system: [SYSTEM]

user: 2. 问题描述及稳定性分析 2.1. 系统描述 考虑下面一类非线性严格反馈系统 { x ˙ i = f i ( x ¯ i ) + g i ( x ¯ i ) x i + 1 i = 1 ， ⋯ ， n − 1 x ˙ n = f n ( x ¯ n ) + g n ( x ¯ n ) u ( v ) y = x 1 (1) 其中， x ¯ i = [ x 1 ， ⋯ ， x n ] T ∈ R i 是系统的状态，且 | x i | ≤ k c i ， k c i 是一个常数； y ∈ R 是系统的输出， f i ( x ¯ i ) ， i = 1 ， ⋯ ， n − 1 是不确定非线性光滑函数， g i ( x ¯ i ) 是已知函数。 u ( ν ) ∈ R 为饱和器的输出，也是系统的输入， ν ∈ R 是饱和器的输入，有如下描述 u ( v ) = u M × e r f ( π 2 u M v ) (2) 其中， u M = ( ( u + + u − ) + ( u + − u − ) sgn ( v ) ) / 2 ，这里 u + 和 u − 是分别是执行器的上界和下界， sgn ( ⋅ ) 和 e r f ( ⋅ ) 分别是标准符号函数和高斯误差函数。 为了便于接下来的控制器设计，定义如下函数 其中，c为正常数，u和v均为时间函数。则 u = c v + Δ ( v ) (3) 将公式(3)代入系统(1)，可得 (4) 对于系统(4)，现提出如下假设、引理及注解。 假设1： y d 是一个连续有界函数，因此 y ˙ d 和 y ¨ d 都可导。 假设2：假设对于 ∀ t ≥ 0 ， y d 满足 | y d | ≤ Y 0 < k c i ，同时i阶时间导数 y d ( i ) ( t ) 满足 | y d ( i ) ( t ) | ≤ Y i ， i = 1 ， ⋯ ， n ，其中， Y 1 ， ⋯ ， Y n 是正常数， Y 0 ( t ) : R + → R + 。 假设3：信号的控制增益函数 g i ( ⋅ ) 是已知的，存在常数 g ¯ i ≥ g i > 0 使得 g ¯ i ≥ | g i ( ⋅ ) | > g i ， i = 1 ， ⋯ ， n 。 假设4：存在常数 Δ ¯ ， c _ 和 c ¯ ，使得 Δ ( v ) 和c在系统(1)中满足 Δ ( v ) ≤ Δ ¯ ， c ∈ [ c _ ， c ¯ ] 。 引理1：对于有界的初始条件，如果存在一个连续和正定的李雅普诺夫函 V ( x ) ，满足 k 1 ( ‖ x ‖ ) ≤ V ( x ) ≤ k 2 ( ‖ x ‖ ) ，这样就有 V ˙ ( x ) ≤ − γ V ( x ) + ν ，其中 k 1 ， k 1 : ℝ n → ℝ 是 κ 类函数，并且 ν 是一个小的正常数，那么结果就是 x ( t ) 是一致有界的。 本文的控制目标是构造一个自适应神经网络控制器，使系统输出y能较好的跟踪上期望信号 y d ，并且全部的状态都不违反约束界，所有信号是半全局最终有界的。 2.2. 控制器设计和系统稳定性分析 本节运用反步递推方法对具有输入饱和全状态约束的非线性严格反馈系统进行神经网络自适应控制器u的设计，最终证明系统是稳定的。现给出误差变量 z i 和虚拟控制器 α i 的定义，即 z i = x i − α i − 1 ， i = 1 ， ⋯ ， n ， α 0 = y d ， α i ， i = 1 ， ⋯ ， n − 1 第1步：定义误差变量 z 1 = x 1 − y d ， z 2 = x 2 − α 1 ，并且选取正切型障碍李雅普诺夫函数 V 1 = ( k b 1 2 / π ) tan ( ( π z 1 2 ) / ( 2 k b 1 2 ) ) ，其中 | z 1 | < k b 1 ， k b 1 是正常数。