system: [SYSTEM]

user: 3. 克莱因矢量规范理论与电磁力-核力统一场论要义及述评 下面我们简要叙述克莱因该规范理论中的矢量场部分的作用量密度 l g a u g e 与规范场强 B μ ν 、 B ¯ μ ν 、 A μ ν ，然后再与杨-米尔斯矢量场理论作比较，看看它们在数学上是否精确等价。下面的数学比对已经在文献 [ 18 ] 发表。为了评述方便，下面进一步指出这些数学关系。克莱因的矢量规范理论表述如下 [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] ： l g a u g e = − 1 4 ( A μ ν A μ ν + B μ ν B ¯ μ ν ) ， B μ ν = ( ∂ μ − i e ℏ c A μ ) B ν − ( ∂ ν − i e ℏ c A ν ) B μ ， B ¯ μ ν = ( ∂ μ + i e ℏ c A μ ) B ¯ ν − ( ∂ ν + i e ℏ c A ν ) B ¯ μ ， A μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ + i e ℏ c ( B μ B ¯ ν − B ν B ¯ μ ) . (1) 克莱因的表达式(规范场张量) B μ ν 、 B ¯ μ ν 和 A μ ν 出现在文献 [ 6 ] 的(30)与(31)式，拉格朗日密度 l g a u g e 出现在他的(32)式 [ 6 ]。在克莱因文内，时空脚标用的都是拉丁字母。我们为了与现在的习惯一致，将这些时空脚标改为了希腊字母。在上面公式(1)中， A μ 、 B μ 和 B ¯ μ 是由克莱因引入的SU(2)规范对称性需要的三种矢量场(不过克莱因没有指明SU(2)群。但在解释克莱因的中微子-电子二态列矩阵的规范理论时，克莱因需要引入 B μ 和 B ¯ μ )。克莱因把 A μ 解释为电磁势，耦合系数 e 是电荷(当然，在如今的弱电统一理论中，这里的 e 是弱味荷。弱味荷和U(1)弱超荷的组合，才是电荷。克莱因在1938年波兰华沙会议报告后，在缪勒提问启发下，他提到需要添加一个U(1)规范场 [ 5 ] [ 11 ]。这样克莱因的模型就与后来的弱电统一模型更加接近了)； B μ 和 B ¯ μ 的引入乃是为了解释弱力(电子与中微子之间的相互作用)。很明显，克莱因该理论是对电磁理论的推广，推广到弱同位旋二重态(克莱因在文内研究了“电子与中微子构成该二重态，让 B μ 和 B ¯ μ 场来中介”的情形。这条“弱电统一”模型构件很基本、很关键，克莱因是第一个提出该构件的人)，他同时想把电磁力与弱力统一在一起。当然，今天我们根据格拉肖-温伯格-萨拉姆弱电统一模型 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] 知道，克莱因这里还缺一个配件即U(1)规范场，正是U(1)规范场与克莱因的 A μ 一起线性组合(即温伯格混合)才得到电磁规范场。不过克莱因说准备在他的理论中添加一个U(1)规范场 [ 5 ] [ 11 ]。当然，克莱因在该文内没有具体展开。我们不清楚他后来是否对他这个看上去很像SU(2) × U(1)统一的模型进一步研究。不过，无论如何，我们可以说克莱因的电磁力-核力统一模型其实基本上具备了20多年后弱电统一模型所有必要的配件(除了希格斯机制 [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] 还未包含进去。这点下面还会进一步说明)。 在克莱因论文 [ 6 ] 中，在从式(1)到(14)中，克莱因研究了引力场中的旋量场及其拉格朗日密度。自式(15)开始，克莱因引入了 A μ 、 B μ 和 B ¯ μ ，并把质子和中子看作为同位旋二重态，之后也把中微子与电子看作为同位旋二重态，给出了同位旋二重态粒子在 A μ 、 B μ 和 B ¯ μ 作用下的拉格朗日密度和场方程。之后研究 A μ 、 和 B ¯ μ 场的拉格朗日密度。克莱因的拉格朗日密度是 l g a u g e = − β 2 4 χ r s χ r s ，   χ r s = ∇ r χ s − ∇ s χ r ，   ∇ r = ∂ ∂ x r − β χ r ∂ ∂ x 0 ， (2) 其中前两式就是克莱因文 [ 6 ] 的(26)和(27)式，上面式(2)内第三式是他文内的(9)式。在克莱因文中，用 χ r 代表规范势 A μ 、 B μ 和 B ¯ μ ，用 χ r s 代表规范场张量(场强) B μ ν 、 B ¯ μ ν 和 A μ ν (注： A μ 、 B μ 、 B ¯ μ 和 B μ ν 、 B ¯ μ ν 、 A μ ν 也是他所用的符号)。 x 0 代表额外维度(第五维)， β 是与额外维度有关的系数。对于上面式(2)内第三 式协变导数算符 ∇ r 的来源我们可以这样来理解：普通导数算符 ∂ ∂ x r 在五维时空内可以分为两部分之和 ∂ ∂ x r → ∑ s = 0 4 g r s ∂ ∂ x s → ∑ s = 1 4 g r s ∂ ∂ x s + g r 0 ∂ ∂ x 0 . (3) 在引力场可以忽略不计时，普通四维时空度规 g r s → η r s (平直度规)，那么把 ∑ s = 1 4 η r s ∂ ∂ x s 理解为普通导 数算符 ∂ ∂ x r ，而第五维的贡献 g r 0 ∂ ∂ x 0 写为 − β χ r ∂ ∂ x 0 ，这样便得到上面协变导数算符表达式(2)。从协变导 数算符 ∇ r 可以看出，克莱因的规范场 χ r 是悬挂在高维引力场中的，将高维引力场作为这些新规范场的起源。但是他的作用量密度内的 χ r s χ r s 项并非直接来自于引力场的作用量密度。克莱因提到，引力场中的作用量密度可以写为Levi-Civita联络的平方形式(即他的(23)式) [ 6 ]，因此他说“为了得到A-场与B-场的场方程，我们来考虑它们的作用量密度，它是爱因斯坦引力场方程的作用量密度的五维类比”。在卡鲁杂-克莱因理论中，我们知道Levi-Civita联络虽然可以看作一个(电磁)规范场强，但是它却没有类似 g ( A μ 1 A ν 2 − A μ 2 A ν 1 ) 这样的双线性(非线性)项的。克莱因的规范理论 B μ ν 、 B ¯ μ ν 、 A μ ν 中的非线性项并非来自引力，而是另由方案得到，具体说来，他采用了 χ r s = ∇ r χ s − ∇ s χ r (这一式倒是受引力理论启发)。我们来看克莱因是如何获得他的场强 B μ ν 、 B ¯ μ ν 、 A μ ν 的。 在克莱因的协变导数 ∇ r = ∂ ∂ x r − β χ r ∂ ∂ x 0 中，关于 x 0 ( x 0 代表第五维)的梯度算符 β ∂ ∂ x 0 起着确定 电荷系数的作用。在质子-中子二重态 Ψ 中，质子带正电而中子不带电，那么当 β ∂ ∂ x 0 作用在质子-中子二 重态 Ψ 上时，便得到 β ∂ ∂ x 0 Ψ = β ∂ ∂ x 0 ( ψ n ψ p ) = i e ℏ c ( 0 ψ p ) . (4) 此为克莱因文 [ 6 ] 中式(15)内之一。由此看出，中子 ψ n 的电荷系数为0，而质子 ψ p 的电荷系数为+1。由于克莱因的 B μ 和 B ¯ μ 场起着交换质子-中子二重态中电荷的作用，所以 B μ 和 B ¯ μ 必然要带电荷(带一个单位电荷， B μ 和 B ¯ μ 所带电荷符号相反)。克莱因将他的三个规范势 A μ 、 B μ 和 B ¯ μ 写成了如下一个矩阵的形式，见式(5)。由于 B μ 和 B ¯ μ 所带电荷符号相反、而电磁场 A μ 不带电，那么类似上面式(4)的做法，克莱因写出： χ k = ( A k B ¯ k B k A k ) ，   β ∂ χ k ∂ x 0 = i e ℏ c ( 0 − B ¯ k B k 0 ) . (5) 以上也是属于克莱因文 [ 6 ] 中式(15)内公式。我们可以看出，克莱因赋予 B ¯ k 电荷系数为 − 1 ，赋予 B k 电荷系数为 + 1 。下面我们来看克莱因的场强 χ r s = ∇ r χ s − ∇ s χ r 。克莱因直接给出了计算结果，见他的文章式(29)~(31)。这让读者觉得很突兀，有点不便于理解。为了更确切地理解克莱因的思路，我们给出具体计算步骤。先计算 χ r s 内的第一项 ∇ r χ s ，结果为 ∇ r χ s = ∂ r χ s − χ r β ∂ χ s ∂ x 0 = ∂ r χ s − χ r i e ℏ c ( 0 − B ¯ s B s 0 ) = ∂ r ( A s B ¯ s B s A s ) − i e ℏ c ( A r B ¯ r B r A r ) ( 0 − B ¯ s B s 0 ) = ( ∂ r A s ∂ r B ¯ s ∂ r B s ∂ r A s ) − i e ℏ c ( B ¯ r B s − A r B ¯ s A r B s − B r B ¯ s ) . (6) 同理，再计算 ∇ s χ r ，结果为 ∇ s χ r = ( ∂ s A r ∂ s B ¯ r ∂ s B r ∂ s A r ) − i e ℏ c ( B ¯ s B r − A s B ¯ r A s B r − B s B ¯ r ) . (7) 于是，克莱因的场强 χ r s = ∇ r χ s − ∇ s χ r 为 χ r s = ( ∂ r A s − ∂ s A r ∂ r B ¯ s − ∂ s B ¯ r ∂ r B s − ∂ s