system: [SYSTEM]

user: 4. 数值算例 在本章，我们通过具体的数值算例来验证两种差分格式的有效性和准确性。首先，定义如下的最大相对误差： MRE ( N ， M ) = max 1 ≤ i ≤ N − 1 ，   1 ≤ k ≤ M | u ( x i ， t k ) − u i k u ( x i ， t k ) | 其中， u ( x i ， t k ) 为方程的精确解， u i k 为方程的数值解( 1 ≤ i ≤ N − 1 ，   1 ≤ k ≤ M )。 4.1. 算例一 考虑如下时间分数阶对流扩散方程： { ∂ α u ( x ， t ) ∂ t α = ∂ 2 u ( x ， t ) ∂ x 2 − 2 ∂ u ( x ， t ) ∂ x + f ( x ， t ) ， u ( x ， 0 ) = sin ( π x ) ，     0 ≤ x ≤ 1 ， u ( 0 ， t ) = 0 ，     u ( 1 ， t ) = 0 ，     0 ≤ t ≤ 1 ， 其中， { u ( x ， t ) = ( t 3 + 1 ) sin ( π x ) ， f ( x ， t ) = sin ( π x ) Γ ( 1 − α ) ( 3 3 − α − 6 2 − α + 3 1 − α ) t 3 − α + 2 π ( 1 + t 3 ) cos ( π x ) + π 2 ( 1 + t 3 ) sin ( π x ) ， 表1，表2给出了不同时空步长、不同 α 下的两种格式的最大相对误差。对比数据可以发现当 α 接近1或0时，数值解精度越高，而且在剖分数较少的情况下，格式2比格式1具有更高的精度。 Table 1 Example 1: Maximum relative error of the second-order central difference schem α 0.01 0.1 0.5 0.9 0.99 MRE (5， 20) 5.9054E−02 4.7225E−02 2.9890E−02 2.9486E−02 3.0911E−02 MRE (10， 40) 1.4945E−02 1.0539E−02 8.2560E−03 6.9845E−03 7.8191E−03 MRE (15， 60) 6.5824E−03 4.2147E−03 1.1091E−02 3.1522E−03 3.4248E−03 MRE (20， 80) 3.6489E−03 3.1885E−03 1.2078E−02 4.0981E−03 1.8808E−03 MRE (25， 100) 2.2969E−03 3.6130E−03 1.2542E−02 4.5335E−03 1.1709E−03 MRE (30， 120) 1.5678E−03 3.8446E−03 1.2799E−02 4.7698E−03 7.8987E−04 表1. 算例一：二阶中心差分格式最大相对误差 Table 2 Example 1: Maximum relative error of the fourth-order central difference schem α 0.01 0.1 0.5 0.9 0.99 MRE (5， 20) 1.1954E−03 4.7797E−03 1.3067E−02 5.5494E−03 1.2055E−03 MRE (10， 40) 6.9254E−04 4.4286E−03 1.3100E−02 5.3116E−03 7.8200E−04 MRE (15， 60) 5.6618E−04 4.3644E−03 1.3170E−02 5.2717E−03 6.7685E−04 MRE (20， 80) 5.2280E−04 4.3515E−03 1.3227E−02 5.2706E−03 6.3990E−04 MRE (25， 100) 5.0288E−04 4.3501E−03 1.3269E−02 5.2752E−03 6.2321E−04 MRE (30， 120) 4.9240E−04 4.3519E−03 1.3300E−02 5.2813E−03 6.1444E−04 表2. 算例一：四阶中心差分格式最大相对误差 图1给出了两种格式在 α 分别取0.3和0.8时的真实解图像和误差图像。 图1. α 分别取0.3和0.8时算例一方程的数值解图像和两种格式的误差图像 4.2. 算例二 考虑如下时间分数阶对流扩散方程： { ∂ α u ( x ， t ) ∂ t α = ∂ 2 u ( x ， t ) ∂ x 2 − 2 ∂ u ( x ， t ) ∂ x + f ( x ， t ) ， u ( x ， 0 ) = 0.5 x 4 + 1 ，     0 ≤ x ≤ 1 ， u ( 0 ， t ) = t 3 + 1 ，     u ( 1 ， t ) = 1.5 ( t 3 + 1 ) ，     0 ≤ t ≤ 1 ， 其中， { u ( x ， t ) = ( t 3 + 1 ) ( 0.5 x 4 + 1 ) ， f ( x ， t ) = 0.5 x 4 + 1 Γ ( 1 − α ) ( 3 3 − α − 6 2 − α + 3 1 − α ) t 3 − α − ( − 4 x 3 + 6 x 2 ) ( t 3 + 1 ) ， 表3，表4给出了不同时空步长、不同α下的两种格式的最大相对误差。通过数据对比可以得到类似例一的结论。 Table 3 Example 2: Maximum relative error of the second-order central difference schem α 0.01 0.1 0.5 0.9 0.99 MRE (5， 20) 1.4175E−03 4.9297E−03 1.3711E−02 5.8107E−03 1.2201E−03 MRE (10， 40) 6.3650E−04 4.4470E−03 1.3326E−02 5.3751E−03 7.3623E−04 MRE (15， 60) 5.3306E−04 4.3856E−03 1.3356E−02 5.3299E−03 6.5342E−04 MRE (20， 80) 5.0152E−04 4.3744E−03 1.3369E−02 5.3219E−03 6.2528E−04 MRE (25， 100) 4.8919E−04 4.3641E−03 1.3361E−02 5.3129E−03 6.1504E−04 MRE (30， 120) 4.8241E−04 4.3558E−03 1.3349E−02 5.3045E−03 6.0884E−04 表3. 算例二：二阶中心差分格式最大相对误差 Table 4 Example 2: Maximum relative error of the fourth-order central difference schem α 0.01 0.1 0.5 0.9 0.99 MRE (5， 20) 5.3816E−04 4.3622E−03 1.3260E−02 5.2631E−03 6.0867E−04 MRE (10， 40) 4.6863E−04 4.3050E−03 1.3212E−02 5.2373E−03 5.8355E−04 MRE (15， 60) 4.6831E−04 4.3374E−03 1.3320E−02 5.2835E−03 5.9080E−04 MRE (20， 80) 4.6800E−04 4.3449E−03 1.3347E−02 5.2934E−03 5.9297E−04 MRE (25， 100) 4.6753E−04 4.3443E−03 1.3346E−02 5.2939E−03 5.9349E−04 MRE (30， 120) 4.6705E−04 4.3417E−03 1.3338E−02 5.2908E−03 5.9350E−04 表4. 算例二：四阶中心差分格式最大相对误差 图2给出了两种格式在α分别取0.3和0.8时的真实解图像和误差图像。 图2. α 分别取0.3和0.8时算例二方程的数值解图像和两种格式的误差图像