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user: 3. 理论结果及证明 在这个部分当中，基于上面提到的二重积分不等式引理，我们通过恰当地构造李雅普诺夫泛函得到关于系统(1)的新的稳定标准。 为了简化向量和矩阵表示给出以下术语： ξ 1 ( t ) = col { x ( t ) ， ∫ t − h t x ( s ) d s } ， ξ 2 ( t ) = col { x ( t ) ， x ˙ ( t ) } ， ξ 3 ( t ) = col { x ( s ) ， ∫ s t x ( u ) d u } ， ξ 4 ( t ) = col { x ( t ) − x ( t − h ( t ) ) ， x ( t ) + x ( t − h ( t ) ) − 2 w 1 ， x ( t ) − x ( t − h ( t ) ) + 6 w 1 − 12 v 1 } ， ξ 5 ( t ) = col { x ( t − h ( t ) ) − x ( t − h ) ， x ( t − h ( t ) ) + x ( t − h ) − 2 w 2 ， x ( t − h ( t ) ) − x ( t − h ) + 6 w 2 − 12 v 2 } ， r 1 = 1 h ( t ) ∫ t − h ( t ) t x ( s ) d s ， r 2 = 1 t − h ( t ) ∫ t − h t − h ( t ) x ( s ) d s ， t 1 = 1 h ( t ) 2 ∫ t − h ( t ) t ∫ θ t x ( s ) d s d θ ， t 2 = 1 ( t − h ( t ) ) 2 ∫ t − h t − h ( t ) ∫ θ t − h ( t ) x ( s ) d s d θ 定理1 对于给定的实数h和u，若存在对称正定矩阵 U ∈ R 2 n × 2 n ， Q i ∈ R 2 n × 2 n ( i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) ， R ∈ R n × n ， P ∈ R 2 n × 2 n ， Z i ∈ R n × n ( i = 1 ， 2 ， 3 ) ， Z = [ Z 1 Z 2 * Z 3 ] ∈ R 2 n × 2 n ， M i ∈ R n × n ( i = 1 ， 2 ) ，任意矩阵 S ∈ R 3 n × 3 n ， L i ∈ R 9 n × 2 n ( i = 1 ， 2 ) ， M j ∈ R 9 n × 2 n ( j = 3 ， 4 ) ，使得下列线性矩阵不等式成立： Γ 1 = [ R ¯ S S R ¯ ] > 0 (5) Γ 2 = [ Z 1 Z 2 + M i * Z 3 ] > 0   ( i = 1 ， 2 ) (6) Γ 3 ( h ( t ) = 0 ) = ( δ ⊥ ) T [ Ξ ( h ( t ) ) h ( t ) L 1 h ( t ) M 3 h − h ( t ) L 2 h − h ( t ) M 4 * − P 0 0 0 * * − 1 3 P 0 0 * * * − P 0 * * * * − 1 3 P ] ( δ ⊥ ) < 0 (7) Γ 4 ( h ( t ) = h ) = ( δ ⊥ ) T [ Ξ ( h ( t ) ) h ( t ) L 1 h ( t ) M 3 h − h ( t ) L 2 h − h ( t ) M 4 * − P 0 0 0 * * − 1 3 P 0 0 * * * − P 0 * * * * − 1 3 P ] ( δ ⊥ ) < 0 (8) Γ 5 = ( δ ⊥ ) T ( − β 2 h 2 2 J 2 + Γ 3 ) ( δ ⊥ ) < 0 (9) Γ 6 = ( δ ⊥ ) T ( − ( 1 − β ) 2 h 2 2 J 2 + Γ 4 ) ( δ ⊥ ) < 0 (10) 则时变时滞系统(1)是渐近稳定的，其中 Ξ ( h ( t ) ) = ∑ n = 1 6 Π n ， ξ ( t ) = col { x ( t ) ， x ( t − h ( t ) ) ， x ( t − h ) ， w 1 ， w 2 ， v 1 ， v 2 ， x ˙ ( t − h ( t ) ) ， x ˙ ( t − h ) } ， R ¯ = diag { R ， 3 R ， 5 R } ， e i = [ 0 n ， ( i − 1 ) n I n 0 n ， ( 9 − i ) n ]   ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 9 ) ， f 0 = A e 1 + B e 2 ， G 4 = col { e 2 ， e 8 } ， G 1 = col { e 1 ， h ( t ) e 4 + ( h − h ( t ) ) e 5 } ， G 2 = col { f 0 ， e 1 − e 3 } ， G 3 = col { e 1 ， f 0 } ， G 19 = col { e 0 ， e 4 } ， G 5 = col { e 3 ， e 9 } ， G 6 = col { e 1 ， e 0 } ， G 7 = col { e 2 ， h 2 ( t ) e 4 } ， G 8 = col { e 3 ， h ( t ) e 4 + ( h − h ( t ) ) e 5 } ， G 9 = col { e 0 ， e 1 } ， G 10 = col { h ( t ) e 4 ， h ( t ) e 6 } ， G 18 = col { − ( h − h ( t ) ) e 5 + 2 ( h − h ( t ) ) e 7 ， e 2 + e 3 − 2 e 5 } ， G 11 = col { h ( t ) e 4 + ( h − h ( t ) ) e 5 ， h 2 ( t ) e 6 + ( h − h ( t ) ) 2 e 7 + h ( t ) ( h − h ( t ) ) e 4 } ， G 20 = col { e 0 ， e 4 − e 5 } ， G 12 = col { e 1 − e 2 ， e 1 + e 2 − 2 e 4 ， e 1 − e 2 + 6 e 4 − 12 e 6 } ， G 17 = col { ( h − h ( t ) ) e 5 ， e 2 − e 3 } ， e 0 = 0 n × 9 n ， G 13 = col { e 2 − e 3 ， e 2 + e 3 − 2 e 5 ， e 2 − e 3 + 6 e 5 − 12 e 7 } ， G 16 = col { − h ( t ) e 4 + 2 h ( t ) e 6 ， e 1 + e 2 − 2 e 4 } ， G 14 = col { e 1 ， e 2 ， e 3 ， e 4 ， e 5 ， e 6 ， e 7 ， e 8 ， e 9 } ， G 15 = col { h ( t ) e 4 ， e 1 − e 2 } ， G 21 = col { e 0 ， e 6 + e 7 − e 4 } ， Π 1 = sym { G 1 U G 2 } ， Π 2 = G 3 T Q 1 G 3 − ( 1 − u ) G 4 T Q 1 G 4 + G 3 T Q 2 G 3 − G 5 T Q 2 G 5 ， Π 6 = h 2 2 G 3 T Z G 3 + ϒ 1 ， Π 3 = G 6 T Q 3 G 6 − ( 1 − u ) G 7 T Q 3 G 7 + G 6 T Q 4 G 6 − G 8 T Q 4 G 8 + sym { G 10 T Q 3 G 9 + G 11 T Q 4 G 9 } ， Π 4 = h 2 f 0 R f 0 − [ G 12 G 13 ] T Γ 1 [ G 12 G 13 ] ， Π 5 = h G 3 T P G 3 + sym { η 0 T L 1 η 1 + η 0 T M 3 η 2 + η 0 T L 2 η 3 + η 0 T M 4 η 4 } ， ϒ 1 = ( h − h ( t ) ) e 2 T M 2 e 2 + h ( t ) e 1 T M 1 e 1 − h ( t ) e 4 T M 1 e 4 − ( h − h ( t ) ) e 5 T M 2 e 5 − h ( t ) ( h − h ( t ) ) e 4 T Z 1 