system: [SYSTEM]

user: 3. 主要结果及证明过程 本文的主要结果可表述为以下两个定理。 定理3.1： H 1 ( L ， V ) ≅ ℂ D 。 定理3.2：李双代数 ( L ， [ ⋅ ， ⋅ ] ， Δ ) 是三角余边缘的当且仅当 λ = η = ρ = ω = ν = ν ′ = 0 。 引理3.1：把 L 的n次张量积 L ⊗ n 看作 L 对角伴随作用下的 L -模。如果对某个 r ∈ L ⊗ n 和任意 x ∈ L ，使得 x ⋅ r = 0 ，则 r ∈ I 0 ⊗ n 。 证明：可运用文献 [ 1 ] [ 5 ] 相应结论的证明得到。 引理3.2：对所有 x ∈ L ，假设 v ∈ V ，使得 x ⋅ v ∈ Im ( 1 − τ ) ，则对某个 c ∈ ℂ ，有 v − c I 0 ⊗ I 0 ∈ Im ( 1 − τ ) 。 证明：可运用文献 [ 6 ] 中引理3.2的技巧得证。 定理3.1：由断言1~4得到。 断言1：如果 n ∈ ℤ * ，则 D n ∈ Inn ( L ， V ) 。 证明：首先记 y = D n ( L 0 ) n ∈ V n ， ∀ n ∈ ℤ * 。把 D n 作用在 [ L 0 ， x j ] = − j x j 上，再利用 D n ( x j ) ∈ V n   + j ，有 D n ( x j ) = x j ⋅ D n ( L 0 ) n = x j ⋅ y ， ∀ x j ∈ L j ，从而 D n = y inn 为内导子。 断言2： D 0 ( L 0 ) ≡ 0 ≡ D 0 ( I 0 ) 。 证明：把 D 0 作用在 [ L 0 ， x j ] = − j x j 上， ∀ j ∈ ℤ ， x ∈ L ，有 x j ⋅ D 0 ( L 0 ) = 0 。则由引理3.1可推出 D 0 ( L 0 ) ≡ 0 。 类似地，通过将 D 0 作用于 [ I 0 ， x ] = 0 上，有 D 0 ( I 0 ) ≡ 0 。 断言3：当 D 0 ∈ Der 0 ¯ ( L ， V ) 时，用 D 0 − u inn ( u ∈ V 0 )代替 D 0 ，我们可假设 。 证明：对 ∀ n ∈ ℤ ， D 0 ( L n ) ， D 0 ( I n ) 和 D 0 ( G n ) 如下所示 D 0 ( L n ) = ∑ i ∈ ℤ ( a n ， i L i ⊗ L n − i + b n ， i L i ⊗ I n − i + b n ， i † I i ⊗ L n − i + c n ， i I i ⊗ I n − i + e n ， i G i ⊗ G n − i ) ， D 0 ( I n ) = ∑ i ∈ ℤ ( α n ， i L i ⊗ L n − i + β n ， i L i ⊗ I n − i + β n ， i † I i ⊗ L n − i + γ n ， i I i ⊗ I n − i + f n ， i G i ⊗ G n − i ) ， D 0 ( G n ) = ∑ i ∈ ℤ ( μ n ， i L i ⊗ G n − i + μ n ， i † G i ⊗ L n − i + ν n ， i I i ⊗ G n − i + ν n ， i † G i ⊗ I n − i ) ， 其中，所有张量积的系数都在复数域 ℂ 中，且它们的和是有限的。