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user: 4. 全局动力学分析 下面根据 I 1 ， I 2 ， σ 1 的大小关系，分三种情况分析系统(1.1)平衡点 E 1 ， E 2 的实虚情况以及伪焦点 E p 的存在性。 1) 当 σ 1 > I 1 时，此时平衡点 E 1 是实平衡点，平衡点 E 2 是虚平衡点，用 E 1 R ， E 1 V 表示，伪焦点 E p 不存在。 2) 当 I 1 > σ 1 > I 2 时，此时平衡点 E 1 ， E 2 都是虚平衡点，用 E 1 V ， E 2 V 表示，伪焦点 E p 存在。 3) 当 I 2 > σ 1 时，此时 E 1 是一个虚平衡点，平衡点 E 2 是实平衡点，用 E 1 V ， E 2 R 表示，伪焦点 E p 不存在。 定理4.1 当 σ 1 > I 1 时，系统(1.1)存在唯一的实平衡点 E 1 R 并且 E 1 R 是全局渐近稳定的。 证明 设 ( S ( t ) ， I ( t ) ) 是系统(1.1)满足初值条件 S ( 0 ) = S 0 > 0 ， I ( 0 ) = I 0 > 0 的解，存在可测函数 γ ( t ) ∈ [ 0 ， 1 ] 使得对几乎处处的 t ∈ [ 0 ， + ∞ ) 有 { d S d t = A − β S I − η 1 S + γ p S ， d I d t = β S I − η 2 I . (3.1) 其中 { γ = 1 ， I < σ 1 ， γ ∈ ( 0 ， 1 ) ， I = σ 1 ， γ = 0 ， I > σ 1 . 将系统(3.1)配凑成如下形式： { d S d t = − ( η 1 − γ p + β I ) ( S − S 1 ) − S 1 ( I − I γ ) ， d I d t = β ( S − S 1 ) I . (3.2) 其中 I γ = A η 2 − η 1 − γ p β 。 构建如下的Lyapunov函数： V ( S ， I ) = { V 1 ( S ， I ) ， I ≤ σ 1 ， V 2 ( S ， I ) + V 1 ( S ， E T 1 ) − V 2 ( S ， E T 1 ) ， I > σ 1 . 其中 V 1 ( S ， I ) = 1 2 ( S − S 1 ) 2 + S 1 ( I − I 1 − I 1 ln I I 1 ) ， (3.3) 和 V 2 ( S ， I ) = 1 2 ( S − S 2 ) 2 + S 2 ( I − I 2 − I 2 ln I I 2 ) . (3.4) 对于 I > σ 1 区域，根据已知条件 σ 1 > I 1 得到此时 I > σ 1 > I 2 ，所以有 ∂ V 2 ∂ I = S 2 I − I 2 I > 0 ，因此 V 2 ( S ， I ) > V 2 ( S ， σ 1 ) 。构建的Lyapunov函数 V ( S ， I ) 是正则的，所以 ∂ V ( S ， I ) = { ζ ∈ R 2 | ζ = ( S − S 1 ， S 1 I − I λ I ) ， λ ∈ [ 0 ， 1 ] } ， 其中 I λ = λ I 1 + ( 1 − λ ) I 2 = A η 2 − η 1 − λ p β . 让 λ = γ ，有 ζ = ( S − S 1 ， S 1 I − I λ I ) = ( S − S 1 ， S 1 I − I γ I ) ∈ ∂ V ( S ， I ) 。函数 V ( S ， I ) 沿着系统(3.2)求导有 d V d t = − ( η 1 − γ p + β I ) ( S − S 1 ) 2 − β S 1 ( S − S 1 ) ( I − I γ ) + β S 1 S ( S − S 1 ) ( I − I γ )             = − ( η 1 − γ p + β I ) ( S − S 1 ) 2 ​ ​ ​ ​             ≤ 0. (3.5) 并且，最大弱不变集 Z V = E 1 ，根据引理2.2，系统(1.1)的实平衡点 E 1 R 是全局渐近稳定的。证毕。 定理4.2 当 I 2 > σ 1 > I 1 时，系统(1.1)的伪焦点 E p 存在并且是全局渐近稳定的。 