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user: 3. 主要结果 定理3.1：假设条件(H 1 )、(H 2 )、(H 3 )成立，又设存在正数 d ， M ， m ， r ， R 满足 0 < r < b a + b R < R ，且使得f满足如下假设： (H 4 ) f ( t ， u ) ≥ 0 ， u ∈ [ d ， R ] ； (H 5 ) | f ( t ， u ) | ≤ M r ， ( t ， u ) ∈ [ 0 ， 1 ] × [ 0 ， r ] ； (H 6 ) | f ( t ， u ) | ≥ m r ， ( t ， u ) ∈ [ 0 ， 1 ] × [ b a + b R.R ] ； (H 7 ) α [ 1 ^ ] a + ( 1 + b a ) β [ 1 ^ ] + M ∫ 0 1 G ( s ， s ) q ( s ) d s < 1 ； (H 8 ) b a + b ( α [ 1 ^ ] a + b a β [ 1 ^ ] + m ∫ 0 1 G ( s ， s ) q ( s ) d s ) > 1 ； (H 9 ) d < b a + b R ， 则边值问题(1.1)至少存在两个正解 u 1 ， u 2 满足 0 < ‖ u 1 ‖ < r < ‖ u 2 ‖ ， θ ( u 2 ) < b a + b R . 证明：对任意 u ∈ ∂ K r ， ‖ T u ‖ = max t ∈ [ 0 ， 1 ] [ 1 a α [ u ] + ( b a + t ) β [ u ] + ∫ 0 1 G ( t ， s ) q ( s ) f ( s ， u ( s ) ) d s ] + ， 由假设(H 5 )、(H 7 )有 ‖ T u ‖ = max t ∈ [ 0 ， 1 ] max { 1 a α [ u ] + ( b a + t ) β [ u ] + ∫ 0 1 G ( t ， s ) q ( s ) f + ( s ， u ( s ) ) d s ， 0 } ≤ α [ 1 ^ ] a r + ( 1 + b a ) β [ 1 ^ ] r + M r ∫ 0 1 G ( s ， s ) q ( s ) d s = ( α [ 1 ^ ] a + ( 1 + b a ) β [ 1 ^ ] + M ∫ 0 1 G ( s ， s ) q ( s ) d s ) r < r . 故引理2.6中条件(M 1 )满足。 对任意 u ∈ ∂ K ′ r ，即 ‖ u ‖ = r ，由假设(H 5 )、(H 7 )有 ‖ T * u ‖ = max t ∈ [ 0 ， 1 ] { 1 a α [ u ] + ( b a + t ) β [ u ] + ∫ 0 1 G ( t ， s ) q ( s ) f + ( s ， u ( s ) ) d s ， 0 } ≤ α [ 1 ^ ] a r + ( 1 + b a ) β [ 1 ^ ] r + M r ∫ 0 1 G ( s ， s ) q ( s ) d s < r . 对 u ∈ ∂ K ′ ( b a + b R ) ，即 u ∈ K ′ ，且 θ ( u ) = min t ∈ [ 0 ， 1 ] u ( t ) = b a + b R ，我们有 b a + b R = θ ( u ) = min t ∈ [ 0 ， 1 ] u ( t ) ≥ b a + b ‖ u ‖ ， 所以 ‖ u ‖ ≤ R . 而 u ( t ) ≥ b a + b R ， ∀ t ∈ [ 0 ， 1 ] ， 即 b a + b R ≤ u ( t ) ≤ ‖ u ‖ ≤ R ， ∀ t ∈ [ 0 ， 1 ] . 由假设(H 6 )、(H 8 )有 ( T * u ) ( t ) = 1 a α [ u ] + ( b a + t ) β [ u ] + ∫ 0 1 G ( t ， s ) q ( s ) f + ( s ， u ( s ) ) d s ≥ α [ 1 ^ ] a b a + b R + b a β [ 1 ^ ] b a + b R + m R ∫ 0 1 b a + b G ( s ， s ) q ( s ) d s = b a + b ( α [ 1 ^ ] a + ( 1 + b a ) β [ 1 ^ ] + m ∫ 0 1 G ( s ， s ) q ( s ) d s ) R > R . 从而 ‖ T * u ‖ > R 。 另一方面，由引理2.1知， θ ( T * u ) = min t ∈ [ 0 ， 1 ] ( T * u ) ( t ) ≥ b a + b ‖ T * u ‖ > b a + b R ， 故 θ ( T * u ) > b a + b R . 引理2.6中条件(M 2 )满足。 最后，我们证明定理中的条件(M 3 )满足。 对 u ∈ ∂ K ′ r ( b a + b R ) ∩ { u : T * u = u } ，即 u ∈ K ′ ，且 ‖ u ‖ > r ， θ ( u ) = min t ∈ [ 0 ， 1 ] u ( t ) < b a + b R 。 