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user: 2. 没有脉冲输注的情形 下面我们将讨论没有脉冲输注时，模型(2)的动力学性态。 令 R + = [ 0 ， ∞ ) ， R + 3 = { ( x ， y ， z ) ∈ R 3 : x > 0 ， y > 0 ， z > 0 } ， f = ( f 1 ， f 2 ， f 3 ) 表示系统(2)的右端映射， X : R + → R 3 表示系统(2)的解。显然，系统(2)的解 X ( t ) 在 R + 是连续可微的，并且 f = ( f 1 ， f 2 ， f 3 ) 的光滑 性保证了系统(2)解的全局存在性和唯一性。由系统(2)知下面引理是显然成立的。 引理1：设 是系统(2)的过初值 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) ∈ R + 3 的解，那么对所有 t ≥ 0 ，都有 x ( t ) ≥ 0 ， y ( t ) ≥ 0 ， z ( t ) ≥ 0 [ 9 ]。 从现实生物意义的角度考虑，我们假设系统(2)的初始条件满足： x ( 0 ) > 0 ， y ( 0 ) > 0 ， z ( 0 ) > 0. 定理1：设 x ( t ) ， y ( t ) ， z ( t ) 为系统(2)满足初始条件 x ( 0 ) > 0 ， y ( 0 ) > 0 ， z ( 0 ) > 0 的解，则当 t ≥ 0 时，有 x ( t ) > 0 ， y ( t ) > 0 ， z ( t ) > 0 ，并且存在正数 M 1 ， M 2 ， M 3 ，使得对于任意的 t > 0 ， x ( t ) ≤ M 1 ， y ( t ) ≤ M 2 ， z ( t ) ≤ M 3 。 证明：由解的存在唯一性以及初值条件易知，当 t ≥ 0 时，必有 x ( t ) > 0 ， y ( t ) > 0 ， z ( t ) > 0 。下面证明 系统(2)解的有界性。考虑到系统(2)的非负性，定义： G ( t ) = x ( t ) + 1 β − 1 y ( t ) + p q ( β − 1 ) z ( t ) ， δ = min { r ， d ， e } . 上述函数对时间t求导得， d G ( t ) d t = d x d t + 1 β − 1 d y d t + p q ( β − 1 ) d z d t = r x ( 1 − x k ) − d β − 1 y − p e q ( β − 1 ) z ≤ r k − δ G ( t ) . 从而有， lim t → ∞ [ x ( t ) + 1 β − 1 y ( t ) + p q ( β − 1 ) z ( t ) ] ≤ r k δ . 由解的非负性知，系统(2)的解 x ( t ) ， y ( t ) ， z ( t ) 是有界的。 下面研究系统(2)的平衡点和阈值。令系统(2)的右边等于0，我们有， { r x ( 1 − x k ) − α x y = 0 ， ( β − 1 ) α x y − d y − p y z = 0 ， q y z − e z = 0. (4) 不难发现，当不存在寨卡病毒时，系统存在两个平衡点：平凡平衡点 E 0 = ( 0 ， 0 ， 0 ) ，以及原始脑癌平衡点 E 1 = ( k ， 0 ， 0 ) (没有寨卡病毒，就没有病毒特异性免疫反应，也就没有相应的免疫细胞)。 按照传染病学中基本再生数 ℜ 0 的计算方法计算 [ 8 ] [ 9 ] [ 11 ] ，可以求得 。下面的结论 表明： ℜ 0 是寨卡病毒能否在脑癌细胞内传播的阈值。容易求得系统(2)的其他两个平衡点为：治疗平衡点 E 2 = ( d ( β − 1 ) α ， r α [ 1 − d ( β − 1 ) k α ] ， 0 ) 和特异性免疫反应平衡点 E 3 = ( k ( 1 − e α q r ) ， e q ， d p [ ( 1 − e α q r ) ℜ 0 − 1 ] ) . 记 R 1 = 1 + e k ( β − 1 ) α 2 q d r 。下面分情况进行具体分析。 1) 当 ℜ 0 ≤ 1 时，系统(2)存在唯一的原始脑癌平衡点 E 1 = ( k ， 0 ， 0 ) ，相应脑癌细胞的浓度达到最大值。此时没有输注寨卡病毒。 2) 当 1 < ℜ 0 ≤ R 1 时，系统(2)存在治疗平衡点 E 2 ，此时，寨卡病毒能够在脑癌细胞内传播，寨卡病毒治疗机制开始产生。 3) 当 ℜ 0 > R 1 时，系统(2)还存在一个内部平衡点——特异性免疫反应平衡点 E 3 ，此时，未感染寨卡的脑癌细胞，寨卡病毒和病毒特异性免疫细胞三者均存在。 为研究系统(2)平衡点的局部稳定性，计算系统在点 E = ( x ， y ， z ) 的雅可比矩阵 J ( E ) ， J ( E ) = ( r ( 1 − x k ) − r x k − α y − α 0 ( β − 1 ) α y ( β − 1 ) α x − d − p z − p y 0 q z q y − e ) . (5) 定理2：平凡平衡点 E 0 = ( 0 ， 0 ， 0 ) 总是不稳定的；当 ℜ 0 ≤ 1 时，原始脑癌平衡点 E 1 = ( k ， 0 ， 0 ) 是全局渐近稳定的。 