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user: 2. 几个重要引理 引理2.1． ∀ u ∈ H 0 1 ( Ω ) 且 u ± ≠ 0 ， ∃ ( t u ， s u ) ∈ ℝ + × ℝ + 使得 t u u + + s u u − ∈ M λ ， T 并且当 λ 足够小时， J λ ， T ( t u u + + s u u − ) = max t ， s ≥ 0 J λ ， T ( t u + + s u − ) 。 证明：固定 u ∈ H 0 1 ( Ω ) 且 u ± ≠ 0 ，定义泛函h： [ 0 ， + ∞ ) × [ 0 ， + ∞ ) → ℝ 为 h ( t ， s ) = J λ ， T ( t u u + + s u u − ) = t 2 2 ‖ u + ‖ 2 − λ 4 t 4 G T ( t u u + + s u u − ) ∫ Ω ϕ u − | u + | 2 d x − t p p ∫ Ω | u + | p d x     + s 2 2 ‖ u − ‖ 2 − λ 4 t 4 G T ( t u u + + s u u − ) ∫ Ω ϕ u − | u + | 2 d x − s p p ∫ Ω | u − | p d x     − λ 2 t 2 s 2 G T ( t u u + + s u u − ) ∫ Ω ϕ u + | u − | 2 d x (2.1) 因此泛函 h ∈ C 2 。再根据泛函h和 G T 的定义，可得当 | ( t ， s ) | → + ∞ 时， h ( s ， t ) → − ∞ 。再由泛函h的连续性，可得泛函h在 [ 0 ， + ∞ ) × [ 0 ， + ∞ ) 中存在最大值点 ( t u ， s u ) 。 下面证明泛函h的最大值点不能在 ℝ + × ℝ + 的边界处取得。不失一般性，假设 ( t ¯ ， 0 ) 是泛函h的最大值点。我们很容易的得到，当 t = t ¯ ， s = 0 且 λ 足够小时 ∂ h ∂ t = t ¯ ‖ u ‖ 2 − λ t ¯ 3 G T ( t ¯ u + ) ∫ Ω ϕ u + | u + | 2 − t ¯ p − 1 ∫ Ω | u + | p d x               − λ 2 t ¯ 4 g ′ ( ‖ t ¯ u + ‖ 2 T 2 ) 1 T 2 ∫ Ω ∇ ( t ¯ u + ) ∇ u + d x ∫ Ω ϕ u + | u + | 2 d x > 0 (2.2) 用相同的方法可得 ∂ h ∂ s > 0 。因此，泛函h的最大值不能在边界处取得，即存在最大值点 ( t u ， s u ) ∈ ℝ + × ℝ + 满足 ∂ h ( t ， s ) ∂ t | ( t u ， s u ) = ∂ h ( t ， s ) ∂ s | ( t u ， s u ) = 0 。 据此可得 〈 J ′ λ ， T ( t u u + + s u u − ) ， t u u + 〉 = 〈 J ′ λ ， T ( t u u + + s u u − ) ， s u u − 〉 = 0 ，即 t u u + + s u u − ∈ M λ ， T 。 根据引理2.1，下面的推论成立。 推论2.1. 对于 ∀ u ∈ H 0 1 ( Ω ) ， u ± ≠ 0 ， ∃ ( t u ， s u ) ∈ ℝ + × ℝ + 使得 t u u + + s u u − ∈ M λ 并且当 λ 足够小时， J λ ( t u u + + s u u − ) = max t ， s ≥ 0 J λ ( t u + + s u − ) 。 引理2.2. 泛函 J λ ， T 是下方有界的且在 M λ ， T 上是强制的。 证明：设 u ∈ M λ ， T ，则 〈 J ′ λ ， T ( u ) ， u 〉 = 0 ，根据p的取值范围，下面分两种情况进行讨论。 