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user: 1. 引言 作为凸性的一个有意义的延拓，在1996年，Poliquin和Rockafellar [ 2 ] 提出并研究了prox-正则性。 设 f : R n → R ∪ { + ∞ } 是一个真下半连续泛函且 ( x ¯ ， x ¯ ∗ ) ∈ g p h ( ∂ f ) ，若存在 ρ ， δ ∈ ( 0 ， + ∞ ) 使得对于任意的 y ∈ B ( x ¯ ， δ ) ， ( x ， f ( x ) ) ∈ B ( ( x ¯ ， f ( x ¯ ) ) ， δ ) 及 x ∗ ∈ g p h ( ∂ f ) ∩ B ( x ¯ ∗ ， δ ) 都有 〈 x ∗ ， y − x 〉 ≤ f ( y ) − f ( x ) + ρ ‖ y − x ‖ 2 ， (1.1) 则称f在 ( x ， x ∗ ) 处是prox-正则的，其中 B ( ( x ¯ ， f ( x ¯ ) ) ， δ ) 表示乘积空间 R n × R 中以 δ 为半径且以 ( x ¯ ， f ( x ¯ ) ) 为心的开球， B ( x ¯ ∗ ， δ ) 表示 R n 中以 δ 为半径且以 x ¯ ∗ 为心的开球，而 ∂ f 表示f的Clarke次微分。之后，Bernard和Thibault [ 3 ] 将上述的prox-正则性推广到无限维空间中，并被很好地研究。特别地，一个真下半连续泛函f的正则性与它的次微分映射 ∂ f 的hypomonotocity有着紧密的关系(参见文献 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] )。 当目标函数在小的线性扰动下，prox-正则性在研究目标函数的一致二阶增长条件和tilt-稳定性中起 着很重要的作用(参见文献 [ 9 ] - [ 16 ] )。特别地，当 f : X → R ∪ { + ∞ } 在 ( x ¯ ， x ¯ ∗ ) 处是prox-正则的及次微分连续时，Poliquin和Rockafellar [ 14 ] 中证明了 ∂ 2 f ( x ¯ ， 0 ) 在Mordukhovich [ 17 ] 意义下是正定的当且仅当f在 x ¯ 处有tilt-稳定的极小值，即， f ( x ¯ ) < + ∞ 且存在 δ > 0 使得映射 M : v → arg min x ∈ B X [ x ¯ ， δ ] { f ( x ) − f ( x ¯ ) − 〈 v ， x − x ¯ 〉 } 是单值的，满足 M ( 0 ) = x ¯ 且在 v = 0 附近是Lipschitz的。最近，这个结果被Mordukhovich和Nghia [ 11 ] 和Mordukhovich和Rockafellar [ 18 ] 分别推广到了Asplund空间和希尔伯特空间。而Drusvyatskiy和Lewis在 [ 9 ] 中证明了 ∂ f 在 x ¯ 处有tilt-稳定的极小值当且仅当f在 x ¯ 处满足一致二阶增长条件，即，存在 δ ， κ ， r ∈ ( 0 ， + ∞ ) 及映射 ϑ : B ( 0 ， δ ) → B ( x ¯ ， r ) 使得对于任意的 ( x ， u ∗ ) ∈ B ( x ¯ ， r ) × B ( 0 ， δ ) 有 ϑ ( 0 ) = x ¯ 且 κ ‖ x − ϑ ( u ∗ ) ‖ 2 ≤ f ( x ) − f ( ϑ ( u ∗ ) ) − 〈 u ∗ ， x − ϑ ( u ∗ ) 〉 . (1.2) 在f是希尔伯特空间X上的一个真下半连续凸泛函的假设下，Artacho在 [ 19 ] 证明了f在 x ¯ 处满足一致二阶增长条件当且仅当 ∂ f 在 ( x ¯ ， 0 ) 处是强度量正则的。之后，在有限维空间中，将f的凸性减弱为f是次微分连续及prox-正则的，Drusvyatskiy和Lewis [ 9 ] 证明了类似的结果。近来，在更一般的无限维空间中，许多的学者利用次微分映射 ∂ f 的度量正则性和度量次正则性进一步研究了一致二阶增长条件(参见文献 [ 11 ] [ 15 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] )。 适定性是优化中基本概念，它可以叙述如下：一Banach个空间X上的广泛实值下半连续函数f被称 为在 x ¯ ∈ X 处具有适定性，若f的每一个极小化序列 { x n } ⊂ X 都收敛于 x ¯ (即，若每当 { x n } ⊂ X 使得 lim n → ∞ f ( x n ) = inf x ∈ X f ( x ) 必有 lim n → ∞ x n = x ¯ ) 。