system: [SYSTEM]

user: 2. n次直纹曲面 定义2.1：由三元n ( ≥ 1)次方程 ∑ s = 0 n ∑ i ， j i + j ≤ s a ( i ， j ， s − i − j ) x i y j z s − i − j = 0 (1) 所表示的曲面叫做n次曲面，其中i，j及s都是非负整数，并且至少有一个n次项的系数不为0。当 n ≥ 3 时，称为高次曲面，否则称为低次曲面。并称函数 F ( x ， y ， z ) = ∑ s = 0 n ∑ i ， j i + j ≤ s a ( i ， j ， s − i − j ) x i y j z s − i − j (2) 为n次曲面函数，简称曲面函数。 定义2.2：设 Σ 为一个n次曲面。一条直线称为曲面 Σ 的直母线，如果该直线在曲面 Σ 上。曲面 Σ 称为直纹曲面，如果对曲面 Σ 上的任意一点 M 0 都至少存在一条直母线经过它。 本文只讨论系数为实数且曲面点为实点的n次曲面。为简单计，有时用“曲面 ”这种表达方式来代替“方程 a ( 5 ， 0 ， 0 ) x 5 + a ( 2 ， 2 ， 1 ) x 2 y 2 z + a ( 0 ， 0 ， 0 ) = 0 所表示的曲面”。为了更好的研究直线与曲面 F ( x ， y ， z ) = 0 的关系，本文引入示性函数 δ k ( s ， l ， m ， r ) = { 1 ， s − l − m − r = k 0 ， 其 他 其中k，l，m，r，s都是非负整数。 设过曲面 F ( x ， y ， z ) = 0 上一点 M 0 = ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) 的直线方程为 { x = x 0 + X t y = y 0 + Y t z = z 0 + Z t 代入(2)式确定的曲面函数 F ( x ， y ， z ) 得 F ( x 0 + X t ， y 0 + Y t ， z 0 + Z t ) = ∑ s = 0 n ∑ i ， j i + j ≤ s a ( i ， j ， s − i − j ) ( x 0 + X t ) i ( y 0 + Y t ) j ( z 0 + Z t ) s − i − j = ∑ s = 0 n ∑ i ， j i + j ≤ s a ( i ， j ， s − i − j ) ∑ l = 0 i C i l x 0 l ( X t ) i − l ∑ m = 0 j C j m y 0 m ( Y t ) j − m ∑ r = 0 s − i − j C s − i − j r z 0 r ( Z t ) s − i − j − r = ∑ s = 0 n ∑ i ， j i + j ≤ s a ( i ， j ， s − i − j ) ∑ l = 0 i ∑ m = 0 j ∑ r = 0 s − i − j C i l C j m C s − i − j r x 0 l y 0 m z 0 r X i − l Y j − m Z s − i − j − r t i − l + j − m + s − i − j − r (3) = ∑ s = 0 n ∑ i ， j i + j ≤ s a ( i ， j ， s − i − j ) ∑ l = 0 i ∑ m = 0 j ∑ r = 0 s − i − j C i l C j m C s − i − j r x 0 l y 0 m z 0 r X i − l Y j − m Z s − i − j − r t s − l − m − r = ∑ k = 0 n G k ( x 0 ， y 0 ， z 0 ， X ， Y ， Z ) t k = ∑ k = 1 n G k ( x 0 ， y 0 ， z 0 ， X ， Y ， Z ) t k 其中 。 特别地，当k = 0时，有 G 0 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ， X ， Y ， Z ) = F ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) = 0 。从而有下面的定理： 定理2.1：n次曲面 F ( x ， y ， z ) = 0 是直纹曲面的充分必要条件是对曲面上任意一点 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) 都存在一个对应的方向 { X ， Y ， Z } 使得对任给的 k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，有 G k ( x 0 ， y 0 ， z 0 ， X ， Y ， Z ) = 0 。 证明：(必要性)若曲面 是直纹曲面，则过曲面上任意一点 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) ，都有一条直线在曲面上。不妨设这条直线的方程为 { x = x 0 + X t y = y 0 + Y t z = z 0 + Z t 由(3)知，它就会使得 F ( x 0 + X t ， y 0 + Y t ， z 0 + Z t ) = ∑ k = 1 n G k ( x 0 ， y 0 ， z 0 ， X ， Y ， Z ) t k = 0 由t的任意性知 G k ( x 0 ， y 0 ， z 0 ， X ， Y ， Z ) = 0 ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。 (充分性)若对曲面上任意一点 都存在一个对应的方向 { X ， Y ， Z } 使得对任给的 k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，有 G k ( x 0 ， y 0 ， z 0 ， X ， Y ， Z ) = 0 。 从而由(3)知，对任给的实数t，有 F ( x 0 + X t ， y 0 + Y t ， z 0 + Z t ) = ∑ k = 1 n G k ( x 0 ， y 0 ， z 0 ， X ， Y ， Z ) t k = 0 ，这说明 整条直线 在曲面上。从而定理成立。□ 例1：证明4次曲面 x 4 − 2 x 2 z − y 4 − 2 y 2 z − x 2 + y 2 + 2 z = 0 是直纹曲面。 证明：记 F ( x ， y ， z ) = x 4 − 2 x 2 z − y 4 − 2 y 2 z − x 2 + y 2 + 2 z = x 4 − x 2 y 2 − 2 x 2 z + x 2 y 2 − y 4 − 2 y 2 z − x 2 + y 2 + 2 z = ( x 2 − y 2 − 2 z ) ( x 2 + y 2 − 1 ) 。 