system: [SYSTEM]

user: 2. 偏微分方程的发展及意义 2.1. 偏微分方程的发展 (一) 18世纪的偏微分方程 微积分学的深入发展和广泛应用是18世纪数学的主流，它刺激和推动了偏微分方程等许多新分支的产生。欧拉(Leonhard Euler，1707~1783，瑞士)在1734年提出了特殊的偏微分方程，即弦振动的二阶方程。他还引进了许多现代数学的术语和书写格式，最为著名的是第一个将函数表示为 f ( x ) 。拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace，1749~1827，法国)曾说：读读欧拉，他是我们所有人的老师(Read Euler，read Euler，he is the master of us all)。从科研成果来说，欧拉在数学史上甚至是自然科学史上首屈一指的数学家 [ 1 ]。他在创建数学纯粹理论的同时，还应用数学工具去解决大量的来自天文、物理和力学等方面的实际问题。 1743年，达朗贝尔(Jean-Baptiste le Rond d’Alembert，1717~1783，法国)在动力学的著作中提出了特殊的偏微分方程，却并未引起多大的关注。1747 年，在《张紧在弦振动时形成的曲线研究(Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration)》中首先明确了弦振动方程 u t t = a 2 u x x ， 且给出了其通解的表达式 y = F ( t + s ) + G ( t − s ) 称为达朗贝尔解，引入分离变量思想为解偏微分方程提供了方法，故被看作偏微分方程论的发端 [ 2 ]。 1753年，数学家丹尼尔·贝努利(Daniel Bernoulli，1700~1782，瑞士)发表了《弦振动问题新思考》。他假定初始曲线都可以用正弦级数来表示，从而弦振动问题的解都可以表示为正弦周期模式的叠加。同时，他在数学物理方面的问题上提出了对于求解弹性系统在振动方面具有一般性的方法，这对于偏微分方程的发展有着很大的影响 [ 2 ]。 18世纪中另一类重要的偏微分方程，即位势方程(又称为拉普拉斯方程，调和方程)，这与当时另一个热门的问题计算两个物体之间的引力是相关的。被誉为“法国牛顿”的拉普拉斯在1785年发表的论文《球状物体的引力理论与行星形状(Théorie du movement et de la figure elliptique des planètes)》中引进了标量函数V，推导出V所满足的方程 V x x + V y y + V z z = 0 ， 这就是位势方程，也称为拉普拉斯方程(Laplace方程) [ 3 ]。 (二) 19世纪的偏微分方程 在19世纪这一期间，数学家与物理学家关注的核心是偏微分方程，主要有两点原因：一是偏微分方程在物理学、力学、电磁学研究中的大量应用；二是促进了函数论、代数和无穷级数等分支的快速发展，极大地推动了数学的进步。 19世纪傅里叶(Joseph Fourier，1768~1830，法国)在偏微分方程求解方面迈出了至关重要的一步。1807年，他提交给巴黎科学院关于热传导方程 T x x + T y y + T z z = k 2 T t 的论文，并在求解该方程时，发现了许多函数都可由三角函数构成的级数形式表示。1822年，他出版了《热的解析理论(Théorie analytique de la chaleur)》，他认为任意周期函数都可表示为正弦函数和余弦函数，同时也提出了变量分离法，在物理与近代数学方面都产生了深远的影响，是现今一部将数学理论应用于物理学的科学元典。热力学之父汤姆森(William Thomson，1st Baron Kelvin，1824~1907，英国)和泰特(Peter Guthrie Tait，1831~1901，英国)在《自然哲学(Treatise on Natural Philosophy)》中曾说：“傅里叶的定理不仅是现代分析学中最美妙的成果之一，而且是现代物理研究不可或缺的工具 [ 2 ]。”马克思主义的创始人之一、辩证唯物主义哲学家恩格斯(Friedrich Von Engels，1820~1895，德国)写道：傅里叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证法的诗 [ 4 ]。傅里叶的思想和方法在很多方面潜移默化的影响着我们的生活。