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user: 3. Hopf分支的方向与稳定性 我们已经证明了Hopf分支的存在。接下来，我们由文献 [ 15 ] 和 [ 16 ] 中的Hopf分支定理，利用中心流形定理和规范型理论给出确定Hopf分支的方向和周期解的稳定性的计算公式。 令 m ( t ) = x ( τ t − x ˜ ) ， n ( t ) = y ( τ t ) ，则有： m ′ ( t ) = τ [ − δ 1 m ( t ) + ( δ 1 − q 1 δ 1 x ˜ ) m ( t − 1 ) − q 1 δ 1 x ˜ n ( t − 1 ) + ( δ 1 x ˜ q 1 2 2 − δ 1 q 1 ) m 2 ( t − 1 ) + δ 1 x ˜ q 1 2 2 n 2 ( t − 1 ) + ( δ 1 x ˜ q 1 2 − δ 1 q 1 ) m ( t − 1 ) n ( t − 1 ) + o ( ρ ) ] n ′ ( t ) = τ [ − δ 2 n ( t ) + p 2 e − δ 2 τ n 2 ( t − 1 ) m ( t − 1 ) + n ( t − 1 ) + x ˜ − p 2 e − δ 2 τ ( e − q 2 x ˜ − 1 ) x ˜ n 2 ( t − 1 ) + o ( ρ ) ] 其中， o ( ρ ) = m 2 ( t − 1 ) + n 2 ( t − 1 ) 。 系统(2)可以写成： ( m ′ ( t ) n ′ ( t ) ) = τ A 1 ( m ( t ) n ( t ) ) + τ B ( m ( t − 1 ) n ( t − 1 ) ) + F ( m t ， n t ， τ ) (14) 其中， A 1 = ( − δ 1 0 0 − δ 2 ) ， B = ( δ 1 − q 1 δ 1 x ˜ − q 1 δ 1 x ˜ 0 0 ) ， F = ( τ K 1 τ K 2 ) ， K 1 = ( δ 1 x ˜ q 1 2 2 − δ 1 q 1 ) m 2 ( t − 1 ) + δ 1 x ˜ q 1 2 2 n 2 ( t − 1 ) + ( δ 1 x ˜ q 1 2 − δ 1 q 1 ) m ( t − 1 ) n ( t − 1 ) + o ( ρ ) K 2 = p 2 e − δ 2 τ n 2 ( t − 1 ) m ( t − 1 ) + n ( t − 1 ) + x ˜ − p 2 e − δ 2 τ ( e − q 2 x ˜ − 1 ) x ˜ n 2 ( t − 1 ) + o ( ρ ) 为了简便，设 τ = τ ^ 时系统在 E ˜ 1 处产生Hopf分支， ± i ω ^ 是其对应的纯虚根。令 τ = τ ^ + μ ，则 μ = 0 是系统的Hopf分支值。 记 C k [ − 1 ， 0 ] = { ϕ | ϕ = ( ϕ 1 ， ϕ 2 ) : [ − 1 ， 0 ] → ​ R 2 } ，其中 ϕ 1 ， ϕ 2 在 [ − 1 ， 0 ] 上 k 次连续可微。 记 C [ − 1 ， 0 ] ： = C 0 [ − 1 ， 0 ] ，对 ϕ = ( ϕ 1 ， ϕ 2 ) Τ ∈ C [ − 1 ， 0 ] 。定义 L μ : C [ − 1 ， 0 ] → ​ R 2 为： L μ ϕ = ( τ ^ + μ ) A 1 ϕ ( 0 ) + ( τ ^ + μ ) B ϕ ( − 1 ) 由Riesz表示定理，存在有界变差二阶函数矩阵 η ( θ ， μ ) : [ − 1 ， 0 ] → ​ R 2 × 2 ， θ ∈ [ − 1 ， 0 ] 。