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user: 2. 主要结果 在展示主要结果前，我们先建立一些有用的观察。首先，根据定义，以下式子显然成立。 引理1 [ 2 ] 如果图G是一个 Δ = 3 的图，则G有一个6-邻点可区别全染色。 引理2 对 r ≥ 2 ，每个r-正则图G满足 χ s n t ( G ) = χ a t ( G ) 。 结合引理1和2，我们得到以下事实： 引理3 如果图G是一个3-正则图，则 χ s n t ( G ) ≤ 6 。 引理4 对一个阶为n的圈C n ，有 χ s n t ( G ) = 4 。 引理5 对 P n ( n ≥ 2 ) ，有 χ s n t ( P n ) = 4 。 证明：设 P n = v 1 v 2 ⋯ v n ， n ≥ 2 ，连接v 1 和v n 得到一个圈C n 。设 C = { 1 ， 2 ， 3 ， 4 } 是一个颜色集合。由引理4，C n 有一个4-严格邻点可区别全染色φ。除了点v 1 和v n ，用与C n 相同的颜色染P n 中的点和边，设 α ∈ C \ C φ ( v 2 ) ， β ∈ C \ C φ ( v n − 1 ) ，用α染点v 1 ，用β染点v n 。 £ 定理1 如果图G是一个正常的子立方图，则 χ s n t ( G ) ≤ 6 。 证明：我们用反证法证明。设 C = { 1 ， 2 ， ⋯ ， 6 } 是一个颜色集合。假设图G是一个边数 | E ( G ) | 最小的极小反例。如果 | E ( G ) | ≤ 6 ，则定理成立，因为足以给每条边分配不同的颜色。所以假设G是一个 Δ ≤ 3 ， | E ( G ) | ≥ 7 的图，且G无法用C中的颜色染好。 如果 Δ = 2 ，G是一个圈或一条路，由引理4和引理5，有 χ s n t ( G ) ≤ 6 。所以假设 Δ = 3 。为了完成证明，我们需要构造以下一系列的断言。在断言的证明中，我们用C(v)代替C φ (v)。 断言1 G不包含1-点。 证明：反之，G包含一个1-点v。设点u是v的邻点。如果 d ( u ) = 2 ，设 N ( u ) = { v ， u 1 } ；如果 d ( u ) = 3 ，设 N ( u ) = { v ， u 1 ， u 2 } 。令 H = G − v ，则H是一个 | E ( H ) | < | E ( G ) | 且 Δ ( H ) ≤ Δ ( G ) 的图。所以H存在一个6-严格邻点可区别全染色φ，其所用颜色集合为C。 对 i ∈ { 1 ， 2 } ，如果 | C ( u i ) \ C ( u ) | = 1 ，取 a i ∈ C ( u i ) \ C ( u ) 。令 α ∈ C \ C ( u ) ∪ { a 1 ， a 2 } ，用α染边uv。令 β ∈ C \ C ( u ) ∪ { α } ，用β染点v。断言1的证明完成。 £ 断言2 G不包含相邻2-点。 证明：反之，G包含两个相邻2-点u和v。设 N ( u ) = { v ， u 1 } ， N ( v ) = { u ， v 1 } 。令 H = G − u v ，则H是一个 | E ( H ) | < | E ( G ) | 且 Δ ( H ) = Δ ( G ) = 3 的图。所以H存在一个6-严格邻点可区别全染色φ，其所用颜色集合为C。 先假设 C ( u ) = C ( v ) 。己知 | C ( v 1 ) ∪ C ( v ) | ≤ 5 ，令 α ∈ C \ C ( v 1 ) ∪ C ( v ) ，用α改染点v。令 β ∈ C \ C ( u ) ∪ { a } ，用β染边uv。因此 C ( u ) ≠ C ( v ) 。如果 φ ( u ) = φ ( v ) ，令 α ∈ C \ C ( v 1 ) ∪ C ( v ) ，用α改染点v。令 β ∈ C \ C ( u ) ∪ { α ， φ ( v v 1 ) } ，用β染边uv。如果 φ ( u ) ≠ φ ( v ) ，令 β ∈ C \ C ( u ) ∪ C ( v ) ，用β染边uv。断言2的证明完成。 £ 断言3 G中的3-点不与3个2-点相邻。 证明：反之，v是G中的3-点， N ( v ) = { u ， x ， y } 且 d ( u ) = d ( x ) = d ( y ) = 2 。由断言2，u，x，y两两不相邻。令 H = G − v ，则H是一个 | E ( H ) | < | E ( G ) | 的图。所以H存在一个6-严格邻点可区别全染色φ，其所用颜色集合为C。 情形1. | C ( u ) ∪ C ( x ) ∪ C ( y ) | < 6 。 令 α ∈ C \ C ( u ) ∪ C ( x ) ∪ C ( y ) ，用α染点v。集合C\{α}中必定存在一个在C(u)，C(x)，C(y)中至多用了一次的颜色，不妨设为1。 如果 1 ∉ C ( u ) ∪ C ( x ) ∪ C ( y ) ，用1染边uv。令 β 1 ∈ C \ C ( x ) ∪ { 1 ， α } ，用β 1 染边vx。当 β 1 ∉ C ( u ) ，因为 | C ( y ) ∪ { 1 ， α ， β 1 } | ≤ 5 ，令 β 2 ∈ C \ C ( y ) ∪ { 1 ， α ， β 1 } ，用β 2 染边vy。当 β 1 ∈ C ( u ) ，删去边uv的颜色，用1染边vy。