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user: 3. 矩阵秩的不等式在高等代数考研试题中的应用 矩阵的秩是一个重要、基本的数学概念，是矩阵最重要的数字特征之一。在矩阵的秩的相关理论、分块矩阵、线性方程组解的判定和求解、线性变换等方面应用十分广泛。下面我们将从矩阵秩的相关理论中、在分块矩阵中的应用、在线性空间与线性变换中的应用、方程组相关理论中的应用，阐述矩阵秩的不等式在高等代数考研解题中的应用。 3.1. 在矩阵秩的理论中的应用 矩阵的秩是矩阵的重要特征，我们常常会利用矩阵秩的一些常见不等式，解决矩阵相关问题，其中Sylvester不等式应用极其广泛。 例1 (2020年中国科学院大学高等代数考研试题3)已知n阶方阵A满足 A 2 = I n 。 问： 秩 ( I n + A ) + 秩 ( I n − A ) 为何值，并给出证明过程。 分析：已知n阶方阵A满足 A 2 = I n ，即 秩 ( I n 2 − A 2 ) = 0 。利用Sylvester不等式，则有 秩 [ ( I n + A ) ( I n − A ) ] ≥ 秩 ( I n + A ) + 秩 ( I n − A ) − n 。 证明：因为 A 2 = I n 所以，有 ( I n + A ) ( I n − A ) = I n 2 − A 2 = O 即 r [ ( I n + A ) ( I n − A ) ] = 0 利用Sylvester不等式，得 秩 ( I n + A ) + 秩 ( I n − A ) = n 例2 (2011年华中科技大学考研试题3)设A，B都是 m × n 矩阵，C是 n × n 矩阵，且 A = B C ， rank ( B ) = n ，证明： rank ( A ) = rank ( C ) 分析：利用Sylvester不等式，可证 rank ( A ) = rank ( B C ) ≥ rank ( C ) ，再利用 r ( A B ) ≤ min { r ( A ) ， r ( B ) } ，可证 rank ( A ) = rank ( B C ) ≤ rank ( C ) ，即可得 rank ( A ) = rank ( C ) 。 证明：因为 A = B C ，A，B都是 m × n 矩阵，C是 n × n 矩阵 所以， rank ( A ) = rank ( B C ) ≥ rank ( B ) + rank ( C ) − n 又因为， rank ( B ) = n 所以， rank ( A ) ≥ rank ( C ) 而 rank ( A ) = rank ( B C ) ≤ rank ( C ) 所以， rank ( A ) = rank ( C ) 例3 (2020年华东师范大学高等代数考研试题9)设n为奇数， A ， B ∈ M n ( ℂ ) 且 A 2 = O ，证明： A B − B A 不可逆。 分析：根据 A 2 = O ，利用Sylvester不等式，有 r ( A ) ≤ n 2 ≤ n − 1 2 (n为奇数)，再利用 r ( A ± B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) 、 r ( A B ) ≤ min { r ( A ) ， r ( B ) } 两个不等式，可求得 r ( A B − B A ) ≤ n − 1 < n ，即 A B − B A 不可逆。 证明：由于 A 2 = O ，利用Sylvester不等式，可得 r ( A ) ≤ n 2 又因为，n为奇数，所以可得 r ( A ) ≤ n − 1 2 即，可求 r ( A B − B A ) ≤ r ( A B ) + r ( B A ) ≤ r ( A ) + r ( A ) ≤ n − 1 所以， A B − B A 不可逆。 例4 (2012年河南师范大学高等代数考研试题)设矩阵 A = ( 0 x 1 + x 2 x 1 + x 3 ⋯ x 1 + x n x 2 + x 1 0 x 2 + x 3 ⋯ x 2 + x n x 3 + x 1 x 3 + x 2 0 ⋯ x 3 + x n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x n + x 1 x n + x 2 x n + x 3 ⋯ 0 ) ， 证明： r ( A * ) = n 或者1。 分析：将矩阵A拆分两个矩阵之和形式，再利用秩的不等式性质 r ( A ) − r ( B ) ≤ r ( A + B ) ，可得 r ( A ) ≥ n − 1 ，由例题8的结论可证明 r ( A * ) = n 或者1。 