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user: 3. 主要结论 对于一个方阵A，如果 A T = A ，则称A为对称矩阵，实对称矩阵特征值均为实数。 令 A s y m 表示 n × n 实对称矩阵， E s y m 表示相应的摄动矩阵，即 E s y m = ( ε 1 ， 1 ε 1 ， 2 ε 1 ， 3 ⋯ ε 1 ， n ε 1 ， 2 ε 2 ， 1 ε 2 ， 2 ⋯ ε 2 ， n − 1 ε 1 ， 3 ε 2 ， 2 ε 3 ， 1 ⋯ ε 3 ， n − 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ε 1 ， n ε 2 ， n − 1 ε 3 ， n − 2 ⋯ ε n ， 1 ) . (2) 令 { λ ˜ 1 ， λ ˜ 2 ， ⋯ ， λ ˜ k } 表示由Matlab中的eig命令计算所得矩阵 A s y m 的所有互异特征值的全体。对于 s = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ，对 A s y m − λ ˜ s I n 做奇异值分解，有 A s y m − λ ˜ s I n = U ( λ ˜ s ) Σ ( λ ˜ s ) V ( λ ˜ s ) T = ( u 1 ( λ ˜ s ) u 2 ( λ ˜ s ) ⋯ u n ( λ ˜ s ) ) d i a g ( σ 1 ( λ ˜ s ) ， σ 2 ( λ ˜ s ) ， ⋯ ， σ n ( λ ˜ s ) ) ( v 1 ( λ ˜ s ) v 2 ( λ ˜ s ) ⋯ v n ( λ ˜ s ) ) T 假设对于 s = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ， c o r a n k δ ( A s y m − λ ˜ s I n ) = q s ，其中 δ 是一个接近0的正实数。 如果 λ ^ 1 ， λ ^ 2 ， ⋯ ， λ ^ k 是矩阵 A s y m 的所有精确特征值，则对于 s = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ，向量组 v 1 ( λ ^ s ) ， v 2 ( λ ^ s ) ， ⋯ ， v n − q s ( λ ^ s ) ， u n − q s + 1 ( λ ^ s ) ， u n − q s + 2 ( λ ^ s ) ， ⋯ ， u n ( λ ^ s ) 是线性无关的。因此，我们可以做出如下合理假设。 假设1：对于 s = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ，向量组 v 1 ( λ ˜ s ) ， v 2 ( λ ˜ s ) ， ⋯ ， v n − q s ( λ ˜ s ) ， u n − q s + 1 ( λ ˜ s ) ， u n − q s + 2 ( λ ˜ s ) ， ⋯ ， u n ( λ ˜ s ) 是线性无关的。 对于 s = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ，定义矩阵 C ( ε ) = ( A s y m + E s y m − λ ˜ s I n U : ， n − q s + 1 : n ( λ ˜ s ) U : ， n − q s + 1 : n ( λ ˜ s ) T O q s ， q s ) ， (3) 其中 ε s y m = ( ε 1 ， 1 ， ε 1 ， 2 ， ⋯ ， ε 1 ， n ， ε 2 ， 1 ， ⋯ ， ε 2 ， n − 1 ， ⋯ ， ε n − 1 ， 1 ， ε n − 1 ， 2 ， ε n ， 1 ) T . (4) 引理2：对于 s = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ，如果 c o r a n k δ ( A s y m − λ ˜ s I n ) = q s ，则矩阵 ( A s y m − λ ˜ s I n U : ， n − q s + 1 : n ( λ ˜ s ) U : ， n − q s + 1 : n ( λ ˜ s ) T O q s ， q s ) (5) 是非奇异的。 证明： ( A s y m − λ ˜ s I n U : ， n − q s + 1 : n ( λ ˜ s ) U : ， n − q s + 1 : n ( λ ˜ s ) T O q s ， q s ) = ( U ( λ ˜ s ) O q s ， q s O q s ， n I q s ) ( Σ 1 : n − q s ， 1 : n − q s ( λ ˜ s ) O n − q s ， q s O n − q s ， q s O q s ， n − q s Σ n − q s + 1 : n ， n − q s + 1 : n ( λ ˜ s ) I q s O q s ， n − q s I q s O q s ， q s ) ( V : ， 1 : n − q s ( λ ˜ s ) T O n − q s ， q s U : n − q s + 1 : n ( λ ˜ s ) O q s ， q s Σ n − q s + 1 : n ， n − q s + 1 : n ( λ ˜ s ) I q s ) 证毕。 ¨ 定义常量 K = min { 1 n n + q s ‖ C ( 0 ) − 1 ‖ ∞ ， s = 1 ， 2 ， ⋯ ， k } . (6) 引理3：若 ‖ ε ‖ ∞ < K ，则 C ( ε ) ， s = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ，非奇异。 证明：若 ‖ ε ‖ ∞ < K ，则对 s = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ， ‖ I n + 1 − C ( 0 ) − 1 C ( ε ) ‖ 2 ≤ n + q s ‖ I n + q s − C ( 0 ) − 1 C ( ε ) ‖ ∞ ≤ n + q s ‖ C ( 0 ) − 1 ‖ ∞ ‖ C ( 0 ) − C ( ε ) ‖ ∞ < n n + q s ‖ ε ‖ ∞ ‖ C ( 0 ) − 1 ‖ ∞ < 1 (7) 由引理1可知， C ( ε ) ， s = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ，非奇异。证毕。 ¨ 对于 s = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ，令 W s ( ε ) 和 F s ( ε ) 分别是线性系统 C ( ε ) ( W s ( ε ) F s ( ε ) ) = ( O n ， q s I q s ) (8) 解的前n行和后 q s 行。根据克莱姆法则，我们有如下引理。 引理4：对于 s = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ，矩阵 F s ( ε ) 是对称矩阵。 命题1：假设 ‖ ε ˜ ‖ ∞ < K 。若对 s = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ，有 F s ( ε ˜ ) = O q s ， q s ，则 c o r a n k ( A s y m + E ˜ s y m − λ ˜ s I n ) = q s . 证明：若 ‖ ε ˜ ‖ ∞ < K ，则由引理3可知 C ( ε ) ， s = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ，非奇异。令 s = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ，若 F s ( ε ˜ ) = O q s ， q s ，则 ( A s y m + E s y m − λ ˜ s I n ) W s ( ε ˜ ) = O n ， q s ， U : ， n − q s + 1 : n ( λ ˜ s ) T W s ( ε ˜ ) = I q s 若 W s ( ε ˜ ) 的列向量线性相关，则 C s ( ε ˜ ) 奇异，与条件矛盾。因此 c o r a n k ( A s y m + E ˜ s y m − λ ˜ s I n ) ≥ q s 。若 c o r a n k ( A s y m + E ˜ s y m − λ ˜ s I n ) > q s ，则存在非零向量 β s ∈ n u l l ( A s y m + E ˜ s y m − λ ˜ s I n ) ， 且 β s 与 W s ( ε ˜ ) 的列向量线性无关。因此存在非零向量 b s ∈ ℝ q s + 1 使得 ( A s y m + E s y m − λ ˜ s I n U : ， n − q s + 1 : n ( λ ˜ s ) T ) ( W s ( ε ˜ ) β s ) b s = 0 ， 矛盾。故 c o r a n k ( A s y m + E ˜ s y m − λ ˜ s I n ) = q s 。 ¨ 引理 5：非线性系统 G ( ε ) = ( F 1 ( ε ) 1 : q s ， 1 F 1 ( ε ) 2 : q s ， 2 ⋮ F 1 ( ε ) q s : q s ， q s ) = 0 (9) 是欠定非线性系统。 证明：系统(9)包含 n ( n + 1 ) 2 个变量， ∑ i = 1 s q i ( q i + 1 ) 2 个方程。由于 q 1 2 + q 2 2 + ⋯ + q s 2 + q 1 + q 2 + ⋯ + q s 2 ≤ q 1 2 + q 2 2 + ⋯ + q s 2 + n 2 = ( q 1 + q 2 + ⋯ + q s ) 2 − 2 ∑ 1 ≤ i ≤ j ≤ s q i q j + n 2 ≤ n 2 + n 2 − ∑ 1 ≤ i ≤ j ≤ s q i q j ≤ n ( n + 1 ) 2 则引理得证。 ¨ 由引理3可知，存在一个以原点为中心的邻域，使得对于该邻域内的任意 ε ，对 s = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ，矩阵 C ( ε ) 非奇异。因此在该邻域内，系统(8)解向量的每一项都充分可微。 