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user: 3. 在边界平衡点附近解的渐近性态 定理2若 ℜ ′ 0 = β q Λ γ ( γ + μ ) + β σ Λ ( 1 − q ) ( γ + μ ) 2 < 1 且满足条件： 1) ( 1 + c 1 ) σ 1 2 < c 1 ( γ + μ ) + γ ； 2) 2 σ 1 2 + 1 2 < 2 γ ； 则对于任何给定的初值 ( S u ( 0 ) ， S e ( 0 ) ， I ( 0 ) ， R ( 0 ) ) ∈ R + 4 ，随机微分方程满足如下性质： lim t → ∞ sup 1 t E ∫ 0 t [ ( S u ( s ) − q Λ γ ) 2 + ( S e ( s ) − ( 1 − q ) Λ γ + μ ) 2 + I ( s ) 2 + ( R ( s ) − ( 1 − q ) Λ μ ( γ + μ ) γ ) 2 ] d s ≤ A B ， 其中 c 1 = 2 γ 2 β q Λ σ > 0 ， c 2 = 4 γ β σ > 0 ， A = 2 ( 1 + c 1 ) σ 1 2 q 2 Λ 2 γ 2 + c 2 μ 2 + 2 ( 1 + c 1 ) σ 1 2 ( 1 − q ) 2 Λ 2 ( γ + μ ) 2 + 2 σ 1 2 ( 1 − q ) 2 μ 2 Λ 2 ( γ + μ ) 2 γ 2 ， B = min { 2 γ − 2 ( 1 + c 1 ) σ 1 2 + 2 c 1 γ ， 2 γ − 2 ( 1 + c 1 ) σ 1 2 + 2 c 1 ( γ + μ ) − 2 c 2 ， 2 γ − 2 σ 1 2 − 2 c 2 ， 2 γ − 2 σ 1 2 } 证明：令 G ( t ) = S u ( t ) − q Λ γ ， H ( t ) = S e ( t ) − ( 1 − q ) Λ γ + μ ， Z ( t ) = I ( t ) ， M ( t ) = R ( t ) − ( 1 − q ) μ Λ ( μ + γ ) γ 则原系统(2)转化为： { d G ( t ) = ( − β G Z ( t ) − β q Λ Z γ − γ G ) d t − σ 1 ( G + q Λ γ ) d B 1 ( t ) d H ( t ) = ( − β σ H Z − β σ ( 1 − q ) Λ Z γ + μ − γ H − μ H ) d t − σ 1 ( H + ( 1 − q ) Λ γ + μ ) d B 1 ( t ) d Z ( t ) = ( β G Z + β q Λ Z γ + β σ H Z + β σ ( 1 − q ) Λ Z γ + μ − γ Z − μ Z ) d t − σ 1 Z d B 1 ( t ) d M ( t ) = ( μ H + μ Z − γ M ) d t − σ 1 ( M + ( 1 − q ) μ Λ ( μ + γ ) γ ) d B 1 ( t ) ， 其中 G ， H ， M ∈ R ， Z > 0 。对此我们考虑如下李雅普诺夫函数： V ( G ， H ， Z ， M ) = ( G + H + Z + M ) 2 + c 1 ( G + H ) 2 + c 2 ( Z + M ) ， 其中 c 1 ， c 2 是大于0的常数。