DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 5. 结果与讨论 为验证高速检测的可行性，进行了不同CCD曝光时间的对比测试。从不同曝光时间曲线中可以看出，曝光时间越长，图像的信噪比越高，帧积分时间的延长，能够有效降低随机噪声，这也就是常规光谱仪在检测较弱光谱辐射时，采用长至数秒积分时间的原因。 在成像系统中，消除随机噪声的最佳方法就是利用帧平均，但是帧平均是利用噪声信号时域不相关特性实现的 [ 17 ]。如果噪声信号具有空间不相关特性，那么就可以利用面阵CCD的多行信号实现平滑降噪，为验证这个思想，我们抽取100 ms曝光图像中40行信号，进行平均处理，处理结果如图6~8所示，可见对光谱信号进行行平均，具有明显的降噪效果。氘灯光谱中的特征谱线清晰可见。 图6. 曝光时间100 ms图像及灰度曲线 图7. 曝光时间10 ms图像及灰度曲线 图8. 曝光时间1 ms图像及灰度曲线 进行平滑处理后的图像对比(图9~11)： 图9. 曝光时间100 ms灰度曲线平滑处理结果 图10. 曝光时间10 ms灰度曲线平滑处理结果 图11. 曝光时间1 ms灰度曲线平滑处理结果 在系统设计中采用全局曝光CCD进行数据采集，可以将曝光时间缩短至微秒级，采用高分辨率CCD进行数据采集，能够实现数百甚至1000行数据的平滑处理，将获得很高的信噪比，从而实现高速光谱数据获取；针对低强度光谱数据探测，可以延长曝光时间，这样也将获得比常规线阵探测器信噪比高得多的光谱曲线。
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user: 6. 结论 为了研究噪声对紫外系统探测能力的影响，将紫外像增强器与CCD器件耦合而成的紫外ICCD与分光组件再次耦合，构成直读式紫外光谱探测系统，经过实验分析得知，系统各组件部分的光电转换中都存在着不同程度的噪声，输出图像质量受到噪声的干扰而降低。因此降低噪声对直读式紫外探测系统的影响进而提升紫外ICCD的成像质量具有良好的应用前景。
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user: 摘要 使用全球气候系统模式来模拟研究未来气候变化是现在常用的方法。由于全球气候系统模式对区域尺度的模拟能力有较大的不确定性，所以预估未来气候变化之前通常要进行模式模拟能力的评估。本文利用CMIP6 (Coupled Model Intercomparison Project Phase 6)中的8个全球气候系统模式对中国区域进行气温要素模拟的结果，来评估全球气候系统模式对中国区域的模拟能力。同观测资料对比，能得出以下结论，此8个模式能较好的模拟过去一段时间中国气温变化的大致趋势，都呈现升温的趋势。对中国区域的模拟，模式对青藏高原和四川盆地等受地形影响气温变化的模拟能力不是很好，产生非常大的冷偏差。对国内中部以及东南地区的模拟能力也就相对较好，误差较小。
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user: 1. 引言 世界气候研究计划(WCPR)为了推动模式发展和增进对地球气候系统的科学理解，开创了国际耦合模式比较计划(CMIP， Coupled Model Intercomparison Project Phase 6) [ 1 ]，其先后进行了共计六次的模式比较计划。如今，耦合模式进行到了第六阶段，这次的研究计划是CMIP计划实施以来，模式数量最多，模拟数据最庞大的一次。相较于上一代CMIP5模式，CMIP6模式在模式分辨率和模式物理过程等方面已有不少改进，且这次参与CMIP6的模式研发团队增加了13家机构，一共达到了33家研发团队。而这次所提供的气候模式数据也能够对未来全球范围内的气候研究起到了支撑作用。在目前全球增温的环境下，由于全球气候系统的复杂性，不同区域的气候变化会受海陆因素、地形、人类活动和当地的经济状况等的影响，从而表现出不同的特征。虽然气候系统模式对大尺度系统的变化趋势、特征有较好的模拟能力 [ 2 ]，但对区域尺度的气候模拟依然有许多不足、不确定性，所以我们需要针对不同区域来评估气候系统模式的模拟能力。同时，中国地形多种多样山区面积广大，还有丰富的季风系统以及青藏高原、四川盆地等多样的地形地势，使中国的气候十分复杂。因此气候系统对中国气候的模拟、预测十分重要，也一直是被广泛关注的问题。论文对8个全球气候模式进行了中国区域过去一段时间内的气温要素模拟能力的简单评估，希望能为全球气候模式对中国区域未来天气变化的预估增加可信度。 张莉，张艳武，徐影 [ 3 ] 等对cmip5中29个气候模式，通过等权重算术平均的方法进行了中国区域气温要素模拟能力的评估，得出了模式能较好的模拟过去一段时间内中国区域气温的空间分布，对中国区域的气候时空变化特征有一定的模拟能力，通过CMIP5研究中国未来平均气温变化和规律是可行的。梁苏洁 [ 4 ] 得出了CMIP5气候模式基本都能反应出中国冬季气温变化的增暖的趋势，且国内北方相较于南方增暖更厉害，伍清 [ 5 ] 等则对CMIP5对西南地区的气温模拟能力进行了评估，得出模式都能较好的反应出西南地区过去五十年的增温趋势，但仅有少数的模式能模拟出气温的增加幅度对海拔存在依赖性的特征。郭彦 [ 2 ] 等将CMIP5模式对中国年平均气温模拟及其与CMIP3模式的比较，目前利用气候系统模式对中国区域气温要素的模拟都还处于CMIP5，CMIP6计划中的数据更为庞大，对大气物理过程的描述也更加准确，但是我们对CMIP6中的气候系统模式在区域尺度上对气温的模拟能力还未进行过评估，还存在着不足，所以若要对中国未来气候变化进行预测以及其变化机制等方面的研究，对CMIP6进行模拟能力评估是必不可少的。 我们知道，气候系统模式是我们目前研究气候变化机制和预测未来气候变化非常有力的工具 [ 6 ]。在自然和人类活动的外强迫下，模式能够较好的模拟出全球变暖的主要特征 [ 7 ]，所以其准确性也一直是被广泛关注的问题，而随着计算机，科技的发展，能计算的数据越来越精细，资料也越来越丰富，大气模式的分辨率也大大提高，所以对未来气候的预测的精确度和时间长度要求越来越高，对模式在区域尺度的气候要素的模拟能力的准确性的要求在不断增加。同时基于这些气候系统模式的分析结果也是我们对气候预估以及气候谈判等方面的基础。同时，这些气候系统模式的发展也对我们的日常生活，如天气预报等，有非常大的帮助，与其他许多行业的发展也息息相关。但是通过对CMIP5气候系统模式的模拟评估我们知道，它对区域尺度的模拟尚有待完善和改进的地方，所以在耦合模式进行到当前阶段的时候，在中国区域对CMIP6气候系统模式各气象要素如气温的模式进行评估就重要了。也对我们预测未来气候变化，研究气候变化机制，发展气候方面的研究有帮助。
