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user: 3. 收敛性分析 定理1. 设函数 f : R → R 在区间 [ x ] ( 0 ) 内连续可微， [ x ] ( k ) ， k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ 是由两步区间牛顿法(4)得到的，且 0 ∉ F ′ ( [ x ] ( k ) ) ， k = 0 ， 1 ， ⋯ 。如果 [ x ] ( 0 ) 中包含有非线性方程(1)的一个实根 x ∗ ，则所有区间 [ x ] ( k ) ， k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ 均包含实根 x ∗ ， { [ x ] ( k ) } k ∈ N 是一个极限为 [ y ] 的嵌套区间序列且 x ∗ ∈ [ y ] 。 证明. 因为 x ∗ ∈ [ x ] ( 0 ) ，由引理1可知 x ∗ ∈ N ( [ x ] ( 0 ) ) ∩ [ x ] ( 0 ) = [ y ] ( 0 ) 。应用泰勒中值定理，存在 ξ ∈ [ y ] ( 0 ) ⊆ [ x ] ( 0 ) ( ξ 介于 x ∗ 与 m ( [ y ] ( 0 ) ) 之间)，使得 f ( x ∗ ) − f ( m ( [ y ] ( 0 ) ) ) = f ′ ( ξ ) ( x ∗ − m ( [ y ] ( 0 ) ) ) = − f ( m ( [ y ] ( 0 ) ) ) ， 则 x ∗ = m ( [ y ] ( 0 ) ) − f ( m ( [ y ] ( 0 ) ) ) f ′ ( ξ ) ∈ m ( [ y ] ( 0 ) ) − f ( m ( [ y ] ( 0 ) ) ) F ′ ( [ x ] ( 0 ) ) = T ( [ x ] ( 0 ) ， [ y ] ( 0 ) ) ， 故 x ∗ ∈ T ( [ x ] ( 0 ) ， [ y ] ( 0 ) ) ∩ [ x ] ( 0 ) = [ x ] ( 1 ) . 同理，当 x ∗ ∈ [ x ] ( k ) 时，有 x ∗ ∈ [ x ] ( k + 1 ) 。综上，由数学归纳法可知 x ∗ ∈ [ x ] ( k ) ， k = 1 ， 2 ， ⋯ 由引理3可知，两步区间牛顿法(4)所得的区间序列是极限为 [ y ] 的嵌套区间序列且 x ∗ ∈ [ y ] 。 两步区间牛顿法的最大优点是：在计算的过程中能判断某区间是否含有方程的解，如果该区间内不含有方程的解，可以换一个区间再进行迭代，而无需重复无用的迭代。另一个优点是：该算法给出了某一区间内解存在唯一性的充分条件。 定理2. 设函数 f : R → R 在区间 [ x ] ( 0 ) 内连续可微， [ x ] ( k ) ， k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ 是由两步区间牛顿法(4)得到的，且 0 ∉ F ′ ( [ x ] ( k ) ) ， k = 0 ， 1 ， ⋯ (1) 如果 T ( [ x ] ( k ) ， [ y ] ( k ) ) ⊂ [ x ] ( k ) ，则区间 [ x ] ( k ) 内有且仅有非线性方程(1)的一个解。 (2) 如果 [ x ] ( k ) ∩ T ( [ x ] ( k ) ， [ y ] ( k ) ) = ∅ ，则区间 [ x ] ( k ) 内不含有非线性方程(1)的任何解。 证明. (1)由于 0 ∉ F ′ ( [ x ] ( k ) ) ，则对任意 x ∈ [ x ] ( k ) 有 f ′ ( x ) ≠ 0 ，故函数 f ( x ) 在区间 [ x ] ( k ) 内单调，所以区间 [ x ] ( k ) 最多含有方程的一个解。下面证明解的存在性。 