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user: 3. 隧道贯通误差计算方法 3.1. GNSS测量引起横向贯通误差计算 关于横向贯通误差，它是是布设盾构隧道平面控制网的一项重要指标，规范中给出了隧道横向贯通误差的计算公式，如果已知各控制点的坐标及方差–协方差阵就直接按照公式计算隧道外平面控制网测量误差对横向贯通的影响。 1) 近似估算应按(式4)计算： M 2 = m J 2 + m C 2 + ( L J cos θ × m α J ρ ) 2 + ( L C cos φ × m α C ρ ) 2 (式4) 式中：m J 、m C ——分别为隧道进出口控制点的Y坐标误差； L J 、L C ——分别为隧道口GNSS控制点至贯通点的长度； m α J 、 m α C ——分别为进出口控制点联系边的方位中误差； θ、φ——分别为进出口控制点至贯通点连线与贯通点线路切线的夹角。 2) 严密估算应按(式5)计算： M 2 = σ Δ x 2 cos 2 α F + σ Δ y 2 sin 2 α F + σ Δ x Δ y sin 2 α F (式5) 式中：σ Δ x 、σ Δ y 、σ Δ x Δ y 分别为贯通点x、y坐标的方差和协方差；α F 为贯通面的方位角。 从隧道坐标系的各种情况可以看出，直线隧道其贯通面与X轴垂直，曲线隧道其贯通面与X轴并不垂直，而在组合隧道，其有些贯通面与X轴也不垂直，因此在推导横向贯通误差的计算公式时应顾及到贯通面与X轴不垂直的情况。 如图1所示，A、D为进洞控制点并位于中线上，B、E为进洞方位点，P为贯通面，隧道工程坐标系为XAY，该坐标系顺时针旋转φ角建立与贯通面相垂直的坐标系X'AY'，则由A、D分别推算P点的坐标为： 图1. 横向贯通误差 X P A = X A + S A P ⋅ cos α A P (式 6a ) X P D = X D + S P D ⋅ cos α P D (式6b) Y P A = Y A + S A P ⋅ sin α A P (式 6c ) Y P D = Y D + S P D ⋅ sin α P D (式6d) 它们的坐标差为： Δ X P = X P D − X P A = X D − X A + S D P ⋅ cos ( α D E − β D ) − S A P ⋅ cos ( α A B + β A ) (式 7a ) Δ Y P = Y P D − Y P A = Y D − Y A + S D P ⋅ sin ( α D E − β D ) − S A P ⋅ sin ( α A B + β A ) (式7b) 隧道贯通面横向贯通误差为： Δ P = cos ( 90 ∘ + φ ) ⋅ Δ X P + sin ( 90 ∘ + φ ) ⋅ Δ Y P = − sin φ ⋅ Δ X P + cos φ ⋅ Δ Y P (式8) 边长S AP 、S DP 和定向角β A 、β D 的误差放在隧道测量中，因此有微分式： d ( Δ X P ) = d X D − d X A − Δ Y D P ⋅ d α D E + Δ Y A P ⋅ d α A B (式9a) d ( Δ Y P ) = d Y D − d Y A + Δ X D P ⋅ d α D E − Δ X A P ⋅ d α A B (式9b) d ( Δ P ) = − sin φ ⋅ d ( Δ X P ) + cos φ ⋅ d ( Δ Y P ) (式 9c ) 其中， d α I J = a I J ⋅ d X I + b I J ⋅ d Y I − a I J ⋅ d X J − b I J ⋅ d Y J ， ， b I J = − cos α I J / S I J 。 顾及 Δ Y A P ⋅ sin φ + Δ X A P cos φ = Δ X ′ A P ， Δ Y D P ⋅ sin φ + Δ X D P cos φ = Δ X ′ D P 得： d ( Δ P ) = f P T d X (式10) 其中： d X T = ( d x A ， d y A ， d x B ， d y B ， d x E ， d y E ， d x D ， d y D ) f P T = ( sin φ − a A B Δ X ′ A P ， − cos φ − b A B Δ X ′ A P ， a A B Δ X ′ A P ， b A B Δ X ′ A P ，                   − a D E Δ X ′ D P ， − b D E Δ X ′ D P ， − sin φ + a D E Δ X ′ D P ， cos φ + b D E Δ X ′ D P ) 横向贯通中误差为 m P = ± σ 0 ( f p T Q X X f P ) 1 / 2 (式11) 其中，σ 0 为单位权中误差，Q xx 为坐标协因数矩阵。 