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user: 3. 模拟分析 3.1. 慢光中的基本概念 众所周知，群折射率n g 可以由公式(1)表示： 图1. 扇面形散射元 图2. 光子晶体六边形晶格结构 n g = c v g = c d k d ω (1) 其中ω是入射波(脉冲)的中心角频率， k = 2 π n e f f / λ ，n eff 是有效折射率，λ是工作频率的波长。带入k对公式(1)进一步展开得到公式(2)： n g = n e f f + ω d n e f f d ω (2) 对慢光而言，通常 n g ≫ n e f f ，则公式(3)近似为： n g ≈ ω Δ n Δ ω (3) 简化得公式(4)： n g Δ ω ω ≈ Δ n (4) 公式(4)中，n g Δω/ω称为延迟带宽积，是评价慢光的主要参数。有效折射率的最大变化可表示为公式(5)： Δ n max = k max f 1 − k min f 2 ≈ k max − k min f 1 (5) 公式(5)中， f 1 和 f 2 指的是群折射率 n g 取±x%时对应的频率上下限，一般取±10%，a值也是根据工作波长而作相应改变后的数值。色散系数D则有公式(6)表示。 D = 1 c d n g d λ (6) 目前，归一化延迟带宽积已成为评价慢光效应的主要参数，因为它既包含了群折射率的大小，又包含了带宽的宽度。而研究发现，群折射率越大，对应的带宽会越小，具体采用哪种参数的模型，应视具体情况而定。 3.2. 色散曲线的规律分析 在图2完整的六边形光子晶体晶格结构中，引入线缺陷，构成面对面型线缺陷波导结构，面对面指的是散射元的相对位置，如图3所示。 利用平面波展开法，改变散射元的角度 θ ，在第一布里渊区范围(位于0.3~0.5)内，寻找归一化频率 f = ω a 2 π c 随 θ 的变化关系，如图4所示。可以发现，随着 θ 的增大，色散曲线由向下凹逐渐向向上凸转变，在转变的过程中，就会出现一段线性区域，根据公式(3)，具有线性区域的色散曲线容易找到平坦的慢光，因此寻找理想慢光也就是寻找存在线性区域的色散曲线。 3.3. 面对面型线缺陷波导的慢光特性分析 由课题组以前的研究得知 [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] ，空气孔型晶格结构的TM模式比较容易产生较理想的慢光，因此本研究针对这一模型展开研究，目的在于寻找群折射率较大且带宽较宽的模型，增大归一化延迟带 宽积( n g Δ ω ω )。 采用控制变量法，通过微调散射元参数进行优化，找到比较平坦的群折射率曲线，如图5所示。图5中对应的模型分别为： ， d = 0.2 a ， θ = 145 ∘ ， n g = 39 ； r = 0.225 ， d = 0.225 ， θ = 128 ∘ ， n g = 43.2 ； r = 0.25 a ， d = 0.25 a ， θ = 118.5 ∘ ， n g = 51 ； r = 0.275 a ， d = 0.275 a ， θ = 113.95 ∘ ， n g = 66.1 ； r = 0.3 a ， d = 0.3 a ， θ = 111.5 ∘ ， n g = 91.9 ，这是最大的群折射率值，同时也对应着最小的群速度， v g min = 0.011 c 。归一化延迟带宽积的最大值为0.213。表1中的带宽是在工作波长 λ = 1550   nm 下计算出的，变化范围为2.1~8.5 nm，对应的晶格常数 a = 185   nm 。若用1 Thz的工作频率，即 λ = 300   μm ，可获得398.7~1641.2 nm 图3. 面对面型线缺陷波导结构 图4. 色散曲线随θ的变化关系 图5. 面对面型线缺陷波导的群折射率曲线 Table 1 n g ， Δ λ ， n g Δ ω / ω ， v g in face-to-face line defect waveguid r d θ n g Δλ n g Δω/ω v g 0.200a 0.200a 145 o 39.0 8.5 0.213 0.026c 0.225a 0.225a 128 o 43.2 7.6 0.211 0.023c 0.250a 0.250a 118.5 o 51.0 5.1 0.169 0.020c 0.275a 0.275a 113.95 o 66.1 3.9 0.166 0.015c 0.300a 0.300a 111.5 o 91.9 2.1 0.122 0.011c 表1. 