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user: 3. 边界层校正项 [H4] 假设 u o > ϕ ( 0 ) . (10) 引入多重尺度变量，首先在x=0处附近构造边界层校正项，设为 V ( τ ， ε ) = ∑ i = 0 ∞ ε i 4 V i ( τ ， ε ) τ = x ε . (11) 则边值问题(1)~(3)的合成渐近解为 u ( x ， ε ) = U ( x ， ε ) + V ( τ ， ε ) . (12) 令 V ( τ ， ε ) 满足 ( U ( ε τ ， ε ) + V ( τ ， ε ) ， ε τ ， ε ) − f ( U ( ε τ ， ε ) ， ε τ ， ε ) =   : V f . (13) 将(11)代入(3)，(13) d 2 d τ 2 ( V 0 + ε 1 4 V 1 + ⋯ ) = ( h ( 0 ) + ε τ h ′ ( 0 ) + ⋯ ) ( V 0 + ε 1 4 V 1 + ⋯ ) 2                       + 2 ε 1 2 ( U 1 ( 0 ) + ε τ U ′ 1 ( 0 ) + ⋯ + ε U 2 ( 0 ) + ⋯ ) ( V 0 + ε 1 4 V 1 + ⋯ ) − ε ​   ​ ​ V f 1 . (14) 由(2)，(6)，(11)，(12)得 u ( 0 ， ε ) = U 0 ( 0 ) + ε 1 2 U 1 ( 0 ) + ε U 2 ( 0 ) + ⋯ + V 0 ( 0 ) + ε 1 4 V 1 ( 0 ) + ε 1 2 V 2 ( 0 ) + ⋯ = u 0 . (15) 比较 ε 的同次幂，得如下形式的 V i ( 0 ， ε ) V 0 ( 0 ) = u 0 − φ ( 0 ) =   : p ， V i ( 0 ， τ ) = { − U i / 2 ( 0 ) i 为 偶 数 0 i 为 奇 数 ，     i = 2 ， 3 ， ⋯ (16) 考虑到 V i ( τ ) 为边界层函数，所以要求 V i ( ∞ ， ε ) = 0. (17) 比较(14)式两边 ε 的同次幂系数： ε 0 :   d 2 V 0 d τ 2 = V 0 2 .   V 0 ( 0 ) = p ，     V 0 ( ∞ ) = 0. (18) 解得 V 0 ( τ ) = p ( p / 6 τ + 1 ) 2 . (19) 对于任意的 τ > 0 ， 当 τ → ∞ 时，首次形式近似 V 0 具有幂率衰减的性态 V 0 ( τ ) = O ( 1 ( 1 + τ ) 2 ) . 为了得到边界层函数的正确刻画，我们将对上述满足 V 0 ( τ ) 的方程进行修正。在(18)式的右端添加一个含未知元 V 0 的小量修正项，得 d 2 V 0 d τ 2 = V 0 2 ( τ ) + 2 ε U 1 ( 0 ) V 0 .   V 0 ( 0 ) = p ，     V 0 ( ∞ ) = 0. (20) 将问题(20)化为一阶方程 d V 0 d τ = − ( 2 3 V 0 + 2 ε U 1 ( 0 ) ) 1 2 V 0 . (21) 由分离变量法，可以求得 V 0 ( τ ) = 12 ε U 1 ( 0 ) c 0 exp ( − ε 1 4 k 0 τ ) [ 1 − c 0 exp ( − ε 1 4 k 0 τ ) ] 2 . (22) 其中 c 0 = p / 3 + ε U 1 ( 0 ) − ε U 1 ( 0 ) p / 3 + ε U 1 ( 0 ) + ε U 1 ( 0 ) ，   k 0 = 2 U 1 ( 0 ) . (22’) 当 u 0 > φ ( 0 ) 时， 0 < c 0 < 1 ， V 0 ( τ ) > 0   。此时 | V 0 ( τ ) | ≤ c   exp ( − ε 1 4 k 0 τ ) . (23) 为了后面的估计，定义 V κ ( τ ) = c exp ( − ε 1 4 κ τ ) ，   0 ≤ κ < k 0 . 由于 零次近似 V 0 ( τ ) 满足估计 | V 0 ( τ ) | ≤ c V κ . 继续要求 V 1 ( τ ) 满足： ε 1 4 :   d 2 V 1 d τ 2 = 2 ( V 0 + ε U 1 ( 0 ) ) V 1 .   V 1 ( 0 ) = 0 ，   V 1 ( ∞ ) = 0. (24) 解得： V 1 ( τ ) = 0. (25) 类似地，我们得出 V 2 的方程： d 2 V 2 d τ 2 = 2 ( V 0 + ε U 1 ( 0 ) ) V 2 + ν 2 ( τ ， ε ) .     V 2 ( 0 ， τ ) = − U 1 ( 0 ) ，   V 2 ( ∞ ) = 0. (26) 其中 ν 2 ( τ ) = ε [ 2 U 2 ( 0 ) V 0 ( τ ) − f 1 U ¯ ( 0 ) V 0 ( τ ) ] ≤ c [ V κ 2 ( τ ) + ε V κ ( τ ) ] . 