system: [SYSTEM]

user: 2. 定价基础——二元期权组合定价 2.1. 概述 奇异期权是一类金融衍生品证券，其相对于普通期权(标准欧式期权合约和标准美式期权合约)更为复杂，这类产品通常通过OTC交易。奇异期权的种类有很多，除了二元期权和障碍期权这种条件相对简单的衍生品，还有亚式期权和复合期权等多种复杂化金融衍生品，奇异期权在普通期权的基础上有很大的创新，因此在金融衍生品市场上大受欢迎。2008年之前二元期权不允许通过场外交易市场直接交易，直到OCC首先向投资者们打开了此类期权交易的大门，紧接着，美国证券交易所(AMEX)和芝加哥期权交易所(CBOE)在此基础上改进交易方式，使得投资者可以足不出户，更加方便地网上交易二元期权。二元期权具有产品种类丰富、有效时间短、收益相对稳定、操作容易等优势，随着交易更加便捷，二元期权很快风靡世界。最近几年，国内也出现了大量的二元期权产品，引起了大量投资者的关注。 二元期权也被称作数字期权、固定收益期权，因为其只考虑标的资产价格走势，在众多奇异期权中相对简单。二元期权有两种类型：现金或零期权和资产或零期权，欧式现金或零期权是一种当标的资产在到期日的价格达到障碍水平时支付固定利息的期权，美式是一种当标的资产在到期日的价格达到障碍水平时支付到期价值的期权。标准二元期权的实质是判断标的资产在一段时间内的价格变化趋势，投资者无需实际拥有此项资产，也不用预测价格变化的幅度，只要预测涨跌方向即可，到期时只会产生两种结果：预测正确即期满时为价内期权则获得高额收益；预测错误即期满时为价外期权则失去大部分投资资金。二元期权交易的优势十分显著：第一，投资者在交易之前就能知道准确的收益和损失数额，这样方便进行二元期权的风险评估，就目前的市场情况来看，收益率一般在百分之七十左右，相对于表现平平的股票市场的收益，此收益已经翻了近十倍，至于损失，交易平台一般会返还百分之五到百分之十的投资本金，这种相对有限的收益和亏损有效降低了投资的风险；第二，投资者可以通过网络快速交易二元期权，其服务模式相比于股票市场更加方便快捷，不需要安装运行内存较大的客户端，只需要登录其交易在线网页就可快速交易，也就是说，投资者在获得影响金融市场某项资产价格的重大消息时，立刻就可以买入相关的二元期权以获利；第三，二元期权相对比较灵活，其交易方式和内容简单易懂，并且行权时间很短，因此交易者只需要判断标的资产短时间内价格的变化方向，这对于金融市场的投资新手来说十分容易理解和掌握，此外行权时间短也便于资本的快速流动，提高资本的利用效率；第四，二元期权在交易过程中不需要交纳任何的交易或者佣金费用，而且投资者进入此市场的门槛非常低，最低投资额只有几百元，显而易见这对于投资者来说具有巨大的诱惑力和吸引力。然而当前的二元期权也有一些盲区：第一，二元期权是一种场外期权，信息披露不完整，透明度较低，因此对于投资者来说常常会有不公平的事情出现。二元期权的交易与赌博十分相像，如果按照输赢几率各占一半来计算，最终获得利益的还是二元期权的卖方，尽管没有任何的中介费用，但实际上卖方将获得近10%的收益；第二，现在中国二元期权的交易平台都是非国有的，加之金融监管机构对其的监管严重缺失，金融市场上已出现多起二元期操纵或诈骗事件，这对于投资者来说风险很大；第三，二元期权的交易过程存在一些漏洞，例如某些投资者可以做只有几秒钟的期权，利用硬件设备的优势，比别人提前得知准确的消息，因而获得无风险的收益，这时候投资者就是事先知晓价格变化的结果而不是预测价格的变化。 2.2. 二元期权定价 根据Black-Scholes期权定价模型，标的资产的价格变动可以看成可预测的和不可预测的两个部分，可预测的部分是指基础资产的时间价值，一般来说用无风险收益率来表示基础资产价值的增长速度，在随机过程中将此指标叫做漂移率，表示单位时间内基础资产的漂移距离，不可预测的部分假设为基础资产受到的外在影响因素而引起的价格变化，一般使用服从维纳过程的随机变量表示，这样就可以得到描述标的资产价格变化的一个微分方程： d S = r S ( t ) d t + σ S ( t ) d W ( t ) (1) 其中，S代表标的资产价格，r代表无风险收益率， σ 代表标的资产价格变化的波动率， W ( t ) 是服从维纳过程的随机变量， d S 、 d t 和 d W ( t ) 标的资产价格、时间和 W ( t ) 的微分，即短时间内的变化量。