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user: 4. 时间序列模型的建立 4.1. 时序图检验 当我们需要掌握时间序列的一些基本分布特征时，最直观的方法是利用一个横轴表示时间、纵轴表示序列取值的二维平面坐标图，即时序图(Timing chart)。所以时序分析的第一步通常是绘制时序图。R具有非常便捷与强大的绘图功能，利用R绘制时序图主要使用plot函数，这里横轴表示以每个月为单位4年的时间，纵轴表示销售量。如图1，图2，图3。 三种品牌的时序图清晰地显示，销售量序列都呈现明显的递增趋势，尤其是2017~2018年间的销售量远远高于前三年，所以它一定不是平稳序列。除此之外，序列还有不明显的集群效应，这可能是由于季节的变动和近几年电商行业的崛起，我们可以通过差分后平方的时序图可以进一步观察特征。 图1. Only时序图 图2. 太平鸟时序图 图3. 乐町时序图 4.2. 差分 集群效应就意味着在整个序列观察期，序列的方差基本是齐性的，但在某一段或几段时期方差与期望方差有显著差异，这与时序图显示的特征相吻合。确定性时序分析方法和随机时序分析方法是两种常见的时间序列方法，是以无论是采取哪种时间序列分析方法，分析的第一步都是要通过一定的步骤提取序列中所包含的确定性信息。为了可以对序列进行分析，大多数情况下可选择差分法，当序列经过平稳化处理后，自然可以进一步观察出序列的特征。差分方法是确定性信息提取方法中比较有效和直接的确定性信息提取方法。在具体的研究中，序列的特点不尽相同，我们也会分别选择不同的差分方式。由于差分方式具有一定的误差，不能轻易使用，但这里为了观察异方差性，我们可以利用差分平方的时序图。差分平方的时序图如图4、图5、图6： 图4. Only时序图 图5. 太平鸟时序图 图6. 乐町时序图 观察三个品牌差分后的序列平方图，序列的波动在大部分时间是平稳的，但在2017~2018一年的时间里波动偏大，说明不同时期的方差不等，这是具有异方差性的典型特征。忽视异方差的存在会导致残差的方差被严重低估，继而导致模型的拟合精度受影响，所以要采取有效的手段消除异方差性。 4.3. 消除异方差性 通过检查数据的平稳性，发现三组数据的异方差性，根据所学的有限知识，可以通过对数据取对数的方法消除异方差性，从而对销售量的对数进行建模。取对数时序图如下：(图7~图9) 通过观察如上的对数时序图，序列有着明显的递增趋势。ARIMA模型虽然可以对非平稳序列拟合，但很难科学地对模型进行直观的解释。所以，这里可以使用更具现实意义的残差自回归模型，分两步提取序列的确定性信息。 4.4. 拟合时间序列模型 4.4.1. 线性拟合及残差检验 和大部分模型一样，残差自回归模型也是提取序列中主要的确定性信息的一种方式，它通过确定性因素分解方法首先对趋势进行线性拟合。因为序列呈现明显的递增趋势，这里进行线性拟合的基本原理就是首先提取序列的长期递增信息。 图7. Only时序图 图8. 太平鸟时序图 图9. 乐町时序图 其次，接下来需要对拟合效果进行检验，这是确定模型后的必要步骤。这里采用DW检验，可以进行残差自相关性检验。若是残差序列显示出显著的自相关性，就说明序列中的相关信息提取的不够充分，线性拟合的精确度不高，此时需要提取其中残存的相关信息，对残差序列继续拟合，以此提高模型的精度。 拟合效果如图10。 图10. Only时序图 线性回归模型为： x t = 10.816522 + 0.039712 t + ε t 残差检验结果显示，DW统计量的值小于2，且p值小于显著性水平(0.05)，这说明残差序列高度正相关，为了充分提取相关信息，我们需要对残差序列继续拟合。 拟合效果如图11。 图11. 太平鸟时序图 线性回归模型为： x t = 11.256435 + 0.02883 t + ε t 通过残差检验显示，可以看出结果与上一个品牌类似，DW统计量的值小于2，且p值远远小于显著性水平(0.05)，这说明残差序列高度正相关，为了充分提取相关信息，我们需要对残差序列继续拟合。 拟合效果如图12。 图12. 