设 C ′ ( v ) = { 1 ， α ， β 1 } ， C ′ ( y ) = C ( y ) ∪ { 1 } 。如果 | C ′ ( y ) \ C ′ ( v ) | = 1 ，取 a 1 ∈ C ′ ( y ) \ C ′ ( v ) ，因为 | C ( u ) ∪ { 1 ， α ， a 1 } | ≤ 5 ，令 β 2 ∈ C \ C ( u ) ∪ { 1 ， α ， a 1 } ，用β 2 染边uv。 如果 1 ∈ C ( u ) (或C(x)，或C(y))，假设 C ( u ) = { 1 ， 2 } 。用1染边vx，因为 | C ( y ) ∪ { 1 ， 2 ， α } | ≤ 5 ，令 β 1 ∈ C \ C ( y ) ∪ { 1 ， 2 ， α } ，用β 1 染边vy。设 C ′ ( v ) = { 1 ， α ， β 1 } ， C ′ ( x ) = C ( x ) ∪ { 1 } 。如果 | C ′ ( x ) \ C ′ ( v ) | = 1 ，取 a 2 ∈ C ′ ( x ) \ C ′ ( v ) ，因为 | C ( u ) ∪ { β 1 ， α ， a 2 } | ≤ 5 ，令 β 2 ∈ C \ C ( u ) ∪ { β 1 ， α ， a 2 } ，用β 2 染边uv。 情形2. | C ( u ) ∪ C ( x ) ∪ C ( y ) | = 6 。 设 N ( u ) = { v ， u 1 } ，则 d ( u 1 ) = 3 。因为 | C ( u 1 ) ∪ C ( u ) | ≤ 5 ，令 α ∈ C \ C ( u 1 ) ∪ C ( u ) ，用α改染点u。此时 C ( u ) ∪ C ( x ) ∪ C ( y ) ≠ C ，根据情形1，G有一个6-严格邻点可区别全染色。 断言3的证明完成。 £ 断言4 G中2-点不与3-点相邻。 证明：反之，G包含相邻的3-点u和2-点v，设 N ( v ) = { u ， w } ，因此w是一个3-点。设 N ( u ) = { v ， u 1 ， u 2 } ， N ( w ) = { v ， w 1 ， w 2 } 。u 1 ，u 2 ，w 1 ，w 2 是2-点或3-点。由断言3，u 1 或u 2 是3-点，w 1 或w 2 是3-点。不妨设 d ( u 2 ) = 3 ， d ( w 2 ) = 3 。令 H = G − v ，则H是一个 | E ( H ) | < | E ( G ) | 的图。所以H存在一个6-严格邻点可区别全染色φ，其所用颜色集合为C。如果 | C ( u 1 ) \ C ( u ) | = 1 ，取 a ∈ C ( u 1 ) \ C ( u ) 。如果 | C ( w 1 ) \ C ( w ) | = 1 ，取 b ∈ C ( w 1 ) \ C ( w ) 。设 C ( u ) = { 1 ， 2 ， 3 } 。 情形1. | C ( u ) ∩ C ( w ) | = 3 。 设 α 1 ∈ C \ { 1 ， 2 ， 3 ， a } ，用α 1 染边uv。设 α 2 ∈ C \ { 1 ， 2 ， 3 ， α 1 ， b } ，用α 2 染边vw。设 α 3 ∈ C \ { α 1 ， α 2 ， φ ( u ) ， φ ( w ) } ，用α 3 染点v。 情形2. | C ( u ) ∩ C ( w ) | = 2 。 不妨设 C ( w ) = { 1 ， 2 ， 4 } 。令 α 1 ∈ C \ { 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， a } ， α 2 ∈ C \ { 1 ， 2 ， 4 ， α 1 ， b } ，用α 1 染边uv，α 2 染边vw。如果 α 2 = 3 ，令 α 3 ∈ C \ { 1 ， 2 ， 3 ， α 1 ， φ ( w ) } ，用α 3 染点v。如果 α 2 ≠ 3 ，令 α 3 ∈ C \ { α 1 ， α 2 ， φ ( u ) ， φ ( w ) } ，用α 3 染点v。 情形3. | C ( u ) ∩ C ( w ) | = 1 。 不妨设 C ( w ) = { 1 ， 4 ， 5 } 。令 α 1 ∈ { 4 ， 5 } \ { a } ， α 2 ∈ { 2 ， 3 } \ { b } ，用α 1 染边uv，α 2 染边vw，6染点v。 情形4. | C ( u ) ∩ C ( w ) | = 0 。 不妨设 C ( w ) = { 4 ， 5 ， 6 } ， φ ( w ) = 4 。删去点w的颜色，用4染边vw。当 φ ( w 1 ) ∉ C ( w ) 时，取 b ′ = φ ( w 1 ) 。当 φ ( w 1 ) ∈ C ( w ) 时，取 b ′ ∈ C ( w 1 ) \ C ( w ) 。令 α 1 ∈ C \ { 4 ， 5 ， 6 ， b ′ ， φ ( w 2 ) } ，用α 1 染点w。显然， α 1 ∈ { 1 ， 2 ， 3 } 。令 α 2 ∈ { 5 ， 6 } \ { a } ， α 3 ∈ C \ { 4 ， 5 ， 6 ， α 1 ， φ ( u ) } ，用α 2 染边uv，α 3 染点v。 断言4的证明完成。 £ 由断言1-4得G是3-正则的。但是根据引理3，G有一个6-严格邻点可区别全染色的，矛盾。 £