system: [SYSTEM]

user: 3. 主要结果及证明 假设在该队列模型中， H 2 * 服务时间分布中指数服务分布的部分称为“忙期”，零点集分布部分称为“闲期”。假设系统中“忙期”与“闲期”是交替进行的。 假设系统是从忙期开始，为方便研究，给定一个特殊的初始条件，即所有服务台都是忙的且队列为空，即系统中的初始人数为 X ( 0 ) = B ( 0 ) = s ( 0 ) ，且有 Q ( 0 ) = 0 。 假设在忙期间隔 [ τ 1 ， τ 2 ] 内，进入服务的速率大于0，顾客进入服务的速率是由服务台变空闲的量决定的，则当 τ 1 ≤ t ≤ τ 2 ，有 b ( t ， 0 ) = s ( t ) p μ + s ′ ( t ) ≥ b inf > 0 (4) 在忙期间隔的服务速率为： b ( t ， x ) = b ( t − x ， 0 ) G c ( x ) 1 { x ≤ t } + b ( 0 ， x − t ) G c ( x ) G c ( x − t ) 1 { x > t } 。 其中 G c ( x ) = 1 − G ( x ) = e − p μ x ， b ( t ， 0 ) = s ( t ) p μ + s ′ ( t ) 表示在t时刻进入服务的速率， b ( 0 ， x ) 表示初始进入服务的速率。 在忙期间隔内，队长主要在假设没有人进入服务的情况下通过队列中人数密度 q ˜ ( t ， x ) 来分析，假设队列初始时为空队列，则 q ˜ ( t ， x ) = λ ( t − x ) F c ( x ) ， x ≤ t 。 由文献 [ 4 ] 推论2可知，队长的密度为 q ( t ， x ) = q ˜ ( t ， x ) 1 { x ≤ w ( t ) } = λ ( t − x ) F c ( x ) 1 { x ≤ w ( t ) } (5) 引理1 (文献 [ 4 ] )考虑一个高负荷间隔 [ 0 ， T ) ，如果 0 ≤ w ( 0 ) < ∞ ， λ inf ( t ) ≡ inf 0 ≤ u ≤ t { λ ( u ) } > 0 ，且当 w ( 0 ) > 0 时， q inf ( 0 ) ≡ inf 0 ≤ u ≤ w ( 0 ) { q ( 0 ， u ) } > 0 成立，则队首等待时间w是常微分程 w ′ ( t + ) = Ψ ( t ， w ( t ) ) ≡ 1 − b ( t + ， 0 ) q ˜ ( t ， w ( t ) − ) (6) 关于任何初值 w ( 0 ) 在 [ 0 ， T ) 上的唯一解。 此外，w在 [ 0 ， T ] 上是利普希茨连续的，即 ∀ t ≥ 0 ， u ≥ 0 ， t + u ≤ T ，有 w ( t + u ) ≤ w ( t ) + u 。 w是右可微的，右导数为 w ′ ( t + ) 由式(6)给出。 w也是左可微的，左导数为 w ′ ( t − ) = Ψ ˜ ( t ， w ( t ) ) ≡ 1 − b ( t − ， 0 ) q ˜ ( t ， w ( t ) + ) (7) 由上可知，在除了有限多个点t外，w是处处连续可微的。 引理2 (文献 [ 4 ] )考虑一个高负荷间隔 [ 0 ， T ) ，且 0 ≤ w ( 0 ) < ∞ ， λ inf ( t ) ≡ inf 0 ≤ u ≤ t { λ ( u ) } > 0 ，且当 w ( 0 ) > 0 时， q inf ( 0 ) ≡ inf 0 ≤ u ≤ w ( 0 ) { q ( 0 ， u ) } > 0 成立， w ( 0 ) = 0 。若 ∀ t ≥ 0 ， υ ( t ) < ∞ ，则 υ 满足 υ ( t − w ( t ) ) = w ( t ) 或 υ ( t ) = w ( t + υ ( t ) ) ， t ≥ 0 (8) 此外， υ 在点t是连续的，当且仅当 ∃ ε > 0 ，使得 w ( t + υ ( t ) + ε ) = w ( t + υ ( t ) ) + ε 。反之也成立，当且仅当 t + υ ( t ) ≤ u ≤ t + υ ( t ) + ε ，有 b ( u ， 0 ) = 0 ，若 b ( ⋅ ， 0 ) > 0 ，则 υ 是连续的。 