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user: 4. 形变存在性的证明 为了便于理解，下面基于文献 [ 6 ] [ 7 ] 的原有证明思路，并且借鉴Liu-Rao-Yang [ 6 ] 关于Calabi-Yau流形上构造了一个 L 2 - 范数的Beltrami微分形式幂级数 Φ ( t ) ，且利用Kodaira-Spencer-Kuranishi理论给出了只含有一个参数时的 Φ ( t ) 的全局收敛性，而在分布的意义下给出了 Φ ( t ) 的正则性，最后再通过归纳法得到了多参数情况的Beltrami微分幂级数的全局收敛性与正则性的想法与思路，综合给出存在性定理的证明。 4.1. 形变存在性的一些预备知识 在证明存在性定理之前，先补充一些定义与相关知识。 4.1.1. 复结构全纯 假设 ( M ， B ， ϖ ) 是一个复解析族，且有 0 ∈ B ⊂ ℂ m ， ϖ − 1 ( t ) = M t 。可定义 | t | = max λ | t λ | ，设 Δ = Δ r = { t ∈ ℂ m | | t | < r } 是一个半径 r > 0 的多圆盘。如果选择一个足够小的多圆盘 Δ ⊂ B ， M Δ = ϖ − 1 ( Δ ) 表示为以下形式 M Δ = ∪ j U j × Δ 。 M Δ 可看作一个复流形，且光滑的局部复坐标系 { ( ξ j ， t ) | j = 1 ， ⋯ ， n } ， ( ξ j ， t ) = ( ξ j 1 ( z ， t ) ， ⋯ ， ξ j n ( z ， t ) ， t 1 ， ⋯ ， t m ) ， 是 M Δ 的复结构。设 ( z 1 ， ⋯ ， z n ) 是 M 的任一局部复坐标，可知 ξ j α ( z ， t ) = ξ j α ( z 1 ， ⋯ ， z n ， t 1 ， ⋯ ， t m ) ， α = 1 ， ⋯ ， n ， 是复变量 z 1 ， ⋯ ， z n ， t 1 ⋯ t m 的光滑函数。于是，当 Δ 足够小时，对于 t ∈ Δ ，则有 det ( ∂       ξ j α ( z ， t ) / ∂       z λ ) α ， λ = 1 ， ⋯ ， n ≠ 0 . (4.1) 将复流形 M 的切丛记为 T : T = T ( M ) ， Q 0 ， q ( T ) 是所有 ( 0 ， q ) - 型的光滑向量构成的线性空间，即 M 上 T ⊗ Λ q T ¯ ∗ 的光滑截面： Q 0 ， q ( T ) = Γ ( M ， A 0 ， q ( T ) ) 。 φ ∈ Q 0 ， q ( T ) 可以表示为如下形式 φ = ∑ λ = 1 n φ λ ( ∂ / ∂     z λ ) ， φ λ = ( 1 / q ! ) ∑ v = 1 n φ v ¯ 1     ⋯ v ¯ q λ ( z )     d     z ¯ v 1 ∧ ⋯ ∧ d     z ¯ v q . 其中，系数 φ v ¯ 1     ⋯ v ¯ q λ ( z ) 是 M 上的一个局部光滑函数。为了简单起见，将 ∂ / ∂     z λ 记为 ∂ λ ， ( ∂ / ∂     z ¯ λ ) = ∂ ¯ λ 。由(4.1)可知 det ( ∂ λ     ξ j α ( z ， t ) ) ≠ 0 ，则存在唯一的(0， 1)-形式 φ j λ ( z ， t ) = ∑ v = 1 n φ j   v ¯ λ ( z ， t ) d   z ¯ v . 