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user: 3. 主要结果 本节在股价满足Heston模型的条件下，应用多维特征函数，Girsanov测度变换和Fourier变换方法，推导出基于资产价的离散几何平均亚式离散障碍期权的定价公式。 障碍期权定价 考虑离散情形下欧式下降敲出看涨期权，假设 S 0 > L > K ，其中L是障碍值为常数，K为执行价格，其它情形的障碍期权可类似讨论。则具有m个离散时间点 0 = t 0 < t 1 < t 2 < ⋯ < t m = T 的欧式下降敲出看涨障碍期权在0时刻的价格为 V D O C ( m ) = E P [ e − r T ( S T − K ) + 1 ( S t 1 > L ， ⋯ ， S T > L ) ] ， (3.1) 把资产价格用资产价的离散几何平均代替，则具有m个离散时间点 0 = t 0 < t 1 < t 2 < ⋯ < t m = T 的亚式下降敲出看涨障碍期权在0时刻的价格为 V D O C ( m ) = E P [ e − r T ( J T − K ) + 1 ( J t 1 > L ， ⋯ ， J T > L ) ] . (3.2) 其中 J T = ( ∏ i = 0 m S t i ) 1 m + 1 为资产价的离散几何平均。 定理3.1 在Heston模型下，具有m个离散时间点 0 = t 0 < t 1 < t 2 < ⋯ < t m = T 的基于资产价的离散几何平均亚式离散障碍期权在0时刻的价格为： V D O C ( m ) = S 0 { 1 2 m ( 1 − m t P 1 ( ln L ) + m ( m − 1 ) 2 t P 1 ( ln L ， ln L ) − t P 1 ( ln L ， ln L ， ln L ) + ⋯     + ( − 1 ) m t P 1 ( ln L ， ⋯ ， ln L ) ) } − K e − r T { 1 2 m ( 1 − m t P ( ln L ) + m ( m − 1 ) 2 t P ( ln L ， ln L )     − t P ( ln L ， ln L ， ln L ) + ⋯ + ( − 1 ) m t P ( ln L ， ⋯ ， ln L ) ) } ， (3.3) 其中 t P ( ln L ， ⋯ ， ln L ) = ( − 2 ) m ( 2 π ) m ∫ ⋯ ∫ R + m Δ u 1 [ ⋯ Δ u m [ φ 0 ( u 1 ， ⋯ ， u m ) e − i ( u 1 + ⋯ + u m ) ln L ∏ k = 1 m i u k ] ] d u 1 ⋯ d u m ， Δ u 1 [ ⋯ Δ u m [ φ ( u 1 ， ⋯ ， u m ) e − i ( u 1 + ⋯ + u m ) ln L ∏ k = 1 m i u k ] ] = 2 Δ u 2 ⋯ Δ u m ℜ [ φ ( u 1 ， ⋯ ， u m ) e − i ( u 1 + ⋯ + u m ) ln L ∏ k = 1 m i u k ] ， Δ a [ f ( a ) ] = f ( a ) + f ( − a ) ， φ 0 ( u 1 ， ⋯ ， u m ) = e ( i u 1 2 + i u 2 3 + ⋯ + i u m m + 1 ) x 0 φ ( u 1 2 ) φ ( u 2 3 ， u 2 3 ) ⋯ φ ( u m m + 1 ， ⋯ ， u m m + 1 ) ， φ 1 ( u 1 ， ⋯ ， u m ) = e − r T + ( i u 1 2 + i u 2 3 + ⋯ + i u m − m m + 1 ) x 0 φ ( u 1 2 ) φ ( u 2 3 ， u 2 3 ) ⋯ φ ( u m − i m + 1 ， ⋯ ， u m − i m + 1 ) . 