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user: 4. 性能分析 4.1. 有限时间可达性 本节通过设计合适的自适应控制器，保证了滑模相位的有限时间可达性。该方法不同于一般的可达性证明，在一定程度上可以减缓滑动面附近滑模函数的抖振现象。下面是一个自适应滑模控制器 s a t ( u ( t ) ) = { u 1 ， u ( t ) > 1 ; u 2 ， − 0 < u ( t ) < 1 ; u 3 ， u ( t ) < − 1 (11) 其中 u 1 ( t ) = ‖ K ‖ ‖ x ^ ( t ) ‖ − ‖ l ^ 1 ( t ) ‖ ‖ y ( t ) ‖ − ‖ l ^ 2 ( t ) ‖ ‖ y ^ ( t ) ‖ − ‖ l ^ 3 ( t ) ‖ − σ ， u 2 ( t ) = K x ^ ( t ) − ( G B ) − 1 ( l ^ 1 ( t ) ‖ y ( t ) ‖ + l ^ 2 ( t ) ‖ y ^ ( t ) ‖ + l ^ 3 ( t ) + ρ ) sgn ( s ( t ) ) ， u 3 ( t ) = − ‖ K ‖ ‖ x ^ ( t ) ‖ + ‖ l ^ 1 ( t ) ‖ ‖ y ( t ) ‖ + ‖ l ^ 2 ( t ) ‖ ‖ y ^ ( t ) ‖ + ‖ l ^ 3 ( t ) ‖ + σ 其中： l i > 0 ( i = 1 ，   2 ) 是上界不可知未知标量。令 l ^ 1 ( t ) 和 l ^ 2 ( t ) 分别为误差 l ˜ 1 ( t ) = l ^ 1 ( t ) − l 1 和 l ˜ 2 ( t ) = l ^ 2 ( t ) − l 2 的估计值，并且， l ˜ 3 ( t ) = l ^ 3 ( t ) − l 3 。在此，更新率设为 l ^ ˙ 1 ( t ) = l 1 ‖ y ( t ) ‖ ‖ s ( t ) ‖ 和 l ^ ˙ 2 ( t ) = l 1 ‖ y ( t ) ‖ ‖ s ( t ) ‖ ，   l ^ ˙ 3 ( t ) = l 3 ‖ s ( t ) ‖ 。 l i > 0 ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 是设计者选择的自适应增益的正标量， ρ 是正标量。 在本节证明中，应用一个不等式 ψ = ‖ G A ( t ) ‖ ‖ e ( t ) ‖ + ‖ G Δ A ( t ) ‖ ‖ x ( t ) ‖ + ‖ G ‖ ‖ f ( x ， t ) ‖ + ‖ G D ‖ ‖ v ( t ) ‖   ≤ l 1 ‖ y ( t ) ‖ + l 2 ‖ y ^ ( t ) ‖ + l 3 (12) 定理1：若滑模自适应控制率设计为(11)，则可以保证滑模面(6)的有限时间可达性。 证明：选择如下李雅普诺夫函数 V ¯ ( t ， s ( t ) ) = s T ( t ) s ( t ) ‖ s ( t ) ‖ + l ˜ 1 2 ( t ) 2 l 1 + l ˜ 2 2 ( t ) 2 l 2 + l ˜ 3 2 ( t ) 2 l 3 求得 V ¯ ( t ， s ( t ) ) 的随机微分，有 d V ¯ ( t ， s ( t ) ) = s T ( t ) ‖ s ( t ) ‖ d s ( t ) + l ˜ 1 ( t ) l ˜ ˙ 1 ( t ) d t l 1 + l ˜ 2 ( t ) l ˜ ˙ 2 ( t ) d t l 2 + l ˜ 3 ( t ) l ˜ ˙ 3 ( t ) d t l 3             = L V ¯ ( t ， s ( t ) ) d t + s T ( t ) ‖ s ( t ) ‖ G F x ( t ) d ω ( t ) 其中 L V ¯ ( t ， s ( t ) ) = s T ( t ) ‖ s ( t ) ‖ { G A e ( t ) + G Δ A ( t ) x ( t ) − G B K x ^ ( t ) + G B s a t ( u ( t ) )   + G f ( x ， t ) + G D v ( t ) }     + l ˜ 1 ( t ) l ˜ ˙ 1 ( t ) l 1 + l ˜ 2 ( t ) l ˜ ˙ 2 ( t ) l 2 + l ˜ 3 ( t ) l ˜ ˙ 3 ( t ) l 3 (13) 因为 l i ( t ) ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 和 l ^ i ( t ) ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 的关系如下 l ˜ 1 ( t ) = l ^ 1 ( t ) − l 1 ， l ˜ 2 ( t ) = l ^ 2 ( t ) − l 2 ， l ˜ 3 ( t ) = l ^ 3 ( t ) − l 3 (14) 并且 l ˜ ˙ 1 ( t ) = l ^ ˙ 1 ( t ) ， l ˜ ˙ 2 ( t ) = l ^ ˙ 2 ( t ) ， l ˜ ˙ 3 ( t ) = l ^ ˙ 3 ( t ) (15) 利用等式(14)和(15)，将等式(11)带入(13)，并结合不等式(12)，有 1) 当 u ( t ) > 1 时， L V ¯ ( t ， s ( t ) ) = s T ( t ) ‖ s ( t ) ‖ { G A e ( t ) + G Δ A ( t ) x ( t ) − G B K x ^ ( t )             + G B ( ‖ K ‖ ‖ x ^ ( t ) ‖ − ‖ l ^ 1 ( t ) ‖ ‖ y ( t ) ‖ − ‖ l ^ 2 ( t ) ‖ ‖ y ^ ( t ) ‖ − ‖ l ^ 3 ( t ) ‖ − σ ) + G f ( x ， t ) + G D v ( t ) }             + l ˜ 1 ( t ) l ˜ ˙ 1 ( t ) l 1 + l ˜ 2 ( t ) l ˜ ˙ 2 ( t ) l 2 + l ˜ 3 ( t ) l ˜ ˙ 3 ( t ) l 3 ≤ [ ‖ s ( t ) ‖ ( l 1 ‖ y ( t ) ‖ + ‖ l 2 ‖ ‖ y ^ ( t ) ‖ + l 3 ) − ‖ l 1 ( t ) ‖ ‖ y ( t ) ‖ − ‖ l 2 ( t ) ‖ ‖ y ^ ( t ) ‖ − ‖ l 3 ‖ − σ ] + l ˜ 1 ( t ) l ˜ ˙ 1 ( t ) l 1 + l ˜ 2 ( t ) l ˜ ˙ 2 ( t ) l 2 + l ˜ 3 ( t ) l ˜ ˙ 3 ( t ) l 3 = − σ < 0 (16a) 2) 当 − 1 < u ( t ) < 1 时， L V ¯ ( t ， s ( t ) ) ≤ ‖ s ( t ) ‖ [ ( l 1 ‖ y ( t ) ‖ + ‖ l 2 ‖ ‖ y ^ ( t ) ‖ + l 3 ) − l ^ 1 ( t ) ‖ y ( t ) ‖ − l ^ 2 ( t ) ‖ y ^ ( t ) ‖ − l ^ 3 ( t ) − ρ ]     + l ˜ 1 ( t ) l ˜ ˙ 1 ( t ) l 1 + l ˜ 2 ( t ) l ˜ ˙ 2 ( t ) l 2 + l ˜ 3 ( t ) l ˜ ˙ 3 ( t ) l 3 由等式(14)和(15)得 L V ¯ ( t ， s ( t ) ) ≤ ‖ s ( t ) ‖ [ l 3 − l ˜ 1 ( t ) ‖ y ( t ) ‖ − l ˜ 2 ( t ) ‖ y ^ ( t ) ‖     − l ^ 3 ( t ) − ρ ]             + l ˜ 1 ( t ) l 1 ‖ y ( t ) ‖ ‖ s ( t ) ‖ l 1 + l ˜ 2 ( t ) l 2 ‖ y ( t ) ‖ ‖ s ( t ) ‖ l 2 + l ˜ 3 ( t ) l 3 ‖ s ( t ) ‖ l 3             = − ρ < 0 (16b) 3) 当 u ( t ) < − 1 时， L V ¯ ( t ， s ( t ) ) = s T ( t ) ‖ s ( t ) ‖ { G A e ( t ) + G Δ A ( t ) x ( t ) − G B K x ^ ( t ) + G f ( x ， t ) + G D v ( t )     − G B ( − ‖ K ‖ ‖ x ^ ( t ) ‖ + ‖ l ^ 1 ( t ) ‖ ‖ y ( t ) ‖ + ‖ l ^ 2 ( t ) ‖ ‖ y ^ ( t ) ‖ + ‖ l ^ 3 ( t ) ‖ + ) σ }     + l ˜ 1 ( t ) l ˜ ˙ 1 ( t ) l 1 + l ˜ 2 ( t ) l ˜ ˙ 2 ( t ) l 2 + l ˜ 3 ( t ) l ˜ ˙ 3 ( t ) l 3             = − σ < 0 (16c) 对等式(16a)和(16c)两边从0到t积分并同时取期望，得 ε ‖ s ( t ) ‖ ≤ ε V ¯ ( t ， s ( t ) ) ≤ ε V ¯ ( 0 ， s ( 0 ) ) − σ t 对等式(16b)两边从0到t积分并同时取期望，得 ε ‖ s ( t ) ‖ ≤ ε V ¯ ( t ， s ( t ) ) ≤ ε V ¯ ( 0 ， s ( 0 ) ) − ρ t 这意味着，当 ε ‖ s ( t ) ‖ ≠ 0 时，对于所有的 t ≥ t f = max { ε { V ( 0 ， s ( 0 ) ) } ρ ， ε { V ( 0 ， s ( 0 ) ) } σ } ，系统(1)的状态变量均可到达预先设计的滑模面(6)。 