根据系统(4)、公式(2)和公式(3)，则有 z ˙ 1 = x ˙ 1 − y ˙ d = f 1 ( x 1 ) + g 1 ( x 1 ) x 2 − y ˙ d = f 1 ( x 1 ) + g 1 ( x 1 ) ( z 2 + α 1 ) − y ˙ d (5) V 1 对时间t求导，则得到 V ˙ 1 的表示如下 V ˙ 1 = z ( f 1 ( x 1 ) + g 1 ( x 1 ) ( z 2 + α 1 ) − y ˙ d ) sec 2 ( π z 1 2 2 k b 1 2 ) (6) 利用神经网络逼近 f 1 ( x 1 ) − y ˙ d ，则有 f 1 ( x 1 ) − y ˙ d = W 1 T S 1 ( Z 1 ) + ε 1 ( Z 1 ) (7) 其中， W 1 是神经网络权重向量， ε 1 ( Z 1 ) 是神经网络逼近误差， | ε 1 ( Z 1 ) | ≤ ε 1 * ， Z 1 [ x 1 ， y ˙ d ] T 。将式(7)代入式(6)，可得 V ˙ 1 = z 1 ( g 1 ( x 1 ) z 2 + W 1 T S 1 ( Z 1 ) + ε 1 ( Z 1 ) ) sec 2 ( π z 1 2 2 k b 1 2 ) (8) 根据杨氏不等式有 { z 1 W 1 T S 1 ( Z 1 ) sec 2 ( π z 1 2 2 k b 1 2 ) ≤ 1 2 a 1 2 + Θ 1 2 a 1 2 S 1 T ( Z 1 ) S 1 ( Z 1 ) z 1 2 sec 4 ( π z 1 2 2 k b 1 2 ) z 1 ε 1 ( Z 1 ) sec 2 ( π z 1 2 2 k b 1 2 ) ≤ 1 2 ε 1 * 2 + 1 2 z 1 2 sec 4 ( π z 1 2 2 k b 1 2 ) g 1 ( x 1 ) z 1 z 2 sec 2 ( π z 1 2 2 k b 1 2 ) ≤ 1 2 z 2 2 + 1 2 g 1 2 ( x 1 ) z 1 2 sec 4 ( π z 1 2 2 k b 1 2 ) (9) 取 ‖ W max ， 1 ‖ 2 ≥ ‖ W 1 ‖ 2 ，记 ‖ W max ， 1 ‖ 2 = Θ 1 ，其中 Θ ˜ 1 = Θ 1 − Θ ^ 1 ，且 Θ ^ 1 是 Θ 1 的估计，将(9)代入(8)有 V ˙ 1 ≤ 1 2 z 2 2 + 1 2 g 1 2 ( x 1 ) z 1 2 sec 4 ( π z 1 2 2 k b 1 2 ) + 1 2 a 1 2 + 1 2 ε 1 * 2     + Θ 1 2 a 1 2 S 1 T ( Z 1 ) S 1 ( Z 1 ) z 1 2 sec 4 ( π z 1 2 2 k b 1 2 )     + 1 2 z 1 2 sec 4 ( π z 1 2 2 k b 1 2 ) + g 1 ( x 1 ) z 1 α 1 sec 2 ( π z 1 2 2 k b 1 2 ) (10) 设计虚拟控制器 α 1 如下 α 1 = 1 g 1 ( x 1 ) ( − k b 1 2 ϕ 1 π z 1 cos ( π z 1 2 2 k b 1 2 ) sin ( π z 1 2 2 k b 1 2 ) − 1 2 z 1 sec 2 ( π z 1 2 2 k b 1 2 )                                         − 1 2 g 1 2 ( x 1 ) z 1 sec 2 ( π z 1 2 2 k b 1 2 ) − Θ ^ 1 2 a 1 2 S 1 T ( Z 1 ) S 1 ( Z 1 ) z 1 sec 2 ( π z 1 2 2 k b 1 2 ) ) (11) 其中， ϕ 1 是正设计参数，且 lim z 1 → 0 ( k b 1 2 ϕ 1 ) / ( π z 1 ) ( sin ( ( π z 1 2 / 2 k b 1 2 ) ) / sec ( ( π z 1 2 / 2 k b 1 2 ) ) ) = 0 ，将虚拟控制器(11)代入(10)得 V ˙ 1 ≤ 1 2 z 2 2 + Θ ˜ 1 2 a 1 2 S 1 T ( Z 1 ) S 1 ( Z 1 ) z 1 2 sec 4 ( π z 1 2 2 k b 1 2 )             + 1 2 a 1 2 + 1 2 ε 1 * 2 − k b 1 2 π ϕ 1 tan ( π z 1 2 2 k b 1 2 ) (12) 第2步：定义误差变量 ， z 3 = x 3 − α 2 ，并且选取正切型障碍李雅普诺夫函数 V 2 = V 1 + ( k b 2 2 / π ) ( tan ( π z 2 2 / 2 k b 2 2 ) ) ，其中 ， k b 2 是正常数。