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user: 3. 模拟与结论 我们通过模拟研究来比较四种方法所得到的置信区间和假设检验的表现。在模拟设计中，分别取两样本量为(5，5)，(15，10)，(20，15)，(0，30)。M取5000，L取2000，相关参数的选定在表格中给出。其中，CP表示覆盖概率，IL表示区间长度，GV代表文章所提出的广义枢轴量方法，LS代表基于大样本近似估计方法，TIR表示检验犯第一类错误的概率。从表1~表3的模拟结果可以看出，对于单参数指数分布，广义推断、大样本方法和Bayes方法的覆盖概率在样本量较小的情况下具有好的表现，且广义推断方法和Bayes方法得到的平均置信长度较小，二者的效果更好，Bootstrap方法随着样本量的增加，覆盖概率会逐渐接近名义水平。同时对于单参数指数分布情况下的假设检验问题，给出了不同方法的检验犯第一类错误的概率以及检验的功效，从表4和表5的模拟结果可以看出，广义推断方法和Bayes方法的检验犯第一类错误的概率在名义水平附近，且当样本量较小时，效果也很令人满意。观察表6与表7的结果发现，广义推断方法检验的功效与渐进正态的大样本方法和Bayes方法的功效没有显著差异，小于Bootstrap方法的功效，原因是在这些情况下Bootstrap方法犯第一类错误的概率大于名义水平。另外，当效应的真值原理原假设时，广义p值检验的功效趋于1的速度与其他三种方法的速度是相近的。 Table 1 The main coverage probability and average confidence length of the two-sided confidence interval of the single-parameter exponential distribution parameter T 95 ( m ， n ) = ( 5 ， 5 ) ( m ， n ) = ( 15 ， 10 ) ( m ， n ) = ( 20 ， 15 ) ( m ， n ) = ( 30 ， 30 ) ( λ 1 ， λ 2 ) ) 方法 CP IL CP IL CP IL CP IL (1，2) GV 0.942 0.5018 0.951 0.3441 0.939 0.2893 0.958 0.2218 LS 0.941 0.4493 0.956 0.3215 0.954 0.2783 0.951 0.2115 Bayes 0.948 0.5035 0.948 0.3433 0.945 0.2899 0.950 0.2211 Bootstrap-t 0.925 0.6413 0.944 0.3708 0.937 0.3084 0.947 0.2150 (3，2) GV 0.952 0.5246 0.956 0.3619 0.954 0.3082 0.952 0.2373 LS 0.961 0.4573 0.949 0.3369 0.955 0.2915 0.962 0.2292 Bayes 0.945 0.524 0.948 0.3613 0.957 0.3086 0.955 0.2374 Bootstrap-t 0.898 0.7050 0.936 0.3889 0.924 0.2930 0.963 0.2438 (5，2) GV 0.953 0.4750 0.953 0.3163 0.948 0.2681 0.954 0.2055 LS 0.953 0.4360 0.941 0.3101 0.954 0.2915 0.948 0.2032 Bayes 0.949 0.4765 0.950 0.3167 0.952 0.2682 0.943 0.2046 Bootstrap-t 0.918 0.6316 0.933 0.3331 0.939 0.2544 0.942 0.2086 (7，2) GV 0.946 0.4287 0.963 0.2756 0.948 0.2320 0.943 0.1762 LS 0.949 0.4190 0.955 0.3097 0.951 0.2641 0.959 0.1786 Bayes 0.951 0.4286 0.949 0.2769 0.952 0.2319 0.948 0.1753 Bootstrap-t 0.907 0.5267 0.928 0.2664 0.939 0.2132 0.955 0.1775 表1. 单参数指数分布的参数T的95%双侧置信区间的主要覆盖概率和平均置信长度 Table 2 The main coverage probability and average confidence length of the two-sided confidence interval of the single-parameter exponential distribution parameter T 95 ( m ， n ) = ( 5 ， 5 ) ( m ， n ) = ( 15 ， 10 ) ( m ， n ) = ( 20 ， 15 ) ( m ， n ) = ( 30 ， 30 ) ( λ 1 ， λ 2 ) 方法 CP IL CP IL CP IL CP IL (1，4) GV 0.959 0.4101 0.948 0.2619 0.951 0.2200 0.952 0.1631 LS 0.916 0.4129 0.944 0.2696 0.952 0.2150 0.956 0.1684 Bayes 0.945 0.4108 0.946 0.2647 0.953 0.2202 0.950 0.1632 Bootstrap-t 0.908 0.4900 0.928 0.2638 0.946 