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user: 3. 主要结果的证明 基于以上引理，下面开始证明我们的主要结论。 定理1 设G是 Δ ( G ) ≥ 8 可嵌入到欧拉示性数非负曲面的图，且G中不包含相邻的4-圈，那么图G的全色数 χ ″ ( G ) = Δ ( G ) + 1 。 为方便证明下面给出一些定义和符号。在图G中，令k-点，k − -点，k + -点分别表示在图G中度数等于k的点，度数小于等于k的点，度数大于等于k的点。类似的，我们可以定义k-面，k − -面，k + -面。令 n k ( v ) 代表与v相邻的k-点的个数，类似的可以定义， n k − ( v ) ， n k + ( v ) 。令 f k ( v ) 代表与v相关联的k-面的个数，类似的可以定义， f k − ( v ) ， f k + ( v ) 。 由于图G是可以嵌入到欧拉示性数非负曲面上的图，所以由Euler公式 | V | + | E | − | F | = χ ( Σ ) ≥ 0 得， − 6 ( | V | + | E | − | F | ) = ∑ v ∈ V ( G ) ( 2 d ( v ) − 6 ) + ∑ f ∈ F ( G ) ( d ( f ) − 6 ) = − 6 χ ( Σ ) ≤ 0 假设图G是满足定理条件的一个极小反例。首先定义初始权值，对于任意的 v ∈ V ( G ) ，设初始权值为 c h ( v ) = 2 d ( v ) − 6 ，对于任意的 f ∈ F ( G ) ，设初始权值为 c h ( f ) = d ( f ) − 6 。然后对于任意的 x ∈ V ( G ) ∪ F ( G ) 按照权转移规则对权值重新分配得到新的权值 c h ′ ( x ) ，由于权转移规则只是移动权值，而不会改变权值的总和，所以转移后的权值总和小于等于0。即 ∑ x ∈ V ( G ) ∪ F ( G ) c h ′ ( x ) = ∑ x ∈ V ( G ) ∪ F ( G ) c h ( x ) ≤ 0 需要验证，对权值进行重新分配后，对于任意的 x ∈ V ( G ) ∪ F ( G ) ，都有 c h ′ ( x ) ≥ 0 ，并且当 d ( v ) ≥ 8 ，有 c h ′ ( x ) > 0 ，由于在文献 [ 13 ] 中， d ( v ) ≥ 9 已经证明过此结论，所以只需要证明当 d ( v ) = 8 时，有 c h ′ ( x ) > 0 ，那么得出转移后的权值总和严格大于0，得出矛盾，所以不存在这样的反例，即定理成立。 接下来给出如下的权值转移规则。要注意的是，权转移是在相邻的点之间，或者相关联的面之间进行转移。 R1 2-点从两个邻点各得1。 R2 4-点给3-面或4-面 1 2 ，给5-面 1 3 。 R3 5-点给3-面1，给4-面 1 2 ，给5-面 1 3 。 R4 6-点给3-面 5 4 ，给4-面 3 4 ，给5-面 1 3 。 R5 7 + -点给与3 − 点关联的3-面 1 3 ，给不与3 − 点关联的3-面1，给与两个3 − -点关联的4-面1，给其余的4-面 3 4 ，给5-面 1 3 。 现在开始验证，对于任意的 f ∈ F ( G ) ，设 d ( f ) ≥ 6 ，则 c h ′ ( f ) = c h ( f ) − 6 ≥ 0 。设 d ( f ) = 5 ，则f至多与两个3 − -点相邻，即f至少与三个4 + -点相邻。所以 c h ′ ( f ) ≥ c h ( f ) − 6 + 1 3 × 3 = 0 。设 d ( f ) = 4 ，当f与两个3 − -点关联，则f与两个7 + -点关联，所以 c h ′ ( f ) ≥ c h ( f ) − 6 + 1 × 2 = 0 。当f与一个3 − -点，两5 − -点相关联，f与两个7 + -点相关联，所以 c h ′ ( f ) ≥ c h ( f ) − 6 + 3 4 × 2 + 1 2 = 0 。当f不与一个3 − -点相关联，则 c h ′ ( f ) ≥ c h ( f ) − 6 + 1 2 × 4 = 0 。设 d ( f ) = 3 ，当f与3 − -点关联，则f与两个7 + -点相关联，所以 c h ′ ( f ) ≥ c h ( f ) − 6 + 3 2 × 2 = 0 当f不与3 − -点关联，则 c h ′ ( f ) ≥ c h ( f ) − 6 + 5 4 × 2 + 1 2 > 0 。 对于任意的 v ∈ V ( G ) ，设 d ( v ) = 2 ，则由R1， c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 + 1 × 2 = 0 。设 d ( v ) = 3 ，则 c h ′ ( v ) = 2 × c h ( v ) − 6 = 0 。设 d ( v ) = 4 ，则由R2， c h ′ ( v ) ≥ 2 × c h ( v ) − 6 − 1 2 × 4 = 0 。设 d ( v ) = 5 ，则 f 3 ( v ) ≤ 3 ，则由R3， c h ′ ( v ) ≥ 2 × c h ( v ) − 6 − 1 2 × 2 − 1 3 × 3 = 0 。