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user: 2. 底板采动破坏深度确定的统计学方法 2.1. 回归分析 回归分析是以定量形式表征系统变量相关关系的一种统计分析方法，其中最常用的是多元线性回归，其假设多个自变量和因变量之间存在线性关系，通过求取参数建立数学模型 [ 6 ]，如公式(1)所示： y i = α i + β i 1 x 1 + β i 2 x 2 + ⋯ + β i k x k + ε i (1) 上式可以简化表示为： Y = a + X β + ε (2) 式中： Y = { y 1 ⋮ y n } 为因变量， α = { α 1 ⋮ α n } 为截距项， β = { β 1 ⋮ β n } 为待求参数， X = { x 11 ⋯ x 1 n ⋮ ⋱ ⋮ x n 1 ⋯ x n n } 为自变量， ε = { ε 1 ⋮ ε n } 为误差项。 回归方程分线性部分和误差项两部分，其共同解释因变量的变化规律。对于回归模型，其待求参数一般通过最小二乘法求得，确定α和β即确定了回归方程，即可对结果进行预测。回归分析可广泛应用于各领域，基于多元线性回归对底板破坏深度进行预测是在理论计算的基础上应用最早、也是最为简单的一类统计学研究方法，很多学者对此进行了研究。李小孟 [ 7 ] 等结合工程实例采用用多元线性回归对底板破坏深度进行了预测，对比实测数据，二者结果基本相同。段宏飞 [ 8 ]、张风达 [ 9 ] 等均在分析影响底板破坏深度的因素的基础上，采用回归分析方法建立了底板破坏深度预测模型，实现了底板破坏深度的预测。 2.2. 支持向量机 支持向量机是一种基于深度学习的广义分类算法，常用以进行识别分类及回归分析。支持向量机与其它算法相比优势在于可以对复杂非线性方程进行深度学习。支持向量机用以进行回归分析称为支持向量回归 [ 10 ]。 在支持向量回归模型中，存在初始样本 T = { ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ， ⋯ ， ( x m ， y m ) } ， y i ∈ R ，期望通过反复学习得到回归模型 f ( x ) = w T + b ，使得 | f ( x ) − y | → 0 ， f ( x ) 即为所求结果，其计算过程如下： 假设 f ( x ) 与y之间存在最大偏差ε，当且仅当 | f ( x ) − y | > ε 时才计算损失，如图1所示。 图1. 支持向量回归模型 则支持向量回归问题可表示为： min w ， b 1 2 ‖ w ‖ 2 + C ∑ i = 1 m l ε ( f ( x i ) ， y i ) (3) 式中：C——正则化常数，w，b——待求参数，l ε ——不敏感损失函数，l ε 函数示意图如图2所示。 l ε 函数表达式为： l ε ( z ) = { 0                       | z | ≤ ε | z | − ε           | z | > ε (4) 引入松弛变量 ξ i 和 ξ ^ i ，则式(3)可重写为： min w ， b ， ξ i ， ξ ^ i 1 2 ‖ w ‖ 2 + C ∑ i = 1 m ( ξ i ， ξ ^ i ) (5) 引入拉格朗日乘子μ i ， 图2. 不敏感损失函数l ε L ( w ， b ， α ， α ^ ， ς ， ζ ， μ ， μ ^ ) = 1 2 ‖ w ‖ 2 + C ∑ i = 1 m ( ξ i + ξ ^ i ) − ∑ i = 1 m ξ i μ i − ∑ i = 1 m ξ ^ i μ ^ i                                                                   + ∑ i = 1 m α i ( f ( x i ) − y i − ε − ξ i ) + ∑ i = 1 m α ^ i ( y i − f ( x i ) − ε − ξ ^ i ) (6) 再令 L ( w ， b ， α ， α ^ ， ξ ， ξ ^ ， μ ， μ ^ ) 对 w ， b ， ξ i ， ξ ^ i 的偏导数为零可得： w = ∑ i = 1 m ( α ^ i − α i ) x i (7) 上述过程中需满足下列条件： { α i ( f ( x i ) − y i − ∈ −   ξ i ) = 0 α ^ i ( y i − f ( x i ) − ∈ −   ξ ^ i ) = 0 α i α ^ i = 0 ， ξ i ξ ^ i = 0 ξ i ( C − α i ) = 0 ， ς ^ i ( C − α ^ i ) = 0 (8) 则模型的解为： f ( x ) = ∑ i = 1 m ( α ^ i − α i ) k ( x i T x ) + b (9) 若 0 < α i < C ，则必有 ξ i = 0 。 b = y i + ε − ∑ i = 1 m ( α ^ i − α i ) x i T x (10) 基于以上原理，确定w和b的支持向量回归模型即可实现参数预测。支持向量回归算法较普通回归算法精度更高、且适用性强，很多学者采用支持向量回归算法对底板破坏深度进行了研究。柳聪亮 [ 11 ] 等采用支持向量机创建了预测底板采动导水破坏带深度的回归计算模型。通过国内一些矿区实测成果对模型进行反复训练，模型预测结果和实测结果基本相同，可以较好地满足工程设计需要。韩进 [ 12 ] 等运用遗传算法和支持向量机融合分析，以深部煤层底板破坏数据为样本，构建了底板破坏深度与其影响因素间的非线性模型，得出了模型预测结果。 2.3. 灰色预测 灰色预测法是一种基于灰色理论对具有波动因素的系统进行预测的统计学方法。其原理主要是通过鉴别单系统或多系统因素之间发展趋势的内在相异性和变化程度，确定系统影响因素的关联度，生成初始数据序列，确定系统变化的基本规律，从而实现对事物发展趋势的预测。 GM(0， N)是常用的灰色预测数学模型 [ 13 ]，其可以表示为： x 1 ( 1 ) = a + b 1 x 2 ( 1 ) + b 2 x 3 ( 1 ) + ⋯ + b n − 1 x n ( 1 ) (11) 式中：a、b i 为待定系数，i为样本数据序列个数， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 ； 记样本数据序列为： { x i ( 0 ) ( t ) } ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ;   t = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ，n表示样本数据序列个数，m表示单个样本数据序列中的元素个数。一次累加后，数据序列为： { x i ( 1 ) ( t ) } ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ;   t = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 。 记： X ( B ) = [ 1 x 2 ( 1 ) ( 1 ) x 3 ( 1 ) ( 1 ) ⋯ x n ( 1 ) ( 1 ) 1 x 2 ( 1 ) ( 1 ) x 3 ( 1 ) ( 1 ) ⋯ x n ( 1 ) ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 x 2 ( 1 ) ( m ) x 3 ( 1 ) ( m ) ⋯ x n ( 1 ) ( m ) ] (12) Y m = [ x 1 ( 1 ) ( 1 ) ， x 1 ( 1 ) ( 2 ) ， ⋯ ， x 1 ( 1 ) ( m ) ] T (13) a ˜ = [ a ， b 1 ， b 1 ， ⋯ ， b n − 1 ] (14) 由最小二乘法可求得： a ˜ = [ X ( B ) T X ( B ) ] − 1 X ( B ) T Y m (15) 将式(12)、式(13)、式(14)、计算结果代入式(15)，得到GM(0， N)灰色模型。采用灰色预测进行分析可以充分考虑样本因素的权重，结果准确性更高，一些学者对此进行了研究。