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user: 2. 机场出租车载客决策模型 送客到机场的出租车司机面临着排队等待载客返回和空载返回市区拉客两种选择，送客到机场的出租车数量和想要乘坐出租车返城的乘客数量的匹配程度直接影响了出租车司机的选择。若出租车数量很多，而乘客数量很少，需要付出的时间成本很大，则会导致出租车做出第二种选择的概率增大；反之，若出租车数量很少，而乘客数量很多，出租车司机为了赚更多的钱则大多都会做出第一种选择。 模型的建立 通过查阅资料我们得到了深圳宝安机场每小时的进出港航班数据，利用Python的matplotlib库将数据可视化得到下图1： 图1. 进出港航班量 假设进出机场的乘客选择出租车作为出行方式的概率相等，采用协方差公式 [ 3 ] 进行计算， E ( X ) ， E ( Y ) 分别为进港航班数量和出港航班数量的期望值： C o v ( X ， Y ) = E [ ( X − E [ X ] ) ( Y − E [ Y ] ) ] = E [ X Y ] − 2 E [ Y ] E [ X ] + E [ X ] [ Y ] = E [ X Y ] − E [ X ] E [ Y ] (1) 通过Excel计算得到进出港航班数的协方差值约为78.4560，说明二者具有很强相关性 [ 3 ]，即送客到机场的出租车数量和想要乘车返城的乘客数量几乎相同。因此可以排除机场中出租车数量和想要乘出租车返城的乘客数量极其不匹配的情况，影响出租车司机决策的主要因素是出租车司机的收益，而出租车司机的收益受到出租车司机载客净收入、“蓄车池”排队等候时间、机场乘客数量等因素的影响。 1) 出租车净收入模型 结合实际考虑，出租车司机的收益受到出租车所行驶的距离、出租车平均时速、耗油量、油价、在机场等待时间等多方面因素影响。为了更好的分析，我们查阅资料 [ 4 ] 得到全国各个地区平均乘客乘坐出租车所需支付的费用与出租车所行驶的路程的数据，如下表1： Table 1 Taxi pricing standar 白天(7:00~21:00) 夜间(22:00~6:00) 0-3千米 14元起步价 18元起步价 3-15千米 2.5元/千米 3.1元/千米 大于15千米 3.6元/千米 4.7元/千米 表1. 出租车定价标准 得到乘客乘出租车支付费用与行驶路程的函数关系： 白天： W = { 14 ( l ≤ 3 ) 2.5 l + 6.5 ( 3 ≤ l ≤ 15 ) 3.6 l − 10 ( l ≥ 15 ) (2) 夜间： W = { 18 ( l ≤ 3 ) 3.1 l + 8.7 ( 3 ≤ l ≤ 15 ) 4.7 l − 15.3 ( l ≥ 15 ) (3) 考虑到出租车司机需自己承担所耗油量的费用，得出出租车司机净收入表达式： w = W − a b l (4) 其中为a油价(元/升)，为b出租车耗油量(元/公里)。 接下来对出租车司机面临的两种选择进行具体分析。 2) 出租车机场等待收益函数 若出租车司机想要载客返回市区，必须要耗费时间来排队等待载客，假设付出的时间成本为t，载客时间为T，将出租车司机的收益量化，可以得到函数： y = w t + T = w t + l v (5) 由于车速、油价、耗油量、往返公里数等因素不受司机的决策影响，我们假设这些因素都是恒定常量。经查阅资料我们得到平均各地出租车在去往机场的时速、平均各地油价、出租车耗油量、平均各地机场距市区距离等数据，分别为： v = 60   km / h 、 a = 6   yuan / L 、 b = 0.1   L / km 、 l = 45   km 得到以下函数模型 白天： y = 125 t + 0.75 (6) 夜间： y = 169.2 t + 0.75 (7) 3) 出租车返回市区收益函数 若出租车司机直接空载返回市区，则可以省出等待的时间t去市区里接更多的客人；但空载返回时所耗的油费需自己承担，并且还可能损失潜在的载客收益。 通过上述方法，我们得出出租车司机净收入表达式： 白天： w = 3 v t − 10 − a b l (8) 夜间： w = 4.1 v t − 15.3 − a b l (9) 由于出租车在市区的时速与在高速公里上相差较大，经过查阅资料得出出租车在市区时速约为 v = 25   km / l 。 