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user: 1. 引言 记 p ≥ 2 是一个素数， Q p 是p-adic数域且 Z p 是p-adic整数环。 Q p 中任意点x可以表示为 ∑ i ≥ m p i u i ，其中 u i ∈ F = { 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， p − 1 } ， m ∈ Z 且 u m ∈ F * = { 1 ， 2 ， ⋯ p − 1 } 。非零元素x的赋值为 v p ( x ) = m 。 x ≠ 0 的绝对赋值是 | x | p = p − v p ( x ) 且若 x = 0 ，设 | x | p = 0 。赋予了绝对值 |   ⋅   | p 的 Q p 是一个非阿基米德空间。 Oselies和Zieschang在1975年在 Z p 上研究了仿射动力系统，具体地，他们研究形如 M a ( x ) = a x (其中 )的映射在 Z p * 动力学性质 [ 1 ] 。2006年，Fan，Li，Yao和Zhou对p-adic整数系数仿射映射 f = α x + β ，(其中 α ， β ， x ∈ Z p )在 Z p 上的极小分解与唯一遍历性进行了研究并发表了文章 [ 2 ] 。2011年，Fan和Fares研究了系数在 Q p 上的仿射映射的遍历性分解 [ 3 ] 。2011年，Fan和Liao研究了p-adic多项式动力系统的极小分解 [ 4 ] 。2014年，Fan，Liao和Wang发表了关于p-adic分式变换的动力系统的极小分解的研究成果 [ 5 ] 。 我们在本文中讨论二维的仿射映射 T A ， b ( X ) = A X + b (1.1) 在 Q p × Q p 上的动力学性质，其中 A = ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) ， b = ( b 1 b 2 ) ， X = ( x 1 x 2 ) 且所有的元素都在 Q p 中。 令 m > 1 ∈ Z * ， n ∈ Z 对于二次同余式 x 2 ≡ n mod m ， ( n ， m ) = 1 (1.2) 若式(1.2)有解，则称n为模m的二次剩余；若无解，则称n为模m的二次非剩余。 设 M ， N 都是2阶方阵，若存在2阶可逆矩阵P，使得 P − 1 M P = N ，则称M与N相似，P称为相似变换阵。 令 Δ = ( a 11 − a 22 ) 2 + 4 a 12 a 21 ，则 1) 如果 Δ ≠ 0 是模p的二次剩余，那么A与 ( λ 1 0 0 λ 2 ) 相似。 2) 如果 Δ = 0 ，那么A与 ( λ 1 0 λ ) 相似，其中 v p ( λ ) = 0 。 3) 如果 Δ 是模p的二次非剩余。 注：本文研究情况1)和2)中 | λ | p ≠ 1 或 | λ | p = 1 的情况。 对应于式子(1.1)中不同类型的A，根据上述中1) 2)，我们得到与 T A ， b 共轭的仿射映射，分别是： 类型1 T B ， b ′ ( x ) = ( λ 1 0 0 λ 2 ) ( x 1 x 2 ) + ( β 1 β 2 ) ，其中 β 1 ， β 2 ∈ Q p 。 类型2 T B ， b ′ ( x ) = ( λ 1 0 λ ) ( x 1 x 2 ) + ( β 1 β 2 ) ，其中 β 1 ， β 2 ∈ Q p 。 我们得出以下结果： 定理1. 针对类型1中仿射映射 T B ， b ′ ( X ) ，动力系统 ( Q p × Q p ， T B ， b ′ ( X ) ) 分解成： Q p × Q p = P ∪ M ∪ H ， 其中P代表 的吸引域， M = ∪ i M i 是所有(至少可数多个)闭开集 M i 的并，其中 M i 是有限个圆盘的并而且子系统 T B ， b ′ : M i → M i 是极小的。H中的点最终会落在P与M中。 具体分解如下： 1) 如果 λ 1 = λ 2 = 1 ，则有 D v p ( β 1 ) ( 0 ) × D v p ( β 2 ) ( 0 ) 包含于M。根据 r i < v p ( β i ) 时， S r i ( 0 ) 由 p v p ( β i ) − r − 1 ( p − 1 ) ( i = 1 ， 2 ) 个极小集组成。