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user: 3. Gorenstein (m， n)-投射模及其性质 定义3.1 称左R-模M是Gorenstein (m， n)-投射模，如果存在(m， n)-投射左R-模的正合序列 ℑ = ⋯ → P 1 → P 0 → P − 1 → P − 2 → ⋯ ， 使得 M = Im ( P 0 → P − 1 ) ，并对任意的 E ∈ I ˜ ∩ I m ， n ， Hom R ( ℑ ， E ) 正合。 Gorenstein (m， n)-投射左R-模的类记为 G P m ， n 。 注记3.2 (1) (m， n)-投射左R-模是Gorenstein (m， n)-投射左R-模； (2) 若M是Gorenstein (m， n)-投射左R-模，则对任意 E ∈ I ˜ ∩ I m ， n ， Ext R 1 ( M ， E ) = 0 ； (3) 若 ℑ = ⋯ → P 1 → P 0 → P − 1 → P − 2 → ⋯ 是(m， n)-投射左R-模的正合序列，并对任意的 E ∈ I ˜ ∩ I m ， n ， Hom R ( ℑ ， E ) 正合，则每个箭头的像，核，余核都是Gorenstein (m， n)-投射左R-模； (4) Gorenstein (m， n)-投射左R-模关于直积封闭。 命题3.3 Gorenstein (m， n)-投射左R-模关于直和封闭。 证明 设 ( M i ) i ∈ I 是一簇Gorenstein (m， n)-投射左R-模，令 M = ⊕ i ∈ I M i 。对任意的 i ∈ I ，因为 M i 是Gorenstein (m， n)-投射左R-模，所以存在(m， n)-投射左R-模的正合序列 ℑ i = ⋯ → P 1 i → P 0 i → P − 1 i → P − 2 i → ⋯ ， 使得 M i ≅ Im ( P 0 i → P − 1 i ) ，并对任意的 E ∈ I ˜ ∩ I m ， n ， Hom R ( ℑ i ， E ) 正合。于是有正合序列 ⊕ i ∈ I ℑ i = ⋯ → ⊕ i ∈ I P 1 i → ⊕ i ∈ I P 0 i → ⊕ i ∈ I P − 1 i → ⊕ i ∈ I P − 2 i → ⋯ ， 使得 M ≅ Im ( ⊕ i ∈ I P 0 i → ⊕ i ∈ I P − 1 i ) ，并对任意的 E ∈ I ˜ ∩ I m ， n ， Hom R ( ⊕ i ∈ I ℑ i ， E ) ≅ Π i ∈ I ( ℑ i ， E ) 正合。因此M是Gorenstein (m， n)-投射左R-模。 命题3.4 设R是强左(m， n)-凝聚环，M是左R-模，则以下成立： (1) 若M是Gorenstein (m， n)-投射左R-模，则对任意的 E ∈ I ˜ ∩ I m ， n ，任意的 i ≥ 1 ， Ext R 1 ( M ， E ) = 0 ； (2) 对任意左R-模的正合序列 0 → N → G k − 1 → ⋯ → G 1 → G 0 → M → 0 ， G i ( 0 ≤ i ≤ k − 1 ) 是Gorenstein (m， n)-投射模，则对任意的 E ∈ I ˜ ∩ I m ， n ，以及任意的 i > 0 ， Ext R i ( N ， E ) ≅ Ext R k + i ( M ， E ) 。 证明 (1) 设M是Gorenstein (m， n)-投射左R-模，E是(m， n)-内射左R-模，且 id R ( E ) = k < ∞ ，考虑下列正合序列 0 → M → P 0 → P 1 → ⋯ → P k − 1 → P 0 → N → 0 ， 其中 P j ( 0 ≤ i ≤ k − 1 ) 是(m， n)-投射左R-模，因为R是强左(m， n)-凝聚环，由 [ 11 ] 定理2.2知 ( P m ， n ， I m ， n ) 是完备遗传余挠对，所以 Ext R i ≥ 1 ( P j ， E ) = 0 ， 0 ≤ j ≤ k − 1 。故对任意的 i ≥ 1 ， Ext R i ( N ， E ) ≅ Ext R k + i ( M ， E ) 。又因为 id R ( E ) = k < ∞ ，所以对任意的 i ≥ 1 ， Ext R i ( N ， E ) ≅ Ext R k + i ( M ， E ) = 0 。 (2) 的证明由(1)可得。 定理3.5 设R是强左(m， n)-凝聚环，M是左R-模，则M是Gorenstein (m， n)-投射左R-模当且仅当存在(m， n)-投射左R-模的正合序列 ℑ = ⋯ → P 1 → P 0 → P − 1 → P − 2 → ⋯ ， 使得 M = Im ( P 0 → P − 1 ) 。 