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user: 3. 主要结果 基于以上引理，下面开始证明我们的主要结论。 构造3.1. 设 K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ( m ≥ 3 ) 的部集分别为 X 1 ， X 2 ， ⋯ ， X m ，其中 | X i | = n i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ，且 n 1 ≥ n 2 ≥ ⋯ ≥ n m 。此外，令 Γ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) = t ，此时我们给出 K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m 的一种边染色 c ，具体染色方法如下： 首先，在 K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m 中尽可能多的取出点不交的 C 3 ，不妨分别设为 T 1 ， T 2 ， ⋯ ， T t ，令 { T t + 1 ， T t + 2 ， T n − 2 t } 表示由剩下的点构成的集合。然后，将 T 1 ， T 2 ， ⋯ ， T t 中的所有边都染不同的颜色。最后，对任意 1 ≤ i ， j ≤ n − 2 t ，若 i < j ，则将 T i 和 T j 之间的所有边都染新颜色 i 。 不难发现，由构造3.1给出的 K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m 的边染色 c 中不包含任何彩虹子图 C 4 ，并且 c 中恰恰使用了 ∑ i = 1 m n i + Γ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) − 1 种颜色。因此，构造3.1表明 K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m 中 C 4 的anti-Ramsey数不小于 ∑ i = 1 m n i + Γ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) − 1 ，即 A R ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ， C 4 ) ≥ ∑ i = 1 m n i + Γ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) − 1. 定理 3.2. 对任意 m ≥ 3 ，都有 A R ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ， C 4 ) = ∑ i = 1 m n i + Γ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) − 1 。 证明：由构造3.1我们已经证明 A R ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ， C 4 ) ≥ ∑ i = 1 m n i + Γ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) − 1 ，因此这里我们只需继续证明 K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m 中 C 4 的anti-Ramsey数不大于 ∑ i = 1 m n i + Γ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) − 1 ，即 A R ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ， C 4 ) ≤ ∑ i = 1 m n i + Γ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) − 1. 设 n = n 1 + n 2 + ⋯ + n m ，对 K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m 的顶点数 n 用归纳法。由引理1.2可知，上界对 n = m 成立。令 n ≥ m + 1 ，并假设上界对顶点数小于 n 也成立。 假设存在一个恰恰使用了 n + Γ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) 种颜色的 K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m 的边染色，使得 K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m 中不包含任何彩虹子图 C 4 。显然，对任意点 v ∈ V ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) ，都有 Γ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m − v ) ≤ Γ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) 。注意 K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m 不包含任何彩虹子图 C 4 。因此， K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m − v 中也不包含任何彩虹子图 C 4 。根据归纳假设可知， | c ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m − v ) | ≤ A R ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m − v ， C 4 ) ≤ n + Γ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) − 2 。 因此，对任意点 v ∈ V ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) ，都有 l ( v ) = | c ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) | − | c ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m − v ) | ≥ n + Γ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) − ( n + Γ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) − 2 ) = 2 (1) 为了完成证明，需要引入下面这些断言。 断言5. 对任意点 v ∈ V ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) ，若 v x ， v y 是 v 的两条不同颜色的饱和边，则 x 和 y 必定属于不同的部集。 证明：假设存在一个点 v ∈ V ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) ， v x 和 v y 是 v 的两条颜色不同的饱和边，使得 x ， y 属于同一个部集。不失一般性，我们假设 v ∈ X p ， x ， y ∈ X q ， 1 ≤ p ≠ q ≤ m 。由不等式(1)可知，至少存在 x 的一条饱和边，不妨设为 x z ，使得 c ( x z ) ≠ c ( v x ) 。令 z ∈ X r ， 1 ≤ r ≠ q ≤ m 。因为 v y 是 v 的一条饱和边，所以 c ( x z ) ≠ c ( v y ) 。 如果 r ≠ p 则 v ， x ， y ， z 为属于三个不同部集的四个点，其中 x ， y ∈ X p 。现在我们考虑边 y z 的颜色。不难发现，因为 x z 是 x 的一条饱和边，可知 c ( y z ) ≠ c ( x z ) 。此外，因为 v x 和 v y 是 v 的两条不同颜色的饱和边，我们有 c ( v x ) ≠ c ( y z ) ≠ c ( v y ) 。因此，此时存在一个彩虹子图 C 4 = [ v ， x ， z ， w ] ，矛盾。所以 r = p ，此时 v ， x ， y ， z 为属于两个不同部集的四个点，其中 x ， y ∈ X q ， v ， z ∈ X p 。同理可得， c ( y z ) ∉ { c ( v x ) ， c ( v y ) ， c ( x z ) } 。