system: [SYSTEM]

user: 2. 模型与求解 2.1. 立管振动模型 本文分析模型中，定义水平面上为y和z轴，垂直方向上为x轴(如图1)，根据哈密顿原理，考虑管内流体压力、密度、流速和温差的动力学方程可表示为 ∫ 0 L [ ( m r + m f + m a ) ( u ¨ x δ u x + u ¨ y δ u y + u ¨ z δ u z ) + J x θ ¨ x δ θ x + ⋯   + 2 u i ρ f A i ( u ′ ˙ y δ u y + u ′ ˙ z δ u z ) + c ( u ˙ x δ u x + u ˙ y δ u y + u ˙ z δ u z + R r θ ˙ x δ θ x ) + ⋯   + [ ( u i 2 ρ f + p i ) A i − T 0 ] ( u ″ y δ u y + u ″ z δ u z ) + E A r ( ε x 0 + 1 ) 2 u ′ x δ u ′ x + ⋯   + G I x θ ′ x δ θ ′ x E I ( u ″ y δ u ″ y + u ″ z δ u ″ z ) − ( f x δ u x + f y δ u y + f z δ u z ) ] d x = 0 (1) 式(1)中L为立管长度， m r = ρ r A r 是立管的单位长度上的质量， ρ r 是立管的材料密度， A r 是立管的截面积； m a = ρ w π D 2 / 4 是立管单位长度上的附加质量，D为立管外径， R r = D / 2 (此处暂不考虑浮力块，如果有浮力块，可由FEM处理)； ρ w 为立管周围水的密度(此处假设水密度是恒定的，如果不是恒定的，则由FEM处理)； m f = ρ f A i 是立管内单位长度上的流体的质量， ρ f 为立管内的流体密度， A i 为立管内截面积， u i 是管内流速， p i 是管内压力； u x 、 u y 和 u z 和分别是立管在x轴，y轴和z轴方向上的平移位移； u ˙ y = ∂ u y / ∂ t ， u ˙ z = ∂ u z / ∂ t ， u ˙ x = ∂ u x / ∂ t ； u ″ y = ∂ 2 u y / ∂ x 2 ， u ″ z = ∂ 2 u z / ∂ x 2 ； θ x 和 θ ′ x = ∂ θ x / ∂ x 是立管横截面相对于柱体轴线的角位移和角速度， θ ′ x = ∂ θ x / ∂ x 是扭转应变；E和G分别是立管的杨氏模量和剪切模量，I和I x 分别是立管横截面相对于直径和x轴的惯性矩，J x 是立管单位长度质量对x轴的惯性矩； ε x 0 是由组装和加工引起的立管的初始轴向应变(包括管道的温度应变 α t Δ t r 其中 α t 为线性膨胀系数， Δ t r 为管子长度方向的温差)， u ′ x = ∂ u x / ∂ x = ε x 除 ε x 0 以外的因素引起的轴向应变；f x ，f y 和f z 分别是重力，浮力和管道与水动力的相互作用力；T 0 是立管两端的附加张力，不包括立管的重力和浮力或其他力(例如摩擦和阻尼)，因此其大小不会随长度而变化，例如，如果立管下端悬挂BOP，则T 0 等于BOP的重量； c = c s + c f 是阻尼系数，其中c s 是结构阻尼 (结构中的粘性耗散)，c f 是流体阻尼。 采用空间细长梁单元将立管离散为有限元模型。设其形函数为N x (x)，对式(1)在一个单元上进行积分，可得 [ m ] { f ¨ i ; j } + [ c ] { f ˙ i ; j } + [ k ] { f i ; j } = { F i ; j } ， (2) 其中 { f i ; j } = [ u x i u y i u z i θ x i θ y i θ z i u x j u y j u z j θ x j θ y j θ z j ] T ， (3) [ m ] = ∫ 0 l [ N x ] T [ m r + m f + m a 0 0 0 0 m r + m f + m a 0 0 0 0 m r + m f + m a 0 0 0 0 J x ] [ N x ] d x ， (4) [ c ] = [ c i ] + [ c f ] + [ c s ] ， (5) [ c i ] = 2 u i ρ f A i ∫ 0 l [ N x ] T [ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ] [ N ′ x ] d x ， (6) [ c f ] = c ∫ 0 l [ N x ] T [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 R r ] [ N x ] d x ， (7) [ c s ] = 2 ζ 1 [ m ] Ω r 1 − 2 ( Ω r 1 2 [ m ] − [ k b ] ) ( ζ 1 Ω r 1 − ζ 2 Ω r 2 ) Ω r 1 2 − Ω r 2 2 (8) [ k ] = [ k a ] + [ k b ] + [ k t ] ， (9) [ k a ] = ∫ 0 l [ N x ] T [ 0 0 0 0 0 ( u i 2 ρ f + p r ) A i − T 