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user: 2. 差分格式 2.1. 差分格式的构造 我们考虑下列这一类带非线性导数项的薛定谔方程的初边值问题进行探究 { i ∂ t v + η ∂ x 2 v + i β ∂ x 5 v + i λ ∂ x ( | v 2 | v ) + δ ( | v 2 | v ) = 0 ， v ( x ， 0 ) = φ ( x ) ，                 x ∈ [ x L ， x R ] ，     t ≥ 0 ， v ( x ， t ) = v ( x + L ， t ) . (2-1) 为了建立差分格式，首先对区域 [ x L ， x R ] × [ 0 ， T ] 作网格剖分，取空间步长h，时间步长 τ ，其中 x j = x L + j h ， j = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， J ， J = x R − x L ， t n = n τ ， n = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， N ， N = T τ ，本文采用以下的一些记号和约定 [ 2 ]： ( v j n ) x ^ = v j + 1 n − v j − 1 n 2 h ， ( v j n ) x ^ x ^ = v j + 2 n − 2 v j n + v j − 2 n 4 h 2 ( v j n ) x ^ x ^ x ^ x ^ x ^ = v j + 5 n − 5 v j + 3 n + 5 v j + 1 n − 5 v j − 1 n + 5 v j − 3 n − v j − 5 n 32 h 5 ， ( v j n ) t = v j n − v j n − 1 τ ( v j n ) t ^ = v j n + 1 − v j n − 1 2 τ ， f ( v j n ) = 1 4 ( v ¯ j + 1 n v j n + v j + 1 n v ¯ j n + v ¯ j − 1 n v j n + v j − 1 n v ¯ j n ) ( v n ， w n ) = h ∑ j = 1 J v j n w ¯ j n 引理2.1.1. [ 3 ] 对于任意两个网格函数 v ， w ∈ Z h 0 ，我们有下列等式成立 { ( v x ^ ， w ) = − ( v ， w x ^ ) ，           ( v x ^ ， w x ^ ) = − ( v ， w x ^ x ^ ) ， ( v ， w x ^ x ^ ) = − ( v x ^ ， v x ^ ) = − ‖ v x ^ ‖ 2 ， ( v ， w x ^ x ^ x ^ x ^ x ^ ) = − ( v x ^ x ^ x ^ x ^ x ^ ， w ) ，                 ( v ， v x ^ x ^ x ^ x ^ x ^ ) = 0. 引理2.1.2. [ 4 ] 对于任何网格函数 V ∈ Z h 0 有下面式子成立： Re ( ( f ( V ) V ) x ^ ， V ) = 0. 引理2.1.3. [ 5 ] (Brouwer不动点定理)设H是一个有限维的内积空间，映射 f : H → H 是连续的，那么存在 α > 0 ，使得 ( f ( x ) ， x ) > 0 对任何 x ∈ H 都成立，并且 ‖ x ‖ = α ，那么一定存在 x * ∈ H ，使得 f ( x * ) = 0 并且 ‖ x * ‖ ≤ α 。 对于非线性薛定谔方程(1-1)，首先可以假设 v ( x ， 0 ) ∈ H 1 ，提出一种隐式的差分格式，具体内容如下： 首先： V ( x ， 0 ) = u ( x ， 0 ) (2-2) 其次：对于 j = 0 ， ⋯ ， J ，我们可以找到 V J 1 满足： i ( V j 1 ) t + η 2 ( V j 1 + V j 0 ) x ^ x ^ + i β 2 ( V j 1 + V j 0 ) x ^ x ^ x ^ x ^ x ^ + i λ 8 ( f ( V j 1 + V j 0 ) ( V j 1 + V j 0 ) ) x ^ + δ 8 f ( V j 1 + V j 0 ) ( V j 1 + V j 0 ) = 0. (2-3) 最后：对于 n = 1 ， ⋯ ， N − 1 ， j = 0 ， ⋯ ， J ，我们可寻找到合适的 V j n + 1 使其满足式子： i ( V j n ) t + η 2 ( V j n − 1 + V j n + 1 ) x ^ x ^ + i β 2 ( V j n − 1 + V j n + 1 ) x ^ x ^ x ^ x ^ x ^ + i λ 8 ( f ( V j n + 1 + V j n − 1 ) ( V j n − 1 + V j n + 1 ) ) x ^ + δ 8 f ( V j n + 1 + V j n − 1 ) ( V j n − 1 + V j n + 1 ) = 0 ， V j + J n + V j n . (2-4) 2.2. 差分格式的守恒性质 定理2.2.1. 差分格式(2-2)~(2-4)保持离散的能量守恒和质量守恒，即有： ‖ V x ^ 1 ‖ 2 − λ 4 β ∑ j = 1 J h f ( V J 1 + V J 0 ) | V J 1 | 2 + ( η β − δ λ ) Im ∑ j = 1 J h V J 1 ( V ¯ j 1 ) x ^ = ‖ V x ^ 0 ‖ 2 − λ 4 β ∑ j = 1 J h f ( V J 1 + V J 0 ) | V J 0 | 2 + ( η β − δ λ ) Im ∑ j = 1 J h V J 0 ( V ¯ j 0 ) x ^ ， (2-5) 对于 n = 1 ， ⋯ ， N ：有： ‖ V x ^ n + 1 ‖ 2 − λ 4 β ∑ j = 1 J h f ( V J n − 1 + V J n + 1 ) | V J n + 1 | 2 + Im ( η β − δ λ ) ∑ j = 1 J h V J n + 1 ( V ¯ j n + 1 ) x ^ = ‖ V x ^ n − 1 ‖ 2 − λ 4 β ∑ j = 1 J h f ( V J n − 1 + V J n + 1 ) | V J n − 1 | 2 + Im ( η β − δ λ ) ∑ j = 1 J h V J n − 1 ( V ¯ j n − 1 ) x ^ . (2-6) ‖ V n ‖ 2 = ‖ V n − 1 ‖ 2 ，                 0 ≤ n ≤ N . (2-7) 其中V是差分格式(2-2)~(2-4)的差分解， ‖ ⋅ ‖ 是离散空间的L 2 范数。 证明：首先我们先证差分格式离散的能量守恒，即证(2-5)式子和(2-6)式子，我们分为 n = 0 和 n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N − 1 这两种情况来分别证明，再结合两个结果来得到离散的能量守恒律 [ 6 ]，首先证 n = 0 的情况，我们会运用到三个等式，我们先将差分方程(2-3)式代入到下面式子，我们由引理2.1.1和引理2.1.2有： 1 τ Im ∑ j = 1 J h ( V j 1 ( V ¯ j 1 ) x ^ − V j 0 ( V ¯ j 0 ) x ^ ) = 1 τ Im ∑ j = 1 J h ( V j 1 ( V ¯ j 1 ) x ^ − V j 1 ( V ¯ j 0 ) x ^ + V j 1 ( V ¯ j 0 ) x ^ − V j 0 ( V ¯ j 0 ) x ^ ) = 1 τ Im ∑ j = 1 J h ( V j 1 ( V ¯ j 1 − V ¯ j 0 ) x ^ + ( V j 1 − V j 0 ) ( V ¯ j 0 ) x ^ ) = − 1 τ Im ∑ j = 1 J h ( ( V j 1 ) x ^ ( V ¯ j 1 − V ¯ j 0 ) + ( V j 1 − V j 0 ) ( V ¯ j 0 ) x ^ ) = − Im ( ( V 1 + V 0 ) x ^ ， i η 2 ( V 1 + V 0 ) x ^ x ^ − β 2 ( V 1 + V 0 ) x ^ x ^ x ^ x ^ x ^               − λ 8 ( f ( V 1 + V 0 ) ( V 1 + V 0 ) ) x ^ + i δ 8 f ( V 1 + V 0 ) ( V 1 + V 0 ) ) = − Im ( ( V 1 + V 0 ) x ^ − λ 8 ( f ( V 1 + V 0 ) ( V 1 + V 0 ) ) x ^ ) = λ 8 Im ( ( V 