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user: 4. 平衡点分析 定理4.1：当 T ( t ) ， E ( t ) ， I ( t ) ， V ( t ) ， C ( t ) ∈ C [ 0 ， + ∞ ) ，无病平衡点 P 0 是全局渐进稳定的。 证明，在无病平衡点 P 0 ( T 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ) ，模型(1)等价于： { d T d t = − n T V − d 1 ( T − T 0 ) + r I ， d E d t = n T V − ( d 1 + ρ ) E ， d I d t = ρ E − ( d 1 + r ) I ， d V d t = v 0 − k 1 V C ， d C d t = c 0 + k 1 V C − d 2 C . (3) 设 ( T ， E ， I ， V ， C ) 是系统(3)的任意正解，构造Lyapunov泛函： W 0 ( t ) = ( d 1 + r ) T 0 T r ( T T 0 − ln T T 0 ) + d 1 + r r E + ( d 1 + r ) ( d 1 + ρ ) ρ r I 易知 f ( x ) = x − ln x 在 x = 1 处取得最小值且 f ( 1 ) = 1 > 0 ， x ∈ ( 0 ， + ∞ ) ，故 W 0 ( t ) 在 P 0 处取得唯一最小值。注意 m − d 1 T 0 = 0 ，依据系统(3)的轨线计算 W 0 ( t ) 的全导数： W ′ 0 ( t ) = − ( d 1 + r ) d 1 r ( T − T 0 ) 2 < 0 当且仅当 ( T ， E ， I ， V ， C ) = ( T 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ) 时有 W ′ 0 ( t ) = 0 ，由LaSalle不变集原理可知，系统(1)的无病平衡点 P 0 是全局渐近稳定的。 在非零平衡点 P * ( T * ， E * ， I * ， V * ， C * ) 点处，系统(1)线性化为如下系统： { d T d t = − n T * V − ( n V * − d 1 ) T + r I ， d E d t = n T * V + n V * T − ( d 1 + ρ ) E ， d I d t = ρ E − d 1 I − r I ， d V d t = − k 1 V * C − k 1 C * V ， d C d t = ( k 1 V * − d 2 ) C + k 1 C * V . (4) 令 X = ( T ， E ， I ， V ， C ) T ，则系统(4)可转化为如下形式： d X d t = ( − n V * − d 1 0 r − n T * 0 n V * − d 1 − ρ 0 n T * 0 0 ρ − d 1 − r 0 0 0 0 0 − k 1 C * − k 1 V * 0 0 0 k 1 C * k 1 V * − d 2 ) X (5) 或 X ′ = A X 。 故系统(4)的雅可比矩阵即为A且其特征多项式 | λ I − A | 如下， | λ I − A | = | λ + n V * + d 1 0 r n T * 0 n V * λ + d 1 + ρ 0 − n T * 0 0 − ρ λ + d 1 + r 0 0 0 0 0 λ + k 1 C * − k 1 V * 0 0 0 − k 1 C * λ − k 2 V * + d 2 | (6) 有 | λ I − A | = [ ( λ − k 1 V * + d 2 ) ( λ + k 1 C * ) + k 1 2 V * C * ]       × [ ( λ + ρ V * + d 1 ) ( λ + d 1 + ρ ) ( λ + d 1 + r ) + r n ρ V * ] = [ λ 2 + ( k 1 C * − k 1 V * + d 2 ) λ + k 1 d 2 C * ] [ λ 3 + ( ρ V * + 3 d 1 + r + ρ ) λ 2       + ( 2 ρ d 1 V * + 3 d 1 2 + ρ r V * + 2 d 1 r + ρ d 1 + ρ r + ρ 2 V * + d 1 ρ ) λ + ρ d 1 2 V *       + ρ 2 d 1 V * + d 1 3 + ρ d 1 2 + ρ r d 1 V * + ρ 2 