如考虑由于中央子午线的不同，投影面高度的不同或者由于GNSS基线本身存在系统的尺度误差而产生的投影在隧道坐标系中的GNSS网尺度与隧道内测距导线边的尺度存在着差异，设尺度差异中误差为m b /b，则横向贯通中误差为 m p = ± m 0 2 f p t Q x x f p + ( m b b ) 2 ( y ′ D − y ′ A ) 2 (式12) 以任一方向AG为X轴正向建立坐标系，此时贯通面的坐标及整个网点的坐标、方差协方差都发生变化，通过程序计算说明此时按(式12)算出的结果与以AD为X轴正向的结果是一致的。任意给定贯通面的位置和方位，通过计算说明起算数据的变化在同样的基准点和基准方位下按(式12)计算的横向贯通误差结果不变，证明横向贯通误差与坐标系统的建立无关 [ 2 ]。 3.2. 常规控制测量引起横向贯通中误差 3.2.1. 三角网、精密导线误差引起的隧道横向贯通中误差计算 考虑到洞内导线按设计等级施测后，因洞内通视条件的限制及施工等多方面的影响，而未能按设计路线或方案进行施测，都要根据已施测的成果对该导线进行精度估算。 1) 近似估算按(式13)计算： M = m y β 2 + m y l 2 (式13) 其中： m y β = m β ρ ″ ∑ R x 2 ， m y l = m l l ∑ d y 2 式中：m y β ——测角误差影响在贯通面上的横向中误差(mm)； m yl ——测边误差影响在贯通面上的横向中误差(mm)； m β ——控制网设计的测角中误差(″)； R x ——控制网邻近两洞口连线的一列测边上的各点至贯通面的垂直距离(m)； m l /l——控制网设计的边长相对中误差； d y ——控制网邻近隧道两洞口连线的一列测边在贯通面上投影长度(m)。 例如：一号线东杨区间隧道洞外控制贯通误差，其洞外控制网在三等三角基础上按四等精度导线进行作业，实测的测角中误差 m β = ± 0.87 ″ ，导线边相对中误差小于1/100000。最短边长为186.896 m，最长边长为1145.235 m，平均边长为573.39 m，点位中误差最大 6 mm 。隧道洞外控制测量贯通误差见表3。 Table 3 Through error of control survey outside the tunne 点号 各点到贯通面距离 各边在贯通面投影长 R x R x 2 d y d y 2 SGK21 620 38400 20 400 SGK25 150 22500 144 20736 SGK24 595 354025 ∑ 760925 21138 表3.洞外控制测量贯通误差 代 m β = ± 0.867 ″ ， m l / l = 1 / 100000 ， ρ = 206265 ″ ， ∑ R x 2 = 760925   m 2 ， ∑ d y 2 = 21138   m 2 入下式： m = ± ( m β ρ ) 2 ∑ R x 2 + ( m l l ) 2 ∑ d y 2 = ± 4   mm (式14) 2) 严密平差按(式15)计算： M 2 = σ Δ x 2 cos 2 α F + σ Δ y 2 sin 2 α F + σ Δ x Δ y sin 2 α F (式15) 式中：σ Δ x 、σ Δ y 、σ Δ x Δ y 分别为贯通点x、y坐标的方差和协方差；α F 为贯通面的方位角。 3.2.2. 东杨区间隧道贯通计算 隧道内因测角误差和边长误差影响产生在贯通面上的横向中误差，按《广州轨道交通工程测量管理细则》为±30 mm。根据区间的设计线路平面图及贯通面位置，结合区间施工的具体情况，竖井测量的方式方法，先在线路平面图上布设洞内平面控制点，量出洞内平面控制点的坐标，计算各平面控制点至贯通面的垂直距离R x (m)，各边在贯通面上的投影长度d y (m)。 1) 测边边长相对中误差m l 的确定 测距仪本身精度m 1 ： m 1 = a 2 + b 2 ⋅ s 2 (式16) 对于仪器TC1610，标称精度(2 mm ± 2 ppm)，取边长为 200 米 ，则 m 1 = ± 2.4   mm ； 目标偏心误差所引起的测距中误差m 2 ，取 m 2 = ± 2   mm ； 仪器对中误差所引起的测距中误差m 3 ，取 m 3 = ± 2   mm ； 垂直角观测精度m A 所引起的测距中误差m 4 ； m 4 = h ⋅ m A / ρ 。高差、垂直角测角中误差与测距中误差成正比，高差，垂直角中误差逾大，测距中误差也逾大，垂直角观测两测回m A 定为±3″，则 m 4 = ± 0.1   mm ， m 4 = ± 0.2   mm 。 东杨区间隧道洞外测量贯通误差计算外界影响m 5 ，考虑5个因素影响，外界影响占 1 / 5 ，取 m 5 = ± 2   mm 。因而有测边中误差m l m l = ± m 1 2 + m 2 2 + m 3 2 + m 4 2 + m 5 2 = ± 4.219   mm (式17) 取最短边长 l min = 50 米，则测边边长相对中误差 m l / l = 1 / 11851 = 1 / 12000 。 2) 洞内导线测量测角中误差m β 的确定 m = ± ( m β ρ ) 2 ∑ R x 2 + ( m l l ) 2 ∑ d y 2 (式18) 代 m l / l = 1 / 12000 ， ∑ R x 2 ， ∑ d y 2 ， m = ± 30   mm 入上式，求得洞内导线测量要求的测角中误差m β 。 