核清晰可见。 图3. 正常小麦干种子与固定后死种子的PI染色。注：图中的杆表示200 μm标尺。图中Embryo指胚，Endosperm指胚乳，living dry seed指活的种子，FAA treatment seed指经过FAA固定后死的种子 图4. 老化处理后小麦种子的胚与胚乳的PI染色。注：图中的杆表示100 μm标尺
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user: 4. 讨论 4.1. 小麦种子吸胀初期膜透性变化规律 干种子是较为特殊的生命状态，种子是活着的，细胞却又是不活跃的，Stanley H [ 23 ] 报道在无种皮的条件下渗出的大分子较多，而有种皮的种子则很少渗漏出大分子。说明种皮障碍可以阻止大分子的随机扩散。因此通过加热处死种子并不是所有物质都可以从细胞内向外渗漏。采用相对电导率和相对有机物的量可以更好地反应种子的细胞透性。 本研究发现在浸泡的第1 h内渗漏的物质最多，J. Brad [ 24 ] 认为干种子膜一旦吸水立即变成有组织的结构，有选择透过性，David J. [ 25 ] 认为大豆种子也是在吸胀的最初几分钟渗漏量最大，在30 min以内呈线性变化，因此本研究在分析数据时主要分析浸泡1 h的渗漏量。数据结果显示1 h浸泡液不同活力或处理间有显著差异，活力低的种子渗漏量(电导率、紫外检测值)远高于活力高的，且胚对数据的升高贡献较大，与活力有关。 4.2. 胚和胚乳在吸胀初期膜透性的比较 普遍认为干燥的种子膜系统是不完整的，然而磷脂双分子层依然是存在的 [ 11 ] 。目前并没有明确有效的方法来比较小麦在吸胀过程中胚和胚乳的透性。本研究对正常种子去胚处理会在胚表面造成大量破损细胞，可导致物质外渗，但无法直接测量。由于去胚以后的胚乳损伤面积与整个种子比相对较小，可以通过封阻的方法抑制损伤细胞部位的物质外渗，因此可检测胚乳的渗漏量。但封阻方法尚不成熟，会导致部分去胚处理测量结果不准确，胚乳的渗出量有时会高于总渗漏量。这可能是胚乳破损细胞封闭不严格，损伤细胞物质外渗导致。通过增加试验次数可以尽可能缩小误差。但很难知晓胚的具体贡献。当正常种子进行老化处理后，种子活力显著下降 [ 26 ] ，物质外渗总量显著增加 [ 27 ] 。增加的渗透量应由活细胞引起，胚组织基本都是活细胞。把老化处理的种子去胚后测量其吸光度或电导率，发现明显小于老化种子，且与未老化去胚的种子相差较小。说明吸光度或电导率的增量主要贡献者是胚，间接说明老化的种子胚膜透性显著增强。 4.3. 胚组织PI透性检测 上文中计算的胚透性并不是直接的证据，还有必要进行直观的观察。PI是细胞不能选择透过的物质 [ 21 ] ，只要进入细胞就说明细胞某些部位可以失去选择透过性。透过得越多，在荧光显微镜下红色荧光越强 [ 28 ] 。通过调节荧光强度和曝光时间，干种子切片上所有的细胞都可以显示出荧光，只是透过的多少有别。死种子不具有选择透过性，PI可以自由出入，进行透性检测时，在同一视野内既有死种子，又有活种子，可以比较活种子的透过能力。本研究认为干种子的胚，尤其是胚根、胚轴、和胚芽等为关键部位，PI的透性明显降低。说明活的胚组织细胞结构显著好于其他部位细胞。当胚活力降低时，其透性与其他细胞的差异就很小了，这可能是胚活力降低的原因之一。
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user: 摘 要 布尔网络是研究生物系统和基因调控网络的一种重要模型。本文利用矩阵半张量积的方法，给出逻辑动态系统的代数状态空间表示和最小能耗问题目标泛函的一个新的表达形式，并应用动态规划法求解其最优控制问题，最后举例说明算法的有效性。 关键词 :布尔网络，半张量积，动态规划，最优控制 Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 布尔网络是描述人工智能系统、神经网络系统、基因调控网络等的有效工具之一。早在上世纪60年代，Jacob和Monod发现任何细胞的调控基因像开关一样，能打开或关闭其他基因。1969年，Kauffman首次提出用布尔网络描述细胞和基因的调控网络，将基因的表达和不表达分别用逻辑值“1”和“0”表示，基因之间复杂的关系和作用通过简单的逻辑关系表达，这种理想化的模型不仅具有高度抽象性，而且反映了系统丰富的动力学行为。