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user: 3. QVI的解 本节首先根据动态规划准则和值函数满足的边界条件，推导出值函数满足的拟变分不等式(QVI)。对任意函数 φ ( x ) ∈ C 2 ， 定义3. 令 u 1 满足 u 1 = inf { x ≥ 0 ; M ω ( x ) = ω ( x ) } 。 u 1 是分红点。 定义如下算子 分红算子： M φ ( x ) : = max ξ ≥ 0 { φ ( x − ξ ) + l 1 ξ − L 1 } ， (3.1) 这里， ξ > 0 ， x ≥ ξ 。 微分算子： A a ， b φ ( x ) : = 1 2 ( σ p 2 b 2 + σ 2 + λ v ( a ) ) φ ″ ( x ) + ( λ u m ( θ − η ) + λ η U ( a )         + ( r 1 − r 0 ) b + r 0 x ) φ ′ ( x ) − C φ ( x ) (3.2) 根据动态规划准则，值函数满足如下性质： ℵ 1 = { ( x < u 1 ) : M ω ( x ) < ω ( x ) ; ω ( 0 ) = 0 ; max ( a ， b ) ∈ l A ( a ， b ) ω ( x ) = 0 } . (3.3) ℵ 2 = { ( x ≥ u 1 ) : max ( a ， b ) ∈ l A ( a ， b ) ω ( x ) < 0 ; ω ( 0 ) = 0 ; M ω ( x ) = ω ( x ) } (3.4) 一、当 θ 2 ∈ ( θ 1 ， θ 1 2 m u m v m ) 时 当 0 ≤ x ≤ x 0 且不考虑分红时，记 m p = r 1 − r 0 σ p 2 ， γ 1 = ( r 1 − r 0 ) 2 2 σ p 2 。令 h ( a ) = u ( a ) − v ( a ) 2 a ， 记 G ( x ) = ∫ a 0 x 2 [ γ 1 + λ η 2 h ′ ( y ) ] y 2 + η σ 2 2 η ( γ 1 + C − r 0 ) y 2 + 2 η 2 [ λ η h ( y ) + r 0 x + λ η ( θ − η ) ] y − σ 2 η 3 d y a ( 0 ) = a 0 。容易推出 G ( a 0 ) = 0 ， a ( x ) = G − 1 ( x ) 。 设 x 0 为再保险的临界点，则有 ω ( x ) = k ∫ 0 x 0 e ∫ z x 0 η G − 1 ( y ) d y d z (3.5) 易得 a ( x ) = G − 1 ( x ) ， b ( x ) = m p η G − 1 ( x ) 。 (3.6) 注1：当不考虑投资策略时，(3.5) (3.6)可退化为文献 [ 8 ] (4.16)的结果。 下面考虑当保险公司的盈余超过 x 0 时，即 x ∈ [ x 0 ， μ 1 ] 。这时保险公司有足够的实力进行赔付，因此可承担全部的索赔且不分红，有 a ( x ) = m ， b ( x ) = x 把 a ( x ) ， b ( x ) 代入(3.2)式中，整理得 1 2 [ σ p 2 x 2 + σ 2 + λ v ( m ) ] ω ″ ( x ) + [ λ η ( θ − η ) + λ η u ( m ) + r 1 x ] ω ′ ( x ) − C ω ( x ) = 0 (3.7) 由文献Paulsen and Gjessing (1997) [ 21 ] 知，方程(3.7)的解为 ω ( x ) = k 2 T [ H D ( x ， ρ + 1 ) + E ( x ， ρ + 1 ) ] (3.8) 其中 D ( x ， δ 1 ) = ∫ x ∞ ( t − x ) δ 1 K ( t ) d t ，   − 1 < δ 1 < 1 + 2 ρ + 2 r 1 σ p 2 ， E ( x ， δ 1 ) = ∫ − ∞ x ( t − x ) δ 1 K ( t ) d t ，   − 1 < δ 1 < 1 + 2 ρ + 2 r 1 σ p 2 ， K ( t ) = ( σ p 2 + σ 2 + v m λ ) − ( 1 + ρ + r 1 σ p 2 ) exp { − 2 u m λ θ 1 σ p v m λ + σ 2 arctan σ p t v m λ + σ 2 } ， ρ = 1 2 { ( 2 r 1 σ p 2 − 1 ) 2 + 8 c σ p 2 − ( 1 + 2 r 1 σ p 2 ) } 。 这里 k 2 是任意常数。 T = 1 ( 1 + ρ ) [ E ( u 1 ， ρ ) − H D ( u 1 ， ρ ) ] ， H = E ( x 0 ， ρ ) + ρ σ p 2 x 0 r 1 E ( x 0 ， ρ − 1 ) ， D ( x 0 ， ρ ) − ρ σ p 2 x 0 r 1 D ( x 0 ， ρ − 1 ) 。 此处 u 1 是右边方程的解。 E ( u 1 ， ρ − 1 ) D ( u 1 ， ρ − 1 ) = − H k = E ( x 0 ， ρ ) − H D ( x 0 ， ρ ) E ( u 1 ， ρ ) − H D ( u 1 ， ρ ) exp { ∫ 0 x m p b ( y ) d y } 。 注2：(3.8)是对文献 [ 18 ] 在比例再保险条件下得出的(3.24)结果的扩展深入。 