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user: 3. 无限滞后测度泛函微分方程Φ有界变差解 下面主要介绍无限滞后测度泛函微分方程的Φ有界变差解及其相关结果： 定义4 设 t ∈ [ t 0 ， t 0 + σ ] ，称 x ( t ， t 0 ， φ ) 是无限滞后测度泛函微分方程初值问题(2)的Φ有界变差解是指 (1) x ˙ ( t ) = f ( x t ， t ) 几乎处处成立； (2) x t 0 = φ ； (3) x在 [ t 0 ， t 0 + σ ] 的任何紧子区间上是Φ有界变差函数； (4) 当 t ∈ [ t 0 ， t 0 + σ ] 时， ( x t ， t ) ∈ Ω 。 定义5 对所有的 t ∈ [ t 0 ， t 0 + σ ] ， f ( x t ， t ) 满足条件(A)，(B)和(C)， g : [ t 0 ， t 0 + σ ] → R n 则函数 f ( x t ， t ) : Ω → R n ， Ω = O × [ t 0 ， t 0 + σ ] 属于函数族 F Φ ( Ω ， h ， ω ) ，如果满足下列条件 (H1) 存在正值函数 δ ( τ ) : [ t 0 ， t 0 + σ ] → R + ，使得对每个区间 [ u ， v ] 满足 τ ∈ [ u ， v ] ⊂ ( τ − δ ( τ ) ， τ + δ ( τ ) ) ⊂ [ t 0 ， t 0 + σ ] ，及 x ∈ O ，有 ‖ f ( x τ ， τ ) ( g ( v ) − g ( u ) ) ‖ ≤ Φ ( | h ( v ) − h ( u ) | ) . (3) (H2) 对每个区间 [ u ， v ] 满足 τ ∈ [ u ， v ] ⊂ ( τ − δ ( τ ) ， τ + δ ( τ ) ) ⊂ [ t 0 ， t 0 + σ ] ，及 x ， y ∈ O ，有 ‖ f ( x τ ， τ ) − f ( y τ ， τ ) ‖ ( g ( v ) − g ( u ) ) ≤ ω ( ‖ x τ − y τ ‖ ) Φ ( | h ( v ) − h ( u ) | ) . (4) 其中 h : [ t 0 ， t 0 + σ ] → R 是一个不减函数， ω : [ 0 ， + ∞ ) → R 是连续的增函数且 τ ∈ [ u ， v ] ⊂ ( τ − δ ( τ ) ， τ + δ ( τ ) ) ⊂ [ t 0 ， t 0 + σ ] ， ω ( r ) > 0 ， r > 0 ， ω ( 0 ) = 0 。 定理1假设 f ∈ F Φ ( Ω ， h ， ω ) 满足条件(A)，(B)，(C)，(H1)和(H2)，如果 x : [ α ， β ] → R n ， [ α ， β ] ⊂ ( − ∞ ， t 0 + σ ] 是方程(2)的一个解并且 ∫ α β f ( x s ， s ) d g ( s ) 存在，则x在 ( − ∞ ， t 0 + σ ] 上是Φ有界变差的，且 V Φ ( x ; [ α ， β ] ) ≤ Φ ( V Φ ( h ; [ α ， β ] ) ) < + ∞ ， (5) 并且在 ( − ∞ ， t 0 + σ ] 中，使函数h左连续的点是解 x : ( − ∞ ， t 0 + σ ] → R n 具有左连续性的点. 证明 对任意的 ε > 0 ，因积分 ∫ α β f ( x s ， s ) d g ( s ) 存在，则对每个 s 1 ， s 2 ∈ [ α ， β ] ，Kurzweil积分 ∫ s 1 s 2 f ( x s ， s ) d g ( s ) 存在，由定义1及(3)式，存在正值函数 δ ( τ ) 使得对 [ s 1 ， s 2 ] 的任何 δ -精细分化 D = { τ i ， [ t i − 1 ， t i ] ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k } ， 有 ‖ ∫ s 1 s 2 f ( x t ， t ) d g ( t ) ‖ ≤ ‖ ∫ s 1 s 2 f ( x t ， t ) d g ( t ) − ∑ i = 1 k f ( x τ i ， τ i ) ( g ( t i ) − g ( t i − 1 ) ) ‖ + ‖ ∑ i = 1 k f ( x τ i ， τ i ) ( g ( t i ) − g ( t i − 1 ) ) ‖ < ε + V Φ ( h ; [ s 1 ， s 2 ] ) . 