system: [SYSTEM]

user: 2. 构造形式渐近解 考虑到源项 f ( x ) 在 x = c 处间断，把问题(1.1)看成如下左、右问题的耦合。 左问题(L) { − ε 2 y ¯ ″ 1 + a 1 ( x ， y ¯ 1 ， y ¯ 2 ) = f 11 ( x ) ， − ε 2 y ¯ ″ 2 + a 2 ( x ， y ¯ 1 ， y ¯ 2 ) = f 21 ( x ) ，     x ∈ [ 0 ， c ) ， y ¯ 1 ( 0 ) = p 1 ，     y ¯ 2 ( 0 ) = p 2 ， y ¯ 1 ( c ) = γ 1 ( ε ) ，     y ¯ 2 ( c ) = γ 2 ( ε ) . (2.1) 右问题(R) { − ε 2 y ˜ ″ 1 + a 1 ( x ， y ˜ 1 ， y ˜ 2 ) = f 12 ( x ) ， − ε 2 y ˜ ″ 2 + a 2 ( x ， y ˜ 1 ， y ˜ 2 ) = f 22 ( x ) ，     x ∈ ( c ， 1 ] ， y ˜ 1 ( 1 ) = q 1 ，     y ˜ 2 ( 1 ) = q 2 ， y ˜ 1 ( c ) = γ 1 ( ε ) ，     y ˜ 2 ( c ) = γ 2 ( ε ) . (2.2) 其中 γ 1 ( ε ) = γ 10 + ε γ 11 + ⋅ ⋅ ⋅ ， γ 2 ( ε ) = γ 20 + ε γ 21 + ⋅ ⋅ ⋅ 为依赖于 ε 的待定参数。 按照缝接法思想，我们首先构造出左问题(L)和右问题(R)的形式渐近解，然后在间断点 x = c 处对形式解进行光滑地连接，由此确定待定参数 γ 1 ( ε ) 和 γ 2 (ε) 先考虑左问题(L)。由边界函数法 [ 4 ] 可设其形式解为： { y ¯ 1 = u ¯ 1 ( x ) + v ¯ 1 ( τ ) + w ¯ 1 ( η ) ， y ¯ 2 = u ¯ 2 ( x ) + v ¯ 2 ( τ ) + w ¯ 2 ( η ) ， (2.3) 式中 u ¯ j ( x ) = u ¯ j 0 ( x ) + ε u ¯ j 1 ( x ) + ε 2 u ¯ j 2 ( x ) + ⋅ ⋅ ⋅ ， (2.3a) v ¯ j ( τ ) = v ¯ j 0 ( τ ) + ε v ¯ j 1 ( τ ) + ε 2 v ¯ j 2 ( τ ) + ⋅ ⋅ ⋅ ， (2.3b) w ¯ j ( η ) = w ¯ j 0 ( η ) + ε w ¯ j 1 ( η ) + ε 2 w ¯ j 2 ( η ) + ⋅ ⋅ ⋅ ， (2.3c) 其中 x ∈ [ 0 ， c ) ， τ = x ε ， η = x − c ε ， j = 1 ， 2 。 将式(2.3)代入式(2.1)中，再根据不同的尺度分离可得： { − ε 2 u ¯ ″ 1 + a 1 ( x ， u ¯ 1 ， u ¯ 2 ) = f 11 ( x ) ， − ε 2 u ¯ ″ 2 + a 2 ( x ， u ¯ 1 ， u ¯ 2 ) = f 21 ( x ) ， (2.4) { − v ¯ ″ 1 ( τ ) + a 1 ( x ， u ¯ 1 + v ¯ 1 ， u ¯ 2 + v ¯ 2 ) − a 1 ( x ， u ¯ 1 ， u ¯ 2 ) = 0 ， − v ¯ ″ 2 ( τ ) + a 2 ( x ， u ¯ 1 + v ¯ 1 ， u ¯ 2 + v ¯ 2 ) − a 