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user: 3. 方程求解 本节将采用上述分数阶子方程法求解方程(1.1)，对于该方程，我们令 u ( t ， x ) = u ( θ ) ，   θ = x + c t . (3.1) 则方程(1.1)转化为 c α D t α u + u ( 5 ) − u u ( 3 ) − u ′ u ″ − u 2 u ′ = 0. (3.2) 假设方程具有(2.8)形式的解，即 u ( θ ) = ∑ i = 0 ∞ a i ( Φ ( θ ) ) i . (3.3) 将方程(3.3)代入方程(3.2)中，平衡非线性项 u 2 u ′ 和最高阶导数项 u ( 5 ) 可得 n = 2 ，即 u ( θ ) = a 0 + a 1 Φ ( θ ) + a 2 ( Φ ( θ ) ) 2 . (3.4) 将方程(3.4)代入(3.2)中，令 Φ i ( θ ) = 0 ，可以得到一系列关于 a 0 ， a 1 ， a 2 ， c ， α ， σ 代数方程，具体方程如下所示： ( Φ ( θ ) ) 0 : c α σ a 1 + 16 σ 3 a 1 − 2 σ 2 a 0 a 1 − σ a 0 2 a 1 − 2 σ 3 a 1 a 2 = 0 ， ( Φ ( θ ) ) 1 : − 4 σ 2 a 1 2 − 2 σ a 0 a 1 2 + 2 c α σ a 2 + 272 σ 3 a 2 − 16 σ 2 a 0 a 2 − 2 σ a 0 2 a 2 − 4 σ 3 a 2 2 = 0 ， ( Φ ( θ ) ) 2 : c α a 1 + 136 σ 2 a 1 − 8 σ a 0 a 1 − a 0 2 a 1 − σ a 1 3 − 32 σ 2 a 1 a 2 − 6 σ a 0 a 1 a 2 = 0 ， ( Φ ( θ ) ) 3 : − 12 σ a 1 2 − 2 a 0 a 1 2 + 2 c α a 2 + 1232 σ 2 a 2 − 40 σ a 0 a 2                             − 2 a 0 2 a 2 − 4 σ a 1 2 a 2 − 36 σ 2 a 2 2 − 4 σ a 0 a 2 2 = 0 ， ( Φ ( θ ) ) 4 : 240 σ a 1 − 6 a 0 a 1 − a 1 3 − 70 σ a 1 a 2 − 6 a 0 a 1 a 2 − 5 σ a 1 a 2 2 = 0 ( Φ ( θ ) ) 5 : − 8 a 1 2 + 1680 σ a 2 − 24 a 0 a 2 − 4 a 1 2 a 2 − 68 σ a 2 2 − 4 a 0 a 2 2 − 2 σ a 2 3 = 0 ， ( Φ ( θ ) ) 6 : 120 a 1 − 40 a 1 a 2 − 5 a 1 a 2 2 = 0 ， ( Φ ( θ ) ) 7 : 720 a 2 − 36 a 2 2 − 2 a 2 3 = 0. (3.5) 之后，借助mathematica软件求解这些方程，可以得到如下几种形式的解。 情形一：此时 a 0 = a 0 ， a 1 = 0 ， a 2 = − 30 ， c = ( 11 a 0 2 100 ) 1 α ， σ = − a 0 20 。通过这个解，我们可以得到如下精确解： u 1 ( t ， x ) = a 0 − 30 ( − a 0 20 tanh α ( a 0 20 ( x + ( 11 a 0 2 100 ) 1 α t ) ) ) 2 ， a 0 > 0 ， u 2 ( t ， x ) = a 0 − 30 ( − a 0 20 coth α ( a 0 20 ( x + ( 11 a 0 2 100 ) 1 α t ) ) ) 2 ， a 0 > 0 ， u 3 ( t ， x ) = a 0 − 30 ( − a 0 20 tan α ( − a 0 20 ( x + ( 11 a 0 2 100 ) 1 α t ) ) ) 2 ， a 0 < 0 ， u 4 ( t ， x ) = a 0 − 30 ( − − a 0 20 cot α ( − a 0 20 ( x + ( 11 a 0 2 100 ) 1 α t ) ) ) 2 ， a 0 < 0. (3.6) 在精确解 u 1 ( t ， x ) 中，我们令 a 0 = 10 ， α = 2 3 ， c = 