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user: 3. Marcinkiewicz积分交换子在加权Hardy空间上的有界性 下面给出Marcinkiewicz积分交换子的 ( H p ( ω ) ， L q ( ω − q ) ) 和 ( H n n + β ( ω ) ， L 1 ， ∞ ) 有界性证明。 定理1.1的证明 由于 μ Ω ， b 是次线性算子，所以只需要证明对每一个加权p-原子 a j ，有不等式 | μ Ω ， b ( a j ) | L q ( ω 1 − q ) ≤ C . (3.1) 若(3.1)成立，由于 n ( n + β ) n 2 + n β + β 2 < p ≤ 1 ， q > 1 ，则对f的任意分解 f = ∑ j = − N N λ j a j ∈ H p ( ω ) ，利用定义2.3 (ii) 可得 ‖ μ Ω ， b ( f ) ‖ L q ( ω 1 − q ) ≤ ∑ j = − N N | λ j | ‖ μ Ω ， b ( a j ) ‖ L q ( ω 1 − q ) ≤ C ∑ j = − N N | λ j | ≤ C ( ∑ j = − N N | λ j | p ) 1 p ≤ C ‖ f ‖ H p ( ω ) . 下面证明(3.1)。设 supp a j ⊂ B = B ( x 0 ， r ) ，则 ‖ μ Ω ， b ( a j ) ‖ L q ( ω 1 − q ) ≤ ( ∫ 2 B | μ Ω ， b ( a j ) | q ω ( x ) 1 − q d x ) 1 / q + ( ∫ ( 2 B ) c | μ Ω ， b ( a j ) | q ω ( x ) 1 − q d x ) 1 / q   : = I 1 + I 2 . 取 p 1 > 1 ， 1 < q < q 1 < ∞ 且 1 q 1 = 1 p 1 − β n 。利用Hölder不等式，引理2.5和定义2.3 (ii)可得 I 1 = ( ∫ 2 B | μ Ω ， b ( a j ) | q ω ( x ) 1 − q d x ) 1 / q ≤ ( ∫ 2 B | μ Ω ， b ( a j ) | q 1 ω ( x ) 1 − q 1 d x ) 1 / q ( ∫ 2 B ω ( x ) d x ) 1 q − 1 q 1 ≤ C ‖ a j ‖ L p 1 ( ω ) ω ( B ) 1 q − 1 q 1 ≤ C ‖ a j ‖ ∞ ω ( B ) 1 p 1 ω ( B ) 1 q − 1 q 1 ≤ C ω ( B ) − 1 p ω ( B ) 1 p 1 ω ( B ) 1 q − 1 q 1 ≤ C . 对于 I 2 ，有 I 2 = ( ∫ ( 2 B ) c | [ b ， μ Ω ( a j ) ] ( x ) | q ω ( x ) 1 − q d x ) 1 / q ≤ ( ∫ ( 2 B ) c | ( b ( x ) − b B ) μ Ω ( a j ) ( x ) | q ω ( x ) 1 − q d x ) 1 / q + ( ∫ ( 2 B ) c | μ Ω ( ( b − b B ) a j ) ( x ) | q ω ( x ) 1 − q d x ) 1 / q     : = ( I I 1 ) 1 q + ( I I 2 ) 1 q . 而对于 I I 1 ，有 I I 1 ≤ ∑ k = 1 ∞ ∫ 2 k + 1 B ∖ 2 k B | b ( x ) − b B | q ( ∫ 0 ∞ | F Ω ， t ( a j ) ( x ) | 2 d t t 3 ) q 2 ω ( x ) 1 − q d x = ∑ k = 1 ∞ ∫ 2 k + 1 B ∖ 2 k B | b ( x ) − b B | q ( ∫ 0 | x − x 0 | + 2 r | F Ω ， t ( a j ) ( x ) | 2 d t t 3 ) q 2 ω ( x ) 1 − q d x + ∑ ∑ k = 1 ∞ ∫ 2 k + 1 B ∖ 2 k B | b ( x ) − b B | q ( ∫ | x − x 0 | + 2 r ∞ | F Ω ， t ( a j ) ( x ) | 2 d t t 3 ) q 2 ω ( x ) 1 − q d x : = I I 11 + I I 12 . 