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user: 2. 预备知识 2.1. 生存模型 2.1.1. 一元生存模型 我们用(x)表示x岁的个体， T ( x ) 表示(x)未来生存的时间， K ( x ) 表示(x)未来生存时间的整数年。 定义 F T ( x ) ( t ) 为 T ( x ) 的分布函数，即 F T ( x ) ( t ) = P [ T ( x ) ≤ t ] . (2-1) 显然，它表示x岁的个体在未来t年内死亡的概率。在精算学中，我们用 q t x 来表示。 特别地， q t | u x 表示(x)活过 x + u 岁但在 x + u + t 岁之前死亡的概率，即 q u | t x = p u x − p u + t x = p u x q t x + u . (2-2) 与之对应的为生存函数 s T ( x ) ( t ) ，即 s T ( x ) ( t ) = 1 − F T ( x ) ( t ) = 1 − P [ T ( x ) ≤ t ] = P [ T ( x ) > t ] . (2-3) 在精算学中，它表示(x)活过 x + t 岁的概率，记作 p t x 。 2.1.2. 四元生存模型 我们先引入两个基本概念：由(x)，(y)，(w)，(z)组成的四元联合生存状态和最后生存者状态，分别用 ( x y w z ) 和 来表示。所谓联合生存状态，就是指四元联合保单中的每个个体都存在时的状态。最后生存者状态是指四元联合保单中至少有一个个体存在时的状态。显然，最后生存者状态包含联合生存状态。本文关于联合保单的讨论，均假设个体之间是相互独立的，也就是说个体之间是不相关的。记由(x)，(y)，(w)，(z)组成的四元联合体为M。 我们用 T ( x y w z ) 表示 ( x y w z ) 未来生存的时间， K ( x y w z ) 表示 ( x y w z ) 未来生存时间的整数年。根据定义，容易写出 T ( x y w z ) = min { T ( x ) ， T ( y ) ， T ( w ) ， T ( z ) } . 定义 T ( x y w z ) 的生存函数为 s T ( x y w z ) ( t ) ，即 s T ( x y w z ) ( t ) = P [ T ( x y w z > t ) ] = P [ min { T ( x ) ， T ( y ) ， T ( w ) ， T ( z ) } > t ] = P [ T ( x ) > t ， T ( y ) > t ， T ( w ) > t ， T ( z ) > t ] = P [ T ( x ) > t ] P [ T ( y ) > t ] P [ T ( w ) > t ] P [ T ( z ) > t ] = p t x p t y p t w p t z . (2-4) 在精算学中，它表示 ( x y w z ) 未来时刻t仍存在的概率，记作 p t x y w z 。与生存概率 p t x y w z 对应的是死亡概率 q t x y w z ，它表示 ( x y w z ) 在未来t年内终止的概率，即 T ( x y w z ) 的分布函数 F T ( x y w z ) ( t ) F T ( x y w z ) ( t ) = P [ T ( x y w z ) ≤ t ] = 1 − P [ T ( x y w z ) > t ] = 1 − p t x p t y p t w p t z . (2-5) 我们考虑 K ( x y w z ) 的概率函数，即 P [ K ( x y w z ) = j ] = P [ j ≤ K ( x y w z ) < j + 1 ] = P [ j ≤ T ( x y w z ) < j + 1 ] = q j | x y w z = p j x y w z q x + j : y + j : w + j : z + j ，       j = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ (2-6) 同样地，我们用 T ( x y w z ¯ ) 表示 ( x y w z ¯ ) 未来生存的时间， K ( x y w z ¯ ) 表示 ( x y w z ¯ ) 未来生存时间的整数年。 根据定义，显然有下面等式成立 T ( x y w z ¯ ) = max { T ( x ) ， T ( y ) ， T ( w ) ， T ( z ) } . 