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user: 2. 物理量及其微分、导数的时间反演变换 物理量是指物理学中所描述的现象、物体或物质可定义性区别和定量确定的性质。常见的物理量有动力学量(如速度V、位移S、质量m、力F等)和电磁学量(如电荷e、电场强度E、磁场强度H等)等。一般情况下物理量都会随时间发生变化因而是时刻t的函数，通常用函数关系 Q = Q ( x 1 ， x 2 ， x 3 ， ⋯ ， x n ， t ) 描述。而物理量及其微分、导数等的时间反演变换就是研究对物理量及其微分、导数等进行时间反演变换的对称性规律的方法，对进一步研究物理方程的时间反演变换具有重要意义。 2.1. 物理量的时间反演变换的定义 物理量Q (以下简称Q)的时间反演变换的定义：对随时间变化的物理量 Q = Q ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ， t ) (其中 x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n 分别为n维空间的空间坐标，t为时刻)，令 t → t ′ = − t ，则 Q ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ， t ) → Q ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ， t ′ ) = Q ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ， − t ) = Q ′ (1) (即将Q中的时刻t用−t替换而得到一个新物理量Q′的操作)就是对Q的时间反演变换，简称T变换，该定义与物理教材中关于时间反演变换的定义一致。由定义可知，Q的T变换只是Q关于t = 0轴(或坐标原点 O ( 0 ， 0 ) )的对称变换而非Q的变化过程的逆转变换，而人们却普遍认为Q的T变换会直接无条件导致与之方向相反的物理过程(即逆过程)，并因而将其作为研究物理过程与其逆过程之间对称性的方法，这种观点很容易造成理解上的歧义，因而是有问题的并需在下面进行详细讨论。由于以下讨论将涉及物理过程的逆过程概念，为此，可将物理过程的逆过程定义为：从某一物理过程的最终状态(简称末态)开始发生的、以与该过程完全相反的方向依序经过其所有中间状态最终返回其初始状态(简称初态)的物理过程。为简化叙述，在下面的讨论中将对Q的T变换所获Q′称作Q的时间反演物理量(简称Q的反演量)，而将对Q的T变换也称作对Q所进行的、算符为 T ^ 的运算，即 T ^ Q ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ， t ) = Q ′ = Q ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ， t ′ ) = Q ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ， − t ) (2) 而根据论述的需要本文会交替使用T变换与 T ^ 运算这两个具有相同意义的概念，下面就Q为时间的一元函数 Q = Q ( t ) 这种最简单情况进行讨论。 本文用坐标系中的曲线 Q = Q ( t ) 表示随时间t变化的物理量Q，如图1所示。图中，曲线 Q = Q ( t ) 上的点 P ( Q ， t ) 与 Q = Q ( t ) 在t时刻的值相对应，点 P 0 ( Q 0 ， t 0 ) ——初态及点 P 1 ( Q 1 ， t 1 ) ——末态分别与 Q = Q ( t ) 在时刻t 0 及t 1 时的值相对应；同时，随着时间的流逝(其方向由t 0 指向t 1 ， t 1 > t 0 )， Q = Q ( t ) 的变化方向由曲线上的点 P 0 ( Q 0 ， t 0 ) 指向点 P 1 ( Q 1 ， t 1 ) 。