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user: 3. ( X 1 ， X 2 ) -整体吸引子A 引理3.1：在假设(H 1 )~(H 3 )条件下，所有的 t > 0 ，我们有下列不等式 min { β t ， 1 } ‖ Δ u t ( t ) ‖ 2 + ∫ 0 t min { β τ ， 1 } ‖ u t t ( τ ) ‖ 2 d τ ≤ Q ( ‖ ξ u ( 0 ) ‖ X 1 2 + ‖ f ‖ ) ， 其中 Q ( ⋅ ) 在 [ 0 ， ∞ ) 中为非减函数。 证明：定义 Λ 1 = α ‖ ∇ u t ‖ 2 + β ‖ Δ u t ‖ 2 + 2 ϕ ( ‖ ∇ u ‖ 2 ) ( Δ u ， Δ u t ) − 2 ( f ， Δ u t ) . 则根据评论2.1及定理2.1易得： β 2 ‖ Δ u t ‖ 2 − Q ( ‖ ξ u ( 0 ) ‖ X 1 2 + ‖ f ‖ ) ≤ Λ 1 ≤ β Q ( ‖ ξ u ( 0 ) ‖ X 1 2 + ‖ f ‖ ) ‖ Δ u t ‖ 2 ， (3.1) (1.1)与 − Δ u t t 作H内积得到 d d t Λ 1 + 2 ‖ ∇ u t t ‖ 2 = 2 ( ( 1 + | u | 2 ) p − 1 u ， Δ u t t ) + 4 ϕ ′ ( ‖ ∇ u ‖ 2 ) ( ∇ u ， ∇ u t ) ( Δ u ， Δ u t ) . (3.2) 由 ( ( 1 + | u | 2 ) p − 1 u ， Δ u t t ) = − ( 2 ( p − 1 ) ( 1 + | u | 2 ) p − 2 u 2 ∇ u + ( 1 + | u | 2 ) p − 1 ∇ u ， ∇ u t t ) ≤ C ( 1 + ‖ u ‖ 6 p − 6 2 p − 2 ) ‖ ∇ u ‖ 6 ‖ ∇ u t t ‖ ≤ C ( 1 + ‖ Δ u ‖ 4 p − 4 ) ‖ Δ u ‖ 2 + ‖ ∇ u t t ‖ 2 ， (3.3) 及 ϕ ′ ( ‖ ∇ u ‖ 2 ) ( ∇ u ， ∇ u t ) ( Δ u ， Δ u t ) ≤ C ‖ Δ u ‖ 2 ‖ Δ u t ‖ 2 . (3.4) 利用定理2.1，我们得到 d d t Λ 1 + ‖ ∇ u t t ‖ 2 ≤ Q ( ‖ ξ u ( 0 ) ‖ X 1 2 + ‖ f ‖ ) ‖ Δ u t ‖ 2 . (3.5) 首先对 t ∈ ( 0 ， 1 ] ，(3.5)乘以 ，并对 d τ 求 [ 0 ， t ] 积分，得到 t Λ 1 ( t ) + ∫ 0 t τ ‖ ∇ u t t ‖ 2 d τ ≤ Q ( ‖ ξ u ( 0 ) ‖ X 1 2 + ‖ f ‖ ) ∫ 0 t ‖ Δ u t ‖ 2 d τ + ∫ 0 t Λ 1 ( τ ) d τ . 结合定理2.1及(3.1)，我们最终得到不等式 t β 2 ‖ Δ u t ( t ) ‖ 2 + ∫ 0 t τ ‖ ∇ u t t ( τ ) ‖ 2 d τ ≤ Q ( ‖ ξ u ( 0 ) ‖ X 1 2 + ‖ f ‖ ) . (3.6) 当 t > 1 时，(3.5)对 d τ 求 ( 1 ， t ) 积分，得到 Λ 1 ( t ) + ∫ 1 t ‖ ∇ u t t ‖ 2 d τ ≤ Q ( ‖ ξ u ( 0 ) ‖ X 1 2 + ‖ f ‖ ) + Λ 1 ( 1 ) . (3.7) 结合(3.1)、(3.6)及(3.7)，我们最终得到不等式 β 2 ‖ Δ u t ( t ) ‖ 2 + ∫ 0 t τ ‖ ∇ u t t ( τ ) ‖ 2 d τ ≤ Q ( ‖ ξ u ( 0 ) ‖ X 1 2 + ‖ f ‖ ) . (3.8) 结合(3.6)及(3.8)，结论得证。 