DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 3. 菏泽市平均气温的时间变化特征 对菏泽市9个气象台站的年平均气温、年平均日最低气温和年平均日最高气温求平均，得到整个菏泽市的平均气温数据，基于菏泽市平均气温数据变化趋势分析整个研究区近30年平均气温、平均日最低气温和平均日最高气温的时间变化特征。由图2中曲线可知，1990~2020年菏泽市的年平均气温、年平均日最低气温和年平均日最高气温均呈现不同程度的上升趋势，年平均日最低气温上升趋势最明显，年平均气温上升趋势次之，年平均日最高气温上升趋势较弱。1990~2020年菏泽市年平均气温线性倾斜率为0.564/10a，年平均日最低气温线性倾斜率为0.763/10a，年平均日最高气温线性倾斜率为0.43/10a。 图2. 1991~2020年菏泽市年平均气温变化趋势
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user: 4. 菏泽市平均气温的空间变化特征 基于菏泽市9个气象台站1988~2018年月平均气温、月平均日最低气温、月平均日最高气温，利用线性回归模型计算了近30年菏泽市各台站气温的变化趋势，并使用ArcGIS空间分析工具，统计分析了菏泽市平均气温、平均日最低气温、平均日最高气温变化趋势的空间分布。整体来看，近30年菏泽市气温变化趋势不仅存在时间上的差异而且存在空间分布上的差异。 4.1. 菏泽市月平均气温的空间变化特征 从菏泽市月平均气温的空间分布(图3)可以看出，9个气象台站月平均气温都具有上升的趋势，上升趋势空间分布不均匀。成武月平均气温上升趋势最明显，线性倾斜率为0.063/10a；鄄城、郓城、东明月平均气温上升趋势较明显，线性倾斜率为0.06~0.062/10a；菏泽、单县月平均气温上升趋势次之，线性倾斜率为0.053~0.059/10a；定陶、巨野及周边月平均气温上升趋势较弱，线性倾斜率为0.044/10a；曹县及周边月平均气温上升趋势最弱，线性倾斜率为0.03/10a。综上所述，从空间分布上来看，菏泽市西北部县区月平均气温上升趋势较强，西南部县区及东部巨野月平均气温上升趋势较弱。 菏泽市9个气象台站的年平均气温增长率的显著性检验结果表明，除曹县的显著性检验水平为99%，其它县区的显著性水平均通过了99.9%检验。因而，菏泽市9个气象台站的年平均气温气候倾向率在0.29℃~0.68℃/10a之间的空间分布具有物理解释。 4.2. 菏泽市月平均日最低气温的空间变化特征 从菏泽市月平均日最低气温的空间分布(图4)可以看出，9个气象台站月平均日最低气温都具有上升的趋势，上升趋势空间分布不均匀。成武月平均日最低气温上升趋势最明显，线性倾斜率为0.092/10a；鄄城、郓城、东明月平均日最低气温上升趋势较明显，线性倾斜率为0.082~0.085/10a；菏泽、单县月平均日最低气温上升趋势次之，线性倾斜率为0.068~0.074/10a；定陶、巨野及周边月平均日最低气温上升趋势较弱，线性倾斜率为0.051~0.052/10a；曹县及周边月平均日最低气温上升趋势最弱，线性倾斜率为0.043/10a。综上所述，从空间分布上来看，菏泽市西北部县区月平均日最低气温上升趋势较强，西南部县区及东部巨野月平均日最低气温上升趋势较弱。 图3. 菏泽市近30年平均气温空间变化趋势 图4. 菏泽市近30年月平均日最低气温空间变化趋势 菏泽市9个气象台站的年平均日最低气温增长率的显著性检验结果表明，所有县区的显著性水平均通过了99.9%检验。因而，菏泽市9个气象台站的年平均日最低气温气候倾向率在0.44℃~1.02℃/10a之间的空间分布具有物理解释。 4.3. 菏泽市月平均日最高气温的空间变化特征 从菏泽市月平均日最高气温的空间分布(图5)可以看出，9个气象台站月平均日最高气温都具有上升的趋势，上升趋势空间分布不均匀。菏泽月平均日最高气温上升趋势最明显，线性倾斜率为0.048/10a；郓城、单县、成武月平均日最高气温上升趋势较明显，线性倾斜率为0.045~0.047/10a；鄄城、东明、巨野月平均日最高气温上升趋势次之，线性倾斜率为0.04~0.043/10a；定陶及周边月平均日最高气温上升趋势较弱，线性倾斜率为0.033/10a；曹县及周边月平均日最高气温上升趋势最弱，线性倾斜率为0.031/10a。综上所述，从空间分布上来看，菏泽市北部及东南部县区月平均日最高气温上升趋势较强，西南部县区月平均日最高气温上升趋势较弱。 菏泽市9个气象台站的年平均日最高气温增长率的显著性检验结果表明，除定陶、曹县的显著性检验水平为98%、东明、巨野的显著性检验水平为99%，其余5个县区的显著性水平均通过了99.9%检验。因而，菏泽市9个气象台站的年平均气温气候倾向率在0.3℃~0.51℃/10a之间的空间分布具有物理解释。 图5. 菏泽市近30年月平均日最高气温空间变化趋势
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user: 5. 结论与讨论 5.1. 结论 基于1991~2020年菏泽市八县一区9个气象台站的气温实测数据资料，利用线性回归模型、气候倾向率方法和ArcGIS10.6空间分析工具，研究了近30年菏泽市9个气象台站的平均气温、平均日最低气温和平均日最高气温增长趋势和空间变化特征。主要结论如下： (1) 1990~2020年菏泽市的年平均气温、年平均日最低气温和年平均日最高气温均呈上升趋势，年平均日最低气温上升趋势最明显，年平均气温上升趋势次之，年平均日最高气温上升趋势较弱。 (2) 1990~2020年菏泽市八县一区9个气象台站的月平均气温、月平均日最低气温、月平均日最高气温均呈上升趋势，各县区气温上升趋势具有明显的空间分布差异。 (3) 1990~2020年菏泽市八县一区9个气象台站的月平均气温和月平均日最低气温增长率成武最高，西北部县区郓城、鄄城、东明上升趋势较强；月平均日最高气温增长率菏泽最高，北部县区郓城、东南部县区单县、成武上升趋势较强；月平均气温、月平均日最低气温、月平均日最高气温增长率曹县最低，西南部县区及东部巨野月平均气温上升趋势较弱。 5.2. 讨论 文中采用线性回归模型和ArcGIS空间分析算法，选取菏泽市9个气象站点，对1991~ 2020年的气温变化特征进行了分析，研究结果与前人的结论基本一致 [ 9 ]。研究发现菏泽市各气象站年平均日最低气温上升幅度差异比较明显，其原因可能是区域气象站点选择和海拔高度等因素存在差异。因此，在明确气温变化特征分析的基础上，将进一步加强气候变化的机理研究，以实现农业资源的高效利用和可持续发展 [ 10 ]。
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user: 摘要 基于丰林自然保护区近58年(1958~2016)的平均气温、最低气温和最高气温数据资料，运用时间序列趋势分析方法、Mann-Kendall检验法，分析丰林自然保护区年、季的气温变化特征。结果表明：近60年来丰林自然保护区平均、平均最低、平均最高气温均以冬季增温最明显，其中，平均最低气温冬季增温趋势最显著，每10年平均增温0.87℃，表明丰林自然保护区研究时段内(1958~2016年)的气候增暖贡献最大的是冬季；丰林自然保护区平均气温的年、生长季、春季、冬季均温在20世纪90年代中期为显著升温期，平均最低气温的年、春季、冬季均温“降–升”突变均发生在20世纪80年代初，90年代初进入显著升温期，生长季均温突变发生在本世纪初，平均最高气温的年、生长季、春季均温突变均发生在20世纪80年代初，冬季均温突变期为90年代初，均通过0.01显著性水平检验。综上，丰林自然保护区年及各季一致的增温趋势与东北20世纪50年代末以来的持续升温趋势大背景同步。
