DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 5. 结论和讨论 5.1. 结论 本文的研究假设证实情况如表9所示。本文的研究假设H1a、H1b和H1d得到验证，H1c和H1e得到部分验证。这些结果表明顾客参与对服务补救措施和感知公平之间的关系起调节作用，只是调节效应的方向不一致。当顾客参与程度高(相比于低)时，物质补偿能引起顾客更高的结果公平感知；响应性能引起顾客更高的程序公平感知；道歉能引起顾客更高的互动公平感知；而沟通能引起顾客更低的互动公平感知；反馈能引起顾客更低的信息公平感知。 另外，本文的研究假设H2a、H2b和H2c得到验证，而H2d没有得到验证。这结果表明顾客参与通过结果公平、程序公平和互动公平影响了服务补救满意度。而信息公平却在顾客参与和补救满意度的关系中不起中介作用。 Table 9 The verification of each research hypothesis in this pape 研究假设 研究结果是否支持 备注 H1a：物质补偿对结果公平的正向影响受到顾客参与的调节作用；即顾客参与水平越高， 企业的物质补偿对消费者结果公平感知的影响越大。 支持 H1b：响应性对程序公平的正向影响受到顾客参与的调节作用；即顾客参与水平越高， 企业的响应性对消费者程序公平感知的影响越大。 支持 H1c：沟通对互动公平的正向影响受到顾客参与的调节作用；即顾客参与水平越高， 企业的沟通对消费者互动公平感知的影响越大。 部分支持 得到相反调节 效应结果 H1d：道歉对互动公平的正向影响受到顾客参与的调节作用；即顾客参与水平越高， 企业的道歉对消费者互动公平感知的影响越大。 支持 H1e：反馈对信息公平的正向影响受到顾客参与的调节作用；即顾客参与水平越高， 企业的反馈对消费者信息公平感知的影响越大。 部分支持 得到相反调节 效应结果 H2a：顾客参与通过结果公平正向影响顾客的服务补救满意度。 支持 H2b：顾客参与通过程序公平正向影响顾客的服务补救满意度。 支持 H2c：顾客参与通过互动公平正向影响顾客的服务补救满意度。 支持 H2d：顾客参与通过信息公平正向影响顾客的服务补救满意度。 不支持 表9. 本文各个研究假设的验证情况汇总 5.2. 理论意义 本文的研究具有一定的理论意义，主要体现在以下两个方面： 首先，本文验证了感知公平是顾客参与对服务补救产生影响的内在机制之一。本文的结果表明，感知公平中的结果公平、程序公平和互动公平在顾客参与和服务补救满意度之间关系起中介作用。前人的研究中鲜有对服务补救中顾客参与的机制进行研究，本文对服务补救的研究进行了补充。本文的研究结果其实也得到了前人研究的证实。比如，张辉和胡金林(2015)的研究表明，感知公平中介了顾客参与和顾客满意之间的关系 [ 33 ]。本文的研究将顾客参与和感知公平之间的关系延伸到了服务补救领域。 其次，本文研究结果表明顾客参与对不同补救措施和感知公平之间的关系所起的调节作用不一致。具体来说，当企业采取物质补偿、响应性和道歉的补救措施时，顾客参与程度高效果更明显；而当企业采取沟通和反馈的补救措施时，顾客参与程度低效果反而更明显。顾客参与在服务补救中的这种调节效应结果是本文首次发现，为未来的研究提供一定的参考价值。这个结果表明，顾客参与程度不一定越高越好，有时候参与程度高可能会带来反作用。在顾客参与的大部分的研究中，基本上都认为顾客参与会正向影响顾客满意度。然而，也有少量研究表明顾客参与可能对顾客满意没有影响。比如，汪涛和望海军(2008)研究表明，当顾客感知服务提供方设计的情景与顾客预期方式不一致时，顾客参与对顾客满意度没有影响 [ 43 ]。因此，顾客参与对顾客满意的影响，尤其是在服务补救领域中，其作用机制可能并不是线性的，可能是曲线、倒U型或者其他模式，这需要在以后的研究中进一步探究。 5.3. 实践意义 本文的研究也为企业的实践提供一定的启示，主要体现在以下两个方面： 首先，企业需要针对不同的网络补救措施引导不同的顾客参与水平。根据本文的研究结果，当企业采取物质补偿、响应性和道歉的补救措施时，企业应当引导顾客较高的参与水平；而当企业采取沟通和反馈的补救措施时，企业应当引导顾客较低的参与水平。只有根据不同的补救措施，引导不同的顾客参与水平，顾客才能感知到更高的公平水平，从而产生更高的补救满意度。并不是顾客参与水平越高越好。 其次，企业需要在网络服务补救过程中提升顾客的感知公平水平。本文研究表明企业的补救措施和顾客参与都是通过提升感知公平，从而提升补救满意度的。因此，提升顾客在服务补救过程中的感知公平水平，是提升补救满意度的关键所在。而提升顾客的感知公平水平，需要遵循两点原则：(1) 服务补救措施能否弥补服务失误给顾客带来的损失；(2) 与别人相比，自己所得到的补救措施是否公平 [ 39 ]。企业应该从补偿的结果、补偿的过程、服务补救的实施方法、与顾客的沟通互动和信息反馈等方面入手，提升顾客的结果公平、程序公平、互动公平和信息公平的感知。
