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user: 2. 定理的证明 定义2.1 [ 1 ] ：设 σ ∈ A u t ( G ) ， p ∈ π ( G ) 。如果存在 P ∈ S y l p ( G ) ，使得 σ | P = i d | P ，则称 σ 为 G 上的 p -中心自同构。 引理2.1 [ 1 ] ：设 G 为单群，则存在一个素数 q ∈ π ( G ) ，使得 G 的 q -中心自同构为内自同构。 引理2.2 [ 1 ] ：设 G 为几乎单群，则存在一个素数 q ∈ π ( G ) ，使得 G 的 q -中心自同构为内自同构。 引理2.3 [ 4 ] ：设 G 为有限群， p ∈ π ( G ) ， σ 是 G 上的一个 p -方幂阶自同构。如果存在 N ⊲ _ G ，使得 σ | N = i d | N ， σ | G / N = i d | G / N ，并且存在 G 的一个 S y l o w p -子群 P ，满足 σ | P = i d | P ，则 σ ∈ I n n ( G ) 。 引理2.4 [ 2 ] ：设 N 为有限群 G 的正规子群。如果 σ ∈ A u t C o l ( G ) ，则 σ | N ∈ A u t ( N ) 。 引理2.5 [ 9 ] ：设 H ≤ G ， H 在 G 中的正规闭包是指 G 中所有包含 H 的正规子群的交，记为 H G ，即 H G = ∩ { K ⊲ _ G | H ≤ K } ，则 1) 为 G 中包含 的唯一最小正规子群； 2) H G = 〈 h g | h ∈ H ， g ∈ G 〉 。 引理2.6 [ 9 ] ：设 G 为有限群 S 和有限群 H 的圈积，则 G 是 S | H | 和 H 的半直积且 C G ( S | H | ) ≤ Z ( S | H | ) ，其中 Z ( S | H | ) 表示群 S | H | 的中心。 引理2.7：设 G 是有限群， σ 是 G 的 p -方幂阶自同构， g ∈ G ，并记 σ 1 = σ c o n j ( g ) 。令 o ( σ 1 ) = p j m ，其中 j ， m 为非负整数，且 ( p ， m ) = 1 。如果 σ 1 m ∈ I n n ( G ) ，则 σ ∈ I n n ( G ) 。 证明：因为 σ 是 p -方幂阶的Coleman自同构，所以可设 o ( σ ) = p i ，其中 i 为非负整数。由题意可知 ( p i ， m ) = 1 ，从而存在整数 s ， t ，使得 s p i + t m = 1 。由于 I n n ( G ) ⊲ _ A u t ( G ) ，所以 σ 1 t m = ( σ c o n j ( h − 1 ) ) t m ∈ ( σ I n n ( G ) ) t m = σ t m I n n ( G ) 。 因此可令 σ 1 t m = σ t m c o n j ( y ) = σ 1 − s p i c o n j ( y ) = σ c o n j ( y ) ，显然 σ 1 t m ∈ I n n ( G ) ，故 σ ∈ I n n ( G ) 。 定理1.1的证明：设 σ 是 G 的Coleman自同构。因为 N ⊲ _ G ，由引理4知 σ | N ∈ A u t ( N ) 。因为 N 为完全群，所以 σ | N ∈ I n n ( N ) ，即存在 n ∈ N ，使得 σ | N = c o n j ( n ) | N 。记 β = σ c o n j ( n − 1 ) ，则 β | N = i d | N 。由于 N ⊲ _ G ，所以对任意的 ，有 x − 1 n x = ( x − 1 n x ) β = ( x − 1 ) β n β x β = ( x − 1 ) β n x β ， 因此 x β x − 1 ∈ C G ( N ) ≤ N 。又因为 Z ( N ) = 1 ，所以 x β x − 1 = 1 。由 x 的任意性可知 β = i d ，注意到 β = σ c o n j ( n − 1 ) ，故 σ ∈ I n n ( G ) 。 定理1.2的证明：设 σ 是 G 的Coleman自同构， Q 为 N 的 S y l o w q -子群。