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user: 3. 矩阵的构造及例子 下面这个定理给出了一个 阶BCCB矩阵是哈达码矩阵的充要条件。 定理3.1：设 v i = ( a i ， 0 ， a i ， 1 ， ⋯ ， a i ， n − 1 ) ∈ ℂ n ， 0 ≤ i ≤ n − 1 ， A = ( a i ， j ) ， C i = C i r c ( v i ) ，且 C = C i r c ( C 0 ， C 1 ， ⋯ ， C n − 1 ) ，将C记为BCCB(A)。若A中元素的模全为1，则C是一个哈达码矩阵当且仅当 U n C U n 中元素的模全为1。 证明：设 U = U n ⊗ U n 。易知 C = I n ⊗ C 0 + J n ⊗ C 1 + ⋯ + J n n − 1 ⊗ C n − 1 . 于是有 U − 1 C U = I n ⊗ U n − 1 C 0 U n + D n ⊗ U n − 1 C 1 U n + ⋯ + D n n − 1 ⊗ U n − 1 C n − 1 U n . 由命题2.2知， U − 1 C U 是n 2 阶对角阵。设 0 ≤ k ≤ n − 1 ，记 P k = P v k ， V k = U n − 1 C k U n = d i a g ( P k ( 1 ) ， P k ( w n ) ， P k ( w n 2 ) ， ⋯ ， P k ( w n n − 1 ) ) ， W k = V 0 + ω n k V 1 + ω n 2 k V 2 + ⋯ + ω n k ( n − 1 ) V n − 1 . 则 U − 1 C U = d i a g ( W 0 ， W 1 ， ⋯ ， W n − 1 ) 。易知对任意 0 ≤ k ≤ n − 1 ， 1 ≤ j ≤ n 有 ( W k ) j ， j = ( 1 ， ω n k ， ω n 2 k ， ⋯ ， ω n k ( n − 1 ) ) A ( 1 ， ω n j − 1 ， ω n 2 ( j − 1 ) ， ⋯ ， ω n ( j − 1 ) ( n − 1 ) ) 故C是哈达码矩阵当且仅当 U − 1 C U 是哈达码矩阵，当且仅当 ∀ 0 ≤ k ≤ n − 1 ，   ∀ 1 ≤ j ≤ n ，     | ( W k ) j ， j | = n . 当且仅当 F n A F n 中元素模全为n，当且仅当 U n A U n 中元素模为1。□ 推论3.2：假设D是元素模全为1的n阶对角矩阵，则 BCCB ( D F n * ) 和 BCCB ( F n * D ) 都是哈达码矩阵。 证明：因为 U n 是酉矩阵，故 U n D F n * U n = F n D 和 U n F n * D U n = D F n 成立，故由定理3.1可知结论成立。 例3.1：设 ( a ， b ， c ) ∈ ℂ 3 且a，b，c模全为1。设 ω = exp ( 2 π i 3 ) ， D = d i a g ( a ， b ， c ) ，则 F 3 * D = ( a b c a b ω c ω 2 a b ω 2 c ω ) 由推论3.2，我们得到一个9阶BCCB哈达码矩阵 BCCB ( F 3 * D ) 。 推论3.3：设V是元素模全为1的n阶矩阵，则有 1) 若V是对角矩阵，则 BCCB ( V F n ) 和 BCCB ( F n V ) 是哈达码矩阵。 2) 若 U n V U n * 中元素模全为1，则 BCCB ( V ) 是哈达码矩阵。 3) 若 F n V = V F n ，则 BCCB ( V ) 是哈达码矩阵。 证明：显然 F n 2 = n P ，其中P是置换矩阵。 1) 因为 U n 是酉矩阵，故 。因此 U n V F n U n 中元素模全为1。由定理3.1知 BCCB ( V F n ) 是哈达码矩阵。同理可证 BCCB ( F n V ) 也是哈达码矩阵。 2) 首先， U n V U n = U n V U n * U n 2 = U n V U n * P 。