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user: 2. 能量衰减 在这一部分中，我们导出了问题(1.3)~(1.6)的主要指数衰减结果。应用方程(1.1)和(1.4)~(1.6)，得到 0 = ∫ 0 t ∫ R z [ ρ u ¨ i − v Δ u i − ( λ + v ) u j ， j i + γ 1 T ， i + γ 2 C ， i ] u ˙ i d x d η = 1 2 ρ ∫ R z u ˙ i u ˙ i d x + v ∫ 0 t ∫ D z u i ， 3 u ˙ i d A d η + v 2 ∫ R z u i ， j u i ， j d x + ( λ + v ) ∫ 0 t ∫ D z u j ， j u ˙ 3 d A d η     + λ + v 2 ∫ R z u i ， i 2 d x + γ 1 ∫ 0 t ∫ R z T ， i u ˙ i d x d η + γ 2 ∫ 0 t ∫ R z C ， i u ˙ i d x d η   . (2.1) 我们用T乘以(1.2)，并积分得 0 = ∫ 0 t ∫ R z [ c T ˙ − K Δ T + γ 1 u ˙ i ， i + d C ˙ ] T d x d η = c 2 ∫ R z T 2 d x | η = t + K ∫ 0 t ∫ D z T ， 3 T d A d η + K ∫ 0 t ∫ R z T ， j T ， j d x d η     − γ 1 ∫ 0 t ∫ D z T u ˙ 3 d A d η − γ 1 ∫ 0 t ∫ R z T ， i u ˙ i d x d η + d ∫ 0 t ∫ R z C T ˙ d x d η   . (2.2) 以同样的方式，我们也可得 0 = ∫ 0 t ∫ R z [ n C ˙ − M Δ C + γ 2 u ˙ i ， i + d T ˙ ] C d x d η = n 2 ∫ R z C 2 d x | η = t + M ∫ 0 t ∫ D z C ， 3 C d A d η + M ∫ 0 t ∫ R z C ， j C ， j d x d η     − γ 2 ∫ 0 t ∫ D z C u ˙ 3 d A d η − γ 2 ∫ 0 t ∫ R z C ， i u ˙ i d x d η + d ∫ 0 t ∫ R z C T ˙ d x d η (2.3) 现在，我们定义一个函数 E ( z ， t ) = 1 2 ρ ∫ R z u ˙ i u ˙ i d x + v 2 ∫ R z u i ， j u i ， j d x + λ + v 2 ∫ R z u i ， i 2 d x + K ∫ 0 t ∫ R z T ， j T ， j d x d η     + M ∫ 0 t ∫ R z C ， j C ， j d x d η + ∫ R z [ c 2 T 2 + d C T + n 2 C 2 ] d x (2.4) 然后得 − ∂ E ( z ， t ) ∂ z = 1 2 ρ ∫ D z u ˙ i u ˙ i d A + v 2 ∫ D z u i ， j u i ， j d A + λ + v 2 ∫ D z u i ， i 2 d A + K ∫ 0 t ∫ D z T ， j T ， j d A d η     + M ∫ 0 t ∫ D z C ， j C ， j d A d η + ∫ D z [ c 2 T 2 + d C T + n 2 C 2 ] d A   . (2.5) 很明显，(2.5)的最后一项是正的，因为 c n − d 2 > 0 。