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user: 4. 系统的指数稳定性 [ 1 ] [ 6 ] [ 8 ] 命题1:0是算子 A + B + C 的简单本征值。 证：取 P = ( P 0 ， P 1 ( X ) ， ⋯ ， P 6 ( X ) ) ，考虑 ( A + B + C ) P = 0 ，其解析形式为 − ( λ 1 + λ 2 ) + ∫ 0 ∞ u 1 ( x ) P 1 ( x ) d x + ∫ 0 ∞ ( u 2 ( x ) P 2 ( x ) + u 2 ( x ) P 3 ( x ) ) d x = 0 。 − d d x P 1 ( x ) − u 1 ( x ) P 1 ( x ) = 0 ， − d d x P 2 ( x ) − ( λ 1 + λ 2 + u 2 ( x ) ) P 2 ( x ) = 0 ， − d d x P 3 ( x ) − ( λ 1 + u 2 ( x ) ) P 3 ( x ) = 0 ， − d d x P 4 ( x ) − u 2 ( x ) P 4 ( x ) + λ 2 P 2 ( x ) = 0 ， − d d x P 5 ( x ) − u 2 ( x ) P 5 ( x ) + λ 1 P 2 ( x ) = 0 ， − d d x P 6 ( x ) − u 2 ( x ) P 6 ( x ) + λ 1 P 3 ( x ) = 0 P 1 ( 0 ) = λ 1 P 0 ， P 2 ( 0 ) = λ 2 P 0 ， P 3 ( 0 ) = P 4 ( 0 ) = P 5 ( 0 ) = P 6 ( 0 ) = 0 ，解得 P 1 ( x ) = λ 1 P 0 e − ∫ 0 x u 1 ( ξ ) d ξ ， P 2 ( x ) = λ 2 P 0 e − ∫ 0 x ( λ 1 + λ 2 + u 2 ( ξ ) ) d ξ ， P 3 ( x ) = 0 ， P 4 ( x ) = λ 2 2 P 0 ∫ 0 x e − ∫ 0 t ( λ 1 + λ 2 + u 2 ( ξ ) ) d ξ e − ∫ t x u 2 ( ξ ) d ξ d t ， P 5 ( x ) = λ 1 λ 2 P 0 ∫ 0 x e − ∫ 0 t ( λ 1 + λ 2 + u 2 ( ξ ) ) d ξ e − ∫ t x u 2 ( ξ ) d ξ d t ， P 6 ( x ) = 0 ， ∫ 0 ∞ u 1 ( x ) P 1 ( x ) d x = ∫ 0 ∞ u 1 ( x ) λ 1 P 0 e − ∫ 0 x u 1 ( ξ ) d ξ d x = λ 1 P 0 ∫ 0 ∞ u 1 ( x ) e − ∫ 0 x u 1 ( ξ ) d ξ d x = λ 1 P 0 [ − ∫ 0 ∞ d ( e − ∫ 0 x u 1 ( ξ ) d ξ ) ] = λ 1 P 0 同理得， ∫ 0 ∞ ( u 2 ( x ) P 2 ( x ) + u 2 ( x ) P 3 ( x ) ) d x = ∫ 0 ∞ u 2 ( x ) λ 2 P 0 e − ∫ 0 x ( λ 1 + λ 2 + u 2 ( ξ ) ) d ξ d x = λ 2 P 0 λ 1 + λ 2 代入 ( λ 2 λ 1 + λ 2 + λ 1 − ( λ 1 + λ 2 ) ) P 0 = 0 = ( λ 2 λ 1 + λ 2 − λ 2 ) P 0 = ( λ 2 ( 1 − ( λ 1 + λ 2 ) ) λ 1 + λ 2 ) P 0 ≥ − λ 2 2 P 0 ，得 P 0 ≥ 0 易知， P i ( x ) ∈ L 1 [ 0 ， ∞ ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 6 ， P = ( P 0 ， P 1 ， ⋯ ， P 6 ) T ，0对应于算子 A + B + C 的本征向量，取 Q = ( 1 ， 1 ( x ) ， ⋯ ， 1 ( x ) ) ，则 〈 P ， Q 〉 = P 0 + ∫ 0 ∞ P 1 ( x ) d x + ∫ 0 ∞ P 2 ( x ) d x + ⋯ + ∫ 0 ∞ P 6 ( x ) d x > 0 ，且对任意 P ∈ D ( A + B + C ) ，有 〈 ( A + B + C ) P ， Q 〉 = 0 ，即 ( A + B + C ) ∗ Q = 0 ，即0是算子 A + B + C 的简单本征值。 