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user: 2. 定理及其证明 定理1设最大度为 Δ ( G ) 的平面图G不包含k-圈( 5 ≤ k ≤ 10 )且3-圈、4-圈互不相交，则G的强边色数 χ ′ s ( G ) ≤ 3 Δ + 1 。 证明：当 Δ ( G ) ≤ 3 时，由文献 [ 2 ] [ 3 ] ，定理成立。下面只需证明 Δ ( G ) ≥ 4 的情形。假设定理1结论不成立，则存在一个不包含k-圈( 5 ≤ k ≤ 10 )且3-圈、4-圈互不相交，但 χ ′ s ( G ) > 3 Δ + 1 ，使 | V ( G ) | + | E ( G ) | 最小的平面图，由极小性知，G为连通平面图，而对G的任何一个真子图 G ′ 是 ( 3 Δ ( G ′ ) + 1 ) -强边可染的，同时G还具有以下性质。 2.1. 极小反例的性质 引理1 [ 10 ] 设v是图G的一个顶点且 d ( v ) = k 。 1) 若 k = 1 ，则1-点的邻点是5 + -点； 2) 若 k = 2 ，则2-点的两个邻点不能同时是两个3 - -点，或一个3 − -点和一个4 3 -点，或一个3 − -点和一个4 3 -点，或一个4 2 -点和一个4 3 -点； 3) 若 k ≥ 4 ，则v至多与 k − 1 个2 − -点相邻； 4) 若 k ≥ 5 ，则v至多与 k − 3 个1-点相邻；若v恰好与 k − 3 个1-点相邻。则v不与其他的2 − -点相邻； 5) 若 k ≥ 5 ，且v相邻 α 个1-点和 k − 2 − α 个2-点，则 0 ≤ α ≤ k − 4 ，且至多有 k − 4 − α 个2-点的邻点是3 − -点或4 3 -点； 6) 若 k ≥ 5 ，且v相邻 k − 1 个2 − -点，则这 k − 1 个2 − -点都是2-点，且这些2-点的另一个邻点是不同于4 3 -点的4 + -点。 引理2 [ 11 ] 若2-点v与3-圈关联，则v的另两个邻点是5 + -点。 引理3 [ 11 ] 设G有一个3-圈 u v w u ，满足 d ( u ) = 2 ， d ( w ) ≥ 5 ， d ( v ) = k ≥ 5 ，则 1) v至多与 k − 2 个2 − -点相邻； 2) 若v与 k − 4 个1-点相邻，则v至多只有一个2-邻点； 3) 若v与 α 个1-点和 k − 2 − α 个2-点相邻，则 0 ≤ α ≤ k − 5 ，且至多有 k − 5 − α 个2-点的邻点是3 − -点或4 3 -点。 引理4 [ 12 ] 4-面不能关联两个相邻的2-点。 引理5 [ 12 ] 设v与弱4-面f关联，且f边界上的顶点按顺时针方向记为u，w，z，v，满足 d ( u ) = 2 ， d ( w ) ≥ 5 ， d ( v ) = k ≥ 5 。若v与 α 个1-点和 β 个2-点相邻，则 1) α ≤ k − 4 ，且若 α = k − 4 ，则 β = 1 。 2) 若 α + β = k − 2 ，则 0 ≤ α ≤ k − 5 ，且至多有 β − 2 个2-点的邻点是3 − -点或4 3 -点。 引理6 [ 12 ] 设v与坏4-面f关联，且f边界上的顶点按顺时针方向记为u，w，z，v，满足 d ( u ) = d ( z ) = 2 ， d ( w ) ≥ 3 ， d ( v ) = k ≥ 5 。若v与 α 个1-点和 β 个2-点相邻，则 1) ，且 α ≤ k − 5 ；若 α = k − 5 ，则 β = 2 。 2) 若 k ≥ 6 ， α + β = k − 2 ，则 0 ≤ α ≤ k − 6 ，且至多有 β − 2 个2-点的邻点是3 − -点或4 3 -点。 2.2. 