对于 λ = 1 ， ⋯ ， n ，使它满足以下 ∂ ¯     ξ j α ( z ， t ) = ∑ λ = 1 n φ j λ ( z ， t ) ∂ λ     ξ j α ( z ， t ) ， α = 1 ， ⋯ ， n . (4.2) 若称 φ ( t ) = φ ( z ， t ) 是关于 t 的光滑向量，由(4.2)可得 ∂ ¯     ξ j α ( z ， t ) = ∑ λ = 1 n φ λ ( z ， t ) ∂ λ     ξ ξ ( z ， t )   ， α = 1 ， ⋯ ， n . (4.3) 如果将 φ ( t ) = φ ( z ， t ) 作为一个微分算子，则它与一个(0，1)-型向量 ∑ λ = 1 n φ λ ( z ， t )       ∂ λ     f ( z ) 的每个局部光滑函数 f ( z ) 有关，(4.3)可变成以下形式 ( ∂ ¯ − φ ( t ) )         ξ j α ( z ， t ) = 0 ， α = 1 ， ⋯ ， n . (4.4) 而 ξ j α ( z ， 0 ) 是 z 1 ， ⋯ ， z n 的全纯函数，即 ∂ ¯     ξ j α ( z ， 0 ) = 0 。因此由(4.3)，得到 φ ( 0 ) = 0 .(4.5) 命题4.1 [ 7 ] 若取足够小的 Δ ，对于 t ∈ Δ ，在 M 上的一个局部光滑函数 f 对复结构 M t 是全纯的当且仅当 f 满足以下等式 ( ∂ ¯ − φ ( t ) ) f = 0 . (4.6) 这个命题表明 M 上的复结构的形变 M t 可由 M 上的(0，1)-型向量 φ ( t ) = ∑ λ = 1 n φ λ ( z ， t )         ∂ λ = ∑ λ = 1 n ∑ v = 1 n φ v ¯ λ ( z ， t )       d     z ¯ v       ∂ λ 来表示。对于 φ = ∑ λ = 1 n φ λ   ∂ λ ∈ Q   0 ， p ( T ) ， ψ = ∑ λ = 1 n ψ λ   ∂ λ ∈ Q   0 ， q ( T ) ，如果定义它们的Lie括号为 [ φ ， ψ ] = ∑ λ = 1 n ∑ μ = 1 n ( φ μ ∧ ∂ μ     ψ λ − ( − 1 ) p     q ψ μ ∧ ∂ μ     φ λ ) ∂ λ . (4.7) 由 [ φ ， ψ ] 的定义可知它并不依赖于复坐标 ( z 1 ， ⋯ ， z n ) 的选择，并且 [ φ ， ψ ] ∈ Q 0 ，     p + q ( T ) 。如果 φ = ∑ λ = 1 n φ λ ∂ λ ∈ Q 0 ， p ( T ) ，则有 ∂ ¯     φ = ∑ λ = 1 n ∂ ¯       φ λ     ∂ λ 。可以利用Lie括号表示可积条件 ∂ ¯       φ ( t ) = ( 1 / 2 ) [ φ ( t ) ， φ ( t ) ] . (4.8) 如果 ∂ ¯     φ = 0 ，则称 φ ∈ Q   0 ， p ( T ) 是一个 ∂ ¯ - 闭的(0， 1)-型向量，若将所有的 ∂ ¯ - 闭的(0，1)-型向量的全体集合记为 Q         ∂ ¯     0 ， p ( T ) ，则有 Q         ∂ ¯   0 ， p ( T ) ⊂ Q   0 ， p ( T ) 。 设 φ = ∑ λ = 1 n φ λ   ∂ λ 是 M 的一个(0，1)-型光滑向量，其中 φ λ = ∑ v = 1 n φ v ¯ λ   d     z ¯ v 。假设 det ( δ v λ − ∑ μ = 1 n   φ v ¯ μ   ( z ， t )       φ μ ¯ λ ( z ， t )   ¯ ) λ ， v = 1 ， ⋯ ， n ≠ 0 ， 并且   φ 满足可积条件 ∂ ¯     φ = ( 1 / 2 ) [ φ ， φ ] 。如果选定 M 的一个有限开覆盖 { U j } ，再由Newlander-Nirenberg [ 9 ] 定理，则在 U j 上存在 n 个线性光滑函数 ξ j α = ξ j α ( z ) ， α = 1 ， ⋯ ， n 使得 ( ∂ ¯ − ∑ λ = 1 n φ λ ∂ λ ) ξ j α = 0 . 由于 det ∂ ( ξ j 1 ， ⋯ ， ξ j n ， ξ ¯ j 1 ， ⋯ ， ξ ¯ j n ) ∂ ( z 1 ， ⋯ ， z n ， z ¯ 1 ， ⋯ ， z ¯ n ) ≠ 0 ， 如果 M 被视为一个微分流形，则 ξ j : z → ξ j ( z ) = ( ξ j 1 ( z ) ， ⋯ ， ξ j n ( z ) ) 为 U j ⊂ M 上的局部复坐标系。