DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 2. 我国国土空间规划体系的现状 长期以来，我国空间性规划中存在着“纵向”的部门垂直管理和“横向”多规并行、复杂交错问题。在众多的空间性规划中，主体功能区规划、土地利用规划、城乡规划和环境功能区划等主导性空间规划间存在众多差异。 2.1. 类型多样、自成体系 我国各类规划多达200种，经法律授权编制的规划约80多种。众多规划的名目繁多、类型庞杂，且各类规划分属不同的管理部口(如图1所示)，拥有不同的规划编制、审批、实施操作管理体系，彼此之间缺乏协调机制，在规划实施阶段难衔接，城乡建设工作造成了很大的困扰，是我国空间规划体系的典型问题特征 [ 1 ] 。 总体而言，规划类型分为发展类规划和空间规划，空间规划又分为资源保护类和建设开发类两种。现有各类空间性规划多从各自部门管控特点出发，从本系统角度编制侧重于部门管理的专项性空间规划，对地方而言缺乏综合性空间规划，从而使规划内容和范围不断扩张，规划矛盾和问题不断增加。 图1. 我国现有空间性规划体系图 2.2. 标准不一、内容庞杂 空间性规划各有一套相对成熟的标准、自成体系(如图2所示)。基础数据来源、规划编制时期和规划期限不同，编制实施进度迥异，规划目标难以对接。坐标系统和操作平台不同，导致用地在空间上难以对接。“多规”标准体系的不同，反映到规划成果上就是：发展目标、空间坐标、用地指标的矛盾和难以衔接 [ 2 ] 。不同的技术标准落实到各类空间规划中，导致了同一空间主体的多种矛盾。 图2. 现有规划标准体系的差异 主体功能区规划更关注不同主体功能区的定位、开发方向、管制要求、区域政策等，体现空间政策约束性；土地利用规划更关注耕地保护与建设用地控制目标，强化永久基本农田保护红线和建设用地增长边界控制，体现土地资源约束性；城乡规划更关注城乡建设的发展方向和空间布局，体现空间引导与约束性；各类空间规划之间内容不一致，整体体系不健全。 2.3. 内容重叠、空间冲突 各类空间规划基本遵循了“指标控制 + 分区管制”的思路，从编制角度对空间的管控有共同性，从分区本质和管控措施上也具有一定相似性。 但是，各类规划空间分区基于部门单一管控需求划定各自分区形式，分区边界相互交织，而，导致不同部门管控冲突，给被管制对象带来混乱。如基本农田在土规中属于限制建设区，但在城规中属于禁止建设区。土规与城规的禁止建设区涵盖范围也不一致(如表1所示)。 Table 1 List of various types of spatial planning division 规划类型 土规 城规 主体功能区划 环境功能区规划 空间分区 允许建设区 已建区 优化开发区 人居环境保障区 环境优化准入区 环境重点准入区 有条件建设区 适宜建设区 重点开发区 限制建设区 限制建设区 限制开发区 农产品环境保障区 禁止建设区 禁止建设区 禁止开发区 自然生态红线区 生态功能保障区 表1. 各类空间性规划分区一览表
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user: 3. 国土空间规划体系构建的关键问题 在现行规划体系中发展规划与空间规划割裂，缺乏能有效全面统筹国土空间全局的顶层设计，规划冲突现象难以从根本上得到解决，国家、省、市县层面各类空间性规划处于群龙无首的局面。空间规划体系的改革创新，需要明确规划体系中各层次、各部门规划的技术内容和管理事权 [ 3 ] 。 3.1. 明确发展规划与空间规划两大体系 如何界定发展规划与空间规划之间的关系，对于规划体系的梳理、空间规划体系的构建尤为重要。我国前期开展的“多规合一”试点工作，是一个探索和认识发展规划与空间规划关系的过程。最早发布的《关于开展市县“多规合一”试点工作的通知》，要求推动经济社会发展规划、城乡规划、土地利用规划和生态环境保护规划等规划的“多规合一”，其中“合一”对象既包括发展类规划，又包括空间类规划。但随着试点实践和理论探索深入，各方面都倾向于先推进空间类规划的“多规合一”，再整合发展类规划。此后发布的中央文件随即对进行了明确，提出“统筹各类空间性规划”、“编制统一的空间规划，实现规划全覆盖”。可见，“多规合一”的对象是各类空间性规划，而不急于把发展规划也“合”进来 [ 4 ] 。 因此，今后一段时期我国的发展规划与空间规划两大体系是并行的，发展规划与空间规划将各司其职、自成体系。空间规划要以发展规划为依据，空间规划要实现发展规划所确定的目标任务与相关要求；发展规划的制定要结合空间规划所确定的资源环境承载力、空间开发适宜性及“三区三线”空间要素配置等内容，科学合理地确定发展目标与任务。 3.2. 明确三层级垂直型的国土空间规划体系 空间规划本质上是政府协调空间发展的政策工具，因而空间规划体系层级设置与政府行政管理体制密切相关。借鉴国外空间规划的决策管理体系，基本上规划体系层级设置与行政体制适应方面均表现出较强的对应性，基本表现为一级行政管理机构对应一级空间规划(如表2所示)。 Table 2 Management system of foreign spatial plannin 国家 行政管理机构设置层级 规划体系层级 英国 3级 英格兰 郡(大部分已撤销) 市 2级 国家空间规划(NPPF) 地方发展规划(LDF) 德国 3级 联邦政府 州政府 地方政府 3级 联邦空间规划 州规划 城镇规划 荷兰 3级 中央政府 省政府 城市政府 3级 全国空间规划 省结构规划 土地利用规划 日本 3级 中央 都道府县 市町村 4级 日本国土综合开发规划 区域国土综合开发规划 都道府县国土综合开发规划 市町村国土综合开发规划 表2. 国外国土空间规划的管理体系 基于解决当前我国规划体系存在的主要问题，按照中央相关要求，围绕“全国统一、相互衔接、分级管理”的空间规划体系构建目标，充分借鉴国外空间规划体系构建的经验，建议我国采用垂直型国土空间规划体系，即在国家、省、市县三级均编制统一的国土空间规划作为法定龙头规划，统领本层级的其他专项规划、部门政策、实施性方案或行动计划，形成三级上下关联的垂直型空间规划体系。 3.3. 明确各级国土空间规划的事权和定位 综观国外的空间规划，大多形成一套从国家到地方层面，包含规划编制、配套法律和管理机构的完整空间规划体系。空间规划体系与行政设置相对应，建立“纵向协作、横向联合”的空间规划体系。各级空间规划，立足于“各级事权和空间管控职责”，明晰规划事权的划分(如表3所示)。遵循“一级政府、一级事权、一级规划”的原则，各层级空间规划应是一个事权划分清晰、层次内容明确、相互衔接的体系 [ 5 ] 。 Table 3 The hierarchy and system of the existing spatial planning in Chin 主管部门 层级 空间性规划类型 核心内容 上下衔接 发改 省级 主体功能区规划 目标指标； 主体功能区定位 以县为单位划定主体功能区定位，明确县市主体功能和发展方向，对县市的空间开发具有宏观指导性 住建 省级 城镇体系规划 城镇布局空间结构； 城镇规模等级 法定规划，对下一级的市县下达的区间性的人口和用地指标 地市级 城市总体规划 城市人口和建设用地规模； 城镇建设区用地布局 落实上位规模要求，对城市用地进行空间布局，落实地方具体的发展诉求 县市级 城市总体规划 国土 省级 土地利用总体规划 重大土地利用问题； 各区域土地利用主要方向； 对市级土地利用的指标调控 省级明确各类用地指标； 向下下达各类用地指标 地市级 土地利用总体规划 土地利用规模、结构布局； 市辖区土地利用及分区； 对县级土地利用指标的调控 落实省级指标； 向县市分配指标； 城区土地利用方案 县市级 土地利用总体规划 土地利用规模、结构和布局； 土地用途管制分区； 城镇村用地扩展边界 落实上级下达指标； 布局土地利用空间方案 表3. 