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user: 2. 次线性期望和G-布朗运动 本章我们简要回顾了一些G-布朗运动的基本结果 [ 3 ] [ 4 ]。设 Ω ≠ ∅ 是给定的集合，向量格 H 是定义在 Ω 上的实值函数所组成的一个线性空间，同时有：每一个实值的常数c都在 H 中；如果 X ( ⋅ ) ∈ H ，则也有 。 定义2.1. 一个次线性期望 E 是定义在随机变量空间 H 上的满足以下性质的泛函：对于所有的随机变量 X ， Y ∈ H ，有 1) 单调性：若 X ≥ Y ， E [ X ] ≥ E [ Y ] ； 2) 保常数性： E [ c ] = c ， ∀ c ∈ ℝ ； 3) 次线性： E [ X + Y ] ≤ E [ X ] + E [ Y ] ； 4) 正齐次性： E [ λ X ] = λ E [ X ] ， ∀ λ ≥ 0 。 称三元组 ( Ω ， H ， E ) 为次线性期望空间。 令 Ω 表示所有满足 ω 0 = 0 的 -实值连续轨道 ( ω t ) t ∈ ℝ + 所成的空间，定义其上的距离为： ρ ( ω 1 ， ω 2 ) : = ∑ i = 1 ∞ 2 − i [ ( max t ∈ [ 0 ， i ] | ω t 1 − ω t 2 | ) ∧ 1 ] ]       ， B ( Ω ) 表示Ω上的Borel σ -代数，令 B t ( ω ) : = ω t 上的典则过程，对每一确定的 T ∈ [ 0 ， ∞ ) ，令 L i p ( Ω T ) : = { φ ( B t 1 ∧ T ， ⋯ ， B t n ∧ T ) : n ≥ 1 ， t 1 ， ⋯ ， t n ∈ [ 0 ， ∞ ) ， φ ∈ C b ， L i p ( ℝ d × n ) } 且 L i p ( Ω ) : = ∪ n = 1 ∞ L i p ( Ω n ) ， 其中 C b ， L i p ( ℝ d × n ) 是 ℝ d × n 上所有有界的Lipschitz函数的集合，因此，在 ( Ω ， L i p ( Ω ) ) 上，我们可以定义典则次线性期望 E 使得典则过程 B t 是G-布朗运动。这个次线性期望通常称为G-期望，记作 E ^ 。对每个 p ≥ 1 ，我们令 L G p ( Ω T ) 表示 L i p ( Ω T ) 在范数 ‖ ⋅ ‖ p = { E ^ [ | ⋅ | p ] } 1 p 下的完备。 定义2.2. (G-正态分布) 次线性期望空间 ( Ω ， H ， E ^ ) 上的d维随机向量 X = ( X 1 ， ⋯ ， X d ) T 称作G-正态分布，如果对每个 a ， b ≥ 0 ，有 a X + b X ¯ = d a 2 + b 2 X ， 其中 X ¯ 是X的一个独立版本。 G- 正态分布的随机向量X满足下面的特性 [ 4 ]： 引理2.1. 令X为d维G-正态分布的随机向量，那么可以由 u ( t ， x ) = E ^ [ ϕ ( x + t X ) ] ， ϕ ∈ C b ， L i p ( ℝ d ) 刻画X的分布。 u ( t ， x ) 是G-热方程 { ∂ t u − G ( D 2 u ) = 0 ， u ( 0 ， x ) = φ ( x ) ， 定义在 [ 0 ， ∞ ) × ℝ d 上的唯一黏性解，其中 D 2 u 是 μ 的Hessian矩阵，定义 G : S ( d ) → ℝ d 为： G ( A ) : = E ^ [ 1 2 〈 A X ， X 〉 ] ， A ∈ S ( d ) ， S ( d ) 是 d × d 对称矩阵空间。 G ( α ) = 1 2 ( σ ¯ 2 α + − σ _ 2 α − ) ， α ∈ ℝ ，其中， σ ¯ 2 : = E ^ [ X 2 ] ， σ _ 2 : = − E ^ [ − X 2 ] 。 