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user: 3. V ¯ − ϕ ( K ， L ) 的基本性质 由于函数 ϕ 在 [ 0 ， ∞ ) 上是严格递增的，那么函数 λ ↦ 1 n | K | ∫ S n − 1 ϕ ( ρ K ( u ) λ ρ L ( u ) ) ρ K n ( u ) d S (u) 在 ( 0 ， ∞ ) 内是严格递减的，且这个函数也是连续的。这样，对于 K ， L ∈ S o n ， V ¯ − ϕ ( K ， L ) = λ   ⇔   1 n | K | ∫ S n − 1 ϕ ( ρ K ( u ) λ ρ L ( u ) ) ρ K n ( u ) d S ( u ) = 1. (11) 而且由 ϕ 的单调性可得，如果 ϕ 1 ， ϕ 2 ∈ C ，则 ϕ 1 ≤ ϕ 2   ⇒   V ¯ − ϕ 1 ( K ， L ) ≤ V ¯ − ϕ 2 ( K ， L ) . (12) 由于 ϕ 在 [ 0 ， ∞ ) 上是严格递增的、凸的且 ϕ ( 0 ) = 0 ，那么存在实数 0 < c ϕ < ∞ ，使得 ϕ ( c ϕ ) = 1 。 引理3.1：若 ϕ ∈ C ， L 1 ， L 2 ∈ S o n ，则 L 1 ⊆ L 2   ⇔   V ¯ − ϕ ( K ， L 1 ) ≥ V ¯ − ϕ ( K ， L 2 ) . 证明：令 V ¯ − ϕ ( K ， L 1 ) = λ 1 和 V ¯ − ϕ ( K ， L 2 ) = λ 2 。于是由 V ¯ − ϕ ( ⋅ ， ⋅ ) 的定义和(11)式，可得 1 n | K | ∫ S n − 1 ϕ ( ρ K ( u ) λ ρ L 1 ( u ) ) ρ K n ( u ) d S ( u ) = 1 ， 以及 1 n | K | ∫ S n − 1 ϕ ( ρ K ( u ) λ ρ L 2 ( u ) ) ρ K n ( u ) d S ( u ) = 1. 又由(2)式可得 L 1 ⊆ L 2   ⇔   ρ L 1 ( u ) ≤ ρ L 2 ( u ) . 以上三式结合，并注意到 ϕ ∈ C 在 [ 0 ， ∞ ) 上单调递增，则得 V ¯ − ϕ ( K ， L 1 ) = λ 1 ≥ λ 2 = V ¯ − ϕ ( K ， L 2 ) . 反之，若 λ 1 ≥ λ 2 ，则 L 1 ⊆ L 2 显然成立。 接下来，为了建立 V ¯ − ϕ ( ⋅ ， ⋅ ) 的连续性，我们需要对 V ¯ − ϕ ( ⋅ ， ⋅ ) 进行粗略的上下界估计。 引理3.2：若 ϕ ∈ C 以及 K ， L ∈ S o n ，那么 r K c ϕ R K ≤ V ¯ − ϕ ( K ， L ) ≤ R K c ϕ r K . 证明：由于 ϕ ∈ C ，那么存在实数 c ϕ ， 0 < c ϕ < ∞ ，使得 ϕ ( c ϕ ) = 1 。令 V ¯ − ϕ ( K ， L ) = λ 。由(11)式可得 1 n | K | ∫ S n − 1 ϕ ( ρ K ( u ) λ ρ L ( u ) ) ρ K n ( u ) d S ( u ) = 1. 再由 ϕ 的单调性和体积的极坐标公式(8)，得到 ϕ ( c ϕ ) = 1 = 1 n | K | ∫ S n − 1 ϕ ( ρ K ( u ) λ ρ L ( u ) ) ρ K n ( u ) d S ( u )       ≤ 1 n | K | ∫ S n − 1 ϕ ( R K λ r L ) ρ K n ( u ) d S ( u )       = ϕ ( R K λ r L ) ∫ S n − 1 1 n | K | ρ K n ( u ) d S ( u )       = ϕ ( R K λ r L ) . 这藴含着 V ¯ − ϕ ( K ， L ) = λ ≤ R K c ϕ r K . 另一方面，我们也可得到类似的下界估计： V ¯ − ϕ ( K ， L ) ≥ r K c ϕ R K . 引理3.2证毕。 若 K ， L ∈ S o n ， c > 0 ，由定义1.1和(4)式，我们容易得到 V ¯ − ϕ ( c K ， L ) = c V ¯ − ϕ ( K ， L ) (13) 和 V ¯ − ϕ ( K ， c L ) = c − 1 V ¯ − ϕ ( K ， L ) . (14) 引理3.3：如果 K i ， L i ∈ S o n ，那么 K i → K ∈ S o n 和 L i → L ∈ S o n   ⇒   V ¯ − ϕ ( K i ， L i ) → V ¯ − ϕ ( K ， L ) ， 对于任意 ϕ ∈ C 。 