使得： L μ ϕ = ∫ − 1 0 d η ( θ ， μ ) ϕ ( θ ) ， ϕ ∈ C 选取 η ( θ ， μ ) = ( τ ^ + μ ) A 1 δ ( θ ) − ( τ ^ + μ ) B δ ( θ + 1 ) ，其中 δ ( θ ) = { 1 ， θ = 0 0 ， θ ≠ 0 对于 ϕ ∈ C 1 ( [ − 1 ， 0 ] ， R 2 ) ，定义 A ( μ ) ϕ = { d ϕ ( θ ) d θ ， θ ∈ [ − 1 ， 0 ) ∫ − 1 0 d η ( t ， μ ) ϕ ( t ) ， θ = 0 R ( μ ) ϕ = { 0 ， θ ∈ [ − 1 ， 0 ) F ( ϕ ， τ ^ + μ ) ， θ = 0 则(14)可以等价的表示成： v ′ t = A ( μ ) v t + R ( μ ) v t ， (15) 其中 v t = ( x t ， y t ) Τ ， v t ( θ ) = v ( t + θ ) ， θ ∈ [ − 1 ， 0 ) 。 对于 φ ∈ C 1 ( [ 0 ， 1 ] ， ( C 2 ) * ) ，其中 ( C 2 ) * 是2维复行向量空间，定义 A * φ ( s ) = { − d φ ( s ) d s ， s ∈ ( 0 ， 1 ] ∫ − 1 0 d η ( t ， 0 ) φ ( − t ) ， s = 0 进一步，对于 ϕ ∈ C 1 ( [ − 1 ， 0 ] ， R 2 ) ， φ ∈ C 1 ( [ 0 ， 1 ] ， ( C 2 ) * ) ，定义双线性形式如下： 〈 φ ， ϕ 〉 = φ ¯ ( 0 ) ϕ ( 0 ) − ∫ − 1 0 ∫ ξ = 0 θ φ ¯ ( ξ − θ ) d η ( θ ， 0 ) ϕ ( ξ ) d ξ 那么 A * 与 A ( 0 ) 是伴随算子，使得 〈 φ ， A ϕ 〉 = 〈 A * φ ， ϕ 〉 。令 q ( θ ) 和 q * ( s ) 是 A 和 A * 对应特征值 i ω ^ τ ^ 和 − i ω ^ τ ^ 的特征向量，经过计算，我们得到下面的结果。 引理1：向量 q ( θ ) = ( 1 ， α 1 ) Τ e i ω ^ τ ^ θ 为算子 A 关于特征值 i ω ^ τ ^ 的特征向量， q * ( s ) = D ¯ ( 1 ， α 2 ) Τ e i ω ^ τ ^ s 为算子 A * 关于特征值 − i ω ^ τ ^ 的特征向量，并且 〈 q * ， q 〉 = 1 ， 〈 q * ， q ¯ 〉 = 0 ，其中， α 1 = − δ 1 − i ω ^ + ( δ 1 − q 1 δ 1 x ˜ ) e − i ω ^ τ ^ q 1 δ 1 x ˜ e − i ω ^ τ ^ ， α 2 = q 1 δ 1 x ˜ e i ω ^ τ ^ i ω ^ − δ 2 ， D = 1 1 + α 1 α ¯ 2 + τ ^ e − i ω ^ τ ^ ( δ 1 − q 1 δ 1 x ˜ − q 1 δ 1 x ˜ α 1 ) 。 证明：设算子 A 关于特征值 i ω ^ τ ^ 的特征向量为 q ( θ ) = ( 1 ， α 1 ) Τ e i ω ^ τ ^ θ ，故由 A q ( 0 ) = i ω ^ τ ^ q ( 0 ) ， α 1 满足 τ ^ A 1 ( 1 α 1 ) + τ ^ B ( 1 α 1 ) e − i ω ^ τ ^ = i ω ^ τ ^ ( 1 α 1 ) 通过计算得到 α 1 = − δ 1 − i ω ^ + ( δ 1 − q 1 δ 1 x ˜ ) e − i ω ^ τ ^ q 1 δ 1 x ˜ e − i ω ^ τ ^ 。