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user: 2. 一类固固相变模型的弱解存在性 2.1. 修正模型的局部解存在性 引入 | S x | κ = | S x | 2 + κ 2 ，其中 1 ≥ κ > 0 ，这样我们就可以得到一个修正后的方程组，如下所示 S t = − c ( ψ S ( S ) − ν S x x ) | S x | κ ， ( t ， x ) ∈ ( 0 ， T e ) × Ω ， (19) S x = 0 ， ( t ， x ) ∈ ( 0 ， T e ) × ∂ Ω ， (20) S ( 0 ， x ) = S 0 ( x ) ， x ∈ Ω . (21) 这是一类非退化的抛物型方程，首先借助截断因子 η 对 | S x | κ 截断，再对其磨光，由于 | f | ˜ ≤ ∫ Q T e | f ( t − τ ， x − y ) | ρ η ( τ ， y ) d ( τ ， y ) ，得到 | ( S x ) η | κ ˜ ∈ L ∞ ( Q T e ) 。截断磨光后的方程(19)表示如下： S t − c ν S x x | ( S x ) η | κ ˜ = − c ψ S ( S ) | ( S x ) η | κ ˜ ， ( t ， x ) ∈ ( 0 ， T e ) × Ω ， (22) 下面我们使用巴拿赫压缩映射原理证明该修正模型的弱解存在性。 定理3：设 T 是适当小的正数，对于(23)和(20)-(21)，我们有 S ∈ X ， X = { S | S ∈ L ∞ ( 0 ， T ; H 1 ( Ω ) ) ∩ L 2 ( 0 ， T ; H 2 ( Ω ) ) ， S t ∈ L 4 3 ( 0 ， T ; L 4 3 ( Ω ) ) } . 证明1.对于(22)中的 | ( S x ) η | κ ˜ ，给定一个函数 S ∗ ∈ X 。为了简化计算过程，用 F ∈ L ∞ ( Q T e ) 表示 | ( ( S ∗ ) x ) η | κ ˜ ，则(22)可改写成如下形式 S t − F S x x = − F ψ S ( S ) ， ( t ， x ) ∈ ( 0 ， T e ) × Ω ， (23) 对于(23)中的 ψ S ( S ) ，给定一个函数 。 S t − F S x x = − F ψ S ^ ( S ^ ) ， ( t ， x ) ∈ ( 0 ， T e ) × Ω . (24) 根据 [ 13 ] 中的抛物程方程解存在性。可以知道(24)在(20)-(21)的初边值条件下的解也属于X。这里我们定义一个映射 A : X → X ，即 A [ S ^ ] = S 。当 S ^ ∈ X ，我们得到了 S ∈ X ，所以我们说映射A是封闭的。 2.下面我们证明，当 T > 0 足够小时，映射A是紧压缩的。 Step1.根据上文中关于映射A的定义，当我们从X中选择两个函数 S ^ 1 ， S ^ 2 时，就可以得到S 1 和S 2 ，这两个新的函数即满足 S 1 = A [ S ^ 1 ] ， S 2 = A [ S ^ 2 ] ，也满足(20)-(21)和(24)。令 W = S 1 − S 2 ，得到了一个新的线性的偏微分方程组。 W t − F W x x = − F ( ψ S ^ 1 − ψ S ^ 2 ) ， ( t ， x ) ∈ ( 0 ， T e ) × Ω ， (25) W x = 0 ， ( t ， x ) ∈ ( 0 ， T e ) × ∂ Ω ， (26) W ( 0 ， x ) = 0 ， x ∈ Ω . (27) Step2.用W与(25)做内积可得 ( W t ， W ) + ( − F W x x ， W ) = ( − F ( ψ S ^ 1 − ψ S ^ 2 ) ， W ) ， 考虑边值条件(26)，以及F和 κ 的关系，我们有 1 2 d d t ‖ W ‖ L 2 ( Ω ) 2 + κ ‖ W x ‖ L 2 ( Ω ) 2 ≤ − C ∫ Ω ( ψ S ^ 1 − ψ S ^ 2 ) W d x ， 上式关于时间t积分，再根据Hölder不等式和索伯列夫嵌入定理，得到 ‖ W ‖ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 2 + κ ∫ 0 T ‖ W x ‖ L 2 ( Ω ) 2 d τ ≤ C ∫ Q T e ( − ( ψ S ^ 1 − ψ S ^ 2 ) ) W d ( τ ， x ) ≤ C ε ‖ ( − ( ψ S ^ 1 − ψ S ^ 2 ) ) ‖ L 2 ( Q T ) 2 + ε ‖ W ‖ L 2 ( Q T ) 2 ≤ C ε ‖ ψ S ^ 1 − ψ S ^ 2 ‖ L 2 ( Q T ) 2 + ε ‖ W ‖ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 2 ∫ 0 T d τ ≤ C ε ‖ ψ S ^ 1 − ψ S ^ 2 ‖ L 2 ( Q T ) 2 + ε ‖ W ‖ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 2 对于上面不等式右边的 ε ，取足够小使得 C − ε > 0 ，再带入(6)定义的双势肼函数，从而有 ‖ W ‖ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 