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user: 2. 当代微分定义及其演变 2.1. 现行微积分体系中三种主流的定义方式 1) 用 y = x 这一特殊函数定义自变量的微分，见，莫斯科大学力学与数学系教授，俄罗斯B.A.卓里奇的《数学分析》 [ 6 ] 一书，原文如下： 定义在集 E ⊂ R 上的函数 f : E → R 叫做在集E的极限点 x ∈ E 处是可微的，如果 f ( x + h ) − f ( x ) = A ( x ) ( h ) + α ( x ; h ) ，其中 h → A ( x ) h 是关于h的线性函数，而 α ( x ; h ) 当 h → 0 ， x + h ∈ E 时，等于 o ( h ) 。量 Δ x ( h ) : = ( x + h ) − x = x 和 Δ f ( h ) : = f ( x + h ) − f ( x ) 分别叫做自变量的增量和函数(相应于自变量的这个增量)的增量。 他们常常用(其实并不完全合理)自己作为h的函数的记号 Δ x 和 Δ f ( x ) 表示。这样一来，说函数在一点处可微，指的是在这点处的增量作为自变量的函数近似于一个线性函数，其误差与自变量增量的比当 h → 0 时是无穷小量。 在上述定义中，关于h的线性函数 h → A ( x ) h 叫做函数 f : E → R 在点 x ∈ E 处的微分，并用符号 d f ( x ) 或 D f ( x ) 来表示。于是， d f ( x ) ( h ) = A ( x ) h 。我们有 Δ f ( x ; h ) − d f ( x ) ( h ) = α ( x ; h ) ，并且当 h → 0 ， x + h ∈ E 时， α ( x ; h ) = o ( h ) ，就是说，由自变量的增量h引起的函数增量与线性函数 d f ( x ) 在同一个h处的值之间的差是关于h的高于一阶的无穷小量。 由于这个缘故，微分是函数增量的线性主部。可以推出： A ( x ) = f ′ ( x ) = lim h → 0 x + h ， x ∈ E f ( x + h ) − f ( x ) h ， 因此微分可以写成 d f ( x ) ( h ) = f ′ ( x ) h 。 特别地，如果 f ( x ) ≡ x ，则显然 f ′ ( x ) ≡ 1 且，因此，人们有时会说，自变量的微分是它的增量。从而得到 d f ( x ) ( h ) = f ′ ( x ) d x ( h ) ，即 d f ( x ) = f ′ ( x ) d x ，此等式必须理解作h的函数的等式。 还可得到， d f ( x ) ( h ) d x ( h ) = f ′ ( x ) ，即函数 d f ( x ) d x (函数 d f ( x ) 和 d x 的比)是常数并且等于 f ′ ( x ) 。由于这个缘故，人们常常根据莱布尼茨的办法，用记号 d f ( x ) d x 来标记导数。这种记法与后来拉格朗日提出的记号 f ′ ( x ) 均为人们所使用 [ 6 ]。 2) 直接定义自变量的增量就是自变量的微分。参见俄罗斯数学教授Г.И阿黑波夫的《数学分析讲义》 [ 7 ] 一书，原文如下： 线性函数 g ( Δ x ) = c Δ x 叫作是增量 Δ f ( x ) (或函数 f ( x ) 本身在点 x = a 处)的微分，如果 Δ f ( x ) ∼ c Δ x 。当 Δ x → 0 ，即 Δ f ( x ) = c Δ x + γ ( Δ x ) Δ x ，其中 c ∈ R 且当 Δ x → 0 时 γ ( Δ x ) → 0 ，函数 f ( x ) 的微分记作 d f (x) 或简记作 d f 。从定义推出 lim Δ x → 0 Δ f ( x ) Δ x = c ，若此时 c ≠ 0 ，则 Δ f d f → 1 ；当 Δ x → 0 ，我们发现，函数 γ (Δx) 定义在点 x = a 的某个去心领域中，函数 Δ f ( x ) 定义在点的某个去心 δ 领域中，而函数 d f ( x ) = c Δ x 对于一切 x ∈ R 有定义，定义函数 γ ( Δ x ) 使 γ ( 0 ) = 0 ，对于我们是方便的，结果在我们定义微分 d f ( x ) 的等式 Δ f ( x ) = d f ( x ) + γ ( Δ x ) Δ x 中，所有的函数都定义好了，且都在点 Δ x = 0 的某个领域中连续，进而易见 Δ x = d x [ 7 ]。 3) 利用线性映射定义微分。参见陈天权的《数学分析讲义》 [ 8 ] 一书，原文如下： 定义(167)： R → R 的线性映射 h ↦ f ′ ( x ) h ，(5.1.11)称为函数f在x处的微分，记做 d f x ，即 d f x : h ↦ f ′ ( x ) h ，(5.1.12)或 d f x ( h ) = f ′ ( x ) h ，(5.1.13)。从等式(5.1.13)看， f ′ ( x ) 与 d f x 几乎相同。事实上， d f x 是 R → R 的线性映射，而 f ′ ( x ) 正是代表线性映射 d f x 的(关于一维线性空间R的通常的基的一行一列的)矩阵，后者与数成一一对应。