证明：由 J ( E ) 可知， J ( E 1 ) = ( − r − α k 0 0 ( β − 1 ) α k − d 0 0 0 − e ) . (6) J ( E 1 ) 的特征方程是， det ( λ I − J ( E 1 ) ) = ( λ + r ) ( λ + e ) [ λ + d − ( β − 1 ) α k ] = 0 . (7) 易知当 ℜ 0 = ( β − 1 ) α k d < 1 时，(7)的所有特征根都是负实数，因此由Roth-Hurwitz判据可知 E 1 = ( k ， 0 ， 0 ) 是局部渐近稳定的。同理可得，平衡点 E 0 = ( 0 ， 0 ， 0 ) 所对应的特征根为， λ 1 = r ， λ 2 = − d ， λ 3 = − e 。因此平凡平衡点 E 0 = ( 0 ， 0 ， 0 ) 总是不稳定的。 下证当 ℜ 0 ≤ 1 时， E 1 = ( k ， 0 ， 0 ) 是全局渐近稳定的。定义Lyapunov函数 V 1 ( x ， y ， z ) = x − x 1 − x 1 ln x x 1 + y β − 1 + p q ( β − 1 ) z . 对Lyapunov函数 V 1 ( x ， y ， z ) 沿系统(2)的轨线求导得，这里 x 1 = k ， d V 1 d t = ( 1 − x 1 x ) d x d t + 1 β − 1 d y d t + p q ( β − 1 ) d z d t = ( 1 − x 1 x ) [ r x ( 1 − x k ) − α x y ] + p q ( β − 1 ) ( q y z − e z ) + 1 β − 1 [ ( β − 1 ) α x y − d y − p y z ] = − r ( x − x 1 ) ( x − k ) k + α x 1 y − d β − 1 y − p e q ( β − 1 ) z = − r k ( x − k ) 2 + d β − 1 ( ℜ 0 − 1 ) y − p e q ( β − 1 ) z ≤ 0. (8) 由于 ℜ 0 ≤ 1 时，有 d V 1 d t ≤ 0 且 d V 1 d t = 0 当且仅当 x ( t ) = k ， y ( t ) = 0 ， z ( t ) = 0 。所以 { ( x ， y ， z ) ∈ R + 3 | d V 1 d t = 0 } 的最大不变集是一个单点集 E 1 。由LaSalle不变集原理 [ 9 ] ，可知当 ℜ 0 ≤ 1 时，原始脑癌平衡点 E 1 = ( k ， 0 ， 0 ) 是全局渐近稳定的。 定理3：当 1 < ℜ 0 ≤ R 1 时， E 2 是全局渐近稳定的；而当 ℜ 0 > R 1 时， E 2 是不稳定的。 证明：由 J ( E ) 可知， J ( E 2 ) = ( − d r k α ( β − 1 ) − d β − 1 0 r ( β − 1 ) − d r k α 0 p d r k ( β − 1 ) α 2 − p r α 0 0 q r α − q d r k ( β − 1 ) α 2 − e ) . (9) 则 J ( E 2 ) 的特征方程为， det ( λ I − J ( E 2 ) ) = ( λ − q r α + q d r k ( β − 1 ) α 2 + e ) [ λ ( λ + d r k α ( β − 1 ) ) + d r − r d 2 k α ( β − 1 ) ] = 0. 化简，得： [ λ − e ( q d r e k ( β − 1 ) α 2 ( ℜ 0 − 1 ) − 1 ) ] [ λ 2 + d r λ k α ( β − 1 ) + r d 2 k α ( β − 1 ) ( ℜ 0 − 1 ) ] = 0. (10) 显然有当 1 < ℜ 0 < R 1 时，有 q d r e k ( β − 1 ) α 2 ( ℜ 0 − 1 ) − 1 < 0 ，故特征方程(10)左边第一个因式对应的特征根为负实数。又因为特征方程左边第二个因式是二次函数， d r k α ( β − 1 ) > 0 ， r d 2 k α ( β − 1 ) ( ℜ 0 − 1 ) > 0 。由二次函数的性质可得，该二次函数的零点都具有负实部。因此当 1 < ℜ 0 < R 1 时， E 2 是局部渐近稳定的。而当 ℜ 0 > R 1 时，有 q d r e k ( β − 1 ) α 2 ( ℜ 0 − 1 ) − 1 > 0 ，从而存在一个正的特征根，因此当 ℜ 0 > R 1 时， E 2 是不稳定的。 下证当 1 < ℜ 0 ≤ R 1 时， E 2 是全局渐近稳定的。