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user: 2. 强FI-内射模 设M是一R-模， ℵ 是一R-模类，记 ⊥ ℵ = { M | 对 任 意 X ∈ ℵ ， Ext R ≥ 1 ( M ， X ) = 0 } ； ℵ ⊥ 1 = { M | 对 任 意 X ∈ ℵ ， Ext R 1 ( M ， X ) = 0 } [ 6 ]。对偶地，可定义 ℵ ⊥ 和 ℵ ⊥ 1 。 设F是R-模类，M是一R-模，称同态 φ : C → M 是M的F-预覆盖，如果 C ∈ F ，并且对任意 C ′ ∈ F ，任意同态 g : C ′ → M ，存在同态 f : C ′ → C ，使得 g = φ f ，其中 C ′ ∈ F ；取 C ′ = C ，若满足 g = φ f 的f都是C的自同构，则称 φ 为M的 F - 覆 盖 。对偶地，可定义M的F-预包络和F-包络。若满同态 φ : C → M 满足 C ∈ F ，并且 K e r φ ∈ F ⊥ 1 ，则称 φ : C → M 是M的特殊F-预覆盖。对偶地，可定义M的特殊F-预包络 [ 7 ]。 设 A ， B 是两个R-模类，称类对 ( A ， B ) 是一余挠对，如果 A = B ⊥ 1 ， B = A ⊥ 1 。称余挠对 ( A ， B ) 是遗传的，如果对任意 A ∈ A ， B ∈ B ， Ext R ≥ 1 ( A ， B ) = 0 。若每个R-模有特殊A-预覆盖(等价于特殊 B - 预 包 络 )，则称 ( A ， B ) 为完备的余挠对 [ 7 ]。 本部分我们引入强FI-内射模，讨论其同调性质，并证明 ( S ⊥ 1 FI ( R ) ，SFI ( R ) ) 是一遗传完备的余挠对。 定义2.1 称R-模M是强FI-内射模，若对任意 I ∈ FPI ( R ) ， Ext R ≥ 1 ( I ， M ) = 0 。 我们将强FI-内射R-模类记为 SFI ( R ) 。 称R-模类 X ( R ) 是内射可解类，如果 I ( R ) ⊆ X ( R ) ，且对任意 X ( R ) 中的正合列 0 → X ′ → X → X ″ → 0 ，其中 X ′ ∈ X ( R ) ，则 X ″ ∈ X ( R ) ⇔ X ∈ X ( R ) [ 6 ]。 关于定义，我们注意到 注记2.2 1) I ( R ) ⊆ SFI ( R ) ⊆ FI ( R ) ；特别地，如果R是左Noether环，则 FPI ( R ) ⊆ I ( R ) ⊆ SFI ( R ) ⊆ FI ( R ) 。 2) SFI ( R ) 是内射可解类，且关于直积与直和项封闭。 称环R是QF环，如果R是左Noether环，且R是内射R-模 [ 2 ]。下面用强FI-内射R-模给出QF环的等价刻画。 命题2.3 设R是环，则以下等价： 1) R 是 QF 环； 2) 若 I ∈ I ( R ) ，则 I ∈ P ( R ) ； 3) 若 M ∈ R -Mod ，则 M ∈ SFI ( R ) ； 证明 1) ⇔ 2) 由文献( [ 8 ] 定理5.3)可得。 2) ⇒ 3) 设 M ∈ R -Mod ， I ∈ FPI ( R ) ，由文献( [ 4 ] 定理2.6)可知， I ∈ I ( R ) ，则由条件(2)可知， I ∈ P ( R ) ，所以 Ext R ≥ 1 ( I ， M ) = 0 ，即 M ∈ SFI ( R ) 。 3) ⇒ 2) 设 M ∈ R -Mod ，任取 I ∈ I ( R ) ，则 I ∈ FPI ( R ) 。因为 M ∈ SFI ( R ) ，所以 Ext R ≥ 1 ( I ， M ) = 0 ，因此 I ∈ P ( R ) 。 推论2.4 设R是环，则以下等价： 1) R 是QF环； 2) 若 M ∈ R -Mod ，则 M ∈ FI ( R ) ； 3) 若 M ∈ R -Mod ，则 M ∈ SFI ( R ) 。 证明由命题2.3及文献( [ 2 ] 命题2.8)易得。 下面给出强FI-内射模是一个内射模的等价刻画。 命题2.5 设R是左凝聚环， M ∈ R -Mod ，则 M ∈ I ( R ) ⇔ M ∈ SFI ( R ) 且 F P - i d ( M ) ≤ 1 。 证明 ( ⇒ ) 显然。 ( ⇐ ) 设 0 → M → E → L → 0 是R-模的正合列，其中 E ∈ I ( R ) 。因为 F P - i d ( M ) ≤ 1 ，所以由文献( [ 3 ] 引理3.1)可知， L ∈ FPI ( R ) 。