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user: 3. 定理证明 在这部分，我们将给出定理1.1和定理1.2的证明，利用先验估计和Gronwall不等式解决局部光滑解的正则性准则，即证明下式成立 lim sup t → T − ( ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 ) ≤ C . (3.1) 将方程(1.1)两端同时乘u，在 ℝ 3 上积分并利用分部积分，得 1 2 d d t ∫ ℝ 3 | u | 2 d x + ∫ ℝ 3 | ∇ u | 2 d x = ∫ ℝ 3 μ ∇ ϕ u d x ， (3.2) 将方程(1.2)两端同时乘 μ ，在 ℝ 3 上积分并利用分部积分，得 1 2 d d t ∫ ℝ 3 ( | ∇ ϕ | 2 + 2 f ( ϕ ) ) d x + ∫ ℝ 3 μ ∇ ϕ u d x = − ∫ ℝ 3 | ∇ μ | 2 d x ， (3.3) 将(3.2)和(3.3)两式相加，得 1 2 d d t ∫ ℝ 3 ( | u | 2 + | ∇ ϕ | 2 + 2 f ( ϕ ) ) d x + ∫ ℝ 3 ( | ∇ u | 2 + | ∇ μ | 2 ) d x = 0 ， 我们获得基本能量估计 ‖ u ‖ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ) + ‖ u ‖ L 2 ( 0 ， T ; H 1 ) ≤ C ， (3.4) ‖ ϕ ‖ L ∞ ( 0 ， T ; H 1 ) ≤ C ， (3.5) ‖ ∇ μ ‖ L 2 ( 0 ， T ; L 2 ) ≤ C . (3.6) 将方程(1.2)两端同时乘 ϕ ，在 ℝ 3 上积分并利用分部积分，结合(1.3)，(1.4)，Young’s不等式，得 1 2 d d t ∫ ℝ 3 | ϕ | 2 d x + d d t ∫ ℝ 3 | Δ ϕ | 2 d x = ∫ ℝ 3 ( ϕ 3 − ϕ ) Δ ϕ d x = − 3 ∫ ℝ 3 ϕ 2 | ∇ ϕ | 2 d x − ∫ ℝ 3 ϕ Δ ϕ d x ≤ − ∫ ℝ 3 ϕ Δ ϕ d x ≤ 1 2 ∫ ℝ 3 | Δ ϕ | 2 d x + 1 2 ∫ ℝ 3 | ϕ | 2 d x ， 利用Gronwall不等式，获得估计 ‖ ϕ ‖ L 2 ( 0 ， T ; H 2 ) ≤ C . (3.7) 下面将利用Gagliardo-Nirenberg不等式( n = 3 ) ‖ ϕ ‖ L ∞ 2 ≤ C ‖ ϕ ‖ L 6 ‖ ϕ ‖ H 2 ， (3.8) 以及Sobolev嵌入定理 ‖ ϕ ‖ L 6 ≤ C ‖ ϕ ‖ H 1 ， (3.9) 结合(1.3)，(3.5)~(3.7)，(3.8)，(3.9)，Hölder不等式，得 ∫ 0 T ∫ ℝ 3 | ∇ Δ ϕ | 2 d x d t = ∫ 0 T ∫ ℝ 3 | ∇ ( f ′ ( ϕ ) − μ ) | 2 d x d t ≤ C ∫ 0 T ∫ ℝ 3 | ∇ μ | 2 d x d t + C ∫ 0 T ∫ ℝ 3 | ∇ ( ϕ 3 − ϕ ) | 2 d x d t ≤ C + C ∫ 0 T ∫ ℝ 3 ϕ 4 | ∇ ϕ | 2 d x d t ≤ C + C ‖ ∇ ϕ ‖ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ) 2 ∫ 0 T ‖ ϕ ‖ L ∞ 4 d t ≤ C + C ∫ 0 T ‖ ϕ ‖ L 6 2 ‖ ϕ ‖ H 2 2 d t ≤ C + C ‖ ϕ ‖ L ∞ ( 0 ， T ; H 1 ) 2 ‖ ϕ ‖ L 2 ( 0 ， T ; H 2 ) 2 ≤ C ， 获得估计 ‖ ϕ ‖ L 2 ( 0 ， T ; H 3 ) ≤ C ， (3.10) ‖ ϕ ‖ L 4 ( 0 ， T ; L ∞ ) ≤ C ， (3.11) ‖ ∇ ϕ ‖ L 2 ( 0 ， T ; L ∞ ) ≤ C ‖ ϕ ‖ L 2 ( 0 ， T ; H 3 ) ≤ C . (3.12) 