B r ∂ r A s − ∂ s A r ) − i e ℏ c ( B ¯ r B s − B ¯ s B r A s B ¯ r − A r B ¯ s A r B s − A s B r B s B ¯ r − B r B ¯ s ) . (8) 再利用 A r s 、 B r s 、 B ¯ r s 在矩阵 χ r s 内的位置(见下面)，克莱因得到这些张量的显形式 χ r s = ( A r s B ¯ r s B r s A r s ) ， A r s = ∂ r A s − ∂ s A r − i e ℏ c ( B ¯ r B s − B ¯ s B r ) ， B r s = ∂ r B s − ∂ s B r − i e ℏ c ( A r B s − A s B r ) ， B ¯ r s = ∂ r B ¯ s − ∂ s B ¯ r − i e ℏ c ( A s B ¯ r − A r B ¯ s ) . (9) 这些结果就是克莱因文 [ 6 ] 内式(29)~(31)内的结果。这些关系与前面引述的(1)式中的 B μ ν 、 B ¯ μ ν 、 A μ ν [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] 是一致的。 看起来克莱因的规范势 χ r 与杨-米尔斯的规范势 A μ = A μ i τ i 很不相同。这里， τ i = σ i / 2 是SU(2)群生成元， σ i 是三个泡利矩阵， i = 1 ， 2 ， 3 为杨-米尔斯规范群内空间指标。当克莱因的 χ r 乘上 σ 3 / 2 后，其倒有点类似杨-米尔斯的规范势 A μ = A μ i τ i ： χ r σ 3 2 = 1 2 ( A r − B ¯ r B r − A r ) ， A μ = A μ i τ i = 1 2 ( A μ 3 A μ 1 − i A μ 2 A μ 1 + i A μ 2 − A μ 3 ) = 1 2 ( A μ 3 2 W μ − 2 W μ + − A μ 3 ) . (10) 克莱因的上面做法，虽然与杨-米尔斯的标准做法很不相同，但所得到的规范场张量 A r s 、 B r s 、 B ¯ r s 却与杨-米尔斯规范场张量精确一致(下面将具体比对)。除非是克莱因方法“错错得对”，导致偶然蒙对，否则其物理意义确实值得挖掘，即要寻找他的非标准做法为什么能与基于“同位旋不变性”的标准方法结果一致的原因。 之后克莱因在论文 [ 6 ] 内讨论了与规范场 A μ 、 B μ 和 B ¯ μ 有关的其它结果，包括这种规范场 A μ 、 B μ 和 B ¯ μ 的能量-动量张量，即他的式(37)；他的式(39)与(40)分别是 A μ 场与 B μ 、 B ¯ μ 场的场方程。在 A μ 场的方程即麦克斯韦方程中，克莱因指出方程右边除了旋量粒子电荷流密度外，还多出了与 B μ 和 B ¯ μ 场有关的电荷流密度(因为 B μ 和 B ¯ μ 场带有电荷)；克莱因在他的式(41)前后研究了这两个源(旋量粒子与 B μ 、 B ¯ μ 场)的流密度之和，发现它们的总荷是守恒的，还专门研究了 B μ 和 B ¯ μ 场的总荷密度(全空间积分)；在他的式(42)之后克莱因研究了 B μ 和 B ¯ μ 场的量子化问题，给出了量子对易括号形式。 下面我们来简述杨-米尔斯规范理论基本结构 [ 1 ]。根据目前文献内的符号与惯例以及我们所使用的自然单位制( ℏ = c = 1 )，杨-米尔斯规范场强表达式是 F μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ − i g [ A μ ， A ν ] ，其中矢量规范势定义为 A μ = A μ i τ i ，SU(2)群生成元是 τ i = σ i / 2 ( σ i 是三个泡利矩阵， i = 1 ， 2 ， 3 )，满足对易关系 [ τ i ， τ j ] = i ε i j k τ k ，其中 ε i j k 是全反对称群结构常数( ε 123 = ε 231 = ε 312 = + 1 )。由此我们可以得到杨-米尔斯规范场强三个表达式： F μ ν 1 = ∂ μ A ν 1 − ∂ ν A μ 1 + g ( A μ 2 A ν 3 − A μ 3 A ν 2 ) ， F μ ν 2 = ∂ μ A ν 2 − ∂ ν A μ 2 + g ( A μ 3 A ν 1 − A μ 1 A ν 3 ) ， F μ ν 3 = ∂ μ A ν 3 − ∂ ν A μ 3 + g ( A μ 1 A ν 2 − A μ 2 A ν 1 ) . (11) 杨-米尔斯的作用量密度是 l g a u g e = − 1 4 ( F μ ν 1 F 1 μ ν + F μ ν 2 F 2 μ ν + F μ ν 3 F 3 μ ν ) 。