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user: 2. 离散 设N，L为正整数，取空间步长 h = ( b − a ) / ( N + 1 ) ，时间步长 Δ t = T / L 。区间 [ a ， b ] 上 N + 1 等分，分点为 x i = a + i h ， i = 0 ， 1 ， ⋯ ， N + 1 ，得到N个小区间 [ x i − 1 2 ， x i + 1 2 ] ， i = 0 ， 1 ， ⋯ ， N ；在区间 [ 0 ， t ] 上L等分，分点为 t k = k Δ t ， k = 0 ， 1 ， ⋯ ， L 。为了方便，仅取f在点 x i + 1 2 ， i = 0 ， 1 ， ⋯ ， N 处的值，记 f x + 1 2 = f ( x i + 1 2 ) 。 在方程(1.3)中取 t = t n ( n = 0 ， 1 ， ⋯ ， L ) ，在第i个控制体积上即区间 [ x i − 1 2 ， x i + 1 2 ] 上对方程两边求积得到 ∫ x i − 1 2 x i + 1 2 ∂ α ω ∂ t α | t n d x = k α ( ( ∂ ω ∂ x ) i + 1 2 ， n − ( ∂ ω ∂ x ) i − 1 2 ， n ) − ( ( f ω ) i + 1 2 ， n − ( f ω ) i − 1 2 ， n ) ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N (2.1) 将 ω ( x i ， t n ) 记做 ω i n ( i = 0 ， 1 ， ⋯ ， N + 1 ; n = 0 ， 1 ， ⋯ ， L ) ，(2.1)式左边可以改写为： ∫ x i − 1 2 x i + 1 2 ∂ α ω ∂ t α | t n d x = ( ∂ α ω ∂ t α ) ( x i ， t n ) h − h γ i ， n ( 1 ) = h Δ t − α Γ ( 2 − α ) ( ω i ， n − ∑ k = 1 n − 1 ( a n − k − 1 − a n − k ) ω i k − a n − 1 ω i 0 ) − h γ i ， n ( 1 ) − h γ i ， n ( 2 ) ， (2.2) (2.3)式中第一个等式应用中矩形公式，第二个等式应用了 L 1 近似，其中 a k = ( k + 1 ) 1 − α − k 1 − α ，(见 [ 15 ] [ 16 ] )，其中误差项 γ i ， n ( 1 ) : = ( ( ∂ α ω ∂ t α ) ( x i ， t n ) h − ∫ x i − 1 2 x i + 1 2 ∂ α ω ∂ t α | t n ) / h (2.3) γ i ， n ( 2 ) : = ( h Δ t − α Γ ( 2 − α ) ( ω i ， n − ∑ k = 1 n − 1 ( a n − k − 1 − a n − k ) ω i k − a n − 1 ω i 0 ) − h ( ∂ α ω ∂ t α ) ( x i ， t n ) ) / h (2.4) 根据式(2.3)和(2.4)，我们可以得到截断误差 h | γ i ， n ( 1 ) | ≤ C h 3 ，     h | γ i ， n ( 2 ) | ≤ C h ⋅ t 2 − α ，     i = 1 ， ⋯ ， N ;   n = 1 ， ⋯ ， L (2.1)式右侧第一项可以根据中点差分公式写作 k α ( ( ∂ ω ∂ x ) i + 1 2 ， n − ( ∂ ω ∂ x ) i − 1 2 ， n ) = k α ( ( ∂ ω ∂ x ) i + 1 2 ， n ^ − ( ∂ ω ∂ x ) i − 1 2 ， n ^ ) + h γ i ， n ( 3 ) (2.5) 其中 ( ∂ ω ∂ x ) i + 1 2 ， n ^ : = ω i + 1 n − ω i n h ，     i = 0 ， 1 ， ⋯ ， N (2.6) 根据泰勒公式，容易得到 h | γ i ， n ( 3 ) | ≤ C h 3 ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N (2.7) 式(2.3)右侧第二项与对流速度 f ( x ) 有关，我们利用对流项的二次向上差分即QUICK格式 f i + 1 2 ω i + 1 2 n = f i + 1 2 ω i + 1 2 n ˜ + r i + 1 2 ， (2.8) 其中 i = 0 ， 1 ， ⋯ ， N ， f i + 1 2 ω i + 1 2 n ˜ : = f i + 1 2 3 ω i + 1 n + 6 ω i n − ω i − 1 n 8 ， (2.9) r i + 1 2 : = f i + 1 2 ω i + 1 2 n − f i + 1 2 ω i + 1 2 n ˜ = − 1 2 f i + 1 2 ( ∂ 3 ω i + 1 2 n ∂ x 3 ) h 3 + ο ( h 4 ) ， (2.10) 式子(2.10)中是利用泰勒公式得到的，据此可以将(2.1)式右侧改写为 ( f ω ) i + 1 2 ， n − ( f ω ) i − 1 2 ， n = ( f ω ) i + 1 2 ， n ˜ − ( f ω ) i − 1 2 ， n ˜ − h γ i ， n ( 4 ) (2.11) 其中 h γ i ， n ( 4 ) = ( r i − 1 2 − r i + 1 2 ) 我们很容易得到 | r i − 1 2 − r i + 1 2 | ≤ C h 3 . 