证明 Þ)显然。 • )设N是(m， n)-内射左R-模，且 id R ( N ) = k < ∞ 。下证 Hom R ( ℑ ， N ) 正合，对k进行归纳总结。当 k = 0 时，结论显然成立。设 k ≥ 1 ，考虑短正合序列 0 → N → E → L → 0 ， 其中E是内射模， id R ( L ) = k − 1 。则有短正合序列 0 → L + → E + → N + → 0 ， 因为R是强左(m， n)-凝聚环，由 [ 8 ] 定理5.7知， E + 和 N + 是(m， n)-平坦模，故 L + 是(m， n)-平坦模，再由 [ 8 ] 定理5.7知，L是(m， n)-内射模。由归纳假设知 Hom R ( ℑ ， L ) 正合。于是存在复形的短正合序列 0 → Hom R ( ℑ ， N ) → Hom R ( ℑ ， E ) → Hom R ( ℑ ， L ) → 0 ， 其中 Hom R ( ℑ ， E ) 和 Hom R ( ℑ ， L ) 正合，从而由 [ 13 ] 定理6.3知， Hom R ( ℑ ， N ) 正合。因此M是Gorenstein (m， n)-投射的。 推论3.6 设R是强左(m， n)-凝聚环，M是左R-模，则以下等价： (1) M是Gorenstein (m， n)-投射模； (2) 存在左R-模的正合序列 0 → M → P − 1 → P − 2 → ⋯ ，其中每个 P i 是(m， n)-投射模； (3) 存在左R-模的短正合序列 0 → M → P → L → 0 ，其中P是(m， n)-投射模，L是Gorenstein (m， n)-投射模。 证明 (1) Þ (3) Þ (2)显然。 (2) Þ (1)设 ⋯ → P 1 → P 0 → M → 0 是(m， n)-投射分解。由(2)知，存在左R-模的正合序列 0 → M → P − 1 → P − 2 → ⋯ ， 其中 P − 1 ， P − 2 ， ⋯ 是(m， n)-投射左R-模，于是有左R-模的正合序列 ⋯ → P 1 → P 0 → P − 1 → P − 2 → ⋯ ， 使得 M = Im ( P 0 → P − 1 ) 。故由定理3.5知M是Gorenstein (m， n)-投射模。 命题3.7 设R是强左(m， n)-凝聚环， 0 → M 1 → M 2 → M 3 → 0 是左R-模的短正合序列。则以下成立： (1) 若 M 1 是Gorenstein (m， n)-投射模， M 3 是(m， n)-投射模，则 M 2 是Gorenstein (m， n)-投射模； (2) 若 M 3 是Gorenstein (m， n)-投射模， M 2 是(m， n)-投射模，则 M 1 是Gorenstein (m， n)-投射模。 证明 (1) 因为 M 1 是Gorenstein (m， n)-投射模，所以存在左R-模的短正合序列 0 → M 1 → P → N → 0 ，其中P是(m， n)-投射模，则N是Gorenstein (m， n)-投射模。考虑下列推出图1： 图1. 推出图 在短正合序列 0 → P → Q → M 3 → 0 中，P和 M 3 是(m， n)-投射模，由 [ 9 ] 注记2.8知，Q是(m， n)-投射模。在短正合序列 中，因为N是Gorenstein (m， n)-投射模，所以由推论3.6知， 是Gorenstein (m， n)-投射模。 (2) 类似地，由推论3.6可得。 定理 3.8 设R环，则以下等价： (1) 每个左R-模是Gorenstein (m， n)-投射的； (2) 环R满足以下两个条件： (i) 每个内射左R-模是(m， n)-投射的； (ii) 每个内射维数有限的(m， n)-内射左R-模是内射的。 证明 (1) Þ (2) 设M是内射左R-模。则有(1)知M是Gorenstein (m， n)-投射模。于是存在短正合序列 ， 其中P是(m， n)-投射模，由于M是内射模，所以该正合序列可裂。因此M是P的直和项，由注记2.4 (2)知，M是(m， n)-投射模。故(i)成立。设E是内射维数有限的(m， n)-内射左R-模，N是一个左R-模。由(1)知，N是Gorenstein (m， n)-投射模。于是由注记3.2 (2)知， ，所以E是内射模，故(ii)成立。 (2) Þ (1) 设M是左R-模。 是M的一个(m， n)-投射分解， 是M的一个内射分解，由(i)知存在(m， n)-投射左R-模的正合序列 ， 使得 。设E内射维数有限的(m， n)-内射左R-模，由(ii)知，E是内射模，所以 正合。因此M是Gorenstein (m， n)-投射模。