DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 3. 随机森林模型 随机森林是一种集成算法，既可以应用于分类问题也可以应用于回归问题，对于分类问题就是以少数服从多数的原则，将多颗决策树结果作为最终判断样本的类别；对于回归问题，样本最后的预测结果为多颗树的结果求平均值 [ 5 ]。由于被解释变量单位面积房屋价格为连续型的数值，因此本文选择建立随机森林回归模型。由于计算量巨大，本文使用Python中的软件包RandomForestRegressor实现基于随机森林回归模型的二手房样本训练。 3.1. 相关参数的设置 使用python拟合随机森林回归模型时，主要调整的参数有随机森林所包含的决策树的个数(n_estimators)、决策树的最大深度(max_depth)、决策树根节点或中间节点能够继续分割的最小样本量(min_samples_split)、决策树叶节点的最小样本量(min_samples_leaf)。通过10重交叉验证的网格搜索，得到单棵回归决策树的最佳参数组合为max_depth = 19，min_samples_leaf = 2，min_samples_split = 2，最后通过手动调参确定随机森林是决策树个数n_estimators = 500，在测试集上得到的RMSE为129.528，结果较为理想。 3.2. 模型评估 对模型的评估选择均方根误差RMSE和拟合优度R 2 两种指标，均方根误差RMSE对模型的预测效果做定量的统计值，有关计算公式如下： RMSE = MSE = ∑ i = 1 n ( y i − y ⌢ i ) 2 n 其中n表示预测的样本量， y i 表示被解释变量的真实值， y ⌢ i 表示被解释变量的预测值。MSE或RMSE越小，说明模型对数据的拟合效果越好。拟合优度R 2 是指对观测值的拟合程度，计算公式如下： R 2 = 1 − ∑ i ( y ⌢ i − y i ) 2 ∑ i ( y ⌢ i − y i 2 ) = 1 − ∑ i ( y ⌢ i − y i ) 2 / n ∑ i ( y ⌢ i − y i 2 ) / n = 1 − MSE ( y ⌢ ， y ) var ( y ) ， R 2 最大值为1，R 2 值越接近1，说明对数据的拟合效果越好。 将数据集按照8:2的比例划分训练集与测试集，经过调整参数之后在训练集上对模型进行训练，再将划分出来的19，269条测试集上的样本对二手房价格进行预测，预测结果如表1所示，模型在训练集和测试集上的评分如表2所示，由于测试集上的样本量非常多，因此表1仅选择20条进行展示，其中 匹 配 度 = y ⌢ i y i 反映了预测值( y ⌢ i )与真实值( y i )之间的匹配情况。 绝 对 误 差 = | y i − y ⌢ i | 反映了预测值( y ⌢ i )与真实值之间的实际误差。从表1可以看到匹配度的取值在0.9~1.01之间，预测的效果较好。表2是分别在训练集与测试集上的均方根误差与拟合优度，从表2中可以看到测试集上的拟合优度为0.99867，非常接近1，说明建立的随机森林回归模型能较好挖掘训练集上各特征与被解释变量之间的关系并将其很好的拓展到了测试集样本上。 Table 1 Prediction results of random forest for test set 序号 实际成交价格(元/平方米) 预测价格(元/平方米) 匹配度 绝对误差 1 13，691.778276 13，693.030860 0.999909 1.252584 2 11，602.208059 11，584.158416 1.001558 18.049643 3 16，346.193633 16，390.281527 0.997310 44.087894 4 18，376.614015 18，348.623853 1.001525 27.990162 5 10，127.140774 10，135.135135 0.999211 7.994361 6 8589.388164 8603.104213 0.998406 13.716048 7 12，306.071281 12，291.666667 1.001172 14.404615 8 11，376.689881 11，372.549020 1.000364 4.140862 9 8008.016621 7936.507937 1.009010 71.508684 10 9774.693376 9805.903761 0.996817 31.210385 11 10，208.107475 10，203.090079 1.000492 5.017397 12 5132.411203 5173.865961 0.991988 41.454758 13 18，377.892153 18，419.556566 0.997738 41.664414 14 16，432.492217 16，437.355412 0.999704 4.863195 15 12，817.450620 12，813.852814 1.000281 3.597806 17 14，924.811060 14，917.127072 1.000515 7.683988 18 13，545.043557 13，542.688911 1.000174 2.354647 19 18，054.235728 18，040.435459 1.000765 13.800269 20 13，586.196783 13，584.905660 1.000095 1.291123 表1. 随机森林对测试集的预测结果 Table 2 Test set and training set score compariso RMSE R 2 训练集 57.91881 0.99973 测试集 129.52823 0.99869 表2. 训练集与测试集评分对比
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user: 4. 不同算法实例比较 对重庆市九大主城区二手房数据集同时使用岭回归模型、Lasso回归模型 [ 6 ] 以及单个回归决策树模型，并与随机森林回归模型进行对比。各个模型在测试集上的表现如表3所示，从表3可以看到，在对测试集上的样本进行预测时，岭回归和Lasso回归RMSE略大于随机森林，回归决策树相对较好，但都不如随机森林算法。 Table 3 RMSE and R2 of each model on the test se 模型 RMSE R 2 岭回归 655.54513 0.966597 Lasso 658.21433 0.966325 回归决策树 251.25072 0.995093 随机森林 129.52823 0.998696 表3. 各模型在测试集上的RMSE和R 2
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user: 5. 结束语 本文以重庆市九大主城区二手房价格预测为基础，使用岭回归、Lasso回归、回归决策树和随机森林，经实验证明，随机森林回归算法在测试集上取得的RMSE最小，R 2 最大，说明集成算法相较于传统的回归模型具有一定的优越性，基于二手房价格建立的随机森林回归模型可以推广应用到其他住宅价格预测中去，得到的房价预测具有一定的指导意义。
