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user: 4. 协方差分析方法的实例分析 4.1. 一年级学生重修率与低收入家庭学生百分比之间的关系 由于协方差分析是建立在线性回归分析和基本的方差分析的基础上，于是我们先对Y (一年级学生重修率)和X (低收入家庭学生的百分比)做线性处理，分析X、Y之间的联系。使用函数：lm(formula = y ~ 1 + x) 在R程序中运行结果如下： Call: lm(formula = y ~ 1 + x) Residuals: Min 1QMedian 3Q Max −8.9845 −2.5072 −0.4184 1.850511.1067 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 2.91419 0.83836 3.476 0.000709 *** x 0.07550 0.01823 4.141 6.47e−05 *** --- Signif. codes:0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 3.821 on 120 degrees of freedom Multiple R-squared:0.125， Adjusted R-squared:0.1177 F-statistic: 17.14 on 1 and 120 DF，p-value: 6.472e-05 结论：从上述输出结果p-值可以看出回归方程通过回归参数的检验与回归方程的检验，由此得到回归方程 Y = 2.91419 + 0.0755 X ，还可以对误差项独立同正态分布的假设进行检验 [ 3 ] ，运行结果见图3。 图3. 检验结果相关图 1) Residual vs Ftted为拟合值对残差的图形，可以看出，数据点都基本均匀地分布在直线y = 0的两侧，无明显趋势； 2) Normal QQ-plot图中数据点分布趋于一条直线，说明残差是服从正态分布的； 3) Scale-Location图显示了标准化残差(standardized residuals)的平方根的分布情况。最高点为残差最大值点； 4) Cook距离(Cook’s distance)图显示了对回归的影响点。 由上面的分析我们得出，一年级学生重修率与低收入家庭学生百分比之间的关系可以用线性方程 Y = 2.91419 + 0.0755 X 表示。 4.2. 1994~1995年和2004~2005年学生一年级重修率的差异 由于2.1.2节用单因子方差分析一年级学生重修率，结果显示两年份对这两变量没有较大的差异。于是本小题主要是使用平行回归线模型，d为构造的哑变量： Y = β 0 + β 1 X + β 2 d + ε = { Y = β 0 + β 1 X + ε ;     d = 0 Y = β 0 + β 1 X + β 2 + ε ;     d = 1 在R程序中对两年份一年级学生重修率百分比分析结果如图4： 图4. 两年份一年级学生重修率百分比散点图及线性回归线 图形中三角形的散点代表1994年，加号的散点代表2004年，d = 0为斜率较小的虚拟回归线，即1994年的散点图形虚拟回归： Y = β 0 + β 1 X + ε ；d = 1为斜率较大的虚拟回归线，即2004年的散点图形虚拟回归： Y = β 0 + d + β 1 X + ε 。 在R程序中输出的回归结果： Call: lm(formula = y ~ 1+ x + d) Residuals: Min 1QMedian 3Q Max −8.6768 −2.5451−0.47691.6624 11.3469 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 2.84900 0.84995 3.352 0.001076 ** x 0.07248 0.01917 3.782 0.000245 *** d 0.38311 0.72716 0.527 0.599274 --- Signif. codes:0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 3.832 on 119 degrees of freedom Multiple R-squared:0.127， Adjusted R-squared:0.1124 F-statistic: 8.659 on 2 and 119 DF， p-value: 0.0003083 当d = 0，即1994年时， y = 0.07 x + 2.849 ；当d = 1，即2004年时， y = 0.07 x + 3.232 。两模型之间的差异为0.38311，即哑变量系数的估计值。因此，我们得出在1994年和2004年一年级学生重修率百分比的差值约为38%。 4.3. 1994~1995年和2004~2005年一年级学生重修率与低收入家庭学生百分比之间关系的差异 本小题主要采用不相关回归： Y = β 0 + β 2 d + β 1 X + β 3 d X + ε = { Y = β 0 + β 1 X + ε ;     d = 0 Y = β 0 + β 2 + ( β 1 + β 3 ) X + ε ;     d = 1 在R程序中显示图形，图5中三角形的散点代表1994年，加号的散点代表2004年，d = 0为斜率较小的虚拟回归线，即1994年的散点图形虚拟回归： Y = β 0 + β 1 X + ε ；d = 1为斜率较大的虚拟回归线，即2004年的散点图形虚拟回归： Y = β 0 + β 2 + ( β 1 + β 3 ) X + ε 。 图5. 两年份一年级学生重修率与低收入家庭学生百分比散点图及线性回归线 对模拟回归线进行分析，R程序运行结果为： Call: lm(formula =y ~ 1 + x + d + d * x) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max −8.1606 −2.6121 −0.55761.7495 11.6014 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept)3.27194 1.22347 2.6740.00855** x 0.06080 0.03093 1.9660.05167 . d −0.389561.76109−0.2210.82532 x:d 0.01903 0.03949 0.4820.63066 --- Signif. codes:0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 3.845 on 118 degrees of freedom Multiple R-squared:0.1288， Adjusted R-squared:0.1066 F-statistic: 5.813 on 3 and 118 DF，p-value: 0.0009689 当d = 0即1994年时， y = 0.06 x + 3.27 ；当d = 1即2004时， y = 0.07 x + 2.88 。 从上述的回归方程显示，我们初步认为在1994年和2004年这两年份时，一年级学生重修率和低收入家庭学生百分之间没有较大差异：分析 β 1 ，一个模型的 β 1 估计值是6%，另一个模型 β 1 估计值是7%，截距分别为3.27，2.88。为了确保结果的可靠性，我们再一步对模型作偏F检验，在R程序中的结果为： Analysis of Variance Table Model 1: y ~ 1 + x Model 2: y ~ 1 + x + d + d * x Res. Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F) 1 120 1751.9 2 118 1744.42 7.512 0.2541 0.7761 F = ( R S S ( d = 0 ) − R S S ( d = 1 ) ) / ( D f ( d = 0 ) − D f ( d = 1 ) ) R S S ( d = 1 ) / D f ( d = 1 ) = ( 1751.9 − 1744.4 ) / ( 120 − 118 ) 1744.4 / 118 ≈ 0.2537 正如预期的结果那样，这两模型没有较大的差异，即年份没有对一年级学生重修率和低收入家庭学生百分比之间的关系产生较大影响。因此，我们宁愿选择重合线模型，而不是不相关的回归线模型。