我们定义一个 W ν ± = ( A ν 1 ± i A ν 2 ) / 2 与 W μ ν ± = ( F μ ν 1 ± i F μ ν 2 ) / 2 ，从而我们可以组合出更有物理含义的规范场强(无论在克莱因理论中还是在后来的弱电统一理论中，它们都对应于带电荷的规范场) W μ ν + = 1 2 ( F μ ν 1 + i F μ ν 2 ) = ( ∂ μ + i g A μ 3 ) W ν + − ( ∂ ν + i g A ν 3 ) W μ + ， W μ ν − = 1 2 ( F μ ν 1 − i F μ ν 2 ) = ( ∂ μ − i g A μ 3 ) W ν − − ( ∂ ν - i g A ν 3 ) W μ − . (12) 还可以进一步证明 F μ ν 3 内的 A μ 1 A ν 2 − A μ 2 A ν 1 项为 A μ 1 A ν 2 − A μ 2 A ν 1 = i ( W μ + W ν − − W μ − W ν + ) . (13) 于是杨-米尔斯规范场强第三分量为 F μ ν 3 = ∂ μ A ν 3 − ∂ ν A μ 3 + i g ( W μ + W ν − − W μ − W ν + ) = ∂ μ A ν 3 − ∂ ν A μ 3 + i g [ W μ − ( − W ν + ) − W ν − ( − W μ + ) ] . (14) 我们发现杨-米尔斯理论内的规范势 W μ + 对应于克莱因的 − B ¯ μ ，杨-米尔斯规范势 W μ − 对应克莱因的 B μ ，杨-米尔斯规范势(第三分量) A ν 3 对应克莱因的 A ν ；杨-米尔斯规范场强 W μ ν + 对应克莱因的 − B ¯ μ ν ，杨-米尔斯规范场强 W μ ν − 对应克莱因的 B μ ν ，杨-米尔斯规范场强(第三分量) F μ ν 3 对应克莱因的 A μ ν ，杨-米尔斯的耦合系数 g 对应于 e / ( ℏ c ) 。此时，克莱因的上述规范场强与杨-米尔斯的规范场强在数学上精确一致 [ 18 ]。在杨-米尔斯理论中， W μ ν + 与 W μ ν − 互为复数共轭( W μ ν − = ( W μ ν + ) * )；在克莱因的理论中，也有互为复数共轭关系 B ¯ μ ν = − ( B μ ν ) * 。格罗斯认为 [ 11 ]，克莱因的场强 A μ ν 中的 B μ B ¯ ν − B ν B ¯ μ 这一新特点“非常像杨-米尔斯理论，但实际上它不是”(This looks a lot like Yang-Mills theory. But actually it is not)；“实际上克莱因几乎构造了一个SU(2)规范理论，但并不完全”(In fact Klein almost did construct an SU(2) gauge theory; but he not quite) [ 11 ]。本作者已经在上面证实，这个评价是对克莱因的冤枉，因为式(1)克莱因的规范场张量 A μ ν 内的 B μ B ¯ ν − B ν B ¯ μ 这一项可以化为 B μ B ¯ ν − B ν B ¯ μ → W μ − ( − W ν + ) − W ν − ( − W μ + ) = W μ + W ν − − W μ − W ν + = − i ( A μ 1 A ν 2 − A μ 2 A ν 1 ) . (15) 于是克莱因的张量 变为了 A μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ + e ℏ c ( A μ 1 A ν 2 − A μ 2 A ν 1 ) 。 将克莱因的 A ν 写为杨-米尔斯的 A ν 3 ，克莱因的 A μ ν 就精确地化为了式(11)杨-米尔斯理论中的 F μ ν 3 = ∂ μ A ν 3 − ∂ ν A μ 3 + g ( A μ 1 A ν 2 − A μ 2 A ν 1 ) 。由此说明，格罗斯 [ 11 ] 评论错了。 需要指出的是，克莱因的作用量密度 l g a u g e 内有一个系数错误 [ 18 ]。根据杨-米尔斯的作用量密度，克莱因的该作用量密度括号内的项 A μ ν A μ ν + B μ ν B ¯ μ ν 应该改为 A μ ν A μ ν − 2 B μ ν B ¯ μ ν 才对。注意到关系式 B ¯ μ ν = − ( B μ ν ) * 内有一个负号，有可能克莱因没有顾及到这个负号，才导致漏掉了 B μ ν B ¯ μ ν 前的负号。此外，克莱因的 B μ ν B ¯ μ ν 前缺少因子2，这个失误有点匪夷所思。