DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 3. 定理1的证明 假设w为方程(1)的有限级非常数亚纯解，则由引理2可知，w为超越亚纯函数。再由引理1，可以将w记为 w ( z ) = z k e Q ( z ) P 1 ( z ) P 2 ( z ) ， (5) 其中 P 1 ( z ) ， P 2 ( z ) 分别为w非零零点和极点的典型乘积， Q ( z ) 为多项式且次数不超过w的级 ρ ( w ) 。 情况1：w只有有限个零点和极点，此时 P 1 ( z ) ， P 2 ( z ) 为多项式，从而 Q ( z ) 为非常数多项式。将(5)代入(3)可得 h ( z ) = ( z + 1 ) k ( z − 1 ) k z 2 k P 2 2 ( z ) P 1 ( z + 1 ) P 1 ( z − 1 ) P 1 2 ( z ) P 2 ( z + 1 ) P 2 ( z − 1 ) e 2 Q ( z ) − Q ( z + 1 ) − Q ( z − 1 ) ， 即 e Q ( z + 1 ) + Q ( z − 1 ) − 2 Q ( z ) = ( z + 1 ) k ( z − 1 ) k z 2 k h ( z ) P 2 2 ( z ) P 1 ( z + 1 ) P 1 ( z − 1 ) P 1 2 ( z ) P 2 ( z + 1 ) P 2 ( z − 1 ) . (6) 记 Q ( z ) = a n z n + ⋯ + a 1 z + a 0 ， 其中 a n ≠ 0 ， n ≥ 1 。注意到(6)的右边是有理函数，故 Q ( z + 1 ) + Q ( z − 1 ) − 2 Q ( z ) = c . (7) 容易验证： 1) 当 n = 1 时， Q ( z + 1 ) + Q ( z − 1 ) − 2 Q ( z ) = 0 ； 2) 当 n = 2 时， Q ( z + 1 ) + Q ( z − 1 ) − 2 Q ( z ) = 2 C 2 2 − 2 a 2 z 2 − 2 ； 3) 当 n = 3 时， Q ( z + 1 ) + Q ( z − 1 ) − 2 Q ( z ) = 2 ⋅ ( C 3 2 a 3 z 3 − 2 + C 2 2 a 2 z 2 − 2 ) 。 由此再结合归纳法可得当 n ≥ 3 时， Q ( z + 1 ) + Q ( z − 1 ) − 2 Q ( z ) = 2 ∑ j = 2 n C j j − 2 a j z j − 2 ≜ b n − 2 z n − 2 + b n − 3 z n − 3 + ⋯ + b 0 ， 其中 b j = 2 C j j − 2 a j ， j = 2 ， 3 ， ⋯ ， n 。要使得(7)成立，必有 n ≤ 2 。这就得到 Q ( z ) = a 2 z 2 + a 1 z + a 0 ， 其中 a 0 ， a 1 ， a 2 为常数， a 1 ， a 2 不同时为0。 情况2：w有无穷多个零点或极点。不妨设w有无穷多个零点。注意到h为有理函数，至多有有限个零点和极点。故可以取到w的某个零点 z m 使得 h ( z m + k ) ≠ 0 ， ∞ ， ∀ k ∈ ℤ 。类似引理2的讨论，可以证明 z k − k ( k = 3 ， 4 ， ⋯ ) 都是w零点(极点)。从而在圆 { z : | z | = r ≤ s + | z m |   ( s = 1 ， 2 ， ⋯ ) } 内至少有 s − 2 个零点(极点)，从而得到 λ ( r ， w ) = lim r → + ∞ sup log N ( r ， 1 / w ) log r ≥ lim s → + ∞ log ( ( s − 2 − k ) log s ) log ( s + | z m | ) = 1 ， 或 λ ( r ， 1 / w ) = lim r → + ∞ sup log N ( r ， w ) log r ≥ lim s → + ∞ log ( ( s − 2 − k ) log s ) log ( s + | z m | ) = 1. 也就是 ρ ( w ) ≥ max { λ ( w ) ， λ ( 1 / w ) } ≥ 1 . 定理1证明完毕。
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user: 摘 要 本文使用Morse理论来研究一类拟线性椭圆方程，与已有的结果相比，我们内容包含两个新的方面：一是在非线性项共振时证明了零点的孤立性，二是在弱的条件下计算出了零点的临界群。 关键词 :拟线性椭圆方程，共振，Morse理论 Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 拟线性椭圆型方程有很好的应用背景，比如在物理上可以用来研究非牛顿流体、孤立波的传播现象及非线性弹性问题等(请参考文献 [ 1 ] )。Morse理论是目前研究具有变分结构的椭圆型方程可解性最常用的工具之一，已经在半线性椭圆方程的研究中发挥了重要的作用。使用Morse理论时，需要刻画方程对应的泛函在其孤立临界点附近的局部拓扑性质，以及泛函整体拓扑性质，并运用Morse等式等工具来得到方程非平凡解的存在性以及解的各种几何性质。但是，人们若想利用Morse理论来研究拟线性方程临界点的性质，就会产生许多技术性的困难，比如，泛函对应的空间不再是具有正交分解的Hilbert空间，而是一般的Banach空间，许多经典的理论如Gromoll-Meyer定理和Morse引理不再成立，等等。这就要求人们不断的去完善并拓展已有的工具，推广已有的理论方法，得到新的应用范围更广的临界点理论。
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user: 2. 已有结果与本文定理 假设 Ω ∈ R N 是边界光滑的有界区域，本文研究下面的拟线性椭圆方程 { − Δ p u − Δ u = f ( x ， u ) ， x ∈ Ω u = 0 ， x ∈ ∂ Ω ， (P) 这里 Δ p u = d i v ( | ∇ u | p − 2 ∇ u ) ， 2 < p < ∞ ；特别地，当 p = 2 时， Δ 2 u = Δ u 为经典的拉普拉斯算子。 假定非线性项满足下面的条件： (f 1 ) f ( x ， 0 ) = 0 ， f ∈ C ( Ω ¯ × R ， R ) 并且 | f ( x ， u ) | ≤ c ( 1 + | u | μ − 1 ) ，                   ∀ u ∈ R ， x ∈ Ω ， 这里 c > 0 是一个常数， μ ∈ [ 1 ， p * ) ，其中 p * = N p / ( N − p ) 如果 N > p ， p * = ∞ 如果 N ≤ p 。