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user: 2. 分裂高阶有限差分方法 考虑如下二维Burgers方程 ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + u ∂ u ∂ y = V ∂ 2 u ∂ x 2 + V ∂ 2 u ∂ y 2 ， (a) 其初边值条件为 u ( x ， y ， 0 ) = u ( x ， y ) ， ( x ， y ) ∈ Ω ， (b) u ( x ， y ， t ) = 0 ， ( x ， y ) ∈ ∂ Ω ， t ∈ [ 0 ， T ] . (c) 其中矩形区域 Ω = ( 0 ， a ) × ( 0 ， b ) ，时间周期为 T > 0 。 2.1. 记号 为建立差分格式，首先对求解区域 Ω = { ( x ， y ， t ) | 0 ≤ x ≤ I ， 0 ≤ y ≤ J ， 0 ≤ t ≤ T } 做网格剖分。取x-和y-方向上的空间步长分别为 h x = a I ， h y = b J ，时间步长为 τ = T N ，其对应网格节点坐标为 u ( x i ， y j ， t n ) 且 x i = i ⋅ h x ， i = 0 ， 1 ， ⋯ ， I ； y j = j ⋅ h y ， j = 0 ， 1 ， ⋯ ， J ； t n = n ⋅ τ ； n = 0 ， 1 ， ⋯ ， N 。记 Ω h x = { x i | 0 ≤ x ≤ I } ， Ω h y = { y j | 0 ≤ y ≤ J } ， Ω τ n = { τ n | 0 ≤ τ ≤ N } ， Ω h τ = Ω h x × Ω h y × Ω τ n 。 设 { u i j n | 0 ≤ i ≤ I ， 0 ≤ j ≤ J ， 0 ≤ n ≤ N } 为一个网格函数。下面，我们定义一些差分算子： δ x u i j n = u i + 1 ， j n − u i j n h x ， u i j n = u i ， j + 1 n − u i j n h y ， δ t u i j n = u i j n + 1 − u i j n τ ， δ x ^ u i j n = u i + 1 ， j n − u i − 1 ， j n 2 h x ， δ y ^ u i j n = u i ， j + 1 n − u i ， j − 1 n 2 h y ， δ x 2 u i j n = u i + 1 ， j n − 2 u i j n + u i − 1 ， j n h x 2 ， δ y 2 u i j n = u i ， j + 1 n − 2 u i j n + u i ， j − 1 n h y 2 . 根据泰勒展开式所得 为二阶，为提升至四阶，引入高阶紧算子， L x u i j n = 1 12 ( u i + 1 ， j n + 10 u i j n + u i − 1 ， j n ) ， L y u i j n = 1 12 ( u i ， j + 1 n + 10 u i j n + u i ， j − 1 n ) ， M x u i j n = 1 6 ( u i + 1 ， j n + 4 u i j n + u i − 1 ， j n ) ， M y u i j n = 1 6 ( u i ， j + 1 n + 4 u i j n + u i ， j − 1 n ) ， 满足 L x ∂ 2 u i j n ∂ x 2 = δ x 2 u i j n + ο ( h x 4 ) ， L y ∂ 2 u i j n ∂ x 2 = δ y 2 u i j n + ο ( h y 4 ) ， M x ∂ u i j n ∂ x = δ x ^ u i j n + ο ( h x 4 ) ， M y ∂ u i j n ∂ x = δ y ^ u i j n + ο ( h y 4 ) . 2.2. 