面对面型线缺陷波导的 n g ， Δ λ ， n g Δ ω / ω ， v g 范围的平带带宽，对应的晶格常数为35.86 μm。 根据3.1中给出的公式，计算其各自的群速度、归一化延迟带宽积和带宽，见表1。其中Δλ的误差是±10%，单位是nm。 根据式(6)，取 λ = 1550   nm ，使 n g 保持在±10%的变化范围内，计算各个模型的色散常数D，如图6所示。 D的单位是ps/mm∙nm，计算当 | D | ≤ 1 时，波长的变化范围，即带宽，如表2所示，其最大值可达3.1 nm。若令 f = 1   Thz ，带宽可达1641.2 nm。 3.4. 背对背型线缺陷波导的慢光特性分析 将图3中的散射元全部旋转180˚，得到背对背型线缺陷波导结构，见图7。 研究方法同3.3，计算其群折射率，寻找比较理想的慢光模型，如图8所示。各个模型的参数与面对面型的基本一致，只是个别角度有细微的变化。 r = 0.3 a ， d = 0.3 a ， θ = 111.7 ∘ 时， n g = 92.6 ，为最大值。群折射率可以实现39.0~92.6的可调范围。 表3为 时，各个参数模型所对应的群折射率、带宽、归一化延迟带宽积和群速度，此时晶格常数 a = 185.28   nm 。 Table 2 a and Δ λ for | D | ≤ 1 in face to face line defect waveguide n g a (nm) |D| Δλ (nm) 39.0 182.5 ≤1.0 3.1 43.2 183.1 ≤1.0 2.1 51.0 184.4 ≤1.0 0.8 66.1 186.6 ≤1.0 0.3 表2. 面对面型线缺陷波导 | D | ≤ 1 时的a及 Δ λ 图6. 面对面型线缺陷波导的GVD曲线 图7. 背对背型线缺陷波导 图8. 背对背型线缺陷波导的群折射率曲线 Table 3 n g ， Δ λ ， n g Δ ω / ω ， v g in back-to-back face line defect waveguide r d θ n g Δλ n g Δω/ω v g 0.200a 0.200a 145 o 39.0 8.5 0.215 0.026c 0.225a 0.225a 128 o 43.0 7.6 0.211 0.023c 0.250a 0.250a 118.5 o 51.0 5.1 0.168 0.020c 0.275a 0.275a 114 o 66.1 3.9 0.166 0.015c 0.300a 0.300a 111.7 o 92.6 2.1 0.123 0.011c 表3. 背对背型线缺陷波导的 n g ， Δ λ ， n g Δ ω / ω ， v g 由表3可知，带宽的变化范围为8.5 nm，最大归一化延迟带宽积为0.215。若取 f = 1   Thz ，即 ，平带带宽可实现397.2~1649.6 nm的变化范围，晶格常数为35.862 μm。 取 λ = 1550   nm ， Δ n g = ± 10 % ，计算其色散常数D，如图9所示。由表中数据得， | D | ≤ 1 时，最大带宽可达2.73 nm。取 f = 1   Thz ，最大带宽可达1649.6 nm。 同样的， | D | ≤ 1 的带宽值可由表4表示，D的单位还是ps/mm∙nm。 3.5. 旋转30˚后线缺陷波导的慢光特性分析 将图3中的扇面形散射元对称旋转30˚，得到旋转30˚线缺陷波导，如图10所示。 利用控制变量法，寻找比较理想的群折射率曲线，如图11所示。对应的参数分别为： r = 0.2 a ， d = 0.2 a ， θ = 160 ∘ ， n g = 36.2 ； r = 0.225 a ， d = 0.225 a ， θ = 140 ∘ ， n g = 41.1 ； r = 0.25 a ， d = 0.25 a ， θ = 128 ∘ ， n g = 49.8 ； r = 0.275 a ， d = 0.275 a ， θ = 120.5 ∘ ， n g = 63.7 ； r = 0.3 a ， d = 0.3 a ， θ = 114.8 ∘ ， n g = 83.3 ，为最大值。即通过调控参数，此模型可以实现群折射率从36.2到83.3的调谐。 