我们常常把一行一列的矩阵与它所对应的数看成是同一个东西。 微分这个词是莱布尼茨于17世纪，在极限概念尚未弄清楚的情况下，为了解释微分学的形式运算规律而引进的。他运用了在当时还没有明确定义的无穷小这一概念，经典的数学分析教材中，一元函数f在点x处的导数 f ′ ( x ) 看成是一个(依赖于x的)数。我们现在把导数看作是一个一行一列的矩阵，因为一行一列的矩阵与数成一一对应，一元函数f在点x处的导数 f ′ ( x ) 看成是一个(依赖于x的)数。 特别，当 f = i d R (R上的恒等映射)时，即 f : x ↦ x 或 ∀ x ∈ R ( f ( x ) = x )时，为了方便，映射 f = i d R 常记作x。应注意的是：x表示映射 x : x ↦ x 上式中，第一个x表示映射，第二个x表示自变量的值x，第三个x表示自变量的值x在映射x下得值。同一个x表示很多不同的东西。根据上下文，一般不会搞混。当然，同学应小心区别它们的涵义。 这时，我们有 d x : h ↦ h ，换言之， d x = i d 。故公式(5.1.13)可改写成 d f x = f ′ ( x ) d x (5.1.14)。应注意的是：最后的 d x 表示的是恒等映射。这个(5.1.14)也可改写成 f ′ ( x ) = d f x ∘ ( d x ) − 1 (5.1.15)。公式(5.1.15)与莱布尼茨引进的导数记法 f ′ ( x ) = d f d x 是一致的 [ 8 ]。 2.2. 关于微分概念的其他定义方式 1) 林群院士的《微积分快餐》 [ 9 ] 一书中： 微分被理解为一个小局域内的线性主部，而不是任意的线性主部：设函数 f ( x ) 定义在闭区间 [ a ， b ] 上(即 x ∈ [ a ， b ] )，则在子区间 [ x ， x + h ] 上，对起点x(固定)及一切附近点 x + h (其中h是变量)：小段高 = f ( x + h ) − f ( x ) ，微分 = A ( x ) h ，测量误差 = f ( x + h ) − f ( x ) − A ( x ) h 。(在x的附近点 x + h 处用微分来测量小段高的差量) [ 9 ]。 2) 美国数理逻辑学家A.鲁宾逊的《非标准分析》 [ 10 ] 一书中，微分继承了其发明者莱布尼茨的本意： 另 y = f ( x ) 是一个内函数，它在开区间 ( a ， b ) 上有定义，这里 a < b ，a和b都是标准的。我们选取一个无限小的正实数，叫做 d x 。对于 ( a ， b ) 中的x，则取 d y = d f = f ( x + d x ) − f ( x ) 。因此，d可以看作一个算子，它把 R * 中的任何函数映射到另一个函数，后一函数定义在一个少尉小些的区间 ( a ， b − d x ) 上。对 d y 应用d。得 d 2 y = d ( d y ) = f ( x + d x ) − 2 f ( x + d x ) + f ( x ) ，它定义于 a < x < b − 2 d x 。更一般地，有 d n y = d ( d n − 1 y ) ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ，记 d 0 y = y ，我们得到分别定义于 a < x < b − n d x 的函数。对于标准的 f ( x ) 和 标准的x， a < x < b ，立即得到：若函数 f ( x ) 在x处可微，则 d y d x = f ′ ( x ) [ 10 ]。 3) 在著名数学家项武义的《微积分大意》 [ 11 ] 一书，微分即是求导函数的运算。 变率的定义：设C是函数 y = f ( x ) 的图示曲线， P ( x 0 ， f ( x 0 ) ) 是C上的一个定点， Q ( u ， f ( u ) ) (或写成 ( x 0 + h ， f ( x 0 + h ) ) )，即把u写成 x 0 + h 是P的邻近动点，割线PQ的斜率： k = f ( u ) − f ( x 0 ) u − x 0 = f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h ，所以割线的极限位置存在的充要条件是下述极限存在：即 lim h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h ，当上述极限存在时，该极限值就定义为函数 y = f ( x ) 在 x 0 点的变率，即 f ′ ( x ) : = lim h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h ；再者，当我们让 x 0 点再函数 y = f ( x ) 的所有平滑点变动，即得一个新函数 y ′ = f ′ ( x ) ，它在x点的函数值就是原始函数在该点的变率，所以把它叫做 y = f ( x ) 的变率函数，通常也叫导函数。微分运算即求变率函数这个运算 [ 11 ]。 4) 在另外一部分学者看来，如美国F.吉尔当诺的《托马斯微积分》，法国J.迪尔多内的《现代分析基础》等，微分概念并非必须，便不再定义微分了 [ 12 ] [ 13 ]。