我们知道复数场的作用量密度中的系数应当是实数场作用量密度系数的两倍，如他的克莱因-戈登标量场的动能密度项 ∂ μ φ ∂ μ φ * (复场)与 ∂ μ φ ∂ μ φ / 2 (实场)系数就有该两倍关系，克莱因作为场论老手，似乎不应该漏掉 B μ ν B ¯ μ ν 前的系数2，因为 B μ ν 与 B ¯ μ ν 也是复场( B μ ν 与 B ¯ μ ν 互为复数共轭)。按照克莱因的作用量密度 l g a u g e ，来计算 B μ ν 与 B ¯ μ ν 的能量密度，它将是负数(不妥)，因此克莱因或其他人可以立即明白这个系数有问题。对于克莱因这篇论文而言，这是一个错误，但是对于一个理论体系而言，不久读者可以纠正之。因此这个系数 − 2 问题可以立即排除，它不是原则性的瑕疵 [ 18 ]。 那么克莱因是如何得到他这一正确的非阿贝尔矢量规范场强 A μ ν 、 B μ ν 和 B ¯ μ ν 的呢？在现在标准的做法当中，我们需要利用规范对称性来获得这一矢量规范场强，例如杨与米尔斯在1954年就是采用了这个方法 [ 1 ]。这种方法虽然很正确，但让这个问题(构造非阿贝尔规范场强 F μ ν )变得很难。克莱因竟然是很轻易地就解决了这一难题 [ 18 ]。根据克莱因的论文 [ 6 ]，用现代的语言表述是，克莱因用了定义 F μ ν = ∇ μ A ν − ∇ ν A μ ，其中“协变导数”为 ∇ μ = ∂ μ − i g A μ 和 ∇ ν = ∂ ν − i g A ν ，这些也即他论文中的(9)、(15)、(27)式 [ 6 ]。当然，由于第五维以及他的电荷矩阵的“干扰”，我们作为读者看到，他在写出这些结果时，也伴随着诸多复杂曲折的步骤甚至不规范的地方(按照现在的规范理论角度来看)，主要是他的协变导数 ∇ μ = ∂ μ − i g A μ 中的参数 g 旁多了一个电荷矩阵(为什么电荷矩阵不得不错放在此处？这是因为克莱因要在SU(2)对称框架内将电磁力与弱力统一起来，电荷矩阵问题是一个顽疾。这一点下面会具体讲)。由于克莱因在这块内容的叙述的复杂性，兼因该法从目前眼光看，也并不完全妥当(主要还是因他的电荷矩阵问题)，故而上面笔者只是弃其枝蔓，将克莱因该块理论分析作了简化陈述 [ 18 ]。但是，克莱因得到的结果确实就是标准的非阿贝尔规范场强 F μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ − i g [ A μ ， A ν ] 。按照规范对称性要求，像 ∇ μ A ν 这样的形式是没有意义的，因为协变导数 ∂ μ − i g A μ 只作用于规范群的基础表示如物质场 ψ 上，也就是 D μ ψ = ( ∂ μ − i g A μ ) ψ 。 ∇ μ A ν 和 ∇ ν A μ 可能没有物理意义，不过它们之差却是规范场强 F μ ν 。其实，这在黎曼几何中也已经可以领教：黎曼曲率张量是 R α β μ ν = ∂ μ Γ α ν β − ∂ ν Γ α μ β + Γ α μ σ Γ σ ν β − Γ α ν σ Γ σ μ β ，把Levi-Civita联络 Γ α ν β (此处也即黎曼对称联络即Christoffel符号)看作矩阵元，以 α ， β 作为矩阵指标，那么黎曼曲率张量可以写为 Ω μ ν = ∂ μ Γ ν − ∂ ν Γ μ + Γ μ Γ ν − Γ ν Γ μ ， (16) 进一步变为 Ω μ ν = ( ∂ μ + Γ μ ) Γ ν − ( ∂ ν + Γ ν ) Γ μ ；如果我们定义复数的联络 Γ ˜ μ = i Γ μ ，那么黎曼曲率张量 Ω ˜ μ ν = ( ∂ μ − i Γ ˜ μ ) Γ ˜ ν − ( ∂ ν − i Γ ˜ ν ) Γ ˜ μ = ∇ μ Γ ˜ ν − ∇ ν Γ ˜ μ . (17) 这与非阿贝尔规范场强 F μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ − i g [ A μ ， A ν ] 结构是一样的。如果克莱因当时已经知晓黎曼几何中 Ω ˜ μ ν 这样的曲率形式(我们知道黎曼几何理论其实也是一个规范理论)，那么他在他的矢量规范理论中模仿 Ω ˜ μ ν 来获得 F μ ν = ∇ μ A ν − ∇ ν A μ (也就天然能自动满足非阿贝尔规范对称性)，也确实是合情合理的。但本作者认为克莱因当时未必知晓上述 Ω ˜ μ ν 这样的形式(据本作者所知，上述 Ω ˜ μ ν = ∇ μ Γ ˜ ν − ∇ ν Γ ˜ μ 这样的写法，几乎在文献中没有出现过；尽管会有人想到过，但谁也不会当真)，那么克莱因的规范场强 F μ ν 是否仅是侥幸蒙对的呢？通过钻研他的论文 [ 6 ]，我们认为克莱因的这种写法( F μ ν = ∇ μ A ν − ∇ ν A μ )在他的五维时空场论中确有逻辑上的理由 [ 18 ]。