设函数 p ( y ) = y − f ( y ) / l ( y ， m ( [ y ] ( k ) ) ) ， y ∈ [ x ] ( k ) 其中 l ( y ， m ( [ y ] ( k ) ) ) = { f ( y ) − f ( m ( [ y ] ( k ) ) ) y − m ( [ y ] ( k ) ) ， y ≠ m ( [ y ] ( k ) ) f ′ ( m ( [ y ] ( k ) ) ) ， y = m ( [ y ] ( k ) ) 即 p ( y ) = { m ( [ y ] ( k ) ) − y − m ( [ y ] ( k ) ) f ( y ) − f ( m ( [ y ] ( k ) ) ) ⋅ f ( m ( [ y ] ( k ) ) ) ， y ≠ m ( [ y ] ( k ) ) m ( [ y ] ( k ) ) − f ( m ( [ y ] ( k ) ) ) f ′ ( m ( [ y ] ( k ) ) ) ， y = m ( [ y ] ( k ) ) 由泰勒中值定理可知，存在 ξ ∈ [ x ] ( k ) 使得 f ( y ) − f ( m ( [ y ] ( k ) ) ) = f ′ ( ξ ) ( y − m ( [ y ] ( k ) ) ) ， 则 p ( y ) = { m ( [ y ] ( k ) ) − f ( m ( [ y ] ( k ) ) ) f ′ ( ξ ) ， y ≠ m ( [ y ] ( k ) ) m ( [ y ] ( k ) ) − f ( m ( [ y ] ( k ) ) ) f ′ ( m ( [ y ] ( k ) ) ) ， y = m ( [ y ] ( k ) ) 故 p ( y ) ∈ T ( [ x ] ( k ) ， [ y ] ( k ) ) ⊂ [ x ] ( k ) 即 p ( y ) 是将 [ x ] ( k ) 映射到自身的连续映射，又区间 [ x ] ( k ) 为有界闭凸集，依据Browuer不动点定理，存在 x ∗ ∈ [ x ] ( k ) 使得 p ( x ∗ ) = x ∗ ，从而有 f ( x ∗ ) / l ( x ∗ ， m ( [ y ] ( k ) ) ) = 0 ，因为 0 ∉ F ′ ( [ x ] ( k ) ) ，所以有 f ( x ∗ ) = 0 ，因此非线性方程(1)在区间 [ x ] ( k ) 中有且仅有唯一解。 (2) 设 x ∗ 是非线性方程(1)的一个解且 x ∗ ∈ [ x ] ( k ) ，则 x ∗ ∈ T ( [ x ] ( k ) ， [ y ] ( k ) ) ，故 x ∗ ∈ [ x ] ( k ) ∩ T ( [ x ] ( k ) ， [ y ] ( k ) ) 与条件相矛盾，所以定理得证。 定理3. 假设函数 f : R → R 在区间 [ x ] ( 0 ) 内连续可微， 0 ∉ F ′ ( [ x ] ( 0 ) ) 且非线性方程(1)在 [ x ] ( 0 ) 中有唯一单根 x ∗ 。由两步区间牛顿法得到序列 [ x ] ( k ) ， k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ，如果 T ( [ x ] ( k ) ， [ y ] ( k ) ) ⊂ [ x ] ( k ) ，则 { [ x ] ( k ) } k ∈ N 至少是三阶收敛的，即存在常数 K > 0 使得 w ( [ x ] ( k + 1 ) ) ≤ K ( w ( [ x ] ( k ) ) ) 3 . 证明. 由中值定理可知，存在 ξ ∈ [ y ] ( k ) ( ξ 介于 x ∗ 与 m ( [ y ] ( k ) ) 之间)，使得 f ( m ( [ y ] ( k ) ) ) = f ′ ( ξ ) ( m ( [ y ] ( k ) ) − x ∗ ) ， 则 w ( [ x ] ( k + 1 ) ) ≤ w ( T ( [ x ] ( k ) ， [ y ] ( k ) ) ) ≤ | f ( m ( [ y ] ( k ) ) ) | ⋅ w ( 1 F ′ ( [ x ] ( k ) ) ) ≤ | f ′ ( ξ ) | ⋅ | m ( [ y ] ( k ) ) − x ∗ | ⋅ w ( 1 F ′ ( [ x ] ( k ) ) ) . 