system: [SYSTEM]

user: 2. 先验估计 在这一部分，我们将考虑初值远离真空的情形。假设初始密度具有正的下界，通过迭代的方法构造了初边值问题(1)~(2)的逼近问题，并得到逼近解与密度下界无关的一致能量估计。 2.1. 逼近解的构造 首先，我们假设 ρ 0 足够光滑具有正的下界，即存在一个正数 δ ( 0 < δ ≪ 1 ) 使得 ρ 0 ≥ δ 。接下来，我们运用文献 [ 11 ] 中迭代方法构造逼近方程并得到逼近解， • 定义 。 • 对 k ≥ 1 ，给定 ，则根据一阶双曲守恒律(见 [ 12 ])和p(x)-Laplace抛物型方程(见 [ 8 ])的存在性理论，得到如下初边值问题具有唯一的强解 ( ρ k ， u k ) ： ρ t k + u k − 1 ρ x k + u x k − 1 ρ k = 0 ， (6) ρ k u t k + ρ k u k − 1 u x k − μ 1 u x x k − μ 0 [ ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 u x k ] x + π x k = 0 (7) 满足如下初边值条件 ( ρ k ， u k ) | t = 0 = ( ρ 0 ， u 0 ) ， x ∈ [ 0 ， 1 ] ， u k | x = 0 = u k | x = 1 = 0 ， t ∈ [ 0 ， T ] . (8) 其中 0 < ρ 0 ∈ H 2 ( I ) ， u ∈ H 0 1 ∩ H 2 且满足相容性条件(4)。 2.2. 一致能量估计 本小节中，我们将对问题(6)~(8)的解 ( ρ k ， u k ) 进行一致先验估计。 为了得到 ( ρ k ， u k ) 的估计，我们定义函数 Φ K ( t ) ： Φ K ( t ) = max 1 ≤ k ≤ K sup 0 ≤ s ≤ t ( 1 + ‖ ρ k u t k ( s ) ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ ρ k u x k ( s ) ‖ L 2 ( I ) 2       + ‖ u x k ( s ) ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) 4 ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ ρ k ( s ) ‖ H 1 ( I ) 2 ) ， (9) 其中 K ≥ 1 是一个足够大的正整数。为了表述方便，定义下文中C为与 μ 1 ， μ 0 ， p ∞ ， p 0 以及 | ρ 0 | H 1 ( I ) ， | g | L 2 有关常数。 下面，我们将估计 中的每一项。 引理1 假设 ( ρ k ， u k ) 是方程(6)~(7)的光滑解，存在 T ∈ ( 0 ， ∞ ) 使得 ∫ 0 t ‖ ρ k u t k ‖ L 2 ( I ) 2 d s + sup 0 ≤ s ≤ t ( ‖ u x k ‖ L 2 ( I ) 2 + ∫ 0 1 ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) 2 d x ) ≤ C ( 1 + ∫ 0 t Φ K γ + 3 2 ( t ) d s ) ， 对任意 t ∈ [ 0 ， T ] 成立。 证明：用 u t k 乘以(7)式两端，然后关于变量x在[0，1]上积分有 ∫ 0 1 ρ k | u t k | 2 d x + μ 1 2 d d t ∫ 0 1 | u x k ( t ) | 2 d x + μ 0 d d t ∫ 0 t 1 p ( x ) [ ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) 2 ] d x = d d t ∫ 0 1 π k u x k d x + ∫ 0 t ∫ 0 1 ( − ρ k u k − 1 u x k u t k − π t k u x k ) d x . (10) 对于(10)关于变量t在 [ 0 ， t ] 上积分，我们可以得到， ∫ 0 t ‖ ρ k u t k ‖ L 2 ( I ) 2 d s + μ 1 2 ∫ 0 1 | u x k | 2 d x + μ 0 p ∞ ∫ 0 t ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) 2 ( t ) d x ≤ μ 1 2 ∫ 0 1 | u x k | 2 ( 0 ) d x + μ 0 p ∞ ∫ 0 t ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) 2 ( 0 ) d x + ∫ 0 1 π k u x k ( t ) d x − ∫ 0 1 π k u x k ( 0 ) d x + ∫ 0 t ∫ 0 1 ( − ρ k u k − 1 u x k