DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 1. 引言 变分法是研究泛函极值的一种重要方法。它不仅与数学中众多分支相联系，而且在描述物理学、化学、生物学等各种问题中有着重要的作用。尤其是Schrödinger方程及Chquard方程广泛应用于电磁学、量子力学等领域。越来越多的实例证明，变分法是研究解的存在性及多重性最有利的工具之一。 结合变分法，本文应用 [ 1 ] 中的Theorem 1.1来研究下面的方程。 { ( − i ∇ + A ( x ) ) 2 u + V ( x ) u = λ u − f ( u ) + h ( x )                       x ∈ Ω u ( x ) = 0                                                                                                                       x ∈ ∂ Ω (1.1) 其中， Ω ⊂ ℝ N 是具有光滑边界的有界开集， A = ( A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A n ) : ℝ N → ℝ N 是一个磁性位势，使得 A ∈ L l o c 2 ( ℝ N ) ， ∇ A : = − i ∇ + A ， − Δ A : = ( − i ∇ + A ) 2 。 且连续， h ∈ L 2 ( Ω ) ， λ > 0 。非线性函数 f ∈ C ( ℝ ， ℝ ) ， f ≥ 0 ，在 t < 0 时有 f ( t ) = 0 ，且满足： (f 1 ) lim t → 0 f ( t ) t = 0 。 (f 2 ) 存在 q ∈ ( 2 ， 2 * ) ，使得 lim t → 0 f ( t ) t q − 1 = 0 。 (f 3 ) 存在 θ > 4 ，使得对于 t > 0 ， 0 < θ 2 F ( t ) < t f ( t ) 。其中 F ( t ) = ∫ 0 t f ( τ ) d τ 。 其中的整数阶磁性Laplacian算子： ∇ A : = − i ∇ + A ， − Δ A : = ( − i ∇ + A ) 2 ，当 A ≡ 0 时，也就是没有磁性位势，算子变成了 − Δ ，很多作者研究了 − Δ u + μ a ( x ) u = λ u + | u | p − 2 u (1.2) 类型问题的解的存在性和多重性，其中 α ≥ 0 是位势井，并带有次临界增长，也就是 p < 2 * ，更多结果参见文献 [ 2 ] [ 3 ] 。 另外，类似于(1.2)的方程类型，Clapp和Ding在文献 [ 4 ] 中利用变分法建立了临界的情形下，正解的存在性和多重性。对于有临界非线性项的Schrödinger方程，也可参见 [ 5 ] [ 6 ] 及其参考文献。在文献 [ 7 ] 中作者研究了带有径向缺失的二次非线性Schrödinger方程径向解的爆破，位于半径为 r 0 的球中。当 A ≠ 0 时，也就是方程带有磁势的问题，近期Lv在 [ 8 ] 中研究了 ( − i ∇ + A ) 2 u + ( g 0 ( x ) + μ g ( x ) ) u = ( | x | − α ∗ | u | p ) | u | p − 2 u ， u ∈ H 1 ( ℝ n ， ℂ ) ， (1.3) 其中 n ≥ 3 ， α ∈ ( 0 ， n ) ， μ > 0 ， p ∈ ( 2 n − α n ， 2 n + α n − 2 ) 。 g 0 和g是两个重要的函数，满足一些必要条件。他证明了当 时的基态解的存在性，以及 μ → ∞ 时解的集中行为。在此类问题的研究中，Hardy-Littlewood-Sobolev不等式扮演了一个很重要的角色。 方程(1.3)中，如果 A = 0 ， g 0 = 0 ， g = 1 ， μ = 1 ，那么方程就变为 − Δ u + u = ( | x | − α ∗ | u | p ) | u | p − 2 u ， u ∈ H 1 ( ℝ n ) . 这就是经典的Chquard方程，它出现在很多的物理学领域，尤其是关于非相对论的玻色子原子和分子的大系统量子论的方程，已经被很多国内外作者研究。例如，在 [ 9 ] 中，Lieb证明了 − Δ u + u = ( | x | − 1 ∗ | u | 2 ) u 于 ℝ n 中 在平移变换下，解的存在性和唯一性。2014年，Salazar在 [ 10 ] 中研究了下面的稳定非线性磁性Chquard方程 ( − i ∇ + A ) 2 u + W ( x ) u = ( | x | − α ∗ | u | p ) | u | p − 2 u 于 ℝ n ， 其中 n ≥ 3 ， α ∈ ( 0 ， n ) ， p ∈ [ 2 ， 2 α 2 ) ， A ∈ ( ℝ n ， ℝ n ) 是一个磁性位势， W ∈ ( ℝ n ， ℝ ) 是个有界电势。 我们发现，各类磁性方程虽然被广泛的研究，但人们主要研究了解的存在性、多重性以及集中性，考虑P. H. Rabinowitz在1978年提出的鞍点理论，我们可以得出不一样的结果。Jonas Volek在文献 [ 1 ] 中提出，如果泛函满足P. H. Rabinowitz 的鞍形假设，再满足PS紧性条件以及下方有界，就可以得出方程至少有三个临界点： 定理1.1. ( [ 1 ] ， Theorem 1.1) 设X是实Banach空间， X = Y ⊕ Z ，其中 Y ≠ 0 维数有限。假设 J ∈ C 1 ( X ， ℝ ) 有下界，并且满足 (R) 存在 R > 0 使得 max u ∈ ∂ B R ( Y ) J ( u ) < inf u ∈ Z J ( u ) 。 (PS) 对任意的序列 { u n } ⊂ X 使得 { J ( u n ) } ⊂ ℝ 有界，并且 ‖ J ′ ( u n ) ‖ X * → 0 有收敛子列。 则J至少有三个临界点。 这是一个新的结果。于是，在本文中，我们就应用这个定理，做了一个带有连续位势的磁性方程至少存在三个解的证明。具体的证明过程我们将在第三部分及第四部分给出。