定义2.3. (G-布朗运动) 次线性期望空间 ( Ω ， H ， E ^ ) 上的d维过程 B = { B t ， t ≥ 0 } 称为G-布朗运动，如果满足以下性质： 1) B 0 ( ω ) = 0 ； 2) 对每个 t ， s ≥ 0 ，增量 B t + s − B t 独立于 ( B t 1 ， B t 2 ， ⋯ ， B t n ) ， n ∈ ℕ 且 0 ≤ t 1 ≤ t 2 ≤ ⋯ ≤ t n ≤ t ； 3) 对每个 t ， s ≥ 0 ， B s ~ B t + s − B t ~ s X ，其中X是G-正态分布的。 对 T ∈ [ 0 ， ∞ ) ，我们介绍下列空间： L 0 ( Ω ) ：所有 B ( Ω ) -可测实函数所成空间， L 0 ( Ω T ) ：所有 B ( Ω t ) -可测实函数所成空间。对给定的 [ 0 ， T ] 的分划 0 = t 0 < ⋯ < t N = T ，令 η t ( ω ) = ∑ j = 0 N − 1 ξ j ( ω ) ( t j + 1 − t j ) ， 其中， ξ j ∈ L G p ( Ω t j ) ， j = 0 ， ⋯ ， N − 1 ，我们将这类过程的集合记作 M G p ， 0 ( 0 ， T ) 。 对 η ∈ M G p ， 0 ( 0 ， T ) ，定义其Bochner积分和Itô积分如下： ∫ 0 T η t ( ω ) d t = ∑ j = 0 N − 1 ξ j ( ω ) ( t j + 1 − t j ) ， 及 ∫ 0 T η s d B s = ∑ j = 0 N − 1 ξ j ( B t j + 1 − B t j ) . 对 p ≥ 1 ， M G p ( 0 ， T ) 表示 M G p ， 0 ( 0 ， T ) 在范数 ‖ η ‖ M G p ( 0 ， T ) : = ( E ^ [ ∫ 0 T | η t | p d t ] ) 1 p 下的完备。 引理2.2. 映射 I : = M G 2 ， 0 ( 0 ， T ) → L G 2 ( Ω T ) 是一个线性的连续映射.因此，可以连续地延拓至 I : = M G 2 ( 0 ， T ) → L G 2 ( Ω T ) 。有： E ^ [ ∫ 0 T η s d B s ] = 0 ， E ^ [ ( ∫ 0 T η s d B s ) 2 ] ≤ E ^ [ ∫ 0 T η s 2 d 〈 B 〉 s ] . 引理2.3. 对 μ ， v = 1 ， ⋯ ， n ，令 ϕ ∈ C 2 ( ℝ n ) ， ∂ x v Φ ， ∂ x μ x v 2 Φ ∈ C b ， L i p ( ℝ n ) ，固定 s ∈ [ 0 ， T ] ， X = ( X 1 ， ⋯ ， X n ) T 是 [ s ， T ] 上的n维过程，且具有以下形式： X t v = X s v + α v ( t − s ) + η v i j ( 〈 B i ， B j 〉 t − 〈 B i ， B j 〉 s ) + β v j ( B t j − B s j ) ， 其中，对 v = 1 ， ⋯ ， n ， i ， j = 1 ， ⋯ ， d ， α v ， η v i j 和 β v j 在 L G 2 ( Ω s ) 中有界， X s = ( X s 1 ， ⋯ ， X s n ) T 是 L G 2 ( Ω s ) 中给定的随机向量，在 L G 2 ( Ω s ) 中，我们有： ϕ ( X t ) − ϕ ( X s ) = ∫ s t ∂ x v ϕ ( X μ ) β v j d B μ j + ∫ s t ∂ x v ϕ ( X μ ) α v d u     + ∫ s t [ ∂ x v ϕ ( X μ ) η v i j + 1 2 ∂ x μ x v ϕ ( X μ ) β μ i β v j ] d 〈 B i ， B j 〉 μ . 通过Denis等人的方法 [ 5 ]，我们可以将G-期望的域从 L i p ( Ω ) 扩展到 L 0 ( Ω ) 。 用 E ¯ 表示： E ¯ [ X ] : = sup P ∈ P G E P [ X ] ， X ∈ L 0 ( Ω ) . 其中， P G 是 ( Ω ， B ( Ω ) ) 上鞅测度的弱紧集。