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user: 3. 适定性 定义3.1：对任意的 T > 0 ， I = [ 0 ， T ] ，设 Ω ⊂ ℝ 3 是有界光滑区域，称u是方程(2.6)在区间I上满足初值边界条件(2.7)、(2.8)的整体强解，如果z满足方程(2.6)并且 u ∈ C ( I ; V 0 ) ∩ L ∞ ( I ; V 1 ) ∩ L 2 ( I ; V 2 ) ， u t ∈ L 2 ( I ; V 0 ) ， η t ∈ C ( I ; L μ 2 ( ℝ + ; V 2 ) ) η t t + η s t ∈ L ∞ ( I ; L μ 2 ( ℝ + ; V 1 ) ) ∩ L 2 ( I ; L μ 2 ( ℝ + ; V 2 ) ) 且对任意 ω ( x ) ∈ V 0 ， φ ( x ， t ) ∈ L μ 0 ( ℝ + ; V 0 ) 有 { ( u t ， ω ) − ( Δ u ， ω ) − ( Δ η t ， ω ) μ ， V 0 + ( f ( u ) ， ω ) = ( g ， ω ) ， ( Δ η t t + Δ η s t ， φ ) μ ， V = ( Δ u ， φ ) ， (3.1) 对 t ∈ I 几乎处处成立。 3.1. 强解的存在性 设 ω j ( x ) 是特征方程： − Δ ω j = λ j ω j ， ω j | ∂ Ω = 0 对应于特征值 λ j 的特征函数，因此 { ω j } j = 1 ∞ 组成 L 2 ( Ω ) 的标准正交基，即 ( ω i ， ω j ) = δ i j ，     i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ 当 Ω ∈ C 2 ，有 ω j ( x ) ∈ D ( A ) = H 2 ( Ω ) ∩ H 0 1 ( Ω ) ，且 { ω j } j = 1 ∞ 是 H 0 1 ( Ω ) 的正交基(但非标准正交基)， H 2 ( Ω ) ∩ H 0 1 ( Ω ) 即为 { ω j } j = 1 ∞ 在 H 2 ( Ω ) 中的闭线性扩张。因此 { ω j } j = 1 ∞ 也是 D ( A ) 的正交基(但非标准正交基)。值得强调的是 { ω j } j = 1 ∞ 并不是 L μ 2 ( ℝ + ， D ( A ) ) 基。这是因为 L μ 2 ( ℝ + ， D ( A ) ) 中的元素并不能由 { ω j } j = 1 ∞ 线性表示。接下来我们将构造 L μ 2 ( ℝ + ， D ( A ) ) 一组基 { ς i } i = 1 ∞ 。假设 { l k } k = 1 ∞ 是 L μ 2 ( ℝ + ) 的一组正交基，则选择 l k ω j ， k ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， ∞ 作为 L μ 2 ( ℝ + ， D ( A ) ) 的正交基 { ς i } i = 1 ∞ 。 设 E n 1 ， E n 2 分别为由 ω 1 ， ω 2 ， ⋯ ， ω n 和 ς 1 ， ς 2 ， ⋯ ， ς n 生成的线性子空间，即 E n 1 = s p a n { ( ω 1 ， ω 2 ， ⋯ ， ω n ) } ， E n 2 = s p a n { ( ς 1 ， ς 2 ， ⋯ ， ς n ) } (3.2) 记 P n 为 V 1 至 E n 1 的正交投影， Q n 为 L μ 2 ( ℝ + ， V 2 ) 至 E n 2 的正交投影，即对任意的 z = ( u ， η t ) ∈ M 2 ，有 u n = P n u = ∑ j = 1 n a j ( t ) ω j ， u t n = P n u t = ∑ j = 1 n b j ( t ) ω j ， η n t = Q n η t = ∑ j = 1 n c j ( t ) ς j 这里 a j ( t ) = 〈 u ， ω j 〉 V 2 ， b j ( t ) = 〈 u t ， ω j 〉 V 2 = d d t a j ( t ) ， c