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user: 2. 多项式趋势曲线 本小节将具体讨论多项式趋势曲线模型参数的局部求和方法，并给出相应的形式表达式。进一步，利用时间序列分析方法对残差序列进行白噪声检验，以确定所建立的模型是充分提出了数据的信息。 2.1. 模型参数的确定 由文献 [ 1 ] 可知，多项式趋势曲线模型的一般形式可表示为 x ( k ) = a 0 + a 1 k + a 2 k 2 + ⋯ + a p − 1 k p − 1 + a p k p (1) 其中 a p ≠ 0 。关于参数 a 0 ， a 1 ， ⋯ ， a p 的估计方法目前有最小平方法，三点法和折扣最小平方法等待，有兴趣的读者可参看相关资料。在这里，我们将采用局部求和的思想方法给出模型参数 a 0 ， a 1 ， ⋯ ， a p 的矩阵表达式。 设原始数据是长度为h的非负序列 X = ( X ( 1 ) ， X ( 2 ) ， ⋯ ， X ( h ) ) ，其中用于建模的数据为 ( X ( 1 ) ， X ( 2 ) ， ⋯ ， X ( n ) ) ，用于检验的数据为 ( X ( n + 1 ) ， X ( n + 2 ) ， ⋯ ， X ( h ) ) 。首先，将用于建模的时间序列分成相等的 ( p + 1 ) 个数组，每个组的数据有 m = n / ( p + 1 ) 项。根据趋势值 x ( k ) 的 ( p + 1 ) 个局部总和来确定参数 。具体为：设原始观察值 ( p + 1 ) 个局部总和分别为 S 1 ， S 2 ， ⋯ ， S p + 1 ，则有如下关系式 S i = ∑ k = ( i − 1 ) m + 1 i m x ( k ) ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， p + 1 . (2) 在(2)式中分别令i的取值为 1，2，……， p +1 ，于是得到如下方程组 { S 1 = ∑ k = 1 m x ( k ) = a 0 m + a 1 ∑ k = 1 m k + ⋯ + a p − 1 ∑ k = 1 m k p − 1 + a p ∑ k = 1 m k p ， S 2 = ∑ k = m + 1 2 m x ( k ) = a 0 m + a 1 ∑ k = m + 1 2 m k + ⋯ + a p − 1 ∑ k = m + 1 2 m k p − 1 + a p ∑ k = m + 1 2 m k p ，                 ⋮ S p + 1 = ∑ k = p m + 1 ( p + 1 ) m x ( k ) = a 0 m + a 1 ∑ k = p m + 1 ( p + 1 ) m k + ⋯ + a p − 1 ∑ k = p m + 1 ( p + 1 ) m k p − 1 + a p ∑ k = p m + 1 ( p + 1 ) m k p . (3) 在方程组(3)中， ∑ k = ( i − 1 ) m + 1 i m k p 的表达式很难给出显示表达式。这里，我们将表达式(3)写成矩阵的形式 为 ( m ∑ k = 1 m k ∑ k = 1 m k 2 ⋯ ∑ k = 1 m k p − 2 ∑ k = 1 m k p − 1 ∑ k = 1 m k p m ∑ k = m + 1 2 m k ∑ k = m + 1 2 m k 2 ⋯ ∑ k = m + 1 2 m k p − 2 ∑ k = m + 1 2 m k p − 1 ∑ k = m + 1 2 m k p m ∑ k = 2 m + 1 3 m k ∑ k = 2 m + 1 3 m k 2 ⋯ ∑ k = 2 m + 1 3 m k p − 2 ∑ k = 2 m + 1 3 m k p − 1 ∑ k = 2 m + 1 3 m k p ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ m ∑ k = ( p − 2 ) m + 1 ( p − 1 ) m k ∑ k = ( p − 2 ) m + 1 ( p − 1 ) m k 2 ⋯ ∑ k = ( p − 2 ) m + 1 ( p − 1 ) m k p − 2 ∑ k = ( p − 2 ) m + 1 ( p − 1 ) m k p − 1 ∑ k = ( p − 2 ) m + 1 ( p − 1 ) m k p m ∑ k = ( p − 1 ) m + 1 p m k ∑ k = ( p − 1 ) m + 1 p m k 