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user: 3. 定理2.1的证明 首先有下述结论，若 Η ( Φ ) ≠ ∅ ，则有 # Ω Φ ≥ 2 。事实上，若 Η ( Φ ) ≠ ∅ ，取 x ∈ Η ( Φ ) ，令 α ¯ = lim sup n → ∞ ϕ n ( x ) n ， α _ = lim inf n → ∞ ϕ n ( x ) n ， ε = 1 6 ( α ¯ − α _ ) ，则 ε > 0 ，由渐进可加势定义，存在连续函数h和正整数K，使得对任意给定的 n > K ，任意给定的 x ∈ X ，有 1 n | ϕ n ( x ) − S n h ( x ) | < ε ， 存在自然数的子列 { n k } k = 1 ∞ ，使得 α ¯ = lim k → ∞ ϕ n k ( x ) n k ，不妨设 lim k → ∞ A n k h ( x ) 存在，否则用上极限代替。令 M ( X ) 为X上概率测度全体，因 M ( X ) 在弱星拓扑下是紧的，取 μ 为概率测度序列 { 1 n k ∑ i = 0 n k − 1 δ T i x } k = 1 ∞ 的聚点，其中 δ x 为Dirac测度，易证 μ ∈ M ( X ， T ) 。则有 α ¯ ≤ ∫ X h d μ + ε ≤ lim n → ∞ 1 n ∫ X ϕ n d μ + 2 ε = Φ * ( μ ) + 2 ε . 同理可证，存在 ν ∈ M ( X ， T ) ，使得 Φ * ( ν ) ≤ α _ + 2 ε 。故有 Φ * ( ν ) ≤ α _ + 2 ε < α ¯ − 2 ε ≤ Φ * ( μ ) ，即 Φ * ( ν ) ≠ Φ * ( μ ) . 令 Φ ^ = Φ ∘ Π ，易证 Ω Φ = Ω Φ ^ 且 Η ( Φ ) = Π Η ( Φ ^ ) 。则定理1是下述引理的直接推论。 引理3.1：对任意给定的σ-不变测度 μ 和 ν 满足 λ ( μ ， σ ) > 0 ， λ ( ν ， σ ) > 0 ，且 Φ ^ * ( μ ) ≠ Φ ^ * ( ν ) ，则有下式成立 dim H Η ( Φ ) ≥ min { h ( μ ， σ ) λ ( μ ， σ ) ， h ( ν ， σ ) λ ( ν ， σ ) } . 因T是 C 1 + γ 连续，由文献 [ 16 ] 的定理4.6可知， dim H Λ = sup μ ∈ M ( Σ ， σ ) { h ( μ ， σ ) λ ( μ ， σ ) | λ ( μ ， σ ) > 0 } . 故对任意给定的 ε > 0 ，都存在σ-不变测度 μ ，满足 h ( μ ， σ ) / λ ( μ ， σ ) ≥ dim H Λ − ε 。记 α = Φ ^ * ( μ ) ，因 # Ω Φ ≥ 2 ，故存在σ-不变测度 ν 满足 Φ ^ * ( ν ) = β ≠ α 。对 0 < s < 1 ，令 μ s = s μ + ( 1 − s ) ν ，则 Φ ^ * ( μ s ) ≠ α 。 由引理5，对所有 0 < s < 1 ，下式成立， dim H Η ( Φ ) ≥ min { h ( μ ， σ ) λ ( μ ， σ ) ， h ( μ s ， σ ) λ ( μ s ， σ ) }                               = min { h ( μ ， σ ) λ ( μ ， σ ) ， s h ( μ ， σ ) + ( 1 − s ) h ( ν ， σ ) s λ ( μ ， σ ) + ( 1 − s ) λ ( ν ， σ ) } . 令 s → 1 ，可得由 ε 的任意性，定理1得证。下面证明引理4。 引理3.1的证明融合了文献 [ 6 ] 中构造Moran集和文献 [ 18 ] 中拼接n级Bernoulli测度的方法。