system: [SYSTEM]

user: 2. 预备知识 定义2.1 函数 u ( t ) 的 α 阶Riemann-Liouville分数阶积分定义如下， ( I a + t α u ) ( t ) : = 1 Γ ( α ) ∫ a t ( t − s ) α − 1 u ( s ) d s ， t ∈ [ a ， b ] 其中 Γ ( α ) = ∫ 0 ∞ t α − 1 e − t d t ， α > 0 ，是Gamma函数。 定义2.2 函数 u ( t ) 的 α 阶Caputo分数阶导数定义如下， ( D a + C t α ) u ( t ) = ( I a + t n − α u ( n ) ) ( t ) = 1 Γ ( n − α ) ∫ a t u ( n ) ( s ) ( t − s ) α + 1 − n d s ， t ∈ [ a ， b ] 其中 α > 0 ， n = [ α ] + 1 ， [ α ] 表示不大于 α 的最大整数。 通过定义2.1和定义2.2可知， ( I a + t α ( D a + C t α u ) ) ( t ) = u ( t ) + C 1 + C 2 t + ⋯ + C n t n − 1 。 令 X = C ( [ 0 ， 1 ] ) 是一个实Banach空间，其中定义的范数为 ‖ u ‖ = max t ∈ J | u ( x ) | ， j = [ 0 ， 1 ] ，令 K 是 X 中所有非负函数组成的锥。 定理2.1 [ 19 ] 令 ( X ， ‖ ⋅ ‖ ) 是一个赋范线性空间， K 1 ， K 2 是 X 中的两个锥， K = K 1 × K 2 ；对于 i = 1 ， 2 ， r ， R ∈ R + 2 ， 0 < r i < R i ，定义 K r ， R : = { u = ( u 1 ， u 2 ) ∈ K : r i ≤ ‖ u i ‖ ≤ R i ， i = 1 ， 2 } ，令 N : = K r ， R → K ， N = ( N 1 ， N 2 ) 为一个紧映射。假设对于 i = 1 ， 2 ， K r ， R 满足下列条件之一： a) 若 ‖ u i ‖ = r i ，则 u i − N i ( u ) ∉ K i ，且若 ‖ u i ‖ = R i ，则 N i ( u ) − u i ∉ K i ； b) 若 ‖ u i ‖ = r i ，则 N i ( u ) − u i ∉ K i ，且若 ‖ u i ‖ = R i ，则 u i − N i ( u ) ∉ K i ； 那么 N 有一个不动点使得 u i = N i ( u 1 ， u 2 ) 且 r i < ‖ u i ‖ < R i ， i = 1 ， 2 。 推论2.1 [ 19 ] 在定理2.1的假设下， u ∈ K r ， R 有四种可能情况： 1) 若 ‖ u 1 ‖ = r 1 ，则 u 1 − N 1 ( u ) ∉ K 1 ；若 ‖ u 1 ‖ = R 1 ，则 N 1 ( u ) − u 1 ∉ K 1 ； 若 ‖ u 2 ‖ = r 2 ，则 u 2 − N 2 ( u ) ∉ K 2 ；若 ‖ u 2 ‖ = R 2 ，则 N 2 ( u ) − u 2 ∉ K 2 ； 2) 若 ‖ u 1 ‖ = r 1 ，则 u 1 − N 1 ( u ) ∉ K 1 ；若 ‖ u 1 ‖ = R 1 ，则 N 1 ( u ) − u 1 ∉ K 1 ； 若 ‖ u 2 ‖ = r 2 ，则 N 2 ( u ) − u 2 ∉ K 2 ；若 ‖ u 2 ‖ = R 2 ，则 u 2 − N 2 ( u ) ∉ K 2 ； 3) 若 ‖ u 1 ‖ = r 1 ，则 N 1 ( u ) − u 1 ∉ K 1 ；若 ‖ u 1 ‖ = R 1 ，则 u 1 − N 1 ( u ) ∉ K 1 ； 若 ‖ u 2 ‖ = r 2 ，则 u 2 − N 2 ( u ) ∉ K 2 ；若 ‖ u 2 ‖ = R 2 ，则 N 2 ( u ) − u 2 ∉ K 2 ； 4) 若 ‖ u 1 ‖ = r 1 ，则 N 1 ( u ) − u 1 ∉ K 1 ；若 ‖ u 1 ‖ = R 1 ，则 u 1 − N 1 ( u ) ∉ K 1 ； 若 ‖ u 2 ‖ = r 2 ，则 N 2 ( u ) − u 2 ∉ K 2 ；若 ‖ u 2 ‖ = R 2 ，则 u 2 − N 2 ( u ) ∉ K 2 。 