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user: 3. 基于概率语言术语集的三支决策模型 假设 A = { A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A m } 是方案集， A i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 是方案集中的第i个方案； C = { c 1 ， c 2 ， ⋯ ， c n } 是属性集， c j ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 是属性集中的第j个属性。总共有t个决策者参与决策，第 g ( g = 1 ， 2 ， ⋯ ， t ) 个决策者 E g 对第i个方案在第j属性下的评价结果用概率语言术语集 L i j g ( p ) 表示， L i j g ( p ) = { L i j g ( k ) ( p i j g ( k ) ) | L i j g ( k ) ∈ S ， p g ( k ) ≥ 0 ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， # L i j g ( k ) ， ∑ k = 1 # L i j g ( k ) p g ( k ) ≤ 1 } ，其中， L i j g ( k ) 为 L i j g ( p ) 的第k个语言术语集， p i j g ( k ) 为 L i j g ( k ) 的概率。 E g 给出的方案两两比较偏好关系集合用 Ω g 表示， Ω g = { ( A i ， A l ) | A i ≽ A l ; i ， l = 1 ， 2 ， ⋯ ， m } ，其中， A i ≽ A l 表示 A i 不比 A l 差，至少和 A l 一样好。 3.1. 属性权重和正、负理想解的确定 笔者拓展了 [ 17 ] 中的方法确定属性权重和正、负理想解，该方法根据每个决策者对方案的偏好序和决策方阵获得属性权重，同时考虑方案与正、负理想解之间的关系，定义相应的一致度与非一致度，建立以最小化非一致度为目标的优化模型确定正、负理想解和属性权重。为使求出的理想解和属性权重更加精确，需要决策者给出尽可能多的方案两两比较关系，即偏序关系。 第g个决策者 E g 给出的方案在各属性下的评价值可以用概率语言术语集表示，决策矩阵如表1所示： Table 1 The probabilistic linguistic decision matrix of the decision maker E x i j g c 1 c 2 ⋯ c n A 1 L 11 g ( p ) L 12 g ( p ) ⋯ L 1 n g ( p ) A 2 L 21 g ( p ) L 22 g ( p ) ⋯ L 2 n g ( p ) A 3 L 31 g ( p ) L 32 g ( p ) ⋯ L 3 n g ( p ) ⋯ ⋯ ⋯ L i j g ( p ) ⋯ A m L m 1 g ( p ) L m 2 g ( p ) ⋯ L m n g ( p ) 表1. 第g个决策者给出的概率语言决策矩阵 由此可见， A i g = ( L i 1 g ( p ) ， L i 2 g ( p ) ， ⋯ ， L i j g ( p ) ， ⋯ ， L i n g ( p ) ) 表示第g个决策 E g 者对第i个方案 A i 在各属性下的评价结果，其中， L i j g ( p ) = { L i j g ( k ) ( p i j g ( k ) ) | k = 1 ， 2 ， ⋯ ， # L i j g ( k ) } 是标准化的概率语言术语集。 首先，假设正、负理想解分别为 A + 、 A − ，分别表示为 A + = ( L 1 ( p ) + ， L 2 ( p ) + ， ⋯ ， L j ( p ) + ， ⋯ ， L n ( p ) + ) ， A − = ( L 1 ( p ) − ， L 2 ( p ) − ， ⋯ ， L j ( p ) − ， ⋯ ， L n ( p ) − ) 。其中， L j ( p ) + = { L j ( k ) + ( p j ( k ) + ) | k = 1 ， 2 ， ⋯ ， # L j ( p ) + } ， L j ( p ) − = { L j ( k ) − ( p j ( k ) − ) | k = 1 ， 2 ， ⋯ ， # L j ( p ) − } 是标准化的概率语言术语集，假设下文中概率语言术语集都已经过标准化处理。 