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user: 2. 理论分析 2.1. 模型 文献 [ 4 ] 中给出的模型为： { x ˙ = ρ 1 x ( 1 − x ) − α 13 x z y ˙ = ρ 2 y z 1 + z − α 23 y z − δ 2 y + α 24 y w z ˙ = ρ 3 z ( 1 − z ) − α 31 z x − α 32 z y + α 34 z w 1 + w w ˙ = ρ 4 w z 1 + z − δ 4 w (1) 其中， x ， y ， z ， ω 分别表示健康宿主细胞的数量，效应免疫细胞的数量，肿瘤细胞的数量和内皮细胞的数量。 ρ 1 表示健康宿主细胞的增长率， ρ 2 表示效应免疫细胞的增长率， ρ 3 表示肿瘤细胞的增长率， ρ 4 表示内皮细胞的增长率， α 13 表示宿主细胞被肿瘤细胞杀死率， α 23 表示效应免疫细胞被肿瘤细胞杀死率， α 31 表示肿瘤细胞被宿主细胞杀死率， α 32 表示肿瘤细胞被效应免疫细胞杀死率， α 24 表示效应免疫细胞受内皮细胞影响的增长率， α 34 表示肿瘤细胞受内皮细胞影响的增长率， δ 2 表示效应免疫细胞的自然死亡率， δ 4 表示内皮细胞的自然死亡率。 本文对模型(1)进行研究。 2.2. 平衡点的存在性 首先求解平衡点的参数表达式，令： { ρ 1 x 1 ( 1 − x 1 ) − α 13 x 1 x 3 = 0 ρ 2 x 2 x 3 1 + x 3 − α 23 x 2 x 3 − δ 2 x 2 + α 24 x 2 x 4 = 0 ρ 3 x 3 ( 1 − x 3 ) − α 31 x 3 x 1 − α 32 x 3 x 2 + α 34 x 3 x 4 1 + x 4 = 0 ρ 4 x 4 x 3 1 + x 3 − δ 4 x 4 = 0 (2) 解得全部平衡点的参数表达式为： P 0 ( 0 ， 0 ， 0 ， 0 ) ， P 1 ( 0 ， 0 ， 1 ， 0 ) ， P 2 ( 1 ， 0 ， 0 ， 0 ) ， P 3 ( 0 ， 0 ， b ， ρ 3 ( b − 1 ) α 34 − ρ 3 ( b − 1 ) ) ， P 4 ( 0 ， ρ 3 α 32 ( 1 − c 1 ) ， c 1 ， 0 ) ， P 5 ( 0 ， ρ 3 α 32 ( 1 − c 2 ) ， c 2 ， 0 ) ， P 6 ( ρ 3 ( α 13 − ρ 1 ) α 31 α 13 − ρ 1 ρ 3 ， 0 ， ρ 1 ( α 31 − ρ 3 ) α 31 α 13 − ρ 1 ρ 3 ， 0 ) ， P 7 ( 0 ， 1 α 32 ( ρ 3 ( 1 − b ) + α 34 d 1 + d ) ， b ， d ) ， P 8 ( 1 − α 13 ρ 1 b ， 0 ， b ， α 31 ( 1 − α 13 ρ 1 b ) − ρ 3 ( 1 − b ) ρ 3 ( 1 − b ) − α 31 ( 1 − α 13 ρ 1 b ) ) ， P 9 ( 1 − α 13 ρ 1 c 1 ， 1 α 32 [ ρ 3 ( 1 − c 1 ) − α 31 ( 1 − α 13 ρ 1 c 1 ) ] ， c 1 ， 0 ) ， P 10 ( 1 − α 13 ρ 1 c 2 ， 1 α 32 [ ρ 3 ( 1 − c 2 ) − α 31 ( 1 − α 13 ρ 1 c 2 ) ] ， c 2 ， 0 ) ， P 11 ( 1 − α 13 ρ 1 b ， ρ 3 α 32 ( 1 − b ) − α 31 ( 1 − α 13 ρ 1 b ) + α 34 d 1 + d ， b ， d ) . 其中： b = δ 4 ρ 4 − δ 4 ， d = 1 α 24 ( α 23 b + δ 2 − ρ 2 δ 4 ρ 4 ) ， c 1 = ρ 2 − α 23 − δ 2 − ( ρ 2 − α 23 − δ 2 ) 2 − 4 α 23 δ 2 2 α 23 ; c 2 = ρ 2 − α 23 − δ 2 + ( ρ 2 − α 23 − δ 2 ) 2 − 4 α 23 δ 2 2 α 23 . 