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user: 3. 多网格方案 本节中，我们结合有限元方法和Rayleigh商移位反迭代法建立流固振动Laplace模型问题的多网格离散方案。令 { π h i } i = 1 l 是一族正规网格， h i − 1 ≫ h i ，且令 V h i 是定义在 π h i 上的协调有限元空间，令 π H = π h 1 ， V H = V h 1 ， π h = π h l ， V h = V h l 。 方案1多网格方案 步骤1在初始粗网格 π H 上解(2.3)：求 λ k ， H ∈ ℝ ， u k ， H ∈ V H 使得 | u k ， H | 1 ， Ω = 1 ，且 a ( u k ， H ， v ) = λ k ， H b ( u k ， H ， v ) ，     ∀ v ∈ V H . 步骤2执行赋值命令： u k h 1 ⇐ u k ， H ， λ k h 1 ⇐ λ k ， H ， i ⇐ 2 。 步骤3在 π h i 上解线性方程组：求 u ˜ ∈ V h i 使得 a ( u ˜ ， v ) − λ k h i − 1 b ( u ˜ ， v ) = b ( u k h i − 1 ， v ) ，     ∀ v ∈ V h i ， 且取 u k h i = u ˜ / | u ˜ | 1 ， Ω 。 步骤4计算Rayleigh商 λ k h i = a ( u k h i ， u k h i ) b ( u k h i ， u k h i ) . 步骤5如果 i = l ，则输出 ( λ k h l ， u k h l ) ，即输出 ( λ k h ， u k h ) ，停止。否则， i ⇐ i + 1 ，返回步骤3。 下面分析由方案1求得的近似解的误差。 定理3.1.令 ( λ k h l ， u k h l ) 是方案1所求得的近似特征对。假设 ( λ k h l − 1 ， u k h l − 1 ) 逼近(2.2)的一个特征对 ( λ k ， u ¯ ) ， u ¯ ∈ M ^ ( λ k ) ，且 λ k h l − 1 − λ k 相较于 λ k ， h l − λ k 是一个低阶的无穷小量，则存在 u k ∈ M ( λ k ) 使得 | u k h l − u k | 1 ， Ω ≲ 48 ϑ λ k | λ k h l − 1 − λ k | d i s t ( u k h l − 1 ， M ^ ( λ k ) ) + 3 q δ h l ( λ k ) ， (3.1) | λ k h l − λ k | ≲ 2 λ k ( 1 + λ k ) | u k h l − u k | 1 ， Ω 2 ，     l ≥ 2. (3.2) 证明：我们利用引理2.5来完成证明。首先验证引理2.5的条件是满足的。 选取 μ 0 = 1 / λ k h l − 1 ， u 0 = λ k h l − 1 T h l u k h l − 1 | λ k h l − 1 T h l u k h l − 1 | 1 ， Ω 。由引理2.1可知 | T h l − T | 1 ， Ω → 0   ( h l → 0 ) ，则有 | T h l f | 1 ， Ω ≲ | f | 1 ， Ω ，     ∀ f ∈ V . 因此，由定理假设可推出 | λ k h l − 1 T h l u k h l − 1 − u ¯ | 1 ， Ω = | λ k h l − 1 T h l u k h l − 1 − λ k h l − 1 T h l u ¯ + λ k h l − 1 T h l u ¯ − λ k T h l u ¯ + λ k T h l u ¯ − λ k T u ¯ | 1 ， Ω ≲ λ k h l − 1 | u k h l − 1 − u ¯ | 1 ， Ω + | λ k h l − 1 − λ k | | u ¯ | 1 ， Ω + λ k | ( T h l − T ) u ¯ | 1 ， Ω . 注意到对任一赋范空间中的任意非零函数 u ， v ，成立下述不等式 ‖ u ‖ u ‖ − v ‖ v ‖ ‖ ≤ 2 ‖ u − v ‖ ‖ u ‖ ，   ‖ u ‖ u ‖ − v ‖ v ‖ ‖ ≤ 2 ‖ u − v ‖ ‖ v ‖ . (3.3) 因此有 d i s t ( u 0 ， M ^ ( λ k ) ) ≤ | u 0 − u ¯ | 1 ， Ω ≤ 2 | λ k h l − 1 T h l u k h l − 1 − u ¯ | 1 ， Ω ≲ 2 { λ k h l − 1 | u k h l − 1 − u ¯ | 1 ， Ω + | λ k h l − 1 − λ k | | u ¯ | 1 ， Ω + λ k | ( T h l − T ) u ¯ | 1 ， Ω } . (3.4) 由三角不等式和(2.12)可得 d i s t ( u 0 ， M h l ( λ k ) ) ≲ d i s t ( u 0 ， M ^ ( λ k ) ) + δ h l ( λ k ) . (3.5) 由(2.10)可知 λ k ， h l → λ k ( h l → 0 ) ，于是由定理假设有 | μ 0 − μ k ， h