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user: 4. 混合单调算子方法 这里使用如下假设： (H4) 对于固定的 t ∈ ( 0 ， 1 ] ， f ( t ， u ) 关于 u ∈ [ 0 ， + ∞ ) 单调递减，且 ∀ τ ∈ ( 0 ， 1 ) ， ∃ ϕ 2 ( τ ) ∈ ( τ ， 1 ] ，使得 f ( t ， τ − 1 u ) ≥ ϕ 2 ( τ ) f ( t ， u ) ， ∀ u ∈ P ， t ∈ ( 0 ， 1 ] ； (H5) g ( u ) 关于 u ∈ [ 0 ， + ∞ ) 单调递减，且 ∀ τ ∈ ( 0 ， 1 ) ， ∃ ϕ 4 ( τ ) ∈ ( τ ， 1 ] ，使得 g ( τ − 1 u ) ≥ ϕ 4 ( τ ) g ( u ) ， ∀ u ∈ P ； (H6) ∫ 0 1 k ( s ) g ( 1 ) d s > 0 。 定义算子 B ( u ， v ) ( t ) = ∫ 0 1 G ( t ， s ) f ( s ， u ( s ) ) d s + t α − 1 ∫ 0 1 k ( s ) g ( v ( s ) ) d s + b t α − 1 ，   u ， v ∈ P ，   t ∈ ( 0 ， 1 ] . 显然 B : P × P → P 。 定理4.1 设(H1)和(H5)成立，则 ∀ λ > 0 ，边值问题(1.1)存在唯一的正解 u λ ∈ P h ，且 ∀ u 0 ， v 0 ∈ P h ，设 u n = B ( u n − 1 ， v n − 1 ) ， v n = B ( v n − 1 ， u n − 1 ) ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ，有 ‖ u n − u λ ‖ → 0 ( n → ∞ )， ‖ v n − u λ ‖ → 0 。 u λ 满足： (i) 若 ∀ τ ∈ ( 0 ， 1 ) ，有 ϕ ( τ ) > τ 1 2 ，则 u λ 关于 λ 严格单调递增； (ii) 若 ∃ β ∈ ( 0 ， 1 ) ，当 τ ∈ ( 0 ， 1 ) 时，有 ϕ ( τ ) ≥ τ β ，则 u λ 关于 λ 连续； (iii) 若 ∃ β ∈ ( 0 ， 1 2 ) ，当 τ ∈ ( 0 ， 1 ) 时，有 ϕ ( τ ) ≥ τ β ，则 lim λ → 0 + ‖ u λ ‖ = 0 ，     lim λ → ∞ ‖ u λ ‖ = ∞ . 证明 由(H1)和(H5)可知B是混合单调算子。 再由(H1)和(H5)可知 ∀ τ ∈ ( 0 ， 1 ) ，记 ϕ B ( τ ) = min { ϕ 1 ( τ ) ， ϕ 4 ( τ ) } ，有 B ( τ u ， τ − 1 v ) ( t ) = ∫ 0 1 G ( t ， s ) f ( s ， τ u ( s ) ) d s + t α − 1 ∫ 0 1 k ( s ) g ( τ − 1 v ( s ) ) d s + b t α − 1 ≥ ϕ B ( τ ) ∫ 0 1 G ( t ， s ) f ( s ， u ( s ) ) d s + t α − 1 ϕ B ( τ ) ∫ 0 1 k ( s ) g ( v ( s ) ) d s + b t α − 1 ≥ ϕ B ( τ ) B ( u ， v ) ( t ) ， ∀ u ， v ∈ P ，   t ∈ ( 0 ， 1 ] . 根据算子B的定义，有 B ( h ， h ) ≥ h b ， 又因为 B ( h ， h ) ( t ) ≤ h ( t ) ( 1 Γ ( α ) ∫ 0 1 ( 1 − s ) α − 1 f ( s ， 1 ) d s + ∫ 0 1 k ( s ) g ( 0 ) d s + b ) ，   ∀ t ∈ ( 0 ， 1 ] . 由此可知 B ( h ， h ) ∈ P h 。 由引理2.7可知， ∀ λ > 0 ，边值问题(1.1)存在唯一的正解 u λ ∈ P h ，且 ∀ u 0 ， v 0 ∈ P h ，设 u n = B ( u n − 1 ， v n − 1 ) ， v n = B ( v n − 1 ， u n − 1 ) ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ，有 ‖ u n − u λ ‖ → 0 ( n → ∞ )， ‖ v n − u λ ‖ → 0 。