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user: 2. 回归分析建模 回归分析 [ 5 ] 是研究变量间函数关系的一种方法。 2.1. 建立一般多元线性回归模型 假设AQI为响应变量，PM2.5、PM10、SO 2 、CO、NO 2 、O 3 为预测变量，响应变量与各预测变量的建模过程如下： 1) 散点图 如图1的散点图可以看出，响应变量与各预测变量之间大致呈线性关系，因此建立一般多元线性回归模型。 2) 拟合模型 如表1，从拟合结果来看，只有变量PM2.5，PM10和O 3 的系数显著，其他几个参数估计结果均不显著，R-squared = 0.9701是一个很大的值，F检验的p-value: < 2.2e−16是一个很小的值，这说明模型可能存在过拟合的情况。 3) 回归诊断 绘制上述模型的边际模型图： 图1. 散点图 Table 1 Model fitting resul Call: lm(formula = AQI ~ PM2.5 + PM10 + SO 2 + CO + NO 2 + O 3 ， data = air) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max −11.9898 −3.9216−0.26693.6843 18.2069 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) −13.52998 10.94688 −1.236 0.2245 PM2.5 0.86999 0.0843110.319 2.67e−12 *** PM10 0.22467 0.07914 2.839 0.0074 ** SO 2 0.10969 0.12524 0.876 0.3869 CO 1.84763 5.41873 0.341 0.7351 NO 2 0.01416 0.14484 0.098 0.9227 O 3 0.33644 0.04969 6.770 6.59e−08 *** --- Signif. codes:0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 7.118 on 36 degrees of freedom Multiple R-squared:0.9744， Adjusted R-squared:0.9701 F-statistic: 228.1 on 6 and 36 DF，p-value: < 2.2e−16 表1. 模型拟合结果 如图2，边际模型图显示各个变量的拟合效果比较好。 绘制上述模型的诊断图(图3)。 如图3拟合模型的诊断图：用Q-Q图判断正态性，若满足正态假设，那么图上的点应该落在呈45度角的直线上 [ 6 ] ，可以看出模型的标准化残差不满足正态性；用位置尺度图判断同方差性，若满足不变方差假设，那么在“位置尺度图”中，水平线周围的点应该随机分布 [ 6 ] ，该图不满足同方差性假设。 进一步绘制上述回归模型的变量添加图评估一下每个变量对其他变量的影响。 图2. 边际模型图 图3. 回归诊断图 如图4变量添加图可以看出，PM2.5，PM10和O 3 对其他变量影响较大，NO 2 ，SO 2 和CO对其他变量的影响都不是太大，这也与估计结果中NO 2 ，SO 2 和CO的系数估计的结果不显著相对应，所以我们考虑将这三个变量去除之后再做模型的拟合。 如表2模型拟合结果来看，去掉变量后所建模型中变量的系数均显著，并且R-squared没有减小且F检验的p-value依旧显著。绘制这个模型的标准化残差诊断图。 如图5回归诊断图可以看出，虽然模型拟合较好但是诊断图形呈现的问题仍然没有得到解决。于是认为，一般的线性模型不足以表达变量间的关系，我们考虑对变量进行变换继续建立更加有效地模型。 图4. 变量添加图 Table 2 Model fitting resul Call: lm(formula = AQI ~ PM2.5 + PM10 + O 3 ) Residuals: Min 1QMedian 3Q Max −12.2394 −4.0724 −0.11663.582519.8939 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) −9.12503 7.90795−1.154 0.255561 PM2.5 0.87644 0.0810410.815 2.66e-13 *** PM10 0.25403 0.06878 3.693 0.000677 *** O 3 0.30719 0.04108 7.477 4.79e−09 *** --- Signif. codes:0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 7.021 on 39 degrees of freedom Multiple R-squared:0.973， Adjusted R-squared:0.9709 F-statistic: 468.4 on 3 and 39 DF，p-value: < 2.2e−16 表2. 模型拟合结果 2.2. 变换变量建模 首先，我们从验证变量为正态分布的假设入手，我们需要画出各变量高斯核密度估计图、箱线图、QQ图。 从图6~12中观察可得各变量数据存在偏态非正态的情况，所以考虑对其预测变量和相应变量同时进行BOX-COX变换。 图5. 回归诊断图 图6. AQI正态分布检验 图7. PM2.5正态分布检验 图8. PM10正态分布检验 图9. NO 2 正态分布检验 图10. SO 2 正态分布检验 图11. CO正态分布检验 图12. O 3 正态分布检验 如表3的结果显示对变量进行如下变换：log(AQI)，log(PM2.5)，1/ SO 2 ，1/CO对变换后的变量进行建模。 