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user: 3. 模型构建与求解 3.1. 局中人博弈顺序 局中人包括创业企业家(E)、创业投资家(VC)、天使投资人(A)；博弈顺序如下： 1) 创业企业家从VC与A中选择融资的合作对象； 由自然选择VC或A对E进行投资，设概率 P V C = P ， P A = ( 1 − P ) 。 2) E与VC或A双方签订合同后，双方开始付出努力，但无论哪方均观察不到对方的努力程度，此处存在双重道德风险； 项目成功的概率与双方的努力程度及双方付出的资金有关，设项目成功的概率为 P = w i e i + w E e E ，其中，i表示VC或A，w为各方的投入资金占总资金的比例。创业企业家E分别选择与创业投资家VC、天使投资人A合作时，项目成功概率分别为： E选择与VC合作时，项目成功概率为 P 1 = w V C e v c + w E e E ； E选择与A合作时，项目成功概率为 P 2 = w A e A + w E e E ； 3) 项目成功的总收益为R， 双方收益不仅与各自投入资金正相关，而且与努力水平有关，双方努力水平越大，项目收益越大，若一方努力水平降低，项目收益也随之降低； 设 R = R c ( w i e i + w E e E ) ，其中，i代表VC或A， w为各方的投入资金占总资金的比例；张卫国等(2005)研究表明风险企业家的投入越高，则公司的产出价值就越大，从而风险企业家与创业企业家努力程度越高，公司的产出价值越高，风险企业家与创业企业家均会获得较大的收益。 此时，双重道德风险又随之而产生，即双方都有可能想侵占更多的收益；若一方侵占收益，设项目总收益为μR，则侵占方侵占了项目的全部收益μR，另一方收益为0；若两方均侵占收益，设项目总收益为ϕR，双方收益均为 ϕ R 2 ；若双方均不侵占收益，项目总收益为R，则双方收益均为 R 2 ；其中， 0 < ϕ < w i < μ < 1 ，i表示VC或A。 3.2. 模型其他说明 1) 创业企业家E所提供的起步资金为I，创业投资家VC与天使投资家A同时报价给E且各自所提供的资金 I i ≥ I ，i表示VC或A；设成本函数为 C = k e 2 ，成本函数的一阶导数 C ′ > 0 ，二阶导数 C ″ > 0 。 γ E ，i —表示协同效应，i为VC或A，即E与VC或A间的协同效应创造价值能力大小；假设E与A的协同效应系数γ E ，A = 1，则E/VC的协同效应系数γ E ，VX > 1，即E与VC拥有比A更大的价值创造效应，这是因为创业投资家不仅为创业企业提供资金需求，而且为其提供宝贵的投后增值服务，且与天使投资家A相比，创业投资家VC拥有更丰富的管理咨询，市场，人力资本等经验。 2) 我们引入认同度因子θ，天使投资家由于介入的时间非常早，更熟悉创业企业家的项目及创业理念，双方对彼此的认可度较高，更有益于项目的合作，双方对项目的共同认知度越高，越能提高项目成功的概率，促进项目收益的增加。 如果E选择VC来供应资金，E与VC均会更多地关注各自的收益，分别设为 Π E 和 Π V C ；但E若选A为其融资，则双方会互相关注对方的收益，那么收益各为 U E = Π E + θ Π A ， U A = Π A + θ Π E ， θ ∈ [ 0 ， 1 ] 。当E与A其中一方或两方选择侵占对方收益时， θ = 0 ，且 θ vc = 0 。 3.3. 模型均衡分析 3.3.1. 存在侵占可能的博弈均衡 1) 创业企业家E与创业投资家VC合作 E与VC的占优策略均为侵占。因此，此博弈实质是类似囚徒困境，见表1，其纳什均衡解为(侵占，侵占)。 Table 1 Game payment matrix between entrepreneur E and venture capital V VC 侵占 不侵占 E 侵占 ( w E ϕ R 2 ， w V C ϕ R 2 ) ( μ R ， 0 ) 不侵占 ( 0 ， μ R ) ( w E R 2 ， w E R 2 ) 表1. 创业企业E与创业投资企业VC的博弈支付矩阵 payoffs to: (E， VC). 2) 创业企业家E与天使投资家A合作 当 μ ≥ ( 1 + θ ) / 2 ，双方占优策略均为侵占，即均衡解为(侵占，侵占)；当 μ ≤ ( 1 + θ ) / 2 ，此时有两个均衡解，即(侵占，侵占)和(不侵占，不侵占)，见表2。 Table 2 Game payment matrix between Entrepreneur E and angel investor A 侵占 不侵占 E 侵占 ( w E ϕ R 2 ， w A ϕ R 2 ) ( μ R ， 0 ) 不侵占 ( 0 ， μ R ) ( w E ( 1 + θ ) R 2 ， w A ( 1 + θ ) R 2 ) 表2. 创业企业E与天使投资家A合作的博弈支付矩阵 payoffs to: (E， A). 3.3.2. 