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user: 12. 一种不需要极限及无穷小概念的微积分新诠释 在前期工作的基础上 [ 11 ]，可知在新的解释及理解下，牛顿、莱布尼兹法求导(第一代微积分)实际完全足够，它是充分的。而且不再以极限或无穷小作为理论的必要条件，更何况这个极限并不真的存在。由此，消除了微积分理论中表观上的矛盾(贝克莱悖论)，因此理论不但再无明显或潜在的逻辑问题，而且可以达到理论的极简化以利于教学和理解。 一、除法、比式、消去运算的实质 之所以要着重澄清这些相关概念，是因为牛顿、莱布尼兹在求导过程中，首先就作了除法，以“消去”分母中的自变量。极限法(第一代微积分)也一样。 除法：某数或量，被分成若干份，每一份是多少。 比式：最终得到的数值或变量，实际是折合成分母为1时的分子值。比如物理上“速度”这个概念，就是“单位时间物体所运动的距离”，而“单位数值”就是“1”。因此速度的数值可以不写分母上的“1”，但反映真实关系的物理“量纲”，却还是一个“比式”形式，也就是“距离/单位时间”。 消去：实际就是做除法和求比式的值。也可以说前二者是通过消去操作来具体实现。结果当然分母被“消去”的部分应该就是“1”。消去，就是分子、分母中的相同部分都为“1”。如12/3，消去分母上的3，就是(4 × 3)/3 = (4 × 1)/1 = 4/1，当然数值就是4，但4严格而言丢失了“比式”这个信息。比如4就只表示“4个人”，而4/1严格而言可以表示“每一组4个人”。后者信息量大。 二、导数 1、导数定义(第一定义)：曲线上某点的切线斜率。 比如物理上的瞬时速度概念，应该定义成：物体受力做变速或曲线运动，在某瞬时该力突然解除，物体做匀速直线运动时的速度。 由于以上定义，只要能够求出曲线的切线斜率的，都可以。因此求导方法不拘于一种牛顿、莱布尼兹法。但由于该法非常有效且影响广泛，因此值得详察。 注意，以上导数的定义，与传统牛、莱法或极限法(标准分析)的区别：虽然在数值上相等，但传统定义会产生贝克莱悖论的区间无穷小或并不真的存在的极限。而这里的定义完全没有无穷小和极限的任何表述。其实它就是宏观量。当然不排斥无穷小，但其不是必要条件。 2、牛顿、莱布尼兹求导法的实质 设有曲线在横坐标x点的增量(坐标差)函数 Δ y = f ( x ， Δ x ) ，其中Δx为曲线上二点(x及x + Δx)间的横坐标(自变量)差或曰增量。现将其写成过此二点的、并且仅取此二交点值的该曲线的割线方程形式为 Δ y = K ( x ， Δ x ) ⋅ Δ x 。这里的K为该割线的斜率，它同样是x及Δx的函数。显然，如果割线上的点，并不局限于它与曲线的交点，因此不失一般性，我们令该割线方程中不包括在斜率K中的Δx为Δg，其为割线上任何二点(不局限于与曲线的交点)的坐标差或增量。相应地，Δy也变为Δh，也就可得到割线上的不拘于与曲线的交点的一般方程 Δ h = K ( x ， Δ x ) ⋅ Δ g 。显然，当该割线与曲线的二交点合为一点时，也就是当Δx=0(特别强调，根本无须什么Δx→0)时，该割线变为切线。由此，我们可以得到导数的一般定义： Δ h / Δ g ( 当 Δ x = 0 ， Δ g = 1   时 ) = K ( x ， Δ x ) ⋅ Δ g / Δ g = K ( x ， 0 ) ⋅ 1 / 1 = K ( x ， 0 ) (1) 几何意义上，也就是曲线的切线斜率。代数意义上，就是该曲线与某一直线联立求得重根解时该直线方程中自变量的系数，即斜率。显然，此定义下不存在贝克莱悖论，也不再需要什么无穷小、极限概念。而且实际与所谓“第一代微积分”的牛顿、莱布尼兹求导方法相一致，也是他们实际所做的，只不过把他们无意中做除法后得到的结果彻底解释清楚了。换言之，笔者所做的，只是彻底诠释了牛顿、莱布尼兹求导法，并给出相应的导数定义，使其今后可以放心大胆地使用而已。注意，当曲线与割线的两个交点合二为一时(Δx = 0时)，作为导数第一定义的1式最左边的比式的分母Δg =1而不是0，因此不再涉及分母为0所产生的一切问题。这是由于变量除法所要求的Δg/Δg = 1/1 = 1，而如果把导数直接定义成曲线函数与其自变量的增量比Δy/Δx，则无论Δx=0还是Δx→0，显然函数中的所有自变量Δx均为0，因此会产生分母为0(也即0/0)的问题(贝克莱悖论)。 很重要的一点，设x 1 为上述x及x + Δx之间的一点，可令 K ( x ， Δ x ) = K ( x 1 ， 0 ) (2) 等式的左边为曲线两点间的割线斜率，等式右边为此两点间的一点x 1 的切线斜率(也就是传统上的该点的导数)。