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user: 2. 数据来源及研究方法 2.1. 数据来源 柯布道格拉斯函数在经济分析中常常被用来分析经济变量之间的特殊关系，因此本文选取江西省1995~2018年的数据，如表1，包括劳动投入量、资本存量、化石能源投入量以及GDP (支出法)等，数据主要来源于江西统计局出版的《江西统计年鉴》。 Table 1 Jiangxi Province historical GDP and economic growth factor input tabl 年份 劳动投入量(万人) 资本存量(亿元) 化石能源投入量(万吨标准煤) GDP (亿元) 1995 2653.30 325.550 2148.19 1177.26 1996 2735.40 395.850 1947.62 1413.70 1997 2768.80 477.300 1878.23 1596.56 1998 2809.10 520.820 1817.01 1719.01 1999 2830.20 552.670 1938.61 1831.25 2000 2898.20 605.540 2200.14 1982.17 2001 2898.50 696.700 2326.04 2161.75 2002 2911.60 931.800 2654.37 2460.49 2003 3016.60 1269.92 3315.00 2815.35 2004 3073.50 1633.53 3412.39 3476.90 2005 3130.00 1922.10 3900.27 4078.32 2006 3210.40 2422.06 4235.56 4836.96 2007 3290.60 2982.33 4653.35 5823.35 2008 3353.04 3675.71 4790.83 7008.83 2009 3413.80 4082.63 5144.06 7700.34 2010 3417.60 4740.28 5545.73 9483.50 2011 3480.50 5785.75 6217.17 11，738.45 2012 3495.50 6301.13 6233.32 12，987.99 2013 3524.70 6774.22 6854.94 14，452.19 2014 3551.60 6876.92 7040.42 15，759.45 2015 3577.60 7706.00 7326.89 16，780.89 2016 3606.80 9029.49 7512.95 18，388.59 2017 3624.20 9738.41 7688.04 20，006.31 2018 3639.10 10，735.61 7957.23 21，984.78 表1. 江西省历史GDP及经济增长要素投入表 数据资料显示，自1995年三种要素投入量以及江西省GDP均呈现上升趋势，比较而言劳动投入量及化石能源投入量涨幅相对较低，资本存量及GDP涨幅巨大。截至2018年数据，相较1995年的基数数据，劳动投入量增长了37.15%，化石能源投入量增长了270.42%，2018年资本存量是1995年数值的近33倍，2018年江西GDP也为1995年GDP的18.68倍。 从历史数据我们可以看出，从1995年到2018年这24年，江西省经济增长迅速，其要素投入主要为资本要素，而劳动力和能源要素受到环境及条件的制约，难以实现超速增长。 2.2. 模型原理及步骤 科布–道格拉斯函数也称为生产函数(Cobb Douglas Product Function，CD函数)，特指一类满足指数函数特征的多元函数。由于柯布–道格拉斯生产函数模型具有固定参数、可线性化、相较于其它模型计算更方便以及计算分析结论更准确等特征，因此在经济分析中常常被用来分析经济变量之间的特殊关系。 科布-道格拉斯函数的基本形式如下： y = f ( x ) = f ( x 1 ， x 2 ， x 3 ) = A x 1 α x 2 β x 3 γ ， θ = α + β + γ (1) 其中，变量 x 1 ， x 2 ， x 3 为三个不同类别的投入要素，y表示投入要素所带来的产出， α ， β ， γ 表示投入要素 x 1 ， x 2 ， x 3 的边际弹性，一般要求大于零，且三者和 θ = 1 。 参数 A > 0 ，表示技术发展水平对于产出的影响，或者称为技术进步因子。 由于技术进步与时间变量t有关，我们可以将技术进步因子表示为时间t的指数函数： A = e g ( t ) ，那么，CD函数就可以表示为： y = f ( t ， x 1 ， x 2 ， x 3 ) = e g ( t ) x 1 α x 2 β x 3 γ ， θ = α + β + γ (2) 函数 g ( t ) 可以是一个多项式，也可以是一个其它类型的函数。这样表示的生产函数具有一定的动态特征。 2.3. 数据拟合与函数选择 基于上述假设，本文引入技术进步因子函数，运用模型(2)对江西省地区生产总值进行拟合、预测与分析。变量 x 1 ， x 2 ， x 3 分别定义为投入要素劳动力、资本、能源，另外我们将技术进步因子中 g ( t ) 设定为多项式，表现为： g ( t ) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + ⋯ + a n t n (3) 输入江西省原始数据后，利用curve_fit()程序进行拟合，通过不断调整 g ( t ) 的阶数n，得到六个模型。各模型中拟合得到的劳动力、资本、能源的指数系数如表2： Table 2 Summary table of various factor coefficient 阶数 劳动力 资本 能源 n = 0 −0.6904 0.5178 1.1726 n = 1 −0.3148 0.2506 1.0642 n = 2 −0.3376 0.2569 1.0807 n = 3 0.3233 0.3887 0.2880 n = 4 0.5432 0.2680 0.1888 n = 5 0.2252 0.2891 0.4857 表2. 各因素系数汇总表 由表格可知，当 g ( t ) 的阶数n为0、1、2阶时，劳动力系数小于0，表示随着劳动力的增长，经济总量将下降，不符合Cobb-Douglas函数要求和经济发展的规律 [ 7 ]，因此排除。余下三组结果，均符合Cobb-Douglas函数要求。为进一步筛选匹配度最高的模型，本文对每个模型的拟合结果与样本值进行灰色关联分析并计算相关系数、组建方差，结果如表3： Table 3 Comparison of accuracy of fitted date 阶数 灰色关联度 相关系数 组间方差(万亿) n = 0 1.3654 0.99812 1，937，820，052 n = 1 1.5010 0.99850 289，766，090 n = 2 1.5065 0.99850 280，921，559 n = 3 1.6797 0.99922 8，818，931 n = 4 1.6720 0.99925 15，303，495 n = 5 2.0667 0.99982 93，780 表3. 拟合结果准确度对比表 地区生产总值拟合结果的准确度与灰色关联度、相关系数成正比，与组间方差成反比。对比发现， n = 5 的模型拟合结果最优，且各投入要素系数合理。基于 n = 5 ，江西省地区生产总值的模型为： y = e 0.9751 t 5 − 0.6558 t 4 − 1.2764 t 3 + 0.7542 t 2 + 0.9253 t + 6.9322 x 1 0.2252 x 2 0.2891 x 3 0.4857 (4) 由模型得知，能源对江西省地区生产总值的影响程度最大，接近1/2，资本的影响略强于劳动力。根据函数绘制江西省地区生产总值预测图如图1所示： 图1. 江西省地区生产总值预测图