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user: 3. 主要结果的证明 定理2的证明：令 F ( z ) = − f 3 ( z ) ( f ( z ) + 1 ) ， G ( z ) = − g 3 ( z ) ( g ( z ) + 1 ) . (3.1) 则 F ( z ) 与 G ( z ) 为开平面C上以1为CM分担值的非常数亚纯函数。于是由引理1、定理条件及(3.1)式可得 T ( r ， F ) = 4 T ( r ， f ) + S ( r ， f ) (3.2) T ( r ， G ) = 4 T ( r ， g ) + S ( r ， g ) (3.3) N 2 ( r ， 1 F ) ≤ 2 N ¯ ( r ， 1 f ) + N ( r ， 1 f + 1 ) ， N 2 ( r ， F ) = 2 N ¯ ( r ， f ) (3.4) N 2 ( r ， 1 G ) ≤ 2 N ¯ ( r ， 1 g ) + N ( r ， 1 g + 1 ) ， N 2 ( r ， G ) = 2 N ¯ ( r ， g ) (3.5) 又由 Θ ( 0 ， f ) + Θ ( 0 ， g ) > λ 得 N ¯ ( r ， 1 f ) + N ¯ ( r ， 1 g ) < ( 2 − λ + ο ( 1 ) ) ( T ( r ， f ) + T ( r ， g ) ) (3.6) Θ ( ∞ ， f ) + Θ ( ∞ ， g ) > λ 得 N ¯ ( r ， f ) + N ¯ ( r ， g ) < ( 2 − λ + ο ( 1 ) ) ( T ( r ， f ) + T ( r ， g ) ) (3.7) 由(3.2)至(3.7)诸式和已知条件得 N 2 ( r ， F ) + N 2 ( r ， 1 F ) + N 2 ( r ， G ) + N 2 ( r ， 1 G ) ≤ 2 N ¯ ( r ， f ) + 2 N ¯ ( r ， 1 f ) + N ( r ， 1 f + 1 ) + 2 N ¯ ( r ， g ) + 2 N ¯ ( r ， 1 g ) + N ( r ， 1 g + 1 ) + S ( r ， f ) + S ( r ， g ) ≤ 4 ( 2 − λ ) ( T ( r ， f ) + T ( r ， g ) ) + T ( r ， f ) + T ( r ， g ) + S ( r ， f ) + S ( r ， g ) < ( 18 − 8 λ 4 + o ( 1 ) ) T ( r ) (3.8) 其中 T ( r ) = max { T ( r ， F ) ， T ( r ， G ) } 。由于 λ > 7 4 ，所以 18 − 8 λ 4 < 1 。于是由(3.8)式和引理2得 F ( z ) ⋅ G ( z ) ≡ 1 或 F ( z ) ≡ G ( z ) 。 若 F ( z ) ⋅ G ( z ) ≡ 1 ，则有 f 3 ( z ) g 3 ( z ) [ f ( z ) + 1 ] [ g ( z ) + 1 ] ≡ 1 . (3.9) 设 z 1 为 f ( z ) + 1 的零点，则由(3.9)式知 z 1 至少为 f ( z ) + 1 的4重零点，从而有 N ¯ ( r ， 1 f + 1 ) ≤ 1 4 N ( r ， 1 f + 1 ) ≤ 1 4 T ( r ， f ) + O ( 1 ) ， (3.10) 同理可得 N ¯ ( r ， 1 g + 1 ) ≤ 1 4 N ( r ， 1 g + 1 ) ≤ 1 4 T ( r ， g ) + O ( 1 ) ， (3.11) 再由Nevanlinna第二基本定理、(3.10)和(3.11)及定理条件得 T ( r ， f ) + T ( r ， g ) < N ¯ ( r ， f ) + N ¯ ( r ， 1 f ) + N ¯ ( r ， 1 f + 1 ) + N ¯ ( r ， g ) + N ¯ ( r ， 1 g ) + N ¯ ( r ， 1 g + 1 ) + S ( r ， f ) + S ( r ， g ) ≤ ( 4 − 2 λ ) ( T ( r ， f ) + T ( r ， g ) ) + 1 4 ( T ( r ， f ) + T ( r ， g ) ) + S ( r ， f ) + S ( r ， g ) = ( 17 4 − 2 λ ) ( T ( r ， f ) + T ( r ， g ) ) + S ( r ， f ) + S ( r ， g ) < 3 4 ( T ( r ， f ) + T ( r ， g ) ) + S ( r ， f ) + S ( r ， g ) 这是一个矛盾。 