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user: 3. 平面图的变换及其着色性质 这部分给出平面图的变换，利用双色多项式来研究这些变换对平面图着色性质的变化情况。 3.1. 树形变换的着色问题 先看一下一种特殊树形——“m-弧变换”的情形，可以得到： 命题3.1 设图 G n 是由G添加m-弧 L m 构成，且 L m ∩ G ′ 是一个顶点，则当 q ≥ 2 时， P ( G n ) ≠ 0 当且仅当 P ( G n − 1 ) ≠ 0 。 证明 首先考虑 m = 1 ，则 G n 是由 G n − 1 添加1-弧构成(见图3)。 图3. 1-弧图 由计算可得， Z ( G n ) = Z ( )   + v Z ( G n − 1 ) = q Z ( G n − 1 ) + v Z ( G n − 1 ) = ( q + v ) Z ( G n − 1 ) 。 由引理2.1可知，当 v = − 1 时， P ( G n ) = ( q − 1 ) P ( G n − 1 ) ，所以 q ≥ 2 时， P ( G n ) ≠ 0 当且仅当 P ( G n − 1 ) ≠ 0 。其次，一般情形计算有， Z ( G n ) = ( q + v ) m Z ( G ′ ) ，当 v = − 1 时， P ( G n ) = ( q − 1 ) m Z ( G ′ ) ，所以， q ≥ 2 时， P ( G n ) ≠ 0 当且仅当 P ( G n − 1 ) ≠ 0 。从而结论成立。 定理3.1 设图 G n 由 G ′ 添加树 T m 得到，其中 T m 有m个顶点， T m ∩ G ′ 是一个顶点(见图4)，则当 q ≥ 2 时， P ( G n ) ≠ 0 当且仅当 P ( G ′ ) ≠ 0 。 图4. 树形图 证明 利用命题3.1，由归纳法， Z ( G n ) = ( q + v ) m − 1 Z ( G ′ ) ，当 v = − 1 时， P ( G n ) = ( q − 1 ) m − 1 P ( G ′ ) ，所以 q ≥ 2 时， P ( G n ) ≠ 0 当且仅当 P ( G ′ ) ≠ 0 。从而结论成立。 注 图 G ′ 是有G去掉树形得到的，把这种变换称为树形变换，该定理这说明树–变换不改变图的着色数。 3.2. “m–圈–变换”的着色问题 命题3.2 设图 G n 由 G n − 1 添加一个3-圈P得到， G n − 1 ∩ P 是一个顶点(见图5)，则当 q ≥ 3 时， P ( G n ) ≠ 0 当且仅当 P ( G n − 1 ) ≠ 0 。 图5. 带3-圈的图 证明 通过计算可得： Z ( G n ) = [ ( q + 2 v ) ( q + v ) + v 2 ( v + 1 ) ] Z ( G n − 2 ) ，当 v = − 1 时， P ( G n ) = ( q − 2 ) ( q − 1 ) P ( G n − 1 ) ，所以， q = 3 时， P ( G n ) ≠ 0 当且仅当 P ( G n − 1 ) ≠ 0 。从而结论成立。 定理3.2 设图 G n 由 G ′ 添加一个m-圈P得到， G ′ ∩ P 是一个顶点(见图6)，则有 (1) 当m是偶数时，如果 q ≥ 2 ，则 P ( G n ) ≠ 0 当且仅当 P ( G ′ ) ≠ 0 ； (2) 当m是奇数时，如果 q ≥ 3 ，则 P ( G n ) ≠ 0 当且仅当 P ( G ′ ) ≠ 0 。 证明 Z ( G n ) = Z ( G ′ ∪ T m ) + v Z ( G ′ ∪ P m − 1 ) = [ ( q + v ) m − 1 + v ( q + v ) m − 2 + ⋯ + v m − 3 ( q + v ) 2 ] Z ( G ′ ) + v m − 2 Z ( G ′ ∪ P 1 ) = [ ( q + v ) m − 1 + v ( q + v ) m − 2 + ⋯ + v m − 2 ( q + v ) ] Z ( G ′ ) + v m − 1 Z ( G ′ ∪ P 1 ) = [ ( q + v ) m − 1 + v ( q + v ) m − 2 + ⋯ + v m − 2 ( q + v ) + v m − 1 ( v + 1 ) ] Z ( G ′ ) = [ ( q + v ) m − 1 [ 1 − ( v q + v ) m − 1 ] 1 − v