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user: 6. 研究局限和未来研究方向 本文的研究仍然存在一些局限性，需要在未来的研究中加强。首先，本文虽然选取了典型的补救措施指标来代表经济利益补救和社会利益补救，但仍然有其他的一些补救措施没有考虑进去。比如，解释 [ 3 ]、承认 [ 44 ] 等措施，前人的研究表明这些措施也是有效的服务补救措施。在未来的研究中可将这些措施也引入进行研究。 其次，本文揭示出企业在采取不同补救措施时，顾客参与对这些补救措施产生了不同的影响。特别是当企业采取沟通和反馈的补救措施时，顾客参与表现出与其他补救措施于感知公平之间相反的调节作用。顾客参与产生不同调节作用的机制是什么？为什么会产生这种现象？这在本文中并没有进行更进一步的研究，这需要在未来的研究中进行探讨。 再次，本文是基于公平理论来探究顾客参与在服务补救过程中的作用。然而，公平理论只是众多理解顾客参与的理论之一。前人的研究还从其他理论着手来探究顾客参与和顾客满意之间的关系。比如，张广玲和潘志华(2018)基于角色理论探究了顾客参与对顾客满意的影响。结果表明顾客参与通过角色模糊、角色冲突和角色负荷对顾客满意产生负向影响 [ 45 ]。服务补救领域的研究也可以借鉴这些理论(比如，角色理论)来进一步丰富对顾客参与在服务补救中作用的理解。 最后，未来的研究还需要探究企业如何才能促进顾客参与。本文的研究结果表明顾客参与在很多情况下能提升服务补救满意度。因此，企业需要在服务补救过程中吸引顾客的参与。然而，鲜有研究探究如何在服务补救过程中促进顾客的参与。企业提供便捷渠道，顾客授权，提供参与奖励等措施可能会促进顾客参与的实现。未来的研究需要进一步探究企业采取哪些措施才能够提高顾客参与的积极性。
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user: 摘 要 正交4球心组成的垂心四面体，在欧氏3D坐标系中，仅用四球半径，计算内切球、4面6棱10个旁切球半径和球心坐标的同构公式，同时得出内切球球心与外接球球心的间距公式。 关键词 :体积勾股定理，垂心四面体，内切球，外接球，面旁切球，棱旁切球，算法 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 4球正交，球心间的垂心四面体 [ 1 ] 的内切球 [ 2 ]、4面旁切球 [ 2 ]、6棱旁切球半径以及坐标关系如何？是否有同构的公式可循？内切球与外接球 [ 3 ] 球心间距关系如何？
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user: 2. 证明正交4球球心间的垂心四面体内切球、旁切球、仅变换旁切面为负号的同构半径公式、及其球心坐标公式
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user: 2.1. 约定符号 2.1.1. 设正交4球球心A，B，C，D及坐标 设：正交4球半径分别为 ；依次对应球心坐标为 这里：系数 ；体积元 2.1.2. 正交4球球心构成的垂心四面体的4面的面积元 设：4球心A，B，C，D的对平面为1，2，3，4：设4个面积元为： 2.1.3. 设内切球、4面旁切球、6棱旁切球半径及其球心坐标符号 设：内切球半径为 ，其球心坐标 4个面旁切球半径及其球心坐标为： A球心对平面的旁切球半径： ，球心坐标 。 B球心对平面的旁切球半径： ，球心坐标 。 C球心对平面的旁切球半径： ，球心坐标 。 D球心对平面的旁切球半径： ，球心坐标 。 6个棱旁切球半径及其球心坐标为： AB棱旁切C，D对平面的旁切球半径： ，球心坐标 。 AC棱旁切B，D对平面的旁切球半径： ，球心坐标 。 BC棱旁切A，D对平面的旁切球半径： ，球心坐标 。 AD棱旁切B，C对平面的旁切球半径： ，球心坐标 。 BD棱旁切A，C对平面的旁切球半径： ，球心坐标 。 CD棱旁切A，B对平面的旁切球半径： ，球心坐标 。 2.2. 内切球和10个旁切球半径及其球心坐标的同构公式，以及内切球与外接球球心间距公式 4球正交构成的垂心四面体的1个内切球，4个面旁切球和6条棱旁切球。共11个内旁切球的半径及其球心坐标仅区别于相关面的正负号的同构公式。 2.2.1. 内切球和10个旁切球半径公式 正交4球形成垂心四面体的内切球，4个面旁切球、6个棱旁切球的同构半径公式。 定义：内切球和10个旁切球半径：等于3倍的垂心四面体体积与其表面积的商减去2倍的旁切面面积元：同构公式(1)为： (1) 这里r代表半径，下标 为或，I为内切，E为旁切；1，2，3，4为4球心A，B，C，D的对平面。 为2倍的旁切面的面积元之和。 2.2.2.以内切球球心坐标为基准的10个旁切球球心坐标： 旁切球球心坐标定义：以内切球球心坐标为基准，4面旁切球坐标、6棱旁切球(也可称：与该棱共线2面的旁切球)的坐标，等于内切球球心坐标为基准，对应旁切面面积元前变更为负号。 以内旁切球球心坐标为基准： (2) 2.2.3. 内切球球心与外接球球心间距公式： 定义：外接球心O与内切球心I距离的平方等于外接球半径平方与3倍的内切球半径平方之和减去内切球半径与垂心至4球心距离和的积。公式为： (3) 例：各内旁切球的半径及其球心坐标为： · 内切球半径，因无旁切面， 公式(1)其半径为： (4) 其球心坐标为基准坐标：即为：公式(2) (5) · A球心对平面BCD面为1面的旁切球半径为：(将旁切面 代入公式(1)的 ) (6) 其球心坐标在内切球基准坐标公式(2)中将 前变更为负号： (7) · AB棱旁切球(即旁切 和 2个面)半径为：(将旁切面 代入公式(1) ) (8) (当 时成立)。 其球心坐标在内切球基准坐标公式(2)中将 和 前变更为负号： (9) 其余单面旁切球、2面(棱)旁切球半径，及其球心坐标详见表1。 2.3. 验证公式(1)、公式(2)、公式(3) 分别验证内切球，4个面旁切球和6条棱(与棱共线的2面旁切)旁切球3类半径及其球心坐标。 2.3.1. 