system: [SYSTEM]

user: 3. 主要结果 定义算子 T : P C ( J ， R ) → P C ( J ， R ) 如下 T u ( t ) = 1 Γ ( α ) ∫ t k t ( t − s ) α − 1 φ q ( f ( s ， u ) ) d t + ∑ i = 1 k 1 Γ ( α − 1 ) ∫ t − 1 k t k ( t − s ) α − 2 φ q ( f ( s ， u ) ) d t + ∑ i = 1 k − 1 t − t k Γ ( α − 1 ) ∫ t − 1 k t k ( t − s ) α − 2 φ q ( f ( s ， u ) ) d t + ∑ i = 1 k − 1 t k − t i Γ ( α − 1 ) ∫ t − 1 k t k ( t − s ) α − 2 φ q ( f ( s ， u ) ) d t + ∑ i = 1 k I i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 k ( t − t k ) Q i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 k − 1 ( t k − t i ) Q i ( u ( t i ) ) − c 1 − c 2 t 其中 c 1 = 1 δ ( b c Γ ( α ) ∑ i = 1 m + 1 ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 1 φ q ( f ( s ， u ) ) d s + b c ( 1 − t m ) Γ ( α − 1 ) ∑ i = 1 m ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 φ q ( f ( s ， u ) ) d s + ∑ i = 1 m − 1 b c ( t m − t i ) Γ ( α − 1 ) ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 φ q ( f ( s ， u ) ) d s + ∑ i = 1 m b c I i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 m b c ( 1 − t m ) Q i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 m − 1 b c ( t m − t i ) Q i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 m + 1 b d Γ ( α − 1 ) Γ ( 2 − β ) ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 φ q ( y ( s ) ) d s + b d Γ ( 2 − β ) ∑ i = 1 m Q i ( u ( t i ) ) − b x 1 − c x 0 − d x 0 Γ ( 2 − β ) ) c 2 = 1 δ ( a c Γ ( α ) ∑ i = 1 m + 1 ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 1 φ q ( f ( s ， u ) ) d s + a c ( 1 − t m ) Γ ( α − 1 ) ∑ i = 1 m ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 φ q ( f ( s ， u ) ) d s + ∑ i = 1 m − 1 a c ( t m − t i ) Γ ( α − 1 ) ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 φ q ( f ( s ， u ) ) d s + ∑ i = 1 m a c I i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 m a c ( 1 − t m ) Q i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 m − 1 a c ( t m − t i ) Q i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 m + 1 a d Γ ( α − 1 ) Γ ( 2 − β ) ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 φ q ( f ( s ， u ) ) d s + a d Γ ( 2 − β ) ∑ i = 1 m Q i ( u ( t i ) ) − a x 1 − c x 0 ) 由引理3，令 y ( t ) = f ( t ， u ( t ) ) 则边值问题(3)有解等价存在不动点，即 u = T u ，于是(3)有解当且仅当 u = T u 。 