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user: 3. 模拟分析 在基因效应的测定中，考虑到基因表达数据和SNP数据同时存在，我们可使用连续变量和分类变量来模拟。具体来说，基因表达数据是使用自回归相关结构从多变量正态分布中生成的。在该结构中，第i和第j个基因效应在强层次结构下具有相关系数 ρ i j = 0.8 | i − j | 。在弱层次下具有相关系数 ρ i j = 0.2 | i − j | 。SNP数据是分位数方法生成的3个水平的分类变量。我们根据第一个和第二个三分位数将数据分成三类。然后生成了具有3个水平的分类变量SNP数据。相似的模拟数据生成方法也被应用于其他的研究中，如Wu等人的研究 [ 6 ] 和Shi等人的研究 [ 15 ]。对于环境/临床效应的测定，我们也采用自回归相关结构下的多元正态分布来生成数据。共生成300个基因表达因子和SNP，环境因子5个，即主效应305个，交互效应1500个。生存时间的对数 由以下数据生成模型计算： Y = ∑ k = 1 5 α k Z k + ∑ j = 1 15 γ j X j + ∑ j = 1 10 ∑ k = 2 ， 3 β j k X j Z k + ε (11) 假定有15个基因主效应和20个基因–环境交互项与响应变量(生存时间的对数Y)相关。式(11)中的系数由均匀分布Uniform (0.6， 14)生成。删失率假定为0.3。我们考虑如下三种不同的分布作为误差项的分布：第一种是标准正态分布 N ( 0 ， 1 ) ；第二种是标准正态分布与柯西分布的混合 0.8 * N ( 0 ， 1 ) + 0.2 * C a u c h y ( 0 ， 1 ) ；第三种是T分布 t ( 2 ) 。 除了记为LAD-SCAD的我们所提出的方法外，还增加了5种备选的方法来作比较，包括LAD-LASSO、LAD-Group、LS-SCAD、LS-LASSO和LS-Group。在LAD-LASSO和LAD-Group中分别采用LASSO惩罚项和Group LASSO惩罚项代替SCAD惩罚项。二者的区别在于LASSO会在群体水平和个体水平上都产生稀疏性，而Group LASSO在组内不存在稀疏性、只在群体水平上产生稀疏性。对于LS-SCAD，保留SCAD作为惩罚函数，用LS (即最小二乘法)代替LAD作为损失函数。LS是一个对异常值敏感的非鲁棒损失函数。以下是数据仿真的结果： Table 1 Comparison of simulation results of six method Error Method TP FP TP1 FP1 RSSE PMSE N_VAR N(0，1) LAD-SCAD 18.92 (3.29) 30.54 (17.81) 10.92 (1.69) 14.2 (6.98) 13.23 (2.62) 0.96 (0.18) 49.46 (18.9) LAD-LASSO 14.98 (2.38) 29.68 (12.82) 6.98 (0.86) 12.18 (1.82) 10.91 (2.17) 0.77 (0.12) 44.66 (12.8) LAD-Group 18.38 (3.51) 67.98 (9.53) 10.38 (1.53) 25.92 (6.55) 15.46 (3.38) 0.82 (0.16) 86.36 (9.5) LS-SCAD 16.88 (3.92) 32.62 (11.69) 8.88 (1.09) 9.86 (4.78) 13.32 (2.97) 1.73 (0.26) 49.5 (12.0) LS-LASSO 23.16 (4.41) 104.32 (11.58) 15.16 (2.14) 45.4 (9.89) 13.27 (2.88) 1.72 (0.28) 127.48 (12.1) LS-Group 22.48 (5.12) 109.06 (13.91) 14.48 (2.15) 46.3 (11.12) 13.64 (3.05) 1.76 (0.24) 131.53 (14.2) 0.8 * N (0， 1) + 0.2 * Cauchy (0，1) LAD-SCAD 15.3 (2.52) 25.8 (7.55) 7.3 (1.25) 10.28 (3.22) 12.31 (2.69) 0.86 (0.07) 41.1 (7.9) LAD-LASSO 14.84 (1.42) 23.72 (2.61) 6.84 (1.42) 11.66 (1.8) 10.29 (2.33) 1.12 (0.12) 38.6 (2.8) LAD-Group 14.5 (2.11) 32.22 (7.76) 6.5 (2.11) 14.34 (4.68) 13.62 (3.15) 0.92 (0.09) 46.72 (9.2) LS-SCAD 13.2 (1.22) 17.64 (3.3) 5.2 (0.22) 12.28 (3.18) 10.58 (2.56) 2.05 (0.24) 30.64 (3.3) LS-LASSO 18.28 (2.94) 59.32 (11.94) 10.28 (2.94) 26.48 (9.23) 10.55 (2.54) 1.99 (0.21) 77.6 (14.4) LS-Group 