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user: 2. 预备知识 从现在开始，我们用 N ， R ， R + ， R + 分别代表正整数，实数，正实数，非负实数。下面我们回顾一下偏 b ν ( s ) -度量空间的定义。 定义2.1： [ 5 ] 令X是非空集合，映射 d : X × X → [ 0 ， ∞ ) ， ν ∈ N ，若对于任意的 x ， y ∈ X ，存在互不相同的元素 u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u ν ∈ X ，且它们与x和y是互异的，有下列条件成立： 1) x = y 当且仅当 d ( x ， y ) = d ( x ， x ) = d ( y ， y ) ； 2) d ( x ， x ) ≤ d ( x ， y ) ； 3) d ( x ， y ) = d ( y ， x ) ； 4) 存在 s ∈ R 且 s ≥ 1 ，有 d ( x ， y ) ≤ s [ d ( x ， u 1 ) + d ( u 1 ， u 2 ) + ⋯ + d ( u ν ， y ) ] − ∑ k = 1 ν d ( u k ， u k ) (偏 b ν ( s ) -不等式)。 则d称为X上的偏 b ν ( s ) -距离， ( X ， d ) 称为偏 b ν ( s ) -度量空间，且系数 s ≥ 1 。 注1 [ 5 ] 在偏 b ν ( s ) -度量空间 ( X ， d ) 中，若对 x ， y ∈ X ，有 d ( x ， y ) = 0 ，则 x = y 。反之不一定成立。 注2 [ 5 ] 1) 偏 b 1 ( 1 ) -度量空间是偏度量空间 [ 8 ] ； 2) 偏 b 1 ( s ) -度量空间是偏b-度量空间，系数 s ≥ 1 [ 2 ] ； 3) 偏 b 2 ( 1 ) -度量空间是偏矩形度量空间 [ 9 ] ； 4) 偏 b 2 ( s ) -度量空间是偏矩形b-度量空间，系数 s ≥ 1 ； 5) 偏 b ν ( 1 ) -度量空间是偏 ν -度量空间。 定义2.2：令X是一个非空集合，映射 d : X × X → [ 0 ， ∞ ) ， ν ∈ N 。若对任意的 x ， y ∈ X ，存在互不相同的元素 u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u ν ∈ X ，且它们与x和y是互异的，有下列条件成立： 1) x = y 当且仅当 d ( x ， y ) = d ( x ， x ) = d ( y ， y ) ； 2) d ( x ， x ) ≤ d ( x ， y ) ； 3) d ( x ， y ) = d ( y ， x ) ； 4) d ( x ， y ) ≤ d ( x ， u 1 ) + d ( u 1 ， u 2 ) + ⋯ + d ( u ν ， y ) − ∑ k = 1 ν d ( u k ， u k ) (偏 ν -不等式)。 则d称为X上的偏 ν -距离。 ( X ， d ) 称为偏 -度量空间。 定义2.3： [ 5 ] 令 ( X ， d ) 是偏 b ν ( s ) -度量空间，数列 { x n } ⊂ X ，且 x ∈ X 。则 1) 若 lim n → ∞ d ( x n ， x ) = d ( x ， x ) ，则数列 { x n } 称为X中的收敛列，且收敛于x。x称为数列 { x n } 的极限，记为 lim n → ∞ x n = x ，或 x n → x ， n → ∞ 。 2) 若 lim n ， m → ∞ d ( x n ， x m ) 存在，则数列 { x n } 称为X中的柯西列。 3) 若对于X中的每个柯西列 { x n } ，存在 x ∈ X ，且 lim n ， m → ∞ d ( x n ， x m ) = lim n ， m → ∞ d ( x n ， x ) = d ( x ， x ) ，则 ( X ， d ) 称为完备的偏 b ν ( s ) -度量空间。 在 [ 5 ] 中我们给出了一些例子来说明偏 b ν ( s ) -度量空间上的拓扑与推广的度量空间上的拓扑是不相容的 [ 10 ] 。因此，我们在偏 b ν ( s ) -度量空间中定义了连续性。 定义2.4：若当 n → ∞ ， x n → x ∈ X 时，有 T x n → T x ，则称映射T是连续的。 Samet等人 [ 11 ] 通过定义 α − ψ -收缩映射和 α -容许映射给出了一个有趣的结果，同时也推广了Banach收缩原理。 定义2.5： [ 11 ] 令T是集合X上的一个自映射，函数 α : X × X → [ 0 ， ∞ ) ，我们称T是 α -容许映射，若对 x ， y ∈ X ，下列条件成立： α ( x ， y ) ≥ 1 ⇒ α ( T x ， T y ) ≥ 1 定义2.6： [ 12 ] 令X是非空集合，映射 T : X → X ，函数 α : X × X → [ 0 ， ∞ ) 。我们称T是三角 α -容许映射，若有下列条件成立： 1) 对任意 x ， y ∈ X ，且 α ( x ， y ) ≥ 1 ，有 α ( T x ， T y ) ≥ 1 成立。 2) 对任意的 x ， y ， z ∈ X ，且 α ( x ， z ) ≥ 1 ， α ( z ， y ) ≥ 1 ，有 α ( x ， y ) ≥ 1 成立。 若对所有的 x ∈ X ，有 α ( x ， x ) ≥ 1 成立，我们称 α 具有反身性。 引理2.1： [ 12 ] 令T是三角 α -容许映射。假设存在 x 0 ∈ X ，且 α ( x 0 ， T x 0 ) ≥ 1 。通过如下方式来定义数列 { x n } ： x n = T n x 0 。则对所有的 m ， n ∈ N ，且 m < n ，有 α ( x m ， x n ) ≥ 1 成立。 下面的引理将用于证明我们的主要结论。 引理2.2：令 ( X ， d ) 是偏 ν -度量空间，数列 { x n } 是X中的柯西列，当 n ≠ m 时，有 x n ≠ x m ，且 lim n ， m → ∞ d ( x n ， x m ) = 0 。则数列 { x n } 至多收敛于一个点。 证明：假设 x ， y ∈ X 是数列 { x n } 的两个极限，且 lim n ， m → ∞ d ( x n ， x m ) = lim n ， m → ∞ d ( x n ， x ) = d ( x ， x ) = lim n → ∞ d ( x n ， y ) = d ( y ， y ) 由偏 ν -不等式，我们有 d ( x ， y ) ≤ d ( x ， x n + 1 ) + d ( x n + 1 ， x n + 2 ) + ⋯ + d ( x n + ν − 1 ， x n + ν ) + d ( x n + ν ， y ) − ∑ k = 1 ν d ( x n + k ， x n + k ) ≤ d ( x ， x n + 1 ) + d ( x n + 1 ， x n + 2 ) + ⋯ + d ( x n + ν − 1 ， x n + ν ) + d ( x n + ν ， y ) 因为 lim n → ∞ d ( x n ， x ) = lim n → ∞ d ( x n ， y ) = lim n → ∞ d ( x n ， x n + 1 ) = 0 ，我们得到 d ( x ， y ) = 0 。由偏 ν -推广度量空间的定义，有 x = y 。 引理2.3：令 { a n } ， { b n } 是非负数列。若 ， lim n → ∞ max { a n ， b n } = a ，则 lim n → ∞ a n = a 。 在本文中，我们用 F ( T ) 代表映射T的不动点集合。