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user: 2. 定理的证明 | V ( P n ( m ) ) | = m n − 2 m + n ， | E ( P n ( m ) ) | = 2 m n − 4 m + n − 1 。 2.1. 定理1的证明 分两重情况定义P n (m)的顶点标号f如下： 情况1：n为奇数 f ( x 2 i − 1 ) = i − 1 ， i = 1 ， ⋯ ， ( n + 1 ) / 2 ， f ( x 2 i ) = m n − 3 m + n − i + k − 1 ， i = 1 ， ⋯ ， ( n − 1 ) / 2 ， f ( y 2 i − 1 ， j ) = 2 m n − 2 m + n − ( 2 m − 1 ) i − 2 j + k − 1 ， i = 1 ， ⋯ ， ( n − 1 ) / 2 ， j = 1 ， ⋯ ， m ， f ( y 2 i ， j ) = n − 2 m − 2 + ( 2 m − 1 ) i + 2 j ， i = 1 ， ⋯ ， ( n − 3 ) / 2 ， j = 1 ， ⋯ ， m . 下面验证f是P n (m)的k-优美标号。 1) 不同的顶点其标号不同。 a) 显然有如下结论： f ( x 2 i − 1 ) ≠ f ( x 2 j − 1 ) ( i ≠ j ， 1 ≤ i ， j ≤ ( n + 1 ) / 2 )， f ( x 2 i ) ≠ f ( x 2 j ) ( i ≠ j ， 1 ≤ i ， j ≤ ( n − 1 ) / 2 )， ( i = j 时， ； s = t 时， i ≠ j ， 1 ≤ s ， t ≤ m ， 1 ≤ i ， j ≤ ( n − 1 ) / 2 )， f ( y 2 i ， s ) ≠ f ( y 2 j ， t ) ( i = j 时， s ≠ t ； s = t 时， i ≠ j ， 1 ≤ s ， t ≤ m ， 1 ≤ i ， j ≤ ( n − 3 ) / 2 ). b) 设 A 0 = { f ( x 2 i − 1 ) | 1 ≤ i ≤ ( n + 1 ) / 2 } ， C 0 = { f ( y 2 i − 1 ， j ) | 1 ≤ i ≤ ( n − 1 ) / 2 ， 1 ≤ j ≤ m } ， A 1 = { f ( x 2 i ) | 1 ≤ i ≤ ( n − 1 ) / 2 } ， C 1 = { f ( y 2 i ， j ) | 1 ≤ i ≤ ( n − 3 ) / 2 ， 1 ≤ j ≤ m } . 有 A 0 ∩ A 1 = A 0 ∩ C 0 = A 0 ∩ C 1 = A 1 ∩ C 0 = A 1 ∩ C 1 = C 0 ∩ C 1 = ∅ . 事实上 min A 0 = f ( x 1 ) = 0 ， max A 0 = f ( x n ) = ( n − 1 ) / 2 ， min A 1 = f ( x n − 1 ) = m n − 3 m + ( n − 1 ) / 2 + k ， max A 1 = f ( x 2 ) = m n − 3 m + n − 2 + k ， min C 0 = f ( y n − 2 ， m ) = m n − 3 m + 3 ( n − 1 ) / 2 + k ， max C 0 = f ( y 1 ， 1 ) = 2 m n − 4 m + n − 2 + k ， min C 1 = f ( y 1 ， 1 ) = n − 1 ， max C 1 = f ( y n − 3 ， m ) = m n − 3 m + ( n − 1 ) / 2 . 于是有 min A 0 < max A 0 < min C 1 < max C 1 < min A 1 < max A 1 < min C 0 < max C 0 。 2) max { f ( v ) | v ∈ V ( P n ( m ) ) } = max C 0 = 2 m n − 4 m + n − 2 + k = k + | E ( P n ( m ) ) | − 1 。 3) 不同的边其标号不同。 