使用于(f 1 )，由文献 [ 2 ] 可知方程(P)的弱解等价于 C 1 泛函 I : W 0 1 ， p ( Ω ) → R 的临界点，这里I定义如下 I ( u ) = 1 p ∫ Ω | ∇ u | p d x + 1 2 ∫ Ω | ∇ u | 2 d x − ∫ Ω F ( x ， u ) d x 其中 F ( x ， u ) = ∫ 0 u f ( x ， t ) d t ， W 0 1 ， p ( Ω ) 的范数定义为 ‖ u ‖ = ‖ ∇ u ‖ p = ( ∫ Ω | ∇ u | p d x ) 1 p . 本文拟使用Morse理论和变分方法来研究我们的方程(P)，因此我们首先给出所需的定义以及一些预备知识(请看文献 [ 3 ] [ 4 ] )。设空间E是Banach空间， J : E → R 是 C 1 泛函。我们约定以下记号： K = { u ∈ E | J ′ ( u ) = 0 } ， J c = { u ∈ E | J ( u ) ≤ c } ， K c = { u ∈ K | J ( u ) = c } 。 下面是基本的紧性条件： 定义1.1：假设泛函 J ∈ C 1 ( E ， R ) ，若任何满足 J ( u n ) 有界， J ′ ( u n ) → 0   ( n → ∞ ) 的序列 { u n } 都有收敛子列，则称J满足Palais-Smale (简称(PS))条件。 我们用 Η q ( A ， B ) 表示拓扑对 的q阶相对奇异同调群，其系数用G表示。 定义1.2：设 u 0 为J的一个孤立临界点 J ( u 0 ) = c ，U是 u 0 的领域，使得 u 0 是J在U中唯一的临界点。我们称相对奇异同调群 C q ( J ， u 0 ) : = H q ( J c ∩ U ， J c ∩ U \ { u 0 } ) ， q ∈ N 是J在 u 0 处的q阶临界群。 下面列举方程(P)已有的一些结果。假设 0 < λ 1 < λ 2 < ⋯ < λ k < ⋯ 是算子 在空间 W 0 1 ， 2 ( Ω ) 中的特征值。如果 (g 1 ) f ∈ C 1 ( Ω ¯ × R ， R ) ，满足 λ k < f ′ ( x ， 0 ) < λ k + 1 ， 那么根据文献 [ 5 ] 得到 C q ( I ， 0 ) = δ q ， k G 。 另外，在下面的共振条件下， (g 2 ) f ∈ C 1 ( Ω ¯ × R ， R ) ，满足 f ′ ( x ， 0 ) = λ 1 及存在常数 α > 0 使得 F ( x ， u ) ≤ λ 1 2 u 2 ，           | u | ≤ α ， 文章 [ 6 ] 使用局部环绕以及有限维约化的方法得到 C q ( I ， 0 ) = δ q ， 0 G 。 其它类似的结果请参考文献 [ 5 ] [ 7 ] 。 本文主要是减弱文章 [ 6 ] 中的条件，但能得到更多的结果。假设 g ( x ， u ) = f ( x ， u ) − λ 1 u ， 满足下面条件： (f 2 ) lim | u | → 0 g ( x ， u ) u = 0 ，并且存在常数 α > 0 ， C > 0 及 2 < p < γ < p * 使得 g ( x ， u ) u ≤ C | u | γ ，           | u | ≤ α 。 本文的结果如下。 定理1.1：如果条件(f 1 )与(f 2 )成立，那么 u = 0 为泛函I的孤立临界点，并且 C q ( I ， 0 ) = δ q ， 0 G 。 注：1) 本文主要使用临界群的同伦不变性来证明定理，因此我们的泛函根据条件(f 1 )只需要是 C 1 的，而文章 [ 6 ] 中的泛函要求是 C 2 光滑； 2) 在之前的文章中，为了使用临界群，一般都是假设零点是孤立的临界点，而在我们的结果中可以证明此结论； 3) 根据条件(f 2 )，可以推出存在常数 C > 0 使得 F ( x ， u ) − λ 1 2 u 2 ≤ C | u | γ ，         | u | ≤ α ， 因此我们的条件比(g2)的范围更广；总之，我们的定理是新的。
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user: 3. 定理的证明 由文章 [ 6 ] 中的结果知泛函I在有界闭集上满足(PS)条件，所以零点临界群的定义有意义。在不引起混淆的情况下，下面我们都用C表示不同的正常数。 引理1.2：如果(f 1 )与(f 2 )成立，那么 u = 0 为泛函I的孤立临界点。 证：反设存在非零元素 u n → 0 使得 I ′ ( u n ) = 0 ，即 u n 为泛函的非零临界点，由椭圆方程的正则性估计( [ 5 ] )得到 ‖ u n ‖ C ( Ω ) = max n | u n | → 0 ， 所以当n充分大时 | u n | ≤ α ，再由(f 2 )得到 g ( x ， u n ) u n ≤ C | u n | γ ，             | u n | ≤ α 。 根据特征值的定义及 〈 I ′ ( u n ) ， u n 〉 = 0 得到 λ 1 ∫ Ω | u n | 2 d x ≤ ∫ Ω | ∇ u n | 2 d x = − ∫ Ω | ∇ u n | p d x + λ 1 ∫ Ω | u n | 2 d x + ∫ Ω g ( x ， u n ) u n d x ≤ − ‖ u n ‖ p + λ 1 ∫ Ω | u n | 2 d x + C ∫ Ω | u n | γ d x ≤ − ‖ u n ‖ p + λ 1 ∫ Ω | u n | 2 d x + C ‖ u n ‖ r 根据 p < γ < p * ，当n充分大时有 − ‖ u n ‖ p + C ‖ u n ‖ r < 0 ，此时上式表明 λ 1 ∫ Ω | u n | 2 d x ≤ ∫ Ω | ∇ u n | 2 d x < λ 1 ∫ Ω | u n | 2 d x ， 此矛盾推出 u = 0 为泛函I的孤立临界点。证毕。 为了计算零点的临界群，我们需要下面的临界群的同伦不变性定理。 命题1.3：( [ 8 ] )设X为Banach空间， Φ τ ∈ C 1 ( X ) ，其中 τ ∈ [ 0 ， 1 ] ，并且 u 0 为泛函列 Φ τ 的共同临界点。如果存在 u 0 的一个邻域U使得 1) Φ τ 在邻域U中满足(PS)条件； 2) 对于 ∀ τ ∈ [ 0 ， 1 ] ， u 0 是 Φ τ 在邻域U中的唯一临界点； 3) 算子 τ → Φ τ 是 C 1 ( U ) 光滑的； 那么我们有 C q ( Φ 0 ， u 0 ) = C q ( Φ 1 ， u 0 ) ，             ∀ q ∈ N 。 