DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 1. 引言 联合国政府间气候变化专门委员会(IPCC)的观测数据显示，1906年至2005年的一百年间全球平均气温升高了0.74℃，到本世纪末全球平均气温升高幅度可能是1.8℃~4℃，而造成这一趋势的主要原因是人类对化石能源的消耗所造成的温室气体的排放。专家们指出，若二氧化碳浓度以目前的趋势增加，各种气候灾害和极端天气发生的概率将大大增加。对发展中国家而言，相当大部分的人口居住在易受到气候变化和极端天气事件影响的边缘化地区，在可预见的未来，发展中国家受气候变化影响的人口规模将不断扩大，而中国作为世界上人口最多的发展中国家，正处于压缩型与赶超型的工业化进程中，人口结构的快速转变、农村人口比重的快速减少和经济的快速发展给我国的资源、环境带来了很大的压力；同时作为全球二氧化碳排放量最大、能源消费总量最大的国家，中国在应对全球气候变化、参与国际气候谈判上也面临着严峻的挑战。 与此同时，北京、天津及上海作为地处我国东部地区的三大直辖市，在全国的经济社会发展中具有极其重要的地位，在引领并带动全国经济的迅速发展与城镇化的进一步深化的同时，有效减少碳排放总量、加快转变发展模式也是不可逃避的责任。因此，在对京津沪三市近二十年的二氧化碳排放总量进行测算的基础上，总结三市的碳排放规律，探寻以低碳发展模式推进城镇化建设的路径与方法，对我国的可持续发展实践、建设“美丽中国”宏观目标的实现均具有十分重要的现实意义与理论价值。
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user: 2. 国内外相关研究文献综述 随着全球气候变化的加剧，人类社会对造成全球变暖的主要因素——碳排放问题越来越重视，学术界对该领域的关注也在不断加强。 国外学者对于碳排放的研究，主要是集中在经济发展、人口规模、老龄化、技术进步以及城市化等方面。Birdsall [ 1 ] (1992)认为一方面更多的人口会导致更多的能源需求，而更多的能源消费又导致了更多的温室气体排放；另一方面，人口规模的迅速扩张致使森林遭到破坏，从而改变了土地利用方式等，这些都造成了碳排放量的增加；Knapp [ 2 ] (1996)进行了全球二氧化碳排放量与全球人口之间的因果关系检验，结果显示二者不存在长期协整关系，但全球人口确是全球碳排放量增长的原因；Karl [ 3 ] (1990)的研究发现，美国城市气温的升高和人口之间存在明显的非线性关系；Chung [ 4 ] (2004)的研究则证实城市化和工业化是导致韩国50多年来平均气温升高的主要原因；Dalton [ 5 ] (2007)的研究结果表明，技术变动的净影响在本世纪上半叶是增加碳排放，而人口老龄化的净影响是降低碳排放，且在一定条件下，人口老龄化对碳排放和气候变化的影响比技术变动的作用更为显著。 近年来，国内学者也从人口、经济以及城镇化等角度对我国二氧化碳排放量或气候变化的相关领域进行了广泛的研究：任国玉等 [ 6 ] (2005)的研究表明，城市化因素对中国地面平均气温记录具有显著影响；朱勤等 [ 7 ] (2010)的分析结果显示居民消费水平与人口结构变化对碳排放的影响力已高于人口规模变化的影响力；蒋耒文 [ 8 ] (2010)认为人口老化是影响发达国家温室气体排放的重要人口因素，而农村人口比重的降低则在发展中国家具有更重要的意义；宋杰鲲 [ 9 ] (2010)的实证分析显示劳动年龄人口占人口总数的比例越大，二氧化碳排放量的增速反而会有所减缓；李楠等 [ 10 ] (2011)的研究表明，1995年至2007年间，非农人口比重、恩格尔系数、第二产业就业人口比重对中国的碳排放量有正向的影响，而人口规模与人口老龄化会减少碳排放；王芳等 [ 11 ] (2011)认为人口的结构性因素与碳排放具有非线性的关系。 总体来看，多数学者都认同经济发展、能源消耗及能源结构、人口规模、人口的结构性变化以及居民消费、技术进步等因素与二氧化碳排放量有显著的相关关系，同时农村人口比重的快速减少往往同时也意味着碳排放总量的增加。要实现以低碳模式推进我国的城镇化发展，必须要深入分析掌握城镇化与碳排放之间的数量关系及其内在机理。因此，在对以往研究文献的梳理与总结的基础上，本文将运用历史宏观数据对京津沪三市的经济发展水平、产业结构、人口规模、人口的结构性因素以及农业人口比重等变量与二氧化碳排放总量之间的关系进行数理与计量分析，进一步深入探讨低碳模式推进城镇化的途径与方法，以期为政府决策者制定相关政策提供理论依据。
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user: 3. 二氧化碳排放量测算方法介绍 我们根据《中国省级温室气体清单编制指南》及《2006年IPCC国家温室气体清单指南》的方法及相关参数进行了北京、天津及上海三个直辖市历年的二氧化碳排放量测算。 具体步骤如下： 1) 计算各能源品种的终端消费量：从历年的《中国能源统计年鉴》中我们得到了1995年至2011年的天津市能源平衡表(实物量)，计算公式：燃料消费量 = 终端消费量 + 加工转换投入产出量 + 损失量； 2) 将步骤1中测算得到的各能源品种的消费总量统一转换为热量单位。计算公式：燃料消费量(热量单位) = 燃料消费量 × 换算系数 (燃料单位热值)，我国采用的是单位平均低位发热量； 3) 计算各能源品种的含碳量。计算公式：燃料含碳量 = 燃料消费量(热量单位) × 单位燃料含碳量(燃料的单位热值含碳量)； 4) 计算各能源品种的固碳量，即不会随能源消耗而释放出的碳含量。计算公式：固碳量 = 固碳产品产量 × 单位产品含碳量 × 固碳率； 5) 计算各能源品种的净碳排放量(扣除未释放的碳量)。计算公式：净碳排放量 = 燃料总的含碳量 −固碳量； 6) 计算各能源品种的实际二氧化碳排放量。计算公式：实际碳排放量 = 净碳排放量 × 燃料燃烧过程中的碳氧化率，再将碳排放量乘以碳与二氧化碳的分子转换系数，从而得到各能源品种的实际二氧化碳排放量。 其中，固碳率是指各种化石燃料在作为非能源使用过程中，被固定下来的碳的比率，由于这部分碳没有被释放，所以需要在排放量的计算中予以扣除；碳氧化率是指各种化石燃料在燃烧过程中被氧化的碳的比率，表征燃料的燃烧充分性。需要说明的是，固碳率因各地有所不同，《中国省级温室气体清单编制指南》及《2006年IPCC国家温室气体清单指南》中均未提供相关数据，我们在其他统计数据中也未能查找到北京、天津及上海的各能源固碳率，因而这部分在本课题的测算中予以省略。 简化以上计算步骤为以下公式： CO 2 = ( E × H × C ) × O × ( 44 / 12 ) (1) 其中CO 2 为二氧化碳排放量，E为各能源品种的终端消费量，H为各能源品种的热量值，C为各能源品种的含碳量，O为各能源品种的碳氧化率， ( 44 / 12 ) 为CO 2 与C的分子量比率、即将碳转化为二氧化碳。 根据《中国能源统计年鉴》中公布的各品种能源低位发热量及《中国省级温室气体清单编制指南》、《2006年IPCC国家温室气体清单指南》中公布的我国各主要能源的含碳量、碳氧化率，按照上文介绍的方法进行计算，得到我国各主要能源品种的碳排放系数(见表1)，并根据式(1)结合三地历年的能源消耗数据计算得到三地历年的碳排放总量(见表2)。 