system: [SYSTEM]

user: 2. 具有独立于状态的随机HCV模型的灭绝性与持久性 在随机HCV模型(1.2)和(1.3)中，连续时间马尔科夫链 ( α t ) t ≥ 0 的转移概率与状态无关。令 S ⌣ = m a x i ∈ M S i ， S ^ = m i n i ∈ M S i ，其他变量 a ⌣ ， a ^ ， b ⌣ ， b ^ ， ⋯ 的定义与它类似。假设 · H 1 对所有的 i ∈ M ， F ( ⋅ ， i ) : ℝ → ℝ + 是局部利普希茨连续的，且存在常数 c > 0 ，使得 F ( x ， i ) ≤ c ( 1 + | x | ) ， x ∈ ℝ ； · H 2 连续时间马尔科夫链 ( α t ) t ≥ 0 是不可约和正递归的，且其具有不变概率测度 π = ( π 1 ， π 2 ， ⋯ ， π M ) 。 下面的引理表明，随机HCV模型(1.2)和(1.3)的唯一解在正象限中，并揭示了肝细胞的总数量有一个上界。 引理2.1 假设 H 1 成立，令 F ( x ， i ) = ( 1 − η α t ) β α t V t 。则随机丙型肝炎病毒感染模型(1.2)和(1.3) 有唯一强解 ( W t ， I t ， V t ) ∈ ℝ + 3 ，其解的初始值 ( w 0 ， i 0 ， v 0 ) ∈ ℝ + 3 。此外，仍有 N t ≤ N 0 e − ∫ 0 t ϒ α s d s + ∫ 0 t   S α s e − ∫ s t ϒ α u d u d s ，     a .s . (2.1) Proof. 首先由随机模型(1.2)可以得到 d N t = { S α t − ( b α t − a α t ) W t − ( ω α t − ν α t ) I t − ( W t + I t ) b α t W t + a α t I t W max                       + ( 1 − ϵ α t ) p α t I t − c α t V t } d t ，   t > 0. (2.2) 又因为 W t ， I t ≥ 0 ，故有 d N t ≤ { S α t − ( b α t − a α t ) W t − ( ω α t − ν α t ) I t + ( 1 − ϵ α t ) p α t I t − c α t V t } d t . (2.3) 令 ϒ α t = m i n { b α t − a α t ， ω α t − ν α t − p α t + ϵ α t p α t ， c α t } ，则有 d N t ≤ { S α t − ϒ α t N t } d t . 特别地 d N t ≤ { S α τ k − ϒ α τ k N t } d t ，     t ∈ [ τ k ， τ k + 1 ) ，     k ∈ ℕ . 对 d ( e ϒ α τ k t N t ) 应用伊藤链式法，有 d ( e ϒ α τ k t N t ) = ϒ α τ k e ϒ α τ k t N t d t + e ϒ α τ k t d N t ≤ e ϒ α τ k t S α τ k d t ， 从而，获得 N t ≤ e − ϒ α τ k ( t − τ k ) N τ k + ∫ τ k t S α s e − ϒ α τ k ( t − s ) d s = e − ∫ τ k t ϒ α s d s N τ k + ∫ τ k t S α s e − ∫ s t ϒ α u d u d s ≤ e − ∫ τ k t ϒ α s d s ( e − ∫ τ k − 1 t ϒ α s d s N τ k − 1 + ∫ τ k − 1 t S α s e − ∫ s t ϒ α u d u d s ) + ∫ τ k t S α s e − ∫ s t ϒ α u d u d s = e − ∫ τ k − 1 t ϒ α s d s N τ k − 1 + ∫ τ k − 1 t S α s e − ∫ s t ϒ α u d u d s ≤ ⋯ ≤ e − ∫ 0 t ϒ α s d s N 0 + ∫ 0 t S α s e − ∫ s t ϒ α u d u d s . (2.4) 引理证明完毕。 推论2.2 假设 H 1 成立，则随机丙型肝炎病毒感染系统(1.2)的解 ( W t ， I t ， V t ， α t ) t ≥ 0 具有不变概率测度。 证明：首先注意到 ( W t ， I t ， V t ， α t ) t ≥ 0 是一个费勒过程。由(2.1)式，可得 W t ≤ N t ≤ N 0 e − ϒ ^ t + S ⌣ / ϒ ^ . (2.5) 对任意 K > 0 ，令 B K ( 0 ) = { ( w 0 ， i 0 ， v 0 ) ∈ ℝ + 3 : w 0 + i 0 + v 0 ≤ K } ， M t ( w 0 ， i 0 ， v 0 ， i ; ⋅ ) 是起始点为 ( w 0 ， i 0 ， v 0 ， i ) ∈ ℝ + 3 × M 的 ( W t ， I t ， V t ， α t ) 的过渡内核。对任意 t > 0 和 ξ ∈ B ( ℝ + 3 × M ) ，定义概率测度 χ t ( ξ ) = 1 t ∫ 0 t M s ( w 0 ， i 0 ， v 0 ， i ; ξ ) d s . 