在坐标系中依次标出曲线 Q = Q(t )上的任意一点 P ( Q ， t ) 关于t = 0轴(或坐标原点 O ( 0 ， 0 ) )的对称点 P ′ ( Q ′ ， − t ) (或 P ″ ( Q ″ ， − t ) )，其中点 P ′ 0 ( Q ′ 0 ， − t 0 ) —初态′(或点 P ″ 0 ( Q ″ 0 ， − t 0 ) ——初态′′)和点 P ′ 1 ( Q ′ 1 ， − t 1 ) ——末态′(或点 P ″ 1 ( Q ″ 1 ， − t 1 ) ——末态′′)分别是点 P 0 ( Q 0 ， t 0 ) ——初态和点 P 1 ( Q 1 ， t 1 ) ——末态关于t = 0轴(或坐标原点 O ( 0 ， 0 ) )的对称点。根据物理量 T ^ 运算的定义，由所有这些点 P ′ ( Q ′ ， − t ) (或 P ″ ( Q ″ ， − t ) )构成的曲线所对应的 Q ′ = Q ( − t ) (或 Q ″ = Q ( − t ) )就是对 Q = Q ( t ) 进行 T ^ 运算得到的反演量。在图1的①中显然有 Q ′ = Q ( − t ) = Q ( t ) ，对这种情况则称 Q = Q ( t ) 的 T ^ 运算具有偶性，此类物理量有：空间坐标x、作用力F、加速度a、能量E、电势Ф、电场强度E、电位移D、电荷密度ρ、电极化强度P等；在图1的②中显然有 Q ″ = Q ( − t ) = − Q ( t ) ，对这种情况则称 Q = Q ( t ) 的 T ^ 运算具有奇性，此类物理量有：时刻t、速度V、动量p、轨道和自旋角动量L、电磁矢势A、磁感应强度B、磁场强度H、电流密度J、磁化强度M、坡印廷矢量S等。由于 Q = Q ( t ) 的 T ^ 运算(即T变换)是其关于t = 0轴(或坐标原点 O ( 0 ， 0 ) )的对称变换，因而为确保该曲线 Q = Q ( t ) 所描述的真实的、动态的物理变化过程的 T ^ 运算绝对的对称性，在图1的 ① (或 ② )中Q的反演量Q′(或Q′′)的变化方向必须与Q完全相同(即Q′(或Q′′)的变化方向只能由初态′(或初态′′)指向末态′(或末态′′)，而这种情况下时间流逝的方向则由−t 0 指向−t 1 )，也即Q的 T ^ 运算并未直接无条件导致其逆过程。显然，若要用Q的反演量Q′(或Q′′)描述Q的逆过程，就要求Q′(或Q′′)的变化方向必须随时间从曲线上的点 P ′ 1 ( Q ′ 1 ， − t 1 ) ——末态′(或 P ″ 1 ( Q ″ 1 ， − t 1 ) ——末态′′)指向点 P ′ 0 ( Q ′ 0 ， − t 0 ) ——初态′(或 P ″ 0 ( Q ″ 0 ， − t 0 ) ——初态′′)，相应的，时间的方向则只能从−t 1 指向−t 0 ( − t 0 > − t 1 ，即时间是正向流逝的)，如图中的虚线箭头所示。因而时间始终保持正向流逝(即时间流逝的方向保持不变或时间具有单向性)即是Q的反演量Q′(或Q′′)可用于描述Q的逆过程的前提条件(或者如果时间始终保持正向流逝，那么Q的 T ^ 运算 图1. 物理量 Q = Q ( t ) 的 T ^ 运算 必然导致其逆过程)，这一结论显然可以推广至多元函数 Q = Q ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ， t ) 的情况，下面将以该定义为基础展开讨论。该定义内容与物理学家在量子力学中关于时间反演变换的观点基本一致，如魏格纳(Wigner)教授所说“时间反演变换不是时间的倒流变换，而是运动方向的倒转” [ 6 ] ；而布赖恩.格林教授在讨论相关问题时则说：时间反演变换“不是把时间反过来。时间仍然保持原样。我们的结论是，要想使一个物体的运动轨迹逆转，只要在其路径上任意一点上逆转其速度即可” [ 7 ] ；另外，张永德教授在其著作中也有同样的看法 [ 8 ] 。但所有这些观点都只是直觉上的，迄今为止仍没有系统的论述。 2.2. 物理量的微分、导数及其常用算符的时间反演变换 下面就借助关于 T ^ 运算新的定义内容对物理量的 T ^ 运算的微分、导数及常用算符等进行详细论述，在此先讨论物理量的 T ^ 运算的微分及导数。