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user: 4. 同伦分析法求解倒立摆系统 “同伦”作为拓扑学中的一个重要的概念，是于1911年由brouwer首次提出。1992年，廖世俊开创性地利用同伦分析法来处理非线性问题，并创立了“同伦分析方法”，随后几十年中廖继续完善同伦分析法，改进后的同伦分析法也已被验证满足近似方法的评判标准，目前存在的一个公认的评价解析解近似方法优劣的标准如下： 1) 是否能将一个非线性问题转化为诸多线性子问题； 2) 是否能使线性子问题快速地被求解； 3) 是否能让线性子问题的解组成的近似解是逼近原始问题的，即所得解析结果是否足够精确。 在同伦分析法中，我们可以这样表述，设 f ， g : X → Y 都是连续映射， I = [ 0 ， 1 ] ，若存在连续映射 H : X × I → Y ，使得所有的 x ∈ X 时有， H ( x ， 0 ) = f ( x ) ， ，则称H为从f到g的一个同伦，此时 f 0 = f ， f 1 = g 。 基于同伦的基本思想，即数学上的连续变形，我们可以试采用同伦分析法 [ 5 ] 解决强非线性问题。在控制方程(4)中，若用Ω表示最后求解的周期解的频率，令 τ = Ω t ，则有 γ x ¨ + ( δ + ε cos ( τ ) ) ( x − 1 6 x 3 ) = 0 ， (17) 其中“·”表示对 τ 求导， γ = Ω 2 。 由同伦分析方法，构造下述方程组， ( 1 − q ) L [ x ( τ ; q ) − x 0 ( τ ) ] = h q N [ x ( τ ; q ) ] ， (18) 其中嵌入变量 q ∈ [ 0 ， 1 ] ，h为非零辅助参数， x 0 ( τ ) = x ( τ ; 0 ) 是解 的初始猜测解，L是线形辅助算子，N是非线性算子。基于(17)，非线性算子 可以写作 N [ x ( τ ; q ) ] = γ ( q ) ∂ 2 ∂ τ 2 x ( τ ; q ) + ( δ + ε cos ( τ ) ) ( x ( τ ; q ) − 1 6 x ( τ ; q ) 3 ) ， (19) 当q在 [ 0 ， 1 ] 间变化时， γ ( q ) 也被定义为一个同伦。将(19)代入(18)得到 ( 1 − q ) L [ x ( τ ; q ) − x 0 ( τ ) ] = h q [ γ ( q ) ∂ 2 ∂ τ 2 x ( τ ; q ) + ( δ + ε cos ( τ ) ) ( x ( τ ; q ) − 1 6 x ( τ ; q ) 3 ) ] ， (20) 这就是零阶形变方程，其对应的初始条件为 x ( 0 ; q ) = x 0 ( 0 ) = c ， x ˙ ( 0 ; q ) = 0. (21) 将 x ( τ ; q ) 和 γ ( q ) 分别展开成 x ( τ ; q ) = x 0 ( τ ) + ∑ n = 1 + ∞ x n ( τ ) q n ， (22) x n ( τ ) = 1 n ! ∂ n ∂ q n x ( τ ; q ) | q = 0 ， γ ( q ) = γ 0 + ∑ n = 1 + ∞ γ n ( τ ) q n ， (23) γ n = 1 n ! d n d q n γ ( q ) | q = 0 . 