回顾一个函数 φ : R + → R + 是admissible函数，若φ是一个非减的函数， φ ( 0 ) = 0 且 [ φ ( t ) → 0 ⇒ t → 0 ] 。下面的适定性特征容易验证(参见文献 [ 23 ] ，定理2)，f在 x ¯ ∈ X 处具有适定性等价于存在一个admissible函数 φ : R + → R + 使得 φ ( ‖ x − x ¯ ‖ ) ≤ f ( x ) − f ( x ¯ ) ，     ∀ x ∈ X . 基于适定性的上述特征，通过admissible函数，Zheng和Zhu [ 24 ] 引进并研究了适定性的稳定性。特 别地，他们将一致二阶增长条件推广为一致φ-增长条件：若存在 δ ， κ ， r ， τ ∈ ( 0 ， + ∞ ) 及映射 ϑ : B X ∗ ( 0 ， δ ) → B X ( x ¯ ， r ) 使得 ϑ ( 0 ) = x ¯ 且对于任意的 ( x ， u ∗ ) ∈ B X ( x ¯ ， r ) × B X ∗ ( 0 ， δ ) 都有 κ φ ( τ ‖ x − ϑ ( u ∗ ) ‖ ) ≤ f ( x ) − f ( ϑ ( u ∗ ) ) − 〈 u ∗ ， x − ϑ ( u ∗ ) 〉 ， (1.3) 则称f在 x ¯ 处是满足一致φ-增长条件。在 φ ( t ) = t 2 的特殊情况下，一致φ-增长条件即回归到一致二阶增长条件。在 x ¯ 是f的局部极小值点且φ是一个凸的admissible函数的条件下，Zheng和Zhu [ 24 ] 证明了 ∂ f 在 ( x ¯ ， 0 ) 处是强度量 φ ′ + 正则的是f在 x ¯ 处是满足一致φ-增长条件的一个充分条件，其中 φ ′ + 是φ的右方向导数。该结果要求 x ¯ 是f的局部极小值点的假设在实际应用中有一定的局限性。另一方面，在 φ ( t ) = t 2 的特殊情况下，不要求 x ¯ 是f的局部极小值点，若f在 ( x ¯ ， 0 ) 处是prox-正则的且次微分连续，则 ∂ f 在 ( x ¯ ， 0 ) 处处是强度量 φ ′ + 正则的是f在 x ¯ 处是满足一致二阶增长条件的一个必要条件。Prox-正则性在研究一致二阶增长条件中起着很重要的作用，可能是因为prox-正则性和一致二阶增长条件涉及到了二阶变分行为之故(见(1.1)和(1.2))。由此对于一个一般的admissible函数就产生了一个问题：是否存在φ-阶正则性，作为prox-正则性的合理推广，使得它在研究一致φ-增长条件中所起的作用与prox-正则性在研究一致二阶增长条件中所起的作用类似? Yao，Zheng和Zhu [ 1 ] 就解决了上述的问题，将prox-正则性推广为φ-正则性。 设 f : X → R ∪ { + ∞ } 是一个真的下半连续泛函，若存在 δ ， ρ ， τ ∈ ( 0 ， + ∞ ) 使得对于任意 x ∈ B X ( x ¯ ， δ ) ， ( z ， f ( z ) ) ∈ B ( ( x ¯ ， f ( x ¯ ) ) ， δ ) 及 u ∗ ∈ ∂ f ( z ) ∩ B X ∗ ( x ¯ ∗ ， δ ) 都有 〈 u ∗ ， x − z 〉 ≤ f ( x ) − f ( z ) + ρ φ ( τ ‖ x − z ‖ ) ， 则称f在 ( x ¯ ， x ¯ ∗ ) 处是φ-正则的。他们也定义了φ-S-正则，φ-次正则及φ-S-次正则(参见文献 [ 1 ] ，定义3.1)，并用上述的φ-正则性及度量正则性与度量次正则性来研究一致φ-增长条件，得到了一致φ-增长条件的存在性证明，同时还得到了一致φ-增长条件的一个必要条件。不仅改进了之前的一些结果，而且深 刻地刻画了一致φ-增长条件。上述所有关于一致增长条件的结果都是存在性的，即存在半径 δ ， r ∈ ( 0 ， + ∞ ) 使得当 ( x ， u ∗ ) ∈ B X ( x ¯ ， r ) × B X ∗ ( 0 ， δ ) 时(1.2)或(1.3)成立。然而在实际应用当中，尤其是在算法的收敛性分 析及稳定性分析中，只有半径r和δ存在性是不够的，需要知道相关性质成立的明确范围。本文主要改进了Yao，Zheng和Zhu [ 1 ] 在得到一致φ-增长条件时只有存在性的不足，我们将给出半径r和δ与条件中出现的系数之间的确切数量关系。