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user: 2. 预备知识 2.1. 海森堡型群 N 令 G 为二阶幂零李代数，其上有内积 〈 ⋅ ， ⋅ 〉 ，中心表示为 z 。我们称 G 为海森堡型李代数，若 [ z ⊥ ， z ⊥ ] = z 且对任意的 t ∈ z ，映射 J t : z ⊥ → z ⊥ 表示为 〈 J t u ， w 〉 : = 〈 t ， [ u ， w ] 〉 ， u ， w ∈ z ， 且 | t | = 1 时，J t 为正交映射。海森堡型群为单连通的二阶幂零李群，其李代数是海森堡型李代数。 给定 ρ ≠ 0 ，且属于 z 的对偶，在 z ⊥ 上定义一斜对称矩阵 A ( ρ ) 为 〈 A ( ρ ) u ， w 〉 = ρ ( [ u ， w ] ) ， u ， w ∈ z 。 z 中的元素 Z ρ 定义为 〈 A ( ρ ) u ， w 〉 = ρ ( [ u ， w ] ) = 〈 J Z ρ u ， w 〉 。 选择 z ⊥ 的一组标准正交基 { E 1 ( ρ ) ， ⋅ ⋅ ⋅ ， E n ( ρ ) ， E ¯ 1 ( ρ ) ⋅ ⋅ ⋅ ， E ¯ n ( ρ ) } 使得 A ( ρ ) E i ( ρ ) = | Z ρ | J Z ρ | Z ρ | E i ( ρ ) = | ρ | E ¯ i ( ρ ) ， A ( ρ ) E ¯ i ( ρ ) = − | ρ | E i ( ρ ) 。 若 dim z = m ， { ε 1 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， ε m } 为 z 的一组标准正交基，满足 ρ ( ε 1 ) = | ρ | ， ρ ( ε j ) = 0 ( 1 ≤ j ≤ m ) ，则 ( z ， t ) = ( x ， y ， t ) = ∑ i = 1 n ( x i E i + y i E ¯ i ) + ∑ j = 1 m t j ε j 。 这样的坐标称为海森堡坐标。一般海森堡型群的运算为 ( z ， t ) ( z ′ ， t ′ ) = ( z + z ′ ， t + t ′ + 1 2 [ z ， z ′ ] ) ， 其中 [ z ， z ′ ] j = 〈 z ， U j z ′ 〉 ， U j ( j = 1 ， ⋯ ， m ) 为合适的斜对称矩阵。特别地， 〈 z ， U 1 z ′ 〉 = ∑ j = 1 n ( x ′ j y j − y ′ j x j ) [ 16 ]。 本文中的海森堡型群 N 由集合 R P × R q = { ( x ′ ， u ′ ) : x ′ ∈ R P ， u ′ ∈ R q } 构成，其中 x ′ = ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x p ) ∈ R p ， u ′ = ( u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u q ) ∈ R q ，且元素满足运算 ( x ′ ， u ′ ) ⋅ ( y ′ ， v ′ ) = ( x ′ + y ′ ， u ′ + v ′ + 1 2 [ x ′ ， y ′ ] ) ，其中 [ x ′ ， y ′ ] j = 〈 x ′ ， U j y ′ 〉 ， U j ( j = 1 ， ⋯ ， q ) 为合适的斜对称矩阵。显然这里的p为偶数。对 a ∈ R + ，定义Siegel型上半空间 N × R + 为 S = { ( w ， a ) : w ∈ N ， a ∈ R + } ，其中 w = ( x ′ ， u ′ ) ∈ N ， S 中的元素也可记为 ( x ′ ， u ′ ， a ) 。且定义 N 为 S 的边界，a则称为点 ( w ， a ) 到 S 边界的高度。 N 在 S 上有保高度的作用。贯穿下面的文章，对 z = ( x ′ ， u ′ ， a ) 、 s = ( y ′ ， v ′ ， a 0 ) ∈ S ，我们写作 z = ( w ， a ) 、 s = ( n ， a 0 ) ，其中 a ， a 0 ∈ R + ，、 w = ( x ′ ， u ′ ) 、 n = ( y ′ ， v ′ ) ∈ N 。海森堡型群上的伸缩 δ t ( w ) 定义为 t ⋅ w = ( t x ′ ， t 2 u ′ ) 。 N 上可以定义一组等价的范数 | w | = ( 1 16 | x ′ | 4 + | u ′ | 2 ) 1 4 和 | w | ∞ = max { 1 2 | x 1 | ， ⋯ ， 1 2 | x p | ， | u 1 | ， ⋯ ， | u q | } 。 