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user: 1. 绪论现状 1.1. 研究背景及现状 Schrödinger方程是量子力学的基本方程，是1926年奥地利理论物理学家薛定谔提出的，用来描述量子力学系统的波函数或者态函数的偏微分方程。它揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，在原子、分子、固体物理、核物理、化学等领域中被广泛应用，文献 [ 1 ] [ 2 ] 大量说明。近年来，随着科学技术和现代数学基础理论的不断发展，分数阶磁拉普拉斯算子在各领域中频繁出现，已经引起了许多学者的关注。分数阶Schrödinger方程是分数阶量子力学中的重要方程之一，被应用在很多领域，比如薄障碍问题、控制系统、晶体错位等，已经成为了新的研究趋势之一。 d’Avenia和Squassina [ 3 ] 研究了下列方程基态解的存在性 ε 2 s ( − Δ ) A / ε s u + V ( x ) u = f ( | u | 2 ) u ， x ∈ ℝ N ， (1.1) 此时 ε = 1 ，V是一个常数。Zhang，Squassina和Zhang [ 4 ] 证明了山路解的存在性。当电势 V ( x ) 满足Rabinowitz [ 5 ] 提出的下列条件时 lim inf | x | → ∞ V ( x ) > inf x ∈ ℝ N V ( x ) ， (1.2) Ambrosio [ 6 ] 得到了问题(1.1)在连续非线性项f具有临界增长和超临界增长的假设下非平凡弱解的存在性和集中性。2011年，Alves和Figueiredo [ 7 ] 等数学工作者研究了下列一个带磁场的非线性Schrödinger方程，并将其解的数目与其势能达到最小值的集合的拓扑结构联系起来 i h ∂ ψ ∂ t = ( h i ∇ − A ( z ) ) 2 ψ + U ( z ) ψ − f ( | ψ | 2 ) ψ ， z ∈ ℝ N ， 其中 t ∈ ℝ ， N ≥ 2 ， ψ ( x ) ∈ ℂ ，h是普朗克常数， U ( z ) 是实电势， A : ℝ N → ℝ N 是磁位势，非线性项 f ∈ C 1 ( ℝ ， ℝ ) 是超线性函数。Schrödinger算子被定义为 ( h i ∇ − A ( z ) ) 2 ψ : = − h 2 Δ ψ − 2 h i A ⋅ ∇ ψ + | A | 2 ψ div A . 2016年，Figueiredo和Siciliano [ 8 ] 利用Neari流形方法、Ljusternik-Schnirelmann理论和Morse迭代证明了下列分数阶Schrödinger方程在 ℝ N 上，当 ε → 0 + 时，正解的多重性 ε 2 s ( − Δ ) s u + V ( z ) u = f ( u ) ， u ( z ) > 0 ， 其中 N > 2 s ， 0 < s < 1 。 ( − Δ ) s 是分数阶拉普拉斯， f ∈ C 1 ( ℝ ， ℝ ) 。2017年，Ambrosio [ 9 ] 进一步研究了上述方程在超临界情况下正解的多重性。同一年，Ambrosio和d’Avenia [ 10 ] 利用变分方法、罚函数方法、Ljusternik-Schnirelmann理论，研究了下列分数阶带磁次临界增长Schrödinger方程 ε 2 s ( − Δ ) A / ε s u + V ( x ) u = f ( | u | 2 ) u ， x ∈ ℝ N ， 其中 ε > 0 是一个参数， s ∈ ( 0 ， 1 ) ， N ≥ 3 ， A ∈ C ( ℝ N ， ℝ N ) 是连续势， f : ℝ → ℝ 是一阶连续函数。分数阶拉普拉斯算子定义为 ( − Δ ) A s u ( x ) = c N ， s lim r → 0 ∫ B r c ( x ) u ( x ) − e i ( x − y ) ⋅ A ( x + y 2 ) u ( y ) | x − y | N + 2 s d y ， c N ， s : = 4 s Γ ( N + 2 s 2 ) π N / 2 | Γ ( − s ) | . 