system: [SYSTEM]

user: 3. 解的渐近形态 本章节介绍的是满足初始条件(1)~(3)方程解的渐近性。 定理2.1 若根 λ 0 满足 μ ( λ 0 ) = | c | e − λ 0 σ + ∑ i = 1 ∞ | l i | e − λ 0 t i + 1 2 | c | σ 2 λ 0 2 e − λ 0 σ + 1 2 | b | τ 2 λ 0 2 e − λ 0 τ + σ 2 | G ( λ 0 ) | < 1 ， (12) 则(1)~(3)的解x满足 lim t → ∞ [ e − λ 0 t x ( t ) ] = L ( λ 0 ; ϕ ) 1 + 2 β ( λ 0 ) . (13) 其中： G ( λ 0 ) = max { λ 0 ， λ 0 e − λ 0 σ } L ( λ 0 ; ϕ ) = ϕ ( 0 ) + c ϕ ( − σ ) + b e − λ 0 τ ∫ − τ 0 ∫ − τ m e − λ 0 s ϕ ( s ) d s d m     − c λ 0 2 e − λ 0 σ ∫ − σ 0 ∫ − σ m e − λ 0 s ϕ ( s ) d s d m − 2 c λ 0 e − λ 0 σ ∫ − σ 0 ∫ − σ m e − λ 0 s ϕ ′ ( s ) d s d m ， (14) β ( λ 0 ) = τ 2 b e − λ 0 τ + c e − λ 0 σ ( 2 − λ 2 σ 2 ) ， (15) 证明：由2.1可得 1 2 | β ( λ 0 ) | + ∑ i = 1 ∞ | l i | e − λ 0 t i < μ ( λ 0 ) < 1 ，所以 0 < 1 + 1 2 β ( λ 0 ) < 2 。求x是(1)~(3)的解等价于求y是(6)~(8)的解。因为 λ 0 是(4)的实根，则对 ∀ t > 0 ，有 y ( t ) + c e − λ 0 σ y ( t − σ ) = L ( λ 0 ; ϕ ) + ∑ i = 1 ∞ l i e − λ 0 t i + ( a − λ 0 2 ) ∫ 0 t ∫ 0 m y ( s ) d s d m     − 2 λ 0 ∫ 0 t ∫ 0 m y ′ ( s ) d s d m + b e − λ 0 τ ∫ 0 t − τ ∫ 0 m y ( s ) d s d m     − c λ 0 2 e − λ 0 σ ∫ 0 t − σ ∫ 0 m y ( s ) d s d m − 2 c λ 0 e − λ 0 σ ∫ 0 t − σ ∫ 0 m y ′ ( s ) d s d m = L ( λ 0 ; ϕ ) + ∑ i = 1 ∞ l i e − λ 0 t i + ( c λ 0 2 e − λ 0 σ − b e − λ 0 τ ) ∫ 0 t ∫ 0 m y ( s ) d s d m     − 2 λ 0 ∫ 0 t ∫ 0 m y ′ ( s ) d s d m + b e − λ 0 τ ∫ 0 t − τ ∫ 0 m y ( s ) d s d m     − c λ 0 2 e − λ 0 σ ∫ 0 t − σ ∫ 0 m y ( s ) d s d m − 2 c λ 0 e − λ 0 σ ∫ 0 t − σ ∫ 0 m y ′ ( s ) d s d m 化解整理得 y ( t ) + c e − λ 0 σ y ( t − σ ) = L ( λ 0 ; ϕ ) + ∑ i = 1 ∞ l i e − λ 0 t i + c λ 0 2 e − λ 0 σ ∫ t − σ t ∫ t − σ m y ( s ) d s d m − b e − λ 0 τ ∫ t − τ t ∫ t − τ m y ( s ) d s d m     − 2 λ 0 ∫ 0 t ∫ 0 m y ′ ( s ) d s d m − 2 c λ 0 e − λ 0 σ ∫ 0 t − σ ∫ 0 m y ′ ( s ) d s d m ， (16) 令 z ( t ) = y ( t ) − L ( λ 0 ; ϕ ) 1 + 2 β ( λ 0 ) ， 则(16)等价于 z ( t ) + c e − λ 0 σ z ( t − σ ) = ∑ i = 1 ∞ l i e − λ 0 t i + c λ 0 2 e − λ 0 σ ∫ t − σ t ∫ t − σ m z ( s ) d s d m − b e − λ 0 τ ∫ t − τ t ∫ t − τ m z ( s ) d s d m − 2 λ 0 ∫ 0 t ∫ 0 m z ′ ( s ) d s d m − 2 c λ 0 e − λ 0 σ ∫ 0 t − σ ∫ 0 m z ′ ( s ) d s d m ， (17) 同时初值条件(8)等价于 z ( t ) = e − λ 0 t ϕ ( t ) − L ( λ 0 ; ϕ ) 1 + 2 β ( λ 0 ) ， t ∈ [ − h ， 0 ] (18) 于是得出(13)的等价方程 lim t → ∞ z ( t ) = 0 ， (19) 当 H ( λ 0 ; ϕ ) = max { 1 ， max t ∈ [ − h ， 0 ] | e − λ 0 t ϕ ( t ) − L ( λ 0 ; ϕ ) 1 + 2 β ( λ 0 ) | } ， (20) 可得当 t ∈ [ − h ， 0 ] 时， | z ( t ) | ≤ H ( λ 0 ; ϕ ) 。 现在将证明当 t ∈ [ − h ， ∞ ] 时， | z ( t ) | ≤ H ( λ 0 ; ϕ ) 。