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user: 2. 预备知识 本文方程(0.1)中，记 F ( u ) = ∫ 0 u f ( t ) d t ， a > 0 ， b ≥ 0 ， F ( 0 ) = 0 。 (V) V ( x ) ∈ C ( R N ) ， 0 < lim | x | → ∞ V ( x ) ≤ V ∞ < + ∞ 。 (B) b ( x ) ∈ L ∞ ( R N ) ， lim | x | → ∞ b ( x ) : = b ∞ > 0 ， b ( x ) ≥ b ∞ ，且 b ( x ) 不恒等于 b ∞ 。 (F1) 存在 ， C ε > 0 ，使得对任意 u ∈ R ， f ( u ) 满足 . (F2) 当 时，有 f ( u ) = ο ( | u | ) 。 (F3) 对任意的 ，有 。 (F4) 对任意 u ∈ ( − ∞ ， 0 ) ∪ ( 0 ， + ∞ ) ， u ↦ f ( u ) | u | 3 是严格单调递增的。 本文主要结果如下： 定理1 若条件(V)，(B)，(F1)-(F4)成立，则方程(0.1)有非平凡的基态解，即存在 u ≠ 0 是I的临界点，使得 。 为书写的简便，我们将使用如下记号： X = { u ∈ H 1 ( R N ) | ∫ R N [ a | ∇ u | 2 + V ( x ) u 2 ] d x < + ∞ } ，其中 。表示Hilbert空间，X空间对应的内积为 ，范数为 。 L p ( R N ) 表示为 R N 上p次可积函数空间，对应的范数表示为 ‖ u ‖ p = ( ∫ R N | ∇ u | p d x ) 1 p ， 1 ≤ p < ∞ 。 方程(0.1)对应的泛函 I : X → R I ( u ) = a 2 ∫ R N | ∇ u | 2 d x + b 4 ( ∫ R N | ∇ u | 2 d x ) 2 + 1 2 ∫ R N V ( x ) u 2 d x − ∫ R N b ( x ) F ( u ) d x ， u ∈ X . 若对问题(0.1)的任意非平凡解w有 I ( u ) ≤ I ( w ) ，则问题(0.1)的弱解即为基态解。 定义Nehari流形为 N = { u ∈ X \ { 0 } ， I ′ ( u ) ( u ) = 0 } . 泛函的微分形式为 I ′ ( u ) ( φ ) = a ∫ R N ∇ u ∇ φ d x + b ∫ R N | ∇ u | 2 d x ∫ R N ∇ u ∇ φ d x + ∫ R N V ( x ) u φ d x − ∫ R N b ( x ) f ( u ) φ d x . 若 满足 I ( u ^ ) = min { I ( u ) : u ∈ X \ { 0 } ， I ′ ( u ) = 0 } ， 那么 记为(0.1)的基态解。 定义如下形式的辅助泛函： . 同理定义流形 N ∞ N ∞ = { u ∈ X \ { 0 } ， I ′ ∞ ( u ) ( u ) = 0 } . 定义 c N = inf N I ( u ) ， c N ∞ = inf N ∞ I ∞ (u) c 1 = inf u ∈ X \ { 0 } max t ≥ 0 I ( t u ) ， c 1 ∞ = inf u ∈ X \ { 0 } max t ≥ 0 I ∞ (tu) c = inf Γ max t ∈ [ 0 ， 1 ] I ( γ ( t ) ) ， c ∞ = inf Γ max t ∈ [ 0 ， 1 ] I ∞ ( γ ( t ) ) . 