system: [SYSTEM]

user: 7. 有关几何相位的讨论 我们再讨论几个与几何相位有关的问题：绝热近似、含时Schrödinger方程的解的幺正变换、不变量与哈密顿量的关系、有几何相位的体系的特征等。 1) 所谓绝热(绝热近似、绝热条件)，对一个二态体系而言，就是指它的哈密顿量算符内的演化参数如 ω (哈密顿量在参数空间内的进动频率)远远小于 ω 0 (二态跃迁频率) [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]，那么我们就有 λ − θ → 0 。所以，在绝热情形的例子中，量子系统的哈密顿量算符 H ( t ) 与Lewis-Riesenfeld不变量算符 I ( t ) [ 24 ] 是十分接近的、几乎相等的(因此我们可以用量子系统的哈密顿量算符 H ( t ) 代替不变量算符 I ( t ) ，也就是说， H ( t ) 可以近似允许有瞬时本征态，那么自然Lewis-Riesenfeld不变量算符 I ( t ) 也就不再需要了) [ 26 ]。但是，对于非绝热情形，哈密顿量 H ( t ) 与不变量算符 I ( t ) 相差太大 [ 26 ]，不变量算符 I ( t ) 有本征态，但哈密顿量算符 H ( t ) 没有(瞬时)本征态(即认为“哈密顿量 H ( t ) 有瞬时本征态”的观点是错误的，这是因为如果有瞬时本征态，那么这就与含时Schrödinger方程相悖) [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]。还有一种情形也值得考虑：那就是哈密顿量中耦合项比较小，即 sin θ 接近于零。此时从不变量辅助方程可以看出， λ ˙ → 0 、 γ ˙ → ω 0 cos θ ， V + H V − V + i ∂ ∂ t V = [ ω 0 ( cos θ cos λ + sin θ sin λ cos ( φ − γ ) ) + γ ˙ ( 1 − cos λ ) ] σ 3 2 → [ ω 0 cos θ cos λ + ω 0 cos θ ( 1 − cos λ ) ] σ 3 2 = ω 0 cos θ σ 3 2 。 如果哈密顿量携带含时谐振荡因子，我们总可以通过一个幺正变换，将哈密顿量变为不含时的哈密顿量算符。此时，不变量也可以由含时变为不含时。这种情形就不再属于是绝热条件的问题了，它是一种在根本上就可以化为定态系统的情形。 2) 下面讨论一下含时Schrödinger方程的解的幺正变换(规范变换)： 如果 | ψ ( t ) 〉 S = exp ( 1 i φ ( t ) ) | ψ ( t ) 〉 已经是含时Schrödinger方程的解，满足 i ∂ ∂ t [ exp ( 1 i φ ( t ) ) | ψ ( t ) 〉 ] = H ( t ) [ exp ( 1 i φ ( t ) ) | ψ ( t ) 〉 ] ， 我们来看一个幺正变换： | Ψ ( t ) 〉 = U ( t ) | ψ ( t ) 〉 。我们设 exp ( 1 i φ ˜ ( t ) ) | Ψ ( t ) 〉 也满足Schrödinger方程，那么么正变换结果如下 i ∂ ∂ t [ exp ( 1 i φ ˜ ( t ) ) | Ψ ( t ) 〉 ] = i ∂ ∂ t [ exp ( 1 i ( φ ˜ ( t ) − φ ( t ) ) ) U exp ( 1 i φ ( t ) ) | ψ ( t ) 〉 _ ] = i { ∂ ∂ t [ exp ( 1 i ( φ ˜ ( t ) − φ ( t ) ) ) U ] } exp ( 1 i φ ( t ) ) | ψ ( t ) 〉 + exp ( 1 i ( φ ˜ − φ ( t ) ) ) U i ∂ ∂ t [ exp ( 1 i φ ( t ) ) | ψ ( t ) 〉 _ ] = i { ∂ ∂ t [ exp ( 1 i ( φ ˜ ( t ) − φ ( t ) ) ) ] } exp ( 1 i φ ( t ) ) U | ψ ( t ) 〉 + exp ( 1 i φ ˜ ( t ) ) i ∂ U ∂ t U − 1 ( U | ψ ( t ) 〉 ) + exp ( 1 i ( φ ˜ ( t ) − φ ( t ) ) ) U H exp ( 1 i φ ( t ) ) | ψ ( t ) 〉 。 