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user: 2. 主要结果 设 A = ( a i j ) ∈ M n ( C ) ， α ∈ ( 0 ， 1 ] ，将不占优行的下标区间划分为m个区间，即 N 1 = N 1 ( 1 ) ∪ N 1 ( 2 ) ∪ ⋯ ∪ N 1 ( m ) ，其中m是任意正整数。 具体分法即， N 1 ( 1 ) = { i ∈ N : 0 < | a i i | < 1 m [ α R i + ( 1 − α ) C i ] } ， N 1 ( k ) = { i ∈ N : k − 1 m [ α R i + ( 1 − α ) C i ] ≤ | a i i | < k m [ α R i + ( 1 − α ) C i ] } ， k = 2 ， 3 ， ⋯ ， m ， 根据划分规则易知： N 1 ( k ) 或为空集。 为叙述方便，引入以下符号： ∀ i ∈ N 1 ( k ) ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ， ； ∀ i ∈ N 2 ， p ≥ 1 ， x 2 i = 1 p m ； ∀ i ∈ N 3 ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ， l = 1 ， 2 ， ⋯ ， Ω i ( 0 ) = r 0 = 1 ， r l = max i ∈ N 3 ( α ∑ t ∈ N 1 | a i t | + α ∑ t ∈ N 2 | a i t | + ( 1 − α ) C i | a i i | − α ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | Ω t ( l − 1 ) ) ， P l ， i = α ( ∑ t ∈ N 1 | a i t | + ∑ t ∈ N 2 | a i t | + r l ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | Ω t ( l − 1 ) ) + ( 1 − α ) C i ， Ω i ( l ) = P l ， i | a i i | ， ， H l = max i ∈ N 3 M l ， i ， 由上易知， P l + 1 ， i ≤ P l ， i ， Ω i ( l ) ≤ Ω i ( l − 1 ) ≤ ⋯ ≤ Ω i ( 1 ) ≤ Ω i ( 0 ) = 1 ， r l ≤ r l − 1 ≤ ⋯ ≤ r 1 < r 0 = 1 。 2.1. 定理1 设 A ∈ M n ( C ) ， α ∈ ( 0 ， 1 ] ，若存在 l 0 ∈ Z ， p ≥ 1 ，使满足： | a i i | x 1 i ( k ) > α [ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) ， t ≠ i | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + H l 0 ∑ t ∈ N 3 | a i t | Ω t ( l 0 ) ]                           + ( 1 − α ) C i x 1 i ( k ) ，     ∀ i ∈ N 1 ( k ) ; k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m (1) (2) 则A是非奇异H-矩阵。 证明 由于 x 1 i ( k ) = k | a i i | m [ α R i + ( 1 − α ) C i ] ，得到 0 < x 1 i ( k ) ≤ | a i i | α R i + ( 1 − α ) C i < 1 ， ∀ i ∈ N 1 ( k ) ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ，从而 0 < x 1 i ( k ) < 1 ， ∀ i ∈ N 1 ( k ) 。 由于 x 2 i = 1 p m ， p ≥ 1 ，m是任意正整数，所以 0 < x 2 i ≤ 1 ， ∀ i ∈ N 2 。 根据定义得到， M l ， i = α ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + α ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + ( 1 − α ) C i P l ， i − α r l ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | Ω t ( l ) ≤ α ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + α ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + ( 1 − α ) C i P l ， i − α r l ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | Ω t ( l − 1 ) ≤ α ∑ t ∈ N 1 | a i t | + α ∑ t ∈ N 2 | a i t | + ( 1 − α ) C i P l ， i − α r l ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | Ω t ( l − 1 ) = 1 又因为 H l = max i ∈ N 3 M l ， i ，故 H l ≤ 1 ， Ω i ( l ) ≤ 1 。 根据(1)式和(2)式，存在 1 0 ∈ Z ，可取充分小的正数 ε > 0 ，使 ε 同时满足： ε α ∑ t ∈ N 3 | a i t | < | a i i | x 1 i ( k ) − α [ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + H l 0 ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | Ω t ( l 0 ) ]                                   − ( 1 − α ) C i x 1 i ( k ) ，   ∀ i ∈ N 1 ( k ) ; k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m (3) ε α ∑ t ∈ N 3 | a i t | < | a i i | x 2 t − α [ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 k ， t ≠ i | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + H l 0 ∑ t ∈ N 3 | a i t | Ω t ( l 0 ) ] − ( 1 − α ) C i x 2 i ，     ∀ i ∈ N 2 (4) 再根据 M l ， i ， P l ， i 