证明：由于 A = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) ( 1 1 ⋯ 1 ) + ( − x 1 x 2 ⋯ x n x 1 − x 2 ⋯ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x 1 x 2 ⋯ − x n ) ， 故由 r ( A ) − r ( B ) ≤ r ( A + B ) 有 r ( A ) ≥ r ( − x 1 x 2 ⋯ x n x 1 − x 2 ⋯ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x 1 x 2 ⋯ − x n ) − r [ ( x 1 x 2 ⋮ x n ) ( 1 1 ⋯ 1 ) ] = n − 1 故当 r ( A ) = n − 1 时， r ( A * ) = 1 ；当 r ( A ) = n 时， r ( A * ) = n 。 3.2. 在分块矩阵中的应用 矩阵分块的目的是为了将阶数大的矩阵，看成由一些小矩阵组成的低阶矩阵，并把这些小矩阵当做数一样来处理。我们常常可以利用矩阵秩的不等式来解决分块矩阵的有关题型，有时也可以应用分块矩阵证明有关矩阵的秩的某些性质。 例5 (2020年湖南师范大学高等代数考研试题证明题2)用 r ( A ) 表示A的秩，A，B都是n阶方阵，证明： r ( A B ) ≥ r ( A ) + r ( B ) − n 分析：要证明上式，只需证明 r ( A B ) + n ≥ r ( A ) + r ( B ) ，利用初等变换不影响矩阵的秩，将不等式左边 r ( A B O O E n ) 转换成 r ( − A E n O B ) ，再利用A，B都是n阶方阵，有 r ( A ) + r ( B ) ≤ r ( A C O B ) ，即可证明 r ( A B ) ≥ r ( A ) + r ( B ) − n 。为了方便，我们在运算过程中，用r表示矩阵的行，c表示矩阵的列。 r 1 + B r 2 表示将分块矩阵的第二行左乘矩阵B加到第一行。 c 1 − A c 2 表示将分块矩阵的第二列左乘矩阵A减到第一行。 r 1 ↔ r 2 表示将分块矩阵的第一行与第二行交换位置。 证明：由于 ( A B O O E n ) → r 1 + B r 2 ( A B B O E n ) → c 1 − A c 2 ( O B − A E n ) → r 1 ↔ r 2 ( − A E n O B ) 因为，A，B都是n阶方阵，则 r ( − A E n O B ) ≥ r ( A ) + r ( B ) 而 r ( A B ) + n = r ( − A E n O B ) 所以， r ( A B ) ≥ r ( A ) + r ( B ) − n 例6 (2020年兰州大学高等代数考研试题4证明题)设A为 m × n 矩阵，B为 n × s ，C为 s × t 矩阵，试证： rank ( A B ) + rank ( B C ) − rank ( B ) ≤ rank ( A B C ) 分析：要证明上式，只需证明 rank ( A B ) + rank ( B C ) ≤ rank ( A B C ) + rank ( B ) ，再利用方块矩阵做一系列的初等变换，可得到 rank ( A B ) + rank ( B C ) ≤ rank ( A B O B B C ) = rank ( A B A B C B O ) = rank ( O A B C B O ) = rank ( A B C ) + rank ( B ) 证明：设 E s ， E t ， E m ， E n 分别为 s ， t 阶单位矩阵， 则由于 ( A B A B C B O ) ( E s C O − E t ) = ( A B O B B C ) ( E m − A O E n ) ( A B A B C O B C ) = ( O A B C B O ) 且 ( E s C O − E t ) ， ( E m − A O E n ) 是可逆矩阵，故 rank ( A B ) + rank ( B C ) ≤ rank ( A B O B B C ) = rank ( A B A B C B O ) = rank ( O A B C B O ) = rank ( A B C ) + rank ( B ) 所以 rank ( A B ) + rank ( B C ) − rank ( B ) ≤ rank ( A B C ) 3.3. 