命题2：若存在正数a使得 a = min { C i ， λ 1 ， λ 2 } ，则当 Re γ > − C 时， γ ∈ ρ ( A ) ，且 ‖ ( γ I − A ) − 1 ‖ ≤ 1 Re γ + C 证：当 Re γ > − C 时，对任意 η = ( η 0 ， η 1 ( x ) ， ⋯ ， η 6 ( x ) ) ∈ X ，考虑 ( γ I − A ) P = η ， 而 P = ( P 0 ， P 1 ( x ) ， ⋯ ， P 6 ( x ) ) ，则有 ( γ + λ 1 + λ 2 ) P 0 = η 0 ， d d x P 1 ( x ) + ( γ + u 1 ( x ) ) P 1 ( x ) = η 1 (x) d d x P 2 ( x ) + ( γ + λ 1 + λ 2 + u 2 ( x ) ) P 2 ( x ) = η 2 (x) d d x P 3 ( x ) + ( γ + λ 1 + u 2 ( x ) ) P 3 ( x ) = η 3 (x) d d x P 4 ( x ) + ( γ + u 2 ( x ) ) P 4 ( x ) = η 4 (x) d d x P 5 ( x ) + ( γ + u 2 ( x ) ) P 5 ( x ) = η 5 (x) d d x P 6 ( x ) + ( γ + u 2 ( x ) ) P 6 ( x ) = η 6 ( x ) ； P 1 ( 0 ) = λ 1 P 0 ， P 2 ( 0 ) = λ 2 P 0 ， P 3 ( 0 ) = P 4 ( 0 ) = P 5 ( 0 ) = P 6 ( 0 ) = 0 。 当 Re γ > − C 时，有 γ ≠ − ( λ 1 + λ 2 ) ，解上述方程组得 P 0 = η 0 γ + λ 1 + λ 2 P 1 ( x ) = λ 1 η 0 γ + λ 1 + λ 2 e − γ x − ∫ 0 x u 1 ( ξ ) d ξ + ∫ 0 x e − γ ( x − t ) − ∫ t x u 1 ( ξ ) d ξ η 1 ( t ) d t P 2 ( x ) = λ 2 η 0 γ + λ 1 + λ 2 e − ( γ + λ 1 + λ 2 ) x − ∫ 0 x u 2 ( ξ ) d ξ ∫ 0 x e − ( γ + λ 1 + λ 2 ) ( x − t ) − ∫ t x u 2 ( ξ ) d ξ η 2 ( t ) d t P 3 ( x ) = ∫ 0 x e − ( γ + λ 1 ) ( x − t ) − ∫ t x u 2 ( ξ ) d ξ η 3 ( t ) d t ； P 4 ( x ) = ∫ 0 x e − γ ( x − t ) − ∫ t x u 2 ( ξ ) d ξ η 4 ( t ) d t P 5 ( x ) = ∫ 0 x e − γ ( x − t ) − ∫ t x u 2 ( ξ ) d ξ η 5 ( t ) d t ； P 6 ( x ) = ∫ 0 x e − γ ( x − t ) − ∫ t x u 2 ( ξ ) d ξ η 6 ( t ) d t 由于 ‖ P ‖ = | P 0 | + ∑ i = 1 6 ‖ P i ‖ ≤ | η 0 γ + λ 1 + λ 2 | + | λ 1 η 0 γ + λ 1 + λ 2 | ∫ 0 ∞ e − ( Re γ + C ) x d x + ∫ 0 ∞ | η 1 ( t ) | d t ∫ t ∞ e − ( Re γ + C ) ( x − t ) d x     + | λ 2 η 0 γ + λ 1 + λ 2 | ∫ 0 ∞ e − ( Re γ + C ) x d x + ∫ 0 ∞ | η 2 ( t ) | d t ∫ t ∞ e − ( Re γ + C ) ( x − t ) d x     + ∫ 0 ∞ | η 3 ( t ) | d t ∫ t ∞ e − ( Re γ + C ) ( x − t ) d x + ∫ 0 ∞ | η 4 ( t ) | d t ∫ t ∞ e − ( Re γ + C ) ( x − t ) d x     + ∫ 0 ∞ | η 5 ( t ) | d t ∫ t ∞ e − ( Re γ + C ) ( x − t ) d x + ∫ 0 ∞ | η 6 ( t ) | d t ∫ t ∞ e − ( Re γ + C ) ( x − t ) d x = | η 0 γ + λ 1 + λ 2 | + | ( λ 1 + λ 2 ) η 0 γ + λ 1 + λ 2 | ∫ 0 ∞ e − ( Re γ + C ) x d x + ∑ i = 1 6 ‖ η i ‖ ∫ t ∞ e − ( Re γ + C ) ( x − t ) d x ≤ 1 Re γ + C ( ‖ η 0 ‖ + ∑ i = 1 6 ‖ η i ‖ ) = 1 Re γ + C ‖ η ‖ 得 P ≤ 1 Re γ + C ‖ η ‖ 。