system: [SYSTEM]

user: 2. 周期解 定理2.1 (Schuder不动点定理)设X是Banach空间，K是X中有界闭凸子集。如果 T : K → K 是全连续的，则T在K中有一个不动点。 本文给出以下假设。 假设存在正常数 L 1 ， L 2 ， L 1 ∗ ， L 2 ∗ ， M 1 ， M 2 ， N 1 ， N 2 ， b k ， c k ， ( k ∈ N + ) ，使得 | f ( x ， y ) | ≤ M 1 ，     | g ( x ， y ) | ≤ M 2 (2.1) ∫ 0 T | G 1 ( t ， s ) h 2 ( s ) | d s ≤ L 1 ，     ∫ 0 T | G 2 ( t ， s ) p 2 ( s ) | d s ≤ L 2 (2.2) ∫ 0 T | G 1 ( t ， s ) | ∫ − ∞ s | a ( s ， u ) | d u d s ≤ N 1 ，     ∫ 0 T | G 2 ( t ， s ) | ∫ − ∞ s | b ( s ， u ) | d u d s ≤ N 2 (2.3) { | I k ( x ) | ≤ b k | x | ，   | ∑ k = 1 p G 1 ( t ， t k ) b k | ≤ L 1 ∗ ，   t ∈ [ 0 ， T ] | J k ( x ) | ≤ c k | y | ，   | ∑ k = 1 p G 2 ( t ， t k ) c k | ≤ L 2 ∗ ，   t ∈ [ 0 ， T ] (2.4) 设 Ω M = { ( x ， y ) : ( x ， y ) ∈ P T ， ‖ ( x ， y ) ‖ ≤ M } 是 P T 的子集，则 Ω M 是 P T 中的有界闭子集。 定义算子 F : Ω M → P T F ( x ， y ) = ( F 1 ( x ， y ) ( t ) ， F 2 ( x ， y ) (t)) 其中 F 1 ( x ， y ) ( t ) = ∫ 0 T G 1 ( t ， s ) ( h 2 ( s ) y ( s ) + ∫ − ∞ s a ( s ， u ) f ( x ( u ) ， y ( u ) ) d u ) d s + ∑ 0 < t k < T G 1 ( t ， t k ) I k ( x ( t k ) ) F 2 ( x ， y ) ( t ) = ∫ 0 T G 2 ( t ， s ) ( p 2 ( s ) x ( s ) + ∫ − ∞ s b ( s ， u ) g ( x ( u ) ， y ( u ) ) d u ) d s + ∑ 0 < t k < T G 2 ( t ， t k ) J k ( y ( t k ) ) 定理2.2 假设(1.2)~(1.4)，(2.1)~(2.4)成立，且 L 1 + L 1 ∗ < 1 ，   L 2 + L 2 ∗ < 1 (2.5) 则(1.1)至少有一个T-周期解。 证明：若 x ( t ) ， y ( t ) 是(1.1)的周期解，由引理1.1可知， F ( x ， y ) ( t + T ) = F ( x ， y ) ( t ) 。设 M = max { N 1 M 1 1 − L 1 − L 1 ∗ ， N 2 M 2 1 − L 2 − L 2 ∗ } 对于 ( x ， y ) ∈ Ω M ， t ∈ [ 0 ， T ] 有 | F 1 ( x ， y ) ( t ) | ≤ ∫ 0 T | G 1 ( t ， s ) h 2 ( s ) | | y ( s ) | d s + ∑ 0 < t k < T | G 1 ( t ， t k ) | | I k ( x ( t k ) ) |     + ∫ 0 T | G 1 ( t ， s ) | ∫ − ∞ s | a ( s ， u ) | | f ( x ( u ) ， y ( u ) ) | d u d s ≤ M L 1 + N 1 M 1 + M L 1 ∗ ≤ M | F 2 ( x ， y ) ( t ) | ≤ ∫ 0 T | G 2 ( t ， s ) p 2 ( s ) | | x ( s ) | d s + ∑ 0 < t k < T | G 2 ( t ， t k ) | | J k ( y ( t k ) ) |     + ∫ 0 T | G 2 ( t ， s ) | ∫ − ∞ s | b ( s ， u ) | | g ( x ( u ) ， y ( u ) ) | d u d s ≤ M L 2 + N 2 M 2 + M L 2 ∗ ≤ M 所以， F ( Ω M ) ⊆ Ω M 。 下证F连续。取 Ω M 中的一个序列 { ( x n ， y n ) } ，且 lim n → ∞ ‖ ( x n ， y n ) − ( x ， y ) ‖ = 0 因为 Ω M 是闭的，我们有 ( x ， y ) ∈ Ω M 。