假设 V ¯ − ϕ ( K i ， L i ) = λ i ，由引理3.2可知 r K i c ϕ R K i ≤ V ¯ − ϕ ( K i ， L i ) ≤ R K i c ϕ r K i . 由于 K i → K ∈ S o n 以及 L i → L ∈ S o n ，那么 r K i → r K > 0 ， r L i → r L > 0 以及 R K i → R K < ∞ ， R L i → R L < ∞ 。结合 K i ， L i 的紧性，则存在实数 a ， b 使得 0 < a ≤ λ i ≤ b < ∞ ，对所有的i。 为了证明有界序列 { λ i } 收敛到 V ¯ − ϕ ( K ， L ) ，我们只须证明 { λ i } 中任意收敛子列收敛到 V ¯ − ϕ ( K ， L ) 。不失一般性，设 { λ i } 的任一收敛子列仍记为 { λ i } 。假设这个子列 λ i → λ 0 。显然， 0 < a ≤ λ 0 ≤ b < ∞ 。令 K ˜ i = λ i K i 和 L ˜ i = λ i L i 。那么 K ˜ i → λ 0 K ，   L ˜ i → λ 0 L . 由(13)式和 V ¯ − ϕ ( K i ， L i ) = λ i ，可得 1 λ i V ¯ − ϕ ( K i ， L i ) = V ¯ − ϕ ( K i ， λ i L i ) = V ¯ − ϕ ( K i ， L ˜ i ) = 1. 于是，再由(4)式和(11)式，我们得到对所有i， 1 = 1 n | K i | ∫ S n − 1 ϕ ( ρ K i ( u ) ρ L ˜ i ( u ) ) ρ K i n ( u ) d S ( u )     = 1 n | K ˜ i | ∫ S n − 1 ϕ ( ρ K ˜ i ( u ) λ i ρ L ˜ i ( u ) ) ρ K ˜ i n ( u ) d S ( u )   . 同时 K ˜ i → λ 0 K 和 L ˜ i → λ 0 L 蕰涵着函数 ρ K ˜ i → ρ λ 0 K ， ρ L ˜ i → ρ λ 0 L 在 S n − 1 上一致收敛。因此，利用 ϕ 的连续性以及 λ i → λ 0 ，可得 1 n | λ 0 K | ∫ S n − 1 ϕ ( ρ λ 0 K ( u ) λ 0 ρ λ 0 L ( u ) ) ρ λ 0 K n ( u ) d S ( u ) = 1 ， 结合(11)式，(13)式和(14)式，便得 V ¯ − ϕ ( λ 0 K ， λ 0 L ) = V ¯ − ϕ ( K ， L ) = λ 0 . 这就得到了所需要的结果。 下面的引理说明函数 V ¯ − ϕ ( K ， L ) 对于 ϕ 也是连续的。 引理3.4：如果 ϕ i ∈ C ，那么对于任意 K ， L ∈ S o n ， ϕ i → ϕ ∈ C   ⇒   V ¯ − ϕ i ( K ， L ) → V ¯ − ϕ ( K ， L ) . 证明：令 V ¯ − ϕ i ( K ， L ) = λ i 。由引理3.2给出 r K c ϕ i R K ≤ λ i ≤ R K c ϕ i r K . 由于 ϕ i → ϕ ，那么 c ϕ i → c ϕ ，于是存在实数 a ， b 使得对所有的i， 0 < a ≤ λ i ≤ b < ∞ 。 为了证明有界序列 { λ i } 收敛到 V ¯ − ϕ ( K ， L ) ，我们只须证明 { λ i } 中任意收敛子列收敛到 V ¯ − ϕ ( K ， L ) 。不失一般性，设 { λ i } 的任一收敛子列仍是 { λ i } 。假设这个子列 λ i → λ 0 。显然， 0 < a ≤ λ 0 ≤ b < ∞ 。因为 V ¯ − ϕ i ( K ， L ) = λ i ，由(11)式可得 1 n | K | ∫ S n − 1 ϕ i ( ρ K ( u ) λ i ρ L ( u ) ) ρ K n ( u ) d S ( u ) = 1. 结合 ϕ i → ϕ ∈ C 以及 λ i → λ 0 ∈ ( 0 ， ∞ ) ，我们得到 1 n | K | ∫ S n − 1 ϕ ( ρ K ( u ) λ 0 ρ L ( u ) ) ρ K n ( u ) d S ( u ) = 1. 即 V ¯ − ϕ ( K ， L ) = λ 0 。于是 V ¯ − ϕ i ( K ， L ) → V ¯ − ϕ ( K ， L ) 。 