u t k − π t k u x k ) d x d s ≤ C + ∫ 0 1 | π k u x k ( t ) | d x + ∫ 0 t ∫ 0 1 | − ρ k u k − 1 u x k u t k − π t k u x k | d x d s (11) 应使用Sobolev不等式和Young’s不等式，有 ∫ 0 t ‖ ρ k u t k ‖ L 2 ( I ) 2 d s + μ 1 4 ‖ u x k ‖ L 2 ( I ) 2 + μ 0 p ∞ ∫ 0 t ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) 2 d x ≤ C + C ‖ π k ( t ) ‖ L 2 ( I ) 2 + C ∫ 0 t ‖ u k − 1 ‖ L ∞ ( I ) ‖ ρ k u t k ‖ L 2 ( I ) ‖ ρ k u x k ‖ L 2 ( I ) d s + ∫ 0 t ∫ 0 1 | π t k u x k | d x d s = ∑ i = 1 3 K i . (12) 接下来依次估计 K i ， i = 1 ， 2 ， 3 。应用Sobolev不等式和Young’s不等式，我们可以计算 K 1 = ∫ 0 1 | π k ( t ) | 2 d x = ∫ 0 1 | π k ( 0 ) | 2 d x + ∫ 0 t ( ∂ ∂ s ∫ 0 t | π k ( s ) | d x ) d s = ∫ 0 1 | π k ( 0 ) | 2 d x + ∫ 0 t ∫ 0 1 π k ( ρ ) ( π k ( ρ ) ) ′ ( − ρ x k u k − 1 − ρ u k x k − 1 ) d x d s ≤ C + C ∫ 0 t ‖ π k ( ρ ) ‖ L ∞ ( I ) ‖ ρ k ‖ L ∞ ( I ) γ − 1 ‖ ρ k ( s ) ‖ H 1 ( I ) ‖ u x k − 1 ‖ L 2 ( I ) d s ≤ C ( 1 + ∫ 0 t Φ K γ + 1 2 ( t ) d s ) ; K 2 = C ∫ 0 t ‖ u k − 1 ‖ L ∞ ( I ) ‖ ρ k u t k ‖ L 2 ( I ) ‖ ρ k u x k ‖ L 2 ( I ) d s ≤ C ∫ 0 t Φ K 3 2 ( t ) d s K 3 = ∫ 0 t ∫ 0 1 | π t k u x k | d x d s ≤ ∫ 0 t ∫ 0 1 | ( ρ k ) γ − 1 ρ k u x k − 1 u x k + ( ρ k ) γ − 1 ρ x k u k − 1 u x k | d x d s ≤ ∫ 0 t ( ‖ ρ k ‖ L ∞ ( I ) γ − 1 ‖ ρ k ‖ L ∞ ( I ) 1 2 ‖ ρ k u x k ‖ L 2 ( I ) ‖ u x k − 1 ‖ L 2 ( I ) + ‖ ρ k ‖ L ∞ ( I ) γ − 3 2 ‖ ρ x k ‖ L 2 ( I ) ‖ ρ k u x k ‖ L 2 ( I ) ‖ u k − 1 ‖ L ∞ ( I ) ) d s ≤ C ∫ 0 t Φ γ + 3 2 d s . 将 的估计代入(12)，有 ∫ 0 t ‖ ρ k u t k ‖ L 2 ( I ) 2 d s + μ 1 4 ‖ u x k ‖ L 2 ( I ) 2 + μ 0 p ∞ ∫ 0 t ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) 2 d x ≤ C ( 1 + ∫ 0 t Φ K γ + 3 2 ( t ) d s ) . (13) 引理1的证明完成。 引理2：若 是(6)~(7)的解，那么存在 T ∈ ( 0 ， ∞ ) ，使得 max 1 ≤ k ≤ K ( sup 0 ≤ s ≤ t ‖ ρ k u t k ( t ) ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ ρ k u x k ( t ) ‖ L 2 ( I ) 2 + ∫ 0 t ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) 2 d s + ∫ 0 t ‖ u x x k ‖ L 2 ( I ) 2 d s   + ∫ 0 t ∫ 0 1 ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 | u x x k | 2 d x d s + ∫ 0 t ∫ 0 1 ( ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 ) | u x t k | 2 d x d s ) ≤ C ∫ 0 t Φ K γ + 7 2 ( t ) d s 证明：对(7)关于t求导有 ( ρ k u t k ) t + ( ρ k u k − 1 u x k ) t − μ 1 ( u x x k ) t − μ 0 [ ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 u x k ] x t + π x t k = 0 (14) 将方程(14)两端同乘以 u t k 然后在(0，1)上关于x积分，可以得到 1 2 d d t ∫ 0 1 ρ k ( u t k ) 2 d x + μ 1 ∫ 0 1 ( u x t k ) 2 d x + μ 0 ∫ 0 1 [ ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 u x k ] t u x t k d x = ∫ 0 1 π t k u x t k d x + ∫ 0 1 ( ρ k u k − 1 ) x ( 1 2 ( u t k ) 2 + u k − 1 u x k u t k ) d x − ∫ 0 1 ρ k u t k − 1 u x k u t k d x − ∫ 0 1 ( ρ k u k − 1 ) u x t k u t k d x (15) 因为 1 < p ∞ ≤ p ( x ) ≤ p 0 < 2 ，我们可以计算 (16) 另一方面，应用质量守恒方程(6)有 π t k = − γ π k u x k − 1 − π x k u k − 1 (17) 由(15)、(16)和(17)，得到如下不等式， 1 2 d d t ‖ ρ k u t k ‖ 2 2 + μ 1 ∫ 0 1 | u x t k | 2 d x + μ 0 ∫ 0 1 ( p ( x ) − 1 ) ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 ( u x t k ) 2 d x ≤ ∫ 0 1 | π x k | | u k − 1 | | u x t k | d x + γ ∫ 0 1 | π k | | u x k − 1 | | u x t k | d x + 2 ∫ 0 1 ρ k | u k − 1 | | u t k | | u x t k | d x + ∫ 0 1 ρ k | u k − 1 | | u x k − 1 | | u x k | | u t k | d x + ∫ 0 1 ρ k | u k − 1 | 2 | u x x k | | u t k | d x + ∫ 0 1 ρ k | u k − 1 | 2 | u x k | | u x t k | d x + ∫ 0 1 ρ k | u t k − 1 | | u x k | | u t k | d x = ∑ j = 1 7 I j . (18) 应用Sobolev不等式，Hȍlder不等式和Young’s不等式，我们可以估计 I j ， j = 1 ， ⋯ ， 7 。 I 1 = ∫ 0 1 | π x k | | u k − 1 | | u x t k | d x ≤ ‖ π x k ‖ L 2 ( I ) ‖ u k − 1 ‖ L ∞ ( I ) ‖ u x t ‖ L 2 ( I ) ≤ C Φ K γ + 1 ( t ) + μ 1 6 ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) 2 ; I 2 = ∫ 0 1 γ | π k | | u x k − 1 | | u x t k | d x ≤ C ‖ π k ‖ L ∞ ( I ) ‖ u x k − 1 ‖ L 2 ( I ) ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) ≤ C Φ K γ + 1 ( t ) + μ 1 6 ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) 2 ; I 3 = 2 ∫ 0 1 ρ k | u k − 1 | | u t k | | u x t k | d x ≤ 2 ‖ ρ k ‖ L ∞ ( I ) 1 2 ‖ u k − 1 ‖ L ∞ ( I ) ‖ ρ k u t k ‖ L 2 ( I ) ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) ≤ C Φ K 5 2 ( t ) + μ 1 6 ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) 2 ; I 4 = ∫ 0 1 ρ k | u k − 1 | | u x k − 1 | | u x k | | u t k | d x ≤ ‖ u k − 1 ‖ L ∞ ( I ) ‖ u x k − 1 ‖ L ∞ ( I ) ‖ ρ k u x k ‖ L 2 ( I ) ‖ ρ k u t k ‖ L 2 ( I ) ≤ C Φ K 3 ( t ) + η 1 ‖ u x x k − 1 ‖ L 2 ( I ) 2 I 5 = ∫ 0 1 ρ k | u k − 1 | 2 | u x x k | | u t k | d x ≤ ‖ ρ k ‖ L ∞ ( I ) 1 2 ‖ u k − 1 ‖ L ∞ ( I ) 2 ‖ ρ k u t k ‖ L 2 ( I ) ‖ u x x k ‖ L 2 ( I ) ≤ C Φ K 7 2 ( x ) + μ 1 5 ‖ u x x k ‖ L 2 2 ; I 6 = ∫ 0 1 | ρ k | | u k − 1 | 2 | u x k | | u x t k | d x ≤ ‖ ρ k ‖ L ∞ ( I ) 1 2 ‖ u k − 1 ‖ L ∞ ( I ) 2 ‖ ρ k u x k ‖ L 2 ( I ) ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) ≤ C Φ K 7 2 ( t ) + μ 1 6 ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) 2 ; I 7 = ∫ 0 1 | ρ k | | u t k − 1 | | u x k | | u t k | d x ≤ ‖ u t k − 1 ‖ L ∞ ( I ) ‖ ρ k u x k ‖ L 2 ( I ) ‖ ρ k u t k ‖ L 2 ( I ) ≤ C Φ K 2 ( t ) + η 2 ‖ u x t k − 1 ‖ L 2 ( I ) 2 . 其中 η 1 ， η 2 为与 有关的足够小的常数。将上述估计代入(18)中有： 1 2 d d t ‖ ρ k u t k ‖ 2 2 + μ 1 3 ∫ 0 1 | u x t k | 2 d x + μ 0 ∫ 0 1 ( p ( x ) − 1 ) ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 ( u x t k ) 2 d x ≤ C Φ K γ + 7 2 ( t ) + μ 1 5 ‖ u x x k ‖ L 2 ( I ) 2 + η 1 ‖ u x x k − 1 ‖ L 2 ( I ) 2 + η 2 ‖ u x t k − 1 ‖ L 2 ( I ) 2 . (19) 接下来，我们估计 ‖ ρ k u x k ( t ) ‖ L 2 ( I ) 。将方程(7)两端同乘以 − u x x k ，然后在 ( 0 ， 1 ) 上关于x积分，由方程 (6)和分部积分，我们得到 1 2 d d t ∫ 0 1 ρ k ( u x k ) 2 d x + μ 1 ∫ 0 1 ( u x x k ) 2 d x + μ 0 ∫ 0 1 [ ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 u x k ] x u x x k d x = ∫ 0 1 π x k u x x k d x + ∫ 0 1 ρ t k ( u x k ) 2 d x − ∫ 0 1 ρ x k u t k u x k d x . (20) 我们首先计算方程(20)左端的第三项， [ ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 u x k ] x u x x k = ( e p ( x ) − 2 2 ln ( 1 + | u x k | 2 ) u x k ) x u x x k = ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 ( u x x k ) 2 + ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 ( p x ( x ) 2 ln ( 1 + | u x k | 2 ) + p ( x ) − 2 2 2 | u x k | u x x k 1 + | u x k | 2 ) u x k u x x k = p x ( x ) 2 ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 u x k u x x k ln ( 1 + | u x k | 2 ) + ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 ( u x x k ) 2 [ ( p ( x ) − 2 ) ( u x k ) 2 1 + | u x k | 2 + 1 ] ≥ p x ( x ) 2 ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 u x k u x x k ln ( 1 + | u x k | 2 ) + ( p ( x ) − 1 ) ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 ( u x x k ) 2 . 将上式代入(20)，有 (21) 为了估计(21)，我们需要仔细计算上式右端第四项。