system: [SYSTEM]

user: 3. 企业决策 以上讨论的模型是在没有任何的“干扰”下进行的，即可描述为基准模型。然而对于企业而言，时间就是金钱，为了促进产品口碑的传播与提高企业的收益，企业可在口碑传播的过程中采取相应的决策，以促进口碑更全面地更快地传播，从而使得更多消费者购买产品，达到提高企业收益的目的。因此，这就是企业做出的“口碑努力”，具体如图3所示。因此，本节将分别针对感知阈值和停播阈值，提出企业的广告决策与定价决策，研究口碑传播对于这两种决策的影响。 图3. 口碑传播及企业决策模型 3.1. 企业的广告决策 企业的广告决策是为了增加全体消费者的朋友的购买比例 ρ ¯ i k ，从而提高处于状态S的消费者对口碑的感知值 θ i t ，也就是说，广告决策能促进处于状态S的消费者向状态I转化，具体如下 ρ ′ ¯ i k ( t ′ + 1 ) = { ρ ′ ¯ i k ( t ′ ) + Δ θ ρ ′ ¯ i k ( t ′ ) (5) 其中 t ′ 是企业广告决策执行的时间点，区别于模拟时间步t； ρ ′ ¯ i k ( t ′ ) 是 t ′ 时刻消费者的平均购买比例； Δ θ 是购买比例的增幅。基于策略成功假定，有 Δ θ > 0 ，并且 Δ θ 的绝对值正比于企业广告投入。需要注意的是广告决策增加了平均感知值 θ ¯ i t ，但对于单个消费者而言，无法保证感知值一定增加，这也符合消费者行为的复杂性，企业无法期望在每个消费者上都取得效果，部分消费者会对企业决策响应行为产生反感与抵制行为并导致更大的感知阈值 θ i [ 14 ]。 由Galeotti和Goyal [ 15 ] 的分析可知，企业实施广告决策之后购买增加的比例 Δ θ 为： Δ θ = ∑ n = 1 k ( k n ) ε n ( 1 − ε ) k − n θ i ( k ， n ) (6) 其中， ε 表示产品在人群中的曝光水平，即企业决策的广告水平。广告的直接效果可以看作是对产品感兴趣的消费者比例的影响，其中 ( k n ) ε n ( 1 − ε ) k − n 表示某个客户周围的k个朋友中，有n个购买产品的概率； θ i ( k ， n ) 表示度数为k的消费者的感知阈值。假设当且仅当至少有一个朋友购买时，该个体才有可能会达到感知阈值，即 θ i ( k ， 0 ) = 0 。假设感知阈值模型 θ i ( k ， n ) = n k τ ，其中 τ ∈ ( 0 ， 1 ) ，由于异质性，各个消费者的 τ 会不同。也就是说，该消费者是否达到感知阈值取决于他的朋友中购买人数所占的比例。定理1描述了感知阈值模型下，增加购买的比例与企业实施广告决策的关系。 定理1. 在感知阈值模型中，企业实施广告决策之后购买增加的比例为 Δ θ = ε k 1 − τ ，且c在 ε 、k上递增。 证明： Δ θ = ∑ n = 1 k ( k n ) ε n ( 1 − ε ) k − n θ i ( k ， n ) = ∑ n = 1 k ( k n ) ε n ( 1 − ε ) k − n ⋅ n k τ = 1 k τ ⋅ ∑ n = 1 k n ( k n ) ε n ( 1 − ε ) k − n = 1 k τ ⋅ M ，令 y = 1 − ε ，则 M = 1 × ( k 1 ) ε y k − 1 + 2 × ( k 2 ) ε 2 y k − 2 + 3 × ( k 3 ) ε 3 y k − 3 + ⋯ + ( k − 2 ) ( k k − 2 ) ε k − 2 y 2     + ( k − 1 ) ( k k − 1 ) ε k − 1 y + k ( k k ) ε k y 0 ， M ε = 1 × ( k 1 ) y k − 1 + 2 × ( k 2 ) ε y k − 2 + 3 × ( k 3 ) ε 2 y k − 3 + ⋯ + ( k − 2 ) ( k k − 2 ) ε k − 3 y 2     + ( k − 1 ) ( k k − 1 ) ε k − 2 y + k ( k k ) ε k − 1 y 0 ， ∫ M ε d ε = ε ( k 1 ) y k − 1 + 