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user: 2. 模型分析与计算 2.1. 问题一的分析与求解 2.1.1. 对问题一的分析 本问题要求讨论生育政策调整对第一胎生育年龄分布的影响，全面二孩政策颁布以后 [ 6 ] [ 7 ] ，会导致许多原生家庭，有生育二孩的意向 [ 8 ] ，进而会对未生育孩子的家庭的第一胎生育年龄产生影响。 2.1.2. 对问题一的求解 在15岁至49岁这个年龄区间段，以每5岁为一区间段，把各年龄段生育率进行对比，对比结果见表1。 通过对不同年份的第一胎生育年龄分布图进行对比，可以得出第一胎生育年龄在逐年提前。 Table 1 Comparison of fertility rates among women of all ages in 2006~201 年龄段 比例 15~19 20~24 25~29 30~34 35~39 40~44 45~49 2006 17% 36% 37% 6% 2% 2% 1% 2007 18% 36% 33% 7% 2% 1% 2% 2008 18% 34% 33% 7% 3% 2% 2% 2009 18% 35% 32% 7% 3% 2% 2% 2011 20% 39% 32% 6% 2% 3% 1% 2012 20% 39% 29% 7% 2% 3% 1% 2013 22% 35% 26% 9% 1% 4% 1% 2015 21% 38% 27% 8% 1% 3% 1% 表1. 2006~2015年各年龄段女性生育率对比图 2.2. 问题二的分析与求解 2.2.1. 对问题二的分析 本问题要求以问题一中生育年龄分布为基础，讨论生育政策变化对中国人口的影响。影响因素主要有生育率和人口总数，其他因素为出生率、死亡率、人口结构。首先，分析生育率，用MATLAB进行拟合，发现其符合韦伯分布模型的规律，运用韦伯分布模型对未来的生育率进行预测，其次，通过对生育政策颁布后对人口总数的影响进行统计分析，得出人口总数的长期变化趋势，从而对它的未来变化进行预测，但是，影响人口总数的因素众多且某些因素并不能完全确定，从而影响预测结果的精度，利用具有所需信息量少、预测精度高、能保持原系统的特征等优点的灰色预测法，能较好的反应系统的实际情况，所以，采用灰色预测法对人口总数进行预测。 2.2.2. 对问题二的求解 模型Ⅰ——基于Leslie人口预测模型 1) 模型准备 以问题一中的生育年龄分布为基础，查阅相关资料文献，列举有关我国生育政策对育龄妇女的生育率的影响，且具有全面性、科学性、代表性的评价指标，建立生育政策变化对中国人口影响的指标体系。影响其指标体系的因素有，人口年龄结构、人口老龄化、人口性别结构、人口地域结构等。 2) 模型的建立 中国人口结构的变化除了与出生率、死亡率密切相切相关之外，还受到其他许多因素的影响。本文拟通过建立Leslie矩阵人口模型，分析不同年份各年龄段人口总量的变化，来预测生育政策变化对中国人口的影响既中国人口的变化。 根据Leslie矩阵，得到Leslie的人口预测模型，通过简化公式，得到人口预测模型的简化公式为： X ( t + 1 ) = L X (t) L是指Leslie矩阵，n为将人口按年龄划分的n个级别。 在封闭的系统里，第t + 1年的i + 1岁人口是由第t年的i岁人口减去该年i岁的死亡人口而得，所以在封闭系统中，第i年龄级上的存活率为： p i = x i + 1 ( t + 1 ) x i ( t ) ， ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 第i岁的个体在第t年的繁殖率为 f i = b i ( t ) w i ( t ) ，从而第t + 1年的新生人口为： x 0 ( t + 1 ) = ∑ i = 0 n b i ( t ) w i ( t ) x i (t) 与矩阵模型等价的联合方程为： x 0 ( t + 1 ) = ∑ i = 0 n b i ( t ) w i ( t ) x i ( t + 1 ) = x i ( t ) p i 当 j > n − 1 时， p j 均为0，即某种种群达到第n年龄级后便会全部死亡，则： p j = 1 − 第 七 年 内 第   i   年 龄 级 的 死 亡 人 数 第 七 年 内 第   i   年 龄 的 人 口 数 从而得出中国到2100年人口数量变化趋势。 