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user: 2. 预备知识 引理1 [ 9 ] ：设G，H为图1所示的两个n阶连通图，T和U是其连通子图。则有 D ′ ( H ) > D ′ ( G ) 。 图1. 图G和H 定义1 [ 9 ] ：设 T ∈ T n ， n ≥ 4 ， e = u v 是T的一条非悬挂边， T 1 和 T 2 是 T \ e 的2个分支， u ∈ T 1 ， v ∈ T 2 。T的一个长边变换是指对T的如下变换：给树T在u处添加一条悬挂边，再将边e收缩后得到的一个新的n阶树 T 0 ，如图2。 图2. 树T和T 0 推论1 [ 9 ] ： T ∈ T n ， n ≥ 4 ，并且T有非悬挂边，令 T 0 是T经过一次长边变换后所得的树，则 D ′ ( T ) > D ′ ( T 0 ) 。 由推论1可知，对树作长边变换，它的度距离严格减小。根据引理1.1，树的非悬挂边越少，其度距离就越小。由此可以确定具有较小度距离的树一定会在这样的树中取得：设 T n ， s 1 ， s 2 ， ⋯ ， s i + 1 ( i ) ∈ T n ( i ) ， s 1 ， s i + 1 ≥ 1 且 s 2 ， ⋯ ， s i ≥ 0 ，树 T n ， s 1 ， s 2 ， ⋯ ， s i + 1 ( i ) 是在路 P i + 1 的两个端点分别粘上 s 1 和 s i + 1 个悬挂点，在路的其它点上分别粘上 s 2 ， ⋯ ， s i 个悬挂点得到的n阶树的集合。特别地，当 i = 1 时， T n ， s 1 ， s 2 ( 1 ) 简记为 T n ， i ( 1 ) ( i = s 1 )，当 i = 2 时， T n ， s 1 ， s 2 ， s 3 ( 2 ) 简记为 T n ， i ， j ( 2 ) ( i = s 1 ， j = s 3 )， 当 i = 3 时， T n ， s 1 ， s 2 ， s 3 ， s 4 ( 3 ) 简记为 T k ， i ， l ， j ( 3 ) ( i = s 1 ， j = s 4 ， k = s 2 ， l = s 3 )，当 i = 4 时， T n ， s 1 ， s 2 ， s 3 ， s 4 ， s 5 ( 4 ) 简记为 T k ， i ， l ， m ， j ( 4 ) ( i = s 1 ， k = s 2 ， l = s 3 ， m = s 4 ， j = s 5 )。 引理2 [ 6 ] ：图 G r ， s 的结构如图3所示，令 | V ( G ) | = m ，则当 r + m ≥ s ≥ 1 时，有 图3. 图G r ，s 和H r ，s D ′ ( G r ， s ) > D ′ ( G r + 1 ， s − 1 ) 其中G是单圈图。 特别地，当G是树T时，有： 推论2： T r ， s 如图3所示，令 | V ( T ) | = m ( m ≥ 2 ) ，则 (1) 当 r + m ≥ s ≥ 1 时，有 D ′ ( T r ， s ) ≥ D ′ ( T r + 1 ， s − 1 ) ； (2) 当 r + m < s 时，有 D ′ ( T r ， s ) < D ′ ( T r + 1 ， s − 1 ) 。 证明：将 T r ， s 分为 T − v ，点v、w， 个孤立点等部分，根据图的度距离的定义 D ′ ( G ) = ∑ u ∈ V ( G ) deg ( u ) D ( u | G ) 有 D ′ ( T r ， s ) = ∑ u ∈ V ( T r ， s ) deg ( u ) D ( u | T r ， s ) = s [ 2 s + 3 r + 2 m + D ( v | T ) − 1 ] + r [ 2 r + 3 s + m + D ( v | T ) ]     + ( s + 1 ) [ s + 2 r + m + D ( v | T ) ] + [ deg T ( v ) + ( r + 1 ) ] [ r + 2 s + 1 + D ( v | T ) ]     + ∑ x ∈ V ( T ) − v deg ( x ) [ D ( v | T ) + r D ( x | v ) + r + s D ( x | v ) + 2 s + D ( x | v ) + 1 ] = 3 ( s + r ) 2 + 4 s r + 3 m s + m r + 2 ( s + r + 1 ) D ( x | v ) + 2 s + 4 r + m     + ( r + 2 s + 1 ) ∑ x ∈ V ( T ) deg ( x ) + D ′ ( T ) + ( r + s + 1 ) ∑ x ∈ V ( T ) − v D ( x | v ) D ′ ( T r + 1 ， s − 1 ) = 3 ( s + r ) 2 + 4 s r + 3 m s + m r + 2 ( s + r + 1 ) D ( x | v ) + 2 s + 4 r + m + D ′ ( T )     + ( r + s + 1 ) ∑ x ∈ V ( T ) − v D ( x | v ) + ( r + 2 s ) ∑ x ∈ V ( T ) deg ( x ) + 4 s − 4 r − 2 m − 2 其中， ∑ x ∈ V ( T ) deg ( x ) = 2 ( m − 1 ) 则 D ′ ( T r + 1 ， s − 1 ) − D ′ ( T r ， s ) = 4 s − 4 r − 2 m − 2 − ∑ x ∈ V ( T ) deg ( x ) = 4 s − 4 r − 2 m − 2 − 2 ( m − 1 ) = 4 ( s − r − m ) 当 r + m ≥ s ≥ 1 时，有 D ′ ( T r ， s ) ≥ D ′ ( T r + 1 ， s − 1 ) ； 当 r + m < s 时，有 D ′ ( T r ， s ) < D ′ ( T r + 1 ， s − 1 ) 。 