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user: 4. 算例分析 某地举办大型体育赛事，为保证食品安全，需要选择冷链物流服务供应商为赛事提供后勤保障。经过前期调研和谈判，备选的冷链物流服务供应商一共有4家，现组织由4个决策子群体组成的决策群体对这4家供应商进行评价与选择。经过分析，选取以下4个因素作为评价指标：生产能力(C 1 )，企业信誉(C 2 )，服务水平(C 3 )，产品质量(C 4 )。4个决策子群体中的决策者分别就不同的供应商在各个指标下的表现，给出支持，反对，持中和弃权4种评价意见。以统计的方法，得到4个决策子群体给出的影像模糊信息，如表1所示。 Table 1 Picture fuzzy decision matrice C 1 C 2 C 3 C 4 D 1 A 1 <0.4， 0.2， 0.3> <0.2， 0.3， 0.4> <0.4， 0.2， 0.3> <0.3， 0.2， 0.2> A 2 <0.3， 0.2， 0.4> <0.3， 0.4， 0.2> <0.3， 0.2， 0.4> <0.4， 0.2， 0.1> A 3 <0.2， 0.3， 0.4> <0.2， 0.3， 0.4> <0.4， 0.2， 0.3> <0.3， 0.2， 0.4> A 4 <0.4， 0.3， 0.2> <0.1， 0.2， 0.4> <0.3， 0.2， 0.4> <0.4， 0.2， 0.3> D 2 A 1 <0.4， 0.2， 0.2> <0.4， 0.2， 0.1> <0.2， 0.3， 0.4> <0.3， 0.2， 0.4> A 2 <0.2， 0.3， 0.4> <0.3， 0.2， 0.4> <0.2， 0.2， 0.4> <0.4， 0.1， 0.2> A 3 <0.5， 0.2， 0.2> <0.2， 0.3， 0.3> <0.3， 0.2， 0.4> <0.4， 0.2， 0.2> A 4 <0.3， 0.2， 0.2> <0.3， 0.2， 0.4> <0.4， 0.2， 0.2> <0.3， 0.1， 0.4> D 3 A 1 <0.3， 0.2， 0.4> <0.3， 0.2， 0.3> <0.3， 0.2， 0.4> <0.2， 0.3， 0.4> A 2 <0.4， 0.1， 0.3> <0.4， 0.1， 0.2> <0.2， 0.2， 0.4> <0.4， 0.2， 0.3> A 3 <0.4， 0.2， 0.2> <0.3， 0.2， 0.3> <0.3， 0.2， 0.4> <0.3， 0.1， 0.5> A 4 <0.2， 0.3， 0.4> <0.4， 0.2， 0.3> <0.4， 0.1， 0.3> <0.4， 0.1， 0.3> D 4 A 1 <0.2， 0.2， 0.5> <0.2， 0.2， 0.4> <0.3， 0.2， 0.4> <0.3， 0.2， 0.3> A 2 <0.3， 0.2， 0.3> <0.3， 0.2， 0.3> <0.4， 0.2， 0.3> <0.5， 0.2， 0.2> A 3 <0.4， 0.1， 0.3> <0.4， 0.2， 0.3> <0.2， 0.2， 0.5> <0.3， 0.2， 0.4> A 4 <0.3， 0.2， 0.4> <0.3， 0.2， 0.3> <0.3， 0.2， 0.3> <0.4， 0.2， 0.3> 表1. 影像模糊决策矩阵 步骤1. 为描述群体评价意见的不确定性，本文基于证据理论利用式(10)~(13)将各决策子群体给出的 影像模糊决策矩阵 P k = ( p i j k ) 4 × 4 (见表1)转化为证据矩阵 M k = ( m i j k ) 4 × 4 ( k = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 。决策子群体D 1 对应 的证据矩阵M 1 如下所示： m 11 1 = [ 0.4 ， 0.2 ， 0.3 ， 0.1 ] ， m 12 1 = [ 0.2 ， 0.3 ， 0.4 ， 0.1 ] ， m 13 1 = [ 0.4 ， 0.2 ， 0.3 ， 0.1 ] ， m 14 1 = [ 0.3 ， 0.2 ， 0.2 ， 0.3 ] ， m 21 1 = [ 0.3 ， 0.2 ， 0.4 ， 0.1 ] ， m 22 1 = [ 0.3 ， 0.4 ， 0.2 ， 0.1 ] ， m 23 1 = [ 0.3 ， 0.2 ， 0.4 ， 0.1 ] ， m 24 1 = [ 0.4 ， 0.2 ， 0.1 ， 0.3 ] ， m 31 1 = [ 0.2 ， 0.3 ， 0.4 ， 0.1 ] ， m 32 1 = [ 0.2 ， 0.3 ， 0.4 ， 0.1 ] ， m 33 1 = [ 0.4 ， 0.2 ， 0.3 ， 0.1 ] ， m 34 1 = [ 0.3 ， 0.2 ， 0.4 ， 0.1 ] ， m 41 1 = [ 0.4 ， 0.3 ， 0.2 ， 0.1 ] ， m 42 1 = [ 0.1 ， 0.2 ， 0.4 ， 0.3 ] ， m 43 1 = [ 0.3 ， 0.2 ， 0.4 ， 0.1 ] ， m 44 1 = [ 0.4 ， 0.2 ， 0.3 ， 0.1 ] 。 