system: [SYSTEM]

user: 3. 拟合及预测结果分析 3.1. 三种函数下的中国实际GDP拟合及预测曲线 对数函数、增长函数和切比雪夫函数下的中国实际GDP拟合及预测曲线如图1、图2、图3所示。 图1. 对数函数——中国 图2. 增长函数——中国 图3. 切比雪夫函数——中国 我们对三种函数下的中国实际GDP拟合优度做了检测，其结果如表1所示。 Table 1 Goodness test of China’s real GDP under the three function 指标 对数函数 增长函数 切比雪夫函数 Regression coefficient [b， a] [9.5489e+14， −7.2557e+15] [−564173.0939， 309.941] - Regression logarithm polynomial 9.549e+14x， −7.256e+15 −5.642e+05x+309.9 - cheb - - ([1.0852e+13， 1.4881e+13， 4.8600e+12]) poly - - ([5.9918e+12， 1.4881e+13， 9.7199e+12]) R_Square 0.8537 0.9885 0.9877 R_Sqrt 0.924 0.9942 0.9938 Adjusted R_Square 0.8485 0.988 0.9873 Spread of the error 1.76667E+12 0.136 512，049，743，364.78 Root mean squared error 1.70676E+12 0.1314 494，687，049，592.57 表1. 三种函数下的中国实际GDP拟合优度检测 就对数函数而言， a = − 7256000000000000 ， b = 954900000000000 ，具体模型为： y = − 7256000000000000 + 954900000000000 ln x (16) 在增长函数中， a = 309.9 ， b = − 564173 ，增长函数具体形式为： y = e 309.9 − 564173 x (17) ln y = 309.9 − 564173 x (18) 切比雪夫多项式函数具体形式为： y = 4860000000000 T 0 + 14881000000000 T 1 + 10852000000000 T 2 (19) y = 9719900000000 + 14881000000000 x + 5991800000000 x 2 (20) 由图1、图2、图3和表1可知，对数函数的拟合图像与R 2 均反映出其拟合效果不如增长函数和切比雪夫函数，而增长函数和切比雪夫函数拟合结果较好。 接下来我们从三种函数的预测值方面对其进行比较分析，进而确定出最为适合的函数。三种函数下中国GDP的预测值和预测曲线分别如表2和图4。 Table 2 China’s GDP forecast under three function Year GDP_Chebyshev GDP_Growth GDP_Logarithm 2020 158，622.55 204，173.79 118，194.65 2021 171，165.93 234，432.40 122，920.68 2022 184，195.32 269，138.56 127，644.37 2023 197，710.69 308，940.57 132，365.73 2024 211，712.07 354，580.43 137，084.76 2025 226，199.44 406，907.30 141，801.45 2026 241，172.80 466，892.81 146，515.81 2027 256，632.17 535，648.59 151，227.85 2028 272，577.52 614，446.27 155，937.57 2029 289，008.88 704，740.29 160，644.96 2030 305，926.23 808，194.00 165，350.03 表2. 三种函数下的中国GDP预测值(单位：亿美元) 图4. 三种函数下的中国GDP预测曲线 由表2和图4我们可以得知，对数函数预测值最小，切比雪夫函数预测值居中，增长函数的预测值最高。 我们认为切比雪夫的预测结果较为合理，没有过分的高，也没有过分的低，符合中国经济中高速、高质量发展的现状。按照这个模型，中国到2030年的实际GDP大约能发展到30万亿美元，比2019年大约翻了一番。 3.2. 三种函数下的印度实际GDP拟合及预测曲线 对数函数、增长函数和切比雪夫函数下的印度实际GDP拟合及预测曲线如图5、图6、图7所示。 图5. 对数函数—印度 图6. 增长函数—印度 图7. 切比雪夫函数—印度 我们对三种函数下的印度实际GDP拟合优度做了检测，其结果如表3所示。 