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user: 2. 研究对象与方法 2.1. 研究对象 霍奇金(Hodgkin， 1914~19998)与赫胥黎(Huxley， 1917.11.22~2012.5.30)通过实验表明鱿鱼的神经脉冲的类型和速度可以看作是方程 ∂ u ∂ t = ∂ 2 u ∂ x 2 + f 的数值解，其中f是关于u的一个相当复杂的泛函，它的具体精确形式没有确切地给出来。但是可以知道这种模型所显示的神经主要特征是脉冲要么迅速的衰减下去要么就像行波一样形成一种特征形状然后沿直线传播并且不变形。后来Nagumo提出了一个满足这种行为的更简单的模型 ∂ u ∂ t = ∂ 2 u ∂ x 2 + f − b ∫ u d t (其中f是形如 f ( u ) = u ( 1 − u ) ( u − a ) ， 0 < a < 1 的一个三次多项式，参数a是由细胞膜的电特性决定并与细胞膜性质相关的参数，b是一个正的常数， ∫ u d t 是一个不定积分)中发现了这种行为 [ 6 ]。我们令参数 b = 0 则可以得到简化的FitzHugh-Nagumo方程 u t = u x x + u ( 1 − u ) ( u − a ) ，在文献 [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] 中分别给出了不同情形下神经细胞脉冲传导及大动脉血管中孤波特性。本文旨在通过该方程 u t = u x x + u ( 1 − u ) ( u − a ) ，利用齐次平衡法 [ 11 ] 来求出其孤立子解并研究其性质。 2.2. 方法 对简化的FitzHugh-Nagumo方程 u t = u x x + u ( 1 − u ) ( u − a ) (2.1) 为使非线性项与最高阶导数项达到平衡，设(2.1)具有如下形式的解 u ( x ， t ) = f ′ ( φ ) ⋅ φ x + c (2.2) 其中 f ( φ ) ， φ = φ ( x ， t ) 是待定函数，c为待定常数。 由(2.2)容易计算出 u t = f ″ ( φ ) ⋅ φ t ⋅ φ x + f ′ ( φ ) ⋅ φ x t u x x = f ‴ ( φ ) ⋅ φ x 3 + 3 c f ′ 2 ( φ ) ⋅ φ x ⋅ φ x x + f ′ ( φ ) ⋅ φ x x x u 2 = f ′ 2 ( φ ) ⋅ φ x 2 + 2 c f ′ ( φ ) ⋅ φ x + c 2 u 3 = f ′ 3 ( φ ) ⋅ φ x 3 + 3 c f ′ 2 ( φ ) ⋅ φ x 2 + 3 c 2 f ′ ( φ ) ⋅ φ x + c 3 } (2.3) 将(2.3)代入(2.1)并将 φ 的相同导数及其最高次幂项放在一起可得： ( f ‴ ( φ ) − f ′ 3 ( φ ) ) ⋅ φ x 3 + ( f ′ 2 ( φ ) − 3 c 2 f ′ ( φ ) + a f ′ 2 ( φ ) ) ⋅ φ x 2 + ( 3 f ″ ( φ ) φ x φ x x − f ″ ( φ ) φ t φ x )   + ( f ′ ( φ ) φ x x x + 2 c f ′ ( φ ) φ x − a f ′ ( φ ) φ x − 3 c f ′ ( φ ) φ x 2 + 2 a c f ′ ( φ ) φ x − f ′ ( φ ) φ x t )   + c 2 − a c − c 3 + a c 2 = 0 (2.4) 令(2.4)中 φ x 3 的系数为零，于是 f ( φ ) 应满足常微分方程 f ‴ ( φ ) − f ′ 3 ( φ ) = 0 . (2.5) 则可以得到(2.5)的两个解 f ( φ ) = ± 2 ln φ 为了简便，我们先取 f ( φ ) = 2 ln φ (2.6) 那么则有如下关系 f ′ 2 ( φ ) = − 2 f ″ ( φ ) (2.7) 将(2.2)中 f ( φ ) 取作(2.6)，并利用(2.7)，则(2.4)变为： ( − 2 φ x 2 + 3 2 c φ x 2 − 2 a φ x 2 + 3 φ x φ x x − φ t φ x ) ⋅ f ″ ( φ ) + ( φ x x x + 2 c φ x − a φ x − 3 c 2 