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user: 3. 模型的建立与求解 3.1. 环境温度75℃时，关于服装温度变化的研究 3.1.1. 研究思路 探究在环境温度为75℃情况下，穿着高温作业专业服装工作在90分钟内的各层温度变化情况。设定第II层厚度为6 mm，第IV层厚度为5 mm。运用双层玻璃的热量损耗相同的原理计算出补偿系数g，最后运用集总参数法预测的温度分布数学模型，并运用MATLAB软件，分析各层织物温度变化 [ 3 ]。 3.1.2. 研究方法 模型I——双层玻璃热量流失模型 1) 模型原理 均匀介质的厚度表示为d，两侧流体温度差表示为 Δ T ，在单位时间内由温度较高的流体向温度低的流体单位面积传递的热量为Q，与 Δ T 成正比，与d成反比，即 Q = λ Δ T d 其中：k——热传导系数。 2) 模型建立 外界环境的温度表示为 y ∞ ，第I层织物材料温度表示为 y 1 ，热传导系数表示为 λ 1 ，厚度为 d 1 ；第II层织物材料温度表示为 y 2 ，热传导系数表示为 λ 2 ，厚度表示为 d 2 ；第III层织物材料温度表示为 y 3 ，热传导系数表示为 λ 3 ，厚度表示为 d 3 ；第IV层温度表示为 y 4 ，热传导系数表示为 λ 4 ，厚度表示为 d 4 。 由上式单位时间单位面积的热量传导(热量流失)模型可列： Q = λ 1 y 1 − y ∞ d 1 = λ 2 y 2 − y 1 d 2 = λ 3 y 3 − y 2 d 3 = λ 4 y 4 − y 3 d 4 其中：Q——单位时间单位面积的热量。 3) 模型数据处理 由附件二数据，第IV层温度在90分钟时 y 4 = 48.08 ˚ C 。且环境温度 y ∞ = 75 ˚ C ，体内温度为 y 0 = 37 ˚ C ，第II层厚度 d 2 = 6   mm ，第IV层厚度 d 4 = 5   mm 。将数据带入上式中，可解得： [ 4 ] y 1 = 71 ˚ C y 2 = 62.13 ˚ C y 3 = 57.77 ˚ C 模型II——利用集总参数法预测的温度分布模型 1) 模型的建立 根据物体非稳态导热的导热微分方程，可列得： y − y ∞ y 0 − y ∞ = exp ( − h A ρ c V x ) 其中：h——表面传热系数；A——传热表面面积；V——体积；c——比热容； ρ ——表示传热物质密度； ①方程的整理： y = ( y 0 − y ∞ ) exp ( − g h A ρ c V x ) + y ∞ 其中， y ∞ 为当前织物的外层在75℃时的温度。由于假设温度传递只存在一维传递且沿着温度梯度方向，故引入补偿系数g。 当前织物的外层在75℃时的温度，即每个方程分别用 y 1 、 y 2 、 y 3 代替上式的 y ∞ ， 将模型一结论 y 1 = 71 ˚ C ， y 2 = 62.13 ˚ C ， y 3 = 57.77 ˚ C 代入方程中，解出补偿系数g。并带入上述方程解得 第I层温度函数 y 1 ： y 1 = ( y 0 − y ∞ ) exp ( − 1.35 h A ρ c V x ) + 75 第II层温度函数 y 2 ： y 2 = ( y 0 − y 1 ) exp ( − 10.44 h A ρ c V x ) + y 1 第III层温度函数 y 3 ： y 3 = ( y 体 − y 2 ) exp ( − 3.95 h A ρ c V x ) + y 2 第IV层温度函数 y 4 ： y 4 = ( y 体 − y 3 ) exp ( − 0.15 h A ρ c V x ) + y 3 3.2. 环境温度65℃时，第二层最优厚度的研究 3.2.1. 研究思路 首先根据已知参数建立目标函数，其次由已知资料确定约束条件、构建最优化模型，最后利用LINGO软件，确定II层的最优厚度，确保工作60分钟时，不超过人体承受范围；以及第IV层在第60分钟内的温度变化。 3.2.2. 研究方法 模型III——最优化模型 1) 模型准备 确定第II层的最优厚度是能确保工作60分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47℃且超过44℃的时间不超过5分钟，即求第II层的最小厚度，可转化为求高温作业专业服装的最小质量。根据已知环境温度65℃，IV层的厚度为5.5 mm，一般高温作业专用服装最大质量不超过12 kg，可以利用最优化模型求解。 根据热力学知识可知，第IV层与人皮肤外侧相接触，可认为第IV层温度为人皮肤外侧温度。可限定第IV层最高温度为47℃，且超过44℃的时间不超过5分钟。 2) 模型的建立 高温作业专用服装质量m，即 m < 12   kg 服装总质量是各层织物材料质量之和，即 m = m I + m II + m III + m IV 已知第二层厚度 d 2 ，即 0.0006   m < d 2 < 0.025   m 当前环境温度 y 21 ，即 y 21 = 65 ˚ C 环境温度75℃较65℃热量流失更大，运用研究一的双层玻璃传热模型，可以得到第I层与第II层之间的代数关系。 λ 1 y 1 − y 2 d 1 > λ 2 y 21 − y 22 d 21 解不等式得： y 21 − y 22 < 8.87 即第I层与第II层的最大温差不会超过8.87℃。 