对于 ∀ n ∈ ℤ ，下列恒等式成立， L 1 ⋅ ( L n ⊗ L − n ) = ( 1 − n ) L n + 1 ⊗ L − n + ( 1 + n ) L n ⊗ L 1 − n ， L 1 ⋅ ( I n ⊗ I − n ) = − n I n + 1 ⊗ I − n + n I n ⊗ I 1 − n ， L 1 ⋅ ( G n ⊗ G − n ) = − n G n + 1 ⊗ G − n + n G n ⊗ G 1 − n ， L 1 ⋅ ( L n ⊗ I − n ) = ( 1 − n ) L n + 1 ⊗ I − n + n L n ⊗ I 1 − n ， L 1 ⋅ ( I n ⊗ L − n ) = − n I n + 1 ⊗ L − n + ( 1 + n ) I n ⊗ L 1 − n ， 用 D 0 − u inn 代替 D 0 ，其中u是 L p ⊗ L − p ， L p ⊗ I − p ， I p ⊗ L − p ， I p ⊗ I − p 和 G p ⊗ G − p ( p ∈ ℤ )的适当的线性组合，假设对任意 i ∈ ℤ \ { − 1 ， 2 } ， j ∈ ℤ \ { 0 ， 2 } ， k ∈ ℤ \ { − 1 ， 1 } 和 m ∈ ℤ \ { 0 ， 1 } ，有 a 1 ， i = b 1 ， j = b 1 ， k † = c 1 ， m = e 1 ， m = 0 。则 D 0 ( L 1 ) 化简为 D 0 ( L 1 ) = a 1 ， − 1 L − 1 ⊗ L 2 + a 1 ， 2 L 2 ⊗ L − 1 + b 1 ， 0 L 0 ⊗ I 1 + b 1 ， 2 L 2 ⊗ I − 1 + b 1 ， − 1 † I − 1 ⊗ L   2     + b 1 ， 1 † I 1 ⊗ L 0 + c 1 ， 0 I 0 ⊗ I 1 + c 1 ， 1 I 1 ⊗ I 0 + e 1 ， 0 G 0 ⊗ G 1 + e 1 ， 1 G 1 ⊗ G 0 . 将 D 0 作用在 [ L − 1 ， L 1 ] = − 2 L 0 上，有 a − 1 ， i = 0 ， ∀   i ∈ ℤ \ { − 2 ， ± 1 ， 0 } ， a − 1 ， − 2 = − a 1 ， − 1 + 1 3 a − 1 ， 0 ， a − 1 ， 1 = − a 1 ， 2 − 1 3 a − 1 ， 0 ， (3.1) b − 1 ， i 1 = b − 1 ， i 2 † = c − 1 ， i 3 = e − 1 ， i 3 = 0 ， ∀ i 1 ∈ ℤ \ { ± 1 ， 0 } ， i 2 ∈ ℤ \ { − 2 ， − 1 ， 0 } ，   i 3 ∈ ℤ \ { − 1 ， 0 } ， b 1 ， 0 = b 1 ， 2 = b 1 ， − 1 † = b 1 ， 1 † = 0 ， b − 1 ， 0 = − 2 b − 1 ， − 1 = − 2 b − 1 ， 1 ， b − 1 ， − 1 † = − 2 b − 1 ， − 2 † = − 2 b − 1 ， 0 † . 从而，进一步得到 D 0 ( L ± 1 ) 的简化式如下 D 0 ( L − 1 ) = a − 1 ， − 2 L − 2 ⊗ L 1 + a − 1 ， 0 ( − L − 1 ⊗ L 0 + L 0 ⊗ L − 1 ) + a − 1 ， 1 L 1 ⊗ L − 2     + b − 1 ， − 1 ( L − 1 ⊗ I 0 − 2 L 0 ⊗ I − 1 + L 1 ⊗ I − 2 )     + b − 1 ， 0 † ( I − 2 ⊗ L 1 − 2 I − 1 ⊗ L 0 + I 0 ⊗ L − 1 )     + c − 1 ， − 1 I − 1 ⊗ I 0 + c − 1 ， 0 I 0 ⊗ I − 1 + e − 1 ， − 1 G − 1 ⊗ G 0 + e − 1 ， 0 G 0 ⊗ G − 1 ， D 0 ( L 1 ) = a 1 ， − 1 L − 1 ⊗ L 2 + a 1 ， 2 L 2 ⊗ L − 1 + c 1 ， 0 I 0 ⊗ I 1 + c 1 ， 1 I 1 ⊗ I 0 + e 1 ， 0 G 0 ⊗ G 1 + e 1 ， 1 G 1 ⊗ G 0 . 