0.2225 0.947 0.1684 (3，4) GV 0.947 0.5307 0.952 0.3710 0.957 0.3147 0.95 0.2414 LS 0.968 0.4613 0.965 0.3390 0.954 0.2942 0.948 0.2320 Bayes 0.951 0.5315 0.956 0.3704 0.946 0.3143 0.952 0.2418 Bootstrap-t 0.918 0.6899 0.937 0.3778 0.956 0.3327 0.945 0.2336 (5，4) GV 0.942 0.5334 0.941 0.3702 0.943 0.3156 0.950 0.2432 LS 0.977 0.4625 0.946 0.3405 0.952 0.2962 0.948 0.2333 Bayes 0.952 0.5322 0.951 0.3710 0.955 0.3162 0.952 0.2432 Bootstrap-t 0.913 0.6955 0.925 0.3667 0.933 0.3316 0.937 0.2495 (7，4) GV 0.944 0.5124 0.948 0.3511 0.947 0.2992 0.945 0.2294 LS 0.956 0.4520 0.955 0.3303 0.946 0.2848 0.947 0.2226 Bayes 0.952 0.5151 0.948 0.3510 0.953 0.2982 0.950 0.2295 Bootstrap-t 0.933 0.7028 0.942 0.3738 0.945 0.3143 0.951 0.2209 表2. 单参数指数分布的参数T的95%双侧置信区间的主要覆盖概率和平均置信长度 Table 3 The main coverage probability and average confidence length of the two-sided confidence interval of the single-parameter exponential distribution parameter T 95 ( m ， n ) = ( 5 ， 5 ) ( m ， n ) = ( 15 ， 10 ) ( m ， n ) = ( 20 ， 15 ) ( m ， n ) = ( 30 ， 30 ) ( λ 1 ， λ 2 ) 方法 CP IL CP IL CP IL CP IL (1，8) GV 0.952 0.2867 0.954 0.1760 0.943 0.1410 0.947 0.1040 LS 0.945 0.4356 0.942 0.2040 0.945 0.4356 0.947 0.1132 Bayes 0.949 0.2935 0.949 0.1764 0.955 0.1419 0.947 0.1037 Bootstrap-t 0.898 0.3349 0.919 0.1553 0.932 0.1311 0.943 0.1030 (3，8) GV 0.945 0.4677 0.946 0.3142 0.948 0.2630 0.946 0.1995 LS 0.948 0.4347 0.952 0.3028 0.957 0.4541 0.962 0.2266 Bayes 0.954 0.4704 0.948 0.3138 0.951 0.2633 0.943 0.1995 Bootstrap-t 0.912 0.5974 0.946 0.3340 0.945 0.2454 0.954 0.1934 (5，8) GV 0.947 0.5204 0.952 0.3607 0.955 0.3051 0.958 0.2342 LS 0.959 0.4541 0.963 0.3329 0.954 0.2885 0.962 0.2266 Bayes 0.950 0.5204 0.947 0.3609 0.945 0.3053 0.952 0.2343 Bootstrap-t 0.903 0.6790 0.937 0.3911 0.944 0.2468 0.946 0.2387 (7，8) GV 0.949 0.5362 0.949 0.3738 0.956 0.3191 0.956 0.2453 LS 0.976 0.4637 0.954 0.3418 0.954 0.2973 0.953 0.2347 Bayes 0.949 0.5363 0.951 0.3743 0.952 0.3186 0.951 0.2451 Bootstrap-t 0.908 0.7121 0.942 0.4132 0.946 0.2958 0.954 0.5204 表3. 单参数指数分布的参数T的95%双侧置信区间的主要覆盖概率和平均置信长度 Table 4 The probability of making the first type of error in hypothesis tes ( m ， n ) = ( 5 ， 5 ) ( m ， n ) = ( 15 ， 10 ) ( m ， n ) = ( 20 ， 15 ) ( m ， n ) = ( 30 ， 30 ) ( λ 1 ， λ 2 ) TIR (1，2) GV 0.041 0.043 0.047 0.049 LS 0.011 0.032 0.038 0.036 Bayes 0.041 0.043 0.047 0.049 Bootstrap 0.089 0.062 0.059 0.054 (3，2) GV 0.0475 0.061 0.058 0.0525 LS 0.065 0.07 0.063 0.056 Bayes 0.046 0.048 0.049 0.050 Bootstrap 0.081 0.69 0.063 0.057 (5，2) GV 0.05 0.043 0.056 0.044 LS 0.083 0.073 0.074 0.062 Bayes 0.048 0.049 0.052 0.051 Bootstrap 0.085 0.079 0.069 0.059 (7，2) GV 0.054 0.047 0.059 0.047 LS 0.099 0.086 0.081 0.071 Bayes 0.046 0.047 0.054 0.052 Bootstrap 0.087 0.089 0.091 0.062 表4. 