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user: 1. 引言 20世纪以来，随着人类活动的加剧，全球气候变化问题日益突出。气温作为最基础的气候要素之一，在气候变化研究中有着重要地位 [ 1 ]，逐步受到各国学者的关注，并取得了一些研究成果 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]。IPCC第五次研究报告指出，近百年来全球气温上升已高达0.85~0.89℃，呈现显著的升高趋势 [ 6 ]。相关研究表明，虽然全球气温总体上呈明显的上升趋势，但增温幅度在不同区域存在显著的空间差异 [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]。孙娴等 [ 10 ] 研究发现，我国的气温变化具有明显的区域差异性，不同区域气温上升幅度和突变点存在差异，且突变后的年平均气温增加程度要大于突变前。丁明军等 [ 11 ] 等研究发现，1971~2012年青藏高原及其周边地区年、春夏秋冬四季、最热月和最冷月均温总体上均呈现显著增加趋势，增温幅度呈现出中、东部和东北部高，东南部低的空间格局。REN等 [ 12 ] 研究发现，在过去的100 a，中国的年均地表气温变化率从0.03℃∙(10 a) −1 增加到0.12℃∙(10 a) −1 ，这种变暖在中国北方更为明显，在冬季和春季更为显著。针对中国气温变化现状，史雯雨等 [ 13 ] 研究发现近60 a来，我国气温呈现明显的上升趋势，全国平均气温变化递增率为0.25℃/10 a，且有明显的区域性差异和季节性差异。丰林自然保护区是黑龙江省第一个自然保护区，是中国东北可持续发展和生态文明建设重点区域之一，对气候变化和人为干扰响应强烈。为了解丰林自然保护区多年来气温变化的趋势和特征，本研究拟采用线性倾向率、滑动平均和 Mann-Kendall (M-K)趋势检验法，通过揭示丰林自然保护区平均气温、最低气温、最高气温的趋势及突变特征，进一步准确地认识和理解丰林自然保护区的气温变化趋势，这对于有效应对气候变化、实现该区域可持续发展具有重要意义。
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user: 2. 研究区概况 始建于1958年的丰林国家级自然保护区，位于黑龙江省伊春市小兴安岭中麓地段，是黑龙江省第一个自然保护区。丰林自然保护区1997年被联合国教科文组织纳入世界生物圈保护区网络，是黑龙江省加入世界生物圈网络最早的保护区。丰林国家级自然保护区的主要保护对象是红松(Pinuskoraiensis)为主的北温带针阔叶混交林生态系统和珍稀野生动植物，属森林生态系统类型自然保护区，是我国北方红松林生态系统保存最完整，面积最大的天然集中分布区。保护区总面积18165.4 hm 2 ，其中核心区总面4165 hm 2 ，缓冲区总面积3812 hm 2 ，试验区总面积10188.4 hm 2 ，原始森林覆盖面积占森林面积的92%以上，保护区保存的天然红松林平均蓄积量是黑龙江森工国有林区天然红松林平均蓄积量的1.97倍，且以很小的林地面积保存着黑龙江森工国有林区1/5的天然红松蓄积量。
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user: 3. 材料来源与方法 3.1. 材料来源 本文选取距离黑龙江省丰林自然保护区核心区辐射的3个气象站点：五营、伊春、逊克。选用国家气象科学数据共享服务网平台提供的各站点1958~2016年的逐日平均气温、最低气温、最高气温数据作为基本资料。国家气象中心对各气象站的气温数据已进行了质量控制。因此，各站点资料具有比较好的连续性和气温序列的完整性。 丰林自然保护区是中国东北重要的森林生态保护区域。多数研究显示，生长季及春季、冬季气温等气候变化指标是森林植被生长的限制因子 [ 14 ]。因此，本文旨在探讨近59年(1958~2016)来丰林自然保护区平均气温、最低气温、最高气温的年、生长季、春季、冬季均温的趋势变化及突变特征。文中Ta1-12、Ta5-9、Ta3-4、Ta12-2分别表示平均气温的年、生长季、春季、冬季均温；Ts1-12、Ts5-9、Ts3-4、Ts12-2分别表示最低气温的年、生长季、春季、冬季均温；Th1-12、Th5-9、Th3-4、Th12-2分别表示最高气温的年、生长季、春季、冬季均温。 3.2. 分析方法 1) 应用线性趋势函数拟合气温的趋势特征，一元线性直线回归方程来描述两个变量在散点图上的线性关系，用回归系数表示线性函数的倾向率，也就是要素的线性趋势，并对时间与要素变量之间的相关系数进行显著性检验 [ 15 ]。 2) 应用滑动平均法确定时间序列的平滑值，经过滑动平均后，序列中短于滑动长度的周期大大削弱，更利于显示气温时间序列的变化趋势 [ 16 ]。 3) 运用 Mann-Kendall检测法进行气候序列的突变特征分析，Mann-Kendall检验是一种非参数统计检验方法(以下简称M-K检验)。其优点是不需要样本遵从一定的分布，也不受少数异常值的干扰，更适用于类型变量和顺序变量，计算也比较简单 [ 17 ]。
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user: 4. 结果与分析 4.1. 气温变化趋势分析 近60年来丰林自然保护区平均、最低、最高气温的年、季均温线性趋势上升明显(见图1)，平均气温的年、生长季、春、冬季气候倾向率分别为：0.33℃/10a、0.29℃/10a、0.42℃/10a、0.45℃/10a；最高气温的年、生长季、春、冬季气候倾向率分别为：0.21℃/10a、0.19℃/10a、0.01℃/10a、0.41℃/10a；最低气温的年、生长季、春、冬季气候倾向率分别为：0.70℃/10a、0.40℃/10a、0.24℃/10a、0.87℃/10a。 1958~2016年丰林气温线性趋势分析显示，平均、最低、最高气温均以冬季增温最明显；平均气温的生长季增温趋势最弱，最低、最高气温的春季增温最弱。其中，平均气温冬季上升速率约是生长季的1.55倍；最低、最高气温冬季上升速率分别是春季的41倍与3.6倍。综上，最低气温冬季增温趋势最显著，每10年平均增温0.87℃，表明丰林自然保护区研究时段内(1958~2016年)的气候增暖贡献最大的是冬季。 5 a滑动平均结果显示，丰林平均气温的年、生长季、春季、冬季均温20世纪60年代均呈现小幅下降趋势，至70年代初期达最低值，其后至研究时段末期，生长季均温为波动上升状态，而年均温、春季、冬季均温的波动上升至21世纪初达最高值，之后经历6~8年的波动下降期，研究时段末期有小幅反弹上升；最低气温的年、生长季、春季、冬季均温在20世纪60年代与平均气温相似，均呈小幅下降趋势，其后，生长季均温与冬季均温进入小幅的波动上升期，而年均温与春季均温呈“升–降–升–降”的变化趋势，且波动程度较大；与平均气温、最低气温不同，最高气温的年、生长季、春季、冬季均温年代际变化格局各不相同。