验证内切球半径及其球心坐标，计算内切球与外接球球心间距公式 即：验证公式(3)、公式(4)、公式(5)。 Table 1 List of radius and center coordinates of inscribed sphere and escribed sphere of orthocentric tetrahedro 序 名称 旁切 球心 分坐标x 分坐标y 分坐标z 半径 1 内 I 2 外1 BCD 3 外2 ACD 4 外3 ABD 5 外4 ABC 6 外12 CD 7 外13 BD 8 外14 BC 9 外23 AD 10 外24 AC 11 外34 AB 表1. 垂心四面体的内切球和旁切球半径及球心坐标一览表 · 根据正交4球球心，可以列出4组3球心组成的4个平面方程为： BCD球心为 的平面方程： (10) ACD球心为 的平面方程： (11) ABD球心为 的平面方程： (12) ABC球心为 的平面方程： (13) · 根据点到平面距离D的联立方程为： (14) · 解方程求得内切球球心 坐标为： · 将上述坐标代入公式(14)得内切球半径 经验证：内切球半径公式(4)、球心坐标公式(5)成立。 · 再根据外接球和内切球2球心坐标验证公式(3) 将外接球和内切球2球心坐标代入： 整理上式得： 命题得证：公式(3)成立。 因此公式(3)、公式(4)、公式(5)均验证成立。 2.3.2. 验证面旁切球半径及其球心坐标公式 即：验证公式(6)、公式(7)。 验证A球心对平面BCD面为 面的旁切球半径及其球心坐标。 将 面的平面方程乘以负号： (15) 将公式(15)代入点到平面距离公式(14)第1行为： (16) 解方程求得 面BCD旁切球球心 坐标为： 将上述坐标代入公式(16)得1面BCD旁切球半径为 因此公式(6)、公式(7)验证成立。 同理：可验证：旁切 平面、旁切 平面、旁切 平面的旁切球心坐标及其半径。它们的半径及其球心坐标见表1。 2.3.3. 验证棱(双面)旁切球半径及其球心坐标公式 即：验证公式(8)、公式(9)。 · 验证AB棱旁切球(即旁切 和 2个面)半径及其球心坐标。 将ABD球心的 面，和ABC球心的 面的2个平面方程公式(12)、公式(13)均乘以负号： ABD球心为 的平面方程公式(12)乘以负号为： (17) ABC球心为 的平面方程公式(12)乘以负号为： (18) 将公式(17)，公式(18)代入点到平面距离公式(14)第3行和第4行为： (19) 解方程求得旁切AB棱(即旁切 面， 面的旁切球球心 坐标为： 将上述坐标代入公式(19)得旁切 面， 面的旁切球半径为 (19) (当 时公式成立)。 同理可验证：旁切 平面、旁切 平面、旁切 平面、旁切 平面、旁切 平面的5个棱旁切球心坐标及其半径 时公式成立。它们的半径及其球心坐标见表1。 · 说明：6个棱旁切球的半径必须大于零 时，棱旁切球才成立。 当正交4球半径均相等时： ∵ 此时6个棱旁切球半径分母都等于零， ∴ 6个棱旁切球都不存在。 当正交4球半径均不相等时： ∵ 此时6个棱旁切球半径：其中：与最小球心相连的3棱旁切球半径大于零，与最小球心对平面相交的3棱旁切球半径小于零。 ∴ 6个棱旁切球仅与最小球心相连的3棱旁切球半径大于零。 例： 正交4球半径分别为： 时：6棱旁切球半径分别为： 因此公式(8)、公式(9)验证成立(当 时公式成立)。
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user: 3. 总结 1) 以内切球的半径为基准，所有10个旁切球半径仅变更旁切面积元为负。公式(1)成立。 2) 以内切球心坐标公式(2)为基准，所有10个旁切球心坐标仅变更旁切面积元为负。 3) 内切球心与外接球心间距公式(3)成立。 4) 内切球和4面旁切球任何情况均成立。 5) 6棱旁切球：当：正交4球心均相等时没有棱旁切球；正交4球心不等时，仅见3个与最小球心相连的3棱旁切球，而与最小球心对平面3棱的旁切球不存在。
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user: 摘 要 本文2015~2019年每年3至4月期间，采用定点观察法、路线调查法，对莫莫格国家级自然保护区春季迁徙期的水鸟群落组成进行了野外调查：共记录水鸟6目13科51种。其中，有国家一级保护鸟类2种，国家二级保护鸟类7种。研究结果表明，2015年、2016年、2017年、2018年和2019年调查期间的水鸟物种数量分别为30种、33种、34种、28种、25种。其中，涉禽占据绝对优势，物种数量分别为18种、18种、20种、17种、14种，游禽次之，物种数量分别为12种、15种、14种、11种、11种。文从物种组成、区系组成、居留型、受胁保护状态四个方面对该地区春迁期鸟类群落数据进行整理，得出群落多样性Shannon-Wiener指数、优势度Simpson指数、均匀度Pielou指数和丰富度Margalaef指数。莫莫格国家级自然保护区为鸟类特别是水鸟提供了丰富的食物种类和适宜的栖息环境，而该保护区作为中国松嫩平原地区重要的水鸟保护区湿地，俨然已经成为鸟类迁徙途中重要的停歇地与生态廊道。本文根据历年间该保护区所发现鸟种的对比，结合实地考察的一手数据，分析该保护区春迁期的水鸟群落多样性，并针对保护区的保护现状提出相应管护建议。 