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user: 3. 泊松代数模及形变 定义3.1 [ 4 ] 设 ( P ， ∘ ) 是交换结合代数，V是域F上的线性空间， S : P → E n d ( V ) 为线性映射，如果满足 S ( x ∘ y ) = S ( x ) S ( y ) ， ∀ x ， y ∈ P ， (3.1) 则称 ( V ， S ) 是交换结合代数 ( P ， ∘ ) 的模。 定义3.2 [ 4 ] 设 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 是泊松代数，V是域F上的线性空间， S [ ， ] ， S ∘ : P → E n d ( V ) 为线性映射，如果 ( V ， S [ ， ] ) 是李代数 ( P ， [ ， ] ) 的表示， ( V ， S ∘ ) 是交换结合代数 ( P ， ∘ ) 的模，并且满足 S [ ， ] ( x ∘ y ) = S ∘ ( y ) S [ ， ] ( x ) + S ∘ ( x ) S [ ， ] ( y ) ， (3.2) S ∘ ( [ x ， y ] ) = S [ ， ] ( x ) S ∘ ( y ) − S ∘ ( y ) S [ ， ] ( x ) ， (3.3) ∀ x ， y ∈ P ，则称 ( V ， S [ ， ] ， S ∘ ) 是泊松代数 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 的模，V简称P-模V。 定理3.1 设 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 为泊松代数， ( V ， S [ ， ] ， S ∘ ) 是泊松代数 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 的模， σ ， τ : P → E n d ( V ) 为线性映射，定义 S [ ， ] t ， S ∘ t : P → E n d ( V ) ，其中 S [ ， ] t ( x ) = S [ ， ] ( x ) + t σ ( x ) ， (3.4) S ∘ t ( x ) = S ∘ ( x ) + t τ ( x ) ， (3.5) ∀ x ∈ P ， t 为参数，则 ( V ， S [ ， ] t ， S ∘ t ) 是泊松代数 ( P ， [ ， ] t ， ∘ t ) 的模当且仅当满足下列方程 S [ ， ] ( ω 1 ( x ， y ) ) + σ ( [ x ， y ] ) − S [ ， ] ( x ) σ ( y ) − σ ( x ) S [ ， ] ( y ) + S [ ， ] ( y ) σ ( x ) + σ ( y ) S [ ， ] ( x ) = 0 ， (3.6) σ ( ω 1 ( x ， y ) ) − σ ( x ) σ ( y ) + σ ( y ) σ ( x ) = 0 ， (3.7) S ∘ ( ω 2 ( x ， y ) ) + τ ( x ∘ y ) − S ∘ ( x ) τ ( y ) − τ ( x ) S ∘ ( y ) = 0 ， (3.8) τ ( ω 2 ( x ， y ) ) − τ ( x ) τ ( y ) = 0 ， (3.9) S [ ， ] ( ω 2 ( x ， y ) ) + σ ( x ∘ y ) − S ∘ ( y ) σ ( x ) − τ ( y ) S [ ， ] ( x ) − S ∘ ( x ) σ ( y ) − τ ( x ) S [ ， ] ( y ) = 0 ， (3.10) σ ( ω 2 ( x ， y ) ) − τ ( y ) σ ( x ) − τ ( x ) σ ( y ) = 0 ， (3.11) S ∘ ( ω 1 ( x ， y ) ) + τ ( [ x ， y ] ) − S [ ， ] ( x ) τ ( y ) − σ ( x ) S ∘ ( y ) + S ∘ ( y ) σ ( x ) + τ ( y ) S [ ， ] ( x ) = 0 ， (3.12) τ ( ω 1 ( x ， y ) ) − σ ( x ) τ ( y ) + τ ( y ) σ ( x ) = 0 ， (3.13) ∀ x ， y ∈ P . 证明：显然由 S [ ， ] t ， S ∘ t 的定义知 S [ ， ] t ， S ∘ t 是线性的。 ∀ x ， y ∈ P ，由于 S [ ， ] t ( [ x ， y ] t ) − [ S [ ， ] t ( x ) ， S [ ， ] t ( y ) ] = t ( S [ ， ] ( ω 1 ( x ， y ) ) + σ ( [ x ， y ] ) − S [ ， ] ( x ) σ ( y ) − σ ( x ) S [ ， ] ( y ) + S [ ， ] ( y ) σ ( x ) + σ ( y ) S [ ， ] ( x ) )       + t 2 ( σ ( ω 1 ( x ， y ) ) − σ ( x ) σ ( y ) + σ ( y ) σ ( x ) ) ， 因此 ( V ， S [ ， ] t ) 是 ( P ， [ ， ] t ) 的表示当且仅当(3.6)、(3.7)成立。