对于每一对 ( i ， j ) ，   1 ≤ i ≤ n − 1 ，   1 ≤ j ≤ n − i + 1 ，对系统(8)两端关于 ε i ， j 求偏导得到 ( A s y m + E s y m − λ ˜ s I n U : ， n − q s + 1 : n ( λ ˜ s ) U : ， n − q s + 1 : n ( λ ˜ s ) T O q s ， q s ) ( ∂ W s ( ε ) ∂ ε i ， j ∂ F s ( ε ) ∂ ε i ， j ) = t ( − ( O j + i − 2 ， q s W s ( ε ) i ， : O n + q s − j − i + 1 ， q s ) − ( O i − 1 ， q s W s ( ε ) j + i − 1 ， : O n + q s − i ， q s ) ) ， (10) 其中 t = { 1 2 ， j = 1 1 ， 2 ≤ j ≤ n − i + 1 . 对于每一对 ( i 1 ， j 1 ) ， ( i 2 ， j 2 ) ，   1 ≤ i 1 ≤ n ，   1 ≤ j 1 ≤ n − i 1 + 1 ，   1 ≤ i 2 ≤ n ，   1 ≤ j 2 ≤ n − i 2 + 1 ，对系统(10)两端关于 ε i 1 ， j 1 ， ε i 2 ， j 2 求偏导得 ( A s y m + E s y m − λ ˜ s I n U : ， n − q s + 1 : n ( λ ˜ s ) U : ， n − q s + 1 : n ( λ ˜ s ) T O q s ， q s ) ( ∂ ( 2 ) W s ( ε ) ∂ ε i 1 ， j 1 ∂ ε i 2 ， j 2 ∂ ( 2 ) F s ( ε ) ∂ ε i 1 ， j 1 ∂ ε i 2 ， j 2 ) = t 1 ( − ( O j 1 + i 1 − 2 ， q s ( ∂ W s ( ε ) ∂ ε i 2 ， j 2 ) i 1 ， : O n + q s − j 1 − i 1 + 1 ， q s ) − ( O i 1 − 1 ， q s ( ∂ W s ( ε ) ∂ ε i 2 ， j 2 ) j 1 + i 1 − 1 ， : O n + q s − i 1 ， q s ) ) + t 2 ( − ( O j 2 + i 2 − 2 ， q s ( ∂ W s ( ε ) ∂ ε i 1 ， j 1 ) i 2 ， : O n + q s − j 2 − i 2 + 1 ， q s ) − ( O i 2 − 1 ， q s ( ∂ W s ( ε ) ∂ ε i 1 ， j 1 ) j 2 + i 2 − 1 ， : O n + q s − i 2 ， q s ) ) (11) 其中 t 1 = { 1 2 ， j 1 = 1 1 ， 2 ≤ j 1 ≤ n − i 1 + 1 ， t 2 = { 1 2 ， j 2 = 1 1 ， 2 ≤ j 2 ≤ n − i 2 + 1 . 当 ε = 0 时，求解(10)和(11)，得到雅可比矩阵 G ′ ( 0 ) 和海森矩阵 G ″ ( 0 ) 。 假设 2：雅克比矩阵 G ′ ( 0 ) 行满秩。 假设对于指标集 I = { ( i 1 ， j 1 ) ， ( i 2 ， j 2 ) ， ⋯ ， ( i m ， j m ) } ，矩阵 ( ∂ G ( 0 ) ∂ ε i 1 ， j 1 ∂ G ( 0 ) ∂ ε i 2 ， j 2 ⋯ ∂ G ( 0 ) ∂ ε i m ， j m ) (12) 非奇异。由 G ˜ ( ε i 1 ， j 1 ， ε i 2 ， j 2 ， ⋯ ， ε i m ， j m ) = G ( ε ) | ε i ， j = 0   for   ( i ， j ) ∉ I (13) 定义非线性系统 G ˜ ( ε i 1 ， j 1 ， ε i 2 ， j 2 ， ⋯ ， ε i m ， j m ) = 0 . (14) 注2：利用定理2，我们计算了当零向量为非线性系统(14)的解时的验证误差界。 对于系统(14)，定义定理2中的常量B， η ， B = ‖ G ′ ˜ ( 0 ) − 1 ‖ ∞ ， η = ‖ G ˜ ′ ( 0 ) − 1 G ˜ ( 0 ) ‖ ∞ . (15) 定义m维区间向量 Ω = ( Ω i 1 ， j 1 ， Ω i 2 ， j 2 ， ⋯ ， Ω i m ， j m ) T ，其每一项均为区间 [ − 2 η ， 2 η ] 。定义同类型的区间摄动矩阵 Ω ˜ ，其满足当 ( i ， j ) ∈ I 时， Ω ˜ i ， j = Ω i ， j ，当 ( i ， j ) ∉ I 时， Ω ˜ i ， j = 0 。 利用verifylss函数，求解当 E = Ω ˜ 时相应的区间线性系统(8) (10) (11)，可得满足下式 H s ， t ⊃ ∂ ( 2 ) G ( Ω ) ∂ ε i s ， j s ∂ ε i t ， j t ， 1 ≤ s ≤ t ≤ m ， (16) 的区间向量集合 { H s ， t : 1 ≤ s ≤ t ≤ m } 。定义Lipschitz常量 κ = max 1 ≤ s ≤ t ≤ m max { ‖ H ‖ ∞ : ∀ H ∈ H s ， t } . (17)