2 ( x ， u ¯ 1 ， u ¯ 2 ) = 0 ， (2.5) { − w ¯ ″ 1 ( η ) + a 1 ( x ， u ¯ 1 + v ¯ 1 + w ¯ 1 ， u ¯ 2 + v ¯ 2 + w ¯ 1 ) − a 1 ( x ， u ¯ 1 + v ¯ 1 ， u ¯ 2 + v ¯ 2 ) = 0 ， − w ¯ ″ 2 ( η ) + a 2 ( x ， u ¯ 1 + v ¯ 1 + w ¯ 1 ， u ¯ 2 + v ¯ 2 + w ¯ 1 ) − a 2 ( x ， u ¯ 1 + v ¯ 1 ， u ¯ 2 + v ¯ 2 ) = 0. (2.6) 对 a 1 ( x ， y 1 ， y 2 ) ， a 2 ( x ， y 1 ， y 2 ) 进行 ε 幂级数展开： { a 1 ( x ， u ¯ 1 ， u ¯ 2 ) = a 1 ( x ， φ 1 ， φ 2 ) + ε ( ∂ a 1 ∂ y ¯ 1 ( x ， φ 1 ， φ 2 ) ⋅ u ¯ 11 ( x ) + ∂ a 1 ∂ y ¯ 2 ( x ， φ 1 ， φ 2 ) ⋅ u ¯ 21 ( x ) + g ¯ 1 ( x ) ) + ⋅ ⋅ ⋅ ， a 2 ( x ， u ¯ 1 ， u ¯ 2 ) = a 2 ( x ， φ 1 ， φ 2 ) + ε ( ∂ a 2 ∂ y ¯ 1 ( x ， φ 1 ， φ 2 ) ⋅ u ¯ 11 ( x ) + ∂ a 2 ∂ y ¯ 2 ( x ， φ 1 ， φ 2 ) ⋅ u ¯ 21 ( x ) + h ¯ 1 ( x ) ) + ⋅ ⋅ ⋅ ， (2.7) 其中， g ¯ 1 ( x ) ， h ¯ 1 ( x ) 为 x ， φ 1 ( x ) ， φ 2 ( x ) 的函数。 将式(2.3a)和(2.7)代入式(2.4)中，得 ε 0 : { a 1 ( x ， φ 1 ， φ 2 ) = f 11 ( x ) ， a 2 ( x ， φ 1 ， φ 2 ) = f 21 ( x ) ， (2.8) ε i : { u ¯ ″ 1 i = ∂ a 1 ∂ y ¯ 1 ( x ， φ 1 ， φ 2 ) ⋅ u ¯ 1 ( i + 2 ) ( x ) + ∂ a 1 ∂ y ¯ 2 ( x ， φ 1 ， φ 2 ) ⋅ u ¯ 2 ( i + 2 ) ( x ) + g ¯ i + 2 ( x ) ， u ¯ ″ 2 i = ∂ a 2 ∂ y ¯ 1 ( x ， φ 1 ， φ 2 ) ⋅ u ¯ 1 ( i + 2 ) ( x ) + ∂ a 2 ∂ y ¯ 2 ( x ， φ 1 ， φ 2 ) ⋅ u ¯ 2 ( i + 2 ) ( x ) + h ¯ i + 2 ( x ) ， (2.9) 其中 g ¯ i + 2 ( x ) ， h ¯ i + 2 ( x ) 为 x ， φ 1 ( x ) ， ⋅ ⋅ ⋅ ， u ¯ 1 ( i + 1 ) ( x ) ， φ 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， u ¯ 2 ( i + 1 ) ( x ) 的函数，由假设(H 1 )和(H 2 )可知(2.8)式有唯一解，又由假设(H 3 )知，从式(2.9)可依次求出 u 1 i ( x ) 和 u 2 i ( x ) 。 