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user: 2. CT系统主要参数标定 文中使用的二维CT系统如图1所示 [ 3 ] ，平行入射的X射线垂直于探测器平面，每个探测器单元看成一个接收点，且等距排列。已知结构的模板几何信息如图2所示 [ 3 ] 。 图1. 二维CT系统示意图 图2. 已知结构模板的几何信息 2.1. 探测器单元间距的计算 对文献 [ 3 ] 附件2的模板接收信息，根据吸收率的强弱进行染色，得到512个探测单元旋转180个方向的接收结果，见图3。 图3. 吸收率色阶图 分析图3中吸收率可知，当系统旋转到A处时，X射线与圆、椭圆相切，并在下一次旋转时与二者相离；B处吸收率最强而范围最小，此时X射线应最接近平行于椭圆长轴；C处接收范围最大而强度除去中间深色圆形的叠加后是最弱的，此时X射线应最接近平行于椭圆短轴，三种情况如图4中所示。 探测器单元间距公式为： Δ d = l / n ，其中l为n个连续探测器的总间距。 按照图4的分析，对文献 [ 3 ] 附件2中的数据进行比对，得： n A ≈ 29 ， l A = 8   mm △ d A = 8 29   mm ≈ 0.2759   mm 图4. ABC三处射线扫描情况 考虑到旋转可能跳过平行于长轴或短轴的方向，对B、C附近几组数据进行比对发现，数据之间变化很小，可认为系统转到此两处时近似经过两轴，得： n B ≈ 109 ， l B = 30   mm △ d B = 30 109   mm ≈ 0.2752   mm n C ≈ 289 ， l C = 80   mm △ d C = 80 289   mm ≈ 0.2768   mm 由于C处采集的数据较多，认为该处数据能更合理的反映探测单元间的实际距离，因此得到最终结果为0.2768 mm。 2.2. 卷积逆投影图像重建 逆投影是指各个方向的投影逆向返回到该方向的位置，如果对多个投影方向中的每个方向都进行这样的逆投影，就可以建立平面上的一个部分，典型的方法是卷积逆投影重建 [ 4 ] 。 卷积可看成一种滤波手段 [ 5 ] ，卷积逆投影相当于先对数据滤波再将结果逆投影回来，可以使模糊得到校正。而卷积重建法是一种变换重建法，可以根据傅里叶变换推出 [ 6 ] 。 图像函数 f ( x ， y ) 的二维傅里叶变换为： F ( u ， v ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x ， y ) e − j 2 π ( u x + v y ) d x d y 逆变换公式为： f ( x ， y ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ F ( u ， v ) e j 2 π ( u x + v y ) d u d y (1) 用 u = r cos θ ， v = r sin θ 进行代换，得公式(1)的极坐标形式： f ( x ， y ) = ∫ 0 2π ∫ 0 ∞ F ( r ， θ ) e j 2 π ( x cos θ + y sin θ ) r d r d θ 由傅里叶变换共轭对称性得： f ( x ， y ) = ∫ 0 2π ∫ 0 ∞ F ( r ， θ ) e j 2 π ( x cos θ + y sin θ ) | r | d r d θ (2) 令 f ′ ( x ， y ， θ ) = ∫ − ∞ ∞ e j 2 π ( x cos θ + y sin θ ) F ( r ， θ ) | r | d r ，公式(2)等价于： f ( x ， y ) = ∫ 0 π f ′ ( x ， y ， θ ) d θ (3) 当r取 ( − 1 / 2 d ， 1 / 2 d ) 时，公式(2)近似为： f ( x ， y ) ≈ ∫ 0 π ∫ − 1 2 d 1 2 d F ( r ， θ ) e j 2 π ( x cos θ + y sin θ ) | r | d r d θ 即： h ( ρ ) = ∫ − 1 2 d 1 2 d | r | e j 2 π ρ d r (4) 联立公式，经化简得： f ′ ( x ， y ， θ ) = ∫ − ∞ ∞ g ( ρ ， θ ) h ( x cos θ + y sin θ − ρ ) d ρ (5) 由化简结果知，可以先将投影数据 g ( ρ ， θ ) 和相应脉冲滤波器(公式(4))进行卷积，然后用公式(3)对不同旋转角θ求和，就能实现图像重建。 本文利用Matlab函数进行卷积重建，还原探测器视角的扫描图像，将图像二值化，编程算出图像的中心点、椭圆的中心并建立坐标系，如图5所示。 图5. 还原图像建立坐标系 图中G点为图像正中心，由旋转平移的性质知，原系统旋转中心坐标相当于G点在图5坐标系中的坐标。这里我们设图5的左下角顶点为坐标原点。 先将复原图比例调整为与文献 [ 3 ] 附件1中一致。 la是经过椭圆心、圆心的直线，lb为椭圆长轴。原图中，椭圆长短轴的交点、圆心的位置是已知的，计算两线的方程为： la : y = − 0.5677 x + 258.0935 lb : y = 1.7613 x − 204.6182 联立解得旋转中心为(−9.0663， 6.3578)。 2.3. 平面投影角度计算模型 求解CT系统X射线的180个方向，关键在于确定每个时刻X射线相对于椭圆心、圆心连线的夹角，为此，本节建立了基于平面几何投影的角度计算模型。 图6. 圆心距投影模型 在利用投影计算方向之前，文中选取了部分只穿过椭圆的X射线，对它们的接收强度与它们穿过椭圆的长度进行拟合，发现二者之间呈线性相关，关系式如下：I = 1.7722L。 