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user: 2. 变分设置和主要结果 设 ， 其中， A = ( A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A n ) : ℝ N → ℝ N 是一个磁性位势，使得 A ∈ L l o c 2 ( ℝ N ) 。 V ( x ) ≥ 0 。且连续。 定义内积如下： ( u ， v ) H V ， A ( ℝ N ) = ∫ ℝ N V ( x ) u v ¯ d x + ∑ i = 1 N ( ( ∂ j + i A j ) u ， ( ∂ j + i A j ) v ) L 2 ( ℝ N ) . 从而我们得到 H V ， A ( ℝ N ) 为Hilbert空间。记其范数为 ‖ u ‖ V ， A = ∫ Ω ( | ∇ A u | 2 + V ( x ) | u | 2 ) d x . 仿照Adam在 [ 11 ] 中定理3.6的证明可知， H V ， A ( ℝ N ) 是可分的。 此外，当 H V ， A ( ℝ N ) 中 V ≡ 1 时，我们得到空间 H A 1 ( ℝ N ) 。 设 Ω ⊂ ℝ N 是具有光滑边界的有界开集， C 0 ∞ ( Ω ) 在 H V ， A ( ℝ N ) 中以范数 ‖ u ‖ H V ， A ( ℝ N ) 生成的闭包记为 H V ， A ( Ω ) 。 H V ， A ( Ω ) 也是可分的Hilbert空间。记范数为： ‖ u ‖ V ， A = ∫ Ω ( | ∇ A u | 2 + V ( x ) | u | 2 ) d x . 下面是我们众所周知的抗磁性不等式： 引理2.1. 当 n ≥ 4 时，如果 u ∈ H A 1 ( ℝ N ) ，那么 | u | ∈ H 1 ( ℝ N ， ℝ ) ，并且有 | ∇ | u | ( x ) | ≤ | ∇ u ( x ) + i A ( x ) u ( x ) | a . e x ∈ ℝ N 成立。 由 [ 12 ] 我们得到，当 1 ≤ t ≤ 2 ∗ 时，有整数阶连续嵌入 H A 0 ， 1 ( Ω ) ⊂ L t ( Ω ， ℂ ) ，当 1 ≤ t < 2 ∗ 时，嵌入是紧的。继而我们可以得到 引理2.2. 当 1 ≤ t ≤ 2 ∗ 时， H V ， A ( Ω ) ⊂ L t ( Ω ， ℂ ) 是连续的，当 1 ≤ t < 2 ∗ 时，嵌入是紧的。也就是 ‖ u ‖ L t ( Ω ) ≤ C ∗ ‖ u ‖ V ， A . 其中 C ∗ 是一个嵌入常数。 经过计算，结合范数定义，可以推出方程(1.1)相应的能量泛函为 J V = 1 2 ‖ u ‖ V ， A − λ 2 ∫ Ω | u | 2 d x + ∫ Ω F ( u ) d x − 1 2 ∫ Ω | h | 2 d x . 引理2.3. 设 h ∈ L 2 ( Ω ) ，则泛函 J V 满足： (i) J V ∈ C 1 ( H V ， A ( Ω ) ， ℝ ) 并且满足 〈 J ′ V ( u ) ， φ 〉 = 〈 u ， φ 〉 − λ ∫ Ω f ( u ) φ d x − ∫ Ω h φ d x ， 其中， u ， φ ∈ H V ， A ( Ω ) 。 (ii) u ∈ H V ， A ( Ω ) 是(1.1)的弱解，当且仅当 u ∈ H V ， A ( Ω ) 是 J V 的临界点。 现在，我们来陈述文章的主要结果： 定理2.1. 设 λ k < λ < λ k + 1 ，存在 μ > 0 ，使得当 ‖ h ‖ 2 < μ 时，(1.1)有至少三个弱解。 由引理2.3可知，想要证明定理2.1只需证明 J V 有至少三个临界点。
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user: 4. 定理2.1的证明 由引理3.1和引理3.2，我们有下面的引理成立。 引理4.1. 设 h ∈ L 2 ( Ω ) ，则泛函 J V 满足(PS) c 条件，即定理1.1中的条件(PS)成立。 证明：假设 { u n } 是 J V 的一个(PS) c 序列，结合 J V 是弱强制的，那么就可推出 J V 满足(PS) c 条件。 接下来证明 J V 至少存在三个临界点，设 φ i ( i ∈ N ) 为 H V ， A ( Ω ) 中对应的特征值 λ i ( − Δ A 算子的特征值)的特征函数且 B = { φ i : i ∈ N } 是 H V ， A ( Ω ) 的规范正交基，并且 λ k < λ k + 1 。将 H V ， A ( Ω ) 分解为 Y ⊕ Z 。其中 Y = { ∑ i = 1 k a i φ i : a i ∈ ℝ ， φ i ∈ B } ， Z = { ∑ i = k + 1 ∞ a i φ i : a i ∈ ℝ ， φ i ∈ B } = Y ⊥ . (4.1) 引理4.2. 设 λ k < λ < λ k + 1 ，则存在 a > 0 对任意的 h ∈ L 2 ( Ω ) 且 ‖ h ‖ L 2 ( Ω ) < a ，都有泛函 J V 满足条件(R)，其中 Y ， Z 满足(4.1)。 证明：设 u ∈ Z ， 结合Parseval等式有下式成立 u = ∑ i = k + 1 ∞ a i φ i ，且 ‖ u ‖ V ， A 2 = ∑ i = k + 1 ∞ a i 2 。 因此 φ i 满足 λ i ∫ Ω | φ i ( x ) | 2 d x = ‖ φ i ( x ) ‖ V ， A 2 = 1 ， ∀ i ∈ ℕ (4.2) 因为 λ < λ k + 1 所以有 ‖ u ( x ) ‖ V ， A 2 − λ ∫ Ω | u ( x ) | 2 d x = ∑ i = k + 1 ∞ a i 2 ( 1 − λ λ i ) ≥ ( 1 − λ λ k + 1 ) ‖ u ( x ) ‖ V ， A 2 . (4.3) 因此，对 u ∈ Z ，由(4.3)及嵌入定理可以得到 J V ( u ) ≥ 1 2 ( 1 − λ λ k + 1 ) ‖ u ‖ V ， A 2 − 1 2 ∫ Ω | h ( x ) | 2 d x + ∫ Ω F ( u ) d x ≥ − 1 2 ‖ h ‖ L 2 ( Ω ) 2 (4.4) 当取 u ∈ Y 时，有下式成立 u = ∑ i = 1 k a i φ i 且 ‖ u ‖ V ， A 2 = ∑ i = 1 k a i 2 。 由 λ k < λ ，以及(4.2)可以推出 ‖ u ( x ) ‖ V ， A 2 − λ ∫ Ω | u ( x ) | 2 d x = ∑ i = 1 k a i 2 ( 1 − λ λ i ) ≤ ( 1 − λ λ k ) ‖ u ‖ V ， A 2 . (4.5) 因此，对任意的 u ∈ Y ， ξ < λ λ k − 1 4 C * (由于 ξ 的任意性)。其中， C * 是引理2.2中的嵌入常数。 结合(4.5)及引理2.2(ii)可得 J V ( u ) ≤ 1 2 ( 1 − λ λ k ) ‖ u ‖ V ， A 2 − 1 2 ∫ Ω | h ( x ) | 2 d x + ∫ Ω F ( u ) d x ≤ 1 2 ( 1 − λ λ k ) ‖ u ‖ V ， A 2 + ξ ∫ Ω u 2 d x + C ξ ∫ Ω u q d x ≤ 1 2 ( 1 − λ λ k ) ‖ u ‖ V ， A 2 + C * ξ ‖ u ‖ V ， A 2 + C * C ξ ‖ u ‖ V ， A q < 1 2 ( 1 − λ λ k ) ‖ u ‖ V ， A 2 + C * λ λ k − 1 4 C * ‖ u ‖ V ， A 2 + C * C ξ ‖ u ‖ V ， A q < 1 4 ( 1 − λ λ k ) ‖ u ‖ V ， A 2 + C * C ξ ‖ u ‖ V ， A q (4.6) 因此，如果要证明条件(R)成立，当且仅当存在 R > 0 使得对 u ∈ Y ， ‖ u ‖ V ， A = R 时结合(4.4)以及(4.6)要有下式成立 1 4 ( 1 − λ λ k ) ‖ u ‖ V . A 2 + C * C ξ ‖ u ‖ V . A q < − 1 2 ‖ h ‖ L 2 ( Ω ) 2 . (4.7) 记 ‖ u ‖ V ， A = r 整理得出下式 1 4 ( 1 − λ λ k ) r 2 + C * C ξ r q < − 1 2 ‖ h ‖ L 2 ( Ω ) 2 . (4.8) 记 Λ ( r ) = 1 4 ( 1 − λ λ k ) r 2 + C * C ξ r q . 