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user: 2. 主要结果及应用 本文中讨论的多项式都是数域P上的多项式。在多项式理论中有这样的一个命题： 命题 若 f ( x ) ， g ( x ) ， h ( x ) 是三个多项式，且 ( f ( x ) ， h ( x ) ) = 1 ， g ( x ) ， h ( x ) 至少有一个不为零多项式，则 ( f ( x ) g ( x ) ， h ( x ) ) = ( g ( x ) ， h ( x ) ) 。 该命题的证明可参阅文 [ 3 ]。 引理 [ 3 ] 设 f ( x ) ， g ( x ) 不全为零多项式，多项式 h ( x ) 的首项系数为1，则 ( f ( x ) h ( x ) ， g ( x ) h ( x ) ) = ( f ( x ) ， g ( x ) ) h ( x ) . (1) 文 [ 3 ] 给出该引理的一个证明，下面再给出一个证明。 证易知 ( f ( x ) ， g ( x ) ) h ( x ) | f ( x ) h ( x ) ， ( f ( x ) ， g ( x ) ) h ( x ) | g ( x ) h ( x ) ，故 ( f ( x ) ， g ( x ) ) h ( x ) | ( f ( x ) h ( x ) ， g ( x ) h ( x ) ) . 另一方面，存在多项式 u ( x ) ， v ( x ) 使得 u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ) = ( f ( x ) ， g ( x ) ) . 故 ( f ( x ) ， g ( x ) ) h ( x ) = u ( x ) f ( x ) h ( x ) + v ( x ) g ( x ) h ( x ) . 于是 ( f ( x ) h ( x ) ， g ( x ) h ( x ) ) | ( f ( x ) ， g ( x ) ) h ( x ) 。因此，(1)式成立。 把以上这个命题进行推广，就可以得到如下几个定理。 定理1 设 f ( x ) ， g ( x ) ， h ( x ) 是三个多项式， f ( x ) ， h ( x ) 不全为零多项式， g ( x ) ， h ( x ) 也不全为零多项式，且 ( ( f ( x ) ， h ( x ) ) ， ( g ( x ) ， h ( x ) ) ) = 1 ，则 ( f ( x ) g ( x ) ， h ( x ) ) = ( f ( x ) ， h ( x ) ) ( g ( x ) ， h ( x ) ) . (2) 证 因 f ( x ) ， h ( x ) 不全为零多项式， g ( x ) ， h ( x ) 也不全为零多项式，故 f ( x ) g ( x ) ， h ( x ) 不全为零多项式，于是 ( f ( x ) g ( x ) ， h ( x ) ) ， ( f ( x ) ， h ( x ) ) 与 ( g ( x ) ， h ( x ) ) 都存在。下面首先证明 ( f ( x ) ， h ( x ) ) ( g ( x ) ， h ( x ) ) | ( f ( x ) g ( x ) ， h ( x ) ) . (3) 因 ( f ( x ) ， h ( x ) ) | f ( x ) g ( x ) ， ( f ( x ) ， h ( x ) ) | h ( x ) ，故 ( f ( x ) ， h ( x ) ) | ( f ( x ) g ( x ) ， h ( x ) ) 。同理， ( g ( x ) ， h ( x ) ) | ( f ( x ) g ( x ) ， h ( x ) ) 。又因 ( ( f ( x ) ， h ( x ) ) ， ( g ( x ) ， h ( x ) ) ) = 1 ，故(3)式成立。 再证 ( f ( x ) g ( x ) ， h ( x ) ) | ( f ( x ) ， h ( x ) ) ( g ( x ) ， h ( x ) ) . (4) 由引理得 ( f ( x ) ， h ( x ) ) ( g ( x ) ， h ( x ) ) = ( f ( x ) ( g ( x ) ， h ( x ) ) ， h ( x ) ( g ( x ) ， h ( x ) ) ) ， 故要证(4)成立，只需证明 ( f ( x ) g ( x ) ， h ( x ) ) | ( f ( x ) ( g ( x ) ， h ( x ) ) ， h ( x ) ( g ( x ) ， h ( x ) ) ) . (5) 下面先证 ( f ( x ) g ( x ) ， h ( x ) ) | f ( x ) ( g ( x ) ， h ( x ) ) . (6) 当 f ( x ) 为零多项式时，结论显然正确。下面设 f ( x ) 不为零多项式，a为多项式 f ( x ) 的首项系数， f 1 ( x ) = 1 a f ( x ) 。因为 ( f ( x ) g ( x ) ， h ( x ) ) | f ( x ) g ( x ) ， ( f ( x ) g ( x ) ， h ( x ) ) | f ( x ) h ( x ) ，所以由引理得 ( f ( x ) g ( x ) ， h ( x ) ) | ( f ( x ) g ( x ) ， f ( x ) h ( x ) ) = f 1 ( x ) ( a g ( x ) ， a h ( x ) ) = f 1 ( x ) ( g ( x ) ， h ( x ) ) . 