设 d ( v ) = 6 ，则 f 3 ( v ) ≤ 4 ，当 f 3 ( v ) = 4 ，则 f 5 + ( v ) = 2 ，由R4， c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 5 4 × 4 − 1 3 × 2 > 0 。当 f 3 ( v ) ≤ 3 ， c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 5 4 × 3 − 3 4 × 3 = 0 。设 d ( v ) = 7 ，则 f 3 ( v ) ≤ 4 ，当 f 3 ( v ) = 4 ，则 n 3 ( v ) ≤ 1 ， f 5 + ( v ) ≥ 2 ，所以 c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 3 2 × 2 − 5 4 × 2 − 1 − 1 3 × 2 > 0 。当 f 3 ( v ) ≤ 3 ，则 f 5 + ( v ) ≥ 1 ，所以 c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 3 2 × 3 − 1 × 3 − 1 3 > 0 。 设 d ( v ) = 8 ，则 n 2 ( v ) ∈ { 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ 8 } ，下面开始分情况讨论。 情形1 n 2 ( v ) = 0 ，则 f 3 ( v ) ≤ 5 。 当 f 3 ( v ) = 5 ，则 f 5 + ( v ) = 3 ，所以 c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 3 2 × 5 − 1 3 × 3 > 0 。当 f 3 ( v ) = 4 ，则 f 4 ( v ) ≤ 4 。若 f 4 ( v ) = 4 ，则 n 3 ( v ) ≤ 4 ，所以至多有两个4-面关联两个3 − -点，所以 c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 3 2 × 4 − 1 × 2 − 3 4 × 2 > 0 。若 f 3 ( v ) ≤ 3 ，则 c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 3 2 × 3 − 1 × 5 > 0 。 情形2 n 2 ( v ) = 1 ，则 f 3 ( v ) ≤ 5 。 当 f 3 ( v ) = 5 ，则 f 5 + ( v ) = 3 ，所以 c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 1 − 3 2 × 5 − 1 3 × 3 > 0 。当 f 3 ( v ) = 4 ，若v关联两个相邻的3-面时，则 f 5 + ( v ) ≥ 2 ，所以 c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 1 − 3 2 × 4 − 1 × 2 − 1 3 × 2 > 0 。若与v关联的4个3-面两两不相邻，则 n 3   ( v )   =   0 ，所以 c h ′   ( v )   ≥   2 c h   ( v ) − 6 − 1 − 3 2 × 1 − 5 4 × 3 − 3 4 × 4   >   0 。当 f 3   ( v ) ≤ 3 ，则 f 5 +   ( v ) ≥ 1 ，所以 c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 1 − 3 2 × 3 − 1 × 4 − 1 3 × 1 > 0 。 情形3 n 2 ( v ) = 2 ，则 f 3 ( v ) ≤ 4 。 当 f 3 ( v ) = 4 ，则 f 5 + ( v ) = 4 ，所以 c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 2 − 3 2 × 4 − 1 3 × 4 > 0 。当 f 3 ( v ) = 3 ，若v关联两个相邻的3-面时，则 f 5 + ( v ) ≥ 3 ，所以 c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 2 − 3 2 × 3 − 1 × 2 − 1 3 × 3 > 0 。若与v关联的3-面两两不相邻，则点v关联的4-面至多关联一个3 − -点，所以 c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 2 − 3 2 × 3 − 3 4 × 4 − 1 3 × 1 > 0 。当 f 3 ( v ) ≤ 2 ，则 f 4 ( v ) ≤ 4 ，所以 c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 2 − 3 2 × 2 − 1 × 4 − 1 3 × 2 > 0 。 情形4 n 2 ( v ) = 3 ，则 f 3 ( v ) ≤ 3 。 当 f 3 ( v ) = 3 ，则 f 5 + ( v ) ≥ 2 ， f 6 + ( v ) ≥ 1 ， f 4 ( v ) ≤ 2 ，且点v关联的4-面至多关联一个3 − -点，所以 c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 3 − 3 2 × 3 − 3 4 × 2 − 1 3 × 2 > 0 。当 f 3 ( v ) ≤ 2 ，则 f 4 ( v ) ≤ 3 ，若 f 4 ( v ) = 3 ，则与点v关联的4-面中至少有一个四面至多关联一个3 − -点，所以 c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 3 − 3 2 × 2 − 1 × 2 − 3 4 × 1 − 1 3 × 3 > 0 。若 f 4 ( v ) ≤ 2 ，则 c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 3 − 3 2 × 2 − 1 × 2 − 1 3 × 4 > 0 。 情形5 n 2 ( v ) = 4 ，则 f 3 ( v ) ≤ 2 。 当 f 3 ( v ) = 2 ，则 f 4 ( v ) ≤ 4 。若 f 4 ( v ) = 4 ，则点v不与3 − -点相邻，所以 c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 4 − 5 4 × 2 − 1 × 2 − 3 4 × 4 > 0 。若 f 4 ( v ) ≤ 3 ，则与点v关联的4-面中至少有两个4-面至多关联一个3 − -点，所以 c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 4 − 3 2 × 2 − 1 − 3 4 × 2 − 1 3 > 0 。 当 f 3 ( v ) = 1 ，则 f 4 ( v ) ≤ 4 ，且 f 6 + ( v ) ≥ 1 。若 f 4 ( v ) = 4 ，则 f 6 + ( v ) = 1 ，且与点v关联的4-面中至少有两个4-面至多关联一个3 − -点，所以 c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 4 − 3 2 × 1 − 1 × 2 − 3 4 × 2 − 1 3 × 2 > 0 。若 f 4 ( v ) ≤ 3 ，则 f 6 + ( v ) ≥ 1 ，所以 c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 4 − 3 2 × 1 − 1 × 3 − 1 3 × 3 > 0 。当 f 3 ( v ) = 0 ，则 f 4 ( v ) ≤ 4 ，所以 c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 4 − 1 × 4 − 1 3 × 4 > 0 。 情形6 n 2 ( v ) = 5 ，则 f 3 ( v ) ≤ 2 。 当 f 3 ( v ) = 2 ，则 f 4 ( v ) = 0 ，且 f 6 + ( v ) ≥ 4 ，所以 c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 5 − 3 2 × 2 − 1 3 × 2 > 0 。 当 f 3 ( v ) = 1 ，则 f 4 ( v ) ≤ 3 ，且 f 6 + ( v ) ≥ 3 ，所以 c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 5 − 3 2 × 1 − 1 × 3 − 1 3 > 0 。 当 f 3 ( v ) = 0 ，则 f 4 ( v ) ≤ 3 ，且 f 6 + ( v ) ≥ 2 ，所以 c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 5 − 1 × 3 − 1 3 × 3 > 0 。 情形7 n 2 ( v ) = 6 ，则 4 ≤ f 6 + ( v ) ≤ 5 。 当 f 6 + ( v ) = 4 ，则 f 3 ( v ) = 0 ，且 f 4 ( v ) ≤ 2 ，所以 c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 6 − 1 × 2 - 1 3 × 2 > 0 。 当 f 6 + ( v ) = 5 ，则 f 3 ( v ) ≤ 1 ，且 f 4 ( v ) ≤ 2 ，所以 c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 6 − 3 2 × 1 − 1 × 2 > 0 。 情形8 n 2 ( v ) ≥ 7 ，则 f 3 ( v ) = 0 ，且 f 4 ( v ) ≤ 3 ， f 6 + ( v ) ≥ 6 ，所以 c h ′ ( v ) ≥ 2 c h ( v ) − 6 − 8 − 1 − 1 3 > 0 。 至此，定理的证明完成。