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user: 2. 理论知识 2.1. 语言术语集 语言术语集是一个由奇数个数语言术语组成的有限集合，即决策者使用类似“非常差、差、中、好、非常好”的语言术语对方案进行评价。 定义1 [ 49 ] [ 50 ] [ 51 ] [ 52 ]：令 S = { s t | t = 0 ， 1 ， ⋯ ， τ } ( τ 为正偶整数)为一个语言术语集，对于任意两个语言术语 s α ， s β ∈ S ， λ 1 ， λ 2 ∈ [ 0 ， 1 ] ，存在以下运算性质： 1) 最大值： max ( s α ， s β ) = s α ，其中 s α ≥ s β 2) 最小值： min ( s α ， s β ) = s α ，其中 s α ≤ s β 3) s α ⊕ s β = s a + β 4) λ s α = s λ a 5) λ ( s α ⊕ s β ) = λ s α ⊕ λ s β 上述语言术语下标均为离散数值，这使得进行一些运算时，最终的计算结果往往与最初的语言术语集不匹配，如出现 s 0.5 ， s 3.3 下标为连续数值或下标超出原术语下标最大值。因此，Xu [ 52 ] 将离散语言术语集拓展到连续语言术语集 S = { s t | t ∈ [ − q ， q ] } ( q > τ 且q为充分大的正整数)，并将其称为虚拟语言术语集，其只出现在运算过程中，保证运算有意义。 定义2 [ 52 ]：令 S = { s t | t = 0 ， 1 ， ⋯ ， τ } ( τ 为正偶整数)为一个语言术语集，对于任意两个语言术语 s α ， s β ∈ S ， s α ， s β 之间的距离表示为： d s ( s α ， s β ) = | α − β | τ + 1 (1) 其中， α ， β 为术语下标， τ + 1 为S包含的术语总数。 2.2. 犹豫模糊语言术语集 由于决策环境的复杂和不确定性，仅使用一个语言术语评价方案是不充分和不准确的，因此，Rodriguez et al. [ 24 ] 提出了犹豫模糊语言术语集(HFLTS)的概念，决策者对某方案使用多个语言术语并构成一个集合，即犹豫模糊语言术语集。 定义3 [ 49 ] [ 50 ] [ 51 ]：令 S = { s t | t = 0 ， 1 ， ⋯ ， τ } 为虚拟语言术语集， X = { x i | i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n } 为备选方案集合，犹豫模糊语言术语集基于S对Χ评价可表示为 H S = { 〈 x i ， h S ( x i ) 〉 | x i ∈ X } ，其中 h S ( x i ) 是对方案 x i 的评价集合，也就是本文的犹豫模糊语言术语集，包含多个S中连续的语言术语，表示为 h i = h S ( x i ) = { s l ( x i ) | s l ( x i ) ∈ S ， l = 1 ， ⋯ L } ，L为 h i 包含的术语个数， h i 中术语按从小到大升序排列。 通常情况下，不同决策者对方案评价使用的语言术语个数是不同的，为了后续便于对决策矩阵进行运算，需要将其标准化，以包含术语个数最多的犹豫模糊语言术语集为标准，使各集合包含术语个数相同，Zhu和Xu [ 53 ] 提出两种解决方法： ( α -标准化)：从较多术语个数的犹豫模糊语言术语集中移除一些术语。 ( β -标准化)：向较少术语个数的犹豫模糊语言术语集中添加一些术语(本文采用 β -标准化)。 定义4 [ 53 ]：假设h为一个犹豫模糊集，将包含最大的 s α ∈ h 定义为 h max ，包含最小的 s α ∈ h 定义为 h min ，可利用 h max ， h min 计算 h ave = 1 2 ( h max ⊕ h min ) 用于 β -标准化，且保持h中术语为升序排列。 假设对于 h i ， h j 两个标准化的犹豫模糊语言术语集， λ ∈ [ 0 ， 1 ] ，其存在以下运算 [ 49 ]： 1) h i ⊕ h j = ∪ s α ∈ h i ， s β ∈ h j { s a ⊕ s β } = ∪ s α ∈ h i ， s β ∈ h j { s a + β } 2) λ h i = ∪ s α ∈ h i { λ s α } = ∪ s α ∈ h i { s λ a } 定义5 [ 52 ]：对于两个标准化的犹豫模糊语言术语集 h i ， h j ，两者之间的欧几里得距离公式定义为： d ( h i ， h j ) = ∑ l = 1 ， s α l ∈ h i ， s β l ∈ h j # L ¯ d s ( s α l ， s β l ) 2 / # L ¯ (2) 其中， # L ¯ 为标准化后的所有犹豫模糊术语集包含的语言术语个数， s α l ， s β l 分别为 h i ， h j 中相同位置的术语， d s ( s α l ， s β l ) 表示 s α l ， s β l 之间的距离(见定义2)，然后求平方和再开根号。 2.3. 