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user: 3. 能量估计 首先考虑下面的方程 − ( a + b ∫ R 3 | ∇ u | 2 d x ) Δ u + u = Q ∞ | u | p − 2 u ， x ∈ R 3 ， (18) 其中 a ， b > 0 ， 2 < p < 4 。由文 [ 15 ] 中定理1.5，知存在 Λ > 0 ，对任意的 0 < b < Λ ，(18)存在正解 w ∞ ∈ H r 1 ( R 3 ) 满足 α ∞ : = I ∞ ( w ∞ ) > α 0 ∞ = p − 2 2 p ( S p p Q ∞ ) 2 p − 2 ， (19) α ∞ → α 0 ∞ ， 当 b → 0 + ， (20) 其中 I ∞ 是方程(18)的能量泛函。由文 [ 16 ] 中的命题1.1，知极限方程(18)的解 w ∞ 具有如下的渐近衰减性质：对任何多重指标 α ∈ Ν ，存在正常数 δ α 和 C α 使得 | D α w ∞ ( x ) | ≤ C α e − δ α | x | ， ∀ x ∈ R 3 ， (21) 由于(H 1 )， (H 2 )， 所以利用文 [ 15 ] 中定理1.6，类似可得对任意的 0 < b < Λ ，问题(1)存在正解 v ∈ H r 1 ( R 3 ) 满足 p − 2 4 p ( S p p Q max ) 2 p − 2 < α − : = I ( v ) < α ∞ ， (22) 此外，该正解v也满足指数阶衰减性。事实上，重写方程(1)如下： − Δ v + μ v = Q ^ ( x ) v p − 1 ， x ∈ R 3 ， 其中 μ = 1 a + b ∫ R 3 | ∇ u | 2 d x ， Q ^ ( x ) = Q ( x ) a + b ∫ R 3 | ∇ u | 2 d x 。由假设(H 1 )，易得 lim n → ∞ Q ^ ( x ) = Q ∞ a + b ∫ R 3 | ∇ u | 2 d x 。 因此，利用文 [ 17 ] 中引理2.11，可得对任何 0 < σ < μ ，存在常数 C > 0 使得 v ( x ) ≤ C e − σ | x | . (23) 设 e 1 = ( 1 ， 1 ， 0 ) ，定义 w n ( x ) = w ∞ ( x − n e 1 ) ， n ∈ N 。显然， I ∞ ( w n ) = I ∞ ( w ∞ ) ，且由(21)式，有 w n ( x ) ≤ C e − δ 0 | x − n e 1 | ， | D w n ( x ) | ≤ C e − δ 1 | x − n e 1 | ， | D 2 w n ( x ) | ≤ C e − δ 2 | x − n e 1 | . (24) 选取 0 < σ 0 < min { μ ， δ 0 ， δ 1 ， δ 2 ， 1 2 } ，由(23)， (24)，易验证，对任意 x ∈ R 3 ，成立 v n ( x ) ≤ C e − σ 0 | x − n e 1 | ， w n ( x ) ≤ C e − σ 0 | x − n e 1 | ， | D w n ( x ) | ≤ C e − σ 0 | x − n e 1 | ， | D 2 w n ( x ) | ≤ C e − σ 0 | x − n e 1 | ， (25) 引理3.1 假设Q满足(H 1 )-(H 2 )，则下列估计成立 ‖ v − w n ‖ H r 1 2 = ‖ v ‖ H r 1 2 + ‖ w n ‖ H r 1 2 + o ( 1 ) ， (26) ∫ R 3 Q ( | x | ) | v − w n | p d x = ∫ R 3 Q ( | x | ) | v | p d x + ∫ R 3 Q ∞ | w ∞ | p d x + o ( 1 ) ， (27) ( ∫ R 3 | ∇ ( v − w n ) | 2 d x ) 2 = ( ∫ R 3 | ∇ v | 2 d x ) 2 + ( ∫ R 3 | ∇ w n | 2 d x ) 2 + α ˜ + o ( 1 ) ， (28) 其中 α ˜ = 2 ∫ R 3 | ∇ v | 2 d x ∫ R 3 | ∇ w ∞ | 2 d x 。 