其中，年均温的波动幅度较大，20世纪60年代和21世纪初下降趋势显著，其它时段则波动上升。春季均温只在21世纪初下降显著，其它时段波动平稳，生长季均温为“升–降–升–降”波动趋势，冬季均温则始终保持波动上升状态。 4.2. 气温突变特征分析 丰林自然保护区平均气温的均温序列的M K检测图显示(图2)，年、生长季、春季、冬季均温在20世纪60年代有下降趋势但不明显，自70年代初期之后呈现升高趋势，此M K检测结果同上述5 a滑动 图1. 1958~2016年丰林自然保护区气温演变趋势 趋势分析结果相一致。平均气温的年、生长季、春季、冬季均温正曲线UF(k)和反曲线UB(k)在置信区间内有且仅有一个交点，此交点出现的20世纪80年代时段为突变期。年、生长季、春季、冬季均温的正曲线UF(k)分别在1994、1997、1996、1994年与0.05显著水平线相交，表明其后升高显著，20世纪90年代中期为显著升温期。 M K检测图显示，丰林自然保护区最低气温的年、生长季、春季、冬季均温趋势变化特征同平均气温，20世纪70年代初期之后呈升高趋势。最低气温的年、生长季、春季、冬季均温突变特征各不相同，其中，年、春季、冬季均温UF(k)和UB(k)在置信区间内分别有2、1、3个交点，生长季均温UF(k)和UB(k) 图2. 1958~2016年丰林自然保护区气温突变特征 的交点在置信区间外。表明，春季均温的“降–升”突变发生在20世纪80年代初，其UF(k)在1990年与0.05显著水平线相交，可见，90年代初春季均温进入显著升温期。经滑动t检验确定年与冬季均温突变期发生在20世纪80年代初，生长季均温突变期为本世纪初，均通过0.01显著性水平检验。 丰林自然保护区最高气温与平均气温、最低气温变化特征不同，其年、生长季、春季、冬季均温升高趋势不显著，UF(k)均未超过0.05显著性水平(只春季均温在本世纪初短期超过0.05显著性水平，其后转入下降趋势)。最高气温的年、生长季、春季、冬季均温UF(k)和UB(k)在置信区间内均有多个交点，经滑动t检验确定年、生长季、春季均温突变期均发生在20世纪80年代初，冬季均温突变期为90年代初，均通过0.01显著性水平检验。
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user: 5. 结论 近60年来丰林自然保护区平均、最低、最高气温均以冬季增温最明显，其中，最低气温冬季增温趋势最显著，每10年平均增温0.87℃；平均气温的生长季均温增温趋势最弱，最低、最高气温的春季增温最弱。表明丰林自然保护区研究时段内(1958~2016年)的气候增暖贡献最大的是冬季。5 a滑动平均结果显示，丰林平均气温与最低气温的年、生长季、春季、冬季均温20世纪60年代均呈小幅下降趋势，与平均气温、最低气温不同，最高气温的年、生长季、春季、冬季均温年代际变化格局各不相同。其中，年均温的波动幅度较大，春季均温只在21世纪初下降显著，其它时段波动平稳，生长季均温为“升–降–升–降”波动趋势，冬季均温则始终保持波动上升状态。 丰林自然保护区平均气温的年、生长季、春季、冬季均温的正曲线UF(k)分别在1994、1997、1996、1994年与0.05显著水平线相交，表明其后升高显著，20世纪90年代中期为显著升温期；最低气温的年、春季、冬季均温“降–升”突变均发生在20世纪80年代初，90年代初进入显著升温期。生长季均温突变期为本世纪初；最高气温的年、生长季、春季均温突变期均发生在20世纪80年代初，冬季均温突变期为90年代初，均通过0.01显著性水平检验。综上，丰林自然保护区年及各季一致的增温趋势与东北20世纪50年代末以来的持续升温趋势大背景同步。
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user: 摘要 给定一个系数矩阵为病态矩阵的超定线性系统，本文利用区间算法和增广矩阵技术，设计算法输出给定超定线性系统的微小摄动区间系统，算法保证在输出的区间系统中存在系数阵精确秩亏的超定线性系统，算法输出该系数阵精确秩亏的超定线性系统的最小二乘解的高精度近似解和其相应的可信误差界。
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user: 1. 引言 线性系统是计算科学领域中一种很重要的数学模型。线性系统理论在航空航天、化学化工、机械研究等技术领域中都有着广泛的应用实例。超定线性系统是指方程个数大于变量个数的线性系统。研究表明，在数字信号处理和其他面向定量的学科中有许多问题最终都归结为超定线性系统求解的计算问题，最小二乘拟合算法的实质就是对超定线性系统进行求解。 多年来，对于超定线性系统求解问题的研究始终吸引着国内外的专家学者。Levitan等人 [ 1 ] 研究了针对特定抽象范数求解超定线性系统最优解的解决方案。Barroda和Roberts [ 2 ] 提出了能够解决线性数据拟合问题的有效算法，该算法是对线性规划单纯形法的一种改进，适用于 l 1 问题的初步表述。Cadzow [ 3 ] 提出了超定线性系统最小1、2和 ∞ 范数近似解的解决方案。Demmel等人 [ 4 ] 研究了超定最小二乘问题精确迭代细化的算法、误差范围和数值结果，将线性系统优化算法应用于超定线性系统最小二乘问题的增强线性系统公式。Novoselac和Pavic [ 5 ] 研究了 p 范数中超定线性方程组的解性质，从而得到了该问题具有回归、尺度和仿射等变性质。Popa [ 6 ] 提出了超定线性系统最小二乘解的数值计算的两种迭代算法，这些算法在Kaczmarz迭代算法的基础上，可以收敛到最小二乘解的序列。Pelckmans等人 [ 7 ] 对超定线性系统的噪声观测进行了稀疏估计，提出了一种受高斯噪声干扰的线性方程估计未知参数的方法。Zhijun Zhang等人 [ 8 ] 为解决时变的超定问题，提出并设计了一种新颖的变参数收敛微分神经网络，通过研究表明，这种神经网络具有超指数收敛速度的最小二乘解。 近年来，很多学者着手研究超定系统最小二乘解的可信验证。Rump [ 9 ] 提出了一种不依赖于正规方程且适用于稀疏矩阵的新算法，该算法用于计算系数阵列满秩的最小二乘问题的最小二乘解和欠定线性系统的最小二范数解。Miyajima和Shinya [ 10 ] 在考虑了所有可能的舍入误差的情况下，给出了系数阵为列满秩的欠定系统最小二范数解和超定系统最小二乘解的验证算法，阐明了所获得的误差范围的大小与系数矩阵的条件数相关。Rump [ 11 ] 提出的快速算法的误差界是标量，而Miyajima提出的算法的误差界是向量。Miyajima [ 12 ] 总结提出了一种用于矩阵方程 A X B = C 的最小二乘解的高效能算法。 本文考虑系数矩阵为病态矩阵的超定线性系统的可信计算。计算给定超定线性系统的微小摄动区间系统，算法保证在输出的区间系统中存在系数阵精确秩亏的超定线性系统，并计算该系数阵精确秩亏的超定线性系统的最小二乘解的可信区间解。
