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user: 3. 物理方程的时间反演变换 物理方程是描述物理过程中不同物理量之间的数量关系及变化规律的方程，而物理方程的时间反演变换(即 T ^ 运算)则是研究物理过程的可逆性或者相互关联的物理量之间综合对称性的数学方法，因此，对物理方程的 T ^ 运算的研究具有重要意义。 3.1. 物理方程的时间反演变换的定义 物理方程的 T ^ 运算定义：物理方程 F ( x 1 ， x 1 ， ⋯ ， x n ， t ) = 0 的 T ^ 运算是将该方程中的每一个物理量分别进行 T ^ 运算，经整理后所得新方程即是该原方程的 T ^ 运算方程。由此，物理方程的 T ^ 运算不变性可定义为：如果某物理方程的数学形式与其 T ^ 运算方程的数学形式完全相同，则称该物理方程具有 T ^ 运算不变性。显然，对具有 T ^ 运算不变性的物理方程，原方程与其 T ^ 运算方程具有相同解(即该方程无法区分物理过程与其逆过程)，因而相应的物理过程具有可逆性；并且具有 T ^ 运算不变性的方程 F ( x 1 ， x 1 ， ⋯ ， x n ， t ) = 0 ，其函数 F = F ( x 1 ， x 1 ， ⋯ ， x n ， t ) 的 T ^ 运算具有偶性或奇性。下面对物理学中一些重要方程的 T ^ 运算进行讨论。 3.2. 经典力学中主要动力学方程的时间反演变换 由存在相互作用的质点构成的动力学体系除可用牛顿动力学方程描述之外，还可用哈密顿正则方程来描述： d q i d t = − ∂ H ∂ p i (37) d p i d t = − ∂ H ∂ q i (38) 其中 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ；q i 为质点的广义空间坐标，p i 为质点的广义动量， d q i / d t 与 ∂ H / ∂ p i 为质点的广义速度， d p i / d t 与 ∂ H / ∂ q i 为质点的广义作用力， H = ∑ i p i 2 / ( 2 m i ) + U ( q 1 + q 2 + ⋯ + q 3 n ) 为动力学系统的哈密顿量。 在方程(37)及(38)中显然有 T ^ q i = q ′ i = q i ， T ^ p i = p ′ i = − p i ， T ^ H = H ′ = H 。对方程(37)进行 T ^ 运算，则方程的左边有 T ^ ( d q i d t ) = d q ′ i d t ′ = − d q i d t = − d q i d t 方程的右边有 T ^ ( ∂ H ∂ p i ) = ∂ H ′ ∂ p ′ i = − ∂ H ∂ p i = − ∂ H ∂ p i 所以方程(37)具有 T ^ 运算不变性。对方程(38)进行 T ^ 运算，则方程的左边有 T ^ ( d p i d t ) = d p ′ i d t ′ = d p i d t 方程的右边有 T ^ ( − ∂ H ∂ q i ) = − ∂ H ′ ∂ q ′ i = − − ∂ H − ∂ q i = − ∂ H ∂ q i 所以方程(38)具有 T ^ 运算不变性。 由存在相互作用的质点构成的动力学体系还可以用拉格朗日动力学方程描述： ∂ L ∂ q i − d d t ( ∂ L ∂ ( d q i / d t ) ) = 0 (39) 其中 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ； L ( q ( t ) ， d q / d t ) = T ( d q 1 / d t ， d q 2 / d t ， ⋯ ， d q 3 n / d t ) − V ( q 1 ， q 2 ， ⋯ ， q 3 n ) 是拉格朗日函数。 显然，方程(39)中 ∂ L / ∂ q i 为广义作用力， d q i / d t 为广义速度，且 T ^ L = L ′ = L ，对其进行 T ^ 运算，则方程(39)的左边有 T ^ [ ∂ L ∂ q i − d d t ( ∂ L ∂ ( d q i / d t ) ) ] = ∂ L ′ ∂ q ′ i − d d t ′ ( ∂ L ′ ∂ ( d q ′ i / d ′ t ) ) = − ∂ L − ∂ q i − d d t ( − ∂ L ∂ ( − d q i / d t ) ) = ∂ L ∂ q i − d d t ( ∂ L ∂ ( d q i / d t ) ) 即方程(39)具有 T ^ 运算不变性。