1) 当 2 < p < 4 时： J λ ， T ( u ) = J λ ， T ( u ) − 1 p 〈 J ′ λ ， T ( u ) ， u 〉 = 1 2 ‖ u ‖ 2 − λ 4 G T ( u ) ∫ Ω ϕ u u 2 d x − 1 p ∫ Ω | u | p d x       − 1 p [ ‖ u ‖ 2 − λ G T ( u ) ∫ Ω ϕ u u 2 d x − λ 2 T 2 g ′ ( ‖ u ‖ 2 T 2 ) ∫ Ω ϕ u u 2 d x ∫ Ω | ∇ u | 2 d x − ∫ Ω | u | p d x ] = ( 1 2 − 1 p ) ‖ u ‖ 2 + ( λ p − λ 4 ) G T ( u ) ∫ Ω ϕ u u 2 d x + λ 2 p g ′ ( ‖ u ‖ 2 T 2 ) ‖ u ‖ 2 T 2 ∫ Ω ϕ u u 2 d x ≥ ( 1 2 − 1 p ) ‖ u ‖ 2 + λ C 2 p T 2 g ′ ( ‖ u ‖ 2 T 2 ) ‖ u ‖ 6 ≥ ( 1 2 − 1 p ) ‖ u ‖ 2 − 8 λ C p T 4 . (2.3) 2) 当 4 ≤ p < 2 * 时： J λ ， T ( u ) = J λ ， T ( u ) − 1 4 〈 J ′ λ ， T ( u ) ， u 〉 = 1 2 ‖ u ‖ 2 − λ 4 G T ( u ) ∫ Ω ϕ u u 2 d x − 1 p ∫ Ω | u | p d x     − 1 4 [ ‖ u ‖ 2 − λ G T ( u ) ∫ Ω ϕ u u 2 d x − λ 2 T 2 g ′ ( ‖ u ‖ 2 T 2 ) ∫ Ω ϕ u u 2 d x ∫ Ω | ∇ u | 2 d x − ∫ Ω | u | p d x ] = 1 4 ‖ u ‖ 2 + λ 8 p g ′ ( ‖ u ‖ 2 T 2 ) ‖ u ‖ 2 T 2 ∫ Ω ϕ u u 2 d x + ( 1 4 − 1 p ) ∫ Ω | u | p d x ≥ 1 4 ‖ u ‖ 2 + λ 8 p g ′ ( ‖ u ‖ 2 T 2 ) ‖ u ‖ 2 T 2 ‖ u ‖ 6 ≥ 1 4 ‖ u ‖ 2 − 2 λ C T 4 . (2.4) 因此，由(2.3)和(2.4)知 J λ ， T 是下方有界且强制的。 引理2.3. 令 λ ∈ ( 0 ， 1 4 T 2 C 1 S p − 1 ) ，则 1) 对于 ∀ u ∈ M λ ， T ， ∃ 常数 μ > 0 使得 ‖ u ‖ ≥ μ > 0 ；2) 集合 M λ ， T 是闭的。 证明：1) 使用反证法，设 ∃ { u n } ⊂ M λ ， T 使得 ‖ u n + ‖ → 0 或者 ‖ u n − ‖ → 0 。根据 { u n } ⊂ M λ ， T ， g ′ ≤ 0 ，得到 ‖ u n ± ‖ 2 − λ G T ( u n ) ∫ Ω ϕ u n ( u n ± ) 2 d x − λ 2 T 2 g ′ ( ‖ u ‖ 2 T 2 ) ∫ Ω ϕ u n u n 2 d x ∫ Ω ( ∇ u n ± ) 2 d x = ∫ Ω | u n ± | p d x . 由Sobolev不等式和 ‖ ϕ u ‖ D 1 ， 2 ≤ C 1 ‖ u ‖ 2 ，可得到 ∫ Ω | u n ± | p d x ≤ S p − p / 2 ‖ u n ± ‖ p 和 ‖ u n ± ‖ 2 − λ G T ( u n ) ∫ Ω ϕ u n ( u n ± ) 2 d x − λ 2 T 2 g ′ ( ‖ u ‖ 2 T 2 ) ∫ Ω ϕ u n u n 2 d x ∫ Ω ( ∇ u n ± ) 2 d x ≥ ‖ u n ± ‖ 2 − λ G T ( u n ) ∫ Ω ϕ u n ( u n ± ) 2 d x ≥ ‖ u n ± ‖ 2 − λ C 1 S p − 1 G T ( u n ) ‖ u n ‖ 2 ‖ u n ± ‖ 2 即有 1 − λ C 1 S p − 1 G T ( u n ) ‖ u n ‖ 2 ≤ S p − p / 2 ‖ u n ± ‖ p − 2 。另一方面，根据 ‖ u n + ‖ → 0 或者 ‖ u n − ‖ → 0 ，对于任意的 λ ∈ ( 0 ， 1 4 T 2 C 1 S p − 1 ) ，很容易得到 0 < 1 2 ≤ 1 − λ C 1 S p − 1 G T ( u n ) ‖ u n ‖ 2 ≤ S p − p / 2 ‖ u n ± ‖ p − 2 → 0 . 