r V * + d 1 2 r + d 1 ρ r ] = a 0 λ 5 + a 1 λ 4 + a 2 λ 3 + a 3 λ 2 + a 4 λ + a 5 其中 a 0 = 1 ， a 1 = k 1 C * − k 1 V * + ρ V * + 3 d 1 + d 2 + r + ρ ， a 2 = k 1 d 2 C * + ( k 1 C * − k 1 V * + d 2 ) ( ρ V * + 3 d 1 + r + ρ ) + 2 ρ d 1 V *     + ρ r V * + 3 d 1 2 + 2 r d 1 + ρ d 1 + n r + ρ 2 V * + d 1 V * ， a 3 = k 1 d 2 C * ( ρ V * + 3 d 1 + r + ρ ) + ( k 1 C * − k 2 V * + d 2 ) ( 2 ρ d 1 V * + ρ r V *     + 3 d 1 2 + 2 d 1 r + ρ d 1 + ρ r + ρ 2 V * + d 1 ρ ) + ρ d 1 2 V * + ρ 2 d 1 V * + d 1 3     + d 1 2 ρ + d 1 2 r + ρ r d 1 V * + ρ 2 r V * + d 1 r + d 1 r ρ ， a 4 = k 1 d 2 C * ( 2 ρ d 1 V * + ρ r V * + 3 d 1 2 + 2 d 1 r + ρ d 1 + ρ r + ρ 2 V * + d 1 ρ )     + ( k 1 C * − k 2 V * + d 2 ) ( d 1 3 + ρ d 1 2 V * + ρ 2 d 1 V *     + d 1 2 ρ + d 1 2 r + ρ r d 1 V * + ρ 2 V * r + d 1 r ρ ) ， a 5 = k 1 d 1 C * ( ρ d 1 2 V * + ρ 2 d 1 V * + d 1 3 + d 1 ρ + ρ r d 1 V * + ρ 2 r V * + d 1 2 r + d 1 r ρ ) . 故可以得到: 1) 令 Δ 1 = a 1 ，则 Δ 1 = k 1 C * − k 1 V * + ρ V * + 3 d 1 + d 2 + r + ρ 带入 V * ， C * 可得： Δ 1 = k 1 ( v 0 + c 0 ) 2 + c 0 d 2 2 d 2 ( c 0 + v 0 ) + ρ v 0 d 2 k 1 ( c 0 + v 0 ) + 3 d 1 + r + ρ 又 c 0 > d 2 且 ρ ， k 1 ， d 1 ， d 2 ， r 均大于零，故 Δ 1 > 0 。 2) 令 Δ 2 = | a 1 0 a 3 a 2 | = a 1 a 2 由上一个式子的推导可知 a 1 > 0 ，故判断 a 2 的符号即可知 Δ 2 的符号。 由已知条件易知 V * ， C * 均大于零，且 d 2 > 0 ，带入 V * ， C * 可得， k 1 C * − k 1 V * + d 2 = k 1 ( v 0 + c 0 ) 2 + c 0 d 2 2 d 2 ( c 0 + v 0 ) > 0 (7) a 2 中其他各项均为正数，由(7)可知 a 2 > 0 ，故 Δ 2 > 0 。 3) 令 Δ 3 = | a 1 a 0 0 a 3 a 2 a 1 a 5 a 4 a 3 | 则 Δ 3 = a 1 ( a 2 a 3 − a 1 a 4 ) − a 0 ( a 3 2 − a 1 a 5 ) = a 1 a 2 a 3 − a 1 2 a 4 − a 3 2 + a 1 a 5 若 ，由Routh-Hurwitz定理可知，(6)式的所有特征根都有负实部，则非零平衡点 P * 是局部渐近稳定的。由此得到： 定理 4.2：当 a 1 a 2 a 3 − a 1 2 a 4 − a 3 2 + a 1 a 5 > 0 时，模型(1)的非零平衡点 P * 是局部渐近稳定的。 我们通过前面讨论，建立了一类生物入侵的植物病虫害模型，给出了其无病平衡点和正平衡点，通过建立适当的Lyapunov泛函和LaSalle不变集原理证明了无病平衡点的全局稳定性，通过稳定性第一近似方法研究了正平衡点的稳定性，当 a 1 a 2 a 3 − a 1 2 a 4 − a 3 2 + a 1 a 5 > 0 时，正平衡点是渐近稳定的，将不可避免的外来生物入侵问题转化为可以量化的模型，找到了控制病虫害的条件，因此我们可以通过控制模型中具有实际意义的参数，控制病虫害问题，使得病虫害问题被控制在一个稳定状态下，对于指导研究外来生物入侵问题具有很重要的意义。