φ x + 2 a φ x − φ x t ) ⋅ f ′ ( φ ) + c 2 − a c − c 3 + a c 2 = 0 令 f ″ ， f ′ 的系数及常数项分别为零，得 φ ( x ， t ) ，c满足如下的方程组： { − 2 φ x 2 + 3 2 c φ x 2 − 2 a φ x 2 + 3 φ x φ x x − φ t φ x = 0 φ x x x + 2 c φ x − a φ x − 3 c 2 φ x + 2 a c φ x − φ x t = 0 c 2 − a c − c 3 + a c 2 = 0 (2.8) 由于齐次方程具有指数形式的解，按照齐次平衡法，可以假设 φ ( x ， t ) 具有下列形式的解： φ ( x ， t ) = 1 + e α x + β t (2.9) 其中 α ， β 为待定常数，并将其代入(2.8)则可以得到 { − 2 α − 3 2 c α − 2 a α + 3 α 2 − β = 0 α 2 + 2 c − a − 3 c 2 + 2 a c − β = 0 c 2 − a c − c 3 + a c 2 = 0 (2.10) 解(2.10)可得 c = 0 ，1或a。 下面分三种情况讨论简化的FitzHugh-Nagumo方程的孤波解。 情形1当 c = 0 时，由(2.10)可得到 { − 2 α − 2 a α + 3 α 2 − β = 0 α 2 − a − β = 0 从而可以解得 α = 2 4 [ ( a + 1 ) ± a 2 − 2 a + 1 ] ， β = α 2 − a 。 ∴ φ ( x ， t ) = 1 + e α x + ( α 2 − a ) t ，再由(2.2)可得 u ( x ， t ) = 2 α 2 ( 1 + tanh α x + ( α 2 − a ) t 2 ) 。 最终可以获得方程(2.1)的第一组孤立波解： u 1 ( x ， t ) = a 2 ( 1 + tanh 2 a x + ( a 2 − 2 a ) t 4 ) ， u 2 ( x ， t ) = 1 2 ( 1 + tanh 2 x + ( 1 − 2 a ) t 4 ) 。 我们取 a = 1 ，则 u 1 ， u 2 的图像分别为图1、图2。 图1. 当 a = 1 时 u 1 的图像 图2. 当 a = 1 时 u 2 的图像 情形2当 c = 1 时，由(2.10)可得到 { − 4 2 α − 2 a α + 3 α 2 − β = 0 α 2 − β + a − 1 = 0 ∴ α = 2 4 [ ( 4 + a ) ± a 2 + 12 a + 12 ] ， β = α 2 + a − 1 。 从而可以得 φ ( x ， t ) = 1 + e α x + ( α 2 + a − 1 ) t ，再由(2.2)可得到方程(2.1)的第二组孤波解： u 3 ， 4 ( x ， t ) = 2 α 2 ( 1 + tanh α x + ( α 2 + a − 1 ) t 2 ) ，其中 α = 2 4 [ ( 4 + a ) ± a 2 + 12 a + 12 ] 。 当 a = 1 时， u 3 ， u 4 的图像分别为图3、图4。 图3. 当 a = 1 时 u 3 的图像 图4. 当 a = 1 时 u 4 的图像 情形3当 c = a 时，由(2.10)可得 { − 2 α − 4 2 a α + 3 α 2 − β = 0 α 2 − β − a 2 + a = 0 ∴ α = 2 4 [ ( 4 a + 1 ) ± 12 a 2 + 4 a + 1 ] ， β = α 2 + a 2 − a 。从而有 φ ( x ， t ) = 1 + e α x + ( α 2 + a 2 − a ) t ，再由(2.2)可以得到方程(2.1)的第三组孤立波解： u 5 ， 6 ( x ， t ) = 2 α 2 ( 1 + tanh α x + ( α 2 + a 2 − a ) t 2 ) ，其中 α = 2 4 [ ( 4 a + 1 ) ± 12 a 2 + 4 a + 1 ] 。 当 a = 1 时， u 5 ， u 6 的图像分别为图5、图6。 图5. 当 a = 1 时 u 5 的图像 图6. 当 a = 1 时 u 6 的图像 同理可得，当 f ( φ ) = − 2 ln φ 时可以得到同样的结果。