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user: 3. 中国地震灾害损失概率的测算 3.1. 灾害损失数据的获得与处理 3.1.1. 数据来源与初步处理 查阅《中国地震统计年鉴》得到1990~2015年中国地震损失数额数据，共有26个数据，由于数据的时间跨度比较大，为了消除物价水平带来的影响，本文以2015年的CPI为定基指数，对1990~2015年的中国地震损失数额进行调整。经过物价调整后，得到以2015年为基期的1990~2015年的地震损失数据见图1。如图1所示，在2008年出现了明显的极端值状况，这是由于2008年发生了汶川大地震，为了消除这种大地震带来的影响，本文对数据进行对数处理，对数处理可以有效消除地震损失数据之间年度的巨大差异，处理结果如图2所示。 3.1.2. 扩充样本 本文选取了1990~2015年共26个数据，为了解决数据数量不足而导致模型的参数估计出现严重的偏差的问题，本文将通过模特卡罗模拟的方法扩大中国地震损失数据的样本空间。 首先，选取国内外相关研究中使用较多的3种厚尾分布模型作为候选模型 [ 9 ] ，分别为对数正态分布Lognormal、韦伯分布Weibull、伽马分布Gamma。之后，本文运用了参数方法对其进行拟合，利用极大似然估计法估计了相应分布的参数，见表1。接下来，需要进一步筛选哪一种分布拟合效果最优，本文选取了常用的一种拟合效果检验统计量，K-S检验法，如果得到的K-S检验统计量对应的P值较大，无法拒绝原假设，可认为拟合越接近原分布，结果如表1所示。 图1. 历年地震损失值 图2. 经过对数处理的历年地震损失值 由表1的结果可以看到，Log-normal、Weibull、Gamma这三个分别对应的P值分别为0.9173、0.6282和0.8517，就K-S检验结果来说，在5%的显著性水平下，三个分布均通过了K-S检验，即认为数据拟合效果接近原始分布，三者比较，Log-normal分布的K-S检验的p值要高于其他分布的，可以认为在参数拟合法中，Log-normal分布是拟合地震损失数据的最优分布。同时，综合图3概率密度分布图与图4积累概率密度图来看，Log-normal分布的拟合效果是最好的，因此选取Log-normal分布来进行蒙特卡洛模拟。 本文根据已知的对数正态分布进行随机抽样1000次，即模拟1000次。由此产生已知的Log-normal分布的随机变量与之前的数据一起产生了新的样本，共1026个，如图5、图6所示。 3.2. 地震灾害数据的厚尾性检验 在构建模型之前，首先需要对地震损失数据进行厚尾性的检验。通常会将分布函数的尾部分布比指 Table 1 Maximum likelihood estimation of the corresponding parameter list and KS-test p tabl 分布函数名称 参数 估计值 KS-检验的p值 对数正态分布 1.169795 0.9173 0.531830 韦伯分布 2.070986 4.164000 0.6282 伽马分布 3.9494651 0.8517 0.9308381 表1. 极大似然估计法估计相应分布的参数表及KS-检验的p值表 图3. 各分部拟合效果对比图 图4. 各分布积累概率密度图 图5. 原始样本 图6. 扩充后的样本 数分布的尾部更厚的分布定义为厚尾分布，本文通过损失数据的概率密度函数图和关于标准指数分布的Q-Q图加以说明，如图7、图8。 从图7的概率密度函数图，可以看到损失数据顶部比正态分布更尖，尾部比正态分布更厚，呈现出明显的尖峰厚尾的性质，并且图像是向右偏斜的。通过图8关于标准指数分布的Q-Q图，可以看出上端向下倾斜，下端向上翘起，这表明数据的分布是尖峰态的，其尾部比正态分布的尾部厚。综上可见，用正态分布不能很好地拟合损失额数据，主要是极值数据的影响，因此，本文使用广义帕累托分布对这些极值数据进行拟合。 3.3. 阈值选取 阈值的选取是POT模型中非常关键的问题。