q + v + v m − 1 ( v + 1 ) ] Z ( G ′ ) = [ ( q + v ) [ ( q + v ) m − 1 − v m − 1 ] q + v m − 1 ( v + 1 ) ] Z ( G ′ ) 当 v = − 1 时， P ( G n ) = q − 1 q [ ( q − 1 ) m − 1 − ( − 1 ) m − 1 ] P ( G ′ ) ，所以，当m是偶数时， P ( G n ) = ( q − 1 ) [ ( q − 1 ) m − 1 + 1 ] P ( G ′ ) ，此时，如果 q ≥ 2 ，则 P ( G n ) ≠ 0 当且仅当 P ( G ′ ) ≠ 0 。当m是奇数时， P ( G n ) = ( q − 1 ) [ ( q − 1 ) m − 1 − 1 ] P ( G ′ ) 。此时，如果 q ≥ 3 ，则 P ( G n ) ≠ 0 当且仅当 P ( G ′ ) ≠ 0 。从而定理的结论成立。 图6. 带m-圈的图 注 如果把“m-圈-变换”称为三角形变换，该定理说明三角形变换不改变图的着色数。 推论3.1 设图 G n 仅有一个m-圈， G n 余下的部分是树 T n ，其中 G n 有n顶点，则有 (1) 当m是偶数时，如果 q ≥ 2 ，则 P ( G n ) ≠ 0 ； (2) 当m是奇数时，如果 q ≥ 3 ，则 P ( G n ) ≠ 0 。 证明 首先看一个特殊情形，设图 G n 仅有一个3-圈， G n 余下的部分是树 T n ，其中 G n 有n个顶点(见图7)，由定理3.1可知，树形不改变着色数，所以， P ( G n ) = P ( 3 - 圈 ) = P ( 三 角 形 ) ，从而当 q = 3 时，结论成立。 图7. 3-圈的图 对于一般情形有 P ( G n ) = P ( m - 圈 ) = P ( 多 边 形 ) ，由定理3.1和定理3.2，结论成立。 3.3. 桥变换的着色问题 命题3.3 设 G n 存在m条有相同端点的边 l k ( k = 1 ， ⋯ ， m ) ，去掉其中 m − 1 条边后的图记为 G ′ n ，则 P ( G n ) = P ( G ′ n ) 。 证明 如果图 G n 的两个顶点 x ， y 存在两个相同端点的边，去掉其中一条重复边后的图记为 G ′ n (见图8)， Z ( G n ) = Z ( G ′ n ) + v Z ( ) = Z ( G ′ n ) + v ( 1 + v ) Z ( )，当 v = − 1 时， P ( G n ) = P ( G ′ n ) 。一般情形同理可证。 图8. 带多重边的图 注 该命题说明在图中如果有两个顶点多重边相连，就可以看成只有一个边相连，这样不改变着色数。如图8中， G n 经过这种变换得到 G ′ n ，称这种变换为桥变换。从而说明桥–变换不改变图的着色性质。 定理3.3 设图 G n 由 G ′ 添加m-弧 L m 得到， G ′ ∩ L m 是 L m 的两个端点(见图9)，则有 (1) 当m为奇数时，如果 q ≥ 3 ，则 P ( G n ) ≠ 0 当且仅当 P ( G ′ ) ≠ 0 ； (2) 当m为偶数时，如果 q ≥ 2 ，则 P ( G n ) ≠ 0 当且仅当 P ( G ′ ) ≠ 0 。 图9. 带桥的图 证明： Z ( G n ) = Z ( )   + v Z () = [ ( q + v ) m + v ( q + v ) m − 1 + v 2 ( q + v ) m − 2 + ⋯ + v m − 1 ( q + v ) ] Z ( G ′ ) + ( 1 + v ) Z ( G ″ ) 当 v = − 1 时， P ( G n ) = [ ( q − 1 ) m − ( q − 1 ) m − 1 + ( q − 1 ) m − 2 + ⋯ + ( − 1 ) m − 1 ( q − 1 ) ] P ( G ′ ) 当m为奇数时，如果 q ≥ 3 ，则 P ( G n ) ≠ 0 当且仅当 P ( G ′ ) ≠ 0 ； 当m为偶数时，如果 q ≥ 2 ，则 P ( G n ) ≠ 0 当且仅当 P ( G ′ ) ≠ 0 。 从而结论成立。 注 该定理是命题3.3的一般化，因此也称进行了桥变换。同时由引理2.2和引理2.3，可以讨论其它图的着色性质。由于纽结投影图与平面图是一一对应关系，所以它们的有些变换是相互转化的，比如：纽结投影图的 R 1 变换就对应图的树形变换。