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user: 6. 基于有限域的加法子群构造SC­QC­LDPC码 基矩阵B的构造：令 q = p m ，其中p为素数且m为正整数。设 G F ( q ) 是素域 G F ( q ) 扩域， α 是 G F ( q ) 的本原元，则 α 0 ， α 1 ， ⋯ ， α m − 1 在 G F ( q ) 上线性无关，它们构成了 G F ( q ) 的一组基。 G F ( q ) 的任意元素 α i 都可以表示为 α 0 ， α 1 ， ⋯ ， α m − 1 的线性组合，即 α i = c i ， 0 α 0 + c i ， 1 α + ⋯ + c i ， m − 1 α m − 1 ，其中， c i ， j ∈ G F ( p ) 。当 1 ≤ t < m 时，设 G 1 = { β 0 = 0 ， β 1 ， ⋯ ， β P t − 1 } 是由 α 0 ， α 1 ， ⋯ ， α t 的线性组合生成的 G F ( q ) 上的加法子群，即 β i = c i ， 0 α 0 + c i ， 1 α + ⋯ + c i ， t α t ，其中， c i ， j ∈ G F ( p ) 。设 G 2 = { γ 0 = 0 ， γ 1 ， ⋯ ， γ P m − t − 1 } 是由 α t ， α t + 1 ， ⋯ ， α m − 1 的线性组合生成的 G F ( q ) 上的加法子群，即 γ i = c i ， t α t + c i ， t + 1 α t + 1 + ⋯ + c i ， m − 1 α m − 1 ，其中， c i ， j ∈ G F ( p ) 。显然， G 1 ∩ G 2 = { 0 } 。当 0 ≤ i < p m − t 时，定义如下元素集合： γ i + G 1 = { γ i ， γ i + β 1 ， ⋯ ， γ i + β P t − 1 } 该集合其实就是以 γ i 为陪集首的 G 1 的陪集，包括其自身。这 P m − t 个陪集构成了有限域 G F ( q ) 中q个元素的一个划分。 G 1 的两个陪集是不相交的。 构造 G F ( q ) 上大小为 p m − t × p t 的矩阵： B ( 2 ) = [ b 0 b 1 ⋮ b m − 1 ] = [ 0 β 1 ⋯ β p t − 1 γ 1 γ 1 + β 1 ⋯ γ 1 + β p t − 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ γ p m − t − 1 γ p m − t + β 1 ⋯ γ p m − t + β p t − 1 ] (6.1) 这里对于 0 ≤ i < P m − t ，第i行由 G 1 的第i个陪集的元素组成。 G F ( q ) 的每一个元素在 B ( 2 ) 中出现且仅出现一次。除第一行， B ( 2 ) 中的每一行 b i 都由 G F ( q ) 的非零元素组成。 B ( 2 ) 的第一行第一个位置为 G F ( q ) 上的0元素。除第一列， B ( 2 ) 中的每一行都由 G F ( q ) 的非零元素组成。 B ( 2 ) 的第一列第一个位置为 G F ( q ) 上的0元素。由于 G 1 的任意两个陪集互不相交，故 B ( 2 ) 任意不同两行对应位置的元素也互不相同。 推论2：矩阵 B ( 2 ) 满足 2 × 2 子矩阵约束。 证明：基于定理1和定理2，对于矩阵 B ( 2 ) 的任意 2 × 2 子矩阵 B 2 × 2 ( 2 ) ，其元素属于第 i 1 行、第 i 2 行和第 j 1 列、第 j 2 列，其中 0 ≤ i 1 ， i 2 ≤ P m − t 、 0 ≤ j 1 ， j 2 ≤ P t 且 i 1 ≠ i 2 、 j 1 ≠ j 2 ，其行列式 det ( B 2 × 2 ( 2 ) ) = ( γ i 1 + β j 1 ) ( γ i 2 + β j 2 ) − ( γ i 1 + β j 2 ) ( γ i 2 + β j 1 ) = ( γ i 1 − γ i 2 ) ( β j 1 − β j 2 ) ≠ 0 ，因此，矩阵 B ( 2 ) 满足 2 × 2 子矩阵约束。 修饰矩阵 W b a s e 的构造： 基于定理 ，选取一个码率为1⁄3的结构化不规则LDPC码的原模图，其相对应的原模矩阵为： V = [ 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 ] ， 为了保持原结构化不规则分组码的度分布，使用展开技术(unwrapping technique)来构造修饰矩阵 W b a s e 。将V分解为两个矩阵 V 1 和 V 2 ，使得 V = V 1 + V 2 ，其中 V 1 = [ 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 ] ， V 2 = [ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ] ， 则 W b a s e = [ V 1 V 2 V 1 V 2 V 1 V 2 ⋱ ⋱ V 1 V 2 ] (6.2) 下面以几个例子来说明基于有限域的加法子群SC­QC­LDPC码的构造。 6.1. 一类二进制SC­QC­LDPC码 例6.1. 基矩阵B的选取：将 G F ( 2 8 ) 作为构造码的域。令 α 为 G F ( 2 8 ) 的本原元( G F ( 2 ) 的一个扩域)。设 t = 5 ，则 m − t = 3 。设 G 1 和 G 2 是 G F ( 2 8 ) 上加法群的两个子群，分别由 { α 0 ， α 1 ， α 2 ， α 3 ， α 4 } 和 { α 5 ， α 6 ， α 7 } 张成。因此 G 1 = { β 0 = 0 ， β 1 ， ⋯ ， β 31 } ， G 2 = { γ 0 = 0 ， γ 1 ， ⋯ ， γ 7 } 。利用式(6.1)，我们可以构造一个8 × 32基矩阵B。 修饰矩阵 W b a s e 的选取：选择 L = 26 ，利用式(6.2)，我们可以构造一个162 × 208修饰矩阵 W b a s e 。 二进制SC­QC­LDPC码的构造：利用算法1给出的构造方法，可形成一个 G F ( 2 ) 上20，574 × 26，416矩阵 H s c ， q c ， b ，其零空间给出一个二进制SC­QC­LDPC码 C s c ， q c ， b 。 6.2. 一类多进制SC­QC­LDPC码 例6.2. 基矩阵B的选取：将 G F ( 2 6 ) 作为构造码的域。令 α 为 G F ( 2 6 ) 的本原元( G F ( 2 ) 的一个扩域)。设 t = 4 ，则 m − t = 2 。设 G 1 和 G 2 是 G F ( 2 6 ) 上加法群的两个子群，分别由 { α 0 ， α 1 ， α 2 ， α 3 } 和 { α 4 ， α 5 } 张成。因此 G 1 = { β 0 = 0 ， β 1 ， ⋯ ， β 15 } ， G 2 = { γ 0 = 0 ， γ 1 ， γ 2 ， γ 3 } 。利用式(6.1)，我们可以构造一个4 × 16基矩阵B。 修饰矩阵 W b a s e 的选取：选择 L = 26 ，利用式(6.2)，我们可以构造一个162 × 208修饰矩阵 W b a s e 。 多进制SC­QC­LDPC码的构造：利用算法2给出的构造方法，可形成一个 G F ( q ) 上10，206 × 13，104矩阵 H s c ， q c ， q ，其零空间给出一个q进制SC­QC­LDPC码 C s c ， q c ， q 。