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user: 2. 符号和预备知识 令 ℝ 表示实数集合。设 A ∈ ℝ m × n ， A ( : ) 表示由矩阵 A 的列合并得到的长列向量。对于满足条件 1 ≤ i 1 ≤ i 2 ≤ m ， 1 ≤ i 1 ≤ i 2 ≤ m 的正整数 i 1 ， i 2 ， j 1 ， j 2 ， A i 1 : i 2 ， : 表示由矩阵 A 的第 i 1 行到第 i 2 行所构成的子矩阵， A : ， j 1 : j 2 表示由矩阵 A 的第 j 1 列到第 j 2 列所构成的子矩阵， A i 1 : i 2 ， j 1 : j 2 表示由矩阵 A 的第 i 1 行到第 i 2 行，第 j 1 列到第 j 2 列所构成的子矩阵。令 O m ， n 表示 m × n 阶零矩阵， I m × m 表示 m × m 阶单位阵。 令 I ℝ 表示区间集合 { [ x ， x ¯ ] : x _ ， x ¯ ∈ ℝ ， x ≤ x ¯ } ，用 m i d [ x _ ， x ¯ ] 表示区间 [ x _ ， x ¯ ] 的中点，用length表示区间长度，即 length ( [ x ， x ^ ] ) = x ¯ − x _ 。区间向量 X = ( X 1 ， X 2 ， ⋯ ， X n ) T ∈ I ℝ n 是分量为区间的 n 维向量，令 int ( X ) 表示它的内部。区间矩阵 A 是分量为区间的矩阵。给定区间矩阵 A ∈ I ℝ n × n ，若区间矩阵 A 包含的所有实矩阵都是非奇异的，则称区间矩阵 A 非奇异。给定区间矩阵 A ∈ I ℝ m × n ，若区间矩阵 A 包含的所有实矩阵都是满秩的，则称区间矩阵 A 满秩。对于 A ∈ I ℝ m × n ， m i d ( A ) 是由矩阵 A 中每个分量中点对应的值构成的实矩阵，令 length ( A ) = max { length ( A i ， j ) ， 1 ≤ i ≤ m ， 1 ≤ j ≤ n } 。 定义1：对于给定的阈值 δ > 0 ，若所有与 A 的2-范数距离不超过 δ 的 m × n 阶矩阵的最小秩为 r ，即 r = min ‖ A − B ‖ 2 ≤ δ B ∈ ℝ m × n { r a n k ( B ) } 则称 A 的数值 δ -秩为 r ，记为 r a n k δ ( A ) = r 。 注1：给定矩阵 A ∈ ℝ m × n ，其中 m > n ，对于阈值 δ > 0 ，如果矩阵 A 的奇异值 σ 1 ( A ) ， ⋯ ， σ n ( A ) 满足 σ 1 ( A ) ≥ ⋯ ≥ σ r ( A ) > δ ≥ σ r + 1 ( A ) ≥ ⋯ ≥ σ n ( A ) ， 则 r a n k δ ( A ) = r 。 引理1：给定矩阵 A ， B ∈ ℝ n × n ，若 ‖ I n − B A ‖ p ≤ α < 1 ，其中 p ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， ∞ } ，则 A ， B 均是非奇异矩阵。 定理1：对于给定的区间矩阵 A ∈ I ℝ n × n 和区间向量 b ∈ I ℝ n ，向量 b 满足 0 ∉ b ，若INTLAB工具箱中verifylss函数成功输出区间向量 X ⊂ I ℝ n ，则区间矩阵 A 非奇异，且 X 满足条件 { x ∈ ℝ n : A x = b ∀ A ∈ A ， ∀ b ∈ b } ⊆ X (1) 定理2：设矩阵 A ∈ I ℝ m × n ， m > n ，向量 b ∈ I ℝ m 满足 0 ∉ b ，当输入区间矩阵 ( A I m O n ， n A T ) 和区间向 量 ( b ， O n ， 1 ) T 时，若INTLAB工具箱中verifylss函数成功地输出区间向量，则区间矩阵 A 满秩。 定理3：设 f : ℝ n → ℝ n 并且 f = ( f 1 ， f 2 ， ⋯ ， f n ) T ，其中 f 1 ， ⋯ ， f n 为连续可微函数。当 x ˜ ∈ ℝ n 且 X ∈ I ℝ n ， 0 ∈ X 时，令 f ′ ( x ˜ + X ) 表示系统在区间 x ˜ + X 上的雅可比矩阵。设区间矩阵 M ∈ I ℝ n × n 满足条件 f ′ ( x ˜ + X ) ⊆ M 。若对矩阵 R ∈ ℝ n × n ，有 − R f ( x ˜ ) + ( I n − R M ) X ⊆ int ( X ) ， (2) 则存在唯一的 x ^ ∈ x ˜ + X 使得 f ( x ^ ) = 0 。 注2：INTLAB工具箱中verifylss函数利用定理3来验证非线性系统的解。
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user: 4. 应用实例 例1给定超定线性系统 A x = b ，其中， A = [ 0.6406 − 0.7615 0.0742 − 1.4399 0.5767 − 0.5122 0.9371 − 0.9758 − 0.0093 − 0.0319 − 0.4263 0.1856 − 0.2452 0.2856 − 0.4537 0.1684 0.0526 − 0.4056 − 0.8077 0.3922 0.4236 − 0.5423 0.3510 − 0.4947 0.2687 − 0.8300 − 0.4306 − 0.9047 − 1.0113 − 1.0731 ] b = ( 2 . 0 7 9 0 − 0 . 8 2 9 4 − 0 . 6 7 1 6 0 . 7 9 5 6 1 . 0 0 7 1 0 . 3 7 0 4 ) T 利用算法1可得 m i d ( X ) = ( − 1 . 8 8 0 9 0 0 − 0 . 9 9 6 9 0 1 . 2 5 0 1 ) T ， m i d ( A ^ ) = [ 0.6405 − 0.7614 0.0742 − 1.4398 0.5767 − 0 . 5 1 2 2 0.9370 − 0.9757 − 0.0092 − 0.0319 − 0.2463 0.1855 − 0.2451 0.2855 − 0.4537 0.1683 0.0526 − 0.4055 − 0.8076 0.3922 0.4236 − 0.5423 − 0.9047 − 0.4947 0.2687 − 0.8299 − 0.4305 − 0.2765 − 1.0113 − 1.0731 ] r a d ( A ^ ) = 3 . 8 8 5 8 e − 1 6 ， r a d ( X ^ ) = 2 . 9 9 7 6 e − 1 5 ， l e n g t h ( A − A ^ ) = 2 . 7 9 6 7 e − 0 5 。 Table 1 The output results of Example (m， n， r) (10， 5， 4) (10， 9， 7) (12， 8， 7) (12， 10， 9) (15， 10， 9) (15， 14， 13) (18， 16， 15) (20， 15， 14) r a d ( A ^ ) 8.8818e−16 1.0270e−15 9.9920e−16 8.8818e−16 1.5543e−15 1.9984e−15 3.4972e−15 2.4424e−15 r a d ( X ^ ) 1.2684e−14 2.7245e−13 3.7090e−12 1.1363e−13 9.5146e−13 1.1391e−13 4.6038e−13 6.2050e−12 length ( A − A ^ ) 0.0100 0.0172 2.9505e−05 8.4993e−06 0.0108 0.0198 0.0164 0.0089 表1. 例2的输出结果 例2 系数矩阵为接近秩亏随机矩阵的超定线性系统 A x = b ，表给出了不同的 ( m ， n ， r ) 取值，算法1的输出结果见表1。