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user: 2. 资料概况与研究方法 资料包括有观测资料和模式资料。模式资料我们取了CMIP6模式中8个全球气候模式的数据，该数据来自于WCPR官网中CMIP6模式的数据，时间跨度为1840~2015年。该模式对比CMIP5模式，不仅大气和海洋模式的分辨率大大提高 [ 1 ]，而且主要以碳氢循环过程的模式为主。模式资料的研发机构包括了中国，法国，加拿大等。8个模式资料基本信息见下图(表1)。 观测资料是由吴佳等 [ 8 ] 基于国家气象中心2400多国家级台站建立的0.5˚ × 0.5˚分辨率的月平均温度的格点资料，时间跨度为1961~2014年。 Table 1 The basic information for 8 global climate model 模式名称研发机构模式分辨率 BCC-CSM2-MR CNRM-ESM2-1 CAMS-CSM1-0 CanESM5 CESM2 CESM2-WACCM CNRM-CM6-1 BCC-ESM1 BCC，CMA，中国 CNRM，CERFACS，法国 CAMS，CMA，中国 CCCma，加拿大 NCAR，美国 NCAR，美国 CNRM，CERFACS，法国 BCC，CMA，中国 160 × 320 128 × 256 160 × 320 64 × 128 192 × 288 192 × 288 128 × 256 64 × 128 表1. 8个全球气候模式基本信息 由于每个模式的分辨率不同，所以我们需要首先通过双线性插值方法将模式资料插值到分辨率为0.5˚ × 0.5˚的网格点，这样才能方便比较，进行后面的数据处理。然后将中国区域的数据单独抠出来后，进行维度方面的简单算术平均处理，得到中国区域的1961~2014年的年平均温度变化，对观测资料进行同样处理。然后通过观测资料和模式资料进行对比，可得到模式资料对中国过去1961到2014年的气温要素的大致模拟能力。为了更直接清晰地看出各模式对中国区域的模拟能力，还分别在空间尺度上和时间序列上进行了简单的差值处理(模式资料减去观测资料)。
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user: 4. 结论 基于CMIP6中的8个模式对中国年平均气温变化的模拟结果，评估了CMIP6模式对中国区域在时间和空间尺度上的气温要素模拟能力。 1) 在1961年到2014年中国区域的平均气温呈增温趋势的，且大部分的模式同表现出升温的趋势，能合理的模拟出中国平均气温变化的总特征。但是模式和模式之间以及模式和观测数据之间仍然有较大的差别。大部分的模式对较观测资料的平均气温较低，低估基本在2℃左右。 2) 从空间尺度来看，模式能够较好的模拟出气温气候态的空间分布和中国的年平均气温的空间分布特征。模式对中国的中部以及南方的气温模拟能力较好，其次是东北地区，对青藏高原以及西北地区和四川盆地等地都有较大的冷偏差。提高模式的大气分辨率对模拟性能的提升有一定的效果。 3) 从时间平均和空间尺度两方面综合考虑，将8个模式对中国地区气温要素模拟能力的性能进行了个排名，从高到低依次为：ESM2-WACCM、CAMS-CSM1-0、CESM2、CNRM-CM6-1、BCC-ESM1、BCC-CSM2-MR、CanESM5、CNRM-CM6-1。 论文首先选取了CMIP6中的8个模式，利用统计分析方法来对模式对中国区域气温的模拟能力进行评估。CMIP6模式对中国区域的气温要素在时空分布的总体特征有较好的模拟性能。如果能利用更多的更有效的分析方法，比如多模式集合，加权平均等方法应该能对模式进行更多方面，更全面的评估。同时由于模式本身有不确定性，所以如何从众多模式中取得合适的以及可靠的数据，也是利用模式进行研究的重要问题。
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user: 摘要 随着社会的发展，铁路，公路领域工程建设中，出现了一些深路堑工程。在深路堑工程中由于挖方的原因会导致初始地应力的重新分布，使得原有的地应力平衡被打破，由此应发了一系列的工程边坡稳定性问题，所以在工程中选择合适的只当结构至关重要。本文采用Midas GTS有限元软件对某深路堑桩板墙进行数值模拟受力分析，并且对比研究在不同工况下的桩板墙，进行优化设计。最终得到其受力特性，选择桩身20 m，截面尺寸2 × 2.5 m，桩间距6 m作为最优方案。
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user: 1. 引言 在公路铁路工程大力发展下，高边坡的支挡防护变得尤为重要，在众多的支挡结构物中新型支挡结构桩板墙脱颖而出，桩板墙是近年来比较适用于高边坡工程的一种新型支挡结构 [ 1 ]，具有良好的收坡作用且加固效果很好，桩板墙结构施工便捷，节约土地外形美观，支护效果好，在岩土边坡工程 [ 2 ] 中广泛使用。 Begemann和De Leeuw [ 3 ] 定义了压力法，并且给出了压力的计算方法：在计算从地面来的荷载作用在桩上的力时，可以将桩看成是刚性桩，当计算水平位移和应力分布时，可以用弹性法，桩则可以看作等值桩板墙。 巨能攀 [ 4 ] 等利用数值模拟分析分方法对土体和桩共同作用下，桩上部土体的剩余下滑力形式，桩身传力模式以及内力计算方法进行分析，得出结论，桩板墙可以改善桩后土体的应力分布特征。 袁正龙 [ 5 ] 桩板墙路基在城市、增建二线等用地受限地区可有效减少占地、节约投资。 罗渝 [ 6 ] 根据多块体滑移理论，采用极限分析上限定理，提出了一种利用桩板墙增强边坡稳定性的新分析方法。
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user: 2. 桩板墙理论计算 2.1. 土压力分类 由支挡结构的移动方向可将土压力分为：静止土压力 E 0 、主动土压力 E a 和被动土压力 E p 。数值上的大小排列为 E a < E 0 < E p 。如图1所示。 图1. 挡土墙位移与土压力关系图 在墙后填土的土压力下，土体处于弹性平衡状态，墙体没有位移，此时土压力为静止土压力 E 0 ；当挡土墙离开土体位移，土体处于主动极限平衡状态，此时土压力为主动土压力 E a ；当挡土墙挡土墙向填土方向位移，土体处于被动极限平衡状态，时土压力为被动土压力 E p 。 2.2. 桩身内力计算 桩的内力计算可将桩分为悬臂端和锚固段进行计算。悬臂段按悬臂梁的计算方法计算，锚固段采用弹性抗力法进行计算。 当受到的荷载类型不同时，采用不同公式计算，如下所示： ① 当受到的荷载为均布荷载时(k法)，桩顶的挠曲微分方程为 E I d 4 x d y 4 + x K B p = 0 (1) 式中 x K B p ，为地基作用于桩上的水平抗力。 ② 当所受荷载为线性分布荷载时(m法)，桩的挠曲微分方程为 E I d 4 x d y 4 + m y x B p = 0 (2) 将此微分方程求解，可计算出锚固段任意截面的位移和内力结果。
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user: 3. 三维模型的建立及参数选取 3.1. 本构模型和单元体的选择 1) 本构模型的选择 根据某工程的土体参数以及具体的施工步骤，本文采用Midas GTS [ 7 ] 软件建模，拟采用摩尔—库仑准则 [ 8 ] 模拟整个结构的施工过程。 2) 单元体的选择 桩体采用一维梁单元模拟 [ 9 ]；两侧挡土板采用二维板单元模拟，土体选用三维实体单元模拟。 3.2. 几何模型的建立 1) 模型尺寸 本文选取最不利位置进行数值模拟分析，建立100 m × 40 m × 18 m的模型。如图2所示。 图2. 路堑桩板墙三维有限元模型 2) 土体参数 依据工程勘察报告，该地段各土层土质参数均参考地勘报告，具体取值见表1。 Table 1 The value of material related parameters 名称 单元类型 重度(kN/m 3 ) 泊松比 弹性模量(MPa) 全风化层 3D实体 18.9 0.33 50 强风化层 3D实体 20 0.3 150 桩 1D梁单元 20 0.25 31，500 挡土板 2D板单元 20 0.25 31，500 表1. 材料相关参数的取值 3.3. 开挖过程模拟 数值模拟的施工步骤分为6步： ① 初始应力阶段； ② 开挖第一层土； ③ 开挖第二层土； ④ 开挖第三层土； ⑤ 挖孔建桩； ⑥ 安装挡土板。
