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user: 3. 常用准脆性材料动态本构模型 3.1. HJC模型 HJC模型是由Hlomquist [ 5 ] 在1993年第 14 届国际弹道大会上，提出了一种适用于拉格朗日法和欧拉法的高应变率以及高压混凝土损伤本构模型，该模型很好的解释了混凝土材料承受大变形时所产生的塑性行为，同时引入了损伤变量，对动载作用下的混凝土材料的力学性能研究具有重要的指导意义。 HJC模型标准化等效应力定义为： σ * = σ f ′ c (1) 式中， σ 为实际等效应力， f ′ c 为准静态单轴抗压强度。表达式定义为 σ * = [ A ( 1 − D ) + B P * N ] [ 1 − c ln ( ε ˙ * ) ] (2) 其中D是损伤参数， P * = P / f ′ c 是归一化压力， ε ˙ * = ε ˙ / ε ˙ 0 表示是无量纲应变率，强度模型如图1所示。该模型通过等效塑性应变和塑性体积应变累积损伤可表示为 D = ∑ Δ ε p + Δ u p D 1 ( P * + T * ) D 2 (3) 式中 Δ ε p 和 Δ u p 是等效塑性应变和塑性体积应变， D 1 和 D 2 是常数， T * = T / f ′ c 是标准化的最大拉伸静水压力，损伤模型如图2所示。 全致密材料的压力表示为 P = K 1 u ¯ + K 2 u ¯ 2 + K 3 u ¯ 3 (4) 式中， K 1 ， K 2 ， K 3 是材料常数，修改后的体积应变定义为 u ¯ = u − u l o c k 1 + u l o c k (5) 式中， u l o c k 是锁定体积应变，p-u损伤模型如图3所示。 图1. HJC模型的强度模型 图2. HJC模型的p-u损伤模型 图3. HJC模型的损伤模型 3.2. RHT模型 1999年，Riedel [ 6 ] 提出的模型是针对传统的劈裂压缩波传播规范而设计的，其中偏应力强度分别由弹性、失效和残余强度极限面组成，这一概念同时考虑了各向同性硬化、强度损失和刚度退化，这些极限面取决于压力、三轴应力状态和应变率，如图4所示。 图4. RHT模型(a) 三个极限面及子午线(b) “三阶段”示意图 RHT失效面方程为： σ e p * ( p ， θ ， ε ˙ ) = Y T X C * ( p ) R 3 ( θ ) F r a t e ( ε ˙ ) (6) 式 Y T X C * ( p ) 为失效极限面上的等效强度函数， F r a t e ( ε ˙ ) 为应变率相关函数， R 3 ( θ ) 为Lode角 θ 以及偏平面上失效曲线(失效面被偏平面相截后形成的曲线)在拉、压子午线处的偏应力之比 Q 2 的函数，并且实验结果表明，混凝土的破坏强度与偏应力张量、第二不变量 J 2 、第三不变量 J 3 和静水压力有关，它们分别为 Y T X C * ( p ) = A [ p * − p s p a l l * F r a t e ( ε ˙ ) ] N (7) F r a t e ( ε ˙ ) = { ( ε ˙ / ε ˙ 0 ) a p ≥ f c 3 ( ε ˙ / ε ˙ 0 ) δ p < f c 3 (8) R 3 ( θ ) = 2 ( 1 − Q 2 2 ) cos θ + ( 2 Q 2 − 1 ) ⋅ [ 4 ( 1 − Q 2 2 ) cos 2 θ + 5 Q 2 2 − 4 Q 2 ] 1 / 2 / 4 ( 1 − Q 2 2 ) cos 2 θ + ( 1 − 2 Q 2 ) 2 (9) 其中 θ = 1 3 cos − 1 [ 3 3 J 3 2 J 2 3 / 2 ] 0 ≤ θ ≤ θ 3 Q 2 = r 1 r c = Q 0 + B Q p * 0.51 ≤ Q 2 ≤ 1.0 (10) 以上各式中： p s p a l l * = p s p a l l / f c ，是归一化层裂强度， r 1 和 r c 分别为拉子午线处和压子午线处的偏应力的表达式，A为失效常数，N为失效常数， α 为压缩应变率指数， δ 为拉伸应变率指数， Q 0 为拉压子午比， B Q 为脆性韧性转变参数，它们均可由实验确定。 3.3. Malvar (K&C)模型 Marlvar [ 7 ] 等人采用Praudtl-Reuss流动法则采和8个独立参数定义3个固定极限面，以LLNL模型为基础，提出了K&C材料模型，该模型很好的描述了混凝土材料受压时的塑性流动。弹性极限面，失效极限面和残余强度极限面(如图5所示)，此外，该模型还将材料的硬化速率与损伤软化速率考虑其中，实验结果验证了该本构模型具有良好的吻合度。 失效极限面： Δ σ m = a 0 + p a 1 + a 2 p (11) 残余强度极限面 Δ σ r = p / ( a 1 f + a 2 f p ) (12) 弹性极限面 Δ σ y = σ 0 y + p / ( a 1 y + a 2 y p ) (13) 当应力状态处于屈服面与破坏面之间时，当前荷载面的计算在屈服面与破坏面之间插值 Δ σ = η ( Δ σ m − Δ σ y ) + Δ σ y (14) 当应力状态达到破坏面之后，当前荷载面的计算在破坏面与残余应力面之间插值 Δ σ = η ( Δ σ m − Δ σ r ) + Δ σ r (15) 式中 Δ σ m 、 Δ σ r 、 Δ σ y 分别为等效失效强度、等效残余强度和等效屈服强度。 