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user: 2. 主成分方差缩减方案 有的学者选择用增加模拟路径的方法试图提高其模拟精度，但发现，这样做大大增加了模拟时间，且对运行设备要求较高。因此，接下来将采用控制变量技术来达到减小其波动方差的目的。 控制变量技术是一种最简单、且较有效的方法，其应用更加广泛 [ 9 ]。假定在求理财产品收益 F ( S ) 的期望值 E [ F ( S ) ] 时，得到所挂钩的风险资产随机向量 V i = ( S 1 ， S 2 ， ⋯ ， S d ) T 的同时，还能获取另一个随机向量 Y = ( Y 1 ， Y 2 ， ⋯ ， Y d ) T 的样本 Y i ，并且 E [ Y ] 是更加容易计算的，则可以用随机变量Y来构造期望值 E [ F ( S ) ] 的控制变量C，换句话说，假定 ( V i ， Y i ) 具有如下的协方差矩阵 ( Σ Y Σ Y V Σ Y V T σ V 2 ) 其中 Σ Y 是非奇异的 d × d 方阵， Σ Y V T 是 d × 1 向量， σ V 2 是变量V的方差。 2.1. 单一控制变量 本小节论述单一控制变量的构造方法。对任意常数 b ∈ R 可以构造 E [ X ] 的一个估计值 V ¯ N ( b ) = V ¯ N − b ( C ¯ k N − E [ C k ] ) (1) 其中，b为待定常数， E [ C k ] 可求， C k 是由任意一个 Y k ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， d 构造的单一控制变量，即 C k = g ( 0 ， ⋯ ， 0 ， Y k ， 0 ， ⋯ ， 0 ) (2) 其中， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， d ，显然 V ¯ N ( b ) 是 V ¯ n 的无偏估计，有最优系数 b * = cov ( C k ， V ) var ( C k ) = cov ( Y k ， V ) var ( Y k ) = ρ Y k V σ V σ Y k (3) 其中， cov ( C k ， V ) 和 var ( C k ) 的值一般难以求得，故需要估计 ( C i ， V i ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ，然后可以得到 cov ( C k ， V ) 和 var ( C k ) 的估计值 var ( V ¯ n ) = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( V i − V ¯ n ) 2 (4) cov ( C ， V ) = ∑ i = 1 n ( Y i − Y ¯ ) ( V i − V ¯ ) n − 1 (5) b n * = ∑ i = 1 n ( Y i − Y ¯ ) ( V i − V ¯ ) ∑ i = 1 n ( Y i − Y ¯ ) 2 (6) 其中，n是控制变量模拟次数，N是蒙特卡罗总模拟次数，一般 n ≪ N 。考虑控制变量估计值 V ¯ N ( b ) 的最小方差 var ( V ¯ N ( b * ) ) = ( 1 − R C k V 2 ) var ( V ¯ N ) = ( 1 − R Y k V 2 ) var ( V ¯ N ) (7) 原变量的方差 var ( V ¯ N ) = 1 N − 1 ∑ i = 1 N ( V i − V ¯ N ) 2 (8) 从而可以获取方差缩减指数 var ( V ¯ n ) var ( V ¯ N ( b ) ) = 1 1 − ρ C k V 2 = 1 1 − ρ Y k V 2 (9) 其中， ρ C k V 是相关系数，可以看出，方差缩减指数的大小依赖于控制向量 C k 和原始变量V之间的相关系数.同时，方差缩减指数越大，意味着方差缩减效果越好。 2.2. 