我国现有主要空间性规划的编制层次与体系 3.3.1. 国家级国土空间规划 国家层面要从统一“底数”、分类标准以及完善法律体系等为着力点，突破规划的技术壁垒和制度壁垒，强化空间性规划之间的协同性。 国家级国土空间规划以“宏观性、战略性、指导性”为主要原则。国家层面空间规划同时应具有一定的约束力，是各部门编制相关专项规划与制定政策文件的重要依据。 3.3.2. 省级国土空间规划 省级层面要明确各类空间性规划的定位，划定各类规划的时间期限边界、空间发展边界、空间保护边界、功能定位边界，促进多规之间的融合性。 省级国土空间规划以“战略引领、底线控制”为主要原则。省级层面空间规划需要依据国家空间规划来编制，它是落实国家空间战略与目标任务、统筹省级宏观管理和市县微观管控需求的规划平台，具有“承上启下”的作用，同时也是省级部门编制相关专项规划与政策文件的重要依据。 3.3.3. 市县级国土空间规划 市县层面要在省级规划的指导下，统一空间划分和管制，积极推动多部门空间规划融合(如表4所示)。 Table 4 Definition of planning rights at all levels in Chin 层级 规划事权 实施方式 上级政府 下级城市主体功能定位 生态、建设等指标控制与分配 区域重大民生、交通、市政基础设施 空间管控边界划定 绩效考核 指导与监督下级规划实施 相关政策制定 地方政府 落实空间管控边界 专项规划编制与审批 土地发展权 核发“一书三证” 制定年度计划 用途管制与地类管理 表4. 我国上下层级的规划事权界定 市县级国土空间规划以“底线管控、可操作性”为主要原则。市县层面空间规划需要落实国家、省级规划要求，对接规划体系，重点解决“建与非建”问题，划定底线控制线，绘制一张蓝图。市县空间规划是市县空间的可持续发展蓝图，是市县人民政府进行空间规划管理的基本依据。 通过三层级国土空间规划的事权界定，统筹推进国土空间高质量发展，将山水林田湖草作为生命共同体，统筹谋划自然资源的开发利用、整治修复，提升国土空间的开发保护利用水平。
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user: 4. 国土空间规划体系构建的主要任务 按照国家全面深化改革和《生态文明体制改革总体方案》的要求，按照建设和非建设、合理开发和有效保护的两条主线，围绕国土空间用途管制的实施，科学构建空间规划体系。 建立全域空间管控体系，划定部门统一的空间大格局和底线，制定配套措施、建立信息平台，实现空间观看体系优化和审批的简政放权 [ 6 ] 。空间规划作为国土空间用途管制的依据，应基于行政事权管理确定各类空间和底线的管控部门、管控措施，确定“管什么、谁来管、怎么管”。 4.1. 建立统一的国土空间规划技术标准体系 空间规划体系的构建，首先应从标准入手。针对现行各类空间规划交叉打架、技术标准不统一、空间分区不一致、信息平台难共用的问题，应从顶层设计角度提出空间规划的技术标准，指导各层级空间规划的编制，便于后期进行统一汇总协调。 标准体系的建立，主要包括：统一数据格式、统一坐标系统、统一用地分类、统一空间管控分区；制定各层级空间规划编制的主要内容、编制流程；制定多个部门空间性规划的协调标准、空间规划成果数据标准(界定图层、字段属性等)、空间数据入库标准等等。 与此同时，随着自然资源部门的成立，空间规划及实施管理也应制定相关的法律法规，强化空间规划的规范性以及实施管理的严肃性。 4.2. 建立三级国土空间规划的上下衔接“接口”体系 三层级的国土空间规划，分别体现的是不同事权角度下的战略引领和底线管控。上位空间规划应对下位空间规划具有约束性和技术引导性，实现技术标准和规划内容的上传下达、上下联动(如图3所示)。在全国、全省、市县形成对接和衔接的接口，实现“分则独立、合则一体”式的空间规划。 图3. 空间规划的刚性传导与技术衔接 具体应包含：确定上位规划传导给下位规划的管控重点，哪些内容需要在下位空间规划落实，如空间发展底线、差异化的国土空间管制指标要求等；确定下位空间规划编制后的哪些内容需要上报反馈，进行总体的校核汇总，如“三区三线”、国土空间开发强度和规模等；确定规划衔接的工作方式和机制，以何种方式和模式开展规划的衔接，确定衔接的时间段和节点等。通过以上接口体系的方式，来有效保障国家、省级、县市空间规划的统一性，真正实现空间规划的“一张蓝图”。 4.3. 建立“三区三线”划定与国土空间用途管制体系 我国现有空间分区管制体系各有侧重：主体功能区规划，空间管制核心是“定功能、定政策”，属于综合性的功能区划；城规，空间管制核心是“定规模、定空间，防止城镇无序蔓延”，属于对建设用地空间开发行为进行规制；土规，空间管制核心是“定指标、定底线，防止无序增长”，属于综合协调土地总供给与总需求；环保规划，空间管制核心是“定目标、定底线、定措施”，属于强调环境生态保护的单一功能区划。 4.3.1. 构建综合性的空间用途管制分区 国土空间主要包括三大类，第一类是城镇化土地，包括生产和生活空间，比如生活空间里居住的房子、餐饮娱乐用地等，生产空间里的工业园区和标准厂房等；第二类是生态空间，比如森林、草原、河流湖泊等；第三类是农业空间，主要就是耕地、林地等。国土空间规划，就是要明确这三类空间的界限，也就是划定大的空间格局和功能分区。 因此，构建综合性的空间分区管制，首先要基于发展和保护的双重迫切需求，以管制城镇、生态、农业、三大主体空间为基础，首先把发展和保护的底线界定出来，从省级层面强制守住空间底线，分别为“生态保护红线、永久基本农田红线、城市开发边界线”，即“三区三线”。 “三区三线”国土空间管制分区图，是综合现行土地利用总体规划“三线四区”和城乡规划“三区四线”确定的，是国土空间规划的核心。依此对空间进行指标和保护目标的强制管控，进行空间分区及管制措施的制定。 4.3.2. 制定配套的“分级分区”用途管制方式 同时，针对划定的“三区三线”，配套制定“分级分区”国土空间用途管制措施，即确定“管什么、怎么管”这些关键问题。对三类空间，依据空间的主导功能，再细分为六类空间功能区，明确开发原则和保护重点；依据管制和保护对象，明确保护原则和不允许建设行为；从开发强度、主导功能、廊道要求等方面提出管控要求 [ 7 ] 。对三条底线，明确空间控制线的管理规定，明确每条底线的管理实施主体、修改调整原则等，并明确控制线对不同项目的管控要求，各控制线内哪些项目不允许建设、哪些是可以建设的。 4.3.3. 制定配套的“负面清单”管控模式 空间规划需引入负面清单管理的理念，将规划确定的生态功能保护区和永久基本农田保护区等内容，纳入规划负面清单管理，明确限制和禁止开发的具体要求，健全“指标、空间、清单”的用途管制，强化“三区”空间管理。