模糊测度和Shapley值 在多属性决策环境下，属性之间往往具有相关性，为了更加符合实际情况，可使用模糊测度来度量此相关关系，得出属性的实际价值。 定义6 [ 6 ] [ 54 ]：在有限集合N下的模糊测度为一个运算法则 μ : P ( N ) → [ 0 ， 1 ] ， P ( N ) 为N的真子集，满足以下性质： 1) μ ( ∅ ) = 0 ， μ ( N ) = 1 2) 如果 A ， B ∈ P ( N ) 且 A ∈ B ，则 μ ( A ) ≤ μ ( B ) 定义7 [ 51 ] [ 55 ]：利用模糊测度剔除其他属性对i的相关影响后，i的Shapley值即可理解为i的价值或重要程度： φ i S h ( μ ， N ) = ∑ T ⊆ N \ i ( | N | − 1 − | T | ) ! | T | ! | N | ! × ( μ ( i ∪ T ) − μ ( T ) ) ， ∀ i ∈ N (3) 其中， | N | ， | T | 为集合 N ， T 的元素个数。 2.4. 三支决策 三支决策是由Yao [ 32 ] 提出的基于决策理论粗糙集(DTRS)的新型决策方法，其为决策问题提供了更多元化的解决方案。它将备选方案划分为接受、待考虑、拒绝三种集合，与传统的多属性决策如LINMAP、TOPSIS最终仅提供一个最优方案相比更具有灵活性，在一定程度上避免了放弃原本成效较好的方案，决策得到了优化。 定义8 [ 56 ]：令U为一个有限非空集合， R ⊆ U × U 为等价关系，定义 a p r = ( U ， R ) 为一个粗糙近似空间。U被R划分后的每一部分表示为 [ x ] 。对于 ∀ C ∈ U ，C的上下近似概率定义为： a p r ¯ ( C ) = { x ∈ U | P r ( C | [ x ] ) > β } a p r _ ( C ) = { x ∈ U | P r ( C | [ x ] ) ≥ α } P r ( C | [ x ] ) 为当x发生是C发生的条件概率， α ， β 为通过三支决策下的损失矩阵推导得出的阈值。 U通常可以被阈值 α ， β 划分为三个区域，分别为： P O S ( C ) = { x ∈ U | P r ( C | [ x ] ) ≥ α } B N D ( C ) = { x ∈ U | β < P r ( C | [ x ] ) < α } N E G ( C ) = { x ∈ U | P r ( C | [ x ] ) < β } POS、BND、NEG分别表示接受域、边界域、拒绝域。 定义9 [ 32 ]：为了更好得解释阈值 α ， β 与三个区域之间的关系，Yao [ 32 ] 基于贝叶斯理论提出了决策理论粗糙集。一个粗糙集模型包括三个行动和两个状态，分别表示为 A = { a P ， a B ， a N } ， Ω = { C ， ¬ C } 。 a P ， a B ， a N 三个行动分别表示 x ∈ P O S ( C ) ， x ∈ B N D ( C ) ， x ∈ N E G ( C ) ； C ， ¬ C 分别表示对象处于C和不处于C状态。A和 Ω 构成如表1的损失矩阵。 Table 1 The loss function matri C ( P ) ¬ C ( N ) a P λ P P λ P N a B λ B P λ B N a N λ N P λ N N 表1. 损失矩阵 损失矩阵满足： λ P P ≤ λ B P < λ N P ， λ N N ≤ λ B N < λ P N 。 阈值 α ， β ， γ 与三个区域之间的关系通过损失矩阵推导可表示为： (P1)如果 P r ( C | [ x ] ) ≥ α 且 P r ( C | [ x ] ) ≥ γ ，则 x ∈ P O S ( C ) ； (B1)如果 P r ( C | [ x ] ) ≤ α 且 P r ( C | [ x ] ) ≥ β ，则 x ∈ B N D ( C ) ； (N1)如果 P r ( C | [ x ] ) ≤ β 且 P r ( C | [ x ] ) ≤ γ ，则 x ∈ N E G ( C ) 。 阈值 α ， β ， γ 计算公式为： α = ( λ P N − λ B N ) ( λ P N − λ B N ) + ( λ B P − λ P P ) (4) β = ( λ B N − λ N N ) ( λ B N − λ N N ) + ( λ N P − λ B P ) (5) γ = ( λ P N − λ N N ) ( λ P N − λ N N ) + ( λ N P − λ P P ) (6) 为了满足模型成为三支决策，需满足 0 ≤ β < γ < α ≤ 1 ，所以最终可将(P1) (B1) (N1)式简写为 [ 57 ]： (P2) 如果 P r ( C | [ x ] ) ≥ α ，则 x ∈ P O S ( C ) ； (B2) 如果 β < P r ( C | [ x ] ) < α ，则 x ∈ B N D ( C ) ； (N2) 如果 P r ( C | [ x ] ) ≤ β ，则 x ∈ N E G ( C ) 。