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user: 2. 问题模型和分析 如图1所示，纳米尺度的半空间介质内有一个圆形弹性夹杂，其掩埋深度为H，半径为R，剪切模量为 μ i ，质量体密度为 ρ i ，半空间介质的剪切模量为 μ ，质量体密度为 ρ 。建立如图所示的直角坐标系 x o y 和 x 1 o 1 y 1 。假设半空间直边界为 Γ H ，圆形弹性夹杂边界为 Γ R ，一列稳态入射平面SH波 W ( I ) (入射波函数)以入射角 α 在介质内传播，并与半空间直边界和圆形弹性夹杂边界发生作用，在半空间内产生反射波 W ( r ) 和散射波 W ( s ) ，以及在圆形弹性夹杂中产生折射波 W ( f ) 。这些波函数都满足Helmholtz方程 ∇ 2 W + K 2 W = 0 (1) 其中， ∇ 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 是拉普拉斯算子； k = ω V 是波数， ω 是圆周频率， V = μ ρ 为波速，W为介质内的位移场，在这里直接将稳态时间因子 e − i ω t 忽略了。 图1. 半空间内浅埋圆形夹杂对稳态入射平面SH波的散射 在弹性力学中，剪切应力 τ r z 和 τ θ z 与位移的关系为 { τ r z = μ ( ∂ W ∂ z e i θ + ∂ W ∂ z ¯ e − i θ ) τ θ z = i μ ( ∂ W ∂ z e i θ − ∂ W ∂ z ¯ e − i θ ) (2) 其中， z = r e i θ ， z ¯ = r e − i θ ；i为虚数单位， i 2 = − 1 ； τ r z 和 τ θ z 分别是反平面问题中的径向面和环向面的剪切应力。 入射波函数 W ( I ) = W 0 e i k 2 [ ( z e − i α + z ¯ e i α ) ] e − i H k sin α (3) 反射波函数 W ( r ) = W 0 e i k 2 [ ( z e − i α + z ¯ e i α ) ] e i H k sin α (4) 利用虚源法可以得到散射波函数 W ( s ) = ∑ n = − ∞ ∞ A n { H n ( 1 ) ( k | z | ) ( z | z | ) n + H n ( 1 ) ( k | z − 2 H i | ) ( z − 2 H i | z − 2 H i | ) − n } (5) 折射波函数为 W ( f ) = ∑ n = − ∞ ∞ B n J n ( k i | z | ) ( z | z | ) n (6) 其中， W 0 为入射波振幅， A n ， B n ( n = 0 ， n = ± 1 ， n = ± 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ) 是待定的系数， H n 1 ( ⋅ ) 表示n阶第一类Hankel函数， J n ( ⋅ ) 表示n阶第一类贝塞尔函数。 将方程(3)代入方程(2)，求出入射波对应的应力分别为 τ r z ( I ) = i k μ W 0 2 [ e i ( θ − α ) + e − i ( θ − α ) ] e − i H k sin ( α ) e i k 2 ( z e − i α + z ¯ e i α ) (7) τ θ z ( I ) = − k μ W 0 2 [ e i ( θ − α ) + e − i ( θ − α ) ] e − i H k sin ( α ) e i k 2 ( z e − i α + z ¯ e i α ) (8) 将方程(4)代入方程(2)，求出反射波对应的应力场分别为 τ r z ( r ) = i k μ W 0 2 [ e i ( θ + α ) + e − i ( θ + α ) ] e i H k sin ( α ) e i k 2 ( z e i α + z ¯ e − i α ) (9) τ θ z ( r ) = − k μ W 0 2 [ e i ( θ + α ) − e − i ( θ + α ) ] e i H k sin ( α ) e i k 2 ( z e i α + z ¯ e − i α ) (10) 将方程(5)代入方程(2)，求出散射波对应的应力场分别为 τ r z ( s ) = k μ 2 ∑ n = − ∞ ∞ A n [ H n − 1 ( 1 ) ( k | z | ) ( z | z | ) n - 1 e i θ − H n + 1 ( 1 ) ( k | z | ) ( z | z | ) n + 1 e − i θ     − H n + 1 ( 1 ) ( k | z − 2 H i | ) ( z − 2 H i | z − 2 H i | ) − n − 1 e i θ + H n − 1 ( 1 ) ( k | z − 2 H i | ) ( z − 2 H i | z − 2 H i | ) − n + 1 e − i θ ] (11) τ θ z ( s ) = i k μ 2 ∑ n = − ∞ ∞ A n [ H n − 1 ( 1 ) ( k | z | ) ( z | z | ) n - 1 e i θ + H n + 1 ( 1 ) ( k | z | ) ( z | z | ) n + 1 e − i θ     − H n + 1 ( 1 ) ( k | z − 2 H i | ) ( z − 2 H i | z − 2 H i | ) − n − 1 e i θ − H n − 1 ( 1 ) ( k | z − 2 H i | ) ( z − 2 H i | z − 2 H i | ) − n + 1 e − i θ ] (12) 将方程(6)代入方程(2)，求出折射波对应的径向应力场为 τ r z ( f ) = k i μ i 2 ∑ n = − ∞ ∞ B n [ J n − 1 ( k i | z | ) ( z | z | ) n + J n + 1 ( k i | z | ) ( z | z | ) n ] (13) 弹性夹杂外内的总波场 W ( t 1 ) 、 W ( t 2 ) 以及总应力场 τ r z ( t 1 ) 、 τ θ z ( t 1 ) 、 τ r z ( t 2 ) 场依据叠加原理可表示为 W ( t 1 ) = W ( I ) + W ( r ) + W ( s ) (14) W ( t 2 ) = W ( f ) (15) τ r z ( t 1 ) = τ r z ( I ) + τ r z ( r ) + τ r z ( s ) (16) τ θ z ( t 1 ) = τ θ z ( I ) + τ θ z ( r ) + τ θ z ( s ) (17) τ r z ( t 2 ) = τ r z ( f ) (18) 该问题的边界条件 [ 11 ] 为 { Γ H : τ y z t 1 ( x ， H ) = 0 Γ R : τ r z t 1 ( R ， θ ) − τ r z t 2 ( R ， θ ) = − S ∂ τ θ z t 1 ∂ θ Γ R : W ( t 1 ) ( R ， θ ) = W ( t 2 ) ( R ， θ ) (19) 利用方程(19)可以推得 A n ， B n ( n = 0 ， n = ± 1 ， n = ± 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ) 满足如下形式的方程组 { ∑ n = − ∞ ∞ a 11 B n + a 12 A n = b 1 ∑ n = − ∞ ∞ a 21 B n + a 22 A n = b 2 (20) 为了求解方程组，在方程组(20)的两边同乘 e − i m θ 并在 [ − π ， π ] 上积分得到如下方程组 { ∑ n = − ∞ ∞ c 11 B n + c 12 A n = d 1 ∑ n = − ∞ ∞ c 21 B n + c 22 A n = d 2 (21) 式中 c j k = 1 2 π ∫ − π π a j k e − i m θ d θ d j = 1 2 π ∫ − π π b j e − i m θ d θ ( j ， k = 1 ， 2 ) (22) 对方程组截取有限项求解，可得到未知系数 A n ， B n ( n = 0 ， n = ± 1 ， n = ± 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ) 并代入(14)至(18)式可以得到介质内的总位移场 W ( t 1 ) ， W ( t 2 ) 和总应力场 τ r z ( t 2 ) ， τ θ z ( t 2 ) 。 圆形夹杂边界处的动应力集中系数 γ 描述了其应力集中的程度，定义为 γ = | τ θ z t 1 k u W 0 ( 1 ) | (23) 其中 k u W 0 ( 1 ) 代表入射波在自由场内产生的最大环向切应力的幅值。