system: [SYSTEM]

user: 2. 定理及推论 定理1 ∫ 0 π 2 f ( sin x ， cos x ) d x = ∫ 0 π 2 f ( cos x ， sin x ) d x 。 证明 ∫ 0 π 2 f ( sin x ， cos x ) d x = x = π 2 − t ∫ π 2 0 f ( sin ( π 2 − t ) ， cos ( π 2 − t ) ) d ( π 2 − t ) = ∫ 0 π 2 f ( cos t ， sin t ) d t = ∫ 0 π 2 f ( cos x ， sin x ) d x 。 证毕。 例1 求 ∫ 0 π 2 cos x cos x + sin x d x 。 解 ∫ 0 π 2 cos x cos x + sin x d x = ∫ 0 π 2 sin x sin x + cos x d x = 1 2 ∫ 0 π 2 cos x + sin x cos x + sin x d x = 1 2 ∫ 0 π 2 1 d x = π 4 。 定理2 [ 8 ] 设 J ( m ， n ) = ∫ 0 π 2 cos m x sin n x d x ，其中 m ， n 为正整数，则 J ( m ， n ) = m − 1 m + n J ( m − 2 ， n ) = n − 1 m + n J ( m ， n − 2 ) ，     m ， n = 2 ， 3 ， ⋯ . 证明 设 I ( m ， n ) = ∫ cos m x sin n x d x ，则当 m + n ≠ 0 时，有 I ( m ， n ) = 1 n + 1 ∫ cos m − 1 x d ( sin n + 1 x ) = 1 n + 1 [ cos m − 1 x sin n + 1 x + ( m − 1 ) ∫ cos m − 2 x sin n + 2 x d x ] = 1 n + 1 [ cos m − 1 x sin n + 1 x + ( m − 1 ) ∫ cos m − 2 x ( 1 − cos 2 x ) sin n x d x ] = 1 n + 1 [ cos m − 1 x sin n + 1 x + ( m − 1 ) ∫ ( cos m − 2 x sin n x − cos m x sin n x ) d x ] = 1 n + 1 cos m − 1 x sin n + 1 x + m − 1 n + 1 I ( m − 2 ， n ) − m − 1 n + 1 I ( m ， n ) ， 因此 I ( m ， n ) = n + 1 m + n [ 1 n + 1 cos m − 1 x sin n + 1 x + m − 1 n + 1 I ( m − 2 ， n ) ] = 1 m + n cos m − 1 x sin n + 1 x + m − 1 m + n I ( m − 2 ， n ) ，     m ， n = 2 ， 3 ， ⋯ . 又 I ( m ， n ) = − ∫ cos m x sin n − 1 x d cos x = − 1 m + 1 ∫ sin n − 1 x d cos m + 1 x = − 1 m + 1 cos m + 1 x sin n − 1 x + n − 1 m + 1 ∫ cos m + 2 x sin n − 2 x d x = − 1 m + 1 cos m + 1 x sin n − 1 x + n − 1 m + 1 ∫ cos m x sin n − 2 x ( 1 − sin 2 x ) d x = − 1 m + 1 cos m + 1 x sin n − 1 x + n − 1 m + 1 I ( m ， n − 2 ) − n − 1 m + 1 I ( m ， n ) ， 因此 I ( m ， n ) = − 1 m + n cos m + 1 x sin n − 1 x + n − 1 m + n I ( m ， n − 2 ) ，     m ， n = 2 ， 3 ， ⋯ . 所以 I ( m ， n ) = 1 m + n cos m − 1 x sin n + 1 x + m − 1 m + n I ( m − 2 ， n ) = − 1 m + n cos m + 1 x sin n − 1 x + n − 1 m + n I ( m ， n − 2 ) ，     m ， n = 2 ， 3 ， ⋯ ， 因此 J ( m ， n ) = ∫ 0 π 2 cos m x sin n x d x = − 1 m + n cos m + 1 x sin n − 1 x | 0 π 2 + n − 1 m + n J ( m ， n − 2 ) = n − 1 m + n J ( m ， n − 2 ) 且 J ( m ， n ) = 1 m + n cos m − 1 x sin n + 1 x | 0 π 2 + m − 1 m + n J ( m − 2 ， n ) = m − 1 m + n J ( m − 2 ， n ) ， 综上， J ( m ， n ) = n − 1 m + n J ( m ， n − 2 ) = m − 1 m + n J ( m − 2 ， n ) ，     m ， n = 2 ， 3 ， ⋯ . 