因为 Λ ( r ) 与 ‖ h ‖ L 2 ( Ω ) 无关，并且 λ k < λ 。因为 q > 2 ，故存在某个 R > 0 充分小，使得 Λ ( R ) < 0 。因此存在一个充分小的 α 0 > 0 使得 Λ ( R ) < − 1 2 ‖ h ‖ L 2 ( Ω ) 2 ， ∀ ‖ h ‖ L 2 ( Ω ) 2 < α 0 . 因此，对任意的 h ∈ L 2 ( Ω ) 且 以及 u ∈ Y 且 有 Λ ( R ) < − 1 2 ‖ h ‖ L 2 ( Ω ) 2 ≤ inf u ∈ Z J V ( u ) ， 因此满足(R)式。 综上所述，验证出定理1.1的所有条件都成立，所以泛函 J V 至少存在三个临界点，即方程至少存在三个弱解。
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user: 摘 要 本文综述了微波技术在环境保护领域中的应用概况，着重介绍了微波技术在废水治理、废气处理和固体废弃物处理中的应用，并比较了微波加热环境处理技术相对于传统处理技术的优势。 关键词 :微波化学，固体废物，废水，废气，处理 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 微波是一种电磁波，一般指波长在1 mm~1 m范围频率为300 MHz~300 GMHz的超高频电磁波。电磁波对物质有较强的穿透作用，直接从物质的内部开始加热，更加的均匀、高效、环保。微波加热的本质是将微波能转化为热能，该过程为能量传递过程，不同于传统加热的热传递过程。目前，微波技术已被广泛应用于化学的各个领域，如微波有机合成化学、微波无机化学、微波分析化学、高分子材料分解等。近年来，微波技术已被应用到环境科学领域，在污染治理工程、环境监测与分析、清洁生产与绿色工艺等方面取得了成功，并获得了一定程度的技术创新和突破，新兴的微波环境化学学科正在形成，并日臻完善。
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user: 2. 微波在固体废弃物处理中的应用 2.1. 微波技术处理废旧高分子材料 PET是一种人工合成的高分子聚合物，广泛应用于饮料瓶、涤纶、绝缘膜、产品包装等。PET具有难以被微生物自然降解的特性，随着PET使用量的不断增大，造成环境的污染日益严重。目前，PET聚酯的解聚主要有水解、醇解、氨解等方法，但这些方法都存在一定的缺陷，如反应条件苛刻，后处理较难等 [ 1 ] 。 王禹 [ 2 ] 等以微波作为热源对PET水解反应进行了研究，相比较于其它解聚方法，只有在纯水中解聚PET才能得到合成PET聚酯的原料苯二甲酸和乙二醇，实现了真正的物质再利用。作者考察了反应压力、反应时间、微波辐射功率和解聚水量等因素对PET解聚率的影响，采用正交试验确定最佳实验条件，在反应时间为105 min，反应压力为19 MPa，微波输出功率为500 W，水与PET质量比为6的条件下，PET解聚率高达99.27%。将微波技术应用到聚酯解聚反应对于环境保护和资源的有效利用具有重要现实意义。 在鱼粉的生产过程中，会产生大量的废水鱼汁，废水中包含2%~5%的蛋白质及其它营养物质。我国许多鱼粉加工企业将鱼汁当废水直接排放，导致周围环境污染严重。汪志君 [ 3 ] 等研究了微波技术对废水鱼汁中蛋白质的水解，比较了传统加热和微波加热技术对水解度的影响，结果表明选择蛋白质浓度为12%的废水进行实验，用微波加热25 min~30 min，有65%~70%的蛋白质被水解，但使用传统的方式加热100 min，仅有35%的蛋白质被水解。这是由于微波加热为辐射加热，极性分子在微波场中运动摩擦产生热量，使蛋白质分子肽键断裂，水解速度加快。 2.2. 微波技术处理工业废渣 每年从电话、电视机、计算机及其他电器中拆卸的废旧电路板有几百万件，通常对这些垃圾的处理方法是填埋，但这种方法会渗析出有害金属，污染地下水。D. E. Clark教授和George G. Wicks领导的课题组开发了一套使用微波能销毁印刷电路板并回收其中的重金属的装置 [ 4 ] 。首先，将电路板压碎并将其放入一个熔融石英坩埚中，在内壁镶有耐火材料的微波炉中加热30 min~60 min，可使苯和苯乙烯等物质会先挥发出来，并被压缩空气带入第二个微波炉中，剩余的物质在1000℃以下焦化。随后升高微波功率，使剩余的物质(玻璃、金属等)在1400℃的高温下熔化，形成玻璃状物质。将其冷却后，金、银及其他金属会以珠状分离开来，可回收重新利。被带入第二个微波炉的有机化合物会被加热的碳化硅反应床分解。利用微波技术处理电子垃圾工艺更清洁、更高效、更节省成本，经处理过的玻璃化产物不会引起二次污染。 2.3. 微波技术在污泥及重金属回收中的应用 随着污水处理技术的不断完善，我国城市污水得到有效处理，但是污泥的产量迅速增加，大量的污泥已经对环境构成巨大的威胁。王同华 [ 5 ] 等对城市污水处理厂生产的污泥进行微波热解处理，并研究了微波处理过后产生的物质成分与结构。取污泥样品直接在微波炉中辐射一段时间，污泥发生热解反应，产生气、液、固三相产物，其中液体产率较高。分析得出，热解得到的气体主要为碳氢化合物(H 2 ，CO，CH 4 ，C 2 H 4 等)，既可以用作燃料气使用，也是良好的合成气原料，液体产物主要是脂肪族类化合物，可直接作为燃料油使用。利用微波热解污泥在处理污泥的同时还实现了资源的再回收利用，足以证明该技术的优势。该实验还研究了不同的吸波介质对热解反应的影响，对污泥本身进行加热，温度最高可以达到300 o C左右，若添加少量的SiC，温度可达到800℃，明显提高了热解温度，油品产率也会得到有效提高。方琳等 [ 6 ] 将SiC及微波热解产生的固体产物添加到污泥中，成功实现了高温热解。添加了吸波介质的污泥在微波场中快速升温，高温热解有利于大分子物质进一步裂解为小分子气体，使气态产物比例提高，液体产物热值为原污泥的两倍，可做液体燃料，减少对环境的污染。
