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user: 2. 基本概念 在本文中，使图和网络术语我们互换使用，文中所指的图均为简单、有限、无向图。对于文中没有定义的概念与符号请参考文献 [ 29 ] 。 设 G = ( V ， E ) 是一个简单无向图，其中 V 和 E 代表点集和边集。集合 D ⊆ V ( G ) ，如果 ∀ v ∈ V ( G ) \ D ， ∃ u ∈ D 使得 u v ∈ E ，则称集合 D 为图 G 的控制集。图 G 中含顶点数最少的控制集中的元 素个数称为图 G 的控制数，即可以表示为 γ ( G ) = min D ⊂ V ( G ) { | D | : ∀ v ∈ V ( G ) \ D   ， ∃ u ∈ D ， s .t .       u v ∈ E } 。用 Q n 来表 示 n 维超立方体，点集表示为 { 0 ， 1 } n ，即 Q n 中两个每个顶点可以用长为n的二进制位串表示。 Q n 中两顶点 x 和 y 相邻当且仅当他们只有一位不同。由 H ( x ， y ) 表示的 x 和 y 之间的Hamming距离是点 x 和 y 的对应位串之间的不同位的数量。这里我们用 Q n − c 表示从 Q n 中删除两个点 x 和 y 后的剩余子图，即 Q n − c = Q n − x − y ， x 和 y 满足 H ( x ， y ) = n 。 因为交换折叠超立方体 E F H ( s ， t ) 是在交换超立方体 E H ( s ， t ) 的基础上增加Hamming距离最远两点之间的边的而得到的拓扑结构(这里增加的边定义为补边)，因此，我们先介绍 E H ( s ， t ) ，再给出 E F H ( s ， t ) 的定义。 交换超立方体 E H ( s ， t ) = ( V ， E ) ( s ≥ 1 ， t ≥ 1   ， s ， t 为整数)，其中 V ： V = { a s − 1 ⋯ a 0 b t − 1 ⋯ b 0 c | a i   ， b i ， c ∈ { 0 ， 1 } ， 0 ≤ i ≤ s − 1 ， 0 ≤ j ≤ t − 1 } 为了简便，设 x = a s − 1 ⋯ a 0 b t − 1 ⋯ b 0 c ，令 a ( x ) = a s − 1 ⋯ a 0 ， b ( x ) = b t − 1 ⋯ b 0 ， c ( x ) = c 。 边集定义为 E = E 0 ∪ E 1 ∪ E 2 ： 1) E 0 = { ( x ， y ) : a ( x ) = a ( y ) ， b ( x ) = b ( y ) ， c ( x ) ≠ c ( y ) } ( x ， y ) ∈ E 0 ⇔ { x = a s − 1 ⋯ a 0 b t − 1 ⋯ b 0 c y = a s − 1 ⋯ a 0 b t − 1 ⋯ b 0 c ¯ 其中 c ¯ = 1 − c 。 2) E 1 = { ( x ， y ) : a ( x ) = a ( y ) ， H ( b ( x ) ， b ( y ) ) = 1 ， c ( x ) = c ( y ) = 1 } ( x ， y ) ∈ E 1 ⇔ { x = a s − 1 ⋯ a 0 b t − 1 ⋯ b j + 1 b j b j − 1 ⋯ b 0 1 y = a s − 1 ⋯ a 0 b t − 1 ⋯ b j + 1 b ¯ j b j − 1 ⋯ b 0 1 其中 b ¯ j = 1 − b j ， 0 ≤ j ≤ t − 1 。 3) E 2 = { ( x ， y ) : H ( a ( x ) ， a ( y ) ) = 1 ，   b ( x ) = b ( y ) ，   c ( x ) = c ( y ) = 0 } ( x ， y ) ∈ E 2 ⇔ { x = a s − 1 ⋯ a i + 1 a i a i − 1 ⋯ a 0 b t − 1 ⋯ b 0 0 y = a s − 1 ⋯ a i + 1 a ¯ i a i − 1 ⋯ a 0 b t − 1 ⋯ b 0 0 其中 a ¯ i = 1 − a i ， 0 ≤ i ≤ s − 1 。 交换折叠超立方体 E F H ( s ， t ) 是在交换超立方体 E H ( s ， t ) 的基础上增加补边形成的，补边可以用 E c 来表示，则交换折叠超立方体 E F H ( s ， t ) 定义如下： V = { a s − 1 ⋯ a 0 b t − 1 ⋯ b 0 c | a i ， b i ， c ∈ { 0 ， 1 } ， 0 ≤ i ≤ s − 1 ， 0 ≤ j ≤ t − 1 } 为了简便，设 x = a s − 1 ⋯ a 0 b t − 1 ⋯ b 0 c ，令 a ( x ) = a s − 1 ⋯ a 0 ， b ( x ) = b t − 1 ⋯ b 0 ， c ( x ) = c ，即将点 x 的坐标分成三段 a ( x ) ， b ( x ) 和 c ( x ) 。 边集 E = E 0 ∪ E 1 ∪ E 2 ∪ E c ： 1) E 0 = { ( x ， y ) : a ( x ) = a ( y ) ， b ( x ) = b ( y ) ， c ( x ) ≠ c ( y ) } ( x ， y ) ∈ E 0 ⇔ { x = a s − 1 ⋯ a 0 b t − 1 ⋯ b 0 c y = a s − 1 ⋯ a 0 b t − 1 ⋯ b 0 c ¯ 其中 c ¯ = 1 − c 。 2) E 1 = { ( x ， y ) : a ( x ) = a ( y ) ， H ( b ( x ) ， b ( y ) ) = 1 ， c ( x ) = c ( y ) = 1 } ( x ， y ) ∈ E 1 ⇔ { x = a s − 1 ⋯ a 0 b t − 1 ⋯ b j + 1 b j b j − 1 ⋯ b 0 1 y = a s − 1 ⋯ a 0 b t − 1 ⋯ b j + 1 b ¯ j b j − 1 ⋯ b 0 1 其中 b ¯ j = 1 − b j ， 0 ≤ j ≤ t − 1 。 3) E 2 = { ( x ， y ) : H ( a ( x ) ， a ( y ) ) = 1 ， b ( x ) = b ( y ) ， c ( x ) = c ( y ) = 0 } ( x ， y ) ∈ E 2 ⇔ { x = a s − 1 ⋯ a i + 1 a i a i − 1 ⋯ a 0 b t − 1 ⋯ b 0 0 y = a s − 1 ⋯ a i + 1 a ¯ i a i − 1 ⋯ a 0 b t − 1 ⋯ b 0 0 其中 a ¯ i = 1 − a i ， 0 ≤ i ≤ s − 1 。 4) E c = { ( x ， y ) : H ( x ， y ) = s + t + 1 } ( x ， y ) ∈ E c ⇔ { x = a s − 1 ⋯ a 0 b t − 1 ⋯ b 0 c y = a ¯ s − 1 ⋯ a ¯ 0 b ¯ t − 1 ⋯ b ¯ 0 c ¯ 由上述定义可知， E F H ( s ， t ) = E H ( s ， t ) ∪ E c ，即 E H ( s ， t ) 是 E F H ( s ， t ) 的生成子图。 通常 E c 中每条边的两个端点互相称为对方的补点，即坐标位表示完全不同的一对点称为补点。比如，点 00 ⋯ 0 称为点 11 ⋯ 1 的补点。