由引理2.8可知， u λ 满足： (i) 若 ∀ τ ∈ ( 0 ， 1 ) ，有 ϕ ( τ ) > τ 1 2 ，则 u λ 关于 λ 严格单调递增； (ii) 若 ∃ β ∈ ( 0 ， 1 ) ，当 τ ∈ ( 0 ， 1 ) 时，有 ϕ ( τ ) ≥ τ β ，则 u λ 关于 λ 连续； (iii) 若 ∃ β ∈ ( 0 ， 1 2 ) ，当 τ ∈ ( 0 ， 1 ) 时，有 ϕ ( τ ) ≥ τ β ，则 lim λ → 0 + ‖ u λ ‖ = 0 ，     lim λ → ∞ ‖ u λ ‖ = ∞ . 证毕。 类似于定理4.1可证如下结论。 定理4.2 设(H2)和(H4)成立，则 ∀ λ > 0 ，边值问题(1.1)存在唯一的正解 u λ ∈ P h ，且 ∀ u 0 ， v 0 ∈ P h ，设 u n = B ( u n − 1 ， v n − 1 ) ， v n = B ( v n − 1 ， u n − 1 ) ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ，有 ‖ u n − u λ ‖ → 0 ( n → ∞ )， ‖ v n − u λ ‖ → 0 。 u λ 满足： (i) 若 ∀ τ ∈ ( 0 ， 1 ) ，有 ϕ ( τ ) > τ 1 2 ，则 u λ 关于 λ 严格单调递增； (ii) 若 ∃ β ∈ ( 0 ， 1 ) ，当 τ ∈ ( 0 ， 1 ) 时，有 ϕ ( τ ) ≥ τ β ，则 u λ 关于 λ 连续； (iii) 若 ∃ β ∈ ( 0 ， 1 2 ) ，当 τ ∈ ( 0 ， 1 ) 时，有 ϕ ( τ ) ≥ τ β ，则 lim λ → 0 + ‖ u λ ‖ = 0 ，     lim λ → ∞ ‖ u λ ‖ = ∞ . 定理4.3 设(H1)，(H5)和(H6)成立，则 ∀ λ > 0 ，边值问题(1.2)存在唯一的正解 u λ ∈ P h ，且 ∀ u 0 ， v 0 ∈ P h ，设 u n = B ( u n − 1 ， v n − 1 ) ， v n = B ( v n − 1 ， u n − 1 ) ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ，有 ‖ u n − u λ ‖ → 0 ( n → ∞ )， ‖ v n − u λ ‖ → 0 。 u λ 满足： (i) 若 ∀ τ ∈ ( 0 ， 1 ) ，有 ϕ ( τ ) > τ 1 2 ，则 u λ 关于 λ 严格单调递增； (ii) 若 ∃ β ∈ ( 0 ， 1 ) ，当 τ ∈ ( 0 ， 1 ) 时，有 ϕ ( τ ) ≥ τ β ，则 u λ 关于 λ 连续； (iii) 若 ∃ β ∈ ( 0 ， 1 2 ) ，当 τ ∈ ( 0 ， 1 ) 时，有 ϕ ( τ ) ≥ τ β ，则 lim λ → 0 + ‖ u λ ‖ = 0 ，     lim λ → ∞ ‖ u λ ‖ = ∞ . 证明 根据算子B的定义及(H5)，有 B ( h ， h ) ( t ) ≥ h ( t ) ∫ 0 1 k ( s ) g ( 1 ) d s ，   ∀ t ∈ ( 0 ， 1 ] . 又因为 B ( h ， h ) ( t ) ≤ h ( t ) ( 1 Γ ( α ) ∫ 0 1 ( 1 − s ) α − 1 f ( s ， 1 ) d s + ∫ 0 1 k ( s ) g ( 0 ) d s + b ) ，   ∀ t ∈ ( 0 ， 1 ] . 由此可知 B ( h ， h ) ∈ P h 。其余证明过程类似于定理4.1。证毕。 类似于定理4.1和定理4.3的证明可得如下结论。 定理4.4 设(H2)，(H3)和(H4)成立，则 ∀ λ > 0 ，边值问题(1.2)存在唯一的正解 u λ ∈ P h ，且 ∀ u 0 ， v 0 ∈ P h ，设 u n = B ( u n − 1 ， v n − 1 ) ， v n = B ( v n − 1 ， u n − 1 ) ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ，有 ‖ u n − u λ ‖ → 0 ( n → ∞ )， ‖ v n − u λ ‖ → 0 。 u λ 满足： (i) 若 ∀ τ ∈ ( 0 ， 1 ) ，有 ϕ ( τ ) > τ 1 2 ，则 u λ 关于 λ 严格单调递增； (ii) 若 ∃ β ∈ ( 0 ， 1 ) ，当 τ ∈ ( 0 ， 1 ) 时，有 ϕ ( τ ) ≥ τ β ，则 u λ 关于 λ 连续； (iii) 若 ∃ β ∈ ( 0 ， 1 2 ) ，当 τ ∈ ( 0 ， 1 ) 时，有 ϕ ( τ ) ≥ τ β ，则 lim λ → 0 + ‖ u λ ‖ = 0 ，     lim λ → ∞ ‖ u λ ‖ = ∞ .