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user: 4. 基于优势(劣势)关系的多粒度概粗糙集模型 定义7:设 M I S = 〈 U ， A T ， V ， f 〉 为一个不完备的多粒度信息系统， ∀ x ∈ U ， X ⊆ U ， 0 ≤ β ≤ 0.5 < α ≤ 1 ，则 (1) 在优势关系 R A i ≥ 上，依参数 α ， β 的乐观(悲观)多粒度概率粗糙集下近似 ∑ i = 1 m A i o _ α ( X ) 和上近似 ∑ i = 1 m A i o β ¯ ( X ) 分别定义： ∑ i = 1 m A i o _ α ( X ) = { x ∈ U : p ( X | [ x ] A 1 ≥ ) ≥ α ∨ P ( X | [ x ] A 2 ≥ ) ≥ α ∨ ⋯ ∨ P ( X | [ x ] A m ≥ ) ≥ α } ∑ i = 1 m A i o β ¯ ( X ) = ~ ∑ i = 1 m A i o _ 1 − β ( ~ X ) 通过定义，可以得到在不完备系统中，乐观(悲观)多粒度概率粗糙集的边界域集合如下： B n d ∑ i = 1 m A i ( α ， β ) o = ∑ i = 1 m A i o β ¯ ( X ) − ∑ i = 1 m A i o _ α ( X ) 二元组 〈 ∑ i = 1 m A i o _ α ( X ) ， ∑ i = 1 m A i o β ¯ ( X ) 〉 是一个被称作是X基于优势关系 R A i ≥ 关于粒度 A i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 的乐 观多粒度概率粗糙集。 (2) 在劣势关系 R A i ≤ 上，依参数 α ， β 的乐观(悲观)多粒度概率粗糙集下近似 ∑ i = 1 m A i o _ α ( X ) 和上近似 ∑ i = 1 m A i o β ¯ ( X ) 分别定义： ∑ i = 1 m A i o _ α ( X ) = { x ∈ U : p ( X | [ x ] A 1 ≤ ) ≥ α ∨ P ( X | [ x ] A 2 ≤ ) ≥ α ∨ ⋯ ∨ P ( X | [ x ] A m ≤ ) ≥ α } ∑ i = 1 m A i o β ¯ ( X ) = ~ ∑ i = 1 m A i o _ 1 − β ( ~ X ) 通过定义，可以得到，在不完备系统中，乐观多粒度概率粗糙集的边界域集合： B n d ∑ i = 1 m A i ( α ， β ) o = ∑ i = 1 m A i o β ¯ ( X ) − ∑ i = 1 m A i o _ α ( X ) 二元组 〈 ∑ i = 1 m A i o _ α ( X ) ， ∑ i = 1 m A i o β ¯ ( X ) 〉 称作是X基于劣势关系关于粒度 A i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 的乐观多粒度概率粗糙集。 定理4.1：设 M I S = 〈 U ， A T ， V ， f 〉 为一个不完备的多粒度信息系统， X ⊆ U ， ∀ x ∈ U ， 0 ≤ β ≤ 0.5 < α ≤ 1 ，则上近似可以表示为 ∑ i = 1 m A i 0 ¯ = { x ∈ U : p ( X | [ x ] A 1 ≥ ) > β ∧ P ( X | [ x ] A 2 ≥ ) > β ∧ ⋯ ∧ P ( X | [ x ] A m ≥ ) > β } 证明： ∑ i = 1 m A i o β ¯ ( X ) = ~ ∑ i = 1 m A i o _ 1 − β ( ~ X ) (其余等式证明可类似定理3.1可证)。 注：(1) 同理可得，悲观的上近似有如下性质 ∑ i = 1 m A i p β ¯ = { x ∈ U : p ( X | [ x ] A 1 ≥ ) > β ∨ P ( X | [ x ] A 2 ≥ ) > β ∨ ⋯ ∨ P ( X | [ x ] A m ≥ ) > β } 。 (2) 同理基于劣势关系也可得出如上定理。 定义8：设 M I S = 〈 U ， A T ， V ， f 〉 为不完备多粒度信息系统 ∀ x ∈ U ， X ⊆ U ， 0 ≤ β ≤ 0.5 < α ≤ 1 ，因此X在优势关系 R A i ≥ (劣势关系 R A i ≤ )上依参数 α ， β 的乐观(悲观)多粒度概率粗糙集近似精度 λ o ( α ， β ) 分别定义为： λ o ( α ， β ) = | ∑ i m A i _ α o ( X ) | | ∑ i m A i ¯ β o ( X ) | ； λ p ( α ， β ) = | ∑ i m A i _ α p ( X ) | | ∑ i m A i ¯ β p ( X ) | 。 例2 不完备多粒度信息系统为例1中给出的(如表1)我们基于优势关系进行讨论，得到在优势关系下 的归类： U / R A i ≥ = { [ x 1 ] A i ≥ ， [ x 2 ] A i ≥ ， ⋯ ， [ x 8 ] A i ≥ } 根据定义7，当 α 变小， β 变大时，基于优势关系求得在不完备多粒度信息系统中概率粗糙集在不同决策类的乐观(悲观)多粒度上(下)近似集(如表3所示)： Table 3 Optimistic (pessimistic) upper and lower approximations of incomplete multi-granularity probability rough sets under dominance relation ∑ i = 1 3 A i o _ α ( D 1 ) ∑ i = 1 3 A i β ¯ o ( D 1 ) ∑ i = 1 3 A i _ α o ( D 2 ) ∑ i = 1 3 A i β ¯ o ( D 2 ) ∑ i = 1 3 A i p _ α ( D 1 ) ∑ i = 1 3 A i β ¯ p ( D 1 ) ∑ i = 1 3 A i _ α p ( D 2 ) ∑ i = 1 3 A i β ¯ p ( D 2 ) α = 0.8 β = 0.1 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ U ϕ U α = 0.7 β = 0.1 U U U U 表3. 优势关系下的不完备多粒度概率粗糙集的乐观(悲观)上下近似 得到近似精度为： 根据定义7，当 变小， 变大时，基于劣势关系求得在不完备多粒度信息系统中概率粗糙集在不同决策类的乐观(悲观)多粒度上(下)近似集(如表4所示)： Table 4 Optimistic (pessimistic) upper and lower approximations of incomplete multi-granularity probability rough sets under the inferiority relationshi U U U U U U 表4. 劣势关系下的不完备多粒度概率粗糙集的乐观(悲观)上下近似 基于劣势关系得到近似精度为： 定理4.2:设 为不完备多粒度信息系统， ， ， ，因此基于优势关系和劣势关系的 的近似精度应有如下性质： (1) (2) 注：在相似关系中上述性质一般不成立。 通过例1和例2的比较，可以发现在不完备系统中，基于优劣关系对缺省的值进行分类；这样可以避免依据相似关系分类时造成的信息偏差，和在乐观情况下所有的上(下)近似和精度都为空的情况。根据乐观和悲观，可以在不完备的多粒度概率粗糙集中通过调整 值，得到不同的近似精度，并有如下变化规律： (1) 在相同的 值下，基于劣势关系得到了更大的近似精度。 (2) 当 值同时变小时，上下近似会同时变增大； (3) 当 值同时变时，上下近似会同时变递减。 (4) 当 逐渐减小， 逐渐增大时，可以得到较大的下近似和较小的上近似，并且相应的不完备多粒度概率粗糙集的近似精度会增大。相反，则会减小。