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user: 摘要 随着人们对饮食品质的追求，美食旅游逐渐引起国内外学者的关注。本文对国内外美食旅游相关文献进行研究，首先分析了美食旅游的定义：美食旅游即是美食在旅游活动中具有重要作用的旅游。并提出了旅游研究中应着重关注美食在对旅游者行为、旅游目的地方面的影响。其次重点分析了美食对旅游目的地经济文化的影响。然后对国内外较少关注的美食意象这一概念进行介绍：美食意象是旅游者对美食属性的认知与就餐情绪的感知，属于旅游者的感知意象。最后结合相关研究结果提出了对旅游目的地的相关启示。
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user: 1. 引言 随着人们生活水平的不断提高，人们对日常饮食消费品质越来越高，“吃”已经不再是单纯地满足人类的基本生理需求，从基本地吃到饱逐渐转变为吃得好、吃得健康，餐饮逐步成为一种休闲活动。消费者越来越追求品质化的旅游，一方面旅游者的需求不断提高，出现了包含美食旅游在内的特殊兴趣旅游，另一方面，大众旅游游客对包括美食在内的旅游产品质量要求也不断提升。美食旅游这一研究主题引起了国内外学者的广泛关注。
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user: 2. 美食与旅游 近年来，美食旅游引起了国内外旅游学者的广泛关注 [ 1 ]。以“美食旅游”为关键词，通过中国知网(https://www.cnki.net/)检索可获得的国内期刊与学位论文，截至2021年4月1日，相关文献共有385篇，其中2019年与2020每年发表数量均在40篇以上。以“food tourism”为关键词，以WOS (Web of Science)“核心集合”为数据来源，“Article”为文献类型，截至2021年4月1日，相关文献共有1567篇，其中2019年为218篇，2020年为285篇。 通过对文献的梳理，发现国内外学者对于“美食”、“旅游”的研究主要分为“美食旅游”研究和“美食与旅游”研究。前者指的是“美食旅游”作为一种特殊的旅游，重点研究该类旅游现象，后者则是把“美食”当作旅游活动中一个关键要素，探讨其对旅游活动的影响。 2.1. 美食旅游的定义 美食旅游被定义一种特殊旅游活动起源于Long L.在1998年提到的“culinary tourism” [ 2 ]，他认为美食旅游既是旅游者跨国界的参与异域饮食的消费、制作和展示等一系列活动。国外对美食旅游的研究基于不同的学科角对该定义做了不同的解释，主要定义有“culinary/cuisine tourism”、“food tourism”、“gastronomy/gastronomic tourism”以及“tasting tourism”。 这几种术语在它们的具体定义上有所不同，但它们包含了几乎相同的概念，即食物是旅游行为的焦点 [ 3 ]：其中“culinary/cuisine tourism”是美食旅游研究最常用的定义，cuisine更注重食物的制作和烹饪风格 [ 4 ]；culinary则着重强调食物的实际用途、制备风格与饮食情境，既“美食旅游”不仅关注对食物本身的消费，而且关注食物消费背后的文化并且与地方居民的沟通。因此Ashleigh等学者认为culinary tourism一词重点在于强调局内人与局外人通过食物这种文化构建连结。“food tourism”则是指“以参观初级或加工食品生产商、美食节、餐厅和某一食物生产区为主要动机的旅行” [ 5 ]，旅游者关注的是那些生理体验，这些体验是由渴望接触地方食物而引起的 [ 6 ]。“gastronomy tourism”相较前者更为少用，“gastronomy”代表了广义上的饮食消费，尤其侧重“享乐”含义 [ 7 ]，“gastronomy tourism”指的是在民族或者地方餐厅的消费的旅游 [ 8 ]。由此可见不同的词汇对美食旅游的定义只是区分美食旅游的种类或者旅游活动。 能否成为美食旅游需要关注美食在旅游者动机或者行为中占有主要比例。Sengel认为美食旅游调美食为游客的首要出行动机 [ 9 ]。张涛认为美食旅游中美食是主要或唯一动机，追求美食体验的行为的旅游才是美食旅游。管婧婧认为美食旅游的基础是一种特殊兴趣旅游：首先它要有与美食相关的旅游资源或旅游吸引物；其次要强调游客通过美食获得独特而难忘的体验，最重要的是美食旅游资源或美食体验的追求是激发旅游者出游的主要动机 [ 10 ]。陈朵灵也认为美食旅游是旅游者离开日常居住地或生活场所，为美食品尝、消费、制备、展示等任何与美食相关的旅游资源所吸引，并以此为主要目的所开展的一系列活动 [ 7 ]。 2.2. 美食旅游的争议 然而在实践当中难以将美食旅游者非美食旅游者区分开来。首先，从心理上来说，美食旅游强调的首要动机，无论是对于旅游者自己还是学者进行试验过程时，均难以与次要动机抑或第三动机进行区分 [ 11 ]。其次从行为方面来说，那些自称是美食旅游者的游客的消费模式跟非美食旅游者是相似的 [ 12 ]。所以有学者甚至并认为美食旅游者也许不是一个独立的特殊兴趣旅游群体 [ 12 ]。 因此本研究认为，与其关注美食旅游作为特殊兴趣旅游的利基市场，不如研究美食在大众旅游市场扮演的角色。即从美食与旅游的关系角度探讨其对旅游者旅游体验、旅游动机、旅游满意度等多方面的影响。在该理念的下，学者研究的将不运用旅游动机来筛选“美食旅游者”，而是将是否就餐作为筛选被试的对象，探讨曾经就餐的游客中，美食是否会影响其他的旅游态度与行为。旅游目的地与企业，所做的营销活动不仅是为了满足那些“为了吃而旅游”的旅游者，更是为了满足每一名旅游的对美食的需求。
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user: 3. 美食与旅游目的地 3.1. 美食与旅游目的地文化 美食文化依托城市底蕴风貌，是地方文化中必不可少的组成部分，也是地方文化当中接触式体验感最强的一环，所以诸多学者从文化角度定义美食旅游。傅文伟认为美食旅游是一种特殊的旅游活动，以旅游目的地的美景和美食为主要内容，通过多种方式结合观光和食物享受，旅游者获得相关的知识和技能文化、历史和烹饪食物生产，增加兴趣，实现巨大的物质和精神上的满足感 [ 13 ]。朱晓祥认为美食旅游是一种将饮食文化与旅游活动相结合的旅游模式，其中以品尝美食和了解中国饮食文化为重点，以当地的自然和人文景观为补充 [ 14 ]。Ashleigh Ellis认为美食旅游应当从文化人类学视角定义，并认为食物是旅游者了解地方的媒介 [ 6 ]。 同时旅游者通过接触地方美食的过程，不但是一个满足饱腹的过程，也是一个了解地方的过程，因此对旅游目的地文化的开发与保护具有启示。胡明珠等学者认为美食文化作为体验地域文化魅力的重要方式，可以成为地方城市的文化支柱，是提升城市文化软实力的重要文化资源 [ 15 ]。Sims认为通过将消费者与该地区及其感知到的文化和遗产联系起来，以增强游客的体验 [ 16 ]。刘军丽认为美食旅游不但可以促进旅游地的对外文化交流，而且可以促进旅游地民族文化的保护与复兴 [ 17 ]。 3.2. 美食与旅游目的地经济 美食旅游科研带动餐饮产业、食品工坊、旅游业、房地产、商贸业、文化娱乐业、建筑业等行业的发展，给经济带来巨大的空间和发展潜力 [ 17 ]。世界饮食旅行协会数据表明美食旅游可以为目的地带来25%的经济效益。陈乔等学者认为美食对“武汉城市圈”旅游经济美食带给旅游产品新的开发点、美食可缓解旅游景点压力、美食推动旅游市场增长。李悦等学者以陕西袁家村进行的扎根理论研究表明美食旅游成为引导乡村振兴实施路径 [ 18 ]。Kim Soon-ha认为“食”旅游不但能够促进对当地经济发展，而且可以增加区域就业。