I 1 = { | f ( y 2 i − 1 ， j ) − f ( x 2 i − 1 ) | ， | f ( y 2 i − 1 ， j ) − f ( x 2 i + 1 ) | | 1 ≤ i ≤ ( n − 1 ) / 2 ， 1 ≤ j ≤ m } = { 2 m n − 4 m + n − 2 + k ， 2 m n − 4 m + n − 3 + k ， ⋯ ， m n − 3 m + n − 1 + k } ， I 2 = { | f ( x 2 i ) − f ( x 2 i − 1 ) | ， | f ( x 2 i ) − f ( x 2 i + 1 ) | | 1 ≤ i ≤ ( n − 1 ) / 2 } = { m n − 3 m + n − 2 + k ， m n − 3 m + n − 3 + k ， ⋯ ， m n − 3 m + k } ， I 3 = { | f ( y 2 i ， j ) − f ( x 2 i ) | ， | f ( y 2 i ， j ) − f ( x 2 i + 2 ) | | 1 ≤ i ≤ ( n − 3 ) / 2 ， 1 ≤ j ≤ m } = { m n − 3 m − 1 + k ， m n − 3 m − 2 + k ， ⋯ ， k } . 由(3)显然有 ∀ a ， b ∈ I i ， i = 1 ， 2 ， 3 ，有 a ≠ b 。又因 max I 1 = 2 m n − 4 m + n − 2 + k ， min I 1 = m n − 3 m + n − 1 + k ， max I 2 = m n − 3 m + n − 2 + k ， min I 2 = m n − 3 m + k ， max I 3 = m n − 3 m − 1 + k ， min I 3 = k . 得 min I 3 < max I 3 < min I 2 < max I 2 < min I 1 < max I 1 ，进而有， I i ∩ I j = ∅ ， i ≠ j ， 1 ≤ i ， j ≤ 3 。于是 ，有 a ≠ b 。 4) max { f ′ ( e ) | e ∈ E ( P n ( m ) ) } = max I 1 = 2 m n − 4 m + n − 2 + k = k + | E ( P n ( m ) ) | − 1 。 综合(1)~(4)，由优美图的定义知，f是P n (m)的k—优美标号。故得P n (m)是k-优美图。 情况2：n为偶数 f ( x 2 i − 1 ) = i − 1 ， i = 1 ， ⋯ ， n / 2 ， f ( x 2 i ) = m n − 2 m + n − i + k − 1 ， i = 1 ， ⋯ ， n / 2 ， f ( y 2 i − 1 ， j ) = 2 m n − 2 m + n − ( 2 m − 1 ) i − 2 j + k − 1 ， i = 1 ， ⋯ ， ( n − 2 ) / 2 ， j = 1 ， ⋯ ， m ， f ( y 2 i ， j ) = n − 2 m − 2 + ( 2 m − 1 ) i + 2 j ， i = 1 ， ⋯ ， ( n − 2 ) / 2 ， j = 1 ， ⋯ ， m . 类似于情况1的证明，易验证在情况2中f是P n (m)的k-优美标号。 定理1证毕。 2.2. 定理2的证明 分两重情况定义P n (m)的顶点标号如下： 情况1： n ≡ 1 ( mod 3 ) 情况1.1：n为奇数 θ ( x 2 i − 1 ) = ( n − 1 ) / 2 + i ， i = 1 ， ⋯ ， ( n + 1 ) / 2 ， θ ( x 2 i ) = i − 1 ， i = 1 ， ⋯ ， ( n − 1 ) / 2 ， θ ( y 2 i − 1 ， j ) = 2 m n − 4 m + 3 n − 4 − 3 i − 2 j ( n − 2 ) ， i = 1 ， ⋯ ， ( n − 1 ) / 2 ， j = 1 ， ⋯ ， m ， θ ( y 2 i ， j ) = 2 m n − 4 m + 5 ( n − 1 ) / 2 − 3 i − 2 j ( n − 2 ) ， i = 1 ， ⋯ ， ( n − 3 ) / 2 ， j = 1 ， ⋯ ， m . 