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user: 2. 最优值函数的统计推断 首先分析线性二阶锥两阶段随机规划问题的扰动问题的性质，给定参数 u = ( c ， A ， Q ， B ， b ， x ) ，当其收敛到 u ˜ = ( c ˜ ， A ˜ ， Q ˜ ， B ˜ ， b ˜ ， x ˜ ) 时，我们分析最优值函数 θ ( ⋅ ， ⋅ ) 的性质。其扰动问题 P ( x ˜ ， ξ ˜ ) 可以表示为如下形式： min y       c ˜ T y s .t .         g ( y ， x ˜ ; ξ ˜ ) ∈ Θ (2.1) 其中 g ( y ， x ˜ ; ξ ˜ ) = ( g 1 ( y ， x ˜ ; ξ ˜ ) ， ⋯ ， g ( y ， x ˜ ; ξ ˜ ) l ) ， Θ = Θ J i + 1 × ⋯ × Θ J l + 1 。设 f ( y ， u ˜ ) = c ˜ T y 。令 Φ ( u ˜ ) 表示问题 (2.1) 的可行集合，记为 Φ ( u ˜ ) = { y ∈ ℜ m : g i ( y ， x ˜ ; ξ ˜ ) ∈ Θ J i + 1 ， i = 1 ， ⋯ ， l } . 同时令 Y * ( u ˜ ) 表示问题(2.1)的最优解集。定义 Ψ ( u ˜ ， α ) = Φ ( u ˜ ) ∩ l e v ≤ α f ( ⋅ ， u ˜ ) 其中 lev ≤ α f ( ⋅ ， u ˜ ) = { y ∈ ℜ m : f ( y ， u ˜ ) ≤ α } ， α ∈ ℜ . 我们可以推导出二阶锥优化问题(2.1)的Lagrange对偶问题。问题(2.1)的Lagrange函数可以写为 L ( y ， λ ˜ ; u ˜ ) = c ˜ T y − ∑ i = 1 l 〈 λ ˜ i ， g i ( y ， x ˜ ; ξ ˜ ) 〉 = c ˜ T y − 〈 λ ˜ ， Α ˜ y 〉 − ∑ i = 1 l λ ˜ j i + 1 i ( q ˜ i T x − b ˜ i ) ， 其中 λ ˜ = ( λ ˜ 1 ， ⋯ ， λ ˜ l ) ，线性算子 Α ˜ : ℜ m → ℜ J 1 + 1 × ⋅ ⋅ ⋅ × ℜ J l + 1 定义如下 Α ˜ y = ( ( B ˜ 1 y ， a ˜ 1 T y ) ; ⋯ ; ( B ˜ l y ， a ˜ l T y ) ) ， 则问题(2.1)的Lagrange对偶可写为 max       ∑ i = 1 l λ ˜ J i + 1 i ( b ˜ i − q ˜ i T x )   s .t .           c ˜ − Α ˜ * λ ˜ = 0                     λ ˜ ∈ Θ (2.2) 这里 Α ˜ * 是 Α ˜ 的伴随矩阵且 Α ˜ * λ ˜ 可由如下的形式计算 Α ˜ * λ ˜ = ∑ i = 1 l [ B ˜ i T ， a ˜ i ] λ ˜ i . 令 ϕ ( λ ˜ ， u ˜ ) = ∑ i = 1 l λ ˜ J i + 1 i ( b ˜ i − q ˜ i T x ) 和 Λ * ( u ˜ ) 分别表示问题(2.2)最优值函数以及最优解集。问题(2.2) 的可行集合可以由 χ ( c ˜ ， A ˜ ， B ˜ ) = { λ ˜ = ( λ ˜ 1 ; ⋯ ; λ ˜ l ) ∈ Θ : c ˜ − Α ˜ * λ ˜ = 0 } 表示。进一步，可以定义 Γ ( u ˜ ， α ) = χ ( c ˜ ， A ˜ ， B ˜ ) ∩ l e v ≤ α ϕ ( ⋅ ， u ˜ ) ， 其中 l e v ≤ α ϕ ( ⋅ ， u ˜ ) = { λ ˜ ∈ ℜ J 1 + 1 × ⋅ ⋅ ⋅ × ℜ J l + 1 : ϕ ( λ ˜ ， u ˜ ) ≤ α } ， α ∈ ℜ . 由引理3.3和 [ 4 ] 中的引理2.3可知，原问题和对偶问题的可行集是水平有界的，即对于某些， δ > 0 ， α ∈ ℜ ， x ˜ ∈ X ， ‖ ξ ˜ − ( c ， A ， Q ， B ， b ) ‖ ≤ δ 以及有界集合 Β ⊂ ℜ m ， Η ⊂ ℜ J 1 + 1 × ⋅ ⋅ ⋅ ℜ J l + 1 ，有 Ψ ( u ˜ ， α ) ⊂ Β ， Γ ( u ˜ ， α ) ⊂ Η . 则由Lagrange对偶定理，扰动问题的最优值可以写成下面的极大极小问题： θ ( c ˜ ， A ˜ ， Q ˜ ， B ˜ ， x ˜ ) = max λ ∈ Θ ∩ Η min y ∈ Β L ( y ， λ ; u ˜ ) . 为了进一步的研究，我们给出关于问题(1.2)和(2.1)的三个假设。 假设1： X ⊂ ℜ n 是一个非空紧致凸集。 