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user: 3. 理论结果及证明 在本节当中，基于上面提到的一重积分不等式引理以及广义的自由矩阵积分不等式引理，我们通过恰当地构造Lyapunov泛函分析得到关于系统(1)的新的时滞依赖条件。 为了简化向量和矩阵表示给出以下术语： ϖ 1 ( t ) = 1 h ( t ) ∫ t − h ( t ) t x ( s ) d s ， ϖ 2 ( t ) = 1 t − h ( t ) ∫ t − h t − h ( t ) x ( s ) d s ， ϑ 1 ( t ) = 1 h ( t ) ∫ t − h ( t ) t ∫ θ t x ( s ) d s d θ ， ϑ 2 ( t ) = 1 t − h ( t ) ∫ t − h t − h ( t ) ∫ θ t − h ( t ) x ( s ) d s d θ ， η 2 ( t ) = col { x ( t ) ， x ˙ ( t ) ， f ( W 0 x ( t ) ) } ， η 1 ( t ， s ) = col { x ( s ) ， x ˙ ( s ) ， f ( W 0 x ( s ) ) ， x ( t ) ， x ( t − h ) ， ∫ s t x ( θ ) d θ } ， η 3 ( t ) = col { x ( t ) ， x ˙ ( t ) } ， ξ 1 ( t ) = col { x ( t ) ， x ( t − h ) ， ϖ 1 ( t ) ， ϑ 1 ( t ) ， ∫ t − h t x ( s ) d s ， ∫ t − h ( t ) t f ( W 0 x ( s ) ) d s ， ∫ t − h t f ( W 0 x ( s ) ) d s } ， ξ ( t ) = col { x ( t ) ， x ( t − h ( t ) ) ， x ( t − h ) ， ϖ 1 ( t ) ， ϖ 2 ( t ) ， ϑ 1 ( t ) ， ϑ 2 ( t ) ， x ˙ ( t − h ( t ) ) ， x ˙ ( t − h ) ，                             f ( W 0 x ( t ) ) ， f ( W 0 x ( t − h ( t ) ) ) ， ∫ t − h ( t ) t f ( W 0 x ( s ) ) d s ， ∫ t − h t − h ( t ) f ( W 0 x ( s ) ) d s } ， g i 1 ( s ) = f i ( s ) − l i − s ， g i 2 ( s ) = l i + s − f i ( s ) . 定理1 对于给定的实数h和u，若存在对称正定矩阵 P ∈ R 7 n × 7 n ， Q 1 ∈ R 5 n × 5 n ， Q 2 ∈ R 5 n × 5 n ， R ∈ R 3 n × 3 n ， Z = [ Z 1 Z 2 * Z 3 ] ∈ R 2 n × 2 n ， N i ∈ R n × n ( i = 1 ， 2 ) ，半正定对角矩阵 T 12 ∈ R n × n ， T 13 ∈ R n × n ， T 23 ∈ R n × n ， V k ∈ R n × n ( k = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) ， D i ∈ R n × n 任意矩阵 M k ∈ R n × n ， S 1 ∈ R 3 n × 3 n ， S 2 ∈ R n × n ， S 3 ∈ R 2 n × 2 n 得下列线性矩阵不等式成立 Γ m = [ Z 1 Z 2 + N i * Z 3 ] > 0 ( m = 1 ， 2 ) ， Γ 3 = [ Z 3 S 2 * Z 3 ] > 0 ， Γ 4 = [ Γ 1 S 3 * Γ 2 ] > 0 ，(5) Γ 5 = [ R S 1 * R ] > 0 ， (6) Γ 6 ( h ( t ) = 0 ) = ( δ ⊥ ) T [ Ξ h M 3 h M 4 * − H 0 * * − 3 H ] ( δ ⊥ ) < 0 ， (7) Γ 7 ( h ( t ) = h ) = ( δ ⊥ ) T [ Ξ h M 1 h M 2 * − H 0 * * − 3 H ] ( δ ⊥ ) < 0 ， (8) Γ 8 = ( δ ⊥ ) T ( − γ 2 h 2 J 2 + Γ 6 ) ( δ ⊥ ) < 0 ， Γ 9 = ( δ ⊥ ) T ( − ( 1 − γ ) 2 h 2 J 2 + Γ 7 ) ( δ ⊥ ) < 0 ，(9) 则时滞神经网络系统(1)是渐近稳定的。 