system: [SYSTEM]

user: 3. 均值效应量的极大似然估计 根据之前的假设效应量 D i 服从正态分布，因此关于 μ 的似然函数为： L ( μ ， D i ， S i ) = ∏ i = 1 k 1 2 π d e t ( S i + Σ ) 1 2 exp { − ( D i − μ ) T ( S i + Σ ) − 1 ( D i − μ ) 2 } 其中 μ = ( μ 1 μ 2 ) ， S i + Σ = ( σ i 1 2 w i 1 + τ 2 ρ 0 σ i 1 σ i 2 w i 1 w i 2 + ρ 1 τ γ ρ 0 σ i 1 σ i 2 w i 1 w i 2 + ρ 1 τ γ σ i 2 2 w i 2 + γ 2 ) 。其所对应的对数似然函数为： ln L ( μ ， D i ， S i ) = − k ln ( 2 π ) − 1 2 ∑ i = 1 k ln [ d e t ( S i + Σ ) ] − 1 2 ∑ i = 1 k ( D i − μ ) T ( S i + Σ ) − 1 ( D i − μ ) 定理3.1：设效应量 D i 服从 N ( ( μ 1 μ 2 ) ， ( σ i 1 2 w i 1 + τ 2 ρ 0 σ i 1 σ i 2 w i 1 w i 2 + ρ 1 τ γ ρ 0 σ i 1 σ i 2 w i 1 w i 2 + ρ 1 τ γ σ i 2 2 w i 2 + γ 2 ) ) 的正态分布，则 μ 的极大似然估计量的分量为： 证明：因为关于 μ 的似然函数为： L ( μ ， D i ， S i ) = ∏ i = 1 k 1 2 π d e t ( S i + Σ ) 1 2 exp { − ( D i − μ ) T ( S i + Σ ) − 1 ( D i − μ ) 2 } 其所对应的对数似然函数为： ln L ( μ ， D i ， S i ) = − k ln ( 2 π ) − 1 2 ∑ i = 1 k ln [ d e t ( S i + Σ ) ] − 1 2 ∑ i = 1 k ( D i − μ ) T ( S i + Σ ) − 1 ( D i − μ ) = − 1 2 ∑ i = 1 k ln [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ]     − 1 2 ∑ i = 1 k [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1     × [ ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) ( D i 1 − μ 1 ) 2 − 2 ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ )     × ( D i 1 − μ 1 ) ( D i 2 − μ 2 ) + ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( D i 2 − μ 2 ) 2 ] − k ln (2π) 上述对数似然函数对 μ 1 ， μ 2 的偏导数为： ∂ ln L ( μ ， D i ， S i ) ∂ μ 1 = ∑ j = 1 k [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1     × [ ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) ( D i 1 − μ 1 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) ( D i 2 − μ 2 ) ] ∂ ln L ( μ ， D i ， S i ) ∂ μ 2 = ∑ j = 1 k [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1     × [ − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) ( D i 1 − μ 1 ) + ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( D i 2 − μ 2 ) ] 令 ∂ ln L ( μ ， D i ， S i ) ∂ μ 1 = 0 ， ∂ ln L ( μ ， D i ， S i ) ∂ μ 2 = 0 即得： ∑ j = 1 k [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 × [ ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) ( D i 1 − μ 1 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) ( D i 2 − μ 2 ) ] = 0 ∑ j = 1 k [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 × [ − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) ( D i 1 − μ 1 ) + ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( D i 2 − μ 2 ) ] = 0 整理可得： ∑ j = 1 k [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 ( σ i 2 2 + γ 2 ) ω i 2 μ 1   − ∑ j = 1 k [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) μ 2 = ∑ j = 1 k [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 ( σ i 2 2 + γ 2 ) ω i 2 D i 1       − ∑ j = 1 k [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) D i 2 因为 S i + Σ = ( σ i 1 2 w i 1 + τ 2 ρ 0 σ i 1 σ i 2 w i 1 w i 2 + ρ 1 τ γ ρ 0 σ i 1 σ i 2 w i 1 w i 2 + ρ 1 τ γ σ i 2 2 w i 2 + γ 2 ) 可逆，且 ( S i + Σ ) − 1 为： [ d e t ( S i + Σ ) ] − 1 ( σ i 2 2 w i 2 + γ 2 − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 w i 1 w i 2 + ρ 1 τ γ ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 w i 1 w i 2 + ρ 1 τ γ ) σ i 1 2 w i 1 + τ 2 ) 其中 d e t ( S i + Σ ) = [ ( σ i 1 2 w i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 w i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 w i 1 w i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 ， 因此上述关于 μ 1 ， μ 2 的线性方程组的解为： 注：由 ( S i + Σ ) − 1 为： [ d e t ( S i + Σ ) ] − 1 ( σ i 2 2 w i 2 + γ 2 − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 w i 1 w i 2 + ρ 1 τ γ ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 w i 1 w i 2 + ρ 1 τ γ ) σ i 1 2 w i 1 + τ 2 ) ， 其中 d e t ( S i + Σ ) = [ ( σ i 1 2 w i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 w i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 w i 1 w i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 ， 可以给出效应量 D i 服从正态分布的合并效应量的矩阵形式为： μ ^ M L = [ ∑ i = 1 k ( S i + Σ ) − 1 ] − 1 ∑ i = 1 k ( S i + Σ ) − 1 D i 。 