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user: 2. 准备工作 这一节我们将要介绍一些重要的概念和基本定理，首先我们给出紧线体的两个形式不同的定义。细节部分可以参考 [ 3 ] 。 2.1. 紧线体的两种定义 设 ( S 0 ， x 0 ) 是给定的双曲型紧黎曼曲面 S 0 和它上面的一个点 x 0 组成的二元组。考虑 S 0 的所有非分歧，有限阶且含有点对应的覆盖映射 Π : ( S i ， x i ) → ( S 0 ， x 0 ) ，且在同构意义下视为同一映射。由此我们可以得到一个二元组之间的偏序关系，即可以按照以下关系定义偏序关系：若存在非分歧，有限阶含有点对应的覆盖映射 Π i ， j : ( S j ， x j ) → ( S i ， x i ) ，使得 Π j = Π i ° Π i ， j 成立，则“≤”关系成立： ( Π i ， S i ， x i ) ≤ ( Π j ， S j ， x j ) . 不难得知任何两个覆盖映射： Π i : ( S i ， x i ) → ( S 0 ， x 0 ) 以及 Π j : ( S j ， x j ) → ( S 0 ， x 0 ) ，都存在覆盖映射 Π k : ( S k ， x k ) → ( S 0 ， x 0 ) 使得 ( Π j ， S j ， x j ) ， ( Π i ， S i ， x i ) ≤ ( Π k ， S k ， x k ) . 成立，所以这种覆盖关系存在逆极限。(关于逆极限的概念，可以参考 [ 9 ] 。)定义紧线体 lim ← ( S i ， x i ) 由上述过程不难看出，紧线体 S 与初始选取的二元组没有关系。另外，不难得知 S ⊂ Π i ∈ I S i ， 其中I是覆盖的指标集合。由于每一个黎曼曲面 S i 是紧的，可以看出 Π i ∈ I S i 在Tychonov拓扑意义下是紧集，由定义可以知道 S 在 Π i ∈ I S i 是闭的，所以S是紧的。且在局部上可以看成是小圆盘和Cantor集的笛卡尔乘积。称S的道路连通分支为叶，Sullivan [ 1 ] 证明了所有紧线体上的叶都是稠密的。 有了紧线体的概念，就可以定义紧线体的复结构。S上的光滑结构为一组坐标卡的覆盖，且满足参数转换函数限制在所有叶上是 C ∞ 微分同胚，且相对Cantor集方向在函数的 C ∞ 拓扑下是连续的。 S 上的复结构，是S上光滑结构的子覆盖，使得参数转换函数限制在任意局部叶上都是全纯的，且相对Cantor集方向在函数的 C ∞ 拓扑下是连续的。另外，若给定一个双曲型闭黎曼曲面 S i ，都存在着由它生成的紧线体上的自然投影 Π : S → S i 。通过该投影的拉回可以得到紧线体S任意叶上的复结构，不难看出这样得到的复结构相对Cantor集方向参数转换函数局部均为常数。我们称这样的复结构为TLC复结构 [ 4 ] 。Sullivan证明了对于紧线体S，TLC复结构在所有紧线体的复结构中是稠密的 [ 1 ] 。 与此同时，Saric给出了紧线体的一种群作用表示下的定义 [ 3 ] 。为了介绍这个概念，我们首先定义群G上的预有限度量。给定双曲型紧黎曼曲面 S 0 ，设G是 S 0 的基本群，则可以用如下方式可以定义G上 的预有限度量：记 G n 是G中所有阶数不超过n的子集合之交，可以看出 G n 是阶数有限的。则 { G n } n ∈ N 是G中的一个由其有限阶子群组成的下降序列。由于G是余有限的，可以得到 ∩ n ∈ N G n = { i d } 。定义 A ， B ∈ G 之间的预有限度量为： d p f ( A ， B ) = e − 1 / n ， 其中 A B − 1 ∈ G n \ G n + 1 。可以证明G可以被这种度量完备化，记它的完备化后的集合为 G ^ 。 