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user: 3. 主要结论 定理3.1：在一致性算法(2)的作用下，当且仅当 Φ 有一个代数重数为6的零特征值且非零特征值都具有负实部时，多智能体系统(1)可渐近实现分组一致性。此外，当渐近实现分组一致性时，有 lim t → ∞ ‖ ξ i ( t ) − p 11 T ξ 1 ( 0 ) − p 12 T ξ 2 ( 0 ) − t p 11 T ζ 1 ( 0 ) − t p 12 T ζ 2 ( 0 ) − 1 2 t 2 p 11 T η 1 ( 0 ) − 1 2 t 2 p 12 T η 2 ( 0 ) ‖ = 0 ， ∀ i ∈ l 1 ， lim t → ∞ ‖ ξ i ( t ) − p 21 T ξ 1 ( 0 ) − p 22 T ξ 2 ( 0 ) − t p 21 T ζ 1 ( 0 ) − t p 22 T ζ 2 ( 0 ) − 1 2 t 2 p 21 T η 1 ( 0 ) − 1 2 t 2 p 22 T η 2 ( 0 ) ‖ = 0 ， ∀ i ∈ l 2 ， lim t → ∞ ‖ ζ i ( t ) − p 11 T ζ 1 ( 0 ) − p 12 T ζ 2 ( 0 ) − t p 11 T η 1 ( 0 ) − t p 12 T η 2 ( 0 ) ‖ = 0 ， ∀ i ∈ l 1 ， lim t → ∞ ‖ ζ i ( t ) − p 21 T ζ 1 ( 0 ) − p 22 T ζ 2 ( 0 ) − t p 21 T η 1 ( 0 ) − t p 22 T η 2 ( 0 ) ‖ = 0 ， ∀ i ∈ l 2 ， lim t → ∞ ‖ η i ( t ) − p 11 T η 1 ( 0 ) − p 12 T η 2 ( 0 ) ‖ = 0 ， ∀ i ∈ l 1 ， lim t → ∞ ‖ η i ( t ) − p 21 T η 1 ( 0 ) − p 22 T η 2 ( 0 ) ‖ = 0 ， ∀ i ∈ l 2 ， 其中 p 1 = [ p 11 T ， p 12 T ] T 和 p 1 = [ p 11 T ， p 12 T ] T 是L对应于零特征值且满足 p 1 T q 1 = 1 和 p 2 T q 2 = 1 的左特征向量， q 1 和 q 2 的定义见引理2.1。 证明：(充分性)由(4)可知，若 Φ 的零特征值的代数重数为6，则L的零特征值的代数重数等于2。再由引理2.1可知，L的零特征值的几何重数也等于2。令 p 1 = [ p 11 T ， p 12 T ] T 和 p 2 = [ p 21 T ， p 22 T ] T 为L对应于零特征值且满足 p 1 T q 1 = 1 和 p 2 T q 2 = 1 的左特征向量，其中 p 11 和 p 21 为n维向量， p 12 和 p 22 为m维向量，则 p 11 T 1 n = 1 ，     p 22 T 1 m = 1. 设 w = [ w 1 T ， w 2 T ， w 3 T ] T 为 Φ 对应于零特征值的右特征向量，则 [ O ( n + m ) × ( n + m ) I n + m O ( n + m ) × ( n + m ) O ( n + m ) × ( n + m ) O ( n + m ) × ( n + m ) I n + m − α L − β L − γ L ] [ w 1 w 2 w 3 ] = [ 0 n + m 0 n + m 0 n + m ] . (7) 由(7)可得 w 2 = w 3 = 0 n + m 和 − α L w 1 − β L w 2 − γ L w 3 = 0 n + m . 因此， w 1 是L对应于零特征值的右特征向量。结合引理2.1可知， w 1 ， r = [ q 1 T ， 0 n + m T ， 0 n + m T ] T 和 w 4 ， r = [ q 2 T ， 0 n + m T ， 0 n + m T ] T 是 Φ 对应于零特征值的两个线性无关的右特征向量。进而， Φ 的零特征值的几何重数等于2。类似地可以证明， w 3 ， l = [ 0 n + m T ， 0 n + m T ， p 1 T ] T 和 w 6 ， l = [ 0 n + m T ， 0 n + m T ， p 2 T ] T 是 Φ 的对应于零特征值的两个线性无关的左特征向量。 