则对任意的 ε > 0 ，由切比雪夫不等式和(2.5)可知，存在充分大的 K > 0 ，使得 χ t ( B K ( 0 ) × M ) = 1 t ∫ 0 t M s ( w 0 ， i 0 ， v 0 ， i ; B K ( 0 ) d s × M ) ≥ 1 − 1 K s u p t ≥ 0 E N t ≥ 1 − ε . 因为 B K ( 0 ) 是 ℝ + 3 的紧子集，所以， ( χ t ) t ≥ 0 是紧的。由Krylov-Bogoliubov’s定理 [ 9 ] [ 10 ] 可知， ( W t ， I t ， V t ， α t ) t ≥ 0 具有不变概率测度。推论证明完毕。 定理2.3 假设 H 1 和 H 2 成立，并进一步假设存在具有 l i m t → ∞ Ψ t = 0 的 Ψ ： [ 0， ∞ ) → [ 0， ∞ ) 和 Φ : M → [ 0， ∞ ) 使得 ( 1 − η α t ) β α t V t W t I t ≤ Ψ t + Φ α t (2.6) 和 Δ 1 : = ∑ i ∈ M π i Φ i ∑ i ∈ M π i ( ω i + q i − ν i ) < 1. (2.7) 则有 l i m t → ∞ I t = 0，   a .s .，   l i m t → ∞ V t = 0，   a .s . (2.8) 和 1 t ∫ 0 t { ( b α s − a α s ) W s + b α s W s 2 W max } d s = ∑ i ∈ M     π i S i . (2.9) 证明：设 ( W t ， I t ， V t ) ∈ ( ℝ + ) 3 ，由(1.2)和(2.6)，可得 d d t ln I t = ν α t ( 1 − W + I W m ) + ( 1 − η α t ) β α t V t W t I t − ω α t − q α t = − ν α t ( W t + I t ) W m + ( 1 − η ) β α t V t W t I t + ν α t − ω α t − q α t ≤ ( 1 − η α t ) β α t V t W t I t − ( ω α t + q α t − ν α t ) ≤ Ψ t + Φ t − ( ω α t + q α t − ν α t ) . (2.10) 从而，获得 l n ( I t I 0 ) ≤ ∫ 0 t   Ψ s d s + ∫ 0 t ( Φ s − ( ω α s + q α s − ν α s ) ) d s . (2.11) 因此，利用马氏链的强遍历性定理，除了有 l i m t → ∞ Ψ t = 0 之外，还获得 lim t → ∞ sup ln I t t ≤ ∑ i ∈ M { Φ i − ( ω i + q i − ν i ) } π i ，   a .s . 因此，有 l i m t → ∞ I t = 0 ，a.s. 下证 l i m t → ∞ V t = 0 ，a.s.，注意到 d V t ≤ { ( 1 − ϵ ^ ) p ⌣ I t − v ^ V t } d t ， 对 d ( e c t V t ) 应用伊藤链式法，有 V t ≤ V 0 e − c ^ t + ( 1 − ϵ ^ ) p ⌣ ∫ 0 t   e − c ^ ( t − s ) I s d s (2.12) 又因为 l i m t → ∞ I t = 0 ，a.s.，所以对任意 ε > 0 ，存在具有 ℙ ( Ω 0 ) = 1 的 Ω 0 ⊆ Ω 和 T = T ( ω ) > 0 ，使得 I t ( ω ) ≤ c ^ ε 3 ( 1 − ϵ ^ ) p ⌣ ，   t ≥ T ，   ω ∈ Ω 0 . 这就意味着 ( 1 − ϵ ^ ) p ⌣ ∫ T t     e − c ^ ( t − s ) I s ( ω ) d s ≤ ε 3 ，   ω ∈ Ω 0 ，   t ≥ T . 结合(2.12)式可得：只要 t ≥ T ∨ ( 1 c ^ l n 3 V 0 ε ) ∨ ( T + 1 c ^ l n 3 ( 1 − ϵ ^ ) ( N 0 + S ⌣ γ ^ ) c ^ ε ) ， 就有 V t ( ω ) ≤ V 0 e − c ^ t + ( 1 − ϵ ^ ) p ⌣ ∫ 0 T   e − c ^ ( t − s ) I s ( ω ) d s + ( 1 − ϵ ^ ) p ⌣ ∫ T t     e − c ^ ( t − s ) I s ( ω ) d s ≤ ε 3 + V 0 e − c ^ t + ( 1 − ϵ ^ ) p ⌣ ∫ 0 T   e − c ^ ( t − s ) I s ( ω ) d s ≤ ε 3 + V 0 e − c ^ t + ( 1 − ϵ ^ ) p ⌣ ( N 0 + S ⌣ γ ^ ) ∫ 0 T   e − c ^ ( t − s ) d s ≤ ε ，   ω ∈ Ω 0 . (2.13) 由此证得 l i m t → ∞ V t = 0 ，a.s. 根据(2.8)有 l i m t → ∞ ( 1 t ∫ 0 t   I s d s ) = 0，   a .s .     