由于 S ∘ t ( x ∘ t y ) − S ∘ t ( x ) S ∘ t ( y ) = t ( S ∘ ( ω 2 ( x ， y ) ) + τ ( x ∘ y ) − S ∘ ( x ) τ ( y ) − τ ( x ) S ∘ ( y ) )       + t 2 ( τ ( ω 2 ( x ， y ) ) − τ ( x ) τ ( y ) ) ， 因此 ( V ， S ∘ t ) 是 ( P ， ∘ t ) 的模当且仅当(3.8)、(3.9)成立。由于 S [ ， ] t ( x ∘ t y ) − S ∘ t ( y ) S [ ， ] t ( x ) − S ∘ t ( x ) S [ ， ] t ( y ) = S [ ， ] ( x ∘ y ) − S ∘ ( y ) S [ ， ] ( x ) + t 2 ( σ ( ω 2 ( x ， y ) ) − τ ( y ) σ ( y ) − τ ( x ) σ ( y ) )     + t ( S [ ， ] ( ω 2 ( x ， y ) ) + σ ( x ∘ y ) − S ∘ ( y ) σ ( x ) − τ ( y ) S [ ， ] ( x ) − S ∘ ( x ) σ ( y ) − τ ( x ) S [ ， ] ( y ) ) ， 因此对于 S [ ， ] t ， S ∘ t (3.2)成立当且仅当(3.10)、(3.11)成立。同理对于 S [ ， ] t ， S ∘ t (3.3)成立当且仅当(3.12)、(3.13)成立。综上可知，结论成立。 定义3.3 设 ( P ， [ ， ] t ， ∘ t ) 为泊松代数 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 的形变， ( V ， S [ ， ] ， S ∘ ) 为 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 的模，若 ( V ， S [ ， ] t ， S ∘ t ) 是泊松代数 ( P ， [ ， ] t ， ∘ t ) 的模，则称 ( ω 1 ， ω 2 ， σ ， τ ) 是模 ( V ， S [ ， ] t ， S ∘ t ) 的无穷小形变。 由定理3.1可知泊松代数 ( P ， [ ， ] t ， ∘ t ) 的模 ( V ， S [ ， ] t ， S ∘ t ) 是P-模V的无穷小形变当且仅当 ω 1 ， ω 2 满足等式(2.2)~(2.9)且 σ ， τ 满足等式(3.6)~(3.13)。 定义3.4 设 ( V ， S [ ， ] ， S ∘ ) 和 ( V ′ ， S [ ， ] ′ ， S ∘ ′ ) 分别是泊松代数 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 和 ( P ， [ ， ] ' ， ∘ ′ ) 的模，如果存在泊松代数的同态映射 φ P ′ : P ′ → P 和线性映射 φ V ′ : V ′ → V 且满足下列条件 φ V ′ ( S ∘ ′ ( x ) ) = S ∘ ( φ P ′ ( x ) ) φ V ′ ， φ V ′ ( S [ ， ] ′ ( x ) ) = S [ ， ] ( φ P ′ ( x ) ) φ V ′ ， (3.14) ∀ x ∈ P ′ ，则称 φ P ′ ， φ V ′ 为模 ( V ′ ， S [ ， ] ′ ， S ∘ ′ ) 到 ( V ， S [ ， ] ， S ∘ ) 的同态。 定义3.5 设 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 为泊松代数， ( P ， [ ， ] t ， ∘ t ) 与 ( P ， [ ， ] t ′ ， ∘ t ′ ) 分别为 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 的形变， ( V ， S [ ， ] ， S ∘ ) 为 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 的模，模 ( V ， S [ ， ] t ， S ∘ t ) 和模 ( V ， S [ ， ] ′ t ， S ∘ ′ t ) 分别是P-模V的两个无穷小形变，如果存在 N ∈ E n d ( P ) 和 M ∈ E n d ( V ) ，使得 ( I d P + t N ， I d V + t M ) 是模 ( V ， S [ ， ] ′ t ， S ∘ ′ t ) 到模 ( V ， S [ ， ] t ， S ∘ t ) 的同态，即满足下列方程 ( I d P + t N ) ( [ x ， y ] ' t ) = [ ( I d P + t N ) ( x ) ， ( I d P + t N ) ( y ) ] t ， (3.15) ( I d P + t N ) ( x ∘ ′ t y ) = ( I d P + t N ) ( x ) ∘ t ( I d P + t N ) ( y ) ， (3.16) ( I d V + t M ) S [ ， ] ′ t ( x ) = S [ ， ] t ( ( I d V + t M ) ( x ) ) ( I d V + t M ) ， (3.17) ( I d V + t M ) S ∘ ′ t ( x ) = S ∘ t ( ( I d V + t M ) ( x ) ) ( I d V + t M ) ， (3.18) ∀ x ， y ∈ P ，则称两个无穷小形变是等价的。