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user: 3. 离散角度下的全向STBC编码设计 3.1. N = 2时的全向STBC编码设计 当 N = 2 时，我们使用Alamouti码作为低维码，则有 N = T = 2 。Alamouti码是一种发射天线数为2，可以提供满分集速率的正交空时码，编码器输出的两个符号在两个时间周期内被发送出去，如下式所示： X A = [ x 1 x 2 * x 2 − x 1 * ] (3) 我们提出使用以下构造来设计 S = W X ： W = diag ( Π r F M c ) ( 1 M / 2 ⊗ P ) (4) 其中 c 为长度为M的ZC恒模序列，其定义为： [ c ] m = { e j π γ m 2 / M         M iseven e j π γ m ( m + 1 ) / M M isodd (5) 上式中能够 m = 0 ， 1 ， ⋯ ， M − 1 ， γ 是与M互素的正整数。 Π k 为k阶循环位移阵，其定义为： Π k = [ 0 I k I M − k 0 ] (6) 矩阵 P ∈ ℂ 2 × 2 ， P = [ [ p 11 ， p 12 ] T ， [ p 21 ， p 22 ] T ] T 需要满足以下三个条件： ① p 11 p 12 ∗ ∈ ℝ ， p 21 p 22 ∗ ∈ ℝ 。 ② | p 11 | 2 + | p 12 | 2 = | p 21 | 2 + | p 22 | 2 。 ③ 矩阵 P 是规范列正交的。 证明：取发射天线个数M为偶数，即 M = 2 M 0 ，为方便推导不妨令 γ = 1 (若 γ ≠ 1 ，下述推导是完全类似的)。 首先我们有： [ c Π r ( 1 ) ， c Π r ( 2 ) ， ⋯ ， c Π r ( 2 M 0 − 1 ) ] → D F T [ d ( 0 ) ， d ( 1 ) ， ⋯ ， d ( 2 M 0 − 1 ) ] (7) 其中： d ( k ) = ∑ n = 0 2 M 0 − 1 c Π r ( n ) e − 2 π j k n / 2 M 0 (8) = e − j π ( n − r ) 2 / 2 M 0 ∑ n = 0 2 M 0 − 1 e 2 j π ( n − k − r ) 2 / 2 M 0 (9) = ∑ n = 0 2 M 0 − 1 e j π ( n − r ) 2 / 2 M 0 e − 2 π j k n / 2 M 0 (10) 容易验证上式中对任意给定的 0 ≤ k ， r ≤ 2 M 0 − 1 ，当n取遍 { 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， 2 M 0 − 1 } ， e 2 j π ( n − k − r ) 2 / 2 M 0 恰好为 { e 2 j π 0 2 / 2 M 0 ， e 2 j π 1 2 / 2 M 0 ， ⋯ ， e 2 j π ( 2 M 0 − 1 ) 2 / 2 M 0 } 的一个排列，故 d ( k ) 可记作 d ( k ) = e − j π ( k − r ) 2 / 2 M 0 λ ( 2 M 0 ) ，其中 λ ( 2 M 0 ) 是与k无关的复函数。注意到 d ( k ) = Π r F M c ( k ) ，则有： S A = [ d ( 0 ) p 11 d ( 0 ) p 12 d ( 1 ) p 21 d ( 1 ) p 22 d ( 2 ) p 11 d ( 2 ) p 12 ⋮ ⋮ d ( 2 M 0 − 1 ) p 21 d ( 2 M 0 − 1 ) p 22 ] [ x 1 x 2 * x 2 − x 1 * ] (11) F M W x t = F M [ ( p 11 x 1 + p 12 x 2 ) d ( 0 ) ( p 21 x 1 + p 22 x 2 ) d ( 1 ) ( p 11 x 1 + p 12 x 2 ) d ( 2 ) ⋮ ( p 21 x 1 + p 22 x 2 ) d ( 2 M 0 − 1 ) ] (12) 与式(8) (9) (10)中的推导类似，易得 F M [ d ( 0 ) ， d ( 1 ) ， ⋯ ， d ( 2 M 0 − 1 ) ] T = [ X ( 0 ) ， X ( 1 ) ， ⋯ ， X ( 2 M 0 − 1 ) ] T ，其中 X ( k ) = e j π ( k − r ) 2 / 2 M 0 λ 2 ( 2 M 0 ) 。于是由(12)式可得： F M W x 1 ( k ) = ( p 11 x 1 + p 12 x 2 ) ∑ n = 0 2 M 0 − 1 d ( n ) + ( − 1 ) n d ( n ) 2 W 2 M 0 k n     + ( p 21 x 1 + p 22 x 2 ) ∑ n = 0 2 M 0 − 1 d ( n ) − ( − 1 ) n d ( n ) 2 W 2 M 0 k n                         (13)   = ( p 11 x 1 + p 12 x 2 ) X ( k ) + X ( ( k + M 0 ) 2 M 0 ) 2     + ( p 21 x 1 + p 22 x 2 ) X ( k ) − X ( ( k + M 0 ) 2 M 0 ) 2                         (14) = f 1 ( x 1 ， x 2 ) X ( k ) + f 2 ( x 1 ， x 2 ) X ( ( k + M 0 ) 2 M 0 )                         (15) 上式中 W N k = e − 2 π j k / N ， ( a ) b 表示a模b的余数， f 1 ( x 1 ， x 2 ) ， f 2 ( x 1 ， x 2 ) 均为 x 1 ， x 2 的线性函数。