我们定义 T ( x y w z ¯ ) 的分布函数为 F T ( x y w z ¯ ) ( t ) ，即 F T ( x y w z ¯ ) ( t ) = P [ T ( x y w z ¯ ) ≤ t ] = P [ max { T ( x ) ， T ( y ) ， T ( w ) ， T ( z ) } ≤ t ] = P [ T ( x ) ≤ t ] P [ T ( y ) ≤ t ] P [ T ( w ) ≤ t ] P [ T ( z ) ≤ t ] = q t x q t y q t w q t z = ( 1 − p t x ) ( 1 − p t y ) ( 1 − p t w ) ( 1 − p t z ) . (2-7) 在精算学中，它表示 ( x y w z ¯ ) 在未来t年内终止的概率，记作 q t x y w z ¯ 。与分布函数 F T ( x y w z ¯ ) ( t ) 对应的是生存函数 s T ( x y w z ¯ ) ( t ) ，即 s T ( x y w z ¯ ) ( t ) = P [ T ( x y w z ¯ ) > t ] = 1 − P [ T ( x y w z ¯ ) ≤ t ] = 1 − P [ max { T ( x ) ， T ( y ) ， T ( w ) ， T ( z ) } ≤ t ] = 1 − P [ T ( x ) ≤ t ] P [ T ( y ) ≤ t ] P [ T ( w ) ≤ t ] P [ T ( z ) ≤ t ] = 1 − ( 1 − p t x ) ( 1 − p t y ) ( 1 − p t w ) ( 1 − p t z ) = 1 − q t x q t y q t w q t z . (2-8) 显然，它表示 ( x y w z ¯ ) 在未来时刻t仍存在的概率，用精算符号记作 p t x y w z ¯ 。接下来，我们考察 K ( x y w z ¯ ) 的概率密度函数 P [ K ( x y w z ¯ ) = j ] = P [ T ( x y w z ¯ ) < j + 1 ] − P [ T ( x y w z ¯ ) < j ] = q j + 1 x y w z ¯ − q j x y w z ¯ = q j + 1 x q j + 1 y q j + 1 w q j + 1 z − q j x q j y q j w q j z . (2-9) 2.2. 模型构建 2.2.1. 反射布朗运动 定义2.1 [ 10 ] 若一个随机过程 { B ( t ) ， t ≥ 0 } 满足： 1) B ( t ) 是独立增量过程； 2) ∀ s ， t > 0 ， B ( s + t ) − B ( s ) ~ N ( 0 ， t ) ，即 B ( s + t ) − B ( s ) 是期望为0，方差t的正态分布； 3) B ( t ) 是关于t的连续函数。 那么称 { B ( t ) ， t ≥ 0 } 为标准布朗运动。它在t时刻的密度函数为 f t ( x ) = 1 2 π t e − x 2 2 t . (2-10) 若 G ( t ) = | B ( t ) | ，则称 G ( t ) 为反射布朗运动。 性质2.1 若 { B ( t ) ， t ≥ 0 } 为标准布朗运动，则 E [ e − α | B ( t ) | ] = 2 e α 2 t 2 [ 1 − Φ ( α t ) ] 。 2.2.2. 泊松过程 定义2.2 [ 11 ] 若一个随机过程 { N ( t ) ， t ≥ 0 } 满足： 1) N ( t ) = 0 ； 2) { N ( t ) ， t ≥ 0 } 过程有平稳增量和独立增量； 3) P { N ( t + h ) − N ( t ) = 1 } = λ h + o ( h ) ； 4) P { N ( t + h ) − N ( t ) ≥ 2 } = o ( h ) 。 那么称 { N ( t ) ， t ≥ 0 } 为具有速率 λ ( λ > 0 ) 的泊松过程。 性质2.2 [ 11 ] 若 { N ( t ) ， t ≥ 0 } 是具有速率 λ ( λ > 0 ) 的泊松过程，则对一切 s > 0 ， t > 0 ， N ( s + t ) − N ( s ) 是均值 λ t 的泊松随机变量。即 P [ N ( s + t ) − N ( s ) = k ] = e − λ t ( λ t ) k k ! . (2-11) 性质2.3 若 { N ( t ) ， t ≥ 0 } 是具有速率 λ ( λ > 0 ) 的泊松过程，则 [ e − β N ( t ) ] = e λ t ( e − β − 1 ) 。 2.2.3. 利息力函数模型 通常情况下利率总是围绕均值上下波动并且是非负的，反射布朗运动恰好具有这样良好的性质可以描述此类过程。泊松过程是一类计数过程，可以很好的描述突发事件对利率的影响。基于此，我们选用反射布朗运动和泊松过程对利息力函数建立双随机模型。设利息力函数为 δ ( t ) = δ t + α | B ( t ) | + β N ( t ) 其中，假设B(t)与N(t)是相互独立的。则贴现函数为 v ( t ) = e − δ ( t ) = e − [ δ t + α | B ( t ) | + β N ( t ) ] .