由引理1，引理2可知，在 G t / H 2 * / s t + G I 队列模型中HWT w是下面常微分方程(ODE)的唯一解 w ′ ( t ) ≡ d w d t ( t ) = 1 − b ( t ， 0 ) q ˜ ( t ， w ( t ) ) = 1 − s ( t ) p μ + s ′ ( t ) λ ( t − w ( t ) ) F c ( w ( t ) ) (9) 由上述假设，可知上式中的分子与分母都是大于0的，因此有 在忙期期间， ∀ t ，有 − ∞ < w ′ ( t ) < 1 由式(9)的ODE可得 w ( t ) = ∫ 0 t ( 1 − b ( u ， 0 ) q ˜ ( u ， w ( u ) ) ) d u ， t ≥ 0 (10) 由引理2可知，PWT υ ( t ) 是式(8)的唯一解，由式(8)也可以解得HWT w。 由式(4)可知， υ 是连续函数，事实上，w和 υ 除在有限多个点外都是可微的，由上式可得其导数为： υ ′ ( t − w ( t ) ) = w ′ ( t ) 1 − w ′ ( t ) 或 υ ′ ( t ) = w ′ ( t + υ ( t ) ) 1 − w ′ ( t + υ ( t ) ) (11) 由式(4)可知，上式是有界的。 在忙期间隔内，服务台都是满的，则在 [ 0 ， t ] 时间间隔内完成服务离开的顾客数 D ( t ) = S ( t ) p μ ，其中 S ( t ) ≡ ∫ 0 t s ( u ) d u 。 在 [ 0 ， t ] 时间间隔内放弃的顾客数为 A ( t ) = ∫ 0 t α ( s ) d s ，其中 α ( s ) = ∫ 0 ∞ Q ( s ， x ) h F ( x ) d x (12) 是关于累积分布函数F的风险率函数，因为f是 D 中的元素，对所有x，有 F c ( x ) > 0 ，则 h F ( x ) 是有界的。 因为假设系统开始时为忙期，则忙期间隔为 [ τ 2 i ， τ 2 i + 1 ] ， i ≥ 0 ，闲期间隔为 [ τ 2 i + 1 ， τ 2 i + 2 ] ， i ≥ 0 ，有限多个这样的间隔可以覆盖整个区间 [ 0 ， T ] 。现在用递归的方法考虑这些间隔，为方便表示，下文中记作 [ 0 ， τ ] 。 先考虑一个忙期间隔 [ 0 ， τ ] ，假设当 n → ∞ 时， X ¯ n ( 0 ) ⇒ X ( 0 ) ，有 X ( 0 ) = s ( 0 ) 。 通过分析进入服务的顾客数来研究队首等待时间。 设 E n ( t ) 表示在 [ 0 ， t ] 时间间隔内进入服务的顾客数， ∀ t ， 0 < t < τ ，有 Λ ( t ) > D ( t ) 。则进入服务的人数与因完成服务而离开造成服务台空闲和服务台的变化量之和是渐进相等的。 即，当 n → ∞ 时， sup 0 < t < τ { | E n ( t ) − ( D n ( t ) + ⌈ n s ( t ) ⌉ − ⌈ n s ( 0 ) ⌉ ) | } = ο ( n ) (13) 对 E n ( t ) 进行刻画，有 E ¯ n ( t ) ≡ E n ( t ) n ， E ^ n ( t ) ≡ n ( E ¯ n ( t ) − E ( t ) ) (14) 在 D 中，当 n → ∞ 时，有 E ¯ n ( t ) ⇒ E ( t ) ， E ^ n ( t ) ⇒ E ^ ( t ) (15) 其中 E ( t ) ≡ D ( t ) + s ( t ) − s ( 0 ) ， E ^ ( t ) = D ^ ( t ) = B s ( D ( t ) ) 。 关于 E n ( t ) 还有另一种表示方式：因为进入服务的顾客是等待时间最长的顾客， Q n ( t ) = Q ˜ n ( t ， W n ( t ) ) = ∑ i = N n ( t − W n ( t ) − ) + 1 N n ( t ) 1 ( τ i n + η i > t ) 表示在 [ 0 ， t ] 时间间隔内进入服务的顾客数 (16) 其中 τ i n 表示在模型n中第i个顾客到达的时间； η i 表示第i个顾客的等待时间。 设 E n ( t ， ε ) ≡ E n ( t + ε ) − E n ( t ) ，若时间间隔足够小的时候，放弃的人数可以忽略。 设 I n ( t ， ε ) 表示在 [ t ， t + ε ] 内从队列前面离开的顾客数， A n I ( t ， ε ) 表示 I n ( t ， ε ) 中放弃的顾客数 则 E n ( t ， ε ) = I n ( t ， ε ) − A n I ( t ， ε ) (17) 其中 (18) 因为队列中顾客的等待时间是以速率1增加的，则有 W n ( t + ε ) ≤ W n ( t ) + ε 。 