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user: 3. 主要结论 3.1. 幂级数的收敛域 为了具体说明考研数学中对于幂级数收敛域的考察情况，本文总结了关于收敛域的两种出题角度，第一种给出的研究对象是具体的，第二种给出的研究对象是抽象的。 3.1.1. 收敛域的具体型问题 1) 对于 ∑ n = 0 ∞ a n x n a) 求收敛半径，若 lim n → ∞ | a n + 1 | | a n | = ρ ，则幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n 的收敛半径 [ 3 ]： r = { 1 ρ ，         ρ ≠ 0 + ∞ ，         ρ = 0 0 ，               ρ = + ∞ (3.1) b) 开区间 ( − r ， r ) 为幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n 的收敛区间；单独考察端点处的敛散性，确定收敛域。 例1 求幂级数 ∑ n = 1 ∞ x n n 的收敛域。 解令 a n = 1 n ，则 r = 1 ρ = lim n → ∞ | a n | | a n + 1 | = lim n → ∞ | 1 + 1 n | = 1 ，在 x = 1 时，幂级数 ∑ n = 1 ∞ x n n = ∑ n = 1 ∞ 1 n 发散，当 x = − 1 时，幂级数 ∑ n = 1 ∞ x n n = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n 是一个交错级数，由莱布尼茨判别法可知级数条件收敛，故收敛域为 [ − 1 ， 1 ) 。 2) 通过换元法将幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n 改为标准幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n [ 3 ]。 例2 求级数 ∑ n = 1 ∞ ( x − 5 ) n n n n ! 的收敛域。 解令 y = x − 5 ，得级数 ∑ n = 1 ∞ ( y n ) n n ! 其收敛半径 r = 1 ρ = lim n → ∞ | a n | | a n + 1 | = lim n → ∞ n ! n n ⋅ ( n + 1 ) n + 1 ( n + 1 ) ! = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = e (3.2) 当 y = − e 时，级数成为 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n ! n n e n ，这是交错级数，设 n ! n n e n = b n ，由于 lim n → ∞ | b n + 1 | | b n | = 1 ，达朗贝尔判别法失效，但是，因为 b n + 1 b n = e ( 1 + 1 n ) n > 1 ，即数列 { b n } 严格单调递增，而 b 1 = e > 0 ，所以当 n → ∞ 时， { b n } 一般项不趋于0，级数发散。当 y = e 时，级数显然也发散。故级数 ∑ n = 1 ∞ ( y n ) n n ! 的收敛域为 ( − e ， e ) ，从而原级数的收敛域为 ( 5 − e ， 5 + e ) 。 3) 对于缺项幂级数 ∑ u n ( x ) a) 加绝对值，即写成 ∑ | u n ( x ) | ， b) 用正项级数的达朗贝尔(或者柯西)判别法。 lim n → ∞ | u n + 1 | | u n | (或 lim n → ∞ | u n ( x ) | n )<1，求出收敛区间 ( a ， b ) 。 c) 单独讨论收敛区间两个端点的敛散性，从而确定收敛域。 例3求幂级数 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 2 n − 1 x 2 n 的收敛域。 解 u n ( x ) = ( − 1 ) n − 1 2 n − 1 x 2 n ，由于 lim n → ∞ | u n + 1 | | u n | = lim n → ∞ 2 n − 1 2 n + 1 x 2 = x 2 ，故当 | x | < 1 时， ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 2 n − 1 x 2 n 收敛；当 x = ± 1 时， ∑ n = 1 ∞ u n ( ± 1 ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 2 n − 1 ，根据莱布尼茨判别法知此级数收敛。