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user: 2. 预备知识 为了方便阅读，我们先给出一些基本的定义及引理，见 [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]。 定义2.1 [ 13 ] 令 γ > 0 ( γ ∈ R ) ，那么 z ∈ [ 0 ， + ∞ ) → R 的 γ 阶Riemann-Liouville分数阶微分可以写作： D 0 + γ z ( t ) = 1 Γ ( n − γ ) ( d d t ) n ∫ 0 t z ( s ) ( t − s ) n − ( γ + 1 ) d s . 定义2.2 [ 13 ] 假设 z ∈ C [ 0 ， 1 ] ∩ L 1 [ 0 ， 1 ] ，那么 I 0 + γ D 0 + γ z ( t ) = c 1 t γ − 1 + c 2 t γ − 2 + ⋯ + c n t γ − n ，   γ > 0 ，其中 c i ∈ R ，   i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n   ( n = [ γ ] + 1 ) 。 定义2.3 [ 14 ] 若 z ∈ L 1 [ 0 ， 1 ] ， σ > 0 ， ν > 0 ，那么有 D σ t ν − 1 = Γ ( ν ) Γ ( ν − σ ) t ν − σ − 1 。 引理2.1 令 z ∈ C [ 0 ， 1 ] ，那么非线性问题 { D 0 + γ z ( t ) + h ( t ) = 0 ，     0 < t < 1 ， z ( 0 ) = D 0 + v 1 z ( 0 ) = ⋯ = D 0 + v n − 2 z ( 0 ) = 0 ，     i − 1 < v i ≤ i ， [ D 0 + σ z ( t ) ] t = 1 = ∑ j = 1 p + 1 a j D 0 + σ z ( ξ j ) ， (5) 的唯一解为 z ( t ) = ∫ 0 1 K ( t ， s ) h ( s ) d s ，其中 K ( t ， s ) 是格林函数，具体如下： K ( t ， s ) = K 1 ( t ， s ) + t γ − 1 1 − ∑ j = 1 p + 1 a j ξ j γ − σ − 1 ∑ j = 1 p + 1 a j K 2 ( ξ j ， s ) K 1 ( t ， s ) = { ( 1 − s ) γ − σ − 1 t γ − 1 − ( t − s ) γ − 1 Γ ( γ ) ，   0 ≤ s ≤ t ≤ 1 ， ( 1 − s ) γ − σ − 1 t γ − 1 Γ ( γ ) ，   0 ≤ t ≤ s ≤ 1 ， K 2 ( t ， s ) = { ( ( 1 − s ) t ) γ − σ − 1 − ( t − s ) γ − σ − 1 Γ ( γ ) ，   0 ≤ s ≤ t ≤ 1 ， ( ( 1 − s ) t ) γ − σ − 1 Γ ( γ ) ，   0 ≤ t ≤ s ≤ 1. 证明：由定义2.2和(5)的第一个方程，可以得到 z ( t ) = − I 0 + γ h ( s ) + c 1 t γ − 1 + c 2 t γ − 2 + ⋯ + c n t γ − n . (6) (6)中代入 z ( 0 ) = 0 ，可以得到 c n = 0 。那么有 z ( t ) = − I 0 + γ h ( s ) + c 1 t γ − 1 + c 2 t γ − 2 + ⋯ + c n − 1 t γ − ( n − 1 ) . (7) 对(7)求 v 1 th 阶导，由定义2.3，得到 D 0 + v 1 z ( t ) = − I 0 + γ − v 1 h ( t ) + c 1 Γ ( γ ) Γ ( γ − v 1 ) t γ − v 1 − 1 + c 2 Γ ( γ − 1 ) Γ ( γ − v 1 − 1 ) t γ − v 1 − 2 + ⋯ + c n − 1 Γ ( γ − n + 2 ) Γ ( γ − v 1 − n + 2 ) t γ − v 1 − ( n − 1 ) 再结合(5)的第二个方程和 n − 2 < γ − v 1 ≤ n − 1 ，可以推出 c n − 1 = 0 。 同样的方法，对(7)求 v i   ( i = 2 ， ⋯ ， n − 2 ) 阶导，就可得到 c n − 2 = ⋯ = c 3 = c 2 = 0 。 因此，问题(1)的解等价于 z ( t ) = − I 0 + γ h ( t ) + c 1 t γ − 1 . (8) 再对(8)求 σ 阶导，代入(5)中第三个方程，计算得到： c 1 。 