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user: 3. 空间的Carleson型测度刻画 设I是 上任意区间， 表示上半平面，定义如下Carleson方体： 为简便起见，我们用 v ( x ) 表示点 到其边界的距离， v ( y ) 类似； ，其中 y * 为 关于坐标轴的对称点，即，如果 y = ( y 1 ， y 2 ) ，那么 y * = ( y 1 ， − y 2 ) 。 下面引入 ( K ， λ ) -Carleson测度的定义以及有关 ( K ， λ ) - Carleson测度的刻画。 定义3 设 μ 是 上的正Borel测度，则称 μ ( ⋅ ， ⋅ ) 是一个 ( K ， λ ) -Carleson测度，如果 类似于经典Q型空间，可以证明 有类似的性质。 定理4 设 λ < − 1 ，并且K满足 ∫ 0 1 φ K ( s ) s d s < ∞ ，设 μ 是 上的正Borel测度，则 μ 是一个 ( K ， λ ) - Carleson测度当且仅当 。 证明 必要性 若 μ 是一个 ( K ， λ ) -Carleson测度，设I是 上的区间，并且以 y ¯ 为中心，长度为 v ( y ) 。对任意正整数K，定义 I ζ 为与I中心相同且边长为 2 ζ l ( I ) 的方体。再者， S ( I ζ ) 指对应的Carleson方体。 从而，易知 { δ ( x ， y * ) ≥ v ( y ) ， x ∈ S ( 2 I ) ; δ ( x ， y * ) ≈ 2 ζ v ( y ) ， x ∈ S ( I ζ + 1 ) \ S ( I ζ ) . 进而， 由假设知， μ 是一个 ( K ， λ ) -Carleson测度， ( 2 ζ l ( I ) ) − λ ∫ S ( I ζ ) K ( v ( x ) 2 ζ l ( I ) ) d μ ( x ) ≲ 1 。 综上所述，可以推出 充分性 下面，记Carleson方体 S ( I ζ ) 的中心为y，那么可知，现在 v ( y ) = l ( I ) 2 。如果 x ∈ S ( I ) ， 就有 | x − y * | ≲ l ( I ) ，因此可以得到， (5) 此时，如果(5)式成立，则 μ 是一个 ( K ， λ ) -Carleson测度。从而定理4得证。 为了进一步研究 的Carleson测度刻画，给出如下两个引理： 引理1 设 1 < p < ∞ ，若K满足(3)，则 sup 0 < s < 1 ( ∫ s 1 K ( t ) t p d t ) 1 / p ( ∫ 0 s ( K ( t ) ) 1 / ( 1 − p ) d t ) ( p − 1 ) / p < ∞ 。 引理2 令 1 < p < ∞ ，       1 / p + 1 / q = 1 ，       0 < b ≤ ∞ 。设非负函数 μ 和h在 ( 0 ， b ) 上可测，对于所有可测函数 f ≥ 0 ，可得到以下Hardy型不等式： (i) ∫ 0 b ( ∫ 0 s f ( t ) d t ) p μ ( s ) d s ≤ C ∫ 0 b f p ( s ) h ( s ) d s 成立，当且仅当 A : = sup 0 < s < b ( ∫ s b μ ( t ) d t ) 1 / p ( ∫ 0 s h ( t ) 1 − q d t ) 1 / q < ∞ ， (ii) ∫ 0 b ( ∫ s b f ( t ) d t ) p μ ( s ) d s ≤ C ∫ 0 b f p ( s ) h ( s ) d s 成立，当且仅当 B : = sup 0 < s < b ( ∫ 0 s μ ( t ) d t ) 1 / p ( ∫ s b h ( t ) 1 − q d t ) 1 / q < ∞ ， 其中C的取值依赖于p，A或者B。 借助于上面给出的引理1和引理2，接下来利用Liitlewood函数 Φ 的性质给出本文的主要结果： 定理5 设 并且满足(1)式，其中 1 < p < 2 。假设K满足(3)，(4)，那么 (i) 如果 ，则 | ∇ f ( x ， t ) | p d x d t 是一个 ( K ， λ ) -Carleson测度； (ii) 如果 lim t → 0 ∫ ℝ Φ t ( x − y ) f ( y ) d y = f ( x ) ，则若 | ∇ f ( x ， t ) | p d x d t 是一个 ( K ， λ ) -Carleson测度，有 。 证明 (i) 设I和J都是 上以 x 0 为中点的区间，并且有 l ( J ) = 3 l ( I ) 。不失一般性，我们假设 x 0 = 0 。 设函数 τ 满足 { τ = 1 ，                   在 ( 2 / 3 ) J 上 ; supp         τ ⊆ ( 4 / 5 ) J ，             且 0 ≤ τ ≤ 1 ， 则有 | τ ( x ) − τ ( y ) | ≲ l ( J ) − 1 | x − y | 。 