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user: 4. 模拟研究 在这通过模拟研究来说明本文所提出的贝叶斯分析方法的有效性。选择均值模型为 μ i = x i T β + z i T α ( u i ) 和方差模型为 σ i 2 = exp ( h i T γ ) ，其中均值参数和方差参数的真实值分别为 β = ( 1 ， − 0.5 ， 0.5 ) T 和 γ = ( 1 ， − 0.5 ， 0.5 ) T ，另外 d = 2 ， α 1 ( u i ) = 0.5 sin ( 2 π u i ) ， α 2 ( u i ) = 8 u i ( 1 − u i 2 ) ； x i ， z i ， h i 分别是 3 × 1 ， 2 × 1 和 3 × 1 的协变量向量，其中的元素产生于均值为零，协方差矩阵为 ∑ = ( σ i j = 0.5 | i − j | ) 的正态分布。这样响应变量 Y i 就可以从多元正态分布 N ( μ i ， ∑ i ) ( i = 1 ， ⋯ ， n ) 中产生。 为了调查贝叶斯分析方法对先验分布的敏感程度，考虑以下三种有关未知参数 β ， γ ， λ 的先验分布中超参数值的设置的情形： TypeI： β 0 = ( 1 ， − 0.5 ， 0.5 ) T ， ∑ β = 0.25 × Ι 3 ， γ 0 = ( 1 ， − 0.5 ， 0.5 ) T ， ∑ γ = 0.25 × Ι 3 ， λ 0 = ( 0 ， ⋯ ， 0 ) T ， a τ = b τ = 1 。这种设置表示具有很好的先验信息。 TypeII： β 0 = 3 × ( 1 ， − 0.5 ， 0.5 ) T ， ∑ β = Ι 3 ， γ 0 = 3 × ( 1 ， − 0.5 ， 0.5 ) T ， ∑ γ = Ι 3 ， λ 0 = ( 0 ， ⋯ ， 0 ) T ， a τ = b τ = 1 。这种设置表示具有较差的先验信息。 TypeIII： β 0 = ( 0 ， 0 ， 0 ) T ， ∑ β = 10 × Ι 3 ， γ 0 = ( 0 ， 0 ， 0 ) T ， ∑ γ = 10 × Ι 3 ， λ 0 = ( 0 ， ⋯ ， 0 ) T ， a τ = b τ = 1 。这些超参数值的设置代表的是没有先验信息的情况。 在上面的各种情形下，应用联合Gibbs抽样和Metropolis-Hastings算法的混合算法来计算未知参数和光滑函数的贝叶斯估计。在模拟中分别令样本量n = 80和n = 150。对于每一种情形，重复计算100次。对于每次重复产生的每一次数据集，MCMC算法的收敛性可以通过EPSR值来检验，并且在每次运行中观测得到在3000次迭代以后EPSR值都小于1.2。因此在每次重复计算中丢掉前3000次迭代以后再收集J = 5000个样本来产生贝叶斯估计。参数贝叶斯估计的模拟结果概括在表1中。为了调查估计函数 α 1 ( u ) 和 α 2 ( u ) 的精确度，画出了在不同样本量和三种先验分布情形下非参数函数的平均估计曲线和真实曲线，并且展示在图1~6中。 在表1中，“Bias”表示基于100次重复计算未知参数的贝叶斯估计与真值的偏差的绝对值，“SD”表示前面给出的后验标准误的平均估计，和“RMS”表示的是基于100次重复计算的贝叶斯估计的均方误差的算术平方根。从表1中可以获得i) 在估计的偏差、RMS和SD值方面，不管何种先验信息贝叶斯估计都相当精确；ii) 当样本量逐渐变大时，估计也变得越来越好。从图1~6中展示了不管何种先验信息，估计出来的非参数函数的曲线与相应的真实函数的曲线逼近得都比较好。总之，从以上结果可以看出本文所提出的贝叶斯估计方法能很好地恢复变系数异方差模型中的真实信息。 Table 1 Bayesian estimation of model parameters under different sample sizes and prior distribution Type 参数 n = 80 n = 150 Bias SD RMS Bias SD RMS I β 1 0.0027 0.1184 0.1160 0.0020 0.0803 0.0759 β 2 0.0028 0.1310 0.1224 0.0061 0.0912 0.0880 β 3 0.0019 0.1181 0.1060 0.0051 0.0804 0.0776 γ 1 0.0208 0.2075 0.1884 0.0105 0.1453 0.1483 γ 2 0.0301 0.2193 0.1964 0.0194 0.1569 0.1517 γ 3 0.0026 0.2025 0.1799 0.0194 0.1418 0.1365 II β 1 0.0466 0.1144 0.1265 0.0143 0.0797 0.0790 β 2 0.0341 0.1238 0.1301 0.0107 0.0913 0.0910 β 3 0.0182 0.1144 0.1075 0.0047 0.0804 0.0793 γ 1 0.1612 0.2350 0.2685 0.0700 0.1530 0.1722 γ 2 0.1906 0.2586 0.3032 0.0806 0.1671 0.1858 γ 3 0.0919 0.2349 0.2537 0.0119 0.1489 0.1454 III β 1 0.0125 0.1196 0.1179 0.0025 0.0814 0.0784 β 2 0.0024 0.1303 0.1300 0.0084 0.0935 0.0914 β 3 0.0016 0.1195 0.1116 0.0059 0.0823 0.0800 γ 1 0.0219 0.2372 0.2303 0.0090 0.1534 0.1611 γ 2 0.0363 0.2668 0.2516 0.0161 0.1686 0.1774 γ 3 0.0014 0.2401 0.2410 0.0220 0.1499 0.1490 表1. 不同的样本量和先验分布下模型参数的贝叶斯估计结果 图1. 当n = 80和Type I先验信息下非参数部分 α 1 ( u ) 和 α 2 ( u ) 的平均估计曲线 图2. 当n = 80和Type II先验信息下非参数部分 α 1 ( u ) 和 α 2 ( u ) 的平均估计曲线 图3. 当n = 80和Type III先验信息下非参数部分 α 1 ( u ) 和 α 2 ( u ) 的平均估计曲线 图4. 当n = 150和Type I先验信息下非参数部分 α 1 ( u ) 和 α 2 ( u ) 的平均估计曲线 图5. 当n = 150和Type II先验信息下非参数部分 α 1 ( u ) 和 α 2 ( u ) 的平均估计曲线 图6. 当n = 150和Type III先验信息下非参数部分 α 1 ( u ) 和 α 2 ( u ) 的平均估计曲线 最后为了检测根据K-L距离来识别异常点的效果，在第10个个体观测数据点的响应变量加10构成人工数据集D。然后对人工数据集D应用本文介绍的贝叶斯影响诊断方法来检测影响观测。其中MCMC算法的收敛性可以通过EPSR值来检验，并且发现在3000次迭代以后EPSR值都小于1.2。因此在计算中丢掉前3000次迭代以后再收集J = 5000个随机样本来通过(10)式计算K-L距离 K ( P ， P − i ) 。图7和图8报道了相应的诊断结果。正如预期的一样，通过图7和图8很容易就发现，第10个个体观测数据点被诊断为异常点，且诊断方法对先验分布超参数取值的选取不是很敏感。 图7. 当n = 80时，基于不同的先验信息下贝叶斯数据删除影响诊断的数值结果 图8. 当n = 150时，基于不同的先验信息下贝叶斯数据删除影响诊断的数值结果