2 ⋯ ∑ k = ( p − 1 ) m + 1 p m k p − 2 ∑ k = ( p − 1 ) m + 1 p m k p − 1 ∑ k = ( p − 1 ) m + 1 p m k p m ∑ k = p m + 1 ( p + 1 ) m k ∑ k = p m + 1 ( p + 1 ) m k 2 ⋯ ∑ k = p m + 1 ( p + 1 ) m k p − 2 ∑ k = p m + 1 ( p + 1 ) m k p − 1 ∑ k = p m + 1 ( p + 1 ) m k p ) ( a 0 a 1 a 2 ⋮ a p − 2 a p − 1 a p ) = ( S 1 S 2 S 3 ⋮ S p − 1 S p S p + 1 ) .(4) 通过求解矩阵方程组(4)，即可得到参数 a 0 ， a 1 ， ⋯ ， a p 的值，然后代入多项式趋势曲线模型中即得到相应的函数表达式，进而可以计算 x ^ ( k ) ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， h 的值。 2.2. 计算精度的评估 在选择某种特定的多项式趋势曲线进行计算时，需要评价该模型的计算效果或准确性。评价的方法就是找出计算值与实际值的差距。最优的模型就是计算的误差达到最小的模型，下面给出常见的衡量模型精度的指标。 · 百分比误差(APE) APE ( k ) = x ( k ) − x ^ ( k ) x ( k ) × 100 % ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， h . (5) · 平均绝对百分比误差(MAPE) MAPE = 1 r − l + 1 ∑ k = l r | x ( k ) − x ^ ( k ) | x ( k ) × 100 % ， (6) 这里 l = 1 ， r = n 表示的是建模误差， l = n + 1 ， r = h 表示的是拟合误差， l = 1 ， r = h 表示的是总的误差。 · 均方根误差(RMSPE) RMSPE = 1 r − l + 1 ∑ k = l r ( x ( k ) − x ^ ( k ) x ( k ) ) 2 × 100 % . (7) 2.3. 残差的白噪声检验及建模 由文献 [ 3 ] 可知，白噪声序列是平稳序列，且没有进一步提取信息的必要。因为白噪声序列前后观测值不存在相关关系，即使有历史观察数据对预测也毫无意义。本小节的目的就是继续检验残差序列是否为白噪声，以确定是否有必要进一步研究的必要。 白噪声检验也称纯随机性检验，即检验序列的自相关系数 ρ k 是否满足 ρ k = 0 ， ∀ k ≠ 0 。但是这只是理论上才会出现的理想状况。在实际应用中，由于观察序列的长度总是有限的，导致序列的自相关系数不可能完全为零。为此，我们通过下面的一些准则来判断序列是否为白噪声序列。 时序图判断法：对2.1节的残差序列 APE = ( APE ( 1 ) ， APE ( 2 ) ， ⋯ ， APE ( h ) ) 作出相应的时序图，如果时序图的值始终在一个常数值上下随机波动，但是波动强度随时间变化不大且没有明显的趋势性和周期性，则可定性的判断出残差序列为平稳序列，或白噪声序列。 自相关系数判断法：如果残差的自相关系数随延迟期数的增加突然或者迅速衰减为在零的周围小幅波动，也可定性的判断出残差序列为平稳序列，或白噪声序列。 P值法：对于残差序列APE，其样本自相关系数记为 ρ ^ k ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， r ，r为指定的延迟期数。构造LB统计量 LB ( h ， r ) = h ( h + 2 ) ∑ k = 1 r ρ ^ 2 k h − k ~ χ 2 ( r ) ， (8) 以及原假设 H 0 和备折假设 H 1 H 0 : ρ 1 = ρ 2 = ⋯ = ρ r = 0 ， ∀ r ≥ 1 ; H 1 :   1 ≤ k ≤ r ， ρ k ≠ 0 ， ∀ r ≥ 1 . (9) 在原假设 H 0 下，给定检验水平为 α (本文取 α = 0.05 )，计算 的值，如果 P { LB ( h ， r ) > χ α 2 ( r ) } > α 则接受 H 0 ，认为APE序列为白噪声序列，则建模结束；如果 P { LB ( h ， r ) > χ α 2 ( r ) } ≤ α 则拒绝 H 1 ，认为APE序列为非白噪声序列，需要进一步对残差序列进行建模分析，并将计算的结果反馈到多项式趋势曲线模型的计算值上，从而得到最终的计算值。