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user: 2. 平衡点的分析 2.1. 予备工作：一个全局渐近稳定性定理 本节首先通过构造一个定正Lyapunov函数 V ( x ， y ) = ( x − x * − x * ln x x * ) + a + x * a e ( y − y * − y * ln y y * ) 来说 明内平衡点 E * = ( x * ， y * ) 的全局渐近稳定性 [ 16 ]。 定理1：若系统(1)存在唯一的内平衡点 E * = ( x * ， y * ) ，且参数满足 α y * a ( a + x * ) < r 1 K 1 ，则 E * 是全局渐近 稳定的(双曲型焦点或结点)。 ■ 对于一般性条件 α y * a ( a + x * ) ≤ r 1 K 1 ，则 E * 是局部渐近稳定的焦点或结点。引入参数变换 m 2 = λ α e ， K 1 = μ a r 1 α e 和控制变量 λ ∈ ( 0 ， 1 ) ， μ > 0 ， ρ ∈ ( 0 ， 1 ] ，得到相应的内平衡点 E * = ( x * ， y * ) 和参数限制条件： x * = a [ μ ( r 1 − m 1 ) − α ρ e ] α e ， y * = [ μ ( r 1 − m 1 ) + α e ( 1 − ρ ) ] ρ a μ α ， (2.1a) d = α 2 e μ [ ( 1 − λ ) ( r 1 − m 1 ) μ + α e ( ( ρ − 1 ) λ − ρ ) ] a ρ [ α e ( 1 − ρ ) + μ ( r 1 − m 1 ) ] 2 ， (2.1b) 这要求 μ ( r 1 − m 1 ) > α e ( ρ + λ 1 − λ ) 。取参数值为 r 1 = 0.6 ， m 1 = 0.2 ， m 2 = 0.1 ， α = 0.5 ， a = 1 . 5 ， K 1 = 20 ， e = 0. 6 和 ρ = 0.9 ，图1描述了一个全局渐近稳定结点。 本文将进一步考虑 ρ > 1 的情形，此时内平衡点 E * = ( x * ， y * ) 形式上仍不变。系统(1.1)在 E * 处Jacobi矩阵 J ( E * ) 的迹，行列式和判别式分别记为 A 1 = t r J ( E * ) ， A 2 = det J ( E * ) 和 Δ * = A 1 2 − 4 A 2 。对于一般的双曲型奇点 E * ，其稳定性和类型已经由一次线性近似理论确定，不做详述。 2.2. 多重焦点(中心–焦点问题) 对于条件(2.1)，为使得Jacobi矩阵 J ( E * ) 具有一对共轭纯虚的零实部本征值，令 A 1 = 0 ，即 λ = λ H : = [ α ρ e + μ ( m 1 − r 1 ) ] [ ( α e − m 1 + r 1 ) μ − α e ( 2 ρ − 1 ) ] [ α e ( ρ − 1 ) + μ ( m 1 − r 1 ) ] α e μ ， (2.2) 相应的平衡点表达式(2.1a)形式不变，而参数条件(2.1b)为 d = α [ α e ( 2 ρ − 1 ) + μ ( m 1 − r 1 ) ] [ μ ( r 1 − m 1 ) − α ρ e ] a ρ [ α e ( 1 − ρ ) + μ ( r 1 − m 1 ) ] 2 。 (2.3) 图1. 一个全局渐近稳定的结点 此时 A 2 = μ ( r 1 − m 1 ) − α ρ e [ μ ( r 1 − m 1 ) − α e ( ρ − 1 ) ] 2 μ 2 φ A 2 ( μ ， ρ ) ，其中辅助函数 φ A 2 ( μ ， ρ ) = ( m 1 − r 1 ) 3 μ 3 + α e ( 5 ρ − 2 ) ( m 1 − r 1 ) 2 μ 2 + α 2 e 2                                 [ α e ρ + ( 2 ρ − 1 ) ( 4 ρ − 1 ) ( m 1 − r 1 ) ] μ + α 3 e 3 ρ ( 2 ρ − 1 ) 2 。 (2.4) 如果 A 2 < 0 ，则 E * 是鞍点。如果 A 2 > 0 ，矩阵 J ( E * ) 具有一对共轭纯虚本征值，化为中心–焦点问题， 此时利用变换 x = u + x * ， y = v + y * 将点 E * 平移至原点O，再取变量变换 u = − d y * X + β Y ， v = − α e a y * ( a + x * ) 2 X ， 其中 β = A 2 ( E * ) > 0 ，将系统(1.1)化为标准形式： X ˙ = − β Y + ∑ i + j = 2 3 a i j X i Y j + O ( | X ， Y | 4 ) ，   Y = β X + ∑ i + j = 2 3 b i j X i Y j + O ( | X ， Y | 4 )   。 (2.5) 按照 [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]，上述系统的第一Lyapunov数为 σ = 3 π 2 β { 3 ( a 30 + b 03 ) + ( a 12 + b 21 ) − 1 β [ 2 ( a 20 b 20 − a 02 b 02 ) − a 11 ( a 02 + a 20 ) + b 11 ( b 02 + b 20 ) ] }       = 3 π α 5 e 5 ρ [ α ρ e + μ ( m 1 − r 1 ) ] φ σ ( μ ， ρ ) 2 μ 2 a 2 β [ α e ( ρ − 1 ) + μ ( m 1 − r 1 ) ] 5 φ A 2 ( μ ， ρ ) ， (2.6) 其中辅助函数 φ σ ( μ ， ρ ) = ∑ k = 0 5 A σ ， k ( ρ ) μ k ，系数 A σ ， k = A σ ， k ( ρ ) 为 A σ ， 0 = α 5 e 5 ρ 2 ( 2 ρ 2 − 6 ρ + 3 ) ( 2 ρ − 1 ) ， A σ ， 1 = α 4 e 4 ρ [ 18 ( m 1 − r 1 ) ρ 3 + 4 ( α e − 11 m 1 + 11 r 1 ) ρ 2 + ( 28 m 1 − 28 r 1 − 3 α e ) ρ + 5 ( r 1 − m 1 ) ] ， A σ ， 2 = α 3 e 3 ( m 1 − r 1 ) [ 32 ( m 1 − r 1 ) ρ 3 + ( 53 r 1 − 53 m 1 + 9 α e ) ρ 2 + ( 22 m 1 − 22 r 1 − 7 α e ) ρ + 2 α e + 2 r 1 − 2 m 1 ] ， A σ ， 3 = α 2 e 2 ( r 1 − m 1 ) 2 [ 28 ( m 1 − r 1 ) ρ 2 + ( 7 α e + 29 r 1 − 29 m 1 ) ρ + 6 m 1 − 6 r 1 − 4 α e ] ， A σ ， 4 = 2 α e ( r 1 − m 1 ) 3 [ 6 ( m 1 − r 1 ) ρ + 3 ( r 1 − m 1 ) + α e ] ， A σ ， 5 = 2 ( m 1 − r 1 ) 5 。 利用变换 u = β X + d y * Y ， v = α e a y * ( a + x * ) 2 Y 也可得到公式(2.6)中的 σ 。显然 σ 的符号由函数 φ σ ( μ ， ρ ) 决定。 当 σ < 0 ( > 0 ) 时， E * 是重数为1的稳定(不稳定)多重焦点，相应的非退化Hopf分支是超临界(次临界)的，并且由此临界平衡点分支出的极限环是稳定(不稳定)的。当 σ = 0 时，需进一步计算第二Lyapunov系数，可能出现Bautin分支(广义Hopf分支)。 