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user: 3. 主要结果及证明 为了方便起见，记 Λ = [ ( 1 + α T 2 2 ( 1 − α η ) ) ∫ 0 T ( T − s ) a ( s ) d s ] − 1 . 定理3.1假设 f ( t ， 0 ) 在 [ 0 ， T ] 上不恒为0，且存在一个常数 R > 0 ，使得 0 ≤ f ( t ， u 1 ) ≤ f ( t ， u 2 ) ≤ Λ R ， ∀ t ∈ [ 0 ， T ] ， 0 ≤ u 1 ≤ u 2 ≤ R . (3.1) 则边值问题(1.1)~(1.2)存在单调正解。 证明：定义锥 P = { u ∈ E | u ( t ) ≥ 0 ，   ∀ t ∈ [ 0 ， T ] } . 并定义算子 T : P → E T u ( t ) = ∫ 0 T G ( t ， s ) a ( s ) f ( s ， u ( s ) ) d s ，     t ∈ [ 0 ， T ] . 对 ∀ u ∈ P ，由引理2和条件 ( H 1 ) - ( H 2 ) 可得 T u ( t ) ≥ 0 ，从而 T : P → P ，显然 T 的不动点为边值问题(1.1)~(1.2)的解。 令 v 0 ( t ) = 0 ， w 0 ( t ) = R 。 接下来我们验证定理1.1的所有条件均满足。 首先证明 T : [ v 0 ， w 0 ] → P 是全连续的。 现证 T 是连续的。设 u n ， u ∈ P ， ‖ u n − u ‖ → 0   ( n → ∞ ) ，则对任意的自然数 n 和 t ∈ [ 0 ， T ] ，有 ‖ T u n − T u ‖ = max t ∈ [ 0 ， T ] | T u n ( t ) − T u ( t ) | = max t ∈ [ 0 ， T ] | ∫ 0 T G ( t ， s ) a ( s ) f ( s ， u n ( s ) ) d s − ∫ 0 T G ( t ， s ) a ( s ) f ( s ， u ( s ) ) d s | ≤ max t ∈ [ 0 ， T ] ∫ 0 T G ( t ， s ) a ( s ) | f ( s ， u n ( s ) ) − f ( s ， u ( s ) ) | d s ≤ max t ∈ [ 0 ， T ] ∫ 0 T [ t ( T − s ) + α 1 − α η ∫ 0 T η ( T − s ) d η ] a ( s ) | f ( s ， u n ( s ) ) − f ( s ， u ( s ) ) | d s ≤ [ 1 + α T 2 2 ( 1 − α η ) ] ∫ 0 T ( T − s ) a ( s ) | f ( s ， u n ( s ) ) − f ( s ， u ( s ) ) | d s 。 由Lebesgue控制收敛定理， lim n → ∞ | f ( s ， u n ( s ) ) − f ( s ， u ( s ) ) | = 0 ，则 lim n → ∞ ‖ T u n − T u ‖ = 0 . 即 T u n → T u   ( n → ∞ ) 。 故 T 是连续的。 其次证明 T 是紧算子。 设 S ⊂ [ v 0 ， w 0 ] 是有界集，对于任意的 { y k } k = 1 ∞ ⊂ T ( S ) ，存在 { x k } k = 1 ∞ ⊂ S ，使得 y k = T x k 。由于 S ⊂ [ v 0 ， w 0 ] 是有界集，则存在自然数 R ，使得 0 ≤ x k ≤ R ， t ∈ [ 0 ， T ] 。 | y k ( t ) | = | ( T x k ) ( t ) |   =   | ∫ 0 T G ( t ， s ) a ( s ) f ( s ， x k ( s ) ) d s | ≤ ∫ 0 T [ t ( T − s ) + α 1 − α η ∫ 0 T η ( T − s )   d η ] a ( s ) f ( s ， x k ( s ) ) d s ≤ [ 1 + α T 2 2 ( 1 − α η ) ] ∫ 0 T ( T − s ) a ( s ) d s ⋅ Λ R ≤ Λ − 1 ⋅ Λ R = R . 由此得到 { y k } k = 1 ∞ 在 t ∈ [ 0 ， T ] 上一致有界。 