类似于文章 [ 9 ] ，对于 τ ∈ [ 0 ， 1 ] ，我们首先定义一个函数 θ ∈ C 1 ( R ， [ − α ， α ] ) 如下 θ ( u ) = { u ，                                       | u | ≤ α / 2 ， α ，                                       u ≥ α ， − α ，                         − u ≥ α ， 并定义泛函 Φ τ ∈ C 1 ( W 0 1 ， p ( Ω ) ， R ) 为 Φ τ ( u ) = 1 2 ∫ Ω | ∇ u | 2 d x + 1 p ∫ Ω | ∇ u | p d x − λ 1 2 ∫ Ω | u | 2 d x − ∫ Ω G ( x ， ( 1 − τ ) u + τ θ ( u ) ) d x ， 其中G为 g ( x ， u ) = f ( x ， u ) − λ 1 u 的原函数。明显地， Φ 0 ( u ) = I ( u ) 。 引理1.4：如果(f 1 )与(f 2 )成立，那么对于任意的 τ ∈ [ 0 ， 1 ] ， u = 0 为泛函 Φ τ 的孤立临界点。 证：反设存在 τ n ∈ [ 0 ， 1 ] 及 使得 u n 为泛函 Φ τ n 的非零临界点，即有 Φ ′ τ n ( u n ) = 0 ，再由椭圆方程的正则性估计得到 ‖ u n ‖ C ( Ω ) = max n | u n | → 0 ， 所以当n充分大时 | u n | ≤ α / 2 ，此时得到 θ ( u n ) = u n ， 所以 0 = Φ ′ τ n ( u n ) = Φ ′ 0 ( u n ) = I ′ ( u n ) ， 即 u n 为泛函I的非零临界点，这与引理1.2矛盾。证毕。 引理1.5：如果(f 1 )与(f 2 )成立，那么 C q ( Φ 1 ， 0 ) = δ q ， 0 G 证：根据 θ ∈ C 1 ( R ， [ − α ， α ] ) 的定义可知 | θ ( u ) | ≤ α ，               ∀ u ∈ W 0 1 ， p ( Ω ) ， 所以根据(f 2 )得到 Φ 1 ( u ) = 1 2 ∫ Ω | ∇ u | 2 d x + 1 p ∫ Ω | ∇ u | p d x − λ 1 2 ∫ Ω | u | 2 d x − ∫ Ω G ( x ， θ ( u ) ) d x ≥ 1 p ∫ Ω | ∇ u | p d x − C ∫ Ω | u | γ d x ≥ C ‖ u ‖ p − C ‖ u ‖ γ 因为 p < γ < p * ，当 ‖ u ‖ 充分小时 Φ 1 ( u ) ≥ 0 ，即零点为泛函 Φ 1 ( u ) 的局部极小，如此根据文献 [ 3 ] 得到我们的结论。证毕。 证明定理1.1：使用引理1.2，我们得到 u = 0 为泛函I的孤立临界点。对于任意的 τ ∈ [ 0 ， 1 ] ，条件(f 1 )保证了泛函 Φ τ 在任何的有界区域上都满足(PS)紧性条件，并且算子 τ → Φ τ 是 C 1 ( U ) 光滑的；另外，引理1.4说明 u = 0 为泛函 Φ τ 的孤立临界点。 综上所述，使用命题1.3和引理1.5，我们有 C q ( I ， 0 ) = C q ( Φ 0 ， 0 ) = C q ( Φ 1 ， 0 ) = δ q ， 0 G ， 定理证明完毕。
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user: 4. 结语 近十几年来，拟线性椭圆方程是非线性分析方向的一个热点问题，不仅因为此类方程有很好的物理生物背景，更重要的是人们发现以往处理半线性椭圆问题的工具，比如极小极大方法、上下解方法、Morse理论等，并不能直接的平移到拟线性椭圆方程中，这就给此类问题的研究带来了极大的挑战，它要求人们不断的去完善并拓展已有的工具。在无穷维Morse理论中，用两类整数来刻划泛函在其孤立临界点附近的局部拓扑性质和泛函定义域的整体拓扑性质。本文中只是研究了泛函在零点的性质，如果还能得到方程在无穷远处的几何结构，我们还可以得到方程非平凡解的存在性，这也是我们今后要研究的问题。另外，我们期望本文所得到结果和方法发展到其它变分问题上，如椭圆系统、Hamilton系统等。
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user: 摘 要 随着工业进程和城市化的加快，在城市建设中对自来水的需求量越来越大，而管道是运输自来水的重要途径。本文，基于Dijkstra算法的思想，针对管网系统中管道路线，进行了最短路线的优化设计，给出了算法步骤，并利用MATLAB编制了优化设计的计算程序，得出了管道铺设的最短路径。最后，通过进行数值试验，进一步的验证了模型的合理性、实用性，模型的建立具有很大的社会经济效益，节约了社会资源。 关键词 :最短路线，优化设计，Dijkstra算法 Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 水是生命之源，是城市发展的基础。近些年来，随着我国经济的迅猛发展，城市化进程和人口迅速扩张，城市用水量也日益剧增，城市供水面临的问题越来越突出，严重限制了城市的进一步发展。而管道是运输水源的重要途径，所以说对管道的铺设进行优化设计显得刻不容缓。管道铺设问题的优化其根本目的在于能够最大限度的缩小管道的铺设长度，其实也就是我们常说的最短路径问题。目前，国内外的专家学者对最短路线问题已经有了很多的研究。比如，王俊珺、夏华丽( [ 1 ] )选择Dijkstra算法作为核心算法；并且针对原始Dijkstra算法的不足，分别对原始Dijkstra算法的数据存储方式、执行效率和数据结构提出了优化方法；施益昌、郑贤斌等( [ 2 ] )应用Floyd算法，借助于MATLAB程序设计语言对动态规划中最短路径进行了有效的设计；赵娟、王建新( [ 3 ] )运用动态规划方法的基本思想求解最短路径问题；张水舰、刘学军等( [ 4 ] )定义了动态随机最短路径，给出了动态随机最短路径优化数学模型，提出了一种动态随机最短路径遗传算法；王树西、吴政学( [ 5 ] )通过对Dijkstra算法进行改进，解决了Dijkstra算法退出机制对不联通的有向图是无效的，会陷入死循环等问题；王荣、江东、韩惠( [ 6 ] )将Floyd与Dijkstra算法结合，优化后的算法在很大程度上减少了运算次数和时间，提高了算法的时间及空间复杂度，算法效率较高。本文主要基于Dijkstra算法的思想并作出了改进，Dijkstra算法是保证源点到各个顶点之间的路程最短，而改进后的算法是在保证经过所有顶点的前提下，使得总的路线最短，这样就提出了管道铺设最短路线的优化设计方案，给出了算法步骤，并编制出了MATLAB程序。