差分格式的建立 根据抛物方程的分裂技巧，在时间步 ( t n ， t n + 1 ] 下，将方程(a)分裂成两个方程 ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x = V ∂ 2 u ∂ x 2 ， (2.2.1) ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ y = V ∂ 2 u ∂ y 2 . (2.2.2) 令 U i j n 是 u i j n 的近似解，对于方程(2.2.1)~(2.2.2)，我们提出分裂差分格式： U i j n + 1 2 − U i j n τ + 1 3 ϕ ( U i j n + 1 4 ) = V L x − 1 δ x 2 U i j n + 1 4 ， (2.2.3) U i j n + 1 − U i j n + 1 2 τ + 1 3 ψ ( U i j n + 3 4 ) = V L y − 1 δ y 2 U i j n + 3 4 . (2.2.4) 其中 ϕ ( U i j n + 1 4 ) = U i j n + 1 4 M x − 1 δ x ^ U i j n + 1 4 + M x − 1 δ x ^ ( U i j n + 1 4 ) 2 ， ψ ( U i j n + 3 4 ) = U i j n + 3 4 M y − 1 δ y ^ U i j n + 3 4 + M y − 1 δ y ^ ( U i j n + 3 4 ) 2 . 格式的边界条件为 U ( x ， y ， t ) = 0 ， ( x ， y ) ∈ ∂ Ω ， t ∈ [ 0 ， T ] ， (2.2.5) 初值条件为 U i j 0 = u ( x ， y ) . (2.2.6) 2.3. 守恒性和收敛性分析 为了方便稳定性和收敛性的证明，我们给出一些内积和范数的定义。令 V h = { u i j | ( x i ， y j ) ∈ Ω ¯ h ， u i j | ∂ Ω h = 0 } ，我们定义离散的内积和范数 ( u ， v ) = ∑ i = 1 I − 1 ∑ j = 1 J − 1 u i j v i j h x h y ， ( u ， v ) x = ∑ i = 0 I − 1 ∑ j = 1 J − 1 u i j v i j h x h y ， ( u ， v ) y = ∑ i = 1 I − 1 ∑ j = 0 J − 1 u i j v i j h x h y ， ‖ u ‖ = ( u ， u ) ， ‖ u ‖ x = ( u ， u ) x ， ‖ u ‖ y = ( u ， u ) y . 为了证明紧格式的离散电荷和能量的守恒性，我们给出以下一些引理。 引理2.3.1 [ 5 ] 对于网格函数 u ， ν ∈ V h ，我们有 ( δ x 2 u ， ν ) = − ( δ x u ， δ x ν ) x ， ( δ y 2 u ， ν ) = − ( δ y u ， δ y ν ) y . 引理2.3.2 [ 5 ] 对于网格函数 μ ， ν ∈ V h ，我们有 ( L x u ， ν ) = ( u ， L x ν ) ， ( M x u ， ν ) = ( u ， M x ν ) ， ( L x − 1 u ， ν ) = ( u ， L x − 1 ν ) ， ( M x − 1 u ， ν ) = ( u ， M x − 1 ν ) . 引理2.3.3 [ 5 ] 对于网格函数 U ， V ∈ V h ，若 ‖ U ‖ L 2 和 ‖ V ‖ L 2 有界，则存在正常数C，使得 ( ϕ ( U ) − ϕ ( V ) ， U − V ) ≤ C ( ‖ U − V ‖ 2 + ‖ δ x ( U − V ) ‖ x 2 ) . 引理2.3.4对于对称的正定矩阵 L x − 1 ， M x − 1 ，我们有 L x − 1 = R 1 T R 1 ， M x − 1 = R 2 T R 2 . 