则根据系统(4)，式(11)得到 z ˙ 2 = x ˙ 2 − α ˙ 1 = f 2 ( x ¯ 2 ) + g 2 ( x ¯ 2 ) x 3 − α ˙ 1 = f 2 ( x ¯ 2 ) + g 2 ( x ¯ 2 ) x 3 − α ˙ 1 (13) 其中， ，且 α ˙ 1 = ∂ α 1 ∂ x 1 x ˙ 1 + ∂ α 1 ∂ y d y ˙ d + ∂ α 1 ∂ y ˙ d y ¨ d + ∂ α 1 ∂ Θ ^ 1 Θ ^ ˙ 1 ， V 2 对时间t求导，再将(13)代入，则 V ˙ 2 表示如下 V ˙ 2 = V ˙ 1 + z 2 z ˙ 2 sec 2 ( π z 2 2 2 k b 2 2 ) = z 2 ( f 2 ( x ¯ 2 ) + g 2 ( x ¯ 2 ) ( z 3 + α 2 ) − α ˙ 1 ) sec 2 ( π z 2 2 2 k b 2 2 ) + V ˙ 1 (14) 利用神经网络逼近 f 2 ( x ¯ 2 ) − α ˙ 1 ，则有 f 2 ( x ¯ 2 ) − α ˙ 1 = W 2 T S 2 ( Z 2 ) + ε 2 ( Z 2 ) (15) 其中， Z 2 [ x 1 ， x 2 ， y d ， y ˙ d ， y ¨ d ， Θ ^ 1 ] T ，将(15)代入(14)有 V ˙ 2 = V ˙ 1 + z 2 ( W 2 T S 2 ( Z 2 ) + ε 2 ( Z 2 ) + g 2 ( x ¯ 2 ) z 3 + g 2 ( x ¯ 2 ) α 2 ) sec 2 ( π z 2 2 2 k b 2 2 ) (16) 根据杨氏不等式，有 (17) 取 ，记 ‖ W max ， 2 ‖ 2 = Θ 2 ，其中 Θ ˜ 2 = Θ 2 − Θ ^ 2 ，且 Θ ^ 2 是 Θ 2 的估计(17)代入(16)得 V ˙ 2 ≤ 1 2 z 3 2 + 1 2 g 2 2 ( x ¯ 2 ) z 2 2 sec 4 ( π z 2 2 2 k b 2 2 ) + 1 2 a 2 2 + Θ 2 2 a 2 2 S 2 T ( Z 2 ) S 2 ( Z 2 ) z 2 2 sec 4 ( π z 2 2 2 k b 2 2 )     + 1 2 ε 2 * 2 + 1 2 z 2 2 sec 4 ( π z 2 2 2 k b 2 2 ) + g 2 ( x ¯ 2 ) α 2 z 2 sec 2 ( π z 2 2 2 k b 2 2 ) + 1 2 z 2 2 + 1 2 a 1 2     + Θ ˜ 1 2 a 1 2 S 1 T ( Z 1 ) S 1 ( Z 1 ) z 1 2 sec 4 ( π z 2 2 2 k b 2 2 ) + 1 2 ε 2 * 2 − k b 1 2 π ϕ 1 tan ( π z 1 2 2 k b 1 2 ) (18) 设计虚拟控制器 α 2 如下 α 2 = 1 g 2 ( x ¯ 2 ) ( − k b 2 2 ϕ 2 π z 2 sin ( π z 2 2 2 k b 2 2 ) cos ( π z 2 2 2 k b 2 2 ) − Θ ^ 2 2 a 2 2 S 2 T ( Z 2 ) S 2 ( Z 2 ) z 2 sec 2 ( π z 2 2 2 k b 2 2 )     − 1 2 z 2 sec 2 ( π z 2 2 2 k b 2 2 ) − 1 2 g 2 2 ( x ¯ 2 ) z 2 sec 2 ( π z 2 2 2 k b 2 2 ) − 1 2 z 2 cos 2 ( π z 2 2 2 k b 2 2 ) ) (19) 其中， ϕ 2 是正设计参数，且 lim z 2 → 0 ( k b 2 2 ϕ 2 ) / ( π z 2 ) ( sin ( ( π z 2 2 / 2 k b 2 2 ) ) / sec ( ( π z 2 2 / 2 k b 2 2 ) ) ) = 0 ，将虚拟控制器(19)代入(18)有 V ˙ 2 ≤ ∑ j = 1 2 ( 1 2 a j 2 + 1 2 ε j * 2 − k b j 2 π ϕ j tan ( π z j 2 2 k b j 2 )     + Θ ˜ j 2 a j 2 S j T ( Z j ) S j ( Z j ) z j 2 sec 4 ( π z j 2 2 k b j 2 ) ) + 1 2 z 3 2 (20) 第i步 ( i = 2 ， ⋯ ， n − 1 ) ：定义误差变量 z i = x i − α i − 1 ， z i + 1 = x i + 1 − α i ，并且选取正切型障碍李雅普诺夫函数 V i = V i − 1 + ( k b i 2 / π ) ( tan ( π z i 2 / 2 k b i 2 ) ) ，其中 ， k b i 是正常数。则根据系统(4)，得到 z ˙ i = x ˙ i − α ˙ i − 1 = f i ( x ¯ i ) + g i ( x ¯ i ) x i + 1 − α ˙ i − 1 = f i ( x ¯ i ) + g i ( x ¯ i ) ( z i + 1 + α i ) − α ˙ i − 1 (21) 其中， α i − 1 ( x 1 ， ⋯ ， x i − 1 ， y d ， ⋯ ， y d ( i − 1 ) ， Θ ^ 1 ， ⋯ ， Θ ^ i − 1 ) ，并且有 α ˙ i − 1 = ∑ j = 1 i − 1 ∂ α i − 1 ∂ x j x ˙ j + ∑ j = 0 i − 1 ∂ α i − 1 ∂ y d ( j ) y d ( j + 1 ) + ∑ j = 1 i − 1 ∂ α i − 1 ∂ Θ ^ j Θ ^ ˙ j 接着， V i 对时间t求导，再将(21)代入，则 V ˙ i 表示如下 V ˙ i = V ˙ i − 1 + Z i Z ˙ i sec 2 ( π z i 2 2 k b i 2 ) = V ˙ i − 1 + z i ( f i ( x ¯ i ) + g i ( x ¯ i ) ( z i + 1 + α i ) − α ˙ i − 1 ) (22) 利用神经网络逼近 f 2 ( x ¯ 2 ) − α ˙ i − 1 ，则有 f i ( x ¯ i ) − α ˙ i − 1 = W i T S i ( Z i ) + ε i ( Z i ) (23) 其中， Z i [ x 1 ， ⋯ ， x i ， y d ， ⋯ ， y d ( i ) ， Θ ^ 1 ， ⋯ ， Θ ^ i − 1 ] T ，将(23)代入到(22)得到 V ˙ i = V ˙ i − 1 + z i ( W i T S i ( Z i ) + ε i ( Z i ) + g i ( x ¯ i ) z i + 1 + g i ( x ¯ i ) α i ) sec 2 ( π z i 2 2 k b i 2 ) (24) 根据杨氏不等式，有 { z i W i T S i ( Z i ) sec 2 ( π z i 2 2 k b i 2 ) ≤ 1 2 a i 2 + ‖ W i ‖ 2 2 a i 2 S i T ( Z i ) S i ( Z i ) z i 2 sec 4 ( π z i 2 2 k b i 2 )                                                                   ≤ 1 2 a i 2 + ‖ W max ， i ‖ 2 2 a i 2 S i T ( Z i ) S i ( Z i ) z i 2 sec 4 ( π z i 2 2 k b i 2 )                                                                   = 1 2 a i 2 + Θ i 2 a i 2 S i T ( Z i ) S i ( Z i ) z i 2 sec 4 ( π z i 2 2 k b i 2 ) z i ε i ( Z i ) sec 2 ( π z i 2 2 k b i 2 ) ≤ 1 2 ε i * 2 + 1 2 z i 2 sec 4 ( π z i 2 2 k b i 2 ) g i ( x ¯ i ) z i z i + 1 sec 