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user: 3. 广义变系数Kdv-Burgers方程的解 下面用此方法来求解广义变系数Kdv-Burgers方程的三孤子解，通过齐次平衡法[ 7 ]平衡方程(2)中的 u u x 和 u x x x ，有 n = 2 ，为了简化计算，假设方程(2)有如下形式的解： u ( x ， t ) = a 0 ( t ) + a 1 ( t ) ϕ ( ξ ) + a 2 ( t ) G ′ ( θ ) G ( θ ) + a 3 ( t ) F ′ ( η ) F ( η ) (8) 借助辅助微分方程(5)、(6)和(7)，将方程(8)代入到方程(2)中，此时，通过计算可得到一组关于 ϕ i ( ξ ) ( G ′ ( θ ) G ( θ ) ) j ( F ′ ( η ) F ( η ) ) j ( i ， j ， l = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ) 的多项式，令每一项幂系数为零，得到一个关于 a 0 ( t ) ， a 1 ( t ) ， a 2 ( t ) ， a 3 ( t ) ， λ 1 ( t ) ， λ 2 ( t ) ， λ 3 ( t ) ， k 1 ， k 2 和 k 3 的线性方程组，借助Maple求解此方程组，可得到： k 1 = k 1 ， k 2 = k 2 ， k 3 = k 3 α ( t ) = α ( t ) ， β ( t ) = β ( t ) ， γ ( t ) = γ (t) a 0 ( t ) = a 0 ( t ) ， a 1 ( t ) = − a 3 ( t ) k 3 Q k 1 A ， a 2 ( t ) = a 3 ( t ) k 3 k 2 ， a 3 ( t ) = a 3 ( t ) (9) λ 1 ( t ) = C 1 ， λ 2 ( t ) = C 2 ， λ 3 ( t ) = C 3 将式(9)代入到式(8)中，从而得到广义变系数Kdv-Burgers方程的如下形式的解： 情形1：当 Δ > 0 且 Δ 1 > 0 时，方程(2)有如下形式的解： (1.1)当 R ≠ 0 ， Δ 3 ≥ 0 时： u 1.1 ( x ， t ) = a 0 ( t ) − a 3 ( t ) k 3 Q k 1 A ( B + Δ 2 C tanh ( Δ 2 ξ ) )     + a 3 ( t ) k 3 k 2 ( − λ 2 + Δ 1 2 c 1 sinh ( Δ 1 2 θ ) + c 2 cosh ( Δ 1 2 θ ) c 2 sinh ( Δ 1 2 θ ) + c 1 cosh ( Δ 1 2 θ ) )     + a 3 ( t ) ( R 2 ( 1 − P ) + R Δ 3 2 ( 1 − P ) c 3 exp ( Δ 3 2 η ) + c 4 exp ( − Δ 3 2 η ) c 3 exp ( Δ 3 2 η ) − c 4 exp ( − Δ 3 2 η ) ) (10) 此时 u 1.1 ( x ， t ) 为变系数Kdv-Burgers方程的双曲函数与指数函数混合形式解。 注：当 c 1 ， c 2 为非零常数且满足如下关系时，可得到 u 1.1 ( x ， t ) 有如下形式的解： (1.1.1)当 c 2 2 > c 1 2 ， cosh ( β ) = c 2 c 2 2 − c 1 2 ， sinh ( β ) = c 1 c 2 2 − c 1 2 时： u 1.1.1 ( x ， t ) = a 0 ( t ) − a 3 ( t ) k 3 Q k 1 A ( B + Δ 2 C tanh ( Δ 2 ξ ) )     + a 3 ( t ) k 3 k 2 ( − λ 2 + Δ 1 2 coth ( Δ 1 2 θ + β ) )     + a 3 ( t ) ( R 2 ( 1 − P ) + R Δ 3 2 ( 1 − P ) c 3 exp ( Δ 3 2 η ) + c 4 exp ( − Δ 3 2 η ) c 3 exp ( Δ 3 2 η ) − c 4 exp ( − Δ 3 2 η ) ) (11) (1.1.2)当 c 2 2 < c 1 2 ， cosh ( β ) = c 1 c 1 2 − c 2 2 ， sinh ( β ) = c 2 c 1 2 − c 2 2 时： u 1.1.2 ( x ， t ) = a 0 ( t ) − a 3 ( t ) k 3 Q k 1 A ( B + Δ 2 C tanh ( Δ 2 ξ ) )     + a 3 ( t ) k 3 k 2 ( − λ 2 + Δ 1 2 tanh ( Δ 1 2 θ + β ) )     + a 3 ( t ) ( R 2 ( 1 − P ) + R Δ 3 2 ( 1 − P ) c 3 exp ( Δ 3 2 η ) + c 4 exp ( − Δ 3 2 η ) c 3 exp ( Δ 3 2 η ) − c 4 exp ( − Δ 3 2 η ) ) (12) (1.1.3)当 c 2 = 0 ， c 1 ≠ 0 ， λ > 0 ， μ = 0 时： u 1.1.3 ( x ， t ) = a 0 ( t ) − a 3 ( t ) k 3 Q k 1 A ( B + Δ 2 C tanh ( Δ 2 ξ ) )     + a 3 ( t ) k 3 k 2 ( − λ 2 + λ 2 tanh ( λ 2 θ ) )     + a 3 ( t ) ( R 2 ( 1 − P ) + R Δ 3 2 ( 1 − P ) c 3 exp ( Δ 3 2 η ) + c 4 exp ( − Δ 3 2 η ) c 3 exp ( Δ 3 2 η ) − c 4 exp ( − Δ 3 2 η ) ) (13) (1.1.4)当 