对f作分解， f = f 1 + f 2 + f 3 ，其中 { f 1 = f J ; f 2 = ( f − f J ) τ ; f 3 = ( f − f J ) ( 1 − τ ) . 根据引言中Littlewood-Paley函数 Φ 的定义以及限制条件(2)，易知 { | ∂ Φ t ( y ) ∂ y | ≲ ( t 2 + | y | 2 ) − 1 ; ∫ ℝ ∂ Φ t ( y ) ∂ y d y = 0. 从而， | ∂ f ( x ， t ) ∂ x | ≤ ∫ ℝ | ∂ Φ t ( y ) ∂ y | | f ( x ) − f ( x + y ) | d y ≤ | ( t 2 + | y | 2 ) − 1 | | f ( x ) − f ( x + y ) | d y . 又由Minkowski不等式，可得 ‖ ∂ f ( x ， t ) ∂ x ‖ L p ( ℝ ) ≲ ( ∫ ℝ ( ∫ ℝ | ( t 2 + | y | 2 ) − 1 | | f ( x ) − f ( x + y ) | d y ) p d x ) 1 / p ≲ ∫ ℝ | ( t 2 + | y | 2 ) − 1 | ( ∫ ℝ | f ( x ) − f ( x + y ) | p d x ) 1 / p d y ≲ t − 2 ∫ | y | ≤ t ( ∫ ℝ | f ( x + y ) − f ( x ) | p d x ) 1 / p d y     + ∫ | y | > t ( ∫ ℝ | f ( x + y ) − f ( x ) | p d x ) 1 / p | y | − 2 d y ≲ t − 2 ∫ 0 1 ∫ | ξ | = 1 ( ∫ ℝ | f ( x + r ξ ) − f ( x ) | p d x ) 1 / p d ξ d r     + ∫ t ∞ ∫ | ξ | = 1 ( ∫ ℝ | f ( x + r ξ ) − f ( x ) | p d x ) 1 / p r − 2 d ξ d r ， 这里 r = | y | ，   | ξ | = 1 ，上述计算中的最后一步使用了球坐标变换。设 Ψ ( r ) : = ∫ | ξ | = 1 ( ∫ ℝ | f ( x + r ξ ) − f ( x ) | p d x ) 1 / p d ξ ， 从而有 ‖ ∂ f ( x ， t ) ∂ x ‖ L p ( ℝ ) ≲ t − 2 ∫ 0 t Ψ ( r ) d r + ∫ t ∞ Ψ ( r ) r − 2 d r . 因此， l ( I ) − λ ∫ S ( I ) | ∂ f ( x ， t ) ∂ x | p K ( t l ( I ) ) d x d t ≤ l ( I ) − λ ∫ 0 l ( I ) K ( t l ( I ) ) ‖ ∂ f ( x ， t ) ∂ x ‖ L p ( ℝ ) p d t ≲ l ( I ) − λ ∫ 0 l ( I ) K ( t l ( I ) ) ( t − 2 ∫ 0 t Ψ ( r ) d r + ∫ t ∞ Ψ ( r ) r − 2 d r ) p d t ≲ l ( I ) 1 − p ( B 1 + B 2 ) ， 其中， { B 1 : = l ( I ) − λ ∫ 0 1 K ( t ) t − 2 p ( ∫ 0 t Ψ ( l ( I ) r ) d r ) p d t ; B 2 : = l ( I ) − λ ∫ 0 1 K ( t ) ( ∫ t ∞ Ψ ( l ( I ) r ) r − 2 d r ) p d t . 对于 B 1 ，注意到 sup 0 < s < 1 ( ∫ s 1 K ( t ) t 2 p d t ) 1 / p ( ∫ 0 s ( K ( t ) ) 1 / ( 1 − p ) t p / ( 1 − p ) d t ) ( p − 1 ) / p ≤ sup 0 < s < 1 ( ∫ s 1 K ( t ) t p d t ) 1 / p ( ∫ 0 s ( K ( t ) ) 1 / ( 1 − p ) d t ) ( p − 1 ) / p < ∞ . 根据引理1，易得 B 1 ≲ l ( I ) − λ ∫ 0 1 K ( t ) t p ( Ψ ( l ( I ) t ) ) p d t . B 2 ≲ l ( I ) − λ ∫ 0 ∞ K ( t ) ( ∫ t ∞ Ψ ( l ( I ) r ) r − 2 d r ) p d t                           ≲ l ( I ) − λ ∫ 0 ∞ K ( t ) t p ( Ψ ( l ( I ) t ) ) p d t . 