接下来首先估计 I I 11 。当 x ∈ B ， y ∈ R n \ B ˜ 时有 | x − y | ∼ | x 0 − y | ∼ | x 0 − y | + 2 r ，因此有 | 1 | x − y | 2 − 1 ( | x 0 − y | + 2 r ) 2 | ≤ C r | x − y | 3 ， | x − y | x − y | − x − x 0 | x − x 0 | | ≤ C r | x − x 0 | ， (3.2) 且 | Ω ( x − y ) − Ω ( x − x 0 ) | = | Ω ( x − y | x − y | ) − Ω ( x − x 0 | x − x 0 | ) | ≤ ( r | x − x 0 | ) δ C ( log | x − x 0 | r ) ρ . (3.3) 因此有 | Ω ( x − y ) | x − y | n − 1 − Ω ( x 0 − y ) | x 0 − y | n − 1 | ≤ | Ω ( x − y ) − Ω ( x 0 − y ) | | x 0 − y | n − 1 + | Ω ( x − y ) | | 1 | x − y | n − 1 − 1 | x 0 − y | n − 1 | ≤ C ( r | x − x 0 | ) δ | x 0 − y | n − 1 ( log | x − x 0 | r ) ρ + r | x 0 − y | n ≤ C ( r | x − x 0 | ) δ | x 0 − y | n − 1 ( log | x 0 − y | r ) ρ . (3.4) 利用Minkowski不等式，(3.2)式，零次其次函数 Ω ∈ L ∞ ( S n − 1 ) 和引理2.3可得 I I 11 ≤ ∑ k = 1 ∞ ∫ 2 k + 1 B ∖ 2 k B | b ( x ) − b B | q ( ∫ R n | Ω ( x − y ) | | a j | | x − y | n − 1 ( ∫ | x − y | ≤ t ≤ | x 0 − y | + 2 r d t t 3 ) 1 2 d y ) q ω ( x ) 1 − q d x ≤ ∑ k = 1 ∞ ∫ 2 k + 1 B ∖ 2 k B | b ( x ) − b B | q ( ∫ B | Ω ( x − y ) | | a j | | x − y | n − 1 C r 1 2 | x − y | 3 2 d y ) q ω ( x ) 1 − q d x ≤ C ∑ k = 1 ∞ ∫ 2 k + 1 B ∖ 2 k B | b ( x ) − b B | q ‖ a j ‖ ∞ 2 − k ( n + 1 2 ) q ω ( x ) 1 − q d x ≤ C ∑ k = 1 ∞ ω ( B ) − q p 2 − k ( n + 1 2 ) q ∫ 2 k + 1 B | b ( x ) − b B | q ω ( x ) 1 − q d x ≤ C ∑ k = 1 ∞ ω ( B ) − q p 2 − k ( n + 1 2 ) q k ω ( B ) q β n + 1 ‖ b ‖ L i p β ， ω q 2 ( k + 1 ) ( n + q β ) ≤ C ∑ k = 1 ∞ k 2 − k n ( q − 1 ) 2 − k q ( 1 2 − β ) ≤ C . 接着估计 I I 12 。