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user: 4. 计算 ∇ 2 A → ∇ 2 A → 用抽象指标可表示为 ∇ a ∇ a A b ，则： ∇ 2 A → = ∇ a ∇ a A b = g c a ∇ c ∇ a A b (31) = g c a [ ∂ c ( ∇ a A b ) + Γ c d b ∇ a A d − Γ c a d ∇ d A d ] = g c a { ∂ c ( ∂ a A b + Γ a d b A d ) + Γ c d b ( ∂ a A d + Γ a e d A e ) − Γ c a d ( ∂ d A b + Γ d e b A e ) } = g c a ∂ c ∂ a A b + g c a ∂ c ( Γ a d b ) A d + g c a Γ a d b ∂ c A d + g c a Γ c d b ∂ a A d + g c a Γ c d b Γ a e d A e − g c a Γ c a d ∂ d A b − g c a Γ c a d Γ d e b A e (32) (31)式用曲线正交坐标基底 ( ∂ ∂ u i ) a 展开为： ∇ 2 A → = g c a ∇ c ∇ a A b = C 1 ( ∂ ∂ u 1 ) b + C 2 ( ∂ ∂ u 2 ) b + C 3 ( ∂ ∂ u 3 ) b (33) 其中： C 1 = g c a ∇ c ∇ a A b ( d u 1 ) b C 2 = g c a ∇ c ∇ a A b ( d u 2 ) b C 3 = g c a ∇ c ∇ a A b ( d u 3 ) b (34) 利用正交归一基底和坐标基底的关系(17)式，(31)式可用曲线正交坐标系的正交归一基底展开为： ∇ 2 A → = g c a ∇ c ∇ a A b = C 1 h 1 ( e 1 ) b + C 2 h 2 ( e 2 ) b + C 3 h 3 ( e 3 ) b (35) 下面我们求 C 1 h 1 。 C 1 h 1 = g c a ∇ c ∇ a A b ( d u 1 ) b = h 1 g c a ∂ c ∂ a A b ( d u 1 ) b + h 1 g c a ∂ c ( Γ a d b ) A d ( d u 1 ) b + h 1 g c a Γ a d b ∂ c A d ( d u 1 ) b     + h 1 g c a Γ c d b ∂ a A d ( d u 1 ) b + h 1 g c a Γ c d b Γ a e d A e ( d u 1 ) b − h 1 g c a Γ c a d ∂ d A b ( d u 1 ) b     − h 1 g c a Γ c a d Γ d e b A e ( d u 1 ) b (36) 上式第二个等号用了(32)式。我们以(36)式第二个等号后的第二项的计算为例。 h 1 g c a ∂ c ( Γ a d b ) A d ( d u 1 ) b = h 1 g i j ∂ i ( Γ j d 1 ) A d = h 1 g 11 ∂ 1 ( Γ 1 d 1 ) A d + h 1 g 22 ∂ 2 ( Γ 2 d 1 ) A d + h 1 g 33 ∂ 3 ( Γ 3 d 1 ) A d = h 1 g 11 ∂ 1 ( Γ 11 1 ) A 1 h 1 + h 1 g 11 ∂ 1 ( Γ 12 1 ) A 2 h 2 + h 1 g 11 ∂ 1 ( Γ 13 1 ) A 3 h 3 + h 1 g 22 ∂ 2 ( Γ 21 1 ) A 1 h 1 + h 1 g 22 ∂ 2 ( Γ 22 1 ) A 