其中 Ξ ( h ( t ) ) = ∑ n = 1 8 Π n ， Π 1 = sym { G 1 T P G 2 } ， Π 3 = h 2 G 9 T R G 9 − G 10 T Γ 5 G 10 ， Π 2 = G 3 T Q 1 G 3 − ( 1 − u ) G 4 T Q 1 G 4 + G 3 T Q 2 G 3 − G 5 T Q 2 G 5 + sym { G 7 T Q 1 G 6 + G 8 T Q 2 G 6 } ， Π 4 = h G 11 T Z G 11 − 1 h G 12 T Γ 3 G 12 − 1 h G 13 T Γ 4 G 13 + sym { − e 4 T ( Y 2 + X 1 ) ( e 1 − e 2 ) − e 5 T ( Y 2 + X 2 ) ( e 2 − e 3 ) }     − h ( t ) e 4 T Y 1 e 4 − ( h − h ( t ) ) e 5 T Y 1 e 5 − e 2 T ( X 1 − X 2 ) e 2 + e 1 T X 1 e 1 − e 3 T X 2 e 3 ， Π 5 = h f 0 H f 0 + sym { G 14 T M 1 G 15 + G 14 T M 2 G 16 + G 14 T M 3 G 17 + G 14 T M 4 G 18 } ， Π 6 = sym { [ ( e 10 − L 2 W 0 e 1 ) T V 1 + ( L 1 W 0 e 1 − e 10 ) T V 2 ] W 0 f 0 }               + sym { [ ( e 12 − L 2 W 0 e 3 ) T V 3 + ( L 1 W 0 e 3 − e 12 ) T V 4 ] W 0 e 9 } ， Π 7 = sym { [ e 10 − e 11 − L 2 W 0 ( e 1 − e 2 ) ] T T 12 [ L 1 W 0 ( e 1 − e 2 ) − ( e 10 − e 11 ) ] }     + sym { [ e 10 − e 12 − L 2 W 0 ( e 1 − e 3 ) ] T T 13 [ L 1 W 0 ( e 1 − e 3 ) − ( e 10 − e 12 ) ] }     + sym { [ e 11 − e 12 − L 2 W 0 ( e 2 − e 3 ) ] T T 23 [ L 1 W 0 ( e 2 − e 3 ) − ( e 11 − e 12 ) ] }     + sym { ( e 10 − L 2 W 0 e 1 ) T T 1 ( L 1 W 0 e 1 − e 10 ) } + sym { ( e 11 − L 2 W 0 e 2 ) T T 2 ( L 1 W 0 e 2 − e 11 ) }     + sym { ( e 12 − L 2 W 0 e 3 ) T T 3 ( L 1 W 0 e 3 − e 12 ) } ， Π 8 = sym { ( e 13 − L 2 e 4 ) T D 1 ( L 1 e 4 − e 13 ) } + sym { ( e 14 − L 2 e 5 ) T D 2 ( L 1 e 5 − e 14 ) } ， ϒ = h ( t ) G 14 T ( 3 M 1 H − 1 M 1 T + M 2 H − 1 M 2 T 3 ) G 14 + ( h − h ( t ) ) G 14 T ( 3 M 3 H − 1 M 3 T + M 4 H − 1 M 4 T 3 ) G 14 ， e i = [ 0 n ， ( i − 1 ) n I n 0 n ， ( 9 − i ) n ] ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 9 ) ， G 1 = col { e 1 ， e 3 ， h ( t ) e 4 ， h ( t ) e 6 ， h ( t ) e 4 + ( h − h ( t ) ) e 5 ， e 13 ， e 13 + e 14 } ， G 4 = col { e 2 ， e 8 ， e 11 ， e 1 ， e 3 ， h ( t ) e 4 } ， G 2 = col { f 0 ， e 9 ， e 1 − ( 1 − u ) e 2 ， h ( t ) ( e 1 − ( 1 − u ) e 4 ) ， e 1 − e 3 ， e 10 − ( 1 − u ) e 11 ， e 10 − e 12 } ， G 3 = col { e 1 ， f 0 ， e 10 ， e 1 ， e 3 ， e 0 } ， G 5 = col { e 3 ， e 9 ， e 12 ， e 1 ， e 3 ， h ( t ) e 4 + ( h − h ( t ) ) e 5 } ， G 6 = col { e 0 ， e 0 ， e 0 ， f 0 ， e 9 ， e 1 } ， G 7 = col { h ( t ) e 4 ， e 1 − e 2 ， e 13 ， h ( t ) e 1 ， h ( t ) e 3 ， h ( t ) e 6 } ， G 8 = col { h ( t ) e 4 + ( h − h ( t ) ) e 5 ， e 1 − e 3 ， e 13 + e 14 ， h e 1 ， h e 3 ， h ( t ) e 6 + ( h − h ( t ) ) e 7 + h ( t ) ( h − h ( t ) ) e 4 } ， G 9 = col { e 1 ， f 0 ， e 10 } ， G 10 = col { h ( t ) e 4 ， e 1 − e 2 ， e 13 ， ( h − h ( t ) ) e 5 ， e 2 − e 3 ， e 14 } ， G 11 = col { e 1 ， f 0 } ， G 12 = col { e 1 − e 2 ， e 2 − e 3 } ， G 13 = col { h ( t ) e 4 − 2 e 6 ， 2 e 4 − e 1 − e 2 ， ( h − h ( t ) ) e 5 − 2 e 7 ， 2 e 5 − e 2 − e 3 } ， G 14 = col { e 1 ， e 2 ， e 3 ， e 4 ， e 5 ， e 6 ， e 7 ， e 8 ， e 9 ， e 10 ， e 11 ， e 12 ， e 13 ， e 14 } ， G 15 = e 1 − e 2 ， G 16 = e 1 + e 2 − 2 e 4 ， G 17 = e 2 − e 3 ， G 18 = e 2 + e 3 − 2 e 5 ， G 19 = col { e 0 ， e 0 ， e 4 ， e 6 ， e 4 − e 5 ， e 0 ， e 0 } ， G 20 = col { e 0 ， e 0 ， e 0 ， e 1 − ( 1 − u ) e 4 ， e 0 ， e 0 ， e 0 } ， G 21 = col { e 0 ， e 0 ， e 0 ， e 0 ， e 0 ， e 4 } ， G 22 = col { e 0 ， e 0 ， e 0 ， e 0 ， e 0 ， e 4 − e 5 } ， G 23 = col { e 4 ， e 0 ， e 0 ， − e 5 ， e 0 ， e 0 } ， G 24 = col { e 4 ， e 0 ， − e 5 ， e 0 } . 