图5. Malvar模型的三个失效面 式中 a 0 ， a 1 ， a 2 ， a 0 y ， a 1 y ， a 2 y ， a 1 f ， a 2 f 为8个独立参数。 η 为表示损伤变量 λ 的函数， λ 为表示材料塑性应变的函数。 对于拉、压时的损伤变量 λ ，我们这么定义 λ = { ∫ 0 ε p → d ε p → r f ( 1 + p / r f f t ) b 1 p ≥ 0 ∫ 0 ε p → d ε p → r f ( 1 + p / r f f t ) b 2 p < 0 (16) 这里引入计算因子 f d 和体积拉伸损伤 Δ λ ，用于表述三向等拉荷载时的损伤情况 f d = { 1 − | 3 J 2 p | 0.1 0 ≤ 3 J 2 p < 0.1 0 3 J 2 p ≥ 0.1 (17) Δ λ = b 3 f d k d ( ε v − ε v ， y i e l d ) (18) d ε p → 表示塑性应变增量， r f 为单轴强度的应变率效应增强系数， b 1 ， b 2 分别为控制压缩和拉伸软化系数， f t 为拉伸强度， J 2 是偏应力张量第二不变量， b 3 控制体积拉伸软化系数， k d 是内部系数， ε v 是拉伸体积应变， ε v ， y i e l d 表示拉屈点体积应变。 3.4. ZWT模型 3.4.1. 经典的ZWT模型 ZWT [ 8 ] 模型是由朱–王–唐在研究环氧树脂时提出的，该模型由一个非线性弹簧和两个描述不同特征时间的麦克斯韦体并联组成，如图6所示： 该模型本构方程如下所述： σ = σ s + σ m 1 + σ m 2 = E 0 ε + α ε 2 + β ε 3 + E 1 ∫ 0 t ε ˙ exp ( − t − τ φ 1 ) d τ + E 2 ∫ 0 t ε ˙ exp ( − t − τ φ 2 ) d τ (19) 由方程可知，ZWT模型的本构方程可以分为三个部分：① 多项式项 E 0 ε + α ε 2 + β ε 3 为平衡状态下应力， E 0 ， α ， β 为非线性弹簧的弹性系数；② 积分项 E 1 ∫ 0 t ε ˙ exp ( − t − τ φ 1 ) d τ 和积分项 E 2 ∫ 0 t ε ˙ exp ( − t − τ φ 2 ) d τ 分别来描述不同松弛时间低频和高频的黏弹性响应，2个积分项所代表麦克斯韦体相关参数，如表1所示。 图6. ZWT模型示意图 Table 1 Maxwell related parameter Maxwell体弹性常数 松弛时间 分级 量级/s 低频 E 1 φ 1 10~10 2 高频 E 2 φ 2 10 −6 ~10 −4 表1. Maxwell相关参数 3.4.2. ZWT模型基础上建立的统计损伤本构 付玉凯、解北京 [ 9 ] 等对1/3焦煤和无烟煤进行了霍普金森压杆(SHPB)单轴冲击实验，在前人研究成果的基础上，通过对实验曲线特征的系统分析，建立了损伤体–黏弹性模型，该模型由一个强度服从Weibull分布的损伤体元件和2个不同松弛时间的麦克斯韦体并联而成，详见图7所示。 图7. ZWT模型基础上建立的统计损伤本构模型 该模型本构关系为： 针对煤岩体材料复杂的力学性质，为了能够很好的描述弹塑性行为和损伤特性，在ZWT模型的基础上，并联一个损伤体D，并定义损伤体D a 在损伤之前是线弹性的，弹性模量取平均值E，强度服从参数为 ( m ， α ) 的Weibull分布。其概率密度 φ ( ε a ) 、损伤参数D以及本构关系 σ - ε 可表示为 φ ( ε a ) = m α ε a m − 1 exp ( − ε a m α ) ( ε ≥ 0 ) (20) D = 1 − exp ( − ε a m α ) ( ε ≥ 0 ) (21) σ a = E 0 ε a ( 1 − D ) = E 0 ε a exp ( − ε a m α ) ( ε ≥ 0 ) (22) 煤岩体还有塑性流动特性，所以引入了黏弹性元件，模型中的2个黏弹性元件分别用于描述煤体的低应变率响应和高应变率黏弹性响应，因而可以把试件看成损伤体和2个黏弹性元件的并联体，建立本构模型如下： σ 1 = E 1 ∫ 0 t ε exp ( − t − τ φ 1 ) d τ (23) σ 2 = E 2 ∫ 0 t ε exp ( − t − τ φ 2 ) d τ (24) σ = σ a + σ 1 + σ 2 = E 0 ε a exp ( − ε a m α ) + E 1 ∫ 0 t ε exp ( − t − τ φ 1 ) d τ + E 2 ∫ 0 t ε exp ( − t − τ φ 2 ) d τ (25) 式中， E 0 ， E 1 ， E 2 为弹性模量常数； φ 1 ， φ 2 为松弛时间。