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user: 3. 微波技术处理废气 3.1. 微波气相催化脱硫 煤是中国最丰富的化石燃料之一，然而，煤中的硫成分会导致严重的环境问题，煤炭在燃烧时产生的SO 2 释放到大气中会腐蚀金属设备。硫以三种形式存在于煤中：黄铁矿、硫酸盐和有机物，其中黄铁矿中含硫成分最多。利用微波辐射进行脱硫处理是一种新颖且有效的方法。Weng and Wang [ 7 ] 将原煤研碎后通入氮气，以1.5 KW的微波功率照射100 s，用5% HCl和热水洗涤，并在氮气氛围内干燥4小时，无机硫的脱出率可达97%。黄铁矿需在300℃以上才会被分解，然而，加热煤中黄铁矿的同时煤也会被加热，这可能导致煤基质的热解。但是微波电磁能量可以优先沉积在含硫的黄铁矿区域，正是由于微波能量的这种选择性加热，产生的局部高温可以引起黄铁矿硫与周围的活化物如H 2 、O 2 及吸收的水分等发生热脱硫反应。 Ferrandoand Andre [ 8 ] 等将原煤用HI溶液浸渍后，通入氢气，然后用微波照射10 min，超过99%的黄铁矿硫被去除，在最佳情况下(20分钟)有机硫去除率为64.7%，可以去除80.1%的测试煤中的总硫。 3.2. 微波催化处理汽车尾气 随着汽车工业和经济的发展，汽车使用数量不断增长，汽车在给人们带来便利的同时，汽车尾气也对环境造成了严重污染。尾气的主要成分有CO，CO 2 ，氮氧化物，碳氢化合物等，一般用铂、钯等金属氧化这些气体来处理尾气。唐军旺 [ 9 ] 等将微波辅助催化技术运用到汽车尾气的净化，并研究了两种模式下反应温度与催化剂性能的关系。结果表明，经微波加热的催化剂的活性更高，加热到270℃便达到起活温度，但常规加热的催化剂起活温度为290℃。微波加热降低了催化剂的起活温度，提升了催化剂的低温活性，通过比较发现，微波加热使除CO以外的其它气体的转化率均提高了30%，微波辅助催化能够更加简便高效地处理汽车尾气。 除此以外，微波技术还被应用于处理过汽车尾气的废催化剂的回收。目前，从汽车尾气废催化剂中回收铂族金属方法有火法和湿法。湿法流程中金属Pt，Pd的浸出率高达95%，但铑的回收率极低。为了提高铑的浸出率，陈安然 [ 10 ] 等采用了微波煅烧酸浸-水浸提取Rh的新工艺，该实验对经湿法浸出的废催化剂与回收剂均匀混合，通过微波加热到预定条件，冷却、加水溶解、抽滤过滤，最后对滤渣中Rh的浸出率进行分析。常规焙烧实验铑的浸出率相对较低，若采用微波焙烧，当浸出渣与回收剂比例为1:8时，在600℃下反应1小时，铑的浸出率高达99.79%，主要原因在于微波焙烧时，内部分子震动导致颗粒破裂，使被包裹的铂族金属暴露出来，促进反应进行，而常规焙烧只是在物质表面进行热传递，导致反应效率不高。 3.3. 微波在分子筛制备中的应用 Y型分子筛可作为催化剂广泛应用于催化裂化和加氢裂化过程中，合成Y型分子筛的方法有水热合成法、水热转化法、离子交换法等，常规方法合成的分子筛具有晶粒尺寸较大，费时耗能等缺点。程志林 [ 11 ] 等研究了一种在常压回流微波加热条件下合成NaY分子筛。在微波加热条件下，在体系中加入柠檬酸和稀土离子得到的NaY分子筛的晶粒尺寸为40 nm，远远小于常规合成的分子筛晶粒尺寸，且使用微波加热合成反应仅需60 min，相对于常规合成至少需要1天以上，明显的节省了时间及成本。 采用微波辐射合成MCM-41介孔分子筛的报道有很多，也表明了微波在分子筛合成中的应用逐渐成熟。用水热法合成晶化需要7~10周，随后将样品放入马弗炉中在高温条件下焙烧7 h，过程繁杂且耗时过长。全微波合成法：将物料按一定的配比进行搅拌混合，制得凝胶，将其放入微波炉中加热15 min左右，烘干，得分子筛原粉，再在650 W功率下加热脱除模板剂，得到的MCM-41介孔分子筛具有热稳定性好、晶粒细小均匀、比表面积大等特点。在多相催化、吸附分离及高等无机材料方面具有潜在的应用价值。
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user: 4. 微波在废水处理中的应用 在环境保护领域中，微波主要应用于废水、废气、固体废气物的处理及环保材料的研制，其中对于废水的处理主要有3种方式 [ 12 ] ：微波直接作用于废水;微波作用于废水和活性炭(或其他物质)；微波作用于吸附材料。微波技术的高效节能、操作条件简单、无二次污染优点使它广泛应用于废水处理领域并具有良好的前景。但单一的微波法对有机物的去除效果有时有限，与其他污水处理方法联用可以达到更好的效果。 4.1. 微波在废水消毒中的应用 微波消毒是微波照射介质时被介质吸收而产生的热量，以此进行杀菌消毒。强吸收介质对微波的吸收作用明显，升温速度快，消毒效果好。水是最好的微波吸收材料，因此微波也是医疗废水消毒的手段之一。 医疗废水主要是加湿后的废物经微波消毒后产生的废液和处理厂清洗，消毒产生的废水，前者大部分变成气态，随废气一起经处理后排放，少量残液体与后者混合，在废水处理过程中，中水处理后的回用水必须消毒使之达到微生物指标，保证公共卫生安全 [ 13 ] 。常用的消毒方法有氯、二氧化氯、臭氧等氧化剂，紫外线，超声波。但这些方法费用高，无后续消毒作用，或者是对某些病毒无效，都不算是理想的消毒方法 [ 14 ] 。而微波技术则速度快、节约能源、作用温度低、环境污染小。同时，微波处理技术也是继焚烧之后经证实并在国际上取得广泛应用的医疗废物处理技术之一，所以它在医疗卫生方面起到重要作用。 4.2. 微波在破乳中的应用 在原油脱水工艺中，微波是一种有效的破乳手段。它可以产生高频变化的电磁场，破坏油水界面膜的ζ电位，微波对原油的内加热使界面膜更易断裂，油(水)分子失去作用力后会上下运动、碰撞、聚结，水分子因重力作用沉降在底层。同时非极性的油分子会被电磁场磁化，分子间引力减弱，油的黏度降低，油水的密度差增大，更利于实现油水分离 [ 15 ] 。这种原油脱水的方法相对于重力沉降、热化学法，能显著地加速稠油体系，提高破乳效果以及脱出水的透光率 [ 16 ] 。在其工艺路线的改进方面，可以通过改变温度、微波震荡时间、脱水剂用量等相关因素得出最佳方案 [ 17 ]，也可以二次脱水处理降低原油的含水率，另外也能与无机盐进行加和作用提高破乳率 [ 18 ] 。 4.3. 微波催化氧化处理废水 微波催化氧化技术(Microwave Induced Oxidation Process)作为一种新型的高级氧化技术对于处理高浓度的废水处理行之有效。它避免了之前物化法、生物法和化学法的去除率低、操作条件苛刻等缺点，已经用来处理农药等有毒有害废水和染料等废水。 微波催化氧化反应的原理有三种解释 [ 19 ] ：1) 热点效应；2) 非热点效应；3) 偶极子转动理论。微波诱导催化反应过程主要是载体上的催化剂位点吸收微波，位点温度迅速上升，使有机物在高温下解离或加速反应。因此催化剂和载体的选择至关重要。最适宜的催化剂是微波高损耗物质，而载体宜选用微波低损耗物质，所以往往需要通过实验选择最佳的实验方案。而且实际应用时常与Fenton试剂或类Fenton试剂联用以达到更好的处理效果。 4.3.1. 微波-Fenton法处理废水 1894年，英国化学家Fenton在实验中发现二价铁离子和双氧水共存的情况下可以快速氧化分解酒石酸，为了纪念Fenton (芬顿)，就把二价铁离子和双氧水组合试剂称为Fenton试剂(芬顿试剂)，将Fe 2+ /H 2 O 2 体系叫Fenton反应。Fenton法作为一种高级氧化技术，因在工艺简单、反应迅速、可产生絮凝等优点广泛地应用于工业废水处理。国内外学者利用Fenton试剂法已成功降解了酚类化合物、多氯联苯、硝基苯、二硝基氯化苯等，H 2 O 2 在Fe 3+ 的作用下分解为具有强氧化性的OH·，能够将水体中的有机污染物氧化以致矿化。