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user: 3. 均匀带电线状体作用下的导体球表面上电荷分布 如图3(a)所示，设导体球(或球壳)半径为 R ，球心处为坐标系的原点，在 x 轴上的点电荷 A ( x ) ( x > R )带正电为 q ，导体球处于静电平衡时其表面上产生的感应负电荷为 − q ′ ，点电荷 q 与球面上的感应负电荷在球外空间产生的作用效果等效于该点电荷经球面成像于 A ′ ( x ′ ) 处的负点电荷 − q ′ 和该点电荷共同在导体球外空间产生的作用效果，其中 x ′ = R 2 / x 、感应电荷量为 q ′ = q R / x [ 3 ] 。当导体球接地时，点电荷 q 和像点电荷 − q ′ 在导体球表面上任一点 p 处感应负电荷面密度大小由 σ = ε 0 E 有： σ = ε 0 [ E 1 cos ( θ + δ ) + E 2 cos γ ] = ε 0 [ 1 4 π ε 0 q r 2 2 cos ( θ + δ ) + 1 4 π ε 0 q ′ r 1 2 cos γ ] (9) 其中 E 1 、 E 2 分别是点电荷 q 和像点电荷 − q ′ 在导体球表面点 p 处产生的电场强度， E 是点电荷 q 和像点电荷 − q ′ 在导体球表面点 p 处产生的合场强； θ ( − π ≤ θ ≤ π ) 是 o p 连线与 x 轴正方向的夹角； δ 是 A p 连线 图2. 导体平面上的电荷密度随角度的变化。(a) 当 φ = 0 时 σ 随角 θ   而变化；(b) 当 φ = π / 2 时 σ 随角而变化；(c) 当 α = π / 6 时 σ 随角 θ 和 φ 而变化；(d) 当 α = π / 3 时 σ 随角 θ 和 φ 而变化 图3. 带电体与带电导体球。(a) 点电荷与带电导体球；(b) 均匀带电线状体与导体球 与 x 轴负方向的夹角， γ 是 A ′ p 连线与 o p 连线的夹角；利用三角形的正、余弦定理将 cos ( θ + δ ) = ( x 2 − R 2 − r 2 2 ) / ( 2 r 2 R ) 、 cos γ = ( R 2 + r 1 2 − x ′ 2 ) / ( 2 r 1 R ) 、 x ′ = R 2 / x 、 q ′ = q R / x 代入(9)式，其中 r 1 = | A ′ p | = x ′ 2 + R 2 − 2 x ′ R cos θ 、 r 2 = | A p | = x 2 + R 2 − 2 x R cos θ 。由此可得： σ = q 4π   x 2 − R 2 R ( x 2 − 2 x R cos θ + R 2 ) 3 / 2 (10) 由 sin ( θ + δ ) = d sin θ / r 2 、 sin γ = x ′ sin θ / r 1 可证明： E 1 sin ( θ + δ ) = E 2 sin γ (11) 即可验证 p 处的电场强度只有法线分量，其切线分量为零，即处于静电平衡时其电场度与表面(等势面)垂直。由(10)式也可验证导体球上感应电荷量为： q ′ = ∫ 0 π σ d s = ∫ 0 π σ 2 π R 2 sin θ d θ = R x q (12) 当导体球所带净电荷为零且不接地时，由独立作用原理和叠加原理导体球面可知，感应正电荷在导体球表面上的分布具有球对称性，它在球外空间(包括球面上)产生的作用效果等效于等量正点电荷 q ′ 位于球心处在球外空间产生的作用效果。则导体球面任一点 p 处感应电荷面密度大小为： σ = q ′ 4 π R 2   − q 4π   x 2 − R 2 R ( x 2 − 2 x R cos θ + R 2 ) 3 / 2 = q 4 π R   ( 1 x − x 2 − R 2 ( x 2 − 2 x R cos θ + R 2 ) 3 / 2 ) (13) 接下来研究在均匀带电线状体作用下导体球表面的电荷分布密度。 