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user: 4. 桩板墙三维数值模拟结果分析 4.1. 整体应力 4.1.1. 整体水平应力 如图3所示，水平最大位移出现在路堑两侧桩顶处。呈蝴蝶状逐渐扩散减小。 图3. 水平位移等值云图 如图4所示，结构土体水平应力法人整体分布较均匀，分布趋势随土层深度的增加而递增。水平位移的峰值出现在桩顶部位，越靠近路堑位移趋于变大。应力集中发生在路堑底部中心位置，越往下桩侧土体的水平位移越小。 图4. 标准试验系统结果曲线 4.1.2. 整体竖向应力 如图5所示，结构整体的竖向位移由上到下由中心向两边呈现扩散式的减小趋势，竖向位移的最大值在路堑底部中心位置。 图5. 竖向位移等值云图 如图6所示，结构整体的竖向应力分布也较均匀，分布趋势为从上到下依次随地层深度而增大。 图6. 竖向应力等值云图 4.2. 桩身应力 由图7可知，桩身的最大剪力值为508 KN。 图7. 桩身剪力图 由图8可知，桩身弯矩的最大值出现在剪力为零的拐点处，M max = 3532 kN·m，由相关公式可得桩身的抗弯承载力为14，567 kN·m远大于桩身最大弯矩，所以安全储备量较大。 图8. 桩身弯矩图 图9. 桩身位移图 由图9可知桩身的最大位移在桩顶处，最大位移为2.045 cm。根据《铁路路基支挡结构设计规范》(TB 10025-2006) [ 10 ] 的规定：桩顶位移应小于桩悬臂段长度的1/100，且不大于8 cm。 综合以上分析可知，结构内力、变形和稳定性满足要求。 4.3. 桩身长度长对比 桩身长度分别取17 m、19 m、21 m、22 m几种不同工况进行计算。桩体出地面8 m固定，锚固深度分别9 m，11 m，12 m，13 m，14 m。 由图10与图11可知，随着锚固深度的增加，桩身的最大剪力和最大弯矩随之增加。 图10. 不同桩锚固深度下剪力对比图 图11. 不同桩锚固深度下弯矩对比图 由表2数值所示，以锚固深度12 m作为基准，当深度为10 m时，桩顶位移减小了0.1 mm，最大剪力减小了40 kN，最大弯矩减小了443 kN·m；当深度为11 m时，桩顶位移增大了0.7 mm，最大剪力减小了22 kN，最大弯矩减小了172 kN·m；当深度为13 m时，桩顶位移减小了0.7 mm，最大剪力减小了102 kN，最大弯矩增大了443 kN·m；当深度为14 m时，桩顶位移减小了0.4 mm，最大剪力减小了128 kN，最大弯矩增大了443 kN·m。 Table 2 Calculation results of pile stress of different pile length 桩身长度(m) 桩顶水平位移(mm) 桩身最大弯矩(kN·m) 桩身最大剪力(kN) 17 21.1 3114 987 19 21.9 3385 1005 20 21.2 3557 1027 21 20.5 3659 982 22 20.8 3685 994 表2. 不同桩长桩身应力计算结果 由对比可得，随着桩身锚固深度的增加，内力的变化幅值的逐渐变小，说明超过某一锚固深度后，对桩身内力影响有限。考虑到地下水以及经济性要求的限制，最终取桩长取20 m最为合理。 4.4. 桩截面尺寸对比 分别取1.5 × 2 m，2 × 2 m，2 × 2.5 m，2.5 × 2.5 m，2.5 × 3 m的截面尺寸进行数值分析来研究不同尺寸下桩的内力和变形的变化。 如图12，图13所示，随着桩的截面尺寸的增大，桩身的最大剪力以及最大弯矩都趋于变大的趋势。 由表3可知以桩身截面尺寸2 × 2.5 m作比较，1.5 × 2 m的桩桩顶位移增大了1.3 mm，最大剪力减小了64 kN，桩最大弯矩减小了532 kN·m，2 × 2 m的桩，桩顶位移增加了0.8 mm，桩最大剪力减小了41 kN，桩最大弯矩减小了341 kN·m；2.5 × 2.5 m的桩桩顶位移减小了0.2 mm，桩最大剪力增加了8 kN，桩最大弯矩增加了93 kN·m；2 × 3 m的桩桩顶位移减小了0.5 mm，桩最大剪力增大了22 kN，桩最大弯矩增大了189 kN·m。 由对比分析可知：随着桩身截面尺寸的变大，桩顶最大位移逐渐变小，最大剪力以及最大弯矩都是逐渐变大，但是变化幅度越来越小。考虑经济性，施工难度以及安全性取2 × 2.5 m。 图12. 不同桩截面尺寸下截面剪力对比图 图13. 不同桩截面尺寸下弯矩对比图 Table 3 Calculation results of pile stress of different pile section 桩截面高度h (m) 桩截面宽度(b) 桩最大水平位移(mm) 桩最大弯矩(kN·m) 桩最大剪力(kN) 1.5 2 22.5 3105 953 2 2 22.0 32916 976 2 2.5 21.2 3457 1017 2.5 2.5 21.0 3550 1025 2 3 20.7 3646 1039 表3. 不同桩截面桩身应力计算结果 4.5. 桩间距对比 在其他条件不变的情况下，分别取4 m，5 m，6 m，7 m和8 m的桩间距进行数值模拟计算，对比分析其内力变形规律。 由图14和图15可知，在不同的桩间距下，随着桩间距的增加，桩身最大剪力以及最大弯矩逐渐增大。 图14. 不同桩间距下剪力对比图 图15. 不同桩间距下弯矩对比图 由表4可得以桩间距6 m最作为基准作比较。4 m桩间距时，相比其桩顶位移减小了1.5 mm，桩最大剪力减小了140 kN，最大弯矩减小了512 kN·m；5 m桩间距时，相比其桩顶位移减小了1.4 mm，桩最大剪力减小了82 kN，最大弯矩减小了314 kN·m；7 m桩间距时，相比其桩顶位移增大了6.1 mm，桩最大剪力增大了98 kN，最大弯矩增大了502 kN·m；8 m桩间距时，相比其桩顶位移增大了11.1 mm，桩最大剪力增大了970 kN，最大弯矩增大了189 kN·m。 Table 4 Calculation results of pile stress at different pile spacin 桩间距(m) 桩最大水平位移(mm) 桩最大弯矩(kN·m) 桩最大剪力(kN) 4 18.3 3030 860 5 19.5 3228 918 6 21.2 3542 1000 7 25.7 4044 1098 8 32.3 4512 1310 表4. 不同桩间距桩身应力计算结果 通过对比分析可知，桩间距越小，相应的桩顶最大位移和最大剪力最大弯矩也呈递减趋势。当桩间距减小到6 m时，其位移剪力以及弯矩的变化幅度明显较小，考虑安全经济性选择6 m桩间距。
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user: 5. 结论 本文就深路堑桩板墙做数值模拟分析，分析其受力特性以及不同施工状况下的桩板墙内力分析对比做出优化设计。 主要结论如下： 1) 整个结构的水平应力分布较为均匀，水平位移倾向于桩板墙内侧方向，水平最大位移出现在桩顶。竖向应力分布也较均匀，竖向位移的最大值出现在路堑底部中心位置。竖向应力与水平应力的变化趋势均为随地层深度的增加而递增。路堑两侧的桩体的弯矩极值均在锚固段顶部，桩体的最大位移出现在桩顶且满足规范要求，此桩板墙结构满足设计要求不会发生失稳现象。 2) 不同的桩长截面尺寸以及桩间距下，桩身的内力以及位移均有所变化，但在到达某一数值后变化幅度明显减小说明在桩身的锚固段达到一定的长度后，对桩身内力逐渐没有了影响。在考虑地质概况，施工难度以及经济安全可行性的条件下选择桩身20 m，截面尺寸2 × 2.5 m，桩间距6 m作为最优方案。
