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user: 4. 归纳推理、演绎推理以及类比推理在中学数学中的应用 推理在教学重占有重要的比重，无论是教师的教，还是学生的学，都会运用推理这一种基本方法来证明自己的观点 [ 6 ]。因此对于推理这种基本方法的掌握程度是怎样的，都会直接影响到数学中定理的证明、习题的解答等。推理证明方法在数学中甚至生活中都随处可见，发挥着其重要鲜明的作用。在数学中常用的推理方法有归纳推理、演绎推理和类比推理。接下来我就会就这三种推理的基本方法进行一些简单的说明，并简单的谈谈自己的想法。 4.1. 归纳推理 在我们的学习生活中，认识是从观察和实验开始的，经过重复观察实验，在人的思维里产生了抽象和概括能力形成一般认识，这就是推理过程。用归纳推理处理数学命题，因为比较直观，容易为学生接受。例如：让学生作锐角、直角、钝角等形状不同、大小不等的三角形的三条角平分线，学生能确信它们是相交于一点。但直觉经验仅仅是猜想和假设，其真实性仍需验证。 例题1：观察下列三角形数表 1......第一行 2 2......第二行 3 4 3......第三行 4 7 7 4.......第四行 5 11 14 11 5......第五行 假设第n行的第二个数为a n (n ≥ 2)让归纳出a n +1 与a n 的关系式。这一题就是运用归纳推理的方法，通过观察，发现，归纳的方式，由特殊的例子从而归纳出一般地规律。 例题2：古希腊人常用小石子在沙滩上摆出各种形状来研究，观察下列你可以发现什么规律？ . . . . . . . . . ... . . . . . 1 4 9 ... 通过观察我们可以发现若设这是第n个图形，那么第一个图形就是n = 1时有1²个石子；第二个图形就是n = 2时有2²个石子；第三个图形就是n = 3时有3²个石子...那么第n个图形就有n²个石子。 4.2. 类比推理 类比推理是一种由特殊到特殊的推理，在中学中的运用就是：比如算数和代数之间的，根据分式与分数都由分子和分母组成，运用类比推理，从而由分数的基本性质和四则运算则类比推出分式的基本性质和四则运算；再者在平面几何和立体几何之间又有些性质，也是可以运用类比推理这种办法。但有一点必须强调的就是运用类比推理的出来得结论不一定是正确的，也就是说类比推理它并不能够作为一种严格的推理方法。在数学推理中如果遇到一些特殊的情形我们或许还可以通过类比推理这种办法，这样更便于学生理解。在比如说教师在教“球”这一概念时，一般会让学生复习一下“圆”的概念，接下来在设问“如果我们把概念中的‘平面’换成‘空间’”会变成什么样的呢？在此基础上让学生进行思考、观察，然后获得其规律，从而得到新的概念。即圆的概念：平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆，定点就是圆心，定长就是半径；在空间内与定点距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，定点叫做球心，定长叫做球的半径。类比推理就是根据学生已经接受的旧知识在通过类比进行再总结规律，这样也有利于学生从新旧对象的对比中更好更快的接收新知识。 在初一学习不等式的性质时就是通过类比等式的性质从而类比出不等式的性质，表1是不等式的性质的教案。 4.3. 演绎推理 演绎推理就是一般通过三段论来实现的，所谓的“三段论”即大前提、小前提以及结论 [ 7 ]。在演绎 Table 1 Lesson plans for the nature of inequalitie 课题 9.1.2.不等式的性质 课型 新课 课时 1 教学目标 1、探索并掌握不等式的基本性质 2、会用不等式的基本性质进行化简 3、本节课通过类比等式的基本性质，探索不等式的基本性质，给学生充分的时间和空间， 让他们经历“尝试–猜想–验证”的探索过程 重点 掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3 难点 掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3 教学方法 分析法、合作法 教具学具 多媒体 教学过程 教师与学生活动内容 设计意图 一、创设情境， 复习引入 二、师生互动， 探索新知 问题：1、等式的基本性质是什么? 学生回答问题，并在多媒体上展示等式的性质，由等式的性质引入不等式是否具有相同的性质 2、用“>”或“<”填空。 (1) 5 > 3 (2) −1 < 3 5 + 2 3 + 2 −1 + 23 + 2 5 − 2 3 − 2−1 − 33 − 3 问题1：观察思考问题，猜想出不等式的性质 观察时，引导学生注意不等号的方向，通过(1) (2)题学生容易得出不等式性质1： 不等式基本性质1不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。 (3) 6 > 2 (4) −2 < 3 6 × 5 2 × 5 −2 × 63 × 6 6 × (−5) 2 × (−5) −2 × (−6)3 × (−6) 观察时，引导学生注意不等号的方向，通过(3) (4)题学生容易得出不等式性质2、3： 不等式基本性质2 不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 不等式基本性质3 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 问题2：不等式的性质和等式的性质的区别和联系 问题3：不等式性质的应用及注意 注意： ① 在利用不等式的基本性质进行变形时，当不等式的两边都乘以(或除以)同一个字母， 字母代表什么数是问题的关键，这决定了是用不等式基本性质2还是基本性质3， 也就是不等号是否要改变方向的问题； ② 运用不等式基本性质3时，要变两个号，一个性质符号，另一个是不等号 问题4补例： (1) 若a > b，则2a 2b； 2a + 1 2b + 1； (2) 若−1.25y < 10，则−y 8； y −8； (3) 若a < b，且c > 0， 则 ac bc； ac + c bc + c； (4) 若a > 0，b < 0，c < 0， 则 a − b 0。 (a − b)c 0。 设置以下习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备 先让学生独立思考，后合作交流，通过充分讨论，类比等式性质得出不等式的性质. 归纳小结 1．本节主要学习了不等式的三条基本性质及应用性质解简单的不等式。 2．主要用到的思想方法是类比思想。 板书设计 9.1.2不等式的性质 不等式基本性质1 不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。 不等式基本性质2 不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 不等式基本性质3 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 表1. 不等式的性质教案 推理这个论证方法中，如果大前提和小前提都是真实的，那么结论一定是正确的，因此演绎推理跟归纳推理是一样可以作为数学的严格的推理方法。比如说(1) 自然数是整数，3是自然数，所以3是整数。在(1)中的三段论的大前提和小前提是正确的，所以结论一定是正确的。(2) 整数是自然数，−3是整数，所以−3是自然数。在(2)中大前提是错误的，小前提是正确的，但结论是错误的。由此可以说明，只有大前提和小前提都正确，结论才一定正确。演绎推理在中学中的教学中主要有习题的解答，公式的推导以及定理推理的证明，以上都要用三段论这个证明方法。在实际运用中，为了论述的更简单、更方便，因此在真正的运用演绎推理方法中，常常会把大前提去掉。比如：如果一个图形是三角形，那么这个三角形的内角和一定是180度，那如果去掉大前提就可以说成：一切三角形的内角和都是180度；再比如如果一个四边形的对边互相平行，那么这个四边形就是平行四边形，如果去掉大前提，就可以说成：对边互相平行的四边形就是平行四边形，等等。但是在教师的教学中，教师在刚开始时不应直接就给学生教把大前提省略掉，而是应该写出完整的过程，这样有利于培养完整的严谨的推理习惯。比如数学中一个简单的例子： 例题3：命题：等腰三角形的两个底角相等 已知：如图，在 Δ ABC 中，AB = AC 求证：∠B = ∠ C 证明：作∠A的角平分线AD，则∠BAD = ∠CAD，又因为AB = AC，AD = AD，所以 Δ ABC ≡ Δ ACD (SAS)，因此∠B = ∠C 。 例题4：命题：两直线平行，内错角相等 已知：直线a∥b，夹着两角∠1和∠2 求证：∠1 = ∠2 证明：∵直线a∥b，而∠1和∠2属于内错角 ∴ ∠1 = ∠2 (两直线平行，内错角相等) 上面的推理可以看出，推理的每一个步骤都是根据一般的命题(如：全等三角形的对应角相等)推出特殊的命题(如：∠B = ∠C)。再举出一个三段论推理：所有平行四边形的对角线互相平分的菱形就是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分。 就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理。因此，这要求我们不仅要学会证明也要学会猜想。