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user: 4. 数值模拟 蔡少棠教授于1983年提出的蔡电路，是当前混沌电路中最具代表性的一种。其典型的电路结构已经使其成为一个无处不在的现实世界混沌系统的例子。通过电磁学定律的应用，蔡电路可以准确地建模出。近期，蔡电路模型被作为一种原型电子系统而广泛研究。本部分给出蔡电路的模型，以阐明有限时同步 结论的有效性。单个蔡电路的模型 [ 27 ] 为： ( v ˙ 1 ( t ) v ˙ 2 ( t ) i ˙ 3 ( t ) ) = ( − 1 C 1 R 1 C 1 R 0 1 C 2 R − 1 C 2 R 1 C 2 0 − 1 L − R 0 L ) ( v 1 ( t ) v 2 ( t ) i 3 ( t ) ) + ( − 1 C 1 f ( v 1 ) 0 0 ) ，各字母的实际含义可以参考文献 [ 27 ]，并且 f ( v 1 ) = G b 1 v 1 + 0.5 ( G a 1 − G b 1 ) ( ‖ v 1 + 1 ‖ − ‖ v 1 − 1 ‖ ) ，其中 G b 1 ， G a 1 为常数。 在这个模型的基础上加上时变时滞及耦合效果后变为如下形式： ( x ˙ k 1 ( t ) x ˙ k 2 ( t ) x ˙ k 3 ( t ) ) = ( − d d 0 p − p m 0 − s − z ) ( x k 1 ( t ) x k 2 ( t ) x k 3 ( t ) ) + ( − ε f ( x k 1 ( t − τ ( t ) ) ) 0 0 ) + ∑ h = 1 6 a k h H k h ( x k ( t ) ， x h ( t ) ) (8) 其中 x k 1 ( t ) = v k 1 ， x k 2 ( t ) = v k 2 ， x k 3 ( t ) = i k 3 ， d = 1 C 1 R ， p = 1 C 2 R ， m = 1 C 2 ， s = 1 L ， z = R 0 L 且 ε = 1 C 1 ， k = 1 ， 2 ， 3 ， 4 。 τ ( t ) 为节点内部发生的时变时滞且 H k h ( x k ( t ) ， x h ( t ) ) = ( sin ( x h 1 ( t ) − x k 1 ( t ) ) sin ( x h 2 ( t ) − x k 2 ( t ) ) sin ( x h 3 ( t ) − x k 3 ( t ) ) ) 。我们可以将系 统(8)看作驱动系统，相应的受控响应系统为： ( y ˙ k 1 ( t ) y ˙ k 2 ( t ) y ˙ k 3 ( t ) ) = ( − d d 0 p − p m 0 − s − z ) ( y k 1 ( t ) y k 2 ( t ) y k 3 ( t ) ) + ( − ε f ( y k 1 ( t − τ ( t ) ) ) 0 0 ) + ∑ h = 1 6 a k h H k h ( x k ( t ) ， x h ( t ) ) + u ^ k ( t ) (9) u ^ k ( t ) = { − α k e ^ k ( t ) − β k S I G N ( R ( e ^ k ( t ) ) ) ⋅ | e ^ k ( t ) | θ − ( ∫ t − τ ( t ) t δ e ^ k T ( s ) e ^ k ( s ) d s ) 1 + θ 2 ⋅ e ^ k ( t ) ‖ e ^ k ( t ) ‖ 2 ，     t ∈ [ t m ， s m ] ， 0 ，     t ∈ ( s m ， t m + 1 ) ， (10) θ ∈ ( 0 ， 1 ) ， β k ， δ 为常数。 e k 1 = y k 1 − x k 1 ， e k 2 = y k 2 − x k 2 ， e k 3 = y k 3 − x k 3 ， e ^ k = ( e k 1 ， e k 2 ， e k 3 ) T ， | e ^ k | θ = ( | e k 1 | θ ， | e k 2 | θ ， | e k 3 | θ ) T ， S I G N ( R ( e ^ k ) ) = d i a g { s i g n ( r ( e k 1 ) ) ， s i g n ( r ( e k 2 ) ) ， s i g n ( r ( e k 3 ) ) } 。 r ( ⋅ ) 按(4)来定义并且自适应法则为 α ˙ k = { e k 1 2 + e k 2 2 + e k 3 2 − σ k S I G N ( R ( α k − α k * ) ) | α k − α k * | θ ，     t ∈ [ t m ， s m ] ， 0 ，     t ∈ ( s m ， t m + 1 ) ， 其中 σ k ， α k * 为正常数。