关键词 :莫莫格，春季迁徙期，水鸟群落多样性 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 湿地是自然生态系统中重要的组成部分，具有很高的生态价值和经济价值，而湿地鸟类在湿地生态系统能量流动和维持生态系统稳定性等方面起着重要作用 [ 1 ] [ 2 ]。鸟类是湿地生态系统最为活跃的组成部分，鸟类群落的组成和多样性动态直接反映湿地生态系统的变化，可以作为监测湿地环境变化的一项客观生物指标 [ 3 ]。在许多国家和地区，湿地鸟类种群数量的大小及群落组成已经是监测和评价湿地的重要指标 [ 4 ]。其时空分布、群落组成和多样性动态直接或间接地反映了栖息地生态系统的变化，可以客观地评价栖息地的生境状况。群落多样性是生态组织水平独特的组成部分，并能够反映群落功能的重要特征，同时也是群落结构研究中一个极为活跃的领域。多样性和丰富度常作为群落物种衡量参数，群落内物种参数经常是一个动态变化的过程 [ 5 ]。因此鸟类多样性的研究是考察一个区域内的生态系统平衡的重要指标。 吉林莫莫格国家级自然保护区是以白鹤、东方白鹳及栖息地为主要保护对象的内陆湿地和水域生态系统保护区，是我国东部候鸟迁徙通道上的重要停歇地，是典型湿地类型保护区。莫莫格国家级自然保护区的水鸟研究多集中于白鹤及其迁徙期生境研究，如范巍巍《莫莫格国家级自然保护区白鹤迁徙期栖息地觅食生境选择研究》 [ 6 ]、王宇嘉《莫莫格国家级自然保护区白鹤迁徙期行为研究》 [ 7 ]、孔维尧《莫莫格自然保护区白鹤秋季迁徙停歇期觅食生境选择》 [ 8 ]。可见有关鸟类群落研究只见2010年卜楠龙等人发表的基于2004~2008年调查结果的《吉林莫莫格国家级自然保护区春季水鸟多样性分析》 [ 9 ]。近年来迁徙期的水鸟群落研究未见报道。
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user: 2. 保护区概况 莫莫格保护区始建于1981年3月，1997年12月晋升为国家级自然保护区，2013年10月加入国际重要湿地名录。保护区位于吉林省白城市西部的镇赉县内，保护区坐标为北纬45˚42'~46˚18'，东经123˚27'~124˚4'。地处松嫩平原的西部，保护区内地势较为平坦，平均海拔为142 m，相对高差在2 m到20 m之间。保护区内气候属于温带大陆性季风气候，其特点主要为春季干旱风大、夏季炎热多雨、秋季干燥凉爽、冬季寒冷雪少。年平均温度4.6℃，气温年均差可达40.9℃，年平均风速为3.5 m/s，最小风速在每年6月~8月，月平均风速为2.8~2.9 m/s。最大风速出现在每年3月~5月，月平均风速可达4.1 m/s以上。全年大风主要集中于3~5月，最大风力在4月份可达8级以上。保护区总面积14.4万hm 2 ，其中核心区面积52，340 hm 2 ，占保护区总面积36.3%；缓冲区面积54，805 hm 2 ，占保护区总面积38.1%，实验区面积36，855 hm 2 ，占保护区总面积25.6% [ 10 ]。保护区内水资源丰富，其中发源于大兴安岭依勒科里山的嫩江，从白沙滩入境，途径坨子、大屯到沿江乡出境，流经长度111.5 km，流域面积3万平方米。 全保护区总面积的80%以上都为湿地，是吉林省最大的湿地保留地，有鱼类有4目11科52种、两栖与爬行类有3目6科12种、兽类有4目9科25种、鸟类有17目55科298种。保护区内的鸟类资源，其中国家一级保护鸟类有10种，为白鹤(Grus leucogeranus)、白头鹤(Grus monacha)、丹顶鹤(Grus japonensis)、东方白鹳(Ciconia boyciana)等。 莫莫格国家级自然保护区最主要的保护物种为鹤类。全世界鹤类共有15种，在该保护区中鹤类就有6种，分别为白鹤、丹顶鹤、白头鹤、白枕鹤(Grus vipio)、灰鹤(Grus grus)、蓑羽鹤(Anthropoides virgo)。白鹤是该保护区保护对象的旗舰物种，在莫莫格地区的停歇种群数量可达全部白鹤种群的一半以上，倍受国际、国内科研组织的高度关注，具有极高的科学研究价值。
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user: 3. 研究方法 3.1. 外业调查方法 2015年3月28日~30日、4月14日~16日，2016年3月26日~28日、4月12日~14日，2017年3月22日~24日、4月11日~13日，2018年3月27~29日、4月12~14日，2019年3月29日~31日、4月15日~17日，即每年的鸟类春季迁徙期在莫莫格国家级自然保护区开展野外调查，每年两次，每次持续三天。在泡沼边通过双筒望远镜(Leica 10 × 25)和单筒望远镜(Bushnell 20-60 × 80)采用样点法观察鸟类的种类、数量，并进行直接计数。每个泡沼选取1~3个观察位点，每个样点的监测时间为30 min左右。调查观测点主要包含17个，分别位于套什吐西、蒙古索口公路、蒙古索口东边公路、套什吐西北、格力吐村西、脑袋、巴喜召村边泡子、孟天昭西、孟天昭北、胡不台水坝、少力泡子公路、报马吉岗子西、报马吉岗子西北、乌兰昭村、河宝吐、东岗子、莫莫格东杭乃西、哈拉塔等(观测点见图1)。 再采用路线调查法，即在通往下一个调查点的路线上，以步行速度大约为2.0~3.0 km/h的速度沿调查路线，观测路上及两旁的水鸟，直接记录其种类、数量。路线长度一般为2 km~5 km不等，单侧宽约为100~1000 m。关于鸟种识别，对于那些距离较远且难以识别的鸟种，通过相机对其形态、生境、行为等特征进行信息留存，然后结合《中国鸟类野外手册》 [ 11 ]、《中国鸟类分类与分布名录》 [ 12 ] 及相关专家，进行后期鸟种的鉴定。