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user: 摘要 在本文中我们研究了Möbius梯状图ML n 的反强迫谱，并得到了一个关于ML n 的反强迫多项式和Lucas数列关系的等式。
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user: 1. 引言 Vukičević、Trinajstić和H. Lei、Y. Yeh、H. Zhang分别介绍了图G的反强迫数 [ 1 ]、完美匹配M的反强迫数及反强迫谱 [ 2 ]。设M是图G其中的一完美匹配。称子集 S a ⊆ E ( G ) \ M 为M的反强迫集，若 G − S a 有惟一的完美匹配M。M的最小反强迫集的大小被称为M的反强迫数，记作 a f ( G ， M ) 。 S p e c a f ( G ) = { a f ( G ， M ) | M 是 G 的 任 一 完 美 匹 配 } 。2015年，H. Hwang、H. Lei、Y. Yeh、H. Zhang介绍了图G的反强迫多项式的概念 [ 3 ] [ 4 ]。 在第1节中，我们介绍了一些定义、符号和结论。在第2节中，我们研究了Möbius梯状图 M L n 的反强迫数 a f ( M L n ， M ) 和 M L n 的反强迫谱 S p e c a f ( M L n ) 。在第3节中，我们根据完美匹配的反强迫谱 S p e c a f ( M L n ) 和个数 | M | ，得到了一个关于 M L n 的反强迫多项式和Lucas数列的等式。
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user: 2. 预备知识 设M是图G的一个完美匹配。 如果G中的两个M-交错圈要么不交，要么只相交在M中的边，则称它们是M-相容的。如果在一个集合 A 中任选2个M-交错圈都是M-相容的，则 A 就是一个相容M-交错集。我们用 c ′ ( M ) 表示图G的最大相容M-交错集的大小。 定义1 [ 3 ] [ 4 ] 图G的反强迫多项式定义为： A f ( G ， x ) = ∑ M ∈ Μ x a f ( G ， M ) = ∑ i = a f ( G ， M ) A f ( G ， M ) ϖ ( G ， i ) x i 其中 ϖ ( G ， i ) 表示的是反强迫数为i的完美匹配的数目，M表示G的全部完美匹配所组成的集合。 引理1 [ 2 ] 若M是图G其中一完美匹配，则 a f ( G ， M ) ≥ c ′ ( M ) 。若图G是平面二部图，则 a f ( G ， M ) = c ′ ( M ) . 定义2 梯子图 L n = P n × P 2 ，现将 L n 水平放置，将其顶点依次标号为 a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a n ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b n 。如图1 [ 5 ]。 图1. 梯子图 L n 在图 L n 中，边 a i b i 和边 a i a i + 1 ， b i b i + 1 分别被称为竖直边和水平边。设M是图 L n 的完美匹配， a i b i ∈ M 称为M的竖直边， a i a i + 1 ， b i b i + 1 ∈ M 称为M的水平边。 定义3 在梯子图 L n 上添加边 a 1 a n 和 b 1 b n 就得到循环梯状图 C L n ，即 C L n = C n × P 2 ， n ≥ 3 ，如图2 [ 5 ]。类似地，在梯子图 L n 上添加边 a 1 b n 和 a n b 1 就得到Möbius梯状图 M L n ，如图3 [ 6 ]。 图2. 循环梯状图 C L n 图3. Möbius梯状图 M L n 类比于 L n ，在图 C L n 和 M L n 中，类似于 a i b i 的边叫做竖直边，类似于 a i a i + 1 ， b i b i + 1 ， a 1 a n ， b 1 b n ， a 1 b n ， a n b 1 的边叫做水平边。设M是图 C L n 和 M L n 中的一完美匹配， a i b i ∈ M 称作M的竖直匹配边， a i a i + 1 ， b i b i + 1 ， a 1 a n ， b 1 b n ， a 1 b n ， a n b 1 ∈ M 称作M的水平匹配边。 在本节的引理中，我们都给定M是 L n 的一个完美匹配，故下面引理中不在赘述。 引理2 [ 7 ] 设M有 p ( p ≥ 1 ) 条竖直匹配边，则 n ≡ p ( mod 2 ) ，并且 a i a i + 1 ∈ M ⇔ b i b i + 1 ∈ M 。 定理1 [ 5 ] 如果 a i b i ∈ M ， 2 ≤ i ≤ n − 1 ，则 a f ( L n ， M ) = a f ( L ( 1 ) ， M 1 ) + a f ( L ( 2 ) ， M 2 ) ， M j = M ∩ E ( L ( j ) ) ， j = 1 ， 2 ， L ( 1 ) 和 L ( 2 ) 分别是 L n 关于顶点集 { a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a i ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b i } 和 { a i ， a i + 1 ， ⋯ ， a n ， b i ， b i + 1 ， ⋯ ， b n } 导出的梯子图。 Lucas数列中 l 0 = 2 ， l 1 = 1 ，且它的递推关系为 l n = l n − 1 + l n − 2 。 引理3 [ 8 ] Lucas数列的第n项为 l n = ∑ i = 0 n n n − i ( n − i i ) 。 显然， L n 、 C L n 、 M L n 都是Hamilton圈。 引理4 当 p = 0 时，从 M L n 中删去所有竖直边后，所有水平边(含 a 1 b n 和 a n b 1 )构成的图正好是一个2n长的圈 C 2 n = a 1 a 2 ⋯ a n b 1 b 2 ⋯ b n a 1 ，一定存在完美匹配。
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user: 4. Möbius梯状图ML n 的完美匹配和Lucas数列的关系 定理4 在Möbius梯状图ML n 中，设包含2q条水平边的完美匹配一共有 | M | 个，则 | M | = n n − q ( n − q n ) 。 证明 当n是奇数时，p也是奇数。设M是 M L n 的一个完美匹配，且M含有2q条水平匹配边必成对 出现，则M含有 p = n − 2 q 条竖直匹配边，其中 0 ≤ q ≤ n − 1 2 ， 1 ≤ p ≤ n 。 当 a 1 b n ， b 1 a n ∈ M 时，当我们删掉 a 1 ， b 1 ， a n ， b n 这4个顶点后就得到了 L n − 2 ，所以只需要计算出 L n − 2 (含有 2 q − 2 条水平匹配边)的完美匹配个数即可，设 M L n 有 | M 1 | 个完美匹配，故根据 [ 5 ] 中推论2得到 | M 1 | = ( n − 2 − p 2 + p p ) = ( n + p − 2 2 p ) = ( n − q − 1 n − 2 q ) = ( n − q − 1 q − 1 ) 。 