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user: 2. Copula理论及其相关性度量 1959年，Sklar初次提出Copula理论，并指出可以将 N 维联合分布函数分解为 N 个边缘分布函数以及一个Copula函数，这个Copula函数可以细致、全面地刻画随机变量之间的相关结构。由于Copula函数具有将联合分布与边缘分布结合在一起的性质，有人也把Copula函数称之为“连接函数”。本节介绍Copula函数的基本概念及一系列基于Copula函数的相关性度量。 2.1. Copula函数的概念与性质 这里我们给出有关Copula函数的基本概念和有关性质 [ 6 ] 。 定义1：称满足以下条件的函数 C ( u ， v ) 为二元Copula函数： ① 定义域为 [ 0 ， 1 ] × [ 0 ， 1 ] ； ② C ( u ， v ) 有零基面，即 ；并且是二维递增的，即对于任意 0 ≤ u 1 ≤ u 2 ≤ 1 ， 0 ≤ v 1 ≤ v 2 ≤ 1 ，有 C ( u 2 ， v 2 ) − C ( u 2 ， v 1 ) − C ( u 1 ， v 2 ) ) + C ( u 1 ， v 1 ) ≥ 0 ； ③ 对于任意 u ， v ∈ [ 0 ， 1 ] ，满足 C ( u ， 1 ) = u ， C ( 1 ， v ) = v 。 由定义可知： C ( u ， v ) 是一个边缘分布为 U ( 0 ， 1 ) 的二元联合分布函数，且对于定义域内的任意一点 ( u ， v ) 均有： 0 ≤ C ( u ， v ) ≤ 1 。 定理1：(二元分布的Sklar定理)令 H ( x ， y ) 为具有边缘分布 F ( x ) 和 G ( y ) 的二元联合分布函数，则存在一个Copula函数 C ( u ， v ) ，满足 H ( x ， y ) = C [ F ( x ) ， G ( y ) ] (1) 若 F ( x ) ， G ( y ) 是连续函数，则 C ( u ， v ) 是唯一确定的；反之，若 F ( x ) ， G ( y ) 为一元分布函数， C ( u ， v ) 是一个Copula函数，由(1)式确定的 H ( x ， y ) 是具有边缘分布 F ( x ) ， G ( y ) 的二元联合分布函数。 二元Copula函数有如下基本性质。 ① C ( u ， v ) 关于每一个变量都是单调非减的，也就是说，如果保持一个变量不变，那么 C ( u ， v ) 的值也将会随着另一个变量的增大而增大。 ② 对任意的 u 1 ， u 2 ， v 1 ， v 2 ∈ [ 0 ， 1 ] ，有 。 ③ 对任意的 u ， v ∈ [ 0 ， 1 ] ，令 C − ( u ， v ) = max ( u + v − 1 ， 0 ) ， C + ( u ， v ) = min ( u ， v ) ，则有 max ( u + v − 1 ， 0 ) ≤ C ( u ， v ) ≤ min ( u ， v ) 称 C + ( u ， v ) 和 C − ( u ， v ) 分别为Fréchet上界和下界。 ④ 若 U ， V 独立，且服从 U ( 0 ， 1 ) ，则 C ( u ， v ) = u v ，记 C ⊥ ( u ， v ) = u v 。 ⑤ 对变量 X ， Y 做严格递增的连续变换 h 1 ( X ) ， h 2 ( Y ) ，有 C X ，   Y = C h 1 ( X ) ，   h 2 ( Y ) ，其中 C X ， Y 表示连接 X ， Y 的Copula函数； C h 1 ( X ) ，   h 2 ( Y ) 表示连接 的Copula函数. 2.2. 常用的Copula函数 Copula分布作为一类连接函数，包含很多分布族，其中椭圆Copula函数族和Archimedean Copula函数族是最为常见的两个分布族。椭圆Copula函数族中主要有Gaussian Copula函数和t-Copula函数，而Archimedean Copula函数族中主要有Gumble Copula、Glayton Copula和Frank Copula函数，由于这些Copula具有厚尾的特征而在金融领域得到广泛应用。 