system: [SYSTEM]

user: 3. 定理的证明 定理1的证明 先证明结论(1)，即证明 lim r → ∞ T ( r ， Q ( z ， f ) ) T ( r ， f ) = 1 . (3.1) 由引理1知 f ( z ) 有有限个有穷亏值，设为 a 1 ， a 2 ⋯ ， a l ，由引理2得： ∑ i = 1 l m ( r ， 1 f − a i ) ≤ m ( r ， ∑ i = 1 l 1 f − a i ) + S ( r ， f ) = m ( r ， ( ∑ i = 1 l Q ( z ， f ) f − a i ) ⋅ 1 Q ( z ， f ) ) + S ( r ， f ) = m ( r ， ( ∑ i = 1 l Q ( z ， f − a i ) f − a i ) ⋅ 1 Q ( z ， f ) ) + S ( r ， f ) = m ( r ， 1 Q ( z ， f ) ) + S ( r ， f ) = T ( r ， Q ( z ， f ) ) − N ( r ， 1 Q ( z ， f ) ) + S ( r ， f ) ≤ T ( r ， Q ( z ， f ) ) + S ( r ， f ) . (3.2) 由引理2和引理3可得： T ( r ， Q ( z ， f ) ) = m ( r ， Q ( z ， f ) ) + N ( r ， Q ( z ， f ) ) 10 = m ( r ， f ⋅ Q ( z ， f ) f ) + N ( r ， Q ( z ， f ) ) ≤ m ( r ， Q ( z ， f ) f ) + m ( r ， f ) + ( n + 1 ) N ( r ， f ) + S ( r ， f ) ≤ T ( r ， f ) + n N ( r ， f ) + S ( r ， f ) . (3.3) 由(3.2)得： ∑ i = 1 l m ( r ， 1 f − a i ) T ( r ， f ) ≤ T ( r ， Q ( z ， f ) ) T ( r ， f ) + S ( r ， f ) T ( r ， f ) . 因为 δ ( ∞ ， f ) = 1 ，即 δ ( ∞ ， f ) = 1 − lim r → ∞ sup N ( r ， f ) T ( r ， f ) = 1 ， 得 到 lim r → ∞ sup N ( r ， f ) T ( r ， f ) = 0 (3.4) 所以 1 = ∑ i = 1 l δ ( a i ， f ) = ∑ i = 1 l lim r → ∞ inf m ( r ， 1 f − a i ) T ( r ， f ) ≤ lim r → ∞ inf ∑ i = 1 l m ( r ， 1 f − a i ) T ( r ， f ) = lim r → ∞ inf ( T ( r ， Q ( z ， f ) ) T ( r ， f ) + S ( r ， f ) T ( r ， f ) ) ≤ lim r → ∞ inf T ( r ， Q ( z ， f ) ) T ( r ， f ) + lim r → ∞ sup S ( r ， f ) T ( r ， f ) = lim r → ∞ inf T ( r ， Q ( z ， f ) ) T ( r ， f ) ≤ lim r → ∞ sup T ( r ， Q ( z ， f ) ) T ( r ， f ) ≤ lim r → ∞ sup T ( r ， f ) + n N ( r ， f ) + S ( r ， f ) T ( r ， f ) ≤ 1 + lim r → ∞ sup n N ( r ， f ) T ( r ， f ) + lim r → ∞ sup S ( r ， f ) T ( r ， f ) = 1. 所以得到： lim r → ∞ T ( r ， Q ( z ， f ) ) T ( r ， f ) = 1 ，结论(1)得证。 下面证结论(2)。 由(3.2)的推导过程中有 ∑ i = 1 l m ( r ， 1 f − a i ) T ( r ， f ) ≤ m ( r ， 1 Q ( z ， f ) ) T ( r ， f ) + S ( r ， f ) T ( r ， f ) ， (3.5) 由(3.1)和(3.5)得： 1 = ∑ i = 1 l δ ( a i ， f ) = ∑ i = 1 l lim r → ∞ inf m ( r ， 1 f − a i ) T ( r ， f ) ≤ lim r → ∞ inf ∑ i = 1 l m ( r ， 1 f − a i ) T ( r ， f ) ≤ lim r → ∞ inf ( m ( r ， 1 Q ( z ， f ) ) T ( r ， f ) + S ( r ， f ) ) ≤ lim r → ∞ inf m ( r ， 1 Q ( z ， f ) ) T ( r ， Q ( z ， f ) ) ⋅ lim r → ∞ sup T ( r ， Q ( z ， f ) ) T ( r ， f ) + lim r → ∞ sup S ( r ， f ) T ( r ， f ) = δ ( 0 ， Q ( z ， f ) ) . 