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user: 4. 实例分析 雅砻江流域位于青藏高原东部，整个流域呈南北向条带状，流域平均长度约950 km，平均宽度约137 km，河系呈羽状发育。支流鲜水河与庆大河相继汇入雅砻江，其流域图如图2所示，对下游防洪控制点的防洪安全造成了一定的威胁，本文采用雅砻江新龙站、鲜水河道孚站、庆大河扎巴站历史洪水资料，选取同一时刻三个测站的历史流量组成三元序列对作为样本，充分考虑洪水遭遇的可能性，对下游组合洪水分布函数以及防洪风险率进行计算。 图2. 雅砻江流域图 4.1. 边缘分布的确定 P-III分布曲线在水文变量频率分析中应用较为普遍，其对径流、暴雨的拟合结果较好。其概率密度函数如下： f ( x ) = β γ Γ ( γ ) ( x − α ) γ − 1 exp [ − β ( x − α ) ] (11) 其中， α 、 β 、 γ 分别为P-III型分布的位置、尺度、形状参数，计算公式如下： α = 4 C s 2 ， β = 2 x ¯ C v C s ， γ = x ¯ ( 1 − 2 C v C s ) (12) 根据上述公式，可以计算出雅砻江洪峰、鲜水河洪峰和庆大河洪峰的P-III分布参数，由表1可知，雅砻江、鲜水河和庆大河洪水流量均服从P-III分布，以P-III分布作为雅砻江、鲜水河和庆大河洪水流量的边缘分布是合理可行的。 Table 1 P-III distribution parameters of Yalong River， Xianshui River and Qingdahe Flood Pea 雅砻江洪水流量 鲜水河洪水流量 庆大河洪水流量 均值 x ¯ 1161.53 519.6 81.73 变差系数C v 0.34 0.38 0.41 偏态系数C s 1.94 1.47 1.87 α 1.062812 1.85108 1.14387 β 0.00261 0.00689 0.031917 γ 754.39 250.96 45.89 拟合度 0.99 0.98 0.98 表1. 雅砻江、鲜水河和庆大河洪峰的P-III分布参数 4.2. Copula函数类型的选择 首先，对雅砻江洪峰、鲜水河洪峰、庆大河洪峰进行相关性分析，判断其相关性，可以初步确定适合本文研究所应用的Copula函数类型。本文应用SPSS软件中的相关性分析对雅砻江洪峰、鲜水河洪峰和庆大河洪峰进行相关性分析。经计算，雅砻江洪峰、鲜水河洪峰之间的相关系数为0.938，雅砻江洪峰、庆大河洪峰之间的相关系数为0.946，鲜水河洪峰、庆大河洪峰之间的相关系数为0.937，t检验的显著性概率均为0 < 0.01。由此可以判断，三者之间存在着较强的正相关性。由于GH Copula和Clayton Copula适用于变量之间存在正相关关系，Frank Copula函数适用于变量之间存在正或负相关关系。因此，本文选用GH Copula、Clayton Copula和Frank Copula函数进行组合洪水的研究。 4.3. Copula函数参数估计 参数估计是Copula函数的核心，本文采用极大似然法对Copula函数进行参数估计。双参数三维Copula函数的极大似然估计方法如下： 1) 构建似然函数 L ( θ 1 ， θ 2 ) = ∏ i = 1 n c ( ( u i 1 ， u i 2 ， u i 3 ) ; θ 1 ， θ 2 ) (13) c ( ( u 1 ， u 2 ， u 3 ) ; θ 1 ， θ 2 ) = ∂ 3 C ( ( u 1 ， u 2 ， u 3 ) ; θ 1 ， θ 2 ) ∂ u 1 ∂ u 2 ∂ u 3 (14) ln ( L ( θ 1 ， θ 2 ) ) = ∑ i = 1 n ln ( c ( ( u 1 ， u 2 ， u 3 ) ; θ 1 ， θ 2 ) ) (15) 2) 似然函数最大值求解 ∂ 2 ln ( L ( θ 1 ， θ 2 ) ) ∂ θ 1 ∂ θ 2 = 0 (16) 4.4. Copula函数拟合优度评价 拟合优度评价主要包括Genest-Rivest方法(图形评价法)、AIC信息准则法和OLS法(离差平方和最小准则)。 Genest-Rivest方法是将经验频率和理论频率进行绘图，根据点距的分布情况，来判断Copula函数对序列的拟合情况。 经验频率公式如下： F e m p ( x i 1 ， x i 2 ， x i 3 ) = p ( X 1 ≤ x i 1 ， X 2 ≤ x i 2 ， X 3 ≤ x i 3 ) = ( ∑ g = 1 n ∑ k = 1 n ∑ l = 1 n n g k l − 0.44 ) / ( n + 0.12 ) (17) 式中， F e m p 为经验频率， n g k l 为同时满足 X 1 ≤ x i 1 ， X 2 ≤ x i 2 ， X 3 ≤ x i 3 的观测值个数，n为系列长度。 AIC信息准则是衡量模型拟合优劣的一种标准，AIC值越小，说明相应的Copula函数拟合越优，其表现形式如下： MSE = 1 n ∑ i = 1 n ( F e m p ( x i 1 ， x i 2 ， x i 3 ) − C ( u i 1 ， u i 2 ， u i 3 ) ) 2 (18) AIC = n ln ( MSE ) + 2 k (19) 式中， C ( u i 1 ， u i 2 ， u i 3 ) 为理论频率值，k为模型参数的个数。 