证明 设 ( S ( t ) ， I ( t ) ) 是系统(1.1)满足初值条件 S ( 0 ) = S 0 > 0 ， I ( 0 ) = I 0 > 0 的解，将系统(3.1)配凑成如下形式： { d S d t = − ( η 1 − γ p + β I ) ( S − S p ) − β S p ( I − I γ ) ， d I d t = β ( S − S p ) I . (3.6) 考虑如下的Lyapunov函数 V ( S ， I ) = { V 1 ( S ， I ) + V 3 ( S ， σ 1 ) − V 1 ( S ， σ 1 ) ， I < σ 1 ， V 3 ( S ， I ) ， I = σ 1 ， V 2 ( S ， I ) + V 3 ( S ， σ 1 ) − V 2 ( S ， σ 1 ) ， I > σ 1 . 其中 V 3 ( S ， I ) = 1 2 ( S − S p ) 2 + S p ( I − σ 1 − σ 1 ln I σ 1 ) . (3.7) 在已知条件 I 1 > σ 1 > I 2 下，当 I > σ 1 时有 I > I 2 ，所以有 ∂ V 2 ∂ I = S 2 I − I 2 I > 0 ，因此 V 2 ( S ， I ) > V 2 ( S ， σ 1 ) 。当 I < σ 1 时有 I < I 1 ，所以有 ∂ V 1 ∂ I = S 1 I − I 1 I < 0 ，因此 ( S ， I ) > V 1 ( S ， σ 1 ) 。构造的Lyapunov函数 V ( S ， I ) 是正则的。计算 ∂ V ( S ， I ) = { ζ ∈ R 2 | ζ = ( S − S p ， S p I − I λ I ) ， λ ∈ [ 0 ， 1 ] } . 让 λ = γ 有 ζ = ( S − S p ， S p I − I λ I ) = ( S − S p ， S p I − I γ I ) ∈ ∂ V ( S ， I ) 。函数 V ( S ， I ) 沿着系统(3.6)求导 d V d t = − ( η 1 − γ p + β I ) ( S − S p ) 2 − β S p ( S − S p ) ( I − I γ ) + β S p ( S − S p ) ( I − I γ )             = − ( η 1 − γ p + β I ) ( S − S p ) 2             ≤ 0. (3.8) 并且，最大弱不变集 Z V = E p ，根据引理2.2，系统(1.1)的伪焦点 E p 是全局渐近稳定的。证毕。 定理4.3 当 I 2 > σ 1 时，系统(1.1)存在唯一的实平衡点 E 2 R 并且 E 2 R 是全局渐近稳定的。 证明 设 ( S ( t ) ， I ( t ) ) 是系统(1.1)满足初值条件 S ( 0 ) = S 0 > 0 ， I ( 0 ) = I 0 > 0 的解，将系统(3.1)配凑成如下形式： { d S d t = − ( η 1 − γ p + β I ) ( S − S 2 ) − β S 2 ( I − I γ ) ， d I d t = β ( S − S 2 ) I . (3.9) 构建如下的Lyapunov函数： V ( S ， I ) = { V 1 ( S ， I ) + V 2 ( S ， σ 1 ) − V 1 ( S ， σ 1 ) ， I < σ 1 ， V 2 ( S ， I ) ， I ≥ σ 1 . 在已知条件 I 2 > σ 1 下，当 I < σ 1 时有 I < I 1 ，所以有 ∂ V 1 ∂ I = S 1 I − I 1 I < 0 ，因此 V 1 ( S ， I ) > V 1 ( S ， σ 1 ) ，构造的Lyapunov函数 V ( S ， I ) 是正则的。所以 ∂ V ( S ， I ) = { ζ ∈ R 2 | ζ = ( S − S 2 ， S 2 I − I λ I ) ， λ ∈ [ 0 ， 1 ] } . 让 λ = γ ，有 ζ = ( S − S 2 ， S 2 I − I λ I ) = ( S − S 2 ， S 2 I − I γ I ) ∈ ∂ V ( S ， I ) 。函数 V ( S ， I ) 沿着系统(3.9)求导 V ( S ， I ) d V d t = − ( η 1 − γ p + β I ) ( S − S 2 ) 2 − β S 2 ( S − S 2 ) ( I − I γ ) + β S 2 ( S − S 2 ) ( I − I γ ) = − ( η 1 − γ p + β I ) ( S − S 2 ) 2 ≤ 0. (3.10) 并且，最大弱不变集 Z V = E 2 ，根据引理2.2，系统(1.1)的实平衡点 E 2 R 是全局渐近稳定的。证毕。