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user: 3. 数值算例 有一个自来水厂要给周围的5个城市供水，自来水厂和5个城市依次用1~6个数字进行表示，自来水厂和5个城市的分布图如图1所示，自来水厂到各个城市之间的距离以及5个城市之间的距离如表1，求在经过所有城市的前提下，从自来水厂如何铺设管道？ 求解思路：首先，用矩阵形式表示自来水厂和5个城市以及5个城市之间的距离，然后比较第一行中元素的大小，根据第一行元素的位置，找到下一个元素的位置，将两个元素都变为无穷大值，再比较两行的元素的大小得出最小值，再逐次往下计算。具体求解过程： Step1：用矩阵形式表示自来水厂和各个城市之间的距离以及5个城市之间的距离： Table 1 Distance between point 线段 距离(´10 5 m) 1~2 3.7 1~3 2.5 1~4 4.6 1~5 3.9 1~6 2.6 2~3 1.9 2~4 2.1 2~5 3.0 2~6 2.9 3~4 1.5 3~5 1.1 3~6 5.6 4~5 8.4 4~6 2.6 5~6 4.1 表1. 各个点之间的距离 A = ( ∞ 3.7 2.5 4.6 3.9 2.6 3.7 ∞ 1.9 2.1 3 2.9 2.5 1.9 ∞ 1.5 1.1 5.6 4.6 2.1 1.5 ∞ 8.4 2.6 3.9 3 1.1 8.4 ∞ 4.1 2.6 2.9 5.6 2.6 4.1 ∞ ) Step2：先比较第一行元素的大小值，经过比较得出第一行中最小值为 a 13 = 2.5 ，再将矩阵A中的 a 13 和 a 31 都用无穷大值替换，得到矩阵B： B = ( ∞ 3.7 ∞ 4.6 3.9 2.6 3.7 ∞ 1.9 2.1 3 2.9 ∞ 1.9 ∞ 1.5 1.1 5.6 4.6 2.1 1.5 ∞ 8.4 2.6 3.9 3 1.1 8.4 ∞ 4.1 2.6 2.9 5.6 2.6 4.1 ∞ ) 即先从自来水厂出发铺设管道到第3个城市。 Step3：比较矩阵中的第一行和第三行的元素，得最小值 a 35 = 1.1 ，再将矩阵B的 a 35 和 a 53 用无穷大值替换，得到矩阵C： C = ( ∞ 3.7 ∞ 4.6 3.9 2.6 3.7 ∞ 1.9 2.1 3 2.9 ∞ 1.9 ∞ 1.5 ∞ 5.6 4.6 2.1 1.5 ∞ 8.4 2.6 3.9 3 ∞ 8.4 ∞ 4.1 2.6 2.9 5.6 2.6 4.1 ∞ ) 图3. 管道铺设图 即从自来水厂铺设管道到第3个城市，再从第3个城市铺设管道到达第5个城市 Step4：比较矩阵中的第一行、第三行和第五行元素，得最小值是 a 34 = 1.5 ，再将矩阵C中的 a 34 和 a 43 用无穷大值替换，得到矩阵D： D = ( ∞ 3.7 ∞ 4.6 3.9 2.6 3.7 ∞ 1.9 2.1 3 2.9 ∞ 1.9 ∞ ∞ ∞ 5.6 4.6 2.1 ∞ ∞ 8.4 2.6 3.9 3 ∞ 8.4 ∞ 4.1 2.6 2.9 5.6 2.6 4.1 ∞ ) 即从自来水厂铺设管道到第3个城市，再从第3个城市铺设管道到达第5个城市，再由第3个城市铺设管道到第4个城市 Step5：依次进行下去，就可以得到管道铺设方案为从自来水厂铺设管道到第3个城市，再从第3个城市铺设管道到达第5个城市，再由第3个城市铺设管道到第4个城市，由第3个城市铺设管道到第2个城市，再由第4个城市铺设管道到第6个城市，总长为 9.6 × 10 5 m ，分布图如图3所示。 如果采用单条线路铺设方案，需要铺设的管道长度为 11.3 × 10 5 m ，而采用树状管道铺设方案只需要铺设 9.6 × 10 5 m ，与单条线路管道铺设方案相比在管道铺设长度上减少了15%，所以说树状管道铺设方案对于缩短管道铺设长度具有重要的意义。
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user: 摘 要 利用欧拉变分原理以及一个变形的山路引理，证明了一类非线性椭圆型边界值问题至少存在两个正解。 关键词 :欧拉变分原理，变形的山路引理，正解 Copyright © 2018 by author and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 考虑以下非线性椭圆型边界值问题 { − Δ p u = λ f ( x ， u ) ， x ∈ Ω   . u = 0 ， x ∈ ∂ Ω   . (1) 其中， Δ p u 是p-拉普拉斯算子且 p > 1 ， Ω 是 R n ( n ≥ 1 ) 中带有光滑边界的有界区域， λ > 0 是参数，函数 f ( x ， t ) ∈ C ( Ω ¯ × R ， R ) 满足以下条件： f1) lim t → 0 + f ( x ， t ) t p − 1 = + ∞ a.e. x ∈ Ω ¯ ； f2) lim t → + ∞ f ( x ， t ) t p − 1 = + ∞ a.e. x ∈ Ω ¯ ； f3) 存在常数 θ ≥ 1 ， θ 0 > 0 使得 θ G ( x ， s ) ≥ G ( x ， t ) − θ 0 ∀ x ∈ Ω ¯ ， 0 ≤ t ≤ s 都成立。其中， G ( x ， t ) = f ( x ， t ) t − p F ( x ， t ) 且 F ( x ， t ) = ∫ 0 t f ( x ， s ) d s ； f4) 当 n > p 时， ∃ q ∈ ( p ， n p n − p ) ；当 n ≤ p 时， ∃ q ∈ ( p ， + ∞ ) ，s. t. lim t → + ∞ f ( x ， t ) t q − 1 = 0 a.e. x ∈ Ω ¯ ； f5) 当 t ≥ 0 ， x ∈ Ω ¯ 时， f ( x ， t ) ≥ 0 ；当 t ≤ 0 ， x ∈ Ω ¯ 时， f ( x ， t ) ≡ 0 。 方程(1)是一类重要的非线性椭圆问题，因此被广泛研究，如文献 [ 1 ] - [ 6 ] 。文献 [ 1 ] 在以下条件下讨论了方程(1)解的存在性； f2') lim t → + ∞ f ( x ， t ) t p − 1 = l a.e. x ∈ Ω ¯ ，其中l是常数。 若 f ( x ， t ) 满足条件(f2')，则称 f ( x ， t ) 在无穷远处是渐近线性的；若 f ( x ， t ) 满足条件(f2)，则称 f ( x ， t ) 在无穷远处是超线性的；很明显(f2)和(f2')是不相容的。 