DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 2. 模型与方法 2.1. 模型介绍 本文考虑计算神经科学中描述神经元放电的一般模型，模型中n个神经元的放电率 x i ( t ) 由如下微分方程描述 [ 10 ]： τ i d x i d t + x i = F i ( ∑ j = 1 n w i j x j ) ， i = 1 ， ⋯ ， n 。 (1) 其中 τ i 是节点i的神经元的松弛常数， F i 是节点i的增益函数，神经元之间的耦合由 n × n 的矩阵 W = { w i j } n × n 确定。当神经元间的耦合足够强时，神经网络(1)会表现出混沌状态。混沌状态确保了神经元的放电率 x i ( t ) 有足够的可变性，这使得能够从 x i ( t ) 的观测值重构网络耦合矩阵。如果系统不是混沌状态，将无法完成重构，如周期轨道，稳定状态等 [ 9 ]。 2.2. 重构方法 在上述模型(1)中，假设可以观测得到关于 x i ( t ) ， x ˙ i ( t ) 所有的时间序列，则问题变成从观测到的时间序列重构耦合矩阵W。一般情况下，增益函数 F i 未知且不同，本文的方法不需要知道 F i 的具体形式，只要求增益函数 F i 是双射。为了更加方便的讨论问题，本文主要讨论函数 F 1 、常数 τ 1 以及耦合系数 w 1 j ，其他节点可类似的进行计算。 令 c j = w 1 j ( j = 1 ， ⋯ ， n ) ，则向量 c 表示耦合矩阵的第一行，即第一个神经元和其它神经元的耦合关系。假设参数 τ 1 已知，对一个给定的y值，找到 τ 1 x ˙ 1 + x 1 位于y的小邻域内的所有时刻，假设找到相对应的时 刻为 t 1 ， t 2 ， ⋯ ， t m + 1 。令 x ( t k ) = [ x 1 ( t k ) ， x 2 ( t k ) ， ⋯ ， x n ( t k ) ] ，则对任意 i ， j ∈ [ 1 ， m + 1 ] ， F 1 ( c ⋅ x ( t i ) ) ≈ y ， F 1 ( c ⋅ x ( t j ) ) ≈ y 同时成立。由于本文采用的增益函数 F 1 为双射，所以近似的有 c ⋅ x ( t i ) ≈ c ⋅ x ( t j ) ， 即 c ⋅ [ x ( t i ) − x ( t j ) ] ≈ 0 。 (2) 又由 c ⋅ [ x ( t i ) − x ( t k ) ] ≈ 0 ， c ⋅ [ x ( t i ) − x ( t j ) ] ≈ 0 可以推出 c ⋅ [ x ( t k ) − x ( t j ) ] ≈ 0 ，所以向量 [ x ( t i ) − x ( t k ) ] ， [ x ( t i ) − x ( t j ) ] ， [ x ( t k ) − x ( t j ) ] 之间有较强的相关性。为了降低向量之间的相关系，我们进行如下计算形式的计算 z ( k ) = [ x ( t k + 1 ) − x ( t k ) ] ， k = 1 ， ⋯ ， m 。(3) 则方程(2)可写为 z ( k ) ⋅ c = 0 。 (4) 由于(4)式的构造不依赖y，所以可以选取不同的y值找到一系列满足(4)式的 z ( k ) ，把找到所有 z ( k ) 组成矩阵A，则可得如下方程 A ⋅ c = 0 。 (5) 于是重构神经网络的第一个节点的耦合系数转化为求方程(5)的非零解。一般情况下通过SVD对矩阵A进行分解，找矩阵A的最小奇异值 λ ，则酉矩阵中最小奇异值 λ 所的对应列为方程(5)的非零解。当观测数据充足的情况下，上述方法能够较准确的重构网络。然而，实际中获得系统的观测数据总是有限的，并且获得系统的观测数据成本昂贵，因此在尽可能少的数据条件下重构网络的连接有着重要的实际意义和应用价值。考虑到实际的神经网络常有稀疏耦合，所以对方程(5)增加稀疏限制条件，则变成 min ‖ c ‖ 1 s .t . 0 = A ⋅ c 。 (6) 其中 ‖ c ‖ 1 = ∑ i = 1 n | c i | 是向量 c 的L 1 范数。显然零向量是优化问题(6)的最优解，但我们要寻找优化问题(6)的非零最优解。令 c i ~ = c i / ∑ i = 1 n c i ，则求解优化问题(6)的非零最优解问题转化为 min ‖ c ~ ‖ 1 s .t . d = A ¯ ⋅ c ~ 。 (7) 其中矩阵 A ¯ = [ A a ] ，向量 a = [ 1 ， ⋯ ， 1 ] ，向量 d = [ 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ， 1 ] T 。上述问题中等式约束的L 1 优化问题，可在线性优化框架下求解 [ 11 ] [ 12 ]。 上述讨论是在 τ 1 已知的情况下进行，但现实生活中 τ 1 常是未知的。在这种情况下，我们可以给定 τ 1 一个合理范围，在不同的 τ 1 值下求解式优化问题(7)，其解记为 b ⌢ 。显然，正确的 τ 1 值应该使 ‖ A ¯ b ^ − d ‖ 2 取得最小值。 2.3. 数据处理 上一小节中，矩阵 A ¯ 的构造是在增益函数 F 1 取相近的值时所对应的自变量取值也相近的假设下进行的。然而，由于神经网络模型中常用sigmoid函数作为增益函数。对于sigmoid函数存在着 τ 1 x ˙ 1 + x 1 导数接近于0的点，在这些点导致增益函数 F 1 的反函数是近乎奇异的。因此，本文采用 | y ˙ | > δ 的条件除去导数接近于0，其中 δ 为选定的阈值。 一般情况下，通过观测数据构造矩阵 A ¯ 后，我们并不直接求解优化问题(7)，而是对矩阵 A ¯ 作进一步的处理。这里假设 A ¯ 为 l × n 维矩阵，对矩阵 A ¯ 做中心化和归一化处理，即 a ′ i j = ( a ¯ i j − ∑ j = 1 l a ¯ i j / l ) / ‖ a ¯ i j − ∑ j = 1 l a ¯ i j / l ‖ 2 。(8) 对向量 d 做中心化处理，即 d ′ j = d j − ∑ j = 1 l d j / l 。 (9) 这样可以降低矩阵的每一列的振幅对优化求解的影响。进而，代替优化问题(7)，我们求解 min ‖ c ′ ‖ 1 s .t . d ′ = A ′ ⋅ c ′ 。 (10)