c 1 = 0 ， c 2 ≠ 0 ， λ > 0 ， μ = 0 时： u 1.1.4 ( x ， t ) = a 0 ( t ) − a 3 ( t ) k 3 Q k 1 A ( B + Δ 2 C tanh ( Δ 2 ξ ) )     + a 3 ( t ) k 3 k 2 ( − λ 2 + λ 2 coth ( λ 2 θ ) )     + a 3 ( t ) ( R 2 ( 1 − P ) + R Δ 3 2 ( 1 − P ) c 3 exp ( Δ 3 2 η ) + c 4 exp ( − Δ 3 2 η ) c 3 exp ( Δ 3 2 η ) − c 4 exp ( − Δ 3 2 η ) ) (14) (1.2)当 R ≠ 0 ， Δ 3 < 0 时： u 1.2 ( x ， t ) = a 0 ( t ) − a 3 ( t ) k 3 Q k 1 A ( B + Δ 2 C tanh ( Δ 2 ξ ) )     + a 3 ( t ) k 3 k 2 ( − λ 2 + Δ 1 2 c 1 sinh ( Δ 1 2 θ ) + c 2 cosh ( Δ 1 2 θ ) c 2 sinh ( Δ 1 2 θ ) + c 1 cosh ( Δ 1 2 θ ) )     + a 3 ( t ) ( R 2 ( 1 − P ) + R − Δ 3 2 ( 1 − P ) i c 3 cos ( − Δ 3 2 η ) − c 4 sin ( − − Δ 3 2 η ) i c 3 sin ( − Δ 3 2 η ) + c 4 cos ( − − Δ 3 2 η ) ) (15) (1.3)当 R = 0 ， Δ 2 ≥ 0 时： u 1.3 ( x ， t ) = a 0 ( t ) − a 3 ( t ) k 3 Q k 1 A ( B + Δ 2 C tanh ( Δ 2 ξ ) )     + a 3 ( t ) k 3 k 2 ( − λ 2 + Δ 1 2 c 1 sinh ( Δ 1 2 θ ) + c 2 cosh ( Δ 1 2 θ ) c 2 sinh ( Δ 1 2 θ ) + c 1 cosh ( Δ 1 2 θ ) )     + a 3 ( t ) ( Δ 2 1 − P c 3 cos ( Δ 2 η ) + c 4 sin ( Δ 2 η ) c 3 sin ( Δ 2 η ) − c 4 cos ( Δ 2 η ) ) (16) (1.4)当 R = 0 ， Δ 2 < 0 时： u 1.4 ( x ， t ) = a 0 ( t ) − a 3 ( t ) k 3 Q k 1 A ( B + Δ 2 C tanh ( Δ 2 ξ ) )     + a 3 ( t ) k 3 k 2 ( − λ 2 + Δ 1 2 c 1 sinh ( Δ 1 2 θ ) + c 2 cosh ( Δ 1 2 θ ) c 2 sinh ( Δ 1 2 θ ) + c 1 cosh ( Δ 1 2 θ ) )     + a 3 ( t ) ( − Δ 2 1 − P i c 3 cosh ( − Δ 2 η ) − c 4 sinh ( − Δ 2 η ) i c 3 sinh ( − Δ 2 η ) − c 4 cosh ( − Δ 2 η ) ) (17) 情形2：当 Δ < 0 且 R = 0 ， Δ 2 ≥ 0 时，方程(2)有如下形式的解： (2.1)当 Δ 1 < 0 时： u 2.1 ( x ， t ) = a 0 ( t ) − a 3 ( t ) k 3 Q k 1 A ( B − − Δ 2 C cot ( − Δ 2 ξ ) )     + a 3 ( t ) k 3 k 2 ( − λ 2 + − Δ 1 2 − c 1 sin ( − Δ 1 2 θ ) + c 2 cos ( − Δ 1 2 θ ) c 2 sin ( − Δ 1 2 θ ) + c 1 cos ( − Δ 1 2 θ ) )     + a 3 ( t ) ( Δ 2 1 − P c 3 cos ( Δ 2 η ) + c 4 sin ( Δ 2 η ) c 3 sin ( Δ 2 η ) − c 4 cos ( Δ 2 η ) ) (18) (2.2)当 Δ 1 > 0 时： u 2.2 ( x ， t ) = a 0 ( t ) − a 3 ( t ) k 3 Q k 1 A ( B − − Δ 2 C cot ( − Δ 2 ξ ) )     + a 3 ( t ) k 3 k 2 ( − λ 2 + Δ 1 2 c 1 sinh ( Δ 1 2 θ ) + c 2 cosh ( Δ 1 2 θ ) c 2 sinh ( Δ 1 2 θ ) + c 1 cosh ( Δ 1 2 θ ) )     + a 3 ( t ) ( Δ 2 1 − P c 3 cos ( Δ 2 η ) + c 4 sin ( Δ 2 η ) c 3 sin ( Δ 2 η ) − c 4 cos ( Δ 2 η ) ) (19) (2.3)当 Δ 1 = 0 时： u 2.3 ( x ， t ) = a 0 ( t ) − a 3 ( t ) k 3 Q k 1 A ( B − − Δ 2 C cot ( − Δ 2 ξ ) )     + a 3 ( t ) k 3 k 2 ( − λ 2 + c 2 c 1 + c 2 θ )     + a 3 ( t ) ( Δ 2 1 − P c 3 cos ( Δ 2 η ) + c 4 sin ( Δ 2 η ) c 3 sin ( Δ 2 η ) − c 4 cos ( Δ 2 η ) ) (20) 由表1~3还可以得到更多广义变系数Kdv-Burgers方程的精确解，这里就不再一一列出。 其中 ξ = k 1 x + C 1 ， θ = k 2 x + C 2 ， η = k 3 x + C 3 ， C 1 ， C 2 ， C 3 为任意常数。