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user: 2. 一元回归模型的建立 2.1. 普通最小二乘估计 2.1.1. 普通最小二乘回归方程求解 根据相关文献 [ 1 ] 及生活经验，我们容易得出，第一产业增加值 对GDP y有着较为显著的影响，我们通过大数据平台 [ 2 ] 获得了1990~2012年国内GDP、第一产业增加值的数据。 由普通最小二乘法 β ^ 0 = y ¯ − β ^ 1 x ¯ (3-1) β ^ 1 = ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) ( y i − y ¯ ) ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 2 (3-2) (公式里 x i 对应第一产业 x 1 的相应值， y i 对应GDP的相应值)。 利用SPSS软件 [ 3 ]，输出结果见表1： Table 1 The output of ordinary least squares regression to primary sector of the economy and GD 系数 a 模型 未标准化系数 标准化系数 t 显著性 B 标准错误 Beta 1 (常量) −59594.980 5723.248 −10.413 0.000 第一产业 11.083 0.235 0.995 47.161 0.000 表1. 普通最小二乘回归对第一产业增加值和GDP的输出结果 a . 因变量：GDP。 其中回归系数显著性检验 P = 8.5634 E − 23 ，远小于显著性水平 α = 0.05 ，因此y与 x 1 的线性回归高度显著。 由系数一栏的输出结果可以得出， β ^ 0 = − 59594.980 ， β ^ 1 = 11.083 ，且二者P值均小于显著性水平 α = 0.05 ，因此二者均高度显著。所以GDP y与第一产业 x 1 所建立的普通最小二乘回归方程为 y ^ = − 59594.98 + 11.083 x 1 (3-3) 这表明第一产业 x 1 每增加一个单位，相应的GDP平均增加11.083个单位。 2.1.2. 残差分析 由上述建立的一元线性回归方程，利用SPSS软件，计算出每一项所对应的残差 e i = y i − y ^ i 的值。 以残差为纵坐标，第一产业增加值为横坐标，利用R软件，画出图像见图1： 图1. 不同第一产业增加值的残差图 由以上残差图可以看出，残差之均匀的散落在直线 y = 0 两侧，但存在一定的异方差性，说明以上的普通最小二乘法存在一定的局限性。 2.2. 一元加权最小二乘估计 2.2.1. 异方差性的检验 利用等级相关系数，通过SPSS软件，所得输出结果见表2： Table 2 Rank correlation coefficient outpu 相关性 第一产业 残差绝对值 斯皮尔曼 Rho 第一产业 相关系数 1.000 −0.595 ** Sig.(双尾) 0.0 0.003 N 23 23 残差绝对值 相关系数 −0.595 ** 1.000 Sig.(双尾) 0.003 0.0 N 23 23 表2. 等级相关系数输出结果 ** .在0.01级别(双尾)，相关性显著。 由输出结果可以看出，相关系数 r s = − 0.59 5 ，P值=0，认为绝对残差值 | e i | 与自变量 x i 显著相关，故误差项存在异方差性。 2.2.2. 一元加权最小二乘模型的建立 针对上述存在的异方差性问题，我们采用加权的一元最小二乘估计来改善模型。下面我们对公式(3-1)、(3-2)进行一定的变换 β ^ 0 w = y ¯ w − β ^ 1 w x ¯ w (3-4) β ^ 1 w = ∑ i = 1 n w i ( x i − x ¯ w ) ( y i − y ¯ w ) ∑ i = 1 n w i ( x i − x ¯ w ) 2 (3-5) 其中 x ¯ w = ∑ w i x i ∑ w i ，为自变量的加权平均， y ¯ w = ∑ w i y i ∑ w i 为因变量的加权平均，权函数 w i = 1 x i m ，m是待定的未知参数。 下面利用SPSS软件进行方程拟合： ① 确定幂指数m的最优值，输出结果如表3： Table 3 Weight function outpu 对数似然值 b 幂 −2.000 −249.514 −1.500 −248.324 a −1.000 −248.528 −0.500 −250.044 0.000 −252.286 0.500 −254.536 1.000 −256.279 1.500 −257.297 2.000 −257.600 表3. 权函数输出结果 a . 选择了相应的幂进行进一步分析，这是因为，它使对数似然函数最大化； b . 因变量：GDP，源变量：第一产业。 根据以上的输出结果，幂指数最优的取值为 m = − 1.5 (3-6) ② 建立模型 根据以上选出的最优幂指数，利用Excel软件，首先计算出不同时间段的权重大小。 之后由公式(3-4)、(3-5)，利用SPSS软件计算出加权最小二乘估计的方程系数，输出结果见表4： Table 4 UNARY weighted least square estimation outpu 系数 a，b 模型 未标准化系数 标准化系数 t 显著性 B 标准错误 Beta 1 (常量) −39785.149 5095.595 −7.808 0.000 第一产业 10.002 0.375 0.986 26.643 0.000 表4. 一元加权最小二乘估计输出结果 a . 因变量：GDP； b . 加权最小平方回归–按权重加权。 根据输出结果可以看出，回归方程显著，回归系数 β ¯ 0 w = − 39785.149 ， β ¯ 1 w = 10.002 ，且二者均显著，因此加权之后的回归方程为 y ^ = − 39785.149 + 10.002 x 1 (3-7) 改进后的回归方程表明，自变量 x 1 每增加一个单位，相应的GDP平均增加10.002个单位。 为了更直观地对比加权前与加权后的残差变化，我们以第一产业增加值 x 1 为横轴，以权变换残差 w i e i w 为纵轴画残差图见图2： 图2. 加权最小二乘估计残差示意图 由图像我们能够看出明显的自相关现象，因此接下来考虑利用迭代的方法消除自相关性，来建立新的一元回归模型。 2.3. 迭代法建立模型 2.3.1. 样本相关系数的计算 利用SPSS软件，计算第一产业增加值与GDP之间的相关性，输出结果见表5： Table 5 Output table of the correlation coefficient between primary sector of the economy and GD 相关性 第一产业 GDP 斯皮尔曼 Rho 第一产业 相关系数 1.000 0.999 ** Sig.(双尾) 0.0 0.000 N 23 23 GDP 相关系数 0.999 ** 1.000 Sig.(双尾) 0.000 0.0 N 23 23 表5. 第一产业增加值与GDP的相关系数输出表 ** .在0.01级别(双尾)，相关性显著。 由输出结果能够看出二者之间存在显著的相关性，相关系数 ρ = 0.999012 ，非常接近1，因此采用一种特殊的迭代法——差分法，消除残差自相关性。 2.3.2. 利用差分法消除自相关性 首先计算差分 Δ y t = y t − y t − 1 ， Δ x t = x t − x t − 1 。 然后利用SPSS做 Δ y 对 Δ x 过原点的最小二乘回归，输出结果见表6： Table 6 The output of the regression model established by the difference metho 系数 a，b 模型 未标准化系数 标准化系数 t 显著性 B 标准错误 Beta 1 差分后的第一产业 0.181 0.059 0.559 3.088 0.006 表6. 差分法回归模型建立的输出结果 a . 因变量：差分后的GDP； b . 过原点线性回归。 由输出结果可以看出，模型显著， β ^ 1 = 0.181 ，因此差分法建立的模型如下 Δ y = 0.181 Δ x (3-8) 即 y ^ t − y ^ t − 1 = 0.181 ( x t − x t − 1 ) (3-9)