下面验证θ是P n (m)的序列标号。 1) 不同的顶点其标号不同。 a) 设 B = { θ ( x 2 i ) | 1 ≤ i ≤ ( n − 1 ) / 2 } ∪ { θ ( x 2 i − 1 ) | 1 ≤ i ≤ ( n + 1 ) / 2 } ， C j = { θ ( y 2 i − 1 ， j ) | 1 ≤ i ≤ ( n − 1 ) / 2 } ， j = 1 ， ⋯ ， m ， D j = { θ ( y 2 i ， j ) | 1 ≤ i ≤ ( n − 3 ) / 2 } ， j = 1 ， ⋯ ， m . 由θ的定义有 min B = 0 ， max B = n ， min C j = 2 m n − 4 m + ( 3 n − 5 ) / 2 − 2 j ( n − 2 ) ， j = 1 ， ⋯ ， m ， max C j = 2 m n − 4 m + 3 n − 7 − 2 j ( n − 2 ) ， j = 1 ， ⋯ ， m ， min D j = 2 m n − 4 m + n + 2 ， j = 1 ， ⋯ ， m ， max D j = 2 m n − 4 m + 5 ( n − 1 ) / 2 − 3 − 2 j ( n − 2 ) ， j = 1 ， ⋯ ， m ， 得 min B < max B < min D m < max D m < min C m < max C m < min D m − 1 < max D m − 1 < ⋯ < min D 1 < max D 1 < min C 1 < max C 1 。于是有 B ∩ C j = B ∩ D j = C j ∩ D j = ∅ ， j = 1 ， ⋯ ， m 。得 ∀ u ， v ∈ V ( P n ( m ) ) ，若 u ≠ v ，有 θ ( u ) ≠ θ ( v ) 。 2) max { θ ( v ) | v ∈ V ( P n ( m ) ) } = 2 m n − 4 m + n − 3 < 2 m n − 4 m + n − 1 = | E ( P n ( m ) ) | 。 3) 不同的边其标号不同。 J 0 = { θ ( x i ) + θ ( x i + 1 ) | 1 ≤ i ≤ n − 1 } = { ( n + 1 ) / 2 ， ( n + 1 ) / 2 + 1 ， ⋯ ， ( n + 1 ) / 2 + n − 2 } ， J 1 ， j = { θ ( y 2 i − 1 ， j ) + θ ( x 2 i + 1 ) ， θ ( y 2 i − 1 ， j ) + θ ( x 2 i − 1 ) | 1 ≤ i ≤ ( n − 1 ) / 2 }           = { 2 m n − 4 m + ( 7 n − 11 ) / 2 − 2 j ( n − 2 ) ， 2 m n − 4 m + ( 7 n − 11 ) / 2 − 1 − 2 j ( n − 2 ) ，                   ⋯ ， 2 m n − 4 m + ( 5 n − 7 ) / 2 − 2 j ( n − 2 ) } ，       j = 1 ， ⋯ ， m ， J 2 ， j = { θ ( y 2 i ， j ) + θ ( x 2 i + 2 ) ， θ ( y 2 i ， j ) + θ ( x 2 i ) | 1 ≤ i ≤ ( n − 3 ) / 2 } = { 2 m n − 4 m + ( 5 n − 9 ) / 2 − 2 j ( n − 2 ) ， ⋯ ， 2 m n − 4 m + ( 3 n − 1 ) / 2 − 2 j ( n − 2 ) } ，     j = 1 ， ⋯ ， m ， 有 J 1 = J 2 ， m ∪ J 1 ， m = { ( 3 n − 1 ) / 2 ， ( 3 n − 1 ) / 2 + 1 ， ⋯ ， ( 5 n − 9 ) / 2 }         ∪ { ( 5 n − 7 ) / 2 ， ( 5 n − 7 ) / 2 + 1 ， ⋯ ， ( 7 n − 11 ) / 2 } ， J 2 = J 2 ， m − 1 ∪ J 1 ， m − 1 = { ( 7 n − 9 ) / 2 ， ( 7 n − 9 ) / 2 + 1 ， ⋯ ， ( 9 n − 17 ) / 2 }       ∪ { ( 9 n − 15 ) / 2 ， ( 9 n − 15 ) / 2 + 1 ， ⋯ ， ( 11 n − 19 ) / 2 } ， … J m = J 2 ， 1 ∪ J 1 ， 1 = { 2 m n − 4 m − ( n − 7 ) / 2 ， 2 m n − 4 m − ( n − 7 ) / 2 + 1 ， ⋯ ， 2 m n − 4 m + ( n − 1 ) / 2 }         ∪ { 2 m n − 4 m + ( n + 1 ) / 2 ， 2 m n − 4 m + ( n + 1 ) / 2 + 1 ， ⋯ ， 2 m n − 4 m + 3 ( n − 1 ) / 2 } 。 于是有 J i ∩ J j = ∅ ， i ≠ j ， 0 ≤ i ， j ≤ m ，故得 ∀ e ， f ∈ E ( P n ( m ) ) ，若 e ≠ f ，有 θ ( e ) ≠ θ ( f ) 。 4) J = J 0 ∪ J 1 ∪ J 2 ∪ ⋯ ∪ J m = { ( n + 1 ) / 2 ， ( n + 1 ) / 2 + 1 ， ⋯ ， 2 m n − 4 m + 3 ( n − 1 ) / 2 } = { ( n + 1 ) / 2 ， ( n + 1 ) / 2 + 1 ， ⋯ ， ( n + 1 ) / 2 + | E ( P n ( m ) ) | } 。 综合(1)~(4)，由序列图的定义知，θ是P n (m)的序列标号。故得P n (m)是序列图。 情况1.2：n为偶数 θ ( x 2 i − 1 ) = n / 2 + i ， i = 1 ， ⋯ ， n / 2 ， θ ( x 2 i ) = i − 1 ， i = 1 ， ⋯ ， n / 2 ， θ ( y 2 i − 1 ， j ) = 2 m n − 4 m + 3 n − 4 − 3 i − 2 j ( n − 2 ) ， i = 1 ， ⋯ ， ( n − 2 ) / 2 ， j = 1 ， ⋯ ， m ， θ ( y 2 i ， j ) = 2 m n − 4 m + ( 5 n − 2 ) / 2 − 3 i − 2 j ( n − 2 ) ， i = 1 ， ⋯ ， ( n − 2 ) / 2 ， j = 1 ， ⋯ ， m . 类似于情况1.1的证明，易验证在情况1.2中θ是P n (m)的序列标号。 在情况2中，可与情况1同理验证θ是P n (m)的序列标号。故只给出下列标号，不加验证。 情况2： n ≡ 0 ， 2 ( mod 3 ) 情况2.1：n为奇数 θ ( x 2 i − 1 ) = ( n − 3 ) / 2 + i ， i = 1 ， ⋯ ， ( n + 1 ) / 2 ， θ ( x 2 i ) = i − 1 ， i = 1 ， ⋯ ， ( n − 1 ) / 2 ， θ ( y 2 i − 1 ， j ) = 2 m n − 4 m + 3 n − 4 − 3 i − 2 j ( n − 2 ) ， i = 1 ， ⋯ ， ( n − 1 ) / 2 ， j = 1 ， ⋯ ， m ， θ ( y 2 i ， j ) = 2 m n − 4 m + ( 5 n − 7 ) / 2 − 3 i − 2 j ( n − 2 ) ， i = 1 ， ⋯ ， ( n − 3 ) / 2 ， j = 1 ， ⋯ ， m . 情况2.2：n为偶数 θ ( x 2 i − 1 ) = ( n − 2 ) / 2 + i ， i = 1 ， ⋯ ， n / 2 ， θ ( x 2 i ) = i − 1 ， i = 1 ， ⋯ ， n / 2 ， θ ( y 2 i − 1 ， j ) = 2 m n − 4 m + 3 n − 4 − 3 i − 2 j ( n − 2 ) ， i = 1 ， ⋯ ， ( n − 2 ) / 2 ， j = 1 ， ⋯ ， m ， θ ( y 2 i ， j ) = 2 m n − 4 m + ( 5 n − 4 ) / 2 − 3 i − 2 j ( n − 2 ) ， i = 1 ， ⋯ ， ( n − 2 ) / 2 ， j = 1 ， ⋯ ， m . 定理2证毕。