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user: 3. Q r 1 ， r 2 空间结构 本节中，我们先给出 B M O β ( N ) 的空间结构，然后，给出 Q r 1 ， r 2 ( N ) 的定义。 定义3.1. 对任意的 f ∈ L l o c ( N ) ，我们称 f ∈ B M O β ( N ) 若f满足 ‖ f ( w ) ‖ B M O β 2 = sup I 1 | I | β ∫ I | f ( w ) − f ( I ) | 2 d w < + ∞ ， 这里 f ( I ) = 1 | I | ∫ I f ( w ) d w ，sup取遍 N 上所有方体。 注意到由 B M O β ( N ) 的定义，容易得出 B M O β 在 N 上是一个Banach空间。 引理2. 对任意方体I和J，若 I ⊂ J ⊂ N 则有 i) 1 | I | β ∫ I | f ( w ) − c | 2 d w = 1 | I | β ∫ I | f ( w ) − f ( I ) | 2 d w + | f ( I ) − c | 2 ⋅ | I | 1 − β ， c ∈ C ； ii) ∫ I | f ( w ) − f ( I ) | 2 d w = inf c ∫ I | f ( w ) − c | 2 d w ； iii) 1 | I | 1 + β ∫ I ∫ I | f ( w ) − f ( n ) | 2 d w d n = 2 | I | β ∫ I | f ( w ) − f ( I ) | 2 d w ； iv) ∫ I | f ( w ) − f ( I ) | 2 d w ≤ ∫ J | f ( w ) − f ( J ) | 2 d w 。 证明 论证主要根据下面两个结果 | f ( w ) − c | 2 = | f ( w ) − f ( I ) | 2 + [ f ( w ) − f ( I ) ] [ f ( I ) − c ] ¯   + [ f ( w ) − f ( I ) ] ¯ [ f ( I ) − c ] + | f ( I ) − c | 2 (3.1) 和 ∫ I [ f ( w ) − f ( I ) ] d w = ∫ I f ( w ) − f ( I ) ¯   d w = 0 (3.2) 由(3.2)，对(3.1)的等式两边同时在方体I上积分即得到(i)。(ii)是(i)的直接结论。(iii)是根据 1 | I | 1 + β ∫ I ∫ I | f ( w ) − f ( n ) | 2 d w d n = 1 | I | β ∫ I d n ( 1 | I | ∫ I | f ( w ) − f ( n ) | 2 d w ) = 2 | I | β ∫ I | f ( w ) − f ( I ) | 2 d w 最后，(iv)是利用(ii)，从而， ∫ I | f ( w ) − f ( I ) | 2 d w ≤ ∫ I | f ( w ) − f ( J ) | 2 d w ≤ ∫ J | f ( w ) − f ( J ) | 2 d w 。 定义3.1. 任意的 r 1 ， r 2 ∈ R ，我们定义 Q r 1 ， r 2 ( N ) 为满足 ‖ f ‖ Q r 1 ， r 2 2 = sup I 1 | I | r 2 ∫ I ∫ I | f ( w ) − f ( n ) | 2 | n − 1 w | d r 1 d w d n < + ∞ ， 的可测函数构成的函数空间，其中sup取遍 N 中所有方体。 注1. i) Q r 1 ， r 2 ( N ) 为一线性空间； ii) Q 0 ， 2 ( N ) = B M O 1 ( N ) ； iii) Q r 1 ， r 2 ( N ) 在 N 伸缩、平移、旋转下不变。 命题 3.1. 一可测函数f属于 Q r 1 ， r 2 ( N ) 等价于 sup I 1 | I | r 2 ∫ | n | ∞ < l ( I ) ∫ I | f ( w n ) − f ( w ) | 2 d w d n | n | d r 1 < + ∞ 。 定理1的证明. i) 若 r 1 + r 2 = r ′ 1 + r ′ 2 ， r 1 < r ′ 1 。