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user: 4. 模拟研究 本节通过数值模拟来研究所提方法的有限样本性质。考虑如下的部分线性变系数含误差模型 ( y i = x i β + z 1 i α 1 ( T i ) + z 2 i α 2 ( T i ) + ε i ， w 1 i = z 1 i + u 1 i ， w 2 i = z 2 i + u 2 i ，         i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， 其中 x i ∼ N ( 0，1 ) ， z 1 i ∼ N ( 0，1 ) ， z 2 i ∼ N ( 0，1 ) ， T i ∼ U ( 0，1 ) ， β = 2 ， α 1 ( t ) = 2 sin ( 2 π t ) ， α 2 ( t ) = − 1.5 cos ( 1.5 π t ) ， [ u 1   u 2 ] τ ∼ N 2 ( 0， Σ u ) ， Σ u 分别取 0.25 I 2 和 0.5 I 2 两种情况。为了研究模型误差对结果的影响，我们设定误差 ε i 有以下形式： ε i ∼ N ( 0，0.5 ) 。模拟中我们选取Epanechnikov核函数，即 K ( x ) = 0.75 ( 1 − x 2 ) I | x | ≤ 1 。并采用“去一个体”交叉验证的方法来选择带宽 h C V ，使其满足下列式子达到最小 CV ( h ) = 1 n ∑ i = 1 n   δ i { Y i − X i τ β ^ ( − i ) − W i τ α ^ h ， ( − i ) ( T i ) } 2 − 1 n ∑ i = 1 n   δ i α ^ h ， ( − i ) τ ( T i ) Σ u α ^ h ， ( − i ) ( T i ) ， 其中 α ^ h ， ( − i ) ( T i ) 和 β ^ ( − i ) 分别为去掉第i个观测值后的 α ( u ) 和 β 的估计。分别考虑如下两种形式的缺失机制： Case I P r ( δ = 1 | X = x ， Z = z ， T = t ) = 0.8 ，对所有的 x ， z ， t ； Case II P r ( δ = 1 | X = x ， Z = z ， T = t ) = 0.8 + 0.2 ( | x | + | t − 0.5 | ) ，当 | x | + | t − 0.5 | ≤ 1 时，否则取0.88。 下面我们分别给出不带缺失数据和非参数分量含测量误差不纠偏的 β 的估计公式，以便于与本文得出的结果作对比。 1) 不含缺失数据： β ¯ = { X ˜ τ X ˜ − X τ Q τ I ⊗ Σ u Q X } − 1 { X ˜ τ Y ˜ − X τ Q τ I ⊗ Σ u Q Y } ， α ¯ ( t ) = ( I q 0 q ) { ( D t W ) τ ω t D t W − Ω } − 1 ( D t W ) τ ω t ( Y − X β ¯ ) ， 上述两个公式可以在Feng和Xue [ 10 ] 这篇文章中找到。 2) 非参数分量含测量误差不纠偏： β ˜ = [ ∑ i = 1 n     δ i X ˜ i X ˜ i τ ] − 1 [ ∑ i = 1 n     δ i X ˜ i Y ˜ i ] ， α ˜ ( t ) = ( I q 0 q ) { ( D t W ) τ ω t δ D t W } − 1 ( D t W ) τ ω t δ ( Y − X β ˜ ) ， 上述两个公式可以在 [ 13 ] 中找到相似的结果。 在上述两种缺失情形下，数据Y的平均缺失概率为别为0.2和0.1。在模拟过程中，对于每种情况，样本容量分别取 n = 100 ， 150 ， 200 ，并进行1000次模拟，得到了 β ^ ， β ¯ 和 β ˜ 的均值、标准差和均方误差，结果如表1、表2、表3所示。在样本量 及响应变量Y的平均缺失概率为0.2和 Σ u = 0.5 I 2 的情形下，我们在图1中给出了模型中非参数函数的估计曲线。此外，在给定两种不同的缺失水平下，分别用经验似然方法(EL)和正态逼近方法(NA)给出参数 β 的置信水平为95%的置信区间，并计算出置信区间的平均长度及覆盖概率，结果如表4所示。 Table 1 Mean， SD and MSE of β ^ under different condition Case Σ u n Mean SD MSE I 0.25 I 2 100 2.0224 0.1554 0.0210 150 2.0187 0.1115 0.0117 200 2.0013 0.0951 0.0099 0.5 I 2 100 1.9986 0.1962 0.0361 150 2.0129 0.1624 0.0268 200 2.0107 0.1346 0.0168 II 0.25 I 2 100 2.0032 0.1503 0.0192 150 2.0041 0.1086 0.0114 200 2.0008 0.0895 0.0086 0.5 I 2 100 1.9956 0.1853 0.0323 150 2.0082 0.1601 0.0259 200 2.0023 0.1261 0.0154 表1. 