接下来我们将进行高阶估计，改写方程(1.1)为分量形式( i = 1 ， 2 ， 3 ) ∂ t u i + ( u ⋅ ∇ ) u i + ∂ i π − Δ u i = μ ∂ i ϕ ， 将上式左右两端同时乘 − Δ u i ，对i求和，结合(1.3)，(1.4)，利用分部积分，有 1 2 d d t ∫ ℝ 3 | ∇ u | 2 d x + ∫ ℝ 3 | Δ u | 2 d x = ∑ i = 1 3 ∫ ℝ 3 ( u ⋅ ∇ ) u i Δ u i d x + ∑ i = 1 3 ∫ ℝ 3 Δ ϕ ∂ i ϕ Δ u i d x ， (3.13) 将(1.2)先作用 Δ ，再乘 Δ ϕ ，结合(1.3)，(1.4)，利用分部积分，得 1 2 d d t ∫ ℝ 3 | Δ ϕ | 2 d x + ∫ ℝ 3 | Δ 2 ϕ | 2 d x = ∫ R 3 Δ f ′ ( ϕ ) Δ 2 ϕ d x − ∑ i = 1 3 ∫ ℝ 3 Δ ϕ ∂ i ϕ Δ u i d x − ∑ i = 1 3 ∫ ℝ 3 ∇ u i ∂ i ∇ ϕ Δ ϕ d x ， (3.14) 将(3.13)和(3.14)相加，得 1 2 d d t ∫ ℝ 3 ( | ∇ u | 2 + | Δ ϕ | 2 ) d x + ∫ ℝ 3 ( | Δ u | 2 + | Δ 2 ϕ | 2 ) d x = ∫ ℝ 3 ( u ⋅ ∇ ) u Δ u d x − 2 ∑ i = 1 3 ∫ ℝ 3 ∇ u i ∂ i ∇ ϕ Δ ϕ d x + ∫ ℝ 3 Δ f ′ ( ϕ ) Δ 2 ϕ d x = I 1 + I 2 + I 3 . (3.15) 首先考虑u满足定理1.1中条件的情况，利用Hölder不等式，Young’s不等式，Sobolev嵌入定理(3.9)，估计 I 3 I 3 = ∫ ℝ 3 Δ f ′ ( ϕ ) Δ 2 ϕ d x = ∫ ℝ 3 Δ ( ϕ 3 − ϕ ) Δ 2 ϕ d x = ∫ ℝ 3 ( 6 ϕ | ∇ ϕ | 2 + 3 ϕ 2 Δ ϕ − Δ ϕ ) Δ 2 ϕ d x ≤ C ( ‖ ϕ ‖ L 6 ‖ ∇ ϕ ‖ L 6 2 + ‖ ϕ ‖ L ∞ 2 ‖ Δ ϕ ‖ L 2 + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 ) ‖ Δ 2 ϕ ‖ L 2 ≤ C ( ‖ ϕ ‖ H 1 ‖ ∇ ϕ ‖ L 6 ‖ Δ ϕ ‖ L 2 + ‖ ϕ ‖ L ∞ 2 ‖ Δ ϕ ‖ L 2 + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 ) ‖ Δ 2 ϕ ‖ L 2 ≤ 1 4 ‖ Δ 2 ϕ ‖ L 2 2 + C ( ‖ ∇ ϕ ‖ L 6 2 ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 + ‖ ϕ ‖ L ∞ 4 ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 ) = 1 4 ‖ Δ 2 ϕ ‖ L 2 2 + C ( ‖ ∇ ϕ ‖ L 6 2 + ‖ ϕ ‖ L ∞ 4 + 1 ) ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 . (3.16) 利用Gagliardo-Nirenberg不等式(3.8)，Sobolev嵌入定理(3.9)和(3.5)， I 3 又可写成估计 I 3 ≤ 1 4 ‖ Δ 2 ϕ ‖ L 2 2 + + C ( ‖ ∇ ϕ ‖ L 6 2 + ‖ ϕ ‖ L ∞ 4 + 1 ) ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 ≤ 1 4 ‖ Δ 2 ϕ ‖ L 2 2 + + C ( ‖ ∇ ϕ ‖ H 1 2 + ‖ ϕ ‖ L 6 2 ‖ ϕ ‖ H 2 2 + 1 ) ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 ≤ 1 4 ‖ Δ 2 ϕ ‖ L 2 2 + C ( ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 + 1 ) ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 . (3.17) 对于 I 1 和 I 2 的估计，分为两种情况。 