当 a 1 b n ， b 1 a n ∉ M 时，设 M L n 的完美匹配个数 | M 2 | ，删掉水平边 a 1 b n ， b 1 a n 后就得到了 L n ，从而我们只需要计算出 L n (包含2q条水平匹配边)的完美匹配个数即可，故根据 [ 5 ] 中推论2可得 | M 2 | = ( n − p 2 + p p ) = ( n + p 2 p ) = ( n − q n − 2 q ) = ( n − q q ) 。 因此当n为奇数且 p ≥ 1 时， | M | = | M 1 | + | M 2 | = n n − q ( n − q q ) 。 当n为奇数，且 a i a i + 1 ∈ M 与 b i b i + 1 ∈ M 不同时存在时，有 n = q ，且 | M | = 2 。 当n是偶数时，p也为偶数。设M是 M L n 的一个完美匹配，且M含有2q条水平匹配边必成对出现，则M含有 p = n − 2 q 条竖直匹配边，其中 0 ≤ q ≤ n 2 ， 0 ≤ p ≤ n 。当 p ≥ 2 时，类似于n为奇数时，将 M L n 化为梯子图计算，就有 | M | = n n − q ( n − q q ) ；而当 p = 0 时， n = 2 q ，就有 2 q 2 q − q ( 2 q − q q ) = 2 = | M | 。 由定理3和定理4，我们有下面这个定理。 定理5 M L n 的反强迫多项式为： A f ( M L n ， x ) = { 3 x 2 ，     n = 2 6 x 3 ，     n = 3 2 x 3 + ( n ( n 2 − 1 ) 24 + n ) x n + 3 2 + ∑ q = 0 n − 5 2 n n − q ( n − q q ) x n − q ，     n ≥ 5 是 奇 数 ( n 2 4 + 2 ) x n + 2 2 + ∑ q = 0 n − 4 2 n n − q ( n − q q ) x n − q ，     n ≥ 4 是 偶 数 根据引理3和定理5，我们有： 推论2 Möbius梯状图 M L n 的完美匹配个数 | M | = { l n + 2 ， 若 n ≥ 3 是 奇 数 l n ， 若 n ≥ 2 是 偶 数 。 注：这与循环梯状图 C L n 中的结论，奇偶是相反的，详细可见 [ 3 ]。
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user: 摘要 本文主要介绍了一类被积函数为 c o s x ⋅ c o s 2 x 的不定积分问题的求解方法并证明了在不同的方法求解下所得到的任意两个原函数之间只相差一个常数；有效地回答了在适当的假设下，任意两个原函数是等价的结论。最后，我们给出了被积函数为 c o s x ⋅ c o s n x ( n ≥ 2 ) 情形下不定积分的原函数的表达式。
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user: 1. 引言 在文献 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] 中，我们知道，如果初等函数 f ( x ) 在某区间上连续，那么 f ( x ) 在该区间上的原函数一定存在且 f ( x ) 的任意两个原函数之间只相差一个常数C，即如果 F ( x ) 和 G ( x ) 都是 f ( x ) 的原函数，则有 F ( x ) − G ( x ) = C 。但是在经济数学和高职数学的教学中，我们发现学生对原函数存在性定理的内容及其性质存在很大的疑惑，他们并不能完全理解其中的意思。甚至有时通过不同的方法计算出的原函数与书上答案不一样，他们竟然认为自己的计算是错误的。故本文主要以一类被积函数为 cos x ⋅ cos 2 x 的不定积分为例，探讨此类不定积分问题的解法及其结果的等价性，希望能给经管类和高职的学生学习高等数学微积分这一块知识提供一些有力的帮助。
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user: 2. 求不定积分 ∫ c o s x ⋅ c o s 2 x d x 2.1. 不定积分的解法 1) 第一换元积分法 解1： ∫ cos x ⋅ cos 2 x d x = 1 2 ∫ ​ ( cos x + cos 3 x ) d x = 1 2 [ ∫ ​ cos x d x + ∫ ​ cos 3 x d x ] = 1 2 ∫ ​ cos x d x + 1 6 ∫ ​ cos 3 x d ( 3 x ) = 1 2 sin x + 1 6 sin 3 x + C 1 (1) 解2： ∫ cos x ⋅ cos 2 x d x = ∫ ​ cos x ( 1 − 2 sin 2 x ) d x = ∫ ​ ( 1 − 2 sin 2 x ) d sin x = ∫ ​     d sin x − 2 ∫ ​ sin 2 x d sin x = sin x − 2 3 sin 3 x + C 2 (2) 2) 分部积分法 解1： ∫ cos x ⋅ cos 2 x d x = 1 2 ∫ ​ cos x d sin 2 x = 1 2 [ sin 2 x ⋅ cos x − ∫ ​ sin 2 x d cos x ] = 1 2 sin 2 x cos x + 1 2 ∫ ​ sin 2 x ⋅ sin x d x = 1 2 sin 2 x cos x + 1 2 ∫ ​     2 sin x cos x ⋅ sin x d x = 1 2 sin 2 x cos x + ∫ ​ sin 2 x d sin x = 1 2 sin 2 x cos x + 1 3 sin 3 x + C 3 (3) 解2： ∫ cos x ⋅ cos 2 x d x = ∫ ​ cos 2 x d sin x = cos 2 x ⋅ sin x − ∫ ​ sin x d cos 2 x = cos 2 x ⋅ sin x + ∫ ​ sin x ⋅ 2 sin 2 x d x = cos 2 x ⋅ sin x + ∫ ​ sin x ⋅ 4 sin x cos x d x = cos 2 x ⋅ sin x + 4 ∫ ​ sin 2 x d sin x = cos 2 x ⋅ sin x + 4 3 sin 3 x + C 4 (4) 3) 第二换元积分法 解：令 t = cos x ， t ∈ [ 0 ， π ] (这是存在反函数 x = arccos t 的一个单调区间)且 d x = − 1 1 − t 2 d x ，则 ∫ cos x ⋅ cos 2 x d x = ∫ ​ cos x ⋅ ( 2 cos 2 x − 1 ) d x = ∫ ​     2 cos 3 x d x − ∫ ​ cos x d x = − 2 ∫ ​ t 3 1 − t 2 d t + ∫ ​ t 1 − t 2 d t = − ∫ ​ t 2 1 − t 2 d t 2 + ∫ ​ t 1 − t 2 d t = − ∫ ​ 1 − t 2 − 1 1 − t 2 d ( 1 − t 2 ) − 1 2 ∫ ​ 1 1 − t 2 d ( 1 − t 2 ) = ∫ ​ ( − 1 − t 2 + 1 1 − t 2 − 1 2 1 1 − t 2 ) d ( 1 − t 2 ) = 1 − t 2 − 2 3 ( 1 − t 2 ) 3 2 + C 5 = sin x − 2 3 sin 3 x + C 5 (5) 2.2. 