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user: 3. MMLSJ的数学模型 为了建立MMLSJ的瞬时悬浮力和转矩公式，分析转子受单相绕组产生的主磁场状态。如图2所示主要思路是，将12个磁极划分为A-B-C三相绕组对应的四部分磁导，其中的P1~P4是A相定子绕组通电所产生的四个磁回路，以P2为例，磁回路中包含Pa、Pb、Pc三个磁导，其中Pa是A2相磁极位置的主磁导，Pb、Pc是磁回路上的B2、C1相磁极对应的气隙磁导，Pa处的磁导又可以细分为正对磁极位置的磁导G g 、边缘磁导G f 、漏磁G d 。再通过逆向推导，得出A1~A4所对应的悬浮力和转矩，组成力的平衡方程。 3.1. 气隙磁导表达式 图3为Pa气隙处磁路示意图，各部分的磁导的计算过程是：将气隙磁场分割为若干规则的区域，通过对微小部分的磁导进行积分获得相应区域的磁场，再通过磁场叠加，求出整个的气隙磁场。因此各个部分的磁导为式(1) [ 14 ]： { d G g = μ 0 h r l g d θ = μ 0 h r l 0 − α + β θ 2 d θ d G f = μ 0 h r ( l 0 − x 0 + y 0 θ 2 + 2 r θ ) ( l 0 − α + β θ 2 + r θ ) ( 2 l 0 − 2 α + β θ − π r θ ) d θ d G d = μ 0 h r l 0 (1) 其中，气隙磁导Pa = G g + G f + G d ，h为硅钢片厚度，r转子质心到齿极的半径，μ 0 真空磁导率，l 0 平均气隙宽度，θ转角度数，(α，β)是转子从圆心发生偏移的位置。 图3. Pa气隙处磁路分割 3.2. A2位置的磁通表达式 依据磁路的第二基本方程和文献 [ 15 ]，将复杂的磁路进行等效网络，得到如图4所示的等效磁路模型，从而实现Pa位置磁路各部分磁通的近似计算： { ϕ g = G g F g ϕ a = ( R g + R f R g ) ϕ g = ( 1 + G g G f ) ϕ g ϕ b = ( 1 + R d 1 R f + R d 1 R g ) ϕ g = ( 1 + G g G d 1 + G f G d 1 ) ϕ g ϕ c = ϕ b + ϕ d = ( 1 + G g G d + G f G d ) ( 1 + G d G A ) ϕ g (2) 其中，F g 、Ф g 、R g 定转子磁极相对处主磁导的磁势、磁通、磁阻，G f 、R f 是边缘位置的磁导、磁阻，G d1 、R d1 为Pa位置漏磁的磁导、磁阻，G d 、R d 为绕组位置漏磁的磁导、磁阻，Ф c 是绕组磁极中的磁通，Ф b 是气隙中的总磁通，N为磁极线圈匝数，I si 是相应线圈通入的电流。 图4. 等效磁路模型 3.3. 电感矩阵 忽略铁芯磁饱和的情况下，将Pa位置的磁回路简化，如下图5所示，I S 1 、I S 2 、I S 3 分别是A相、C相、B相通入的电流(由于现在是只有A相中有电流，所以S2、S3都是零)。 图5. 简化磁路图 结合公式(1) (2)，通过简化磁路图和等效磁路法可以得到以下方程： { L 1 = N 2 P a ( P b + P c ) P = N 2 P [ ( G d 1 + G g 1 + G f 1 ) θ μ 0 h r F g N I 1 G d 1 ( l 0 − α + β θ 2 ) ∗ ( ( G d 2 + G g 2 + G f 2 ) θ μ 0 h r F g N I 1 G d 2 ( l 0 − α + β θ 2 )                                                             + ( G d 3 + G g 3 + G f 3 ) θ μ 0 h r F g N I 1 G d 3 ( l 0 − α + β θ 2 ) ) ] L 2 = N 2 P b ( P a + P c ) P = 0 L 3 = N 2 P c ( P b + P a ) P = 0 M a b = − N 2 P a P b P = N 2 P { ( G d 1 + G g 1 + G f 1 ) θ μ 0 h r F