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user: 5. 数值试验 数值试验基于Intel Core i5-2400 CPU@3.10GHz，在MatlabR2014a环境下进行；我们将通过数值试验验证前面的理论分析。 例1. 非齐次R-L型分数阶扩散方程 [ 4 ] [ 16 ] . 其边界条件为： 初始条件为： . 此时解析解为： . 图1. 解析解和隐–显、显–隐格式数值解的解曲面 取 时，给出解析解、显–隐和隐–显格式的解曲面图1；可以看出解析解、显–隐和 隐–显格式解曲面形状一致且光滑。解析解与差分格式解的最大模误差定义为 。 对 分别取0.1~0.9等不同值，取 ，隐式格式、显–隐格式和隐–显格式三种数值格式的最大模误差情况见表1。由表1可知，隐式格式与显–隐和隐–显格式的精度相当；对不同 值隐式格式和显–隐格式的误差比较；可以看出当 值大于0.5时，隐式格式的精度高于显–隐格式，当 值小于0.5时，显–隐格式的精度优于隐式格式。随着 值得减小，显–隐格式和隐–显格式的误差越来越小；整数阶显–隐差分格式为二阶差分格式，其精度优于隐式格式。当 值接近于0时，显–隐格式和隐–显格式的特性接近整数阶的情形。 Table 1 Accuracy comparison analysis of three numerical scheme h 隐式格式 显–隐格式 隐–显格式 1/64 1/8 0.9 9.120269e−05 9.220024e−03 7.364446e−3 0.7 6.179395e−04 6.502290e−03 5.974529e−3 0.5 1.314730e−03 3.249718e−03 3.161334e−3 0.3 1.982242e−03 1.653329e−03 1.614587e−3 0.1 2.902882e−03 2.098685e−03 2.095179e−3 1/1024 1/32 0.9 5.804756e−06 5.658386e−04 5.042950e−4 0.7 5.482559e−05 2.026541e−04 1.986532e−4 0.5 9.165862e−05 9.577424e−05 9.559231e−5 0.3 1.274819e−04 9.450674e−05 9.448991e−5 0.1 1.830142e−04 1.322454e−04 1.322423e−4 表1. 三种数值格式的精度比较分析 下面，由最大模误差定义时间收敛阶 以及空间收敛阶 ，验证理论分析。固定空间步长h，时间收敛阶如下定义： 。固定时间步长 ，定义空间收敛阶如下： 。 Table 2 Time direction convergence order of three difference schemes (h = 64 隐式格式Order1 显–隐格式Order1 隐–显格式Order1 0.8 1/64 1.426230e−5 9.297907e−3 8.043854e−3 1/128 6.030494e−6 1.241859 4.126093e−3 1.172129 3.686533e−3 1.125622 1/256 2.504195e−6 1.267929 1.820571e−3 1.180385 1.665053e−3 1.146696 1/512 1.018163e−6 1.298378 7.998264e−4 1.186632 7.443993e−4 1.161419 1/1024 4.065508e−7 1.324460 3.502548e−4 1.191281 3.303804e−4 1.171948 0.5 1/64 7.070541e−5 3.155111e−3 3.066631e−3 1/128 2.612963e−5 1.436133 1.087937e−3 1.536095 1.069143e−3 1.520198 1/256 9.583624e−6 1.447043 3.777440e−4 1.526115 3.736301e−4 1.516773 1/512 3.479504e−6 1.461689 1.318220e−4 1.518816 1.308965e−4 1.513183 1/1024 1.254311e−6 1.471986 4.617265e−5 1.513481 4.595935e−5 1.509996 0.2 1/64 1.222746e−4 1.125885e−3 1.110219e−3 1/128 4.353112e−4 1.490005 3.137943e−4 1.843168 3.115149e−4 1.833471 1/256 1.551831e−5 1.488075 8.803143e−5 1.833728 8.769561e−5 1.828724 1/512 5.515686e−6 1.492359 2.484449e−5 1.825092 2.479441e−5 1.822489 1/1024 1.957345e−6 1.494641 7.053630e−6 1.816488 7.046068e−6 1.815124 表2. 三种差分格式的时间方向收敛阶(h = 64) 由表2，对不同 值，隐式格式与隐–显、显–隐格式在时间方向上的收敛阶为 阶；隐式格式与显–隐格式、隐–显格式的精度也相当。由表3可看出，对不同 值，隐式格式和隐–显、显–隐格式在空间上的收敛阶均为2阶，与理论分析一致。 例2. 齐次R-L型分数阶扩散方程 [ 4 ] [ 16 ] . 其边界条件为： ， ， 。 初始条件为： 其中 表示由点 处热源产生的棒的温度分布。 Table 3 Spatial direction convergence order of three difference schemes under differen h 隐式格式Order2 显–隐格式Order2 隐–显格式Order2 0.8 1/32 4.337162e−4 2.062319e−2 1.703867e−2 1/64 1.576891e−4 1.459668 4.116246e−3 2.324866 3.678975e−3 2.211437 1/128 5.261402e−5 1.583563 7.998308e−3 2.363562 7.449800e−4 2.304030 1/256 1.636167e−5 1.685127 1.573565e−4 2.345657 1.508601e−4 2.303989 1/512 4.825412e−6 1.761595 3.206672e−5 2.294887 3.126079e−5 2.270785 0.5 1/32 2.494460e−3 9.302961e−3 8.864491e−3 1/64 6.850987e−4 1.864344 1.354164e−3 2.780287 1.334845e−3 2.731365 1/128 1.799265e−4 1.928903 2.452734e−4 2.464939 2.443643e−4 2.449566 1/256 4.614015e−5 1.963313 5.095395e−5 2.267125 5.090712e−5 2.263094 1/512 1.168540e−5 1.981315 1.151355e−5 2.145860 1.151091e−5 2.144864 0.2 1/32 4.655305e−3 4.087168e−3 3.961494e−3 1/64 1.178949e−3 1.981374 8.845865e−4 2.208026 8.827352e−4 2.165992 1/128 2.958975e−4 1.994331 2.227549e−4 1.989545 2.227059e−4 1.986840 1/256 7.406791e−5 1.998176 5.588745e−5 1.994861 5.588590e−5 1.994583 1/512 1.852411e−5 1.999444 1.399239e−5 1.997881 1.399236e−5 1.997845 表3. 三种差分格式的空间方向收敛阶 图2. 三种差分格式的解曲面 Table 4 Comparison of calculation times for three differential schemes (unit: s 网格数 隐式格式 显–隐格式 隐–显格式 200 5.81 s 4.86 s 4.85 s 400 14.56 s 11.33 s 10.97 s 800 48.76 s 33.25 s 33.20 s 1600 300.42 s 156.12 s 160.49 s 表4. 三种差分格式计算时间的比较(单位：s) 当初始条件为分段函数，取 ， ， ， 取不同值时，隐式格式、显–隐和隐–显格式的解曲面图2；由图2可知隐式格式和显–隐(隐–显)格式解形状一致，且光滑，说明显–隐和隐–显差分格式对求解例2问题的有效性。由表4可知，隐–显格式和显–隐格式的计算时间相当，但是随着网格数的增加，隐式格式与显–隐和隐–显格式相比，计算时间增加的速度越来越快；其趋势在图3中可见。可见对于求解分数阶慢扩散模型，显–隐和隐–显格式与隐式格式相比，在计算效率方面有明显的改进。 图3. 三种差分格式的计算时间比较