system: [SYSTEM]

user: 2. “大头”的概念及性质 定义2.1若 lim x → ∗ f 2 ( x ) f 1 ( x ) = 0 ，则称 f 1 ( x ) 为当 x → ∗ 时 f 1 ( x ) + f 2 ( x ) 中的大头，其中 ∗ 表示 x 0 ， x 0 + ， x 0 − ， ∞ ， + ∞ ， − ∞ 中的一种，下同。 性质1若 f 1 ( x ) 为当 x → ∗ 时 f 1 ( x ) + f 2 ( x ) 中的大头，则 k 1 f 1 ( x ) 为当 x → ∗ 时 k 1 f 1 ( x ) + k 2 f 2 ( x )   ( k 1 ≠ 0 ) 中的大头。 证明：因为 f 1 ( x ) 为当 x → ∗ 时 f 1 ( x ) + f 2 ( x ) 中的大头，即 lim x → ∗ f 2 ( x ) f 1 ( x ) = 0 ，于是 lim x → ∗ k 2 f 2 ( x ) k 1 f 1 ( x ) = k 2 k 1 lim x → ∗ f 2 ( x ) f 1 ( x ) = 0 ， 即 k 1 f 1 ( x ) 为当 x → ∗ 时 k 1 f 1 ( x ) + k 2 f 2 ( x )   ( k 1 ≠ 0 ) 中的大头。 性质2 若 f 1 ( x ) 和 g 1 ( x ) 分别为当 x → ∗ 时 f 1 ( x ) + f 2 ( x ) 中的大头和 g 1 ( x ) + g 2 ( x ) 中的大头，则 f 1 ( x ) g 1 ( x ) 为当 x → ∗ 时 ( f 1 ( x ) + f 2 ( x ) ) ( g 1 ( x ) + g 2 ( x ) ) 中的大头。 证明：因为 ( f 1 ( x ) + f 2 ( x ) ) ( g 1 ( x ) + g 2 ( x ) ) = f 1 ( x ) g 1 ( x ) + ( f 1 ( x ) g 2 ( x ) + f 2 ( x ) g 1 ( x ) + f 2 ( x ) g 2 ( x ) ) ，而 f 1 ( x ) 和 g 1 ( x ) 分别为当 x → ∗ 时 f 1 ( x ) + f 2 ( x ) 中的大头和 g 1 ( x ) + g 2 ( x ) 中的大头，即 lim x → ∗ f 2 ( x ) f 1 ( x ) = lim x → ∗ g 2 ( x ) g 1 ( x ) = 0 ，于是 lim x → ∗ f 1 ( x ) g 2 ( x ) + f 2 ( x ) g 1 ( x ) + f 2 ( x ) g 2 ( x ) f 1 ( x ) g 1 ( x ) = lim x → ∗ ( g 2 ( x ) g 1 ( x ) + f 2 ( x ) f 1 ( x ) + g 2 ( x ) g 1 ( x ) ⋅ f 2 ( x ) f 1 ( x ) ) = 0 ， 即 f 1 ( x ) g 1 ( x ) 为当 x → ∗ 时 ( f 1 ( x ) + f 2 ( x ) ) ( g 1 ( x ) + g 2 ( x ) ) 中的大头。 推论1若 f 1 ( x ) 和 g 1 ( x ) 分别为当 x → ∗ 时 f 1 ( x ) + f 2 ( x ) 中的大头和 g 1 ( x ) + g 2 ( x ) 中的大头，则 r 1 s 1 f 1 ( x ) g 1 ( x )   ( r 1 s 1 ≠ 0 ) 为当 x → ∗ 时 ( r 1 f 1 ( x ) + r 2 f 2 ( x ) ) ( s 1 g 1 ( x ) + s 2 g 2 ( x ) ) 中的大头。 结合性质1和性质2易证，证明略。 性质3若 f 1 ( x ) 为当 x → ∗ 时 f 1 ( x ) + f 2 ( x ) 中的大头，则对任意 α ∈ R ， ( f 1 ( x ) ) α 为当 x → ∗ 时 ( f 1 ( x ) + f 2 ( x ) ) α 中的大头。 