定义8 [ 12 ] ：第g个决策者 E g 对第i个方案的评价 A i g 、正理想解 A + 和负理想解 A − 中是标准化的概率语言术语集， A i g 到 A + 的距离定义为： D i g = d ( A + ， A i g ) = ∑ j = 1 n w j ∑ k = 1 # L j ( p ) + ( p i j g ( k ) r i j g ( k ) − p j ( k ) + r j ( k ) + ) 2 # L j ( p ) + ，其中， L j ( p ) + 代表正理想解 A + 中第j个属性下的评价值，是一个概率语言术语集， # L j ( p ) + 为该术语集中语言术语的个数，即 L ( k ) + 的个数，对 A i g 、 A + 和 A − 进行标准化操作后，在各属性下对应的概率语言术语集中语言术语个数相同，即 # L i j g ( k ) = # L j ( p ) + = # L j ( p ) − ； r i j g ( k ) 表示 L i j g ( k ) 的下标； w = ( w 1 ， w 2 ， ⋯ ， w n ) 是属性的权重向量， w j ≥ 0 且 ∑ j = 1 n w j = 1 ； 根据定义8，决策者 E g 对方案 A i 的评价 A i g 到正理想解 A + 的距离 D i g 和决策者 E g 对方案 A l 的评价 A l g 到正理想解 A + 的距离 D l g 分别表示为： D i g = d ( A + ， A i g ) = ∑ j = 1 n w j ∑ k = 1 # L j ( p ) + ( p i j g ( k ) r i j g ( k ) − p j ( k ) + r j ( k ) + ) 2 # L j ( p ) + (1) D l g = d ( A + ， A l g ) = ∑ j = 1 n w j ∑ k = 1 # L j ( p ) + ( p l j g ( k ) r l j g ( k ) − p j ( k ) + r j ( k ) + ) 2 # L j ( p ) + (2) 然后，根据决策者 E g 的偏好关系 Ω g = { ( i ， l ) | A i ≽ A l ; i ， l = 1 ， 2 ， ⋯ ， m } ，基于正理想解 A + ，构建决策者 E g 的主观偏好与方案排序之间的非一致度 Φ i l g − ： Φ i l g − = ( D i g − D l g ) − = { 0 ，                         ( D i g ≤ D l g ) D i g − D l g ，     ( D i g > D l g ) (3) 即简化为 Φ i l g − = max { 0 ， D i g − D l g } ，决策者 E g 的总体非一致度为 B g = ∑ ( A i ， A l ) ∈ Ω g Φ i l g − ；则对于所有的决策者来说，群体非一致度表示如下： B = ∑ g = 1 t B g = ∑ g = 1 t ∑ ( A i ， A l ) ∈ Ω g Φ i l g − = ∑ g = 1 t ∑ ( A i ， A l ) ∈ Ω g max { 0 ， D i g − D l g } (4) 同理，基于正理想解 A + 的群体一致度表示如下： G = ∑ g = 1 t G g = ∑ g = 1 t ∑ ( A i ， A l ) ∈ Ω g Φ i l g + = ∑ g = 1 t ∑ ( A i ， A l ) ∈ Ω g max { 0 ， D l g − D i g } (5) 基于负理想解 A − 的群体非一致度表示如下： B ′ = ∑ g = 1 t B g ′ = ∑ g = 1 t ∑ ( A i ， A l ) ∈ Ω g Φ i l g − ′ = ∑ g = 1 t ∑ ( A i ， A l ) ∈ Ω g max { 0 ， D l g ′ − D i g ′ } (6) 基于负理想解 A − 的群体一致度表示如下： G ′ = ∑ g = 1 t G g ′ = ∑ g = 1 t ∑ ( A i ， A l ) ∈ Ω g Φ i l g + ′ = ∑ g = 1 t ∑ ( A i ， A l ) ∈ Ω g max { 0 ， D i g ′ − D l g ′ } (7) 同时考虑正、负理想解，建立以群体非一致度最小化为目标的规划模型，确定正、负理想解和属性权重： min { B + B ′ } s .t .     { G − B ≥ h G ′ − B ′ ≥ h ′ ∑ j = 1 n w j = 1 0 ≤ w j ≤ 1 ， j = 1 ， 2 ， … ， n 0 ≤ p i j g ( k ) ≤ 1 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ; j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ; k = 1 ， 2 ， ⋯ ， # L j ( p ) + ; g = 1 ， 2 ， ⋯ ， t 0 ≤ r i j g ( k ) ≤ τ ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ; j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ; k = 1 ， 2 ， ⋯ ， # L j ( p ) + ; g = 1 ， 2 ， ⋯ ， t r i j g ( k ) ∈ N ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ; j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ; k = 1 ， 2 ， ⋯ ， # L j ( p ) + ; g = 1 ， 2 ， ⋯ ， t (8) 其中， h > 0 ( h ′ > 0 ) 由决策者事先给出，为了确保总的一致度 G ( G ′ ) 大于非一致度 B ( B ′ ) ； # L j ( p ) + 表示正理想解中第j个属性 c j 下的属性值，即概率语言术语集 L j ( p ) + 中语言术语的个数，因经过标准化处理，决策方阵和正、负理想解中各概率语言术语集语言术语个数相同，即 # L i j g ( k ) = # L j ( p ) + = # L j ( p ) − ； r i j g ( k ) ∈ N 表示概率语言术语集中所有语言术语的下标为整数。该模型可通过LINGO和MATLAB软件计算求得正、负理想解和属性权重，该结果充分考虑决策者所给出的评价信息，更加客观。 3.2. 损失矩阵的构建 三支决策模型是基于贝叶斯决策过程的决策粗糙集，模型由两种状态和三个行动构成。状态集 Ω = { C ， ¬ C } ，分别指好方案和差方案；行动集 A = { a P ， a B ， a N } ，分别指接受方案、延迟决策和拒绝方案三种行动，则三支决策的损失矩阵如表2所示： Table 2 The loss function matri A i C ¬ C a P λ P P λ P N a B λ B P λ B N a N λ N P λ N N 表2. 三支决策损失矩阵 其中， λ P P ≤ λ B P ≤ λ N P ； λ N N ≤ λ B N ≤ λ P N 。 假设每个决策者的权重相等，即 ω g = 1 / t ， g = 1 ， 2 ， ⋯ ， t ，则根据定义7中PLWA集结算子，对所有决策者对方案 A i 在属性 c j 下的评价值 L i j g ( p ) 进行集结，求得群体评价值 L i j ( p ) ： L i j ( p ) = ∑ g = 1 t w g L i j g ( p ) = g − 1 ( ∪ η i j g ( k ) ∈ g ( L i j g ( p ) ) { ( 1 − ∏ g = 1 t ( 1 − η i j g ( k ) ) 1 / t ) ( ∏ g = 1 t p i j g ( k ) ) } ) (9) 本节主要采用新方法 [ 6 ] 给出决策损失矩阵，先根据群体决策矩阵正负理想值给出每个方案在各属性下的损失矩阵，如表3所示： 其中， λ P P = 0 、 λ N N = 0 ，表示在第j个属性下状态分属好坏时对第i个方案做出正确的决策，损失为0；当 A i 在属性 c j 下为好方案时，接受 A i 方案的损失是0，拒绝 A i 方案的损失表示为 L i j ( p ) ⊖ L j ( p ) − ， L j ( p ) − 表示负理想值在第j个属性下的值， λ N P = L i j ( p ) ⊖ L j ( p ) − 表示群体评价值 L i j ( p ) 越大，拒绝 A i 方案的损失越大；当 