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user: 2. 相关概念 定义1. 一阶规则(FO规则) 给定源模式S和目标模式T，一阶规则是形式为 ∀ x ¯ : φ ( x ¯ ) → ψ ( x ¯ ) 的映射关系，其中 φ ( x ¯ ) 是S上的 一阶公式， ψ ( x ¯ ) 是形式为 R ( t 1 ⋯ t n ) 的原子的合取式， t i 可以是形式为 t i ∈ { x ¯ ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ) } 的变量，也可以是 x ¯ 上的Skolem范式 [ 14 ]。 定义2. 一阶规则的执行 给定一阶规则 ∀ x ¯ : φ ( x ¯ ) → ψ ( x ¯ ) ，称 ψ ( x ¯ ) 为从 φ ( x ¯ ) 获得的S上的一阶顺序查询，将 x ¯ 视为自由变量。用 Q φ ( I ) 表示元组 c ¯ ∈ d o m ( I ) | x ¯ | ，这样 c ¯ 就是在S上的实例I，对于查询 Q φ 的结果。给定 c ¯ ∈ Q φ ( I ) ，然后用 ψ ( c ¯ ) 表示从 ψ 获得的原子集合，用相应的 c i ∈ c ¯ 替换每个变量 x i ∈ x ¯ ，并用相应的不确定量替换每个Skolem项 [ 14 ]。 定义3. 核心模式映射 给定映射场景 M = ( S ， T ， Σ S T ) ，如果对于任意源实例I，目标实例 R ( I ) 是M在I上的核解，一组FO规则R被称为M的核心模式映射。 定义4. 变量 给定公式 φ l ( x ¯ ， y ¯ ) 中的原子 R l ( A 1 : v 1 ， ⋯ ， A k : v k ) ，其中变量由 R l . A j : v i 表示。如果 v i ∈ x ¯ ，则 φ l ( x ¯ ， y ¯ ) 中的变量 R l . A j : v i 是全称量词；如果 v i ∈ y ¯ ，它是存在量词。 在下文中，用 o c c ( φ l ( x ¯ ， y ¯ ) ) 表示所有在 φ l ( x ¯ ， y ¯ ) 中的变量； u − o c c ( φ l ( x ¯ ， y ¯ ) ) ， e − o c c ( φ l ( x ¯ ， y ¯ ) ) 分别表示全称变量和存在变量。同样， o c c ( v ) ， u − o c c ( v ) ， e − o c c ( v ) 将表示给定变量v的所有(通用的，存在的)变量取值集合。 定义5. 公式同态 给定两个合取范式： φ l ( x ¯ ， y ¯ ) 和 φ ′ l ( x ¯ ′ ， y ¯ ′ ) ，公式同态是一个从集合 o c c ( φ l ( x ¯ ， y ¯ ) ) 到 o c c ( φ ′ l ( x ¯ ′ ， y ¯ ′ ) ) 的映射 h f 。 i) h f 将 φ l ( x ¯ ， y ¯ ) 中的全称量词映射为 φ ′ l ( x ¯ ′ ， y ¯ ′ ) 中的全称量词； ii) 对于每个原子 R l ( A 1 : v 1 ， ⋯ ， A k : v k ) ∈ φ l ( x ¯ ， y ¯ ) ，在集合 φ ′ l ( x ¯ ′ ， y ¯ ′ ) 上存在 R ( h f ( R l ( A 1 : v 1 ， ⋯ ， A k : v k ) ∈ φ ′ l ( x ¯ ′ ， y ¯ ′ ) ) ) 与之对应； iii) 对于存在变量 y ∈ y ¯ ，变量 R n l . A m : y ， R i l . A j : y 成对出现，在这种情况下， h f ( R n l . A m : y ) 和 h f ( R i l . A j : y ) 都是常量，或者是在 y ′ ∈ y ¯ ′ 中相同的存在变量。 如果一个公式同态 h f 把 φ l ( x ¯ ， y ¯ ) 中的不同的原子映射到 φ ′ l ( x ¯ ′ ， y ¯ ′ ) 的不同的原子中，则公式同态 h f 是单射的。如果 φ ′ l ( x ¯ ′ ， y ¯ ′ ) 中的每个原子都是依据 h f 在 φ l ( x ¯ ， y ¯ ) 中的某个原子的图像，那么 h f 是满射的。 对于关系 R ( A ， B ， C ) 和 T ( A ， B ， C ) 上的两个查询公式： φ l = R 1 ( x 1 ， x 2 ， Y 1 ) ∧ T 2 ( x 3 ， x 1 ， Y 1 ) 和 φ ′ l = R 3 ( x ′ 4 ， x ′ 5 ， x ′ 6 ) ∧ T 4 ( x ′ 9 ， x ′ 7 ， x ′ 8 ) 在以下变量之间的映射中，存在 φ l 到 φ ′ l 的公式同态 h f 。 h f ( R 1 . A : x 1 ) → R 3 . A : x ′ 4 ， h f ( R 1 . B : x 2 ) → R 3 . B : x ′ 5 h f ( R 1 . C : Y 1 ) → R 3 . C : x ′ 6 ， h f ( T 2 . A : x 3 ) → T 4 . A : x ′ 9 h f ( T 2 . B : x 1 ) → T 4 . B : x ′ 7 ， h f ( T 2 . C : Y 1 ) → T 4 . C : x ′ 8 可以看出，由于公式同态的影响，它们可以将左侧的相同变量与右侧不同变量相关联。