2 × ( k 2 ) ε 2 2 y k − 2 + 3 × ( k 3 ) ε 3 3 y k − 3 + ⋯ + ( k − 2 ) ( k k − 2 ) ε k − 2 k − 2 y 2     + ( k − 1 ) ( k k − 1 ) ε k − 1 k − 1 y + k ( k k ) ε k k y 0 + C k 0 ε 0 y k − C k 0 ε 0 y k = ( ε + y ) k − C k 0 ε 0 y k 对上式两边对 ε 求导，可得 M ε = k ( ε + y ) k − 1 ，将 y = 1 − ε 代入，可得 M = k ε 。 因此，可得 Δ θ = 1 k τ ⋅ M = 1 k τ ⋅ k ε = ε k 1 − τ 。证毕。 由定理1可知，由于企业的广告决策，感知阈值模型中的某个特定消费者在网络中的朋友购买比例的增加值取决于广告努力水平与消费者的度数。当广告努力水平越大，则该消费者的朋友中可能购买的就越多，感知值 θ i t 就越高，则其余消费者被随之受到口碑传播从而由状态S进入状态I的概率 γ 就越高，从而促进更多的人购买，更有利于企业。另外，当某消费者的朋友中同样有n人购买时，若其度数k越小，则其朋友圈中此产品的渗透率(消费者群体中购买人数的比例)越低，那么该消费者进入状态I的概率就越低。也就是说， γ 感知率是关于广告努力水平 ε 的函数，并且 γ 正相关于 ε 。因此，企业实施广告决策对于口碑传播的影响，可以通过感知率 γ 的变化引起的对SIR模型中口碑传播的影响体现。 通过仿真，分别设置 γ = 0.361 、 γ = 0.461 和 γ = 0.561 ，仿真的其他参数设置如图2所示，三个仿真的过程如图4所示。 图4. 不同 γ 下SIR模型的口碑传播仿真 通过观察图4可知，当感知率 γ 变大时，状态S的消费者会更快地迅速减少，状态SI、状态IR和状态R的消费者则会更快地迅速增加。由于网络上的口碑传播取决于状态IR的比例，由图中可观察出，当感知率 γ 变大时，曲线ir(t)与时间轴围成的面积越大，且状态IR的消费者会更晚地趋于稳定，即网络上状态IR的消费者会更多，口碑传播会更晚地趋于稳定。此外，当口碑传播最终趋于稳定时， γ 越大，最终状态R的消费者会增加，状态S的消费者则会减少。这表明了，对于企业来说，实施广告决策会使得网络中的口碑传播更加活跃，有助于口碑传播更早地开始和更晚地结束，同时使得购买企业产品的消费者越多，从而提高企业的收益。 3.2. 企业的定价决策 本节的企业的定价决策是产品定价决策，指的是预先公布式定价决策 [ 16 ]，即企业在产品发布时，一开始就公布完整的价格路径，消费者根据这个价格路径确定在第一阶段购买还是第二阶段购买。这里两阶段的区分指的是第一阶段的口碑传播在网络上趋于稳定，即处于状态S、状态SI、状态IR和状态R的消费者已经达到稳定的状态。 而此时对于消费者来说，假设消费者都是策略型消费者，即消费者是足够理性的，则消费者存在一个两阶段购买的权衡，决定是否购买以及购买权衡，使其购买效用最大化。消费者在第一阶段购买产品需同时满足两个条件：(1) 第一阶段的预期购买效用是非负的；(2) 第一阶段的预期购买效用不低于第二阶段购买的期望效用。消费者在第二阶段购买需满足：第二阶段的预期购买效用是非负的。以下将对企业实施定价决策后对消费者的购买权衡进行分析。 假设消费者在第一阶段购买的期望效用为 u 1 = θ i − p 1 ，第二阶段购买的期望效用为 u 2 = δ ( θ i − p 2 ) ，其中 p 1 ， p 2 分别表示企业在第一阶段、第二阶段的定价。 δ 为贴现因子，且 δ ∈ [ 0 ， 1 ] ，体现了消费者的耐心程度 [ 17 ]，若消费者是极度耐心的，则 δ = 1 ，若消费者是短视的，则 δ = 0 。那么存在感知阈值的临界值 θ i * ，使得消费者在两阶段购买产品产生的效用无差异，即 θ i − p 1 = δ ( θ i − p 2 ) (7) 关于消费者的购买权衡的性质如定理2所示。 定理2. 