例1：首先取参数值为 r 1 = 0.7 ， m 1 = 0.2 ， a = 1 . 5 ， α = 0.5 ， e = 0. 6 和 μ = 8 ，结合图2(a)中函数 φ σ ( μ ， ρ ) 的图象，分别取 ρ = 8 和 ρ = 8.5 得到稳定和不稳定的多重焦点，详见图3。注意当变量 ρ 较大时，如 ρ = 19 ，上述 λ H ( < 0 ) 不存在。当 ρ = ρ σ ≈ 8 . 35 0 246 时 σ = 0 ，此时出现一条半稳定极限环，见图2(b)。 图2. (a) 函数 φ σ ( μ ， ρ ) 的图象；(b) 半稳定极限环 图3. 重数为1的多重焦点：(a) 稳定；(b) 不稳定：极限环 2.3. 余维2和余维3尖点 对于上一小节中 A 1 = 0 的情形，如果还有 A 2 = 0 ，即由(2.4)得到方程 φ A 2 ( μ ， ρ ) = 0 及临界值 μ B T 。 在上述参数条件下先取变换(I)： x = X + x * ， y = Y + y * ，将系统(1.1)化为 X ˙ = F 1 ( X ， Y ) ， Y ˙ = G 1 ( X ， Y ) ， (2.7) 再取变换 (II)： u = Y ， v = − ( m 1 − r 1 ) 2 μ 2 Y − α e μ ( 3 ρ − 1 ) ( m 1 − r 1 ) Y − α 2 e 2 ρ ( ( 2 ρ − 1 ) Y + e X ) [ α e ( ρ − 1 ) + μ ( m 1 − r 1 ) ] μ ， 将上述系统化为标准形式 u ˙ = F 2 ( u ， v ) = v + a 20 u 2 + a 11 u v + a 02 v 2 + O ( | u ， v | 3 ) ， (2.8a) v ˙ = G 2 ( u ， v ) = b 20 u 2 + b 11 u v + b 02 v 2 + O ( | u ， v | 3 ) 。 (2.8b) 利用 [ 20 ] 中的引理1或通过一系列变换，系统(2.8)拓扑等价于 x ˙ = y ， y ˙ = d 1 x 2 + d 2 x y + O ( | x ， y | 3 ) ， (2.9) 其中 d 1 = b 20 和 d 2 = b 11 + 2 a 20 为相应的判别式，即 d 1 = α [ μ ( r 1 − m 1 ) − α e ρ ] [ ( m 1 − r 1 ) μ + α e ( 2 ρ − 1 ) ] φ d 1 ( μ ， ρ ) a μ 2 [ α e ( ρ − 1 ) + μ ( m 1 − r 1 ) ] 3 ， (2.10a) d 2 = φ d 2 ( μ ， ρ ) a μ ρ e [ α e ( ρ − 1 ) + μ ( m 1 − r 1 ) ] 2 ， (2.10b) 其中辅助函数 φ d 1 ( μ ， ρ ) = ∑ k = 0 2 A d 1 ， k ( ρ ) μ k ， φ d 2 ( μ ， ρ ) = ∑ k = 0 3 A d 2 ， k ( ρ ) μ k ，系数 A d l ， k = A d l ， k ( ρ ) ， l = 1 ， 2 为 A d 1 ， 0 = α 2 e 2 ρ ( 2 ρ − 1 ) ( 1 − ρ ) ， A d 1 ， 1 = α e [ 3 ( r 1 − m 1 ) ρ 2 + ( α e + 4 m 1 − 4 r 1 ) ρ − m 1 + r 1 ] ， A d 1 ， 2 = ( m 1 − r 1 ) [ 2 α e + ( 1 − ρ ) ( m 1 − r 1 ) ] ， A d 2 ， 0 = 2 α 3 e 3 ρ ( 2 ρ − 1 ) ( ρ 2 − 3 ρ + 1 ) ， A d 2 ， 1 = 2 α 2 e 2 [ 3 ( m 1 − r 1 ) ρ 3 + ( α e − 12 m 1 + 12 r 1 ) ρ 2 + ( 7 m 1 − 7 r 1 − α e ) ρ + r 1 − m 1 ] ， A d 2 ， 2 = α e ( m 1 − r 1 ) [ 2 ( m 1 − r 1 ) ρ 2 + ( α e − 12 m 1 + 12 r 1 ) ρ − α e + 4 m 1 − 4 r 1 ] ， A d 2 ， 3 = ( r 1 − m 1 ) 2 ( α e − 2 m 1 + 2 r 1 ) 。 