将(2.2)、(2.5)和(2.11)代入(2.1)式可以得到 h Δ t − α Γ ( 2 − α ) ( ω i n − ∑ k = 1 n − 1 ( a n − k − 1 − a n − k ) ω i k − a n − 1 ω i 0 ) = k α ( ( ∂ ω ∂ x ) i + 1 2 ， n ^ − ( ∂ ω ∂ x ) i − 1 2 ， n ^ ) + ( f ω ) i + 1 2 ， n ˜ − ( f ω ) i − 1 2 ， n ˜ + h γ i n (2.12) i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ; n = 1 ， 2 ， ⋯ ， L ，其中 r i n = ∑ j = 1 4 γ i ， n ( j ) 。我们用 W i n 近似 ω i n ，由(2.12)式我们可以得到如下的有限体积法(FV)： i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ; n = 1 ， 2 ， ⋯ ， L h Δ t − α Γ ( 2 − α ) ( W i n − ∑ k = 1 n − 1 ( a n − k − 1 − a n − k ) W i k − a n − 1 W i 0 ) = k α ( ( ∂ W ∂ x ) i + 1 2 ， n ^ − ( ∂ W ∂ x ) i − 1 2 ， n ^ ) + ( f W ) i + 1 2 ， n ˜ − ( f W ) i − 1 2 ， n ˜ + h γ i n (2.13) 边界条件和初始条件为 W 0 n = g 1 ( t n ) ，     W N + 1 n = g 2 ( t n ) ，     W i 0 = φ ( x i ) (2.14) 其中 ( ∂ W ∂ x ) i + 1 2 ， n ^ 是直接在(2.4)式中用W替换 ω ， ( f W ) i + 1 2 ， n ˜ 是直接在(2.8)、(2.9)和(2.11)中用W替换 ω 。 有限体积法(FV)的矩阵形式如下 ( h Δ t − α Γ ( 2 − α ) I + A + B ) W n = h Δ t − α Γ ( 2 − α ) ( ∑ k = 1 n ( a n − k − 1 − a n − k ) W k + a n − 1 W 0 ) + d n (2.15) n = 1 ， 2 ， ⋯ ， L ， W k = ( W 1 k ， W 2 k ， ⋯ ， W N k ) T ， d n = ( d 1 n ， d 2 n ， ⋯ ， d N n ) ∈ R N ， I ∈ R N × N 是单位矩阵。 A = ( a i j ) ∈ R N × N 是(2.13)式右侧第一项系数矩阵， B = ( b i j ) ∈ R N × N 是(2.13)式右侧第二项系数矩阵，矩阵 A ， B ， d n 如下： 矩阵A的第1列 a 11 = 2 k α h ，     a 21 = − k α h ，     a i 1 = 0 ，     i ≥ 3 ； (2.16) 矩阵A的第N列 a N N = 2 k α h ，     a ( N − 1 ) N = − k α h ，     a i N = 0 ，     i ≤ N − 2 ； (2.17) 矩阵A的第i列 ( i = 2 ， ⋯ ， N − 1 ) a i i = 2 k α h ，     a ( i + 1 ) i = a ( i − 1 ) i = − k α h ，     a i j = 0 ，     i ≥ j + 2 ，     i ≤ j − 2 ； (2.18) 矩阵B的第1列 b 11 = 6 8 f 3 2 − 1 2 f 1 2 ，     b 21 = − 1 8 f 5 2 − 6 8 f 3 2 ，     b 31 = 1 8 f 5 2 ，     b i 1 = 0 ，     i ≥ 4 (2.19) 矩阵B的第 N − 1 列 b ( N − 1 ) ( N − 1 ) = 6 8 f N − 1 2 − 3 8 f N − 3 2 ，     b ( N − 2 ) ( N − 1 ) = 3 8 f N − 3 2 (2.20) b N ( N − 1 ) = − 1 8 f N + 1 2 − f N − 1 2 ，     b i 1 = 0 ，   i ≤ N − 3 (2.21) 矩阵B的第N列 b N N = 6 8 f N + 1 2 − 3 8 f N − 1 2 ，     b ( N − 1 ) N = 3 8 f N − 1 2 (2.22) 矩阵B的第j列 2 ≤ j ≤ N − 2 列 b j j = 6 8 f j + 1 2 − 3 8 f j − 1 2 ，     b ( j − 1 ) j = 3 8 f j − 1 2 (2.23) b ( j + 1 ) j = − 1 8 f j + 3 2 − 6 8 f j + 1 2 ，     b ( j + 2 ) j = 1 8 f j + 3 2 (2.24) 矩阵 d n d 1 n = ( 1 8 f 3 2 + 1 2 f 1 2 + k α h ) g 1 ( t n ) ，     d 2 n = ( − 1 8 f 3 2 ) g 1 (tn) d i n = 0 ，     i = 3 ， ⋯ ， N − 1 ， (2.25) d N n = [ − 3 8 f N + 1 2 + k α h ] g 2 ( t n ) 。 (2.26)