同理，可以求得决策子群体D 2 、D 3 和D 4 所对应的证据矩阵 M 2 、 M 3 和 M 4 。 步骤2. 为了计算各决策子群体间的Pignistic概率距离，利用式(14)计算概率函数矩阵 B k = ( b i j k ) 4 × 4 ( k = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 。与证据矩阵 M 1 对应的概率函数矩阵 B 1 如下所示： B 11 1 = [ 0.5 ， 0.2 ， 0.4 ， 0.1 ] ， B 12 1 = [ 0.35 ， 0.3 ， 0.55 ， 0.1 ] ， B 13 1 = [ 0.5 ， 0.2 ， 0.4 ， 0.1 ] ， B 14 1 = [ 0.4 ， 0.2 ， 0.3 ， 0.3 ] ， B 21 1 = [ 0.4 ， 0.2 ， 0.5 ， 0.1 ] ， B 22 1 = [ 0.5 ， 0.4 ， 0.4 ， 0.1 ] ， B 23 1 = [ 0.35 ， 0.3 ， 0.55 ， 0.1 ] ， B 24 1 = [ 0.5 ， 0.2 ， 0.2 ， 0.3 ] ， B 31 1 = [ 0.35 ， 0.3 ， 0.55 ， 0.1 ] ， B 32 1 = [ 0.35 ， 0.3 ， 0.55 ， 0.1 ] ， B 33 1 = [ 0.5 ， 0.2 ， 0.4 ， 0.1 ] ， B 34 1 = [ 0.4 ， 0.2 ， 0.5 ， 0.1 ] ， B 41 1 = [ 0.55 ， 0.3 ， 0.35 ， 0.1 ] ， B 42 1 = [ 0.2 ， 0.2 ， 0.5 ， 0.3 ] ， B 43 1 = [ 0.4 ， 0.2 ， 0.5 ， 0.1 ] ， B 44 1 = [ 0.5 ， 0.2 ， 0.4 ， 0.1 ] 。 同理，可以求得概率函数矩阵 B 2 ， B 3 和 B 4 。 步骤3. 利用式(15)计算各决策子群体间的Pignistic概率距离矩阵 D k l = ( d i j k l ) 4 × 4 ( k ， l = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 。 D 12 = D 21 = [ 0.10 0.35 0.15 0.20 0.05 0.10 0.10 0.05 0.25 0.10 0.10 0.10 0.20 0.20 0.20 0.15 ] ， D 13 = D 31 = [ 0.10 0.15 0.10 0.25 0.15 0.20 0.10 0.20 0.25 0.15 0.10 0.15 0.20 0.30 0.15 0.10 ] ， D 14 = D 41 = [ 0.20 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.20 0.20 0.15 0.20 0.10 0.15 0.20 0.10 0 ] ， D 23 = D 32 = [ 0.20 0.20 0.05 0.05 0.20 0.25 0 0.20 0.10 0.05 0 0.25 0.25 0.10 0.05 0.10 ] ， D 24 = D 42 = [ 0.30 0.30 0.05 0.10 0.15 0.10 0.20 0.20 0.15 0.15 0.10 0.20 0.20 0.10 0.10 0.15 ] ， D 34 = D 43 = [ 0.10 0.10 0 0.15 0.05 0.15 0.20 0.10 0.05 0.10 0.10 0.05 0.05 0.10 0.05 0.10 ] 。 步骤4. 利用式(20)计算各决策子群体与其他决策子群体的平均距离矩阵 D ¯ k ( k = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 。 D ¯ 1 = [ 0.13 0.20 0.12 0.18 0.10 0.13 0.10 0.15 0.23 0.13 0.13 0.12 0.18 0.23 0.15 0.08 ] ， D ¯ 2 = [ 0.20 0.28 0.08 0.12 0.13 0.15 0.10 0.15 0.17 0.10 0.07 0.18 0.22 0.13 0.12 0.13 ] ， D ¯ 3 = [ 0.13 0.15 0.05 0.15 0.13 0.20 0.10 0.17 0.13 0.10 0.07 0.15 0.17 0.17 0.08 0.10 ] ， D ¯ 4 = [ 0.20 0.17 0.05 0.12 0.10 0.12 0.17 0.17 0.13 0.13 0.13 0.12 0.13 0.13 0.08 0.08 ] 。 