由 X ( k ) 的表达式容易验证 X ( k ) X ( ( k + M 0 ) 2 M 0 ) * = const 当且仅当 4 | M ，我们进一步令天线个数为4的倍数，则有： | F M W x 1 ( k ) | 2 = ( | f 1 ( x 1 ， x 2 ) | 2 + | f 2 ( x 1 ， x 2 ) | 2 ) λ 2 ( 2 M 0 )       + 2 ℜ ( f 1 ( x 1 ， x 2 ) f 2 * ( x 1 ， x 2 ) X ( k ) X * ( ( k + M 0 ) 2 M 0 ) ) (16) 上式显然与k无关，由此我们证明了 F M W x 1 的M个分量恒模，对 F M W x 2 ，证明是完全等价的，于是全向传输条件得到了满足。下面我们证明式(4)中给出的构造满足PA利用率条件：由(11)式给出的 W x 1 的形式，容易验证： | W x 1 ( k ) | 2 λ 2 ( 2 M 0 ) = | p 11 | 2 | x 1 | 2 + | p 12 | 2 | x 2 | 2 + 2 ℜ ( p 11 p 12 * x 1 x 2 * ) ， k ≡ 0 ( mod 2 ) (17) | W x 1 ( k ) | 2 λ 2 ( 2 M 0 ) = | p 21 | 2 | x 1 | 2 + | p 22 | 2 | x 2 | 2 + 2 ℜ ( p 21 p 22 * x 1 x 2 * ) ， k ≡ 1 ( mod 2 ) (18) 由上两式及所提出的 P 的设计条件，容易得到当传输符号 x 1 ， x 2 满足： | x 1 | = | x 2 | = c 。且 ℜ ( x 1 x 2 * ) = 0 时， | W x 1 ( 0 ) | = | W x 1 ( 1 ) | = ⋯ = | W x 1 ( 2 M 0 − 1 ) | 为定值，因此低维传输符号矩阵 X 需要与OP矩阵 W 联合设计。文献给出了在Alamouti编码结构下对符号信息 x 1 ， x 2 进行单独设计的方法，该方法虽构造简便，但其不能有效降低传输信号的峰均比。本文给出一种满足设计准则的新的构造方法，将 x 1 ， x 2 联合设计，虽然该方法在接收端最大似然译码时略显复杂，但在之后的性能分析与仿真结果中，可以看到该方案降低了系统峰均比，如下所示： { x 1 = e j sin 2 π n / T x 2 = j e − j sin 2 π n / T (19) 其中T为码元周期。另外我们注意到所提出的编码矩阵 W 的两列向量是复正交的，这样的构造使得在接收端只需进行简单的相关处理即可将不同时隙发送的符号进行分离。 3.2. N = 4时采用星座旋转编码的全向STBC编码设计 当N = 4时，令 M = 4 M 0 ，我们采用4天线的Jafarkhani码，即每次取4个信息符号 x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 进行编码，其中 x 1 ， x 2 取自星座图 A ，而 x 3 ， x 4 取自星座图 e j θ A ，即： X J = [ x 1 − x 2 * − ( x 3 e j θ ) * x 4 e j θ x 2 x 1 * − ( x 4 e j θ ) * − x 3 e j θ x 3 e j θ − ( x 4 e j θ ) * x 1 * − x 2 x 4 e j θ ( x 3 e j θ ) * x 2 * x 1 ] (20) 与Alamouti编码类似，上述Jafarkhani码编码也可以达到满发射速率。我们同样采用ZC序列提出一种构造： S J = W J X J ，其中： W J = diag ( Π r F M c ) ( 1 M / 4 ⊗ ( I 2 ⊗ H 2 ) ) (21) 上式中 H 2 为二阶Hardmard矩阵。 证明：我们首先给出一个简单的引理： 引理1：对任意 D ∈ ℕ + ，都存在一个函数集 ϕ 1 ( n ) ， ϕ 2 ( n ) ， ⋯ ， ϕ D ( n ) ，使对任意 1 ≤ i ≤ D ， ϕ i ( n ) = 1 而 ϕ j ( n ) = 0   ( j ≠ i ) 当且仅当 n ≡ i ( mod D ) 。 引理1的证明：事实上，我们令 ε 0 ， ε 1 ， ⋯ ， ε D − 1 为1的D阶单位根，则取 { ϕ 1 ( n ) = 1 D ∑ i = 0 D − 1 ε i n ϕ 2 ( n ) = 1 D ∑ i = 0 D − 1 ε i n − ( D − 1 )                       ⋮ ϕ D ( n ) = 1 D ∑ i = 0 D − 1 ε i n − 1 (22) 容易验证上述一系列函数满足要求。 