DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 1. 引言与定理 本文使用了Nevanlinna值分布论中常用记号及其基本结论 [ 1 ] 。本文出现的“亚纯函数”表示在整个复平面上亚纯。另外本文使用 σ ( f ) 表示亚纯函数f的增长级， λ ( f ) 表示亚纯函数f的零点收敛指数， λ ( 1 / f ) 表示亚纯函数f的极点收敛指数，记 Δ f ( z ) = f ( z + c ) − f ( z ) ，c为任意非零常数使得 f ( z + c ) ≡ f ( z ) 。 Hayman在 [ 2 ] 中证明了下面定理。 定理A 若f为一个超越整函数且 n ≥ 2 ，则 f n f ′ 可取所有非零复常数无限多次。 2007年Laine和Yang在 [ 3 ] 中研究Hayman定理的差分形式的时候得出以下定理。 定理B 设 f ( z ) 为有限级超越整函数，c为一非零复常数，则对于所有的 n ≥ 2 ， f n f ( z + c ) 可取所有非零值a无限多次。 我们知道 Δ f ( z ) 能够看成 f ′ ( z ) 的差分形式，因此 f n ( z ) f ′ ( z ) 的差分形式也可以看成 f n ( z ) Δ f ( z ) ，因此 f n ( z ) Δ f ( z ) 这一类差分乘积得到了数学家们的关注，其中Chen在 [ 4 ] 研究差分乘积 f n ( z ) Δ f ( z ) 的零点情况时得到以下定理。 定理C 设 f ( z ) 为有限级超越整函数，c为任意非零复常数使得 f ( z + c ) ≡ f ( z ) 。 令 H n ( z ) = f n ( z ) Δ f ( z ) ， n ≥ 2 为整数。则以下结论成立 1) 若 f ( z ) 具有无数多个零点，或者满足 σ ( f ) ≠ 1 ，则 H n ( z ) 有无数多个零点。 2) 若 f ( z ) 仅有有限多个零点并且满足 σ ( f ) = 1 ，则 H n ( z ) 仅有有限多个零点。 本文将上述定理的“整函数”条件推广到“亚纯函数”，得到以下定理。 定理1 设 f ( z ) 为极点收敛指数 λ ( 1 / f ) < σ ( f ) < + ∞ 的超越亚纯函数，c为任意非零复常数使得 f ( z + c ) ≡ f ( z ) 。 H n ( z ) = f n ( z ) Δ f ( z ) ， n ≥ 2 为整数。则以下结论成立 1) 若 f ( z ) 具有无数多个零点，或者满足 σ ( f ) ≠ 1 ，则 H n ( z ) 有无数多个零点。 2) 若 f ( z ) 仅有有限多个零点并且满足 σ ( f ) = 1 ，则 H n ( z ) 仅有有限多个零点。 同时Chen在[ 4 ]中也考虑到差分乘积 f ( z ) n Δ f ( z ) 当 n = 1 即 f ( z ) Δ f ( z ) 的值分布情况，并得到以下定理。 定理D f ( z ) 为有限级超越整函数，且具有Borel例外值d，c为任意非零复常数使得 f ( z + c ) ≡ f ( z ) 。函数集 H ( z ) = f ( z ) Δ f ( z ) ，则以下结论成立 1) H ( z ) 可取任何非零复常数a无穷多次且满足 λ ( H − a ) = σ ( f ) 。 2) 若 d ≠ 0 ，则 H ( z ) 无有限的Borel例外值。 3) 若 d = 0 ，则0也是 H ( z ) 的Borel例外值，从而 H ( z ) 无有限非零的Borel例外值。 定理E f ( z ) 为有限级超越整函数，c为任意非零复常数使得 f ( z + c ) ≡ f ( z ) 。令 H ( z ) = f ( z ) Δ f ( z ) ，则以下结论成立 1) 若 f ( z ) 仅有有限多个零点且满足 σ ( f ) ≠ 1 ，或者 f ( z ) 具有无穷多个零点，则 H ( z ) 有无数多个零点。 2) 若 f ( z ) 仅有有限多个零点并且满足 σ ( f ) = 1 ，则 H ( z ) 仅有有限多个零点。 本文将定理D、E中的整函数推广到亚纯函数得到如下定理。 定理2 设 f ( z ) 为具有两个Borel例外值 d ， ∞ 的有限级超越亚纯函数，c为任意非零复常数使得 f ( z + c ) ≡ f ( z ) 。令 H ( z ) = f ( z ) Δ f ( z ) ，则以下结论成立 1) H ( z ) 可取任何非零复常数a无穷多次且满足 λ ( H − a ) = σ ( f ) 。 2) 若 d ≠ 0 ，则 H ( z ) 无有限的Borel例外值。 3) 若 d = 0 ，则0也是 H ( z ) 的Borel例外值，从而 H ( z ) 无有限非零的Borel例外值。 定理3 设 f ( z ) 为极点收敛指数 λ ( 1 / f ) < σ ( f ) < + ∞ 的超越亚纯函数，c为任意非零复常数使得 f ( z + c ) ≡ f ( z ) 。令 ，则以下结论成立 1) 若 f ( z ) 仅有有限多个零点且满足 σ ( f ) ≠ 1 ，或者 f ( z ) 具有无穷多个零点，则 H ( z ) 有无数多个零点。 2) 若 f ( z ) 仅有有限多个零点并且满足 σ ( f ) = 1 ，则 H ( z ) 仅有有限多个零点。 最后，根据Borel例外值的定义，“ f ( z ) 为具有两个Borel例外值 d ， ∞ 的有限级超越亚纯函数”等价于 λ ( f ) < σ ( f ) ， 。
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user: 2. 引理 本文定理的证明需要用到下述引理。 引理1 [ 5 ] 设 f ( z ) 为差分方程 f n P ( z ， f ) = Q ( z ， f ) ，的一个非常数有限级亚纯解，此处 P ( z ， f ) ， Q ( z ， f ) 为f的差分多项式，其系数 a j ( z ) ( j = 1 ， ⋯ ， s ) 为亚纯函数，令 δ < 1 ，若关于f及其平移的差分多项式 Q ( z ， f ) 的次数至多是n，则有 m ( r ， P ( z ， f ) ) = o ( T ( r + | c | ， f ) r δ ) + o ( T ( r ， f ) ) + O ( ∑ j = 1 s m ( r ， a j ) ) . 对所有的r除去一个关于r的可能存在的具有有限对数测度的例外集成立。 引理2 [ 6 ] 设 f j ( z ) ( j = 1 ， ⋯ ， n ) ( n ≥ 2 ) 为亚纯函数， g j ( z ) ( j = 1 ， ⋯ ， n ) ( n ≥ 2 ) 为整函数且满足 1) ∑ j = 1 n f j ( z ) e g j ( z ) ≡ 0 ； 2) 当 1 ≤ j < k ≤ n 时， g j ( z ) − g k ( z ) 不是常数； 3) 当 1 ≤ j ≤ n ， 1 ≤ h < k ≤ n 时， T ( r ， f j ) = o { T ( r ， e g h − g k ) } ( r → ∞ ， r ∉ E ) ， E ⊂ ( 1 ， ∞ ) 为具有有限线性测度或有限对数测度的集合。