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user: 4. 岩石物理模型 4.1. 岩石骨架模型 4.1.1. 模型建立 砂岩的孔隙体系如果依据其孔隙结构的差异总能理想化为不同形状的硬孔隙与软孔隙(微裂隙)组合。基质中任意类型孔隙的加入都会改变岩石介质的等效刚度或者等效柔度。从静力学角度看，孔隙的加入形成附加应变，从而改变岩石的等效柔度，其物理意义更为明确。因此，在表征孔隙度及孔隙形状对岩石弹性性质影响时，采用等效柔度表示方法相较于等效刚度表示方法更为准确，尤其是在孔隙或裂隙等软孔隙含量较高的情况下。假定岩石基质的柔度为S 0 ，硬孔隙与软孔隙的加入所产生的附加柔度分别为ΔS stiff 、ΔS crack ，则岩石等效柔度S可表示为： S = S 0 + Δ S crack + Δ S stiff (3) 由于附加柔度的线性叠加性，具有双孔结构特征的砂岩其基质中孔隙的添加可以分成2个阶段： 第1阶段，将硬孔隙加入基质中，如果考虑孔隙间的相互作用，则岩石介质的等效弹性模量按其柔度形式可用Mori-Tannaka公式计算 [ 18 ] ： K stiff = K 0 ( 1 + p ϕ t 1 − ϕ s ) − 1 G stiff = G 0 ( 1 + q ϕ t 1 − ϕ s ) − 1 (4) 式中：K stiff 、G stiff 分别为岩石介质的等效体积模量和剪切模量，MPa；K 0 、G 0 分别为岩石基质组成颗粒的体积模量和剪切模量，MPa；f t 为总孔隙度，1；f s 为硬孔隙的孔隙度，1；p、q为硬孔隙形状因子，是基质弹性模量与α的函数，1。 对于球形孔隙等规则孔隙，p、q可得到解析解；对于不规则孔隙，p、q可通过对弹性模量或速度的测量结果进行拟合得到。 第2阶段，加入软孔隙，岩石介质的等效弹性模量按其柔度形式仍可用Mori-Tannaka公式计算 [ 18 ] ： K d = K stiff ( 1 + P ϕ c 1 − ϕ c ) − 1 G d = G stiff ( 1 + Q ϕ c 1 − ϕ c ) − 1 (5) 式中：K d 、G d 分别为加入微裂隙后的岩石介质等效体积模量和剪切模量，MPa；f c 为软孔隙的孔隙度，1；P、Q为软孔隙形状因子，1。 如果将软孔隙看作微裂隙，在α小于0.1~0.2的情况下，裂隙自身的柔度与α无关，而是更多的取决于裂隙密度(ε)，因此在考虑软孔隙影响时，可利用ε代替其孔隙度，两者关系为： ε = 3 4 π α ϕ c (6) 岩石中裂隙的形状极为复杂，而形状又对其柔度有明显影响，为使后续计算简化，采用简单类球体模型代替软孔隙形状，P、Q可给出解析表达式。同时，由于岩石中微裂隙的f c 很小，公式(5)可表示为： K d = K stiff ( 1 + 16 ( 1 − υ stiff 2 ) 9 ( 1 − 2 υ stiff ) ε ) − 1 G d = G stiff ( 1 + 32 ( 1 − υ stiff ) ( 5 − υ stiff ) 45 ( 2 − υ stiff ) ε ) − 1 (7) 式中：υ stiff 为仅含硬孔隙时的岩石介质泊松比，1。 由于硬孔隙随压力变化较小，仅含该类孔隙的岩石介质，其等效弹性模量与高有效压力下的体积模量和剪切模量(K h 、G h )近似。综合公式(5)、(7)，可计算岩石样品的等效弹性模型。 4.1.2. 模型试验 公式(4)中，p、q分别代表硬孔隙的形状因子，根据试验结果可给出p、q与春光油田沙湾组砂岩岩心样品f t 的经验关系。假定样品在80 MPa下的弹性模量代表岩石样品中仅含刚性孔隙时的弹性模量(即微裂隙全部闭合)，利用公式(4)则可求出p、q，其结果见图3。由图3可以看出，p、q在1:1线附近，表明p、q近于相等，p、q与f亦具有较为明显的线性关系( p ≈ q = 15.3 ϕ + 3.61 )，利用该关系式可计算一定孔隙度下的p、q。 图3. 春光油田沙湾组砂岩岩心样品孔隙形状因子关系图 图4(a)给出了H2样品总孔隙(f t )随p c 的变化关系，通过该变化曲线可求取不同p c 下的f t ，f t 随p c 的变化是硬孔隙与微裂隙共同逐渐闭合的结果(f t = f c + f s )。在高围压下，样品f t 的变化主要受硬孔隙的逐渐闭合影响，此时f t 随p c 变化亦表现为线性趋势，将该线性趋势外推至低压力范围，从而得到不同压力下的f s (如图4(a)中的红色虚线所示)，不同压力下实测孔隙度减去对应f s 即可得到对应f c 。从试验结果看，样品的f c (零压力条件下)与f t (零压力条件下)呈明显的指数关系( ϕ c = 0.151 ϕ t 2.2897 )，表明对于所研究的中、高孔隙度砂岩，其孔隙度越高，所含的微裂隙也越多(图4(b))。