不定积分计算结果的等价性 这一部分我们将证明上述计算结果(1)~(5)任意两个之间只是相差一个常数C且在适当的假设下，任意两个结果是等价的。 1) 从结果(2)和(5)易知，不定积分 ∫ cos x ⋅ cos 2 x d x 的两个原函数只相差一个常数C。若 C 2 = C 5 ，结果(2)与(5)等价。 2) 证明结果(1)与(2)等价。 证明： 1 2 sin x + 1 6 sin 3 x + C 1 = 1 2 sin x + 1 6 sin ( x + 2 x ) + C 1 = 1 2 sin x + 1 6 [ sin x cos 2 x + cos x sin 2 x ] + C 1 = 1 2 sin x + 1 6 [ sin x ( 1 − 2 sin 2 x ) + 2 sin x cos 2 x ] + C 1 = 1 2 sin x + 1 6 [ sin x − 2 sin 3 x + 2 sin x ( 1 − sin 2 x ) ] + C 1 = 1 2 sin x + 1 6 [ 3 sin x − 4 sin 3 x ] + C 1 = sin x − 2 3 sin 3 x + C 1 此结果表明不定积分 ∫ cos x ⋅ cos 2 x d x 的两个原函数只相差一个常数C。若 C 1 = C 2 ，结果(1)与(2)等价。 3) 证明结果(3)与(2)等价。 证明： 1 2 sin 2 x cos x + 1 3 sin 3 x + C 3 = sin x cos 2 x + 1 3 sin 3 x + C 3 = sin x [ 1 − sin 2 x ] + 1 3 sin 3 x + C 3 = sin x − 2 3 sin 3 x + C 3 此结果表明不定积分 ∫ cos x ⋅ cos 2 x d x 的两个原函数只相差一个常数C。若 C 3 = C 2 ，结果(3)与(2)等价。 4) 证明结果(4)与(2)等价。 证明： cos 2 x ⋅ sin x + 4 3 sin 3 x + C 4 = ( 1 − 2 sin 2 x ) sin x + 4 3 sin 3 x + C 4 = sin x − 2 3 sin 3 x + C 4 此结果表明不定积分 ∫ cos x ⋅ cos 2 x d x 的两个原函数只相差一个常数C。若 C 4 = C 2 ，结果(4)与(2)等价。
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user: 3. 不定积分的推广 这一部分我们将被积函数为 cos x ⋅ cos 2 x 的不定积分推广为被积函数为 cos x ⋅ cos n x ( n ≥ 2 ) 不定积分，即计算不定积分 ∫ ​ cos x ⋅ cos n x d x ( n ≥ 2 ) 。 1) 第一换元积分法 解： ∫ ​ cos x ⋅ cos n x d x = 1 2 ∫ ​ [ cos ( n − 1 ) x + cos ( n + 1 ) x ] d x = 1 2 [ ∫ ​ cos ( n − 1 ) x d x + ∫ ​ cos ( n + 1 ) x d x ] = 1 2 ( n − 1 ) ∫ ​ cos ( n − 1 ) x d ( n − 1 ) x + 1 2 ( n + 1 ) ∫ ​ cos ( n + 1 ) x d ( n + 1 ) x = 1 2 ( n − 1 ) sin ( n − 1 ) x + 1 2 ( n + 1 ) sin ( n + 1 ) x + C 6 (6) 2) 分部积分法 解1： ∫ ​ cos x ⋅ cos n x d x = ∫ ​ cos n x d sin x = sin x cos n x − ∫ ​ sin n x d cos n x = sin x cos n x + n ∫ ​ sin x ⋅ sin n x d x = sin x cos n x − n 2 ∫ ​ [ cos ( n + 1 ) x − cos ( n − 1 ) x ] d x = sin x cos n x − n 2 ( n + 1 ) sin ( n + 1 ) x + n 2 ( n − 1 ) sin ( n − 1 ) x + C 7 (7) 解2： ∫ ​ cos x ⋅ cos n x d x = ∫ ​ cos x d ( 1 n sin n x ) = 1 n sin n x cos x − 1 n ∫ ​ sin n x d cos n x = 1 n sin n x cos x + 1 n ∫ ​ sin n x ⋅ sin x d x = 1 n sin n x cos x − 1 2 n ∫ ​ [ cos ( n + 1 ) x − cos ( n − 1 ) x ] d x = 1 n sin n x cos x − 1 2 n ( n + 1 ) sin ( n + 1 ) x + 1 2 n ( n − 1 ) sin ( n − 1 ) x + C 8 (8) 这里，我们通过第一换元积分法和部分积分法得到了不定积分 ∫ ​ cos x ⋅ cos n x d x 的三个原函数(6)、(7)和(8)，经过简单的变形，我们亦能得到(6)和(7)，(6)和(8)只相差一个常数C，即 sin x cos n x − n 2 ( n + 1 ) sin ( n + 1 ) x + n 2 ( n − 1 ) sin ( n − 1 ) x + C 7 = [ sin ( n + 1 ) x − sin ( n − 1 ) x ] 2 − n 2 ( n + 1 ) sin ( n + 1 ) x + n 2 ( n − 1 ) sin ( n − 1 ) x + C 7 = [ n 2 ( n − 1 ) − 1 2 ] sin ( n − 1 ) x + [ 1 2 − n 2 ( n + 1 ) ] sin ( n + 1 ) x + C 7 = 1 2 ( n − 1 ) sin ( n − 1 ) x + 1 2 ( n + 1 ) sin ( n + 1 ) x + C 7 此结果表明不定积分 ∫ ​ cos x ⋅ cos n x d x 的两个原函数只相差一个常数C。若 C 6 = C 7 ，结果(6)与(7)等价； 1 n sin n x cos x − 1 2 n ( n + 1 ) sin ( n + 1 ) x + 1 2 n ( n − 1 ) sin ( n − 1 ) x + C 8 = 1 n ⋅ [ sin ( n + 1 ) x + sin ( n − 1 ) x ] 2 − 1 2 n ( n + 1 ) sin ( n + 1 ) x + 1 2 n ( n − 1 ) sin ( n − 1 ) x + C 8 = [ 1 2 n − 1 2 n ( n + 1 ) ] sin ( n + 1 ) x + [ 1 2 n ( n − 1 ) − 1 2 n ] sin ( n − 1 ) x + C 8 = 1 2 ( n − 1 ) sin ( n − 1 ) x + 1 2 ( n + 1 ) sin ( n + 1 ) x + C 8 此结果表明不定积分 ∫ ​ cos x ⋅ cos n x d x 的两个原函数只相差一个常数C。若 C 6 = C 8 ，结果(6)与(8)等价。
