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user: 3. 主要结果 首先给出证明过程所需要的引理： 引理1 [ 11 ] ：对于任意矢量 x 1 和 x 2 及矩阵Y有： x 1 T Y x 2 + x 2 T Y T x 1 ≤ x 1 T Y R − 1 Y T x 1 + x 2 T R x 2 其中R是正定矩阵。 引理2 [ 2 ] ：对适当维度的矩阵Y，E和G，Y为对称矩阵，则所有的 F ( t ) 满足 F T ( t ) F ( t ) ≤ I 且 Y + G F ( t ) E + E T F T ( t ) G T ≤ 0 ，当且仅当存在常数 α > 0 使得： Y + α G G T + α − 1 E T E ≤ 0 。 引理3 [ 11 ] ：(Schur补引理)对任给的对称矩阵 S = [ S 11 S 12 * S 22 ] ，其中 S 11 ， S 22 为对称矩阵，则以下三个条件是等价的： ① S < 0 ； ② S 11 < 0 ， S 22 − S 12 T S 11 − 1 S 12 < 0 ； ③ S 22 < 0 ， S 11 − S 12 S 22 − 1 S 12 T < 0 。 定理1：考虑闭环系统(7)，当 w ( t ) = 0 时，对于给定的常数 α > 0 ，假设存在对称正定矩阵X，R和矩阵Y，满足下列不等式： [ Ψ X R A d i X E 1 i T + Y j T L E 2 i T M * − R 0 0 0 * * − R E d i T 0 * * * − α I 0 * * * * − α − 1 I ] < 0 (8) 其中： Ψ = X A i T + A i X + Y j T L B i T + B i L Y j 则存在反馈控制律 K j = Y j X − 1 使得闭环系统(7)是渐进稳定的。 证明：取Lyapunov函数为： V ( x ( t ) ) = x T ( t ) P x ( t ) + ∫ t − d t x T ( s ) R x ( s ) d s 沿着系统(6)对Lyapunov函数求导： V ˙ ( x ( t ) ) = x ˙ T ( t ) p x ( t ) + x T ( t ) p x ˙ ( t ) + x T ( t ) R x ( t ) − x T ( t − d ) R x ( t − d ) = ∑ i = 1 r ∑ j = 1 r b i ( θ ( t ) ) b j ( θ ( t ) ) [ x T ( t ) ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) T P x ( t )     + x T ( t − d ) ( A d i + Δ A d i ( t ) ) T P x ( t ) + x T ( t ) P ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) x ( t )     + x T ( t ) P ( A d i + Δ A d i ( t ) ) x ( t − d ) + x T ( t ) R x ( t ) − x T ( t − d ) R x ( t − d ) ] ≤ ∑ i = 1 r ∑ j = 1 r b i ( θ ( t ) ) b j ( θ ( t ) ) [ x T ( t ) ( ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) T P       + P ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) ) x ( t )       + x T ( t ) P ( A d i + Δ A d i ( t ) ) R − 1 ( A d i + Δ A d i ( t ) ) T P x ( t )       + x T ( t − d ) R x ( t − d ) + x T ( t ) R x ( t ) − x T ( t − d ) R x ( t − d ) ] = ∑ i = 1 r ∑ j = 1 r b i ( θ ( t ) ) b j ( θ ( t ) ) [ x T ( t ) ( ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) T P         + P ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) ) x ( t )         + x T ( t ) P ( A d i + Δ A d i ( t ) ) R − 1 ( A d i + Δ A d i ( t ) ) T P x ( t ) + x T ( t ) R x ( t ) ] = ∑ i = 1 r ∑ j = 1 r b i ( θ ( t ) ) b j ( θ ( t ) ) [ x T ( t ) ( ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) T P         + P ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j )         + R + P ( A d i + Δ A d i ( t ) ) R − 1 ( A d i + Δ A d i ( t ) ) T P ) x ( t ) ] 如果能使上式为负的，即 V ˙ ( x ( t ) ) < 0 ，则模糊系统是渐进稳定的，由上式及Schur补引理可得： ( ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) T P + P ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j )   + R + P ( A d i + Δ A d i ( t ) ) R − 1 ( A d i + Δ A d i ( t ) ) T P ) < 0 等价于 [ Π 1 R P ( A d i + Δ A d i ( t ) ) * − R 0 * * − R ] < 0 (9) 其中： ∏ 1 = ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) T P + P ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) 将 [ Δ A i ( t ) ， Δ B i ( t ) ， Δ A d i ( t ) ] = M F i ( t ) [ E 1 i ， E 2 i ， E d i ] 带入(9)可得： [ Π 1 R P ( A d i + Δ A d i ( t ) ) * − R 0 * * − R ] = [ ( A i + B i L K j ) T P + P ( A i + B i L K j ) R P A d i * − R 0 * * − R ]     + [ P M 0 0 ] F i ( t ) [ E 1 i + E 2 i L K j 