2 + C ∫ 0 T ‖ W x ‖ L 2 ( Ω ) 2 d τ ≤ C ε ‖ ψ S ^ 1 − ψ S ^ 2 ‖ L 2 ( Q T ) 2 ≤ C ε ‖ 4 S ^ 1 3 − 6 S ^ 1 2 + 2 S ^ 1 − 4 S ^ 2 3 + 6 S ^ 2 2 − 2 S ^ 2 ‖ L 2 ( Q T ) 2 ≤ C ε ‖ ( S ^ 1 − S ^ 2 ) ( S ^ 1 2 + S ^ 1 S ^ 2 + S ^ 2 2 − 6 S ^ 1 − 6 S ^ 2 + 2 ) ‖ L 2 ( Q T ) 2 ≤ C ‖ S ^ 1 − S ^ 2 ‖ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 2 ∫ 0 T d τ ≤ C T ‖ S ^ 1 − S ^ 2 ‖ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 2 整理上述不等式，得到 ‖ W ‖ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) + ‖ W x ‖ L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) ≤ ( C T ) 1 2 ‖ S ^ 1 − S ^ 2 ‖ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) . (28) Step3.将(25)与 − W x x 做内积，有 ( W t ， − W x x ) + ( − F W x x ， − W x x ) = ( − F ( ψ S ^ 1 − ψ S ^ 2 ) ， − W x x ) ， 对x积分，再由于F的特点，可得 d d t ‖ W x ‖ L 2 ( Ω ) 2 + κ ‖ W x x ‖ L 2 ( Ω ) 2 ≤ C ∫ Ω ( ψ S ^ 1 − ψ S ^ 2 ) W x x d x = C ∫ Ω W x ( ψ S ^ 2 − ψ S ^ 1 ) x d x = C ∫ Ω ( d ψ S ^ 2 d S ^ 2 ∂ S ^ 2 ∂ x − d ψ S ^ 1 d S ^ 1 ∂ S ^ 1 ∂ x ) W x d x = ∫ Ω ( d ψ S ^ 2 d S ^ 2 ( ∂ S ^ 2 ∂ x − ∂ S ^ 1 ∂ x ) + ( d ψ S ^ 2 d S ^ 2 − d ψ S ^ 1 d S ^ 1 ) ∂ S ^ 1 ∂ x ) W x d x = ∫ Ω d ψ S ^ 2 d S ^ 2 ( ∂ S ^ 2 ∂ x − ∂ S ^ 1 ∂ x ) W x d x + ∫ Ω ( S ^ 2 − S ^ 1 ) ∂ S ^ 1 ∂ x ψ ‴ ( ξ ) W x d x ≤ ∫ Ω ( ∂ S ^ 2 ∂ x − ∂ S ^ 1 ∂ x ) W x d x + C ‖ S ^ 2 − S ^ 1 ‖ L 2 ( Ω ) ‖ ∂ S ^ 1 ∂ x ‖ L ∞ ( Ω ) ‖ W x ‖ L 2 ( Ω ) 将上述不等式左右二边关于时间t积分，再由Hölder不等式，得到 ‖ W x ‖ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 2 + ‖ W x x ‖ L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 2 ≤ ∫ Q T ( ∂ S ^ 2 ∂ x − ∂ S ^ 1 ∂ x ) W x d ( x ， τ ) + ∫ 0 T ‖ S ^ 2 − S ^ 1 ‖ L 2 ( Ω ) ‖ W x ‖ L 2 ( Ω ) ‖ ∂ S ^ 1 ∂ x ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ ∫ Q T ( ∂ S ^ 2 ∂ x − ∂ S ^ 1 ∂ x ) W x d ( x ， τ ) + ‖ S ^ 1 − S ^ 2 ‖ L 2 ( Q T ) ‖ W x ‖ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) ‖ ∂ S ^ 1 ∂ x ‖ L 2 ( 0 ， T ; L ∞ ( Ω ) ) ≤ ‖ ∂ S ^ 1 ∂ x − ∂ S ^ 2 ∂ x ‖ L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) ‖ W x ‖ L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) + C ε ‖ S ^ 1 − S ^ 2 ‖ L 2 ( Q T ) 2 + ε ‖ W x ‖ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 2 ≤ C ε ‖ ∂ S ^ 1 ∂ x − ∂ S ^ 2 ∂ x ‖ L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 2 + C ε ‖ S ^ 1 − S ^ 2 ‖ L 2 ( Q T ) 2 + 2 ε ‖ W x ‖ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 