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user: 3. 主要结果 引理2.1 设F是有限表示模的正向系统 ( F α ， u β α ) α ， β ∈ I 的正向极限。若 F ∈ SML ( I ) ，对任意的 β ∈ I ，有 F β ∈ G ⊥ I ，则 F ∈ SML ( G I ) 。 证明对任意的Gorenstein内射模M，我们有短正合列 0 → A → B → M → 0 ，其中 B ∈ I ， A ∈ G I 。又因为 F β ∈ G ⊥ I ，即 E x t R 1 ( F β ， G I ) = 0 ，所以对上述的 A ∈ G I ，有 E x t R 1 ( F β ， A ) = 0 。我们用函子 H o m ( F β ， − ) 作用短正合列 0 → A → B → M → 0 ，则有正合列 0 → H o m ( F β ， A ) → H o m ( F β ， B ) → H o m ( F β ， M ) → 0 。因此对任意同态 h : F β → M ，以及满同态 Π : B → M ，存在同态 g : F β → B ，满足等式 h = Π g 。又因为 F ∈ SML ( I ) ，所以由引理1.1(1)知，对上述同态g，存在同态 u : F → B ，满足等式 g u β α = u u α 。考虑以下交换图2。 我们令 Φ = Π u : F → M ，那么有 Φ u α = Π u u α = Π g u = β α h u β α ，由引理1.1(1)知， F ∈ SML ( M ) ，再由M的任意性知，有 F ∈ SML ( G I ) 。 定义2.2 [ 7 ] 称左R-模M是GI-投射模，如果 M ∈ G ⊥ I 。 我们用 P G I 表示GI-投射模的类。 注记2.3 (1) P G I = G ⊥ I 。 (2) I ∈ P G I 。 (3) 设 0 → A → B → C → 0 是左R-模短正合列。若 A ， C ∈ P G I ，则 B ∈ P G I ；若R是左Noetherian环， B ， C ∈ P G I ，则 A ∈ P G I 。 证明 (3)设 A ， C ∈ P G I ，由定义知， E x t R 1 ( A ， G I ) = 0 ， E x t R 1 ( C ， G I ) = 0 ，则有 E x t R 1 ( B ， G I ) = 0 ，即 B ∈ P G I 。因为 B ， C ∈ P G I ，所以由定义有 E x t R 1 ( B ， G I ) = 0 ， E x t R 1 ( C ， G I ) = 0 。又因为R是左Noetherian环，所以由( [ 5 ]，引理1)和(1)知， ( P G I ， G I ) 是完备遗传的余挠对，即当 i ≥ 1 时，上述等式仍然成立。则对任意的模 M ∈ G I ，我们用函子 H o m ( − ， M ) 去作用短正合列 0 → A → B → C → 0 ，则有短正合列 0 = E x t R 1 ( B ， M ) → E x t R 1 ( A ， M ) → E x t R 2 ( C ， M ) = 0 ，因此 E x t R 1 ( A ， M ) = 0 ，即 A ∈ P G I 。 命题2.4 设GI关于正向极限封闭。则 P G I ⊆ SML ( G I ) 。 证明因为GI关于直积封闭，所以由题设和引理1.10知， G ⊥ I ⊆ SML ( G I ) ，再由注记2.3知， P G I ⊆ SML ( G I ) 。 定理2.5 设R是双边Noetherian环。若任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模，则GI是关于纯商模封闭的包络类。 证明因为任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模，所以由( [ 6 ]，定理4.3)知， I ⊆ SML ( G I ) 。又因为R是双边Noetherian环，所以由引理1.9知，GI是包络类。再由( [ 5 ]，定理4)知， ( G I ， G F ) 是对偶对。再次由( [ 11 ]，定理3.1)知，GI关于纯商模封闭。 推论2.6 设R是n-Gorenstein环，则GI是关于纯商模封闭的包络类。 