另一方面， u ( t ) ≥ b a + b ‖ u ‖ ， 故 b a + b ‖ u ‖ ≤ min t ∈ [ 0 ， 1 ] u ( t ) < b a + b R ， 得 ‖ u ‖ < R ， 所以 b a + b r ≤ b a + b ‖ u ‖ ≤ u ( t ) ≤ ‖ u ‖ < R . 由假设(H 9 )知， d < u ( t ) < R . 通过假设(H 4 )，我们有 f + ( t ， u ( t ) ) = f ( t ， u ( t ) ) . 从而 T u = T * u . 综上，引理2.6中的条件全部满足，则T有两个不动点 u 1 ， u 2 满足 0 ≤ ‖ u 1 ‖ < r < ‖ u 2 ‖ ， θ ( u 2 ) < b a + b R . 再由引理2.4知， u 1 ， u 2 为A的不动点，从而边值问题(1.1)至少存在两个正解。证毕。 定理3.2：假设(H 1 )~(H 4 )成立，又设 ( H ′ 5 ) 存在正数 k ， l 满足 d < k < l ≤ R ，使得 f ( t ， u ) ≥ m k ， ( t ， u ) ∈ [ 0 ， 1 ] × [ k ， R ] ; ( H ′ 6 ) | f ( t ， u ) | ≤ M R ， ( t ， u ) ∈ [ 0 ， 1 ] × [ 0 ， R ] ； ( H ′ 7 ) | f ( t ， u ) | ≤ M d ， ( t ， u ) ∈ [ 0 ， 1 ] × [ 0 ， d ] ； ( H ′ 8 ) α [ 1 ^ ] a + b a β [ 1 ^ ] + m ∫ 0 1 b a + b G ( s ， s ) q ( s ) d s > 1 ； ( H ′ 9 ) α [ 1 ^ ] a + ( 1 + b a ) β [ 1 ^ ] + M ∫ 0 1 G ( s ， s ) q ( s ) d s < 1 ， 则边值问题(1.1)至少存在三个正解。 证明：定义非负连续凹泛函 θ : K → [ 0 ， ∞ ) ， θ ( u ) = min t ∈ [ 0 ， 1 ] u ( t ) ， u ∈ K . 显然，任取 u ∈ K ¯ R ⊂ K ， θ (u) ≤ ‖ u ‖ 。 又若 u ∈ K ¯ R ⊂ K ，有 T u ∈ K 且 ‖ u ‖ ≤ R 。由假设( H ′ 6 )、( H ′ 9 )有 ‖ T u ‖ = max t ∈ [ 0 ， 1 ] [ 1 a α [ u ] + ( b a + t ) β [ u ] + ∫ 0 1 G ( t ， s ) q ( s ) f + ( s ， u ( s ) ) d s ] + ≤ ( α [ 1 ^ ] a + ( 1 + b a ) β [ 1 ^ ] + M ∫ 0 1 G ( s ， s ) q ( s ) d s ) R < R . 故 T : K ¯ R → K ¯ R . 下面验证引理2.5中的条件(C 1 )~(C 3 )。 1) 取 u 1 =1 ， t∈[0.1]， u 1 ∈ K ( θ ， k ， l ) ， θ ( u 1 ) = l > k . 故 { u ∈ K ( θ ， k ， l ) : θ ( u ) > k } ≠ ∅ . 且任取 u ∈ K ( θ ， k ， l ) ， k ≤ θ ( u ) ≤ u ( t ) ≤ ‖ u ‖ ≤ l ，即 k ≤ u ( t ) ≤ l ， t ∈ [ 0 ， 1 ] . 所以，由假设( H ′ 5 )、( H ′ 8 )有 θ ( T u ) = min t ∈ [ 0 ， 1 ] [ 1 a α [ u ] + ( b a + t ) β [ u ] + ∫ 0 1 G ( t ， s ) q ( s ) f + ( s ， u ( s ) ) d s ] + ≥ α [ 1 ^ ] a k + b a β [ 1 ^ ] k + b a + b ∫ 0 1 G ( s ， s ) q ( s ) d s ⋅ m k = ( α [ 1 ^ ] a + b a β [ 1 ^ ] + m b a + b ∫ 0 1 G ( s ， s ) q ( s ) d s ) k > k . 所以，引理中的条件(C 1 )满足。 2) 对 ，由假设( H ′ 7 )、( H ′ 9 )有 所以，引理中的条件(C 2 )满足。 3) 取 u ∈ K ( θ ， k ， R ) ，且 ‖ T u ‖ > l ，则 θ ( T u ) > k . 所以，引理中的条件(C 3 )满足。 由Leggett-Williams三解定理，T至少有三个不动点 u 1 ， u 2 ， u 3 ，且满足 ‖ u 1 ‖ < d < ‖ u 3 ‖ ， θ ( u 3 ) < k < θ ( u 2 ) . 再由引理2.4知， u 1 ， u 2 ， u 3 为A的不动点，从而边值问题(1.1)至少存在三个正解。证毕。