若 ( ∂ ¯ − φ ( t ) ) f = 0 ，则 U 上的一个局部光滑函数 f 是 ( ξ j 1 ( z ) ， ⋯ ， ξ j n ( z ) ) 的一个全纯函数。因此在 U j ∩ U k ≠ ϕ 上， ξ j α ( z ) 是 ( ξ k 1 ( z ) ， ⋯ ， ξ k n ( z ) ) 的全纯函数，即 ξ j α ( z ) = f j   k α ( ξ k ( z ) ) . 综上可述， { ξ 1 ， ⋯ ， ξ j ， ⋯ } 是微分流形 M 的一个局部复坐标系，则在 M 上定义了一个复结构，将其记为 M t 。若 φ 满足(4.3)中定义的 φ ( t ) ，则有 M φ   ( t ) = M t = ϖ − 1 ( t ) 。 4.2.2. Hölder范数和控制函数 定义4.2 [ 8 ] 对于 M 上的一个(0， q)-型光滑向量 φ ∈ Q 0 ， q ( T ) ，将它的Hölder范数 | φ | k + α 定义如下：设 { U j } 是 M 上的一个有限开覆盖， U j 为一个局部坐标圆盘，则存在一个复坐标 { z j } ， z j = ( z j 1 ， ⋯ z j n ) 满足以下条件： (a) [ U j ] 包含于 z j 的邻域； (b) U j = { | z j 1 | < 1 ， ⋯ ， | z j n | < 1 } 。 若设 z j v = x j 2 v − 1 + i     x j 2 v ，引入实坐标 x = ( x j 1 ， ⋯ ， x j 2 n ) ，且将 U 上的 φ ∈ Q 0 ， q ( T ) 表示为 φ = ∑ λ ( 1 / q ! ) ∑ φ j     v ¯ 1 ⋯ ν ¯ q λ d   z j v ¯ 1 ∧ ⋯ ∧ d   z j v ¯ q ( ∂ / ∂     z j λ ) ， 其中 φ j     v ¯ 1 ⋯ ν ¯ q λ = φ j     v ¯ 1 ⋯ ν ¯ q λ ( x j ) 为 U j ∈ ℝ 2 n 上的光滑函数。定义 | φ | k + α = max j max λ ， v 1 ⋯ v q | φ j     v ¯ 1 ⋯ ν ¯ q λ | k + α U α . 由Hölder范数不依赖于 { U j } 与 { z j } 的选择，因此选定 { U j } 与 { z j } ，则有 | φ | 0 = max j max λ ， v 1 ⋯ v q sup x ∈ U j | φ j     v ¯ 1 ⋯ ν ¯ q λ ( x j ) | . 命题4.3 [ 8 ] 对于 k ≥ 2 ， φ ∈ Q 0 ， q ( T ) ，有以下不等式 | φ | k + α = c ( | Δ ∂ ¯     φ   | k − 2 ⊕ α + | φ | 0 ) . (4.9) 其中， c 是不依赖于 k 与 α 的常数，并称(4.9)式称为一个先验估计。 在 Q 0 ， 2 ( T ) 上考虑 H 2 ( M ， Θ ) = 0 且 ϖ − 1 ( 0 ) = M ，则由命题4.3有以下引理： 引理4.4 [ 8 ] 对于 k ≥ 2 ， ψ ∈ Q 0 ， 2 ( T ) ，存在以下不等式 | G ψ | k + α ≤ c 1 | ψ | k − 2 + α . (4.10) 其中， c 1 是一个不依赖于 ψ 的常数， G 是一个Green算子。 下面给出控制函数的概念。 定义4.5 [ 8 ] 假设有一个 t 1 ， ⋯ ， t m 的幂级数 P ( t ) = ∑ v 1 ， ⋯ ， v m = 0 ∞ P v 1 ⋯ v m   t   1 v 1 ⋯ t   m v m ， P v 1 ⋯ v m ∈ ℂ . 如果 | P v 1 ⋯ v m | ≤ a v 1 ⋯ v m ， v 1 ， ⋯ ， v m = 0 ， 1 ， ⋯ ，则存在幂级数 a ( t ) = ∑ v 1 ， ⋯ ， v m = 0 ∞ a v 1 ⋯ v m   t   m v m ， a v 1 ⋯ v m ≥ 0 . 