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user: 2. 主要结果 定义函数 F 1 ( x ) = { ∫ 0 + x d v f ( v ) ，     x > 0 ∫ 0 − x d v f ( v ) ，     x < 0 (2.1) F 2 ( x ) = { ∫ x ∞ d v f ( v ) ，     x > 0 ; ∫ x − ∞ d v f ( v ) ，     x < 0. (2.2) 考虑集合 D = { ( t ， s ) | t ≥ s ≥ t 0 } 。函数 H ∈ C ( D ， R ) 称为属于X，记为 H ∈ X ，如果 (A 1 ) H ( t ， t ) = 0 ，   t ≥ t 0 ，     H ( t ， s ) > 0 ，   ( t ， s ) ∈ D ; (A 2 ) ∂ H ∂ s ( t ， t ) = 0 ，   t ≥ t 0 ;     ∂ H ∂ s ( t ， s ) ≤ 0 ，   ( t ， s ) ∈ D ; 使用一些记号定义函数， ρ ∈ C 1 ( [ t 0 ， ∞ ) ， ( 0 ， ∞ ) ) ，令 P ( t ) = 1 r ( t ) ( ρ ( t ) p ( t ) + ρ ( t ) r ′ ( t ) − ρ ′ ( t ) r (t) ) 定理2.1：设函数f满足(1.1)式， H ∈ X ，若存在正函数 ρ ∈ C 1 ( [ t 0 ， ∞ ) ， ( 0 ， ∞ ) ) ，满足 P ( t ) ≥ 0 ，     P ′ ( t ) ≤ 0 ，     t ≥ t 0 (2.3) 且 lim sup t → ∞ 1 H ( t ， t 0 ) ∫ t 0 t H ( t ， s ) ρ ( s ) q ( s ) r ( s ) d s = ∞ (2.4) 则方程(E)振动。 证设方程(E)有一个非振动解 x ( t ) ，不妨设 x ( t ) > 0 ，考虑广义Riccati变换 w ( t ) = ρ ( t ) x ′ ( t ) f ( x ( t ) ) (2.5) (2.5)式对t进行求导，并由(E)式，知 w ′ ( t ) = ( ρ ( t ) r ( t ) ) ′ r ( t ) x ′ ( t ) f ( x ( t ) ) + ρ ( t ) r ( t ) ( r ( t ) x ′ ( t ) f ( x ( t ) ) ) ′ = ρ ′ ( t ) r ( t ) r ( t ) x ′ ( t ) f ( x ( t ) ) − ρ ( t ) r ′ ( t ) r ( t ) x ′ ( t ) f ( x ( t ) ) + ρ ( t ) r ( t ) ( r ( t ) x ′ ( t ) ) ′ f ( x ( t ) ) − ρ ( t ) ( x ′ ( t ) ) 2 f ′ ( x ( t ) ) f 2 ( x ( t ) ) = − ρ ( t ) q ( t ) r ( t ) − 1 r ( t ) ( ρ ( t ) p ( t ) + ρ ( t ) r ′ ( t ) − ρ ′ ( t ) r ( t ) ) x ′ ( t ) f ( x ( t ) ) − ρ ( t ) ( x ′ ( t ) ) 2 f ′ ( x ( t ) ) f 2 ( x ( t ) ) ≤ − ρ ( t ) q ( t ) r ( t ) − 1 r ( t ) ( ρ ( t ) p ( t ) + ρ ( t ) r ′ ( t ) − ρ ′ ( t ) r ( t ) ) x ′ ( t ) f ( x ( t ) ) = − ρ ( t ) q ( t ) r ( t ) − P ( t ) x ′ ( t ) f ( x ( t ) ) (2.6) 不等式(2.6)两边同时乘以 H ( t ， s ) ，并对此从t 0 到t对s进行积分，得 ∫ t 0 t H ( t ， s ) ρ ( s ) q ( s ) r ( s ) d s ≤ − ∫ t 0 t H ( t ， s ) w ′ ( s ) d s − ∫ t 0 t H ( t ， s ) P ( s ) x ′ ( s ) f ( x ( t ) ) d s (2.7) 利用条件(A 2 )，有 − ∫ t 0 t H ( t ， s ) w ′ ( s ) d s = H ( t ， t 0 ) w ( t 0 ) + ∫ t 0 t ∂ H ∂ s ( t ， s ) w ( s ) d s ≤ H ( t ， t 0 ) w ( t 0 ) (2.8) 由条件(2.3)和积分中值定理知，对任意固定的 s ≥ t 0 ，存在 ζ ∈ [ t 0 ， s ] ，使得 − ∫ t 0 s P ( v ) x ′ ( v ) f ( x ( v ) ) d v = − P ( t 0 ) ∫ t 0 ζ x ′ ( v ) f ( x ( v ) ) d v = P ( t 0 ) ∫ x ( ζ ) x ( t 0 ) d τ f ( τ ) (2.9) 由(2.1)知，当 x > 0 时，有 ∫ x ( ζ ) x ( t 0 ) d τ f ( τ ) < { 0 ，                                   当 x ( ζ ) > x ( t 0 ) ， ∫ 0 + x ( t 0 ) d τ f ( τ ) ，       当 x ( ζ ) ≤ x ( t 0 ) ， 注意(2.1)式，于是(2.9)式可改成 − ∫ t 0 s P ( v ) x ′ ( v ) f ( x ( v ) ) d v = P ( t 0 ) ∫ x ( ζ ) x ( t 0 ) d τ f ( τ ) ≤ P ( t 0 ) F 1 ( x ( t 0 ) ) ≡ L 1 ，     ∀ s ≥ t 0 (2.10) 利用(2.10)式，得到 − ∫ t 0 t H ( t ， s ) P ( s ) x ′ ( s ) f ( x ( t ) ) d s = ∫ t 0 t H ( t ， s ) d ( − ∫ t 0 s P ( v ) x ′ ( v ) f ( x ( v ) ) d v ) = − ∫ t 0 t ∂ H ∂ s ( t ， s ) ( − ∫ t 0 s P ( v ) x ′ ( v ) f ( x ( v ) ) d v ) d s ≤ L 1 ( − ∫ t 0 t ∂ H ∂ s ( t ， s ) d s ) = L 1 H ( t ， t 0 ) (2.11) 联合(2.7)，(2.8)和(2.11)时，得到 ∫ t 0 t H ( t ， s ) ρ ( s ) q ( s ) r ( s ) d s ≤ ( w ( t 0 ) + L 1 ) H ( t ， t 0 ) = L H ( t ， t 0 ) 因此 lim sup t → ∞ 1 H ( t ， t 0 ) ∫ t 0 t H ( t ， s ) ρ ( s ) q ( s ) r ( s ) d s ≤ L 上式与条件(2.4)矛盾，同理 x ( t ) < 0 时也成立，定理2.1证毕。 定理2.2设函数 满足(1.2)式， H ∈ X ，若存在正函数 ，满足 (2.12) 且条件(2.4)成立，则方程(E)振动。 证设方程(E)有一个非振动解 ，如同定理2.1的证明一样，我们有(2.7)和(2.8)式对 成立。 由条件(2.12)和积分中值定理，对任意固定的 ，存在 ，使得 (2.13) 由(2.2)知，当 时 注意到(2.2)式，于是(2.13)式可改成 (2.14) 利用(2.14)式，得到 此时，(2.7)式成为 因此， 上式与条件(2.4)矛盾，同理当 时结论也成立，定理2.2证毕。 推论2.1：当 时， 。若存在正函数 ，满足条件(2.12)和(2.4)式，则方程(E)振动。 证设方程(E)有一个非振动解 ，不妨设 ，定义函数 (2.15) (2.15)式对t进行求导，并由(E)式，得 (2.16) 不等式(2.16)两边同时乘以 ，并对此从t 0 到t对s进行积分，因此 (2.17) 利用条件(A 2 )，有 (2.18) 由条件(2.12)和积分中值定理知，对任意固定的 ，存在 ，使得 (2.19) 利用(2.19)式，得到 (2.20) 联合(2.17)，(2.18)和(2.20)，有 因此 上式与条件(2，4)矛盾，同理当 时结论也成立，证毕。 注1：在方程(E)中取 。若存在正函数 使得满足 ，且条件(2.4)成立，则方程(E)成立。 注2：当 时，推论2.1推广和改善了文献 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] 的相应结果。