11 11 ， σ = − 1 2 ，并将公式(2.11)和(2.12)代入 u 1 ( t ， x ) 中，借助于mathematica软件，可得 u 1 ( t ， x ) = 10 − 15 ( ∑ k = 0 ∞ ( x + 11 11 t 2 ) k Γ ( 1 + 2 3 k ) − ∑ k = 0 ∞ ( − x + 11 11 t 2 ) k Γ ( 1 + 2 3 k ) ∑ k = 0 ∞ ( x + 11 11 t 2 ) k Γ ( 1 + 2 3 k ) + ∑ k = 0 ∞ ( − x + 11 11 t 2 ) k Γ ( 1 + 2 3 k ) ) 2 (3.7) 其图像如图1所示。 图1. 解(3.7)的图 在精确解 u 3 ( t ， x ) 中，我们令 a 0 = − 10 ， α = 4 5 ， c = 11 5 4 ， σ = 1 2 ，并将公式(2.11)和(2.12)代入 u 3 ( t ， x ) 中， 借助于mathematica软件，可得 u 3 ( t ， x ) = − 10 − 15 ( ∑ k = 0 ∞ ( x + 11 5 4 t 2 i ) k Γ ( 1 + 4 5 k ) − ∑ k = 0 ∞ ( − x + 11 5 4 t 2 i ) k Γ ( 1 + 4 5 k ) ∑ k = 0 ∞ ( x + 11 5 4 t 2 i ) k Γ ( 1 + 4 5 k ) + ∑ k = 0 ∞ ( − x + 11 5 4 t 2 i ) k Γ ( 1 + 4 5 k ) ) 2 (3.8) 其图像如图2所示。 情形二：此时 a 0 = a 0 ， a 1 = 0 ， a 2 = 12 ， c = ( a 0 2 4 ) 1 α ， σ = a 0 8 。通过这个解，我们可以得到如下精确解： u 5 ( t ， x ) = a 0 + 12 ( − − a 0 8 tanh α ( − a 0 8 ( x + ( a 0 2 4 ) 1 α t ) ) ) 2 ， a 0 < 0 ， u 6 ( t ， x ) = a 0 + 12 ( − − a 0 8 coth α ( − a 0 8 ( x + ( a 0 2 4 ) 1 α t ) ) ) 2 ， a 0 < 0 ， u 7 ( t ， x ) = a 0 + 12 ( a 0 8 tan α ( a 0 8 ( x + ( a 0 2 4 ) 1 α t ) ) ) 2 ， a 0 > 0 ， u 8 ( t ， x ) = a 0 + 12 ( − a 0 8 cot α ( a 0 8 ( x + ( a 0 2 4 ) 1 α t ) ) ) 2 ， a 0 > 0. (3.9) 在精确解 u 5 ( t ， x ) 中，我们令 a 0 = − 2 2 ， α = 1 2 ， c = 4 ， σ = − 2 2 8 ，并将公式(2.11)和(2.13)代入 u 5 ( t ， x ) 中，借助于mathematica软件，可得 u 5 ( t ， x ) = − 2 2 + 3 2 ( e ( x + 4 t ) 2 2 2 E r f c [ − x + 4 t 2 3 4 ] − e ( x + 4 t ) 2 2 2 E r f c [ x + 4 t 2 3 4 ] e ( x + 4 t ) 2 2 2 E r f c [ − x + 4 t 2 3 4 ] + e ( x + 4 t ) 2 2 2 E r f c [ x + 4 t 2 3 4 ] ) 2 (3.10) 其图像如图3所示。 在精确解 u 8 ( t ， x ) 中，我们令 a 0 = 2 ， α = 2 3 ， c = 1 ， σ = 1 4 ，并将公式(2.11)和(2.12)代入 u 8 ( t ， x ) 中，借助 于mathematica软件，可得 u 8 ( t ， x ) = 2 + 3 ( ∑ k = 0 ∞ ( x + t 2 i ) k Γ ( 1 + 2 3 k ) − ∑ k = 0 ∞ ( − x + t 2 i ) k Γ ( 1 + 2 3 k ) ∑ k = 0 ∞ ( x + t 2 i ) k Γ ( 1 + 2 3 k ) + ∑ k = 0 ∞ ( − x + t 2 i ) k Γ ( 1 + 2 3 k ) ) 2 (3.11) 其图像如图4所示。 图2. 解(3.8)的图 图3. 解(3.10)的图 图4. 解(3.11)的图