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user: 5. 构造算法 定理9：如果 Φ ( x ， y ) 和 Φ ˜ ( x ， y ) 是双正交二维四向多加细函数， Ψ h ， i ( x ， y ) 和 Ψ ˜ h ， i ( x ， y ) 是相应的双正交二维四向多小波函数， P ( ω 1 ， ω 2 ) ， P ˜ ( ω 1 ， ω 2 ) 和 Q h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) ， Q ˜ h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) 是矩阵符号，构造 ( P + ， + ( ω 1 ， ω 2 ) = λ 0 ( ω 1 ， ω 2 ) P ( ω 1 ， ω 2 ) + ∑ j = 1 a − 1     λ j ( ω 1 ， ω 2 ) Q h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) ， P + ， − ( ω 1 ， ω 2 ) = λ a ( ω 1 ， ω 2 ) P ( ω 1 ， − ω 2 ) + ∑ j = a + 1 2 a − 1 λ j ( ω 1 ， ω 2 ) Q h ， i ( ω 1 ， − ω 2 ) ， P − ， + ( ω 1 ， ω 2 ) = λ 2 a ( ω 1 ， ω 2 ) P ( − ω 1 ， ω 2 ) + ∑ j = 2 a + 1 3 a − 1 λ j ( ω 1 ， ω 2 ) Q h ， i ( − ω 1 ， ω 2 ) ， P − ， − ( ω 1 ， ω 2 ) = λ 3 a ( ω 1 ， ω 2 ) P ( − ω 1 ， − ω 2 ) + ∑ j = 3 a + 1 4 a − 1 λ j ( ω 1 ， ω 2 ) Q h ， i ( − ω 1 ， − ω 2 ) ; ( P ˜ + ， + ( ω 1 ， ω 2 ) = λ ˜ 0 ( ω 1 ， ω 2 ) P ˜ ( ω 1 ， ω 2 ) + ∑ j = 1 a − 1     λ ˜ j ( ω 1 ， ω 2 ) Q ˜ h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) ， P ˜ + ， − ( ω 1 ， ω 2 ) = λ ˜ a ( ω 1 ， ω 2 ) P ˜ ( ω 1 ， − ω 2 ) + ∑ j = a + 1 2 a − 1 λ ˜ j ( ω 1 ， ω 2 ) Q ˜ h ， i ( ω 1 ， − ω 2 ) ， P ˜ − ， + ( ω 1 ， ω 2 ) = λ ˜ 2 a ( ω 1 ， ω 2 ) P ˜ ( − ω 1 ， ω 2 ) + ∑ j = 2 a + 1 3 a − 1 λ ˜ j ( ω 1 ， ω 2 ) Q ˜ h ， i ( − ω 1 ， ω 2 ) ， P ˜ − ， − ( ω 1 ， ω 2 ) = λ ˜ 3 a ( ω 1 ， ω 2 ) P ˜ ( − ω 1 ， − ω 2 ) + ∑ j = 3 a + 1 4 a − 1 λ ˜ j ( ω 1 ， ω 2 ) Q ˜ h ， i ( − ω 1 ， − ω 2 ) . ( h : 0 ≤ h ≤ a − 10 ≤ h ≤ 4 a − 1 ; i : 1 ≤ i ≤ 3 ; i ， h ∈ Z + ) 。函数 λ j ( ω 1 ， ω 2 ) 和 λ ˜ j ( ω 1 ， ω 2 ) 以 2 π a 为周期，且满足 1) ( ∑ j = 0 4 a − 1 λ j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ j ( − ω 1 ， − ω 2 ) = 1 ， ∑ j = 0 a − 1 { λ j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ a + j ( − ω 1 ， − ω 2 ) + λ 2 a + j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ 3 a + j ( − ω 1 ， − ω 2 ) } = 0 ， ∑ j = 0 a − 1 { λ j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ 2 a + j ( − ω 1 ， − ω 2 ) + λ a + j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ 3 a + j ( − ω 1 ， − ω 2 ) } = 0 ， ∑ j = 0 a − 1 { λ j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ 3 a + j ( − ω 1 ， − ω 2 ) + λ a + j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ 2 a + j ( − ω 1 ， − ω 2 ) } = 0 ， λ 0 ( 0 ， 0 ) + λ a ( 0 ， 0 ) + λ 2 a ( 0 ， 0 ) + λ 3 a ( 0 ， 0 ) = 1 ， λ ˜ 0 ( 0 ， 0 ) + λ ˜ a ( 0 ， 0 ) + λ ˜ 