A i 在属性 c j 下为坏方案时，拒绝 A i 方案的损失是0，接受 A i 方案的损失表示为 L j ( p ) + ⊖ L i j ( p ) ， L j ( p ) + 表示正理想值在第j个属性下的值， λ B N = L j ( p ) + ⊖ L i j ( p ) 表示群体评价值 L i j ( p ) 越大，接受 A i 方案的损失越小； σ 是H.X. Li等 [ 18 ] 提出的一个系数，可表示风险规避指数，由决策者决定， σ ∈ [ 0 ， 1 ] ， λ B P = σ ( L i j ( p ) ⊖ L j ( p ) − ) ， λ B N = σ ( L j ( p ) + ⊖ L i j ( p ) ) ，表示延迟决策时的损失依赖于 λ N P 和 λ P N 给出。 Table 3 The loss function matrix of A i with c A i C j ¬ C j a P 0 L j ( p ) + ⊖ L i j ( p ) a B σ ( L i j ( p ) ⊖ L j ( p ) − ) σ ( L j ( p ) + ⊖ L i j ( p ) ) a N L i j ( p ) ⊖ L j ( p ) − 0 表3. 第i个方案在第j个属性下的损失矩阵 考虑到属性权重的问题，各方案的综合损失矩阵如表4所示： Table 4 The loss function matrix of A A i C ¬ C a P 0 ∑ j = 1 n w j ( L j ( p ) + ⊖ L i j ( p ) ) a B ∑ j = 1 n σ j w j ( L i j ( p ) ⊖ L j ( p ) − ) ∑ j = 1 n σ j w j ( L j ( p ) + ⊖ L i j ( p ) ) a N ∑ j = 1 n w j ( L i j ( p ) ⊖ L j ( p ) − ) 0 表4. 第i个方案综合损失矩阵 其中 σ j 表示对于第j个属性的风险规避系数， σ j ∈ [ 0 ， 0.5 ] ；由决策者给出，若属性的风险规避系数不能确定，那么， λ B P = σ ( ∑ j = 1 n w j ( L i j ( p ) ⊖ L j ( p ) − ) ) ； λ B N = σ ( ∑ j = 1 n w j ( L j ( p ) + ⊖ L i j ( p ) ) ) ， σ 表示总体的风险规避系数，由决策者讨论给出。 3.3. 条件概率的确定 Hwang和Yoon于1981年提出了TOPSIS方法 [ 19 ] ，并且被广泛地研究与应用，在TOPSIS方法中，目标是寻找距离正理想解最近、距离负理想解最远的方案。3.2中指出，三支决策模型存在两种状态，在计算各方案的三种行动措施的期望损失值时，这两种状态就涉及到条件概率的问题，即方案更倾向于在哪种状态下得分更高。以往是由决策者或者专家给出，但Decui Liang等基于TOPSIS思想提出了一个新的解决方案来间接确定条件概率 [ 7 ] ，即考虑到正、负理想解与状态C和状态 ¬ C ，方案属于状态C的条件概率为该方案与正理想解之间的相对贴近度。 首先，利用求得的属性权重 w = ( w 1 ， w 2 ， ⋯ ， w n ) 、正理想解( A + )和负理想解( A − )，计算各方案到正、负理想解的距离表示如下： D ( A i ， A + ) = ∑ j = 1 n w j d ( L i j ( p ) ， L j ( p ) + ) (10) D ( A i ， A − ) = ∑ j = 1 n w j d ( L i j ( p ) ， L j ( p ) − ) (11) 其中， w j 代表第j个属性的权重， L j ( p ) + 代表正理想解( A + )在第j个属性下的值， L j ( p ) − 代表负理想解( A − )在第j个属性下的值。 然后，计算各方案与正理想解之间的相对贴近度： R C ( A i ) = D ( A i ， A − ) D ( A i ， A − ) + D ( A i ， A + ) ；表示方案属于状态C的可能性，可用来间接表示方案属于状态C的条件概率，即 P r ( C | A i ) = R C ( A i ) 。 最后，根据各方案到正、负理想解的距离，确定方案排序。现有文献的TOPSIS方法中一般采用传统的贴进度函数对方案排序，然而有学者指出，传统贴进度值最大的方案有时并不能同时满足与正理想解最近和与负理想解的距离最远。