根据式(1)，可以得到标的资产价格变化的路径表达式： S ( T ) = S ( 0 ) e ( r − σ 2 / 2 ) T + σ W ( t ) (2) 其中， S ( 0 ) 表示 t = 0 时即期权生效时标的资产的价格， S ( T ) 表示 t = T 即期权到期时标的资产的价格，把 W ( t ) 表示为 T Z 将式(2)进行稍稍简化，其中Z为服从标准正态分布的随机变量，则式(2)可表示为： S ( T ) = S ( 0 ) e ( r − σ 2 / 2 ) T − σ T Z (3) 由于本文研究的产品与二元现金或零期权组合更加相似，在此只给出二元现金或零期权定价的推导过程，二元现金或零期权(看涨期权)的收益可表示为： payoff = { C ，     S ( T ) > H 0 ，             其 他 (4) 其中，C表示二元现金或零期权支付的固定利息，H表示该期权预先设定的障碍水平，根据二元现金或零期权的概念，其价格为： price = C e − r T E [ I S ( T ) > H ( S ( T ) ) ] (5) 其中， [ I S ( T ) > H ( S ( T ) ) ] 为示性函数， E [ I S ( T ) > H ( S ( T ) ) ] 为示性函数的期望值，根据示性函数的计算特点，式(5)可表示为： price = C e − r T P { S ( T ) > H } (6) 其中， P { S ( T ) > H } 表示 S ( T ) > H 的概率，根据式(3)，可将式(6)改写成有关随机变量Z的表达式： price = C e − r T P { Z < ln S ( 0 ) H + ( r − σ 2 / 2 ) T σ T } (7) 其中，Z为符合标准正态分布的随机变量，因此可将式(6)简写成： price = C e − r T N ( d ) d = ln S ( 0 ) H + ( r − σ 2 / 2 ) T σ T (8) 其中， N ( d ) 表示标准正态分布的积累函数。 2.3. 二元期权组合定价 二元期权组合是指有多个障碍水平并且根据到期日时标的资产价格触发的不同障碍水平支付不同收益水平的数字期权组合，由于本文研究的产品收益是固定的，在此只介绍两个现金或零期权的组合，该组合的收益结构图如图1所示，其中，H 1 、H 2 分别表示两个障碍水平且H 1 < H 2 ，C 1 、C 2 分别表示对应两个障碍水平的固定收益且C 1 < C 2 。 用数学公式来分析，这种二元期权组合的收益结构(看涨期权)为： payoff = { 0 ，               S ( T ) < H 1 C 1 ，       H 1 ≤ S ( T ) < H 2 C 2 ，           S ( T ) ≥ H 2 (9) 其中， H 1 ， H 2 分别表示两个障碍水平且 H 1 < H 2 ， C 1 ， C 2 分别表示对应两个障碍水平的固定收益且 C 1 < C 2 ，此组合可以分拆为两个现金或零期权，收益结构分别为： payoff 1 = { 0 ，       S ( T ) < H 1 C 1 ，           其 他 (10) payoff 2 = { 0 ，                     S ( T ) < H 2 C 2 − C 1 ，         其 他 (11) 图1. 两个现金或零期权的组合的收益结构图 显然，式(9)可以表示为式(10)与式(11)之和，因此该二元期权组合价格也可以表示为两个现金或零期权之和，根据式(8)，二元期权组合价格为： price = C 1 e − r T N ( d 1 ) + ( C 2 − C 1 ) e − r T N ( d 2 ) d 1 = ln S ( 0 ) H 1 + ( r − σ 2 / 2 ) T σ T d 2 = ln S ( 0 ) H 2 + ( r − σ 2 / 2 ) T σ T (12)