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user: 2. 模型构建与求解 2.1. 问题描述 我们将30个可供参考的援助省划分为六个片区(华北、华东、东北、中南、西北、西南)。经过分析发现，此类问题是典型的运筹整数规划问题 [ 2 ]。而且由于是1省对1市，此类问题又可以作为分配问题进行求解。在规划的过程中有多种因素需要考虑： 1) 如何从30个省份中选出16个省份对武汉进行援助。 2) 这16个省份要分别对接哪一个被援助城市。 3) 在援助后，6个片区一定要留守足够的医疗资源，以应对当地的疫情。 4) 制定援助计划时，要合理分析当地的GDP水平以及医疗水平对决策的影响。 2.2. 模型建立 2.2.1. 模型1——援助省份的选择 1) 问题分析： 从30个省，自治区，直辖市中选择16个，考虑GDP，医疗水平等因素，以及华北，东北，华东，中南，西南，西北六个地区要留守足够的医疗资源。因而可以采用0-1规划进行求解。 2) 变量设定： 设北京，天津，河北，山西，内蒙古，辽宁，吉林，黑龙江，上海，江苏，浙江，安徽，福建，江西，山东，河南，湖南，广东，广西，海南，重庆，四川，贵州，云南，西藏，陕西，甘肃，青海，宁夏，新疆分别为 X i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 30 ) 。 其中， X i = { 1 ， 当 选 中 i 时 0 ， 当 不 选 i 时 。 3) 目标函数设立： 考虑到选择地区是去援助湖北，因此将各地医疗水平分数作为价值系数，目标函数为使得医疗水平最大化。 即 max z 1 = ∑ i = 1 30 a i x i (其中 a i 为各地医疗水平分数)。 4) 约束条件确立： 约束条件主要从保证各个片区分别留守足够的医疗资源着手。医疗、经济实力的强弱与的外派医护力量的强弱大致是正相关的，因而可以从此着手确立基本约束。在这里假定以50%为界，根据经济与医疗水平的高低确定从每个片区选中的地方数量上限。 同时，考虑到一些地方自身实力薄弱，难以胜任此工作，因此结合GDP，人均GDP和医疗实力三个数据，将3个数据同时位于倒数前10位置的地区排除，见表1。 Table 1 Region Medical level， DGP， GDP per capit 医疗 列1 GDP 列2 人均GDP 列3 北京 100 广东 100 北京 100 陕西 71.46 江苏 95.19 上海 96.27 浙江 71.3 山东 78.61 天津 86.09 上海 67.93 浙江 57.77 江苏 82.14 宁夏 64.9 河南 49.4 浙江 70.35 内蒙古 62.54 四川 41.82 福建 65.04 青海 62.21 湖南 37.44 广东 61.63 山东 61.87 河北 37.02 山东 54.39 江苏 61.7 福建 36.81 内蒙古 48.71 新疆 59.68 上海 33.59 重庆 47.02 海南 57.41 北京 31.17 陕西 45.27 贵州 57.41 安徽 30.85 辽宁 41.37 辽宁 57.24 辽宁 26.02 吉林 39.66 吉林 57.24 陕西 25.12 宁夏 38.58 重庆 56.82 江西 22.6 湖南 37.76 四川 56.73 重庆 20.93 海南 37.05 天津 56.4 广西 20.92 河南 35.77 广东 56.06 天津 19.34 新疆 35.29 山西 55.81 云南 18.38 四川 34.86 广西 54.8 内蒙古 17.77 河北 34.07 河南 54.46 山西 17.29 安徽 34.03 湖南 53.28 黑龙江 16.82 青海 34.01 福建 52.86 吉林 15.5 江西 33.83 云南 52.61 贵州 15.22 山西 32.33 黑龙江 51.52 新疆 12.54 西藏 30.95 河北 51.35 甘肃 8.48 黑龙江 30.86 甘肃 50.17 海南 4.97 广西 29.59 西藏 46.72 宁夏 3.81 贵州 29.42 江西 44.78 青海 2.95 云南 26.49 安徽 44.36 西藏 1.52 甘肃 22.35 表1. 各地区医疗实力，DGP，人均GDP 从中可以看出黑龙江，西藏，甘肃符合条件。 具体约束条件如下： s . t . { x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ≤ 4 x 6 + x 7 + x 8 ≤ 1 x 9 + x 10 + x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 ≤ 5 x 16 + x 17 + x 18 + x 19 + x 20 ≤ 3 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 + x 25 ≤ 3 x 26 + x 27 + x 28 + x 29 + x 30 ≤ 2 ∑ i = 1 30 x i = 16 x 8 = 0 x 25 = 0 x 27 = 0 x i ∈ { 0 ， 1 } ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 30 ) 2.2.2. 模型2——援助省份与被援助地区的匹配 1) 问题分析： 建立选出的16个援助地与被援助地区的的帮扶关系，可以利用分配模型求解该问题。 2) 变量设定： 见表2： Table 2 Assistance mark shee 孝感 黄冈 荆州 鄂州 随州 襄阳 黄石 宜昌 荆门 咸宁 十堰 仙桃 天门 恩施 潜江 神农架 B1 B2 B3 B4 B5 86 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16 北京 A1 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 天津 A2 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 山西 A3 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 内蒙古 A4 75 80 85 90 95 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 辽宁 A5 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 100 100 100 上海 A6 85 90 95 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 江苏 A7 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 100 100 100 100 100 100 浙江 A8 90 95 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 山东 A9 70 75 80 85 90 95 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 广东 