对于给定的产品价格序列 { p 1 ， p 2 } ，企业实施定价决策之后消费者的感知阈值存在临界点 θ i * ，使得消费者在两阶段之间购买无差异，其中 θ i * = p 1 − δ p 2 1 − δ (8) 企业一开始发布完整的价格路径 { p 1 ， p 2 } ，消费者根据这个价格路径进行购买权衡以最大化其效用，而企业会判断到消费者做出的反应，且根据这个判断确定最优价格路径，从而最大化其两阶段的总体收益。因此，这里就存在企业与消费者之间的定价–购买博弈，本节内容就是研究这个博弈并确定其均衡，同时仿真体现企业定价决策对网络口碑传播的影响。 当 θ i t ≥ θ i * 时，消费者会在第一阶段购买，其中 θ i * = { p 1 当   p 1 ≤ p 2   时 ， p 1 − δ p 2 1 − δ 当   p 1 > p 2   且   p 1 − δ p 2 ≤ 1 − δ   时 ， 1 当   p 1 > p 2   且   p 1 − δ p 2 > 1 − δ   时 ， (9) 由式(9)可知，消费者的最优反应为：当企业的价格路径是不变或递增时( p 1 ≤ p 2 )，任何在第一阶段购买效用为非负的消费者会在第一阶段购买。另外，当企业的价格路径是递增( p 1 > p 2 )且两阶段的价格相差不大时( p 1 − δ p 2 ≤ 1 − δ )，尽管第二阶段的价格较低，但是感知值 θ i t 较大的消费者还是会在第一阶段购买。另一方面，当企业的价格路径是递增( p 1 > p 2 )且两阶段的价格相差较大时( p 1 − δ p 2 > 1 − δ )，没有消费者愿意在第一阶段购买，而到了第二阶段的消费者满足 θ i t ≥ p 2 时则会购买。 企业则会考虑到以上讨论的消费者对于预先定价做出的反应，因此企业会采用最优的价格路径 { p 1 * ， p 2 * } 以最大化其总体效益。企业的两阶段的收益为 π p ( p 1 ， p 2 ) = ( p 1 − c ) ( 1 − θ i ∗ ) + + ( p 2 − c ) ( θ i ∗ − p 2 ) + (10) 其中，c 为成本，且 c ∈ ( 0 ， 1 ) 。记 ( r ) + = max ( r ， 0 ) 。 则企业的最优定价路径如定理3。 定理3. 在这个定价–购买博弈中，任何的预先定价的价格路径都有唯一的均衡。企业唯一的最优的定价决策为 p 1 ∗ = 2 + c ( 1 + δ ) 3 + δ ，   p 2 ∗ = 1 + 2 c + δ 3 + δ (11) 而且， ( p 1 * − p 2 * ) 在 δ 上递减且有 p 1 * ≥ p 2 * ，企业收益 π p ( p 1 * ， p 2 * ) 也在 δ 上递减。 另外，消费者购买权衡的感知阈值的临界值 θ i * 为 θ i * = 2 + c + δ 3 + δ (12) 证明：当 p 1 ≤ p 2 时， π p ( p 1 ， p 2 ) = ( p 1 − c ) ( 1 − θ i ∗ ) + ，对 p 1 求一阶导数可得 π p ( p 1 ， p 2 ) ≤ ( 1 − c ) 2 / 4 。当 p 1 > p 2 且 p 1 − δ p 2 > 1 − δ 时， π p ( p 1 ， p 2 ) = ( p 2 − c ) ( θ i ∗ − p 2 ) + ，同样对 p 2 求一阶导数可得 π p ( p 1 ， p 2 ) ≤ ( 1 − c ) 2 / 4 。当 p 1 > p 2 且 p 1 − δ p 2 ≤ 1 − δ 时， π p ( p 1 ， p 2 ) = ( p 1 − c ) ( 1 − θ i ∗ ) + + ( p 2 − c ) ( θ i ∗ − p 2 ) + ，分别对 p 1 ， p 2 求一阶导数可得 p 1 = ( 1 + p 2 − δ + p 2 δ ) / 2 ， p 2 = ( c + p 1 − c δ + p 1 δ ) / 2 ，联立以上两式可得 p 1 * = [ 2 + c ( 1 + δ ) ] / ( 3 + δ ) ，则 p 2 * = ( 1 + 2 c + δ ) / ( 3 + δ ) ，故可得 π p ( p 1 ∗ ， p 2 ∗ ) = ( 1 − c ) 2 / ( 3 + δ ) ，可求得 π p ( p 1 ∗ ， p 2 ∗ ) 在任意的 δ ∈ [ 0 ， 1 ] 上有 π p ( p 1 ∗ ， p 2 ∗ ) ≥ ( 1 − c ) 2 / 4 ，故企业会采取价格路径为 { p 1 * ， p 2 * } 的均衡策略。