将(2.3b)代入(2.5)中，得 ε 0 : { v ¯ ″ 10 = a 1 ( 0 ， φ 1 ( 0 ) + v ¯ 10 ， φ 2 ( 0 ) + v ¯ 20 ) − a 1 ( 0 ， φ 1 ( 0 ) ， φ 2 ( 0 ) ) ， v ¯ ″ 20 = a 2 ( 0 ， φ 1 ( 0 ) + v ¯ 10 ， φ 2 ( 0 ) + v ¯ 20 ) − a 2 ( 0 ， φ 1 ( 0 ) ， φ 2 ( 0 ) ) ， v ¯ 10 ( 0 ) = p 1 − φ 1 ( 0 ) ， v ¯ 20 ( 0 ) = p 2 − φ 2 ( 0 ) ， (2.10) ε i : { v ¯ ″ 1 i = ∂ a 1 ∂ y ¯ 1 ( 0 ， φ 1 ( 0 ) + v ¯ 10 ， φ 2 ( 0 ) + v ¯ 20 ) ⋅ v ¯ 1 i ( τ ) + ∂ a 1 ∂ y ¯ 2 ( 0 ， φ 1 ( 0 ) + v ¯ 10 ， φ 2 ( 0 ) + v ¯ 20 ) ⋅ v ¯ 2 i ( τ ) + F ¯ i ( τ ) ， v ¯ ″ 2 i = ∂ a 2 ∂ y ¯ 1 ( 0 ， φ 1 ( 0 ) + v ¯ 10 ， φ 2 ( 0 ) + v ¯ 20 ) ⋅ v ¯ 1 i ( τ ) + ∂ a 2 ∂ y ¯ 2 ( 0 ， φ 1 ( 0 ) + v ¯ 10 ， φ 2 ( 0 ) + v ¯ 20 ) ⋅ v ¯ 2 i ( τ ) + G ¯ i ( τ ) ， (2.11) 其中， F ¯ i ( τ ) ， G ¯ i ( τ ) 为 τ ， v ¯ 10 ( τ ) ， ⋅ ⋅ ⋅ ， v ¯ 1 ( i − 1 ) ( τ ) ， v ¯ 20 ( τ ) ， ⋅ ⋅ ⋅ ， v ¯ 2 ( i − 1 ) ( τ ) 的函数。 由边界层函数的性质可知： lim τ → + ∞ v ¯ 10 ( τ ) = lim τ → + ∞ v ¯ ′ 10 ( τ ) = lim τ → + ∞ v ¯ 20 ( τ ) = lim τ → + ∞ v ¯ ′ 20 ( τ ) = 0 。 利用文 [ 4 ] 中引理3.5.6，由假设(H 3 )和(H 4 )可知，存在 δ 1 ， δ 2 > 0 使得 v ¯ 10 ( τ ) = O ( e − δ 1 τ ) ，     v ¯ 20 ( τ ) = O ( e − δ 2 τ ) . 同理，由式(2.11)知：存在 k ¯ 1 i ， k ¯ 2 i > 0 ，且 δ 1 > k ¯ 1 i ， δ 2 > k ¯ 2 i ，使得 v ¯ 1 i ( τ ) = O ( e − ( δ 1 − k ¯ 1 i ) τ ) ，     v ¯ 2 i ( τ ) = O ( e − ( δ 2 − k ¯ 2 i ) τ ) . 将(2.3c)代入(2.6)中，可得 ε 0 : { w ¯ ″ 10 = a 1 ( c ， φ 1 ( c ) + w ¯ 10 ， φ 2 ( c ) + w ¯ 20 ) − a 1 ( c ， φ 1 ( c ) ， φ 2 ( c ) ) ， w ¯ ″ 20 = a 2 ( c ， φ 1 ( c ) + w ¯ 10 ， φ 2 ( c ) + w ¯ 20 ) − a 2 ( c ， φ 1 ( c ) ， φ 2 ( c ) ) ， w ¯ 10 ( 0 ) = γ 10 − φ 1 ( c ) ， w ¯ 20 ( 0 ) = γ 20 − φ 2 ( c ) ， (2.12) ε i : { w ¯ ″ 1 i = ∂ a 