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user: 3. ARCH簇模型的建立 对恒指期货序列用ADF做单位根检验，在99%置信度下，恒生指数序列为非平稳序列 [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] ，恒生指数收益率序列为平稳序列，与国际上对发达市场波动性的研究相符。序列的自相关(AC)和偏自相关(PAC)系数均落入两倍标准差之内，且Q统计量的对应的P值显著为0，说明序列不存在自相关和偏自相关性，在均值方程中不存在均值回归因子，我们用线性方程来拟合，对恒指期货序列 进行自然对数处理，将序列 为因变量进行估计，估计的基本形式假定为： ln ( s t ) = c + ρ × ln ( s t − 1 ) + μ t (3.1) 其中c为常数，利用最小二乘法估计结果 ln ( s t ) = 0.019 + 0.997 × ln ( s t − 1 ) + μ t                                                                             ( 0.0083 )     ( 0.000 ) (3.2) AIC = − 4.983 ， SC = − 4.981 ，对数似然值11644拟合程度非常显著，系数和小于1，并且残差经过检验平稳，观察残差图，波动的成群现象明显，这说明误差项可能具有条件异方差性，需要进行条件异方差的ARCH-LM检验。 3.1. 异方差性检验(ARCH-LM检验) 对序列进行滞后期为5的ARCH-LM检验，P值为0拒绝原假设，认为收益率序列存在ARCH效应，并且由5阶ARCH-LM检验结果来看P值仍然很小，即残差序列存在高阶ARCH效应，考虑建立GARCH(p，q)模型。在实践中，如果滞后阶数p较大，无限制约束的估计常常会违背 α i 都是非负的限定条件，而事实上恰恰需要这个限定来保证条件方差 σ t 2 是正数，考虑到ARCH(p)模型是一个 σ t 2 的分布滞后模型，就可以用一个或两个 σ t 2 的滞后值代替许多 μ t 2 的滞后值，这就是GARCH的基本思想。 3.2. GARCH模型的估计 为确定GARCH模型的系数，比较AIC和SC可知GARCH (2，3)，GARCH(1，1)较好，为了节省参数和降低参数估计的复杂程度，这里选择GARCH(1，1)模型。参数估计结果如下： ln ( s t ) = 0.033 + 0.996 × ln ( s t − 1 ) + μ t (3.3) σ t 2 = 4.46 × 10 − 6 + 0.9118 × σ t − 1 2 + 0.0775 × μ t − 1 2 (3.4) AIC = − 5 . 66 0 3 ， SC = − 5 . 3436 ，对数似然值为12487.7，相比较最小二乘法的结果，对数似然值有所增加，AIC和SC都有所减小，这说明GARCH(1，1)模型能够较好的拟合数据。再对这个方程进行ARCH-LM检验，得到了残差序列的统计结果，可知此时序列不存在ARCH效应，说明利用GARCH(1，1)模型消除了方程的残差序列的条件异方差性。 残差平方相关图中的自相关和偏自相关系数近似为0，Q统计量不显著，这个结果也可以说明残差序列不再存在ARCH效应，方差方程式中ARCH项和GARCH项之和为0.988小于1，满足参数的约束条件。由于系数之和非常接近于1，表明条件方差所受的冲击是持久的。 3.3. GARCH-M模型的估计 由以上检测已知恒生指数收益率序列为平稳序列，且存在明显的ARCH效应。一般认为具有较高可观测到的风险的资产可以获得更高的平均收益，其原因在于人们一般认为金融资产的收益率应当与其风险成正比，风险越大，与其的收益就越高。这样利用条件方差表示预期风险的模型称为ARCH-M模型，为确定GARCH-M模型的系数，以下列出不同的系数组合所得到的AIC和SC。 比较系数得GARCH-M (1，1)既可以节省参数又符合AIC/SC准则，GARCH-M(1，1)模型的参数估计如下， ln ( s t ) = 0.0332 + 0.996 × ln ( s t − 1 ) + 0.056 × σ t (3.5) σ t 2 = 4.46 × 10 − 6 + 0.0774 × μ t − 1 2 + 0.9118 × σ t − 1 2 (3.6) AIC = − 5.34 ， SC = − 5.33 ，从结果可以看到，在GARCH-M的模型假定下GARCH(-1)项为正数符合要求，预期较大值的条件标准差表示较高风险。从估计结果看，方程所有系数显著并且系数和小于1，满足平稳条件，均值方程中的0.056表示当市场中风险增加一个单位时，就会导致收益率也相应增加0.056个单位。序列不存在ARCH效应，利用GARCH-M(1，1)模型消除了方程的残差序列的条件异方差性。 3.4. TARCH模型 Christie (1982)的研究认为，当股票价格下降时，资本结构中附加在债务上的权重增加，如果债务权重增加的消息泄漏以后，资产持有者和购买者就会产生“未来资产收益率将导致更高波动性”的预测，从而导致该资产的股票价格波。因此，对于股价反向冲击所产生的波动性，大于等量正向冲击产生的波动性，这种利空消息作用大于利好消息作用的非对称性，在美国等一些国家的股指序列中已经得到验证。下面对恒指期货分别做TARCH模型和EGARCH模型的波动性估计。模型估计结果为 ln ( s t ) = 0.033 + 0.9965 × ln ( s t − 1 ) + μ t                           ( 0.000 )         ( 0.000 ) (3.7) σ t 2 = 5.01 × 10 − 6 + 0.0286 × μ t − 1 2 + 0.0968 × μ t − 1 2 × d t − 1 + 0.909 × σ t − 1 2                   ( 0.000 )                 ( 0.000 )                         ( 0.000 )                                 ( 0.000 ) (3.8) AIC = − 5.36 ， SC = − 5.35 ，对数似然值12531，利用TARCH(1，1)模型消除了方程的残差序列的条件异方差性。 3.5. EGARCH模型 我们建立EGARCH(1，1)模型如下 ln ( s t ) = 0.0315 + 0.9967 × ln ( s t − 1 ) + μ t                           ( 0.000 )         ( 0.000 ) (3.9) ln ( σ t 2 ) = − 0.245 + 0.1207 × | μ t − 1 σ t − 1 | − 0.0564 × ( μ t − 1 σ t − 1 ) + 0.981 × ln ( σ t − 1 2 )                               ( 0.000 )           ( 0.000 )                           ( 0.000 )                             ( 0.000 ) (3.10) AIC = − 5.36 ， SC = − 5.35 ，对数似然值12536，序列不存在ARCH效应，说明利用EGARCH(1，1)模型消除了方程的残差序列的条件异方差性。在TGARCH模型中，杠杆效应项的系数等于0.0968，说明股票价格的波动性具有杠杆效应，即利空消息能比等量的利好消息产生更大的波动。当出现利好消息的时候，会对股票价格指数带来一个0.0286倍的冲击，而出现利空消息的时候，会到来一个0.1254倍的冲击。 同样的在EGARCH模型中非对称项的估计值为−0.0564相比 α 的估计值0.1207来说，当 μ t − 1 > 0 时，该信息冲击对条件方差的对数有一个0.06倍的冲击，当 μ t − 1 < 0 时，该信息冲击对条件方差的对数有一个0.17倍的冲击。香港恒指期货中负冲击使得波动性更大，具有明显的非对称性。