在图6中，AB为某时刻探测器相对位置，A、B分别为椭圆心O 1 、圆心O 2 经X射线在探测器上的投影，可知：∆CAO 1 ~∆CBO 2 ，则有 | CA | | CO 1 | = | CA | + | AB | | CO 1 | + | O 1 O 2 | ，化简得： | CA | | CO 1 | = | AB | | O 1 O 2 | = cos α 。 |O 1 O 2 |已知，AO 1 、BO 2 分别经过椭圆心、圆心，由前述线性相关性，得出这两条X射线应是穿过椭圆和圆的射线中接收强度最大的两条，因此通过筛选出文献 [ 3 ] 附件2中每列经过椭圆的射线接收强度最大值和经过圆的射线接收强度最大值，就可找到每次旋转后的AO 1 和BO 2 ，两线间距离为投影|AB|，从而可得 的值。 利用Matlab拟合出的余弦函数为： cos α = − 0.0093 + 0.9926 ∗ cos ( 0.0175 t + 0.4807 ) ，相关度信息为：R-SQUARE = 0.9995，RMSE = 0.0141，表明拟合效果较好。 求反函数拟合得到180次旋转的角度变换公式为： P = 1.0015 t + 28.1355 + 90 ，单位为度。 由上式可计算出X射线在以椭圆心为原点的坐标轴中的初始方向，见图7。 图7. X射线初始方向 因此，CT系统使用的X射线的180个方向如表1所示(单位为度)。 Table 1 180 Directions of X-ra 次数 角度(˚) 1~6 119.1370 120.1385 121.1400 122.1415 123.1430 124.1445 7~12 125.1460 126.1475 127.1490 128.1505 129.1520 130.1535 13~18 131.1550 132.1565 133.1580 134.1595 135.1610 136.1625 19~24 137.1640 138.1655 139.1670 140.1685 141.1700 142.1715 25~30 143.1730 144.1745 145.1760 146.1775 147.1790 148.1805 31~36 149.1820 150.1835 151.1850 152.1865 153.1880 154.1895 37~42 155.1910 156.1925 157.1940 158.1955 159.1970 160.1985 43~48 161.2000 162.2015 163.2030 164.2045 165.2060 166.2075 49~54 167.2090 168.2105 169.2120 170.2135 171.2150 172.2165 55~60 173.2180 174.2195 175.2210 176.2225 177.2240 178.2255 61~66 179.2270 180.2285 181.2300 182.2315 183.2330 184.2345 67~72 185.2360 186.2375 187.2390 188.2405 189.2420 190.2435 73~78 191.2450 192.2465 193.2480 194.2495 195.2510 196.2525 79~84 197.2540 198.2555 199.2570 200.2585 201.2600 202.2615 84~90 203.2630 204.2645 205.2660 206.2675 207.2690 208.2705 91~96 209.2720 210.2735 211.2750 212.2765 213.2780 214.2795 97~102 215.2810 216.2825 217.2840 218.2855 219.2870 220.2885 103~108 221.2900 222.2915 223.2930 224.2945 225.2960 226.2975 109~114 227.2990 228.3005 229.3020 230.3035 231.3050 232.3065 115~120 233.3080 234.3095 235.3110 236.3125 237.3140 238.3155 121~126 239.3170 240.3185 241.3200 242.3215 243.3230 244.3245 127~132 245.3260 246.3275 247.3290 248.3305 249.3320 250.3335 133~138 251.3350 252.3365 253.3380 254.3395 255.3410 256.3425 139~144 257.3440 258.3455 259.3470 260.3485 261.3500 262.3515 145~150 263.3530 264.3545 265.3560 266.3575 267.3590 268.3605 151~156 269.3620 270.3635 271.3650 272.3665 273.3680 274.3695 157~162 275.3710 276.3725 277.3740 278.3755 279.3770 280.3785 163~168 281.3800 282.3815 283.3830 284.3845 285.3860 286.3875 169~174 287.3890 288.3905 289.3920 290.3935 291.3950 292.3965 175~180 293.3980 294.3995 295.4010 296.4025 297.4040 298.4055 表1. X射线的180个方向