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user: 4. 近似结果与抗磁性 4.1. 第一种近似 以上所得结果是高温极限下的精确结果，但过于烦琐，为此我们通过一个近似结果说明抗磁性。首先根据z应趋向于0这一特点，只取级数(9)中 n = 1 的项，因 y = 0 是可去间断点，再对上式作级数展开并取 y 0 项系数(常数项)，就得到磁化率 χ ≈ − z q 2 24 π λ m c 2 < 0 [ 21 ]，其中负号说明了由轨道量子化(纯量子效应)所引起的抗磁性，这也表明一级近似 χ 1 = z q 2 e − y [ ( y + 2 ) e − 4 y + 6 y e − 2 y + y − 2 ] 4 π λ m c 2 ( 1 − e − 2 y ) 3 < 0 ， y ∈ ( 0 ， δ y ) ， δ y > 0 。同样在(7)中取 n = 1 项时磁化强度近似为 M ≈ − z q ℏ y 2 m c λ 3 s h ( y ) L ( y ) ，其中 L ( y ) = 1 coth ( y ) − 1 y 为Langevin函数，这样在形式上与经典的Langevin顺磁理论一致，负号表示由量子效应引起的抗磁性。最后只取(11)中 n = 1 项，总粒子数近似为 〈 N ^ 〉 ≈ 4 π m V z λ β h 2 y e − y 1 − e − 2 y ≈ V z λ 3 。 再由表达式(9)在一定条件下说明Landau抗磁性。记 χ = ∑ n = 1 ∞ χ n ， χ n = χ ′ n ( y ) z n ，由上可知 χ ′ 1 < 0 ， y ∈ ( 0 ， δ y ) 。利用以下不等式 ( a x + b ) e − c x ≤ K ， K ≥ max { b ， a c } ， a ， b ， c > 0 ， x ≥ 0 ， (12) 显然有估计式 ∑ n = 2 ∞ χ n ≤ z 2 q 2 4 π λ m c 2 ∑ n = 2 ∞ ( n y + 2 ) ( e − 5 n y + e − n y ) + 6 n y e − 3 n y n ( 1 − e − 2 n y ) 3 ≤ z 2 q 2 4 π λ m c 2 ∑ n = 2 ∞ 6 n ( 1 − e − 2 n y ) 3 . (13) 再由正项级数 ∑ n = 2 ∞ 1 n ( 1 − e − 2 n y ) 3 ~ ∑ n = 2 ∞ 1 n ( 2 n y ) 3 收敛知存在正数 M y > 0 ，使得 ∑ n = 2 ∞ χ n ≤ M y z 2 。因此在高温极限下有 χ < 0 ，即可出现抗磁性。 当然，可取二级近似有 χ = ( z χ ′ 1 + z 2 χ ′ 2 ) + ∑ n = 3 ∞ χ n ≤ z [ χ ′ 1 + z ( χ ′ 2 + M y ) ] < 0 ， (14) 同样表达了抗磁性。 4.2. 第二种近似 也可以采用另一种近似方案，首先引入一个渐近展开 f ( y ) = e − y 1 − e − 2 y = 1 2 y ( 1 − y 2 6 ) + O ( y 3 ) ， (15) 如果将 f ( y ) 解析延拓到复平面上为 f ( z ) ，则 z = 0 是孤立单极点，并有 lim z → 0 z f ( z ) = 1 2 ( ≠ 0 ， ∞ ) ，因此 f ( z ) 在 z = 0 处某邻域内Laurent展开式的主要部分为 c − 1 z − 1 ，而留数 R e s [ f ( z ) ， 0 ] = c − 1 = 1 2 。进一步的设 f ( z ) = 1 2 z + c 0 + c 1 z + O ( z 2 ) ，取 e − z 的高阶Taylor展开并改写为 e − z = f ( z ) ( 1 − e − 2 z ) ，即 1 − z + 1 2 z 2 + O ( z 3 ) = [ 2 z − 2 z 2 + 4 3 z 3 + O ( z 4 ) ] ⋅ [ 1 2 z + c 0 + c 1 z + O ( z 2 ) ] ， (16) 比较相应系数有 c 0 = 0 ， c 1 = − 1 12 ，因此可得展开式(15)。 在(5)的级数项中运用展开式(15)，就可得到下列结果： ln Ξ ≈ π m V 3 λ h 2 β [ 6 ψ 5 2 ( z ) − y 2 ψ 1 2 ( z ) ] ， (17a) M ≈ − q y 6 λ h c β ψ 1 2 ( z ) ， (17b) χ ≈ − q 2 24 π λ m c 2 ψ 1 2 ( z ) ， (17c) 〈 N ^ 〉 ≈ π m V 3 λ β h 2 [ 6 ψ 3 2 ( z ) − y 2 ψ − 1 2 ( z ) ] ， (17d) 其中Fermi函数 ψ s ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n s x n = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ t s − 1 x − 1 e t + 1 d t [ 18 ]。若 s ∈ ( 0 ， 1 ] ，则要求 x ∈ ( − 1 ， 1 ] ；若 s ≤ 0 ，则要求 | x | < 1 ；若 s > 1 ，则要求 | x | ≤ 1 。