1 + V 0 ) x ^ ， ( f ( V 1 + V 0 ) ( V 1 + V 0 ) ) x ^ ) . (2-8) 同理，我们将差分方程(2-3)代入到以下式子，同样由引理2.1.1和引理2.1.2有： 1 τ ( ‖ V x ^ 1 ‖ 2 − ‖ V x ^ 0 ‖ 2 ) = 1 τ Re ( V x ^ 1 + V x ^ 0 ， V x ^ 1 − V x ^ 0 ) = Re ( ( V 1 + V 0 ) x ^ ， i η 2 ( V 1 + V 0 ) x ^ x ^ x ^ − β 2 ( V 1 + V 0 ) x ^ x ^ x ^ x ^ x ^ x ^             − λ 8 ( f ( V 1 + V 0 ) ( V 1 + V 0 ) ) x ^ x ^ + i δ 8 ( f ( V 1 + V 0 ) ( V 1 + V 0 ) ) x ^ ) (2-9) = Re ( ( V 1 + V 0 ) x ^ ， − λ 8 ( f ( V 1 + V 0 ) ( V 1 + V 0 ) ) x ^ x ^ + i δ 8 ( f ( V 1 + V 0 ) ( V 1 + V 0 ) ) x ^ ) = δ 8 Im ( ( V 1 + V 0 ) x ^ ， ( f ( V 1 + V 0 ) ( V 1 + V 0 ) ) x ^ ) − λ 8 Re ( ( V 1 + V 0 ) x ^ ， ( f ( V 1 + V 0 ) ( V 1 + V 0 ) ) x ^ x ^ ) 接下来我们通过简单的类似代换，由引理2.1.1和引理2.1.2有下面等式成立： 1 τ ∑ j = 1 J h f ( V j 1 + V j 0 ) ( | V J 1 | 2 − | V J 0 | 2 ) = 1 τ Re ∑ j = 1 J h ( V j 1 + V j 0 ) ( V ¯ j 1 − V ¯ j 0 ) ( V j 1 + V j 0 ) = 1 τ Re ( f ( V 1 + V 0 ) ( V 1 + V 0 ) ， V 1 − V 0 ) = Re ( f ( V 1 + V 0 ) ( V 1 + V 0 ) ， i η 2 ( V 1 + V 0 ) x ^ x ^ − β 2 ( V 1 + V 0 ) x ^ x ^ x ^ x ^ x ^                 − λ 8 ( f ( V 1 + V 0 ) ( V 1 + V 0 ) ) x ^ + i δ 8 f ( V 1 + V 0 ) ( V 1 + V 0 ) ) (2-10) = Re ( f ( V 1 + V 0 ) ( V 1 + V 0 ) ， i η 2 ( V 1 + V 0 ) x ^ x ^ − β 2 ( V 1 + V 0 ) x ^ x ^ x ^ x ^ x ^ ) = η 2 Im ( f ( V 1 + V 0 ) ( V 1 + V 0 ) ， ( V 1 + V 0 ) x ^ x ^ ) − β 2 Re ( f ( V 1 + V 0 ) ( V 1 + V 0 ) ， ( V 1 + V 0 ) x ^ x ^ x ^ x ^ x ^ ) = η 2 Im ( ( V 1 + V 0 ) x ^ ， f ( V 1 + V 0 ) ( V 1 + V 0 ) x ^ ) − β 2 Re ( f ( V 1 + V 0 ) ( V 1 + V 0 ) x ^ x ^ x ^ x ^ ， ( V 1 + V 0 ) x ^ ) . 因此，结合式子(2-8)~(2-10)，经过简单的计算可以得到： ‖ V x ^ 1 ‖ 2 − λ 4 β ∑ j = 1 J h f ( V J 1 + V J 0 ) | V J 1 | 2 + ( η β − δ λ ) Im ∑ j = 1 J h V J 1 ( V ¯ j 1 ) x ^ = ‖ V x ^ 0 ‖ 2 − λ 4 β ∑ j = 1 J h f ( V J 1 + V J 0 ) | V J 0 | 2 + ( η β − δ λ ) Im ∑ j = 1 J h V J 0 ( V ¯ j 0 ) x ^ ， (2-11) 那么我们就证明了当 n = 0 时的有限差分格式差分解离散的能量守恒定律，同理我们通过类似的方法可以证明得到当 n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N − 1 时有限差分格式差分解离散的能量守恒定律，即证到式(2-6)成立，这样我们就证明了有限差分格式差分解的能量守恒定律 [ 7 ]。 