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user: 2. 梯度稳定拟爱因斯坦度量的分类 梯度稳定拟爱因斯坦度量为Ricci流的Type II奇异模型，紧致梯度稳定拟爱因斯坦度量必为Ricci平坦的，因此理解其分类及几何性质有助于更好的理解Ricci流解的渐近行为。2维稳定情形最著名的莫过于cigar孤立子，3维稳定拟爱因斯坦度量最著名的几个例子是 R 3 、 R × ∑ 2 及Bryant孤立子。1998年Hamilton [ 1 ] 证明了2维流形上具有有界数量曲率(在流形某点上能达到最大值)或正Ricci曲率的稳定拟爱因斯坦度量必为cigar孤立子； n ≥ 3 时，Bryant证明了在 R n 上存在唯一的旋转对称的梯度拟爱因斯坦度量并构造了完备旋转对称、曲率算子为正的稳定拟爱因斯坦度量；同时，Cao-Chen [ 10 ] 证明了n维 ( n ≥ 3 ) 完备局部共形平坦的梯度稳定拟爱因斯坦度量等距于 R n 或Bryant孤立子的一个有限商空间；特别地， n = 4 时，Chen-Wang [ 11 ] 证明了任意4维完备半共形平坦的梯度稳定拟爱因斯坦度量为Ricci平坦的或等距于Bryant孤立子；同梯度收缩孤立子， n ≥ 4 时，Weyl张量及Bach张量的引进也产生很多相关的分类结果。利用Weyl张量的演化方程Catino-Mantegazza证明了Bryant孤立子是唯一的完备非紧致梯度稳定拟爱因斯坦度量。通过研究无穷远附近的渐近几何与Killing向量场，Brendle还证明了具有正截面曲率与渐近圆柱条件的梯度稳定拟爱因斯坦度量一定是旋转对称的。 定理2.1 (Brendle [ 12 ] )令 ( M 3 ， g i j ， f ) 为一个3维稳定拟爱因斯坦度量，数量曲率为正且在无穷远处趋向于零，若存在有界区域 Ω l ⊂ M ，使得 lim l → ∞ ∫ ∂ Ω l e u ( R ) 〈 ∇ R + ψ ( R ) ∇ f ， ν 〉 = 0 ，则M为旋转对称的。其中函数 ψ : ( 0 ， 1 ) → R 满足 u ( s ) = log ψ ( s ) + ∫ 1 2 s ( 3 2 ( 1 − t ) − 1 ( 1 − t ) ψ ( t ) ) d t 。 2002年，Perelman [ 2 ] 提出著名的猜想：非平坦的k-非坍塌梯度稳定拟爱因斯坦度量必为Bryant孤立子。Brendle [ 13 ] 最终给出证明： 定理2.2 任意3维非平坦的k-非坍塌完备梯度稳定拟爱因斯坦度量 ( M 3 ， g i j ， f ) 是旋转对称的，因而等距于Bryant孤立子。 在数量曲率满足一定的积分条件且截面曲率非负的情况下，Catino [ 14 ] 给出了梯度稳定拟爱因斯坦度量的一个分类： 定理2.3 令 ( M n ， g i j ， f ) 为一个完备梯度稳定拟爱因斯坦度量， n ≥ 3 ，设其具有非负截面曲率且满足 lim r → + ∞ inf 1 r ∫ B r ( o ) R = 0 ，则 ( M n ， g i j ) 等距于 R n 或 R n − 2 × ∑ 2 的一个有限商空间，其中 ∑ 2 为cigar孤立子。 在 n = 3 时，减弱假设条件下可得一个类似的分类结果：3维完备梯度稳定拟爱因斯坦度量，若满足 lim r → + ∞ inf 1 r ∫ B r ( o ) R = 0 ，则 ( M 3 ， g i j ) 等距于 R 3 或 R × ∑ 2 的一个有限商空间。 结合拟爱因斯坦度量体积增长估计 [ 15 ] ，Catino-Mastrolia-Monticelli [ 14 ] 还证明了： 定理2.4 完备梯度稳定拟爱因斯坦度量 ( M n ， g i j ， f ) ( n ≥ 3 )若具有非负截面曲率及低于二次的体积增长形式，则为 R n − 2 × ∑ 2 的商空间。 特别地，3维情形下，曲率非负的条件显然成立 [ 16 ] ，这表明3维完备梯度稳定拟爱因斯坦度量 ( M 3 ， g i j ， f ) 若具有低于二次的体积增长形式则为 R × ∑ 2 的商空间。局部共形平坦的黎曼流形可以通过共形变化达到局部上与欧氏度量等价，因此局部共形平坦的条件对流形几何性质的研究起到较好的简化作用，特别可以使得黎曼曲率算子具有较简单的形式更便于研究，因此可以运用张量分析与活动标架的方法来计算Ricci孤立子方程在共形变化下的偏微分方程及其几何量在共形变换下的表达式，通过研究共形变换后的黎曼流形的几何结构反过来可以揭示原来的拟爱因斯坦度量分类结果。 n ≥ 4 时，自然会问：Bryant孤立子是否为唯一的局部共形平坦且具有正曲率的完备非紧致梯度稳定拟爱因斯坦度量?在Israel [ 17 ] 及Robnsono [ 18 ] 工作的基础上，Cao-Chen [ 10 ] 给出了肯定的答案： 定理2.5 一个n维局部共形平坦的且具有正截面曲率的完备非紧致梯度稳定拟爱因斯坦度量 等距于Bryant孤立子。 