均采用最大值保留法，处理得到的鸟类种类数量数据。 图1. 莫莫格国家级自然保护区春迁期鸟类观测点 3.2. 数据统计方法 1) 鸟类群落多样性指数采用Shannon-Wiener指数公式 [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] ： H = − ∑ i = 1 s ( P i ) ( log 2 P i ) (1) 式中：H为Shannon-Wiener多样性指数，S为物种数，P i 为i物种数量与总物种数量之比，P i > 5%视为优势种。 2) 鸟类群落优势度指数采用Simpson指数公式 [ 13 ] [ 14 ] [ 16 ] ： C = ∑ i = 1 s P i 2 (2) 式中：C为Simpson优势度指数，S为物种数，P i 为i物种数量与总物种数量之比。 3) 鸟类群落均匀度指数采用Pielou指数公式 [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] ： E = H / H max (3) 式中：E为Pielou均匀度指数，H同上述公式，H max 为log 2 S，S为物种数。 4) 鸟类群落丰富度指数用Margalaef指数公式 [ 14 ] ： Ma = ( S − 1 ) / ln N (4) 式中：S代表所在群落的物种数目；N代表所在群落的所有物种的个体数之和。
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user: 5. 分析 5.1. 水鸟群落组成的年际变化关系 鸟类群落多样性的年际间变化趋势与均匀度成正相关，而群落的丰富度即物种数与均匀度变化趋势成负相关(见图3)。这与吴庆明在《江西都昌保护区越冬水鸟群落多样性及种多度》 [ 21 ] 中的研究结论一致。鸟类群落的相关指数变化与每年候鸟的实际迁徙情况有关，而影响鸟类春迁期种群数量、迁徙时长、动态分布等又与其生境适宜性、气候变化、人为干扰等诸多因素相关。通常，影响鸟类群落物种多样性和均匀度的因素存在差异 [ 4 ] [ 22 ] [ 23 ]，与物种多样性相关的影响因素包括环境的异质性与食物的丰富度，与均匀度相关的影响因素包括群落的多样性与群落的丰富度即物种数。 图3. 2015~2019年际间各水鸟群落指数变化关系 5.2. 水鸟群落多样性与降雨量的关系 查阅该地区历年降雨量得知：2015年3月累计降雨量为32，743 mm，4月为32，733 mm、五月为66，100 mm；2016年3月累计降雨量为55 mm，4月为32，738 mm，5月为33，942 mm；2017年3月累计降雨量为32，714 mm，4月为98，142 mm，5月为33，376 mm；2018年3月累计降雨量为84 mm，4月为28 mm，5月为279 mm；2019年3月累计降雨量为110 mm，4月为7 mm，5月为802 mm。2015~2017年3~5月降雨量均较高，2018、2019年降雨量明显下降。 本调查研究记录鸟类6目13科51种，卜楠龙等2010年在《吉林莫莫格国家级自然保护区春季水鸟多样性分析》记录水鸟7目14科70种，新增发现鸟种1种，为针尾沙雉，未见鸟种22种，以鸻形目鹬科、鸥科鸟类为主，分析主要原因为近几年该地区降雨量较少，面积较小的泡子已经有干涸的现象，鸻鹬类水鸟栖息在水深较浅的水域，其适宜的生境减少，故观测到的湿地水鸟种类有所下降。据了解，该地区于2009年开始建设风力发电的工程，其施工行为和架设起的风车对鸟类的迁徙和栖息造成一定影响，这是本次调查鸟种较10年前减少的原因之一。 保护区历史记录有17目55科298种。本次记录鸟种数较少的主要原因在于本调查时间为每年的3~4月，即鸟类的春季迁徙期进行，故所调查的鸟种数量只为在春迁期调查发现的，缺少大部分夏候鸟、冬候鸟等。其次，本次调查区域主要在该地区的水域附近设立调查样点，观测到的鸟种基本都是水鸟，林鸟种类较少，而且观测样点主要位于保护区西部，并未完全覆盖保护区全境。 5.3. 水鸟群落多样性与气温的关系 鸟类对环境和气候变化非常敏感，鸟类的飞行能力极强，所以鸟类常被看作气候变化对生态系统影响的先锋指示物种，而气候变化被认为是鸟类迁徙时间变化的主要驱动力 [ 24 ]。研究显示，春季候鸟的迁到时间会由于气温的上升而提前，如Butler发现在北美地区，气温变化对部分鸟类的春季迁回期产生影响 [ 25 ] ；Kullberg等研究发现，在瑞典气候变暖的背景下，春季中短距离迁徙鸟类出现了早到现象，并且这种现象大于长距离迁徙鸟类早到现象，此外这种现象在瑞典南部大于中部 [ 26 ] ；杨丽慧等发现在家燕(Hirundo rustica)、四声杜鹃(Cuculus micropterus)到达江苏大丰市的时间随城市温度的上升而会出现提早的现象 [ 27 ] ；李显达等通过对黑龙江省高峰鸟类环志站鸟类迁徙数据分析发现，春季红胁蓝尾鸲的环志数量会随着气温增高而环志量越大 [ 28 ] [ 29 ]。东北地区早春气温变化较为剧烈，4月中旬以后，随着气温的回升，气温的波动逐渐相对开始平稳 [ 30 ]，气温变化对鸟类的春季迁徙期影响逐渐变得不明显。 查阅农历日历得知：2015年3~4月为农历的正月十一至二月十三，2016年3~4月为农历的正月廿三至二月廿四，2017年3~4月为农历的为二月初四至三月初五，2018年3~4月为农历的正月十四至二月十六，2019年3~4月为农历的正月廿五至二月廿六。可见2015~2017年间4月鸟类春迁期的农历日期逐年滞后，气温已有一定的回升，即鸟类迁徙时该研究地的月平均气温呈逐年升高趋势，鸟类迁徙到该保护区的数量和种类有所增加；2018~2019年4月，鸟类春迁期的农历日期有所提前，导致鸟类到达迁徙地的基础气温较2015~2017年低，气温回升有所减缓，鸟类的迁徙时间滞后，观察记录到的鸟类种类数量有所下降。这与本文记录到的五年间的鸟类数量和种数即丰富度及的变化趋势一致。对比五年间各月平均气温的变化趋势发现各年际间3月的月平均气温变化波动较大，4月的月平均气温变化趋势与水鸟群落丰富度指数即物种数变化趋势一致，而5月各年际间的月平均气温波动相对开始平稳，对鸟类的春季迁徙期影响减弱(见图4)。