令 f ∈ Q r ′ 1 ， r ′ 2 ( N ) ，则对方体 I ⊂ N ，有 ∫ I ∫ I | f ( w ) − f ( n ) | 2 | n − 1 w | d r 1 d w d n = ∫ I ∫ I | f ( w ) − f ( n ) | 2 | n − 1 w | d r ′ 1 ⋅ | n − 1 w | d ( r ′ 1 − r 1 ) d w d n ≤ C | I | r 1 ‖ f ‖ Q r ′ 1 + r ′ 2 2 所以 Q r ′ 1 ， r ′ 2 ( N ) ⊂ Q r 1 ， r 2 ( N ) 。 ii) 考虑 f ∈ Q r 1 ， r 2 ，显然当 r 2 < 0 时有 f ≡ C 。对于 r 1 > d + 2 d ，我们利用反证法。假设 f ∈ Q r 1 ， r 2 ( N ) ∩ C 1 ( N ) 是实值函数且不恒为常数。那么，存在一个包含 X 0 的锥体 V ⊂ g ，使得 | n − 1 w | < ε 时，任意的单位向量 X ∈ V ， X f ( w ) ≥ δ > 0 。记 D = { η = exp X : | η | < ε ， X ∈ V } 。若 w ， n ∈ I ，且 n − 1 w ∈ D ，则有 f ( w ) − f ( n ) ≥ δ | n − 1 w | ，以及有 ∫ | n | ∞ < l ( I ) ∫ I | f ( w n ) − f ( w ) | 2 d w d n | n | d r 1 ≥ δ 2 | I | ∫ n ∈ D d n | n | d r 1 − 2 = + ∞ 矛盾。由恒同逼近，即得证。 iii) 由于 β > 0 且 β + 1 = r 1 + r 2 ，根据(i)，若 0 ≤ r 1 < 1 ，从而 Q r 1 ， r 2 ( N ) ⊂ Q 0 ， β + 1 ( N ) = B M O β ( N ) 。反过来，若 f ∈ B M O β ( N ) ，对任意的方体 I ⊂ N ， n ∈ N 且有 | n | ∞ < l ( I ) ，我们可以得到 1 | I | r 2 ∫ | n | ∞ < l ( I ) ∫ I | f ( w n ) − f ( w ) | 2 d w d n | n | d r 1 ≤ C | I | β − r 2 ‖ f ‖ B M O β 2 ∫ 0 l ( I ) r d ( 1 − r 1 ) − 1 d r ≤ C ‖ f ‖ B M O β 2 当 r 1 < 0 时，同样地由(i)，得到 B M O β ( N ) = Q 0 ， β + 1 ( N ) ⊂ Q r 1 ， r 2 ( N ) 。那么，反过来，若 f ∈ Q r 1 ， r 2 ( N ) ，对任意方体 I ⊂ N ，令 E = { ξ ∈ I | min { | ξ − 1 w | ， | ξ − 1 n | } > 1 8 l ( I ) } 以及 K ( w ， n ， ξ ) = min { | ξ − 1 w | ， | ξ − 1 n | } − d r 1 ，此时我们得到 | I | − β ∫ I | f ( w ) − f ( I ) | 2 d w ≤ C | I | − 1 − β ∫ I ∫ I | f ( w ) − f ( n ) | 2 d w d n ≤ C | I | − 2 − β + r 1 ∫ I ∫ I ∫ I K ( w ， n ， ξ ) | f ( w ) − f ( n ) | 2 d w d n d ξ ≤ C | I | − r 2 ∫ I ∫ I | f ( w ) − f ( ξ ) | 2 | ξ − 1 w | d r 1 d w d ξ ≤ C ‖ f ‖ Q r 1 ， r 2 2 从而证明了 f ∈ B M O β ( N ) 。 定理3. Q r 1 ， r 2 ( N ) 是一个Banach空间。 证明. 显然 Q r 1 ， r 2 ( N ) 是一个赋范空间。就完备性而言，我们令 { f k } 为 Q r 1 ， r 2 ( N ) 中一Cauchy序列。由定理1，可以知道 Q r 1 ， r 2 ( N ) ⊂ B M O β ( N ) ，那么 { f k } 也是 B M O β ( N ) 中的一Cauchy序列。若 f k → f ∈ B M O β ( N ) ，根据Fatou引理，对 k ≥ 1 ， ‖ f k → f ‖ Q r 1 ， r 2 ≤ lim j → + ∞ sup ‖ f j → f k ‖ Q r 1 ， r 2 ， 故 f k → f ∈ Q r 1 ， r 2 ( N ) 。