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user: 4. 主要结论及证明 定理4.1 [ 5 ] 设 f : I × R 3 → R 上连续，方程(1)存在下解 α ( t ) 以及上解 β ( t ) ，满足 α ′ ( t ) ≤ β ′ ( t ) ，若 f 满足条件(H1)和(H2)，则方程(1)至少存在一个解 u ∈ C 3 ( I ) 满足 α ( t ) ≤ u ( t ) ≤ β ( t ) α ′ ( t ) ≤ u ′ ( t ) ≤ β ′ ( t ) 证明 有条件(H1)， ∃ M > 0 使得 ∫ P M s h ( s ) d s > max t ∈ I β ′ ( t ) − min t ∈ I α ′ ( t ) 取常数 N = M + ‖ β ‖ C 2 + ‖ α ‖ C 2 + 1 ，令 η 1 ( t ， x ) = { β ( t ) ， x > β ( t ) x ， α ( t ) ≤ x ≤ β ( t ) α ( t ) ， x < α ( t ) η 2 ( t ， y ) = { β ′ ( t ) ， x > β ′ ( t ) y ， α ′ ( t ) ≤ y ≤ β ′ ( t ) α ′ ( t ) ， x < α ′ ( t ) [ z ] N = { N ， z > N z ， − N ≤ z ≤ N − N ， z < − N 作 f ( t ， x ， y ， z ) 的截断函数 f * ( t ， x ， y ， z ) = f ( t ， η 1 ( t ， x ) ， η 2 ( t ， y ) ， [ z ] N ) − y − η 2 ( t ， y ) 1 + y 2 有 | f * ( t ， x ， y ， z ) | ≤ max t ∈ I { | f ( t ， x ， y ， z ) | : | x | ≤ ‖ α ‖ C + ‖ β ‖ C ， | y | ≤ ‖ α ′ ‖ C + ‖ β ′ ‖ C ， | z | ≤ N } + ‖ α ′ ‖ C + ‖ β ′ ‖ C + 1 ， 则 f * : I × R 3 → R 连续有界，因此得到以下方程： { − u ‴ ( t ) = f * ( t ， u ( t ) ， u ′ ( t ) ， u ″ ( t ) ) ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ， u ( 0 ) = ∫ 0 1 g ( s ) u ( s ) d s ， u ′ ( 0 ) = u ″ ( 1 ) = 0. (6) 有解 u 0 ( t ) ∈ C 3 ( I ) ，下证 u 0 ( t ) 为方程(1)的解。 先证 ∀ t ∈ J ， α ( t ) ≤ u 0 ( t ) ≤ β ( t ) ， α ′ ( t ) ≤ u ′ 0 ( t ) ≤ β ′ ( t ) 成立，我们不妨采用反证法，假设存在 t ∈ [ 0 ， 1 ] ， 使得 u ′ 0 ( t ) > β ′ ( t ) 成立，考虑 u ′ ( t ) = u ′ 0 ( t ) − β ′ ( t ) ，让 max t ∈ I u ′ ( t ) = u ′ ( t 0 ) > 0 。 (i) 若 t 0 ∈ ( 0 ， 1 ) ，则 u ″ ( t 0 ) = 0 ， u ‴ ( t 0 ) ≤ 0 ，即 u ′ 0 ( t 0 ) > β ′ ( t 0 ) ， u ″ 0 ( t 0 ) = β ″ ( t 0 ) ， u ‴ 0 ( t 0 ) ≤ β ‴ ( t 0 ) . (7) 我们根据截断函数的定义以及(H2)和(7)有 − u ‴ 0 ( t 0 ) = f * ( t 0 ， u 0 ( t 0 ) ， u ′ 0 ( t 0 ) ， u ″ 0 ( t 0 ) ) = f ( t 0 ， η 1 ( t 0 ， u 0 ( t 0 ) ) ， η 2 ( t 0 ， u ′ 0 ( t 0 ) ) ， [ u ″ 0 ( t 0 ) ] N ) − u ′ 0 ( t 0 ) − η 2 ( t 0 ， u ′ 0 ( t 0 ) ) 1 + ( u ′ 0 ( t 0 ) ) 2 = f ( t 0 ， η 1 ( t 0 ， u 0 ( t 0 ) ) ， β ′ ( t 0 ) ， [ β ″ ( t 0 ) ] N ) − u ′ 0 ( t 0 ) − β ′ ( t 0 ) 1 + ( u ′ 0 ( t 0 ) ) 2 ≤ f ( t 0 ， β 0 ， β ′ ( t 0 ) ， β ″ ( t 0 ) ) − u ′ 0 ( t 0 ) − β ′ ( t 0 ) 1 + ( u ′ 0 ( t 0 ) ) 2 < f ( t 0 ， β 0 ， β ′ ( t 0 ) ， β ″ ( t 0 ) ) ≤ − β ‴ 0 ( t 0 ) ， 则我们可以得到 u ‴ 0 ( t 0 ) > β ‴ ( t 0 ) ，与式子(7)矛盾！