证毕。 4.2. 均方渐近容许性分析 定理2：对于给定的标量 γ ，如果存在正定矩阵 P ，矩阵 X ， Y ， Z 和标量 ε i > 0 ( i = 1 ， 2 ) 使得LMI (17)成立 ( Θ 1 − Z ( G B A + B K ) Z G B Z G B M 0 0 * Θ 2 − Z D 0 Z M Z * * − γ 2 I 0 0 0 * * * − ε 1 I 0 0 * * * * − ε 2 I 0 * * * * * − I ) < 0 (17) 其中 Θ 1 = s y m { Z ( A + B K ) } + 2 F T P F + ( ε 1 + ε 2 ) N T N + Z B G B G T Z T + ρ ¯ 2 I ， Θ 2 = s y m { Z ( A − L C ) } + ( δ 2 + 1 ) C T C + ρ ¯ 2 I ， Z = E T P + S R T ， R ∈ R n × ( n − r ) 为列满秩矩阵且满足 E T R = 0 ，则闭环系统(4)在 H ∞ 扰动衰减水平 γ 下是均方渐近容许的。 证明：选择Lyapunov函数 V ( t ) = x T ( t ) E T P E x ( t ) + e T ( t ) E T P E e ( t ) Lyapunov函数 V ( t ) 的微分为 d V ( t ) = 2 x T ( t ) E T P E d x ( t ) + 2 e T ( t ) E T P E d e ( t )         = 2 x T ( t ) E T P [ ( A + B K + B G Δ A ( t ) ) x ( t ) − ( G B A + B K ) e ( t ) + B G f ( x ， t ) + B G D v ( t ) ] d t     + 2 e T ( t ) E T P [ ( A − ( L + Δ L ( t ) ) C ) e ( t ) + Δ A ( t ) x ( t ) + f ( x ， t ) − f ( x ^ ， t ) + D v ( t ) ] d t     + 2 x T ( t ) F T P F x ( t ) + 2 ( x T ( t ) + e T ( t ) ) E T P F x ( t ) d ω ( t ) (18) 因为 E T R = 0 ，则 { 0 = 2 x T ( t ) S R T E d x ( t ) = 2 x T ( t ) S R T [ ( A + B K + B G Δ A ( t ) ) x ( t ) − ( G B A + B K ) e ( t ) + B G f ( x ， t ) + B G D v ( t ) ] d t     + 2 x T ( t ) S R T P F x ( t ) d ω ( t ) ， 0 = 2 e T ( t ) S R T E d e ( t ) = 2 x T ( t ) S R T [ ( A − ( L + Δ L ( t ) ) C ) e ( t ) + Δ A ( t ) x ( t ) + f ( x ， t ) − f ( x ^ ， t ) + D v ( t ) ] d t     + 2 e T ( t ) S R T P F x ( t ) d ω ( t ) (19) 将等式(19)增加到等式(18)，得 d V ( t ) = 2 x T ( t ) Z E x ( t ) + 2 e T ( t ) Z E e ( t ) = L V ( t ) d t + 2 ( x T ( t ) + e T ( t ) ) Z F x ( t ) d ω ( t ) (20) 其中 L V ( t ) = 2 x T ( t ) Z E d x ( t )           = 2 x T ( t ) Z [ ( A + B K ) + B G Δ A ( t ) ] x ( t ) − ( G B A + B K ) e ( t ) + B G f ( x ， t ) + B G D v ( t )     + 2 e T ( t ) Z [ ( A − ( L + Δ L ( t ) ) C ) e ( t ) + Δ A ( t ) x ( t ) + f ( x ， t ) − f ( x ^ ， t ) + D v ( t ) ]     + 2 x T ( t ) F T P F x ( t ) 