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user: 3. 方法 3.1. 数据介绍 本文结合地物探测数据来对弱地质信息的深部成矿空间进行研究，因此，我们收集到了地物相关的原始数据，通过这些数据可以尽可能的减少整个三维地质模型推断与重建中的不确定性。 3.1.1. 初始三维地质线串模型 我们通过收集研究区域地质剖面图，对其进行矢量化，得到该区域深部成矿构造的线串模型，如图3所示。利用得到的线串模型构造初始的三维模型，以此来为后续的三维模型迭代推断提供基础。 图3. 大尹格庄断裂线串模型 3.1.2. 重力异常数据 我们收集到了研究区域地面63个采样点的布格重力异常数据，以便为后续贝叶斯推断做准备，这些数据是通过仪器进行重力勘探，再经过一系列布格改正得到的数据。这些数据位于整个大尹格庄矿区范围内，且按一定距离有规则排布，如图4所示。 图4. 大尹格庄地面重力异常值采样点分布 3.1.3. 岩性密度数据 我们收集到了研究区域上下盘的岩性以及密度参考范围，如表1所示。同时收集到了研究区钻孔数据以及上下盘密度样本，从中选取了上下盘各9个样本，为后续的贝叶斯推断工作做准备。如表2所示。 Table 1 System resulting data of standard experiment (unit: g/cm3 类型 岩性 密度参考范围 上盘 黑云変粒岩、斜长角闪岩、黑云斜长片麻岩等 2.41~3.28 下盘 玲珑岩体 2.43~2.7 表1. 上下盘物性参数参考范围(单位：g/cm 3 ) Table 2 Samples of physical parameters of hanging wall and foot wall (unit: g/cm3 类型 样本1 样本2 样本3 样本4 样本5 样本6 样本7 样本8 样本9 上盘 2.708 2.759 2.675 2.690 2.701 2.724 2.706 2.727 2.763 下盘 2.589 2.615 2.684 2.663 2.577 2.609 2.614 2.636 2.622 表2. 上下盘物性参数采样样本(单位：g/cm 3 ) 3.2. 贝叶斯模型 贝叶斯理论发展至今已愈发成熟，这种方法也被越来越多地运用到不确定性表达和推理的研究当中。如Pearl于1986年提出一种简单而有效的贝叶斯网络用来研究不确定性相关问题 [ 16 ]。肖张波依据贝叶斯理论实现反演过程中地震数据的有效利用 [ 17 ]。李东将贝叶斯理论应用到了对边坡工程模型不确定性分析当中 [ 18 ]。本文根据以往研究经验，本文利用贝叶斯原理构造出贝叶斯模型，贝叶斯形式如式(1)所示 [ 19 ]： P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) (1) 其中， P ( A | B ) 为后验概率， P ( B | A ) 为似然项， P ( A ) 为先验概率。 本文将贝叶斯模型纳入到三维地质模型不确定性研究中来。利用上述公式，我们在给定了地物观测数据集合 E = { E 1 ， ⋯ ， E n } ，可以用来对地质界面F进行推断。后验概率 P ( F | E ) 示如式(2)所示： P ( F | E ) = p ( F ) P ( E | F ) P ( E ) (2) 其中， p ( F ) 为先验项， P ( E | F ) 为似然项。我们设定了研究区域深部构造空间为一个由若干个小立体单元构成的大立体空间，给定其中的F为 F 1 × 5 M 向量，表示空间中所有立体单元中心点隐函数的集合， E 为 E 63 × 1 向量，表示由地面63个重力异常值测点构成的集合。这里我们舍弃分母，只考虑分子项： P ( F | E ) ∝ p ( F ) P ( E | F ) 。 (3) 3.2.1. 似然项 我们为上述贝叶斯公式中的似然项 P ( E | F ) 引入物性参数 θ ，以便于更好的求解该项中所表示的概率。因此，似然项可进一步表示为： P ( E | F ) = ∫ θ P ( E | F ， θ ) P ( θ ) d θ (4) 其中， θ 为 θ 2 × 1 向量，分别表示深部构造空间中上下盘岩石密度。 P ( θ ) 表示参数 θ 的先验分布，通过利用核密度估计来得到其概率， P ( E | F ， θ ) 则通过计算地面测点的重力异常值来表示。由于该积分的难解性，本文后续利用了MCMC采样方法，将积分离散化为简单求和的形式，在进行均一化处理，最终得到似然函数值。 1) 核密度估计：核密度估计属于一种非参数估计方法，该方法不需要给定数据的先验分布，它是通过数据样本本身出发来估计数据的分布特征 [ 20 ]。我们通过收集到上下盘岩性的密度样本，利用核密度估计得到岩性密度的概率分布。 给定物性参数 θ ，参数 θ 的先验分布 利用核密度估计表示如式(5)所示 [ 21 ]： P ( θ ) = f h ( θ ) = 1 n h ∑ i = 1 n K ( θ − θ i h ) (5) 其中，K为核函数，h为带宽。我们这里选取了高斯函数作为核函数，带宽设置为0.25。 2) 重力异常正演：我们选取了位于大尹格庄地表63个观测点的布格重力异常值，假设地面每个观测 点 G i 服从独立同分布，因此 P ( E | F ， θ ) 可写成如 ∏ i = 1 n P ( E i | F ， θ ) 的连乘形式。每项 P ( E i | F ， θ ) 可表示为： P ( E i | F ， θ ) = 1 2 π σ exp ( − ( E i − f w d F ， θ ) 2 2 σ 2 ) (6) f w d F ， θ 表示地表观测点的正演计算值。