system: [SYSTEM]

user: 3. 半离散混合有限体积元形式的误差估计 为了进行误差估计，首先给出迁移算子 γ h 的性质。 引理3.1 [ 12 ] ：迁移算子 γ h 是有界的，且满足 ‖ γ h ω h ‖ ≤ 3 ‖ ω h ‖ ，     ∀ ω h ∈ H 0 h . (8) 引理3.2 [ 12 ] ：迁移算子 γ h 满足对称性，即有 ( ω h ， γ h v h ) = ( γ h ω h ， v h ) ，     ∀ v h ， ω h ∈ H 0 h . (9) 引理3.3 [ 12 ] ：迁移算子 γ h 满足下述正定性 ( γ h ω h ， ω h ) ≥ 3 4 ‖ ω h ‖ 2 ，     ∀ ω h ∈ H 0 h . (10) 引理3.4 [ 12 ] ：设I是恒等算子，则迁移算子 γ h 满足下述性质 ‖ ( I − γ h ) ω h ‖ ≤ 12 12 h | ω h | 1 ，     ∀ ω h ∈ H 0 h . (11) | ( v h ， ( I − γ h ) ω h ) | ≤ 12 12 h | p h | 1 ‖ ω h ‖ ，     ∀ p h ， ω h ∈ H 0 h . (12) 下面引入椭圆投影算子 π h : H 0 1 ( Ω ) → H 0 h ，满足 ( ( ω − π h ω ) x ， v h ) = 0 ，   ∀ v h ∈ L h ， 其中 ω ∈ H 0 1 ( Ω ) . (13) 同时引入 L 2 正交投影算子 R h : L 2 ( Ω ) → L h ，满足 ( φ − R h φ ， v h ) = 0 ，     ∀ v h ∈ L h ， 其中 φ ∈ L 2 ( Ω ) . (14) 由文献 [ 16 ] [ 17 ] 可知，对 i = 0 ， 1 ，下列估计式成立 ‖ ∂ i ω ∂ t i − ∂ i π h ω ∂ t i ‖ ≤ C h ‖ ∂ i ω ∂ t i ‖ 1 ， 其中 ∂ i ω ∂ t i ∈ H 0 1 ( Ω ) ， (15) ‖ ∂ i ω ∂ t i − ∂ i π h ω ∂ t i ‖ 1 ≤ C h ‖ ∂ i ω ∂ t i ‖ 2 ， 其中 ∂ i ω ∂ t i ∈ H 2 ( Ω ) ∩ H 0 1 ( Ω ) ， (16) ‖ ∂ i φ ∂ t i − ∂ i R h φ ∂ t i ‖ ≤ C h ‖ ∂ i φ ∂ t i ‖ 1 ， 其中 ∂ i φ ∂ t i ∈ H 1 ( Ω ) . (17) 利用算子 γ h ，可以得到下述引理。 引理3.5 [ 12 ] ：存在与h无关的正常数C使得 ‖ v − γ h π h v ‖ ≤ C h ‖ v ‖ 1 ，     ∀ v ∈ H 0 1 ( Ω ) ， (18) | ( v ， ( I − γ h ) ω h ) | ≤ C h ‖ v ‖ 1 ‖ ω h ‖ ，     ∀ v ∈ H 0 1 ( Ω ) ，     ∀ ω h ∈ H 0 h . (19) 为了对半离散格式进行误差估计，将误差写为 u − u h = u − π h u + π h u − u h = ξ + η ， p − p h = p − R h p + R h p − p h = ρ + ε . 格式(3)和格式(7)作差，利用投影算子可得误差方程为 { ( a )     ( η t ， γ h v h ) − ( v h x ， ε ) = − ( ξ t ， γ h v h ) − ( u t ， ( I − γ h ) v h ) ，     ∀ v h ∈ H 0 h ， ( b )     α ( η x ， q h ) + β ( η x t ， q h ) + ( ε ， q h ) − σ ( η ， q h ) = ( ξ ， q h ) − δ 2 ( f ( u h ) − f ( u ) ， q h ) ，   ∀ q h ∈ L h ， ( c )     η ( 0 ) = π h u ( 0 ) − u h ( 0 ) = 0. (20) 类似于文献 [ 12 ] 中的证明，可以得到下述半离散格式解的存在唯一性和稳定性。 定理3.1：半离散格式(7)存在唯一解 { u h ， p h } ，且存在与h和t无关的正常数C，使得 ‖ u h ( t ) ‖ 1 ≤ C ‖ u 0 ‖ 1 ，     ‖ u h ( t ) ‖ ∞ ≤ C ‖ u 0 ‖ 1 ， ‖ u h t ( t ) ‖ 1 + ‖ p h ( t ) ‖ ≤ C ( ‖ u 0 ‖ 1 + ‖ u 0 ‖ 1 2 + ‖ u 0 ‖ 1 3 ) . 下面给出半离散格式(7)的误差估计。 