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user: 4. 平面双线摆系统的稳定性分析 如果(7)的解是有界的，则定义解是稳定的。在这一节本文讨论 δ → 1 / 4 ， 1 时 δ − ε 参数平面上的分界线(transition curves)分布。根据Floquet理论，在分界线上(7)有周期解，并且周期为 T = 2 π / Ω L 或者 T = 4 π / Ω L 。本节将讨论为什么(7)的不稳定解最可能出现在 δ → 1 / 4 ， 1 时。 图2. 一阶解析解(···点)和数值解(—实线)的比较 假设 δ 可以展开成如下形式 δ = δ 0 + ε δ 11 + η δ 12 + ε 2 δ 21 + η 2 δ 22 + ε η δ 23 + ⋅ ⋅ ⋅ ， 其中是 δ i j 待定常数。将上式和(8)带入(7)并令 ε 和 η 的各阶系数分别为0，可以得到下列等式 y ¨ 0 + δ 0 y 0 = 0 ， y ¨ 11 + δ 0 y 11 = κ cos τ − ( δ 11 + cos τ ) y 0 ， y ¨ 12 + δ 0 y 12 = − ( δ 12 + cos ( 2 τ ) ) y 0 ， y ¨ 21 + δ 0 y 21 = − δ 21 y 0 − ( δ 11 + cos ( τ ) ) y 11 ， y ¨ 22 + δ 0 y 22 = − δ 22 y 0 − ( δ 12 + cos ( 2 τ ) ) y 12 ， (12) y ¨ 23 + δ 0 y 23 = − δ 23 y 0 − ( δ 12 + cos ( 2 τ ) ) y 11 − ( δ 11 + cos τ ) y 12 ， 对于 δ 分成两种情况进行讨论。 4.1. δ接近1/4 将 δ = 1 / 4 带入(12)的第一式，可以解得 y 0 = a cos τ 2 + b sin τ 2 ， (13) 其中 a 和 b 是由取决于初始条件的常数。将(13)带入(12)的第二式，解得 y 11 。要消除 y 11 中的久期项必须满足 δ 11 = 1 2   and   b = 0 或者 δ 11 = − 1 2   and   a = 0 4.1.1. δ 1 1 = 1 2   a n d   b = 0 在这种情况下(12)的特解可以写为 y 11 = − 1 4 a cos 3 τ 2 + 4 3 κ cos τ . 将(13)带入(12)中的第三式，消去久期项必须要满足 δ 12 = 0 。这种情况下(12)的特解为 y 12 = − 1 12 a ( 3 cos 3 τ 2 + cos 5 τ 2 ) . 相似地，利用(12)最后三个方程，有 δ 12 = − 1 8 ， y 21 = 1 48 a ( − 3 cos 3 τ 2 + cos 5 τ 2 ) + 8 45 κ ( 15 + 5 cos τ − cos ( 2 τ ) ) ， δ 22 = − 1 6 ， y 22 = 1 480 a ( 5 cos 7 τ 2 + cos 9 τ 2 ) ， δ 23 = − 1 4 ， y 23 = 1 72 a ( − 3 cos 3 τ 2 + cos 5 τ 2 + cos 7 τ 2 ) − 8 3 κ ( 1 3 cos τ + 1 35 cos ( 3 τ ) ) . 此时分界线的表达式可以写为 δ = 1 4 + 1 2 ε − 1 8 ε 2 − 1 6 η 2 − 1 4 ε η . (14) 在(14)所示的分界线上会出现周期为 T = 2 ( 2 π / Ω L ) 的周期解。 