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user: 3. 体积不等式 对于 u ∈ S n − 1 ，通过(17)，(1)，(8)，(7)，(3)和(13)，有 h Γ 2 ( K ， L ) + 2 Λ 2 ( K ， L ) 2 ( u ) = h Γ 2 ( K ， L ) 2 ( u ) + h Λ 2 ( K ， L ) 2 ( u ) = ( n + 2 ) ∫ K | y | 2 d y / V 1 ( K ， L ) = h c 1 B 2 ( u ) = c 1 2 . 通过(19)，(15)和(16)，有 ρ Γ 2 * ( K ， L ) + ˜ − 2 Λ 2 * ( K ， L ) − 2 ( u ) = ρ Γ 2 * ( K ， L ) − 2 ( u ) + ρ Λ 2 * ( K ， L ) − 2 ( u ) = h Γ 2 ( K ， L ) 2 ( u ) + h Λ 2 ( K ， L ) 2 ( u ) = h c 1 B 2 ( u ) = ρ c 1 − 1 B − 2 ( u ) ， 其中 c 1 2 = ( n + 2 ) ∫ K | y | 2 d y / V 1 ( K ， L ) . 经典的Blaschke-Santalo不等式陈述为：对于 K ∈ K o n 是原点对称的，那么 V ( K ) V ( Γ 2 * K ) ≤ ω n 2 ， (29) 其中等号成立当且仅当K是原点对称的椭球。Lutwak和Zhang在文献 [ 9 ] 中将(29)式推广到Lp空间。我们将建立椭球 Λ 2 * ( K ， L ) 形式的不等式(29)。 定理 3.1：如果 K ， L ∈ S o n 和L包含原点在其内部，那么 V ( K ) V ( Λ 2 * ( K ， L ) ) ≤ ω n 2 / ( n − 1 ) n / 2 ， (30) 其中等号成立当且仅当K和L是原点对称的球。 假设 K 2 ， ⋯ ， K n ， L ∈ S o n 和L包含原点在其内部，对于 p ≥ 1 ，凸体 T p ( K 2 ， ⋯ ， K n ， L ) 的支撑函数定义为： h T p ( K 2 ， ⋯ ， K n ， L ) p ( x ) = ( n + p ) n − 1 ∫ K 2 ⋯ ∫ K n [ x ， x 2 ， ⋯ ， x n ] p d x 2 ⋯ d x n / V 1 ( K 2 ， L ) V 1 ( K 3 ， B ) ⋯ V 1 ( K n ， B ) . (31) 通过极坐标转化为： h T p ( K 2 ， ⋯ ， K n ， L ) p ( x ) = ∫ S n − 1 ⋯ ∫ S n − 1 [ x ， v 2 ， ⋯ v n ] p ρ K 2 n + p ( v 2 ) ⋯ ρ K n n + p ( v n ) d v 2 ⋯ d v n / V 1 ( K 2 ， L ) V 1 ( K 3 ， B ) ⋯ V 1 ( K n ， B ) . (32) 易知：凸体 T p ( K 2 ， ⋯ ， K n ， L ) 是一个椭球。 T p 的仿射性如下： 定理3.2：如果 p ≥ 1 ， ϕ ∈ G L ( n ) 和 K 2 ， ⋯ ， K n ， L ∈ S o n ，那么 T p ( ϕ K 2 ， ⋯ ， ϕ K n ， ϕ L ) = | det ϕ | ( p + 1 ) / p ϕ − t T p ( K 2 ， ⋯ ， K n ， ϕ L ) . 