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user: 2. 股票价格规律分析 2.1. 股票交易价格的变化规律和特征 选定汉王科技 [ 7 ] 2019年6月1日到2019年9年21日的四种交易价格：开盘价(OP)、收盘价(FP)、最高价(SP)、最低价(LP)为例，部分日期原始数据如图1所示，以其原始数据为基础做出114天变化曲线图，如图2所示。四种交易数据在总体趋势上保持一致，大致在前4天保持线性增长，于第4天达到小范围极值。在第4到第31天这段时间里，交易价格持续走低，于第31天价格跌入谷底。在30~45天呈现增长趋势，紧接着在45~58天期间，价格波动不大。在59天到103天这段时间价格持续走低，最后在104天到114天价格慢慢上涨。对于SP和LP数据，可以清楚地看出SP在每一天的交易价格都大于LP，且通过图2也可以判断SP为交易价格的最高价，而LP为交易价格的最低价。其数据特征表见表1。 2.2. 股票交易价格与时间t的变化依赖关系 为了定量化描述股票交易价格与时间t的变化依赖关系，假设2019.6.1为t = 1时刻，此时 x 1 = 1 ，2019.9.21为t = 114时刻，此时 x 114 = 114 ，以此类推。已知函数 f ( x t ) 在若干点 x t ( t = 1 ， 2 ， ⋯ ， 114 ) 处的值为 y t ，构造一个曲线拟合函数ψ(x)，用来反映数据的基本趋势。 图1. 汉王科技股票2019.6.1~9.21期间四种交易价格OP、FP、SP、LP原始数据 图2. 四种交易价格OP、FP、SP、LP数据变化图 Table 1 Data characteristics of OP， FP， SP， L 交易价格 OP/元 FP/元 SP/元 LP/元 有效数量 114 114 114 114 平均值 15.0906 15.1118 15.2424 14.9641 中位数 15.0800 15.1050 15.2000 14.9850 标准差 0.52786 0.51867 0.56571 0.47366 范围 2.66 2.46 2.70 2.01 最小值 14.04 14.15 14.08 14.04 最大值 16.70 16.61 16.78 16.05 表1. OP、FP、SP、LP的数据特征 2.2.1. 曲线拟合的最小二乘法 对于曲线拟合函数ψ(x)，不要求其严格的通过所有数据点，也就是说拟合函数ψ(x)在 x t 处的偏差(或残差)不都严格的等于零，设偏差为 ε t ： ε t = ψ ( x t ) − f ( x t ) ，     ( t = 1 ， 2 ， ⋯ ， 114 ) (1) 为了使近似曲线能最大精度反映所给数据点的变化趋势，要求总偏差 ε t 平方和最小，即要求下式具有最小值： ∑ t = 1 114 ε t 2 = ∑ t = 1 114 [ ψ ( x t ) − f ( x t ) ] 2 (2) 假设拟合方程为二次曲线： y = a x 2 + b x + c (3) 已知数据点 ( x t ， y t ) ， t = 1 ， 2 ， ⋯ ， 114 ，该近似拟合曲线的均方误差为： Q ( a ， b ， c ) = ∑ t = 1 114 a x t 2 + b x t + c − y t 2 (4) 要求式4的极小值，可以归结为多元函数求极值的问题，则有： { ∂ Q ∂ a = 0 ∂ Q ∂ b = 0 ∂ Q ∂ c = 0 (5) 求导过程如下： ∂ Q ∂ a = 2 ∑ t = 1 114 ( a x t 2 + b x t + c − y t ) ⋅ x t 2 = 2 ∑ t = 1 114 ( a x t 4 + b x t 3 + c x t 2 − y t x t 2 ) = 0 ⇒ a ∑ t = 1 114 x t 4 + b ∑ t = 1 114 x t 3 + c ∑ t = 1 114 x t 2 = ∑ t = 1 114 y t x t 2 ∂ Q ∂ b = 2 ∑ t = 1 114 ( a x t 2 + b x t + c − y t ) ⋅ x t = 2 ∑ t = 1 114 ( a x t 3 + b x t 2 + c x t − y t x t ) = 0 ⇒ a ∑ t = 1 114 x t 3 + b ∑ t = 1 114 x t 2 + c ∑ t = 1 114 x t = ∑ t = 1 114 y t x t ∂ Q ∂ c = 2 ∑ t = 1 114 ( a x t 2 + b x t + c − y t ) = 0 ⇒ a ∑ t = 1 114 x t 2 + b ∑ t = 1 114 x t + 114 c = ∑ t = 1 114 y t 可将上述线性方程组转换为矩阵方程，即： | ∑ t = 1 114 x t 2 ∑ t = 1 114 x t 114 ∑ t = 1 114 x t 3 ∑ t = 1 114 x t 2 ∑ t = 1 114 x t ∑ t = 1 114 x t 4 ∑ t = 1 114 x t 3 ∑ t = 1 114 x t 2 | | a b c | = | ∑ t = 1 114 y t ∑ t = 1 114 y t x t ∑ t = 1 114 y t x t 2 | (6) 其系数行列式为： D = | ∑ t = 1 114 x t 2 ∑ t = 1 114 x t 114 ∑ t = 1 114 x t 3 ∑ t = 1 114 x t 2 ∑ t = 1 114 x t ∑ t = 1 114 x t 4 ∑ t = 1 114 x t 3 ∑ t = 1 114 x t 2 | (7) 若D值不为0，则方程组有解。其中： D a = | ∑ t = 1 114 y t ∑ t = 1 114 x t 114 ∑ t = 1 114 y t x t ∑ t = 1 114 x t 2 ∑ t = 1 114 x t ∑ t = 1 114 y t x t 2 ∑ t = 1 114 x t 3 ∑ t = 1 114 x t 2 | ， D b = | ∑ t = 1 114 x t 2 ∑ t = 1 114 y t 114 ∑ t = 1 114 x t 3 ∑ t = 1 114 y t x t ∑ t = 1 114 x t ∑ t = 1 114 x t 4 ∑ t = 1 114 y t x t 2 ∑ t = 1 114 x t 2 | ， D c = | ∑ t = 1 114 x t 2 ∑ t = 1 114 x t ∑ t = 1 114 y t ∑ t = 1 114 x t 3 ∑ t = 1 114 x t 2 ∑ t = 1 114 y t x t ∑ t = 1 114 x t 4 ∑ t = 1 114 x t 3 ∑ t = 1 114 y t x t 2 | 那么由此可以解得二次曲线拟合方程的各系数： a = D a D ， b = D b D ， c = D c D (8) 当拟合方程为三次曲线或四次曲线时同理。 2.2.2. 依赖关系定量化求解结果 观察图2：四种交易价格变化图可以发现OP，FP，SP，LP在114天内的变化趋势与四次函数图像“W”的形状及其相似，因此利用上述曲线拟合的最小二乘法对OP-t数据做四次函数拟合，得到股票交易价格OP与时间t的变化依赖关系为： y t OP = 4 × 10 − 7 x t OP 4 − 9.3 × 10 − 5 x t OP 3 + 6.9 × 10 − 3 x t OP 2 − 0.16 x t OP + 16 (9) 其中： y t OP 为t时刻交易价格OP的值。 x t OP 是初始值为1，公差为1的等差数列。 通过Matlab计算得到残差模=4.0023，OP-t拟合曲线与残差模量如图3所示。 同理，股票交易价格FP与时间t的变化依赖关系为： y t FP = 4.6 × 10 − 7 x t FP 4 − 1.1 × 10 − 4 x t FP 3 + 8.1 × 10 − 3 x t FP 2 − 0.2 x t FP + 16 (10) 通过Matlab计算得到残差模=3.4719，FP-t拟合曲线与残差模量如图4所示。 图3. OP-t多项式拟合曲线与残差图 图4. FP-t多项式拟合曲线与残差图 股票交易价格SP与时间t的变化依赖关系为： y t SP = 4.9 × 10 − 7 x t SP 4 − 1.2 × 10 − 4 x t SP 3 + 8.6 × 10 − 3 x t SP 2 − 0.21 x t SP + 16 (11) 通过Matlab计算得到残差模=3.794，SP-t拟合曲线与残差模量如图5所示。 图5. SP-t多项式拟合曲线与残差图 股票交易价格LP与时间t的变化依赖关系为： y t LP = 3.7 × 10 − 7 x t LP 4 − 8.6 × 10 − 4 x t LP 3 + 6.4 × 10 − 3 x t LP 2 − 0.15 x t LP + 16 (12) 通过Matlab计算得到残差模=3.5708，LP-t拟合曲线与残差模量如图6所示。 图6. LP-t多项式拟合曲线与残差图