当 d 1 d 2 ≠ 0 时， E * 是余维2尖点。进一步的，如果令 d 1 = 0 ，不难得到内平衡点 E * = ( ( ρ − 2 ) a 2 ， 4 a e ρ ρ − 2 ) 和参数条件为 λ B T = ρ − 6 ρ ， μ B T = 1 8 ρ ( ρ − 2 ) ， r 1 = m 1 ρ 2 + ( 12 α e − 2 m 1 ) ρ − 8 α e ρ ( ρ − 2 ) ， d = ( ρ − 2 ) α a ρ 2 。 (2.11) 此时 d 2 = ( 14 − 5 ρ ) α a ρ 2 ≠ 0 ，因 ρ > 6 。这样 E * 是余维3尖点。事实上，通过下列变换 ( II ) : u = − 54 ( ρ − 2 ) X α a ( 3 ρ − 2 ) 2 − 18 ( ρ − 2 ) Y a α e ( 3 ρ − 2 ) 2 ， v = − 72 e X ρ a ( 3 ρ − 2 ) + 18 ( ρ − 2 ) Y ρ a ( 3 ρ − 2 ) ， ( III ) : u = p ， v = q − a 20 p 2 − a 02 q 2 ， ( IV ) : p = w + 1 2 d 02 w 2 ， q = d 02 w z + z 。 系统(2.7)最终化为标准形式 w ˙ = z + ∑ i + j = 3 e i j w i z j + O ( | w ， z | 4 ) ， (2.12a) z ˙ = f 11 w z + ∑ i + j = 3 f i j w i z j + O ( | w ， z | 4 ) ， (2.12b) 其中 f 11 = b 11 + 2 a 20 ≠ 0 ， f 30 < 0 及 5 f 30 ( f 2 1 + 3 e 30 ) − 3 f 11 ( f 40 − e 30 f 11 ) = 32 α 7 e 3 ( 3 ρ − 2 ) 4 ( 5 ρ 2 + 12 ρ − 28 ) 6 561 ρ 7 ( ρ − 2 ) 2 ≠ 0 ， f 11 2 + 8 f 30 = − 4 α 4 e 2 ( 3 ρ − 2 ) 2 ( 7 ρ 2 + 12 ρ − 68 ) 81 ρ 4 ( ρ − 2 ) 2 < 0 ， 因此 E * 是余维3 BT奇点(焦点或中心) [ 21 ]。 定理2：在参数条件(2.11)下，相应的平衡点 E * 是余维3 BT奇点(焦点或中心)。 ■ 例2：这里取 m 1 = r 1 − 3 4 α e ， ρ = 15 2 + 3 2 21 ， λ H = 5 21 − 21 4 ， μ B T = 12 + 8 3 21 ，以保证关于 μ 的三次方程 φ A 2 ( μ ， ρ ) = 0 仅有两个实根，则 d 1 = 3 ( 19 21 − 87 ) α 2 e 8 a ， d 2 = ( 35 21 − 159 ) α 6 a ，平衡点 E * ( 2 ) = ( ( 3 + 21 ) a 2 ， 3 ( 3 + 21 ) a e 8 ) 是余维2尖点，另一个平衡点 E * ( 1 ) = ( ( 21 + 4 ) a ， ( 3 + 21 ) a e 2 ) 是渐近稳 定的双曲型结点。见图4(a)，其中参数取值为 r 1 = 1 ， α = 0.5 ， a = 1 . 5 及 e = 0. 6 。 对于余维3 BT奇点情形，取参数值为 m 1 = 0.2 ， ρ = 7 ， α = 0.5 ， a = 1 . 5 及 e = 0. 6 ，图4(b)给出相应的相图。