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user: 3. 对比分析 3.1. 模型检验 使用数据较为齐全的台湾人口死亡率数据进行模型检验，计算皮尔逊相关系数及经验死亡率数据。 表2为对台湾1970~2014年，0~110岁的人类死亡率数据库生命表数据，计算不同情况下的皮尔逊相关系数。其中， m x 为 x 岁人口的中心死亡率， q x 为 x 岁人口的死亡概率， d x 为 x 岁人口的死亡人数， e θ 为 θ 岁人口(本文选取 θ = 0 )的预期寿命。对于90岁及以下的人口， m x 、 q x 与 d x 三者与 e θ 之间存在极强相关性(个别特殊值除外)。而100岁人口的 m x 及 q x 与 e θ 之间为强相关， d x 与 e θ 间为中等程度相关。从而 θ 岁人口的预期寿命 e θ 与 x 岁人口的中心死亡率 m x 之间存在高度相关性。 Table 2 Pearson correlation coefficien 年龄/岁 θ = 0 ( m x ， e θ ) ( q x ， e θ ) ( d x ， e θ ) x = 0 −0.88 −0.88 −0.88 x = 10 −0.95 −0.95 −0.95 x = 20 −0.95 −0.95 −0.94 x = 30 −0.94 −0.94 −0.93 x = 40 −0.93 −0.93 −0.92 x = 50 −0.97 −0.97 −0.97 x = 60 −0.98 −0.98 −0.98 x = 70 −0.99 −0.99 −0.99 x = 80 −0.99 −0.99 −0.30 x = 90 −0.93 −0.93 0.98 x = 100 −0.72 −0.72 0.58 表2. 皮尔逊相关系数 首先运用1970~2014年，0~89岁的死亡人数和暴露数数据计算粗死亡率，然后使用Kannisto模型 [ 13 ] 对同一年份的80~89岁的粗死亡率数据进行拟合，估计86~110岁的死亡率数据，再结合0~85岁的死亡率观测值与86~110岁的死亡率估计值得1970~2014年台湾经验死亡率数据，最后运用生命表方法计算得到预期寿命。图1为台湾经验生命表中的数据(经验值)与人类死亡率数据库中生命表数据(观测值)对比。 图1对比了由本文方法所构建的台湾经验生命表与人类死亡率数据库中生命表，从中可以看出：(1) 在2014年，分年龄对数死亡率在大部分曲线上是重合的，只有一小部分有细微差别，但总体趋势是相同的；分年龄预期寿命曲线基本重合，差异极小。(2) 对于0岁人口而言，分年龄对数死亡率随着年份的增加呈现相同的趋势；分年龄预期寿命曲线基本重合。从而可以运用此方法对我国大陆死亡率数据进行外扩，获得90岁以上的高龄人口数据。 图1. 台湾经验值观测值对比 3.2. 模型对比 对大陆原始数据(0~89岁，1995~2018年)，首先对经典死亡率模型的拟合效果进行检验，选出拟合最优的模型与LL模型进行对比；然后进行参数估计并运用回溯测试的方法对预测精度进行度量；最后进行预测对比。 3.2.1. 拟合效果检验 由表3可以看出，RH模型的AIC值、BIC值及偏差为五种模型中最小的，因而RH模型的拟合效果最优。 Table 3 Comparison of binomial mortality model 模型 LC RH APC CBD PLAT AIC 71535.4(4) 51470.48(1) 61089.15(3) 472370.6(5) 57167.67(2) BIC 72681.21(4) 53217.54(1) 62325.71(3) 472642.8(5) 58529.02(2) 极大似然估计值 −35565.7 −25427.24 −30326.57 −236137.28 −28343.84 偏差 54324.55(4) 34150.28(1) 43846.29(3) 455467.71(5) 39880.81(2) 参数数量 202 308 218 48 240 表3. 二项式死亡率模型对比 3.2.2. 参数估计 使用Kannisto模型对大陆1995~2018年期间80~89岁的数据进行拟合，预测86~110岁的数据，结合0~85岁真实数据与86~110岁的扩展数据得我国大陆死亡率数据。 (1) 计观察时间 t 内预期寿命和死亡率之间的线性关系的斜率 β x ：通过使用最小二乘法并最小化残差平方 ∑ x [ log m x ， t − β x log e θ ， t ] 2 = ∑ x [ ε x ， t ] 2 (4) (2) 通过计算回归残差矩阵R的奇异值分解(SVD)来估计参数 v x ， S V D [ R ] = D P Q T = d 1 p 1 q 1 T 其中 R = ( ε 0 ， 1 ε 0 ， 2 ⋯ ε 0 ， T ε 1 ， 1 ε 1 ， 2 ⋯ ε 1 ， T ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ε w ， 0 ε w ， 1 ⋯ ε w ， T ) P = [ p 1 ， p 2 ， ⋯ ] 和 Q = [ q 1 ， q 2 ， ⋯ ] 是左右奇异向量的矩阵，D是奇异值沿对角线的对角矩阵。SVD的第一项 d 1 p 1 q 1 T 用于获得 v x 的估计值。 (3) 使用样条平滑参数 β x 和 v x ，并使用估计校正系数 k 对死亡率曲线进行优化。 在图2中，平滑指使用样条平滑对参数进行平滑处理，而原始指未使用样条平滑。如图2所示，随着年龄的增长， v x 逐渐趋于平滑，这是因为在所分析的时期内，人口规模较小，年龄越小变化越大。 图2. LL模型参数估计 图3显示了使用最小二乘估计法(LSE)和极大似然估计法(MLE)对LL模型的参数进行估计，结果表明对于 β x ，两种估计方法相差不大，但对于 v x ，两种估计方法有较大差异。 图3. 使用LSE和MLE估计LL模型的参数 图4显示了使用两种估计方法对2006年及2018年的对数死亡率进行拟合，除部分区间显示出较大差异外，其余区间差异较小，因而选用LSE或是MLE进行参数估计皆较为合理。 3.2.3. 样本外数据预测 运用回溯测试的方法，以1995~2006年为参照，用这个时间间隔内的死亡率和出生时预期寿命来拟合LL模型。基于2007~2018年观测到的出生时预期寿命的单一值，并运用Kannisto模型得到90~110岁的拓展数据，得出完整的死亡率曲线。图5显示，重建的死亡率曲线通常比观测数据更平滑。 图4. 使用LSE和MLE拟合对数死亡率 图5. 大陆人口的观测和估计对数死亡率 由表4可以看出，LL模型的预测精度高于RH模型，因为LL模型的误差低于RH模型。其中，ME：平均误差、MSE：均方误差、RMSE：均方根误差、MAE：平均绝对误差。 Table 4 Prediction accurac 模型 LL RH ME 5.56E−04 −3.94E−03 MSE 6.47E−05 1.66E−04 RMSE 8.04E−03 1.29E−02 MAE 2.26E−03 4.99E−03 表4. 预测精度 3.2.4. 预测 预测步骤： (1) 利用LL模型使用1995~2018年的历史数据在0~89岁年龄范围内进行拟合，并用于预测未来22年直至2040年的死亡率； (2) 使用Kannisto模型将中国0~89岁之间的观测死亡率矩阵扩展至110岁，方法：用80~89岁的数据进行拟合，预测90~110岁的数据； (3) 一种模型如果对同一个预测点模拟多个预测，将产生一系列结果，这些结果可通过标准寿命表计算转化为预期寿命； (4) 由LC模型给出的任何预测预期寿命值都被用作LL模型中的输入值，以导出死亡率曲线，从而获得两条可比较的曲线； (5) 对于每个模拟的轨迹，LL方法可以产生死亡率曲线，产生中值预测的不确定性； (6) 99%的预测区间是基于一千次蒙特卡罗模拟计算的。 表5给出了LL模型中参数 k 及 e θ ， t 的预测值，其中取 θ = 0 ，即采用LC模型估计出的平均预期寿命值来预测大陆人口未来死亡率。 Table 5 Coefficient predicted valu 年份/年 k e 0 年份/年 k e 0 2019 −30.38 80.30 2030 −55.41 82.89 2020 −32.23 80.50 2031 −57.89 83.14 2021 −35.06 80.80 2032 −59.76 83.33 2022 −36.87 80.99 2033 −63.09 83.67 2023 −39.35 81.24 2034 −65.02 83.86 2024 −42.19 81.54 2035 −68.22 84.18 2025 −43.68 81.69 2036 −69.47 84.31 2026 −46.00 81.93 2037 −71.99 84.56 2027 −48.74 82.21 2038 −73.63 84.73 2028 −51.57 82.50 2039 −75.41 84.90 2029 −54.19 82.77 2040 −79.19 85.28 表5. 系数预测值 图6表明了LL模型预测的对数死亡率曲线比LC模型更平滑，并且它利用死亡率和预期寿命之间的线性关系，当预测到遥远的未来时，产生的死亡率分布在年龄维度上更少失真。 图6. LL模型和LC模型预测的对数死亡率曲线对比