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user: 3. 基于交叉Gram矩阵的一阶必要条件条件 应用基于交叉Gram矩阵的H 2 范数表达式，我们将研究SISO离散时间系统基于交叉Gram矩阵的一阶必要条件。由前面的假设可知，原始系统 Σ 和降阶系统 Σ ^ 都是渐近稳定的时不变最小实现系统，则可以得到误差系统的H 2 范数关于 A ^ ， B ^ 和 C ^ 的梯度。首先给出实标量函数关于实矩阵变量的梯度定义。 定义3.1 实标量函数 f ( X ) 的梯度是一个实矩阵 ∇ X f ( X ) ∈ R n × p ，被定义为 [ 13 ] [ ∇ X f ( X ) ] i ， j = d d X i ， j f ( X ) ，   i = 1 ， ⋯ ， n ，   j = 1 ， ⋯ ， p ， 其中 X ∈ R n × p 。 f ( X + Δ ) 可以表示为 f ( X + Δ ) = f ( X ) + 〈 ∇ X f ( X ) ， Δ 〉 + O ( ‖ Δ ‖ 2 ) ， 其中 〈 ∇ X f ( X ) ， Δ 〉 = trace ( ( ∇ X f ( X ) ) T Δ ) 。 应用上述定义以及Lyapunov方程，我们可以得到误差系统H 2 范数关于降阶系统系数矩阵的梯度。 定理3.2 令 J ( A ^ ， B ^ ， C ^ ) = ‖ E ( z ) ‖ H 2 2 ，则 J ( A ^ ， B ^ ， C ^ ) 的梯度 ∇ A ^ J ， ∇ B ^ J 和 ∇ C ^ J 分别为 ∇ A ^ J = 2 ( Y A X + R ^ A ^ R ^ ) T ， ∇ B ^ J = 2 ( C X − C ^ R ^ ) T 和 ∇ C ^ J = − 2 ( R ^ B ^ + Y B ) T ， 其中 R ^ ，X和Y满足方程(3)~(5)。 证明：首先计算 ∇ A ^ J 。将 A ^ 扰动到 A ^ + Δ A ^ ，相应地，X，Y和 R ^ 分别被扰动为 X + Δ X ， Y + Δ Y 和 R ^ + Δ R ^ ，它们满足 [ B B ^ ] [ C − C ^ ] + [ A 0 0 A ^ + Δ A ^ ] [ R X + Δ X Y + Δ Y R ^ + Δ R ^ ] [ A 0 0 A ^ + Δ A ^ ] = [ R X + Δ X Y + Δ Y R ^ + Δ R ^ ] 。 (8) 将(8)和(2)做比较，我们可以得到 Δ X ， Δ Y 和 Δ R ^ 满足方程 A ^ Δ Y A + Δ A ^ Y A = Δ Y ， A X Δ A ^ + A Δ X A ^ = Δ X ， (9) A ^ R ^ Δ A ^ + A ^ Δ R ^ A ^ + Δ A ^ R ^ A ^ = Δ R ^ 。 (10) 应用 E ( z ) 的H 2 范数表达式(6)，则关于 A ^ 的一阶扰动 Δ J 可以表示为 Δ J = J ( A ^ + Δ A ^ ， B ^ ， C ^ ) − J ( A ^ ， B ^ ， C ^ ) = trace ( C R B + 2 C ( X + Δ X ) B ^ − C ^ ( R ^ + Δ R ^ ) B ^ ) − trace ( C R B + 2 C X B ^ − C ^ R ^ B ^ ) = 2 trace ( C Δ X B ^ ) − trace ( C ^ Δ R ^ B ^ ) . 应用(4)和(9)， trace ( C Δ X B ^ ) 可以表示为 trace ( C Δ X B ^ ) = trace ( Δ X ( Y − A ^ Y A ) ) = trace ( Y ( Δ X − A Δ X A ^ ) ) = trace ( Y A X Δ A ^ ) 。 由(5)和(10)，我们得到 trace ( C ^ Δ R ^ B ^ ) = trace ( Δ R ^ B ^ C ^ ) = trace ( Δ R ^ ( A ^ R ^ A ^ − R ^ ) ) = − trace ( R ^ ( Δ A ^ R ^ A ^ + A ^ R ^ Δ A ^ ) ) = − 2 trace ( R ^ A ^ R ^ Δ A ^ ) 。 因此， Δ J = 2 trace ( Y A X Δ A ^ + R ^ A ^ R ^ Δ A ^ ) = 2 trace ( ( Y A X + R ^ A ^ R ^ ) Δ A ^ ) = 2 〈 ( Y A X + R ^ A ^ R ^ ) T ， Δ A ^ 〉 ，进一步，我们有 ∇ A ^ J = 2 ( Y A X + R ^ A ^ R ^ ) T 。 接下来我们通过扰动 C ^ 到 C ^ + Δ C ^ 计算 ∇ C ^ J 。