引理3.2：在假设(H 1 )~(H 3 )条件下，所有的 t > 0 ，我们有下列不等式 min { t 2 ， 1 } ‖ ∇ u t t ( t ) ‖ 2 ≤ Q ( ‖ ξ u ( 0 ) ‖ X 1 2 + ‖ f ‖ ) ， 其中 Q ( ⋅ ) 在 [ 0 ， ∞ ) 中为非减函数。 证明：设 q = u t ，则方程(1.1)化为 q t t + α q t − β Δ q t − 2 ϕ ′ ( ‖ ∇ u ( t ) ‖ 2 ) ( ∇ u t ， ∇ u ) Δ u − ϕ ( ‖ ∇ u ( t ) ‖ 2 ) Δ q + [ 2 ( p − 1 ) ( 1 + | u | 2 ) p − 2 u 2 + ( 1 + | u | 2 ) p − 1 ] q = 0 . (3.9) 定义 Λ 2 = ‖ ∇ q t ‖ 2 + ‖ Δ q ‖ 2 . (3.9)与 − Δ q t 作H内积得到 1 2 d d t ‖ ∇ q t ‖ 2 + ϕ ( ‖ ∇ u ‖ 2 ) d d t ‖ ∇ q t ‖ 2 + α ‖ ∇ q t ‖ 2 + β ‖ Δ q t ‖ 2 = − 2 ϕ ′ ( ‖ ∇ u ‖ 2 ) ( Δ u ， Δ q t ) + ( ( 2 ( p − 1 ) ( 1 + | u | 2 ) p − 2 u 2 + ( 1 + | u | 2 ) p − 1 ) q ， Δ q t ) . 由 ( 2 ( p − 1 ) ( 1 + | u | 2 ) p − 2 u 2 q + ( 1 + | u | 2 ) p − 1 q ， Δ q t ) ≤ C ( 1 + ‖ u ‖ 6 p − 6 2 p − 2 ) ‖ q ‖ 6 ‖ Δ q t ‖ ≤ C ( 1 + ‖ Δ u ‖ 4 p − 4 ) ‖ ∇ q ‖ 2 + ‖ Δ q t ‖ 2 (3.10) 及 − ϕ ′ ( ‖ ∇ u ‖ 2 ) ( Δ u ， Δ q t ) ≤ C ‖ Δ u ‖ ‖ Δ q t ‖ 2 . (3.11) 利用定理2.1，我们得到 d d t Λ 2 + δ ‖ Δ q t ‖ 2 ≤ Q ( ‖ ξ u ( 0 ) ‖ X 1 2 + ‖ f ‖ ) ‖ Δ q t ‖ 2 . (3.12) 首先对 t ∈ ( 0 ， 1 ] ，(3.12)乘以 τ 2 ，并对 d τ 求 [ 0 ， t ] 积分，由定理2.1得到 t 2 Λ 2 ( t ) ≤ Q ( ‖ ξ u ( 0 ) ‖ X 1 2 + ‖ f ‖ ) . 即有 t 2 ‖ ∇ q t ( t ) ‖ 2 ≤ Q ( ‖ ξ u ( 0 ) ‖ X 1 2 + ‖ f ‖ ) . (3.13) 当 t > 1 时，(3.12)对 d τ 求 积分，得到 ‖ ∇ q t ( t ) ‖ 2 ≤ Λ 2 ( t ) ≤ Q ( H ( 0 ) + ‖ f ‖ ) + Λ ( 1 ) ≤ Q ( ‖ ξ u ( 0 ) ‖ X 1 2 + ‖ f ‖ ) . (3.14) 结合(3.13)及(3.14)，结论得证。 在引理3.1和引理3.2下可以得到， A X 1 在 V 2 × V 2 有界。 下面，我们将证明 A X 1 为 ( X 1 ， X 2 ) -整体吸引子。为得到结果，由引理3.1和引理3.2 (引理说明有界 ( X 1 ， X 2 ) -吸收集存在 B 1 )，我们仅需证明渐近紧性。 