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user: 3. 主要引理 我们将首先证明以下渐进公式，它将在主区间上积分的估计中起到重要作用。 引理3.1设 α = a q + λ ， | λ | ≤ 1 q τ ， f ( − α ) 的定义同上，则有 f ( − α ) = T 1 * ( 4 N 1 ， 4 N 2 ) q + − 2 log q + 2 γ q T 1 ( 4 N 1 ， 4 N 2 ) + O ( x ε ( q 3 2 + q 2 3 x 1 3 + q 3 2 | λ | x + q 3 2 | λ | 2 x y ) ) . 证明：由 f ( − α ) 的定义以及Able分部求和公式，有 f ( − α ) = ∑ 4 N 1 < m ⩽ 4 N 2 d ( m ) e ( − m ( a q + λ ) ) = ∑ r = 1 q e ( − a r q ) ∑ 4 N 1 < m ⩽ 4 N 2 m ≡ r ( m o d   q ) d ( m ) e ( − m λ ) = ∑ r = 1 q e ( − a r q ) ∫ 4 N 1 4 N 2 e ( − u λ ) d ( ∑ m ⩽ u m ≡ r ( m o d   q ) d ( m ) ) . (1) 对于 r ，   q ∈ ℤ ， 1 ⩽ r ⩽ q ， u > 0 ，定义 D ( u ; q ， r ) = ∑ n ⩽ u n ≡ r ( m o d   q ) d ( n ) . (2) 首先引用Heath-Brown [ 6 ] 关于 D ( u ; q ， r ) 的结论，有 D ( u ; q ， r ) = R ( u ; q ， r ) + Δ ( u ; q ， r ) (3) R ( u ; q ， r ) = u ⋅ A ( q ， r ) q 2 ( log u − 2 log q + 2 γ − 1 ) + 2 u ⋅ B ( q ， r ) q 2 ， (4) 其中 A ( q ， r ) = ∑ d   |   ( q ， r ) ∑ l   |   q / d d l μ ( q d l ) ，                                         B ( q ， r ) = ∑ d   |   ( q ， r ) ∑ l   |   q / d d l μ ( q d l ) log l . 由郭汝庭和翟文广 [ 5 ] 关于 R ( u ; q ， r ) 和 Δ ( u ; q ， r ) 的一些结果，令 c 1 ( q ， r ) = A ( q ， r ) q 2 ，                               c 2 ( q ， r ) = A ( q ， r ) ⋅ ( − 2 log q + 2 γ − 1 ) q 2 + 2 B ( q ， r ) q 2 ， B 1 ( q ) = ∑ r = 1 q c 1 ( q ， r ) e ( − a r q ) ，                       B 2 ( q ) = ∑ r = 1 q c 2 ( q ， r ) e ( − a r q ) . 我们有 R ( u ; q ， r ) = c 1 ( q ， r ) u log u + c 2 ( q ， r ) u ，                         B 1 ( q ) = 1 q ，               B 2 ( q ) = − 2 log q + 2 γ − 1 q ， (5) 且 Δ ( u ; q ， r ) 满足 F ( u ; q ， a ) = ∑ r = 1 q Δ ( u ; q ， r ) e ( − a r q ) ≪ ( q 3 2 + q 2 3 u 1 3 ) ( q u ) ε ， (6) H ( T ; q ， a ) = ∫ 0 T F ( u ; q ， a ) d u ≪ q 3 2 + ε T . (7) 由公式(1)~(5)，以及Zhang和Li [ 9 ] 文中相关的结论， ∫ u v e ( − t λ ) d t = T 1 ( u ， v ) + O ( 1 + ( v − u ) | λ | ) ， ∫ u v ( log t ) e ( − t λ ) d t = T 1 * ( u ， v ) + O ( ( log v ) ( 1 + ( v − u ) | λ | ) ) ， 我们有 f ( − α ) = ∑ r = 1 q e ( − a r q ) ∫ 4 N 1 4 N 2 e ( − u λ ) d ( D ( u ; q ， r ) ) = J 1 + J 2 ， (8) 其中 J 1 = ∑ r = 1 q e ( − a r q ) ∫ 4 N 1 4 N 2 e ( − u λ ) d ( R ( u ; q ， r ) ) = T 1 * ( 4 N 1 ， 4 N 2 ) q + − 2 log q + 2 γ q T 1 ( 4 N 1 ， 4 N 2 ) + O ( ( log x ) ( 1 + | λ | y ) ) ， (9) 由两次分部积分运算以及公式(6)~(7)，我们有 J 2 = ∑ r = 1 q e ( − a r q ) ∫ 4 N 1 4 N 2 e ( − u λ ) d ( Δ ( u ; q ， r ) ) = F ( 4 N 2 ; q ， a ) e ( − 4 N 2 λ ) − F ( 4 N 1 ; q ， a ) e ( − 4 N 1 λ ) + 2 π i λ ∑ r = 1 q e ( − a r q ) ∫ 4 N 1 4 N 2 e ( − u λ ) Δ ( u ; q ， r ) d u = F ( 4 N 2 ; q ， a ) e ( − 4 N 2 λ ) − F ( 4 N 1 ; q ， a ) e ( − 4 N 1 λ ) + 2 π i λ H ( 4 N 2 ; q ， a ) e ( − 4 N 2 λ )     − 2 π i λ H ( 4 N 1 ; q ， a ) e ( − 4 N 1 λ ) + ( 2 π i λ ) 2 ∫ 4 N 1 4 N 2 H ( u ; q ， a ) e ( − u λ ) d u ≪ x ε ( q 3 2 + q 2 3 x 1 3 + q 3 2 | λ | x + q 3 2 | λ | 2 x y ) ， (10) 结合公式(8)~(10)，我们证明了引理3.1。 