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user: 4. 遍历平稳分布的存在 因为当随机扰动加入确定性模型时，系统的稳定性会被破坏，从而模型会出现随机弱稳定的特性，从而引起了很多研究者们的关注 [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]。在本节中，我们通过构造李雅普诺夫函数，证明了系统(1.2)存在平稳分布。 定理4.1. 如果 n m β e + σ 3 2 2 > δ + β + σ 1 2 2 ， a − d > r + 1 2 σ 1 2 ，则对于系统(1.2)的任意给定的初始值 ( x ( 0 ) ， y 1 ( 0 ) ， y 2 ( 0 ) ) ∈ ℝ + 3 ，都存在唯一的遍历平稳分布。 证明：为了证明系统(1.2)存在遍历平稳分布，只需证明引理2.1两个条件成立即可。通过题意，显然可以得到系统(1.2)的扩散矩阵为 ∑ i ， j = 1 3 a i j ( x ， y ) ζ i ζ j = ( σ 1 x ζ 1 σ 2 y 1 ζ 2 σ 3 y 2 ζ 3 ) ( σ 1 x ζ 1 σ 2 y 1 ζ 2 σ 3 y 2 ζ 3 ) = σ 1 2 x 2 ζ 1 2 + σ 2 2 y 1 2 ζ 2 2 + σ 3 2 y 2 2 ζ 3 2 ≥ M 0 ‖ ζ ‖ 2 (4.1) 对于任意的 ( x ， y 1 ， y 2 ) ∈ D ¯ σ ⊂ ℝ + 3 ， ζ = ( ζ 1 ， ζ 2 ， ζ 3 ) ∈ ℝ + 3 ，其中 M 0 = min ( x ， y 1 ， y 2 ) ∈ D ¯ σ { σ 1 2 x 2 ， σ 2 2 y 1 2 ， σ 3 2 y 2 2 } ，引理2.1中的条件(B.1)得证。现在我们证明条件(B.2)。为了证明条件(B.2)，我们构造李雅普诺夫函数 V 1 ( y 1 ( t ) ， y 2 ( t ) ) = − ln y 1 ( t ) − k 4 ln y 2 ( t ) ， V 2 ( x ( t ) ) = x ( t ) − r ， V 3 ( x ( t ) ， y 1 ( t ) ， y 2 ( t ) ) = 1 θ + 2 ( n x ( t ) + y 1 ( t ) + y 2 ( t ) ) θ + 2 ， V 4 ( y 1 ( t ) ) = − ln y 1 ( t ) ， V 5 ( y 2 ( t ) ) = − ln y 2 ( t ) 其中 θ > 0 是一个足够小的正常数， M > 0 ， r > 0 为正常数，其中 B = sup ( x ， y 1 ， y 2 ) ∈ ℝ + 3 { − 1 2 n θ + 3 b x θ + 3 − 1 2 e y 2 θ + 2 + a n x ( n x + y 1 + y 2 ) θ + 1 + θ + 1 2 ( n x + y 1 + y 2 ) θ ( n σ 1 2 x 2 + σ 2 2 y 1 2 + σ 3 2 y 2 2 ) } (4.2) λ = n m β e + σ 3 2 − ( δ + β + 1 2 σ 2 2 ) (4.3) 分别对上述V函数利用Itô’s公式可得， L V 1 ( y 1 ( t ) ， y 2 ( t ) ) = − n m y 1 ( t ) x ( t ) y 2 ( t ) − β k 4 y 1 ( t ) y 2 ( t ) + δ + β + 1 2 σ 2 2 + e k 4 + k 4 2 σ 3 2 ≤ − 2 n m β k 4 x ( t ) + ( δ + β + 1 2 σ 2 2 ) + k 4 ( e + σ 3 2 2 ) (4.4) 则有 k 4 = n m β ( e + σ 3 2 2 ) 2 则对(4.4)利用不等式可得 L V 1 ( y 1 ( t ) ， y 2 ( t ) ) ≤ − n m β e + σ 3 2 2 + ( δ + β + 1 2 σ 2 2 ) + 2 n m β e + σ 3 2 2 ( 1 − x ( t ) ) = − [ n m β e + σ 3 2 2 − ( δ + β + 1 2 σ 2 2 ) ] + 2 n m β e + σ 3 2 2 ( 1 − x ( t ) ) = − λ + 2 n m β e + σ 3 2 2 ( 1 − x ( t ) ) (4.5) L V 2 ( x ( t ) ) = − r x ( t ) − r − 1 [ x ( t ) ( a x ( t ) A + x ( t ) − d − b x ( t ) − m y 2 ( t ) ) ] + r ( r + 1 ) 