前面已经说过，按照后来的杨-米尔斯理论看来，对于矢量规范场，克莱因的五维时空是一个不必要的外壳，但是在当年克莱因没有专门使用SU(2)规范对称性，因此条件相当匮乏环境下，他的五维理论恰好帮他弥补了条件不足，使得其摆脱了这个困境。克莱因论证了这样一个事实(但看起来不很具体)：当五维时空退化为四维时空时，因受第五维的影响，四维时空内的Levi-Civita联络内的普通导数算符 ∂ μ 都会带上 − i g A μ ，变为 ∇ μ = ∂ μ − i g A μ 。他的非阿贝尔规范场强 F μ ν 就产生自Levi-Civita联络。由于以上每一步都是合法的推理，因此我们不能说克莱因对矢量规范场的场强的定义 F μ ν = ∇ μ A ν − ∇ ν A μ = ( ∂ μ − i g A μ ) A ν − ( ∂ ν − i g A ν ) A μ (18) 属于偶然蒙对 [ 18 ]。虽然从后来主流物理学角度讲，克莱因的这种方法(由第五维来衍生出非阿贝尔规范场)已经被放弃，但其包含的数学上的合理要素却是他在这个问题(轻松获得非阿贝尔规范场场强)上成功的原因。从物理学史角度以及物理学研究一般过程来看，克莱因的上述建立规范场的场强的做法，是一条正常的路子 [ 18 ]。每一个重要的基础物理学理论，一般都有新旧两种提出版本：一般旧版本总是东挪西支、磕碰波折的，而新版本却能爽快利索精彩地将旧版本理论推理出来，是因为它借助了某些新的基本物理原理和理论对称性或更高一级的数学手段。1938年的克莱因理论属于前一类(旧版本)，1954年的杨-米尔斯理论属于后一类(新版本)。又例如从牛顿力学到分析力学(哈密顿力学、拉格朗日力学)、从法拉第-安培-麦克斯韦电动力学到后来用张量表述的电动力学以及电磁规范理论、从洛伦兹-爱因斯坦相对论到闵可夫斯基时空联姻理论以及庞加莱关于相对论对称性的分析，虽然旧方法显得不够系统，但在物理学史上，总是把旧方法的提出者才当作是重要的肇始者，新方法虽然在后来的教材中会被采纳，但新方法的提出者其地位肯定不如旧方法提出者高。但从克莱因矢量规范理论到杨-米尔斯理论这个线索中，克莱因的功绩几乎完全被抹煞了。这一历史与学术原因都应该分析。 既然克莱因的规范场 B μ 和 B ¯ μ 分别带一个单位的正负电荷，于是在与电磁场 A μ 耦合时也可以立即写出 B μ 和 B ¯ μ 的规范场强(物理意义十分明显，仅仅把普通导数改为协变导数即可)： B μ ν = ( ∂ μ − i e / ( ℏ c ) A μ ) B ν − ( ∂ ν − i e / ( ℏ c ) A ν ) B μ 与 B ¯ μ ν = ( ∂ μ + i e / ( ℏ c ) A μ ) B ¯ ν − ( ∂ ν + i e / ( ℏ c ) A ν ) B ¯ μ ， 此为本文上面式(1)内的关系。如果定义如下规范势与规范场张量 A μ 1 = 1 2 ( − B ¯ μ + B μ ) ， A μ 2 = 1 2 i ( − B ¯ μ − B μ ) (19) F μ ν 1 = 1 2 ( − B ¯ μ ν + B μ ν ) ， F μ ν 2 = 1 2 i ( − B ¯ μ ν − B μ ν ) ， (20) 同时也将克莱因的 A μ 写为 A μ 3 ，那么我们可以得到 F μ ν 1 ： F μ ν 1 = 1 2 [ ∂ μ ( − B ¯ ν + B ν ) − ∂ ν ( − B ¯ μ + B μ ) − i e ℏ c ( A μ 3 ( B ¯ ν + B ν ) − A ν 3 ( B ¯ μ + B μ ) ) ] = ∂ μ A ν 1 − ∂ ν A μ 1 + e ℏ c ( A μ 2 A ν 3 − A ν 2 A μ 3 ) (21) 以及得到 F μ ν 2 ： F μ ν 2 = − 1 2 i [ ∂ μ ( B ¯ ν + B ν ) − ∂ ν ( B ¯ μ + B μ ) + i e ℏ c ( A μ 3 ( B ¯ ν − B ν ) − A ν 3 ( B ¯ μ − B μ ) ) ] = ∂ μ A ν 2 − ∂ ν A μ 2 + e ℏ c ( A μ 3 A ν 1 − A ν 3 A μ 1 ) . (22) 利用同位旋空间内的转动不变性，模仿上面两式(即要求 A μ 1 、 A μ 2 、 A μ 3 的上指标具有轮换不变性)，我们可立即写出第三个规范场强 F μ ν 3 ： A μ ν = F μ ν 3 = ∂ μ A ν 3 − ∂ ν A μ 3 + e ℏ c ( A μ 1 A ν 2 − A μ 2 A ν 1 ) . (23) 利用上面对 A μ 1 和 A μ 2 的定义，这第三个规范场强可以化为 A μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ + i e ℏ c ( B μ B ¯ ν − B ν B ¯ μ ) 。