故幂级数 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 2 n − 1 x 2 n 收敛域为 [ − 1 ， 1 ] 。 3.1.2. 收敛域的抽象型问题 考研对于求解收敛域的抽象问题大概有2种 [ 2 ]。 1) 根据阿贝尔第一定理，已知 ∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n 在点 x 1 ( x 1 ≠ x 0 ) 的敛散性，则该幂级数的收敛半径可以分为3种。 a) 如果幂级数在 x 1 处收敛，则收敛半径 | x 1 − x 0 | ≤ r ， b) 如果幂级数在 x 1 处发散，则收敛半径 r ≤ | x 1 − x 0 | ， c) 如果幂级数在 x 1 处条件收敛，则收敛半径 r = | x 1 − x 0 | 。 2) 已知 ∑ a n ( x − x 1 ) n 的敛散性信息，求 ∑ b n ( x − x 2 ) m 的敛散性 a) ( x − x 1 ) n 与 ( x − x 2 ) m 的转化一般通过平移收敛区间、提出或者乘以因式 ( x − x 0 ) k ； b) a n 与 b n 的转化一般通过对级数逐项求导、逐项积分得到； c) 以上对幂级数的变形(平移收敛区间、提出或者乘以因式 ( x − x 0 ) k 、对级数逐项求导、逐项积分)都不改变收敛半径，但幂级数收敛域可能变化 [ 4 ]。 例 4 证明 ∑ n = 1 ∞ a n ( x + 1 ) n 在点 x = 1 处条件收敛，则幂级数 ∑ n = 1 ∞ n a n ( x − 1 ) n 在点 x = 2 处绝对收敛。 解由 ∑ n = 1 ∞ a n ( x + 1 ) n 在点 x = 1 处条件收敛，根据阿贝尔第一定理 r = | x 1 − x 0 | = 2 ，且收敛区间为 ( − 3 ， 1 ) ；将 ( x + 1 ) n 转化为 ( x − 1 ) n ，即把级数的中心点−1转移到1，故收敛区间平移到 ( − 1 ， 3 ) ，得到 ∑ n = 1 ∞ a n ( x − 1 ) n 收敛半径不变；对 ∑ n = 1 ∞ a n ( x − 1 ) n 逐项求导，得 ∑ n = 1 ∞ n a n ( x − 1 ) n ，再逐项乘以 ( x − 1 ) 得 ∑ n = 1 ∞ n a n ( x − 1 ) n ，收敛半径不变，收敛区间不变。故 ∑ n = 1 ∞ n a n ( x − 1 ) n 的收敛区间为 ( − 1 ， 3 ) ， x = 2 在收敛区间内部，故该点处级数绝对收敛，得证。 3.2. 求和函数 求解幂级数和函数时需要先求出收敛半径，进而求得收敛域，然后再求幂级数收敛域上的和函数。通常在求和函数的过程中我们依赖四则运算法则，恒等变形以及一些基本级数的和函数形式。 3.2.1. 和函数的运算 1) 恒等变形 a) 通项、下标一起变，其中l为整数，可正可负可为0，如 ∑ n = k ∞ a n x n = ∑ n = k + l ∞ a n − l x n − l ； b) 只变下标，不变通项，如 ∑ n = k ∞ a n x n = a k x k + a k + 1 x k + 1 + ⋯ + a k + l − 1 x k + l − 1 + ∑ n = k + l ∞ a n x n ； c) 只变通项，不变下标 ∑ n = k ∞ a n x n = x l ∑ n = k ∞ a n x n − l 。 2) 一些基本级数的和函数 a) ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! + ⋯ = e x ， − ∞ < x < + ∞ ； b) ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n = 1 − x + x 2 − x 3 + ⋯ + ( − 1 ) n x n + ⋯ = 1 1 + x ， − 1 < x < 1 ； c) ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ + x n + ⋯ = 1 1 − x ， − 1 < x < 1 ； d) ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 x n n = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x n n + ⋯ = ln ( 1 + x ) ， − 1 < x ≤ 1 ； e) ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! + ⋯ = sin x ， − ∞ < x < + ∞ ； f) ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! + ⋯ = cos x ， − ∞ < x < + ∞ 。 