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user: 2. 基础知识 本小节主要介绍部分可观察一般DES和部分可观察模糊DES的基本模型以及模糊DES状态反馈控制中的基本概念。 部分可观察一般DES与模糊DES的模型 部分可观察一般DES可表示为自动机 [ 3 ] G ¯ = ( Q ¯ ， Σ ¯ ， δ ¯ ， q ¯ 0 ， Y ¯ ， h ¯ ) (1) 其中 Q ¯ 为状态集， Σ ¯ 为事件集， δ ¯ : Σ ¯ × Q ¯ → Q ¯ 为状态转移函数， q ¯ 0 为初始状态， Y ¯ 是可观察的输出符号集，而 h ¯ : Q ¯ → Y ¯ 是输出映射。 ∀ q ¯ ， q ¯ ′ ∈ Q ¯ ， σ ¯ ∈ Σ ¯ ，当 δ ¯ ( σ ¯ ， q ¯ ) = q ¯ ′ 时，称 δ ¯ ( σ ¯ ， q ¯ ) 有定义，记为 δ ¯ ( σ ¯ ， q ¯ ) ! 。 当 Y ¯ = Q ¯ 且 h ¯ 是一一映射时系统是完全可观察的，并记为 G ¯ = ( Q ¯ ， Σ ¯ ， δ ¯ ， q ¯ 0 ) .(2) 部分可观察模糊DES可表示为自动机 G = ( Q ， Σ ， δ ， q 0 ， Y ， h ) (3) 其中Q为模糊状态集， Σ 为模糊事件集， δ : Σ × Q → Q 为状态转移函数， q 0 为初始状态，Y是可观察的输出符号集，而 h : Q → Y 是输出映射。 与一般状态集 Q ¯ 相对应的模糊状态集Q中的元素表示为 q = [ α 1 ， α 2 ， ⋯ ， α n ] ， α i ∈ [ 0 ， 1 ] ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 表示q属于 q ¯ i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 的程度； σ = [ β i j ] n × n ∈ Σ 且 β i j ∈ [ 0 ， 1 ] ( i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 表示事件 σ 发生后使系统从状态 q ¯ i 可以转移到状态 q ¯ j 的可能性；在G中， ∀ q ∈ Q ， σ ∈ Σ ， δ ( σ ， q ) = q ∘ σ = [ α i ] 1 × n ∘ [ β i j ] n × n = [ λ t ] 1 × n ， λ t = max 1 ≤ j ≤ n { min 1 ≤ i ≤ n ( α i ， β i j ) } ( t = 0 ， 1 ， ⋯ ， n ) 。 状态反馈控制是利用状态反馈控制器来控制系统。为了使系统在预先给定的状态集中发生变化，将事件集 Σ 分为可控事件集 Σ c 和不可控事件集 Σ u 且 Σ c ∩ Σ u = ∅ 。定义控制输入 γ 为映射： Σ → [ 0 ， 1 ] 满足 γ ( σ ) = 1 ， σ ∈ Σ u ，记控制输入的全体为 Γ 。模糊状态反馈控制器f [ 15 ] 为 f : Q → Γ . (4) 由于系统是部分可观察的，其控制器应该基于观察到的输出符号来进行控制，即此时的控制器还应该满足 q ， q ′ ∈ Q ， h ( q ) = h ( q ′ ) ⇒ f ( q ) = f ( q ′ ) ，也就是说存在函数 g : Y → Γ ，称g为一个h-控制器。 对f及 σ ∈ Σ ，定义 f σ : Q → [ 0 ， 1 ] 为 f σ ( q ) = f ( q ) ( σ ) (5) 显然f完全由 { f σ : σ ∈ Σ } 决定。 2.2. 基础概念 定义2.1 [ 14 ] 部分可观察模糊DES中的模糊谓词P定义为状态集Q上的一个函数： P : Q → [ 0 ， 1 ] (6) 其中 ∀ q = [ α 1 ， α 2 ， ⋯ ， α n ] ， P ( q ) = max 1 ≤ i ≤ n ( α i ) 。 记Q上所有模糊谓词组成的集合为 P ( Q ) ，定义 P ( Q ) 上的算子~(否定)、 ∧ (合取)、 ∨ (析取)如下： ( ~ P ) ( q ) = 1 − P ( q ) ， ∀ q ∈ Q ; ( P 1 ∧ P 2 ) ( q ) = min { P 1 ( q ) ， P 2 ( q ) } ， ∀ q ∈ Q ; ( P 1 ∨ P 2 ) ( q ) = max { P 1 ( q ) ， P 2 ( q ) } ， ∀ q ∈ Q (7) 定义2.2 [ 15 ] 对模糊谓词P和事件 σ ∈ Σ ，模糊谓词变换 s p σ : P ( Q ) → P ( Q ) 定义为： s p σ ( P ) ( q ) = { max P ( q ′ ) ， ∃ q ′ 使 得 q ′ ∘ σ = q ， 0 ， 否 则 (8) 与谓词变换 s p σ 的含义向反，我们定义模糊谓词P的另一模糊谓词变换如下： 定义2.3 [ 15 ] 对模糊谓词P和事件 σ ∈ Σ ，模糊谓词变换 w l p σ : P ( Q ) → P ( Q ) 定义为： w l p σ ( P ) ( q ) = max { P ( σ ∘ q ) ∧ D σ ( q ) ， 1 − D σ ( q ) } ， ∀ q ∈ Q (9) 其中模糊谓词 D σ : Q → [ 0 ， 1 ] 为 D σ ( q ) = max ( q ∘ σ ) 。 