于是，(6)式成立。又因 ( f ( x ) g ( x ) ， h ( x ) ) | h ( x ) ( g ( x ) ， h ( x ) ) ，故(5)式成立。 由(3)和(4)两式，即知(2)式成立。 定理2 设 f 1 ( x ) ， f 2 ( x ) ， ⋯ ， f n ( x ) ， g ( x ) 是 n + 1 个多项式， f i ( x ) 和 g ( x ) 不全为零多项式， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，且 ( ( f i ( x ) ， g ( x ) ) ， ( f j ( x ) ， g ( x ) ) ) = 1 ， ( i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， 但 i ≠ j ) ， 则 ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) ， g ( x ) ) = ( f 1 ( x ) ， g ( x ) ) ( f 2 ( x ) ， g ( x ) ) ⋯ ( f n ( x ) ， g ( x ) ) . 证 对n作数学归纳法证明。 当 n = 1 时，根据定理1，结论正确。 假设定理2的结论对 n − 1 ( n ≥ 2 ) 正确，下面由此可推出定理2的结论对n也正确。因为 f i ( x ) 和 g ( x ) 不全为零多项式， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，所以 f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n − 1 ( x ) ， g ( x ) 不全为零多项式， f n ( x ) ， g ( x ) 不全为零多项式。设 ( ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n − 1 ( x ) ， g ( x ) ) ， ( f n ( x ) ， g ( x ) ) ) = d ( x ) . 若 d ( x ) 的次数 ∂ ( d ( x ) ) > 0 ，则 d ( x ) 存在不可约因式 p ( x ) ，从而 p ( x ) | ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n − 1 ( x ) ， g ( x ) ) ， p ( x ) | ( f n ( x ) ， g ( x ) ) . 于是， p ( x ) | f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n − 1 ( x ) ， p ( x ) | g ( x ) 。由 p ( x ) | f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n − 1 ( x ) 得， p ( x ) | 某个 f r ( x ) ( 1 ≤ r ≤ n − 1 ) 。从而 p ( x ) | ( f r ( x ) ， g ( x ) ) ，故 p ( x ) | ( f r ( x ) ， g ( x ) ) ， p ( x ) | ( f n ( x ) ， g ( x ) ) ，这与 ( ( f r ( x ) ， g ( x ) ) ， ( f n ( x ) ， g ( x ) ) ) = 1 矛盾。故 ( ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n − 1 ( x ) ， g ( x ) ) ， ( f n ( x ) ， g ( x ) ) ) = 1. 因上式成立，故由定理1及归纳假设得 ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) ， g ( x ) ) = ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n − 1 ( x ) ， g ( x ) ) ( f n ( x ) ， g ( x ) ) = ( f 1 ( x ) ， g ( x ) ) ( f 2 ( x ) ， g ( x ) ) ⋯ ( f n ( x ) ， g ( x ) ) . 推论1 设非零多项式 f 1 ( x ) ， f 2 ( x ) ， ⋯ ， f n ( x ) 两两互素， g ( x ) 为任意多项式，则 ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) ， g ( x ) ) = ( f 1 ( x ) ， g ( x ) ) ( f 2 ( x ) ， g ( x ) ) ⋯ ( f n ( x ) ， g ( x ) ) . 