现在我们再证差分格式差分解的离散的质量守恒定律，即证式(2-7)， 首先 V ( x ， 0 ) = v ( x ， 0 ) ，即： ‖ V j 0 ‖ = ‖ v ( x j ， 0 ) ‖ 。 其次，证 ‖ V 1 ‖ 2 = ‖ V 0 ‖ 2 ，最后我们证明对于任何 n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 有 ‖ V n ‖ 2 = ‖ V n − 1 ‖ 2 ，那么我们就可以得到离散的质量守恒定律。因此我们先证明 ‖ V 1 ‖ 2 = ‖ V 0 ‖ 2 ，先将差分格式(2-6)和 h ( V ¯ j 1 + V ¯ j 0 ) 相乘且将式子关于j从1到J累加，可以得到： i ( V t 1 ， V 1 + V 0 ) + η 2 ( ( V 1 + V 0 ) x ^ x ^ ， V 1 + V 0 ) + i β 2 ( ( V 1 + V 0 ) x ^ x ^ x ^ x ^ x ^ ， V 1 + V 0 ) + δ 8 ( f ( V 1 + V 0 ) ( V 1 + V 0 ) ， V 1 + V 0 ) + i λ 8 ( ( f ( V 1 + V 0 ) ( V 1 + V 0 ) ) x ^ ， V j 1 + V j 0 ) = 0. (2-12) 现在对式(2-12)左右两边同时取虚部，那么： Im i ( V t 1 ， V 1 + V 0 ) = Re ( V t 1 ， V 1 + V 0 ) = 1 τ ( ‖ V 1 ‖ 2 − ‖ V 0 ‖ 2 ) . (2-13) Im η 2 ( ( V 1 + V 0 ) x ^ x ^ ， V 1 + V 0 ) = − η 2 Im ( ( V 1 + V 0 ) x ^ ， ( V 1 + V 0 ) x ^ ) = 0 (2-14) 由引理2.1.1和引理2.1.2我们可得： Im i β 2 ( ( V 1 + V 0 ) x ^ x ^ x ^ x ^ x ^ ， V 1 + V 0 ) = 0. (2-15) Im i λ 8 ( ( f ( V 1 + V 0 ) ( V 1 + V 0 ) ) x ^ ， V j 1 + V j 0 ) = λ 8 Re ( ( f ( V 1 + V 0 ) ( V 1 + V 0 ) ) x ^ ， V j 1 + V j 0 ) = 0. (2-16) Im δ 8 ( f ( V 1 + V 0 ) ( V 1 + V 0 ) ， V 1 + V 0 ) = δ 8 Im ( f ( V 1 + V 0 ) ( V 1 + V 0 ) ， V 1 + V 0 ) = 0. (2-17) 因而综合式(2-13)~(2-17)，即可得到： ‖ V 1 ‖ 2 = ‖ V 0 ‖ 2 。接下来我们证明对于任何 n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 有 ‖ V n ‖ 2 = ‖ V n − 1 ‖ 2 ，我们将差分格式(2-7)和 h ( V ¯ j n + 1 + V ¯ j n − 1 ) 相乘且将式子关于j从1到J累加，与证明 ‖ V 1 ‖ 2 = ‖ V 0 ‖ 2 一样，同理可以得到： ‖ V n ‖ 2 = ‖ V n − 1 ‖ 2 ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N (2-18) 由： ‖ V 1 ‖ 2 = ‖ V 0 ‖ 2 和 ‖ V n ‖ 2 = ‖ V n − 1 ‖ 2 ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 我们可以得到： ‖ V n ‖ 2 = ‖ V n − 1 ‖ 2 ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N (2-19) 那么我们得到了差分格式差分解的离散的质量守恒定律。因而我们得到了差分格式差分解的离散的质量守恒定律和能量守恒定律 [ 8 ]。 2.3. 差分格式解的存在性 定理2.3.1. 一定存在离散函数 V n ∈ Z h 0 满足有限的差分格式(2-5)~(2-7)。 