应用Hȍlder不等式和Young’s不等式，我们可以得到 (22) 其中 ‖ p x ( x ) ‖ ∞ ≤ C 和 1 < p ∞ ≤ p ( x ) ≤ p 0 < 2 。把(22)代入(21)，应用方程(6)有 1 2 d d t ‖ ρ k u x k ‖ L 2 ( I ) 2 + μ 1 ∫ 0 1 ( u x x k ) 2 d x + μ 0 2 ∫ 0 1 ( p ( x ) − 1 ) ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 ( u x x k ) 2 d x ≤ ∫ 0 1 | π x k | | u x k | d x + ∫ 0 1 | ρ x k | | u k | | u x k | 2 d x + ∫ 0 1 | ρ k | | u x k | 3 d x + ∫ 0 1 | ρ k | | u x x k | | u t k | d x         + ∫ 0 1 | ρ k | | u x k | | u x t k | d x + ∫ 0 1 ( u x k ) 2 d x + C ∫ 0 1 | ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) 2 | | ln 2 ( 1 + | u x k | 2 ) | d x = ∑ i = 1 7 J i . (23) 应用Sobolev不等式和Young’s不等式，有 J 1 = ∫ 0 1 | π x k | | u x k | d x ≤ ‖ ρ x k ‖ L 2 ( I ) γ ‖ u x k ‖ L 2 ( I ) ≤ Φ K γ 2 + 1 2 ( t ) ; J 2 = ∫ 0 1 | ρ x k | | u k | | u x k | 2 d x ≤ ‖ u k ‖ L ∞ ( I ) ‖ ρ x k ‖ L 2 ( I ) ‖ u x k ‖ L 2 ( I ) ‖ u x k ‖ L ∞ ( I ) ≤ C Φ K 3 ( t ) + μ 1 5 ‖ u x x k ‖ L 2 ( I ) 2 ; J 3 = ∫ 0 1 | ρ k | | u x k | 3 d x ≤ ‖ ρ k ‖ L ∞ ( I ) 1 2 ‖ ρ k u x k ‖ L 2 ( I ) ‖ u x k ‖ L 2 ( I ) ‖ u x k ‖ L ∞ ( I ) ≤ C Φ K 5 2 ( t ) + μ 1 5 ‖ u x x k ‖ L 2 ( I ) 2 ; J 4 = ∫ 0 1 | ρ k | | u x x k | | u t k | d x ≤ ‖ ρ k ‖ L ∞ ( I ) 1 2 ‖ ρ k u t k ‖ L 2 ( I ) ‖ u x x k ‖ L 2 ( I ) ≤ C Φ K 3 2 ( t ) + μ 1 5 ‖ u x x k ‖ L 2 ( I ) 2 J 5 = ∫ 0 1 | ρ k | | u x k | | u x t k | d x ≤ ‖ ρ k ‖ L ∞ ( I ) 1 2 ‖ ρ k u x k ‖ L 2 ( I ) ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) ≤ Φ K 3 2 ( t ) + μ 1 6 ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) 2 J 6 = ∫ 0 1 ( u x k ) 2 d x ≤ Φ K (t) 对于 1 < p ∞ ≤ p ( x ) ≤ p 0 < 2 和 2 < s < 3 ，在Sobolev不等式的帮助下，我们可以推出 J 7 = C ∫ 0 1 | ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) 2 | | ln 2 ( 1 + | u x k | 2 ) | d x ≤ C [ ∫ 0 1 ( | ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) 2 | 2 ) s 2 d x ] 2 s [ ∫ 0 1 | ln 2 ( 1 + | u x k | 2 ) | s s − 2 d x ] s − 2 s ≤ C ‖ ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) 4 ‖ L s 2 [ ∫ 0 1 | ln ( 1 + | u x k | 2 ) | 2 s s − 2 d x ] s − 2 s ≤ C ‖ ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) 4 ‖ L s 2 [ ∫ 0 1 ( 8 ( s − 2 ) p ( x ) | ln ( 1 + | u x k | 2 ) | ( s − 2 ) p ( x ) 8 ) 2 s s − 2 d x ] s − 2 s ≤ C ‖ ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) 4 ‖ L s 2 [ ∫ 0 1 ( 8 ( s − 2 ) p ( x ) | ( 1 + | u x k | 2 ) | ( s − 2 ) p ( x ) 8 ) 2 s s − 2 d x ] s − 2 s ≤ C ‖ ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) 4 ‖ L s 2 | ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) 4 | L s s − 2 = C | ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) 4 | L s s 应用Sobolev嵌入定理和 2 < s < 3 ，下式成立， (24) 类似(22)中的估计，我们可以得到 ‖ ( ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) 4 ) x ‖ L 2 2 ≤ C ( ∫ 0 1 ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) 2 ln 2 ( 1 + | u x k | 2 ) d x + ∫ 0 1 | ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 | ( u x x k ) 2 d x ) . (25) 因此，联立(24)和(25)，因为 1 < p ( x ) < 2 ， 2 < s < 3 ，选取足够小的 ε ，我们可以得到 J 7 的估计， J 7 ≤ C ‖ ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) 4 ‖ L 2 4 + ε C ∫ 0 1 | ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 | ( u x x k ) 2 d x ≤ C Φ K 2 ( t ) + μ 0 ( p ∞ − 1 ) 2 ∫ 0 1 | ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 | ( u x x k ) 2 d x . 收集 的估计，带入(23)，可以得到 (26) 将(19)和(26)相加，可以得到 1 2 d d t ( ‖ ρ k u t k ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ ρ k u x k ‖ L 2 ( I ) 2 ) + μ 0 ( p ∞ − 1 ) 2 ∫ 0 1 ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 | u x x k | 2 d x   + μ 0 ( p ∞ − 1 ) ∫ 0 1 ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 | u x t k | 2 d x + μ 1 6 ∫ 0 1 | u x t k | 2 d x + μ 1 5 ∫ 0 1 | u x x k | 2 d x ≤ C Φ K γ + 7 2 ( t ) + η 1 ‖ u x x k − 1 ‖ L 2 ( I ) 2 + η 2 ‖ u x t k − 1 ‖ L 2 ( I ) 2 . (27) 将上述不等式在 ( τ ， t ) ⊂ ( 0 ， t ) 上积分，同时选取足够小的 ，对正整数 K ≥ 1 ，我们有 max 1 ≤ k ≤ K ( sup τ ≤ s ≤ t ‖ ρ k u t k ( s ) ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ ρ k u x k ( s ) ‖ L 2 ( I ) 2 + ∫ τ t ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) 2 d s + ∫ τ t ‖ u x x k ‖ L 2 ( I ) 2 d s       + ∫ τ t ∫ 0 1 ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 | u x x k | 2 d x d s + ∫ τ t ∫ 0 1 ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 | u x t k | 2 d x d s ) ≤ ‖ ρ k u t k ( τ ) ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ ρ k u x k ( τ ) ‖ L 2 ( I ) 2 + C ∫ τ t Φ K γ + 7 2 ( s ) d s . 