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user: 2. 仿真算法及模型设置 2.1. 全粒子PIC算法 由于真实情况下等离子体中的微观粒子数目是非常大的，粒子模拟(Particle-In-Cell， PIC)方法通过统计平均大量巨粒子的运动数据来得到接近真实的等离子体流动特性和规律，其在模拟等离子体物理问题中的突出贡献使其成为与实验研究和理论研究作用相当的第三种等离子体研究手段 [ 18 ] 。 全粒子算法则是将等离子体中的离子、电子均当做粒子来研究，两种带电粒子的密度与通道电场间满足泊松方程： ∇ ⋅ E = − ∇ ⋅ ε ∇ Φ = q e ( n i − n e ) (1) 式中： E 为电场强度； q e 为电子电荷量； n i 为离子数密度； n e 为电子数密度。 粒子的分布由当前粒子位置决定，而位置和速度则满足受力方程和运动方程： F = m d v d t = q ( E + v × B ) (2) d x d t = v (3) 式中： F 为粒子受力； q 为粒子所带电量； v 为速度矢量； x 为位置矢量。 2.2. SPT通道仿真模型 图2给出了P70型SPT推进器通道主束流平面的物理模型，模型包含了推进器从阳极开始的整个放电通道和一部分近场羽流区。鉴于推进器的柱形结构，本模型是在二维轴对称坐标下建立起来的，模型各项尺寸和物理参数如表1所列 [ 19 ] [ 20 ] 。 模型中阳极给定放电电压 V d = 3 00   V ，阴极给定放电电流3A，电势 V c = 0   V ，除此两部分为固定 图2. 计算模型及边界说明 Table 1 Parameters of P70 Stationary Plasma Thruste 参数名 参数值 通道长度 l 1 0.040 m 羽流区长度 l 2 − l 1 0.035 m 模拟区域总长度 l 2 0.075 m 通道内径 r 1 0.02 1 m 通道外径 r 2 0.035 m 推进器外径 r 3 0.050 m 阳极放电电压 V d 300 V 阴极放电电流 I d 3 A 阴极电压 V c 0 V 阳极工质质量流量 3 × 10 − 6 kg / s 导体壁面电容 10 − 8 F 表1. P70型SPT推进器各项参数 电势外，其余的区域场边界均满足第二类边界条件。粒子运动到边界的处理方式参考自文献 [ 18 ] 。 2.3. 预电离模型 文献 [ 15 ] [ 17 ] 对于预电离率 β p r e 的定义为： β p r e = n i v i n i v i + n a v a × 100 % (4) 式中： n i ， v i 是缓冲腔出口处离子的密度和速度； n a ， v a 是缓冲腔出口处工质原子的密度和速度。 通常对预电离率的调节是通过改变附加电压或是缓冲腔磁场分布来实现的。附加电压即是加在推进剂入口和阳极之间的一个电压，而由于附加电压是整个放电电压的一部分，故附加电压不能取得过大。根据文献 [ 21 ] 结果可知，附加电压调节范围一般在0V~10V，此时对应的预电离率变化范围在0.8%~1.6%。因此本节选取五组不同的预电离率：0%，0.1%，0.5%，1.0%和1.5%，来分析预电离率的改变对SPT推进器通道壁面腐蚀的影响。 2.4. 蒙特卡洛碰撞 蒙特卡洛碰撞(Monte Carlo Collision， MCC)方法适用于碰撞粒子速度远大于背景粒子速度的情况，因此该方法通常被用于电子–原子之间以及离子–原子之间的碰撞。MCC方法具体处理方式为：假设发生碰撞的粒子 i 与背景粒子之间存在N c 种碰撞，则该粒子总碰撞频率 ω i t o t 为 [ 18 ] ： ω i t o t = v i Q t o t n b a c k = ∑ j = 1 N c ω j = ∑ j = 1 N c v i Q j n b a c k (5) 式中：v i 为粒子i的速度； Q t o t 为总的碰撞截面， Q t o t = ∑ j = 1 N c Q j ； n b a c k 为背景粒子的密度。 对上述两种碰撞而言，背景气体都是原子，故背景气体密度即是原子密度： n b a c k = n a 。每种碰撞发生的概率为： P j = 1 − exp ( − ω max d t ) ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N c (6) 粒子i发生哪种碰撞或者不发生任何碰撞取决于系统生成的随机数R F 与第j种碰撞概率的比较结果。而如果在计算时对每一个碰撞粒子都计算其每种碰撞的概率会使计算量变得很大，因此本文引入了Vahedi提出的空碰撞方法 [ 22 ] 。在程序的每次循环中，计算以最大速度的碰撞粒子和最大背景原子密度为参数下的最大碰撞概率P max ： P max = 1 − exp ( − ω max d t ) = 1 − exp ( − v max n a max Q max d t ) (7) 式中： ω max 为最大碰撞频率； v max 为碰撞粒子的最大速度； n a max 为背景原子的最大密度； Q max 为最大碰撞截面。 