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user: 3. 结果与讨论 在本文中，我们采用波尔半径和里德堡能量作为系统长度和能量单位。对于GaAs材料而言， ， ，因此我们可以计算出 ， 。本文主要讨论杂质的基态束缚能，因此，在计算过程中，我们选择 ， 和 。 表1、表2和表3分别给出了γ = 0.2，0.3和0.4时球形量子点中类氢杂质基态束缚能。结果表明和文献 [ 7 ] [ 8 ] 数值计算结果变化趋势是一致的。由以上三个表可以看出，在γ取值一定时，球形量子点杂质 Table 1 The ground binding energy of the hydrogenic impurity in spherical quantum dots with the parabolic potential γ = 0. R(a B ) E 0 [ 7 ] [ 8 ] exact E 0 有限差分解 E b [ 8 ] exact E b [ 8 ] eqn(3) error E b [ 8 ] eqn(5) error E b 有限差分解 误差 1 9.880910 9.861214 5.152486 5.094034 1.13% 5.121075 0.61% 5.117964 0.67% 2 2.512514 2.507675 2.732638 2.699487 1.21% 2.727622 0.18% 2.725295 0.27% 3 1.197094 1.195099 1.982281 1.957590 1.25% 1.979243 0.15% 1.979673 0.13% 4 0.790637 0.789724 1.670637 1.654711 0.95% 1.668888 0.10% 1.669588 0.06% 5 0.651425 0.651053 1.545602 1.535990 0.62% 1.545238 0.02% 1.545203 0.03% 表1. 当γ = 0.2时球形量子点中类氢杂质基态束缚能 Table 2 The ground binding energy of the hydrogenic impurity in spherical quantum dots with the parabolic potential γ = 0. R(a B ) E 0 [ 7 ] [ 8 ] exact E 0 有限差分解 E b [ 8 ] exact E b [ 8 ] eqn(3) error E b [ 8 ] eqn(5) error E b 有限差分解 误差 1 9.895036 9.875369 5.153915 5.095526 1.13% 5.122564 0.61% 5.119445 0.67% 2 2.568587 2.563858 2.745262 2.712574 1.19% 2.740115 0.19% 2.738099 0.26% 3 1.319118 1.317347 2.026906 2.003933 1.13% 2.024912 0.10% 2.024611 0.11% 4 0.989143 0.988526 1.770142 1.756438 0.77% 1.769566 0.03% 1.769440 0.04% 5 0.911952 0.911813 1.700058 1.690804 0.54% 1.699923 0.00% 1.699905 0.01% 表2. 当γ = 0.3时球形量子点中类氢杂质基态束缚能 Table 3 The ground binding energy of the hydrogenic impurity in spherical quantum dots with the parabolic potential γ = 0. R(a B ) E 0 [ 7 ] [ 8 ] exact E 0 有限差分解 E b [ 8 ] exact E b [ 8 ] eqn(3) error E b [ 8 ] eqn(5) error E b 有限差分解 误差 1 9.914803 9.895176 5.155917 5.097615 1.13% 5.124655 0.61% 5.121520 0.67% 2 2.646494 2.641917 2.762897 2.730848 1.16% 2.758183 0.17% 2.755981 0.25% 3 1.483536 1.482041 2.087713 2.066796 1.00% 2.086372 0.06% 2.085797 0.09% 4 1.236781 1.236430 1.892868 1.880732 0.64% 1.892510 0.02% 1.892472 0.02% 5 1.202147 1.202110 1.861207 1.851498 0.52% 1.860523 0.04% 1.861161 0.00% 表3. 当γ = 0.4时球形量子点中类氢杂质基态束缚能 基态束缚能随着R的增大而减小，有限差分解误差也在越小。在量子点半径R一定时，随着γ的变大，杂质基态束缚能在变大，有限差分解误差是在越小。计算过程当中，我们发现有限差分格点数目越多，计算结果越精确，但是计算时间也更长。这里我们选择M = 1000，从表中可以看出，计算精确均小于1%，计算结果优于文献 [ 7 ] 的结果，略不如文献 [ 8 ] 中的结果。 图1是球形量子点在γ = 0.0、0.5、1.0、2.0和5.0时的基态束缚能随R的变化示意图。从中可以看出，当γ分别是0.0、0.5、1.0、2.0和5.0时，球形量子点的束缚能都随半径的增大而减小，主要原因在于随着R的增加，量子阱对电子的的限制减弱，导致库伦作用势场减弱，因此束缚能随R的增加是减小的。对于小半径量子点，束缚能随R的增加变化明显，当半径增加到一定时，量子点半径的变化对束缚能影响很小，趋于不变的趋势，主要原因在于量子点半径过大，阱的限制可以忽略不计，此时主要受到抛物势场限制的原因。此外，我们可以看出对于小半径的量子点，杂质基态束缚能随γ的影响不大，但是对于大半径的量子点而言，杂质基态束缚能随γ的影响很大，这是抛物势场限制宽度与量子点阱宽两个特征长度相互竞争的结果。当量子点的半径R很小时，抛物势场限制宽度相对过大，对杂质基态的影响较小，但是当量子点半径很大时，尤其是抛物势场宽度可以和量子点阱宽相比拟时，抛物势场的影响不能够忽略，抛物势场能进一步使得电子受限在一个更小的区域，从而使得库伦势场变大，因此我们可以看到在半径较大时，随着γ的增加束缚能是增加的。 图2是球形量子点在R = 0.2、0.5、1.0、5.0时杂质基态束缚能随γ的变化示意图。从图中可以看出，当R取值太小，比如R = 0.2、0.5、1.0时球形量子点杂质基态束缚能随着γ变化并不明显，尤其在R = 0.2、0.5其束缚能几乎不随γ的变化而变化。当R = 5.0时其束缚能随γ的变化较为明显，并且随γ的增大而增大。为了解释图2中束缚能随γ的变化规律，在图3中，我们分别给出了量子点半径R = 0.2，1.0和5.0时，球形量子点中杂质基态径向位置几率分布示意图，其中γ分别选择0.0，5.0和10.0。从图3中很容易看出：当量子点半径很小时(R = 0.2)，此时量子点阱宽限制起决定性作用，球形量子点中杂质基态径向 图1. 球形量子点中杂质基态束缚能与量子点半径的关系示意图 图2. 球形量子点中杂质基态束缚能随抛物势参数变化关系示意图 图3. 不同半径的球形量子点中杂质基态径向位置几率分布示意图 位置几率分布随着γ的变化几乎是不变的(如图3(a)~(c))，即使是取较大的γ值杂质基态束缚能随着γ的变化也是极其不敏感(如图2中R = 0.2)；但是当量子点半径较大时(R = 5.0)，杂质基态束缚能随γ值的增加在变大，但是随着γ值的增加这个变化趋势在减弱(如图2中R = 5.0)。原因是当量子点半径较大，此时量子点阱宽限制较弱，对电子的束缚较小。一方面，当引入抛物势场后，较小的抛物势场就能够对电子施加一个额外的阱宽限制，随着抛物势场的增加，这种额外的阱宽限制越是明显，电子被限制在一个更小的区域，因此束缚能会变大。另一方面，当抛物势场变得很大时，量子点阱宽效应就可以忽略，此时主要受到抛物势场的限制，电子运动被限制，并向着量子点中心靠近，但是这种趋势随着γ值的增加逐渐趋于缓慢(如图3(g)~(i))，因此，随着γ值逐渐增大，杂质基态束缚能变化逐渐趋于缓慢(如图2所示)。