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user: 2. 控制方程及求解 考虑厚度方向梯度变化的矩形截面FGM梁，长为l、宽为b、高为h。在梁的几何中面上建立坐标系 ( x ， y ， z ) ，原点O位于梁的左端横截面的中心，x轴沿轴向，该向位移记为u，几何中面上为 u 0 ；y轴沿宽度方向；z轴沿厚度方向，横向挠度记为w，几何中面上为 w 0 ；横截面的转角记为 φ 。弹塑性交界面为s，如图1所示。研究FGM梁在变温环境中的屈曲问题。 图1. 功能梯度Timoshenko梁 2.1. 等效物性参数 FGM考虑由陶瓷和金属两相材料制成，且假设其体积分数 V c 和 V m 沿厚度方向以幂函数形式连续变化： V c ( z ) = ( h − 2 z 2 h ) n ， V m ( z ) = 1 − V c ( z ) (1) 其中 n ( 0 ≤ n < ∞ ) 为体积分数指数，不同值代表了成分含量不同的功能梯度材料。 n = 0 时退化为纯陶瓷梁； n → ∞ 时则为纯金属梁。对处于变温环境中的FGM梁，其材料的物性参数考虑与温度的相关性： P j ( T ) = P 0 ( P − 1 T − 1 + 1 + P 1 T + P 2 T 2 + P 3 T 3 ) (2) 其中P泛指金属和陶瓷的弹性模量、切线模量和屈曲极限；j为c或m，分别代表陶瓷和金属；T为绝对温度； P 0 、 P − 1 、 P 1 、 P 2 、 P 3 为材料的温度相关系数。弹塑性FGM的弹性模量E、切线模量H和屈服极限 σ Y 基于TTO模型给出： E = E m V m + E c V c ， H = H m V m + E c V c ， σ Y = σ Ym ( V m + E c E m V c ) (3) 其中 E m 、 H m 和 σ Ym 为金属的弹性模量、切线模量和屈曲极限； E c 为陶瓷的弹性模量。剪切弹性模量为 G ( z ) = E ( z ) 2 ( 1 + μ ) 。泊松比 μ 随温度变化不大，一般取为常数 [ 16 ]。 2.2. 基本方程和边界条件 FGM梁的正应变 ε x 和切应变 γ x z 基于Timoshenko梁理论建立： ε x = ∂ u 0 ∂ x − z ∂ φ ∂ x ， γ x z = γ x z 0 = ∂ w 0 ∂ x − φ (4) FGM的本构关系基于线性强化弹塑性模型建立，正应力 σ x 和切应力分别为 [ 16 ]： σ x = { E ( ε x − α Δ T ) − h 2 ≤ z < s σ Y + H ( ε x − σ Y E − α Δ T ) s ≤ z ≤ h 2 (5a) τ x z = G γ x z (5b) 上式中 Δ T = T − T 0 为温度增量，一般初始温度 T 0 = 300   K ； α 为热膨胀系数，由线性混合律模型 [ 10 ] 计算；s为FGM梁的弹塑性分界面到几何中面的距离， − h 2 ≤ s ≤ h 2 。若 s = − h 2 ，发生弹性屈曲； s = h 2 ，发生塑性屈曲； − h 2 < s < h 2 ，则发生弹塑性屈曲。本文考虑固定(C)和不可移简支(S)两种边界约束，边界条件分别为： C : u 0 = w 0 = φ = 0 ， S : u 0 = w 0 = M = 0 . 2.3. 正则方程 本文利用Hamilton体系下的辛方法研究FGM梁的弹塑性屈曲。为了引入Hamilton体系，定义 w ˙ = ∂ w ∂ t 、 w ′ = ∂ w ∂ x 和 φ ˙ = ∂ φ ∂ t 、 φ ′ = ∂ φ ∂ x ，FGM梁的Lagrange密度函数可表示为： L ¯ = T ¯ − V ¯ − U ¯ 1 2 I 0 ¯ ( w ˙ ) 2 + 1 2 I 1 ¯ ( φ ˙ ) 2 − 1 2 Q ( w ′ ) 2 − 1 2 B 1 ( φ ′ ) 2 − 1 2 B 2 ( φ ′ ) − 1 2 B 3 ( w ′ − φ ) 2 (6) 其中：Q为轴向压缩荷载， T ¯ 为动能密度， U ¯ 为应变能密度， V ¯ 为势能密度， ( I ¯ 0 ， I ¯ 1 ) = ∫ − h / 2 h / 2 ρ ( z ) { 1 ， z 2 } d z 为FGM梁的单位面积的质量。 