虽然基因的调控网络可用逻辑表达式表示其演化过程，但它不能融入基本数学运算框架，在系统分析及综合时也不方便。2011年，程代展教授提出了矩阵半张量积的概念 [ 1 ] ，作为普通矩阵乘法的推广，不再要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数，还保持了普通矩阵乘法的基本性质。利用矩阵半张量积，逻辑动态方程可用矩阵表达成代数形式，进而，可利用控制理论中已有的数学工具和方法，有效地解决逻辑动态系统问题。程代展教授及其团队在专著 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] 中详细介绍了矩阵半张量积的定义和性质，并讨论其在非线性系统、布尔网络、模糊逻辑等领域中的应用。利用半张量积解决布尔网络问题已有了一些优秀成果，如：逻辑动态系统的拓扑结构，逻辑控制系统的能控性、能观性、稳定性、镇定性、干扰解耦、最优控制等。 布尔网络的最优控制问题也是一个倍受关注的主题，应用半张量积的方法研究最优控制问题也有了一些结果，如文献 [ 5 ] [ 6 ] 基于网络的环结构，研究了布尔控制网络和多值逻辑控制网络的最优性条件，文献 [ 7 ] [ 8 ] 研究了单输入和多输入的布尔控制网络的一种Mayer型最优控制问题，文献 [ 9 ] 研究了无穷时域概率布尔网络最优控制问题等。在最优控制理论中，最小能量控制是现代控制中最基本、最重要的问题之一。经查阅相关文献，对布尔网络最小能量控制的研究比较少，其原因在于将逻辑形式和代数形式在统一的框架下处理有一定的难度。本文利用半张量积的方法研究布尔网络的最小耗能问题，在将布尔网络的逻辑动态表达式转化为代数状态表达式的基础上，给出目标泛函半张量积的表达形式，利用动态规划方法求解相应的最优控制问题，最后通过具体的算例说明算法的有效性。
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user: 2. 预备知识 2.1. 符号说明 · N + 表示正整数集合。 · ℝ n 是实数域上 n 维向量空间。 · M n × m 为 n × m 实矩阵集合。 · Δ n : = { δ n i | i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n } ，其中 δ n i 为单位矩阵 I n 的第 i 列，特别地 Δ 2 = Δ 。 · 矩阵 L ∈ R n × m 称为逻辑矩阵，若它的列 C o l ( L ) ⊂ Δ n ，记 L n × m 为 n × m 阶逻辑矩阵集合。 · L = [ δ n i 1 ， δ n i 2 ， ⋯ ， δ n i m ] ∈ L n × m ，记为 L = δ n [ i 1 ， i 2 ， ⋯ ， i m ] 。 · 逻辑变量 x ∈ D : = { 0 ， 1 } ，将逻辑值用二维向量表示为 1 ∼ δ 2 1 ， 0 ∼ δ 2 2 ，即逻辑变量 x ∼ x ^ ∈ Δ = { δ 2 1 ， δ 2 2 } 。 2.2. 半张量矩阵的定义及性质 矩阵半张量积是一种新的矩阵乘法，它是普通矩阵乘法的推广，推广后的乘法不仅保持了普通矩阵乘法的主要性质，还具有伪交换性。 定义2.2.1 [ 3 ] ：设 A ∈ M n × m ， B ∈ M p × q ，记 m 与 p 的最小公倍数为 α = l c m ( m ， p ) ，则矩阵 A 和 B 的左半张量积定义为 A ⋉ B : = ( A ⊗ I α / m ) ( B ⊗ I α / P ) . 注2.2：当 m = p 时，矩阵 A ， B 满足等维条件，半张量积退化为普通矩阵乘法， ⊗ 是矩阵的Kronecker积(亦称张量积)。下文所说的半张量积均为左半张量积。 命题2.2.1 [ 3 ] ：若 A ， B ， C ∈ M n × m ，则 ⋉ 满足： 1) 分配律 ( A + B ) ⋉ C = A ⋉ C + B ⋉ C C ⋉ ( A + B ) = C ⋉ A + C ⋉ B . 2) 结合律 ( A ⋉ B ) ⋉ C = A ⋉ ( B ⋉ C ) . 3) 转置 ( A ⋉ B ) T = B T ⋉ A T . 