则有 f j ( z ) ≡ 0 ( j = 1 ， ⋯ ， n ) 。 引理3 [ 7 ] 设 f ( z ) 为非常数有限级亚纯函数，对 c ∈ C \ ( 0 ) ，有 m ( r ， f ( z + c ) f ( z ) ) = S ( r ， f ) . 引理4 [ 7 ] 设 f ( z ) 为极点收敛指数 λ ( 1 / f ) = λ < + ∞ 的超越亚纯函数，c为任意非零复常数，则对 ∀ ε > 0 有 N ( r ， f ( z + c ) ) = N ( r ， f ) + O ( r λ − 1 + ε ) + O ( log r ) . 引理5 设 f ( z ) 为极点收敛指数 λ ( 1 / f ) < σ ( f ) < + ∞ 的超越亚纯函数，c为任意非零复常数，令 H n ( z ) = f n ( z ) Δ f ( z ) ( n ≥ 1 ) ，则 σ ( H n ) = σ ( f ) 。 证明： H n ( z ) = f n ( z ) Δ f ( z ) = f ( z ) n + 1 Δ f ( z ) f ( z ) . (2.1) 由(2.1)以及引理3、4可得 m ( r ， H n ) ≤ ( n + 1 ) m ( r ， f ) + m ( r ， Δ f ( z ) f ( z ) ) = ( n + 1 ) m ( r ， f ) + O ( r σ − 1 + ε ) . N ( r ， H n ) ≤ n N ( r ， f ) + N ( r ， Δ f ( z ) ) ≤ ( n + 2 ) N ( r ， f ) + O ( r λ − 1 + ε ) + O ( log r ) . 于是 T ( r ， H n ) ≤ ( n + 2 ) T ( r ， f ) + O ( r σ − 1 + ε ) + O ( log r ) . 这意味着 σ ( H n ) ≤ σ ( f ) 。接下来证明 σ ( H n ) ≥ σ ( f ) 。 由(2.1)以及引理3、4也可得 ( n + 1 ) m ( r ， f ) = m ( r ， f n + 1 ) ≤ m ( r ， H n ) + m ( r ， f ( z ) Δ f ( z ) ) = m ( r ， H n ) + O ( r σ − 1 + ε ) . 由 λ ( 1 / f ) < σ ( f ) 得， N ( r ， f ) = O ( r σ − 1 + ε ) 。 因此 T ( r ， f ) ≤ m ( r ， H n ) + O ( r σ − 1 + ε ) 。从而， σ ( H n ) ≥ σ ( f ) 结论成立。
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user: 3. 定理1的证明 证明：1) 因为 f ( z ) 为超越亚纯函数且 Δ f ( z ) ≡ 0 ，从而当 f ( z ) 有无穷多个零点时， H n ( z ) 具有无穷多个零点。 现假设 f ( z ) 仅有有限多个零点且 σ ( f ) ≠ 1 。又因为 f ( z ) 为超越亚纯函数，故 f ( z ) 能写成以下形式 f ( z ) = p 1 ( z ) p 2 ( z ) e q ( z ) : = r ( z ) e q ( z ) . (3.1) 此处 q ( z ) 为多项式， p 1 ( z ) 为整函数满足 σ ( p 1 ) < σ ( f ) ， p 2 ( z ) 为 f ( z ) 极点的典型乘积，因此 σ ( p 2 ) = λ ( p 2 ) = λ ( 1 / r ) = λ ( 1 / f ) < σ ( f ) 。显然 σ ( r ) < σ ( f ) 。 由(3.1)可得 f ( z + c ) = r ( z + c ) e q ( z + c ) 。因此 H n ( z ) = r ( z ) n r ( z + c ) e n q ( z ) + q ( z + c ) − r ( z ) n + 1 e ( n + 1 ) q ( z ) . (3.2) 由引理5及 f ( z ) 为超越函数，可得 H n ( z ) 为超越函数，故 H n ( z ) 能表示成如下形式 H n ( z ) = g ( z ) p ( z ) e q 1 ( z ) : = r 1 ( z ) e q 1 ( z ) . (3.3) 此处 q 1 ( z ) 为多项式， g ( z ) 为整函数满足 σ ( g ) < σ ( H n ) ， p ( z ) 为 H n ( z ) 极点的典型乘积，因此 σ ( p ) = λ ( p ) = λ ( 1 / r 1 ) = λ ( 1 / H n ) < σ ( H n ) 。显然 σ ( r 1 ) < σ ( H n ) 。 由(3.2) (3.3)可得 r ( z ) n r ( z + c ) e n q ( z ) + q ( z + c ) − r ( z ) n + 1 e ( n + 1 ) q ( z ) = r 1 ( z ) e q 1 ( z ) . (3.4) 假设 q ( z ) = a k z k + a k − 1 z k − 1 + ⋯ + a 0 ， a k ≠ 0 ，此处 a k ， ⋯ ， a 0 为常数，由 σ ( f ) ≠ 1 可知 k ≥ 2 。因此 q ( z + c ) = a k z k + ( k c a k + a k − 1 ) z k − 1 + a ′ k − 2 z k − 2 + ⋯ + a ′ 0 ，此处 a ′ k − 2 ， ⋯ ， a ′ 0 为常数。 由 a k ≠ 0 可知 ( n + 1 ) a k − 1 ≠ k c a k + ( n + 1 ) a k − 1 ，故 ( n + 1 ) q ( z ) − ( n q ( z ) + q ( z + c ) ) 不为常数。 若 n q ( z ) + q ( z + c ) − q 1 ( z ) 和 ( n + 1 ) q ( z ) − q 1 ( z ) 都不为常数，则由引理2及(3.4)可得 r ( z ) n r ( z + c ) ≡ 0 ， r ( z ) n + 1 ≡ 0 ， r ( z ) ≡ 0 。这是矛盾的。 若 n q ( z ) + q ( z + c ) − q 1 ( z ) = b ，b为非零常数。