但Fenton单独使用需要投入量大，pH适用范围小、氧化剂利用率低，形成的中间产物往往毒性更大，后续处理困难 [ 20 ] 。微波法与Fenton试剂联用可以弥补各自的缺点。因此，将微波和Fenton法联合应用于有机废水处理，例如酚类、卡巴呋喃、罗丹明B、亚甲基蓝和有机染料这些都已用试验筛选出最佳试验条件并取得不错的成果 [ 21 ] 。该方法能大大提高反应效率和降解能力，节省成本，具有广阔的发展前景。 4.3.2. 微波-类Fenton法处理废水 “类Fenton反应是除Fe(II)以外，Fe(III)、含铁矿物以及其他一些过渡金属如Co、Cd、Cu、Ag、Mn、Ni等可以加速或者替代Fe(II)而对H 2 O 2 起催化作用或者改变一些条件(例如紫外光照及电Fenton)的一类反应的总称”。与Fenton反应相比不仅增加了Fenton试剂的氧化能力，而且节约了H 2 O 2 的用量。而微波–类Fenton法可以有效提高对有机聚合物的去除率。 随着聚合物驱油技术的应用，含聚合物的污水成为了废水处理的一个新的难题。以往有采用微波–类Fenton法处理聚合物。例如以Fe 2 O 3 /La 2 O 3 /CNTs为催化剂，H 2 O 2 为氧化剂应用微波强化湿式氧化技术处理聚合物采油污水(ORWPF) [ 22 ]，通过实验优化试验条件(微波辐照功率、时间、工作压力、催化剂和H 2 O 2 加入量、pH)，以达到最佳的去除效果。 4.4. 微波在废水处理剂制备中的应用 微波技术不仅可以处理废水，也可以辅助制备废水处理剂。例如，水处理絮凝剂聚丙烯酰胺(PAM)的制备 [ 23 ] 。利用微波加热制备该溶液比常规加热絮团沉降能力强，反应灵敏，对洗煤废水的处理效果好。孙延辉 [ 24 ] 等人制备的含有多种活性组分并以硅铝骨架为分子载体的分子筛在微波反应条件下具有良好的稳定性和催化活性。利用微波技术也可制备具有纳米线晶体结构的自增韧玻璃陶瓷。王冬冬 [ 25 ] 等人便是采用熔融浇铸成型，并通过在工业微波炉中进行析晶处理制备CaO–MgO–Al 2 O 3 –SiO 2 系玻璃陶瓷。该陶瓷材料生产成本低，性能良好，用途广泛。总之微波技术在废水处理剂的制备工艺优化中起到了重要作用 [ 26 ] 。 4.5. 微波和其他技术联用处理废水 因为单一的微波法对有机物的去除效果有限，所以要与其他技术联用做到优势互补，同时避免各自缺点。例如微波与活性炭联用，可以增加活性炭的重复利用率和有机物的去除率。活性炭作为一种易得和有效的吸附剂，常用于处理污水中的有机污染物。但吸附后的活性炭表面有机物却难以处理，限制了对活性炭的重复利用。而微波再生技术即微波作用于废水和活性炭，能有效地解吸活性炭表面的有机物 ，使活性炭再生并有利于有机物的消解和回收再利用。微波除了使单独活性炭的再生外，有时在活性炭中加入其他物质，这些物质在微波场中的变化，对活性炭的再生有多方面的影响 [ 27 ] 。 研究表明，污染物吸附到活性炭或其他吸附剂上，再置于微波场中辐射，比直接置于微波场中辐射去除效果更好。Chih [ 28 ] 等采用低能度的微波辐射，对污水中吸附在颗粒状活性炭表面的有机物三氯乙烯、二甲苯、萘以及碳氢化合物等进行解吸和消解，其最终分解率达100%，处理后的水质稳定。同时，微波加热解吸还可回收有机物。
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user: 5. 结语 微波技术作为一种高效节能、操作简单、无二次污染的环境友好型治理手段，在固体废弃物、废气、污水等处理工艺都有广泛的应用，并且可以与其他传统方法联用，优化反应条件，最大效率地完成环境净化。虽然其技术工艺在某方面还不够成熟，但随着人们对微波技术的不断探索和尝试，相信凭着它在环境处理中的优势会为人类带来巨大的经济效益和社会效益，为可持续发展贡献重大力量 [ 29 ] 。
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user: 摘 要 本文利用上下解与伪单调算子方法讨论一类p-Laplace方程的Dirichlet问题解的存在性问题。 关键词 :上下解，伪单调算子，p-Laplace Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 因为含p-Laplace算子 Δ p ( Δ p u = d i v ( | ∇ u | p − 2 ∇ u ) ) 的微分方程的边值问题在非牛顿力学、宇宙物理、血浆问题和弹性理论等诸多领域有着广泛的应用，所以对此类问题的研究吸引了很多学者的目光。 本文考虑一类具有p-Laplace算子方程的Dirichlet边值问题： { − a ( ∫ | u | q ) d i v ( | ∇ u | p − 2 ∇ u ) = h 1 ( x ， u ) f ( ∫ | u | m ) + h 2 ( x ， u ) g ( ∫ | u | r ) ，         x ∈ Ω ， u = 0 ， x ∈ ∂ Ω . (1) 解的存在性。该方程满足下列假设： (H 1 ) Ω ⊂ R N ，是一个有界的区域且边界光滑。 (H 2 ) q ， m ， r ∈ [ 1 ， + ∞ ) 。 (H 3 ) 是连续的函数。 (H 4 ) a ， f ， g : [ 0 ， + ∞ ) → ( 0 ， + ∞ ) 是连续的函数且 f ， g ∈ L ∞ ( [ 0 ， + ∞ ) ) 。 (H 5 ) inf t ∈ [ 0 ， + ∞ ) a ( t ) ， inf t ∈ [ 0 ， + ∞ ) f ( t ) ， inf t ∈ [ 0 ， + ∞ ) g ( t ) ≥ a 0 > 0 。 解的存在性问题一直是偏微分方程研究中的重要课题，注意到p = 2时，方程(1)化为一类含有Laplace算子的边值问题： { − a ( ∫ | u | q ) Δ u = h 1 ( x ， u ) f ( ∫ | u | m ) + h 2 ( x ， u ) g ( ∫ | u | r ) ，         x ∈ Ω ， u = 0 ， x ∈ ∂ Ω . (2) 文 [ 1 ] 在满足H 1 ~H 5 的假设条件下，使用上下解与伪单调算子的方法证明方程(2)至少存在一个解。 在偏微分方程理论中，解的存在性与不存在性都与所选取的函数空间有关，本文所选取的函数空间是依赖于参数p的，其中 。之所以这样做是为了使结果具有一般性。需要强调的是，方程(1)、方程(2)所选取的函数空间是不同的。由文 [ 1 ] 知，方程(2)选取的函数空间是 H 0 1 ( Ω ) 并且证明了解存在且解 u ∈ H 0 1 ( Ω ) 。本文选取的函数空间是 W 0 1 ， p ( Ω ) ，本文的目的在于使用上下解与伪单调算子方法证明方程(1)的解存在且解 。此外，由于p-Laplace算子的非线性性，对比于 p = 2 的特殊情形解的存在性 结果的建立需要更精细的讨论。