步骤5. 根据平均距离矩阵 D ¯ k ( k = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) ，求得决策群体的综合距离矩阵 D ˜ 。 D ˜ = [ 0.17 0.20 0.08 0.14 0.12 0.15 0.12 0.16 0.17 0.12 0.10 0.14 0.18 0.17 0.11 0.10 ] 。 步骤6. 为了对决策者的评价信息进行集成，计算各证据的多义度 A M ( m i j k ) ，并依据证据矩阵 M k 中各证据 m i j k 为冲突证据或非冲突证据的分类确定相应的修正权重矩阵 W k ( k = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 。 首先，根据平均距离矩阵 D ¯ k 和综合距离矩阵 D ˜ ，将证据分为冲突证据和非冲突证据两类。若 d ¯ i j k < d ˜ i j ，则证据定义为非冲突证据，若 d ¯ i j k > d ˜ i j ，则证据定义为冲突证据。 然后，利用式(21)确定各个证据的多义度矩阵 A k ( k = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) ： A 1 = [ 1.83 1.86 1.83 2.04 1.83 1.89 1.83 1.95 1.86 1.86 1.83 1.99 1.86 1.95 1.83 1.83 ] ， A 2 = [ 1.95 1.95 1.86 1.83 1.86 1.83 1.95 1.87 1.76 2.03 1.83 1.95 2.04 1.83 1.95 1.85 ] ， A 3 = [ 1.83 1.99 1.83 1.86 1.85 1.87 1.95 1.83 1.95 1.99 1.83 1.67 1.86 1.83 1.85 1.85 ] ， A 4 = [ 1.75 1.95 1.83 1.99 1.99 1.99 1.83 1.76 1.85 1.83 1.76 1.83 1.83 1.99 1.99 1.83 ] 。 最后，利用式(22)和(23)确定修正权重矩阵 W k ( k = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) ： W 1 = [ 0.78 0.04 0.04 0.04 0.78 0.78 0.79 0.77 0.04 0.04 0.04 0.77 0.04 0.04 0.04 0.78 ] ， W 2 = [ 0.04 0.04 0.04 0.79 0.04 0.79 0.77 0.78 0.79 0.77 0.78 0.04 0.04 0.79 0.04 0.04 ] ， W 3 = [ 0.78 0.77 0.78 0.04 0.04 0.78 0.77 0.04 0.77 0.04 0.78 0.05 0.78 0.79 0.78 0.78 ] ， W 4 = [ 0.04 0.78 0.78 0.77 0.77 0.77 0.04 0.04 0.78 0.04 0.04 0.78 0.79 0.77 0.77 0.78 ] 。 步骤7. 根据修正权重和各决策子群体的证据矩阵 M k = ( m i j k ) 4 × 4 ( k = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) ，求得平均证据矩阵 M ¯ = ( m ¯ i j ) 4 × 4 。 m ¯ 11 = [ 0.35 ， 0.20 ， 0.35 ， 0.10 ] ， m ¯ 12 = [ 0.25 ， 0.20 ， 0.35 ， 0.20 ] ， m ¯ 13 = [ 0.30 ， 0.20 ， 0.40 ， 0.10 ] ， m ¯ 14 = [ 0.30 ， 0.20 ， 0.35 ， 0.15 ] ， m ¯ 21 = [ 0.30 ， 0.20 ， 0.35 ， 0.15 ] ， m ¯ 22 = [ 0.30 ， 0.26 ， 0.30 ， 0.14 ] ， m ¯ 23 = [ 0.24 ， 0.20 ， 0.40 ， 0.16 ] ， m ¯ 24 = [ 0.40 ， 0.15 ， 0.16 ， 0.29 ] ， m ¯ 31 = [ 0.43 ， 0.17 ， 0.24 ， 0.26 ] ， m ¯ 32 = [ 0.25 ， 0.25 ， 0.30 ， 0.30 ] ， m ¯ 33 = [ 0.30 ， 0.20 ， 0.40 ， 0.10 ] ， m ¯ 34 = [ 0.30 ， 0.20 ， 0.35 ， 0.15 ] ， m ¯ 41 = [ 0.26 ， 0.25 ， 0.39 ， 0.10 ] ， m ¯ 42 = [ 0.33 ， 0.20 ， 0.33 ， 0.14 ] ， m ¯ 43 = [ 0.35 ， 0.15 ， 0.30 ， 0.20 ] ， m ¯ 44 = [ 0.40 ， 0.17 ， 0.30 ， 0.13 ] 。 