这是不可能的．因此结论1) 成立。 2) 令 u n ∈ M λ ， T ， u n → u 0 。根据 u n ∈ M λ ， T ，则 ∫ Ω | u 0 ± | p d x = lim n → ∞ ∫ Ω | u n ± | p d x = lim n → ∞ [ ‖ u n ± ‖ 2 − λ G T ( u n ) ∫ Ω ϕ u n ( u n ± ) 2 d x − λ 2 T 2 g ′ ( ‖ u n ‖ 2 T 2 ) ∫ Ω ϕ u n u n 2 d x ∫ Ω ( ∇ u n ± ) 2 d x ] = ‖ u 0 ± ‖ 2 − λ G T ( u 0 ) ∫ Ω ϕ u 0 ( u 0 ± ) 2 d x − λ 2 T 2 g ′ ( ‖ u 0 ‖ 2 T 2 ) ∫ Ω ϕ u 0 u 0 2 d x ∫ Ω ( ∇ u 0 ± ) 2 d x 因此， 〈 J ′ λ ， T ( u 0 ) ， u 0 + 〉 = 〈 J ′ λ ， T ( u 0 ) ， u 0 − 〉 。 根据1) 中的结论，对于 ∀ λ ∈ ( 0 ， 1 4 T 2 C 1 S p − 1 ) ，可得到 lim n → ∞ ‖ u n ± ‖ 2 = ‖ u 0 ± ‖ 2 ≥ μ > 0 ，即 u 0 ± ≠ 0 。因此， u 0 ∈ M λ ， T 。所以，对于 ∀ λ ∈ ( 0 ， 1 4 T 2 C 1 S p − 1 ) ，集合 M λ ， T 是闭的。 引理2.4. 存在 Λ 1 > 0 和序列 { u n } ⊂ M λ ， T 使得对于任意的 λ ∈ ( 0 ， Λ 1 ) 有 J λ ， T ( u n ) → m λ ， T 和 J ′ λ ， T ( u n ) → 0 。 证明：根据引理2.2和2.3，对于 ∀ λ ∈ ( 0 ， 1 4 T 2 C 1 S p − 1 ) ，使用Ekeland变分原理得到极小化序列 { u n } ⊂ M λ ， T 满足 m λ ， T ≤ J ′ λ ， T ( u n ) < m λ ， T + 1 n ，且对任意的 v ∈ M λ ， T 有 J λ ， T ( v ) ≥ J λ ， T ( u n ) − 1 n ‖ u n − n ‖ 。显然， { u n } 在 H 0 1 ( Ω ) 中 { u n } 有界。 如果我们证明了 J ′ λ ， T ( u n ) → 0 ，则引理2.4证明结束．为了完成证明，对于任意固定的 φ ∈ C ∞ ( Ω ) 和任意的 n ∈ ℕ ，我们考察如下 C 1 泛函 f n ± : ℝ 3 → ℝ ， f n ± ( r ， k ， l ) = 〈 J ′ λ ， T ( u n + r φ + k u n + + l u n − ) ， ( u n + r φ + k u n + + l u n − ) ± 〉 . 令 v n = u n + r φ + k u n + + l u n − ，则 f n ± ( r ， k ， l ) = ∫ Ω ( ∇ ( v n ) ± ) 2 d x − ∫ Ω ( ( v n ) ± ) p d x − λ G T ( v n ) ∫ Ω ϕ v n ( ( v n ) ± ) 2 d x     − λ ‖ ( v n ) ± ‖ 2 2 T 2 g ′ ( ‖ v n ‖ 2 T 2 ) ∫ Ω ϕ v n ( v n ) 2 d x . 由于 〈 J ′ λ ， T ( u n ) ， ( u n ) ± 〉 = 0 ，我们可得到 f n ± ( 0 ， 0 ， 0 ) = 0 。