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user: 2. 相关引理 引理1 [ 1 ] ：设 f ( z ) 是超越亚纯函数， α > 1 是常数，对任意给定的 ε > 0 ，存在对数测度有限的集合 E 1 ⊂ [ 1 ， + ∞ ) 和常数 B > 0 ，B依赖于 α 和 ( m ， n ) ( m ， n ∈ N 且 m < n ) ，使得对任意的z，满足 | z | = r ∉ [ 0 ， 1 ] ∪ E 1 ，有 | f ( n ) ( z ) f ( m ) ( z ) | ≤ B ( T ( α r ， f ) r ( log α r ) log T ( α r ， f ) ) n − m 引理2 [ 1 ] ：f是级为有穷的超越亚纯函数，对给定的实常数 ε > 0 及两个整数 k ， j ，且 k > j ≥ 0 ，则下列结论成立： 1) 存在对数测度有穷的集合 E ⊂ ( 1 ， + ∞ ) ，使得对所有的z满足 | z | ∉ E ∪ [ 0 ， 1 ] ，有： | f ( k ) ( z ) f ( j ) ( z ) | ≤ | z | ( k − j ) ( ρ ( f ) − 1 + ε ) 2) 存在线性测度有限的集合 F ⊂ [ 0 ， + ∞ ) ，使得对所有的z满足 | z | ∉ F ，有： | f ( k ) ( z ) f ( j ) ( z ) | ≤ | z | ( k − j ) ( ρ ( f ) + ε ) . 引理3 [ 6 ] ：设 f ( z ) 是整函数， μ ( f ) < ∞ 是常数，对任意给定的 ε > 0 ，存在对数测度无穷的集合 E ⊂ ( 0 ， + ∞ ) ，使得对任意的 r ∈ E ，有 M ( r ， f ) < exp { r μ + ε } ，                   m ( r ， f ) < r μ + ε . 引理4 [ 7 ] ：设 f ( z ) 是超越整函数， 0 < η 1 < 1 4 和点列 { z r } ，使得 | z r | = r 和 | f ( z r ) | > M ( r ， f ) υ f ( r ) − 1 4 + η 1 ，则存在对数测度有限的集合 E 0 ⊂ ( 0 ， + ∞ ) ，使得对任意的 r ∉ E 0 ，有 f ( j ) ( z r ) f ( z r ) = ( υ f ( f ) z r ) j ( 1 + ο ( 1 ) ) ，                       j ∈ N 其中 υ f ( r ) 是 f ( z ) 的中心指标。 引理5 [ 2 ] ：设 f ( z ) 是级为无穷的整函数，满足 ρ 2 ( f ) = ρ ， μ 2 ( f ) = μ ，则 ρ 2 ( f ) = lim sup r → ∞ log log υ f ( r ) log r = ρ   和   μ 2 ( f ) = lim inf r → ∞ log log υ f ( r ) log r = μ 引理6：设 A j ( z ) ， ( j = 0 ， 1 ， ⋯ ， k − 1 ) 是级有限的整函数，则方程(1.1)的解 f ( z ) 满足： μ 2 ( f ) ≤ max { μ ( A j ) ， ρ ( A 0 ) ， j ≠ 0 }   和   μ 2 ( f ) ≤ max { ρ ( A j ) ， μ ( A 0 ) ， j ≠ 0 } 证明：由方程(1.1)得 f ( k ) ( z ) f ( z ) = − A K − 1 ( z ) f ( k − 1 ) ( z ) f ( z ) − A K − 2 ( z ) f ( k − 2 ) ( z ) f ( z ) − ⋯ − A 1 ( z ) f ′ ( z ) f ( z ) − A 0 ( z ) 于是，有 | f ( k ) ( z ) f ( z ) | ≤ | A K − 1 ( z ) | | f ( k − 1 ) ( z ) f ( z ) | + ⋯ + | A 1 ( z ) | | f ′ ( z ) f ( z ) | + | A 0 ( z ) | (2.1) 由引理3，存在对数测度有限的集合 E 0 ⊂ [ 1 ， + ∞ ) ，使得对任意的z满足 | z | = r ∉ E 0 和 | f ( z ) | = M ( r ， f ) ，有 | f ( j ) ( z ) f ( z ) | = ( υ f ( f ) r ) j ( 1 + ο ( 1 ) ) ，                   j = 1 ， 2 ， ⋯ ， k (2.2) 令 max { μ ( A j ) ， ρ ( A 0 ) ， j ≠ 0 } = a ，应用引理2，对任意给定的 ε > 0 ，存在对数测度无穷的集合 E 1 ⊂ ( 0 ， + ∞ ) ，使得对任意的z满足 | z | = r ∈ E 1 时，有 | A j ( z ) | < exp { r a + ε } ，                   ( j = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， k − 1 ) (2.3) 将(2.2) (2.3)代入(2.1)，则对任意的z满足 | z | = r ∈ E 1 \ E 0   和 | f ( z ) | = M ( r ， f ) ，有 ( υ f ( f ) r ) k ( 1 + ο ( 1 ) ) ≤ k ⋅ exp { r a + ε } ( υ f ( f ) r ) k − 1 ( 1 + ο ( 1 ) ) (2.4) 由(2.4)式及引理4，有 μ 2 ( f ) ≤ a = max { μ ( A j ) ， ρ ( A 0 ) ， j ≠ 0 } 类似地可证明 μ 2 ( f ) ≤ a = max { ρ ( A j ) ， μ ( A 0 ) ， j ≠ 0 } 引理7 [ 5 ] ：设 f ( z ) 是整函数且 ρ ( f ) = ρ < 1 2 ，记 A ( r ) = min | z | = r log | f ( z ) | ，                               B ( r ) = max | z | = r log | f ( z ) | 若 ρ < α < 1 ，则 l o g d e n s _ ( { r : A ( r ) > cos ( π α ) B ( r ) } ) > 1 − ρ α 引理8 [ 4 ] ：设 f ( z ) 是整函数且 0 < μ ( f ) < 1 2 ，记 m ( r ) = inf | z | = r log | f ( z ) | ，                         M ( r ) = sup | z | = r log | f ( z ) | 则对任意 α ∈ ( μ ( f ) ， 1 ) ，有 l o g d e n s ¯ ( { r ∈ [ 1 ， + ∞ ) : n ( r ) > c o s ( π α ) M ( r ) } ) > 1 − μ ( f ) α 引理9 [ 5 ] ：设 f ( z ) 是整函数且 μ ( f ) = μ < 1 2 ，     μ < ρ = ρ ( f ) ，若 μ ≤ ρ < min ( ρ ， 1 2 ) ， δ < α < 1 2 ，则 l o g d e n s ¯ ( { r : A ( r ) > cos ( π α ) B ( r ) > r δ } ) > C ( ρ ， δ ， α ) ， C ( ρ ， δ ， α ) 是依赖于 ρ ， δ ， α 的正常数。 引理10 [ 2 ] ：设 f ( z ) 是超越整函数，则存在对数测度有限的集合 E ⊂ ( 0 ， + ∞ ) ，使得对任意的z满足 | z | = r ∉ E   且 | f ( z ) | = M ( r ， f ) ，有 | f ( z ) f ( j ) ( z ) | ≤ 2 r j ，                 ( j ∈ N ) 引理11 [ 5 ] ：设 f ( z ) 是整函数，且 ρ ( f ) = ρ < + ∞ ，则存在对数测度无穷的集合 E ⊂ [ 1 ， + ∞ ) ，使得对任意的z，有 lim r → ∞ log T ( r ， f ) log r = ρ . 引理12 [ 8 ] ：设 A j ( z ) ， ( j = 0 ， 1 ， ⋯ ， k − 1 ) 是整函数且 ρ ( A j ) ≤ ρ < + ∞ ，若 f ( z ) 是方程(1.1)的解，则 ρ 2 ( f ) ≤ ρ 。