进一步，对于任意的 ε ≥ 0 ，存在一个 δ > 0 ，使得对于任意的正整数 k ， ∀ t 1 ， t 2 ∈ [ 0 ， T ] 且 | t 1 − t 2 | < δ ， | G ( t 1 ， s ) − G ( t 2 ， s ) | < ε T ‖ a ‖ ∞ Λ R 时，有 | y k ( t 1 ) − y k ( t 2 ) | =   | ( T x k ) ( t 1 ) − ( T x k ) | ( t 2 )   =   | ∫ 0 T G ( t 1 ， s ) a ( s ) f ( s ， x k ( s ) ) d s − ∫ 0 T G ( t 2 ， s ) a ( s ) f ( s ， x k ( s ) ) d s |   ≤   | ∫ 0 T ( G ( t 1 ， s ) − G ( t 2 ， s ) ) a ( s ) f ( s ， x k ( s ) ) d s | ≤ ∫ 0 T | G ( t 1 ， s ) − G ( t 2 ， s ) | a ( s ) | f ( s ， x k ( s ) ) | d s < ε . 这说明 { y k } k = 1 ∞ 是等度连续的。从而由Arzela-Ascoli定理可知， T : [ v 0 ， w 0 ] → P 是全连续的。 接下来证明 T 是单调递增算子。 由(3.1)知当 u ( t ) ≤ v ( t ) 时，有 T u ( t ) ≤ T v ( t )   ，   ∀ t ∈ [ 0 ， T ] . 故 T u ≤ T v ，从而 T 是单调递增算子。 其次证明 v 0 是 T 的下解。由引理2.2和 ( H 1 ) 知 T v 0 ( t ) = ∫ 0 T G ( t ， s ) a ( s ) f ( s ， 0 ) d s ≥ 0 = v 0 ( t ) . 故 v 0 ≤ T v 0 ，即 v 0 是 T 的下解。 再证明 w 0 是 T 的上解。同样由引理2.2及(3.1)式知 | T w 0 ( t ) |   =   ∫ 0 T G ( t ， s ) a ( s ) f ( s ， w 0 ( t ) ) d s ≤ ∫ 0 T [ t ( T − s ) + α 1 − α η ∫ 0 T η ( T − s )   d η ] a ( s ) f ( s ， w 0 ( s ) ) d s ≤ ∫ 0 T [ ( T − s ) + α T 2 ( T − s ) 2 ( 1 − α η ) ] a ( s ) f ( s ， w 0 ( s ) ) d s ≤ [ 1 + α T 2 2 ( 1 − α η ) ] ∫ 0 T ( T − s ) a ( s ) d s ⋅ Λ R ≤ Λ − 1 ⋅ Λ R = R = w 0 ( t ) . 故 T w 0 ≤ w 0 ，即 w 0 是 T 的上解。 最后证明边值问题(1.1)~(1.2)存在单调正解。 构造单调迭代序列 { v n } n = 1 ∞ 与 { w n } n = 1 ∞ 为 v n = T v n − 1 ， w n = T w n − 1 ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， 则由定理1.1可知 v 0 ≤ v 1 ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ v n ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ w n ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ w 1 ≤ w 0 ， 且 { v n } n = 1 ∞ 与 { w n } n = 1 ∞ 分别收敛于 T 的不动点 v ， w ∈ [ v 0 ， w 0 ] 。 v 和 w 分别为边值问题(1.1)~(1.2)的单调解。 另外对于任意的 t ∈ [ 0 ， T ] ，由引理2.2可知 T v 0 ( t ) = ∫ 0 T G ( t ， s ) a ( s ) f ( s ， 0 ) d s > 0 . 从而 0 ≤ T v 0 ( t ) ≤ T v ( t ) = v ( t ) ≤ w ( t ) ， t ∈ [ 0 ， T ] 。 这表明 v 和 w 是边值问题(1.1)~(1.2)的正解。故边值问题(1.1)~(1.2)存在单调正解 v 和 w 。