2 h 2 + h 1 g 33 ∂ 2 ( Γ 23 1 ) A 3 h 3 + h 1 g 33 ∂ 3 ( Γ 31 1 ) A 1 h 1 + h 1 g 33 ∂ 3 ( Γ 32 1 ) A 2 h 2 + h 1 g 33 ∂ 3 ( Γ 33 1 ) A 3 h 3 (37) 同样的办法求出(36)式中剩下的6项，即可求得 (35)式中 ( e 1 ) b 前的系数： C 1 h 1 = A 1 ( − 1 ) { ( ∂ 3 h 1 ) 2 h 1 2 h 3 2 + ( ∂ 2 h 1 ) 2 h 1 2 h 2 2 + ( ∂ 1 h 2 ) 2 h 1 2 h 2 2 + ( ∂ 1 h 3 ) 2 h 1 2 h 3 2 }   + ∂ 1 A 1 [ − ∂ 1 h 1 h 1 3 + ∂ 1 h 2 h 1 2 h 2 + ∂ 1 h 3 h 1 2 h 3 ] + ∂ 2 A 1 [ ∂ 2 h 1 h 1 h 2 2 − ∂ 2 h 2 h 2 3 + ∂ 2 h 3 h 2 2 h 3 ]   + ∂ 3 A 1 [ ∂ 3 h 1 h 1 h 3 2 − ∂ 3 h 3 h 3 3 + ∂ 3 h 2 h 2 h 3 2 ] + ∂ 1 ∂ 1 A 1 1 h 1 2 + ∂ 2 ∂ 2 A 1 1 h 2 2 + ∂ 3 ∂ 3 A 1 1 h 3 2   + A 2 [ − ∂ 2 h 1 ∂ 1 h 1 h 1 3 h 2 + ∂ 2 h 2 ∂ 1 h 2 h 1 h 2 3 − ∂ 2 h 3 ∂ 1 h 2 h 1 h 2 2 h 3 + ∂ 2 h 1 ∂ 1 h 3 h 1 2 h 2 h 3 − ∂ 2 h 3 ∂ 1 h 3 h 1 h 2 h 3 2 + ∂ 1 ∂ 2 h 1 h 1 2 h 2 − ∂ 1 ∂ 2 h 2 h 1 h 2 2 ]   + ∂ 1 A 2 2 ∂ 2 h 1 h 1 2 h 2 − ∂ 2 A 2 2 ∂ 1 h 2 h 1 h 2 2 + ∂ 1 A 3 2 ∂ 3 h 1 h 1 2 h 3 − ∂ 3 A 3 2 ∂ 1 h 3 h 1 h 3 2   + A 3 [ − ∂ 3 h 1 ∂ 1 h 1 h 1 3 h 3 + ∂ 3 h 1 ∂ 1 h 2 h 1 2 h 2 h 3 − ∂ 3 h 2 ∂ 1 h 2 h 1 h 2 2 h 3 − ∂ 3 h 2 ∂ 1 h 3 h 1 h 2 h 3 2 + ∂ 3 h 3 ∂ 1 h 3 h 1 h 3 3 + ∂ 1 ∂ 3 h 1 h 1 2 h 3 − ∂ 1 ∂ 3 h 3 h 1 h 3 2 ] (38) 根据对称性，把(38)式利用指标轮换( 1 → 2 ，   2 → 3 ，   3 → 1 )即可直接写出 ( e 2 ) b 前的系数： C 2 h 2 = A 2 ( − 1 ) { ( ∂ 1 h 2 ) 2 h 2 2 h 1 2 + ( ∂ 3 h 2 ) 2 h 2 2 h 3 2 + ( ∂ 2 h 3 ) 2 h 2 2 h 3 2 + ( ∂ 2 h 1 ) 2 h 2 2 h 1 2 }   + ∂ 2 A 2 [ − ∂ 2 h 2 h 2 3 + ∂ 2 h 3 h 2 2 h 3 + ∂ 2 h 1 h 2 2 h 1 ] + ∂ 3 A 2 [ ∂ 3 h 2 h 2 h 3 2 − ∂ 3 h 3 h 3 3 + ∂ 3 h 1 h 3 2 h 1 ]   + ∂ 1 A 2 [ ∂ 1 h 2 h 2 h 1 2 − ∂ 1 h 1 h 1 3 + ∂ 1 h 3 h 3 h 1 2 ] + ∂ 2 ∂ 2 A 2 1 h 2 2 + ∂ 3 ∂ 3 A 2 1 h 3 2 + ∂ 1 ∂ 1 A 2 1 h 1 2   + A 3 [ − ∂ 3 h 2 ∂ 2 h 2 h 2 3 h 3 + ∂ 3 h 3 ∂ 2 h 3 h 2 h 3 3 − ∂ 3 h 1 ∂ 2 h 3 h 2 h 3 2 h 1 + ∂ 3 h 2 ∂ 2 h 1 h 2 2 h 3 h 1 − ∂ 3 h 1 ∂ 2 h 1 h 2 h 3 h 1 2 + ∂ 2 ∂ 3 h 2 h 2 2 h 3 − ∂ 2 ∂ 3 h 3 h 2 h 3 2 ]   + ∂ 2 A 3 2 ∂ 3 h 2 h 2 2 h 3 − ∂ 3 A 3 2 ∂ 2 h 3 h 2 h 3 2 + ∂ 2 A 1 2 ∂ 1 h 2 h 2 2 h 1 − ∂ 1 A 1 2 ∂ 2 h 1 h 2 h 1 2   + A 1 [ − ∂ 1 h 2 ∂ 2 h 2 h 2 3 h 1 + ∂ 1 h 2 ∂ 2 h 3 h 2 2 h 3 h 1 − ∂ 1 h 3 ∂ 2 h 3 h 2 h 3 2 h 1 − ∂ 1 h 3 ∂ 2 h 1 h 2 h 3 h 1 2 + ∂ 1 h 1 ∂ 2 h 1 h 2 h 1 3 + ∂ 2 ∂ 1 h 2 h 2 2 h 1 − ∂ 2 ∂ 1 h 1 h 2 h 1 2 ] (39) 同理把(39)式利用指标轮换( 1 → 2 ，   2 → 3 ，   3 → 1 )可直接写出 ( e 3 ) b 前的系数： C 3 h 3 = A 3 ( − 1 ) { ( ∂ 2 h 3 ) 2 h 3 2 h 2 2 + ( ∂ 1 h 3 ) 2 h 3 2 h 1 2 + ( ∂ 3 h 1 ) 2 h 3 2 h 1 2 + ( ∂ 3 h 2 ) 2 h 3 2 h 2 2 }   + ∂ 3 A 3 [ − ∂ 3 h 3 h 3 3 + ∂ 3 h 1 h 3 2 h 1 + ∂ 3 h 2 h 3 2 h 2 ] + ∂ 1 A 3 [ ∂ 1 h 3 h 3 h 1 2 − ∂ 1 h 1 h 1 3 + ∂ 1 h 2 h 1 2 h 2 ]   + ∂ 2 A 3 [ ∂ 2 h 3 h 3 h 2 2 − ∂ 2 h 2 h 2 3 + ∂ 2 h 1 h 1 h 2 2 ] + ∂ 3 ∂ 3 A 3 1 h 3 2 + ∂ 1 ∂ 1 A 3 1 h 1 2 + ∂ 2 ∂ 2 A 3 1 h 2 2   + A 1 [ − ∂ 1 h 3 ∂ 3 h 3 h 3 3 h 1 + ∂ 1 h 1 ∂ 3 h 1 h 3 h 1 3 − ∂ 1 h 2 ∂ 3 h 1 h 3 h 1 2 h 2 + ∂ 1 h 3 ∂ 3 h 2 h 3 2 h 1 h 2 − ∂ 1 h 2 ∂ 3 h 2 h 3 h 1 h 2 2 + ∂ 3 ∂ 1 h 3 h 3 2 h 1 − ∂ 3 ∂ 1 h 1 h 3 h 1 2 ]   + ∂ 3 A 1 2 ∂ 1 h 3 h 3 2 h 1 − ∂ 1 A 1 2 ∂ 3 h 1 h 3 h 1 2 + ∂ 3 A 2 2 ∂ 2 h 3 h 3 2 h 2 − ∂ 2 A 2 2 ∂ 3 h 2 h 3 h 2 2   + A 2 [ − ∂ 2 h 3 ∂ 3 h 3 h 3 3 h 2 + ∂ 2 h 3 ∂ 3 h 1 h 3 2 h 1 h 2 − ∂ 2 h 1 ∂ 3 h 1 h 3 h 1 2 h 2 − ∂ 2 h 1 ∂ 3 h 2 h 3 h 1 h 2 2 + ∂ 2 h 2 ∂ 3 h 2 h 3 h 2 3 + ∂ 3 ∂ 2 h 3 h 3 2 h 2 − ∂ 3 ∂ 2 h 2 h 3 h 2 2 ] (40) 最后把(38)式、(39)式、(40)式带入(35)式就得到了曲线正交坐标系下 ∇ 2 A → 的一般表达式。