2018年，Ambrosio [ 11 ] 进一步利用变分方法和Ljusternik-Schnirelmann理论，研究了下列带有泊松项的临界增长的磁分数阶Schrödinger方程解的存在性和集中性 ε 2 s ( − Δ ) A / ε s u + V ( x ) u + ε − 2 t ( | x | 2 t − 3 ∗ | u | 2 ) u = f ( | u | 2 ) u + | u | 2 s ∗ − 2 u ， x ∈ ℝ 3 ， 其中 ε > 0 是一个参数， s ∈ ( 3 4 ， 1 ) ， t ∈ ( 0 ， 1 ) ， 2 s ∗ = 6 3 − 2 s 是临界指数， V : ℝ 3 → ℝ 是正连续势， A : ℝ 3 → ℝ 3 光滑磁位势且 f ∈ C 1 ( ℝ ， ℝ ) 。2020年，Ji和Rădulescu [ 12 ] 结合变分方法、罚函数方法和Ljusternik-Schnirelmann理论，证明了下列非线性磁Schrödinger方程解的多重性 { ( ε i ∇ − A ( x ) ) 2 u + V ( x ) u = f ( | u | 2 ) ， x ∈ ℝ N ( N ≥ 2 ) ， u ∈ H 1 ( ℝ N ， ℂ ) ， 其中 ε > 0 是正参数， V : ℝ N → ℝ 是连续函数，磁位势 A : ℝ N → ℝ N 是Hölder连续且 f ∈ C ( ℝ ， ℝ ) 。 1.2. 研究内容以及预备知识 本文受 [ 6 ] [ 11 ] 影响，主要研究了下列方程在 ℝ N 上解的多重性 ε 2 s ( − Δ ) A / ε s u + V ( x ) u = f ( | u | 2 ) u + | u | 2 s ∗ − 2 ， x ∈ ℝ N . (1.3) 其中令非线性项 f ∈ C 1 ( ℝ ， ℝ ) ，当 t ≤ 0 时， f ( t ) = 0 且满足下列性质： (h 1 ) lim t → 0 f ( t ) = 0 ； (h 2 ) 存在常数 C 0 > 0 和 q ， p ∈ ( 2 ， 2 s ∗ ) ，使得对任意的 t ≥ 0 都有； f ( t ) ≥ C 0 t q − 2 2 ，     lim t → ∞ f ( t ) t p − 2 2 = 0 ; 其中 2 s ∗ = 2 N N − 2 s 是Sobolev临界指数； (h 3 ) 存在 θ ∈ ( 2 ， p ) ，使得对任意的 t > 0 都有 0 < θ 2 F ( t ) ≤ t f ( t ) ， 其中 F ( t ) = ∫ 0 t f ( τ ) d τ 是h的原函数； (h 4 ) f ( t ) 在 ( 0 ， ∞ ) 上是单调递增的。 而且在本论文中，我们假设位势V满足下列条件： (V 1 ) inf x ∈ ℝ N V ( x ) = V 0 > 0 ； (V 2 ) 存在一个有界开集 Λ ⊂ ℝ N 使得 0 < V 0 = inf x ∈ Λ V ( x ) < min x ∈ ∂ Λ V ( x ) . 观察到 M : = { x ∈ Λ : V ( x ) = V 0 } ≠ ∅ . 本文的主要定理如下： 定理1.1 假设V满足(V 1 )，(V 2 )且f满足(h 1 )~(h 4 )，则对任意 σ > 0 ，使得 M σ : = { x ∈ ℝ N : dist ( x ， M ) < σ } ⊂ Λ ， 存在 ε σ > 0 ，使得对任意 ε ∈ ( 0 ， ε σ ) ，问题(1.3)有至少 c a t M σ ( M ) 个非平凡解 下面给出本文将要用到的一些基础知识。 当 A = 0 ，   0 < s < 1 时，定义分数阶Sobolev空间如下： H s ( ℝ N ， ℝ ) = { u ∈ L 2 ( ℝ N ， ℝ ) : ∬ ℝ 2 N | u ( x ) − u ( y ) | 2 | x − y | N + 2 s d x d y < ∞ } . 