文献 [ 4 ] 中给出了给定参数下具有实际意义(细胞的数目没有出现负的和全为0的情况)的6个平衡点的参数表达式： P 0 ， P 1 ， P 2 ， P 4 ， P 9 ， P 11 。 2.3. 平衡点的个数，类型和稳定性 本文选取文献 [ 4 ] 中没有研究过的参数 ρ 3 为分支参数，其他参数取值固定，来源于文献 [ 4 ]： ρ 1 = 0.518 ，     ρ 2 = 4.5 ，     ρ 4 = 0.86 ，     δ 2 = 0.5 ，     δ 4 = 1 / 11 ，     α 13 = 1.5 ， α 23 = 0.2 ，     α 24 = 0.3 ，     α 31 = 1 ，     α 32 = 2.5 ，     α 34 = 0.75 同时为了方便后面计算和表示，令动态变量 x ， y ， z ， ω 分别表示为 x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ，得到系统(3) { x ˙ 1 = 0.518 x 1 ( 1 − x 1 ) − 1.5 x 1 x 3 x ˙ 2 = 4.5 x 2 x 3 1 + x 3 − 0.2 x 2 x 3 − 0.5 x 2 + 0.3 x 2 x 4 x ˙ 3 = ρ 3 x 3 ( 1 − x 3 ) − x 3 x 1 − 2.5 x 3 x 2 + 0.75 x 3 x 4 1 + x 4 x ˙ 4 = 0.86 x 4 x 3 1 + x 3 − 1 11 x 4 (3) 考虑参数的实际意义，选取 ρ 3 大于0；考虑生物相关性，排除细胞数出现负的和细胞数全为0的平衡点。随着分支参数 ρ 3 的变化，系统(3)的平衡点个数，类型及稳定性如下： 1) 当 ρ 3 ∈ ( 0 ， 0.09104 ) ，系统有8个平衡点，其中1个sink P 2 和7个saddles P i ( i = 1 ， 4 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 11 ) 。 2) 当 ρ 3 = ρ 3 1 = 0.09104 ，系统有8个平衡点，其中1个sink P 2 ，6个saddles P i ( i = 1 ， 4 ， 6 ， 8 ， 9 ， 11 ) 和1个特征值为 { − 0.01076 ， ± 0.25794 i ， 0.3407 } 的非双曲平衡点 P 7 = ( x 1 1 ， x 2 1 ， x 3 1 ， x 4 1 ) = ( 0 ， 0.07346 ， 0.1182 ， 0.1598 ) 。 3) 当 ρ 3 ∈ ( 0.09104 ， 0.62866 ) ，系统有8个平衡点，其中1个sink P 2 和7个saddles P i ( i = 1 ， 4 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 11 ) 。 4) 当 ρ 3 = ρ 3 2 = 0.62866 ，系统有7个平衡点，其中1个sink P 2 ，5个saddles P i ( i = 1 ， 4 ， 6 ， 7 ， 9 ) 和1个特征值为 { − 0.5781 ， 0.186 ， − 0.023 ， 0 } 的非双曲平衡点 P 8 = P 11 = ( x 1 2 ， x 2 2 ， x 3 2 ， x 4 2 ) = ( 0.6577 ， 0 ， 0.1182 ， 0.1598 ) 。 5) 当 ρ 3 ∈ ( 0.62866 ， 0.71044 ) ，系统有8个平衡点，其中1个sink P 2 和7个saddles P i ( i = 1 ， 4 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 11 ) 。 6) 当 ρ 3 = ρ 3 3 = 0.71044 ，系统有7个平衡点，其中1个sink P 2 ，5个saddles P i ( i = 1 ， 4 ， 7 ， 8 ， 11 ) 和1 个特征值为 { − 0.5743 ， 0.161 ， 0 ， 0.0097 } 的非双曲平衡点 P 6 = P 9 = ( x 1 3 ， x 2 3 ， x 3 3 ， x 4 3 ) = ( 0.6163 ， 0 ， 0.1325 ， 0 ) 。 