由F的定义，有 ‖ F ( x n ， y n ) − F ( x ， y ) ‖ = max { max t ∈ [ 0 ， T ] | F 1 ( x n ， y n ) ( t ) − F 1 ( x ， y ) ( t ) | ， max t ∈ [ 0 ， T ] | F 2 ( x n ， y n ) ( t ) − F 2 ( x ， y ) ( t ) | } | F 1 ( x n ， y n ) ( t ) − F 1 ( x ， y ) ( t ) | = | ∫ 0 T G 1 ( t ， s ) ( h 2 ( s ) y n ( s ) + ∫ − ∞ s a ( s ， u ) f ( x n ( u ) ， y n ( u ) ) d u ) d s         − ∫ 0 T G 1 ( t ， s ) ( h 2 ( s ) y ( s ) + ∫ − ∞ s a ( s ， u ) f ( x ( u ) ， y ( u ) ) d u ) d s         + ∑ 0 < t k < T G 1 ( t ， t k ) ( I k ( x n ( t k ) ) − I k ( x ( t k ) ) ) | ≤ ∫ 0 T | G 1 ( t ， s ) | ( ∫ − ∞ s | a ( s ， u ) | | f ( x n ( u ) ， y n ( u ) ) − f ( x ( u ) ， y ( u ) ) | d u ) d s       + ∫ 0 T | G 1 ( t ， s ) h 2 ( s ) | | y n ( s ) − y ( s ) | d s + ∑ 0 < t k < T | G 1 ( t ， t k ) | | I k ( x n ( t k ) ) − I k ( x ( t k ) ) | 由 f ， I k 的连续性和Lebesgue控制收敛定理，有 lim n → ∞ max t ∈ [ 0 ， T ] | F 1 ( x n ， y n ) ( t ) − F 1 ( x ， y ) ( t ) | = 0 同理可证， lim n → ∞ max t ∈ [ 0 ， T ] | F 2 ( x n ， y n ) ( t ) − F 2 ( x ， y ) ( t ) | = 0 所以，F是连续映射。因为 F ( Ω M ) ⊆ Ω M ，所以 F ( Ω M ) 是一致有界的。易证对任意的 ( x ， y ) ∈ Ω M ， t ≠ t k 存在一个常数 L > 0 ，使得 | d d t F 1 ( x ， y ) ( t ) | ≤ L ， | d d t F 2 ( x ， y ) ( t ) | ≤ L ，即 | d d t F ( x ， y ) ( t ) | ≤ L 。所以， F ( Ω M ) ⊆ Ω M 是拟等度连续的。由Arzela-Ascoli’s定理， F ( Ω M ) 是列紧的。综上，F是全连续的。 由定理2.1可知，F在 Ω M 中有一个不动点，即存在 ( x ， y ) ∈ Ω M ，使得 ( x ， y ) = F ( x ， y ) 。由引理1.1可知，(1.1)有一个T-周期解。 定理2.3 假设(1.2)~(1.4)，(2.3)~(2.5)成立，且存在连续函数 G ， W ，及正常数 Q 1 ， Q 2 使得 | f ( x ， y ) | ≤ Q 1 W ( | y | ) ，     W ( u ) u ≤ 1 − L 1 − L 1 ∗ N 1 Q 1 ，   u > 0 | g ( x ， y ) | ≤ Q 2 G ( | x | ) ，     G ( u ) u ≤ 1 − L 2 − L 2 ∗ N 2 Q 2 ，   u > 0 那么(1.1)至少有一个T-周期解。 证明：令 M = max { W ( M ) N 1 Q 1 1 − L 1 − L 1 ∗ ， G ( M ) N 2 Q 2 1 − L 2 − L 2 ∗ } 对 ( x ， y ) ∈ Ω M ， t ∈ [ 0 ， T ] 有 | F 1 ( x ， y ) ( t ) | ≤ ∫ 0 T | G 1 ( t ， s ) h 2 ( s ) | | y ( s ) | d s + ∑ 0 < t k < T | G 1 ( t ， t k ) | | I k ( x ( t k ) ) |       + ∫ 0 T | G 1 ( t ， s ) | ∫ − ∞ s | a ( s ， u ) | | f ( x ( u ) ， y ( u ) ) | d u d s ≤ ∫ 0 T | G 1 ( t ， s ) h 2 ( s ) | | y ( s ) | d s + ∑ 0 < t k < T | G 1 ( t ， t k ) | | I k ( x ( t k ) ) |       + Q 1 ∫ 0 T | G 1 ( t ， s ) | ∫ − ∞ s | a ( s ， u ) | W ( | y ( u ) | ) d u d s ≤ M L 1 + M L 1 ∗ + 1 − L 1 − L 1 ∗ N 1 Q 1 N 1 Q 1 | y ( u ) | ≤ M L 1 + M L 1 ∗ + ( 1 − L 1 − L 1 ∗ ) M = M 类似地， | F 2 ( x ， y ) ( t ) | ≤ ∫ 0 T | G 2 ( t ， s ) p 2 ( s ) | | x ( s ) | d s + ∑ 0 < t k < T | G 2 ( t ， t k ) | | J k ( y ( t k ) ) |       + ∫ 0 T | G 2 ( t ， s ) | ∫ − ∞ s | b ( s ， u ) | | g ( x ( u ) ， y ( u ) ) | d u d s ≤ ∫ 0 T | G 2 ( t ， s ) p 2 ( s ) | | x ( s ) | d s + ∑ 0 < t k < T | G 2 ( t ， t k ) | | J k ( y ( t k ) ) |       + Q 2 ∫ 0 T | G 2 ( t ， s ) | ∫ − ∞ s | b ( s ， u ) | G ( | x ( u ) | ) d u d s ≤ M L 2 + M L 2 ∗ + 1 − L 2 − L 2 ∗ N 2 Q 2 N 2 Q 2 | x ( u ) | ≤ M L 2 + M L 2 ∗ + ( 1 − L 2 − L 2 ∗ ) M = M 其余的证明类似定理2.2的证明。