利用原子 a j 的消失性，Minkowski不等式，(3.4)和引理2.3可得 I I 12 ≤ ∑ k = 1 ∞ ∫ 2 k + 1 B ∖ 2 k B | b ( x ) − b B | q ( ∫ R n | Ω ( x − y ) | x − y | n − 1 − Ω ( x − x 0 ) | x − x 0 | n − 1 | | a j | ( ∫ | x 0 − y | + 2 r ∞ d t t 3 ) 1 2 d y ) q ω ( x ) 1 − q d x ≤ C ∑ k = 1 ∞ ∫ 2 k + 1 B ∖ 2 k B | b ( x ) − b B | q ( ∫ B | a j ( y ) | ( r | x − x 0 | ) δ | x − x 0 | n − 1 ( log | x − y | r ) ρ 1 | x − x 0 | d y ) q ω ( x ) 1 − q d x ≤ C r δ ∑ k = 1 ∞ ω ( B ) − q p 2 − k ( n + δ ) q ( log 2 k ) − ρ q ∫ 2 k + 1 B | b ( x ) − b B | q ω ( x ) 1 − q d x ≤ C r δ ∑ k = 1 ∞ ω ( B ) − q p 2 − k ( n + δ ) q k − ρ q k ω ( B ) q β n + 1 ‖ b ‖ L i p β ， ω q 2 ( k + 1 ) ( n + q β ) ≤ C r δ ∑ k = 1 ∞ k 1 − ρ q 2 − k n ( q − 1 ) 2 − k q ( δ − β ) ≤ C ， 这里最后一个不等式用到 q > 1 和 δ > β ，从而级数收敛。最后估计 I I 2 。利用引理2.2 (i)，定义1.2，定义 2.3 (ii)以及 1 q = 1 p − β n 可得 I I 2 ≤ ∫ R n | μ Ω ( ( b − b B ) a j ) ( x ) | q ω ( x ) 1 − q d x ≤ ∫ B | b − b B | q | a j ( x ) | q ω ( x ) 1 − q d x ≤ ω ( B ) − q p ω ( B ) q β n + 1 ‖ b ‖ L i p β ， ω q ≤ C . 结合 I 1 ， I 2 的估计可得(3.1)。定理证毕。 定理1.3的证明 记 f = ∑ j = − N N λ j a j ，其中a j 是 ω − ( n n + β ， ∞ ) 原子且满足 ∑ j = − N N λ j < ∞ ， supp a j ⊂ B = B ( x 0 ， r ) 。则 | μ Ω ， b f ( x ) | = | [ b ， μ Ω ( ∑ j = − N N λ j a j ) ] ( x ) | ≤ | ∑ j = − N N λ j ( b ( x ) − b B ) μ Ω ( a j ) ( x ) χ 4 B ( x ) |     + | ∑ j = − N N λ j ( b ( x ) − b B ) μ Ω ( a j ) ( x ) χ ( 4 B ) c ( x ) |     + | μ Ω ( ∑ j = − N N λ j ( b − b B ) a j ) ( x ) | : = J 1 + J 2 + J 3 . 利用Hölder不等式，引理2.2 (i)，定义1.1， a j 是 ω − ( n n + β ， ∞ ) 原子和引理2.3可得 ‖ J 1 ‖ L 1 ≤ C ∑ j = − N N | λ j | ( ∫ 4 B | b ( x ) − b B | 2 ω ( x ) − 1 d x ) 1 / 2 ( ∫ 4 B | μ Ω ( a j ) ( x ) | 2 ω ( x ) d x ) 1 / 2 ≤ C ∑ j = − N N | λ j | ( ∫ 4 B | b ( x ) − b B | 2 ω ( x ) − 1 d x ) 1 / 2 ( ∫ 4 B | a j ( x ) | 2 ω ( x ) d x ) 1 / 2 ≤ C ∑ j = − N N | λ j | 2 2 ( β + n 2 ) ω ( B ) β n + 1 2 ‖ b ‖ L i p β ， ω ω ( B ) − n + β n ω ( B ) 1 2 ≤ C ∑ j = − N N | λ j |     . 