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user: 3. 主要结果 令 E = C [ 0 ， 1 ] ，定义其中的范数为 ‖ u ‖ = sup { | u ( t ) | : 0 ≤ t ≤ 1 } ，则E为一个Banach空间。 由引理2.7，我们可将边值问题(1.1)~(1.2)转换成 u = T u ， T : E → E 定义为： T u ( t ) = ∫ 0 t e − λ ( t − s ) ( ∫ 0 s 1 Γ ( q ) ( s − w ) q − 1 f ( w ， u ( w ) ) d w ) d s + γ ( 1 − e − λ t ) − η ( λ t − 1 + e − λ t ) λ 2 ( β γ − α η )     ⋅ [ λ ∫ 0 ξ e − λ τ ( ∫ 0 τ e λ s ( ∫ 0 s 1 Γ ( q ) ( s − w ) q − 1 f ( w ， u ( w ) ) d w ) d s ) d τ     − ∫ 0 ξ ( ∫ 0 τ 1 Γ ( q ) ( τ − w ) q − 1 f ( w ， u ( w ) ) d w ) d τ ] + α ( 1 − e − λ t ) − β ( λ t − 1 + e − λ t ) λ 2 ( β γ − α η )     ⋅ [ e − λ ( ∫ 0 1 e λ s ( ∫ 0 s 1 Γ ( q ) ( s − w ) q − 1 f ( w ， u ( w ) ) d w ) d s ) ] . (3.1) 显然，u是边值问题(1.1)~(1.2)的解当且仅当u为算子T的不动点。 首先，通过Banach压缩映像原理来研究边值问题(1.1)~(1.2)解的存在唯一性。 定理3.1 设f连续且满足： | f ( t ， u ) − f ( t ，     v ) | ≤ L | u − v | ，             ∀ t ∈ [ 0 ， 1 ] ，       u ， v ∈ R ， 其中Lipschitz常数 L > 0 。若 L < 1 B ，则边值问题(1.1)~(1.2)存在唯一解，其中 证 第一步. T如(3.1)定义，令 M = sup t ∈ [ 0 ， 1 ] | f ( t ， 0 ) | ，     r ≥ M B 1 − L B . 又令 B r = { u ∈ E : ‖ u ‖ ≤ r } 。对 ∀ u ∈ B r ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ，有 | T u ( t ) | = | ∫ 0 t e − λ ( t − s ) ( ∫ 0 s 1 Γ ( q ) ( s − w ) q − 1 f ( w ， u ( w ) ) d w ) d s + γ ( 1 − e − λ t ) − η ( λ t − 1 + e − λ t ) λ 2 ( β γ − α η )     ⋅ [ λ ∫ 0 ξ e − λ τ ( ∫ 0 τ e λ s ( ∫ 0 s 1 Γ ( q ) ( s − w ) q − 1 f ( w ， u ( w ) ) d w ) d s ) d τ     − ∫ 0 ξ ( ∫ 0 τ 1 Γ ( q ) ( τ − w ) q − 1 f ( w ， u ( w ) ) d w ) d τ ] + α ( 1 − e − λ t ) − β ( λ t − 1 + e − λ t ) λ 2 ( β γ − α η )     ⋅ [ e − λ ( ∫ 0 1 e λ s ( ∫ 0 s 1 Γ ( q ) ( s − w ) q − 1 f ( w ， u ( w ) ) d w ) d s ) ] | ≤ ∫ 0 t e − λ ( t − s ) ( ∫ 0 s 1 Γ ( q ) ( s − w ) q − 1 ( | f ( w ， u ( w ) ) − f ( w ， 0 ) | + | f ( w ， 0 ) | ) d w ) d s + γ ( 1 − e − λ ) + λ η λ 2 ( β γ − α η )     ⋅ [ λ ∫ 0 ξ e − λ τ ( ∫ 0 τ e λ s ( ∫ 0 s 1 Γ ( q ) ( s − w ) q − 1 ( | f ( w ， u ( w ) ) − f ( w ， 0 ) | + | f ( w ， 0 ) | ) d w ) d s ) d τ     + ∫ 0 ξ ( ∫ 0 τ 1 Γ ( q ) ( τ − w ) q − 1 ( | f ( w ， u ( w ) ) − f ( w ， 0 ) | + | f ( w ， 0 ) | ) d w ) d τ ] + α ( 1 − e − λ ) − | β | λ λ 2 ( β γ − α η )     ⋅ [ e − λ ( ∫ 0 1 e λ s ( ∫ 0 s 1 Γ ( q ) ( s − w ) q − 1 ( | f ( w ， u ( w ) ) − f ( w ， 0 ) | + | f ( w ， 0 ) | ) d w ) d s ) ] ≤ ( L ‖ u ‖ + M ) ( 1 − e − λ λ Γ ( q + 1 ) [ 1 + α ( 1 − e − λ ) + λ | β | λ 2 ( β γ − α η ) ]     + γ ( 1 − e − λ ) + λ η λ 2 ( β γ − α η ) [ ξ Γ ( q + 1 ) + ξ q + 1 Γ ( q + 2 ) ] ) ≤ ( L r + M ) B ≤ r . 于是，得到 T u ∈ B r 。因此 T B r ⊂ B r 。 第二步，对于 u ， v ∈ B r ， ，有 | T u ( t ) − T v ( t ) | ≤ ∫ 0 t e − λ ( t − s ) ( ∫ 0 s 1 Γ ( q ) ( s − w ) q − 1 ( | f ( w ， u ( w ) ) − f ( w ， v ( w ) ) | ) d w ) d s     + γ ( 1 − e − λ ) + λ η λ 2 ( β γ − α η ) [ λ ∫ 0 ξ e − λ τ ( ∫ 0 τ e λ s ( ∫ 0 s 1 Γ ( q ) ( s − w ) q − 1 ( | f ( w ， u ( w ) ) − f ( w ， v ( w ) ) | ) d w ) d s ) d τ     + ∫ 0 ξ ( ∫ 0 τ 1 Γ ( q ) ( τ − w ) q − 1 ( | f ( w ， u ( w ) ) − f ( w ， v ( w ) ) | ) d w ) d τ ]     + α ( 1 − e − λ ) − | β | λ λ 2 ( β γ − α η ) [ e − λ ( ∫ 0 1 e λ s ( ∫ 0 s 1 Γ ( q ) ( s − w ) q − 1 ( | f ( w ， u ( w ) ) − f ( w ， v ( w ) ) | ) d w ) d s ) ] ≤ L ‖ u − v ‖ ⋅ B = L B ‖ u − v ‖ . 即有 ‖ T u − T v ‖ ≤ B L ‖ u − v ‖ 。由于 B L < 1 ，因此T在 上是压缩的。由压缩映像原理可知，定理的结论成立。证毕。 接下来我们利用非线性压缩的一个著名定理来分析(1.1)~(1.2)解的存在问题。 定义3.2 令F为一个Banach空间， A : F → F 为一个映射。如果存在一个单调不减的连续函数 φ : R + → R + ，使得 φ ( 0 ) = 0 ，对任意 k > 0 ，有 φ ( k ) < k ，且满足： ‖ A u − A v ‖ ≤ φ ( ‖ u − v ‖ ) ，             ∀ u ， v ∈ F ， 则称 A 是非线性压缩算子。 引理3.3 [ 23 ] 设F为一个Banach空间， A : F → F 是非线性压缩算子，则 A 在F上存在唯一的不动点。 