推论2 设非零多项式 f 1 ( x ) ， f 2 ( x ) ， ⋯ ， f n ( x ) 两两互素， g ( x ) 为任意多项式，若 f 1 ( x ) | g ( x ) ， f 2 ( x ) | g ( x ) ， ⋯ ， f n ( x ) | g ( x ) ， 则 f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) | g ( x ) . 证 设多项式 f i ( x ) 的首项系数为 a i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。因 f 1 ( x ) | g ( x ) ， f 2 ( x ) | g ( x ) ， ⋯ ， f n ( x ) | g ( x ) ， 故 ( f 1 ( x ) ， g ( x ) ) = 1 a 1 f 1 ( x ) ， ( f 2 ( x ) ， g ( x ) ) = 1 a 2 f 2 ( x ) ， ⋯ ， ( f n ( x ) ， g ( x ) ) = 1 a n f n ( x ) 。 又因 f 1 ( x ) ， f 2 ( x ) ， ⋯ ， f n ( x ) 两两互素，故由推论1得 ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) ， g ( x ) ) = ( f 1 ( x ) ， g ( x ) ) ( f 2 ( x ) ， g ( x ) ) ⋯ ( f n ( x ) ， g ( x ) ) = 1 a 1 f 1 ( x ) ⋅ 1 a 2 f 2 ( x ) ⋅ ⋯ ⋅ 1 a n f n ( x ) = 1 a 1 a 2 ⋯ a n f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) ， 所以 f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) | g ( x ) 。 定理3 设 f 1 ( x ) ， f 2 ( x ) ， ⋯ ， f n ( x ) 及 g 1 ( x ) ， g 2 ( x ) ， ⋯ ， g m ( x ) 是任意两组多项式，且 f i ( x ) ， g j ( x ) 至少有一个不全为零多项式， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ; j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 。若 ( ( f i ( x ) ， g j ( x ) ) ， ( f k ( x ) ， g l ( x ) ) ) = 1 ， i ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n       ; j ， l = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ，但有序数对 ( i ， j ) ≠ 有序数对 ( k ， l ) ，这里规定当且仅当 i = j 且 k = l 时有序数对 ( i ， j ) = 有序数对 ( m ， l ) ，则 ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) ， g 1 ( x ) g 2 ( x ) ⋯ g m ( x ) ) = ∏ i = 1 n ∏ j = 1 m ( f i ( x ) ， g j ( x ) )     . 证 对m作数学归纳法。 当 m = 1 时，由定理2得定理3的结论正确。假设定理3的结论对 m − 1 ( m ≥ 2 ) 正确，我们将由此推出定理3的结论对m也正确。因为 f i ( x ) ， g j ( x ) 至少有一个不为零多项式， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ; j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ，故 f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) ， g 1 ( x ) g 2 ( x ) ⋯ g m − 1 ( x ) 不全为零多项式， f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) ， g m ( x ) 不全为零多项式。设 ( ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) ， g 1 ( x ) g 2 ( x ) ⋯ g m − 1 ( x ) ) ， ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) ， g m ( x ) ) ) = d ( x ) . 若多项式 d ( x ) 的次数 ∂ ( d ( x ) ) ≥ 1 ，则 d ( x ) 存在不可约因式 p ( x ) 。从而 p ( x ) | ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) ， g 1 ( x ) g 2 ( x ) ⋯ g m − 1 ( x ) ) ， p ( x ) | ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) ， g m ( x ) ) . 