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user: 3. 一个新的区间三角模糊集多属性群决策方法 假定一个多属性群决策问题由以下条件给出：设 { E 1 ， E 2 ， ⋯ ， E t } 为专家集， { A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A m } 为方案集， 为属性集。决策者 E k 给出方案 A i 相对于属性 B j 的评价值 α ˜ i j ( k ) = [ ( a i j 1 ( k ) ， a ′ i j 1 ( k ) ) ， a i j 2 ( k ) ， ( a ′ i j 3 ( k ) ， a i j 3 ( k ) ) ] ， k = ( 1 ， 2 ， ⋯ ， t ) ，进一步构成区间三角模糊数决策矩阵： D ( k ) = ( α ˜ i j ( k ) ) m × n = [ α ˜ 11 ( k ) α ˜ 12 ( k ) ⋯ α ˜ 1 n ( k ) α ˜ 21 ( k ) α ˜ 22 ( k ) ⋯ α ˜ 2 n ( k ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ α ˜ n 1 ( k ) α ˜ n 2 ( k ) ⋯ α ˜ n n ( k ) ] (5) 在决策方法中，应该首先将不同的决策矩阵归一化。基于TOPSIS方法，为了避免过高或过低的评价值对排序结果的影响，接近正理想点且同时远离负理想点的评价值应该被赋予较高的权重，否则评价值就应该被赋予一个较小的权重。因此平均评价值就可以看作是区间三角模糊正理想评价值。定义区间三角模糊正理想矩阵。 定义6：区间三角模糊正理想矩阵为 (6) 其中 α ˜ i j + = ( ∑ k = 1 t α ˜ i j ( k ) ) / t ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ; j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ; k = 1 ， 2 ， ⋯ ， t 。 定义7：区间三角模糊负理想矩阵能够被分成 D ˜ d − 和 D ˜ u − 两个部分： D d − = ( α ˜ i j d ) m × n (7) D u − = ( α ˜ i j u ) m × n (8) 其中 α ˜ i j d = min 1 ≤ k ≤ t { α ˜ i j ( k ) | α ˜ i j ( k ) ≤ α ˜ i j + } ， a ˜ i j u = max 1 ≤ k ≤ t { a ˜ i j ( k ) | a ˜ i j ( k ) ≥ a ˜ i j + } 。 α ˜ i j ( k ) = [ ( a i j 1 ( k ) ， a ′ i j 1 ( k ) ) ， a i j 2 ( k ) ， ( a ′ i j 3 ( k ) ， a i j 3 ( k ) ) ] 和 α ˜ i j + = [ ( a i j 1 + ， a ′ i j 1 + ) ， a i j 2 + ， ( a ′ i j 3 + ， a i j 3 + ) ] ， α ˜ i j d = [ ( a i j 1 d ， a ′ i j 1 d ) ， a i j 2 d ， ( a ′ i j 3 d ， a i j 3 d ) ] ， α ˜ i j u = [ ( a i j 1 u ， a ′ i j 1 u ) ， a i j 2 u ， ( a ′ i j 3 u ， a i j 3 u ) ] 之间的距离定义如下： d i j + = 1 6 ( | a i j 1 ( k ) − a i j 1 + | + | a ′ i j 1 ( k ) − a ′ i j 1 + | + 2 | a i j 2 ( k ) − a i j 2 + | + | a ′ i j 3 ( k ) − a ′ i j 3 + | + | a i j 3 ( k ) − a i j 3 + | ) (9) d i j d = 1 6 ( | a i j 1 ( k ) − a i j 1 d | + | a ′ i j 1 ( k ) − a ' i j 1 d | + 2 | a i j 2 ( k ) − a i j 2 d | + | a ′ i j 3 ( k ) − a ′ i j 3 d | + | a i j 3 ( k ) − a i j 3 d | ) (10) d i j u = 1 6 ( | a i j 1 ( k ) − a i j 1 u | + | a ′ i j 1 ( k ) − a ′ i j 1 u | + 2 | a i j 2 ( k ) − a i j 2 u | + | a ′ i j 3 ( k ) − a ′ i j 3 u | + | a i j 3 ( k ) − a i j 3 u | ) (11) α ˜ i j ( k ) 的贴近度为： c i j ( k ) = d i j u + d i j d d i j u + d i j d + d i j + ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ; j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ; k = 1 ， 2 ， ⋯ ， t (12) 方案 A i 相对于属性 B j 的决策者 E k 的权重由以下公式给出： ω i j ( k ) = c i j ( k ) ∑ k = 1 t c i j ( k ) ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ; j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ; k = 1 ， 2 ， ⋯ ， t (13) 其中 ω i j ( k ) ≥ 0 ， ∑ k = 1 t ω i j ( k ) = 1 。 不同的决策者给出的评价值可以利用 α ˜ i j = ω i j ( 1 ) α ˜ i j ( 1 ) + ω i j ( 2 ) α ˜ i j ( 2 ) + ⋯ + ω i j ( t ) α ˜ i j ( t ) (14) 集结成综合评价值 α ˜ i j 构成决策矩阵 D = ( α ˜ i j ) m × n (15) 在决策过程中，经常会遇到属性权重信息是部分已知的情况，一般地，部分已知的属性权重信息可以由如下集合表示 [ 16 ] [ 17 ] ： 1) { ω i ≥ ω j } ， i ≠ j ；2) { ω i − ω j ≥ ε i ( > 0 ) } ， i ≠ j ； 3) { ω i ≥ α i ω i } ， 0 ≤ α i ≤ 1 ， i ≠ j ； 4) { β i ≤ ω j ≤ β j + ε j } ， 0 ≤ β j ≤ β j + ε j ≤ 1 ； 5) { ω i − ω j ≥ ω k − ω l } ， i ≠ j ≠ k ≠ l 。 