如果P-模V的一个无穷小形变和P-模V是等价的，则称该形变为平凡形变。 定理3.2 设 ( P ， [ ， ] t ， ∘ t ) 为 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 的形变， ( V ， S [ ， ] ， S ∘ ) 为 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 的模，则泊松代数 ( P ， [ ， ] t ， ∘ t ) 的模 ( V ， S [ ， ] t ， S ∘ t ) 是P-模V的平凡形变当且仅当存在 N ∈ E n d ( P ) ， M ∈ E n d ( V ) 使得 ω 1 ( x ， y ) = [ x ， N ( y ) ] + [ N ( x ) ， y ] − N ( [ x ， y ] ) ， (3.19) N ( ω 1 ( x ， y ) ) = [ N ( x ) ， N ( y ) ] ， (3.20) ω 2 ( x ， y ) = x ∘ N ( y ) + N ( x ) ∘ y − N ( x ∘ y ) ， (3.21) N ( ω 2 ( x ， y ) ) = N ( x ) ∘ N ( y ) ， (3.22) σ ( x ) = S [ ， ] ( N ( x ) ) + S [ ， ] ( x ) M − M S [ ， ] ( x ) ， (3.23) S [ ， ] ( N ( x ) ) M = M σ ( x ) ， (3.24) τ ( x ) = S ∘ ( N ( x ) ) + S ∘ ( x ) M − M S ∘ ( x ) ， (3.25) S ∘ ( N ( x ) ) M = M τ ( x ) ， (3.26) ∀ x ， y ∈ P . 证明: ∀ x ， y ∈ P ，由定义3.5知，泊松代数 ( P ， [ ， ] t ， ∘ t ) 的模 ( V ， S [ ， ] t ， S ∘ t ) 是P-模V的平凡形变当且仅当存在 N ∈ E n d ( P ) ， M ∈ E n d ( V ) 使得 ( I d P + t N ) ( [ x ， y ] t ) = [ ( I d P + t N ) ( x ) ， ( I d P + t N ) ( y ) ] ， (3.27) ( I d P + t N ) ( x ∘ t y ) = ( I d P + t N ) ( x ) ∘ ( I d P + t N ) ( y ) ， (3.28) ( I d V + t M ) S [ ， ] t ( x ) = S [ ， ] ( ( I d V + t M ) ( x ) ) ( I d V + t M ) ， (3.29) ( I d V + t M ) S ∘ t ( x ) = S ∘ ( ( I d V + t M ) ( x ) ) ( I d V + t M ) ， (3.30) 由于 ( I d P + t N ) ( [ x ， y ] t ) − [ ( I d P + t N ) ( x ) ， ( I d P + t N ) ( y ) ] = ( [ x ， y ] + t ω 1 ( x ， y ) ) + t N ( [ x ， y ] + t ω 1 ( x ， y ) ) − ( [ x + t N ( x ) ， y + t N ( y ) ] ) = t ( ω 1 ( x ， y ) − [ x ， N ( y ) ] − [ N ( x ) ， y ] + N ( [ x ， y ] ) ) + t 2 ( N ( ω 1 ( x ， y ) ) − [ N ( x ) ， N ( y ) ] ) ， 因此(3.27)式成立当且仅当(3.19)、(3.20)成立。由于 ( I d P + t N ) ( x ∘ t y ) − ( ( I d P + t N ) ( x ) ∘ ( I d P + t N ) ( y ) ) = ( x ∘ y + t ω 2 ( x ， y ) ) + t N ( ( x ∘ y ) + t ω 2 ( x ， y ) ) − ( ( x + t N ( x ) ) ∘ ( y + t N ( y ) ) ) = t ( ω 2 ( x ， y ) − x ∘ N ( y ) − N ( x ) ∘ y + N ( x ∘ y ) ) + t 2 ( N ( ω 2 ( x ， y ) ) − N ( x ) ∘ N ( y ) ) ， 因此(3.28)式成立当且仅当(3.21)、(3.22)成立。