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user: 2. 建模 2.1. VAR-GARCH模型 风险价值度(VaR)，是用来度量金融机构各种资产组合的一个标准。在上世纪80年代，由蒂尔.谷迪曼最先提出的，他指出，VaR是在一定置信水平下和一定的目标期间内，预期的最大损失。更精确的表述，VaR描述了一定时期内资产价值预期变化量的分布的分位数，其数学表达式为 [ 9 ] ： c为置信水平，L为给定时期内资产价值的变化量，VaR为投资资产组合在置信水平c下处于风险中的价值。 假设W为一个投资组合持有期初的价值，R为该投资组合在持有期末的期望收益，μ、 为其数学期望和标准差，R * 为在一定持有期内以及置信水平c下的最低收益率，那么该投资组合的最小价值W * 为 [ 9 ] ： 那么该组合的风险价值就为该投资组合期望价值与最小价值之差，即 又假设该投资组合未来的回报收益是一个随机过程，其概率密度函数为 ，那么在置信度c下就有投资收益低于R * 的概率为 [ 9 ] ： 资产组合W若服从正态分布，α为正态分布的分位数，则有： 其中， 为标准正态分布密度函数。 将 代入 可得 上式即为一个金融投资组合在正态分布假设下风险价值函数的一般表达式 [ 10 ] 。其中， 为投资组合的初始价值，α为正态分布的分位数，σ为投资组合收益率的标准差。从表达式中可以看出，方差σ 2 的估计在VaR的计算过程中显得十分重要，之前的实践已然证明ARCH模型能够较好地拟合金融投资风险σ 2 。 2.2. 实验数据 本次研究选取的数据是1988年10月19日到2016年05月31日的波罗的海干散货指数BDI和欧洲布伦特油价的日数据，由于有一些日子并没有公布布伦特油价和BDI数据，所以本文共摘取了6812个观测值。本文首先对布伦特油价数据进行描述性分析，然后建立GARCH模型对原数据进行拟合，最后将布伦特油价与BDI数据建立VaR模型。 数据来源:BDI指数来源于wind资讯终端；布伦特油价数据来源于ECI。 2.3. 序列的描述性分析 设布伦特油价的原序列为{x}，{x}的序列图如下图1，从图1可以看出该序列具有一定的趋势。 对序列{x}取对数然后作差分后得到序列{y}，对序列{y}作序列图得到图2，从图2中可以观察到对数差分后的布伦特油价的波动具有集群效应，即序列在有些时间段内波动较小(例如从1992年到1995年)，而在有的时间段内波动却比较大(例如1998年到2001年)。 使用参数法计算VaR是基于油价序列服从正态分布的假设，而在实际情况中，时间序列并不一定都服从正态分布。为了对对数差分后的布伦特油价序列进行Jarque-Bera正态性检验，本文首先作出该序列的柱形统计图，见图3。从图3中可知对数差分后的布伦特油价序列的均值为0.000192，标准差为0.023541，偏度为−0.562454，略小于0，说明该序列的分布具有比较长的左拖尾，峰度为17.48792，比正态分布的峰度值高很多，说明布伦特油价序列具有尖峰和厚尾的鲜明特点，Jarque-Bera统计量为59926.90，P值为0.00000，因此拒绝对数差分后的布伦特油价序列服从正态分布的假设。 图1. 布伦特油价时间序列图 图2. 对数差分序列的时间序列图 2.4. 考察序列的平稳性 序列 的ADF检验结果如表1所示。t统计量的值为−79.97655，对应的P值接近于0，表明序列 是平稳的。 表2为对数差分后的布伦特油价的自相关函数分析图，从表2可以看出该序列的自相关系数和偏自相关系数均落入两倍的估计标准差内，说明序列在5%的显著性水平上不存在显著的相关性。 由于从表2中已经得知序列{y}没有显著的自相关关系，所以将该序列的均值方程设为白噪声，即 图3. 对数布伦特油价的柱形统计图 Table 1 Results of ADF tes t-Statistic Prob. * Augmented Dickey-Fuller test statistic −79.97655 0.0001 Test critical values: 1% level −3.431132 5% level −2.86177 10% level −2.566935 表1. ADF检验结果表 Table 2 Autocorrelation and partial autocorrelation function analysi Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob 1 0.031 0.031 6.6321 0.010 2 −0.010 −0.011 7.3434 0.025 3 −0.034 −0.033 15.168 0.002 4 −0.017 −0.015 17.173 0.002 5 −0.010 −0.010 17.893 0.003 6 −0.012 −0.013 18.844 0.004 7 0.016 0.015 20.578 0.004 8 0.004 0.002 20.684 0.008 9 0.021 0.020 23.579 0.005 10 0.008 0.008 24.061 0.007 11 0.010 0.010 24.691 0.010 12 −0.004 −0.002 24.777 0.016 表2. 