由相容性条件(4)、方程(7)和 ( ρ 0 ， u 0 ) 的正则性，可以得到 由此，令 τ → 0 ，我们可以得到 max 1 ≤ k ≤ K ( sup 0 ≤ s ≤ t ‖ ρ k u t k ( t ) ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ ρ k u x k ( t ) ‖ L 2 ( I ) 2 + ∫ 0 t ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) 2 d s + ∫ 0 t ‖ u x x k ‖ L 2 ( I ) 2 d s       + ∫ 0 t ∫ 0 1 ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 | u x x k | 2 d x d s + ∫ 0 t ∫ 0 1 ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 | u x t k | 2 d x d s ) ≤ C ( 1 + ∫ 0 t Φ K γ + 7 2 ( t ) d s ) . 引理2证明完成。 引理3：假设 ( ρ k ， u k ) 是方程(6)~(7)的解，存在 T ∈ ( 0 ， ∞ ) ，对任意的 t ∈ [ 0 ， T ] ， sup 0 ≤ s ≤ t ‖ ρ k ( t ) ‖ H 1 ( I ) 2 ≤ C exp ( ∫ 0 t C Φ K γ + 7 2 d s ) 证明：用 ρ k 乘以方程(6)两端，并关于x在 [ 0 ， 1 ] 上积分，可以得到如下不等式 d d t ∫ 0 1 | ρ k ( t ) | 2 d x ≤ ∫ 0 1 | ρ k | 2 | u x k − 1 | ( t ) d x ≤ C ‖ u x x k − 1 ‖ L 2 ( I ) ‖ ρ k ‖ L 2 ( I ) 2 . (28) 另一方面，(6)关于x求导后两边乘以 ρ x k 并关于x在 [ 0 ， 1 ] 上积分，得 1 2 d d t ∫ 0 1 | ρ x k ( t ) | 2 d x = − ∫ 0 1 [ 3 2 u x k − 1 ( ρ x k ) 2 + ρ k ρ x k u x x k − 1 ] d x ≤ C ( ‖ u x x k − 1 ‖ L 2 ( I ) ‖ ρ x k ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ ρ k ‖ L ∞ ( I ) ‖ ρ x k ‖ L 2 ( I ) ‖ u x x k − 1 ‖ L 2 ( I ) ) . (29) 综合(28)和(29)式，有 d d t ‖ ρ k ( t ) ‖ H 1 ( I ) 2 ≤ C ‖ ρ k ‖ H 1 ( I ) 2 ‖ u x x k − 1 ‖ L 2 ( I ) ， (30) 由Gronwall’s不等式和引理1，上式可推得 ‖ ρ k ( t ) ‖ H 1 ( I ) ≤ ‖ ρ 0 ‖ H 1 ( I ) exp ( C ∫ 0 t ‖ u x x k − 1 ‖ L 2 ( I ) d s ) ≤ C exp ( ∫ 0 t C Φ K γ + 7 2 d s ) . (31) 引理3得证。 应用引理1~3和 的定义可得 Φ K ( t ) ≤ C exp ( C ∫ 0 t Φ K γ + 7 2 ( s ) d s ) . (32) 容易证明存在 T * = C − γ + 7 2 e 2 − C ( γ + 7 2 ) ，使得 ∫ 0 T * Φ K γ + 7 2 ( t ) d s < C 因此，我们得到逼近解 ( ρ k ， u k ) 的能量估计：对 0 ≤ t ≤ T * ，下式成立 ( sup 0 ≤ t ≤ T * ‖ ρ k u t k ( t ) ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ ρ k u x k ( t ) ‖ L 2 ( I ) 2 + ‖ u x k ‖ L 2 ( I ) 2 + ∫ 0 1 ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) 2 d x + ‖ ρ k ( t ) ‖ H 1 ( I ) 2 ) + ∫ 0 T * ‖ u x t k ‖ L 2 ( I ) 2 d s + ∫ 0 T * ‖ u x x k ‖ L 2 ( I ) 2 d s + ∫ 0 T * ∫ 0 1 ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 | u x x k | 2 d x d s + ∫ 0 T * ∫ 0 1 ( 1 + | u x k | 2 ) p ( x ) − 2 2 | u x t k | 2 d x d s ≤ C