的定义，以及 ， Ω t ( l ) = P l ， i | a i i | ，对于任意 i ∈ N 3 ，有： H l 0 P l 0 ， i ≥ α [ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 k | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + H l 0 r l 0 ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | Ω t ( l 0 ) ] + ( 1 − α ) C i ， 又因为 ，所以得到： α [ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + H l 0 r l 0 ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | Ω t ( l 0 ) ] + ( 1 − α ) C i − H l 0 Ω t ( l 0 ) | a i i | ≤ 0 ， 即 H l 0 Ω t ( l 0 ) | a i i | − α [ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + H l 0 r l 0 ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | Ω t ( l 0 ) ] + ( 1 − α ) C i ≥ 0 ， 当 r l 0 = r 0 = 1 时，易知上述等式依旧成立。 因为 | a i i | > α R i + ( 1 − α ) C i ≥ α ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | + ( 1 − α ) C i ，所以 | a i i | − α ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | + ( 1 − α ) C i ≥ 0 ， 综上，取 ε > 0 且充分小，得： H l 0 Ω t ( l 0 ) | a i i | − α [ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + H l 0 r l 0 ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | Ω t ( l 0 ) ] + ( 1 − α ) C i   + ε [ | a i i | − α ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | + ( 1 − α ) C i ] > 0 (5) 下面构造正对角矩阵 X = d i a g ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ) ，记 B = A X = ( b i j ) ，其中： ， 1) ∀ i ∈ N 1 ( k ) ，由(3)式得， α R i ( B ) + ( 1 − α ) C i ( B ) = α [ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) ， t ≠ i | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + ∑ t ∈ N 3 | a i t | ( H l 0 Ω t ( l 0 ) + ε ) ] + ( 1 − α ) C i ( A ) x 1 i ( k ) = α [ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) ， t ≠ i | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + H l 0 ∑ t ∈ N 3 | a i t | Ω t ( l 0 ) ] + ( 1 − α ) C i ( A ) x 1 i ( k ) + ε α ∑ t ∈ N 3 | a i t | < | a i i | x 1 i ( k ) = | b i i | 2) ∀ i ∈ N 2 ，由(4)式得， α R i ( B ) + ( 1 − α ) C i ( B ) = α [ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 ， t ≠ i | a i t | x 2 t + ∑ t ∈ N 3 | a i t | ( H l 0 Ω t ( l 0 ) + ε ) ] + ( 1 − α ) C i ( A ) x 2 i = α [ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 ， t ≠ i | a i t | x 2 t + H l 0 ∑ t ∈ N 3 | a i t | Ω t ( l 0 ) ] + ( 1 − α ) C i ( A ) x 2 i + ε α ∑ t ∈ N 3 | a i t | < | a i i | x 2 i = | b i i | 3) ∀ i ∈ N 3 ，因为 H l ≤ 1 ， Ω i ( l ) ≤ 1 ，所以 H l 0 Ω t ( l 0 ) ≤ 1 ，再由(5)式得， | b i i | − α R i ( B ) − ( 1 − α ) C i ( B ) = ( H l 0 Ω t ( l 0 ) + ε ) | a i i | − α [ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | ( H l 0 Ω t ( l 0 ) + ε ) ]         − ( 1 − α ) C i ( A ) ( H l 0 Ω t ( l 0 ) + ε ) = ε [ | a i i | − α ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | − ( 1 − α ) C i ( A ) ] + H l 0 Ω t ( l 0 ) | a i i |         − α [ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + H l 0 ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | Ω t ( l 0 ) ] − ( 1 − α ) C i ( A ) H l 0 Ω t (l0) > ε [ | a i i | − α ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | − ( 1 − α ) C i ( A ) ] + H l 0 Ω t ( l 0 ) | a i i |         − α [ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + H l 0 ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | Ω t ( l 0 ) ] − ( 1 − α ) C i ( A ) > 0 综上所述， ∀ i ∈ N ， | b i i | > α R i ( B ) + ( 1 − α ) C i ( B ) ，总是能够成立，即满足 B = A X ∈ D ( α ) ，所以 A ∈ D ˜ ( α ) ，根据引理4，则 A ∈ D ˜ ，证毕。 