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user: 4. 模型的建立与求解 4.1. 温度分布数学模型的建立与求解 4.1.1. 基于温度分布的热传导模型建立 对于问题一，首先根据附件中提供的假人皮肤外侧温度数据绘制出时间温度图，如图1所示。 图1. 皮肤外侧温度-时间分布图 分析图1和表格中的数据可知在1644秒以前温度呈上升趋势，但速率逐渐变小。而1644秒以后，温度保持在48.08℃不变，因此我们选取前1644秒的数据利用最小二乘法进行拟合，拟合过程和结果如表2 (自变量为时间、因变量为温度)和图2所示。 因此，我们可近似得到假人皮肤外侧时间–温度的拟合关系式： y = 1.744 E − 008 * x 3 − 4.506 E − 005 * x 2 + 0.039 * x + 36.049 而我们知道温度的分布可以划分为时间分布和空间分布，因此我们以时间t为x轴，空间位置x为y轴，温度T为Z轴建立三维坐标系。其中x轴以高温作业服装第I层的外表面为坐标原点，服装内部为正方向，y轴以时间t增大的方向为正方向，最终构建出温度T的时空分布(图3)。 Table 2 Model summary and parameter estimatio 方程 模型汇总 参数估计值 R方 F df1 df2 Sig. 常数 b1 b2 b3 线性 0.758 3577.479 1 1141 0.000 40.662 0.008 二次 0.974 21，074.652 2 1140 0.000 37.358 0.026 −1.51E−05 三次 0.998 164，840.312 3 1139 0.000 36.049 0.039 −4.51E−05 1.74E−08 表2. 模型汇总和参数估计 图2. 拟合结果 图3. 防护服-皮肤系统 而查阅资料 [ 1 ] 可知，热量的传播主要靠热传导、热对流和热辐射三种形式(如图4所示)，但基于我们以上的假设，在服装层内部之间传递时，热对流和热辐射的影响可以忽略。 图4. 热传递的三种方式 在热力学中，由以下两个物理定律和一个公式： 1) 傅里叶(Fourier)热传导定律 d Q = − k ( x ， y ， z ) ∂ u ∂ n d s d t 2) 热量公式 Q = c m u 3) 热量守恒定律 温度变化吸收的热量 = 通过边界流入的热量 + 热源放出的热量可以得到热力学中的热传导方程 ∂ u ∂ t = d i v ( U u ) = k ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 ) = k ( u x x + u y y + u z z ) 其中： u = u ( t ， x ， y ， z ) 表温度，它是时间变数t与空间变数此外，热传递由以下三种主要的方式： 鉴于假人内部的体温始终稳定在37℃，因此还应考虑人体作为热源对第IV层温度分布的影响(前三层可忽略)，最终，我们构建出温度分布的热传导模型为： 第一层： C I A ∂ T ∂ t ∂ ( K I ∂ T ∂ x ) ∂ x ， x ∈ ( 0 ， 0.6 ) ， t ∈ ( 0 ， t exp ) 第二层： C II A ∂ T ∂ t ∂ ( K II ∂ T ∂ x ) ∂ x ， x ∈ ( 0.6 ， 6.6 ) ， t ∈ ( 0 ， t exp ) 第三层： C III A ∂ T ∂ t ∂ ( K III ∂ T ∂ x ) ∂ x ， x ∈ ( 6.6 ， 10.2 ) ， t ∈ ( 0 ， t exp ) 第四层： d i v ( U T ) + C IV A ∂ T ∂ t ∂ ( K IV ∂ T ∂ x ) ∂ x ， x ∈ ( 10.2 ， 15.2 ) ， t ∈ ( 0 ， t exp ) 其中C A 表示显热容，单位kJ/(m 3 ∙K)；T为温度，单位K；t为时间，单位s；x为水平坐标，单位m；k为热传导率，单位W/(m∙K)；t exp = 1644 s；当环境温度变化幅度不大时，显热容C A 和热传导率k均近似看成常量，显热容的计算公式为： C A = ρ c p 式中 ρ 为对应织物的密度，单位kg/(m 3 )，c为对应织物的比热，单位J/(kg∙K)。 4.1.2. 热传导模型的求解差分方程法 本文采用有限差分方程法求解以多层高温作业防护服和人体皮肤为整体的偏微分方程组 [ 2 ] ，差分公式的推导如下 T x x ( x i − t j ) = T ( x i − h ， t j ) − 2 T ( x i ， t j ) + T ( x i + h ， t j ) h 2 + o ( h 2 ) ≈ T i − 1 ， j − 2 T i ， j + T i + 1 ， j h 2 T t ( x i − t j ) = T ( x i ， t j + k ) − T ( x i ， t j ) k + o ( k ) ≈ T i ， j + 1 − T i ， j k T i ， j + 1 − T i ， j k = T i − 1 ， j − 2 T i ， j + T i + 1 ， j h 2 r = c k h 2 T i ， j + 1 = ( 1 − 2 r ) T i ， j + r ( T i − 1 ， j + T i + 1 ， j ) 其图解如图5所示： 图5. 