当保险公司进行分红，此时由值函数的性质 ω ′ ( x ) = l 1 ，可知，存在 u 0 ∈ [ 0 ， u 1 ] ，当 x ≥ u 1 时，使值函数的表达式为 ω ( x ) = l 1 ( x − u 0 ) + ω ( u 0 ) − L 1 此时保险公司有足够的实力自留全部风险，即 a ( x ) = m ，投资策略 b ( x ) 是任意数。因此在 θ 2 ∈ ( θ 1 ， θ 1 2 m u m v m ) 条件下有拟变分不等式的解为 ω ( x ) = { k ∫ 0 x 0 e ∫ z x 0 η G − 1 ( y ) d y d z ，                                                     0 ≤ x < x 0 k 2 T [ H D ( x ， ρ + 1 ) + E ( x ， ρ + 1 ) ] ，         x 0 ≤ x < u 0 l 1 ( x − u 0 ) + ω ( u 0 ) − L 1 ，                                           x ≥ u 1 (3.9) 对应的最优分红和投资策略为 a π ( x ) = { G − 1 ( x ) ，       0 ≤ x < x 0 m ，                         x ≥ x 0 (3.10) b π ( x ) = { m p η G − 1 ( x ) ，             0 ≤ x < x 0 x ，                                       x 0 ≤ x < u 0 R ，                                             x ≥ u 1 (3.11) 这里R是任意实数。 下面讨论安全系数，分红费用因子等对最优策略的影响。 构造一个函数 Y ( x ) = ω ′ ( x ) = { exp ( − ∫ x x 0 η G − 1 ( x ) d y ) ，                           0 ≤ x < x 0 ( ρ + 1 ) T ( H D ( x ， ρ ) + E ( x ， ρ ) ) ，       x > x 0 由于积分区间和被积函数都是连续的，因此 Y ( x ) 是一个连续可微函数。已知 D ( x ， δ ) > 0 ， E ( x ， δ ) > 0 ， G ( x 0 ) = 1 < p = Y ( 0 ) < ∞ ， lim x → ∞ Y ( x ) = ∞ 。 令 P 1 ( k ) = ∫ u 0 k u 1 k ( l 1 − k Y ( y ) ) d y ， k ∈ [ l 1 p ， l 1 ] 。当 0 < L 1 < P 1 ( l 1 p ) 时，令 0 < u 0 k < x 0 < u 1 k ， k Y ( u 0 k ) = k Y ( u 1 k ) = l 1 。 k = l 1 p ， u 0 k = 0 ； k = l 1 ， u 0 k = u 1 k = x 0 。 P 1 ( k ) 在区间 [ l 1 p ， l 1 ] 上严格递减。 max P 1 ( l 1 p ) ， min P 1 ( l 1 ) = 0 。则 ∃ k 1 * ∈ ( l 1 p ， l 1 ) ， P 1 ( k 1 * ) = ∫ u 0 k ∗ u 1 k ∗ ( l 1 − k Y ( y ) ) d y = L 1 。令 k = k 1 * ， u 0 = u 0 k 1 * > 0 ， u 1 = u 1 k 1 * > 0 。可得 ω ( x ) 满足(3.3)。 当 x ≥ u 1 k 1 * 时，进入分红模式，此时有 M ω ( x ) − ω ( x ) = max { ω ( x − ξ ) + l 1 ξ − L 1 } − ω ( x ) = ∫ u 0 k * u 1 k * ( l 1 − ω ′ ( x ) ) d x − L 1 = 0 因此，(3.4)成立。当 L 1 ≥ P 1 ( l 1 p ) 时同理可证 ω ( x ) 满足拟变分不等式。 二、当 θ 2 ∈ ( θ 1 2 m u m v m ， ∞ ) 时 假设 ω 1 ( x ) 是值函数的解并令 z 1 为分红点，由边界条件我们可以把区间分为两部分 ∃ z 1 ，当 x < z 1 时，不考虑分红， ℵ 3 = { ( x < z 1 ) : M ω 1 ( x ) < ω 1 ( x ) ; ω 1 ( 0 ) = 0 ; max ( a ， b ) ∈ l A ( a ， b ) ω 1 ( x ) = 0 } 。 (3.12) 当 x ≥ z 1 时，开始分红 ℵ 4 = { ( x ≥ z 1 ) : max ( a ， b ) ∈ l A ( a ， b ) ω 1 ( x ) < 0 ; ω 1 ( 0 ) = 0 ; M ω 1 ( x ) = ω 1 ( x ) } 。 (3.13) 对任意的 z 1 > x > 0 ，当 θ 2 > θ 1 2 m u m v m 时，保险公司不再购买再保险，即 a ( x ) ≡ m 。 由(3.8)知， ω 1 ( x ) = k ˜ T [ H D ( x ， ρ + 1 ) + E ( x ， ρ + 1 ) ] 当 x ≥ z 1 时，存在 z 0 ∈ ( 0 ， z 2 ) 使得 ω 1 ( x ) = l 1 ( x − z 0 ) + ω ( z 0 ) − L 1 这里最优再保险策略和投资策略为 a π ( x ) = m (3.14) b π ( x ) = { x ，     0 ≤ x < z 1 R ，       x ≥ z 1 (3.15) 这里R是任意实数。值函数最优解的计算过程与 θ 2 ∈ ( θ 1 ， θ 1 2 m u m v m ) 时类似，此处不再重复。