对于 J 2 ，有 ‖ J 2 ‖ L 1 ≤ ∑ j = − N N | λ j | ‖ ( b ( x ) − b B ) μ Ω ( a j ) ( x ) χ ( 4 B ) c ( x ) ‖ L 1 ≤ ∑ j = − N N | λ j | ∫ R n ∖ 4 B | b ( x ) − b B | ( ∫ 0 ∞ | ∫ | x − y | ≤ t Ω ( x − y ) | x − y | n − 1 a j ( y ) d y | 2 d t t 3 ) 1 / 2 d x ≤ ∑ j = − N N | λ j | ∫ R n ∖ 4 B | b ( x ) − b B | ( ∫ 0 | x − x 0 | + 4 r | ∫ | x − y | ≤ t Ω ( x − y ) | x − y | n − 1 a j ( y ) d y | 2 d t t 3 ) 1 / 2 d x + ∑ j = − N N | λ j | ∫ R n ∖ 4 B | b ( x ) − b B | ( ∫ | x − x 0 | + 4 r ∞ | ∫ | x − y | ≤ t Ω ( x − y ) | x − y | n − 1 a j ( y ) d y | 2 d t t 3 ) 1 / 2 d x : = ∑ j = − N N | λ j | ( K 1 + K 2 ) . 接下来我们分别估计 K 1 和 K 2 。首先对于 K 1 ，我们利用Minkowski不等式，(3.2)式，定义2.3 (ii)和引理2.4可得 接着估计 K 2 ，利用原子 a j 的消失性，Minkowski不等式，(3.4)和引理2.3可得 K 2 ≤ ∑ k = 2 ∞ ∫ 2 k + 1 B ∖ 2 k B | b ( x ) − b B | ∫ R n | Ω ( x − y ) | x − y | n − 1 − Ω ( x − x 0 ) | x − x 0 | n − 1 | | a j ( y ) | ( ∫ | x − x 0 | + 4 r ∞ d t t 3 ) 1 / 2 d y d x ≤ ∑ k = 2 ∞ ∫ 2 k + 1 B ∖ 2 k B | b ( x ) − b B | ∫ B | a j ( y ) | ( r | x − x 0 | ) δ | x − x 0 | n − 1 ( log | x − x 0 | r ) ρ 1 | x − x 0 | d y d x ≤ C ∑ k = 2 ∞ ( 2 k r ) − n 2 − k δ r δ ( log 2 k ) − ρ ω ( B ) − ( 1 + β n ) | B | ∫ 2 k + 1 B | b ( x ) − b B | d x ≤ C r δ ∑ k = 2 ∞ 2 − k n 2 − k δ k − ρ ω ( B ) − ( 1 + β n ) k ‖ b ‖ L i p ， β ω ( B ) − ( 1 + β n ) 2 ( k + 1 ) ( n + β ) ≤ C r δ ∑ k = 2 ∞ k 1 − ρ 2 − k ( δ − β ) ≤ C ， 其中最后一个不等式利用了 δ > β 从而级数收敛。因此 ‖ J 2 ‖ L 1 ≤ C ∑ j = − N N | λ j |     . 最后，利用引理2.7，定义2.1和定义2.3 (ii)，有 | { x ∈ R n : | J 3 | > λ 3 } | ≤ C λ − 1 ‖ ∑ j = − N N λ j ( b − b B ) a j ( x ) ‖ L 1 ≤ C λ − 1 ω ( B ) − ( 1 + β n ) ∑ j = − N N | λ j | ∫ B | b ( x ) − b B | d x ≤ C λ − 1 ω ( B ) − ( 1 + β n ) ∑ j = − N N | λ j | ω ( B ) 1 + β n ‖ b ‖ L i p β ， ω ≤ C λ − 1 ∑ j = − N N | λ j |     . 综上，由 J 1 ， J 2 和 J 3 的估计可得 | { x ∈ R n : | μ Ω ， b f ( x ) | > λ } | ≤ C λ − 1 ∑ j = − N N | λ j | ≤ C λ − 1 ( ∑ j = − N N | λ j | n n + β ) n + β n ， 再对f的所有原子分解取下确界，即可完成定理的证明。