文献 [ 2 ] [ 3 ] 在 p = 2 ， f ( x ， t ) 在无穷远处是超线性的情况下讨论了方程(1)的非平凡解。文献 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] 针对一般的 p > 1 以及超线性条件证明了方程(1)的正解的存在性。其中文献 [ 6 ] 给出了以下条件： f1') b 0 ≤ lim t → 0 + inf f ( x ， t ) t p − 1 ≤ lim t → 0 + sup f ( x ， t ) t p − 1 ≤ a ( x ) a. e. x ∈ Ω ¯ ，其中 b 0 为常数， a ( x ) ∈ L ∞ ( Ω ) 满足 ∀ x ∈ Ω ¯ ，都有 a ( x ) ≤ λ 1 ，且存在某正测集 Ω 1 ⊂ Ω 使得 a ( x ) ≤ λ 1 a. e. x ∈ Ω ¯ ， λ 1 是 − Δ p 的第一个特征值。 明显地，条件(f1)和(f1')是矛盾的。本文将在(f1)~(f5)的条件下，证明方程(1)至少存在两个正解。
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user: 2. 预备知识 定义：设E为实Banach空间， I ∈ C 1 ( E ， R ) 。如果使得 { I ( u k ) } 有界，且 ( 1 + ‖ u k ‖ ) I ′ ( u k ) → 0   ( k → ∞ ) 的任一序列 { u k } ( u k ∈ E ) 都有一个收敛子列，则称泛函I满足(C)条件。 以下是本文将要用到的一个变形的山路引理，其证明见文献 [ 7 ] 。 山路引理：设E为实Banach空间，其对偶空间为 E ∗ ， I ∈ C 1 ( E ， R ) ，且存在 α < β ， ρ > 0 及 e ∈ E ( ‖ e ‖ > ρ ) ，使得 max { I ( 0 ) ， I ( e ) } ≤ α < β ≤ inf ‖ u ‖ = ρ I ( u ) 。 记 c = inf γ ∈ Γ max 0 ≤ t ≤ 1 I ( γ ( t ) ) ，其中 Γ = { γ ∈ C ( [ 0 ， 1 ] ， E ) : γ ( 0 ) = 0 ， γ ( 1 ) = e } 为连结0与e的道路的集合。则存 在序列 { u n } ⊂ E ，使得 I ( u n ) → c ≥ β ，且 ( 1 + ‖ u n ‖ ) ‖ I ′ ( u n ) ‖ E ∗ → 0   ( n → ∞ ) 。
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user: 摘 要 本文中，我们利用Lyapunov分析方法证明了一类带病毒变异的随机SIR模型正解的全局存在唯一性，并且证明了其解在确定性模型的无病平衡点和地方病平衡点的渐近性态。 关键词 :随机微分方程，Lyapunov分析方法，伊藤积分，全局正解存在唯一性，渐近稳定性 Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 绪论 针对传染病的传播规律及防治方法的研究对人类生活健康及国计民生具有重要意义 [ 1 ] 。1927年，Kermack与McKendrick创立了著名的SIR仓室模型，为后来的研究做出了十分巨大的贡献。随后，国内外众多学者在经典的SIR仓室模型的基础上不断地完善修改，建立了大量的数学模型 [ 2 ] 。但是上述的这些模型都是确定性模型，然而现实世界中充满了随机性，所以考虑疾病传播过程中的随机因素十分重要，这样就需要建立随机模型来丰富其研究。在随机传染病中，常见的随机干扰的加入方法有以下几种：1) 对系统的参数加入随机扰动；2) 围绕随机传染病模型的正平衡点也就是地方病平衡点作随机扰动；3) 对整个系统加入随机扰动项 [ 3 ] 。 本文考虑由于病毒自身产生变异这一随机因素而导致模型的变化，假设全部输入者都是易感者，且感染者分两类：一类是病毒变异前感染者，简称变异前患者；另一类是病毒变异后感染者，简称变异后患者。变异前患者和变异后患者治愈以后变成易感者，但是有部分变异前患者不能治愈从而发展成为变异后患者。变异前患者感染易感者成为变异前患者，变异后患者感染易感者成为变异后患者，疾病的发生率为双线性发生率，且假设其不足以引起致命。由参考文献 [ 4 ] 得模型 { S ( t ) = A − μ S ( t ) − ( β 1 I 1 ( t ) + β 2 I 2 ( t ) ) S ( t ) I 1 ( t ) = β 1 I 1 ( t ) S ( t ) − ( μ + γ 1 + ε ) I 1 ( t ) I 2 ( t ) = β 2 I 2 ( t ) S ( t ) + ε I 1 ( t ) − ( μ + γ 2 ) I 2 ( t ) R ( t ) = γ 1 I 1 ( t ) + γ 2 I 2 ( t ) − μ R ( t ) (1.1) 根据疾病的传播机理，做如下的假设与说明 [ 5 ] ： 1) S ( t ) 、 I 1 ( t ) 、 I 2 ( t ) 、 R ( t ) 分别表示t时刻易感者的数目，变异前患者数目，变异后患者数目和恢复者数目。 2) 模型表示易感者感染疾病转为染病者而后获得永久免疫后从染病者进入恢复者。 3) β 1 和 β 2 分别表示 S ( t ) 和 I 1 ( t ) 、 S ( t ) 和 I 2 ( t ) 的传染率系数，且疾病发生率为双线性 β S I 。 4) A表示模型的常数输入率， μ 表示四类人的自然死亡率， ε 表示变异前患者转变为变异后患者的速率系数， γ 1 和 γ 2 分别表示变异前患者和变异后患者的恢复率系数。参数 A ， β 1 ， β 2 ， μ ， ε ， γ 1 ， γ 2 都是正常数。 5) 变异前患者的基本再生数为 R 1 = β 1 A μ ( μ + γ 1 + ε ) ，变异后基本再生数为 R 2 = β 2 A μ ( μ + γ 2 ) 。 在本文中，通过对整个模型加入随机扰动，得到下述随机系统： { d S ( t ) = [ A − μ S ( t ) − ( β 1 I 1 ( t ) + β 2 I 2 ( t ) ) S ( t ) ] d t d I 1 ( t ) = [ β 1 I 1 ( t ) S ( t ) − ( μ + γ 1 + ε ) I 1 ( t ) ] d t − σ 1 I 1 ( t ) d B 1 ( t ) d I 2 ( t ) = [ β 2 I 2 ( t ) S ( t ) + ε I 1 ( t ) − ( μ + γ 2 ) I 2 ( t ) ] d t − σ 2 I 2 ( t ) d B 2 ( t ) d R ( t ) = ( γ 1 I 1 ( t ) + γ 2 I 2 ( t ) − μ R ( t ) ) d t + σ 1 I 1 ( t ) d B 1 ( t ) + σ 2 I 2 ( t ) d B 2 ( t ) (1.2) 其中 B i ( t ) 是独立标准布朗运动且 σ i > 0 为常数是其布朗运动的强度 ( i = 1 ， 2 ) 。 