system: [SYSTEM]

user: 2. 算子空间中n×n矩阵广义正交的等价条件 定义1 [ 2 ] 设X是一个赋范线性空间， x ， y ∈ X ，如果对于任意 α ∈ R 都有 ‖ x + α y ‖ ≥ ‖ x ‖ 则称x Birkhoff正交于y。 定义2 [ 3 ] 设X是一个赋范线性空间， x ， y ∈ X ，如果 ‖ x + y ‖ = ‖ x − y ‖ 则称x等腰正交于y。 定义3 [ 4 ] 设X是一个赋范线性空间， x ， y ∈ X ，如果对于任意 α ∈ R 都有 ‖ x + α y ‖ = ‖ x − α y ‖ 则称x Roberts正交于y。 定义4 [ 3 ] 295设X是一个赋范线性空间， x ， y ∈ X ，如果 ‖ x + y ‖ 2 = ‖ x ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 则称x勾股正交于y。 定义5 [ 5 ] 任意给出矩阵 A ∈ C n × n ，定义矩阵A的一个实函数，记作 ‖ A ‖ ，若此函数满足： 1) 正定性： ‖ A ‖ ≥ 0 ，当 A = 0 时等号成立。 2) 齐次性：任意给出 k ∈ C ， A ∈ C n × n ，都有 ‖ k A ‖ = | k | ‖ A ‖ 。 3) 三角不等式：任意给出 A ， B ∈ C n × n ，都有 ‖ A + B ‖ ≤ ‖ A ‖ + ‖ B ‖ 。 4) 任意给出 A ， B ∈ C n × n ，都有 ‖ A B ‖ ≤ ‖ A ‖ ‖ B ‖ 。 定理1 设A和B是两个lp空间， T 1 ， T 2 ∈ B ( A ， B ) ， T 1 ⊥ B T 2 当且仅当存在一个单位向量 x ∈ A 有 ‖ T 1 x ‖ = ‖ T 1 ‖ 且 〈 T 1 x ， T 2 x 〉 = 0 。 证明：首先证明充分性。假设x是空间A上的一个单位向量，对于任意的 λ ∈ R 有 ‖ T 1 + λ T 2 ‖ 2 ≥ ‖ ( T 1 + λ T 2 ) x ‖ 2 = ‖ T 1 x ‖ 2 + λ 2 ‖ T 2 x ‖ 2 + 2 λ Re 〈 T 1 x ， T 2 x 〉 = ‖ T 1 x ‖ 2 + λ 2 ‖ T 2 x ‖ 2 ≥ ‖ T 1 x ‖ 2 = ‖ T 1 ‖ 2 所以 ‖ T 1 + λ T 2 ‖ ≥ ‖ T 1 ‖ ，充分性得证。 下面证明必要性。让 T 1 ⊥ B T 2 ，即为 ‖ T 1 + λ T 2 ‖ ≥ ‖ T 1 ‖ 。对于空间A上的一个单位向量x有 ‖ x ‖ = 1 。 因为 ‖ T 1 x ‖ ≥ ‖ T 1 ‖ ，又因为 ‖ T 1 x ‖ ≤ ‖ T 1 ‖ ‖ x ‖ = ‖ T 1 ‖ 。所以有 ‖ T 1 x ‖ = ‖ T 1 ‖ 。 如果 T 1 是一个半正定矩阵并且 T 2 ∈ B ( A ， B ) ，使得 ‖ T 1 + λ T 2 ‖ ≥ ‖ T 1 ‖ 成立。则存在一个单位向量x使得 T 1 x = ‖ T 1 ‖ x 和 Re 〈 T 1 x ， T 2 x 〉 = 0 。 集合 { 〈 u ， T 2 u 〉 : ‖ u ‖ = 1 ， T 1 u = ‖ T 1 ‖ u } 是集合 { u : ‖ u ‖ = 1 ， T 1 u = ‖ T 1 ‖ u } 在二次形式 u → 〈 u ， T 2 u 〉 下的像，我们称之 T 2 的数值范围对应于最大特征值为 ‖ T 1 ‖ 的 T 1 的特征空间的限制，根据Hausdorff-toeplitz [ 6 ] 定理，这是一个凸集，因此集合 { Re 〈 u ， T 2 u 〉 : ‖ u ‖ = 1 ， T 1 u = ‖ T 1 ‖ u } 是一个凸集。