因为 ε > 0 是任意的，故 ‖ ∫ s 1 s 2 f ( x s ， s ) d g ( s ) ‖ ≤ V Φ ( h ; [ s 1 ， s 2 ] ) . (6) 设 α = t 0 < t 1 < ⋯ < t k = β 是区间 [ α ， β ] 上的任意分划，由(6)式，有 ∑ i = 1 k Φ ( ‖ x ( t i ) − x ( t i − 1 ) ‖ ) = ∑ i = 1 k Φ ( ‖ ∫ t i − 1 t i f ( x t ， t ) d g ( t ) ‖ ) ≤ ∑ i = 1 k Φ ( V Φ ( h ; [ t i − 1 ， t i ] ) )     . (7) 因为 Φ ( u ) 满足(C2)，则 Φ ( u ) u 不减，由文献 [ 7 ] 定理1.03， ∑ i = 1 k Φ ( V Φ ( h ; [ t i − 1 ， t i ] ) ) = ∑ i = 1 k Φ ( V Φ ( h ; [ t i − 1 ， t i ] ) ) V Φ ( h ; [ t i − 1 ， t i ] ) V Φ ( h ; [ t i − 1 ， t i ] ) ≤ Φ ( V Φ ( h ; [ α ， β ] ) ) V Φ ( h ; [ α ， β ] ) ∑ i = 1 k V Φ ( h ; [ t i − 1 ， t i ] ) 由(7)式，有 ( x s ， s ) ∈ Ω ， ( ( x k ) s ， s ) ∈ Ω ∑ i = 1 k Φ ( ‖ x ( t i ) − x ( t i − 1 ) ‖ ) ≤ Φ ( V Φ ( h ; [ α ， β ] ) ) V Φ ( h ; [ α ， β ] ) ∑ i = 1 k Φ ( h ( t i ) − h ( t i − 1 ) ) ≤ Φ ( V Φ ( h ; [ α ， β ] ) ) V Φ ( h ; [ α ， β ] ) V Φ ( h ; [ α ， β ] ) = Φ ( V Φ ( h ; [ α ， β ] ) ) < + ∞ 在上式右端对 [ α ， β ] 的所有分划取上确界得到(5)式，定理的第二部分是文献 [ 7 ] 定理1.03的直接结果。 定理2 设 f ∈ F Φ ( Ω ， h ， ω ) ， x : [ α ， β ] n → R n ， [ α ， β ] ⊂ [ t 0 ， t 0 + σ ] 是函数 x k : [ α ， β ] → R n 组成的序列 { x k } k ∈ N 逐点收敛的极限，使得对每个 k ∈ N ， s ∈ [ α ， β ] ，有及对每个 k ∈ N ， ∫ α β f ( ( x k ) s ， s ) d g ( s ) 存在， 则积分 ∫ α β f ( x s ， s ) d g ( s ) 存在，且 ∫ α β f ( x s ， s ) d g ( s ) = lim k → ∞ ∫ α β f ( ( x k ) s ， s ) d g ( s ) . (8) 证明根据Kurzweil积分的性质，不失一般性，假定f为实函数，对任意 ε > 0 ，由(4)式对每个 τ ∈ [ α ， β ] ， t 1 ≤ τ ≤ t 2 ， [ t 1 ， t 2 ] ⊂ [ α ， β ] ，有 ‖ f ( ( x k ) τ ， τ ) − f ( x τ ， τ ) ‖ ( g ( t 2 ) − h ( t 1 ) ) ≤ ω ( ‖ ( x k ) τ − x τ ‖ ) Φ ( h ( t 2 ) − h ( t 1 ) ) . (9) 令 μ ( J ) = ε V Φ ( h ; [ α ， β ] ) + 1 Φ ( h ( t 2 ) − h ( t 1 ) ) ，   J = [ t 1 ， t 2 ] ⊂ [ α ， β ] ，因为 h : [ t 0 ， t 0 + σ ] → R 是增函数，由文献 [ 7 ] 定理1.03，有 V Φ ( h ; [ t 1 ， t 2 ] ) = Φ ( h ( t 2 ) − h ( t 1 ) ) . 对每个 d ∈ ( t 1 ， t 2 ) ，设 J 1 = [ t 1 ， d ] ， J 2 = [ d ， t 2 ] ，由文献 [ 7 ] 定理1.17，有 μ ( J 1 ) + μ ( J 2 ) = ε V Φ ( h ; [ α ， β ] ) + 1 [ V Φ ( h ; [ t 1 ， d ] ) + V Φ ( h ; [ d ， t 2 ] ) ] ≤ ε V Φ ( h ; [ α ， β ] ) + 1 V Φ ( h ; [ t 1 ， t 2 ] ) = μ ( J ) . (10) 所以， μ ( J ) 为对所有的闭区间 J ⊂ [ α ， β ] 定义的正值超可加区间函数且 Φ ( [ α ， β ] ) < ε 。