即 n q ( z ) + q ( z + c ) − b = q 1 ( z ) ，因此(3.4)可变为 [ r ( z ) n r ( z + c ) − e − b r 1 ( z ) ] e n q ( z ) + q ( z + c ) − r ( z ) n + 1 e ( n + 1 ) q ( z ) = 0. (3.5) 由(3.5)及引理2可得 r ( z ) n r ( z + c ) − e − b r 1 ( z ) ≡ 0 ， r ( z ) n + 1 ≡ 0 。这也是矛盾的。 若 ( n + 1 ) q ( z ) − q 1 ( z ) 为常数，则可由同样的方法得到矛盾。因此可得 H n ( z ) 有无穷多个零点。 2) 假设 f ( z ) 仅有有限多个零点且 σ ( f ) = 1 。则 可写成如下形式 f ( z ) = p 1 ∗ ( z ) p 2 ∗ ( z ) e a z + d : = r ∗ ( z ) e a z + d . (3.6) 此处 为常数， p 1 ∗ ( z ) 为多项式， p 2 ∗ ( z ) 为 f ( z ) 极点的典型乘积，因此 σ ( p 2 ∗ ) = λ ( p 2 ∗ ) = λ ( 1 / r ∗ ) = λ ( 1 / f ) < σ ( f ) 。显然 σ ( r ∗ ) < σ ( f ) 。 由(3.6)可得 f ( z + c ) = r ∗ ( z + c ) e a c e a z + d ， H n ( z ) = { r ∗ ( z ) n ( r ∗ ( z + c ) e a c − r ∗ ( z ) ) } e ( n + 1 ) ( a z + d ) . 因为 f ( z + c ) ≡ f ( z ) ，所以 r ∗ ( z + c ) e a c − r ∗ ( z ) ≡ 0 。又因为 r ∗ ( z ) ≡ 0 ，故 H n ( z ) 仅有有限多个零点。
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user: 4. 定理2的证明 我们先证明第2)和3)。 2) 假设 d ≠ 0 ，则 f ( z ) 能写成如下形式。 f ( z ) = d + p 1 ( z ) p 2 ( z ) e a z m : = d + r ( z ) e a z m . (4.1) 此处a为非零常数，m为正整数， p 1 ( z ) 为整函数满足 σ ( p 1 ) < σ ( f ) ， p 2 ( z ) 为 f ( z ) 极点的典型乘积，因此 σ ( p 2 ) = λ ( p 2 ) = λ ( 1 / r ) = λ ( 1 / f ) < σ ( f ) 。显然 σ ( r ) < σ ( f ) 。因此 f ( z + c ) = d + r ( z + c ) r ′ ( z ) e a z m . (4.2) 此处 r ′ ( z ) 为整函数，且满足 σ ( f ) = m − 1 。由(4.1) (4.2)得 H ( z ) = r ( z ) [ r ( z + c ) r ′ ( z ) − r ( z ) ] e 2 a z m + d [ r ( z + c ) r ′ ( z ) − r ( z ) ] e a z m . (4.3) 由 f ( z + c ) ≡ f ( z ) ，可得 r ( z + c ) r ′ ( z ) − r ( z ) ≡ 0 (4.4) 由(4.3) (4.4)可得 H ( z ) 为有限级超越亚纯函数，且满足 σ ( H ) = σ ( f ) = m 。 若 H ( z ) 有Borel例外值 d ∗ ，则 H ( z ) 可表示成如下形式。 H ( z ) = d ∗ + g ( z ) p ( z ) e b z m : = d ∗ + r ∗ ( z ) e b z m . (4.5) 此处b为非零常数，m为正整数， g ( z ) 为整函数满足 σ ( g ) < σ ( H ) ， p ( z ) 为 H ( z ) 极点的典型乘积，因此 σ ( p ) = λ ( p ) = λ ( 1 / r ∗ ) = λ ( 1 / H ) < σ ( H ) 。 σ ( r ∗ ) < σ ( H ) = m 。 由(4.3) (4.5)可得 r ( z ) [ r ( z + c ) r ′ ( z ) − r ( z ) ] e 2 a z m + d [ r ( z + c ) r ′ ( z ) − r ( z ) ] e a z m − d ∗ − r ∗ ( z ) e b z m = 0. (4.6) 若 b ≠ a 且 b ≠ 2 a ，则由引理2和(4.6)可得 r ( z + c ) r ′ ( z ) − r ( z ) ≡ 0 ， 这是矛盾的。 若 b = a 或 b = 2 a ，则利用定理1中得出(3.5)式的方法也可以推出矛盾。因此， H ( z ) 无有限的Borel例外值，(2)证明完毕。 下证(3)，若 d = 0 为 f ( z ) 的Borel例外值，利用同样的方法由(4.3)可得 H ( z ) = r ( z ) [ r ( z + c ) r ′ ( z ) − r ( z ) ] e 2 a z m . (4.7) 因为 r ( z ) [ r ( z + c ) r ′ ( z ) − r ( z ) ] ≡ 0 且 σ ( r ( z ) [ r ( z + c ) r ′ ( z ) − r ( z ) ] ) < m ，所以0为 H ( z ) 的Borel例外值，从而 H ( z ) 再无非零有限的Borel例外值。 最后证明1)，由2) 3)可知若 f ( z ) 有有限的Borel例外值，则任何非零有限值a必不为 H ( z ) 的Borel例外值。因此 H ( z ) 可取a无穷多次，因此可得 λ ( H − a ) = σ ( H ) = σ ( f ) 。
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user: 5. 定理3的证明 1) 因为 f ( z ) 为亚纯函数且 Δ f ( z ) ≡ 0 ，所以当 f ( z ) 有无穷多个零点时 H ( z ) 也有无穷多个零点。 现假设 f ( z ) 有有限多个零点且 σ ( f ) ≠ 1 ，因此 f ( z ) 能写成如下形式 f ( z ) = p 1 ( z ) p 2 ( z ) e h ( z ) : = r ( z ) e h ( z ) . (5.1) 此处 h ( z ) 为多项式， deg h ( z ) ≥ 2 ， p 1 ( z ) 为多项式， p 2 ( z ) 为 f ( z ) 极点的典型乘积，因此 σ ( p 2 ) = λ ( p 2 ) = λ ( 1 / r ) = λ ( 1 / f ) < σ ( f ) 。显然 σ ( r ) < σ ( f ) 。 由(5.1)可得 f ( z + c ) = r ( z + c ) e h ( z + c ) 。