system: [SYSTEM]

user: 2. 一般区间上的三角函数的定积分的算法 2.1. 利用三角函数恒等变形 [ 2 ] 当不定积分中的被积函数都是三角函数时，一般说来，不易直接看出求解方法，往往需先对被积函数作恒等变形，至于如何去变形，则需从实践中不断总结经验，变形过程中常用到三角函数的基本关系式、积化和差公式、倍角或半角公式等。 例：计算积分 ∫ ​ e x 1 + sin x 1 + cos x d x 。 解：因为 1 + sin x 1 + cos x = ( cos x 2 + sin x 2 ) 2 2 cos 2 x 2 = 1 2 ( 1 + tan x 2 ) 2 = 1 2 ( sec 2 x 2 + 2 tan x 2 ) 原 式 = 1 2 ∫ ​ e x sec 2 x 2 d x + ∫ ​ e x tan x 2 d x = e x tan x 2 − ∫ ​ e x tan x 2 d x + ∫ ​ e x tan x 2 d x + c = e x tan x 2 + c 2.2. 利用变量代换 [ 3 ] 被积函数有 sin x 、 cos x 、 tan x 等，通过转化被积函数就转化为含有新的变量的函数。一般形式如 ∫ ​ f ( sin x ， cos x ， tan x ) d x 、 ∫ ​ f ( x 2 ± a 2 ， a 2 − x 2 ， ( a + x 2 ) ) d x 、 ∫ ​ f ( cos m x sin n x ， sin m x sin n x ， cos m x cos n x ) d x 、 ∫ ​ cos m x sin n x d x 等可以用变量代换的方法。 例：求 ∫ a b 1 a 2 + x 2 d x 。 解：由于 1 + tan 2 x = sec 2 x ，设 x = a tan t ( − π 2 < t < π 2 ) ， d x = d a tan t = a sec 2 t d t 。 则有 a 2 + x 2 = a 2 tan 2 t + a 2 = a sec t 。 ∫ a b 1 a 2 + x 2 d x = ∫ a 1 b 1 a sec 2 t d t a sec t = ∫ a 1 b 1 a sec t d t = ln | sec t + tan t | + c . 把 tan t = x a ， sec t = a 2 + x 2 a 代入， 解得 ∫ a b 1 a 2 + x 2 d x = ln ( x + a 2 + x 2 ) + c 。 2.3. 万能换元法 [ 4 ] 一般积分形式有 ∫ ​ R ( sin x ， cos x ) d x ，此类积分一般通过万能替换 t = tan x 2 ，则可以得到 sin x = 2 t 1 + t 2 ， cos x = 1 − t 2 1 + t 2 ， d x = 2 d t 1 + t 2 . 例：计算积分： ∫ ​ d x 1 + 4 cos x 。 解：令 t = tan x 2 ，则 cos x = 1 − t 2 1 + t 2 ， d x = 2 d t 1 + t 2 。从而 ∫ ​ d x 1 + 4 cos x = ∫ ​ 2 d t 5 − 3 t 2 = − ∫ ​ 1 5 ( 1 3 t − 5 − 1 3 t + 5 ) d t = − 1 15 ln 3 t − 5 3 t + 5 + c 把 t = tan x 2 代入解得 1 15 ln 3 tan x 2 − 5 3 tan x 2 + 5 + c 。 注意：万能换元法，不要滥用万能公式。例如 ∫ ​ cot x d x 1 + sin x 用万能公式做反而麻烦，用三角恒等变形和变量的方法，则更为简单。 2.4. 利用被积函数奇偶性 考虑被积函数在积分区间上的奇偶性可以减少计算步骤，大大提高做题效率。 定理 [ 4 ]： 证明若 f ( x ) 为 [ 0 ， π 2 ] 上的连续函数，则有 ∫ 0 π 2 f ( sin x ) d x = ∫ 0 π 2 f ( cos x ) d x ； 解：用换元的方法做 x = π 2 − t ，则 ∫ 0 π 2 f ( sin x ) d x = − ∫ π 2 0 f ( cos t ) d t = ∫ 0 π 2 f ( cos x ) d x ; 例：计算积分 ∫ 0 π 2 cos x sin x + cos x d x 。 解：因为 ∫ 0 π 2 f ( sin x ) d x = ∫ 0 π 2 f ( cos x ) d x ，所以有 ∫ 0 π 2 cos x sin x + cos x d x = ∫ 0 π 2 sin x sin x + cos x d x 原 式 = 1 2 ( ∫ 0 π 2 cos x sin x + cos x d x + ∫ 0 π 2 sin x sin x + cos x d x ) = 1 2 ∫ 0 π 2 cos x + sin x sin x + cos x d x = π 4 例：计算积分 ∫ 0 2 π d θ 2 + cos θ 。 解：令 θ = π − x ，则 ∫ 0 2 π d θ 2 + cos θ = − ∫ − π π d x 2 + cos ( π − x ) = ∫ − π π d x 2 − cos x 因为 1 2 − cos x 在 ( − π ， π ) 上是偶函数，故可以写成 2 ∫ 0 π d x 2 − cos x (在用万能变换 t = tan x 2 ) = 2 ∫ 0 ∞ 2 d t 1 + t 2 2 − 1 − t 2 1 + t 2 = 4 ∫ 0 ∞ d t 1 + 3 t 2 = 4 1 3 arctan 3 t | ∞ 0 = 2 π 3 2.5. 利用递推公式 计算形如 ∫ ​ cos m x sin n x d x 这样的积分。 例 [ 5 ]：计算积分若 I ( m ， n ) = ∫ a b cos m x sin n x d x ，证明当 m + n ≠ 0 ，时有 I ( m ， n ) { cos m − 1 x + sin n + 1 x m + n + m − 1 m + n I ( m − 2 ， n ) ⋅ ⋯ ( m ≥ 2 ， n ≥ 0 ) ; − cos m + 1 x + sin n − 1 x m + n + n − 1 m + n I ( m ， n − 2 ) ⋅ ⋯ ( m ≥ 0 ， n ≥ 2 ) ; 解： I ( m ， n ) = ∫ ​ cos m x sin n x d x = ∫ ​ cos m − 1 x sin n x d sin x = 1 n + 1 ∫ ​ cos m − 1 x d sin n + 1 x = 1 n + 1 cos m − 1 x sin n + 1 x + m − 1 n + 1 ∫ ​ cos m − 2 x sin n + 2 x d x = 1 n + 1 cos m − 1 x sin n + 1 x + m − 1 n + 1 ∫ ​ cos m − 2 x sin n x ⋅ ( 1 − cos 2 x ) d x = 1 n + 1 cos m − 1 x sin n + 1 x + m − 1 n + 1 I ( m − 2 ， n ) − m − 1 n + 1 ∫ ​ cos m x sin n x d x = 1 n + 1 cos m − 1 x sin n + 1 x + m − 1 n + 1 I ( m − 2 ， n ) − m − 1 n + 1 I ( m ， n ) 化简，因此， I ( m ， n ) = cos m − 1 x + sin n + 1 x m + n + m − 1 m + n I ( m − 2 ， n ) ⋅ ⋯ ( m ≥ 2 ， n ≥ 0 ) 。 同理可以把 sin x 提到 d x 就可以得到第二个公式 I ( m ， n ) = − cos m + 1 x + sin n − 1 x m + n + n − 1 m + n I ( m ， n − 2 ) ⋅ ⋯ ( m ≥ 0 ， n ≥ 2 ) .