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user: 2. 理论分析 2.1. 基本假设 在实际工程中，矩形桩应用非常广泛，本文选择矩形桩为基本的研究对象。其他截面形式的桩可以等效为矩形桩。当桩截面的长度与宽度相差不大时，可认为桩端直接土拱与桩侧摩擦土拱共同存在，如图1所示。桩截面的宽度与长度分别为b和a，桩间净距为l。在直接土拱与摩擦土拱之间存在一个稳定受压区。现作出如下假设： 图1. 土拱效应图示 1) 直接土拱承受全部的滑坡推力，摩擦土拱主要承受稳定受压区传递来的荷载而不直接承受滑坡推力。 2) 土拱效应形成后的大主应力轨迹线为合理拱轴线，在合理拱轴线截面上仅存在轴向应力而无剪应力与拉应力。 3) 对于土拱的破坏，认为土体屈服即破坏。 对于稳定受压区，其实际受力可认为是垂直于拱轴线分布的，如图2(a)所示。根据对称性原理，其X方向(即布桩方向)的受力相互平衡。因此仅需考虑其Y方向的受力即可，简化受力如图2(b)所示。直接土拱施加于稳定区的力为 p 1 ，摩擦土拱施加于稳定区的力为 p 2 ，则易知 p 1 = p 2 = p 。 图2. 稳定受压区受力图示。(a) 稳定区实际受力；(b) 稳定区简化受力 2.2. 桩侧摩擦土拱 对于摩擦土拱，忽略重力的影响，则土拱模型可简化为平面应变模型。假设土拱后所受土压力 p 2 均匀分布于土拱上，取单位桩长的土拱进行受力分析，摩擦土拱模型如图3所示。其中摩擦土拱矢高为 f 2 ，X向及Y向拱脚反力分别为 X 2 与 Y 2 ，假设合理拱轴线为抛物线 [ 15 ]，土拱轴线方程为： 图3. 摩擦土拱受力分析 y = 4 f 2 x 2 l 2 (1) 由静力平衡条件可知： X 2 = p l 2 8 f 2 (2) Y 2 = p l 2 (3) 由拱的力学知识可知，其拱顶处的轴应力小于拱脚处。对于桩侧摩擦土拱，以拱脚处的破坏为控制条件，易知其最不利截面为桩–土接触面，故以桩–土接触面为滑裂面，如图4所示。由滑裂面上的静力平衡可得： X 2 tan δ + c a = Y 2 (4) 其中δ为桩–土接触面的摩擦角，可参照土体内摩擦角φ按经验取值。将方程(2)和方程(3)代入到方程(4)中，可得： p l 2 8 f 2 tan δ + c a = p l 2 (5) 图4. 摩擦土拱拱脚受力 由极限平衡理论，滑裂面与大主应力面的夹角为 45 ∘ + δ / 2 ，则由图4可得： tan α = Y 2 X 2 = 4 f 2 l = tan ( 45 ∘ + δ 2 ) (6) 联立方程(5)、(6)可得： p = 2 c a l [ 1 − tan ( 45 ∘ − δ / 2 ) tan δ ] (7) 2.3. 桩端直接土拱 对于桩端直接土拱，其承受全部的滑坡推力，并受到稳定受压区土体的反作用力。同时根据Terzaghi土拱效应原理，应当考虑桩后静止土体的影响，故考虑桩后土体对土拱产生侧向的静止土压力。记直接土拱承受的滑坡推力为q，则土拱受到的侧向土压力大小为 K 0 q ，其中 K 0 为静止土压力系数 K 0 = υ 1 − υ ， υ 为泊松比，也可按 K 0 ≈ 1 − sin φ 近似计算。受到被稳定区土体的作用力为 p 2 ，拱脚处的X方向与Y方向的拱脚反力分别为 X 1 和 Y 1 。直接土拱的受力图如图5所示，在受到侧向土压力作用时，土拱的拱轴线方程为椭圆线 [ 16 ]： 图5. 直接土拱受力图示 x 2 ( B K 0 ) 2 + ( y − B ) 2 B 2 = 1 (8) 其中， B = f 1 2 + l 2 8 f 1 K 0 (9) 方程(8)显示，在考虑侧向土压力作用时，合理拱轴线形状为椭圆线的一部。同样以拱脚处的破坏为控制条件，记拱脚处拱轴线与水平方向的夹角为 θ ，轴力为 F N ，由静力平衡可知： Y 1 = q l 2 (10) tan θ = d y d x | x = l 2 ， y = f 1 = − x K 0 ( y − B ) | x = l 2 ， y = f 1 = 4 f 1 l l 2 − 4 K 0 f 1 2 (11) F N | x = l 2 = Y 1 sin θ = q l 2 1 + [ l 2 − 4 K 0 f 1 2 4 f 1 l ] 2 (12) 对于直接土拱，其土拱区域内的土体均达到屈服状态。