7) 当 ρ 3 ∈ ( 0.71044 ， 0.74588 ) ，系统有8个平衡点，其中1个sink P 2 和7个saddles P i ( i = 1 ， 4 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 11 ) 。 8) 当 ρ 3 = ρ 3 4 = 0.74588 ，系统有7个平衡点，其中1个sink P 2 ，5个saddles P i ( i = 1 ， 4 ， 7 ， 9 ， 11 ) 和1个特征值为 { − 0.5785 ， 0.1497 ， − 0.048 ， 0 } 的非双曲平衡 P 6 = P 8 = ( x 1 4 ， x 2 4 ， x 3 4 ， x 4 4 ) = ( 0.6577 ， 0 ， 0.1182 ， 0 ) 。 9) 当 ρ 3 ∈ ( 0.74588 ， 1 ) ，系统有8个平衡点，其中1个sink P 2 和7个saddles P i ( i = 1 ， 4 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 11 ) 。 10) 当 ρ 3 = ρ 3 5 = 1 ，系统有7个平衡点，其中6个saddles P i ( i = 1 ， 4 ， 7 ， 8 ， 9 ， 11 ) 和1个特征值为 { − 0.518 ， − 0.5 ， 0 ， − 0.0909 } 的非双曲平衡点 P 2 = P 6 = ( x 1 5 ， x 2 5 ， x 3 5 ， x 4 5 ) = ( 1 ， 0 ， 0 ， 0 ) 。 11) 当 ρ 3 ∈ ( 1 ， 1.24771 ) ，系统有8个平衡点，其中1个sink P 6 和7个saddles P i ( i = 1 ， 2 ， 4 ， 7 ， 8 ， 9 ， 11 ) 。 12) 当 ρ 3 = ρ 3 6 = 1.24771 ，系统有8个平衡点，其中1个sink P 6 ，6个saddles P i ( i = 1 ， 2 ， 4 ， 7 ， 8 ， 11 ) 和一个特征值为 { − 0.4846 ， ± 0.3669 i ， 0.0097 } 的非双曲平衡点 P 9 = ( x 1 6 ， x 2 6 ， x 3 6 ， x 4 6 ) = ( 0.6163 ， 0.1864 ， 0.1325 ， 0 ) 。 13) 当 ρ 3 ∈ ( 1.24771 ， 1.31131 ) ，系统有8个平衡点，其中1个sink P 6 ，7个saddles P i ( i = 1 ， 2 ， 4 ， 7 ， 8 ， 9 ， 11 ) 。 14) 当 ρ 3 = ρ 3 7 = 1.31131 ，系统有8个平衡点，其中1个sink P 6 ，6个saddles P i ( i = 1 ， 2 ， 4 ， 7 ， 8 ， 9 ) 和1个特征值为 { − 0.4858 ， ± 0.4074 i ， − 0.0099 } 的非双曲平衡点 P 11 = ( x 1 7 ， x 2 7 ， x 3 7 ， x 4 7 ) = ( 0.6577 ， 0.2408 ， 0.1182 ， 0.1598 ) 。 15) 当 ρ 3 ∈ ( 1.31131 ， + ∞ ) ，系统有8个平衡点，其中2个sinks P i ( i = 6 ， 11 ) 和6个saddles P i ( i = 1 ， 2 ， 4 ， 7 ， 8 ， 9 ) 。 2.4. 平衡点的静态分支 我们注意到当 ρ 3 = ρ 3 2 ， ρ 3 3 ， ρ 3 4 ， ρ 3 5 时，系统(3)存在的非双曲平衡点的特征根有单零根，此时对应的平衡点 P 11 ， P 6 ， P 8 ， P 2 可能会发生静态分支，我们将应用中心流形定理研究当分支参数 ρ 3 分别取 ρ 3 2 ， ρ 3 3 ， ρ 3 4 ， ρ 3 5 时系统(3)在平衡点 P 11 ， P 6 ， P 8 和 P 2 附近的动态变化。 情形1 ρ 3 = ρ 3 5 = 1 ，平衡点 P 2 = ( 1 ， 0 ， 0 ， 0 ) ，对应的特征值为 ( − 0.518 ， − 0.5 ， 0 ， − 0.0909 ) 。