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user: 3. 主要结果 首先证明一个时标上的二重变上限积分的求导公式如下： 引理1：设函数 f : T → R 在 t ∈ T k 处delta可导，则 ( ∫ a t ∫ u t f ( s ) Δ s Δ u ) Δ = ∫ 0 t f ( t ) Δ u + ∫ t σ ( t ) f ( s ) Δ s ，     t ∈ T k 证明：设函数 F : T k → R 是 f 的delta原函数，由定义1和2可得 ∫ a t ∫ u t f ( s ) Δ s Δ u = ∫ a t ( F ( t ) − F ( u ) ) Δ u ，     t ∈ T k 和 ( ∫ a t ∫ u t f ( s ) Δ s Δ u ) Δ = ( ∫ a t ( F ( t ) − F ( u ) ) Δ u ) Δ = ( ∫ a t F ( t ) Δ u ) Δ − ( ∫ a t F ( u ) Δ u ) Δ = ( F ( t ) ( t − a ) ) Δ − F ( t ) = f ( t ) ( t − a ) + F ( σ ( t ) ) − F ( t ) = ∫ a t f ( t ) Δ u + ∫ t σ ( t ) f ( s ) Δ s 引理得证。 下面给出方程(1)的全局吸引性的一个充分条件。 定理1：如果 lim t → + ∞ ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u > ( τ + μ ¯ 2 ) q ¯ 2 ，     t ∈ [ t 0 ， + ∞ ) T 成立，其中函数 q ( ⋅ ) 非负有界并且右稠密连续， q ¯ = sup t ∈ [ 0 ， + ∞ ) T q ( t ) ，函数 K ( u ) : [ 0 ， τ ] T → [ 0 ， + ∞ ) 右连续且满足 ∫ 0 τ K ( u ) Δ u = 1 ，则方程(1)的解是全局吸引的。 证明：将(1)式变形可得 ( x ( t ) − ∫ 0 τ K ( u ) ∫ t − u t q ( s + u ) x ( s ) Δ s Δ u ) Δ = − x ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u ，   t ∈ [ t 0 ， + ∞ ) T (4) 设 y ( t ) = x ( t ) − ∫ 0 τ K ( u ) ∫ t − u t q ( s + u ) x ( s ) Δ s Δ u (5) 则有 y Δ ( t ) = − x ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u ，     t ∈ [ t 0 ， + ∞ ) T (6) 构造Lyapunov函数 V ( t ) 如下： V ( t ) = y 2 ( t ) + J ( t ) 其中 J ( t ) = ∫ 0 τ q ¯ K ( u ) [ ∫ t − u t ( ∫ s t q ( v + u ) x 2 ( v ) Δ v ) Δ s ] Δ u 显然 V ( t ) ≥ 0 ，由(5)和(6)式得 ( y 2 ( t ) ) Δ = y Δ ( t ) y ( t ) + y ( σ ( t ) ) y Δ ( t ) = μ ( t ) [ y Δ ( t ) ] 2 + 2 y Δ ( t ) y ( t ) = μ ( t ) x 2 ( t ) ( ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u ) 2 − 2 x 2 ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u     + 2 x ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u ⋅ ∫ 0 τ K ( u ) ∫ t − u t q ( s + u ) x ( s ) Δ s Δ u 由不等式 2 a b ≤ a 2 + b 2 和(3)式，上式可以推得 ( y 2 ( t ) ) Δ ≤ μ ¯ x 2 ( t ) ( ∫ 0 τ K ( t ) q ¯ Δ u ) 2 − 2 x 2 ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u     + ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u ⋅ ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t q ( s + u ) ( x 2 ( t ) + x 2 ( s ) ) Δ s ) Δ u ≤ μ ¯ x 2 ( t ) q ¯ 2 − 2 x 2 ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u     + q ¯ ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t q ( s + u ) ( x 2 ( t ) + x 2 ( s ) ) Δ s ) Δ u 由引理1得 J Δ ( t ) = ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t q ¯ q ( t + u ) x 2 ( t ) Δ s ) Δ u     + ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t σ ( t ) q ¯ q ( v + u ) x 2 ( v ) Δ v ) Δ u     − ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u σ ( t ) q ¯ q ( v + u ) x 2 ( v ) Δ v ) Δ u = ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t q ¯ q ( t + u ) x 2 ( t ) Δ s ) Δ u     − ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t q ¯ q ( v + u ) x 2 ( v ) Δ v ) Δ u 而 V Δ ( t ) = ( y 2 ( t ) ) Δ + J Δ ( t ) ，所以有 V Δ ( t ) ≤ μ ¯ x 2 ( t ) q ¯ 2 − 2 x 2 ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u     + q ¯ ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t q ( s + u ) x 2 ( t ) Δ s ) Δ u     + ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t q ¯ q ( t + u ) x 2 ( t ) Δ s ) Δ u = x 2 ( t ) [ μ ¯ q ¯ 2 − 2 ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + q ¯ ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t q ( s + u ) Δ s ) Δ u ]     + x 2 ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t q ¯ q ( t + u ) Δ s ) Δ u ≤ x 2 ( t ) [ μ ¯ q ¯ 2 − 2 ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + 2 q ¯ ∫ 0 τ K ( u ) u Δ u ] ≤ x 2 ( t ) [ μ ¯ q ¯ 2 − 2 ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + 2 q ¯ 2 τ ] 如果 lim t → + ∞ ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u = L > ( τ + μ ¯ 2 ) q ¯ 2 ，则 V Δ ( t ) < 0 当 t → + ∞ 。根据单调有界准则(参看 [ 11 ] )，当 t → + ∞ 时 V ( t ) 的极限存在，可以记为 lim t → + ∞ V ( t ) = ρ ≥ 0 。 令 ，则 α > 0 ，对充分大的 t ，有 V Δ ( t ) ≤ − α x 2 ( t ) 。设 T * 充分大，使得 ∫ T * + ∞ V Δ ( t ) Δ t ≤ − ∫ T * + ∞ α x 2 ( t ) Δ t 于是 ∫ T * + ∞ α x 2 ( t ) Δ t < V ( T * ) − ρ < + ∞ 所以有 lim t → ∞ x ( t ) = 0 ，定理得证。 接下来给出方程(2)的全局吸引性的一个充分条件。 定理2：如果对于 t ∈ [ t 0 ， + ∞ ) T 有 lim t → + ∞ ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u > ( μ ¯ + τ + 1 2 ) q ¯ 2 + τ q ¯ 3 lim t → + ∞ p ( t + ζ ) > ( μ ¯ + ζ 2 2 + ζ + τ 2 ) p ¯ 2 成立，其中 p ( ⋅ ) ， q ( ⋅ ) 为非负有界函数并且右稠密连续， p ¯ = sup t ∈ [ 0 ， + ∞ ) T p ( t ) ， q ¯ = sup t ∈ [ 0 ， + ∞ ) T q ( t ) 。 ζ 和 τ 为非负常数，并且 t ± ζ ∈ T 。 μ ¯ = sup t ∈ T μ ( t ) 。 K ( u ) : [ 0 ， τ ] T → [ 0 ， + ∞ ) 右稠密连续且满足 ∫ 0 τ K ( u ) Δ u = 1 ， 则方程(2)的解是全局吸引的。 证明：(2)式变形可得： ( x ( t ) − ∫ t − ζ t p ( s + ζ ) x ( s ) Δ s − ∫ 0 τ K ( u ) ∫ t − u t q ( s + u ) x ( s ) Δ s Δ u ) Δ = − p ( t + ζ ) x ( t ) − x ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u ，     t ∈ [ t 0 ， + ∞ ) T (7) 设 y ( t ) = x ( t ) − ∫ t − ζ t p ( s + ζ ) x ( s ) Δ s − ∫ 0 τ K ( u ) ∫ t − u t q ( s + u ) x ( s ) Δ s Δ u (8) 则有 y Δ ( t ) = − p ( t + ζ ) x ( t ) − x ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u ，     t ∈ [ t 0 ， + ∞ ) T (9) 构造Lyapunov函数 V ( t ) 如下： V ( t ) = y 2 ( t ) + R ( t ) + W ( t ) 其中 R ( t ) = ( ζ + 1 ) ∫ t − ζ t ∫ s t p 2 ( u + ζ ) x 2 ( u ) Δ u Δ s W ( t ) = ∫ 0 τ ( q ¯ + 1 ) K ( u ) [ ∫ t − u t ( ∫ s t q 2 ( v + u ) x 2 ( v ) Δ v ) Δ s ] Δ u 显然 V ( t ) ≥ 0 ，由(7)和(8)式得 ( y 2 ( t ) ) Δ = μ ( t ) [ y Δ ( t ) ] 2 + 2 y Δ ( t ) y ( t ) = μ ( t ) x 2 ( t ) ( p ( t + ζ ) + ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u ) 2 − 2 x 2 ( t ) p ( t + ζ )     − 2 x 2 ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + 2 x ( t ) p ( t + ζ ) ∫ t − ζ t p ( s + ζ ) x ( s ) Δ s     + 2 x ( t ) p ( t + ζ ) ∫ 0 τ K ( u ) ∫ t − u t q ( s + u ) x ( s ) Δ s Δ u     + 2 x ( t ) ∫ t − ζ t p ( s + ζ ) x ( s ) Δ s ⋅ ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u     + 2 x ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u ⋅ ∫ 0 τ K ( u ) ∫ t − u t q ( s + u ) x ( s ) Δ s Δ u 