定义Gagliardo半范数如下： [ u ] s 2 = ∫ ∫ ℝ 2 N | u ( x ) − u ( y ) | 2 | x − y | N + 2 s d x d y . 定义空间 H s ( ℝ N ， ℝ ) 的范数为 ‖ u ‖ H s 2 = ‖ u ‖ L 2 2 + [ u ] s 2 . 当 A ≠ 0 ，   0 < s < 1 时，定义复空间 L 2 ( ℝ N ， ℂ ) 的内积为 〈 u ， v 〉 L 2 = ℜ ( ∫ ℝ N u v ¯ d x ) 定义Gagliardo半范数如下： [ u ] s ， A 2 = ∫ ∫ ℝ 2 N | u ( x ) − u ( y ) e i A ( x + y 2 ) ⋅ ( x − y ) | 2 | x − y | N + 2 s d x d y . 定义 D A s ( ℝ N ， ℂ ) 空间如下 D A s ( ℝ N ， ℂ ) = { u ∈ L 2 s ∗ ( ℝ N ， ℂ ) [ u ] s ， A < ∞ } ， 定义分数阶磁Sobolev空间如下： H A s ( ℝ N ， ℂ ) = { u ∈ L 2 ( ℝ N ， ℂ ) : [ u ] s ， A < ∞ } . 显然 H A s ( ℝ N ， ℂ ) 是Hibert空间，赋予下列的实标量内积 〈 u ， v 〉 s ， A = 〈 u ， v 〉 L 2 + ℜ ∬ ℝ 2 N ( u ( x ) − u ( y ) e i A ( x + y 2 ) ⋅ ( x − y ) ) ( v ( x ) − v ( y ) e i A ( x + y 2 ) ⋅ ( x − y ) ) ¯ | x − y | N + 2 s d x d y . 定义空间 H A s ( ℝ N ， ℂ ) 的范数为 ‖ u ‖ H A s 2 = ‖ u ‖ L 2 2 + [ u ] s 2 . 引理1.2.1 (嵌入定理) [ 3 ] 对任意 r ∈ [ 2 ， 2 s ∗ ] ，空间 H A s ( ℝ N ， ℂ ) 可以连续嵌入到空间 L r ( ℝ N ， ℂ ) ；对任意 r ∈ [ 1 ， 2 s ∗ ) 和紧集 O ⊂ ℝ N ，空间 H A s ( ℝ N ， ℂ ) 可以紧嵌入到空间 L r ( O ， ℂ ) 。 引理1.2.2 (反磁不等式) [ 3 ] 对任意 u ∈ H A s ( ℝ N ， ℂ ) ，有 u ∈ H A s ( ℝ N ， ℂ ) 且有下列不等式成立 [ | u | ] s ≤ [ u ] s ， A . 引理1.2.3 (Ljusternik-Schnirelmann theory) [ 13 ] 令 M 是一个光滑的Banach-Finsler流形。假设泛函 J ∈ C 1 ( M ， ℝ ) 且下有界，满足(PS) c 条件，则J有至少 c a t M ( M ) 个临界点。 定义1.2.1 [ 13 ] 设X是一个拓扑空间， A ⊂ X 是一个闭子集。则称 cat X ( A ) : = inf { k ∈ N ∪ { + ∞ } | ∃ k 个 可 收 缩 闭 集 F 1 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， F k ， 使 得 A ⊂ ∪ i = 1 k F i } 为A在X中的Ljusternik-Schnirelmann畴数。 定义1.3.2 [ 13 ] 称一个集合F在M中是可收缩的，如果 ∃ η : [ 0 ， 1 ] × M → M 使得 η ( 0 ， ⋅ ) = i d M 和 η ( 1 ， F ) = 一个点集。 注记1.2.1 因为 s ∈ ( 0 ， 1 ) 是固定的，为了简便，我们将 [ ⋅ ] s 和 [ ⋅ ] s ， A 分别记为 [ ⋅ ] 和 [ ⋅ ] A 。