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user: 2. 预备知识 阿基米德铺砌(3.6.3.6) (下记为 F )由正六边形与正三角形铺砌元构成，为讨论方便，设其铺砌边的长为1。设D为铺砌 F 的顶点集，C为由铺砌 F 的所有正六边形铺砌元的中心构成的集合，并称D中的点为D-点，C中的点为C-点。D不具有一般格结构，但其可划分为3个一般格的不交并。不失一般性，以任一铺砌顶点为原点O，以过O及与O关联的正六边形的中心的直线为x-轴，建立如图2所示的坐标系。 设 D 0 为由向量 u = ( 2 ， 0 ) 与向量 v = ( 1 ， 3 ) 生成的一般格，则有 D 0 = { p u + q v : p ， q ∈ ℤ } = { ( 4 p + 2 q 2 ， 2 q 3 2 ) : p ， q ∈ ℤ } . 由 D 0 分别沿向量 ( 1 2 ， 3 2 ) 和 ( 3 2 ， 3 2 ) 平移得到 图1. 阿基米德铺砌 图2. 坐标系 D 1 = { ( 1 2 ， 3 2 ) + p u + q v : p ， q ∈ ℤ } = { ( 4 p + 2 q + 1 2 ， ( 2 q + 1 ) 3 2 ) : p ， q ∈ ℤ } ， D 2 = { ( 3 2 ， 3 2 ) + p u + q v : p ， q ∈ ℤ } = { ( 4 p + 2 q + 3 2 ， ( 2 q + 1 ) 3 2 ) : p ， q ∈ ℤ } . 显然有 D = D 0 ∪ D 1 ∪ D 2 。由 D 0 平移向量 ( 1 ， 0 ) 可得到C，故有 C = { ( 1 ， 0 ) + p u + q v : p ， q ∈ ℤ } = { ( 4 p + 2 q + 2 2 ， 2 q 3 2 ) : p ， q ∈ ℤ } . 进而根据顶点坐标的特征化简整理可得 D 0 = { ( m 2 ， n 3 2 ) : m ， n ∈ ℤ ， m + n ≡ 0 ( mod 4 ) ， n ≡ 0 ( mod 2 ) } ， D 1 = { ( m 2 ， n 3 2 ) : m ， n ∈ ℤ ， m + n ≡ 2 ( mod 4 ) ， n ≡ 1 ( mod 2 ) } ， D 2 = { ( m 2 ， n 3 2 ) : m ， n ∈ ℤ ， m + n ≡ 0 ( mod 4 ) ， n ≡ 1 ( mod 2 ) } ， C = { ( m 2 ， n 3 2 ) : m ， n ∈ ℤ ， m + n ≡ 2 ( mod 4 ) ， n ≡ 0 ( mod 2 ) } . 铺砌元的边长为1的铺砌(3 6 )的顶点集即为特殊的一般格，亦称为三角格T，称T中的点为T-点。而三角格T可由向量(1，0)与向量 ( 1 2 ， 3 2 ) 生成，即 T = { p ( 1 ， 0 ) + q ( 1 2 ， 3 2 ) : p ， q ∈ ℤ } = { ( 2 p + q 2 ， q 3 2 ) : p ， q ∈ ℤ } ， 进一步化简可得 T = { ( m 2 ， n 3 2 ) : m ， n ∈ ℤ ， m + n ≡ 0 ( mod 2 ) } . 因此 T = D ∪ C 。我们称集合 D i ( i = 0 ， 1 ， 2 ) 中的点为 D i -点，用符号 N l ( D i ) ( i = 0 ， 1 ， 2 ) 与 N l ( C ) 分别表示任意给定直线 l 上的 D i -点数与C-点数。 引理2.1：若点 P ∈ D 0 ，则 γ P ∈ D 0 ，其中 γ ∈ ℤ 。 证明：已知点 P ∈ D 0 ，不妨设 P = ( m 2 ， n 3 2 ) ，其中 m ， n ∈ ℤ ， m + n ≡ 0 ( mod 4 ) ， n ≡ 0 ( mod 2 ) ，则 γ P = ( γ m 2 ， γ n 3 2 ) ，显然有 γ m ， γ n ∈ ℤ ， γ n ≡ 0 ( mod2 ) 且 γ m + γ n ≡ 0 ( mod 4 ) ，因此 γ P ∈ D 0 。 引理2.2：设α为奇数，β为偶数，则有 (a) 若点 P ∈ D 1 ，则 α P ∈ D 1 ， β P ∈ D 0 。 (b) 若点 P ∈ D 2 ，则 α P ∈ D 2 ， β P ∈ D 0 。 (c) 若点 P ∈ C ，则 α P ∈ C ， β P ∈ D 0 。 证明：设点 P ∈ D 1 ，则可设 P = ( m 2 ， n 3 2 ) ，其中 m ， n ∈ ℤ ， m + n ≡ 2 ( mod 4 ) ， n ≡ 1 ( mod 2 ) 。不妨设 m + n = 4 s + 2 ， s ∈ ℤ 。 