由于二者数值相等(平行线斜率相等。实际上，这就是著名的中值定理)，因此该曲线在x 1 点的导数(切线斜率)，完全可以也定义成过曲线横坐标x、x + Δx两点的割线斜率(可看成是导数的第二定义)，在物理上，就是某时段的“平均速度”。因此，结合导数的两个定义可知，导数在物理上就是速度——无论是瞬时速度还是平均速度。而由2式，x、Δx、x 1 三者知道两个，即可求出第三个。于是，导数由原先的只涉及一点可以扩展成涉及两点。 由(1)式可以看出，极限法(标准分析、所谓第二代微积分)求导所倚赖的曲线函数增量Δy与其自变量增量Δx之比在0点的极限根本就不可能存在：如不做除法，分子、分母中的Δx都为0进而得到0/0。而做除法，由1式可知，此时只有系数K中的Δx = 0，而分母中的变量无论写成什么，都始终等于“1”。因此不存在趋于0或等于0的问题。也就不能把它的运算结果看成是曲线函数的自变量Δx→0(而又不等于0)的结果。 同时，以最简单的自函数y = x的增量函数Δy = Δx为例，当Δx = 0时，有Δy = 0，即0 = 0，不能由除法得到有意义的增量比值函数Δy/Δx的值，因为0除以0为0/0。人们承认这是个问题(导致贝克莱悖论)，才有极限法的标准分析，认为Δy/Δx在0点虽然没有有意义的函数值(即函数值为0/0)，但却可以有有意义的(非0/0型的)不可达意义的极限值。进而用此极限值定义导数。但是，我们看到，当Δx→0时，其极限值当然也为0，Δy = Δx等式两边在0点的极限值仍旧是0，也就是0 = 0，除法仍旧不可为。而不能做除法消去分母上的Δx，我们就无法求出Δy/Δx在Δx = 0点的有意义的极限值，即充其量得到无意义的极限0/0，与函数值一样。而要想做除法，Δx最小也得是无限小ε，绝对不可能是0，如此，Δy/Δx有意义的极限就不是Δx→0了，而是Δx→ε。即为ε/ε = 1/1而非0/0(但如此，如所周知，会在二次函数等曲线方程的求导中产生无穷小的舍弃问题)。以上，实际可以看成Δy/Δx在Δx=0点没有有意义的极限值(即非0/0型的)的一个最简证明。 另一方面，笔者前期论文中已有表述，所谓“不可达极限”，就是在某点没有函数值或函数无定义，但却可以有极限。但这个区别于可达极限的不可达极限，显然不能由极限过程本身求得。原因很简单，正是因为按定义，这个极限值是极限过程永远也到达不了的，怎么可能再由这个极限过程本身得到该极限值？这直接违反定义。也就是说，这个极限实际是事先假设函数在该点有定义，直接舍弃或无视贝克莱悖论中无意义的0/0部分，只保留有意义的那部分，权当“求出”了该点的“函数值”，再认为函数极限过程是以该点的该“半截”函数值为极限的。然后又不得不由于众所周知的原因，说该点极限值，是函数永远不可达的，但可以不断趋近它。总之，这个“半拉”函数值进而极限值，都是有问题的。贝克莱悖论并没有被消除，而仅仅是被无视。具体到微积分求导问题，函数的增量比值，在增量为0的那一点，没有有意义的值(为0/0，或会产生贝克莱悖论)。但标准分析认为在0点可以有不可达极限值。但以往人们都忽略了，这个不可达极限由前述理由可不是由极限过程本身得到的，而是事先在0点用函数求出来的(由前述，当然是“错误地”求出的)，但显然，如此求出的极限值，既然是在会产生贝克莱悖论或0/0值的那一点，因此这个所谓的不可达极限值和函数值一样(函数值有的问题它也都有)，也会有贝克莱悖论，其固有的矛盾不可能仅仅由于把函数值换成极限值换了个名词就被摆脱。实际上也就是增量比值函数的极限过程所趋近的，仍旧是一个与函数值一样的、在0点会产生矛盾的极限值(即得到0/0)。换言之，这个极限作为有意义的值并不存在。显然，人们以往为了回避函数在0点的贝克莱悖论(有0/0)，弄出一个在0点没有函数值的极限值；但却忘了或没有意识到，为了求出这个极限值，我们还得事先求出0点的函数值，而这个函数值由于会产生矛盾，正是我们所要回避的。这实际是典型的循环论证。由于这个过程很隐蔽，人们在求极限值过程中不自觉地舍弃了贝克莱悖论中无意义的0/0部分而保留有意义的部分，就此认为悖论解决了。由这里的分析可以看出，这当然不是事实。 三、微分 由导数的第二定义，因而原先x 1 点的微分，由(2)式可得 K ( x 1 ， 0 ) ⋅ Δ x = K ( x ， Δ x ) ⋅ Δ x = Δ y (3) 因此，由(3)式可以看出，微分也可以被定义成当自变量由x点起始有增量Δx时，函数的增量Δy，完全没有了什么增量Δy的“线性主部”dy之类的说法，干净利索。 