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user: 3. 自适应神经网络控制器设计及稳定性分析 在本节中，为了保证电机系统运行过程的暂态和瞬态不超出指定的约束范围，尤其是在故障发生以后，自适应神经网络控制器详细设计过程如下。 步骤1：定义误差变量 e 1 = x 1 − y r ，其导数可以表示为 e ˙ 1 = x ˙ 1 − y ˙ d = e 2 + χ 1 − y ˙ r (5) 其中，误差变量 e 2 = x 2 − χ 1 ，虚拟控制器 χ 1 的定义将稍后给出。 选取障碍李雅普诺夫函数 V 1 = λ 1 2 π tan ( π e 1 2 2 λ 1 2 ) (6) 考虑(5)，(6)的导数为 V ˙ 1 = 2 λ 1 λ ˙ 1 π t a n ( π e 1 2 2 λ 1 2 ) + sec 2 ( π e 1 2 2 λ 1 2 ) e 1 e 2 − e 1 2 λ ˙ 1 λ 1 sec 2 ( π e 1 2 2 λ 1 2 ) + sec 2 ( π e 1 2 2 λ 1 2 ) e 1 ( χ 1 − y ˙ r ) (7) 构建虚拟控制器如下 χ 1 = − ( ρ 1 + 2 λ ¯ 1 ) λ 1 2 2 π e 1 sin ( π e 1 2 λ 1 2 ) − e 1 λ ¯ 1 + y ˙ r (8) 其中， λ ¯ i = ( λ ˙ i / λ i ) 2 + γ i ， γ 1 > 0 为已知常数。因此，可以得到 λ ¯ i + λ ˙ i / λ i > 0 和 λ ¯ i − λ ˙ i / λ i > 0 。 注释3：根据洛必达法则可得 lim e → 0 λ 1 2 2 π e 1 sin ( π e 1 2 λ 1 2 ) = 0 因此，虚拟控制器 χ 1 中不存在奇点。 结合(7)和(8)，我们可以得到 V ˙ 1 = − ρ 1 λ 1 2 π tan ( π e 1 2 2 λ 1 2 ) + sec 2 ( π e 1 2 2 λ 1 2 ) e 1 e 2 (9) 其中，由 λ ¯ 1 的定义可知 2 λ 1 2 π tan ( π e 1 2 2 λ 1 2 ) ( λ ˙ 1 λ 1 − λ ¯ 1 ) < 0 且 − e 1 2 sec 2 ( π e 1 2 2 λ 1 2 ) ( λ ˙ 1 λ 1 + λ ¯ 1 ) < 0 。 步骤2：根据(2)和定义 e 2 = x 2 − χ 1 ，误差变量 e 2 的导数可表示为 e ˙ 2 = x ˙ 2 − χ ˙ 1 = 1 M x 3 − N M sin ( x 1 ) − B M x 2 − χ ˙ 1 (10) 其中， χ ˙ 1 = ∂ χ 1 ∂ x 1 x 2 + ∑ j = 0 1 ∂ χ 1 ∂ y r ( j ) y r ( j + 1 ) 。 选取障碍李雅普诺夫函数如下 V 2 = λ 2 2 π tan ( π e 2 2 2 λ 2 2 ) + 1 2 Θ ˜ 1 2 + V 1 (11) 其中， Θ ˜ 1 = Θ ^ 1 − Θ 1 ∗ ， Θ ^ 1 是最优权重向量 Θ 1 ∗ 的估计权重。 因此， V 2 导数可得 V ˙ 2 = 2 λ 2 λ ˙ 2 π t a n ( π e 2 2 2 λ 2 2 ) − e 2 2 λ ˙ 2 λ 2 sec 2 ( π e 2 2 2 λ 2 2 ) + 1 M sec 2 ( π e 2 2 2 λ 2 2 ) e 2 e 3     + 1 M sec 2 ( π e 2 2 2 λ 2 2 ) e 2 χ 2 + sec 2 ( π e 2 2 2 λ 2 2 ) e 2 F 1 ( Z 1 ) + Θ ˜ 1 Θ ^ ˙ 1 + V ˙ 1 (12) 其中， Z 1 = [ x 1 ， x 2 ， y r ， y ˙ r ] T ，定义未知函数 F 1 ( Z 1 ) = sin ( x 1 ) N / M + x 2 B / M + χ ˙ 1 。 将RBFNNs作为函数逼近器对未知函数 F 1 ( Z 1 ) 进行逼近 F 1 ( Z 1 ) = W 1 ∗ T S 1 ( Z 1 ) + ε 1 ( Z 1 ) (13) 其中， W ˜ 1 = W ^ 1 − W 1 ∗ 是权重估计误差，估计权重向量 W ^ 1 用来估计未知最优权重向量 W 1 ∗ 。