其中 Γ = { γ ∈ C ( [ 0 ， 1 ] ， X ) ， γ ( 0 ) = 0 ， I ( γ ( 1 ) ) < 0 } . Γ ∞ = { γ ∈ C ( [ 0 ， 1 ] ， X ) ， γ ( 0 ) = 0 ， I ∞ ( γ ( 1 ) ) < 0 } . 引理1 假设满足条件(V)，(B)，(F1)，(F2)，(F4)，存在 δ > 0 ，有 B δ = { u ∈ X ， ‖ u ‖ < δ } ，则对任意 u ∈ ∂ B δ 有 I > 0 。 证明：对任意的， (其中 C ′ 2 由 ‖ u ‖ 2 ≤ C ′ 2 ‖ u ‖ ， 2 ≤ p ≤ 2 * ，任意 u ∈ X 给出)，由(F1) (F2)可知，存在常数 A 0 ， B > 0 ，使得 | F ( u ) | ≤ B ( | u | 2 + | u | p ) . (1.1) 和 . (1.2) 且(F4)意味着 p > 4 ，因此存在常数，对充分小的 δ > 0 ， I ( u ) ≥ 1 2 min { a ， 1 } ‖ u ‖ 2 − ( ε 2 ‖ u ‖ 2 2 + C ε p ‖ u ‖ p p ) ≥ 1 2 ( min { a ， 1 } − ε C ′ 2 2 ) ‖ u ‖ 2 − C ε C ′ p p ‖ u ‖ p ≥ 1 4 ( min { a ， 1 } − ε C ′ 2 2 ) ‖ u ‖ 2 . 对所有的 ，其中 B δ = { u ∈ X ， ‖ u ‖ ≤ δ } ，因此， I ∂ B δ ≥ 1 4 ( min { a ， 1 } − ε C ′ 2 2 ) δ 2 > 0 。 □ 类似于文献 [ 14 ]，引入同胚映射 g : M → N 和泛函 φ : M → R ，定义如下 g ( u ) : = t ¯ ( u ) ， φ ( u ) = I ( g ( u ) ) . 其中 M = { u ∈ X : ‖ u ‖ = 1 } 。 引理2 (a) ( [ 15 ] 引理2.3)假设满足条件(V) (B) (F1)~(F4)，对任意的 u ∈ X \ { 0 } ，使得 g u ( t ) = I ( t u ) ，若存在 t ¯ 使得当 0 < t < t ¯ 时，有 g ′ u ( t ) > 0 ，当 t > t ¯ 时，有 。 (b) 假设满足条件(F2)和(F4)，在X中有 u n 弱收敛到u，且 u ≠ 0 ，则对任意的数列 ，当 n → ∞ 时， ，有 ∫ R N F ( t n u n ) | t n | 4 d x → ∞ ，那么有 I ( t n u n ) → − ∞ 。 定理2 假设满足条件(V)，(B)，(F1)-(F4)，则有 ，其中c为I的临界值。 证明：1) 由假设可知，对任意 u ∈ X \ { 0 } ，存在唯一 t ( u ) > 0 ，使得 。当 t ≥ 0 时，可在 处得到 I ( t u ) 的最大值 t : X \ { 0 } → [ 0 ， ∞ )         u ↦ t ( u ) . t是连续的，且 u ↦ t ( u ) u 是X中单位球面的同胚映射，对(F4)进行积分可知存在常数 C 0 > 0 ，使得 取适当的 ，令 g ( t ) = I ( t u ) ， t ∈ [ 0 ， ∞ ) ， g ′ ( t ) = 0 ⇔ u ∈ N . 则由引理2知，存在唯一 ，使得 g ′ ( t ( u ) ) = 0 ，且有 t ( u ) u ∈ N ，为了证明 的连续性，假设存在序列 u n → u ， u ∈ X \ { 0 } ，容易得到 { t ( u n ) } 是有界的，若存在 { t ( u n ) } 的子列收敛到 t 0 ， ( t 0 = t ( u ) ) ，则 ，再由X的单位元到N中的连续映射 u ↦ t ( u ) u 是反向的拉回映射 u ↦ u ‖ u ‖ ，即可得到 c N = inf N I ( u ) = inf X \ { 0 } max t ≥ 0 I ( t u ) = c 1 . 