例如，拍摄数码照片时会自动地将拍摄到的图像进行压缩处理并存储在数码相机里，使用JPEG数据压缩方法的其中一个步骤就是傅里叶变换；语音识别中将复杂的信号波分解为许多单一频率分量中应用到傅里叶变换；核磁共振成像扫描中的脉冲函数序列、 δ 函数和方波脉冲函数中也有应用到傅里叶变换。 在求解位势方程 V x x + V y y + V z z = 0 方面，1828年，格林(George Green，1793~1841，英国)在《数学分析在电磁学理论中的应用的一篇论文(An essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism)》中引入位势的概念，并将位势函数概念运用到电磁学中，是创立了电学和磁学的数学理论的第一人 [ 1 ]。他在求解位势方程解所应用到的方法称为奇异点方法。 1828年，仅次于欧拉的多产数学家柯西(Augustin Louis Cauchy，1789~1857，法国)等人得到了弹性介质方程组 { ( λ + μ ) θ x + μ Δ u = ρ u t t ， ( λ + μ ) θ y + μ Δ v = ρ u t t ， ( λ + μ ) θ z + μ Δ w = ρ u t t ， θ = u x + u y + u z . 1864年，麦克斯韦(James Clerk Maxwell，1831~1879，英国)在法拉第(Michael Faraday，1791~1867，英国)关于电磁实验的基础上提出了麦克斯韦方程组 { ∇ ⋅ E = ρ ε 0 ， ∇ ⋅ B = 0 ， ∇ × E = − ∂ B ∂ t ， ∇ × B = μ 0 ( J + ε 0 ∂ E ∂ t ) . 这个方程就是偏微分方程组，此方程组反应了电磁学现象，将电学与磁学统一为电磁学，预言了电磁波的存在。该方程组是19世纪偏微分方程最重要的结果，被誉为“物理学的第二次大统一”，也被列入“改变世界面貌的10个公式”之一 [ 2 ]。 对于偏微分方程，柯西是第一个讨论偏微分方程解的存在性，他在讨论偏微分方程组解的存在性时提出了特征方法并给出了优函数方法进而证明解的存在性 [ 1 ]。 后来，柯瓦列夫斯卡娅(Sofia Kovalevskaya，1850~1891，俄国)独立地发展为包括拟线性方程和高阶方程组在内的非常一般的形式 [ 3 ]。有关偏微分方程解的存在唯一性定理被称为Cauchy-Kovalevskaya定理，其与常微分方程中 y ′ = f ( x ， y ) 初值问题幂级数解的存在唯一性定理同等重要。 (三) 20世纪的偏微分方程 1900年，希尔伯特(David Hilbert，1862~1943，德国)提出了数学家今后需努力解决的“23个数学问题”，也被称为是20世纪数学的至高点，有力地推动了20世纪数学的发展。其中的第19、20和23个问题分别为“正则变分问题的解是否总是解析函数”、“研究一般边值问题”、“发展变分学方法的研究”，与偏微分方程息息有关，如今已发展成为一个很大的数学分支。 由于第二次世界大战的爆发，刚成立的美国普林斯顿高等研究所抓住了机遇，大量著名的欧洲数学家移民到了美国，包括希尔伯特的接班人外尔(Hermann Weyl，1885~1955，德国)，创新数学大师冯·诺依曼(John von Neuman，1903~1957，匈牙利，美国)，以及哥根廷大学数学系的主持人柯朗(Richard Courant，1888~1972，德国，美国)等，都汇集于普林斯顿高等研究所集中了众多世界一流的数学家到此工作 [ 2 ]。1943年，在西南联合大学任教的陈省身(Shiing-Shen Chern，1911~2004，国际数学大师)先生也被邀请前往普林斯顿高等研究所进行学术访问，并于1943年冬天在普林斯顿高等研究所完成Gauss-Bonnet公式的内蕴证明，现称为Gauss-Bonnet-Chern公式，是现代微分几何的奠基人，1984年荣获沃尔夫奖 [ 3 ]。 第二次世界大战使得美国政府想要将数学与科学技术、数学与军事目标密切地结合在一起，开辟了美国数学发展的新时代。于1942年成立了应用数学组，并与11所大学签订了合同，帮助解决战争中所遇到的数学问题。