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user: 2. 引理 引理1：若 u ( n ) 是边值问题(1)和(2)的解，则存在唯一的 n 0 使得 Δ u ( n 0 ) ≥ 0 ， Δ u ( n 0 + 1 ) ≤ 0 。 证明：因为 u ( n ) 边值问题(1)和(2)的解，所以 Δ u ( n ) 在 N [ 0 ， N + 1 ] 上递减。若对所有的 n ∈ N [ 0 ， N + 1 ] 都有 Δ u ( n ) > 0 ，则由边值条件(2)可知 u ( 0 ) > 0 ， u ( N + 2 ) < 0 ，矛盾。 类似可证对 n ∈ N [ 0 ， N + 1 ] ， Δ u ( n ) < 0 也不成立。因此，存在 n 0 ∈ N [ 0 ， N ] 使得 Δ u ( n 0 ) ≥ 0 ， Δ u ( n 0 + 1 ) ≤ 0 。 唯一性若还存在 n 1 ∈ N [ 0 ， N ] (不失一般性，不妨 n 1 + 1 < n 0 )满足 Δ u ( n 1 ) ≥ 0 ， Δ u ( n 1 + 1 ) ≤ 0 ，则对 n ∈ N [ n 1 + 1 ， n 0 ] 有 Δ u ( n ) ≡ 0 ，从而 Δ ( φ p ( Δ u ( n ) ) ) = − h ( n ) f ( u ( n ) ) ≡ 0 ， n ∈ N [ n 1 + 1 ， n 0 ] ，与条件(C 2 )矛盾。 为研究方便，令 M = max { ∑ i = 0 ξ φ q ( ∑ j = i ξ h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ， ∑ i = η N + 1 φ q ( ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) } ； m = min { ∑ i = ξ + 1 N + 1 φ q ( ∑ j = ξ i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ， ∑ i = 0 η − 1 φ q ( ∑ j = i η − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) } L 1 = β α φ q ( ∑ j = ξ n 0 h ( j ) ) + ∑ i = 0 n 0 φ q ( ∑ j = i n 0 h (j) ) L 2 = σ γ φ q ( ∑ j = n 0 η − 1 h ( j ) ) + ∑ i = n 0 + 1 N + 1 φ q ( ∑ j = n 0 i − 1 h (j) ) 引理2：若条件(C 1 )~(C 2 )成立，对任意的 u ∈ [ 0 ， + ∞ ) ， M ≤ m 则 u ( n ) = { β α φ q ( A u − ∑ j = 0 ξ − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) + ∑ i = 0 n − 1 φ q ( A u − ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ，   n ∈ N [ 0 ， n 0 + 1 ] δ γ φ q ( ∑ j = 0 η − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − A u ) + ∑ i = 0 N + 1 φ q ( ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − A u ) ，     n ∈ N [ n 0 + 1 ， N + 2 ] 为边值问题(1)和(2)的解，这里的 A u 是下列方程的唯一解 β α φ q ( y − ∑ j = 0 ξ − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) = σ γ φ q ( ∑ j = 0 η − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − y ) + ∑ i = 0 N + 1 φ q ( ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − y ) 并且 u ( n ) 在 N [ 0 ， ξ + 1 ] 递增， N [ η ， N + 2 ] 递减。 证明：我们仅证明 u ( n ) 在 N [ 0 ， ξ + 1 ] 递增， N [ η ， N + 2 ] 递减，其他可见参考文献 [ 4 ] [ 5 ] 。 若 u ( n ) 在 N [ 0 ， ξ + 1 ] 非增，则存在 n 0 ∈ N [ 0 ， ξ − 1 ] 使得 Δ u ( n 0 ) ≥ 0 ， Δ u ( n 0 + 1 ) ≤ 0 。从而 u ( 0 ) = β α Δ u ( ξ ) ≤ 0 ， u ( N + 2 ) = σ γ Δ u ( η ) ≥ 0 。