引理2.1 假设条件(H1)，(H2)成立，那么 u 是系统(1.0)的解，当且仅当 u i ∈ X ， i = 1 ， 2 ，为下述积分方程的解： u i ( t ) = ∫ 0 1 G ( t ， s ) ⋅ q i ( s ) ⋅ f i ( u 1 ( s ) ， u 2 ( s ) ) d s ； 其中： G ( t ， s ) = 1 Γ ( ν ) { ( 1 − ν ) ⋅ δ γ ( 1 − t ) + γ t ( 1 − γ ) ⋅ ( 1 − δ ) ⋅ ( 1 − s ) ν − 2 − δ 1 − δ ( 1 − s ) ν − 1 − ( t − s ) ν − 1 ， 0 ≤ s ≤ t ≤ 1 ( 1 − ν ) ⋅ δ γ ( 1 − t ) + γ t ( 1 − γ ) ( 1 − t ) ⋅ ( 1 − s ) ν − 2 − δ 1 − δ ( 1 − s ) ν − 1 ， 0 ≤ t ≤ s ≤ 1 . 证明：假设 u ( t ) 是(1.0)的解，则 ( I 0 t υ ( D 0 C t υ u i ) ) ( t ) + I 0 t υ ( q i ( t ) u i ( t ) ) = 0 . 由定义式，得到 u i ( t ) = C 1 + C 2 t − 1 Γ ( υ ) ∫ 0 t ( t − s ) υ − 1 q i ( s ) u i ( s ) d s . 由 u i ( 0 ) = δ u i ( 1 ) ，可得 C 1 = δ C 1 + δ C 2 − δ Γ ( υ ) ∫ 0 1 ( 1 − s ) υ − 1 q i ( s ) u i ( s ) d s ， 由 u ′ i ( 0 ) = γ u ′ i ( 1 ) ，可得 C 2 = γ ( υ − 1 ) Γ ( υ ) ( γ − 1 ) ∫ 0 1 ( 1 − s ) υ − 2 q i ( s ) u i ( s ) d s ， 因此 C 1 = δ γ ( υ − 1 ) Γ ( υ ) ( 1 − δ ) ( 1 − γ ) ∫ 0 1 ( 1 − s ) υ − 2 q i ( s ) u i ( s ) d s − δ Γ ( υ ) ( 1 − δ ) ∫ 0 1 ( 1 − s ) υ − 1 q i ( s ) u i ( s ) d s 进而，得到 u i ( t ) = δ γ ( υ − 1 ) Γ ( υ ) ( 1 − δ ) ( γ − 1 ) ∫ 0 1 ( 1 − s ) υ − 2 q i ( s ) u i ( s ) d s − δ Γ ( υ ) ( 1 − δ ) ∫ 0 1 ( 1 − s ) υ − 1 q i ( s ) u i ( s ) d s + γ ( υ − 1 ) t Γ ( υ ) ( γ − 1 ) ∫ 0 1 ( 1 − s ) υ − 2 q i ( s ) u i ( s ) d s − 1 Γ ( υ ) ∫ 0 t ( t − s ) υ − 1 q i ( s ) u i ( s ) d s = ∫ 0 1 G ( t ， s ) q i ( s ) u i ( s ) d s ， 其中 G ( t ， s ) = 1 Γ ( υ ) { ( 1 − υ ) δ γ ( 1 − t ) + γ t ( 1 − γ ) ( 1 − δ ) ( 1 − s ) υ − 2 − δ 1 − δ ( 1 − s ) υ − 1 − ( t − s ) υ − 1 ， 0 ≤ s ≤ t ≤ 1 ， ( 1 − υ ) δ γ ( 1 − t ) + γ t ( 1 − γ ) ( 1 − δ ) ( 1 − s ) υ − 2 − δ 1 − δ ( 1 − s ) υ − 1 ， 0 ≤ t ≤ s ≤ 1. 推论2.2 对于任意 δ ∈ ( 0 ， 1 ) ， γ ∈ ( 0 ， 1 ) ， G ( t ， s ) 满足以下结论 [ 20 ]： i) G ( t ， s ) ≤ 0 ， ( t ， s ) ∈ [ 0 ， 1 ] × [ 0 ， 1 ] ； ii) 对于任意 s ∈ [ 0 ， 1 ] ， max 0 ≤ t ≤ 1 | G ( t ， s ) | = − G ( 1 ， s ) ； iii) ∫ 0 1 | G ( t ， s ) | d s ≤ γ ( ν − 1 ) + 1 Γ ( ν + 1 ) ⋅ ( 1 − δ ) ⋅ ( 1 − γ ) 。