因此 H ( z ) = r ( z ) r ( z + c ) e h ( z ) + h ( z + c ) − r ( z ) 2 e 2 h ( z ) . (5.2) 由引理5及 f ( z ) 为超越函数，可得 H ( z ) 为超越函数，故 H ( z ) 能表示成如下形式 H ( z ) = g ( z ) p ( z ) e h ∗ ( z ) : = r ∗ ( z ) e h ∗ ( z ) . (5.3) 此处 h ∗ ( z ) 为多项式， g ( z ) 为整函数满足 σ ( g ) < σ ( H ) ， p ( z ) 为 H ( z ) 极点的典型乘积，因此 σ ( p ) = λ ( p ) = λ ( 1 / r ∗ ) = λ ( 1 / H ) < σ ( H ) 。显然 σ ( r ∗ ) < σ ( H ) 。 由(5.2) (5.3)可得 r ( z ) r ( z + c ) e h ( z ) + h ( z + c ) − r ( z ) 2 e 2 h ( z ) = r ∗ ( z ) e h ∗ ( z ) . (5.4) 若 h ( z ) + h ( z + c ) − h ∗ ( z ) 和 2 h ( z ) − h ∗ ( z ) 都不为常数，则由引理2及(5.4)可得 r ( z ) r ( z + c ) ≡ 0 ， r ( z ) 2 ≡ 0 ， r ∗ ( z ) ≡ 0 。这是矛盾的。 若 h ( z ) + h ( z + c ) − h ∗ ( z ) 或 2 h ( z ) − h ∗ ( z ) 为常数，则用证明定理1的方法也可以得到矛盾结论。因此 H ( z ) 有无穷多个零点。 2) 假设 f ( z ) 仅有有限多个零点且 σ ( f ) = 1 。则用证明定理1中证明2)的方法也可以得出结论。因此定理3证明完毕。
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user: 摘 要 目前越来越多的低渗致密气藏投入开发，但由于自然产能低，需人工压裂。很多学者针对低渗压裂井产能进行了研究，但并没有学者同时考虑低渗致密气藏储层存在的应力敏感性、气体通过低渗致密多孔介质同样具有启动压力梯度以及人工裂缝近井地带存在高速非达西效应等因素对产能的影响，因而计算结果往往偏大。本文以扰动椭圆以及发展的矩形族思想为基础，理论推导出考虑因素更全面的低渗致密气藏压裂井产能理论计算公式，并绘制了相应的产能曲线。研究表明，拟启动压力梯度、变形介质系数、高速非达西渗流因子以及裂缝参数均对低渗致密气藏压裂井产能有影响，并绘制了单因素敏感性分析图版，研究结果具有较高的理论价值和实践指导意义。 关键词 :低渗–致密气藏，压裂，启动压力梯度，高速非达西渗流，应力敏感 Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 低渗致密气藏由于孔喉致密，比表面大，导致气体在低渗致密多孔介质渗流时同样存在启动压力梯度，同时储层存在应力敏感性。一般来讲，低渗致密气藏自然产能低，往往需要通过人工压裂来提高产能，导致气体在压裂裂缝中流速很高，近井地带惯性效应不可忽略 [ 1 ] ，不再符合经典的达西定律。由此可以看出，低渗致密气藏压裂井涉及到的渗流机理十分复杂，开展低渗致密气藏垂直裂缝井的产能计算对指导该类气藏的有效开发具有十分重要的意义。目前诸多学者对低渗致密气藏的产能进行了研究和计算，罗天雨等学者 [ 2 ] 将气井压裂后的渗流分为裂缝区域外拟径向渗流以及近裂缝的单向非达西渗流，并给出了相应的产能方程。蒋廷学和汪永利等学者 [ 3 ] 采用保角变换方法分别研究了油藏和气藏垂直裂缝井产能计算方法；杨正明 [ 4 ] 等将气井压裂后气体流动考虑为径向流和线性流的组合，并给出了产能计算公式；周琦 [ 5 ] 、雷刚 [ 6 ] 等学者也对低渗透气藏压裂井产能进行了研究；总结来看，低渗致密气藏压裂井产能计算方面取得了一定研究成果，但普遍存在着推导过程中进行了一定程度的简化，导致预测结果可能偏大。本文基于扰动椭圆概念以及等价的发展矩形族思想 [ 7 ] ，给出了同时考虑上述因素的低渗致密气藏压裂井的产能计算方法，并进行了相应的敏感性分析，总结了拟启动压力梯度、变形介质系数、高速非达西渗流因子以及裂缝参数对产能的影响规律，具有较高的理论价值和实践指导意义。
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user: 2. 低渗致密气藏复杂渗流机理表征方法 诸多学者的研究表明，经典的达西定律有一定的适用条件。低渗致密气藏由于孔喉致密，比表面大，固相岩石颗粒对渗流的影响难以忽略，需要考虑启动压力梯度。同时诸多学者的研究表明气体在低渗致密多孔介质中渗流时，由于滑脱效应(又称Klinkenberg效应 [ 8 ] [ 9 ] )使得储层视渗透率增大，但由于其对产量的影响一般小于启动压力梯度对产能的影响，且为正向影响，本文并不重点讨论，重点讨论启动压力梯度对产能的影响。 假设裂缝方向为x轴，对于低渗致密气藏，考虑启动压力梯度后，渗流公式可表示为： v = k μ g ( ∂ p ∂ y − G ) (1) 式中：G为启动压力梯度，10 −1 Mpa/cm；v为多孔介质中流体渗流速度，cm/s；p为孔隙压力，10 −1 Mpa；k为储层渗透率， 10 − 3 μ m 2 ； μ g 为气体粘度，mPa·s； 低渗致密气藏由于自然产能较低，往往需要人工压裂，压裂后人工裂缝近井地带往往流速较高，一旦超过一定的雷诺数，流体本身惯性效应导致的附加压力损失不再可以忽略，需要考虑高速非达西效应，诸多学者从实验及理论两方面进行了深入研究 [ 10 ] [ 11 ] ，提出了很多非线性渗流表达式，其中以式(2)所展示的高速非达西渗流二项式模型应用最为广泛： d p d x = μ k v + β ρ g v 2 (2) 式中： β 为高速非达西渗流因子； ρ g 为气体密度，g/cm 3 ； 稳定渗流时通过多孔介质各截面的质量流量不变，其渗流速度表达式为： v = q m ρ g A = ρ g s c q s c ρ g w f h (3) 式中： q s c 为流量，cm 3 /s； w f 为裂缝宽度，cm；h为储层厚度，cm； 在标准条件下天然气密度为 ρ g s c = p s c M R T s c Z s c (4) 式中：Z为气体偏差因子；R为状态方程系数； 地层条件下，天然气密度为 ρ g = p M R T Z (5) 将式(4)、(5)代入到(3)中可得 v = 1 w f h p s c q s c T Z T s c Z s c p (6) 将式(6)代入式(2)得： d p d x = μ k f w f h p s c q s c T Z T s c Z s c p + β M w f 2 h 2 T Z p [ p s c q s c T Z T s c Z s c ] 2 (7) 已有的研究表明，低渗致密气藏多孔介质一般存在比较明显的应力敏感性，不仅储层介质存在应力敏感性，人工裂缝同样存在应力敏感性，将人工裂缝考虑为变形介质可得 k f = k f i e − α f ( p i − p ) (8) 式中： k f 为裂缝渗透率， 10 − 3 μ m 2 ； α f 为裂缝介质变形系数； 式(7)代入(6)式中可得 d p d x = μ k f i e − α f ( p i − p ) w f h p s c q s c T Z T s c Z s c p + β M w f 2 h 2 T Z p [ p s c q s c T Z T s c Z s c ] 2 (9) 令 b = e α f p i μ k f i w f h p s c q s c T Z T s c Z s c ， c = β M w f 2 h 2 T Z [ p s c q s c T Z T s c Z s c ] 2 式(9)可简化为 p e α f p b + c e α f p d p = d x (10) 对式(10)积分可得 x = 1 α f 2 c [ d i log ( 1 + c b e α f p ) − d i log ( 1 + c b e α f p w f ) ] + p α f c ln b + c e α f p b + c e α f p w f (11) 记裂缝端点处压力为 p f ，则 x f = 1 α f 2 c [ d i log ( 1 + c b e α f p f ) − d i log ( 1 + c b e α f p w f ) ] + p f α f c ln b + c e α f p f b + c e α f p w f (12) 式(12)建立的是 q s c 与 p w f 、 p f 关系。 式(1)、式(2)、式(8)分别给出了考虑启动压力梯度、裂缝中高速非达西效应以及裂缝应力敏感性的渗流方程，为分析致密气藏压裂井产能理论计算方法奠定了基础。
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user: 3. 压裂裂缝激发的椭圆渗流 低渗致密气藏压裂井生产时会在储层中激发平面二维椭圆渗流(假设储层等厚，形成的人工裂缝为垂直缝，且压开整段储层)，即形成以裂缝端点为焦点的共轭等压椭圆和双曲线流线族。分析前人关于扰动椭圆研究成果，引入发展的矩形族来描述等压椭圆族 [ 8 ] ： x ¯ = x f c h ( ξ ) (13) y ¯ = 2 π ∫ 0 π 2 b sin ( η ) d η = 2 x f π s h ( ξ ) (14) 式中，x，y为直角坐标； ξ ， η 为椭圆坐标； 引入启动压力梯度后，式(1)在椭圆坐标中可以表示为： v = k μ g ( ∂ p ∂ y ¯ − G ) (15) 质量渗流速度为： ρ v = ρ k μ g ( ∂ p ∂ y ¯ − G ) = ρ s c q s c 4 x f h c h ( ξ ) (16) 由式(14)可得： d p d y ¯ = d p d ξ d ξ d y ¯ = d p d ξ π 2 x f 1 c h ( ξ ) (17) 由式(16)、式(17)可得： k p μ g Z [ d p d ξ π 2 x f 1 c h ( ξ ) − G ] = p s c T T s c Z s c q s c 4 x f h c h ( ξ ) (18) 考虑储层介质的应力敏感性可得 k e − α m ( p i − p ) p μ g Z [ d p d ξ π 2 x f 1 c h ( ξ ) − G ] = p s c T T s c Z s c q s c 4 x f h c h ( ξ ) (19) 式中： α m 为基质介质变形系数； 事实上储层介质的应力敏感性往往与启动压力梯度及滑脱效应耦合在一起。随着开发的进行，储层压力逐渐降低，储层介质孔隙度渗透率随之降低，同时启动压力梯度会逐渐增大，滑脱效应也会随之改变，耦合效应可通过应力敏感性、启动压力梯度综合等效表达，本文不做单独讨论。式(19)整理得： p e α m p [ d p d ξ − 2 x f c h ( ξ ) G / π ] = p s c e α m p μ g Z T k T s c Z s c q s c 2 π (20) 令： A = 2 x f G / π ，   B = p s c e α m p μ g Z T k T s c Z s c q s c 2 π 则微分方程(20)可变化为： p e α m p [ d p d ξ − A c h ( ξ ) ] = B (21) 边界条件为 ξ e = ln 2 r e x f ，   p = p e 式(21)给出的非线性常微分方程精确解求解十分复杂，略去高阶小量，得到式(21)方程的近似解析解为： A x f r e − A B x f r e 1 + α m p e p e 2 e α p e − A B x f r e 2 + α m 2 p e 2 p e 5 e α m p e ( B p e e α m p e + A x f r e ) + ( − B 2 1 + α m p e p e 3 e 2 α m p e − A B x f r e 1 + α m p e p e 2 e α m p e + A x f r e ) [ B 2 2 α m 2 p e + 4 α m + 3 p e 3 e 2 α m p e + A B x f r e ( α m 2 p e 2 + 2 α m p e + 2 ) ] + ( B p e e α m p e + A x f r e ) [ A B x f r e ( α m 2 p e 2 + 2 α m p e + 2 ) − 4 α m 3 p e 2 + ( 12 α m 2 + 6 α m ) p e + 12 α m + 9 p e 4 e 2 α m p e ] + A B x f r e ( 2 α m 2 p e + 2 α m ) ( B p e e α m p e + A x f r e ) 2 − ( − B 2 1 + α m p u p u 3 e 2 α m p − A B 1 + α m p u p u 2 e α m p u ) × [ B 2 2 α m 2 p u + 4 α m + 3 p u 3 e 2 α m p u + A B ( α m 2 p u 2 + 2 α m p u + 2 ) ] − ( B p u e α m p u ) [ − 4 α m 3 p u 2 + ( 12 α m 2 + 6 α m ) p u + 12 α m + 9 p u 4 e 2 α m p u ] + A B 1 + α m p u p u 2 e α m p u − A B ( 2 α 2 p u + 2 α m ) ( B p e e α m p u + A ) 2 = 0 (22) 式中： p u 裂缝中平均压力，10 − 1 Mpa； 式(22)建立的是 q s c 与 p u 的关系，因人工裂缝激发的椭圆流与人工裂缝中的流动在交界面出压力相等，将式(22)与式(12)联立可求得产量与井底流压之间的函数关系。
