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user: 2. 预备知识 2.1. 区间直觉模糊集 定义1 [ 17 ] 设X是一个非空集合， A = { 〈 x ， μ A ( x ) ， v A ( x ) 〉 | x ∈ X } 为直觉模糊集，其中 μ A ( x ) 和 v A ( x ) 分 别表示X中的元素x属于X隶属度 μ A : X → [ 0 ， 1 ] 和非隶属度 V A : X → [ 0 ， 1 ] ，且满足 0 ≤ μ A ( x ) + v A ( x ) ≤ 1 ， ∀ x ∈ X 。此外 π A ( x ) = 1 − μ A ( x ) − v A ( x ) 表示X中的元素x属于X的犹豫度。 定义2 [ 1 ] 设X是一个给定的论域，定义X上的一个区间直觉模糊集A为： A = { 〈 x ， μ ˜ A ( x ) ， v ˜ A ( x ) 〉 | x ∈ X } 。其中， μ ˜ A ( x ) : X → [ 0 ， 1 ] ， v ˜ A ( x ) : X → [ 0 ， 1 ] ，且对A上一切 x ∈ X ，满足 0 ≤ sup ( μ ˜ A ( x ) ) + sup ( v ˜ A ( x ) ) ≤ 1 。 把区间直觉模糊集A记为 A = { 〈 x ， [ μ A l ( x ) ， μ A u ( x ) ] ， [ v A l ( x ) ， v A u ( x ) ] 〉 | x ∈ X } 。称 π ˜ A ( x ) = [ π A l ( x ) ， π A u ] 为X中元素x属于A的犹豫度，其中 π A u ( x ) = 1 − μ A l ( x ) − v A l ( x ) ， π A l ( x ) = 1 − μ A u ( x ) − v A u ( x ) 。 定义3 [ 17 ] 设 α ˜ = ( [ a 1 ， b 1 ] ， [ c 1 ， d 1 ] ) ， β = ( [ a 2 ， b 2 ] ， [ c 2 ， d 2 ] ) 为两个区间直觉模糊数，则他们之间的欧氏距离为 d ( α ， β ) = 1 4 [ ( a 1 − a 2 ) 2 + ( b 1 − b 2 ) 2 + ( c 1 − c 2 ) 2 + ( d 1 − d 2 ) 2 ] (1) 定义4 [ 18 ] 记 α ˜ 1 = ( [ a 1 ， b 1 ] ， [ c 1 ， d 1 ] ) ， α ˜ 2 = ( [ a 2 ， b 2 ] ， [ c 2 ， d 2 ] ) 为两个任意区间直觉模糊数，则 1) α ˜ 1 + α ˜ 2 = ( [ a 1 + a 2 − a 1 a 2 ， b 1 + b 2 − b 1 b 2 ] ， [ c 1 c 2 ， d 1 d 2 ] ) ； 2) α ˜ 1 ⋅ α ˜ 2 = ( [ a 1 a 2 ， b 1 b 2 ] ， [ c 1 + c 2 − c 1 c 2 ， d 1 + d 2 − d 1 d 2 ] ) ； 3) λ α ˜ 1 = ( [ 1 − ( 1 − a 1 ) λ ， 1 − ( 1 − b 1 ) λ ] ， [ c 1 λ ， d 1 λ ] ) ， λ > 0 ； 4) α ˜ 1 λ = ( [ a 1 λ ， b 1 λ ] ， [ 1 − ( 1 − c 1 ) λ ， 1 − ( 1 − d 1 ) λ ] ) ， λ > 0 。 定义5 [ 19 ] 设 A = { 〈 x ， [ μ A l ( x ) ， μ A u ( x ) ] ， [ v A l ( x ) ， v A u ( x ) ] 〉 | x ∈ X } ， B = { 〈 x ， [ μ B l ， μ B u ] ， [ v B l ， v B u ] 〉 | x ∈ X } ，称 d ( A ， B ) 是区间直觉模糊集A和B的加权Hamming距离 d ( A ， B ) = 1 4 ∑ ω j [ | μ A l ( x j ) − μ B l ( x j ) | + | μ A u ( x j ) − μ B u ( x j ) | + | v A l ( x j ) − v B l ( x j ) | + | v A u ( x j ) − v B u ( x j ) | ] (2) 2.2. 确定属性权重 区间直觉模糊多属性决策矩阵 R = ( 〈 [ μ i j l ， μ i j u ] ， [ v i j l ， v i j u ] 〉 ) m × n ，对属性 G j 来说，方案 Y i 和其他方案 Y k 间的距离记为 D i j ( w ) [ 14 ]，定义为 D i j ( w ) = ∑ k = 1 m d ( R i j ， R k j ) = 1 4 ∑ k = 1 m w j [ | μ i j l − μ k j l | + | μ i j u − μ k j u | + | v i j l − v k j l | + | v i j u − v k j u | ]         ( i ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ; j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) (3) 令 D j ( w ) = ∑ i = 1 m D i j ( w ) = ∑ i = 1 m ∑ k = 1 m d ( R i j ， R k j ) = 1 4 ∑ i = 1 m ∑ k = 1 m w j [ | μ i j l − μ k j l | + | μ i j u − μ k j u | + | v i j l − v k j l | + | v i j u − v k j u | ]     ( i ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ; j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) (4) 则 D j ( w ) 表示对属性 G i 而言，所有方案和其他各个方案的总离差。 因此，求属性权重向就相当于求解下列最优模型： { max D ( w ) = ∑ j = 1 n D j ( w ) = 1 4 ∑ j = 1 n ∑ i = 1 m ∑ k = 1 m w j ( | μ i j l − μ k j l | + | μ i j u − μ k j u | + | v i j l − v k j l | + | v i j u − v k j u | ) ， s .t .   ∑ j = 1 n w j 2 = 1 ， w j ≥ 0 ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) (5) 构造Lagrange函数： L ( w ， λ ) = 1 4 ∑ i = 1 m ∑ k = 1 m w j [ | μ i j l − μ k j l | + | μ i j u − μ k j u | + | v i j l − v k j l | + | v i j u − v k j u | ] + λ 8 ( ∑ j = 1 n w j 2 ) (6) 对(6)求偏导，得 { ∂ L ∂ λ = ∑ i = 1 m ∑ k = 1 m ( | μ i j l − μ k j l | + | μ i j u − μ k j u | + | v i j l − v k j l | + | v i j u − v k j u | ) + 1 4 λ w j = 0 ∂ L ∂ λ = 1 8 ( ∑ j = 1 n w j 2 − 1 ) = 0 (7) 解得 w j ∗ = ∑ i m ∑ k m ( | μ i j l − μ k j l | + | μ i j u − μ k j u | + | v i j l − v k j l | + | v i j u − v k j u | ) ∑ j = 1 n [ ∑ i = 1 m ∑ k = 1 m ( | μ i j l − μ k j l | + | μ i j u − μ k j u | + | v i j l − v k j l | + | v i j u − v k j u | ) ] 2 (8) 对 w j ∗ 归一化，得 w j = ∑ i = 1 m ∑ k = 1 m ( | μ i j l − μ k j l | + | μ i j u − μ k j u | + | v i j l − v k j l | + | v i j u − v k j u | ) ∑ j = 1 n ∑ i = 1 m ∑ k = 1 m ( | μ i j l − μ k j l | + | μ i j u − μ k j u | + | v i j l − v k j l | + | v i j u − v k j u | ) (9)