由 [ 4 ] [ 6 ] [ 7 ] 知，当 R 1 ≤ 1 ， R 2 ≤ 1 时，疾病最终将消失，即模型存在着一个无病平衡点 E 0 = ( A μ ， 0 ， 0 ， 0 ) 而且这个无病平衡点是全局稳定的；当 R 1 > 1 ， R 1 > R 2 时，模型存在使得变异前患者和变异后患者共存的地方病平衡点 E 1 = ( S ∗ ， I 1 ∗ ， I 2 ∗ ， R ∗ ) 且这个点使局部渐近稳定的.在接下来的三章中，我们将通过Lyapunov分析方法分别讨论随机模型(1.2)的正解全局存在唯一性及这个模型解的渐近性态和稳定性。
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user: 3. 随机模型的解围绕确定模型无病平衡点的渐近行为 正如前文所述，当 R 1 = β 1 A μ ( μ + γ 1 + ε ) ≤ 1 ， R 2 = β 2 A μ ( μ + γ 2 ) ≤ 1 时，确定性SIR模型(1.1)存在一个无病平衡点 E 0 = ( A μ ， 0 ， 0 ， 0 ) 并且是全局稳定的。但是对于随机系统(1.2) E 0 = ( A μ ， 0 ， 0 ， 0 ) 就不再是平衡点了而且 该随机系统的解也不收敛于 E 0 。所以本章，将研究随机模型(1.2)的解在 E 0 附近的渐近行为。 定理3.1：如果 R 1 = β 1 A μ ( μ + γ 1 + ε ) < 1 ， R 2 = β 2 A μ ( μ + γ 2 ) < 1 并且满足下面的条件 β 1 < β 2 ， β 2 < μ ( μ + γ 1 ) A (3.1) 则对于任意给定的初值 ( S ( 0 ) ， I 1 ( 0 ) ， I 2 ( 0 ) ， R ( 0 ) ) ∈ R + 4 ，模型(1.2)的解是随机稳定的。 证明：首先，做变量代换 X 1 = S − A μ ， X 2 = I 1 ， X 3 = I 2 ， X 4 = R ，则原模型(1.2)可以写成下述形式 { d X 1 = ( − μ X 1 − β 1 X 1 X 2 − A β 1 μ X 2 − β 2 X 1 X 3 − A β 2 μ X 3 ) d t d X 2 = [ β 1 X 1 X 2 + A β 1 μ X 2 − ( μ + γ 1 + ε ) X 2 ] d t − σ 1 X 2 d B 1 ( t ) d X 3 = [ β 2 X 1 X 3 + A β 2 μ X 3 + ε X 2 − ( μ + γ 2 ) X 3 ] d t − σ 2 X 3 d B 2 ( t ) d X 4 = ( γ 1 X 2 + γ 2 X 3 − μ X 4 ) d t + σ 1 X 2 d B 1 ( t ) + σ 2 X 3 d B 2 ( t ) (3.2) 由此可知， X 1 ∈ R ， X 2 > 0 ， X 3 > 0 ， X 4 > 0 。现定义函数 V ( X 1 ， X 2 ， X 3 ， X 4 ) = 1 2 ( X 1 + X 2 + X 3 + X 4 ) 2 + K 1 X 2 + K 2 X 3 + K 3 X 4 其中 K 1 ， K 2 ， K 3 是待定的常数。显然函数V是正定的，由伊藤公式计算得 d V = L V d t − K 1 σ 1 X 2 d B 1 ( t ) − K 2 σ 2 X 3 d B 2 ( t ) + K 3 σ 1 X 2 d B 1 ( t ) + K 3 σ 2 X 3 d B 2 ( t ) (3.3) 其中， L V = − μ ( X 1 + X 2 + X 3 + X 4 ) 2 + K 1 [ β 1 X 1 X 2 + A β 1 μ X 2 − ( μ + γ 1 + ε ) X 2 ]     + K 2 [ β 2 X 1 X 3 + A β 2 μ X 3 + ε X 2 − ( μ + γ 2 ) X 3 ] + K 3 ( γ 1 X 2 + γ 2 X 3 − μ X 4 ) = − μ X 1 2 − μ X 2 2 − μ X 3 2 − μ X 4 2 − 2 μ X 1 X 2 − 2 μ X 1 X 3 − 2 μ X 1 X 4 − 2 μ X 2 X 3     − 2 μ X 2 X 4 − 2 μ X 3 X 4 + K 1 β 1 X 1 X 2 + A β 1 K 1 μ X 2 − K 1 ( μ + γ 1 + ε ) X 2 + K 2 β 2 X 1 X 3     + A β 2 K 2 μ X 3 + K 2 ε X 2 − K 2 ( μ + γ 2 ) X 3 + K 3 γ 1 X 2 + K 3 γ 2 X 3 − K 3 μ X 4 ≤ − μ X 1 2 − μ X 2 2 − μ X 3 2 − μ X 4 2 + ( K 1 β 1 − 2 μ ) X 1 X 2 + ( K 2 β 2 − 2 μ ) X 1 X 3 − 2 μ X 1 X 4       + [ A β 1 K 1 μ − K 1 ( μ + γ 1 + ε ) + K 2 ε + K 3 γ 1 ] X 2 + [ A β 2 K 2 μ − K 2 ( μ + γ 2 ) + K 3 γ 2 ] X 3 (3.4) 取 K 1 = 2 μ β 1 ， K 2 = 2 μ β 2 ， K 3 = min { m 1 ， m 2 } ，其中 m 1 = 2 μ ( μ + γ 1 + ε ) β 1 γ 1 − 2 A γ 1 − 2 μ ε β 2 γ 1 ， m 2 = K 2 γ 2 ( μ + γ 2 − A β 2 μ ) 我们又由定理中的条件(3.1)可知 m 1 > 0 ， m 2 > 0 ，所以就有 L V ≤ − μ X 1 2 − μ X 2 2 − μ X 3 2 − μ X 4 2 − 2 μ X 1 X 4 利用完全平方公式有 − 2 μ X 1 X 4 ≤ μ X 1 2 + μ X 4 2 ，将其带入上述不等式可得结果： L V ≤ − μ X 2 2 − μ X 3 2 ≤ 0 所以对于进行变量代换后的模型而言，就证明了模型的零解是随机稳定的。对于原模型而言就是，对于任意给定的初值，模型的解是随机稳定的。 定理证毕。
