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user: 3. 主要结果 令 p ∈ ( 0 ， 1 ) 。本节将证明方程(1)的解是p-阶矩有界的。 定理 若条件(1)成立，则对所有的 t 0 ≥ 0 和 T ≥ 0 ， sup t 0 ≤ t ≤ t 0 + T + δ E | x ( t ) | p ≤ M 1 p 2 E ‖ φ ‖ 2 ， (3) E ( sup t 0 ≤ t ≤ t 0 + T + δ | x ( t ) | p ) ≤ M 2 p 2 E ‖ φ ‖ 2 ， (4) 其中， M 1 = M 1 ( p ， δ ， T ) = ( 1 + k δ ) e [ 2 ( L 1 + λ L 3 ) + L 2 2 + λ L 3 2 + 2 K ] ( T + δ ) ， M 2 = M 2 ( p ， δ ， T ) = 5 [ 1 + L 1 2 ( T + δ ) + K 2 ( T + δ ) + 4 L 2 2 + 2 λ 2 L 3 2 ( T + δ ) + 8 λ L 3 2 ] ( T + δ ) M 1 。 证明(1) 对 | x ( t ) | 2 应用Itô公式，由方程(1)可得 d | x ( t ) | 2 = 2 〈 x ( t ) ， f ( x ( t ) ， t ， r ( t ) ) + u ( x ( t − δ ) ， t ， r ( t ) ) 〉 d t     + 2 〈 x ( t ) ， g ( x ( t ) ， t ， r ( t ) ) 〉 d ω ( t ) + | g ( x ( t ) ， t ， r ( t ) ) | 2 d t     + [ | x ( t ) + h ( x ( t ) ， t ， r ( t ) ) | 2 − x 2 ] d N ( t ) = 2 〈 x ( t ) ， f ( x ( t ) ， t ， r ( t ) ) + u ( x ( t − δ ) ， t ， r ( t ) ) 〉 d t     + 2 〈 x ( t ) ， g ( x ( t ) ， t ， r ( t ) ) 〉 d ω ( t ) + | g ( x ( t ) ， t ， r ( t ) ) | 2     + λ [ h 2 ( x ( t ) ， t ， r ( t ) ) + 2 x T ( t ) h ( x ( t ) ， t ， r ( t ) ) ] d t     + [ h 2 ( x ( t ) ， t ， r ( t ) ) + 2 x T ( t ) h ( x ( t ) ， t ， r ( t ) ) ] d N ˜ ( t ) (5) 对(3)式两边同时取期望，计算得 E | x ( t ) | 2 = E | x ( t 0 ) | 2 + 2 E ∫ t 0 t x T ( s ) f ( x ( s ) ， s ， r ( s ) ) d s     + 2 E ∫ t 0 t x T ( s ) u ( x ( s − δ ) ， s ， r ( s ) ) d s     + 2 E ∫ t 0 t | g ( x ( s ) ， s ， r ( s ) ) | 2 d s     + λ E ∫ t 0 t [ h 2 ( x ( s ) ， s ， r ( s ) ) + 2 x T ( s ) h ( x ( s ) ， s ， r ( s ) ) ] d s . (6) 利用Hölder不等式可得 2 K E ∫ t 0 t | x ( s ) | | x ( s − δ ) | d s ≤ K E ∫ t 0 t | x ( s ) | 2 d s + K E ∫ t 0 t | x ( s − δ ) | 2 d s = K E ∫ t 0 t | x ( s ) | 2 d s + K E ∫ t 0 − δ t − δ | x ( ν ) | 2 d ν = K E ∫ t 0 t | x ( s ) | 2 d s + K E ∫ t 0 − δ t 0 | x ( ν ) | 2 d ν + K E ∫ t 0 t − δ | x ( ν ) | 2 d ν ≤ 2 K E ∫ t 0 t | x ( s ) | 2 d s + K δ E ‖ φ ‖ 2 . (7) 将(7)代入到(6)中可得 E | x ( t ) | 2 ≤ E | x ( t 0 ) | 2 + [ 2 ( L 1 + λ L 3 ) + L 2 2 + λ L 3 2 + 2 K ] ∫ t 0 t E | x ( s ) | 2 d s + K δ E ‖ φ ‖ 2 ≤ ( 1 + K δ ) E ‖ φ ‖ 2 + [ 2 ( L 1 + λ L 3 ) + L 2 2 + λ L 3 2 + 2 K ] ∫ t 0 t ( sup t 0 ≤ ν ≤ s E | x ( ν ) | 2 ) d s . (8) 从而 sup t 0 ≤ ν ≤ t 0 + T + δ E | x ( ν ) | 2 ≤ ( 1 + K δ ) E ‖ φ ‖ 2 + [ 2 ( L 1 + λ L 3 ) + L 2 2 + λ L 3 2 + 2 K ] ∫ t 0 t 0 + T + δ ( sup t 0 ≤ ν ≤ s E | x ( ν ) | 2 ) d s . (9) 进一步利用Gronwall不等式得 sup t 0 ≤ ν ≤ t 0 + T + δ E | x ( ν ) | 2 ≤ ( 1 + K δ ) e [ 2 ( L 1 + λ L 3 ) + L 2 2 + λ L 3 2 + 2 K ] ( T + δ ) E ‖ φ ‖ 2 = M 1 E ‖ φ ‖ 2 . 