从(2.1)~(2.3)开始，我们有 E ( z ， t ) = − v ∫ 0 t ∫ D z u i ， 3 u ˙ i d A d η − ( λ + v ) ∫ 0 t ∫ D z u j ， j u ˙ 3 d A d η + γ 1 ∫ 0 t ∫ D z T u ˙ 3 d A d η     + γ 2 ∫ 0 t ∫ D z C u ˙ 3 d A d η − K ∫ 0 t ∫ D z T ， 3 T d A d η − M ∫ 0 t ∫ D z C ， 3 C d A d η   . (2.6) 利用Schwarz，Poincar’e定理，以及AG的平均不等式，我们得到了 v ∫ 0 t ∫ D z u i ， 3 u ˙ i d A d η ≤ v ( ∫ 0 t ∫ D z u ˙ i u ˙ i d A d η ) 1 2 ( ∫ 0 t ∫ D z u i ， 3 u i ， 3 d A d η ) 1 2 ≤ v ( ∫ 0 t ∫ D z u ˙ i u ˙ i d A d η ) 1 2 ( ∫ 0 t ∫ D z u i ， 3 u i ， 3 d A d η ) 1 2 ≤ v t ρ ( − ∂ E ( z ， t ) ∂ z ) ， (2.7) 和 ( λ + v ) ∫ 0 t ∫ D z u j ， j u ˙ d A d η ≤ ( λ + v ) ( ∫ 0 t ∫ D z u ˙ i u ˙ i d A d η ) 1 2 ( ∫ 0 t ∫ D z u j ， j 2 d A d η ) 1 2 ≤ λ + v t ρ ( − ∂ E ( z ， t ) ∂ z ) ， (2.8) 还有 γ 1 ∫ 0 t ∫ D z T u ˙ 3 d A d η + γ 2 ∫ 0 t ∫ D z C u ˙ 3 d A d η ≤ γ 1 ( ∫ 0 t ∫ D z T 2 d A d η ) 1 2 ( ∫ 0 t ∫ D z u ˙ 3 2 d A d η ) 1 2 + γ 2 ( ∫ 0 t ∫ D z C 2 d A d η ) 1 2 ( ∫ 0 t ∫ D z u ˙ 3 2 d A d η ) 1 2 ≤ γ 1 λ 1 ( ∫ 0 t ∫ D z T ， α T ， α d A d η ) 1 2 ( ∫ 0 t ∫ D z u ˙ 3 2 d A d η ) 1 2 + γ 2 λ 1 ( ∫ 0 t ∫ D z C ， α C ， α d A d η ) 1 2 ( ∫ 0 t ∫ D z u ˙ 3 2 d A d η ) 1 2 ≤ [ γ 1 t 2 ρ λ 1 K + γ 2 t 2 ρ λ 1 M ] ( − ∂ E ( z ， t ) ∂ z ) . (2.9) 利用Schwarz定理，(1.9)和AG平均不等式，我们得到了 − K ∫ 0 t ∫ D z T ， 3 T d A d η − M ∫ 0 t ∫ D z C ， 3 C d A d η ≤ K ( ∫ 0 t ∫ D z T ， 3 2 d A d η ) 1 2 ( ∫ 0 t ∫ D z T 2 d A d η ) 1 2 + M ( ∫ 0 t ∫ D z C ， 3 2 d A d η ) 1 2 ( ∫ 0 t ∫ D z C 2 d A d η ) 1 2 ≤ K λ 1 ( ∫ 0 t ∫ D z T ， 3 2 d A d η ) 1 2 ( ∫ 0 t ∫ D z T ， α T ， α d A d η ) 1 2 + M λ 1 ( ∫ 0 t ∫ D z C ， 3 2 d A d η ) 1 2 ( ∫ 0 t ∫ D z C ， α C ， α d A d η ) 1 2 ≤ 1 2 λ 1 ( − ∂ E ( z ， t ) ∂ z ) . (2.10) 将(2.7)~(2.10)代入(2.6)，我们有 E ( z ， t ) ≤ m 1 ( t ) ( − ∂ E ( z ， t ) ∂ z ) ， (2.11) 其中 m 1 ( t ) = v t ρ + λ + v t ρ + γ 1 t 2 ρ λ 1 K + γ 2 t 2 ρ λ 1 M + 1 2 λ 1 (2.12) 我们可以知道，(2.11)得出的结论是： E ( z ， t ) ≤ E ( 0 ， t ) e − 1 m 1 ( t ) z . (2.13) 不等式(2.13)就是我们所寻求的空间衰减结果。