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user: 2. 模型(2)的平衡点的存在性、稳定性与Hopf分支出现的条件 定理1：模型(2)的满足初始条件(3)的解是非负的，并且最终有界。 证明：解的非负性显然，下面证明其有界性。令 k ( x ) = x e − q 1 x ，则 max { f ( x ) : x ≥ 0 } = 1 q 1 e 。因此有 d x d t ≤ p 1 x ( t − τ ) e − q 1 x ( t − τ ) − δ 1 x ( t ) ≤ δ 1 x ( t ) + p 1 q 1 e 那么 x ( t ) ≤ ( x ( 0 ) − p 1 δ 1 q 1 e ) e − δ 1 t + p 1 q 1 δ 1 e 即有 lim t → ∞ sup x ( t ) ≤ p 1 q 1 δ 1 e 同理可以得到 d y d t ≤ p 2 y ( t − τ ) e − q 2 y ( t − τ ) − δ 2 y ( t ) 即有 lim t → ∞ sup y ( t ) ≤ p 2 q 2 δ 2 e 。 下面求模型的平衡点。由 { x ( p 1 e − δ 1 τ e − q 1 ( x + y ) − δ 1 ) = 0 y ( p 2 e − δ 2 τ y x + y ⋅ e − q 2 ( x + y ) − δ 2 ) = 0 (4) 可知系统有四个平衡点 E ˜ 0 ( 0 ， 0 ) 、 E ˜ 1 ( x ˜ ， 0 ) 、 E ˜ 2 ( 0 ， y ˜ ) 以及 E ˜ * ( x ˜ * ， y ˜ * ) 。易知 x ˜ = − δ 1 τ q 1 + 1 q 1 ln p 1 δ 1 ， y ˜ = − δ 2 τ q 2 + 1 q 2 ln p 2 δ 2 x ˜ * = ( − δ 1 τ q 1 + 1 q 1 ln p 1 δ 1 ) [ 1 − δ 2 p 2 ( p 1 δ 1 ) q 2 q 1 e ( q 1 δ 2 − q 2 δ 1 ) τ q 1 ] y ˜ * = δ 2 p 2 ( p 1 δ 1 ) q 2 q 1 e ( q 1 δ 2 − q 2 δ 1 ) τ q 1 ( − δ 1 τ q 1 + 1 q 1 ln p 1 δ 1 ) 显然， x ˜ * + y ˜ * = − δ 1 τ q 1 + 1 q 1 ln p 1 δ 1 。当 p 1 δ 1 > e δ 1 τ 时 E ˜ 1 存在，当 p 2 δ 2 > e δ 2 τ 时 E ˜ 2 存在。关于正平衡点存在的条件，注意到必有 p 1 δ 1 > e δ 1 τ ，且 ( − δ 1 τ q 1 + 1 q 1 ln p 1 δ 1 ) [ 1 − δ 2 p 2 ( p 1 δ 1 ) q 2 q 1 e ( q 1 δ 2 − q 2 δ 1 ) τ q 1 ] > 0 ，即 p 2 δ 2 > ( p 1 δ 1 ) q 2 q 1 e ( q 1 δ 2 − q 2 δ 1 ) τ q 1 。等价地有 y ˜ > x ˜ 。因此当 p 1 δ 1 > e δ 1 τ ， y ˜ > x ˜ 时，系统存在正平衡点。 下面分析各平衡点的稳定性。 定理2：对于模型(2)，我们有以下结论： (1) 当 p 1 δ 1 ≤ e δ 1 τ ， p 2 δ 2 ≤ e δ 2 τ 时， E ˜ 0 是全局渐近稳定的。 (2) 当 e δ 2 τ < p 2 δ 2 ≤ e δ 2 τ + 2 ， y ˜ > x ˜ 时， E ˜ 2 是局部渐近稳定的。 (3) 当 e δ 1 τ < p 1 δ 1 ≤ e δ 1 τ + 2 时， E ˜ 1 是局部渐近稳定的。 证明：(1) 当 p 1 δ 1 ≤ e δ 1 τ ， p 2 δ 2 ≤ e δ 2 τ 时，只存在零平衡点 E ˜ 0 。 