为了进一步刻画和应用半张量积，定义如下换位矩阵。 定义2.2.2 [ 4 ] ：换位矩阵 W [ n ， m ] 是一个 n m × n m 的矩阵，它的行和列是由双指标 ( i ， j ) 标注，列是按照索引 I d ( i ， j ; n ， m ) 排列，行是双指标 ( I ， J ) 标注按照索 I d ( I ， J ; m ， n ) 排列，并且位于 [ ( I ， J ) ， ( i ， j ) ] 元素的值为 w ( I ， J ) ， ( i ， j ) = { 1 ，                                     I = i ， J = j 0 ，                                   其 他 . 当 n = m ，记 W [ n ] = W [ n ， n ] 。 通过换位矩阵，引入半张量积的重要性质－伪交换性。 命题2.2.2 [ 4 ] ：1) 设 X ∈ ℝ t 为列向量， A 为矩阵，则 X ⋉ A = ( I t ⊗ A ) ⋉ X . 2) 设 Y ∈ ℝ t 为行向量， A 为矩阵，则 . 3) 设两个列向量 X ∈ ℝ n ， Y ∈ ℝ m ，则 . 4) 设两个行向量 X ∈ ℝ n ， Y ∈ ℝ m ，则 . 命题2.2.2使矩阵乘法有了一定的可交换性，称为伪交换性。
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user: 3. 布尔控制网络最小能耗问题 布尔网络是一种理想化的模型，用于研究基因调控和细胞分化过程，基因的状态分为表达和不表达，用1和0表示，其网络每个基因之间的相互作用通过布尔函数描述。对于含有 n 结点和 m 个控制输入的布尔网络，用 D : = { 0 ， 1 } 表示取值集合。设 x i ( k ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 表示第 i 个结点 k 时刻基因的状态， u i ( k ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 表示 m 个控制输入， k + 1 时刻的基因状态 x ( k + 1 ) = ( x 1 ( k + 1 ) ， ⋯ ， x n ( k + 1 ) ) T 完全由 k 时刻各结点的基因状态 x ( k ) = ( x 1 ( k ) ， ⋯ ， x n ( k ) ) T 按已知的传播机理传播，用布尔函数 f i ( x ( k ) ， u ( k ) ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 来描述，故控制状态方程可以描述为 { x 1 ( k + 1 ) = f 1 ( x 1 ( k ) ， ⋯ ， x n ( k ) ， u 1 ( k ) ， ⋯ ， u m ( k ) ) x 2 ( k + 1 ) = f 2 ( x 1 ( k ) ， ⋯ ， x n ( k ) ， u 1 ( k ) ， ⋯ ， u m ( k ) )                                                                                 ⋮ x n ( k + 1 ) = f n ( x 1 ( k ) ， ⋯ ， x n ( k ) ， u 1 ( k ) ， ⋯ ， u m ( k ) )                             k = 0 ， 1 ， ⋯ (1) 其中， x i ( k ) ∈ D ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， u i ( k ) ∈ D ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) ； f i : D n + m → D 。令容许控制集为 。 