乐町时序图 线性回归模型为： x t = 10.084547 + 0.041794 t + ε t 残差检验结果如上，DW统计量的值小于2，且p值小于显著性水平(0.05)，这说明残差序列高度正相关，为了充分提取相关信息，我们需要对残差序列继续拟合。 4.4.2. 残差拟合 残差时序图如图13。 图13. Only残差时序图 观察图13的残差序列，时序图呈现基本平稳的特征，因此可以进一步观察自相关图和偏自相关图。自相关图Autocorrelation Chart如图14，偏自相关图Partial Autocorrelation Chart如图15。 图14. 自相关图 图15. 偏自相关图 自相关图和偏自相关图显示出来的特征和该序列时序图平稳的性质是非常吻合的。所以判定此时该序列为平稳时间序列。根据残差序列的相关图和偏自相关图呈现的性质，偏自相关图1阶截尾，可以考虑拟合ARMA(1， 1)模型和AR(1)模型，从通过检验的模型中选择最优模型。 从检验结果看，两种模型的残差序列延迟6阶与12阶的p值都大于显著性水平，接受原假设，认为残差显著自相关，显示两种拟合模型都成立，进而通过AIC、BIC准则进行模型优化。为了选择最优模型，其中一种有效的规则就是AIC准则，其基本规则是在所有通过检验的模型中选择使得AIC函数达到最小的模型，其为相对最优模型 [ 5 ] 。 第二个模型的AIC和BIC分别为59.81、64.88，都小于第一个模型，根据AIC准则，确定最优模型为ARMA(1， 1)，拟合结果为： { x t = 10.816522 + 0.039712 t + ε t ε t = − 0.2631 ε t − 1 + 0.8118 e t − 1 + e t ， e t ~ N ( 0 ， 0.1828 ) 残差时序图如图16： 观察图16的残差序列，时序图呈现基本平稳的特征，因此可以进一步观察自相关图和偏自相关图。自相关图Autocorrelation Chart如图17，偏自相关图Partial Autocorrelation Chart如图18。 自相关图和偏自相关图显示出来的特征和该序列时序图平稳的性质是非常吻合的。所以判定此时该序列为平稳时间序列。由图18可以看出偏自相关图1阶截尾，同样可以考虑拟合ARMA(1， 1)模型和AR(1)模型，从通过检验的模型中选择最优模型。 从检验结果看，两种模型的残差序列延迟6阶与12阶的p值都大于显著性水平，接受原假设，认为残差显著自相关，显示两种拟合模型都成立，进而通过AIC、BIC准则进行模型优化。 第二个模型的AIC和BIC分别为23.5、26.97，都小于第一个模型，根据AIC准则，确定最优模型为AR(1)，拟合结果为： { x t = 11.256435 + 0.02883 t + ε t ε t = 0.4492 ε t − 1 + e t ， e t ~ N ( 0 ， 08884 ) 残差时序图如图19。 观察图19的残差序列，时序图呈现基本平稳的特征，因此可以进一步观察自相关图和偏自相关图。自相关图Autocorrelation Chart如图20，偏自相关图Partial Autocorrelation Chart如图21。 图16. 太平鸟残差时序图 图17. 自相关图 图18. 偏自相关图 图19. 乐町残差时序图 自相关图和偏自相关图显示出来的特征和该序列时序图平稳的性质是非常吻合的。所以判定此时该序列为平稳时间序列。根据残差序列的相关图和偏自相关图呈现的性质，自相关图1阶截尾，也可以考虑拟合ARMA(1， 1)模型和AR(1)模型，从通过检验的模型中选择最优模型。 从检验结果看，两种模型的残差序列延迟6阶与12阶的p值远远都大于显著性水平，接受原假设，认为残差显著自相关，显示两种拟合模型都成立，进而通过AIC、BIC准则进行模型优化。 第二个模型的AIC和BIC分别为38.16、43.23，都小于第一个模型，根据AIC准则，确定最优模型为ARMA(1，1)，拟合结果为： 图20. 自相关图 图21. 偏自相关图 { x t = 10.084547 + 0.041794 t + ε t ε t = − 0.5638 ε t − 1 + 0.9427 e t − 1 + e t ， e t ~ N ( 0 ， 0.1155 )