在本文中， 将通过 A j : h R l . A j f ( v i ) 来引用变量 h f ( R l . A j : v i ) 。 h R l . A j f ( v i ) 是与 v i 中的 R l . A j 相关联的变量。考虑上面 h f 的例子， φ l 中出现两次的存在变量 x 1 被映射到 φ ′ l 中不同的通用变量的位置，实际上， h R 1 . A f ( x 1 ) = x ′ 4 ，而 h T 2 . B f ( x 1 ) = x ′ 7 。 定义6. 公式同态的分类 给定两个合取公式 φ l ( x ¯ ， y ¯ ) 和 φ ′ l ( x ¯ ′ ， y ¯ ′ ) ，和一个从 o c c ( φ l ( x ¯ ， y ¯ ) ) 到 o c c ( φ ′ l ( x ¯ ′ ， y ¯ ′ ) ) 的公式同态 h f 。 i) 如果 h f 是满射的，则公式同态 h f 是更紧凑的。可以是 | φ ′ l ( x ¯ ′ ， y ¯ ′ ) | < | φ l ( x ¯ ， y ¯ ) | 或 | y ¯ ′ | < | y ¯ | 的情况。即要么 φ ′ l ( x ¯ ′ ， y ¯ ′ ) 比 φ l ( x ¯ ， y ¯ ) 小，要么 φ ′ l ( x ¯ ′ ， y ¯ ′ ) 包括较少的存在变量； ii) 如果 h f 是单射的而不是满射的，则 h f 被认为是更适当的，即在 φ ′ l ( x ¯ ′ ， y ¯ ′ ) 中至少有一个原子不是 的原子的图像。 讨论“公式同态”和“事实(公式的所有实例的集合)之间对的应同态”的关系是非常重要的。本文研究公式同态，以便检测作为公式事实之间可能的同态。然而，公式同态并不能保证实际同态在事实之间产生，公式之间的同态映射可以将通用变量的值映射为其他通用变量的值。在实例化公式时，这些变量不一定接收相同的值，公式实例之间的同态可能实现也可能不实现，这都取决于通用变量所假设的值。 考虑关于 φ l = R 1 ( x 1 ， x 2 ， Y 1 ) ∧ T 2 ( x 3 ， x 1 ， Y 1 ) 和 φ ′ l = R 3 ( x ′ 4 ， x ′ 5 ， x ′ 6 ) ∧ T 4 ( x ′ 9 ， x ′ 7 ， x ′ 8 ) 的公式同态 h f 。包含两个公式的实例： W = { R ( 1 ， 2 ， N 0 ) ， T ( 3 ， 1 ， N 0 ) } 和 W ′ = { R ( 1 ， 2 ， 4 ) ， T ( 3 ， 1 ， 4 ) } 。给定变量值的赋值，可以看出， w ′ 的事实集实际上比w的事实集更紧凑。如果改变赋值，通常不会这样。 现在考虑一下： W ″ = { R ( 1 ， 2 ， N 0 ) ， T ( 3 ， 1 ， N 0 ) } 和 W ‴ = { R ( 1 ， 4 ， 6 ) ， T ( 3 ， 5 ， 7 ) } 。 w ″ 中没有 w ‴ 的同态，造 成这种情况的原因有两个。i) 首先，公式同态将 x 2 映射为 x ′ 5 。通过这样做，公式同态对变量 x 2 ， x ′ 5 的值进行限制：为了实现公式实例之间的同态，两个变量必须接收相同的值；ii) 其次， h f 将两次出现的 N 0 映射到 x ′ 6 x ′ 8 ；这意味着为了实现同态， x ′ 6 的值应等于 x ′ 8 的值。 给定一个公式同态 h f ，可以在与 h f 有关的通用变量之间引入几组等式： I N T E R S E C T h f 表示 φ l ( x ¯ ， y ¯ ) 和 φ ′ l ( x ¯ ′ ， y ¯ ′ ) 之间全称量词的一组等价集(等式集合)，这组等式必须成立，才能实现这两个公式实例之间的同态。 I N T E R S E C T h f ( x ¯ ， x ¯ ′ ) = { x i = x ′ j | h f ( R . A : x i ) = R . A : x ′ j ， x i ∈ x ¯ ， x ′ j ∈ y ¯ } J O I N S h f 表示 φ ′ l ( x ¯ ′ ， y ¯ ′ ) 的全称量词之间的等价集，其具体的值是 φ l ( x ¯ ， y ¯ ) 中相同存在量词的值的图像。 J O I N S h f ( x ¯ ) = { x ′ h = x ′ l | x ′ h = h R i . A j f ( y k ) ， x ′ l = h R n . A m f ( y k ) ， y k ∈ y ¯ } 直观地说，只有满足 E Q U A L h f ( x ¯ ， x ¯ ′ ) 的赋值才能实现公式同态。 E Q U A L h f ( x ¯ ， x ¯ ′ ) = I N T E R S E C T h f ( x ¯ ， x ¯ ′ ) ∪ J O I N S h f ( x ¯ ′ )