设 M 0 = ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) 是曲面上任意点，且过 的直线方程为 { x = x 0 + X t y = y 0 + Y t z = z 0 + Z t 。 下面去寻找使 F ( x 0 + X t ， y 0 + Y t ， z 0 + Z t ) = 0 的方向 { X ， Y ， Z } 。考察 F ( x 0 + X t ， y 0 + Y t ， z 0 + Z t ) = [ ( x 0 + X t ) 2 − ( y 0 + Y t ) 2 − 2 ( z 0 + Z t ) ] [ ( x 0 + X t ) 2 + ( y 0 + Y t ) 2 − 1 ] = [ x 0 2 + X 2 t 2 + 2 x 0 X t − y 0 2 − Y 2 t 2 − 2 y 0 Y t − 2 z 0 − 2 Z t ]       × [ x 0 2 + X 2 t 2 + 2 x 0 X t + y 0 2 + Y 2 t 2 + 2 y 0 Y t − 1 ] = [ ( X 2 − Y 2 ) t 2 + 2 ( x 0 X − y 0 Y − Z ) t + ( x 0 2 − y 0 2 − 2 z 0 ) ]       × [ ( X 2 + Y 2 ) t 2 + 2 ( x 0 X + 2 y 0 Y ) t + ( x 0 2 + y 0 2 − 1 ) ] = ( X 2 − Y 2 ) ( X 2 + Y 2 ) t 4 + 2 ( x 0 X − y 0 Y − Z ) ( X 2 + Y 2 ) t 3     + ( x 0 2 − y 0 2 − 2 z 0 ) ( X 2 + Y 2 ) t 2 + 2 ( X 2 − Y 2 ) ( x 0 X + 2 y 0 Y ) t 3     + 4 ( x 0 X − y 0 Y − Z ) ( x 0 X + 2 y 0 Y ) t 2 + 2 ( x 0 2 − y 0 2 − 2 z 0 ) ( x 0 X + 2 y 0 Y ) t     + ( X 2 − Y 2 ) ( x 0 2 + y 0 2 − 1 ) t 2 + 2 ( x 0 X − y 0 Y − Z ) ( x 0 2 + y 0 2 − 1 ) t     + ( x 0 2 − y 0 2 − 2 z 0 ) ( x 0 2 + y 0 2 − 1 ) (4) 这样得到了一个关于t的一个4次方程，由前面定义的记号有 G 4 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ， X ， Y ， Z ) = ( X 2 − Y 2 ) ( X 2 + Y 2 ) ， G 3 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ， X ， Y ， Z ) = 2 [ ( x 0 X − y 0 Y − Z ) ( X 2 + Y 2 ) + ( X 2 − Y 2 ) ( x 0 X + 2 y 0 Y ) ] ， G 2 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ， X ， Y ， Z ) = ( x 0 2 − y 0 2 − 2 z 0 ) ( X 2 + Y 2 ) + 4 ( x 0 X − y 0 Y − Z ) ( x 0 X + 2 y 0 Y )   + ( X 2 − Y 2 ) ( x 0 2 + y 0 2 − 1 ) G 1 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ， X ， Y ， Z ) = 2 [ ( x 0 2 − y 0 2 − 2 z 0 ) ( x 0 X + 2 y 0 Y ) + ( x 0 X − y 0 Y − Z ) ( x 0 2 + y 0 2 − 1 ) ] ， G 0 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ， X ， Y ， Z ) = ( x 0 2 − y 0 2 − 2 z 0 ) ( x 0 2 + y 0 2 − 1 ) = F ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) = 0 。 由于 M 0 = ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) 是曲面上的一个点，于是有 ( x 0 2 − y 0 2 − 2 z 0 ) ( x 0 2 + y 0 2 − 1 ) = 0 。从而 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) 必使 ( x 0 2 + y 0 2 − 1 ) = 0 或 ( x 0 2 − y 0 2 − 2 z 0 ) = 0 。 i) 若 x 0 2 + y 0 2 − 1 = 0 ， 则由(4)知：要使 F ( x 0 + X t ， y 0 + Y t ， z 0 + Z t ) = 0 ，只需(4)的一个因式为0即可。由 ( X 2 + Y 2 ) t 2 + 2 ( x 0 X + y 0 Y ) t = 0 可以得到方向{0，0，1}，它使得 G 4 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ， X ， Y ， Z ) = G 3 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ， X ， Y ， Z ) = G 2 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ， X ， Y ， Z ) = G 1 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ， X ， Y ， Z ) = 0 (5) ii) 若 x 0 2 − y 0 2 − 2 z 0 = 0 ， 由(4)知：可考察 ( X 2 − Y 2 ) t 2 + 2 ( x 0 X − y 0 Y − Z ) t = 0 。由 { X 2 − Y 2 = 0 x 0 X − y 0 Y − Z = 0 知：若令X = 1，并取Y = 1，则 Z = x 0 − y 0 。可验证方向 { 1 ， 1 ， x 0 − y 0 } 使得(5)式成立。这样，对曲面上任意一点 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) 都找到了一个方向 { X ， Y ， Z } 使得对任给的k = 1，2，3，4，有 。 从而由定理2.1知曲面 x 4 − 2 x 2 z − y 4 − 2 y 2 z − x 2 + y 2 + 2 z = 0 是一个直纹曲面。