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user: 1. 引言 趋化现象是自然界中常见的现象，它描述的是细胞或细菌沿化学信号浓度梯度方向的定向运动 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]。在过去几年里，一些学者致力于研究趋化消耗模型 { u t = ∇ ⋅ ( D ( u ) ∇ u ) − ∇ ⋅ ( S ( u ) ∇ v ) + f ( u ) ，           x ∈ Ω × ( 0 ， T ) ， v t = Δ v − u v ，                                                                                           x ∈ Ω × ( 0 ， T ) ， ∂ u ∂ υ = ∂ v ∂ υ = 0 ，                                                                                         x ∈ ∂ Ω × ( 0 ， T ) ， u ( x ， 0 ) = u 0 ( x ) ， v ( x ， 0 ) = v 0 ( x ) ，                                     x ∈ Ω ， 其中， Ω ∈ R n 中表示具有光滑边界 ∂ Ω 的有界区域， u = u ( x ， t ) 代表细胞密度， v = ( v ， t ) 代表化学信号物质的浓度， D ( u ) 是扩散系数， S ( u ) 是趋化敏感系数， f ( u ) 是Logistic源，表示细胞的增殖和死亡， − u v 是化学诱导剂的消耗。在 D ( u ) = 1 ， S ( u ) = u ， f ( u ) = 0 的情况下，当 n ≤ 2 时， ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) 无小性限制，Tao在文献 [ 4 ] 证明了上述模型存在全局经典解。当 n = 3 时，初值足够光滑，Tao和Winkler在文献 [ 5 ] 中 讨论了上述趋化模型全局弱解的存在性。当 n ≥ 3 ， ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ 1 6 ( n + 1 ) χ ， t → ∞ 时，模型的全局经典解 ( u ， v ) 收敛于 ( u ¯ 0 ， 0 ) ，其中 u ¯ 0 = 1 Ω ¯ ∫ Ω u ( x ， 0 ) d x 。在 D ( u ) = 1 ， S ( u ) = u ， f ( u ) = κ u − μ u 2 的情况下，Lankeit 和Wang在文献 [ 6 ] 中证明了当在 μ 足够大时该模型存在全局经典解，在 μ > 0 时该模型存在经典弱解。 Zheng在文献 [ 7 ] 中证明了 D ( u ) ≥ C D ( u + 1 ) m − 1 ， S ( u ) = u ， C D > 0 ， m > { 1 − μ χ [ 1 + λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) 2 3 ] ，           N ≤ 2 1 ，                                                                         N ≥ 3 时，对于任意足够光滑的初值都存在一个经典有界解。 不同于一般的直接信号吸收的趋化模型，近几年关于间接信号吸收的生物趋化模型 { u t = ∇ ⋅ ( D ( u ) ∇ u ) − ∇ ⋅ ( S ( u ) ∇ v ) + μ ( u − u 2 ) ，                   x ∈ Ω × ( 0 ， T ) ， v t = Δ v − v w ，                                                                                                               x ∈ Ω × ( 0 ， T ) ， w t = − δ w + u ，                                                                                                           x ∈ Ω × ( 0 ， T ) ， ∂ u ∂ υ = ∂ v ∂ υ = 0 ，                                                                                                         x ∈ ∂ Ω × ( 0 ， T ) ， u ( x ， 0 ) = u 0 ( x ) ， v ( x ， 0 ) = v 0 ( x ) ， w ( x ， 0 ) = w 0 ( x ) ，         x ∈ Ω ， (1.1) 其中 Ω ∈ R n 具有光滑边界的有界区域， n ∈ Ν ， δ > 0 是给定的参数。2019年，Fuest在文献 [ 8 ] 中讨论当 D ( u ) = 1 ， S ( u ) = u ， μ = 0 ， n ≤ 2 或 n ≥ 3 ， ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ 1 3 n 时该模型存在唯一的全局经典解。2020年， Liu，Li和Huang在文献 [ 9 ] 中证明了具有Logistics源的间接信号吸收模型，当 D ( u ) = 1 ， S ( u ) = u ， n ≥ 4 ， μ 足够大时，模型的解有全局存在性和有界性，当 μ = 0 ， n ≥ 3 和 0 ≤ ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ π n 时上述模型存在唯 一的全局经典解。Zheng等人在文献 [ 10 ] 中证明了当 n = 2 ，非线性扩散系数 D ( u ) 和趋化敏感系数 S ( u ) 满足 D ( u ) ≥ u m ， S ( u ) ≤ u q ，当 m > max { 1 ， 2 q − 3 } 时，上述模型的解全局有界。受文献 [ 7 ]， [ 9 ]， [ 10 ] 和 [ 11 ] 的启发，本文主要利用能量方法证明趋化模型(1.1)在 δ = 1 ， n = 2 ， μ > 0 的条件下，非线性扩散系数 D ( u ) 和趋化敏感系数 S ( u ) 满足 D ( u ) ≥ ( u + 1 ) m − 1 ， S ( u ) ≤ ( u + 1 ) q − 1 且 D ( ⋅ ) ， S ( ⋅ ) ∈ C 1 + l ( [ 0 ， ∞ ) ) ， l > 0 (1.2) m > q − 1 − μ 4 ⋅ ( 1 + C ¯ λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) 3 2 3 ) 且 1 < q ≤ 2 (1.3) 成立，其中 C ¯ ， λ 0 为正常数，则该拟线性趋化模型的解全局有界。主要结论如下： 定理1：设 n = 2 ，初值满足 u 0 ∈ C 0 ( Ω ¯ ) ， v 0 ∈ W 1 ， ∞ ( Ω ) ， w 0 ∈ C 1 ( Ω ¯ ) 且 u 0 ≥ 0 ， v 0 ≥ 0 ， w 0 ≥ 0 ，则存在一个非负函数 ( u ， v ， w ) ： u ∈ C 0 ( Ω ¯ ) × [ 0 ， T max ) ∩ C 2 ， 1 ( Ω ¯ × ( 0 ， T max ) ) ， v ∈ C 0 ( Ω ¯ ) × [ 0 ， T max ) ∩ C 2 ， 1 ( Ω ¯ × ( 0 ， T max ) ) ， w ∈ C 0 ， 1 ( Ω ¯ ) × [ 0 ， T max ) ， 是模型(1.1)的经典解。当 D ( u ) 和 S ( u ) 满足(1.2)， m > q − 1 − μ 4 ⋅ ( 1 + C ¯ λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) 3 2 3 ) 且 1 < q ≤ 2 时，则对 任意的 t ∈ ( 0 ， ∞ ) ，存在一个常数 C > 0 ，使得 ‖ u ( ⋅ ， t ) ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ C ， ‖ ∇ v ( ⋅ ， t ) ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ C 和 ‖ w ( ⋅ ， t ) ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ C ， 其中 C ¯ ， λ 0 为正常数。 注：文献 [ 10 ] 证明了当 n = 2 时， m > max { 1 ， 2 q − 3 } 或 m = 0 ，   0 < q < 3 2 ，模型存在全局经典解。与文献 [ 10 ] 的结果相对比，本文证明了当 m > q − 1 − μ 4 ⋅ ( 1 + C ¯ λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) 3 2 3 ) ， 1 < q ≤ 2 时，获得了模型解的全局有界性，推广了文献 [ 10 ] 的结果。