Table 1 Carbon emission factors for major energy source 能源品种 碳排放系数(万吨) 能源品种 碳排放系数(万吨) 煤(万吨) 1.975 液化石油气(万吨) 3.101 焦炭(万吨) 2.86 炼厂干气(万吨) 3.008 其他煤气(万吨) 0.816 天然气(亿立方米) 2.162 原油(万吨) 3.02 煤制气(亿立方米) 0.816 汽油(万吨) 2.925 电力(亿千瓦小时) 1.246 柴油(万吨) 3.096 其他石油制品(万吨) 3.005 燃料油(万吨) 3.17 其他焦油产品(万吨) 2.404 煤油(万吨) 3.033 表1. 各主要能源品种的碳排放系数 数据来源：根据《中国省级温室气体清单编制指南》及《2006年IPCC国家温室气体清单指南》中数据整理计算得到。 Table 2 Total carbon dioxide emissions in Beijing-Tianjin-Shanghai calendar year (unit: 10，000 tons 时间 北京 上海 天津 时间 北京 上海 天津 1995 13348.09 20367.78 9854.20 2004 15862.02 32454.33 16155.50 1996 13587.87 21085.77 9597.54 2005 16210.18 35038.42 17231.69 1997 13588.60 21674.44 10247.68 2006 16375.43 35393.38 18408.99 1998 13349.27 21939.98 10034.47 2007 17427.67 36330.67 19465.97 1999 13810.91 23343.86 10517.79 2008 18171.17 38096.98 19219.40 2000 14392.58 25597.43 11476.93 2009 18171.17 38096.98 20466.75 2001 14196.94 26457.87 12460.59 2010 18630.31 38147.50 27240.11 2002 14592.99 26777.95 13588.19 2011 17574.50 37960.28 29928.41 2003 14991.48 30119.03 14076.07 2012 16966.84 38538.76 27968.53 表2. 京津沪历年二氧化碳排放总量(单位：万吨) 数据来源：根据京津沪历年各品种能源消费量乘以表1中的各能源碳排放系数得到。
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user: 4. 数据来源及现状描述 4.1. 数据来源 上文中北京、天津及上海三地的1995~2012能源消费实物量数据来自历年《中国能源统计年鉴》，采用的是包含终端消费量、损失量以及加工转换投入产出量在内的全部能源实物消费总量。以全面测算并掌握三地的二氧化碳排放总量。 京津沪三市历年的能源消费总量、万元生产总值能耗、地区生产总值、地区人均生产总值、三次产业产值、常住人口总量、非农人口数、人口密度、最终消费、居民消费支出等数据分别来自《北京统计年鉴2013》、《天津统计年鉴2013》、《上海统计年鉴2013》；平均家庭规模来自历年的《中国人口与就业统计年鉴》或《中国人口统计年鉴》；非农人口比重数据中2005年至2012年来自《中国人口与就业统计年鉴》，1994年至2004年的北京与天津数据由历年非农人口除以常住人口得到，上海数据则由历年城镇人口加上外来人口后除以常住人口总数得到；三市的老龄化率与少儿人口比重数据中，1995-2011年的值根据中经专网数据中各年龄人口数除以人口总数得到，2012年数据则来自各地2013年统计年鉴。 4.2. 现状描述 从历年的碳排放总量来看(如图1所示)，上海一直高于其他两市，天津的碳排放量在2004年超过北京、此后一直高于北京。京津两市在2012年时均较2011年有所下降，而上海则在2011年略有下降、但2012年其碳排放又进一步增长。从增长速率来看，天津的碳排放增长最快、年均增长6.64%，其次是上海年均增速达3.89%，北京增速在三市之中最慢，达1.47%，且近两年一直处于下降趋势。 京津沪地区的能源消费总量增长较二氧化碳排放量的增长量更多，年均增长率分别达到4.29%、7.26%、5.69%。纵向比较来看，天津近年的增长速率快于过去，而京沪两市的增速则有所放缓(如图2所示)。但从总量来看，上海的能源消耗最多，2012年达到11362.2万吨标准煤；北京则最低，2012年能源消费总量为7177.7万吨标准煤；2012年天津的能源消费总量为8208.01万吨标准煤。 图1. 1995~2012年碳排放量(万吨) 图2. 1995~2012年能源消费量(万吨标准煤) 以万元GDP的能耗衡量能源使用效率，京津沪三市的能效均呈逐步提高的态势(如图3所示)，其中北京的能效提高率最高，万元GDP能耗由1995年时的2.34吨减少到2012年的0.436吨，2012年时的能源使用效率是1995年的5.38倍，年均能效提高9.23%；天津、上海的万元GDP能耗年均减少分别达7.78%、6.44%，与1995年相比，天津与上海2012年的能效分别提高了4倍、3.14倍。 图4、图5分别描述了北京、天津、上海三市自1995年至2012年的经济增长情况。2012年京津沪三市的GDP总量分别为16967亿元、27969亿元、38539亿元人，年均增长率分别为15.7%、16.85%、13.15%，三市的经济总量增长速度均高于全国GDP的增速。2012年三市的人均GDP均超过8.5万人民币(合1.37万美元)，北京人均地区生产总值首次超过上海(85373元)达到87454元，天津则在2011年就超过了京沪两市，2012年人均GDP达到93173元，年均增速高达14.3%，超过北京的12.08%与上海的9.74%。 图3. 1995~2012年万元GDP能耗(吨标准煤) 图4. 1995~2012年GDP(亿元) 图5. 1995~2012年人均GDP (元/人) 从人口角度来看，北京、天津、上海都是超级大城市，北京、上海人口规模均超过2千万，2012年末京沪两市常住人口规模分别达到2069万人、2380万人，天津人口总量相对较小，2012年末拥有1413.2万人口(如图6所示)。但从人口增长率来看，三市增长率均较低，京津沪分别仅为3.03%、2.43%、3.11%。 由图7可知，上海市的人口密度远高于北京、天津两市，2012年上海市每平方公里的人口多达3754人，是京津两市的3倍左右，(北京为1261人、天津为1186人)。人口密度过高，将直接带来能源的密集消耗与碳排放量的快速增长，这可能是上海的能源使用总量与碳排放总量均高于京津两市的重要原因之一。 