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user: 2. 主要结果的证明 为了证明定理1，首先讨论有限维空间的Kolmogorov n-宽度。令 ℝ m = { x = ( x 1 ， ⋯ ， x m ) | x i ∈ R ， i = 1 ， ⋯ ， m } 设 1 ≤ p ≤ ∞ ， x = ( x 1 ， ⋯ ， x m ) ∈ ℝ m 。令 ‖ x ‖ l p m = { ( ∑ n = 1 m | x n | p ) 1 / p ，   1 ≤ p < ∞ ， max 1 ≤ n ≤ m | x n | ，       p = ∞ 则 ‖ · ‖ l p m 为 ℝ m 上的范数。用 l p m 表示 ℝ m 按照范数 ‖ · ‖ l p m 所构成的Banach空间。用 B p m 表示 l p m 中的单位球。易见 { e ′ n } n = 1 m 为 l p m 的基，其中 e n ′ = ( 0 ， ⋯ ， 0 ， 1 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) ∈ ℝ m (第n个分量为1，其余分量为0)。 引理1. [ 8 ] 设 1 ≤ q < p ≤ ∞ ， n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ，则 d n ( B p m ， l q m ) = { ( m − n ) 1 q − 1 p ，     0 ≤ n ≤ m 0 ，                                   n > m 下面建立估计定理1上界的离散化定理。首先介绍一些记号。 对 ∀ k ∈ ℕ ，其中 ℕ = { 1 ， 2 ， ⋯ } ，记 S k = { n ∈ N | 2 k − 1 ≤ n < 2 k } 。则对任意的 k ， k ′ ∈ ℕ ，且 有 S k ∩ S k ′ = ∅ ， ℕ = ∪ k = 1 ∞ S k 。用 m k 表示 S k 中元素的个数，则 m k = | S k | = 2 k − 1 。 以下我们总是假设 1 ≤ p < ∞ 。用 e n 表示第n个分量为1，其余分量为0的无穷维实序列，则 { e n } n = 1 ∞ 为 l p ( 1 ≤ p < ∞ ) 的Schauder基。从而对 ∀ x = { x n } ∈ l p ，有 x = ∑ n = 1 ∞ x n e n 。 对 k ∈ ℕ ，记 F k = s p a n { e n | n ∈ S k } ，则 dim F k = m k = 2 k − 1 。令 I k : F k → R m k x = ∑ n ∈ S k x n e n ↦ ∑ j = 1 m x 2 k − 1 + j − 1 e ′ 2 k − 1 + j − 1 则对 ∀ x = ∑ n ∈ S k x n e n ∈ F k ，有 ‖ x ‖ l p ， r = ( ∑ n ∈ S k | n r x n | p ) 1 / p ≻ ≺ ( ∑ n ∈ S k | 2 r k x n | p ) 1 / p = 2 r k ( ∑ n ∈ S k | x n | p ) 1 / p = 2 r k ‖ I k x ‖ l p m k (2.1) 且 ‖ x ‖ l p = ( ∑ n ∈ S k | x n | p ) 1 / p = ‖ I k x ‖ l p m k . (2.2) 从而 I k 为 l p ∩ F k 到 l p m k 上的等距同构映射。 引理2. 设 1 ≤ q < p < ∞ ， r > 1 q − 1 p ，非负整数序列 { n k } k = 1 ∞ 满足 0 ≤ n k ≤ m k ，且 ∑ k = 1 ∞ n k ≤ n 。则 d n ( B p ， r ， l q ) ≪ ∑ n = 1 ∞ 2 − r k d n k ( B p m k ， l q m k ) . 证明：对 ∀ k ，由(2.1)知，对 ∀ x ∈ B l p ， r ∩ F k ，有 1 ≥ ‖ x ‖ l p ， r ≫ 2 r k ‖ I k x ‖ l p m k ∀ y ∈ F k ，由(2.2)知 ‖ y ‖ l q = ‖ I k y ‖ l q m k 所以 d n k ( B p ， r ∩ F k ， l q ∩ F k ) ≪ 2 − r k d n k ( B p m k ， l q m k ) 由Kolmogorov n-宽度的定义知，存在 l q ∩ F k 的一个维数不超过 n k 的线性子空间 M k 使得 sup x ∈ B p ， r ∩ F k inf y ∈ M k ‖ x − y ‖ l q ≪ 2 − r k d n k ( B p m k ， l q m k ) 令 M = ∑ k = 1 ∞ M k (直和)。则M为 l q 的线性子空间，且 dim M ≤ ∑ k = 1 ∞ dim M k ≤ ∑ k = 1 ∞ n k ≤ n . 从而 d n ( B p ， r ， l q ) ≪ sup x ∈ B p ， r inf y ∈ M ‖ x − y ‖ l q ≤ ∑ k = 1 ∞ sup x ∈ B p ， r ∩ F k inf y ∈ M k ‖ x − y ‖ l q ≪ ∑ k = 1 ∞ 2 − r k d n k ( B p m k ， l q m k ) 下面引理3是估计定理1下界的离散化定理。 引理3. 令 1 ≤ q < p < ∞ ， r > 1 q − 1 p ， n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ，则 d n ( B p ， r ， l q ) ≫ 2 − r k d n ( B p m k ， l q m k ) 其中 n ≻ ≺ 2 k ≫ 2 n 。 证明：对 ∀ x ∈ B p m k ，则由(2.1)有 1 ≥ ‖ x ‖ l p m k ≥ 2 r k ‖ I k − 1 x ‖ l p ， r 对 ∀ y ∈ l q m k ，则由(2.2)有 ‖ y ‖ l q m k = ‖ I k − 1 y ‖ l q 所以 d n ( B p ， r ， l q ) ≥ d n ( B p ， r ∩ F k ， l q ∩ F k ) ≫ 2 − r k d n ( B p m k ， l q m k ) 定理1的证明： 由定义1.1及定义1.2和无穷维恒等算子 I p ， r 的定义，易见 d n ( I p ， q : l p ， r → l p ) = d n ( B p ， r ， l q ) 。 首先估计定理1的上界。 对 ∀ k ∈ ℕ ，令 k ′ = [ lg n ] ， n k = { m k ，                     1 ≤ k < k ′ 2 k ′ ⋅ 2 β ( k ′ − k ) ，   k ≥ k ′ 其中， 0 < β < 1 ，易见 { n k } 满足引理2的条件。 由引理2和引理1有 d n ( I p ， q : l p ， r → l q ) ≪ ∑ n = 1 ∞ 2 − r k d n k ( B p m k ， l q m k ) = ∑ k = k ′ ∞ 2 − r k d n k ( B p m k ， l q m k ) ≪ ∑ k = k ′ ∞ 2 − r k ⋅ 2 ( 1 q − 1 p ) k = ∑ k = k ′ ∞ 2 − ( r − 1 q + 1 p ) k ≪ 2 − ( r − 1 q + 1 p ) k ′ ≪ n − ( r − 1 q + 1 p ) 估计定理1的下界。 取满足引理3中条件的k，则由引理3和引理1有 d n ( I p ， q : l p ， r → l q ) ≫ 2 − r k d n ( B p m k ， l q m k ) ≫ 2 − r k ⋅ n 1 q − 1 p ≫ n − ( r − 1 q + 1 p ) 综上，定理1得证。