白天： w = 75 t − 37 (10) 夜间： w = 117.5 t − 42.3 (11) 考虑到现实生活中，出租车在日常工作时会存在空载的情况，空载率约为40%，得到以下净收益率与时间的 y ( t ) 函数模型： 白天： y = 45 − 22.2 t (12) 夜间： y = 70.5 − 25.38 t (13) 4) 两种选择的对比 分别做出白天和夜间出租车司机选择两种方案的载客收益图像，见图2、图3： 图2. 白天出租车司机载客收益 图3. 夜间出租车司机载客收益 通过Python的sympy库计算出日间出租车司机载客收益图像交点的横坐标：2.66019847739026，夜间出租车司机载客收益图像交点的横坐标：2.13638189838798。因此在白天时，等待时长在2.66小时内，做出机场等待选择的出租车司机收益更大；在夜间，等待时长在2.14小时内，做出回到市区选择的出租车司机收益更大。 5) 乘客数量与航班数关系 通过查阅机场的相关资料，每趟航班的满载率约为80%，平均每架飞机拥有250个座位，在白天只有15%的乘客选择出租车作为返程交通方式；在夜间有45%的乘客选择出租车返回 [ 5 ]，我们得出乘客数量c与抵达的航班数量d符合以下函数关系： 白天： c = 12 % d ⋅ 250 (14) 夜间： c = 36 % d ⋅ 250 (15) 6) 乘客排队乘车的生灭过程 抵达航班数量和“蓄车池”内已有车辆数是出租车司机可观测到的确定信息，这成为其判断选择的主要因素。机场的交通转换迅速，流量大，出租车的到发、“蓄车池”的管理，是机场应该具有的功能。想乘坐出租车的乘客会在指定的上车点排队候车，想要载客返城的出租车在“蓄车池”内排队接客。因此乘客队伍的长度和“蓄车池”内已有的车辆数成为出租车司机判断等候时间的重要因素。 在机场的出发车道边，输入过程为出租车行驶到车道边，服务是在落客位下车 [ 6 ]，排队规则是等待制。到达机场的乘客大概在30分钟内离开机场，他们随着航班的到达而出现又会在一定的时间内离开，所以应用生灭过程 [ 7 ] 来描述这种情况。 生灭过程表示在任何时刻，状态最多只能转移到临近状态，即若处于0状态，则只能转移到1状态；若在t时刻处于n状态，在 ( t ， t + Δ t ) 间隔内： 转移到 ( n + 1 ) 状态的概率为 λ n ( t ) Δ t + ο ( Δ t ) ， 转移到状态 ( n − 1 ) 的概率为 μ n ( t ) Δ t + ο ( Δ t ) ， 转移到其他状态的概率为 ο ( Δ t ) 。 生灭过程可以应用于排队论 [ 8 ] [ 9 ]，乘客的到达和离开对应于生灭过程的生和灭；任意时刻和状态，到达率和离开率均为相同的常数； λ n = λ ， μ n = μ 。 设有s个上客点，乘客到达服从泊松分布，根据以上理论可以导出以下几个关键指标： 服务强度： ρ = λ μ (16) 服务台繁忙时服务强度： ρ ∗ = λ S μ (17) 服务台空闲时稳态概率： P o = [ ∑ n = 0 S − 1 ( ρ n n ! ) + ρ S S ! 1 1 − ρ / S ] − 1 (18) 等待平均人数： L q = λ S ρ * S ! P 0 (19) 平均等待时间： W q = L q λ (20) 当 ρ s < 1 时，排队能够消散，不会越排越长 [ 7 ]。通过查阅相关资料可以知道每辆车平均坐1.5个乘客 [ 5 ]，每个乘客上车时间约为30秒，由此得 μ = 3 。进而得到关于出租车在机场等待时间t的函数模型： t = 1.5 e W q L q (21) 代入上述 y ( t ) 函数模型，我们用出租车司机的净收入率作为出租车司机做出选择的判断依据，得到最终的模型： 机场等待： 白天： y = 125 L q W q 1.5 e + 0.75 (22) 夜间： y = 169.2 L q W q 1.5 e + 0.75 (23) 回到市区： 白天： y = 45 − 33.3 e L q W q (24) 夜间： y = 70.5 − 38.7 e L q W q (25)