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user: 2. 余切群胚 首先回顾辛群胚的定义。 定义2.1 [ 6 ] 群胚包含两个集合G和M (分别称为群胚和群胚的基)，满射 α ， β : G → M (分别称为源映射和靶映射)，映射 1 : x ↦ 1 x ， M → G ，定义在 G × G 的子集 G 2 = { ( h ， g ) ∈ G × G | α ( h ) = β ( g ) } 上的乘法 ( h ， g ) ↦ h g ，满足： 1. 对任意 ( h ， g ) ∈ G 2 ，有 α ( h g ) = α ( g ) 且 β ( h g ) = β ( h ) ； 2. 对任意 g ， h ， k ∈ G ，有 ( g h ) k = g ( h k ) ，其中 α ( g ) = β ( h ) 且 α ( h ) = β ( k ) ； 3. 对任意 x ∈ M ， α ( 1 x ) = β ( 1 x ) = x ； 4. 对任意 g ∈ G ，有 g 1 α g = g ， 1 β g g = g ； 5. 对任意 g ∈ G ，G中存在逆元 g − 1 ，满足 α ( g − 1 ) = β ( g ) ， β ( g − 1 ) = α ( g ) ， g − 1 g = 1 α g ， g g − 1 = 1 β g 。 定义2.2 [ 6 ] 一个群胚 G ⇉ M 称为李群胚，如果G和M都是微分流形， α ， β 都是浸没，并且乘法运算均为流形间的光滑映射。 定义2.3 [ 6 ] 令 G ⇉ M 是一个李群胚，若在G上有辛结构 Ω ，使得乘法图像 u = { ( x ， y ， x y ) ∈ G × G × G | ( x ， y ) ∈ G 2 } 是乘积辛流形 ( G ， Ω ) × ( G ， Ω ) × ( G ， − Ω ) 的拉格朗日子流形，则称 G ⇉ M 为辛群胚。 引理2.1 [ 7 ] 设X为 C ∞ 流形，S为X的子流形，则余法丛 N ∗ S 是余切丛 ( T ∗ X ， w c a n ) 的拉格朗日子流形，其中 w c a n 为余切丛 T ∗ X 的典范辛形式。 给定李群胚 G ⇉ M ，以 T α G → G 表示由切映射 T ( α ) : T G → T M 诱导的向量丛，以 1 : M → G ， m ↦ 1 m 表示单位映射。定义向量丛 A G → M 为 T α G → G 在 C ∞ 映射 1 : M → G 下的拉回丛，从而对 ∀ x ∈ M ，纤维 A x G = ker T 1 x ( α ) = T 1 x α − 1 ( x ) ⊂ T 1 x G 。 定义结构映射 α ， β ，乘积映射 · ，单位映射 1 ˜ ，以及逆映射如下： ① 定义 α ˜ : T ∗ G → A ∗ G ， ϕ ↦ α ˜ ( ϕ ) ，使得对 ∀ X ∈ A α g G ，有 〈 α ˜ ( ϕ ) ， X 〉 = 〈 ϕ ， T ( L g ) ( X − T ( 1 ) a X ) 〉 。其中 a = a G : A G → T M 为向量丛间的丛映射使得对 ∀ x ∈ M ， a x : A x G → T x M ， X ↦ d β | 1 x ( X ) ，这里 X ∈ T 1 x G 满足 d α | 1 x ( X ) = 0 。 ② 定义 β ˜ : T ∗ G → A ∗ G ， ϕ ↦ β ˜ ( ϕ ) ，使得对 ∀ Y ∈ A β g G ，有 〈 β ˜ ( ϕ ) ， Y 〉 = 〈 ϕ ， T ( R g ) Y 〉 。 ③ 定义乘法运算 · : T ∗ G × T ∗ G → T ∗ G ， ( ϕ ， ψ ) ↦ ϕ · ψ 。