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user: 3. 数值模拟 本节将以随机网络和小世界网络为例对本文的重构方法进行模拟验证，并和SVD分解方法进行比较。 3.1. 随机网络 在数值模拟中，令节点数 n = 100 ，松弛常数 τ i ∈ [ 0 .9 ， 1.1 ] 通过均匀分布产生。增益函为sigmoid函数： F i ( u ) = α i / [ 1 + exp ( − u − ρ i ) ] ，其中 α i ∈ [ 0 .9 ， 1.1 ] 通过均匀分布产生； ρ i = η i − 0.5 ⋅ ∑ j w i j ，其中 η i 通过标准正态分布 N ( 0 ， 1 ) 产生。耦合系数矩阵W的元素以概率0.15生成，其取值通过正态分布 8 N ( 0 ， 1 ) 产生。 图1展示了上述参数下生成的前10个 x i ( t ) 的混沌图像，此混沌状态是本文方法重构的前提。图2中的*表示根据 | y ˙ | > δ 的条件取得的数据，其中 y = τ 1 x ˙ 1 + x 1 ，采样时间间隔0.01，阈值常数 δ = 0 .3 。从图中清晰的看到随着时间t变化较快的y值保留下来，而几乎为恒定的y值被舍弃。 在图2获得的数据下，选取不同的 τ 1 值，利用本文的方法对网络进行重构，并计算相应的 ‖ A ′ c ′ − d ′ ‖ 2 的值。图3绘制了 ‖ A ′ c ′ − d ′ ‖ 2 的值随松弛常数 τ 1 的变化曲线，其中从下到上的曲线对应的观测时间分别为 t = 100 ， 120 ， 140 ， 160 ，竖直的直线表示正确的 τ 1 值。从图中看到 ‖ A ′ c ′ − d ′ ‖ 2 在正确 τ 1 附近取得最小值，因此可以通过寻找 ‖ A ′ c ′ − d ′ ‖ 2 最小值方法估计 τ 1 。在相同的数据下，利用SVD方法对网络进行重构，图4绘制了矩阵 A ′ 的最小奇异值 λ 随 τ 1 的变化曲线，其中从下到上的图形对应的观测时间分别为 t = 100 ， 120 ， 140 ， 160 ，竖直的直线为正确的 τ 1 值。比较图3和图4，我们可以看出本文的方法在更短的观测时间给出 τ 1 值更为准确的估计。基于图3和图4确定的松弛常数 τ 1 ，我们分别利用本文中等式约束的L 1 优化方法和SVD方法对网络进行重构，图5展示了重构误差 ‖ w 1 − w ′ 1 ‖ 2 随观测时间t的变化曲线，其中 w 1 代表正确的耦合系数， w ′ 1 为重构的耦合系数。通过图5，我们容易看出本文的方法在更短的观测时间内达到了更高精度的重构。 图1. x i ( t ) ( i = 1 ， ⋯ ， 10 ) 随时间的变化图 图2. | y ˙ | > δ 的条件下选取的数据 图3. ‖ A ′ c ′ − d ′ ‖ 2 随 τ 1 变化曲线 图4. 最小奇异值 λ 随 τ 1 变化曲线 图5. 两种方法的重构误差图 3.2. 小世界网络 小世界网络最早由Duncan Watts和Steven Strogatz在1998年引进的，将高聚合系数与低平均路径长度作为特征，提出的一种新的复杂网络结构。其构造算法为：首先给定一个具有n个节点的环形规则网络，每个网络节点 V i 左右对称地连接它的k个邻居节点，即左右每侧各有k/2个连接点，然后以概率 P ( 0 < P < 1 ) 对其中任一个节点的每一条边进行断开重连，即保持该边一端不变，另一端重新选择一个新的节点连接，要避免自身连接和节点间的重复连接，以此节点开始，按顺序依次对每个节点进行边的重连，最后得到小世界网络 [ 13 ]。一些研究表明，生物学、物理学、社会学中大多数网络都具有小世界网络的特征，因此研究小世界网络具有广泛的现实意义。 本文中以节点数 n = 100 ，每个节点的连接边数 k = 10 ，连接概率 P = 0 .3 产生小世界网络，网络中的其他参数设置与3.1中的随机网络相同，相应的数值模拟结果见图6~9。 图6展示了在随机网络的参数下生成的前10个 x i ( t ) 的小世界网络的混沌图像。 小世界网络的数据同样进行了图2方式的数据筛选。图7绘制了 ‖ A ′ c ′ − d ′ ‖ 2 的值随不同松弛常数 τ 1 的变化曲线，其中从下到上的曲线对应的观测时间分别为 t = 170 ， 190 ， 210 ， 230 ，竖直的直线表示正确的 τ 1 值。从图中看到 ‖ A ′ c ′ − d ′ ‖ 2 在正确 τ 1 附近取得最小值，因此可以通过寻找 ‖ A ′ c ′ − d ′ ‖ 2 最小值方法估计 τ 1 。在相同的数据下，利用SVD方法对网络进行重构，图8绘制矩阵 A ^ 的最小奇异值 λ 随 τ 1 的变化曲线，其中从下到上的图形对应的观测时间分别为 t = 170 ， 190 ， 210 ， 230 ，竖直的直线为正确的 τ 1 值。比较图7和图8，我们可以看出图8中在时间 t = 170 未能找到正确的 τ 1 ；当时间 t > 170 ，找到的 存在误差，即在小世界网络中本文的方法在更短的观测时间给出 值更为准确的估计。基于图7和图8确定的松弛常数 ，分别利用本文中等式约束的L 1 优化方法和SVD方法对网络进行重构，图9展示了重构误差 随观测时间t的变化曲线，其中 代表正确的耦合系数， 为重构的耦合系数。通过图9，我们容易看出在小世界网络中本文的方法在更短的观测时间内达到了更高精度的重构。 图6. 随时间的变化图 图7. 随 变化图 图8. 最小奇异值 随 变化图 图9. 两种方法的重构误差图
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user: 4. 结束语 基于观测数据的网络重构是一个具有挑战性的问题，特别在神经科学领域，通过多通道脑电图信号重构各脑区之间的连接关系，揭示各脑区间的协调工作机理是脑科学研究领域的重要课题之一。本文在先前Pikovsky工作的基础上，结合实际中神经网络的稀疏耦合特性，基于等式约束的L 1 优化方法，发展了重构一类描述神经网络不规则放电动力学模型中耦合矩阵的重构方法，并通过数值模拟验证了该方法的有效性。与Pikovsky的基于SVD分解的重构方法相比较，本文的方法能在更短的观测时间内达到更高的重构精度。由于实际的观测数据十分有限，因此发展在更少的数据量下重的网络重构方法是我们进一步的研究目标。此外，本文的方法和基于SVD分解的重构方法一般自适用于节点较少的小型网络系统，发展大型网络系统的重构方法是我们的另一研究目标。