2 a ( 0 ， 0 ) + λ ˜ 3 a ( 0 ， 0 ) = 1 ， | λ 0 ( 0 ， 0 ) − λ a ( 0 ， 0 ) − λ 2 a ( 0 ， 0 ) + λ 3 a ( 0 ， 0 ) | < 1 ， | λ ˜ 0 ( 0 ， 0 ) − λ ˜ a ( 0 ， 0 ) − λ ˜ 2 a ( 0 ， 0 ) + λ ˜ 3 a ( 0 ， 0 ) | < 1 ， | λ 0 ( 0 ， 0 ) + λ a ( 0 ， 0 ) − λ 2 a ( 0 ， 0 ) − λ 3 a ( 0 ， 0 ) | < 1 ， | λ ˜ 0 ( 0 ， 0 ) + λ ˜ a ( 0 ， 0 ) − λ ˜ 2 a ( 0 ， 0 ) − λ ˜ 3 a ( 0 ， 0 ) | < 1 ， | λ 0 ( 0 ， 0 ) − λ a ( 0 ， 0 ) + λ 2 a ( 0 ， 0 ) − λ 3 a ( 0 ， 0 ) | < 1 ， | λ ˜ 0 ( 0 ， 0 ) − λ ˜ a ( 0 ， 0 ) + λ ˜ 2 a ( 0 ， 0 ) − λ ˜ 3 a ( 0 ， 0 ) | < 1 ; 2) ( ∑ j = 0 4 a − 1 λ j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ j ( − ω 1 ， − ω 2 ) = 1 ， ∑ j = 0 a − 1 { λ j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ a + j ( − ω 1 ， − ω 2 ) + λ 2 a + j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ 3 a + j ( − ω 1 ， − ω 2 ) } = 0 ， ∑ j = 0 a − 1 { λ j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ 2 a + j ( − ω 1 ， − ω 2 ) + λ a + j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ 3 a + j ( − ω 1 ， − ω 2 ) } = 0 ， ∑ j = 0 a − 1 { λ j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ 3 a + j ( − ω 1 ， − ω 2 ) + λ a + j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ 2 a + j ( − ω 1 ， − ω 2 ) } = 0 ， | λ 0 ( 0 ， 0 ) + λ a ( 0 ， 0 ) + λ 2 a ( 0 ， 0 ) + λ 3 a ( 0 ， 0 ) | < 1 ， | λ ˜ 0 ( 0 ， 0 ) + λ ˜ a ( 0 ， 0 ) + λ ˜ 2 a ( 0 ， 0 ) + λ ˜ 3 a ( 0 ， 0 ) | < 1 ， λ 0 ( 0 ， 0 ) − λ a ( 0 ， 0 ) − λ 2 a ( 0 ， 0 ) + λ 3 a ( 0 ， 0 ) = 1 ， λ ˜ 0 ( 0 ， 0 ) − λ ˜ a ( 0 ， 0 ) − λ ˜ 2 a ( 0 ， 0 ) + λ ˜ 3 a ( 0 ， 0 ) = 1 ， | λ 0 ( 0 ， 0 ) + λ a ( 0 ， 0 ) − λ 2 a ( 0 ， 0 ) − λ 3 a ( 0 ， 0 ) | < 1 ， | λ ˜ 0 ( 0 ， 0 ) + λ ˜ a ( 0 ， 0 ) − λ ˜ 2 a ( 0 ， 0 ) − λ ˜ 3 a ( 0 ， 0 ) | < 1 ， | λ 0 ( 0 ， 0 ) − λ a ( 0 ， 0 ) + λ 2 a ( 0 ， 0 ) − λ 3 a ( 0 ， 0 ) | < 1 ， | λ ˜ 0 ( 0 ， 0 ) − λ ˜ a ( 0 ， 0 ) + λ ˜ 2 a ( 0 ， 0 ) − λ ˜ 3 a ( 0 ， 0 ) | < 1 ; 3) ( ∑ j = 0 4 a − 1 λ j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ j ( − ω 1 ， − ω 2 ) = 1 ， ∑ j = 0 a − 1 { λ j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ a + j ( − ω 1 ， − ω 2 ) + λ 2 a + j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ 3 a + j ( − ω 1 ， − ω 2 ) } = 0 ， ∑ j = 0 a − 1 { λ j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ 2 a + j ( − ω 1 ， − ω 2 ) + λ a + j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ 3 a + j ( − ω 1 ， − ω 2 ) } = 0 ， ∑ j = 0 a − 1 { λ j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ 3 a + j ( − ω 1 ， − ω 2 ) + λ a + j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ 2 a + j ( − ω 1 ， − ω 2 ) } = 0 ， | λ 0 ( 0 ， 0 ) + λ a ( 0 ， 0 ) + λ 2 a ( 0 ， 0 ) + λ 3 a ( 0 ， 0 ) | < 1 ， | λ ˜ 0 ( 0 ， 0 ) + λ ˜ a ( 0 ， 0 ) + λ ˜ 2 a ( 0 ， 0 ) + λ ˜ 3 a ( 0 ， 0 ) | < 1 ， | λ 0 ( 0 ， 0 ) − λ a ( 0 ， 0 ) − λ 2 a ( 0 ， 0 ) + λ 3 a ( 0 ， 0 ) | < 1 ， | λ ˜ 0 ( 0 ， 0 ) − λ ˜ a ( 0 ， 0 ) − λ ˜ 2 a ( 0 ， 0 ) + λ ˜ 3 a ( 0 ， 0 ) | < 1 ， λ 0 ( 0 ， 0 ) + λ a ( 0 ， 0 ) − λ 2 a ( 0 ， 0 ) − λ 3 a ( 0 ， 0 ) = 1 ， λ ˜ 0 ( 0 ， 0 ) + λ ˜ a ( 0 ， 0 ) − λ ˜ 2 a ( 0 ， 0 ) − λ ˜ 3 a ( 0 ， 0 ) = 1 ， | λ 0 ( 0 ， 0 ) − λ a ( 0 ， 0 ) + λ 2 a ( 0 ， 0 ) − λ 3 a ( 0 ， 0 ) | < 1 ， | λ ˜ 0 ( 0 ， 0 ) − λ ˜ a ( 0 ， 0 ) + λ ˜ 2 a ( 0 ， 0 ) − λ ˜ 3 a ( 0 ， 0 ) | < 1 ; 4) ( ∑ j = 0 4 a − 1 λ j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ j ( − ω 1 ， − ω 2 ) = 1 ， ∑ j = 0 a − 1 { λ j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ a + j ( − ω 1 ， − ω 2 ) + λ 2 a + j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ 3 a + j ( − ω 1 ， − ω 2 ) } = 0 ， ∑ j = 0 a − 1 { λ j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ 2 a + j ( − ω 1 ， − ω 2 ) + λ a + j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ 3 a + j ( − ω 1 ， − ω 2 ) } = 0 ， ∑ j = 0 a − 1 { λ j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ 3 a + j ( − ω 1 ， − ω 2 ) + λ a + j ( ω 1 ， ω 2 ) λ ˜ 2 a + j ( − ω 1 ， − ω 2 ) } = 0 ， | λ 0 ( 0 ， 0 ) + λ a ( 0 ， 0 ) + λ 2 a ( 0 ， 0 ) + λ 3 a ( 0 ， 0 ) | < 1 ， | λ ˜ 0 ( 0 ， 0 ) + λ ˜ a ( 0 ， 0 ) + λ ˜ 2 a ( 0 ， 0 ) + λ ˜ 3 a ( 0 ， 0 ) | < 1 ， | λ 0 ( 0 ， 0 ) − λ a ( 0 ， 0 ) − λ 2 a ( 0 ， 0 ) + λ 3 a ( 0 ， 0 ) | < 1 ， | λ ˜ 0 ( 0 ， 0 ) − λ ˜ a ( 0 ， 0 ) − λ ˜ 2 a ( 0 ， 0 ) + λ ˜ 3 a ( 0 ， 0 ) | < 1 ， | λ 0 ( 0 ， 0 ) + λ a ( 0 ， 0 ) − λ 2 a ( 0 ， 0 ) − λ 3 a ( 0 ， 0 ) | < 1 ， | λ ˜ 0 ( 0 ， 0 ) + λ ˜ a ( 0 ， 0 ) − λ ˜ 2 a ( 0 ， 0 ) − λ ˜ 3 a ( 0 ， 0 ) | < 1 ， λ 0 ( 0 ， 0 ) − λ a ( 0 ， 0 ) + λ 2 a ( 0 ， 0 ) − λ 3 a ( 0 ， 0 ) = 1 ， λ ˜ 0 ( 0 ， 0 ) − λ ˜ a ( 0 ， 0 ) + λ ˜ 2 a ( 0 ， 0 ) − λ ˜ 3 a ( 0 ， 0 ) = 1 ; 则 P + ， + ( ω 1 ， ω 2 ) ， P + ， − ( ω 1 ， ω 2 ) ， P − ， + ( ω 1 ， ω 2 ) ， P − ， − ( ω 1 ， ω 2 ) 和 P ˜ + ， + ( ω 1 ， ω 2 ) ， P ˜ + ， − ( ω 1 ， ω 2 ) ， P ˜ − ， + ( ω 1 ， ω 2 ) ， P ˜ − ， − ( ω 1 ， ω 2 ) ，产生一个双正交二维四向多细分函数 Φ ( x ， y ) 并满足 Φ ( x ， y ) = ∑ k ， l     P l ， k + ， + Φ ( a x − k ， a y − l ) + ∑ k ， l     P l ， k + ， − Φ ( a x − k ， l − a y ) + ∑ k ， l     P l ， k − ， + Φ ( k − a x ， a y − l ) + ∑ k ， l     P l ， k − ， − Φ ( k − a x ， l − a y ) . Φ ˜ ( x ， y ) = ∑ k ， l     P ˜ l ， k + ， + Φ ˜ ( a x − k ， a y − l ) + ∑ k ， l     P ˜ l ， k + ， − Φ ˜ ( a x − k ， l − a y ) + ∑ k ， l     P ˜ l ， k − ， + Φ ˜ ( k − a x ， a y − l ) + ∑ k ， l     P ˜ l ， k − ， − Φ ˜ ( k − a x ， l − a y ) . 