同时， p 1 * − p 2 * = [ 2 + c ( 1 + δ ) ] / ( 3 + δ ) − ( 1 + 2 c + δ ) / ( 3 + δ ) = ( 1 − c ) ( 1 − δ ) / ( 3 + δ ) ≥ 0 ，且容易得 ∂ ( p 1 * − p 2 * ) / ∂ δ = 4 ( c − 1 ) / ( 3 + δ ) 2 < 0 。将 p 1 * ， p 2 * 代入式(8)，可得 θ i * = ( 2 + c + δ ) / ( 3 + δ ) 。 由定理3可知，在这个定价–购买博弈中，企业采取的均衡策略是 { p 1 * ， p 2 * } ，是一个递减的价格路径，而消费者的最优反应是： θ i ≥ ( 2 + c + δ ) / ( 3 + δ ) 的消费者会在第一阶段购买，其他消费者则在第二阶段购买。企业通常采取递减的价格路径，即企业会采用折扣促销决策来提高自己的收益，并且随着消费者越来越耐心，在第一阶段购买的消费者就会越来越少，此时网络上的口碑传播也就越少，同时企业两阶段的最优定价的差值 ( p 1 * − p 2 * ) 就会越来越少，也就是说企业在第二阶段的折扣力度就越小，但是此时企业的收益也会越来越少，因此，耐心的消费者是不利于企业的。 再结合定理2可知，当企业实施降价决策之后， θ i t ≥ θ i * 的消费者会在第一阶段购买产品，反之则会延迟购买。而且， θ i * 随着 p 2 的减少而增加，也就是说，当企业实施的促销折扣的力度越大，消费者在第二阶段购买的期望收益会越大，第一阶段购买的人数就会越少。从而企业面临了一个更有耐心、策略性更强的消费者群体，Yiangos和Nicos [ 17 ] 通过对用户进行社会学习的分析，得到了类似的结果。其具体原因用仿真分析如下。 企业在第二阶段实施打折促销后，能促进消费者更乐意地传播口碑。也就是说，降价决策能减缓处于状态I的消费者向状态R转化，减少口碑停播率 ω ，从而提高全体消费者对口碑的平均停播阈值 α ¯ i ，使网络上存在更多的口碑传播，具体如下： α ¯ i ( t ′ + 1 ) = { α ¯ i ( t ′ ) + Δ α α ¯ i ( t ′ ) (13) 其中 t ′ 是企业广告决策执行的时间点； α ¯ i ( t ′ ) 是消费者的平均停播阈值; Δ α 表示消费者在知道产品的打折促销后乐意继续口碑传播的程度，打折促销的力度越大， Δ α 就越大。也就是说， Δ α 是关于 ( p 1 * − p 2 * ) 的函数，并且 Δ α 正相关于 ( p 1 * − p 2 * ) 。基于策略成功假定，有 Δ α > 0 。这表明了，降价决策提高了平均停播阈值 α ¯ i ，即当消费者了解到企业进行降价后，会更乐意参与口碑传播，体现在其停播阈值 α i 的降低，刺激其向朋友继续传播口碑，则其余消费者受到口碑传播从而由状态I进入状态R的比例 ω 就越低，从而促进更多的人购买，更有利于企业。因此，口碑停播率 ω 负相关于 ( p 1 * − p 2 * ) 。 图5. 不同 ω 下SIR模型的口碑传播仿真 通过仿真，观察口碑停播率 的变化对SIR模型中口碑传播的影响，则可以确定企业实施降价决策对于口碑传播的影响。分别设置 ω = 0.01 、 ω = 0.02 和 ω = 0.03 ，仿真的其他参数设置如图2所示，三个仿真的过程如图5所示。 通过观察图5，口碑停播率 ω 的变化会对状态IR的消费者以及状态R的消费者的收敛时间产生影响。 ω 越小，曲线ir(t)与时间轴的面积更大，即网络中的状态IR的消费者会更多，并且会更晚地趋于稳定，同时，曲线r(t)的收敛时间也会越晚。这表明了，当企业实施降价决策时，使得消费者更乐意进行口碑传播，提高网络中口碑传播的活跃度，降低口碑停播率 ω ，从而使得有更多的人购买，促进企业的收益。