由于 ( I d V + t M ) S [ ， ] t ( x ) − ( S [ ， ] ( ( I d V + t M ) ( x ) ) ( I d V + t M ) ) = ( S [ ， ] ( x ) + t σ ( x ) ) + t M ( S [ ， ] ( x ) + t σ ( x ) ) − S [ ， ] ( x + t N ( x ) ) − t S [ ， ] ( x + t N ( x ) ) M = t ( σ ( x ) − S [ ， ] ( N ( x ) ) − S [ ， ] ( x ) M + M S [ ， ] ( x ) ) + t 2 ( S [ ， ] ( N ( x ) ) M − M σ ( x ) ) ， 因此(3.29)成立当且仅当(3.23)、(3.24)成立。由于 ( I d V + t M ) S ∘ t ( x ) − ( S ∘ ( ( I d V + t M ) ( x ) ) ( I d V + t M ) ) = ( S ∘ ( x ) + t τ ( x ) ) + t M ( S ∘ ( x ) + t τ ( x ) ) − S ∘ ( x + t N ( x ) ) − t S ∘ ( x + t N ( x ) ) M = t ( τ ( x ) − S ∘ ( N ( x ) ) − S ∘ ( x ) M + M S ∘ ( x ) ) + t 2 ( S ∘ ( N ( x ) ) M − M τ ( x ) ) ， 因此(3.30)成立当且仅当(3.25)、(3.26)成立。综上，结论成立。 定义3.6 如果泊松代数 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 上线性变换N满足 [ N ( x ) ， N ( y ) ] = N ( [ N ( x ) ， y ] + [ x ， N ( y ) ] − N ( [ x ， y ] ) ) ， (3.31) N ( x ) ∘ N ( y ) = N ( N ( x ) ∘ y + x ∘ N ( y ) − N ( x ∘ y ) ) ， (3.32) ∀ x ， y ∈ P ，则称N是泊松代数 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 的Nijenhuis算子。 定理3.3 设 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 为泊松代数， ( V ， S [ ， ] ， S ∘ ) 为 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 的模， N ∈ E n d ( P ) ， M ∈ E n d ( V ) ， σ ， τ : P → E n d ( V ) 为线性映射，如果 N ， M ， σ ， τ 满足等式(3.19)~(3.26)，则N是泊松代数 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 的Nijenhuis算子且下面两个等式成立: S [ ， ] ( N ( x ) ) M ( v ) = M ( S [ ， ] ( N ( x ) ) v + S [ ， ] ( x ) M ( v ) − M ( S [ ， ] ( x ) v ) ) ， ∀ x ∈ P ， v ∈ V . (3.33) S ∘ ( N ( x ) ) M ( v ) = M ( S ∘ ( N ( x ) ) v + S ∘ ( x ) M ( v ) − M ( S ∘ ( x ) v ) ) ， ∀ x ∈ P ， v ∈ V . (3.34) 证明：将(3.19)代入(3.20)中，有 [ N ( x ) ， N ( y ) ] = N ( [ N ( x ) ， y ] + [ x ， N ( y ) ] − N ( [ x ， y ] ) ) ， 同理将(3.21)代入3.22)中，有 N ( x ) ∘ N ( y ) = N ( N ( x ) ∘ y + x ∘ N ( y ) − N ( x ∘ y ) ) ， 即N是泊松代数 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 的Nijenhuis算子。将(3.23)代入(3.24)中有(3.33)成立。将(3.25)代入(3.26)中有(3.34)成立。综上可知，结论成立。 定理3.4 设 ( V ， S [ ， ] ， S ∘ ) 是泊松代数 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 的模， M ∈ E n d ( V ) ，N是泊松代数 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 的Nijenhuis算子，并且M满足等式(3.33)、(3.34)，设 ω 1 ， ω 2 : P ⊗ P → P ， σ ， τ ∈ E n d ( V ) 使得 ω 1 ( x ， y ) = [ N ( x ) ， y ] + [ x ， N ( y ) ] − N ( [ x ， y ] ) ， (3.35) ω 2 ( x ， y ) = N ( x ) ∘ y + x ∘ N ( y ) − N ( x ∘ y ) ， (3.36) σ ( x ) = S [ ， ] ( N ( x ) ) + S [ ， ] ( x ) M − M S [ ， ] ( x ) ， (3.37) τ ( x ) = S ∘ ( N ( x ) ) + S ∘ ( x ) M − M S ∘ ( x ) ， (3.38) ∀ x ， y ∈ P ，则 ( ω 1 ， ω 2 ， σ ， τ ) 生成P-模V的平凡无穷小形变。 