其中 ϕ ∈ T g ∗ G ， ψ ∈ T h ∗ G 满足 α ˜ ( ϕ ) = β ˜ ( ψ ) 。这里 X ∈ T g G 和 Y ∈ T h G 满足 T ( α ) X = T ( β ) Y 使得 〈 ϕ · ψ ， X · Y 〉 = 〈 ϕ ， X 〉 + 〈 ψ ， Y 〉 。 ④ 定义单位映射 1 ˜ : A ∗ G → T ∗ G ，使得对 ∀ φ ∈ A m ∗ G ， ξ ∈ T 1 m G ，有 〈 1 ˜ φ ， ξ 〉 = 〈 φ ， ξ − T ( 1 ) T ( α ) ξ 〉 。 ⑤ 定义逆运算： T ∗ G → T ∗ G ， ϕ ↦ ϕ − 1 。使得对 ∀ X ∈ T g G 有 〈 ϕ − 1 ， X − 1 〉 = − 〈 ϕ ， X 〉 (其中 ϕ ∈ T g ∗ G ， X − 1 ∈ T g − 1 G 为X在逆运算 G → G 的诱导切映射 T g G → T g − 1 G 下的像)。 定理2.1 给定李群胚 G ⇉ M ，在上述定义的映射下， T ∗ G ⇉ A ∗ G 为辛群胚。称 T ∗ G ⇉ A ∗ G 为余切群胚。 证明：(1) 验证群胚结构： ① 任取 ϕ ∈ T g ∗ G ， ψ ∈ T h ∗ G ，使得 α ˜ ( ϕ ) = β ˜ ( ψ ) ，则 ϕ · ψ ∈ T g h ∗ G 。需说明 α ˜ ( ϕ · ψ ) = α ˜ ( ψ ) ， β ˜ ( ϕ · ψ ) = β ˜ ( ϕ ) 。 事实上， ∀ X ∈ A α ( g h ) G = A α ( h ) G ，有 〈 α ˜ ( ϕ · ψ ) ， X 〉 = 〈 ϕ · ψ ， T ( L g h ) ( X − T ( 1 ) a X ) 〉 = 〈 ϕ · ψ ， 0 · T ( L h ) ( X − T ( 1 ) a X ) 〉 = 〈 ϕ ， 0 〉 + 〈 ψ ， T ( L h ) ( X − T ( 1 ) a X ) 〉 = 〈 α ˜ ( ψ ) ， X 〉 从而 α ˜ ( ϕ · ψ ) = α ˜ ( ψ ) 。 ∀ Y ∈ A β ( g h ) G = A β ( g ) G ，有 〈 β ˜ ( ϕ · ψ ) ， Y 〉 = 〈 ϕ · ψ ， T ( R g h ) ( Y ) 〉 = 〈 ϕ · ψ ， T ( R g ) ( Y ) · 0 〉 = 〈 ϕ ， T ( R g ) ( Y ) 〉 + 〈 ψ ， 0 〉 = 〈 β ˜ ( ϕ ) ， Y 〉 ， 从而 β ˜ ( ϕ · ψ ) = β ˜ ( ϕ ) 。 ② 任取 ϕ 1 ∈ T f ∗ G ， ϕ 2 ∈ T g ∗ G ， ϕ 3 ∈ T h ∗ G ，且满足 α ˜ ( ϕ 1 ) = β ˜ ( ϕ 2 ) ， α ˜ ( ϕ 2 ) = β ˜ ( ϕ 3 ) 。需说明 ϕ 1 · ( ϕ 2 · ϕ 3 ) = ( ϕ 1 · ϕ 2 ) · ϕ 3 。 任取 X 1 ∈ T f G ， X 2 ∈ T g G ， X 3 ∈ T h G ，且满足 T ( α ) X 1 = T ( β ) X 2 ， T ( α ) X 2 = T ( β ) X 3 。从而 T ( α ) X 1 = T ( β ) ( X 2 · X 3 ) ， T ( α ) ( X 1 · X 2 ) = T ( β ) X 3 ，从而 X 1 · ( X 2 · X 3 ) = ( X 1 · X 2 ) · X 3 。从而 ϕ 1 · ( ϕ 2 · ϕ 3 ) = ( ϕ 1 · ϕ 2 ) · ϕ 3 。 ③ 任取 φ ∈ A m ∗ G ，需说明 α ˜ ( 1 φ ) = β ˜ ( 1 φ ) = φ 。 