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user: 4. 结语 本文主要以一类被积函数为 cos x ⋅ cos 2 x 的不定积分问题为例，分别用第一换元积分法、分部积分法和第二换元积分法得到了此不定积分原函数的存在形式，证明了任意两个原函数之间只相差一个常数C的结论并且在适当的假设下，得到了任意两个原函数是等价的结论；随后，又将此类不定积分问题进行了推广，得到了相同的结论。通过上面对被积函数为 cos x ⋅ cos 2 x 的不定积分问题的探讨，能给在学习微积分的学生提供一些帮助，使其明白在求某个初等函数的原函数的时候，有时我们通过不同的方法求得的原函数可能存在各种各样的形式，但是这些各种各样的形式之间确实经过某些简单的化简处理，我们都能得到任意两个原函数之间只相差一个常数C。换句话说，求不定积分的答案不唯一，我们不能完全按照书上的答案来定义自己的结果，只要我们对自己所求原函数进行求导计算，如果它等于被积函数，那么我们的答案就是正确的。
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user: 摘要 目的：分析探究安宁疗护提高晚期肺癌患者生活质量的效果以及护理措施。方法：选取我院2019年7月至2020年7月收治的晚期肺癌患者，采用随机数表法将其分为观察组和对照组，每组晚期肺癌患者各40例，其中对照组使用常规护理措施，观察组使用安宁疗护的措施进行护理并对护理需求进行分析，将两组患者的生活质量进行对比。结果：观察组晚期肺癌患者的生理机能、认知功能、社会功能、精神健康明显优于对照组，差异具有统计学意义(P < 0.05)；观察组肺癌晚期患者的陪床护理评分、生活干预评分、心理疏导评分、需求满足评分明显优于对照组，差异具有统计学意义(P < 0.05)。结论：经过临床实验证实，使用安宁疗护护理方法对于晚期肺癌患者进行护理能够有效的提高患者的生活质量，还能够得到较高的好评，建议临床使用。
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user: 1. 引言 肺癌是一种平时在日常生活中比较常见的癌症，在中国肺癌的发病率是非常高的。一般肺癌在早期的时候没有任何明显的症状，一旦到了发病时就是肺癌晚期。有一些早期的肺癌患者在癌细胞还没有转移之前可以做手术，但是那些晚期的肺癌患者，癌细胞已经发生了转移，所以不能够通过做手术来治疗肺癌。如果是晚期的肺癌患者的话，最好是可以通过放疗或者是化疗来治疗癌症。肺癌患者平时在日常生活中是一定不能吃辛辣以及油腻的食物的，这些食物不仅会在一定程度上刺激肺癌患者的肠胃还会加速病情的恶化。虽然患者平时在日常生活中，最好是可以吃一点儿清淡又营养丰富的食物。安宁疗护是老年健康服务体系中的重要一环，旨在为疾病终末期或老年患者在临终前提供全方位的照料和人文关怀。圆满人生多年来见证不少临终告别时刻，深知安宁疗护的重要性和必要性，我们特别整理了我国安宁疗护发展建设情况，为更多家庭在面对抉择时提供参考。但我国全国性安宁疗护工作起步较晚，全国范围内尚未统一统一的操作流程及实践标准，管理与规范尚待完善 [ 1 ]。为此，选取本院2019年7月至2020年7月共收治的80例晚期肺癌患者进行安宁疗护对于生活质量提高的研究，研究结果如下。
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user: 2. 资料与方法 2.1. 一般资料 选取我院2019年7月至2020年7月收治的晚期肺癌患者，采用随机数表法将其分为观察组和对照组，每组晚期肺癌患者各40例，其中观察组的男患者有23例，女患者有17例，平均年龄为(67.26 ± 4.12)；对照组的男患者有22例，女患者有18例，平均年龄为(65.33 ± 6.25)。两组患者的性别、年龄进行对比，差异不具有统计学意义(P > 0.05)。本次研究开展经过了医院伦理委员会批准研究且患者及家属均知晓。 纳入标准：符合肺癌晚期的诊断标准。排除标准：1) 患者的情绪的控制效果不好；2) 肺癌患者患者具有咯血史；3) 晚期肺癌患者对于护理干预期间缺乏服从性；4) 患有严重内控疾病或其他呼吸道疾病；5) 患有精神或意识类疾病 [ 2 ]。 2.2. 方法 对照组：使用常规护理方法。① 环境护理：待患者入院后，根据气候变化的情况，采用调节病房的温度，使室内保持室温在24℃左右，避免患者血管收缩。② 在患者接受放化、手术和免疫等治疗时，需要密切关注患者的各项生命体征，在患者接受治疗前，需要向患者讲解治疗过程中可能出现的不良反应以及需要关注的注意事项，加强患者对治疗方式的了解。③ 饮食护理：患者接受放化治疗，需要向患者说明采用温清水和质地柔软毛刷进行口腔护理，主要需要注重少食多餐的饮食方式，可食银耳，百合，鳗鱼，猴桃，香蕉等具有营养的食物。 观察组：使用安宁疗护的基础上对护理需求进行分析，采取护理干预为主，其具体实施方法如下：第一、通过健康教育等方面对肺癌晚期患者进行干预，让肺癌晚期患者进行知识培训，其中培训的内容包括了肺癌晚期的疾病认知、自护知识等。组建知识互助小组，每个病房内的肺癌晚期患者为一个小组，进行健康知识的学习和沟通，组与组之间多进行交流，达到知识共享共消化的目的。在一定基础上满足每一位肺癌晚期患者的需求，针对年龄较大的肺癌晚期患者采用通俗易懂的方式进行知识的灌输，对于悟性高的肺癌晚期患者进行健康教育的力度加强；第二、肺癌晚期患者在应对疾病时，心理控制能力差，极易产生消极或负面情绪，肺癌晚期患者多存在对护理后效能感低下，自我负担的压力增大等情况，导致肺癌晚期患者的治疗信念较差，导致在对患者进行治疗、检查及护理的过程不易开展，也对肺癌晚期患者预后十分不利，从而影响肺癌晚期患者在治疗过程中的依从性。因此，要对肺癌晚期患者进行鼓励，每组成员之间进行沟通并互相加油打气，相互激励，加强外界对肺癌晚期患者的支持，从而使得肺癌晚期患者树立起对抗疾病的自信心；第三、对肺癌晚期患者进行针对性的护理指导。护理人员在对肺癌晚期患者进行护理工作指导时，需要告知肺癌晚期患者对饮食把控的意义，要求其配合相关检查和监护。在对肺癌晚期患者进行指导护理期间，要保障肺癌晚期患者的情绪在一个稳定的状态，并且还要指导肺癌晚期患者在进食完成后进行适量的运动，将运动时间控制在饭后40分钟 [ 3 ]；第四、让肺癌晚期患者侧卧，根据身体的状况选择合适的姿势，然后必须让肺癌晚期患者保持良好的呼吸方式，如果出现窒息症状时，要及时采取护理措施，及时做出应对措施，以此提高患者护理质量；第五、为肺癌晚期患者实施护理干预，在对肺癌晚期患者进行护理时，对肺癌晚期患者做好及时的护理处置工作，保障肺癌晚期患者的静脉通道顺畅，做好患者皮肤的观察和处理，对肺癌晚期患者进行护理指导，进一步完善护理干预工作，保障肺癌晚期患者的护理质量；第六、由于病情会严重一想到肺癌晚期患者的身体状况以及情绪，因此要尽量让肺癌晚期患者多进行休息，不能过于疲劳，减少疾病给肺癌晚期患者带来的折磨，护理人员应当控制外界所产生的的各种因素，从而帮助肺癌晚期患者及时入睡 [ 4 ]。 2.3. 统计学方法 应用SPSS20.0软件分析，计量数据采用均数 ± 标准差(   x ¯ ± s )表示，计数资料采用百分比表示，如果两组P < 0.05，差异具有统计学意义。等级资料采用秩和检验。计数数据采用χ 2 检验，如果两组P < 0.05，差异具有统计学意义 [ 5 ]。
