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user: 2. 初步 2.1. 模型描述 定义一个加权有向图 G = ( ν ， ε ， A ) ，其点集为 ν = ( ν 1 ， ν 2 ， ⋯ ， ν N ) ，边集为 ε ⊆ ν × ν 。定义一个加权邻 接矩阵 A = ( a i j ) N × N ，其中每个元素 a i j 非负，设对于所有 k ∈ N ， a k k = 0 。在一个有向图中，若任意两个 不同的节点之间总存在一条有向路径将其连接，这个有向图就称为强连通。 考虑如下由有向图G上N个节点组成的具有时变时滞的线性耦合系统， x ˙ i ( t ) = f ( x i ( t ) ， x i ( t − τ ( t ) ) ) + ∑ j = 1 N a i j Γ x j ( t )     ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ， (1) 其中 x i ( t ) = ( x i 1 ( t ) ， x i 2 ( t ) ， ⋯ ， x i n ( t ) ) T ∈ R n 是系统的状态向量， 0 ≤ τ ( t ) ≤ τ ¯ 代表系统动力学节点内部的时变时滞， τ ¯ > 0 并且 τ ˙ ( t ) ≤ τ < 1 。激活函数 f : R n × R n → R n 连续， a i j ≥ 0 代表耦合权重，当且仅当图G中节点i和节点j之间无连接时 a i j = 0 。 我们把上述的系统(1)看作驱动系统，参照系统(1)，可以给出对应的响应系统为 y ˙ i ( t ) = f ( y i ( t ) ， y i ( t − τ ( t ) ) ) + ∑ j = 1 N a i j Γ y j ( t ) + u i ( t ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ， (2) 其中 y i ( t ) = ( y i 1 ( t ) ， y i 2 ( t ) ， ⋯ ， y i n ( t ) ) T ∈ R n ， u i ( t ) ∈ R n 指响应系统第i个节点的控制输入。 将同步误差向量记为 e i ( t ) = y i ( t ) − x i ( t ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ，根据驱动系统(1)以及相应的响应系统(2)，我们有如下的误差系统 e ˙ i ( t ) = f ( y i ( t ) ， y i ( t − τ ( t ) ) ) − f ( x i ( t ) ， x i ( t − τ ( t ) ) ) + ∑ j = 1 N a i j Γ e i ( t ) + u i ( t ) ， 为了保证驱动响应系统(1)和(2)可以在有限时间内实现同步现象，我们设计如下的定量自适应非周期间歇控制器， u i ( t ) = { − α i e i ( t ) − β i S I G N ( R ( e i ( t ) ) ) ⋅ | e i ( t ) | θ − ( ∫ t − τ ( t ) t δ e i T ( s ) e i ( s ) d s ) 1 + θ 2 ⋅ e i ( t ) ‖ e i ( t ) ‖ 2 ，     ‖ e i ( t ) ‖ ≠ 0 且 t ∈ [ t m ， s m ] ， 0 ，           ‖ e i ( t ) ‖ = 0 或 t ∈ ( s m ， t m + 1 ) ， (3) 其中 θ ∈ ( 0 ， 1 ) ， β i ， δ > 0 ， S I G N ( R ( e i ) ) = d i a g { s i g n ( r ( e i ( 1 ) ) ) ， ⋯ ， s i g n ( r ( e i ( n ) ) ) } ， | e i | θ = ( | e i ( 1 ) | θ ， ⋯ ， | e i ( n ) | θ ) T ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 。 [ t m ， t m + 1 ) 为一个时间跨度， t 0 = 0 ， m ∈ N 。 [ t m ， s m ] 指工作时间，而 ( s m ， t m + 1 ) 为休息时间。 s m − t m 为第m个控制宽度，而 t m + 1 − s m 为第m个休息宽度。 r ( ⋅ ) : R → W 是一个量化器，其中 W = { ± w i : w i = ρ i w 0 ， i = 0 ， ± 1 ， ± 2 ， ⋯ } ∪ { 0 } ， w 0 > 0 ，并且 r ( q ) [ 23 ] 给定如下 r ( q ) = { w i ，               w i 1 + δ ^ < q ≤ w i 1 − δ ^ ， 0 ，                                 q = 0 ， − r ( − q ) ，               q < 0 ， (4) 其中 q ∈ R ， δ ^ = 1 − ρ 1 + ρ ， 0 < ρ < 1 。根据文献 [ 23 ]，存在 δ 0 ∈ ( − δ ^ ， δ ^ ) ，使得 r ( q ) = ( 1 + δ 0 ) q 。而且自适应 法则如下 α ˙ i = { e i T ( t ) e i ( t ) − σ i S I G N ( R ( α i − α i * ) ) | α i − α i * | θ ，     t ∈ [ t m ， s m ] ， 0 ，       t ∈ ( s m ， t m + 1 ) ， 其中 σ i ， α i * > 0 。 2.2. 数学准备 在这一部分，我们给出一个假设，两个定义以及一个引理，以帮助获得本文的主要结果。 假设1 对于函数f，假设存在正常数 η ， μ ，使得 ‖ f ( y i ( t ) ， y i ( t − τ ( t ) ) ) − f ( x i ( t ) ， x i ( t − τ ( t ) ) ) ‖ ≤ η ‖ e i ( t ) ‖ + μ ‖ e i ( t − τ ( t ) ) ‖ ；对于内部耦合矩阵 Γ ，有 ‖ Γ ‖ ≤ r 。 定义1 驱动系统(1)和响应系统(2)称为实现有限时同步，如果对于一个恰当的自适应非周期间歇控制 器(3)，存在一个常数 T > 0 ，使得 lim t → T e ( t ) = 0 并且当 t > T 时，有 e ( t ) = 0 ，其中， e ( t ) = ( e 1 T ( t ) ， e 2 T ( t ) ， ⋯ ， e N T ( t ) ) T ∈ R n N 。 定义2 [ 24 ] 对于非周期间歇控制，定义 ψ = lim sup m → ∞ t m + 1 − s m t m + 1 − t m 。显然， 0 ≤ ψ < 1 ，并且 ψ = 0 时，休息 宽度为0，该控制变为连续控制输入。 引理1 [ 25 ] 若函数 V ( t ) 连续且在 t ∈ [ − τ ， + ∞ ) 上非负，满足如下条件： V ˙ ( t ) ≤ { − α V η ( t ) ，     t ∈ [ t m ， s m ] ， β V ( t ) ，     t ∈ ( s m ， t m + 1 ) ， 其中 m ∈ N ， α ， β > 0 ， 0 < η < 1 。若存在定义2当中的数 ψ ∈ ( 0 ， 1 ) ，则有如下不等式成立 V 1 − η ( t ) ≤ ( sup − τ ≤ s ≤ 0 V ( s ) ) 1 − η e β ψ ( 1 − η ) t − α ( 1 − ψ ) ( 1 − η ) t ，   0 ≤ t ≤ T ， 其中T是如下给出的停时：若 α ( 1 − ψ ) ( sup − τ ≤ s ≤ 0 V ( s ) ) 1 − η = e β ψ ，则 T = 1 β ψ ( 1 − η ) ；若 α ( 1 − ψ ) ( sup − τ ≤ s ≤ 0 V ( s ) ) 1 − η > e β ψ ，则T是方程 ( sup − τ ≤ s ≤ 0 V ( s ) ) 1 − η e β ψ ( 1 − η ) t − α ( 1 − ψ ) ( 1 − η ) t = 0 的最小解。