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user: 6. 管护建议 近几年春季迁徙期对莫莫格国家级自然保护区进行外业调查时发现，保护区降雨量较少、工程建设活动较为频繁、村民开垦放牧行为居多。这些均对鸟类的栖息产生了一定的干扰作用。3月末到5月初正是候鸟迁往松嫩平原寻找迁徙停歇地的重要阶段，且由于近年松嫩平原地区气温回暖较快，大部分鹤、雁等种群于3月末就迁至停歇地，5月初才飞往西伯利亚进行繁殖。此期间进行开垦放牧等行为会对鸟类的栖息地选择产生一定干扰，增加鸟类的警戒时间，不利于鸟类的觅食、休息。游客的不文明观鸟行为也时有发生，摄影爱好者过近的拍摄距离也会对鸟类产生一定的影响。因此提出以下管护建议：1) 从外部引水恢复湿地，使干涸退化的湿地水泡子等达到适宜鹤、鹳等珍稀濒危鸟类栖息觅食的水位，恢复湿地的生态功能；2) 制定合理的时间和区域进行开垦、建房、取土、石油开采等工程建设，应避开鸟类栖息区域或在非迁徙期进行施工，以减少对鸟类栖息的干扰；3) 加强对保护区内部人员的管理，提高公众对保护重要性的意识。在主要道路两侧设置鱼类与鸟类的解说牌和宣传栏，加强保护区的日常巡护和监管活动，打击非法捕鸟和捕鱼活动。本研究结果能为莫莫格国家级自然保护区鸟类资源监测、管理保护的实际操作从时间、区域、对象、方式、内容等角度提供了理论上的科学借鉴，也能为同区域内其它以湿地水鸟为主要保护对象的湿地类型自然保护区的有效管理对策的制定和实施提供一定程度的理论参考 [ 31 ]。 图4. 2015~2019年际间月平均气温变化趋势
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user: 摘 要 PH曲线是一类特殊的多项式参数曲线，其最显著的优点是弧长函数为多项式，其等距线可由兼容于CAD系统的有理多项式曲线表示。鉴于此，基于三次DP曲线，从平面PH曲线的定义出发，给出了三次DP曲线为PH曲线时其控制多边形满足的充分必要条件，得到了关于控制多边形的边长和夹角的几何特征条件，给出DP-PH曲线的定义。通过DP-PH控制多边形几何特征条件，给出可以先通过构造控制多边形进而构造出三次DP-PH曲线的几何构造方法。进一步分析了DP曲线和DP-PH曲线的误差。 关键词 :PH曲线，DP曲线，DP-PH曲线，几何特征 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 在计算机辅助几何设计中，非均匀有理B样条(NURBS)方法发展比较成熟，成为现代曲线曲面设计中最为广泛流行的技术，但是仍然存在不足：不能准确表示摆线、螺旋线、圆锥、圆弧曲线等工程问题中经常用到的超越曲线曲面。近年来，学者们不仅在非多项式空间构造出了新型曲线，而且在多项式空间也构造出了新型曲线。Delgado和Peña [ 1 ] 提出了新型参数曲线，称为DP曲线，该曲线不但在数值计算上具有稳定性、在算法上具有线性的计算时间复杂度，而且是由具有曲线保形性的全正基(NTP基)生成的 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]。 在CAD的很多领域涉及到曲线弧长和等距线的计算问题，例如铁路与公路的设计、机械零件的设计以及半智能机器人运动轨迹生成等，往往需要多项式曲线的弧长和等距线具备有理形式。为此，FAROUKI和SAKKALIS [ 6 ] 引入毕达哥拉斯速端(Pythagorean Hodograph， PH)曲线，具有多项式形式的弧长和有理形式的等距线。到目前为止，对PH曲线的研究过多地侧重于代数结构方面，在几何方面的研究成果很匮乏。众所周知，对于给定Bézier曲线的控制多边形，其相关边长和内角不依赖于坐标选择的固有内在几何参量，具体数据可由实际测量得。因此，从控制多边形的长度和角度来讨论PH曲线的几何性质无论在理论上还是实际应用中都具有重要意义。Farouki和Sakalis [ 6 ] 给出具有不同控制顶点的3次Bézier曲线为PH曲线分离形式的边长约束条件和角的约束条件。此外，五次PH曲线的几何特征条件也被确立，但对于边长和角度来说这个条件不是分离形式的。近年来，四次 [ 7 ]、五次 [ 8 ] 和六次 [ 9 ] PH曲线的充分必要的几何特征条件被确定。 对于基于三次DP曲线构造PH曲线的问题，本文给出了三次PH-DP曲线的定义，DP曲线成为PH曲线的充分必要条件，关于控制多边形的边长和夹角的几何特征条件，并且是边角完全分离的条件。通过DP-PH控制多边形几何特征条件，我们给出可以先通过构造控制多边形进而构造出三次DP-PH曲线的几何构造方法。最后，分析了DP曲线和DP-PH曲线的误差，给出数值例子。
