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user: 2. 高频变压器的建模 由于高频变压器广泛的应用于电力电子系统中，所以它的模型对于在相关电力电子系统的模拟分析和数值仿真时也具有重要的意义。本文选择用新兴的纳米晶体磁芯进行高频变压器的建模与设计，其电气参数如表1所示。 Table 1 High frequency transformer parameter 参量 数值 额定功率P 36 kVA 工作频率f 10 kHz 一次侧电压U 1 900 V 二次侧电压U 2 300 V 效率η ≥99% 电压调整率ΔU ≤1% 激励方式 方波激励(波形系数K f = 4) 表1. 高频变压器参数 2.1. 高频变压器的数学模型 高频变压器的等效电路由于在高频条件下，漏感和寄生电容会引发暂态过程，影响到电压和电流波形的稳定以及电磁兼容的问题。所以漏感和寄生电容不能被随意忽略，要添加在等效电路上。高频变压器的一般等效电路如图1所示。 图1. 高频变压器一般等效电路 其中，U 1 和U 2 分别表示一次侧电压与二次侧电压，一、二次绕组的匝数分别为N 1 和N 2 ，L σ 1 和L σ 2 分别表示一次与二次绕组的漏感，R ac 1 和R ac 2 分别表示一次与二次绕组的交流电阻，L m 和R m 分别表示励磁电感和铁损电阻，C 1 和C 2 分别表示一次与二次绕组的层间寄生电容，C 12 表示一、二次绕组之间的寄生电容。可以对高频变压器一般等效电路进行一个化简，得到如图2所示的简化电路。 图2. 高频变压器简化等效电路 其中，L σ 表示换算到一次侧的总漏感，C s 表示换算到一次侧的总电容，它们与一般等效电路中的电路参量有如下关系。这两种等效电路都经常被用到，从电路参数的分布性角度考虑，显然一般等效电路更加准确。 L σ = L σ 1 + N 1 2 N 2 2 L σ 2 (1) C s = C 1 + N 2 2 N 1 2 C 2 + ( N 2 N 1 − 1 ) 2 C 12 (2) 2.2. 最大磁通密度B m 的选择 对于高频变压器来说，存在一个最优的最大磁通密度使变压器的总损耗最小，也就是效率达到最大。可以在满足安全要求的基础上尽量选择靠近最优值的最大磁通密度B m 。 高频变压器计算铁损的公式为 P c = k c f α B m β V c k f (3) 高频变压器计算铜损的公式为 P m = R a c 1 I 1 2 + R a c 2 I 2 2 = F r 1 N 1 ρ l m 1 S 1 I 1 2 + F r 2 N 2 ρ l m 2 S 2 I 2 2 ( 5.35 ) 其中，F r 1 和F r 2 分别为一、二次绕组的交流电阻系数，l m 1 和l m 2 分别为一、二次绕组的平均匝长，S 1 和S 2 分别为一、二次绕组单匝裸导体的截面积。 根据高频变压器感应电动势的公式，一、二次绕组的匝数分别为 N 1 = U 1 4 B m A c f ，     N 2 = U 2 4 B m A c f (4) 高频变压器的总损耗为 P s = P c + P m (5) 将总损耗的公式对最大磁通密度B m 求导，使导函数等于零的B m 就是要找到的最优值，用B z 来表示，计算的公式为 B z β + 1 = F r 1 U 1 ρ l m 1 S 1 I 1 2 + F r 2 U 2 ρ l m 2 S 2 I 2 2 4 A c f α + 1 k m β V c k f (6) 在设计高频变压器时，除了考虑效率最优，还应当重点考虑安全问题，针对这两个方面的要求，选择合适的最大磁通密度B m 。根据前面对于剩磁影响的分析，由于纳米晶体磁芯饱和磁通密度为1.2 T，所以本课题所选择的最大磁通密度应该不大于0.3 T。 2.3. 建模与理论参数计算 选择纳米晶体材料的CC型磁芯，初选最大磁通密度B m 为0.3 T，电流密度J为2.5 A/mm 2 ，窗口利用率K u 为0.4，根据设计的目标功率选择磁芯的规格如图3，表2，表3。 图3. CC型纳米晶体磁芯 Table 2 Diameter of nanocrystalline CC core A B C D E F 磁芯截面积A c 窗口面积W a 40 mm 5 mm 20 mm 50 mm 125 mm 200 mm 20 cm 2 54 cm 2 表2. 纳米晶体CC型磁芯的尺寸 Table 3 Parameters of nanocrystalline CC core 参量 数值 片厚 0.033 mm 叠片系数k f 0.78 体积V c 911.33 cm 2 磁路长度l c 455.66 mm 密度ρ 7.2 g/cm 3 表3. 纳米晶体CC型磁芯参数 高频变压器的电压调整率非常小，可以忽略掉。