即 δ ( 0 ， Q ( z ， f ) ) = 1 。 由 δ ( ∞ ， f ) = 1 和 N ( r ， Q ( z ， f ) ) ≤ ( n + 1 ) N ( r ， f ) + S ( r ， f ) 以及(3.1)式，得到： δ ( ∞ ， Q ( z ， f ) ) = 1 − lim r → ∞ sup N ( r ， Q ( z ， f ) ) T ( r ， Q ( z ， f ) ) ≥ 1 − { lim r → ∞ sup ( n + 1 ) N ( r ， f ) T ( r ， Q ( z ， f ) ) + lim r → ∞ sup S ( r ， f ) T ( r ， Q ( z ， f ) ) } ≥ 1 − lim r → ∞ sup ( n + 1 ) N ( r ， f ) T ( r ， f ) ⋅ T ( r ， f ) T ( r ， Q ( z ， f ) ) = 1. 即 δ ( ∞ ， Q ( z ， f ) ) = 1 ，证毕。 定理2的证明 如果 ∑ a ∈ ℂ δ ( a ， f ) = 0 ，定理2显然成立。下面证当 ∑ a ∈ ℂ δ ( a ， f ) > 0 的情况。 由(3.3)和(3.4)得 lim r → ∞ sup T ( r ， Q ( z ， f ) ) T ( r ， f ) ≤ lim r → ∞ sup T ( r ， f ) + n N ( r ， f ) + S ( r ， f ) T ( r ， f ) ≤ 1 . (3.6) 由(3.6)知 lim r → ∞ sup 1 T ( r ， f ) T ( r ， Q ( z ， f ) ) = 1 lim r → ∞ inf T ( r ， f ) T ( r ， Q ( z ， f ) ) ≤ 1 ， 所以得 lim r → ∞ inf T ( r ， f ) T ( r ， Q ( z ， f ) ) ≥ 1 . (3.7) 由(3.2)的推导过程中得到 ∑ i = 1 l m ( r ， 1 f − a i ) + N ( r ， 1 Q ( z ， f ) ) ≤ T ( r ， Q ( z ， f ) ) + S ( r ， f ) ， 从而 ∑ i = 1 l m ( r ， 1 f − a i ) T ( r ， Q ( z ， f ) ) + N ( r ， 1 Q ( z ， f ) ) T ( r ， Q ( z ， f ) ) ≤ 1 + S ( r ， f ) T ( r ， Q ( z ， f ) ) ， ∑ i = 1 l m ( r ， 1 f − a i ) T ( r ， Q ( z ， f ) ) + N ( r ， 1 Q ( z ， f ) ) T ( r ， Q ( z ， f ) ) − o ( T ( r ， f ) ) T ( r ， Q ( z ， f ) ) ≤ 1 ， 因此得到 N ( r ， 1 Q ( z ， f ) ) T ( r ， Q ( z ， f ) ) + T ( r ， f ) T ( r ， Q ( z ， f ) ) ( ∑ i = i l m ( r ， 1 f − a i ) T ( r ， f ) − o ( 1 ) ) ≤ 1 ， r → ∞ . 由上式结合(3.7)式可得 1 ≥ lim r → ∞ sup { N ( r ， 1 Q ( z ， f ) ) T ( r ， Q ( z ， f ) ) + T ( r ， f ) T ( r ， Q ( z ， f ) ) ( ∑ i = i l m ( r ， 1 f − a i ) T ( r ， f ) − o ( 1 ) ) } ≥ lim r → ∞ sup N ( r ， 1 Q ( z ， f ) ) T ( r ， Q ( z ， f ) ) + lim r → ∞ inf T ( r ， f ) T ( r ， Q ( z ， f ) ) ( ∑ i = i l m ( r ， 1 f − a i ) T ( r ， f ) − o ( 1 ) ) ≥ lim r → ∞ sup N ( r ， 1 Q ( z ， f ) ) T ( r ， Q ( z ， f ) ) + lim r → ∞ inf T ( r ， f ) T ( r ， Q ( z ， f ) ) ⋅ lim r → ∞ inf ∑ i = i l m ( r ， 1 f − a i ) T ( r ， f ) ≥ lim r → ∞ sup N ( r ， 1 Q ( z ， f ) ) T ( r ， Q ( z ， f ) ) + ∑ i = 1 l δ ( a i ， f ) . 