Table 3 Goodness test of India’s real GDP under the three function 指标 对数函数 增长函数 切比雪夫函数 Regression coefficient [b，a] [1.7565e+14， −1.3344e+15] [−369069.72， 211.5088] - Regression logarithm polynomial 1.757e+14x， −1.334e+15 −3.691e+05x+211.5 - cheb - - ([2.1166e+12， 2.5624e+12， 7.3516e+11]) poly - - ([1.3814e+12， 2.5624e+12， 1.4703e+12]) R_Square 0.8980 0.9801 0.9935 R_Sqrt 0.9476 0.9900 0.9967 Adjusted R_Square 0.8943 0.9794 0.9932 Spread of the error 264656397172.42 0.1172 66，984，234，759.70 Root mean squared error 255682370647.65 0.1132 64，712，918，797.20 表3. 三种函数下的印度实际GDP拟合优度检测 就对数函数而言， a = − 1334000000000000 ， b = 175700000000000 ，具体模型为： y = − 1334000000000000 + 175700000000000 ln x (21) 增长函数的参数为 a = 211.5 ， b = − 369070 ，增长函数具体形式为： y = e 211.5 − 369070 x (22) ln y = 211.5 − 369070 x (23) 切比雪夫多项式函数具体形式为： y = 735160000000 T 0 + 2562400000000 T 1 + 2116600000000 T 2 (24) y = 1470300000000 + 2562400000000 x + 1381400000000 x 2 (25) 由图5、图6、图7和表3可知，对数函数的拟合图像与R 2 均反映出其拟合效果不如增长函数和切比雪夫函数，而增长函数和切比雪夫函数拟合结果较好。 接下来我们从三种函数的预测值方面对其进行比较分析，进而确定出最为适合的函数。三种函数下印度GDP的预测值和预测曲线分别如表4和图8。 Table 4 China’s GDP forecast under three function Year GDP_Chebyshev GDP_Growth GDP_Logarithm 2020 30，301.67 32，219.00 24，179.79 2021 32，354.77 35，267.47 25，049.14 2022 34，481.40 38，600.92 25，918.06 2023 36，681.53 42，245.68 26，786.56 2024 38，955.19 46，230.46 27，654.62 2025 41，302.36 50，586.59 28，522.25 2026 43，723.04 55，348.27 29，389.46 2027 46，217.25 60，552.79 30，256.24 2028 48，784.96 66，240.83 31，122.59 2029 51，426.20 72，456.76 31，988.51 2030 54，140.95 79，248.99 32，854.01 表4. 三种函数下的中国GDP预测值(单位：亿美元) 图8. 三种函数下的印度GDP预测曲线 由表4和图8我们可以得知，对数函数预测值最小，切比雪夫函数预测值居中，增长函数的预测值最高。 我们认为切比雪夫的预测结果较为合理，没有过分的高，也没有过分的低，符合印度经济发展现状。按照这个模型，印度到2030年的实际GDP大约能发展到5.4万亿美元，比2019年大约翻了一番。 3.3. 切比雪夫函数下中国和印度GDP对比 基于上述分析可得，切比雪夫函数无论对于中国还是印度而言，都是相对最为合理的预测模型，因此，我们选择切比雪夫函数对中国和印度的GDP走势进行比较分析，如图9。 图9. 切比雪夫函数—中国和印度 由图9可以直观地看到，在未来十年，中国经济体量远大于印度，在“龙象之争”中，中国仍将处于领先地位。从2012年至2019年中国的GDP增速分别是：7.86%、7.76%、7.3%、6.9%、6.7%、6.9%、6.6%、5.95%，同期印度的GDP增速分别是：5.46%、6.39%、7.41%、8.15%、7.11%、6.68%、7.4%、4.18%。由于中国经济已经进入高质量发展阶段，GDP增速趋缓，而印度近几年经济发展迅猛，GDP增速较高。在本模型中，大多数年份中国GDP增速更高，印度GDP增速超过中国不过几年，样本较少，在预测中不足以明显地体现出来，因此实际上中国和印度的GDP总量差距可能会略小于模型所展示的结果。