下证 A n I ( t ， ε ) 是可以忽略的。 令 J n ( t ， ε ) 表示在t时刻在系统中的顾客，在 [ t ， t + ε ] 时间间隔内没有进入服务，在 t + ε 时刻之前会放弃的顾客数。 可知， I n ( t ， ε ) − J n ( t ， ε ) 的顾客数一定会进入服务，因为在 t + ε 时刻之前没有放弃。 首先考虑到达时间 τ i n ， 0 < τ i n < τ ，则 J n ( t ， ε ) ≤ I n ( t ， ε ) sup { P ( t + τ i n + η i ≤ t + ε | τ < τ i n + η i ) } ≤ I n ( t ， ε ) sup 0 ≤ t ≤ τ { F c ( t ) − F c ( t + ε ) } ≤ I n ( t ， ε ) ‖ f ‖ τ ε + ο (ε) 则 A n I ( t ， ε ) ≤ J n ( t ， ε ) ≤ K ε I n ( t ， ε ) ， K = ‖ f ‖ τ (19) 由式(13)和(16)等价，可以对队首等待时间 W n ( t ) 进行描述。 如果系统一直处于忙期，可以使用无穷服务台模型，如式(13)中，其误差可以忽略。 我们可以得到式(18)的另一种表达式 I n ( t ， ε ) = n ∫ t − W n ( t ) t + ε − W n ( t + ε ) ∫ 0 ∞ 1 ( s + x > t ) d K ¯ n ( N ¯ n ( s ) ， x ) (20) 其中 K ¯ n ( t ， y ) ≡ 1 n ∑ i = 1 ⌊ n t ⌋ 1 ( η i ≤ y ) ， t ≥ 0 ， y ≥ 0 。 根据文献 [ 3 ] 可知 I n ( t ， ε ) = I n ， 1 ( t ， ε ) + I n ， 2 ( t ， ε ) + I n ， 3 ( t ， ε ) (21) 其中 I n ， 1 ( t ， ε ) = n ∫ t − W n ( t ) t + ε − W n ( t + ε ) F c ( t − s ) d N ^ n ( s ) 。 I n ， 2 ( t ， ε ) = n ∫ t − W n ( t ) t + ε − W n ( t + ε ) ∫ 0 ∞ 1 ( s + x > t ) d R ^ n ( s ， x ) (22) I n ， 3 ( t ， ε ) = n ∫ t − W n ( t ) t + ε − W n ( t + ε ) F c ( t − s ) λ ( s ) d s R ^ n ( s ， x ) ≡ n K ¯ n ( N ¯ n ( s ) ， x ) − N ^ n ( s ) F ( x ) − n Λ ( t s ) F (x) 定理(等待时间的泛函弱大数定律) 考虑一个忙期间隔 [ 0 ， τ ] 。若 X ¯ n ( 0 ) ⇒ X ( 0 ) 成立，且 X ( 0 ) = s ( 0 ) ，则在 D ( [ 0 ， τ ] ) 中，当 n → ∞ 时，有 W n ⇒ w (23) 其中w为式(9)中连续确定性流体模型函数的极限。 证明：为方便证明，我们考虑特殊的初始条件，即所有服务台都是忙的且队列为空。可知在忙期间隔离去过程与速率为 s ( t ) p μ 的非齐次泊松过程是渐进相等的。要证 W n ⇒ w 。通过利用判别紧性的方法(参考文献 [ 12 ]，第11.6节)来证W的泛函弱大数定律，我们需要先证明序列 { W n } 在 D ( [ 0 ， τ ] ) 上是胎紧的，然后证明每个收敛子序列的极限相等。 先证 { W n } 的胎紧性 首先序列 { W n } 是有界的，因为 W n ( t ) ≥ 0 且 W n ( t ) 最大是以速率1增加的。所考虑的忙期间隔是在一个较大的有限间隔 [ 0 ， τ * ] 中，因为系统假设是从忙期间隔开始且队列为空，则 W n ( t ) ≤ τ * 。 在闲期间隔内， W n ( 0 ) ⇒ 0 仍然成立，所以 lim n → ∞ sup W n ( t ) ≤ τ 。 因为对所有的t， W n ( t + δ ) − W n ( t ) ≤ δ ，则 W n ( t ) 的连续模有界。 