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user: 3. 本论文需要的正则条件及证明 本论文需要的正则假设条件如下，这些正则假设也可以从Li和 Mei (2013) [ 1 ]，Xiao和Chen (2018) [ 4 ] 以及其他一些文献中找到： C1：随机变量U具有有界支撑 Ω ，其密度函数 f ( u ) 在 Ω 上具有有界的二阶导数且在支撑 Ω 上有界远离0。 C2：所有的系数函数 { θ j ( u ) ， j = 1 ， ⋯ ， q } 具有连续二阶导数。 C3：对于任何Z， g ( Z ， β ) 是一个关于 β 的连续函数且二阶导数连续。 C4：存在一个正数 s > 2.5 使得 E ( ‖ X ‖ 2 s ) < ∞ ， E ( ‖ g ′ ( Z ， β ) ‖ 2 s ) < ∞ ，且存在某个 0 < δ < 2 − s − 1 使得 n 2 δ − 1 h 1 → ∞ ，其中 ‖   ⋅   ‖ 为欧式范数。 C5： β 的某一邻域内满足 E [ g ′ ( β ) ⊗ 2 ] < ∞ ， E [ E ( g ′ ( β ) | U ) ⊗ 2 ] < ∞ ， E [ ‖ g ′ ( β ) ‖ 4 ] < ∞ ， E ‖ g ′ ( Z ， β ) ‖ 4 < ∞ ， E ‖ V e c h g ″ ( Z ， β ) ‖ 4 < ∞ 。 C6：核权函数 K 1 ( · ) 和 K 2 ( · ) 具有紧支撑的对称密度函数，并满足Lipschitz条件，且函数 μ 3 K 1 ( μ ) ， μ 3 K ′ 1 ( μ ) 有界， ∫ μ 4 K 1 ( μ ) d μ < ∞ ，当 n → ∞ ，窗宽 h i 满足 n h i 8 → 0 ， n h i 2 / ( log n ) 2 → ∞ ， h i → 0 ， n h i → ∞ ， i = 1 ， 2 。 C7： Γ ( U ) 对任何 u ∈ Ω 是非奇异的， Γ ( U ) ， Γ * ( U ) ， Γ ( U ) − 1 ， Γ * ( U ) − 1 ， Φ ( U ) ， Φ * ( U ) 均满足Lipschitz。 C8：缺失概率 π ( V ， ω ) 关于 ω 二阶可导且存在常数 C 0 ，使得 inf π ( V ， ω ) ≥ C 0 ≥ 0 。 在证明定理2.1和定理2.2之前先给出下面引理1和引理2， 引理1 假定条件C1~C8成立，则当 n → ∞ ，有 1 n X h 1 ( u ) T W 1 ( u ) Δ X h 1 ( u ) = f ( u ) Γ ( u ) ⊗ ( 1 0 0 μ 1 ， 2 ) [ 1 + O p ( c n ) ] (3.1) 1 n X h 1 ( u ) T W 1 ( u ) Δ g ′ ( β 0 ) = f ( u ) Φ ( u ) ⊗ ( 1 ， 0 ) T [ 1 + O p ( c n ) ] (3.2) 1 n X h 1 ( u ) T W 1 ( u ) Δ M 0 = Γ ( u ) θ 0 ( u ) f ( u ) ⊗ ( 1 ， 0 ) T [ 1 + O p ( c n ) ] (3.3) 1 n X h 1 ( u ) T W 1 ( u ) Δ ε = O p ( { log ( 1 / h 1 ) n h 1 } 1 2 ) (3.4) 其中 c n = h 1 2 + { log ( 1 / h 1 ) n h 1 } 1 2 。 