第一种情况：当 2 < p ≤ 3 r 时，利用引理2.3，引理2.4，Young’s不等式和插值不等式 ‖ u ‖ H ˙ r ≤ ‖ u ‖ L 2 1 − r ‖ ∇ u ‖ L 2 r ， 0 < r < 1 ，估计 I 1 I 1 = ∫ ℝ 3 ( u ⋅ ∇ ) u Δ u d x ≤ ‖ u ‖ M ˙ p ， 3 r ‖ ∇ u Δ u ‖ N p ′ ， 3 3 − r ≤ ‖ u ‖ M ˙ p ， 3 r ‖ ∇ u ‖ H ˙ r ‖ Δ u ‖ L 2 ≤ ‖ u ‖ M ˙ p ， 3 r ‖ ∇ u ‖ L 2 1 − r ‖ Δ u ‖ L 2 r ‖ Δ u ‖ L 2 1 = ( ‖ u ‖ M ˙ p ， 3 r 2 1 − r ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ) 1 − r 2 ( ‖ Δ u ‖ L 2 2 ) 1 + r 2 ≤ 1 2 ‖ Δ u ‖ L 2 2 + C ‖ u ‖ M ˙ p ， 3 r 2 1 − r ‖ ∇ u ‖ L 2 2 . (3.18) 类似地，我们继续估计 I 2 ，得 I 2 = − 2 ∑ i = 1 3 ∫ ℝ 3 ∇ u i ∂ i ∇ ϕ Δ ϕ d x = 2 ∑ i = 1 3 ∫ ℝ 3 u i ∂ i ∇ ϕ ∇ Δ ϕ d x ≤ C ‖ u ‖ M ˙ p ， 3 r ‖ Δ ϕ ∇ Δ ϕ ‖ N p ′ ， 3 3 − r ≤ C ‖ u ‖ M ˙ p ， 3 r ‖ Δ ϕ ‖ H ˙ r ‖ ∇ Δ ϕ ‖ L 2 ≤ C ‖ u ‖ M ˙ p ， 3 r ‖ Δ ϕ ‖ L 2 1 − r ‖ ∇ Δ ϕ ‖ L 2 1 + r = C ( ‖ u ‖ M ˙ p ， 3 r 2 1 − r ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 ) 1 − r 2 ( ‖ ∇ Δ ϕ ‖ L 2 2 ) 1 + r 2 ≤ C ( ‖ u ‖ M ˙ p ， 3 r 2 1 − r ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 ) 1 − r 2 ( ‖ Δ ϕ ‖ L 2 ‖ Δ 2 ϕ ‖ L 2 ) 1 + r 2 ≤ 1 4 ‖ Δ 2 ϕ ‖ L 2 2 + C ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 + C ‖ u ‖ M ˙ p ， 3 r 2 1 − r ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 . (3.19) 第二种情况：当 p = 2 时，利用引理2.5，Hölder不等式，Young’s不等式和插值不等式 ‖ u ‖ B ˙ 2 r ， 1 ≤ ‖ u ‖ L 2 1 − r ‖ ∇ u ‖ L 2 r ， 0 < r < 1 ，估计 I 1 I 1 = ∫ ℝ 3 ( u ⋅ ∇ ) u Δ u d x ≤ ‖ u ∇ u ‖ L 2 ‖ Δ u ‖ L 2 ≤ ‖ u ‖ M ˙ 2 ， 3 r ‖ ∇ u ‖ B ˙ 2 r ， 1 ‖ Δ u ‖ L 2 ≤ ‖ u ‖ M ˙ 2 ， 3 r ‖ ∇ u ‖ L 2 1 − r ‖ Δ u ‖ L 2 r ‖ Δ u ‖ L 2 1 = ( ‖ u ‖ M ˙ 2 ， 3 r 2 1 − r ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ) 1 − r 2 ( ‖ Δ u ‖ L 2 2 ) 1 + r 2 ≤ 1 2 ‖ Δ u ‖ L 2 2 + C ‖ u ‖ M ˙ 2 ， 3 r 2 1 − r ‖ ∇ u ‖ L 2 2 . (3.20) 同样估计 I 2 ，得 I 2 = 2 ∑ i = 1 3 ∫ ℝ 3 u i ∂ i ∇ ϕ ∇ Δ ϕ d x ≤ C ‖ u Δ ϕ ‖ L 2 ‖ ∇ Δ ϕ ‖ L 2 ≤ C ‖ u ‖ M ˙ 2 ， 3 r ‖ Δ ϕ ‖ B ˙ 2 r ， 1 ‖ ∇ Δ ϕ ‖ L 2 ≤ C ‖ u ‖ M ˙ 2 ， 3 r ‖ Δ ϕ ‖ L 2 1 − r ‖ ∇ Δ ϕ ‖ L 2 1 + r = C ( ‖ u ‖ M ˙ 2 ， 3 r 2 1 − r ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 ) 1 − r 2 ( ‖ ∇ Δ ϕ ‖ L 2 2 ) 1 + r 2 ≤ C ( ‖ u ‖ M ˙ 2 ， 3 r 2 1 − r ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 ) 1 − r 2 ( ‖ Δ ϕ ‖ L 2 ‖ Δ 2 ϕ ‖ L 2 ) 1 + r 2 ≤ 1 4 ‖ Δ 2 ϕ ‖ L 2 2 + C ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 + C ‖ u ‖ M ˙ 2 ， 3 r 2 1 − r ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 . ≤ 1 4 ‖ Δ 2 ϕ ‖ L 2 2 + C ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 + C ‖ u ‖ M ˙ 2 ， 3 r 2 1 − r ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 . (3.21) 将上述估计(3.16)，(3.18)~(3.21)代入(3.15)中，得 1 2 d d t ∫ ℝ 3 ( | ∇ u | 2 + | Δ ϕ | 2 ) d x + ∫ ℝ 3 ( | Δ u | 2 + | Δ 2 ϕ | 2 ) d x ≤ C ‖ u ‖ M ˙ p ， 3 r 2 1 − r ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + C ‖ u ‖ M ˙ p ， 3 r 2 1 − r ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 + C ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 + C ( ‖ ∇ ϕ ‖ L 6 2 + ‖ ϕ ‖ L ∞ 4 + 1 ) ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 ≤ C ( ‖ u ‖ M ˙ p ， 3 r 2 1 − r + ‖ ∇ ϕ ‖ L 6 2 + ‖ ϕ ‖ L ∞ 4 + 1 ) ( ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 ) ， 由(3.7)，(3.11)可知， ∫ 0 T ( ‖ ∇ ϕ ‖ L 6 2 + ‖ ϕ ‖ L ∞ 4 + 1 ) d t ≤ C . (3.22) 利用Gronwall不等式，上式和定理假设条件(1.6)，得 sup { ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 } ≤ ( ‖ ∇ u 0 ‖ L 2 2 + ‖ Δ ϕ 0 ‖ L 2 2 ) exp { ∫ 0 T ( ‖ u ‖ M ˙ p ， 3 r 2 1 − r + ‖ ∇ ϕ ‖ L 6 2 + ‖ ϕ ‖ L ∞ 4 + 1 ) d t } = ( ‖ ∇ u 0 ‖ L 2 2 + ‖ Δ ϕ 0 ‖ L 2 2 ) exp { T + ∫ 0 T ( ‖ ∇ ϕ ‖ L 6 2 + ‖ ϕ ‖ L ∞ 4 ) d t + ∫ 0 T ‖ u ‖ M ˙ p ， 3 r 2 1 − r d t } < ∞ . (3.23) 或将上述估计(3.16)~(3.20)代入(3.14)中，得 1 2 d d t ∫ ℝ 3 ( | ∇ u | 2 + | Δ ϕ | 2 ) d x + ∫ ℝ 3 ( | Δ u | 2 + | Δ 2 ϕ | 2 ) d x ≤ C ( ‖ u ‖ M ˙ p ， 3 r 2 1 − r + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 + 1 ) ( ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 ) ≤ C ( ‖ u ‖ M ˙ p ， 3 r 2 1 − r + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 1 + ln ( e + ‖ u ‖ L 6 ) + 1 ) ln ( e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 ) ( ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 ) ， 因此 d d t ln ( e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 ) ≤ C ( ‖ u ‖ M ˙ p ， 3 r 2 1 − r + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 1 + ln ( e + ‖ u ‖ L 6 ) + 1 ) ln ( e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 ) ， 利用Gronwall不等式，定理假设条件(1.7)，得 sup { ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 } ≤ ( e + ‖ ∇ u 0 ‖ L 2 2 + ‖ Δ ϕ 0 ‖ L 2 2 ) exp { exp { T + ∫ 0 T ‖ u ‖ M ˙ p ， 3 r 2 1 − r + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 1 + ln ( e + ‖ u ‖ L 6 ) d t } } < ∞ . (3.24) 由(3.23)，(3.24)可知，(3.1)成立，定理1.1得证。 最后考虑 ∇ u 满足定理1.2中条件的情况，对于 I 1 和 I 2 的估计，与之前类似，分为两种情况。 第一种情况：当 2 < p ≤ 3 γ 时，利用(1.4)，引理2.3，引理2.4，Young’s不等式和插值不等式 ‖ u ‖ H ˙ γ ≤ ‖ u ‖ L 2 1 − γ ‖ ∇ u ‖ L 2 γ ， 0 < γ ≤ 1 ，估计 I 1 I 1 = ∫ ℝ 3 ( u ⋅ ∇ ) u Δ u d x = − ∫ ℝ 3 ∇ ⋅ ( ( u ⋅ ∇ ) u ) ∇ u d x = − ∫ ℝ 3 ∇ u ∇ u ∇ u + u ⋅ ∇ ( | ∇ u | 2 2 ) d x = − ∫ ℝ 3 ∇ u ∇ u ∇ u d x ≤ C ‖ ∇ u ‖ M ˙ p ， 3 γ ‖ ∇ u ∇ u ‖ N p ′ ， 3 3 − γ ≤ C ‖ ∇ u ‖ M ˙ p ， 3 γ ‖ ∇ u ‖ H ˙ γ ‖ Δ u ‖ L 2 ≤ C ‖ ∇ u ‖ M ˙ p ， 3 γ ‖ ∇ u ‖ L 2 ‖ ∇ u ‖ L 2 1 − γ ‖ Δ u ‖ L 2 γ = C ( ‖ ∇ u ‖ M ˙ p ， 3 γ 2 2 − γ ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ) 2 − γ 2 ( ‖ Δ u ‖ L 2 2 ) γ 2 ≤ 1 2 ‖ Δ u ‖ L 2 2 + C ‖ ∇ u ‖ M ˙ p ， 3 γ 2 2 − γ ‖ ∇ u ‖ L 2 2 . (3.25) 估计 I 2 ，得 I 2 = − 2 ∑ i = 1 3 ∫ ℝ 3 ∇ u i ∂ i ∇ ϕ Δ ϕ d x ≤ C ‖ ∇ u ‖ M ˙ p ， 3 γ ‖ ∇ 2 ϕ Δ ϕ ‖ N p ′ ， 3 3 − γ ≤ C ‖ ∇ u ‖ M ˙ p ， 