我们得到存在一个单位向量x有 T 1 x = ‖ T 1 ‖ x 和 Re 〈 T 1 x ， T 2 x 〉 = 0 意味着 Re 〈 T 1 x ， T 2 x 〉 = 0 所以必要性得证。 定理2 设 H 和 K 是两个有限维Hilbert空间，让 T 1 ， T 2 ∈ B ( H ， K ) 。 T 1 ⊥ I T 2 当且仅当存在一个单位向量 x ∈ H 有 ‖ T 1 x ‖ = ‖ T 1 ‖ ， ‖ T 2 x ‖ = ‖ T 2 ‖ 且 〈 T 1 x ， T 2 x 〉 = 0 。 证明：首先我们证明充分性，假设x是空间 H 上的一个单位向量，有 ‖ T 1 + T 2 ‖ 2 = ‖ ( T 1 + T 2 ) x ‖ 2 = ‖ T 1 x ‖ 2 + ‖ T 2 x ‖ 2 + 2 Re 〈 T 1 x ， T 2 x 〉 = ‖ T 1 x ‖ 2 + ‖ T 2 x ‖ 2 = ‖ T 1 ‖ 2 + ‖ T 2 ‖ 2 ‖ T 1 − T 2 ‖ 2 = ‖ ( T 1 − T 2 ) x ‖ 2 = ‖ T 1 x ‖ 2 + ‖ T 2 x ‖ 2 − 2 Re 〈 T 1 x ， T 2 x 〉 = ‖ T 1 x ‖ 2 + ‖ T 2 x ‖ 2 = ‖ T 1 ‖ 2 + ‖ T 2 ‖ 2 所以 ‖ T 1 + T 2 ‖ 2 = ‖ T 1 − T 2 ‖ 2 即为 ‖ T 1 + T 2 ‖ = ‖ T 1 − T 2 ‖ 因此 T 1 ⊥ I T 2 充分性得证。 反过来我们证必要性，让 T 1 ⊥ I T 2 即为 ‖ T 1 + T 2 ‖ = ‖ T 1 − T 2 ‖ 所以有 ‖ ( T 1 + T 2 ) x ‖ 2 = ‖ ( T 1 − T 2 ) x ‖ 2 整理得 ( ‖ ( T 1 + T 2 ) x ‖ 2 − ‖ ( T 1 − T 2 ) x ‖ 2 ) = 4 Re 〈 T 1 x ， T 2 x 〉 = 0 因此 〈 T 1 x ， T 2 x 〉 = 0 。 对于空间 H 上的一个单位向量是x有 ‖ x ‖ = 1 因此有 ‖ T 1 x ‖ ≤ ‖ T 1 ‖ ‖ x ‖ = ‖ T 1 ‖ 又因为 ‖ T 1 x ‖ ≥ ‖ T 1 ‖ 所以有 ‖ T 1 x ‖ = ‖ T 1 ‖ 。同理可得 ‖ T 2 x ‖ = ‖ T 2 ‖ 。因此必要性得证。 定理3 设 H 和 K 是两个有限维Hilbert空间，让 T 1 ， T 2 ∈ B ( H ， K ) 。 T 1 ⊥ R T 2 当且仅当存在一个单位向量 x ∈ H 有 ‖ T 1 x ‖ = ‖ T 1 ‖ ， ‖ T 2 x ‖ = ‖ T 2 ‖ 且 〈 T 1 x ， T 2 x 〉 = 0 。 