由问题研究一解出的第IV层补偿系数即 g 4 = 0.15 由双层玻璃热量流失模型得： 在65℃时： λ 1 y 21 − y 22 d 1 = λ 2 y 22 − y 23 d 2 = λ 3 y 23 − y 24 d 3 = λ 4 y 23 − 47 d 4 第IV层温度分布模型： 在 x = 55   min 时假人皮肤外侧温度不超过44℃ 44 ≥ ( y 体 − y x = 55 ) exp ( − g 4 h A ρ c V ) + y x = 55 在整个热传递过程中，假人皮肤外侧温度不超过47℃ 47 ≥ ( y 体 − y 23 ) exp ( − g 4 h A ρ c V ) + y 23 在时间 x = 55   min 时，温度应超过44℃，即 y x = 55 > 44 ˚ C 第III层温度应大于47℃，即 y 23 > 47 ˚ C 3) 模型的求解 得到第II层最小厚度 d 2 (图中D2)为8.17 mm。 将 d 2 = 8 .17   mm 代入问题研究一模型中。在60分钟时，可以确定各层的温度如表1所示。 Table 1 Temperature form of each layer in 60 minute 时间 第I层温度 第II层温度 第III层温度 第IV层温度 60分钟 65℃ 56.13℃ 48.09℃ 44.77℃ 表1. 60分钟时各层温度表 可以得出，在 x = 3300   s ，即55分钟时的第Ⅳ层温度为43.8℃，在 x = 3600   s 即60分钟时温度为44.77℃。 3.3. 当环境温度为80℃，确定II层和IV层的最优厚度 3.3.1. 研究思路 利用差分方程模型建立一维热传导方程，求出各层织物材料的温度分布，达到确保工作30分钟后，人皮肤外侧温度不超过47℃情况下的最小厚度，即可确定第II层和第IV层的最优厚度。 3.3.2. 研究方法 模型IV——差分方程模型 1) 模型原理与建立 由资料可知，高温作业专业服装共分为4层，记为I、II、III、IV。环境的温度是恒定的为80℃，假人体内温度的是恒定的37℃，高温作业服每层织物材料热传导率分别为 λ i ( i = 1 ， 2 ， 3，4 ) ，本文要分析在高温环境即80℃工作时，热量传导至假人皮肤外侧的规律，以及高温作业装各层织物材料的温度分布，进而确定第II层和第IV层的最优厚度。 服装各层织物材料可以建立一维热传导方程为 ∂ y i ∂ x i = λ i c i ρ i ∂ 2 y i ∂ l 2 其中： y i ——第i高温防护服各层织物材料的温度分布； λ i ——为各层织物材料的热传导系数； c i ——比热容； ρ i ——各层物质密度；l——服装上一点至最外侧得距离； 以上皆为题目已知的常数，且 λ i c i ρ i > 0 [ 5 ]。 由假设可知，各层织物材料之间在热传导界面处热传导率保持平衡状态，且温度相等，即 λ i ∂ y i ∂ x = λ i + 1 ∂ y i + 1 ∂ x ， y i = y i + 1 ， l = d i ， ( i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 根据上式分析，建立的高温作业服热传导微分方程模型为 { ∂ y i ∂ x = λ i c i ρ i ∂ 2 y i ∂ l 2 λ i ∂ y i ∂ l = λ i + 1 ∂ y i + 1 ∂ l ， y i = y i + 1 ， l = d i ， ( i = 1 ， 2 ， 3 ) y 0 ( 0 ， x ) = 80 ˚ C y 4 ( L 4 ， x ) = y 0 = 37 ˚ C 2) 模型求解 根据上述差分方程模型，利用MATLAB软件进行求解，绘制图像： 其中：图像将时间变量x单位设置为 x 1 ( 分 钟 ) = 1800 x ； x——时间；d(Y)——厚度(空间变量)；U——温度； 图1. 第II层温度分布与厚度d (空间变量)关系 图2. 第IV层温度分布与厚度d空间变量关系 见图1、图2，根据温度分布与厚度d关系，当温度恒定时，第II层织物材料和第IV层越厚，温度越低，其延缓热量传递和隔绝热量的能力更强，表示高温防护服的隔热性能更好。 图3. 第II层温度分布与时间变量关系图 图4. 第IV层温度分布与时间变量关系 见图3、图4，根据温度分布与时间变量x的关系，当厚度恒定时，第II层和第IV层在高温环境下受到热源传导热量的时间越长，其能达到的温度越高，但随时间增大，温差减小，温度升高的趋势减缓。 图5. 第II层温度分布、时间、空间变量关系 图6. 第IV层温度分布、时间、空间变量关系 见图5、图6。呈现温度分布、时间、空间变量三者的关系，可以据图选出最优厚度： 根据研究三中，设定工作30分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47℃，超过44℃不超过5分钟，可认为在时间在25分钟时，即图像中 x = 0.833 3 时温度第IV层温度不超过44℃。既可以认为在此时的厚度为最优厚度。即求得第II层织物材料最优厚度 d 4 = 9.25   mm ，此时温度为52.15℃；即第IV层织物材料最优厚度求得 d = 5 . 568   mm ，此时温度为45.45℃。