运用反证法，假设 ∃ t ~ > 0 ，使得 | z ( t ~ ) | > H ( λ 0 ; ϕ ) ，令 t * = inf { t ~ : | z ( t ~ ) | > H ( λ 0 ; ϕ ) } ， 因为 z ( t ) 满足右连续，所以当 t * 不是脉冲点时， | z ( t * ) | = H ( λ 0 ; ϕ ) ，当它是脉冲点时， | z ( t * ) | ≥ H ( λ 0 ; ϕ ) ，也就是说，当 − h ≤ t < t * 时， | z ( t ) | ≤ H ( λ 0 ; ϕ ) ，那么通过(12)和(17)，得 | z ( t * ) | = | − c e − λ 0 σ z ( t * − σ ) ∑ i = 1 ∞ l i e − λ 0 t i     + c λ 0 2 e − λ 0 σ ∫ t * − σ t * ∫ t * − σ m z ( s ) d s d m − b e − λ 0 τ ∫ t * − τ t * ∫ t * − τ m z ( s ) d s d m     − 2 λ 0 ∫ 0 t * ∫ 0 m z ′ ( s ) d s d m − 2 c λ 0 e − λ 0 σ ∫ 0 t * − σ ∫ 0 m z ′ ( s ) d s d m | ≤ | c | e − λ 0 σ | z ( t * − σ ) | + ∑ i = 1 ∞ | l i | e − λ 0 t i     + | c | λ 0 2 e − λ 0 σ ∫ t * − σ t * ∫ t * − σ m | z ( s ) | d s d m − | b | e − λ 0 τ ∫ t * − τ t * ∫ t * − τ m | z ( s ) | d s d m     − 2 | λ 0 | ∫ 0 t * ∫ 0 m | z ′ ( s ) | d s d m − 2 | − c | | λ 0 | e − λ 0 σ ∫ t * − σ 0 ∫ 0 m | z ′ ( s ) | d s d m ≤ | c | e − λ 0 σ | z ( t * − σ ) | + ∑ i = 1 ∞ | l i | e − λ 0 t i     + | c | λ 0 2 e − λ 0 σ ∫ t * − σ t * ∫ t * − σ m | z ( s ) | d s d m + | b | e − λ 0 τ ∫ t * − τ t * ∫ t * − τ m | z ( s ) | d s d m     + 2 | λ 0 | ∫ 0 t * ∫ 0 m | z ′ ( s ) | d s d m + 2 | c | | λ 0 | e − λ 0 σ ∫ t * − σ 0 ∫ 0 m | z ′ ( s ) | d s d m ≤ | c | e − λ 0 σ | z ( t * − σ ) | + ∑ i = 1 ∞ | l i | e − λ 0 t i     + | c | λ 0 2 e − λ 0 σ ∫ t * − σ t * ∫ t * − σ m | z ( s ) | d s d m + | b | e − λ 0 τ ∫ t * − τ t * ∫ t * − τ m | z ( s ) | d s d m     + 2 | G ( λ 0 ) | ∫ t * − σ t * ∫ t * − σ m | z ′ ( s ) | d s d m ≤ H ( λ 0 ; ϕ ) ( | c | e − λ 0 σ + ∑ i = 1 ∞ | l i | e − λ 0 t i + 1 2 | c | σ 2 λ 0 2 e − λ 0 σ + 1 2 | b | τ 2 λ 0 2 e − λ 0 τ + σ 2 | G ( λ 0 ) | ) ≤ H ( λ 0 ; ϕ ) μ ( λ 0 ) < H ( λ 0 ; ϕ ) ， 与假设矛盾，所以当 t ∈ [ − h ， ∞ ] 时， | z ( t ) | ≤ H ( λ 0 ; ϕ ) 得证。 同时，对于 t ≥ 0 ，有 | z ( t ) | ≤ μ ( λ 0 ) H ( λ 0 ; ϕ ) ， (21) 得出，对于 t ≥ n h − h ( n = 0 ， 1 ， ⋯ ) ，有 | z ( t ) | ≤ | μ ( λ 0 ) | n H ( λ 0 ; ϕ ) 。 根据(12)有， lim n → ∞ | μ ( λ 0 ) | n = 0 ，所以 lim t → ∞ z ( t ) = lim t → ∞ { e − λ 0 t ϕ ( t ) − L ( λ 0 ; ϕ ) 1 + 2 β ( λ 0 ) } = 0 ， 由此可得 lim t → ∞ [ e − λ 0 t ϕ ( t ) ] = L ( λ 0 ; ϕ ) 1 + 2 β ( λ 0 ) . 定理2.1得证。 定理2.2若 λ 0 是(4)的实根且满足(12)，则 a + b = 0 ， (22) | c | + ∑ i = 1 ∞ | l i | e − λ 0 t i + 1 2 | b | τ 2 < 1 ， (23) 证明：显然可得。 推论2.3 若(16)~(17)成立，则(1)~(3)的解满足 lim t → ∞ x ( t ) = ϕ ( 0 ) + c ϕ ( − σ ) + b ∫ − τ 0 ∫ − τ m ϕ ( s ) d s d m 1 + τ 2 b + 2 c ， (24) 其中： 0 < 1 + τ 2 b + 2 c < 2 。