京津沪三市的非农人口比重均处于极高水平(如图8所示)，2012年时三市的非农人口比重分别达到86.2%、81.6%、89.8%，远高于全国平均水平。纵向比较来看，北京、天津、上海的城镇化率一直处于较高水平，因此三地的城镇化进程并不十分快速，年均增长率分别为0.78%、1.6%、1.41%。 图6. 1995~2012年人口规模(万人) 图7. 1995~2012年人口密度(人/平方公里) 图8. 1995~2012年城镇化率(%) 从产业结构来看(如图9、图10所示)，京津沪三市的第一产业占GDP比重均较小，2012年时北京、天津、上海的第一产业比重仅分别为0.84%、1.33%、0.63%。同时，三市的第二产业占比均处于逐步减少的趋势，其中2012年北京、上海的第二产业比重仅为22.7%、38.92%，而第三产业比重增长迅速，分别达到76.46%、60.45%。 天津与京沪两市有所不同，天津的第二产业占比仍较高、2012年为51.68%，第三产业则与第二产业比重接近、达到46.99%，尽管天津的第二产业占比自2009年以来也逐步下降，但下降速率仅为年均0.41%，而第三产业比重的增率也不高、仅为年均1.32%。而天津的GDP增长率高于京沪两市、年均增速高达16.85%，说明天津的经济增长仍较为依赖于第二产业，而第二产业属高碳行业，逐步减少第二产业的比重有利于减少二氧化碳排放总量的减少，可见，天津的经济发展方式亟需转变。 图9. 1995~2012年第二产业比重 图10. 1995~2012年第三产业比重
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user: 6. 小结 通过对北京、天津及上海三个直辖市自1995年至2012年的历年宏观数据的收集与整理，我们根据《中国省级温室气体清单编制指南》及《2006年IPCC国家温室气体清单指南》的方法及相关参数进行了三市历年的二氧化碳排放量计算，总结并描述了三市的二氧化碳排放量变化规律以及经济、人口等宏观变量的发展趋势，并采用面板回归模型实证分析经济增长、技术进步、人口因素与京津沪三市碳排放量的数理关系。 回归结果显示，经济总量与人口规模的扩张对碳排放总量的增长有着明显的促进作用，同时单位GDP能耗与非农人口比重也与碳排放量显著正相关。而少儿人口比重则与碳排放呈负相关关系；此外，与第二产业相比，第一及第三产业的发展均有助于抑制京津沪三市减少二氧化碳排放量。
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user: 摘 要 讨论了用三次均匀B样条曲线光滑拼接轴线异面管道的轴线问题，首先通过特征多边形的顶点的约束使B样条曲线通过控制多边形的顶点，且与控制多边形的边相切。这样可以构造光滑拼接两个轴异面圆管道的轴线的分段三次均匀B样条曲线，进而构造了以B-样条曲线为轴线的圆管道，实现了以B-样条曲线为轴线的圆管道光滑拼接轴线异面圆管道的光滑拼接。 关键词 :轴线，异面，B-样条曲线，管道，光滑拼接 Copyright © 2019 by author and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 曲面拼接问题是计算机辅助几何设计中的一个基本问题，而轴线异面的管道拼接是几何造型中的难点基础问题。在几何造型中通常以低次代数曲面为基本单元，通过他们之间的光滑拼接，实现所需要的几何造型。曲面造型技术经过数十年的发展，已经比较成熟。一般采用以下几种基本方法，即位势方法 [ 1 ] 、Groebner基方法 [ 2 ] 、合冲模方法 [ 3 ] 、分片代数曲面拼接方法 [ 4 ] 及曲面拼接中的吴方法 [ 5 ] 等。Hartmann法 [ 6 ] [ 7 ] 研究了一种简单的函数曲面来处理一般曲面之间的 G n 连续问题，并用法向环面和隐式曲面来拼接给定的两个或多个管道曲面。但是，所拼接的管道曲面的轴线都是共面的情形。这些方法可以用来解决一大类拼接问题。但对于轴线异面管道光滑拼接问题，相应的齐次线性方程组往往没有非零解或代数理想的交是空集。因此当出现待拼接的曲面轴线异面的情形时，我们需要寻找新的方法进行曲面拼接。 雷娜 [ 8 ] [ 9 ] 证明了两个轴线异面圆管在其任意平面截口处通常不能用三次代数曲面光滑拼接，提出构造轴线与给定两个圆管的轴线分别共面的辅助圆柱，并利用二轴共面的吴文俊公式实现了给定圆管的分两段三次光滑拼接。白根柱 [ 10 ] [ 11 ] 给出了两个轴线异面的圆管道存在三次拼接曲面的充分必要条件，并给出了存在光滑拼接的三次曲面时，两个管道的系数之间的关系。但是，并没有给出拼接实例。白根柱 [ 12 ] - [ 18 ] 用轴线光滑拼接的方法拼接两个轴线异面的管道曲面，得到了一些结果。 本文将在三次均匀B样条曲线光滑拼接轴线异面圆管道轴线的基础上，进一步构造光滑拼接两个轴线异面圆管道的过渡管道。B样条方法具有表示与设计自由型曲线曲面的强大功能，它不仅是最为流行的形状数学描述的主流方法之一，而且已成为关于工业产品几何定义国际标准的有理B样条方法的基础。我们知道，均匀B样条曲线的两端既不在控制多边形的边上，更不通过首、末顶点。实际上，人们总是希望所设计的曲线在给定的点起始或终止，且具有确定的切线方向。为了使B样条曲线也和Bézier曲线一样通过首、末端点，且与特征多边形的第一条边和最后一条边相切，需要调控特征多边形的顶点来实现。 定义1给定四个控制顶点 V i ( i = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ) ，对任意 s ∈ [ 0 ， 1 ] 定义曲线 r ( s ) = ∑ i = 0 3 B i ， 3 ( s ) V i 为均匀三次B样条曲线，其中 { N 0 ， 3 = 1 6 ( − s 3 + 3 s 2 − 3 s + 1 ) ， N 1 ， 3 = 1 6 ( 3 s 3 − 6 s 2 + 4 ) ， N 2 ， 3 = 1 6 ( − 3 s 3 + 3 s 2 + 3 s + 1 ) ， N 3 ， 3 = 1 6 s 3 . 为三次均匀多项式基函数。 三次均匀B样条曲线的几何形状是由特征多边形的顶点来控制的，调整特征多边形的顶点可得到不同形态的曲线。我们采用三顶点共线的技巧构造三段光滑拼接B样条曲线，使其通过特征多边形的顶点并于特征多边形的边相切，进而构造以这种曲线为轴线的圆管道光滑拼接两个轴线异面的粗细不同的圆管道。