由 S y l o w 定理知，存在 G 的 S y l o w q -子群 P ，使得 Q ≤ P 。 由于 σ ∈ A u t C o l ( G ) ，则存在 h ∈ G ，使得 σ | P = c o n j ( h ) | P 。记 ρ 1 = σ c o n j ( h − 1 ) ，则 ρ 1 | P = i d | P 。因为 Q ≤ P ，所以 ρ 1 | Q = i d | Q 。注意到且 ρ 1 ∈ A u t C o l ( G ) ，由引理4知， ρ 1 | N ∈ A u t ( N ) 。因此 ρ 1 为 N 的 q -中心自同构。 因为 N 为几乎单群，由引理2知， ρ 1 | N ∈ I n n ( N ) ，即存在 g ∈ N ，使得 ρ 1 | N = c o n j ( g ) | N 。记 ρ 2 = ρ 1 c o n j ( g − 1 ) ，则 ρ 2 | N = i d | N 。由于 N ⊲ _ G ，则对任意的 x ∈ G ， n ∈ N ，有 x − 1 n x = ( x − 1 n x ) ρ 2 = ( x − 1 ) ρ 2 n ρ 2 x ρ 2 = ( x − 1 ) ρ 2 n x ρ 2 ， 因此 x ρ 2 x − 1 ∈ C G ( N ) ≤ N 。又因为 Z ( N ) = 1 ，所以 x ρ 2 x − 1 = 1 。由 x 的任意性可知 ρ 2 = i d ，注意到 ρ 2 = ρ 1 c o n j ( g − 1 ) = σ c o n j ( h − 1 ) c o n j ( g − 1 ) ，故 σ ∈ I n n ( G ) 。 定理1.3的证明：设 σ 是 G 的 p -方幂阶Coleman自同构，我们只需证 σ ∈ I n n ( G ) 。 因为 G = S w r H ，并且 H 为 n 阶有限群，所以 G = ( S n ) ⋊ H ，其中 S n = S × ⋯ × S 为 n 个 S 的直积。 设 Q 为 S 的 S y l o w q -子群，则 Q n 为 S n 的 S y l o w q -子群。由 S y l o w 定理知，存在 G 的 S y l o w q -子群 P ，使得 Q n = Q × ⋯ × Q ≤ P 。 由于 σ ∈ A u t C o l ( G ) ，则存在 h ∈ G ，使得 σ | P = c o n j ( h ) | P 。记 ρ 1 = σ c o n j ( h − 1 ) ，则 ρ 1 | P = i d | P 。令 k 表示 o ( ρ 1 ) 的 p ′ 部分，记 ρ 2 = ρ 1 k ，则 ρ 2 是 p -方幂阶的Coleman自同构且 ρ 2 | P = i d | P 。由于 Q n = Q × ⋯ × Q ≤ P ，所以 ρ 2 | Q = i d | Q 。 先证 ρ 2 为 S 的 q -中心自同构，即证 ρ 2 | S ∈ A u t ( S ) 。此处记 S n = S 1 × S 2 × ⋯ × S n ，其中 S 1 = S 2 = ⋯ = S n = S ，相应的 Q n = Q 1 × Q 2 × ⋯ × Q n ，其中 Q 1 = Q 2 = ⋯ = Q n = Q 。因为 Q j ≤ S j 且 S j 为单群，其中 j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，由引理5知， S j = Q j S = 〈 g h | g ∈ Q j ， h ∈ S j 〉 ，即对任意的 z ∈ S j ，可设 z = g h ，其中 g ∈ Q j ， h ∈ S j ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，从而 z ρ 2 = ( h − 1 g h ) ρ 2 = ( h − 1 ) ρ 2 g ρ 2 h ρ 2 = ( h − 1 ) ρ 2 g h ρ 2 。 又因为 S n ⊲ _ G ，由引理4知， ρ 2 | S n ∈ A u t ( S n ) ，所以 h ρ 2 ∈ S n = S 1 × S 2 × ⋯ × S n 。