1 ∂ y ¯ 1 ( c ， φ 1 ( c ) + w ¯ 10 ， φ 2 ( c ) + w ¯ 20 ) ⋅ w ¯ 1 i ( η ) + ∂ a 1 ∂ y ¯ 2 ( c ， φ 1 ( c ) + w ¯ 10 ， φ 2 ( c ) + w ¯ 20 ) ⋅ w ¯ 2 i ( η ) + H ¯ i ( η ) ， w ¯ ″ 2 i = ∂ a 2 ∂ y ¯ 1 ( c ， φ 1 ( c ) + w ¯ 10 ， φ 2 ( c ) + w ¯ 20 ) ⋅ w ¯ 1 i ( η ) + ∂ a 2 ∂ y ¯ 2 ( c ， φ 1 ( c ) + w ¯ 10 ， φ 2 ( c ) + w ¯ 20 ) ⋅ w ¯ 2 i ( η ) + W ¯ i ( η ) ， 其中， H ¯ i ( η ) ， W ¯ i ( η ) 为 η ， w ¯ 10 ( η ) ， ⋅ ⋅ ⋅ ， w ¯ 1 ( i − 1 ) ( η ) ， w ¯ 20 ( η ) ， ⋅ ⋅ ⋅ ， w ¯ 2 ( i − 1 ) ( η ) 的函数。 由边界层的性质可知： lim η → − ∞ w ¯ 10 ( η ) = lim η → ∞ w ¯ ′ 10 ( η ) = lim η → ∞ w ¯ 20 ( η ) = lim η → ∞ w ¯ ′ 20 ( η ) = 0 。 利用文 [ 4 ] 中引理3.5.6，由假设(H 3 )和(H 4 )可知： w ¯ 10 ( η ) = O ( e δ 1 η ) ，     w ¯ 20 ( η ) = O ( e δ 2 η ) ， w ¯ 1 i ( η ) = O ( e ( δ 1 − l ¯ 1 i ) η ) ，     w ¯ 2 i ( η ) = O ( e ( δ 2 − l ¯ 2 i ) η ) ， 其中 0 < l ¯ 1 i < δ 1 ， 0 < l ¯ 2 i < δ 2 。 类似地，可求出右问题的形式渐近解 { y ˜ 1 = u ˜ 1 ( x ) + v ˜ 1 ( η ) + w ˜ 1 ( ξ ) ， y ˜ 2 = u ˜ 2 ( x ) + v ˜ 2 ( η ) + w ˜ 2 ( ξ ) ， (2.13) 其中 x ∈ ( c ， 1 ] ， v ˜ j ( η ) ， w ˜ j ( ξ ) ， ξ = x − 1 ε ， j = 1 ， 2 分别是左、右边界层校正项，且满足 v ˜ 10 ( η ) = O ( e − δ 1 η ) ，     v ˜ 20 ( η ) = O ( e − δ 2 η ) ， w ˜ 10 ( ξ ) = O ( e δ 1 ξ ) ，     w ˜ 20 ( ξ ) = O ( e δ 2 ξ ) ， v ˜ 1 i ( η ) = O ( e − ( δ 1 − k ˜ 1 i ) η ) ，     v ˜ 2 i ( η ) = O ( e − ( δ 2 − k ˜ 2 i ) η ) ， w ˜ 1 i ( ξ ) = O ( e ( δ 1 − l ˜ 1 i ) ξ ) ，     w ˜ 2 i ( ξ ) = O ( e ( δ 2 − l ˜ 2 i ) ξ ) ， 其中， 0 < k ˜ 1 i < δ 1 ， 0 < k ˜ 2 i < δ 2 ， 0 < l ˜ 1 i < δ 1 ， 0 < l ˜ 2 i < δ 2 。 