因为 U n V U n * 中元素模全为1，故 U n V U n 中元素模全为1。由定理3.1知 BCCB ( V ) 是哈达码矩阵。 3) 由 F n V = V F n 知 U n V = V U n ，于是有 U n V U n = V U n 2 = V P ，故 U n V U n 中元素模全为1。由定理3.1知 BCCB ( V ) 是哈达码矩阵。□ 因为 F n 是酉矩阵，所以存在对角矩阵 D n 和酉矩阵 R n 使得 F n = R n D n R n * 。假设D是另一个对角矩阵且 A = R n D R n * ，则 A F n = F n A 。作为前一推论的直接应用，我们有： 命题3.4：设 D n ， D 为n阶对角方阵， R n 是酉矩阵且 F n = R n D n R n * 。假设 R n D R n * 中元素模全为1，则 BCCB ( R n D R n * ) 是哈达码矩阵。 备注：对比定理3.1，命题3.4变量更少，更容易构造BCCB哈达码矩阵。 例3.2：设 D 4 = d i a g ( 2 ， 2 ， − 2 ， 2 i ) ，设 R 4 = 1 2 ( 1 2 1 0 1 0 − 1 2 − 1 2 − 1 0 1 0 − 1 − 2 ) 易验证 R 4 是酉矩阵且 F 4 = R 4 D 4 R 4 * 。设 a ， b ， c ， d ∈ ℂ 4 ， D = d i a g ( a ， b ， c ， d ) 。经计算有 A = R 4 D 4 R 4 * = 1 4 ( 2 b + a + c a − c 2 b − ( a + c ) a − c a − c a + c + 2 d c − a a + c − 2 d 2 b − ( a + c ) c − a 2 b + a + c c − a a − c a + c − 2 d c − a a + c + 2 d ) 则BCCB(A)是哈达码矩阵当且仅当 { | a + c ± 2 b | = 4 | a + c ± 2 d | = 4 | a − c | = 4 (1) 假设 a + c = 0 ，则BCCB(A)是哈达码矩阵当且仅当 a ， b ， c ， d 的模都是2，即对任意 ( θ 1 ， θ 2 ， θ 3 ) ∈ ℂ 3 ，BCCB(A)是哈达码矩阵，其中 A = ( e i θ 1 e i θ 2 e i θ 2 e i θ 1 e i θ 1 e i θ 3 − e i θ 1 − e i θ 3 e i θ 2 − e i θ 1 e i θ 2 − e i θ 1 e i θ 1 − e i θ 3 − e i θ 1 e i θ 3 ) 假设 a + c ≠ 0 。此时，有方程组(1)知 b = ± d 。故问题转化为求解方程组 { | a + c + 2 b | = 4 | a + c − 2 b | = 4 | a − c | = 4 (2) i) 假设 b = d 。由方程组(2)知，存在 ( θ 1 ， θ 2 ， θ 3 ) ∈ ℝ 3 使得 { a + c + 2 b = 4 e i θ 1 a + c − 2 b = 4 e i θ 2 a − c = 4 e i θ 3 显然，此时方程组总有解。因此，对任意 ( θ 1 ， θ 2 ， θ 3 ) ∈ ℝ 3 ，若取 A = ( e i θ 1 e i θ 2 e i θ 3 e i θ 2 e i θ 2 e i θ 1 − e i θ 2 − e i θ 3 e i θ 3 − e i θ 2 e i θ 1 − e i θ 2 e i θ 2 − e i θ 3 − e i θ 2 e i θ 1 ) 则BCCB(A)是哈达码矩阵。 ii) 假设 b = − d 。同理，对任意 ( θ 1 ， θ 2 ， θ 3 ) ∈ ℝ 3 ，若取 A = ( e i θ 1 e i θ 2 e i θ 3 e i θ 2 e i θ 2 − e i θ 3 − e i θ 2 e i θ 1 e i θ 3 − e i θ 2 e i θ 1 − e i θ 2 e i θ 2 e i θ 1 − e i θ 2 − e i θ 3 ) 则BCCB(A)是哈达码矩阵。