结合(8)和(9)有如下的误差系统： ( e ˙ k 1 ( t ) e ˙ k 2 ( t ) e ˙ k 3 ( t ) ) = ( − d d 0 p − p m 0 − s − z ) ( e k 1 ( t ) e k 2 ( t ) e k 3 ( t ) ) + ( − ε f ^ ( e k 1 ( t − τ ( t ) ) ) 0 0 ) + ∑ h = 1 6 a k h H ^ k h ( e k ( t ) ， e h ( t ) ) + u ^ k ( t ) (11) 其中 f ^ ( e k 1 ( t − τ ( t ) ) ) = f ( y k 1 ( t − τ ( t ) ) ) − f ( x k 1 ( t − τ ( t ) ) ) ， H ^ k h ( e k ( t ) ， e h ( t ) ) = H k h y k ( t ) ， y h ( t ) − H k h ( x k ( t ) ， x h ( t ) ) 。考虑在一个有向强连通图(图1)上的蔡电路模型， 有向图的邻接矩阵为 A = ( 0 0 .001 0 0 .005 0 0 0 .002 0 0 .002 0 0 0 .003 0 .001 0 0 0 ) 图1. 具有4个节点的一个强连通有向图 系统参数选取为 d = 9 ， p = 1 ， s = 16.7 ， z = 0.14 ， ε = 9 ， G b 1 = − 0.76 ， G a 1 = − 1.4 ， σ k = 1.4 ， θ = 0 .99 ， δ = 2 ， τ ( t ) = e t 1 + e t ， β 1 = 1 ， β 2 = 0 .9 ， β 3 = 1 .5 ， β 4 = 0 .8 ， x 11 ( t ) = 5.2 cos ( π t ) ， x 12 ( t ) = 5.3 sin ( π t ) ， x 1 3 ( t ) = 6 cos ( π t ) ， x 2 1 ( t ) = − 4 .8 cos ( π t ) ， x 22 ( t ) = 5.1 sin ( π t ) ， x 23 ( t ) = 6 .1 cos ( π t ) ， x 31 ( t ) = 5. 3 cos ( π t ) ， x 32 ( t ) = − 4.6 sin ( π t ) ， x 33 ( t ) = − 4 .9 cos ( π t ) ， x 41 ( t ) = 6 cos ( π t ) ， x 42 ( t ) = − 5 .1 cos ( π t ) ， x 43 ( t ) = − 5 .1 cos ( π t ) ， y 11 ( t ) = − 5 .5 cos ( π t ) ， y 12 ( t ) = 4.2 sin ( π t ) ， y 13 ( t ) = 6.3 cos ( π t ) ， y 21 ( t ) = − 7 .1 cos ( π t ) ， y 22 ( t ) = − 5 .1 sin ( π t ) ， y 23 ( t ) = 5.4 cos ( π t ) ， y 31 ( t ) = − 4 .1 cos ( π t ) ， y 32 ( t ) = − 6 .1 sin ( π t ) ， y 33 ( t ) = 5 cos ( π t ) ， y 41 ( t ) = − 4.9 cos ( π t ) ， y 42 ( t ) = − 6 .6 sin ( π t ) ， y 43 ( t ) = 5 .3 cos ( π t ) 。 通过计算，可得出停时为 T * = 4 .26 。此外，我们可以知道定理1的所有条件成立。图2给出了自适应法则 α k ( t ) 随时间的演变，其中，绿色曲线表示 α 1 ( t ) ，蓝色曲线表示 α 2 ( t ) ，黑色曲线表示 α 3 ( t ) ，紫色曲线表示 α 4 ( t ) 。从中我们可以看到当停时达到以后，所有的自适应法则都逼近于某个常数。图3展示的是带有定量自适应非周期间歇控制器(10)的同步误差轨道(11)，其中每一个曲线分别表示一个误差 e k i ( t ) ， k = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， i = 1 ， 2 ， 3 。不管误差状态的轨道一开始的变化有多复杂，在时间趋近于停时时，误差的状态都会逼近于0，而当时间超过停时以后，所有的误差的状态一直恒为0。从图3可以看出具有时变时滞的耦合蔡电路模型可以实现有限时同步，这证实了我们所提出的理论结果是正确的。 图2. 自适应法则 α k ( t ) ( k = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 的演变，并且 α 1 ( 0 ) = 0.1 ， α 2 ( 0 ) = 0.2 ， α 3 ( 0 ) = 0.4 ， α 4 ( 0 ) = 0.6 图3. 同步误差系统(11)的轨道