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user: 3. 两房室神经元Chay模型 基于重构的螺旋神经节神经元的形态结构，单个神经元房室用Chay模型进行描述，得到两房室神经元Chay模型： V ′ 1 = − I i o n ， 1 + I s t i m + k ( V 2 − V 1 ) / ( R 2 / 2 + R 1 / 2 ) (4) n ′ 1 = ( n ∞ ， 1 − n 1 ) / τ n ， 1 (5) V ′ 2 = − I i o n ， 2 + k ( V 1 − V 2 ) / ( R 1 / 2 + R 2 / 2 ) (6) n ′ 2 = ( n ∞ ， 2 − n 2 ) / τ n ， 2 (7) C ′ 1 = ρ [ m ∞ ， 1 3 h ∞ ， 1 ( V C − V 1 ) − k C C 1 ] (8) C ′ 2 = ρ [ m ∞ ， 2 3 h ∞ ， 2 ( V C − V 2 ) − k C C 2 ] (9) 其中，房室1受外加直流电刺激，用式(4)、(5)、(8)表示，房室2用式(6)、(7)、(9)表示，由于Chay模型的电生理参数取值较大，此处添加连接因子k调节房室间连接强度。 3.1. 参数的敏感性 数值模拟发现，两房室神经元Chay模型对于 g K V ， V C ， V K 等内源参数具有很强的敏感性，参数改变对于模型的放电模式、各房室间同步性等节律编码都会造成不同程度的影响。以钙离子通道的可逆电位 V C 为例，通过研究内源参数 V C 对两房室神经元Chay模型的影响，探索模型的不同放电模式。 本文中，如果簇发放的峰峰间距(ISI)为几个固定值，并且簇簇间距(IBI)始终保持不变，即判定膜电位的发放是周期性的簇发放。 3.1.1. 峰峰间距和簇簇间距 从图1(左)可以看到，随着内源参数 V C 的递减，房室1和房室2的ISI序列出现加周期分岔现象，直至 V C < 111.4   mV 时，出现复杂放电的混沌状态；图1(右)中，与左图相对应，随着 V C 的减小，除了在 V C = 395.2   mV 等分岔点处以及 V C < 111.4   mV 的混沌情况下，簇簇间距(IBI)始终保持一固定值不变，即簇与簇之间的时间间隔始终维持恒定。由前述可知，除了在 V C = 395.2   mV 等分岔点处，以及 所产生的混沌状态下，随着 的减小，房室1和房室2从周期1放电转变为周期性的簇放电，从周期1、2逐次递增直至出现混沌现象，展现了丰富的放电模式及其转化所出现的分岔现象。 3.1.2. 峰相位差和簇相位差 为了研究各房室之间放电模式的同步状态，本文引入峰相位差 [ 20 ]： Δ φ s ( t ) = 2 π t s − t n t n + 1 − t n ， t n < t s ≤ t n + 1 其中， t s ， t n 分别是两个房室峰值对应的时刻。定义：当 Δ φ s ( t ) = 0 ， 2 π 时，两房室是同相峰同步的；当 Δ φ s ( t ) 是几个不等于0和 的固定值时，两房室是反相峰同步的；当 Δ φ s ( t ) 在 [ 0 ， 2 π ] 内任意取值时，两房室是峰异步的。其中， Δ φ s ( t ) 即 Δ φ s 。 同理，为了研究各房室之间簇和簇的同步状态，比较簇同步和峰同步之间的区别，本文引入簇相位差 [ 20 ]，定义如下： Δ φ b ( t ) = 2 π τ s − τ n τ n + 1 − τ n ， τ n < τ s ≤ τ n + 1 其中， τ s ， τ n 分别是两房室的每个簇中第一个峰值对应的时刻。定义：当 Δ φ b ( t ) = 0 ， 2 π 时，两房室是同相簇同步的；当 Δ φ b ( t ) 是几个不等于0和 2 π 的固定值时，两房室是反相簇同步的。当 在 [ 0 ， 2 π ] 内任意取值时，两房室是簇异步的。其中， Δ φ b ( t ) 即 Δ φ b 。 图1. (左上)：房室1的ISI随V C 的变化；(右上)：房室1的IBI随V C 的变化；(左下)：房室2的ISI随V C 的变化；(右下)：房室2的IBI随V C 的变化 图2. (左)：房室1和房室2的峰相位差；(右)：房室1和房室2的簇相位差 由图2可知，随着 V C 的递增，房室1和房室2的峰相位差和簇相位差虽然逐渐呈现周期性的规律分布，但是整体上较难达到同相同步的放电模式。