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user: 2. 全局正解的存在唯一性 引理2.1 任何初始值 S ( 0 ) > 0 和 I ( ζ ) ≥ 0 对于 ζ ∈ [ − τ ，0 ) 有 I ( 0 ) > 0 。当 t ≥ 0 时，系统(3)存在唯一的正解 S ( t ) > 0 ， I ( t ) > 0 且该解以1为概率几乎处处。 证明：因为系统(3)的系数满足局部Lipschitz条件，因此，对于任意给定的初值 ( S ( 0 ) ， I ( 0 ) ) ∈ R + 2 ，系统(3) 存在唯一的局部解 ( S ( t ) ， I ( t ) ) ， t ∈ [ 0， τ e ) ，其中 τ e 表示爆破时间 [ 22 ]。为了证明 ( S ( t ) ， I ( t ) ) 是全局的，我们只需要证明 τ e = ∞ 几乎处处成立。令 m 0 ≥ 0 是一个足够大的数使得 ( S ( 0 ) ， I ( 0 ) ) 位于区间 [ 1 m 0 ， m 0 ] 中。对每一个整数 m ≥ 0 ，定义停时 τ m = inf { t ∈ [ 0 ， τ e ) : S ( t ) ≤ 0 或 I ( t ) ≥ 0 } . 在这篇文章中，记 ∅ = ∞ (通常 ∅ 表示空集)。明显，当 m → ∞ 时， τ m 是单调递增的。令 τ ∞ = l i m m → ∞ τ m ， 有 τ ∞ ≤ τ e 几乎处处。因此我们只需要证明 τ ∞ = ∞ 几乎处处。利用反证法，假设 τ ∞ ≠ ∞ ，则存在常数 T ≥ 0 和 使得 P { τ ∞ ≤ T } > ε . 因此，存在一个整数 m 1 ≥ m 0 使得 P { τ m ≤ T } ≥ ε ， ∀ m ≥ m 1 . (4) 定义 C 2 -函数 V : R + 2 → R V ( S ( t ) ， I ( t ) ) = ln ( S ( t ) I ( t ) ) . (5) 给系统(3)应用Itô’s公式，对于所有的 t ∈ [ − τ ， τ e ) 时有 ω ∈ ( τ m < T ) 。也可以得到 d V ( S ( t ) ， I ( t ) ) = 1 S ( t ) { [ Λ − β S ( t ) I ( t ) − μ S ( t ) + γ ∫ 0 ∞ I ( t − s ) g ( s ) e − μ s d s ] d t − σ S ( t ) I ( t ) d B ( t ) }         + 1 I ( t ) { [ β S ( t ) I ( t ) − ( μ + γ ) I ( t ) ] d t + σ S ( t ) I ( t ) d B ( t ) } − σ 2 S 2 ( t ) 2 d t − σ 2 I 2 ( t ) 2 d t = [ Λ S ( t ) − β I ( t ) − μ + γ ∫ 0 ∞ I ( t − s ) g ( s ) e − μ s d s S ( t ) − σ 2 I 2 ( t ) 2 ] d t         − σ I ( t ) d B ( t ) + [ β S ( t ) − ( μ + γ ) − σ 2 S 2 ( t ) 2 ] d t + σ S ( t ) d B ( t ) ≥ [ − β I ( t ) − μ − ( μ + γ ) − σ 2 I 2 ( t ) 2 − σ 2 S 2 ( t ) 2 ] d t − σ I ( t ) d B ( t ) + σ S ( t ) d B ( t ) ， 由此得出 d V ( S ( t ) ， I ( t ) ) ≥ H ( S ( t ) ， I ( t ) ) d t − σ I ( t ) d B ( t ) + σ S ( t ) d B ( t ) . (6) 其中 H ( S ( t ) ， I ( t ) ) = − β I ( t ) − μ − ( μ + γ ) − σ 2 I 2 ( t ) 2 − σ 2 S 2 ( t ) 2 . 对(6)两边从0到t积分，得到 V ( S ( t ) ， I ( t ) ) ≥ V ( S ( 0 ) ， I ( 0 ) ) + ∫ 0 t H ( S ( u ) ， I ( u ) ) d u − σ I ( t ) d B ( t ) + σ S ( t ) d B ( t ) . (7) 因为 ( S ( τ m ) ， I ( τ m ) ) 等于0，所以可以得到 lim t → τ m V ( S ( t ) ， I ( t ) ) = − ∞ . 