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user: 3. 结果 3.1. 两组肺癌晚期患者的生理机能、认知功能、社会功能、精神健康对比 观察组晚期肺癌患者的生理机能、认知功能、社会功能、精神健康明显优于对照组，两组患者的生活质量进行对比差异具有统计学意义(P < 0.05)。详见表1。 Table 1 Comparison of quality of life scale between the two groups [(   x ¯ ± s ) points 组别 时间 生理机能 认知功能 社会功能 精神健康 观察组(n = 40) 干预前 61.36 ± 5.93 a 54.97 ± 4.29 a 60.90 ± 4.29 a 59.16 ± 3.28 a 干预后 71.39 ± 3.71 b 61.54 ± 4.63 b 73.22 ± 2.14 b 65.58 ± 3.21 b 对照组(n = 40) 干预前 60.29 ± 3.46 55.93 ± 2.16 61.23 ± 4.21 58.71 ± 3.24 干预后 66.71 ± 2.88 58.21 ± 5.78 64.22 ± 4.25 58.29 ± 5.47 表1. 两组患者生活质量量表对比[(   x ¯ ± s )分] 注：与对照组干预前比较， a P > 0.05；与对照组干预后比较， b P < 0.05。 3.2. 两组肺癌晚期患者的陪床护理评分、生活干预评分、心理疏导评分、需求满足评分对比 观察组肺癌晚期患者的陪床护理评分、生活干预评分、心理疏导评分、需求满足评分明显优于对照组，两组患者安宁疗护满意度进行对比差异具有统计学意义(P < 0.05)。详见表2。 Table 2 Satisfaction of hospice care between the two groups [(   x ¯ ± s ) points 组别 例数 陪床护理 生活干预 心理疏导 需求满足 观察组 40 93.21 ± 4.11 95.39 ± 2.87 96.22 ± 1.89 92.74 ± 4.07 对照组 40 85.29 ± 7.66 87.54 ± 5.42 77.71 ± 9.74 76.29 ± 8.62 t - 5.762 9.272 11.799 10.914 P - 0.000 0.000 0.000 0.000 表2. 两组患者安宁疗护满意度[(   x ¯ ± s )分] 注：两组肺癌晚期患者安宁疗护满意度进行对比，差异具有统计学意义。
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user: 4. 结论 就当下来看，我国的人口在逐日增长，人口老龄化也较为严重，且对于癌症的发病率也在急剧增长。肺癌晚期患者的主要症状有出现癌性疼痛(肩痛、胸痛)肩痛主要是来自颈部、支配上肢的感觉和运动的神经纤维均经此区进入上肢，肿瘤一旦侵至区内往往会引起侧上肢的疼痛、乏力。晚期肺癌声音开始变的沙哑，说话很吃力是最常见临死前症状 [ 6 ]。因肿瘤侵及纵隔左侧，使喉返神经受到压迫，声嘶便产生了，但却无咽痛及上呼吸道感染的其它症状。患者胸闷，总才感觉喘气不够，且很累，从而出现气促症状，这主要是因为肺癌晚期癌细胞大量扩散转移造成胸腔积水引起的，积水压迫胸腔。肺癌患者后期会有明显咳嗽的症状，咳嗽时痰很浓，严重的会出现咳血。晚期患者会出现不能进食，完全没有食欲。如果肺癌出现其他情况，如肝转移，可能会有腹水比较重，还有黄疸的症状比较重，会出现右上腹疼痛以及全身多处疼痛；肺癌晚期如果出现骨转移，会有骨痛和病理性骨折；另外肺癌如果脑转移也比较常见，会有颅内压增高的表现，头晕、头痛很重，还有有恶心、呕吐等 [ 7 ]。使用传统的护理方式，是对患者的生理机能进行观测的方式进行患者的护理工作，但是不能够合理的控制患者的情绪，当患者出现不良情绪时，不能够进行有效地制止。在进行安宁疗护后，肺癌晚期患者的生理机能、认知功能、社会功能、精神健康方面都得到了有效地增长，并且患者对于安宁疗护的满意程度还是偏高的，因此此次研究对于肺癌患者进行临床治疗有着至关重要的帮助。 根据研究结果得出：对两组晚期肺癌患者的生理机能、认知功能、社会功能、精神健康对比得出，观察组晚期肺癌患者的生理机能、认知功能、社会功能、精神健康明显优于对照组，其中观察组晚期肺癌进行安宁疗护干预后生理机能为(71.39 ± 3.71)分，认知功能(61.54 ± 4.63)分，社会功能(73.22 ± 2.14)分，精神健康(65.58 ± 3.21)分；对照组进行常规护理干预后生理机能为(66.71 ± 2.88)分，认知功能(58.21 ± 5.78)分，社会功能(64.22 ± 4.25)分，精神健康(58.29 ± 5.47)分，两组对比具有统计学意义(P < 0.05)；对两组肺癌晚期患者的陪床护理评分、生活干预评分、心理疏导评分、需求满足评分对比得出，观察组肺癌晚期患者的陪床护理评分、生活干预评分、心理疏导评分、需求满足评分明显优于对照组，其中观察组肺癌晚期患者的陪床护理评分为(93.21 ± 4.11)、生活干预评分为(95.39 ± 2.87)、心理疏导评分为(96.22 ± 1.89)、需求满足评分为(92.74 ± 4.07)；对照组肺癌晚期患者的陪床护理评分为(85.29 ± 7.66)、生活干预评分为(87.54 ± 5.42)、心理疏导评分为(77.71 ± 9.74)、需求满足评分为(76.29 ± 8.62)。两组患者对比差异具有统计学意义(P < 0.05)。 综上所述，进行安宁疗护能够对晚期肺癌患者的生理机能、认知功能、社会功能、精神健康几个方面进行提高，能够抑制患者病情的发作，有利于提高晚期肺癌患者的生活质量，建议临床推广。
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user: 摘要 实验课在数据结构与算法课程的整个教学体系中具有重要作用，是连接理论和实践的桥梁和纽带。然而由于多种原因，实验课的实施往往难以达到预期的教学目标。本文针对数据结构与算法课程实验的设计和实施过程中存在的问题进行分析，并基于翻转课堂和基于成果教学的教学模式，提出了一种以学生为主导、教师对整个实验过程实施全流程管理的实验方法，有助于提高学生学习的能动性，在有限的实验时间内实现既定教学目标。