表5列出了工作波长 时，各个参数模型的群折射率、带宽、归一化延迟带宽积和群速度，此时晶格常数 a = 187.88   nm 。 由表5可以看出，平带带宽可实现3.0~10.8 nm的调谐，最大归一化延迟带宽积为0.253，最小的群速度为0.012c。若令工作频率 f = 1   Thz ，平带带宽可实现583.2~2094.3 nm的变化。图12为 λ = 1550   nm 图9. 背对背型线缺陷波导的GVD曲线 Table 4 a and Δ λ for | D | ≤ 1 in back-to-back line defect waveguide n g a (nm) |D| Δλ (nm) 39.0 182.5 ≤1.0 2.73 43.0 183.1 ≤1.0 2.26 51.0 184.4 ≤1.0 1.26 66.1 186.7 ≤1.0 0 92.6 189.7 ≤1.0 0.62 表4. 背对背型线缺陷波导 | D | ≤ 1 时的a及 Δ λ 图10. 旋转30度线缺陷波导 图11. 旋转30˚后线缺陷波导的群折射率曲线 Table 5 n g ， Δ λ ， n g Δ ω / ω ， v g in a linear defect waveguide after rotation 30 r d θ n g Δλ n g Δω/ω v g 0.200a 0.200a 160 o 36.2 10.8 0.253 0.028c 0.225a 0.225a 140 o 41.1 8.1 0.209 0.024c 0.250a 0.250a 128 o 49.8 6.8 0.206 0.020c 0.275a 0.275a 120.5 o 63.7 4.0 0.162 0.016c 0.300a 0.300a 114.8 o 83.3 3.0 0.162 0.012c 表5. 旋转30˚后线缺陷波导的 n g ， Δ λ ， n g Δ ω / ω ， v g 时，散射元旋转30˚后线缺陷波导的色散常数曲线。 表6为 λ = 1550   nm ， | D | ≤ 1 时的a值及带宽值。可见，带宽的最大值可达4.3 nm。若令 f = 1   Thz ， 图12. 旋转30˚后线缺陷波导的GVD曲线 Table 6 a and Δ λ in a linear defect waveguide after rotation 30˚ when | D | ≤ n g a (nm) |D| (ps/mm·nm) Δλ (nm) 36.2 184.3 ≤1.0 4.3 41.1 189.1 ≤1.0 3.6 49.8 186.5 ≤1.0 2.1 63.7 188.6 ≤1.0 0.5 83.3 190.9 ≤1.0 0.5 表6. 旋转30˚后线缺陷波导 | D | ≤ 1 时的a及 Δ λ 则带宽最大可达2094.3 nm。 3.6. 三种模型的比较分析 对于面对面型和背对背型线缺陷波导结构，比较表1和表3可知，无论是群折射率和带宽，还是归一化延迟带宽积和群速度，这两种模型的数据结果几乎完全相同，只有很细微的差别，可以认为无差别。比较表2和表4，可以看出， | D | ≤ 1 时，两种模型的带宽值有一定的差别，并且无明显的大小关系。比如， 时，面对面线缺陷型波导结构的带宽值为3.1 nm，背对背型线缺陷波导结构的带宽值为2.73 nm，前者大于后者。而当 r = d = 0.225 时，面对面型波导的带宽值为2.1 nm，背对背型波导的带宽值为2.26 nm，前者小于后者。当 n g = 66.1 时，面对面型波导的带宽值为0.3 nm，但背对背型波导在 n g = 66.1 时却无带宽。当 n g = 91.9 时，面对面型波导无带宽值，而背对背型在 n g = 92.6 时的带宽值为0.62 nm。 对于面对面型和旋转30˚后线缺陷波导结构，比较表1和表5可知，对于群折射率，旋转30˚后波导结构的数值均比面对面型的要小，因此群速度值均比面对面型波导结构的大。同时，旋转30˚后的带宽值均比面对面型的要大。而对于归一化延迟带宽积，却没有明确的大小关系。比如， r = d = 0.2 a 时的带宽积，面对面型要小于旋转30˚后的；但 r = d = 0.225 a 时的带宽值，面对面型的要大于散射元旋转30˚后的波导结构。对于 | D | ≤ 1 时的带宽值，面对面型波导结构明显小于旋转30˚后的波导结构。