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user: 4. 算法的描述 记 z ( μ ， x ， y ) : R + × R n × R n ， θ ( z ) = ‖ H ( z ) ‖ 2 ， η = θ ( z ) + 1 ，令 γ ∈ ( 0 ， 1 ) ，当 H ( z ) ≠ 0 时，定义函数 β ， β ¯ : R n + m + 1 → R + : β ( z ) = e μ γ min { 1 ， θ ( z ) } ， β ¯ ( z ) = γ min { 1 ， θ ( z ) } 。在矩阵A行满秩的假设下，可证明算法是适定的。 算法4.1：(二阶锥规划的一个光滑型牛顿法) 步骤0：给出常数 δ ， σ ， μ 0 ∈ ( 0 ， 1 ) ， γ ∈ ( 0 ， 1 ) 满足 γ μ 0 < 1 2 ， γ η < 1 2 ，任取 ( x 0 ， y 0 ) ∈ R n × R m ， z 0 = ( μ 0 ， x 0 ， y 0 ) ， z ¯ = ( μ 0 ， 0 ， 0 ) ，令 k : = 0 。 步骤1：若 H ( z k ) = 0 ，停止，其中 ϕ ( z k ) 及 H ( z k ) 分别由(2.5)和(2.6)式所定义，否则令 β k : = β ( z k ) 。 步骤2：(确定搜索方向)解线性方程组 H ( z k ) + H ′ ( z k ) Δ z k = β k z ¯ 得到搜索方向 Δ z k 。 步骤3：(确定步长)记 α k 是满足下式的最小非负整数 α ： θ ( z k + δ α Δ z k ) ≤ [ 1 − σ ( 1 − 2 γ μ 0 η ) δ α ] θ ( z k ) ， 令步长 t k = δ α k 。 步骤4：令 z k + 1 = z k + t k Δ z k ， k : = k + 1 ，返回步骤1。 在证明算法的适定性之前，先介绍相关性质。 引理4.1：(文 [ 10 ] ) 对任意 μ > 0 ， − μ ≤ 1 − e μ e μ ≤ − μ e − μ . (4.1) 引理4.2：(文 [ 11 ] )对于任意的 x ， y ∈ R 和 ω ≻ 0 K n ，如果 ω 2 ≻ x K n 2 + y 2 ，则 [ A r w ( ω ) − A r w ( x ) ] [ A r w ( ω ) − A r w ( y ) ] ≻ 0 ， A r w ( ω ) − A r w ( x ) ≻ 0 ， A r w ( ω ) − A r w ( y ) ≻ 0 ，且当 ≻ 变为 ≻ _ 时，上述结论仍然成立。 定理4.1：令 z = ( μ ， x ， y ) ∈ R + × R n × R m ， H ( z ) : R 1 + n + m → R 1 + m + n 由(3.2)定义，则有以下结论成立： 1) 在任意点 z = ( μ ， x ， y ) 处， H ( z ) 全局利普希茨连续，并且连续可微，其雅克比矩阵表示为： H ′ ( z ) = ( e μ 0 0 0 − A 0 ϕ ′ μ ( z ) ϕ ′ x ( z ) − ϕ ′ s ( z ) A T ) ， (4.2) 2) 对任意的 μ > 0 ， H ′ ( z ) 非奇异。 证明：由定理3.1知(1)成立。下证(2)成立，对任意给定的 μ > 0 ，要证 H ′ ( z ) 非奇异，只需证明方程组 H ′ ( z ) Δ z = 0 只有零解，即 Δ z = ( Δ μ ， Δ x ， Δ y ) = 0 。将(4.2)式代入 H ′ ( z ) Δ z = 0 中可知 Δ μ = 0 ， A Δ x = 0 ， ϕ ′ x ( z ) Δ x − ϕ ′ s ( z ) A T Δ y = 0 (4.3) 将(3.7)，(3.8)式中的 ϕ ′ x ( z ) ， ϕ ′ x ( z ) 代入(4.3)式并将等式左右的两端同时左乘以W，得： [ W − ( X − μ S ) Δ x ] − [ W − ( S − μ X ) ] A T Δ y = 0. (4.4) 因 w 2 − μ ( x − s ) 2 − ( 1 − μ ) ( x 2 + s 2 ) = 2 μ 2 e ∈ K 0 ，由引理4.2可知：矩阵 W − ( S − μ X ) 正定，从而 W − ( S − μ X ) 可逆。将方程(4.4)左乘 Δ x T [ W − ( S − μ X ) ] − 1 ，结合 A Δ x = 0 ，得： Δ x T [ W − ( S − μ X ) ] − 1 [ W − ( X − μ S ) ] Δ x − Δ x T [ W − ( S − μ X ) ] − 1 [ W − ( S − μ X ) ] A T Δ y = 0 . 令 Δ x ˜ [ W − ( S − μ X ) ] − 1 Δ x ， 则 Δ x ˜ T [ W − ( X − μ S ) ] [ W − ( S − μ X ) ] Δ x ˜ = 0 . (4.5) 由引理4.2可知矩阵 [ W − ( X − μ S ) ] [ W − ( S − μ X ) ] 正定。因此 Δ x ˜ = 0 ，进而 Δ x = 0 。结合矩阵A行满秩的假设和(4.4)式，知 Δ y = 0 。这就说明 H ′ ( z ) Δ z = 0 只有零解，故 H ′ ( z ) 非奇异。 定理4.2：设矩阵A行满秩，如果 μ k > 0 ，则算法4.1是适定的。 证明：因为矩阵A行满秩且 μ k > 0 ，由定理4.1知 H ′ ( z ) 非奇异，所以算法4.1的步骤2是适定的。令 Δ z k = ( Δ μ k ， Δ x k ， Δ y k ) ∈ R × R n × R m 是步骤2中方程组的解，则对任意的 t ∈ ( 0 ， 1 ] ，有 μ k + 1 = μ k + t Δ μ k = μ k + t ( 1 − e μ k e μ k + β k μ 0 e μ k ) ≥ ( 1 − t ) μ k + t μ 0 β k e μ k > 0. (4.6) 由 β ( z ) 的定义有 β ( z ) ≤ e μ γ θ ( z ) ， e μ k + t Δ μ k − 1 = e μ k e t Δ μ k − 1 = e μ k ( 1 + t Δ μ k + O ( t 2 ) ) − 1 = e μ k − 1 + t ( 1 − e μ k ) + t β k μ 0 + O ( t 2 ) = ( 1 − t ) ( e μ k − 1 ) + t β k μ 0 + O (t2) 从而 ( e μ k + t Δ μ k − 1 ) 2 = ( 1 − t ) 2 ( e μ k − 1 ) 2 + 2 t ( 1 − t ) β k ( e μ k − 1 ) μ 0 + t 2 β k μ 0 + O ( t 2 ) ≤ ( 1 − 2 t ) ) ( e μ k − 1 ) 2 + 2 t e μ k γ θ ( z k ) ( e μ k − 1 ) μ 0 + O ( t 2 ) ≤ ( 1 − 2 t ) ( e μ k − 1 ) 2 + 2 t γ μ 0 η θ ( z k ) . 在上述最后一个不等式利用 e μ k − 1 ≤ θ ( z k ) ， e μ k ≤ η 可得。 令 φ ( z k ) = ( b − A x k ϕ ( z k ) ) ， 并记 Φ ( z k ) = ‖ ϕ ( z k ) ‖ 2 ， 可得 ( Φ ′ ( z k ) ) T Δ z k = − 2 ‖ ϕ ( z k ) ‖ 2 = − 2 Φ ( z k ) ， 从而 Φ ( z k + t Δ z k ) = Φ ( z k ) + t ( Φ ′ ( z k ) ) T Δ z k + ο ( t ) = Φ ( z k ) − 2 t Φ ( z k ) + ο ( t ) = ( 1 − 2 t ) Φ ( z k ) + ο ( t ) . 因此 θ ( z k + t Δ z k ) = ‖ H ( z k + t Δ z k ) ‖ 2 ≤ ( 1 − 2 t ) ( e μ k − 1 ) 2 + 2 t γ μ 0 η θ ( z k ) + ( 1 − 2 t ) Φ ( z k ) + ο ( t ) ≤ ( 1 − 2 t ) θ ( z k ) + 2 t γ μ 0 η θ ( z k ) + ο ( t ) ≤ [ 1 − ( 1 − 2 γ μ 0 η ) t ] θ ( z k ) + ο ( t ) . 因为 γ μ 0 η < 1 ，所以存在一个常数 t ¯ ∈ ( 0 ， 1 ] ，使得对任意的 t ∈ ( 0 ， t ¯ ] ，有 θ ( z k + t Δ z k ) ≤ [ 1 − σ ( 1 − 2 γ μ 0 η ) t ] θ ( z k ) ， (4.7) 即步骤3可在有限步终止，故步骤3是适定的。综上可知，算法4.1是适定的。