2 选e足够小使得 1 − 2 ε > 0 ，再根据索伯列夫嵌入定理，我们得到 ‖ W x ‖ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 2 + ‖ W x x ‖ L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 2 ≤ C T ‖ ∂ S ^ 1 ∂ x − ∂ S ^ 2 ∂ x ‖ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 2 + C T ‖ S ^ 1 − S ^ 2 ‖ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) 2 ， 即 ‖ W x ‖ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) + ‖ W x x ‖ L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) ≤ ( C T ) 1 2 ( ‖ ∂ S ^ 1 ∂ x − ∂ S ^ 2 ∂ x ‖ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) + ‖ S ^ 1 − S ^ 2 ‖ L ∞ ( 0 ， T ; L 2 ( Ω ) ) ) (29) 最后，根据(28)和(29)我们可以说映射A是紧压缩的，即当且仅当 T > 0 足够小使得 ( C T ) 1 2 < 1 时。 引理1：对任意的 t ∈ [ 0 ， T e ] ，存在与 κ 和 η 无关的常数C，使得 ∫ Ω ψ * ( S ， S x ) ( t ， x ) d x ≤ C ， (30) ∫ Q T e ( ψ ( S ) S − ν S x x ) 2 | ( S x ) η | κ ˜ d ( τ ， x ) ≤ C (31) 成立。 证明：先对于(7)关于空间变量x积分，再对时间变量t求导，接着插入(22) d d t ∫ Ω ψ ∗ ( S ， S x ) ( t ， x ) d x = d d t ∫ Ω ( ψ ( S ) + ν 2 S x 2 ) d x = ∫ Ω ( ψ ( S ) S S t + ν S x S t x ) d x = ∫ Ω ( ψ ( S ) S − ν S x x ) S t d x = − c ∫ Ω ( ψ ( S ) S − ν S x x ) 2 | ( S x ) η | κ ˜ d x 再关于t积分，有 ∫ Ω ψ ∗ ( S ， S x ) ( t ， x ) d x + c ∫ Q T e ( ψ ( S ) S − ν S x x ) 2 | ( S x ) η | κ ˜ d ( τ ， x ) ≤ ∫ Ω ψ ∗ ( S ， S x ) ( 0 ， x ) d x (32) 观察上面的等式和初值 S 0 ∈ H 1 ( Ω ) 以及 t = 0 时的(7) ∫ Ω ψ ∗ ( S ， S x ) ( 0 ， x ) d x = ∫ Ω ψ ( S ( 0 ， x ) ) + ν 2 S x ( 0 ， x ) 2 d x ≤ C ， 将上式带入(32)，证明结束。 引理2：对任意的 t ∈ [ 0 ， T e ] ，存在与 κ 和 η 无关的常数C，使得 S ∈ L ∞ ( 0 ， T e ; L 4 ( Ω ) ) ， (33) S x ∈ L ∞ ( 0 ， T e ; L 2 ( Ω ) ) 。 (34) 证明：根据引理1，我们知道 ∫ Ω ψ ∗ ( S ， S x ) ( t ， x ) d x ≤ C ，再带入双势肼函数(6)，得到 ∫ Ω S 2 − 2 S 3 + S 4 + ν 2 | S x | 2 d x = ∫ Ω ψ ∗ ( S ， S x ) ( t ， x ) d x ≤ C ， 将上式中左边的 移到等式右边，有 ∫ Ω S 2 + S 4 + ν 2 | S x | 2 d x ≤ C + ∫ Ω 2 S 3 d x ≤ C + 2 ∫ Ω ( ε S 4 + C ε ) d x ≤ C + 2 ∫ Ω ε S 4 d x ， 不等式二边同时减去 2 ∫ Ω ε S 4 d x ， ∫ Ω S 2 + ( 1 − 2 ε ) S 4 + ν 2 | S x | 2 d x ≤ C ， 取e足够小使得等式左边的 1 − 2 ε > 0 ，则上面不等式可以推出 ∫ Ω S 2 d x ≤ C ， ∫ Ω S 4 d x ≤ C ， ∫ Ω S x 2 d x ≤ C ，至此，引理得证。 引理3：对任意的 t ∈ [ 0 ， T e ] ，存在与 κ 有关但和 η 无关的常数C，使得 ∫ Q T e S x x 2 d ( τ ， x ) ≤ C (35) 成立。 