注意到 Φ w 2 ， r = w 1 ， r ，     Φ w 3 ， r = w 2 ， r ， 其中 w 2 ， r = [ 0 n + m T ， q 1 T ， 0 n + m T ] T ，     w 3 ， r = [ 0 n + m T ， 0 n + m T ， q 1 T ] T . 于是， w 2 ， r 和 w 3 ， r 是 Φ 对应于零特征值的广义右特征向量。类似地可以证明， w 5 ， r = [ 0 n + m T ， q 2 T ， 0 n + m T ] T 和 w 6 ， r = [ 0 n + m T ， 0 n + m T ， q 2 T ] T 也是 Φ 对应于零特征值的广义右特征向量，而 w 1 ， l = [ p 1 T ， 0 n + m T ， 0 n + m T ， ] T ，   w 2 ， l = [ 0 n + m T ， p 1 T ， 0 n + m T ] T ，   w 4 ， l = [ p 2 T ， 0 n + m T ， 0 n + m T ] T 和 w 5 ， l = [ 0 n + m T ， p 2 T ， 0 n + m T ] T 是 对应于零特征值的广义左特征向量。 设J为 Φ 的若当标准形，则存在非退化矩阵 P 使得 Φ = P J P − 1 = [ w 1 ， r ， w 2 ， r ， w 3 ， r ， w 4 ， r ， w 5 ， r ， w 6 ， r ， ⋯ ] ( J 1 O 6 × 3 ( n + m − 2 ) O 3 ( n + m − 2 ) × 6 J 2 ) [ w 1 ， l T w 2 ， l T w 3 ， l T w 4 ， l T w 5 ， l T w 6 ， l T ⋮ ] ， 其中 J 1 = ( 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) 是 Φ 的零特征值对应的若当块，而 J 2 是 Φ 的非零特征值对应的若当块。故而 e Φ t = P e J t P − 1 = P ( e J 1 t O 6 × 3 ( n + m − 2 ) O 3 ( n + m − 2 ) × 6 e J 2 t ) P − 1 ， 其中 e J 1 t = ( 1 t 1 2 t 2 0 0 0 0 1 t 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 t 1 2 t 2 0 0 0 0 1 t 0 0 0 0 0 1 ) . 由于 Φ 的非零特征值都具有负实部，因此 lim t → ∞ e J 2 t = O 3 ( n + m − 2 ) × 3 ( n + m − 2 ) . 经简单的计算可知， lim t → ∞ ‖ e Φ t − w 1 ， r w 1 ， l T − ( t w 1 ， r + w 2 ， r ) w 2 ， l T − ( 1 2 t 2 w 1 ， r + t w 2 ， r + w 3 ， r ) w 3 ， l T         − w 4 ， r w 4 ， l T − ( t w 4 ， r + w 5 ， r ) w 5 ， l T − ( 1 2 t 2 w 4 ， r + t w 5 ， r + w 6 ， r ) w 6 ， l T ‖ = 0. (8) 注意到 w 1 ， r w 1 ， l T + ( t w 1 ， r + w 2 ， r ) w 2 ， l T + ( 1 2 t 2 w 1 ， r + t w 2 ， r + w 3 ， r ) w 3 ， l T + w 4 ， r w 4 ， l T + ( t w 4 ， r + w 5 ， r ) w 5 ， l T + ( 1 2 t 2 w 4 ， r + t w 5 ， r + w 6 ， r ) w 6 ， l T = ( 1 p 11 T 1 p 12 T t 1 p 11 T t 1 p 12 T 1 2 t 2 1 p 11 T 1 2 t 2 1 p 12 T 1 p 21 T 1 p 22 T t 1 p 21 T t 1 p 22 T 1 2 t 2 1 p 21 T 