证：由范数定义，有 ‖ v − w n ‖ H r 1 2 = ‖ v ‖ H r 1 2 + ‖ w n ‖ H r 1 2 − 2 ∫ R 3 v w n d x − 2 ∫ R 3 ∇ v ∇ w n d x ， 由(23)式知 v ∈ L 1 ( R 3 ) ，事实上 ∫ R 3 v ( x ) d x ≤ C ∫ R 3 e − σ | x | d x = C 1 ∫ 0 + ∞ e − σ | r | d r < ∞ . 显然， v ( x ) w n ( x ) ≤ C ˜ v ( x ) ，且 lim n → ∞ v ( x ) w n ( x ) = 0 a .e . R 3 ，利用Lebesgue控制收敛定理，可得 ∫ R 3 v w n d x → 0 类似地，利用(24)式可证 ∫ R 3 ∇ v ∇ w n d x = o ( 1 ) . (29) 因此，(26)式得证。 注意到 ∫ R 3 ( Q ( | x | ) − Q ∞ ) | w n | p d x = o ( 1 ) ，容易验证 ∫ R 3 Q ( | x | ) | v − w n | p d x = ∫ R 3 Q ( | x | ) | v | p d x + ∫ R 3 Q ∞ | w ∞ | p d x + o ( 1 ) ， 最后，由(29)式，有 ( ∫ R 3 | ∇ ( v − w n ) | 2 d x ) 2 = ( ∫ R 3 | ∇ v | 2 d x ) 2 + ( ∫ R 3 | ∇ w n | 2 d x ) 2 + α ˜ − D 1 − D 2 + D 3 = ( ∫ R 3 | ∇ v | 2 d x ) 2 + ( ∫ R 3 | ∇ w n | 2 d x ) 2 + α ˜ + o ( 1 ) ， 其中 α ˜ = 2 ∫ R 3 | ∇ v | 2 d x ∫ R 3 | ∇ w n | 2 d x ， D 1 = 4 ∫ R 3 | ∇ v | 2 d x ∫ R 3 ∇ v ∇ w n d x ， D 2 = 4 ∫ R 3 | ∇ w n | 2 d x ∫ R 3 ∇ v ∇ w n d x ， D 3 = 4 ( ∫ R 3 ∇ v ∇ w n d x ) 2 . 因此，(28)式得证。 引理3.2 假设Q满足(H 1 )-(H 2 )则存在正数 b 3 ≤ min { b ˜ ， b 0 } 使得 0 < b < b 3 ，存在 s ( 1 ) 和 s ( 2 ) 满足 s v < 1 = s ( 1 ) < ( 2 4 − p ) 1 p − 2 s v < s ( 2 ) ， 且 s ( j ) v ∈ Μ ( j ) ， j = 1 ， 2 ，其中 s v = ( ‖ v ‖ H r 1 2 ∫ R 3 Q ( | x | ) | v | p d x ) 1 p − 2 。因此，有 I ( v ) = sup 0 ≤ s ≤ s ^ I ( s v ) ， I ( s ( 2 ) v ) = inf s ≥ 0 I ( s v ) < I ( s ^ v ) < 0 ， 其中 ( p 2 ) 1 p − 2 < s ^ = ( p 4 − p ) 1 p − 2 s v < ( p 4 − p ) 1 p − 2 。 证：类似于引理2.2的证明，存在 s ( 1 ) 和 s ( 2 ) 满足 s v < 1 = s ( 1 ) < ( 2 4 − p ) 1 p − 2 s v < s ( 2 ) 使得 s ( j ) v ∈ Μ ( j ) ， j = 1 ， 2 且 I ( s ( j ) v ) = inf s ≥ 0 I ( s v ) 。由于 I ( s v ) = s 4 [ g ¯ v ( s ) + b 4 ( ∫ R 3 | ∇ u | 2 d x ) 2 ] ， 其中 g ¯ v ( s ) = s − 2 2 ‖ u ‖ H r 1 2 − s p − 4 4 ∫ R 3 Q ( | x | ) | v | p d x ，显然 I ( s v ) = 0 当且仅当 g ¯ v ( s ) + b 4 ( ∫ R 3 | ∇ u | 2 d x ) 2 = 0 。 简单计算易得 g ¯ v ( s ¯ ) = 0 ， lim s → 0 + g ¯ v ( s ) = ∞ ， lim s → ∞ g ¯ v ( s ) = 0 ， 其中 s ¯ = ( p ‖ v ‖ H r 1 2 2 ∫ R 3 Q ( | x | ) | v | p d x ) 1 p − 2 由于 g ¯ ′ v ( s ) = s − 3 [ − ‖ v ‖ H r 1 2 + s p − 4 4 s p − 4 ∫ R 3 Q ( | x | ) | v | p d x ] ， 所以当 0 < s < s ^ 时， g ¯ v ( s ) 单调递减，当 s > s ^ 时， g ¯ v ( s ) 单调递增，其中 ( p 2 ) 1 p − 2 < s ^ = ( p 4 − p ) 1 p − 2 s v < ( p 4 − p ) 1 p − 2 ， 因此， inf s > 0 g ¯ v ( s ) = g ¯ v ( s ^ ) < − p − 2 2 ( 4 − p ) ( 4 − p p ) 2 p − 2 ‖ v ‖ H r 1 2 。