由u的表达式，知 u ( n 0 + 1 ) = β α φ q ( A u − ∑ j = 0 ξ − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) + ∑ i = 0 n 0 φ q ( A u − ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) < ∑ i = 0 ξ φ q ( ∑ j = 0 ξ h ( j ) f ( u ( j ) ) − ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) = ∑ i = 0 ξ φ q ( ∑ j = i ξ h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≤ M ， 另一方面 u ( n 0 + 1 ) = σ γ φ q ( ∑ j = 0 η − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − A u ) + ∑ i = n 0 + 1 N + 1 φ q ( ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − A u ) ≥ ∑ i = ξ N + 1 φ q ( ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − ∑ j = 0 ξ − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) = ∑ i = ξ + 1 N + 1 φ q ( ∑ j = ξ i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≥ m 。 因此， M > m ，矛盾，故 u ( n ) 在 N [ 0 ， ξ + 1 ] 递增。 类似可证 u ( n ) 在 N [ η ， N + 2 ] 递减。 设空间 E = { u : ℕ [ 0 ， N + 2 ] → R + } ，如果对所有的 ，都成立 u 1 ( n ) ≤ u 2 ( n ) ，则 u 1 ≤ u 2 ，定义范数 ‖ u ‖ = max n ∈ ℕ [ 0 ， N + 2 ] | u ( n ) | ，则E为Banach空间。 在空间E上定义锥 P : { u : u ∈ E ， u ( n ) ≥ 0 ， n ∈ ℕ [ 0 ， N + 2 ] ， Δ 2 u ( n ) ≤ 0 ， n ∈ ℕ [ 0 ， N ] ， ∃ n 0 使 得 Δ u ( n ) ≥ 0 ， n ∈ ℕ [ 0 ， n 0 ] ， Δ u ( n ) ≤ 0 ， n ∈ ℕ [ n 0 + 1 ， N + 1 ] } . 对 u ∈ P ，易知 ‖ u ‖ = u ( n 0 + 1 ) 。 定义算子 A : P → E A u ( n ) = { β α φ q ( A u − ∑ j = 0 ξ − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) + ∑ i = 0 n − 1 φ q ( A u − ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ，   n ∈ N [ 0 ， n 0 + 1 ] δ γ φ q ( ∑ j = 0 η − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − A u ) + ∑ i = 0 N + 1 φ q ( ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − A u ) ，   n ∈ N [ n 0 + 1 ， N + 2 ] 对 u ∈ P ，下面说明 A u ∈ P 且 ‖ A u ‖ = A u ( n 0 + 1 ) 。 事实上 Δ A u ( n ) = { φ q ( A u − ∑ j = 0 n − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≥ 0 ，   n ∈ N [ 0 ， n 0 ] φ q ( A u − ∑ j = 0 n − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≤ 0 ，   n ∈ N [ n 0 ， N + 1 ] ， Δ 2 A u ( n ) = − h ( n ) f ( u ( n ) ) ≤ 0 ，故易知 A : P → P 且全连续。 引理3： [ 5 ] 若非负函数 h ( i ) 满足 ∑ i = 0 N + 2 h ( i ) < ∞ ，则存在整数 w ∈ ( 0 ， N + 2 2 ) ，使得 ( w ， N + 2 − w ) ≠ ∅ ，且 ∑ i = w N + 2 − w h ( i ) < ∞ ，更进一步 B ( n ) = φ q ( ∑ i = w − 1 t − 2 h ( i ) ) + φ q ( ∑ i = n N + 1 − w h ( i ) ) ， n ∈ [ w ， N + 2 − w ] 有最小值l。 引理4： [ 5 ] 若 u ∈ p ，w为引理3中给出的参数，则对所有 t ∈ [ w ， N + 2 − w ] ，有 u ( n ) ≥ w N + 2 ‖ u ‖ 。 引理5： [ 6 ] 对于 0 < a < b 及锥P上的非负连续凹泛函 ψ ，定义凸子集 P r 和 P ( ψ ， a ， b ) 如下： P r = { x ∈ P : ‖ x ‖ < r } ， P ( ψ ， a ， b ) = { x ∈ P : a ≤ ψ ( x ) ， ‖ x ‖ ≤ b } 。设 A : P ¯ c → P ¯ c 是全连续的， ψ 是锥P上的非负连续凹泛函，且 ψ ( x ) ≤ ‖ x ‖ ， x ∈ P ¯ c 。如果存在常数满足 0 < a < b < d ≤ c 使得 (i) { x ∈ P ( ψ ， a ， b ) : ψ ( x ) > a } ≠ ∅ 且 ψ ( A x ) > a ， x ∈ P ( ψ ， a ， b ) ； (ii) ‖ A x ‖ < d ， ‖ x ‖ ≤ d ； (iii) 对于 x ∈ P ( ψ ， a ， c ) 且 ‖ A x ‖ > b ，有 ψ ( A x ) > a 。 则A至少有三个不动点 x 1 ， x 2 与 x 3 ，且满足 ‖ x 1 ‖ < d ， a < ψ ( x 2 ) ， ‖ x 3 ‖ > d 和 ψ ( x 3 ) < a 。