假定Q的变化过程如图2中曲线 Q = Q ( t ) 所示，曲线 Q = Q ( t ) 上的两点 P ( Q ， t ) 及 P 1 ( Q 1 ， t 1 ) 分别表示Q在时刻t及t 1 时的对应值，并且曲线 Q = Q ( t ) 的变化从点 P ( Q ， t ) 指向点 P 1 ( Q 1 ， t 1 ) 。令 t 1 = t + Δ t ，则Q从时刻t到t 1 随时间产生的变化为 Δ Q = Q ( t 1 ) − Q ( t ) = Q ( t + Δ t ) − Q ( t ) (3) 令 Δ t → 0 + ，则 t 1 = t + Δ t → t ，则ΔQ的右极限暨Q的微分为 lim Δ t → 0 + Δ Q = lim Δ t → 0 + ( Q ( t + Δ t ) − Q ( t ) ) = d Q (4) 图2. 物理量 Q = Q ( t ) 的 T ^ 运算的微分 而曲线 Q = Q ( t ) 于时刻t在变化方向上的导数是dQ/dt，在此dt > 0。 假定Q的 T ^ 运算具有偶性，即 T ^ Q ( t ) = Q ( − t ) = Q ( t ) ，并且Q的 T ^ 运算所得其反演量 T ^ Q 如图2中曲线 Q ′ = Q ( − t ) 所示。显然，曲线 Q ′ = Q ( − t ) 上的两点 P ′ ( Q ′ ， − t ) 及 P ′ 1 ( Q ′ 1 ， − t 1 ) 分别是曲线 Q = Q ( t ) 上两点 P ( Q ， t ) 及 P 1 ( Q 1 ， t 1 ) 关于t = 0轴的对称点，并且曲线 Q ′ = Q ( − t ) 的变化从点 P ′ 1 ( Q ′ 1 ， − t 1 ) 指向点 P ′ ( Q ′ ， − t ) ，令 − t 1 = − t − Δ t ，则Q′从时刻−t 1 到−t随时间产生的变化为 Δ ( T ^ Q ) = Δ Q ′ = Q ( − t ) − Q ( − t 1 ) = Q ( − t ) − Q ( − t − Δ t ) (5) 令 Δ t → 0 + ，则 − t 1 = − t − Δ t → − t ，ΔQ′在时刻−t的左极限暨Q′的微分为 d ( T ^ Q ( t ) ) = d lim Δ t → 0 − Δ Q ′ = lim Δ t → 0 − ( Q ( − t ) − Q ( − t − Δ t ) ) = lim Δ t → 0 − ( Q ( t ) − Q ( t + Δ t ) ) = − d Q ( t ) (6) 另外，曲线 Q ′ = Q ( − t ) 在时间−t的正方向上的导数则为 d ( T ^ Q ( t ) ) / d t = − d Q ( t ) / d t (7) 假定Q的 T ^ 运算具有奇性，即 T ^ Q ( t ) = Q ( − t ) = − Q ( t ) ，并且Q的 T ^ 运算所得其反演量 T ^ Q 如图2中曲线 Q ″ = Q ( − t ) 所示。显然，曲线 Q ″ = Q ( − t ) 上的两点 P ″ ( Q ″ ， − t ) 及 P ″ 1 ( Q ″ 1 ， − t 1 ) 分别是曲线 Q = Q ( t ) 上的两点 P ( Q ， t ) 及 P 1 ( Q 1 ， t 1 ) 关于坐标原点 O(0，0) 的对称点，并且曲线 Q ″ = Q ( − t ) 的变化从点 P ″ 1 ( Q ″ 1 ， − t 1 ) 指向点 P ″ ( Q ″ ， − t ) ，则Q的 运算的微分及导数分别为 d ( T ^ Q ( t ) ) = d Q ( t ) (8) d ( T ^ Q ( t ) ) / d t = d Q ( t ) / d t (9) 特别的，由于时刻t的 T ^ 运算具有奇性，即 T ^ t = t ′ = − t ，则有： d ( T ^ t ) = d t ′ = d t ≠ − d t ，这一结论与时间反演变换的新定义内容完全一致。上述结论显然可以推广至Q是空间坐标 x i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 及时刻t的多元函数的情况。