设D为单位圆盘，考虑乘积空间 D × G ^ ，可以定义群G在该乘积空间的作用：任何 A ∈ G 在 D × G ^ 上的作用定义为： A ( z ， t ) = ( A z ， z t − 1 ) ， ∀ ( z ， t ) ∈ D × G ^ . 那么群G标记的紧线体为： S G = D × G ^ / G . Odden [ 4 ] 证明了这两种不同定义下的紧线体是同胚的。同样地，在 S G 上也有叶的概念。Saric将对任意给定的 t ∈ G ^ ， D × { t } 在G作用下的轨道定义为叶。可以验证 S G 上的叶和S上的叶同胚。另外， S G 上有从 D × G ^ 继承的商复结构，也可以定义 S G 上的TLC复结构，细节可以参考 [ 4 ] 。 2.2. S G 上的Beltrami系数，全纯二次微分和Teichmüller空间 下面介绍 S G 上Beltrami系数和全纯二次微分的概念，他们主要定义方法和黎曼曲面的情况很类似，细节部分可以参考 [ 3 ] 。 定义2.1. 称 μ 为 S G 上的光滑Beltrami微分若 μ 在 S G 的任意叶的限制为(−1，1)形式，且相对Cantor集方向是 C ∞ 连续的。若 μ 还满足 ‖ μ ‖ ≤ 1 ，则称 μ 是 S G 上的光滑Beltrami系数。称f为 S G 上的全纯二次微分，若f在 S G 的任意叶的限制为全纯二次微分，且相对Cantor集方向是 C ∞ 连续的。 为了方便，我们记 M ( S G ) 为 S G 上Beltrami系数空间，记 B ( S G ) 为 S G 上全纯二次微分空间。 与上述定义类似，可以给出 S G 上拟共形映射的定义，共形映射的定义也可以直接得到： 定义2.2. 称微分同胚 f : S G → Ω 是拟共形映射，若 f 限制在 S G 的任意叶上为可微拟共形映射，相对Cantor集方向 C 1 映射的 C 1 拓扑是连续的，其中 Ω 是任意紧线体。特别地，称 f 是K-拟共形映射，若 f 限制在所有叶上的拟共形常数的上确界为K。当 K = 1 时， f 是 S G 上的共形映射。 有了上面的几个概念，我们就可以引入紧线体Teichmüller空间(记为 T ( S G ) )的定义了： 定义2.3. 紧线体 S G 的Teichmüller空间 T ( S G ) 定义为 S G 上所有拟共形映射Teichmüller等价类的集合。称 f 1 ， f 2 是 S G 上Teichmüller等价的拟共形映射，若存在两个像集之间的共形映射 c ，使得 f 2 − 1 ° c ° f 1 同伦于恒等映射。记 [ f ] T ∈ T ( S G ) 为 S G 上拟共形映射 f 的Teichmüller等价类。 事实上，类似于黎曼曲面的Teichmüller空间，紧线体的Teichmüller空间上有一个自然的度量，称为Teichmüller度量，定义为 d T ( [ f ] T ， [ g ] T ) = inf f ∈ [ f ] T ， g ∈ [ g ] T 1 / 2 log K ( f 1 ° g 1 ) 其中， K ( f ) 是拟共形映射 f 限制在所有叶上的拟共形常数的上确界 [ 4 ] 。由于所有叶在 S G 上都是稠密的，且拟共形映射 f 在Cantor集方向的 C 1 拓扑下连续，可知 f 限制在所有叶上的拟共形常数均为K。 同样地，也可以用标记线体的方式定义 T ( S G ) ：给定两个拟共形映射 f : S G → Ω 1 ， g : S G → Ω 2 。 这样我们得到两个二元组 ( Ω 1 ， f ) ， ( Ω 2 ， g ) 。称这两个二元组是Teichmüller等价的，若 g ° f − 1 : Ω 1 → Ω 2 同伦于共形映射 h : Ω 1 → Ω 2 。我们记 ( Ω 1 ， f ) 的Teichmüller等价类为 [ Ω 1 ， f ] ，则 T ( S G ) = { [ Ω ， f ] } ， 其中 f 取遍 S G 上所有拟共形映射。