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user: 摘要 为了准确评价旧沥青路面使用性能水平，为养护维修设计提供依据，提出了基于路面破损状况指数的综合评价方法，并依托具体工程对既有道路路面使用状况及病害程度进行了全面分析。结果发现：同一路段不同车道病害特点及病害程度具有显著差异；基于路面破损状况指数PCI，结合路面横向裂缝间距、纵向裂缝率等指标对路面损坏状况进行综合评价的方法可精确表征路面真实病害状况；通过综合评价的方法，可有效确认检测路段的主导病害，为维修设计提供依据。
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user: 1. 引言 我国高等级公路经过高速发展，逐渐进入大规模养护期，高等级公路的渠化交通导致不同车道路面使用状况差异巨大。路面检测是制定养护维修计划与方案的重要依据 [ 1 ] [ 2 ]，传统的检测分析的主要目的为面向项目级总体技术状况的普查，缺乏对于不同车道的深入检测和详细分析。路面破损状况是路面改造设计中确定主导病害类型，明确和细化病害处理措施及其工程量，进行路段划分的依据，也是有针对性的开展其他检测的基础。我国规范中推荐采用PCI模型来评价路面破损情况，PCI中考虑了21种病害，较为齐全，但是PCI模型过于笼统 [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]。单独采用PCI评价方法会丢失对路面各类破损情况描述的大量有用信息，不能准确评价沥青路面裂缝分布 [ 8 ] [ 9 ]。 为了准确评价旧路使用性能水平，针对不同车道进行对比评价，全面分析既有道路路面使用状况及病害程度，为旧路改造提升工程分车道设计提供基础资料及依据。本文提出了基于路面的破损率及路面状况指数PCI进行宏观评价，结合路面损坏特点，以横向裂缝间距、纵向裂缝率等指标对路面损坏状况进行细观评价的综合评价方法。为既有路面现状和病害发展的研判及确定病害处治措施提供依据，并进一步细化病害处治工程量，合理制定施工组织计划，避免施工过程中频繁变更，对保证工程施工质量和施工进度、节省养护投资有着重要意义。
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user: 2. 旧路路面结构 评价路段旧路面为典型半刚性基层沥青路面结构，路面结构形式及各结构层材料类型如图1所示。运营10几年后，部分路段病害严重，表现出明显的车道差异化特征(图2)，传统的单一车道检测及PCI评价方法难以全面准确表征道路实际病害状态。
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user: 3. 路面破损状况综合评价指标组成 路面行驶质量状况以1 km为基本评定单元 [ 10 ]，是作为评价路网级路面质量状况的有效手段。但针对道路养护设计，路面健康状态的评价需要更有针对性，应具体至某一段、某一车道甚至具体病害。本文对提托工程所选路段进行检测，以路面行驶质量状况指数为基础，以横、纵向裂缝分布特征作为辅助指标，进行综合评价，为养护方案设计提供依据。为了区分不同车道路面质量状况差异，结合行车荷载及路面病害分布情况，将1~2车道、3~4车道分别合并进行统计评定。 图1. 路基、路面结构图 图2. 不同车道病害程度差异 3.1. 路面损坏状况指数 根据《公路技术状况评定标准》(JTG H20-2018)，路面损坏状况指数(PCI)按下式计算。路面破损状况可分为优、良、中、次、差五个等级，评定标准如表1所示。 P C I = 100 − a 0 D R a 1 D R = 100 × ∑ i = 1 i 0 ω i A i A 式中：DR——路面破损率，为各种损坏的折合损坏面积之和与路面调查面积之百分比(%)； A i ——第i类路面损坏的面积(m 2 )； A——路面检测或调查面积(m 2 )； ω i ——第i类路面损坏的权重或换算系数； a 0 ——沥青路面采用采用15.00，水泥混凝土路面采用10.66； a 1 ——沥青路面采用0.412，水泥混凝土路面采用0.461； I——路面损坏类型，包括损坏程度(轻、中、重)； i 0 ——损坏类型总数，沥青路面取21，水泥混凝土路面取20。 Table 1 Pavement damage grade evaluation standar 评定等级 优 良 中 次 差 损坏状况指数PCI ≥90 ≥80，<90 ≥70，<80 ≥60，<70 <60 DR ≤0.4 ≤2.0，>0.4 ≤5.5，>2.0 ≤11.0，>5.5 >11.0 表1. 路面损坏状况等级评定标准 3.2. 路面病害分布特征 为了更全面的表征旧路不同车道的破损状况，本文采用横向裂缝间距(TCS)、纵向裂缝贯穿度(LLR)及块状修补面积率(MAR)指标作为补充参数。 1) 横向裂缝的分布特征 用横向裂缝的平均裂缝间距以及平均裂缝长度来表征横向裂缝的严重程度，根据评价单元内每车道横向裂缝间距的平均值计算得出。 横向裂缝间距(TCS) = 评价路段长度(m)/评价路段内横向裂缝条数。 2) 纵向裂缝的分布特征 用纵向裂缝的长度占评价路段总长度的比例来表征纵向裂缝严重程度。 纵向裂缝贯穿度(LLR) = 评价路段内纵向裂缝总长度(m)/评价路段总长度(m)。
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user: 5. 结论 1) 以路面破损状况指数PCI为主，辅助以横向裂缝间距(TCS)及纵向裂缝贯穿度(LLR)指标作为补充参数的综合评价方法可有效表征旧路的实际病害状况。 2) 通过综合评价的方法，可有效确认检测路段的主导病害，为维修设计提供依据。本次所检路段沥青路面病害以纵向裂缝(49.9%)和横向裂缝(40.0%)为主。 3) 同一路段不同幅侧及同一幅侧不同车道之间实际病害状况差异明显，从PCI、TCS及LLR指标来看，3/4车道路面病害状况明显差与1/2车道，应根据动态检测结果分别设计维修方案。
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user: 摘要 在处理多因素数据预测问题时，采用变量选择进行显著因素的筛选，更利于因变量的预测。本次研究的目的是提高重庆市AQI预测的精度，AQI是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染状况越严重。对参与空气质量预测的主要6个指标，进行GBRT变量选择余下细颗粒物(PM 2.5 )、可吸入颗粒物(PM 10 )、二氧化氮(NO 2 )、臭氧(O 3 )这4个指标，采用遗传算法改进的最小二乘支持向量机进行组合预测，其预测误差从1.5329164降到0.1993641，表明该组合预测模型于空气质量预测有很好的应用前景。
