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user: 2. N ( 2 ， 2 ， 0 ) 代数的拟左(右)陪集的性质 定义2.1 [ 4 ] 设S是含常元0的集合。若在S中定义二元运算 ∗ 和 Δ 满足以下公理： ∀ x ， y ， z ∈ S ， (F 1 ) x ∗ ( y Δ z ) = z ∗ ( x ∗ y ) ， (F 2 ) ( x Δ y ) ∗ z = y ∗ ( x ∗ z ) ， (F 3 ) 0 ∗ x = x 则称 是一个 N ( 2 ， 2 ， 0 ) 代数。 定理2.1 [ 4 ] 若 ( S ， ∗ ， Δ ， 0 ) 是 N ( 2 ， 2 ， 0 ) 代数，则 ∀ x ， y ， z ∈ S ，下列等式成立： (1) x ∗ y = y Δ x ； (2) ( x ∗ y ) ∗ z = x ∗ ( y ∗ z ) ， ( x Δ y ) Δ z = x Δ ( y Δ z ) ； (3) x ∗ ( y ∗ z ) = y ∗ ( x ∗ z ) ， ( x Δ y ) Δ z = ( x Δ z ) Δ y 。 推论1 [ 4 ] 若 ( S ， ∗ ， Δ ， 0 ) 是一个 N ( 2 ， 2 ， 0 ) 代数，则 ( S ， ∗ ， 0 ) 和 ( S ， Δ ， 0 ) 都是半群。 因此， N ( 2 ， 2 ， 0 ) 代数是带有一对对偶半群的双半群。 定义2.2 设 ( S ， ∗ ， Δ ， 0 ) 是一个 代数，在半群 ( S ， ∗ ， 0 ) 中定义集合 B S = { x ∈ S | x ∗ 0 = 0 } . 显然 0 ∈ B S ，即 B S 非空。 ∀ x ， y ∈ B S ，有 ( x ∗ y ) ∗ 0 = x ∗ ( y ∗ 0 ) = x ∗ 0 = 0 ⇒ x ∗ y ∈ B S ， 因此 B S 是S的子代数。 再定义集合 a B S = { a ∗ x | a ∈ S ， x ∈ B S } ， B S a = { x ∗ a | x ∈ B S ， a ∈ S } 分别称为半群 ( S ， ∗ ， 0 ) 关于子代数 B S 的拟左陪集和拟右陪集。 定理2.2 设 ( S ， ∗ ， Δ ， 0 ) 是一个 N ( 2 ， 2 ， 0 ) 代数，则半群 ( S ， ∗ ， 0 ) 的拟左陪集就是半群 ( S ， Δ ， 0 ) 的拟右陪集。 证明 由于一个 N ( 2 ， 2 ， 0 ) 代数 ( S ， ∗ ， Δ ， 0 ) 的半群 ( S ， ∗ ， 0 ) 与 ( S ， Δ ， 0 ) 的特殊关系： x ∗ y = y Δ x ， ∀ x ， y ∈ S ，容易得出：半群 ( S ， ∗ ， 0 ) 的拟左陪集 a B S = { a ∗ x | a ∈ S ， x ∈ B S } ， 就是半群 ( S ， Δ ， 0 ) 的拟右陪集 B S a = { x Δ a | x ∈ B S ， a ∈ S } 。 这里只研究拟左陪集，类似可以研究拟右陪集的性质。 在群里，对于任意一个群G， H ≤ G ， ∀ a ， b ∈ G ，则有下列性质成立： (1) ∀ a ∈ S ⇒ a ∈ a H ； (2) a ∈ H ⇔ a H = H ； (3) b ∈ a H ⇔ a H = b H ； (4) 若 a H ∩ b H ≠ ∅ ，则有 a H = b H 。 但在 N ( 2 ， 2 ， 0 ) 代数 ( S ， ∗ ， Δ ， 0 ) 的半群 ( S ， ∗ ， 0 ) 与 中这些性质不再成立，下面的例子说明了这一点。 例1 设 S = { 0 ， a ， b ， c } ，定义S上的二元运算如下表1，表2： Table 1 Example of Theorem 2.2(a * 0 a b c 0 0 a b c a 0 b a a b 0 a b b c 0 a b b 表1. 定理2.2(a) Table 2 Example of Theorem 2.2(b Δ 0 a b c 0 0 0 0 0 a a b a a b b a b b c c a b b 表2. 