因此不妨设 h ρ 2 = x 1 x 2 ⋯ x n ，其中 x j ∈ S j ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，所以 z ρ 2 = ( h − 1 ) ρ 2 g h ρ 2 = x n − 1 · · · x 2 − 1 x 1 − 1 g x 1 x 2 ⋯ x n ∈ S j ， 即 ρ 2 | S j ∈ A u t ( S j ) 。这就证明了 ρ 2 | S ∈ A u t ( S ) ，因此 ρ 2 为 S 的 q -中心自同构。 由于 S 为单群，由引理1知， ρ 2 | S ∈ I n n ( S ) ，即存在 g ∈ S ，使得 ρ 2 | S = c o n j ( g ) | S 。又因为 I n n ( S n ) = I n n ( S ) × I n n ( S ) × ⋯ × I n n ( S ) ，所以存在 m ∈ S n ，使得 ρ 2 | S n = c o n j ( m ) | S n 。 下分两种情形进行讨论： 情形1：如果 S 为非交换单群，记 ρ 3 = ρ 2 c o n j ( m − 1 ) ，则 ρ 3 | S n = i d | S n 。因为 S n ⊲ _ G ，所以对任意的 x ∈ G ， y ∈ S n ，有 x − 1 y x = ( x − 1 y x ) ρ 3 = ( x − 1 ) ρ 3 y ρ 3 x ρ 3 = ( x − 1 ) ρ 3 y x ρ 3 ，因此 x ρ 3 x − 1 ∈ C G ( S n ) 。由引理6知， C G ( S n ) ≤ Z ( S n ) ≤ S n   ，又因为 Z ( S n ) = 1 ，所以 x ρ 3 x − 1 = 1 。由 x 的任意性可知 ρ 3 = i d ，由于 ρ 3 = ρ 2 c o n j ( m − 1 ) ，所以 ρ 2 ∈ I n n ( G ) 。注意到 ρ 2 = ρ 1 k = ( σ c o n j ( h − 1 ) ) k ，由引理7可知， σ c o n j ( h − 1 ) ∈ I n n ( G ) ，故 σ ∈ I n n ( G ) 。 情形2：如果 S 为交换单群，那么 S = C q ，其中 C q 为 q 阶循环群。因为 S 和 S n 都为交换群，且 ρ 2 | S n ∈ I n n ( S n ) ，所以 ρ 2 | S n = i d | S n 。由于 S n ⊲ _ G ，则对任意的 x ∈ G ， y ∈ S n ，有 x − 1 y x = ( x − 1 y x ) ρ 2 = ( x − 1 ) ρ 2 y ρ 2 x ρ 2 = ( x − 1 ) ρ 2 y x ρ 2 ， 从而 x ρ 2 x − 1 ∈ C G ( S n ) 。而由引理6知， C G ( S n ) ≤ Z ( S n ) ≤ S n   。因此任取 l S n ∈ G / S n ，都有 ( l S n ) ρ 2 = l ρ 2 S n = l S n ，即 ρ 2 | G / S n = i d | G / S n 。 对于这种情形，我们又可以将其分为两种情况： ① 如果 q = p ，则 ρ 2 | P = i d | P 。又 ρ 2 | S n = i d | S n ， ρ 2 | G / S n = i d | G / S n 且 ρ 2 ρ 2 = ρ 1 k = ( σ c o n j ( h − 1 ) ) k 是 p -方幂阶的Coleman自同构，由引理3知， ρ 2 ∈ I n n ( G ) 。因为，由引理7可知， σ c o n j ( h − 1 ) ∈ I n n ( G ) ，故 σ ∈ I n n ( G ) 。 ② 如果 q ≠ p ，则对任意 u ∈ G ，存在 v ∈ S n ，使得 u ρ 2 = u v 。因为 ρ 2 是 p -方幂阶的，所以可设 o ( ρ 2 ) = p r ，其中 r 为非负整数，那么 u = u ρ 2 p r = u v p r ，因此 v p r = 1 ，而 S n 为 q -群，所以 v = 1 。由 u 的任意性可知 ρ 2 = i d 。又因为 ρ 2 = ρ 1 k = ( σ c o n j ( h − 1 ) ) k ，由引理7可知， σ c o n j ( h − 1 ) ∈ I n n ( G ) ，故 σ ∈ I n n ( G ) 。