最优控制问题(P)：寻找最优控制 u * ∈ U a d ， u * 满足使系统状态从给定的初始状态 x ( 0 ) = ( x 1 ( 0 ) ， ⋯ ， x n ( 0 ) ) T 在 s 时刻运行到给定的终端状态 x ( s ) = ( x 1 ( s ) ， ⋯ ， x n ( s ) ) T ，并使系统的能耗最小，即 J ( u ) = ∑ k = 0 s − 1 u T ( k ) Q u ( k )                     → min (2) 其中， Q 为 m × m 维的正定对称矩阵，为简便，我们这里考虑 Q 为正定的对角矩阵，各对角元的大小表达控制分量的权重。 此最优控制问题既包含了状态系统的逻辑运算，又包含了性能指标中的代数运算。用单一的逻辑网络或一般状态系统的最优控制方法不能处理。为了求解此问题，我们考虑用矩阵半张量积的方法处理，因矩阵半张量积这一工具可以将逻辑动态网络转化为代数状态方程形式。
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user: 5. 总结 本文利用半张量积的方法将逻辑控制系统的最小能耗问题转化为代数状态的表示方法，并给出了相应的能量指标泛函的表达式，进而对这一类问题推到了动态规划方程。
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user: 摘 要 本文主要研究退化方程具有三重根的二阶奇摄动方程边值问题。运用边界层函数法构造出解的形式渐近展开式，得到以幂率形式衰减的边界层函数。最后用上下解方法得到形式解存在性和一致有效估计。 关键词 :奇摄动，三重根，幂率衰减边界层，渐近解 Copyright © 2018 by author and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 对于非线性奇摄动二阶方程的边值问题： ε 2 d 2 u d x 2 = f ( u ， x ) ，     0 < x < 1 ， (1) u ( 0 ， ε ) = u 0 ，     u ( 1 ， ε ) = u 1 . (2) 其中， 0 < ε ≪ 1 ，为小参数。 f ， φ 是连续可微的函数。 V.F. Butuzov等在文献 [ 1 ] 中研究了具有指数衰减的边界层问题。在文献 [ 2 ] [ 3 ] 中，倪明康和Huai-Ping Zhu对具有幂率衰减边界层的问题进行了讨论。在文献 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] 中，A.B. Vasil’eva也分别对退化方程具有单根和二重根时的问题进行了研究，得到了渐近解的表达式： u ( x ， ε ) = u ¯ ( x ) + Π ( τ ) + R ( ξ ) ，     τ = x ε ，     ξ = x − 1 ε . 其中 正则项 u ¯ ( x ) = u 0 ¯ ( x ) + ε u 1 ¯ ( x ) + ⋯ ； 左边界层项 Π ( τ ， ε ) = Π 0 ( τ ) + ε Π 1 ( τ ) + ⋯ ； 右边界层项 Π ( ξ ， ε ) = Π 0 ( ξ ) + ε Π 1 ( ξ ) + ⋯ 。 本文将继续对退化方程具有三重根进行讨论，设 f ( u ， x ， ε ) 有如下形式 f ( u ， x ， ε ) = ( u − φ ( x ) ) 3 . (3) 并提出假设： [ H 1 ]   u 0 > φ ( 0 ) ，     u 1 > φ ( 1 ) ，     0 ≤ x ≤ 1. (4) [ H 2 ]   φ ″ ( x ) > 0 ，     0 ≤ x ≤ 1. (5)
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user: 2. 渐近解的构造 设问题(1)，(2)具有下述的形式渐近解： u ( x ， ε ) = u ¯ ( x ， ε ) + Π ( τ ， ε ) ，     τ = x ε ，     ξ = x − 1 ε . (6) 将(6)式代入(1)式， ε 2 d 2 u d x 2 = ε 2 d 2 u ¯ d x 2 + d 2 Π d τ 2 . (7) f ( u ， x ， ε ) = f ( u ¯ ( x ) ， x ， ε ) + f ( u ¯ ( ε τ ) + Π ( τ ) ， ε τ ， ε ) − f ( u ¯ ( ε τ ) ， ε