检验犯第一类错误的概率 Table 5 The probability of making the first type of error in hypothesis tes ( m ， n ) = ( 5 ， 5 ) ( m ， n ) = ( 15 ， 10 ) ( m ， n ) = ( 20 ， 15 ) ( m ， n ) = ( 30 ， 30 ) ( λ 1 ， λ 2 ) TIR (1，8) GV 0.055 0.037 0.049 0.051 LS 0 0.014 0.015 0.027 Bayes 0.056 0.052 0.049 0.051 Bootstrap 0.083 0.081 0.075 0.053 (3，8) GV 0.045 0.051 0.055 0.046 LS 0.072 0.029 0.037 0.033 Bayes 0.044 0.046 0.052 0.051 Bootstrap 0.083 0.079 0.071 0.059 (5，8) GV 0.056 0.046 0.051 0.052 LS 0.020 0.046 0.041 0.045 Bayes 0.053 0.052 0.048 0.049 Bootstrap 0.085 0.078 0.066 0.052 (7，8) GV 0.057 0.047 0.051 0.054 LS 0.032 0.048 0.046 0.049 Bayes 0.046 0.047 0.048 0.053 Bootstrap 0.087 0.078 0.072 0.060 表5. 检验犯第一类错误的概率 Table 6 The power of the hypothesis tes ( m ， n ) = ( 5 ， 5 ) ( m ， n ) = ( 15 ， 10 ) ( m ， n ) = ( 20 ， 15 ) ( m ， n ) = ( 30 ， 30 ) ( λ 1 ， λ 2 ) TIR (1，2) GV 0.129 0.199 0.264 0.415 LS 0.074 0.184 0.247 0.351 Bayes 0.135 0.211 0.256 0.395 Bootstrap 0.201 0.272 0.322 0.706 (3，2) GV 0.434 0.765 0.891 0.991 LS 0.590 0.856 0.931 0.986 Bayes 0.441 0.747 0.883 0.984 Bootstrap 0.765 0.909 0.950 0.991 (5，2) GV 0.361 0.662 0.805 0.952 LS 0.535 0.796 0.0876 0.973 Bayes 0.374 0.658 0.800 0.959 Bootstrap 0.736 0.0865 0.919 0.978 (7，2) GV 0.354 0.589 0.762 0.942 LS 0.52560.761 0.854 0.961 Bayes 0.334 0.625 0.755 0.934 Bootstrap 0.716 0.854 0.907 0.973 表6. 检验的功效 Table 7 The power of the hypothesis tes ( m ， n ) = ( 5 ， 5 ) ( m ， n ) = ( 15 ， 10 ) ( m ， n ) = ( 20 ， 15 ) ( m ， n ) = ( 30 ， 30 ) ( λ 1 ， λ 2 ) TIR (1，8) GV 0.055 0.626 0.774 0.932 LS 0.059 0.460 0.667 0.900 Bayes 0.336 0.614 0.765 0.932 Bootstrap 0.727 0.865 0.907 0.978 (3，8) GV 0.326 0.607 0.754 0.929 LS 0.257 0.585 0.735 0.916 Bayes 0.323 0.588 0.745 0.927 Bootstrap 0.706 0.839 0.935 0.965 (5，8) GV 0.408 0.713 0.849 0.978 LS 0.471 0.775 0.874 0.975 Bayes 0.405 0.721 0.863 0.974 Bootstrap 0.765 0.899 0.945 0.989 (7，8) GV 0.546 0.867 0.952 0.995 LS 0.652 0.914 0.973 0.998 Bayes 0.529 0.951 0.946 0.996 Bootstrap 0.528 0.867 0.977 0.998 表7. 检验的功效 根据上述结果可以发现，广义推断方法在可靠性参数推断的区间估计与假设检验方面的表现都很好，此优点在样本量很小的情况下更为显著，另外广义枢轴量法可以用于构造讨厌参数存在时兴趣参数的置信区间以及解决带讨厌参数的假设检验问题，因此当传统频率学派方法无法给出精确方法且大样本难以获取时，广义推断方法可以有效地解决这类问题。