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user: 3. 主要结论 令 K 是 X 中所有非负函数组成的锥 [ 21 ] [ 22 ]，根据(H1)和引理1.3，令 A i = min { G ( t ， s ) ⋅ q i ( s ) : 0 < t < 1 ， 0 < s < 1 } ， B i = max { G ( t ， s ) ⋅ q i ( s ) : 0 < t < 1 ， 0 < s < 1 } ， M i = A i B i ，则有 A i > 0 ， B i > 0 ， 0 < M i < 1 。 若 V ∈ K ， u i ( t ) = ∫ 0 1 G ( t ， s ) q i ( s ) V ( s ) d s ，且 u i ( t 0 ) = ‖ u i ‖ ， i = 1 ， 2 ，那么对于任意 t ∈ ( 0 ， 1 ) ，有： u i ( t ) = ∫ 0 1 G ( t ， s ) q i ( s ) V ( s ) d s ≥ A i ∫ 0 1 V ( s ) d s = M i ⋅ B i ∫ 0 1 V ( s ) d s = M i ∫ 0 1 B i V ( s ) d s ≥ M i ⋅ ∫ 0 1 G ( t 0 ， s ) q i ( s ) V ( s ) d s = M i ⋅ ‖ u i ‖ 因此，在 X = C ( [ 0 ， 1 ] ) 中定义锥 P i ( i = 1 ， 2 )： P i : = { u i ∈ k : u i ( t ) ≥ M i ⋅ ‖ u i ‖ ， t ∈ ( 0 ， 1 ) } ， i = 1 ， 2 。那么，在 X 2 中则有对应的锥 P = P 1 × P 2 。 考虑算子 T u = ( T 1 u ， T 2 u ) ，其中 T i u ( t ) = ∫ 0 1 G ( t ， s ) q i ( s ) f i ( u 1 ( s ) ， u 2 ( s ) ) d s ，其中 T : P → P 是一个全连续算子 [ 20 ]。 引理3.1 若 u 1 ， u 2 ∈ C ( [ 0 ， 1 ] ) ，则 u = ( u 1 ， u 2 ) 为分数阶微分方程系统(1.0)在 X 2 中的解，当且仅当 u = ( u 1 ， u 2 ) ， u ∈ P 为 T u = u 在 X 2 中的不动点。 对于 α i ， β i > 0 ， α i ≠ β i ，为了方便，记 r i = min { α i ， β i } ， R i = max { α i ， β i } ， i = 1 ， 2 ，且 M = min { M 1 ， M 2 } ， 0 < M < 1 ， N 1 = min { f 1 ( u 1 ， u 2 ) : M β 1 ≤ u 1 ≤ β 1 ， M r 2 ≤ u 2 ≤ R 2 } ， N 2 = i n f { f 2 ( u 1 ， u 2 ) : M r 1 ≤ u 1 ≤ R 1 ， M β 2 ≤ u 2 ≤ β 2 } ， L 1 = max { f 1 ( u 1 ， u 2 ) : 0 ≤ u 1 ≤ α 1 ， 0 ≤ u 2 ≤ R 2 } ， L 2 = max { f 2 ( u 1 ， u 2 ) : 0 ≤ u 1 ≤ R 1 ， 0 ≤ u 2 ≤ α 2 } . 定理3.1 若存在 α i ， β i > 0 ， α i ≠ β i ， i = 1 ， 2 ，使得： B 1 L 1 < α 1 ， A 1 N 1 > β 1 或 B 2 L 2 < α 2 ， A 2 N 2 > β 2 ，那么系统(1.0)至少存在一个正解 u = ( u 1 ， u 2 ) ，且 r i < ‖ u i ‖ < R i ， i = 1 ， 2 ，其中 r i = min { α i ， β i } ， R i = max { α i ， β i } ，且对于 t ∈ ( 0 ， 1 ) ， u 的轨迹是包含在一个矩阵域 ( M r 1 ， R 1 ) × ( M r 2 ， R 2 ) 中。 证明：首先若 u ∈ P r ， R ，且 r 1 < ‖ u 1 ‖ < R 1 ， r 2 < ‖ u 2 ‖ < R 2 ，那么根据锥 P 的定义，对于任意 t ∈ ( 0 ， 1 ) ，有 M r 1 < u 1 ( t ) < R 1 ， M r 2 < u 2 ( t ) < R 2 ; 同样若 ‖ u i ‖ = α i ，则有 u i ( t ) ≤ α i ，且对于任意 t ∈ ( 0 ， 1 ) ， M α i ≤ u i ≤ α i ， i = 1 ， 2 ； 下证明对于任意 u ∈ P r ， R ， i = { 1 ， 2 } ，满足定理2.1的条件，即： 若 ‖ u i ‖ = α i ，则有 T i ( u ) − u i ∉ P i ； (2.1) 若 ‖ u i ‖ = β i ，则有 u i − T i ( u ) ∉ P i ； (2.2) 假设若 ‖ u 1 ‖ = α 1 ，则存在 T 1 u − u 1 ∈ P 1 ，那么，对于任意 t ∈ ( 0 ， 1 ) 有： u 1 ≤ T 1 u = ∫ 0 1 G ( t ， s ) q 1 ( s ) f 1 ( u 1 ( s ) ， u 2 ( s ) ) d s ≤ B 1 ⋅ ∫ 0 1 f 1 ( u 1 ( s ) ， u 2 ( s ) ) d s ≤ B 1 ⋅ L 1 < α 1 这就产生矛盾 α 1 < α 1 。 