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user: 2. 考虑消费者屏蔽行为的劝说广告投放策略 2.1. 无法辨别消费者屏蔽行为的劝说广告投放 广告商：垄断市场的单一企业通过向消费者投放劝说型广告，促使消费者购买产品。假设产品类型有两类：高质量产品和低质量产品，类型集合 Ω = { H ， L } 。 消费者：市场上只存在一种类型的消费者，假设其数量为1，对于产品的购买偏好 k ∈ ( 0 ， 1 ] ，当消费者后验信念比偏好高时，其做出购买决策。由于其掌握广告屏蔽技术，因此可以有效地选择屏蔽或接受广告，假设屏蔽概率为 φ ( ∈ ( 0 ， 1 ) ) 。 在此模型中，广告商为发送方，而消费者为接收方，发送方通过投放广告的方式选择 π ( · | ω ) 并传递关于产品的信号s给接收方；而后，接收方选择屏蔽或接受广告策略，对于采取广告屏蔽策略的消费者，其会根据先验信念 μ 0 ，做出购买决策；而对于接受广告的消费者而言，在接收到信号s后形成对于类型 ω 的后验信念 μ s ( ω ) ，并据此做出行动 a ( μ s ) 。假设广告商和消费者的信念都为 μ 0 ( H ) = θ ， θ ∈ ( 0 ， 1 ) ，考虑到若 θ ≥ k ，则所有的消费者都会购买产品，此时不需要投放广告。因此， θ 的取值低于消费者的购买偏好，即 θ < k 。 对于采取接受广告策略的接收方而言， μ s ( ω ) 满足下式： μ s ( ω ) = π ( s | ω ) μ 0 ( ω ) ∑ ω ′ ∈ Ω π ( s | ω ′ ) μ 0 ( ω ′ ) ， ∀ ω ， ∀ s (1) 考虑到广告的合理性引入Bayesian rationality条件： μ 0 ( ω ) = ∑ s ∈ { H ， L } τ ( μ s ) μ s ( ω ) ， ∀ ω (2) 代入 ω = H ，可以得到： θ = μ 0 ( H ) = τ H μ H ( H ) + τ L μ L ( H ) (3) 则在满足式(3)的情况下，后验信念的分布 τ s 需要满足： τ s = ∑ ω ∈ Ω π ( s | ω ) μ 0 ( ω ) ， ∀ s (4) 由此，可得接收方的行动决策函数： a ( μ s ( H ) ) = { 1 ，     μ s ( H ) ≥ k 0 ，     otherwise ， ∀ s (5) 显然，采取屏蔽广告行为的接收方默认不购买产品，而对于采取接受广告策略的接收方而言，有 1 − φ 的概率会购买产品，此时 v ( μ s ( H ) ) = 1 − φ 。 由此，可定义发送方收益： v ( μ s ( H ) ) = { 1 − φ ，       μ s ( H ) ≥ k 0 ，                 otherwise ， ∀ s (6) 继而，得到发送方期望收益函数如下： E τ ( v ) = ∑ s = { H ， L } τ s v ( μ s ( H ) ) (7) 考虑在广告投放前接收方的收益满足式(6)，如图1(a)所示，进一步，进行凸包构建，得到图1(b)。可知， μ L ( H ) = 0 ， μ H ( H ) = k 。根据 v ( μ L ( H ) ) = 0 ， v ( μ H ( H ) ) = 1 − φ ，可得 τ L = 1 − θ k ， τ H = θ k 。 由此得到 π ( s | ω ) 为： π ( H | H ) = μ H ( H ) τ H μ 0 ( H ) = 1 ，     π ( L | H ) = μ L ( H ) τ L μ 0 ( H ) = 0 π ( L | L ) = μ L ( L ) τ L μ 0 ( L ) = k − θ k ( 1 − θ ) ，     π ( H | L ) = μ H ( L ) τ H μ 0 ( L ) = ( 1 − k ) θ k ( 1 − θ ) (8) 发送方的最优期望收益满足： E τ ( v ) = ( 1 − φ ) θ k (9) 由于广告投放需要一定的成本，假设所需固定投入为 c f ， c f ∈ [ 0 ， 1 ] ，则考虑所需成本，式(9)可表示为： E 1 = ( 1 − φ ) θ k − c f (10) 图1. 无法辨别消费者屏蔽行为的最优广告策略 2.2. 能够辨别消费者屏蔽行为的劝说广告投放 若广告商能够通过技术手段辨别消费者是否采取屏蔽广告行为，则可以选择只向接受广告的消费者投放广告。