自相关与偏自相关函数分析结果 将序列 去均值化后得到序列 ，即作变换： ，图4为 序列的柱形统计图。 2.5. 检验ARCH效应 考虑到本文并没有建立ARMA模型，所以在检验ARCH效应的各种方法中选择采用检验残差的平方相关图。新建一个序列 ，令 ，表3为序列 的自相关函数分析图。如表3所示：该序列存 图4. 序列w的柱形统计图 Table 3 Autocorrelation and partial autocorrelation function analysis of residual serie Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob 1 0.103 0.103 72.602 0.000 2 0.064 0.054 100.79 0.000 3 0.174 0.165 308.18 0.000 4 0.080 0.047 352.10 0.000 5 0.154 0.131 513.21 0.000 6 0.110 0.058 596.46 0.000 7 0.039 -0.003 606.75 0.000 8 0.056 0.000 627.77 0.000 9 0.040 -0.006 638.95 0.000 10 0.061 0.026 663.97 0.000 11 0.026 -0.014 668.47 0.000 12 0.033 0.014 675.84 0.000 表3. 残差序列的自相关与偏自相关函数分析结果 在明显的自相关，说明序列 具有一定的ARCH效应，所以对 序列建立GARCH模型是有必要的。 2.6. 建立GARCH模型 我们分别用常用的GARCH模型，包括GARCH (1，1)、GARCH (1，2)、GARCH (2，1)、GARCH (2，2)建模并对各个模型进 检验，检验结果见表4。从表4中的检验结果可知只有GARCH (1，1)模型和GARCH (2，1)模型中的所有的系数都通过z检验，说明这两个模型的建模效果最好。 2.7. 模型的验证 1) 残差ARCH效应检验 分别对建立的GARCH (1，1)模型和GARCH (2，1)模型进行残差ARCH效应检验结果见表5。滞后阶数lag值分别取1、2、4、8。从表5中可知只有GARCH (2，1)模型的F统计量在各种lag值情形下均不显著，说明该模型已经不存在ARCH效应。建立的GARCH (2，1)模型如下： 2) 残差拟合模型 由于之前对序列{y}的描述性统计中发现统计的正态分布假设没有通过检验，所以本文以下做了对残差服从GED分布的建模，结果如表6所示。从表6可以看出残差序列能较好地被GARCH (2，1)模型所拟合。 2.8. 模型VAR值的计算 本文进一步通过对BDI序列和w序列进行VAR分析以进一步探究布伦特油价与BDI指数的关系，因此进一步建立风险模型如下： 而 如表7所示，若设定初始价值 ，利用eviews计算出 的值就可以算出模型的 值，此方法可以计算资产风险。 2.9. 模型的稳定性检验 为了检验模型的稳定性，本文将BDI序列和W序列的VAR模型进行单位根检验(见图5)，结果显示 Table 4 Results of model testin 模型 系数是否通过z检验 GARCH (1，1) 是 GARCH (1，2) 否 GARCH (2，1) 是 GARCH (2，2) 否 表4. 模型的检验结果 Table 5 Test results of ARCH effect of the two models residual serie GARCH (1，1)模型 GARCH (2，1)模型 lag值 F统计量是否显著 lag值 F统计量是否显著 1 否 1 否 2 否 2 否 4 是 4 否 8 否 8 否 表5. 两模型残差序列的ARCH效应检验结果 Table 6 Estimation results of residual series model Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. C 3.06E-06 7.62E-07 4.021992 0.0001 RESID(-1) 2 0.045332 0.012958 3.498443 0.0005 RESID(-2) 2 0.01951 0.01388 1.405627 0.0159 GARCH(-1) 0.93128 0.005762 161.6146 0 表6. 残差序列模型的估计结果 VAR模型的单位根全部落在单位圆内，说明VAR模型稳定。 接下来继续对VAR-GARCH模型进行一个标准差的脉冲响应函数图分析来更直观的分析布伦特油价和BDI指数之间的关系。从图6可以看出，脉冲响应函数图的红色线条与蓝色线条在前半段的波动呈正相关，且蓝色线条在后半段趋于平衡。