以著名的二次曲线y=x 2 为例，令 2 x + Δ x = 2 x 1 (4) (4)式等号左边为割线斜率(第二定义下的导数)，右边为x 1 点的切线斜率(第一定义下的导数)，由 x 1 = x + Δ x / 2 可知， x < x 1 < x + Δ x ，x 1 即为中值。如将4式两边乘以自变量Δx，则可得函数微分，即 2 x 1 ⋅ Δ x = ( 2 x + Δ x ) ⋅ Δ x = 2 x ⋅ Δ x + Δ x 2 = Δ y (5) 很显然，这正是我们十分熟悉的二次曲线函数的增量。它是个精确值，不需要什么线性主部dy，也没有什么“高阶无穷小”和极限之类拖泥带水的说法。物理上，如果某时段的平均速度乘以此时段，当然就是此时段的运动距离的精确值，不必再纠缠于某点的瞬时速度。 由以上分析我们可以看出，新诠释下的微分法实际就是变分法，二者是一致的，甚至后者还更本质。过去常有究竟是微分法基本还是变分法基本的争论，有人认为微分法的极限理论是“精确的”，而变分法是“近似的”。现在看此种看法是不对的。因此之故笔者把新诠释下的微积分命名为“增量分析”。 由于导数的定义无涉无穷小或极限，因此微分的定义，也无涉函数增量的线性部分，它就是函数的增量本身，等于自变量增量的中间某点(中值)的导数(第一定义)或更直观地就是割线的斜率(导数第二定义)与该自变量增量的乘积。因此在此观点下，所谓的中值定理就不是定理，而是微分定义的出发点。如此，函数自变量的微分定义问题即以往dx=Δx疑难问题不再存在。函数自变量的微分，就是实实在在的自变量的增量Δx，无涉什么dx。 四、积分 方源、王元所著《微积分(上)》P186定理5.2.8的上确界(l.u.b)和下确界(g.l.b)，当二者合二为一时，就是一个“不可达极限”，与极限法求导数的情况一致。因为要“到达”此“确界”，需要小区间Δx i =0，但显然任何有限区间的积分又要求当这个小区间数n趋于无穷多时，这个小区间Δx i 只能是与“无穷多”相对应的“无穷小”，而不能是0(对无穷个0积分，还是0)。就算把这个0看成是Δx i →0，但它肯定也是一个“不可达极限”，也就是这个“确界”是到达不了的。对一个根本就到达不了的“区间”，是无法积分的。而一但可达，再小必是不为0的无穷小区间，如此，其上、下确界差再小也不可能一致(上、下确界不相等)，也就是积分时不可能没有误差。因此，现有积分理论隐含一个矛盾：精确性要求的小区间的Δx i =0与可积性要求的Δx i ≠0矛盾。此情况与传统无穷小法或极限法求导所产生的问题毫无二致，不过更其隐蔽罢了。 在笔者基于增量中值的导数的微分定义以及上文公式(3)、(4)、(5)可以明显看出(同时由于不再需要无穷小或者并不真的存在的极限作为理论的必要条件)，微分与积分在新观点下并无本质区别。因为只要函数在某区间连续、单调，无论怎么分割这个区间还是不分割，都会有同一命名。当然在非严格的意义上，名词的区别还是可以保留的：积分是微分的累加或大些的微分；微分是小些的积分或积分的更小部分。可以看出，这个定义完全是相对的。本质是：小的微分的累加成积分，但此积分仍旧可以看成是一个大些的微分。这个观点，也可以由传统的微积分基本定理(函数的增量等于积分)看出。再考虑新诠释下的微分定义(公式(3))，我们可以得到 ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) = f ( x ) ( b − a ) = f ( x ) Δ x (6) 公式(6)左边是著名的微积分基本定理，右边是新的微分定义(公式(3))，其中的 F ( b ) − F ( a ) ，是函数的增量。只不过传统理论不可能把这个“函数的增量”看成是微分(传统上微分的定义是函数增量的所谓“线性部分”或“线性主部”)，而按笔者理论或者解释，它完全符合精确的“微分”定义(即公式(3))。由公式(6)看出，积分、微分本质上是一回事。同时，在笔者解释或理论下，中值定理的内容，就是理论的出发点，它更多的是定义而不是定理。 此外，传统极限理论下的微分定义，为了回避极限(更何况是不可达极限)这个尴尬的概念，只能把微分定义成是(起码可以是)宏观量。仅就这一点看，与笔者理论诠释下的微分概念倒是一致的。但在使用微分(其实也是微分的唯一真正用途)求积分时，传统理论又不得不令其趋于0，也就是取0为极限。而这一切均被隐蔽于小区间数量的趋于无穷上。于是其实问题又回到了出发点。 总之，今后的积分，再无lim∫之类表述的必要，也不需要∫，只要∑就完全可以了。