system: [SYSTEM]

user: 3. 基于Shapley值的犹豫模糊语言三支决策模型 3.1. 相关符号描述 假设 A = { A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A m } 为备选方案集， A i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 是备选方案集中第i个方案； C = { C 1 ， C 2 ， ⋯ ， C n } 为属性集， C j ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 为属性集中的第j个属性， p = { p 1 ， p 2 ， ⋯ ， p t } 为决策者集合， p k ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， t ) 是第k位决策者， p k 给出的决策矩阵为 H k = ( h i j k ) m ∗ n ， h i j k 为一个犹豫模糊语言术语集。 p k 给出的两两方案比较偏好关系为 Ω k = { 〈 ( A i ， A j ) ， t k ( i ， j ) 〉 | A i ≻ A j     的 程 度 值 为     t k ( i ， j ) ， 0 ≤ t k ≤ 1 } ，属性偏好关系为 Λ φ 。 各属性对应的权重为 φ C S h = { φ c 1 S h ， φ c 2 S h ， ⋯ ， φ c n S h } ，且 0 ≤ φ c j S h ≤ 1 ， ∑ j = 1 n φ c j S h = 1 ，即通常所谓的W，但本文使用的权重为考虑了属性相关性后改良的权重，通过建立决策模型可求出。为了精确表示各属性的重要程度，决策者可以根据自身知识和经验给出属性权重的偏好关系，通常偏好信息结构 Λ φ 用以下五种形式给出 [ 58 ]： ① 排序结构： Λ 1 φ = φ c i S h ≥ φ c j S h ② 强排序结构： Λ 2 φ = β ≤ φ c i S h − φ c j S h ≤ α ③ 乘积结构： Λ 3 φ = φ c i S h ≥ α φ c j S h ④ 区间结构： Λ 4 φ = β ≤ φ c i S h ≤ α ⑤ 差值排序结构： Λ 5 φ = φ c i S h − φ c j S h ≥ φ c k S h − φ c l S h 3.2. 属性权重和正、负理想解的确定 1) 假设决策者 p k 的决策矩阵如表2所示。 Table 2 The decision matrix of the decision maker p C 1 C 2 ⋯ C n A 1 h 11 k h 12 k ⋯ h 1 n k A 2 h 21 k h 22 k ⋯ h 2 n k ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ A m h m 1 k h m 2 k ⋯ h m n k 表2. 第k个决策者给出的决策矩阵 2) 标准化决策矩阵 H k 由于 ( h i j k ) m ∗ n 存在语言术语个数不同的可能，需要对表2决策矩阵标准化，设标准化后的决策矩阵为 H k ¯ = ( h i j k ¯ ) m ∗ n ，如表3所示。 Table 3 The normalized decision matrix of the decision maker p C 1 C 2 ⋯ C n A 1 h 11 k ¯ h 12 k ¯ ⋯ h 1 n k ¯ A 2 h 21 k ¯ h 22 k ¯ ⋯ h 2 n k ¯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ A m h m 1 k ¯ h m 2 k ¯ ⋯ h m n k ¯ 表3. 标准化的决策者p k 的决策矩阵 3) 计算每个方案到正、负理想解的距离 利用定义5衡量方案到正、负理想解的距离。 ① 设模型求得的正理想解为： H + = ( h 1 + ， h 2 + ， ⋯ ， h n + ) ，分量为 h j + = { s β 1 ， s β 2 ， ⋯ ， s β # L } ，其中 # L 为标准化后 h i j k ¯ 包含的术语个数。 ② 负理想解为： H − = ( h 1 − ， h 2 − ， ⋯ ， h n − ) ，分量为 h j − = { s β 1 ， s β 2 ， ⋯ ， s β # L } ，其中 # L 为标准化后 h i j k ¯ 包含的术语个数。 决策者 p k 对方案 A i 的评价值为 h i k ¯ = ( h i 1 k ¯ ， h i 2 k ¯ ， ⋯ ， h i n k ¯ ) ，分量 h i j k ¯ = { s α 1 k ， s α 2 k ， ⋯ ， s α # L k } ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。 ③ 则 A i 距 H + 的距离为： D i k + = d ( A i k ， H + ) = ∑ j = 1 n φ c j S h ⋅ d ( h j k ¯ ， h j + ) (7) ④ A i 距 H − 的距离为： D i k − = d ( A i k ， H − ) = ∑ j = 1 n φ c j S h ⋅ d ( h j k ¯ ， h j − ) (8) 4) 计算决策者 p k 的决策矩阵和偏好关系的一致性和非一致性 假设决策者 p k 关于两两方案间的偏好关系为 Ω k = { ( A i ， A j ) ， t k ( i ， j ) | i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m } 。 基于正理想解 H + ，构建决策者 p k 的决策矩阵和偏好关系的非一致性 ( Φ i j k + ) − ： ( Φ i j k + ) − = ( D i k + − D j k + ) − = { 0 ，                                                               D i k + < D j k + t k ( i ， j ) × ( D i k + − D j k + ) ，         D i k + ≥ D j k + (9) 可将上式简记为 ( Φ i j k + ) − = max { 0 ， t k ( i ， j ) × ( D i k + − D j k + ) } = t k ( i ， j ) ⋅ max { 0 ， D i k + − D j k + } (10) 决策者 p k 的总体非一致性 B k + 为： B k + = ∑ ( A i ， A j ) ∈ Ω k ( Φ i j k + ) − = ∑ ( A i ， A j ) ∈ Ω k t k ( i ， j ) ⋅ max { 0 ， D i k + − D j k + } (11) ① 考虑所有t个决策者，基于正理想解 H + ，群体非一致性 B + 为： B + = ∑ k = 1 t B k + = ∑ k = 1 t ∑ ( A i ， A j ) ∈ Ω k ( Φ i j k + ) − = ∑ k = 1 t ∑ ( A i ， A j ) ∈ Ω k t k ( i ， j ) ⋅ max { 0 ， D i k + − D j k + } (12) ② 同理，基于负理想解 H − 的群体非一致性 B − 为： B − = ∑ k = 1 t B k − = ∑ k = 1 t ∑ ( A i ， A j ) ∈ Ω k ( Φ i j k − ) − = ∑ k = 1 t ∑ ( A i ， A j ) ∈ Ω k t k ( i ， j ) ⋅ max { 0 ， D j k − − D i k − } (13) ③ 基于正理想解 H + ，群体一致性 G + 为： G + = ∑ k = 1 t G k + = ∑ k = 1 t ∑ ( A i ， A j ) ∈ Ω k ( Φ i j k + ) + = ∑ k = 1 t ∑ ( A i ， A j ) ∈ Ω k t k ( i ， j ) ⋅ max { 0 ， D j k + − D i k + } (14) ④ 基于负理想解 H − ，群体一致性 G − 为： G − = ∑ k = 1 t G k − = ∑ k = 1 t ∑ ( A i ， A j ) ∈ Ω k ( Φ i j k − ) + = ∑ k = 1 t ∑ ( A i ， A j ) ∈ Ω k t k ( i ， j ) ⋅ max { 0 ， D i k − − D j k − } (15) 5) 建立单目标优化模型 min { B + + B − } s .t .   { G + − B + ≥ h + G − − B − ≥ h − μ ( c j ) ∈ Λ μ ， 0 ≤ μ ( c j ) ≤ 1       ∀ c j ∈ C ∑ j = 1 n φ c j S h = 1 μ ( S ) ≤ μ ( Q )       ∀ S ， Q ⊆ C ， S ⊆ Q φ c j S h = ∑ T ⊆ N \ j ( | N | − 1 − | T | ) ! | T | ! | N | ! × ( μ ( j ∪ T ) − μ ( T ) )       ∀ c j ∈ C (16) 其中，该优化模型的目标函数为最小化群体非一致性 { B + + B − } ，而且在约束条件中限制群体一致性高于非一致性， h + ， h − 事先有决策者根据经验和偏好给出，可取0.001。 为了方便软件求解，令 λ i j k + = max { 0 ， D i k + − D j k + } ， λ i j k − = max { 0 ， D j k − − D i k − } ，则对 ∀ ( A i ， A j ) ∈ Ω k ， λ i j k + ， λ i j k − ≥ 0 ，且 λ i j k + ≥ D i k + − D j k + ， λ i j k − ≥ D j k − − D i k − ，则上述模型可重写为： min { ∑ k = 1 t ∑ ( A i ， A j ) ∈ Ω k t k ( i ， j ) ⋅ λ i j k + + ∑ k = 1 t ∑ ( A i ， A j ) ∈ Ω k t k ( i ， j ) ⋅ λ i j k − } s .t .   { ∑ k = 1 t ∑ ( A i ， A j ) ∈ Ω k t k ( i ， j ) × ( D j k + − D i k + ) ≥ h + ∑ k = 1 t ∑ ( A i ， A j ) ∈ Ω k t k ( i ， j ) × ( D i k − − D j k − ) ≥ h − λ i j k + − ( D i k + − D j k + ) ≥ 0       ( i ， j ) ∈ { ( i ， j ) | ( A i ， A j ) ∈ Ω k } ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， t λ i j k − − ( D j k − − D i k − ) ≥ 0       ( i ， j ) ∈ { ( i ， j ) | ( A i ， A j ) ∈ Ω k } ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， t λ i j k + ， λ i j k − ≥ 0       ( i ， j ) ∈ { ( i ， j ) | ( A i ， A j ) ∈ Ω k } ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， t μ ( c j ) ∈ Λ μ ， 0 ≤ μ ( c j ) ≤ 1       ∀ c j ∈ C ∑ j = 1 n φ c j S h = 1 μ ( S ) ≤ μ ( Q )       ∀ S ， Q ⊆ C ， S ⊆ Q φ c j S h = ∑ T ⊆ N \ j ( | N | − 1 − | T | ) ! | T | ! | N | ! × ( μ ( j ∪ T ) − μ ( T ) )       ∀ c j ∈ C (17) 6) 计算得到属性权重和正、负理想解 利用LINGO求解上述模型，可得到属性权重 φ c j S h 和正理想解 H + 和负理想解 H − 。 3.3. 损失矩阵的确定 决策者 p k 的方案 A i 在属性 C j 下损失矩阵由对应决策值 h i j k ¯ 给出，为了表示相对损失差值，转换后的损失矩阵如表4所示。 Table 4 The loss function matrix of the A i under C j for decision maker p C j ( P ) ¬ C j ( N ) a P 0 d ( h i j k ¯ ， h max j ) a B σ d ( h i j k ¯ ， h min j ) σ d ( h i j k ¯ ， h max j ) a N d ( h i j k ¯ ， h min j ) 0 表4. 决策者 p k 的方案 A i 在属性 C j 下的损失矩阵 h min j ， h max j 为决策者 p k 在属性 C j 下所有方案评价值的最劣值和最优值，可分别看作负理想解 H − 和正理想解 H + 的第j个分量，即 h min j = h j − = { s β 1 ， s β 2 ， ⋯ ， s β # L } ， h max j = h j + = { s β 1 ， s β 2 ， ⋯ ， s β # L } 。 σ 为规避风险系数，表示决策者的风险态度，由决策者给出(如 σ = 0.35 )。为了符合三支决策，需满足 0 < σ < 0.5 [ 56 ]。 决策者 p k 损失矩阵也可以表示为： λ ( h i j k ¯ ) = ( λ P P i j k λ P N i j k λ B P i j k λ B N i j k λ N P i j k λ N N i j k ) = ( 0 d ( h i j k ¯ ， h max j ) σ d ( h i j k ¯ ， h min j ) σ d ( h i j k ¯ ， h max j ) d ( h i j k ¯ ， h min j ) 0 ) (18) 利用Shapley值集结方案 A i 在所有属性下的损失矩阵，得出决策者 p k 对 A i 的综合损失矩阵记为 λ i k ： λ i k = ( λ P P i k λ P N i k λ B P i k λ B N i k λ N P i k λ N N i k ) = ( ∑ j φ c j S h λ P P i j k ∑ j φ c j S h λ P N i j k ∑ j φ c j S h λ B P i j k ∑ j φ c j S h λ B N i j k ∑ j φ c j S h λ N P i j k ∑ j φ c j S h λ N N i j k ) = ( 0 D i k + σ D i k − σ D i k + D i k − 0 ) (19) 3.4. 