二元Gaussian Copula的分布函数为 C G a ( u ， v ; ρ ) = ∫ − ∞ Φ − 1 ( u ) ∫ − ∞ Φ − 1 ( v ) 1 2 π 1 − ρ 2 exp [ − s 2 + t 2 − 2 ρ s t 2 ( 1 − ρ 2 ) ] d s d t   ， (2) 其中， Φ − 1 ( ⋅ ) 是标准正态分布函数 的逆函数。 自由度为 k 的二元t-Copula的分布函数为 C t ( u ， v ; ρ ， k ) = ∫ − ∞ t k − 1 ( u ) ∫ − ∞ t k − 1 ( v ) 1 2 π 1 − ρ 2 [ 1 + s 2 + t 2 − 2 ρ s t k ( 1 − ρ 2 ) ] − ( k + 2 ) / 2 d s d t   ， (3) 其中， t k − 1 ( ⋅ ) 是自由度为 k 的标准 t 分布函数 t k ( ⋅ ) 的逆函数。 二元Gumble Copula、Clayton Copula、Frank Copula的分布函数分别为 C G u ( u ， v ; α ) = exp { − [ ( − ln u ) α + ( − ln v ) α ] 1 α } ; C C l ( u ， v ; α ) = ( u − α + v − α − 1 ) − 1 α ， 0 ≤ u ， v ≤ 1 ; (4) C F ( u ， v ; α ) = − 1 α ln ( 1 + ( 1 − e − α u ) ( 1 − e − α v ) 1 − e − α ) ， 0 ≤ u ， v ≤ 1. 2.3. 基于Copula函数的相关性度量 Copula函数作为刻画变量间相依性结构的工具，在度量具有非线性关系的变量之间的相依性结构时具有明显的优势，因此产生了一系列基于Copula函数的相关性度量。基于Copula函数的度量包括Kendall’s τ ，Spearman’s ρ S ，尾部相关系数 λ 等。 1) Kendall秩相关系数 令 ( X ， Y ) 和 ( X ′ ， Y ′ ) 是独立同分布的随机变量，若 ( X − X ′ ) ( Y − Y ′ ) > 0 ，称 ( X ， Y ) 和 ( X ′ ， Y ′ ) 是一致的；若 ( X − X ′ ) ( Y − Y ′ ) < 0 则称 ( X ， Y ) 和 ( X ′ ， Y ′ ) 是不一致的。 Kendall’s秩相关系数 τ 的一般形式为： 若随机变量 X ， Y 的边缘分布分别为 F ( x ) ， G ( y ) ，相应的Copula函数为 C ( u ， v ) ，则Kendall’s秩相关系数 τ 可由相应的Copula函数 C ( u ， v ) 给出： τ       = 4 ∫ [ 0 ， 1 ] 2 C ( u ， v ) d C ( u ， v ) − 1   . 2) Spearman’s秩相关系数 ρ S 设 ( X 1 ， Y 1 ) ， ( X 2 ， Y 2 ) ， ( X 3 ， Y 3 ) 独立同分布的随机变量，Spearman’s秩相关系数 ρ S 的一般形式为： 若随机变量 X ， Y 的边缘分布分别为 F ( x ) ， G ( y ) ，相应的Copula函数为 C ( u ， v ) ，则Spearman’s秩相关系数 ρ S 可由相应的Copula函数 C ( u ， v ) 给出： ρ S = 12 ∫ [ 0 ， 1 ] 2 C ( u ， v ) d u d v − 3 3) 尾部相关系数 λ 尾部相关性是人们在金融风险中比较关心的，包括上尾相关和下尾相关。令 X ， Y 为连续的随机变量，具有边缘分布 F ( x ) ， G ( y ) 和Copula函数为 C ( u ， v ) ，如果 lim u → 1 − C ¯ ( u ， u ) / ( 1 − u ) = λ U 存在， λ U ∈ ( 0 ， 1 ]   ， C ¯ ( u ， v ) = 1 − u − v + C ( u ， v ) 为生存Copula函数，则称 X ， Y 上尾相关； λ U = 0 时，称 X ， Y 在分布上尾渐近独立。同样地，如果 lim u → 0 + C ( u ， u ) / u = λ L 存在， λ L ∈ ( 0 ， 1 ] 时，则称 X ， Y 下尾相关； λ L = 0 时，称 X ， Y 在分布下尾渐近独立。我们把 λ U ， λ L 统称为尾部相关系数，且 λ U ， λ L ≥ 0 。