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user: 3. 研究现状 3.1. 质点法 质点法的解题方法是先消点再验证，其过程与解线性方程组的代入和消元相类似。邹宇、张景中等人提出了一种使用质点几何基本原理证明几何定理方法——质点法，并基于该方法实现了一个几何定理证明器MPM [ 15 ] 。该证明器的算法由构图数集CF，解题目标集AF和控制器MMC组成。对于上述的每个构图语句，在构图数集CF中均有一个构图函数可将构图语句转化为质点关系式并进行消点运算。解题目标集AF中包含不同的基本求值函数。如 ifcolinear ( A ， B ， C ) ：检验A，B，C是否共线并输出对应结论。控制器MMC先依次读入构图语句，并调用构图数集CF中的构图函数生成基点列表及质点关系式列表，最后调用解题目标集AF中的求值函数检验并输出结论。 由构造型质点几何命题的特点知，基点将作为初始构图语句，不妨设为A，B，C。其余构图语句所引入的新点P均可由基点线性表出，即 P = k 1 A + k 2 B + k 3 C ( k 1 + k 2 + k 3 = 1 ) 。因此每个点P在内部均可用唯一的和为1的三元数组 ( k 1 ， k 2 ， k 3 ) 表示。而点A，B，C对应数组分别为 ( 1 ， 0 ， 0 ) ， ( 0 ， 1 ， 0 ) ， ( 0 ， 0 ， 1 ) 。由此，过程中对点的运算就等价于对点所对数组的运算，结论中求质点的线性关系等价于求各数组之间的线性关系。 在MPM算法中，用三个全局变量 p n t s ， v a r l i s t 和 c o o r d l i s t 来分别记录问题中出现点的个数、引进点的有序集合、引进点所对三元数组的有序集合。初始设置 p n t s = 0 ， v a r l i s t 和 c o o r d l i s t 均为空表；初始语句引入一组基点A，B，C后， p n t s = 3 ， v a r l i s t = { A ， B ， C } ， c o o r d l i s t = { ( 1 ， 0 ， 0 ) ， ( 0 ， 1 ， 0 ) ， ( 0 ， 0 ， 1 ) } ；此后，每引入一个新点 p n t s → p n t s + 1 ，把新引入的点和其对应的数组分别存到 v a r l i s t 和 c o o r d l i s t 的第 p n t s + 1 的位置上，并输出相应的质点关系式。最后，每个检验函数先搜索并记录所需验证点在 v a r l i s t 中的位置，并调用 c o o r d l i s t 中相应位置的数组进行约定的计算，求出其线性关系并输出结论。 对上节例1的几何定理，证明器MPM输出的证明： 1) 基点： A B C 2) 质点关系式： D = a A + b B + ( 1 − a − b ) C ( a + b ) E = D − ( 1 − a − b ) C = a A + b B ( 1 − b ) F = D − b B = a A + ( 1 − a − b ) C 2 P = A + D = ( a + 1 ) A + b B + ( 1 − a − b ) C 2 Q = B + C 2 R = E + F = a ( a + 1 ) ( a + b ) ( 1 − b ) A + b a + b B + 1 − a − b 1 − b C 3) 结论等式的计算判定： S P Q R S A B C = | a + 1 b 1 − a − b a ( a + 1 ) ( a + b ) ( 1 − b ) b a + b 1 − a − b 1 − b 0 1 1 | = 0 因此，输出结论“P、Q、R三点共线”。 由上例可知，证明器MPM在证明过程中利用质点对应的三元组进行约定的计算，从而求出所蕴涵的目标质点间关系式。但该证明器所求过程不够直接，而且几何意义难以理解。此外，证明器MPM没有一个判定结论的通用方法，而是根据结论的不同，从解题目标集AF中选取相应的函数来验证结论。由此增加了证明器实现的难度和复杂性。 3.2. 质点消去法 3.2.1. 线性质点消去法 2015年，为了进一步的提高质点法的可读性和证明效率，苏靓贺等人提出了一种新的几何定理方法——线性质点消去法，并基于此方法实现了一款几何定理证明器MPP [ 22 ] 。 线性质点消去法的基本思路是：第一步，证明器MPP读取第一条构图语句 BasePoints ( A ， B ， C ) ，生成基点列表 { A ， B ， C } ；第二步，依次读取其它的每条构图语句，生成新点及新点对应的消点公式；第三步，读取结论等式eq，并对结论等式eq进行消点运算。消点顺序按照新点引入的相反顺序循环消点。消点方法是当结论等式eq中存在新点时，将新点替换成其相应的消点公式，逐依排查直到结论等式eq中只剩下基点时结束；第四步，分别取该结论等式三个基点的系数构成一个方程组，并对该方程组求解，若方程组有解，则定理成立，否则不是定理。 