证明：容易得到以下结果 1 n X h 1 ( u ) T W 1 ( u ) Δ X h 1 ( u ) = ( 1 n ∑ i = 1 n δ i X i X i T K 1 ， h 1 ( U i − u ) 1 n ∑ i = 1 n δ i X i X i T U i − u h 1 K 1 ， h 1 ( U i − u ) 1 n ∑ i = 1 n δ i X i X i T U i − u h 1 K 1 ， h 1 ( U i − u ) 1 n ∑ i = 1 n δ i X i X i T ( U i − u h 1 ) 2 K 1 ， h 1 ( U i − u ) ) 根据Mack和Silverman (1982) [ 5 ] 命题1及迭代期望，有 1 n ∑ i = 1 n δ i X i X i T K 1 ， h 1 ( U i − u ) = Γ ( u ) f ( u ) + O ( h 1 2 ) + O p ( { log ( 1 / h 1 ) n h 1 } 1 2 ) = Γ ( u ) f ( u ) [ 1 + O p ( c n ) ] (3.5) 根据和(3.5)相似的证明方式，有 1 n ∑ i = 1 n δ i X i X i T U i − u h 1 K 1 ， h 1 ( U i − u ) = O ( h 1 2 ) + O p ( { log ( 1 / h 1 ) n h 1 } 1 2 ) 1 n ∑ i = 1 n δ i X i X i T ( U i − u h 1 ) 2 K 1 ， h 1 ( U i − u ) = Γ ( u ) f ( u ) μ 1 ， 2 [ 1 + O p ( c n ) ] 因此，(3.1)式得证，利用相似的方式可证(3.2)，(3.3)和(3.4)式。 引理2 假定条件C1~C8成立，我们有 1 n g ′ ( β 0 ) T ( I n − S h 1 ) T Δ ( I n − S h 1 ) g ′ ( β 0 ) = Σ { 1 + o p ( 1 ) } (3.6) 其中 Σ = E [ π ( V ) g ′ ( Z ， β 0 ) g ′ ( Z ， β 0 ) T ] − E [ Φ ( U ) T Γ − 1 ( U ) Φ ( U ) ] 1 n g ′ ( β 0 ) T ( I n − S h 1 ) T Δ ( I n − S h 1 ) ( Y − g ( β 0 ) ) = ξ n + O p ( c n 2 ) (3.7) 其中 ξ n = 1 n ∑ i = 1 n δ i { g ′ ( Z i ， β 0 ) − E [ g ′ ( Z i ， β 0 ) X i T | U = U i ] Γ ( U i ) − 1 X i } ε i 证明：结合(3.1)和(3.2)式，我们可得 ( X T ， 0 ) [ X h 1 ( u ) T W 1 ( u ) Δ X h 1 ( u ) ] − 1 X h 1 ( u ) T W 1 ( u ) Δ g ′ ( β 0 ) = X T Γ ( u ) − 1 Φ ( u ) [ 1 + O p ( c n ) ] 根据弱大数定律和上面的式子，有 1 n g ′ ( β 0 ) T ( I n − S h 1 ) T Δ ( I n − S h 1 ) g ′ ( β 0 ) = Σ ( 1 + o p ( 1 ) ) + O p ( c n 2 ) E [ Φ ( U ) T Γ − 1 ( U ) Φ ( U ) ] [ 1 + o p ( 1 ) ] 在条件C6下， c n 2 = o ( 1 ) ，因此(3.6)式成立。下一步我们证明(3.7)式 令 M 0 = ( X 1 T θ 0 ( U 1 ) ， ⋯ ， X n T θ 0 ( U n ) ) T ，根据(3.1)式和(3.3)式，有 ( X T ， 0 ) [ X h 1 ( u ) T W 1 ( u ) Δ X h 1 ( u ) ] − 1 X h 1 ( u ) T W 1 ( u ) Δ M 0 = X T θ 0 ( u ) [ 1 + O p ( c n ) ] 因此， 1 n g ′ ( β 0 ) T ( I n − S h 1 ) T Δ ( I n − S h 1 ) M 0 = O p ( c n 2 ) 再根据(3.1)式，(3.4)式和 E ( ε | V ) = 0 ，有 ( X T ， 0 ) [ X h 1 ( u ) T W 1 ( u ) Δ X h 1 ( u ) ] − 1 X h 1 ( u ) T W 1 ( u ) Δ ε = O p ( c n ) 此时 1 n g ′ ( β 0 ) T ( I n − S h 1 ) T Δ ( I n − S h 1 ) ε = ξ n + O p ( c n 2 ) 因此 1 n g ′ ( β 0 ) T ( I n − S h 1 ) T Δ ( I n − S h 1 ) ( Y − g ( β 0 ) ) = ξ n + O p ( c n 2 ) ，(3.7)式子得证。 定理2.1的证明：根据Li和Mei (2013) [ 1 ] 定理1的证明，可类似证明 β ^ c 的一致性，即对于充分小的a，有 lim n → ∞ P [ sup ‖ t ‖ = a Q c ( β 0 + t ) > Q c ( β 0 ) ] = 1 (3.8) 以及 t T Q ″ c ( β * ) t = 2 n { t T Σ t + O p ( ‖ t ‖ 3 ) } ，此处细节省略，下面证明 β ^ c 的渐近正态性， 又 Q c ( β ) = ∑ i = 1 n δ i { Y i − X i T θ ^ c ( U i ， β ) − g ( Z i ， β ) } 2 = [ Y − g ( β ) ] T ( I n − S h 1 ) T Δ ( I n − S h 1 ) [ Y − g ( β ) ] 和 Q ′ c ( β 0 ) = − 2 g ′ ( β 0 ) T ( I n − S h 1 ) T Δ ( I n − S h 1 ) ( Y − g ( β 0 ) ) ， 由(3.7)式，我们可以得到 1 n Q ′ c ( β 0 ) = − 2 n g ′ ( β 0 ) T ( I n − S h 1 ) T Δ ( I n − S h 1 ) ( Y − g ( β 0 ) ) = − 2 ξ n + O p ( c n 2 ) 根据泰勒展开 0 = Q ′ c ( β ^ c ) = Q ′ c ( β 0 ) + Q ″ c ( β * ) T ( β ^ c − β 0 ) ， 结合 1 2 n Q ″ c ( β * ) = Σ { 1 + o p ( 1 ) } ，有 n Σ { 1 + o p ( 1 ) } ( β ^ c − β 0 ) = n ξ n + o p ( 1 ) ， 注意到， n ξ n = 1 n ∑ i = 1 n δ i { g ′ ( Z i ， β 0 ) − E [ g ′ ( Z i ， β 0 ) X i T | U = u i ] Γ ( U i ) − 1 X i } ε i ， 根据Slutsky定理和中心极限定理，可得 n ( β ^ c − β 0 ) → D N ( 0 ， σ 2 Σ − 1 ) 。 定理2.2的证明：根据 Ψ ^ c ( u 0 ; β ^ c ) 的定义，我们可以得到 Ψ ^ c ( u 0 ; β ^ c ) = [ X h 1 T ( u 0 ) W 1 ( u 0 ) Δ X ( u 0 ) ] − 1 X h 1 T ( u 0 ) W 1 ( u 0 ) Δ M 0     + [ X h 1 T ( u 0 ) W 1 ( u 0 ) Δ X h 1 ( u 0 ) ] − 1 X h 1 T ( u 0 ) W 1 ( u 0 ) Δ ε     − [ X h 1 T ( u 0 ) W 1 ( u 0 ) Δ X h 1 ( u 0 ) ] − 1 X h 1 T ( u 0 ) W 1 ( u 0 ) Δ [ g ( Z ， β ^ c ) − g ( Z ， β 0 ) ] = d