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user: 1. 引言 Brunn-Minkowski不等式始现于19世纪末期，它在如今蓬勃发展的凸几何分析中扮演着十分重要的角色。Brunn-Minkowski不等式表明对于 ℝ n 中的凸体 K ， L 它们的体积及其代数和具有下述关系： V ( K + L ) 1 n ≥ V ( K ) 1 n + V ( L ) 1 n ， (1.1) 等号成立当且仅当K和L位似，其中，V表示体积。 Aleksandrov在20世纪早期开创性的工作 [ 1 ] 表明在Brunn-Minkowski 类型的不等式和混合表面积测度的唯一性之间存在着等价关系。在这里，“唯一性”意味着：如果K和L具有相同的混合表面积测度 S i ( K ， ⋅ ) = S i ( L ， ⋅ ) ，其中 1 ≤ i ≤ n − 1 [ 2 ]，那么K必是L的平移。 这一等价关系，对于 L p Brunn-Minkowski不等式以及 L p 表面积测度 [ 3 ] 也同样成立。当 p > 1 时，关于 L p Brunn-Minkowski不等式的问题已经得到解决 [ 4 ]，而 P < 1 的情况至今仍有待进一步的探索。 [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] 等解决了某些维度或者特殊p值的情形。 从对称性的观点出发，Lutwak [ 8 ] 在20世纪80年代引入了对偶Brunn-Minkowski理论。将经典意义下的和替换成径向和后，Lutwak建立了关于星体(详细定义参见第2节)的对偶Brunn-Minkowsk型不等式： V ( K + ˜ L ) 1 n ≤ V ( K ) 1 n + V ( L ) 1 n (1.2) 该理论在解决著名的Busemann-Petty问题上取得的成果十分令人瞩目。参见Lutwak [ 8 ]，Gardner [ 9 ]，Zhang [ 10 ] 以及Koldobsky [ 11 ]。 给定一个星体K，在对偶Brunn-Minkowski理论中，最重要的概念之一就是对偶均质积分(dual quermassintegral) W ˜ n − q ( K ) ，它按如下方式定义 W ˜ n − q ( K ) = 1 n ∫ S n − 1 ρ K q ( u ) d u ， q ≠ 0 ， 其中， ρ K 是K的径向函数(详细定义参见第2节)。当 q = 0 时，我们就得到了奇异的情形，此时，我们考虑对偶entropy E ˜ ( K ) E ˜ ( K ) = 1 n ∫ S n − 1 log ρ K ( u ) d u 最近几年，Huang-Lutwak-Yang-Zhang [ 12 ] 关于对偶均质积分有了令人惊讶的发现。他们发现对偶均质积分是“可微的”，对其微分后将得到一系列新的几何测度。这揭示出了古典Brunn-Minkowski理论和对偶Brunn-Minkowsk理论的新联系。对于凸体K，这些新的几何测度统称为 ( p ， q ) -次对偶曲率测度，其一般形式记为 C ˜ p ， q ( K ， ⋅ ) 。当 p = 0 时，该测度就变成了对偶曲率测度 [ 12 ]。当 q = 0 时， n C ˜ p ， q ( K * ， ⋅ ) 就变成了在 [ 13 ] 中引入的 L p 积分曲率测度 J p ( K ， ⋅ ) ，其中 K * 是K的极体(参见第2节)。特别地， C ˜ 0.0 ( K * ， ⋅ ) 是Alesandorv积分曲率。 Brunn-Minkowski类型的不等式与Minkowski问题存在紧密联系。然而，已知的关于径向和 K + ˜ L 的对偶Brunn-Minkowski型不等式(1.2)式在测度 C ˜ p ， q ( K ， ⋅ ) 的唯一性问题上没有帮助。