定理3.4 设 连续，且设 | f ( t ， u ) − f ( t ， v ) | ≤ y ( t ) | u − v | H ∗ + | u − v | ，       ∀ t ∈ [ 0 ， 1 ] ，     u ， v ∈ R ， 其中 是连续的，且正常数 H ∗ 由下式给出： H ∗ = ∫ 0 1 e λ s ( ∫ 0 s 1 Γ ( q ) ( s − w ) q − 1 y ( w ) d w ) d s     + γ ( 1 − e − λ ) + λ η λ 2 ( β γ − α η ) [ λ ∫ 0 ξ e − λ τ ( ∫ 0 τ e λ s ( ∫ 0 s 1 Γ ( q ) ( s − w ) q − 1 y ( w ) d w ) d s ) d τ     + ∫ 0 ξ ( ∫ 0 τ 1 Γ ( q ) ( τ − w ) q − 1 y ( w ) d w ) d τ ]     + α ( 1 − e − λ ) + λ | β | λ 2 ( β γ − α η ) [ e − λ ∫ 0 1 e λ s ( ∫ 0 s 1 Γ ( q ) ( s − w ) q − 1 y ( w ) d w ) d s ] . 则边值问题(1.1)~(1.2)存在唯一解。 证 令 T : E → E 为(3.1)定义的算子，定义一个单调不减的连续函数 φ : R + → R + ， φ ( k ) = H ∗ k H ∗ + k ，     ∀ k ≥ 0. 注意到函数 φ 满足 φ ( 0 ) = 0 ，且对任意 k > 0 ，有 φ ( k ) < k 。 对任意 u ， v ∈ E ，且任意 t ∈ [ 0 ， 1 ] ，我们有 | T u ( t ) − T v ( t ) | ≤ ∫ 0 t e − λ ( t − s ) ( ∫ 0 s 1 Γ ( q ) ( s − w ) q − 1 ( | f ( w ， u ( w ) ) − f ( w ， v ( w ) ) | ) d w ) d s + γ ( 1 − e − λ ) + λ η λ 2 ( β γ − α η )     ⋅ [ λ ∫ 0 ξ e − λ τ ( ∫ 0 τ e λ s ( ∫ 0 s 1 Γ ( q ) ( s − w ) q − 1 ( | f ( w ， u ( w ) ) − f ( w ， v ( w ) ) | ) d w ) d s ) d τ     + ∫ 0 ξ ( ∫ 0 τ 1 Γ ( q ) ( τ − w ) q − 1 ( | f ( w ， u ( w ) ) − f ( w ， v ( w ) ) | ) d w ) d τ ] + α ( 1 − e − λ ) − | β | λ λ 2 ( β γ − α η )     ⋅ [ e − λ ( ∫ 0 1 e λ s ( ∫ 0 s 1 Γ ( q ) ( s − w ) q − 1 ( | f ( w ， u ( w ) ) − f ( w ， v ( w ) ) | ) d w ) d s ) ] ≤ φ ( ‖ u − v ‖ ) H ∗ { ∫ 0 1 e λ s ( ∫ 0 s 1 Γ ( q ) ( s − w ) q − 1 y ( w ) d w ) d s + γ ( 1 − e − λ ) + λ η λ 2 ( β γ − α η )     ⋅ [ λ ∫ 0 ξ e − λ τ ( ∫ 0 τ e λ s ( ∫ 0 s 1 Γ ( q ) ( s − w ) q − 1 y ( w ) d w ) d s ) d τ     + ∫ 0 ξ ( ∫ 0 τ 1 Γ ( q ) ( τ − w ) q − 1 y ( w ) d w ) d τ ] + α ( 1 − e − λ ) + λ | β | λ 2 ( β γ − α η )     ⋅ [ e − λ ∫ 0 1 e λ s ( ∫ 0 s 1 Γ ( q ) ( s − w ) q − 1 y ( w ) d w ) d s ] ≤ φ ( ‖ u − v ‖ ) ， 故有 ‖ T u − T v ‖ ≤ φ ( ‖ u − ν ‖ ) ，因此T是非线性压缩算子，从而由引理3.3知，算子T存在唯一不动点， 即边值问题(1.1)~(1.2)存在唯一解。