东杨区间测量设计见表4、表5。 Table 4 Design of traverse survey in the right tunnel of Dongyang sectio 点号 坐标 里程 备注 X Y 1 29049 41044 YDK12 + 805 贯通面里程YDK13 + 117 贯通面方位77-00-41 曲线要素 R = 600 L 0 = 50 α= 12-05-25 曲线起止里程 ZH= YDK13 + 275.944 HZ= YDK13 + 452.553 2 29068 41122 YDK12 + 890 3 29103 41280 YDK13 + 038 4 29134 41418 YDK13 + 190 5 29165 41550 YDK13 + 326 6 29190 41622 YDK13 + 402 7 29228 41705 YDK13 + 492 8 29268 41788 YDK13 + 585 9 29138 41894 YDK13 + 700 10 29738 41895 2#竖井 表4. 东杨区间右线洞内导线测量设计表 Table 5 Design and calculation of survey in the left line tunnel of Dongyang sectio 点号 各点到贯通面距离(m) 各边在贯通面投影长(m) R x R x 2 d y d y 2 1 375 140625 0.383 0.147 2 290 84100 0.920 0.846 3 140 19600 0.205 0.042 4 10 100 0.061 0.004 5 145 21025 8.085 65.044 6 222.5 49506 18.972 359.937 7 310 96100 19.347 374.306 8 401.5 161202 25.009 625.450 9 515 265225 58.128 3378.864 10 535 286225 ∑ 1123708 4804.641 表5. 东杨区间左线洞内测量设计计算 代 m = 0.03   m 可得： ∑ R x 2 = 1123708   m 2 ， ∑ d y 2 = 4804641   m 2 代 ρ = 206265 ( m l / l ) = 1 / 12000 入下式： m = ± ( m β ρ ) 2 ∑ R x 2 + ( m l l ) 2 ∑ d y 2 = ± 4   mm (式19) 解得 m β = ± 5 . 73 ″ 符合要求。 3.3. 隧道高程贯通中误差计算 隧道洞外、洞内高程控制测量误差产生的高程贯通中误差按(式20)计算： m Δ h = ± m Δ L (式20) 式中：m Δ ——每千米水准测量偶然中误差(mm)； L——洞外或洞内高程路线长度(km)。 由进、出洞口水准点引进的两水准路线均联测至E点上，这样Ｅ点就得到两个高程值H JE 和H CE ，实际的高程贯通误差为： f = H J E − H C E (式21) 3.4. 隧道洞内导线误差引起的横向贯通中误差 如图2所示，隧道洞内导线误差引起的横向贯通中误差，按(式22)求得 M q 内 = ± M β 内 2 + M T 内 2 = ± M β 内 2 ρ 2 ∑ R x 内 2 + M T 内 2 l 2 ∑ d y 内 2 (式22) 式中： M β 内 ——导线的测角中误差； M T 内 ——导线的测距中误差； l——导线边长； ∑ R x 内 2 ——各导线点至贯通面的垂直距离的平方和； ∑ d y 内 2 ——各导线边在贯通面上投影长度平方和。 图2. 隧道洞内导线误差示意 为保证盾构隧道的正确贯通，根据以往广州地铁贯通测量经验，测量误差的合理配赋为：地面控制测量的横向中误差应在±25 mm之内，联系测量中误差应在±20 mm之内 [ 3 ]，地下导线测量中误差应在±30 mm之内；配赋给地面高程控制测量的中误差为±16 mm，向地下传递高程的中误差为±10 mm，地下高程控制测量的中误差为±16 mm。 3.5. 提高洞内控制测量精度的主要措施 1) 严格按方案规定步骤进行观测，观测中尽量采用三联脚架法，注意各基座与棱镜、仪器有无隙动、对中偏离是否较大、气泡是否偏离等等，如果有上述问题就要对仪器进行检修校正，解决观测问题； 2) 导线布设尽量能形成等边直伸型导线，在隧道内测量环境允许情况下尽可能选长边观测；隧道每掘进到一定阶段或一定长段时应及时对导线进行复测及精度估算； 3) 盾构隧道掘进到足够长度时要及时增设导线点，指导掘进的临时点要控制在2~3个以内，而且要要经常检测其正确性，确保盾构掘进按设计精度前进，同时还可以校正盾构导向系统和盾构姿态； 4) 进行三角高程测量时，必须按正确步骤施测，如垂直角的观测要同测距在同一次照准时完成，对于三角高程等级在三等或高于三等时一定要有提高精度的措施进行观测，如提高对中精度、隔点设站法等； 5) 在隧道贯通面较多时，要全面检查隧道全部贯通后的轴线误差情况，对施工隧道内有过矿山法砼衬砌的，还要对相向挖的两条洞内导线进行联测，必须做平差处理或贯通误差分配等措施。