在此基础上，没有曲率假设条件时，他们还证明了n维局部共形平坦的的完备非紧致梯度稳定拟爱因斯坦度量为平坦的或等距于Bryant孤立子。 Bryant [ 19 ] 曾证明存在唯一非平坦的梯度稳定 拟爱因斯坦度量为 S n − 1 与R的乘积，在此基础上，Catino-Mantegazza [ 20 ] 给出以下命题： 推论2.6 任意n维局部共形平坦的梯度稳定Ricci孤立子为 R n 或Bryant孤立子的商空间。 时，Weyl张量定义为： W i j k l = R i j k l + R ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( g i k g j l − g i l g j k ) − 1 n − 2 ( R i k g j l − R i l g j k + R j l g i k − R j k g i l ) 同收缩拟爱因斯坦度量一样，高维情况下引进Weyl张量会得到许多非常好的分类定理。 定理2.7 (Cao-Chen [ 10 ] )设 n ≥ 4 ，任意n维Weyl张量为零( W = 0 )的梯度稳定拟爱因斯坦度量为平坦的或等距于Bryant孤立子。 在此基础上且不需要假设额外的曲率条件，Chen-Wang [ 11 ] 证明了任意4维完备梯度稳定拟爱因斯坦度量若 W + = 0 ，则M必等距于Bryant孤立子或一个满足 W + = 0 且Ricci平坦的流形。 进一步减弱Weyl张量条件，Kim [ 21 ] 得到了一个具有调和Weyl张量的梯度稳定拟爱因斯坦度量的分类结果： 推论2.8 任意4维完备梯度稳定拟爱因斯坦度量 ( M 4 ， g i j ， f ) ，若 δ W = 0 ，则M必为Ricci平坦的或等距于Bryant孤立子。 Bach张量定义为： B i j = 1 n − 3 ∇ k ∇ l W i k j l + 1 n − 2 R k l W i j k l 其中 W i j k l 为Weyl张量，Cotton张量 C i j k = ∇ i R j k − ∇ j R i k − 1 2 ( n − 1 ) ( g j k ∇ i R − g i k ∇ j R ) ，故Bach张量可表示为 B i j = 1 n − 2 ( ∇ k C k i j + R k l W i j k l ) 。特别地， n = 3 时，有 B i j = ∇ k C k i j 。 n ≥ 4 时，根据Bach平坦也能得到很多关于稳定拟爱因斯坦度量的分类。特别地，Bach平坦表明局部共形平坦，能否在Weyl张量一阶消失的条件下获得类似的结果依然是一个有待解决的问题。 定理2.9 n ≥ 4 ，令 ( M n ， g i j ， f ) 为一个具有正曲率的完备稳定拟爱因斯坦度量，设其数量曲率R在流形内部某点能达到最大值且为Bach平坦的，则 等距于Bryant孤立子。 特别地， n = 3 时，他们还证明了3维完备梯度稳定拟爱因斯坦度量若满足 d i v B = 0 ，则M为爱因斯坦流形或为局部共形平坦的。显然Bach平坦或的条件比局部共形平坦更弱，因而结合3维局部共形平坦稳定拟爱因斯坦度量的结论，他们还证明了一个3维完备梯度稳定拟爱因斯坦度量若满足 d i v B = 0 则为Ricci平坦的或等距于Bryant孤立子。 3维张量 D i j k 定义为： D i j k = 1 n − 2 ( A j k ∇ i f − A i k ∇ j f ) + 1 ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( g j k E i l − g j k E j l ) ∇ l f 其中 A i j 为 Schouten张量， E i j 为爱因斯坦张量。给出 D i j k 定义的基础上，Cao等人 [ 22 ] 还证明了如下定理： 定理2.10 令 ( M n ， g i j ， f ) ( n ≥ 4 ) 为一个完备梯度稳定拟爱因斯坦度量满足 D i j k = 0 ，设其曲率为正且数量曲率R在流形内部某点能达到最大值，则 ( M n ， g i j ) 等距于Bryant孤立子。 特别地，Cao-Chen [ 23 ] 证明了任意4维完备梯度稳定拟爱因斯坦度量 ( M n ， g i j ， f ) 若满足 ，则M为Ricci平坦的或等距于Bryant孤立子。Catino-Mastrolia-Monticelli [ 24 ] 证明了任意满足 d i v 3 ( C ) = 0 的3维完备梯度稳定拟爱因斯坦度量为 R 3 或Bryant孤立子的一个有限商空间，其中 n = 3 时， d i v 3 ( C ) = 0 当且仅当 d i v 2 ( B ) = ∇ i ∇ j B i j = 0 。