A10 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 海南 A11 60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 100 100 100 100 100 重庆 A12 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 100 100 四川 A13 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 100 贵州 A14 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 100 100 100 100 陕西 A15 95 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 宁夏 A16 80 85 90 95 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 表2. 援助评分表 设 X i j = { 1 ， 当 A i 援 助 B j 时 0 ， 当 A i 不 援 助 B j 时 ( i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， 16 ) 。 3) 目标函数设立： 由于是医疗援助分配，所以此处主要考虑援助地的医疗水平以及被援助地的疫情严重程度。因此可以将表2中的数值 a i j 理解为是 A i 援助 B j 的效果，满分100。假设理想状态为：医疗水平最高的援助地援助任何地区效果都为满分，医疗水平第二的援助地则援助除最严重地区外效果都为满分，援助最严重地区效果则为95分。以此类推，根据附录1、2计较分析得到表2的数据。 故目标函数为： ∑ j = 1 16 a i j x i j (其中 a i j 表示 A i 援助 B j 的效果) 4) 约束条件确立 正如一般运输问题一样，此问题的约束条件如下： s . t . { ∑ i = 1 16 x i j = 1 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 16 ) ∑ j = 1 16 x i j = 1 ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， 16 ) x i j ∈ { 0 ， 1 } ( i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， 16 ) 2.3. 模型求解 2.3.1. 模型1求解 利用matlab求解 [ 3 ]，结果整理见表3： Table 3 Regional distributio 北京 1 浙江 1 重庆 1 天津 1 安徽 0 四川 1 河北 0 福建 0 贵州 1 山西 1 江西 0 云南 0 内蒙古 1 山东 1 西藏 0 辽宁 1 河南 0 陕西 1 吉林 0 湖南 0 甘肃 0 黑龙江 0 广东 1 青海 0 上海 1 广西 0 宁夏 1 江苏 1 海南 1 新疆 0 表3. 地区分配情况 最终结果为1代表该地区被选中，为0则代表该地区不会作为援助地区。所以选择的16个地方为北京，天津，山西，内蒙古，辽宁，上海，江苏，浙江，山东，广东，海南，重庆，四川，贵州，陕西，宁夏。 2.3.2. 模型2求解 利用Matlab求解该分配问题 [ 4 ]，结果整理见表4： Table 4 Result of Matla 孝感 黄冈 荆州 鄂州 随州 襄阳 黄石 宜昌 荆门 咸宁 十堰 仙桃 天门 恩施 潜江 神农架 B1 B2 B3 B4 B5 86 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 B15 B16 北京 A1 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 天津 A2 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 山西 A3 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 内蒙古 A4 75 80 85 90 95 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 辽宁 A5 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 100 100 100 上海 A6 85 90 95 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 江苏 A7 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 100 100 100 100 100 100 浙江 A8 90 95 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 山东 A9 70 75 80 85 90 95 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 广东 A10 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 海南 A11 60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 100 100 100 100 100 重庆 A12 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 100 100 四川 A13 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 100 贵州 A14 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 100 100 100 100 陕西 A15 95 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 宁夏 A16 80 85 90 95 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 表4. Matlab求解情况 标黄色的数据代表援助省份以及被援助地区的具体情况。例如，北京在此次援助过程中要援助的地区为黄冈，天津要援助的地区是潜江…… 该模型的求解代表着从经济实力、医疗水平、疫情严重程度等多角度出发，各被援助地区都得到了良好的援助，并且各援助地也能在本地区留有余力的情况下献出最大的贡献。此模型可以在更多的分配问题、更广泛的领域应用。 2.4. 进一步分析 模型建立在一定的假设基础之上，所求得的最优解具有一定的局限性。换言之，在现实的决策考量中，往往还会受到其他因素的影响。比如：北京作为首都，具有稳定器的作用，所以在北京一定要留有足够的医疗资源。再比如援助过程中还要考虑到地形、运输距离、运输方式、天气等等这些因素的变化。但此模型考虑利用主成分分析法的思想，放大关键条件作用，忽略其他细碎条件的影响，具有一定的合理性与可行性。