根据假设2.1和2.2，有 2 x T ( t ) Z B G Δ A ( t ) x ( t ) = 2 x T ( t ) Z B G M J ( t ) N x ( t ) ≤ ε 1 − 1 x T ( t ) Z B G M M T B G T Z T x ( t ) + ε 1 x T ( t ) N T N x ( t ) (21) − 2 e T ( t ) Z Δ L ( t ) C e ( t ) = 2 δ ‖ e T ( t ) Z ‖ ‖ C e ( t ) ‖ ≤ e T ( t ) Z Z T e ( t ) + δ 2 e T ( t ) C T C e ( t ) (22) 2 e T ( t ) Z Δ A ( t ) x ( t ) = 2 e T ( t ) Z M J ( t ) N x ( t ) ≤ ε 2 − 1 e T ( t ) Z M M T Z T e ( t ) + ε 2 x T ( t ) N T N x ( t ) (23) 2 x T ( t ) Z B G f ( x ， t ) ≤ 2 x T ( t ) Z B G ‖ f ( x ， t ) ‖ ≤ x T ( t ) Z B G B G T Z T x ( t ) + ρ ¯ 2 x T ( t ) x ( t ) (24) 2 e T ( t ) Z ( f ( x ， t ) − f ( x ^ ， t ) ) ≤ 2 ρ ¯ ‖ e T ( t ) ‖ Z ‖ x − x ^ ‖ ≤ e T ( t ) Z Z T e ( t ) + ρ ¯ 2 e T ( t ) e ( t ) (25) 由不等式(21)~(25)得 y T ( t ) y ( t ) − γ 2 v T ( t ) v ( t ) + L V ( t ) = 2 x T ( t ) Z ( A + B K ) x ( t ) + ε 1 − 1 x T ( t ) Z B G M M T B G T Z T x ( t )       + ε 1 x T ( t ) N T N x ( t ) − 2 x T ( t ) Z ( G B A + B K ) e ( t )       + x T ( t ) Z B G B G T Z T x ( t ) + ρ ¯ 2 x T ( t ) x ( t ) + 2 x T ( t ) Z D v ( t ) + 2 x T ( t ) Z ( A − L C ) e ( t ) + e T ( t ) Z Z T e ( t ) + δ 2 e T ( t ) C T C e ( t )   + ε 2 − 1 x T ( t ) Z M M T Z T x ( t ) + ε 2 N T N + e T ( t ) Z Z T e ( t )   + ρ ¯ 2 e T ( t ) e ( t ) + 2 x T ( t ) F T P F x ( t ) + x T ( t ) C T C x ( t ) − γ 2 v T ( t ) v ( t ) (26) 故 y T ( t ) y ( t ) − γ 2 v T ( t ) v ( t ) + L V ( t ) ≤ ξ T ( t ) Θ ξ ( t ) (27) 其中 ξ T ( t ) = ( x T ( t )   e T ( t )   v T ( t ) ) Θ = ( Θ 1 Θ 2 0 * Θ 3 Z D * * − γ 2 I ) Θ 1 = s y m { Z ( A + B K ) } + 2 F T P F + Z B G B G T Z T + ρ ¯ 2 I + ε 2 N T N + ε 2 Z B G M ⋅ M T B G T Z T + ε 1 N T N ， Θ 2 = − Z ( G B A + B K ) ， Θ 3 = y m { Z ( A − L C ) } + 2 Z Z T + ( 1 + δ 2 ) C T C + ε 2 − 1 Z M M T Z T + ρ ¯ 2 I . 根据Schur补引理，LMI (13)等价于 Θ < 0 ，对于给定的标量 γ > 0 ，由等式(27)有 L V ( t ) ≤ − y T ( t ) y ( t ) + γ 2 v T ( t ) v ( t ) (28) 在零初始条件下，对不等式(22)的两边从0到T求积分且求期望，有 0 ≤ ε { V ( t ) } = ε { ∫ 0 T V ( t ) d t } ≤ − ε { ∫ 0 T y e T ( t ) y e ( t ) d t } + γ 2 ∫ 0 T v T ( t ) v ( t ) d t 根据假设2.3、定义1及定义2可得，闭环系统(4)在 H ∞ 扰动衰减水平 γ 下是均方渐近容许。