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user: 3. 预备引理 引理3.1 存在 λ 1 > 0 ，使得对 λ ∈ ( 0 ， λ 1 ) ， N λ 0 ( Ω ) = ∅ 。 证明：假设 N λ 0 ( Ω ) ≠ ∅ ， λ > 0 以及 u ∈ N λ 0 ( Ω ) 使得 ‖ u ‖ > 1 。根据(2.1)，(2.2)，(2.4)以及假设(H 4 )可以得到 0 = 〈 I ′ λ ( u ) ， u 〉 = a ∫ Ω p ( x ) | ∇ u | p ( x ) d x + k b ( ∫ Ω 1 p ( x ) | ∇ u | p ( x ) d x ) k − 1 ( ∫ Ω | ∇ u | p ( x ) d x ) 2                     + b ( ∫ Ω 1 p ( x ) | ∇ u | p ( x ) d x ) k ∫ Ω p ( x ) | ∇ u | p ( x ) d x − λ ∫ Ω f ( x ) q ( x ) | u | q ( x ) d x − ∫ Ω g ( x ) h ( x ) | u | h ( x ) d x               ≥ p − a ∫ Ω | ∇ u | p ( x ) d x + p − ( k + 1 ) b ( ∫ Ω 1 p ( x ) | ∇ u | p ( x ) d x ) k ∫ Ω | ∇ u | p ( x ) d x − h + ∫ Ω g ( x ) | u | h ( x ) d x               − q + [ a ∫ Ω | ∇ u | p ( x ) d x + b ( ∫ Ω 1 p ( x ) | ∇ u | p ( x ) d x ) k ∫ Ω | ∇ u | p ( x ) d x − ∫ Ω g ( x ) | u | h ( x ) d x ]                     ≥ ( p − − q + ) a ‖ u ‖ p − + p − ( k + 1 ) − q + ( p + ) k b ‖ u ‖ p − ( k + 1 ) + ( q − − h + ) C 3 ‖ u ‖ h + 因此， ‖ u ‖ ≥ C 5 ( p − − q + h + − q + ) 1 h + − p − (3.1) 同样的， 0 = 〈 I ′ λ ( u ) ， u 〉 ≤ p + a ∫ Ω | ∇ u | p ( x ) d x + ( k + 1 ) p + b ( ∫ Ω 1 p ( x ) | ∇ u | p ( x ) d x ) k ∫ Ω | ∇ u | p ( x ) d x − λ q − ∫ Ω f ( x ) | u | q ( x ) d x     − h − [ a ∫ Ω | ∇ u | p ( x ) d x + b ( ∫ Ω 1 p ( x ) | ∇ u | p ( x ) d x ) k ∫ Ω | ∇ u | p ( x ) d x − λ ∫ Ω f ( x ) | u | q ( x ) d x ] ≤ ( p + − h − ) a ‖ u ‖ p − + p + ( k + 1 ) − h − ( p − ) k b ‖ u ‖ p − ( k + 1 ) + λ ( h − − q − ) C 1 ‖ u ‖ q + 因此， ‖ u ‖ ≤ C 6 [ λ h − − q − h − − ( k + 1 ) p + ] 1 p − − q + (3.2) 若 λ 足够的小，例如 λ 1 = h − − p + ( k + 1 ) h − − q − ( 1 C 6 ) p − − q + 结合式(3.1)和(3.2)可知 ‖ u ‖ ≤ 1 ，与假设矛盾。因而可以得到当 λ ∈ ( 0 ， λ 1 ) 时 N λ 0 ( Ω ) = ∅ 。 由上面引理可知，当 λ ∈ ( 0 ， λ 1 ) 时， N λ ( Ω ) = N λ + ( Ω ) ∪ N λ − ( Ω ) 。