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user: 3. 迭代方法的稳定性和收敛性 定理1. 当 0 < γ k < 1 时，系数 G i m 满足： | G i i | > ∑ m = 1 ， m ≠ i M − 1 | G i m | ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， M − 1 ，则G是严格对角占优的。 定理2. 当 0 < γ k < 1 时， B = A − r G ，B是严格对角占优的，并且 B − 1 的谱半径满足： ρ ( B − 1 ) < 2 h 。 证明： B i m = { r σ ∑ k = 1 S a k P ( α k ) Γ ( 2 − γ k ) h γ k ( c m − i k − c m − i + 1 k ) ，                     m > i + 1 h 8 − r σ ∑ k = 1 S a k P ( α k ) Γ ( 2 − γ k ) h γ k [ 3 ( 1 2 ) 1 − γ k − ( 3 2 ) 1 − γ k + c 2 k ] ，       m = i + 1 3 h 4 − r σ ∑ k = 1 S a k P ( α k ) Γ ( 2 − γ k ) h γ k 2 [ ( 3 2 ) 1 − γ k − 3 ( 1 2 ) 1 − γ k ] ，       m = i h 8 − r σ ∑ k = 1 S a k P ( α k ) Γ ( 2 − γ k ) h γ k [ 3 ( 1 2 ) 1 − γ k − ( 3 2 ) 1 − γ k + c 2 k ] ，       m = i − 1 r σ ∑ k = 1 S a k P ( α k ) Γ ( 2 − γ k ) h γ k ( c i − m k − c i − m + 1 k ) ，                     m < i − 1 类似与 [ 6 ] 定理2的证明，可得该定理的证明。 定理 3. 令 D = ( λ − 1 ) A − λ r G ，当 时，如果 λ > 1 或 λ < − 1 ，则D是严格对角占优的，且 | D i i | > ∑ m = 1 ， m ≠ i M − 1 | D i m | ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， M − 1 . 证明： D i m = { λ r σ ∑ k = 1 S a k P ( α k ) Γ ( 2 − γ k ) h γ k ( c m − i k − c m − i + 1 k ) ，                               m > i + 1 ( λ − 1 ) h 8 − λ r σ ∑ k = 1 S a k P ( α k ) Γ ( 2 − γ k ) h γ k [ 3 ( 1 2 ) 1 − γ k − ( 3 2 ) 1 − γ k + c 2 k ] ，       m = i + 1 ( λ − 1 ) 3 h 4 − λ r σ ∑ k = 1 S a k P ( α k ) Γ ( 2 − γ k ) h γ k 2 [ ( 3 2 ) 1 − γ k − 3 ( 1 2 ) 1 − γ k ] ，       m = i ( λ − 1 ) h 8 − λ r σ ∑ k = 1 S a k P ( α k ) Γ ( 2 − γ k ) h γ k [ 3 ( 1 2 ) 1 − γ k − ( 3 2 ) 1 − γ k + c 2 k ] ，       m = i − 1 λ r σ ∑ k = 1 S a k P ( α k ) Γ ( 2 − γ k ) h γ k ( c i − m k − c i − m + 1 k ) ，                             m < i − 1 类似与 [ 11 ] 定理3的证明，可得该定理的证明。 定理4. 矩阵 B − 1 A 的谱半径满足 ρ ( B − 1 A ) < 1 。 证明：类似与 [ 11 ] 定理4的证明，可得该定理的证明。 定理5. 假定 u ˜ i n 和 u i n ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， M − 1 ; n = 0 ， 1 ， ⋯ ， N ) 分别为差分格式(12)的近似解和数值解且 ε i n = u ˜ i n − u i n ， Y n = ( ε 1 n ， ε 2 n ， ⋯ ， ε M − 1 n ) T ，则 ‖ Y n ‖ ≤ ‖ Y 0 ‖ ，因此差分格式(12)是无条件稳定的。 证明：现在我们用数学归纳法来证明稳定性。 当 n = 1 时，将 ε i n = u ˜ i n − u i n 代入(12)，得到 Y 1 = ( A − r G ) − 1 A Y 0 。令 Q = ( A − r G ) − 1 A ，根据定理4，我们知道 ρ ( Q ) < 1 ，则存在向量范数和诱导矩阵范数 ‖   .   ‖ ，使 ‖ Q ‖ < 1 。使用以上范数，得到： . 假设当 n ≤ k − 1 时，成立 ‖ Y k − 1 ‖ ≤ ‖ Y 0 ‖ 。 则当 n = k 时，由文献 [ 12 ] 可知 ∑ j = 1 k d j = 1 − b k ，   j = 1 ， ⋯ ， n 。