本文将得到与文 [ 1 ] p = 2 情形相一致的结果 (本文规定 ) 本文所得的结果是： 定理1 在满足(H 1 ~H 5 )的假设下，假设方程(1)存在上下解 u _ ， u ¯ ∈ W 0 1 ， p ( Ω ) ∩ L ∞ ( Ω ) 并且满足下列条件： u _ ( x ) ≤ 0 ≤ u ¯ ( x ) ， x ∈ ∂ Ω ， (3) − Δ p u ¯ ≥ 1 a 0 ( h 1 ( x ， u ¯ ) ‖ f ‖ ∞ + h 2 ( x ， u ¯ ) ‖ g ‖ ∞ ) ，     x ∈ Ω . (4) − Δ p u _ ≤ a 0 Γ ( h 1 ( x ， u _ ) + h 2 ( x ， u _ ) ) ，     x ∈ Ω . (5) (6) 那么对于所有的 ，方程(1)至少存在一个解 u ∈ W 0 1 ， p ( Ω ) ∩ L ∞ ( Ω ) 使得： a ( ∫ | u | q ) ∫ | ∇ u | p − 2 ∇ u ∇ ϕ = f ( ∫ | u | m ) ∫ h 1 ( x ， u ) ϕ + g ( ∫ | u | r ) ∫ h 2 ( x ， u ) ϕ (7) 成立并且满足 。
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user: 2. 预备知识 为证明定理1我们先做一些必要准备。 定义2.1 (见文献 [ 2 ] [ 3 ] )称算子 B : X → X * a) 是有界算子，如果 ∀ u ∈ X ， { B u } 是 X * 中的有界凸集。 b) 是强制算子，如果满足 lim ‖ u ‖ → ∞ 〈 B u ， u 〉 ‖ u ‖ = ∞ . (8) c) 是伪单调算子，如果满足 u n → u 在 σ ( X ， X * ) 中，且 lim n → ∞ sup 〈 B u n ， u n − u 〉 ≤ 0 ， (9) 则对任意的 w ∈ X ，有 (10) 引理2.2 (Brezis) (见文献 [ 4 ] )算子 B : X → X * 是伪单调的，有界的，强制的。X是实自反的可分的Banach空间，则对于任意的 b ∈ X * ，方程 B u = b 存在解 u ∈ X 。 定义2.3 (见文献 [ 5 ] )设X是一个 B * 空间， { x n } ⊂ X ， x ∈ X 。称 { x n } 弱收敛到x，记做 x n → x ，是指：对于 ∀ f ∈ X * 都有 。这时x称做点列 的弱极限。 引理2.4 设 f n ( n = 1 ， 1 ， 3 ， ⋯ ) ， f ∈ L p ( Ω ) ，若对每一个 g ∈ L q ( Ω ) (q为p的共轭数)，当 n → ∞ 时，有 ∫ f n g → ∫ f g ，则称 f n 弱收敛于f。 证明：因为 ( L p ( Ω ) ) * = L q ( Ω ) ，可令 g ( f n ) = ∫ f n g ， g ( f ) = ∫ f g ，那么 g ( f n ) → g ( f ) ，再由定义2.3知 f n 弱收敛于f。 定义2.5 (见文献 [ 5 ] )设X是 B * 空间， f n ⊂ X * ， f ∈ X * 。称 f n ∗ 弱收敛到f记做 w * − lim n → ∞ f n = f ，是指：对于 ∀ x ∈ X ，都有 lim n → ∞ f n ( x ) = f ( x ) 。这时f称做泛函序列 f n 的*弱极限。 定义2.6 (见文献 [ 6 ] )设X是一个赋范空间，如果在典型映射的意义下 X = X * * ，则称空间X是自反的。 引理2.7 (见文献 [ 5 ] )当X是一个自反空间时，*弱收敛与弱收敛等价。 引理2.8 (见文献 [ 7 ] )对任意 p ≥ 2 下面不等式成立： ( | ξ | p − 2 ξ − | η | p − 2 η ) ( ξ − η ) ≥ 2 2 − p | ξ − η | p . (11) 引理2.9 (见文献 [ 8 ] ) (Holder不等式)设 1 ≤ p ≤ ∞ ， q = p p − 1 。若 u ∈ L p ( Ω ) ， v ∈ L q ( Ω ) ，则 u v ∈ L 1 ( Ω ) ，并且 ∫ Ω | u v | d x ≤ ‖ u ‖ p ‖ v ‖ q 。
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user: 摘 要 本文利用有限Abel群G的性质和它的自同构群的阶，讨论了自同构群 A ( G ) 的阶为 2 t p q ( 1 ≤ t ≤ 3 ) 的有限Abel群G的构造。得出以下结果：当t = 1时，G最多有6型；当t = 2时，G最多有22型；当t = 3时， 最多有49型。 关键词 :有限Abel群，自同构群，群构造 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 众所周知，自同构群 A ( G ) 是由群G决定的。反之，如果知道 A ( G ) 的阶，能否确定群G的构造？余红宴和黄本文在这方面做了一些研究，见 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] 。本文将讨论当 A ( G ) 的阶为 2 t p q 时，群G的构造。文中设群G是有限Abel群， | G | 表示群G的阶， A ( G ) 表示群G的自同构群， C n 表示n阶的循环群，而 S p i 表示群G的Sylow p i 子群，其它符号是标准的，见文献 [ 4 ] 。
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user: 2. 预备知识 引理2.1 [ 4 ] 若 G ≃ C n ，则 A ( G ) 为 φ ( n ) 阶的交换群，其中 φ ( n ) 为欧拉函数。 引理2.2 [ 4 ] 若G是 p n 阶交换群，则 p n − 1 ( p − 1 ) | | A ( G ) | 。 引理2.3 [ 4 ] 设 G = H × K ，则当 ( | H | ， | K | ) = 1 时， A ( G ) ≃ A ( H ) × A ( K ) 。 引理2.4 [ 5 ] 设G是 p n 阶交换群，G的型为 [ m 1 ， ⋯ ， m 1 ︸ s 1 ; m 2 ， ⋯ ， m 2 ︸ s 2 ; ⋯ ; m t ， ⋯ ， m t ︸ s t ] ，其中 m 1 > m 2 > ⋯ > m t > 0 ， s i > 0 ，则 ，其中 u = ∑ i ， j = 1 t s i s j m i j − ∑ i = 1 t s i ( s i + 1 ) 2 ，     m i j = m max { i ， j } 下面在定理的证明中，总假定 p 1 ， p 2 ， ⋯ ， p k 为不同的奇素数。
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user: 4. 结束语 本文讨论了自同构群的阶为 2 t p q ( 1 ≤ t ≤ 3 ) 的有限Abel群G的构造，得出：当t = 1时，G最多有6型；当t = 2时，G最多有22型；当t = 3时，G最多有49型。
