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user: 2. 弱Gorenstein FC-投射模 称右R-模M是FC-投射模，如果对任意有限余表示模Q， Ext R 1 ( M ， Q ) = 0 [ 6 ]。称右R-模M是Gorenstein FC-投射模，如果存在FC-投射右R-模的正合列 P = ⋯ → P 1 → P 0 → P 0 → P 1 → ⋯ ，使得 M ≅ Ker ( P 0 → P 1 ) ，并且对任意内射维数有限的有限余表示模Q，序列 Hom R ( P ， Q ) 正合 [ 6 ]。 本部分我们引入弱Gorenstein FC-投射模，将弱Gorenstein FC-投射R-模类记为 w GFC- P ( R ) ，讨论其同调性质以及在右余凝聚环上， FC- P ( R ) 、 GFC- P ( R ) 和 w GFC- P ( R ) 三者之间的联系。 定义2.1 称R-模M是弱Gorenstein FC-投射模，如果存在正合列 P = ⋯ → P 1 → P 0 → P 0 → P 1 → ⋯ ， 其中 P i ， P i ∈ FC- P ( R ) ( i ∈ ℤ ) ，使得 M ≅ Ker ( P 0 → P 1 ) 。此时，称正合列 P 是M的弱完全FC-投射分解。 关于定义，我们注意到 注记2.2 1) FC- P ( R ) ⊆ SGFC- P ( R ) ⊆ GFC- P ( R ) ⊆ w GFC- P ( R ) ； 2) w G- P ( R ) ⊆ w GFC- P ( R ) ； 3) 由对称性可知，定义2.1中的正合列 P 中所有同态的像、核和余核都是弱Gorenstein FC-投射R-模； 4) 由文献( [ 6 ]，命题2.2)可知， w GFC- P ( R ) 关于直和封闭。 下面首先给出弱Gorenstein FC-投射模的一些等价刻画。 命题2.3 设M是一R-模，则以下等价： 1) M ∈ w GFC- P ( R ) ； 2) 存在正合列 0 → M → P 0 → P 1 → ⋯ ，其中 P i ∈ FC- P ( R ) ( i ∈ ℕ ) ； 3) 存在正合列 0 → M → P → N → 0 ，其中 P ∈ FC- P ( R ) ， N ∈ w GFC- P ( R ) 。 证明 1) Þ 2)，1) Þ 3)由定义2.1易得。 3) Þ 2)因为 N ∈ w GFC- P ( R ) ，所以存在N的弱完全FC-投射分解 P = ⋯ → P 1 → P 0 → P 0 → P 1 → ⋯ ， 其中 P i ， P i ∈ FC- P ( R ) ( i ∈ ℤ ) ，使得 N ≅ Ker ( P 0 → P 1 ) ，故存在正合列 0 → M → P → P 0 → P 1 → ⋯ ，其中P和 P i ∈ FC- P ( R ) ( i ∈ ℕ ) 。 2) Þ 1) 任取M的一个投射分解 ⋯ → P 1 → P 0 → M → 0 ，与条件中序列首尾相接就得到M的弱完全FC-投射分解 P = ⋯ → P 1 → P 0 → P 0 → P 1 → ⋯ ， 使得 M ≅ Ker ( P 0 → P 1 ) ，故 M ∈ w GFC- P ( R ) 。 称环R是右n-余凝聚环，如果每个n-余表示模是(n + 1)-余表示的。特别地，右1-余凝聚环也称为右余凝聚环 [ 6 ]。 命题2.4 设R是右余凝聚环， 0 → N → M → P → 0 是R-模的正合列，其中 P ∈ FC- P ( R ) 。若 N ∈ w GFC- P ( R ) ，则 M ∈ w GFC- P ( R ) 。 证明 设 N ∈ w GFC- P ( R ) ，则由命题2.3可知存在正合列 0 → N → P 0 → K → 0 ，其中 P 0 ∈ FC- P ( R ) ， K ∈ w GFC- P ( R ) 。考虑推出图 因为 P 0 ， P ∈ FC- P ( R ) ，所以由文献( [ 6 ]，定理2.5)可知 Q 0 ∈ FC- P ( R ) ，则对中间列用命题2.3可得 M ∈ w GFC- P ( R ) 。 称环R是右Gorenstein FC-半单环(简称为rGF-半单环)，如果每个R-模是Gorenstein FC-投射R-模 [ 6 ]。下面用弱Gorenstein FC-模给出rGF-半单环的等价刻画。 命题2.5 设R是环，M是一R-模，则以下等价： 1) R是rGF-半单环； 2) M ∈ w GFC- P ( R ) ； 3) 若 M ∈ w G- I ( R ) ，则 M ∈ w GFC- P ( R ) ； 4) 若 M ∈ G- I ( R ) ，则 M ∈ w GFC- P ( R ) ； 5) 若 M ∈ SG- I ( R ) ，则 M ∈ w GFC- P ( R ) ； 6) 若 M ∈ I ( R ) ，则 M ∈ w GFC- P ( R ) 。 证明 1) Þ 2) Þ 3) Þ 4) Þ 5) Þ 6)显然。 6) Þ 1) 设 M ∈ I ( R ) ，则由条件可知 M ∈ w GFC- P ( R ) ，于是由命题2.3可知存在正合列 0 → M → P → N → 0 ，其中 P ∈ FC- P ( R ) ， N ∈ w GFC- P ( R ) 。因为 M ∈ I ( R ) ，所以正合列 0 → M → P → N → 0 可裂，故由文献( [ 6 ]，命题2.2)可知 M ∈ FC- P ( R ) ，于是由文献( [ 6 ]，命题6.3)可知R是rGF-半单环。 