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user: 3. 对数修形优化设计方法 在不同的应用场合，轴承所承受的载荷是不同的，即使轴承的外加载荷一定，每个滚子承受的载荷也是变化的，然而在一套轴承中滚动体母线形状应该保持一致。因此在滚子修形设计时需要引入设计载荷值，一般按受载最大的滚动体进行设计。 无内部游隙的圆锥滚子轴承在径向载荷 的作用下，最大滚动体载荷 近似为 [ 17 ] [ 18 ] ： (9) 其中， 为滚子个数， 为轴承接触角。 对于采用对数修形滚子的通用轴承来说，径向载荷设计值可取为 。 3.1. 修形设计参数的选择 以圆锥滚子轴承32310为例，主要参数见表1。 由式(9)可得，当取 时，本例中滚子修形的设计载荷值为 。 根据Johns等 [ 6 ] 给出的对数修形优化方法，可以得到设计载荷下对数修形参数的参考值为： ， (10) 其中， 为滚子–滚道接触区域半宽，根据经典的Hertz接触理论计算 [ 17 ] [ 18 ] 。 则可得本例中修形参数参考值 ， 。下面首先对设计载荷下，固定 ，不同 对接触应力分布的影响进行探讨。当分别取滚动体载荷为 、 、 时，由式(10)可得 分别为0.999、0.997、0.990。根据接触应力分布的数值计算方法可得三种 情况下的滚子–滚道接触应力分布，如图1所示，图中仅绘制了滚子一半长度上的接触应力分布情况。 Table 1 Main parameters of tapered roller bearing with type of 3231 参数名称 符号 数值 滚子大端直径 15.706 mm 滚子有效长度 29.5 mm 滚子半锥角 2˚ 外圈滚道平均直径 94.3 mm 外圈滚道半锥角 12˚57'10“ 滚子个数 16 等效弹性模量 2.275 × 10 11 Pa 额定动载荷 178 kN 表1. 圆锥滚子轴承32310的主要参数 图1. 不同f 2 情况下的接触应力分布(Q = 9315 N) 可以看出，相同载荷下，滚子全长98%的区域(滚子中部)内的接触应力基本相同，仅2%的区域(滚子端部)的应力出现差异，应力最大相差11.3%，因此可见 对接触应力的影响可忽略；同时使用Johns等给出的对数修形曲线，在滚子端部依然存在较明显的应力集中现象，因此需要对 优化设计。 同样地，根据式(4)可以得到相同载荷下直母线圆锥滚子轴承和三种 情况下的对数修形圆锥滚子轴承的剪切应力在不同深度处的分布情况。图2给出了最大剪切应力所在深度 截面的剪切应力沿滚动方向的变化，可以看出，假设滚动体沿 轴的正方向滚动，则接触表面下 平面内的切应力将从负值变为正值，其切应力的最大变化量为 。 根据L-P寿命理论，利用式(8)可以得到其相对寿命 ，结果如表2所示。表2表明：在相同的外载荷下，直母线圆锥滚子轴承的最大剪切应力及其所在的深度均大于对数修形圆锥滚子轴承的情况，而疲劳寿命远小于对数修形圆锥滚子轴承；对不同 值的对数修形圆锥滚子轴承，最大剪切应力有微小的差异，而最大切应力的深度值一致；三种 值情况下的对数修形圆锥滚子轴承的相对寿命差别较小，最大相差4.9%。因此，可以忽略 对疲劳寿命的影响。 综上，本文忽略参数 的影响，仅选择 作为修形设计参数。在后续的修形设计分析中，取 的值为0.997，即径向载荷为 时对应的 值。 3.2. 最佳修形参数设计 在重载工况下，希望尽可能地延长轴承的使用时间，提高轴承的疲劳寿命。因此以设计载荷下直母线圆锥滚子轴承的寿命为参考值，以轴承的相对疲劳寿命 为修形参数优化的目标函数。