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user: 4. 电路模型的参数辨识 在实际电路系统中，通常需要知道电子元件的参数值，进而对电路系统进行参数性故障判断。然而，但由于硬件条件的限制，电子元件参数值往往难以测量或测量成本较高，因此本节将上节所提参数辨识算法3.1应用到电路模型中，辨识电路模型中的电压延迟以及电容电阻值，为实际电路系统的参数性故障诊断创造条件。 本文通过运算放大器和STM32芯片搭建延时电路模型，如图1所示。其中，实验所用的信号源是电压源，通过电压–电流转换器得到电流信号，即系统的输入 i ( t ) 。电阻R 1 、R 2 两端的电压 u 1 ( t ) 、 u 2 ( t ) 是系统的状态，延时电压 u 1 ( t − τ ) 和 u 2 ( t − τ ) 通过减法器和STM32芯片的存储功能实现，实现过程如图2所示。本文的实验平台如图3所示。 针对图1中的节点1和节点2写出如下基尔霍夫电流方程： ( i ( t ) − u 1 ( t − τ ) R d 1 − u 1 ( t ) R 1 − C 1 d u 1 d t = 0， u 1 ( t ) R 1 + C 1 d u 1 d t − u 2 ( t ) R 2 − C 2 d u 2 d t − u 2 ( t − τ ) R d 2 = 0. (4.1) 图1. 延时电路模型 图2. 延时电压的实现过程 图3. 实验平台 将上述方程转化为状态空间模型： [ u ˙ 1 ( t ) u ˙ 2 ( t ) ] = [ − 1 C 1 R 1 0 0 − 1 C 2 R 2 ] [ u 1 ( t ) u 2 ( t ) ] + [ − 1 C 1 R d 1 0 − 1 C 2 R d 2 − 1 C 2 R d 2 ] [ u 1 ( t − τ ) u 2 ( t − τ ) ] + [ 1 C 1 1 C 2 ] i ( t ) ， 其中 C 1 ， C 2 ， R 1 ， R 2 ， R d 1 ， R d 2 和 τ 是待辨识的参数。 记 x ( t ) = [ u 1 ( t ) u 2 ( t ) ] ， U ( t ) = i ( t ) ， A 0 = [ − 1 C 1 R 1 0 0 − 1 C 2 R 2 ] ， A 1 = [ − 1 C 1 R d 1 0 − 1 C 2 R d 2 − 1 C 2 R d 2 ] ， B = [ 1 C 1 1 C 2 ] ，则有 x ˙ ( t ) = A 0 x ( t ) + A 1 x ( t − τ ) + B U ( t ) ， x ( t ) ∈ ℝ 2 ， U ( t ) ∈ ℝ . (4.2) 利用算法3.1辨识系统(4.1)中的电压延迟 τ 以及电阻电容值，只需先辨识系统(4.2)中的参数矩阵 A 0 、 A 1 和B，再根据其与 C 1 、 C 2 、 R 1 、 R 2 、 R d 1 和 R d 2 之间的数量关系计算出电路系统的电阻和电容值即可。 本节用8位数字示波器在64 s内均匀采集2000组数据，即 T = 64 ， N = 2000 ，采样间隔或离散步长 h = 0.032 。在相同的实验条件下分别测量10次输入和状态值，其中一组输入和状态值 { U k ， x k } ， ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ) 的测量结果如图4所示，测得的前500个状态值如图5所示，可以观察到示波器测得的原始数据噪声较大，因此本节先对原始的观测数据 { u k ， x k } 进行Savitzky-Golay数据滤波，再用算法3.1进行参数辨识。 图4. 一组观测到的输入和状态值 设延时量初值为： τ 0 = 0.23 ，取 m = 900 ， p = 100 ， n = 150 ， λ = 0.95 ，利用测得的系统输入和状态值进行10次参数辨识。延时项 τ 的辨识过程如图6所示。参数和延时辨识结果与实际值的对比如表1所示。 图5. 系统(4.2)的前500个状态观测值 图6. 第1~10次实验中延时项 τ 的辨识过程 Table 1 Identification results and experimental errors of delay term and electronic component parameter values in circuit model (4.1 实验结果 τ / s C 1 / μ F C 2 / μ F R 1 / Ω R 2 / Ω R d 1 / Ω R d 2 / Ω 第1次 0.4498 740.1794 683.8233 410.7704 966.3211 523.3962 506.7010 误差(%) 1.36 5.74 2.31 2.69 3.37 2.63 0.65 第2次 0.4495 747.3570 689.6497 417.0305 964.6346 519.4436 516.5465 误差(%) 1.42 6.77 1.48 4.26 3.54 1.85 1.28 第3次 0.4467 749.8180 667.0266 415.2545 958.3749 516.2745 517.7267 误差(%) 2.04 7.12 4.71 3.81 4.16 1.23 1.52 第4次 0.4603 749.3177 666.6400 424.2695 961.4248 524.0130 520.6892 误差(%) 0.94 7.05 4.77 6.07 3.86 2.75 2.10 第5次 0.4503 747.1706 688.7300 400.1934 967.0184 509.8189 521.2468 误差(%) 1.25 6.74 1.61 0.05 3.30 0.04 2.21 第6次 0.4699 738.9344 683.6488 431.2437 964.6696 537.8621 506.8381 误差(%) 3.05 5.56 2.34 7.81 3.53 5.46 0.62 第7次 0.4835 748.1611 666.3721 420.9335 960.1822 534.6097 529.4820 误差(%) 6.03 6.88 4.80 5.23 3.98 4.83 3.82 第8次 0.4488 736.2329 679.7386 408.2738 975.4522 528.9898 515.4247 误差(%) 1.58 5.18 2.89 2.07 2.45 3.72 1.06 第9次 0.4445 747.9704 686.8672 398.2981 973.8660 521.5092 500.6972 误差(%) 2.52 6.85 1.88 0.43 2.61 2.26 1.82 第10次 0.4547 756.1448 683.2641 423.6429 988.2481 505.2398 525.8043 误差(%) 0.29 8.02 2.39 5.91 1.18 0.93 2.94 标准差 0.0123 5.9563 9.3444 10.4088 8.9636 9.7923 9.0216 真实值 0.456 700 700 400 1000 510 510 表1. 电路模型(4.1)中延时项和电子元件参数值的辨识结果及实验误差 图6表明，算法3.1估计出的电压延迟 τ ^ 可以快速收敛到真实的电压延迟 τ ；表1中的结果表明，算法3.1可以在含有观测噪声的情况下准确辨识出电路模型(4.1)中的电压延迟以及电容、电阻值。