从表4的模型拟合结果来看，变量NO 2 ，tSO 2 ，tCO系数不显著，这有可能是由多重共线性引起的，下面进行多重共线性的判别。 tPM2.5 PM10 NO 2 tSO 2 tCO O 3 28.211357 24.0693573.452873 10.288414 14.752069 6.674461 由上面的多重共线性的输出结果可以看出，方差膨胀因子存在大于10的值，因此数据存在多重共线性。下面采用向后剔除法进行变量选择。 由表5可以看出，变量选择后的模型中各个变量都是显著的。 绘制上述模型的诊断图(图13)。 由图13的回归诊断图可以看出残差与拟合图中的点更加随机的分布在水平线周围，说明建立的模型合适。位置尺度图中的点也随机分布在水平线周围满足同方差性。因此该模型的拟合效果比较好。 Table 3 BOX-COX transformation result bcPower Transformations to Multinormality Est Power Rounded Pwr Wald Lwr Bnd Wald Upr Bnd AQI −0.1534 0.0 -0.7781 0.4714 PM2.5 −0.2468 0.0 -0.6046 0.1109 PM10 0.9526 1.0 0.4643 1.4409 NO 2 0.1247 1.0 −1.0050 1.2543 SO 2 −0.3271 −0.5 −0.6019 −0.0523 CO −0.6059 −1.0 −1.1548 −0.0570 O 3 1.0138 1.0 0.5136 1.5140 Likelihood ratio test that transformation parameters are equal to 0 (all log transformations) LRT df pval LR test， lambda = (0 0 0 0 0 0 0) 49.203387 2.07e-08 Likelihood ratio test that no transformations are needed LRT df pval LR test， lambda = (1 1 1 1 1 1 1) 133.52787 < 2.22e−16 表3. BOX-COX变换结果 Table 4 Model fitting resul Call: lm(formula = tAQI ~ tPM2.5 + PM10 + NO2 + tSO2 + tCO + O3) Residuals: Min 1QMedian 3Q Max −0.14048 −0.05670 −0.021330.04512 0.23899 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept)2.21130080.4725635 4.679 3.99e−05 *** tPM2.5 0.37277200.1483575 2.5130.01660 * PM10 0.00433720.0012748 3.4020.00165 ** NO 2 0.00012760.0020187 0.0630.94995 tSO 2 −0.19236910.6134640−0.3140.75565 tCO 0.16740150.2425960 0.6900.49459 O 3 0.00310130.0008675 3.5750.00102 ** --- Signif. codes:0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 0.09108 on 36 degrees of freedom Multiple R-squared:0.9318， Adjusted R-squared:0.9205 F-statistic: 82.02 on 6 and 36 DF，p-value: < 2.2e−16 表4. 模型拟合结果 Table 5 Variable selection result Call: lm(formula = tAQI ~ tPM2.5 + PM10 + O3) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max −0.14596 −0.05394 −0.01348 0.03781 0.23737 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 2.187334 0.409397 5.343 4.22e−06 *** tPM2.5 0.399506 0.128671 3.1050.00354 ** PM10 0.003997 0.001127 3.5460.00104 ** O 3 0.003511 0.000544 6.455 1.21e−07 *** --- Signif. codes:0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 0.08817 on 39 degrees of freedom Multiple R-squared:0.9308， Adjusted R-squared:0.9255 F-statistic: 174.8 on 3 and 39 DF，p-value: < 2.2e−16 表5. 变量选择结果 图13. 回归诊断 绘制上述模型的边际模型图(图14)。 由图14的边际模型图也可以看出拟合效果很好，因此该模型为有效模型。 综上，最终确定模型为： log ( AQI ) = 0. 3995 0 6log ( PM2 . 5 ) + 0.00 3997PM1 0 + 0.00 3511O 3 + 2 . 187334