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user: 摘 要 本文利用B样条曲线对于特定控制顶点附近曲线的形状具有局部控制与参数连续性特性，构造了一段带有形状参数的过控制多边形的两个端点且与始末两条边相切的拟三次B样条曲线，在光滑拼接两个轴线异面圆管道的轴线的基础上，构造了光滑拼接两个轴线异面的管道，得到了新的轴线异面管道的拼接管道。 关键词 :形状参数，拟三次B样条曲线，轴线，管道，光滑拼接 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 对于轴线异面的管道如何实现光滑地拼接这一问题是几何造型中的难点。白根柱及其团队提出基于轴线光滑拼接来解决这一问题的拼接技术 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]。王芳、白根柱针对轴线异面粗细相同的圆管道如何实现光滑拼接找到了两种方法，即用有理Bézier曲线为轴线的圆管道 [ 5 ]、用拟三次Bézier曲线为轴线的圆管道 [ 6 ]；而对于轴线异面粗细不同圆管道的光滑拼接，王芳、白根柱则构造了用带有形状参数的Bézier曲线为轴线的圆管道 [ 7 ]。对于Bézier曲线来说它并没有局部修改性，而B样条方法恰恰可以用来表示与设计自由型曲线，其不足就是不通过特征多边形的端点。白根柱采用三顶点共线的技巧构造出过顶点且与特征多边形的始末两条边相切的三次均匀B样条曲线，进而以此为轴线构造了拼接管道实现了分三段光滑拼接 [ 8 ]，王芳、白根柱利用二次B样条曲线经过特征多边形两边的中点，并与两边相切特点，构造了两段连续的二次均匀B样条曲线为轴线的管道实现了这一难题的分两段光滑拼接 [ 9 ]。本文旨在构造过指定顶点且与指定两条轴线相切的拟三次B样条曲线，并将其应用于轴线异面的管道拼接。
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user: 2. 拟三次B样条曲线性质 定义1 [ 10 ] 对于 t ∈ [ 0 ， 1 ] ， λ ∈ R ，称关于t的多项式 { b 0 ( t ) = 1 24 ( 4 − λ − 3 λ t ) ( 1 − t ) 3 ， b 1 ( t ) = 1 24 [ 16 + 2 λ − 12 ( 2 + λ ) t 2 + 12 ( 1 + λ ) t 3 − 3 λ t 4 ] ， b 2 ( t ) = 1 24 [ 4 − λ + 12 t + 6 ( 2 + λ ) t 2 − 12 t 3 − 3 λ t 4 ] ， b 3 ( t ) = 1 24 ( 4 − 4 λ + 3 λ t ) t 3 . ， t ∈ [ 0 ， 1 ] 为带参数 λ 的调配函数，亦可称为拟三次均匀B样条基函数。 r ( t ) = ∑ i = 0 3 b i ( t ) V i ，   t ∈ [ 0 ， 1 ] 称为带有形状参数 λ 的拟三次B样条函数。其中 V 0 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) ， V 1 ( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ， V 2 ( x 2 ， y 2 ， z 2 ) ， V 3 ( x 3 ， y 3 ， z 3 ) 为特征多边形的顶点。 林意研究了过控制顶点的三次均匀B样条曲线的计算方法 [ 11 ]，下面我们构造一段过控制多边形的始末端点且与控制多边形的始末两条边相切的带有形状参数的拟三次B样条曲线。 设 P 0 ， P 1 ， P 2 ， P 3 是给定的拟三次B样条曲线的控制多边形的顶点，求插值于 P 0 和 P 3 ，且在 P 0 和 P 3 处的切线分别为 P 1 − P 0 和 P 3 − P 2 的拟三次均匀B样条曲线，所求B样条函数的实际控制顶点 V 0 ， V 1 ， V 2 ， V 3 ，则应满足： { 1 24 ( 4 − λ ) V 0 + ( 2 3 + 1 12 λ ) V 1 + ( 1 6 − 1 24 λ ) V 2 = P 0 ， ( 1 6 − 1 24 λ ) V 1 + ( 73 6 + 71 24 λ ) V 2 + 1 24 ( 7 λ + 4 ) = P 3 ， − 1 2 V 0 + 12 V 2 = P 1 − P 0 ， − 1 2 V 1 + ( λ + 1 2 ) V 3 = P 3 − P 2 . 解得 { V 0 = 2 ( ( 141 λ 3 + 2090 λ 2 + 3492 λ + 1168 ) P 0 + ( − 141 λ 3 − 1802 λ 2 − 5508 λ − 2320 ) P 1 + ( 168 λ 2 + 1440 λ + 768 ) P 2 + ( 408 λ 2 + 3456 λ + 1536 ) P 3 ) / ( 117 λ 3 + 2066 λ 2 + 4932 λ + 1936 ) ， V 1 = ( ( 142 λ 3 + 1791 λ 2 + 5532 λ + 2336 ) P 0 + ( − 142 λ 3 − 87 λ 2 + 2328 λ + 1168 ) P 1 + ( 175 λ 2 − 600 λ − 400 ) P 2 + ( 425 λ 2 − 1500 λ − 800 ) P 3 ) / ( 117 λ 3 + 2066 λ 2 + 4932 λ + 1936 ) ， V 2 = 2 ( ( λ 3 + λ 2 − 60 λ − 32 ) P 0 + ( − λ 3 + 11 λ 2 − 24 λ − 16 ) P 1 + ( 7 λ 2 + 60 λ + 32 ) P 2 + ( 17 λ 2 + 144 λ + 64 ) P 3 ) / ( 117 λ 3 + 2066 λ 2 + 4932 λ + 1936 ) ， V 0 = ( ( 71 λ 2 + 860 λ + 2336 ) P 0 + ( − 71 λ 2 − 8 λ + 1168 ) P 1 + ( − 117 λ 2 − 1920 λ − 4272 ) P 2 + ( 117 λ 2 + 2220 λ + 3072 ) P 3 ) / ( 117 λ 3 + 2066 λ 2 + 4932 λ + 1936 ) . 代入 P 0 ， P 1 ， P 2 ， P 3 的坐标，可得到实际控制顶点的坐标。 例1 对于给定的四个顶点 P 0 ( 3 ， − 3 ， 0 ) ， P 1 ( 3 ， 0 ， 0 ) ， P 2 ( 0 ， 4 ， 0 ) ， P 3 ( 0 ， 4 ， 3 ) ，算出 V 0 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) ， V 1 ( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ， V 2 ( x 2 ， y 2 ， z 2 ) ， V 3 ( x 3 ， y 3 ， z 3 ) 。