注意到 ( S p p Q max ) 1 p − 2 ≤ ‖ v ‖ H r 1 2 < ( 2 S p p Q max ( 4 − p ) ) 1 p − 2 ， 则存在正数 b 3 ≤ min { b ˜ ， b 0 } 使得 inf s > 0 g ¯ v ( s ) = g ¯ v ( s ^ ) < − b 4 ( ∫ R 3 | ∇ u | 2 d x ) 2 ， ∀ 0 < b < b 3 ， 因此，存在 s ¯ ( j ) ( j = 1 ， 2 ) 满足 s ¯ < s ¯ ( 1 ) < s ^ < s ¯ ( 2 ) 使得 g ¯ v ( s ^ ( j ) ) + b 4 ( ∫ R 3 | ∇ u | 2 d x ) 2 = 0 。即 inf s ≥ 0 I ( s v ) < I ( s ^ v ) < 0 ， I ( v ) = I ( s ( 1 ) v ) = sup 0 ≤ s ≤ s ^ I ( s v ) . 证毕。 引理3.3 假设 Q ( | x | ) 满足(H 1 )-(H 2 )，则存在正数 b 4 ≤ min { b ˜ ， b 0 } ， n 0 ∈ N ，使得 0 < b < b 4 且 n ≥ n 0 ，存在 t n ( 1 ) 和 t n ( 2 ) 满足 t n ∞ < 1 = t n ( 1 ) < ( 2 4 − p ) 1 p − 2 t n ∞ < t n ( 2 ) 且 t n ( j ) w n ∈ Μ ( j ) ， j = 1 ， 2 ，其中 t n ∞ = ( ‖ w n ‖ H r 1 2 ∫ R 3 Q ∞ | w n | p d x ) 1 p − 2 。因此，有 I ( w n ) = sup 0 ≤ t ≤ t ^ n I ( t w n ) ， I ( t n ( 2 ) w n ) = inf t ≥ 0 I ( t w n ) < I ( t ^ n w n ) < 0 ， 其中 ( p 2 ) 1 p − 2 < t ^ n = ( p 4 − p ) 1 p − 2 t n < ( p 4 − p ) 1 p − 2 。 证：类似于引理2.2的证明，存在 t n ( 1 ) 和 t n ( 2 ) 满足 t n ∞ < 1 = t n ( 1 ) < ( 2 4 − p ) 1 p − 2 t n ∞ < t n ( 2 ) 使得 t n ( j ) w n ∈ Μ ( j ) ， j = 1 ， 2 且 I ( t n ( 2 ) w n ) = inf t ≥ 0 I ( t w n ) 其中 t n ∞ < ( ( 4 − p 2 ) 1 p − 2 ， 1 ) 。 注意到 ∫ R 3 ( Q ( | x | ) − Q ∞ ) | w n | p d x = o ( 1 ) 。存在 n 0 ∈ N 使得对任意的 n ≥ n 0 ，有 ( 4 − p 2 ) 1 p − 2 < t n = ( ‖ w n ‖ H r 1 2 ∫ R 3 Q ( | x | ) | w n | p d x ) 1 p − 2 < 1. 类似于引理3.2的证明我们可证得 I ( w n ) = sup 0 ≤ t ≤ t ^ n I ( t w n ) ， I ( t n ( 2 ) w n ) = inf t ≥ 0 I ( t w n ) < I ( t ^ n w n ) < 0. 证毕。 引理3.4 假设 Q ( | x | ) 满足(H 1 )-(H 2 )，则对任意 0 < b < min { b 3 ， b 4 } 且 n ≥ n 0 ，有： I ( v − w n ) > sup ( s ， t ) ∈ ∂ { [ 0 ， s ^ ] × [ 0 ， t ^ n ] } I ( s v − t w n ) ， 其中 s ^ ， t ^ n 分别由引理3.2和引理3.3给出，且 lim n → ∞ I ( v − w n ) = α − + α ∞ + b 4 α ˜ 。 