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user: 2. 构造基于轴线光滑拼接的轴线异面管道的光滑拼接管道 设 Φ 1 : { x = x 1 + a 1 N 11 cos φ + a 1 B 11 sin φ ， y = y 1 + b 1 s + a 1 N 12 cos φ + a 1 B 12 sin φ ， z = a 1 N 13 cos φ + a 1 B 13 sin φ . 和 Φ 2 : { x = a 2 N 21 cos φ + a 2 B 21 sin φ ， y = y 2 + a 2 N 22 cos φ + a 2 B 22 sin φ ， z = z 2 + c 2 s + a 2 N 23 cos φ + a 2 B 23 sin φ .     φ ∈ [ 0 ， 2 π ] 是两个轴线异面的圆管道的参数表示，其中 a i ( i = 1 ， 2 ) 是两个轴线异面的粗细不同的圆管道的半径， N i = ( N i 1 ， N i 2 ， N i 3 ) ， B i = ( B i 1 ， B i 2 ， B i 3 ) ， i = 1 ， 2 分别是 s = 1 和 s = 0 时的法矢和副法矢。 L 1 : { x = x 1 + 0 ⋅ s ， y = y 1 + b 1 s ， z = 0 + 0 ⋅ s ， 和 L 2 : { x = 0 + 0 ⋅ s ， y = y 2 + b 2 ⋅ s ， z = z 2 + c 2 s . 是两个圆管道的轴线，分别位于OXY平面上与X轴相交和位于OYZ平面上与Y轴相交。 设 V 0 ( x 0 ， y 0 ， 0 ) ， V 1 ( x 1 ， y 1 ， 0 ) 是 L 1 上的两个点， V 2 ( 0 ， y 2 ， z 2 ) ， V 1 ( 0 ， y 3 ， z 3 ) 是 L 2 上的两个点，在 V 0 V 1 的反向延长线上取 V − 1 ( x 1 ， y − 1 ， 0 ) ，使得 | V 1 − V 0 | = | V 0 − V − 1 | ，在 V 2 V 3 的延长线上取 V 4 ，使 | V 2 − V 3 | = | V 3 − V 4 | 。则以 V 1 ， V 0 ， V 1 ， V 2 ， V 3 ， V 4 为特征多边形的顶点的均匀三次B样条曲线通过顶点 V 0 ， V 3 ，且与特征多边形的第一条边 V 0 V 1 与第三条边 V 2 V 3 相切。
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user: 3. 构造与轴线异面的圆管道Φ 1 与Φ 2 光滑拼接的三段光滑圆管道 当两个圆管道的粗细相同，即 a 1 = a 2 = a 时，光滑拼接两个轴线异面的管道的拼接管道的表示式为 p ( s ， φ ) = { x ( s ) + a N 1 ( s ) cos φ + a B 1 ( s ) sin φ ， y ( s ) + a N 2 ( s ) cos φ + a B 2 ( s ) sin φ ， z ( s ) + a N 3 ( s ) cos φ + a B 3 ( s ) sin φ .     s ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ ( 0 ， π ) 其中 [ x ( s ) ， y ( s ) ， z ( s ) ] 是B样条曲线的参数表示 N = ( N 1 ( s ) ， N 2 ( s ) ， N 3 ( s ) ) ， B = ( B 1 ( s ) ， B 2 ( s ) ， B 3 (s)) 分别是B样条曲线在点s处的法矢和副法矢。 当 a 1 ≠ a 2 时，再构造一个光滑拼接两个轴线异面的管道的某两个母线 r 1 ( s ) 和 r 2 ( s ) 的B样条曲线 r ′ ( s ) ，则光滑拼接粗细不同的轴线异面的管道的拼接管道的表示式为 p ( s ， φ ) = { x ( s ) + d ( s ) N 1 ( s ) cos φ + d ( s ) B 1 ( s ) sin φ ， y ( s ) + d ( s ) N 2 ( s ) cos φ + d ( s ) B 2 ( s ) sin φ ， z ( s ) + d ( s ) N 3 ( s ) cos φ + d ( s ) B 3 ( s ) sin φ .     s ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ ( 0 ， π ) 其中 d ( s ) = ‖ r ′ ( s ) − r ( s ) ‖ ， ‖     ⋅     ‖ = 〈 ⋅ ， ⋅ 〉 表示欧几里得范数。
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user: 4. 拼接实例 例1设轴线异面管道的轴线分别为 L 1 : { x = 3 ， y = − 3 + s ， z = 0. 和 L 2 : { x = 0 ， y = 4 ， z = 3 + s . 两个轴线异面圆管道的粗细相同，取 a = 1 时，通过 V 0 ( 3 ， − 3 ， 0 ) 和 V 3 ( 0 ， 4 ， 3 ) 并且与 L 1 和 L 2 垂直的平面处 G 1 -拼接的管道，如图1所示。 图1. 以B样条曲线为轴线的粗细相同轴线异面管道的三段G 1 –拼接图 例2仍设轴线异面管道的轴线分别为 L 1 : { x = 3 ， y = − 3 + s ， z = 0. 和 L 2 : { x = 0 ， y = 4 ， z = 3 + s . 两个轴线异面圆管道的粗细不同，取 a 1 = 1 .5 ， a 2 = 1 时，则通过 V 0 ( 3 ， − 3 ， 0 ) 和 V 3 ( 0 ， 4 ， 3 ) 并且与 L 1 和 L 2 垂直的平面处 G 1 -拼接的管道，如图2所示。 图2. 以B样条曲线为轴线的粗细不同轴线异面管道的三段G 1 –拼接图 图3. 同一控制顶点B样条曲线与Bézier曲线光顺性比较
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user: 5. 结束语 本文用三次均匀B样条曲线光滑拼接两个轴线异面圆管道轴线的基础上，进一步构造了光滑拼接两个轴线异面圆管道的过渡管道，得到了光滑拼接轴线异面管道的三段光滑拼接圆管道。以B样条曲线为轴线的拼接管道与Bézier曲线为轴线的管道相比较光顺性更好，轴线更接近于控制多边形(图3)。在构造光滑的拼接管道时，以B样条曲线为轴线的管道光滑拼接两个轴线异面的管道只是一种媒介。不同的媒介可以构造出不同的拼接管道。因此，我们可以利用更多的空间曲线来构造光滑拼接两个轴线异面的管道，以满足不同的用途。
