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user: 2. 模型建立 2.1. 算法介绍 本文所用的研究对象为服装，在实际平稳的市场环境中，需求参数波动多呈平稳分布，因此，本文采用经典的卡尔曼滤波算法对线性需求系统的过程参数进行更新学习，提高预测的准确性和定价的合理性。针对服装销售在短周期内需求参数的线性变化，本文利用卡尔曼滤波算法对需求参数进行更新预测。其中，卡尔曼滤波算法(KF)是一种常用的数据同化算法，是由Kalman [ 6 ] 在1960年提出，主要包括预测和更新2个过程。1) 预测。已知先验模型进行模型初始化，根据第n阶段的观测数据预测第n + 1阶段的模型状态值。2) 更新。对1)中的预测值进行加权，其中权重由卡尔曼增益确定，然后得到n = 1阶段的更新值，即最优估计值，以此重新初始化模型，重复进行上述步骤，直到系统观测结束。，具体计算过程如下： 1) 预测。令系统状态向量 θ ~ N ( θ 0 ， σ 2 P 0 ) ，那么状态预测为 θ n = A θ n − 1 + ω ； 2) 计算卡尔曼增益 k n 。根据第n阶段的观测数据得到测量矩阵 H n 和测量噪声V，其中R是V的协方差，那么 k n = P n H ′ n / ( H n P n H ′ n + R ) ； 3) 计算最优估计值。根据卡尔曼增益 k n 得到现在阶段n的最优化参数估算值： θ ′ n = θ n + k n ( z n − H n θ n ) ，其中 z n = H n θ n + V ，为第n阶段的系统测量值； 4) 更新。为了要卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，还要更新第n阶段下 θ n 的协方差矩阵 P ′ n ，计算公式为 P ′ n = ( 1 − k n H n ) P n 。 2.2. 基于参数更新的动态折扣和库存优化模型 2.2.1. 动态折扣和库存优化模型建立 本文假设需求函数满足指数形式： q n = e α + β γ n + ϵ [ 7 ] ，假设期初库存为 I 1 ，由决策者确定，销售期间不考虑补货，n表示不同阶段，m表示总的观察阶段数， I n 表示各阶段的初始库存量，各阶段的期望日销量为 q n (销售速率)， γ n 为第n阶段折扣系数，各阶段的期望总销量为 Q n ， p 0 和c分别为商家提前计划的初始价格和每件成本， t n 为各阶段的持续天数，h为每件每天的库存成本， H n 为第n阶段的总库存成本。模型目标为：1) 销售期末库存为0；2) 销售期内的总期望收益最大化。 各阶段的收益和各阶段初始库存为： I n + 1 = I n − Q n = I 0 − ∑ 1 n Q n (1) 假设需求函数满足以下形式 q n = e α + β γ n + ϵ ，其中， α ， β 为需求参数， ϵ 是系统测量噪声，满足均值0，方差 σ 2 的正态分布，令 M = E ( e ϵ t ) = e σ 2 / 2 ，那么各阶段期望总销量为： Q n = ∫ 0 t n q n ( t ) d t = q n t n = e α + β γ n + ϵ t n = M e α + β γ n t n (2) 各阶段总库存成本为： H n = ∫ 0 t n I n ( t ) h d t = I n t n h − q n t n ( 1 + t n ) 2 h (3) 各阶段销售额函数： F n = Q n p 0 γ n = M e α + β γ n t n p 0 γ n (4) 那么阶段目标收益函数为： R n = F n − H n − c Q n = M e α + β γ n t n ( p 0 γ n − c ) − I n t n h + M e α + β γ n t n ( 1 + t n ) 2 h (5) 则模型总的目标收益函数为： max ∑ n = 1 n = m R n s .t : I m + 1 = 0 (6) 2.2.2. 