system: [SYSTEM]

user: 3. 过指定顶点的三次B样条曲线及其在轴线异面椭圆管道拼接中的应用 我们利用三次B样条曲线的局部修改性质，构造了过指定顶点的两段连续的三次B样条曲线，曲线通过控制多边形的两端点并与始末两边相切，而曲线的形状可由第三个指定顶点的位置来调控。这样，我们可将其应用于轴线光滑拼接的轴线异面管道拼接中 [ 4 ] [ 5 ]。 例2设 Φ 1 ( t ， φ ) 和 Φ 2 ( t ， φ ) 分别是长半轴和短半轴分别相同的两个椭圆管道，其参数表达式为 Φ 1 ( t ， φ ) : { x ( t ， φ ) = 5 + 0.5 ⋅ cos φ ， y ( t ， φ ) = − 3 + t ， z ( t ， φ ) = 0 + 0.8 ⋅ sin φ . t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] 和 Φ 2 ( t ， φ ) : { x ( t ， φ ) = 0 + 0.8 ⋅ cos φ ， y ( t ， φ ) = 5 + 0.5 ⋅ sin φ ， z ( t ， φ ) = 3 + t . t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] 其中 γ 1 ( t ) = { x 1 ( t ) = 5 ， y 1 ( t ) = − 3 + t ， z 1 ( t ) = 0. γ 2 ( t ) = { x 2 ( t ) = 0 ， y 2 ( t ) = 5 ， z 2 ( t ) = 3 + t . t ∈ [ 0 ， 1 ] 是轴线的参数表达式，取三次B样条曲线的控制多边形的顶点为 P ′ 0 = ( 5 ， − 3 ， 0 ) ， P ′ 1 = ( 0 ， − 3 ， 0 ) ， P ′ 2 = ( 5 2 ， 5 2 ， 2 5 ) ， P ′ 3 = ( 0 ， 5 ， 0 ) ， P ′ 4 = ( 0 ， 5 ， 3 ) ，则两段连续的三次B样 条曲线的表达式为例1(3)。构造基于两段连续的轴线光滑拼接的两段椭圆管道，其参数表达式为 Ψ 1 ( t ， φ ) = { x 1 ( t ， φ ) = 5 4 t 3 − 15 4 t 2 + 5 + a B 11 ( t ) cos φ + b N 11 ( t ) sin φ ， y 1 ( t ， φ ) = − 11 4 t 3 + 21 4 t 2 + 3 t − 3 + a B 12 ( t ) cos φ + b N 12 ( t ) sin φ ， z 1 ( t ， φ ) = 7 10 t 3 − 3 10 t 2 + a B 13 ( t ) cos φ + b N 13 ( t ) sin φ . t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] 和 Ψ 2 ( t ， φ ) = { x 2 = 5 4 t 3 − 15 4 t + 5 2 a B 21 ( t ) cos φ + b N 21 ( t ) sin φ ， y 2 = 1 4 t 3 − 3 t 2 + 21 4 t + 5 2 a B 22 ( t ) cos φ + b N 22 ( t ) sin φ ， z 2 = − 7 10 t 3 + 9 5 t 2 + 3 2 t + 2 5 a B 23 ( t ) cos φ + b N 23 ( t ) sin φ . t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] 其中 N i ( t ) = ( N i 1 ( t ) ， N i 2 ( t ) ， N i 3 ( t ) ) 和 B i ( t ) = ( B i 1 ( t ) ， B i 2 ( t ) ， B 13 ( t ) ) ， i = 1 ， 2 分别是连续两段B样条曲线的主法矢和副法矢与 Φ 1 ( t ， φ ) 和 Φ 2 ( t ， φ ) 的拼接效果如图3。 图3. a = 0.5 ， b = 0.8 时，构造的两段光滑拼接的椭圆管道与给定轴线异面椭圆管道拼接效果图 椭圆管道拼接不同于圆管道。在构造椭圆管道时，轴线上每一点处与轴线垂直的平面上的自然坐标系 [ r i ( t ) ， N i ( t ) ， B i ( t ) ] 上构造椭圆，椭圆的长半轴和短半轴的方向与主法矢和副法矢的方向相关。例2中， Φ 1 ( t ， φ ) 与 Ψ 1 ( t ， φ ) 的长半轴与短半轴是相对应的，而 Φ 2 ( t ， φ ) 与 Ψ 2 ( t ， φ ) 的长半轴与短半轴是不相对应的。在 r 2 ( t ) 每一点 t ∈ [ 0 ， 1 ] 处对 [ r 2 ( t ) ， N 2 ( t ) ， B 2 ( t ) ] 坐标轴旋转变换 { e 1 ( t ) = − B 2 ( t ) sin θ + N 2 ( t ) cos θ ， e 2 ( t ) = B 2 ( t ) cos θ + N 2 ( t ) sin θ . t ∈ [ 0 ， 1 ] 其中 θ = θ 1 + ( θ 2 − θ 1 ) t ， θ 1 为 N 2 ( 0 ) (或 B 2 ( 0 ) )与 Φ 2 ( 0 ) 长半轴(或短半轴)夹角， θ 2 为 N 2 ( 1 ) (或 B 2 ( 1 ) )与 Φ 2 ( 1 ) 长半轴(或短半轴)夹角。