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user: 2. 混合有限元模型 2.1. 基本假定及计算方法 1) 不考虑桩的竖向荷载传递规律及支护结构空间效应；假定双排桩(坡脚以下)嵌固段为弹性地基梁。 2) 前后排桩桩净距满足 B < H 2 tan ( 45 ∘ − ϕ / 2 ) ，以确保支护结构的超静定性而不至于变异为锚拉结构。其中： H 2 是基坑开挖深度或边坡高度(m)； ϕ 为桩间土的内摩擦角(˚)，坑底以上各土层取内摩擦角加权平均值。 3) 桩间土因前后排桩约束而看成无限长弹性体，基于弹性力学理论可得：桩间土作用在前后排桩上土压力计算公式为： σ = μ γ z / ( 1 − μ ) 。式中： μ 、 γ 、z分别为土的泊松比、土的重度(kN/m 3 )和深度(m)。由此可得作用在前后排桩上坡脚处的土压力为： p 1 = μ γ H / ( 1 − μ ) ，H为基坑深度或边坡高度(m)， H = H 1 + H 2 ， H 1 为联系梁以的后排桩高度； H 2 为前排桩坡脚至联系梁的距离(m)。 4) 基于《建筑基坑支护技术规程》(JGJ120-2012)排桩支护土压分布计算简图及上述假定，可得作用在前排桩嵌固段上的土压力为矩形分布，其大小为： p 1 = μ γ H / ( 1 − μ ) 。 5) 基于已有深基坑悬臂支护结构关于土压力分布规律的研究及朗肯土压力理论，假设作用在后排桩坡脚以上土压力可假设为三角形或梯形，坡脚为最大值；坡脚至桩底的土压力( p 3 )为梯形分布，其大小为： p 2 = ( γ z + q ) K a − 2 c K a (1) p 3 = ( γ H + q ) K a − 2 c K a (2) 式中： γ 、z、q、c分别为土的重度(kN/m 3 )、深度(m)、地面超载(kN/m 2 )及坡脚以上土的黏聚力(kPa) (成层土取土的黏聚力及重度的加权平均值)； K a 为主动土压力系数， K a = tan 2 ( 45 − ϕ / 2 ) ， ϕ 为土内摩擦角(˚)，其中坑底以上成层土用内摩擦角加权平均值进行计算；计算简图如图1所示。 图1. 计算简图 2.2. 模型建立 1) 嵌固段传递矩阵建立 以嵌固段顶为坐标原点，桩轴线标为z轴，水平方向为x轴，在水平荷载作用下，前后排桩的嵌固段控制微分方程可用式(3)表示： E I d 4 x d z 4 + B m z x = p (3) 式中：E、m、p、I、x、z、B分别为该桩弹性模量(揭示桩身弹性变形难易程度)、地基土的水平抗力系数比例系数(该数值为基坑开挖面以下2 m范围内各土层的综合值)、桩上土压力(kN/m)、桩截面惯性矩(m 4 )、桩的水平变形(m)、计算点的深度(m)、桩宽(m)。 根据嵌固段土层分布，将嵌固段分为n段，由式(3)可得第 段桩的控制微分方程为： E I d 2 x d z 2 + 4 α i 4 x = p i (4) 式中，桩的变形系数 α i = m z i B / ( 4 E I ) 4 ， z i 为第i段中点的深度(m)， p i 为土压力(kN/m)。 由常微分方程理论可得嵌固段桩身第i截面之解为式(5)： x i = x i − 1 A 1 z + ϕ i − 1 α i B 1 z + M i − 1 α i 2 E I C 1 z + Q i − 1 α i 3 E I D 1 z + p i 4 α i 4 ϕ i = α i [ x i − 1 A 2 z + ϕ i − 1 α i B 2 z + M i − 1 α i 2 E I C 2 z + Q i − 1 α i 3 E I D 2 z ] M i α i 2 E I = x i − 1 A 3 z + ϕ i − 1 α i B 3 z + M i − 1 α i 2 E I C 3 z + Q i − 1 α i 3 E I D 3 z Q i α i 3 E I = x i − 1 A 4 z + ϕ i − 1 α i B 4 z + M i − 1 α i 2 E I C 4 z + Q i − 1 α i 3 E I D 4 z } (5) 式中： x i 、 ϕ i 、 M i 、 Q i 、 p i 分别为第i截面变形(m)、转角(rad)、弯矩(kN.m)、剪力(kN)和土压力(kN/m)。 A k z ， B k z ， C k z ， D k z ( k = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 为无因次参数。 