也即用于描述存在相互作用的质点构成的动力学体系的经典力学方程具有 T ^ 运算不变性，并且函数 的 T ^ 运算具有偶性。 3.3. 麦克斯韦电磁场方程及洛伦兹力的时间反演变换 电磁学理论体系主要由以下麦克斯韦方程组构成： ∇ ⋅ B = 0 (40) ∇ × E = − 1 C ∂ B ∂ t (41) ∇ ⋅ E = 4 π ρ (42) ∇ × B = 1 C ∂ E ∂ t + 4 π C J (43) 其中 ∇ = i ∂ / ∂ x + j ∂ / ∂ y + k ∂ / ∂ z 为梯度算符，E为电场强度，B为磁感应强度， J = ρ V 为电流密度，C为光速。而带电粒子在电磁场中的运动过程所受到的电磁力即洛伦兹力的作用的表达式为： F = e E + V C e × H (44) 式中e是带电粒子所带的电荷量，V是带电粒子的运动速度，E为带电粒子所处环境的电场强度，H是带电粒子所处环境的磁场强度，C为光速。 由于 T ^ E = E ′ = E 、 T ^ B = B ′ = − B 、 T ^ ρ = ρ ′ = ρ ，对方程(40)及(42)的两边进行 T ^ 运算有 T ^ ( ∇ ⋅ B ) = ∇ ⋅ B ′ = − ∇ ⋅ B ， T ^ ( ∇ ⋅ E ) = ∇ ⋅ E ′ = ∇ ⋅ E 其中 ∇ = i ∂ / ∂ x + j ∂ / ∂ y + k ∂ / ∂ z ，这样方程(40)及(42)具有 T ^ 运算不变性。 对方程(41)及(43)的两边做 T ^ 运算，左边及右边分别有 T ^ ( ∇ × E ) = ∇ × E ′ = ∇ × E ， T ^ ( − 1 C ∂ B ∂ t ) = − 1 C ∂ B ′ ∂ t ′ = − 1 C ∂ B ∂ t T ^ ( ∇ × B ) = ∇ × B ′ = − ∇ × B T ^ ( 1 C ∂ E ∂ t + 4 π C J ) = 1 C ∂ E ′ ∂ t ′ + 4 π C J ′ = 1 C ( − ∂ E ) ∂ t + 4 π C ( − J ) = − 1 C ∂ E ∂ t − 4 π C J 从而方程(41)及(43)也具有 T ^ 运算不变性。综合上述结论可得麦克斯韦方程组具有 T ^ 运算不变性。另外，对方程(44)右边的 T ^ 运算有 T ^ ( e E + ( e V / C ) × H ) = e ′ E ′ + ( e ′ V ′ / C ′ ) × H ′ = e E + ( e ( − V ) / C ) × ( − H ) = e E + ( e V / C ) × H 即洛伦兹力具有 T ^ 运算不变性。 3.4. 描述微观物理过程的基本方程的时间反演变换 由于描述微观粒子运动规律的薛定谔方程是复函数形式的方程，因此无法直接利用前面获得的各种结论，在此采用汤甦野教授在其著作中提出的、与复函数形式的薛定谔方程完全等效的实函数形式的薛定谔方程组进行讨论： ℏ ∂ ∂ t A ( r ， t ) = ( − ℏ 2 2 m ∇ 2 + U ( r ) ) B ( r ， t ) (45) ℏ ∂ ∂ t B ( r ， t ) = − ( − ℏ 2 2 m ∇ 2 + U ( r ) ) A ( r ， t ) (46) 其中 A ( r ， t ) = C cos ( p ⋅ r − E t ) / ℏ 及 B ( r ， t ) = C sin ( p ⋅ r − E t ) / ℏ 分别表示波函数Ψ的实部和虚部 [ 10 ] 。 A(r，t ) 的 T ^ 运算有 T ^ ( A ( r ， t ) ) = A ( r ， t ′ ) = A ( r ， − t ) = C cos ( − p ⋅ r − E ( − t ) ) / ℏ = A ( r ， t ) 即 A ( r ， t ) 的 T ^ 运算具有偶性。 而 B ( r ， t ) 的 T ^ 运算有 T ^ ( B ( r ， t ) ) = B ( r ， t ′ ) = B ( r ， − t ) = C sin ( − p ⋅ r − E ( − t ) ) / ℏ = − B ( r ， t ) 即 B ( r ， t ) 对 T ^ 运算具有奇性。 