l i m t → ∞ ( 1 t ∫ 0 t   V s d s ) = 0，   a .s . (2.14) 由(2.2)可以得到下式 1 t { ∫ 0 t ( b α s − a α s ) W s + b α s W s 2 W max } d s = N 0 − N t t + 1 t ∫ 0 t { S α s − ( ω α s − ν α s ) I s − ( a α s + b α s ) W s I s W max − a α s I s 2 W max + ( 1 − ϵ α s ) p α s I s − c α s V s } d s 结合(2.5)和(2.14)及连续时间马尔科夫链的强遍历性定理，可得(2.7)，即 1 t { ∫ 0 t ( b α s − a α s ) W s + b α s W s 2 W max } d s = ∑ i ∈ M     π i S i . 定理2.4令 H 1 和 H 2 成立，并进一步假设：对任意 j ∈ M ， lim I t → 0 ( 1 − η j ) β j V t I t > 0 且有 Δ 2 : = ∑ i ∈ M π i S i τ ( ν ⌣ + ∑ i ∈ M π i ( ω i + q i − υ i ) ) > 1， (2.15) 其中 τ = m a x j ∈ M ( ( 1 − η j ) β j V t + b j lim I t → 0 ( 1 − η j ) β j V t / I t ) . (2.16) 则 lim inf t → ∞ ( 1 t ∫ 0 t   I s d s ) > 0 ，   a .s . (2.17) 即感染肝细胞具有持久性。 证明：首先声明存在常数 K > 0 ，使得对任意 0 ≤ x ， y ≤ N 0 + S ⌣ ϒ ^ ， j ∈ M 有 F j ， y ( x ) = K x + ( ( τ / x − 1 ) ( 1 − η j ) β j V t − b j ) y ≥ 0，   V t ≥ 0 (2.18) 显然，当 y = 0 时上式成立。所以下面只要证明 0 ≤ x ， y ≤ N 0 + S ⌣ ϒ ^ 时上式也成立就足够了。由 τ 的定义可知 F j ， y ( 0 ) = ( τ lim x → 0 ( 1 − η j ) β j V t / x − ( 1 − η j ) β j V t − b j ) y > 0， (2.19) 由 x ↦ F j ， y ( x ) 的连续性和由(2.19)可知，存在 0 ≤ x 0 ≤ N 0 + S ⌣ ϒ ^ ，使得对任意的 x ∈ [ 0， x 0 ] 和 K = K 0 > 0 有式子(2.18)成立。而对于任意的 x ∈ [ x 0 ， N 0 + S ⌣ ϒ ^ ] ，有 F j ， y ( x ) ≥ K x 0 − m a x x ∈ [ x 0 ， N 0 + S ⌣ ϒ ^ ] ， j ∈ M | ( τ / x − 1 ) ( 1 − η j ) β j V t − b j | ( N 0 + S ⌣ ϒ ^ ) . (2.20) 因此，当 K > 0 充分大时，即得(2.18)。 根据(1.2)，可得到 d W t d t = S α t + a α t W t ( 1 − W t + I t W max ) − b α t W t − ( 1 − η α t ) β α t V t W t + q α t I t ≥ S α t − b α t W t − ( 1 − η α t ) β α t V t W t + ( q ^ − a ⌣ ) I t = S α t − ( K + a ⌣ − q ^ ) I t − τ ( 1 − η α t ) β α t V t W t I t + F α t ， W t I t ≥ S α t − ( K + a ⌣ − q ^ ) I t − τ ( 1 − η α t ) β α t V t W t I t ， (2.21) 从而，得到 τ ∫ 0 t ( 1 − η α t ) β α t V t W t I t d s ≥ W 0 − W t + ∫ 0 t { S α s − ( K + a ⌣ − q ^ ) I s } d s . (2.22) 然后将(2.10)第一个式子变换后代入上式，并结合(2.5)，可获得 ∫ 0 t ( K + a ⌣ − q ^ ) I s d s ≥ W 0 − W t − τ l n c + ∫ 0 t   S α s d s − τ ∫ 0 t ν α s ( W s + I s ) W max d s       − τ ∫ 0 t ( ω α s + q α s − ν α s ) d s ≥ W 0 − N 0 − S ⌣ ϒ ^ − τ l n c + ∫ 0 t   S α s d s − τ ν ⌣ t − τ ∫ 0 t ν ⌣ W max I s d s       − τ ∫ 0 t ( ω α s + q α s − ν α s ) d s ，     c > 0. (2.23) 于是，有 ∫ 0 t ( K + a ⌣ + τ ν ⌣ W max − q ^ ) I s d s ≥ W 0 − N 0 − S ⌣ ϒ ^ − τ l n c − τ ν ⌣ t + ∫ 0 t { S α s − τ ( ω α s + q α s − ν α s ) } d s . (2.24) 根据，马尔科夫链 ( α t ) t ≥ 0 的强遍历性定理，有 ( K + a ⌣ + τ ν ⌣ W max − q ^ ) lim inf t → ∞ ( 1 t ∫ 0 t I s d s ) ≥ ∑ j ∈ M { S j − τ ( ω α s + q α s − ν α s ) } π j − τ ν ⌣ . 由此，可由(2.15)直接推断出(2.17)。