2 ( π z i 2 2 k b i 2 ) ≤ 1 2 z i + 1 2 + 1 2 g i 2 ( x ¯ i ) z i 2 sec 4 ( π z i 2 2 k b i 2 ) (25) 取 ‖ W max ， i ‖ 2 ≥ ‖ W i ‖ 2 ，记 ，其中 Θ ˜ i = Θ i − Θ ^ i ，且 Θ ^ i 是 Θ i 的估计，再将(25)代入(24)得到 V ˙ i ≤ V ˙ i − 1 + 1 2 z i + 1 2 + 1 2 g i 2 ( x ¯ i ) z i 2 sec 4 ( π z i 2 2 k b i 2 ) 1 2 a i 2     + Θ i 2 a i 2 S i T ( Z i ) S i ( Z i ) z i 2 sec 4 ( π z i 2 2 k b i 2 ) + 1 2 ε i * 2     + 1 2 z i 2 sec 4 ( π z i 2 2 k b i 2 ) + g i ( x ¯ i ) α i z i sec 2 ( π z i 2 2 k b i 2 ) (26) 设计虚拟控制器 α i 如下 α i = 1 g i ( x ¯ i ) ( − k b i 2 ϕ i π z i sin ( π z i 2 2 k b i 2 ) cos ( π z i 2 2 k b i 2 ) − Θ ^ i 2 a i 2 S i T ( Z i ) S i ( Z i ) z i sec 2 ( π z i 2 2 k b i 2 )     − 1 2 z i sec 2 ( π z i 2 2 k b i 2 ) − 1 2 g i 2 ( x ¯ i ) z i sec 2 ( π z i 2 2 k b i 2 ) − 1 2 z i cos 2 ( π z i 2 2 k b i 2 ) ) (27) 且有 lim z i → 0 ( k b i 2 ϕ i / π z i ) ( sin ( π z i 2 / 2 k b i 2 ) / sec ( π z i 2 / 2 k b i 2 ) ) = 0 ，根据(13)和(21)，再将虚拟控制器(27)代入到(26)得到 V ˙ i ≤ ∑ j = 1 i ( 1 2 a j 2 + 1 2 ε j * 2 − k b i 2 π ϕ j tan ( π z j 2 2 k b i 2 )     + Θ ˜ j 2 a j 2 S j T ( Z j ) S j ( Z j ) z j 2 sec 4 ( π z j 2 2 k b i 2 ) ) + 1 2 z i + 1 2 (28) 第n步：定义跟踪误差变量 z n = x n − α n − 1 ，其中 | z n | < k b n ， k b n 是正常数。则根据系统(4)，得到 z ˙ n = x ˙ n − α ˙ n − 1 = f n ( x ¯ n ) + g n ( x ¯ n ) c v + g n ( x ¯ n ) Δ ( v ) − α ˙ n − 1 ( x ¯ n ) x n + 1 (29) 其中， α n − 1 ( x 1 ， ⋯ ， x n − 1 ， y d ， ⋯ ， y d ( n − 1 ) ， Θ ^ 1 ， ⋯ ， Θ ^ n − 1 ) ，并且 α ˙ n − 1 = ∑ j = 1 n − 1 ∂ α n − 1 ∂ x j x ˙ j + ∑ j = 0 n − 1 ∂ α n − 1 ∂ y d ( j ) y d ( j + 1 ) + ∑ j = 1 n − 1 ∂ α n − 1 ∂ Θ ^ j Θ ^ ˙ j 选取正切型障碍李雅普诺夫函数 V n = V n − 1 + k b n 2 c π tan ( π z n 2 2 k b n 2 ) + ∑ j = 1 n 1 2 ξ j Θ ˜ j 2 (30) 其中， ξ j ， j = 1 ， ⋯ ， n 是正设计参数。 