证明思路是在“历史集” Η ( Φ ^ ) 中构造一个Moran集M，使得渐进可加势的均值在Moran集的奇数层逼近 α ，偶数层逼近 β ，而且Moran集M的投影 Π M 的Hausdorff维数满足 dim H Π M ≥ min { h ( μ ， σ ) λ ( μ ， σ ) ， h ( ν ， σ ) λ ( ν ， σ ) } . 为清晰起见，证明分以下6步： 步一：在奇数层构造Moran块 由引理2.1的结论，可以取到递减到0的序列 ( ε i ) i ≥ 1 且满足对所有的 n ≥ 2 i − 1 ，有下列结论， { var n A n g < ε 2 i − 1 ， max ω ∈ Σ | λ ^ n ( ω ) − A n g ( ω ) | < ε 2 i − 1 . (1) 由引理2.2和引理2.3，可以选择一列σ-不变的遍历测度 ( μ 2 i − 1 ) i ≥ 1 ，使得下式成立， { | h ( μ 2 i − 1 ， σ ) − h ( μ ， σ ) | < ε 2 i − 1 ， | Φ ^ * ( μ 2 i − 1 ) − α | < ε 2 i − 1 ， | λ ( μ 2 i − 1 ， σ ) − λ ( μ ， σ ) | < ε 2 i − 1 . (2) 记 α 2 i − 1 = Φ ^ * ( μ 2 i − 1 ) ，注意到 μ 2 i − 1 的遍历性，由Birkhoff遍历定理和Shanon-Mcmillan-Breiman定理，对 μ 2 i − 1 a。e。的 ω ∈ Σ ，有下式成立， { ϕ ^ n ( ω ) n → α ， A n g ( ω ) → λ ( μ 2 i − 1 ， σ ) ， − log μ 2 i − 1 ( [ ω | n ] ) n → h ( μ 2 i − 1 ， σ ) . (3) 对任意给定的 δ > 0 ，由Egoroff定理，存在 Ω ′ ( 2 i − 1 ) ⊂ Σ 满足 μ 2 i − 1 ( Ω ′ ( 2 i − 1 ) ) > 1 − δ 且式(3)在 Ω ′ ( 2 i − 1 ) 上一致成立。故存在 l 2 i − 1 ≥ 2 i − 1 ，使得对一切 n ≥ l 2 i - 1 和 ω ∈ Ω ′ ( 2 i − 1 ) ，有下式成立， { | 1 n ϕ ^ n ( ω ) − α 2 i − 1 | < ε 2 i − 1 ， | A n g ( ω ) − λ ( μ 2 i − 1 ， σ ) | < ε 2 i − 1 ， | − log μ 2 i − 1 ( [ ω | n ] ) n − h ( μ 2 i − 1 ， σ ) | < ε 2 i − 1 . (4) 令 Σ ( 2 i − 1 ) = { ω | l 2 i − 1 | ω ∈ Ω ′ ( 2 i − 1 ) } ，称 为(2i-1)-级Moran块， Σ ( 2 i − 1 ) 是构造Moran集的基本模块。再令 Ω ( 2 i − 1 ) = ∪ ω ∈ Σ ( 2 i − 1 ) [ ω ] ， 则有 μ 2 i − 1 ( Ω ( 2 i − 1 ) ) ≥ μ 2 i − 1 ( Ω ′ ( 2 i − 1 ) )                                           ≥ 1 − δ . 步二：在偶数层构造Moran块 此步完全类似于步一，为方便读者，给出完整步骤。对一切 n ≥ 2 i ，有下式成立， { var n A n g < ε 2 i ， max ω ∈ Σ | λ ^ n ( ω ) − A n g ( ω ) | < ε 2 i . (5) 由引理2.2和引理 2.3，可选择一列σ-不变的遍历测度 ( ν 2 i ) i ≥ 1 ，使得下式成立， { | h ( ν 2 i ， σ ) − h ( ν ， σ ) | < ε 2 i ， | Φ ^ * ( ν 2 i ) − β | < ε 2 i ， | λ ( ν 2 i ， σ ) − λ ( ν ， σ ) | < ε 2 i . (6) 记 Φ ^ * ( ν 2 i ) = β 2 i ，由 ν 2 i 的遍历性可知，对 ν 2 i a..e.