问题(26)是一个非齐次二阶微分方程，求出其显示解为 V 2 ( τ ) = ϕ ( τ ) ϕ − 1 ( 0 ) V 2 ( 0 ) + ϕ ( τ ) ∫ 0 τ ϕ − 2 ( σ ) d σ ∫ ∞ σ ϕ ( s ) ν 2 ( s ， ε ) d s . 这里 ϕ ( τ ) = d V 0 d τ = − ( 2 3 V 0 + 2 ε U 1 ( 0 ) ) 1 2 V 0 ， (27) 且 ϕ ( τ ， ε ) 满足估计 | ϕ ( τ ， ε ) | ≤ c [ V 0 ( τ ， ε ) + ε ] 1 2 V 0 ( τ ， ε ) . (28) | V 2 ( τ ) | = | ϕ ( τ ) ϕ − 1 ( 0 ) V 2 ( 0 ) | + | ϕ ( τ ) ∫ 0 τ ϕ − 2 ( σ ) d σ ∫ ∞ σ ϕ ( s ) ν 2 ( s ) d s |       ≤ c V κ ( τ ) + c [ V 0 ( τ ) + ε ] 1 2 V 0 ( τ ) ∫ 0 τ [ V 0 3 ( σ ) + ε V 0 2 ( σ ) ] − 1 d σ × ∫ ∞ σ d V 0 d τ | ν 2 ( s ) | d s       ≤ c V κ ( τ ) + [ V 0 ( τ ) + ε ] 1 2 V 0 ( τ ) ∫ 0 τ [ V 0 3 ( σ ) + ε V 0 2 ( σ ) ] − 1 × V 0 ( σ ) [ V κ 2 ( σ ) + ε V κ ( σ ) ] d σ       ≤ c V κ + c [ V 0 ( τ ) + ε 1 4 ]   V 0 ( τ ) ∫ 0 τ V κ ( σ ) + ε V 0 ( σ ) + ε ⋅ V κ V 0 d σ       ≤ c V κ + | c [ V 0 ( τ ) + ε 1 4 ] τ V κ | ≤ c V κ 类似地，我们还可以得出其余边界层项的估计 | V i ( τ ) | ≤ c   V κ ，   i = 3 ， 4 ， ⋯ (29) 将(11)代入方程(1)中得出估计 d 2 V ( n ) d τ 2 − V ( n ) f = O ( ε ( n + 1 ) / 4 ) V κ ，   τ > 0. (30) 其中 接下来在x = A处附近构造边界层校正项，设为 P ( ξ ， ε ) = ε 3 4 ∑ i = 0 ∞ ε i 4 P i ( ξ ， ε ) ，   ξ = A − x ε 3 / 4 . (31) 则 P ( ξ ， ε ) 满足 ε d 2 P d ξ 2 = f ( U ( A − ε 3 / 4 ξ ， ε ) + P ( A − ε 3 / 4 ξ ， ε ) ， A − ε 3 / 4 ξ ， ε ) − f ( U ( A − ε 3 / 4 ξ ， ε ) ， A − ε 3 / 4 ξ ， ε ) = : P ​ f . (32) 对于 i > 0 ，关于 P i ( ξ ) 的方程及定解条件为： d 2 P i d ξ 2 = 2 h ( A ) U 1 ( A ) P i + ρ i . (33) d P i d ξ ( 0 ， ξ ) = { d U i / 2 d x ( A ， ξ ) i 为 偶 数 0 i 为 奇 数 ， ​   i = 1 ， 2 ， ⋯ (34) P i ( ∞ ) = 0. (35) 其中 是关于 P j ( j < i ) 的递归表达式。 特别地 ε 5 4 :   d 2 P 0 d ξ 2 = 2 h ( A ) U 1 ( A ) P 0 . (36) 解得： P 0 ( ξ ) = − d φ d x ( A ， ξ ) [ 2 h ( A ) U 1 ( A ) ] − 1 2 exp ( − ( 2 h ( A ) U 1 ( A ) ) 1 2 ξ ) . (37) 则 P 0 ( ξ ) 有如下指数估计 | P 0 ( ξ ) | ≤ c 0 exp ( − κ 0 ξ ) . 同问题(30)，我们可逐次求出 P i (ξ) P i ( ξ ) = d P i ( 0 ) d ξ ψ ( ξ ) d ψ − 1 ( 0 ) d ξ + ψ − 1 ( 0 ) ∫ 0 ∞ ψ ( s ) ρ i ( s ， ε ) d s + ψ ( ξ ) ∫ 0 ξ ψ − 2 ( σ ) d σ ∫ ∞ σ ψ ( s ) ρ i ( s ， ε ) d s 这里 ψ ( ξ ) = d P 0 d ξ 不难看出，所有的 P i ( ξ ) 都有指数估计 | P i ( ξ ) | ≤ c   exp ( − κ ξ ) . 将(31)代入方程(1)中，得出估计 ε d 2 P ( n ) d ξ 2 − P ( n ) f = O ( ε 3 / 4 + ( n + 1 ) / 4 ) exp ( − κ ξ ) ，   ξ > 0 (38) 其中 P ( n ) ≡ ε 3 4 ∑ i = 0 n ε i 4 P i .