system: [SYSTEM]

user: 3. 解的全局有界性 为了证明定理1，需要先建立 ‖ u ( ⋅ ， t ) ‖ L k ( Ω ) 与 ‖ w ( ⋅ ， t ) ‖ L k ( Ω ) 的有界性，下面给出一些相关的引理及其证明。 引理3.1：假设条件(1.3)~(1.5)成立，则存在常数 M 2 ， M 3 > 0 ， k > 1 ，使得对所有的 t ∈ ( 0 ， T max ) 有 ‖ u ( ⋅ ， t ) ‖ L k ( Ω ) ≤ M 2 ，   t ∈ ( 0 ， T max ) ， (3.1) ‖ w ( ⋅ ， t ) ‖ L k ( Ω ) ≤ M 3 ，   t ∈ ( 0 ， T max ) ， (3.2) 证明：首先定义函数 ϕ ( s ) = exp ( ( 1 + β ∗ s ) − r ) ，   s > 0. 设 k > 1 ， r > 1 且 r ≤ min { k − 1 / 8 k ， 2 δ − 2 } ， (3.3) 和 r ≤ k ( k − 1 e C G N 2 k 2 M k ( 1 − λ ) − a ) ， (3.4) 以及 β ∗ > χ 0 2 p ( p − 1 ) / r ( r + 1 ) ， (3.5) 通过直接计算，容易得到 = − ( k − 1 ) ∫ Ω u k − 2 ϕ ( v ) | ∇ u | 2 d x − ∫ Ω u k − 1 ϕ ′ ( v ) ∇ u ⋅ ∇ v d x     + ( k − 1 ) ∫ Ω u k − 1 ϕ ( v ) χ ( v ) ∇ u ⋅ ∇ v d x + ∫ Ω u p ϕ ′ ( v ) χ ( v ) | ∇ v | 2 d x     + 1 k ∫ Ω u k ϕ ( v ) f ( u ) d x − ∫ Ω u k − 1 ϕ ′ ( v ) ∇ u ⋅ ∇ v d x − 1 k ∫ Ω u k ϕ ″ ( v ) | ∇ v | 2 d x     − 1 k ∫ Ω u k v ϕ ′ ( v ) d x + 1 k ∫ Ω u k ϕ ′ ( v ) g ( u ) d x 因为 f ( s ) ≤ a s − b s 2 ， g ( s ) ≥ 0 和 χ ( s ) ≥ 0 以及 ϕ ′ ( s ) ≤ 0 ，   s ≥ 0 。那么可以得出 1 k d d t ∫ Ω u k ϕ ( v ) d x + ( k − 1 ) ∫ Ω u k − 2 ϕ ( v ) | ∇ u | 2 d x + 1 k ∫ Ω u k ϕ ″ ( v ) | ∇ v | 2 d x ≤ − 2 ∫ Ω u k − 1 ϕ ′ ( v ) ∇ u ⋅ ∇ v d x + ( k − 1 ) ∫ Ω u k − 1 ϕ ( v ) χ ( v ) ∇ u ⋅ ∇ v d x     − 1 k ∫ Ω u k v ϕ ′ ( v ) d x + a ∫ Ω u k ϕ ( v ) d x ， (3.6) 其中 − 1 k ∫ Ω u k v ϕ ′ ( v ) d x ≤ r k ∫ Ω u k ϕ ( v ) d x ， 此外，利用杨不等式估计和(1.3)式得出 − 2 ∫ Ω u k − 1 ϕ ′ ( v ) ∇ u ⋅ ∇ v d x ≤ k − 1 4 ∫ Ω u k − 2 ϕ ( v ) | ∇ u | 2 d x + 4 k − 1 ∫ Ω u k ϕ ′ 2 ( v ) ϕ ( v ) | ∇ v | 2 d x ， 和 ( k − 1 ) ∫ Ω u k − 1 ϕ ( v ) χ ( v ) ∇ u ⋅ ∇ v d x ≤ k − 1 4 ∫ Ω u k − 2 ϕ ( v ) | ∇ u | 2 d x + ( k − 1 ) ∫ Ω u k ϕ ( v ) χ 2 ( v ) | ∇ v | 2 d x ≤ k − 1 4 ∫ Ω u k − 2 ϕ ( v ) | ∇ u | 2 d x + ( k − 1 ) χ 0 2 ∫ Ω u k ( 1 + β v ) − 2 δ ϕ ( v ) | ∇ v | 2 d x ， 那么，(3.6)式可以写成 1 k d d t ∫ Ω u k ϕ ( v ) d x + k − 1 2 ∫ Ω u k − 2 ϕ ( v ) | ∇ u | 2 d x + 1 k ∫ Ω u k ϕ ″ ( v ) | ∇ v | 2 d x ≤ 4 k − 1 ∫ Ω u k ϕ ′ 2 ( v ) ϕ ( v ) | ∇ v | 2 d x + ( k − 1 ) χ 0 2 ∫ Ω u k ( 1 + β v ) − 2 δ ϕ ( v ) | ∇ v | 2 d x       + ( r k + a ) ∫ Ω u p ϕ ( v ) d x ， (3.7) 根据题意，接下来处理(3.7)式中不等式右端的前两项，我们计算 Z 1 ( s ) : = 4 k − 1 ϕ ′ 2 ( s ) ϕ ( s ) = 4 k − 1 ⋅ ( β ∗ ) 2 r 2 ( 1 + β ∗ s ) − 2 r − 2 e ( 1 + β ∗ s ) − r ， Z 2 ( s ) : = ( k − 1 ) χ 0 2 ( 1 + β s ) − 2 δ ϕ ( s ) = ( k − 1 ) χ 0 2 ( 1 + β s ) − 2 δ e ( 1 + β ∗ s ) − r 和 Z 3 ( s ) : = 1 k ϕ ″ ( s ) = 1 k ⋅ ( β ∗ ) 2 r ( r + 1 ) ( 1 + β ∗ s ) − r − 2 e ( 1 + β ∗ s ) − r + 1 k ⋅ ( β ∗ ) 2 r 2 ( 1 + β ∗ s ) − 2 r − 2 e ( 1 + β ∗ s ) − r ， 那么有 Z 1 ( s ) 1 2 Z 3 ( s ) ≤ 4 k − 1 ⋅ ( β ∗ ) 2 r 2 ( 1 + β ∗ s ) − 2 r − 2 e ( 1 + β ∗ s ) − r 1 2 ⋅ 1 k ⋅ ( β ∗ ) 2 r ( r + 1 ) ( 1 + β ∗ s ) − r − 2 e ( 1 + β ∗ s ) − r = 8 k r ( k − 1 ) ( r − 1 ) ⋅ ( 1 + β ∗ s ) − r ≤ 8 k r k − 1 ≤ 1 ， 根据(3.3)式，可知上式显然成立。 Z 2 ( s ) 1 2 Z 3 ( s ) ≤ ( k − 1 ) χ 0 2 ( 1 + β s ) − 2 δ e ( 1 + β ∗ s ) − r 1 2 ⋅ 1 k ⋅ ( β ∗ ) 2 r ( r + 1 ) ( 1 + β ∗ s ) − r − 2 e ( 1 + β ∗ s ) − r = 2 k ( k − 1 ) χ 0 2 ( β ∗ ) 2 r ( r + 1 ) ⋅ ( 1 + β s ) − 2 δ ( 1 + β ∗ s ) r + 2 ， 定义函数 φ ( s ) : = ( 1 + β s ) − 2 δ ( 1 + β ∗ s ) r + 2 ，   s ≥ 0 。 