2 x ( t ) − r σ 1 2 = − r x ( t ) − r ( a x ( t ) A + x ( t ) − d − b x ( t ) − m y 2 ( t ) ) + r ( r + 1 ) 2 x ( t ) − r σ 1 2 ≤ − r x ( t ) − r ( a − d − r ( r + 1 ) 2 σ 1 2 ) + r b x ( t ) 1 − r + m y 2 ( t ) x ( t ) − r (4.6) L V 3 = ( n x ( t ) + y 1 ( t ) + y 2 ( t ) ) θ + 1 [ n x ( t ) ( a x ( t ) A + x ( t ) − d − b x ( t ) − m y 2 ( t ) )     + n m x ( t ) y 2 ( t ) − δ y 1 ( t ) − β y 1 ( t ) + β y 1 ( t ) − e y 2 ( t ) ] + θ + 1 2 ( n x ( t ) + y 1 ( t ) + y 2 ( t ) ) θ ( n σ 1 2 x 2 ( t ) + σ 2 2 y 1 2 ( t ) + σ 3 2 y 2 2 ( t ) ) = ( n x ( t ) + y 1 ( t ) + y 2 ( t ) ) θ + 1 ( a n x 2 ( t ) A + x ( t ) − n d x ( t ) − n b x 2 ( t ) − δ y 1 ( t ) − e y 2 ( t ) ) + θ + 1 2 ( n x ( t ) + y 1 ( t ) + y 2 ( t ) ) θ ( n σ 1 2 x 2 ( t ) + σ 2 2 y 1 2 ( t ) + σ 3 2 y 2 2 ( t ) ) ≤ ( n x ( t ) + y 1 ( t ) + y 2 ( t ) ) θ + 1 ( a n x ( t ) − n b x 2 ( t ) − δ y 1 ( t ) − e y 2 ( t ) ) + θ + 1 2 ( n x ( t ) + y 1 ( t ) + y 2 ( t ) ) θ ( n σ 1 2 x 2 ( t ) + σ 2 2 y 1 2 ( t ) + σ 3 2 y 2 2 ( t ) ) ≤ a n x ( n x ( t ) + y 1 ( t ) + y 2 ( t ) ) θ + 1 − n θ + 2 b x θ + 3 ( t ) − δ y 1 θ + 2 ( t ) − e y 2 θ + 2 ( t ) + θ + 1 2 ( n x ( t ) + y 1 ( t ) + y 2 ( t ) ) θ ( n σ 1 2 x 2 ( t ) + σ 2 2 y 1 2 ( t ) + σ 3 2 y 2 2 ( t ) ) ≤ − 1 2 n θ + 2 b x θ + 3 ( t ) − δ y 1 θ + 2 ( t ) − 1 2 e y 2 θ + 2 ( t ) + B (4.7) L V 4 ( y 1 ( t ) ) = − n m x ( t ) y 2 ( t ) y 1 ( t ) + δ + β + 1 2 σ 2 2 (4.8) L V 5 ( y 2 ( t ) ) = − β y 1 ( t ) y 2 ( t ) + e + 1 2 σ 3 2 (4.9) 下面我们定义一个C 2 的函数 V ˜ : ℝ + 3 → ℝ V ˜ ( x ( t ) ， y 1 ( t ) ， y 2 ( t ) ) = M V 1 + V 2 + V 3 + V 4 + V 5 ，则有 V ( x ( t ) ， y 1 ( t ) ， y 2 ( t ) ) = M V 1 ( y 1 ( t ) ， y 2 ( t ) ) + V 2 ( x ( t ) ) + V 3 ( x ( t ) ， y 1 ( t ) ， y 2 ( t ) ) + V 4 ( y 1 ( t ) )     + V 5 ( y 2 ( t ) ) − V ˜ ( x ( 0 ) ， y 1 ( 0 ) ， y 2 ( 0 ) ) 则根据(4.5)~(4.9)可以得到 L V ≤ − M λ + 2 n m β M e + σ 3 2 2 ( 1 − x ( t ) ) − r x − r ( t ) ( a − d − r + 1 2 σ 1 2 )   + r b x 1 − r ( t ) + m y 2 x − r ( t ) − 1 2 n θ + 2 b x θ + 3 − δ y 1 θ + 2 ( t ) − 1 2 e y 2 θ + 2 ( t )   + B − n m x ( t ) y 2 ( t ) y 