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user: 2. 模型的建立 2.1. 做市商机制下的市场分数和市场出清价格 本文遵从Brock and Hommes (1997， 1998)的分析框架，考虑一个带有一种风险资产和一种无风险资产的金融市场模型，假定风险资产的弹性总收益为R = 1 + r/K，r表示无风险资产的年利率，K表示年交易频次，一般地，K = 1， 12， 52， 250。本文以金融市场的日收盘价为研究对象，所以K = 250。 记 p t 为t时点风险资产的每股价格(不包括红利)， { D t } 为随机分红过程，则t + 1时h类投资者财富为 W h ， t + 1 = R W h ， t + [ p t + 1 + D t + 1 − R P t ] z h ， t ， (2.1) 这里， W h ， t 和 z h ， t 分别表示h类投资者t时点的财富和风险资产持仓量， E h ， t 和 V h ， t 分别表示基于t时点信息集下h类投资者t + 1时点的条件期望和方差，另 R t + 1 表示t + 1时点的每股超额收益，即 R t + 1 = P t + 1 + D t + 1 − R P t . (2.2) 因此2.1和2.2式可以写为 E h ， t ( W t + 1 ) = R W t + E h ， t ( R t + 1 ) z h ， t ，     V h ， t ( W t + 1 ) = z h ， t 2 V h ， t ( R t + 1 ) . (2.3) 假定市场中h类交易者有相同的风险厌恶效用函数为 U h ( W ) = − e − a h W ，其中 a h 为h类交易者的风险厌恶系数，依据期望效用最大化，h类投资者对风险资产的需求总和为： z h ， t = E h ， t ( R t + 1 ) a h V h ， t ( R t + 1 ) . (2.4) 考虑到投资者的异质性和信息的不对称性，我们假定市场中仅存在两类交易者，基本面者和图表分析者。假定基本面者和图表分析者的市场分数分别为 n 1 和 n 2 ，风险厌恶系数为 a 1 和 a 2 ，令 m = n 1 − n 2 ∈ [ − 1 ， 1 ] 。假定外部供应为零，依据式(2.4)，投资者的总额外需求为 z e ， t ≡ n 1 z 1 ， t + n 2 z 2 ， t = 1 + m 2 E 1 ， t [ R t + 1 ] a 1 V 1 ， t [ R t + 1 ] + 1 − m 2 E 2 ， t [ R t + 1 ] a 2 V 2 ， t [ R t + 1 ] . (2.5) 本文运用的是做市商机制，令 μ 表示做市商的价格调整速度，为了表示突来的市场信息或者噪声者的投机行为，我们引入噪声需求 δ t ˜ ， δ t ˜ ∼ N ( 0 ， σ δ 2 ) ，基于上述假设，市场价格如下： P t + 1 = P t + μ z e ， t + δ t ˜ . 结合(2.5)式，整理为 P t + 1 = P t + μ 2 [ ( 1 + m ) E 1 ， t [ R t + 1 ] a 1 V 1 ， t [ R t + 1 ] + ( 1 − m ) E 2 ， t [ R t + 1 ] a 2 V 2 ， t [ R t + 1 ] ] + δ t ˜ . (2.6) 2.2. 基本面者 定义 F t = { P t ， P t − 1 ， ⋯ ， D t ， D t − 1 ， ⋯ } 为t时点的一般信息集，我们假定，除一般信息集之外，基本面者对风险资产基础价值 P t ∗ 有额外信息，假设其服从平稳随机游走过程 P t + 1 ∗ = P t ∗ [ 1 + σ ε ε t ˜ ] ，     ε t ˜ ∼ N ( 0 ， 1 ) ，   σ ε ≥ 0 ，   P 0 ∗ = P ¯ > 0. (2.7) ε t ˜ 与噪声需求 δ t ˜ 相互独立，这种模式设定确保厚尾和波动聚集现象不是由基础价值过程产生的。因此，在后面的讨论中，任何风险资产自相关结构的出现将是由交易过程自身产生的。 对基本面者来说，因为他们也意识到了非基本面交易者的存在，例如下面要讨论的趋势追随者，所以他们认为即使股票价格短期会偏离基础价值，但长期来看，最终会收敛到基础价值。我们假定基本面者的条件均值和方差是 E 1 ， t ( P t + 1 ) = P t + α ( P t + 1 ∗ − P t ) ，     V 1 ， t ( P t + 1 ) = σ 1 2 . (2.8) 这里 σ 1 2 是恒定不变的，参数 α ∈ [ 0 ， 1 ] 表示价格向基础价值回归的速度，衡量了基本面者对基础价值的依赖程度。