因为α为奇数，故可设 α = 2 t + 1 ， t ∈ ℤ ，则 α P = ( α m 2 ， α n 3 2 ) = ( ( 2 t + 1 ) m 2 ， ( 2 t + 1 ) n 3 2 ) ，从而由 ( 2 t + 1 ) m + ( 2 t + 1 ) n = 4 ( 2 t s + t + s ) + 2 可得 ( 2 t + 1 ) m + ( 2 t + 1 ) n ≡ 2 ( mod 4 ) ，且易得 ( 2 t + 1 ) n ≡ 1 ( mod 2 ) ，因此 α P ∈ D 1 。 因为β为偶数，故可设 β = 2 t ， t ∈ ℤ ，则 β P = ( β m 2 ， β n 3 2 ) = ( 2 t m 2 ， 2 t n 3 2 ) ，从而由 2 t m + 2 t n = 4 ( 2 t s + t ) 可得 2 t m + 2 t n ≡ 0 ( mod 4 ) ，且易得 2 t n ≡ 0 ( mod 2 ) ，因此 β P ∈ D 0 。 对于 P ∈ D 2 或 P ∈ C ，同理可证结论成立。 引理2.3：若点 P ∈ D i ( i = 0 ， 1 ， 2 ) ，则点 − P ∈ D i ；若点 P ∈ C ，则点 − P ∈ C 。 证明：对点 − P 综合应用引理2.1与引理2.2立即得证。 引理2.4：设点 Q = ( m 2 ， n 3 2 ) ∈ T ，则有 (a) 若 Q ∈ D 0 ，则 D i -点 → Q D i -点 ( i = 0 ， 1 ， 2 ) ，C-点 → Q C-点。 (b) 若 Q ∈ D 1 ，则 D 0 -点 → Q D 1 -点， D 1 -点 → Q D 0 -点， D 2 -点 → Q C-点，C-点 → Q D 2 -点。 (c) 若 Q ∈ D 2 ，则 D 0 -点 → Q D 2 -点， D 2 -点 → Q D 0 -点， D 1 -点 → Q C-点，C-点 → Q D 1 -点。 (d) 若 Q ∈ C ，则 D 0 -点 → Q C-点，C-点 → Q D 0 -点， D 1 -点 → Q D 2 -点， D 2 -点 → Q D 1 -点。 (e) 若点 P ∉ T ，则点 P + Q ∉ T 。 其中， P → Q P ′ 表示P沿向量OQ平移后变为 P ′ ，即 P ′ = P + Q 。 证明：任取三角格T中的点 P i ∈ D i ( i = 0 ， 1 ， 2 ) ， P 3 ∈ C ，不妨设其相应坐标为 ( m i 2 ， n i 3 2 ) ( i = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ) ，其中 m i ， n i ∈ ℤ 且满足 m 0 + n 0 ≡ 0 ( mod 4 ) ， n 0 ≡ 0 ( mod 2 ) ； m 1 + n 1 ≡ 2 ( mod 4 ) ， n 1 ≡ 1 ( mod 2 ) ； m 2 + n 2 ≡ 0 ( mod 4 ) ， n 1 ≡ 1 ( mod 2 ) ； m 3 + n 3 ≡ 2 ( mod 4 ) ， n 3 ≡ 0 ( mod 2 ) 。令点 P ′ i = P i + Q = ( m i + m 2 ， ( n i + n ) 3 2 ) ( i = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ) 。 (a) 若 Q ∈ D 0 ，则 m + n ≡ 0 ( mod 4 ) ， n ≡ 0 ( mod 2 ) 。于是 n i + n ≡ n i ( mod 2 ) ， m i + m + n i + n ≡ m i + n i ( mod 4 ) ，故点 P i ′ 与点 P i 属于同一类型。因此，平移OQ后， D i -点变为 D i -点，C-点变为C-点。 (b) 若 Q ∈ D 1 ，则 m + n ≡ 2 ( mod 4 ) ， n ≡ 1 ( mod 2 ) 。由于 n 0 + n ≡ 1 ( mod 2 ) ， m 0 + m + n 0 + n ≡ 2 ( mod 4 ) ，则点 P ′ 0 ∈ D 1 ；由于 n 1 + n ≡ 0 ( mod 2 ) ， m 1 + m + n 1 + n ≡ 0 ( mod 4 ) ，则点 P ′ 1 ∈ D 0 ；由于 n 2 + n ≡ 0 ( mod 2 ) ， m 2 + m + n 2 + n ≡ 2 ( mod 4 ) ，则点 P ′ 2 ∈ C ；由于 n 3 + n ≡ 1 ( mod 2 ) ， m 3 + m + n 3 + n ≡ 0 ( mod 4 ) ，则点 P 3 ′ ∈ D 2 。故平移OQ后， D 0 -点变为 D 1 -点， D 1 -点变为 D 0 -点， D 2 -点变为C-点，C-点变为 D 2 -点。 情形(c)，(d)类似于(b)可证。 (e) 记点 P ′ = P + Q ，则点 P = P ′ + ( − Q ) 。根据引理2.3，由点 Q ∈ T 可得点 − Q ∈ T ，于是综合(a)~(d)可得，若点 P ′ ∈ T ，则 P ′ + ( − Q ) ∈ T ，即点 P ∈ T ，与条件点 P ∉ T 矛盾，故 P + Q ∉ T 。