权转移规则 对连通平面图G，由欧拉公式，有 | V ( G ) | − | E ( G ) | + | F ( G ) | = 2 及 ∑ v ∈ V ( G ) d ( v ) = ∑ f ∈ F ( G ) d ( f ) = 2 | E ( G ) | ， 可得： ∑ v ∈ V ( G ) ( 2 d ( v ) − 6 ) + ∑ f ∈ F ( G ) ( d ( f ) − 6 ) = − 12 对每一个 x ∈ V ( G ) ∪ F ( G ) ，定义其初始权值为 c h ( x ) 。对任意 v ∈ V ( G ) ，定义 c h ( v ) = 2 d ( v ) − 6 ，而对于 f ∈ F ( G ) ， c h ( f ) = d ( f ) − 6 ，则 ∑ x ∈ V ( G ) ∪ F ( G ) c h ( x ) = − 12 < 0 。下面定义权转移规则，重新分配顶点和面的权，使得对每个 x ∈ V ( G ) ∪ F ( G ) ，都有 c h ′ ( x ) ≥ 0 。由于只在顶点和面之间进行权转移，故权总和不变，从而 0 ≤ ∑ x ∈ V ( G ) ∪ F ( G ) c h ′ ( x ) = ∑ x ∈ V ( G ) ∪ F ( G ) c h ( x ) = − 12 < 0 ，矛盾。说明极小反例不存在，从而定理成立。 权转移规则如下： R1 设v为1-点，则 R1.1 每个与v相关联的面f给v转2； R1.2 每个与v相邻的5 + -点给v转2； R2 设v为2-点， N ( v ) = u ， w ，且 d ( u ) ≤ d ( w ) ，则 R2.1 若u是3 − -点，则w给v转2； R2.2 若u是4 3 -点，则u给v转 2 3 ，w给v转 3 4 ； R2.3 否则，u和w分别给v转1。 R3 若f为3-面，则 R3.1 每个与f相邻的面g给f转权1； R3.2 每个5 + -点给相关联的坏3-面转 1 2 。 R4 若f是4-面，面g与f有k条公共边，则g给f转权 k 2 。 下面验证新权 c h ′ ( x ) ≥ 0 ， x ∈ V ( G ) ∪ F ( G ) ： 由R1.1知，每个面给相关联的1-点转2，而每增加一个悬挂点，面的度增加2，故悬挂点不影响面的转权。所以在验证面的权时，不考虑面f上的悬挂点。 首先检验 。 设f为3-面， c h ( f ) = − 3 。若f是好3-面，由R3.1， c h ′ ( f ) = − 3 + 3 × 1 = 0 ；若f是坏3-面，由引理2，f关联两个5 + -点，由R3.2，这两个5 + -点给f转权 2 × 1 2 ；再由R3.1，与f相邻的面给f转权 1 × 2 ，因此 c h ′ ( f ) = − 3 + 2 × 1 + 2 × 1 2 = 0 。 设f为4-面， c h ( f ) = − 2 。当f为好4-面，由R4， c h ′ ( f ) = − 2 + 4 × 1 2 = 0 。 设f为k-面( k ≥ 11 )，则 c h ( f ) = k − 6 。由于3-圈、4-圈之间互不相交，再由引理4，与4-面关联的2个2-点不相邻，故f至多与 ⌊ k 2 ⌋ 个3-面、4-面关联，由R3，R4易知 c h ′ ( f ) ≥ k − 6 − ⌊ k 2 ⌋ × 1 ≥ 0 。 下面再验证 c h ′ ( v ) ≥ 0 ， ∀ v ∈ V ( G ) 。 情况1：v为1-点，则 c h ( v ) = − 4 。由引理1(1)知，1-点的邻点是5 + -点，故由R1， c h ′ ( v ) = − 4 + 2 + 2 = 0 。 情况2：v为2-点，则 c h ( v ) = − 2 。由R2， c h ′ ( v ) = − 2 + min { 2 ， 2 3 + 4 3 ， 1 + 1 } = 0 情况3：v为3-点，根据转权规则，3-点权值没有改变，所以 c h ′ ( v ) = c h ( v ) = 0 。 