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user: 摘 要 等周不等式是最古老的几何不等式之一并且被广泛地应用于学术研究和日常生活中。本文探索了等周型不等式的历史发展过程，以及近年来国内外关于等周型不等式的发展情况。此外，本文还对等周型不等式的未来发展趋势进行了合理的展望和探讨。 关键词 :等周型不等式，Bonnesen-型不等式，积分几何，傅里叶级数 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 不等式是数学中非常重要的组成部分，很多复杂的数学问题需要借助不等式进行简化才能得以顺利求解。作为不等式家族的重要成员，几何不等式一直备受关注。一方面是由于很多几何不等式的证明都颇具挑战性，建立需要较强的数学技巧，另一方面是由于几何不等式往往都具有非常优美的表现形式和直观的几何意义。 20世纪80年代杨路、张景中等教授对几何不等式研究的一系列开创性的工作成果，将我国几何不等式的研究推向高潮，涌现出一大批高产高水平的作者群，如杨学枝、陈计、王振等等。无论是就数量而言还是就研究水平而言，在国际上都可以说是处于领先地位。特别是中国科学院成都计算机研究所杨路研究员研究开发的不等式型机器证明软件BOTTEMA问世以来，借助这种软件可以发现并证明上千个新的几何不等式。这些开拓性的工作，更是在国际上处于领先地位 [ 1 ] 。 最早的几何不等式应该是著名的等周不等式，该不等式具有悠久的历史。等周问题最早由著名数学家Joham Beynoulli在1679年提出，从等周定理的提出到现在，人们关于等周问题的研究与讨论从未停止过，研究成果不断的推陈出新，使得等周型不等式的研究领域欣欣向荣，可以说等周定理是数学史上被证明次数最多的定理之一。 等周不等式还被广泛地应用于学术研究和生产生活中。一方面，20世纪数学已经确认具有几何背景的不等式的力量已经上升到了一个全新的高度。等周型不等式作为几何不等式的一个重要分支，在几何问题的研究中，贯穿于二维欧式平面、n维欧式空间、非欧平面、常曲率平面、黎曼流形空间以及仿射空间等其他情形，其形式的灵活性为几何不等式的研究注入源源不断的养分，使得人们对于等周问题的研究绵延不绝。另一方面，积分几何的发展使得等周型不等式成了为概率论、积分学、几何学等学科分支的联系纽带，对加强数学研究工作的整体性具有不可忽视的作用。 从实用性的角度来看，在数学家正式提出等周定理之前，人类乃至动物界已经在不自觉地使用这个定理了，比如：人们使用定长的绳子圈地的过程中，当绳子以圆形的方式圈地时，得到的土地面积最大 [ 2 ] ；在寒冷的冬季，人类或者动物会缩成一团，为的就是在体积一定的情况下，尽量缩小自己的表面积，减小热量的损失 [ 3 ] ；在物理中，等周不等式问题和跟所谓的最小作用量有关，一个直观的表现就是水珠的形状，在没有外力的情况下(如失重的太空舱里)，水珠的形状是完全对称的球体，这是因为当水珠体积一定时，表面张力会迫使水珠的表面积达到最小值，根据等周不等式的原理，最小值在水珠形状为球状时达到…… 因此，等周型不等式的研究对于数学和物理学等领域的发展均具有重要的研究意义。
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user: 2. 经典等周不等式介绍 2.1. 平面情形 在几何问题的研究中，我们非常关心一些几何元素的几何不变量，如体积、表面积、周长、曲率等之间的关系。通常这些几何不变量满足一些等式或不等式关系，我们称之为几何等式或几何不等式。等周不等式是几何不等式的重要分支，其经典等周不等式可以表述为： 定理2.1.1 若 γ 是二维欧氏平面上一简单严格闭凸曲线， γ 的周长为L，曲线所围区域的面积为A，则有 L 2 − 4 π A ≥ 0 等号成立当且仅当曲线 γ 为圆。 2.2. 高维欧式空间情形 在平面等周不等式发展的过程中，人们将其推广到n维欧式空间中。空间等周不等式可表述为：在一切具有相同体积的立体形状中，球体具有最小的面积或者欧式空间 R n 中表面积固定的域中，球所包围的体积最大。严格的表述为： 定理 2.2.1 设K为欧式空间 R n 中表面积为A，体积为V的域，则有不等式 A n − n n ω n V n − 1 ≥ 0 等号成立的充分必要条件是K为 R n 中标准球。其中 ω n 为 R n 中单位球的体积，其计算公式为 ω n = 2 π n / 2 n Γ (n2)
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user: 3. 等周型不等式发展现状 等周问题是几何中一类最大最小值问题。早在古希腊时期，经典的等周不等式就已经被人们所知晓，等周问题最早由著名的数学家Joham Beynoulli在1679年提出，人们经历两千年的时间才完成它的证明，以经典等周不等式为中心，它的推广工作到如今还在不断地进行。 十九世纪时，Steiner从直观上提出了平面等周不等式问题解的存在性 [ 4 ] 。直到1870年，Weistrass才用变分法给出了等周定理的第一个完整严格的数学证明 [ 5 ] 。1902年时，A. Hurwitz利用Fourier级数和Green定理给出了等周不等式的第一个纯解析证明。1939年，由E. Schmidt给出了等周不等式的一个简化证明。上世纪，等周不等式已经有了许多精巧的证明(参见 [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] )，等周不等式还被推广到曲面上的曲线和区域、以及非欧平面上(参见 [ 9 ] [ 10 ] )。 数学研究者们最初借助微积分和变分学，建立平面等周不等式的一些严格的数学证明，其证明方法的复杂性使得学者们在将等周不等式从平面推广到空间时也存在一定的缺陷。上个世纪三十年代，德国数学家Blaschke等人首次提出了“积分几何”这一术语，“积分几何”的提出为等周不等式的研究打开了新的思路(参见 [ 6 ] [ 11 ] )。以周家足、任德麟为代表的中国几何学者，利用包含测度的思想，研究欧式空间中一域包含另一域的包含测度，在后来的研究中，该思想成为积分几何不等式的一个重要思想方法，并在二维以及高维欧式空间的情形得到了等周不等式和一系列重要的不等式 [ 12 ] 。 3.1. Bonnesen-型等周不等式 在研究经典等周不等式的同时，几何不等式的研究者们已经不再仅满足于对经典等周不等式的简化证明的探索，在1920年前后，Bonnesen得到一系列具有下列性质的不等式： 其中B是与 γ 相关的几何不变量且满足：1) B ≥ 0 ；2) B = 0 当且仅当 γ 为圆。平面中，最著名的Bonnesen-型不等式为： L 2 − 4 π A ≥ π 2 ( r e − r i ) 2 其中 r e 和 r i 分别为曲线 的最小外接圆半径和最大内接圆半径。 在过去的一个多世纪里，一系列的Bonnesen-型等周不等式已经被发现 [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] 。