将 D 0 作用在 [ L − 2 ， L 1 ] = − 3 L − 1 上，结合(3.1)得 a − 1 ， 1 = − 1 3 a − 1 ， 0 ， 2 a − 2 ， − 1 + 3 a − 2 ， 0 − 3 a − 1 ， 0 = 0 ， a − 2 ， 0 + 4 a − 2 ， 1 − 3 a − 1 ， 1 = 0 ， (3.2) a − 1 ， − 2 = 1 3 a − 1 ， 0 ， 4 a − 2 ， − 3 + a − 2 ， − 2 − 3 a − 1 ， − 2 = 0 ， 3 a − 2 ， − 2 + 2 a − 2 ， − 1 + 3 a − 1 ， 0 = 0 . (3.3) 将 D 0 作用在 [ L − 1 ， L 2 ] = − 3 L 1 上，有 a − 1 ， 0 = a 2 ， − 1 − a 2 ， 3 = a 2 ， 0 + 4 a 2 ， 3 = a 2 ， 1 − 6 a 2 ， 3 = a 2 ， 2 + 4 a 2 ， 3 = a 2 ， i = b 2 ， i 1 = b 2 ， i 2 † = c 2 ， i 3 = e 2 ， i 3 = 0 ， ∀ i ∈ ℤ \ { ± 1 ， 0 ， 2 ， 3 } ， i 1 ∈ ℤ \ { ± 1 ， 0 ， 2 ， 3 } ， i 2 ∈ ℤ \ { ± 1 ， 0 ， 2 ， 3 } ， i 3 ∈ ℤ \ { 0 ， 1 ， 2 } ， 此时，由(3.2)和(3.3)得 b 2 ， 0 + 3 b 2 ， − 1 = b 2 ， 3 − b − 1 ， − 1 = b 2 ， 1 − 3 b 2 ， − 1 − b − 1 ， − 1 = 3 b 2 ， 2 + b 2 ， 1 + 5 b − 1 ， − 1 = 0 ， (3.4) 3 b 2 ， 3 † + b 2 ， 2 † = b 2 ， − 1 † − b − 1 ， 0 † = b 2 ， 1 † + 3 b 2 ， 0 † + 5 b − 1 ， 0 † = − 3 b 2 ， 3 † + b 2 ， 1 † − b − 1 ， 0 † = 0 . (3.5) 将 D 0 作用在 [ L − 2 ， L 2 ] = − 4 L 0 上，结合(3.4)和(3.5)得，则有 a 2 ， 3 + a − 2 ， 1 = c 2 ， 1 + c − 2 ， − 1 = e 2 ， 1 + e − 2 ， − 1 = 0 ， b 2 ， − 1 = b − 2 ， 0 = 0 ， b − 2 ， − 1 = − 3 b 2 ， 1 = − 3 b − 1 ， − 1 ， b − 2 ， − 2 = − b 2 ， 2 = 2 b − 1 ， − 1 ， b − 2 ， 1 = b − 1 ， − 1 ， b − 2 ， − 2 † = b 2 ， 3 † = 0 ， b − 2 ， − 1 † = − 3 b 2 ， 1 † = − 3 b − 1 ， 0 † ， b − 2 ， 0 † = − b 2 ， 0 † = 2 b − 1 ， 0 † ， b − 2 ， − 3 † = b − 1 ， 0 † . 记 u 1 = L 1 ⊗ L − 1 − 2 L 0 ⊗ L 0 + L − 1 ⊗ L 1 ， u 2 = L 1 ⊗ I − 1 − L 0 ⊗ I 0 ， u 3 = I − 1 ⊗ L 1 − I 0 ⊗ L 0 ，用 D 0 − a 2 ， 3 ( u 1 ) inn − b − 1 ， − 1 ( u 2 ) inn − b − 1 ， 0 † ( u 3 ) inn 代替D，有 a 2 ， 3 = b − 1 ， − 1 = b − 1 ， 0 † = 0 。