据公式(6)可计算样品零压力的微裂隙密度(ε 0 )，该值与f t 呈明显的线性关系( ε 0 = 1.8 ϕ t + 0.4 ) (图4(c))。 图4. H2样品f t 随p c 变化特征及f t 与f c 、ε 0 关系 微裂隙密度随有效压力的变化可表示为 [ 17 ] ： ε ( p e ) = ε 0 exp ( − d ⋅ p e ) (8) 式中：ε(p e )为有效压力下的微裂隙密度，1；此处的p e 在干燥条件下等价于p c 。 取碎屑砂岩的υ stiff = 0.146 [ 17 ] ，公式(7)可简化为： K d = K 0 [ 1 + p ⋅ ϕ t + 2.46 ⋅ ε 0 exp ( − d ⋅ p e ) ] − 1 G d = G 0 [ 1 + q ⋅ ϕ t + 1.59 ⋅ ε 0 exp ( − d ⋅ p e ) ] − 1 (9) 图5(a)、图5(b)分别给出干燥试验样品在20 MPa与50 MPa压力条件下纵、横波速度随孔隙度的变化规律，同时给出按公式(9)所计算出的理论模型值，可以看出，在2个试验压力下，理论模型计算结果与实际测量结果符合率均较高。当试验压力高于50 MPa时，纵、横波速度随压力的变化较弱，使得50 MPa时的理论模型计算结果，与高于该围压的实际测量结果有较好的一致性。 图5. 不同压力条件下纵、横波速度测量结果与理论模型计算结果对比 4.2. 孔隙流体作用 在微观孔隙尺度下，流体流动作用对岩石介质弹性性质的影响可用喷射流理论描述。对具有双孔隙结构的岩石，弹性波的频散和衰减主要是由岩石中的微裂隙决定。在众多喷射流作用理论表述中，唐晓明给出了岩石介质中微裂隙与孔隙并存的弹性波同一理论，并将喷射流作用与岩石中ε与α两个重要孔隙结构参数建立了联系。利用相同的孔隙结构模型，Gurevich将喷射流作用与岩石中f c 与α联系起来 [ 5 ]。在Gurevich的方法中，延续了Murphy与Dvorkin的思想，考虑了微裂隙中流体弛豫作用对其柔度的影响。如果将K h (该模量为岩石中不含微裂隙的干燥体积模量)加入微裂隙，并考虑其与硬孔隙中流体喷射流作用影响时，介质等效模量K mf 、G mf 可通过下式计算 [ 15 ] [ 19 ] ： 1 K mf ( p e ， ω ) = 1 K h + 1 1 1 K d ( p e ) − 1 K h + 3 i ω η 8 ϕ c α c 2 1 G mf ( p e ， ω ) = 1 G d ( p e ) − 4 15 ( 1 K d ( p e ) − 1 K mf ( p e ， ω ) ) (10) 式中：K d (p e )、G d (p e )分别为一定有效压力下岩石介质的干燥体积模量与剪切模量，MPa；ω为圆频率，rad/s；η为孔隙流体动态黏度，mPa·s；α c 为微裂隙特征纵横比，1。 公式(10)等号右端第二项也可理解为加入特定纵横比微裂隙并在考虑喷射作用下对K h 的改变。在考虑微裂隙作用后，剩余硬孔隙因其不可压缩性，在流体饱和后仍满足Gassmann方程，此时硬孔隙完全饱和时的体积模量K sat 与剪切模量G sat 可用下式计算 [ 15 ] [ 19 ] ： 1 K sat ( p e ， ω ) = 1 K 0 + ϕ s ( 1 K f − 1 K 0 ) 1 + ϕ s ( 1 K f − 1 K 0 ) / ( 1 K mf ( p e ， ω ) − 1 K 0 ) G sat ( p e ， ω ) = G mf ( p e ， ω ) (11) 式中：K f 为混合流体体积模量，MPa；K 0 是岩石基质组成颗粒的体积模量，MPa。 总体建模思路见图6：第一步，在得到主要组成矿物含量的条件下，通过Voigt-Reuss-Hill岩石物理模型计算平均等效颗粒模量K 0 、G 0 ；第二步，利用孔隙与压力变化试验关系，并结合公式(8)计算样品中的软、硬孔隙的孔隙度；第三步，依据非接触模型(公式(9))计算干燥岩石弹性模量；最后，依据Gurevich喷射流模型进行流体替换计算(公式(11))，得到考虑喷射流作用的速度频散模型。 图6. 基于孔隙度与孔隙形状的地震岩石物理建模流程 为了验证上述速度频散模型的适用性，将H1与H5砂岩样品在700 kHz频率下测量的饱和岩石速度与模型计算的理论饱和速度进行了对比(图7)。图7中“干燥”表示岩石干燥速度测量值，“饱水”表示水饱和速度测量值。不难看出，岩石速度频散模型计算结果与实际测量结果符合度更高，而Gassmann方程计算结果在整个压力范围内均与测量结果存在明显差异。