显然，由定义2.3可知，若对 ∀ α ∈ ( 0 ， 1 ] ， q ∈ Q ， P ( q ) ≥ α ，若 w l p σ ( P ) = 0 ，则 D σ ( q ) = 1 且 P ( δ ( σ ， q ) ) < α 。 定义2.4 [ 15 ] 对模糊谓词P和事件 σ ∈ Σ 引入模糊状态反馈控制f，定义模糊谓词变换 w l p σ f : P ( Q ) → P ( Q ) 为： w l p σ f ( P ) ( q ) = max { w l p σ ( P ) ( q ) ， 1 − f σ ( q ) } ， ∀ q ∈ Q .(10) 定义2.5 [ 15 ] 称模糊谓词 P ∈ P ( Q ) 是控制不变的，如果存在模糊状态反馈控制器f使得： P ( q ) ≤ w l p σ f ( P ) ( q ) ， ∀ σ ∈ Σ ， q ∈ Q .(11) 定义2.6 [ 15 ] 定义G在f控制下闭环统的可达谓词 Re ( f / G ， Q ) : Q → [ 0 ， 1 ] (12) 为 Re ( f / G ， Q ) ( q 0 ) = 1 且 Re ( f / G ， Q ) ( q ) = α ， α ∈ ( 0 ， 1 ] 。存在 q 0 ， q 1 ， ⋯ ， q m = q ∈ Q 及 σ 0 ， σ 1 ， ⋯ ， σ m − 1 ∈ Σ 以及 γ i ( σ i ) > 0 ( γ i ∈ Γ ， i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m − 1 ) 且 δ ( σ i ， q i ) = q i + 1 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 ) 满足： 1) min 0 ≤ i ≤ m − 1 D σ i ( q i ) ≥ α ； 2) min 0 ≤ i ≤ m − 1 f σ i ( q i ) ≥ α ； 3) 至少存在 k ∈ { 0 ， 1 ， ⋯ ， m − 1 } 使得 D σ k ( q k ) = α 或 f σ k ( q k ) = α ； 4) 对其他任意不完全相同于状态 q 0 ， q 1 ， ⋯ ， q m = q ∈ Q ，事件 σ 0 ， σ 1 ， ⋯ ， σ m − 1 ∈ Σ 的状态 x j ∈ Q 及事件 σ ′ j − 1 ∈ Σ ( j = 1 ， ⋯ ， l ) 满足 δ σ ′ j ( r j ) = r j + 1 且 r l = q ，则有 min 0 ≤ j ≤ l − 1 D σ ′ j ( r j ) ≤ min 0 ≤ i ≤ m − 1 D σ i ( q i ) 且 min 0 ≤ j ≤ l − 1 f σ j ( r j ) ≤ min 0 ≤ i ≤ m - 1 f σ i ( q i ) 。 记 Re ( f / G ， Q ) 为 f / G 的可达状态集。 定义2.7 [ 15 ] 设 P ∈ P ( Q ) 且 P ( q 0 ) = 1 。定义模糊谓词 Re ( G ， P ) : Q → [ 0 ， 1 ] (13) 为 Re ( G ， P ) ( q 0 ) = 1 且 Re ( G ， P ) ( q ) = α ， α ∈ ( 0 ， 1 ] 。存在 q 0 ， q 1 ， ⋯ ， q m = q ∈ Q 及 σ 0 ， σ 1 ， ⋯ ， σ m − 1 ∈ Σ 且 δ ( σ i ， q i ) = q i + 1 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 ) 满足： 1) min 0 ≤ i ≤ m − 1 D σ i ( q i ) ≥ α ； 2) min 0 ≤ i ≤ m − 1 P ( q i ) ≥ α ； 3) 至少存在 k ∈ { 0 ， 1 ， ⋯ ， m − 1 } 使得 D σ k ( q k ) = α 或 P ( q k ) = α ； 4) 对其他任意不完全相同于状态 q 0 ， q 1 ， ⋯ ， q m = q ∈ Q ，事件 σ 0 ， σ 1 ， ⋯ ， σ m − 1 ∈ Σ 的状态 x j ∈ Q 及事件 σ ′ j − 1 ∈ Σ ( j = 1 ， ⋯ ， l ) 满足 δ σ ′ j ( r j ) = r j + 1 且 r l = q ，则有 min 0 ≤ j ≤ l − 1 D σ ′ j ( r j ) ≤ min 0 ≤ i ≤ m − 1 D σ i ( q i ) 且 min 0 ≤ j ≤ l − 1 P ( r j ) ≤ min 0 ≤ i ≤ m - 1 P ( q i ) 。