同理可设算子 A * 关于特征值 − i ω ^ τ ^ 的特征向量为 q * ( s ) = D ¯ ( 1 ， α 2 ) Τ e i ω ^ τ ^ s ，由 A * q * ( 0 ) = − i ω ^ τ ^ q * ( 0 ) ，得到 α 2 = q 1 δ 1 x ˜ e i ω ^ τ ^ i ω ^ − δ 2 。 因为 〈 q * ， q 〉 = q ¯ * ( 0 ) q ( 0 ) − ∫ − 1 0 ∫ ξ = 0 θ q ¯ * ( ξ − θ ) d η ( θ ， 0 ) q ( ξ ) d ξ = D ( 1 + α 1 α ¯ 2 ) − ∫ − 1 0 ∫ ξ = 0 θ D ( 1 ， α ¯ 2 ) e − i ω ^ τ ^ ( ξ − θ ) d η ( θ ， 0 ) ( 1 ， α ¯ 1 ) Τ e i ω ^ τ ^ ξ d ξ = D ( 1 + α 1 α ¯ 2 ) − D ( 1 ， α ¯ 2 ) ∫ − 1 0 d η ( θ ， 0 ) θ e i ω ^ τ ^ θ ( 1 ， α ¯ 1 ) Τ = D ( 1 + α 1 α ¯ 2 ) − D ( 1 ， α ¯ 2 ) [ τ ^ B ( − 1 ) e − i ω ^ τ ^ ( 1 ， α ¯ 1 ) Τ ] = D ( 1 + α 1 α ¯ 2 ) + D τ ^ e − i ω ^ τ ^ ( δ 1 − q 1 δ 1 x ˜ − q 1 δ 1 x ˜ α 1 ) = D [ 1 + α 1 α ¯ 2 + τ ^ e − i ω ^ τ ^ ( δ 1 − q 1 δ 1 x ˜ − q 1 δ 1 x ˜ α 1 ) ] 要使得 〈 q * ， q 〉 = 1 ，只需要取 D = 1 1 + α 1 α ¯ 2 + τ ^ e − i ω ^ τ ^ ( δ 1 − q 1 δ 1 x ˜ − q 1 δ 1 x ˜ α 1 ) 即可。文献已证得 〈 q * ， q ¯ 〉 = 0 。 下面运用文献 [ 15 ] 中的方法，计算在 μ = 0 时系统在中心流形 C 0 的坐标。令 v t = ( m t ， n t ) Τ 为(14)在 τ = τ ^ 时的解，定义 z ( t ) = 〈 q * ， v t 〉 ， W ( t ， θ ) = v t ( θ ) − 2 Re { z ( t ) q ( θ ) } ， (16) 在中心流形 C 0 上，有 W ( t ， θ ) = W ( z ( t ) ， z ¯ ( t ) ， θ ) ，其中 W ( z ( t ) ， z ¯ ( t ) ， θ ) = W 20 ( θ ) z 2 2 + W 11 ( θ ) z z ¯ + W 02 ( θ ) z ¯ 2 2 + W 30 ( θ ) z 3 6 + ⋯ z 和 z ¯ 是中心流形 C 0 在 q * 和 q ¯ * 方向上的局部坐标，分析在中心流形 C 0 上抽象方程(15)的解 v t 可得 z ′ ( t ) = i ω ^ τ ^ z ( t ) + 〈 q * ( s ) ， F ( W ( t ， ⋅ ) + 2 Re { z ( t ) q ( θ ) } ) 〉 = i ω ^ τ ^ z ( t ) + q ¯ * ( 0 ) F ( W ( z ， z ¯ ， 0 ) + 2 Re { z ( t ) q ( θ ) } ) : = i ω ^ τ ^ z ( t ) + q ¯ * ( 0 ) F 0 ( z ， z ¯ ) 将上式重新表示为 z ′ ( t ) = i ω ^ τ ^ z ( t ) + g ( z ， z ¯ ) ，(17) 其中 