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user: 1. 引言 数据结构与算法课程是信息类本科专业的必修课程，其目标是在学生具备基本的编程能力的基础上，通过常用数据结构和基础算法的讲授及实践，一方面培养学生运用经典的数据结构与算法解决问题的能力，另一方面培养学生的抽象思维和计算思维。与前序课程中的程序设计课程相比，数据结构与算法课程对学生的编程实践能力要求更高，不仅要求具有完备的程序设计和工程实现能力，而且要求具有分析问题并灵活运用已学数据结构和算法解决问题的能力。 为了实现该教学目标，实验课是数据结构与算法课程的必要组成部分。虽然课后的程序设计和算法实践作业也可以部分达到提高学生实践能力的目标，但主要存在以下问题：一方面，课后作业包括各类题目，重点在于通过各类测试题巩固学生对课上学习的概念、方法的理解，能够运用学到的知识进行问题分析和求解，其中程序设计和实现类型的作业比重较低，课后编程实践时间有限；另一方面，在课后编程实践过程中，学生不可避免会遇到各种问题，其中既包括编程技术方面的问题，又包括数据结构与算法应用方面的问题，只能借助书本和互联网自行解决，教师往往无法实时响应，因此学生无法及时获得支持，实践效率低且效果差。实验课作为目标明确的课堂活动，学生能够在确定的时间段内不受干扰地完成一项任务，并且在实践过程中能够与教师互动，及时解决实践过程中遇到的问题，从而保障了实践的教学质量和实施效率。 实验课在数据结构与算法课程的整个教学体系中具有重要作用，然而实际实施效果往往差强人意。这种情况既与实验设计和过程管理有关，也与学生的学习能动性有关。本文针对数据结构与算法课程实验的设计和实施过程中存在的问题进行分析，并基于翻转课堂和基于成果教学(OBE， Outcome Based Education)的教学模式，提出了一种以学生为主导、教师对整个实验过程实施全流程管理的实验方法，有助于提高学生学习的能动性，在有限的实验时间内实现既定教学目标。
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user: 2. 相关研究 作为一门实践导向的计算机理论课程，数据结构与算法课程的实验教学是该领域的研究热点之一。史建焘等在数据结构与算法课程实验教学改革的背景下，针对国外几所典型的高水平大学该课程实验课的教学内容和教学方法进行研究和分析，并将本校的实验课程建设与其进行比较研究 [ 1 ]。杨晓波等针对数据结构与算法课程抽象程度较高，学生难以理解运用的问题，设计了数据结构可视化演示实验软件，并建立了交互式微课以提高学习效果 [ 2 ]。张华等设计了一种教学目标和内容分层的数据结构实验教学体系，并开发了一套开放的数据结构在线实验平台，致力于提高学生参与实验的主动性 [ 3 ]。梁冰等通过引入人工智能应用背景和算法，对数据结构与算法课程的实验内容进行改革，引导学生了解和掌握前沿算法和实际应用领域，有效的提高了学生的学习兴趣和积极性 [ 4 ]。连远锋等介绍了一种基于SPOC的数据结构课程虚拟实验教学改革方法，并给出了相应的虚拟仿真教学案例设计 [ 5 ]。张少仲等将ACM竞赛引入数据结构与算法实验课程，将学生的学习层次与ACM竞赛题目级别建立映射关系，提高了课程实验内容难度与学生能力的匹配度 [ 6 ]。王晓霞等为了提高数据结构与算法课程实验的过程化管理水平，提出在线上线下混合教学模式中遵循统一的文档规范 [ 7 ]。张兆维等对数据结构与算法课程的实验内容进行调整，突出理论部分，弱化代码部分，并增加对创新的激励，提高了学习成效和教学效果 [ 8 ]。付菊等面向数据结构与算法课程设计了一种面向能力培养的混合式实践教学方法，从教学目标、教学方法和过程考核几方面进行教学改革，并提出持续改进建议 [ 9 ]。宋歌对数据结构与算法课程实验教学中的问题及其成因进行分析，从教学内容和方法等方面设计改进措施 [ 10 ]。朱允刚等针对疫情期间线上实践教育的需求，从实际的数据结构与算法课程线上实践教学案例入手，通过与实际应用密切结合并提供在线评测功能，提高了学生的编程兴趣和参与度 [ 11 ]。王彤等以建设数据结构实验金课为目标，设计了实验教学的整体体系结构，采用线上和线下结合方式有效提高了学生的应用和思维能力 [ 12 ]。
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user: 3. 问题分析 数据结构与算法课程的单次实验课通常为2课时约90分钟，时间短但内容极其饱和。在实验课程开始后，授课教师首先需要约10分钟介绍本次实验的内容、具体的实验任务和实验要求、主要涉及的知识点以及编程方法等。在接下来的约80分钟时间内，由学生自主进行问题的分析、数据结构的选择、算法的设计以及编程实现。在该过程中，由教师对整个课堂的实验进度情况进行把控。一方面，教师需要轮循检查各个学生的实验进度，对进度滞后的学生及时指导；另一方面，教师需要及时响应学生的提问，对学生遇到的理论及实践问题予以解答。即使按照10~20人的小班计算，理论上教师平均辅导每个学生的时间只有4~8分钟，如此短的时间通常只够解答1~2个问题。以上分析只是考虑理想情况，在大部分实际情况下，一次实验课教师无法兼顾到每个学生，导致部分学生的提问无法当场得到解答。此外，在实验课开展过程中，学生除了数据结构与算法课程本身的概念、方法等方面的问题外，往往还会遇到编程技术、编程环境等本课程教学内容外的问题，而为了实验顺利开展，教师必须对所有提出的问题予以及时解答，这就需要教师在实验开始前不仅要规划和设计整个实验内容和实验流程，还必须充分考虑在实验过程中可能出现的各类问题并提前准备预案。这既增加了教师在教学课程内容范围之外额外的工作量，又在一定程度上增加了实验过程的不确定性，阻碍了教学实验的顺利开展。为了实现数据结构与算法课程实验的预期教学效果，必须针对以上问题采取相应的解决措施。
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user: 4. 数据结构与算法课程实验建设研究 数据结构与算法课程实验的参与主体包括两类角色：教师和学生。与理论授课过程中教师作为主导角色不同，实验实施过程中应当由学生作为主导角色。因此，翻转课堂这一教学模式适用于实验课程建设和实施。在实验课程建设过程中，需要以学生作为主体，设计各类支撑资源，确保学生提前熟悉实验任务和相关理论知识，并且了解在实验过程中有可能遇到的问题，以及教师预先准备的可以用来提供支持的资源有哪些，从而一方面有针对性的加强学生应对实验内容的思想准备和知识储备，另一方面提高学生自我解决问题的能力。具体而言，在实验课开始之前，教师需要预先准备好实验实施大纲，详细介绍实验目标、实验内容、实验工具、相关知识点和技能点，并提供相关的参考资料。根据学生的教学时间安排和课后空闲程度，上述材料需要在实验课开始前三到七天下发给学生，由学生按照自己的时间安排和学习节奏进行自主学习和准备。采用翻转课堂进行实验课程准备的优势在于，一方面，学生能够根据自身基础和学习习惯进行学习，并且提供的材料可以反复观看，这样不同学习能力的学生就可以根据自身状况进行调整；另一方面，学生能够自由支配学习时间，从而提高学习效率和学习的自主意识，并培养良好的学习习惯。在学生自主进行实验前准备的过程中，教师一方面需要继续准备实验课程的课上材料和问题应对预案，另一方面需要对学生的实验预习状况进行检查。对于学习主动性强的学生，通常会主动咨询预习中遇到的问题，而对于学习自觉性较差的学生，则往往很少提问。对于前者，教师可以很容易掌握学习进度和学习状况，而对于后者，教师必须在部署课前准备任务后上课前这段时间，安排一到两个时间节点，对没有主动反馈的学生的学习准备情况进行检查，从而保障所有学生不会落后于总体进度，并且提前掌握进度相对滞后的学生的问题情况，便于准备后续的实验课实施过程中可能遇到的情况处理预案。 基于成果教学理念的核心要义在于“教育系统中的每项活动设计都应基于学习者最终的学习成果”。在具体执行过程中，基于成果教学需要定义教学成果产出的具体目标。对于数据结构与算法课程实验，其教学目标是通过具体的实验设计和实施过程，让学生掌握相应的理论知识、思维方法及实现方法。