假设若 ‖ u 1 ‖ = β 1 ，则存在 u 1 − T u 1 ∈ P 1 ，那么，对于任意 t ∗ ∈ ( 0 ， 1 ) 有： u 1 ≥ T 1 u = ∫ 0 1 G ( t * ， s ) q 1 ( s ) f 1 ( u 1 ( s ) ， u 2 ( s ) ) d s ≥ A 1 ⋅ ∫ 0 1 f 1 ( u 1 ( s ) ， u 2 ( s ) ) d s ≥ A 1 ⋅ N 1 > β 1 这就产生矛盾 β 1 > β 1 。 因此，(2.1)和(2.2)在 i = 1 时成立，同理， i = 2 时也成立。 根据定理1.1可知，算子 T 至少存在一个不动点 u ，即系统(1.0)至少存在一个正解 u = ( u 1 ， u 2 ) 。 推论3.1 注意在条件(2.0)中表明函数 f 1 ， f 2 在 R + 2 的某区域内，是为了证明正解的存在性和局限性。 定理3.2 假设存在一个自然数 N ≥ 1 ， α i k ， β i k > 0 ，且 α i k ≠ β i k ， i = 1 ， 2 ， k = 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， N ，使得对于 k = 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， N ，有： R 1 k ≤ r 1 k + 1 ， R 2 k ≤ r 2 k + 1 ， B 1 ⋅ L 1 k < α 1 k ， A 1 N 1 k > β 1 k ， B 2 L 2 k < α 2 k ， A 2 N 2 k > β 2 k ， 其中， r i k = min { α i k ， β i k } ， R i k = max { α i k ， β i k } ， i = 1 ， 2 ， N 1 k = m i n { f 1 ( u 1 k ， u 2 k ) : M β 1 k ≤ u 1 k ≤ β 1 k ， M r 2 k ≤ u 2 k ≤ R 2 k } ， N 2 k = min { f 2 ( u 1 k ， u 2 k ) : M r 1 k ≤ u 1 k ≤ R 1 k ， M β 2 k ≤ u 2 k ≤ β 2 k } ， L 1 k = max { f 1 ( u 1 k ， u 2 k ) : 0 ≤ u 1 k ≤ α 1 k ， 0 ≤ u 2 k ≤ R 2 k } ， L 2 k = max { f 2 ( u 1 k ， u 2 k ) : 0 ≤ u 1 k ≤ R 1 k ， 0 ≤ u 2 k ≤ α 2 k } ， 那么，系统(1.0)至少存在 N 个不同的正解 u k = ( u 1 k ， u 2 k ) 且 r i k < ‖ u i k ‖ < R i k ， i = 1 ， 2 ， k = 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， N 。 证明：应用定理2.2，对于任意 k ∈ { 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， N } ，存在一个正解 u k 满足： r i k < ‖ u i k ‖ < R i k ， i = 1 ， 2 ； 根据(2.2)，可知对于任意 k ∈ { 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， N − 1 } ，有： ( r i k ， R i k ) ∩ ( r i k + 1 ， R i k + 1 ) = ∅ ，对于 i = 1 或 i = 2 都成立； 综上所得，系统(1.0)存在 K 个不同的解 u k ， k = 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， N 。 推论3.2 特殊地，若 f 1 ， f 2 关于 t 是独立的，则 f 1 = f 1 ( u 1 ， u 2 ) 、 f 2 ( u 1 ， u 2 ) 和 f 1 、 f 2 关于 u 1 、 u 2 具有单调性质，其中 u 1 ∈ [ M r 1 ， R 1 ] 、 u 2 ∈ [ M r 2 ， R 2 ] ，那么可以明确值 N 1 、 N 2 、 L 1 和 L 2 。举例： 1) 若 f 1 和 f 2 关于 u 1 和 u 2 是单调递减的，则： L 1 = f 1 ( 0 ， 0 ) ， N 1 = f 1 ( β 1 ， R 2 ) ; L 2 = f 2 ( 0 ， 0 ) ， N 2 = f 2 ( R 1 ， β 2 ) . 2) 若 f 1 关于 u 1 是单调递减的，关于 u 2 是单调递增， f 2 关于 u 1 是单调递增的，关于 u 2 是单调递减的，则： L 1 = f 1 ( 0 ， R 2 ) ， N 1 = f 1 ( β 1 ， M r 2 ) ; L 2 = f 2 ( R 1 ， 0 ) ， N 2 = f 2 ( M r 1 ， β 2 ) . 3) 若 f 1 ， f 2 关于 u 1 是单调递增的，关于 u 2 是单调递减的，则： L 1 = f 1 ( α 1 ， 0 ) ， N 1 = f 1 ( M β 1 ， R 2 ) ; L 2 = f 2 ( R 1 ， 0 ) ， N 2 = f 2 ( M r 1 ， β 2 ) .