证明：应用 ( a ± b ) 2 < 2 ( a 2 + b 2 ) ，并选取 a = ψ S − ν S x x ， b = ψ S ，可以得到 ( ψ S − ν S x x − ψ S ) 2 < 2 ( ( ψ S − ν S x x ) 2 + ψ S 2 ) ， 积分后得 ∫ Q T e ( ψ S − ν S x x − ψ S ) 2 d ( τ ， x ) ≤ 2 ∫ Q T e ( ψ ( S ) S − ν S x x ) 2 + ψ S 2 d ( τ ， x ) ≤ 2 ∫ Q T e ( ψ ( S ) S − ν S x x ) 2 d ( τ ， x ) + ∫ Q T e ψ S 2 d ( τ ， x ) 联结 | ( S x ) η | κ ˜ = | ( S x ) η | ˜ 2 + κ 2 ≥ κ 和(31)，有 κ ∫ Q T e ( ψ ( S ) S − ν S x x ) 2 d ( τ ， x ) ≤ ∫ Q T e ( ψ ( S ) S − ν S x x ) 2 | ( S x ) η | κ ˜ d ( τ ， x ) ≤ C . 再由引理2可以得到，存在一个与 κ 有关的常数C使得(35)成立。 引理4：存在与 κ 和 η 无关的常数C，使得对任意的 t ∈ [ 0 ， T e ] ， ∫ Q T e | S t | 4 3 d ( τ ， x ) ≤ C (36) 成立。 证明：为了证明这个引理，我们代入(22)，再选择 2 > r ≥ 1 ， q r = 2 ，应用Hölder不等式 ∫ Q T e | S t | r d ( τ ， x ) = ∫ Q T e | − c ( ψ S ( S ) − ν S x x ) | ( S x ) η | κ ˜ | r d ( τ ， x ) = ∫ Q T e | − c ( ψ S ( S ) − ν S x x ) | r | ( S x ) η | κ ˜ r 2 | ( S x ) η | κ ˜ r 2 d ( τ ， x ) ≤ ( ∫ Q T e | − c ( ψ S ( S ) − ν S x x ) | q r | ( S x ) η | κ ˜ r q 2 d ( τ ， x ) ) 1 q ( ∫ Q T e | ( S x ) η | κ ˜ r p 2 d ( τ ， x ) ) 1 p ≤ C ( ∫ Q T e | ( S x ) η | κ ˜ r 2 − r d ( τ ， x ) ) 2 − r 2 根据引理2和 | p | κ ≤ | p | + κ ≤ | p | + 1 ，当 r 2 − r ≤ 2 时，即 r ≤ 4 3 时，我们立即就可以得到(36)。 定理4：假设 S 0 ∈ H 1 ( Ω ) ，对于修正问题(19)-(21)存在一个弱解S，其中 S ∈ L 2 ( 0 ， T e ; H 2 ( Ω ) ) ∈ L 2 ( 0 ， T e ; C 1 + α ( Ω ¯ ) ) ， α < 1 2 ，和 S t ∈ L 4 3 ( Q T e ) ，使得 ( S x * ) η → S x ，强收敛于空间 L 2 ( Q T e ) 内， (37) | ( S x * ) η | ˜ → | S x | ，强收敛于空间 内， (38) | ( S x * ) η | ˜ κ → | S x | κ ，强收敛于空间 L 2 ( Q T e ) 内， (39) 成立。 证明：根据 ( S x ) η 的定义，我们可以直接得到，当 η → 0 ‖ ( S x * ) η − S x ‖ L 2 ( Q T e ) → 0 ， 再应用 ‖ f ˜ ‖ L 2 ( Q T e ) ≤ ‖ f ‖ L 2 ( Q T e ) 的性质，可以推出 ‖ | ( S x * ) η | ˜ − | S x | ‖ L 2 ( Q T e ) ≤ ‖ ( S x * ) η − | S x | ‖ L 2 ( Q T e ) → 0. 鉴于在 L 2 ( Q T e ) 空间存在一个连续映射 f → | f | κ ，再结合上式，最终得到 ‖ | ( S x * ) η | ˜ κ − | S x | κ ‖ L 2 ( Q T e ) → 0. 定理4得证。 借助于定理3和定理4，修正问题(19)-(21)的弱解存在性至此已经证明结束。 2.2. 与 无关的先验估计 目前为止，我们已经求得修正问题的弱解存在性。但是实际上章节2.1中给出的部分估计是与 κ 有关的，这使得我们无法直接证明序列 { S x κ } 是完备的，即无法证明当 κ → 0 时的极限是否是我们所需要的。但是我们必须要求解一个序列可以收敛回原问题的解，所以本节将说明 { S x κ | S x κ | } 或者更详细的说，这个序列的近似，存在有界的偏导数，再借助于Aubin-Lions引理，使得问题可以得到解决。 下面先对于章节2.1中的修正问题的解序列 { S κ } 建立与 κ 无关的先验估计。设T e 是一个固定的正常数，对于任意的 κ ，函数 S 0 κ ∈ C ∞ ( Ω ) 使得 ‖ S 0 κ − S 0 ‖ H 1 ( Ω ) → 0 ， κ → 0 ， (40) 其中 S 0 ∈ H 1 ( Ω ) 是定理1给出的。 引理5存在与 κ 无关的常数C，使得 ∫ 0 t ∫ Ω | S x κ | κ | S x x κ | 2 d x d τ ≤ C ， (41) ∫ 0 t ∫ Ω ( | S x κ | κ | S x x κ | ) 4 3 d x d τ ≤ C (42) 成立。 