根据材料强度 Table 2 The computational results of relative lif 外载荷Q (N) 滚子类型 f 2 最大切应力 (MPa) 最大切应力深度z 0 (μm) 接触半长a (mm) 相对寿命 9315 直母线 - 942.31 84.19 14.75 1 对数修形 0.993 705.82 74.79 14.75 12.3 0.997 708.09 74.79 14.75 12.0 0.999 711.19 74.79 14.75 11.7 表2. 相对寿命计算结果 图2. 剪切应力τ yz 沿滚动方向的变化(Q = 9315 N) 失效的畸变能密度准则，轴承零件所受的最大Mises应力 应小于轴承材料的许用应力 。综上，可以得到最佳对数修形参数 的优化模型为： (11) 显然轴承的相对疲劳寿命 和Mises应力 均是对数修形参数 的函数，在给定的设计载荷 下，根据滚子与滚道接触应力及次表面应力的数值计算方法，结合L-P寿命理论，可得 与 之间的关系如图3所示。 根据相对疲劳寿命与 的关系可得最佳修形参数值，设为 ，如图3所示。 本例中，设计载荷 ，设轴承材料的许用应力 ，则可得最佳对数修形参数 为0.935 μm。可以看出，以轴承的疲劳寿命为目标得到的最佳修形参数 大于根据Johns-Gohar给出的计算公式(10)计算的值，即增大了滚子的修形量。 3.3. 最佳修形参数的公差设计 对滚子轴承而言，人们期望滚子轴承接触副的接触应力均匀分布、提高轴承的疲劳寿命，同时希望可以充分利用滚子材料，即达到接触副材料疲劳寿命的均匀分布。 由图3可以看出，轴承的相对疲劳寿命 是 的函数，且随着 的增加 先增大后减小。为了满足轴承疲劳寿命的要求，定义 的许用值 ，则滚子的对数修形应满足 。由图3可知，对于给定的 至少存在两个 值满足 ，设为 、 ，且 。因此可以得到满足轴承疲劳寿命要求时的修形参数公差范围为 。 另一方面，载荷一定时，随着修形参数 的增加，滚子的修形量增加，滚子和滚道的接触趋于点接触的性质。例如在设计载荷作用下，当 时对数修形滚子轴向截面( 截面)接触应力分布如图4所示，其中在 方向仅取半区域进行分析。设 为 截面上滚子中部的接触应力， 为 截 图3. 相对疲劳寿命 与f 1 的关系 图4. 对数修形滚子接触应力分布(Q = 9315 N， f 1 = 4.40 μm) 面上接触应力下降到 时的位置对应的 坐标值。 为了表示滚子材料的利用率，定义接触长度因子 。可以得出，为了保证滚子材料的充分利用， 应接近1。显然， 是对数修形参数 的函数。给定载荷情况下，根据接触应力的数值计算方法可得它们之间的关系如图5所示。可以看出，随着 的不断增大， 逐渐减小，即材料利用率降低。因此为了满足滚子材料充分利用的要求，定义 的许用值 ，则滚子的对数修形应满足 。令 时对应的对数修形参数为 ，则为了满足滚子材料充分利用的要求应有 。 综上，为了同时满足轴承疲劳寿命和滚子材料充分利用的要求，滚子的对数修形应满足如下关系： ， (12) 可得滚子对数修形参数的公差范围为： ，设为 。 设定滚子的疲劳寿命不低于 ， 为最大疲劳寿命值，应力值大于 的滚子长度不小于滚子有效长度的95.5%，即 。则可得本例中 ， ，即对数修形参数 的范围为 。 因此，本例中最佳修形参数对应的滚子母线表面轮廓及其公差带如图6所示。 3.4. 修形设计的一般过程 根据上面的滚子修形的设计方法，可以将滚子对数修形的设计过程归纳如下： 1) 根据轴承额定动载荷及预期工作载荷，确定受载最大的滚子载荷，即确定滚子修形设计中的设计载荷值； 2) 在设计载荷下，根据接触应力分布的数值计算方法得到不同对数修形参数 情况下的应力分布标 图5. 随对数修形参数 的变化 图6. 重载工况下最佳修形曲线轮廓及其公差带 准差 、应力分布系数 和接触长度系数 ； 3) 以应力分布标准差 为优化设计的目标，取 最小时对应的 为最佳修形参数； 4) 分别设定应力分布系数 和接触长度系数 的许用值 、 ，根据 和 与 的函数关系确定 的上、下偏差。