存在正常数 ε ¯ 1 和 W ¯ 1 ，使得不等式 | ε 1 ( Z 1 ) | ≤ ε ¯ 1 和 | W 1 ∗ | ≤ W ¯ 1 成立。 结合(13)和(12)并利用杨氏不等式，可得 sec 2 ( π e 2 2 2 λ 2 2 ) e 2 W 1 ∗ T S 1 ( Z 1 ) ≤ 1 2 σ 1 2 sec 4 ( π e 2 2 2 λ 2 2 ) e 2 2 W ¯ 1 2 ‖ S 1 ( Z 1 ) ‖ 2 + σ 1 2 2 (14) sec 2 ( π e 2 2 2 λ 2 2 ) e 2 ε 1 ( Z 1 ) ≤ 1 2 υ 1 e 2 2 sec 4 ( π e 2 2 2 λ 2 2 ) + ε ¯ 1 2 2 υ 1 (15) 其中， σ 1 和 υ 1 是正设计参数。定义 Θ i ∗ = W ¯ i 2 ， i = 1 ， 2 。 设计虚拟控制器和自适应率如下 χ 2 = − M [ ( ρ 2 + 2 λ ¯ 2 ) λ 2 2 2 π e 2 sin ( π e 2 2 λ 2 2 ) + e 2 λ ¯ 2 + υ 1 2 e 2 sec 2 ( π e 2 2 2 λ 2 2 )     + 1 2 σ 1 2 sec 2 ( π e 2 2 2 λ 2 2 ) e 2 Θ ^ 1 ‖ S 1 ( Z 1 ) ‖ 2 + sec 2 ( π e 1 2 2 λ 1 2 ) cos 2 ( π e 2 2 2 λ 2 2 ) e 1 ] (16) Θ ^ ˙ 1 = 1 2 σ 1 2 sec 4 ( π e 2 2 2 λ 2 2 ) e 2 2 ‖ S 1 ( Z 1 ) ‖ 2 − γ 1 Θ ^ 1 (17) 其中， γ 1 是正常数。 注释4：利用未知神经权重向量的范数作为估计参数，这大大减少了神经网络输入变量的数量，减轻了计算负担。 将(9)，(14)~(17)代入(12)可得到如下不等式 V ˙ 2 = − ∑ j = 1 2 ρ j λ j 2 π tan ( π e j 2 λ j 2 ) − γ 1 Θ ˜ 1 Θ ^ 1 + 1 M sec 2 ( π e 2 2 2 λ 2 2 ) e 2 e 3 + ε ¯ 1 2 2 υ 1 + σ 1 2 2 (18) 步骤3：定义误差向量 e 3 = x 3 − χ 2 。结合(2)和(4)， e 3 导数表示为 e ˙ 3 = x ˙ 3 − χ ˙ 2 = 1 L ( l u + ζ ) − K B L x 2 − R L x 3 − χ ˙ 2 (19) 其中， χ ˙ 2 = ∑ j = 1 2 ∂ χ j ∂ x j x ˙ j + ∑ j = 0 2 ∂ χ 1 ∂ y r ( j ) y r ( j + 1 ) + ∑ j = 1 2 ∂ χ j ∂ Θ ^ j Θ ^ ˙ j 。 选取障碍李雅普诺夫函数如下 V 3 = λ 3 2 π tan ( π e 3 2 2 λ 3 2 ) + 1 2 Θ ˜ 2 2 + V 2 (20) 其求导可得 V ˙ 3 ≤ 2 λ 3 λ ˙ 3 π t a n ( π e 3 2 2 λ 3 2 ) − e 3 2 λ ˙ 3 λ 3 sec 2 ( π e 3 2 2 λ 3 2 ) + Θ ˜ 2 Θ ^ ˙ 2 + V ˙ 2     + 1 L sec 2 ( π e 3 2 2 λ 3 2 ) e 3 ( l u ) − sec 2 ( π e 3 2 2 λ 3 2 ) e 3 F 2 ( Z 2 ) (21) 其中， F 2 ( Z 2 ) = x 2 K B / L + x 3 R / L + χ ˙ 2 − ζ / L 。 利用神经网络对未知函数 F 2 ( Z 2 ) 进行逼近 F 2 ( Z 2 ) = W 2 ∗ T S 2 ( Z 2 ) + ε 2 ( Z 2 ) (22) 其中， W ˜ 2 = W ^ 2 − W 2 ∗ 是权重估计误差，估计权重向量 W ^ 2 用来估计未知最优权重向量 W 2 ∗ 。存在正常数 ε ¯ 2 和 W ¯ 2 ，使得不等式 | ε 2 ( Z 2 ) | ≤ ε ¯ 2 和 | W 2 ∗ | ≤ W ¯ 2 成立。 