相应地，X和 R ^ 将分别被扰动为 X + Δ X 和 R ^ + Δ R ^ ，并且它们满足 [ B B ^ ] [ C − C ^ − Δ C ^ ] + [ A 0 0 A ^ ] [ R X + Δ X Y R ^ + Δ R ^ ] [ A 0 0 A ^ ] = [ R X + Δ X Y R ^ + Δ R ^ ] 。 (11) 将(11)和(2)做比较，可以得到 Δ C ^ ， Δ X 和 Δ R ^ 满足 A Δ X A ^ − B Δ C ^ = Δ X ， A ^ Δ R ^ A ^ − B ^ Δ C ^ = Δ R ^ 。 (12) 考虑 E ( z ) 的H 2 范数表达式(7)。关于 C ^ 的一阶扰动 Δ J 可以被表示为 Δ J = J ( A ^ ， B ^ ， C ^ + Δ C ^ ) − J ( A ^ ， B ^ ， C ^ ) = trace ( C R B − 2 ( C ^ + Δ C ^ ) Y B − ( C ^ + Δ C ^ ) ( R ^ + Δ R ^ ) B ^ ) − trace ( C R B − 2 C ^ Y B − C ^ R ^ B ^ ) = − trace ( C ^ Δ R ^ B ^ + Δ C ^ R ^ B ^ + 2 Δ C ^ Y B ) . 由(5)和(12)，得到 trace ( C ^ Δ R ^ B ^ ) = trace ( Δ R ^ ( A ^ R ^ A ^ − R ^ ) ) = trace ( R ^ ( A ^ Δ R ^ A ^ − Δ R ^ ) ) = trace ( R ^ B ^ Δ C ^ ) 。 因此 Δ J       = − trace ( C ^ Δ R ^ B ^ + Δ C ^ R ^ B ^ + 2 Δ C ^ Y B ) = − trace ( R ^ B ^ Δ C ^ + Δ C ^ R ^ B ^ + 2 Δ C ^ Y B ) = − 2trace ( ( R ^ B ^ + Y B ) Δ C ^ ) = − 2 〈 ( R ^ B ^ + Y B ) T ， Δ C ^ 〉 . 进一步得到 ∇ C ^ J = − 2 ( R ^ B ^ + Y B ) T 。 最后，类似于 ∇ C ^ J 的计算过程，J关于 B ^ 的梯度 ∇ B ^ J = 2 ( C X − C ^ R ^ ) T 成立。综上所述，定理结论成立。证毕。 在定理3.2中，我们得到了误差系统H 2 范数关于 A ^ ， B ^ 和 C ^ 的梯度。在接下来的讨论中，我们将研究基于交叉Gram矩阵的一阶必要条件，以及构造相应的降阶系统。 定理3.3 设在J的每一个稳定点处 R ^ 可逆，则 A ^ = W T A V ， B ^ = W T B 和 C ^ = C V ， 其中 W T = − R ^ − 1 Y ， V = X R ^ − 1 且 W T V = I r 。X，Y和 R ^ 满足Sylvester方程(3)~(5)。 证明：因为J在稳定点处关于 A ^ ， 和 C ^ 的梯度为零，所以 ∇ A ^ J = 2 ( Y A X + R ^ A ^ R ^ ) T = 0 ， ∇ C ^ J = − 2 ( Y B + R ^ B ^ ) T = 0 和 ∇ B ^ J = 2 ( C X − C ^ R ^ ) T = 0 成立。由于 R ^ 可逆，有 A ^ = − R ^ − 1 Y A X R ^ − 1 ， B ^ = − R ^ − 1 Y B 和 C ^ = C X R ^ − 1 。 于是，我们定义 W T = − R ^ − 1 Y ， V = X R ^ − 1 。下证， W T V = I r 成立。 在(4)的左右两边同时右乘X，得到 B ^ C X + A ^ Y A X = Y X 。 (13) 由于 C X = C ^ R ^ ， Y A X = − R ^ A ^ R ^ ，(13)可以被改写为 B ^ C ^ R ^ − A ^ R ^ A ^ R ^ = Y X 。 (14) 在(14)的左右两边同时右乘 R ^ − 1 ，得到 B ^ C ^ − A ^ R ^ A ^ = Y X R ^ − 1 。 (15) 将(15)与(5)做比较，得到 Y X R ^ − 1 = − R ^ 。进一步， R ^ 2 + Y X = 0 ，则 W T V = − R ^ − 1 Y X R ^ − 1 = I r 成立。综上所述，定理结论成立。证毕。 定理3.3的结论表明了 A ^ ， B ^ 和 C ^ 是关于 R ^ ，X和Y的函数，即 { A ^ ， B ^ ， C ^ } = { − R ^ − 1 Y A X R ^ − 1 ， − R ^ − 1 Y B ， C X R ^ − 1 } ， 其中 R ^ ，X和Y可以通过Sylvester矩阵方程(3)~(5)得到。这为求解渐近稳定的SISO离散时间系统的降阶系统提供了方法。