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user: 3. 定理的证明 在证明定理1之前，先陈述一个事实。 对于 [ 1 ] 中的超定边值问题 { − Δ u = 1     x ∈ Ω u = 0   x ∈ ∂ Ω − ∂ u ∂ v = c x ∈ ∂ Ω Serrin证明了 Ω 为一半径为R的球，方程解为 u ( | x | ) = 1 2 n ( R 2 − r 2 ) ， r为点到球心的距离，此时 c = − 1 n R 。由此可知球半径R与法方向c可相互确定。 本文我们将证明 Ω : = Ω 2 \ Ω 1 ¯ 为边界为 C 2 的同心球环，其中 Ω 1 : = B R 1 ( O ) ， Ω 2 : = B R 2 ( O ) 。超定边值问题(1.1)~(1.3)的解为 u ( x ) = 3 4 3 4 ( ( R 2 ) 4 3 − r 4 3 ) ， r为点到球心的距离。相应的超定边值条件(1.2)，(1.3)将分别为 u = c = 3 4 3 4 ( ( R 2 ) 4 3 − ( R 1 ) 4 3 ) ， − ∂ u ∂ η 1 = a 1 = 3 1 3 ( R 1 ) 1 3 ， u = 0 ， − ∂ u ∂ η 2 = a 2 = 3 1 3 ( R 2 ) 1 3 ， 由此可知， c ， a 1 ， a 2 可由半径 R 2 ， R 1 确定。事实上，只要知道这五个参数中的任意两个，其他三个则可由此确定。 下面从充分性和必要性两方面来证明定理。为了更好理解证明，对无穷Laplace方程作一变形。已知函数u在方向 ν 的二阶导为 〈 D 2 u ν ， ν 〉 ，如果 ν 表示u的最速下降方向 − D u / | D u | ，那么方程 − Δ ∞ u = 1 可以转化为 − u ν ν | u ν | 2 = 1 1) 充分性：构造函数 u ( x ) = 3 4 3 4 ( ( R 2 ) 4 3 − ( R 2 − d ( x ) ) 4 3 ) ， 其在 Ω 内几乎处处可微。由引理3， u ( x ) ∈ C 2 ( Ω \ R ( Ω ) ¯ ) 。如果 M ( Ω ) = R ( Ω ) ，那么由引理4可知 为一同心球环， Ω 2 为半径为 R 2 的球， Ω 1 的半径为 R 1 。可以验证在 Ω \ R ( Ω ) ¯ 区域内，函数 u ( x ) = 3 4 3 4 ( ( R 2 ) 4 3 − ( R 2 − d ( x ) ) 4 3 ) = 3 4 3 4 ( ( R 2 ) 4 3 − | x | 4 3 ) 为超定边值问题(1.1)~(1.3)的古典解；在 M ( Ω ) = R ( Ω ) 区域内，函数 u ( x ) 为超定边值问题(1.1)-(1.3)的粘性解。计算可知，此时 c = 3 4 3 4 ( ( R 2 ) 4 3 − ( R 1 ) 4 3 ) ，   a 1 = 3 1 3 ( R 1 ) 1 3 ，   a 2 = 3 1 3 ( R 2 ) 1 3 . 最后粘性解的唯一性由引理1可以得到。充分性得证。 2) 必要性：由定义可知 M ( Ω ) ⊆ R ( Ω ) 。假设 M ( Ω ) ⊊ R ( Ω ) ，则存在点 z ∈ R ( Ω ) \ M ( Ω ) ，下面证明在z点函数u不满足粘性解的定义，即可以找到一个检验函数 φ ∈ C 2 ( Ω ) 不满足粘性解定义。 假设 M ( Ω ) ⊊ R ( Ω ) ，z位于 R ( Ω ) \ M ( Ω ) 的一直线上， d ( x ， ∂ Ω 2 ) 在点z垂直于 R ( Ω ) 的 η 方向上的方向导数与在 − η 上的方向导数相反。