将上式中的 a ( t ) 称为 P ( t ) 的控制函数，简记为 P ( t ) ≪ a ( t ) 。 对于一个幂级数 ψ ( t ) = ∑ v 1 ， ⋯ ， v m = 0 ∞     ψ v 1 ⋯ v m t     1 v 1 ⋯ t     m v m ， ψ v 1 ⋯ v m ∈ Q 0 ， q ( T ) ， 定义 | ψ | k + α ( t ) 如下： | ψ | k + α ( t ) = ∑ v 1 ， ⋯ ， v m = 0 ∞   | ψ v 1 ⋯ v m | k + α t   1 v 1 ⋯ t     m v m . 如果 | ψ v 1 ⋯ v m | k + α ≤ a v 1 ⋯ v m ， v 1 ， ⋯ ， v m = 0 ， 1 ， ⋯ ，则有 | ψ | k + α ( t ) ≪ a ( t ) 。 4.2. 形变存在性的证明 关于存在性定理3.1的证明，考虑分成三步：首先构造一个满足可积条件与初始条件的形式幂级 φ ( t ) 数；然后应用Hölder范数与借鉴Liu-Rao-Yang的方法证明这个形式幂级数 φ ( t ) 展开式中系数的收敛性；最后再证明由 φ ( t ) 确定的复结构 M φ   ( t ) 构成的一个族 { M φ   ( t ) } 是一个满足条件(i)与(ii)的复解析族。 定理3.1的证明：分成三步论证。 (1) 构造满足可积条件与初始条件的形式幂级数 φ ( t ) 。 对于 λ = 1 ， ⋯ ， m ，若存在 β λ ∈ Q ∂ ¯ 0 ， 1 ( T ) 使得 { β 1 ， ⋯ ， β m } 为 H 1 ( M ， Θ ) 的一组基，假设 M 上存在(0，1)-形式光滑向量 φ ( t ) 的一集族 { φ ( t ) | t ∈ Δ } 满足可积条件 ∂ ¯     φ ( t ) = ( 1 / 2 ) [ φ ( t ) ， φ ( t ) ] 与初始条件 φ ( 0 ) = 0 ， ( ∂ ¯         φ ( t ) / ∂       t λ ) t = 0 = β λ ， λ = 1 ， ⋯ ， m . (4.11) 由于假设 Δ 足够小，可设 φ ( t ) = ∑ λ ∑ v φ v ¯ λ ( t )       d     z ¯ v     ∂ v 满足条件： det ( δ v λ − ∑ μ     φ v ¯ μ ( t )         φ v ¯ λ ( t ) ¯ ) ≠ 0 . 因此，由Newlander-Nirenberg定理可知每个 φ ( t ) 决定了 M 上的一个复结构 M φ   ( t ) 。而这样得到的一个族 { M φ   ( t ) } 是满足条件(i)与(ii)的复解析族。首先要构造这样一个族 { φ ( t ) | t ∈ Δ } 。 将 φ ( t ) 表示为 t 1 ， ⋯ ， t m 的幂级数形式： φ ( t ) = ∑ φ v 1 ⋯ v m     t   1   v 1 ⋯ t     m   v m ， φ v 1 ⋯ v m ∈ Q         0 ， 1 ( T ) . 下面规定一些符号。对于 t 1 ， ⋯ ， t m 的一个幂级数 P ( t ) ，设 P v ( t ) = ∑ v 1 + ⋯ v m = v   P v 1 ⋯ v m   t     1   v 1 ⋯ t   m   v m 为它的第 v 齐次部分。因此得到 P ( t ) = ∑ v = 0 ∞   P v ( t ) = P 0 ( t ) + ⋯ + P v ( t ) + ⋯ . 这里约定 P v ( t ) = P 0 ( t ) + ⋯ + P v ( t ) 。给定两个幂级数 P ( t ) 与 Q ( t ) ，如果 P v ( t ) = Q v ( t ) ，则可表示为 P ( t ) ≡ v Q ( t ) 。