证明因为R是n-Gorenstein环，所以由( [ 8 ]，引理11.1.2)知，GI关于正向极限封闭。又由注记2.3知， I ∈ P G I 。再由命题2.4知， P G I ⊆ SML ( G I ) ，则 I ⊆ SML ( G I ) 。再次由定理2.5的证明知，GI是关于纯商模封闭的包络类。 定理2.7 设R是双边Noetherian环。若任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模， G ⊥ I 关于直积封闭，则 G I ⊆ SML ( P G I ) 。 证明因为任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模，所以由( [ 5 ]，定理2)知， ( G ⊥ I ， G F ⊥ ) 是对偶对，由( [ 11 ]，定理3.1)知， G ⊥ I 关于纯商模和纯子模封闭。由定义知， G ⊥ I 关于扩张封闭。再由( [ 4 ]，命题1)知， ( G ⊥ I ， G I ) 是完全的余挠对，即 G ⊥ I 是覆盖类。又因为 G ⊥ I 关于直积封闭。所以由( [ 12 ]，定理3.4)知， G ⊥ I 关于正向极限封闭。再次由引理1.10以及注记2.3知， G I ⊆ SML ( P G I ) 。 我们用 I n 表示内射维数小于等于n的模类。 推论2.8 设R是n-Gorenstein环。若任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模， G ⊥ I 关于直积封闭，则 G I ⊆ SML ( I n ) 。 证明因为R是n-Gorenstein环，所以 P G I = I n 。再由定理2.7知， G I ⊆ SML ( P G I ) ，则有 G I ⊆ SML ( I n ) 。 命题2.9 设R是双边Noetherian环，使得对任意的正整数n，有 i d R O P R ≤ n 。则对任意的可除abelian群D，有 T o r i R ( H o m Z ( G I ， D ) ， P G I ) = 0 ，其中 i ≥ 1 。 证明 因为R是双边Noetherian环，使得对任意的正整数n，有 i d R O P R ≤ n ，所以由( [ 5 ]，定理8)知，任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模，由( [ 5 ]，定理4)知， ( G I ， G F ) 是对偶对，再由( [ 11 ]，定理3.1)知，GI关于纯商模和纯子模封闭，再次由( [ 4 ]，引理2)知，GI关于正向极限封闭。又因为GI关于直积封闭，所以由命题2.4知， P G I ⊆ SML ( G I ) 。由注记2.3和( [ 5 ]，引理1)知， ( P G I ， G I ) 是遗传的余挠对，即 P G I 是可解的，则 P G I 中有足够的投射对象，且它关于满同态的核封闭。对任意的模 M ∈ P G I ，则M有投射分解 ⋯ → P 1 → P 0 → M → 0 ，其中 P i ∈ P 。我们记 Ω i ( M ) = K e r ( P n − 1 → P n − 2 ) 是M的第i个合冲，其中 i ≥ 1 ，由 P G I 是可解的知， Ω i ( M ) ∈ P G I 。又因为 P G I ⊆ SML ( G I ) ，所以有 Ω i ( M ) ∈ SML ( G I ) 。再由( [ 10 ]，引理2.5)知，对任意的可除abelian群D，以及任意的模 B ∈ G I ，我们有映射 Φ M i : T o r i R ( H o m Z ( B ， D ) ， M ) → H o m Z ( E x t R i ( M ， B ) ， D ) 是单的，其中 i ≥ 1 。则有 T o r i R ( H o m Z ( B ， D ) ， M ) = 0 ，再次由B和M的任意性，则有 T o r i R ( H o m Z ( G I ， D ) ， P G I ) = 0 。 推论2.10 设R是双边Noetherian 环，使得对任意的正整数n，有 i d R O P R ≤ n ，则GI是覆盖类。 证明由命题2.9的证明知， P G I ⊆ SML ( N ) ，再由注记2.3知， I ⊆ SML ( G I ) 。再次由( [ 7 ]，引理2.6)知，GI是覆盖类。