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user: 2. 预备知识 2.1. 定常NC方程 假设Ω是一个有界、凸开区域，其边界 ∂ Ω 是Lipschitz连续的，令 Γ T = ∂ Ω / Γ B ，其中 Γ B 是 ∂ Ω 的正则开子集。我们考虑下面的NC方程： { − P r Δ u + ( u ⋅ ∇ ) u + ∇ p = P r R a j T ， in Ω ， ∇ ⋅ u = 0 ， in Ω ， − κ Δ T + u ⋅ ∇ T = γ ， in Ω ， u = 0 ， in ∂ Ω T = 0 ， in Γ T ， ∂ T / ∂ n = 0 ， in Γ B ， (2.1) 这里 u = ( u 1 ( x ) ， u 2 ( x ) ) 是流体速度， p = p ( x ) 是流体压力， T ( x ) 是温度， γ 是外力方程， P r ， R a > 0 是Prandtl数和Rayleigh数， κ > 0 是热传导系数， j = ( 0 ， 1 ) 是一个二维向量，n是 Γ B 的外法线。 接下来，介绍一些Hilbert空间： X = H 0 1 ( Ω ) 2 ， W = { s ∈ H 1 ( Ω ) : s = 0   on   Γ } ， M = L 0 2 ( Ω ) = { q ∈ L 2 ( Ω ) : ∫ q d x = 0 } 。 L 2 ( Ω ) 中定义L 2 -标量内积 ( ⋅ ， ⋅ ) 和L 2 -范数 ‖   ⋅   ‖ 0 。我们在空间X和W中同样定义内积 ( ∇ u ， ∇ v ) 和范数 ‖ ∇ u ‖ 0 。标准定义是在Sobolev空间 H m ， p ( Ω ) 中，其范数为 ‖   ⋅   ‖ m ， p ， m ， p ≥ 0 。我们将 H m ， 2 ( Ω ) 和其范数 ‖   ⋅   ‖ m 写作和 ‖   ⋅   ‖ m ， 2 。此外，定义 H 0 1 ( Ω ) 的对偶空间为 H − 1 ( Ω ) ，对偶空间中的范数定义为 ‖ f ‖ − 1 = sup v ∈ H 0 1 | ( f ， v ) | ‖ ∇ v ‖ 0 ，且 X − 1 是X的对偶空间。 方便起见，我们假设u，v属于同一个有限元空间X。下面分别定义两个连续双线性形式 a ( ⋅ ， ⋅ ) 和 d ( ⋅ ， ⋅ ) 和一个三线性形式 b ( u ; v ， w ) ： a ( u ， v ) = ( ∇ u ， ∇ v ) ， ∀ u ， v ∈ X ， d ( v ， q ) = ( q ， ∇ ⋅ v ) ， ∀ v ∈ X ， ∀ q ∈ M ， (2.2) b ( u ; v ， w ) = ( ( u ⋅ ∇ ) v ， w ) + 1 2 ( ( ∇ ⋅ u ) v ， w ) = 1 2 ( ( u ⋅ ∇ ) w ， v ) − 1 2 ( ( u ⋅ ∇ ) v ， w ) ，   ∀ u ， v ， w ∈ X . (2.3) 此外，我们需要在定义两个双线性形式 a ¯ ( ⋅ ， ⋅ ) 和一个三线性形式 b ¯ ( ⋅ ; ⋅ ， ⋅ ) 在 W × W 和 X × W × W 中，有 a ¯ ( T ， s ) = ( ∇ T ， ∇ s ) ， ∀ T ， s ∈ W ， b ¯ ( u ; T ， s ) = ( ( u ⋅ ∇ ) T ， s ) + 1 2 ( ( ∇ ⋅ u ) T ， s ) = 1 2 ( ( u ⋅ ∇ ) T ， s ) − 1 2 ( ( u ⋅ ∇ ) s ， T ) ， ∀ u ∈ X ， ∀ T ， s ∈ W . 根据上面定义的双线性形式和三线性形式，有以下两个已知结论( [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] )： b ( u ; v ， w ) = − b ( u ; w ， v ) ， | b ( u ; v ， w ) | ≤ N ‖ ∇ u ‖ 0 ‖ ∇ v ‖ 0 ‖ ∇ w ‖ 0 ， ∀ u ， v ， w ∈ X ， (2.4) b ¯ ( u ; T ， s ) = − b ¯ ( u ; s ， T ) ， | b ¯ ( u ; T ， s ) | ≤ N ¯ ‖ ∇ u ‖ 0 ‖ ∇ T ‖ 0 ‖ ∇ s ‖ 0 ， ∀ u ， T ， s ∈ X ， (2.5) 其中 N = sup u ， v ， w ∈ X | b ( u ; v ， w ) | ‖ ∇ u ‖ 0 ‖ ∇ v ‖ 0 ‖ ∇ w ‖ 0 ，   N ¯ = sup u ∈ X ， T ， s ∈ W | b ¯ ( u ; T ， s ) | ‖ ∇ u ‖ 0 ‖ ∇ T ‖ 0 ‖ ∇ s ‖ 0 ， 是两个只依赖于 Ω 的定常数。 