我们需要找到一个幂级数 φ ( t ) 满足可积条件与初始条件。不妨设 φ 0 = 0 ， φ 1 ( t ) = ∑ λ = 1 m β λ t λ (4.12) φ ( t ) = ∑ v = 1 ∞   φ v ( t ) = φ 1 ( t ) + φ 2 ( t ) + ⋯ 满足初始条件(4.11)，所以还需要确定 φ 2 ( t ) ， ⋯ ， φ v ( t ) ， ⋯ 使它满足 ∂ ¯       φ ( t ) = ( 1 / 2 ) [ φ ( t ) ， φ ( t ) ] . (4.13) 由于 β λ ∈ Q     ∂ ¯ 0 ， 1 ( T ) ，则可得到 ∂ ¯       φ 1 ( t ) = 0 ，且 [ φ μ ( t ) ， φ v ( t ) ] 是 t 1 ， ⋯ ， t m 的 μ + v 次齐次多项式。因此(4.13)式可简化为无穷多个同余方程组 ∂ ¯       φ v ( t ) ≡ ( 1 / 2 ) [ φ v − 1 ( t ) ，             φ v − 1 ( t ) ] ， v = 2 ， 3 ⋯ (4.14) v 因此通过对 v 进行归纳，只要确定 φ v ( t ) 满足(4.14) v 即可得到 φ ( t ) 。 假设已经确定了 φ v ( t ) = φ 1 ( t ) + ⋯ + φ n ( t ) 使得式(4.14) v 成立，则我们接下来考虑(4.14) v+ 1 。由 φ v + 1 ( t ) = φ v ( t ) + φ v + 1 ( t ) ，(4.14) v+ 1 可以写为以下形式 ∂ ¯         φ v + 1 ( t ) ≡ v ( 1 / 2 ) [ φ v ( t ) ， φ v ( t ) ] − ∂ ¯   φ v ( t ) . (4.15) 由 [ φ v ( t ) ， φ v ( t ) ] ≡ v [ φ v − 1 ( t ) ， φ v − 1 ( t ) ] ，且假设(4.14) v 成立，则 ( 4.15 ) ≡ v 0 的右边恒为0。若设 ψ v + 1 ( t ) 为(4.15)右边的第 ( v + 1 ) 次齐次部分，则有 ( 1 / 2 ) [ φ v ( t ) ， φ v ( t ) ] − ∂ ¯     φ v ( t ) ≡ v + 1 ψ v + 1 ( t ) (4.16) 从而使同余(4.15)简化为 ∂ ¯     φ v + 1 ( t ) = ψ v + 1 ( t ) . (4.17) 而由(4.16)与 [ ψ ， φ ] = ( − 1 ) p     q [ φ ， ψ ] 以及 ∂ ¯         [ φ ， ψ ] = [ ∂ ¯       φ ，         ψ ] + ( − 1 ) p [ φ ， ∂ ¯ ψ ] ，得 ∂ ¯     ψ v + 1 ( t ) ≡ v + 1 ( 1 / 2 ) ∂ ¯ [ φ v ( t ) ， φ v ( t ) ] = [ ∂ ¯     φ v ( t ) ，       φ v ( t ) ] . 如上所述，则有 ∂ ¯     φ v ( t ) ≡ v ( 1 / 2 ) [ φ v ( t ) ，       φ v ( t ) ] 。因为 φ v ( t ) ≡ 0 0 ，于是有 [ ∂ ¯       φ v ( t ) ， φ v ( t ) ] ≡ v + 1 ( 1 / 2 ) [ [ φ v ( t ) ， φ v ( t ) ] ，       φ v ( t ) ] . 又因为 [ [ φ v ( t ) ， φ v ( t ) ] ， φ v ( t ) ] = 0 ，所以 ∂ ¯     ψ v + 1 ( t ) = 0 。也就是说， ψ v + 1 ( t ) = ∑ v 1 + ⋯ v m = v + 1 ψ v 1 ⋯ v m   t   1 v 1 ⋯ t   m v m ， ψ v 1 ⋯ v m ∈ Q       ∂ ¯ 0 ， 2 ( T ) . 