很久之后，学者们将Bonnesen-型等周不等式推广到了n维欧式空间中，即数学家们对以下形式的不等式更感兴趣： Δ n ( K ) = A n − n n ω n V n − 1 ≥ B K 其中 B K 非负且 B K 为零时当且仅当K为球。 Δ n ( K ) 称为区域K的等周亏格， Δ n ( K ) 刻画了区域K与标准球的差别程度。在n维情况下，Hadwiger和Dinghas [ 16 ] 得到了如下结果： ( A A r ) n n − 1 − V V r ≥ ( ( A A r ) 1 n − 1 − 1 ) n 其中 和 V r 分别为域K的内切球表面积和内切球体积。 自上世纪以来，数学家们已经得到了很多的不变量 B K ，且如今对Bonnesen-型等周不等式的研究仍在继续(平面情形参见文献 [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] ；高维情况参见文献 [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] )。 3.2. 逆Bonnesen-型等周不等式 与Bonnesen-型等周不等式相对应，人们自然而然会考虑如下形式的逆Bonnesen-型等周不等式，即 对于K为二维欧式平面上的严格闭凸曲线所围成的区域的情形，Bottema于1933年得到如下著名的结果 [ 23 ] ： Δ 2 ( K ) = L 2 − 4 π A ≤ π 2 ( ρ M − ρ m ) 2 其中 ρ M 和 ρ m 分别为曲率半径 ρ 的最大值和最小值，等号成立当且仅当 ρ M = ρ m ，即K为圆域。 1955年，Pleijel加强了Bottema的结果 [ 24 ] ： Δ 2 ( K ) = L 2 − 4 π A ≤ π ( 4 − π ) ( ρ M − ρ m ) 2 近年来，逆Bonnesen-型等周不等式的结果日益丰富，如潘生亮，周家足，Howard，Klain等 [ 12 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] 致力于逆向Bonnesen-型等周不等式的研究，已经得到了很多有价值的结果。此外，国内还有大量学者，如高翔 [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] ，何刚 [ 34 ] ，戴勇 [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] ，张增乐 [ 38 ] 等还在继续不懈努力地寻求那些未知的逆向Bonnesen型等周不等式，其中高翔，徐慧平等人还利用Fourier级数等相关性质对等周型不等式的稳定性进行了深入的探讨和研究。n维空间中的逆向Bonnesen-型等周不等式的研究在今年也得到了一定的发展，但结果相对较少，该研究方向在未来有待进一步的研究。 3.3. Gage-型等周不等式 在等周不等式的研究初期，对于很多经典等周不等式的加强和推广形式都没有涉及曲线的曲率。发展到20世纪80年代时，Gage证明了一个涉及平面凸曲线曲率平方积分的不等式 [ 39 ] ∫ γ k 2 d s ≥ π L A 我们将其称为Gage等周不等式。该不等式对于人们理解平面曲线缩短流以及研究平面曲线的其他演化问题起这重要的作用。在后续的研究中，几何不等式的研究者们推广和加强了该类不等式，得到一系列的Gage型-等周不等式和逆Gage型-等周不等式(如 [ 40 ] )。此类等周型不等式在数学物理，力学中应用广泛。 3.4. Ros-型等周不等式 与Gage等周不等式相对应，可得到平面 ℝ 2 上的Ros定理： ∫ γ 1 k d s ≥ 2 A 近年来，周家足，马磊等人对Ros-型等周不等式进行了深入地研究(参见 [ 12 ] [ 41 ] )。同样得到了一些强化结果，如 [ 12 ] ： ∫ γ 1 k d s ≥ L 2 2 π ， ∫ γ 1 k d s ≥ 7 L 2 − 20 π A 4 π 3.5. 离散型等周不等式 对于等周不等式，我们通常讨论的都是它的连续形式，几何不等式的研究学者们对于由经典等周不等式问题衍生出来的更为基础的问题，“关于多边形或多面体的等周不等式问题”也充满了兴趣，该问题实际上可以看作是经典等周问题的离散形式。研究多面体的等周问题时有一定的难度，在1884年时，R. Sturm给出了关于四面体的等周问题的解 [ 5 ] ，最近由马磊，戴勇等在 [ 15 ] [ 42 ] 中得到了一些新的结果。
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user: 4. 等周型不等式发展趋势 现如今，等周不等式已经推广到了常曲率平面(例： [ 29 ] [ 43 ] [ 44 ] )、黎曼流形空间以及仿射空间[ 46 ]等其他情形，同时数学家们也期望将等周不等式继续推广到高维欧式空间和非欧空间中，进一步加强对欧氏平面上等周亏格的上界估计和欧式空间 R n 中等周亏格上界的估计。 此外，目前对于大多数等周型不等式而言，无论是在二维平面还是在高维空间中，都是在凸域的前提下进行的，对于非凸区域中等周不等式的研究结果相对较少，现已有部分学者致力于研究星形区域以及Gauss曲率星体上的等周问题 [ 45 ] ，得到了一些研究结果。在未来的研究进程中，这一研究思路也为等周型不等式的研究注入了新鲜的血液。
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user: 摘 要 目的：对比0.05%剂量时槲皮素在正常和高脂两种饮食条件下对小鼠肝脏基因调节的异同。方法：在NIH-Geo数据库中找到槲皮素干预小鼠肝组织基因表达的两个微阵列数据库GSE62805和GSE38141，运用GEO2R的分析方法分析槲皮素对小鼠肝脏基因表达谱的影响，选择有显著性差异(p < 0.05)并且差异倍数大于2或者小于0.5的基因进行分析对比。并用David数据库对两个数据库中槲皮素干预后差异基因表达趋势相同(均表现为上调或均表现为下调)以及表达趋势相反的基因进行GO富集分析。结果：饲料中添加0.05%的槲皮素饲喂小鼠20周，在正常饮食和高脂饮食两种条件下对小鼠肝脏基因的影响存在异同。1) 槲皮素在两种饮食条件下对小鼠肝脏基因表达谱的影响有40个基因调节趋势一致，其中有28个基因在两种饮食条件下都表现为上调，12个基因都表现为下调。2) 槲皮素在两种饮食条件下对小鼠肝脏有48个基因调节趋势相反，其中有11个基因在正常饮食条件下都表现为上调，在高脂饮食条件下表现为下调；另有37个基因在正常饮食条件下都表现为下调，而在高脂饮食条件下表现为上调。3) 槲皮素在两种饮食条件下对小鼠肝脏调节趋势一致的40个基因，其调节程度并不相同。4) GO富集分析发现表达趋势一致的基因参与了细胞分泌、突触形成和细胞间信号传导，表达趋势相反的基因与细胞质膜、突触和细胞连接相关。结论：槲皮素对小鼠肝脏基因的调节与小鼠的机体状态有关，不同机体状态其调节作用存在差异。 关键词 :槲皮素，正常饮食，高脂饮食，肝脏，基因表达 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/