证毕。 例2 计算 ∫ 0 π 2 cos 4 x sin 3 x d x 。 解 ∫ 0 π 2 cos 4 x sin 3 x d x = J ( 4 ， 3 ) = 2 4 + 3 J ( 4 ， 1 ) = 2 7 3 4 + 1 J ( 2 ， 1 ) = 2 7 3 5 1 2 + 1 J ( 0 ， 1 ) = 2 7 3 5 1 3 ∫ 0 π 2 sin x d x = 2 35 。 推论2 J ( m ， n ) = ∫ 0 π 2 cos m x sin n x d x = { ( m − 1 ) ! ! ( n − 1 ) ! ! ( m + n ) ! ! ，     m ， n     不 全 为 偶 数 ( m − 1 ) ! ! ( n − 1 ) ! ! ( m + n ) ! ! π 2 ，     m ， n     全 为 偶 数 。 证明 1) 当 m ， n 不全为偶数时， m ， n 或者全为奇数，或者一奇一偶。 当 m ， n 全为奇数时， J ( m ， n ) = n − 1 m + n J ( m ， n − 2 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 J ( m ， n − 4 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 ⋯ 2 m + 3 J ( m ， 1 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 ⋯ 2 m + 3 m − 1 m + 1 J ( m − 2 ， 1 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 ⋯ 2 m + 3 m − 1 m + 1 ⋯ 2 3 + 1 J ( 1 ， 1 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 ⋯ 2 m + 3 m − 1 m + 1 ⋯ 2 3 + 1 1 2 = ( m − 1 ) ! ! ( n − 1 ) ! ! ( m + n ) ! ! . 当 m ， n 一奇一偶时，不妨设m为奇数，n为偶数，则 J ( m ， n ) = n − 1 m + n J ( m ， n − 2 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 J ( m ， n − 4 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 ⋯ 1 m + 2 J ( m ， 0 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 ⋯ 1 m + 2 m − 1 m J ( m − 2 ， 0 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 ⋯ 1 m + 2 m − 1 m ⋯ 2 3 J ( 1 ， 0 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 ⋯ 1 m + 2 m − 1 m ⋯ 2 3 = ( m − 1 ) ! ! ( n − 1 ) ! ! ( m + n ) ! ! . 因此，当 m ， n 不全为偶数时， J ( m ， n ) = ( m − 1 ) ! ! ( n − 1 ) ! ! ( m + n ) ! ! 。 2) 当 m ， n 全为偶数时， J ( m ， n ) = n − 1 m + n J ( m ， n − 2 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 J ( m ， n − 4 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 ⋯ 1 m + 2 J ( m ， 0 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 ⋯ 1 m + 2 m − 1 m J ( m − 2 ， 0 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 ⋯ 1 m + 2 m − 1 m ⋯ 1 2 J ( 0 ， 0 ) = n − 1 m + n n − 3 m + n − 2 ⋯ 1 m + 2 m − 1 m ⋯ 1 2 π 2 = ( m − 1 ) ! ! ( n − 1 ) ! ! ( m + n ) ! ! π 2 . 因此，当 m ， n 全为偶数时， J ( m ， n ) = ( m − 1 ) ! ! ( n − 1 ) ! ! ( m + n ) ! ! π 2 。 证毕。 