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user: 3. 备选凸多边形在伴随矩形中的内接 对应于文 [ 1 ] 或 [ 2 ] 之中的引理4和定理的证明过程，将其所采用的技巧进行一般化，将给出推广了的相应引理及其严格证明。下列引理是显然的，可参考图3。 引理3.1：对任意一个备选凸多边形及其虚拟八边形P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 ，存在两个外接矩形M 1 M 3 M 5 M 7 和M 2 M 4 M 6 M 8 ，其中一个矩形的边与另一个矩形的边恰都相夹p/4角，使得虚拟八边形的8条边(或蜕化的顶点)分为两组{P 1 P 2 ，P 3 P 4 ，P 5 P 6 ，P 7 P 8 }和{P 2 P 3 ，P 4 P 5 ，P 6 P 7 ，P 8 P 1 }，其中每一组分别落在这两个矩形的边之上。 证明：给定备选凸多边形及其虚拟八边形P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 ，不妨设边P 1 P 2 的长度非零，则可作该凸多边形的外接矩形M 1 M 3 M 5 M 7 使边P 1 P 2 落在M 1 M 3 之上。此时，注意到虚拟八边形的虚拟相邻边向量的每个夹角都为p/4，可使边(或蜕化的顶点) P 5 P 6 同时落在该矩形的平行边M 5 M 7 之上，可使其边(或蜕化的顶点) P 3 P 4 和P 7 P 8 分别同时落在该矩形的垂直边M 3 M 5 和M 7 M 1 之上。此时，进一步作该凸多边形的外接矩形M 2 M 4 M 6 M 8 使各边与矩形M 1 M 3 M 5 M 7 各边都相夹p/4角，则同理由虚拟八边形的定义可知{P 2 P 3 ，P 4 P 5 ，P 6 P 7 ，P 8 P 1 }相应落在矩形M 2 M 4 M 6 M 8 的四条边之上，从而结论得证。 定义3.2：称引理3.1中的两个矩形为相应备选凸多边形及其虚拟八边形的伴随矩形。 如图4所例示的凸七边形，其虚拟八边形具有一组重复标记的顶点P 7 = P 8 ，此时的M 8 也与该顶点重合。 备选凸多边形按引理3.1中所指定的方式分别内接于其两个伴随矩形之中。图5例示了一个备选凸五边形及其虚拟八边形的伴随矩形。该五边形最短边长为 时，对应虚拟八边形所具有的8元有序数组具有等价类代表 ，该组数在相差位置轮换意义下唯一，几何意义是对应边长按逆时针方向顺序计数；它与 所表示的备选凸五边形在轴反射意义下对应等价。此时，相应的两个伴随矩形分别具有边长组{5，3}和 。 至此，文 [ 1 ] 之中的引理4可以自然推广为下列引理。 引理3.3：备选凸多边形能够如此内接在其伴随矩形上，使得它落在一个伴随矩形上的边(或顶点)同是有理边(或相应蜕化的顶点)，而落在另一个伴随矩形上的边(或顶点)同是无理边(或相应蜕化的顶点)。 证明：由推论2.5和引理3.1，可设m阶备选凸n边形C m 具有虚拟八边形P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 ，mÎN + ，其中{P 1 P 2 ，P 3 P 4 ，P 5 P 6 ，P 7 P 8 }依次落在伴随矩形M 1 M 3 M 5 M 7 的对应边上，同时{P 2 P 3 ，P 4 P 5 ，P 6 P 7 ，P 8 P 1 }依次落在伴随矩形M 2 M 4 M 6 M 8 的对应边上；参见图4。 下面将从两个角度分别考察C m 的面积值S m 的取值状况，借以发现8元有序数组(P 1 P 2 ， P 2 P 3 ， P 3 P 4 ， P 4 P 5 ， P 5 P 6 ， P 6 P 7 ， P 7 P 8 ，P 8 P 1 )的取值特征。 首先，作为m阶备选凸n边形，C m 面积值等于m块基三角形面积之和，即 (1) 图4. 备选凸七边形及其伴随矩形各边的对应示意 图5. 备选凸五边形及其伴随矩形示意 其次，由于C m 是由有限块基三角形所拼成的，其各个边都是由有限个有理边和有限个无理边拼接构成的，故可设其各个边长分别为： (2) 其中沿用约定P 0 =P 8 ， P 1 =P 9 . 又记两个伴随矩形的边长分别为： (3) (4) 注意到等腰直角三角形斜边长与直角边长的关系，(3)~(4)式即可写为： (5) 其中各种变量按字母下标模8相等表示同一字符。