为简便起见我们令 Q = 1 M / 4 ⊗ ( I 2 ⊗ H 2 ) ， Q 的第j行行向量为 Q j ， ; ，类似于(13)式的推导我们有： F M W J x 1 ( k ) = ∑ j = 1 4 [ Q ] j ， ; x 1 ∑ n = 0 4 M 0 − 1 d ( n ) ϕ j ( n ) W 4 M 0 k n (23) 注意到： ∑ n = 0 4 M 0 − 1 d ( n ) ϕ j ( n ) W 4 M 0 k n = ∑ p = 1 4 ε p − 1 − j X ( ( k + ( j − 1 ) M 0 ) 4 M 0 ) D (24) 于是(23)式又可写作： | F M W J x 1 ( k ) | 2 = | ∑ i = 1 4 f i ( x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ) W ( ( k + ( i − 1 ) M 0 ) 4 M 0 ) | 2 = ∑ i = 1 4 | f i ( x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ) | 2 | λ ( 4 M 0 ) | 2     + ∑ 1 ≤ i < j ≤ 4 2 ℜ [ f i ( x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ) f j * ( x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 )     × W ( ( k + ( i − 1 ) M 0 ) 4 M 0 ) W ( ( k + ( j − 1 ) M 0 ) 4 M 0 ) * ] 容易验证 W ( ( k + ( i − 1 ) M 0 ) 4 M 0 ) W ( ( k + ( j − 1 ) M 0 ) 4 M 0 ) * 为定值当且仅当 4 | M 0 ，因此我们取 16 | M ，则由上式容易证明 F M W J x 1 为一恒模向量。 另一方面，由Hardmard矩阵的定义容易验证： | W J x 1 ( k ) | 2 = | λ ( 4 M 0 ) | 4 ( | x 1 | 2 + | x 2 | 2 + 2 ( − 1 ) ( k ) 4 ℜ ( x 1 x 2 * ) ) (25) | W J x 1 ( k ) | 2 = | λ ( 4 M 0 ) | 4 ( | x 3 | 2 + | x 4 | 2 + 2 ( − 1 ) ( k − 2 ) 4 ℜ ( x 3 x 4 * ) ) (26) 式(25)中 k ≡ 0 ， 1 ( mod 4 ) ，式(26)中 k ≡ 2 ， 3 ( mod 4 ) 。由上式可知，采用(21)式提出的预编码矩阵，可以使符号组 x 1 ， x 2 和 x 3 ， x 4 独立设计，即按照(19)中所提出的方法构造，可以满足 | x 1 | = | x 2 | = | x 3 | = | x 4 | = c 且 ℜ ( x 1 x 2 * ) = ℜ ( x 3 x 4 * ) = 0 。 3.3. N = 4时OSTBC编码的全向编码设计 在文献 [ 10 ] 中，作者给出了发射信号为复信号情况下的OSTBC编码设计，其可以达到3/4的发射速率，事实上这类矩阵总可以表示为： [ X O T ] ， ; k = Σ 1 ， k [ x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ] T + Σ 2 ， k [ x 1 * ， x 2 * ， x 3 * ， x 4 * ] T (27) 其中 Σ 1 ， k ， Σ 2 ， k ∈ ℝ 4 × 4 。于是我们可将式(21)中提出的构造进一步推广为 W O T ， k = diag ( Π r F M c ) ( 1 M / 4 ⊗ ( ( I 2 ⊗ H 2 ) ( Σ 1 ， k + Σ 2 ， k ) − 1 ) ) (28) 证明： 将 diag ( Π r F M c ) 写作分块对角阵的形式，即： diag ( Π r F M c ) = diag [ B 1 ， B 2 ， ⋯ ， B M / 4 ] (29) 并记 U = I 2 ⊗ H 2 。这样，我们有： W O T ， k x k = [ ( B 1 U ( Σ 1 ， k + Σ 2 ， k ) − 1 ) T ， ( B 2 U ( Σ 1 ， k + Σ 2 ， k ) − 1 ) T ， ⋯ ] T × ( Σ 1 ， k + Σ 2 ， k ) Ω k = [ ( B 1 U Ω k ) T ， ( B 2 U Ω k ) T ， ⋯ ， ( B M / 4 U Ω k ) T ] T (30) 其中 Ω k ∈ ℂ 4 × 1 ， ( Ω k ) i = ± x i 或 ± x i * 。这样， W O T ， k x k 事实上具有与(23)式中的 W J x k 完全相同的性质，接下来的证明与3.2节中类似。