0 E d i ]     + [ ( E 1 i + E 2 i L K j ) T 0 E d i T ] F i T ( t ) [ M T P 0 0 ] 由引理2， [ Π 1 R P ( A d i + Δ A d i ( t ) ) * − R 0 * * − R ] < 0 当且仅当存在常数 α > 0 使得 [ ( A i + B i L K j ) T P + P ( A i + B i L K j ) R P A d i * − R 0 * * − R ]   + α [ P M 0 0 ] [ M T P 0 0 ] + α − 1 [ ( E 1 i + E 2 i L K j ) T 0 E d i T ] [ E 1 i + E 2 i L K j 0 E d i ] = [ Π 2 R P A d i + α − 1 ( E 1 i + E 2 i L K j ) T E d i * − R 0 * * − R + α − 1 E d i T E d i ] < 0 (10) 其中： ∏ 2 = ( A i + B i L K j ) T P + P ( A i + B i L K j ) + α P M M T P + α − 1 ( E 1 i + E 2 i L K j ) T ( E 1 i + E 2 i L K j ) 由Schur补引理，(10)等价于 [ ∏ 3 R P A d i ( E 1 i + E 2 i L K j ) T P M * − R 0 0 0 * * − R E d i T 0 * * * − α I 0 * * * * − α − 1 I ] < 0 (11) 其中： ∏ 3 = ( A i + B i L K j ) T P + P ( A i + B i L K j ) 将(11)分别左乘和右乘矩阵 d i a g { P − 1 I I I I } ，并记 P = X − 1 ， Y i = K i X ，则(11)等价于 [ Ψ X R A d i X E 1 i T + Y j T L E 2 i T M * − R 0 0 0 * * − R E d i T 0 * * * − α I 0 * * * * − α − 1 I ] < 0 以上为闭环系统的外部干扰 w ( t ) = 0 时，下面给出系统外部干扰不为零的情况。 定理2：考虑闭环系统(7)，当 w ( t ) ≠ 0 时，对于给定的常数 α > 0 ， γ > 0 ，假设存在对称正定矩阵X，R和矩阵Y，满足下列不等式： [ Ψ I X R A d i X C i X E 1 i + Y j T L E 2 i M * − γ 2 I 0 0 0 0 0 * * − R 0 0 0 0 * * * − R 0 E d i T 0 * * * * − I 0 0 * * * * * − α I 0 * * * * * * − α − 1 I ] < 0 (12) 其中： Ψ = X A i T + A i X + Y j T L B i T + B i L Y j 则系统的状态输出 z ( t ) 满足 ‖ z ( t ) ‖ 2 ≤ γ ‖ w ( t ) ‖ 2 ，闭环系统(7)渐进稳定。 证明：在零初始条件下，建立以下性能指标函数 J = ∫ 0 ∞ [ z T ( t ) z ( t ) − γ 2 w T ( t ) w ( t ) ] d t (13) 在定理1中已证明在零初始条件下，闭环系统是渐进稳定的，故可得 J = ∫ 0 ∞ [ z T ( t ) z ( t ) − γ 2 w T ( t ) w ( t ) ] d t = ∫ 0 ∞ [ z T ( t ) z ( t ) − γ 2 w T ( t ) w ( t ) + d d t V ( x ( t ) ) ] d t − V ( x ( t ) ) ≤ ∫ 0 ∞ [ z T ( t ) z ( t ) − γ 2 w T ( t ) w ( t ) + d d t V ( x ( t ) ) ] d t (14) 上式 J < 0 等价于 z T ( t ) z ( t ) − γ 2 w T ( t ) w ( t ) + d d t V ( x ( t ) ) = ∑ i = 1 r ∑ j = 1 r b i ( θ ( t ) ) b j ( θ ( t ) ) [ x T ( t ) C i T C i x ( t ) − γ 2 w T ( t ) w ( t ) + x T ( t ) ( A i + B i L K j         + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) T P x ( t ) + x T ( t − d ) ( A d i + Δ A d i ( t ) ) T P x ( t )         + x T ( t ) P ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) x ( t ) + w T ( t ) P x ( t ) + x T ( t ) P w ( t )         + x T ( t ) P ( A d i + Δ A d i ( t ) ) x ( t − d ) + x T ( t ) R x ( t ) − x T ( t − d ) R x ( t − d ) ] = ∑ i = 1 r ∑ j = 1 r b i ( θ ( t ) ) b j ( θ ( t ) ) [ x T ( t ) ( ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) T P         + P ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) + C i T C i + R         + P ( A d i + Δ A d i ( t ) ) R − 1 ( A d i + Δ A d i ( t ) ) T P ) x ( t )         + w T ( t ) P x ( t ) + x T ( t ) P w ( t ) − γ 2 w T ( t ) w ( t ) ] = ∑ i = 1 r ∑ j = 1 r b i ( θ ( t ) ) b j ( θ ( t ) ) [ x T ( t ) w T ( t ) ] [ Γ P P − γ 2 I ] [ x ( t ) w ( t ) ] < 0 (15) 其中： Γ = ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j ) T P + P ( A i + B i L K j + Δ A i ( t ) + Δ B i ( t ) L K j )             + C i T C i + R + P ( A d i + Δ A d i ( t ) ) R − 1 ( A d i + Δ A d i ( t ) ) T P 采用与定理1类似的方法及Schur补性质可得 J < 0 等价于不等式(12)，即任意干扰 w ( t ) ∈ L 2 [ 0 ， + ∞ ) 有 ‖ z ( t ) ‖ 2 ≤ γ ‖ w ( t ) ‖ 2 。