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user: 2. 三次DP-PH曲线的构造 本章基于DP曲线，构造PH曲线(DP-PH曲线)，并给出三次DP曲线成为PH曲线的几何特征条件。 2.1. 三次DP曲线 给定控制点 P k ，对于 ∀ t ∈ [ 0 ， 1 ] ，定义三次DP曲线： P ( t ) = ∑ i 3 p i D i ， 3 (t) 其中三次DP曲线基函数为： [ D 0 ， 3 ( t ) ， D 1 ， 3 ( t ) ， D 2 ， 3 ( t ) ， D 3 ， 3 ( t ) ] = [ ( 1 − t ) 3 ， t ( 1 − t ) ( 2 − t ) ， t ( 1 − t ) ( 1 + t ) ， t 3 ] 2.2. PH曲线 定义1 [ 6 ] ：给定平面参数多项式曲线 q ( t ) = ( x ( t ) ， y ( t ) ) ，如果存在多项式 δ ( t ) ，使得，即 δ ( t ) = x ′ 2 ( t ) + y ′ 2 ( t ) 是勾股数，称平面参数多项式曲线 q ( t ) 为Pythagorean-hodograph曲线，简称PH曲线。 定理1 [ 6 ] ：设 u ( t ) ， v ( t ) ， w ( t ) 为非常数的实多项式且 ( u ( t ) ， v ( t ) ) = 1 ，则导数具有如下形式： x ′ ( t ) = w ( t ) ( u 2 ( t ) − v 2 ( t ) ) ， y ′ ( t ) = 2 w ( t ) u ( t ) v (t) 的平面参数曲线 q ( t ) = ( x ( t ) ， y ( t ) ) 为PH曲线。 2.3. DP-PH曲线几何特征条件 下面推导DP曲线成为PH曲线的条件。 给定两个线性多项式 a ( t ) 和 b ( t ) ： a ( t ) = a 0 D 0 1 ( t ) + a D 1 1 (t) b ( t ) = b 0 D 0 1 ( t ) + b D 1 1 (t) 假设 a 0 : a 1 和 b 0 : b 1 的比率不等，利用三次DP基函数 [ D 0 ， 3 ( t ) ， D 1 ， 3 ( t ) ， D 2 ， 3 ( t ) ， D 3 ， 3 ( t ) ] = [ ( 1 − t ) 3 ， t ( 1 − t ) ( 2 − t ) ， t ( 1 − t ) ( 1 + t ) ， t 3 ] ，求得： a ( t ) 2 − b ( t ) 2 = 2 ( a 0 2 − b 0 2 ) D 0 2 ( t ) + 3 ( a 0 a 1 − b 0 b 1 ) D 1 2 ( t ) + 2 ( a 1 2 − b 1 2 ) D 2 2 (t) 2 a ( t ) b ( t ) = 4 a 0 b 0 D 0 2 ( t ) + 3 ( a 0 b 1 + a 1 b 0 ) D 1 2 ( t ) + 4 a 1 b 1 D 2 2 (t) x ( t ) = ∫ 0 t a ( t ) 2 − b ( t ) 2 d t = ∑ k = 0 3 x k D k 3 (t) y ( t ) = ∫ 0 t 2 a ( t ) b ( t ) d t = ∑ k = 0 3 y k D k 3 (t) 所以PH-DP曲线的控制点为 p k = ( x k ， y k ) { p 1 = p 0 + 1 3 ( 2 ( a 0 2 − b 0 2 ) ， 4 a 0 b 0 ) p 2 = p 1 + 1 3 ( 3 ( a 0 a 1 − b 0 b 1 ) ， 3 ( a 0 a 1 + b 0 b 1 ) ) p 3 = p 2 + 1 3 ( 2 ( a 1 2 − b 1 2 ) ， 4 a 1 b 1 ) 其中 p 0 是任意给定的。进一步的，给出上述条件公式(2.1)的几何解释，即DP-PH曲线几何特征条件。 定理2：对于任意给定的一个三次DP曲线 q ( t ) ，其控制顶点 p k ( k = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ) ，控制多边形的各边长为 L 1 ， L 2 ， L 3 ， d j ， k 表示 p k 和之间的距离， ( j ≠ k ) ， L 1 = d 01 ， L 2 = d 12 ， L 3 = d 23 ， L = d 02 顶点 p 1 ， p 2 对应的角为 θ 1 ， θ 2 若满足条件 2 L = 3 L 1 L 3 和 θ 1 = θ 2 q ( t ) 就是PH-DP曲线。 证明 若 q ( t ) 满足PH曲线的条件公式(2.1)，可以得到： { d 01 = 2 ( a 0 2 + b 0 2 ) 3 d 12 = 2 ( a 0 2 a 1 2 + b 0 2 b 1 2 ) d 23 = 2 ( a 1 2 + b 1 2 ) 3 图1. 