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user: 1. 引言 随着中国乃至世界经济的高速发展，城市化进程也在急剧加快，人们对于生活品质的要求也越来越高。其中空气质量的高低直接或者间接的影响着人们的生活，因此，空气质量的预测可以及时地提醒相关部门调整，对进一步提高人们的生活品质有重要的意义。 在过去对空气质量的预测中，研究者们常用的预测方法主要：张叶娥 [ 1 ] 等采用ARIMA模型预测大同市空气质量，但该模型向前预测的时期越长，预测的误差将会越大，不适合于长期预测；宋雨辰等 [ 2 ] 采用BP神经网络和时间序列模型预测包头市空气质量，但BP神经网络需要大量训练且时间序列适于短时期；王先行、方彦等 [ 3 ] [ 4 ] 采用GM-RBF组合模型预测空气质量，灰色系统能减少RBF神经网络建模精度容易受数据随机性影响的问题，但灰色预测有小样本数据的局限性，组合预测确实提高了预测精度；卢彬、刘君 [ 5 ] [ 6 ] 采用因子分析与径向基神经网络结合进行空气质量预测，结果有效提高了收敛速度和预报准确度；胡邦辉等 [ 7 ] 采用最小二乘支持向量机模型云量预测，表明最小二乘支持向量机回归方法的预报效果要优于神经网络，预报准确率也不会因为训练样本的减少而降低，预测前景较好；付莲莲等 [ 8 ] 采用梯度提升回归模型的生猪价格预测，表明，梯度提升回归模型具有较高的预测精度；Shivang Agarwal等 [ 9 ] 基于实时动态误差修正的人工神经网络预测高污染地区空气质量表明模型在多个评价指标上对所有污染物都有很好的评价效果；谷艳昌等 [ 10 ] 基于遗传算法优化支持向量机对大坝安全性态预测，表明GA-SVM模型渗压预测值与实测值最接近，预测精度较SVM模型和逐步回归模型提高了约3倍。 前面的研究者们对于空气质量的预测都是在原有的细颗粒物(PM 2.5 )、可吸入颗粒物(PM 10 )、二氧化硫(SO 2 )、二氧化氮(NO 2 )、臭氧(O 3 )、一氧化碳(CO)这6个指标的基础上进行一系列的改进预测算法，却不曾想过对这6个指标进行精确化，以提升预测精度。本次采用梯度提升回归树(GBRT)进行变量选择来进一步提高预测精度，再结合遗传算法优化的最小二乘支持向量机模型进行预测，其预测误差显著降低。
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user: 2. 数据来源与研究方法 2.1. 数据来源 本次论文研究的数据来自于网络爬虫获取的重庆市2020年1月到2020年8月这8个月每天的空气质量指数(AQI)、空气中细颗粒物(PM 2.5 )、可吸入颗粒(PM 10 )、二氧化硫(SO 2 )、一氧化碳(CO)、二氧化氮(CO 2 )和臭氧(O 3 )这6种主要的污染物浓度数据指标。 2.2. 研究方法 本次研究针对重庆市天时数据空气质量预测主要分以下三步进行：1) 先对6个影响空气质量主要污染物指标进行GBRT变量选择，筛选出更精确的主要污染物指标；2) 运用最小二乘支持向量机模型对变量选择前与变量选择后的数据进行预测，比较其预测精度；3) 对于最小二乘支持向量机模型运用遗传算法对参数进行优化，得到优化后的遗传算法最小二乘支持向量机模型，比较优化后的模型的精度，得到最优的组合预测模型。实际上就是一个串联式进化的预测过程，具体流程如下图1。 图1. 建模流程图 2.2.1. 梯度提升回归树(GBRT) GBRT，Gradient Boosting Regression Tree，梯度提升回归树，由多棵树组成，所有树的结论累加得最后结果的迭代回归树算法，其泛化能力较强 [ 11 ] [ 12 ]。具体算法如下： 输入：训练数据集 T = { ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ， ⋯ ， ( x N ， y N ) } 。 输出：回归树 f M ( x ) 。 第一步：初始化 f 0 ( x ) = arg min c ∑ i = 1 N L ( y i ， c ) (1) 用来估计使损失函数最小化的常数值，这时它是只有一个根节点的树。 第二步：设 m = 1 ， 2 ， ⋯ ， M ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ， r m i = − [ ∂ L ( y i ， f ( x i ) ) ∂ f ( x i ) ] f ( x ) = f m − 1 ( x ) (2) 即计算损失函数的负梯度在当前模型的值，亦是残差的估计值。 由 r m i 学习一颗回归树，得到第m棵树的叶节点区域 R m j ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， J ，以拟合残差的近似值，对每个j计算 c m j = arg min c ∑ x i ∈ R m j L ( y i ， f m − 1 ( x i ) + c ) (3) 用线性搜索估计叶节点区域的值，使损失函数最小化，更新回归树 f m ( x ) = f m − 1 ( x ) + ∑ x i ∈ R m j c m j (4) 第三步：得到最终的回归树模型 f ^ ( x ) = f M ( x ) = ∑ m = 1 M ∑ x i ∈ R m j c m j (5) 为避免过拟合，引入一个参数 λ ， λ ⊆ [ 0.001 ， 0.01 ] ，则可得到对应的回归树更新公式 f m ( x ) = f m − 1 ( x ) + λ · ∑ x i ∈ R m j c m j (6) 2.2.2. 最小二乘支持向量机模型(LS-SVMR) LS-SVMR，即最小二乘支持向量机模型，由J. A. K. Suykens提出。相较标准SVM，它用等式约束代替不等式约束，解一组等式方程，避免了求解耗时的弊端，且求解速度相对加快 [ 12 ] [ 13 ]。线性情况下的LS-SVMR的算法步骤如下： 输入：给定训练样本集 { ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ， ⋯ ， ( x n ， y n ) } ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。 输出：估计函数 f ( x i ) 。 第一步：首先定义线性回归方程： f ( x ) = x w + b (7) 其中， x = ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ) ′ ，I为n维单位列向量。 第二步：找寻最优超平面，此时的优化目标函数为： min w ， b ， ξ 1 2 w ′ w + 1 2 γ ξ ′ ξ s .t .   y − x w − b I = ξ (8) 构造Lagrange函数： L ( w ， b ， ξ ， α ) = 1 2 w ′ w + 1 2 γ ξ ′ ξ + α ′ ( y − x w − b I − ξ ) (9) 再对上面的Lagrange函数分别求 w ， b ， ξ ， α 的偏导，并令其为0，即可得到最小二乘支持向量机的估计函数： f ( x i ) = ∑ j = 1 n α j ( x i x ′ j ) + b (10) 同理针对非线性情况其估计函数为： f ( x i ) = ∑ j = 1 n α j k ( x i ， x j ) + b (11) 2.2.3. 遗传算法 遗传算法是常见的随机优化搜索方法，它有J. Holland提出，遗传算法是模拟自然界遗传选择与生物进化计算的模型。遗传算法将多个个体集合解进行编码、选择、交叉、变异后，逐代进化，从子代找出求解问题的全局最优解 [ 12 ]。遗传算法的步骤如下图2。 图2. 遗传算法步骤
