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user: 3. 主要结果及证明 定理3.1 假设条件(H1)~(H4)成立，如果分数阶脉冲微分不等式 D + ， t α y ( t ) − D + ， t α y ( t − τ ) + ∑ j = 1 n k j q j ( t ) V ( t ) ≤ − G ( t ) ， (7) V ( t k + ) − V ( t k + − τ ) ≤ ( 1 + α k ) ( V ( t k ) − V ( t k − τ ) ) ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， (8) 没有最终正解，并且分数阶脉冲微分不等式 D + ， t α y ( t ) − D + ， t α y ( t − τ ) + ∑ j = 1 n k j q j ( t ) V ( t ) ≥ − G ( t ) ， (9) V ( t k + ) − V ( t k + − τ ) ≥ ( 1 + α k ) ( V ( t k ) − V ( t k − τ ) ) ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， (10) 没有最终负解，那么问题(1)与(2)的每一个非零解 u ( t ， x ) 在G内都是振动的。 证明：(用反证法)假设 u ( t ， x ) 是问题(1)与(2)的一个非振动解。不失一般性，我们假设 u ( t ， x ) 是问题(1)与(2)的最终正解，即存在 μ > 0 ，当 ( t ， x ) ∈ [ μ ， + ∞ ) × Ω ，使 u ( t ， x ) > 0 ， u ( t − τ i ( t ) ， x ) > 0 。 (I) 当 t ≠ t k ，对(1)的第一个方程，两边同时对x在有界域 Ω 上积分得到： (11) 根据Green公式，结合边界条件(2)和假设(H4)得到： ∫ Ω h ( u ) Δ u ( t ， x ) d x = ∫ ∂ Ω h ( u ) ∂ u ( t ， x ) ∂ n d x − ∫ Ω h ′ ( u ) | g r a d u | 2 d x = ∫ ∂ Ω h ( u ) w ( t ， x ， u ) d x − ∫ Ω h ′ ( u ) | g r a d u | 2 d x ≤ 0 (12) h i ( u ( t − τ i ( t ) ， x ) ) Δ u ( t − τ i ( t ) ， x ) d x ≤ 0 . (13) 根据条件(H1)和(H2)得到： ∫ Ω ∑ j = 1 n q j ( t ， x ) ⋅ f j ( ∫ 0 t ( t − v ) u ( v ， x ) d v ) d x ≥ ∑ j = 1 n k j q j ( t ) ∫ 0 t ( t − v ) − α y ( v ) d v = ∑ j = 1 n k j q j ( t ) V ( t ) ， t ≥ μ . (14) 结合(11)~(14)可得： (15) (II) 当 t = t k ，对(1)的第二个方程，两边同时对x在有界域 Ω 上积分 ∫ Ω u ( t k + ， x ) d x − ∫ Ω u ( t k − ， x ) d x = ∫ Ω σ ( t k ， x ， u ( t k ， x ) ) d x (16) 即得到 y ( t k + ) = y ( t k ) ∫ Ω ( 1 + σ ( t k ， x ， u ( t k ， x ) ) ) d x (17) 根据引理3，并由(16)可知 (18) 类似地，由式(17)可知 V ( t k + − τ ) = ∫ 0 t k + ( t k + − v 2 ) − α ∫ Ω ( 1 + σ ( v ， x ， u ( v ， x ) ) ) d x d v V ( t k − τ ) (19) 结合(18)~(19)，并根据条件(H3)，有 V ( t k + ) − V ( t k + − τ ) ≤ ( 1 + α k ) ( V ( t k ) − V ( t k − τ ) ) (20) 因此，由脉冲微分不等式(15)与(20)可知，函数 U ( t ) = ∫ Ω u ( t ， x ) d x 是分数阶脉冲微分不等式(7)~(8)的最终正解。与假设条件相矛盾。 另一方面，如果 u ( t ， x ) 是问题(1)与(2)在G内的最终负解，由相似的的方法，可知函数 U ( t ) = ∫ Ω u ( t ， x ) d x 是分数阶脉冲微分不等式(9)~(10)的最终负解。