对于(7)，令 t → τ m ，可以得到 − ∞ = V ( S ( 0 ) ， I ( 0 ) ) + ∫ 0 τ m Z ( S ( u ) ， I ( u ) ， R ( u ) ) d u + σ 1 B 1 ( τ m ) + σ 2 B 2 ( τ m ) > − ∞ ，这就产生了矛盾。 因此有 τ m = ∞ a.s.因此，上述证明就完成了。 引理2.2 ( S ( t ) ， I ( t ) ) 是模型(3)的解， S ( 0 ) > 0 和 I ( ζ ) ≥ 0 对于所有的 ζ ∈ [ − τ ，0 ) 有 I ( 0 ) > 0 是解的初值，则有 sup t ≥ 0 ( S ( t ) + I ( t ) ) < ∞ a .s . (8) 证明： sup t ≥ 0 ( S ( t ) + I ( t ) ) < ∞ a .s . (9) 首先需要证明 ℙ { lim t → ∞ sup ( S ( t ) + I ( t ) ) < ∞ } = 1 ， 用假设方法来证明 ℙ { lim t → ∞ sup ( S ( t ) + I ( t ) ) < ∞ } < 1 ， 因此，我们得到 ℙ { lim t → ∞ sup ( S ( t ) + I ( t ) ) = ∞ } > 0 ， 因此，有 ξ > 0 和 t n 满足 lim n → ∞ t n = ∞ and ℙ { lim n → ∞ ( S ( t n ) + I ( t n ) ) = ∞ } > ξ . 存在一个足够大的常数M使得 N ∈ N + ，当 n > N 时有 ℙ { ( S ( t n ) + I ( t n ) ) > M } > ξ 2 . 显然，当 n > N 有 E ( S ( t n ) + I ( t n ) ) > ξ M 2 ， 因此， lim n → ∞ sup E ( S ( t n ) + I ( t n ) ) ≥ ξ M 2 . 令 M → ∞ ，可以得到 lim n → ∞ sup E ( S ( t n ) + I ( t n ) ) = ∞ . (10) 此外，当 t ≥ 0 ，我们可以得到以下方程 E [ e μ t ( S ( t ) + I ( t ) ) ] = S ( 0 ) + I ( 0 ) + E [ ∫ 0 t e μ κ [ Λ + γ ∫ 0 ∞ I ( κ − s ) g ( s ) e − μ s d s − γ I ( κ ) ] d κ ] ≤ S ( 0 ) + I ( 0 ) + Λ ( e μ t − 1 ) μ + γ ∫ − τ 0 ∫ 0 ∞ I ( κ − s ) e μ ( κ − s ) g ( s ) d s d κ ≤ S ( 0 ) + I ( 0 ) + Λ e μ t μ + γ ∫ − τ 0 ∫ 0 ∞ I ( κ − s ) e μ ( κ − s ) g ( s ) d s d κ ， 因此，可以得到 E [ S ( t ) + I ( t ) ] ≤ Λ μ + e − μ t [ S ( 0 ) + I ( 0 ) + γ ∫ − τ 0 ∫ 0 ∞ I ( κ − s ) e μ ( κ − s ) g ( s ) d s d κ ] ， 进一步，可以得到 lim t → ∞ sup E [ S ( t ) + I ( t ) ] ≤ Λ μ ， 这就产生了矛盾，因为上面不等式的右边是有限的。于是，我们得到 ℙ { lim t → ∞ sup ( S ( t ) + I ( t ) ) < ∞ } = 1. (11) 由于 S ( t ) 和 I ( t ) 是连续的，结合(9)有 sup t ≥ 0 ( S ( t ) + I ( t ) ) < ∞ a .s . 因此，我们完成了上述证明。 显然，我们可以由引理2.1和引理2.2得到以下定理： 定理2.3 令 ( S ( t ) ， I ( t ) ) 是系统(3)带有任意初值 ( S ( 0 ) ， I ( 0 ) ) ∈ ℝ + 2 的解，那么系统(3)存在唯一的全局解 ( S ( t ) ， I ( t ) ) ，且该解以概率1停留在 R + 2 中，即当 t ≥ 0 时，系统(3)的解 ( S ( t ) ， I ( t ) ) ∈ R + 2 。