j ( t ) = 〈 η t ， ς j ( s ) 〉 μ ， V 2 定义 z n = ( u n ， η n t ) 是方程(1.1)的解，形式如下： u n ( t ) = ∑ j = 1 n a j ( t ) ω j 和 η n t ( s ) = ∑ j = 1 n c j ( t ) ς j 由Galerkin法可知，它满足如下的非线性常微分方程组： { u n t ( t ) − Δ u n ( t ) − ∫ 0 ∞ k ( s ) Δ η n t ( s ) d s + f ( u n ( t ) ) = g n ， η n t t = − η n s t + u n ， (3.3) 并且满足如下初边值条件： ( u n ， η n t ) | t = 0 = ( u n 0 ， η n 0 ) ， (3.4) ( u n ， η n t ) | ∂ Ω = ( 0 ， 0 ) ， (3.5) 对于 a j n ( 0 ) ， ς j n ( 0 ) ，我们可以这样选取，使其满足： a j n ( 0 ) = 〈 u n ( 0 ) ， ω j 〉 V 2 ， ς j n ( 0 ) = 〈 η n 0 ( s ) ， ς j ( s ) 〉 μ ， V 2 ， 且 u n 0 = P n u 0 ， η n 0 = Q n η 0 ，在各自所在的空间里满足：当 n → ∞ 时，有 u n ( 0 ) → V 1 u 0 ， η n 0 ( s ) → L μ 2 ( ℝ + ， V 2 ) η 0 ( s ) ， 以及对任意的 r ∈ [ 0 ， 1 ] ，有 ‖ u n ( 0 ) ‖ r ≤ ‖ u 0 ‖ r ， ‖ η n 0 ( 0 ) ‖ μ ， r ≤ ‖ η 0 ‖ μ ， r ， (3.6) 由标准的常微分理论，方程(3.3)满足初边值条件(3.4)，(3.5)的解存在唯一。 引理3.1：假设 Ω ⊂ R 3 为具有适当光滑边界的有界域， T > 0 为任意常数，并且 1) f ∈ C 1 ( R ) 而且满足条件(2.4)，(2.5)，核函数 μ 满足(2.1)，(2.2)，而 g ∈ L 2 ( Ω ) ； 2) z 0 = ( u 0 ， η 0 ) ∈ M 2 并选取 a j n ( 0 ) ，   b j n ( 0 ) ，使得 u n ( 0 ) → V 1 u 0 ， η n 0 ( s ) → L μ 2 ( ℝ + ， V 2 ) η 0 ( s ) ， 则对于一切的 t ∈ [ 0 ， T ] ，常微分方程组(3.3)存在唯一解 z n ( t ) = ( u n ( t ) ， η n t ) ∈ M 2 ，并且满足： ， (3.7) 其中 E 1 是同 n ， t 无关的某个确定的正常数。 证明：对(3.3)式中第一个方程的两边同 u n 作内积，由分部积分公式、(3.3)中第二个方程及引理2.1有 1 2 d d t [ | u n ( t ) | 2 2 + ‖ η n t ‖ μ ， 1 2 ] + ‖ u n ( t ) ‖ 0 2 + δ 2 ‖ η n t ‖ μ ， 1 2 + ∫ Ω f ( u n ( t ) ) u n ( t ) ≤ ( g n ， u n ( t ) ) ， 由非线性项假设条件(2.4)及Hölder不等式，我们可得到如下微分不等式 1 2 d d t [ | u n | 2 2 + ‖ η n t ‖ μ ， 1 2 ] + 1 2 ‖ u n ‖ 0 2 + δ 2 ‖ η n t ‖ μ ， 1 2 + γ 1 | u n | p p ≤ 1 2 λ 1 | g n | 2 2 + β 1 | Ω | ， (3.8) 其中 | Ω | 为区域 Ω 的体积。