3 γ ‖ ∇ 2 ϕ ‖ H ˙ γ ‖ Δ ϕ ‖ L 2 ≤ C ‖ ∇ u ‖ M ˙ p ， 3 γ ‖ Δ ϕ ‖ L 2 ‖ Δ ϕ ‖ L 2 1 − γ ‖ ∇ Δ ϕ ‖ L 2 γ = C ( ‖ ∇ u ‖ M ˙ p ， 3 γ 2 2 − γ ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 ) 2 − γ 2 ( ‖ ∇ Δ ϕ ‖ L 2 2 ) γ 2 ≤ C ( ‖ ∇ u ‖ M ˙ p ， 3 γ 2 2 − γ ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 ) 2 − γ 2 ( ‖ Δ ϕ ‖ L 2 ‖ Δ 2 ϕ ‖ L 2 ) γ 2 ≤ 1 4 ‖ Δ 2 ϕ ‖ L 2 2 + C ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 + C ‖ ∇ u ‖ M ˙ p ， 3 γ 2 2 − γ ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 . (3.26) 第二种情况：当 p = 2 时，利用引理2.5，Hölder不等式，Young’s不等式和插值不等式 ‖ u ‖ B ˙ 2 γ ， 1 ≤ ‖ u ‖ L 2 1 − γ ‖ ∇ u ‖ L 2 γ ， 0 < γ ≤ 1 ，估计 I 1 I 1 = ∫ ℝ 3 ( u ⋅ ∇ ) u Δ u d x ≤ C ‖ ∇ u ‖ L 2 ‖ ∇ u ∇ u ‖ L 2 ≤ C ‖ ∇ u ‖ M ˙ 2 ， 3 γ ‖ ∇ u ‖ B ˙ 2 γ ， 1 ‖ ∇ u ‖ L 2 ≤ ‖ ∇ u ‖ M ˙ 2 ， 3 γ ‖ ∇ u ‖ L 2 2 − γ ‖ Δ u ‖ L 2 γ = ( ‖ ∇ u ‖ M ˙ 2 ， 3 γ 2 2 − γ ‖ ∇ u ‖ L 2 2 ) 2 − γ 2 ( ‖ Δ u ‖ L 2 2 ) γ 2 ≤ 1 2 ‖ Δ u ‖ L 2 2 + C ‖ ∇ u ‖ M ˙ 2 ， 3 γ 2 2 − γ ‖ ∇ u ‖ L 2 2 . (3.27) 用同样的方法估计 I 2 ，得 I 2 = − 2 ∑ i = 1 3 ∫ ℝ 3 ∇ u i ∂ i ∇ ϕ Δ ϕ d x ≤ C ‖ ∇ u ‖ L 2 ‖ ∇ 2 ϕ Δ ϕ ‖ L 2 ≤ C ‖ ∇ u ‖ M ˙ 2 ， 3 γ ‖ ∇ 2 ϕ ‖ B ˙ 2 γ ， 1 ‖ Δ ϕ ‖ L 2 ≤ C ‖ ∇ u ‖ M ˙ 2 ， 3 γ ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 − γ ‖ ∇ Δ ϕ ‖ L 2 γ = C ( ‖ ∇ u ‖ M ˙ 2 ， 3 γ 2 2 − γ ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 ) 2 − γ 2 ( ‖ ∇ Δ ϕ ‖ L 2 2 ) γ 2 ≤ C ( ‖ ∇ u ‖ M ˙ 2 ， 3 γ 2 2 − γ ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 ) 2 − γ 2 ( ‖ Δ ϕ ‖ L 2 ‖ Δ 2 ϕ ‖ L 2 ) γ 2 ≤ 1 4 ‖ Δ 2 ϕ ‖ L 2 2 + C ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 + C ‖ ∇ u ‖ M ˙ 2 ， 3 γ 2 2 − γ ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 . (3.28) 将上述估计(3.16)，(3.25)~(3.28)代入(3.15)中，得 1 2 d d t ∫ ℝ 3 ( | ∇ u | 2 + | Δ ϕ | 2 ) d x + ∫ ℝ 3 ( | Δ u | 2 + | Δ 2 ϕ | 2 ) d x ≤ C ‖ ∇ u ‖ M ˙ p ， 3 γ 2 2 − γ ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + C ‖ ∇ u ‖ M ˙ p ， 3 γ 2 2 − γ ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 + C ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 + C ( ‖ ∇ ϕ ‖ L 6 2 + ‖ ϕ ‖ L ∞ 4 + 1 ) ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 ≤ C ( ‖ ∇ u ‖ M ˙ p ， 3 γ 2 2 − γ + ‖ ∇ ϕ ‖ L 6 2 + ‖ ϕ ‖ L ∞ 4 + 1 ) ( ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 ) ， 利用Gronwall不等式，(3.22)和定理假设条件(1.8)，得 sup { ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 } ≤ ( ‖ ∇ u 0 ‖ L 2 2 + ‖ Δ ϕ 0 ‖ L 2 2 ) exp { ∫ 0 T ( ‖ ∇ u ‖ M ˙ p ， 3 γ 2 2 − γ + ‖ ∇ ϕ ‖ L 6 2 + ‖ ϕ ‖ L ∞ 4 + 1 ) d t } = ( ‖ ∇ u 0 ‖ L 2 2 + ‖ Δ ϕ 0 ‖ L 2 2 ) exp { T + ∫ 0 T ( ‖ ∇ ϕ ‖ L 6 2 + ‖ ϕ ‖ L ∞ 4 ) d t + ∫ 0 T ‖ ∇ u ‖ M ˙ p ， 3 γ 2 2 − γ d t } < ∞ . (3.29) 或将上述估计(3.17)，(3.25)~(3.28)代入(3.15)中，得 1 2 d d t ∫ ℝ 3 ( | ∇ u | 2 + | Δ ϕ | 2 ) d x + ∫ ℝ 3 ( | Δ u | 2 + | Δ 2 ϕ | 2 ) d x ≤ C ( ‖ ∇ u ‖ M ˙ p ， 3 γ 2 2 − γ + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 + 1 ) ( ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 ) ≤ C ( ‖ ∇ u ‖ M ˙ p ， 3 γ 2 2 − γ + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 1 + ln ( e + ‖ u ‖ L 6 ) + 1 ) ln ( e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 ) ( ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 ) ， 因此 d d t ln ( e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 ) ≤ C ( ‖ ∇ u ‖ M ˙ p ， 3 γ 2 2 − γ + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 1 + ln ( e + ‖ u ‖ L 6 ) + 1 ) ln ( e + ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 ) ， 利用Gronwall不等式，定理假设条件(1.9)，得 sup { ‖ ∇ u ‖ L 2 2 + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 } ≤ ( e + ‖ ∇ u 0 ‖ L 2 2 + ‖ Δ ϕ 0 ‖ L 2 2 ) exp { exp { T + ∫ 0 T ‖ ∇ u ‖ M ˙ p ， 3 γ 2 2 − γ + ‖ Δ ϕ ‖ L 2 2 1 + ln ( e + ‖ u ‖ L 6 ) d t } } < ∞ . (3.30) 由(3.29)，(3.30)可知，(3.1)成立，定理1.2得证。