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user: 4. 仿真实验 为验证Iε-SVM的有效性，我们将Iε-SVM应用于处理一个数值算例和一个应用实例中，并选取ε-SVM与本文提出的Iε-SVM进行比较，通过网格搜索选取各自最优的参数组合。 4.1. 比较准则 假设预测模型在某个测试样本点误差为 e i ： e i = | y i − y ′ i | ， (9) 其中 y i 是第i个样本的真实输出值， y ′ i 是预测模型在该点的预测值。为了综合考察所建立模型的预测效果，通过计算Iε-SVM与ε-SVM在测试样本集 T 2 上预测误差的统计特性来比较它们所建模型的优劣。 1) 最大预测误差( max (e)) max ( e ) = max 1 ≤ i ≤ l 2 ( e i ) ， (10) 其中 l 2 为测试样本集 T 2 的规模。 2) 最小预测误差( min (e)) min ( e ) = min 1 ≤ i ≤ l 2 ( e i ) (11) 3) 平均预测误差( mean (e)) mean ( e ) = 1 l 2 ( ∑ i = 1 l 2 e i ) (12) 4) 预测误差方差( var (e)) var ( e ) = 1 l 2 − 1 ∑ i = 1 l 2 ( e i − mean ( e ) ) 2 (13) 4.2. 数值算例 为了更好的考察ε-SVM与Iε-SVM在噪声环境下的建模能力，我们建立一个只包含一个自变量的回归模型， y = x + ξ ， (14) ξ 是服从 N ( 0 ， 0.05 ) 的随机数，x分别取区间 [ 1 ， 2 ] 中平均分布的36个节点，并通过式14计算相应的y值，产生36组数据 ( x ， y ) 构成样本集T。将样本集T分为训练样本集 T 1 和测试样本集 T 2 两个部分，训练样本集 T 1 取样本集T得前 l 1 个样本，余下样本作为测试样本集 T 2 。 l 1 分别取6、12、24三种不同情况，以便比较两种模型在不同规模训练样本集下的表现。分别将ε-SVM与Iε-SVM作用于训练样本集 T 1 建立模型，ε-SVM与Iε-SVM采用相同的核函数： k ( x i ， x j ) = x i ⋅ x j 通过网格搜索的方式寻找到ε-SVM的最优参数组合 ε = 0.001 ， C = 38 .4 ，Iε-SVM的参数C同样取为38.4，ε的初始取值为0.2，比例缩小系数 λ = 0.8 ，阀值 ς = 10 − 4 。 表1列出了两种模型在不同规模训练样本集下的预测误差比较，当训练样本集规模 l 1 = 24 时，两种模型的预测效果非常接近，Iε-SVM的各项指标稍优于ε-SVM；当 l 1 = 12 时，ε-SVM具有更小的最大和最小误差，但Iε-SVM具有更小的平均误差；当 l 1 = 6 时，Iε-SVM的预测误差的各项统计指标均明显优于ε-SVM。综合来看，两种模型的预测误差都随着训练样本集规模 l 1 的减小而增大，但在三种情况下Iε-SVM所获的平均预测误差均小于ε-SVM的平均预测误差，且它们之间的差距随着 l 1 的减小而增大，由此可见，Iε-SVM更适合于对具有小样本、含噪声特点的数据集进行建模。 Table 1 The forecasting errors of two models in the numerical experimen Max(e) Min(e) Mean(e) Var(e) l 1 = 24 ε-SVM 0.1063 4.68e-04 0.0298 0.0012 Iε-SVM 0.1059 5.69e-05 0.0296 0.0012 l 1 = 12 ε-SVM 0.1024 3.39e-04 0.0388 0.0010 Iε-SVM 0.1123 0.0012 0.0363 0.0012 l 1 = 6 ε-SVM 0.1500 0.0036 0.0627 0.0015 Iε-SVM 0.1408 0.0017 0.0582 0.0013 表1. 数值算例中两种模型的预测误差比较 图2. l 1 = 6 时，Iε-SVM在迭代过程中的平均预测误差下降曲线 图3. l 1 = 6 时，两种模型的预测效果比较图 图2是Iε-SVM在 l 1 = 6 的训练样本集上的平均预测误差下降曲线，在开始阶段，随着ε的减小，mean(e)有一个快速下降的过程，而在迭代的最后阶段，mean(e)处于一个非常平缓的下降过程。所以在迭代过程中，Iε-SVM的预测误差可以近似看成是收敛的。图3是在 l 1 = 6 的训练样本集上，两种模型的预测效果比较图。从图中可以看出，ε-SVM与Iε-SVM所建立的模型非常接近，与直线 y = x 均有一定偏差，但从图的右上角部分仍可明显看出Iε-SVM所建立的模型更接近直线 y = x 。 4.3. 应用实例 以汽车销售量的预测为例，考虑销售量的影响因子集由6个元素组成，分别是居民可支付购买力(Purchases of People) PP、市场竞争程度(Market Competition) MC、季节性因素(Season Component) SC、汽车油价影响因素(Oil Factor) OF、汽车性能参数(Performance Factor) PF和汽车价格波动因素(Price Wave) PW。其中PP，MC，SC，OF，PF和PW为六个语言型数据，利用综合评价法获取其数值型数据。选取48个月度的汽车销售数据加上由综合评价法获取的48 ´ 6个影响因素集的数值型数据组成样本集T进行实例研究。同样将样本集T分为训练样本集 T 1 和测试样本集 T 2 两个部分，前36组数据作为 T 1 ，后12组数据作为 T 2 。分别将ε-SVM与Iε-SVM作用于训练样本集 T 1 建立模型，ε-SVM与Iε-SVM采用相同的核函数： K ( x i ， x j ) = exp ( − ‖ x i − x j ‖ 2 σ 2 ) 通过网格搜索的方式寻找到ε-SVM的最优参数组合 ε = 0.0059 ， C = 2155 ， σ = 6.354 ，Iε-SVM采用与ε-SVM相同的C和σ，ε的初始取值为0.2，比例缩小系数 λ = 0.8 ，阀值 ς = 10 − 4 。 表2列出了ε-SVM与Iε-SVM建立的汽车销量模型的预测误差比较，Iε-SVM明显获得了更好的预测效果，ε-SVM仅在min(e)一项稍优于Iε-SVM，其它各项指标均劣于Iε-SVM。 图4. Iε-SVM在迭代过程中的平均预测误差下降曲线 图5. 两种模型的预测效果比较图 Table 2 The forecasting errors of two models in the practical experimen Max(e) Min(e) Mean(e) Var(e) ε-SVM 0.1330 0.0017 0.0578 0.0022 Iε-SVM 0.1101 0.0018 0.0549 0.0017 表2. 应用实例中两种模型的预测误差比较 图4是Iε-SVM在迭代过程中的平均预测误差下降曲线图，同样在迭代的最后阶段，Mean(e)处于一个非常平缓的下降过程，可以看成在迭代过程中Iε-SVM的预测误差是近似收敛的。图5是两种模型的预测效果比较图。从图中可以看出，ε-SVM与Iε-SVM所建立的模型在12个预测点中互有优劣，在第2、5、8、10号预测点，ε-SVM的预测效果更好，在第1、4、12号预测点，两种模型的预测效果接近，而在剩下的5个点，则是Iε-SVM所获的预测值更接近于真实值。