证明：通过(31)，(12)和(13)，有 h T p ( ϕ K 2 ， ⋯ ， ϕ K n ， ϕ L ) p ( x ) = ( n + p ) n − 1 ∫ ϕ K 2 ⋯ ∫ ϕ K n [ x ， x 2 ， ⋯ ， ϕ x n ] p d x 2 ⋯ d x n / V 1 ( ϕ K 2 ， ϕ L ) V 1 ( ϕ K 3 ， B ) ⋯ V 1 ( ϕ K n ， B ) = ( n + p ) n − 1 ∫ K 2 ⋯ ∫ K n [ x ， ϕ x 2 ， ⋯ ， ϕ x n ] p | det ϕ | n − 1 d x 2 ⋯ d x n / | det ϕ | n − 2 V 1 ( K 2 ， L ) V 1 ( K 3 ， ϕ − 1 B ) ⋯ V 1 ( K n ， ϕ − 1 B ) = ( n + p ) n − 1 ∫ K 2 ⋯ ∫ K n [ ϕ − 1 x ， x 2 ， ⋯ ， x n ] p | det ϕ | p + 1 d x 2 ⋯ d x n / V 1 ( K 2 ， L ) V 1 ( K 3 ， B ) ⋯ V 1 ( K n ， B ) = | det ϕ | p + 1 h T p ( K 2 ， ⋯ ， K n ， L ) p ( ϕ − 1 x ) = h | det ϕ | ( p + 1 ) / p ϕ − t T p ( K 2 ， ⋯ ， K n ， L ) p ( ϕ − 1 x ) . 对于 p ≥ 1 ， K ， L ∈ S o n 和L包含原点在其内部，凸体 Λ p ( K ， L ) 的支撑函数为： h Λ p ( K ， L ) p ( x ) = ( n + p ) ∫ K [ x ， y ] p d y / V 1 ( K ， L ) . 当 p = 2 时，凸体 Λ p ( K ， L ) 是(8)中定义的椭球。 定理3.3：如果 p ≥ 1 ， K ， L ∈ S o n 和L包含原点在其内部，那么仅仅存在一个与n，p有关的常数 c n ， p > 0 ，使得 T p ( K ， B ， ⋯ ， B ， L ) = c n ， p Λ p ( K ， L ) . 特别地， T 2 ( K ， B ， ⋯ ， B ， L ) = ( ( n − 2 ) ! ) 1 / 2 Λ 2 ( K ， L ) . (33) 证明：假设 K 2 = K 和把 K 3 = ⋯ = K n = B 代入(32)中，结合引理2.1，有 h T p ( K ， B ， ⋯ ， B ， L ) p ( x ) = ∫ S n − 1 ⋯ ∫ S n − 1 [ x ， v 2 ， ⋯ ， v n ] p ρ K n + p ( v 2 ) d v 2 ⋯ d v n / V 1 ( K ， L ) ω n n − 2 = c n ， p ∫ S n − 1 [ x ， v 2 ] p ρ K n + p ( v 2 ) d v 2 / V 1 ( K ， L ) = c n ， p ( n + p ) ∫ K [ x ， y ] p d y / V 1 ( K ， L ) = h c n ， p Λ p ( K ， L ) p (x) 其中常数 c n ， p = ( ∫ S n − 1 ⋯ ∫ S n − 1 ( [ x ， v 2 ， ⋯ ， v n ] / [ x ， v 2 ] ) p d v 3 ⋯ d v n / ω n n − 2 ) 1 / p . 特别地 c n ， 2 = ( ( n − 1 ) ! ) 1 / 2 ，通过(24)，得到(33)。 定理3.4：如果 K 2 ， ⋯ ， K n ， L ∈ S o n 和L包含原点在其内部，那么 V ( Γ 2 ( K 2 ， L ) ) ⋯ V ( Γ 2 ( K n ， L ) ) V ( T 2 * ( K 2 ， ⋯ ， K n ， L ) ) ≤ ( ( n − 1 ) ! ) − n / 2 ω n n ， (34) 其中等号成立当且仅当 Γ 2 ( K i ， L ) ， i = 2 ， ⋯ ， n 是球。 