因此，由Dolbeault定理 [ 7 ] 可知，如果令 Q         ∂ ¯   0 ， p ( T ) = Γ ( M ， ∂ ¯ A   0 ， p − 1 ( T ) ) ，则当 p ≥ 1 时有 H p ( M ， Θ ) ≅ Q     ∂ ¯ 0 ， p ( T ) /     ∂ ¯       Q     ∂ ¯ 0 ， p − 1 ( T ) 。由于 H 2 ( M ， Θ ) = 0 ，故可以找到 φ v 1 ⋯ v m ∈ Q       0 ， 1 ( T ) 使得 ψ v 1 ⋯ v m ∈ Q       ∂ ¯ 0 ， 2 ( T ) ，因此(4.17)存在一个解 φ v + 1 ( t ) = ∑ v 1 + ⋯ v m = v + 1 φ v 1 ⋯ v m t     1 v 1 ⋯ t     m v m . 再令 φ v + 1 ( t ) = φ v ( t ) + φ v + 1 ( t ) ，这样(4.14) v 式成立。 那么，这样就构造了一个满足可积条件(4.8)与初始条件(4.11)的形式幂级数 φ ( t ) = ∑ v = 1 ∞ φ v ( t ) 。 (2) 证明幂级数 φ ( t ) 对于足够小的 t 1 ， ⋯ ， t m 满足收敛性。 在 M 上引入一个Hermite度量 g = ∑ v ， λ = 1 n   g λ   v ¯     d   z λ ⊗ d   z − v ，将切丛表示为 T ，并且有 ∑ λ = 1 n   ξ λ   ∂ ξ ∈ T 。如果由 ∑ v ， λ = 1 n   g λ   v ¯     ξ λ ξ ¯ v 定义纤维上的Hermite度量，则 φ ，           ψ ∈ Q 0 ， q ( T ) 的内积定义为 ( φ ， ψ ) = ∫ M ∑ v ， λ = 1 n     g λ   v ¯     φ λ ∧ ∗       ψ ¯ v . 若将 ∂ ¯ 的伴随算子记为 ∂ ¯ ∗ ，则它们满足 ( ∂ ¯     φ ， ψ ) = ( φ ， ∂ ¯ ∗   ψ ) ， φ ∈ Q 0 ， q ( T ) ， ψ ∈ Q 0 ， q + 1 ( T ) . 为了证明多圆盘 Δ ε = { t ∈ ℂ m |     |   t 1 | < ε ， ⋯ | t m | < ε } ， ∀ ε > 0 上的 φ ( t ) = ∑ v = 1 ∞ φ v ( t ) 是收敛幂级数，利用Hölder范数的定义4.2及先验估计命题4.3，只需在 Δ ε 上找到一个绝对收敛的幂级数 a ( t ) 使其满足 | φ | k + α ( t ) ≪ a ( t ) . 如前所述，构造一个 φ ( t ) = ∑ v = 1 ∞ φ v ( t ) ，(4.16)中的 ∂ ¯     φ v ( t ) 是 t 1 ， ⋯ ， t m 的 v 次多项式，右边的 ψ v + 1 ( t ) 是 ( 1 / 2 ) [ φ v ( t ) ， φ v ( t ) ] 的 v + 1 次其次部分，则 ψ v + 1 ( t ) = ( 1 / 2 ) [ φ v ( t ) ， φ v ( t ) ] v + 1 . 由于 ∂ ¯       ψ v + 1 ( t ) = 0 ， φ v + 1 ( t ) = ∂ ¯ ∗   G   ψ v + 1 ( t ) 。所以 φ v + 1 ( t ) 是方程 ∂ ¯ φ v + 1 ( t ) = ψ v + 1 ( t ) 的一个解. 因此记 φ 1 ( t ) = ∑ λ = 1 m β λ t λ . 首先，对于 v = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ，定义 φ v + 1 如下： φ v + 1 ≡ v ( 1 / 2 ) ∂ ¯ ∗   G [ φ v ( t ) ， φ v ( t ) ] v + 1 . (4.18) 则得到幂级数 φ ( t ) = ∑ v = 1 ∞ φ v ( t ) 。