对方程(45)进行 T ^ 运算，则方程的左边有 T ^ ( ℏ ∂ ∂ t A ( r ， t ) ) = ℏ ∂ ∂ t ′ A ( r ， t ′ ) = − ℏ ∂ ∂ t A ( r ， t ) 方程的右边有 T ^ ( ( − ℏ 2 2 m ∇ 2 + U ( r ) ) B ( r ， t ) ) = ( − ℏ 2 2 m ∇ 2 + U ( r ) ) B ( r ， t ′ ) = − ( − ℏ 2 2 m ∇ 2 + U ( r ) ) B ( r ， t ) 由此可得方程具有 运算不变性。 对方程(46)进行 T ^ 运算，则方程的左边有 T ^ ( ℏ ∂ ∂ t B ( r ， t ) ) = ℏ ∂ ∂ t ′ B ( r ， t ′ ) = ℏ ∂ ∂ t B ( r ， t ) 方程的右边有 T ^ ( ( − ℏ 2 2 m ∇ 2 + U ( r ) ) A ( r ， t ) ) = ( − ℏ 2 2 m ∇ 2 + U ( r ) ) A ( r ， t ′ ) = ( − ℏ 2 2 m ∇ 2 + U ( r ) ) A ( r ， t ) 可见该方程组具有 T ^ 运算不变性，即与复函数形式的薛定谔方程完全等效的联立实函数方程具有 T ^ 运算不变性，因而复函数形式的薛定谔方程同样具有 T ^ 运算不变性。 在量子力学中，波函数Ψ用于描述粒子在空间中的几率分布，而且多数量子力学的问题都可归结为对薛定谔方程中的波函数Ψ的求解；此外，还可以通过使用力学量算符与波函数Ψ进行运算的方法计算出相应力学量的各本征值的几率；可见，力学量算符在量子力学中是非常重要的概念。而为了便于对各种力学量算符的T变换的研究，在量子力学中引入了与之对应的T变换算符T，如在量子力学中对粒子的坐标、动量以及轨道角动量对应的算符x、P、L的T操作分别为 x ′ = T x T − 1 = x ， P ′ = T P T − 1 = − P ， L ′ = T L T − 1 = − L 等。其实在量子力学中T变换算符T是对量子系统中的力学量算符的T变换的整体性操作，其方法等同于直接将物理量中的t用−t替换，因而有值得商榷之处，由于篇幅限制本文就不进行更深入的讨论。 3.5. 描述热力学系统变化过程的物理方程的时间反演变换 描述一维热导体热传导过程的傅里叶偏微分方程为： ∂ T ( X ， t ) ∂ t = − λ ∂ 2 T ( X ， t ) ∂ X 2 (47) 式中，函数 T ( X ， t ) 为热传导函数，λ为热传导系数。 假定热传导函数 T ( X ， t ) 的 T ^ 运算具有偶性，即 T ^ ( T ( X ， t ) ) = T ( X ， t ′ ) = T ( X ， t ) ，对方程(47)进行 T ^ 运算，则方程的左边有 T ^ ( ∂ T ( X ， t ) ∂ t ) = ∂ T ( X ， t ′ ) ∂ t ′ = − ∂ ( T ( X ， t ) ) ∂ t = − ∂ ( T ( X ， t ) ) ∂ t 方程的右边有 T ^ ( − λ ∂ 2 T ( X ， t ) ∂ X 2 ) = − λ ∂ 2 T ( X ， t ′ ) ∂ X 2 = − λ ∂ 2 T ( X ， t ) ∂ X 2 显然，方程(47)的数学形式发生了改变，因而不具有 T ^ 运算不变性。 假定热传导函数 T ( X ， t ) 的 T ^ 运算具有奇性，同样可以证明方程(47)不具有 T ^ 运算不变性。因而描述一维热导体热传导过程的傅里叶方程不具有 T ^ 运算不变性，也即函数 F = ∂ T ( X ， t ) / ∂ t + λ ( ∂ 2 T ( X ， t ) / ∂ X 2 ) 的 T ^ 运算不具有偶性或奇性，从而热传导过程具有不可逆性或单向性。由于热传导过程的逆过程与其原过程一样都是在正向流逝的时间方向上发生的，并且描述物理过程的方程 F ( x 1 ， x 1 ， ⋯ ， x n ， t ) = 0 是否具有 T ^ 运算不变性完全取决于所论及的具体的物理过程或描述该过程物理方程的数学结构，更确切地说取决于函数 F = F ( x 1 ， x 1 ， ⋯ ， x n ， t ) 是否具有奇偶性，因而热传导过程的不可逆性与时间的单向性(即所谓的“时间箭头”)无关，而是由其自身更深层的原因所致；同样的，由于基本物理过程的逆过程与其原过程一样也是在正向流逝的时间方向上发生的，因而基本物理过程的可逆性也并不意味着时间的双向(或无向)性，更不是如物理学家布赖恩.格林所说的“按时间轴正向发生的运动同样也可以逆着时间轴发生” [ 7 ] 。除了热传导过程之外，所有与热力学过程有关的过程都不具有 T ^ 运算不变性，这就是热力学第二定律所揭示的内涵，由于涉及范围广，本文就不进行深入讨论。