其中 { x 0 = 2 ( 864 λ 2 − 6048 λ − 3456 ) 117 λ 3 + 2066 λ 2 + 4932 λ + 1936 ， x 1 = 5112 λ 2 + 23580 λ + 10512 117 λ 3 + 2066 λ 2 + 4932 λ + 1936 ， x 2 = 2 ( 36 λ 2 − 252 λ − 144 ) 117 λ 3 + 2066 λ 2 + 4932 λ + 1936 ， x 3 = 2556 λ + 10512 117 λ 3 + 2066 λ 2 + 4932 λ + 1936 . { y 0 = 2 ( − 423 λ 3 − 3966 λ 2 + 9108 λ + 5712 ) 117 λ 3 + 2066 λ 2 + 4932 λ + 1936 ， y 1 = − 426 λ 3 − 2973 λ 2 − 24996 λ − 11808 117 λ 3 + 2066 λ 2 + 4932 λ + 1936 ， y 2 = 2 ( − 3 λ 3 + 93 λ 2 + 996 λ + 480 ) 117 λ 3 + 2066 λ 2 + 4932 λ + 1936 ， y 3 = − 213 λ 2 − 1380 λ − 11808 117 λ 3 + 2066 λ 2 + 4932 λ + 1936 . { z 0 = 2 ( 1224 λ 2 + 10368 λ + 4608 ) 117 λ 3 + 2066 λ 2 + 4932 λ + 1936 ， z 1 = 1275 λ 2 − 4500 λ − 2400 117 λ 3 + 2066 λ 2 + 4932 λ + 1936 ， z 2 = 2 ( 51 λ 2 + 432 λ + 192 ) 117 λ 3 + 2066 λ 2 + 4932 λ + 1936 ， z 3 = 351 λ 2 + 6660 λ + 9216 117 λ 3 + 2066 λ 2 + 4932 λ + 1936 . 在确定一个参数 λ 时，可得到一条以 V 0 ， V 1 ， V 2 ， V 3 为控制顶点，过 P 0 ， P 3 且与 P 1 − P 0 ， P 3 − P 2 相切的拟三次均匀B样条曲线。如图1所示，当参数 1 < | λ | ≤ 10 时得到的拟三次均匀B样条曲线只有左右调整的功能，并没有上下调整的功能；当参数 | λ | > 10 时，出现了数值不稳定现象；而当参数 | λ | < 1 时，则没有调整的功能。 图1. 拟三次B样条曲线对于 λ 不同取值变化情况
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user: 3. 拟三次均匀B样条曲线在轴线异面管道拼接中的应用 设 Φ 1 : { x = x 1 + a 1 N 11 cos φ + a 2 B 11 sin φ ， y = y 1 + c 1 s + a 1 N 12 cos φ + a 2 B 12 sin φ ， z = a 1 N 13 cos φ + a 2 B 13 sin φ . 和 Φ 2 : { x = b 1 N 21 cos φ + b 2 B 21 sin φ ， y = y 2 + b 1 N 22 cos φ + b 2 B 22 sin φ ， z = z 2 + c 2 s + b 1 N 23 cos φ + b 2 B 23 sin φ . ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] 是两个轴线异面管道的参数表达式，其中当 a 1 = a 2 = b 1 = b 2 时， Φ 1 和 Φ 2 是两个粗细相同的圆管道；当 a 1 = a 2 ≠ b 1 = b 2 时， Φ 1 和 Φ 2 是两个粗细不同的圆管道；当 a 1 = b 1 ， a 2 = b 2 时， Φ 1 和 Φ 2 是两个椭圆管道。 N i = ( N i 1 ， N i 2 ， N i 3 ) ， B i = ( B i 1 ， B i 2 ， B i 3 ) ， i = 1 ， 2 分别是 s = 0 和 s = 1 时的主法矢和副法矢。 L 1 : { x = x 1 + 0 ⋅ s ， y = y 1 + c 1 s ， z = 0 + 0 ⋅ s . 和 L 2 : { x = 0 + 0 ⋅ s ， y = y 2 + 0 ⋅ s ， z = z 2 + c 2 s . 是两个管道的轴线，其中 L 1 位于OXY平面上与X轴相交， L 2 位于OYZ平面上与Y轴相交。 设 P 0 ( p 10 ， p 20 ， 0 ) ， P 1 ( p 11 ， p 21 ， 0 ) 是 L 1 上的两个点， P 2 ( 0 ， p 22 ， 0 ) ， P 3 ( 0 ， p 32 ， 0 ) 是 L 2 上的两个点，则以 P 0 ， P 1 ， P 2 ， P 3 为控制顶点形成一个空间控制多边形。先构造过点 P 0 和 P 3 ，且在 P 0 和 P 3 两点处的切线分别为 P 1 − P 0 和 P 3 − P 2 的拟三次均匀B样条曲线，进而以其为轴线构造拼接管道实现轴线异面管道的光滑拼接，其表达式为 p ( t ， φ ) : { x ( t ) + d 1 ( t ) N 1 ( t ) cos φ + d 2 ( t ) B 1 ( t ) sin φ ， y ( t ) + d 1 ( t ) N 2 ( t ) cos φ + d 2 ( t ) B 2 ( t ) sin φ ， z ( t ) + d 1 ( t ) N 3 ( t ) cos φ + d 2 ( t ) B 3 ( t ) sin φ . t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] 其中 [ x ( t ) ， y ( t ) ， z ( t ) ] 是B样条曲线的参数表示， N = [ N 1 ( t ) ， N 2 ( t ) ， N 3 ( t ) ] ， B = [ B 1 ( t ) ， B 2 ( t ) ， B 3 ( t ) ] 是 拟三次均匀B样条曲线在点t处的主法矢和副法矢。当 d 1 ( t ) = d 2 ( t ) 时管道为圆管道，当 d 1 ( t ) ≠ d 2 ( t ) 时管道为椭圆管道。 当椭圆管道需要光滑拼接管道时，为了与两端椭圆管道的长半轴和短半轴相对应 [ 9 ]，还需要适当调整轴线每一点处主、副两个法矢的方向。
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user: 5. 结束语 本文构造了插值于两个端点、且与给定两条异面直线相切的具有形状参数 λ 的拟三次均匀B样条曲线，在光滑拼接两个异面管道的轴线的基础上以其为轴线构造出相应的拼接管道，从而实现了轴线异面 图5. 当 λ = − 8 时，以拟三次B样条曲线为轴线的管道拼接椭圆管道效果 管道的光滑拼接。其中形状参数 λ 具有左、右的调节功能，并不具有上、下(靠近或远离控制多边形)的调节功能。拼接曲面理论上是光滑的，但其视觉光顺性不够理想，还需要进行更进一步的研究。