若给定 a ( t ) 的一个幂级数 A ( t ) = ( b /   c ) ∑ v = 1 ∞ ( ψ v ( t 1 + ⋯ + t m ) v / v 2 ) ， 则对于 A ( t ) ，有以下不等式 A ( t ) 2 ≪ ( b / c ) A ( t ) . (4.19) 固定一个自然数 k ≥ 2 ，若选择足够大的 b 与 c ，则需对 v 用归纳法证明 | φ v | k + α ≪ A ( t ) . (4.20) v 成立。即假设(4.20) v 成立，来推导证明(4.20) v+ 1 成立，证明过程见( [ 8 ]， pp. 279-280)。由此证明了 | φ | k + α ≪ A ( t ) . (4.21) 由于幂级数 ∑ v = 1 ∞ s v / v 2 的收敛半径是1，如果 0 < ε ≤ ( 1 / m     c ) ，对于 ∀ t ∈ Δ ε ，当 A ( t ) 满足绝对收敛条 件，所以 φ ( t ) = ∑ v = 1 ∞ φ v ( t ) 相对于Hölder范数 | | k + α 是收敛的。因此， φ ( t ) 是 M × Δ ε 上的一个(0，1)-型 C k 向 量，即 U j × Δ ε 上 φ ( t ) 可表达为以下形式 φ ( t ) = ( 1 / 2 ) ∑ λ = 1 n ∑ β ，   γ φ j   β     γ λ ( z j ， t )     d   z ¯ j β ∧ d   z ¯ j γ ( ∂ / ∂   z j γ ) . 虽然 k ≥ 2 ，但并不能直接得出 φ ( t ) 是光滑的，下面证明它是光滑可微的。 由于 { β 1 ， ⋯ ， β m } 作为 ℍ 0 ， 1 ( T ) 的一组基，则对于 φ 1 ( t ) = β 1 t 1 + ⋯ + β m t m ，有 ∂ ¯ ∗ φ 1 ( t ) = 0 。又因为 φ v ( t ) = ∂ ¯ ∗ G   ψ v ( t ) ， v = 2 ， 3 ， ⋯ ， ∂ ¯ ∗   φ v ( t ) = 0 ，则 ∂ ¯ ∗   φ ( t ) = 0 ， Δ ∂ ¯     φ ( t ) = ∂ ¯ ∗ ∂ ¯     φ ( t ) ， 故 φ ( t ) 满足可积条件 ∂ ¯       φ ( t ) = ( 1 / 2 ) [ φ ( t ) ， φ ( t ) ] ， Δ ∂ ¯     φ ( t ) = ( 1 / 2 )         ∂ ¯ ∗ [ φ ( t ) ， φ ( t ) ] 。另一方面，由于 φ ( t ) 是 t 1 ， ⋯ ， t m 的全纯函数， ∂ ¯       φ ( t ) / ∂       t ¯ λ = 0 。因此 φ ( t ) 是2阶偏微分方程 ( − ∑ λ = 1 m ∂ 2 / ∂       t λ ∂       t ¯ λ + Δ ∂ ¯ ) φ ( t ) − ( 1 / 2 ) ∂ ¯ ∗ [ φ ( t ) ， φ ( t ) ] = 0 . (4.22) 的一个解。 因为 | t | → 0 ，则 φ ( t ) → 0 。如果取一个 Δ ε ，若假设(4.22)是 M × Δ ε 上的一个拟线性椭圆偏微分方程，则可以得到它的光滑解 φ ( t ) [ 10 ]。这样就构造了一个(0，1)-型的光滑向量 φ ( t ) = ∑ λ = 1 n ∑ v = 1 n φ v ¯ λ ( z ， t ) d   z ¯ v   ∂ λ ，它满足可积条件(4.8)与初始条件(4.11)；接着构造一个 φ ( t ) 的族 { φ ( t ) |     t ∈ Δ ε } ，如前所述，每个 φ ( t ) 决定一个 M 上的复结构 M φ   ( t ) 。 (3) 证明 M φ   ( t ) 构成的族 { M φ   ( t ) | t ∈ Δ ε } 是一个复解析族。 