情况4：v为4-点，则 c h ( v ) = 2 。由引理1(1)，引理1(3)，v无1-邻点且至多有3个2-邻点。 若v是4 0 -点或4 1 -点，由R2， c h ′ ( v ) ≥ 2 − 1 × max { 1 ， 2 ， 3 4 } = 0 ； 若v是4 2 -点，设v的2个2-邻点是x，y，由引理1(2)可知x和y除v点外的邻点是不同于4 3 -点的4 + -点，故由R2.3， c h ′ ( v ) ≥ 2 − 2 × 1 = 0 ； 若v是4 3 -点，设v的3个2-邻点是x，y，z，由引理1(2)可知x，y和z除v点外的邻点是4 1 -点或 5 + -点，故由R2.2， c h ′ ( v ) = 2 − 3 × 2 3 = 0 。 情况5：v为k-点( k ≥ 5 )，则 c h ( v ) = 2 k − 6 。分两种情况讨论： 1) v不与坏3-面关联。 由引理1(3)，v至多与 k − 1 个2 - -点相邻。 ① 若v恰与 k − 1 个2 - -点相邻，由引理1(6)，v的 k − 1 个2 − -点都是2-点，且2-点的邻点是不同于4 3 -点的4 + -点，由R2.3， c h ′ ( f ) ≥ 2 k − 6 − ( k − 1 ) × 1 = k − 5 ≥ 0 。 ② 若v恰与 k − 2 个2 − -点邻，设有 α 个1-邻点，由引理1(5)，引理5(2)，引理6(2)知，v的 k − 2 − α 个2-邻点中至多有 k − 4 − α 个2-点与3 − -点或4 3 -点相邻，即v至少有2个2-邻点除v点外的另一个邻点不是3 − -点、4 3 -点，此时由R1.2，R2.1，R2.3，有 c h ′ ( f ) ≥ 2 k − 6 − α × 2 − ( k − 4 − α ) × 2 − 2 × 1 = 0 。 ③ 若v至多与 k − 3 个2 − -点相邻，设有 α 个1-邻点， β 个2-邻点，则由引理1(4)，引理5(1)，引理6(1)知，仅当 α = k − 3 ， β = 0 ；或 α = k − 4 ， β = 1 ；或 ， β = 2 且v的2-邻点除v外的另一个邻点是3 − -点时，顶点v转出的权最大，由R1.2，R2.1， c h ′ ( f ) ≥ 2 k − 6 − ( k − 3 ) × 2 = 0 。 2) v与坏3-面 v u w v 关联 ( d ( u ) = 2 ) 。 由引理2，v与w均为5 + -点。由引理3(1)，v至多与 k − 2 个2 − -点相邻。 ① 若v至多与 k − 3 个2 − -点相邻。由R2.3，v给u转权1，再由R1.2，R3.2知 c h ′ ( v ) ≥ 2 k − 6 − ( k − 4 ) × 2 − 1 × 1 − 1 2 = 1 2 > 0 。 ② 若v恰与 k − 2 个2 − -点相邻，且v有 α 个1-邻点，由引理3(3)， α ≤ k − 5 且v的 k − 2 − α 个2-邻点中至多有 k − 5 − α 个2-点与3 − -点或4 3 -点相邻，根据R1.2， R2，R3.2知， c h ′ ( f ) ≥ 2 k − 6 − α × 2 − ( k − 5 − α ) × 2 − 3 × 1 − 1 2 = 1 2 > 0 。 综合以上各种情况，我们验证了对任意的 x ∈ V ( G ) ∪ F ( G ) ，都有 c h ′ ( x ) ≥ 0 ，从而得到如下矛盾的式子： 0 ≤ ∑ x ∈ V ( G ) ∪ F ( G ) c h ′ ( x ) = ∑ x ∈ V ( G ) ∪ F ( G ) c h ( x ) = − 12 . 上面的这个矛盾说明G不存在，从而完成了定理1的证明。