在线性空间与线性变换理论中的应用 线性空间的维数其实质是向量组的秩的问题，线性变换的值域与核的维数问题，其实质也是向量组的秩的问题。 例7 (2020湖南师范大学高等代数考研试题证明题2)用 r ( A ) 表示A的秩，A，B都是n阶方阵，证明： r ( A B ) ≥ r ( A ) + r ( B ) − n 分析：除了利用上述例4用分块矩阵求解外，也可以利用线性空间的维数来解，将 r ( B ) 用 dim [ U = { B x | x ∈ V } ] (U是B像，V是n维列向量空间)表示，定义一个线性变换 φ : V → V ， x ↦ A x ，那么 dim ker φ = n − r ( A ) ( dim ker φ 指 A x = 0 解集的维数)。所以， dim φ ( U ) = dim { A B x | x ∈ V } = r ( A B ) = dim { A u | u ∈ U } ≥ dim U − dim ker φ = r ( A ) + r ( B ) − n 证明：记V是n维列向量空间，令 U = { B x | x ∈ V } ，则U是V的子空间，且 dim U = r ( B ) ，再定义V上的线性变换 φ : V → V ，     x ↦ A x 则 φ ( U ) = { A B x | x ∈ V } 故 dim φ ( U ) = r ( A B ) 而 dim ker φ = n − r ( A ) 因为 dim { A B x | x ∈ V } = dim { A u | u ∈ U } ≥ dim U − dim ker φ 所以 r ( A B ) ≥ r ( A ) + r ( B ) − n 3.4. 在线性方程组相关理论中的应用 根据线性方程组系数矩阵和增广矩阵的秩的关系，可以判断一个线性方程组是否有解，可以找出线性方程组中有效方程的个数，并怎样给出方程组的解。 例8 (2016年北京师范大学考研试题3)设A是n阶矩阵， A * 是A的伴随矩阵，证明： r ( A * ) = { n ，       r ( A ) = n 1 ，           r ( A ) = n − 1 0 ，       r ( A ) < n − 1 分析：考虑 r ( A ) 为n时，利用 A * A = | A | E ， | A * | = | A | n − 1 ≠ 0 ，考虑 r ( A ) 为 n − 1 时，A至少存在一个 n − 1 级子式不为0，即 r ( A * ) ≥ 1 ，再利用Sylvester不等式，得到 r ( A * ) ≤ 1 ，最终可得 r ( A * ) = 1 。同样考虑 r ( A ) < n − 1 时，A的任意 n − 1 行皆线性相关，故它的 n − 1 级子式为0，所以 r ( A * ) = 0 。 证明：当 r ( A ) = n 时，因为 A * A = | A | E ，即 | A * | = | A | n − 1 ≠ 0 ，所以 r ( A * ) = n ； 当 r ( A ) = n − 1 时， A * A = | A | E = 0 ，则A至少存在一个 n − 1 级子式不为0，即 r ( A * ) ≥ 1 。 利用Sylvester不等式， r ( A * A ) ≥ r ( A ) + r ( A * ) − n 则 r ( A * ) ≤ 1 。 所以，当 r ( A ) = n − 1 时， r ( A * ) = 1 ； 当 r ( A ) < n − 1 时，则A的任意 n − 1 行皆线性相关，故它的任意 n − 1 级子式都为0，所以， | A * | = | A | n − 1 = 0 。 综上所述， r ( A * ) = { n ，       r ( A ) = n 1 ，           r ( A ) = n − 1 0 ，       r ( A ) < n − 1 例9 (2020年北京师范大学高等代数考研试题2)若A是 m × n 矩阵，B是m维列向量。证明： r ( A T A ) = r ( A ) 分析：要证 r ( A T A ) = r ( A ) ，只需证明 A T A X = 0 与 A X = 0 同解即可。 证明：显然， A X = 0 则 A T A X = 0 。 反之，若 A T A X = 0 ，则 X T A T A X = 0 ，即 ( A X ) T A X = 0 。 因为，A，X 都是实矩阵，所以 A X = 0 ，即 A T A X = 0 的解是 A X = 0 的解。 所以， A T A X = 0 与 A X = 0 同解， r ( A T A ) = r ( A ) 。