3.2.2. 幂级数求和函数 1) 直接套公式(利用已知的基本级数的和函数) 例5 求幂级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n ( 3 + x ) 2 n 的和函数。 解因为 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 x n n = ln ( 1 + x ) ， x ∈ ( − 1 ， 1 ] ，所以 ln ( 1 − x ) = − ∑ n = 1 ∞ x n n ， x ∈ [ − 1 ， 1 ) 。故 ∑ n = 1 ∞ 1 n ( 3 + x ) 2 n = ∑ n = 1 ∞ [ ( 3 + x ) 2 ] n n = − ln [ 1 − ( 3 + x ) 2 ] ( − 4 < x < − 2 ) 。 2) 先导后积或先积后导求和函数(一定在收敛区间求) a) 当 ( a n + b ) c 在分母上时，先导后积 注：在题目中验证 ∫ a x S ′ ( x ) d t 是否等于 S ( s ) ，事实上由于 ∫ a x S ′ ( x ) d t = S ( x ) − S ( a ) 故 S ( x ) = ∫ a x S ′ ( x ) d t + S ( a ) ；又由于当a为中心点时， { ∑ n = 0 ∞ a n x n → a = 0 a 0 ∑ n = 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n → a = x 0 a 0 都收敛，故下限a通常取中心点。 例 6求级数 ∑ n = 1 ∞ x n n 的和函数。 解设 S ( x ) = ∑ n = 1 ∞ x n n ，逐项求导，得 S ′ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ( x n n ) ′ = ∑ n = 1 ∞ x n − 1 = 1 1 − x ， | x | < 1 ，然后两边积分，得 S ( x ) − S ( 0 ) = ∫ 0 x d t 1 − t = − ln ( 1 − x ) ，又因为 S ( 0 ) = 0 ，故和函数 S ( x ) = − ln ( 1 − x ) + S ( 0 ) = − ln ( 1 − x ) ， x ∈ [ − 1 ， 1 ) (3.3) b) 当 ( a n + b ) c 在分子上时，先积后导 例 7求级数 ∑ n = 1 ∞ n x n 的和函数。 解 ∑ n = 1 ∞ n x n = x ∑ n = 1 ∞ n x n − 1 ，设 S ( x ) = ∑ n = 1 ∞ n x n − 1 ，则原级数 ∑ n = 1 ∞ n x n = x S ( x ) 。对 S ( x ) = ∑ n = 1 ∞ n x n − 1 两边积分，得 ∫ 0 x S ( t ) d t = ∑ n = 1 ∞ ∫ 0 x n t n − 1 d t = ∑ n = 1 ∞ x n = x 1 − x ， | x | < 1 。再两边求导，得 [ ∫ 0 x S ( t ) d t ] ′ = ( x 1 − x ) ′ = 1 ( 1 − x ) 2 (3.4) 所以 ∑ n = 1 ∞ n x n = x S ( x ) = x 1 − x 2 ， | x | < 1 。 3) 运用四则运算法则 例 8求幂级数 的和函数 。 解先利用幂级数的运算法则，如加减法：得到幂级数 然后利用已有的几个初等函数的幂级数展示求和，得： (3.5) (3.6) 故原级数 等于 。 3.2.3. 和函数的应用 1) 计算积分 [ 5 ] 例 9计算不定积分 。 解根据公式 ，则 ，从而 (3.6) 2) 计算导数 例 10设 由方程组 所确定，求 。 解 ，分别对 求导， ， (3.7) 则 。 注： 易于求和函数，故求和后再求导； 不易于求和函数，故求导后再求和。 3) 求数列极限 例 11求极限 。 解由于 为正项级数，设 ，由 (3.8) 知 收敛，因此 4) 证明不等式 例 12证明不等式 ， 。 证明因为 ， ，而 故原不等式成立。 注： 是双曲余弦函数，它的图像在数学中称为悬链线。