定理3：令 lim u → 0 φ q ( f ( t ， u ) ) u = 0 ， lim u → 0 I k ( u ) u = 0 ， lim u → 0 Q k ( u ) u = 0 ，并且有 Λ = 1 δ δ 1 Γ ( α + 1 ) ( m + 1 ) ( c ( a + b ) + δ ) + 1 δ δ 1 Γ ( α + 1 ) ( ( 2 m − 1 ) ( c ( a + b ) + δ ) + ( m + 1 ) ( a + b ) d Γ ( 2 − β ) )       + m ( c ( a + b ) + δ ) δ δ 2 + 1 δ ( ( 2 m − 1 ) ( c ( a + b ) + δ ) + m d ( a + b ) Γ ( 2 − β ) ) δ 3       + 1 δ ( ( a + b ) | x 1 | + 2 c + d Γ ( 2 − β ) | x 0 | ) ≤ 1 证明：首先，证明 T : P C ( J ， R ) → P C ( J ， R ) 是全连续算子， T 作用于 f ， I k ， Q k 均连续， 设 Ω 为 T : P C ( J ， R ) → P C ( J ， R ) 的有界子集，则存在常数 L i > 0   ( i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 使得 | f ( t ， u ) | ≤ L 1 ， | I k ( u ) | ≤ L 2 ， | Q k ( u ) | ≤ L 3 ， | φ q ( f ( t ， u ) ) | ≤ L 4 ，又 | c 1 | ≤ 1 δ ( b c Γ ( α ) ∑ i = 1 m + 1 ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 1 | φ q ( f ( s ， u ) ) | d s + b c ( 1 − t m ) Γ ( α − 1 ) ∑ i = 1 m ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 | φ q ( f ( s ， u ) ) | d s + ∑ i = 1 m − 1 b c ( t m − t i ) Γ ( α − 1 ) ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 | φ q ( f ( s ， u ) ) | d s + ∑ i = 1 m b c | I i ( u ( t i ) ) | + ∑ i = 1 m b c ( 1 − t m ) | Q i ( u ( t i ) ) | + ∑ i = 1 m − 1 b c ( t m − t i ) | Q i ( u ( t i ) ) | + ∑ i = 1 m + 1 b d Γ ( α − 1 ) Γ ( 2 − β ) ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 | φ q ( f ( s ， u ) ) | d s + b d Γ ( 2 − β ) ∑ i = 1 m | Q i ( u ( t i ) ) | + b | x 1 | + c | x 0 | + d | x 0 | Γ ( 2 − β ) ) ≤ 1 δ ( b c L 4 Γ ( α ) ∑ i = 1 m + 1 ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 1 d s + b c L 4 Γ ( α − 1 ) ∑ i = 1 m ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 d s + ∑ i = 1 m − 1 b c L 4 Γ ( α − 1 ) ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 d s + ∑ i = 1 m b c L 2 + ∑ i = 1 m b c ( 1 − t m ) L 3 + ∑ i = 1 m − 1 b c ( t m − t i ) L 3 + ∑ i = 1 m + 1 b d L 4 Γ ( α − 1 ) Γ ( 2 − β ) ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 d s + b d Γ ( 2 − β ) ∑ i = 1 m L 3 + b | x 1 | + c | x 0 | + d | x 0 | Γ ( 2 − β ) ) ≤ 1 δ b c ( m + 1 ) L 4 Γ ( α + 1 ) + 1 δ b c m L 4 Γ ( α ) + 1 δ ∑ i = 1 m − 1 b c m L 4 Γ ( α ) + b c m L 2 δ + b c m L 3 δ + b c ( m − 1 ) L 3 δ + 1 δ b d ( m + 1 ) L 4 Γ ( α ) Γ ( 2 − β ) + 1 δ b d m L 3 Γ ( 2 − β ) + 1 δ b | x 1 | + 1 δ c | x 0 | + 1 δ d | x 0 | Γ ( 2 − β ) | c 2 | ≤ 1 δ ( a c Γ ( α ) ∑ i = 1 m + 1 ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 1 | φ q ( f ( s ， u ) ) | d s + a c ( 1 − t m ) Γ ( α − 1 ) ∑ i = 1 m ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 | φ q ( f ( s ， u ) ) | d s + ∑ i = 1 m − 1 a c ( t m − t i ) Γ ( α − 1 ) ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 | φ q ( f ( s ， u ) ) | d s + ∑ i = 1 m a c | I i ( u ( t i ) ) | + ∑ i = 1 m a c ( 1 − t m ) | Q i ( u ( t i ) ) | + ∑ i = 1 m − 1 a c ( t m − t i ) | Q i ( u ( t i ) ) | + ∑ i = 1 m + 1 a d Γ ( α − 1 ) Γ ( 2 − β ) ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 | φ q ( f ( s ， u ) ) | d s + a d Γ ( 2 − β ) ∑ i = 1 m | Q i ( u ( t i ) ) | − a | x 1 | − c | x 0 | ) ≤ 1 δ ( a c L 4 Γ ( α ) ∑ i = 1 m + 1 ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 1 d s + a c L 4 Γ ( α − 1 ) ∑ i = 1 m ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 d s + ∑ i = 1 m − 1 a c L 4 Γ ( α − 1 ) ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 d s + ∑ i = 1 m a c L 2 + ∑ i = 1 m a c ( 1 − t m ) L 3 + ∑ i = 1 m − 1 a c ( t m − t i ) L 3 + ∑ i = 1 m + 1 a d L 4 Γ ( α − 1 ) Γ ( 2 − β ) ∫ t i − 1 t i ( t i − s ) α − 2 d s + a d Γ ( 2 − β ) ∑ i = 1 m L 3 − a | x 1 | − c | x 0 | ) ≤ 1 δ a c ( m + 1 ) L 4 Γ ( α + 1 ) + 1 δ a c m L 4 Γ ( α ) + 1 δ a c ( m − 1 ) L 4 Γ ( α ) + a c m L 2 δ + a c m L 3 δ + a c ( m − 1 ) L 3 δ + 1 δ a d ( m + 1 ) L 4 Γ ( α ) Γ ( 2 − β ) + 1 δ a d m L 3 Γ ( 2 − β ) + 1 δ a | x 1 | + 1 δ c | x 0 | | T u ( t ) | ≤ 1 δ L 4 Γ ( α + 1 ) ( m + 1 ) ( c ( a + b ) + δ ) + 1 δ L 4 Γ ( α + 1 ) ( ( 2 m − 1 ) ( c ( a + b ) + δ ) + ( m + 1 ) ( a + b ) d Γ ( 2 − β ) ) + m ( c ( a + b ) + δ ) δ L 2 + m δ ( ( 2 p − 1 ) ( δ + c ( a + b ) ) + m d ( a + b ) Γ ( 2 − β ) ) L 3 + 1 δ ( ( a + b ) | x 1 | + 2 c + d Γ ( 2 − β ) | x 0 | ) : = L 因此 ‖ T u ‖ ≤ L 。 另一方面 | T u ′ ( t ) | ≤ 1 δ a c ( m + 1 ) L 4 Γ ( α + 1 ) + a c m L 2 δ + L 3 δ ( ( m + 1 ) ( δ + a d Γ ( 2 − β ) ) + a c ( 2 m − 1 ) ) + ( a | x 1 | + c | x 0 | ) δ : = L ¯ 因此对于 t 1 ， t 2 ∈ J k ，   t 1 ≤ t 2 ，   0 ≤ k ≤ m 有 | T u ( t 2 ) − T u ( t 1 ) | ≤ ∫ t 1 t 2 ( T u ) ′ ( s ) d s ≤ L ¯ ( t 2 − t 1 ) 则 t 在每一个子空间等度连续，由Arzela-Ascoli定理， T 为全连续算子，由条件 lim u → 0 φ q ( f ( t ， u ) ) u = 0 ， lim u → 0 I k ( u ) u = 0 ， lim u → 0 Q k ( u ) u = 0 ，存在常数 r > 0 ，   δ i > 0   ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 有 | φ q ( f ( t ， u ) ) | ≤ δ 1 | u | ， | I i ( u ) | ≤ δ 2 | u | ， | Q i ( u ) | ≤ δ 