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user: 摘 要 一个平面图G的一个多色k-染色是一个k种颜色的点染色，每一种颜色都会出现在每个面的边界上。最大的非负整数k称为G的多色染色数，记为p(G)。2009年Alon等人证明了每个平面图都有多色染色数 p ( G ) ≥ ⌊ ( 3 g − 5 ) / 4 ⌋ ，其中g是G的最小面的规模。以平面图G的简化对偶图H(G)为基础，我们讨论了当H(G)为一个偶圈、奇圈、星时将下界 ⌊ ( 3 g − 5 ) / 4 ⌋ 提高成 ⌊ ( 3 g − 5 + w ) / 4 ⌋ 的形式，其中w是H(G)的不相交的边覆盖的权重之和。 关键词 :平面图，多色染色，保护问题 Copyright © 2019 by author and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 在这篇文章中我们只考虑无向有限简单图。平面图是指能够嵌入到平面内的图。设G为一个平面图，其点集、边集和面集分别记为 V ( G ) 、 E ( G ) 和 F ( G ) 。一个面f的规模是它的边界上的顶点数，记为 g ( f ) 。 g ( G ) 定义为这个图G中最小面的规模： g ( G ) = min { g ( f ) | f ∈ F ( G ) } 。图G的顶点的k-染色是一种映射 φ : V ( G ) → { 1 ， ⋯ ， k } 。如果任意两个相邻的点染不同颜色则称 φ 为正常染色。如果所有k种颜色都出现在一个面 f ∈ F ( G ) 上，则称这个面为多色的。如果一个顶点的k-染色 φ 使得G的每个面都是多色的，则称 φ 为图G的一个多色k-染色。G的多色染色数p(G)是使得G存在多色k-染色时最大的k。对于任意的平面图G，定义： p ( g ) = min { p ( G ) | g ( G ) = g } 很显然对任意的平面图G都有 p ( g ( G ) ) ≤ p ( G ) ≤ g ( G ) 。1969年Lovász [ 1 ] 证明了每个简单平面图G都有 p ( G ) ≥ 2 。1999年Mohar和Škrekovski [ 2 ] 使用四色定理对Lovász的结果给出了另一种证明。2009年Alon等人 [ 3 ] 给出了对于一般平面图的多色染色数的上下界。 定理1.1 [ 3 ] p ( 1 ) = p ( 2 ) = 1 ， p ( 3 ) = p ( 4 ) = 2 ，当 g ≥ 5 时， ⌊ 3 g − 5 4 ⌋ ≤ p ( g ) ≤ ⌊ 3 g + 1 4 ⌋ 从定理1.1可以看出，当 g ≥ 5 时 p ( g ) 的取值范围是2个或者3个整数。 平面图的多色染色在组合学和计算几何中有着很多应用，以下是1975年Chvátal [ 4 ] 提出并且证明的艺术画廊定理。 定理1.2 [ 4 ] 设P是一个有n个顶点的多边形，则 ⌊ n / 3 ⌋ 个顶点足够用来保护P。 定理1.2说明在P中存在一个含有 ⌊ n / 3 ⌋ 个点的点集S，使得S中的点可以监测到整个多边形P的面，此时称为S保护P，S称为保护集。保护问题与多色染色问题有着密切联系。对于平面图G，寻找最小的点集S使得G的每个面都与S中至少一个点关联。其实G的多色染色中每种颜色对应的点集是一个保护集，因为每种颜色都会出现在所有面上，每种颜色对应的点共同保护了G。 2012年Horev等人 [ 5 ] 研究了最大度3的二部图的多色4-染色问题并证明了以下定理： 定理1.3 [ 5 ] 最大度3的二部图是正常多色4-可染的。 如果存在一个平面嵌入使得图中所有顶点都属于外平面，则这样的平面图称为外平面图。在外平面图中最小面的规模等于最小圈的长度(围长)。以下定理表明了对于 g ( G ) ≥ 3 的外平面图多色染色数的非平凡上界 p ( G ) ≤ g ( G ) 是紧的。 定理1.4 [ 3 ] 设G是一个外平面图且满足 g = g ( G ) ≥ 3 ，则G存在一种使用g种颜色的多色正常染色。 通过上面的结果我们可以看到对于一些类别的图可以将多色染色数 p ( g ) 提高到g，而通过定理1.1可知 p ( g ) 的范围由g唯一决定，现在我们考虑一类平面图，在这类图中可以将多色染色数的下界 ⌊ ( 3 g − 5 ) / 4 ⌋ 提高。 考虑一类含有较多二度点的平面图，这些二度点在两个面的共同边界上，这些点染上的颜色会同时出现在两个面上。若能在一个平面图G的每个面的边界上收缩w个二度点，则在所得平面图 G ′ 中最小面的规模减小为 g − w ，根据定理1.1可知此时 p ( G ′ ) ≥ ⌊ 3 ( g − w ) − 5 4 ⌋ 。再将之前每个面上收缩的w个二度点恢复，并且将这些点染w种不同颜色，这样每个面都增加了 种新颜色，从而 p ( G ) ≥ ⌊ 3 ( g − w ) − 5 4 ⌋ + w = ⌊ 3 g − 5 4 + w 4 ⌋ 。当 w ≥ 4 时这个下界严格高于 ⌊ 3 g − 5 4 ⌋ ，部分改进了定理1.1 的下界。
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user: 2. 简化对偶图的构造 定义2.1 设G是含有较多二度点的平面图，我们定义简化对偶图 H = H ( G ) = ( V ( H ) ， E ( H ) ) ： 1) 定义点集 V ( H ) = F ( G ) ，即G的每个面对应H的每个点； 2) 定义边集E(H) = {uv |面u与面v有公共的边界路}，即这两个面的公共边界上有二度点。特别地，如果两个平面的公共边界上有多条边界路，在简化对偶图中对应两点也只有一条边。显然H的边对应的是原图中两个面公共的边界路； 3) 设e为H中的边，定义边的权重w(e)为e连接的两个点对应的面上公共的二度点数。 这样定义的简化对偶图H也是简单平面图。 若H的边集E(H)的子集 E i 满足 ，即 E i 中的边可以包含H的所有点，则称 E i 为H的一个边覆盖。
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user: 3. 主要结果 定理3.1 假设G是一个平面图，最小面的规模为g，H = H(G)是它的简化对偶图。如果H是一个偶圈，则E(H)可以分解成两个不相交的匹配 E 1 和 E 2 ，并且 p ( g ) ≥ ⌊ 3 g − 5 + w 1 + w 2 4 ⌋ ， w i = min { w ( e ) | e ∈ E i } 。 证明 设 H = C 2 k = v 1 v 2 ⋅ ⋅ ⋅ v 2 k v 1 ，则H有2个不相交的匹配 E 1 = { v 2 i − 1 v 2 i | 1 ≤ i ≤ k } 和 E 2 = { v 2 i v 2 i + 1 | 1 ≤ i ≤ k − 1 } ∪ { v 2 k v 1 } 。令 w j = min { w ( e ) | e ∈ E j } ， j = 1 ， 2 。在 E 1 中每条边对应公共边界路上去掉任意 w 1 个2-点，再在 E 2 中每条边对应公共边界路上去掉任意 w 2 个2-点，得到平面图 G ′ ， g ( G ′ ) = g − w 1 − w 2 。根据定理1.1，可给出 G ′ 的 ⌊ 3 ( g − w 1 − w 2 ) − 5 4 ⌋ 种颜色的多色染色 φ ′ ，再将 G ′ 恢复为G，基于染色 φ ′ 得到G的部分染色 φ 。注意到G的每个面上恰有 w 1 + w 2 个2-点未染色，现在用不同于 φ 中的 w 1 + w 2 个新颜色去染每个面上的未染色点，则每个面上可以出现这 w 1 + w 2 个新颜色。显然有 p ( G ) ≥ ⌊ 3 ( g − w 1 − w 2 ) − 5 4 ⌋ + w 1 + w 2 = ⌊ 3 ( g − w 1 − w 2 ) − 5 4 + 4 ( w 1 + w 2 ) 4 ⌋ = ⌊ 3 g − 5 + w 1 + w 2 4 ⌋ 定义3.2 设v是H中的点且 d H ( v ) ≥ 2 ，v在原图中对应的面规模为g(v)，定义点权 w ( v ) = ⌊ g ( v ) − g d H ( v ) − 1 ⌋ 。 