与假设条件相矛盾。证毕。 定理3.2 假设条件(H1)~(H4)成立，如果存在 μ 2 ≥ 0 ，满足 ∫ μ 2 ∞ exp ( − ∫ t 0 t r ( σ ) d σ ) d s = ∞ ， (21) 其中， r ( t ) = Γ ( 1 − α ) ∑ j = 1 n k j q j ( t ) ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，存在 μ 1 ≥ 0 ，满足 lim sup t → ∞ ∫ μ 1 t ∏ s < t l < t ( 1 + α k ) exp ( − ∫ s t r ( σ ) d σ ) Γ ( 1 − α ) G ( s ) d s ∏ μ 1 < t l < t ( 1 + α k ) exp ( − ∫ μ 1 t r ( s ) ) d s = ∞ ， (22) 并且 (23) 那么，问题(1)与(2)的每个解在G内是振动的。 证明(反证法)：证明该定理，先证明分数阶脉冲微分不等式(7)~(8)没有最终正解且分数阶脉冲微分不等式(9)~(10)没有最终负解。不失一般性，假设 y ( t ) 是分数阶脉冲微分不等式(7)~(8)的最终正解，那么存在 μ 1 ≥ 0 ，使得 y ( t ) ≥ 0 ， y ( t − τ ) ≥ 0 ， t ≥ μ 1 。 由式(7)和引理3，可得： [ V ( t ) − V ( t − τ ) ] ′ + Γ ( 1 − α ) ∑ j = 1 n k j q j V ( t ) ≤ − Γ ( 1 − α ) G ( t ) ≤ 0 ，     t ≥ μ . (24) 在这里，令 ω ( t ) = V ( t ) − V ( t − τ ) (25) 把(25)代入(24)，有 ω ′ + Γ ( 1 − α ) ∑ j = 1 n k j q j V ( t ) ≤ − Γ ( 1 − α ) G ( t ) ≤ 0 ，     t ≥ μ . (26) 即有 ω ′ + Γ ( 1 − α ) ∑ j = 1 n k j q j ( V ( t ) − V ( t − τ ) ) ≤ − Γ ( 1 − α ) G ( t ) ≤ 0 ，     t ≥ μ . 所以有 对任意 j∈1，2，， n ，有 ω ( t ) ′ + Γ ( 1 − α ) k j q j ω ( t ) ≤ − Γ ( 1 − α ) G ( t ) ≤ 0 ，     t ≥ μ . (27) 由脉冲微分不等式(20)，结合上述式子，有 ω ( t ) ′ ≤ − Γ ( 1 − α ) ∑ j = 1 n k j q j ω ( t ) − Γ ( 1 − α ) G ( t ) ≤ 0 ，     t ≥ μ ， t ≠ t k ， ω ( t k + ) ≤ ( 1 + α k ) ω ( t k ) ，     j = 1 ， 2 ， ⋯ 由引理5，可得 ω ( t ) ≤ ω ( μ 1 ) ∏ μ 1 < t l < t ( 1 + α k ) exp ( − ∫ μ 1 t r ( s ) d s )                   − ∫ μ 1 t ∏ s < t l < t ( 1 + α k ) exp ( − ∫ s t r ( σ ) d σ ) Γ ( 1 − α ) G ( s ) d s . (28) 所以 ω ( t ) ∏ μ 1 < t l < t ( 1 + α k ) exp ( − ∫ μ 1 t r ( s ) d s ) ≤ ω ( μ 1 ) − ∫ μ 1 t ∏ s < t l < t ( 1 + α k ) exp ( − ∫ s t r ( σ ) d σ ) Γ ( 1 − α ) G ( s ) d s ∏ μ 1 < t l < t ( 1 + α k ) exp ( − ∫ μ 1 t r ( s ) d s ) ， 当 t → ∞ ，根据条件(22)，由上式可得 lim inf t → ∞ ω ( t ) ∏ μ 1 < t l < t ( 1 + α k ) exp ( − ∫ μ 1 t r ( s ) ) d s = − ∞ . 这与 ω ( t ) > 0 矛盾。证毕。 另一方面，由类似方法，当 t → ∞ ，根据条件(23)，由上式可得 lim sup t → ∞ ω ˜ ( t ) ∏ μ 1 < t l < t ( 1 + α k ) exp ( − ∫ μ 1 t r ( s ) ) d s = ∞ . 证毕。