为左、右问题的解在 x = c 处光滑连接，须有 { y ¯ ′ 1 ( c ) = y ˜ ′ 1 ( c ) ， y ¯ ′ 2 ( c ) = y ˜ ′ 2 ( c ) . (2.14) 将式(2.3)，(2.13)代入(2.14)，考虑到 v ¯ 1 ( τ ) ， w ˜ 1 ( η ) ， v ¯ ′ 2 ( τ ) ， w ˜ ′ 2 ( η ) 在 x = c 处的指数衰减性，从而有 { d w ¯ 10 d η | η = 0 = d v ˜ 10 d η | η = 0 ， d w ¯ 20 d η | η = 0 = d v ˜ 20 d η | η = 0 . (2.15) 令 d w ¯ 10 d η = V ，对(2.12)变形为： 2 V d V d η = 2 [ a 1 ( ⋅ ) − f 11 ( c ) ] ⋅ V . 两边对 η 在 ( − ∞ ， 0 ) 上积分得： ∫ − ∞ 0 2 V d V d η d η = ∫ − ∞ 0 2 a 1 ( ⋅ ) d w ¯ 10 d η d η − ∫ − ∞ 0 2 f 11 ( c ) d w ¯ 10 d η d η ， V 2 ( 0 ) = 2 a 1 ( ⋅ ) ⋅ w ¯ 10 ( 0 ) − 2 f 11 ( c ) ⋅ w ¯ 10 ( 0 )     − 2 ∫ − ∞ 0 [ ∂ a 1 ∂ y ¯ 1 ( ⋅ ) ⋅ d w ¯ 10 ( η ) d η + ∂ a 1 ∂ y ¯ 2 ( ⋅ ) ⋅ d w ¯ 20 ( η ) d η ] ⋅ w ¯ 10 ( η ) ⋅ d η . 即 ( d w ¯ 10 ( η ) d η ) 2 | η = 0 = 2 a 1 ( ⋅ ) ⋅ w ¯ 10 ( 0 ) − 2 f 11 ( c ) ⋅ w ¯ 10 ( 0 )     − 2 ∫ − ∞ 0 [ ∂ a 1 ∂ y ¯ 1 ( ⋅ ) ⋅ d w ¯ 10 ( η ) d η + ∂ a 1 ∂ y ¯ 2 ( ⋅ ) ⋅ d w ¯ 20 ( η ) d η ] ⋅ w ¯ 10 ( η ) ⋅ d η . 类似地，有 ( d v ˜ 10 d η ) 2 | η = 0 = 2 a 1 ( ∗ ) ⋅ v ˜ 10 ( 0 ) − 2 f 12 ( c ) ⋅ v ˜ 10 ( 0 )     + 2 ∫ 0 + ∞ [ ∂ a 1 ∂ y ˜ 1 ( ∗ ) ⋅ d v ˜ 10 ( η ) d η + ∂ a 1 ∂ y ˜ 2 ( ∗ ) ⋅ d v ˜ 20 ( η ) d η ] ⋅ v ˜ 10 ( η ) ⋅ d η . 由连接条件(2.15)知， 2 a 1 ( ⋅ ) ⋅ w ¯ 10 ( 0 ) − 2 f 11 ( c ) ⋅ w ¯ 10 ( 0 ) − 2 ∫ − ∞ 0 [ ∂ a 1 ∂ y ¯ 1 ( ⋅ ) ⋅ d w ¯ 10 ( η ) d η + ∂ a 1 ∂ y ¯ 2 ( ⋅ ) ⋅ d w ¯ 20 ( η ) d η ] ⋅ w ¯ 10 ( η ) ⋅ d η = 2 a 1 ( ∗ ) ⋅ v ˜ 10 ( 0 ) − 2 f 12 ( c ) ⋅ v ˜ 10 ( 0 ) + 2 ∫ 0 + ∞ [ ∂ a 1 ∂ y ˜ 1 ( ∗ ) ⋅ d v ˜ 10 ( η ) d η + ∂ a 1 ∂ y ˜ 2 ( ∗ ) ⋅ d v ˜ 20 ( η ) d η ] ⋅ v ˜ 10 ( η ) ⋅ d η . 