记 α λ + = inf u ∈ N λ + ( Ω ) J λ ( u ) ， α λ − = inf u ∈ N λ − ( Ω ) J λ ( u ) 。 引理3.2 泛函 J λ 在流形 N λ ( Ω ) 上是强制和下方有界的。 证明：设 u ∈ N λ ( Ω ) ， ‖ u ‖ > 1 。通过式(1.1)、(2.2)以及假设(H 4 )可以得到 J λ ( u ) ≥ a p + ∫ Ω | ∇ u | p ( x ) d x + b p + ( k + 1 ) ( ∫ Ω 1 p ( x ) | ∇ u | p ( x ) d x ) k ∫ Ω | ∇ u | p ( x ) d x − λ q − ∫ Ω f ( x ) | u | q ( x ) d x           − 1 h − [ a ∫ Ω | ∇ u | p ( x ) d x + b ( ∫ Ω 1 p ( x ) | ∇ u | p ( x ) d x ) k ∫ Ω | ∇ u | p ( x ) d x − λ ∫ Ω f ( x ) | u | q ( x ) d x ]           ≥ ( a p + − a h − ) ‖ u ‖ p − + [ 1 p + ( k + 1 ) − 1 h − ] b ( p + ) k ‖ u ‖ p − ( k + 1 ) + C 1 λ ( 1 h − − 1 q − ) ‖ u ‖ q +         ≥ h − − p + p + h − a ‖ u ‖ p − + h − − p + ( k + 1 ) ( p + ) k + 1 ( k + 1 ) h − b ‖ u ‖ ( k + 1 ) p − − C 1 λ h − − q − h − q − ‖ u ‖ q + 根据假设(H 4 )，可以得到 ‖ u ‖ → ∞ 时， J λ → ∞ 。因此泛函 J λ 在流形 N λ ( Ω ) 上是强制和下方有界的。 定理3.3 假设 u 0 是 J λ 在流形 N λ ( Ω ) 上的局部极小值或局部最大值，且 u 0 ∉ N λ 0 ( Ω ) ，则 u 0 是 J λ 的临界点。 证明：若 u 0 是 J λ 在流形 N λ ( Ω ) 上的局部极值，由Lagrange乘数法可知，存在 使得 。因此， 由于 ， ，而 ， 。因此可得 ，即 。 引理3.4 若 ， ，则 。 证明：由于 ，可以得到 (3.3) 我们将式(2.4) × ( )后与式(3.3)相加，可得 因此 则有， 引理3.5 若 ，则 在 中存在极小值 ，且 。 证明：由引理3.2可知 在 上是有界的，所以存在序列 使得 由于 是强制的， 在空间E中是有界的，我们假设在E中 ，根据Sobolev嵌入可以得到 在 中， 以及 在 中， 接下来，我们证明在空间E中 。假设在E中 ，则有 根据Sobolev紧嵌入，有 根据 以及式(2.1)， 因此， 根据条件(H 4 )，当 时， 而引理3.4表明当 时 ，由此得到矛盾。 所以在空间E中 以及 因此， 是 在 中的极小值。 引理3.6 若 ， ，则 。 证明：设 ，通过 定义式(2.3)以及式(2.4)可得 若选择 则有 。基于 以及 ，通过引理3.4可知 。 引理3.7 若 ，则 在 中存在极小值 ，且 。 证明：由引理3.2可知 在 上是有界的，所以存在极小化序列 使得 由于 是强制的， 在空间E中是有界的，假设在E中 ，根据Sobolev嵌入可以得到 在 中， 以及 在 中， 若 ，则存在常数 使得 以及 。 根据式(2.5)，有 根据条件(H 4 )，可以得到 。因此根据 的定义，知 。 接下来，我们证明在空间E中 。假设在E中 ，则有 可得 因此， 是 在 中的极小值。 定理1.1的证明：通过引理3.4和引理3.6可知存在 以及 使得 由于 以及 ，可知 为非负解。由定理3.3， 是 空间E中的临界点，因此 是方程(1)的弱解。再由Harnack不等式 [ 7 ]， 是方程(1)的正解。