复合控制变量 控制变量不但可以由一个随机变量 Y k 构造，还可由多个随机变量共同构造，即 C k = ( Y 1 ， Y 2 ， ⋯ ， Y k ) T ， k ≤ d (10) 相同地，对任意固定的向量 b ∈ R d 构造 E [ X ] 的估计值 V ¯ N k ( b ) = V ¯ N − b T ( C ¯ N k − E [ C k ] ) (11) 其中，b为待定常向量， E [ C k ] 可求，同单一控制变量一元，可以得到最优系数 b k * = Σ C k − 1 Σ C k V (12) 这里， Σ C k V 为d维向量，第j个元素为 1 N − 1 [ ∑ i = 1 N C i k ( j ) V i − n C ¯ k V ¯ ] Σ C k − 1 为 d × d 矩阵，第jk个元素为 1 N − 1 [ ∑ i = 1 N C i k ( j ) C i k ( k ) − n C ¯ k ( j ) C ¯ k ( k ) ] 仍从方差缩小的角度考虑蒙特卡罗模拟效果，计算 X ¯ N k ( b ) 的最小方差 var ( V ¯ N k ( b k * ) ) = σ V 2 − Σ C V T Σ Y − 1 Σ C V = var ( V ¯ N ) ( 1 − R C k V 2 ) (13) 其中 R C k V 2 = Σ C k V T Σ Y − 1 Σ C k V / var ( V ¯ N ) (14) 容易获取方差缩减指数为 var ( V ¯ N ) var ( V ¯ N k ( b k * ) ) = 1 1 − R C k V 2 (15) 可以看出，方差缩减指数对控制向量 C k 和原始变量X之间的平方复相关系数 R C k V 2 高度敏感。 特别地，当复合控制变量 C k 的各个分量 Y 1 ， Y 2 ， ⋯ ， Y k 独立时，此时协方差矩阵 Σ V 恰好为对角矩阵，此时平方复相关系数简化为 R C V 2 = ρ Y 1 V 2 + ρ Y 2 V 2 + ⋯ + ρ Y k V 2 ，     k = 1 ， 2 ， ⋯ ， d (16) 其中 ρ Y i V 是变量 Y i 与V的相关系数。 因此，在理财产品定价中，若想达到更加良好的缩减方差效果，需要选取多个与之相关性更高的变量来控制模拟方差，又因为控制变量之间不相关时方差控制效果更加良好，所以本文利用主成分分析方法提取控制变量，进行蒙特卡罗模拟。 2.3. 主成分控制变量 本节利用主成分方法构造控制变量。对风险资产向量 V = ( S 1 ， S 2 ， ⋯ ， S d ) T 假设其协方差矩阵为 Σ V ，显然 Σ V 是一个半正定对称矩阵，从而存在谱分解 Σ V = U Λ U T 其中 是特征值 λ i 组成的对角矩阵，且 λ 1 ≥ λ 2 ≥ ⋯ ≥ λ n ≥ 0 。此外， U = ( u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u n ) 是一个正交矩阵， u i 是特征向量。于是，风险资产向量V的主成分变换为 Y = U T V (17) 多资产理财产品收益函数 F ( S ) 各有不同，一般可以由理财产品说明书得到，当风险资产V进行主成分变换后，理财产品收益 F ( S ) 变为 g ( Y ) ，则理财产品定价等价于 E [ F ( S ) ] = E [ g ( Y ) ] = E [ g ( Y 1 ， Y 2 ， ⋯ ， Y n ) ] (18) 显然，式(17)定义的主成分Y具有零均值。Y的第i个分量 Y i = u i T V 称为第i个主成分。 进一步，对于挂钩多资产的理财产品进行定价，本文利用主成分方法构造了两种方差缩小方案： 方案一：将第k个主成分 Y k 构造为第k个单一控制变量 C k = ( 0 ， ⋯ ， 0 ， Y k ， 0 ， ⋯ ， 0 ) ，                           k = 1 ， 2 ， ⋯ ， d (19) 方案二：将前k个主成分 Y 1 ， Y 2 ， ⋯ ， Y k 共同构造复合控制变量 C k = ( Y 1 ， Y 2 ， ⋯ ， Y k ) ，                               k = 1 ， 2 ， ⋯ ， d (20) 主成分分析具体处理步骤如下： 1) 提取主成分 2) 获取风险资产向量V的协方差矩阵 Σ V 3) 计算特征值与特征向量 根据特征方程 | Σ V − Λ I | = 0 ，其中I是单位矩阵，可得到其特征值组成的对角矩阵 Λ 与特征向量正交矩阵 U = ( u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u n ) 。 4) 写出主成分表达式 根据特征值，特征向量，可写出主成分表达式。