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user: 3. 模型的建立 3.1. GBRT变量选择 对于本次研究重庆市空气质量AQI指数，其有6个主影响因子，分别是空气中细颗粒物(PM 2.5 )、可吸入颗粒(PM 10 )、二氧化硫(SO 2 )、一氧化碳(CO)、二氧化氮(NO 2 )和臭氧(O 3 )。这些因素之间可能存在相关性、冗余性等，为提升建模效率和更好的特征表示，对数据进行降维处理会对预测精度有显著提升。应用GBRT进行6个特征变量的筛选，由图示，变量在6个指标中的影响作用基本可忽略不计，且由图4也可以看出与y无显著线性相关性，故特征选择进行后面的建模，如下图3和图4。 图3. GBRT重要性排序 图4. x 3 ， x 6 边际图 3.2. 建立GBRT-最小支持向量机模型 考虑到预测所涉及数据具有维数低和样本量少的特征。应用最小二乘支持向量机模型相对于支持向量机模型能够对数据预测有较好的准确性以及预测精度的提升，对比于神经网络又可以克服训练时间长，训练结果存在随机性以及学习的不足。在前文GBRT变量选择的基础上，再进行LS-SVMR预测，对比预测误差见下表1，GBRT改进后的LS-SVMR预测效果更好。 Table 1 Comparison of prediction errors between least square support vector machine and GBR 名称 最小二乘支持向量机 GBRT-最小二乘支持向量机 残差平方和/n 1.5329164 1.02862 表1. 最小二乘支持向量机与GBRT组合预测误差对比 3.3. 建立GBRT-遗传算法优化最小二乘支持向量机模型 对于最小二乘支持向量机模型本身而言，其中的关键性参数一般是经验取值，不一定能得到最佳预测值。于是本小节采用了遗传算法优化参数，得到最适合重庆市空气质量数据的参数。遗传算法的目标就是找到合适参数使得在测试集上的误差error最小。遗产算法确定最优参数如下表2。 Table 2 Optimization parameters of genetic algorith 名称 ξ γ GBRT前 2.618618 199.884949 GBRT后 1.294949 174.471560 表2. 遗传算法优化参数 最后将优化后的参数代入到之前的最小二乘支持向量机模型中去，可以看出在本身不用遗传算法优化的前提下，其误差也有显著的降低。最后在前面的基础上构造GBRT-遗传算法优化LS-SVMR模型，可以看出其误差降低的更多，如下表3。 Table 3 Comparison of model error 名称 LS-SVMR GBRT-LSSVMR 遗传算法LS-SVMR GBRT遗传算法优化的LS-SVMR 残差平方和/n 1.5329164 1.02860 0.8417785 0.1993641 表3. 模型误差对比 由上表可以看出，由循环式串联进化算法，在基于GBRT变量选择的情况下，再在遗传算法优化后的最小二乘支持向量机里进行预测，其预测误差由最初的1.5329164降到了仅仅只有0.1993641，其误差降低87%，所以该GBRT遗传算法优化的最小支持二乘向量机模型是更适合重庆市空气质量指数AQI的预测，其预测精度有显著的提升。 3.4. 最终预测模型预测图 根据上文最后得到的GBRT结合遗传算法优化的最小二乘支持向量机模型，产生重庆市空气质量AQI值预测模型。 本文结合预测模型，对重庆市2020年1月到2020年8月每天的空气质量AQI进行预测，并结合实际的数据进行比对，结果如下图5所示蓝色(y)与红色(ypred)基本重合： 图5. 真实值与预测值对比
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user: 4. 结语 本文采用串联式循环进化算法模型，进行算法的改进提升预测的精度，减少预测的误差，得到了最终的GBRT遗传算法优化的最小二乘支持向量机模型对重庆市空气质量AQI进行预测，其预测误差显著降低，因此该模型应用于空气质量预测是更优的。
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user: 摘要 本文主要探究一类有周期激励的Duffing系统，根据Melnikov方法、欧拉离散、四阶Runge-Kutta算法理论及Matlab程序等进行数值模拟。从理论上分析不同参数下系统的动力学现象，如分岔、周期运动、混沌运动等，作出时间序列图、相图、分岔图及最大Lyapunov指数图，观测在振幅、频率及阻尼项变化时Duffing系统产生的复杂动态行为。数值模拟发现，在考虑激励振幅和频率不变时，随阻尼项的增大，系统混沌行为会发生显著变化，混沌状态将逐渐消失形成周期运动，而在考虑振幅影响时，系统混沌状态则无明显改变。
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user: 1. 引言 随着科学技术的发展，非线性问题 [ 1 ] 出现在越来越多的学科之中。对于非线性振动系统的研究，大多建立于各种物理学模型，如Lorentz模型、悬臂梁模型、单摆的有限振幅振动模型、双自由度系统振动模型等。在非线性振动 [ 2 ] 理论研究中，Duffing方程 [ 3 ] 占有重要地位，对于含有周期激励的系统而言，由于系统的固有频率和外加周期激励项的频率相互作用，使得系统蕴含丰富的动态响应行为，如混沌 [ 4 ]、倍周期分岔、簇发振荡 [ 5 ] 等现象。特别是具有非线性恢复力的系统受到简谐激励 [ 6 ] [ 7 ] 时，受迫振动 [ 8 ] 存在跳跃现象，即激励频率或阻尼参数在通过某些特定值时，系统将产生跳跃突变或混沌。 在混沌控制 [ 9 ] 范畴下，对于目前确定性的混沌系统 [ 10 ]，还较少考虑各参数激励的影响，即在阻尼和外激励作用下，如何设置有效参数范围控制系统的混沌行为。对于含参数的非线性系统而言，其稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参数，而且与系统的初始条件以及外加输入有关，因此需要参数控制来对系统可能产生的动态行为进行模拟分析。针对非线性Duffing方程，通过数值计算 [ 11 ] 和数值模拟来刻画动力学行为，并依据已有的物理、力学振动模型 [ 12 ] 来反映实际问题中的混沌现象。因此，在非线性动力学系统中，有效处理参数项对系统具有重要意义。 本文应用Melnikov方法 [ 13 ]、欧拉离散、四阶Runge-Kutta算法 [ 14 ] 理论、混沌理论和分岔理论 [ 15 ] [ 16 ]，动态模拟一类具有周期激励Duffing方程随系统参数变化时的复杂动力学行为，以及各参数对系统混沌行为的影响，这些研究将有助于我们进行下一阶段的理论分析和模拟实验。