如图3(b)所示，设半径为 R 的导体球的球心为坐标系的坐标原点，球心与线状体最近一端的端点的连线为 x 轴，线状体最近一端到球心的距离为 d ( d > R ) ，与 x 轴正方向的夹角为 α ， y 轴在 x 轴与均匀带正电量为 q 、长为 L 的线状体所决定的平面内，由于导体球表面上感应电荷分布只与极角 θ 有关，与方位角 φ 无关，故只选择用二维坐标系 x o y 就足以描述感应电荷分布。在线状体上任一点 A ( d + l cos α ， l sin α ) 处取一微元电荷 d q ，由电磁理论中的镜像法，该电荷在导体球产生的感应负电荷(像)的位置 A ′ ( R 2 cos β / r ，   R 2 sin β / r ) ，其中 r = | o A | ， β 是 O A 与 x 轴的夹角，感应负电荷的电量 d q ′ = R d q / r 。则该微元电荷 d q 在导体表面上任一点 p 产生感应负电荷面密度大小由(10)式有： d σ 1 = d q 4π   r 2 − R 2 R ( r 2 − 2 r R cos ( θ − β ) + R 2 ) 3 / 2 (14) 其中 θ ( − π ≤ θ ≤ π ) 是 o p 与 x 轴正方向的夹角。由三角形正余弦定理有 r = d 2 + 2 l d cos α + l 2 、 cos β = ( d 2 + r 2 − l 2 ) / ( 2 l d ) 、 sin β = l sin α / r ，将它们代入(14)式，再令 A = R 2 − 2 R d cos θ + d 2 和 B = d cos α − R cos ( θ − α ) ，(14)式可化为下式： d σ 1 = q d l 4 π R L   r 2 − R 2 ( A 2 + 2 B l + l 2 ) 3 / 2 (15) 由(15)式可以看出，当导体球上任一点 p 确定，既 θ 确定，线状体上任一点 A 在导体球上 p 点处产生的电荷面密度是 l 的函数，利用了电场的叠加原理，既对(15)式中的变量 l 积分，再将 A 、 B 代入后可得到在导体球表面上感应负电荷的电荷面密度大小分布： σ 1 = q 4 π R L [ 2 R d sin θ [ d sin α + R sin ( θ − α ) ] R 2 − 2 R d cos θ + d 2     − 2 R [ d sin θ + L sin ( θ − α ) ] [ d sin α + R sin ( θ − α ) ] R 2 + L 2 + d 2 + 2 L d cos α − 2 R [ L cos ( θ − α ) + d cos θ ]     − ln d cos α − R cos ( θ − α ) + R 2 − 2 R d cos θ + d 2 L + d cos α − R cos ( θ − α ) + R 2 + L 2 + d 2 + 2 L d cos α − 2 R [ L cos ( θ − α ) + d cos θ ] ] (16) 由(16)式可以看出现，导体球表面上的感应负电荷面密度跟均匀带电线状体的电量 q 和长度 L 有关，还跟它与导体球表面的距离 d 、夹角 α 和极角 θ 有关。 当 α = 0 时，既线状体的延长线通过导体球的球心，导体球表面上电荷分布： σ 1 = q 4 π R L [ 2 d R 2 − 2 R d cos θ + d 2 − 2 ( d + L ) R 2 + ( L + d ) 2 − 2 R ( L + d ) cos θ     − ln d − R cos θ + R 2 − 2 R d cos θ + d 2 L + d − R cos θ + R 2 + ( L + d ) 2 − 2 R ( L + d ) cos θ ] (17) 当 L < d 时，可将(17)式中的根式和对数函数按 L / d 用泰列级数展开，得到： { 2 ( d + L ) R 2 + ( L + d ) 2 − 2 R ( L + d ) cos θ = 2 d R 2 − 2 R d cos θ + d 2 − 2 R d ( d cos θ − R ) ( R 2 − 2 R d cos θ + d 2 ) 3 / 2 ( L d )     + R d 2 { 4 ( d 2 + R 2 ) cos θ − R d [ 7 + cos ( 