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user: 3. 外积与Jacobi行列式的关系 本节从外积的角度对积分变换的内容进行直观的阐述，更有利于我们的理解，相关内容可参考教材 [ 3 ]。 3.1. 关于外积的定义 设 a = ( a 1 ， a 2 ) ， b = ( b 1 ， b 2 ) 是平面上两个线性无关的向量，那么由 a 和 b 为邻边的平行四边形的面积是 | a 1 a 2 b 1 b 2 | ，它是带有正号或者负的。 如果我们引入一个新的运算符号 ∧ 为： a ∧ b = | a 1 a 2 b 1 b 2 | ，它的几何意义就是以 a 和 b 为相邻两边的平行四边形的带有符号的面积。 ∧ 具有以下性质： 1) 重线性：假设 a ， b ， c 是三个向量， λ 是实数，可以推出 a ∧ ( b + c ) = a ∧ b + a ∧ c ， ( a + b ) ∧ c = a ∧ c + b ∧ c ， ( λ a ) ∧ b = a ∧ ( λ b ) = λ ( a ∧ b ) ， 2) 反交换性： a ∧ b = − b ∧ a ， 从而有 a ∧ a = 0. 面积所带符号的意义：设A是以 a ， b 为相邻两边的平行四边形，如果从向量 a 出发在A内旋转到向量 b 是逆时针方向(见图4)，则定义它的面积 a ∧ b 带正号，反之则定义它的面积带负号。 为了验证假设的合理性，我们可以在平面上设定一个直角坐标系，其中x轴和y轴构成了右手系，那么从 a = ( a 1 ， a 2 ) 到 b = ( b 1 ， b 2 ) 是逆时针的情况下有 a ∧ b = | a 1 a 2 b 1 b 2 | > 0 ， 当从 a 到 b 是逆时针时，上式为负，故假设合理。 图4. a， b为相邻两边的平行四边形 从图4中可以看出，当 a ⊥ b 时有 a ∧ b = | a | | b | ， 故在这种情况下，将外积运用到Jacobi行列式中与标准数学分析教材相同。 同样的在 R 3 上也有相同的定义：设 a = ( a 1 ， a 2 ， a 3 ) ， b = ( b 1 ， b 2 ， b 3 ) ， c = ( c 1 ， c 2 ， c 3 ) 是平面上两个线性无关的向量。定义 a ∧ b ∧ c = | a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 b 2 c 3 | ， 它的几何意义表示的是由 a ， b ， c 为相邻的三个棱边的平行六面体的带有符号的体积。 ∧ 在 R 3 中同样也具有重线性和反交换性。 称上面的运算 ∧ 为外积，则它是一个具有重线性和反交换性的运算。 例1 设 e 1 和 e 2 是 R 2 中的两个线性无关的向量， a 1 和 a 2 是任意两个向量，假设 a 1 = a 11 e 1 + a 12 e 2 ， a 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2 . 那么根据有外积的性质有 a 1 ∧ a 2 = ( a 11 e 1 + a 12 e 2 ) ∧ ( a 21 e 1 + a 22 e 2 ) = a 11 a 22 e 1 ∧ e 2 + a 12 a 21 e 2 ∧ e 1 = ( a 11 a 22 − a 12 a 21 ) e 1 ∧ e 2 = | a 11 a 12 a 21 a 22 | e 1 ∧ e 2 . 几何解释：上式左端表示以向量 a 1 和 a 2 为邻边的平行四边形且带有符号的面积，上式右端中的 e 1 ∧ e 2 表示以向量 e 1 和 e 2 为邻边的平行四边形且带有符号的面积。上式右端的行列式表示这两个面积之间带有符号的比例系数。如果从 a 1 到 a 2 和从 e 1 到 e 2 的方向是一致的，例如都是逆时针(或者都是逆时针)方向，那么行列式是正，反之行列式取负值。如果上式两端都取绝对值，那么取了绝对值的行列式就是面积 | a 1 ∧ a 2 | 和面积 | e 1 ∧ e 2 | 之间的比例系数。 例2 设 e 1 ， e 2 ， e 3 是 R 3 中的三个线性无关的向量， a 1 ， a 2 ， a 3 是任意两个向量，假设 a i = a i 1 e 1 + a i 2 e 2 + a i 3 e 3 i = 1 ， 2 ， 3. 