需要说明的是， ∇ 2 A → 在正交曲线坐标系的一般表达式在题解 [ 3 ] 中附录部分不加证明地直接给出。题解 [ 3 ] 给出的是相对紧凑的形式，而我们给出的是完全展开的形式，简单计算容易发现两个结果是一样的。 下面我们给出 ∇ 2 A → 在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的具体表达式。 1) 直角坐标系 u 1 = x ， u 2 = y ， u 3 = z h 1 = 1 ， h 2 = 1 ， h 3 = 1 ∇ 2 A → = ∇ 2 A 1 e → x + ∇ 2 A 2 e → y + ∇ 2 A 3 e → z (41) 2) 柱坐标系 u 1 = r ， u 2 = ϕ ， u 3 = z h 1 = 1 ， h 2 = r ， h 3 = 1 ∇ 2 A → = ( − A 1 r 2 + ∂ 1 A 1 1 r + ∂ 1 ∂ 1 A 1 + ∂ 2 ∂ 2 A 1 1 r 2 + ∂ 3 ∂ 3 A 1 − ∂ 2 A 2 2 r 2 ) e → r + ( 1 r ∂ 1 A 2 + ∂ 1 ∂ 1 A 2 + ∂ 2 ∂ 2 A 2 1 r 2 + ∂ 3 ∂ 3 A 2 − A 2 r 2 + 2 r 2 ∂ 2 A 1 ) e → ϕ + ( 1 r ∂ 1 A 3 + ∂ 1 ∂ 1 A 3 + ∂ 2 ∂ 2 A 3 1 r 2 + ∂ 3 ∂ 3 A 3 ) e → z (42) 3) 球坐标系下 u 1 = r ， u 2 = θ ， u 3 = ϕ h 1 = 1 ， h 2 = r ， h 3 = r sin θ ∇ 2 A → = [ − 2 r 2 A 1 + ∂ 1 A 1 2 r + ∂ 2 A 1 cos θ r 2 sin θ + ∂ 1 ∂ 1 A 1 + ∂ 2 ∂ 2 A 1 1 r 2 + ∂ 3 ∂ 3 A 1 1 r 2 ( sin θ ) 2     − A 2 2 cos θ r 2 sin θ − ∂ 2 A 2 2 r 2 − ∂ 3 A 3 2 r 2 sin θ ] e → r     + [ − 1 r 2 ( sin θ ) 2 A 2 + ∂ 2 A 2 cos θ r 2 sin θ + ∂ 1 A 2 2 r + ∂ 2 ∂ 2 A 2 1 r 2 + ∂ 3 ∂ 3 A 2 1 r 2 ( sin θ ) 2     + ∂ 1 ∂ 1 A 2 − ∂ 3 A 3 2 cos θ r 2 ( sin θ ) 2 + ∂ 2 A 1 2 r 2 ] e → θ     + [ − 1 r 2 ( sin θ ) 2 A 3 + ∂ 1 A 3 2 r + ∂ 2 A 3 cos θ r 2 sin θ + ∂ 3 ∂ 3 A 3 1 r 2 ( sin θ ) 2 + ∂ 1 ∂ 1 A 3     + ∂ 2 ∂ 2 A 3 1 r 2 + ∂ 3 A 1 2 r 2 sin θ + ∂ 3 A 2 2 cos θ r 2 ( sin θ ) 2 ] e → ϕ (43) 这样我们就得到了曲线正交坐标系下 ∇ → A → 与 ∇ 2 A → 在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的具体表达式。有兴趣的读者可以照着上面的步骤得出其它曲线正交坐标系下 ∇ → A → 与 ∇ 2 A → 的具体表达式。下面我们给出椭球坐标系与直角坐标系的变换关系， x = r 2 + a 2 sin θ cos ϕ ， y = r 2 + a 2 sin θ sin ϕ ， z = r cos θ (44) 请读者朋友自己完成。