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user: 2. 预备知识 首先，我们给出与本论文相关的一些概念。 定义1 ([ 3 ])：在一个偏序集 ( L ， ≤ ) 中，如果任意二元 x ， y ∈ L 都有上确界 x ∨ y 和下确界 x ∧ y ，则称偏序集 ( L ， ≤ ) (或简称L)为一个格。 这时， x ∨ y 和 x ∧ y 分别叫做x与y的并与交。 定义2 ([ 4 ])：有界格是一个有最小元0与最大元1的格 ( L ， ≤ ) ，即存在两个元素 0 ， 1 ∈ L 使得对所有的 x ∈ L ， 0 ≤ x ≤ 1 。 定义3 ([ 4 ])：给定一个有界格 ( L ， ≤ ， 0 ， 1 ) ，如果a和b是不可比的，我们用符号 a | | b ，这里 a ， b ∈ L 。 令 ( L ， ≤ ， 0 ， 1 ) 是一个有界格， a ∈ L ，那么与a不可比的元素的集合我们记作 I a = { x ∈ L | x | | a } 。 定义4 ([ 5 ])：令 ( L ， ≤ ， 0 ， 1 ) 是一个有界格，二元运算 T : L 2 → L 称为三角范数，若对任意的 x ， y ， z ∈ L ， T ( x ， y ) 满足以下四个条件： 1) T ( x ， y ) = T ( y ， x ) (交换性)； 2) T ( T ( x ， y ) ， z ) = T ( x ， T ( y ， z ) ) (结合性)； 3) 当 y ≤ z 时，有 T ( x ， y ) ≤ T ( x ， z ) (单调递增性)； 4) T ( x ， 1 ) = 1 。 定义5 ([ 5 ])： ( L ， ≤ ， 0 ， 1 ) 是一个有界格，二元运算 S : L 2 → L 称为三角对偶范数，若对任意的 x ， y ， z ∈ L ， S ( x ， y ) 满足以下四个条件： 1) S ( x ， y ) = S ( y ， x ) (交换性)； 2) S ( S ( x ， y ) ， z ) = S ( x ， S ( y ， z ) ) (结合性)； 3) 当 y ≤ z 时，有 S ( x ， y ) ≤ S ( x ， z ) (单调递增性)； 4) S ( x ， 0 ) = x 。 定义6 ([ 1 ])： ( L ， ≤ ， 0 ， 1 ) 是一个有界格，二元运算 V : L 2 → L 称为Null–范数，若对任意的 x ， y ， z ∈ L ， V ( x ， y ) 满足以下四个条件： 1) V ( x ， y ) = V ( y ， x ) (交换性)； 2) V ( V ( x ， y ) ， z ) = V ( x ， V ( y ， z ) ) (结合性)； 3) 当 y ≤ z 时，有 V ( x ， y ) ≤ V ( x ， z ) (单调递增性)； 4) 存在 a ∈ [ 0 ， 1 ] ，对任意的 x ∈ [ 0 ， a ] ，使得 V ( x ， 0 ) = x ；对任意的 x ∈ [ a ， 1 ] ，使得 V ( x ， 1 ) = x 。 我们可以得到，对所有的 x ∈ L ， V ( x ， a ) = a ，因此我们说 a ∈ L 是V的零元。 考虑L上的所有的Null–范数的集合 ν ：对 V 1 ， V 2 ∈ ν ， ( x ， y ) ∈ L 2 ， V 1 ≤ V 2 ⇔ V 1 ( x ， y ) ≤ V 2 ( x ， y ) 。 我们用 D α 表示集合： D α = ( a ， 1 ] × [ 0 ， a ) ∪ [ 0 ， a ) × ( a ， 1 ] 。 例1： ( L ， ≤ ， 0 ， 1 ) 是一个有界格，有界格L上最小的三角范数 T W ，最大的三角范数 T ∧ 分别定义如下： T W ( x ， y ) = { y             x = 1 x             y = 1 0       otherwise ， T ∧ ( x ， y ) = x ∧ y 。 有界格L上最小的三角对偶范数 S ∨ ，最大的三角对偶范数 S W 分别定义如下： S ∨ ( x ， y ) = x ∨ y ， S W ( x ， y ) = { y             x = 0 x             y = 0 1       otherwise 。 2015年，F. Karacal， M.A. Ince， R. Mesiar在文献 [ 1 ] 中提出了三种Null–范数的构造方法，具体如下： V a ( S ) ( x ， y ) = { S ( x ， y )                                                         ( x ， y ) ∈ [ 0 ， a ] 2 a                                                 ( x ， y ) ∈ [ a ， 1 ) 2 ∪ [ a ， 1 ] × I a ∪ I a × [ a ， 1 ] ∪ D α S ( x ∧ a ， y ∧ a )               ( x ， y ) ∈ [ 0 ， a ] × I a ∪ I a × [ 0 ， a ] ∪ I a × I a x ∧ y                                                                 otherwise ， V a ( T ) ( x ， y ) = { T ( x ， y )                                                         ( x ， y ) ∈ [ a ， 1 ] 2 a                                                 ( x ， y ) ∈ [ 0 ， a ) 2 ∪ [ 0 ， a ] × I a ∪ I a × [ 0 ， a ] ∪ D α T ( x ∨ a ， y ∨ a )               ( x ， y ) ∈ [ a ， 1 ] × I a ∪ I a × [ a ， 1 ] ∪ I a × I a x ∨ y                                                                 otherwise 。 V a ( T ， S ) ( x ， y ) = { S ( x ， y )             ( x ， y ) ∈ [ 0 ， a ] 2 T ( x ， y )             ( x ， y ) ∈ [ a ， 1 ] 2 a                               otherwise 2018年，Umit Ertugrul在文献 [ 2 ] 中给出了两种Null–范数的构造方法： V T S ( x ， y ) = { S ( x ， y )                                                         ( x ， y ) ∈ [ 0 ， a ] 2 T ( x ， y )                                                         ( x ， y ) ∈ [ a ， 1 ] 2 S ( x ∧ a ， y ∧ a )               ( x ， y ) ∈ [ 0 ， a ] × I a ∪ I a × [ 0 ， a ] ∪ I a × I a a                                                                           otherwise V S T ( x ， y ) = { S ( x ， y )                                                         ( x ， y ) ∈ [ 0 ， a ] 2 T ( x ， y )                                                         ( x ， y ) ∈ [ a ， 1 ] 2 T ( x ∨ a ， y ∨ a )               ( x ， y ) ∈ [ a ， 1 ] × I a ∪ I a × [ a ， 1 ] ∪ I a × I a a                                                                           otherwise 其中 T ( x ， y ) 是定义在 [ a ， 1 ] 上的三角范数， S ( x ， y ) 是定义在 [ 0 ， a ] 上的三角对偶范数。