V n 对时间t求导，再将(29)代入，则 V ˙ n 表示如下 (31) 利用神经网络逼近 f n ( x ¯ n ) − α ˙ n − 1 ，则有 f n ( x ¯ n ) − α ˙ n − 1 = W n T S n ( Z n ) + ε n ( Z n ) (32) 其中， Z n [ x 1 ， ⋯ ， x n ， y d ， ⋯ ， y d ( n ) ， Θ ^ 1 ， ⋯ ， Θ ^ n − 1 ] T ，将(32)代入到(31)，得到 V ˙ n = V ˙ n − 1 + 1 c z n ( W n T S n ( Z n ) + ε n ( Z n ) + g n ( x ¯ n ) c v + g n ( x ¯ n ) Δ ( v ) ) sec 2 ( π z n 2 2 k b n 2 ) − ∑ j = 1 n Θ ˜ j T Θ ^ ˙ j ξ j (33) 根据杨氏不等式有 { 1 c z n W n T S n ( Z n ) sec 2 ( π z n 2 2 k b n 2 ) ≤ 1 2 a n 2 c 2 + Θ n 2 a n 2 S n T ( Z n ) S n ( Z n ) z n 2 sec 4 ( π z n 2 2 k b n 2 ) 1 c z n ε n ( Z n ) sec 2 ( π z n 2 2 k b n 2 ) ≤ 1 2 ε n * 2 c 2 + 1 2 z n 2 sec 4 ( π z n 2 2 k b n 2 ) 1 c z n g n ( x ¯ n ) Δ ( v ) sec 2 ( π z n 2 2 k b n 2 ) ≤ 1 2 Δ ¯ 2 c 2 + 1 2 z n 2 g n 2 ( x ¯ n ) sec 4 ( π z n 2 2 k b n 2 ) (34) 将(34)代入到(33)得到 V ˙ n ≤ V ˙ n − 1 + 1 2 a n 2 c 2 + Θ n 2 a n 2 S n T ( Z n ) S n ( Z n ) z n 2 sec 4 ( π z n 2 2 k b n 2 )     + 1 2 ε n * 2 c 2 + 1 2 z n 2 sec 4 ( π z n 2 2 k b n 2 ) + 1 2 Δ ¯ 2 c 2 + 1 2 z n 2 g n 2 ( x ¯ n ) sec 4 ( π z n 2 2 k b n 2 )     + z n g n ( x ¯ n ) v sec 2 ( π z n 2 2 k b n 2 ) − ∑ j = 1 n Θ ˜ j T Θ ^ ˙ j ξ j (35) 现取函数v如下 (36) 根据(12)、(20)和(30)，将函数v代入，得到 V ˙ n ≤ ∑ j = 1 n ( 1 2 a j 2 c 2 + 1 2 ε j * 2 c 2 − k b j 2 π ϕ j tan ( π z j 2 2 k b j 2 )     + Θ ˜ j 2 a j 2 S j T ( Z j ) S j ( Z j ) z j 2 sec 4 ( π z j 2 2 k b j 2 ) ) + 1 2 Δ ¯ 2 c 2 − ∑ j = 1 n Θ ˜ j T Θ ^ ˙ j ξ j (37) 设计如下自适应律 Θ ^ ˙ j ， j = 1 ， ⋯ ， n Θ ^ ˙ j = ξ j 2 a j 2 S j T ( Z j ) S j ( Z j ) z j 2 sec 4 ( π z j 2 2 k b j 2 ) − σ j Θ ^ j (38) 其中， σ j 为修正项，提高系统鲁棒性。 将(38)代入(37)有 V ˙ n ≤ ∑ j = 1 n ( 1 2 a j 2 c 2 + 1 2 ε j * 2 c 2 − k b j 2 π ϕ j tan ( π z j 2 2 k b j 2 ) + σ j Θ ˜ j T Θ ^ j ξ j ) + 1 2 Δ ¯ 2 c 2 (39) 又因为 Θ ˜ j T Θ ^ j ≤ 1 2 ‖ Θ j ‖ 2 − 1 2 ‖ Θ ˜ j ‖ 2 (40) 则 V ˙ n ≤ ∑ j = 1 n ( − k b j 2 π ϕ j tan ( π z j 2 2 k b j 2 ) − σ j ‖ Θ ˜ j ‖ 2 2 ξ j + σ j ‖ Θ j ‖ 2 2 ξ j + 1 2 a j 2 + 1 2 ε j * 2 ) + 1 2 Δ ¯ 2 (41) 进一步整理，可得 V ˙ n ≤ − A V n + B (42) 其中， { A = min ( c ϕ j ， σ j ) ， j = 1 ， ⋯ ， n B = ∑ j = 1 n ( 1 2 a j 2 c 2 + 1 2 ε j * 2 c 2 + σ j ‖ Θ j ‖ 2 2 ξ j ) + 1 2 Δ ¯ 2 c 2 ， j = 1 ， ⋯ ， n (43) 故根据李雅普诺夫函数第二法，系统(4)是稳定的。