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user: 4. 基于ZKF的锂电池执行器热故障诊断 基于电热耦合模型，根据状态空间表达式(4)，锂电池执行器热故障模型可写为： { x k + 1 = A x k + B u k + f k + D 1 w k y k = C x k + D 2 v k (5) 式中， f k = [ f 1 ， k ， f 2 ， k ] T ∈ ℝ p 表示热故障向量，当锂电池发生产热故障时，例如过充\过放以及电池短路时， f 1 ≠ 0 ， f 2 = 0 。当锂电池发生冷却系统故障时， f 1 = 0 ， f 2 ≠ 0 。当锂电池内部导热电阻发生故障时， f 1 ≠ 0 ， f 2 ≠ 0 。 w k 和 v k 分别表示系统未知但有界的扰动和测量噪声，即 | w k | ≤ w ˜ ， | v k | ≤ v ˜ 。 首先将故障向量扩展到电热耦合模型的状态向量，得到增广的状态向量如下式： x ¯ k = [ x k f k − 1 ] (6) 因此锂电池执行器热故障模型可以重新写成： { E x ¯ k + 1 = A ¯ x ¯ k + B ¯ u k + D ¯ 1 w k y k = C ¯ x ¯ k + D 2 v k (7) 其中 E = [ 1 0 − 1 0 0 1 0 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] ， A ¯ = [ 1 − Δ t R c C c Δ t R c C c 0 0 Δ t R c C s 1 − Δ t R c C s − Δ t R u C s 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] ， B ¯ = [ Δ t C c 0 0 Δ t R u C s 0 0 0 0 ] ， D ¯ 1 = [ 1 0 0 1 0 0 0 0 ] ， C ¯ = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 ] 不失一般性，假设系统(5)的初始状态 x ¯ 0 对应的全对称多胞体 Z 0 = p ¯ 0 ⊕ G ¯ 0 B s ， p ¯ 0 代表初始时刻对应全对称多胞体的中心点， G ¯ 0 代表初始时刻对应全对称多胞体的形状矩阵， Β s 为s个单位区间 [ − 1 ， 1 ] 构成的单位盒子。假设扰动噪声 w k 和测量噪声 v k 都可以被一个全对称多胞体包裹： w k ∈ W = 〈 0 ， W 〉 v k ∈ V = 〈 0 ， V 〉 (8) 其中， W ， V 分别为扰动和测量噪声所在的全对称多胞体集合。 W = diag ( w ˜ ) ， V = diag ( v ˜ ) 。 假设k时刻的状态变量 x ¯ k 对应的全对称多胞体 Z k = p ¯ k ⊕ G ¯ k B s = 〈 p ¯ k ， G ¯ k 〉 ，根据全对称多胞体的性质及系统状态方程可知，第 k + 1 时刻状态变量的预测集为 χ ¯ ^ k + 1 = 〈 p ¯ ^ k + 1 ， G ¯ ^ k + 1 〉 (9) p ¯ ^ k + 1 = T A ¯ p ¯ k + T B ¯ u k + N y k + 1 (10) G ¯ ^ k + 1 = [ T A ¯ ↓ r e G ¯ k   T D ¯ 1 W − N D 2 V ] (11) 其中，T和N可以看作加权矩阵，T和N的含义分别是从模型和测量输出中选择信息。