τ ， ε ) . (8) 故有表达式： ε 2 d 2 u ¯ d x 2 = f ( u ¯ ( x ) ， x ， ε ) . (9) d 2 Π d τ 2 = f ( u ¯ ( ε τ ) + Π ( τ ) ， ε τ ， ε ) − f ( u ¯ ( ε τ ) ， ε τ ， ε ) . (10) 设正则项的渐近表达式为： u ¯ ( x ， ε ) = u 0 ¯ ( x ) + ε 2 3 u 1 ¯ ( x ) + ε 4 3 u 2 ¯ ( x ) + ⋯ . (11) 将(11)式代入(9)得： ε 2 d 2 d x 2 ( u 0 ¯ ( x ) + ε 2 3 u 1 ¯ ( x ) + ε 4 3 u 2 ¯ ( x ) + ⋯ ) = ( u 0 ¯ ( x ) + ε 2 3 u 1 ¯ ( x ) + ε 4 3 u 2 ¯ ( x ) + ⋯ ) 3 . (12) 比较上式两边的同次幂系数： ε 0 : 0 = ( u 0 ¯ ( x ) − φ ( x ) ) 3 . (13) ε 2 : d 2 u 0 ¯ ( x ) d x 2 = ( u 1 ¯ ( x ) ) 3 . (14) ε 8 3 : d 2 u 1 ¯ ( x ) d x 2 = 3 u 1 ¯ ( x ) u 2 ¯ ( x ) . (15) 由上式可解出 u 0 ¯ ( x ) = φ ( x ) . (16) u 1 ¯ ( x ) = ( φ ″ ( x ) ) 1 3 . (17) u 2 ¯ ( x ) = 1 9 ( φ ″ ( x ) ) − 1 . (18) i ≥ 3 时可用类似方法得出。 再设边界层的渐近表达式为 Π ( x ， ε ) = Π 0 ( x ) + ε 2 3 Π 1 ( x ) + ε 4 3 Π 2 ( x ) + ⋯ . (19) 代入(10)得 d 2 Π d τ 2 = ( u 0 ¯ ( x ) + ε 2 3 u 1 ¯ ( x ) + ⋯ + Π 0 ( x ) + ε 2 3 Π 1 ( x ) + ⋯ ) 3 − ( u 0 ¯ ( x ) + ε 2 3 u 1 ¯ ( x ) + ⋯ ) 3 . (20) 由(2)，(6)，(11)，(19)得 u ( 0 ， ε ) = u 0 ¯ ( 0 ) + ε 2 3 u 1 ¯ ( 0 ) + ⋯ + Π 0 ( 0 ) + ε 2 3 Π 1 ( 0 ) + ⋯ = u 0 . (21) 得出如下形式的 Π i ( τ ) ： Π 0 ( 0 ) = u 0 − φ ( 0 ) ; (22) Π i ( 0 ， τ ) = − u i ( 0 ) ，     i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ (23) 考虑到 V i ( τ ) 为边界层函数，所以要求 Π i ( ∞ ) = 0. (24) 比较(20)式两端同次幂系数，可得 Π 0 函数满足的方程 ε 0 : d 2 Π 0 d τ 2 = Π 0 3 ，     Π 0 ( 0 ) = u 0 − φ ( 0 ) ，     Π 0 ( ∞ ) = 0. (25) 得 Π 0 ( τ ) = 2 ( u 0 − φ ( 0 ) ) τ ( u 0 − φ ( 0 ) ) + 2 . (26) 当 τ → ∞ 时， Π 0 ( 0 ) → 0 。且具有幂率衰减特性。 继续使用上述方法，可得到其余边界层函数，且用同样的方法可确定 R ( ξ ) 。
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user: 3. 形式解的一致有效性 定理：若存在函数 α ( x ) ， β ( x ) 使得问题 L u = ε 2 u x x − f ( u ， x ) u ( 0 ， ε ) = u 0 ，     u ( 1 ， ε ) = u 1 . 满足下列条件： 1) α ( x ) ≤ β ( x ) ； 2) L α ( x ) ≥ 0 ，   L β ( x ) ≤ 0 ； 3) α ( 0 ) ≤ u 0 ≤ β ( 0 ) ，   α ( 1 ) ≤ u 1 ≤ β ( 1 ) 。 