证明对于方程(19)二边同时乘以 − S x x κ ，再对x分部积分，应用Young不等式，我们得到 d 2 d t ‖ S x κ ‖ L 2 ( Ω ) 2 + ∫ Ω ν | S x κ | κ | S x x κ | 2 d x = ∫ Ω ψ S | S x κ | κ S x x κ d x ≤ C ∫ Ω | S x κ | κ | S x x κ | d x ≤ ε ∫ Ω | S x κ | κ | S x x κ | 2 d x + C ε ∫ Ω | S x κ | κ d x 选择 ε = ν 2 ，有 d 2 d t ‖ S x κ ‖ L 2 ( Ω ) 2 + ∫ Ω ν 2 | S x κ | κ | S x x κ | 2 d x ≤ C ν ∫ Ω | S x κ | κ d x . 对上面的不等式二边关于时间t积分，注意到边界条件(20)和引理2，可以立即推出(41)。 根据方程(19)和引理2及引理4，(42)得证。 引理6存在与 κ 无关的常数C，使得对任意的 t ∈ [ 0 ， T e ] ， ∫ 0 t ∫ Ω | ( | S x κ | κ 2 ) x | 4 3 d x d τ ≤ C ， (43) ∫ 0 t ‖ | S x κ | κ ‖ L ∞ 8 3 d τ ≤ C ， (44) 成立。 证明为了证明(43)，令 S x κ = : y ， | S x κ | κ = : | y | κ ，使用他们进行如下计算 | ( | S x κ | κ 2 ) x | = | ( | y | κ 2 ) x | ≤ 2 | y | | y x | ≤ 2 | y | κ | y x | = 2 | S x κ | κ | S x x κ | ， (45) 联结(42) ∫ 0 t ∫ Ω | ( | S x κ | κ 2 ) x | 4 3 d x d τ ≤ ∫ 0 t ∫ Ω | 2 | S x κ | κ | S x x κ | | 4 3 d x d τ ≤ 2 4 3 ∫ 0 t ∫ Ω | | S x κ | κ | S x x κ | | 4 3 d x d τ ≤ C . 为了证明(44)，使用(43)和庞加莱不等式 ∫ 0 t ∫ Ω | | S x κ | κ 2 | 4 3 d x d τ = ∫ 0 t ∫ Ω | ( S x κ ) 2 + κ 2 | 4 3 d x d τ ≤ ∫ 0 t ∫ Ω | ( S x κ ) 2 | 4 3 d x d τ + ∫ 0 t ∫ Ω | κ 2 | 4 3 d x d τ ≤ C ∫ 0 t ∫ Ω | ( ( S x κ ) 2 ) x | 4 3 d x d τ + C ⋅ 1 ≤ C ∫ 0 t ∫ Ω | ( ( S x κ ) 2 + κ 2 ) x | 4 3 d x d τ + C ≤ ∫ 0 t ∫ Ω | ( | S x κ | κ 2 ) x | 4 3 d x d τ + C ≤ C 考虑到上式和(43)，应用索伯列夫嵌入定理，最终可以得到 ∫ 0 t ‖ | S x κ | κ 2 ‖ L ∞ ( Ω ) 8 3 d τ ≤ C ∫ 0 t ‖ | S x κ | κ 2 ‖ W 1 ， 4 3 ( Ω ) 4 3 d τ ≤ C ， 根据 | S x κ | κ 的定义，即 | S x κ | κ 2 = ( S x κ ) 2 + κ 2 。最终，我们可以得到 ∫ 0 t ‖ | S x κ | κ ‖ L ∞ ( Ω ) 8 3 d τ ≤ ∫ 0 t ‖ | S x κ | κ 2 ‖ L ∞ ( Ω ) 4 3 d τ ≤ C . 引理7存在与 κ 无关的常数C使得对任意的 t ∈ [ 0 ， T e ] ， ‖ S x κ S x t κ ‖ L 1 ( 0 ， T e ; H − 2 ( Ω ) ) ≤ C ， (46) ‖ ( | S x κ | κ 2 ) t ‖ L 1 ( 0 ， T e ; H − 2 ( Ω ) ) ≤ C (47) 成立。 证明我们发现 L 1 ( 0 ， T e ; H − 2 ( Ω ) ) 是等距嵌入到其对偶空间 L ∞ ( 0 ， T e ; H 2 ( Ω ) ) ，所以(46)的成立意味着下面不等式的成立 | ( S x κ S x t κ ， ϕ ) | ≤ C ‖ ϕ ‖ L ∞ ( 0 ， T e ; H 2 ( Ω ) ) ， 其中 ϕ ∈ L ∞ ( 0 ， T e ; H 2 ( Ω ) ) 。 为了证明等价后的的上式。首先用 S x κ S x t κ 与 ϕ 做内积，分部积分后再带入方程(19) ( S x κ S x t κ ， ϕ ) = ∫ 0 T e ∫ Ω − S x x κ S t κ ϕ d x d τ − ∫ 0 T e ∫ Ω S x κ S t κ ϕ x d x d τ = c ∫ 0 T e ∫ Ω S x x κ ( ψ S − ν S x x κ ) | S x κ | κ ϕ d x d τ     + c ∫ 0 T e ∫ Ω S x κ ( ψ S − ν S x x κ ) | S x κ | κ ϕ x d x d τ = : I 1 + I 2 (48) 下面分别计算 I 1 ， I 2 | I 1 | = | c ∫ 0 T e ∫ Ω S x x κ ϕ ψ S | S x κ | κ d x d τ − c ν ∫ 0 T e ∫ Ω ( S x x κ ) 2 | S x κ | κ ϕ d x d τ | ≤ c ∫ 0 T e ∫ Ω | ϕ ψ S | | S x x κ | | S x κ | κ d x d τ + c ν ∫ 0 T e ∫ Ω | ϕ | ( S x x κ ) 2 | S x κ | κ d x d τ . (49) 