称R-模类 X ( R ) 是投射可解类，如果 P ( R ) ⊆ X ( R ) ，且对任意 X ( R ) 中的正合列 0 → X ′ → X → X ″ → 0 ，其中 X ″ ∈ X ( R ) ，则 X ′ ∈ X ( R ) ⇔ X ∈ X ( R ) [ 7 ]。下面我们证明 w GFC- P ( R ) 是投射可解类，并且关于直和项封闭。 命题2.6 设R是右余凝聚环，则 w GFC- P ( R ) 关于扩张封闭当且仅当 w GFC- P ( R ) 是投射可解类。 证明 Ü) 显然。 Þ) 设 0 → A → B → C → 0 是R-模的正合列，只需证当 B ， C ∈ w GFC- P ( R ) 时， A ∈ w GFC- P ( R ) 即可。因为 B ∈ w GFC- P ( R ) ，所以由命题2.3可知存在正合列 0 → B → P → N → 0 ，其中 P ∈ FC- P ( R ) ， N ∈ w GFC- P ( R ) 。考虑推出图 因为 C ， N ∈ w GFC- P ( R ) ，所以 Q ∈ w GFC- P ( R ) 。对中间行用命题2.3可得 A ∈ w GFC- P ( R ) 。 推论2.7 设R是右余凝聚环，若 w GFC- P ( R ) 关于扩张封闭，则 w GFC- P ( R ) 关于直和项封闭。 证明 由文献( [ 7 ]，命题1.4)易得。 推论2.8 设R是右余凝聚环，M是一R-模，考虑下面R-模的正合列 0 → G n → G n − 1 → ⋯ → G 0 → M → 0 和 0 → H n → H n − 1 → ⋯ → H 0 → M → 0 ， 其中 G 0 ， ⋯ ， G n − 1 ∈ w GFC- P ( R ) 和 H 0 ， ⋯ ， H n − 1 ∈ w GFC- P ( R ) 。若 w GFC- P ( R ) 关于扩张封闭，则 G n ∈ w GFC- P ( R ) 当且仅当 H n ∈ w GFC- P ( R ) 。 证明 类似于文献( [ 8 ]，引理2.1])的证明。 下面我们讨论弱Gorenstein FC-投射R-模与强Gorenstein FC-投射R-模的关系。 命题2.9 设R是右余凝聚环， M ∈ w GFC- P ( R ) ，若 N ∈ SGFC- P ( R ) ，则M是N的直和项。 证明 设 M ∈ w GFC- P ( R ) ，则存在正合列 P = ⋯ → P 1 → d 1 P 0 → d 0 P − 1 → d − 1 P − 2 → d − 2 ⋯ ， 其中 P i ∈ FC- P ( R ) ( i ∈ ℤ ) ，使得 M ≅ Im ( d 0 ) 。令 Q = ⊕ i = − ∞ ∞ P i ， f : Q → Q ，其中对任意的 ( x i ) i ∈ ℤ ∈ Q ， f ( ( x i ) i ∈ ℤ ) = ( d i ( x i ) ) i ∈ ℤ 。易证f是右R-模同态且 f 2 = 0 。设 N = Im ( f ) = ⊕ i = − ∞ ∞ Im ( d i ) ，则 N ⊆ Ker ( f ) 。对任意 ( x i ) i ∈ ℤ ∈ Ker ( f ) ， f ( ( x i ) i ∈ ℤ ) = ( d i ( x i ) ) i ∈ ℤ = ( 0 i ) i ∈ ℤ 。则对任意 i ∈ ℤ ， d i ( x i ) = 0 i ，即 x i ∈ Ker ( d i ) = Im ( d i + 1 ) ( i ∈ ℤ )，故存在 y i + 1 ∈ P i + 1 ，使得 d i + 1 ( y i + 1 ) = x i 。令 y = [ y i + 1 ] ，则 [ x i ] = [ d i + 1 ( y i + 1 ) ] = f ( y ) ，于是 Ker ( f ) ⊆ Im ( f ) 。因此 N = Im ( f ) = K e r ( f ) ，由文献( [ 6 ]，命题2.2)可知 Q ∈ FC- P ( R ) 。于是存在R-模的正合列 0 → N → Q → N → 0 ，由文献( [ 9 ]，定理7)可知 N ∈ SGFC- P ( R ) 且 N ≅ ( ⊕ i ≠ 0 Im ( d i ) ) ⊕ M ，即M是强Gorenstein FC-投射R-模的直和项，定理得证。 推论2.10 设R是右余凝聚环， M ∈ GFC- P ( R ) ，若 N ∈ SGFC- P ( R ) ，则M是N的直和项。 定义环R的右FC-投射整体维数为 r .FC .gl .dim ( R ) = sup { F C - p d ( M ) | M 是 R - 模 } [ 4 ]。 显然， FC- P ( R ) ⊆ GFC- P ( R ) ⊆ w GFC- P ( R ) ，由文献( [ 6 ]，推论3.9)可知，当R是右余凝聚环且 r .FC .gl .dim ( R ) < ∞ 时， GFC- P ( R ) ⊆ FC- P ( R ) 。又由文献( [ 6 ]，定理3.4)可知，当R是右余凝聚环时，R-模 M ∈ GFC- P ( R ) ⇔ M ∈ w GFC- P ( R ) 。于是我们有以下结论。 推论2.11 设R是右余凝聚环，M是一R-模，若 r .FC .gl .dim ( R ) < ∞ ，则 M ∈ FC- P ( R ) ⇔ M ∈ w GFC- P ( R ) 。