定理3.3 假设G是一个平面图，最小面的规模为g， H = H ( G ) 是它的简化对偶图。如果H是一个奇圈， H = C 2 k + 1 = v 0 v 1 ⋯ v 2 k ，则 C 2 k + 1 有2k + 1个不同的最小边覆盖 E i ( 0 ≤ i ≤ 2 k )，并且 p ( g ) ≥ ⌊ 3 g − 5 + w 4 ⌋ 其中 w = max 0 ≤ i ≤ 2 k { min { w ( v i ) ， w ( e ) | e ∈ E i } } 。 证明 设 H = C 2 k + 1 = v 0 v 1 ⋯ v 2 k ，则 C 2 k + 1 有2k + 1个不同的最小边覆盖 E i ( 0 ≤ i ≤ 2 k )。对任意 0 ≤ i ≤ 2 k ，点 v i 对应的H的最小边覆盖记为 E i = { v i − 1 v i ， v i v i + 1 ， v i + 2 j v i + 1 + 2 j ， 1 ≤ j ≤ k − 1 } (下标模2k + 1)，令 w i = min { w ( v i ) ， w ( e ) | e ∈ E i } 。对每个 E i 都可进行下列操作：在图G中对 E i 中每条边对应的公共边界路上去掉任意 w i 个2-点，得到平面图 G i 。面v在 G i 中的规模记为 g i ( v ) ，对于任意的 v ≠ v i ， g i ( v ) = g ( v ) − w i 。对于面 v i ：由 w i ≤ w ( v i ) = g ( v i ) − g ，有 g i ( v i ) = g ( v i ) − 2 w i = g − w i + g ( v i ) − g − w i ≥ g − w i ， 所以G中规模最小的面在 G i 中仍然规模最小，所以 g ( G i ) = g − w i 。由定理1.1可给出 G i 的 ⌊ 3 ( g − w i ) − 5 4 ⌋ 种颜色的多色染色 φ ′ i 。将 G i 恢复为G，基于 φ ′ i 染色得到G的部分染色 φ 。注意到G中除 v i 以外的面上恰有 w i 个2-点未染色，( v i 对应面上有 2 w i 个2-点未染色)，现在用不同于 φ 中的 w i 种新颜色去染每个面上的未染色点，则每个面上可以出现这 w i 种新颜色，容易看出 v i 对应面上这 w i 种新颜色各出现2次。显然 p ( G ) ≥ ⌊ 3 ( g − w i ) − 5 4 ⌋ + w i = ⌊ 3 g − 5 + w i 4 ⌋ 。对所有 E i ，令 w = max 0 ≤ i ≤ 2 k w i ，显然有 p ( G ) ≥ max 0 ≤ i ≤ 2 k ⌊ 3 ( g − 5 ) + w i 4 ⌋ = ⌊ 3 g − 5 + w 4 ⌋ 。 定理3.4 假设G是一个平面图，最小面的规模为g， H = H ( G ) 是它的简化对偶图。如果H是一个星， v 0 是星的中心点，令 w s = min { w ( v 0 ) ， w ( e i ) | e i ∈ e ( H ) } ，则 p ( g ) ≥ ⌊ 3 g − 5 + w s 4 ⌋ 。 证明 设 H = K 1 ， n ，存在唯一的边覆盖 E 1 = E ( H ) ，星中心点 v 0 满足 d H ( v 0 ) = n > 1 。在 E 1 中每条边对应的公共边界路上去掉任意 w s 个2-点，得到平面图 G ′ 。面v在 G ′ 中的规模记为 g ′ ( v ) ，对于任意的 v ≠ v 0 ， g ′ ( v ) = g ( v ) − w s 。对于面 v 0 ： 由 w s ≤ w ( v 0 ) = ⌊ g ( v 0 ) − g d H ( v 0 ) − 1 ⌋ = ⌊ g ( v 0 ) − g n − 1 ⌋ ， g ′ ( v 0 ) = g ( v 0 ) − n w s   = g − w s   + g ( v 0 ) − g − ( n − 1 ) w s   ≥ g − w s ，所以G中规模最小的面在 G ′ 中仍然规模最小，所以 g ( G ′ ) = g − w s 。由定理1.1可给出 G ′ 的 ⌊ 3 ( g − w s ) − 5 4 ⌋ 种颜色的多色染色 φ ′ 。将 G ′ 恢复为G，基于 φ ′ 染色得到G的部分染色 φ 。注意到G中除 v 0 以外的面上恰有 w s 个2-点未染色，( v 0 对应面上有 n w s 个2-点未染色)，现在用不同于 φ 中的 w s 种新颜色去染每个面上的未染色点，则每个面上可以出现这 w s 种新颜色，容易看出 v 0 对应面上这 w s 种新颜色各出现n次。显然 p ( G ) ≥ ⌊ 3 ( g − w s ) − 5 4 ⌋ + w s = ⌊ 3 g − 5 + w s 4 ⌋ 。
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user: 摘 要 研究了一类轴向运动屈曲梁的次谐分岔和混沌行为。利用Melnikov方法，给出了屈曲梁异宿轨道Melnikov函数和次谐Melnikov函数的表达式，得到系统出现次谐分岔和超次谐分岔的参数条件，给出系统混沌区域和非混沌区域的分界曲线。根据参数的取值范围做数值模拟，结果验证了理论分析。 关键词 :屈曲梁，次谐分岔，混沌，Melnikov方法 Copyright © 2019 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 屈曲梁结构在军事、航空航天、土木、机械等工程中有广泛的应用，拱形结构当受到动态负荷时，会展示出丰富的动力学现象，包括次谐波、超谐振荡、极限环、混沌运动等 [ 1 ] [ 2 ]。1983年，Moon [ 3 ] [ 4 ] 等研究了非线性边界条件下的梁受到周期载荷后的混沌运动。Suire [ 5 ] 用数值方法研究了大扰度粘弹性梁的周期和混沌。冯志华，胡海岩研究了内共振条件下直线运动梁的动力稳定性，基于凯恩方程建立非线性动力学方程，得出非线性振动的Hopf分岔以及极限环。Danida [ 6 ]、Anantha [ 7 ]、Neukirch [ 8 ] 等研究了弹性屈曲梁的周期解和混沌动力学行为。张等 [ 9 ] [ 10 ] 研究了两端简支的非线性弹性梁受周期载荷作用后，发生次谐分岔和混沌运动的条件。Pinto [ 11 ] [ 12 ] 等分析了弹性屈曲梁在强迫力作用下出现马蹄混沌行为。 本文研究一类轴向载荷作用下梁的次谐分岔和混沌行为，对梁的单模态方程，应用Melnikov方法，得到了系统发生次谐分岔和超次谐分岔的参数范围，及混沌区域和非混沌区域的分界线。
