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user: 3. ARIMA模型 3.1. 关于ARIMA模型 ARIMA模型全称为自回归积分滑动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model，简记ARIMA)，是由博克思(Box)和詹金斯(Jenkins)于70年代初提出一著名时间序列(Time-series Approach)预测方法，所以又称为Box-Jenkins模型、博克思–詹金斯法。其中ARIMA (p，d，q)称为差分自回归移动平均模型，AR是自回归，p为自回归项；MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。所谓ARIMA模型，是指将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型。 ARIMA模型的基本思想是：将预测对象随时间推移而形成的数据序列视为一个随机序列，用一定的数学模型来近似描述这个序列。这个模型一旦被识别后就可以从时间序列的过去值及现在值来预测未来值。 建立ARIMA模型的基本程序 1) 根据时间序列的散点图、自相关函数和偏自相关函数图以ADF单位根检验其方差、趋势及其季节性变化规律，对序列的平稳性进行识别。一般来讲，经济运行的时间序列都不是平稳序列。 2) 对非平稳序列进行平稳化处理。如果数据序列是非平稳的，并存在一定的增长或下降趋势，则需要对数据进行差分处理，如果数据存在异方差，则需对数据进行技术处理，直到处理后的数据的自相关函数值和偏相关函数值无显著地异于零。 3) 根据时间序列模型的识别规则，建立相应的模型。若平稳序列的偏相关函数是截尾的，而自相关函数是拖尾的，可断定序列适合AR模型；若平稳序列的偏相关函数是拖尾的，而自相关函数是截尾的，则可断定序列适合MA模型；若平稳序列的偏相关函数和自相关函数均是拖尾的，则序列适合ARMA模型。截尾是指时间序列的自相关函数(ACF)或偏自相关函数(PACF)在某阶后均为0的性质(比如AR的PACF)；拖尾是ACF或PACF并不在某阶后均为0的性质(比如AR的ACF)。 4) 进行参数估计，检验是否具有统计意义。 5) 进行假设检验，诊断残差序列是否为白噪声。 6) 利用模型预测未来值。 3.2. 建立ARIMA模型 根据聚类分析的结果，分别对四类景区建立ARIMA时间序列模型进行拟合。 3.2.1. 上海国际旅游度假区 从图8中可以看出，从三月到十月的客流量数据波动较大且不平稳，其中三月至八月客流量在40，000左右波动，而九月以后，客流量有明显的下降，在30，000上下波动。对时间序列进行扩展的Dickey-Fuller单位根检验，检验结构结果表明序列不平稳，存在单位根。由此，对序列进行差分处理，差分后的序列明显是平稳的，ADF检验也拒绝了存在单位根的原假设。 图8. 上海国际旅游度假区客流量时序图 差分后的自相关函数(ACF)图中，2、3、4阶存在微弱的显著性，7、14、18、21、25、28阶也存在一定的显著性，序列存在一定的周期。 偏自相关(PACF)图中，前2~6阶是较为显著的，14和18阶也有一定的显著性。 推广的自相关函数EACF识别了一个ARIMA (3，1，4)模型。 分别用ARIMA (6，1，4)、ARIMA (3，1，4)以及ARIMA (1，1，1) × (0，1，1)，周期为7，对数据进行拟合，根据AIC准则，ARIMA (1，1，1) × (0，1，1)模型是较为合适的。 拟合的模型为：(Xt − 0.5572Xt − 1)(Xt − Xt − 1) = (at + 0.8693at − 1) (at + 0.9014at − 7) 模型检验：如图9所示，模型的残差检验表明残差是白噪声序列，建立的模型是合理的。 图9. 残差检验图 模型预测：上海国际旅游度假区两周的客流量预测值如表2所示。 Table 2 Forecast value of passenger flow in Shanghai international tourism resor 1 2 3 4 5 6 7 22555.11 23037.69 23902.67 25695.13 31606.85 30094.33 25363.39 8 9 10 11 12 13 14 23651.69 23311.89 23718.63 25255.73 31025.16 29433.36 24658.23 表2. 上海国际旅游度假区客流量预测值 从建立的模型中可以得出，上海国际旅游度假区的客流量存在先上升后下降的趋势，上升的周期大约为一周，这也是符合现实情况的，随着周末的到来，出行的人数相对平时会有所上升。另外，客流量在时间上存在自相关性，表现为前一天的客流量对今天的客流量存在影响。 3.2.2. 上海植物园 如图10所示，上海植物园的客流量在三四五月份较高，六月至八月份客流量下降，且比较平稳，波动不大，九月以后又出现了上升趋势。整体上来看，序列是不平稳的，ADF单位根检验的结果也表明序列不平稳，不能直接建立模型，所以对数据进行差分处理。 图10. 上海植物园客流量时序图 如图11所示，差分后的数据是平稳的。