证明：要证 ( ω 1 ， ω 2 ， σ ， τ ) 生成P-模V的无穷小形变，须证 ( P ， [ ， ] t ， ∘ t ) 是泊松代数，且 ( V ， S [ ， ] t ， S ∘ t ) 是 ( P ， [ ， ] t ， ∘ t ) 的模，即证所设 ( ω 1 ， ω 2 ， σ ， τ ) 满足等式(2.2)~(2.9)和(3.6)~(3.13)。 ∀ x 1 ， x 2 ， y ∈ P ， k 1 ， k 2 ∈ F ，由 ω 1 满足等式(3.35)及 [ ， ] 双线性可知， ω 1 ( k 1 x 1 + k 2 x 2 ， y ) − k 1 ω 1 ( x 1 ， y ) − k 2 ω 1 ( x 2 ， y ) = k 1 ( [ N ( x 1 ) ， y ] − [ N ( x 1 ) ， y ] + [ x 1 ， N ( y ) ] − [ x 1 ， N ( y ) ] + N ( [ x 1 ， y ] ) − N ( [ x 1 ， y ] ) )     + k 2 ( [ N ( x 2 ) ， y ] − [ N ( x 2 ) ， y ] + [ x 2 ， N ( y ) ] − [ x 2 ， N ( y ) ] + N ( [ x 2 ， y ] ) − N ( [ x 2 ， y ] ) ) = 0 ， 因此 ω 1 双线性。同理可知 ω 2 双线性。由 ω 1 满足等式(3.35)及 [ ， ] 反对称性知 ω 1 ( x ， y ) + ω 1 ( y ， x ) = [ N ( x ) ， y ] + [ y ， N ( x ) ] + [ x ， N ( y ) ] + [ N ( y ) ， x ] − N ( [ x ， y ] ) − N ( [ y ， x ] ) = 0 ， 因此(2.2)式成立。由 ω 1 满足等式(3.35)、 [ ， ] Jacobi恒等式及N是 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 上的Nijenhuis算子知 [ x ， ω 1 ( y ， z ) ] + ω 1 ( x ， [ y ， z ] ) + [ y ， ω 1 ( z ， x ) ] + ω 1 ( y ， [ z ， x ] ) + [ z ， ω 1 ( y ， x ) ] + ω 1 ( z ， [ y ， x ] ) = [ x ， [ N ( y ) ， z ] ] − [ x ， [ N ( y ) ， z ] ] + [ x ， [ y ， N ( z ) ] ] − [ x ， [ y ， N ( z ) ] ]         + [ N ( x ) ， [ y ， z ] ] + [ x ， N ( [ y ， z ] ) ] − N ( [ x ， [ y ， z ] ] )         + [ y ， [ N ( z ) ， x ] ] − [ y ， [ N ( z ) ， x ] ] + [ y ， [ z ， N ( x ) ] ] − [ y ， [ z ， N ( x ) ] ]         + [ N ( y ) ， [ z ， x ] ] + [ y ， N ( [ z ， x ] ) ] − N ( [ y ， [ z ， x ] ] ) + [ z ， [ N ( x ) ， y ] ] − [ z ， [ N ( x ) ， y ] ] + [ z ， [ x ， N ( y ) ] ] − [ z ， [ x ， N ( y ) ] ]         + [ N ( z ) ， [ x ， y ] ] + [ z ， N ( [ x ， y ] ) ] − N ( [ z ， [ x ， y ] ] )         + 2 ( [ x ， [ y ， z ] ] + [ y ， [ z ， x ] ] + [ z ， [ x ， y ] ] ) = 0 ， 因此(2.3)式成立。同理将 ω 1 ， ω 2 ， σ ， τ 代入等式(2.4)~(2.9)和(3.6)~(3.13)，利用已知条件，得以上等式均成立。故 ( ω 1 ， ω 2 ， σ ， τ ) 生成P-模V的无穷小形变。由N是泊松代数 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 的Nijenhuis算子和等式(3.35)、(3.36)知(3.19)~(3.22)成立，由等式(3.33)、(3.37)知(3.23)、(3.24)成立，同理由等式(3.34)、(3.38)知(3.25)、(3.26)成立，所以此无穷小形变也满足条件(3.19)~(3.26)，故该形变是平凡形变。