由伊藤公式可得 L V = [ 2 ( G + H + Z + M ) + 2 c 1 G ] [ − β G Z − β q Λ Z γ − γ G ] + ( 1 + c 1 ) σ 1 2 ( G + q Λ γ ) 2       + [ 2 ( G + H + Z + M ) + 2 c 1 H ] [ − β σ H Z − β σ ( 1 − q ) Λ Z γ + μ − γ H − μ H ]       + ( 1 + c 1 ) σ 1 2 ( H + ( 1 − q ) Λ γ + μ ) 2 + σ 1 2 Z 2 + [ 2 ( G + H + Z + M ) + c 2 ] [ μ H + μ Z − γ M ]       + [ 2 ( G + H + Z + M ) + c 2 ] [ β G Z + β q Λ Z γ + β σ H Z + β σ ( 1 − q ) Λ Z γ + μ − γ Z − μ Z ]       + σ 1 2 ( M + ( 1 − q ) Λ μ ( γ + μ ) γ ) 2 = ( − 2 γ + ( 1 + c 1 ) σ 1 2 − 2 c 1 γ ) G 2 + ( − 2 γ + ( 1 + c 1 ) σ 1 2 − 2 c 1 γ − 2 c 1 μ ) H 2 + ( − 2 γ + σ 1 2 ) Z 2       + ( − 2 γ + σ 1 2 ) M 2 − 4 G H + ( − 4 γ − 2 c β 1 q Λ γ + c 2 β ) G Z − 4 γ G M       + ( − 4 γ − 2 c 1 β σ ( 1 − q ) Λ γ + μ + c 2 β σ ) H Z − 4 γ H M − 4 γ Z M + 2 ( 1 + c 1 ) σ 1 2 q Λ γ G       + ( c 2 μ + 2 ( 1 + c 1 ) σ 1 2 ( 1 − q ) Λ γ + μ ) H + ( c 2 q Λ β γ + c 2 ( 1 − q ) Λ β σ γ + μ − c 2 γ + c 2 μ − c 2 μ ) Z ， + 2 σ 1 2 ( 1 − q ) μ Λ ( γ + μ ) γ M − 2 c 1 β G 2 Z − 2 c 1 β σ H 2 Z + ( 1 + c 1 ) σ 1 2 q 2 Λ 2 γ 2 + ( 1 + c 1 ) σ 1 2 ( 1 − q ) 2 Λ 2 ( γ + μ ) 2       + σ 1 2 ( 1 − q ) 2 μ 2 Λ 2 ( γ + μ ) 2 γ 2 根据定理给出的条件可知 ℜ ′ 0 = β q Λ γ ( γ + μ ) + β σ Λ ( 1 − q ) ( γ + μ ) 2 < 1 ， 那么 β q Λ γ + β σ Λ ( 1 − q ) γ + μ < γ + μ ， 因此 β q Λ γ + β σ Λ ( 1 − q ) γ + μ − ( γ + μ ) < 0 。 利用公式 a b ≤ 1 2 ( a 2 + b 2 ) 得到 L V ≤ [ − 2 γ + ( 1 + c 1 ) σ 1 2 − 2 c 1 γ ] G 2 + [ − 2 γ + ( 1 + c 1 ) σ 1 2 − 2 c 1 γ − 2 c 1 μ ] H 2   + ( − 2 γ + σ 1 2 ) Z 2 + ( − 2 γ + σ 1 2 ) M 2 + ( − 2 c 1 β q Λ γ + c 2 β ) G Z + ( − 4 γ + c 2 β σ ) H Z   + ( 1 + c 1 ) σ 1 2 ( q 2 Λ 2 γ + G 2 ) + c 2 μ H + 2 ( 1 + c 1 ) σ 1 2 ( 1 − q ) Λ γ + μ G + 1 2 c 2 ( μ 2 + Z 2 )   + σ 1 2 [ ( 1 − q ) 2 μ 2 Λ 2 ( γ + μ ) 2 γ 2 + M 2 ] + ( 1 + c 1 ) σ 1 2 q 2 Λ 2 γ 2 + ( 1 + c 1 ) σ 1 2 ( 1 − q ) 2 Λ 2 ( γ + μ ) 2 + σ 1 2 ( 1 − q ) 2 μ 2 Λ 2 ( γ + μ ) 2 γ 2 这里令 − 2 c 1 β q Λ γ + c 2 β = 0 ， − 4 γ + c 2 β σ = 0 ， 那么有 c 1 = 2 γ 2 β q Λ σ > 0 ， c 2 = 4 γ β σ > 0 。 