则有 D 0 ( L ± 1 ) = c ± 1 ， 0 I 0 ⊗ I ± 1 + c ± 1 ， ± 1 I ± 1 ⊗ I 0 + e ± 1 ， 0 G 0 ⊗ G ± 1 + e ± 1 ， ± 1 G ± 1 ⊗ G 0 ， D 0 ( L ± 2 ) = c ± 2 ， 0 I 0 ⊗ I ± 2 ± c 2 ， 1 I ± 1 ⊗ I ± 1 + c ± 2 ， ± 2 I ± 2 ⊗ I 0 + e ± 2 ， 0 G 0 ⊗ G ± 2 ± e 2 ， 1 G ± 1 ⊗ G ± 1 + e ± 2 ， ± 2 G ± 2 ⊗ G 0 . 且系数满足以下关系式 c − 1 ， − 1 + c − 1 ， 0 + c 1 ， 0 + c 1 ， 1 = c − 2 ， − 2 + c − 2 ， 0 + c 2 ， 0 + c 2 ， 2 = 2 c 2 ， 0 + c 2 ， 1 + c − 1 ， 0 − 3 c 1 ， 0 = 0 ， 2 c 2 ， 2 + c 2 ， 1 + c − 1 ， − 1 − 3 c 1 ， 1 = 2 c − 2 ， 0 − c 2 ， 1 + c 1 ， 0 − 3 c − 1 ， 0 = 2 c − 2 ， − 2 − c 2 ， 1 + c 1 ， 1 − 3 c − 1 ， − 1 = 0 . 将 D 0 作用在 [ L − 1 ， I 1 ] = − I 0 上，有 α 1 ， i = β 1 ， i 1 = β 1 ， i 2 † = γ 1 ， i 3 = f 1 ， i 3 = α 1 ， 1 + 3 α 1 ， 2 = α 1 ， 0 − 3 α 1 ， 2 = α 1 ， − 1 + α 1 ， 2 = 0 ， ∀ i ∈ ℤ \ { ± 1 ， 0 ， 2 } ， i 1 ∈ ℤ \ { ± 1 ， 0 } ， i 2 ∈ ℤ \ { 0 ， 1 ， 2 } ， i 3 ∈ ℤ \ { 0 ， 1 } ， β 1 ， 0 = − 2 β 1 ， − 1 = − 2 β 1 ， 1 ， β 1 ， 1 † = − 2 β 1 ， 0 † = − 2 β 1 ， 2 † ， γ 1 ， 0 + γ 1 ， 1 = f 1 ， 0 + f 1 ， 1 = 0 . 将 D 0 作用在 [ L 1 ， I − 1 ] = I 0 上，同理有 D 0 ( I − 1 ) = α − 1 ， 1 ( − L − 2 ⊗ L 1 + 3 L − 1 ⊗ L 0 − 3 L 0 ⊗ L − 1 + L 1 ⊗ L − 2 )     + β − 1 ， 1 ( L − 1 ⊗ I 0 − 2 L 0 ⊗ I − 1 + L 1 ⊗ I − 2 )     + β − 1 ， 0 † ( I − 2 ⊗ L 1 − 2 I − 1 ⊗ L 0 + I 0 ⊗ L − 1 )     + γ − 1 ， − 1 ( I − 1 ⊗ I 0 − I 0 ⊗ I − 1 ) + f − 1 ， − 1 ( G − 1 ⊗ G 0 − G 0 ⊗ G − 1 ) . 将 D 0 作用在 [ L 2 ， I − 1 ] = I 1 上，有 α − 1 ， 1 = α 1 ， 2 = β − 1 ， 1 = β 1 ， 1 = β − 1 ， 0 † = β 1 ， 2 † = 0 ， γ 1 ， 0 + γ − 1 ， − 1 = f 1 ， 0 + f − 1 ， − 1 = 0 . 此时， D 0 ( I ± 1 ) = γ 1 ， 0 ( I 0 ⊗ I ± 1 − I ± 1 ⊗ I 0 ) + f 1 ， 0 ( G 0 ⊗ G ± 1 − G ± 1 ⊗ G 0 ) 。 将 D 0 作用在 [ L 1 ， G 0 ] = 0 和 [ L − 1 ， G 0 ] = 0 上，可得 D 0 ( G 0 ) = ν 0 ， 0 I 0 ⊗ G 0 + ν 0 ， 0 † G 0 ⊗ I 0 ， D 0 ( L ± 1 ) = c ± 1 ， 0 I 0 ⊗ I ± 1 + c ± 1 ， ± 1 I ± 1 ⊗ I 0 . 