证毕。 现在利用Leray-Schauder度理论，讨论边值问题(1.1)~(1.2)的解的存在性。 定理3.5 设 f : [ 0 ， 1 ] × R → R 连续，且存在常数 0 ≤ η 0 < 1 B (这里的B即为定理3.1中的B)， K > 0 ，使得 | f ( t ， u ) | ≤ η 0 | u | + K ，               ∀ t ∈ [ 0 ， 1 ] ，     u ∈ R ， 则边值问题(1.1)~(1.2)至少存在一个解。 证 考虑算子方程 ，下面证明此方程至少存在一个解。 取 B R = { u ∈ E : ‖ u ‖ < R } ， R > 0 ，R将在后面给出。我们将证明 T : B R ¯ → C [ 0 ， 1 ] 满足条件： u ≠ θ T u ， ∀ u ∈ ∂ B R ， ∀ θ ∈ [ 0 ， 1 ] 。由Arzela-Ascoli定理易知，T在 B R ¯ 上是全连续的。定义一个连续映射 h θ ： h θ ( u ) = u − θ T u ， θ ∈ [ 0 ， 1 ] . 通过拓扑度的同伦不变性，可得出： deg ( h θ ， B R ， 0 ) = deg ( I − θ T ， B R ， 0 ) = deg ( h 1 ， B R ， 0 ) = deg ( h 0 ， B R ， 0 ) = 1 ≠ 0 ，其中I是恒等算子。 再由Leray-Schauder度的非零性质可知，至少存在一个 u ∈ B R 使 h 1 ( u ) = u − T u = 0 ，可见u即为T的不动点。 假设 ∃ θ ∈ [ 0 ， 1 ] ， u ∈ E ，使得 u = θ T u ，那么对 ∀ t ∈ [ 0 ， 1 ] ， u ( t ) = θ T u ( t ) ，则 | u ( t ) | = | θ T u ( t ) | ≤ | T u ( t ) | ≤ ∫ 0 t e − λ ( t − s ) ( ∫ 0 s 1 Γ ( q ) ( s − w ) q − 1 ( | f ( w ， u ( w ) ) | ) d w ) d s + γ ( 1 − e − λ ) + λ η λ 2 ( β γ − α η )     ⋅ [ λ ∫ 0 ξ e − λ τ ( ∫ 0 τ e λ s ( ∫ 0 s 1 Γ ( q ) ( s − w ) q − 1 ( | f ( w ， u ( w ) ) | ) d w ) d s ) d τ     + ∫ 0 ξ ( ∫ 0 τ 1 Γ ( q ) ( τ − w ) q − 1 ( | f ( w ， u ( w ) ) | ) d w ) d τ ] + α ( 1 − e − λ ) − | β | λ λ 2 ( β γ − α η )     ⋅ [ e − λ ( ∫ 0 1 e λ s ( ∫ 0 s 1 Γ ( q ) ( s − w ) q − 1 ( | f ( w ， u ( w ) ) | ) d w ) d s ) ] ≤ ( η 0 ‖ u ‖ + K ) ( 1 − e − λ λ Γ ( q + 1 ) [ 1 + α ( 1 − e − λ ) + λ | β | λ 2 ( β γ − α η ) ]     + γ ( 1 − e − λ ) + λ η λ 2 ( β γ − α η ) [ ξ Γ ( q + 1 ) + ξ q + 1 Γ ( q + 2 ) ] ) = ( η 0 ‖ u ‖ + K ) B 从而 ‖ u ‖ ≤ ( η 0 ‖ u ‖ + K ) B ，即有 ‖ u ‖ ≤ B K 1 − η 0 B 。 取 R = B K 1 − η 0 B + 1 ，则 ∀ u ∈ ∂ B R ， ∀ θ ∈ [ 0 ， 1 ] ，有 u ≠ θ T u 。因此边值问题(1.1)~(1.2)至少存在一个解。证毕。