的 ω ∈ Σ 有下列结果， { ϕ ^ n ( ω ) n → β 2 i ， A n g ( ω ) → λ ( ν 2 i ， σ ) ， − log ν 2 i ( [ ω | n ] ) n → h ( ν 2 i ， σ ) . (7) 对任意给定的 δ > 0 ，存在 Ω ′ ( 2 i ) ⊂ Σ 满足 ν 2 i ( Ω ′ ( 2 i ) ) > 1 − δ ，而且存在 l 2 i ≥ 2 i ，使得对一切 n ≥ l 2 i 和 ω ∈ Ω ′ ( 2 i ) ，有下述结论， { | 1 n ϕ ^ n ( ω ) − β 2 i | < ε 2 i ， | A n g ( ω ) − λ ( ν 2 i ， σ ) | < ε 2 i ， | − log ν 2 i ( [ ω | n ] ) n − h ( ν 2 i ， σ ) | < ε 2 i . (8) 令 Σ ( 2 i ) = { ω | l 2 i | ω ∈ Ω ′ ( 2 i ) } ， Ω ( 2 i ) = ∪ w ∈ Σ ( 2 i ) [ w ] 则有 ν 2 i ( Ω ( 2 i ) ) ≥ ν 2 i ( Ω ′ ( 2 i ) ) ≥ 1 − δ 。式(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，(6)，(7)，(8)在下面的证明中是必要的，第4步中证明Moran集在编码映射 Π 下的投影含于“历史集” Η ( Φ ) 和第6步中估计Moran测度的Hausdorff维数下界时将要用到这些式子。 步三：拼接Moran集 取 N 0 = 1 ，对 i ≥ 1 ，令 N i = 2 l i + 2 + N i − 1 。 N i 是在第i层把Moran块重复拼砌的次数。令Moran集M为下述集合， Σ ( 1 ) ⋯ Σ ( 1 ) ︹ N 1 ⋯ Σ ( i ) ⋯ Σ ( i ) ︹ N i ⋯ . N i 的选择在估计Moran集的Hausdorff维数时是至关重要的。 步四：Moran集包含在“历史集”中 本步证明Moran集M的投影 Π M 落在“历史集” Η ( Φ ) 中。 对 j ≥ 1 ，令 n j = ∑ i = 1 j l i N i ，固定 ω ∈ M ，注意到 lim j → ∞ l 2 N 2 + l 4 N 4 + ⋯ + l 2 j N 2 j n 2 j + 1 = 0 . 利用式(1)，(2)，(4)，(5)，(6)，(8)，直接计算可得下面结论， lim j → ∞ ϕ ^ n 2 j + 1 ( ω ) n 2 j + 1 = α ， lim j → ∞ ϕ ^ n 2 j ( ω ) n 2 j = β 这表明 Π M ⊂ Η ( Φ ) 。 步五：构造Moran测度 为简单起见，把Moran块 Σ ( i ) 重新编号，构造测度 η ，称 η 为Moran测度，同时得到两个重要的关系式(9)，(10)，这两个式子在第六步中估计Moran测度 η 的Hausdorff维数时是必要的。 为便于计算，当i为奇数时，令 η i = μ i ，当i为偶数时，令 η i = ν i 。把如下整数序列 l 1 ⋯ l 1 ︹ N 1 ⋯ l i ⋯ l i ︹ N i ⋯ 重新记为 ( l i * ) i ≥ 1 。把如下Moran块序列 Σ ( 1 ) ⋯ Σ ( 1 ) ︹ N 1 ⋯ Σ ( i ) ⋯ Σ ( i ) ︹ N i ⋯ 重新记为 { Σ * ( i ) | i ≥ 1 } 。同样地，可得到如下序列 { Ω ′ * ( i ) | i ≥ 1 } ， { Ω * ( i ) | i ≥ 1 } ， { η i * | i ≥ 1 } ， { ε i * | i ≥ 1 } 。 对任意给定的 n ≥ 1 ，存在唯一正整数 J ( n ) ，使得 ∑ i = 1 J ( n ) l i * ≤ n < ∑ i = 1 J ( n ) + 1 l i * ; 同样存在唯一正整数 r ( n ) ，使得 ∑ i = 1 r ( n ) N i ≤ J ( n ) < ∑ i = 1 r ( n ) + 1 N i . 这里， J ( n ) 表示n在序列 ( l i * ) i ≥ 1 中位于哪一层， r ( n ) 表示 在序列 ( N i ) i ≥ 1 中位于哪一层，同时 r ( n ) 也表明n位于Moran集M的第 r ( n ) 层和第 r ( n ) + 1 层之间。由 J ( n ) 的定义，可知下式成立， J ( n ) ≤ J ( n + 1 ) ≤ J ( n ) + 1 ， l J ( n ) + 1 * = l r ( n ) + 1 且 l J ( n ) + 2 * ≤ l r ( n ) + 2 9) 对 j = 1 ， 2 ，有 l J ( n ) + j * ∑ i = 1 J ( n ) l i * ≤ l r ( n ) + j N r ( n ) l r ( n ) ， 注意到对 i ≥ 1 ， N i = 2 l i + 2 + N i − 1 ，可知下式成立， l J ( n ) + j * ∑ i = 1 J ( n ) l i * → 0 ， 且 ∑ i = 1 J ( n ) + 1 l i * ∑ i = 1 J ( n ) l i * → 1 (10) 现在定义Moran测度。对 ω ∈ ∑ * ( i ) ，令 ρ ω i = η i * [ ω ] η i * ( Ω * ( i ) ) . 易见 ∑ ω ∈ ∑ * ( i ) ρ ω i = 1 。记 C n : = { [ ω ] : ω ∈ ∏ i = 1 n ∑ * ( i ) } ，其中 ∏ i = 1 n ∑ * ( i ) 表示 ∑ * ( i ) 的拼接。记 σ ( { C n : n ≥ 1 } ) 是 { C n : n ≥ 1 } 生成的σ-代数。对 [ w ] = [ w 1 ⋯ w n ] ∈ C n ，令 η ^ ( [ w ] ) : = ∏ i = 1 n ρ w i i ， 其中 ∏ i = 1 n ρ w i i 表示 ρ w i i 的乘积。记 η 为 η ^ 到M的所有Borel子集的Kolmogrov扩张。 η 自然是 Σ 上的测度，由 η 的构造可知 η 支撑在M上。 步六：估计Moran测度的Hausdorff维数下界 本步证明下式成立，对一切 x ∈ Π M ，有 lim inf r ↓ 0 log Π * η B ( x ， r ) log r ≥ min { h ( μ ， σ ) λ ( μ ， σ ) ， h ( ν ， σ ) λ ( ν ， σ ) } (11) 由(11)式可知， dim H Π * η ≥ min { h ( μ ， σ ) λ ( μ ， σ ) ， h ( ν ， σ ) λ ( ν ， σ ) } ，其中 lim inf r ↓ 0 log Π * η B ( x ， r ) log r 是测度 Π * η 在点x的下局部维数， dim H Π * η : = sup { s ≥ 0 | lim inf r ↓ 0 log Π * η B ( x ， r ) log r ≥ s 对 Π * η a .e . x ∈ Λ } 是测度 Π * η 的Hausdorff维数，这部分内容读者可参看Falconer的专著 [ 19 ] 的第10章。注意到 Η ( Φ ) ⊇ Π M 且 η 支撑在M上，故有 dim H Η ( Φ ) ≥ dim H Π M ≥ dim H Π * η ≥ min { h ( μ ， σ ) λ ( μ ， σ ) ， h ( ν ， σ ) λ ( ν ， σ ) } . 引理5得证。下面证明式(11)成立。 固定 ω ∈ M ，先估计 D n ( ω ) 的下界。当i为奇数时，令 τ i = μ ，当i为偶数时，令 τ i = ν 。注意到 D n ( ω ) = e − n λ ^ n ( ω ) ，下面估计 λ ^ n ( ω ) 。利用式(1)，(4)，(2)和(5)，(6)，(8)，直接计算可得 n λ ^ n ( ω ) ≤ ∑ i = 1 J ( n ) l i * ( λ ( τ i ， σ ) + 4 ε i * ) + l J ( n ) + 1 * ( ‖ g ‖ + ε J ( n ) * ) : = ρ ( n ) . 