证明：证明了定理2.3.1，即可得到差分格式的差分解是存在的，首先我们可以先证明存在离散函数 V 1 ∈ Z h 0 是满足差分格式(2-5)，我们先定义 Z h 0 上的算子f： f ( w ) = 2 ( w − V 0 ) − i τ η w x ^ x ^ + τ β w x ^ x ^ x ^ x ^ x ^ + τ λ ( | w ′ | 2 w ) x ^ − i τ δ | w ′ | 2 w (2-20) 显而易见 f ( w ) 是连续的，此时我们将式(2-20)和w做内积并且取实部，可以得到： Re ( f ( w ) ， w ) = Re ( 2 ( w − V 0 ) ， w ) − Re ( τ η w x ^ x ^ ， w ) + Re ( τ β w x ^ x ^ x ^ x ^ x ^ )     + Re ( τ λ ( | w ′ | 2 w ) x ^ ， w ) − Re ( i τ δ | w ′ | 2 w ) ， (2-21) 此时同样由引理2.1.1和引理2.1.2，可以得到： − Re ( τ η w x ^ x ^ ， w ) + Re ( τ β w x ^ x ^ x ^ x ^ x ^ ) + Re ( τ λ ( | w ′ | 2 w ) x ^ ， w ) − Re ( i τ δ | w ′ | 2 w ) = 0. (2-22) 那么可得： Re ( f ( w ) ， w ) = Re ( 2 ( w − V 0 ) ， w ) = 2 ‖ w ‖ 2 − 2 Re ( V 0 ， w ) ≥ 2 ‖ w ‖ 2 − ( ‖ w ‖ 2 + ‖ V 0 ‖ 2 ) (2-23) 所以对于任意大于0的常数 ε ，当 ‖ w ‖ 2 − ‖ V 0 ‖ 2 = ε 时，对于任意w都有 Re ( f ( w ) ， w ) > 0 成立。我们由引理2.1.3可知一定存在 w * ，使 f ( w * ) = 0 成立。此时取 V 1 = 2 w * − V 0 ，由 f ( w * ) = 0 容易得到存在 V 1 ∈ Z h 0 满足式(2-5)。我们运用数学归纳法来证明定理2.3.1，因而此时我们假设 V 1 ， V 2 ， V 3 ， ⋯ ， V n ∈ Z h 0 满足差分格式(2-6)，现在需要证明 V n + 1 ∈ Z h 0 满足式(2-6)，同样我们先定义 Z h 0 上的一个算子： f ( w ) = ( w − V n − 1 ) − i τ η w x ^ x ^ + τ β w x ^ x ^ x ^ x ^ x ^ + ( τ λ ( | w ′ | 2 w ) x ^ ) − i τ δ | w ′ | 2 w (2-24) 此时将式(2-24)和w做内积并且取实部得到： Re ( f ( w ) ， w ) = Re ( ( w − V n − 1 ) ， w ) − Re ( τ η w x ^ x ^ ， w ) + Re ( τ β w x ^ x ^ x ^ x ^ x ^ )     + Re ( τ λ ( | w ′ | 2 w ) x ^ ， w ) − Re ( i τ δ | w ′ | 2 w ) (2-25) 显而易见 f ( w ) 是连续的，由引理2.1.1和引理2.1.2，可以得到： − Re ( τ η w x ^ x ^ ， w ) + Re ( τ β w x ^ x ^ x ^ x ^ x ^ ) + Re ( τ λ ( | w ′ | 2 w ) x ^ ， w ) − Re ( i τ δ | w ′ | 2 w ) = 0. (2-26) 那么可得： Re ( f ( w ) ， w ) = Re ( ( w − V n − 1 ) ， w ) = ‖ w ‖ 2 − Re ( V n − 1 ， w ) ≥ ‖ w ‖ 2 − 1 2 ( ‖ w ‖ 2 + ‖ V n − 1 ‖ 2 ) (2-27) 所以对于任意大于0的常数 ε ， ‖ w ‖ 2 − ‖ V n − 1 ‖ 2 = ε 时，对于任意w都有 Re ( f ( w ) ， w ) > 0 成立。我们由引理2.1.3可知一定存在 w * ，使 f ( w * ) = 0 成立。此时取 V n + 1 = 2 w * − V n − 1 ，由 f ( w * ) = 0 容易得到存在 V n + 1 ∈ Z h 0 满足式(2-6)，因而终上所述可得一定存在离散函数 V n ∈ Z h 0 满足差分格式(2-5)~(2-7)。