e 4     − sym { h ( t ) 2 e 6 T Z 1 e 6 + 2 h ( t ) e 6 T ( Z 1 + M 1 ) ( e 1 − e 4 ) + ( e 1 − e 4 ) T Z 3 ( e 1 − e 4 ) + ( h − h ( t ) ) 2 e 7 T Z 1 e 7     + 2 ( h − h ( t ) ) e 7 T ( Z 2 + M 2 ) ( e 2 − e 5 ) + ( e 2 − e 5 ) T Z 3 ( e 2 − e 5 ) + ( c − a ) e 4 T Z 2 ( e 1 − e 2 ) }     − h − h ( t ) h ( e 1 − e 2 ) T Z 3 ( e 1 − e 2 ) ， ϒ 2 = sym { h ( t ) G 14 T ( 3 L 1 P − 1 L 1 + M 3 P − 1 M 3 3 ) G 14 + ( h − h ( t ) ) G 14 T ( 3 L 2 P − 1 L 2 + M 4 P − 1 M 4 3 ) G 14 } (11) 证明：构造如下李雅普诺夫泛函 V ( t ) = ∑ d = 1 6 V d V 1 ( t ) = ξ 1 T ( t ) U ξ 1 ( t ) V 2 ( t ) = ∫ t − h ( t ) t ξ 2 T ( s ) Q 1 ξ 2 ( s ) d s + ∫ t − h t ξ 2 T ( s ) Q 2 ξ 2 ( s ) d s V 3 = ∫ t − h ( t ) t ξ 3 T ( t ， s ) Q 3 ξ 3 ( t ， s ) d s + ∫ t − h t ξ 3 T ( t ， s ) Q 4 ξ 3 ( t ， s ) d s ， V 4 = h ∫ t − h t ∫ θ t x ˙ ( s ) R x ˙ ( s ) d s d θ ， V 5 = ∫ t − h t ∫ θ t ξ 2 T ( s ) P ξ 2 ( s ) d s d θ ， V 6 = ∫ t − h t ∫ θ 2 t ∫ θ 1 t ξ 2 T ( s ) Z ξ 2 ( s ) d s d θ 1 d θ 2 对 V ( t ) 求导，可得 V ˙ 1 ( t ) = 2 ξ T ( t ) G 1 T U G 2 ξ ( t ) V ˙ 2 ≤ ξ 2 T ( t ) Q 1 ξ 2 ( t ) − ( 1 − u ) ξ 2 T ( t − h ( t ) ) Q 1 ξ 2 ( t − h ( t ) ) + ξ 2 T ( t ) Q 2 ξ 2 ( t ) − ξ 2 T ( t − h ) Q 2 ξ 2 ( t − h ) V ˙ 3 ≤ ξ 3 T ( t ， t ) Q 3 ξ 3 ( t ， t ) − ( 1 − u ) ξ 3 T ( t ， t − h ( t ) ) Q 3 ξ 3 ( t ， t − h ( t ) ) + ξ 3 T ( t ， t ) Q 4 ξ 3 ( t ， t ) − ξ 3 T ( t ， t − h ) Q 4 ξ 3 ( t ， t − h )     + sym { [ ∫ t − h ( t ) t x ( s ) d s ∫ t − h ( t ) t ∫ s t x ( u ) d u d s ] Q 3 [ 0 x ( t ) ] + [ ∫ t − h t x ( s ) d s ∫ t − h t ∫ s t x ( u ) d u d s ] Q 4 [ 0 x ( t ) ] } ， V ˙ 4 = h 2 x ˙ ( t ) R x ˙ ( t ) − h ∫ t − h t x ˙ ( s ) R x ˙ ( s ) d s ， V ˙ 5 = h ξ 2 T ( t ) P ξ 2 ( t ) − ∫ t − h t ξ 2 T ( s ) P ξ 2 ( s ) d s V ˙ 6 = h 2 2 ξ 2 T ( t ) Z ξ 2 ( t ) − ∫ t − h t ∫ θ 2 t ξ 2 T ( s ) Z ξ 2 ( s ) d s d θ 2 运用Jensen不等式以及互凸组合对 V ˙ 4 ( t ) 中的积分项进行放缩，可以得到 − h ∫ t − h t x ˙ ( s ) R x ˙ ( s ) d s = − h ∫ t − h ( t ) t x ˙ ( s ) R x ˙ ( s ) d s − h ∫ t − h t − h ( t ) x ˙ ( s ) R x ˙ ( s ) d s ≤ − h h ( t ) ξ 4 T ( t ) R ¯ ξ 4 ( t ) − h h − h ( t ) ξ 5 T ( t ) R ¯ ξ 5 ( t ) ≤ − [ ξ 4 ξ 5 ] T Γ 1 [ ξ 4 ξ 5 ] . 