显然，Q的微分和导数与其反演量Q′的微分和导数之间的这些关系正确反映了两者之间互为逆过程的特征。根据上述结论并结合数学归纳法还可以得到如下关于Q的2n − 1及2n阶导数与其反演量Q′的2n − 1及2n阶导数之间关系的更一般的结论。 假定 Q = Q ( t ) 的 T ^ 运算具有偶性，即有 T ^ Q ( t ) = Q ( − t ) = Q ( t ) ，同时Q的2n阶导数 ( n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， k )存在，则 T ^ Q ( t ) 的2n − 1及2n阶导数分别为 d 2 n − 1 ( T ^ Q ( t ) ) d t 2 n − 1 = d 2 n − 1 Q ( t ′ ) d ( t ′ ) 2 n − 1 = − d 2 n − 1 Q ( t ) d t 2 n − 1 = − d 2 n − 1 Q ( t ) d t 2 n − 1 (10) 及 d 2 n ( T ^ Q ( t ) ) d t 2 n = d 2 n Q ( t ′ ) d ( t ′ ) 2 n = d 2 n Q ( t ) d t 2 n (11) 假定 Q = Q ( t ) 的 T ^ 运算具有奇性，即有 T ^ Q ( t ) = Q ( − t ) = Q ( t ) ，同时Q的2n阶导数 d 2 n Q ( t ) / d t 2 n ( n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， k )存在，则 T ^ Q ( t ) 的2n − 1及2n阶导数分别为 d 2 n − 1 ( T ^ Q ( t ) ) d t 2 n − 1 = d 2 n − 1 Q ( t ′ ) d ( t ′ ) 2 n − 1 = d 2 n − 1 Q ( t ) d t 2 n − 1 (12) 及 d 2 n ( T ^ Q ( t ) ) d t 2 n = d 2 n Q ( t ′ ) d ( t ′ ) 2 n = − d 2 n Q ( t ) d t 2 n = − d 2 n Q ( t ) d t 2 n (13) 这些结论同样可以推广至Q为多元函数的情况。 以下是关于物理量 Q ( x 1 ， x 2 ， x 3 ， t ) 的 T ^ 运算的偏微分及偏微分算符。假定 Q ( x 1 ， x 2 ， x 3 ， t ) 的 T ^ 运算具有偶性(或奇性)，即 ，则有 ∂ ( T ^ Q ( x 1 ， x 2 ， x 3 ， t ) ) ∂ x i = ∂ Q ( x 1 ， x 2 ， x 3 ， t ′ ) ∂ x i = ± ∂ Q ( x 1 ， x 2 ， x 3 ， t ) ∂ x i (14) (15) ∂ ( T ^ Q 2 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ， t ) ) ∂ x m ∂ x n = ∂ Q 2 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ， t ′ ) ∂ x m ∂ x n = ± ∂ Q 2 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ， t ) ∂ x m ∂ x n (16) ∂ ( T ^ Q 2 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ， t ) ) ∂ t 2 = ∂ Q 2 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ， t ′ ) ∂ t ′ 2 = ± ∂ Q 2 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ， t ) ∂ t 2 (17) 当m = n时有 ∂ ( T ^ Q 2 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ， t ) ) ∂ x i 2 = ∂ Q 2 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ， t ′ ) ∂ x i 2 = ± ∂ Q 2 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ， t ) ∂ x i 2 (18) 其中i， m， n = 1， 2， 3。