根据上述分析，可得如下定理结果： 定理1：基于假设1至假设3，虚拟控制器(11)、(19)和(27)，控制器(36)和自适应律(38)，考虑一个具有输入饱和的全状态约束的非线性严格反馈系统(4)，如果满足初始状态 | x i | ≤ k c i ，则有以下性质成立 1) 误差变量是有界的； 2) 不违反全部状态约束； 3) 闭环系统的全部信号是有界的。 证明： 根据公式(33)和公式(42)，A和B按(43)取值，再将公式(42)乘 e A t ，对乘积之后的结果在 [ 0 ， t ] 上取积分得 0 ≤ V n ( t ) ≤ ( V n ( 0 ) − B A ) e − A t + B A ≤ V n ( 0 ) e − A t + B A (44) 结合公式(31)和公式(45)有 k b n 2 π tan ( π z n 2 2 k b n 2 ) ≤ V n ( t ) ≤ B A + V n ( 0 ) e − A t (45) ∑ j = 1 n 1 2 ξ j Θ ˜ j 2 ≤ V n ( t ) ≤ B A + V n ( 0 ) e − A t (46) 再根据(47)和(48)有 (47) 1 2 ξ 1 Θ ˜ 1 2 ≤ V 1 ( t ) ≤ B A + V 1 ( 0 ) e − A t (48) 根据(49)和(50)得到误差变量 z 1 ， Θ ˜ 1 满足 | z 1 | ≤ 2 k b 1 2 π arctan ( π 2 k b 1 2 ( B A + V 1 ( 0 ) e − A t ) ) (49) | Θ ˜ 1 | ≤ 2 ξ 1 ( B A + V 1 ( 0 ) e − A t ) (50) 由此可见 z 1 ， Θ ˜ 1 是一致最终有界的，又因为误差变量 z 1 = x 1 − y d 且 y d 是有界的，所以 x 1 = z 1 + y d 也是有界的。所以再根据公式(13)可知作为的关于 x 1 ， y d ， Θ ^ 1 和 y ˙ d 的函数， α 1 也是有界的。 根据(47)和(48)还可以得到 k b 2 2 π tan ( π z n 2 2 k b 2 2 ) ≤ V 2 ( t ) ≤ B A + V 2 ( 0 ) e − A t (51) (52) 则可得 | z 2 | ≤ 2 k b 2 2 π arctan ( π 2 k b 2 2 ( B A + V 2 ( 0 ) e − A t ) ) (53) 根据(53)可知 z 2 是有界的，又因为 z 2 = x 2 − α 1 ，且 α 1 是有界的，所以 x 2 = z 2 + α 1 是有界的。剩下的信号的有界性可以通过归纳证明。假设 x ¯ i 是有界的，然后有 α 1 ， ⋯ ， α i 也应该是有界的。剩余信号的有界性可以通过归纳证明。根据 z i + 1 = x i + 1 − α i ， x i + 1 的有界性可以推出。根据光滑性 x 1 ， f i + 1 ( x ¯ i + 1 ) 和 g i + 1 ( x ¯ i + 1 ) 也有界。因为 α i + 1 是 z i + 1 ， x 1 ， ⋯ ， x i + 1 ， y d ， ⋯ ， y d ( i + 1 ) ， Θ ^ 1 ， ⋯ ， Θ ^ i + 1 的函数，因此它也是有界的。通过归纳，可以得出状态向量 x ¯ n 和实际控制输入v，其中v是关于 z n ， x 1 ， ⋯ ， x n ， y d ， ⋯ ， y d ( n ) 和 Θ ^ 1 ， ⋯ ， Θ ^ n 函数，因此v也是有界的。因此，将所采用的神经网络构造在足够大的逼近区域上，可以得到一个稳定的自适应神经控制器，使有界初始条件保证闭环系统中所有信号的有界性。根据(42)和引理1，很容易证明，闭环系统的所有信号最终都是一致有界的。