1 2 t 2 1 p 22 T O O 1 p 11 T 1 p 12 T t 1 p 11 T t 1 p 12 T O O 1 p 21 T 1 p 22 T t 1 p 21 T t 1 p 22 T O O O O 1 p 11 T 1 p 12 T O O O O 1 p 21 T 1 p 22 T ) ， 以及 [ ξ ( t ) ζ ( t ) η ( t ) ] = e Φ t [ ξ ( 0 ) ζ ( 0 ) η ( 0 ) ] ， 由(8)可知，当 t → ∞ 时，有 ‖ ξ 1 ( t ) − 1 p 11 T ξ 1 ( 0 ) − 1 p 12 T ξ 2 ( 0 ) − t 1 p 11 T ζ 1 ( 0 ) − t 1 p 12 T ζ 2 ( 0 ) − 1 2 t 2 1 p 11 T η 1 ( 0 ) − 1 2 t 2 1 p 12 T η 2 ( 0 ) ‖ → 0 ， ‖ ξ 2 ( t ) − 1 p 21 T ξ 1 ( 0 ) − 1 p 22 T ξ 2 ( 0 ) − t 1 p 21 T ζ 1 ( 0 ) − t 1 p 22 T ζ 2 ( 0 ) − 1 2 t 2 1 p 21 T η 1 ( 0 ) − 1 2 t 2 1 p 22 T η 2 ( 0 ) ‖ → 0 ， ‖ ζ 1 ( t ) − 1 p 11 T ζ 1 ( 0 ) − 1 p 12 T ζ 2 ( 0 ) − t 1 p 11 T η 1 ( 0 ) − t 1 p 12 T η 2 ( 0 ) ‖ → 0 ， ‖ ζ 2 ( t ) − 1 p 21 T ζ 1 ( 0 ) − 1 p 22 T ζ 2 ( 0 ) − t 1 p 21 T η 1 ( 0 ) − t 1 p 22 T η 2 ( 0 ) ‖ → 0 ， ‖ η 1 ( t ) − 1 p 11 T η 1 ( 0 ) − 1 p 12 T η 2 ( 0 ) ‖ → 0 ， ‖ η 2 ( t ) − 1 p 21 T η 1 ( 0 ) − 1 p 22 T η 2 ( 0 ) ‖ → 0. 充分性得证。 (必要性) 根据引理2.1，L的零特征值的代数重数至少为2。结合(4)， Φ 的零特征值的代数重数至少为6。设 J = ( J ¯ 1 O O J ¯ 2 ) 是 Φ 的若当标准形，则 e J t = ( e J ¯ 1 t O O e J ¯ 2 t ) ， 其中 J ¯ 1 是 Φ 的零特征值对应的阶数至少为6的若当块，而 J ¯ 2 是 Φ 的非零特征值对应的若当块。当 Φ 存在一个具有非负实部的非零特征值时，有 lim t → ∞ e J ¯ 2 t ≠ O . (9) 若 Φ 的零特征值的代数重数大于6或存在一个具有非负实部的非零特征值，则 e J ¯ 1 t 的秩大于6或(9)成立。从而，当 t → ∞ 时， e J t 的秩大于6。进而，当 t → ∞ 时， e Φ t 的秩也大于6。另一方面，若在一致性算法(2)作用下，多智能体系统(1)可渐近实现分组一致性，则当 t → ∞ 时， e Φ t 的秩等于6。由此推出矛盾，必要性得证。 定理3.2：在一致性算法(2)的作用下，当且仅当L有一个代数重数为2的零特征值且其非零特征值都具有正实部，同时控制参数满足下列条件： { β γ 2 Re μ i | μ i | 2 > α γ Re 2 μ i + β 2 Im 2 μ i ， ( β γ 2 Re μ i | μ i | 2 − α γ Re 2 μ i − β 2 Im 2 μ i ) ( β γ | μ i | 2 − α Re μ i ) > α β 2 Re μ i Im 2 μ i ， (10) 时，多智能体系统(1)可渐近实现分组一致性，其中 μ i ( i = 3 ， 4 ， ⋯ ， n + m ) 是L的非零特征值。 证明：由(4)可知， Φ 的零特征值的代数重数为6，当且仅当L的零特征值的代数重数等于2。进一步， Φ 的非零特征值必是方程 λ 3 + ( γ λ 2 + β λ + α ) μ i = 0 (11) 的根，其中 μ i ( i = 3 ， 4 ， ⋯ ， n + m ) 是L的非零特征值。根据引理2.2，经简单计算可知，方程(11)的根全部都具有负实部的充要条件是(10)成立。根据定理3.1，本定理得证。