取 α = min { 1 2 ， δ 2 ， γ 1 } ， | u n ( t ) | 2 2 + ‖ η n t ( t ) ‖ μ ， 1 2 ≤ T 2 λ 1 | g n | 2 2 + β 1 | Ω | T + | u n 0 | 2 2 + ‖ η n 0 ‖ μ ， 1 2 ， (3.9) ∫ 0 t ( ‖ u n ( s ) ‖ 0 2 + ‖ η n s ‖ μ ， 1 2 + | u n ( s ) | p p ) d s ≤ 1 α [ T 2 λ 1 | g n | 2 2 + β 1 | Ω | T + | u n 0 | 2 2 + ‖ η n 0 ‖ μ ， 1 2 ] (3.10) 由(3.6)并记 E 1 = ( 1 + 1 α ) [ T 2 λ 1 | g n | 2 2 + β 1 | Ω | T + | u 0 | 2 2 + ‖ η 0 ‖ μ ， 1 2 ] ， 则有 。 证毕。 引理3.2：在引理3.1的假设条件下，方程(3.3)的解对一切的 t ∈ [ 0 ， T ] 有下列不等式： ‖ u n ( t ) ‖ 2 2 + ‖ η n t ( t ) ‖ μ ， 2 2 + ∫ 0 t ( ‖ u n ( s ) ‖ 1 2 + ‖ η n t ( s ) ‖ μ ， 2 2 ) d s ≤ E 2 ， 其中 E 2 为不依赖于 n ， t 的正常数。 证明：对(3.3)式中第一个方程的两边同 − Δ u n 作内积，由分部积分公式及(3.3)中第二个方程及引理2.1有 1 2 d d t [ ‖ u n ( t ) ‖ 0 2 + ‖ η n t ‖ μ ， 2 2 ] + | Δ u n | 2 2 + δ 2 ‖ η n t ‖ μ ， 2 2 − ∫ Ω f ( u n ) Δ u n ≤ − ( g n ， Δ u n ) 。 由非线性项假设条件(2.5)及Hölder不等式，我们可得到如下微分不等式 d d t [ ‖ u n ‖ 0 2 + ‖ η n t ‖ μ ， 2 2 ] + | Δ u n | 0 2 + δ ‖ η n t ‖ μ ， 2 2 ≤ | g n | 2 2 + 2 l ‖ u n ‖ 0 2 ， (3.11) 其中 | Ω | 为区域 Ω 的体积。取 α 1 = min { 1 ， δ } ， ‖ u n ( t ) ‖ 0 2 + ‖ η n t ( t ) ‖ μ ， 2 2 ≤ T | g n | 2 2 + ‖ u n 0 ‖ 0 2 + ‖ η n 0 ‖ μ ， 2 2 + 2 l ∫ 0 t ‖ u n ( s ) ‖ 0 2 d s ， (3.12) ∫ 0 t ( | Δ u n ( s ) | 2 2 + ‖ η n s ‖ μ ， 2 2 ) d s ≤ 1 α 1 [ T | g n | 2 2 + ‖ u n 0 ‖ 0 2 + ‖ η n 0 ‖ μ ， 2 2 + 2 l ∫ 0 t ‖ u n ( s ) ‖ 0 2 d s ] ， (3.13) 由(3.6)，并记 E 2 = ( 1 + 1 α 1 ) [ T | g n | 2 2 + 2 l E 1 + ‖ u 0 ‖ 0 2 + ‖ η 0 ‖ μ ， 2 2 ] ， 则有 ‖ u n ( t ) ‖ 2 2 + ‖ η n t ( t ) ‖ μ ， 2 2 + ∫ 0 t ( ‖ u n ( s ) ‖ 1 2 + ‖ η n t ( s ) ‖ μ ， 2 2 ) d s ≤ E 2 。 证毕。 引理3.3：在引理3.1的假设条件下，方程(3.3)的解对一切的 t ∈ [ 0 ， T ] 有下列不等式： | u n ( t ) | p p + ∫ 0 t | u n ( s ) | 2 p − 2 2 p − 2 d s ≤ E 3 ； 其中 E 3 为不依赖于 n ， t 的正常数。 证明：对(3.3)式中第一个方程的两边同时乘 | u n | p − 2 u n 作在 Ω 内积分，由分部积分公式、(3.3)中第二个方程及前面引理，有 1 p d d t [ | u n | p p ] + γ 1 2 | u n | 2 p − 2 2 p − 2 ≤ m 0 γ 1 ‖ η n t ‖ μ ， 2 2 + 1 γ 1 | g n | 2 2 + β 1 | Ω | 2 p | u n | p p − 2 ， (3.14) 则有 d d t [ | u n | p p ] ≤ m 0 p γ 1 ‖ η n t ‖ μ ， 2 2 + p γ 1 | g n | 2 2 + β 1 | Ω | 2 p p | u n | p p − 2 ， 两边对t在区间 ( T ≥ t ≥ s ≥ 0 ) 上积分，得 | u n ( t ) | p p ≤ | u n ( s ) | p p + m 0 p γ 1 ∫ 0 t ‖ η n t ‖ μ ， 2 2 d s + p T γ 1 | g n | 2 2 + β 1 | Ω | 2 p p T 2 p [ ∫ 0 t | u n ( s ) | p p d s ] p − 2 p ， 结合引理3.1和引理3.2，有 | u n ( t ) | p p ≤ | u n ( s ) | p p + m 0 p γ 1 E 2 + p T γ 1 | g n | 2 2 + β 1 | Ω | 2 p p T 2 p [ E 1 ] p − 2 p ， (3.15) (3.15)两边对s在区间 [ 0 ， T ] 上积分，并两边同除以得T，得 | u n ( t ) | p p ≤ 1 T ∫ 0 T | u n ( s ) | p p d s + m 0 p γ 1 E 2 + p T γ 1 | g n | 2 2 + β 1 | Ω | 2 p p T 2 p [ E 1 ] p − 2 p ， 于是有对一切的 t ∈ [ 0 ， T ] | u n ( t ) | p p ≤ E 1 T + m 0 p γ 1 E 2 + p T γ 1 | g n | 2 2 + β 1 | Ω | 2 p p T 2 p [ E 1 ] p − 2 p ， (3.16) (3.14)式两边对t在区间 [ s ， t ] ( T ≥ t ≥ s ≥ 0 ) 上积分，得 γ 1 ∫ s t | u n ( s ) | 2 p − 2 2 p − 2 d s ≤ | u n ( s ) | p p + m 0 p γ 1 E 2 + p T γ 1 | g n | 2 2 + β 1 | Ω | 2 p p T 2 p [ E 1 ] p − 2 p 。 将(3.16)代入上式，并注意到s的任意性，有 ∫ s t | u n ( s ) | 2 p − 2 2 p − 2 d s ≤ 2 γ 1 [ E 1 T + m 0 p γ 1 E 2 + p T γ 1 | g n | 2 2 + β 1 | Ω | 2 p p T 2 p [ E 1 ] p − 2 p ] ， 令 E 3 = ( 1 + 2 γ 1 ) [ E 1 T + m 0 p γ 1 E 2 + p T γ 1 | g n | 2 2 + β 1 | Ω | 2 p p T 2 p [ E 1 ] p − 2 p ] ， 故对一切的 t ∈ [ 0 ， T ] | u n ( t ) | p p + ∫ 0 t | u n ( s ) | 2 p − 2 2 p − 2 d s ≤ E 3 。 证毕。 引理3.4：在引理3.1的假设条件下，方程(3.3)的解对一切的 t ∈ [ 0 ， T ] 有下列不等式： ∫ 0 t | u n t ( s ) | 2 2 d s ≤ E 4 。 其中 E 4 为不依赖于 n ， t 的正常数。 证明：对(3.3)式中第一个方程的两边同时乘 u n t 作在 Ω 内积分，由分部积分公式、(3.3)中第二个方程及前面引理，有 1 2 d d t [ ‖ u n ‖ 0 2 + 2 ∫ Ω F ( u n ) + 2 ∫ Ω g n u n ] + 1 2 | u n t | 2 2 ≤ ∫ 0 ∞ μ ( s ) ∫ Ω Δ η n t ( s ) u n t ( t ) d s ， (3.17) 而我们注意到 ∫ Ω g n u n ≤ 1 2 | g n | 2 2 + 1 2 | u n | 2 2 ， (3.18) 即 ∫ 0 ∞ μ ( s ) ∫ Ω Δ η n t ( s ) u n t ( t ) d s ≤ m 0 ‖ η n t ‖ μ ， 2 2 + 1 4 | u n t | 2 2 (3.19) 将(3.19)式代入(3.17)式得 d d t [ 1 2 ‖ u n ‖ 0 2 + ∫ Ω F ( u n ) + ∫ Ω g n u n ] + 1 4 | u n t | 2 2 ≤ C ‖ η n t ‖ μ ， 2 2 ， (3.20) (3.20)式两对t在区间 [ s ， t ] ⊂ [ 0 ， T ] 上积分，有 1 2 ‖ u n ( t ) ‖ 0 2 + ∫ Ω F ( u n ( t ) ) + ∫ Ω g n u n ( t ) + 1 4 ∫ s t | u n ( s ) | 2 2 d s ≤   ​   [ 1 2 ‖ u n ( s ) ‖ 0 2 + ∫ Ω F ( u n ( s ) ) + ∫ Ω g n u n ( s ) ] + C ∫ 0 T ‖ η n t ‖ μ ， 2 2 d s ， (3.21) 而 ∫ Ω | F ( u n ( t ) ) | ≤ C | u n ( t ) | p p + k ， 其中 C ， k 为与n无关的正常数。因此存在与 n ， t 无关的正常数 E 4 ，使得对一切的 t ∈ [ 0 ， T ] ，有 ∫ 0 t | u n t ( s ) | 2 2 d s ≤ E 4 。 证毕。 接下来，我们将讨论方程(3.3)满足初边值条件(3.4)，(3.5)的解收敛性问题。 引理3.4：对任意的 T > 0 和 z 0 = ( u 0 ， η 0 ) ∈ M 2 。方程(3.3)存在满足初边值条件(3.4)，(3.5)的整体强解： z = ( u ( x ， t ) ， η t ) ， 满足 u ∈ L 2 ( [ 0 ， T ] ， D ( A ) ) ， η t ∈ L 2 ( [ 0 ， T ] ， L μ 2 ( ℝ + ， D ( A ) ) ) 。 证明：由引理3.1~引理3.4有 Δ u n 在 L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 中关于 n ， t 是一致有界的， Δ η n t 在 L 2 ( 0 ， T ; L μ 2 ( ℝ + ， L 2 ( Ω ) ) ) 中关于 n ， t 是一致有界的， u n t 在 L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 中关于 n ， t 是一致有界的， 因此，由Alaoglu弱紧性定理和所在空间的自反性，存在 { z n = ( u n ， η n t ) } n = 1 ∞ 的子列 { z n j = ( u n j ， η n j t ) } j = 1 ∞ ，使得 Δ u n j 在 L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 中弱收敛于 Δ u ， Δ η n j t 在 L 2 ( 0 ， T ; L μ 2 ( ℝ + ， L 2 ( Ω ) ) ) 中弱收敛于 Δ η t ， u n j t 在 L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 中弱收敛 u t 。 在不会引起误解的情形下，为了使用的方便，在后面的讨论中我们仍用 { z n = ( u n ， η n t ) } n = 1 ∞ 表示其子列。 由于 ∫ Ω | f ( u n ) | 2 ≤ γ ˜ 2 | u n | 2 ( p − 1 ) 2 ( p − 1 ) + β ˜ 2 因此由引理3.3，有 f ( u n ) 在 L 2 ( Ω T ) 关于 n ， t 是一致有界的， 因而有 f ( u n ) → χ 在 L 2 ( Ω T ) 是弱收敛的，这里 Ω T = Ω × [ 0 ， T ] 。 由于对任意的 t ∈ [ 0 ， T ] ， u n → u 在 L 2 ( 0 ， T ; H 0 1 ( Ω ) ) 弱收敛，由紧性定理(引理2)， u n → u ( n → ∞ ) 在 L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 是强收敛的。