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user: 2. 鬼成像拼图 2.1. 两个物体的鬼成像拼图 图1是利用三阶关联成像方案上实现两个物体的鬼成像拼图。设T1和T2是分散在不同地方的两个物体，此方案的目的是要把两个物体同时在同一处成像。空间非相干的扩展热光源发出的光经过分束器BS后被分成两束：其中透射光束传播一段距离后照亮物体T1，用桶探测器D1进行桶探测；反射光束又被分束器BS后被分成两束，一束传播一段距离后照亮物体T2后用桶探测器D2进行桶探测；另一束自由传播一段距离后直接被D3探测，然后把探测结果在计算机上进行符合测量。 设光源处光场为 E s ( r → s ) ，用 E 1 ( r → 1 ) ， E 2 ( r → 2 ) 分别表示物体前的光场，用 E 3 ( r → 3 ) 表示探测面D3上的光场；T1、T2分别表示两光路中放置的物体的空间分布函数。用探测器D1、D2分别进行桶探测，因此D1、D2、D3的测量的瞬时信号强度为 [ 2 ] I j = ∫ T j 2 ( r ⇀ j ) E j * ( r ⇀ j ) E j ( r ⇀ j )   d r ⇀ j ，   j = 1 ， 2 I 3 ( r ⇀ 3 ) = E 3 * ( r ⇀ 3 ) E 3 ( r ⇀ 3 ) ， (1) 因此三路信号的三阶关联测量函数为 G ( 3 ， 3 ) ( r ⇀ 3 ) = 〈 I 1 I 2 I 3 ( r ⇀ 3 ) 〉 = 〈 ∫ T 1 2 ( r ⇀ 1 ) T 2 2 ( r ⇀ 2 ) E 1 * ( r ⇀ 1 ) E 2 * ( r ⇀ 2 ) E 3 * ( r ⇀ 3 ) E 3 ( r ⇀ 3 ) E 2 ( r ⇀ 2 ) E 1 ( r ⇀ 1 ) d r ⇀ 1 d r ⇀ 2 〉 ， (2) 式中已将物体看作是振幅型分布。考虑到热光涨落满足各态历经条件，公式中的积分和系综平均可以交换顺序，则 G ( 3 ， 3 ) ( r ⇀ 3 ) = ∫ T 1 2 ( r ⇀ 1 ) T 2 2 ( r ⇀ 2 ) G ( 3 ， 3 ) ( r ⇀ 1 ， r ⇀ 2 ， r ⇀ 3 ) d r ⇀ 1 d r ⇀ 2 ， (3) 其中 G ( 3 ， 3 ) ( r ⇀ 1 ， r ⇀ 2 ， r ⇀ 3 ) = 〈 E 1 * ( r ⇀ 1 ) E 2 * ( r ⇀ 2 ) E 3 * ( r ⇀ 3 ) E 3 ( r ⇀ 3 ) E 2 ( r ⇀ 2 ) E 1 ( r ⇀ 1 ) 〉 . (4) 由于热光场满足高斯统计，根据高斯矩定理，高阶矩总是可以用一阶矩的积表示，公式(4)展开为 G ( 3 ， 3 ) ( r ⇀ 1 ， r ⇀ 2 ， r ⇀ 3 ) = 〈 I 1 ( r ⇀ 1 ) 〉 〈 I 2 ( r ⇀ 2 ) 〉 〈 I 3 ( r ⇀ 3 ) 〉 + 〈 I 1 ( r ⇀ 1 ) 〉 | 〈 E 2 * ( r ⇀ 2 ) E 3 ( r ⇀ 3 ) 〉 | 2 + 〈 I 2 ( r ⇀ 2 ) 〉 | 〈 E 1 * ( r ⇀ 1 ) E 3 ( r ⇀ 3 ) 〉 | 2 + 〈 I 3 ( r ⇀ 3 ) 〉 | 〈 E 1 * ( r ⇀ 1 ) E 2 ( r ⇀ 2 ) 〉 | 2 + [ 〈 E 1 * ( r ⇀ 1 ) E 2 ( r ⇀ 2 ) 〉 〈 E 2 * ( r ⇀ 2 ) E 3 ( r ⇀ 3 ) 〉 〈 E 3 * ( r ⇀ 3 ) E 1 ( r ⇀ 1 ) 〉 + c . c ] ， (5) 图1. 两个物体的鬼成像拼图方案 其中， 〈 I j ( r ⇀ j ) 〉 = 〈 E j * ( r ⇀ j ) E j ( r ⇀ j ) 〉 ，   j = 1 ， 2 ， 3 。 