由函数 ω 在0点 连续且 ω ( 0 ) = 0 可知，存在 δ > 0 ，使得只要 0 < t < δ ，就有 ω ( t ) ≤ ε V Φ ( h ; [ α ， β ] ) + 1 。设 δ ( τ ) 为一个正值函数，因为对每个 τ ∈ [ α ， β ] ， lim k → ∞ x k ( τ ) = x ( τ ) ，存在 P ( τ ) ∈ N ，使得 k ≥ P ( τ ) ，有 ‖ x k ( τ ) − x ( τ ) ‖ < δ ( τ ) ， 所以，只要 k ≥ P ( τ ) ，就有 ω ( ‖ x k ( τ ) − x ( τ ) ‖ ) ≤ ε V Φ ( h ; [ α ， β ] ) + 1 . 不等式(9)有如下形式 ‖ f ( ( x k ) τ ， τ ) − f ( x τ ， τ ) ‖ ( g ( t 2 ) − g ( t 1 ) ) ≤ ε V Φ ( h ; [ α ， β ] ) + 1 V Φ ( h ; J ) = μ ( J ) . 其中 τ ∈ J ⊂ ( τ − δ ( τ ) ， τ + δ ( τ ) ) ， f ( ( x k ) τ ， J ) = f ( ( x k ) τ ， t 2 ) − f ( ( x k ) τ ， t 1 ) ， f ( x τ ， J ) = f ( x τ ， t 2 ) − f ( x τ ， t 1 ) ， 对 [ α ， β ] 的任何分化 α = t 0 < t 1 < ⋯ < t k = β ，以及对每个区间 [ t j − 1 ， t j ] ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， k 的 δ j -精细分化 D = { ξ i j ， [ t i − 1 j ， t i j ] ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m i } ，积分 ∫ t j − 1 t j f ( x s ， s ) d g ( s ) 存在，有 ‖ ∑ j = 1 k ∫ t i − 1 t i f ( ( x k ) s ， s ) d g ( s ) ‖ ≤ ‖ ∑ j = 1 k ∫ t i − 1 t i f ( ( x k ) s ， s ) d g ( s ) − ∑ i = 1 m j f ( ( x k ) ξ i j ， ξ i j ) ( g ( t i j ) − g ( t i − 1 j ) ) ‖     + ∑ j = 1 k ‖ ∑ i = 1 m j f ( ( x k ) ξ i j ， ξ i j ) ( g ( t i j ) − g ( t i − 1 j ) ) ‖ ≤ ε + Φ ( h ( β ) − h ( α ) ) ≤ ε + V Φ ( h ; [ α ， β ] ) ， 其中 F ( ( x k ) τ i ， J i ) = F ( ( x k ) τ i ， t i ) − F ( ( x k ) τ i ， t i − 1 ) 由 ε 的任意性，有 ‖ ∑ j = 1 k ∫ t i − 1 t i f ( ( x k ) s ， s ) d g ( s ) ‖ ≤ ε + V Φ ( h ; [ α ， β ] ) . 由控制收敛定理(见文献 [ 11 ] 定理1.28)，积分 x : [ α ， β ] → R n ∫ α β f ( ( x k ) s ， s ) d g ( s ) 存在且(8)式成立。 推论1 如果 f ∈ F Φ ( Ω ， h ， ω ) 且， [ α ， β ] ⊂ [ t 0 ， t 0 + σ ] ，是有限阶梯函数序列 x k ( t ) 逐点收敛的极限， 使得对每个 t ∈ [ α ， β ] ， ( x t ， t ) ∈ Ω ，及 ( ( x k ) t ， t ) ∈ Ω ，   k = 1 ， 2 ， ⋯ ，则积分 ∫ α β f ( ( x k ) t ， t ) d g ( t ) 存在。 证明由定理2知，只需证明对每个阶梯函数 φ : [ α ， β ] → R n ， ∫ α β f ( ( x k ) t ， t ) d g ( t ) 存在，由Kurzweil 积分的定义及文献 [ 11 ] 定理1.14容易证明，对每个有限阶梯函数 φ : [ α ， β ] → R n ，积分 ∫ α β f ( x t ， t ) d g ( t ) 存在。