c 1 = ∫ 0 1 ( 1 − s ) γ − σ − 1 h ( s ) d s − ∑ j = 1 p + 1 a j ∫ 0 ξ j ( ξ j − s ) γ γ − σ − 1 h ( s ) d s Γ ( γ ) ( 1 − ∑ j = 1 p + 1 a j ξ j γ − σ − 1 ) (9) 将(9)代入(8)得，问题(1)的解为： z ( t ) = ∫ 0 1 K 1 ( t ， s ) h ( s ) d s + t γ − 1 1 − ∑ j = 1 p + 1 a j ξ j γ − σ − 1 ∑ j = 1 p + 1 a j ∫ 0 1 K 2 ( ξ j ， s ) h ( s ) d s = ∫ 0 1 K ( t ， s ) h ( s ) d s 引理2.2 [ 15 ] 格林函数 K ( t ， s ) 有如下性质： 0 ≤ ∑ j = 1 p + 1 a j K 2 ( ξ j ， s ) 1 − ∑ j = 1 p + 1 a j ξ j γ − σ − 1 t γ − 1 ≤ Γ ( γ ) K ( t ， s ) ≤ ( 1 + ∑ j = 1 p + 1 a j 1 − ∑ j = 1 p + 1 a j ξ j γ − σ − 1 ) ( 1 − s ) γ − σ − 1 t γ − 1 接下来，我们给出有序Banach空间中的一些定义和引理，见 [ 11 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]。 定义2.4 [ 16 ] 假设 ( E ， ‖   ⋅   ‖ ) 实Banach空间，其上的半序关系由锥 P ⊂ E 定义，即 x ≤ y 当且仅当 y − x ∈ P 。若 x ≤ y 且 y ≠ x ，则有 y > x 或 x < y 。记 θ 为E中的零元素。 定义2.5 [ 17 ] 非空闭凸集P称为锥，若满足： 1) x ∈ P ， k ≥ 0 ⇒ k x ∈ P ； 2) x ∈ P ， − x ∈ P ⇒ x = θ 。 定义2.6 [ 18 ] 对所有 x ， y ∈ E ，记号 x ~ y 表示，存在 λ > 0 ， μ > 0 满足 λ x ≤ y ≤ μ x 。对于给定的 h ∈ P 且 h ≠ θ 。我们记集合 P h = { x ∈ E | x ~ h } 。 定义2.7 [ 11 ] 令 h ∈ P ( h ≠ θ ) ， e ∈ P 且 θ ≤ e < h ，我们定义集合 P h ， e = { x ∈ E | x + e ∈ P h } 。那么 P h ， e = { there   exist   μ = μ ( e ， h ， x ) > 0 ， ν = ν ( e ， h ， x ) > 0   such   that   μ h ≤ x + e ≤ ν h } . 定义2.8 [ 16 ] 算子 A : P × P → P 为混合单调算子，若 A ( x ， y ) 关于x单调递增，关于y单调递减，即 u i ， v i ( i = 1 ， 2 ) ∈ P ， u 1 ≤ u 2 ， v 1 ≥ v 2 ，则 A ( u 1 ， v 1 ) ≤ A ( u 2 ， v 2 ) 。 定义2.9 [ 11 ] A : P h ， e → E 为 φ - ( h ， e ) -凹算子，若满足：对于任意 x ∈ P h ， e 和 λ ∈ ( 0 ， 1 ) ，存在 φ ( λ ) > λ 满足： A ( λ x + ( 1 − λ ) e ) ≥ φ ( λ ) A ( x ) + ( φ ( λ ) − 1 ) e . [ 12 ] 中，作者考虑了新集合 P h ， e 中的算子方程 A ( x ， x ) = x 。其中，A是个混合单调算子。张和王得到如下结论： 引理2.3 [ 12 ] P是正规锥，假设 T : P h ， e × P h ， e → E 是混合单调算子且满足： (I 1 ) 存在 h ∈ E ， e ∈ P 且 θ ≤ e ≤ h ， h ≠ θ 满足 T ( h ， h ) ∈ P h ， e ； (I 2 ) 对于任意的 u ， v ∈ P h ， e ， λ ∈ ( 0 ， 1 ) ，存在 φ ( λ ) > λ 满足 T ( λ u + ( λ − 1 ) e ， 1 λ v + ( 1 λ − 1 ) e ) ≥ φ ( λ ) T ( u ， v ) + ( φ ( λ ) − 1 ) e 那么： (i) 存在 u 0 ， v 0 ∈ P h ， e 满足 u 0 < v 0 ， u 0 ≤ T ( u 0 ， v 0 ) ≤ T ( v 0 ， u 0 ) ≤ v 0 ； (ii) 算子T有唯一不动点 x * ∈ P h ， e ； (iii) 对于任意初值 x 0 ， y 0 ∈ P h ， e ，构造迭代序列 x n = T ( x n − 1 ， y n − 1 ) ， y n = T ( y n − 1 ， x n − 1 ) ， n = 1 ， 2 ， ⋯ 得到 x n → x * ， y n → x * ( n → ∞ ) 。