因此 ‖ Y k ‖ = ‖ ( A − r G ) − 1 A ( d 1 Y k − 1 + d 2 Y k − 2 + ⋯ + d k − 1 Y 1 + b k − 1 Y 0 ) ‖ ≤ ‖   Q   ‖ ( d 1 + d 2 + ⋯ + d k − 1 + b k − 1 ) ‖ Y 0 ‖ ≤ ( d 1 + d 2 + ⋯ + d k − 1 + b k − 1 ) ‖ Y 0 ‖ = ( 1 − b k − 1 + b k − 1 ) ‖ Y 0 ‖ = ‖ Y 0 ‖ 得到 ‖ Y n ‖ ≤ ‖ Y 0 ‖ ，定理证毕。 定理6. 假定 u n 为(1)~(3)的精确解，则当 σ ， τ 和h趋近于零时，数值解 U n 无条件收敛到精确解 u n ，并且， ‖ u n − U n ‖ ≤ C ( τ 2 − β + σ 2 + h 2 ) . 其中 u n = ( u ( x 1 ， t n ) ， u ( x 2 ， t n ) ， ⋯ ， u ( x M − 1 ， t n ) ) T ， U n = ( u 1 n ， u 2 n ， ⋯ ， u M − 1 n ) T . 证明：设 为点 ( x i ， t n ) 处的误差。将 e i n = u ( x i ， t n ) − u i n 代入(10)和(11)，并结合(7)和文献 [ 13 ] 的引理3，推论1，得到： { h 8 ( e i − 1 1 + 6 e i 1 + e i + 1 1 ) − r ∑ m = 1 M − 1 e m 1 G i m = h 8 ( e i − 1 0 + 6 e i 0 + e i + 1 0 ) + r ο ( h ( τ 2 − β + σ 2 + h 2 ) ) ，                 n = 1 h 8 ( e i − 1 n + 6 e i n + e i + 1 n ) − r ∑ m = 1 M − 1 e m n G i m = ( 1 − b 1 ) h 8 ( e i − 1 n − 1 + 6 e i n − 1 + e i + 1 n − 1 )   + ∑ j = 1 n − 2 h 8 ( e i − 1 n − j − 1 + 6 e i n − j − 1 + e i + 1 n − j − 1 ) ( b j − b j + 1 ) + h 8 ( e i − 1 0 + 6 e i 0 + e i + 1 0 ) b n − 1 + r ο ( h ( τ 2 − β + σ 2 + h 2 ) ) ，     n > 1 其中 e 0 n = e M n = 0 ， e i 0 = 0 ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， M − 1 ，且矩阵形式为： { ( A − r G ) E 1 = A E 0 + r ο ( h ( τ 2 − β + σ 2 + h 2 ) ) χ ，                                         n = 1 ( A − r G ) E n = A ( d 1 E n − 1 + d 2 E n − 2 + ⋯ + d n − 1 E 1 + b n − 1 E 0 ) + r ο ( h ( τ 2 − β + σ 2 + h 2 ) ) χ ，         n > 1 χ = ( 1 ，   1 ，   ⋯ ，   1 ) T ，   E n = ( e 1 n ，   e 2 n ，   ⋯ ，   e M − 1 n ) T ，   Q = ( A − r G ) − 1 A ，   B = A − r G . 下面，我们用数学归纳法来证明这个定理。 当 n = 1 时，得到 E 1 = Q E 0 + r ( A − r G ) − 1 ο ( h ( τ 2 − β + σ 2 + h 2 ) ) χ = r B − 1 ο ( h ( τ 2 − β + σ 2 + h 2 ) ) χ . 根据定理2和定理4已知 ρ ( B − 1 ) < 2 h ， ρ ( Q ) < 1 ，则存在向量范数和诱导矩阵范数 ‖   .   ‖ ，使得 ‖ Q ‖ < 1 ， ‖ B − 1 ‖ < c h − 1 ，且 r = τ β Γ ( 2 − β ) ， τ = T n 。根据以上范数，得到 ‖ E 1 ‖ = ‖ r B − 1 ο ( h ( τ 2 − β + σ 2 + h 2 ) ) χ ‖ ≤ ο ( τ β ( τ 2 − β + σ 2 + h 2 ) ) . 假设当 n ≤ k − 1 ，成立 ‖ E k − 1 ‖ ≤ ο ( τ β ( τ 2 − β + σ 2 + h 2 ) ) . 则，当 n = k 时，有 ‖ E k ‖ = ‖ Q ( d 1 E k − 1 + d 2 E k − 2 + ⋯ + d k − 1 E 1 + b k − 1 E 0 ) + r B − 1 ο ( h ( τ 2 − β + σ 2 + h 2 ) ) χ ‖ ≤ ‖ Q ‖ ( d 1 + d 2 + ⋯ + d k − 1 + b k − 1 ) ο ( τ β ( τ 2 − β + σ 2 + h 2 ) ) + ο ( τ β ( τ 2 − β + σ 2 + h 2 ) ) ≤ ( 1 − b + k − 1 b k − 1 ) ο ( τ β ( τ 2 − β + σ 2 + h 2 ) ) = ο ( τ β ( τ 2 − β + σ 2 + h 2 ) ) 因此， ‖ E n ‖ ≤ C ( τ 2 − β + σ 2 + h 2 ) ，定理证毕。