模型求解 创业企业E与VC合作项目成功的概率为P 1 ，若双方均不侵占项目的收益，则各自获得项目一半的总收益，若双方均侵占项目收益，则双方的收益均为 ϕ R 2 ；E与A合作项目成功概率为P 2 ，双方不侵占时各自获得的收益要大于侵占时所获得的收益。E与VC、A合作时博弈的策略图如图1所示： 图1. 创业企业家、创业投资企业家、天使投资人博弈策略逻辑图 1) 后验概率 P ( V C | 项 目 成 功 ) = P ∗ P 1 P ∗ P 1 + ( 1 − P ) ∗ P 2 ； P ( A | 项 目 成 功 ) = ( 1 − P ) ∗ P 2 P ∗ P 1 + ( 1 − P ) ∗ P 2 ； 后验概率中涉及对分母上的变量求导非常复杂，为简化起见，暂时将各后验概率整体作为外生变量，即设： P ( V C | 项 目 成 功 ) = α ； P ( A | 项 目 成 功 ) = β ； 2) 如果E选择VC，则E与VC所获的利润为 Π E = α w E γ ϕ R ( w V C e v c + w E e E ) − k e E 2 ； Π V C = α w V C γ ϕ R ( w V C e v c + w E e e ) − k e v c 2 ； 利润最大化的一阶条件为： e E * = α γ ϕ R w E 2 4 k ， e V C * = α γ ϕ R w V C 2 4 k ， 整个项目利润为： V ( E ， V C ) = [ α γ ϕ R ] 2 ( w V C 3 + w E 3 ) 4 k ； 在E与VC存在合作关系时，双方努力水平和项目利润与VC/E的协同效应γ、双方各自贡献的财富(股权)正相关，与双方均侵占条件下预计的价值ϕR正相关，项目收益与因侵占而遭到的损失负相关。此时，E、VC间不存在相互间的认同感，即 θ = 0 。 3) 若E选择A(弱认同感，即 ( 1 + θ ) / 2 ≤ μ ) 当 ( 1 + θ ) / 2 ≤ μ ，此时存在侵占收益的行为， θ = 0 ，此时E与A间为弱认同感，双方各自的利益分别为： Π E = β w E ( w A e A + w E e E ) ϕ R − k e E 2 ； Π A = β w A ( w A e A + w E e E ) ϕ R − k e A 2 ； 利润最大化的一阶条件为： e E * = β ϕ R w E 2 4 k ， e A * = β ϕ R w A 2 4 k ， 项目利润 V ( E ， A ， 弱 ) = β 2 ϕ 2 R 2 ( w A 3 + w E 3 ) 4 k ； 在E与A合作时，若双方均采取侵占行为，此时认同感减弱。在E与A显性努力水平相同的条件下，因为E与VC的协同效应 γ > 1 ，E与VC双方所付出的隐性努力水平要大于E与A合作时双方的隐性努力水平，从而创造了更大的价值。 4) 若E选择A(强认同感，即 1 + θ 2 ≥ μ ) 当 1 + θ 2 ≥ μ 时，双方均不侵占，θ不为0，此时为E与A之间为强认同感，双方各自的利润分别为： U E = Π E + θ Π A = β w E ( w A e A + w E e e ) R ( 1 + θ ) − k e E 2 − θ k e A 2 ； U A = Π A + θ Π E = β w A ( w A e A + w E e e ) R ( 1 + θ ) − k e A 2 − θ k e E 2 ； 利润最大化的一阶条件为： e E ∗ = β R ( 1 + θ ) w E 2 / 4 k ， e A ∗ = β R ( 1 + θ ) w A 2 / 4 k ， 项目整体利润为： V ( E ， A ， 强 ) = β 2 R 2 ( 1 + θ ) 2 ( w A 3 + w E 3 ) 4 k ； 在E与A合作时，若双方均采取不侵占行为，则此时认同感加强。E、A双方的努力水平、公司价值均与认同感θ及自有资金W正相关。另外，因 ( 1 + θ ) > γ ϕ ，E与A双方的努力程度要高于E与VC的努力程度。也就是说，虽然E和VC协同效应会创造更高的价值，但如果E与A认同感更高时，E、A双方将会更努力地工作，也能产生比E与VC合作时更高的价值。创业企业在选择合作伙伴时，除受资金规模影响外还有可能会考虑行为因素，当认同感给创业企业E带来更高价值时，创业企业很有可能会选择天使投资人A进行合作。 