证明：首先我们证明充分性，假设x是空间 H 上的一个单位向量，对于任意的 λ ∈ C 有 ‖ T 1 + λ T 2 ‖ 2 = ‖ ( T 1 + λ T 2 ) x ‖ 2 = ‖ T 1 x ‖ 2 + | λ | 2 ‖ T 2 x ‖ 2 + 2 Re λ ˜ 〈 T 1 x ， T 2 x 〉 = ‖ T 1 x ‖ 2 + | λ | 2 ‖ T 2 x ‖ 2 = ‖ T 1 ‖ 2 + | λ | 2 ‖ T 2 ‖ 2 ‖ T 1 − λ T 2 ‖ 2 = ‖ ( T 1 − λ T 2 ) x ‖ 2 = ‖ T 1 x ‖ 2 + | λ | 2 ‖ T 2 x ‖ 2 − 2 Re λ ˜ 〈 T 1 x ， T 2 x 〉 = ‖ T 1 x ‖ 2 + | λ | 2 ‖ T 2 x ‖ 2 = ‖ T 1 ‖ 2 + | λ | 2 ‖ T 2 ‖ 2 所以 ‖ T 1 + λ T 2 ‖ 2 = ‖ T 1 − λ T 2 ‖ 2 即为 ‖ T 1 + λ T 2 ‖ = ‖ T 1 − λ T 2 ‖ 因此 T 1 ⊥ R T 2 充分性得证。 反过来我们证必要性，让 T 1 ⊥ R T 2 即为 ‖ T 1 + λ T 2 ‖ = ‖ T 1 − λ T 2 ‖ 所以有 ‖ ( T 1 + λ T 2 ) x ‖ 2 = ‖ ( T 1 − λ T 2 ) x ‖ 2 整理得 ( ‖ ( T 1 + λ T 2 ) x ‖ 2 − ‖ ( T 1 − λ T 2 ) x ‖ 2 ) = 4 Re λ ˜ 〈 T 1 x ， T 2 x 〉 = 0 因此 〈 T 1 x ， T 2 x 〉 = 0 。 对于空间 H 上的一个单位向量是x有 ‖ x ‖ = 1 因此有 ‖ T 1 x ‖ ≤ ‖ T 1 ‖ ‖ x ‖ = ‖ T 1 ‖ 又因为 ‖ T 1 x ‖ ≥ ‖ T 1 ‖ 所以有 ‖ T 1 x ‖ = ‖ T 1 ‖ 。同理可得 ‖ T 2 x ‖ = ‖ T 2 ‖ 。因此必要性得证。 定理4 设 H 和 K 是两个有限维Hilbert空间，让 T 1 ， T 2 ∈ B ( H ， K ) 。 T 1 勾股正交 T 2 当且仅当存在一个单位向量 x ∈ H 有 ‖ T 1 x ‖ = ‖ T 1 ‖ ， ‖ T 2 x ‖ = ‖ T 2 ‖ 且 Re 〈 T 1 x ， T 2 x 〉 = 0 。 证明：首先我们证明充分性，假设x是空间 H 上的一个单位向量，有 ‖ T 1 + T 2 ‖ 2 = ‖ ( T 1 + T 2 ) x ‖ 2 = ‖ T 1 x ‖ 2 + ‖ T 2 x ‖ 2 + 2 Re 〈 T 1 x ， T 2 x 〉 = ‖ T 1 x ‖ 2 + ‖ T 2 x ‖ 2 = ‖ T 1 ‖ 2 + ‖ T 2 ‖ 2 因此有 ‖ T 1 + T 2 ‖ 2 = ‖ T 1 ‖ 2 + ‖ T 2 ‖ 2 ，所以 T 1 勾股正交 T 2 。充分性得证。 下面我们证必要性。让 T 1 勾股正交 T 2 ，即为 ‖ T 1 + T 2 ‖ 2 = ‖ T 1 ‖ 2 + ‖ T 2 ‖ 2 。 对于空间 H 上的一个单位向量是x有 ‖ x ‖ = 1 因此有 ‖ T 1 x ‖ ≤ ‖ T 1 ‖ ‖ x ‖ = ‖ T 1 ‖ 又因为 ‖ T 1 x ‖ ≥ ‖ T 1 ‖ 所以有 ‖ T 1 x ‖ = ‖ T 1 ‖ 。同理可得 ‖ T 2 x ‖ = ‖ T 2 ‖ 。由 ‖ T 1 + T 2 ‖ 2 = ‖ T 1 ‖ 2 + ‖ T 2 ‖ 2 可得 ‖ ( T 1 + T 2 ) x ‖ 2 = ‖ T 1 x ‖ 2 + ‖ T 2 x ‖ 2 (1) 对于空间 H 上的一个单位向量是x有 ‖ ( T 1 + T 2 ) x ‖ 2 = ‖ T 1 x ‖ 2 + ‖ T 2 x ‖ 2 + 2 Re 〈 T 1 x ， T 2 x 〉 (2) 综合(1)和(2)可以得到 Re 〈 T 1 x ， T 2 x 〉 = 0 所以必要性得证。