为了考虑更多的积分信息，利用时滞分割方法将一重积分区间 [ 0 ， h ] 划分成 [ 0 ， h ( t ) ] 和 [ h ( t ) ， h ] 两个部分，并运用引理2中的自由矩阵不等式， V ˙ 5 ( t ) 中的积分项进行放缩可以得到 − ∫ t − h t ξ 2 T ( s ) P ξ 2 ( s ) d s = − ∫ t − h ( t ) t ξ 2 T ( s ) P ξ 2 ( s ) d s − ∫ t − h t − h ( t ) ξ 2 T ( s ) P ξ 2 ( s ) d s − ∫ t − h ( t ) t ξ 2 T ( s ) P ξ 2 ( s ) d s ≤ sym { η 0 T L 1 η 1 + η 0 T M 3 η 2 } + h ( t ) η 0 T ( 3 L 1 P − 1 L 1 + M 3 P − 1 M 3 3 ) η 0 其中 η 0 = G 14 ξ ( t ) ， η 1 = [ h ( t ) r 1 x ( t ) − x ( t − h ( t ) ) ] ， η 2 = [ − h ( t ) r 1 + 2 h ( t ) t 1 x ( t ) + x ( t − h ( t ) ) − 2 r 1 ] η 3 = [ ( h − h ( t ) ) r 2 x ( t − h ( t ) ) − x ( t − h ) ] ， η 4 = [ − ( h − h ( t ) ) r 2 + 2 ( h − h ( t ) ) t 2 x ( t − h ( t ) ) + x ( t − h ) − 2 r 2 ] 运用引理4提出的新二重积分不等式，对 V ˙ 6 ( t ) 中的积分放缩得 − ∫ t − h t ∫ θ 2 t ξ 2 T ( s ) Z ξ 2 ( s ) d s d θ 2 ≤ ξ T ( s ) ϒ 1 ξ ( s ) 取 Ψ ( h ( t ) ) = Ξ ( h ( t ) ) + ϒ 2 ，由于 h ( t ) 在是二次的，因此可以改写成 Ψ ( h ( t ) ) = J 2 h 2 ( t ) + J 1 h ( t ) + J 0 ，其中 J 0 ， J 1 ， J 2 和都是常数矩阵，且 J 2 = e 4 T Z 1 e 4 − ( 1 − u ) G 19 T Q 3 G 19 − G 20 T Q 3 G 20 − sym { e 6 T Z 1 e 6 + e 7 T Z 1 e 7 + e 21 T Q 3 e 9 } 利用Finsler’s引理 [ 17 ]，让 δ ξ ( t ) = 0 ，如果(5)~(10)的条件满足，我们可以得到 ( δ ⊥ ) T Ψ ( h ( t ) ) ( δ ⊥ ) < 0 成立，这就暗示 ξ T ( t ) Ψ ( h ( t ) ) ξ ( t ) < 0 成立。因此，如果(7)~(10)的条件满足，那么通过引理1，可以得到 Ψ ( h ( t ) ) < 0 成立。从而定理1的结论成立，证毕。 需要说明的是， V 3 ( t ) 是在增广向量中引入S相关的单重积分项 ∫ s t x ( u ) d u ，对 V 3 ( t ) 求导后能产生二重积分 ∫ t − h ( t ) t ∫ s t x ( u ) d u d s 和 ∫ t − h t ∫ s t x ( u ) d u d s ，可以看到更多的时滞信息和相互交叉的状态向量，这些都可以为降低保守性提供帮助。 V 6 ( t ) 求导后产生的二重积分就是利用引理4的积分不等式进行放缩的，值得注意的是利用互凸组合巧妙的化解分母为零的现象，并且可以看到利用新的积分不等式能产生更多的时滞信息和自由矩阵。