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user: 3. 引理及结论 定义1 [ 13 ] ：对于系统(1)，若 φ ∈ R n ， r 0 ∈ ξ 时满足以下条件 ε { ∫ 0 ∞ ‖ x ( t ) ‖ 2 d t | φ ， r 0 } < ∞ (5) 则系统是随机稳定的。 引理1 [ 14 ] ：(Ito’s lemma)若 V ( x t ， t > 0 ， r t = i ) = V ( x t ， t ， i ) ，Lyapunov函数满足以下等式 L V ( x t ， t ， i ) = lim Δ → 0 + 1 Δ [ E { V ( x t + Δ ， t + Δ ， r t + Δ ) | x t ， r t = i } − V ( x t ， t ， i ) ] (6) 则系统是稳定的。 引理2 [ 15 ] ：(Jensen’s inequality)假设 h ∈ R n 和 x ( t ) ∈ R n ，对于任意正定矩阵W有以下不等式成立 − h ∫ t − h t x ˙ T ( s ) W x ˙ ( s ) d s ≤ [ x ( t ) x ( t − h ) ] T [ − W W W − W ] [ x ( t ) x ( t − h ) ] (7) 引理3 [ 16 ] ：对于任意正定矩阵 S ∈ R n × n ，标量 α > β ，向量函数 S : [ α ， β ] → ℜ n 可积时有以下不等式成立 ( α − β ) ∫ β α x T ( s ) S x ( s ) d s ≥ ( ∫ β α x T ( s ) d s ) S ( ∫ β α x ( s ) d s ) (8) 为方便起见，有以下代替 A ( r t ， t ) = A i ， B ( r t ， t ) = B i ， C ( r t ， t ) = C i ， P ( r t ， t ) = P i . 定理1：若存在实对称矩阵 P i = P i T ∈ ℜ n × n ，适当维数的实矩阵 R 1 i ， R 2 i ， T 1 ， T 2 ， W 1 ， W 2 ， Q ∈ ℜ n × n 且 R 1 i > 0 ， R 2 i > 0 ， T 1 > 0 ， T 2 > 0 ， W 1 > 0 ， W 2 > 0 ， N > 0 ， Q > 0 ，则系统(1)是随机稳定的。 Φ = [ ϕ 11 A i T N ϕ 13 0 W 1 W 2 0 0 ϕ 19 * ϕ 22 N B i 0 0 0 0 0 N C i * * ϕ 33 0 0 0 0 0 − B i T N C i * * * ϕ 44 0 0 0 0 0 * * * * − W 1 0 0 0 0 * * * * * − W 2 0 0 0 * * * * * * ϕ 77 0 0 * * * * * * * ϕ 88 0 * * * * * * * * ϕ 99 ] < 0 (9) ∑ j = U k i λ i j ( R 1 j − R 1 i ) < 0 ; ∑ j = U k i λ i j ( R 2 j − R 2 i ) < 0 ; P j − P i ≤ 0 ， j ∈ U u k i ， j ≠ i ; R 1 j − R 1 i ≤ 0 ， j ∈ U u k i ， j ≠ i ; R 1 j − R 1 i ≥ 0 ， j ∈ U k i ， j = i ; R 2 j − R 2 i ≥ 0 ， j ∈ U k i ， j = i ; R 2 j − R 2 i ≤ 0 ， j ∈ U u k i ， j ≠ i . 其中 ϕ 11 = P i A i + A i T P i + R 1 i + R 2 i + T 1 + T 2 − W 1 − W 2 − A i T N A i + ∑ j = U k i λ i j ( P j − P i ) ， ϕ 13 = P i B i − A i T N B i ， ϕ 19 = P i C i − A i T N C i ， ϕ 22 = h 2 W 1 + τ 2 W 2 − N + Q ， ϕ 33 = − ( 1 − μ 1 ) R 1 i − B i T N B i ， ϕ 44 = − ( 1 − μ 2 ) R 2 i ， ϕ 77 = − ( 1 − μ 1 ) T 1 ， ϕ 88 = − ( 1 − μ 2 ) T 2 ， ϕ 99 = − C i T N C i − ( 1 − μ 2 ) Q . 