定理3.2：设 { u ， p } 是混合变分形式(3)的解， { u h ， p h } 是半离散格式(7)的解，则存在与h和t无关的正常数C，使得 ‖ u ( t ) − u h ( t ) ‖ 1 ≤ C h ( ‖ u ( t ) ‖ 2 + ( ∫ 0 t ( ‖ u ‖ 1 2 + ‖ u t ‖ 1 2 ) d s ) 1 2 ) ， ‖ u t ( t ) − u h t ( t ) ‖ 1 ≤ C h ( ‖ u t ( t ) ‖ 2 + ‖ u ( t ) ‖ 1 + ( ∫ 0 t ( ‖ u ‖ 1 2 + ‖ u t ‖ 1 2 ) d s ) 1 2 ) ， ‖ p ( t ) − p h ( t ) ‖ ≤ C h ( ‖ p ( t ) ‖ 1 + ‖ u ( t ) ‖ 1 + ‖ u t ‖ 1 + ( ∫ 0 t ( ‖ u ‖ 1 2 + ‖ u t ‖ 1 2 ) d s ) 1 2 ) . 证明：在误差方程(20)中取 v h = η ， q h = η x ，则有 α ( η x ， η x ) + β ( η x t ， η x ) + ( η t ， γ h η ) − σ ( η ， η x ) = − ( ξ t ， γ h η ) − ( u t ， ( I − γ h ) η ) + ( ξ ， η x ) − δ 2 ( f ( u h ) − f ( u ) ， η x ) . (21) 则由引理3.5及引理3.1，有 α ‖ η x ‖ 2 + 1 2 d d t ( β ‖ η x ‖ 2 + ( η ， γ h η ) ) − σ ( η ， η x ) = − ( ξ t ， γ h η ) − ( u t ， ( I − γ h ) η ) + ( ξ ， η x ) − δ 2 ( f ( u h ) − f ( u ) ， η x ) . (22) 易知 ‖ f ( u ) − f ( u h ) ‖ ≤ C ( ‖ ξ ‖ + ‖ η ‖ ) ，   ( η ， η x ) = 0 。则(22)式可变为 α ‖ η x ‖ 2 + 1 2 d d t ( β ‖ η x ‖ 2 + ( η ， γ h η ) ) ≤ α 2 ‖ η x ‖ 2 + C ( ‖ ξ ‖ 2 + ‖ ξ t ‖ 2 + h 2 ‖ u t ‖ 1 2 + ‖ η ‖ 2 ) . (23) 对(23)两边关于t积分，可得 α ∫ 0 t ‖ η x ‖ 2 d t + β ‖ η x ‖ 2 + 3 4 ‖ η ‖ 2 ≤ C ∫ 0 t ( ‖ ξ ‖ 2 + ‖ ξ t ‖ 2 + h 2 ‖ u t ‖ 1 2 + ‖ η ‖ 2 ) d s   . (24) 由Gronwall引理，可得 ‖ η ‖ 1 2 + ∫ 0 t ‖ η x ‖ 2 d s ≤ C ∫ 0 t ( ‖ ξ ‖ 2 + ‖ ξ t ‖ 2 + h 2 ‖ u t ‖ 1 2 ) d s   . (25) 为估计 ‖ u t − u h t ‖ 1 ，在(20)中取 v h = η t ， q h = η x t ，则有 ( η t ， γ h η t ) + α ( η x ， η x t ) + β ( η x t ， η x t ) − σ ( η ， η x t ) = − ( ξ t ， γ h η t ) − ( u t ， ( I − γ h ) η t ) + ( ξ ， η x t ) − δ 2 ( f ( u h ) − f ( u ) ， η x t ) . (26) 利用迁移算子的性质，并应用Cauchy-Schwarz不等式和Young不等式，可得 3 4 ‖ η t ‖ 2 + β ‖ η x t ‖ 2 ≤ C ( ‖ ξ t ‖ 2 + ‖ η ‖ 2 + h 2 ‖ u t ‖ 1 2 + ‖ ξ ‖ 2 + ‖ η x ‖ 2 ) + 3 8 ‖ η t ‖ 2 + β 2 ‖ η x t ‖ 2 . (27) 整理可得 3 8 ‖ η t ‖ 2 + β 2 ‖ η x t ‖ 2 ≤ C ( ‖ η ‖ 1 2 + ‖ ξ ‖ 2 + ‖ ξ t ‖ 2 + h 2 ‖ u t ‖ 1 2 ) . (28) 将(25)式代入到(28)式，得到 ‖ η t ‖ 1 2 ≤ C ( ‖ ξ ‖ 2 + ‖ ξ t ‖ 2 + h 2 ‖ u t ‖ 1 2 ) + C ∫ 0 t ( ‖ ξ ‖ 2 + ‖ ξ t ‖ 2 + h 2 ‖ u t ‖ 1 2 ) d s   . (29) 为估计 ‖ p − p h ‖ ，在(20)式中取 q h = ε ，则有 ‖ ε ‖ 2 ≤ C ( ‖ ξ ‖ 2 + ‖ η ‖ 2 + ‖ η x ‖ 2 + ‖ η x t ‖ 2 ) + 1 2 ‖ ε ‖ 2 . (30) 将(25)式和(29)式代入到(30)式，得到 ‖ ε ‖ 2 ≤ C ( ‖ ξ ‖ 2 + ‖ ξ t ‖ 2 + h 2 ‖ u t ‖ 1 2 ) + C ∫ 0 t ( ‖ ξ ‖ 2 + ‖ ξ t ‖ 2 + h 2 ‖ u t ‖ 1 2 ) d s   . (31) 最后利用投影估计和三角不等式完成定理的证明。