建立生态保护红线、基本农田保护红线、城镇开发边界等“底线”管制，按照同一件事由一个部门负责的原则，明确各类空间的责任主体、管控措施等内容。将“红线、底线”范围内的空间转用上收到中央政府，将“红线、底线”外的耕地和生态用地的转用统一上收到省级政府，实行严格的分级分类管理，确保管制目标落到实处 [ 8 ] 。 通过“空间‘三区三线’格局”与“配套管制措施”，保障国土空间开发与保护一张图的有效实施和监管。 4.4. 建立有效的机制体制和权责体系 前文提到了用标准或法规的形式将空间规划的接口和指导性确定下来，但要想真正按照国土空间规划的全套体系有效运行，还需要健全配套机制和体制。 构建我国国土空间规划体系，要对现行规划体制机制中不适应新发展要求的部分予以变革，必须及时推进体制机制的改革。一是整合空间规划职能。明确部门整合后各相关部门的规划权力边界，消除此前各部门规划管理职能交叉重叠的弊端。制订一套协同创新的管理流程和方法，以期形成“职责体系健全、事权清晰、程序协调”的管理机制，使我国空间治理能力不断提升 [ 9 ] 。同时，要制定、修改甚至废止相关的空间规划法律法规，赋予各层级国土空间规划相应的法定规划地位，保障空间规划法规的有效执行。 加快建立国土空间开发保护制度。坚持中国特色和制度优势，加强空间管治的刚性约束力。着力补齐短板，充分运用市场机制，通过空间治理使国土空间得以合理开发和保护。 4.5. 建立国土空间信息平台联动工作体系 在信息化时代，规划纸质图件与电子数据具有同等效力。国土空间规划的编制、实施管理和联动更新，必然需要全面系统化的空间数据库和信息平台(如图4所示)。 统一数据入库标准，建设纵向在线共享、横向互联互通的全国统一国土空间规划数据库，多部门多层级地理信息资源共享。在此方面，现行土地调查和规划数据库系统已经奠定了坚实基础。 图4. 空间信息平台联动工作体系示意图 基于空间规划搭建国土信息管理平台，应包括以下功能：各类国土空间数据的集成和共享功能，“一张蓝图”统计分析和辅助决策功能，面向建设项目审批部门的“一站式”审批功能，面向公众的查询和浏览功能。通过国土空间信息平台，实现分层级分权限联合办公，推进审批联动，建立多级空间规划审批平台，实现建设项目审批、管理工作信息化、透明化，全面提升行政效能，助推智慧中国建设 [ 10 ] 。
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user: 5. 结语 推进生态文明建设，完善自然资源监管体制，推进国家治理体系和治理能力现代化。构建以空间规划为基础、以国土用途管制为主要手段的国土空间规划体系，是一场重大创新和改革。 重构我国国土空间规划体系，通过规划层次、内容体系和技术标准体系的同步构建，建立科学适度有序的国土空间布局体系，实现国土空间规划的功能互补、上下联动和衔接反馈 [ 11 ] 。但是，国土空间规划的实施必须要有配套的法律法规和机制体制作为重要支撑，全面确保规划体系构想的实现和国土空间规划的科学化、系统化、法定化。
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user: 摘 要 经典的倒向随机微分方程是由布朗运动驱动的，但布朗运动是一种非常特殊的随机过程，致使倒向随机微分方程的应用受到相当大的限制。本文研究了以连续局部鞅为干扰源的一维倒向随机微分方程，在生成元满足一种新非Lipschitz条件下 [ 1 ] ，证明了其L 2 解存在且唯一。 关键词 :倒向随机微分方程，连续局部鞅，非Lipschitz条件，存在性，唯一性 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 倒向随机微分方程在金融数学、最优控制、随机决策和偏微分方程等领域中有着广阔的应用前景。经典的倒向随机微分方程是由布朗运动驱动的，1990年Pardoux和Peng [ 2 ] 给出了Lipschitz条件下解的存在唯一性结果。然而Lipschitz条件太强，布朗运动太过于理想化，致使倒向随机微分方程的应用受到相当大的限制。因此，一方面，许多学者开始研究各种非Lipschitz条件下的倒向随机微分方程来改进Pardoux和Peng的关于解的存在唯一性，例如，Fan [ 1 ] ，Mao [ 3 ] ，Lepeltier和Martin [ 4 ] ，Kobylanski [ 5 ] 分别给出了非Lipschitz条件下解的存在唯一结果。另一方面，有相当多的学者研究了其他干扰源驱动的倒向随机微分方程，其中，李娟 [ 6 ] 研究了连续局部鞅驱动的Lipschitz条件下的倒向随机微分方程，王湘君 [ 7 ] 研究过由连续半鞅驱动的Lipschitz条件下的倒向随机微分方程。本文中，我们研究了由连续局部鞅驱动的倒向随机微分方程在Fan [ 1 ] 中非Lipschitz条件下解的存在唯一性。
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user: 2. 主要结果 令 ( Ω ， ， F ， ， { F t } t ≥ 0 ， P ) 为一个带信息流的完备的概率空间，其中流 { F t } t ≥ 0 满足通常条件，记 P 为可料 σ 域。 M = { M t ， F t : 0 ≤ t < ∞ } 为一个连续局部鞅，并且 M 0 = 0 ， 〈 M 〉 为M的平方变差过程。 T > 0 为一个任意固定的数，称为时间区间。 首先给出几个相关记号： 1) 用 L M ( 0 ， T ; R n ) 表示所有使得 ‖ x ‖ M 2 = E ∫ 0 T | y ( s ) | 2 d 〈 M 〉 s < + ∞ 的 F t -适应的 R n 值的过程 x = x ( s ) 的集合。当 n = 1 时简记为 L M 。 2) 用 L ′ M ( 0 ， T ; R n × d ) 表示所有使得 ‖ y ‖ M 2 = E ∫ 0 T | z ( s ) | 2 d 〈 M 〉 s < + ∞ 的 F t 可料的 R n × d 值的过程 y = y ( s ) 的集合。当 n = d = 1 时简记为 L ′ M 。 3) 用 L 2 ( Ω ， F T ， P ; R n ) 表示所有满足 的 F T -可测的 R n 值的随机变量 ξ 的集合。当 n = 1 时简记为 L 2 ( Ω ， F T ， P ) 。 以下，我们将讨论如下形式的一维倒向随机微分方程： (1) 其中， y ( s ) 为 F t 适应的过程， z ( s ) 为 F t 可料的过程， ξ ∈ L 2 ( Ω ， F T ， P ) ， { M t ， F t ; 0 ≤ t < + ∞ } 为具有零初值的连续局部鞅，具有可料表示性，且 〈 M 〉 T 为有界的，即存在正常数 C 1 ，使得 〈 M 〉 T ≤ C 1 ，a.s.，函数 g : Ω × [ 0 ， T ] × R × R → R 为 P ⊗ Β ( R ) ⊗ Β ( R ) 可测的。 假设方程(1)满足以下条件： (H1) g ( ⋅ ， 0 ， 0 ) ∈ L M ； (H2) 存在一个单调不减凹函数 ρ ( ⋅ ) : R + → R + ，使得 ∀ y 1 ， y 2 ∈ R ， z ∈ R ， d P × d t − a . e . ， | g ( w ， t ， y 1 ， z ) − g ( w ， t ， y 2 ， z ) | 2 ≤ ρ ( | y 1 − y 2 | 2 ) 其中 ρ ( 0 ) = 0 ， ∀ u > 0 ， ∫ 0 + d u ρ ( u ) = + ∞ 。 (H3)存在一个常数 C ≥ 0 ，使得 ∀ y ∈ R ， z 1 ， z 2 ∈ R ， d P × d t − a . e . ， | g ( w ， t ， y ， z 1 ) − g ( w ， t ， y ， z 2 ) | 2 ≤ C ( | z 1 − z 2 | 2 ) (H4) E [ ( ∫ 0 T | g ( t ， 0 ， 0 ) | d 〈 M 〉 t ) 2 ] < + ∞ ； 注1: ρ ( ⋅ ) 是一个单调不减凹函数，且 ρ ( 0 ) = 0 ，即 ρ ( ⋅ ) 几乎处处是线性增长的，存在一个常数 A > 0 ，使得对 ∀ x ≥ 0 ，有 ρ ( x ) ≤ A ( x + 1 ) 。 定理1 设函数g满足(H1)—(H4)， ξ ∈ L 2 ( Ω ， F T ， P ) ，则倒向随机微分方程(1)在 L 2 中有唯一的解。
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user: 3. 引理 为了证明定理1，我们还需要用到下面的引理。我们首先来构造倒向随机微分方程(1)的Picard逼近序列，由如下的倒向随机微分方程所定义： y t 0 = 0 ;   y t n = ξ + ∫ t T [ g ( s ， y s n − 1 ， z s n ) ] d 〈 M 〉 s − ∫ t T z s n d M s ， 0 ≤ t ≤ T ， (2) 其中，生成元 g ( s ， y s n − 1 ， z s n ) 满足(H3)和(H4)，由文献 [ 8 ] 定理4.2得，对 n ≥ 1 ，方程(2)在 L 2 中有唯一的解 ( y t n ， z t n ) t ∈ [ 0 ， T ] 。 由注1和(H2)，容易得 | g ( s ， y s n − 1 ， 0 ) | ≤ | g ( s ， 0 ， 0 ) | + ρ 1 2 ( | y s n − 1 | 2 ) ≤ | g ( s ， 0 ， 0 ) | + A 1 2 ( | y s n − 1 | + 1 ) 和 E [ ( ∫ 0 T | g ( s ， y s n − 1 ， 0 ) | d 〈 M 〉 s ) 2 ] ≤ 4 E [ ( ∫ 0 T | g ( s ， 0 ， 0 ) | d 〈 M 〉 s ) 2 ] + A ( 2 T ) 2 ( E [ sup s ∈ [ 0 ， T ] | y s n − 1 | 2 ] + 1 ) 引理1 在定理1的假设下，存在一个常数 c 1 > 0 和常数 K > 0 ，且 c 1 只依赖于C，K只依赖于C和T， 使得对任意的 t ∈ [ 0 ， T ] ， n，m ≥ 1 ，有 E [ sup s ∈ [ t ， T ] | y s n + m − y s n | 2 ] ≤ 1 2 e c 1 ( T − t ) ∫ t T ρ ( E [ | y s n + m − 1 − y s n − 1 | 2 ] ) d 〈 M 〉 s (3) 和 E [ sup s ∈ [ t ， T ] | z s n + m − z s n | ] ≤ K { E [ sup s ∈ [ t ， T ] | y s n + m − y s n | 2 ] + ∫ t T ρ ( E [ | y s n + m − 1 − y s n − 1 | 2 ] ) d 〈 M 〉 s } (4) 证明：由方程(2)，得 ( y t n + m − y t n ， z t n + m − z t n ) t ∈ [ 0 ， T ] 是如下方程(5)在 L 2 中的解 y t = ∫ t T [ f n ， m ( s ， z s ) ] d 〈 M 〉 s − ∫ t T z s d M s ， 0 ≤ t ≤ T (5) 其中 f n ， m ( s ， z s ) = g ( s ， y s n + m − 1 ， z + z s n ) − g ( s ， y s n − 1 ， z s n ) 。 由(H2)和(H3)，得 | f n ， m ( s ， z s ) | ≤ ρ 1 2 ( | y s n + m − 1 − y s n − 1 | 2 ) + C | z | (6) (6)式意味着方程(5)的生成元 f n ， m ( s ， z s ) 满足文献 [ 1 ] 命题1中的假设(A)，即 ψ ( ⋅ ) ≡ 0 ， λ = C ， f t ≡ 0 ， φ t = ρ 1 2 ( | y s n + m − 1 − y s n − 1 | 2 ) 。又因为 ρ ( ⋅ ) 是一个凹函数，所以由文献 [ 1 ] 命题1和命题2，应用Fubini定理和 Jensen不等式，即可得(3)式和(4)式。 证毕。 引理2 在定理1的假设下，存在一个不依赖于 ξ 的 T 1 ∈ [ 0 ， T ] ，常数 M ≥ 0 ，使得对 ∀ t ∈ [ T 1 ， T ] ， n ≥ 1 ，有 E [ sup r ∈ [ t ， T ] | y r n | 2 ] ≤ N 。 证明：由定理1的假设，得 | g ( s ， y s n − 1 ， z ) | ≤ | g ( s ， y s n − 1 ， z ) − g ( s ， 0 ， 0 ) | + | g ( s ， 0 ， 0 ) | ≤ ρ 1 2 ( | y s n − 1 | 2 ) + C | z | + | g ( s ， 0 ， 0 ) | 即方程(2)的生成元 g ( s ， y s n − 1 ， z s n ) 满足文献 [ 1 ] 命题1中的假设(A)。 又因为 ρ ( ⋅ ) 是一个凹函数，所以由文献 [ 1 ] 命题2，应用Fubini定理和Jensen不等式，存在两个只依 赖于C的正常数 c 2 和 c 3 ，使得对 ∀ t ∈ [ 0 ， T ] ， n ≥ 1 ，有 E [ sup r ∈ [ t ， T ] | y r n | 2 ] ≤ μ t + 1 2 e c 3 ( T − t ) ∫ t T ρ ( E [ | y s n − 1 | 2 ] ) d 〈 M 〉 s (7) 其中 μ t = c 2 e c 3 ( T − t ) { E | ξ | 2 + E [ ( ∫ t T | g ( s ， 0 ， 0 ) | d 〈 M 〉 s ) 2 ] } ≥ 0 令 N = 2 μ 0 + 2 A T ， T 1 = max { T − ln 2 c 1 ， T − ln 2 c 3 ， T − 1 2 A ， 0 } ，其中 c 1 是引理1中的，A是注1中的，则对 ，有 1 2 e c 1 ( T − t ) ≤ 1 ， 1 2 e c 3 ( T − t ) ， A ( T − t ) ≤ 1 2 (8) 由(7)和(8)，得 E [ sup r ∈ [ t ， T ] | y r n | 2 ] ≤ μ 0 + 1 2 e c 3 ( T − t ) ∫ t T ρ ( E [ | y s n − 1 | 2 ] ) d 〈 M 〉 s ， t ∈ [ T 1 ， T ] (9) 又因为 ρ ( ⋅ ) 是一个单调不减函数，由(9)式，注1和(8)式，得 ∀ t ∈ [ T 1 ， T ] ， E [ sup r ∈ [ t ， T ] | y r n | 2 ] ≤ N ，证毕。
