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user: 4. 应用 考虑一个金融市场，其中有一种债券和一种股票可以交易。它们的价格满足： d B ( t ) = r ( t ) B ( t ) d t ， B ( 0 ) = b 0 以及 d S ( t ) = S ( t ) [ μ ( t ) d t + σ ( t ) d W ( t ) ] ， S ( 0 ) = s 0 其中， r ( t ) 为无风险利率； μ ( t ) 为增值回报率； σ ( t ) 为股票波动系数。给出以下假设： (H4.1) r ( t ) ， μ ( t ) ， σ ( t ) 是确定性的函数；它们和 σ − 1 ( t ) 都是一致有界的。 我们这里假定只有一种股票是为了简化论述，多种股票的情形并无本质区别。假设某人投资债券和股票，他需要在时刻T达成财富目标 ξ ，与此同时，投资人希望最大化他的效用泛函J。我们以 π ( ⋅ ) 来表示在股票上的投资量，以 y ( ⋅ ) 来表示财富过程，以 c ( ⋅ ) 来表示投资者的瞬时消费率。假设投资人可以根据过去的投资表现来注入或者撤出资金，比如投资表现好就追加投入，否则就撤出部分资金回避风险，则财富过程可以用下述倒向随机微分时滞方程来描述： { d y ( t ) = [ r ˜ ( t ) y ( t ) − β ( t ) y δ ( t ) − α y ¯ ( t ) + π ( t ) b ( t ) − c ( t ) ] d t + π ( t ) σ ( t ) d W ( t ) ， y ( T ) = ξ ， y ( t ) = 0 ， t ∈ [ − δ ， 0 ) . (7) 这里， α > 0 ，而 β ( t ) 是某个确定性的函数， r ˜ ( t ) = r ( t ) + α + β ( t ) ， b ( t ) = μ ( t ) − r ( t ) 。如果记 z ( t ) = π ( t ) σ ( t ) ，则(7)可改写为： { d y ( t ) = [ r ˜ ( t ) y ( t ) − β ( t ) y δ ( t ) − α y ¯ ( t ) + b ( t ) σ − 1 ( t ) z ( t ) − c ( t ) ] d t + z ( t ) d W ( t ) ， y ( T ) = ξ ， y ( t ) = 0 ， t ∈ [ − δ ， 0 ) . (8) 假设投资者的效用泛函为： J ( c ( ⋅ ) ) = E ∫ 0 T L e − γ t c ( t ) 1 − R 1 − R d t − K ( y ( 0 ) ) ， 这里， L > 0 ， K > 0 ， γ > 0 ， 0 < R < 1 。投资者的目的是最大化以上效用泛函。上述实例可以看成文献 [ 5 ] 中应用的一个推广，现在利用第三节的结果来解决这个问题。 此时，Hamiltonian函数为： H ( t ， y ， y δ ， y ¯ ， z ， c ， p ， p ¯ ) = L e − γ t c 1 − R 1 − R − p ( r ˜ ( t ) y − β ( t ) y δ − α y ¯ + σ − 1 ( t ) b ( t ) z − c )     + p ¯ ( y − λ y ¯ − e − λ δ y δ ) ， 而伴随方程满足： { d p ( t ) = − [ r ˜ ( t ) p ( t ) + p ¯ ( t ) ] d t − σ − 1 ( t ) b ( t ) p ( t ) d W ( t ) ， p ( 0 ) = K ， (9) { d p ¯ ( t ) = [ α p ( t ) + λ p ¯ ( t ) ] d t − q ¯ ( t ) d W ( t ) ， p ¯ ( T ) = 0 ， (10) { d p ˜ ( t ) = [ β ( t ) p ( t ) + e − λ δ p ¯ ( t ) ] d t − q ˜ ( t ) d W ( t ) ， p ˜ ( T ) = 0 ， (11) 为确保 ( p ˜ ( ⋅ ) ， q ˜ ( ⋅ ) ) = 0 ，令 β ( t ) p ( t ) + e − λ δ p ¯ ( t ) = 0 ， (12) 然后对 β ( t ) p ( t ) 利用伊藤公式得： d β ( t ) p ( t ) = { − β ( t ) [ r ˜ ( t ) p ( t ) + p ¯ ( t ) ] + β ˙ ( t ) p ( t ) } d t − β ( t ) σ − 1 ( t ) b ( t ) p ( t ) d W ( t ) ， (13) 把(12)代入(13)，再把它和(10)比较系数，可知 β ( t ) 应满足： { β ˙ ( t ) − ( r ˜ ( t ) + λ ) β ( t ) + e λ δ β 2 ( t ) + e − λ δ α = 0 ， β ( T ) = 0 (14) 以及 q ¯ ( t ) = − e λ δ β ( t ) σ − 1 ( t ) b ( t ) p ( t ) 。因 r ˜ ( t ) = r ( t ) + α + β ( t ) ，(14)也可写为： { β ˙ ( t ) − ( r ( t ) + α + λ ) β ( t ) + ( e λ δ − 1 ) β 2 ( t ) + e − λ δ α = 0 ， β ( T ) = 0 (15) 注意(15)并非标准Riccati方程。如果 α = 0 ，显然 β ( t ) = 0 。我们讨论 α > 0 的情形。令 A ( t ) = r ( t ) + α + λ ， B = e λ δ − 1 ， C = e − λ δ α ， β 1 ( t ) = B β ( t ) − C 。如果 B = 0 ，(15)显然有解。现假设 B > 0 ，可以验证： { β ˙ 1 ( t ) − ( A ( t ) − 2 B C ) β 1 ( t ) + B β 1 2 ( t ) − C ( A ( t ) − 2 B C ) = 0 ， β 1 ( T ) = − C . (16) 当 A ( t ) − 2 B C ≥ 0 ， ∀ t ∈ [ 0 ， T ] 时，由文献 [ 6 ] 中的命题4.2可知，(16)有唯一的解 β 1 ( t ) < 0 。从而(15)有解 β ( t ) = β 1 ( t ) + C / B 。 然后把(12)代入(9)可解得 p ( t ) = K Ψ ( t ) ，这里， Ψ ( t ) 满足： { d Ψ ( t ) = − [ r ( t ) + α + ( 1 − e λ δ ) β ( t ) ] Ψ ( t ) d t − σ − 1 ( t ) b ( t ) Ψ ( t ) d W ( t ) ， Ψ ( 0 ) = 1. (17) 我们令： c * ( t ) = ( L e − γ t ) 1 R ( p ( t ) ) − 1 R = ( L K ) 1 R ( Ψ ( t ) ) − 1 R e − γ R t (18) 根据第三节的定理可以验证， c * ( ⋅ ) 是最优控制。 我们总结以上分析后有如下结论。 命题 假定(H4.1)成立。如果 α > 0 且 r ( t ) ≥ 2 α ( 1 − e − λ δ ) − α − λ ， ∀ t ∈ [ 0 ， T ] (即： A ( t ) − 2 B C ≥ 0 )， β ( t ) 满足(15)，那么 c * ( ⋅ ) 是投资者的最优消费。