由不等式 2 a b ≤ a 2 + b 2 和(3)式，上式可以推得 ( y 2 ( t ) ) Δ ≤ 2 μ ( t ) x 2 ( t ) ( ∫ 0 τ K ( t ) q ( t + u ) Δ u ) 2 + 2 μ ( t ) x 2 ( t ) p 2 ( t + ζ )     − 2 x 2 ( t ) p ( t + ζ ) − 2 x 2 ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u     + ∫ t − ζ t ( p 2 ( t + ζ ) x 2 ( t ) + p 2 ( s + ζ ) x 2 ( s ) ) Δ s     + ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t ( p 2 ( t + ζ ) x 2 ( t ) + q 2 ( s + u ) x 2 ( s ) ) Δ s ) Δ u     + x 2 ( t ) ( ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u ) 2 + ( ∫ t − ζ t p ( s + ζ ) x ( s ) Δ s ) 2     + q ¯ ∫ 0 τ K ( u ) ∫ t − u t q ( s + u ) ( x 2 ( t ) + x 2 ( s ) ) Δ s Δ u 由引理1得 R Δ ( t ) = ( ζ + 1 ) [ ∫ t − ζ t p 2 ( t + ζ ) x 2 ( t ) Δ s + ∫ t σ ( t ) p 2 ( u + ζ ) x 2 ( u ) Δ u     − ∫ t − ζ σ ( t ) p 2 ( u + ζ ) x 2 ( u ) Δ u ] = ( ζ + 1 ) [ ζ p 2 ( t + ζ ) x 2 ( t ) − ∫ t − ζ t p 2 ( u + ζ ) x 2 ( u ) Δ u ] 和 W Δ ( t ) = ( q ¯ + 1 ) [ ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t q 2 ( t + u ) x 2 ( t ) Δ s ) Δ u + ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t σ ( t ) q 2 ( v + u ) x 2 ( v ) Δ v ) Δ u     − ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u σ ( t ) q 2 ( v + u ) x 2 ( v ) Δ v ) Δ u ] = ( q ¯ + 1 ) [ ∫ 0 τ K ( u ) q 2 ( t + u ) x 2 ( t ) u Δ u − ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t q 2 ( v + u ) x 2 ( v ) Δ v ) Δ u ] 同时利用不等式 ( A 1 + A 2 + ⋯ + A n ) 2 ≤ n ( A 1 2 + A 2 2 + ⋯ + A n 2 ) 有 V Δ ( t ) ≤ 2 μ ( t ) x 2 ( t ) ( ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u ) 2 + 2 μ ( t ) x 2 ( t ) p 2 ( t + ζ )     − 2 x 2 ( t ) p ( t + ζ ) − 2 x 2 ( t ) ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u     + ( ζ 2 + 2 ζ ) p 2 ( t + ζ ) x 2 ( t ) + ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t p 2 ( t + ζ ) x 2 ( t ) Δ s ) Δ u     + x 2 ( t ) ( ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u ) 2 + q ¯ ∫ 0 τ K ( u ) ( ∫ t − u t q 2 ( s + u ) x 2 ( t ) Δ s ) Δ u     + ( q ¯ + 1 ) ∫ 0 τ K ( u ) q 2 ( t + u ) x 2 ( t ) u Δ u ≤ x 2 ( t ) [ 2 μ ¯ q ¯ 2 + 2 μ ¯ p ¯ 2 − 2 p ( t + ζ ) − 2 ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + ( ζ 2 + 2 ζ ) p ¯ 2     + p ¯ 2 ∫ 0 τ K ( u ) u Δ u + q ¯ 2 + q ¯ 3 ∫ 0 τ K ( u ) u Δ u + ( q ¯ 2 + q ¯ 3 ) ∫ 0 τ K ( u ) u Δ u ] ≤ x 2 ( t ) [ ( 2 μ ¯ + ζ 2 + 2 ζ ) p ¯ 2 + p ¯ 2 ∫ 0 τ K ( u ) u Δ u − 2 p ( t + ζ ) ]     + x 2 ( t ) [ − 2 ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u + 2 μ ¯ q ¯ 2 + q ¯ 2 + ( 2 q ¯ 3 + q ¯ 2 ) ∫ 0 τ K ( u ) u Δ u ] 如果 lim t → + ∞ ∫ 0 τ K ( u ) q ( t + u ) Δ u = M > ( μ ¯ + τ + 1 2 ) q ¯ 2 + τ q ¯ 3 ，而且 lim t → + ∞ p ( t + ζ ) = N > ( μ ¯ + ζ 2 2 + ζ + τ 2 ) p ¯ 2 则 V Δ ( t ) < 0 当 t → + ∞ 。根据单调有界准则(参看 [ 11 ] )，当 t → + ∞ 时 V ( t ) 的极限存在，可以记为 lim t → + ∞ V ( t ) = ρ ≥ 0 。 令 ，则 α > 0 ，对充分大的 t ，有 V Δ ( t ) ≤ − α x 2 ( t ) 。设 T * 充分大，使得 ∫ T * + ∞ V Δ ( t ) Δ t ≤ − ∫ T * + ∞ α x 2 ( t ) Δ t 于是 ∫ T * + ∞ α x 2 ( t ) Δ t < V ( T * ) − ρ < + ∞ 所以有 lim t → ∞ x ( t ) = 0 ，定理得证。