利用杨氏不等式，我们可以得到 − sec 2 ( π e 3 2 2 λ 3 2 ) e 3 W 2 ∗ T S 2 ( Z 2 ) ≤ 1 2 σ 2 2 sec 4 ( π e 2 2 2 λ 2 2 ) e 3 2 W ¯ 2 2 ‖ S 2 ( Z 2 ) ‖ 2 + σ 2 2 2 (23) − sec 2 ( π e 3 2 2 λ 3 2 ) e 3 ε 2 ( Z 2 ) ≤ 1 2 υ 2 e 3 2 sec 4 ( π e 3 2 2 λ 3 2 ) + ε ¯ 2 2 2 υ 2 (24) 其中， σ 2 和 υ 2 是正设计参数。 设计控制输入和自适应率如下 u = − L l [ ( ρ 3 + 2 λ ¯ 3 ) λ 3 2 2 π e 3 sin ( π e 3 2 λ 3 2 ) + e 3 λ ¯ 3 + υ 2 2 e 3 sec 2 ( π e 3 2 2 λ 3 2 )     + 1 2 σ 2 2 sec 2 ( π e 3 2 2 λ 3 2 ) e 3 Θ ^ 2 ‖ S 2 ( Z 2 ) ‖ 2 + 1 M sec 2 ( π e 2 2 2 λ 2 2 ) cos 2 ( π e 3 2 2 λ 3 2 ) e 2 ] (25) Θ ^ ˙ 2 = 1 2 σ 2 2 sec 4 ( π e 3 2 2 λ 3 2 ) e 3 2 ‖ S 2 ( Z 2 ) ‖ 2 − γ 2 Θ ^ 2 (26) 将(22)~(26)代入(21)可得如下不等式 V ˙ 3 ≤ − ∑ j = 1 3 ρ j λ j 2 π tan ( π e j 2 2 λ j 2 ) − ∑ j = 1 2 γ j Θ ˜ j Θ ^ j + ∑ j = 1 2 ε ¯ j 2 2 υ j + ∑ j = 1 2 σ j 2 2 (27) 根据定义 Θ ˜ i = Θ ^ i − Θ i ∗ 和杨氏不等式，如下不等式成立 − γ j Θ ˜ j Θ ^ j ≤ − γ j Θ ˜ j ( Θ ˜ j + Θ j ∗ ) ≤ − γ j 2 ‖ Θ ˜ j ‖ 2 + γ j 2 ‖ Θ j ∗ ‖ 2 (28) 联立(27)和(28)，可以进一步得到 V ˙ 3 ≤ − ∑ j = 1 3 ρ j λ j 2 π tan ( π e j 2 2 λ j 2 ) − ∑ j = 1 2 γ j 2 ‖ Θ ˜ j ‖ 2 + ∑ j = 1 2 ε ¯ j 2 2 υ j + ∑ j = 1 2 σ j 2 2 + ∑ j = 1 2 γ j 2 ‖ Θ j ∗ ‖ 2 (29) 整合式(6)，(11)和(20)可知 V 3 = ∑ j = 1 3 λ j 2 π tan ( π e j 2 2 λ j 2 ) + 1 2 ∑ j = 1 2 Θ ˜ j 2 (30) 因此，如下不等式可以被得到 V ˙ 3 ≤ Δ 1 V 3 + Δ 2 (31) 其中， Δ 1 = min { ρ j ， γ j ， j = 1 ， 2 ， 3 } 和 Δ 2 = ∑ j = 1 2 ε ¯ j 2 / 2 υ j + ∑ j = 1 2 σ j 2 / 2 + ∑ j = 1 2 γ j ‖ Θ j ∗ ‖ 2 / 2 。 定理1：在电机系统(1)满足假设条件的情况下，所提出的自适应神经网络控制器能够保证闭环系统中所有信号均为有界的；跟踪误差收敛至原点附近的紧集内；执行器是否存在故障都能保证所有系统状态不超出指定约束范围。 证明：先对式(31)两边乘以 e Δ 1 t ，在对其进行积分，可以得到 V 3 ≤ Π (32) 其中， Π = [ V 3 ( 0 ) − Δ 2 / Δ 1 ] e − Δ 1 t + Δ 2 / Δ 1 。 根据式(31)和式(32)，可以容易得到 e i ， i = 1 ， 2 ， 3 和 Θ ^ j ， j = 1 ， 2 的有界性。结合定义 x 1 = e 1 + y r 和假设2，可以得到 | x 1 | ≤ λ 1 + A ≤ ψ 1 。从 e 1 ， y r 和 y ˙ r 的有界性可知，虚拟控制器 χ 1 存在正常数满足 | χ 1 | ≤ χ ¯ 1 。类似的过程，可以证明 | x 2 | ≤ λ 2 + χ ¯ 1 ≤ ψ 2 。控制器和自适应率的有界性也可以通过类似方法证明得到。 从设计的李雅普诺夫函数以及式(30)可知，式(30)中每一项均为正的，因此，如下不等式成立 λ 1 2 tan ( π e 1 2 / 2 λ 1 2 ) / π ≤ Π ，进而在初始值满足 | x 1 ( 0 ) | < ψ 1 的条件下可以得到 e 1 ≤ 2 λ 1 2 tan − 1 ( Π π / λ 1 2 ) / π 。通过选取适当的参数可实现跟踪误差 e 1 收敛至任意小。定理1的证明完毕。