先将零阶形变方程式(20)的左右两侧同时对q求m阶导数，然后等式两侧同时除以 m ! ，令 ，则可得到m阶形变方程 L [ 1 m ! ∂ m ∂ q m x ( τ ; q ) ] − L [ 1 ( m − 1 ) ! ∂ m − 1 ∂ q m − 1 x ( τ ; q ) ] = h ( m − 1 ) ! D m − 1 N [ x ( τ ; q ) ] ， (24) 式(24)又可表述成 L [ x m ( τ ) − χ m x m − 1 ( τ ) ] = h R m N [ x m − 1 ， γ m − 1 ] ， (25) 其中 采用同伦分析方法求解问题时，有很大的自由去选择基函数和线形辅助算子，令基函数为如下形式 (26) 按照基函数的形式，初始猜测解可以写作 x 0 ( τ ) = c cos ( τ ) ，考虑到方程(17)的二阶性质，线性辅助算子 L [ x ( τ ; q ) ] 可以表述为 L [ x ( τ ; q ) ] = ∂ 2 ∂ τ 2 x ( τ ; q ) + x ( τ ; q ) ， (27) 具有性质 L [ C 1 sin ( τ ) + C 2 cos ( τ ) ] = 0. 结合式(25)、(27)，得到 (28) 当 m = 1 ， 2 ， ⋯ 时，由(28)计算得到 x 1 ( τ ) = 1 6 h c ( c 2 ε cos ( τ ) 5 + c 2 ( δ − ε ) cos ( τ ) 4 − c 2 δ cos ( τ ) 3 + ( 6 − 3 4 c 2 ) δ cos ( τ ) 2                     + ( 3 4 c 2 δ + 3 τ ε sin ( τ ) − 6 δ ) cos ( τ ) + 3 δ τ sin ( τ ) ) ， x 2 ( τ ) = f 2 ( τ ) ， ⋯ (29) γ 0 = − 1 8 δ ( c 2 − 8 ) ， γ 1 = 1 64 δ 2 ( c 2 − 8 ) ( 9 c 2 − 8 ) h ， γ 2 = ⋯ ， (30) 其中， x 2 ( τ ) 的具体表达式过于冗长，这里直接用 表示。根据式(22)、(23)，令 ，可以得到解析解的形式为 x ( τ ) = x 0 ( τ ) + x 1 ( τ ) + x 2 ( τ ) + ⋯ ， γ = γ 0 + γ 1 + ⋯ . (31) 将上述得到的 、 x 1 ( τ ) 、 x 2 ( τ ) 的表达式和式(30)代入式(31)中，可以得到原始控制方程的解： x ( τ ) = x 0 ( τ ) + x 1 ( τ ) + x 2 ( τ ) + ⋯ = c cos ( τ ) + [ 1 6 h c ( c 2 ε cos ( τ ) 5 + c 2 ( δ − ε ) cos ( τ ) 4 − c 2 δ cos ( τ ) 3 + ( 6 − 3 4 c 2 ) δ cos ( τ ) 2       + ( 3 4 c 2 δ + 3 τ ε sin ( τ ) − 6 δ ) cos ( τ ) + 3 δ τ sin ( τ ) ) ] + f 2 ( τ ) + ⋯ ， γ = γ 0 + γ 1 + ⋯ = − 1 8 δ ( c 2 − 8 ) + 1 64 δ 2 ( c 2 − 8 ) ( 9 c 2 − 8 ) h + ⋯ . (32) 由式(32)可知，解的表达式中包含多个参数，其中h是非零的收敛控制参数，用来控制结果的收敛性，c是初始位移，ε和δ之间没有很明确的联系，下面将通过数值模拟给出参数c和ε对于解的影响。当 δ = − 0.2 ，   h = − 1 / 1000 ，   c = 0.005 时分别选取 ε = 0 .01 ， 0.05 ， 0.08 对(32)中第一式的解析解和对应于(17)的精确解进行数值比较，其结果如图4所示。随着ε的增大，同伦法的精度迅速下降。 当 ε = 0 .01 ，   δ = − 0.2 ，   h = − 1 / 1000 时，选取 进行比较，如图5所示。随着c的增大，拟合效果并没有很明显的变化。 图4. 解析解(32)和数值解的比较，其中 δ = − 0.2 ， h = − 1 / 1000 ， c = 0.005 实线为数值解，点代表解析解 图5. c改变对解析解(32)的影响，其中 ε = 0 .01，   δ = − 0.2 ，   h = − 1 / 1000 ，实线为数值解，点代表解析解