为了确定属性的权重信息，首先定义区间三角模糊正理想解 A ˜ + = ( α ˜ 1 + ， α ˜ 2 + ， ⋯ ， α ˜ n + ) = ( max i α ˜ i 1 ， max i α ˜ i 2 ， ⋯ ， max i α ˜ i n ) (16) 和区间三角模糊负理想解 A ˜ − = ( α ˜ 1 − ， α ˜ 2 − ， ⋯ ， α ˜ n − ) = ( min i α ˜ i 1 ， min i α ˜ i 2 ， ⋯ ， min i α ˜ i n ) (17) 根据 α ˜ i j 到其正负理想解的距离集结每个评价值计算贴近度如下： c i j = d ( α ˜ i j ， α ˜ j − ) d ( α ˜ i j ， α ˜ j + ) + d ( α ˜ i j ， α ˜ j − ) ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ; j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n (18) 进一步可得加权贴近度： c i = ∑ j = 1 n c i j ω j ，           i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m (19) 一个理想权重的选择应使贴近度尽可能大，建立多目标优化模型，记为 ( M − 1 )                 max { ∑ j = 1 n c 1 j ω j ， ∑ j = 1 n c 2 j ω j ， ⋯ ， ∑ j = 1 n c n j ， ω j }                                                                                                         W ∈ H ，                                                                         s . t               ω j ≥ 0 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，                                                                                                       ω 1 + ω 2 + ⋯ + ω n = 1. 因各方案是同等重要的，上述多目标优化模型可由单目标优化模型代替，记为 ( M − 2 )                 max ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n c i j ω j                                                                                                             W ∈ H ，                                                                               s . t             ω j ≥ 0 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，                                                                                                           ω 1 + ω 2 + ⋯ + ω n = 1. 某些情况属性权重是完全未知的，在这种情况下，根据以下原则来确定属性的权重：属性的集结评价值接近区间直觉模糊正理想解，同时远离区间直觉模糊负理想解时应该被赋予一个较大的权重。据此，属性权重可以由如下公式得出： ω j = c j ∑ j = 1 n c j = ∑ i = 1 m c i j ∑ j = 1 n ∑ i = m m c i j ，   j = 1 ， ⋯ ， n ，     ω j ≥ 0 ，   ∑ j = 1 n ω j = 1 (20) 下面我们给出基于新权重方法的一个区间直觉模糊集多属性群决策方法。 步骤1：决策者 E k 给出方案 A i 相对于属性 B j 的评价值 ， k = ( 1 ， 2 ， ⋯ ， t ) ，进一步构成：决策矩阵： D ( k ) = ( α ˜ i j ( k ) ) m × n 。 步骤2：根据式子(6)，(7)和(8)计算区间三角模糊正理想决策矩阵 D ˜ + = ( α ˜ i j + ) m × n 和区间三角模糊负理想决策矩阵 D d − = ( α ˜ i j d ) m × n ， D d − = ( α ˜ i j u ) m × n 。 步骤3：根据式子(9)，(10)，(11)和(12)计算每个评价值的贴近度。 步骤4：如果属性权重完全已知，直接进行步骤5，如果属性权重部分已知，则用 ( M − 2 ) 计算出属性权重，如果属性权重完全未知，则用式子(20)计算出属性权重。 步骤5：计算加权决策矩阵 D ′ = ( α ˜ ′ i j ) m × n 其中 α ˜ ′ i j = ω j α ˜ i j 。 W = ( ω 1 ， ω 2 ， ⋯ ， ω n ) 是属性权重的集合。 步骤6：由以下公式计算 α ˜ ′ i j 与区间三角模糊正负理想解之间的距离： d i + = ∑ j = 1 n d ( α ˜ ′ i j ， α j + ) ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m (21) d i − = ∑ j = 1 n d ( α ˜ ′ i j ， α j − ) ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m (22) 步骤7：计算每个方案的相对贴近度 c i = d i − d i − + d i + ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m (23) 步骤8：根据相对贴近度的大小对方案进行排序并选出最优方案。