证明：构造lyapunov函数 V ( x t ， t ， r t ) = ∑ n = 1 5 V n ( x t ， t ， r t ) (10) 其中 V 1 ( x t ， t ， r t ) = x T ( t ) P ( r t ， t ) x ( t ) ， V 2 ( x t ， t ， r t ) = ∫ t − h ( t ) t x T ( s ) R 1 ( r t ， t ) x ( s ) d s + ∫ t − τ ( t ) t x T ( s ) R 2 ( r t ， t ) x ( s ) d s ， V 3 ( x t ， t ， r t ) = ∫ t − h ( t ) − τ t x T ( s ) T 1 x ( s ) d s + ∫ t − τ ( t ) − h t x T ( s ) T 2 x ( s ) d s ， V 4 ( x t ， t ， r t ) = ∫ t − τ ( t ) t x ˙ T ( s ) Q x ˙ ( s ) d s ， V 5 ( x t ， t ， r t ) = ∫ − h 0 ∫ t + θ t x ˙ T ( s ) h W 1 x ˙ ( s ) d s d θ + ∫ − τ 0 ∫ t + θ t x ˙ T ( s ) τ W 2 x ˙ ( s ) d s d θ . 由引理1可得 L V 1 ( x t ， t ， i ) = 2 x T ( t ) P i [ A i x ( t ) + B i x ( t − h ( t ) ) + C i x ˙ ( t − τ ( t ) ) ] + x T ( t ) ∑ j = 1 N λ i j P j x ( t ) = x T ( t ) ( P i A i + A i T P i ) x ( t ) + 2 x T ( t ) P i B i x ( t − h ( t ) )     + 2 x T ( t ) P i C i x ˙ ( t − τ ( t ) ) + x T ( t ) ∑ j = 1 N λ i j P j x (t) L V 2 ( x t ， t ， i ) = x T ( t ) R 1 i x ( t ) − ( 1 − h ˙ ( t ) ) x T ( t − h ( t ) ) R 1 i x ( t − h ( t ) ) + ∫ t − h ( t ) t x T ( s ) ( ∑ j = 1 N λ i j R 1 j ) x ( s ) d s     + x T ( t ) R 2 i x ( t ) − ( 1 − τ ˙ ( t ) ) x T ( t − τ ( t ) ) R 2 i x ( t − τ ( t ) ) + ∫ t − τ ( t ) t x T ( s ) ( ∑ j = 1 N λ i j R 2 j ) x ( s ) d s ≤ x T ( t ) ( R 1 i + R 2 i ) x ( t ) − ( 1 − μ 1 ) x T ( t − h ( t ) ) R 1 i x ( t − h ( t ) ) + ∫ t − h ( t ) t x T ( s ) ( ∑ j = 1 N λ i j R 1 j ) x ( s ) d s     − ( 1 − μ 2 ) x T ( t − τ ( t ) ) R 2 i x ( t − τ ( t ) ) + ∫ t − τ ( t ) t x T ( s ) ( ∑ j = 1 N λ i j R 2 j ) x ( s ) d s L V 3 ( x t ， t ， i ) = x T ( t ) T 1 x ( t ) − ( 1 − h ˙ ( t ) ) x T ( t − h ( t ) − τ ) T 1 x ( t − h ( t ) − τ ) + x T ( t ) T 2 x ( t )     − ( 1 − τ ˙ ( t ) ) x T ( t − τ ( t ) − h ) T 2 x ( t − τ ( t ) − h ) ≤ x T ( t ) ( T 1 + T 2 ) x ( t ) − ( 1 − μ 1 ) x T ( t − h ( t ) − τ ) T 1 x ( t − h ( t ) − τ )     − ( 1 − μ 2 ) x T ( t − τ ( t ) − h ) T 2 x ( t − τ ( t ) − h ) (11) L V 4 ( x t ， t ， i ) = x ˙ T ( t ) Q x ˙ ( t ) − ( 1 − τ ˙ ( t ) ) x ˙ T ( t − τ ( t ) ) Q x ˙ ( t − τ ( t ) ) ≤ x ˙ T ( t ) Q x ˙ ( t ) − ( 1 − μ 2 ) x ˙ T ( t − τ ( t ) ) Q x ˙ ( t − τ ( t ) ) (12) 由引理2：(Jensen’s inequality)，可得 L V 5 ( x t ， t ， i ) = h 2 x ˙ T ( t ) W 1 x ˙ ( t ) − h ∫ t − h t x ˙ T ( s ) W 1 x ˙ ( s ) d s + τ 2 x ˙ T ( t ) W 2 x ˙ ( t ) − τ ∫ t − τ t x ˙ T ( s ) W 2 x ˙ ( s ) d s ≤ h 2 x ˙ T ( t ) W 1 x ˙ ( t ) + [ x ( t ) x ( t − h ) ] T [ − W 1 W 1 W 1 − W 1 ] [ x ( t ) x ( t − h ) ]     + τ 2 x ˙ T ( t ) W 2 x ˙ ( t ) + [ x ( t ) x ( t − τ ) ] T [ − W 2 W 2 W 2 − W 2 ] [ x ( t ) x ( t − τ ) ] = x ˙ T ( t ) ( h 2 W 1 + τ 2 W 2 ) x ˙ ( t ) + x T ( t ) ( − W 1 − W 2 ) x ( t ) + x T ( t − h ) W 1 x ( t )     + x T ( t ) W 1 x ( t − h ) + x T ( t − h ) ( − W 1 ) x ( t − h ) + x T ( t − τ ) W 2 x ( t )     + x T ( t ) W 2 x ( t − τ ) + x T ( t − τ ) ( − W 2 ) x ( t − τ ) (13) 由 − ∑ j = 1 ， j ≠ i N λ i j = 0 可得 − x T ( t ) ( ∑ j = 1 N λ i j P i ) x ( t ) = 0 ， ∀ i ∈ ξ (14) − ∫ t − h ( t ) t x T ( s ) ( ∑ j = 1 N λ i j R 1 i ) x ( s ) d s = 0 ， ∀ i ∈ ξ (15) − ∫ t − τ ( t ) t x T ( s ) ( ∑ j = 1 N λ i j R 2 i ) x ( s ) d s = 0 ， ∀ i ∈ ξ (16) 由(14)~(16)式，有以下不等式成立 L V 1 ( x t ， t ， i ) = x T ( t ) ( P i A i + A i T P i ) x ( t ) + 2 x T ( t ) P i B i x ( t − h ( t ) ) + 2 x T ( t ) P i C i x ˙ ( t − τ ( t ) )     + x T ( t ) ∑ j = U k i λ i j ( P j − P i ) x ( t ) + x T ( t ) ∑ j = U u k i λ i j ( P j − P i ) x ( t ) (17) L V 2 ( x t ， t ， i ) ≤ x T ( t ) ( R 2 i + R 1 i ) x ( t ) − ( 1 − μ 1 ) x T ( t − h ( t ) ) R 1 i x ( t − h ( t ) )     + ∫ t − h ( t ) t x T ( s ) ∑ j = U k i λ i j ( R 1 j − R 1 i ) x ( s ) d s + ∫ t − h ( t ) t x T ( s ) ∑ j = U u k i λ i j ( R 1 j − R 1 i ) x ( s ) d s     − ( 1 − μ 2 ) x T ( t − τ ( t ) ) R 2 i x ( t − τ ( t ) ) + ∫ t − τ ( t ) t x T ( s ) ∑ j = U k i λ i j ( R 2 j − R 2 i ) x ( s ) d s     + ∫ t − τ ( t ) t x T ( s ) ∑ j = U u k i λ i j ( R 2 j − R 2 i ) x ( s ) d s (18) 从系统(1)可知 ϒ T ( − N ) ϒ = 0 (19) 其中 ϒ = − x ˙ ( t ) + A i x ( t ) + B i x ( t − h ( t ) ) + C i x ˙ ( t − τ (t)) 综合(11)~(13)和(17)~(19)式，可得 L V ( x t ， t ， i ) = ∑ n = 1 5 L V n ( x t ， t ， i ) ≤ ξ T ( t ) Φ ξ ( t ) + x T ( t ) ∑ j = U u k i λ i j ( P j − P i ) x ( t ) + ∫ t − h ( t ) t x T ( s ) ∑ j = U u k i λ i j ( R 1 j − R 1 i ) x ( s ) d s + ∫ t − h ( t ) t x T ( s ) ∑ j = U k i λ i j ( R 1 j − R 1 i ) x ( s ) d s + ∫ t − τ ( t ) t x T ( s ) ∑ j = U k i λ i j ( R 2 j − R 2 i ) x ( s ) d s + ∫ t − τ ( t ) t x T ( s ) ∑ j = U u k i λ i j ( R 2 j − R 2 i ) x ( s ) d s 其中 ξ T ( t ) = [ x ( t ) x ˙ ( t ) x ( t − h ( t ) ) x ( t − τ ( t ) ) x ( t − h ) x ( t − τ ) x ( t − h ( t ) − τ ) x ( t − τ ( t ) − h ) x ˙ ( t − τ ( t ) ) ] T 可得稳定性的充分条件 L V ( x t ， t ， i ) ≤ 0 ，即 ε { ∫ 0 ∞ ‖ x ( t ) ‖ 2 d t | φ ， r 0 } < ∞ (20) 证明系统(1)是随机稳定的。 