system: [SYSTEM]

user: 3. 子系统动力学分析 3.1. 解的正性与有界性 在本小节中，我们主要研究模型(1.1)在区域 G i ， i = 1 ， 2 上的动力学行为。在开始讨论本节之前，首先给出两个引理保证模型(1.1)解的正性和有界性，说明模型(1.1)的建立符合生物学意义。 引理3.1 [ 7 ] 假设 ( S ( t ) ， I ( t ) ) 为模型(1.1)满足初始条件 S ( 0 ) = S 0 > 0 和 I ( 0 ) = I 0 > 0 的解，定义区间为 [ 0，T ) ，其中 T ∈ [ 0 ， + ∞ ) 。则对于所有的 t ∈ [ 0，T ) 有 S ( t ) > 0 且 I ( t ) > 0 。 由模型(1.1)的第一个方程，得到 d S d t | S = 0 = A > 0 所以当 S 0 > 0 有 S ( t ) > 0 。接下来用反证法证明 I ( t ) > 0 。假设存在 t 0 使得 I ( t 0 ) ≤ 0 ，那么存在 t 1 > 0 使得 I ( t 1 ) = 0 并且对于所有的 t ∈ [ 0 ， t 1 ) ，有 I ( t ) > 0 。由模型(1.1)的第二个方程可以得到对于所有的 t ∈ [ 0 ， t 1 ) 有 d I d t = I ( β S − η 2 ) ≥ − η 2 I ， 因此当 t ∈ [ 0 ， t 1 ) 时有 I ( t ) ≥ I 0 e − η 2 t 。特别地，有 I ( t 1 ) ≥ I 0 e − η 2 t 1 > 0 这和 I ( t 1 ) = 0 相矛盾。证毕。 引理3.2 [ 7 ] 假设 ( S ( t ) ， I ( t ) ) 为模型(1.1)满足初始条件 S ( 0 ) = S 0 > 0 和 I ( 0 ) = I 0 > 0 的解，则解 ( S ( t ) ， I ( t ) ) 的存在区间能延拓到 [ 0 ， + ∞ ) 。此外，解 ( S ( t ) ， I ( t ) ) 在区间 [ 0 ， + ∞ ) 上有界。 设 ( S ( t ) ， I ( t ) ) 为模型(1.1)满足初始条件 S ( 0 ) = S 0 > 0 和 I ( 0 ) = I 0 > 0 的解，且解的最大存在区间为 [ 0，T ) ，其中 T ∈ [ 0 ， + ∞ ) 。令 N = S + I 。有 N ′ = A − η 1 S + φ p S − η 2 I           ≤ A − η 1 S + p S − η 2 I           ≤ A − ξ N ， 其中 ξ = min { η 1 − p ， η 2 } 。因此 d d t ( N ( t ) e ξ t ) = e ξ t ( N ′ ( t ) + ξ N ( t ) ) ≤ A e ξ t (2.1) 同时对不等式(2.1)两边进行0到T积分 N ( T ) e ξ T − N ( 0 ) = ∫ 0 T d d t ( N ( t ) e ξ t ) d t ≤ ∫ 0 T A e ξ t d t = A ξ ( e ξ T − 1 ) 其中 N ( 0 ) = S ( 0 ) + I ( 0 ) = S 0 + I 0 ，当 N ( 0 ) ≤ A ξ ，有 N ( T ) e ξ T ≤ N ( 0 ) + A ξ ( e ξ T − 1 ) ≤ A ξ e ξ T (2.2) 根据不等式(2.2)得到 N ( T ) ≤ A ξ ，这说明解 ( S ( t ) ， I ( t ) ) 在 [ 0，T ) 上有界。利用延拓定理可得解 ( S ( t ) ， I ( t ) ) 在 [ 0 ， + ∞ ) 上有界。 3.2. 子区域上的动力学行为 这部分我们讨论 F i 在区域 G i 上的全局动力行为，其中 i = 1 ， 2 。首先，通过计算得到子系统 F i 的无病平衡点 E 0 i = ( S 0 i ， 0 ) ， i = 1 ， 2 为 E 01 = ( A η 1 − p ， 0 )   ，       E 02 = ( A η 1 ， 0 ) . 应用下一代矩阵方法，计算子系统 F i 的基本再生数 R i ， i = 1 ， 2 。 R 1 = A β η 2 ( η 1 − p ) ，     R 2 = A β η 1 η 2 . 对于子系统 F i 而言，当 R i < 1 时，不存在地方病平衡点。当 R i > 1 时，存在唯一的地方病平衡点 E i = ( S i ， I i ) ， i = 1 ， 2 。