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user: 2. 主要结果 在文献 [ 1 ] 中，郭铁信教授与笔者建立了 d ε ， λ -完备RM-空间上的Ekeland变分原理的精确形式及一般形式，即如下引理1和引理2。 引理1 [ 1 ] ( d ε ， λ -完备RM-空间上Ekeland变分原理的精确形式) 设 ( E ， d ) 为以 ( Ω ， F ， P ) 为基的 d ε ， λ -完备RM-空间，函数 ϕ : E → L ¯ 0 ( F ) 为真的、 T ε ， λ -下半连续的且有下界的函数。那么对于任意的 x 0 ∈ d o m ( ϕ ) ，存在 v ∈ d o m ( ϕ ) 满足如下条件： 1) ϕ ( v ) ≤ ϕ ( x 0 ) − d ( x 0 ， v ) ； 2) 对于任意的 x ∈ E 且 x ≠ v ，有 ϕ ( x ) ≤ ϕ ( v ) − d ( x ， v ) 成立，即存在 A x ∈ F 且 P ( A x ) > 0 使得在 A x 上 ϕ ( x ) > ϕ ( v ) − d ( x ， v ) 成立。 引理2 [ 1 ] ( d ε ， λ -完备RM-空间上Ekeland变分原理的一般形式) 设 ( E ， d ) 为以 ( Ω ， F ， P ) 为基的 d ε ， λ -完备RM-空间，函数 ϕ : E → L ¯ 0 ( F ) 为真的、 T ε ， λ -下半连续的且有下界的函数。则存在 v ∈ E 使得 ϕ ( x ) ≤ ϕ ( v ) − d ( x ， v ) ， ∀ x ≠ v 。 其实， d ε ， λ -完备RM-空间上的Ekeland变分原理的这两种形式是等价的，证明如下。 定理1 引理1 引理2。 证明 显然由引理1 可得引理2；若将引理2中E的闭子集 M : = { x ∈ E : ϕ ( x ) ≤ ϕ ( x 0 ) − d ( x 0 ， x ) } 来代替E，将 ϕ | M 代替 ϕ ，则得到引理1。故引理1等价于引理2。 下面的引理3为郭铁信教授与笔者建立的 d ε ， λ -完备RM-空间上的Caristi不动点定理。 引理3 [ 1 ] ( d ε ， λ -完备RM-空间上的Caristi不动点定理) 设 ( E ， d ) 为以 为基的 d ε ， λ -完备RM-空间，函数 ϕ : E → L ¯ 0 ( F ) 为真的、 T ε ， λ -下半连续的且有下界的函数。映射 T : E → E 满足 则T有不动点。 下面我们证明 d ε ， λ -完备RM-空间上的Ekeland变分原理与Caristi不动点定理即引理2与引理3是等价的。 定理2 引理2 引理3。 证明 1) 必要性：由引理2知，存在 v ∈ E ，对于任意的 x ∈ E 且 x ≠ v ，有 ϕ ( x ) ≤ ϕ ( v ) − d ( x ， v ) 成立，即存在 A x ∈ F 且 P ( A x ) > 0 使得在 A x 上 ϕ ( x ) > ϕ ( v ) − d ( x ， v ) 成立。我们可以推断 T v = v 。否则，若 T v ≠ v ，则存在 A T v ∈ F 且 P ( A T v ) > 0 使得在 A T v 上 ϕ ( T v ) > ϕ ( v ) − d ( T v ， v ) 成立。这与 ϕ ( T u ) + d ( T u ， u ) ≤ ϕ ( u ) ， ∀ u ∈ E 产生矛盾。故 T v = v ，即T有不动点。 2) 充分性：反证法。若引理2不成立，则对于任意的 v ∈ E ，存在 x v ∈ E 使得 x v ≠ v 且 ϕ ( x v ) > ϕ ( v ) − d ( x v ， v ) 成立。定义函数 T : E → E 为 T v = x v 。