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user: 摘 要 本文提出了一种全新的间断Galerkin (DG)方法，该方法使用单级ADER (任意时–空导数)方式进行时间离散。该方法利用微分变换步骤递归地将解的时–空展开系数通过低阶空间展开系数来表示，能够在空间和时间上达到任意高阶精度。与传统有限体积ADER格式相比较，该方法避免了在单元界面处求解广义Riemann问题。与多级Runge-Kutta DG (RKDG)方法相比较，由于不存在中间级，本方法需要较少的计算机内存。综上所述，所得到的方法是单步的、单级的、全离散的。最后，经典数值算例验证了该方法的良好性能：高精度、高分辨率、高效率。 关键词 :双曲守恒律，间断Galerkin方法，ADER，微分变换，高阶精度 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 在本文中，我们考虑一维双曲守恒律方程初值问题 { u t + f ( u ) x = 0 ， u ( x ， 0 ) = u 0 ( x ) ， x ∈ [ a ， b ] ， (1) 的高精度数值方法。其中， u = u ( x ， t ) 为守恒变量， f ( u ) = f ( u ( x ， t ) ) 为物理流通量。该方程的特点是，即使初始条件充分光滑，随着时间的发展，解也会产生间断，因此对方法的要求非常高。间断Galerkin (DG)方法 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] 是求解守恒律方程的比较流行的一类方法。该方法的主要特点包括：高精度、方便处理复杂边界以及复杂区域。该方法是半离散方法，通常利用多级Runge-Kutta方法 [ 5 ] 进行时间离散，因此也被称作RKDG方法。但是，由于每一级均需要计算数值流通量和数值积分，所以RKDG方法计算成本较高。此外，由于多级的存在，该方法的计算机存储比较高。更进一步，频繁的内部信息交换阻碍了并行策略的有效实现。关于RKDG方法的简单回顾和最新研究进展，请参考文献 [ 6 ] [ 7 ]。 另外，Qiu、Dumbser、Shu [ 8 ] 提出一种借助于Lax-Wendroff时间离散方式的DG方法(LWDG) [ 8 ]。LWDG方法是单级的、显式的。此外，Dumbser和Munz提出了一种借助于单级ADER方法 [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] 进行时间离散的DG方法 [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]。随后，Dumber及其合作者针对该课题开展了一系列研究 [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]。上述DG方法 [ 12 ] - [ 18 ] 的关键要素是在单元界面处构造高精度的数值流通量。单元界面处的未知量需要表示成关于时间的泰勒级数展开形式，其中时间导数通过反复使用控制方程本身并由空间导数来表示。这个步骤被称为Cauchy-Kowalewski步骤(在文献中也被称为Lax-Wendroff步骤)。此外，为了获得空间导数，还需要在单元界面处求解广义黎曼问题。然而，Cauchy-Kowalewski步骤是非常繁琐的，尤其对于高维问题。因此，替换或简化Cauchy-Kowalewski步骤是非常受欢迎的。值得注意的是，Dumbser和Munz [ 19 ] 提出了一种简化Cauchy-Kowalewski步骤的有效算法。最近，在DG方法的框架下，Dumber等人 [ 20 ]，以及汤华中等人 [ 21 ] 采用局部Galerkin预报指示子 [ 22 ] 来代替Cauchy-Kovalewski步骤。
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user: 3. 数值结果 在本节中，我们将通过几个经典算例来验证该方法的良好性能。在整个计算过程中，我们分别采用时–空二次、四次多项式(即 k = 2 或者 k = 4 )，并将CFL条件数分别取作0.18、0.1以保持数值稳定性。 3.1. 精度测试 我们首先通过如下拥有光滑解的初值问题 { u t + u x = 0 ， u ( x ， 0 ) = sin π x ， x ∈ [ 0 ， 2 ] ， 来测试精度阶。该方程的微分变换的递推公式为 u ˜ ( k x ， k t + 1 ) = − k x + 1 k t + 1 u ˜ ( k x + 1 ， k t ) . 对于该算例，我仅仅取 k = 4 ，并将时刻 t = 2 时的误差以及精度阶展示于表2。显然，我们获得了预期的五阶精度。 Table 2 Errors and order of accurac 网格 L 1 误差 阶 L 2 误差 阶 L ∞ 误差 阶 25 1.9684E−08 1.6777E−08 1.3451E−08 50 5.9430E−10 5.05 5.3148E−10 4.98 4.2432E−10 4.99 100 1.8281E−11 5.02 1.6594E−11 5.00 1.3237E−11 5.00 200 9.7256E−13 4.23 6.8672E−13 4.59 5.8992E−13 4.49 表2. 误差与精度阶 3.2. 线性对流方程 接下来考虑线性对流方程的初值问题： { u t + u x = 0 ， x ∈ [ − 1 ， 1 ] ， u ( x ， 0 ) = u 0 ( x ) ， 周 期 边 界 条 件 ， 其中 u 0 ( x ) = { 1 6 ( ϑ ( x ， β ， z − δ ) + ϑ ( x ， β ， z + δ ) + 4 ϑ ( x ， β ， z ) ) ， − 0.8 ≤ x ≤ − 0.6 ， 1 ， − 0.4 ≤ x ≤ − 0.2 ， 1 − | 10 ( x − 0.1 ) | ，       0 ≤ x ≤ 0.2 ， 1 6 ( ℜ ( x ， α ， a − δ ) + ℜ ( x ， α ， a + δ ) + 4 ℜ ( x ， α ， a ) ) ，     0.4 ≤ x ≤ 0.6 ， 0 ，               其 它 ， ϑ ( x ， β ， z ) = e − β ( x − z ) 2 ， ℜ ( x ， α ， a ) = max ( 1 − α 2 ( x − a ) 2 ， 0 ) . 上面的常数分别取作 a = 0.5 ， z = − 0.7 ， δ = 0.005 ， α = 10 ， β = log 2 / 36 δ 2 . 