将 D 0 作用在 [ I − 1 ， G 1 ] = 0 和 [ I 1 ， G − 1 ] = 0 上，分别有以下系数关系式 μ 1 ， 1 = μ 1 ， − 1 † = − μ 1 ， 2 = − μ 1 ， 0 † = f 1 ， 0 ， μ 1 ， i 1 = μ 1 ， i 2 † = 0 ， ∀ i 1 ∈ ℤ \ { 1 ， 2 } ， i 2 ∈ ℤ \ { − 1 ， 0 } ， μ − 1 ， − 2 = μ − 1 ， 0 † = − μ − 1 ， − 1 = − μ − 1 ， 1 † = f 1 ， 0 ， μ − 1 ， i 3 = μ − 1 ， i 4 † = 0 ， ∀ i 3 ∈ ℤ \ { − 2 ， − 1 } ， i 4 ∈ ℤ \ { 0 ， 1 } . 将 D 0 作用在 [ L 1 ， G − 1 ] = G 0 和 上，我们可以推导出 f 1 ， 0 = ν 1 ， i 1 = ν 1 ， i 1 † = ν 1 ， 1 + ν 1 ， 0 − ν 0 ， 0 = ν 1 ， 1 † + ν 1 ， 0 † − ν 0 ， 0 † = 0 ， ， ν − 1 ， i 2 = ν − 1 ， i 2 † = ν − 1 ， − 1 + ν − 1 ， 0 − ν 0 ， 0 = ν − 1 ， − 1 † + ν − 1 ， 0 † − ν 0 ， 0 † = 0 ， ∀ i 2 ∈ ℤ \ { − 1 ， 0 } . 且有 D 0 ( I ± 1 ) = γ 1 ， 0 ( I 0 ⊗ I ± 1 − I ± 1 ⊗ I 0 ) 。 将 D 0 作用在 [ L 2 ， G − 1 ] = G 1 和 [ L − 2 ， G 1 ] = − G − 1 上，可得 e 2 ， 0 = e 2 ， 1 = e 2 ， 2 = 0 ， 从而有 D 0 ( L ± 2 ) = c ± 2 ， 0 I 0 ⊗ I ± 2 ± c 2 ， 1 I ± 1 ⊗ I ± 1 + c ± 2 ， ± 2 I ± 2 ⊗ I 0 。 将 D 0 作用在 [ G − 1 ， G 1 ] = I 0 上，有 D 0 ( G 0 ) = ν 0 ， 0 ( I 0 ⊗ G 0 − G 0 ⊗ I 0 ) ， D 0 ( G ± 1 ) = ν 1 ， 0 ( I 0 ⊗ G ± 1 − G ± 1 ⊗ I 0 ) + ν 1 ， 1 ( I ± 1 ⊗ G 0 − G 0 ⊗ I ± 1 ) 。 且满足 ν 0 ， 0 = ν 1 ， 0 + ν 1 ， 1 ， γ 1 ， 0 = 2 ν 1 ， 0 。 根据以下记法： c 1 ， 1 = λ ， c 2 ， 0 = η ， c 2 ， 1 = κ ， c 2 ， 2 = ρ ， ν 1 ， 0 = ν ， ν 1 ， 1 = ν ′ ，利用数学归纳法，并考虑(1.1)中所有的李括号可得 D 0 ( L 0 ) ≡ 0 ≡ D 0 ( I 0 ) ， D 0 ( I n ) = 2 ν ( I 0 ⊗ I n − I n ⊗ I 0 ) ， D 0 ( L n ) = ( ( 2 − n ) λ + ( n − 1 ) η ) I n ⊗ I 0 + ( ( n − 2 ) λ + 2 − n 2 η + n 2 ρ ) I 0 ⊗ I n ， D 0 ( G m ) = ν ( I 0 ⊗ G m − G m ⊗ I 0 ) + ν ′ ( I m ⊗ G 0 − G 0 ⊗ I m ) ， ∀ n ∈ ℤ * ，   m ∈ ℤ . 断言4：当 D 0 ∈ Der 1 ¯ ( L ， V ) 时，用 D 0 − u inn ( u ∈ V 0 )代替 D 0 ，我们可假设 D 0 ( L ) = D ( L ) 。 