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user: 3. 基于相似关系的多粒度概率粗糙集模型 定义5：设 M I S = 〈 U ， A T ， V ， f 〉 为一个不完备多粒度信息系统， ∀ x ∈ U ， X ⊆ U ， 0 ≤ β ≤ 0.5 < α ≤ 1 ， 则X在相似关系 R B 上依参数 α ， β 的乐观(悲观)多粒度概率粗糙集下近似 ∑ i = 1 m A i o _ α ( X ) 和上近似 ∑ i = 1 m A i o β ¯ ( X ) 分别定义： ∑ i = 1 m A i o _ α ( X ) = { x ∈ U : p ( X | [ x ] A 1 S B ) ≥ α ∨ P ( X | [ x ] A 2 S B ) ≥ α ∨ ⋯ ∨ P ( X | [ x ] A m S B ) ≥ α } ∑ i = 1 m A i o β ¯ ( X ) = ~ ∑ i = 1 m A i o _ 1 − β ( ~ X ) 通过定义5，可以得到在不完备系统中，乐观多粒度概率粗糙集的边界域集合： B n d ∑ i = 1 m A i ( α ， β ) o = ∑ i = 1 m A i o β ¯ ( X ) − ∑ i = 1 m A i o _ α ( X ) 二元组 〈 ∑ i = 1 m A i o _ α ( X ) ， ∑ i = 1 m A i o β ¯ ( X ) 〉 称作是X基于相似关系 R B 关于粒度 A i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 的乐观多粒度概率粗糙集。 定理3.1：设 M I S = 〈 U ， A T ， V ， f 〉 为一个不完备的多粒度信息系统， ∀ x ∈ U ， X ⊆ U ， 0 ≤ β ≤ 0.5 < α ≤ 1 ， A T = { A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A m } 则 ∑ i = 1 m A i o β ¯ ( X ) = { x ∈ U : p ( X | [ x ] A 1 S B ) > β ∧ P ( X | [ x ] A 2 S B ) > β ∧ ⋯ ∧ P ( X | [ x ] A m S B ) > β } 证明： ∑ i = 1 m A i o β ¯ ( X ) = ~ ∑ i = 1 m A i o _ 1 − β ( ~ X ) = { x ∈ U : p ( ~ X | [ x ] A 1 S B ) ≥ 1 − β ∨ P ( ~ X | [ x ] A 2 S B ) ≥ 1 − β ∨ ⋯ ∨ P ( ~ X | [ x ] A m S B ) ≥ 1 − β } = { x ∈ U : 1 − p ( X | [ x ] A 1 S B ) ≥ 1 − β ∨ 1 − P ( X | [ x ] A 2 S B ) ≥ 1 − β ∨ ⋯ ∨ 1 − P ( X | [ x ] A m S B ) ≥ 1 − β } = { x ∈ U : | ~ X ∩ [ x ] A 1 S B | | [ x ] A 1 S B | ≥ 1 − β ∨ | ~ X ∩ [ x ] A 2 S B | | [ x ] A 2 S B | ≥ 1 − β ∨ ⋯ ∨ | ~ X ∩ [ x ] A m S B | | [ x ] A m S B | ≥ 1 − β } = { x ∈ U : 1 − | X ∩ [ x ] A 1 S B | | [ x ] A 1 S B | ≥ 1 − β ∨ 1 − | X ∩ [ x ] A 2 S B | | [ x ] A 2 S B | ≥ 1 − β ∨ ⋯ ∨ 1 − | X ∩ [ x ] A m S B | | [ x ] A m S B | ≥ 1 − β } = { x ∈ U : p ( X | [ x ] A 1 S B ) > β ∧ P ( X | [ x ] A 2 S B ) > β ∧ ⋯ ∧ P ( X | [ x ] A m S B ) > β } 定义6：设 M I S = 〈 U ， A T ， V ， f 〉 为一个不完备的多粒度信息统， ∀ x ∈ U ， X ⊆ U ， A T = { A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A m } ， 0 ≤ β ≤ 0.5 < α ≤ 1 ，X在相似关系 R B 上依参数 α ， β 的乐观(悲观)多粒度概率粗糙集近似精度 λ o ( α ， β ) 分别定义为： λ o ( α ， β ) = | ∑ i m A i _ α o ( X ) | | ∑ i m A i ¯ β o ( X ) | ； λ p ( α ， β ) = | ∑ i m A i _ α p ( X ) | | ∑ i m A i ¯ β p ( X ) | 。 