基本呈现异步状态；在参数变化范围内取值时，两房室间簇相位差的数目基本不会超过峰相位差的数目，因此图2(左)的分布较图2(右)更为复杂凌乱。通过电生理参数 的调节，得到了两房室间峰同步和簇同步的变化规律，有利于了解整个神经元模型各房室间信息传递的基本节律特性。 3.2. 不同类型的簇放电模式及其转迁 为了进一步分析两房室神经元Chay模型的动力学行为以及复杂簇发放模式的多种类型，本文引入快慢动力学分岔理论 [ 21 ] 进行非线性动力学分析。由于式(8)~(9)的参数 ρ 一般取值很小，所以与其相关的Ca 2+ 离子浓度的变化速率相较于其它变量的变化速率要小得多。因此，系统(4)~(7)构成快子系统，其中， V 1 、 n 1 、 V 2 、 为快变量， C 1 为分岔参数；系统(8)~(9)构成慢子系统， 、 C 2 为慢变量。本文通过调节内源参数 g K V 、 V K 的取值，依据Hopf点在分岔曲线上的不同位置，得到了两种不同类型的簇放电模式 [ 6 ] 及其转迁机制。 3.2.1. 经由“fold/homoclinic”滞后环的“fold/homoclinic”型簇放电 当 时，系统(4)~(9)中房室1的放电模式如图3(左)膜电位的时间历程图，快子系统(4)~(7)的平衡点分岔曲线以慢变量 C 1 作为分岔参数，并将两房室系统(4)~(9)的相平面图 ( C 1 ， V 1 ) 附加其上，得到图3(右)快慢动力学分岔图。 图3(右)包含一条“Z”型分岔曲线，分岔曲线上支存在一个Hopf分岔点，使得稳定焦点转变为不稳定平衡点，然后通过LP分岔点转至分岔曲线的中支出现鞍点，最后，通过第二个LP分岔点进入分岔曲线的下支，出现稳定结点。其中，分岔曲线中支的H点为中性鞍点，不是分岔点。由此可知，簇放电的静息状态通过第二个LP分岔点转变为放电状态，同时，放电状态通过分岔曲线中支的鞍点同宿分岔转变为静息状态，因此，此簇放电为“fold/homoclinic”型簇放电。而且，分岔曲线下支跃迁到分岔曲线上支也是通过第二个LP分岔点，而分岔曲线上支跃迁到分岔曲线下支则是通过分岔曲线中支的鞍点同宿分岔，因此，此簇放电为经由“fold/homoclinic”滞后环的“fold/homoclinic”型簇放电。 3.2.2. 经由“fold/homoclinic”滞后环的“Hopf/homoclinic”型簇放电 当 g K V = 1160   s − 1 ，   V K = − 75   mV 时，系统(4)~(9)中房室1的放电模式如图4(左)膜电位的时间历程图所示，快子系统(4)~(7)的平衡点分岔图以慢变量 C 1 为分岔参数，同时将系统的相平面图 ( C 1 ， V 1 ) 附加其上，得到图4(右)快慢动力学分岔图。 图3. 当 g K V = 1350   s − 1 ，   V K = − 75   mV 时，系统(4)~(9)中经由“fold/homoclinic”滞后环的“fold/homoclinic”型簇放电。(左)：膜电位的时间历程图；(右)：快慢动力学分岔图 图4. 当 g K V = 1160   s − 1 ，   V K = − 75   mV 时，系统(4)~(9)中经由“fold/homoclinic”滞后环的“Hopf/homoclinic”型簇放电。(左)：膜电位的时间历程图；(右)：快慢动力学分岔图 图4(右)展示了两条分岔曲线：L形分岔曲线构成了分岔曲线的上支，存在一个Hopf分岔点，随着分岔参数 C 1 的增加，由稳定焦点转变为不稳定平衡点；抛物线形分岔曲线构成了分岔曲线的中支和下支，并且该抛物线形平衡点分岔曲线包含一个LP分岔点，由构成分岔曲线中支的鞍点经过LP分岔点转变为构成分岔曲线下支的稳定结点。由此可见，上静息态经由分岔曲线上支的Hopf分岔点消失同时出现反复放电状态；放电状态碰到分岔曲线中支的鞍点同宿分岔跃迁到下静息态，因此，此簇放电为“Hopf/homoclinic”型簇放电。又知，分岔曲线下支通过LP分岔点处的鞍结分岔跃迁到分岔曲线上支，并且分岔曲线上支通过鞍点同宿分岔跃迁到分岔曲线下支，因此，此簇放电为经由“fold/homoclinic”滞后环的“Hopf/homoclinic”型簇放电。