为了估计上式等式右边中的第一项，我们应用Hölder不等式、引理2，和(42) c ∫ 0 T e ∫ Ω | ϕ ψ S | | S x x κ | | S x κ | κ d x d τ ≤ C ‖ ϕ ‖ L ∞ ( Q T e ) ‖ S x x κ | S x κ | κ ‖ L 1 ( Q T e ) ≤ C ‖ ϕ ‖ L ∞ ( 0 ， T e ; H 2 ( Ω ) ) . (50) 对于(49)的右边第二项，应用Hölder不等式和(41)我们得到 c ν ∫ 0 T e ∫ Ω | ϕ | ( S x x κ ) 2 | S x κ | κ d x d τ ≤ C ‖ ϕ ‖ L ∞ ( Q T e ) ‖ ( S x x κ ) 2 | S x κ | κ ‖ L 1 ( Q T e ) ≤ C ‖ ϕ ‖ L ∞ ( 0 ， T e ; H 2 ( Ω ) ) . (51) 结合(50)和(51)，我们立即可以得到 | I 1 | ≤ C ‖ ϕ ‖ L ∞ ( 0 ， T e ; H 2 ( Ω ) ) 。 现在开始估计 I 2 | I 2 | = | c ∫ 0 T e ∫ Ω S x κ ψ S | S x κ | κ ϕ x d x d τ − c ν ∫ 0 T e ∫ Ω S x κ | S x κ | κ S x x κ ϕ x d x d τ | ≤ c ∫ 0 T e ∫ Ω | ϕ x ψ S S x κ | S x κ | κ | d x d τ + c ν ∫ 0 T e ∫ Ω | ϕ x S x x κ S x κ | | S x κ | κ d x d τ = : | I 2 ， 1 | + | I 2 ， 2 (52) 根据引理2和 | S x κ | ≤ | S x κ | κ 可以得到 | I 2 ， 1 | = c ∫ 0 T e ∫ Ω | ϕ x ψ S S x κ | S x κ | κ | d x d τ ≤ C ∫ 0 T e ∫ Ω | ϕ x | S x κ | κ 2 | d x d τ ≤ C ‖ ϕ x ‖ L ∞ ( Q T e ) ‖ | S x κ | κ 2 ‖ L 1 ( Q T e ) ≤ C ‖ ϕ ‖ L ∞ ( 0 ， T e ; H 2 ( Ω ) ) (53) 应用Hölder不等式和(44)，(41)，我们可以得到 | I 2 ， 2 | = c ν ∫ 0 T e ∫ Ω | S x κ S x x κ ϕ x | | S x κ | κ d x d τ ≤ c ν ∫ 0 T e ‖ | S x κ | κ ‖ L ∞ ( Ω ) 1 2 ‖ ϕ x ‖ L ∞ ( Ω ) ∫ Ω ( | S x κ | κ ) 1 2 | S x x κ | | S x κ | d x d τ ≤ c ν ∫ 0 T e ‖ | S x κ | κ ‖ L ∞ ( Ω ) 1 2 ‖ ϕ x ‖ L ∞ ( Ω ) ( ∫ Ω | S x κ | κ | S x x κ | 2 d x ) 1 2 ( ∫ Ω | S x κ | 2 d x ) 1 2 d τ ≤ C ‖ ϕ ‖ L ∞ ( 0 ， T e ; H 2 ( Ω ) ) ∫ 0 T e ‖ | S x κ | κ ‖ L ∞ ( Ω ) 1 2 ( ∫ Ω | S x κ | κ | S x x κ | 2 d x ) 1 2 d τ ≤ C ‖ ϕ ‖ L ∞ ( 0 ， T e ; H 2 ( Ω ) ) ( ∫ 0 T e ‖ | S x κ | κ ‖ L ∞ ( Ω ) d τ ) 1 2 ( ∫ 0 T e ∫ Ω | S x κ | κ | S x x κ | 2 d x d τ ) 1 2 ≤ C ‖ ϕ ‖ L ∞ ( 0 ， T e ; H 2 ( Ω ) ) (54) 至此，通过对 I 2 和 I 1 的估计可以得到 ‖ S x κ S x t κ ‖ L 1 ( 0 ， T e ; H − 2 ( Ω ) ) 是有界的。 为了证明(47)，我们给出下面的定义 f κ : = − c ( ψ ( S κ ) S − ν S x x κ ) | S x κ | κ . (55) 取 ϕ ∈ L ∞ ( 0 ， T e ; H 2 ( Ω ) ) ，用 ( S x κ ϕ ) x 与 ( S t κ − f κ ) 作内积，并且关于 ( t ， x ) 做积分，利用(45)可得 0 = ( ( S t κ − f κ ) ， ( S x κ ϕ ) x ) Q T e = ( S t κ ， ( S x κ ϕ ) x ) Q T e − ( f κ ， ( S x κ ϕ ) x ) Q T e = − ∫ Q T e S t x κ S x κ ϕ d ( τ ， x ) − ( f κ ， S x x κ ϕ ) Q T e − ( f κ ， S x κ ϕ x ) Q T e = − 1 2 ( ( | S x κ | κ 2 ) t ， ϕ ) Q T e − ( f κ ， S x x κ ϕ ) Q T e − ( f κ ， S x κ ϕ x ) Q T e 把上式改写成如下格式 | 1 2 ( ( | S x κ | κ 2 ) t ， ϕ ) Q T e | = | − ( f κ ， S x x κ ϕ ) Q T e − ( f κ ， S x κ ϕ x ) Q T e | ≤ ∫ Q T e | f κ S x x κ ϕ | d ( τ ， x ) + ∫ Q T e | f κ S x κ ϕ x | d ( τ ， x ) (56) 由估计(55)和(48)~(51)可得 ∫ Q T e | f κ S x x κ ϕ | d ( τ ， x ) = ∫ Q T e | S t κ S x x κ ϕ | d ( τ ， x ) ≤ C ‖ ϕ ‖ L ∞ ( 0 ， T e ; H 2 ( Ω ) ) . (57) 由(48)，(55)和(52)~(54)，我们就可以用 C ‖ ϕ ‖ L ∞ ( 0 ， T e ; H 2 ( Ω ) ) 来估计(56)的等式右边最后一项 ∫ Q T e | f κ S x κ ϕ x | d ( τ ， x ) = ∫ Q T e | S t κ S x κ ϕ x | d ( τ ， x ) ≤ C ‖ ϕ ‖ L ∞ ( 0 ， T e ; H 2 ( Ω ) ) . (58) 至此，由(56)-(58)，使得(47)成立。 根据引理2，引理4和引理5~7，我们可以将Alber-Zhu模型(8)~(10)的弱解从小区间 [ 0 ， T ] 不断延拓到整个空间 [ 0 ， T e ] 。 2.3. 一维Alber-Zhu模型弱解的存在性 本节我们将研究(19)-(21)的解 { S κ } 在 κ → 0 时的收敛性并且证明定理1。 由估计(34)和(36)可得 ‖ S κ ‖ W 1 ， 4 3 ( Q T e ) ≤ C ，其中C是与 κ 无关的常数。意味着我们可以选择序列 κ n → 0 和一个函数 S ∈ W 1 ， 4 3 ( Q T e ) 使得序列 S κ n (这里仍然用 S κ 来表示)满足下式 ‖ S κ − S ‖ L 4 3 ( Q T e ) → 0 ， S x κ ⇀ S x ， S t κ ⇀ S t ， (59) 这里的弱收敛存在空间 L 4 3 ( Q T e ) 。 引理8： B 0 是一个赋范线性空间并且紧嵌入另一个赋范线性空间B，B连续嵌入到一个Hausdorf局部凸空间 B 1 ，其中 1 ≤ p < ∞ 。如果 ν ， ν i ∈ L p ( 0 ， T e ; B 0 ) ， i ∈ ℕ ，序列 { ν i } i ∈ ℕ 在空间 L p ( 0 ， T e ; B 0 ) 中弱收敛于 ν ，且 { ∂ ν i ∂ t } i ∈ ℕ 在空间 L 1 ( 0 ， T e ; B 1 ) 上有界，则 ν i 在空间 L p ( 0 ， T e ; B ) 内强收敛于 ν 。 引理9： ( 0 ， T e ) × Ω 是一个在 ℝ + × ℝ n 上的开集，假设函数序列 g n ，函数g都在空间 L q ( ( 0 ， T e ) × Ω ) 内，并且对于任意所给的 1 < q < ∞ ，满足 ‖ g n ‖ L q ( ( 0 ， T e ) × Ω ) ≤ C ， g n → g ，a.e.在 ( 0 ， T e ) × Ω 内， 则函数序列 g n 在空间 L q ( ( 0 ， T e ) × Ω ) 内弱收敛于g。 引理8是一般形式的Aubin-Lions引理，其证明详见文献 [ 14 ]，引理9的证明在 [ 15 ]。 引理10：存在与 κ 无关的常数C使得 S x κ → S x ，a.e. in Q T e ， (60) sgn ( S x κ ) | S x κ | κ → S x ， | S x κ | κ → | S x | ，a.e. in Q T e ， (61) sgn ( S x κ ) | S x κ | κ ⇀ S x ， | S x κ | κ ⇀ | S x | ，弱收敛于空间 L 4 3 ( Q T e ) ， (62) sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 2 → S x | S x | ，强收敛于空间 L 4 3 ( 0 ， T e ; L 2 ( Ω ) ) 。 (63) 证明我们应用引理8并选择 p = 4 3 B 0 = W 1 ， 4 3 ( Ω ) ， B = L 2 ( Ω ) ， B 1 = H − 2 ( Ω ) ， 由(43)和(47)，我们发现 sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 2 和 ( sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 2 ) t 是有界的，那么这些空间就完全满足引理8的前提条件。也就是说存在一个子序列，为了简洁，这里仍然用 sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 2 来表示，在空间 L p ( 0 ， T e ; B ) = L 4 3 ( 0 ， T e ; L 2 ( Ω ) ) 中强收敛于一个极限函数 G ∈ L 4 3 ( 0 ， T e ; L 2 ( Ω ) ) 。 实际上另一个子序列仍然用 sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 2 来表示，存在下述关系 sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 2 → S x | S x | a.e.在 Q T e 内。