e f I 1 + I 2 − I 3 易知 I 3 = [ X h 1 T ( u 0 ) W 1 ( u 0 ) Δ X h 1 ( u 0 ) ] − 1 X h 1 T ( u 0 ) W 1 ( u 0 ) Δ [ g ′ ( β 0 ) ( β ^ c − β 0 ) + O p ‖ β ^ c − β 0 ‖ 2 ] = O p ( n − 1 2 ) 下一步计算再计算 I 1 ，因为 X h 1 T ( u 0 ) W 1 ( u 0 ) Δ M 0 = X h 1 T ( u 0 ) W 1 ( u 0 ) Δ X h 1 ( u 0 ) Ψ 0 ( u 0 ) + 1 2 h 1 2 X h 1 T ( u 0 ) W 1 ( u 0 ) Δ A ( u 0 )     + X h 1 T ( u 0 ) W 1 ( u 0 ) Δ I n o ( h 1 2 ) 其中， A ( u 0 ) = ( ( U 1 − u 0 h 1 ) 2 X 1 T θ ″ 0 ( u 0 ) ⋮ ( U 1 − u 0 h 1 ) X n T θ ″ 0 ( u 0 ) ) 。 又 X h 1 T ( u 0 ) W 1 ( u 0 ) Δ A ( u 0 ) = n f ( u 0 ) Γ ( u 0 ) ⊗ ( μ 1 ， 2 ， 0 ) T [ 1 + O p ( c n ) ] θ ″ ( u 0 ) ， X h 1 T ( u 0 ) W 1 ( u 0 ) Δ I n o ( h 1 2 ) = n f ( u 0 ) E ( π ( V ) X | U = u 0 ) ⊗ ( 1 ， 0 ) T [ 1 + O p ( c n ) ] o ( h 1 2 ) ， 此时 I 1 = [ X h 1 T ( u 0 ) W 1 ( u 0 ) Δ X h 1 ( u 0 ) ] − 1 X h 1 T ( u 0 ) W 1 ( u 0 ) Δ M 0 = Ψ 0 ( u 0 ) + 1 2 h 1 2 μ 1 ， 2 ( θ ″ 0 ( u 0 ) 0 ) + o p ( h 1 2 ) 因此， n h 1 [ Ψ ^ c ( u 0 ; β ^ c ) − Ψ 0 ( u 0 ) − 1 2 h 1 2 μ 1 ， 2 ( θ ″ 0 ( u 0 ) 0 ) ] = n h 1 I 2 + O p ( n h 1 5 + h 1 ) ， 容易推导 I 2 = 1 n f ( u 0 ) − 1 Γ ( u 0 ) − 1 ⊗ ( 1 0 0 μ 1 ， 2 − 1 ) [ 1 + O p ( c n ) ] − 1 X h 1 T ( u 0 ) W 1 ( u 0 ) Δ ε ， 又因为 1 n X h 1 T ( u 0 ) W 1 ( u 0 ) Δ ε = ( 1 n ∑ i = 1 n δ i ε i X i K 1 ， h 1 ( U i − u 0 ) 1 n ∑ i = 1 n δ i ε i X i U i − u 0 h 1 K 1 ， h 1 ( U i − u 0 ) ) 和 n h 1 1 n X h 1 T ( u 0 ) W 1 ( u 0 ) Δ ε → D N ( 0 ， Σ * ) ，其中 Σ * = σ 2 Γ ( u 0 ) f ( u 0 ) ⊗ ( ν 1 ， 0 0 0 ν 1 ， 2 ) ， 最后我们可以得到 n h 1 I 2 = f ( u 0 ) − 1 Γ − 1 ( u 0 ) ⊗ ( 1 0 0 μ 1 ， 2 − 1 ) [ 1 + O p ( c n ) ] − 1 n h 1 1 n X h 1 T ( u 0 ) W 1 ( u 0 ) Δ ε → D N ( 0 ， σ 2 f ( u 0 ) − 1 Γ − 1 ( u 0 ) ⊗ ( ν 1 ， 0 0 0 ν 1 ， 2 μ 1 ， 2 − 2 ) ) 现在定理2.2的证明完成。