其次，考虑以下具有时变时滞和分布时滞的中立型马尔科夫跳跃系统 { x ˙ ( t ) − C ( r t ， t ) x ˙ ( t − τ ( t ) ) = A ( r t ， t ) x ( t ) + B ( r t ， t ) x ( t − h ( t ) ) + D ( r t ， t ) ∫ t − r t x ( s ) d s ， x ( t 0 + θ ) = 0 ， ∀ θ ∈ [ − 2 ρ ， 0 ] . (21) 推论1：若存在实对称矩阵 P i = P i T ∈ ℜ n × n ，适当维数的实矩阵 R 1 i ， R 2 i ， T 1 ， T 2 ， W 1 ， W 2 ， Q ， S ∈ ℜ n × n 且 R 1 i > 0 ， R 2 i > 0 ， T 1 > 0 ， T 2 > 0 ， W 1 > 0 ， W 2 > 0 ， N > 0 ， Q > 0 ， S > 0 ，则系统(21)是随机稳定的。 Φ ˜ = [ ϕ ˜ 11 A i T N ϕ ˜ 13 0 W 1 W 2 0 0 ϕ ˜ 19 ϕ ˜ 1 ， 10 * ϕ ˜ 22 N B i 0 0 0 0 0 N C i N D i * * ϕ ˜ 33 0 0 0 0 0 ϕ ˜ 39 ϕ ˜ 3 ， 10 * * * ϕ ˜ 44 0 0 0 0 0 0 * * * * − W 1 0 0 0 0 0 * * * * * − W 2 0 0 0 0 * * * * * * ϕ ˜ 77 0 0 0 * * * * * * * ϕ ˜ 88 0 0 * * * * * * * * ϕ ˜ 99 ϕ ˜ 9 ， 10 * * * * * * * * * ϕ ˜ 10 ， 10 ] < 0 (22) ∑ j = U k i λ i j ( R 1 j − R 1 i ) < 0 ; ∑ j = U k i λ i j ( R 2 j − R 2 i ) < 0 ; P j − P i ≤ 0 ， j ∈ U u k i ， j ≠ i ; R 1 j − R 1 i ≤ 0 ， j ∈ U u k i ， j ≠ i ; R 1 j − R 1 i ≥ 0 ， j ∈ U k i ， j = i ; R 2 j − R 2 i ≥ 0 ， j ∈ U k i ， j = i ; R 2 j − R 2 i ≤ 0 ， j ∈ U u k i ， j ≠ i . 其中 ϕ ˜ 11 = P i A i + A i T P i + R 1 i + R 2 i + T 1 + T 2 − W 1 − W 2 − A i T N A i + r S + ∑ j = U k i λ i j ( P j − P i ) ， ϕ ˜ 13 = P i B i − A i T N B i ， ϕ ˜ 19 = P i C i − A i T N C i ， ϕ ˜ 1 ， 10 = P i D i − A i T N D i ， ϕ ˜ 22 = h 2 W 1 + τ 2 W 2 − N + Q ， ϕ ˜ 33 = − ( 1 − μ 1 ) R 1 i − B i T N B i ， ϕ ˜ 39 = − B i T N C i ， ϕ ˜ 3 ， 10 = − B i T N D i ， ϕ ˜ 44 = − ( 1 − μ 2 ) R 2 i ， ϕ ˜ 77 = − ( 1 − μ 1 ) T 1 ， ϕ ˜ 88 = − ( 1 − μ 2 ) T 2 ， ϕ ˜ 99 = − C i T N C i − ( 1 − μ 2 ) Q ， ϕ ˜ 9 ， 10 = − C i T N D i ， ϕ ˜ 9 ， 10 = − D i T N D i − ( 1 / r ) S . 证明：推论1的证明过程和定理1类似，但需要构造如下的lyapunov函数 V 6 ( x t ， t ， r t ) = ∫ − r 0 ∫ t + θ t x T ( s ) S x ( s ) d s d θ 由引理3得 L V 6 ( x t ， t ， i ) = r x T ( t ) S x ( t ) − ∫ t − r t x T ( s ) S x ( s ) d s ≤ r x T ( t ) S x ( t ) − 1 r ( ∫ t − r t x T ( s ) d s ) S ( ∫ t − r t x ( s ) d s ) (23) 同理，由系统(21)可得 ϒ ˜ T ( − N ) ϒ ˜ = 0 (24) 其中 ϒ ˜ = − x ˙ ( t ) + A i x ( t ) + B i x ( t − h ( t ) ) + C i x ˙ ( t − τ ( t ) ) + D i ∫ t − r t x ( s ) d s 综合(11)~(13)、(17)~(19)、(23)和(24)式，得证推论1。