因此，由Hölder不等式以及球坐标变换，可得 注意到， { | ∂ Φ t ( y ) ∂ t | ≤ t − n − 1 ; ∫ ℝ ∂ Φ t ( y ) ∂ t d y = 0 ， 可得 | ∂ f ( x ， t ) ∂ t | ≤ ∫ ℝ | ∂ Φ t ( y ) ∂ t | | f ( x + y ) − f ( x ) | d y 。 同理可得， ∫ S ( I ) | ∂ f ( x ， t ) ∂ t | p K ( t l ( I ) )     d x d t ≲ ∫ ℝ ∫ ℝ | f ( x + y ) − f ( x ) | p K ( | y | l ( I ) ) | y | − p d x d y 。 因此， ∫ S ( I ) | ∇ f 2 ( x ， t ) | p K ( t l ( I ) )     d x d t ≲ C 1 + C 2 + C 3 ，其中， { C 1 : = ∫ y ∈ J ∫ x ∈ J | f 2 ( x ) − f 2 ( y ) | p | x − y | p K ( | x − y | l ( I ) ) d x d y ; C 2 : = ∫ y ∈ ( 4 / 5 ) J ∫ x ∉ J | f 2 ( x ) − f 2 ( y ) | p | x − y | p K ( | x − y | l ( I ) ) d x d y ; C 3 : = ∫ y ∉ J ∫ x ∈ ( 4 / 5 ) J | f 2 ( x ) − f 2 ( y ) | p | x − y | p K ( | x − y | l ( I ) ) d x d y . 类似于上面的过程，继续将其分解讨论，如此进行下去，最终可得 l ( I ) − λ ∫ S ( I ) | ∇ f ( x ， t ) | p K ( t l ( I ) ) d x d t ≲ ‖ f ‖ Q K ， λ p ( ℝ ) p . (ii) 由三角不等式，易知 ， 其中， { A 1 : = sup I l ( I ) − λ ∫ | y | < l ( I ) K ( | y | l ( I ) ) | y | − p ∫ I | f ( x ， | y | ) − f ( x ) | p d x d y ; A 2 : = sup I l ( I ) − λ ∫ | y | < l ( I ) K ( | y | l ( I ) ) | y | − p ∫ I | f ( x + y ， | y | ) − f ( x + y ) | p d x d y ; A 3 : = sup I l ( I ) − λ ∫ | y | < l ( I ) K ( | y | l ( I ) ) | y | − p ∫ I | f ( x + y ， | y | ) − f ( x ， | y | ) | p d x d y . 对于 A 1 ，根据Minkowski不等式易知 ( ∫ I | f ( x ， | y | ) − f ( x ) | p d x ) 1 / p ≤ ( ∫ I ( ∫ 0 | y | | ∂ f ( x ， t ) ∂ t | d t ) p d x ) 1 / p ≤ ∫ 0 | y | ( ∫ I | ∂ f ( x ， t ) ∂ t | p d x ) 1 / p d t ≤ ∫ 0 | y | ( ∫ I | ∇ f ( x ， t ) | p d x ) 1 / p d t . 所以，由引理1和引理2我们可以得到 A 1 ≤ sup I l ( I ) − λ ∫ | y | < l ( I ) K ( | y | l ( I ) ) | y | − p ( ∫ 0 | y | ( ∫ I | ∇ f ( x ， t ) | p d x ) 1 / p d t ) P d y ≲ sup I l ( I ) − λ + 1 ∫ 0 1 K ( r ) r p ( ∫ 0 r ( ∫ I | ∇ f ( x ， l ( I ) s ) | p d x ) 1 / p d s ) p d r ≲ sup I l ( I ) − λ + 1 ∫ 0 1 ( ∫ I | ∇ f ( x ， l ( I ) r ) | p d x ) K ( r ) d r ≲ sup I l ( I ) − λ ∫ S ( I ) | ∇ f ( x ， t ) | p K ( t l ( I ) ) d x d t < ∞ . 同理， A 3 ≲ sup I l ( I ) − λ ∫ S ( I ) | ∇ f ( x ， t ) | p K ( t l ( I ) ) d x d t < ∞ 。 对于 A 2 ，易知 A 2 ≤ sup I l ( I ) − λ ∫ | y | < l ( I ) K ( | y | l ( I ) ) | y | − p ∫ 3 I | f ( x ， | y | ) − f ( x ) | p d x d y ≲ A 1 < ∞ 。 因此， 。这就完成了定理5的证明。