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user: 3. 主成分分析回归模型的建立 3.1. 研究方法 主成分分析在物质科学领域对复杂现象的研究，这是通过将粗糙但相关性高的成分组合，并挑选其中贡献率大的指标来研究现实问题，得以更清晰看待问题。这里用来研究影响目标小类的销售量的因素，合适性比较好 [ 3 ]。 由于影响目标小类销售的因素很多，各因素之间具有一定的相关性，进行回归预测之前需要采用主成分分析法选取贡献率高的主成分，构造出与主成分之间的回归预测模型 [ 4 ]。 1. 首先样本自变量矩阵进行标准化处理： 按列计算均值 x ˜ j = 1 n ∑ i = 1 n X i j 和标准差 S j = ∑ i = 1 n ( X i j − X ¯ j ) 2 标准化数据 X i j = ( X i j − X ¯ j ) 2 S j 2. 计算R的特征值和特征向量 3. 计算主成分贡献率以及累计贡献率 本文通过matlab求解矩阵得到主成分分析，结果如表1所示。 Table 1 Summary of principal component analysis result 特征向量 a 1 a 2 a 3 0.702044 0.035057 0.324482 −0.18087 −0.60655 0.029542 −0.63515 0.188917 −0.68442 0.302636 −0.70854 −0.05907 0.291035 −0.16851 −0.61756 销售价 −0.05695 0.529225 0.740037 −0.11475 0.394783 折扣 0.03145 −0.55838 0.476093 0.676234 0.057174 特征值 2.249432 1.59588 1.140183 0.014189 0.000315 贡献率 0.449886 0.319176 0.228037 0.002838 6.31E−05 累计贡献率 0.449886 0.769062 0.997099 0.999937 1 表1. 主成分分析结果汇总表 利用结果分析，前三个主成分分析已经达到99.8%，包含了大部分信息部分，所以我们取前三个作为指标。 F 1 = 0.7020 X 1 + 0.0295 X 2 − 0.7085 X 3 − 0.0570 X 4 + 0.0315 X 5 ， F 2 = 0.0350 X 1 − 0.6352 X 2 − 0.0591 X 3 + 0.5292 X 4 − 0.5584 X 5 ， F 3 = 0.3245 X 1 − 0.1890 X 2 − 0.2910 X 3 + 0.7400 X 4 − 0.4761 X 5 对三主成分解释： F 1 对 X 1 有着高度的正载荷，对 X 3 高度的负载荷，可以解释为库存与价格平衡度。 F 2 对 X 2 ， X 5 有着高度的负载荷，对 X 4 有高度的正载荷，可以解释为折扣敏感度。 F 3 对 X 4 有着中等的正载荷对 X 4 高度的负载荷，可以解释为销售价波动感知。 3.2. 基于主成分分析的回归模型建立 通过以上分析和计算，我们用3个新变量来替代5个可量化变量 [ 5 ]。这两个新变量相互独立，且充分反映了原来5个影响因素包含的信息。这3个主成分体现了之前5个可量化指标99.8%的信息，提取效果较好。 接下来我们用得出的三个新变量用最小二乘法来建立回归模型 [ 6 ]。将F使用主成分得到主成分指标，并将因变量销量y标准化，整理得到主成分自变量分析表，如表2所示。 Table 2 Analysis table of independent variable 变量 参数估计 标准误差 II型SS F值 Pr > F 主成分 0.01442 0.06116 354.10450 5917.20 <0.0001 Z 1 0.019679 0.02600 47.00164 785.41 <0.0001 Z 2 0.0008919 0.04624 2.85128 47.65 <0.0001 Z 3 0.00993 0.07208 1.25237 20.93 0.0006 表2. 自变量分析表 R检验所得到的 R 2 = 0.9801 ，而R 2 越接近于1，则说明模型的拟合程度越好，因此本模型的拟合是比较好的。利用F检验判断回归方程显著性的时候，则关注目标小类的回归预测方程： y 1 = 0.01442 + 0.019679 Z 1 + 0.0008919 Z 2 + 0.00993 Z 3 本文通过Excel对2019年目标小类10月到12月的三个月销量的预测(表3~表5)。 Table 3 October 2019 forecast tabl 排名 小标签类 第一主成分F1 第二主成分F2 第三主成分F3 实际销售量 预测销售量 MAPE 1 27050401 32314519.71 −891723.7381 80350779.31 1655852 1433005.358 0.394184227 2 27060804 15139301.78 −382992.1361 36736466.78 664065 662377.8586 0.007441415 3 27112849 527483.776 −554018.624 15397838.44 187408 162786.7742 0.384801016 4 27071209 4298798.884 −58542.36975 9119559.168 163811 175101.0863 0.201868643 5 27164944 650694.7176 −364901.0798 10676765.3 140886 118499.8599 0.46539964 6 27196225 3539560.462 −4619.868083 6372358.732 50705 132928.4265 0.249626387 7 27092025 228160.6045 −221959.1506 6197052.35 110337 65828.75143 0.18150074 8 27123264 75163.03153 −185141.7741 4965868.766 89872 50625.09662 0.27907395 9 27217089 3294134.664 −1563.069709 5860354.844 35347 123017.22 0.264641728 10 27102436 136170.0267 −82627.27109 2396755.833 59757 26405.79453 0.634697559 主成分贡献率 0.449886 0.319176 0.228037 0.997099 0.025822387 表3. 2019年10月份预测表 Table 4 November 2019 forecast tabl 排名 小标签类 第一主成分F1 第二主成分F2 第三主成分F3 实际销售量 预测销售量 MAPE 1 27050401 21112130.2 −1455638.7 75291199.7 1302844 1161809 0.317066 2 27060804 9921830.03 −646670.79 34407199.2 521737 536338.43 0.081971 3 27112849 −2007735.1 −710698.33 15011459.7 175950 108919.72 0.115826 4 27071209 3080372.9 −120781.93 8593101.89 129792 145840.45 0.362159 5 27164944 −1093826.6 −474159.88 10448647.6 130367 81806.768 0.091008 6 27196225 1135959.18 −108416.98 4838154.59 30572 70300.733 0.806234 7 27092025 −725745.96 −279551.07 6016125.65 103520 45208.856 0.649841 8 27123264 −583023.86 −227833.54 4918187.06 84127 37161.081 0.635167 9 27217089 1122746.16 −94918.564 4463802.23 21297 66335.434 0.194119 10 27102436 −335041.99 −111721.72 2324218.82 54837 16386.571 0.053724 主成分贡献率 0.449886 0.319176 0.228037 0.997099 表4. 2019年11月份预测表 Table 5 Sales volume in December 201 小标签类 第一主成分F1 第二主成分F2 第三主成分F3 预测销售量 27050401 33048588.37 −1240071.53 90743003.5 1550335.2 27060804 15073630.47 −564291.911 41354663.44 706782.5 27112849 −871852.125 −674335.795 16068145.89 141798.09 27071209 4108470.682 −113713.972 10224338.2 182276.87 27164944 −165900.315 −429961.164 10933413.65 104920.58 27196225 981196.7375 −129941.094 5126749.578 70101.714 27092025 −197186.539 −257172.664 6365361.586 59098.249 27123264 −69869.1839 −202120.443 5153121.481 49615.284 27217089 987745.4741 −114707.867 4742243.562 66426.028 27102436 −201810.822 −109096.667 2490997.033 20666.876 主成分贡献率 0.449886 0.319176 0.228037 表5. 2019年12月份销售量 由此可见，主成分回归预测中，百分比误差不稳定，甚至个别达到了百分之八十，于是接下来我们在主成分回归的基础上建立灰色预测模型。