又因为 M ∈ SFI ( R ) ，所以正合列 0 → M → E → L → 0 可裂，故 M ∈ I ( R ) 。 设 M ∈ R -Mod ，取 M 的一个投射分解 P = ⋯ → P i → P i − 1 → ⋯ → P 1 → P 0 → M → 0 ( i ∈ ℕ ) ，令 K 0 = Ker ( P 0 → M ) ， K i = Ker ( P i → P i − 1 ) ( i ≥ 1 ) ，则称 K i ( i ∈ ℕ ) 为 M 的第i次合冲；取 M 的一个内射分解 E = 0 → M → E 0 → E 1 → ⋯ → E i − 1 → E i → ⋯ ( i ∈ ℕ ) ，令 L 0 = Coker ( M → E 0 ) ， L i = Coker ( E i − 1 → E i ) ( i ≥ 1 ) ，则称 L i ( i ∈ ℕ ) 为 M 的第i次上合冲 [ 9 ]。下面证明 ( S ⊥ 1 FI ( R ) ， SFI ( R ) ) 是一遗传完备的余挠对。 引理2.6 设R是环，则以下条件成立： 1) 任意强FI-内射R-模M的第 i ( i ≥ 0 ) 次上合冲 L i ∈ SFI ( R ) ； 2) 任意FP-内射R-模I的第 i ( i ≥ 0 ) 次合冲 K i ，都有 Ext R ≥ 1 ( K i ， SFI ( R ) ) = 0 。 证明 因为 SFI ( R ) 是内射可解类，且 I ( R ) ⊆ SFI ( R ) ，所以由维数转移易知结论成立。 命题2.7 ( S ⊥ 1 FI ( R ) ， SFI ( R ) ) 是遗传完备的余挠对； 证明 要证 ( S ⊥ 1 FI ( R ) ， SFI ( R ) ) 是余挠对，只需证 SFI ( R ) = ( S ⊥ 1 FI ( R ) ) ⊥ 1 即可。 任取 M ∈ SFI ( R ) ，取 M 的内射分解 0 → M → E 0 → E 1 → ⋯ → E n − 1 → L n − 1 → 0 ，其中 E i ∈ I ( R ) R ≪ φ ( B ) ， L n − 1 是M的第 n − 1 次上合冲。由引理2.6可知， L n − 1 ∈ SFI ( R ) 。对任意 X ∈ S ⊥ 1 FI ( R ) ，由维数转移可知， 0 = E x t R j ( X ， L n − 1 ) ≅ E x t R j + n ( X ， M ) ( j ≥ 1 ) 。另一方面，取 X 的投射分解 0 → K n − 1 → P n − 1 → ⋯ → P 1 → P 0 → X → 0 ，其中 P i ∈ P ( R ) ( i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ) ， K n − 1 是 M 的第 n − 1 次合冲。由维数转移可知， Ext R 1 ( K n − 1 ， M ) ≅ Ext R n + 1 ( X ， M ) = 0 。于是 K n − 1 ∈ S ⊥ 1 FI ( R ) ，故 M ∈ ( S ⊥ 1 FI ( R ) ) ⊥ 1 。 设 M ∈ ( S ⊥ 1 FI ( R ) ) ⊥ 1 ，由以上证明有 Ext R j ( K n − 1 ， M ) ≅ Ext R n + j ( X ， M ) = 0 ( j ≥ 1 ) 。特别地，若 I ∈ FPI ( R ) ，则 I ∈ S ⊥ 1 FI ( R ) 。因此 Ext R ≥ 1 ( I ， M ) = 0 ，故 M ∈ SFI ( R ) 。综上所述， ( S ⊥ 1 FI ( R ) ， SFI ( R ) ) 是余挠对。 设 M ∈ SFI ( R ) ， I ∈ FPI ( R ) ，对 I 的任意 i 次合冲 K i ，由引理2.6可知， Ext R ≥ 1 ( K i ， M ) = 0 ，故 ( S ⊥ 1 FI ( R ) ， SFI ( R ) ) 是遗传余挠对。设 Y i 是所有 FP- 内射R-模的第 i 次合冲的代表集，则 Y = ⊕ Y i 也是一个集合。注意到 Ext R ≥ 1 ( ⊕ Y i ， M ) ≅ ∏ Ext R ≥ 1 ( Y i ， M ) = 0 ，所以 SFI ( R ) = Y ⊥ 。从而由文献( [ 10 ] 定理10)可知， ( S ⊥ 1 FI ( R ) ， SFI ( R ) ) 是遗传完备的余挠对。 推论2.8 每个R-模都有特殊 S ⊥ 1 FI ( R ) -预覆盖和特殊 SFI ( R ) -预包络。