2 θ ) ] } 2 ( R 2 − 2 R d cos θ + d 2 ) 5 / 2 ( L d ) + 2 ⋯ ln d − R cos θ + R 2 − 2 R d cos θ + d 2 L + d − R cos θ + R 2 + ( L + d ) 2 − 2 R ( L + d ) cos θ = − d R 2 − 2 R d cos θ + d 2 ( L d ) + d 2   ( d cos θ − R ) 2 ( R 2 − 2 R d cos θ + d 2 ) 3 / 2 ( L d ) 2 + ⋯ 将上式代入(17)式，当 L → 0 时，再将 d 换成 x ，这时均匀带电线状体就是变为点电荷，于是(17)式变为点电荷对应的(10)式。 均匀带电线状体在导体球上产生的感应电荷量为： q ′ = ∫ R x d q = R q L ln L + d cos α + L 2 + 2 L d cos α + d 2 d ( 1 + cos α ) (18) 当 L < d 时，可将(18)式中的对数函数按 L / d 级数展开，当 L → 0 时，带电线状体的(18)式就变为点电荷对应的(12)式。 也可从(16)式得到相同的结果： ∬ σ d s = ∫ − π π σ ⋅ 2 π ⋅ R sin θ ⋅ R d θ = R q L ln L + d cos α + L 2 + 2 L d cos α + d 2 d ( 1 + cos α ) 当不接地导体球带净电荷为 Q 时，同样由独立作用原理和叠加原理可知，电荷 Q 和感应正电荷 q ′ 在导体球表面上的分布具有球对称性，它们在球外空间(包括球面上)产生的作用效果等效于在球心处等量点电荷 Q + q ′ 在球外空间产生的效果。其表面的电荷面密度的分布为： σ = Q + q ′ 4 π R 2 − σ 1 (19) 其中 σ 1 、 q ′ 分别为(16)式和(18)式。 为了直观展示均匀带电线状体作用下在导体球表面上产生的感应电荷分布情况，图4给出了感应电荷面密度随距离 d 、极角 θ 和夹角 α 的分布规律。在这四个图中，相同参数选择取为 R = 0.01   m 、 L = 0.10   m 。图4(a)为导体球接地，线状体最近端与球心连线与 x 轴正方向的夹角 α 在不同角度时导体球上的感应负电荷面密度大小随 θ 分布的情况，其中 d = 0.02   m ，图线自上而下分别对应于夹角为 α = π / 2 ， π / 3 ， π / 4 ， π / 6 ， 0 的情况，从图线可看出，仅当 α = 0 ，既带电线状体的延长线通过导体球心，电荷面密度分布才具有 x 轴的对称性，但这些图线都反映了电荷面密度随着极角 θ 的增大而减小但不趋于零。 图4. 导体球表面上的电荷分布。(a) 感应负电荷密度在不同夹角时随 θ 的分布；(b) 感应负电荷密度随 d 和 θ 的分布；(c) 电荷密度在不同夹角时随 θ 的分布；(d) 电荷密度随 d 和 θ 的分布 图4(b)为导体球接地，线状体近端与球心连线夹角为 α = π / 3 时感应负电荷大小随距离 d 和极度 θ 分布的三维情形。图4(c)为导体球净电荷为零且不接地，线状体近端与球心连线在不同夹角时导体球表面感应(正、负)电荷随 θ 分布的情况，其中 d = 0.02   m ，第四象限的图线自上而下分别对应于夹角为 α = 0 ， π / 6 ， π / 4 ， π / 3 ， π / 2 的情形，这些图线显示：在第一、二象限内感应电荷面密度为正的表示在这些区域出现感应净的正电荷，由独立作用原理可以理解为感正电荷具有球对称性，之所以出现净的正感应电荷，是该处感应负电荷分布相对较少，叠加(中和)后表现为正，表明感应电荷为(净)正的区域出现在极度 θ 相对较大的区域，既远离带电线状体的地方；同理在第三、四象限内感应负电荷出现在极度 θ 相对较小的区域，既离带电线状体相对近的地方；出现感应电荷面密度为零的地方是该处感应正、负电荷面密度相等，叠加(中和)后为零。图4(d)为导体球净电荷为零且不接地，线状体近端与球心连线与 x 轴夹角为 α = π / 3 时感应(正、负)电荷导体球表面随距离 d 和角度 θ 分布的三维情形。