这个函数也记为 F s ( x ) ，在讨论Bose-Einstein凝聚(BEC)时常常写为 g s ( x ) = ∑ n = 1 ∞ x n n s 的形式，例如产生BEC的条件为 λ 3 ν ≥ g 3 2 ( 1 ) = ζ ( 3 2 ) ≈ 2.612 。显然该函数还具有如下性质： (i) x d d x ψ s ( x ) = ψ s − 1 ( x ) ， | x | < 1 ；(ii) ψ s ( 1 ) = ( 1 − 1 2 s − 1 ) ζ ( s ) ， ψ s ( − 1 ) = − ζ ( s ) ， s > 1 。 同样最后一步取 n = 1 的项可求得弱场时的磁化率 χ ≈ − z q 2 24 π λ m c 2 和平衡总粒子数 〈 N ^ 〉 ≈ V z λ 3 ，与上面的结果一致。如果改写收敛的Fermi函数为 ψ s ( z ) = ∑ k = 0 ∞ z 2 k + 1 ( 1 ( 2 k + 1 ) s − z ( 2 k + 2 ) s ) > 0 ， s > 0 ，则(17c)中的磁化率总为负值，同样表明了抗磁性，并且M也是负值，即轨道量子化引起了反磁性。 另一方面，参考 [ 26 ] 或 [ 27 ] 可知，在生成函数 t e x t e t − 1 中取 t = − 2 y ， x = 1 2 有 2 y f ( y ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 2 y ) n n ! B n ( 1 2 ) ， | y | < π ，其中 B n ( x ) 是Bernoulli多项式，如前几个多项式分别为(作为补充) B 0 ( x ) = 1 ， B 1 ( x ) = x − 1 2 ， B 2 ( x ) = x 2 − x + 1 6 ， B 3 ( x ) = x ( x − 1 ) ( x − 1 2 ) ， B 4 ( x ) = x 4 − 2 x 3 + x 2 − 1 30 ， B 5 ( x ) = x ( x − 1 ) ( x − 1 2 ) ( x 2 − x − 1 3 ) ， B 6 ( x ) = x 6 − 3 x 5 + 5 2 x 4 − 1 2 x 2 + 1 42 ， B 7 ( x ) = 1 6 x ( x − 1 ) ( 2 x − 1 ) ( 3 x 4 − 6 x 3 + 3 x + 1 ) ， B 8 ( x ) = x 8 − 4 x 7 + 14 3 x 6 − 7 3 x 4 + 2 3 x 2 − 1 30 ， B 9 ( x ) = 1 10 x ( x − 1 ) ( 2 x − 1 ) ( 5 x 6 − 15 x 5 + 5 x 4 + 15 x 3 − x 2 − 9 x − 3 ) ， B 10 ( x ) = x 10 − 5 x 9 + 15 2 x 8 − 7 x 6 + 5 x 4 − 3 2 x 2 + 5 66 。 类似的，比较系数就有 c − 1 = 1 2 B 0 ( 1 2 ) ， c 0 = − B 1 ( 1 2 ) ， c 1 = B 2 ( 1 2 ) ，即 c n = ( − 2 ) n + 1 2 ⋅ ( n + 1 ) ! B n + 1 ( 1 2 ) ， n = − 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ 。利用 B n ( x ) 的表达式同样可得展开式(15)。注意到 B 2 l ( 1 2 ) = ( 2 1 − 2 l − 1 ) ( − 1 ) l − 1 B l ， l ∈ ℕ ，其中 B n ( n ∈ ℕ ) 是Bernoulli数，定义为 t e t − 1 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n − 1 ( 2 n ) ! B n t 2 n 。例如前几个数分别为 B 0 = − 1 ， B 1 = 1 6 ， B 2 = 1 30 ， B 3 = 1 42 ， B 4 = 1 30 ， B 5 = 5 66 ， B 6 = 691 2730 ， B 7 = 7 6 ， B 8 = 3617 510 ， B 9 = 43867 798 ， B 10 = 174611 330 。 而 B 2 l + 1 ( 1 2 ) = 0 ， l ∈ ℕ ，因互余宗量关系 B n ( 1 − x ) = ( − 1 ) n B n ( x ) 。 最后结合生成函数 t e x t e t − 1 ，同前所述交换求和次序，利用Abel第一定理可得(5)，(7)，(9)及(11)的另一番表达式 ln Ξ = ∑ l = 0 ∞ 2 π m V β λ h 2 ( 2 y ) 2 l ( 2 l ) ! B 2 l ( 1 2 ) ψ 5 2 − 2 l ( z ) ， (18a) M = ∑ l = 1 ∞ q h c β λ ( 2 y ) 2 l − 1 ( 2 l − 1 ) ! B 2 l ( 1 2 ) ψ 5 2 − 2 l ( z ) ， (18b) χ = ∑ l = 0 ∞ q 2 2 c 2 m λ π ( 2 y ) 2 l ( 2 l ) ! B 2 l + 2 ( 1 2 ) ψ 1 2 − 2 l ( z ) ， (18c) 〈 N ^ 〉 = ∑ l = 0 ∞ 2 π m V β λ h 2 ( 2 y ) 2 l ( 2 l ) ! B 2 l ( 1 2 ) ψ 3 2 − 2 l ( z ) 。 (18d) 自然，这涵盖了近似结果(17)。