它可以进一步化为如下形式： i ∂ ∂ t [ exp ( 1 i φ ˜ ( t ) ) | Ψ ( t ) 〉 ] = i { ∂ ∂ t [ exp ( 1 i ( φ ˜ ( t ) − φ ( t ) ) ) ] } exp ( 1 i φ ( t ) ) U | ψ ( t ) 〉 + exp ( 1 i φ ˜ ( t ) ) i ∂ U ∂ t U − 1 ( U | ψ ( t ) 〉 )       + exp ( 1 i ( φ ˜ ( t ) − φ ( t ) ) ) exp ( 1 i φ ( t ) ) U H U − 1 ( U | ψ ( t ) 〉 ) = i { ∂ ∂ t [ exp ( 1 i ( φ ˜ ( t ) − φ ( t ) ) ) ] } exp ( 1 i φ ( t ) ) U | ψ ( t ) 〉 + i ∂ U ∂ t U − 1 [ exp ( 1 i φ ˜ ( t ) ) | Ψ ( t ) 〉 ]       + U H U − 1 [ exp ( 1 i φ ˜ ( t ) ) | Ψ ( t ) 〉 ] 。 我们希望结果等于 H U [ exp ( 1 i φ ˜ ( t ) ) | Ψ ( t ) 〉 ] 。下面我们来得到 H U ： H U = U H U − 1 + i ∂ U ∂ t U − 1 ， ∂ ∂ t [ exp ( 1 i ( φ ˜ ( t ) − φ ( t ) ) ) ] = 0 。 所以， φ ˜ ( t ) = φ ( t ) + φ 0 ( φ 0 为常数相位，但常数相位是没有什么意义的)。我们发现，如果幺正变换算符 U ( t ) 本身不携带相位因子的话，在这样的幺正变换下，Schrödinger方程的解的相位本身是不变的。 3) 下面我们来研究SU(2)含时三生成元体系的不变量算符与哈密顿量算符的数学关系(相关的性质可能在一些文献内已经有隐现或交代 [ 2 ] [ 24 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] )，这可以让读者进一步理解不变量算符和哈密顿量算符之间的依赖关系。Lewis-Riesenfeld不变量算符和量子系统的哈密顿量算符的生成元系数各自可以写为三维空间的单位矢量 l ( t ) 和 h ( t ) 形式，即 l ( t ) = [ sin λ ( t ) cos γ ( t ) ， sin λ ( t ) sin γ ( t ) ， cos λ ( t ) ] ， h ( t ) = [ sin θ ( t ) cos φ ( t ) ， sin θ ( t ) sin φ ( t ) ， cos θ ( t ) ] 。 于是不变量和哈密顿量算符可以各自写成以上单位矢量 l ( t ) 和 h ( t ) 与由SU(2)三个生成元构成的矩阵矢量的点乘。设哈密顿量 H ( t ) 与不变量算符 I ( t ) 的矢量系数之间的夹角是 α ，那么可以证明： cos α = cos θ ( t ) cos λ ( t ) + sin θ ( t ) sin λ ( t ) cos ( γ − θ ) 。这只要计算 h ( t ) 在 l ( t ) 上的投影就可以了： h ⋅ l = sin θ cos φ sin λ cos γ + sin θ sin φ sin λ sin γ + cos θ cos λ = cos θ cos λ + sin θ sin λ ( cos φ cos γ + sin φ sin γ ) = cos θ cos λ + sin θ sin λ cos ( φ − γ ) 。 在与不变量有关的幺正变换方法中，经幺正变换之后的哈密顿量是 V + H V − V + i ∂ ∂ t V = { ω 0 ( t ) [ cos θ cos λ + sin θ sin λ cos ( φ − γ ) ] + γ ˙ ( 1 − cos λ ) } σ 3 2 ， 其中 cos θ cos λ + sin θ sin λ cos ( φ − γ ) 这部分与动力学相位有关，它恰好等于上面已经计算得到的 h ( t ) 在 l ( t ) 上的投影 h ⋅ l 。这说明似乎动力学相位被分离出了一部分(因为投影 h ⋅ l < | h | | l | )，哈密顿量在相位上的贡献只是它在不变量算符上的投影。