设 I ¯ n ， j ≡ I n ， j n ，在 D ( [ 0 ， τ ] ) 中， I ¯ n ， 1 ⇒ 0 e ， I ¯ n ， 2 ⇒ 0 e 则 ‖ I ¯ n − I ¯ n ， 3 ‖ τ ⇒ 0 . (24) 由式(11)可知， I ¯ n ， 3 ( t ， δ ) − A ¯ n I ( t ， δ ) ⇒ E ( t ， δ ) ，则 A ¯ n I ( t ， δ ) 是可以忽略的。 由对 λ 和F的假设，可知当 c ≡ F c ( τ ) λ inf ( τ ) > 0 时， I n ， 3 的被积函数是有界的。 有 I ¯ n ， 3 ( t ， δ ) c ≥ W n ( t ) − W n ( t + δ ) + δ (25) 所以 W n ( t ) − W n ( t + δ ) ≤ I ¯ n ， 3 ( t ， δ ) c − δ ≤ E ¯ n ( t ， δ ) c 。 则有 lim n → ∞ sup { W n ( t ) − W n ( t + δ ) } ≤ D ( t ， δ ) + s ( t ， δ ) c ≡ K δ ，K为常数。 (26) 即序列 { W n ( t ) : 0 ≤ t ≤ τ } 是胎紧的。 再说明 { W n } 收敛子序列的极限，由胎紧性可知每个序列都有一个收敛的子序列，则要证 W n ⇒ w ，现在只需证 { W n } 的每个收敛子序列的极限为w。即证w满足下式 w ′ ( t ) ≡ d w d t ( t ) = 1 − b ( t ， 0 ) q ˜ ( t ， w ( t ) ) = 1 − s ( t ) p μ + s ′ ( t ) λ ( t − w ( t ) ) F c ( w ( t ) ) 或 w ( t ) = ∫ 0 t ( 1 − b ( u ， 0 ) q ˜ ( u ， w ( u ) ) ) d u 因为 w 是上面方程的唯一解。 由式(13)和(16)可得 E ¯ n ( t ， ε ) ⇒ E ( t ， ε ) = ∫ t t + ε b ( s ， 0 ) d s ， n → ∞ (27) 在上式中，当 ε → ∞ 时，其极限接近于 b ( t ， 0 ) = s ( t ) p μ + s ′ ( t ) 。 我们还需要考虑从队列中离开的顾客数。 I ¯ n ( t ， ε ) 与 I ¯ n，3 ( t ， ε ) 是渐进相等的。 对 I ¯ n ， 3 ( t ， ε ) 应用 W n ⇒ W 和连续映射定理可知，在 D ( [ 0 ， τ ] ) 中， I ¯ n ( t ， ε ) ⇒ I ( t ， ε ) ≡ ∫ t − W ( t ) t + ε − W ( t + ε ) F c ( t − s ) λ ( s ) d s (28) 也就是说，一旦我们知道极限W就可以确定 I ( t ， ε ) 的极限。 由上可得， A ¯ n I ( t ， ε ) = E ¯ n ( t ， ε ) − I ¯ n ( t ， ε ) ⇒ A I ( t ， ε ) ≡ E ( t ， ε ) − I ( t ， ε ) (29) 在给定极限W的条件下， I ( t ， ε ) 和 A I ( t ， ε ) 极限可以确定。 则 E ( t ， ε ) = I ( t ， ε ) + A I ( t ， ε ) = ∫ t − W ( t ) t + ε − W ( t + ε ) F c ( t − s ) λ ( s ) d s + A I ( t ， ε ) (30) 由式(19)可知，当 ε 任意小时， A I ( t ， ε ) 可以忽略。 则 E ( t ， ε ) = b ( t ， 0 ) ε + ο ( ε ) = F c ( t − W ( t ) ) λ ( W ( t ) ) ( 1 − W ′ ( t ) ) + ο ( ε ) (31) 由引理1可知W满足式(9)，因为常微分方程有唯一解，则 P ( W = w ) = 1 。 因为以上结论对每个收敛子序列的极限都成立，则 W n ⇒ w 。 因为 W ⇒ w ，可以确定 I ( t ， ε ) 和 A I ( t ， ε ) 的极限，即用 w ( t ) 代替 W ( t ) 。 即 E ( t ) 可以表示为 E ( t ) ≡ E ( 0 ， t ) 或 E ( t ) = D ( t ) + s ( t ) − s ( 0 ) = ∫ 0 t − w ( t ) F c ( t − s ) λ ( s ) ( 1 − w ′ ( s ) ) d s . □