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user: 4. 定理1的证明 先证存在性。先定义一个函数列 { φ n ( t ) } n ≥ 1 如下： φ 0 ( t ) = ∫ t T ρ ( N ) d 〈 M 〉 s ;   φ n + 1 ( t ) = ∫ t T ρ ( φ n ( s ) ) d 〈 M 〉 s (10) 对 ∀ t ∈ [ T 1 ， T ] ，由引理2，得 φ 0 ( t ) = ∫ t T ρ ( N ) d 〈 M 〉 s ≤ M ， φ 1 ( t ) = ∫ t T ρ ( φ 0 ( s ) ) d 〈 M 〉 s ≤ ∫ t T ρ ( N ) d 〈 M 〉 s = φ 0 ( t ) ≤ M ， φ 2 ( t ) = ∫ t T ρ ( φ 1 ( s ) ) d 〈 M 〉 s ≤ ∫ t T ρ ( φ 0 ( s ) ) d 〈 M 〉 s = φ 1 ( t ) ≤ M 。 由数学归纳法，可得 0 ≤ φ n + 1 ( t ) ≤ φ n ( t ) ≤ ⋯ ≤ φ 1 ( t ) ≤ φ 0 ( t ) ≤ M 。 因此，对 ∀ t ∈ [ T 1 ， T ] ，函数列 { φ n ( t ) } n ≥ 1 极限存在，记为 φ ( t ) 。 因为 ρ ( ⋅ ) 是一个连续函数，且 ρ ( φ n ( s ) ) ≤ ρ ( N ) ，令 n → ∞ ，对(10)式取极限，由Lebesgue收敛定理，对 ∀ t ∈ [ T 1 ， T ] ，有 E [ sup r ∈ [ t ， T ] | y r n | 2 ] ≤ N ， E [ sup r ∈ [ t ， T ] | y r 1 + m − y r 1 | 2 ] ≤ ∫ t T ρ ( E [ | y s m | 2 ] ) d 〈 M 〉 s ≤ ∫ t T ρ ( N ) d 〈 M 〉 s = φ 0 ( t ) ≤ M ， E [ sup r ∈ [ t ， T ] | y r 2 + m − y r 2 | 2 ] ≤ ∫ t T ρ ( E [ | y r 1+ m − y r 1 | 2 ] ) d 〈 M 〉 s ≤ ∫ t T ρ ( φ 0 ( s ) ) d 〈 M 〉 s = φ 1 ( t ) ≤ M 。 由数学归纳法，可得 E [ sup r ∈ [ T 1 ， T ] | y r n+ m − y r n | 2 ] ≤ φ n − 1 ( T 1 ) → 0 ， n → ∞ 即 { y t n } n ≥ 1 是cauchy序列，又因为 ρ ( ⋅ ) 是一个连续函数，由引理1中的(4)式知， { z t n } n ≥ 1 也是cauchy序列，它们的极限分别记为 { y t } t ∈ [ T 1 ， T ] 和 { y t } t ∈ [ T 1 ， T ] 。令 n → ∞ ，对(2)式取极限，可得 { y t ， z t } 是具有参数 ( ξ ， T ， g ) 的BSDE在 [ T 1 ， T ] 的 L 2 解。 可以通过迭代可得， ∀ l ，方程(1)在 有解，因此可得，方程(1)在 [ 0 ， T ] 上解的存在性。 再证唯一性：设 { y t 1 ， z t 1 } t ∈ [ 0 ， T ] 和 { y t 2 ， z t 2 } t ∈ [ 0 ， T ] 都是方程(1)的 L 2 解，则 是如下方程(11)的 L 2 解。 y t = ∫ t T [ g ^ ( s ， y s ， z s ) ] d 〈 M 〉 s − ∫ t T z s d M s ， 0 ≤ t ≤ T (11) 其中， g ^ ( s ， y s ， z s ) = g ( s ， y + y s 2 ， z + z s 2 ) − g ^ ( s ， y s 2 ， z s 2 ) 。 由(H2)和(H3)，可得 | g ^ ( s ， y s ， z s ) | ≤ ρ 1 2 ( | y | 2 ) + C | z | ，即方程(11)的生成元 满足文献 [ 1 ] 命题 1中的假设(A)。 由文献 [ 1 ] 命题1和命题2，存在一个只依赖于C的正常数 c 4 和一个只依赖于C和T的正常数 c 5 ，使 得对 ∀ t ∈ [ 0 ， T ] ，有 E [ | y t 1 − y t 2 | 2 ] ≤ 1 2 e c 4 ( T − t ) ∫ t T ρ ( E [ | y s 1 − y s 2 | 2 ] ) d 〈 M 〉 s (12) 和 E [ ( ∫ t T | z s 1 − z s 2 | 2 d 〈 M 〉 s ) ] ≤ c 5 { E [ sup s ∈ [ t ， T ] | y s 1 − y s 2 | 2 ] + ρ ( E [ sup s ∈ [ t ， T ] | y s 1 − y s 2 | 2 ] ) } 。 (13) 对(12)式应用Bihari’s不等式，得 E [ | y t 1 − y t 2 | 2 ] = 0 ， t ∈ [ 0 ， T ] ，因此 y t 1 = y t 2 ， t ∈ [ 0 ， T ] ， a . s . ，再由(13)式，又可得 z t 1 = z t 2 ， t ∈ [ 0 ， T ] ， a . s . ，唯一性得证。
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user: 摘 要 针对西部民族地区高校贫困生评定中界定模糊，难以精准这一实际问题，运用直觉梯形模糊数和TOPSIS算法综合评价，以提高贫困生评定的准确性与客观性。首先构建评定指标体系和混合模糊决策值表，定义直觉梯形模糊数得分函数，得出混合模糊决策矩阵，然后利用层次分析法确定各指标权重，根据TOPSIS算法对各学生进行综合比较排序，加以认定，最后通过数值算例对该评定方法的有效性与客观性进行了说明。 关键词 :贫困生评定，直觉梯形模糊数，混合模糊决策矩阵，TOPSIS算法 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 2013年，习近平总书记在湖南省湘西土家族苗族自治州考察时首次提出“精准扶贫”，教育扶贫作为精准扶贫的重要内容，引起了党和国家的高度重视。贫困大学生在我国高校普遍存在，西部民族地区地处偏僻，高校贫困生现象尤为突出，人数呈现逐年上升的趋势。 精准扶贫的前提是精准识贫，近年来，众多专家学者对贫困生评定方法进行了较为深入的研究。宋美喆 [ 1 ] 从家庭和个人情况建立指标体系，利用模糊综合评价对贫困生进行评定；薛单 [ 2 ] 基于模糊综合评价方法，设计并实现了助学金等级评定系统；胡景 [ 3 ] 提出了利用TPOPSIS法对贫困生进行评定；冯春明、彭德军 [ 4 ] [ 5 ] 利用层次分析法(AHP)、变权AHP对贫困生进行评定；柴政、谭浩、冯春苑 [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] 对学生在校消费数据进行数据挖掘建模，进行贫困生评定。西部民族地区高校较其他高校而言更为特殊，其农村生源比例和少数民族学生比例更大，从已有文献来看，针对西部民族地区高校贫困生的量化评定方法仍为空白。同时，贫困生评定是一项大工程，评价指标体系如果仅依据经济状况或学生消费数据，不能综合反映学生的状况，在实际评定过程中，一些定性数据存在模糊不清以及定性数据和定量数据夹杂的情况，加大了评定的难度。本文在信息模糊条件下对西部民族地区高校贫困生进行评定，基于对贫困生评定条件的分析，构建评定指标体系和混合模糊决策矩阵，将直觉梯形模糊TOPSIS的多属性决策应用在贫困生评定中，以期为西部民族地区高校贫困生评定提供参考思路。