该算例的初始条件包含非常复杂的形状。我们计算该算例至 t = 8 ，三阶、五阶方法的数值结果见图1。 图1. 利用三阶(左)、五阶(右) ADER-DG方法求解线性对流方程t = 8 经过了长时间的计算，结果依然拥有非常好的分辨率。 3.3. 一维Burgers’方程 接下来，我们考虑一维非线性Burgers’方程： u t + ( 1 2 u 2 ) x = 0 ， 这里， f ( u ) = 1 2 u 2 表示物理流通量。该方程的微分变换的递推公式如下： u ˜ ( k x ， k t + 1 ) = − k x + 1 k t + 1 f ˜ ( k x + 1 ， k t ) ， 其中 f ˜ ( k x ， k t ) = 1 2 ∑ r = 0 k x ∑ s = 0 k t u ˜ ( r ， s ) u ˜ ( k x − r ， k t − s ) . 接下来，基于两种不同的初始条件，我们考虑以下两个算例： 算例1) u ( x ， 0 ) = sin ( π x ) ， x ∈ [ 0 ， 2 ] ； 算例2) u ( x ， 0 ) = { − 0.5 x ∈ [ 0 ， 0.5 ] ， 1 x ∈ ( 0.5 ， 1 ] ， 0 x ∈ ( 1 ， 1.5 ] ，   x ∈ [ 0 ， 1.5 ] 。 我们基于200个单元的网格分别计算这两个算例，数值结果见图2。数值结果能够非常好地拟合精确解，且具有较高的分辨率。 图2. 利用三阶(上)、五阶(下) ADER-DG方法求解一维Bugers’方程。左：算例1)， t = 1.5 / π ；右：算例2)， t = 0.5 3.4. 二维Burgers’方程 最后，我们求解二维Burgers’方程： { u t + ( u 2 2 ) x + ( u 2 2 ) y = 0 ， u ( x ， 0 ) = 0.5 + sin ( π 2 ( x + y ) ) ，       [ x ， y ] ∈ [ 0 ， 4 ] × [ 0 ， 4 ] . 这里， f ( u ) = g ( u ) = 1 2 u 2 分别表示x方向和y方向的物理流通量。另外，该方程的微分变换步骤的递推公式如下： u ˜ ( k x ， k y ， k t + 1 ) = − k x + 1 k t + 1 f ˜ ( k x + 1 ， k y ， k t ) − k y + 1 k t + 1 g ˜ ( k x ， k y + 1 ， k t ) ， 其中 f ˜ ( k x ， k y ， k t ) = g ˜ ( k x ， k y ， k t ) = 1 2 ∑ r = 0 k x ∑ s = 0 k y ∑ h = 0 k t u ˜ ( r ， s ， h ) u ˜ ( k x − r ， k y − s ， k t − h ) . 我们基于包含100 × 100一致单元的网格将该算例计算至 t = 1.5 / π ，数值结果见图3。显然，数值结果与精确解吻合的非常好，并且保持了较高的分辨率。 图3. 利用三阶(上)、五阶(下) ADER-DG方法求解二维Burgers’方程， 。左：沿着 的截面图；右：三维鸟瞰图 最后，我们还针对算例3.2~算例3.4，关于三阶ADER-DG方法与三阶RKDG方法就CPU时间进行了比较，见表3。显然，ADER-DG方法能够节约非常可观的计算成本，拥有更高的效率，从而更加适应实际问题的需求。 Table 3 Comparison about the CPU tim 算例 CPU时间 三阶RKDG方法 三阶ADER-DG方法 线性对流方程 21.8092 8.7187 一维Burgers’方程：算例1 14.0933 0.5937 一维Burgers’方程：算例2 5.4509 1.8437 二维Burgers’方程 504.8805 200.8903 表3. CPU时间的比较
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user: 4. 结论 在本文中，基于微分变换步骤，我们提出了一种全新的DG方法用于求解标量双曲守恒律方程，该方法使用单级ADER方式进行时间离散。与传统的多级RKDG方法相比，该方法是单步的、单级的，并且是全离散的。此外，微分转换步骤使得该方法能够比较容易地在时–空上达到任意高阶精度。关于将时–空导数转换为由空间导数来表示的操作，与Cauchy-Kowalewski步骤相比较，微分变换步骤更加简洁高效。而且，数值结果表明该方法针对光滑问题保持预期的高阶精度，针对间断解拥有较高的分辨率。与同阶RKDG方法相比较，该方法能节约较为可观的CPU时间。将来，我们将这种方法扩展到方程组以及二维问题。
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user: 摘 要 本论文考虑一类含参数 的高次非线性方程的孤立波分支，它们的行波系统都有一条奇直线。文章主要利用定性分析理论和动力系统分支方法，对方程次数为3和4的情形做出了研究，得出了各自情形下的分支波速、分支曲线以及孤立波的存在性和分支情况。 关键词 :高次方程，定性理论，分支方法，孤立波，分支波速 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 国内外许多学者研究过以下方程： u t + 2 k u x − u x x t + ( b + 1 ) u n u x − b u x u x x − u u x x x = 0 ， (1-1) 当 k = 0 ， b > 1 ，n为任意正整数时，Yang [ 1 ] 等人考虑了方程(1-1)的尖波和反尖波的存在性和分支。当 k = 0 ， b = 1 ， n = 2 时，Li和Liu [ 2 ] 研究发现方程(1-1)具有的全局性质的周期波和孤立波，并计算出波解。文 [ 3 ] 研究得到了方程(1-1)的五类爆破解：双曲爆破解、分数爆破解、三角爆破解、第一椭圆爆破解和第二椭圆爆破解。另外，还发现两个有界孤立解从一个椭圆爆破解分支的现象。 当 b = 0 ， n = 2 时，Yang和Liu [ 4 ] 研究了式(1-1)的正孤立波和反孤立波的分支和精确解，并发现了 几个新的性质：(i) 当 k < 1 2 时，方程中存在周期波，爆破波和双孤立波三种类型的反孤立波分支；(ii) 当 k ≥ 1 2 时，方程中存在两种类型的孤立波分支：周期波和爆破波，但不存在双孤立波分支；(iii) 有无穷多 个周期轨在一点或两点相交并通过奇点直线，而在某些同宿轨中不存在奇异点。 当 b = 2 ， n = 1 时，方程(1-1)就是Camassa和Holm [ 5 ] 在1993年发现的CH方程。当 k = 0 时，Camassa和Holm [ 5 ] 研究发现CH方程是可积的，并且具有尖波解。