由上述效应量 D i 服从正态分布的合并效应量均值估计量分量的具体形式，我们可以得到合并效应量均值估计量的如下性质： 性质2.1：设效应量设效应量 D i 服从 N ( ( μ 1 μ 2 ) ， ( σ i 1 2 w i 1 + τ 2 ρ 0 σ i 1 σ i 2 w i 1 w i 2 + ρ 1 τ γ ρ 0 σ i 1 σ i 2 w i 1 w i 2 + ρ 1 τ γ σ i 2 2 w i 2 + γ 2 ) ) 的正态分布，其极大似然估计量为： μ ^ M L = [ ∑ i = 1 k ( S i + Σ ) − 1 ] − 1 ∑ i = 1 k ( S i + Σ ) − 1 D i ，则 μ ^ M L 对于 μ 是无偏的。 证明：要证明估计量的无偏性，需证等式 E ( μ ^ M L ) = μ 成立。根据我们给出的效应量 D i 服从正态分布的合并效应量均值估计量分量的具体形式，我们需要证明 E ( μ ^ 1 ) = μ 1 ， E ( μ ^ 2 ) = μ 2 。因为 E ( D i 1 ) = μ 1 ， E ( D i 1 ) = μ 2 ，所以 = { ∑ i = 1 k ∑ j = 1 k [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 [ ( σ j 1 2 ω j 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 )     − ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ j 2 2 ω j 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ )     × ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) ] } − 1 { ∑ i = 1 k ∑ j = 1 k [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1     × [ ( σ j 1 2 ω j 1 + τ 2 ) ( σ j 2 2 ω j 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 { [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ j 2 2 ω j 2 + γ 2 )     − ( ρ 1 τ γ + ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 ) ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) ] E ( D j 1 )       − [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) ( σ j 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ] E ( D j 2 ) } } = { ∑ i = 1 k ∑ j = 1 k [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 [ ( σ j 1 2 ω j 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 )     − ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ j 2 2 ω j 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ )     × ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) ] } − 1 { ∑ i = 1 k ∑ j = 1 k [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1     × [ ( σ j 1 2 ω j 1 + τ 2 ) ( σ j 2 2 ω j 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 { [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ j 2 2 ω j 2 + γ 2 )     − ( ρ 1 τ γ + ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 ) ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) ] μ 1       − [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) ( σ j 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ] μ 2 } } = { ∑ i = 1 k ∑ j = 1 k [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 [ ( σ j 1 2 ω j 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 )     − ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ j 2 2 ω j 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ )     × ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) ] } − 1 { ∑ i = 1 k ∑ j = 1 k [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1     × [ ( σ j 1 2 ω j 1 + τ 2 ) ( σ j 2 2 ω j 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 { [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ j 2 2 ω j 2 + γ 2 )     − ( ρ 1 τ γ + ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 ) ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) ] μ 1       − [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) − ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ] μ 2 } } = { ∑ i = 1 k ∑ j = 1 k [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 [ ( σ j 1 2 ω j 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 )     − ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ j 2 2 ω j 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ )     × ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) ] } − 1 { ∑ i = 1 k ∑ j = 1 k [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1     × [ ( σ j 1 2 ω j 1 + τ 2 ) ( σ j 2 2 ω j 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ j 2 2 ω j 2 + γ 2 )       − ( ρ 1 τ γ + ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 ) ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) ] } μ 1 = μ 1 = { ∑ i = 1 k ∑ j = 1 k [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 [ ( σ j 1 2 ω j 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 )     − ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ j 2 2 ω j 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ )       × ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) ] } − 1 { ∑ i = 1 k ∑ j = 1 k [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1     × [ ( σ j 1 2 ω j 1 + τ 2 ) ( σ j 2 2 ω j 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 { [ ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ )     × ( σ j 2 2 ω j 2 + γ 2 ) − ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) ] E ( D j 1 )       − [ ( ρ 1 τ γ + ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 ) ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) − ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) ( σ j 1 2 ω j 1 + τ 2 ) ] E ( D J 2 ) } } = { ∑ i = 1 k ∑ j = 1 k [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 [ ( σ j 1 2 ω j 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 )     − ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ j 2 2 ω j 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ )       × ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) ] } − 1 { ∑ i = 1 k ∑ j = 1 k [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1     × [ ( σ j 1 2 ω j 1 + τ 2 ) ( σ j 2 2 ω j 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 { [ ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ )     × ( σ j 2 2 ω j 2 + γ 2 ) − ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) ] μ 1       − [ ( ρ 1 τ γ + ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 ) ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) − ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) ( σ j 1 2 ω j 1 + τ 2 ) ] μ 2 } } = { ∑ i = 1 k ∑ j = 1 k [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 [ ( σ j 1 2 ω j 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 )     − ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ j 2 2 ω j 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ )       × ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) ] } − 1 { ∑ i = 1 k ∑ j = 1 k [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1     × [ ( σ j 1 2 ω j 1 + τ 2 ) ( σ j 2 2 ω j 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 { [ ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ )     × ( σ j 2 2 ω j 2 + γ 2 ) − ( σ j 2 2 ω j 2 + γ 2 ) ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) ] μ 1       − [ ( ρ 1 τ γ + ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 ) ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) − ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) ( σ j 1 2 ω j 1 + τ 2 ) ] μ 2 } } = { ∑ i = 1 k ∑ j = 1 k [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 [ ( σ j 1 2 ω j 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 )     − ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1 [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ j 2 2 ω j 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ )       × ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) ] } − 1 { ∑ i = 1 k ∑ j = 1 k [ ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) ( σ i 2 2 ω i 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1     × [ ( σ j 1 2 ω j 1 + τ 2 ) ( σ j 2 2 ω j 2 + γ 2 ) − ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) 2 ] − 1       × [ ( σ j 2 2 ω j 2 + γ 2 ) ( σ i 1 2 ω i 1 + τ 2 ) − ( ρ 0 σ j 1 σ j 2 ω j 1 ω j 2 + ρ 1 τ γ ) ( ρ 0 σ i 1 σ i 2 ω i 1 ω i 2 + ρ 1 τ γ ) ] μ 2 } = μ 2 综上所述， μ ^ M L 对于 μ 是无偏的。