0 0 0 0 0 ( u i 2 ρ f + p ) A i − T 0 0 0 0 0 0 ] [ N ″ x ] d x ， (10) [ k b ] = ∫ 0 l [ N ″ x ] T [ 0 0 0 0 0 E I 0 0 0 0 E I 0 0 0 0 0 ] [ N ″ x ] d x ， (11) [ k t ] = ∫ 0 l [ N ′ x ] T [ E A r ( ε x 0 + 1 ) 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 G I x ] [ N ′ x ] d x ， and (12) { F i ; j } = ∫ 0 l [ N x ] T [ f x f y f z 0 ] T d x . (13) 注意式(5)和式(6)中的 [ c i ] 表示由于管道内流体的流动和管道横截面转动而引起的科氏惯性效应，是一种表观阻尼；式(7)中的c是流体阻尼；式(8)中的 Ω r 1 和 Ω r 2 分别是立管的最低第一和第二角频率， ζ 1 和 ζ 2 分别是该结构的一阶和二阶阻尼比，一般 ζ 1 = 0.001   -   0.03 ， ζ 2 = min ( Ω r 2 / Ω r 1 ， 5 ) ζ 1 ；式(13)是单元的结点载荷列向量，对于垂直放置的立管和垂直向上的x轴，我们有 f x = − f b ( m r + m a ) g + f b b m b g ， (14) 其中，将浮力系数 f b 定义为 f b = 1 − π D 2 ρ w / 4 ( m r + m a ) ，将浮力块的浮力系数 f b b 定义为 f b b = 1 − ρ b / ρ w ， ρ b 和 m b 分别为浮力块密度和浮力块质量。而 f y 和 f z 是由于涡旋脱落和涡激效应而由外部流体动力学产生的，可以表示为 [ 14 ] f y = f D + f D 0 − f L u u ˙ y ， f z = f L + f D u u ˙ y .(15) 在这里， f D 0 是平均阻力， f D 是涡流引起的波动阻力， f L 是管道上的升力。 这些可以表示为 f D = 1 2 C D i ρ w D u 2 ， f D 0 = 1 2 C D 0 ρ w D u 2 ， f L = 1 2 C L ρ w D u 2 ， (16) 其中， C D i 是随时间变化的涡流诱导阻力项， C D 0 是两端固支管道的平均阻力系数， C L 是升力系数。 C D i 和 C L 可以表示为 C D i = C D i 0 p ( x ， t ) 2 ， C L = C L 0 q ( x ， t ) 2 ， (17) 其中 C D i 0 和 C L 0 是两端固支立管相关的发生涡旋脱落的非稳态阻力和升力系数。 p ( x ， t ) 和 q ( x ， t ) 分别代表在y和z方向上的涡激变量，其模型将在下一节详述。 顺便指出，在式(16)中，当立管被外径为D b 的浮力块所包裹时， D = D b ；如果立管或立管的一部分中没有浮力块，则D即为立管的外径。 此外，当立管的挠度变大时，挠度斜率将改变载荷的分布，因此，应将式(14)和(15)所表示的结点力分量可修正为 f x m = f x cos α i ， f y m = f y − f x sin α i cos β i ， f z m = f z − f x sin α i sin β i (18) 其中， sin α i = Δ r y z / Δ r x y z ， cos β i = Δ r y / Δ r y z ， sin β i = Δ r z / Δ r y z ， Δ u x = u x j − u x i ， Δ u y = u y j − u y i ， Δ u z = u z j − u z i ， Δ r y z = | u y j − u y i ， u z j − u z i | ， Δ r x y z = | u x j − u x i ， u y j − u y i ， u z j − u z i | 。在模拟过程中，每个时间步对式(18)的值进行 更新。修正后更能反映实际情况。 2.2. 范德波尔尾迹振子模型 式(17)中两个尾迹变量 p ( x ， t ) 和 q ( x ， t ) 为无量纲量，可由以下两个van der Pol方程控制 [ 14 ]： q ¨ + ε z Ω s ( q 2 − 1 ) q ˙ + Ω s 2 q = A z D u ¨ z ， (19) p ¨ + 2 ε y Ω s ( p 2 − 1 ) p ˙ + 4 Ω s 2 p = A y D u ¨ y ， (20) 其中， u ¨ y 和 u ¨ z 为立管横向振动加速度，由方程(2)确定； ε y 、 ε z 、 A y 和 A z 是通过实验估算的无量纲参数， 是涡流脱落角频率，定义如下 [ 14 ]： (21) 称为斯托哈尔(Strouhal)常数，与雷诺数Re有关，在 范围内(本文所属范围)， 可近似取0.2 [ 15 ] [ 16 ]。 2.3. 方程求解 系统包括两组基本方程。一组为管道在内部流体流动和外部流体尾迹激励共同作用下的振动方程，如式(1)~(2)所示；另一组为受管道横向振动加速度激励的尾迹振子方程，如式(19)和(20)所示。