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user: 4. 低渗致密气藏压裂井实例计算 以X低渗致密气藏实际参数为基础，研究不同因素对压裂井产能的影响规律。X低渗致密气藏原始地层压力为30 MPa，温度为106℃，渗透率为3 × 10 −3 μm，供给边界为300 m，有效厚度为10 m，压裂裂缝半长为100 m，裂缝宽度为2 mm，裂缝中渗透率为250 μm 2 ，气体粘度为0.02 mPa·s。 从图1可以看出，拟启动压力梯度对低渗透产能的影响较为明显，启动压力梯度越大，产能越低，且井底流压越高，即生产压差越小，动用范围越小，产能降低越快。 从图2可以看出，低渗致密气藏基质变形介质系数越大，初期产能越低，由于介质变形系数越大，同样生产条件下，渗流阻力越大，渗透率下降幅度越大。裂缝介质变形系数对产能影响规律与基质变形系数影响规律一致，此处不再赘述。 图1. 拟启动压力梯度对低渗致密气藏产能影响规律 图2. 变形介质系数对低渗致密气藏产能影响规律 由图3可以看出，高速非达西渗流系数越大，同样情况下裂缝中渗流阻力越大，产能越低。同时，随着井底流压升高，曲线存在不平滑拐点，其主要原因为生产压差变小后，高速非达西效应减小甚至消失，导致产能曲线上有上凸之处。 由图4、图5可以看出，裂缝半长越长、裂缝导流能力越大，产能越高；只是两者影响机理不尽相同。裂缝半长越长，激发的椭圆流长轴越长，裂缝导流能力越长，椭圆流短轴越长。
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user: 5. 结论 1) 基于扰动椭圆及发展的矩形族思想，给出了同时考虑启动压力梯度、裂缝近井地带高速非达西效应、气藏基质及裂缝应力敏感性等因素影响的压裂井产能计算方法，并给出了解析解。 2) 拟启动压力梯度、高速非达西渗流系数、压裂变形介质系数、裂缝长度以及裂缝导流能力均对产能有影响。保持井底压力不变前提下，拟启动压力梯度、高速非达西渗流系数、介质变形系数越小，压裂气井产能越大；裂缝长度越长、裂缝导流能力越大，压裂气井产能越大。同时，随着井底流压升高， 图3. 高速非达西渗流系数对低渗致密气藏产能影响规律 图4. 裂缝半长对低渗致密气藏产能影响规律 图5. 裂缝导流能力对低渗致密气藏产能影响规律 曲线存在不平滑拐点，其主要原因为生产压差变小后，高速非达西效应减小甚至消失，导致产能曲线上有上凸之处；井底流压继续降低、生产压差进一步减小后，由于启动压力梯度存在导致整个储层动用范围变小，产能加速下降直至降为0。 3) 对于低渗致密气藏，在对压裂气井进行配产设计时一定要考虑拟启动压力梯度、高速非达西效应以及介质变形系数对产能的影响，同时在压裂设计时要优化裂缝的长度及导流能力。
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user: 摘 要 在热模拟试验机上对5083铝合金进行热压缩试验，并利用有限元分析软件DEFOM-3D研究了不同接触摩擦系数0、0.2、0.4和0.6对5083铝合金在热压缩试验中的试样形态、载荷力、应变速率以及应变分布的影响规律。研究表明：接触摩擦系数对载荷力基本没有影响，但对应变速率和应变的分布影响显著，随着接触摩擦系数的增加，变形不均匀性增大，应变速率和应变量从试样两端面到心部逐渐增大，且接触摩擦系数越大，鼓肚现象越明显。 关键词 :5083铝合金，热压缩，有限元分析，接触摩擦系数 Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 热压缩变形试验是一种被广泛使用的试验方法，主要用于在不同变形温度、变形速率和变形量条件下利用热力实验模拟装置对小试样的各种变形过程进行模拟，可快速、准确地获得材料在试验条件下性能和组织的变化规律，从而为实际生产中定制各种热加工工艺提供准确的参考依据 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] 。目前，对5083铝合金热压缩模拟试验的文章很多，但对热压缩试验过程自身影响因素的研究较少 [ 4 ] 。本文采用Gleeble-3800热模拟试验机在变形温度为400℃、变形速率为0.13 s −1 、变形量为50%条件下对5083铝合金进行了热压缩试验，以试验数据为基础建立DEFOM-3D有限元模型，通过软件模拟了5083铝合金在变形温度为400℃、应变速率为0.13 s −1 、接触摩擦系数分别为0、0.2、0.4以及0.6条件下的热压缩变形过程，研究了5083铝合金在热压缩时与压缩模具之间的接触摩擦系对试样形态、载荷力、应变速率以及应变分布的影响规律，为材料物体模拟过程的不均匀性研究提供了参考依据。
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user: 2. 试验方法 2.1. 试验材料与物理模拟 实验材料为已再结晶的5083铝合金热轧板材，然后经机加工成Φ10 × 15 mm的圆柱体试样。在Gleeble-3800热模拟机上进行热压缩实验，试样以10℃/s的速度加热到400℃保温2 min，试样两端添加石墨片并均匀涂上润滑剂(75%石墨 + 20%机油 + 5%硝酸三甲苯脂)以减小摩擦的影响，然后以0.13 s −1 的速度进行50%的变形，热压缩完成后淬火冷却。然后对物理模拟实验数据进行处理，收集热压缩过程中的变形抗力曲线，将其作为材料力学性能数据导入DEFORM-3D数值模拟软件。 2.2. 有限元模型的建立 本试验采用DEFORM-3D数值模拟软件进行建模并对热压缩过程进行有限元模拟，所建模型如图1所示。黄色为5083铝合金试验材料，灰色为压缩模具。模拟试样尺寸与试验试样尺寸保持一致，均为 图1. 有限元分析模型 Φ10 × 15 mm，为减少计算量，选取圆柱体试样的1/2进行模拟运算；两端压头材料特征设定为刚性，压缩试样材料选用5083铝合金，材料流变应力曲线采用实测变形抗力曲线数据；试验过程中一端固定，另一端以恒定应变速率0.13 s −1 沿Z向变形至50% (真应变0.69)；试样两端接触摩擦系数分别设置为0、0.2、0.4和0.6；模拟过程中试样整体温度设定为400℃，为了简化实验，使实验更具有针对性，热压缩过程中不考虑热传导的影响。
