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user: 3. 建立求矩阵方程组(2)中心对称解的MCG算法 结合共轭梯度算法原理以及中心对称矩阵的特点，建立求矩阵方程组(2)的MCG算法如下： 第1步：任意给定初始矩阵 X 1 ∈ C S R n × n ，置 k : = 1 ，计算 R k ( i ) = F i − A i X k B i − C i X k T D i   ( i = 1 ，   2 ) ， R k = ( R k ( 1 ) R k ( 2 ) ) ， R ˜ k = ∑ i = 1 2 ( A i T R k ( i ) B i T + D i ( R k ( i ) ) T C i ) ， P k = 1 2 ( R ˜ k + S R ˜ k S ) 第2步：若 R k ( 1 ) 与 R k ( 2 ) 均为零矩阵，停止计算；否则，计算 α k = ‖ R k ‖ 2 ‖ P k ‖ 2 ， X k + 1 = X k + α k P k 第3步：计算 R k + 1 ( i ) = F i − A i X k + 1 B i − C i X k + 1 T D i   ( i = 1 ，   2 ) ， R ˜ k + 1 = ∑ i = 1 2 ( A i T R k + 1 ( i ) B i T + D i ( R k + 1 ( i ) ) T C i ) ， β k + 1 = ‖ R k + 1 ‖ 2 ‖ R k ‖ 2 ， P k + 1 = 1 2 ( R ˜ k + 1 + S R ˜ k + 1 S ) + β k + 1 P k 易见，MCG算法中的矩阵 X k ， P k ∈ C S R n × n ，下面给出MCG算法的基本性质，证明MCG算法在有限步计算之后停止。 性质1 MCG算法中的矩阵 R i ， P i ， R ˜ i 满足 t r ( R i + 1 T R j ) = t r ( R i T R j ) − β j − 1 t r ( P i T R ˜ j ) 证明 由MCG算法可得 t r ( R i + 1 T R j ) = t r ( ( R i + 1 ( 1 ) R i + 1 ( 2 ) ) T R j ) = t r ( ( F 1 − A 1 X i + 1 B 1 − C 1 X i + 1 T D 1 F 2 − A 2 X i + 1 B 2 − C 2 X i + 1 T D 2 ) T R j ) = t r ( ( R i ( 1 ) − α i ( A 1 P i B 1 + C 1 P i T D 1 ) R i ( 2 ) − α i ( A 2 P i B 2 + C 2 P i T D 2 ) ) T R j ) = t r ( R i T R j ) − α i t r ( ( A 1 P i B 1 + C 1 P i T D 1 A 2 P i B 2 + C 2 P i T D 2 ) T R j ) = t r ( R i T R j ) − α i t r ( ( A 1 P i B 1 + C 1 P i T D 1 A 2 P i B 2 + C 2 P i T D 2 ) T ( R j ( 1 ) R j ( 2 ) ) ) = t r ( R i T R j ) − α i t r ( ∑ k = 1 2 ( B k T P i T A k + D k T P i C k T ) R j ( k ) ) = t r ( R i T R j ) − α i t r ( ∑ k = 1 2 ( P i T A k T R j ( k ) B k + P i C k T ( R j ( k ) ) T D k T ) ) = t r ( R i T R j ) − α i t r ( P i T R ˜ j ) 性质2 当 k ≥ 2 时，对于MCG算法中的矩阵 R i ， P i 和 R ˜ i ，有 t r ( R i T R j ) = 0 ， t r ( P i T P j ) = 0 ， ( i ≠ j ，   i ， j = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， k ) (3) 证明 采用数学归纳法，对于 k = 2 ，由性质1可知， t r ( R 2 T R 1 ) = t r ( R 1 T R 1 ) − ‖ R 1 ‖ 2 ‖ P 1 ‖ 2 t r ( P 1 T R ˜ 1 ) = ‖ R 1 ‖ 2 − ‖ R 1 ‖ 2 ‖ P 1 ‖ 2 t r ( P 1 T R ˜ 1 + S R ˜ 1 S 2 ) = ‖ R 1 ‖ 2 − ‖ R 1 ‖ 2 ‖ P 1 ‖ 2 t r ( P 1 T P 1 ) = 0 t r ( P 2 T P 1 ) = t r ( ( R ˜ 2 + S R ˜ 2 S 2 + ‖ R 2 ‖ 2 ‖ R 1 ‖ 2 P 1 ) T P 1 ) = t r ( R ˜ 2 + S R ˜ 2 S 2 P 1 ) + ‖ R 2 ‖ 2 ‖ R 1 ‖ 2 t r ( P 1 T P 1 ) = t r ( R ˜ 2 P 1 T ) + ‖ R 2 ‖ 2 ‖ R 1 ‖ 2 ‖ P 1 ‖ 2 = ‖ P 1 ‖ 2 ‖ R 1 ‖ 2 ( t r ( R 1 T R 2 ) − t r ( R 2 T R 2 ) ) + ‖ R 2 ‖ 2 ‖ R 1 ‖ 2 ‖ P 1 ‖ 2 = − ‖ P 1 ‖ 2 ‖ R 1 ‖ 2 t r ( R 2 T R 2 ) + ‖ R 2 ‖ 2 ‖ R 1 ‖ 2 ‖ P 1 ‖ 2 = 0 假设 k = s   ( s ≥ 2 ) 时(3)式成立，则当 k = s + 1   ( s ≥ 2 ) 时，由性质1可得 t r ( R s + 1 T R s ) = t r ( R s T R s ) − ‖ R s ‖ 2 ‖ P s ‖ 2 t r ( P s T R ˜ s ) = t r ( R s T R s ) − ‖ R s ‖ 2 ‖ P s ‖ 2 t r ( P s T R ˜ s + S R ˜ s S 2 ) = ‖ R s ‖ 2 − ‖ R s ‖ 2 ‖ P s ‖ 2 t r ( P s T ( P s − ‖ R s ‖ 2 ‖ R s − 1 ‖ 2 P s − 1 ) ) = ‖ R s ‖ 2 − ‖ R s ‖ 2 ‖ P s ‖ 2 ( t r ( P s T P s ) − ‖ R s ‖ 2 ‖ R s − 1 ‖ 2 t r ( P s T P s − 1 ) ) = ‖ R s ‖ 2 − ‖ R s ‖ 2 ‖ P s ‖ 2 t r ( P s T P s ) = 0 t r ( P s + 1 T P s ) = t r ( ( R ˜ s + 1 + S R ˜ s + 1 S 2 + ‖ R s + 1 ‖ 2 ‖ R s ‖ 2 P s ) T P s ) = t r ( ( R ˜ s + 1 + S R ˜ s + 1 S ) T 2 P s ) + ‖ R s + 1 ‖ 2 ‖ R s ‖ 2 t r ( P s T P s ) = t r ( R ˜ s + 1 P s T ) + ‖ R s + 1 ‖ 2 ‖ R s ‖ 2 t r ( P s T P s ) = 0 当 j = 1 时，有 t r ( R s + 1 T R 1 ) = t r ( R s T R 1 ) − ‖ R s ‖ 2 ‖ P s ‖ 2 t r ( P s T R ˜ 1 ) = 0 − ‖ R s ‖ 2 ‖ P s ‖ 2 t r ( P s T R ˜ 1 + S R ˜ 1 S 2 ) = − ‖ R s ‖ 2 ‖ P s ‖ 2 t r ( P s T P 1 ) = 0 当 j = 2 ， 3 ， 4 ， ⋯ ， s − 1 时，有 t r ( R s + 1 T R j ) = t r ( R s T R j ) − ‖ R s ‖ 2 ‖ P s ‖ 2 t r ( P s T R ˜ j ) = 0 − ‖ R s ‖ 2 ‖ P s ‖ 2 t r ( P s T R ˜ j + S R ˜ j S 2 ) = − ‖ R s ‖ 2 ‖ P s ‖ 2 t r ( P s T ( P j − ‖ R j ‖ 2 ‖ R j − 1 ‖ 2 P j − 1 ) ) = − ‖ R s ‖ 2 ‖ P s ‖ 2 ( t r ( P s T P j ) − ‖ R j ‖ 2 ‖ R j − 1 ‖ 2 t r ( P s T P j − 1 ) ) = 0 t r ( P s + 1 T P j ) = t r ( ( R ˜ s + 1 + S R ˜ s + 1 S 2 + ‖ R s + 1 ‖ 2 ‖ R s ‖ 2 P s ) T P j ) = t r ( R ˜ s + 1 P j T ) + ‖ R s + 1 ‖ 2 ‖ R s ‖ 2 t r ( P s T P j ) = t r ( R ˜ s + 1 P j T ) = t r ( P j T R ˜ s + 1 ) = ‖ P j ‖ 2 ‖ R j ‖ 2 ( t r ( R j T R s + 1 ) − t r ( R j + 1 T R s + 1 ) ) = 0 根据矩阵迹的性质可得 t r ( R j T R s + 1 ) = t r ( R s + 1 T R j ) = 0 ， t r ( P j T P s + 1 ) = t r ( P s + 1 T P j ) = 0 所以当 k = s + 1 时(3)式也成立。由归纳法原理可得 1 ≤ j < i ≤ k 时(3)式成立。 性质3 设 X 是问题的任意一组解，则由算法得到的矩阵 X ( k ) ， P k 及 R k 满足 t r ( P k T ( X − X ( k ) ) ) = ‖ R k ‖ 2   ( k = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ) . 定理1 若中心对称矩阵 A 存在中心对称{1， 4}逆，则对任意初始矩阵 X 1 ∈ C S R n × n ，MCG算法可在有限步计算后得到 A 中心对称{1， 4}逆。若方阵 A 无中心对称{1， 4}逆，则在MCG算法中存在正整数k，使得 R k ≠ O 且 Q k = O 。