证明:构造如下Lyapunov泛函 V ( t ) = ∑ d = 1 6 V d ， V 1 ( t ) = ξ 1 T ( t ) P ξ 1 ( t ) ， V 2 ( t ) = ∫ t − h ( t ) t η 1 T ( t ， s ) Q 1 η 1 ( t ， s ) d s + ∫ t − h t η 1 T ( t ， s ) Q 2 η 1 ( t ， s ) d s ， V 3 ( t ) = h ∫ t − h t ∫ θ t η 2 T ( s ) R η 2 ( s ) d s d θ ， V 4 ( t ) = ∫ t − h t ∫ θ t η 3 T ( s ) Z η 3 ( s ) d s d θ ， V 5 ( t ) = ∫ t − h t ∫ θ t x ˙ T ( s ) H x ˙ ( s ) d s d θ ， V 6 ( t ) = 2 ∑ i = 1 n ∫ 0 W 0 i x ( t ) [ V 1 i g i 1 ( s ) + V 2 i g i 2 ( s ) ] d s + 2 ∑ i = 1 n ∫ 0 W 0 i x ( t − h ) [ V 3 i g i 1 ( s ) + V 4 i g i 2 ( s ) ] d s . 对 V ( t ) 求导，可得 V ˙ 1 ( t ) = 2 ξ 1 T ( t ) P ξ ˙ 1 ( t ) ， V ˙ 3 ( t ) = h 2 η 2 T ( t ) R η 2 ( t ) − ∫ t − h t η 2 T ( s ) R η 2 ( s ) d s ， V ˙ 2 ( t ) = η 1 T ( t ， t ) Q 1 η 1 ( t ， t ) − ( 1 − u ) η 1 T ( t ， t − h ( t ) ) Q 1 η 1 ( t ， t − h ( t ) ) + η 1 T ( t ， t ) Q 2 η 1 ( t ， t )     − η 1 T ( t ， t − h ) Q 2 η 1 ( t ， t − h ) + ξ T ( t ) sym { G 7 T Q 1 G 6 + G 8 T Q 2 G 6 } ξ ( t ) ， V ˙ 4 ( t ) = h η 3 T ( t ) Z η 3 ( t ) − ∫ t − h t η 3 T ( s ) Z η 3 ( s ) d s ， V ˙ 5 ( t ) = h x ˙ T ( t ) H x ˙ ( t ) − ∫ t − h t x ˙ T ( t ) H x ˙ ( t ) d s ， V ˙ 6 ( t ) = 2 ∑ i = 1 n [ V 1 i g i 1 ( W 0 i x ( t ) ) + V 2 i g i 2 ( W 0 i x ( t ) ) ] W 0 i x ˙ ( t )     + 2 ∑ i = 1 n [ V 3 i g i 1 ( W 0 i x ( t − h ) ) + V 4 i g i 2 ( W 0 i x ( t − h ) ) ] W 0 i x ˙ ( t − h ) . 为了考虑更多的积分信息，利用时滞分割方法将一重积分区间 [ 0 ， h ] 划分成 [ 0 ， h ( t ) ] 和 [ h ( t ) ， h ] 两个部分，运用(6)中的条件和Jensen不等式，对 V ˙ 3 ( t ) 中的积分放缩得 − ∫ t − h t η 2 T ( s ) R η 2 ( s ) d s = − ∫ t − h ( t ) t η 2 T ( s ) R η 2 ( s ) d s − ∫ t − h t − h ( t ) η 2 T ( s ) R η 2 ( s ) d s ≤ ξ T ( t ) G 10 T Γ 5 G 10 ξ ( t ) . 运用(5)中的条件和引理4提出的不等式对 V ˙ 4 ( t ) 中的积分项进行放缩，可以得到 − ∫ t − h t η 3 T ( s ) Z η 3 ( s ) d s ≤ ξ T ( t ) { sym { − e 4 T ( Y 2 + X 1 ) ( e 1 − e 2 ) − e 5 T ( Y 2 + X 2 ) ( e 2 − e 3 ) } − h ( t ) e 4 T Y 1 e 4         − ( h − h ( t ) ) e 5 T Y 1 e 5 − e 2 T ( X 1 − X 2 ) e 2 + e 1 T X 1 e 1 − e 3 T X 2 e 3 − 1 h G 12 T Γ 3 G 12 − 1 h G 13 T Γ 4 G 13 } ξ ( t ) . 