现在给出一个定义在 ( X ， M ) × ( X ， M ) 上的广义双线性形式： B ( ( u ， p ) ; ( v ， q ) ) = P r a ( u ， v ) − d ( v ， p ) + d ( u ， q ) ， ∀ ( u ， p ) ， ( v ， q ) ∈ ( X ， M ) . 它满足连续性和 i n f − s u p 条件： | B ( ( u ， p ) ; ( v ， q ) ) | ≤ c ( ‖ ∇ u ‖ 0 + ‖ p ‖ 0 ) ( ‖ ∇ v ‖ 0 + ‖ q ‖ 0 ) ， ∀ ( u ， p ) ， ( v ， q ) ∈ ( X ， M ) ， sup v ， q ∈ ( X ， M ) | B ( ( u ， p ) ; ( v ， q ) ) | ‖ ∇ v ‖ 0 + ‖ q ‖ 0 ≥ β 1 ( ‖ ∇ u ‖ 0 + ‖ p ‖ 0 ) ， ∀ ( u ， p ) ， ( v ， q ) ∈ ( X ， M ) ， 其中， c > 0 是常数。它是与网格尺寸无关的，但是依赖于X和本文中的其他参数， β 1 > 0 依赖于 Ω 和v。 NC方程(2.1)的变分形式如下：求解 ( u ， p ， T ) ∈ X × M × W 对于任意的 ( v ， q ， s ) ∈ X × M × W ， { B ( ( u ， p ) ; ( v ， q ) ) + b ( u ; u ， v ) = P r R a ( j T ， v ) ， κ a ¯ ( T ， s ) + b ¯ ( u ; T ， s ) = ( γ ， s ) . (2.6) 下面给出原方程的解的存在唯一性的经典结论： 存在至少一个解对 ( u ， p ， T ) ∈ X × M × W 满足(2.6)且 ‖ ∇ T ‖ 0 ≤ κ − 1 ‖ γ ‖ − 1 ， ‖ ∇ u ‖ 0 ≤ R a κ − 1 ‖ γ ‖ − 1 . (2.7) 此外，若 P r ， R a ， κ ， γ 满足下面的唯一性条件： 0 < δ = ( P r − R a κ − 1 ‖ γ ‖ − 1 ( N + P r N ¯ κ − 1 ) ) < P r ， (2.8) 则 ( u ， p ， T ) 是方程(2.6)的唯一解。 2.2. 亏量校正方法 首先，我们给出有限元空间 ( X h ， M h ， W h ) ， X h = { v h ∈ C 0 ( Ω ) ∩ X ; v h | T ∈ P 1 ( T ) 2 ， ∀ T ∈ τ h } ， M h = { q h ∈ L 2 ( Ω ) 2 ∩ M ; q h | T ∈ P 0 ( T ) 2 ， ∀ T ∈ τ h } ， W h = { v h ∈ C 0 ( Ω ) ∩ W ; v h | T ∈ P 1 ( T ) ， ∀ T ∈ τ h } . 其中 P 1 ( T ) 表示T上的分片线性多项式， P 0 ( T ) 表示T的分片常数多项式。 我们给出 L 2 正交投影的定义： ( ρ h q ， q h ) = ( q ， q h ) ， ∀ q ∈ M ， q h ∈ M h . 显然有限元空间对 ( X h ， M h ， W h ) 是不满足离散的 i n f − s u p 条件的，但是满足下面的性质A。 存在映射 r h : H 2 ( Ω ) 2 ∩ X → X h ， r ¯ h : H 2 ( Ω ) ∩ W → W h 和 ρ h : M → M h 满足 ‖ ∇ ( u − r h u ) ‖ 0 ≤ C h ‖ Δ u ‖ 0 ， ∀ u ∈ H 2 ( Ω ) 2 ∩ X ， ‖ p − ρ h p ‖ 0 ≤ C h ‖ p ‖ 1 ， ∀ p ∈ H 1 ( Ω ) ∩ M ， ‖ ∇ ( T − r ¯ h T ) ‖ 0 ≤ C h ‖ Δ T ‖ 0 ， ∀ T ∈ H 2 ( Ω ) ∩ W ， (2.9) 根据上述定义给出原方程的离散形式：求解 ( u h ， p h ， T h ) ∈ X h × M h × W h 满足 { B ( ( u h ， p h ) ; ( v h ， q h ) ) + b ( u h ; u h ， v h ) = P r R a ( j T h ， v h ) ， κ a ¯ ( T h ， s h ) + b ¯ ( u h ; T h ， s h ) = ( γ ， s h ) . (2.10) 由于我们选取的是 P 1 − P 0 − P 1 为不稳定元，所以考虑下面的罚跳跃稳定化方法： S h ( p h ， q h ) = β 0 ∑ e ∈ Γ T h e ∫ e [ p h ] e [ q h ] e ， ∀ p h ， q h ∈ M h . 其中 Γ T 为 τ h 的单元内边的集合， [ q ] e 为q在边e上的跳跃， β 0 为给定的稳定参数。 { B h ( ( u ， p ) ; ( v ， q ) ) + b ( u ; u ， v ) = P r R a ( j T ， v ) ， κ a ¯ ( T ， s ) + b ¯ ( u ; T ， s ) = ( γ ， s ) . (2.11) 这里的 B h ( ( u ， p ) ; ( v ， q ) ) = B ( ( u ， p ) ; ( v ， q ) ) + S h ( p h ， q h ) 。 接下来，我们将介绍亏量校正方法 [ 9 ] ，它包括：在亏量步求解人工粘性稳定非线性问题，然后用线性化方程校正几个步骤的亏量解。在亏量及校正的步骤，我们使用最稳定的Oseen迭代求解离散方程。 新方法描述如下： 考虑下面稳定问题：求解 ( u h ， p h ， T h ) ∈ ( X h ， M h ， W h ) ，对任意的 ( v h ， q h ， s h ) ∈ ( X h ， M h ， W h ) 有 { B h ( ( u h ， p h ) ; ( v h ， q h ) ) + b ( u h ， u h ， v h ) + α a ( u h ， v h ) = P r R a ( j T h ， v h ) ， ( κ + α ) a ¯ ( T h ， s h ) + b ¯ ( u h ; T h ， s h ) = ( γ ， s h ) ， (2.12) 其中 γ > 0 是一个稳定的人工粘性系数。我们定义它的迭代解 ( u h m ， p h m ， T h m ) ∈ ( X h ， M h ， W h ) ，对任意的 ( v h ， q h ， s h ) ∈ ( X h ， M h ， W h ) 满足 { B h ( ( u h m ， p h m ) ; ( v h ， q h ) ) + b ( u h m − 1 ， u h m ， v h ) + α a ( u h m ， v h ) = P r R a ( j T h m ， v h ) ， ( κ + α ) a ¯ ( T h m ， s h ) + b ¯ ( u h m − 1 ; T h m ， s h ) = ( γ ， s h ) ， (2.13) 这里的 m = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， ⋯ 。 离散方程的亏量 D ( u h m ， p h m ， T h m ) 定义为 ( D ( u h m ， p h m ， T h m ) ， v h ) = P r R a ( j T h ， v h ) + ( γ ， s h ) − B h ( ( u h ， p h ) ; ( v h ， q h ) )     − b ( u h ， u h ， v h ) − κ a ¯ ( T h m ， s h ) − b ¯ ( u h m − 1 ; T h m ， s h ) . (2.14) 根据下列方程求解校正量 ( ε h 0 ， θ h 0 ， ξ h 0 ) { B h ( ( u h m ， p h m ) ; ( v h ， q h ) ) + b ( u h m − 1 ， u h m ， v h ) + α a ( u h m ， v h ) = P r R a ( j T h m ， v h ) ， ( κ + α ) a ¯ ( T h m ， s h ) + b ¯ ( u h m − 1 ; T h m ， s h ) = ( γ ， s h ) + α a ¯ ( T h m − 1 ， s h ) . (2.15) 这样，离散方程的亏量校正方法可以描述如下： 步骤1：求解稳定有限元迭代解 ( u h m ， p h m ， T h m ) ∈ ( X h ， M h ， W h ) ，对 ∀ ( v h ， q h ， s h ) ∈ ( X h ， M h ， W h ) 有 { B h ( ( u h m ， p h m ) ; ( v h ， q h ) ) + b ( u h m − 1 ， u h m ， v h ) + α a ( u h m ， v h ) = P r R a ( j T h m ， v h ) ， ( κ + α ) a ¯ ( T h m ， s h ) + b ¯ ( u h m − 1 ; T h m ， s h ) = ( γ ， s h ) ， (2.16) 其中 m = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ 。 