16.72 (2.91) 58.68 (9.87) 10.16 (2.91) 22.32 (8.57) 11.67 (2.82) 1.82 (0.19) 74.4 (12.1) t(2) LAD-SCAD 22.8 (3.26) 36.36 (15.55) 12.33 (3.12) 16.28 (6.17) 10.86 (2.57) 1.01 (0.12) 59.16 (18.2) LAD-LASSO 19.82 (2.08) 19.06 (4.63) 8.54 (2.78) 11.66 (3.28) 10.63 (2.25) 1.02 (0.09) 38.88 (5.3) LAD-Group 22.84 (3.81) 46.16 (11.44) 11.64 (2.99) 24.92 (4.33) 12.98 (2.95) 0.95 (0.10) 69 (12.6) LS-SCAD 19.5 (2.51) 21.3 (13.57) 9.38 (2.65) 18.76 (6.32) 10.12 (2.68) 2.14 (0.21) 40.8 (14.7) LS-LASSO 29.4 (3.81) 67.96 (11.21) 16.84 (3.26) 27.11 (3.28) 10.09 (2.58) 2.13 (0.16) 97.36 (12.4) LS-Group 29.16 (3.35) 65.04 (11.34) 16.27 (3.19) 26.6 (3.81) 11.48 (2.72) 2.13 (0.19) 94.2 (12.8) 表1. 六种方法的模拟结果比较 仿真结果如表1所示。表中所有的值都是100次重复模拟的平均值，括号中是标准差的值。TP/FP代表真/假阳性的总数。TP1/FP1表示交互作用的真/假阳性的数量。由于本文的目的是检测G-E的相互作用效应，因此TP和TP1是模型选择的关键标准。其他模型性能评估的方法有PMSE和RSSE。PMSE表示预测均方误差。RSSE代表平方误差总和的平方根，可以通过公式 ‖ θ ^ − θ 0 ‖ 2 来计算，其中 θ ^ 和 θ 0 分布代表了系数 θ = ( α T ， γ T ， β T ) T 的真实值和预测值。所选变量的总数也显示在表中，记为N_VAR。 在三种误差分布下，比较六个不同模型的PMSE的值，我们可以发现带有最小二乘损失的模型，如：LS-SCAD、LS-LASSO和LS-Group，具有较大的PMSE值(大约为2)和方差。其他三个带有LAD的模型的PMSE值(大约为1)和方差较小。可以看出最小绝对偏差的方法(LAD)更加预测准确和稳健。 另外，我们注意到LS-LASSO和LS-Group是两个特殊的模型，其TP和FP值明显高于其他四个模型。虽然这两个模型可以识别出很多相关的效应，但模型中也包含了一些冗余效应，降低了模型的可解释性和简洁性。从表的第一部分我们可以看到，在误差服从标准正态分布的情况下，这两个模型将超过120个主效应和交互效应识别为重要的。因而有必要找到一些更有效的方法来压缩备选变量集中的变量。下面将分析其他四种方法。 在误差分布为标准正态分布 N ( 0 ， 1 ) 下，即数据未被污染的情况下，LAD-SCAD和LAD-Group表现更好，TP和TP1较高。但在两个模型中，LAD-SCAD方法的FP和FP1值较小，它选择出的不必要的变量较少。我们再比较LAD-LASSO和LAD-Group的FP和FP1的值，LAD-Group的值远大于LAD-LASSO的，这是因为LASSO会在群体水平和个体水平上都产生稀疏性，而Group LASSO只在群体水平上产生稀疏性，但在组内不存在稀疏性。Group LASSO惩罚函数的压缩性较差。 在误差分布为标准正态分布和柯西分布的混合分布下，数据存在污染，LAD-SCAD、LAD-LASSO和LAD-Group三种方法的TP和TP1值很相近。但LAD-SCAD的PMSE值(0.86)小于其他几种方法的PMSE值(1.12， 0.92， 2.05)，有较好的预测性。 在误差分布为T分布t (2)下，LAD-SCAD和LAD-Group的TP和TP1的值较其他两种误差分布下更高。可以看出，特别是在数据存在重尾分布的样本不平衡情况下，LAD-SCAD和LAD-Group表现出了在基因–环境交互效应选择方面的优越性。但同时FP和FP1的值也高于其他两个模型(LAD-LASSO和LS-SCAD)。但为了更准确地识别交互作用，这仍然是值得的。我们还注意到，在三种误差分布下，LAD-SCAD的FP和FP1值都小于LAD-Group的，这说明当两种方法都选择了相似数量的正确相关协变量时，LAD-SCAD方法比LAD-Group方法更好。 此外，为了更直观地比较不同模型的变量选择性能，我们实现了数据可视化。 从图1可以看出，LAD-SCAD是一种合适的选择变量的方法，这种方法选择了尽可能多的基因–环境交互效应，有效压缩了变量，预测误差较小。LS-LASSO和LS-Group许多冗余的效应识别为相关的，这降低了模型的可解释性和简单性。LAD-Group也是一种有效的方法。但是，真阳性数值相近的情况下，但LAD-SCAD的假阳性数值比LAD-Group少。当两种方法都选择了相似数量的正确相关协变量时，LAD-SCAD模型选择的冗余变量更少。所以LAD-SCAD方法比LAD-Group方法更好。