证明：因为 f 1 ( x ) 为当 x → ∗ 时 f 1 ( x ) + f 2 ( x ) 中的大头，即 lim x → ∗ f 2 ( x ) f 1 ( x ) = 0 ，于是 lim x → ∗ ( f 1 ( x ) + f 2 ( x ) ) α − ( f 1 ( x ) ) α ( f 1 ( x ) ) α = lim x → ∗ ( 1 + f 2 ( x ) f 1 ( x ) ) α − 1 = 0 ， 即 ( f 1 ( x ) ) α 为当 x → ∗ 时 ( f 1 ( x ) + f 2 ( x ) ) α 中的大头。 注1：若 f 1 ( x ) 和 g 1 ( x ) 分别为当 x → ∗ 时 f 1 ( x ) + f 2 ( x ) 中的大头和 g 1 ( x ) + g 2 ( x ) 中的大头，则 f 1 ( x ) + g 1 ( x ) 未必为当 x → ∗ 时 f 1 ( x ) + g 1 ( x ) + f 2 ( x ) + g 2 ( x ) 中的大头。 例如，取 f 1 ( x ) = x + x 3 ， f 2 ( x ) = x 2 ， g 1 ( x ) = − x + 2 x 3 ， g 2 ( x ) = 2 x 2 ，则不难验证 f 1 ( x ) 和 g 1 ( x ) 分别为当 x → 0 时 f 1 ( x ) + f 2 ( x ) 中的大头和 g 1 ( x ) + g 2 ( x ) 中的大头，但 lim x → 0 f 2 ( x ) + g 2 ( x ) f 1 ( x ) + g 1 ( x ) = lim x → 0 3 x 2 3 x 3 = lim x → 0 1 x = ∞ ≠ 0 ， 即 f 1 ( x ) + g 1 ( x ) 不是当 x → 0 时 f 1 ( x ) + g 1 ( x ) + f 2 ( x ) + g 2 ( x ) 中的大头。 注2：若 lim x → ∗ f 2 ( x ) f 1 ( x ) = 0 ，则记 f 1 ( x ) ≫ f 2 ( x ) ， x → ∗ 。显然 x x ≫ a x ≫ x α ≫ log c x ， x m ≫ x n   ( m > n ) ， x → + ∞ ，其中 a ， c > 1 ， α > 0 ，如图1所示。 定理1若 f 1 ( x ) 和 g 1 ( x ) 分别为当 x → ∗ 时 f 1 ( x ) + f 2 ( x ) 中的大头和 g 1 ( x ) + g 2 ( x ) 中的大头，则 lim x → ∗ f 1 ( x ) + f 2 ( x ) g 1 ( x ) + g 2 ( x ) = lim x → ∗ f 1 ( x ) g 1 ( x ) 。 证明：若 f 1 ( x ) 和 g 1 ( x ) 分别为当 x → ∗ 时 f 1 ( x ) + f 2 ( x ) 中的大头和 g 1 ( x ) + g 2 ( x ) 中的大头，则 lim x → ∗ f 1 ( x ) + f 2 ( x ) g 1 ( x ) + g 2 ( x ) = lim x → ∗ f 1 ( x ) ( 1 + f 2 ( x ) f 1 ( x ) ) g 1 ( x ) ( 1 + g 2 ( x ) g 1 ( x ) ) = lim x → ∗ f 1 ( x ) g 1 ( x ) ⋅ lim x → ∗ 1 + f 2 ( x ) f 1 ( x ) 1 + g 2 ( x ) g 1 ( x ) = lim x → ∗ f 1 ( x ) g 1 ( x ) 。 注：可形象称此定理为“抓大头”求极限定理。 推论2 对任意 m ， n ∈ N ，有 lim x → ∞ a 0 x m + a 1 x m − 1 + a 2 x m − 2 + ⋯ + a m b 0 x n + b 1 x n − 1 + b 2 x n − 2 + ⋯ + b n = lim x → ∞ a 0 x m b 0 x n   ( a 0 b 0 ≠ 0 ) . 推论3 对任意 α 2 > α 1 > 0 ， β 2 > β 1 > 0 ，有 lim x → 0 k 1 x α 1 + k 2 x α 2 l 1 x β 1 + l 2 x β 2 = lim x → 0 k 1 x α 1 l 1 x β 1   ( k 1 l 1 ≠ 0 ) . 图1. 四类函数变化趋势比较