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user: 5. 数值模拟 为了验证前文的结论，我们利用MATLAB软件数值模拟了确定性模型(1.1)和随机模型(1.2)的解。 由图1可知，我们选取的参数满足 R 1 ≤ 1 ， R 2 ≤ 1 时，模型(1.1)仅存在一个无病平衡点 E 0 = ( 1 ， 0 ， 0 ， 0 ) 且是全局渐近稳定的。 从图2可以看出，当 R 1 > 1 ， R 1 > R 2 ，模型(1.1)存在地方病平衡点，并且全局渐近稳定的。地方病平衡点为 E ∗ = ( 0.6842 ， 0.0458 ， 0.0364 ， 0.2471 ) 。 图1和图3对比有模型(1.2)的解围绕(1.1)的无病平衡点做随机扰动。 图2和图4对比有模型(1.2)的解围绕(1.1)的地方病平衡点做随机扰动。 图1. S ( 1 ) = 0.5 ， I 1 ( 1 ) = 0.4 ， I 2 ( 1 ) = 0.3 ， R ( 1 ) = 0.3 ， A = 0.9 ， β 1 = 0.7 ， β 2 = 0.8 ， γ 1 = 0.5 ， γ 2 = 0.6 ， μ = 0.9 ， ε = 0.02 图2. S ( 1 ) = 0.4 ， I 1 ( 1 ) = 0.3 ， I 2 ( 1 ) = 0.2 ， R ( 1 ) = 0.2 ， A = 0.2 ， β 1 = 0.8 ， β 2 = 0.7 ， γ 1 = 0.4 ， γ 2 = 0.3 ， μ = 0.2 ， ε = 0.1 图3. S ( 1 ) = 0.5 ， I 1 ( 1 ) = 0.4 ， I 2 ( 1 ) = 0.3 ， R ( 1 ) = 0.3 ， A = 0.9 ， β 1 = 0.7 ， β 2 = 0.8 ， γ 1 = 0.5 ， γ 2 = 0.6 ， μ = 0.9 ， ε = 0.02 ， σ 1 = 0.05 ， σ 2 = 0.2 γ 1 = 0.4 ， γ 2 = 0.3 ， μ = 0.2 ， ε = 0.1 ， σ 1 = 0.05 ， σ 2 = 0.1 图4. S ( 1 ) = 0.4 ， I 1 ( 1 ) = 0.3 ， I 2 ( 1 ) = 0.2 ， R ( 1 ) = 0.2 ， A = 0.2 ， β 1 = 0.8 ， β 2 = 0.7 γ 1 = 0.4 ， γ 2 = 0.3 ， μ = 0.2 ， ε = 0.1 ， σ 1 = 0.05 ， σ 2 = 0.1
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user: 6. 总结 本文主要通过Lyapunov分析方法研究了一类带病毒变异的随机SIR模型的解及其渐近性态。首先证明了这个随机模型存在惟一的全局解。其次证明了当确定性模型(1.1)存在无病平衡点时，随机模型(1.2)满足一定的条件时，可以证明其正解将围绕确定性模型的无病平衡点做随机振动。最后证明了当确定性模型(1.1)存在地方病病平衡点时，随机模型(1.2)满足一定的条件时，可以证明其正解将围绕确定性模型的地方病平衡点做随机振动。这些性质在一定程度上揭示了模型的解在一定的条件下是稳定的。
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user: 摘 要 在本篇文章中，我们考虑一类带有线性二阶锥约束的两阶段随机规划问题，该问题的全部参数都是随机变量。我们将原问题的最优值函数改写为一个包含紧致凸约束集合的极小极大问题，利用第二阶段问题的Lagrange对偶性质，得到其最优值函数的样本均值近似(SAA)估计的渐近分布。 关键词 :二阶锥优化，两阶段随机规划问题，SAA估计的渐近分布 Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 经典的线性两阶段优化问题的模型如下： min x ∈ ℜ n     d T x + Ε [ ( θ ( x ， ξ ) ) ] s .t .         A x = b ， x ≥ 0 ，               θ ( x ， ξ ) = min y ∈ ℜ m       c T y                                             s .t .       W y + T x = h ， y ≥ 0 ， (1.1) 其中 x ∈ ℜ n ， y ∈ ℜ m 分别是第一阶段和第二阶段问题的决策变量， d ∈ ℜ n ， ξ = { c ， W ， T ， h } 是随机变量，其中 c ∈ ℜ n ， W ∈ ℜ l × m ， T ∈ ℜ l × n ， h ∈ ℜ l 。当 ξ 服从的概率分布进行扰动时， θ ( x ， ξ ) 的连续性在研究线性二阶锥问题的稳定性分析中起着关键的作用。很多文章研究过包含线性二阶锥约束的优化问题，然而所有变量都是随机的情况很少被考虑，只有少数的例外：Römisch和Wets在 [ 1 ] 中得到了最优值函数 θ ( x ， ξ ) 的Lipschitz连续性，Han和Chen在 [ 2 ] 中研究了所含参数全是随机变量的线性规划的连续性质。 本篇文章中，我们研究带有线性二阶锥约束的两阶段随机规划问题，即 θ ( x ， ξ ) 是如下问题的最优值函数： P ( x ， ξ )       min y ∈ ℜ m       c T y                             s .t .         a i T y + q i T x − b i ≥ ‖ B i y ‖ 2 ， i = 1 ， ⋯ ， l (1.2) ξ = ( c ; A ; Q ; B ; b ) 是随机变量，其中 c : Ω → ℜ m ， A = ( a 1 ， ⋯ ， a l ) T : Ω → ℜ l × m ， b : Ω → ℜ l ， Q = ( q 1 ， ⋯ ， q l ) T : Ω → ℜ l × n ，以及 B = ( B 1 ; ⋯ ; B l ) ， B i : Ω → ℜ J × m ， i = 1 ， ⋯ ， l 。 令 g i ( x ， y ; ξ ) : = ( B i y ， a i T y + q i T x − b i ) ， i = 1 ， ⋯ ， l ， Θ J + 1 = { ( s ， t ) ∈ ℜ J × ℜ : t ≥ ‖ s ‖ 2 } ⊂ ℜ J + 1 是一个二阶锥， 则问题(1.2)可以改写为 min y       c T y s .t .       