最后运用Hölder不等式，进一步得 sup t 0 ≤   t ≤   t 0 + T + δ E | x ( t ) | p ≤ M 1 p 2 E ‖ φ ‖ p . (2)由方程(1)可得 x ( t ) = x ( t 0 ) + ∫ t 0 t [ f ( x ( s − δ ) ， s ， r ( s ) ) + u ( x ( s − δ ) ， s ， r ( s ) ) ] d s     + ∫ t 0 t g ( x ( s ) ， s ， r ( s ) ) d ω ( s ) + ∫ t 0 t h ( x ( s ) ， s ， r ( s ) ) d N ( s ) . (10) 利用Hölder不等式和条件(2)可得 | x ( t ) | 2 ≤ 5 | x ( t 0 ) | 2 + 5 | ∫ t 0 t f ( x ( s ) ， s ， r ( s ) ) d s | 2 + 5 | ∫ t 0 t u ( x ( s − δ ) ， s ， r ( s ) ) d s | 2   + 5 | ∫ t 0 t g ( x ( s ) ， s ， r ( s ) ) d ω ( s ) | 2 + 5 | ∫ t 0 t h ( x ( s ) ， s ， r ( s ) ) d N ( s ) | 2 ≤ 5 | x ( t 0 ) | 2 + 5 ( t − t 0 ) ∫ t 0 t f 2 ( x ( s ) ， s ， r ( s ) ) d s + 5 ( t − t 0 ) ∫ t 0 t u 2 ( x ( s − δ ) ， s ， r ( s ) ) d s   + 5 | ∫ t 0 t g ( x ( s ) ， s ， r ( s ) ) d ω ( s ) | 2 + 10 λ 2 ( t − t 0 ) ∫ t 0 t h 2 ( x ( s ) ， s ， r ( s ) ) d s   + 10 | ∫ t 0 t h ( x ( s ) ， s ， r ( s ) ) d N ˜ ( s ) | 2 . 利用Doob鞅不等式可得 E ( sup t 0 ≤   t ≤   t 0 + T + δ | x ( t ) | 2 ) ≤ 5 E | x ( t 0 ) | 2 + 5 ( T + δ ) E ∫ t 0 t 0 + T + δ f 2 ( x ( s ) ， s ， r ( s ) ) d s     + 5 ( T + δ ) E ∫ t 0 t 0 + T + δ u 2 ( x ( s − δ ) ， s ， r ( s ) ) d s + 20 E ∫ t 0 t 0 + T + δ g 2 ( x ( s ) ， s ， r ( s ) ) d s     + 10 λ 2 ( T + δ ) E ∫ t 0 t 0 + T + δ h 2 ( x ( s ) ， s ， r ( s ) ) d s + 40 λ E ∫ t 0 t 0 + T + δ h 2 ( x ( s ) ， s ， r ( s ) ) d s ≤ 5 E ‖ φ ‖ 2 + 5 L 1 2 ( T + δ ) ∫ t 0 t 0 + T + δ E | x ( s ) | 2 d s + 5 K 2 ( T + δ ) ∫ t 0 t 0 + T + δ E | x ( s − δ ) | 2 d s     + 20 L 2 2 ∫ t 0 t 0 + T + δ E | x ( s ) | 2 d s + 40 λ L 3 2 E ∫ t 0 t 0 + T + δ E | x ( s ) | 2 d s . 利用(3)，进一步可得 E ( sup t 0 ≤ t ≤ t 0 + T + δ | x ( t ) | 2 ) ≤ 5 [ 1 + L 1 2 ( T + δ ) + K 2 ( T + δ ) + 4 L 2 2 + 2 λ 2 L 3 2 ( T + δ ) + 8 λ L 3 2 ] × ( T + δ ) M 1 E ‖ φ ‖ 2 = : M 2 E ‖ φ ‖ 2 . 再次运用 不等式可得 E ( sup t 0 ≤ t ≤ t 0 + T + δ | x ( t ) | 2 ) ≤ M 3 p 2 E ‖ φ ‖ 2 . 证毕。