易见 ρ ( n ) 是单调递增的，而且有 D n ( ω ) ≥ e − ρ ( n ) 。 现在固定 x ∈ Π M 和小的实数 r > 0 ，则存在唯一 n = n ( r ) ，使得 e − ρ ( n + 1 ) ≤ r < e − ρ ( n ) (12) 回顾对 ω ∈ Σ ， I n ( ω ) = T ω 1 ∘ T ω 2 ∘ ⋯ ∘ T ω n ( I ) ，令 C : = { I n ( ω ) | ω ∈ M 且 I n ( ω ) ∩ B ( x ， r ) ≠ ∅ } . 由 D n ( ω ) ≥ e − ρ ( n ) 可知C至多含有3个元素。任取 ω ∈ M 满足 I n ( ω ) ∈ C ，则 ω | n = w 1 w 2 ⋯ w J ( n ) v ，其中，v是 Σ * ( J ( n ) + 1 ) 中元素 v ^ 的前缀，则有 Π * η ( I n ( ω ) ) = ∏ i = 1 J ( n ) η i * ( [ w i ] ) η i * ( Ω * ( i ) ) ⋅ η J ( n ) + 1 * ( [ v ] ) η J ( n ) + 1 * ( Ω * ( J ( n ) + 1 ) ) ≤ ( 1 − δ ) − J ( n ) − 1 ∏ i = 1 J ( n ) η i * ( [ w i ] ) . 故有 log Π * η ( B ( x ， r ) ) ≤ − ∑ i = 1 J ( n ) l i * ( − log η i * ( [ w i ] ) l i * ) − ( J ( n ) + 1 ) log ( 1 − δ ) + log 3 ≤ − ∑ i = 1 J ( n ) l i * ( h ( τ i ， σ ) − 2 ε i * ) − ( J ( n ) + 1 ) log ( 1 − δ ) + log 3 . 其中第2个不等式利用了(2)，(4)和(6)，(8)。由(12)式，同时注意到 r → 0 当且仅当 n → ∞ ，则有 lim inf r ↓ 0 log Π * η ( B ( x ， r ) ) log r ≥ lim inf n → ∞ ∑ i = 1 J ( n ) l i * ( h ( τ i ， σ ) − 2 ε i * ) + ( J ( n ) + 1 ) log ( 1 − δ ) − log 3 ∑ i = 1 J ( n + 1 ) l i * ( λ ( τ i ， σ ) + 4 ε i * ) + l J ( n + 1 ) + 1 * ( ‖ g ‖ + ε J ( n + 1 ) + 1 * ) = lim inf n → ∞ ∑ i = 1 J ( n ) l i * ( h ( τ i ， σ ) − 2 ε i * ) ∑ i = 1 J ( n ) l i * ( λ ( τ i ， σ ) + 4 ε i * ) ≥ lim inf n → ∞ ∑ i = 1 J ( n ) l i * ( λ ( τ i ， σ ) + 4 ε i * ) min { h ( μ ， σ ) − 2 ε i * λ ( μ ， σ ) + 4 ε i * ， h ( ν ， σ ) − 2 ε i * λ ( ν ， σ ) + 4 ε i * } ∑ i = 1 J ( n ) l i * ( λ ( τ i ， σ ) + 4 ε i * ) ≥ min { h ( μ ， σ ) λ ( μ ， σ ) ， h ( ν ， σ ) λ ( ν ， σ ) } 其中等号利用了式(9)和(10)，最后一个不等式利用了下述事实： 设 ( a n ) n = 1 ∞ ， ( b n ) n = 1 ∞ 和是两个正实数序列，则有 lim inf n → ∞ ∑ k = 1 n a k ∑ k = 1 n b k ≥ lim inf n → ∞ a n b n . (11)式得证。