若 F ( z ) ≡ G ( z ) ，则有 f 4 ( z ) + f 3 ( z ) = g 4 ( z ) + g 3 ( z ) ， (3.12) 令 h ( z ) = f ( z ) g ( z ) ，则(3.12)式可变形为 ( h 4 ( z ) − 1 ) g ( z ) + ( h 3 ( z ) − 1 ) ≡ 0 . (3.13) 若 h ( z ) ≡ c o n s t ≠ 1 ，则 g ( z ) ≡ c o n s t ，这与 g ( z ) 是非常数亚纯函数矛盾。从而 h ( z ) 为常数函数时，必有 h ( z ) ≡ 1 ，即 f ( z ) ≡ g ( z ) 。 若 h ( z ) 不恒为常数函数，则由(3.13)式得 g ( z ) ≡ − h 3 ( z ) − 1 h 4 ( z ) − 1 = − ( h ( z ) − u ) ( h ( z ) − u 2 ) ( h ( z ) − v ) ( h ( z ) − v 2 ) ( h ( z ) − v 3 ) (3.14) 同理可得 f ( z ) ≡ − 1 h 3 − 1 1 h 4 − 1 = − ( 1 h ( z ) − u ) ( 1 h ( z ) − u 2 ) ( 1 h ( z ) − v ) ( 1 h ( z ) − v 2 ) ( 1 h ( z ) − v 3 ) (3.15) 其中(3.14)、(3.15)式中 u = exp ( 2 π i 3 ) ， v = exp ( 2 π i 4 ) 。 由(3.14)、(3.15)式和引理3可得 T ( r ， g ) = 3 T ( r ， h ) + S ( r ， h ) ， (3.16) N ¯ ( r ， g ) = ∑ j = 1 3 N ¯ ( r ， 1 h − v j ) ， (3.17) T ( r ， f ) = 3 T ( r ， 1 h ) + S ( r ， h ) = 3 T ( r ， h ) + S ( r ， h ) ，(3.18) N ¯ ( r ， f ) = ∑ j = 1 3 N ¯ ( r ， 1 1 h − v j ) ， (3.19) 由Nevanlinna第二基本定理及(3.16)至(3.19)诸式得 T ( r ， h ) < ∑ j = 1 3 N ¯ ( r ， 1 h − v j ) + S ( r ， h ) = N ¯ ( r ， g ) + S ( r ， h ) (3.20) T ( r ， 1 h ) < ∑ j = 1 3 N ¯ ( r ， 1 1 h − v j ) + S ( r ， h ) = N ¯ ( r ， f ) + S ( r ， h ) (3.21) 于是由(3.20)和(3.21)诸式及定理条件得 2 T ( r ， h ) < N ¯ ( r ， f ) + N ¯ ( r ， g ) + S ( r ， h ) ≤ ( 2 − λ ) ( T ( r ， f ) + T ( r ， g ) ) + S ( r ， h ) ≤ ( 1 2 − 6 λ ) T ( r ， h ) + S ( r ， h ) ≤ 3 2 T ( r ， h ) + S ( r ， h ) 这是一个矛盾。 综上所述，可得 f ( z ) ≡ g ( z ) 。定理2.2证毕。 定理2.1的证明与定理2.2的证明类似。 推论1的证明： 由于n为不小于5的整数，非常数亚纯函数 f ( z ) 和 g ( z ) 以 S = { ω n + ω n − ! + 1 = 0 } 为CM分担值集，且 Θ ( ∞ ， f ) + Θ ( ∞ ， g ) > 13 8 ， Θ ( 0 ， f ) + Θ ( 0 ， g ) > 13 8 。则非常数亚纯函数 F ( z ) = f n ( z ) + f n − 1 ( z ) 与 G ( z ) = g n ( z ) + g n − 1 ( z ) 以1为CM分担值，同定理2.2的证明类似，可推出 f ( z ) ≡ g ( z ) 。 推论2同推论类似。