我们可以构造函数 φ = − ( | x | − u ( z ) ) K + ε ( | x | − u ( z ) ) ∈ C 2 ( Ω ) ， 在点z从上方接近u使得 ∇ η φ ( z ) ≠ 0 且 φ η η ( z ) < − K ，K为一个任意大的数。因此 − Δ ∞ φ ( z ) > 1 ，这与粘性下解定义相矛盾，类似可证粘性上解的情况。因此证得 M ( Ω ) = R ( Ω ) 。由引理3知， Ω 为一个同心球环。必要性得证。 下面类似证明推论2。 1) 充分性：如果 M ( Ω ) = R ( Ω ) ，那么 Ω 为一同心球环， Ω 2 为半径为 R 2 的球， Ω 1 的半径为 R 1 。 构造函数 u ( x ) = n − p p − 1 p − 1 p ( ( R 2 ) p p − 1 − ( R 2 − d ( x ) ) p p − 1 ) ∈ C 2 ( Ω ¯ ) ， 该函数在 Ω 内几乎处处可微。由引理3， u ( x ) ∈ C 2 ( Ω ¯ \ R ( Ω ) ¯ ) 并且在此区域内为超定边值问题(2.1) ~ (2.3)的古典解。在 M ( Ω ) = R ( Ω ) 内， u ( x ) 为超定边值问题(1.4)~(1.6)的粘性解。此时可得到 c = u = n − p p − 1 p − 1 p ( ( R 2 ) p p − 1 − ( R 1 ) p p − 1 ) ， a 1 = n − p p − 1 ( ( R 2 ) 1 p − 1 − ( R 1 ) p p − 1 ) ，     a 1 = n − p p − 1 ( ( R 2 ) 1 p − 1 ) . 由引理4，粘性解唯一。充分性得证。 2) 必要性： M ( Ω ) ⊆ R ( Ω ) 可由定义得到。假设 M ( Ω ) ⊊ R ( Ω ) ，存在点 z ∈ R ( Ω ) \ M ( Ω ) ，下面证明在这一点u不满足粘性解的定义，即可以找到一个检验函数 φ ∈ C 2 ( Ω ) 不满足粘性解定义。 假设 M ( Ω ) ⊊ R ( Ω ) ，z位于 R ( Ω ) \ M ( Ω ) 的一直线上， d ( x ， ∂ Ω ) 在点z垂直于 R ( Ω ) 的 η 方向的方向导数与 − η 上相反，我们可以找到一个函数 φ = − ( | x | − u ( z ) ) K + ε ( | x | − u ( z ) ) ∈ C 2 ( Ω ) 在点z从上接近u使得 ∇ η φ ( z ) ≠ 0 且 φ η η ( z ) < − K ，K为一个任意大的数。因此 F ( D φ ， D 2 φ ) ( z ) = ( − | D φ | P − 2 t r a c e ( D 2 φ ) − ( p − 2 ) | D φ | P − 4 〈 D 2 φ D φ ， D φ 〉 ) ( x 0 ) − 1 = ( − | D φ | P − 2 t r a c e ( D 2 φ ) − ( p − 2 ) | D φ | P − 4 φ η η | φ η | 2 ) ( x 0 ) − 1 > 0 ， 这与粘性下解相矛盾，类似可证粘性上解，从而 M ( Ω ) = R ( Ω ) 。由引理4知， Ω 为一个同心球环。必要性得证。 当 p = 2 且 Ω 1 为一个点时即为著名的Laplace方程在有界区域上的超定边值问题，可验证Serrin的结论： 假设 Ω 是一个边界为 C 2 的有界凸区域。那么 u = ( R 2 − ( R − d ( x ) ) 2 ) / 2 n ∈ C 2 ( Ω ¯ ) 满足下面超定边值问题 { − Δ u = 1 x ∈ Ω u = 0 x ∈ ∂ Ω − ∂ u ∂ v = c     x ∈ ∂ Ω 其中 c = − R n ，R为点到边界的最大距离，那么 Ω 为一半径为R的球，此时 u = ( R 2 − ( R − d ( x ) ) 2 ) / 2 n = ( R 2 − | x | 2 ) / 2 n .