证：由引理3.2和引理3.3知，对任意的 0 < b < min { b 3 ， b 4 } 且 n ≥ n 0 ，有 ( p 2 ) 1 p − 2 < s ^ ， t ^ n < ( p 4 − p ) 1 p − 2 。 利用引理3.1，易得 ( ∫ R 3 | ∇ ( s v − t w n ) | 2 d x ) 2 = ( ∫ R 3 s 2 | ∇ v | 2 d x ) 2 + ( ∫ R 3 t 2 | ∇ w n | 2 d x ) 2 + s 2 t 2 α ˜ + o ( 1 ) ， (30) ‖ s v − t w n ‖ H r 1 2 = s 2 ‖ v ‖ H r 1 2 + t 2 ‖ w n ‖ H r 1 2 + o ( 1 ) ， (31) ∫ R 3 Q ( | x | ) | s v − t w n | p d x = s p ∫ R 3 Q ( | x | ) | v | p d x + t p ∫ R 3 Q ∞ | w ∞ | p d x + o ( 1 ) ， (32) 由(30)-(32)式，我们有 I ( v − w n ) = 1 2 ‖ v ‖ H r 1 2 + b 4 ( ∫ R 3 | ∇ v | 2 d x ) 2 − 1 p ∫ R 3 Q ( | x | ) | v | p d x + 1 2 ‖ w n ‖ H r 1 2 + b 4 ( ∫ R 3 | ∇ w n | 2 d x ) 2 − 1 p ∫ R 3 Q ∞ | w ∞ | p d x + b 4 α ˜ + o ( 1 ) = α − + α ∞ + b 4 α ˜ + o ( 1 ) . 因此，根据引理3.2和引理3.3，可知 I ( v ) = sup 0 ≤ s ≤ s ^ I ( s v ) ， I ( w n ) = sup 0 ≤ t ≤ t ^ n I ( t w n ) ，对任意的 0 < b < min { b 3 ， b 4 } 和 n ≥ n 0 ，有 I ( v − w n ) > sup ( s ， t ) ∈ D I ( s v − t w n ) ，其中 D = ( [ 0 ， s ^ ] × { 0 } ) ∪ ( { 0 } × [ 0 ， t ^ n ] ) 。类似地，我们也可证得 I ( v − w n ) > sup t ∈ [ 0 ， t ^ n ] I ( s ^ v − t w n ) ， I ( v − w n ) > sup s ∈ [ 0 ， s ^ ] I ( s v − t ^ n w n ) ， 综上，我们已证得 I ( v − w n ) > sup ( s ， t ) ∈ ∂ { [ 0 ， s ^ ] × [ 0 ， t ^ n ] } I ( s v − t w n ) 。证毕。 定义函数 h ^ : [ 0 ， s ^ ] × [ 0 ， t ^ n ] → R ： h ^ ( s ， t ) = I ( s v − t w n ) = 1 2 ‖ s v − t w n ‖ H r 1 2 + b 4 ( ∫ R 3 | ∇ ( s v − t w n ) | 2 d x ) 2 − 1 p ∫ R 3 Q ( | x | ) | s v − t w n | p d x ， 简单计算得 ∂ ∂ s h ^ ( s ， t ) = 〈 I ′ ( s v − t w n ) ， v 〉 = s ‖ v ‖ H r 1 2 + b s 3 ( ∫ R 3 | ∇ v | 2 d x ) 2 + b s t 2 ∫ R 3 | ∇ v | 2 d x ∫ R 3 | ∇ w n | 2 d x     − s p − 1 ∫ R 3 Q ( | x | ) | v | p d x + o ( 1 ) ， ∂ ∂ t h ^ ( s ， t ) = 〈 I ′ ( s v − t w n ) ， − w n 〉 = t ‖ w n ‖ H r 1 2 + b t 3 ( ∫ R 3 | ∇ w n | 2 d x ) 2 + b s 2 t ∫ R 3 | ∇ v | 2 d x ∫ R 3 | ∇ w n | 2 d x       − t p − 1 ∫ R 3 Q ( | x | ) | w n | p d x + o ( 1 ) . 