φ ′ ( s ) = ( 1 + β s ) − 2 δ − 1 ⋅ ( 1 + β ∗ s ) r + 1 ⋅ { − 2 k β ( 1 + β ∗ s ) + ( r + 2 ) ( 1 + β s ) } ≤ ( 1 + β s ) − 2 δ − 1 ⋅ ( 1 + β ∗ s ) r + 1 ⋅ { − ( 2 δ β − r − 2 ) − [ 2 δ β β ∗ − ( r + 2 ) β ] s } ≤ 0 ，   s ≥ 0 ， 所以 φ ( s ) ≤ φ ( 0 ) = 1 ，   s ≥ 0 。 根据(3.5)式，有 Z 2 ( s ) 1 2 Z 3 ( s ) ≤ 2 k ( k − 1 ) χ 0 2 ( β ∗ ) 2 r ( r + 1 ) ≤ 1 ，   s ≥ 0 ， 则(3.7)式可改写为 1 k d d t ∫ Ω u k ϕ ( v ) d x + k − 1 2 ∫ Ω u k − 2 ϕ ( v ) | ∇ u | 2 d x ≤ ( a + r k ) ∫ Ω u k ϕ ( v ) d x ，   t ∈ ( 0 ， T max ) ， 那么根据引理2.3不等式和 ϕ ( s ) ≤ e ，   s ≥ 0 得 ∫ Ω u k ϕ ( v ) d x ≤ e ∫ Ω u k d x = e ‖ u k 2 ‖ L 2 ( Ω ) 2 ≤ e ⋅ C G N ‖ u k 2 ‖ W 1 ， 2 ( Ω ) 2 h ⋅ ‖ u k 2 ‖ L 2 k ( Ω ) 2 ( 1 − h ) ≤ e ⋅ c G N ⋅ ( c ( 2 k ) ) 2 h ( ‖ ∇ u k 2 ‖ L 2 ( Ω ) + ‖ u k 2 ‖ L 2 k ( Ω ) ) 2 h ⋅ ‖ u k 2 ‖ L 2 k ( Ω ) 2 ( 1 − h ) ， 其中 C G N > 0 和 h = 2 n k − n 2 2 n k + 1 − n 2 ∈ ( 0 ， 1 ) ， 根据引理2.2的性质可得 ∫ Ω u k ϕ ( v ) d x ≤ c 1 ( ‖ ∇ u k 2 ‖ 2 L 2 ( Ω ) + 1 ) h ，   c 1 > 0 ， 因为 ϕ ( s ) ≥ 1 ，   s ≥ 0 ，可知 k − 1 2 ∫ Ω u k − 2 ϕ ( v ) | ∇ u | 2 d x ≥ k − 1 2 ∫ Ω u k − 2 | ∇ u | 2 d x = 2 ( k − 1 ) k 2 ∫ Ω | ∇ u k 2 | 2 d x ≥ 2 ( k − 1 ) k 2 c 1 1 h ( ∫ Ω u k ϕ ( v ) d x ) 1 h − 2 ( k − 1 ) k 2 ， 那么可以得出 1 k d d t ∫ Ω u k ϕ ( v ) d x ≤ − 2 ( k − 1 ) k 2 c 1 1 h ( ∫ Ω u k ϕ ( v ) d x ) 1 h + 2 ( k − 1 ) k 2 + ( a + r k ) ∫ Ω u k ϕ ( v ) d x ，   t ∈ ( 0 ， T max ) ， 容易解得这个常微分方程 ‖ u ( ⋅ ， t ) ‖ L k ( Ω ) ≤ M 2 ，   t ∈ ( 0 ， T max ) ， 下面证明(3.2)式，模型(1.2)中第三个方程同乘 w k − 1 再在 Ω 上积分得 τ p d d t ∫ Ω w k d x + ∫ Ω w k d x = ∫ Ω u w k − 1 d x ， 利用杨不等式可得 ∫ Ω u w k − 1 d x ≤ 1 4 ∫ Ω w k d x + C k ∫ Ω u k d x ，   C k > 0 ， 那么存在常数 M 3 > 0 ，使得下式成立 τ k d d t ∫ Ω w k d x + 3 4 ∫ Ω w k d x ≤ M 3 ， 容易得出 ‖ w ( ⋅ ， t ) ‖ L k ( Ω ) ≤ M 3 ，   t ∈ ( 0 ， T max ) ，