l | = | λ k h l − 1 − λ k + λ k − λ k ， h l λ k ， h l λ k h l | = O ( | λ k h l − 1 − λ k | ) . (3.6) 由(2.5)可知方案1中的步骤3等价于 a ( u ˜ ， v ) − λ k h l − 1 a ( T h l u ˜ ， v ) = a ( T h l u k h l − 1 ， v ) ，     ∀ v ∈ V h l ，     u k h l = u ˜ | u ˜ | 1 ， Ω ， 即 ( 1 λ k h l − 1 − T h l ) u ˜ = 1 λ k h l − 1 T h l u k h l − 1 ，     u k h l = u ˜ | u ˜ | 1 ， Ω . (3.7) 注意到 1 λ k h l − 1 T h l u k h l − 1 = | 1 λ k h l − 1 T h l u k h l − 1 | 1 ， Ω u 0 与 u 0 仅仅相差一个常数倍，从而方案1步骤3等价于 ( 1 λ k h l − 1 − T h l ) u ˜ = u 0 ，     u k h l = u ˜ | u ˜ | 1 ， Ω . (3.8) 事实上，由(3.7)，(3.8)求得的 u k h l 显然是相等的。当 h l − 1 足够小时，注意到 h l ≪ h l − 1 ，由(3.4)和(3.5)得 d i s t ( u 0 ， M h l ( λ k ) ) ≤ 1 2 . 因为 λ k = λ k + 1 = ⋯ = λ k + q − 1 ，故有 | μ j ， h l − μ k ， h l | = | λ k ， h l − λ j ， h l λ k ， h l λ j ， h l | = | λ k ， h l − λ k + λ j − λ j ， h l λ k ， h l λ j ， h l | ， (3.9) 且由(2.10)可得 λ j ， h l − λ k ≲ δ h l 2 ( λ k )       ( j = k ， k + 1 ， ⋯ ， k + q − 1 ) . 结合(3.9)和(3.6)，且注意到(3.9)的右端项相较于 λ k h l − λ k 是高阶无穷小量，于是 max k ≤ j ≤ k + q − 1 | μ j ， h l − μ k ， h l μ 0 − μ j ， h l | ≤ 1 2 . 因为 ϑ 是分隔常数， h l − 1 足够小，且 h l ≪ h l − 1 ，故成立 | μ 0 − μ j ， h l | ≥ ϑ 2 ，     j ≠ k ， k + 1 ， ⋯ ， k + q − 1. 综上所述，可知引理2.5的条件是成立的。 下面证明(3.1)和(3.2)成立。 将(3.5)和(3.6)代入(2.14)，得到 d i s t ( u k h l ， M ^ h l ( μ k ) ) ≲ 16 ϑ | λ k h l − 1 − λ k | ( d i s t ( u 0 ， M ^ ( λ k ) ) + δ h l ( λ k ) ) . (3.10) 令特征向量 { u j ， h l } j = k k + q − 1 是 M h l ( λ k ) 的在内积 a ( ⋅ ， ⋅ ) 意义下的一组正交基，并注意到 d i s t ( u k h l ， M h l ( λ k ) ) = | u k h l − ∑ j = k k + q − 1 a ( u k h l ， u j ， h l ) u j ， h l | 1 ， Ω . 令 u * = ∑ j = k k + q − 1 a ( u k h l ， u j ， h l ) u j ， h l ， 则由(3.10)可推得 | u k h l − u * | 1 ， Ω ≲ 16 ϑ | λ k h l − 1 − λ k | ( d i s t ( u 0 ， M ^ ( λ k ) ) + δ h l ( λ k ) ) . (3.11) 由引理2.3知，存在 { u j 0 } j = k k + q − 1 ⊂ M ^ ( λ k ) 使得 u j ， h l − u j 0 满足(2.11)。令 u k = ∑ j = k k + q − 1 a ( u k h l ， u j ， h l ) u j 0 ， 则 u k ∈ M ( λ k ) 。由(2.11)可推得 | u * − u k | 1 ， Ω = | ∑ j = k k + q − 1 a ( u k h l ， u j ， h l ) ( u j ， h l − u j 0 ) | 1 ， Ω ≲ ( ∑ j = k k + q − 1 | u j ， h l − u j 0 | 1 ， Ω 2 ) 1 2 ≲ ∑ j = k k + q − 1 δ h l ( λ j ) ≲ q δ h l ( λ k ) . 