命题3.5：假设Q满足(H 1 )-(H 2 )则存在正数 b * ≤ min { b 3 ， b 4 } ， n * ∈ N ，使得 0 < b < b * 和 n ≥ n * ，存在 ( s * ， t n * ) ∈ ( 0 ， s * ) × ( 0 ， t ^ n ) ，使得 s * v − t n * w n ∈ Ν ( 1 ) 且 I ( s * v − t n * w n ) = sup ( s ， t ) ∈ [ 0 ， s ^ ] × [ 0 ， t ^ n ] I ( s v − t w n ) < α − + α ∞ + b 4 ( p 4 − p ) 4 p − 2 α ˜ . 证：根据引理3.2和引理3.3，对任意的 0 < b < b * 和 n ≥ n 0 有 ( p 2 ) 1 p − 2 < s ^ ， t ^ n < ( p 4 − p ) 1 p − 2 ，根据引理3.4，存在 ( s * ， t n * ) ∈ ( 0 ， s ^ ) × ( 0 ， t ^ n ) 使得 I ( s * v − t n * w n ) = sup ( s ， t ) ∈ [ 0 ， s ^ ] × [ 0 ， t ^ n ] I ( s v − t w n ) ≥ I ( v − w n ) ， ∂ ∂ s h ^ ( s * ， t n * ) = 〈 I ( s * v − t n * w n ) ， v 〉 = 0， (33) ∂ ∂ t h ^ ( s * ， t n * ) = 〈 I ( s * v − t n * w n ) ， − w n 〉 = 0 ， (34) 即 〈 I ( s * v − t n * w n ) ， v − w n 〉 = 0，i .e . s * v − t n * w n ∈ Μ 。 下面，我们来证明 I ( s * v − t n * w n ) = sup ( s ， t ) ∈ [ 0 ， s ^ ] × [ 0 ， t ^ n ] I ( s v − t w n ) < α − + α ∞ + b 4 ( p 4 − p ) 4 p − 2 α ˜ . (35) 根据引理3.1，得 I ( s * v − t n * w n ) = 1 2 ‖ s * v − t n * w n ‖ H r 1 2 + b 4 ( ∫ R 3 | ∇ ( s * v − t n * w n ) | 2 d x ) 2 − 1 p ∫ R 3 Q ( | x | ) | s * v − t n * w n | p d x = I ( s * v ) + I ∞ ( t n * w n ) + b 4 ( s * t * ) 2 α ˜ + o ( 1 ) − ( t n * ) p p ∫ R 3 ( Q ( | x | ) − Q ∞ ) | w n | p d x     − 1 p ∫ R 3 Q ( | x | ) ( | s * v − t n * w n | p − | s * v | p − | t n * w n | p ) d x ， (36) 因为 I ( v ) = sup 0 ≤ s ≤ s ^ I ( s v ) 和 I ∞ ( w n ) = sup 0 ≤ t ≤ t ^ n I ∞ ( t w n ) ，所以 I ( s * v ) ≤ α − ， I ∞ ( t n * w n ) ≤ α ∞ ， (37) 根据不等式 | c − d | p > c p + d p − C * ( p ) ( c p − 1 d + c d p − 1 ) 其中 c ， d > 0 ， C * ( p ) > 0 结合(36)-(37)，我们有 I ( s * v − t n * w n ) ≤ α − + α ∞ + b 4 ( s * t * ) 2 α ˜ + o ( 1 ) − ( t n * ) p p ∫ R 3 ( Q ( | x | ) − Q ∞ ) | w n | p d x     + C * ( p ) p ∫ R 3 Q ( | x | ) ( | s * v | p − 1 t n * w n + s * v | t n * w n | p − 1 ) d x ≤ α − + α ∞ + b 4 ( s * t * ) 2 α ˜ + o ( 1 ) − ( t n * ) p p ∫ R 3 ( Q ( | x | ) − Q ∞ ) | w n | p d x     + C * ( p ) p ( p 4 − p ) p p − 2 ∫ R 3 Q ( | x | ) ( | v | p − 1 w n + v | w n | p − 1 ) d x . (38) 根据条件(H 2 )，我们有 ∫ R 3 ( Q ( | x | ) − Q ∞ ) | w n | p d x ≥ d 0 ∫ R 3 e − | x + n e 1 | r f ( w ∞ ( x ) ) p d x ≥ ( min x ∈ B 1 ( 0 ) ( w ∞ ) p ) d 0 ∫ B 1 ( 0 ) e − | x | r f − | e 1 | r f d x = ( min x ∈ B 1 ( 0 ) ( w ∞ ) p ) C 0 e − n r f ， (39) 由(25)式，得 ∫ R 3 Q ( | x | ) | v | p − 1 w n d x ≤ Q max ∫ R 3 | v | p − 1 w n d x ≤ C ∫ R 3 e − ( p − 1 ) σ 0 | x | e − σ 0 | x − n e 1 | d x ≤ C e − σ 0 n ∫ R 3 e − ( p − 2 ) σ 0 | x | d x ≤ C ¯ 1 e − σ 0 n . (40) 类似上式的证明可得 ∫ R 3 Q ( | x | ) | w n | p − 1 v d x ≤ C ¯ 2 e − σ 0 n . (41) 因此，根据(38)-(41)式，对任意的 0 < b < min { b 3 ， b 4 } 和 n ≥ n * 充分大有 I ( s * v − t n * w n ) ≤ α − + α ∞ + b 4 ( s * t * ) 2 α ˜ + o ( 1 ) + C ¯ 0 e − σ 0 n − C 0 e − n r f < α − + α ∞ + b 4 ( p 4 − p ) 4 p − 2 α ˜ . 最后，我们断言 s * v − t n * w n ∈ Ν ( 1 ) ，注意到 C ( p ) > { e ( p − 2 ) 2 p ， 2 < p ≤ 3 ， e ( p − 2 ) 4 p ， 3 < p < 4 ， 根据(20)-(21)式，(35)式，对于充分小的 b > 0 ，有 I ( s * v − t n * w n ) < α − + α ∞ + b 4 ( p 4 − p ) 4 p − 2 α ˜ < 2 α ∞ + b 4 ( p 4 − p ) 4 p − 2 α ˜ < C ( p ) ( S p p Q ∞ ) 2 p − 2 + b 4 ( p 4 − p ) 4 p − 2 α ˜ . 因此，有 s * v − t n * w n ∈ Μ ( 1 ) 或 s * v − t n * w n ∈ Μ ( 2 ) 。如果 s * v − t n * w n ∈ Μ ( 2 ) ，那么根据(6)式， I ( s * v − t n * w n ) = p − 2 2 p ‖ s * v − t n * w n ‖ H r 1 2 − b ( 4 − p ) 4 p ( ∫ R 3 | ∇ ( s * v − t n * w n ) | 2 d x ) 2 < b ( 4 − p ) 4 p ( ∫ R 3 | ∇ ( s * v − t n * w n ) | 2 d x ) 2 < b ( 4 − p ) 4 p ‖ s * v − t n * w n ‖ H r 1 4 . (42) 而且，由引理3.2和引理3.4，得 I ( s * v − t n * w n ) ≥ I ( v − w n ) = α − + α ∞ + b 4 α ˜ + o ( 1 ) ， (43) ‖ s * v − t n * w n ‖ H r 1 2 = ‖ s * v ‖ H r 1 2 + ‖ t n * w n ‖ H r 1 2 − 2 s * t n * 〈 v ， w n 〉 ≤ C * . (44) 因此，联合(42)-(44)式，当 n ≥ n * 时，有 α − + α ∞ + b 4 α ˜ + o ( 1 ) < I ( s * v − t n * w n ) < b ( 4 − p ) 4 p ‖ s * v − t n * w n ‖ H r 1 4 ≤ b ( 4 − p ) 4 p ( C * ) 2 ， 选取 b > 0 充分小。使得 b ( 4 − p ) 4 p ( C * ) 2 < α ∞ ，矛盾。这也证明了存在正数 b * ≤ min { b 3 ， b 4 } 充分小，使得对任意的 0 < b < b * 和 n ≥ n * 有 s * v − t n * w n ∈ Ν ( 1 ) 。结合(33)和(34)式，有 s * v − t n * w n ∈ Ν ( 1 ) 故得证。