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user: 3. 惯性流形 引理3.1 [ 11 ] ：假定 (H 1 ) ϕ ∈ C 1 ( R + ) ， ϕ ′ ( s ) ≥ 0 ， ϕ ( 0 ) ≜ ϕ 0 ≥ 1 ， (H 2 ) f ∈ H ， 。则问题(1.1)~(1.3)的解 ( u ， v ) 满足 H 3 ( t ) ≤ H 3 ( 0 ) e − δ t + C 5 δ ( 1 − e − δ t ) β ∫ 0 T ‖ Δ u t ‖ 2 d s ≤ H 3 ( 0 ) + ∫ 0 T C 5 d s 并且问题(1.1)~(1.3)存在唯一解 u ∈ L ∞ ( 0， + ∞ ; V 2 ) ， u t ∈ L ∞ ( 0， + ∞ ; H 0 1 ) ∩ L 2 ( 0， T ; V 2 ) 。 评论3.1 [ 11 ] ：定义映射 S ( t ) : X → X ， S ( t ) ( u 0 ， u 1 ) = ( u ( t ) ， u t ( t ) ) ，其中u是问题(1.1)~(1.3)的解。根据引理3.1， S ( t ) 构成X上的连续算子半群。 定义3.1：设 是Banach空间X上的解半群。一个子集 μ ⊂ X 满足： 1) μ 是有限维Lipschitz流形， 2) μ 是正不变的，即 S ( t ) μ ⊂ μ ， t ≥ 0 ， 3) μ 以指数吸引解轨道，即 ，存在常数 η > 0 ， C > 0 ，使得 则称 μ 是关于 S = S ( t ) t ≥ 0 的一个惯性流形。 设算子 ，设 F ∈ C b ( X ， X ) 满足Lipschitz条件： ‖ F ( U ) − F ( V ) ‖ X ≤ l F ‖ U − V ‖ X ，     U ， V ∈ X 。 (3.1) 算子A称为满足关于F的谱间隔条件，如果算子A的谱可以分成两部分 σ 1 和 σ 2 且 σ 1 是有限的。 Λ 1 = sup { Re λ | λ ∈ σ 1 } ，     Λ 2 = inf { Re λ | λ ∈ σ 2 } ， (3.2) X i = s p a n { w j | j ∈ σ i } ，     i = 1 ， 2 (3.3) 且有 λ 2 − λ 1 > 4 l F 。 (3.4) 这里满足正交分解： X = X 1 ⊕ X 2 ， (3.5) 其中投影是 P 1 : X → X 1 ， P 2 : X → X 2 。 方程(1.1)等价于下列一阶发展方程(研究 时的情况)。 U t + A U = F ( U ) ，     U ∈ X ， (3.6) 其中： U = ( u ， v ) = ( u ， u t ) ， F ( U ) = ( 0 f − ( 1 + | u | 2 ) p − 1 u ) (3.7) 令 ， X = ( H 2 ∩ H 0 1 ) × H 0 1 。 对(3.6)中矩阵型算子的特征值，先定义X中的内积 〈 U ， V 〉 X = ( Δ u ， Δ y ¯ ) + ( − Δ v ， z ¯ ) ， (3.8) U = ( u ， v ) ， V = ( y ， z ) ， y ¯ ，   z ¯ 分别表示 y ，   z 的共轭。 对 U ∈ D ( A ) ，计算得 〈 A U ， V 〉 Z = − ( Δ v ， Δ u ) + ( − Δ ( − ϕ Δ u + α v − β Δ v ) ， v ) = − ( Δ v ， Δ u ) + ( − ϕ Δ u + α v − β Δ v ， − Δ v ) = − ( ϕ − 1 ) ( Δ v ， Δ u ) + α ‖ ∇ v ‖ 2 + β ‖ ∇ v ‖ 2 (3.9) 又由 ϕ ≥ 1 ，所以算子A是单调递增且 〈 A U ， U 〉 Z 是非负实数。 我们给出A的特征方程 A U = λ U ，   U = ( u ， v ) ∈ X 等价于 { − v = λ u ， − ϕ Δ u + α v − β Δ v = λ v ， (3.10) 从而U满足特征值问题： { − ϕ Δ u + β λ Δ u = ( α λ − λ 2 ) u ， u | ∂ Ω = 0 ， (3.11) 由(3.10)知，相应的特征函数 U k ± = ( u k ， v k ) = ( u k ， − λ k ± u k ) ， u k ( x ) = ( 2 π ) 1 2 sin ( j x ) ， (3.12) 对任意的整数 j ≥ 1 ，有 ‖ ∇ u k ‖ = j ， ‖ Δ u k ‖ = j 2 ， ‖ u k ‖ = 1 。 (3.13) 因此将 u k ( x ) = ( 2 π ) 1 2 sin ( j x ) 带入(3.11)中u的位置，两边用 u k ( x ) 取内积，并将(3.13)带入得到特征值 λ k ± = ( α + β j 2 ) ± ( α + β j 2 ) 2 − 4 ϕ j 2 2 。 (3.14) 引理3.2： g = ( 1 + | u | 2 ) p − 1 u 是 的整体有界和整体Lipschitz函数。 