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user: 1. 引言和主要结果 本文使用值分布理论的标准记号，对于亚纯函数 f ( z ) ，用 ρ ( f ) ， μ ( f ) 分别表示亚纯函数 f ( z ) 的级、下级。 定义1：亚纯函数 f ( z ) 的级、下级、零点收敛指数和极点收敛指数定义如下： ρ ( f ) = lim sup r → ∞ log + T ( r ， f ) log r ;       μ ( f ) = lim inf r → ∞ log + T ( r ， f ) log r . 定义2：亚纯函数 f ( z ) 的超级、超下级分别定义为： ρ 2 ( f ) = lim sup r → ∞ log log + T ( r ， f ) log r ;         μ 2 ( f ) = lim inf r → ∞ log log + T ( r ， f ) log r . 定义3：集合 E ⊂ [ 0 ， + ∞ ) ，则E的Lebesgue线性测度为 m ( E ) = ∫ E d t 。 集合 F ⊂ [ 1 ， + ∞ ) ，则F的对数测度为 m l ( F ) = ∫ F d t t 。 集合 E ⊂ [ 0 ， + ∞ ) 的上密度和下密度定义如下： d e n s ¯ E = lim sup r → ∞ m ( E ∩ [ 0 ， r ] ) r ;                 d e n s _ E = lim inf r → ∞ m ( E ∩ [ 0 ， r ] ) r . 集合 F ⊂ [ 1 ， + ∞ ) 的上对数密度和下对数密度定义如下： l o g d e n s ¯ F = lim sup r → ∞ m l ( F ∩ [ 1 ， r ] ) log r ;                 l o g d e n s _ F = lim inf r → ∞ m l ( F ∩ [ 1 ， r ] ) log r . 关于线性微分方程 f ( k ) + A k − 1 ( z ) f ( k − 1 ) + ⋯ + A s ( z ) f ( s ) + ⋯ + A 0 ( z ) f = 0 (1.1) 解的增长性问题，主要有以下几个重要的结果，其中 A j ( z ) ( j = 0 ， 1 ， ⋯ ， k − 1 ) 是整函数。 定理A [ 1 ] ：设 A j ( z ) ( j = 0 ， 1 ， ⋯ ， k − 1 ) 是整函数，满足 max { ρ ( A j ) ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， k − 1 } < ρ ( A 0 ) ，则方程(1.1)的非平凡解是无穷级。 定理B [ 1 ] ：设 A j ( z ) ( j = 0 ， 1 ， ⋯ ， k − 1 ) 是整函数，满足 ρ ( A 0 ) < max { ρ ( A j ) ， j ≠ s } < ρ ( A s ) ≤ 1 2 ，则方程(1.1)的非平凡解是无穷级。 现在的主要问题是：若主导系数为中间的系数 A s ( z ) 且 ρ ( A S ) > 1 2 ，方程(1.1)的非平凡解是否是无穷级？ 在定理A，定理B之后也出现了很多结果，文献 [ 2 ] 中证明了如下结果： 定理C [ 2 ] ：设 A j ( z ) ( j = 0 ， 1 ， ⋯ ， k − 1 ) 是整函数，满足 max { ρ ( A j ) ， j ≠ 0 } < ρ ( A 0 ) < + ∞ ，则微分方程(1.1)的每个非平凡解 f ( z ) 满足 ρ 2 ( f ) = ρ ( A 0 ) 。 定理D [ 2 ] ：设 A j ( z ) ， ( j = 0 ， 1 ， ⋯ ， k − 1 ) ，   F ≠ 0 是整函数，若存在 A s ( z ) ( 0 ≤ s ≤ k − 1 ) 满足 b = max { ρ ( A j ) ， ρ ( F ) ， j ≠ s } < ρ ( A s ) < 1 2 ， 则微分方程 f ( k ) + A k − 1 ( z ) f ( k − 1 ) + ⋯ + A s ( z ) f ( s ) + ⋯ + A 0 ( z ) f = F (1.2) 的每个超越解 f ( z ) 满足 ρ 2 ( f ) = ρ ( A s ) 。 