由于消费者屏蔽概率为 φ ，即市场中有 φ 比例的消费者进行广告屏蔽，则接受广告的消费者占比为 1 − φ 。 则消费者后验信念 μ s ( ω ) 满足： μ s ( ω ) = π ( s | ω ) μ 0 ( ω ) ∑ ω ′ ∈ Ω π ( s | ω ′ ) μ 0 ( ω ′ ) ， ∀ ω ， ∀ s (11) 进一步，需满足Bayesian rationality条件： μ 0 ( ω ) = ∑ s ∈ { H ， L } τ ( μ s ) μ s ( ω ) ， ∀ ω (12) 将 ω = H 代入式(12)可得： θ = μ 0 ( H ) = τ H μ H ( H ) + τ L μ L ( H ) (13) 则后验信念分布 τ s 可表述为： τ s = ∑ ω ∈ Ω π ( s | ω ) μ 0 ( ω ) ， ∀ s (14) 接收方的行动决策函数满足： a ( μ s ( H ) ) = { 1 ，     μ s ( H ) ≥ k 0 ，     otherwise ， ∀ s (15) 根据接收方行动函数，得到发送方收益： v ( μ s ( H ) ) = { 1 − φ ，       μ s ( H ) ≥ k 0 ，                 otherwise ， ∀ s (16) 由此，发送方的期望收益表达式： E τ ( v ) = ∑ s = { H ， L } τ s v ( μ s ( H ) ) (17) 同样，进行凸包构建，得到 μ L ( H ) = 0 ， μ H ( H ) = k ，且 τ L = 1 − θ k ， τ H = θ k ，则 π ( s | ω ) 为： π ( H | H ) = μ H ( H ) τ H μ 0 ( H ) = 1 ，     π ( L | H ) = μ L ( H ) τ L μ 0 ( H ) = 0 π ( L | L ) = μ L ( L ) τ L μ 0 ( L ) = k − θ k ( 1 − θ ) ，     π ( H | L ) = μ H ( L ) τ H μ 0 ( L ) = ( 1 − k ) θ k ( 1 − θ ) (18) 可得，发送方最优期望收益为： E τ ( v ) = ( 1 − φ ) θ k (19) 由于辨别消费者需要一定的技术投入，企业需要决定广告投放的消费者比例，以实现收益的最优化，假设选取比例为 γ ， γ ∈ ( 0 ， 1 ) 且满足 c v γ 2 ，其中， c v ( ∈ ( 0 ， 1 ) ) ，则投放所需固定成本为 ( 1 − φ ) c f 。 进一步考虑投放所需成本，式(19)可表示为： E 2 = γ ( 1 − φ ) θ k − c v γ 2 − ( 1 − φ ) c f (20) 2.3. 模型比较分析 上文讨论了消费者存在广告屏蔽行为时，广告商采取两种不同广告策略的收益情况：一种是不引入消费者辨别技术，对市场中所有的消费者进行广告投放；另一种则是引入消费者辨别，只对接受广告的消费者投放广告。下文将对两种情况下广告商的收益进行对比，从而分析广告商是否应进行消费者辨别。由此，可得命题1如下。 命题1. 广告商应进行消费者辨别，当且仅当 c v 及 c f 满足 c v − φ c f < 0 且 c v ( α ( 1 − φ ) θ k − φ c f ) < 1 4 [ α ( 1 − φ ) θ k ] 2 时。 证明： 只有满足 E 2 > E 1 ，辨别消费者技术的投入有利于发送方，二者做差，得到 E 3 ： E 3 = E 2 − E 1 = − c v γ 2 + ( γ − 1 ) ( 1 − φ ) θ k + φ c f (21) E 3 为 γ 的函数，可知 Δ = [ ( 1 − φ ) θ k ] 2 − 4 c v ( ( 1 − φ ) θ k − φ c f ) 。 Δ 有两种情况：i) Δ > 0 ；ii) Δ ≤ 0 。 i) 当 Δ > 0 时， c v ( ( 1 − φ ) θ k − φ c f ) < 1 4 [ ( 1 − φ ) θ k ] 2 ，此时 γ 1 = ( 1 − φ ) θ k − [ ( 1 − φ ) θ k ] 2 − 4 c v ( ( 1 − φ ) θ k − φ c f ) 2 c v ， γ 2 = ( 1 − φ ) θ k + [ ( 1 − φ ) θ k ] 2 − 4 c v ( ( 1 − φ ) θ k − φ c f ) 2 c v ， γ 2 > γ 1 > 0 。由此， ( 1 − φ ) θ k − [ ( 1 − φ ) θ k ] 2 − 4 c v ( ( 1 − φ ) θ k − φ c f ) > 2 c v ，即 c v − φ c f ≥ 0 ， γ 1 > 1 ，此时 E 2 − E 1 ≤ 0 ，即不进行消费者辨别的广告策略更优。反之，当 c v − φ c f < 0 ， γ 1 ≤ 1 。此时，辨别消费者技术的使用能为广告商带来更优的收益。 ii) 当 Δ ≤ 0 时， c v ( ( 1 − φ ) θ k − φ c f ) ≥ 1 4 [ ( 1 − φ ) θ k ] 2 此时 E 2 − E 1 ≤ 0 ，无法辨别消费者屏蔽行为的广告策略始终最优。 证毕。 仿真模拟对上述两种广告策略的选取进行仿真，如图2所示。其中，设置 θ = 0.3 ； k = 0.8 ； φ = 0.4 ， c v 和 c f 为 ( 0.1 ， 0.2 ) 、 ( 0.3 ， 0.2 ) 、 ( 0.3 ， 0.5 ) 。 图2. 广告最优策略( φ = 0.4 ) 与图2仿真类似，接下来固定其他参数，设置 φ = 0.6 ，可得图3。 图3. 广告最优策略( φ = 0.6 ) 由图可知： i) 辨别消费者屏蔽的成本投入 c v 不变时， c f 越大，广告商通过辨别技术可以获得更大收益。因为无法辨别消费者屏蔽行为的广告商面向市场中全部消费者进行投放时，需付出很大的固定成本，而能够辨别时可以通过仅对接受广告的消费者投放，节省了一定的成本。 ii) c v 和 c f 越小时，广告商倾向于不进行消费者辨别，向市场中所有消费者投放广告。 iii) 对比图2和图3可知，屏蔽概率 φ 越大，选择屏蔽广告的消费者越多，此时广告商可以适当降低消费者选取比例进行广告投放，以获得更优的收益。 进而，若广告商进行消费者辨别，需要考虑消费者最优选取比例。由此，得命题2。 命题2.最优消费者选取比例满足 γ * = { ( 1 − φ ) θ 2 c v k ，           c v > ( 1 − φ ) θ 2 k 1 ，                             0 < c v < ( 1 − φ ) θ 2 k 时，广告方收益 E 2 最优。 证明：对 E 2 求一阶导得 d E 2 d γ = − 2 c v γ + ( 1 − φ ) θ k (22) 令式(22)等于零，可得 γ ′ = ( 1 − φ ) θ 2 c v k (23) E 2 求二阶导得到 d 2 E 2 d γ = − 2 c v (24) 显然， E 2 为凹函数。进一步分析可知，当 ( 1 − φ ) θ 2 c v k > 1 时， 0 < c v < ( 1 − φ ) θ 2 k ， E d 在 γ ∈ ( 0 ， 1 ) 内单调递增，最优选取 γ * = 1 ， E 2 * = ( 1 − φ ) θ k − c v − ( 1 − φ ) c f ；当 ( 1 − φ ) θ 2 c v k 在 ( 0 ， 1 ) 之间时， c v > ( 1 − φ ) θ 2 k ，则 γ ∈ ( 0 ， ( 1 − φ ) θ 2 c v k ) 时， E 2 单调递增， γ ∈ ( ( 1 − φ ) θ 2 c v k ， 1 ) 时， E 2 单调递减，最优选取比例 γ * = ( 1 − φ ) θ 2 c v k ， E 2 * = φ c f − ( 1 − φ ) θ k − 1 4 c v [ ( 1 − φ ) θ k ] 2 。 证毕。 仿真模拟对选取比例 γ * 随参数 c v 及参数 φ 的变化仿真可得图4和图5。其中，设置 k = 0.8 ； θ = 0.3 。 由图4可知， c v 较小时，广告商会增选取比例投放广告，且最优选取的比例受变动成本影响较大。同样，观察图5可知，消费者屏蔽概率 φ 较低时，消费者接受广告的概率就越大，使得广告商加大选取的比例。 由此，可得以下启示：一是广告投放要充分考虑成本的影响，从而制定更为科学的广告策略；二是广告商无需一味追求较高的消费者选取比例，应在充分考虑成本投资的前提下，合理调节选取比例参数并将其设定在一定的范围内，实现利润的最优化；三是广告商需关注市场中消费者的屏蔽概率，当屏蔽概率较低时，接受广告的人群比例越大，企业可以通过向市场中所有消费者投放广告而达到较好的收益，这就启示企业可在投放广告前提前调研市场情况以获得更好地营销效果。 图4. γ * 随 c v 的变化趋势 图5. γ * 随 φ 的变化趋势