引理3.3：(在V-范数下的连续性) 令 z 0 n = ( u 0 n ， v 0 n ) ∈ B 1 ， n = 1 ， 2 ， ⋯ 在X 1 -范数下的收敛序列，则对任意的 ， S ( t ) z 0 n 在X 2 -范数下为收敛序列。 证明：令 ( u i ( t ) ， u t i ( t ) ) ( i = 1 ， 2 ) 为初值 ( u 0 i ， v 0 i ) ∈ B 1 得到的相关解，令 z ( t ) = u 1 ( t ) − u 2 ( t ) ，则z满足 z t t + α z t − β Δ z t − ( ϕ ( ‖ ∇ u 1 ( t ) ‖ 2 ) Δ u 1 − ϕ ( ‖ ∇ u 2 ( t ) ‖ 2 ) Δ u 2 ) + ( 1 + | u 1 | 2 ) p − 1 u 1 2 − ( 1 + | u 2 | 2 ) p − 1 u 2 2 = 0 . (3.15) 初值条件为 ( z ( 0 ) ， z t ( 0 ) ) = ( u 0 1 ， v 0 1 ) − ( u 0 2 ， v 0 2 ) . 边界条件为 z | ∂ Ω = 0 . (3.15)与 − Δ z t 作H内积得到 α ‖ ∇ z t ‖ 2 + β ‖ Δ z t ‖ 2 = − ( z t t − ( ϕ ( ‖ ∇ u 1 ‖ 2 ) Δ u 1 − ϕ ( ‖ ∇ u 2 ‖ 2 ) Δ u 2 ) + ( 1 + | u 1 | 2 ) p − 1 u 1 2 − ( 1 + | u 2 | 2 ) p − 1 u 2 2 ， − Δ z t ) ， 其中 | ( z t t ， Δ z t ) | ≤ ‖ ∇ z t t ‖ ‖ ∇ z t ‖ ， | ( ( 1 + | u 1 | 2 ) p − 1 u 1 2 − ( 1 + | u 2 | 2 ) p − 1 u 2 2 ， Δ z t ) | ≤ C ( 1 + ‖ u 1 ‖ 6 p − 6 2 p − 2 + ‖ u 2 ‖ 6 p − 6 2 p − 2 ) ‖ z ‖ 6 ‖ Δ q t ‖ ≤ C ( 1 + ‖ Δ u 1 ‖ 4 p − 4 + ‖ Δ u 2 ‖ 4 p − 4 ) ‖ ∇ z ‖ 2 + ‖ Δ z t ‖ 2 及 | ( ϕ ( ‖ ∇ u 1 ‖ 2 ) Δ u 1 − ϕ ( ‖ ∇ u 2 ‖ 2 ) Δ u 2 ， Δ z t ) | ≤ C ‖ Δ z ‖ 2 + β 2 ‖ Δ z t ‖ 2 . 由此，我们得到 ‖ Δ z t ‖ 2 ≤ C ( ‖ ∇ z t ‖ + ‖ Δ z ‖ 2 ) . 结合 S ( t ) 在X 1 -范数下的连续性及 ( u 0 i ， v 0 i ) 的任意性，得到 S ( t ) 在X 2 -范数下，在 B 1 中连续。 引理3.4：在假设(H 1 )~(H 3 )条件下， S ( t ) 为 ( X 1 ， X 2 ) -渐近紧。 证明：由引理3.1和引理3.2及定理2.1及引理3.3，我们即可得到 S ( t ) 在有界 ( X 1 ， X 2 ) -吸收集从X 1 到X 2 是Lipschitz的，即说明其 ( X 1 ， X 2 ) -渐近紧。 结合以上结论，我们得到下面定理： 定理3.2：((X 1 ， X 2 )-整体吸引子的存在性) 在假设(H 1 )~(H 3 )条件下， S ( t ) 为方程(1.1)的解在能量空间X 1 下的连续半群，则 S ( t ) 有 ( X 1 ， X 2 ) -整体吸引子A，其中，A在X 2 中是紧的、不变的，同时，在X 2 范数下吸引X 1 中的每个有界子集。