此外，有 ∂ f n + ( 0 ， 0 ， 0 ) ∂ k = − 4 λ g ′ ( ‖ u n ‖ 2 T 2 ) ‖ u n + ‖ 2 T 2 ∫ Ω ϕ u n ( u n + ) 2 d x − 2 λ G T ( u n ) ∫ Ω ϕ u n + ( u n + ) 2 d x     − λ g ″ ( ‖ u n ‖ 2 T 2 ) ( ‖ u n + ‖ 2 T 2 ) 2 ∫ Ω ϕ u n u n 2 d x − ( p − 2 ) ∫ Ω | u n + | p d x ， (2.5) ∂ f n − ( 0 ， 0 ， 0 ) ∂ l = − 4 λ g ′ ( ‖ u n ‖ 2 T 2 ) ‖ u n − ‖ 2 T 2 ∫ Ω ϕ u n ( u n − ) 2 d x − 2 λ G T ( u n ) ∫ Ω ϕ u n − ( u n − ) 2 d x     − λ g ″ ( ‖ u n ‖ 2 T 2 ) ( ‖ u n − ‖ 2 T 2 ) 2 ∫ Ω ϕ u n u n 2 d x − ( p − 2 ) ∫ Ω | u n − | p d x ， (2.6) ∂ f n − ( 0 ， 0 ， 0 ) ∂ k = − 2 λ g ′ ( ‖ u n ‖ 2 T 2 ) ‖ u n − ‖ 2 T 2 ∫ Ω ϕ u n ( u n + ) 2 d x − 2 λ g ′ ( ‖ u n ‖ 2 T 2 ) ‖ u n + ‖ 2 T 2 ∫ Ω ϕ u n ( u n − ) 2 d x     − 2 λ G T ( u n ) ∫ Ω ϕ u n + ( u n − ) 2 d x − λ g ″ ( ‖ u n ‖ 2 T 2 ) ‖ u n + ‖ 2 T 2 ‖ u n − ‖ 2 T 2 ∫ Ω ϕ u n u n 2 d x ， (2.7) ∂ f n + ( 0 ， 0 ， 0 ) ∂ l = − 2 λ g ′ ( ‖ u n ‖ 2 T 2 ) ‖ u n + ‖ 2 T 2 ∫ Ω ϕ u n ( u n − ) 2 d x − 2 λ g ′ ( ‖ u n ‖ 2 T 2 ) ‖ u n − ‖ 2 T 2 ∫ Ω ϕ u n ( u n + ) 2 d x   − 2 λ G T ( u n ) ∫ Ω ϕ u n − ( u n + ) 2 d x − λ g ″ ( ‖ u n ‖ 2 T 2 ) ‖ u n + ‖ 2 T 2 ‖ u n − ‖ 2 T 2 ∫ Ω ϕ u n u n 2 d x . (2.8) 根据引理2.3的1)，对于任意的 λ < min { 1 4 T 2 C 1 S p − 1 ， μ 2 8 T 2 C 1 S p − 1 } ，可得到 ∫ Ω | u n ± | p d x = ‖ u n ± ‖ 2 − λ G T ( u n ) ∫ Ω ϕ u n ( u n ± ) 2 d x − λ 2 T 2 g ′ ( ‖ u n ‖ 2 T 2 ) ∫ Ω ϕ u n u n 2 d x ∫ Ω ( ∇ u n + ) 2 d x ≥ ∫ Ω | u n ± | p d x = ‖ u n ± ‖ 2 − λ G T ( u n ) ∫ Ω ϕ u n ( u n ± ) 2 d x ≥ μ 2 − λ C 1 S p − 1 G T ( u n ) ‖ u n ‖ 2 ‖ u n ± ‖ 2 ≥ μ 2 − 4 λ C 1 S p − 1 T 4 ≥ μ 2 2 (2.9) 结合(2.5)~(2.9)和 { u n } 的有界性，取充分小的 Λ 1 > 0 ，使得对于任意的 λ ∈ ( 0 ， Λ 1 ) ( Λ 1 < min { 1 4 T 2 C 1 S P − 1 ， μ 2 8 T 2 C 1 S P − 1 } ) 有 | ∂ f n + ( 0 ， 0 ， 0 ) ∂ k ∂ f n + ( 0 ， 0 ， 0 ) ∂ l ∂ f n − ( 0 ， 0 ， 0 ) ∂ k ∂ f n − ( 0 ， 0 ， 0 ) ∂ l | ≥ ( p − 2 ) 2 2 ∫ Ω | u n + | p d x ∫ Ω | u n − | p d x ≥ ( p − 2 ) 2 μ 4 8 > 0 . 因此，根据隐函数定理得到 r n > 0 且两个一阶可导泛函 k n ， l n : ( − r n ， r n ) → ℝ ，使得 k n ( 0 ) = l n ( 0 ) = 0 和 f n ± ( r ， k n ( r ) ， l n ( r ) ) = 0 ， ∀ r ∈ ( − r n ， r n ) . (2.10) 即 u n + r φ + k n ( r ) u n + + l n ( r ) u n − ∈ M λ ， T ， ∀ r ∈ ( − r n ， r n ) 。 