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user: 2. 直觉梯形模糊数 2.1. 直觉梯形模糊数的定义 定义1 [ 9 ] 设 a ˜ = 〈 ( a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ) ， ( b 1 ， b 2 ， b 3 ， b 4 ) 〉 是一个实数集R上的直觉梯形模糊数，其参数满足 b 1 ≤ a 1 ≤ b 2 ≤ a 2 ≤ b 3 ≤ a 3 ≤ b 4 ≤ a 4 。 2.2. 直觉梯形模糊数的得分函数定义 为了进行合理的比较排序，需要尽可能多地对直觉梯形模糊数的信息采集。目前国内外对直觉模糊数的得分函数也有所研究，不过至今还没有得出被大家认可且能广泛运用的得分函数。本文仿照文献 [ 10 ] 对直觉梯形模糊数的得分函数做如下相关定义： 定义2设 α ˜ = 〈 ( a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ) ， ( b 1 ， b 2 ， b 3 ， b 4 ) 〉 为一个直觉梯形模糊数，则称 1) E t ˜ ( α ˜ ) = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 4 为 α ˜ 的隶属度期望值； 2) E f ˜ ( α ˜ ) = b 1 + b 2 + b 3 + b 4 4 为 α ˜ 的非隶属度期望值。 定义3若 α ˜ = 〈 ( a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ) ， ( b 1 ， b 2 ， b 3 ， b 4 ) 〉 为一个直觉梯形模糊数，则 α ˜ 的得分函数的计算公式为： S ( α ˜ ) = ( E t ˜ ( α ˜ ) − E f ˜ ( α ˜ ) ) ( E t ˜ ( α ˜ ) + E f ˜ ( α ˜ ) ) (1) 则有如下性质： 若 α ˜ = 〈 ( 1 ， 1 ， 1 ， 1 ) ， ( 0 ， 0 ， 0 ， 0 ) 〉 ，则 S ( α ˜ ) = 1 ； 若 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = b 1 + b 2 + b 3 + b 4 ，则 S ( α ˜ ) = 0 ； 若 α ˜ = 〈 ( 0 ， 0 ， 0 ， 0 ) ， ( 1 ， 1 ， 1 ， 1 ) 〉 ，则 S ( α ˜ ) = − 1 。 定义4设 α ˜ 1 = 〈 ( a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ) ， ( b 1 ， b 2 ， b 3 ， b 4 ) 〉 和 α ˜ 2 = 〈 ( c 1 ， c 2 ， c 3 ， c 4 ) ， ( d 1 ， d 2 ， d 3 ， d 4 ) 〉 是两个任意的模糊数 直觉模糊数，则： 1) 若 S ( α ˜ 1 ) < S ( α ˜ 2 ) ，则 α ˜ 1 < α ˜ 2 ； 2) 若 S ( α ˜ 1 ) = S ( α ˜ 2 ) ，则 α ˜ 1 = α ˜ 2 ； 3) 若 S ( α ˜ 1 ) > S ( α ˜ 2 ) ，则 α ˜ 1 > α ˜ 2 。
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user: 3. 基于直觉梯形模糊TOPSIS的贫困生评定模型建立 在贫困生评定的过程中，首先应该建立贫困生评定的指标体系，拟定n个评价指标，并确定每个指标的权重，再对m个贫困生进行评价，最后用TOPSIS法对贫困生的贫困程度进行排序。 3.1. 西部民族地区高校贫困生评定指标体系的建立 指标选取有三个基本原则，分别是科学性原则，系统性原则，综合性原则。西部民族地区高校由于具有特殊性，在指标构建的过程中，需要综合考虑到学生生源所在地以及学生民族等因素。同时，教育扶贫的最终目的在于育人，故还需要考虑学生的在校表现以及感恩奉献精神。本文通过调查分析，综合文献 [ 1 ] - [ 8 ] 建立西部民族地区高校贫困生评定指标体系，其中包括定量指标、定性指标、是非评判指标，如表1所示： Table 1 Evaluation index system for impoverished students in universities of western ethnic area 一级指标项 二级指标项 指标属性 指标说明 家庭因素 u 1 家庭年人均固定收入与当地家庭人均固定收入之比 u 11 定量 若比值越高，则贫困生等级越低 家庭成员健康状况 u 12 定性 若家庭成员越健康，则贫困生等级越低 是否遭遇重大灾害或事故 u 1 3 是非评判 若家庭发生重大变故或事故，则贫困生等级高 是否低保户 u 14 是非评判 若家庭是低保户，则贫困生等级高 是否为偏远地区家庭 u 15 是非评判 若家庭位于偏远地区，则贫困生等级高 是否为少数民族家庭 u 16 是非评判 若家庭是少数民族家庭，则贫困生等级高 个人因素 u 2 一卡通月均消费 u 2 1 定量 若消费越高，则贫困生等级越低 个人身体健康状况 u 22 定性 若学生越健康，则贫困生等级越低 在校德育表现情况 u 23 定性 若学生德育表现越差，则贫困生等级越低 在校学习表现情况 u 24 定性 若学生学习表现越差，则贫困生等级越低 志愿服务情况 u 25 定性 若学生志愿服务情况越好，则贫困生等级越高 是否孤儿/单亲等特殊情况 u 26 是非评判 若学生属于孤儿/单亲等特殊情况，则贫困生等级越高 表1. 西部民族地区高校贫困生评定指标体系 3.2. 评估模型建立 Step 1 构建混合模糊决策矩阵 设 P = { p 1 ， p 2 ， ⋯ ， p m } 为m个贫困生组成的集合， Q = { q 1 ， q 2 ， ⋯ ， q n } 为n个决策属性。由专家给出评 定值(定性指标以直觉梯形模糊数给出，定量指标以具体数据给出，是非评判指标以0和1给出)，构建混合模糊决策矩阵。 