最优折扣求解 这里采用多阶段的动态规划的方法对参数更新的动态定价模型进行最优折扣优化求解。将模型看成多阶段决策问题：取第n阶段初的库存量为状态变量，状态转移方程为 I n + 1 = I n − Q n ，决策变量为折扣系数 γ n ，阶段收益为 R n ，若用 f n ( I n ) 表示从状态 I n 出发，采用最优策略为到第m阶段结束时收益最大化，那么就有如下动态规划模型： f n ( I n ) = max { R n + f n + 1 ( I n + 1 ) } (7) f m + 1 ( I m = 1 ) = 0 ，     n = m ， m − 1 ， ⋯ ， 1 (8) 1) 2阶段模型求解 当 m = 2 时，模型目标为： max ( E ( R 1 ) + E ( R 2 ) ) ，先验信息 θ = ( α ， β ) ′ ~ N ( θ 0 ， σ 2 P 0 ) ，可以通过之前的历史数据得到，根据卡尔曼滤波重新更新得到 θ 1 ，以此类推，首先考虑第2阶段，进行 f 2 ( I 2 ) 的极值求解： f 2 ( I 2 ) = R 2 = M e α + β γ 2 t 2 ( p 0 γ 2 − c ) − I 2 t 2 h + M e α + β γ 2 t 2 ( 1 + t 2 ) 2 h (9) 根据状态转移方程 I 3 = I 2 − Q 2 和 I 3 = 0 ，因此可以得到 Q 2 = I 2 = M e α 1 + β 1 γ 2 t 2 ，那么第2阶段的最优折扣为： γ 2 ∗ = ln ( I 2 M t 2 ) − α 1 β 1 (10) 于是可得第2阶段的收益： E ( R 2 ∗ ) = f 2 ( I 2 ) = I 2 ( p 0 ln ( I 2 M t 2 ) − α 1 β 1 − c ) − I 2 t 2 h + I 2 ( 1 + t 2 ) 2 h (11) 由于需求估计存在误差，第2阶段因参数 α ， β 的不确定性而引起的期望损失为 − 1 2 M e α 1 − 1 β 1 3 σ β 1 2 σ α 1 2 ，当 n = 1 时， γ 1 不仅会影响 R ( γ 1 ) ，同时也会影响 β 1 的方差。再考虑第1阶段，进行 f 1 ( I 1 ) 的极值求解： (12) 为求极值，对 γ 1 求导，令 ∂ f 1 ( I 1 ) ∂ γ 1 = 0 ，将 I 2 = I 1 − Q 1 = I 1 − M e α 0 + β 0 γ 1 t 1 ，代入 ∂ f 1 ( I 1 ) ∂ γ 1 ，求解可得： γ 1 ∗ = ln ( I 1 M ( t 2 e β 1 β 0 + 2 + t 1 − t 2 2 p 0 h β 1 − t 2 M + t 1 ) ) − α 0 β 0 (13) 2) 多阶段模型求解 当 m > 2 时，参数更新下的动态规划求解相当困难。但是基于上述动态规划求解过程可以采取一个近似定价策略：要找到每个阶段的最优折扣 γ n ∗ ，就是要下式最大化： E ( R n ) = M e α n − 1 + β n − 1 γ n t n ( p 0 γ n − c ) − I n t n h                       + M e α n − 1 + β n − 1 γ n t n ( 1 + t n ) 2 h + 1 2 M e α n − 1 β n 3 σ β n 2 σ α n 2 其中 α t − 1 和 β t − 1 是第n阶段开始时的回归系数，为了防止参数的精确度不高，加入了因预测不准确性引起的期望损失，尽管预测的参数可能是真实参数的无偏差估计，但是由于目标函数是关于参数的非线性函数，因此 γ n ∗ 中可能存在隐含的偏差，观察公式10和13的结果，可以得出各阶段最优折扣可计算为： γ n ∗ = ln ( I n M ( t n + 1 e β n β n − 1 + 2 + t n − t n + 1 2 p 0 h β n − t n + 1 M + t n ) ) − α n − 1 β n − 1 (14)