令 w n = u n + r φ + k n ( r ) u n + + l n ( r ) u n − ，则 J λ ， T ( u n + w n ) − J λ ， T ( u n ) ≥ − 1 n ‖ w n ‖ ， ∀ r ∈ ( − r n ， r n ) . (2.11) 根据泰勒展开式， 〈 J ′ λ ， T ( u n ) ， ( u n ) ± 〉 = 0 ，从而有 J λ ， T ( u n + w n ) − J λ ， T ( u n ) = 〈 J ′ λ ， T ( u n ) ， w n 〉 + o ( ‖ w n ‖ ) = r 〈 J ′ λ ， T ( u n ) ， φ 〉 + o ( ‖ w n ‖ ) . 根据(2.11)，则 〈 J ′ λ ， T ( u n ) ， φ 〉 + o ( ‖ w n ‖ ) r ≥ − 1 n ‖ φ ‖ − 1 n ‖ k n ( r ) r u n + + l n ( r ) r u n − ‖ . (2.12) 结合(2.5)，(2.9)和 { u n } 的有界性，我们容易得到存在 C 2 > 0 使得对于任意的 λ ∈ ( 0 ， Λ 1 ) ，有 | k ′ n ( 0 ) | = | ( ∂ f n + ) / ( ∂ r ) ( 0 ， 0 ， 0 ) ( ∂ f n + ) / ( ∂ k ) ( 0 ， 0 ， 0 ) | ≤ C ‖ φ ‖ ≤ C 1 。类似地，我们可得到对于任意的 C 3 > 0 有 | l ′ n ( 0 ) | ≤ C 3 。 下面固定n，令(2.12)中的 r → 0 ，可得到 〈 J ′ λ ， T ( u n ) ， φ 〉 ≥ − 1 n ‖ φ ‖ − C 3 n 。 因此， ‖ J ′ λ ， T ( u n ) ‖ ≤ C 4 n 。所以 J ′ λ ， T → 0 。这样我们完成了引理2.4的证明。 根据引理2.2和引理2.3，我们得到 m λ ， T > 0 。 引理2.5. 如果 λ ∈ ( 0 ， 1 4 T 2 C 1 S p − 1 ) ，则 J λ ， T 满足 ( P S ) m λ ， T 条件。 证明：令 { u n } ⊂ H 0 1 ( Ω ) 且是 J λ ， T 的 ( P S ) c 序列，即 lim n → ∞ J λ ， T ( u n ) = m λ ， T ， lim n → ∞ J ′ λ ， T ( u n ) = 0 . (2.13) 根据引理2.2可得到 { u n } 在 H 0 1 ( Ω ) 中是有界的，因此，存在 u ∈ H 0 1 ( Ω ) 满足 { u n ⇀ u ， in H 0 1 ( Ω ) u n → u ， in L r ( Ω ) u n → u ， a . e . in Ω ， . (2.14) 根据(2.13)和(2.14)，对于足够大的n，我们有 (2.15) 对于任意的 ，也可得到 因此，根据(2.15)可得 ，即 。又 在 中弱收敛，便可得 。 引理2.6．取引理2.4中的 ，则对于任意的 ，存在 使得 在 处可达，且 是泛函 的变号临界点。 证明：根据引理2.4，存在极小化序列 使得对于 ，有 和 。 根据引理2.5，存在 使得在 中， 。结合引理2.3，可得到 ， ， ，即 是 的变号临界点且 。 引理2.7. 令 是引理2.6中泛函 的变号临界点，则当T足够大时，存在 使得对于任意的 有 。 证明：定义泛函 ， ．根据引理2.1，存在 且 使得 成立，此处的 。则可得到 (2.16) 此处 是一个常数，独立于 ，T。下面将对p分两种情况进行讨论： 情况一： 时，在此情况下，与引理2.2的证明类似，由 得 . (2.17) 假设 ，则根据(2.16)，(2.17)得 . 当T足够大和 时，得出矛盾。 情况二： 时，与引理2.2证明相同，根据 ，可得 。因此，对于足够大的T，当 时，得到与情况一相同的结论。这与假设是矛盾的。所以，令 ，当 时结论成立。