首先通过坐标变换 y 1 = x 1 − x 1 5 ， y 2 = x 2 − x 2 5 ， y 3 = x 3 − x 3 5 ， y 4 = x 4 − x 4 5 ， μ = ρ 3 − ρ 3 5 将平衡点 P 2 平移到坐标原点，这样模型(3)就变为： { y ˙ 1 = − 0.518 y 1 ( 1 + y 1 ) − 1.5 ( y 1 + 1 ) y 3 y ˙ 2 = 4.5 y 2 y 3 1 + y 3 − 0.2 y 2 y 3 − 0.5 y 2 + 0.3 y 2 y 4 y ˙ 3 = ( μ + 1 ) y 3 ( 1 − y 3 ) − y 3 ( y 1 + 1 ) − 2.5 y 3 y 2 + 0.75 y 3 y 4 1 + y 4 y ˙ 4 = 0.86 y 4 y 3 1 + y 3 − 1 11 y 4 (4) 选用一个线性变换矩阵T (T由系统(4)的平衡点原点的特征值对应的特征向量组成) T = ( 1 0 0 − 0.9452 0 1 0 0 0 0 0 0.3264 0 0 1 0 ) ，令 ( y 1 y 2 y 3 y 4 ) = T ( z 1 z 2 z 3 z 4 ) ，将系统（4）变换为： ( z ˙ 1 z ˙ 2 z ˙ 3 z ˙ 4 ) = ( − 0.518 0 0 0 0 − 0.5 0 0 0 0 − 0 .0909 0 0 0 0 0 ) ( z 1 z 2 z 3 z 4 ) + ( f 1 ( z 1 ， z 2 ， z 3 ， z 4 ， μ ) f 2 ( z 1 ， z 2 ， z 3 ， z 4 ， μ ) f 3 ( z 1 ， z 2 ， z 3 ， z 4 ， μ ) f 4 ( z 1 ， z 2 ， z 3 ， z 4 ， μ ) ) (5) 其中： f 1 ( z 1 ， z 2 ， z 3 ， z 4 ， μ ) = − 0.518 z 1 2 − 0.456 z 1 z 4 − 2.363 z 2 z 4 + 0.585 z 4 2     + 0.945 μ z 4 − 0.309 μ z 4 2 + 0.709 z 3 z 4 / ( 1 + z 3 ) f 2 ( z 1 ， z 2 ， z 3 ， z 4 ， μ ) = 0.3 z 2 z 3 − 0.065 z 2 z 4 + 1.469 z 2 z 4 / ( 0.3264 z 4 + 1 ) f 3 ( z 1 ， z 2 ， z 3 ， z 4 ， μ ) = 0.2807 z 3 z 4 / ( 1 + 0.3264 z 4 ) f 4 ( z 1 ， z 2 ， z 3 ， z 4 ， μ ) = − z 1 z 4 − 2.5 z 2 z 4 + 0.6188 z 4 2 + z 4 μ − 0.3264 μ z 4 2 我们把参数 μ 作为新的变量： μ ˙ = 0 (6) 根据中心流形定理可知系统(5)和(6)在平衡点原点O的小邻域内有一个二维的局部中心流形： W l o c 2 ( O ) = { ( z 1 ， z 2 ， z 3 ， z 4 ， μ ) ∈ R 3 × R 2 | z 1 = h 1 ( z 4 ， μ ) ， z 2 = h 2 ( z 4 ， μ ) ， z 3 = h 3 ( z 4 ， μ ) ，                                 h i ( 0 ， 0 ) = 0 ， D h i ( 0 ， 0 ) = 0 ， i = 1 ， 2 ， 3 } ， 其 中 | z 4 | ， | μ | 充 分 小 假定中心流形有如下形式： h ( z 4 ， μ ) = ( h 1 ( z 4 ， μ ) h 2 ( z 4 ， μ ) h 3 ( z 4 ， μ ) ) = ( a 1 z 4 2 + a 2 z 4 μ + a 3 μ 2 + ⋯ b 1 z 4 2 + b 2 z 4 μ + b 3 μ 2 + ⋯ c 1 z 4 2 + c 2 z 4 μ + c 3 μ 2 + ⋯ ) (7) 首先我们将 ( z 1 z 2 z 3 ) = ( h 1 ( z 4 ， μ ) h 2 ( z 