于是， p ( x ) | f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) ， p ( x ) | g 1 ( x ) g 2 ( x ) ⋯ g m − 1 ( x ) ， p ( x ) | g m ( x ) 。但 p ( x ) 为不可约多项式，故 p ( x ) | 某个 f r ( x ) ( 1 ≤ r ≤ n ) ， p ( x ) | 某个 g s ( x ) ( 1 ≤ s ≤ m − 1 ) ，于是 p ( x ) | ( f r ( x ) ， g s ( x ) ) ， p ( x ) | ( f r ( x ) ， g m ( x ) ) ，这与已知条件 ( ( f r ( x ) ， g s ( x ) ) ， ( f r ( x ) ， g m ( x ) ) ) = 1 矛盾。故 ( ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) ， g 1 ( x ) g 2 ( x ) ⋯ g m − 1 ( x ) ) ， ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) ， g m ( x ) ) ) = 1 。于是，由定理1，定理2及归纳假设得 ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) ， g 1 ( x ) g 2 ( x ) ⋯ g m ( x ) ) = ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) ， g 1 ( x ) g 2 ( x ) ⋯ g m − 1 ( x ) ) ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) ， g m ( x ) ) = [ ∏ i = 1 n ∏ j = 1 m − 1 ( f i ( x ) ， g j ( x ) ) ] ∏ i = 1 n ( f i ( x ) ， g m ( x ) ) = ∏ i = 1 n ∏ j = 1 m ( f i ( x ) ， g j ( x ) )     . 推论1 设 f 1 ( x ) ， f 2 ( x ) ， ⋯ ， f n ( x ) 及 g 1 ( x ) ， g 2 ( x ) ， ⋯ ， g m ( x ) 是任意两组多项式，若前一组多项式中任一多项式与后一组多项式中任一多项式互素，则 f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) 与 g 1 ( x ) g 2 ( x ) ⋯ g m ( x ) 互素。 推论2 设 f 1 ( x ) ， f 2 ( x ) ， ⋯ ， f n ( x ) 及 g 1 ( x ) ， g 2 ( x ) ， ⋯ ， g m ( x ) 是任意两组多项式，且多项式 f 1 ( x ) ， f 2 ( x ) ， ⋯ ， f n ( x ) 两两互素，多项式 g 1 ( x ) ， g 2 ( x ) ， ⋯ ， g m ( x ) 两两互素，则 ( f 1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x ) ， g 1 ( x ) g 2 ( x ) ⋯ g m ( x ) ) = ∏ i = 1 n ∏ j = 1 m ( f i ( x ) ， g j ( x ) )     . 推论3 设 f ( x ) ， g ( x ) 是任意两个非零多项式，其首项系数分别为 a ， b ， f ( x ) = a p 1 α 1 ( x ) p 2 α 2 ( x ) ⋯ p k α k ( x ) ，整数 α i ≥ 0 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ， g ( x ) = b p 1 β 1 ( x ) p 2 β 2 ( x ) ⋯ p k β k ( x ) ，整数 β i ≥ 0 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ， 其中 p 1 ( x ) ， p 2 ( x ) ， ⋯ ， p k ( x ) 是互不相同的首项系数为1的不可约多项式，则 ( f ( x ) ， g ( x ) ) = p 1 min ( α 1 ， β 1 ) ( x ) p 2 min ( α 2 ， β 2 ) ( x ) ⋯ p k min ( α k ， β k ) ( x ) . 证 由推论2得， ( f ( x ) ， g ( x ) ) = ( p 1 α 1 ( x ) p 2 α 2 ( x ) ⋯ p k α k ( x ) ， p 1 β 1 ( x ) p 2 β 2 ( x ) ⋯ p k β k ( x ) ) = ∏ k = 1 k ∏ j = 1 k ( p i α i ( x ) ， p j β j ( x ) ) = ∏ i = 1 k ( p i α i ( x ) ， p i β i ( x ) ) = ∏ i = 1 k p i min ( α i ， β i ) ( x )     .