张文泉 [ 14 ] 等从力学角度研究了底板采动破坏的主要影响因素，利用灰色理论获取了影响底板破坏深度各因素的关联度，在此基础上以线性与非线性方式对破坏深度进行拟合，得到了新的计算公式。路畅 [ 15 ] 等为确定底板破坏深度主要影响因素权重，采用灰色关联分析法对其进行了分析，结合具体工作面实测数据，建立了底板破坏深度的灰色预测模型。并基于工程实例对模型进行了验证。 2.4. BP神经网络 BP神经网络是由多层神经元组成的人工神经网络，其主要由三部分构成，分别为：输入层、输出层与隐含层。输入层用以接收初始数据；隐含层用以表示或存贮知识；输出层反馈出决策或预测结果 [ 16 ]。多层BP神经网络结构图如图3所示。 图3. 多层BP神经网络结构图 BP神经网络采用单向信号传递方式，即神经元信号仅向下层转递，同层神经元之间不相连，相邻层神经元之间有连接，以权重值表示其连接强度。每个神经元的状态均与一个作用函数f和阈值θ相对应，在输入层中， f ( x ) = x ， θ = 0 ；在隐含层和输出层中， f ( x ) = 1 / ( 1 + e − x ) 。 则隐含层和输出层的输出可以分别由式(16)和式(17)计算得出： b j k = f ( ∑ i = 1 n w j i a j k − θ j ) (16) c i k = f ( ∑ j = 1 p v j i b j k − r i ) (17) 式中： b j k ——隐含层第j个神经元对第k个样本的输出；n——输入层神经元个数；w ji ——输入层第i个神经元至隐含层第j个神经元的权值； a j k ——第j个输入神经元对应于第k个样本的输入；θ j ——隐含层第j个神经元阈值； c i k ——输出层第i个神经元对第k个样本的输出；p——隐含层神经元个数；v ji ——隐含层第j个神经元至输出层第t个神经元的权值；r i ——输出层第i个神经元的阈值。 由式(18)可以计算输出误差平方和E来作为判断训练过程是否结束的标准。 E = ∑ k = 1 m ∑ j = 1 q ( y j k − c j k ) 2 / 2 (18) 式中：m——训练样本个数；q——输出神经元个数； y j k ——第j个输出神经元对第k个样本的理想输出。 在误差逆向传播的过程中，校正误差由式(19)和式(20)求得。 d i k = ( y i k − c i k ) f ′ ( L i k ) (19) e j k = [ ∑ i = 1 q v j i ⋅ d i k ] ⋅ f ′ ( s j k ) (20) 式中：q——输出神经元个数； d i k ， L i k ——输出层第i个神经元相对于第k个输入样本的校正误差和输入值； e j k ， s j k ——隐含层第j个神经元相对于第k个输入样本的校正误差和输入值。 获得输出层和隐含层校正误差 d i k 和 e j k 之后，为获取最优结果，需要对相邻层之间的连接权值和阈值进行调整。其调整量可依据式(21)和式(22)计算： Δ v j i = α ⋅ d i k ⋅ b j k ;       Δ r i = α ⋅ d i k (21) Δ w j i = β ⋅ e j k ⋅ α i k ;       Δ θ j = β ⋅ e j k (22) 式中： α ， β ——学习系数，且 α > 0 ， β > 1 ，将修正后的权值和阈值重新带入模型即可得到最优化输出层结果。 BP神经网络是机器学习的经典算法之一，经实践证明具有较高的可行性与准确性。很多学者在使用BP神经网络进行底板破坏深度预测方面进行了研究，取得了大量的研究成果。于小鸽 [ 17 ] 依据典型煤矿突水案例，基于BP神经网络构建了底板破坏深度预测模型，并应用于工程实例，通对工程实测结果证实了模型的可靠性。郭文兵 [ 18 ] 对底板采动破坏深度影响因素进行了综合分析，并应用神经网络方法建立了底板破坏深度计算模型，对比分析了模型预测值、理论计算值和现场实测值。施龙青 [ 19 ] 等利用灰狼算法优化BP神经网络参数，建立PCA-GWO-BP神经网络模型预测煤层底板破坏深度，并与其他预测方法进行对比，结果证明该模型误差小、准确度高。