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user: 2. 主要研究成果 2.1. 具单时滞系统强稳定的充分必要条件 本节讨论具单时滞系统稳定的条件，它是下一节多时滞强稳定的基础。 二次型的符号与矩阵的特征值有密切关系，如下列引理2所示： 引理2 对任一非零 x ∈ C n ，二次型 x H A x < 0 ( A = A H ∈ C n × n ) 的充分必要条件为 λ i ( A ) < 0 ， i ∈ n 。 对于含有连续参数的二次型，为了判断二次型的符号，根据连续函数的性质，可以求得二次型关于参数的驻点，如果所有驻点处的二次型函数值均小于零，则可以断定参数矩阵是稳定的。 引理3 设A具有线性无关的特征向量， λ i ( A ) = r i e j φ i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 1 ，是矩阵A的非零特征值， n 1 为非零特征值的个数。二次型为： f ( θ ) = x H ( A H e − j θ + A e j θ ) x ， ∀ x ≠ 0 ， (4) 取极值的条件为： θ + φ i = k π ，   k = 0 ， ± 1 ;   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 1 。 (5) 证明：令 f ′ ( θ ) = j x H ( − A H e − j θ + A e j θ ) x = 0 ，有 e − j θ x H A T x = e j θ x H A x 。 (6) 设 v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v n 是A的一组线性无关的单位正交特征向量，则任一向量x可表示为 x = ∑ i = 1 n a i v i 。于是有 A x = ∑ i = 1 n a i A v i = ∑ i = 1 n a i λ i v i ，进一步得到 x H A x = ∑ l = 1 n ∑ i = 1 n a i a ¯ l λ i v l H v i = ∑ i = 1 n | a i | 2 λ i ， (7) 将式(7)代入式(6)可得： e − j θ ∑ i = 1 n | a i | 2 r i e − j φ i = e j θ ∑ i = 1 n | a i | 2 r i e j φ i 。 化简上式，得到 ∑ i = 1 n 1 | a i | 2 r i sin ( θ + φ i ) = 0 ，由于x为任意非零向量， a i 具有任意性，故(5)式成立。引理证毕。 定义2：称满足式(5)的相位角 θ 的集合为脆弱相位集，并记为 θ c ，脆弱相位对应的系统称为脆弱系统。 脆弱系统包含了系统时滞导致系统最坏稳定状态的情形，当脆弱系统稳定时，系统在各种不同时滞影响下必稳定。 引理4 线性离散系统 x [ k + 1 ] = A x [ k ] + B x [ k − d i ] ，(8) 强稳定的充分必要条件是 ρ ( A + B e − j ϕ i ) < 1 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 1 。 (9) 式中 λ i ( A H P B ) = r i e j ϕ i ， r i > 0 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 1 ，P是正定矩阵，满足 ( A + B e − j φ i ) H P ( A + B e − j φ i ) − P < 0 。 (10) 证明：考虑下列二次型 F ( θ ) = x H [ ( A + B e − j θ ) H P ( A + B e − j θ ) − P ] x ， 展开上式可得： F ( θ ) = x H ( A H P A + B H P B − P ) x + x H ( A H P B e − j θ + B H P A e j θ ) x 。 由引理3可知， F ( θ ) 在一个周期内所有可能的极值点为： θ + ϕ i = k π ，   ± k = 0 ， ± 1 ;   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。对任 取 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 1 ，若 F ( φ i ) < 0 ，因 F ( φ i ) 为极值，故 F ( θ ) ≤ max i ∈ n F ( ϕ i ) < 0 ， ∀ θ ∈ [ − π ， π ] 。由引理1可知，若条件成立，必有 F ( φ i ) < 0 ⇒ ( A + B e − j φ i ) H P ( A + B e − j φ i ) − P < 0 。 (11) 这等价于式(9)成立。定理证毕。 注2：计算 A T P B 的特征值需要先指定正定阵P，从计算简单考虑初始矩阵可以取为单位矩阵I，或者通过解离散Lyapunov方程 ( A + B ) T P ( A + B ) − P = − I 来设定。可能此初定的P不能满足式(10)，但若此时条件(9)成立，由离散Lyapunov理论可知，一定存在某个正定阵P使式(10)成立，可由解LMI(10)获取P，并用来代替P的初始矩阵。重复以上步骤，直到得到结论。定理1的算法整个流程可概括如下： Step1：设定P； Step2：计算特征值对应的相角 φ i ； Step3：检查式(9)是否成立，如成立转Step4，如不成立，系统非强稳定，停止； Step4:检查式(11)是否成立，如是，系统强稳定，停止。否则按(10)使用MATLAB的dlyap函数，计算P，转Step2。 当 A H P B 的所有非零特征值为实数时， φ i = 0   or   π ， i ∈ n ，于是有下面的推论： 推论1 设 ρ ( A + B ) < 1 ，若存在正定阵P满足 ( A + B ) T P ( A + B ) − P < 0 ， (12a) 或 ( A − B ) T P ( A − B ) − P < 0 ， (12b) 使 A T P B 所有非零特征值为实数，则离散系统(8)强稳定的充分必要条件为： ρ ( A − B ) < 1 。 (13) 注3：对于N = 2的情形，已有文献的结论表明，需要在 ( 2 ~ 3 ) n 2 × ( 2 ~ 3 ) n 2 的规模上验证LMI。而本文引理4至多需要计算n个常数矩阵的谱半径，更确切地说，实际上只需要计算矩阵 A H P B 的非实数特征值个数；当 A H P B 为实矩阵时，考虑到实矩阵的复数根是共轭的，则计算量减半。值得一提的是，当n较大时，计算谱半径不是件容易的事，由 ρ ( A ) ≤ ‖ A ‖ ，可用范数来代替谱半径，这种处理手段以牺牲保守性为代价，但可以降低计算复杂度。 2.2. 多时滞系统强稳定的充分必要条件 定理1 系统(1)是强稳定的，当且仅当存在正定矩阵 P 1 ， P 2 ， ⋯ ， P N ，满足 λ ( A ˜ i − 1 H P i A i ) = r i ， m e j ϕ i ， m ， m = 1 ， 2 ， ⋯ ， n i ，使 θ i c ∈ { − π ， ϕ i m ， 0 ， π } ρ ( A ˜ i ) < 1 ，for i = 1 ， ⋯ ， N ， (14) 这里 A ˜ i = A ˜ i − 1 + A i e − j θ i c ， ( A ˜ 1 = A 1 ) ， i = 2 ， ⋯ ， N 。 证明：本证明采用数学归纳法。 设 W k ( θ ) = ∑ i = 1 k A i e − j θ i ，当k = 1，2时，由引理4知，结论成立，假设k = i时，定理成立，现考虑k = i+1的情形。 考虑二次型： f ( θ ) = x H [ W k H ( θ ) P k W k ( θ ) − P k ] x ， ∂ f ( θ ) ∂ θ k = x H [ ∂ W k H ( θ ) ∂ θ k P k W ( θ ) + W k H ( θ ) P k ∂ W k ( θ ) ∂ θ k ] x 。 令上式等于0，得到 j x H [ A i H P W k − 1 ( θ ) − W k − 1 H ( θ ) P A i ] x = 0 ，用脆弱系统 W k − 1 ( θ c ) 代替 W k − 1 ( θ ) ，然后利用引理4同样的技术，可知结论成立。 因此k = i时，定理依然成立，由归纳法原理，定理对所有 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 都是成立的。定理证完。