式(2)中的非齐次项 经过式(15)~(18)的非线性转换与式(19)和(20)相耦合。因此，要分析立管或尾迹的动力学特征，必须联合求解方程(2)~(20)。具体求解步骤如下： i) 求解方程(2)齐次式的特征值，获取立管的最低第一和第二角频率 和 ，然后通过式(8)计算 ； ii) 将初始条件( )设置为 ， ， ，以及 ； iii) 计算式(4)~(7)和(9)~(18)，并将其代入公式(2)中； iv) 用Newmark方法求解方程式(2)，提取 和 ，将它们和式(21)代入式(19)和(20)中； v) 用Runge–Kutta方法求解方程(19)和(20)，提取 和 ，然后将它们代入方程(13)~(18)和(2)中，完成一个循环。让 (可设 )。转回到步骤iv)继续循环计算，直到 。 下标 ，N表示有限元结构中的节点数； ， 是从0到60s的时间步长总数。通常，在求解式(2)之前，必须将局部单元坐标表示的所有相关矩阵和向量转换为全局结构坐标，并集成到结构矩阵和向量中。 2.4. 模型验证和参数设定 在模拟隔水管下入过程的动力学响应之前，我们通过将本模型的计算结果与已有的实验结果和数值模拟结果进行比对，来验证本模型的正确性和调试参数值。为此，我们选择的模拟对象其结构参数和材料参数与一个经典实验里的完全相同 [ 17 ]：无浮力块，立管长度 ，管道外径 ，壁厚 ，立管长度与直径之比 ，质量比 ，外部流体的质量密度 ，内部流体的质量密度 ，管道的杨氏模量 。此外，来流平行于全局坐标下的y轴，并且附加张力 施加到立管的每个端部。立管的两端均由铰链支撑，可以自由旋转。垂直立管的固有频率由埃克森美孚公司在MARINTEK测试得到 [ 18 ]，并由L. Wang等人的解析解 [ 13 ] 和E. Wang等人 [ 14 ] 在ANSYS软件中使用分析方法和FEM进行了计算.这些结果和本模型获得的结果汇总在表1。本模型的计算结果和有限元计算的结果 [ 14 ]，二者的相对误差Error 54 < 1%，与其他结果的误差也在工程许可的范围内。 Table 1 Eigenfrequencies for the vertical riser mode Mode Test [ 18 ] Hz Analysis [ 13 ] Hz FEA [ 17 ] Hz Present Hz Error 32 * % Error 42 * % Error 52 * % Error 54 * % 1 2.06 2.570 1.790 1.773 24.76 −13.09 −13.95 −0.989 2 3.95 4.392 3.673 3.636 11.19 −7.025 −7.94 −0.988 3 6.16 6.775 5.731 5.674 9.98 −6.966 −7.89 −0.993 4 - - 8.037 7.957  - - −0.994 5 - - 10.649 10.54  - - −0.986 6 - - 13.610 13.476  - - −0.985 7 - - 16.952 16.787  - - −0.973 8 - - 20.698 20.499  - - −0.961 表1. 固有频率对比 * Error ij (i= 3， 5; j = 2， 4)是第i列到第j列时数据的相对误差。 Table 2 The maximum root-mean-square amplitudes for the mode Test [ 18 ] Lehn FEA [ 17 ] Huang FEA [ 13 ] E. Wang Present Error 32 * % Error 42 * % Error 52 * % 0.14 – 0.125 0.145 – −10.71 3.57 0.745 0.833 0.805 0.791 11.81 8.05 6.17 表2. 最大振幅均方根对比 * Error ij (i= 3， 5; j = 2)是第i列到第j列时数据的相对误差。 接下来，我们检查立管的振动幅度。与Lehn [ 18 ] 实验中的实验组#1105进行比较。除了来流速度设定为均匀且大小为0.42 m/s，实验组＃1105中的其他参数与参考文献 [ 18 ] 中的参数相同。表2总结了以无量纲形式表示的IL(y)方向和CF(z)方向振幅的最大均方根值(rms)， 和 ，这些结果分别取自埃克森美孚公司在MARINTEK的实验 [ 18 ]，Huang等人 [ 18 ] 和Wang等人 [ 14 ] 的有限元计算，以及本文方法的计算结果。由表2可见，本方法的结果与实验吻合度最好。我们在对比计算中采用的参数值与有关文献 [ 18 ] 中大致相同，但是在对比计算中进行了微调，现将最佳值列于表3，作为今后计算时本模型的参数值。 Table 3 Coefficients for the dynamic model 0.82 1.26 1.13 0.02 0.04 1.91 15.28 0.2 0.03 表3. 模型主要参数值 以上与实验，计算和解析解方法得到的结果比较证明，本模型包括算法和编程是可信且有效的。在下一节中，我们将使用本方法来计算和讨论钻探立管在深水区下落时的动力学响应，以及带浮力块的钻井立管的力学行为分析。