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user: 2. 阵列定位算法 2.1. 基于MUSIC算法的超声测向方法 设K个远场信号入射到某阵列上，其中阵列由M个阵元组成，阵列接收的信号为： X ( t ) = A ( θ ， φ ) S ( t ) + N (t) 式中： X(t)是传感器阵列接收信号， X ( t ) = [ x 1 ( t ) ， x 2 ( t ) ， ⋯ ， x K ( t ) ] T ， S(t)是信号向量， S ( t ) = [ s 1 ( t ) ， s 2 ( t ) ， ⋯ ， s K ( t ) ] T ， N(t)是噪声向量， N ( t ) = [ n 1 ( t ) ， n 2 ( t ) ， ⋯ ， n K ( t ) ] T ， A ( θ ， φ ) 为信号的方向矩阵， θ 表示方位角， φ 表示俯仰角，用 ( θ ， φ ) 表示信号的DOA， A ( θ ) = [ a ( θ 1 ， φ 1 ) ， a ( θ 2 ， φ 2 ) ， ⋯ ， a ( θ K ， φ K ) ] ， 其中， a ( θ i ， φ i ) 是来向为 ( θ i ， φ i ) 的信号的方向矢量： a ( θ i ， φ i ) = exp ( j 2 π f r k i / v ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， K 。 其中f是信号频率； r = [ r 1 ， r 2 ， ⋯ ， r m ] T ，r m 是第m个阵元的坐标；k i 是来向为 ( θ i ， φ i ) 的信号的波数矢量， k i = [ sin ( φ i ) cos ( θ i ) ， sin ( φ i ) sin ( θ i ) ， cos ( φ i ) ] T 。 MUSIC算法的基本思想是对阵列信号的协方差矩阵进行特征分解，根据噪声子空间与信号方向矢量的正交性估计DOA ： 定义阵列输出信号 X ( t ) 的协方差矩阵为： R = E { X ( t ) X ( t ) H } = A ( θ ) R S A ( θ ) H + σ 2 I 其中， R S = E { S ( t ) S ( t ) H } ，R是正定Hermitain矩阵，所以， R = U Σ U H = U S Σ S U S H + U N Σ N U N H 其中， U S 是信号子空间， U N 是噪声子空间， Σ S 和 Σ N 分别是对应的对角阵。由于信号子空间和噪声子空间是相互正交的，可以得到： U N H a ( θ k ) = 0 ， 其中 k = 1 ， 2 ， ⋯ ， K 。 并且得到空间谱函数： P m u s i c = 1 a H ( θ ) U N U N H a (θ) 由上式，使 θ 和 φ 变化，通过寻找波峰来估计波达方向DOA。MUSIC算法测向谱图和等高线图如图1所示。 图1. MUSIC测向谱图和等高线图 采用MUSIC算法首先应计算阵列输出信号X(t)的协方差矩阵R，实际上R用一定长度信号序列的一阶原点矩近似： R = 1 L ∑ n = 1 L X (n) 2.2. 基于SRP算法的超声定位方法 假设传感器阵列中第m个传感器和第n个传感器接收到的信号是x m (t)和x n (t)，x m (t)和x n (t)的互相关函数为： R m n ( τ ) = E [ x m ( t ) x n ( t − τ ) ] 式中 τ 为基本互相关时延估计算法，在噪声较小环境下具有较高的时延估计精度。但在环境噪声和混响较为严重情况下，基本互相关时延估计算法不再适用。因此在基本互相关函数法的基础上引入了一个加权函数提出了广义互相关函数法 (Generalized Cross Correlation， GCC)，则x m (t)和x n (t)的广义互相关函数定义为： R x m x n ( τ ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ψ m n ( w ) X m ( w ) X n ∗ ( w ) e j w τ m n d w 其中， ψ m n ( w ) 为加权函数，X m (w)和X n (w)是x m (t)和x n (t)的傅里叶变换，( ) * 为取共轭。 τ m n ( s ) 为超声波从局放源s传播到第m个和第n个传感器的时间差。 加权函数 ψ m n ( w ) 采用了GCC中常用的时延估计中相位转换加权函数，具体形式为： ψ m n ( w ) = | 1 X m ( w ) X n ∗ ( w ) | ψ m n ( w ) 取值为第m个传感器和第n个传感器接收到信号幅度谱的倒数，实际上是一个白化滤波器，能够白化互功率谱，使信号互相关的幅度谱信息得以保留并平滑信号间的互功率谱，提高定位精度。 