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user: 3. 持久性和全局吸引性 定理3.1 若条件(H 1 )，(H 2 )成立，那么具有初值函数 φ ∈ S 0 的系统(2.1)是持久的，即存在常数 M ， m > 0 ，使系统(2.1)的任意正解 x ( n ) 满足 m ≤ lim n → ∞ inf x ( n ) ≤ lim n → ∞ sup x ( n ) ≤ M . 证明：由引理2.2、引理2.3可以得到 lim n → ∞ sup x ( n ) ≤ M = β u α l γ l e ，   lim n → ∞ inf x ( n ) > 0. 接下来，只需证明存在正常数m使得 lim n → ∞ inf x ( n ) ≥ m ， 令 η = lim n → ∞ inf x ( n ) ，   G = min { g ( η ) ， g ( M ) } ，   g ( x ) = x e − γ u x ， 由方程(2.1)和 0 < α u < 1 可以得到 η = lim n → ∞ inf x ( n ) ≥ [ ( x ( 0 ) + β l G 1 + h u ) ( 1 − α u ) n + β l G α u ( 1 + h u ) ] = β l G α u ( 1 + h u ) ， 如果 G = g ( η ) ，那么 η ≥ β l α u ( 1 + h u ) η e − γ u η ， 即 η ≥ 1 γ u ln β l α u ( 1 + h u ) ， 如果 G = g ( M ) ，那么 η ≥ β l α u ( 1 + h u ) M e − γ u M . 则 lim n → ∞ inf x ( n ) ≥ min { 1 γ u ln β l α u ( 1 + h u ) ， β l α u ( 1 + h u ) M e − γ u M } = d e f m . 证毕。 定理3.2 若条件(H 1 )，(H 2 )成立，且 γ l m > 1 成立，那么具有初值函数 φ ∈ S 0 的系统(2.1)是全局吸引的， 即对系统(2.1)的任意解 x ( n ) ， y ( n ) 有， lim n → ∞ ( x ( n ) − y ( n ) ) = 0 。 证明：由定理3.1可得 m ≤ lim n → ∞ inf x ( n ) ≤ lim n → ∞ sup x ( n ) ≤ M ，   m ≤ lim n → ∞ inf y ( n ) ≤ lim n → ∞ sup y ( n ) ≤ M . 对任意足够小的正常数 ε ，存在一个正整数 n 0 ，使得对任意 n ≥ n 0 ， m ≤ x ( n ) ，   y ( n ) ≤ M ， (3.1) 由均值定理可以得到 x ( n ) e − x ( n ) − y ( n ) e − y ( n ) = ( 1 − θ ( n ) ) e − θ ( n ) ( x ( n ) − y ( n ) ) ，   x ( n ) < θ ( n ) < y ( n ) . (3.2) 令 w ( n ) = x ( n ) − y ( n ) + ∑ s = n − τ n − 1 β ( s + τ ) ( x ( s ) e − γ ( s + τ ) x ( s ) − y ( s ) e − γ ( s + τ ) y ( s ) ) − ∑ s = n − σ n − 1 β ( s + σ ) ( x ( s ) − y ( s ) )   ， 则 w ( n + 1 ) = ( 1 − α ( n ) ) ( x ( n ) − y ( n ) ) + β ( n ) ( x ( n − τ ) e − γ ( n ) x ( n − τ ) − y ( n − τ ) e − γ ( n ) y ( n − τ ) )     − h ( n ) ( x ( n − σ ) − y ( n − σ ) ) + ∑ s = n − τ + 1 n β ( s + τ ) ( x ( s ) e − γ ( s + τ ) x ( s ) − y ( s ) e − γ ( s + τ ) y ( s ) )     − ∑ s = n − σ + 1 n β ( s + σ ) ( x ( s ) − y ( s ) ) ， Δ w ( n ) = w ( n + 1 ) − w ( n ) = − α ( n ) ( x ( n ) − y ( n ) ) + β ( n + τ ) ( x ( n ) e − γ ( n + τ ) x ( n ) − y ( n ) e − γ ( n + τ ) y ( n ) )     − h ( n + σ ) ( x ( n ) − y ( n ) ) . 构造非负函数 V ( n ) = w 2 ( n ) ，则 (3.3) 由(3.2)、(3.3)可得 Δ V ( n ) = − ( α ( n ) + h ( n + σ ) ) ( 2 − α ( n ) − h ( n + σ ) ) ( x ( n ) − y ( n ) ) 2     + 2 ( 1 − α ( n ) − h ( n + σ ) ) β ( n + τ ) ( 1 − θ ( n ) γ ( n + τ ) ) e − θ ( n ) γ ( n + τ ) ( x ( n ) − y ( n ) ) 2     + 2 ( α ( n ) + h ( n + σ ) ) ( x ( n ) − y ( n ) ) ∑ s = n − τ n − 1 β ( s + τ ) ( 1 − θ ( s ) γ ( s + τ ) ) e − θ ( s ) γ ( s + τ ) ( x ( s ) − y ( s ) )     + ( β ( n + τ ) ( 1 − θ ( n ) γ ( n + τ ) ) e − θ ( n ) γ ( n + τ ) ( x ( n ) − y ( n ) ) ) 2       + 2 β ( n + τ ) ( 1 − θ ( n ) γ ( n + τ ) ) e − θ ( n ) γ ( n + τ ) ( x ( n ) − y ( n ) )       ⋅ ∑ s = n − τ n − 1 β ( s + τ ) ( 1 − θ ( s ) γ ( s + τ ) ) e − θ ( s ) γ ( s + τ ) ( x ( s ) − y ( s ) )       + 2 ( α ( n ) + h ( n + σ ) ) ( x ( n ) − y ( n ) ) ∑ s = n − σ n − 1 h ( s + σ ) ( x ( s ) − y ( s ) )       − 2 β ( n + τ ) ( 1 − θ ( n ) γ ( n + τ ) ) e − θ ( n ) γ ( n + τ ) ( x ( n ) − y ( n ) ) ⋅ ∑ s = n − σ n − 1 h ( s + σ ) ( x ( s ) − y ( s ) ) . (3.4) 将 2 a b ≤ a 2 + b 2 运用到式(3.4)得 Δ V ( n ) ≤ − ( α ( n ) + h ( n + σ ) ) ( 2 − α ( n ) − h ( n + σ ) ) ( x ( n ) − y ( n ) ) 2                         + 2 ( 1 − α ( n ) − h ( n + σ ) ) β ( n + τ ) ( 1 − θ ( n ) γ ( n + τ ) ) e − θ ( n ) γ ( n + τ ) ( x ( n ) − y ( n ) ) 2                         + ( α ( n ) + h ( n + σ ) ) ∑ s = n − τ n − 1 β ( s + τ ) ( 1 − θ ( s ) γ ( s + τ ) ) e − θ ( s ) γ ( s + τ ) ( x ( n ) − y ( n ) ) 2                         + ( α ( n ) + h ( n + σ ) ) ∑ s = n − τ n − 1 β ( s + τ ) ( 1 − θ ( s ) γ ( s + τ ) ) e − θ ( s ) γ ( s + τ ) ( x ( s ) − y ( s ) ) 2 ​                         + ( β ( n + τ ) ( 1 − θ ( n ) γ ( n + τ ) ) e − θ ( n ) γ ( n + τ ) ( x ( n ) − y ( n ) ) ) 2                           + β ( n + τ ) ( 1 − θ ( n ) γ ( n + τ ) ) e − θ ( n ) γ ( n + τ )                           ⋅ ( ∑ s = n − τ n − 1 β ( s + τ ) ( 1 − θ ( s ) γ ( s + τ ) ) e − θ ( s ) γ ( s + τ ) ( x ( n ) − y ( n ) ) 2                           + ∑ s = n − τ n − 1 β ( s + τ ) ( 1 − θ ( s ) γ ( s + τ ) ) e − θ ( s ) γ ( s + τ ) ( x ( s ) − y ( s ) ) 2 )                           + ( α ( n ) + h ( n + σ ) ) ∑ s = n − σ n − 1 h ( s + σ ) ( x ( n ) − y ( n ) ) 2                           + ( α ( n ) + h ( n + σ ) ) ∑ s = n − σ n − 1 h ( s + σ ) ( x ( s ) − y ( s ) ) 2                           + β ( n + τ ) ( 1 − θ ( n ) γ ( n + τ ) ) e − θ ( n ) γ ( n + τ ) ∑ s = n − σ n − 1 h ( s + σ ) ( x ( n ) − y ( n ) ) 2                           + β ( n + τ ) ( 1 − θ ( n ) γ ( n + τ ) ) e − θ ( n ) γ ( n + τ ) ∑ s = n − σ n − 1 h ( s + σ ) ( x ( s ) − y ( s ) ) 2 . (3.5) 依据 γ l m > 1 ，   α u + h u < 1 ，   max x ∈ [ 1 ， + ∞ ) ( 1 − x ) e − x < 0 ，不等式(3.5)可写成 Δ V ( n ) ≤ − ( α ( n ) + h ( n + σ ) ) ( 2 − α ( n ) − h ( n + σ ) ) ( x ( n ) − y ( n ) ) 2                     ≤ − ( α u + h u ) ( 2 − α u − h u ) ( x ( n ) − y ( n ) ) 2                     ≤ − δ ( x ( n ) − y ( n ) ) 2 . 取一个足够小的正常数 δ > 0 使得 ( α u + h u ) ( 2 − α u − h u ) ≤ δ ， 则 Δ V ( n ) ≤ − δ ( x ( n ) − y ( n ) ) 2 . (3.6) 将不等式(3.6)左右两边分别从 n 0 + τ 累加到n可得 ∑ s = n 0 + τ n ( V ( s + 1 ) − V ( s ) ) ≤ − δ ∑ s = n 0 + τ n ( x ( s ) − x ( s ) ) 2 ， 即 V ( n + 1 ) + δ ∑ s = n 0 + τ n ( x ( s ) − x ( s ) ) 2 ≤ V ( n 0 + τ ) ， 则 ∑ s = n 0 + τ n ( x ( s ) − x ( s ) ) 2 ≤ V ( n 0 + τ ) δ . 由(3.1)可知 V ( n 0 + τ ) 是有界的，因此 ∑ s = n 0 + τ n ( x ( s ) − x ( s ) ) 2 ≤ V ( n 0 + τ ) δ < + ∞ ， 也就是说 ∑ s = n 0 + τ + ∞ ( x ( s ) − x ( s ) ) 2 ≤ V ( n 0 + τ ) δ < + ∞ . 显而易见， lim n → ∞ ( x ( n ) − y ( n ) ) 2 = 0 ，即 lim n → ∞ ( x ( n ) − y ( n ) ) = 0 。 证毕。