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user: 3. 梯子图的反强迫多项式 定义2梯子图 L n 是路 P n 和 P 2 的笛卡尔积，即 L n = P n × P 2 。 通常，我们把一个梯子图 L n = P n × P 2 水平放置(如图1所示)，其顶点从上到下、从左到右依次记为 a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a n ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b n ，其中 a i b i 称为竖直边， a i a i + 1 称为水平边，相应地匹配中的边分别称为竖直匹配边和水平匹配边。 定理2 [ 15 ] [ 17 ]：梯子图 L n ( n ≥ 1 ) 的反强迫多项式为 P ( L n ， x ) = ∑ q = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ ( n − q q ) x n − q − 1 + δ ( n ) = ∑ t = ⌊ n 2 ⌋ n − 1 ( t + 1 n − t − 1 ) x t + δ ( n ) . 图1. 梯子图L n 其中，若n为奇数则 δ ( n ) = 0 ，若n为偶数则 δ ( n ) = x n 2 。 这里我们记 M i 是 L n 的包含第i条竖直边 a i b i 的完美匹配的集合， 1 ≤ i ≤ n 。记 M i ∗ 是 L n 的包含第i条水平边 a i a i + 1 的完美匹配的集合， 1 ≤ i ≤ n − 1 。 定理3：我们有部分反强迫多项式 P 1 ( L n ， x ) : = ∑ M ∈ M 1 x a f ( G ， M ) = { 0 ，                                                                                     n = 0 1 ，                                                                                     n = 1 x P ( L n − 1 ， x ) ，                                                 n ≥ 2 为 偶 数 x P ( L n − 1 ， x ) − x n + 1 2 + x n − 1 2 ，               n ≥ 3 为 奇 数 由定理2可以得出以下结论。 推论1：我们有部分反强迫多项式 P 1 ( L n ， x ) = ∑ q = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) x n − q − 1 . 定理4：我们有部分反强迫多项式 P 1 ∗ ( L n ， x ) : = ∑ M ∈ M 1 ∗ x a f ( G ， M ) = { 1 ，                                             n = 0 0 ，                                           n = 1 x P ( L n − 2 ， x ) ，               n ≥ 2 推论2：我们有部分反强迫多项式 P 1 ∗ ( L n ， x ) = ∑ q = 0 ⌊ n − 3 2 ⌋ ( n − 2 − q q ) x n − q − 2 + δ ( n ) . 由定理3和定理4，就可以得出 L n 的反强迫多项式关于顶点 a 1 关联边的匹配情况的分解表达式。 推论3： L n 的反强迫多项式满足如下递推关系 P ( L n ， x ) = { P ( L 0 ， x ) = 1 ，                                                                                                                             n = 0 P ( L 1 ， x ) = 1 ，                                                                                                                             n = 1 P 1 ( L n ， x ) + P 1 ∗ ( L n ， x ) = x P ( L n − 1 ， x ) + x P ( L n − 2 ， x ) + ξ ( n ) ，       n ≥ 2 其中 ξ ( n ) = x n − 1 2 − x n + 1 2 ，若n为奇数； ξ ( n ) = 0 ，若n为偶数。 定理5：我们有部分反强迫多项式 P i ∗ ( L n ， x ) : = ∑ M ∈ M i ∗ x a f ( G ， M ) = { x 2 P ( L i − 1 ， x ) P ( L n − i − 1 ， x ) ，         n 为 偶 数 ， i 为 偶 数 x 2 ( P ( L i − 1 ， x ) − x i − 1 2 ) ( P ( L n − i − 1 ， x ) − x n − i − 1 2 ) + x i 2 ( P ( L n − i − 1 ， x ) − x n − i − 1 2 )     + x n − i 2 ( P ( L i − 1 ， x ) − x i − 1 2 ) + x n 2 ，     n 为 偶 数 ， i 为 奇 数 ; x 2 P ( L i − 1 ， x ) P ( L n − i − 1 ， x ) + ( x − x 2 ) x n − i − 1 2 P ( L i − 1 ， x ) ，   n 为 奇 数 ， i 为 偶 数 ; x 2 P ( L i − 1 ， x ) P ( L n − i − 1 ， x ) + ( x − x 2 ) x i − 1 2 P ( L n − i − 1 ， x ) ，   n 为 奇 数 ， i 为 奇 数 . 