所以一、二次绕组的匝数为 N 1 = U 1 4 B m A c f = 48   匝 (7) N 2 = U 2 4 B m A c f = 16   匝 (8) 一、二次侧额定电流为 I 1 = P U 1 = 40   A (9) I 2 = P U 2 = 120   A (10) 绕组采用截面为矩形的铜导体来绕制，铜导体的集肤深度 δ 为 δ = 66.1 f = 66.1 10000 = 0.661   mm (11) 一、二次绕组铜导体的截面积为 S 1 = I 1 J = 16   mm 2 (12) S 2 = I 2 J = 48   mm 2 (13) 受到交流电流集肤效应和邻近效应的影响，在建模中一般要使导体的宽度小于集肤深度的二倍，来保证交流电阻系数不至于太大。所以一次侧绕组采用单股导体绕制，二次侧采用2股导体并绕。绕制一、二次侧绕组运用的铜导体参数如表4。 一次绕组分为6层，每层8匝；二次绕组分为4层，每层4匝。一、二次绕组分别平均分开绕在两个磁芯的两个柱上，所以每个柱上有3层一次绕组和2层二次绕组。一、二次绕组在两个柱上对称排布，一次绕组在内侧，二次绕组在外侧。绕组与磁芯间的环氧板绝缘厚度d b 为2 mm；绕组层间绝缘层厚度d j 应大于1.5 mm，这里选择2 mm进行建模；绕组外包绝缘厚度d z 为3 mm。 Table 4 Winding type and winding parameter 参数 一次绕组 二次绕组 长度 13 mm 26 mm 宽度 1.23 mm 0.92 mm 电导率γ 5.8 × 10 7 S/m 5.8 × 10 7 S/m 绕组与裸导体高度比K m 1.15 1.15 表4. 绕组铜导体参数和绕线方式 一次绕组分为6层，每层8匝；二次绕组分为4层，每层4匝。一、二次绕组分别平均分开绕在两个磁芯的两个柱上，所以每个柱上有3层一次绕组和2层二次绕组。一、二次绕组在两个柱上对称排布，一次绕组在内侧，二次绕组在外侧。绕组与磁芯间的环氧板绝缘厚度d b 为2 mm；绕组层间绝缘层厚度d j 应大于1.5 mm，这里选择2 mm进行建模；绕组外包绝缘厚度d z 为3 mm。 一、二次绕组以及绝缘层的高度为 h 1 = h 2 = 104 × 1.15 = 119.6   mm < 120   mm (14) 绕组高度小于窗口高度，是可行的。 绕组占窗口的总宽度d为 d = ( 2 + 1.23 × 3 + 0.92 × 2 × 2 + 2 × 4 + 3 ) × 2 = 40.74   mm < 45   mm (15) 绕组宽度小于窗口宽度，是可行的。 一、二次绕组的交流电阻系数为 F r 1 = 6.08 ，     F r 2 = 1.87 (16) 一、二次绕组的直流电阻为 R d c 1 = l 1 γ S 1 = 16 × ( 196.43 + 216.73 + 237.02 ) 5.8 × 10 7 × 16 × 100 = 0.0112   Ω (17) R d c 2 = l 2 γ S 2 = 8 × ( 259.23 + 283.36 ) 5.8 × 10 7 × 48 × 100 = 0.0037   Ω (18) 一、二次绕组的交流电阻为 R a c 1 = F r 1 R d c 1 = 0.0681   Ω (19) R a c 2 = F r 2 R d c 2 = 0.0070   Ω (20) 在这里要特别说明的是，在确定参数的基础上高频变压器计算效率最优时的最大磁通密度B z 为0.46 T，这个值大于安全的限定值0.3 T，所以选择最大磁通密度B m 为0.3 T来设计变压器是最佳的。 绕组层间绝缘的相对介电常数 ε r 为2，磁芯在工作状态的相对磁导率 μ r 为25，000，变压器的励磁电感、漏感、寄生电容的理论计算结果如表5所示。 Table 5 Theoretical calculation parameters of high frequency transformer with equivalent circuit 参量 数值 漏感L σ (换算到一次侧) 0.0084 mH 励磁电感L m (换算到一次侧) 24.78 mH 一次绕组层间寄生电容C 1 29.57 pF 二次绕组层间寄生电容C 2 41.64 pF 一、二次绕组层间寄生电容C 12 329.56 pF 表5. 高频变压器等效电路理论计算参数 可以看到变压器的寄生电容很小，在10 kHz的工作频率下可以忽略，在后面的性能计算中忽略寄生电容的影响。综上所述，初始设计高频变压器主要性能指标如表6，满足设计目标的要求。 Table 6 Performance of theoretical model of the high frequency transforme 性能指标 总损耗P s (W) 漏感L σ (mH) 电压调整率ΔU 效率η 温升Δτ (℃) 参数 218.26 0.0084 0.58% 99.40% 26.81 表6. 理论模型下的高频变压器主要性能指标