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user: 3. 试验结果与分析 3.1. 试样形态 如图2所示为5083铝合金在接触摩擦系数分别为0、0.2、0.4和0.6条件下以0.1 s −1 速度经50%热压缩变形后试样的最终形态。从图2可知，在最理想情况下，即接触摩擦系数为0时，试样热压缩变形均匀，无鼓肚现象发生；随着接触摩擦系数的增加，试样热压缩变形不均匀增大，鼓肚现象越明显。 3.2. 接触摩擦系数对应力–应变曲线的影响 如图3所示为5083铝合金在接触摩擦系数分别为0、0.2、0.4和0.6条件下的载荷力随模具行程的变化。从图2可知，随着接触摩擦系数的增加，载荷力基本没发生变化，即接触摩擦系数对载荷力影响不大，说明在润滑条件差的条件下进行热压缩变形时对应力–应变曲线结果的准确性影响不大。 3.3. 接触摩擦系数对应变速率的影响 如图4所示为5083铝合金在接触摩擦系数分别为0、0.2、0.4和0.6条件下试样纵截面的应变速率分布图。从图4(a)可知，在接触摩擦系数为0的理想条件下，试样各区域的应变速率都相同，且与初始 图2. 不同接触摩擦系数条件下试样热压缩模拟结果。(a) 0 s; (b) 0.5 s; (c) 1 s; (d) 1.5 s 图3. 不同接触摩擦系数对载荷力的影响 图4. 不同接触摩擦系数条件下试样的应变速率分布图。(a) 0 s; (b) 0.5 s; (c) 1 s; (d) 1.5 s 设置的名义应变速率一致均为0.13 s −1 ，在图中表示为青色区域；随着接触摩擦系数的增加，热压缩变形的不均匀性也随着增大。当接触摩擦系数为0.2时，应变速率分布开始出现不均匀现象，从端面到心部逐渐变大，且名义应变速率集中在1/4高度区域，如图4(b)所示；当接触摩擦系数为0.4时，应变速率分布的不均匀性进一步增大，端部的应变速率仅为0.05 s −1 ，而心部的应变速率达到0.2 s −1 ，且青色的名义区域收窄；当接触摩擦系数继续增加达到0.6时，应变速率分布极不均匀，心部的应变速率达到0.24 s −1 ，且红色范围进一步增加，青色的名义区域进一步收窄，而四角区域也出现红色范围则是因为，四角区域在热压缩时受到Z方向模具的压力和X方向由于摩擦存在引起的拉力以及两侧对其Z方向的拉力相互作用导致变形速率大于周围区域。 3.4. 接触摩擦系数对应变的影响 如图5所示为5083铝合金在接触摩擦系数分别为0、0.2、0.4和0.6条件下试样纵截面的应变分布图。从图5(a)可知，在接触摩擦系数为0的理想条件下，试样各区域的应变量都相同，且与初始设置的名义应变量一致均为0.69，在图中表示为青色区域；随着接触摩擦系数的增加，热压缩变形的不均匀性也随着增大。当接触摩擦系数为0.2时，应变分布开始出现不均匀现象，从端面到心部逐渐变大，且名义应变集中在1/4高度区域，如图5(b)所示；当接触摩擦系数为0.4时，应变分布的不均匀性进一步增大，端部的应变仅为0.096，而心部的应变达到1.16 s −1 ，且青色的名义区域收窄；当接触摩擦系数继续增加达到0.6时，应变分布极不均匀，心部的应变达到1.27 s −1 ，且黄色范围进一步增加，青色的名义区域进一步收窄。 图5. 不同接触摩擦系数条件下试样的应变分布图。(a) 0 s; (b) 0.5 s; (c) 1 s; (d) 1.5 s
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user: 4. 分析与讨论 试样热压缩时变形的不均匀性导致了鼓肚现象的发生，对试样的应变速率和应力分布产生了不同程度的影响。在最理想情况下，即接触摩擦系数为0时，试样热压缩时各区域变形是均匀一致的，也无鼓肚现象的发生，如图2(a)所示。当热压缩时试样两端面存在接触摩擦时，试样热压缩开始出现不均匀现象。此时由于试样两端面与模具接触处存在摩擦力，使得试样变形时接触面上的横向位移被限制难于变形，也难以自由扩展，而越靠近心部区域则限制越小，越容易发生变形，热压缩变形出现不均匀，同时由于变形时整个试样体积不发生变化，这就必然导致中间尺寸大于两端面，从而出现鼓肚现象，最终导致试样热压缩时出现应变速率和应变分布的不均匀性 [ 5 ] [ 6 ] 。接触摩擦系数越大，热压缩变形时试样两端面与模具之间的摩擦力也越大，对试样两端面的限制也越大，在形式上表现为鼓肚现象越明显，如图2(b)~(d)所示，在微观组织上则表现为应变速率和应变分布出现不均匀性，且从两端面到心部逐渐增大，如图4和图5所示。
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user: 5. 结论 本文通过有限元模拟研究了接触摩擦系数对5083铝合金热压缩的影响，未考虑试样与模具之间以及试样与空气之间的热传导影响，后续将综合考虑接触摩擦系数和热传导对热压缩试验的影响，为材料物体模拟过程的不均匀性研究提供更准确的参考依据。 1) 5083铝合金热压缩时，随着接触摩擦系数的增加，变形不均匀性增强，鼓肚现象越明显。 2) 5083铝合金热压缩时，接触摩擦系数对载荷力影响不大，即润滑条件对应力–应变曲线的准确性没有显著影响。 3) 5083铝合金热压缩时，接触摩擦系数对应变速率和应变分布影响显著，从试样两端面到心部逐渐增大，且随着接触摩擦系数的增加，变形不均匀性增大，应变速率和应变分布差异更显著。
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user: 摘 要 地层性质的度量与取值问题是岩土力学研究的核心问题。然而，在国内外的岩土力学研究中对地层性质的定量研究都非常不到位。度量地层性质的物理量不等于任何力学参数，力学参数代表不了度量地层性质的物理量。本文基于新理论，从新的角度深入讨论了度量地层性质的物理量及其取值、计算问题，给出了新的地层性质测试方法，为地层性质研究确定了新的理论公式，为地层性质定量研究和地层承载能力研究开拓了新的道路。 关键词 :地层性质，定量研究，测试方法，承载能力，理论公式 Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 序言 本文涉及工程地质勘探研究方法问题，其属于岩土工程基础理论及其应用技术研究领域。 当前在国内外的工程地质勘探和岩土力学研究方法存在一定不足，这些不足主要是存在于基本认识和基本理论方面。就工程地质和岩土力学基本方法而言，目前的方法是完善的、正确的。在基本认识和基本理论方面的不足主要来源于科学历史的局限性。这些不足主要包括对地层性质概念和地层性质参数取值、承载力的计算公式在理论上存在认识不足，缺乏足够的理论认识。 自应用力学如材料力学 [ 1 ] 产生以后，关于材料变形性质概念，人们一直不是很确切其基本含义，但是，人们熟悉的、涉及材料性质的概念却很多 [ 2 ] ，如岩土力学 [ 3 ] 涉及的地层性质概念有弹性、塑性、脆性、韧性、松散性、密实性、孔隙度、裂隙度、含水性、完整性、破碎性、粘性、切面光洁性、抗弯性等等。岩土力学涉及的这些地层性质概念，都与地层变形性概念密切相关，但又都不能代表地层变形的性质概念。迄今为止，人们一直没有给材料变形性质或地层变形性质概念确定一种科学、完整的定义。由于在基本概念上存在模糊认识，所以，在变形性质概念度量与取值方面的研究工作，在国内外直到目前也没有做，世界上一直不存在定量研究材料或地层性质的定量理论 [ 4 ] ，一直没有用于计算地层性质的定量理论与公式。 长期以来，人们对地层的变形性质一直不进行定量研究 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] ，在工程地质勘探中，虽然人们能够实施各种有效手段对地层进行探测，但因理论滞后，人们无法定量研究地层的变形性质，各种探测工作的目标主要是确定地层的承载能力。