且可以从差分的图中看出，上海植物园的客流量在3月~6月以及10月的波动性较大，7~9月波动性小，较为稳定。 图11. 差分后的时序图 从自相关函数(ACF)中可以看出，前三阶存在较为明显的显著性，14阶也有一些显著性，但之后没有明显的周期性。 从偏自相关(PACF)图中可以看出，前五阶存在较为明显的显著性。 扩展的自相关函数EACF识别了一个ARIMA (2，1，2)模型。 根据AIC准则，ARIMA (2，1，2)模型较为合适。 拟合的模型：Xt − 1.0628Xt − 1 + 0.5266Xt − 2 = at + 1.4771at − 1 − 0.6242at − 2 模型检验：如图12所示，模型的残差检验表明残差是白噪声序列，建立的模型是合理的。 图12. 模型检验图 模型预测：上海植物园两周的客流量预测值如表3所示。 Table 3 Forecast value of passenger flow in Shanghai botanical garde 1 2 3 4 5 6 7 5161.777 6788.321 7926.305 8279.202 8054.976 7630.812 7298.082 8 9 10 11 12 13 14 7167.823 7204.605 7312.297 7407.386 7451.735 7448.794 7422.312 表3. 上海植物园客流量预测值 根据建立的模型可以得出结论，上海植物园的客流量在时间上的自相关性表现为前两天的客流量数据对今天的客流量存在影响，且前两天的客流量数据的波动也对今天的客流量存在影响。 3.2.3. 上海野生动物园和东方绿洲 如图13所示，上海野生动物园和东方绿舟两个景区的客流量变化确实较为相似，其中，东方绿舟的客流量稍微高一些，选择东方绿舟的客流量建立模型。 图13. 上海野生动物园和东方绿舟客流量时序图 东方绿舟的客流量除了节假期出现较高的峰值外，处于较为平稳的变动之中，对序列的平稳性进行检验，ADF检验也拒绝了存在单位根的原假设，序列是平稳的，可以直接建立ARIMA模型。 自相关函数(ACF)图中，前两阶是显著的。 偏偏相关函数(PACF)图中第一阶是非常显著的，第二阶也有微弱的显著性。 拟合ARIMA (1，1，2)和ARIMA (2，1，2)模型，对比两个模型的AIC，ARIMA (1，1，2)模型更为显著。 拟合的模型：Xt − 0.4312Xt − 1 = at + 0.6676at − 1 + 0.3004at − 2 模型检验：如图14所示，模型的残差检验表明残差是白噪声序列，建立的模型是合理的。 图14. 模型检验图 模型预测：上海野生动物园和东方绿舟两周的客流量预测值如表4所示。 Table 4 Forecast value of passenger flow of Shanghai wildlife park and oriental green boa 1 2 3 4 5 6 7 2011.587 5348.393 6787.235 7407.668 7675.201 7790.562 7840.306 8 9 10 11 12 13 14 7861.756 7871.005 7874.994 7876.713 7877.455 7877.775 7877.913 表4. 上海野生动物园和东方绿舟客流量预测值 根据模型可以得出结论，上海野生动物园和东方绿舟这一类的景区的客流量波动较为平稳，整体的客流量没有明显的上升趋势，一直在稳定的水平上波动。时间上的自相关性表现为前一天的客流量对今天的客流量存在影响，前两天的客流量的扰动对今天的客流量的扰动存在影响。 3.2.4. 其他类景区 观察其他景区的数据及趋势后，选择趋势较为明显且客流量相对较高的徐家汇源景区建立模型。如图15所示，徐家汇源景区的客流量出现了较多的峰值，但整体上在一个较为平稳的趋势上波动，ADF单位根检验的结果也证明序列是平稳的，可以直接建立ARIMA模型。 图15. 徐家汇源景区 从自相关(ACF)图中，序列存在明显的周期性。 偏自相关(PACF)图中，第一阶较为显著。 建立ARIMA (1，0，0) × (0，1，1)模型，周期为7。 拟合的模型：Xt − 0.2528Xt − 1 = Xt + Xt − 7 模型检验：如图16所示，模型的残差检验表明残差是白噪声序列，建立的模型是合理的。 图16. 模型检验图 模型预测：其他类景区两周的客流量预测值如表5所示。 Table 5 Forecast value of passenger flow in other scenic spot 1 2 3 4 5 6 7 2219.120 2385.845 2335.806 2640.914 4167.536 4081.973 2625.427 8 9 10 11 12 13 14 2318.328 2410.925 2342.147 2642.517 4167.941 4082.076 2625.453 表5. 其他类景区客流量预测值 根据模型的拟合结果可以得出结论，徐家汇源等景区的客流量数据波动是较为平稳的，整体上在一个稳定的水平上，节假日会出现一定的波动，但几个月内没有明显的客流量的上升趋势。在时间上的自相关性表现为前一天的客流量对今天的客流量存在影响，且存在周期为7天的影响，即一周以前的客流量数据对今天的客流量数据有一定程度上的影响。