证明：将上面已经构造的 P + ， + ( ω 1 ， ω 2 ) ， P + ， − ( ω 1 ， ω 2 ) ， P − ， + ( ω 1 ， ω 2 ) ， P − ， − ( ω 1 ， ω 2 ) 和 P ˜ + ， + ( ω 1 ， ω 2 ) ， P ˜ + ， − ( ω 1 ， ω 2 ) ， P ˜ − ， + ( ω 1 ， ω 2 ) ， P ˜ − ， − ( ω 1 ， ω 2 ) ，代入(15)式化简可得。再令(11)式 P ( ω 1 ， ω 2 ) = P ( 0，0 ) ，则化简 P ( 0，0 ) 并求特征值可证得定理。 定理10：如果 Φ ( x ， y ) 和 Φ ˜ ( x ， y ) 是双正交二维四向多加细函数， Ψ h ， i ( x ， y ) 和 Ψ ˜ h ， i ( x ， y ) 是相应的双正交二维四向多小波函数， P ( ω 1 ， ω 2 ) ， P ˜ ( ω 1 ， ω 2 ) 和 Q j ， s ( ω 1 ， ω 2 ) ， Q ˜ j ， s ( ω 1 ， ω 2 ) 是面具符号，构造 ( Q h ， i ， + ， + ( ω 1 ， ω 2 ) = μ 0 h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) P ( ω 1 ， ω 2 ) + ∑ j = 1 a − 1     μ j h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) Q j ， s ( ω 1 ， ω 2 ) ， Q h ， i ， + ， − ( ω 1 ， ω 2 ) = μ a h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) P ( ω 1 ， − ω 2 ) + ∑ j = a + 1 2 a − 1 μ j h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) Q j ， s ( ω 1 ， − ω 2 ) ， Q h ， i ， − ， + ( ω 1 ， ω 2 ) = μ 2 a h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) P ( − ω 1 ， ω 2 ) + ∑ j = 2 a + 1 3 a − 1 μ j h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) Q j ， s ( − ω 1 ， ω 2 ) ， Q h ， i ， − ， − ( ω 1 ， ω 2 ) = μ 3 a h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) P ( − ω 1 ， − ω 2 ) + ∑ j = 3 a + 1 4 a − 1 μ j h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) Q j ， s ( − ω 1 ， − ω 2 ) ; ( Q ˜ h ， i ， + ， + ( ω 1 ， ω 2 ) = μ ˜ 0 h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) P ˜ ( ω 1 ， ω 2 ) + ∑ j = 1 a − 1     μ ˜ j h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) Q ˜ j ， s ( ω 1 ， ω 2 ) ， Q ˜ h ， i ， + ， − ( ω 1 ， ω 2 ) = μ ˜ a h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) P ˜ ( ω 1 ， − ω 2 ) + ∑ j = a + 1 2 a − 1 μ ˜ j h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) Q ˜ j ， s ( ω 1 ， − ω 2 ) ， Q ˜ h ， i ， − ， + ( ω 1 ， ω 2 ) = μ ˜ 2 a h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) P ˜ ( − ω 1 ， ω 2 ) + ∑ j = 2 a + 1 3 a − 1 μ ˜ j h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) Q ˜ j ， s ( − ω 1 ， ω 2 ) ， Q ˜ h ， i ， − ， − ( ω 1 ， ω 2 ) = μ ˜ 3 a h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) P ˜ ( − ω 1 ， − ω 2 ) + ∑ j = 3 a + 1 4 a − 1 μ ˜ j h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) Q ˜ j ， s ( − ω 1 ， − ω 2 ) . ( h : 0 ≤ h ≤ a − 10 ≤ h ≤ 4 a − 1 ; i ， s : 1 ≤ i ， s ≤ 3 ; i ， h ， s ∈ Z + ) 。