结合(3.11)与上述不等式可得 | u k h l − u k | 1 ， Ω ≤ | u k h l − u * | 1 ， Ω + | u * − u k | 1 ， Ω ≲ 16 ϑ | λ k h l − 1 − λ k | ( d i s t ( u 0 ， M ^ ( λ k ) ) + δ h l ( λ k ) ) + q δ h l ( λ k ) ≲ 16 ϑ | λ k h l − 1 − λ k | d i s t ( u 0 ， M ^ ( λ k ) ) + 2 q δ h l ( λ k ) . (3.12) 显然存在 u ′ k ∈ M ^ ( λ k ) 使得 | u k h l − 1 − u ′ k | 1 ， Ω = d i s t ( u k h l − 1 ， M ^ ( λ k ) ) ， λ k T u ′ k = u ′ k ∈ M ^ ( λ k ) ，以及 | ( T h l − T ) u ′ k | 1 ， Ω ≤ 1 λ k δ h l ( λ k ) 。 因为 u 0 = λ k h l − 1 T h l u k h l − 1 / | λ k h l − 1 T h l u k h l − 1 | 1 ， Ω ，故由(2.13)和(3.3)推出 d i s t ( u 0 ， M ^ ( λ k ) ) ≲ 2 d i s t ( λ k h l − 1 T h l u k h l − 1 ， M ^ ( λ k ) ) ≤ 2 | λ k h l − 1 T h l u k h l − 1 − λ k T u ′ k | 1 ， Ω ≤ 2 | ( λ k h l − 1 − λ k ) T h l u k h l − 1 | 1 ， Ω + 2 | λ k T h l ( u k h l − 1 − u ′ k ) | 1 ， Ω + 2 | λ k ( T h l − T ) u ′ k | 1 ， Ω ≲ 2 | λ k h l − 1 − λ k | + 2 λ k d i s t ( u k h l − 1 ， M ^ ( λ k ) ) + 2 δ h l ( λ k ) ≲ 3 λ k d i s t ( u k h l − 1 ， M ^ ( λ k ) ) + 2 δ h l ( λ k ) . (3.13) 将(3.13)代入(3.12)，便得到(3.1)。 仍记 u k | u k | 1 ， Ω 为 u k ，则联系(3.1)与(3.3)可知 u k h l 在 |   ⋅   | 1 ， Ω 意义下收敛到 u k 。由于 b ( ⋅ ， ⋅ ) ≲ |   ⋅   | 1 ， Ω ，故 b ( u k h l − u k ， u k h l − u k ) → 0 ，于是 1 b ( u k h l ， u k h l ) → 1 b ( u k ， u k ) = λ k 。因此，当 h l 足够小时，成立 1 b ( u k h l ， u k h l ) ≤ 2 λ k 。在(2.13)中取 w = u k h l ，得到 | λ k h l − λ k | ≤ | u k h l − u k | 1 ， Ω 2 b ( u k h l ， u k h l ) + λ k b ( u k h l − u k ， u k h l − u k ) b ( u k h l ， u k h l ) ≤ 2 λ k | u k h l − u k | 1 ， Ω 2 + 2 λ k 2 b ( u k h l − u k ， u k h l − u k ) ≲ 2 λ k ( 1 + λ k ) | u k h l − u k | 1 ， Ω 2 . 证毕。 在方案1中取 l = 2 ，并记 H = h 1 ， h = h 2 ，我们立即得到下面的二网格方案。 方案2二网格方案 步骤1 在 π H 上解(2.3)：求 λ k ， H ∈ ℝ ， u k ， H ∈ V H 使得 | u k ， H | 1 ， Ω = 1 ，且 a ( u k ， H ， v ) = λ k ， H b ( u k ， H ， v ) ，     ∀ v ∈ V H . 步骤2在 π h 上解线性方程组：求 u ˜ ∈ V h 使得 a ( u ˜ ， v ) − λ k ， H b ( u ˜ ， v ) = b ( u k ， H ， v ) ，     ∀ v ∈ V h ， 且取 u k h = u ˜ / | u ˜ | 1 ， Ω 。 步骤3计算Rayleigh商 λ k h = a ( u k h ， u k h ) b ( u k h ， u k h ) . 由定理3.1可以得到二网格离散方案的误差估计如下： | u k h − u k | 1 ， Ω ≲ 48 ϑ λ k | λ k ， H − λ k | d i s t ( u k ， H ， M ^ ( λ k ) ) + 3 q δ h ( λ k ) ， | λ k h − λ k | ≲ 2 λ k ( 1 + λ k ) | u k h − u k | 1 ， Ω 2 . 注意到 | λ k ， H − λ k | ≲ δ H 2 ( λ k ) ≲ H 2 r ， d i s t ( u k ， H ， M ^ ( λ k ) ) ≲ δ H ( λ k ) ≲ H r ， 因此 | u k h − u k | 1 ， Ω ≲ H 3 r + h r ， (3.14) | λ k h − λ k | ≲ H 6 r + h 2 r . (3.15) (3.15)表明，当 H = O ( h 3 ) 时，由方案2求得的近似特征值可以达到渐进最优收敛阶。