假设2：对于每个 x ∈ X ，问题(1.2)的最优值函数是有限的，且问题(1.2)的最优解集是紧致的。 假设3：对于每个 x ∈ X ，问题(1.2)的Slater条件成立，即对于每个 x ∈ ℜ n ，存在 y x 使得 g i ( y x ， x ; ξ ) ∈ int Θ J i + 1 ， i = 1 ， ⋯ ， l . 上式也等价为 a i T y x + q i T x − b i > ‖ B i y x ‖ ， i = 1 ， ⋯ ， l 。 如果假设3成立，则对偶问题(2.2)有一个非空子集且问题(1.2)和其对偶问题(2.2)的对偶间隙为0。文献 [ 4 ] 证明了，原问题和对偶问题的可行集是凸集，假设1~3成立时，扰动问题和其对偶问题的Slater条件在 ξ 附近都成立，而且两个问题的最优解集都是上半连续的。文章 [ 3 ] 在同样的假设下，得到了关于扰动问题的最优值函数和最优解集映射的定性和定量的稳定性分析结果。 引理1：给定 ( c ; A ; Q ; B ; b ) 和 x ∈ X ，若假设1~3成立，则最优值函数 θ ( c ˜ ， A ˜ ， Q ˜ ， B ˜ ， b ˜ ， x ˜ ) 在点 ( c ， A ， Q ， B ， b ， x ) 处是方向可微的。进一步， θ ( c ˜ ， A ˜ ， Q ˜ ， B ˜ ， b ˜ ， x ˜ ) 在点 ( c ， A ， Q ， B ， b ， x ) 处是Hadamard方向可微的。因此我们可以得到 θ ( u ˜ ) 在u处的Taylor展开式为 θ ( u ˜ ) = θ ( u ) + inf y ∈ Y * ( u ) sup λ ∈ Λ * ( u ) ( Δ c − Δ Α * λ ) T y + ∑ i = 1 l λ J i + 1 i ( Δ b i − Δ q i T x − q i T Δ x ) + o ( ‖ Δ u ‖ ) ， 其中 u ˜ = ( c ˜ ， A ˜ ， Q ˜ ， B ˜ ， b ˜ ， x ˜ ) ， u = ( c ， A ， Q ， B ， b ， x ) 以及 Δ u = u ˜ − u ， ‖ Δ u ‖ ≤ δ 。 现在我们考虑第二阶段问题(1.2)的最优值函数的渐近性质，其最优值函数，记为 θ ( ξ ， x ) ，其中随机变量 ξ = ( c ˜ ， A ˜ ， Q ˜ ， B ˜ ， b ˜ ) 。令 f ( x ， ξ ) = d T x + θ ( x ， ξ ) ， 则两阶段随机规划问题可以表示为 min     Ε [ f ( x ， ξ ) ]   s .t .       x ∈ X 设 ξ 1 ， ⋯ ， ξ N 是独立同分布的样本，则样本均值近似问题为 min     f ^ N ( x )   s .t .       x ∈ X 其中 f ^ N ( x ) = f ( x ， 1 N ∑ i = 1 N ξ i ) = d T x + θ ( x ， 1 N ∑ i = 1 N ξ i ) . 我们用 ν * 和 S * 分别表示原问题(2.3)的最优值和最优解集，同时令 ν ^ N ， S ^ N 表示SAA问题(2.4)的最优值和最优解集。 假设4：假设 { c ˜ ， A ˜ ， Q ˜ ， B ˜ ， b ˜ } 中任意两个元素是相互独立的， ξ = ( c ˜ ， A ˜ ， Q ˜ ， B ˜ ， b ˜ ) 的期望值是 p ¯ = ( c ， A ， Q ， B ， b ) ，即 Ε ( ξ ) = p ¯ 。设 ξ 1 ， ⋯ ， ξ N 为独立同分布样本，对于 ξ i = ( c ˜ i ， A ˜ i ， Q ˜ i ， B ˜ i ， b ˜ i ) ， i = 1 ， ⋯ ， N 以及 ξ ^ N = ( c ^ N ， A ^ N ， Q ^ N ， B ^ N ， b ^ N ) = 1 N ∑ i = 1 N ( c ˜ i ， A ˜ i ， Q ˜ i ， B ˜ i ， b ˜ i ) . 假设 N [ c ^ N − c ] → d Ν ( 0 ， Σ c ) ， N [ a ^ i N − a i ] → d Ν ( 0 ， Σ i A ) ，   i = 1 ， ⋯ ， l N [ q ^ i N − q i ] → d Ν ( 0 ， Σ i Q ) ，   i = 1 ， ⋯ ， l N [ [ B ^ i . ] N − [ B i . ] ] → d Ν ( 0 ， Σ i B ) ，   i = 1 ， ⋯ ， l N [ b ^ i N − b i ] → d Ν ( 0 ， Σ i b ) ，   i = 1 ， ⋯ ， l 这里 → d 表示依分布收敛。