离差平方和最小准则的判断标准和AIC准则一样，OLS值越小，拟合越优。 OLS = 1 n ∑ i = 1 n ( F e m p ( x i 1 ， x i 2 ， x i 3 ) − C ( u i 1 ， u i 2 ， u i 3 ) ) 2 (20) 由图形评价法即可得到不同Copula函数对洪峰序列的拟合效果，如图3所示。 图3. 理论与经验联合频率拟合 从图中可以看出，双参数GH Copula、Clayton Copula、Frank Copula函数所计算出的理论频率与经验频率均落在45˚线附近，且相差不大，说明三种函数对径流序列的拟合效果均较好，通过图形评价法不能直观的判断哪种函数对径流序列拟合最优，所以还需AIC信息准则和OLS法进行拟合优度评价。 计算得出不同Copula函数的AIC值和OLS值，根据AIC信息准则和OLS对拟合优度进行评价，AIC值、OLS值以及Copula函数参数θ 1 、θ 2 见表2。 Table 2 AIC， OLS values and parameters of different Copula function AIC OLS θ 1 θ 2 GH −171.191 0.054 4.52 4.69 Clayton −160.812 0.064 4.54 4.55 Frank −166.423 0.058 15.99 16.05 表2. 不同Copula函数的AIC、OLS值及参数 由表2可知，GH Copula函数所计算的AIC和OLS值最小，Frank Copula函数和Clayton Copula函数所计算的AIC和OLS值均大于GH Copula函数所计算的AIC和OLS值。因此GH Copula函数对洪峰序列的拟合效果最优。所以根据AIC、OLS最小准则，选取双参数三维GH Copula函数进行组合洪水的计算。 4.5. 组合洪水的计算 根据GH Copula函数，可以得到洪峰联合分布(图4)，其中，x轴、y轴、z轴分别表示雅砻江洪峰、鲜水河洪峰、庆大河洪峰，组合洪水频率用颜色表示。由图4可以看出任意洪峰组合发生的频率及其变化趋势。根据公式(6)~(10)可以得到下游组合洪水洪峰w大于下游防洪安全泄量w 0 的概率，设置不同的w 0 ，即可得到组合洪水分布(表3)及其分布曲线(图5)。 图4. 洪峰联合分布 Table 3 Combined flood distributio w 0 /(m 3 ∙s −1 ) P(w > w 0 )/% w 0 /(m 3 ∙s −1 ) P(w > w 0 )/% w 0 /(m 3 ∙s −1 ) P(w > w 0 )/% w 0 /(m 3 ∙s −1 ) P(w > w 0 )/% 3300 14.43 3870 6.06 4440 2.50 5010 1.03 3330 13.79 3900 5.79 4470 2.39 5040 0.98 3360 13.18 3930 5.53 4500 2.28 5070 0.97 3390 12.60 3960 5.28 4530 2.18 5100 0.94 3420 12.04 3990 5.04 4560 2.08 5130 0.90 3450 11.51 4020 4.81 4590 1.98 5160 0.88 3480 11.00 4050 4.59 4620 1.89 5190 0.85 3510 10.51 4080 4.38 4650 1.80 5220 0.82 3540 10.04 4110 4.18 4680 1.72 5250 0.80 3570 9.59 4140 3.99 4710 1.64 5280 0.77 3600 9.16 4170 3.81 4740 1.57 5310 0.75 3630 8.75 4200 3.64 4770 1.50 5340 0.73 3660 8.36 4230 3.47 4800 1.43 5370 0.71 3690 7.99 4260 3.31 4830 1.36 5400 0.69 3720 7.63 4290 3.16 4860 1.30 5430 0.67 3750 7.29 4320 3.02 4890 1.24 5460 0.65 3780 6.96 4350 2.88 4920 1.18 5490 0.64 3810 6.65 4380 2.75 4950 1.13 5520 0.62 3840 6.35 4410 2.62 4980 1.08 5550 0.60 表3. 组合洪水分布 图5. 组合洪水分布曲线 由组合洪水分布曲线可以看出，随着w 0 的增加，组合洪水洪峰大于w 0 的概率不断减小，在w 0 小于3000 m 3 /s之内，组合洪水洪峰大于w 0 的概率的减小与w 0 的增加基本上呈线性关系，当w 0 大于3000 m 3 /s后，组合洪水洪峰大于w 0 的概率随着w 0 的增加而减小的越来越缓慢，最终趋向于0。下游防洪控制点的安全泄量为4800 m 3 /s时，由表3可知，防洪风险率为1.43%。结果表明该地区的防洪安全不易受区间洪水的影响。