这表明当 Re γ + C > 0 时， ( γ I − A ) − 1 : X → x 是有界的，所以 γ ∈ ρ ( A ) ，并且 ‖ ( γ I − A ) − 1 ‖ ≤ 1 Re γ + C 。由Lumer-Phillips半群生成定理得以下推论： 推论：算子A生成的压缩半群S(t)是指数衰减的，即对任意 0 < ω < C 有 ‖ S ( t ) ‖ ≤ e − ω t ； t ≥ 0 注意到B和C是有限秩算子，所以B和C是紧算子，由算子半群的扰动定理以及算子半群的紧扰动得以下结果： 命题3：算子 A + B + C 生成的压缩 C 0 半群T(t)有以下性质： 1) 对任意 γ ∈ C ， Re γ + C > 0 ， γ ∈ σ ( A ) 的充要条件是 D ( r ) = 0 ； 2) 设 γ 0 = 0 ，对任意 γ k ∈ σ ( A ) ∩ { γ ∈ C | Re γ ≥ − C ， D ( r ) = 0 } ， γ k ≠ γ 0 ， k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， 6 ，其中 γ k 按严格实部递减排序， Re γ ( k + 1 ) ≤ Re γ k ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， 6 ，即 γ 0 = 0 是严格占优本征值。 3) 设 P ^ = ( P ^ 0 ， P ^ 1 ( x ) ， ⋯ ， P ^ 6 ( x ) ) 是系统的稳态解，满足 〈 P ^ ， Q 〉 = 1 ，设 Re γ 1 < ω < γ 0 ，那么对任意的 P ∈ X ， Q = ( 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ) 有 ‖ T ( t ) P − 〈 P ， Q 〉 P ^ ‖ ≤ e − ω t ‖ P ‖ ， t ≥ 0 。 证：1) 当 Re γ > − C 时，由前一命题， γ ∈ ρ ( A ) ，则 ( γ I − ( A + B + C ) ) = ( γ − A ) ( I − R ( γ ， A ) ( B + C ) ) ，注意到B和C是有限秩算子，那么 R ( γ ， A ) ( B + C ) 是紧算子，从而 γ ∈ ρ ( A + B + C ) 充要条件是：1是 R ( γ ， A ) ( B + C ) 的本征值，因此对 Re γ + C > 0 ， γ ∈ ρ ( A ) 的充要条件是 D ( r ) = 0 。 2) 当 Re γ > − C 时， D ( r ) 是解析函数，至多有可数个零点，设 γ 0 = 0 ，对其他本征值按实部递减排序 Re γ ( k + 1 ) ≤ Re γ k ， k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， 6 ，则 γ k ∈ σ ( A ) ∩ { γ ∈ C | Re γ ≥ − C ， D ( r ) = 0 } ， γ k ≠ γ 0 ，由本征值离散及本节命题1得 Re γ k ≤ Re γ 0 ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， 6 ，因 γ 0 对应的本征函数是正的，所以 γ 0 = 0 是严格占优本征值。 3) 由半群扰动定理，紧扰动不改变半群的本质谱界，算子 A + B + C 生成的半群T(t)与算子A生成的半群S(t)有同样本质谱界，即T(t)本质谱界 ω ( A + B + C ) ≤ ω 0 ( A ) 。设 P ^ = ( P ^ 0 ， P ^ 1 ( x ) ， ⋯ ， P ^ 6 ( x ) ) 是系统稳态解， Re γ 1 < ω < γ 0 ，则由算子半群展开定理可得对任意 P ∈ X ， Q = ( 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ) 有 ‖ T ( t ) P − 〈 P ， Q 〉 P ^ ‖ ≤ e − ω t ‖ P ‖ ， t ≥ 0 。 综上，在一定条件下，系统的动态解以指数形式收敛于系统的稳态解。