对上节例1的几何定理，证明器MPP输出的证明： 1) 基点： A B C 2) 消点公式： D = a A + b B + ( 1 − a − b ) C E = a a + b A + 1 − a a + b B F = − a b − 1 A + a + b − 1 b − 1 C P = 1 2 A + 1 2 D Q = 1 2 B + 1 2 C R = 1 2 E + 1 2 F 3) 结论等式eq左端的消点过程： eq： P − x Q − ( 1 − x ) R = x − 1 2 E + x − 1 2 F + P + ( − x ) Q (消点R) = − x 2 B + − x 2 C + x − 1 2 E + x − 1 2 F + P (消点Q) = 1 2 A − x 2 B − x 2 C + 1 2 D + x − 1 2 E + x − 1 2 F (消点P) = ( 1 2 − ( a b − 1 ) x − 1 2 ) A − x 2 B + 1 2 D + x − 1 2 E + ( − x 2 + ( a b − 1 + 1 ) x − 1 2 ) C (消点F) = ( 1 2 + ( a a + b − a b − 1 ) x − 1 2 ) A + ( − x 2 + ( b a + b ) x − 1 2 ) B + ( − x 2 + ( a b − 1 + 1 ) x − 1 2 ) C + 1 2 D (消点E) = ( a + 1 2 + ( a a + b − a b − 1 ) x − 1 2 ) A + ( − x + b 2 + ( − b a + b ) x − 1 2 ) B     + ( − x − a − b + 1 2 + ( a + b − 1 b − 1 ) x − 1 2 ) C (消点D) = 0 4) 使用待定系数法判定结论等式eq： { a + 1 2 + ( a a + b − a b − 1 ) x − 1 2 = 0 − x + b 2 − − b a + b x − 1 2 = 0 − x − a − b + 1 2 + a + b − 1 b − 1 x − 1 2 = 0 解线性方程组得： x = b − b a + b 2 a 因方程组的解存在，故结论等式eq成立，即：P、Q、R三点共线。 同证明器MPM相比，证明器MPP主要有3个特点：1) 基点没有坐标，引入的新点也不需要计算出坐标，生成的机器证明同样不依赖于坐标。2) 证明器MPP为每个新引入的点(除基点)都计算出一个消点公式，而不是一个含有新点的质点关系式。3) 证明器MPP一步一步地给出了结论等式eq的消点过程，而不是调用解题目标函数集中的求值函数进行约束求解。 3.2.2. 容积型质点消去法 现有的质点几何定理证明器都不能证明涉及到面积、长度等几何量的定理。为增强证明器的解题能力，李辉等人提出了一种能证明该类型定理的方法——容积型质点消去法，并基于此法实现了一款证明器PGP [ 23 ] 。在计算机上作了十几个容积型质点几何定理的证明实验，结果表明该证明器不仅能自动生成简短、可读性好的证明，而且证明范围更广。 容积型质点消去法的基本思想是：第一步和第二步同线性质点消去法相同，不再复述；第三步，读取结论等式eq，对结论等式eq的类型进行判断，一种是线性质点关系式，消点运算与上法相同。另一种是容积型质点表达式，消点运算中的消点顺序及方法同线性质点消去法相同。不同在于消点运算中的化简，容积型质点消去法的化简规则是依据容积的定义将含有两个以上相同质点的项直接消去；第四步，输出结论等式eq的系数为命题结论。 例2：如图2所示，在三角形ABC中，分别取AB、BC、AC的三等分点D、E、F，连接CD、AE、BF分别交于点P、M、N。求证： S Δ A B C : S Δ P M N = 7 。 图2. 例2 证明器PGP输出的证明： A B C D = ( 2 * A ) / 3 + B / 3 E = ( 2 * B ) / 3 + C / 3 F = ( 2 * C ) / 3 + A / 3 P = ( 4 * A ) / 7 + ( 3 * E ) / 7 M = A / 7 + ( 6 * E ) / 7 N = ( 3 * D ) / 7 + ( 4 * C ) / 7 EQ： s ( P ， M ， N ) = ( 4 * s ( P ， M ， C ) ) / 7 + ( 3 * s ( P ， M ， D ) ) / 7 (消点N) = ( 4 * s ( P ， A ， C ) ) / 49 + ( 3 * s ( P ， A ， D ) ) / 49 + ( 24 * s ( P ， E ， C ) ) / 49 + ( 18 * s ( P ， E ， D ) ) / 49 (消点M) = ( 96 * s ( A ， E ， C ) ) / 343 + ( 12 * s ( E ， A ， C ) ) / 343 + ( 72 * s ( A ， E ， D ) ) / 343 + ( 9 * s ( E ， A ， D ) ) / 343 (消点P) = ( 64 * s ( A ， B ， C ) ) / 343 + ( 8 * s ( B ， A ， C ) ) / 343 + ( 48 * s ( A ， B ， D ) ) / 343       + ( 6 * s ( B ， A ， D ) ) / 343 + ( 24 * s ( A ， C ， D ) ) / 343 + ( 3 * s ( C ， A ， D ) ) / 343 (消点E) = ( 64 * s ( A ， B ， C ) ) / 343 + ( 8 * s ( A ， C ， B ) ) / 343 + ( 8 * s ( B ， A ， C ) ) / 343 + s ( C ， A ， B ) / 343 (消点D) = s ( A ， B ， C ) / 7 因此，结论成立，即 S Δ A B C : S Δ P M N = 7 。 证明器PGP是在证明器MPP的基础上进行了改进和推广，一是在算法中能直接化简容积型质点表达式，二是消点的过程中根据结论不同调用不同的化简方式。当结论等式为容积型质点表达式时，直接对结论等式进行循环消点，消点结束将直接得出命题结论，无需再用待定系数法进行求解。