4.1.2. δ 1 1 = − 1 2   a n d   a = 0 在这种情况下可求得分界线为 δ = 1 4 − 1 2 ε − 1 8 ε 2 − 1 6 η 2 + 1 4 ε η . (15) 此时在分界线上的周期解的表达式可以近似写为 y = b sin τ 2 − ( 1 4 b sin 3 τ 2 − 4 3 κ cos τ ) ε − 1 12 b ( − 3 sin 3 τ 2 + sin 5 τ 2 ) η + [ 1 48 b ( 3 sin 3 τ 2 + sin 5 τ 2 ) − 8 45 κ ( − 15 + 5 cos τ + cos ( 2 τ ) ) ] ε 2 + 1 480 b ( − 5 sin 7 τ 2 + sin 9 τ 2 ) η 2 + [ 1 72 b ( − 3 sin 3 τ 2 − sin 5 τ 2 + sin 7 τ 2 ) − 8 3 κ ( 1 3 cos τ + 1 35 cos ( 3 τ ) ) ] ε η . (16) 4.2. δ接近1 按前面介绍的方法可以求得此时的分界线和对应的周期解表达式 δ = 1 − κ a ε + 1 2 η + 5 12 ε 2 − 1 32 η 2 . (17) y = a cos τ + 1 6 a ( 3 − cos ( 2 τ ) ) ε − 1 16 a cos ( 3 τ ) η + [ 1 96 a cos ( 3 τ ) + 1 18 κ ( 9 + cos ( 2 τ ) ) ] ε 2 + 1 768 a ( − 3 cos ( 3 τ ) + cos ( 5 τ ) ) η 2 + [ 1 1440 a ( − 265 cos ( 2 τ ) + 11 cos ( 4 τ ) − 480 ) + 1 128 κ ( 3 cos τ + cos ( 3 τ ) ) ] ε η . (18) 根据这节的解析分析以及 δ 的定义，当桥的振动阻尼比较小时桥的稳定性最糟糕的情况出现在桥的自振频率等于人行走的侧向步频或者侧向步频的一半。接下来，我们数值地展示桥的不同振幅下稳定性区域的变化。根据实测，当行人行走的步频在2 Hz时产生的侧向和竖向激励力之比在0.05到0.12左右。数值计算中我们令 ε 和 η 之比为0.1，并且将 κ 的值固定为−0.5。数值结果展示在图3中。 图3. δ − ε 平面上方程(7)的分界线，其中 κ = − 0.5 a 表示桥做侧向周期振动时的振幅。当 a 非常小时，此时 ε 非常小。如图3(a)所示，此时参数平面上稳定性区域面积很小。这表明此时增加桥上人数很容易加大桥的侧向不稳定性，这会使得 a 增加。随着 a 增大参数平面上不稳定区域开始缩小，并逐渐收缩到 δ = 1 / 4 ， 1 附近(见图3(b)~(d))。根据参数 物理含义，当人数增加的足够多时不稳定情况仅仅在桥的侧向自振频率接近1/2人的侧向步频，或者接近人的竖向步频时出现。利用图3中的稳定性图片可以解释悬索桥在行人行走作用下出现的锁频现象。当桥上行人数量从零开始增加时，不管桥的侧向频率和行人激励力频率之间的关系，桥的侧向振动会迅速增加。随着桥的侧向振动幅度的增加，桥上行人会不自觉地和桥同步使得行走更为舒适。而这种同步将使得行人的竖向行走频率接近桥的侧向自振频率或者自振频率的倍数。但这恰恰是悬索桥系统稳定性被破坏的条件，因此这将最终造成悬索桥过大的侧向振动。由于行人在行走过程中不自觉地和侧向摆动的桥同步，所以这一过程几乎是无法避免的。著名的伦敦千禧桥中跨的第一阶侧向自振频率为0.48 Hz，根据上面的分析过大侧向振动会出现在行人侧向步频为1倍和2倍桥侧向自振频率附近。根据实测行人侧向力步频在0.7~1.2 Hz左右，因此千禧桥会在0.35~0.6 Hz和0.7~1.2 Hz附近出现过大的侧向振动。实际上发生侧向振动频率恰好为0.48和0.96 Hz。