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user: 3. 主要结果 本节利用上节得到的不等式建立几个零点存在定理。 定理1 设 y ( t ) 是方程(1.3)的非平凡解，若存在 x ( t ) ∈ C 1 ( [ 0 ， 1 ] ; R ) ，使得 x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0 ； f ( t ， u ， v ) u ≤ 0 ( u ≠ 0 ) ，且 ∫ 0 1 { [ 4 C 2 C 1 p ( t ) q ( t ) + C 3 ( C 1 − C 2 ) r 2 ( t ) ] x 2 − C 3 C 1 [ 2 C 2 p ( t ) x ′ − r ( t ) x ] 2 } d t > 0 ， 则 y ( t ) 在 [ 0 ， 1 ] 上至少有一个零点。 证明 假设 y ( t ) 在 [ 0 ， 1 ] 上没有零点，即 y ( t ) ≠ 0 ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ，则不等式(2.1)成立。对(2.1)式的两边从0到1积分得 ∫ 0 1 [ − x 2 p ( t ) ϕ ( y ) k ( y ′ ) y ] ′ d t ≥ ∫ 0 1 { [ p ( t ) ϕ ( y ) C 3 k ( y ′ ) x y + C 3 p ( t ) ϕ ( y ) r ( t ) x 2 − C 3 p ( t ) ϕ ( y ) x ′ ] 2       − C 3 4 C 2 p ( t ) [ 2 C 2 p ( t ) x ′ − r ( t ) x ] + 1 4 C 2 C 1 p ( t ) [ 4 C 2 C 1 p ( t ) q ( t )       + C 3 ( C 1 − C 2 ) r 2 ( t ) ] x 2 − f ( t ， y ， y ′ ) x 2 y } d t . 由 x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0 ，有 ∫ 0 1 [ − x 2 p ( t ) ϕ ( y ) k ( y ′ ) y ] ′ d t = [ − x 2 p ( t ) ϕ ( y ) k ( y ′ ) y ] 0 1 = 0. 于是 ∫ 0 1 { [ 4 C 2 C 1 p ( t ) q ( t ) + C 3 ( C 1 − C 2 ) r 2 ( t ) ] x 2 − C 3 C 1 [ 2 C 2 p ( t ) x ′ − r ( t ) x ] 2 } d t ≤ 0 ， 与条件矛盾，故 y ( t ) 在 [ 0 ， 1 ] 上至少有一个零点。 推论1 设 y ( t ) 是方程(1.3)的非平凡解，若存在 x ( t ) ∈ C 1 ( [ 0 ， 1 ] ; R ) ，使得 x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0 ； f ( t ， u ， v ) u ≤ 0 ( u ≠ 0 ) ；又 [ 4 C 2 C 1 p ( t ) q ( t ) + C 3 ( C 1 − C 2 ) r 2 ( t ) ] x 2 ≥ C 3 C 1 [ 2 C 2 p ( t ) x ′ − r ( t ) x ] 2 ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ， 且等号在[0，1]的任意闭子区间上不恒成立，则 y ( t ) 在 [ 0 ， 1 ] 上至少有一个零点。 定理2 设 y ( t ) 是方程(1.3)的非平凡解，若存在 x ( t ) ∈ C 1 ( [ 0 ， 1 ] ; R ) ，使得 x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0 ； r ( t ) k ( v ) − f ( t ， u ， v ) u ≥ 0 ( u ≠ 0 ) ；且 ∫ 0 1 [ q ( t ) x 2 − C 2 C 3 p ( t ) x ′ 2 ] d t > 0. 则 y ( t ) 在 [ 0 ， 1 ] 上至少有一个零点。 证明 假设 y ( t ) 在 [ 0 ， 1 ] 上没有零点，即 y ( t ) ≠ 0 ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ，则不等式(2.2)成立。对(2.2)式的两边从0到1积分得 ∫ 0 1 ( − x 2 p ( t ) ϕ ( y ) k ( y ′ ) y ) ′ d t ≥ ∫ 0 1 p ( t ) ϕ ( y ) C 3 ( C 3 x ′ − k ( y ′ ) y x ) 2 d t     + ∫ 0 1 [ q ( t ) x 2 − C 2 C 3 p ( t ) x ′ 2 ] d t     + ∫ 0 1 r ( t ) k ( y ′ ) − f ( t ， y ， y ′ ) y x 2 d t . 由 x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0 ，有 ∫ 0 1 ( − x 2 p ( t ) ϕ ( y ) k ( y ′ ) y ) ′ d t = ( − x 2 p ( t ) ϕ ( y ) k ( y ′ ) y ) 0 1 = 0. 于是 ∫ 0 1 [ q ( t ) x 2 − C 2 C 3 p ( t ) x ′ 2 ] d t ≤ 0 ， 与条件矛盾，故 y ( t ) 在 [ 0 ， 1 ] 上至少有一个零点。 推论2 设 y ( t ) 是方程(1.3)的非平凡解，若存在 x ( t ) ∈ C 1 ( [ 0 ， 1 ] ; R ) ，使得 x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0 ， r ( t ) k ( v ) − f ( t ， u ， v ) u ≥ 0 ( ∀ u ≠ 0 ) ，又 q ( t ) x 2 ≥ p ( t ) C 2 C 3 x ′ 2 ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ，且等号在[0，1]的任意闭子区间上不恒成立，则 y ( t ) 在 [ 0 ， 1 ] 上至少有一个零点。 定理3 设 y ( t ) 是方程(1.3)的非平凡解，若存在 x ( t ) ∈ C 1 ( [ 0 ， 1 ] ; R ) ，使得 x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0 ； f ( t ， u ， v ) u ≤ 0 ( u ≠ 0 ) ，且 ∫ 0 1 [ Q ( t ) x 2 − C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) ( x ′ + 1 2 x R ¯ ( t ) ) 2 ] d t > 0 ， 则 y ( t ) 在 [ 0 ， 1 ] 上至少有一个零点。 证明 假设 y ( t ) 在 [ 0 ， 1 ] 上没有零点，即 y ( t ) ≠ 0 ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ，则不等式(2.3)成立。对(2.3)式的两边从0到1积分得 ∫ 0 1 [ − x 2 W ( t ) ] ′ d t ≥ ∫ 0 1 C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) ( W ( t ) C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) x − x ′ − 1 2 R ¯ ( t ) x ) 2 d t     + ∫ 0 1 [ Q ( t ) x 2 − C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) ( x ′ + 1 2 R ¯ ( t ) x ) 2 ] d t − ∫ 0 1 f ( t ， y ， y ′ ) y Φ ( t ) x 2 d t . 由 x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0 ，有 ∫ 0 1 [ − x 2 W ( t ) ] ′ = [ − x 2 W ( t ) ] 0 1 = 0. 于是 ∫ 0 1 [ Q ( t ) x 2 − C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) ( x ′ + 1 2 R ¯ ( t ) x ) 2 ] d t ≤ 0 ， 与条件矛盾，故 y ( t ) 在 [ 0 ， 1 ] 上至少有一个零点。 推论3 设 y ( t ) 是方程(1.3)的非平凡解，若存在 x ( t ) ∈ C 1 ( [ 0 ， 1 ] ; R ) ，使得 x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0 ； f ( t ， u ， v ) u ≤ 0 ( u ≠ 0 ) ；又在 [ 0 ， 1 ] 上， Q 2 ( t ) x 2 ≥ C 2 C 3 p ( t ) Φ ( t ) ( x ′ + 1 2 x r 2 ( t ) ) 2 ， 但不恒相等，则 y ( t ) 在 [ 0 ， 1 ] 上至少有一个零点。