因此，此时同样存在一个彩虹子图 C 4 = [ v ， x ， z ， y ] ，矛盾。断言5证明完毕。 断言6. 对任意点 v ∈ V ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) ，都有 l ( v ) = 2 。 证明：由不等式(1)可知，对任意点 v ∈ V ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) ，都有 l ( v ) ≥ 2 。因此，我们只需证明上界 l ( v ) ≤ 2 。假设存在一个点 v ∈ V ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) ，使得 l ( v ) ≥ 3 。不失一般性，设 v ∈ X p ， 1 ≤ p ≤ m 。由断言5可知，存在至少 v 的三条颜色不同的饱和边，不妨设为 v x ， v y ， v z ，使得 x ∈ X q ， y ∈ X r ，以及 z ∈ X s ， 1 ≤ p ≠ q ≠ r ≠ s ≤ m 。根据不等式(1)可知，至少存在 x 的一条饱和边，不妨设为 x w ，使得 c ( x w ) ≠ c ( v x ) 。令 w ∈ X h 。因为 v x ， v y ， v z 是 v 的三条颜色不同的饱和边，我们有 c ( x w ) ∉ { c ( v x ) ， c ( v y ) ， c ( v z ) } 。如果 h ∉ { p ， r ， s } ，则 v ， x ， y ， w 为属于不同部集的四个点。现在我们考虑 y w 的颜色。因为 x w 是 x 的一条饱和边，可知 c ( y w ) ≠ c ( x w ) 。此外，因为 v x ， v y 是 v 的两条颜色不同的饱和边，我们有 c ( v x ) ≠ c ( y w ) ≠ c ( v y ) 。因此，此时存在一个彩虹子图 C 4 = [ v ， x ， w ， y ] ，矛盾。 因此， h ∈ { p ， r ， s } ，由 X r 和 X r 的对称性，我们只考虑 h = p 或者 h = r 这两种情形。如果 h = p ，则 v ， x ， y ， w 为属于三个不同部集的四个点，其中 v ， w ∈ X p 。同理可得， c ( y w ) ∉ { c ( v x ) ， c ( v y ) ， c ( x w ) } 。因此，此时存在一个彩虹子图 C 4 = [ v ， x ， w ， y ] ，矛盾。所以 h = r ，则 v ， x ， y ， w 为属于不同部集的四个点。同理可得 c ( z w ) ∉ { c ( v x ) ， c ( v z ) ， c ( x w ) } 。因此，此时同样存在一个彩虹子图 C 4 = [ v ， x ， w ， y ] ，矛盾。断言6证明完毕。 断言7. 对任意两个点 u ， v ∈ V ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) ，若 u v 是 u 的饱和边，则 u v 也是 v 的饱和边。 证明：假设存在两个点 u ， v ∈ V ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) ，使得 u v 是 u 的饱和边，但 u v 不是 v 的饱和边。令 u ∈ X p ， v ∈ X q 。由断言5和断言6可知，存在 u 的一条饱和边，不妨设为 u x ，使得 c ( u x ) ≠ c ( u v ) ，其中 x ∈ X r ， 1 ≤ r ≠ q ≤ m 。根据断言6，我们有 l ( v ) = 2 ，所以存在 v 的两条颜色不同的饱和边，不妨设为 v y ， v z 。因为 u x 是 u 的饱和边，可知 c ( v y ) ≠ c ( u x ) ≠ c ( v z ) 。同时，根据假设可知， c ( v y ) ≠ c ( u v ) ≠ c ( v z ) 。如果 y ∉ X r ，则我们考虑边 x y 的颜色。因为 v y 是 v 的饱和边，可知 c ( x y ) ≠ c ( v y ) 。此外，因为 u v 和 u x 是 v 的两条颜色不同的饱和边，我们有 c ( u v ) ≠ c ( x y ) ≠ c ( u x ) 。因此，此时存在一个彩虹子图 C 4 = [ u ， v ， y ， x ] ，矛盾。所以 y ∈ X r 。同理可得， z ∈ X r ，这与断言5相矛盾。断言7证明完毕。 断言8. 若 x y 既为 x 的饱和边，又为 y 的饱和边，则颜色 c ( x y ) 只用于染边 x y 。 证明：由饱和边的定义，因为 x y 为 x 的饱和边，所以颜色 c ( x y ) 只用于染与 相关联的边。同理，因为 x y 为 y 的饱和边，所以颜色 c ( x y ) 只用于染与 y 相关联的边。因此，颜色 c ( x y ) 只用于染边 x y 。断言8证明完毕。 令G为 K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m 的一个生成子图，使得若 u v ∈ E ( G ) ，则 u v 是 u 的饱和边，或者 u v 是 v 的饱和边。此外，设 G i 为G任意一个连通分支，其中 i ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， ω ( G ) } 。由断言7和断言8可知，对任意 e ∈ E ( G ) ， c ( e ) 只用于染边 e 。又由断言6可得，对任意点 v ∈ V ( G ) ，都有 d G ( v ) = 2 ，所以G是一个2-正则图。因此，对任意 i ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， ω ( G ) } ， G i 为圈。令 | V ( G i ) | = n i ，不妨设 G i = [ v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v n i ] 。 断言9. 对任意 v j ， v j + 3 ∈ V ( G i ) ，都有 v j ， v j + 3 属于同一部集。 证明：显然， n i ≥ 3 。假设存在 v j ， v j + 3 ∈ V ( G i ) ，使得 v j ， v j + 3 属于不同部集。现在我们考虑边 v j v j + 3 的颜色。注意对任意 e ∈ E ( G ) ， c ( e ) 只用于染边 e 。所以 c ( v j v j + 1 ) ， c ( v j + 1 v j + 2 ) 以及 c ( v j + 2 j + 3 ) 分别只用于染边 v j v j + 1 ， v j + 1 v j + 2 ， v j + 2 v j + 3 ，因此， c ( v j v j + 3 ) ∉ { c ( v j v j + 1 ) ， c ( v j + 1 v j + 2 ) ， c ( v j + 2 v j + 3 ) } 。显然，此时存在一个彩虹子图 C 4 = [ v j ， v j + 1 ， v j + 2 ， v j + 3 ] ，矛盾。断言9证明完毕。 由断言9可知， n = 0 ( mod 3 ) 且 Γ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) = n 3 。根据归纳假设可知，对任意点 v ∈ V ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) ， 都有 | c ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m − v ) | ≤ A R ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m − v ， C 4 ) = n + Γ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) − 3 . 因此，对任意点 v ∈ V ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) ，都有 l ( v ) = | c ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) | − | c ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m − v ) | ≥ n + Γ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) − ( n + Γ ( K n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n m ) − 3 ) = 3 这与断言6矛盾。 综上所述，定理3.2证明完毕。