定义Lyapunov函数 V 2 ( x ， y ， z ) = x − x 2 − x 2 ln x x 2 + 1 β − 1 [ y − y 2 − y 2 ln y y 2 ] + p q ( β − 1 ) z . 这里 x 2 = d ( β − 1 ) α ， y 2 = r α − d r ( β − 1 ) k α 2 。对Lyapunov函数 V 2 ( x ， y ， z ) 沿系统(2)的轨线求导得， d V 2 d t = ( 1 − x 2 x ) d x d t + 1 β − 1 ( 1 − y 2 y ) d y d t + p q ( β − 1 ) d z d t = ( x − x 2 ) [ r ( 1 − x k ) − α y ] + p z q ( β − 1 ) ( q y − e ) + 1 β − 1 ( y − y 2 ) [ ( β − 1 ) α x − d − p z ] = ( x − x 2 ) [ r − r x k − α y − ( r − r x 2 k − α y 2 ) ] + p z q ( β − 1 ) [ q y − e − ( q y 2 − e ) ]     + 1 β − 1 ( y − y 2 ) { ( β − 1 ) α x − d − p z − [ ( β − 1 ) α x 2 − d − p z 2 ] } = ( x − x 2 ) [ − r k ( x − x 2 ) − α ( y − y 2 ) ] + p z β − 1 ( y − y 2 )       + 1 β − 1 ( y − y 2 ) [ ( β − 1 ) α ( x − x 2 ) − p z ] = − r k ( x − x 2 ) 2 ≤ 0 (11) 由于当 1 < ℜ 0 ≤ R 1 时，(11)中 d V 2 d t ≤ 0 ，且 d V 2 d t = 0 当且仅当 x = x 2 。又由LaSalle不变集原理，可知边界平衡点 E 2 是全局渐近稳定的。 定理4：当 ℜ 0 > R 1 时，特异性免疫反应平衡点 E 3 是全局渐近稳定的。 证明：定义Lyapunov函数 V 3 ( x ， y ， z ) = x − x 3 − x 3 ln x x 3 + 1 β − 1 [ y − y 3 − y 3 ln y y 3 ] + p q ( β − 1 ) [ z − z 3 − z 3 ln z z 3 ] . 这里 x 3 = k − e k α q r ， y 3 = e q ， z 3 = d p [ ( 1 − e α q r ) ℜ 0 − 1 ] 。对Lyapunov函数 V 3 ( x ， y ， z ) 沿系统(2)的轨线求导得， d V 3 d t = ( 1 − x 3 x ) d x d t + 1 β − 1 ( 1 − y 3 y ) d y d t + p q ( β − 1 ) ( 1 − z 3 z ) d z d t = ( x − x 3 ) [ r ( 1 − x k ) − α y ] + p q ( β − 1 ) ( q y − e ) ( z − z 3 )     + 1 β − 1 ( y − y 3 ) [ ( β − 1 ) α x − d − p z ] = − r ( x − x 3 ) ( x − k ) k − α y ( x − x 3 ) + p q ( β − 1 ) ( q y 3 − e ) ( z − z 3 )     + 1 β − 1 ( y − y 3 ) [ ( β − 1 ) α x − d ] − p z 3 β − 1 ( y − y 3 ) = − r k ( x − x 3 ) 2 − r k ( x 3 − k ) ( x − x 3 ) − α y ( x − x 3 ) + α x ( y − y 3 )       − d β − 1 ( y − y 3 ) − p z 3 β − 1 ( y − y 3 ) = − r k ( x − x 3 ) 2 + ( x − x 3 ) [ r ( 1 − x 3 k ) − α y 3 ] + ( α x 3 − d β − 1 ) ( y − y 3 ) − p z 3 β − 1 ( y − y 3 ) = − r k ( x − x 3 ) 2 + 0 + y − y 3 β − 1 [ ( β − 1 ) α x 3 − d − p z 3 ] = − r k ( x − x 3 ) 2 ≤ 0 (12) 由于当 1 < ℜ 0 ≤ R 1 时，(12)中 d V 3 d t < 0 ，且 d V 3 d t = 0 当且仅当 x = x 2 。又由LaSalle不变集原理，可知特异性免疫反应平衡点 E 3 是全局渐近稳定的。 上述结论表明，无论哪一种情况， lim t → ∞ x 1 ( t ) ≠ 0 ，也就是说，脑癌细胞的数量不会趋于零，从而达不到好的治疗效果。因此，仅一次输注寨病毒，不能有效根除癌细胞。下面我们考虑定期输注寨卡病毒，即脉冲输注的情况。