只有在不含时系统中，Lewis-Riesenfeld不变量算符与哈密顿量算符才同一( h = l )，此时没有几何相位，才有 h ⋅ l = 1 (或者说，此时不需Lewis-Riesenfeld不变量算符)。 4) 什么样的量子系统含有几何相位呢？当然，含时系统含有几何相位。但并非所有含时系统都含有几何相位，根据分析，必须要排除两种情形：(1) 不同时刻的哈密顿量对易的系统。这样的系统其哈密顿量只能是这样的形式： H ( t ) = ω 0 ( t ) [ sin θ cos φ J 1 + sin θ sin φ J 2 + cos θ J 3 ] ，其中参量 θ 和 φ 不含时，仅仅 ω 0 ( t ) 含时。从Lewis-Riesenfeld不变量辅助方程可以看出， λ ˙ = ω 0 ( t ) sin θ sin ( φ − γ ) ， γ ˙ = ω 0 ( t ) [ cos θ − sin θ cot λ cos ( φ − γ ) ] ，参量 θ 和 φ 不含时，那么 λ 与 γ 也为常数( λ = θ 、 γ = φ )，这样几何相位( γ ˙ ( 1 − cos λ ) 的时间积分)为零；(2) 哈密顿量中的非对角项(与 J 1 与 有关的项)含有时谐振荡因子，其可以通过幺正变换，将时谐振荡因子变换掉(这在上面已经有论证)。此外，为了几何相位是可测相位，还要求哈密顿量(与不变量)满足循回条件( H ( 0 ) = H ( T ) ， I ( 0 ) = I ( T ) ) [ 2 ] [ 26 ]。在绝热条件下， I ( 0 ) = I ( T ) 与 H ( 0 ) = H ( T ) 是等价的。但在非绝热条件下， I ( 0 ) = I ( T ) 比 H ( 0 ) = H ( T ) 更基本、更重要 [ 2 ] [ 26 ]。这一点从与不变量 [ 24 ] 有关的幺正变换方法 [ 26 ] 得到的新哈密顿量(可以直接用于计算几何相位) V + H V − V + i ∂ ∂ t V = { ω 0 ( t ) [ cos θ cos λ + sin θ sin λ cos ( φ − γ ) ] + γ ˙ ( 1 − cos λ ) } σ 3 2 就可以发现，循回周期 T = 2 π / γ ˙ 是直接与不变量的参数有关的。如果没有循回条件，这样的几何相位在数值上不确定。既然具有不定性，就谈不上有物理含义了(也就是说，我们可以通过幺正变换来改变其数值。这是显然的，因为规范变换可以改变“磁”矢量势，如 A ′ = A − ∇ α )，但是一旦附上了哈密顿量参数的循回(循环)条件，量子系统的几何相位就被确定了，因为规范变换变不了“磁”矢量势在闭合路径积分下的积分值 [ 2 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 26 ] (在这里， − ∇ α 的闭合环路积分为零。 A ′ 与 A 的闭合环路积分相等，即规范变换改变不了磁通量数值)。由此，难道说非循回条件下的相位(如Lewis-Riesenfeld相位) [ 24 ] 就没有物理意义了吗？从是否可测角度讲，它确实是没有物理意义。因为相位的测量一般需要用到干涉条件，而一旦发生了干涉，就必然意味着有闭合环路。所以，可测的相位必须是闭合路径下的相位累积(它是一个相对相位)。绝对的相位是没有(测量)意义的。但是毕竟Lewis-Riesenfeld相位它也是波动方程的解的一部分，从这个角度讲，不能完全说它没有意义。 在几何相联络 − V + i ∂ ∂ t V 中，在对 γ ˙ ( 1 − cos λ ) 进行一个循回周期积分后，得到一个立体角 2 π ( 1 − cos λ ) ， 即几何相位具有参数空间内的立体角的上学形式。Berry相位(它是绝热循回几何相位) [ 9 ] 和Aharonov-Anadan相位(非绝热循回几何相位) [ 29 ]，就是这样的具有立体角形式的几何相位。Lewis-Riesenfeld相位 [ 24 ] 因为其积分区间并非巡回，故不一定能写成立体角形式，但是 γ ˙ ( 1 − cos λ ) d t = ( 1 − cos λ ) d γ 是一个立体角微元。作为一个微元，总之既然它也是一个立体角，因而我们认为它也是具有拓扑特征的。因此，Lewis-Riesenfeld相位也可以当作是几何相位(当然，这是一家之言。也有人可能持不同意见)。