Step 2 构造得分函数矩阵 根据定义3，计算出各待评定学生在各评估指标属性下的得分函数值，构建得分函数矩阵 S = ( s i j ) m × n . Step 3 基于层次分析法确定各指标权重 1) 建立判断矩阵 层次分析法通过对各指标进行两两比较，构建成对比较矩阵 A = ( a i j ) n × n ，其中n表示指标的个数， a i j 表示指标i与指标j对决策的重要性之比。Satty等给出了用数字1~9及其倒数作为标度，标度及其含义如表2所示。 Table 2 1 - 9 scale and its meanin 标度 含义 1 两个指标相比，重要性相同 3 两个指标相比，前者比后者稍微重要 5 两个指标相比，前者比后者明显重要 7 两个指标相比，前者比后者强烈重要 9 两个指标相比，前者比后者极端重要 2，4，6，8 表示上述相邻判断的中间值 相应倒数 若指标i与指标j的重要性之比是a ij ，则指标j与指标i的重要性之比 a j i = 1 / a i j 表2. 1~9标度及其含义 2) 一致性检验 一般一致性指标CI用于衡量成对比较矩阵A的不一致程度，计算公式如下: C I = λ max ( A ) − n n − 1 (2) 其中， λ max ( A ) 表示成对比较矩阵A的最大特征值，n表示成对比较矩阵A的阶数。 i) 若CI = 0，则成对比较矩阵A具有完全的一致性； ii) 若CI接近0，则成对比较矩阵A具有满意的一致性； iii) CI越大，成对比较矩阵A的不一致性越高。 为此，引入随机一致性率CR衡量CI的大小，从而判断成对比较矩阵A的一致性。CR的计算公式如下： C R = C I R I (3) 其中，RI表示平均随机一致性指标，Satty给出了RI的值，如表3所示。 Table 3 Average random consistency inde n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 表3. 平均随机一致性指标 若 C R < 0.1 ，则认为成对比较矩阵A的不一致程度在可以接受的范围之内，通过了一致性检验。 3) 得到各指标的权向量w 将成对比较矩阵A最大的特征值所对应的特征向量归一化即可得到各指标的权向量 w = ( w 1 ， w 2 ， ⋯ ， w n ) T 。 Step 4 基于TOPSIS法确定各学生排序 1) 指标值规范化 文献 [ 11 ] 对TOPSIS中五种规范化方法进行了比较，本文选择文献 [ 11 ] 中的第一种方法对指标值进行 规范化。设规范化矩阵为 Z = ( z i j ) m × n ， 对于效益型指标，变换公式为 z i j = y i j ∑ i = 1 m y i j 2 (4) 对于成本型指标，变换公式为 z i j = 1 / y i j ∑ i = 1 m ( 1 / y i j ) 2 (5) 2) 构建加权规范阵 设加权规范阵为 C = ( C i j ) m × n ，则计算公式为 c i j = w j ⋅ z i j (6) 3) 确定正负理想解 设正理想解 C + 的第j个指标值为 c j + ，负理想 C − 的第j个指标值为 c j − ，则 正理想解 c j + = max i c i j ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n (7) 负理想解 c j − = min i c i j ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n (8) 4) 计算各位学生到正负理想的距离 设学生 p i 到正理想解的距离 d j + ，学生 p i 到负理想解的距离 d j − ，则计算公式如下: d j + = ∑ j = 1 m ( c i j − c j + ) 2 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m (9) d j − = ∑ j = 1 m ( c i j − c j − ) 2 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m (10) 5) 计算综合评价指数 f i * 并排序 各学生的综合评价指数计算公式为 f i * = d i − d i − + d i + ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m (11) 最后将 f i * ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 从大到小排序即可。
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user: 5. 数值算例分析 本文基于直觉梯形模糊数理论，对西部民族地区高校贫困生评定进行研究。通过建立评估指标体系，给出了基于直觉梯形模糊TOPSIS方法的评估方法，并通过数值算例表明了该评估模型的有效性，对西部民族地区高校贫困生评定具有一定的实践和理论价值。
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user: 摘 要 本文在低秩矩阵逼近(Low-rank Matrix Approximation， LRMA)问题的基础上将其推广到张量上，提出了利用非凸正则化构造凸优化问题来估计低秩张量的方法，采用参数化的非凸罚函数估计非零的奇异值，并求出了该目标函数的全局最优解。实验结果表明，该方法能很好处理低秩张量逼近问题，实现图像去噪。 关键词 :非凸正则化，低秩张量，凸优化，图像去噪 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 近年来，低秩逼近广泛应用于信号处理 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] 和机器学习 [ 4 ] [ 5 ] 等各个领域，研究人员提出了大量的方法，这些算法大致分为两种，凸优化算法和非凸优化算法。凸优化算法，主要利用核范数极小化。这一思路由文献 [ 6 ] 提出，主要包括：文献 [ 7 ] 提出的奇异值阈值(Singular Value Thresholding， SVT)算法。这种算法对原始矩阵的不同奇异值的惩罚力度相同，所求出的全局最优解在实际问题中效果差。所以本文提出了一个新的算法，即利用非凸正则化构造凸优化问题来估计低秩张量。该方法不仅能很好处理低秩张量逼近问题，还能实现图像去噪。