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user: 2. Duffing系统的混沌机理及离散化 这部分主要分析这一类具有周期激励Duffing系统，通过哈密顿函数、Melnikov法计算异宿轨线及Melnikov阈值 [ 17 ]，来确定系统存在的混沌现象，并用欧拉方法对系统进行离散，动态模拟不动点分岔。 2.1. 考虑非线性Duffing系统 x ″ + 2 μ α x ′ + m x − n x 3 = μ f cos Ω t (1) 其中，阻尼系数 μ > 0 ( 0 < μ < 1 ) ，外激励振幅f，频率 Ω ，非线性刚度系数为n，且 m = δ cos α t ，非线性恢复力为 − m x + n x 3 ，那么在振幅值 μ f 和激励频率 Ω 周期外力作用下系统会表现出周期或混沌行为，且在外激励频率 Ω ≪ α 时，系统存在多尺度的复杂动力学行为。 现将上式转化为二维非线性微分方程如下： x ′ = y y ′ = − 2 μ α y − m x + n x 3 + μ f cos Ω t (2) 令 μ = 0 时，考虑 m = n = 1 ，上式的哈密顿系统对应的函数如下： H ( x ， y ) = − 1 4 x 4 + 1 2 x 2 + 1 2 y 2 (3) 该系统存在三个平衡点为两个鞍点 ( ± 1 ， 0 ) ，一个中心点 ( 0 ， 0 ) ，进而得到两条异宿轨如下： x ± 0 ( t ) = ± tanh ( 0.5 2 t ) ; y ± 0 ( t ) = ± 0.5 2 sech 2 ( 0.5 2 t ) (4) 现用Melnikov方法分析异宿轨破裂产生混沌现象的条件，因此得出Melnikov函数为： M ± ( t 0 ) = ∫ − ∞ + ∞ y ± 0 ( t ) ⋅ [ − 2 α y ± 0 ( t ) + f cos Ω ( t − t 0 ) ] d t = − 2 α ∫ − ∞ + ∞ ( y ± 0 ( t ) ) 2 d t + f ∫ − ∞ + ∞ y ± 0 ( t ) cos Ω ( t − t 0 ) = A α + f ∫ − ∞ + ∞ y ± 0 ( t ) ( cos Ω t cos Ω t 0 + sin Ω t sin Ω t 0 ) = A α + B ⋅ f cos Ω t 0 (5) 其中 A = 2 2 3 ， B = 2 π Ω csch ( 0.5 2 π Ω ) 此时，当 f α > A B 时，即： 当 f α > 2 2 3 ⋅ 1 2 π Ω csch ( 0 .5 2 π Ω ) ，存在 t 0 ± ，使得 M ± ( t 0 ± ) = 0 ，又因为 M ± ( t 0 ± ) = − Ω f B sin ( Ω t 0 ± ) ≠ 0 ，所以 M ± ( t 0 ) 存在单重简单零点，则会产生Smale马蹄意义下的混沌现象。其中 A B = 2 3 π Ω sinh ( 0.5 2 π Ω ) ，因此，当外激励振幅f与 α 之比超过Melnikov阈值 A B 时，Duffing系统会产生混沌现象。 此时不妨考虑 Ω = 0.1 ，则混沌阈值 A B = 0.467 ，即 f α > 0.467 时产生混沌现象，则选取 f = 0.35 ， α = 0.7 ，有 f α = 0.5 > A B ，并取 μ = 0.1 ，对系统进行数值模拟，如图1表示该系统混沌状态下的相图和时间序列图。 图1. 当 μ = 0.1 ，   f = 0.35 ，   α = 0.7 ，   Ω = 0.1 时，系统相图和时间序列图 2.2. 对非线性Duffing系统离散化 对于 μ ≠ 0 ，考虑方程(2)设 p = μ f cos Ω t ，利用欧拉方法，得出二维离散系统为： x n + 1 = x n + Δ t y n y n + 1 = − m Δ t x n + ( 1 − 2 μ α Δ t ) y n + n ( Δ t ) 3 x n 3 + Δ t p (6) 设 k n = x n + Δ t y n ，方程(6)变为： x n + 1 = k n k n + 1 = 2 ( 1 − μ α Δ t ) k n + ( 2 μ α Δ t − m Δ t 2 − 1 ) x n + n Δ t 4 x n 3 + Δ t 2 p (7) 接着，对方程(7)作新的尺度变换为： x n + 1 = y n y n + 1 = δ 1 x n + δ 2 x n 3 + δ 3 y n + p (8) 其中， δ 1 = 2 μ α Δ t − m Δ t 2 − 1 ，   δ 2 = n Δ t 2 ，   δ 3 = 2 ( 1 − μ α Δ t ) 。 接下来，我们对上述离散系统选取适当参数来模拟其动力学行为，设置 δ 1 ， δ 2 ， δ 3 为实参数，p为控制参数，为了便于计算取 m = n = 1 。 图2. 系统关于参数p分岔图和时间序列图，此时 δ 1 = 1.38 ，   δ 2 = 1.2 ，   δ 3 = 0.0035 图3. 系统关于参数p分岔图和时间序列图，此时 δ 1 = 1.85 ，   δ 2 = 1.2 ，   δ 3 = 0.0035 如图2所示，设 δ 1 = 1.38 ，   δ 2 = 1.2 ，   δ 3 = 0.0035 时，在 p = 0 附近系统变得不稳定，出现跳跃现象，在 p < − 0.4 或 p > 0.4 时，系统由单倍周期运动进入到二倍周期运动。在 − 0.4 < p < 0.4 时，系统做单周期运动。随着p值增大，周期1吸引子消失周期2吸引子出现。此时右图为当 p = 0.3 的时间序列图。 如图3所示，设 δ 1 = 1.85 ，   δ 2 = 1.2 ，   δ 3 = 0.0035 如时，图当 p < − 0.2 或 p > 0.2 ，随着p大于临界值的时候，系统出现由周期1吸引子到周期2吸引子，并随着p增加或减少，系统进入了二倍周期运动进而到达混沌。此时右图为当 p = 0.18 的时间序列图。
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user: 3. 四阶Runge-Kutta算法理论过程及仿真计算 图4. 算法实现 四阶Runge-Kutta方法算法如下： 1) 输入 a ， b 区间等分数n，初值 y 0 。2) 导出 y ( x ) 在x的n个点处近似解析值y。3) 设置 h = b − a n ， k = 0 ， x = a ， y = y 0 。4) 计算 K 1 = f ( x ， y ) ， K 2 = f ( x + h 2 ， y + h 2 K 1 ) ， K 3 = f ( x + h 2 ， y + h 2 K 2 ) ， K 4 = f ( x + h ， y + h K 3 ) ，置 y + h 6 ( K 1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 ) ⇒ y ， x + h ⇒ x ，输出(见图4)。 对于Duffing方程的初值问题一般采用Runge-Kutta法计算，在Matlab中具体用其命令来解决初值问题，步骤如下： ① 通过实际工程模型规律，依据相关公式和定理得出相应微分方程和对应的初始条件。 ② 运用相关数值变量替换，将高阶的方程变为一阶的微分方程组，并写出相应初始值。 ③ 编写M文件，调整命令数据，运行得到指定区间的数值解。 