阈值选择的准确性，对于参数 和 的估计起到重要的。如果阈值 太大，会使得超量损失数据很少，将导致尺度参数 偏高；如果阈值 太小，会导致估计参数出现有偏性，无法达到应该的拟合效果。本文运用了三个阈值选取的方法： 3.3.1. 超额均值函数图 超额均值函数(Mean Excess Function， MEF)的定义为： 式中： 表示超过阈值的样本观测量。MEF图是点 的集合，横轴为 ， 图7. 概率密度函数图 图8. 概率密度函数图 纵轴为 ，得到相应的函数图。如果在某个观测值后函数曲线趋于线性，那么可以确定阈值 为该观测值。图9为我国地震损失数据的样本平均超出量函数图及相应的95%置信区间，由图像可以看出阈值约在区间在(8，9)的一个范围内图形是近似线性的。 3.3.2. Hill图法 设 表示独立同分布的次序统计量，可以得出： 横轴为 ，纵轴为 ，即Hill图为坐标 的点构成的曲线，选取图中尾部指数稳定区域的起始点的横坐标对应的数值作为阈值。由图10的Hill图可以看到，尾部指数在超过大约31个数据后变得比较平稳，因此本文将阈值初步确定为8.5。 3.3.3峰度法 峰度的计算公式为 其中 ， 得到峰度后进行进一步计算，当 时，将 值最大的 移出样本，循环该算法，直到计算出 停止循环，从余下的观测值中选择最大的 作为阈值。运用此方法确定阈值，结果为 ，接近于8.5。于是本文选取阈值 ，低于该阈值 的地震损失属于正常范围，超过该阈值 的地震损失额则认定为极值。 图9. 平均超出量函数图 3.4. 参数估计及拟合效果检验 选定的阈值 ，运用极大似然估计方法进行参数估计，结果见表2。 利用估计结果，可以进一步得到拟合分布的诊断图。结果如图11所示，其中图a为P-P图，反映了各变量累计概率与其对应分布的累计概率之间的趋势关系，图b为Q-Q图，反映了所有数据变量分布的分位数和其对应分布的分位数之间的趋势关系。若P-P图和Q-Q图上的所有的点都近似在某一条直线上，则可以认为所选数据符合广义Pareto分布。图c为重现水平图，反映了重现期的对数数据与其对应的重现水平之间的关系，如图c中所示，所选的样本数据落在了指定分布的分位数置信区间内部，则可以认为所选取的数据符合广义Pareto分布。图d为尾部密度曲线的估计和直方图。从以上四个分布拟合诊断图可以看出，各数据点基本上分布在其参考线两侧，证明了对扩充过的地震年损失数据运用POT模型及广义Pareto分布拟合是合理的，同时拟合效果是很好的。 估计得出的广义帕累托分布函数为： 图10. Hill图 Table 2 Generalized Pareto distribution parameter estimation tabl 分布函数 参数 估计值 近似标准误差 广义Pareto分布 形状参数 1.43408851 0.3848041 尺度参数 0.06012435 0.2086485 表2. 广义Pareto分布参数估计表 因此中国地震灾害损失概率分布函数为： 3.5. 巨灾风险水平的测算 高分位的估计式为： 由上述公式可以得到下表3。 从分位数的统计角度看，中国地震灾害损失额小于等于160，252.0万元的概率为90%，小于等于 图11. 广义Pareto分布拟合诊断图：(a) P-P图；(b) Q-Q图；(c) 重现水平图；(d) 直方图与密度函数估计图 Table 3 Generalized Pareto distribution parameter estimation tabl 参数 ， ， 0.90分位数 0.95分位数 0.99分位数 0.995分位数 0.999分位数 160，252.0 512，894.9 9，281，176.0 35，305，717.1 982，081，246.9 表3. 广义Pareto分布参数估计表 512，894.9万元的概率为95%，小于等于9，281，176.0万元的概率为99%，小于等于35，305，717.1万元的概率为99.5%，小于等于982，081，246.9万元的概率为99.9%。