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user: 3. 奇点分析 解方程组 { − y + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 y 3 + a 4 x y 2 = 0 x ( 1 + a 5 y ) = 0 (3) 得：1) 系统(1)有奇点 O ( 0 ， 0 ) ； 2) 若 a 3 > 0 ，则系统(1)有奇点 A 1 ( 0 ， y 0 ) ， A 2 ( 0 ， − y 0 ) ，其中 y 0 = 1 a 3 ； 3) 若 a 5 ≠ 0 ，则系统(1)有奇点 ， A 4 ( x 2 ， − 1 a 5 ) ，其中 x 1 = − ( a 1 + a 4 a 5 2 ) + Δ 2 a 2 ， x 2 = − ( a 1 + a 4 a 5 2 ) − Δ 2 a 2 ， Δ = ( a 1 + a 4 a 5 2 ) 2 − 4 a 2 ( 1 a 5 − a 3 a 5 3 ) 。 3.1. 奇点 O ( 0 ， 0 ) 对于奇点 O ( 0 ， 0 ) ，其线性近似系统的系数矩阵为 ( a 1 − 1 1 0 ) ，特征方程为 λ 2 − a 1 λ +1 = 0 ，特征根 λ 1 ， 2 = a 1 ± a 1 2 − 4 2 ，由此得如下定理： 定理1：1) 当 − 2 < a 1 < 0 时 O ( 0 ， 0 ) 为系统(1)的稳定焦点， 0 < a 1 < 2 时为不稳定焦点。 2) 当 a 1 ≤ − 2 时 O ( 0 ， 0 ) 为系统(1)的稳定结点， a 1 ≥ 2 时为不稳定结点。 3) 当 a 1 = 0 时 O ( 0 ， 0 ) 为系统(1)的中心型奇点(中心或者细焦点)。 3.2. 奇点 A 1 ( 0 ， y 0 ) 对于奇点 ，其线性近似系统的系数矩阵为 ( a 1 + a 4 a 3 2 1 + a 5 a 3 0 ) ，特征方程为 λ 2 − ( a 1 + a 4 a 3 ) λ − 2 ( 1 + a 5 a 3 ) = 0 ，其特征根为： λ 1 ， 2 = ( a 1 + a 4 a 3 ) ± ( a 1 + a 4 a 3 ) 2 + 8 ( 1 + a 5 a 3 ) 2 ，由此得如下定理： 定理2：1) 若 a 5 = − a 3 ，则有零特征根， A 1 ( 0 ， y 0 ) 为系统(1)的高阶奇点。 2) 若 a 5 > − a 3 ，则特征根为异号实根， A 1 ( 0 ， y 0 ) 为系统(1)的鞍点。 3) 若 a 5 < − a 3 ，则 i) 当 ( a 1 + a 4 a 3 ) 2 + 8 ( 1 + a 5 a 3 ) > 0 时特征根为同号实根， A 1 ( 0 ， y 0 ) 为系统(1)的结点， a 1 + a 4 a 3 > 0 时不稳定， a 1 + a 4 a 3 < 0 时稳定。 ii) 当 ( a 1 + a 4 a 3 ) 2 + 8 ( 1 + a 5 a 3 ) < 0 时特征根为共轭复根， A 1 ( 0 ， y 0 ) 为系统(1)的焦点， a 1 + a 4 a 3 > 0 时不稳定， a 1 + a 4 a 3 < 0 时稳定。 a 1 + a 4 a 3 = 0 时 A 1 ( 0 ， y 0 ) 为系统(1)的中心型奇点(中心或者细焦点)。 3.3. 奇点 A 2 ( 0 ， − y 0 ) 对于奇点 A 2 ( 0 ， − y 0 ) ，其线性近似系统的系数矩阵为 ( a 1 + a 4 a 3 2 1 − a 5 a 3 0 ) ，特征方程为 λ 2 − ( a 1 + a 4 a 3 ) λ − 2 ( 1 − a 5 a 3 ) = 0 ，其特征根为： λ 1 ， 2 = ( a 1 + a 4 a 3 ) ± ( a 1 + a 4 a 3 ) 2 + 8 ( 1 − a 5 a 3 ) 2 ，由此得如下定理： 定理3：1) 若 a 5 = a 3 ，则有零特征根， 为系统(1)的高阶奇点。 