对于系统(2)而言，其线性化方程为： y ′ 1 = y 2 y ′ 2 = − m y 1 + 3 n x 1 2 y 1 − 2 μ α y 2 (9) 令 A = ( 0 1 − m − 2 μ α ) ， F ( t ) = ( 0 0 − 3 n x 1 2 0 ) ， Y = ( y 1 y 2 ) 方程(9)变为： Y ′ = [ A + F ( t ) ] ⋅ Y (10) 此时最大的Lyapunov指数为： λ = lim x → ∞ 1 t log ‖ Y ( t ) Y ( 0 ) ‖ ， ‖ Y ( t ) ‖ = y 1 2 + y 2 2 (11) 现令 s i = y i M ， i = 1 ， 2 ， M = ‖ Y ‖ = y 1 2 + y 2 2 实际计算时，步长设为 Δ t ，则上式化为： λ = lim N → ∞ 1 N Δ t ∑ i = 1 N ∫ t i − 1 t i M ′ ( τ ) M ( τ ) d τ (12) 然后利用四阶Runge-Kutta算法求解方程(2)、(9)即可以得出 λ 的值。 图5. 系统的最大Lyapunov指数 例如，我们模拟参数 Ω = 0.7 ， μ f = 0.1 ， μ α = 0.15 时得到系统最大Lyapunov指数、相图和时间序列图，如图5、图6所示，其中 λ 值为正，系统存在混沌现象。 图6. 当 Ω = 0.7 ，   μ f = 0.1 ，   μ α = 0.15 时，系统相图和时间序列图
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user: 4. 周期激励的振幅对Duffing系统的影响 考虑非线性Duffing方程(2)，不妨固定外激励频率 Ω = 0.135 ，且 m ， n 设置相应参数。对于一对给定的参数 μ α = k 1 和 μ f = k 2 ，系统存在着多种周期吸引子和混沌吸引子，因此初始条件的取值或 k 1 ， k 2 参数的微小变化，会使得Duffing方程(2)的近似解在不同吸引子之间相互转换；故先固定阻尼值，研究周期激励振幅 k 2 对Duffing系统混沌的影响。 设阻尼参数 k 1 = 0.15 ，系统周期激励振幅值 k 2 在区间 [ 0.01 ， 1.5 ] 内分布取值，并考虑初始状态 x 0 = − 0.01 ， y 0 = 0.01 时，分别选取参数 k 2 = 0.01 ， k 2 = 0.35 ， k 2 = 0.75 ， k 2 = 1.35 ，用四阶Runge-Kutta算法，Matlab程序来进行数值模拟，分别作出系统时间序列图和相图，并计算相应的最大Lyapunov指数。由时间序列图知，在阻尼参数不变的情况下，系统由不稳定的平衡点状态快速运动到左支的稳定状态，然后又回到不稳定平衡点，并向右支的稳定状态快速运动，再回到不稳定平衡点。即当 k 1 取较小值时，随着 k 2 值的增加，不动点由初始平衡态逐渐向左右两个吸引集运动，运动轨迹在 [ − 3 ， 3 ] 之间来回运动。 如图7(a)、图7(b)中相图所示，我们发现当 k 2 = 0.01 ， k 2 = 0.35 时，有两个共存的混沌吸引子，且通过计算发现当 k 2 = 0.01 时对应的最大Lyapunov指数 λ = 0.798791 ，即 λ 为正值，这表明该系统是混沌的。保持其它各参数不变，缓慢增大振幅值 k 2 ，研究表明它对于系统混沌状态的影响不大，如图7(c)，当 k 2 = 0.75 或者 k 2 = 1.35 时，仍然有两个共存的混沌吸引子，这可以通过计算最大Lyapunov指数为正得到验证，且状态大致相同，这表明在考虑各参数不变的前提下，随着系统周期激励的振幅 k 2 缓慢增大，该Duffing系统混沌状态变化不明显，这也可从轨线运动范围和由平衡态进入左右两支的稳定态的时间周期得出。 图7. (a)、(b)系统在 k 2 = 0.01 ，   k 2 = 0.35 时相图和时间序列图，(c)表示系统在 k 2 = 0.01 ，   k 2 = 0.35 时的相图
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user: 5. 阻尼项对Duffing系统的影响 现研究阻尼值 k 1 变化对Duffing系统的影响。设振幅参数 k 2 = 0.1 ，保持初始状态和其它参数不变，分别取 k 1 = 0.01 ，   k 1 = 0.05 ，   k 1 = 0.15 ，   k 1 = 0.5 ，作出系统时间序列图和相图。 由图知随着阻尼参数 k 1 的增加，可观察相应的混沌状态。如图8(a)~(c)所示，当 k 1 = 0.01 系统存在混沌吸引子，做随机不规则运动，随 k 1 的缓慢增大，系统在混沌状态下逐渐出现两个共存的混沌吸引子，而当 k 1 逐渐增加到0.5时，共存的混沌吸引子会分离，出现单独右支的情况，如图8(d)所示。 而将 k 1 继续增大，分别取 k 1 = 1.2 ，   k 1 = 4.5 ，   k 1 = 20 ，我们发现，系统由混沌吸引子逐渐向周期吸引子跃迁，随机不规则运动变为周期运动。如图9(a)、图9(b)，当 k 1 = 1.2 时，计算最大Lyapunov指数 λ = 0.417286 ，表明此时仍为混沌状态，而当 k 1 = 4.5 时， λ = − 0.812504 将不再为正，吸引子在平衡点左侧会变为一个封闭轨线。如图9(c)所示， k 1 = 20 时，系统轨线呈现出由平衡点出发作多轨运动并回到平衡点，此时 λ = − 0.006227 。因此，研究表明随着阻尼项的增大，系统混沌行为将发生显著变化，混沌状态将逐渐消失。 图8. (a)、(b)、(c)、(d)表示 k 1 = 0.01 ，   k 1 = 0.05 ，   k 1 = 0.15 ，   k 1 = 0.5 时系统相图和时间序列图 图9. (a)、(b)、(c)分别表示当 k 1 = 1.2 ，   k 1 = 4.5 ，   k 1 = 20 时系统相图和时间序列图
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user: 6. 周期激励的频率对Duffing系统的影响 现研究外激励频率 Ω 对Duffing系统的影响。当系统的外激励频率远小于固有频率，即 Ω ≪ α 时，系统存在多时间尺度，会表现出一些复杂的快慢效应。 (c) 图11. (a)、(b)、(c)分别表示当 Ω = 0.1355 ，   Ω = 0.08 ，   Ω = 0.05 时相图和时间序列图
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user: 7. 结论 通过分析三个参数项对这类非线性Duffing系统混沌产生的影响，我们发现，周期激励的振幅、频率或阻尼参数的改变可能导致不同的动态行为。根据四阶Runge-Kutta算法理论及相应数值模拟等研究系统产生混沌的趋势，说明这些参数的扰动会影响其状态，如振幅的改变对系统无明显影响，这可从相关实验数据得出，而随阻尼参数的增大，系统混沌行为将发生显著变化，混沌状态将逐渐消失形成周期运动。此外，对于周期激励频率的影响而言，它也可由数值模拟的相图、时间序列图及最大Lyapunov指数等相关数据表明，随着频率的增加，系统由单独左支的混沌吸引子变为左右两支共存的混沌吸引子，而将频率减小时又会由两混沌吸引子共存状态还原到单独左支情况，然后继续变为两支共存，虽然都经过了相同状态，但前后变化不完全相同。因此选择不同参数，可使系统从有序的周期解转变为混沌，也可以由混沌转变为有序态。一般来说选取较小的扰动变化来实现混沌控制，这在实际工程模型中应用较多，使操作方便简单。在非线性系统的相关研究 [ 18 ] [ 19 ] 中，通过控制其相关参数来研究系统混沌机理具有十分重要的学术意义。