g N I 1 G d 1 ( l 0 − α + β θ 2 ) ∗ ( G d 2 + G g 2 + G f 2 ) θ μ 0 h r F g N I 1 G d 2 ( l 0 − α + β θ 2 ) } M a c = − N 2 P a P c P = N 2 P { ( G d 1 + G g 1 + G f 1 ) θ μ 0 h r F g N I 1 G d 1 ( l 0 − α + β θ 2 ) ∗ ( G d 3 + G g 3 + G f 3 ) θ μ 0 h r F g N I 1 G d 3 ( l 0 − α + β θ 2 ) } M b c = − N 2 P c P b P = 0 (5) 其中，L 1 是定子A相绕组的自感，L 2 是定子B相绕组的自感，L 3 是定子C相绕组的自感，M ab 是定子绕组AB的互感，M ac 是定子绕组AC的互感，M bc 是定子绕组BC的互感， P = P a + P b + P c 。由于只有A相通电，BC相绕组没有自感，两相也不会互感，所以L 2 、L 3 、M bc 都为零。因此，A相绕组的电感矩阵为： [ L ] = [ L 1 M a b M a c M a b L 2 M b c M a c M b c L 3 ] (6) 3.4. 电磁悬浮力和转矩表达式 从电机平衡公式推导电磁悬浮力和转矩的表达式，具体是在定子电压方程 U = I R + L I 的两边左乘电流矩阵，求出球形关节的功率方程： W = W r + W c = I 2 R + [ I ] T L [ I ] (7) 其中，W r 是电阻发热导致的损耗功率，W c 是磁场储能。 由机电能量转换原理可知，磁场储能可以转换成作用在转子上的XYZ三向的悬浮力在XY方向的分量： { F A 2 x = ∂ W c ∂ α = 1 2 I 1 2 ∂ L 1 ∂ α = 1 2 P ( N I ) 2 [ G θ μ 0 h r F g N I 1 G d 1 ( l 0 − α + θ β 2 ) 2 − 4 θ β + 2 ( l 0 − α ) ] F A 2 y = ∂ W c ∂ β = 1 2 I 1 2 ∂ L 1 ∂ β = 1 2 P ( N I ) 2 [ r ( π − r ) ln [ θ β + π θ r + 2 ( l 0 − α ) ] ( π − 2 r ) ∗ ( π r + β ) ∗ ( 2 r + β ) + r [ ( π − r ) β + 4 π r − 8 r ] θ [ θ β + π θ r + 2 ( l 0 − α ) ] ( π − 2 r ) ∗ ( π r + β ) ∗ ( 2 r + β ) − r [ ( π − r ) β + 4 π r − 8 r ] ln [ θ β + π θ r + 2 ( l 0 − α ) ] ( π r + β ) ∗ ( 2 r + β + 1 ) ( π − 2 r ) ∗ ( π r + β ) 2 ∗ ( 2 r + β ) 2 − G θ μ 0 h r F g θ 2 N I 1 G d 1 ( l 0 − α + θ β 2 ) 2 ] (8) 磁场储能对转子自旋角度θ的求偏导，可以得出作用在转子上的电磁转矩表达式： T A 2 = ∂ W c ∂ θ = [ μ 0 h r l 0 + 2 μ 0 h r 2 ( l 0 − α ) + θ β + r [ ( π − 2 ) β + 4 π r − 8 r ] ( π − 2 r ) ∗ ( 2 r + β ) ∗ [ ( π r + β ) θ + 2 ( l 0 − α ) ] ] ∗ θ μ 0 h r F g N I 1 G d 1 ( l 0 − α + β θ 2 ) − G θ μ 0 h r F g θ β 2 2 ( l 0 − α + θ β 2 ) 2 (9) 由此得到P2位置的悬浮力和转矩的表达式，同理可得另外三处位置的悬浮力分量和转矩。 悬浮力在XY轴方向的合力的公式是： F x = F A 1 x + F A 3 x + F A 2 x + F A 4 x F y = F A 1 y + F A 3 y + F A 2 y + F A 4 y (10)