又因为 [ y ] ( k ) = [ x ] ( k ) ∩ N ( [ x ] ( k ) ) ，由引理2可知，存在 K 1 > 0 使得 | m ( [ y ] ( k ) ) − x ∗ | ≤ w ( [ y ] ( k ) ) ≤ K 1 ( w ( [ x ] ( k ) ) ) 2 . 由引理4可知，存在 K 2 > 0 使得 w ( 1 F ′ ( [ x ] ( k ) ) ) ≤ K 2 w ( [ x ] ( k ) ) 因为 f ′ ( x ) 在区间 [ y ] ( k ) 上连续，则存在 K 3 > 0 ，使得 | f ′ ( ξ ) | ≤ K 3 。 综上 w ( [ x ] ( k + 1 ) ) ≤ K 1 K 2 K 3 ( w ( [ x ] ( k ) ) ) 3 = K ( w ( [ x ] ( k ) ) ) 3 ， 这里 K = K 1 K 2 K 3 ，定理得证。 注1. 区间King迭代法的收敛情况与定理(1)、定理(2)类似，这里不再重复，下面只给出区间King迭代法的收敛速度。 定理4. 假设函数 f : R → R 在区间 [ x ] ( 0 ) 内连续可微， 0 ∉ F ′ ( [ x ] ( 0 ) ) 且非线性方程(1)在区间 [ x ] ( 0 ) 中有唯一单根。由区间King迭代法(5)得到序列 [ x ] ( k ) ， k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ，如果 H ( [ x ] ( k ) ， [ y ] ( k ) ) ⊂ [ x ] ( k ) ，则 { [ x ] ( k ) } k ∈ N 至少三阶收敛，即存在常数 K > 0 使得 w ( [ x ] ( k + 1 ) ) ≤ K ( w ( [ x ] ( k ) ) ) 3 . 证明. 由中值定理可知，存在 ξ ∈ [ y ] ( k ) ( ξ 介于 x ∗ 与 m [ y ] ( k ) 之间)，使得 f ( m ( [ y ] ( k ) ) ) = f ′ ( ξ ) ( m ( [ y ] ( k ) ) − x ∗ ) ， 则 w ( [ x ] ( k + 1 ) ) ≤ w ( H ( [ x ] ( k ) ， [ y ] ( k ) ) ) ≤ | λ ( k ) | ⋅ | f ( m ( [ y ] ( k ) ) ) | ⋅ w ( 1 F ′ ( [ x ] ( k ) ) ) ≤ | λ ( k ) | ⋅ | f ′ ( ξ ) | ⋅ | m ( [ y ] ( k ) ) − x ∗ | ⋅ w ( 1 F ′ ( [ x ] ( k ) ) ) . 因为 lim k → ∞ λ ( k ) = lim k → ∞ f ( m ( [ x ] ( k ) ) ) − 1 2 f ( m ( [ y ] ( k ) ) ) f ( m ( [ x ] ( k ) ) ) − 5 2 f ( m ( [ y ] ( k ) ) ) = − 1 4 ， 则存在 K 1 > 0 使得 | λ ( k ) | < K 1 . 由引理2可知，存在 K 2 > 0 使得 | m ( [ y ] ( k ) ) − x ∗ | ≤ w ( [ y ] ( k ) ) ≤ K 2 ( w ( [ x ] ( k ) ) ) 2 ， 由引理4可知，存在 K 3 > 0 使得 w ( 1 F ′ ( [ x ] ( k ) ) ) ≤ K 3 w ( [ x ] ( k ) ) . 因为 f ′ ( x ) 在区间 [ y ] ( k ) 上连续，则存在 K 4 > 0 ，使得 | f ′ ( ξ ) | ≤ K 4 。 由上式可以得出 w ( [ x ] ( k + 1 ) ) ≤ K 1 K 4 K 2 ( w ( [ x ] ( k ) ) ) 2 K 3 w ( [ x ] ( k ) ) = K 1 K 2 K 3 K 4 ( w ( [ x ] ( k ) ) ) 3 = K ( w ( [ x ] ( k ) ) ) 3 ， 这里 K = K 1 K 2 K 3 K 4 > 0 ，故定理得证。