运用引理2中的自由矩阵不等式将 V ˙ 5 ( t ) 中的积分项进行放缩，可以得到 − ∫ t − h t x ˙ T ( t ) H x ˙ ( t ) d s = − ∫ t − h ( t ) t x ˙ T ( t ) H x ˙ ( t ) d s − ∫ t − h t − h ( t ) x ˙ T ( t ) H x ˙ ( t ) d s ， − ∫ t − h ( t ) t x ˙ T ( t ) H x ˙ ( t ) d s ≤ sym { τ 0 T M 1 δ 1 + τ 0 T M 2 τ 2 } + h ( t ) τ 0 T ( 3 M 1 H − 1 M 1 T + M 2 H − 1 M 2 T 3 ) τ 0 ， − ∫ t − h t − h ( t ) x ˙ T ( t ) H x ˙ ( t ) d s ≤ sym { τ 0 T M 3 τ 3 + τ 0 T M 4 τ 4 } + ( h − h ( t ) ) τ 0 T ( 3 M 3 H − 1 M 3 T + M 4 H − 1 M 4 T 3 ) τ 0 ， 其中 τ 0 = G 14 ξ ( t ) ， τ 1 = x ( t ) − x ( t − h ( t ) ) ， τ 2 = x ( t ) + x ( t − h ( t ) ) − 2 ϖ 1 ， τ 3 = x ( t − h ( t ) ) − x ( t − h ) ， τ 4 = x ( t − h ( t ) ) + x ( t − h ) − 2 ϖ 2 . 另外，由(3)中的Lipchitz条件可知，对任意的正定对角矩阵 D i ≥ 0 ， T i j ≥ 0 ( i = 1 ， 2 ; j = 2 ， 3 ) ， T k ≥ 0 ( k = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) ，有下面的条件成立 − 2 [ f ( s k ) − L − s k ] T T k [ f ( s k ) − L + s k ] ≥ 0 ， − 2 [ f ( s i ) − f ( s j ) − L − ( s i − s j ) ] T T i j [ f ( s i ) − f ( s j ) − L + ( s i − s j ) ] ≥ 0 ， − 2 [ ∫ t − h ( t ) t ( f ( W 0 x ( s ) ) − L 1 x ( s ) ) d s ] T D 1 [ ∫ t − h ( t ) t ( f ( W 0 x ( s ) ) − L 2 x ( s ) ) d s ] ≥ 0 ， − 2 [ ∫ t − h t − h ( t ) ( f ( W 0 x ( s ) ) − L 1 x ( s ) ) d s ] T D 2 [ ∫ t − h t − h ( t ) ( f ( W 0 x ( s ) ) − L 2 x ( s ) ) d s ] ≥ 0 . 取 Ψ ( h ( t ) ) = Ξ ( h ( t ) ) + ϒ ，由于 h ( t ) 在是二次的，因此可以改写成 Ψ ( h ( t ) ) = J 2 h 2 ( t ) + J 1 h ( t ) + J 0 ， 其中 J 0 ， J 1 ， J 2 和都是常数矩阵，且 J 2 = sym { e 19 T P e 20 − ( L − e 4 ) T D 1 ( L + e 4 ) − ( L − e 5 ) T D 2 ( L + e 5 ) }     − ( 1 − u ) G 21 T Q 1 G 21 − G 22 T Q 2 G 22 − G 23 T Γ 5 G 23 − 1 h G 24 T Γ 4 G 24 . 因此，通过引理1，如果(7)~(9)的条件满足，那么可以得到 Ψ ( h ( t ) ) < 0 成立。 利用Finsler’s引理 [ 18 ]，让 δ ξ ( t ) = 0 ，如果(5)~(9)的条件满足，我们可以得到 ( δ ⊥ ) T Ψ ( h ( t ) ) ( δ ⊥ ) < 0 成立，这就意味着 ξ T ( t ) Ψ ( h ( t ) ) ξ ( t ) < 0 成立。从而定理1的结论成立，证毕。