例如，在纽约大学，柯朗和弗里德里希斯(Kurt Otto Friedrichs，1901~1982，德国)领导的小组研究空气动力学、水下爆破和喷气火箭理论、超音速飞机带来的发展成为柯朗数学研究所 [ 5 ] ；在布朗大学，以普拉格(William Prager，1903~1980，德国，美国)为首的应用小组着重于研究经典动力学与畸变介质力学，目的是延长军备的使用时间 [ 5 ] ；在哈佛大学，伯克霍夫(Garrett Birkhoff，1911~1996，美国)主要研究雷达瞄准和弹道学等流体力学问题 [ 5 ]。 第二次世界大战之后，偏微分方程理论取得巨大的进步。20世纪50年代中期，菲尔兹奖和沃尔夫奖得主赫尔曼德尔 [ 3 ] (Lars Valter Hörmander，1931~2012，瑞典)、马尔格朗日(Bernard Malgrange，1928~，法国)与埃伦普里斯(Leon Ehrenpreis，1930~2010，美国)独立证明了常系数线性偏微分方程的可解性 [ 3 ]。但是，沃尔夫奖得主卢伊 [ 3 ] (Hans Lewy，1904~1988，美国)在1957年举出了一个反例 u x + i u y − 2 i ( x + i y ) u t = f ( t ) ， 进而可以构造出实系数方程的反例。1973年，菲尔兹奖得主费弗曼 [ 3 ] (Charles Louis Fefferman，1949~，美国)给出了非退化线性偏微分方程局部可解性的一个充分必要条件。相比线性方程而言，非线性方程的研究却十分困难，进展缓慢。 1834年8月，造船工程师罗素(John Scott Russell，1808~1882，苏格兰)将在行驶中波形不随时间改变的水波包称为孤立波 [ 6 ]，随后专门从事孤立波的研究，发表了论文《论水波(Report on waves)》。 1895年，科尔泰沃赫(Diederik Johannes Korteweg，1848~1941，荷兰)和德弗里斯(Gustav De Vries，1866~1934，荷兰)获得了描述孤立波现象数学模型 [ 6 ] η t = 3 2 g l ∂ ( 1 2 η 2 + 2 3 α η + 1 3 σ ∂ 2 η ∂ x 2 ) ∂ x 并给出了一个类似于罗素孤立波的解析解。此方程称为科尔泰沃赫-德弗里斯方程(Korteweg-de Vries Equation)，简称KdV方程，但在其后60多年中停滞不前。 1960年，加德纳(Clifford Spear Gardner，1924~2013，美国)等人发展出了“散射反演方法”，且成功地求解了KdV方程 [ 6 ]。后来人们发现光纤通信、神经细胞脉冲传导、木星红斑活动等都存在孤立子性质。 (四) 偏微分方程在中国发展的历程 魏时珍(1895~1992)的研究领域是微分方程和数学物理，是最早向国内介绍爱因斯坦相对论的。1922年考入“数学王国”哥根廷大学，1925年以论文《在平均负荷下四边固定的矩阵平板所呈现的现象(Über die eingespan nte rechtechige Platte mit gleichma Big vertechige Belastung)》在德国获得应用数学博士学位的第一位中国人，导师是柯朗。1925年回国后在同济大学、四川大学等高校工作，积极教书育人 [ 7 ]。1936 年参考柯朗《偏微分方程讲义》的基础上，撰写了第一本中文的偏微分方程教材《偏微分方程式理论》。 1937年吴新谋(1910~1989)公费留学法国，先师从维拉(Henri Villat，1879~1972，法国)，后面跟随阿达玛研究偏微分方程。1951年回国后，他在中科院研究所任研究员时建立了微分方程研究室。1954年在国内主持了第一个以现代偏微分方程理论为主题的大型暑期讲习班 [ 8 ]。1956 年他编写了新中国第一本偏微分方程教材《数学物理方程讲义》，之后又扩充为三卷本《数学物理方程》。1961年他主持召开了全国微分方程会议。他是中国偏微分方程研究事业的主要开创者之一。 蒋硕民，北京师范大学二级教授，研究方向为偏微分方程与近世代数。他的博士生导师原来是柯朗(Richard Courant，1888~1972，德国)。后改为雷利希指导。1935年他的博士论文《一个关于两个变量n阶偏微分方程的混合边值问题》获得通过，并应数学家姜立夫(1890~1978年，南开大学数学系创始人)先生之邀回国在南开大学数学系任教授，时年22岁。1954年调至北京师范大学。他是中国研究偏微分方程学科的先行者，近世代数的早期介绍者之一 [ 8 ]。 刚开始建立京师大学堂，数学在教学中占有很高的比例。