τ m n ( s ) 在近场条件下其计算方法为： τ m n ( s ) = ( ‖ r s − r m ‖ − ‖ r s − r n ‖ ) / v 其中r s 为局放源s的空间坐标，r m 和r n 分别为第m个和第n个传感器的空间坐标，v表示超声波在油中的传播速度， ‖   ·   ‖ 表示矢量2-范数。 可控响应功率SRP函数是根据所有传感器的广义互相关函数求和计算得到的，因此z处的可控响应功率SRP表达式为： P ( z ) = ∑ m = 1 M ∑ n = m + 1 M R x m x n (τ) SRP不仅可以看作是加权的滤波-求和的波束形成，还可以看作是所有传感器对的GCC之和，具有稳健性 [ 18 ]。 局放源位置估计就是在空间内搜寻可控响应功率取最大值所对应的位置。 s ^ = arg s max P (z) 2.3. MUSIC与SRP相结合的局部放电定位方法 MUSIC测向算法对变压器内高低压绕组匝间局部放电测向时误差较小，适用性较强，可以将SRP的搜索空间合理有效地限定在某一较小范围内。SRP定位算法作为典型的分布式阵列传感器定位算法，可以在搜索空间较小情况下，对空间任意一点进行准确定位。MUSIC-SRP算法结合两种算法的优点，能显著提高局部放电定位精度，核心是利用MUSIC测向算法合理有效地将SRP的搜索空间缩小，使定位精度提升。利用图2分析MUSIC测向算法缩小SRP搜索空间的原理，建立变压器xoz平面坐标系如图3所 示。首先对局部放电点 i ( x i ， y i ， z i ) 进行MUSIC算法测向，得到俯仰角和方位角 ( θ i ， φ i ) 。当变压器高压绕组匝间发生局部放电时，设内高压绕组内径为r 1 ，高压绕组外径为r 2 ，变压器顶部中心到传感器阵列中心距离为d。如图2所示，由于局部放电发生在高压绕组匝间，所以局部放电点i的z i 的范围 [ z i min ， z i max ] 为 [ d − r 2 ， d − r 1 cos 45 ∘ ] ，即 [ d − r 2 ， d − 2 2 cos 45 ∘ ] 。考虑MUSIC测向算法在对方向角θ i 在90˚附近侧向估计时有微小误差，所以将[89˚， 91˚]区间作为分隔x i 在正负半轴范围。如果 θ i ≤ 89 ∘ 时，可根据图2几何推导出x i 的范围为 [ 0 ， 2 2 r 2 ] ；如果 θ i ≥ 91 ∘ 时，同理可推导出x i 的范围为 [ − 2 2 r 2 ， 0 ] ；如果 89 ∘ < θ i < 91 ∘ ，该传感器阵列在该范围MUSIC测向误差较小，考虑3˚测向误差余量，可根据空间几何关系得到x i 的范围为 [ − y i max tan 3 ∘ ， y i max tan 3 ∘ ] 。对本文所用的35 kV变压器单相绕组，y i max 为绕组高度与传感器阵列到绕组距离之和为70 cm，因此x i 的范围为[−3.7， 3.7] cm。 图2. 变压器高压绕组匝间局部放电MUSIC测向示意图 图3. 变压器xoz平面坐标系 相对于局部放电点i的x i 和z i 坐标的范围确定，y i ， 坐标的范围确定较为复杂，利用数学几何的方法对局部放电点i的y i ， 坐标的范围进行详细求解。简化图2得到图4便于分析。如图所示，i'点为i点在xoy平面上的投影，k点为i点在y轴上的投影。目前已有局部放电点的俯仰角、方位角 ( φ i ， θ i ) 和z i 坐标的范围信息，即 ∠ z o i = φ i ， ∠ x o i ′ = θ i ， i k = z i ，需要求解ok即y i ， 坐标的范围。由于的范围是由x i 坐标的范围较为复杂，过程中包含了θ i 的误差余量。为了减少累积误差，所以通过z i 坐标范围信息确定y i ， 坐标的范围。 因为 i k ∥ o z ，所以 ∠ o i k = 180 ∘ − ∠ z o i = 180 ∘ − φ i ，因此 o k = i k ∗ tan ( o i k ) = z i tan ( 180 ∘ − φ i ) 。考虑MUSIC测向存在一定误差，通过仿真结果可以看出 φ i 测向估计结果误差小于8˚，为了防止特殊情况导致误差过大，选择±10˚为误差余量。坐标y i 的范围为 [ | z i | max tan | φ i + 10 ∘ − 90 ∘ | ， | z i | min tan | φ i − 10 ∘ − 90 ∘ | ] 。如果 | z i | min tan | φ i − 10 ∘ − 90 ∘ | > y i max 绕组高度与传感器阵列到绕组距离之和(70cm)，那么y i 的取值范围上限取绕组高度与传感器阵列到绕组距离之和70 cm；如果 | z i | max tan | φ i + 10 ∘ − 90 ∘ | < y i min 传感器阵列到绕组距离(10 cm)，那么y i 的取值范围下限取传感器阵列到绕组距离(10 cm)。 图4. MUSIC测向简化图