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user: 3. 主要结论 引理1对于问题 1 | p i j = α i j t ， s i = β i t ， G T | ∑ i m ∑ j = 1 n i w i j C i j k ，则在最优排序中把同组内的工件按照 ( 1 + α i j ) k − 1 w i j ( 1 + α i j ) k 非减的顺序排列，即对组 G i ，满足 ( 1 + α i ( 1 ) ) k − 1 w i ( 1 ) ( 1 + α i ( 1 ) ) k ≤ ( 1 + α i ( 2 ) ) k − 1 w i ( 2 ) ( 1 + α i ( 2 ) ) k ≤ ⋯ ≤ ( 1 + α i ( n i ) ) k − 1 w i ( n i ) ( 1 + α i ( n i ) ) k ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m (2) 证明 (反证法)假设组 G i 内存在一个最优排序 π i ，满足相邻的两个工件 J i j 和 J i h ， ( 1 + α i j ) k − 1 w i j ( 1 + α i j ) k > ( 1 + α i h ) k − 1 w i h ( 1 + α i h ) k ，其中 J i j 排在 J i h 的前面。设t为 π i 中工件 J i j 的开始加工时间，交换工件 J i j 和 J i h 得到另一个排序 π ′ i ，则 C i j ( π i ) = t + α i j t = t ( 1 + α i j ) ， C i h ( π i ) = C i j ( π i ) + α i h C i j ( π i ) = t ( 1 + α i j ) ( 1 + α i h ) ， C i h ( π ′ i ) = t ( 1 + α i h ) ， C i j ( π ′ i ) = t ( 1 + α i h ) ( 1 + α i j ) . 在两个排序下的目标函数差为 ∑ j = 1 n i w i j C i j k ( π i ) − ∑ j = 1 n i w i j C i j k ( π ′ i ) = w i j t k ( 1 + α i j ) k + w i h t k ( 1 + α i j ) k ( 1 + α i h ) k − w i h t k ( 1 + α i h ) k − w i j t k ( 1 + α i h ) k ( 1 + α i j ) k = w i h t k ( 1 + α i h ) k [ ( 1 + α i j ) k − 1 ] − w i j t k ( 1 + α i j ) k [ ( 1 + α i h ) k − 1 ] = t k w i j w i h ( 1 + α i j ) k ( 1 + α i h ) k [ ( 1 + α i j ) k − 1 w i j ( 1 + α i j ) k − ( 1 + α i h ) k − 1 w i h ( 1 + α i h ) k ] > 0 这违反了 π i 是一个最优的排序，引理得证。 引理2对于问题 1 | p i j = α i j t ， s i = β i t ， G T | ∑ i m ∑ j = 1 n i w i j W i j k ，则在最优排序中把同组内的工件按照 ( 1 + α i j ) k − 1 w i j 非减的顺序排列。 证明 类似于引理1。 引理3对于问题 1 | p i j = α i j t ， s i = β i t ， G T | ∑ i m ∑ j = 1 n i w i j C i j k ，各组之间按照 ( 1 + β i ) k ∏ l = 1 n i ( 1 + α i l ) k − 1 ( 1 + β i ) k ∑ l = 1 n i w i l ∏ h = 1 l ( 1 + α i h ) k 非减 顺序排列得到最优组间排序。 证明 (反证法)假设存在一个最优组间排序 π G T ，满足相邻的两组工件 G i 和 G j ， ( 1 + β i ) k ∏ l = 1 n i ( 1 + α i l ) k − 1 ( 1 + β i ) k ∑ l = 1 n i w i l ∏ h = 1 l ( 1 + α i h ) k > ( 1 + β j ) k ∏ l = 1 n j ( 1 + α j l ) k − 1 ( 1 + β j ) k ∑ l = 1 n j w j l ∏ h = 1 l ( 1 + α j h ) k ，其中 G i 排在 G j 的前面。设t为 π G T 中 G i 的 开始加工时间，交换 G i 和 G j 得到另一个排序 π ′ G T ，则 C i θ ( π G T ) = t ( 1 + β i ) ∏ l = 1 θ ( 1 + α i l ) ， C j θ ( π G T ) = t ( 1 + β i ) ( 1 + β j ) ∏ l = 1 n i ( 1 + α i l ) ∏ l = 1 θ ( 1 + α j l ) ， C j θ ( π ′ G T ) = t ( 1 + β j ) ∏ l = 1 θ ( 1 + α j l ) ， C i θ ( π G T ) = t ( 1 + β j ) ( 1 + β i ) ∏ l = 1 n j ( 1 + α j l ) ∏ l = 1 θ ( 1 + α i l ) . 在两个排序下的目标函数差为 ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n i w i j C i j k ( π G T ) − ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n i w i j C i j k ( π ′ G T ) = t k ( 1 + β j ) k ∑ l = 1 n j w j l ∏ h = 1 l ( 1 + α j h ) k [ ( 1 + β i ) k ∏ l = 1 n i ( 1 + α i l ) k − 1 ] − t k ( 1 + β i ) k ∑ l = 1 n i w i l ∏ h = 1 l ( 1 + α i h ) k [ ( 1 + β i ) k ∏ l = 1 n i ( 1 + α i l ) k − 1 ] > 0 这违反了 π G T 是一个最优的组间排序，引理得证。 