此即 克莱因文内的广义“电磁场”表达式。克莱因虽然没有借助“同位旋空间内的转动不变性”(此为杨-米尔斯1954年论文 [ 1 ] 重点)，但是也得到了正确的非阿贝尔规范场强。 克莱因把质子-中子选作为同位旋二重态、把中微子-电子也选作为同位旋二重态 [ 5 ] [ 11 ]。把质子-中子选作为同位旋二重态，起始于海森堡，诸家规范理论包括后来的杨-米尔斯理论都用到了(当然现在的弱电统一模型中已经放弃了这一条，而改作u、d夸克作为弱同位旋二重态了)。但把中微子-电子也选作为同位旋二重态，克莱因是第一个，这也是正确的弱力模型的基本构件。虽然在克莱因全文中的数学展开主要是以质子-中子二重态为例来讨论的，但文中多次在谈及质子-中子同位旋二重态时，顺便也提及中微子-电子同位旋二重态。因此，克莱因理论，其实就是一个弱电统一理论的正确雏形(但他还未用到希格斯机制。希格斯机制是在1964年提出来的 [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]，1967~1968年温伯格和萨拉姆分别将它用在了SU(2) × U(1)弱电统一模型之中，才建立了完整的弱电统一模型)。 克莱因的规范势和协变导数表示如下 χ μ = ( A μ B ¯ μ B μ A μ ) ， D μ ( ψ ν ψ e ) = ( ∂ μ − κ χ μ ( i e ℏ c σ 3 − 1 2 ) ) ( ψ ν ψ e ) . (24) 其中 κ 是来自于五维引力理论的一个系数(克莱因该理论的寄主是五维广义相对论，这是统一场论余波未息所致。但这宿主本身并非必要。当然，正是因为他用了这一五维宿主，导致后人包括杨振宁等亦认为之所以克莱因理论有“类似杨-米尔斯理论的非线性特性”是因为它来自于引力场的非线性。其实并非如此)。从规范势 χ μ 看出，似乎他的 A μ 应当是U(1)规范势，不是SU(2)第三分量规范势。但实际上并非如此，因为克莱因的协变导数中，还有一个电荷矩阵 Q = ( σ 3 − 1 ) / 2 与 χ μ 乘在一起。 χ μ σ 3 才看起来更像SU(2)规范势： χ μ σ 3 = ( A μ − B ¯ μ B μ − A μ ) . (25) 在1938年会议上克莱因报告完毕，物理学家穆勒(Moeller)提了一个问题 [ 6 ] [ 11 ] (该问题作为一个论文结尾的补注，仍旧出现在文献 [ 6 ] [ 7 ] 内)：“最近实验证据显示核力场有一个中性分量，即中性汤川(Yukawa)介子似乎没有在你的理论中体现。”汤川介子理论是中子-质子间的强核力理论，不是弱衰变力理论。克莱因研究的才是弱衰变力。穆勒该问题也说明当时强力与弱力有时是不区分的。尽管穆勒该问题是指鹿为马，但是克莱因的回答却很正确(物理学中，经常会发生一个错误的问题导致正确的答案或者将正确的答案用在错误的对象上的事情)。克莱因说这可以通过引入一个对角分量( C μ 场)来解决，即 χ μ = ( A μ − C μ B ¯ μ B μ A μ + C μ ) ， χ μ σ 3 = ( A μ − C μ − B ¯ μ B μ − A μ − C μ ) . (26) 这里， C μ 以U(1)规范势的身份进入克莱因的统一场论。这与后来的弱电统一模型非常接近 [ 11 ]。 由于历史的局限性，克莱因的协变导数也不那么正确。他的协变导数算符 D μ 内含有 χ μ σ 3 − χ μ 。按照后来的眼光看来，仅仅有 χ μ σ 3 就足够了， − χ μ 是多余的。但在当时条件下，克莱因加入 − χ μ 却是有不得以的理由，因为他不得不提出一个电荷矩阵，以来区分带电的电子和不带电的中微子。目前的电荷矩阵是类似Gell-Mann―Nishijima关系，它对左手征粒子，有 Q = I W 3 + Y W / 2 ，其中 I W 3 为弱同位旋第三分量(即 I W 3 = σ 3 / 2 )， Y W 为弱超荷(对于轻子即中微子和电子， Y W = − 1 )。于是左手征轻子的电荷矩阵为 Q = ( σ 3 − 1 ) / 2 。克莱因的统一场论中也有与此一模一样的电荷矩阵，但有不同点：克莱因的电荷矩阵是整体乘在SU(2)或者U(2)规范势上的，非常复杂，且是强制命令，不像现在的格拉肖-温伯格-萨拉姆SU(2) × U(1)弱电统一模型，该电荷矩阵是对称破缺之后的自然产物。杨与米尔斯也提出过这样的电荷矩阵 [ 1 ]，他们也深知这样一个问题，但他们只是略微讨论了一下，并没有像克莱因那样进行具体运算。在今天看来，克莱因因为当时目标过于宏大(统一场论)，该电荷矩阵的引入成为了一个败笔，连带牺牲了正确的协变导数(导致协变导数内多出了不必要的一项)。