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user: 4. 新方法的收敛性与误差分析 说明：以上区间算子S有两种，所用方法完全相同，所以以下定理只就第一种情况进行证明，第二种情况的证明步骤也完全相同，就不作详叙。 定理1：设f为给定区间 X ( 0 ) 上的一个二阶连续可微函数，且 0 ∉ F ″ ( X ( k ) ) ， k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ 如果 X ( 0 ) 包含有f的一个零点 x * ，则所有的 X ( k ) ， k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ 都包含 x * ，且有 X ( k +1 ) ⊆ X ( k ) ， x * ∈ ∩ k = 0 ∞ X ( k ) 。 证明：由式(2)可知 x * = m ( X ( 0 ) ) − f ′ ( m ( X ( 0 ) ) ) − [ f ′ ( m ( X ( 0 ) ) ) ] 2 − 2 f ( m ( X ( 0 ) ) ) f ″ ( ξ ) f ″ ( ξ ) ∈ m ( X ( 0 ) ) − f ′ ( m ( X ( 0 ) ) ) − [ f ′ ( m ( X ( 0 ) ) ) ] 2 − 2 f ( m ( X ( 0 ) ) ) F ″ ( X ( 0 ) ) F ″ ( X (0) ) 故 x * ∈ X ( 0 ) ∩ S ( X ( 0 ) ) = X ( 1 ) 。 同理，如果 x * ∈ X ( k ) ，则 x * ∈ X ( k + 1 ) ，由数学归纳法可得 x * ∈ X ( k ) ，   k = 0 ， 1 ， ⋯ 所以 x * ∈ ∩ k = 0 ∞ X ( k ) ，由式(4)可得 X ( k + 1 ) ⊆ X ( k ) 。 该区间算子的好处在于：1) 能检测到一个区间是否有根存在，这样可以避免无用的迭代运算；2) 能保证在一个区间有且只有一个实根。 定理2：设f为给定区间 X ( 0 ) 上的一个二阶连续可微函数，且 0 ∉ F ″ ( X ) ，则 1) 如果 S ( X ) ⊆ X ，则X中有且仅有方程 f ( x ) = 0 的一实根。 2) 如果 X ∩ S ( X ) = ϕ ，则X中不含方程 f ( x ) = 0 的任何实根。 证明：1)首先证明方程 f ( x ) = 0 根的存在性， 对任意实数 y ∈ X ，构造算子 S ˜ ( y ) = y − f ′ ( y ) − [ f ′ ( y ) ] 2 − 2 f ( y ) l ( y ， m ( X ) ) l ( y ， m (X)) 其中 l ( y ， m ( X ) ) = { f ′ ( y ) − f ′ ( m ( X ) ) y − m ( X ) ，     y ≠ m ( X ) f ″ ( y ) ，                     y = m (X) 由于 f ′ ( x ) ，   f ″ ( x ) 在X上的连续，以及 0 ∉ F ″ ( X ) ，所以 S ˜ ( y ) 为定义在X的连续算子，当 y = m ( X ) 时，由 F ″ ( X ) 的包含单调性可知 S ˜ ( y ) = y − f ′ ( m ( X ) ) − [ f ′ ( m ( X ) ) ] 2 − 2 f ( m ( X ) ) f ″ ( m ( X ) ) f ″ ( m ( X ) ) ∈ S (X) 当 y ≠ m ( X ) 时，化简可得 S ˜ ( y ) ∈ S ( X ) ，又因为 S ( X ) ⊆ X ，则区间算子 S ˜ 是将X变换到其自身的连续算子，且区间X为有界闭凸集，根据Browner不动点定理，可知 S ˜ 存在不动点 x * ∈ X ，使得 S ˜ ( x ∗ ) = x ∗ ，从而有 f ′ ( x * ) − [ f ′ ( x * ) ] 2 − 2 f ( x * ) l ( y ， m ( X ) ) l ( y ， m ( X ) ) = 0 因为 0 ∉ F ″ ( X ) ，所以 l ( y ， m ( X ) ) ≠ 0 ，故有 f ( x * ) = 0 。 下面证方程 f ( x ) = 0 根的唯一性，如果 m ( X ( k ) ) 是函数f的零点，成立 m ( X ( k ) ) = S ( X ( k ) ) = S ( m ( X ( k ) ) ) 则有 m ( X ( k ) ) = X ( k ) ∩ S ( m ( X ( k ) ) ) ，这表明程序终止在有限步。 如果 m ( X ( k ) ) 不是f的零点，此时，由 S ( X ( k ) ) 的定义可知总有 S ( X ( k ) ) > m ( X ( k ) ) 或 S ( X ( k ) ) < m ( X ( k ) ) 成立，这表明 S ( X ( k ) ) 不包含 X ( k ) 的中点，因此必有 W ( X ( k + 1 ) ) < 1 2 W ( X ( k ) ) ，从而 ，故由根的存在性可知 点收敛于 。 综上可得X中有且仅有 的一个零点 。 2) 若X包含 的零点 ，由定理1的证明可知 ，故 与条件矛盾，所以X中不含 的零点。 定理3：设f为给定区间 上的一个二阶连续可微函数， 且方程 存在唯一的重根 (至少二重)。如果 且 为Lipschitz区间函数，则由迭代公式(4)所得区间列 二次收敛，即存在常数 ，使得 . 证明：因为 为Lipschitz区间函数，则存在 ，使得 且 ， 所以 . 又因为 ，则存在 ，使得 ，且 故 这里，存在常数 使得 . 综上可得 ，令 ，则有 Table 1 Numerical comparison of both HM method and SM metho 算例 方法 ε X N Time 例1 HM 10 -5 [4.99999649960659， 5.00000367154179] 21 0.60857 SM 10 -6 [4.99999988606068， 5.00000000011419] 7 0.05973 例2 HM 10 -7 [0.99999996117413， 1.00000005937561] 22 0.71521 SM 10 -7 [0.99999998873967， 1.00000000002325] 6 0.05563 例3 HM 10 -5 [-0.00000085777869， 0.00000894836582] 15 0.92766 SM 10 -6 [-0.00000000137489， 0.00000085072377] 4 0.04176 例4 HM 10 -7 [0.00000003271013， 0.00000004211397] 26 0.80112 SM 10 -7 [0.00000005386116， 0.00000000025008] 6 0.03085 例5 HM 10 -7 [20.08553699994834， 20.08553710310446] 23 1.01549 SM 10 -10 [20.08553692305315， 20.08553692318773] 6 0.04751 例6 HM 10 -5 [0.99999052853228， 1.00000877530884] 31 1.04777 SM 10 -6 [0.99999283194989， 1.00001451218668] 8 0.07953 例7 HM 10 -5 [8.30942912918713， 0.30944262386020] 44 0.18168 SM 10 -5 [8.30942265777352， 8.30944359614464] 9 0.14867 表1. HM和SM两种方法的数值对比 . 同理有 。