Cooper和Shepard [ 6 ] 推导出CH方程的一个近似孤立波解。Boyd [ 7 ] 导出了一个系列波，它们在波峰处收敛到一个极限，并在CH方程中发现了余弦波。Constantin和Strauss [ 8 ] 给出了交互孤立波存在性的数学描述，并证明了 k = 0 时CH方程的波峰是稳定的。 当 b = 3 ， n = 1 时，方程(1-1)就成了Degasperisand Procesi [ 9 ] 在2002年提出的DP方程。Lundmark和Szmigielski [ 10 ] [ 11 ] 提出了计算DP方程n波峰解的逆散射方法，并给出了3波峰解的具体表达式。Chen和Tang [ 12 ] 证明了DP方程的扭结波的存在性。Guha [ 13 ] 得到了DP方程的Euler-Poincare形式。 近年来，定性分析理论 [ 14 ] [ 15 ] 和动力系统分支方法相继被成功用于非线性方程的研究，前人在 b = 0 ， n ≤ 2 时关于方程(1-1)做出了很多研究，在本文中，我们用同样的方法，研究方程(1-1)在 b = 0 ， n = 3 和 n = 4 时孤立波的存在性和分支情况。
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user: 2. 次数为3的分支情况 本节主要讨论次数为3的情形，即方程 u t + 2 k u x − u x x t + u 3 u x − u u x x x = 0 ， (2-1) 对应的行波系统。利用定性分析理论和动力系统分支方法研究行波系统的孤立波分支情况，给出其隐式解。 对式(2-1)变换得到以下行波系统： { d φ d ξ = y d y d ξ = f ( φ ) + 1 2 y 2 φ − c (2-2) 其中， f ( φ ) = g + ( 2 k − c ) φ + 1 4 φ 4 ， (2-3) 以及系统对应的首次积分： H 1 ( φ ， y ) = h ， (2-4) 其中， H 1 ( φ ， y ) = ( φ − c ) − 1 [ y 2 − G 1 ( φ ) ] ， (2-5) G 1 ( φ ) = 1 6 [ ( φ − c ) 4 + 3 2 a 3 ( φ − c ) 3 + 3 a 2 ( φ − c ) 2 + 3 a 1 ln | φ − c | ( φ − c ) − 3 a 0 ] ， (2-6) { a 0 = 4 g + 4 c ( 2 k − c ) + c 4 a 1 = 4 ( 2 k − c + c 3 ) a 2 = 6 c 2 a 3 = 4 c (2-7) 注意到h是一个积分常数。进一步，我们可得到以下两条分支曲线： g 1 ( c ) = 3 4 ( c − 2 k ) 4 3 ， (2-8) g 2 ( c ) = 1 4 ( 4 c 2 − 8 k c − c 4 ) ， (2-9) 显然，分支曲线 g 1 ( c ) 和 g 2 ( c ) 有以下的分支情况： (i) 当 k < 0 时， g 1 ( c ) 和 g 2 ( c ) 只有一个分支波速 c 1 ； (ii) 当 k = 0 时， g 1 ( c ) 和 g 2 ( c ) 只有一个分支波速 c 1 ( c 1 = 1 ) ； (iii) 当 0 < k < 1 3 3 时， g 1 ( c ) 和 g 2 ( c ) 有两个分支波速 c 1 ， c 2 ； (iv) 当 k = 1 3 3 时， g 1 ( c ) 和 g 2 ( c ) 只有一个分支波速 c 1 ( c 1 = 1 3 ) ； (v) 当 k > 1 3 3 时， g 1 ( c ) 和 g 2 ( c ) 没有分支波速。 根据以上分析，我们可以得到系统(2-2)的分支相图，见图1~5。 图1. k < 0 时，系统(2-2)的分支相图 图2. k = 0 时，系统(2-2)的分支相图 图3. 0 < k < 1 3 3 时，系统(2-2)的分支相图 图4. k = 1 3 3 时，系统(2-2)的分支相图 图5. k > 1 3 3 时，系统(2-2)的分支相图 根据图1~5，以及与方程(2-1)相关的行波系统(2-2)，我们研究孤立波的存在性及其分支情况，可得到以下命题： 命题2.1 对于给定的参数k，正波速c和积分常数g，系统(2-2)的孤立波的存在性和分支情况如下： (I) 在以下几种情况下，行波系统存在着正孤立波： (I-1) 当 k ≤ 0 时， c > c 1 ， g 2 ( c ) ≤ g < g 1 ( c ) ； (I-2) 当 0 < k < 1 3 3 时， 2 k < c < c 1 或 c > c 2 ， g 2 ( c ) ≤ g < g 1 ( c ) ； (I-3) 当 k = 1 3 3 时， 2 k < c < c 1 或 c > c 1 ， g 2 ( c ) ≤ g < g 1 ( c ) 。 (II) 在以下几种情况下，行波系统存在着反孤立波： (II-1) 当 k ≤ 0 时， 0 < c < c 1 ， g 2 ( c ) ≤ g < g 1 ( c ) ； (II-2) 当 0 < k < 1 3 3 时， c 1 < c < c 2 ， g 2 ( c ) ≤ g < g 1 ( c ) 。
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user: 3. 次数为4的分支情况 本节主要讨论次数为4的情形，即方程 u t + 2 k u x − u x x t + u 4 u x − u u x x x = 0 ， (3-1) 对应的行波系统。利用定性分析理论和动力系统分支方法研究行波系统的孤立波分支情况，给出其隐式解。 类似第二节的方法，我们直接给出以下重要式子： { d φ d ξ = y d y d ξ = h ( φ ) + 1 2 y 2 φ − c (3-2) h ( φ ) = g + ( 2 k − c ) φ + 1 5 φ 5 ， (3-3) H 2 ( φ ， y ) = h ， (3-4) H 2 ( φ ， y ) = ( φ − c ) − 1 [ y 2 − G 2 ( φ ) ] ， (3-5) G 2 ( φ ) = 1 10 [ ( φ − c ) 5 + 2 3 b 4 ( φ − c ) 4 + b 3 ( φ − c ) 3 + 2 b 2 ( φ − c ) 2 + 2 b 1 ln | φ − c | ( φ − c ) − 2 b 0 ] ， (3-6) { b 0 = 10 g + 10 c ( 2 k − c ) + 2 c 5 b 1 = 10 ( c 4 − c + 2 k ) b 2 = 20 c 3 b 3 = 20 c 2 