即 a 1 ( c ， γ 10 ， γ 20 ) ⋅ ( γ 10 − φ 1 ( c ) ) − f 11 ( c ) ⋅ ( γ 10 − φ 1 ( c ) )   + a 1 ( c ， γ 10 ， γ 20 ) ⋅ ( ψ 1 ( c ) − γ 10 ) + f 12 ( c ) ⋅ ( ψ 1 ( c ) − γ 10 ) = ∫ 0 + ∞ [ ∂ a 1 ∂ y ˜ 1 ( ∗ ) ⋅ d v ˜ 10 ( η ) d η + ∂ a 1 ∂ y ˜ 2 ( ∗ ) ⋅ d v ˜ 20 ( η ) d η ] ⋅ v ˜ 10 ( η ) ⋅ d η       + ∫ − ∞ 0 [ ∂ a 1 ∂ y ¯ 1 ( ⋅ ) ⋅ d w ¯ 10 ( η ) d η + ∂ a 1 ∂ y ¯ 2 ( ⋅ ) ⋅ d w ¯ 20 ( η ) d η ] ⋅ w ¯ 10 ( η ) ⋅ d η = P 1 ( γ 10 ， γ 20 ) . 考虑第二个分量，类似可得 a 2 ( c ， γ 10 ， γ 20 ) ⋅ ( γ 20 − φ 2 ( c ) ) − f 21 ( c ) ⋅ ( γ 20 − φ 2 ( c ) )   + a 2 ( c ， γ 10 ， γ 20 ) ⋅ ( ψ 2 ( c ) − γ 20 ) + f 22 ( c ) ⋅ ( ψ 2 ( c ) − γ 20 ) = ∫ 0 + ∞ [ ∂ a 2 ∂ y ˜ 1 ( ∗ ) ⋅ d v ˜ 10 ( η ) d η + ∂ a 2 ∂ y ˜ 2 ( ∗ ) ⋅ d v ˜ 20 ( η ) d η ] ⋅ v ˜ 20 ( η ) ⋅ d η       + ∫ − ∞ 0 [ ∂ a 2 ∂ y ¯ 1 ( ⋅ ) ⋅ d w ¯ 10 ( η ) d η + ∂ a 2 ∂ y ¯ 2 ( ⋅ ) ⋅ d w ¯ 20 ( η ) d η ] ⋅ w ¯ 20 ( η ) ⋅ d η = P 2 ( γ 10 ， γ 20 ) . 其中，以上诸式中 ( ⋅ ) = ( c ， φ 1 ( c ) + w ¯ 10 ( 0 ) ， φ 2 ( c ) + w ¯ 20 ( 0 ) ) ， ( ∗ ) = ( c ， ψ 1 ( c ) + v ˜ 10 ( 0 ) ， ψ 2 ( c ) + v ˜ 20 (0)) (H 5 )假设方程关于 γ 10 ， γ 20 的方程组 { ( a 1 ( c ， γ 10 ， γ 20 ) − f 11 ( c ) ) ⋅ ( γ 10 − φ 1 ( c ) ) + ( a 1 ( c ， γ 10 ， γ 20 ) + f 12 ( c ) ) ⋅ ( ψ 1 ( c ) − γ 10 ) = P 1 ( γ 10 ， γ 20 ) ( a 2 ( c ， γ 10 ， γ 20 ) − f 21 ( c ) ) ⋅ ( γ 20 − φ 2 ( c ) ) + ( a 2 ( c ， γ 10 ， γ 20 ) + f 22 ( c ) ) ⋅ ( ψ 1 ( c ) − γ 20 ) = P 2 ( γ 10 ， γ 20 ) 有唯一解 γ 10 ， γ 20 。 至此，我们构造出原问题(1.1)的形式渐近解 y ^ i ( x ) = { y ¯ i ( x ) ，     x ∈ [ 0 ， c ) ， γ 10 ，             x = c ， y ˜ i ( x ) ，     x ∈ ( c ， 1 ] ，     i = 1 ， 2. (2.16)