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user: 5. 利用差函数分析其具体特点 5.1. 差函数的变化图像 输入如下代码，绘制此函数当参数n 从1变化到100的函数图像。 clc;clear all; x=-4:0.01:4; n=linspace(1，100); axis([-4 4 -0.2 0.41]); ylabel('$t(n)-N(0，1)$'，'interpreter'，'latex'， 'FontSize'， 18); xlabel('x') z=normpdf(x，0，1) for i=1:100 A(i，:)=tpdf(x，n(i))-z; end plot(x，A); title('自由度从1到100的t分布密度函数与标准正态分布的差函数'); legend('n从1变化到100'); 结果如图2所示。从图2中可以看出，当参数n固定时，差函数是一个关于y轴对称的函数，这表明标准正态分布和t分布都是关于y轴对称的函数。 另外，当参数n固定时，很容易看出，一条差函数曲线具有5个极值点。由于其对称性，其中一个极值点为 x = 0 ，但它不是最值点。因此，虽然t分布和标准正态分布的最大值点都在 x = 0 处取得，但是他们的差的最大值并不是在 x = 0 处取得，而是在其他的极值点处取得。 当参数n从1增加到100时，差函数图像逐渐趋于x轴，整体变得平阔，函数范围越来越小，这直观地反映了当n增加时，t分布逐渐趋近于标准正态分布。 图2. 差函数的变化图像 5.2. 差函数的最值 为了进一步分析差函数的性质，输入如下代码，求其当参数n从1变化到100时的差函数的最值。 clc;clear all; MAX=[ ];MIN=[ ];a=zeros(1，5) x=-4:0.01:4; n=linspace(1，100); axis([-4 4 -0.2 0.41]); z=normpdf(x，0，1) for i=1:100 A(i，:)=tpdf(x，n(i))-z; MAX(i)=max(A(i，:)); MIN(i)=min(A(i，:)); end ma=vpa(MAX，3); ma1=[ma a] ma2=reshape(ma1，7，[ ]) ma3=vpa(ma2.'，4) mi=vpa(MIN，5) mi1=[mi a] mi2=reshape(mi1，7，[ ]) mi3=vpa(mi2.'，3) 结果为： 从表1、表2所得数据可以看出，当差函数的参数从1变化到100时，差函数最大值从0.028099变化到0.001139，最小值从−0.099264变化到−0.0013572，显然，他们的绝对值都减小了很多。 Table 1 The maximum of difference function [0.0281， 0.025， 0.02118， 0.01815， 0.0158， 0.01397， 0.0125] [0.01131， 0.01032， 0.009487， 0.008778， 0.008167， 0.007634， 0.007167] [0.006753， 0.006384， 0.006053， 0.005755， 0.005484， 0.005238， 0.005013] [0.004806， 0.004616， 0.00444， 0.004277， 0.004126， 0.003985， 0.003853] [0.00373， 0.003614， 0.003505， 0.003403， 0.003306， 0.003215， 0.003129] [0.003047， 0.002969， 0.002895， 0.002825， 0.002758， 0.002694， 0.002633] [0.002575， 0.002519， 0.002466， 0.002415， 0.002366， 0.002319， 0.002274] [0.00223， 0.002188， 0.002148， 0.002109， 0.002071， 0.002035， 0.002] [0.001966， 0.001934， 0.001902， 0.001872， 0.001842， 0.001813， 0.001785] [0.001758， 0.001732， 0.001707， 0.001682， 0.001658， 0.001635， 0.001612] [0.00159， 0.001569， 0.001548， 0.001528， 0.001508， 0.001489， 0.00147] [0.001451， 0.001434， 0.001416， 0.001399， 0.001382， 0.001366， 0.00135] [0.001335， 0.00132， 0.001305，0.00129， 0.001276， 0.001263， 0.001249] [0.001236， 0.001223， 0.00121， 0.001198， 0.001185， 0.001173， 0.001162] [0.00115， 0.001139] 表1. 差函数最大值 Table 2 The minimum of difference function [−0.0993， −0.0578， −0.0407， −0.0313， −0.0255， −0.0215， −0.0186] [−0.0163， −0.0146， −0.0132， −0.012， −0.011， −0.0102， −0.0095] [−0.00888， −0.00834， −0.00786， −0.00743， −0.00704， −0.0067， −0.00638] [−0.0061， −0.00584， −0.0056， −0.00538， −0.00517， −0.00498， −0.00481] [−0.00464， −0.00449， −0.00435， −0.00421， −0.00409， −0.00397， −0.00385] [−0.00375， −0.00365， −0.00355， −0.00346， −0.00338， −0.00329， −0.00322] [−0.00314， −0.00307， −0.003， −0.00294， −0.00288， −0.00282， −0.00276] [−0.00271， −0.00265， −0.0026， −0.00255， −0.00251， −0.00246， −0.00242] [−0.00238， −0.00233， −0.0023， −0.00226， −0.00222， −0.00218， −0.00215] [−0.00212， −0.00208， −0.00205， −0.00202， −0.00199， −0.00196， −0.00194] [−0.00191， −0.00188， −0.00186， −0.00183， −0.00181， −0.00178， −0.00176] [−0.00174， −0.00172， −0.0017， −0.00167， −0.00165， −0.00163， −0.00161] [−0.0016， −0.00158， −0.00156， −0.00154， −0.00152， −0.00151， −0.00149] [−0.00147， −0.00146， −0.00144， −0.00143， −0.00141， −0.0014， −0.00138] [−0.00137， −0.00136] 表2. 差函数最小值 5.3. 差函数最值的直观表示 为了使差函数最值随n的变化更直观，输入如下代码，绘制其当n从1变化到100函数的图像。 clc;clear all; syms E F; X1=[ ];X2=[ ];SUP=[ ];INF=[ ]; x=-4:0.001:4; n=linspace(1，100); z=normpdf(x，0，1) for i=1:100 A(i，:)=tpdf(x，n(i))-z; SUP(i)=max(A(i，:)); INF(i)=min(A(i，:)); E=find(A(i，:)==SUP(i)) X1(i)=(E(:，2)-4000)*0.01 F=find(A(i，:)==INF(i)) X2(i)=(F(:，2)-4000)*0.01 end plot(n，SUP，'o-'，'color'，'r'，'linewidth'，2); hold on; plot(n，INF，'s-'，'color'，'b'，'linewidth'，2); title('参数从1到100的的差函数最值'); legend('差函数最大值'，'差函数最小值'); ylabel('$t(n)-N(0，1)最值$'，'interpreter'，'latex'， 'FontSize'， 18); xlabel('n') grid on; 图3. 差函数最值随n的变化 结果如图3所示。从图3可以看出差函数的最大值和最小值随参数n的增大都趋于0。当n增加时，函数的变化速度减慢，因此看出，自由度n增加时，t分布渐进于标准正态分布的速度减慢。