d d t [ x ( t ) + p 1 e − δ 1 τ ∫ t − τ t x ( s ) e − q 1 ( x ( s ) + y ( s ) ) d s ] = p 1 e − δ 1 τ x ( t ) e − q 1 [ x ( t ) + y ( t ) ] − δ 1 x ( t ) d d t [ y ( t ) + p 2 e − δ 2 τ ∫ t − τ t y 2 ( s ) x ( s ) + y ( s ) e − q 2 ( x ( s ) + y ( s ) ) d s ] = p 2 e − δ 2 τ y 2 ( t ) x ( t ) + y ( t ) e − q 2 [ x ( t ) + y ( t ) ] − δ 2 y ( t ) 取 V = x ( t ) + p 1 e − δ 1 τ ∫ t − τ t x ( s ) e − q 1 ( x ( s ) + y ( s ) ) d s + y ( t ) + p 2 e − δ 2 τ ∫ t − τ t y 2 ( s ) x ( s ) + y ( s ) e − q 2 ( x ( s ) + y ( s ) ) d s 那么对 t ≥ 0 ， V > 0 ，有： d V d t = [ p 1 e − δ 1 τ e − q 1 [ x ( t ) + y ( t ) ] − δ 1 ] x ( t ) + [ p 2 e − δ 2 τ y ( t ) x ( t ) + y ( t ) e − q 2 [ x ( t ) + y ( t ) ] − δ 2 ] y ( t ) ≤ ( p 1 e − δ 1 τ − δ 1 ) x ( t ) + ( p 2 e − δ 2 τ − δ 2 ) y ( t ) ≤ 0 且 d V d t = 0 当且仅当 x = y = 0 。因此，零解 E ˜ 0 全局渐近稳定。 (2) 将系统(2)在平衡点 E ˜ = ( x ( t ) ， y ( t ) ) 进行线性化，得到如下形式： T ′ ( t ) = A 1 T ( t ) + B T ( t − τ ) (5) 其中 T ( t ) = ( x ( t ) ， y ( t ) ) Τ A 1 = ( − δ 1 0 0 − δ 2 ) (6) B = ( p 1 e − δ 1 τ e − q 1 ( x + y ) − p 1 q 1 e − δ 1 τ x e − q 1 ( x + y ) − p 1 q 1 e − δ 1 τ x e − q 1 ( x + y ) − p 2 e − δ 2 τ y 2 ( x + y ) 2 e − q 2 ( x + y ) − p 2 q 2 e − δ 2 τ y 2 x + y e − q 2 ( x + y ) p 2 e − δ 2 τ 2 x y + y 2 ( x + y ) 2 e − q 2 ( x + y ) − p 2 q 2 e − δ 2 τ y 2 x + y e − q 2 ( x + y ) ) (7) 我们可以通过如下公式来求解特征方程: det ( λ I − A − B e − λ τ ) = 0 (8) 在 E ˜ 2 处，其中 A 1 = ( − δ 1 0 0 − δ 2 ) B = ( p 1 ( δ 2 p 2 ) q 1 q 2 e ( q 1 δ 2 − q 2 δ 1 ) τ q 2 0 − δ 2 + δ 2 ( δ 2 τ − ln p 2 δ 2 ) δ 2 + δ 2 ( δ 2 τ − ln p 2 δ 2 ) ) 特征方程为 [ λ + δ 1 − p 1 ( δ 2 p 2 ) q 1 q 2 e ( q 1 δ 2 − q 2 δ 1 ) τ q 2 e − λ τ ] [ λ + δ 2 − δ 2 ( 1 + δ 2 τ − ln p 2 δ 2 ) e − λ τ ] = 0 (9) 式子的前半部分， a = − δ 1 ， b = p 1 ( δ 2 p 2 ) q 1 q 2 e ( q 1 δ 2 − q 2 δ 1 ) τ q 2 ，根据定理，当 a + b < 0 时， p 2 δ 2 > ( p 1 δ 1 ) q 2 q 1 e ( q 1 δ 2 − q 2 δ 1 ) τ q 1 ，即 y ˜ > x ˜ 时，满足前半部分为负实部的根。式子的后半部分， a = − δ 2 ， b = δ 2 ( 1 + δ 2 τ − ln p 2 δ 2 ) ，根据文献 [ 14 ] 中的定理，当 b ≥ a 时，即 e δ 2 τ < p 2 δ 2 ≤ e δ 2 τ + 2 时，满足后半部分为负实部的根。 因此， e δ 2 τ < p 2 δ 2 ≤ e δ 2 τ + 2 ， y ˜ > x ˜ 时， E ˜ 2 是局部渐近稳定的。 (3) 在 E ˜ 1 处，其中 A 1 = ( − δ 1 0 0 − δ 2 ) B = ( δ 1 − δ 1 ( δ 1 τ − ln p 1 δ 1 ) δ 1 ( δ 1 τ − ln p 1 δ 1 ) 0 0 ) 特征方程为 [ λ + δ 1 − δ 1 ( 1 + δ 1 τ − ln p 1 δ 1 ) e − λ τ ] ( λ + δ 2 ) = 0 (10) 由于式子的后半部分必为负实部的根，因此只需要看式子的前半部分即可。