例1：S是一个不完备的多粒度信息系统，(如表1所示)， A 1 = { a 1 } ， A 2 = { a 2 } ， A 3 = { a 3 ， a 4 } ， U = { x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x 8 } ， x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x 8 是8个对象， a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 是四个条件属性，D是决策性， A = { A 1 ， A 2 ， A 3 } 是粒度空间。 Table 1 Incomplete information system U a 1 a 2 a 3 a 4 d x 1 1 1 3 2 1 x 2 2 * 2 1 1 x 3 1 1 3 2 1 x 4 1 * * 1 2 x 5 * 2 2 * 2 x 6 1 2 * 2 2 x 7 2 2 2 1 2 x 8 1 2 1 1 1 表1. 不完备信息系统S U / d = { { x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 8 } ， { x 4 ， x 5 ， x 6 ， x 7 } } 根据定义4基于相似关系，当 α 变小， β 变大时，求得在不完备多粒度信息系统中概率粗糙集在不同决策类型的乐观(悲观)多粒度上(下)近似集(如表2所示)： Table 2 Optimistic (pessimistic) upper and lower approximate sets of incomplete multi-granularity probability rough sets based on similarity relation ∑ i = 1 3 A i o _ α ( D 1 ) ∑ i = 1 3 A i β ¯ o ( D 1 ) ∑ i = 1 3 A i _ α o ( D 2 ) ∑ i = 1 3 A i β ¯ o ( D 2 ) ∑ i = 1 3 A i p _ α ( D 1 ) ∑ i = 1 3 A i β ¯ p ( D 1 ) ∑ i = 1 3 A i _ α p ( D 2 ) ∑ i = 1 3 A i β ¯ p ( D 2 ) α = 0.8 β = 0.1 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ U ϕ U α = 0.7 β = 0.1 { x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 } ϕ { x 2 ， x 4 ， x 5 ， x 7 } ϕ { x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 } U { x 2 ， x 4 ， x 5 ， x 7 } U α = 0.6 β = 0.4 { x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ， x 6 } ϕ { x 1 ， x 2 ， x 4 ， x 5 ， x 6 ， x 7 ， x 8 } ϕ { x 1 ， x 3 } U { x 2 ， x 5 ， x 7 } U 表2. 基于相似关系的不完备多粒度概率粗糙集的乐观(悲观)上下近似集 得到近似精度为： λ o ( 0.8 ， 0.1 ) ( D 1 ) = 0 ;     λ o ( 0.8 ， 0.1 ) ( D 2 ) = 0 ;     λ p ( 0.8 ， 0.1 ) ( D 1 ) = 0 ;     λ p ( 0.8 ， 0.1 ) ( D 2 ) = 0 ; λ o ( 0.7 ， 0.1 ) ( D 1 ) = 0 ;     λ o ( 0.7 ， 0.1 ) ( D 2 ) = 0 ;     λ p ( 0.7 ， 0.1 ) ( D 1 ) = 1 2 ;     λ p ( 0.7 ， 0.1 ) ( D 2 ) = 1 2 ; λ o ( 0.6 ， 0.4 ) ( D 1 ) = 0 ;     λ o ( 0.6 ， 0.4 ) ( D 2 ) = 0 ;     λ p ( 0.6 ， 0.4 ) ( D 1 ) = 2 8 ;     λ p ( 0.6 ， 0.4 ) ( D 2 ) = 3 8 通过例1，可以发现在不完备信息系统中，基于相似关系对缺省的值进行分类；会出现在乐观的情况下所有的上(下)近似和精度都为空的情况，并且在完备的信息系统中近似精度所满足的性质此时也都不在满足。由此，我们在接下来的文章中基于优劣关系进行讨论。