不同情况下 β ^ 的均值(Mean)、标准差(SD)和均方误差(MSE) Table 2 Mean， SD and MSE of β ¯ under different condition Case Σ u n Mean SD MSE Null 0.25 I 2 100 2.0178 0.3975 0.1581 150 1.9982 0.1687 0.0284 200 2.0027 0.0996 0.0099 0.5 I 2 100 1.9864 0.7580 0.5761 150 1.9906 0.4992 0.2490 200 2.0028 0.3664 0.1341 表2. 不同情况下 β ¯ 的均值(Mean)、标准差(SD)和均方误差(MSE) Table 3 Mean， SD and MSE of β ˜ under different condition Case Σ u n Mean SD MSE I 0.25 I 2 100 2.0191 0.1343 0.0183 150 2.0165 0.1038 0.0108 200 2.0008 0.0863 0.0085 0.5 I 2 100 1.9993 0.1864 0.0342 150 2.0119 0.1576 0.0251 200 2.0087 0.1219 0.0149 II 0.25 I 2 100 2.0045 0.1332 0.0179 150 1.9991 0.1043 0.0106 200 2.0031 0.0852 0.0081 0.5 I 2 100 1.9985 0.1771 0.0315 150 2.0061 0.1521 0.0224 200 2.0013 0.1131 0.0134 表3. 不同情况下 β ˜ 的均值(Mean)、标准差(SD)和均方误差(MSE) Table 4 Average length and coverage probability of β confidence interval for 95% confidence level under different condition Case Σ u n 平均长度 覆盖概率 NA EL NA EL I 0.25 I 2 100 0.2916 0.2713 0.881 0.903 150 0.2725 0.2593 0.904 0.919 200 0.2396 0.2119 0.912 0.921 0.5 I 2 100 0.3325 0.3109 0.883 0.892 150 0.3191 0.2867 0.890 0.910 200 0.2758 0.2610 0.907 0.918 II 0.25 I 2 100 0.2805 0.2693 0.891 0.911 150 0.2716 0.2609 0.912 0.927 200 0.2309 0.2231 0.919 0.932 0.5 I 2 100 0.3341 0.3096 0.890 0.907 150 0.3082 0.2719 0.913 0.919 200 0.2718 0.2576 0.917 0.921 表4. 不同情形下置信水平为95%的 β 的置信区间的平均长度和覆盖概率 从表1中我们可以得到三个结论： 1) 在缺失概率和测量误差协方差给定的情况下，随着样本的增加，参数估计量的标准差和均方误差都逐渐减小； 2) 在缺失概率和样本量给定的情况下，测量误差协方差越小，参数估计量的标准差和均方误差越小； 3) 在测量误差协方差和样本量给定的情况下，缺失概率越小，参数估计量的标准差和均方误差越小。 通过对表1与表2对比可以得知： 本文所用的处理缺失数据的方法与无缺失数据的结果相差不大，很好地说明了本文所论述方法的优良性。 通过对表1与表3对比可以得知： 1) 在对含测量误差不做任何处理时，得到的结果偏差较大，不能使人满意。 2) 本文所提的方法对含有测量误差数据的处理有很好的效果。 从表4中我们可以得到如下四个结论： 1) EL (经验似然法)比NA (正态近似法)有更短的置信区间和更高的覆盖率； 2) 对给定的缺失概率，随着样本量的增加，经验似然和正态近似的置信区间均会缩短； 3) 对给定的样本量，随着缺失概率的增加，经验似然和正态近似的置信区间均会增长； 4) 对给定的样本量和缺失概率，误差方差越大，不论是经验似然还是正态近似的置信区间均会增长，且覆盖率会下降。 从图1可以看出我们所提出的非参数函数的估计量(虚线)与无缺失数据(点虚线)情形下是几乎重合的，非常接近于真实(实线)曲线，而不纠偏时估计(点线)的效果显然是较差的，这表明我们所提出的非参数部分的估计量是有效的。 图1. 系数函数(左图为 ，右图为 α 2 ( t ) )的真实曲线和各类估计曲线