2) 若 a 5 < a 3 ，则特征根为异号实根， A 2 ( 0 ， − y 0 ) 为系统(1)的鞍点。 3) 若 a 5 > a 3 ，则 i) 当 ( a 1 + a 4 a 3 ) 2 + 8 ( 1 + a 5 a 3 ) > 0 时特征根为同号实根， A 2 ( 0 ， − y 0 ) 为系统(1)的结点， a 1 + a 4 a 3 > 0 时不稳定， a 1 + a 4 a 3 < 0 时稳定。 ii) 当 ( a 1 + a 4 a 3 ) 2 + 8 ( 1 + a 5 a 3 ) < 0 时特征根为共轭复根， A 2 ( 0 ， − y 0 ) 为系统(1)的焦点， a 1 + a 4 a 3 > 0 时不稳定， 时稳定。 a 1 + a 4 a 3 = 0 时 A 2 ( 0 ， − y 0 ) 为系统(1)的中心型奇点(中心或者细焦点)。 3.4. 奇点 A 3 ( x 1 ， − 1 a 5 ) 对于 A 3 ( x 1 ， − 1 a 5 ) ，其线性近似系统的系数矩阵为 ( a 1 + 2 a 2 x 1 + a 4 a 5 2 − 1 + 3 a 3 a 5 − 2 a 4 a 5 x 1 0 a 5 x 1 ) ，对应的特征方程为 λ 2 − d 1 λ + d 2 = 0 ，特征根为 λ 1 ， 2 = d 1 ± d 1 2 − 4 d 2 2 ，其中 d 1 = ( a 1 + 2 a 2 x 1 + a 5 x 1 + a 4 a 5 2 ) ， d 2 = a 5 x 1 ( a 1 + 2 a 2 x 1 + a 4 a 5 2 ) 。由此得如下定理： 定理4：1) 当 d 2 = 0 时有零特征根， A 3 ( x 1 ， − 1 a 5 ) 为系统(1)的高阶奇点。 2) 当 d 2 < 0 时， A 3 为系统的鞍点。 3) 若 d 2 > 0 ，则 i) 当 d 1 2 − 4 d 2 ≥ 0 时，特征根为同号实根， A 3 为系统(1)的结点， d 1 > 0 时不稳定， d 1 < 0 时稳定。 ii) 若 d 1 2 − 4 d 2 < 0 时，特征根为共轭复根， A 3 为系统(1)的焦点， d 1 > 0 时不稳定， d 1 < 0 时稳定。 d 1 = 0 时 A 3 为系统(1)的中心型奇点(中心或者细焦点)。 3.5. 奇点 A 4 ( x 2 ， − 1 a 5 ) 对于 A 4 ( x 2 ， − 1 a 5 ) ，其线性近似系统的系数矩阵为 ( a 1 + 2 a 2 x 2 + a 4 a 5 2 − 1 + 3 a 3 a 5 − 2 a 4 a 5 x 2 0 a 5 x 2 ) ，特征方程为 λ 2 − d 3 λ + d 4 = 0 ，特征根 λ 1 ， 2 = d 3 ± d 3 2 − 4 d 4 2 ，其中 d 3 = ( a 1 + 2 a 2 x 2 + a 5 x 2 + a 4 a 5 2 ) ， d 4 = a 5 x 2 ( a 1 + 2 a 2 x 2 + a 4 a 5 2 ) ，由此得如下定理： 定理5：1) 当 d 4 =0 时有零特征根， A 4 ( x 2 ， − 1 a 5 ) 为系统(1)的高阶奇点。 2) 当 d 4 < 0 时， A 4 为系统的鞍点。 3) 若 d 4 > 0 ，则 i) 当 d 3 2 − 4 d 4 ≥ 0 时，特征根为同号实根， A 4 为系统(1)的结点， d 3 > 0 时不稳定， d 3 < 0 时稳定。 ii) 若 d 3 2 − 4 d 4 < 0 时，特征根为共轭复根， 为系统(1)的焦点， d 3 > 0 时不稳定， 时稳定。 d 3 = 0 时 A 4 为系统(1)的中心型奇点(中心或者细焦点)。 3.6. 细焦点 我们仅对 O ( 0 ， 0 ) 点讨论。当 a 1 = 0 时，系统化为 { d y d t = − y + a 2 x 2 + a 3 y 3 + a 4 x y 2 d y d t = x + a 5 x y (4) 定理6：1) 当 a 4 >0 时， O ( 0 ， 0 ) 是系统(4)的一阶不稳定细焦点。 