3 | u | ，由 Λ = 1 δ δ 1 Γ ( α + 1 ) ( m + 1 ) ( c ( a + b ) + δ ) + 1 δ δ 1 Γ ( α + 1 ) ( ( 2 m − 1 ) ( c ( a + b ) + δ ) + ( m + 1 ) ( a + b ) d Γ ( 2 − β ) )             + m ( c ( a + b ) + δ ) δ δ 2 + 1 δ ( ( 2 m − 1 ) ( c ( a + b ) + δ ) + m d ( a + b ) Γ ( 2 − β ) ) δ 3 + 1 δ ( ( a + b ) | x 1 | + 2 c + d Γ ( 2 − β ) | x 0 | ) ≤ 1 对于 u ∈ P C ( J ， R ) ，定义 Ω = { u ∈ P C ( J ， R ) | ‖ u ‖ < r } ， u ∈ ∂ Ω 时， ‖ u ‖ = r ，有 | T u ( t ) | ≤ { 1 δ δ 1 Γ ( α + 1 ) ( m + 1 ) ( c ( a + b ) + δ ) + 1 δ δ 1 Γ ( α + 1 ) ( ( 2 m − 1 ) ( c ( a + b ) + δ ) + ( m + 1 ) ( a + b ) d Γ ( 2 − β ) ) + m ( c ( a + b ) + δ ) δ δ 2 + 1 δ ( ( 2 m − 1 ) ( c ( a + b ) + δ ) + m d ( a + b ) Γ ( 2 − β ) ) δ 3 + 1 δ ( ( a + b ) | x 1 | + 2 c + d Γ ( 2 − β ) | x 0 | ) } ‖ u ‖ P C ′ 有 ‖ T u ‖ P C ′ ≤ ‖ u ‖ P C ′ ，由定理1算子 T 至少存在一个不动点，则(3)至少存在一个解。 定理4：假设存在正常数 L i ≥ 0 ( i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 使得 | f ( t ， u ) | ≤ L 1 ， | I k ( u ) | ≤ L 2 ， | Q k ( u ) | ≤ L 3 ， | φ q ( f ( t ， u ) ) | ≤ L 4 ，则(3)至少存在一个解。 证明：由定理3，算子 T 为全连续算子，此时假设 V = { u ∈ E | u = μ T u ， 0 < μ < u } 为有界集，令 u ∈ V ，我们有 u ( t ) = μ Γ ( α ) ∫ t k t ( t − s ) α − 1 φ q ( f ( s ， u ) ) d t + μ Γ ( α ) ∑ i = 1 k ∫ t k t ( t − s ) α − 1 φ q ( f ( s ， u ) ) d t + ∑ i = 1 k μ ( t − t k ) Γ ( α − 1 ) ∫ t − 1 k t k ( t − s ) α − 2 φ q ( f ( s ， u ) ) d t + ∑ i = 1 k − 1 μ ( t k − t i ) Γ ( α − 1 ) ∫ t − 1 k t k ( t − s ) α − 2 φ q ( f ( s ， u ) ) d t + ∑ i = 1 k μ I i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 k μ ( t − t k ) Q i ( u ( t i ) ) + ∑ i = 1 k − 1 μ ( t k − t i ) Q i ( u ( t i ) ) − μ c 1 − μ c 2 t 由条件，有 | u ( t ) | = μ | T u ( t ) | ≤ 1 δ δ 1 Γ ( α + 1 ) ( m + 1 ) ( c ( a + b ) + δ ) + 1 δ δ 1 Γ ( α + 1 ) ( ( 2 m − 1 ) ( c ( a + b ) + δ ) + ( m + 1 ) ( a + b ) d Γ ( 2 − β ) )     + m ( c ( a + b ) + δ ) δ δ 2 + 1 δ ( ( 2 m − 1 ) ( c ( a + b ) + δ ) + m d ( a + b ) Γ ( 2 − β ) ) δ 3 + 1 δ ( ( a + b ) | x 1 | + 2 c + d Γ ( 2 − β ) | x 0 | ) 则对 t ∈ J ， ‖ u ( t ) ‖ P C ′ ≤ 1 δ δ 1 Γ ( α + 1 ) ( m + 1 ) ( c ( a + b ) + δ ) + 1 δ δ 1 Γ ( α + 1 ) ( ( 2 m − 1 ) ( c ( a + b ) + δ ) + ( m + 1 ) ( a + b ) d Γ ( 2 − β ) ) + m ( c ( a + b ) + δ ) δ δ 2 + 1 δ ( ( 2 m − 1 ) ( c ( a + b ) + δ ) + m d ( a + b ) Γ ( 2 − β ) ) δ 3 + 1 δ ( ( a + b ) | x 1 | + 2 c + d Γ ( 2 − β ) | x 0 | ) 又由 V 为有界集，故由定理2算子 T 至少存在一个不动点，则(3)至少存在一个解。