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user: 2. 问题描述 图1. 屈曲梁结构模型 如图1所示，考虑梁的长度为L，横截面积为A，横截转动惯量为J，材料的弹性模量为E，轴向力为P。假定梁的横截面是均匀的，材质均相同．轴向位移采用u表示，横向位移采用w表示，u和w是空间坐标x的函数，文献 [ 11 ] 得到弯曲梁的运动方程为 v ¨ + v i v + 4 π 2 v ″ − 2 b 2 π 3 cos 2 π x ∫ 0 1 v ′ sin 2 π x d x = b π 2 cos 2 π x ∫ 0 1 v ′ 2 d x + b π v ″ ∫ 0 1 sin 2 π x d x + 1 2 v ″ ∫ 0 1 v ′ 2 d x − c v ˙ + F cos Ω t (1) 边界条件为 x = 0 和 x = 1 时， v = 0 ， v ′ = 0 利用伽辽金法，单模态的运动方程为 q ¨ + ω 2 q = − c q ˙ + b a 2 q 2 + a 3 q 3 + f cos Ω t (2) 这里考虑 a 2 = 0 的情况，令 x = q ， c = ε c ， f = ε f ，则方程(2)变成 { x ˙ = y y ˙ = − ω 2 x + a 3 x 3 − ε c y + ε f cos Ω t (3) 当 ε = 0 时，系统(3)的未扰动系统为 { x ˙ = y y ˙ = − ω 2 x + a 3 x 3 (4) (4)是Hamiltonian系统，其Hamiltonian量为 H = 1 2 y 2 + ω 2 2 x 2 − a 3 4 x 4 (5)
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user: 3. 系统的次谐分岔与混沌 a 3 > 0 的混沌行为 当 a 3 > 0 时，利用如下变换 u = p a 3 ω ， t → 1 ω t (6) 将(6)代入(3)式，得到 { u ˙ = v v ˙ = − u + u 3 − ε c ¯ q + ε f ¯ cos ( Ω ¯ t ) (7) 其中 ， f ¯ = f a 3 ω 3 ， Ω ¯ = Ω ω 。当 ε = 0 时，未扰动系统为 { u ˙ = v v ˙ = u − u 3 (8) 其Hamilton量为 H ( u ， v ) = 1 2 v 2 + 1 2 u 2 − 1 4 u 4 (9) 该系统有三个平衡点，通过定性分析可知， ( 0 ， 0 ) 为(8)的中点， ( − 1 ， 0 ) 和 ( 1 ， 0 ) 是鞍点。当 h = 1 4 时，存在两条连接 的异宿轨道，形成一个异宿环，如图2所示。 图2. 系统(8)的相图 该异宿轨道的参数表达式为 { u ( t ) = ± tanh ( 2 2 t ) v ( t ) = ± sech 2 2 2 2 ( 2 2 t ) (10) 以 h = h ( k ) 为参数的周期轨道为 { u k ( t ) = 2 k 1 + k 2 s n ( t 1 + k 2 ， k ) v k ( t ) = 2 k 1 + k 2 c n ( t 1 + k 2 ， k ) d n ( t 1 + k 2 ， k ) (11) 其中sn，dn，cn为Jacobian椭圆函数，k为椭圆函数的模， 0 < k < 1 ，k满足关系式 h = h ( k ) = k 2 ( 1 + k 2 ) 2 ，定义轨道的周期为 T k = 4 1 + k 2 K ( k ) ， K ( k ) 是第一类完全椭圆积分。 下面计算系统(7)沿着异宿轨道的Melnikov函数 M ( t 0 ) = − ∫ − ∞ + ∞ c ¯ v 2 ( t ) d t − ∫ − ∞ + ∞ f ¯ v ( t ) cos Ω ¯ ( t + t 0 ) d t = − c ¯ J 0 − f ¯ J 1 cos Ω ¯ t 0 (12) 其中 J 0 = 2 2 3 ， J 1 = 2 π Ω ¯ csch ( 2 2 π Ω ¯ ) 由(12)可知，当参数 ， f ¯ 满足 (13) 即参数 c ， f 满足参数条件 c f ≤ a 3 ω 2 | J 1 J 0 | M ( t 0 ) 存在零点，系统发生混沌。取不同的 ω 值，比如 ω = 0.5 ， 1 ， 1.5 ， 2 ，得到系统发生混沌的临界曲线，如图3所示。在曲线下方是发生混沌的区域，在曲线上方是非混沌区域。 图3. 系统发生混沌的临界曲线
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user: 4. 通向混沌的道路 对于任给的一对互素的正整数 ( m ， n ) ，存在唯一的k，满足 T k = 2 2 − k 2 K ( k ) = 2 π m ω n ，沿这个周期为 T k 的轨道计算次谐波Melnikov函数得 M m / n ( t 0 ) = ∫ 0 m T ( − c ¯ ) v k 2 ( t ) d t + f ¯ ∫ 0 m T v k ( t ) cos Ω ¯ ( t + t 0 ) d t = − c ¯ J 0 ( m ， n ) + f ¯ J 1 ( m ， n ) cos Ω ¯ t 0 (14) 其中 J 0 ( m ， n ) = ∫ 0 m T v k 2 ( t ) d t = 8 n [ ( k 2 − 1 ) K ( k ) + ( k 2 + 1 ) E ( k ) ] 3 ( k 2 + 1 ) 3 2 (15) J 1 ( m ， n ) = ∫ 0 m T v k ( t ) sin ω ¯ t d t = { 0 ， n ≠ 1 或 m 为 偶 数 π 2 m 2 k 2 − 1 K ( k ) csch ( π m K ′ ( k ) 2 K ( k ) ) ， n = 1 或 m 为 奇 数 (16) K ′ ( k ) = K ( k ′ ) = K ( 1 − k 2 ) ， E ( k ) 为第二类椭圆积分。 当参数满足条件 c ¯ f ¯ < | J 1 ( m ， n ) J 0 ( m ， n ) | ≡ R m 1 ( ω ) (17) 系统发生奇数阶次谐分岔。
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user: 5. 数值模拟 对系统(2)使用龙格库塔法做数值模拟来验证屈曲梁是否存在混沌现象。根据前面理论的分析来选取参数 ω = 1 ， c = 0.01 ， a 3 = 0.5 ， ， f = 1.2 ，初始点选取为 ，相图和时间历程图如图4所示。再令参数 ，其它参数值不变，得到系统相图和时间历程图如图5所示。 图4. 当 ω = 1 时，系统的相轨迹图和时间历程图 图5. 当 ω = 2 时，系统的相轨迹图和时间历程图
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user: 6. 结论 研究了受轴向载荷和附加载荷弹性屈曲梁的次谐分岔和混沌行为。利用Melnikov方法，给出了屈曲梁同宿轨道Melnikov函数和次谐Melnikov函数的表达式，得到系统出现次谐分岔和超次谐分岔的参数条件，给出系统混沌区域和非混沌区域的分界曲线。根据参数的取值范围做数值模拟，结果验证了理论分析。