等式表明，基本面者的预期价格是基础价值和最新市场价格的加权平均。 2.3. 趋势追随者 不同于基本面者，趋势追随者是技术型交易者，他们相信未来价格可由不同的模式或者历史价格形成的趋势预测得到，假定趋势追随者通过长期样本平均推断最新价格变化，并且调整他们的方差估计，确切来说，假定他们的条件均值和方差是 E 2 ， t ( P t + 1 ) = P t + γ ( P t − u t ) ，     V 2 ， t ( P t + 1 ) = σ 1 2 + b 2 V t . (2.9) 这里 γ ， b 2 ≥ 0 是常数， u t 和 v t 是样本均值和方差，他们分别服从某些认知过程，参数 γ 是外推率，参数 γ 的大小反映了趋势追随者外推的强弱，系数 b 2 表示样本方差对条件方差的影响。有多种认知过程可以估计样本均值 u t 和样本方差 v t ，本文假设 u t = δ u t − 1 + ( 1 − δ ) p t ， (2.10) v t = δ v t − 1 + δ ( 1 − δ ) ( P t − u t − 1 ) 2 ， (2.11) δ ∈ [ 0 ， 1 ] 是常数，当记忆滞后长度趋于无穷大时，样本期望和方差是个几何衰减受限过程。从根本上说，几何衰减概率过程 ( 1 − δ ) { 1 ， δ ， δ 2 ， ⋯ } 与历史价格 { P t ， P t − 1 ， P t − 2 ， ⋯ } 是相关联的。参数 δ 是几何衰减率。选择这个过程有两点原因：第一，估计样本均值和方差时，交易者倾向于对当前价格附以很大权重，对以前或者更早的价格附以很小的权重；第二，我们相信几何衰减过程可能有确定的自相关结构，甚至是在真实金融市场观察到的长记忆特征，另外，它也有数学处理的优势。 2.4. 完整的随机模型 为了简化计算，我们假设随机红利过程 D t 服从正态分布 D t ∼ N ( D ¯ ， σ D 2 ) ，预测长期基础价格为 P ¯ = D ¯ / ( R − 1 ) ，价格和红利的无条件方差联系为 σ D 2 = q σ 1 2 ，基于式(2.8)~(2.9)，有 E 1 ， t ( R t + 1 ) = P t + α ( P t + 1 ∗ − P t ) + D ¯ − R P t = α ( P t + 1 ∗ − P t ) − ( R − 1 ) ( P t − P ¯ ) ， V 1 ， t ( R t + 1 ) = ( 1 + q ) σ 1 2 . 因此，基本面者的最优需求为 z 1 ， t = 1 a 1 ( 1 + q ) σ 1 2 [ α ( P t + 1 ∗ − P t ) − ( R − 1 ) ( P t − P ¯ ) ] . (2.12) 特别的，当 P t ∗ = P ¯ ， z 1 ， t = ( α + R − 1 ) ( P ¯ − P t ) a 1 ( 1 + q ) σ 1 2 . (2.13) 同样，基于(2.9)式(应用 D ¯ = ( R − 1 ) P ¯ )，有 E 2 ， t ( R t + 1 ) = P t + γ ( P t − u t ) + D ¯ − R P t = γ ( P t − u t ) − ( R − 1 ) ( P t − P ¯ ) ， V 2 ， t ( R t + 1 ) = σ 1 2 ( 1 + q + b v t ) ， 这里， b = b 2 / σ 1 2 。因此，趋势追随者的最优需求为 z 2 ， t = γ ( P t − u t ) − ( R − 1 ) ( P t − P ¯ ) a 2 σ 1 2 ( 1 + q + b v t ) . (2.14) 将式(2.12)和(2.14)带入式(2.6)，我们得到在做市商机制下的价格动力系统，一个4维随机差分系统(SDS)： { P t + 1 = P t + μ 2 [ 1 + m a 1 ( 1 + q ) σ 1 2 [ α ( P t + 1 ∗ − P t ) − ( R − 1 ) ( P t − P ¯ ) ] + ( 1 − m ) γ ( P t − u t ) − ( R − 1 ) ( P t − P ¯ ) a 2 σ 1 2 ( 1 + q + b v t ) ] + δ t ˜ ， u t = δ u t + 1 + ( 1 − δ ) P t ， v t = δ v t − 1 + δ ( 1 − δ ) ( P t − u t − 1 ) 2 ， P t + 1 ∗ = P t ∗ [ 1 + σ ε ε t ˜ ] . (2.15)