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user: 2. 预备知识 定义1 (张量的切片)对于一个三阶张量 A i j k ，用 A ( i ， : ， : ) ， A ( : ， i ， : ) ， A ( : ， : ， i ) 分别表示张量 A 第i个水平的，侧面的和正面的切片，通常记正面切片 A ( i ) = ( : ， : ， i ) 。 定义2 (离散傅里叶变换)设张量 A ∈ R n 1 × n 2 × n 3 沿着第三维度的傅里叶变换得到 A ¯ ∈ C n 1 × n 2 × n 3 ，在傅里叶变换域中块循环矩阵可以被映射到傅里叶变换域的一个块对角矩阵。 记 块循环矩阵为 b c i r c ( A ) = [ A ( 1 ) A ( n 3 ) ⋯ A ( 2 ) A ( 2 ) A ( 1 ) ⋯ A ( 3 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A ( n 3 ) A ( n 3 − 1 ) ⋯ A ( 1 ) ] ∈ C n 1 n 3 × n 2 n 3 (1) 记 块对角矩阵为 A ¯ = b d i a g ( A ¯ ) = [ A ¯ ( 1 ) A ¯ ( 2 ) ⋱ A ¯ ( n 3 ) ] ∈ C n 1 n 3 × n 2 n 3 (2) 定义3 [ 8 ] (张量的核范数)令 A = U ∗ S ∗ V ∗ ，则有 ‖ A ‖ ∗ = 〈 S ， I 〉 = ∑ i = 1 r S ( i ， i ， 1 ) (3) 其中 I 表示单位张量， r = r a n k t ( A ) 。 假设1 [ 9 ] ：非凸性惩罚函数 ϕ : R → R 满足以下条件： 1) ϕ 在R上连续并且 ϕ 在 R / { 0 } 上是连续可微的且为偶函数即 ϕ ( − x ; a ) = ϕ ( x ; a ) 2) ϕ ′ ( x ; a ) ≥ 0 ， ∀ a > 0 3) ϕ ″ ( x ; a ) ≤ 0 ， ∀ a > 0 (4) 4) ϕ ′ ( 0 − ; a ) = 1 5) inf X ≠ 0 ϕ ″ ( x ; a ) = ϕ ″ ( 0 + ; a ) = − a 定理1 [ 8 ] (张量奇异值分解，T-SVD)令 A ∈ R n 1 × n 2 × n 3 ，可以将其分解为 A = U ∗ S ∗ V ∗ (5) 其中 U ∈ R n 1 × n 1 × n 3 和 V ∈ R n 2 × n 2 × n 3 都是正交张量， S ∈ R n 1 × n 2 × n 3 是F-对角张量。 定理 2 [ 9 ] 令 Y = U Σ V T 为Y的奇异值SVD分解，假设 ϕ 是 R → R 上的满足假设1的非凸惩罚函数，当 0 ≤ a < 1 λ 时， 1 2 ‖ Y − X ‖ F 2 + λ ∑ i = 1 k ϕ ( σ i ( X ) ， a ) 的全局最小值为 X ¯ = U ⋅ Θ ( Σ ; λ ， a ) ⋅ V T (6) 其中 Θ ( y ; λ ， a ) : = arg min x ∈ R { 1 2 ( y − x ) 2 + λ ϕ ( x ; a ) } 是函数 ϕ 的近端算子。
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user: 3. 改进的低秩张量逼近算法 3.1. 模型的建立 设 Y 为受到噪声污染后的低秩张量， X 为潜在的目标低秩张量， E 为高斯噪声张量。则有 Y = X + E 。所以低秩张量逼近模型如下： arg min X { Ψ ( X ) = 1 2 ‖ Y − X ‖ F 2 + λ ∑ i = 1 k ϕ ( S ( i ， i ， 1 ) ， a ) } (7) 本文假设所有张量都是三阶张量即 X ∈ R n 1 × n 2 × n 3 ， Y ∈ R n 1 × n 2 × n 3 。其中 k = min ( n 1 n 3 ， n 2 n 3 ) ， ϕ 是稀疏产生的正则化函数，所以它可能是非凸的。 S ( i ， i ， 1 ) 表示张量 X 奇异值分解后F-对角张量的第一个正面切面。 3.2. 模型的求解 由式(1)可得 ∑ i = 1 r S ( i ， i ， 1 ) = ‖ A ‖ ∗ 则有 λ ∑ i = 1 k ϕ ( S ( i ， i ， 1 ) ， a ) = λ ϕ ( ‖ A ‖ ∗ ， a ) (8) 可以得到目标函数的如下形式： 1 2 [ 1 n 3 ‖ Y ¯ ‖ F 2 + ‖ X ¯ ‖ F 2 − 2 ⋅ 1 n 3 〈 Y ¯ ， X ¯ 〉 ] + λ ϕ ( ‖ X ‖ ∗ ， a ) (9) 由张量核范数与矩阵核范数之间的关系，所以目标函数可以写成如下形式： 1 2 n 3 ‖ Y ¯ − X ¯ ‖ F 2 + 1 n 3 λ ϕ ( ‖ X ¯ ‖ ∗ ， a ) = 1 n 3 [ 1 2 ‖ Y ¯ − X ¯ ‖ F 2 + λ ∑ i = 1 k ϕ ( σ i ( X ¯ ) ， a ) ] (10) 式中 X ¯ ， Y ¯ ∈ R n 1 n 3 × n 2 n 3 ， σ i 表示矩阵 X ¯ 的第i个奇异值， k = min ( n 1 n 3 ， n 2 n 3 ) 。 根据定理2可以得到目标函数的最优解为 1 n 3 ( U ⋅ Θ ( Σ ; λ ， a ) ⋅ V T ) (11) 其中 Θ ( Σ ; λ ， a ) : = arg min X ∈ R { 1 2 ( Σ − X ) 2 + λ ϕ ( X ; a ) }
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user: 4. 实验 对于一个噪声图像 Y ，将其进行奇异值分解后得到的F-对角张量的第一个正面切片记为Y，通过块匹配方法可以得到非局部自相似块矩阵 Y j ，则有 Y j = X j + W j ，其中 X j 和 W j 分别表示清晰图像和高斯噪声。通过叠加这些非局部的相似块形成张量，为了从 Y j 中提取出 X j ，我们构造了如下目标函数： X ^ j : = arg min X { 1 2 ‖ Y j − X ‖ F 2 + λ ∑ i = 1 m ϕ ( S ( i ， i ， 1 ) ; a ) } (10) 根据定理2可得到(10)的最优解为 X ^ j = 1 n 3 ( U j ⋅ Θ ( Σ j ; λ ， a ) ⋅ V j T ) 。 图1. 不同方法去噪效果对比 图1显示了使用不同的方法对噪声图像进行去噪的结果。表1列出了三种测试图像的平均PSNR值和运行时间。所提出的LRTA方法与BM3D、PS和WNNM方法相比可以获得更高的PSNR。在图像质量方面，所提出的LRTA方法也更为清晰一些。 Table 1 PSNR values and run time dat 比较上述3幅图像的PSNR值 比较上述3幅图像的运行时间 Index BM3D WNNM PS LRTA Index BM3D WNNM PS LRTA 1 24.31 24.53 25.12 29.10 1 14.98 13.79 12.45 12.72 2 26.45 26.45 27.66 30.91 2 26.93 25.20 23.47 23.38 3 28.62 28.30 28.59 32.33 3 12.96 12.24 10.70 10.64 表1. PSNR值和运行时间数据
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user: 5. 结论 本文提出了一种新的方法来估计低秩张量。尽管正则化项不是凸的，但所提出的目标函数是凸的。通过对输入张量进行离散的傅里叶变换后再进行奇异值分解，得到F-对角张量的第一个正面切面形成的矩阵的奇异值进行阈值化，得到目标函数的非迭代解。在基于非局部自相似的图像去噪算法中，证明了该方法的有效性。