阈值和条件概率的确定 决策者 p k 对于方案 A i 的阈值分别为： α i k = ( λ P N i k − λ B N i k ) ( λ P N i k − λ B N i k ) + ( λ B P i k − λ P P i k ) = ( 1 − σ ) D i k + ( 1 − σ ) D i k + + σ D i k − (20) β i k = ( λ B N i k − λ N N i k ) ( λ B N i k − λ N N i k ) + ( λ N P i k − λ B P i k ) = σ D i k + σ D i k + + ( 1 − σ ) D i k − (21) 利用相对贴近度 R ( A i k ) = D i k − D i k − + D i k + ，表示方案 A i 处于状态C的概率，可以近似表示条件概率 P r ( C | A i k ) 。 3.5. 个体决策准则 决策者 p k 的最终三支决策可表述为： (P3) 如果 P r ( C | A i k ) ≥ α i k ，则 A i k ∈ P O S ( C ) ，应该接受该方案； (B3) 如果 β i k < P r ( C | A i k ) < α i k ，则 A i k ∈ B N D ( C ) ，是否接受该方案还需其他信息进一步分析； (N3) 如果 P r ( C | A i ) ≤ β i k ，则 A i k ∈ N E G ( C ) ，应该拒绝该方案。 3.6. 群体三支决策 由上述三支决策可得出每个决策者 p k ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， t ) 的决策结果，但由于不同决策者自身知识水平、经验判断的差异，使得每个决策者的结果相同或相差很小的可能性很低，所以为了使群体的一致性达到较好成效，需要再次建立优化模型，得到群体决策结果，并扩展得出方案的排序。 1) 标号个体决策结果 基于 3.5小节的结果，为每个决策者 p k ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， t ) 对方案 A i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 的决策结果进行标号，即用数值表示。将属于 P O S ( C ) 的所有方案标号为1，属于 B N D ( C ) 的所有方案标号为0，属于 N E G ( C ) 的所有方案标号为−1。同样，假设最终群决策对方案的接受、待考虑、拒绝也分别用1，0，−1进行表示。 2) 构建优化模型 可知应该让群体的决策结果和个体的决策结果尽可能接近，接近程度可用下式衡量： d i = ∑ k = 1 t w k ( | r k i − r i | ) (22) 其中， d i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 表示对于方案 A i ，群体决策与所有个体决策的总体差异性； w k ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， t ) 为决策者 p k 的权重，可通过模型客观求出； r k i 为决策者 p k 决策结果对方案 A i 的标号为已知，即由3.5小节个体决策结果来确定，如 r 23 = 1 表示为决策者 p 2 结果中方案 A 3 标号为1，即应该接受方案 A 3 ； r i 表示群体对方案 A i 的标号。 建立以个体和群体三支决策偏差最小化为目标的优化模型，如下所示： min ∑ i = 1 m ∑ k = 1 t w k ( | r k i − r i | ) s .t .   { r i = − 1     or     0     or     1 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 0 ≤ w k ≤ 1 ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， t ∑ k = 1 t w k = 1 (23) 3) 确定群体三支决策 利用LINGO求解上述模型，求得决策者权重和方案的标号值，其最终的三支决策可表述为： (P4) 如果 r i = 1 ，则 A i ∈ P O S ( C ) ，应该接受该方案； (B4) 如果 r i = 0 ，则 A i ∈ B N D ( C ) ，是否接受该方案还需其他信息进一步分析； (N4) 如果 r i = − 1 ，则 A i ∈ N E G ( C ) ，应该拒绝该方案。 4) 结合三支决策结果给出最佳方案 由于三支决策结果中存在多种方案属于相同行动域的可能，如结果为应该接受 A 1 ， A 3 ， A 4 ，为了提供 更精确的决策，应该将 A 1 ， A 3 ， A 4 进行排序，给出最应接受的方案。借助相对贴近度 R ( A i k ) = D i k − D i k − + D i k + 对 属于“接受”行动策略集的方案进行排序，即在求得每个决策者给出的方案相对贴近度 R ( A i k ) 的基础上，利用求得的决策者权重对其进行集结，求得方案的群体相对贴近度 R ( A i ) ， R ( A i ) 越大方案 A i 最优。