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user: 摘 要 本文利用构造挤压性的方法，研究了一类具有分布导数的非经典反应扩散方程在齐次Neumann边界条件下，当非线性项满足任意多项式增长时，该方程指数吸引子的存在性。 关键词 :反应扩散方程，分布导数，挤压性，指数吸引子 Copyright © 2019 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 本文主要考虑如下形式的非线性反应扩散方程 { u t − Δ u t − Δ u + η u + f ( u ) = D i h i + h                   ( x ， t ) ∈ Ω × R + u = 0                                                                                                               x ∈ ∂ Ω u ( x ， 0 ) = u 0 ( x )                                                                                 x ∈ Ω (1) 非线性反应扩散方程广泛应用于流体在多孔介质中的运动规律，如生物科学，燃烧理论，流体力学，固体力学和热传导等领域 [ 1 ] [ 2 ] 。1980年，Aifantis指出经典的反应扩散方程 u t − Δ u = f ( u ) + g (x) 忽略了固体扩散过程中的粘性，弹性和压力等影响因素，不能全面包含反应扩散方程的诸多方面 [ 1 ] 。而Aifantis进一步研究发现，该能量方程的具体构成虽然可以揭示扩散的全部过程，但也跟扩散物质的性质紧密相连。例如，固体母质有无弹性，压力，粘性或记忆等，其相应的方程都是不一样的。Aifantis通过研究更多实际问题，最终建立了非经典的反应扩散方程 u t − Δ u t − Δ u = f ( u ) + g (x) 后来非经典反应扩散方程的全局吸引子和指数吸引子的存在性问题受到许多教学工作者的关注 [ 3 ] - [ 8 ] 。在文献 [ 9 ] [ 10 ] 中Temam和Robinson研究了如下方程的全局吸引子 { u t − Δ u + g ( u ) = D i f i +   f                                                     ( x ， t ) ∈ Ω × R + u = 0                                                                                                                                                                                                                             x ∈ ∂ Ω u ( x ， 0 ) = u 0 ( x )                                                                                                                                                                     x ∈ Ω 而对于问题(1)指数吸引子的存在性还没有任何结果，类似于文献中构造挤压性的方法，本文将进一步研究f满足如下条件时该方程指数吸引子的存在性问题，其中方程中含有的导数项使得证明系统的指数吸引子更为复杂，同时也使研究更有意义。 在方程(1)中，其中 Ω ⊂ R n 是具有光滑边界的有界区域， η 为正常数，f满足任意多项式增长，且 f ( 0 ) = 0 ， D i = ∂ ∂ x i 是弱导数， h i ， h ∈ L 2 ( Ω ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ； h i 仅依赖于 x i )，且 D i h i = ∑ i = 1 n D i h i 我们假设f满足如下的结构性条件：存在正常数 C i ( i = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ) 以及l有 f ′ ( s ) ≥ − l ，   ∀ s ∈ R (2) C 1 | s | p − C 0 ≤ f ( s ) s ≤ C 2 | s | p + C 3 ，   p ≥ 2 ，   ∀ s ∈ R (3)
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user: 2. 预备知识 2.1. 常用空间 记 H = L 2 ( Ω ) ， V = H 0 1 ( Ω ) ， ( ⋅   ，     ⋅ ) 与 ‖   ⋅   ‖ 分别表示H中的内积和范数，用 ‖   ⋅   ‖ 表示V的范数。 2.2. 基本定义及定理 定义2.1 [ 11 ] 我们称半群 S ( t ) : X → X ， t > 0 存在指数吸引子是指由这样的紧子集M满足： A ⊆ M ⊆ B 为 ( S ( t ) ， B ) 的指数吸引子如果： 1) M有有限的分形维数； 2) M为正不变集 S ( t ) S ( t ) M ⊂ M ， ∀ t > 0 ； 3) M为算子半群 { S ( t ) } t ≥ 0 的指数吸引集，即存在常数 α ， β > 0 使得对任意的 u ∈ B ， d i s t H ( S ( t ) u ， M ) ≤ α e − β t ， ∀ t > 0 其中 d i s t 表示两个集合间的非对称Hausdorff距离。 定义2.2 [ 11 ] 映射 S : E → E 被称为在子集 B ⊂ E 上满足挤压性，如果存在E的有限维子空间 E N 以及正交投影 P N : E → E N ，使得对 ∀ u ， v ∈ B ‖ ( 1 − P N ) ( S u − S v ) ‖ E ≤ ‖ P N ( S u − S v ) ‖ E 或者 ‖ ( S u − S v ) ‖ E ≤ 1 8 ‖ u − v ‖ E 成立。 引理2.3 [ 11 ] 若 B ⊂ E 有界， { S ( t ) } t ≥ 0 是E上的半群，如果存在 t ∗ > 0 ，使得映射 S ∗ = S ( t ∗ ) 满足定义2.2中的挤压性，则称半群 { S ( t ) } t ≥ 0 在B上满足离散挤压性。 引理2.4 [ 11 ] 假设映射 S : E → E 是Lipschitz连续映射， B 1 ⊂ E 是一非空紧的正不变子集，如果S在 B 1 中满足定理2.3中的挤压性，则半群 S d : = ( S n ) n ∈ N 在 B 1 中存在一指数吸引子 M * 。