B 1 和 B 2 为FGM梁的刚度系数， B 3 为剪切刚度系数。进行量纲为一的处理， X = x / l ， W = w / l ， ϕ = h φ / l ， I 0 = 2 I ¯ 0 l 4 B 1 ， I 1 = 2 I ¯ 1 l 2 B 1 ， A 1 = Q l 2 B 1 ， A 2 = B 2 l B 1 ， A 3 = B 3 l 2 B 1 ，将原变量记为 W = q 1 ， ϕ = q 2 并引入对偶 p = { p 1 ， p 2 } T ，得到 p 1 = δ L δ q ˙ 1 = I 0 q ˙ 1 和 p 2 = δ L δ q ˙ 2 = I 1 q ˙ 2 ，则系统的Hamilton函数表示为： F = p q ˙ − L = p 1 2 2 I 0 + p 2 2 2 I 1 + A 1 ( W ′ ) 2 + ( ϕ ′ ) 2 + A 2 ( ϕ ′ ) + A 3 ( W ′ − ϕ ) 2 (7) 通过变分运算可得FGM梁在Hamilton系统下的对偶正则方程： ψ ˙ ≡ { δ F δ p − δ F δ q } = { p 1 I 0 p 2 I 1 ( A 1 + A 3 ) ∂ 2 q 1 ∂ x 2 − A 3 ∂ q 2 ∂ x ∂ 2 q 2 ∂ x 2 + A 3 ( ∂ q 1 ∂ x − q 2 ) } (8) 2.4. 方程的解析解 在辛空间中，FGM梁屈曲时满足条件 ψ ˙ = 0 ，可得方程： ( A 1 + A 3 ) ∂ 2 q 1 ∂ x 2 − A 3 ∂ q 2 ∂ x = 0 (9a) ∂ 2 q 2 ∂ x 2 + A 3 ( ∂ q 1 ∂ x − q 2 ) = 0 (9b) 联立求解以上方程组可得到FGM梁屈曲的挠度通解为： W = C [ C 1 + C 2 x − C 3 cos ( θ x ) θ − C 4 sin ( θ x ) θ ] (10) 其中 C = A 3 ( A 1 + A 3 ) ，待定系数 C 1 、 C 2 、 C 3 和 C 4 由边界条件确定，本文考虑两种边界条件梁，分别是两 端固定(C-C)和一端固定一端不可移简支(C-S)。把两种边界条件分别代入到通解式(10)中得线性方程组，并化简可得分叉条件，C-C边界为： 2 − 2 cos θ − θ sin θ = 0 (11a) C-S边界为： − ( θ + 1 ) cos θ + θ sin θ + 1 = 0 (11b) 分别求解方程(11a)和(11b)得到无量纲屈曲特征值 θ i ( i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ) 。C-C边界的 θ i ( i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ) 为39.47，80.76，157.91，238.72，……；C-S边界的 θ i ( i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ) 为20.19，59.67，118.90，197.85，……。考虑边界条件、并同时利用归一化方法令 C 4 = 1 ，可得以上特征值对应的第i阶的弹塑性屈曲模态，C-C边界为： W i = C [ 1 − cos θ sin θ − θ x − sin θ x θ + ( cos θ − 1 ) cos θ x sin ( θ ) θ ] (12a) C-S边界为： W i = C [ tan θ − θ x − sin θ x θ + sin ( θ ) cos ( θ x ) cos ( θ ) θ ] (12b) FGM梁发生弹塑性屈曲，为了求解弹塑性变形的分界面到中面的距离 s ，可利用屈服条件 σ ( s ) = σ Y ( s ) 。将特征值 θ i 依次回代，并通过数值解方程，可以得到临界屈曲载荷N和弹塑性交界面s。