证明： ‖ g ( u ) − g ( v ) ‖ H 0 1 = ‖ ( 1 + | u | 2 ) p − 1 u − ( 1 + | v | 2 ) p − 1 v ‖ H 0 1 ≤ C ‖ ( | u | 2 p − 2 + | v | 2 p − 2 ) ( u − v ) ‖ H 0 1 ≤ C ( ‖ u ‖ ∞ 4 p − 6 − ‖ v ‖ ∞ 4 p − 6 ) ( ‖ ∇ u ‖ ∞ 2 + ‖ ∇ v ‖ ∞ 2 ) ‖ ∇ ( u − v ) ‖ ≤ C ‖ Δ ( u − v ) ‖ 定理3.1：设l是g的Lipschitz常数， 且 N ∈ N ∗ 满足 2 β N + 1 ≥ 8 l β − ϕ ， (3.15) 则算子A满足谱间隔条件(3.4)。 证明：由 λ k − = ( α + β j 2 ) − ( α + β j 2 ) 2 − 4 ϕ j 2 2 是减函数。 令N满足(3.15)，可将A的特征值分解为 σ 1 = { λ j − ， λ k ± | max ( λ j − ， λ k ± ) ≤ λ N + } ， σ 2 = { λ j + | λ j − ≤ λ N + < λ j + } ， (3.16) 相应的X可分解为 X 1 = s p a n { v j − ， v k ± | λ j − ， λ k ± ∈ σ 1 } ， X 2 = s p a n { v j + | λ j + ∈ σ 2 } 。 (3.17) 下面将找出正交空间，对 Λ 1 = λ N + 和 Λ 2 = λ N + 1 + ，将证明(3.4)成立。 进一步分解 X 1 = X c ⊕ X k X c = s p a n { v j − | λ j − ≤ λ N + < λ j + } ， X k = s p a n { v k ± | λ k ± ≤ λ N + } 。 (3.18) 由 λ j + λ j − = ϕ j 2 得 〈 U j + ， U j − 〉 X = ‖ Δ u j ‖ 2 + λ j + λ j − ‖ ∇ u j ‖ 2 = ( 1 + ϕ ) j 4 。 (3.19) 所以 X c 与 X 1 不正交， X 2 与 X k 正交。 要证 X 1 与 X 2 正交，则需要重新定义X的内积，并与(3.9)等价。 定义 〈 〈 U ， V 〉 〉 X = α ( ∇ u ， ∇ y ¯ ) + ( β − ϕ ) ( Δ u ， Δ y ¯ ) + ( z ¯ ， − Δ u ) + ( v ¯ ， − Δ y ) + ( ( − Δ ) 1 2 z ， ( − Δ ) 1 2 v ) 。 由 U ∈ Z 得 〈 〈 U ， U 〉 〉 X = α ‖ ∇ u ‖ 2 + ( β − ϕ ) ‖ Δ u ‖ 2 + 2 ( v ， − Δ u ) + ‖ ∇ u ‖ 2 ≥ α ‖ ∇ u ‖ 2 + ( β − ϕ ) ‖ Δ u ‖ 2 − ‖ ∇ u ‖ 2 − | | ∇ v | | 2 + ‖ ∇ u ‖ 2 ≥ ( α − 1 ) ‖ ∇ u ‖ 2 + ( β − ϕ ) ‖ Δ u ‖ 2 。 由 α ≥ 1 ， β > ϕ ，所以 〈 〈 U ， V 〉 〉 X ≥ 0 。 〈 〈 U j + ， U j − 〉 〉 X = α ‖ ∇ u j ‖ 2 + ( β − ϕ ) ‖ Δ u j ‖ 2 − ( λ j + + λ j − ) ‖ ∇ u j ‖ 2 + λ j + λ j − ‖ ∇ u j ‖ 2 = α j 2 + ( β − ϕ ) j 4 − ( α + β j 2 ) j 2 + ϕ j 4 = 0 。 所以在重新定义的内积下， X c 与 X 2 正交，即 X 2 ， X 1 正交。 下面估计 F ( U ) = ( 0 ， g ( u ) ) 的Lipschitz常数 l F 。 ‖ F ( U ) − F ( V ) ‖ X = ‖ g ( u ) − g ( v ) ‖ H 0 1 ≤ l ‖ Δ ( u − v ) ‖ ≤ l β − ϕ ‖ U − V ‖ X 。 因此 l F ≤ l β − ϕ 。 由此只需说明 λ N + 1 + − λ N + ≥ 4 l β − ϕ 成立，则谱间隔条件(3.4)成立。 λ N + 1 + = α + β ( N + 1 ) 2 + ( α + β ( N + 1 ) 2 ) 2 − 4 ϕ ( N + 1 ) 2 2 ， λ N + 1 + = α + β N 2 + ( α + β N 2 ) 2 − 4 ϕ N 2 2 ， 。 由(3.15)得： 。 到此说明谱间隔条件(3.4)成立。 综上我们有惯性流形的存在性定理。 定理3.2：若 α > 1 ， β > ϕ ，其中 ϕ 是一个常数，则方程(1.1)存在惯性流形 μ ，具有形式 μ = g r a p h ( Φ ) = { ξ + ϕ ( ξ ) ; ξ ∈ X } 。 其中 Φ : X 1 → X 2 是Lipschitz连续的，Lipschitz常数为 l F ， g r a p h 表示图。