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user: 3. 二阶BDF2压力校正投影格式2.1的稳定性分析 定理3.1. 设 ( u n + 1 ， u ˜ n + 1 ， p n + 1 ) 是数值格式2.1的解。格式2.1几乎无条件稳定，即当时间步长 Δ t ≤ 1 16 时， 有下面的稳定性结论 ‖ u N ‖ 2 + ‖ 2 u N − u N − 1 ‖ 2 + 1 2 ‖ d N ‖ 2 + 1 2 ‖ d N − d N − 1 ‖ 2 + 4 3 ( Δ t ) 2 ‖ ∇ p N ‖ 2   + 2 Δ t ν ∑ n = 1 N − 1 ‖ ∇ u ˜ n + 1 ‖ 2 + 2 Δ t ∑ n = 1 N − 1 ‖ ( t r d n + 1 ) d r + 1 ‖ 2 ≤ exp ( 2 T ) { ‖ u 1 ‖ 2 + ‖ 2 u 1 − u 0 ‖ 2 + 1 2 ‖ d 1 − d 0 ‖ 2 + 4 3 ( Δ t ) 2 ‖ ∇ p 1 ‖ 2     + Δ t ∑ n = 1 N − 1 [ 2 ν ‖ f n + 1 ‖ − 1 2 + 1 ε ‖ F n + 1 ‖ − 1 2 ] } . (3.1) 证明. 方程(2.1)两端乘以 4 Δ t u ˜ n + 1 并在区域 Ω 上积分，利用Green公式和三线性项 ( u ˜ n + 1 ⋅ ∇ u ˜ n + 1 ， u ˜ n + 1 ) = 0 ，我们得到 ( 3 u ˜ n + 1 − 4 u n + u n − 1 ， 2 u ˜ n + 1 ) + 4 Δ t ν ‖ ∇ u ˜ n + 1 ‖ 2 + 4 Δ t ( ∇ p n ， u ˜ n + 1 ) = − 4 Δ t ( ( t r d n + 1 ) d n + 1 ， ∇ u ˜ n + 1 ) + 4 Δ t ( f n + 1 ， u ˜ n + 1 ) . (3.2) 同理，方程(2.2)两端乘以 2 Δ t d n + 1 并在区域 Ω 上积分， 利用Green公式和三线性项 ( u ˜ n + 1 ⋅ ∇ d n + 1 ， d n + 1 ) = 0 ，我们得到 ( 3 d n + 1 − 4 d n + d n − 1 ， d n + 1 ) + 2 Δ t ε ‖ ∇ d n + 1 ‖ 2 = 2 Δ t ( ∇ u ˜ n + 1 d n + 1 + d n + 1 ( ∇ u ˜ n + 1 ) Τ ， d n + 1 ) + 2 Δ t ‖ t r d n + 1 ‖ 2         − 2 Δ t ‖ ( t r d n + 1 ) d n + 1 ‖ 2 + 2 Δ t ( F n + 1 ， d n + 1 ) . (3.3) 方程(3.2)和(3.3)相加并且利用关系式 2 ( ( t r d ) d ， ∇ u ) = ( ( ∇ u ) d + d ( ∇ u ) Τ ， d ) 可得 ( 3 u ˜ n + 1 − 4 u n + u n − 1 ， 2 u ˜ n + 1 ) + 1 2 ( 3 d n + 1 − 4 d n + d n − 1 ， 2 d n + 1 ) + 4 Δ t ν ‖ ∇ u ˜ n + 1 ‖ 2 + 2 Δ t ε ‖ ∇ d n + 1 ‖ 2 + 4 Δ t ( ∇ p n ， u ˜ n + 1 ) + 2 Δ t ‖ ( t r d n + 1 ) d n + 1 ‖ 2 = 2 Δ t ‖ t r d n + 1 ‖ 2 + 4 Δ t ( f n + 1 ， u ˜ n + 1 ) + 2 Δ t ( F n + 1 ， d n + 1 ) . (3.4) 我们首先对式子(3.4)的等号右端项进行估计。利用关系式 2 a b ≤ a 2 + b 2 可得 2 Δ t ‖ t r d n + 1 ‖ 2 ≤ 4 Δ t ‖ d n + 1 ‖ 2 . (3.5) 利用hölder和young’s不等式，我们得到 4 Δ t ( f n + 1 ， u ˜ n + 1 ) ≤ 2 Δ t ν ‖ ∇ u ˜ n + 1 ‖ 2 + 2 Δ t ν ‖ f n + 1 ‖ − 1 2 ， (3.6) 2 Δ t ( F n + 1 ， d n + 1 ) ≤ Δ t ε ‖ ∇ d n + 1 ‖ 2 + Δ t ε ‖ F n + 1 ‖ − 1 2 . (3.7) 将不等式估计(3.5)，(3.6)和(3.7)代入(3.4)可得： ( 3 u ˜ n + 1 − 4 u n + u n − 1 ， 2 u ˜ n + 1 ) + 1 2 ( 3 d n + 1 − 4 d n + d n − 1 ， 2 d n + 1 ) + 2 Δ t ν ‖ ∇ u ˜ n + 1 ‖ 2   + ε Δ t ‖ ∇ d n + 1 ‖ 2 + 4 Δ t ( ∇ p n ， u ˜ n + 1 ) + 2 Δ t ‖ ( t r d n + 1 ) d n + 1 ‖ 2 ≤ 4 Δ t ‖ d n + 1 ‖ 2 + 2 Δ t r ‖ f n + 1 ‖ − 1 2 + Δ t ε ‖ F n + 1 ‖ − 1 2 . (3.8) 从格式2.1的第二步(2.3)，我们可以得到： 3 u n + 1 + 2 Δ t ∇ p n + 1 = 3 u ˜ n + 1 + 2 Δ t ∇ p n ， 对上式两边分别取内积，可得： 4 Δ t ( u ˜ n + 1 ， ∇ p n ) = 3 ( ‖ u n + 1 ‖ 2 − ‖ u ˜ n + 1 ‖ 2 ) + 4 3 ( Δ t ) 2 ( ‖ ∇ p n + 1 ‖ 2 − ‖ ∇ p n ‖ 2 ) . (3.9) 应用关系式 1 2 ( 3 d n + 1 − 4 d n + d n − 1 ， 2 d n + 1 ) = 1 2 [ ‖ d n + 1 ‖ 2 − ‖ d n ‖ 2 + ‖ 2 d n + 1 − d n ‖ 2 − ‖ 2 d n − d n − 1 ‖ 2 + ‖ d n + 1 − 2 d n + d n − 1 ‖ 2 ] ; (3.10) 和 ( 3 u ˜ n + 1 − 4 u n + u n − 1 ， 2 u ˜ n + 1 ) = ( 3 u n + 1 − 4 u n + u n − 1 ， 2 u n + 1 ) − ( 3 u n + 1 − 4 u n + u n − 1 ， 2 ( u n + 1 − u ˜ n + 1 ) ) = ‖ u n + 1 ‖ 2 − ‖ u n ‖ 2 + ‖ 2 u n + 1 − u n ‖ 2 − ‖ 2 u n − u n − 1 ‖ 2 + ‖ u n + 1 − 2 u n + u n − 1 ‖ 2       − 3 ( ‖ u n + 1 ‖ 2 − ‖ u ˜ n + 1 ‖ 2 − ‖ u n + 1 − u ˜ n + 1 ‖ 2 ) . (3.11) 我们将关系式(3.9)，(3.10)，(3.11)代入(3.8)得到： ‖ u n + 1 ‖ 2 − ‖ u n ‖ 2 + ‖ 2 u n + 1 − u n ‖ 2 − ‖ 2 u n − u n − 1 ‖ 2 + 3 ‖ u n + 1 − u ˜ n + 1 ‖ 2 + ‖ u n + 1 − 2 u n + u n − 1 ‖ 2   + 2 Δ t ν ‖ ∇ u ˜ n + 1 ‖ 2 + 1 2 [ ‖ d n + 1 ‖ 2 − ‖ d n ‖ 2 + ‖ 2 d n + 1 − d n ‖ 2 − ‖ 2 d n − d n − 1 ‖ 2 + ‖ d n + 1 − 2 d n + d n − 1 ‖ 2 ]   + ε Δ t ‖ ∇ d n + 1 ‖ 2 + 2 Δ t ‖ ( t r d n + 1 ) d n + 1 ‖ 2 + 4 3 ( Δ t ) 2 ( ‖ ∇ p n + 1 ‖ 2 − ‖ ∇ p n ‖ 2 ) ≤ 4 Δ t ‖ d n + 1 ‖ 2 + 2 Δ t ν ‖ f n + 1 ‖ − 1 2 + Δ t ε ‖ F n + 1 ‖ − 1 2 . (3.12) 我们对不等式(3.12)关于n从 n = 1 到 n = N − 1 求和可以得到 ‖ u N ‖ 2 + ‖ 2 u N − u N − 1 ‖ 2 + 1 2 ‖ d N ‖ 2 + 1 2 ‖ 2 d N − d N − 1 ‖ 2 + 4 3 ( Δ t ) 2 ‖ ∇ p N ‖ 2   + 2 Δ t ν ∑ n = 1 N − 1 ‖ ∇ u ˜ n + 1 ‖ 2 + Δ t ε ∑ n = 1 N − 1 ‖ ∇ d n + 1 ‖ 2 + 2 Δ t ∑ n = 1 N − 1 ‖ ( t r d n + 1 ) d n + 1 ‖ 2 ≤ 4 Δ t ∑ n = 1 N − 1 ‖ d n + 1 ‖ 2 + Δ t ∑ n = 1 N − 1 [ 2 r ‖ f n + 1 ‖ − 1 2 + 1 ε ‖ F n + 1 ‖ − 1 2 ]       + ‖ u 1 ‖ 2 + ‖ 2 u 1 − u 0 ‖ 2 + 1 2 ‖ d 1 ‖ 2 + 1 2 ‖ 2 d 1 − d 0 ‖ 2 + 4 3 ( Δ t ) 2 ‖ ∇ p 1 ‖ 2 . 当时间步长 Δ t ≤ 1 16 时，利用Gronwall不等式，可以得到定理3.1. 证明完毕