g i ( x ， y ; ξ ) ∈ Θ J + 1 ， i = 1 ， ⋯ ， l 学者们对于此问题的最优值函数和最优解集映射进行了定性和定量的稳定性分析 [ 3 ] ，并研究了其扰动问题和对偶问题最优解集的上半连续性以及最优解集的Hadamard方向可微性 [ 4 ] 。在此基础上，本文利用该问题的样本均值近似(SAA)估计的渐近分布来研究其统计推断。 SAA方法是研究一般随机规划问题的常用方法。考虑问题 min x ∈ X f ( x ) : = Ε [ F ( x ， ξ ) ] (1.3) 其中X是 ℜ n 空间的一个非空闭子集，函数 F : X × Ξ → ℜ ， ξ 是概率分布P在支撑集合 Ξ ∈ ℜ d 上产生的随机变量。如果目标函数 F ( x ， ξ ) 是某个问题的最优值函数，那么问题(1.3)就可以被考虑为一个两阶段随机规划问题。我们假设期望值函数 f ( x ) 是有定义的，并且对于所有的 x ∈ X ，是有限的，即对于每一个 x ∈ X ， ξ ∈ Ξ ，最优值 F ( x ， ξ ) 取得有限值。SAA方法的思想是选取随机变量 ξ 的N个样本真实值 ξ 1 ， ⋯ ， ξ N ，样本真实值由蒙特卡罗方法模拟得到的N个历史观察值。对于 x ∈ X ，期望值函数 f ( x ) 可以由 F ( x ， ξ i ) ， j = 1 ， ⋯ ， N 的平均值估计得出。那么问题(1.3)可以被如下问题近似： min x ∈ X { f ^ N ( x ) : = 1 N ∑ j = 1 N F ( x ， ξ j ) } . 在随机规划的研究过程中，King和Wets [ 5 ] 以及Robinson [ 6 ] 利用上图收敛分析研究了SAA估计的一致性。King和Rockafellar [ 7 ] 以及Shapiro [ 8 ] 研究了随机规划问题最优解的近似SAA估计。 本篇文章中，我们给出了问题(1.2)的Lagrange对偶问题，从而将原问题的最优值函数改写成一个极大极小问题，利用最优值函数的Hadamard方向可微性和Delta定理得到了线性二阶锥两阶段随机规划问题最优值函数的SAA估计的近似分布。
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user: 3. 结论 本文基于线性二阶锥两阶段随机规划问题和其对偶问题最优解集的上半连续性，以及最优值函数的Hadamad方向可微性，研究了最优值函数的统计推断。利用Delta定理，我们推导出所有变量都是随机变量的两阶段随机规划问题的SAA估计的渐近分布。
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user: 摘 要 针对传统点云压缩算法中主要应用法向量、曲率等测度来描述目标区域几何信息，易受噪点影响，无法保证压缩精度的问题，提出一种顾及几何形态与密度分布的点云迭代压缩算法。本文首先利用三维高斯核函数对原始点云进行平滑处理，依据点平滑前后平坦度变化分量与密度变化分量来衡量当前点在点云中的重要度，然后迭代去除重要度最低的点，并计算该点影响范围点集，更新其重要度，最终实现点云压缩。采用两份数据对本文算法进行验证，并与三种经典压缩方法进行对比，实验表明，相较于其他三种方法，本算法压缩结果在点分布均匀的同时，能够较好的保留特征点集。 关键词 :点云压缩，高斯核函数，平滑距离，点重要度 Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 三维激光扫描能够快速获取目标表面的高精度三维坐标，被广泛应用于道路测量、变形监测、城市建模、逆向工程等方面 [ 1 ]。但高精度的三维点云数据中往往存在大量的冗余，给存储空间提出严峻要求的同时也会给后续处理带来极大的额外负担 [ 2 ]。因此，在保留点云特征的前提下，对点云数据进行压缩就显得很有必要，而衡量一个压缩算法的优劣不仅仅在于其压缩效率，更在于压缩后点云数据的特征保留程度 [ 3 ]。 近年来，众多学者对点云数据压缩算法进行了研究，并取得了众多的成果。从压缩处理对象来分，可分为点云数据编码压缩 [ 4 ] 与点云几何信息压缩两类。数据编码压缩算法重点在于解决三维坐标浮点数值造成的精度浪费，并没有实际减少点云个数，无法获取较高的压缩率，因此，本文研究方向为基于点云几何信息压缩，根据压缩准则的不同，基于几何信息的压缩算法可分为两类：基于格网的压缩与基于无序点的压缩 [ 5 ]。 基于网格的压缩算法基本原理为，对点云数据构建多边形格网，如狄洛尼三角网，去除冗余的三角面片来实现点云压缩 [ 6 ]，其缺点在于对大量的点云数据构建格网计算复杂且耗时。 基于无序点云的压缩算法则直接作用于点，复杂度低，其重点在曲面变化度量的计算。激光扫描线上的特征点坐标增量大于非特征点坐标增量，蔺小虎 [ 7 ] 以此为度量将一维的坐标增量压缩算法发展至二维，对二维方向上坐标增量小于阈值的点进行合并，该算法对点云扫描方式要求苛刻；杨景路 [ 8 ] 以法向量夹角与曲率为度量，将点云数据划分为高曲率与低曲率区域，分别进行不同阈值的法向量夹角压缩，该方法保留了更多的特征区域，但没有考虑压缩过程中的信息变化；特征区域法向量夹角变化不确定性高，其局部信息熵较非特征区域点高 [ 9 ]，Xuan W [ 10 ] 与陈璋雯 [ 11 ] 以此作为衡量点重要度准则，迭代去除重要度最低的点，并更新各点的重要度，但法向量、曲率估计易受噪声影响 [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] ；Shi baoquan [ 15 ] 利用局部法向量夹角度量对点云数据进行K-Means聚类，并细分边缘类，最后以类中心来代替该类实现点云的压缩；王艺楠 [ 16 ] 则利用点的FPFH特征代替传统的法向量、曲率度量对点云进行模糊聚类，此类基于聚类思想的压缩算法受初始聚类中心影响大，鲁棒性低。对压缩后的点云质量评价研究中，Mark Pauly [ 17 ] 在实现坐标增量、聚类、粒子模拟三种压缩方法的基础上利用二次误差测量对压缩效果进行了定量评价。 针对上述点云压缩算法的问题，本文提出了一种顾及几何形态与密度分布的点云迭代压缩算法。首先，利用高斯核函数获取当前点在平滑前后的位移量，将其分解为平坦度变化分量与密度变化分量，分别赋予不同的权重系数来衡量当前点在点云中的重要度。之后，迭代去除重要度最小的点，并更新影响范围点重要度，直至达到指定的压缩率。最后，选取三种经典压缩方法进行对比实验，并利用Geomagic软件建立压缩前后模型，计算模型偏差对算法结果进行定量评价。结果表明，本文方法相较于其他常用方法能够在保证效率的同时有效的保留点云特征，简化结果点云分布均匀，无需聚类因而稳定性高，并避免了传统曲面变化度量，如曲率，易受噪声影响的问题。