证明：对 ∀ n ∈ ℤ ， D 0 ( L n ) ， D 0 ( I n ) 和 D 0 ( G n ) 如下所示 D 0 ( L n ) = ∑ i ∈ ℤ ( a n ， i L i ⊗ G n − i + a n ， i † G i ⊗ L n − i + b n ， i I i ⊗ G n − i + b n ， i † G i ⊗ I n − i ) ， D 0 ( I n ) = ∑ i ∈ ℤ ( α n ， i L i ⊗ G n − i + α n ， i † G i ⊗ L n − i + β n ， i I i ⊗ G n − i + β n ， i † G i ⊗ I n − i ) ， D 0 ( G n ) = ∑ i ∈ ℤ ( μ n ， i L i ⊗ L n − i + ν n ， i L i ⊗ I n − i + ν n ， i † I i ⊗ L n − i + ω n ， i I i ⊗ I n − i + λ n ， i G i ⊗ G n − i ) ， 其中，所有张量积的系数都在复数域 ℂ 中，且它们的和是有限的。对于 ∀ n ∈ ℤ ，下列恒等式成立， L 1 ⋅ ( L n ⊗ G − n ) = ( 1 − n ) L n + 1 ⊗ G − n + n L n ⊗ G 1 − n ， L 1 ⋅ ( I n ⊗ G − n ) = − n I n + 1 ⊗ G − n + n I n ⊗ G 1 − n ， L 1 ⋅ ( G n ⊗ L − n ) = − n G n + 1 ⊗ L − n + ( n + 1 ) G n ⊗ L 1 − n ， L 1 ⋅ ( G n ⊗ I − n ) = − n G n + 1 ⊗ I − n + n G n ⊗ I 1 − n . 用 D 0 − u inn 代替 D 0 ，其中u是 L p ⊗ G − p ， G p ⊗ L − p ， I p ⊗ G − p 和 G p ⊗ I − p 的适当的线性组合， ，假设对于任意 i ∈ ℤ \ { 0 ， 2 } ， j ∈ ℤ \ { − 1 ， 1 } 和 k ∈ ℤ \ { 0 ， 1 } ，有 a 1 ， i = a 1 ， i † = b 1 ， k = b 1 ， k † = 0 。则 D 0 ( L 1 ) 可写成 D 0 ( L 1 ) = a 1 ， 0 L 0 ⊗ G 1 + a 1 ， 2 L 2 ⊗ G − 1 + a 1 ， − 1 † G − 1 ⊗ L 2 + a 1 ， 1 † G 1 ⊗ L 0     + b 1 ， 0 I 0 ⊗ G 1 + b 1 ， 1 I 1 ⊗ G 0 + b 1 ， 0 † G 0 ⊗ I 1 + b 1 ， 1 † G 1 ⊗ I 0 . 将 D 0 作用在 [ L − 1 ， L 1 ] = − 2 L 0 上，记 u 1 = − L 0 ⊗ G 0 + L 1 ⊗ G − 1 ， u 2 = G − 1 ⊗ L 1 − L 0 ⊗ G 0 ，用 D 0 − a − 1 ， − 1 ( u 1 ) inn − a − 1 ， 0 † ( u 2 ) inn 代替D，可得 D 0 ( L ± 1 ) = b ± 1 ， 0 I 0 ⊗ G ± 1 + b ± 1 ， ± 1 I ± 1 ⊗ G 0 + b ± 1 ， 0 † G 0 ⊗ I ± 1 + b ± 1 ， ± 1 † G ± 1 ⊗ I 0 . 将 D 0 依次作用在 [ L − 2 ， L 1 ] = − 3 L − 1 ， [ L − 1 ， L 2 ] = − 3 L 1 和 [ L − 2 ， L 2 ] = − 4 L 0 上， 我们可以推导出 D 0 ( L ± 2 ) 如下 D 0 ( L ± 2 ) = b ± 2 ， 0 I 0 ⊗ G ± 2 ± b 2 ， 1 I ± 1 ⊗ G ± 1 + b ± 2 ， ± 2 I ± 2 ⊗ G 0     + b ± 2 ， 0 † G 0 ⊗ I ± 2 ± b 2 ， 1 † G ± 1 ⊗ I ± 1 + b ± 2 ， ± 2 † G ± 2 ⊗ I 0 . 