在许多公开的学术讨论中，Huang-Lutwak-Yang-Zhang关于对偶Brunn-Minkowski不等式曾猜测： W ˜ n − q ( K + L ) 1 q ≥ W ˜ n − q ( K ) 1 q + W ˜ n − q ( L ) 1 q (1.3) 以及当 q > 0 时， W ˜ n − q ( ( 1 − t ) ⋅ K + 0 t ⋅ L ) ≥ W ˜ n − q ( K ) 1 − t W ˜ ( L ) t (1.4) 其中， ( 1 − t ) ⋅ K + 0 t ⋅ L 是关于函数 h K 1 − t h L t 的Wulff形(详细定义参见第2节)， h K 和 h L 分别是K和L的支撑函数(详细定义参见第2节)。 在凸几何分析中，高斯像 α K 可以将各种测度间接地联系起来。如通过径向高斯像，它将定义在 S n − 1 上的Aleksandrov积分曲率和球面Lebesgue测度联系起来，同时，也将经典的表面积测度与Federer的 ( n − 1 ) -次曲率测度联系起来( [ 2 ]，定理4.2.3 [ 12 ] )。具体说来，在 [ 12 ] 中，Brunn-Minkowsk理论和对Brunn-Minkowski理论的联系正是通过径向高斯像 α K 建立的。在此基础上，Böröczky-Lutwak-Yang-Zhang-Zhao在 [ 14 ] 中引入了高斯像测度的概念，给出了测度唯一性的证明，并提出高斯像问题。下文中，我们用 K o n 表示内部包含原点的凸体类。 设 λ 是定义在 S n − 1 上的Lebesgue可测集类上的子测度(submeasure)。 K ∈ K o n ，对任意的Borel集 ω ⊂ S n − 1 ， λ 关于K的高斯像测度 λ ( K ， ⋅ ) 可以定义为 λ ( K ， ω ) = λ ( α K ( ω ) ) ， 其中， α K ( ⋅ ) 是关于K的高斯像 (具体定义参见第2节)。 高斯像问题。设 λ 是一个定义在 S n − 1 上的Lebesgue可测集类上的子测度， μ 是定义在 S n − 1 上的Borel子测度。对 λ ， μ 是否存在充分条件和必要条件，使得存在一个凸体 K ∈ K o n 对 S n − 1 上的Borel集，满足 λ ( K ， ⋅ ) = μ 若满足要求的凸体存在，那么在什么程度上是唯一的？ 高斯像测度 λ 与我们已知的很多测度存在联系。当 λ 是 S n − 1 上的Lebesgue测度时， λ ( K ， ⋅ ) 是凸体K的Aleksandrov积分曲率测度 [ 15 ]， λ ( K ， ⋅ ) = C 0 ( K ， ⋅ ) ， 当 λ 是某个凸体K的曲率测度 C n − 1 ( K ， ⋅ ) 时，逆高斯像测度(详细定义参见第2节)就是表面积测度，即 λ * ( K ， ⋅ ) = S n − 1 ( K ， ⋅ ) 此外，Aleksandrov-Fenchel-Jessen的经典的表面积测度 [ 16 ] 以及最近发现的对偶曲率测度都是高斯像测度 [ 12 ]。这样，高斯像测度的引入就扩展了Minkowski问题的研究范围。 关于测度 λ 的对偶Entropy E ˜ λ ( K ) 的定义为 E ˜ λ ( K ) = ∫ S n − 1 log ρ K ( v ) d λ ( v ) . Borel测度 μ 是绝对连续的，指的是 μ 是关于球面Lebesgue测度绝对连续的。Böröczky-Lutwak-Yang-Zhang-Zhao [ 14 ] 在 μ 是绝对连续的假设下，证明了高斯像问题的解存在唯一性。 本文通过几何的方法，建立了关于 E ˜ λ ( K ) 的不等式和等号条件。在此基础上，利用 E ˜ λ ( K ) 的凹性，结合变分公式，我们给出高斯像测度唯一性的另一种证明。我们得到的结果如下： 定理A. 设 λ 是定义在 S n − 1 上的Borel测度。 K ， L ∈ K o n ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ，则 E ˜ λ ( ( 1 − t ) ⋅ K + 0 t ⋅ L ) ≥ ( 1 − t ) E ˜ λ ( K ) + t E ˜ λ ( L ) 等号成立当且仅当 K ， L 是膨胀的。 定理B. 设 λ 是 S n − 1 上绝对连续的Borel测度。 K ， L ∈ K o n ，则 λ ( K ， ⋅ ) = λ ( L ， ⋅ ) 当且仅当 K ， L 是膨胀的。