4 ， μ ) h 3 ( z 4 ， μ ) ) 的两边对时间t求导，得到： ( z ˙ 1 z ˙ 2 z ˙ 3 ) = D z 4 h ( z 4 ， μ ) z ˙ 4 + D μ h ( z 4 ， μ ) μ ˙ = ( D z 4 h 1 ( z 4 ， μ ) D z 4 h 2 ( z 4 ， μ ) D z 4 h 3 ( z 4 ， μ ) ) z ˙ 4 (8) 再把(5)和(7)代入(8)，得到： ( D z 4 h 1 ( z 4 ， μ ) D z 4 h 2 ( z 4 ， μ ) D z 4 h 3 ( z 4 ， μ ) ) ⋅ ( A ⋅ z 4 + f 4 ( h 1 ( z 4 ， μ ) ， h 2 ( z 4 ， μ ) ， h 3 ( z 4 ， μ ) ， z 4 ， μ ) ) − B ( h 1 ( z 4 ， μ ) h 2 ( z 4 ， μ ) h 3 ( z 4 ， μ ) ) − ( f 1 ( h 1 ( z 4 ， μ ) ， h 2 ( z 4 ， μ ) ， h 3 ( z 4 ， μ ) ， z 4 ， μ ) f 2 ( h 1 ( z 4 ， μ ) ， h 2 ( z 4 ， μ ) ， h 3 ( z 4 ， μ ) ， z 4 ， μ ) f 3 ( h 1 ( z 4 ， μ ) ， h 2 ( z 4 ， μ ) ， h 3 ( z 4 ， μ ) ， z 4 ， μ ) ) = 0 (9) 其中 A = 0 ， B = ( − 0.518 0 0 0 − 0.5 0 0 0 − 0 .0909 ) ，令(9)中同类项的系数等于0，求得： h ( z 4 ， μ ) = ( h 1 ( z 4 ， μ ) h 2 ( z 4 ， μ ) h 3 ( z 4 ， μ ) ) = ( 0.2898 z 4 2 + 0.743 z 4 μ + ⋯ 0 0 ) (10) 把(10)代入系统(5)和(6)，得到系统(5)和(6)限制在平衡点原点的局部中心流形 W l o c 2 ( O ) 上的系统为： { z ˙ 4 = − 0.2898 z 4 3 − 1.069 μ z 4 2 + 0.6188 z 4 2 + μ z 4 + ⋯ μ ˙ = 0 (11) 令 z ˙ 4 = H ( z 4 ， μ ) ，由于 H ( z 4 ， μ ) 满足： H ( 0 ， 0 ) = 0 ， ∂ H ∂ z 4 ( 0 ， 0 ) = 0 ， ∂ H ∂ μ ( 0 ， 0 ) = 0 ， ∂ 2 H ∂ z 4 ∂ μ ( 0 ， 0 ) = 1 ≠ 0 ， ∂ 2 H ∂ z 4 2 ( 0 ， 0 ) = 0.6188 ≠ 0 ，故系统(11) 的平衡点原点在 μ = 0 处发生了Transcritical分支。因为系统(11)与系统(3)拓扑等价，所以系统(3)的平衡点 P 2 在分支参数 ρ 3 = ρ 3 5 = 1 处发生了Transcritical分支，且在1的左侧，平衡点 P 2 是稳定的，平衡点 P 6 是不稳定的；在1的右侧，平衡点 P 2 是不稳定的，平衡点 P 6 是稳定的。 情形2当 ρ 3 = ρ 3 4 = 0.74588 ，同情形1，系统(3)在 ρ 3 = 0.74588 处发生了Transcritical分支，在0.74588的两侧平衡点 P 6 和平衡点 P 8 的稳定性没有发生改变。 情形3当 ρ 3 = ρ 3 3 = 0.71044 时，同情形2，系统(3)在 ρ 3 = 0.71044 处发生了Transcritical分支，在0.71044的两侧平衡点 P 6 和平衡点 P 9 的稳定性没有发生改变。 情形4当 ρ 3 = ρ 3 2 = 0.62866 时，同情形2，系统(3)在 ρ 3 = 0.62866 处发生了Transcritical分支，在0.62866的两侧平衡点 P 8 和平衡点 P 11 的稳定性没有发生改变。 2.5. 平衡点的Hopf分支 当 ρ 3 = ρ 3 1 ， ρ 3 6 ， ρ 3 7 时，系统(3)存在的非双曲平衡点的特征根有一对纯虚根，且其他特征根实部非零，此时平衡点可能会发生Hopf分支。 