3) 模型的求解 通过已建模型和计算出的数据，使用MATLAB对各年龄段的男女比例变化趋势进行作图，如图1和图2所示。 由图可预测，以男女性别比例为例，所得预测趋势为，未来男女比例将失衡，男性人口数将多于女性人口数，所以按女性人口数为基数进行人口总数预测。 图1. 男性人口总数变化趋势图 图2. 女性人口总数变化趋势图 模型II——基于韦伯分布的生育率数学模型 1) 模型的建立 根据总和生存率与年龄生育率的关系，妇女的年龄生育率的数学表达式可设为 x 0 。其中B为总和生育率， g ( x ) 为特定的生育模式 b ( x ) 为妇女年龄别生育率，X为生育年龄，这里假设X取值范围为15为49。 因为任何随机分布函数的积分值为1，所以需要对年龄别生育率的统计数据进行标准化处理，用累计(分胎次)年龄别生育率除以累计(分胎次)的总和生育率，使其和为1，这样得到的标准化的年龄别生育率不会改变其本身的分布特点。反映到图示上中，就等同于以同一比例缩小或放大年龄别生育率曲线。 将妇女年龄别生育率的数学形式 b ( x ) = B × g ( x ) 变形为 b ( x ) B = g ( x ) 。式中 b ( x ) B 就是指标化的年龄别生 育率，这个统计数据是已知的。 2) 模型的求解 用韦伯分布的数学形式表示生育模式为： g ( x ) = a × b ( x − x 0 ) b − 1 × e [ − a ( x − x 0 ) b ] 其中 x 0 为初始生育年龄，也定为 x 0 = 14 ，参数a和b决定了生育模式的形状。 根据韦伯分布的数学表达式可预测出未来的生育率。 模型III——灰色预测模型 1) 模型的建立 人口增长主要有自然增长和机械增长两种方式。选用城市人口总数作为预测人口增长的综合指标，对未来城市人口的发展进行预测比较合理。收集2010年到2016年中国城市人口的统计资料，对未来城市人口做出预测。 模型建立的步骤为： x 0 ( 1 ) ， x 0 ( 2 ) ， ⋯ ， x 0 ( M ) 是所要预测的某项指标的原始数据。对原始数据作一次累加生成处理，即 x ( 1 ) ( M ) = ∑ i = 1 M x ( 0 ) (t) 得到一个新的数列。这个新的数列与原始数列相比，其随机性程度大大弱化，平稳性大大增加。 将新数列的变化趋势近似地用微分方程描述 d x ( 1 ) d t + a x ( 1 ) = u 其中，a，u为辨识参数。辨别参数通过最小二乘法拟合得到， [ a u ] = ( B T B ) − 1 B T Y M . 构造数据矩阵。上式中 Y M 为列向量， Y M = [ x 0 ( 2 ) x 0 ( 3 ) x 0 ( 4 ) ⋯ x 0 ( M ) ] T ，B为构造数据矩阵， B = [ − 1 2 [ x ( 1 ) ( 1 ) + x ( 1 ) ( 2 ) ] 1 − 1 2 [ x ( 1 ) ( 2 ) + x ( 1 ) ( 3 ) ] 1 ⋮ ⋮ − 1 2 [ x ( 1 ) ( M − 1 ) + x ( 1 ) ( M ) ] 1 ] 2) 求出预测模型 x ( 1 ) ( t + 1 ) = [ x ( 0 ) ( 1 ) − u a ] e − a t + u a 3) 模型的求解 由所查到的2010年到2016年中国城市人口数的数据，可知中国城市人口的原始时间序列 x ( 0 ) ( t ) = [ 138271 ， 137462 ， 136072 ， 135404 ， 134735 ， 134091 ] 由 x ( 1 ) ( M ) = ∑ i = 1 M x ( 0 ) ( t ) 式得一次累加数据序列 x ( 1 ) ( t ) = [ 138271 ， 275733 ， 411805 ， 547209 ， 681944 ， 816035 ] 由模型建立(3)中的式子可得 B T = [ − 207002 − 156767 − 4799501 − 6145765 − 7489895 1 1 1 1 1 ] Y M = [ 275733 411805 547209 681944 816035 ] T 由此得： [ a u ] = [ − 0.00073 2.0957 ] 所得预测模型为： x ( 1 ) ( t + 1 ) = 2965.04 e − 0.00073 t − 2870.82 2.3. 