令 f ( sgn ( S x κ ) | S x κ | κ ) = sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 2 ，利用映射 y → f ( y ) : = y | y | ，有一个连续的逆映射 f − 1 : ℝ → ℝ ，我们可以推论 f − 1 ( sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 2 ) = sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 在 Q T e 内几乎处处收敛。由此，可以得到序列 S x κ 几乎处处收敛。我们借助 | S x κ | κ 的定义，可以看到 ( S x κ ) 2 = ( sgn ( S x κ ) | S x κ | κ ) 2 − κ 2 。即 lim κ → 0 S x κ = lim κ → 0 sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 。至此， S x κ 在 Q T e 内几乎处处收敛得证。 由引理9和 S x κ ⇀ S x in L 4 3 ( Q T e ) ，(60)-(61)立即可以得到证明。关系式(61)和极限的唯一性意味着(63)。联结(59)和文中设定的关系式 | | S x κ | κ | = | sgn ( S x κ ) | S x κ | κ | ≤ | S x κ | + κ ≤ | S x κ | + 1 ，再应用引理9，我们立即得到(62)。 证明定理1：根据(59)，我们可以给定一个子序列 { S κ } 和相应的极限函数，用 { S κ } 来表示定理2中方程(19)~(21)所构造的解序列。下面我们将证明S是(8)~(10)的弱解。 引理5和(59)立即可以得到(11)。(13)中的第二项由(59)可得。(14)中的第二项可由(44)和(61)可得。(14)中的第一项是(43)和(63)的一个结论。为了证明(13)中的第一项，我们选择 ϕ ∈ L 4 ( 0 ， T e ， W 1 ， 4 ( Ω ) ) 并且用(55)中定义的 − ϕ x 和 S t κ − f κ 做内积，在时间和空间上积分，可得 0 = ( ( S t κ − f κ ) ， − ϕ x ) Q T e = ∫ Q T e S t x κ ϕ d ( τ ， x ) + ( f κ ， ϕ x ) Q T e ， 注意到引理2-5，我们得到 ∫ Q T e S t x κ ϕ d ( τ ， x ) ≤ ‖ f κ ‖ L 4 3 ( Q T e ) ‖ ϕ x ‖ L 4 ( Q T e ) ≤ C ‖ ϕ ‖ L 4 ( 0 ， T e ; W 1 ， 4 ( Ω ) ) ， 即 ‖ S x t κ ‖ L 4 3 ( 0 ， T e ; W − 1 ， 4 3 ( Ω ) ) ≤ C 。联结此式和(59)，第一项立即可得。 为了证明(12)，我们研究下面的收敛关系 ( S 0 κ ， ϕ ( 0 ) ) Ω → ( S 0 ， ϕ ( 0 ) ) Ω ， (64) ( S κ ， ϕ t ) Q T e → ( S ， ϕ t ) Q T e ， (65) ( ∫ 0 S x κ | y | κ d y ， ϕ x ) Q T e → ( 1 2 | S x | S x ， ϕ x ) Q T e ， (66) ( ψ S ( S x κ ) | S x κ | κ ， ϕ ) Q T e → ( ψ S | S x | ， ϕ ) Q T e ， (67) 当 κ → 0 。(64)和(65)由(40)和(59)可得。为了证明(66) ∫ 0 S x κ | y | κ d y − 1 2 | S x | S x = ( ∫ 0 S x κ | y | κ d y − 1 2 sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 2 ) + 1 2 ( sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 2 − | S x | S x ) ， 上式中右边的第二项由(63)立即可得： ‖ 1 2 ( sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 2 − | S x | S x ) ‖ L 4 3 ( 0 ， T e ; L 2 ( Ω ) ) → 0 当 κ → 0 。对于第一项我们有 | ( ∫ 0 S x κ | y | κ d y − 1 2 sgn ( S x κ ) | S x κ | κ 2 ) | = | ( ∫ 0 S x κ | y | κ d y − 1 2 sgn ( S x κ ) ( ( S x κ ) 2 + κ 2 ) ) | ≤ | ( ∫ 0 S x κ | y | κ d y − 1 2 sgn ( S x κ ) ( S x κ ) 2 ) | + | 1 2 sgn ( S x κ ) κ 2 | ≤ ∫ 0 | S x κ | | | y | κ − | y | | d y + C κ ≤ κ | S x κ | + C κ 联结(34)，我们立即得到(66)。由引理2和引理5得到 ‖ ψ S ( S x κ ) | S x κ | κ ‖ L 2 ( Q T e ) ≤ C ，再联结引理9和(60)~(61)，(67)立即可得。至此，(12)证明结束。