定理3 [ 2 ] 设函数 f ( x ) 在对称区间 [ − a ， a ] ( a > 0 ) 上连续，则 ∫ − a a f ( x ) d x = { 2 ∫ 0 a f ( x ) d x ， 当   f ( x ) 为 偶 函 数 时 ; 0 ，     当   f ( x ) 为 奇 函 数 时 ; ∫ 0 a [ f ( x ) + f ( − x ) ] d x ， 当   f ( x ) 为 一 般 函 数 时 . 推论3 1) 若 f ( x ) 关于 ( x 0 ， 0 ) 中心对称，则对于任意的 a > 0 ， ∫ x 0 − a x 0 + a f ( x ) d x = 0 ； 2) 若 f ( x ) 关于 x = x 0 轴对称，则对于任意的 a > 0 ， ∫ x 0 − a x 0 + a f ( x ) d x = 2 ∫ x 0 x 0 + a f ( x ) d x 。 定理4 [ 8 ] 1) 两个奇函数之积为偶函数； 2) 奇函数与偶函数之积为奇函数； 3) 两个偶函数之积为偶函数。 推论4 1) 若 f ( x ) 关于 ( x 0 ， 0 ) 中心对称， g ( x ) 关于 ( x 0 ， 0 ) 中心对称，则 f ( x ) g ( x ) 关于 x = x 0 轴对称； 2) 若 f ( x ) 关于 ( x 0 ， 0 ) 中心对称， g ( x ) 关于 x = x 0 轴对称，则 f ( x ) g ( x ) 关于 ( x 0 ， 0 ) 中心对称； 3) 若 f ( x ) 关于 x = x 0 轴对称， g ( x ) 关于 x = x 0 轴对称，则 f ( x ) g ( x ) 关于 x = x 0 轴对称。 定理5 [ 8 ] 1) 若函数 f ( x ) 在区间 [ − a ， a ] ( a > 0 ) 上是奇函数，则 f 2 k ( x ) 是偶函数， f 2 k + 1 ( x ) 是奇函数， k = 0 ， 1 ， ⋯ ； 2) 若函数 f ( x ) 在区间 [ − a ， a ] ( a > 0 ) 上是偶函数，则 f k ( x ) 都是偶函数， k = 0 ， 1 ， ⋯ 。 推论5 1) 若 f ( x ) 关于 ( x 0 ， 0 ) 中心对称，则 f 2 k ( x ) 关于 x = x 0 轴对称， f 2 k + 1 ( x ) 关于 ( x 0 ， 0 ) 中心对称， k = 0 ， 1 ， ⋯ ； 2) 若 f ( x ) 关于 x = x 0 轴对称，则 f k ( x ) 关于 x = x 0 轴对称， k = 0 ， 1 ， ⋯ 。 定理6 ∫ 0 π cos m x sin n x d x = { 0 ， m     为 奇 数 2 ∫ 0 π 2 cos m x sin n x d x ， m     为 偶 数 = { 0 ， m     为 奇 数 2 ( m − 1 ) ! ! ( n − 1 ) ! ! ( m + n ) ! ! ， m     为 偶 数 ，   n     为 奇 数 ( m − 1 ) ! ! ( n − 1 ) ! ! ( m + n ) ! ! π ， m ， n     均 为 偶 数 ，其中 m ， n 为正整数。 证明 因为 sin x 在 [ 0 ， π ] 上关于 x = π 2 轴对称，由推论5， sin n x 在 [ 0 ， π ] 上关于 x = π 2 轴对称。 因为 cos x 在 [ 0 ， π ] 上关于 ( π 2 ， 0 ) 中心对称，则当m为奇数时，由推论5， cos m x 在 [ 0 ， π ] 上关于 ( π 2 ， 0 ) 中心对称。由推论4， cos m x sin n x 在 [ 0 ， π ] 上关于 ( π 2 ， 0 ) 中心对称。因此，由推论3， ∫ 0 π cos m x sin n x d x = 0 。 当m为偶数时，由推论5， cos m x 在 [ 0 ， π ] 上关于 x = π 2 轴对称。由推论4， cos m x sin n x 在 [ 0 ， π ] 上关于 x = π 2 轴对称。因此，由推论3， ∫ 0 π cos m x sin n x d x = 2 ∫ 0 π 2 cos m x sin n x d x 。再由推论2，定理得证。 例3 计算 ∫ 0 π cos 99 x sin 3 x d x 。 解 因为 m = 99 ， n = 3 ，所以m为奇数，由定理6， ∫ 0 π cos 99 x sin 3 x d x = 0 。 例4 计算 ∫ 0 π cos 10 x sin 5 x d x 。 解 因为 m = 10 ， n = 5 ，所以m为偶数，n为奇数，由定理6， ∫ 0 π cos 10 x sin 5 x d x = 2 ∫ 0 π 2 cos 10 x sin 5 x d x = 2 J ( 10 ， 5 ) = 2 9 ! ! 4 ! ! 15 ! ! = 16 2145 . 例5 计算 ∫ 0 π cos 8 x sin 4 x d x 。 解 因为 m = 8 ， n = 4 ，所以 m ， n 均为偶数，由定理6， ∫ 0 π cos 8 x sin 4 x d x = 2 ∫ 0 π 2 cos 8 x sin 4 x d x = 2 J ( 8 ， 4 ) = 2 7 ! ! 3 ! ! 12 ! ! π 2 = 7 ! ! 3 ! ! 12 ! ! π = 7 π 2 10 .