证明：通过(21)，(16)，不等式(34)的左边是 G L ( n ) 不变量，那么我们假设 T 2 ( K 2 ， ⋯ ， K n ， L ) = B ， (35) 则有 1 = h T 2 ( K 2 ， ⋯ ， K n ， L ) p ( v ) = ∫ K 2 ⋯ ∫ K n [ x ， v 2 ， ⋯ ， v n ] 2 ρ K 2 n + 2 ⋯ ρ K n n + 2 d v d v 2 ⋯ d v n / V 1 ( K 2 ， L ) V 1 ( K 3 ， B ) ⋯ V 1 ( K n ， B ) . (36) 关于球面Legendre测度积分得 n ω n = ∫ K 2 ⋯ ∫ K n [ x ， v 2 ， ⋯ ， v n ] 2 ρ K 2 n + 2 ⋯ ρ K n n + 2 d v d v 2 ⋯ d v n / V 1 ( K 2 ， L ) V 1 ( K 3 ， B ) ⋯ V 1 ( K n ， B ) . (37) 通过(26)和(27)，有 D ( [ B ] ， [ K 2 ， L ] ， ⋯ ， [ K n ， L ] ) = 1 / ( n − 1 ) ! ， (38) 其中 D ( [ B ] ， [ K 2 ， L ] ， ⋯ ， [ K n ， L ] ) 关于正定的 n × n 矩阵的判别式定义为 [ B ] = ∫ S n − 1 v ⊗ v d v / ω n = I n ， (39) [ K 2 ， L ] = ( n + 2 ) ∫ K 2 y ⊗ y d y / V 1 ( K 2 ， L ) ， (40) [ K i ， L ] = ( n + 2 ) ∫ K i y ⊗ y d y / V 1 ( K i ， B ) ， (41) 通过(1)，(22)，(38)，(39)，(28)和(35)，得 1 / ( n − 1 ) ! = D ( [ I n ] ， [ K 2 ， L ] ， ⋯ ， [ K n ， L ] )                             ≥ ( V ( Γ 2 ( K 2 ， L ) ) ω n − 1 ) 2 / n ⋯ ( V ( Γ 2 ( K n ， L ) ) ω n − 1 ) 2 / n                             = V ( Γ 2 ( K 2 ， L ) ) 2 / n ⋯ V ( Γ 2 ( K n ， L ) ) 2 / n V ( T 2 * ( K 2 ， ⋯ ， K n ， L ) ) 2 / n ， 得到不等式(34)。通过(28)，(39)中的等式成立当且仅当 [ K i ， L ] = λ i I n ， i = 2 ， ⋯ ， n 对于实数 λ i 。进而得到 Γ 2 ( K i ， L ) ， i = 2 ， ⋯ ， n 是球。 定理3.5：如果 K 2 ， ⋯ ， K n ， L ∈ S o n 和 K 2 ， ⋯ ， K n ⊆ L ，那么 V ( K 2 ) ⋯ V ( K n ) V ( T 2 * ( K 2 ， ⋯ ， K n ， L ) ) ≤ ( ( n − 1 ) ! ) − n / 2 ω n n ， (42) 其中等号成立当且仅当 K i ， L ， i = 1 ， ⋯ ， n 是关于原点中心对称的球。 证明：通过(2)和(34)，我们有 ( ( n − 1 ) ! ) − n / 2 ω n n ≥ V ( Γ 2 ( K 2 ， L ) ) ⋯ V ( Γ 2 ( K n ， L ) ) V ( T 2 * ( K 2 ， ⋯ ， K n ， L ) )                                               ≥ V ( Γ 2 K 2 ) ⋯ V ( Γ 2 K n ) V ( T 2 * ( K 2 ， ⋯ ， K n ， L ) )                                               ≥ V ( K 2 ) ⋯ V ( K n ) V ( T 2 * ( K 2 ， ⋯ ， K n ， L ) ) ， 由(34)的等式条件和(2)，不等式(42)等式成立当且仅当 K i ， L ， i = 1 ， ⋯ ， n 是关于原点中心对称的球。 通过定理3.4和(16)，得到定理3.1。结合不等式(29)和 Λ 2 ( K i ， L ) 是关于原点中心对称的球得到不等式(9)。