函数 λ j ( ω 1 ， ω 2 ) ， μ j h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) 和 μ ˜ j h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) 以 2 π a 为周期，且满足 1) 2) ( ∑ j = 0 4 a − 1 μ j h ， k ( ω 1 ， ω 2 ) μ ˜ j s ， t ( − ω 1 ， − ω 2 ) = δ h ， s δ k ， t ， ∑ j = 0 a − 1 { μ j h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) μ ˜ a + j h ， i ( − ω 1 ， − ω 2 ) + μ 2 a + j h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) μ ˜ 3 a + j h ， i ( − ω 1 ， − ω 2 ) } = 0 ， ∑ j = 0 a − 1 { μ j h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) μ ˜ 2 a + j h ， i ( − ω 1 ， − ω 2 ) + μ a + j h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) μ ˜ 3 a + j h ， i ( − ω 1 ， − ω 2 ) } = 0 ， ∑ j = 0 a − 1 { μ j h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) μ ˜ 3 a + j h ， i ( − ω 1 ， − ω 2 ) + μ a + j h ， i ( ω 1 ， ω 2 ) μ ˜ 2 a + j h ， i ( − ω 1 ， − ω 2 ) } = 0 ; 那么就可以得出 Q h ， i ， + ， + ( ω 1 ， ω 2 ) ， Q h ， i ， + ， − ( ω 1 ， ω 2 ) ， Q h ， i ， − ， + ( ω 1 ， ω 2 ) ， Q h ， i ， − ， − ( ω 1 ， ω 2 ) 和 Q ˜ h ， i ， + ， + ( ω 1 ， ω 2 ) ， Q ˜ h ， i ， + ， − ( ω 1 ， ω 2 ) ， Q ˜ h ， i ， − ， + ( ω 1 ， ω 2 ) ， Q ˜ h ， i ， − ， − ( ω 1 ， ω 2 ) 产生一个双正交二维四向多小波函数 Φ ( x ， y ) 并满足 Ψ h ， i ( x ， y ) = ∑ k ， l     Q k ， l h ， i ， + ， + Φ ( a x − k ， a y − l ) + ∑ k ， l     Q k ， l h ， i ， + ， − Φ ( a x − k ， l − a y )     + ∑ k ， l     Q k ， l h ， i ， − ， + Φ ( k − a x ， a y − l ) + ∑ k ， l     Q k ， l h ， i ， − ， − Φ ( k − a x ， l − a y ) ; Ψ ˜ h ， i ( x ， y ) = ∑ k ， l     Q ˜ k ， l h ， i ， + ， + Φ ˜ ( a x − k ， a y − l ) + ∑ k ， l     Q ˜ k ， l h ， i ， + ， − Φ ˜ ( a x − k ， l − a y )     + ∑ k ， l     Q ˜ k ， l h ， i ， − ， + Φ ˜ ( k − a x ， a y − l ) + ∑ k ， l     Q ˜ k ， l h ， i ， − ， − Φ ˜ ( k − a x ， l − a y ) . 证明：由于 Φ ( x ， y ) ， Φ ˜ ( x ， y ) 和 Ψ h ， i ( x ， y ) ， Ψ ˜ h ， i ( x ， y ) 的双正交性，可以将已构造的 Q h ， i ， + ， + ( ω 1 ， ω 2 ) ， Q h ， i ， + ， − ( ω 1 ， ω 2 ) ， Q h ， i ， − ， + ( ω 1 ， ω 2 ) ， Q h ， i ， − ， − ( ω 1 ， ω 2 ) 和 Q ˜ h ， i ， + ， + ( ω 1 ， ω 2 ) ， Q ˜ h ， i ， + ， − ( ω 1 ， ω 2 ) ， Q ˜ h ， i ， − ， + ( ω 1 ， ω 2 ) ， Q ˜ h ， i ， − ， − ( ω 1 ， ω 2 ) ，代入(16)式和(19)式化简可证得定理。