其中 a = − δ 1 ， b = δ 1 ( 1 + δ 1 τ − ln p 1 δ 1 ) 。同样根据定理，当 b ≥ a 时，即 e δ 1 τ < p 1 δ 1 ≤ e δ 1 τ + 2 时， E ˜ 1 是局部渐近稳定的。 下面，我们将确定平衡点 E ˜ 1 何时变得不稳定并发生Hopf分支。特征方程(10)可以写成 λ 2 + A λ + B + ( A 1 λ + B 1 ) e − λ τ = 0 (11) 其中， A = δ 1 + δ 2 ， B = δ 1 δ 2 ， A 1 = − δ 1 ( 1 + δ 1 τ − ln p 1 δ 1 ) ， B 1 = − δ 1 δ 2 ( 1 + δ 1 τ − ln p 1 δ 1 ) 假设存在 τ = τ * ，使得(11)有一对纯虚根，用 λ = ± i ω ， ( ω > 0 ) 表示。将 λ = i ω 带入，得到 − ω 2 + i A ω + B − ( i A 1 ω + B 1 ) ( cos ω τ − i sin ω τ ) = 0 分离实部与虚部，有 { B 1 cos ω τ + A 1 ω sin ω τ = ω 2 − B A 1 ω cos ω τ − B 1 sin ω τ = − A ω 两式平方相加得到 ω 4 + ( 2 A 2 − 2 B − A 1 2 ) ω 2 + B 2 − B 1 2 = 0 (12) 令 z = ω 2 ，有 z 2 + ( 2 A 2 − 2 B − A 1 2 ) z + B 2 − B 1 2 = 0 (13) 由于(10)至少有一个负实部的特征根，即最多有一个正实部的特征根。因此(13)最多有一个正根。当 B 2 − B 1 2 < 0 ，即 δ 1 2 δ 2 2 [ − 2 ( δ 1 τ − ln p 1 δ 1 ) − ( δ 1 τ − ln p 1 δ 1 ) 2 ] < 0 时出现纯虚根的情况，即 p 1 δ 1 > e δ 1 τ + 2 时。 对于 p 1 δ 1 > e δ 1 τ + 2 时，有 τ k = 1 ω ( arccos B 1 ω 2 − B B 1 − A A 1 ω 2 A 1 2 ω 2 + B 1 2 + 2 k π ) 其中， k = 0，1，2， ⋯ 。 令 λ k ( τ ) = α k ( τ ) + i ω k ( τ ) 是方程(11) τ = τ k 时附近的特征值，那么有 α ( τ k ) = 0 和 ω ( τ k ) = ω 0 。因此我们有下面的结论。 定理3：如果 p 1 δ 1 > e δ 1 τ + 2 ， ( 1 + δ 1 τ − ln p 1 δ 1 ) 2 < 1 + δ 2 δ 1 ，存在 τ k > 0 ，当 τ = τ k 时，模型(2)在 E ˜ 1 处发生Hopf分支。 证明： λ k ( τ ) = α k ( τ ) + i ω k ( τ ) 是方程(11)在 τ = τ k 附近的特征值，将方程(11)对 τ 求导，我们得到 ( 2 λ + A ) d λ d τ + A 1 e − λ τ d λ d τ − ( A 1 λ + B 1 ) e − λ τ ( λ + τ d λ d τ ) = 0 即有 d λ d τ = λ ( A 1 λ + B 1 ) e − λ τ 2 λ + A + [ A 1 − τ ( A 1 λ + B 1 ) ] e − λ τ 由于 α ( τ k ) = 0 和 ω ( τ k ) = ω 0 ，有 [ d Re λ ( τ k ) d τ ] − 1 = Re [ ( 2 λ + A ) e λ τ + A 1 λ ( A 1 λ + B 1 ) ] τ = τ k = 1 Z [ − 2 ω ( A 1 ω cos ω τ − B 1 sin ω τ ) − A ( B 1 cos ω τ + A 1 ω sin ω τ ) − A 1 B 1 ] = 1 Z ( A ω 2 + A B − A 1 B 1 ) 其中， Z = ω 2 ( A 1 2 ω 2 + B 1 2 ) 。 当 A B − A 1 B 1 > 0 ，即 ( 1 + δ 1 τ − ln p 1 δ 1 ) 2 < 1 + δ 2 δ 1 时，有 d Re λ ( τ k ) d τ > 0 。