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user: 4. 美食意象研究 4.1. 美食意象 食物是一个国家或地区的目的地形象的关键维度 [ 10 ]，而且美食是旅游目的地中最具吸引力的组成部分之一，因此对目的地美食意象的研究大多是从目的地形象出发的 [ 19 ]。旅游者对目的地美食产品和饮食文化的整体印象可以被定义为美食意象。正因为目的地形象是多维度的，它既包括目的地可以诸如风景、名胜、遗产等视觉景观，也包括需要调动多感官去感受的饮食文化和美食产品，因此美食意象可以作为目的地形象的重要要素被独立出来。 饮食意象的研究主要从两个方面展开。第一个视角旅游目的地营销者和旅游提供者通过广告、媒体和信息源所投射的食品形象，二是游客感知视角的食物形象，反映了游客对目的地的看法和向往 [ 20 ]。张景煜(2009)也把目的地营销投射的形象称之为美食自明性(“gastronomic identity”)，然而把游客对美食的感知称为美食意象(“gastronomic image”)，并视之为提升旅游目的地之特殊性与竞争力的重要资产。 4.2. 美食投射意象 美食自明性是通过线上和线下的营销渠道投射出代表目的地美食产品和产品的属性。传播学视角认为，美食是地域意象传播的窗口，透过美食纪录片可以传播看到不同地域个性，让人们可以感受到不同地域人们的情感 [ 21 ]。王甄妮等学者认为旅游投射意象是影响旅游者选择旅游目的地的重要因素，而地方美食可以增强旅游者对地方的整体形象 [ 22 ]，并以台湾与海南为例分析了旅游部门对美食意象的呈现。 美食是集合色香味于一体的旅游要素，且需要旅游者具身体验之后在可以形成对旅游目的地的意象(“image”)，而目的地经营者以及管理者的宣传不过是文字、图片，其效果远不如旅游者的亲自体验；像《舌尖上的中国》《风味人间》等地方美食的纪录片，虽然也可以看作对地方美食意象的投射，但在拍摄过程中运用拍摄手法，尽可能凸显美食的美味与文化，但是潜在旅游者对视频中美食的感知，更多的是对目前难以得到的美食的一种渴望，而不是体验过美食的感受。因此“美食意象”的研究更研究到访过旅游目的地的旅游者，体验过美食之后的感知，并且更有利于研究美食的作为前因变量对旅游活动中其他现象的后续影响研究。 4.3. 美食感知意象 美食形象是指游客对本地的美食产品及产品所产生的整体印象、感知及感受，是游客对美食景观的整体印象。Seo认为美食意象既包括旅游者对美食属性食品的认知(质量、益处、价值)也包括对美食的情感 [ 23 ]。王辉认为：食物形象是通过对食物属性的理解和评价而形成的，所以对食物的认知形象就是消费者对食物属性的评价 [ 24 ]。在我国相关美食形象的研究主要是以知名旅游资源丰富的旅游目的地展开的。侯兵等以扬州为例研究城市饮食文化景观意象感知，并认为：游客感知的饮食文化景观意象主要体现在饮食文化消费、饮食文化空间与饮食文化环境三个方面，饮食文化景观是旅游目的地体验旅游的重要依托 [ 25 ]。李湘云等学者对成都旅游目的地形象中的美食要素研究表明美食已经成为目的地形象的重要组成维度，并对旅游者具有强烈吸引力 [ 26 ]。王辉等学者则认为美食意象是旅游者对目的地美食的认知并将外地游客对广州美食的认知形象感知可分为“健康效益”、“食物安全与质量”、“食物吸引力”、“食物的烹饪艺术”、“食物文化”及“食物分享性”6个维度 [ 24 ]。 Morgan等人认为目标形象和身份包括“功能性”和“非功能性”属性 [ 27 ]。功能属性包括目的地更具体的方面，例如位置和服务，而非功能属性包括无形和情感方面，例如景观和气氛。较多学者认为，目的地形象相似，美食意象既是一种独特的生理属性，也是一种常见的心理/情感属性 [ 28 ]。杨春华等学者以成都美食为研究对象，采用内容分析法对网络游记进行数据挖掘，分析得出以下结论：成都美食在游客心目中的形象是丰富的、积极的、正面的 [ 29 ]。 国内主要研究美食形象的定义，且定义研究并不成熟，存在美食要素 [ 26 ]、饮食景观 [ 25 ]、饮食形象 [ 24 ] 等名词混用现象，这种现象不利于学术界相互交流，影响学科发展；此外，美食形象研究以特定旅游目的地分析美食形象的构成要素，研究结果可以对当地旅游发展具有一定建议；部分许学者研究影响究其形成的因素 [ 26 ]，较少有旅游者研究美食这一要素对旅游者行为的意义 [ 24 ]。
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user: 5. 结语 本研究认为，从大众旅游视角出发，研究美食对旅游者行为意向影响是一个可行视角。首先，可以借鉴美食意象研究成果，构建特定旅游地美食意象量表。其次，基于相关理论分析美食意象与旅游者满意度以及行为意向的影响。同时注意，将美食满意度与旅游者整体满意度进行剥离。以此为基础，构建地方美食对旅游者行为意向影响的初步模型。与此同时，引入地方依恋、旅游者特质(食物恐新)等中介或者调解变量，使模型更具有丰富性，更好地指导地方旅游实践。 旅游学科以及饮食学科相关研究均较为薄弱，美食旅游是否成为一个独立的细分市场，需要结合心理学、营销学、人类学、历史学、文化学等不同学科相关理论深入探讨。但是，美食产业发展对目的经济的促进、文化的保护均有一定的积极作用。因此，目的地的相关规划与建设可以提早将美食旅游作为地方经济可持续发展战略的实施方案之一；同时协同多方力量，在继承传统的基础上不断创新，争取为本地居民与外来游客提供更优质的餐饮服务，以满足人民对美好生活需要的追求。
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user: 摘要 潮汐瓦解事件(简称TDE)是一种发生在黑洞周围的高能天体物理事件，它被认为是探测宁静星系中心黑洞的探针，同时也是高能宇宙线和高能中微子的辐射源之一。在本文中，我们首先假设IceCube观测上的高能中微子辐射背景源于潮汐瓦解事件，通过构建潮汐瓦解事件产生的高能中微子辐射模型，拟合观测数据，对发生潮汐瓦解事件的黑洞质量参数空间和物理性质进行限制。最优拟合模型表明，黑洞质量区间为 1 0 4 ~ 1 0 5 M ⊙ 时，喷流型TDE所产生的高能中微子辐射贡献了观测上辐射背景能量峰值处的主要流量。这意味着喷流型TDE与黑洞质量大小的反相关关系，以及这也暗示着也许依旧存在大量具有喷流的潮汐瓦解事件尚未被发现。此外，该最优模型首次定量地给出，质量区间涵括中等质量黑洞范围的随红移演化的黑洞质量函数，其大小正比于(1 + z) −2.667 。