任取 X ∈ A m G ⊆ T 1 m G ，则有 〈 α ˜ ( 1 ˜ φ ) ， X 〉 = 〈 1 ˜ φ ， T ( L 1 m ) ( X − T ( 1 ) a X ) 〉 = 〈 1 ˜ φ ， ( X − T ( 1 ) a X ) 〉 = 〈 φ ， ( X − T ( 1 ) a X ) − T ( 1 ) T ( α ) ( X − T ( 1 ) a X ) 〉 = 〈 φ ， X 〉 。 另外， 〈 β ˜ ( 1 ˜ φ ) ， X 〉 = 〈 1 ˜ φ ， T ( R 1 m ) ( X ) 〉 = 〈 1 ˜ φ ， X 〉 = 〈 φ ， X − T ( 1 ) T ( α ) X 〉 = 〈 φ ， X 〉 。 ④ 任取 ϕ ∈ T g ∗ G ，需说明 ϕ · 1 ˜ α ˜ ( ϕ ) = ϕ ， 1 ˜ β ˜ ( ϕ ) · ϕ = ϕ 。 任取 X ∈ T g G ， Y ∈ T 1 α g G 满足 T ( α ) X = T ( β ) Y ， 〈 ϕ · 1 ˜ α ˜ ( ϕ ) ， X · Y 〉 = 〈 ϕ ， X 〉 + 〈 1 ˜ α ˜ ( ϕ ) ， Y 〉 = 〈 ϕ ， X 〉 + 〈 α ˜ ( ϕ ) ， Y − T ( 1 ) T ( α ) Y 〉 = 〈 ϕ ， X 〉 + 〈 ϕ ， T ( L g ) [ ( Y − T ( 1 ) T ( α ) Y ) − T ( 1 ) a ( Y − T ( 1 ) T ( α ) Y ) ] 〉 = 〈 ϕ ， X 〉 + 〈 ϕ ， T ( L g ) [ ( Y − T ( 1 ) T ( α ) Y ) − T ( 1 ) T ( β ) ( Y − T ( 1 ) T ( α ) Y ) ] 〉 = 〈 ϕ ， X 〉 + 〈 ϕ ， T ( L g ) ( Y − T ( 1 ) T ( β ) Y ) 〉 = 〈 ϕ ， X + T ( L g ) ( Y − T ( 1 ) T ( β ) Y ) 〉 = 〈 ϕ ， X · Y 〉 任取 X ∈ T g G ， Z ∈ T 1 β g G 满足 T ( α ) Z = T ( β ) X ， 〈 1 ˜ β ˜ ( ϕ ) · ϕ ， Z · X 〉 = 〈 1 ˜ β ˜ ( ϕ ) ， Z 〉 + 〈 ϕ ， X 〉 = 〈 β ˜ ( ϕ ) ， Z − T ( 1 ) T ( α ) Z 〉 + 〈 ϕ ， X 〉 = 〈 ϕ ， T ( R g ) ( Z − T ( 1 ) T ( α ) Z ) 〉 + 〈 ϕ ， X 〉 = 〈 ϕ ， T ( R g ) ( Z − T ( 1 ) T ( α ) Z ) + X 〉 = 〈 ϕ ， Z · X 〉 ⑤ 任取 ϕ ∈ T g ∗ G ，需说明 α ˜ ( ϕ − 1 ) = β ˜ ( ϕ ) ， β ˜ ( ϕ − 1 ) = α ˜ ( ϕ ) ， ϕ · ϕ − 1 = 1 ˜ β ˜ ( ϕ ) ， ϕ − 1 · ϕ = 1 ˜ α ˜ ( ϕ ) 。 任取 X ∈ A α g − 1 G = A β g G ，则 〈 α ˜ ( ϕ − 1 ) ， X 〉 = 〈 ϕ − 1 ， T ( L g − 1 ) ( X − T ( 1 ) a X ) 〉 = 〈 ϕ − 1 ， T ( L g − 1 ) ( − T ( i ) X ) 〉 = 〈 ϕ − 1 ， − T ( i ) T ( R g ) X 〉 = 〈 ϕ ， T ( R g ) X 〉 = 〈 β ˜ ( ϕ ) ， X 〉 。 同理可证 β ˜ ( ϕ − 1 ) = α ˜ ( ϕ ) 。 任取 X ∈ T g G ， Y ∈ T g − 1 G 满足 T ( α ) X = T ( β ) Y ， X · Y ∈ T 1 β g G 。