system: [SYSTEM]

user: 3. F p 上长为2p的MDS符号对码 定理5：设p是素数且 p ≥ 5 ，那么存在 ( 2 p ， 7 ) p MDS符号对码。 证明：设 C = 〈 g ( x ) 〉 ， g ( x ) = ( x − 1 ) 3 ( x + 1 ) 2 ∈ F 5 [ x ] ，那么C形成 G R = F p [ x ] 〈 x 2 p − 1 〉 的理想。由定理2可得： d H = 4 ，此时C不是MDS码，因此 d P ( C ) ≥ d H + 2 ，下面分析 d P ( C ) = d H + 2 是否成立。如果 d P = d H + 2 ，意味着 ∃ c ∈ C s.t. d P ( c ) = d H + 2 ，具体而言存在两种情况： Case1: w t H ( c ) = 5 ， g a p ( c ) = 1 由于 l p − d H > k ，由定理3可知不存在这样的码字c； Case2: w t H ( c ) = 4 ， g a p ( c ) = 2 (i) c ( x ) = c 0 + c 1 x + c i x i + c i + 1 x i + 1 ， ( 3 ≤ i ≤ 2 p − 2 ) ，其中 c 0 ， c 1 ， c i ， c i + 1 ∈ F q * ，由于 g ( x ) | c ( x ) ，那么 { c 0 + c 1 + c i + c i + 1 = 0 c 1 + i c i + ( i + 1 ) c i + 1 = 0 i ( i − 1 ) c i + ( i + 1 ) i c i + 1 = 0 c 0 − c 1 + ( − 1 ) i c i + ( − 1 ) i + 1 c i + 1 = 0 c 1 + i ( − 1 ) i − 1 c i + ( i + 1 ) ( − 1 ) i c i + 1 = 0 (2.1) 由方程组(2.1)中第二、五个方程可得： i [ 1 − ( − 1 ) i − 1 ] c i + ( i + 1 ) [ 1 − ( − 1 ) i ] c i + 1 = 0 ， (2.2) 当i是奇数时，由(2.2)可得： ( i + 1 ) c i + 1 = 0 ， (2.3) 若 i + 1 ≠ 0 ，那么 c i + 1 = 0 ，推出矛盾； 若 i + 1 = 0 ，由(2.1)中第三个方程可得： 2 c i = 0 ，即 c i = 0 ，推出矛盾； 当i是偶数时，由(2.2)可得： i c i = 0 ，由于 3 ≤ i ≤ 2 p − 1 ，则 i ≠ 0 ，从而 c i = 0 ，推出矛盾。 (ii) c ( x ) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c i x i ， ( 4 ≤ i ≤ 2 p − 1 ) ，其中 c 0 ， c 1 ， c 2 ， c i ∈ F q ，由于 g ( x ) | c ( x ) ，那么 { c 0 + c 1 + c 2 + c i = 0 c 1 + 2 c 2 + i c i = 0 2 c 2 + i ( i − 1 ) c i = 0 c 0 − c 1 + c 2 + ( − 1 ) i c i = 0 c 1 − 2 c 2 + i ( − 1 ) i − 1 c i = 0 (2.4) 如果 i ( i − 1 ) = 0 ，由(2.4)中第三个方程可得： c 2 = 0 ，推出矛盾，下面分析 i ( i − 1 ) ≠ 0 的情况。 由方程组(2.4)中第一、四个方程可得： 2 c 1 + [ 1 − ( − 1 ) i ] c i = 0 ， (2.5) 当i是偶数时，由(2.5)可得： c 1 = 0 ，推出矛盾； 当i是奇数时，由(2.5)可得： c 1 + c i = 0 ，(2.6) 联立(2.4)中第二个方程和(2.6)可得： 2 c 2 + ( i − 1 ) c i = 0 ， (2.7) 由(2.4)第三个方程和(2.7)可得： ( i − 1 ) 2 c i = 0 ，即 c i = 0 推出矛盾； 从而 d P ≥ d H + 3 = 7 ，又C满足Singleton-type界，因此 d P = 7 ，从而C是 ( 2 p ， 7 ) p MDS符号对码，证毕。 下述实例根据定理5条件给出实例，并且通过C中码字的Hamming距离不同情况来确定C的符号对距离，为简化分析，我们把可以由同一个码字循环移位得到的所有码字简记为一个码字。 例1：设 C = 〈 g ( x ) 〉 ， g ( x ) = ( x − 1 ) 3 ( x + 1 ) 2 ∈ F 5 [ x ] ，由MAGMA运行结果可知：C是 ( 10 ， 5 ， 4 ) 纠错码。记 C i = { c ∈ C : w t H = i } ， (2.8) 4 ≤ i ≤ 10 ，C中码字按照Hamming距离分类处理如下： 1) | C 4 | = 40 ， C 4 中的码字具有4中的形式： ( 0102030400 ) 、 ( 0204010300 ) 、 ( 0301040200 ) 、 ( 0 4 0 3 0 2 0 1 00 ) ，可知 ∀ c ∈ C 4 ， g a p ( c ) = 4 ，从而 d P ( c ) = 8 ； 2) | C 5 | = 8 ， C 5 中的码字具有4中的形式： ( 0101010101 ) 、 ( 0202020202 ) 、 ( 0303030303 ) 、 ( 0404040404 ) ，可知 ∀ c ∈ C 5 ， g a p ( c ) = 5 ，从而 d P ( c ) = 10 ； 3) | C 6 | = 400 ， ∃ c ′ = ( 2 ， 3 ， 1 ， 4 ， 2 ， 3 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ) ∈ C 6 s.t. g a p ( c ′ ) = 1 ，那么 d P ( c ′ ) = 7 ，从而 ∀ c ∈ C 6 ， d P ( c ) ≥ 7 ，此处的“=”能够成立； 4) 如果 w t H ( c ) ≥ 7 ，那么 d P ( c ) ≥ w t H ( c ) + g a p ( c ) ≥ 7 ； 综上可得： d P ( C ) = 7 ，此时C是 ( 10 ， 7 ) 5 MDS符号对码。 例2：设 C = 〈 g ( x ) 〉 ，其中 g ( x ) = ( x − 1 ) 3 ( x + 1 ) 2 ∈ F 7 [ x ] ，分析 MAGMA结果可得：C是 ( 14 ， 9 ， 4 ) 纠错码，按照Hamming距离大小对C中码字分类如下，记 C i = { c ∈ C : w t H = i } ，(2.9) 4 ≤ i ≤ 10 ，C中码字按照Hamming距离分类处理如下： 1) | C 4 | = 420 ，对 ∀ c ∈ C 4 ， g a p ( c ) = 4 ，此时 d P ( c ) = 8 ； 2) | C 5 | = 756 ，对 ∀ c ∈ C 5 ， g a p ( c ) = 5 ，此时 d P ( c ) = 10 ； 3) ∃ c ″ = ( 1 ， 6 ， 5 ， 2 ， 1 ， 6 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ) ∈ C 6 ，s.t. g a p ( c ″ ) = 1 ，那么 d P ( c ″ ) = 7 ，从而 ∀ c ∈ C 6 ， d P ( c ) ≥ 7 ，此处的“=”能够成立； 4) 如果 w t H ( c ) ≥ 7 ，那么 d P ( c ) ≥ w t H ( c ) + g a p ( c ) ≥ 7 ； 综上可得： d P ( C ) = 7 ，此时是 ( 14 ， 7 ) 7 MDS符号对码。