差分法图解 根据我们的假设，由于I，II，III各层的初始温度为室温25℃，外界温度为恒温75℃保持不变且I层最外侧的温度等于外界温度，各层之间的接触面是绝热的，针对第I层我们可得到如下初始条件和边界条件： 初始条件： T ( 0 ， t ) = 75 边界条件(绝热)： T ( x ， 0 ) = 25 T ( x 0 ， t ) = T ( x 0 ， t − 1 ) 又根据热力学定律，虽然热量的扩散是混乱无序的，但是其在沿垂直皮肤方向的传播始终是沿x轴正方向(朝向皮肤)的，因此热量在这个方向分量可视为有序的。为了更好地体现出热量传播的过程，我们把I层作为起始层，从I层开始逐层向下求解，并将函数上一层的末态作为下一层的初态，直到第IV层为止，其思维逻辑图如图6所示： 图6. 求解温度分布逻辑图 递推公式： T ( x 0 ， t ) 上 一 层 = T ( x 0 ， t ) 下 一 层 由于各层厚度不一，而且各层之间相差较大，我们不能忽略厚度对热量传导的影响，因此我们考虑也把厚度作为热量传导方程模型的自变量，又因为厚度在这里可以表示为x轴的变化量，所以我们选取足够小的0.6 mm作为一个厚度单位，在此厚度中温度保持不变，这样每一层可划分为几个不同长度的单位，再分别对每个单位求出温度变化曲线。利用matlab求解，最终绘制出的温度时空分布图如图7所示： 并且由结果可知当趋于平衡时，I，II，III，IV层的温度分别最终稳定在72.91℃，66.33℃，58.78℃，50.22℃。 4.2. 问题二的求解 穷举法的基本思想是根据题目的部分条件确定答案的大致范围，并在此范围内对所有可能的情况逐一验证，直到全部情况验证完毕。若某个情况验证符合题目的全部条件，则为本问题的一个解；若全部情况验证后都不符合题目的全部条件，则本题无解。穷举法也称为枚举法。 首先明确，这是一个单目标优化问题。 根据分析，这里采用了遍历算法，即对II层的厚度范围进行遍历，然后根据差分法求解皮肤的温度时间分布，即得到一个递增序列，根据其判断是否满足题目要求，即是否符合60分钟内假人皮肤外侧不超过37℃以及超过44℃的时间不超过5分钟。只要符合要求，则找出一个最优解(最小厚度)。 图7. 温度分布时空图 { T = 65 ˚ C Thick 4 = 5.5 Min ( thick2 ) T ( 30 ) | x = thick 1 + thick 2 + thick 3 + thick 4 < 47 ˚ C | { t | T ( t ) | x = thick 1 + thick 2 + thick 3 + thick 4 > 44 ˚ C 这里由于是按照由小到大的顺序遍历厚度，则只要找到了符合要求的解，即可退出循环，返回结果。需要说明的是，这里虽然把II层厚度分为了100份，但事实上，根据差分法得到的皮肤层的T(t)是非递减的，只要第一次找到了符合条件的厚度值，其实就已经找到了解。详细流程如图8所示： 4.3. 问题三的分析和求解 给定条件下的II层、IV层最优厚度求解——基于贪心和穷举算法贪心算法(又称贪婪算法)是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的是在某种意义上的局部最优解。 贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，关键是贪心策略的选择，选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状态以前的过程不会影响以后的状态，只与当前状态有关。直观上看，本题属于多目标任务，即寻求一个最佳的II层和IV层的厚度的组合。但是经过分析，我们发现，在不考虑单位价格(事实上，条件的限制导致无法得出各层单位厚度的价格关系)的合理假设上，同时仅仅考虑重量，决策目标变为： Min ( thick 2 + thick 4 ) 以下是基于程序暴力法和贪心算法的解法(图9)： Ø Step 1： 以II层厚度d ii 作为外层循环，以IV层厚度d iv 作为内层循环。具体来说，就是遍历一遍所有可能的II、IV层厚度组合； 图8. 问题二逻辑图 这里以II层作为外层循环，第一次找到的解其实就是最优解。这是因为IV层其实是没有材质的，因此在考虑总重量的时候是无需考虑它的，然而鉴于体积太大也是个不利的影响。即重量的权重高于体积。 Ø Step 2： 将组合作为已知条件带入问题1中的四层热传递模型。在程序中的体现就是，将组合作为实参传入微分方程求解函数difference_equation。此函数将进行热能的层层传递，从而得到皮肤的温度时间图，并返回其对应的数组TEM4。这里有一个小技巧：在进行基于上的微分方程求解之前，先检查一下是否的组合会优于已知的最优组合： If   thick 2 ( i ) + thick 4 ( j ) > ans 32 + ans 34 − − − − − − − − * Continue ; 这是因为，求解微分方程的代价是很大的，而*式的判断并不依赖于微分方程的结果，因此，事先判断当前组合是否已经优于了已知的最优组合能够提高算法效率。 Ø Step 3： 此时已经从Step 2中得到了数组TEM4，并且当前组合已经优于了已知的最优组合，现在只需判断在此厚度组合下，能否满足 1) 30分钟以内，假人皮肤外侧温度不超过47℃， 2) 超过44℃的时间不超过5分钟。一旦满足，则更新当前最优解。 图9. 问题三求解过程