1904年1月13日，我国以政府名义颁布了第一部完整的学制章程《钦定学堂章程》，其中算学门(即“数学系”)的课程就包含了部分微分方程式论(即偏微分方程)等。法国数学家阿达玛1936年来清华大学讲学3个多月，1964年在中国出版了《偏微分方程论》。1954年周毓麟(1923~ )被选派到莫斯科大学，师从女数学家奥列尼克(Olga Arsenievna Oleinik，1925~2001，苏联，俄罗斯)，成为中华人民共和国成立之后第一个学习偏微分方程理论的留学生。建国初期偏微分方程领域的国际学术交流活动主要是请苏联和东欧专家前来访问和讲学 [ 8 ]。例如，1958年苏联科学院通讯院士比察捷(A.B. Bitsadze，1916~1994)到北京大学讲授混合型偏微分方程；在科学研究方面，周毓麟进行了与空气动力学有关的混合型偏微分方程、与毛细管现象有关的非线性椭圆型 ∑ i ， j = 1 N = a i j ( x ) ∂ 2 u ∂ x i ∂ x j + f ( x ， u ， ∂ u ∂ x 1 ， ⋯ ， ∂ u ∂ x N ) = 0 和抛物型偏微分方程 ∑ i ， j = 1 N = a i j ( x ) ∂ 2 u ∂ x i ∂ x j ∑ i = 1 N b i ( x ， t ， u ) ∂ u ∂ x j + f ( x ， t ， u ) = ∂ u ∂ t 的研究 [ 9 ]。1962年，全国讲师以上职称的偏微分方程工作者已达数百人。 2.2. 偏微分方程的研究意义 随着科学技术的发展，偏微分方程的研究领域得到了不断地扩大，尤其是应用科学的发展，已然成为连系数学理论和实际应用之间不可或缺的一条纽带。尤其是数学与其他学科中的交叉学科(如数学生物学、数学物理学、数学金融学和图像处理等)的快速发展，使得近年来国内外的偏微分方程实际应用非常多。一方面是人们不间断地提出有关偏微分方程的新问题，例如，近几年以来，在生物学、生态学、生命科学和众多工程技术领域建立了很多偏微分方程，其中包含了许多新形式的偏微分方程；另一方面，在偏微分方程研究的过程中提出了许多有关于新学科中的新方法，例如，泛函分析中算子半群方法、广义函数法、数值分析中有限元法(即Ritz-Galerkin法)等作为处理线性和非线性偏微分方程问题提供了强有力的框架和工具，遥感和图像处理中的多种模型和反问题，在实际中得到了广泛的应用 [ 10 ]。 我们知道偏微分方程不仅是方程理论性与应用性并举的一门学科，更是解决数学问题与生活问题的一种重要的工具。我们熟知偏微分方程起源于18世纪，发展于19世纪，丰富于20世纪。如果没有偏微分方程的存在，人类现有的大部分技术可能都无法被发明出来(例如，人们日常生活中常用手机中的语音通话功能运用到傅里叶变换及其逆变换)；如果没有偏微分方程的存在，人类可能还处于中世纪的生活(例如，人们所居住房屋中的梁顶满足横向振动的偏微分方程： ρ ( x ) A ( x ) ∂ 2 ∂ t 2 y ( x ， t ) + ∂ 2 ∂ x 2 [ E J ( x ) ∂ 2 ∂ x 2 y ( x ， t ) ] = f ( x ， t ) )；如果没有偏微分方程中方程式的存在，我们不可能明白冲刷海滩的波涛(例如，描述水波运动的弱非线性弱色散性的近似水波方程为： ∂ ∂ t u b + u b ∂ ∂ x u b + g ∂ ∂ x ξ = 1 2 h 2 ∂ 3 ∂ x 2 ∂ t u b 和 ∂ ∂ t ξ + ∂ ∂ x [ ( h + ξ ) u b ] = 1 6 h 3 ∂ 3 ∂ x 3 u b )、以及变化莫测的天气(例如，大尺度干大气的三维粘性的简化方程组为 { ∂ υ ∂ t + ∇ υ υ + ω ∂ υ ∂ ξ + f R 0 k × υ + g r a d Φ − 1 R e 1 Δ υ − 1 R e 2 ∂ 2 υ ∂ ξ 2 = 0 ， d i v υ + ∂ ω ∂ ξ = 0 ， ∂ Φ ∂ ξ + b P p T = 0 ， ∂ T ∂ t + ∇ υ T + ω ∂ T ∂ ξ − b P p ω − 1 R t 1 Δ T − 1 R t 2 ∂ 2 T ∂ ξ 2 = Q 1 . )等现象的物理学原理；如果没有偏微分方程的存在，我们不可能清楚了解宇宙的广袤，甚至是我们在宇宙中所处的位置。所以，我们可以知道偏微分方程的应用是极其广泛的，它无时无刻地环绕在我们的身边，为我们的生活的各个方面提供着极大的便利，影响着我们的生活。