注1 本文定理1对文献 [ 3 ] 的定理1有所改进，由于 r 1 ≤ 1 ，故做每步迭代时都有所进步(即判定条件比文献 [ 3 ] 的弱)。 我们可以在定理1中取 α = 1 ， p = 1 ，得出推论1，如下所示。 2.1.1. 推论1 设 A ∈ M n ( C ) ，若存在 l 0 ∈ Z ，使满足 | a i i | x 1 i > ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) ， t ≠ i | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a 2 t | x 2 t + H l 0 ∑ t ∈ N 3 | a i t | Ω t ( l 0 ) ，     ∀ i ∈ N 1 ; k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m | a i i | x 2 i ( k ) > ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 ， t ≠ i | a 2 t | x 2 t + H l 0 ∑ t ∈ N 3 | a i t | Ω t ( l 0 ) ，     ∀ i ∈ N 2 (k) 则A是非奇异H-矩阵。 注2 由于 r l ≤ 1 ，故做每步迭代时都有所进步(即判定条件比文献 [ 1 ] 的定理1条件弱)，也就是说本文推论1推广了文献 [ 1 ] 的定理1。 还可以在定理1中取 α = 1 ， p = 1 ， m = 1 ，得出推论2。 2.1.2. 推论2 设 A ∈ M n ( C ) ，若存在 l 0 ∈ Z ，使满足 | a i i | | a i i | R i > ∑ t ∈ N 1 ∪ N 2 ， t ≠ i | a i t | | a i i | R i + H l 0 ∑ t ∈ N 3 | a i t | Ω t ( l 0 ) ，     ∀ i ∈ N 1 ; k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 则A是非奇异H-矩阵。 同理可以推出下面两个定理： 2.2. 定理2 设 A ∈ M n ( C ) ， α ∈ ( 0 ， 1 ] ，矩阵A不可约，若存在 l 0 ∈ Z ， p ≥ 1 ，使满足 | a i i | x 1 i ( k ) ≥ α [ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) ， t ≠ i | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + H l 0 ∑ t ∈ N 3 | a i t | Ω t ( l 0 ) ]                           + ( 1 − α ) C i x 1 i ( k ) ，     ∀ i ∈ N 1 ( k ) ; k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m (6) | a i i | x 2 i ≥ α [ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 ， t ≠ i | a i t | x 2 t + H l 0 ∑ t ∈ N 3 | a i t | Ω t ( l 0 ) ] + ( 1 − α ) C i x 2 i ，     ∀ i ∈ N 2 (7) 且(6)或(7)中至少有一个严格不等式成立，则A是非奇异H-矩阵。 2.3. 定理3 记， K 1 = { i ∈ N 1 ( k ) : | a i i | x 1 i ( k ) > α [ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) ， t ≠ i | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + H l 0 ∑ t ∈ N 3 | a i t | Ω t ( l 0 ) ] + ( 1 − α ) C i x 1 i ( k ) } ; k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m K 1 = ∪ k = 1 m K 1 ( k ) ， K 2 = { i ∈ N 2 : | a i i | x 2 i > α [ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 ， t ≠ i | a i t | x 2 t + H l 0 ∑ t ∈ N 3 | a i t | Ω t ( l 0 ) ] + ( 1 − α ) C i x 2 i } ， K 3 = { i ∈ N 3 : | a i i | H l 0 Ω i ( l 0 ) > α [ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + H l 0 ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | Ω t ( l 0 ) ] + ( 1 − α ) C i H l 0 Ω i ( l 0 ) } 设 A ∈ M n ( C ) ， α ∈ ( 0 ， 1 ] ，若存在 l 0 ∈ Z ， p ≥ 1 ，使满足 | a i i | x 1 i ( k ) ≥ α [ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) ， t ≠ i | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + H l 0 ∑ t ∈ N 3 | a i t | Ω t ( l 0 ) ]                           + ( 1 − α ) C i x 1 i ( k ) ，     ∀ i ∈ N 1 ( k ) ; k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m (8) | a i i | x 2 i ≥ α [ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 ， t ≠ i | a i t | x 2 t + H l 0 ∑ t ∈ N 3 | a i t | Ω t ( l 0 ) ] + ( 1 − α ) C i x 2 i ，     ∀ i ∈ N 2 (9) 且(8)或(9)中至少有一个严格不等式成立，若对 ，存在非零元素链 a i i 1 a i 1 i 2 ⋯ a i r k ，使得 k ∈ ∪ k = 1 3 K i ，则A是非奇异H-矩阵。