1 ( t ) + δ + β + 1 2 σ 2 2 − β y 1 ( t ) y 2 ( t ) + e + 1 2 σ 3 2 (4.10) 为了证明引理2.1中的条件(B.2)，我们只需要构造一个有界开集 D ε ，定义有界开集 D ε 为 D ε = { ( x ， y 1 ， y 2 ) ∈ ℝ + 3 : ε 2 < x < 1 ε 2 ， ε 4 < y 1 < 1 ε 4 ， ε < y 2 < 1 ε } ，证明 L V ≤ − 1 在 ℝ + 3 \ D ε 成立，其中 ε 是足够小的常数，且满足如下条件： r ε 2 r ( a − d − r + 1 2 σ 1 2 ) + B 1 ≤ − 1 (4.11) − 2 n m β M e + σ 3 2 2 ε − 1 4 n θ + 2 b ε 2 ( θ + 3 ) − 1 2 e ε θ + 2 − n m ε + B 2 ≤ − 1 (4.12) − β ε 3 − M λ + B 3 ≤ − 1 (4.13) − 1 4 n θ + 2 b ( 1 ε 2 ) θ + 3 − 2 n m β M ( e + σ 3 2 2 ) ε + B 2 ≤ − 1 (4.14) − δ ( 1 ε 4 ) θ + 2 + B 1 ≤ − 1 (4.15) − 1 2 e y 2 θ + 2 + B 1 ≤ − 1 (4.16) B 1 = sup ( x ， y 1 ， y 2 ) ∈ ℝ + 3 { − M λ − 1 2 n θ + 2 b x θ + 3 + r b x 1 − r + m y 2 x − r + 2 n m β M e + σ 3 2 2 + B + δ + β + 1 2 σ 2 2 + e + 1 2 σ 3 2 } (4.17) B 2 = sup ( x ， y 1 ， y 2 ) ∈ ℝ + 3 { − M λ − 1 4 n θ + 2 b x θ + 3 + r b x 1 − r + m y 2 x − r + 2 n m β M e + σ 3 2 2 + B + δ + β + 1 2 σ 2 2 + e + 1 2 σ 3 2 } (4.18) B 3 = sup ( x ， y 1 ， y 2 ) ∈ ℝ + 3 { − 1 2 n θ + 2 b x θ + 3 + r b x 1 − r + m y 2 x − r + 2 n m β M e + σ 3 2 2 + B + δ + β + 1 2 σ 2 2 + e + 1 2 σ 3 2 } (4.19) 下面，为了证明 L V ≤ − 1 ，我们把 D ε c = ℝ + 3 \ D ε 分为6个区域， D ε 1 = { ( x ， y 1 ， y 2 ) ∈ ℝ + 3 : x ≤ ε 2 } ， D ε 2 = { ( x ， y 1 ， y 2 ) ∈ ℝ + 3 : x > ε 2 ， y 1 ≤ ε 4 ， y 2 > ε } ， D ε 3 = { ( x ， y 1 ， y 2 ) ∈ ℝ + 3 : y 2 ≤ ε ， y 1 > ε 4 } ， D ε 4 = { ( x ， y 1 ， y 2 ) ∈ ℝ + 3 : x > 1 ε 2 } ， D ε 5 = { ( x ， y 1 ， y 2 ) ∈ ℝ + 3 : y 1 > 1 ε 4 } ， D ε 6 = { ( x ， y 1 ， y 2 ) ∈ ℝ + 3 : y 2 > 1 ε } 显然， D ε c = D ε 1 ∪ D ε 2 ∪ D ε 3 ∪ D ε 4 ∪ D ε 5 ∪ D ε 6 ，接下来证明对于任意的 ( x ， y 1 ， y 2 ) ∈ D ε c 有 L V ≤ − 1 ，这等价于分别在上述六个域上证明它。 情况1：对于任意的 ( x ， y 1 ， y 2 ) ∈ D ε 1 ，我们可以得到 L V ≤ − r x − r ( t ) ( a − d − r + 1 2 σ 1 2 ) − M λ − 1 2 n θ + 2 b x θ + 3 + 2 n m β M e + σ 3 2 2   + r b x 1 − r + m y 2 x − r + B + δ + β + 1 2 σ 2 2 + e + 1 2 σ 3 2 ≤ − r ε 2 r ( a − d − r + 1 2 σ 1 2 ) + sup ( x ， y 1 ， y 2 ) ∈ ℝ + 3 { − M λ − 1 2 n θ + 2 b x θ + 3   + r b x 1 − r + m y 2 x − r + 2 n m β M e + σ 3 2 2 + B + δ + β + 1 2 σ 2 2 + e + 1 2 σ 3 2 } ≤ − r ε 2 r ( a − d − r + 1 2 σ 1 2 ) + B 1 ≤ − 1 (4.20) 因此可以得到对于任意的 ( x ， y ) ∈ D ε 1 有 L V ≤ 1 。 