通过计算，子系统的无病平衡点 E i 为： E 1 = ( S 1 ， I 1 ) = ( η 2 β ， A β − η 2 ( η 1 − p ) β η 2 ) ，     E 2 = ( S 2 ， I 2 ) = ( η 2 β ， A β − η 1 η 2 β η 2 ) . 我们得到如下结果。 定理3.3 对于子系统 F i 而言，当 R i < 1 时，无病平衡点 E 0 i 是全局渐近稳定的；当 R i > 1 时，地方病平衡点 E i 是全局渐近稳定的，其中 i = 1 ， 2 。 证明 当 R i < 1 时，考虑Lyapunov函数 V ( S ， I ) = ( S − S 0 i − S 0 i ln I S 0 i ) + I ，       i = 1 ， 2. 函数 V ( S ， I ) 沿着子系统 F i 求导 d V d t = − ( η 1 − ϱ i p ) ( S − S 0 i ) 2 S + β S 0 i I − η 2 I             = − ( η 1 − ϱ i p ) ( S − S 0 i ) 2 S − ( 1 − R i ) η 2 I (3.1) 其中 ϱ i = { 1 ， i = 1 ， 0 ， i = 2. 当 R i < 1 时， d V d t ≤ 0 。 d V d t = 0 当且仅当 S = S 0 i ， I = 0 。根据LaSalle不变原理，此时子系统 F i 的无病平衡点 E 0 i 是全局渐近稳定的。 当 R i > 1 时，可以将系统(1.1)的平衡点 E i 表示成 E i = ( S i ， I i ) = ( η 2 β ， A β − η 2 ( η 1 − ϱ i p ) β η 2 ) ，               i = 1 ， 2. 我们将子系统 F i 用如下形式表示： { d S d t = − ( η 1 − ϱ i p + β I ) ( S − S i ) − S i ( I − I i ) ， d I d t = β ( S − S i ) I . ，         i = 1 ， 2. 考虑Lyapunov函数 V ( S ， I ) = 1 2 ( S − S i ) 2 + S i ( I − I i − I i ln I I i ) ，           i = 1 ， 2. 函数 V ( S ， I ) 沿着子系统 F i 求导 d V d t = − ( η 1 − ϱ i p + β I ) ( S − S i ) 2 − β S i ( S − S i ) ( I − I i ) + β S i ( S − S i ) ( I − I i )             = − ( η 1 − ϱ i p + β I ) ( S − S i ) 2             ≤ 0 ， d V d t = 0 当且仅当 S = S i ， I = I i 。根据LaSalle不变原理，此时子系统 F i 的地方病平衡点 E i 是全局渐近稳定的。 3.3. 不连续边界上的动力学行为 这一部分主要我们分析模型(1.1)在不连续边界 σ 1 上的动力学行为，其中不连续边界 σ 1 可以表示为 H ( S ， I ) = I − σ 1 。包括滑模区域、在滑模区域上所定义的滑模方程以及是否存在伪平衡点。 根据滑模区域的定义，当 ( ∇ H ， F 1 ) ≥ 0 并且 ( ∇ H ， F 2 ) ≤ 0 时 σ 1 上存在滑模区域。解不等式 β S I − η 2 I ≥ 0 并且 β S I − η 2 I ≤ 0 ，得 ∑ = { ( S ， I ) ∈ σ 1 | S = η 2 β } 是一个单点集。 E p = ( S p ， σ 1 ) = ( η 2 β ， σ 1 ) 是系统的一个伪焦点。 我们利用微分包含定义不连续边界 σ 1 上的向量场方程，向量场方程如下： F S ( S ， I ) = λ F 1 ( S ， I ) + ( 1 − λ ) F 2 ( S ， I )                         = ( A − β σ 1 S − η 1 S + λ p S β σ 1 S − η 2 σ 1 ) ，                 λ ∈ ( 0 ， 1 ) . 因为 ( 0 ， 0 ) ∈ F S ( η 2 β ， σ 1 ) ，得 λ = − A + β σ 1 S + η 1 S p S 。伪焦点 E p 存在的条件为 λ ∈ ( 0 ， 1 ) ，解得 A β − η 1 η 2 β η 2 < σ 1 < A β − η 1 ( η 2 − p ) β η 2 ，即 I 2 < σ 1 < I 1 当时，伪焦点 E p 存在。