则问题存在解 u ( x ) 满足 [ 7 ] α ( x ) ≤ u ( x ) ≤ β ( x ) . 令 U 0 = u 0 ¯ + Π 0 + R 0 = φ ( x ) + Π 0 + R 0 . 构造 β ( x ) = U 0 + λ 1 ε 2 3 ，     α ( x ) = U 0 − λ 2 ε 2 . (27) L β ( x ) = d 2 Π 0 d τ 2 + d 2 R 0 d ξ 2 + ε 2 φ ″ ( x ) − ( Π 0 + R 0 + λ 1 ε 2 3 ) 3 = ε 2 φ ″ ( x ) − λ 1 3 ε 2 − ⋯ 当 λ 1 3 > φ ″ ( x ) 时， L β ( x ) ≤ 0 。 L α ( x ) = d 2 Π 0 d τ 2 + d 2 R 0 d ξ 2 + ε 2 φ ″ ( x ) − ( Π 0 + R 0 − λ 2 ε 2 ) 3 = ε 2 φ ″ ( x ) − λ 2 3 ε 6 + ⋯ + 3 λ 2 ε 2 ( Π 0 2 + R 0 2 ) . 对足够大的 λ 2 ， L α ( x ) ≥ 0 。 β ( 0 ) = Π 0 ( 0 ) + R 0 ( − 1 ε ) + φ ( 0 ) + λ 1 ε 2 3 = u 0 − φ ( 0 ) + R 0 ( − 1 ε ) + φ ( 0 ) + λ 1 ε 2 3 > u 0 ; β ( 1 ) = Π 0 ( 1 ε ) + R 0 ( 0 ) + φ ( 1 ) + λ 1 ε 2 3 = u 1 − φ ( 1 ) + Π 0 ( 1 ε ) + φ ( 1 ) + λ 1 ε 2 3 > u 1 ; α ( 0 ) = Π 0 ( 0 ) + R 0 ( − 1 ε ) + φ ( 0 ) − λ 2 ε 2 = u 0 − φ ( 0 ) + R 0 ( − 1 ε ) + φ ( 0 ) − λ 2 ε 2 < u 0 ; α ( 1 ) = Π 0 ( 1 ε ) + R 0 ( 0 ) + φ ( 1 ) − λ 1 ε 2 = u 1 − φ ( 1 ) + Π 0 ( 1 ε ) + φ ( 1 ) − λ 1 ε 2 < u 1 . 则问题(1)，(2)的渐近解 U ( x ) 满足 − λ 1 ε 2 3 ≤ − λ 2 ε 2 = α − U 0 ≤ u ( x ， ε ) − U 0 ≤ β − U 0 ≤ λ 1 ε 2 3 . 亦即 | u ( x ， ε ) − U 0 | ≤ λ 1 ε 2 3 . (28) 特别地，对于首次近似有 | u ( x ， ε ) − ( φ ( x ) + Π 0 + R 0 ) | = O ( ε 2 3 ) . (29)
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user: 致 谢 感谢审稿老师及编辑老师提出的宝贵意见。
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user: 摘 要 本文讨论跳扩散过程下期权定价模型的偏积分微分方程的隐–显三阶SBDF时间离散格式。我们引入参数 c ∈ [ 0 ， 1 ] ，使由跳跃产生的零阶项变成一个关于 c 的凸组合，并将其分别加入到隐式部分和显式部分；并应用傅里叶分析研究该方法的稳定性。在适当的假设条件和时间步长限制下，我们证明了隐–显三阶SBDF方法对于所有的 c ∈ [ 0 ， 1 ] 是条件稳定的。数值实验表明了该方法的有效性。 关键词 :隐–显方法，线性多步法，跳扩散模型，期权定价，傅里叶稳定性分析 Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 期权作为一种重要的金融衍生产品，在当前的金融市场中非常活跃。1973，F. Black和M. Scholes [ 1 ] 提出著名的Black-Scholes模型。但Black-Scholes模型忽略了一些市场特征，如市场跳跃和崩溃，而这些是应该考虑的重要事件。 1976，R. Merton [ 2 ] 将一个跳跃项添加到Black-Scholes模型中。相较于连续路径模型，跳扩散模型允许标的资产的价格发生大的突变。在文献 [ 3 ] 中，S.G. Kou介绍了具有对数双指数型分布的跳扩散模型。