在文献 [ 3 ] 中已证明了下列结论： 定理E [ 3 ] ：设 A j ( z ) ， ( j = 0 ， 1 ， ⋯ ， k − 1 ) 是整函数，满足 max { ρ ( A j ) ， j ≠ 0 } < μ ( A 0 ) < ρ ( A 0 ) < + ∞ 则方程(1.1)的每个非平凡解满足 μ ( A 0 ) = μ 2 ( f ) ≤ ρ 2 ( f ) ≤ ρ ( A 0 ) 。 定理F [ 3 ] ：设 A j ( z ) ， ( j = 0 ， 1 ， ⋯ ， k − 1 ) 是整函数，若存在 s ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， k − 1 } 使得 max { ρ ( A j ) ， j ≠ 0 ， s } < μ ( A 0 ) < 1 2 ， A S ( z ) 的亏值有限，则方程(1.1)的每个非平凡解满足： μ ( A 0 ) ≤ ρ 2 ( f ) ≤ max { ρ ( A 0 ) ， ρ ( A s ) } . 在文献 [ 4 ] 已证。 定理G [ 4 ] ：设 A ( z ) ， B ( z ) 是两个整函数， 0 < μ ( B ) < 1 2 ，若存在实常数 μ < μ ( B ) 和下对数密度为1 的集合 E μ ⊂ [ 1 ， + ∞ ) ，使得对任意的 r ∈ E μ ，有 min | z | = r | A ( z ) | ≤ exp ( r μ ) ， 则方程 f ″ + A ( z ) f ′ + B ( z ) f = 0 (1.3) 的任意非平凡解 f ( z ) 满足 ρ 2 ( f ) ≥ μ ( B ) 。 文献 [ 5 ] 已证下列结论： 定理H [ 5 ] ：设 A ( z ) ， B ( z ) 是级有限的整函数，满足 μ ( A ) < μ ( B ) < ρ ( B ) < ρ ( A ) < 1 2 ，则方程(1.3)的任意非平凡解 f ( z ) ，满足 μ 2 ( f ) ≤ ρ ( B ) ≤ ρ 2 ( f ) = ρ ( A ) 。 定理I [ 5 ] ：设 A ( z ) ， B ( z ) 是级有限的整函数，满足 ρ ( B ) < μ ( A ) < 1 2 < ρ ( A ) ，则方程(1.3)的任意非平凡解 f ( z ) ，满足 μ 2 ( f ) ≤ μ ( A ) < 1 2 ≤ ρ 2 ( f ) ≤ ρ ( A ) 。 本文是将定理G， H， I的结论推广到方程(1.1)中去，得到以下几个结果： 定理1：设 A j ( z ) ， ( j = 0 ， 1 ， ⋯ ， k − 1 ) 是整函数， 0 < μ ( A 0 ) < 1 2 ，若存在实常数 μ < μ ( A 0 ) 和下对数密度 为1的集合 E μ ⊂ [ 1 ， + ∞ ) ，即 l o g d e n s _ E μ = 1 使得对任意的 r ∈ E μ ，有 min | z | = r | A j ( z ) | ≤ exp ( r μ ) ，                           ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， k − 1 ) 则方程(1.1)的任意非平凡解 f ( z ) ，满足 ρ 2 ( f ) ≥ μ ( A 0 ) 。 定理2：设 A j ( z ) ， ( j = 0 ， 1 ， ⋯ ， k − 1 ) 是整函数，满足 max { μ ( A j ) ， j ≠ 0 } < μ ( A 0 ) ≤ ρ ( A 0 ) < max { ρ ( A j ) ， j ≠ 0 } < 1 2 ， 则方程(1.1)的任意非平凡解 f ( z ) ，满足 μ 2 ( f ) < ρ ( A 0 ) ≤ ρ 2 ( f ) = max { ρ ( A j ) ， j ≠ 0 } . 定理3：设 A j ( z ) ， ( j = 0 ， 1 ， ⋯ ， k − 1 ) 是级有限的整函数，满足 ρ ( A 0 ) < max { μ ( A j ) ， j ≠ 0 } < 1 2 ≤ max { ρ ( A j ) ， j ≠ 0 } ， 则方程(1.1)的任意非平凡解 f ( z ) ，满足 μ 2 ( f ) ≤ max { μ ( A j ) ， j ≠ 0 } < 1 2 ≤ ρ 2 ( f ) ≤ max { ρ ( A j ) ， j ≠ 0 } .