此时 Q p × Q p 包含于M， P = H = ∅ 。 2) 如果 | λ 1 | p > 1 ， | λ 2 | p > 1 ， P = { ∞ } × { ∞ } ∪ { β 1 1 − λ 1 } × { β 2 1 − λ 2 } ∪ { β 1 1 − λ 1 } × { ∞ } ∪ { ∞ } × { β 2 1 − λ 2 } ， M = ∅ ， H = Q p × Q p \ { { ∞ } × { ∞ } ∪ { β 1 1 − λ 1 } × { β 2 1 − λ 2 } ∪ { β 1 1 − λ 1 } × { ∞ } } 。 3) 当 | λ 1 | p < 1 ， | λ 2 | p < 1 ，则 P = { β 1 1 − λ 1 } × { β 2 1 − λ 2 } ， M = ∅ ， H = Q p × Q p \ { β 1 1 − λ 1 } × { β 2 1 − λ 2 } 。 4) 若 λ 1 ， λ 2 ≠ 1 ，且存在 d i ≥ 2 使得 。则对于任意的 X ∈ Q p × Q p ， T B ， b ′ n ( X ) 是 [ d 1 ， d 2 ] -周期的( [ d 1 ， d 2 ] 代表 d 1 与 d 2 的最小公倍数)。此时 P = Q p × Q p ， M = H = ∅ 。 5) 如果 | λ 1 | p = 1 ， | λ 2 | p = 1 ，且 λ i ∉ V ，则对于 r i ∈ Z ， S r i ( β i 1 − λ i ) 由 p v 0 ( λ i ) ( p − 1 ) δ i 个极小集组成，其中 δ i 是 λ i 在群 ( Z p / p v 0 ( λ i ) Z p ) * ( i = 1 ， 2 ) 的阶。此时 S r i ( β i 1 − λ i ) × S r i ( β i 1 − λ i ) 包含在M中。所以 M ∈ Q p × Q p ， P = H = ∅ 。 对于类型2中仿射映射 T B ， b ′ ，其在 Q p × Q p 上的一些动力学性质如下结果给出。 定理2. 如果 λ = 1 ，则 T B ， b ′ ( x ) = ( λ 1 0 λ ) ( x 1 x 2 ) + ( β 1 β 2 ) 以初始点为 { x 1 } × { x 2 } 在 Q p × Q p 中轨迹有以下性质： 1) 当 p > 2 且p是素数时， a) 如果 β 2 = 0 ， { T B ′ ， b ′ n : n ≥ 0 } ¯ = { x 1 + p v p ( x 2 ) Z p } × { x 2 } 。 b) 如果 v p ( β 2 ) = s ≠ 0 ，且 β 2 2 = p s u ，其中 u ∈ Z p * ，则当 v p ( x 2 ) ≥ s ， { T B ′ ， b ′ n : n ≥ 0 } ¯ = { D ″ } × { D } ，其中 D = ∪ j = 1 p − 1 2 ∪ i = 0 ∞ p 2 i ( a j + p Z p ) ， D ″ = x 1 − ( 2 x 2 − β 2 ) 2 8 β 2 − ∪ j = 1 p − 1 2 u ⋅ D ′ j ， D ′ j = ∪ i = 0 ∞ p 2 i + s ( b j + p Z p ) 且 a j 、 b j 是模p的二次剩余。 2) 当 p = 2 时， a) 如果 β 2 = 0 ， { T B ′ ， b ′ n : n ≥ 0 } ¯ = { x 1 + p v p ( x 2 ) Z p } × { x 2 } 。 b) 如果 β 2 ≠ 0 ，令 v 2 ( β 2 ) = t 且 β 2 2 = 2 t − 1 w ，其中 w ∈ Z 2 * ，我们得到当 v 2 ( x 2 ) = t − 1 且 v 2 ( 2 x 2 − β 2 ) ≥ 0 ， { T B ′ ， b ′ n : n ≥ 0 } ¯ = { D ″ } × { D v 2 ( β 2 ) } ，其中 D ″ = x 1 − ( 2 x 2 − β 2 ) 2 8 β 2 − w D 且 D = ∪ i = 0 ∞ ( 2 2 i + t ( 1 + 8 Z 2 ) ) 。 定理2的结论有助于得到系统极小分解的相关内容。