曾守桢等(2019)提出了一种新的计算方案 A i 的贴进度函数 ζ ( A i ) [ 20 ] ，表示如下： ζ ( A i ) = D ( A i ， A − ) D max ( A i ， A − ) − D ( A i ， A + ) D min ( A i ， A + ) (12) 其中， D max ( A i ， A − ) = max 1 ≤ i ≤ m { D ( A i ， A − ) } ，是方案到负理想解的最大距离， D min ( A i ， A + ) = min 1 ≤ i ≤ m { D ( A i ， A + ) } ，是方案到正理想解的最小距离。公式(13)中 ζ ( A i ) 主要是用来度量与正理想解 A + 最近的方案 A i 和与负理想解 A − 最远的程度， ζ ( A i ) 越大，相应的方案 A i 越优。计算得到每个方案的贴进度后，择优排序，即 ζ ( A i ) 越大，方案 A i 排序越靠前。 3.4. 决策规则 对于任意一个方案 A i ，在不同决策行动下的期望损失 R ( a ■ | A i ) 表示如下，( ■   = P ， B ， N )： R ( a P | A i ) = P r ( C | A i ) E ( λ P P ) ⊕ P r ( ¬ C | A i ) E ( λ P N ) (13) R ( a B | A i ) = P r ( C | A i ) E ( λ B P ) ⊕ P r ( ¬ C | A i ) E ( λ B N ) (14) R ( a N | A i ) = P r ( C | A i ) E ( λ N P ) ⊕ P r ( ¬ C | A i ) E ( λ N N ) (15) 其中， P r ( C | A i ) 表示方案 A i 属于状态C的条件概率， P r ( ¬ C | A i ) 表示方案 A i 不属于状态C的条件概率， P r ( C | A i ) + P r ( ¬ C | A i ) = 1 ， λ P P 等是用概率语言术语集表示，根据定义5得分函数计算其得分 E ( λ P P ) 等。 根据定义3和定义4，规定决策规则如下： 如果 E ( R ( a P | A i ) ) ≤ E ( R ( a B | A i ) ) ，并且 E ( R ( a P | A i ) ) ≤ E ( R ( a N | A i ) ) ，那么接受方案 A i ；如果 E ( R ( a B | A i ) ) ≤ E ( R ( a P | A i ) ) ，并且 E ( R ( a B | A i ) ) ≤ E ( R ( a N | A i ) ) ，那么延迟决策方案 A i ；如果 E ( R ( a N | A i ) ) ≤ E ( R ( a P | A i ) ) ，并且 E ( R ( a N | A i ) ) ≤ E ( R ( a B | A i ) ) ，那么拒绝方案 A i 。 3.5. 具体实施步骤 基于以上几个小节的介绍，给出基于概率语言术语集多属性三支群决策方法步骤： Step 1：t个决策者分别给出各方案在每个属性下的评价值 L i j g ( p ) ，表示决策者 E g 对第i个方案在第j属性下的评价值，从而构成决策者 E g 的个体决策矩阵；此外，决策者 E g 还需给出方案的偏好关系 Ω g 。 Step 2：利用公式(8)建立以群体非一致度最小化为目标的规划模型求解得出属性权重 w = ( w 1 ， w 2 ， ⋯ ， w n ) 、正理想解( A + )和负理想解( A − )。 Step 3：利用公式(9)对所有决策者给出的方案 A i 在属性 c j 下的评价值 L i j g ( p ) 进行集结，求得群体决策矩阵，并基于该矩阵，利用求得的正理想解和负理想解，根据表3构建各方案在每个属性下的三支决策损失矩阵。 Step 4：基于求得的属性权重，根据表4对每个属性下各方案的三支决策损失矩阵进行集结，求得各方案的综合三支决策损失矩阵。 Step 5：根据公式(10)和(11)，计算各方案与正理想解之间的相对贴近度，并选取此贴进度作为方案属于状态C的条件概率 P r ( C | A i ) ，并利用公式(12)计算各方案基于正、负理想解的优劣程度，对方案进行排序。 Step 6：利用公式(13)，(14)和(15)，计算各方案采取不同行动策略的期望损失值。 Step 7：根据求得的各方案采取不同行动策略的期望损失值，利用三支决策规则，判断各方案应采取的最佳行动策略。