记直接土拱拱脚处内缘点为点A，其轴应力为 σ A ；直接土拱拱脚处外缘点为B，其轴应力为 σ B 。为了便于计算，假设轴应力从A点至B点为线性分布的，如图6(a)所示。 图6. 拱脚处的应力状态。(a) 拱脚处的轴应力分布；(b) A点的应力状态；(c) B点的应力状态 对于点A，其屈服主要源于承受滑坡推力，滑坡推力为小主应力，轴应力为大主应力，应力状态如图6(b)所示，由摩尔–库伦屈服准则可得： σ A = q tan 2 ( 45 ∘ + φ / 2 ) + 2 c tan ( 45 ∘ + φ / 2 ) (13) 对于B点，其轴应力为大主应力，稳定区作用力p为小主应力，应力状态如图6(c)所示，由摩尔–库伦屈服准则可得： σ B = p tan 2 ( 45 ∘ + φ / 2 ) + 2 c tan ( 45 ∘ + φ / 2 ) (14) 轴力可以看作轴应力沿土拱厚度的积分，则可以得到： σ A + σ B 2 t = σ N t = F N (15) 其中， σ N 为平均轴应力， σ N = ( σ A + σ B ) / 2 (16) 假定直接土拱厚度等于桩截面宽度，即 t = b ，将方程(15)代入到方程(12)可得： f 1 = l 2 K 0 { [ − ( 2 σ N b q l ) 2 − 1 ] + ( 2 σ N b q l ) 2 − 1 + K 0 } (17) 式(17)即为土拱效应充分发挥时土拱矢高的表达式。由式(17)可见，对于某一特定工况，直接土拱的矢高与滑坡推力与桩间距有关。这一结论也符合工程实际。考虑直接土拱的破坏，根据极限平衡理论，滑裂面与大主应力面的夹角为 45 ∘ + φ / 2 ，假定桩后稳定区为梯形受压区，如图7所示。则根据滑裂面上的静力平衡有： 2 c t ⋅ csc ( 45 ∘ − φ / 2 ) + [ 2 F N sin ( 45 ∘ − φ / 2 ) − q l sin β − K 0 q t csc ( 45 ∘ − φ / 2 ) cos β ] tan φ = 2 F N cos ( 45 ∘ − φ / 2 ) + q l cos β (18) 其中， β = 45 ∘ − θ + φ / 2 (19) 图7. 直接土拱拱脚受压区 2.4. 合理桩间距的确定 对于合理桩间距的确定，需要同时满足桩间摩擦土拱与桩端直接土拱的极限平衡条件，即方程(7)与方程(18)需要同时满足，可得： { 2 c t ⋅ csc ( 45 ∘ − φ / 2 ) + [ 2 F N sin ( 45 ∘ − φ / 2 ) − q l sin β − K 0 q t csc ( 45 ∘ − φ / 2 ) cos β ] tan φ = 2 F N cos ( 45 ∘ − φ / 2 ) + q l cos β F N = b 2 [ ( q + p 2 ) tan 2 ( 45 ∘ + φ / 2 ) + 4 c tan ( 45 ∘ + φ / 2 ) ] p = 2 c a l [ 1 − tan ( 45 ∘ − δ / 2 ) tan δ ] (20) 满足方程组(20)的桩间距l可以同时满足摩擦土拱与直接土拱的极限状态下的静力平衡，因此由方程组(20)求得的桩间距即为合理桩间距。但是方程组(20)非常复杂，为l的隐函数，故采用Matlab工具进行求解。对于方程(18)，等号左边可视为滑裂面上的抗滑力，右边为滑裂面上的下滑力，令： F = 2 c t ⋅ csc ( 45 ∘ − φ / 2 ) + [ 2 F N sin ( 45 ∘ − φ / 2 ) − q l sin β − K 0 q t csc ( 45 ∘ − φ / 2 ) cos β ] tan φ     − 2 F N cos ( 45 ∘ − φ / 2 ) + q l cos β (21) 若视 F N 和 p 2 为参数，则合理桩间距的求解便转化为对方程(21)的解，即满足 F ≥ 0 时的方程的最小值解l，其数值方法为：给定一个较小的 l 1 ，代入方程(21)，若 F < 0 ，则迭代 l i + 1 = l i + Δ l ，将迭代后的 l i + 1 重新代入方程(21)，直至 l i + 1 满足 F > 0 ，然后输出 l i ，则合理桩间距为： L = b + l i (22)