考虑将 φ = φ ( t ) 作为复流形 M × Δ ε 上的一个(0， 1)-型向量，即 φ = φ ( t ) = ∑ λ = 1 n ( ∑ v = 1 n φ v ¯ λ     d   z ¯ v + ∑ μ = 1 v φ n + μ λ   d     t ¯ μ ) ( ∂ / ∂     z λ ) + ∑ μ = 1 m φ n + μ ( ∂ / ∂       t μ ) ， 对于 μ = 1 ， ⋯ ， m ，有 φ n + μ = φ ( λ / n + μ ) = 0 ， φ v ¯ λ = φ v ¯ λ ( z ， t ) 为 t 1 ， ⋯ ， t m 的全纯函数，故 ∂ ¯   φ v ¯ λ / ∂ ¯   t μ = 0 ，且 ∂ ¯     φ = ∑ λ ， v = 1 n ( ∑ β = 1 n ( ∂     φ v ¯ λ / ∂     z ¯ β )   d     z ¯ β + ∑ μ = 1 m ( ∂     φ v ¯ λ / ∂     z ¯ μ )   d     t ¯ μ ) ∧     d     z ¯ v ( ∂ / ∂       z λ ) . 可以将 φ ( t ) 的外微分 ∂ ¯     φ ( t ) 视为一个(0，1)-型的向量形式，可表示为 ∂ ¯     φ = ∂ ¯     φ ( t ) 。因此得到 [ φ ， φ ] = [ φ ( t ) ， φ ( t ) ] 。所以作为 M × Δ ε 上的一个(0，1)型光滑向量， φ 满足可积条件 ∂ ¯       φ = ( 1 / 2 ) [ φ ， φ ] . 如果记 L v = ( ∂ / ∂     z ¯ v ) − ∑ λ = 1 n φ v ¯ λ ( z ， t ) ( ∂ / ∂     z λ ) ，则偏微分方程 ( ∂ ¯ − φ ) f = 0 可以简化为以下方程组 { L 1   f = 0 ⋮ L n   f = 0 ⇒ L v f = 0 ， v = 1 ， ⋯ ， n ， ∂   f / ∂     t ¯ μ   = 0 ， μ = 1 ， ⋯ ， m . (4.23) 这里 L 1 ， ⋯ L n ， L ¯ 1 ， ⋯ L ¯ n ，     ∂   /   ∂     t ¯ 1 ， ⋯ ， ∂   /     ∂   t ¯ m ，     ∂ /   ∂     t 1 ， ⋯ ， ∂   / ∂     t m 是线性无关的，因此由 ϖ − 1 ( 0 ) = M ， φ 定义了 M × Δ ε 上的一个复结构 M 。如果取一个足够小的 Δ ε ，则方程(4.23)在 U j × Δ ε 上有 ( n + m ) 个线性无关的解 f = ξ j β ( z ， t ) ， β = 1 ， ⋯ ， m + n 。 映射 ζ j : ( z ， t ) → ζ j ( z ， t ) = ( ξ j 1 ( z ， t ) ， ⋯ ， ξ j n + m ( z ， t ) ) 给出了复结构 M 的一个复坐标，由 f = t μ 是(4.23)的一个解可知，倘若假设 ξ j n + μ ( z ， t ) = t μ ， μ = 1 ， ⋯ ， m ，则有 ζ j : ( z ， t ) → ( ξ j 1 ( z ， t ) ， ⋯ ， ξ j n ( z ， t ) ， t 1 ， ⋯ ， t m ) . 故 ϖ : ( ξ j 1 ( z ， t ) ， ⋯ ， ξ j n ( z ， t ) ， t 1 ， ⋯ ， t m ) → ( t 1 ， ⋯ ， t m ) 是一个从 M 到 Δ ε 的全纯映射，且对于 t ∈ Δ ε ， ϖ − 1 ( t ) 是一个局部复坐标为 { ξ j 1 ( z ， t ) ， ⋯ ，       ξ j n ( z ， t ) } 的复流形。由 f = ξ j β ( z ， t ) ，           β = 1 ， ⋯ ， n 是 U j 上一个的方程 ( ∂ ¯ − φ ( t ) ) f = 0 的线性无关解，且 ϖ − 1 ( t ) = M φ     ( t ) ，因此 { M φ     ( t ) | t ∈ Δ ε } 构成了一个复解析族 ( M ， Δ ε ， ϖ ) 。 综上，形变存在性定理即定理3.1完成了证明。□