其次我们将证明以下积分均值，它将在余区间上积分的估计中起到重要作用。 引理3.2设 2 ≤ k ∈ ℤ ， f k ( α ) 的定义同上，且 y ≫ x 1 − 1 / k ，则有 ∫ 0 1 | f k ( α ) | 6 d α ≪ y 4 x − 4 + 4 k + ε . 证明：由复指数函数的正交性 ∫ 0 1 e ( u α ) d α = { 1 ，   若   u = 0 ， 0 ，   若   u ∈ ℤ ，   u ≠ 0 ， 以及 f k ( α ) 的定义，我们有 ∫ 0 1 | f k ( α ) | 6 d α = ∑ m 1 k − m 2 k = m 3 k − m 4 k + m 5 k − m 6 k N 1 1 / k < m i ⩽ N 2 1 / k i = 1 ， ⋯ ， 6 1 ， (11) 即上式左端积分等于方程 m 1 k − m 2 k = m 3 k − m 4 k + m 5 k − m 6 k (12) 的解数R，其中 N 1 1 / k < m i ≤ N 2 1 / k ， i = 1 ， ⋯ ， 6 。 我们将按照以下三种情况分类考察解数R： 情形一： m 1 k − m 2 k = m 3 k − m 4 k + m 5 k − m 6 k = 0 ， m 3 = m 4 。 此时有 m 1 = m 2 ， m 3 = m 4 ， m 5 = m 6 ，方程(12)的变量只有三个，则其解数R满足 R ≪ ( N 2 1 k − N 1 1 k ) 3 ≪ y 3 x − 3 + 3 k . 情形二： m 1 k − m 2 k = m 3 k − m 4 k + m 5 k − m 6 k = 0 ， m 3 ≠ m 4 。 此时有 m 1 = m 2 ，且 m 5 ， m 6 满足 m 4 k − m 3 k = m 5 k − m 6 k = ( m 5 − m 6 ) ( m 5 k − 1 + m 5 k − 2 m 6 + ⋯ + m 6 k − 1 ) ， 若固定 m 3 ， m 4 的取值，则 m 5 ， m 6 的取法也随之确定，且其取法数 R 5 ， 6 满足 R 5 ， 6 ≪ d ( m 4 k − m 3 k ) ≪ x ε ， 因此解数R满足 R ≪ R 5 ， 6 ⋅ ( N 2 1 k − N 1 1 k ) 3 ≪ y 3 x − 3 + 3 k + ε . 情形三： m 1 k − m 2 k = m 3 k − m 4 k + m 5 k − m 6 k ≠ 0 。 此时 m 1 ， m 2 满足 m 3 k − m 4 k + m 5 k − m 6 k = m 1 k − m 2 k = ( m 1 − m 2 ) ( m 1 k − 1 + m 1 k − 2 m 2 + ⋯ + m 2 k − 1 ) ， 若固定 m 3 ， m 4 ， m 5 ， m 6 的取值，则 m 1 ， m 2 的取法也随之确定，且其取法数 R 1 ， 2 满足 R 1 ，   2 ≪ d ( m 3 k − m 4 k + m 5 k − m 6 k ) ≪ x ε ， 因此解数R满足 R ≪ R 1 ， 2 ⋅ ( N 2 1 k − N 1 1 k ) 4 ≪ y 4 x − 4 + 4 k + ε . 结合以上三种情况的讨论，并由条件 y ≫ x 1 − 1 / k 可得解数R满足： R ≪ y 3 x − 3 + 3 k + y 3 x − 3 + 3 k + ε + y 4 x − 4 + 4 k + ε ≪ y 4 x − 4 + 4 k + ε ， (13) 结合公式(11)~(13)，我们有 ∫ 0 1 | f k ( α ) | 6 d α ≪ y 4 x − 4 + 4 k + ε ， 由此我们证明了引理3.2。 此外还需要用到以下圆法中的经典结论： 引理3.3设 a ， q ∈ ℤ ， α ∈ ℝ ，且 ( a ， q ) = 1 ，   |   α − a q | ⩽ 1 q 2 ， ϕ ( x ) = α x k + α 1 x k − 1 + ⋯ + α k − 1 x + α k ，则有 ∑ 1 ⩽ x ⩽ X e ( ϕ ( x ) ) ≪ X 1 + ε ( q − 1 + X − 1 + q X − k ) 1 2 k − 1 . 证明：参见Vaughan [ 12 ]。 引理3.4设 2 ≤ k ∈ ℤ ， ( α 1 ， ⋯ ， α k ) ∈ ℝ k ，若存在整数 j ( 2 ⩽ j ⩽ k ) ，使得对于某些 a ∈ ℤ ， q ∈ ℕ ，有 | α j − a q | ⩽ q − 2 ， q ⩽ Y j ，那么我们有 ∑ 1 ⩽ m ⩽ Y e ( α 1 m + ⋯ + α k m k ) ≪ Y 1 + ε ( q − 1 + Y − 1 + q Y − j ) 1 2 k ( k − 1 ) . 证明：参见Wooley [ 13 ]。