我们在 N 和 S 上分别使用Lebesgue测度 d w = d x ′ d u ′ 和 d z = d w d a ，在极坐标下 d w = d x ′ d u ′ = r d − 1 d r d σ w ， d σ w 为单位球面的面积元。在 N 中以 n = ( y ′ ， v ′ ) 为心半径为r的球体我们定义为 { w = ( x ′ ， u ′ ) : | n − 1 w | < r } 。而 N 中以 n = ( y ′ ， v ′ ) 为心l(I)为边长的方体I则定义为 I = { w : | n − 1 w | ∞ ≤ l ( I ) 2 } 。 这里I的体积我们用 | I | 表示，易知 | I | = 2 p − q [ l ( I ) ] d ，其中 d = p + 2 q 。以 2 k l ( I ) 为边长且与I同心的方体我们用 I k ( k ∈ N ) 表示。 t I ( t > 0 ) 是与I同心边长为 t l ( I ) 的方体。 2.2. Carleson测度与Poisson积分 对任意以 n = ( y ′ ， v ′ ) 为心的方体 I ⊂ N ，定义Carleson盒子 S ( I ) ⊂ S 为 S ( I ) = { z = ( x ′ ， u ′ ， a ) = ( w ， a ) ∈ S : | n − 1 w | ∞ ≤ l ( I ) 2 ， a ≤ l ( I ) } 。 S 上的一正Borel测度 μ 称为p-Carleson测度，如果对p > 0，存在常数M > 0，使得 μ ( S ( I ) ) ≤ M | I | p 这里 I ⊂ N 。 容易得到 X j = ∂ ∂ x j + 1 2 x j C j i l ∂ ∂ u l ， 1 ≤ j ， i ≤ p ， 1 ≤ l ≤ q ; T k = ∂ ∂ u k ， 1 ≤ k ≤ q 为原点处 ∂ ∂ x j 的左不变向量场， T k 为 N 的中心，其中 C j i l 为结构常数 [ 17 ]。另外它们满足交换关系 [ x j ， y j ] = − 1 2 ( x i + x j ) C j i l T l ，除此之外的交换子是0。 N 的李代数等同于 R p + q 。 对 N 上任意的光滑函数f，f的梯度定义为 ∇ f ( w ) = ( X 1 f ( w ) ， ⋅ ⋅ ⋅ ， X p f ( w ) ， T 1 f ( w ) ， ⋅ ⋅ ⋅ ， T q f ( w ) ) ， 根据 [ 18 ]，估计 | ∇ f ( w ) | 2 时，我们仅考虑 ∇ f ( w ) = ( X 1 f ( w ) ， ⋅ ⋅ ⋅ ， X p f ( w ) ) 。 令 R = ∂ ∂ a ，类似地，对 z ∈ S ， S 上函数的梯度及它的度量定义为 ∇ ˜ F ( z ) = ( X 1 F ( z ) ， ⋅ ⋅ ⋅ ， X p F ( z ) ， T 1 F ( z ) ， ⋅ ⋅ ⋅ ， T q F ( z ) ， R F ( z ) ) 。 在估计 | ∇ ˜ F ( z ) | 2 时，仅考虑 | ∇ ˜ F ( z ) | 2 = ∑ k = 1 p | X k F ( z ) | 2 + | R F ( z ) | 2 。 方便起见，下文中 N 和 S 中的梯度都用 ∇ 表示。 S 上的Poisson核 [ 19 ]，由 P a ( ⋅ ) 表示，定义为 P ( z ) = P ( w ， a ) = P a ( w ) = c a d [ ( a 2 + 1 4 | x ′ | 2 ) 2 + | u ′ | 2 ] d 2 ， 其中 z = ( w ， a ) ∈ S ，c为常数。 假设f为 N 上的可测函数，且满足 ∫ N | f ( w ) | 1 + | w | 2 d d w < + ∞ ，那么 S 上f的Poisson积分定义为 F ( z ) = f ∗ P ( z ) = ∫ N f ( n ) P a ( n − 1 w ) d n 。 关于Poisson核。我们有下面的引理 引理1. i) ∫ N P a ( w ) d w = 1 ； ii) 记Z为 X j ( j = 1 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， p ) 中的任意一个，则 | Z P a ( w ) | ≤ { C a − d − 1 ， a ≥ | w | C | w | − d − 1 ， a < | w | ， | R P ( z ) | ≤ { C a − d − 1 ， a ≥ | w | C | w | − d − 1 ， a < | w | 。