5) 第一阶段E与VC、A合作时各方的最优收益 a) E与VC合作时 利润最大化的一阶条件为 e E ∗ = α γ ϕ R w E 2 4 k ， e V C ∗ = α γ ϕ R w V C 2 4 k ， 代入 Π E = α w E γ ϕ R c ( w V C e v c + w E e E ) − k e E 2 ； Π V C = α w V C γ ϕ R c ( w V C e v c + w E e E ) − k e v c 2 ； 得 U E = Π E = α 2 γ 2 ϕ 2 R 2 w E ( 4 w V C 3 + 3 w E 3 ) 16 k ； U V C = Π V C = α 2 γ 2 ϕ 2 R 2 w E ( 4 w E 3 + 3 w V C 3 ) 16 k ； b) E与A合作时(弱认同感) 利润最大化一阶条件为： e E ∗ = β ϕ R w E 2 4 k ， e A ∗ = β ϕ R w A 2 4 k ， 代入 Π E = β w E ( w A e A + w E e E ) ϕ R c − k e E 2 ； Π A = β w A ( w A e A + w E e E ) ϕ R c − k e A 2 ； 得 U E = Π E = β 2 ϕ 2 R 2 w E ( 4 w A 3 + 3 w E 3 ) 16 k ； U A = Π A = β 2 ϕ 2 R 2 w A ( 4 w E 3 + 3 w A 3 ) 16 k ； c) E与A合作时(强认同感) 利润最大化一阶条件为： e E ∗ = β R ( 1 + θ ) w E 2 4 k ， e A ∗ = β R ( 1 + θ ) w A 2 4 k ， 代入 U E = Π E + θ Π A = β w E ( w A e A + w E e e ) R c ( 1 + θ ) − k e E 2 − θ k e A 2 ； U A = Π A + θ Π E = β w A ( w A e A + w E e e ) R c ( 1 + θ ) − k e A 2 − θ k e E 2 ； 得 Π E = β 2 R 2 ( 1 + θ ) 2 [ 3 w E 4 + ( 4 w E − θ w A ) w A 3 ] 16 k ； Π A = β 2 R 2 ( 1 + θ ) 2 [ 3 w A 4 + ( 4 w A − θ w E ) w E 3 ] 16 k ； 再将 Π E ， Π A 代入下面两个等式 U E = Π E + θ Π A U A = Π A + θ Π E ； 得 U E = β R 2 ( 1 + θ ) 2 [ ( 3 − θ 2 ) w E 4 + 2 θ w A 4 + 4 w E w A ( w A 2 + θ w E 2 ) ] 16 k ； U A = β R 2 ( 1 + θ ) 2 [ ( 3 − θ 2 ) w A 4 + 2 θ w E 4 + 4 w A w E ( w E 2 + θ w A 2 ) ] 16 k ； 6) VC与A同时向E报价 I i ≥ I ，(i = VC or A) 博弈双方(N E 为E的净收益，N i 为获胜者净收益)净收益为： ， ； 总收益 T N ( E ; i ) = N E + N i = U E ( i ) + U i − I ； a) VC赢得E的合作，作为E的融资对象 将 U E = Π E = α 2 γ 2 ϕ 2 R 2 w E ( 4 w V C 3 + 3 w E 3 ) 16 k ； U V C = Π V C = α 2 γ 2 ϕ 2 R 2 w E ( 4 w E 3 + 3 w V C 3 ) 16 k ； 代入 T N ( E ; V C ) = N E + N V C = U E ( V C ) + U V C − I ，得 T N ( E ; V C ) = α 2 γ 2 ϕ 2 R 2 [ 3 ( w E 4 + w V C 4 ) + 4 w E w V C ( w E 2 + w V C 2 ) ] 16 k − I ； b) A获得E的合作(弱认同感)，作为E的融资对象 将 U E = Π E = β 2 ϕ 2 R 2 w E ( 4 w A 3 + 3 w E 3 ) 16 k ； U A = Π A = β 2 ϕ 2 R 2 w A ( 4 w E 3 + 3 w A 3 ) 16 k ； 代入 T N ( E ; A ) = N E + N A = U E ( A ) + U A − I ，得 T N ( E ; A ， 弱 ) = β 2 ϕ 2 R 2 [ 3 ( w E 4 + w A 4 ) + 4 w A w E ( w A 2 + w E 2 ) ] 16 k − I ； c) A获得E的合作(强认同感)，作为E的融资对象 将 U E = β 2 ( 1 + θ ) 2 R 2 [ ( 3 − θ 2 ) w E 4 + 2 θ w A 4 + 4 w A w E ( w A 2 + θ w E 2 ) ] 16 k ； U A = β 2 ( 1 + θ ) 2 R 2 [ ( 3 − θ 2 ) w A 4 + 2 θ w E 4 + 4 w A w E ( w A 2 + θ w E 2 ) ] 16 k ； 代入 T N ( E ; A ) = N E + N A = U E ( A ) + U A − I ， 得 T E ( E ; A ， 强 ) = β 2 ( 1 + θ ) 2 R 2 [ ( 3 + 2 θ − θ 2 ) ( w A 4 + w E 4 ) + 4 ( 1 + θ ) w A w E ( w A 2 + θ w E 2 ) ] 16 k − I