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user: 2. 预备引理 为了证明以上定理，我们给出几个重要的结果。 首先是含有二面体Sylow 2-子群的有限群，参见[ [ 5 ] ，引理2.4]。 引理2.1. 设G为一个含二面体Sylow 2-子群的有限群，M是G的最大奇数阶正规子群，则G/M同构于下列群之一： 1) (二面体) 2-子群； 2) A 4 或 A 7 ； 3) A u t ( P S L ( 2 ， q ) ) 的包含 P S L ( 2 ， q ) 的子群，其中 q ≥ 5 为奇素数幂。 下面给出关于局部本原图的一个性质。参见[ [ 6 ] ，定理4]。 引理2.2. 设 Γ = ( V ， E ) 为平方自由阶k度， k ≥ 3 的G-局部本原联通图。假设G在VG上传递且G不是完全二部图，则下述之一成立： 1) ，2nk为平方自由的，k为nk的最小素因子，G为二面体 D 2 n 上的Cayley图； 2) G = M : X ，其中M为平方自由阶的，X为几乎单群且 a) s o c ( G ) = M 11 ， M 12 ， M 22 ， M 23 ， M 24 ， J 1 ； b) G = A n 或者 S n ，其中 n < 3 k ； c) G = P S L ( 2 ， p ) 或 G = P G L ( 2 ， p ) ； d) s o c ( G ) = P S L ( 2 ， p f ) ， f ≥ 2 ，且 p f > 9 ，或者 k | p f − 1 或者 f = 2 ， k | p + 1 ； e) G为Lie型单群 G F ( p f ) ， p ≤ k ，或者 [ d 2 ] f < k ，G为d维典型群， d ≥ 3 。或者 2 f < k ， s o c ( G ) = G 2 ( p f ) ， D 4 ( p f ) ， F 4 ( p f ) ， E 6 ( p f ) ， E 7 ( p f ) 。且 M T = M × T 有至多两个轨道并且G为T-边传递图，特别地，如 T = P S L ( 2 ， p ) ，则 M ， T α ， k 满足[ [ 6 ] ，表3]。 下面给出平方自由阶弧传递3度图的一个引理，参见 [ 7 ] 。 引理2.3. 设G为2n阶弧传递3度图，其中n为平方自由的且至少包含三个素因子，则下述之一成立： 1) A u t ( Γ ) 可解，且 A u t ( Γ ) ≅ D 2 n : Z 3 ； 2) A u t ( Γ ) = P S L ( 2 ， p ) ，其中 p ≥ 19 为一素数。 下面的定理稍微改进了Praeger，参见[ [ 8 ] ，定理4.1]的一个著名结果，见 [ 9 ] 。 命题2.1. 设G为素数度 ( X ， s ) -弧正则图，且假设 N ⊲ X ≤ A u t Γ 在VG上至少有3个轨道，则下述之一成立： 1) N在VG半正则， X / N ≤ A u t ( Γ N ) 为 ( X / N ， s ) -弧正则图，且G为 Γ N 的一个正规N-覆盖； 2) X α ≅ ( X / N ) δ ，其中 α ∈ V Γ ， δ ∈ V Γ M ； 3) 如果X有一正规子群 M ⊂ N ，则 Γ M 为 ( X / M ， s ) -弧正则，且是 Γ N 的一个正规N/M-覆盖。 群 P S L ( 2 ， q ) 的极大子群是知道的，下面我们给出一个引理，参见 [ 10 ] 。 引理2.4. 设 G = P S L ( 2 ， q ) ， q = p n ≥ 5 ，p为素数，则G的极大子群同构于下列群之一： 1) D 2 ( q − 1 ) d ，其中 d = ( 2 ， q − 1 ) ，且 q ≠ 5 ， 7 ， 9 ， 11 ； 2) D 2 ( q + 1 ) d ，其中 ，且 q ≠ 7 ， 9 ； 3) 4) A 4 ，其中 q = p = 5 ，或 q = p = 3 ， 13 ， 27 ， 37 ( mod 40 ) ； 5) S 4 ，其中 q ≡ ± 1 ( mod 8 ) ； 6) A 5 ，其中 q ≡ ± 1 ( mod 10 ) ； 7) P S L ( 2 ， p m ) ， n / m 为奇素数； 8) P S L ( 2 ， p n 2 ) ，n为偶数。 接下来我们给出 P S L ( 2 ， q ) 极大子群 [ 10 ] 的一个推论。 推论2.1. 设 H ≅ Z t : Z t − 1 为 P S L ( 2 ， q ) 的子群，其中 q ≥ 5 ，t都是奇素数。则 t = 3 。 证明：因为q为奇素数， d = ( 2 ， q − 1 ) = 2 ，H包含在 P S L ( 2 ， q ) 的极大子群里，我们逐一验证引理2.4的可能的情况。(1)~(3)由阶数算是不可能的，排除。(7)和(8)中，因为q为奇素数，没有p值使之存在，排除。(4)和(5)中，H为 Z 3 : Z 2 满足。(6)中， A 5 中没有20阶的子群，排除。综上，H只可能为 Z 3 : Z 2 ，我们得到 t = 3 。 通过Magma [ 8 ] ，我们可以检验一个图是否为3度2-弧正则图。我们给出一个2-弧正则图关于 P S L ( 2 ， 19 ) 的例子。 例子2.1. 设 G = P S L ( 2 ， 19 ) 为作用在20个点上的置换群。设： a = (1， 3)(2， 13)(4， 5)(6， 10)(7， 12)(8， 19)(9， 14)(11， 15)(16， 17)(18， 20)； b = (1， 16， 4)(3， 5， 17)(6， 20， 7)(8， 15， 9)(10， 12， 18)(11， 19， 14)； c = (1， 18)(2， 8)(3， 20)(4， 16)(5， 17)(6， 11)(7， 9)(10， 15)(12， 14)(13， 19)； 证明：设 H = 〈 a ， b 〉 ，则 H ≅ S 3 ， 〈 H ， c 〉 = G 且 | H : H ∩ H c | = 3 ，因此 Cos ( G ， H ， H c H ) 是 ( G ， 2 ) -弧正则3度图。而且这个图是在同构意义下的自同构群为 P S L ( 2 ， 19 ) 的2-弧正则3度图。 接下来给出一个2-弧正则图关于 P S L ( 2 ， 29 ) 的例子。 例子2.2. 设 G = P S L ( 2 ， 29 ) 为作用在30个点上的置换群。设 e = (3， 16)(4， 20)(5， 26)(6， 9)(7， 28)(8， 14)(10， 18)(11， 12)(13， 29)(15， 23)(17， 30)(19， 25)(21， 22)(24， 27)； f = (1， 14， 8)(2， 7， 28)(3， 27， 10)(4， 9， 13)(5， 12， 21)(6， 20， 29)(11， 26， 22)(15， 30， 19)(16， 18， 24)(17， 23， 25)； g 1 = (1， 2)(3， 25)(4， 7)(5， 29)(6， 15)(8， 17)(9， 23)(10， 27)(13， 26)(14， 30)(16， 19)(18， 24)(20， 28)(21， 22)； g 2 = (1， 2)(4， 21)(5， 11)(6， 25)(7， 23)(8， 14)(9， 19)(10， 30)(12， 26)(13， 24)(15， 28)(17， 18)(20， 22)(27， 29)。 证明：设 H = 〈 e ， f 〉 用Magma计算可知： H ≅ S 3 ， 〈 H ， g 1 〉 = 〈 H ， g 2 〉 = G . | H : H ∩ H g 1 | = | H : H ∩ H g 2 | = 3 ，因此 Cos ( G ， H ， H g 1 H ) 和 Cos ( G ， H ， H g 2 H ) 是 ( G ， 2 ) -弧正则3度图。更多的，这两个图是同构意义下，以 P S L ( 2 ， 29 ) 作为全自同构群的唯一的两个不同构的2-弧正则3度图。