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user: 1. 引言 潮汐瓦解事件(Tidal Disruption Event，简称TDE)是黑洞邻近区域的暂现事件，通常被认为是探测宁静星系中心黑洞的探针。当某颗恒星运行至足够接近黑洞，它的轨道半径小于潮汐瓦解半径时，在强大潮汐力的作用下，该恒星将被瓦解。理论上认为，大约一半的恒星残骸将以极高的速度被抛出，剩下的物质在黑洞引力作用下，重新回落、吸积 [ 1 ]。在此过程中，它向外发出多波段辐射 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]，其典型的光变曲线遵循 L ∝ t − 5 / 3 [ 5 ] [ 6 ]。迄今为止，人们已发现数量超过80个的TDE及其候选者 1 。但在这些候选者中，仅少数TDE被认证为存在相对论性喷流结构，例如Swift J1644 + 57 [ 7 ] 和Swift J2058.4 + 0516 [ 8 ]。形成喷流结构的原因，可能与磁场、黑洞质量或自旋等因素有关 [ 9 ] [ 10 ]。此外，这些相对论性喷流具有极高的能量，被认为是天然的高能粒子加速器。前人研究表明，这类TDE产生的高能粒子以及高能中微子，能一定程度上解释高能宇宙线辐射背景 [ 11 ] 和高能中微子辐射背景 [ 12 ]。与此同时，TDE AT2019dsg被确定为是中微子事件IceCube-191001A的辐射源 [ 13 ]，进一步从观测上验证了TDE与高能中微子间的相关性。 高能中微子是研究高能天体物理的重要信息载体，它具有优于高能宇宙线或光子的不与磁场和空间介质相互作用的性质，所以中微子在传播过程中具有良好的准直性，可用于精确地反向追踪辐射源的空间位置以及对该源的相关天体物理过程进行研究。在天体物理中，高能中微子的辐射机制通常有两种 [ 14 ]，分别是质子–质子(pp过程)，或者质子–光子(pγ过程)的相互作用，经过中间产物 π + 介子衰变为中微子。在观测上，IceCube团队经过6年的持续观测，扣除掉大气中微子背景后，得到能量位于60 TeV~10 PeV 区间的各向同性的高能中微子事例，称之为High Energy Starting Events (HESE)中微子 [ 15 ]。 正如前文所述，TDE被视为高能中微子背景的辐射源之一 [ 11 ] [ 12 ]。依据 [ 16 ] 的分析表明，在发生潮汐瓦解的过程中，若有相对论性喷流产生，物质在激波中被加速、向外传播的过程中发生pγ相互作用，从而产生PeV能量量级的中微子。考虑到由于生成高能中微子过程中伴生的高能γ光子，所以γ光子应该被Fermi Lat的观测所限制。根据 [ 7 ] [ 16 ] 的观点，由于双γ光子湮灭生成电子对机制(Pair production mechanism)所限制，要求光深 τ γ γ (100 MeV) > 1 [ 16 ]。在这样的星系中心环境下，虽然光子被囚禁，但中微子可以逃逸出来。对于HESE各向同性的高能中微子辐射背景，应是来自空间各方向源的贡献，它们依赖于黑洞的质量函数。所以可能存在部分喷流TDE，受限于光深等因素尚未被发现，于是高能中微子提供了一个有效的观测渠道。因此，利用高能中微子辐射背景的研究，可用于限制TDE黑洞质量的参数空间。 在本篇文章中，我们首先假设HESE高能中微子辐射背景均源于潮汐瓦解事件，构建潮汐瓦解事件产生的高能中微子辐射模型，通过拟合HESE中微子辐射背景，研究不同黑洞质量量级的TDE产生的高能中微子流量对该辐射背景的贡献。同时根据最佳拟合模型，给出TDE黑洞质量的下限、喷流TDE比例函数和黑洞质量函数随红移演化指数。接下来于第二小节先介绍我们的模型。第三小节介绍HESE观测数据和本文使用的拟合方法。接着是最佳拟合模型和计算结果，以及最后是对本文内容的简单总结。
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user: 2. 高能中微子辐射能谱 理论上，TDE模型生成中微子流量的大小与其黑洞质量和红移有关 [ 16 ]，所以对于各向同性的高能中微子背景而言，可以看成各个中微子辐射源在黑洞质量和红移空间的积分 [ 14 ]。我们将喷流TDE产生的高能中微子背景改写成： ε ν 2 Φ ν ( ε ν ) = c 4 π H 0 ∫ M min M max d M ∫ 0 z max ρ ˙ ( ε ν ， z ， M ) Ω M ( 1 + z ) 3 + Ω Λ d z (1) 本文中涉及宇宙学的计算均基于ΛCMD冷暗物质宇宙学模型框架，即H 0 = 70 km/s/Mpc， Ω M = 0.3 ， Ω Λ = 0.7 。此外 ε ν 代表频率为 ν 的中微子能量，c代表真空中光速，M代表黑洞质量，z表示红移。 公式(1)中 ρ ˙ ( ε ν ， z ， M ) 表示质量为M ~ M + dM的TDE产生的中微子能流密度。它的大小与四个因素的乘积相关，分别为单个喷流型TDE的高能中微子辐射能谱、喷流TDE的比例函数、TDE的发生率和不同红移处黑洞的质量函数，具体写为： ρ ˙ ( ε ν ， z ， M ) = ε ν 2 ϕ ν ( ε ν ， z ， M ) × f j ( M ) × N ˙ TDE ( M ) × φ ( z ， M ) (2) 上式等号右边第一项表示，给定某个黑洞质量为M的TDE在红移z处产生的高能中微子能谱，即文献 [ 16 ] 中公式(10)。在这基础之上，利用 [ 12 ] 中表2的“Lumi scaling case”转换关系，将描述喷流TDE的三个参数( t ν ， Γ ， L x ，参数代表的物理含义与 [ 12 ] 中相同)转换为黑洞质量的依赖函数。同时额外考虑宇宙学红移效应对流量的影响( ∝ ( 1 + z ) − 3 )，和参考系变换带来的等效的各向同性能量 E X 正比于 ( 1 + z ) − 1 的修正系数 [ 12 ]。 f j ( M ) 代表喷流TDE的比例函数。考虑到在观测上，只有喷流张角指向地球视线方向时，才能喷流TDE才能被观测到。所以，根据文献 [ 12 ] 喷流TDE比例系数可表示为喷流张角沿视线方向的指向因子 2 Γ − 2 与归一系数 η 0 的乘积， η 0 通常取值为0.1 [ 12 ]。然而，目前观测认证的具有喷流结构的TDE样本数目有限，对于这类群体的统计性质以及触发产生喷流的关键因素我们还知之甚少。此外，相较于前人的研究，我们的研究还发现，f j 与黑洞质量有紧密的相关关系。因此在本文中，我们假设f j 与黑洞质量呈指数变化关系，同时设 η 0 、 α f 为自由变量用以拟合模型。表达式如下： f j ( M ) = η 0 2 Γ 2 ( M 10 6 M ⊙ ) α f (3) N ˙ TDE 是发生TDE的概率。TDE可以看成黑洞引力场捕获恒星的过程，理论上依据loss-cone动力学估算TDE发生概率 [ 17 ] [ 18 ]，大小为 10 - 4 ~ 10 − 5 yr − 1 ⋅ gal − 1 。然而，由于M-σ关系为观测的经验关系，一般适用黑洞质量区间下限设为 10 5 M ⊙ 。在考虑质量低至 10 4 M ⊙ 量级的黑洞以及核星团对TDE 发生概率的增强作用后 [ 19 ]： N ˙ TDE ( M ) = 4 × 10 − 5 ( M M ⊙ ) − 0.14 yr − 1 ⋅ gal − 1 (4) 从上式中可以看出，TDE发生率与黑洞质量成反比，所以理论上期望在矮星系中容易发现更多的TDE。然而在目前所观测到的TDE样本中，多数发生TDE的黑洞质量在 10 5 M ⊙ ~ 10 7 M ⊙ 的量级，极少数黑洞质量为 10 4 M ⊙ 量级的TDE被观测到 [ 20 ]。