由此结论可以得到： 推论3：当 r + m ≥ s ≥ 1 时，有 D ′ ( T r ， s ) ≥ D ′ ( T r + 1 ， s − 1 ) ≥ ⋯ ≥ D ′ ( T r + s + 1 ， 1 ) 推论4：当 r + m < s 且 m ≥ 2 时，有 D ′ ( T r + s − 1 ， 1 ) < D ′ ( T 1 ， r + s − 1 ) < ⋯ < D ′ ( T r − 1 ， s + 1 ) < D ′ ( T r ， s ) 当 m ≥ 3 时，有 D ′ ( T r + s − 1 ， 1 ) < D ′ ( T r + s − 2 ， 2 ) ≤ D ′ ( T 1 ， r + s − 1 ) < ⋯ < D ′ ( T r − 1 ， s + 1 ) < D ′ ( T r ， s ) 当 m ≥ 4 时，有 D ′ ( T r + s − 1 ， 1 ) < D ′ ( T r + s − 2 ， 2 ) < D ′ ( T 1 ， r + s − 1 ) < ⋯ < D ′ ( T r − 1 ， s + 1 ) < D ′ ( T r ， s ) 证明：当 2 ≤ r + m < s 时，由推论2 (2)知， D ′ ( T 1 ， r + s − 1 ) < ⋯ < D ′ ( T r − 1 ， s + 1 ) < D ′ ( T r ， s ) 成立。 当 m ≥ 2 时，只需证 D ′ ( T r + s − 1 ， 1 ) < D ′ ( T 1 ， r + s − 1 ) 成立。 当 m ≥ 3 时， r + s + m − 1 > 1 ， r + s + m − 2 ≥ 2 ， D ′ ( T r + s − 1 ， 1 ) < D ′ ( T r + s − 2 ， 2 ) 成立。 所以要证结论成立，只需证明 D ′ ( T r + s − 2 ， 2 ) < D ′ ( T 1 ， r + s − 1 ) 成立。由推论2知 D ′ ( T r ， s ) = 3 ( s + r ) 2 + 4 s r + 3 m s + m r + 2 ( s + r + 1 ) D ( x | v ) + 2 s + 4 r + m     + ( r + 2 s + 1 ) ∑ x ∈ V ( T ) deg ( x ) + D ′ ( T ) + ( r + s + 1 ) ∑ x ∈ V ( T ) − v D ( x | v ) 则 D ′ ( T 1 ， r + s − 1 ) = 3 ( s + r ) 2 + 2 ( s + r + 1 ) D ( x | v ) + D ′ ( T ) + ( r + s + 1 ) ∑ x ∈ V ( T ) − v D ( x | v )     + 6 r + 6 s + 3 m s + 3 m r − m − 2 + 2 ( r + s ) ∑ x ∈ V ( T ) deg (x) D ′ ( T r + s − 2 ， 2 ) = 3 ( s + r ) 2 + 2 ( s + r + 1 ) D ( x | v ) + D ′ ( T ) + ( r + s + 1 ) ∑ x ∈ V ( T ) − v D ( x | v )     + 12 r + 12 s + m s + m r + 5 m − 20 + ( r + s + 3 ) ∑ x ∈ V ( T ) deg (x) 其中 ∑ x ∈ V ( T ) deg ( x ) = 2 ( m − 1 ) ， s ≥ 3 且 m ≥ 2 ，作差 D ′ ( T 1 ， r + s − 1 ) − D ′ ( T r + s − 2 ， 2 ) = 4 ( m − 2 ) ( r + s − 3 ) 故当 m ≥ 2 时，有 4 ( m − 2 ) ( r + s − 3 ) ≥ 0 ，即 D ′ ( T 1 ， r + s − 1 ) ≥ D ′ ( T r + s − 2 ， 2 ) 当 m ≥ 3 时，有 4 ( m − 2 ) ( r + s − 3 ) > 0 ，即 D ′ ( T 1 ， r + s − 1 ) > D ′ ( T r + s − 2 ， 2 ) 命题得证。 定理1 [ 3 ] ：设 T ∈ T n ，则 D ′ ( T ) ≥ 3 n 2 − 7 n + 4 ，等式成立当且仅当T是星图 K 1 ， n − 1 。 定理2 [ 9 ] ：对任意 T n ， i ( 1 ) ， i ∈ [ 1 ， ( n − 2 ) / 2 ] ，都有 D ′ ( T n ， 1 ( 1 ) ) < D ′ ( T n ， 2 ( 1 ) ) < D ′ ( T n ， 3 ( 1 ) ) < ⋯ < D ′ ( T n ， ⌊ n / 2 ⌋ − 1 (1)) 其中 D ′ ( T n ， i ( 1 ) ) = 3 n 2 − 7 n + 4 − 4 [ i − ( n − 2 ) / 2 ] 2 + ( n − 2 ) 2 。 定理3 [ 9 ] ： T n ， i ， j ( 2 ) 中树的度距离由小开始的依次排序是 T n ， 1 ， 1 ( 2 ) ， T n ， 2 ， 1 ( 2 ) ，其中 D ′ ( T n ， i ， j ( 2 ) ) = 3 n 2 − 7 n + 4 − 4 [ i − ( n − 2 ) / 2 ] 2 − 4 [ j − ( n − 2 ) / 2 ] 2 + 2 ( n − 2 ) 2 。 定理4 [ 9 ] ：树 K 1 ， n − 1 ， T n ， 1 ( 1 ) ， T n ， 2 ( 1 ) ， T n ， 1 ， 1 ( 2 ) 是 T n 中度距离较小的前四个树，且 D ′ ( K 1 ， n − 1 ) < D ′ ( T n ， 1 ( 1 ) ) < D ′ ( T n ， 2 ( 1 ) ) < D ′ ( T n ， 1 ， 1 (2))