在更为一般的CGMY模型 [ 4 ] 中，标的资产价格是满足可能发生无限次跳跃的Levy过程。 跳扩散模型的解可以通过求解一个偏微分积分方程(PIDE)获得。求解PIED的直接数值法在文献 [ 5 ] [ 6 ] 中已有讨论。然而直接法通常是要解一个全矩阵，这需要大量的计算，因此，应考虑其他数值方法。D. Tavella和C. Randall [ 7 ] 描述了欧式期权定价模型的一种定常迭代方法。S. Salmi和J. Toivanen [ 8 ] 提出了跳扩散模型下美式期权定价的一种迭代方法。U. Ascher，S. Ruuth与B. Wetton [ 9 ] 介绍了随时间变化的偏微分方程的隐–显方法，包括隐–显三阶SBDF法。J. Frank，W. Hundsdorfer和J. Verwer [ 10 ] 分析了隐–显线性多步法的稳定性。S. Salmi和J. Toivanen [ 11 ] 讨论了跳扩散模型下期权定价问题的一些隐–显二阶方法。 在本文中，我们讨论Kou跳扩散模型下美式期权定价的隐–显三阶SBDF方法，并把零阶项表示成凸组合的形式，该思想在文献 [ 11 ] 中有过介绍；然后用傅立叶分析研究该方法的稳定性；最后用数值实验表明该方法的有效性。
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user: 2. Kou跳扩散模型下的美式期权定价 在风险中性测度下，标的资产价格 x 满足下面随机微分方程 d x x = ( μ − λ κ ) d t + σ d W + ( η − 1 ) d q ， (1) 其中 μ 是漂移率， σ 是波动率， d W 是标准布朗运动， η − 1 是标的资产从 x 跳跃到 η x 所产生的脉冲函数， κ = E [ η − 1 ] ，其中 E [ ⋅ ] 表示期望算子， d q 是参数为 λ 的独立泊松过程。 令 v ( x ， t ) 表示执行价格为 K 的美式期权价格。若定义 L v : = v τ − 1 2 σ 2 x 2 v x x − ( r − λ κ ) x v x + ( r + λ ) v − λ ∫ 0 ∞ v ( x η ， τ ) g ( η ) d η ， (2) 则 v ( x ， t ) 可表示为如下偏微分积分互补问题的解 { L v ( x ， t ) ≥ 0 ， v ( x ， t ) − v * ( x ， t ) ≥ 0 ， L v ( x ， t ) ( v ( x ， t ) − v * ( x ) ) = 0 ， (3) 其中 T 是到期日， τ = T − t ， x ∈ [ 0 ， ∞ ) ， τ ∈ [ 0 ， T ) ， r 是无风险利率， g ( η ) 是跳跃幅度的概率密度函数，并且满足 ∫ 0 ∞ g ( η ) d η = 1 。本文中，我们讨论Kou模型。Kou模型下， g ( η ) 满足对数双指数分布 g ( η ) = p η 1 exp ( − η 1 η ) H ( η ) + q η 2 exp ( η 2 η ) H ( − η ) ， (4) 其中 η 1 > 1 ， η 2 ， p ， q > 0 ， p + q = 1 ， H ( η ) 是赫维赛德阶跃函数。则 κ 可表示为 κ = E ( η − 1 ) = p η 1 η 1 − 1 + q η 2 η 2 + 1 − 1 . (5) 若考察美式看跌期权，则还需施加下面的边界条件 v ( 0 ， t ) = K ， v ( X ， t ) = 0 ， (6) 其中 X 满足 X ≫ K 。同时， v ( x ， t ) 也应满足终值条件 v ( x ， T ) = v * ( x ) = max { K − x ， 0 } ， (7) 其中 v * ( x ) 为美式看跌期权的支付函数。 为了简单表示，我们把(2)式改写为如下形式 L v = v τ − D v − λ J v + λ v ， (8) 其中微分算子 D 和积分算子 J 定义为 { D v : = 1 2 σ 2 x 2 v x x + ( r − λ κ ) x v x − r v ， J v : = ∫ 0 ∞ v ( x η ， τ ) g ( η ) d η . (9)