这种观测样本与理论预期之间的矛盾，可能来自于观测能力的限制。于是为了进一步验证低质量端TDE的贡献，我们将公式(1)中 M min 作为可变参数，用于研究不同质量区间TDE对辐射背景的贡献，参考 [ 12 ]，本文中设 M max = 10 7.5 M ⊙ 。 ϕ ( z ， M ) 代表黑洞的质量函数。黑洞的质量函数用以描述不同红移处、不同黑洞质量间隔内黑洞数目的分布，因而直接反映了黑洞与星系共同演化的历史。然而，受限于观测灵敏度，目前黑洞质量函数多为超大质量黑洞的质量函数，其质量区间为 10 5 M ⊙ ~ 10 9 M ⊙ ，对中等质量黑洞的质量函数知之甚少。对于小于质量端黑洞的分布情况认知尚浅。基于前人的工作，文章 [ 21 ] 首次推导出本地宇宙( z ≤ 0.1 )中覆盖部分中等质量范围的黑洞质量函数。其函数如下： log 10 ( φ ( M ) ) = c 1 + c 2 log 10 ( M / M ⊙ ) + c 3 exp ( log 10 ( M / M ⊙ ) ) (5) 其中系数 c 1 = − 2.13 、 c 2 = − 0.098 、 c 3 = − 0.00011 。由于该质量函数的推导基于本地宇宙空间的观测数据而推导的，所以并不适用于高红移空间。对于高红移处的黑洞质量函数，前人的工作给出数值解 [ 22 ]。然而，这类数值解仅面向 10 6 M ⊙ 超大质量黑洞，依然无法描述中等质量黑洞在高红移处的分布。但值得注意的是，这些质量函数的大小随着红移增加而减小，大约以 ( 1 + z ) − 3 ~ ( 1 + z ) − 2 趋势下降 [ 22 ]。同时考虑到观测流量反比于距离平方规律，所以TDEs对中微子背景的流量贡献总体趋势，可以认为随着红移的增加而减少。因此，基于上述考虑，在本文中我们假设随红移演化的黑洞质量函数 φ ( z ， M ) ，以本地宇宙的质量函数 ϕ ( M ) 为基准 [ 21 ]，以 ( 1 + z ) − α z 指数函数演化。这里我们将该指数 α z 设置为自由参数，用以研究高红移处黑洞质量函数的分布情况。具体表达式如下： φ ( z ， M ) = φ ( M ) × ( 1 + z ) − α z (6)
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user: 3. HESE观测数据和模型拟合 本文采用IceCube六年的HESE观测数据 [ 15 ] [ 23 ] 进行模型拟合，具体数值参考 [ 23 ] 中的表1。进一步，我们假设HESE观测数据为理论上限值，设置 η 0 、 α f 、 α z 为模型自由参数，取值范围分别是： 0.1 ≤ η 0 ≤ 10 ， 0 ≤ α z ≤ 4 ， − 1 ≤ α f ≤ 1 。此外，设置三组不同的 M min 作为对照模型，研究不同黑洞质量区间TDE对高能中微子辐射背景的贡献。用卡方拟合观测数据，取卡方值最小的参数组合作为最优组合。卡方定义如下： χ 2 = ∑ i N ( Φ ν ， i m o d − Φ ν ， i o b s ε i o b s ) 2 其中 Φ ν ， i m o d 表示模型(公式1)的理论计算值， Φ ν ， i m o d 和 ε i o b s 分别表示高能中微子观测值及其误差，如文献 [ 23 ] 中表1第二列和第三列所示。下标i表示第i个数据点，N代表数据点总数。
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user: 4. 结论 4.1. 三种模型 我们考虑三种对照模型，设置 M min 分别等于 10 4 M ⊙ 、 10 5 M ⊙ 和 10 6 M ⊙ 。通过卡方拟合，我们分别找到了三组最佳拟合参数，如表1。 Table 1 Best-fitted parameters of three case No. Cases ( M min = ) η 0 α f α z χ min 2 1 10 4 M ⊙ 1.701 0.026 2.667 5.999 2 10 5 M ⊙ 1.194 −0.897 4.0 8.576 3 10 6 M ⊙ 10.0 −1.0 0.0 16.131 表1. 最佳拟合参数组合 分别将这三组参数代入模型，公式(1)~(6)，计算高能中微子能谱，如图1所示。首先，图1一方面很直观地反映出，相比于其他两个模型，模型1 (红色实线)更能拟合观测数据。而模型2和模型3的理论计算值已经超过了观测值，显然与观测不相符。另一方面，这也能反映出，在我们的模型中，中等质量黑洞TDE产生高能中微子辐射通量，对背景的贡献不可忽视。 图1. 三组最佳拟合模型高能中微子能谱对比图 4.2. 最优模型 这里我们选择最佳拟合的模型1做进一步分析。为了方便下文描述，我们将模型1称为最优模型。首先，为了进一步分析中等质量黑洞在我们模型中扮演的重要作用，我们将最优模型的能谱(图1中红色实线)，根据不同的质量区间分别计算产生流量大小。如图2所示，绿色、蓝色、黄色的单点划线分别代表黑洞质量量级为 10 4 M ⊙ 、 10 5 M ⊙ 和大于 10 6 M ⊙ 的不同质量区间产生的中微子流量贡献大小。从图上可以直观的看出，中微子能量位于100 TeV~1 PeV能量区间的峰值流量，主要由 10 4 M ⊙ ~ 10 5 M ⊙ 量级的TDE所贡献(绿色和黄色单点划线)；相反，超大质量黑洞TDE的对高能中微子辐射背景贡献较少。 图2. 最优模型的成分分析图 其次，将最优模型的 η 0 和 α f ，以及“Lumi scaling case”中Γ转换关系式 [ 12 ]，代入公式(3)并整理，我们得到了喷流TDEs比例函数： f j ( M ) = 8.505 × 10 − 3 ( M 10 6 M ⊙ ) − 0.374 (7) 当 M = 10 6 M ⊙ 时，计算可得 f j = 8.505 × 10 − 3 ，满足文献 [ 24 ] 中基于观测分析的限制，即 3 × 10 − 3 < f j < 1 。公式(7)中的指数等于−0.374，这意味着在TDEs中，随着M的增加，f j 比例减少。这种反相关关系或许与不同质量区间的流量贡献比例直接相关。然而，由于当前缺乏中等质量黑洞TDE的观测样本，它仍然需要依赖今后的天文巡天观测数据，予以参数空间的进一步限制及验证。 对于随红移演化的黑洞质量函数，最优模型质量函数表明， φ ( z ， M ) ∝ ( 1 + z ) − 2.667 。这意味着随着时间的演化，从高红移空间到低红移空间，黑洞质量函数逐渐增加。对于超大质量黑洞而言，这种演化趋势与观测和数值计算均一致；而对于中等质量黑洞而言( 10 4 M ⊙ ~ 10 6 M ⊙ )，虽然受限于现有观测能力，并无准确的定论。但这种演化指数可以理解为是，在中微子辐射背景约束下，我们模型给出的，在0到1的红移空间中，正比于 ( 1 + z ) − 2.667 的平均演化趋势。为了进一步证明这一点，我们将最优模型的红移积分上、下限分别改为z = 3和1，保持其他参数不变，结果如图3所示。红色实线仍然代表最佳拟合模型时，洋红色实线代表红移空间为1~3时模型计算得到的高能中微子流量大小。相比于最优模型，后者小了将近两个数量级，基本可以看做忽略不计。总而言之，这种演化趋势会导致中微子辐射通量在高红移处减少，这也与前文的定性分析自洽。