因为 l 是任意的，结合(3.4)式，因此 ∑ a ∈ ℂ δ ( a ， f ) ≤ δ ( 0 ， Q ( z ， f ) ) 。 定理3的证明对任意非零复数 ω ，由题设可知 ∑ i = 1 n b i ( z ) = 0 ，即 Q ( z ， f − a ) = Q ( z ， f ) . 又因为 1 f − a = Q ( z ， f ) ω ( f − a ) − Q ( z ， f ) − ω Δ c Q ( z ， f ) ⋅ Δ c Q ( z ， f ) ω ( f − a ) ， 所以 m ( r ， 1 f − a ) = m ( r ， Q ( z ， f − a ) ω ( f − a ) ) + m ( r ， Q ( z ， f ) − ω Δ c Q ( z ， f ) ) + m ( r ， Δ c Q ( z ， f − a ) ω ( f − a ) ) + O ( 1 ) . 由引理4得 m ( r ， 1 f − a ) ≤ m ( r ， Q ( z ， f ) − ω Δ c Q ( z ， f ) ) + S ( r ， f ) . (3.8) 由引理3和引理4以及Nevanlinna第一基本定理可得 m ( r ， Q ( z ， f ) − ω Δ c Q ( z ， f ) ) = T ( r ， Δ c Q ( z ， f ) Q ( z ， f ) − ω ) − N ( r ， Q ( z ， f ) − ω Δ c Q ( z ， f ) ) + O ( 1 ) = m ( r ， Δ c Q ( z ， f ) Q ( z ， f ) − ω ) + N ( r ， Δ c Q ( z ， f ) Q ( z ， f ) − ω ) − N ( r ， Q ( z ， f ) − ω Δ c Q ( z ， f ) ) + O ( 1 ) ≤ m ( r ， Δ c Q ( z ， f ) Q ( z ， f ) − ω ) + N ( r ， Δ c Q ( z ， f ) Q ( z ， f ) − ω ) + O ( 1 ) ≤ m ( r ， Δ c Q ( z ， f ) Q ( z ， f ) − ω ) + N ( r ， 1 Q ( z ， f ) − ω ) + N ( r ， Δ c Q ( z ， f ) ) + O ( 1 ) ≤ m ( r ， Δ c Q ( z ， f ) Q ( z ， f ) − ω ) + N ( r ， 1 Q ( z ， f ) − ω ) + N ( r ， Q ( z + c ， f ) ) + N ( r ， Q ( z ， f ) ) + O ( 1 ) ≤ m ( r ， Δ c Q ( z ， f − ω ) Q ( z ， f ) − ω ) + N ( r ， 1 Q ( z ， f ) − ω ) + 2 ( n + 1 ) N ( r ， f ) + O ( 1 ) . (3.9) 又因为由(3.6)得 m ( r ， Δ c Q ( z ， f − ω ) Q ( z ， f ) − ω ) = S ( r ， Q ( z ， f ) − ω ) = S ( r ， f ) . (3.10) 由(3.8)~(3.10)式和Nevanlinna第一基本定理得 T ( r ， f − a ) − N ( r ， 1 f − a ) ≤ m ( r ， Q ( z ， f ) − ω Δ c Q ( z ， f ) ) + S ( r ， f ) ≤ N ( r ， 1 Q ( z ， f ) − ω ) + 2 ( n + 1 ) N ( r ， f ) + S ( r ， f ) . 由上式和题设条件可得 T ( r ， f ) ≤ N ( r ， 1 f − a ) + 2 ( n + 1 ) N ( r ， f ) + N ( r ， 1 Q ( z ， f ) − ω ) + S ( r ， f ) ≤ N ( r ， 1 Q ( z ， f ) − ω ) + S ( r ， f ) . (3.11) 由此可知 Q ( z ， f ) 可以取每个非零复数 ω 无穷多次。 另一方面， N ( r ， 1 Q ( z ， f ) − ω ) ≤ T ( r ， 1 Q ( z ， f ) − ω ) = T ( r ， Q ( z ， f ) ) + S ( r ， f ) = ( n + 1 ) T ( r ， f ) + S ( r ， f ) . (3.12) 由引理5知 f ( z ) 是正规增长的，由(3.11)和(3.12)以及零点收敛指数和级的定义得 λ ( ω ， Q ( z ， f ) ) = ρ ( f ) 。