那么根据有外积的性质有 a 1 ∧ a 2 ∧ a 3 = ( a 11 e 1 + a 12 e 2 + a 13 e 3 ) ∧ ( a 21 e 1 + a 22 e 2 + a 23 e 3 ) ∧ ( a 31 e 1 + a 32 e 2 + a 33 e 3 ) = | a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 | e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 . 上式右端的行列式表示这两个带有符号的体积之间的比例系数，其中一个是 a 1 ∧ a 2 ∧ a 3 ，另一个是 e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 。上式两边同时取绝对值，那么取了绝对值的行列式就是体积 | a 1 ∧ a 2 ∧ a 3 | 和体积 | e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 | 之间的比例系数。 3.2. 将外积应用到Jacobi行列式中 将 d x ∧ d y 看作以无穷小量元素 d x 和 d y 为相邻两边的平行四边形的带有符号的面积，在通常的笛卡尔坐标系中 d x ∧ d y 带有正号。 例3 设极坐标变换 T : x = r cos θ ， y = r sin θ ，那么有 d x = ∂ x ∂ r d r + ∂ x ∂ θ d θ = cos θ d r − r sin θ d θ ， d y = ∂ y ∂ r d r + ∂ y ∂ θ d θ = sin θ d r + r cos θ d θ ， 如果将 d x ， d y ， d r ， d θ 都看作向量，利用外积的性质有 d x ∧ d y = ( cos θ d r − r sin θ d θ ) ∧ ( sin θ d r + r cos θ d θ ) = r cos 2 θ d r ∧ d θ − r sin 2 θ d θ ∧ d r = | cos θ − r sin θ sin θ r cos θ | d r ∧ d θ = r ( cos 2 θ + sin 2 θ ) d r ∧ d θ = r d r ∧ d θ . 几何意义：在笛卡尔坐标系中以 d x 和 d y 为相邻两边的无穷小平行四边形的面积也就是直角坐标系中的面积微元，经过极坐标变换变为 r d r ∧ d θ ，称 d r ∧ d θ 为极坐标系下的面积微元，其中 d r ∧ d θ 总是正的，r是两个面积之间的比例系数也就函数行列式的绝对值。 定义3.2.1 设变换 T : x = x ( u ， v ) ， y = y ( u ， v ) ，其中 ( u ， v ) ∈ D ′ ， ( x ， y ) ∈ D ，并且假设 1) 函数 x ( u ， v ) ， y ( u ， v ) 将区域 D 和 D ′ 一一对应； 2) 函数 x ( u ， v ) ， y ( u ， v ) 在区域 D ′ 内具有连续的一阶偏导数，且它们的逆映射 u = u ( x ， y ) ， v = v ( x ， y ) 在区域 D 内也具有连续的一阶偏导数。 3) 变换 T 的函数行列式 J = | x u x v y u y v | ≠ 0 ， ( u ， v ) ∈ D ′ ， 则称这个变换是从区域 D 到 D ′ 的正则变换。 因为 d x = x u d u + x v d v ， d y = y u d u + y v d v ，所以有 d x ∧ d y = ( x u d u + x v d v ) ∧ ( y u d u + y v d v ) = x u y v d u ∧ d v + x v y u d v ∧ d u = | x u x v y u y v | d u ∧ d v = ∂ ( x ， y ) ∂ ( u ， v ) d u ∧ d v . 几何解释：假设 d x ∧ d y 和 d u ∧ d v 均取正号，那么在正则变换下直角坐标系中的面积元素 d x ∧ d y 可变换为曲面坐标系下的面积元素 | ∂ ( x ， y ) ∂ ( u ， v ) | d u ∧ d v ，其中 | ∂ ( x ， y ) ∂ ( u ， v ) | 是变换 x = x ( u ， v ) ， y = y ( u ， v ) 的函数行列式的绝对值。 3.3. 