步骤8. 利用式(24)~(28)的D-S合成规则对修正后的证据进行3次自融合，获得集成证据矩阵 M ^ = ( m ^ i j ) 4 × 4 ，其元素为： m ^ 11 = [ 0.49 ， 0.01 ， 0.50 ， 0.00 ] ， m ^ 12 = [ 0.31 ， 0.01 ， 0.67 ， 0.1 ] ， m ^ 13 = [ 0.32 ， 0.01 ， 0.67 ， 0.00 ] ， m ^ 14 = [ 0.40 ， 0.01 ， 0.59 ， 0.00 ] ， m ^ 21 = [ 0.40 ， 0.01 ， 0.58 ， 0.01 ] ， m ^ 22 = [ 0.49 ， 0.02 ， 0.48 ， 0.01 ] ， m ^ 23 = [ 0.21 ， 0.01 ， 0.77 ， 0.00 ] ， m ^ 24 = [ 0.86 ， 0.01 ， 0.07 ， 0.06 ] ， m ^ 31 = [ 0.82 ， 0.01 ， 0.16 ， 0.00 ] ， m ^ 32 = [ 0.39 ， 0.03 ， 0.57 ， 0.01 ] ， m ^ 33 = [ 0.32 ， 0.01 ， 0.61 ， 0.00 ] ， m ^ 34 = [ 0.40 ， 0.01 ， 0.58 ， 0.00 ] ， m ^ 41 = [ 0.27 ， 0.02 ， 0.71 ， 0.00 ] ， m ^ 42 = [ 0.48 ， 0.01 ， 0.50 ， 0.00 ] ， m ^ 43 = [ 0.59 ， 0.01 ， 0.38 ， 0.01 ] ， m ^ 44 = [ 0.68 ， 0.01 ， 0.32 ， 0.00 ] 。 由此，可以构建群体影像模糊决策矩阵 P = ( p i j ) 4 × 4 ，如表2所示。 Table 2 Group picture fuzzy decision matri C 1 C 2 C 3 C 4 A 1 <0.49， 0.01， 0.50> <0.31， 0.01， 0.67> <0.32， 0.01， 0.67> <0.40， 0.01， 0.59> A 2 <0.40， 0.01， 0.58> <0.49， 0.02， 0.48> <0.21， 0.01， 0.77> <0.86， 0.01， 0.07> A 3 <0.82， 0.01， 0.16> <0.39， 0.03， 0.57> <0.32， 0.01， 0.61> <0.40， 0.01， 0.58> A 4 <0.27， 0.02， 0.71> <0.48， 0.01， 0.50> <0.59， 0.01， 0.38> <0.68， 0.01， 0.32> 表2. 群体影像模糊决策矩阵 步骤9. 确定群体影像模糊决策矩阵 P = ( p i j ) 4 × 4 的理想解： p 1 + = 〈 0.82 ， 0.01 ， 0.16 〉 ， p 2 + = 〈 0.49 ， 0.01 ， 0.48 〉 ， p 3 + = 〈 0.59 ， 0.01 ， 0.38 〉 ， p 4 + = 〈 0.86 ， 0.01 ， 0.07 〉 。 步骤10. 利用式(15)计算群体影像模糊决策矩阵 P = ( p i j ) 4 × 4 元素与理想解之间的Pignistic距离矩阵 D = ( d i j ) 4 × 4 ，如下所示： D = [ 0.33 0.18 0.28 0.52 0.42 0.01 0.39 0.00 0.00 0.10 0.29 0.52 0.55 0.02 0.00 0.24 ] 。 步骤11. 利用式(29)计算各备选供应商 A i ( i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 在指标 C j ( j = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 下与理想解的灰色关联系数，构成灰色关联系数矩阵 ε = ( ε i j ) 4 × 4 。 ε = [ 0.62 0.75 0.66 0.52 0.57 0.97 0.59 1.00 1.00 0.84 0.66 0.52 0.50 0.96 1.00 0.70 ] 。 步骤12. 利用式(30)计算每个冷链物流服务供应商 A i ( i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 相对于理想解的关联度： ε 1 = 0.62 ， ε 2 = 0.83 ， ε 3 = 0.69 ， ε 4 = 0.80 。 关联度反应了冷链物流服务供应商与理想解的接近程度，关联度越大说明该供应商与理想解越接近。按照关联度由大到小的顺序对所有备选冷链物流服务供应商进行排序，排序结果为： A 2 ≻ A 4 ≻ A 3 ≻ A 1 。因此，A 2 为最优的冷链物流服务供应商，说明了本文基于证据理论提出的多属性群决策方法的可行性。该方法为影像模糊环境下的冷链物流服务供应商选择提供了一个新的思路。