T和N的可行解为： T = Θ † α 1 + S Ψ α 1 ， N = Θ † α 2 + S Ψ α 2 (12) 其中，S为任意选取的矩阵， Θ = [ E C ¯ ] ， Θ † 是 Θ 的伪逆， Ψ = I n + 2 p − ΘΘ † ， α 1 = [ I n + p 0 ] ， α 2 = [ 0 I p ] ； ↓ r e G ¯ k 表示将k时刻状态所在全对称多胞体降阶后的生成矩阵，通过式(13)~(16)求得 Z = 〈 p ¯ ， G ¯ 〉 ⊆ p ¯ ⊕ r s ( G ¯ ) B n (13) r s ( G ¯ ) = [ ∑ j = 1 s | G ¯ 1 ， j | 0 ⋯ 0 0 ∑ j = 1 s | G ¯ 2 ， j | ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ ∑ j = 1 s | G ¯ n ， j | ] (14) Z = 〈 p ¯ ， G ¯ 〉 ⊆ 〈 p ¯ ， ↓ r e G ¯ 〉 (15) ↓ r e G ¯ = { G ¯ ， s ≤ q [ G ¯ > r s ( G ¯ < ) ] ， s > q (16) 求得状态预测集 χ ¯ ^ k + 1 后，寻求 k + 1 时刻的带状空间 S k + 1 与状态预测集的交集，进而得到 k + 1 时刻的状态估计范围。 带状空间 S k + 1 是根据 k + 1 时刻系统输出变量构造得到，如下式所示： S k + 1 = { x ¯ k + 1 ∈ ℝ n + s : | C ¯ x ¯ k + 1 − y k + 1 | ≤ D 2 v ˜ } (17) 根据 k + 1 时刻的带状空间 S k + 1 和状态变量预测集 χ ¯ ^ k + 1 的全对称多胞体集合，结合式(18)~(21)计算得到 k + 1 时刻的系统状态变量 x ¯ k + 1 的全对称多胞体集合： x ¯ k + 1 ∈ χ ¯ k + 1 = 〈 p ¯ k + 1 ， G ¯ k + 1 〉 (18) p ¯ k + 1 = p ¯ ^ k + 1 + L k + 1 ( y k + 1 − C ¯ p ¯ ^ k + 1 ) (19) G ¯ k + 1 = [ ( I n + p − L k + 1 C ¯ ) G ¯ ^ k + 1   L k + 1 D v ] (20) L k + 1 = G ¯ ^ k + 1 G ¯ ^ k + 1 T C ¯ T ( C ¯ G ¯ ^ k + 1 G ¯ ^ k + 1 T C ¯ T + D v D v T ) − 1 (21) 其中， D v = diag ( D 2 v ˜ ) 。 对于一个全对称多胞体 Z = 〈 p ， G 〉 ⊂ ℝ n ，能够被一个区间盒子 Box ( Z ) = [ z − ， z + ] 限定。 z − 和 z + 可以通过如下公式计算： { z − ( i ) = p ( i ) − ∑ j = 1 s | G ( i ， j ) |     ，   i = 1 ， ⋯ ， n z + ( i ) = p ( i ) − ∑ j = 1 s | G ( i ， j ) |     ，   i = 1 ， ⋯ ， n (22) 因此，结合全对称多胞体卡尔曼滤波算法，可以得到 x ¯ k + 1 的区间估计，计算公式如下： { x ¯ k + 1 + ( i ) = p ¯ k + 1 ( i ) + ∑ j = 1 q | G ¯ k + 1 ( i ， j ) |     ，     i = 1 ， ⋯ ， n + p x ¯ k + 1 − ( i ) = p ¯ k + 1 ( i ) − ∑ j = 1 q | G ¯ k + 1 ( i ， j ) |     ，     i = 1 ， ⋯ ， n + p (23) 式中， x ¯ k + 1 + ( i ) ， x ¯ k + 1 − ( i ) 分别表示 k + 1 时刻状态估计的最小上界和最大下界。 根据式(24)可以确定 时刻的故障估计区间 f k + = [ 0 I p ] x ¯ k + 1 + f k − = [ 0 I p ] x ¯ k + 1 − (24) 式中， f k + ， f k − 分别表示k时刻故障估计的最小上界和最大下界。 当锂电池执行器不存在热故障时，则故障估计的上下界位于0的两侧。而当锂电池执行器发生热故障时，则故障估计的上下界同时位于0的一侧，故障的真实值则处于故障估计的区间范围内。故障类型不同，故障估计的区间不同，因此可以根据故障估计区间判断执行器热故障类型。 依据上述算法，基于温度采样数据，能够准确判断锂电池在工作过程中是否产生热故障，以及判断热故障类型，有效地保证了锂电池储能系统的安全性、可靠性和持久高效性。