b 4 = 10 c (3-7) g 3 ( c ) = 4 5 ( c − 2 k ) 5 4 ， (3-8) g 4 ( c ) = 1 5 ( 5 c 2 − 10 k c − c 5 ) ， (3-9) 显然，分支曲线 g 3 ( c ) ， g 4 ( c ) 和 − g 3 ( c ) 有以下的分支波速： (i) 当 k ≤ 0 时， g 3 ( c ) 和 g 4 ( c ) 有一个分支波速 c 3 ， g 4 ( c ) 和 − g 3 ( c ) 有一个分支波速 c 5 ； (ii) 当 0 < k < 3 8 4 3 时， g 3 ( c ) 和 g 4 ( c ) 有两个分支波速 c 3 ， c 4 ， g 4 ( c ) 和 − g 3 ( c ) 有两个分支波速 c 5 ， c 6 ； (iii) 当 k = 3 8 4 3 时， g 3 ( c ) 和 g 4 ( c ) 有一个分支波速 c 3 ( c 3 = 1 4 3 ) ， g 4 ( c ) 和 − g 3 ( c ) 有两个分支波速 c 5 ， c 6 ； (iv) 当 3 8 4 3 < k < k * ， g 4 ( c ) 和 − g 3 ( c ) 有两个分支波速 c 5 ， c 6 ； (v) 当 k = k * 时， g 4 ( c ) 和 − g 3 ( c ) 有一个分支波速 c 5 ； (vi) 当 k > k * 时，无分支波速。 注意， k * 是 c 5 = c 6 时的参数k值，这里由于次数比较高，无法计算出具体数值。 根据以上分析，我们可以得到系统(3-2)的分支相图，见图6~11。 图6. k < 0 时，系统(3-2)的分支相图 图7. k = 0 时，系统(3-2)的分支相图 图8. 0 < k < 3 8 4 3 时，系统(3-2)的分支相图 图9. k = 3 8 4 3 时，系统(3-2)的分支相图 图10. 3 8 4 3 < k < k * 时，系统(3-2)的分支相图 图11. k ≥ k * 时，系统(3-2)的分支相图 根据图6~11，以及与方程(3-1)相关的行波系统(3-2)，研究孤立波的存在性和分支情况，可得到以下命题： 命题3.1 对于给定的参数k，正波速c和积分常数g，方程(3-1)的孤立波的存在性如下： (I) 在以下两种情况下，存在着一个正孤立波： (A) 当 k ≤ 0 时， c ≥ c 5 ， g = − g 3 ( c ) ； (B) 当 0 < k ≤ 1 3 3 时， 2 k < c < c 6 或 c ≥ c 5 ， g = − g 3 ( c ) 。 (II) 在以下三种情况下，存在着一个反孤立波： (C) 当 k ≤ 0 时，以下四种情况成立： (C 1 ) 0 < c < c 3 ， g 4 ( c ) ≤ g < g 3 ( c ) ； (C 2 ) c ≥ c 3 ， g = g 3 ( c ) ； (C 3 ) 0 < c < c 5 ， g ≤ − g 3 ( c ) ； (C 4 ) 0 ≥ c 5 ， g < g 4 ( c ) ； (D) 当 0 < k < 1 3 3 时，以下四种情况成立： (D 1 ) 2 k < c ≤ c 4 或 c ≥ c 3 ， g = g 3 ( c ) ； (D 2 ) c 4 < c < c 3 ， g 4 ( c ) ≤ g < g 3 ( c ) ； (D 3 ) 0 < c ≤ c 6 或 c ≥ c 5 ， g < g 4 ( c ) ； (D 4 ) c 6 < c < c 5 ， g ≤ − g 3 ( c ) ； (E) 当 k = 1 3 3 时，以下几种情况成立： (E 1 ) c > 2 k ， g = g 3 ( c ) ； (E 2 ) 0 < c ≤ c 6 或 c ≥ c 5 ， g < g 4 ( c ) ； (E 3 ) c 6 < c < c 5 ， g ≤ − g 3 ( c ) 。 (III) 在以下三种情况下，存在着一个正孤立波和一个反孤立波： (F) 当 k ≤ 0 时，以下两种情况成立： (F 1 ) c 3 < c < c 5 ， g 4 ( c ) ≤ g < g 3 ( c ) ； (F 2 ) c ≥ c 5 ， | g | < g 3 ( c ) ； (G) 当 0 < k < 1 3 3 时，以下几种情况成立： (G 1 ) 2 k < c < c 6 或 c ≥ c 5 ， | g | < g 3 ( c ) ； (G 2 ) c 6 < c < c 4 或 c 3 < c < c 5 ， g 4 ( c ) ≤ g < g 3 ( c ) ； (H) 当 k = 1 3 3 时，以下几种情况成立： (H 1 ) 2 k < c < c 6 或 c ≥ c 5 ， | g | < g 3 ( c ) ； (H 2 ) c 6 < c < c 3 或 c 3 < c < c 5 ， g 4 ( c ) ≤ g < g 3 ( c ) 。 (IV) 在以下两种情况下，存在着两个反孤立波： (I) k ≤ 0 ， 0 < c ≤ c 3 ， − g 3 ( c ) < g < g 4 ( c ) ； (J) 0 < k ≤ 1 3 3 ， c 6 < c ≤ c 5 ， − g 3 ( c ) < g < g 4 ( c ) 。
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user: 摘 要 哈密顿算符 ∇ 及其产生的拉普拉斯算符、梯度、散度和旋度常见运算式在不同曲线坐标系中具体表达式不相同。本文通过定义一个三维正交曲线坐标系 ( u 1 ， u 2 ， u 3 ) ，引入坐标因子 h 1 、 h 2 、 h 3 ，推导得到了关于 ∇ 、 ∇ ϕ 、 ∇ ⋅ A 、 ∇ × A 、 ∇ 2 的一般形式及Poisson方程和Laplace方程的一般表达式。 关键词 :哈密顿算符，拉普拉斯算符，梯度，散度，旋度 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 哈密顿算符 ∇ 是关于空间的一阶偏微分算子，在数学和物理学中发挥着重要作用。由 ∇ 可以产生一系列的偏微分方程，如泊松方程、拉普拉斯方程等，这些方程在电磁学、热传导等方面经常用到 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]。 ∇ 及其产生的梯度、散度和旋度等常见运算式在笛卡尔坐标系、柱坐标系、球坐标系、和极坐标系下，其具体表达形式是不一样的，能不能给各种运算式找到一个通用的一般表达式来统一呢？本文针对这个问题做了一些分析，在三维正交曲线坐标系 ( u 1 ， u 2 ， u 3 ) 下，得到了几个包含哈密顿算符运算式的一般表达式。