因为对于 u ∈ X \ { 0 } ， t → + ∞ 时， I ( t u ) → − ∞ ，可以得到 c 1 ≥ c ，流形N将X分为两个部分，由(F1)和(F2)可知包含原点的分量也包含了原点的邻域，且 ，因为 〈 I ′ ( t u ) ， u 〉 > 0 ，对于 0 ≤ t ≤ t ( u ) ，因而，对于每一个 γ ∈ Γ 穿过N且 c N ≤ c 。 为了证明c是I的临界点，即证I满足PS条件即可 [ 16 ]， Γ 0 = { γ 0 : [ 0 ， 1 ] → X ， γ 0 ( 0 ) = 0 ， I ( γ 0 ( 1 ) ) < 0 } ，有(F1)和(F2)存在 r > 0 ，使得 min ‖ u ‖ < r I ( u ) = 0 ， inf ‖ u ‖ = r I ( u ) > 0 . 可以得到 c ≥ inf ‖ u ‖ = r I ( u ) > 0 = sup γ 0 ∈ Γ 0 sup u ∈ M 0 I ( γ 0 ( u ) ) . 由引理可知I满足PS条件。 □ 命题 假设满足条件(V)，(B)，(F1)~(F4)，那么有以下结论成立： (a) I ′ 是弱下半连续的； (b) 若 { w n } 是 φ 的PS序列，则 { g ∞ ( w n ) } 是I的PS序列； (c) 若w是 φ 的临界点，当且仅当 g ( w ) 是I的非平凡临界点。 引理3 假设满足条件(V)，(B)，(F1)~(F4)，则方程(0.1)的极限形式存在非平凡解。 证明：首先证明(0.1)的极限方程的基态解 [ 17 ]，等价于泛函 I ∞ 限制在流形 N ∞ 上的极小值问题，那么由假设 F ( 0 ) = 0 知， u = 0 是一个局部严格极小值点， I ∞ ( 0 ) = 0 ，假设 { v n } ∈ M 为 φ ∞ 的极小化序列，应用Ekland变分原理 [ 17 ] 知，假设 φ ′ ∞ → 0 ，由命题(b)知若 { v n } 是 φ ∞ 的PS序列，则 { g ∞ ( v n ) } 是 I ∞ 的PS序列，那么 ，其中 u n = g ∞ ( v n ) ∈ N ∞ ，同样的由命题(c)(用 I ∞ 替换I结论仍然成立)知若v是 φ ∞ 的临界点，当且仅当 g ∞ ( v ) 是 的非平凡临界点，其中 u = g ∞ ( v ) ，即 I ∞ ( u ) = I ∞ ( g ∞ ( v ) ) = φ ∞ ( v ) ，则 inf M φ ∞ = c ∞ 。 先证 { u n } 在X中是有界的，若不然，可设当 n → ∞ 时， ‖ u n ‖ → ∞ ，令 w n = u n ‖ u n ‖ ，则存在 { w n } 的子列，仍将其记为 { w n } ，那么在X中有 w n 弱收敛于w，在 L l o c p ( R N ) ， 2 ≤ p < 6 中有 w n 收敛于w，对任意的 x ∈ R N ，有 几乎处处收敛到 w ( x ) ，由Sobolev嵌入定理可知 { w n } 在 上是有界的，即 ∫ R N | w n | p d x < + ∞ ，不是一般性，我们可以假设 ‖ w ‖ p → T 1 ∈ [ 0 ， + ∞ ) ， (i) 若 T 1 = 0 ，由条件(F1)和(F2)知，对任意的 ε > 0 ， C ε > 0 ， t > 0 ， t 2 > 0 ， t p > 0 ， | F ( w n ) | ≤ ε | w n | 2 + C ε | w n | p . (1.3) | ∫ R N F ( t w n ) d x | ≤ ε t 2 2 ‖ w n ‖ 2 + C ε t p p ‖ w n ‖ p . (1.4) 因为 T 1 = 0 ，即 ‖ w n ‖ p → 0 ，又序列 { w n } 在 L l o c p ( R N ) ， 2 ≤ p < 6 上是有界的，则存在 C > 0 ，当 n → ∞ ，有 | ∫ R N F ( t w n ) d x | ≤ ε C . (1.5) 因此，对任意的 ， ∫ R N F ( t w n ) d x → 0 ，再由范数的等价性可知，对任意的 ，当 n → ∞ 时， ，可以得到 (1.6) 矛盾(可取 t > 2 c ∞ α )。 (ii) 若 ，即在 L l o c p ( R N ) 中，有 w n 不收敛于0，由Lions紧性引理 [ 18 ] 可知，存在 y n ∈ R N ，使得 ∫ B ( y n ， 1 ) | w n | 2 d x > 0 . (1.7) 再有泛函 I ∞ 和流形 N ∞ 的平移不变性可知 w n ↦ w n ( ⋅ − k ) ， k ∈ Z N 是不变的，不妨设 { y n } 是有界的，若不然将 w n 平移可以得到。由假设在 L l o c p ( R N ) 中有 w n 收敛于w，那么式子(1.7)意味着 w ≠ 0 ，由引理2(b)和Fatou引理得 ∫ R N F ( t n u n ) ‖ t n u n ‖ 4 d x = ∫ R N F ( t n u n ) | t n u n | 4 ‖ t n w n ‖ d x → + ∞ . (1.8) 可得 I ∞ ( t n u n ) → − ∞ ，与命题(b) I ∞ ≥ 0 矛盾，则 { u n } 在X中是有界的，那么我们可以其找到子列仍记为 { u n } ，那么在X中有 u n 弱收敛于 u 0 ，在 L l o c p ( R N ) ， 2 ≤ p < 6 中有 收敛于 u 0 ，对任意的 x ∈ R N ，有 u n ( x ) 几乎处处收敛到 u 0 ( x ) ，在由命题(a) 是弱序列连续的可知 I ′ ∞ ( u 0 ) = 0 (即 ∵ u n → w u ， ∴ I ′ ∞ ( u n ) → w I ′ ∞ ( u ) )。 其次，我们将证明 u 0 ≠ 0 。 类似于前面的证明我们假设 ‖ u n ‖ → T 2 ∈ [ 0 ， + ∞ ) ，若 T 2 = 0 ，由条件(F1)和(F2)得 | f ( u n ) | ≤ ε | u n | + C ε | u n | p − 1 . (1.9) 类似(i)的证明有 ∫ R N f ( u n ) u n d x → 0 .(1.10) 因此 ∘ ( 1 ) = I ′ ∞ ( u n ) ≥ α ‖ u n ‖ 2 + b ‖ u n ‖ 2 4 − ∫ R N b ∞ f ( u n ) u n d x = α ‖ u n ‖ 2 + ∘ ( 1 ) (1.11) 意味着 u n → 0 ，与 ‖ u ‖ ≥ ρ > 0 和 u n ∈ N ∞ 矛盾，则可得 T 2 ≠ 0 ，即在 中有 u n 不收敛于0，根据Lions紧性引理可知存在 y n ∈ Z N ，使得 ∫ B ( y n ， 1 ) | u n | 2 d x > 0 . (1.12) 因为在 L l o c p ( R N ) ， 2 ≤ p < 6 中有 ，则由(1.12)可知 u 0 ≠ 0 ，又因为 I ′ ∞ ( u 0 ) = 0 ，所以 u 0 ∈ N ∞ ，再由 c ∞ 的定义知 . (1.13) 结合Fatou引理 c ∞ + ∘ ( 1 ) = I ∞ ( u n ) − 1 4 I ′ ∞ ( u n ) ( u n ) + ∘ ( 1 ) ≥ I ∞ ( u 0 ) + ∘ ( 1 ) . (1.14) 结合(1.13)和(1.14)可得 I ∞ ( u 0 ) = c ∞ ，因此得到 u 0 是(0.1)极限形式的一个弱解。