这是克莱因继上面矢量规范场作用量密度系数失误问题之后的第二个错误问题。如果克莱因的目标不是那么恢宏(要把电磁力与弱力统一起来，把弱力看作广义电磁力的一部分)，那么也许可以避免这个问题。但是，话又说回来，克莱因的理论属于统一场论，基于引力，肯定要求引力去统一其它一切基本相互作用，所以这个恢宏目标是绕不过去的，那么这个错误问题是他的一个宿命、窠臼。克莱因的这一理论，成也萧何(即新规范理论和电磁力-核力统一理论的建立)，败也萧何(即电荷矩阵绕不过去，导致规范场与物质耦合错误)。 按照1938年克莱因该理论版本 [ 5 ] [ 11 ]，克莱因的电磁力-核力统一模型其实是U(2)统一模型，不是SU(2) × U(1)统一模型(说明：SU(2)与U(1)群是U(2)群的子群。在克莱因报告后的问答环节，可以看出克莱因只有一个耦合系数，而SU(2) × U(1)有两个耦合系数)。这是克莱因统一场论的第三个瑕疵问题。由于在当时(1938年会议)克莱因还没有来得及引入U(1)规范场，克莱因是把SU(2)第三分量当作是电磁场。而现在的弱电统一模型，是把SU(2)第三分量规范场与U(1)规范场的一个混合(温伯格混合)当作是电磁场的。不过克莱因不久也会立即明白这一点，这在数学中将不可避免让人认识到这一点。 克莱因对U(1)场的引入，本身含义是模糊的。不过，这个情有可原。类似有趣的模糊例子有很多，如1967年温伯格所提出的弱电统一理论 [ 3 ]，一开始就是为强力设置的，不久他发现他把一个正确的理论用在了一个错误的对象上，于是改用在弱力上，他就建立了弱电统一模型 [ 3 ]。杨与米尔斯在1954年的论文中 [ 1 ]，将他们的矢量规范理论用在了中子-质子同位旋二重态上，他们在论文中的讨论看起来像是强核力，不像是弱力。按照现在的观点看，其实也是用错了对象(至少对于中子-质子同位旋规范理论，后来已经被放弃)。有人认为杨与米尔斯是想用SU(2)规范场解释质子与中子的弱相互作用。不过根据杨-米尔斯的论文 [ 1 ]，全篇讨论的立足点之一其实更像是强核力，如在引言中就提到“强相互作用譬如 π 介子-核子就应该满足这样的同位旋守恒定律”，但从读者的角度看，论文的主体部分似乎很难看出到底是在研究强力还是弱力。从强力角度看，这种质子、中子间的同位旋是不守恒的。对于弱力来说，这种同位旋才守恒，因为中子可以衰变为质子和轻子，而轻子(电子和中微子)之间也有弱作用，质子、中子丢失的同位旋，可以交给电子和中微子。克莱因从一开始就用对了对象，即将SU(2)用在了中微子-电子弱同位旋二重态上。其他物理学家(如薛文格、格拉肖) 20多年后才做到这一点(目前他们被认作是首先提出“中微子-电子同位旋二重态”的人，但实际上克莱因才是第一人)。 总之，克莱因该统一场理论走在时代前面的优点有：用了正确的中微子-电子弱同位旋二重态、正确的规范场强、包含了SU(2)和U(1)两类矢量规范场，还有不那么重要的正确的电荷矩阵。缺点之处是：他的电荷矩阵是强制规定且整体乘在这个广义矢量规范场上，使得理论太复杂(导致规范场与物质耦合错误)；只有一个耦合系数(因此他的理论是U(2)弱电统一模型，对参数限定太死)；还未考虑到需要将SU(2)第三分量规范场与U(1)规范场进行混合(并且将混合产物当作是电磁场)。在这三个缺点当中，对于后两者，我们认为，克莱因可以立即明白及克服，因此它们不能算太大的问题。第一个问题(电荷矩阵被整体乘在SU(2)矢量规范场上)才是他的理论的致命问题，这也使得他的理论(矢量规范粒子与费米子的耦合)不再具有SU(2)规范不变性。他之所以这么做，我推测有两个原因：1) 面对解释为何中微子不与电磁场耦合这个问题，这种做法(强制命令一个电荷矩阵)是当时他能想到的最好的方法；2) 他将SU(2)规范场的第三分量看作了电磁场，他当时发表的版本还没有来得及引入U(1)矢量规范场(U(1)规范场是他在报告后的问答环节中引入的)。现在我们知道，电磁场无法在SU(2)规范对称框架描述(除非SU(2)规范对称群自发破缺到电磁U(1)规范对称群，但这样可能会产生其它问题)；电磁场其实是SU(2)规范场的第三分量与U(1)矢量规范场的混合产物(后来称为“温伯格混合”)。我们可以预测，当克莱因将U(1)规范场引入后，就大大解放了他的理论，就应该会得到类似“温伯格混合”的方案(事实上，比温伯格1967年提出“温伯格混合”早六七年，格拉肖也得到了类似的机制)。所以，能得到“温伯格混合机制”本身并不难，但克莱因能否将其利用起来且改善自己理论的不足之处，这一点就不得而知了。当然，后人也不能指望克莱因一次性解决所有问题，毕竟20~30年后的弱电统一模型也是由很多人在很多论文中完成，其中还需要借助来自实验的结果。克莱因能以一己之力在1930年代提出了30年之后正确的弱电统一模型雏形，已经不得不让人惊叹。