A 1 z = cos ( α i z ) c h ( α i z ) B 1 z = [ sin ( α i z ) c h ( α i z ) + cos ( α i z ) s h ( α i z ) ] / 2 C 1 z = sin ( α i z ) s h ( α i z ) / 2 D 1 z = [ sin ( α i z ) c h ( α i z ) − cos ( α i z ) s h ( α i z ) ] / 4 } A 2 z = − 4 D 1 z ; A 3 z = − 4 C 1 z ; A 4 z = − 4 B 1 z B 2 z = A 1 z ; B 3 z = − 4 D 1 z ; B 4 z = − 4 C 1 z C 2 z = B 1 z ; C 3 z = A 1 z ; C 4 z = − 4 D 1 z D 2 z = C 1 z ; D 3 z = B 1 z ; D 4 z = A 1 z } 为方便程序实现，式(5)可用如下矩阵形式表述： { u i } = [ H i ] { u i − 1 } + { P i } (6) 式中： { u i } = { x i ϕ i M i Q i } ； { H i } 为传递矩阵； { P i } = { p i / ( 4 α i 4 ) 0 0 0 } ； [ H i ] = [ H 1 ] ⋅ [ H 2 ] ⋅ [ H 3 ] 。 [ H 1 ] = [ 1 0 0 0 0 α i 0 0 0 0 α i 2 E I 0 0 0 0 α i 3 E I ] [ H 2 ] = [ A 1 z A 2 z A 3 z A 4 z B 1 z B 2 z B 3 z B 4 z C 1 z C 2 z C 3 z C 4 z D 1 z D 2 z D 3 z D 4 z ] [ H 3 ] = [ 1 0 0 0 0 1 / α i 0 0 0 0 1 / ( α i 2 E I ) 0 0 0 0 1 / ( α i 3 E I ) ] 基于各段节点处的变形连续性条件及节点力的平衡条件可得嵌固段顶部与底部内力与变形之间的关系式(7)： { u n } = ∏ i = n 1 [ H i ] { u 0 } + ∏ i = n 2 [ H i ] { P 1 } + ⋯ + ∏ i = n j [ H i ] { P j − 1 } + ⋯ + ∏ i = n n [ H i ] { P n − 1 } + { P n } (7) 桩端约束类型如式(8)： 桩 底 为 铰 支 时 : M n = 0 ， x n = 0 桩 底 为 固 支 时 : x n = 0 ， ϕ n = 0 } (8) 根据支护桩桩端实际嵌固情况，在确定了相应约束类型后，联立式(6)、式(7)和相应的约束类型， 可获得嵌固段各节点的变形及内力。 2) 坡脚以上平面刚架刚度矩阵建立 根据平面杆系有限元法，在单元局部坐标系下，杆端力及杆端位移关系可表述如下： { F } e = [ k ] e { δ } e (9) 式中： { F } e = { Q i M i Q j M j } 为杆端节点力列阵； { δ } e = { x i ϕ i x j ϕ j } 为杆端节点位移列阵； { k } e 为单元刚度矩阵。 [ k ] e = [ 12 E I / l 3 6 E I / l 2 − 12 E I / l 3 6 E I / l 2 6 E I / l 2 4 E I / l − 6 E I / l 2 2 E I / l − 12 E I / l 3 − 6 E I / l 2 12 E I / l 3 − 6 E I / l 2 6 E I / L 3 2 E I / l − 6 E I / l 2 4 E I / l ] 基于各单元节点处的变形协调条件及节点力平衡条件可得，平面刚架单元节点力与节点位移关系式(10)： { F } = [ k ] { δ } (10) 式中： { F } 为其平面刚架单元节点荷载列阵； { δ } 为其平面刚架单元节点位移列阵； { k } 为其平面刚架整体刚度矩阵。 3) 总体刚度矩阵 基于桩嵌固段与平面刚架相交节点处的变形连续性条件及节点力平衡条件可得，椅式双排支护结构节点力与节点位移的关系式(11)： { F } = [ K ] { δ } (11) 式中： { K } 为支护结构总体刚度矩阵。