所以得到 L V ≤ [ − 2 γ + ( 1 + c 1 ) σ 1 2 − 2 c 1 γ ] G 2 + [ − 2 γ + ( 1 + c 1 ) σ 1 2 − 2 c 1 γ − 2 c 1 μ ] H 2   + ( − 2 γ + σ 1 2 ) Z 2 + ( − 2 γ + σ 1 2 ) M 2 + ( 1 + c 1 ) σ 1 2 q 2 Λ 2 γ + ( 1 + c 1 ) σ 1 2 G 2   + 1 2 c 2 ( μ 2 + H 2 ) + ( 1 + c 1 ) σ 1 2 ( 1 − q ) 2 Λ 2 ( γ + μ ) 2 + ( 1 + c 1 ) σ 1 2 H 2 + 1 2 c 2 ( μ 2 + Z 2 )   + σ 1 2 [ ( 1 − q ) 2 μ 2 Λ 2 ( γ + μ ) 2 γ 2 + M 2 ] + ( 1 + c 1 ) σ 1 2 q 2 Λ 2 γ 2 + ( 1 + c 1 ) σ 1 2 ( 1 − q ) 2 Λ 2 ( γ + μ ) 2 + σ 1 2 ( 1 − q ) 2 μ 2 Λ 2 ( γ + μ ) 2 γ 2 ≤ 2 ( 1 + c 1 ) σ 1 2 q 2 Λ 2 γ 2 + c 2 μ 2 + 2 ( 1 + c 1 ) σ 1 2 ( 1 − q ) 2 Λ 2 ( γ + μ ) 2 + 2 σ 1 2 ( 1 − q ) 2 μ 2 Λ 2 ( γ + μ ) 2 γ 2     + [ − 2 γ + 2 ( 1 + c 1 ) σ 1 2 − 2 c 1 γ ] G 2 + [ − 2 γ + 2 ( 1 + c 1 ) σ 1 2 − 2 c 1 ( γ + μ ) + 2 c 2 ] H 2     + ( − 2 γ + 2 σ 1 2 + 2 c 2 ) Z 2 + ( − 2 γ + 2 σ 1 2 ) M 2 令 A = 2 ( 1 + c 1 ) σ 1 2 q 2 Λ 2 γ 2 + c 2 μ 2 + 2 ( 1 + c 1 ) σ 1 2 ( 1 − q ) 2 Λ 2 ( γ + μ ) 2 + 2 σ 1 2 ( 1 − q ) 2 μ 2 Λ 2 ( γ + μ ) 2 γ 2 ， 则 0 ≤ E V ( G ( 0 ) ， H ( 0 ) ， Z ( 0 ) ， M ( 0 ) ) + E ∫ 0 t { A + [ − 2 γ + 2 ( 1 − c 1 ) − 2 c 1 γ ] G 2 + [ − 2 γ + 2 ( 1 − c 1 ) − 2 c 1 ( γ + μ ) + 2 c 2 ] H 2 + [ − 2 γ + 2 σ 1 2 + 2 c 2 ] Z 2 + [ − 2 γ + 2 σ 1 2 ] M 2 } d s ， 这里取 B = min { 2 γ − 2 ( 1 + c 1 ) σ 1 2 + 2 c 1 γ ， 2 γ − 2 ( 1 + c 1 ) σ 1 2 + 2 c 1 ( γ + μ ) − 2 c 2 ， 2 γ − 2 σ 1 2 − 2 c 2 ， 2 γ − 2 σ 1 2 } 因此 0 ≤ E V ≤ V ( G ( 0 ) ， H ( 0 ) ， Z ( 0 ) ， M ( 0 ) ) − E B ∫ 0 t ( G 2 + H 2 + Z 2 + M 2 ) d s + A t ， 进而 E B ∫ 0 t ( G 2 + H 2 + Z 2 + M 2 ) d s ≤ V [ G ( 0 ) ， H ( 0 ) ， Z ( 0 ) ， M ( 0 ) ] + A t ， 所以 1 t E ∫ 0 t ( G 2 + H 2 + Z 2 + M 2 ) d s ≤ V [ G ( 0 ) ， H ( 0 ) ， Z ( 0 ) ， M ( 0 ) ] B t + A B 。 那么 lim t → ∞ sup 1 t E ∫ 0 t ( G 2 + H 2 + Z 2 + M 2 ) d s ≤ A B 。 定理得证。