定理2.2(b) 容易验证： ( S ， ∗ ， Δ ， 0 ) 是一个 N ( 2 ， 2 ， 0 ) 代数，且 B S = S = { 0 ， a ， b ， c } 。而 a B S = b B S = c B S = { 0 ， a ， b } ， 显然 a B S = b B S = c B S ⊂ B S 。同时， a ∈ a B S ， b ∈ B S ，但 c ∉ c B S 。 例2 设 S = { 0 ， a ， b ， c } ，定义S上的二元运算如下表3，表4： Table 3 Example of Theorem 2.2(c * 0 a b c 0 0 a b c a 0 b a a b b a b b c 0 a b b 表3. 定理2.2(c) Table 4 Example of Theorem 2.2(d Δ 0 a b c 0 0 0 b 0 a a b a a b b a b b c c a b b 表4. 定理2.2(d) 可以验证： ( S ， ∗ ， Δ ， 0 ) 是一个 N ( 2 ， 2 ， 0 ) 代数，且 B S = { 0 ， a ， c } ⊂ S 。而 a B S = c B S = { 0 ， a ， b } ， b B S = { a ， b } . 这说明在群里“ a B S ∩ b B S ≠ ∅ ⇒ a B S = b B S ”在半群中不再成立。 在群中 成立，但在半群中，这个结论不一定成立。在上例中，有 a ∈ a B S ， b ∈ b B S ，但 c ∉ c B S 。 定理2.3 设 ( S ， ∗ ， Δ ， 0 ) 是一个 N ( 2 ， 2 ， 0 ) 代数，则有 ∀ a ∈ S ⇒ 0 ∉ a B S 。 证明 由 a B S = { a ∗ x | a ∈ S ， x ∈ B S } 可知，如果 0 ∈ a B S ⇒ ∃ x ∈ B S ， x ≠ 0 ，使得 a ∗ x = 0 ⇒ x ∗ 0 = x ∗ ( a ∗ x ) = ( a ∗ x ) ∗ x = 0 ∗ x = x ≠ 0 这与 x ∈ B S 矛盾，因此 ∀ a ∈ S ⇒ 0 ∉ a B S 。 定理2.4 设 ( S ， ∗ ， Δ ， 0 ) 是一个 N ( 2 ， 2 ， 0 ) 代数，则有下列结论成立： (1) a ∈ B S ⇒ a B S ⊆ B S ； (2) b ∈ a B S ，如果b是a的右伴随非零零因子，则 b ∉ B S ； (3) 若 a ∈ a B S ，且 a ∈ B S ，则a一定是幂等元； (4) B S ⊆ E S ，其中 E S 是S的全体幂等元集合。 证明 (1) 设 a ∈ B S ，因为 B S 是S的子代数，故有 a B S ⊆ B S ；又任取 x ∈ B S ，由 a ∈ B S ，于是 a ∗ x ∈ B S ，且 x = 0 ∗ x = ( a ∗ 0 ) ∗ x = a ∗ ( 0 ∗ x ) = a ∗ x ∈ a B S ， 从而又得到 B S ⊆ a B S 。 (2) 设 b ∈ a B S ，令 b = a ∗ x ， x ∈ B S ，由b是a的右伴随非零零因子，则有 b ∗ b = ( a ∗ x ) ∗ b = a ∗ ( x ∗ b ) = x ∗ ( a ∗ b ) = x ∗ 0 = 0 ， 于是一方面 b ∗ b ∗ b = 0 ∗ b = b ，另一方面 b ∗ b ∗ b = b ∗ 0 ，即 b ∗ 0 = b ⇒ b ∉ B S 。 (3) 由 a ∈ a B S 知，存在 x ∈ B S ，使得 a = a ∗ x (*) a = a ∗ x = a ∗ ( 0 ∗ x ) = ( a ∗ 0 ) ∗ x = a ∈ B S 0 ∗ x = x 再将 x = a 代入(*)式，就有 a ∗ a = a 2 = a ⇒ a ∈ E S 。 (4) ∀ a ∈ B S ⇒ a ∗ 0 = 0 ⇒ a ∗ 0 ∗ a = 0 ∗ a ⇒ a ∗ a = a ⇒ a ∈ E S ，故 B S ⊆ E S 。