故 t 0 ∉ ( 0 ， 1 ) 。 (ii) 若 t 0 = 0 ，则 u ′ 0 ( 0 ) − β ′ ( 0 ) > 0 ， (8) 但是我们可以得知 u ′ 0 ( 0 ) = 0 ， β ′ ( 0 ) ≥ 0 ，即 u ′ 0 ( 0 ) − β ′ ( 0 ) ≤ 0 与式子(8)是矛盾的，所以有 t 0 ≠ 0 。 (iii) 若 t 0 = 1 ，则 u ″ 0 ( 1 ) − β ″ ( 1 ) ≥ 0 ， (9) 但是我们可以得知 u ′ 0 ( 1 ) = 0 ， β ′ ( 1 ) ≥ 0 ，即 u ″ 0 ( 1 ) − β ″ ( 1 ) ≤ 0 与式子(9)是矛盾的，所以有 t 0 ≠ 1 。 综上所述，对 ∀ t ∈ I 有 u ′ 0 ( t ) ≤ β ′ ( t ) ，同时满足 u 0 ( t ) = ∫ 0 1 u ′ 0 ( s ) d s ≤ ∫ 0 1 β ′ ( s ) d s = β ( t ) − β ( 0 ) ≤ β ( t ) ， 即对 ∀ t ∈ I 有 u 0 ( t ) ≤ β ( t ) ，同理可证 ∀ t ∈ I ， u 0 ( t ) ≥ α ( t ) ， u ′ 0 ( t ) ≥ α ′ ( t ) 。 接下来我们继续证明 | u ″ 0 ( t ) | ≤ M < N ， t ∈ I ，由 P 的定义以及中值定理，则存在 t 0 ∈ ( 0 ， 1 ) ，使得 | u ″ 0 ( t 0 ) | = | u ′ 0 ( 1 ) − u ′ 0 ( 0 ) | ≤ P ， 要证 | u ″ 0 ( t ) | ≤ M < N ， t ∈ I ，反设 ∃ t 1 ， t 2 ∈ ( 0 ， 1 ) 且 t 1 < t 2 ，使得下列情形之一成立： 1) P < u ″ 0 ( t ) < M ， t ∈ ( t 1 ， t 2 ) 且 u ″ 0 ( t 1 ) = P ， u ″ 0 ( t 2 ) = M ； 2) − M < u ″ 0 ( t ) < − P ， t ∈ ( t 1 ， t 2 ) 且 u ″ 0 ( t 1 ) = − M ， u ″ 0 ( t 2 ) = − P ； 3) P < u ″ 0 ( t ) < M ， t ∈ ( t 1 ， t 2 ) 且 u ″ 0 ( t 1 ) = M ， u ″ 0 ( t 2 ) = P ； 4) − M < u ″ 0 ( t ) < − P ， t ∈ ( t 1 ， t 2 ) 且 u ″ 0 ( t 1 ) = − P ， u ″ 0 ( t 2 ) = − M . 下面我们证明(1)，其他情况类似可证，当(1)成立时，根据上述证明以及条件(H1)，有 | u ‴ 0 ( t ) | = | f * ( t ， u 0 ( t ) ， u ′ 0 ( t ) ， u ″ 0 ( t ) ) | = | f ( t ， η 1 ( t ， u 0 ( t ) ) ， η 2 ( t ， u ′ 0 ( t ) ) ， [ u ″ 0 ( t ) ] N ) − u ′ 0 ( t ) − η 2 ( t ， u ′ 0 ( t ) ) 1 + ( u ′ 0 ( t ) ) 2 | = | f ( t ， u 0 ( t ) ， u ′ 0 ( t ) ， u ″ 0 ( t ) ) | ≤ h ( u ″ 0 ( t ) ) ， 因为 u ″ 0 ( t ) > 0 ，给上述不等式左右两侧同乘 u ″ 0 ( t ) ，再积分可得 ∫ t 1 t 2 | u ‴ 0 ( t ) | ⋅ u ″ 0 ( t ) h ( u ″ 0 ( t ) ) d t ≤ ∫ t 1 t 2 u ″ 0 ( t ) d t ， (10) 对式子(10)左端进行变量替换 ρ = u ″ 0 ( t ) ，有 ∫ u ″ 0 ( t 1 ) u ″ 0 ( t 2 ) ρ h ( ρ ) d ρ ≤ ∫ t 1 t 2 u ″ 0 ( t ) d t ， 即 ∫ P M ρ h ( ρ ) d ρ ≤ u ′ ( t 2 ) − u ′ 0 ( t 1 ) ≤ max t ∈ I β ′ ( t ) − min t ∈ I α ′ ( t ) 很显然，矛盾！则有 | u ″ 0 ( t ) | ≤ M < N ， t ∈ I . 综上所述， f * = f ，即 u 0 ( t ) 为式子(1)的解。