情形1： ρ 3 = ρ 3 7 = 1.31131 时 同2.4情形1，计算得到限制在平衡点原点的局部中心流形上的系统为： { ( z ˙ 3 z ˙ 4 ) = ( 0 − 0 .4074 0 .4074 0 ) ( z 3 z 4 ) + ( f 3 ( h 1 ， h 2 ， z 3 ， z 4 ， μ ) f 4 ( h 1 ， h 2 ， z 3 ， z 4 ， μ ) ) μ ˙ = 0 (12) 其中： f 3 ( h 1 ( z 3 ， z 4 ， μ ) ， h 2 ( z 3 ， z 4 ， μ ) ， z 3 ， z 4 ， μ ) = − 0.0477 μ z 3 − 0.0282 μ z 4 + 0.0443 z 3 2 − 0.1304 z 3 z 4 + 0.0436 z 4 2         + 0.0008 μ 2 z 3 + 0.00005 μ 2 z 4 + 0.01946 μ z 3 2 − 0.0029 μ z 3 z 4         − 0.0059 μ z 4 2 + 0.005 z 3 3 + 0.001 z 3 2 z 4 + 0.0553 z 3 z 4 2 − 0.0546 z 4 3 + ⋯ f 4 ( h 1 ( z 3 ， z 4 ， μ ) ， h 2 ( z 3 ， z 4 ， μ ) ， z 3 ， z 4 ， μ ) = − 0.0332 μ z 3 + 0.0196 μ z 4 − 0.7992 z 3 2 − 0.1998 z 3 z 4 + 0.9209 z 4 2         − 0.00056 μ 2 z 3 − 0.000034 μ 2 z 4 − 0.01964 μ z 3 2 − 0.04772 μ z 3 z 4         − 0.000254 μ z 4 2 + 0.0203 z 3 3 − 0.0627 z 3 2 z 4 − 0.087761 z 3 z 4 2 − 0.0916 z 4 3 + ⋯ 令 f = f 3 ( h 1 ， h 2 ， z 3 ， z 4 ， μ ) ， g = f 4 ( h 1 ， h 2 ， z 3 ， z 4 ， μ ) f ( 0 ， 0 ， 0 ) = 0 ， g ( 0 ， 0 ， 0 ) ， d = d Re ( λ ( μ ) ) d μ | μ = 0 = − 0.146 < 0 a = 1 16 [ f z 3 z 3 z 3 + f z 3 z 4 z 4 + g z 3 z 3 z 4 + g z 4 z 4 z 4 ] | ( 0 ， 0 ， 0 )     + 1 16 ω [ f z 3 z 4 ( f z 3 z 3 + f z 4 z 4 ) − g z 3 z 4 ( g z 3 z 3 + g z 4 z 4 ) − f z 3 z 3 g z 3 z 3 + f z 4 z 4 g z 4 z 4 ] | ( 0 ， 0 ， 0 ) = − 0.0056 < 0 根据Poincare-Andronuv-Hopf分支定理 [ 5 ]，因为 a < 0 ， d < 0 ，所以当分支参数 ρ 3 > ρ 3 7 = 1.31131 时，平衡点 P 11 是稳定的。当 ρ 3 逐渐减小到 ρ 3 7 时，系统(3)在平衡点 P 11 处发生了Hopf分支，随着 ρ 3 继续减小，平衡点 P 11 变得不稳定，系统在 ρ 3 7 的左侧邻域生成了一族稳定的周期轨，发生的Hopf分支类型为supercritical。 情形2： ρ 3 = ρ 3 6 = 1.24771 时，同情形1，因为 a > 0 ， d > 0 ，所以当 ρ 3 减小到 ρ 3 6 时，系统(3)在平衡点 P 9 处发生了Hopf分支，随着 ρ 3 继续减小，在 ρ 3 6 的左侧邻域内生成了一族不稳定的周期轨，发生的Hopf分支类型为subcritical。 情形3： ρ 3 = ρ 3 1 = 0.09104 时，同情形1，因为 a > 0 ， d < 0 ，所以当 ρ 3 从 ρ 3 1 左侧到 ρ 3 1 时，系统(3)在平衡点 P 7 处发生了Hopf分支，随着 ρ 3 继续增加，在 ρ 3 1 的右侧邻域内生成了一族不稳定的周期轨，发生的Hopf分支类型为subcritical。