因此 u n → u ( n → ∞ ) 在 L 2 ( Ω ) 中关于 t ∈ [ 0 ， T ] 几乎处处收敛，利用f的连续性，有： f ( u n ( x ， t ) ) → f ( u ( x ， t ) ) 于 Ω × [ τ ， t ] 上几乎处处收敛， 并有 f ( u n ) 在 [ 0 ， T ] 上关于n是一致有界的，由Lebesgue逐项积分定理，对任意给定的 φ ( x ， t ) ∈ C 0 ( [ 0 ， t ] ; L 2 ( Ω ) ) 有 lim n → ∞ ∫ Ω × [ 0 ， T ] f ( u n ) ϕ d x d t = ∫ Ω × [ 0 ， T ] f ( u ) ϕ d x d t 则 f ( u n ) → f ( u ) 在 L 2 ( Ω T ) 中收敛。因为弱极限是唯一的，所以， χ = f ( u ) 。 因为 u n t 在 L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 中是一致有界的，因此 u n t → u t 在 L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 是弱收敛的。显然有 g n → g 在 L 2 ( Ω ) 是弱收敛的。 容易验证z满足初始条件 z ( 0 ) = z 0 。则 z = ( u ， η t ) 是该方程的解，并且 u ∈ C ( I ; V 0 ) ∩ L ∞ ( I ; V 1 ) ∩ L 2 ( I ; V 2 ) ， u t ∈ L 2 ( I ; V 0 ) ， η t ∈ C ( I ; L μ 2 ( ℝ + ; V 2 ) ) η t t + η s t ∈ L ∞ ( I ; L μ 2 ( ℝ + ; V 1 ) ) ∩ L 2 ( I ; L μ 2 ( ℝ + ; V 2 ) ) 并且对任意 ω ( x ) ∈ V 0 ， φ ( x ， t ) ∈ L μ 0 ( ℝ + ; V 0 ) 有 { ( u t ， ω ) − ( Δ u ， ω ) − ( Δ η t ， ω ) μ ， V 0 + ( f ( u ) ， ω ) = ( g ， ω ) ， ( Δ η t t + Δ η s t ， φ ) μ ， V = ( Δ u ， φ ) ， (3.22) 对 t ∈ I 几乎处处成立，证毕。 3.2. 强解的唯一性与连续性 引理3.5：由引理4获得的方程(3.3)满足初边值条件(3.4)，(3.5)的整体强解是唯一的。 证明：设 z 1 = ( u 1 ， η 1 t ) ， z 2 = ( u 2 ， η 2 t ) 是方程(1.1)的两个解，且初值 z 10 ， z 20 ∈ M 2 ，令 ω = u 1 − u 2 ， ς t = η 1 t − η 2 t ，则 ω 满足下面的初边值问题 { ω n t − Δ ω n − ∫ 0 ∞ μ ( s ) Δ ς n t ( s ) d s + f ( u 1 n ) − f ( u 2 n ) = 0 ς n t t = − ς n s t + ω n (3.23) 方程(3.3)两边 − Δ ω = A ω 作用，有 1 2 d d t ‖ z ′ ‖ M 2 2 = − ‖ ω ‖ 1 2 − 〈 ς s t ， ς t 〉 μ ， V 2 − 〈 f ( u 1 ) − f ( u 2 ) ， A ω 〉 (3.24) 这里 ‖ z ′ ‖ M 2 2 = | ω | 2 2 + ‖ ω ‖ 0 2 + ‖ ς n t ‖ μ ， V 2 2 。 有： − 〈 ς s t ， ς t 〉 μ ， V 2 ≤ − δ 2 ‖ ς t ‖ μ ， V 2 2 由Hölder和Young不等式，得 − 〈 f ( u 1 ) − f ( u 2 ) ， A ω 〉 = ∫ Ω ( f ( u 1 ) − f ( u 2 ) ) Δ ω ≤ C [ | u 1 | 2 p − 2 p − 1 + | u 2 | 2 p − 2 p − 1 ] ⋅ | Δ ω | 2 2 ≤ C ℜ ‖ ω ‖ 1 2 ≤ C ℜ ‖ z ′ ‖ M 2 2 ， 其中 C ℜ 是与初值及常数 ρ 有关而与t无关的常数。由Growall引理得 ‖ z 1 − z 2 ‖ M 2 2 ≤ e C ( ℜ ) T ‖ z 1 ( 0 ) − z 2 ( 0 ) ‖ M 2 2 ， 当且仅当 ω n ( 0 ) = 0 ，等号成立。所以就证明了解的唯一性，和对初值的连续依赖性，证毕。