因此可以取定有理数组： (6) (7) 于是，由伴随矩形扣除四个角部的等腰直角三角形来计算C m 面积，则对于全部的指标i都有 (8) 其中，注意到(1)式，可知无理数 的系数必为零，从而其4倍有下列利用(6)~(7)式的整理变形(变形过程中考虑到了各边在几何上的对称性以及在最终代数表达式中的对称性) 此时注意到(2)式之中所限定的整数组a i ， b i 的取值非负范围，可知右端和式中的每一项都取得非负值，因而左端为0表明右端的每一项都只能为零。即得下列方程组： (9) 现在考虑方程组(9)在(7)式限制下的非负整数解，其中16个变量不能全都为零，否则(8)与(1)式将矛盾。 现若a 1 ¹ 0，则方程组(9)第一组式子蕴含着： 此时，(7)式蕴含着b 1 = b 5 ，结合上式并代回方程组(9)第二组式子则可得到： 于是，若再进一步有b 1 ¹ 0，则意味着： 从而 即顶点P 2 与P 3 、P 4 、P 5 重合，此处外角不小于p，与P 2 P 3 、P 3 P 4 、P 4 P 5 作为C m 的虚拟八边形三个邻边相矛盾！因此，若a 1 ¹ 0，则必有： 此条件下可直接验证方程组(9)各式都被满足，因而是方程组(9)在条件a 1 ¹ 0下的通解。此时8元有序数组： (10) 同理，若a 3 ¹ 0或a 5 ¹ 0或a 7 ¹ 0，则仍有(10)式成立；若a 2 ¹ 0或a 4 ¹ 0或a 6 ¹ 0或a 8 ¹ 0，则有： (11) 现若b 1 ¹ 0，则方程组(9)第二组式子蕴含着 并且由上面讨论过程得知必有a 1 = 0，此时(7)式蕴含着b 6 = a 5 = 0，以及进一步的b 4 = b 8 = 0，即仍有(11)式成立。同理，若b 3 ¹ 0或b 5 ¹ 0或b 7 ¹ 0，则仍有(11)式成立；若b 2 ¹ 0 或b 4 ¹ 0 或b 6 ¹ 0或b 8 ¹ 0，则仍有(10)式成立。 综合以上讨论可知，或者(10)式成立、或者(11)式成立；这说明C m 落在它的一个伴随矩形上的边或顶点同是有理边或相应蜕化的顶点；同时，落在它的另一个伴随矩形上的边或顶点同是无理边或相应蜕化的顶点，即结论成立。 注记3.4：在上述讨论过程中，关于 的方程组(6)式蕴含在方程组(7)式之中，没有给解的性质增加新的信息。 注记3.5：在顺序调整顶点下标标号的意义下，(10)式和(11)式是一致的，体现的是对应的虚拟八边形(广义)边长8元有序数组的轮换。 现在，文 [ 1 ] 之中的引理2可以自然推广为下列引理。 引理3.6：对于任一备选凸多边形，任意取定它的一条边，则该边或是由有限个基三角形的有理边所拼接而成，或是由有限个基三角形的无理边所拼接而成。并且，在备选凸多边形的各个顶点处，当外角为p/4或3p/4时，两条边一者为有理边所拼成、一者为无理边所拼成；当外角为p/2时，两条边或同为有理边所拼成、或同为无理边所拼成。 证明：只要注意到无理数与有理数之间不可能存在整数倍的关系，由引理3.3及其证明过程即得结论。 注意，文 [ 1 ] 之中的引理1的证明方法，对于16块基三角形的拼合而言，缺乏清晰的情形分类；对于只有7个拼块的七巧板而言，还是可以适用的。在此可对应修改为下列引理。 引理3.7：任一备选凸多边形一定能够如此拼合而成，使得每两个基三角形之间拼接时，或是沿完整有理边相接、或是沿完整无理边相接。 证明：不妨设所拼成的凸多边形对应有虚拟八边形满足(11)式，则沿着边长为无理数的4条边分别相应去除a 2 ，a 4 ，a 6 ，a 8 个基三角形，所余图形可以划分为有限个单位正方形小块；其中两个单位正方形小块之间总以相互完整单位边拼接，而每个单位正方形又可分割成沿无理边拼接的两个基三角形。易见，上述分割成的所有基三角形之间都是或沿完整有理边相接、或沿完整无理边相接的，证毕。 注记3.8：引理3.7说明，为了用有限个基三角形拼成凸多边形，拼接过程中只需要将任意两个基三角形或在有理边之间整边相接、或在无理边之间整边相接即可。换个角度去看，对于为了解决备选凸多边形分类问题的目标而言，如果不按这样的规则去拼接的话是否最后也能够拼合成某个凸多边形，就可以不予考虑了。 引理3.9：满足(6)~(7)式并以(11)式或(10)式顺序给定(广义)边长的虚拟八边形，都表示了一个对应的备选凸多边形。 证明：由引理3.7证明过程，结合引理3.3证明过程，可知结论成立。