证明： m = 1 时，根据风险中性定价原理得 V D O C ( 1 ) = E P { e − r T ( J T − K ) + 1 ( J t 1 > L ) } = E P { e − r T J T 1 ( J t 1 > L ) } − E P { e − r T K 1 ( J t 1 > L ) } = I 1 − I 2 ， (3.4) 计算 I 2 ， I 2 = K e − r T P ( J t 1 > L ) = K e − r T P ( ln J t 1 > ln L ) ， (3.5) 再利用分布函数与特征函数的唯一性及Fourier反变换，即应用公式 F ( x ) = P ( X ≥ x ) = 1 2 + 1 π ∫ 0 + ∞ ℜ [ e − i u x f ( u ) i u ] d u ， (3.6) 其中 f ( u ) 是随机变量X的特征函数，则 I 2 = K e − r T { 1 2 + 1 π ∫ 0 + ∞ ℜ [ e − i u ln L φ 0 ( u 1 ) i u 1 ] d u 1 } ， (3.7) 其中 φ 0 ( u 1 ) = E P [ exp { i u 1 ln J t 1 } | F t ] = E P [ exp { i u 1 2 ( ln S 0 + ln S t 1 ) } | F t ] = e i u 1 2 x 0 E P [ exp { i u 1 2 X t 1 } | F t ] = e i u 1 2 x 0 φ ( u 1 2 ) . (3.8) 计算 I 1 ，应用Girsanov测度变换，定义一个新的概率测度 P 1 如下： d P 1 d P ∣ F t = e − r T J T S 0 . 显然，上述Radon-Nikodym导数存在且 E [ e − r T J T S 0 ] = 1 ，由Girsanov定理可知，概率测度 P 1 等价于P，则 I 1 = S 0 P 1 ( J t 1 > L ) = S 0 P 1 ( ln J t 1 > ln L ) = S 0 { 1 2 + 1 π ∫ 0 + ∞ ℜ [ e − i u ln L φ 1 ( u 1 ) i u 1 ] d u 1 } ， (3.9) 其中 φ 1 ( u 1 ) = E P 1 [ exp { i u 1 ln J t 1 } | F t ] = E P [ e − r T J T S 0 e i u 1 ln J t 1 | F t ] = e − r T − x 0 E P [ exp { ( i u 1 + 1 ) ln J t 1 } | F t ] = e − r T + i u 1 − 1 2 x 0 φ ( u 1 − i 2 ) . (3.10) 可见， m = 1 时，结论成立。 m = 2 时，具有2个离散时间点 0 = t 0 < t 1 < t 2 = T ，根据风险中性定价原理得： V D O C ( 2 ) = E P { e − r τ ( J T − K ) + 1 ( J t 1 > L ， J T > L ) } = E P { e − r T J T 1 ( J t 1 > L ， J T > L ) } − E P { e − r T K 1 ( J t 1 > L ， J T > L ) } = I 1 − I 2 ， (3.11) 计算 I 1 和 I 2 ，由引理2.1及Shephard [ 15 ] 定理5，得 I 2 = K e − r T P ( ln J t 1 > ln L ， ln J t 2 > ln L ) = K e − r T { 1 4 + 1 2 π ∫ 0 + ∞ ℜ [ e − i u 1 ln L φ 0 ( u 1 ， 0 ) i u 1 ] d u 1 + 1 2 π ∫ 0 + ∞ ℜ [ e − i u 2 ln L φ 0 ( 0 ， u 2 ) i u 2 ] d u 2     − 1 2 π 2 ∫ ∫ R + 2 { ℜ [ e − i ( u 1 + u 2 ) ln L φ 0 ( u 1 ， u 2 ) u 1 u 2 − e − i ( u 1 − u 2 ) ln L φ 0 ( u 1 ， − u 2 ) u 1 u 2 ] } d u 1 d u 2 } ， (3.12) 其中 φ 0 ( u 1 ， u 2 ) = E P [ exp { i u 1 ln J t 1 + i u 2 ln J T } | F t ] = E P [ exp { i u 1 2 ( ln S 0 + ln S t 1 ) + i u 2 3 ( ln S 0 + ln S t 1 + ln S t 2 ) } | F t ] = e ( i u 1 2 + i u 2 3 ) x 0 E P [ exp { i u 1 2 X t 1 + i u 2 3 ( X t 1 + X t 2 ) } | F t ] = e ( i u 1 2 + i u 2 3 ) x 0 φ ( u 1 2 ) φ ( u 2 3 ， u 2 3 ) ， (3.13) I 1 = S 0 P 1 ( ln J t 1 > ln L ， ln J T > ln L ) = S 0 { 1 4 + 1 2 π ∫ 0 + ∞ ℜ [ e − i u 1 ln L φ 1 ( u 1 ， 0 ) i u 1 ] d u 1 + 1 2 π ∫ 0 + ∞ ℜ [ e − i u 2 ln L φ 1 ( 0 ， u 2 ) i u 2 ] d u 2     − 1 2 π 2 ∫ ∫ R + 2 { ℜ [ e − i ( u 1 + u 2 ) ln L φ 1 ( u 1 ， u 2 ) u 1 u 2 − e − i ( u 1 − u 2 ) ln L φ 1 ( u 1 ， − u 2 ) u 1 u 2 ] } d u 1 d u 2 } ， (3.14) 其中 φ 1 ( u 1 ， u 2 ) = E P 1 [ exp { i u 1 ln J t 1 + i u 2 ln J T } | F t ] = E P [ e − r T J T S 0 exp { i u 1 ln J t 1 + i u 2 ln J T } | F t ] = E P [ exp { − r T + i u 1 ln J t 1 + ( i u 2 + 1 ) ln J T } | F t ] / S 0 = e − r T + ( i u 1 2 + i u 2 − 2 3 ) x 0 φ ( u 1 2 ) φ ( u 2 − i 3 ， u 2 − i 3 ) . (3.15) 可见， m = 2 时，结论也成立。用同样的方法也可证得 m = 3 时结论成立，进一步由数学归纳法可得(3.3)式，证毕。 推论3.1 [ 12 ] ：在Heston模型下，具有m个离散时间点 0 = t 0 < t 1 < t 2 < ⋯ < t m = T 的欧式下降敲出看涨期权((9)式)在0时刻的价格为： V D O C ( m ) = S 0 { 1 2 m ( 1 − m t P 1 ( ln L ) + m ( m − 1 ) 2 t P 1 ( ln L ， ln L ) − t P 1 ( ln L ， ln L ， ln L ) + ⋯     + ( − 1 ) m t P 1 ( ln L ， ⋯ ， ln L ) ) } − K e − r T { 1 2 m ( 1 − m t P ( ln L ) + m ( m − 1 ) 2 t P ( ln L ， ln L ) − t P ( ln L ， ln L ， ln L ) + ⋯ + ( − 1 ) m t P ( ln L ， ⋯ ， ln L ) ) } ， (3.16) 其中 t P 1 ( ln L ， ⋯ ， ln L ) = ( − 2 ) m ( 2 π ) m ∫ ⋯ ∫ R + m Δ u 1 [ ⋯ Δ u m [ φ 1 ( u 1 ， ⋯ ， u m ) e − i ( u 1 + ⋯ + u m ) ln L ∏ k = 1 m i u k ] ] d u 1 ⋯ d u m ， t P ( ln L ， ⋯ ， ln L ) = ( − 2 ) m ( 2 π ) m ∫ ⋯ ∫ R + m Δ u 1 [ ⋯ Δ u m [ φ ( u 1 ， ⋯ ， u m ) e − i ( u 1 + ⋯ + u m ) ln L ∏ k = 1 m i u k ] ] d u 1 ⋯ d u m ， Δ u 1 [ ⋯ Δ u m [ φ ( u 1 ， ⋯ ， u m ) e − i ( u 1 + ⋯ + u m ) ln L ∏ k = 1 m i u k ] ] = 2 Δ u 2 ⋯ Δ u m ℜ [ φ ( u 1 ， ⋯ ， u m ) e − i ( u 1 + ⋯ + u m ) ln L ∏ k = 1 m i u k ] ， Δ a [ f ( a ) ] = f ( a ) + f ( − a ) ，     φ 1 ( u 1 ， ⋯ ， u m ) = e − r T S 0 φ ( u 1 ， ⋯ ， u m − i ) .