在计算光场互关联 〈 E i * ( r ⇀ i ) E j ( r ⇀ j ) 〉 时，虑及热光源场关联 [ 2 ] 〈 E s * ( r ⇀ s ) E s ( r ⇀ s ' ) 〉 = I s δ ( r ⇀ s − r ⇀ s ' ) ， (6) 和大面积光源假设，可得 〈 E i * ( r ⇀ i ) E j ( r ⇀ j ) 〉 = I δ ( r ⇀ i − r ⇀ j ) . (7) 由公式(3)、(6)、(7)得 G ( 3 ， 3 ) ( r ⇀ 3 ) = I 3 ∫ T 1 2 ( r ⇀ 1 ) T 2 2 ( r ⇀ 2 )   d r ⇀ 1 d r ⇀ 2 + I 3 T 2 2 ( r ⇀ 3 ) ∫ T 1 2 ( r ⇀ 1 )   d r ⇀ 1 + I 3 T 1 2 ( r ⇀ 3 ) ∫ T 2 2 ( r ⇀ 2 )   d r ⇀ 2 + I 3 ∫ T 1 2 ( r ⇀ 1 ) T 2 2 ( r ⇀ 1 )   d r ⇀ 1 + 2 I 3 T 1 2 ( r ⇀ 3 ) T 2 2 ( r ⇀ 3 ) ， (8) 以上计算中考虑到热光强度分布是均匀的，则 〈 I ( r j ) 〉 ≡ I ， ​   j = 1 ， 2 ， 3. 用 S 1 = ∫ T 1 2 ( r ⇀ 1 )   d r ⇀ 1 表示物体1的面积， S 2 = ∫ T 2 2 ( r ⇀ 2 )   d r ⇀ 表示物体2的面积， S 12 = ∫ T 1 2 ( r ⇀ 1 ) T 2 2 ( r ⇀ 1 )   d r ⇀ 1 = ∫ T 1 2 ( r ⇀ 2 ) T 2 2 ( r ⇀ 2 )   d r ⇀ 2 表示两物体乘积的面积，则(8)式整理后得 G ( 3 ， 3 ) ( r ⇀ 3 ) = I 3 [ S 1 S 2 + S 12 + S 2 T 1 2 ( r ⇀ 3 ) + S 1 T 2 2 ( r ⇀ 3 ) + 2 T 1 2 ( r ⇀ 3 ) T 2 2 ( r ⇀ 3 ) ] ， (9) 其中第一项表示两物体面积的乘积，第二项表示两物体乘积的面积，这两项形成背景，第三项是对第一个物体的鬼成像，第四项是对第二个物体的鬼成像，这两项在探测平面D3处形成两物体像的叠加，第五项是两鬼像的乘积，是对两物体像的重合部分的加强。从而用这种方式实现了对两物体的鬼成像拼图。 2.2. 三个物体的鬼成像拼图 图2是三个物体的鬼成像拼图方案。T1、T2和T3是分散的三个物体，探测器D1、D2、D3分别进行桶探测，用公式(1)~(7)的假设及推到方法，得到四阶关联测量函数为 G ( 4 ， 4 ) ( r ⇀ 4 ) = I 4 [ S 1 S 2 S 3 + S 1 S 23 + S 2 S 13 + S 3 S 12 + 2 S 123 + ( S 23 + S 2 S 3 ) T 1 2 ( r ⇀ 4 ) + ( S 13 + S 1 S 3 ) T 2 2 ( r ⇀ 4 ) + ( S 12 + S 1 S 2 ) T 3 2 ( r ⇀ 4 ) + 2 S 1 T 2 2 ( r ⇀ 4 ) T 3 2 ( r ⇀ 4 ) + 2 S 2 T 1 2 ( r ⇀ 4 ) T 3 2 ( r ⇀ 4 ) + 2 S 3 T 1 2 ( r ⇀ 4 ) T 2 2 ( r ⇀ 4 ) +6 T 1 2 ( r ⇀ 4 ) T 2 2 ( r ⇀ 4 ) T 3 2 ( r ⇀ 4 ) ] ， (10) S i = ∫ T i 2 ( r ⇀ i )   d r ⇀ i 表示物体 i ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 的面积， S i j = ∫ T i 2 ( r ⇀ i ) T j 2 ( r ⇀ i )   d r ⇀ i 表示i和j两物体乘积的面积， S 123 = ∫ T 1 2 ( r ⇀ i ) T 2 2 ( r ⇀ i ) T 3 2 ( r ⇀ i )   d r ⇀ ，   i ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 表示三物体乘积的面积。 在(10)式中，第1~5项是背景项，第6~8项分别对应各物体的鬼成像，它们的和表示出在探测平面处形成的三物体鬼像的叠加，第9~11项表示三个鬼像中重叠部分的两两加强，第12项表示三物体鬼像共同重叠部分的加强。从而用这种方式实现了对三物体的鬼成像拼图。 此方案可以推广至多个物体拼图的研究。