注意到 T 1 β g G 中的元素均可唯一表示 为 T ( 1 ) ( w ) + W ，其中 w ∈ T β g M ， W ∈ A β g G 。 由于 w = T ( α ) X = T ( β ) Y ，从而 T ( 1 ) w = T ( 1 ) T ( β ) Y = Y · Y − 1 。从而 〈 ϕ · ϕ − 1 ， T ( 1 ) w 〉 = 〈 ϕ · ϕ − 1 ， Y · Y − 1 〉 = 〈 ϕ ， Y 〉 + 〈 ϕ − 1 ， Y − 1 〉 = 〈 ϕ ， Y 〉 − 〈 ϕ ， Y 〉 = 0 。 〈 1 ˜ β ˜ ( ϕ ) ， T ( 1 ) w 〉 = 〈 1 ˜ β ˜ ( ϕ ) ， T ( 1 ) T ( α ) X 〉 = 0 ，故 〈 ϕ · ϕ − 1 ， T ( 1 ) w 〉 = 〈 1 ˜ β ˜ ( ϕ ) ， T ( 1 ) w 〉 。 以 0 ˜ g − 1 ∈ T g − 1 G 为切空间 T g − 1 G 中的零向量，则 W = ( T ( R g ) W ) · 0 ˜ g − 1 ，(*) 若上式成立，则 〈 ϕ · ϕ − 1 ， W 〉 = 〈 ϕ · ϕ − 1 ， ( T ( R g ) ) W · 0 ˜ g − 1 〉 = 〈 ϕ ， ( T ( R g ) ) W 〉 + 〈 ϕ − 1 ， 0 ˜ g − 1 〉 = 〈 ϕ ， T ( R g ) W 〉 = 〈 β ˜ ( ϕ ) ， W 〉 = 〈 1 β ˜ ( ϕ ) ， W 〉 。 从而 ϕ · ϕ − 1 = 1 ˜ β ˜ ( ϕ ) 。同理可证 ϕ − 1 · ϕ = 1 ˜ α ˜ ( ϕ ) 。 注：由于 W ∈ A y G ，从而可取 C ∞ 曲线 γ : ( − ε ， ε ) → G ， ε > 0 充分小使得 ∀ t ∈ ( − ε ， ε ) 有 γ ( 0 ) = 1 y ， α ( γ ( t ) ) = y 且 d d t | t = 0 γ ( t ) = W 。从而 T ( R g ) W = d d t | t = 0 R g ( γ ( t ) ) = d d t | t = 0 γ ( t ) g 从而 T ( R g ) W · 0 ˜ g − 1 = d d t | t = 0 k ( γ ( t ) g ， g − 1 ) = d d t | t = 0 γ ( t ) = W 。 (2) 证明 G = { ( g ， ϕ ) ， ( h ， ψ ) ， ( g h ， ϕ · ψ ) ∈ T ∗ G × T ∗ G × T ∗ G | α ˜ ( ϕ ) = β ˜ ( ψ ) } 是辛流形 ( T ∗ G ， w 0 ) × ( T ∗ G ， w 0 ) × ( T ∗ G ， − w 0 ) 的拉格朗日子流形，则 T ∗ G ⇉ A ∗ G 为辛群胚。 由于 G ⇉ M 为李群胚，从而 S = { ( g ， h ， g h ) ∈ G × G × G | α ( g ) = β ( h ) } 是 G × G × G 的光滑子流形，由引理1可知，余法丛 N ∗ S 是 ( T ∗ G ， w c a n ) × ( T ∗ G ， w c a n ) × ( T ∗ G ， w c a n ) 的拉格朗日子流形。任取 ( g ， h ， g h ) ∈ S ，则余法丛 N ∗ S 的纤维为 { ( ϕ ， ψ ， − ϕ · ψ ) ∈ T g ∗ G × T h ∗ G × T g h ∗ G | α ˜ ( ϕ ) = β ˜ ( ψ ) } ， 此纤维同构于 { ( ϕ ， ψ ， ϕ · ψ ) ∈ T g ∗ G × T h ∗ G × T g h ∗ G | α ˜ ( ϕ ) = β ˜ ( ψ ) } 。得证。