由此可得 ∇ ⋅ ( T ^ Q ) = ± ∇ ⋅ Q (19) ∇ × ( T ^ Q ) = ± ∇ × Q (20) 即其 T ^ 运算具有偶性的物理量的 T ^ 运算的散度及旋度也具有偶性，而其 T ^ 运算具有奇性的物理量的 T ^ 运算的散度及旋度也具有奇性。另外，还可以将上面的部分结论简化为偏微分算符的形式 T ^ ( ∂ ∂ x i ) = ∂ ∂ x i (21) T ^ ( ∂ ∂ t ) = ∂ ′ ∂ t ′ = − ∂ ∂ t (22) T ^ ( ∂ 2 ∂ x m ∂ x n ) = ∂ 2 ∂ x m ∂ x n (23) T ^ ( ∂ 2 ∂ t 2 ) = ∂ ′ 2 ∂ t ′ 2 = ∂ 2 ∂ t 2 (24) 当m = n时有 T ^ ( ∂ 2 ∂ x i 2 ) = ∂ 2 ∂ x i 2 (25) 其中i， m， n = 1， 2， 3。这与量子力学教材中的相关结论是一致的 [ 9 ] 。 通过上述讨论可见，对物理量的 T ^ 运算的微分及导数不能简单的把其时刻t用−t替换，而必须同时考虑物理量的 T ^ 运算的奇、偶性及时间方向不因 T ^ 运算而发生改变等因素，这与当前普遍采用的方法不同。 2.3. 物理量的时间反演变换的性质 通过上面对Q的 T ^ 运算的微分及导数等的详细讨论，可以总结出如下关于物理量( Q ， Q 1 ， Q 2 ， ⋯ ， Q n )的 T ^ 运算的一些重要性质，由于证明过程很简单，这里就不进行详细论证： 1) Q 1 ， Q 2 ， ⋯ ， Q n 的和的 T ^ 运算等于 Q 1 ， Q 2 ， ⋯ ， Q n 的 T ^ 运算的和，即 T ^ ( Q 1 + Q 2 + ⋯ + Q n ) = T ^ Q 1 + T ^ Q 2 + ⋯ + T ^ Q n (26) 2) Q 1 ， Q 2 ， ⋯ ， Q n 的积的 T ^ 运算等于 Q 1 ， Q 2 ， ⋯ ， Q n 的 T ^ 运算的积，即 T ^ ( Q 1 × Q 2 × ⋯ × Q n ) = T ^ Q 1 × T ^ Q 2 × ⋯ × T ^ Q n (27) 3) Q 1 与Q 2 的商的 T ^ 运算等于Q 1 与Q 2 的 T ^ 运算的商，即 T ^ ( Q 1 / Q 2 ) = T ^ Q 1 / T ^ Q 2 (28) 4) Q的反演量 T ^ Q 的 T ^ 运算等于Q，即 T ^ ( T ^ Q ) = Q (29) 5) Q的微分的 运算等于Q的 T ^ 运算的微分，即 T ^ ( d Q ) = d ( T ^ Q ) (30) 6) Q的导数(或偏导数)的 T ^ 运算等于Q的 T ^ 运算的导数(或偏导数)，即 T ^ ( d Q / d t ) = d ( T ^ Q ) / d t (31) 或 T ^ ( ∂ Q / ∂ t ) = ∂ ( T ^ Q ) / ∂ t (32) T ^ ( ∂ Q / ∂ x i ) = ∂ ( T ^ Q ) / ∂ x i (33) 7) Q的n阶导数(或对t的偏导数)的 T ^ 运算等于Q的 T ^ 运算的n阶导数(或对t的偏导数)，即 T ^ ( d n Q / d t n ) = d n ( T ^ Q ) / d t n (34) 或 T ^ ( ∂ n Q / ∂ t n ) = ∂ n ( T ^ Q ) / ∂ t n (35) T ^ ( ∂ n Q / ∂ x i n ) = ∂ n ( T ^ Q ) / ∂ x i n (36)