具体而言，学生的实验最终产出包括实验代码和实验报告。实验代码反映了学生的实操能力和编码能力，实验报告则完整的记录了从问题分析、方案设计、方案实施和效果评估等一系列完整的实验过程。学生是否达到了实验的预期效果，除了在过程中教师通过交互和节点检查等形式获取的中间状态外，主要还是需要通过学生提交的实验代码和实验报告来检验实验效果是否达成。因此，从最终结果反推，在确定课程实验的教学目标后，需要进行逐层细化分解，将目标量化为可考核的具体实验要求，并体现在学生提交的实验代码和实验报告中。从基于成果的教学理念出发，课程实验的产出是学生形式上得到的学习成果，最终可以通过预设的评估准则来判断是否实现预期的教学目标。与理论课相比，课程实验的教学目标不仅包括知识传授，更重视知识运用和能力培养，因此课程实验的成果必须充分体现学生自主实践的过程和最终达到的水平。教师基于学生的实验成果对学生实验情况进行评估，判断是否达到预设的教学目标，并进一步对整个过程进行回顾和反思，同时针对没有达到预期教学效果的学生开展后续辅导。综上，基于成果教学理念的引入，为实验的设计、开展和评估的全过程提供了统一和明确的方向。
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user: 5. 小结 作为一门重视实践的课程，数据结构与算法课程包含了大量的实验内容。然而由于实验课程时间有限而内容饱和，数据结构与算法课程实验的实施效果往往差强人意，学生难以在课上完成既定实验目标。本文针对数据结构与算法课程实验的设计和实施过程中存在的问题进行分析，基于翻转课堂和基于成果教学(OBE， Outcome Based Education)的教学模式，提出了一种以学生为主导、教师对整个实验过程实施全流程管理的实验方法，有助于提高学生学习的能动性，在有限的实验时间内实现既定教学目标。
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user: 摘要 数学建模在培养大学生发现问题、分析和解决问题的能力方面发挥着其它教学活动无法替代的作用。依托数学建模竞赛的选拔、培训和参赛，使学生借助数学建模建立起数学与应用的桥梁，进而对学生进行后续跟踪训练和科研项目培育。通过这一过程，探索构建“激发创新兴趣–树立创新意识–弘扬创新精神–开拓创新思维–深入创新实践”的培养模式，为提升大学生创新能力提供途径。
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user: 1. 引言 党的十九大报告中指出：创新是引领发展的第一动力。要加快建设创新型国家，就需要瞄准世界科技前沿，倡导创新文化，培养创新人才 [ 1 ]。《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010~2020)》 [ 2 ] 明确要求高校要“着力培养本领过硬的高素质专门人才和拔尖创新人才”；《教育部关于大力推进高等学校创新创业教育和大学生自主创业工作的意见》 [ 3 ] 明确提出要广泛开展创新创业实践活动。因为大学生是创新型国家建设的中坚力量，加强大学生创新能力培养势在必行，创新已成为新时代教育所不可缺少的一部分。多年的实践证明，数学建模在培养大学生发现问题、分析和解决问题的能力方面发挥着其它教学活动无法替代的作用，数学建模活动的开展在促进创新人才的培养中有开拓性的意义。 众所周知，数学建模 [ 4 ] 就是根据实际问题来建立数学模型，对模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题，它是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径。注意到数学建模对于社会发展的巨大促进作用和对提升学生素质的重要意义，自上世纪六七十年代开始，美国和英国的一些学校开始开设数学建模课程，重点讲授把实际问题转化为数学问题的方法，以培养学生的建模能力。1985年，美国开始出现一年一度的大学生数学建模竞赛 [ 5 ]；1989年，我国首次由北京大学、清华大学、北京理工大学选出3个队参加美国大学生数学建模竞赛。美国大学生数学建模竞赛(MCM/ICM)由美国数学及其应用联合会主办，是唯一的国际性数学建模竞赛，也是世界范围内最具影响力的数学建模竞赛。2021年，来自中国、美国、澳大利亚、加拿大、英国、印度等16个国家与地区的26，112支队伍参加。1992年由中国工业与应用数学学会数学模型专业委员会组织举办了我国十个城市的大学生数学模型联赛 [ 6 ]。到1994年，这种大学生数学模型联赛引起了相关部门的高度重视，我国开始由教育部高教司和中国工业与应用数学学会联合主办“高教社杯全国大学生数学建模竞赛(CUMCM)”，每年一届。2007年CUMCM被列入教育部质量工程首批资助的学科竞赛之一，由于该项赛事的重要意义，使其影响力不断提升，参赛规模逐年扩大，是首批列入“高校学科竞赛排行榜”的19项竞赛之一。2020年，来自全国及美国、英国、马来西亚的1470所院校/校区、45，680队(本科41，826队、专科3854队)、13万多人报名参赛，是目前全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。 我校已连续多年参加全国大学生数学建模竞赛(“国赛”)，自2015年开始举办北京建筑大学数学建模竞赛(“校赛”)，2016年组织学生首次参加美国大学生数学建模竞赛(“美赛”)。随着参赛队伍的增加，学生通过参加竞赛在一定程度上创新能力得以提升，但是一方面培养仅仅局限在参赛过程中，另一方面社会对创新人才的需求正在日益增长，这就使得探索数学建模竞赛驱动下更有效的可持续的大学生创新能力培养模式势在必行。
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user: 2. “三维融合”的数学建模教学模式 数学建模竞赛指导团队成员积极探索创新人才培养模式的改革实践，积极推动数学学科教学建设改革，以培育建模思维，提升数学素养为中心，构建了“三维融合”的数学建模教学模式，如图1所示。 图1. “三维融合”的数学建模教学模式 一是改革公共基础课教学，渗透数学建模思想。在本科生《高等数学》、《线性代数》、《概率论与数理统计》等数学类公共基础课程的教学过程中，教师从讲授一般的纯粹数学转到讲授数学应用和应用数学方面来，通过实例融入数学建模思想。比如利用重要极限公式讨论“人口预测问题”，利用介值定理证明“在起伏不平的地面上椅子的四个脚可以同时着地”等等，使学生亲身体会应用数学知识解决实际问题的乐趣，充分激发学生学习数学的兴趣。 二是开设数学建模选修课，培养数学建模思维。指导团队针对全校本科生开设了32学时的数学建模选修课，课程中较为详细地介绍数学建模的方法和理论，以及它们在实际生产生活中的应用，培养学生的数学建模思维。同时，教师们注重科研与教学相结合，利用科研内容辅助课堂教学。在巩固学生基本技能和动手能力的基础上，及时更新案例内容，将最新科研成果应用到实践教学中，增加实践教学中创新性和前沿性项目比例。课程受到学生的喜爱，每年选课人数在一百人左右，也为后续选拔参赛选手做了准备。 三是举办建模专题讲座，激发数学建模兴趣。每年举办专题讲座，多次邀请全国各地数学建模专家来校宣讲，让学生领略数学建模的魅力，传递给学生完成数学建模竞赛的信念。