和 C 0 ‖ U n ‖ ≤ ‖ R 1 U n ‖ ≤ C 1 ‖ U n ‖ ， C 3 ‖ U n ‖ ≤ ‖ R 2 U n ‖ ≤ C 4 ‖ U n ‖ 其中 R 1 = C h o l ( L x − 1 ) ， R 2 = C h o l ( M x − 1 ) ， C i ( i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 为正常数。 证：因为 L x − 1 是一个对称的正定矩阵，故存在矩阵 R 1 ，其中 R 1 为上三角矩阵，满足 L x − 1 = R 1 T R 1 ，其中 R 1 = C h o l ( L x − 1 ) 。 根据矩阵中范数的定义，我们有 C 0 ‖ U n ‖ ≤ ‖ R 1 U n ‖ ≤ C 1 ‖ U n ‖ 同样，矩阵 M x − 1 ， R 2 也有类似的结果。 引理2.3.5 [ 5 ] 对于网格函数 u ∈ V h ，我们有 ‖ δ x u n ‖ x 2 ≤ 4 h x 2 ‖ u n ‖ 2 ， ‖ δ y u n ‖ y 2 ≤ 4 h y 2 ‖ u n ‖ 2 . 引理2.3.6 [ 5 ] (Gronwall不等式)设 w n ≥ 0 且存在常数 C 3 ， C 4 ，使得 w n ≤ C 3 + C 4 τ ∑ k = 0 n − 1 w k ， 0 < n τ < T ， 那么 w n ≤ C 3 e C 4 T ， 0 < n τ < T . 定理2.3.1 (守恒性)分裂高阶有限差分格式(2.2.3)~(2.2.6)满足离散的电荷守恒，即 Q n + 1 = Q n . (2.3.1) 其中 Q n = ∑ i = 1 I − 1 ∑ j − 1 J − 1 U i j n h x h y . (2.3.2) 对任意的 n ≥ 0 成立。 证：对方程(2.2.3)两端同时乘以 h x h y ，i从1到 I − 1 求和，j从1到 J − 1 求和： h x h y ∑ i = 1 I − 1 ∑ j = 1 J − 1 U i j n + 1 2 − U i j n τ + 1 3 h x h y ∑ i = 1 I − 1 ∑ j = 1 J − 1 ϕ ( U i j n + 1 4 ) − V h x h y ∑ i = 1 I − 1 ∑ j = 1 J − 1 L x − 1 δ x 2 U i j n + 1 4 = 0 考虑边界条件(2.2.5)，有 U 0 j n = U 1 j n = U i 0 n = U i 1 n = U I − 1 ， j n = U I j n = U i ， J − 1 n = U i J n = 0 h x h y ∑ i = 1 I − 1 ∑ j = 1 J − 1 L x − 1 δ x 2 U i j n + 1 4 = h x h y ∑ i = 1 I − 1 ∑ j = 1 J − 1 δ x 2 U i j n + 1 4 = h x h y ∑ i = 1 I − 1 ∑ j = 1 J − 1 U i + 1 ， j n + 1 4 − 2 U i j n + 1 4 + U i − 1 ， j n + 1 4 h x 2 = h x h y ∑ i = 1 I − 1 ∑ j = 1 J − 1 [ ( U i + 1 ， j n + 1 4 − U i j n + 1 4 ) − ( U i j n + 1 4 − U i − 1 ， j n + 1 4 ) ] = 0 因为 h x h y ∑ i = 1 I − 1 ∑ j = 1 J − 1 ϕ ( U i j n + 1 4 ) = h x h y ∑ i = 1 I − 1 ∑ j = 1 J − 1 ( U i j n + 1 4 M x − 1 δ x ^ U i j n + 1 4 + M x − 1 δ x ^ ( U i j n + 1 4 ) 2 ) = h x h y ∑ i = 1 I − 1 ∑ j = 1 J − 1 ( M x − 1 U i j n + 1 4 δ x ^ U i j n + 1 4 ) + h x h y ∑ i = 1 I − 1 ∑ j = 1 J − 1 δ x ^ ( U i j n + 1 4 ) 2 = h x h y ( ∑ i = 1 I − 1 ∑ j = 1 J − 1 U i + 1 ， j n + 1 4 ) ( ∑ i = 1 I − 1 ∑ j = 1 J − 1 δ x ^ U i j n + 1 4 ) + h x h y ∑ i = 1 I − 1 ∑ j = 1 J − 1 δ x ^ ( U i j n + 1 4 ) 2 = 0 所以 h x h y ∑ i = 1 I − 1 ∑ j = 1 J − 1 U i j n + 1 2 − U i j n τ = 0 即 h x h y ∑ i = 1 I − 1 ∑ j = 1 J − 1 U i j n + 1 2 = h x h y ∑ i = 1 I − 1 ∑ j = 1 J − 1 U i j n 即 Q n + 1 = Q n ，因此(2.2.3)~(2.2.6)满足电荷守恒。 推论 (稳定性)差分格式(2.2.3)~(2.2.6)是无条件稳定的。 证：由定理2.3.1可得：对于任意的 n ≥ 0 ，有 ‖ U n + 1 ‖ = ‖ U n ‖ = ‖ U n − 1 ‖ = ⋯ = ‖ U 1 ‖ = ‖ U 0 ‖ 成立 因此，差分格式(2.2.3)~(2.2.6)是无条件稳定的。 定理2.3.2 (收敛性）假设问题(a)~(c)的精确解ν足够光滑，令u是分裂高阶有限差分格式(2.2.3)~(2.2.6)的数值解，对于固定的 T > 0 ，存在一个独立的 τ ， h x ， h y 和正常数C，满足： max 1 ≤ n ≤ N ‖ ν n − u n ‖ ≤ C ( τ 2 + h x 4 + h y 4 ) . 证：令截断误差 ξ i j n = ν i j n + 1 2 − ν i j n τ + 1 3 ϕ ( ν i j n + 1 4 ) − V L x − 1 δ x 2 ν i j n + 1 4 ， η i j n = ν i j n + 1 − ν i j n + 1 2 τ + 1 3 ψ ( ν i j n + 3 4 ) − V L y − 1 δ y 2 ν i j n + 3 4 . 由(2.2.3)易得：令 e i j n = ν i j n − u i j n 有： ξ i j n = e i j n + 1 2 − e i j n τ + 1 3 ϕ ( ν i j n + 1 4 ) − 1 3 ϕ ( u i j n + 1 4 ) − V L x − 1 δ x 2 e i j n + 1 4 . 让 ξ i j n 与 e i j n + 1 2 + e i j n 作内积： ( ξ n ， e n + 1 2 + e n ) = 1 τ ( ‖ e n + 1 2 ‖ 2 − ‖ e n ‖ 2 ) + 1 3 ( ϕ ( ν i j n + 1 4 ) − 1 3 ϕ ( u i j n + 1 4 ) ， e n + 1 2 + e n )     − V ( L x − 1 δ x 2 e n + 1 4 ， e n + 1 2 + e n ) . 由引理2.3.3： ϕ ( ν i j n + 1 4 ) − ϕ ( u i j n + 1 4 ) ≤ C ( ‖ e n + 1 2 ‖ 2 + ‖ e n ‖ 2 + ‖ δ x e n + 1 2 ‖ x 2 + ‖ δ x e n ‖ x 2 ) . (2.3.3) 根据引理2.3.4： | L x − 1 δ x 2 e n + 1 4 ， e n + 1 2 + e n | = | R 1 δ x 2 e n + 1 4 ， R 1 ( e n + 1 2 + e n ) | = | − [ R 1 δ x e n + 1 4 ， R 1 δ x ( e n + 1 2 + e n ) x ] | = 1 2 ‖ R 1 δ x ( e n + 1 2 + e n ) ‖ x 2 ≤ 1 2 ‖ δ x ( e n + 1 2 + e n ) ‖ x 2 ≤ ‖ δ x e n + 1 2 ‖ x 2 + ‖ δ x e n ‖ x 2 ， (2.3.4) 又： ( ξ n ， e n + 1 2 + e n ) ≤ ‖ ξ n ‖ 2 + 2 ‖ e n + 1 2 ‖ 2 + 2 ‖ e n ‖ 2 ， (2.3.5) 将(2.3.3)~(2.3.5)代入，则有： 1 τ ( ‖ e n + 1 2 ‖ 2 − ‖ e n ‖ 2 ) ≤ ‖ ξ n ‖ 2 + 2 ‖ e n + 1 2 ‖ 2 + 2 ‖ e n ‖ 2 + C ‖ e n + 1 2 ‖ 2 + C ‖ e n ‖ 2     + C ‖ δ x e n + 1 2 ‖ x 2 + C ‖ δ x e n ‖ x 2 + V ‖ δ x e n + 1 2 ‖ x 2 + V ‖ δ x e n ‖ x 2 ， 所以： ‖ e n + 1 2 ‖ 2 − ‖ e n ‖ 2 ≤ τ ‖ ξ n ‖ 2 + τ ( 2 + C ) ‖ e n + 1 2 ‖ 2 + τ ( 2 + C ) ‖ e n ‖ 2     + τ ( V + C ) ‖ δ x e n + 1 2 ‖ x 2 + τ ( V + C ) ‖ δ x e n ‖ x 2 ， 由引理2.3.5得： ‖ e n + 1 2 ‖ 2 − τ ( 2 + C + 4 h x 2 ( V + C ) ) ‖ e n + 1 2 ‖ 2 ≤ ‖ e n ‖ 2 + τ ( 2 + C + 4 h x 2 ( V + C ) ) ‖ e n ‖ 2 + τ ‖ ξ n ‖ 2 ， 即： [ 1 − τ ( 2 + C + 4 h x 2 ( V + C ) ) ] ‖ e n + 1 2 ‖ 2 ≤ [ 1 + τ ( 2 + C + 4 h x 2 ( V + C ) ) ] ‖ e n ‖ 2 + τ ‖ ξ n ‖ 2 我们假设 τ = o ( h x 2 ) ，有 1 − τ ( 2 + C + 4 h x 2 ( V + C ) ) > 0 则： ‖ e n + 1 2 ‖ 2 ≤ 1 + τ ( 2 + C + 4 h x 2 ( V + C ) ) 1 − τ ( 2 + C + 4 h x 2 ( V + C ) ) ‖ e n ‖ 2 + τ 1 − τ ( 2 + C + 4 h x 2 ( V + C ) ) ‖ ξ n ‖ 2 令 P 1 = 2 + C + 4 h x 2 ( V + C ) ，则有： ‖ e n + 1 2 ‖ 2 ≤ 1 + τ P 1 1 − τ P 1 ‖ e n ‖ 2 + τ 1 − τ P 1 ‖ ξ n ‖ 2 (2.3.6) 类似地：由方程(2.2.4)，令 P 2 = 2 + C + 4 h y 2 ( V + C ) ，有： ‖ e n + 1 ‖ 2 ≤ 1 + τ P 2 1 − τ P 2 ‖ e n + 1 2 ‖ 2 + τ 1 − τ P 2 ‖ η n ‖ 2 (2.3.7) 由(2.3.6)，(2.3.7)得到： ‖ e n + 1 ‖ 2 ≤ ( 1 + P 1 τ ) ( 1 + P 2 τ ) ( 1 − P 1 τ ) ( 1 − P 2 τ ) ‖ e n ‖ 2 + τ 1 − P 2 τ ‖ η n ‖ 2 + τ 1 − P 1 τ ⋅ 1 + P 2 τ 1 − P 2 τ ‖ ξ n ‖ 2 即 ‖ e n + 1 ‖ 2 ≤ ( 1 + C 1 τ ) ‖ e n ‖ 2 + C 2 τ ( ‖ ξ n ‖ 2 + ‖ η n ‖ 2 ) ≤ ( 1 + C 1 τ ) ‖ e n ‖ 2 + C 2 τ ( τ 2 + h x 4 + h y 4 ) 2 又 e 0 = 0 ，由Gronwall不等式： max 1 ≤ n ≤ N ‖ ν n − u n ‖ ≤ C ( τ 2 + h x 4 + h y 4 ) .