则 T v ≠ v ， ∀ v ∈ E 且 ϕ ( T v ) ≤ ϕ ( v ) − d ( T v ， v ) 成立。由 T v ≠ v ， ∀ v ∈ E 知，T无不动点。而由 ϕ ( T v ) ≤ ϕ ( v ) − d ( T v ， v ) 成立及引理3知T有不动点。产生矛盾，故引理2成立。 由此，我们可知以上三个引理都是等价的，即 推论1 引理1 ⇔ 引理2 ⇔ 引理3。 郭铁信教授在长文 [ 5 ] 中系统地建立了上述提到的两种拓扑即 ( ε ， λ ) -拓扑及局部 L 0 -凸拓扑下导出的某些基本定理之间的内在关系，即两种拓扑下RN-模的完备性、闭集以及下半连续性之间的关系。又由于随机赋范模是特殊的随机度量空间，局部 L 0 -凸拓扑下完备随机赋范模上的Ekeland变分原理与Caristi不动点定理也是等价的。 由 d ε ， λ -完备RM-空间上的Caristi不动点定理，可得如下 T ε ， λ -完备RN-模上的方向压缩不动点定理。 推论2 ( T ε ， λ -完备RN-模上的强压缩不动点定理) 设 ( E ， ‖ ⋅ ‖ ) 为数域R上以 ( Ω ， F ， P ) 为基的 T ε ， λ -完备RN-模。 k ∈ L + + 0 且在 Ω 上 0 < k < 1 。 T : E → E 为 T ε ， λ -连续函数且具有局部性质。若对于任意的 v ∈ E ，存在 x 0 ∈ E 使得 x 0 ≠ v 且 1) ‖ v − x 0 ‖ + ‖ T v − x 0 ‖ = ‖ v − T v ‖ ； 2) ‖ T v − x 0 ‖ ≤ ‖ v − x 0 ‖ 。 则T有不动点。 证明 定义函数 f : E → E 如下：若 T v ≠ v ，则 f ( v ) = x 0 ;若 T v = v ，则 f ( v ) = v 。显然，函数T有不动点等价于f有不动点。 另定义函数 ϕ : E → L 0 ( F ) 为 ϕ ( v ) = ‖ v − T v ‖ 1 − k ， ∀ v ∈ E 。因为T为 T ε ， λ -连续函数，故 ϕ 为 -连续函数。从而 ϕ 为 T ε ， λ -下半连续函数。 由T具有局部性质，故 I ¯ A ⋅ ϕ ( I ¯ A ⋅ v ) = I ¯ A ⋅ ‖ I ¯ A ⋅ v − T ( I ¯ A ⋅ v ) ‖ 1 − k = ‖ I ¯ A ⋅ v − T v ‖ 1 − k = I ¯ A ⋅ ϕ ( v ) ， ∀ A ∈ F 从而 ϕ 具有局部性质。显然，0是函数 ϕ 的下界。 为了证明f有不动点，由引理3知，我们只需要证明 ‖ v − f ( v ) ‖ ≤ ϕ ( v ) − ϕ ( f ( v ) ) 成立即可。 若 ，则显然 ‖ v − f ( v ) ‖ ≤ ϕ ( v ) − ϕ ( f ( v ) ) 成立。 若 v ≠ f ( v ) ，则 f ( v ) = x 0 。由(1) (2)知， 故 ‖ v − f ( v ) ‖ ≤ ϕ ( v ) − ϕ ( f ( v ) ) 成立。 再由两种拓扑下随机赋范模的完备性以及下半连续函数的关系 [ 5 ]，可得T C -完备的RN-模上的方向压缩不动点定理如下： 推论3 (T C -完备RN-模上的方向压缩不动点定理) 设 ( E ， ‖ ⋅ ‖ ) 为数域R上以 ( Ω ， F ， P ) 为基的T C -完备RN-模且具有可数连结性质。 k ∈ L + + 0 且在 Ω 上 0 < k < 1 。 T : E → E 为T C -连续函数且具有局部性质。若对于任意的 v ∈ E ，存在 x 0 ∈ E 使得 x 0 ≠ v 且 1) ‖ v − x 0 ‖ + ‖ T v − x 0 ‖ = ‖ v − T v ‖ ； 2) ‖ T v − x 0 ‖ ≤ ‖ v − x 0 ‖ 。 则T有不动点。