调整后的拼接效果如图4。 图4. a = 0.5 ， b = 0.8 时，调整后两段光滑拼接的椭圆管道与给定轴线异面椭圆管道光滑拼接效果图 当 a 1 ≠ a 2 ， b 1 ≠ b 2 时，还可以构造两段光滑拼接的椭圆管道光滑拼接轴线异面的椭圆管道 [ 5 ]。 例3设 Φ 1 ( t ， φ ) 和 Φ 2 ( t ， φ ) 分别是长半轴和短半轴分别不同的两个椭圆管道，其参数表达式为 Φ 1 ( t ， φ ) : { x ( t ， φ ) = 5 + 0. 48 ⋅ cos φ ， y ( t ， φ ) = − 3 + t ， z ( t ， φ ) = 0 + 0.8 ⋅ sin φ . t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] 和 Φ 2 ( t ， φ ) : { x ( t ， φ ) = 0 + 1 .2 ⋅ cos φ ， y ( t ， φ ) = 5 + 0. 72 ⋅ sin φ ， z ( t ， φ ) = 3 + t . t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] 光滑拼接两个异面轴线的两段连续三次B样条曲线如例1 (3)。构造光滑拼接两个轴线异面椭圆管道某一母线的两段连续三次B样条曲线为 r ′ 1 ( t ) = { x ′ 1 = 1.05 t 3 − 3.15 t 2 + 4.2 ， y ′ 1 = − 2.45 t 3 + 4.35 t 2 + 3 t − 3 ⋅ 1 ， z ′ 1 = 7 10 t 3 − 3 10 t 2 . r ′ 2 ( t ) = { x ′ 2 = 1 .05 t 3 + 2.1 t 2 − 3.15 t ， y ′ 2 = 0.55 t 3 + 3 t 2 + 4.35 t + 1. 9 ， z ′ 2 = − 7 10 t 3 + 9 5 t 2 + 3 2 t + 2 5 . t ∈ [ 0 ， 1 ] 光滑拼接两个轴线异面椭圆管道的两段椭圆管道的参数表达式为 Ψ i ( t ， φ ) : { x i ( t ， φ ) = x i ( t ) + a i α ( t ) e i 1 ( t ) cos φ + b i α ( t ) e ′ i 1 ( t ) sin φ ， y i ( t ， φ ) = y i ( t ) + a i α ( t ) e i 2 ( t ) cos φ + b i α ( t ) e ′ i 2 ( t ) sin φ ， z i ( t ， φ ) = z i ( t ) + a i α ( t ) e i 3 ( t ) cos φ + b i α ( s ) e ′ i 3 ( t ) sin φ . i = 1 ， 2 ，   t ∈ [ 0 ， 1 ] ，   φ ∈ [ 0 ， 2 π ] 其中 α i ( t ) = ( x ′ i ( t ) − x i ( t ) ) 2 + ( y ′ i ( t ) − y i ( t ) ) 2 + ( z ′ i ( t ) − z i ( t ) ) 2 ， e i = ( e i 1 ， e i 2 ， e i 3 ) 和 e ′ i = ( e ′ i 1 ， e ′ i 2 ， e ′ i 3 ) ， i = 1 ， 2 ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ，为轴线上互为垂直的单位向量， a 1 = 0.48 ， b 1 = 0.8 ， a 2 = 0.72 ， b 1 = 1.2 。其拼接效果如图5。 图5. 两个长半轴和短半轴互不相同的轴线异面椭圆管道光滑拼接效果图 图5中， Φ 1 ( t ， φ ) ， Φ 2 ( t ， φ ) 分别为 Φ 1 ( t ， φ ) : { x ( t ， φ ) = 5 + 0. 48 ⋅ cos φ ， y ( t ， φ ) = − 3 + t ， z ( t ， φ ) = 0 + 0.8 ⋅ cos φ . t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] 和 Φ 2 ( t ， φ ) = { x 2 = 0 + a B 21 ( 1 ) cos φ + b N 21 ( 1 ) sin φ ， y 2 = 5 + a B 22 ( 1 ) cos φ + b N 22 ( 1 ) sin φ ， z 2 = 3+ t + a B 23 ( 1 ) cos φ + b N 23 ( 1 ) sin φ . t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ]