system: [SYSTEM]

user: 3. 主要结论 在这个部分，我们给出一个充分性准则。通过施加一个反馈控制器(3)实现循环切换驱动系统(1)和切换响应系统(2)之间的固定时同步。 定理1 若假设1成立，则循环切换驱动系统(1)和相应的循环驱动响应系统(2)可以在固定时间内实现同步，若存在对角矩阵 Ξ r > 0 ，使得如下条件成立：对于 i ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， N } ， 1) Θ r ⊗ I N − I n ⊗ Ξ r + c Γ r ⊗ A r ≤ 0 ， ∀ r ∈ M ； 2) 循环停留时间 T 1 * 满足 { T 1 * > 2 ϕ ( 1 − ϕ ) L ， 2 ϕ ( 1 − ϕ ) L ≥ g ρ ， T 1 * ≥ g ρ ， 2 ϕ ( 1 − ϕ ) L < g ρ ; 其中， ϕ = ( ν g − 1 ) [ V σ ( 0 ) ( 0 ) ] 1 − k 2 ， ν = { max { p r 1 j p r 2 j ， ∀ r 1 ， r 2 ∈ M ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n } } 1 − k 2 ， V σ ( 0 ) ( 0 ) = 1 2 ⋅ ∑ i = 1 N e i T ( 0 ) P σ ( 0 ) e i ( 0 ) ， L = min { β r ， i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ， r ∈ M } ，并且停时的上界为 T max = { h T 1 * ， ϕ ≠ 0 ， 2 [ V σ ( 0 ) ( 0 ) ] 1 − k 2 ( 1 − k ) L ， ϕ = 0 ， h是满足 h − 1 < 2 [ V σ ( 0 ) ( 0 ) ] 1 − k 2 ( 1 − k ) L T 1 * − 2 ϕ ≤ h 的正整数。 证明 定义切换李雅普诺夫函数为 V σ ( t ) ( t ) = 1 2 ∑ i = 1 N e i T ( t ) P σ ( t ) e i ( t ) 。根据 ν 的定义可以得出 [ V r 1 ( t ) ] 1 − k 2 ≤ ν [ V r 2 ( t ) ] 1 − k 2 ， ∀ r 1 ， r 2 ∈ M ，并且 c 1 2 ∑ i = 1 N e i T ( t ) e i ( t ) ≤ V r ( t ) ≤ c 2 2 ∑ i = 1 N e i T ( t ) e i ( t ) ， ∀ r ∈ M ， (4) 其中 c 1 = min { λ min ( P r ) ， r ∈ M } ， c 2 = max { λ max ( P r ) ， r ∈ M } 。进一步，我们可以有 V ˙ r ( t ) = ∑ i = 1 N e i T ( t ) P r e ˙ i ( t ) = ∑ i = 1 N e i T ( t ) P r [ F r ( e i ( t ) ) + c 1 ∑ j = 1 N a i j r Γ r e j ( t ) − α r ， i e i ( t ) − β r ， i ( 1 2 λ max ( p r ) ) k + 1 2 λ min ( p r ) s i g n ( e i ( t ) ) | e i ( t ) | k ] = ∑ i = 1 N e i T ( t ) P r [ F r ( e i ( t ) ) − Θ r e i ( t ) + Θ r e i ( t ) ] + ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N a i j r e i T ( t ) P r Γ r e j ( t )     − ∑ i = 1 N α r ， i e i T ( t ) P r e i ( t ) − ∑ i = 1 N β r ， i ( 1 2 λ max ( p r ) ) k + 1 2 λ min ( p r ) e i T ( t ) P r s i g n ( e i ( t ) ) | e i ( t ) | k (5) ≤ − η r ∑ i = 1 N e i T ( t ) e i ( t ) + ∑ i = 1 N e i T ( t ) ( P r Θ r − α r ， i P r ) e i ( t ) + ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N a i j r e i T ( t ) P r Γ r e j ( t )     − L ∑ i = 1 N ( 1 2 λ max ( p r ) ) k + 1 2 | e i ( t ) | k + 1 ≤ ∑ j = 1 N P r j e ˜ j T ( t ) γ r j A r e ˜ j ( t ) + ∑ j = 1 N P r j e ˜ j T ( t ) ( θ r j I N − Ξ r ) e ˜ j ( t ) − L ∑ i = 1 N ( 1 2 λ max ( p r ) e i T ( t ) e i ( t ) ) k + 1 2 ， 其中 e ˜ j ( t ) = [ e 1 j ， e 2 j ， ⋯ ， e N j ] T ，而 Θ r ， I n ， Γ r 为对角矩阵，由定理的条件(1)可知如下的不等式成立： θ r j I N − Ξ r + c γ r j A r ≤ 0 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n (6) 根据引理2可得 − L ∑ i = 1 N [ 1 2 e i T ( t ) p r e i ( t ) ] k + 1 2 ≤ − L [ ∑ i = 1 N 1 2 e i T ( t ) p r e i ( t ) ] k + 1 2 = − L [ V r ( t ) ] k + 1 2 . (7) 将(6)和(7)式代入(5)式，可以得出 V ˙ ( t ) ≤ − L [ V r ( t ) ] k + 1 2 。 考虑到网络的周期循环性，由引理1， [ V σ ( 0 ) ( T 1 ) ] 1 − k 2 − [ V σ ( 0 ) ( 0 ) ] 1 − k 2 ≤ ( ν g − 1 ) [ V σ ( 0 ) ( 0 ) ] 1 − k 2 − 1 − k 2 ν L T 1 . (8) 由定理中循环停留时间 T 1 * 的假设， ϕ < 1 − k 2 ν L T 1 * 。结合上式我们有，若 ∀ t ∈ [ 0 ， t g ] ， ∑ i = 1 N | e i ( t ) | ≠ 0 则在第一个循环之后， [ V σ ( t ) ( t ) ] 1 − k 2 不小于 ϕ − 1 − k 2 ν L T 1 * 。通过数学归纳，我们可以得出，对于第 j ( j = 2 ， 3 ， ⋯ ) 个循环，若 ∀ t ∈ [ 0 ， T j ] ， ∑ i = 1 N | e i ( t ) | ≠ 0 ，则 [ V σ ( 0 ) ( T j ) ] 1 − k 2 − [ V σ ( 0 ) ( T j − 1 ) ] 1 − k 2 ≤ ϕ − 1 − k 2 ν L T 1 * . (9) 当 V σ ( t ) ( t ) = 0 之后，不等式(8)和(9)总会成立。若 ϕ ≠ 0 ( u > 1 ) ，则存在一个正整数h满足 h − 1 < 2 [ V σ ( 0 ) ( 0 ) ] 1 − k 2 ( 1 − k ) L T 1 * − 2 ϕ ≤ h ，在第h个循环之后， V σ ( t ) ( h T 1 * ) = 0 ，由不等书(4)可得 e i ( h T 1 * ) = 0 ，其中 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 。由此可得收敛时间 t 1 * ≤ h T 1 * 。若 ϕ = 0 ( u = 1 ) ，则 t 1 * ≤ 2 [ V σ ( 0 ) ( 0 ) ] 1 − k 2 ( 1 − k ) L 。综合以上分析，停时的上界为 T max = { h T 1 * ， ϕ ≠ 0 ， 2 [ V σ ( 0 ) ( 0 ) ] 1 − k 2 ( 1 − k ) L ， ϕ = 0 ， 其中h是满足 h − 1 < 2 [ V σ ( 0 ) ( 0 ) ] 1 − k 2 ( 1 − k ) L T 1 * − 2 ϕ ≤ h 的正整数。因此，根据定义1，驱动系统(1)和响应系统(2)可以实现固定时同步。这样就完成了证明。 注2 由定理中的循环停留时间以及固定时停时可以看出该反馈控制器的精度和准确性。