下面的是 V ¯ − ϕ ( K ， L ) 的仿射性质： 引理3.5：如果 K ， L ∈ S o n ， ϕ ∈ C 以及 T ∈ SL ( n ) ，那么 V ¯ − ϕ ( T K ， L ) = V ¯ − ϕ ( K ， T − 1 L ) . 证明：由 V ¯ − ϕ ( K ， L ) 的定义和(3)式，我们得到 V ¯ − ϕ ( T K ， L ) = inf { λ > 0 : 1 n | T K | ∫ S n − 1 ϕ ( ρ T K ( u ) λ ρ L ( u ) ) ρ T K n ( u ) d S ( u ) ≤ 1 } = inf { λ > 0 : 1 n | K | ∫ S n − 1 ϕ ( ρ K ( T − 1 u ) λ ρ L ( u ) ) ρ K n ( T − 1 u ) d S ( u ) ≤ 1 } = inf { λ > 0 : 1 n | K | ∫ S n − 1 ϕ ( ρ K ( T − 1 u ) λ ρ L ( T T − 1 u ) ) ρ K n ( T − 1 u ) d S ( T T − 1 u ) ≤ 1 } = inf { λ > 0 : 1 n | K | ∫ S n − 1 ϕ ( ρ K ( T − 1 u ) λ ρ T − 1 L ( T − 1 u ) ) ρ K n ( T − 1 u ) | det T | d S ( T − 1 u ) ≤ 1 } = inf { λ > 0 : 1 n | K | ∫ S n − 1 ϕ ( ρ K ( v ) λ ρ T − 1 L ( v ) ) ρ K n ( v ) d S ( v ) ≤ 1 }   ( v = T − 1 u T − 1 u | | ∈ S n − 1 ) = V ¯ − ϕ ( K ， T − 1 L ) 这就完成了证明。 结合引理3.5，(13)式和(14)式，我们得到对于 T ∈ GL ( n ) ， V ¯ − ϕ ( T K ， T L ) = V ¯ − ϕ ( K ， L ) . 下面的定理是规范化的对偶Orlicz-Minkowski不等式。 定理3.1：如果 ϕ ∈ C ， ϕ ( c ϕ ) = 1 以及 K ， L ∈ S o n ，那么 V ¯ − ϕ ( K ， L ) ≥ c ϕ − 1 ( | K | | L | ) 1 n ， (15) 等式成立当且仅当K和L是膨胀的。 证明：由于 ϕ ∈ C ，那么存在实数 0 < c ϕ < ∞ 使得 ϕ ( c ϕ ) = 1 。由(11)式，Jensen 不等式以及L 1 -对偶调和混合体积的Minkowski不等式(10)，我们有 ϕ ( c ϕ ) = 1 = 1 n | K | ∫ S n − 1 ϕ ( ρ K ( u ) V ¯ − ϕ ( K ， L ) ρ L ( u ) ) ρ K n ( u ) d S ( u ) ≥ ϕ ( 1 n | K | ∫ S n − 1 ρ K ( u ) V ¯ − ϕ ( K ， L ) ρ L ( u ) × ρ K n ( u ) d S ( u ) ) = ϕ ( V − 1 ( K ， L ) | K | V ¯ − ϕ ( K ， L ) ) ≥ ϕ ( | K | n + 1 n | L | − 1 n | K | V ¯ − ϕ ( K ， L ) ) = ϕ ( | K | 1 n | L | − 1 n V ¯ − ϕ ( K ， L ) ) . (16) 由 ϕ 的严格单调性知，上式蕰涵着 V ¯ − ϕ ( K ， L ) n ≥ c ϕ − n | K | | L | − 1 = | K | | c ϕ L | − 1 . 等式成立的条件可由Jensen不等式和L 1 -对偶调和混合体积Minkowski不等式的等号成立的条件得到。如果 ϕ 是严格凸的，那么Jensen不等式蕰涵着(16)式也是严格的，除非 ϕ 是常数，也就是说， ρ K ( u ) / ρ L ( u ) 对所有的 u ∈ S n − 1 是个常数，即K和L是膨胀的。如果 ϕ ∈ C 不是严格凸的，那么 ϕ 的严格单调性意味着 ϕ 必定在一些区间 I ⊂ [ 0 ， ∞ ) 上是线性的，其它是严格凸的。如果 ϕ 是线性的，那么(16)式等号自动成立。 结合L 1 -对偶调和混合体积的Minkowski不等式等号成立的条件，我们得到不等式(15)等号成立当且仅当K和L是膨胀的。定理3.1证毕。 注意到如果 ϕ ( t ) = | t | p ， p ≥ 1 ，那么 c ϕ = 1 ，不等式(15)就是L p -对偶调和混合体积Min-kowski不等式(9)。