计算公式 [ 22 ] 为： (7) (8) r i j k = x i 2 + y j 2 + z k 2 (9) μ i j k = ( − 1 ) i ( − 1 ) j ( − 1 ) k (10) 其中，G为重力常量， ρ 为剩余密度，地表目标观测点坐标为 ( x ， y ， z ) ，每个立体单元的角点坐标为 ( ξ i ， η j ， ζ k ) 。重力异常是由于实际地球内部的物质密度分布不均匀产生的，因此我们使用剩余密度作为公式中立体单元的密度来计算重力异常。这里我们考虑使用大尹格庄上下盘密度与地壳密度差值作为剩余密度。采用的大陆地壳地表岩石的密度为2.67 g/cm 3 。 3.2.2. 先验项 我们利用基于线串模型的隐函数来对深部成矿构造几何边界进行表达。在整个深部成矿构造三维地质空间 ℝ 3 中，存在隐函数 F : ℝ 3 → ℝ 使得当且仅当 ℝ 3 中的一点 x = { x ， y ， z } 处于无自相交的几何边界上时，满足 F ( x ) = 0 ，当x处于边界上部时， F ( x ) > 0 ；x处于边界下部时， F ( x ) < 0 。将深部成矿构造空间中的上下盘 看作是几何边界的上下部，通过求得每个立方体单元中心点的隐函数值的集合来表示F的先验。其中隐函数是通过计算空间中的点对深部成矿构造的线串模型的距离函数得到的，此处不做过多解释。先验的表示形式如式(11)所示： (11) 其中，Z为分母项， E ( F ) 为每一项先验信息的累加。目前我们考虑了与初始模型一致性的度量作为其先验，如式(12)所示： E ( F ) = λ ( z ) ‖ F − F 0 ‖ 2 (12) 其中， F 0 为初始模型，F为当前迭代得到的模型，其表示包含若干立方体的隐函数的向量， λ ( z ) 为与深度相关的系数，深度越深，不确定性越大， λ ( z ) 越小，这里考虑倒数作为其系数。 3.3. 贝叶斯推断 构建好贝叶斯模型后，由于其涉及到的高维问题存在一定的难处理性，需要采用一种替代方法来实现对后验分布的近似评估。目前已经开发了多种方法，其中运用最广泛的方法是马尔科夫链蒙特卡洛方法(Markov Chain Monte Carlo)，即MCMC方法。该方法本质上使用了马尔科夫的思想，最后得到蒙特卡洛积分，蒙特卡洛积分可以从指定分布中进行抽样，然后通过这些样本构造均值来逼近期望值。其特性在于后一状态只依赖于前一状态，而与以往所经历的状态无关，我们利用这一特性来迭代地绘制参数集的样本 [ 23 ]。 MCMC采样方法会根据给定的一个初始值或者一个初始向量，可以采样出下一符合要求的样本，且当前样本只与前一次样本有关。通过每次采出的样本，设置接受率，再根据给定的接受率来判断当前样本是否被接受，如果是，则作为下一次采样的起始样本。MCMC接受率 [ 24 ] 表示如式(13)所示： min ( 1 ， π ( z * ) q ( z | z * ) π ( z ) q ( z * | z ) ) (13) 其中，z表示前一个样本， z * 表示当前样本， π ( z ) 为后验概率， 。 本文利用MCMC方法与贝叶斯模型结合起来进行贝叶斯推断。我们对涉及到的参数密度进行MCMC采样，并得到所需样本，这样可以将贝叶斯推断中的似然函数的积分问题转化为简单的离散求和形式处理，最后进行均一化处理，如式(14)所示： P ( E | F ) = ∫ θ P ( E | F ， θ ) P ( θ ) d θ = 1 n ∑ ​ P ( E | F ， θ i ) P ( θ i ) (14) 之后，我们针对研究区域深部成矿构造线串模型进行扰动，即对线串上的每个点设定一个扰动阈值，新的线串上的点是在这个阈值中生成的。最终得到新的线串模型。由于扰动过程中，每个数据点存在不相关性，因此扰动线串呈现锯齿状。对此，我们为新扰动的线串数据点设置一定的约束条件，使其扰动合理。我们用一开始的数据点构建图，使其扰动后的数据点按照设定的图结构来约束，从而达到平滑线串的目的。得到新线串之后，再针对每一个线串计算整个成矿构造空间中对应的隐函数集合，通过这些得到的隐函数作为先验条件得出其所对应的后验概率，再同样利用MCMC方法对后验概率进行采样，最终得到符合要求的线串模型样本为后续不确定性的可视化提供基础。 3.4. 信息熵 本文使用信息熵的表示方法来对三维地质模型的不确定性进行度量，这种方法被广泛应用于结构地质背景下的不确定性研究中。信息熵公式 [ 25 ] 如下： H ( x ) = − ∑ i = 1 n   p ( x i ) log ( p ( x i ) ) (15) 其中， p ( x i ) 表示随机事件 x i 的概率。如果事件发生的概率越大，不确定性就越小，信息熵也越小。反之，则越大。 前文中提到，我们通过MCMC方法对扰动的线串进行采样，得到了n种不同的线串数据集，最终产生n种不同的模型展示。我们设定x为深部成矿构造空间中的每一个立方体单元，F为地层地质单元，表示不同的岩性类型，本文中只考虑两种地层单元，即上下盘。则整个构造空间中每一个立体单元x的指示函数 I F 为： (16) 对于n个线串模型，我们使用以下函数来估算每个立体单元的信息概率： P F ( x ) = ∑ ​ I F ( x ) n (17) 将得到的每个立体单元的信息概率 p ( x ) 带入到式(15)中，可以求得其信息熵值，最终将整个深部成矿构造空间中的所有立体单元的信息熵展示出来，从而实现对不确定性的可视化。