然而，由于缺乏计算承载力的理论公式，最终的探测结果往往不能获得地层承载力的准确值。在缓慢的静压测试条件下，人们能够通过实验确定地层的承载能力，但在超载静力和动力探测条件下，人们是不能准确确定地层承载能力的。因为，超载静力或动力探测条件下，承载能力数值不能被准确测定，也没有完善的理论公式可用于准确计算，所以，承载能力准确计算问题一直是没有解决的世界科学难题。 直到2010年，笔者在加拿大地球科学杂志发表了“一种地基极限承载力的计算方法”一文以后，世界上才出现定量研究地层性质的基本理论。 不过，人们应用的各种工程地质勘探手段是没有问题，是符合客观与科学要求的。当前用于地层承载力探测的方法与手段主要有如下几种 [ 7 ] ： 1) 静力触探法 目前，利用静力触探研究确定地基承载力的方法，在国内外，都是根据对比实验结果提出经验公式、进行计算、最后获得承载力的大致数值。 2) 载荷试验 利用载荷试验确定承载力的方法主要在应力–应变关系理论、强度理论基础上采用相对稳定法、快速法、等应变法获得p-s曲线、p-t曲线、对曲线进行分析、将比例极限、极限荷载作为承载能力值。 3) 标贯实验 标贯实验方法是通过测量规定重量的重锤自特定高度自由锤击探杆、用探头贯入深度达某一值时的锤击数来评价该处地基土的性质及承载力。承载力的计算公式是经验公式，人们也常采用查表方法寻求前人确定的同等击数对应的承载力数值。 4) 动探方法 动探类似于标贯方法，当地层不适宜做标贯试验时，使用动探方法确定地基的承载力和地层性质。 5) 室内力学实验 室内力学实验主要依据应力–应变关系理论和强度理论来研究岩、土层的性质和承载力以及其他物理力学指标。在室内测试计算地层承载力，也没有完美的理论公式，所采用的方法也是曲线分析、数据对比和经验公式分析计算。 由于理论力学 [ 1 ] - [ 20 ] 和应用力学 [ 1 ] - [ 20 ] 在理论上没有确定正确的变形-作用关系理论，没有给出计算材料或地层变形性质和承载能力的正确公式，所以，尽管在实践中选用了有效的探测手段，但因为基本理论问题没有很好解决最终还是不能获得准确数据。 总之，当前工程地质勘探研究存在基本理论 [ 2 ] 滞后问题。这个问题不解决，由于缺乏科学性的探测工作繁琐性问题就难以解决，就不可避免出现浪费人力、物力和财力问题，更重要的是，勘探研究工作给出来的结论可靠性差，存在不准确问题。因此，加强基础理论研究，提高基础理论水平，对于优化工程地质探测分析程序、提高工作效率和提交成果的可靠性是至关重要的，具有重大意义。
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user: 2. 地层变形性质定量研究的基本理论 当前的基础理论与应用基础不定量研究地层变形性质问题，在实际工程勘探研究中，对地层的变形性质只是进行一般性的定性描述。由于度量地层变形性质的物理量与地层的承载能力关系密切，并且是容易通过观测或测试获得的物理量，所以，对地层变形性质的物理量进行定量研究具有重要的理论与应用价值。 根据最新研究，地层的变形性质主要指地层在作用下变形或不变形的特性。变形性质与作用和变形关系最为密切：变形性质都是相对于作用和变形而言的，不相对于作用谈变形性质，就不属于变形性质概念。变形性质的度量值有两种：可变形性质和不可变形性质。不可变形性质和可变形性质的度量取值都有两种最基本的方法： 1) 外作用力与受作用面实际接受的作用力之间统一关系度量方法 当地层受到外作用力 F 的作用时，受作用地层的性质决定，不同受作用地层的受作用面的物质并不能在瞬间都将作用力的全部接受、并在瞬间传递给前方受作用面上的物质，在很多情况下只是接受其中的一部分、只将部分力传递给前方受作用物质，另一部分则变为侵入受作用地层、使受作用面产生变形位移的驱动力。作用面实际接受的这部分作用力叫实作用力，记为 F T ；不对作用面产生实际性作用、通过作用面运行的那一部分作用力叫虚作用力，记为 F F 。实作用力占有作用力的百分数被叫做地层的实度，也就是度量地层不可变形性质的物理量，记为 T ，即 T = F T F × 100 % ; 而虚作用力占有作用力的百分数叫做地层的虚度，也就是度量地层可变形性质的物理量，记为 E ，即 E = F F F × 100 % . 虚度与实度之间的关系为 T + E = 1 = 100 % . 2) 受作用面的变形位移与虚度、实度之间的统一关系度量法 当外作用力即探测作用力 F 对不同地层进行探测作用时，由于不同地层的变形性质不同，而使它们在同样的探测力下产生了不同楔入变形量，一般用 x 表示。如果用该探测力对没有物质存在的空间进行探测，在相同探测时间内，探头的位移是 ，那么，变形量 x 占有 l 的百分数即 x 与 l 之比乘100%所得数值就等于度量被探测地层可变形性质的物理量，也就是地层的虚度，即 E = x l × 100 % 而 T = 100 − E = ( 1 − x l ) 100 % 就是度量地层不可变形性质的物理量，即实度。 以上两种基本方法是不同的，一个是根据作用与地层性质之间的统一关系来度量和计算地层性质特征值的，另一个则是根据变形与地层性质之间的统一来计量地层性质特征的，两种方法绝缘不同，但是，所得结果是相同的。在当前的基础理论中是找不到这个规律的。 由于作用力属于瞬间作用量，而变形量则是在一定变形时间内产生的，所以，为了确保地层性质度量与计算的数据具有统一和可对比性，在地层性质研究中必须引入作用量概念。作用量是指在一段时间内作用物体对受作用物体产生作用的量，力是指单位时间或瞬间产生的作用量，因此，作用量等于力与作用时间之积，即 A = F t . 式中， A 表示作用量； t 表示作用时间。根据这个关系，当考虑从作用角度计量地层性质时，要用作用量、虚作用量、实作用量之间的统一关系式来计算。由于作用量、虚作用量、实作用量都包含了作用-变形时间，与用变形量来计算虚度和实度所得数据存在统一关系，可以进行相互对比。其计算公式为 T = A T A × 100 % 和 E = A F A × 100 % . 式中， A F 表示虚作用量； A T 表示实作用量。其中， A F = F F t ， A T = F T t 。
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user: 3. 地层承载能力的计算 地层的承载能力是指在不产生变形前提下，地层单位受作用面所能承载的最大载荷作用力。通过工程地质勘探与测试，可以直接获得地层变形性质度量值，并可以直接计算承载能力： 如果探测力为 F ，探头与地层之间的接触作用面积为 S ，地层的实度为 T ，那么，地层的承载能力为 σ max = T F 100 S . 式中， 表示地层的最大承载应力。 根据此公式，当探测应力小于或等于承载能力时， T = 1 ，探测结果不能确定极限承载能力；只有探测应力大于承载能力时，才会获得地层的承载能力。