g ( z ， z ¯ ) = q ¯ * ( 0 ) F 0 ( z ， z ¯ ) = g 20 z 2 2 + g 11 z z ¯ + g 02 z ¯ 2 2 + g 21 z 2 z ¯ 2 + ⋯ ， (18) 从(15)和(17)中，我们得到 W ′ = v ′ t − z ′ q − z ¯ ′ q = { A W − 2 Re { q ¯ * ( 0 ) F 0 q ( θ ) } ， θ ∈ [ − 1 ， 0 ) A W − 2 Re { q ¯ * ( 0 ) F 0 q ( θ ) + F 0 } ， θ = 0 : = A W + H ( z ， z ¯ ， θ ) 其中 H ( z ， z ¯ ， θ ) = H 20 z 2 2 + H 11 z z ¯ + H 02 z ¯ 2 2 + ⋯ ， (19) 展开上述级数并对比相应系数，我们得到 ( A − 2 i ω ^ τ ^ ) W 20 ( θ ) = − H 20 ( θ ) ， A W 11 ( θ ) = − H 11 ( θ ) ， ( A + 2 i ω ^ τ ^ ) W 02 ( θ ) = − H 02 ( θ ) ，... (20) 由(16)式有 v t ( θ ) = W ( t ， θ ) + 2 Re { z ( t ) q ( θ ) } = z ( t ) q ( θ ) + z ¯ ( t ) q ¯ ( θ ) + W 20 z 2 2 + W 11 z z ¯ + W 02 z ¯ 2 2 + ⋯ 从而有 q ¯ * ( 0 ) = D ( 1 ， α ¯ 2 ) ， m ( t ) = z + z ¯ + W 20 ( 1 ) ( 0 ) z 2 2 + W 11 ( 1 ) ( 0 ) z z ¯ + W 02 ( 1 ) ( 0 ) z ¯ 2 2 + ⋯ ， n ( t ) = z α 1 + z ¯ α ¯ 1 + W 20 ( 2 ) ( 0 ) z 2 2 + W 11 ( 2 ) ( 0 ) z z ¯ + W 02 ( 2 ) ( 0 ) z ¯ 2 2 + ⋯ ， m ( t − 1 ) = z e − i ω ^ τ ^ + z ¯ e i ω ^ τ ^ + W 20 ( 1 ) ( − 1 ) z 2 2 + W 11 ( 1 ) ( − 1 ) z z ¯ + W 02 ( 1 ) ( − 1 ) z ¯ 2 2 + ⋯ ， n ( t − 1 ) = z α 1 e − i ω ^ τ ^ + z ¯ α ¯ 1 e i ω ^ τ ^ + W 20 ( 2 ) ( − 1 ) z 2 2 + W 11 ( 2 ) ( − 1 ) z z ¯ + W 02 ( 2 ) ( − 1 ) z ¯ 2 2 + ⋯ ， F 0 = ( τ ^ [ ( δ 1 x ˜ q 1 2 2 − δ 1 q 1 ) m 2 ( t − 1 ) + δ 1 x ˜ q 1 2 2 n 2 ( t − 1 ) + ( δ 1 x ˜ q 1 2 − δ 1 q 1 ) m ( t − 1 ) n ( t − 1 ) + o ( ρ ) ] τ ^ [ p 2 e − δ 2 τ n 2 ( t − 1 ) m ( t − 1 ) + n ( t − 1 ) + x ˜ − p 2 e − δ 2 τ ( e − q 2 x ˜ − 1 ) x ˜ n 2 ( t − 1 ) + o ( ρ ) ] ) 与(18)对比系数得到： g 20 2 = [ ( δ 1 x ˜ q 1 2 2 − δ 1 q 1 ) + α 1 ( δ 1 x ˜ q 1 2 − δ 1 q 1 ) + α 1 2 δ 1 x ˜ q 1 2 2 + α ¯ 2 α 1 2 p 2 e − δ 2 τ ( e − q 2 x ˜ − 1 ) x ˜ ] e − 2 i ω ^ τ ^ D τ ^ g 11 = [ ( δ 1 x ˜ q 1 2 − 2 δ 1 q 1 ) + α 1 α ¯ 1 δ 1 x ˜ q 1 2 + ( α 1 + α ¯ 1 ) ( δ 1 x ˜ q 1 2 − δ 1 q 1 ) + 2 α 1 α ¯ 1 α ¯ 2 p 2 e − δ 2 τ ( e − q 2 x ˜ − 1 ) x ˜ ] D τ ^ g 02 2 = [ ( δ 1 x ˜ q 1 2 2 − δ 1 q 1 ) + α ¯ 1 ( δ 1 x ˜ q 1 2 − δ 1 q 1 ) + α ¯ 1 2 δ 1 x ˜ q 1 2 2 + α ¯ 2 α ¯ 1 2 p 2 e − δ 2 τ ( e − q 2 x ˜ − 1 ) x ˜ ] e 2 i ω ^ τ ^ D τ ^ g 21 2 = [ ( δ 1 x ˜ q 1 2 2 − δ 1 q 1 ) ( 2 e − i ω ^ τ ^ W 11 ( 1 ) ( − 1 ) + e i ω ^ τ ^ W 20 ( 1 ) ( − 1 ) ) + δ 1 x ˜ q 1 2 2 ( 2 α 1 e − i ω ^ τ ^ W 11 ( 2 ) ( − 1 ) + α ¯ 1 e i ω ^ τ ^ W 20 ( 2 ) ( − 1 ) ) + ( δ 1 x ˜ q 1 2 2 − δ 1 q 1 ) ( e − i ω ^ τ ^ W 11 ( 2 ) ( − 1 ) + 1 2 e i ω ^ τ ^ W 20 ( 2 ) ( − 1 ) + 1 2 α ¯ 1 e i ω ^ τ ^ W 20 ( 1 ) ( − 1 ) + α 1 e − i ω ^ τ ^ W 11 ( 1 ) ( − 1 ) ) + α ¯ 2 p 2 e − δ 2 τ ( e − q 2 x ˜ − 1 ) x ˜ ( 2 α 1 e − i ω ^ τ ^ W 11 ( 2 ) ( − 1 ) + α ¯ 1 e i ω ^ τ ^ W 20 ( 2 ) ( − 1 ) ) ] D τ ^ 接下来要计算 g 21 的值，还需要计算 W 20 ( θ ) 和 W 11 ( θ ) 的值。对于 θ ∈ [ − 1 ， 0 ) ，有 H ( z ， z ¯ ， θ ) = − 2 Re { z ¯ * ( 0 ) F 0 q ( θ ) } = − g q ( θ ) − g ¯ q ¯ ( θ ) = − ( g 20 z 2 2 + g 11 z z ¯ + g 02 z ¯ 2 2 + ⋯ ) q ( θ ) − ( g ¯ 20 z ¯ 2 2 + g 11 z z ¯ + g ¯ 02 z 2 2 + ⋯ ) q ¯ ( θ ) 与(19)对比相应系数，得到 H 20 ( θ ) = − g 20 q ( θ ) − g ¯ 02 q ¯ ( θ ) ， H 11 ( θ ) = − g 11 q ( θ ) − g ¯ 11 q ¯ ( θ ) 由(20)与 A 的定义有 W ′ 20 = 2 i ω ^ τ ^ W 20 ( θ ) + g 20 q ( 0 ) e i ω ^ τ ^ θ + g ¯ 02 q ¯ ( 0 ) e − i ω ^ τ ^ θ 由常数变易法，解得 W 20 ( θ ) = e ∫ 2 i ω ^ τ ^ θ ( ∫ ( g 20 q ( θ ) + g ¯ 02 q ¯ ( θ ) ) e − ∫ 2 i ω ^ τ ^ θ d θ + E 1 ) = i g 20 q ( 0 ) e i ω ^ τ ^ θ ω ^ τ ^ + i g ¯ 02 q ¯ ( 0 ) e − i ω ^ τ ^ θ 3 ω ^ τ ^ + E 1 e 2 i ω ^ τ ^ θ (21) 同理有 W 11 ( θ ) = − i g 11 q ( 0 ) e i ω ^ τ ^ θ ω ^ τ ^ + i g ¯ 11 q ¯ ( 0 ) e − i ω ^ τ ^ θ ω ^ τ ^ + E 2 (22) 其中 E 1 ， E 2 是二维向量，它们的值可以通过 θ = 0 时 H 的值来确定。当 θ = 0 时，有 H ( z ， z ¯ ， 0 ) = − 2 Re { z ¯ * ( 0 ) F 0 q ( 0 ) } + F 0 因此 H 20 ( 0 ) = − g 20 q ( 0 ) − g ¯ 02 q ¯ ( 0 ) + 2 τ ^ ( [ δ 1 x ˜ q 1 2 2 − δ 1 q 1 + δ 1 x ˜ q 1 2 2 α 1 2 + α 1 ( δ 1 x ˜ q 1 2 − δ 1 q 1 ) ] e − 2 i ω ^ τ ^ p 2 e − δ 2 τ ( e − q 2 x ˜ − 1 ) x ˜ α 1 2 e − 2 i ω ^ τ ^ ) H 11 ( 0 ) = − g 11 q ( 0 ) − g ¯ 11 q ¯ ( 0 ) + τ ^ ( δ 1 x ˜ q 1 2 − 2 δ 1 q 1 + δ 1 x ˜ q 1 2 α 1 α ¯ 1 + ( δ 1 x ˜ q 1 2 − δ 1 q 1 ) ( α 1 + α ¯ 1 ) 2 p 2 e − δ 2 τ ( e − q 2 x ˜ − 1 ) x ˜ α 1 α ¯ 1 ) 从(20)和 A 的定义可得 τ ^ A 1 W 20 ( 0 ) + τ ^ B W 20 ( − 1 ) = 2 i ω ^ τ ^ W 20 ( 0 ) − H 20 ( 0 ) τ ^ A 1 W 11 ( 0 ) + τ ^ B W 11 ( − 1 ) = − H 11 ( 0 ) 将(21)和(22)带入上面两个方程，可以分别得到 E 1 = − 1 τ ^ ( A 1 + B e − 2 i ω ^ τ ^ − 2 i ω ^ I ) − 1 [ H 20 ( 0 ) + i ω ^ g 20 A 1 q ( 0 ) + i 3 ω ^ g ¯ 02 A 1 q ¯ ( 0 ) + i ω ^ g 20 e − i ω ^ τ ^ B q ( 0 ) + i 3 ω ^ g ¯ 02 e i ω ^ τ ^ B q ¯ ( 0 ) + 2 g 20 q ( 0 ) + 2 3 g ¯ 02 q ¯ ( 0 ) ] E 2 = − 1 τ ^ ( A 1 + B ) − 1 [ H 11 ( 0 ) + 2 ω ^ A 1 Im ( g 11 q ( 0 ) ) + 2 ω ^ B Im ( g 11 q ( 0 ) ) e − i ω ^ τ ^ ] 其中， I 是三阶单位矩阵，从而可以求出 g 21 的值，下面式子的值也可以通过计算得到： C 1 ( 0 ) = i 2 ω ^ τ ^ ( g 20 g 11 − 2 | g 11 | 2 − | g 02 | 2 3 ) + g 21 2 μ 2 = − Re ( C 1 ( 0 ) ) Re λ ′ ( τ ^ ) β 2 = 2 Re ( C 1 ( 0 ) ) 定理4：分支方向由 μ 2 决定，分支周期解的稳定性由 β 2 决定，具体有： (1) 如果 μ 2 > 0 ( μ 2 < 0 )，则系统的Hopf分支是上临界(下临界)的。 (2) 如果 β 2 < 0 ( β 2 > 0 )，则分支周期解是稳定(不稳定)的。