步骤2：求解校正解 ( u n + 1 h ， p n + 1 h ， T n + 1 h ) ∈ ( X h ， M h ， W h ) 满足 { B h ( ( u n + 1 h ， p n + 1 h ) ; ( v h ， q h ) ) + b ( u n h ， u n + 1 h ， v h ) + α a ( u n + 1 h ， v h ) = P r R a ( j T n + 1 h ， v h ) + α a ( u n h ， v h ) ， ( κ + α ) a ¯ ( T n + 1 h ， s h ) + b ¯ ( u n h ; T n + 1 h ， s h ) = ( γ ， s h ) + α a ¯ ( T n h ， s h ) ， (2.17) 其中 ( u 0 h ， p 0 h ， T 0 h ) = ( u h m ， p h m ， T h m ) ， n = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ 。 流程图如下： 2.3. 稳定性和误差估计 我们给出上述方法的主要稳定性和误差估计结果。 定理2.1：假设 ( u n h ， p n h ， T n h ) ∈ ( X h ， M h ， W h ) 是方程(2.17)的解，满足： ‖ ∇ u n h ‖ 0 ≤ P r R a ( 1 + α κ − 1 ) ( κ + α ) ( P r + α ) ‖ γ ‖ − 1 ， ‖ ∇ T n h ‖ 0 ≤ 1 + α κ − 1 κ + α ‖ γ ‖ − 1 . 根据(2.4)式和(2.5)式，(2.8)式和(2.13)式可以很容易得到定理2.1的证明。 定理2.2：假设 ( u ， p ， T ) ， ( u n h ， p n h ， T n h ) ∈ ( X h ， M h ， W h ) 分别是方程(2.6)与(2.17)的解，C为正常数，则有下面估计： ‖ ∇ ( u − u n h ) ‖ 0 + ‖ p − p n h ‖ 0 + ‖ ∇ ( T − T n h ) ‖ 0 ≤ C h + C P r R a 1 + α κ − 1 κ + α ‖ γ ‖ − 1 + C α P r R a ( 1 + α κ − 1 ) ( κ + α ) ( P r + α ) ‖ γ ‖ − 1 . 证明：令 ( e ， η ， ξ ) = ( r h u − u n h ， ρ h p − p n h ， r ¯ h T − T n h ) 。用(2.6)减去(2.17)且 ( v ， q ， s ) = ( v h ， q h ， ξ ) 得 κ ‖ ∇ ξ ‖ 0 ≤ ( κ + N ¯ ‖ ∇ u n h ‖ 0 ) ‖ ∇ ( r ¯ h T − T ) ‖ 0 + N ¯ ‖ ∇ ( r h u − u ) ‖ 0 ‖ ∇ T ‖ 0 + N ¯ ‖ ∇ e ‖ 0 ‖ ∇ T ‖ 0 + ‖ ∇ T n h ‖ 0 + ‖ ∇ T n + 1 h ‖ 0 ≤ ( κ + N ¯ P r R a ( 1 + α κ − 1 ) ( κ + α ) ( P r + α ) ‖ γ ‖ − 1 ) ‖ ∇ ( r ¯ h T − T ) ‖ 0 + N ¯ 1 + α κ − 1 κ + α ‖ γ ‖ − 1 ‖ ∇ e ‖ 0 + C 0 1 + α κ − 1 κ + α ‖ γ ‖ − 1 . 和 P r a ( e ， e ) − d ( e ， p − ρ h p n h ) + d ( u − r h u n h ， η ) + b ( e ， u ， e ) + b ( u n h ， e ， e ) = P r a ( r h u − u ， e ) + b ( r h u − u ， u ， e ) + b ( u n h ， r h u − u ， e )     + P r R a ( ( j ξ ， e ) + ( j ( T − r ¯ h T ) ， e ) ) + α a ( u n + 1 h ， e ) . 化简得 ( P r − P r − 1 N R a κ − 1 ‖ γ ‖ − 1 − N P r R a ( 1 + α κ − 1 ) ( κ + α ) ( P r + α ) ‖ γ ‖ − 1 ) ‖ ∇ e ‖ 0 2 ≤ ( P r − C 0 N P r R a ( 1 + α κ − 1 ) ( κ + α ) ( P r + α ) ‖ γ ‖ − 1 ) ‖ ∇ ( r h u − u ) ‖ 0 ‖ ∇ e ‖ 0     + P r R a ‖ ∇ ξ ‖ 0 ‖ ∇ e ‖ 0 + ‖ ∇ ( T − r ¯ h T ) ‖ 0 ‖ ∇ e ‖ 0     + α P r R a ( 1 + α κ − 1 ) ( κ + α ) ( P r + α ) ‖ γ ‖ − 1 ‖ ∇ e ‖ 0 . 根据Young不等式可以得到 ‖ ∇ e ‖ 0 2 + ‖ ∇ η ‖ 0 2 + ‖ ∇ ξ ‖ 0 2 ≤ C h + C α P r R a ( 1 + α κ − 1 ) ( κ + α ) ( P r + α ) ‖ γ ‖ − 1 + C P r R a 1 + α κ − 1 κ + α ‖ γ ‖ − 1 .