证明：设M是 L n 的包含第i条水平边 a i a i + 1 的完美匹配，由文献 [ 17 ] 中引理6的证明过程可知： 情形1：当n为偶数，i为偶数时，交错4-圈两边一定会有竖直匹配边，此时会多出一个与交错4-圈相容的交错圈使得反强迫数增加一，也就是反强迫多项式多乘一个x，这时直接从交错4-圈处断开，交错4-圈独占一段即多项式的另一x，左右两边各一段，则有 x 2 P ( L i − 1 ， x ) P ( L n − i − 1 ， x ) . 情形2：当n为偶数，i为奇数时，当交错4-圈两边都有竖直匹配边，则有 x 2 ( P ( L i − 1 ， x ) − x i − 1 2 ) ( P ( L n − i − 1 ， x ) − x n − i − 1 2 ) ; 当交错4-圈或左、或右有竖直匹配边，此时不存在与所有4-圈都是M-相容的交错圈，所以反强迫数不变，则有 x x i − 1 2 ( P ( L n − i − 1 ， x ) − x n − i − 1 2 ) + x x n − i − 1 2 ( P ( L i − 1 ， x ) − x i − 1 2 ) ; 当交错4-圈两边都没有竖直匹配边，此时反强迫数为 n 2 ，则有项 x n 2 。 n为奇数时证明情况类似。 推论4：由定理5有以下关系式成立 P j ∗ ( L n ， x ) = P n − j ∗ ( L n ， x ) ; P 2 ∗ ( L n ， x ) = x P 1 ( L n − 2 ， x ) ; P 3 ∗ ( L n ， x ) = x P 1 ∗ ( L n − 2 ， x ) + x 2 P 1 ( L n − 3 ， x ) = x 2 P ( L n − 4 ， x ) + x 2 P 1 ( L n − 3 ， x )                             = x 2 P ( L n − 4 ， x ) + x P 2 ∗ ( L n − 1 ， x ) = x P 1 ∗ ( L n − 2 ， x ) + x P 2 ∗ ( L n − 1 ， x ) 定理6：我们有部分反强迫多项式 P i ( L n ， x ) : = ∑ M ∈ M i x a f ( G ， M ) = P 1 ( L i ， x ) P 1 ( L n + 1 − i ， x ) = { x 2 P ( L i − 1 ， x ) [ x P ( L n − i ， x ) − x n − i + 2 2 + x n − i 2 ] ，                                           n 为 偶 数 ， i 为 偶 数 ; x [ x P ( L i − 1 ， x ) − x i + 1 2 + x i − 1 2 ] P ( L n − i − 1 ， x ) ，                                               n 为 偶 数 ， i 为 奇 数 ; x 2 P ( L i − 1 ， x ) P ( L n − i − 1 ， x ) ，                                                                                       n 为 奇 数 ， i 为 偶 数 ; [ x P ( L i − 1 ， x ) − x i + 1 2 + x i − 1 2 ] [ x P ( L n − i ， x ) − x n − i + 2 2 + x n − i 2 ] ，         n 为 奇 数 ， i 为 奇 数 . 证明：设M是 L n 的包含第i条竖直边 a i b i 的完美匹配。由文献 [ 17 ] 中分解定理知，我们可以将图从第i条竖直边 a i b i 处分解成 L ( 1 ) = L i 和 L ( 2 ) = L n + 1 − i ， L ( 1 ) ∩ L ( 2 ) = { a i b i } ， M 1 ， M 2 是 L ( 1 ) 和 L ( 2 ) 的完美匹配， M 1 ∩ M 2 = { a i b i } ， M 1 ∪ M 2 = M 。有 a f ( M ) = a f ( M 1 ) + a f ( M 2 ) 。则 P i ( L n ， x ) = ∑ M ∈ M i x a f ( L n ， M ) = ∑ M 1 ∈ M ( L i ) ， a i b i ∈ M 1 M 2 ∈ M ( L n + 1 − i ) ， a i b i ∈ M 2 x a f ( L i ， M 1 ) + a f ( L n + 1 − i ， M 2 ) = ∑ M 1 ∈ M ( L i ) ， a i b i ∈ M 1 x a f ( L i ， M 1 ) ∑ M 2 ∈ M ( L n + 1 − i ) ， a i b i ∈ M 2 x a f ( L n + 1 − i ， M 2 ) = P 1 ( L i ， x ) P 1 ( L n + 1 − i ， x )