情况2：对于任意的 ( x ， y 1 ， y 2 ) ∈ D ε 2 ，我们得到 L V ≤ − 2 n m β M x ( t ) e + σ 3 2 2 − 1 4 n θ + 2 b x θ + 3 ( t ) − 1 2 e y 2 θ + 2 ( t ) − n m x ( t ) y 2 ( t ) y 1 ( t ) − M λ   − 1 4 n θ + 2 b x θ + 3 + r b x 1 − r + m y 2 x − r 2 n m β M e + σ 3 2 2 + B + δ + β + 1 2 σ 2 2 + e + 1 2 σ 3 2 ≤ − 2 n m β M ε e + σ 3 2 2 − 1 4 n θ + 2 b ε 2 ( θ + 3 ) − 1 2 e ε θ + 2 − n m ε + sup ( x ， y 1 ， y 2 ) ∈ ℝ + 3 { − M λ − 1 4 n θ + 2 b x θ + 3   + r b x 1 − r + m y 2 x − r + 2 n m β M e + σ 3 2 2 + B + δ + β + 1 2 σ 2 2 + e + 1 2 σ 3 2 } ≤ − 2 n m β M ε e + σ 3 2 2 − 1 4 n θ + 2 b ε 2 ( θ + 3 ) − 1 2 e ε θ + 2 − n m ε + B 2 (4.21) 因此可以得到对于任意的 ( x ， y ) ∈ D ε 2 有 L V ≤ 1 。 情况3：对于任意的 ( x ， y 1 ， y 2 ) ∈ D ε 3 ，我们得到 L V ≤ − β y 1 ( t ) y 2 ( t ) − M λ − 1 2 n θ + 2 b x θ + 3 ( t ) + r b x 1 − r + m y 2 x − r   + 2 n m β M e + σ 3 2 2 + B + δ + β + 1 2 σ 2 2 + e + 1 2 σ 3 2 ≤ − β ε 3 − M λ + B 3 ≤ − 1 (4.22) 因此可以得到对于任意的 ( x ， y ) ∈ D ε 3 有 L V ≤ 1 。 情况4：对于任意的 ( x ， y 1 ， y 2 ) ∈ D ε 4 ，我们得到 L V ≤ − 1 4 n θ + 2 b x θ + 3 ( t ) − 2 n m β M e + σ 3 2 2 x ( t ) − 1 4 n θ + 2 b x θ + 3 − M λ + r b x 1 − r   + m y 2 x − r + 2 n m β M e + σ 3 2 2 + B + δ + β + 1 2 σ 2 2 + e + 1 2 σ 3 2 ≤ − 1 4 n θ + 2 b ( 1 ε 2 ) θ + 3 − 2 n m β M ε e + σ 3 2 2 + B 2 ≤ − 1 (4.23) 因此可以得到对于任意的 ( x ， y ) ∈ D ε 4 有 L V ≤ 1 。 情况5：对于任意的 ( x ， y 1 ， y 2 ) ∈ D ε 5 ，我们得到 L V ≤ − δ y 1 θ + 2 ( t ) − M λ − 1 2 n θ + 2 b x θ + 3 + r b x 1 − r + m y 2 x − r   + 2 n m β M e + σ 3 2 2 + B + δ + β + 1 2 σ 2 2 + e + 1 2 σ 3 2 ≤ − δ ( 1 ε 4 ) θ + 2 + B 1 (4.24) 因此可以得到对于任意的 ( x ， y ) ∈ D ε 5 有 L V ≤ 1 。 情况6：对于任意的 ( x ， y 1 ， y 2 ) ∈ D ε 6 ，我们得到 L V ≤ − 1 2 e y 2 θ + 2 − M λ − 1 2 n θ + 2 b x θ + 3 + r b x 1 − r + m y 2 x − r   + 2 n m β M e + σ 3 2 2 + B + δ + β + 1 2 σ 2 2 + e + 1 2 σ 3 2 ≤ − 1 2 e ( 1 ε ) θ + 2 + B 1 (4.25) 因此可以得到对于任意的 ( x ， y ) ∈ D ε 6 有 L V ≤ 1 。 综上，通过公式(4.17)~(4.25)，我们可以得到对于足够小的 ε ，对所有的 ( x ， y 1 ， y 2 ) ∈ ℝ + 3 \ D ε ， L V ≤ − 1 ，因此引理(3.1)中的(B.2)满足，故通过引理2.1我们可知系统(1.2)具有唯一的遍历平稳分布。