将上面得到的 P max 与系统生成的随机数R F 1 比较，如果 R F 1 < P max ，则认为两种粒子会发生碰撞，之后系统生成另一个随机数R F 2 ，对每种碰撞截面进行比较以确定该粒子i是发生何种碰撞。如果 R F 2 < Q 1 / Q t o t ，则发生第一种碰撞，而如果 Q 1 / Q t o t < R F 2 < ( Q 1 + Q 2 ) / Q t o t ，则发生第二种碰撞，依次类推直至所有的碰撞种类都判断完成。 2.5. 电荷交换模型 当快速的氙离子与速度较慢的氙原子碰撞时，氙离子失去一个正电荷变为快速的氙原子，相应的氙原子得到一个正电荷变为低速的氙离子。新产生的原子将继承原离子的速度和位置，而发生碰撞的原子则变为离子，新产生的离子同样继承原原子的速度和位置。碰撞过程以蒙特卡洛碰撞的形式加到全粒子PIC程序中，对于一个以速度 v i 运动的氙离子，假设背景氙原子的速度为 v a ，密度为 n a ，该氙离子与背景氙原子发生电荷交换碰撞的频率为 [ 23 ] ： ω c e x = c r Q c e x n a (8) 式中： Q c e x 为电荷交换碰撞的碰撞截面； c r 为两个粒子间的相对速度， c r = | v i − v a | 。 Rapp认为同种物质的离子与背景原子发生电荷交换的碰撞截面是离子速度的函数，并给出了相应的表达式 [ 24 ] ： Q c e x = ( k 1 ln v i + k 2 ) 2 (9) Roy给出了氙离子与氙原子电荷交换碰撞情况下上式对应的参数值， k 1 = − 0.8821 × 10 − 10 m 2 以及 k 2 = 15.1262 × 10 − 10 m 2 [ 25 ] 。 2.6. 壁面腐蚀估算模型 对于二维坐标下的离子溅射腐蚀问题，假设离子束沿 − y 方向入射，则溅射腐蚀速率可写为： q = J i Y ( E i ， θ i ) cos θ i N s u b (10) 式中： J i 为入射离子束流量； E i 为入射离子能量； θ i 为入射离子角度； Y ( E i ， θ i ) 为溅射产额； N s u b 为被溅射基材的原子密度。 Sigmund通过理论推导证明了入射离子能量 E i 和角度 θ i 对溅射产额 Y 的影响是相互独立的，即溅射产额满足 [ 26 ] ： Y ( E i ， θ i ) = Y ( 0 ) Y ( θ i ) (11) 式中： Y ( 0 ) 为离子束垂直入射时的能量溅射产额系数； Y ( θ i ) 为角度溅射产额系数， − π / 2 < θ i < π / 2 。 将式(11)带入式(10)，则溅射腐蚀速率 q 可进一步表示为： q = J i Y ( 0 ) cos θ i N s u b Y ( θ i ) (12) Katardjiev等人给出了二维坐标下两个方向的特征速度分量 [ 27 ] ： V x = d x d t = κ ( Y ( θ i ) − d Y ( θ i ) d θ i sin θ i cos θ i ) V y = d y d t = κ d Y ( θ i ) d θ i cos 2 θ i (13) 式中 κ = J i Y ( 0 ) N s u b 。 Carter认为在二维轴对称坐标下，轴向 z 和径向 r 的特征速度分量依然满足上式 [ 28 ] 。对于SPT推进器而言，其壁面的溅射腐蚀模型通常是氙离子溅射轰击氮化硼陶瓷表面，Cheng [ 29 ] 给出了此种情况下的能量溅射产额系数公式： Y ( 0 ) = A E i 0.474 1 + B E i 0.3 ( 1 − E t h E i ) 2.5 (14) 式中： A ， B 为拟合参数； E t h 为溅射能量阈值。综合文献结果本文选区溅射能量阈值 E t h = 4 0   eV ，对应的拟合参数 A ， B 分别为0.000436831和−0.133966 [ 29 ] 。 对于角度溅射产额系数 Y ( θ i ) ，Yamamura通过总结和拟合大量实验数据给出了计算 Y ( θ i ) 的经验公式 [ 30 ] ： Y ( θ i ) = x f exp [ − Σ ( x − 1 ) ] (15) 式中， x = 1 / cos θ i ， Σ 和 f 满足 Σ / f = cos θ o p t ， θ o p t 为最优溅射角度。Yamamura给出的经验公式计算出的角度溅射曲线 [ 30 ] 。拟合值与实验值在取最小方差时对应的参数 f 和最优溅射角度 θ o p t 分别为： f = 2.23 ， θ o p t = 67.9 o 。本文在对运动到陶瓷壁面的粒子进行相应处理的同时，积累下了此种溅射粒子的个数、能力及角度。将这些参数带入到上述公式中即能算出相应的溅射腐蚀量。