则 N [ ( [ B ^ i . ] N ， a ^ i N ) − ( [ B i . ] ， a i ) ] = N [ [ Α ^ i . ] N − [ Α i . ] ] → d Ν ( 0 ， Σ i Α ) ， i = 1 ， ⋯ ， l ， 这里 Σ i Α 能被 Σ i A 和 Σ i B 表示。 我们通过Delta引理来分析SAA最优值 ν N 的一阶渐近性质。 引理2：( [ 9 ] Theorem 7.59)设 B 1 和 B 2 为Banach空间， Z N 为 B 1 中随机元素序列，G是一个从 B 1 到 B 2 的映射。1) 若空间 B 1 是可分的，2) 映射G在点 μ ∈ B 1 处是Hadamard方向可微的，3) 当 N → ∞ 时，序列 τ N 趋于无穷，序列 X N : = τ N ( Z N − μ ) 依分布收敛于 B 1 中的随机元素Z，则有 τ N [ G ( Z N ) − G ( μ ) ] → d G ′ ( μ ; Z ) . 现在我们提出研究SAA问题最优值 ν N 渐近性质的主要定理。 定理1：若假设4成立，则有 N 1 / 2 ( θ ^ N − θ * ) → d inf x ∈ S * inf y ∈ Y * ( p ¯ ) sup λ ∈ Λ * ( p ¯ ) { V ( x ， y ， λ ) } ， (2.5) 这里 V ( x ， y ， λ ) 是依赖于 ( x ， y ， λ ) 的随机变量： V ( x ， y ， λ ) ~ Ν ( 0 ， y T Σ c y − ∑ i = 1 l λ i 2 y T Σ i Α y + ∑ i = 1 l λ J i + 1 i 2 [ Σ i b − x T Σ i Q x ] ) . 更进一步的，如果 S * = { x ¯ } ， Y * ( p ¯ ) = { y ¯ } ， Λ * ( p ¯ ) = { λ ¯ } ，我们可以得到 N 1 / 2 ( ν ^ N − v * ) → d Ν ( 0 ， y ¯ T Σ c y ¯ − ∑ i = 1 l λ ¯ i 2 y ¯ T Σ i Α y ¯ + ∑ i = 1 l λ ¯ J i + 1 i 2 [ Σ i b − x ¯ T Σ i Q x ¯ ] ) . (2.6) 证明：首先我们用引理2分析 N 1 / 2 ( f ^ N ( x ) − Ε ( f ( x ， ξ ) ) ) 的渐近性质。 设 B 1 = ℜ m × ℜ l × m × ℜ l × n × ℜ J l × m × ℜ l ， B 2 = C ( X ) 和 G : B 1 → B 2 G ( ξ ) = d T x + θ ( x ， ξ ) 设 τ N = N 1 / 2 ， Z N = ξ ^ N ， μ = p ¯ ，则可以由假设4得到 τ N ( Z N − μ ) → d Z ，其中 Z c ~ Ν ( 0 ， Σ c ) ， Z q i ~ Ν ( 0 ， Σ i Q ) ，   i = 1 ， ⋯ ， l ， Z [ Α i . ] ~ Ν ( 0 ， Σ i Α ) ，   i = 1 ， ⋯ ， l ， Z b i ~ Ν ( 0 ， Σ i b ) ，   i = 1 ， ⋯ ， l . (2.7) 从而引理2中的1)，2)可以由假设4得出。由引理1可知G在 μ 处是Hadamard方向可微，从而满足引理2中的3)。因此，我们可以由引理2得到 N 1 / 2 [ f ( x ， ξ ^ N ) − f ( x ， Ε ξ ) ] → d G ′ ( μ ; Z ) . 注意到 G ′ ( μ ; Z ) = θ ′ ( μ ; Z ) ，则由引理1可以得到 G ′ ( μ ; Z ) = inf y ∈ Y * ( p ¯ ) sup λ ∈ Λ * ( p ¯ ) { ( Z c − Z [ Α i . ] λ ) T y + ∑ i = 1 l λ J i + 1 i ( Z i b − Z q i T x ) } . 设 V ( x ， y ， λ ) = { Z c T y − ∑ i = 1 l λ i Z [ Α i . ] T y + ∑ i = 1 l λ J i + 1 i ( Z i b − Z q i T x ) } 则由式(2.7)可以得到 V ( x ， y ， λ ) ~ N ( 0 ， y T Σ c y − ∑ i = 1 l λ i 2 y T Σ i A y + ∑ i = 1 l λ J i + 1 i 2 [ Σ i b − x T Σ i Q x ] ) . 等式(2.5)可以由文章 [ 10 ] 中定理5.7直接得到。自然地，当 S * = { x ¯ } ， Y * ( p ¯ ) = { y ¯ } ， Λ * ( p ¯ ) = { λ ¯ } 时，我们可以由(2.5)得到(2.6)，证明完毕。