引理4对于问题 1 | p i j = α i j t ， s i = β i t ， G T | ∑ i m ∑ j = 1 n i w i j W i j k ，各组之间按照 ( 1 + β i ) k ∏ l = 1 n i ( 1 + α i l ) k − 1 ( 1 + β i ) k ∑ l = 1 n i w i l ∏ h = 1 l ( 1 + α i h ) k 非减 顺序排列得到最优组间排序。 由引理1和引理3，我们可以给出问题 1 | p i j = α i j t ， s i = β i t ， G T | ∑ i m ∑ j = 1 n i w i j C i j k 的最优算法。 算法1 1) 各组内的工件顺序按照 ( 1 + α i j ) k − 1 w i j ( 1 + α i j ) k 非减的顺序排列， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ; j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n i 。 2) 各组之间按照 ( 1 + β i ) k ∏ l = 1 n i ( 1 + α i l ) k − 1 ( 1 + β i ) k ∑ l = 1 n i w i l ∏ h = 1 l ( 1 + α i h ) k 非减的顺序排列， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 。 定理1对于问题 1 | p i j = α i j t ， s i = β i t ， G T | ∑ i m ∑ j = 1 n i w i j C i j k ，最优解可由算法1得到，并且该算法的时间复 杂度为 O ( n log n ) 。 证明：由引理1和2可知算法1的正确性。步骤1的时间复杂度分别为 O ( ∑ i = 1 m n i log n i ) ≤ O ( n log n ) ， 步骤2的时间复杂度为 O ( m log m ) ≤ O ( n log n ) 。因此，算法1的总时间复杂度为 O ( n log n ) 。 由引理2和引理4，我们可以给出问题 1 | p i j = α i j t ， s i = β i t ， G T | ∑ i m ∑ j = 1 n i w i j W i j k 的最优算法。 算法2 1) 各组内的工件顺序按照 ( 1 + α i j ) k − 1 w i j 非减的顺序排列， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ; j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n i 。 2) 各组之间按照 ( 1 + β i ) k ∏ l = 1 n i ( 1 + α i l ) k − 1 ( 1 + β i ) k ∑ l = 1 n i w i l ∏ h = 1 l ( 1 + α i h ) k 非减的顺序排列， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 。 定理2对于问题 1 | p i j = α i j t ， s i = β i t ， G T | ∑ i m ∑ j = 1 n i w i j W i j k ，最优解可由算法2得到，并且该算法的时间复 杂度为 O ( n log n ) 。 证明：类似于定理1。 下面我们举个例子来说明算法1是如何实现的(我们只给出问题 1 | p i j = α i j t ， s i = β i t ， G T | ∑ i m ∑ j = 1 n i w i j C i j k 的 求解算法)。 例1：已知 n = 8 ， m = 3 ， k = 1. ， t 0 = 1 ， G 1 : [ J 11 ， J 12 ] ， β 1 = 1 ， α 11 = 0.1 ， α 12 = 0.2 ， w 11 = 3 ， w 12 = 2 ； G 2 : [ J 21 ， J 22 ， J 23 ] ， β 2 = 2 ， α 21 = 0.2 ， α 22 = 0.3 ， α 23 = 0.5 ， w 21 = 2 ， w 22 = 4 ， w 23 = 3 ； G 3 : [ J 31 ， J 32 ， J 33 ] ， β 3 = 3 ， α 31 = 0.3 ， α 32 = 0.4 ， α 33 = 0.6 ， w 31 = 3 ， w 32 = 6 ， w 33 = 4 。 解：由算法1得： 1) 组内工件排序按照 ( 1 + α i j ) k − 1 w i j ( 1 + α i j ) k 非减的顺序排列得 G 1 : [ J 11 → J 12 ] ， G 2 : [ J 22 → J 21 → J 23 ] ， G 3 : [ J 32 → J 31 → J 33 ] 2) 对 G 1 组， ( 1 + β i ) k ∏ l = 1 n i ( 1 + α i l ) k − 1 ( 1 + β i ) k ∑ l = 1 n i w i l ∏ h = 1 l ( 1 + α i h ) = 0.2531 ，对 G 2 组， ( 1 + β i ) k ∏ l = 1 n i ( 1 + α i l ) k − 1 ( 1 + β i ) k ∑ l = 1 n i w i l ∏ h = 1 l ( 1 + α i h ) = 0.2331 ，对 G 3 组， ( 1 + β i ) k ∏ l = 1 n i ( 1 + α i l ) k − 1 ( 1 + β i ) k ∑ l = 1 n i w i l ∏ h = 1 l ( 1 + α i h ) = 0. 1851 ，即最优组间排序为 G 3 → G 2 → G 1 ，最优目标函数值为 ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n i w i j C i j k = 24208.58 。