二重积分变换 定理1 设 D 是 x y 平面上可求面积的区域，函数 f ( x ， y ) 在 D 上连续可积分，存在变换 T : x = x ( u ， v ) ， y = y ( u ， v ) ， ( u ， v ) ∈ D ′ 是从 D 到 D ′ 的正则变换，那么在直角坐标系下的面积元素变换成为曲面坐标系下的面积元素 | ∂ ( x ， y ) ∂ ( u ， v ) | d u ∧ d v ，取绝对值保证面积取正，则有 ∬ D f ( x ， y )   d x d y = ∬ D ′ f ( x ( u ， v ) ， y ( u ， v ) ) | ∂ ( x ， y ) ∂ ( u ， v ) | d u d v . (8) 推论1作极坐标变换 T : { x = r cos θ ， y = r sin θ ， 0 ≤ r < + ∞ ， 0 ≤ θ < 2 π 则由(8)式可得出 ∬ D f ( x ， y )   d x d y = ∬ D ′ f ( r cos θ ， r sin θ )   r d r d θ . 推论2作广义极坐标变换 T : { x = a r cos θ ， y = b r sin θ ， 0 ≤ r < + ∞ ， 0 ≤ θ < 2 π 坐标代换下Jacobi行列式 ∂ ( x ， y ) ∂ ( u ， v ) = a b r ，则由(8)式可得出 ∬ D f ( x ， y )   d x d y = ∬ D ′ f ( a r cos θ ， b r sin θ )   a b r d r d θ . 3.4. 三重积分的坐标变换 定理2 设三重积分 ∭ f ( x ， y ， z )   d x d y d z 作坐标变换 T : x = x ( u ， v ， w ) ， y = y ( u ， v ， w ) ， z = z ( u ， v ， w ) ， ( u ， v ， w ) ∈ V ′ ，并要求这一变换是正则变换即满足条件 1) 函数 x ( u ， v ， w ) ， y ( u ， v ， w ) ， z ( u ， v ， w ) 将区域 V 与区域 V ′ 一一对应； 2) 函数 x ( u ， v ， w ) ， y ( u ， v ， w ) ， z ( u ， v ， w ) 在区域 V ′ 内具有连续的一阶偏导数，且它们的逆映射 u = u ( x ， y ， z ) ， v = v ( x ， y ， z ) ， w = w ( x ， y ， z ) 在区域 V 内也具有连续的一阶偏导数； 3) 变换T的函数行列式 J = ∂ ( x ， y ， z ) ∂ ( u ， v ， w ) = | x u x v x w y u y v y w z u z v z w | ≠ 0 此时积分区间由 V 变换为 V ′ ，直角坐标系下的体积元素 d x d y d z 变换为 d x ∧ d y ∧ d z = ( x u d u + x v d v + x w d w ) ∧ ( x u d u + x v d v + x w d w ) ∧ ( x u d u + x v d v + x w d w ) = | x u x v x w y u y v y w z u z v z w | d u ∧ d v ∧ d w = ∂ ( x ， y ， z ) ∂ ( u ， v ， w ) d u ∧ d v ∧ d w ， 称 | ∂ ( x ， y ， z ) ∂ ( u ， v ， w ) | d u d v d w 是曲面坐标系中的体积元素，所以有 ∭ V f ( x ， y ， z )   d x d y d z = ∭ V ′ f ( x ( u ， v ， w ) ， y ( u ， v ， w ) ， z ( u ， v ， w ) ) | ∂ ( x ， y ， z ) ∂ ( u ， v ， w ) | d u d v d w . 推论1 作柱坐标变换 T : { x = r cos θ ， y = r sin θ ， z = z ， 0 ≤ r < + ∞ 0 ≤ θ ≤ 2 π ， − ∞ < z < + ∞ . 在柱坐标变换下的体积元素为 | ∂ ( x ， y ， z ) ∂ ( r ， θ ， z ) | d r d θ d z = r d r d θ d z . 推论2 作球坐标变换 T : { x = r cos φ cos θ ， 0 ≤ r < + ∞ ， y = r cos φ sin θ ， 0 ≤ θ ≤ 2 π ， z = r sin φ ， − π 2 ≤ φ ≤ π 2 . 在球坐标变换下，体积元素为 | ∂ ( x ， y ， z ) ∂ ( r ， φ ， θ ) | d r d φ d θ = r 2 cos φ d r d φ d θ .