且系数满足以下关系 2 b 2 ， 0 † + b 2 ， 1 † + b − 1 ， 0 † − 3 b 1 ， 0 † = 2 b 2 ， 2 † + b 2 ， 1 † + b − 1 ， − 1 † − 3 b 1 ， 1 † = 0 ， (3.6) 2 b 2 ， 0 + b 2 ， 1 + b − 1 ， 1 − 3 b 1 ， 0 = 2 b 2 ， 2 + b 2 ， 1 + b − 1 ， − 1 − 3 b 1 ， 1 = 2 b − 2 ， 0 † − b 2 ， 1 † + b 1 ， 0 † − 3 b − 1 ， 0 † = 0 (3.7) 2 b − 2 ， − 2 − b 2 ， 1 + b 1 ， 1 − 3 b − 1 ， − 1 = 2 b − 2 ， 0 − b 2 ， 1 + b 1 ， 0 − 3 b − 1 ， 0 = 2 b − 2 ， − 2 † − b 2 ， 1 † + b 1 ， 1 † − 3 b − 1 ， − 1 † = 0 .(3.8) 将 D 0 依次作用在 [ L − 1 ， I 1 ] = − I 0 ， [ L 1 ， I − 1 ] = I 0 和 [ L 2 ， I − 1 ] = I 1 上，我们可将 D 0 ( I ± 1 ) 化简为 D 0 ( I ± 1 ) = β 1 ， 0 ( I 0 ⊗ G ± 1 − I ± 1 ⊗ G 0 ) + β 1 ， 0 † ( G 0 ⊗ I ± 1 − G ± 1 ⊗ I 0 ) . 将 D 0 作用在 [ L ± 1 ， G 0 ] = 0 和 [ I − 1 ， G 0 ] = 0 上，可得 D 0 ( G 0 ) = ω 0 ， 0 I 0 ⊗ I 0 + λ 0 ， 0 G 0 ⊗ G 0 . 将 D 0 作用在 [ L ± 1 ， G ∓ 1 ] = ± G 0 和 [ L 2 ， G − 1 ] = G 1 上，再结合(3.6)~(3.8)，可以推导出 D 0 ( L ± 1 ) = D 0 ( L ± 2 ) = D 0 ( G 0 ) = 0 ， D 0 ( G ± 1 ) = ω 1 ， 0 ( I 0 ⊗ I ± 1 − I ± 1 ⊗ I 0 ) + λ 1 ， 0 ( G 0 ⊗ G ± 1 − G ± 1 ⊗ G 0 ) . 将 D 0 作用在 [ I − 1 ， G 1 ] = 0 上，有 D 0 ( I ± 1 ) = 0 。 将 D 0 作用在 [ G − 1 ， G 1 ] = I 0 上，有 D 0 ( G ± 1 ) = ω 1 ， 0 ( I 0 ⊗ I ± 1 − I ± 1 ⊗ I 0 ) 。 根据以下记法： ω 1 ， 0 = ω ，利用数学归纳法，并考虑(1.1)所有李括号可推导出 D 0 ( G 0 ) = D 0 ( L m ) = D 0 ( I m ) = 0 ， D 0 ( G n ) = ω ( I 0 ⊗ I n − I n ⊗ I 0 ) ， ∀ m ∈ ℤ ， n ∈ ℤ * . 则定理3.1最终由归纳法 D = D 0 可证得。 设 ( L ， [ ⋅ ， ⋅ ] ， Δ ) 是 L 上的超李双代数结构。由定理3.1得，在(2.6)中提到对某个 r ∈ L ⊗ L ，有 Δ = Δ r 当且仅当 λ = η = ρ = ω = ν = ν ′ = 0 。结合 Im Δ ⊂ Im ( 1 − τ ) 和引理3.2，可以推导出对某个 c ∈ ℂ ，有 r − c I 0 ⊗ I 0 ∈ Im ( 1 − τ ) ，则引理3.1得出 c ( r ) ∈ ℂ I 0 ⊗ I 0 。因此， ( L ， [ ⋅ ， ⋅ ] ， Δ ) 是一个三角余边缘的超李双代数当且仅当 λ = η = ρ = ω = ν = ν ′ = 0 。故定理3.2得证。