问题三的分析与求解 2.3.1. 对问题的分析 本问题要求在可以生育三胎的情况下，讨论相应第一胎生育年龄的变化，以及对中国人口的影响，可讨论至2100年。 2.3.2. 对问题的求解 根据条件生育模式进行对未生育妇女、已生育一胎的妇女、已生育二胎的妇女对于生育三胎欲望的预测。 条件生育模式的定义为： t F a b = [ 0 ， 0 ， ⋯ ， t ∫ a b ( η ， t ) d t ， ⋯ ， ∫ a b ( η ， t ) d t ， ⋯ ， ∫ a b ( ψ ， t ) d t ， 0 ， ⋯ ， 0 ] 为各胎次标准化生育模式，其中各胎次生育率 t ∫ a b ( j ， t ) d t 表示年龄j已生育h − 1胎(已生育0胎，表示未生育过)但未生育 过h胎的妇女，将在1年内生育h胎的概率。 根据以上定义可知各胎次生育率的计算公式为： t ∫ a b ( j ， t ) d t = ∫ a b ( j ， t ) p a b ( j ， t ) d t ，     η ≤ j ≤ ψ 经过运算可以得出，第一胎次条件生育模式与第一胎次生育模式类似，但峰值后移一部，方差变小；第二胎次条件生育模式呈快速下降趋势，但在21岁至32岁之间保存相对稳定，在33岁以后出现明显下降趋势。这说明，未生育妇女在24岁时生育一胎的概率最高，两边呈现逐渐递减趋势；已生育一胎的妇女在21岁至32岁之间生育二胎的概率相对稳定，但高于32岁以后，生育欲望明显下降；已生有二胎的年轻妇女更倾向于生育三胎。 三胎生育政策下的生育模式估计： 为了方便比较生育政策的结果，将六普数据所反映得生育模式记为六普方案，反映保持计划生育政策不变的结果。 完全开放计划生育政策，包括三胎政策。为了方便比较定义三个比率，便于叙述： 比率1： ratio 1 = 1 − p n 1 ( ψ ， t ) ，表示终生至少生育一胎占该年龄妇女的比例。 比率2： ratio 2 = ( 1 − p n 1 ( ψ ， t ) − p n 2 ( ψ ， t ) − p n 3 ( ψ ， t ) ) / ( 1 − p n 1 ( ψ ， t ) ) ，表示终生生育二胎及以上的妇女占 该年龄已生育一胎妇女的比率。 比率3： ratio 3 = ( 1 − p n 1 ( ψ ， t ) − p n 2 ( ψ ， t ) − p n 3 ( ψ ， t ) ) / ( 1 − p n 1 ( ψ ， t ) − p n 2 ( ψ ， t ) ) ，表示终生生育三胎及以上 妇女占该年龄已生育二胎妇女的比率。 首先，开放二胎政策，不影响第一胎生育模式，所以比率1不会发生变化。其次，以上调研数据假定已经生有第一胎的妇女在育龄期内期望且能够生二胎及以上胎次的比率在城市和乡镇分别假定为55%和65%，及假定比率2分别为0.55和0.65由于三胎次政策同六普时期，所以三胎次及以上生育比率与第六次全国人口普查时期相同，三胎次总和生育率不发生变化。 通过对比，放开二胎政策在乡镇没有作用，新登记获得二胎的妇女在非二胎政策下依然会生二胎。但对于城市，二胎数量会出现显著提升，比率2由六普中的0.28提升至0.55，即在已经生育一胎人口中有27%的妇女会增加生育二胎，接近原来生育二胎的一倍。但由于三胎政策的改变，导致生育二胎以后还会考虑生育三胎，在六普以前不论生育二胎还是三胎都是禁止的，但若完全开放计划生育政策后，即生育三胎及以上的妇女占已生有二胎的妇女的比率不变，均由妇女生理条件和社会习俗等背景下的生有欲望决定。