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user: 3. Yu-Toda-Sasa-Fukuyama势方程的新精确解 对方程(1)引入变换(4) w ( ζ ) = w ( x ， y ， z ， t ) ， ζ = a x + b y + c z + d 1 t ，可将(1)化为方程 − 4 a d 1 w ″ + a 3 c w ( 4 ) + 6 a 2 c w ′ w ″ + 3 b 2 = 0. (13) 对方程(13)两边进行一次积分得 ( − 4 a d 1 + 3 b 2 ) w ′ + a 3 c w ‴ + 3 a 2 c ( w ′ ) 2 + k = 0. (14) 其中 k 为待定常数，由(6)可知 w 关于 ( d + H ) 的最高次幂为 m ， 关于 ( d + H ) 的最高次幂为 m + 1 ， w ‴ 关于 ( d + H ) 的最高次幂为 m + 3 ，由齐次平衡法得，最高阶导数线性项 w ‴ 和非线性项 ( w ′ ) 2 进行平衡，则 m + 3 = 2 m + 2 ，解得 m = 1 。则(6)的表达式为 W ( ζ ) = e 0 + ( e − 1 + f 1 ) ( d + H ) − 1 + e 1 ( d + H ) (15) 将(15)代入(14)，得到3组解符合我们(3 + 1)维方程的系数关系 第一组： a = a ， b = b ， c = c ， d = d ， k = 0 ， d 1 = 1 4 a 3 c Ω + 3 A 2 b 2 a A 2 ， e − 1 = − 2 a d 2 φ + f 1 A − 2 a E A ， e 1 = 0 ， f 1 = f 1 . 第二组： a = a ， b = b ， c = c ， d = − 1 2 B ϕ ， k = 0 ， d 1 = 1 4 4 a 3 c Ω + 3 A 2 b 2 a A 2 ， e − 1 = − 1 2 2 A f 1 φ − a Ω A φ ， e 1 = 2 a φ A ， f 1 = f 1 . 第三组： 当第一、二、三组解满足 H ( ζ ) 的条件时， w ( ζ ) 的表达式为 w 11 ( ζ ) = e 0 + ( e − 1 + f 1 ) ( d + B 2 φ + Ω 2 φ C 1 sinh ( Ω 2 φ ζ ) + C 2 cosh ( Ω 2 φ ζ ) C 2 sinh ( Ω 2 φ ζ ) + C 1 cosh ( Ω 2 φ ζ ) ) − 1 ， w 12 ( ζ ) = e 0 + ( e − 1 + f 1 ) ( d + B 2 φ + − Ω 2 φ − C 1 sin ( − Ω 2 φ ζ ) + C 2 cos ( − Ω 2 φ ζ ) C 2 sin ( − Ω 2 φ ζ ) + C 1 cos ( − Ω 2 φ ζ ) ) − 1 ， w 13 ( ζ ) = e 0 + ( e − 1 + f 1 ) ( d + B 2 φ + C 2 C 1 + C 2 ζ ) − 1 ， w 14 ( ζ ) = e 0 + ( e − 1 + f 1 ) ( d + Δ M C 1 sinh ( Δ φ ζ ) + C 2 cosh ( Δ φ ζ ) C 2 sinh ( Δ φ ζ ) + C 1 cosh ( Δ φ ζ ) ) − 1 ， w 15 ( ζ ) = e 0 + ( e − 1 + f 1 ) ( d + − Δ φ − C 1 sin ( − Δ φ ζ ) + C 2 cos ( − Δ φ ζ ) C 2 sin ( − Δ φ ζ ) + C 1 cos ( − Δ φ ζ ) ) − 1 . w 21 ( ζ ) = e 0 + ( e − 1 + f 1 ) ( d + B 2 φ + Ω 2 φ C 1 sinh ( Ω 2 φ ζ ) + C 2 cosh ( Ω 2 φ ζ ) C 2 sinh ( Ω 2 φ ζ ) + C 1 cosh ( Ω 2 φ ζ ) ) − 1 + e 1 ( d + B 2 φ + Ω 2 φ C 1 sinh ( Ω 2 φ ζ ) + C 2 cosh ( Ω 2 φ ζ ) C 2 sinh ( Ω 2 φ ζ ) + C 1 cosh ( Ω 2 φ ζ ) ) ， w 22 ( ζ ) = e 0 + ( e − 1 + f 1 ) ( d + B 2 φ + − Ω 2 φ − C 1 sin ( − Ω 2 φ ζ ) + C 2 cos ( − Ω 2 φ ζ ) C 2 sin ( − Ω 2 φ ζ ) + C 1 cos ( − Ω 2 φ ζ ) ) − 1 + e 1 ( d + B 2 φ + − Ω 2 φ − C 1 sin ( − Ω 2 φ ζ ) + C 2 cos ( − Ω 2 φ ζ ) C 2 sin ( − Ω 2 φ ζ ) + C 1 cos ( − Ω 2 φ ζ ) ) ， w 23 ( ζ ) = e 0 + ( e − 1 + f 1 ) ( d + B 2 φ + C 2 C 1 + C 2 ζ ) − 1 + e 1 ( d + B 2 φ + C 2 C 1 + C 2 ζ ) ， w 24 ( ζ ) = e 0 + ( e − 1 + f 1 ) ( d + Δ M C 1 sinh ( Δ φ ζ ) + C 2 cosh ( Δ φ ζ ) C 2 sinh ( Δ φ ζ ) + C 1 cosh ( Δ φ ζ ) ) − 1 + e 1 ( d + Δ M C 1 sinh ( Δ φ ζ ) + C 2 cosh ( Δ φ ζ ) C 2 sinh ( Δ φ ζ ) + C 1 cosh ( Δ φ ζ ) ) ， w 25 ( ζ ) = e 0 + ( e − 1 + f 1 ) ( d + − Δ φ − C 1 sin ( − Δ φ ζ ) + C 2 cos ( − Δ φ ζ ) C 2 sin ( − Δ φ ζ ) + C 1 cos ( − Δ φ ζ ) ) − 1 + e 1 ( d + − Δ φ − C 1 sin ( − Δ φ ζ ) + C 2 cos ( − Δ φ ζ ) C 2 sin ( − Δ φ ζ ) + C 1 cos ( − Δ φ ζ ) ) . w 31 ( ζ ) = e 0 + e 1 ( d + B 2 φ + Ω 2 φ C 1 sinh ( Ω 2 φ ζ ) + C 2 cosh ( Ω 2 φ ζ ) C 2 sinh ( Ω 2 φ ζ ) + C 1 cosh ( Ω 2 φ ζ ) ) ， w 32 ( ζ ) = e 0 + e 1 ( d + B 2 φ + − Ω 2 φ − C 1 sin ( − Ω 2 φ ζ ) + C 2 cos ( − Ω 2 φ ζ ) C 2 sin ( − Ω 2 φ ζ ) + C 1 cos ( − Ω 2 φ ζ ) ) ， w 33 ( ζ ) = e 0 + e 1 ( d + B 2 φ + C 2 C 1 + C 2 ζ ) ， w 34 ( ζ ) = e 0 + e 1 ( d + Δ M C 1 sinh ( Δ φ ζ ) + C 2 cosh ( Δ φ ζ ) C 2 sinh ( Δ φ ζ ) + C 1 cosh ( Δ φ ζ ) ) ， w 35 ( ζ ) = e 0 + e 1 ( d + − Δ φ − C 1 sin ( − Δ φ ζ ) + C 2 cos ( − Δ φ ζ ) C 2 sin ( − Δ φ ζ ) + C 1 cos ( − Δ φ ζ ) ) . 令 r = α 1 x + α 2 y + α 3 z ( α 1 ， α 2 ， α 3 为不为零的常数)，利用maple软件画出部分解的图像，如下：(图1~图3) 图1. 三角函数求解示意图 图2. 合理分区解示意图 图3. 双曲函数求解示意图