2) 当 a 4 < 0 时， O ( 0 ， 0 ) 是系统(4)的一阶稳定细焦点。 3) 当 a 4 = 0 时， O ( 0 ， 0 ) 为中心。 证明：利用形式级数判别法 [ 16 ] [ 17 ] 对(4)进行中心焦点的判定。令 F ( x ， y ) = x 2 + y 2 + F 3 ( x ， y ) + F 4 ( x ， y ) + ⋯ ，其中 F k ( x ， y ) 是x与y的k次齐次多项式，且 k = 3 ， 4 ， ⋯ ，则： d F d t | ( 1 ) = ∂ F ∂ x x ˙ + ∂ F ∂ y y ˙ = ( 2 x + ∂ F 3 ∂ x + ∂ F 4 ∂ x + ⋯ ) ( − y + a 2 x 2 + a 3 y 3 + a 4 x y 2 )     + ( 2 y + ∂ F 3 ∂ y + ∂ F 4 ∂ y + ⋯ ) ( x + a 5 x y ) (5) 令右端三次项为零，则有： 2 a 2 x 3 − y ∂ F 3 ∂ x + x ∂ F 3 ∂ y + 2 a 5 x y 2 = 0 ，将上式取极坐标 x = r cos θ ， y = r sin θ 并消去 r 3 得： d F 3 d θ = − 2 ( a 2 cos 3 θ + a 5 cos θ sin 2 θ ) (6) 因 ∫ 0 2 π a 3 cos 3 θ + a 5 cos θ sin 2 θ = 0 ，故对(6)式两边进行积分得： F 3 ( cos θ ， sin θ ) = − 4 3 a 2 sin 3 θ − 2 3 a 5 sin 3 θ − 2 a 2 sin θ cos 2 θ ，即 F 3 ( x ， y ) = − 4 3 a 2 y 3 − 2 a 2 x 2 y − 2 3 a 5 y 3 令(5)式右端四次项为零，则有： 2 a 3 x y 3 + 2 a 4 x 2 y 2 + a 2 x 2 ∂ F 3 ∂ x − y ∂ F 4 ∂ x + a 5 x y ∂ F 3 ∂ y + x ∂ F 4 ∂ y = 0 即 ( 2 a 3 − 4 a 2 a 5 − 2 a 5 2 ) x y 3 − ( 4 a 2 2 + 2 a 2 a 5 ) x 3 y + 2 a 4 x 2 y 2 + x ∂ F 4 ∂ y − y ∂ F 4 ∂ x = 0 ，将上式取极坐标 x = r cos θ ， y = r sin θ 并消去 r 4 得： d F 4 d θ = ( 4 a 2 a 5 + 2 a 5 2 − 2 a 3 ) cos θ sin 3 θ + ( 2 a 2 a 5 + 4 a 2 2 ) cos 3 θ sin θ − 2 a 4 cos 2 θ sin 2 θ = − H 4 ( cos θ ， sin θ ) 当 a 4 ≠ 0 时， ∫ 0 2 π H 4 ( cos θ ， sin θ ) d θ = 2 a 4 ∫ 0 2π cos 2 θ sin 2 θ d θ = a 4 π 2 ≠ 0 ，因此当 a 4 ≠ 0 时， C 4 = 1 2π ∫ 0 2π H 4 ( cos θ ， sin θ ) d θ = a 4 4 ≠ 0 ，且 C 4 与 a 4 同号。 于是改取 F 4 满足方程 d F 4 d θ = − H 4 + C 4 ，其中 。 设 φ ( x ， y ) = x 2 + y 2 + F 3 + F 4 ，那么 d φ d t | ( 1 ) = r 4 C 4 + ο ( r 4 ) ，进而有结论： 1) 当 a 4 > 0 时， O ( 0 ， 0 ) 是系统(1)的不稳定细焦点。 2) 当 a 4 < 0 时， O ( 0 ， 0 ) 是系统(1)的稳定细焦点。 当 a 4 = 0 时，因 P ( − x ， y ) = P ( x ， y ) ， Q ( − x ， y ) = − Q ( x ， y ) ，由对称原理得 O ( 0 ， 0 ) 为中心。 定理得证。