三次DP-PH曲线控制多边形 如图1可以得出： cos θ 1 = d 01 2 + d 12 2 − d 02 2 2 d 12 d 23 cos θ 2 = d 12 2 + d 23 2 − d 13 2 2 d 12 d 23 根据公式(2.1)给出 d 02 ， d 13 ，则 d 02 2 = 4 9 ( a 0 2 + b 0 2 ) [ 9 ( a 0 + a 1 ) 2 + 9 ( b 0 + b 1 ) 2 ] d 13 2 = 4 9 ( a 1 2 + b 1 2 ) [ 9 ( a 0 + a 1 ) 2 + 9 ( b 0 + b 1 ) 2 ] 得 cos θ 1 = cos θ 2 = − 4 ( a 0 a 1 + b 0 b 1 ) 3 a 0 2 a 1 2 + b 0 2 b 1 2 可以推得 θ 1 = θ 2 或 θ 2 = 2 π − θ 1 ，进而比较与 sin θ 1 和 sin θ 2 ，计算两个角的正弦值，即 sin θ 1 = ( Δ p 1 × Δ p 0 ) ⋅ z d 12 d 01 sin θ 2 = ( Δ p 2 × Δ p 1 ) ⋅ z d 23 d 12 其中z是与 q ( t ) 平面正交的单位向量，将上述带入，可得到 sin θ 1 = sin θ 2 = 4 ( a 1 b 0 − a 0 b 1 ) 3 a 0 2 a 1 2 + b 0 2 b 1 2 由此得出 θ 1 = θ 2 。 并且根据条件公式(2.1)可得控制多边形边长之间的关系满足 2 L = 3 L 1 L 3 。 证毕。
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user: 3. 三次DP-PH曲线的几何构造方法 通过DP-PH控制多边形几何特征条件，我们给出可以先通过构造控制多边形进而构造出三次DP-PH曲线的几何构造方法。 给定始末控制顶点 P 0 ， P 3 和任意点O，依次连接给定的三点，并且令 ‖ O P 3 ‖ ‖ P 0 O ‖ = ρ ≥ 1 ，角的范围为 π > ∠ P 0 O P 3 = θ > 0 。在边 P 0 O 和 O P 3 分别取点 P 1 ， P 2 。设单位向量 e 1 = O − P 0 ， e 2 = P 3 − O 。得到 P 1 ， P 2 坐标为： { P 1 = λ e 1 + P 0 P 2 = P 3 − μ e 2 (3.1) 0 ≤ λ ， μ ≤ 1 。 以点O为原点， P 0 O 为x轴建立直角坐标系。令 P 1 = ( 1 ， 0 ) ， e 1 = ( − 1 ， 0 ) ， e 2 = ρ ( cos θ ， sin θ ) ，代入式(3.1)得到四个控制顶点的坐标为 { P 0 = ( 1 ， 0 ) P 1 = ( 1 − λ ， 0 ) P 2 = ( 1 − μ ) ρ ( cos θ ， sin θ ) P 3 = ρ ( cos θ ， sin θ ) (3.2) 通过定理2中边 P 0 O 和 O P 3 关系之比和推导出的控制多边形几何特征条件可以得出DP曲线控制顶点的中间两点 D 1 ， D 2 ，并得到如下关系式： ∠ D 2 D 1 P 0 = ∠ P 3 D 2 D 1 和 4 | D 1 D 2 | 2 = 9 | D 1 P 0 | ∗ | P 3 D 2 | ， 由 ‖ O P 3 ‖ ‖ P 0 O ‖ = ρ ≥ 1 得到 λ ， μ 表达关系式如下： 1 − λ = ρ ( 1 − μ ) (3.3) { | D 1 P 0 | = λ | P 3 D 2 | = ρ + λ + 1 | D 1 D 2 | 2 = 2 ( 1 − λ ) 2 ( 1 − cos θ ) (3.4) 由式(4)，得到关于参数 λ 的方程 ( 1 + 8 cos θ ) λ 2 + ( 7 + 9 ρ − 16 cos θ ) λ + ( 8 cos θ − 8 ) = 0 (3.5) 式(3.4)存在解 λ = ( 16 cos θ − 7 − 9 ρ ) ± 81 ( 1 + ρ ) 2 − 36 ρ ( 8 cos θ + 1 ) 2 ( 1 + 8 cos θ ) (3.6) 令 θ = π 3 ， ρ = 1 由式(3.3)得到 λ = μ = 2 5 ，把式(3.3)和(3.6)代入式(3.2)中，从而得出 D 1 = ( 3 5 ， 0 ) ， D 2 = ( 1 5 ， 3 5 ) ，取点 p 0 ， D 1 ， D 2 ， P 3 ，画图如图2和图3： 图2. DP曲线 图3. DP-PH曲线
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user: 4. 误差分析和举例 定义2：设 P ( t ) ， D ( t ) 是两条三次曲线，这两条曲线误差定义如下： ε = max t ∈ D 〈 P ( t ) − D ( t ) ， P ( t ) − D ( t ) 〉 (4.1) 给定控制顶点 P i ， D i 定义三次DP-PH曲线为： D ( t ) = ∑ i = 0 3 D i u i ， 3 (t) 则DP曲线和DP-PH曲线的误差表示如下： ε = ∫ 0 a ‖ ∑ i = 0 3 P i u i ， 3 ( t ) − ∑ i = 0 3 D i u i ， 3 ( t ) ‖ 2 d t ≤ a max i = 0 ， 1 ， 2 ‖ P i − D i ‖ 令 n = ‖ ∑ i = 0 3 P i u i ， 3 ( t ) − ∑ i = 0 3 D i u i ， 3 ( t ) ‖ 2 ，则 n = ( t 2 − 2 t 3 + t 4 ) ( ( 3 + 3 ) 2 400 − 3 5 + ( 3 − 3 ) 2 400 t 2 ) ， 从而 ε = 6 − 3 3 1400 a 7 − 2 − 3 200 a 6 + 27 250 a 5 − 126 + 3 3 400 a 4 − 19 100 a 3 m = a max t ∈ D = 3 + 8 60 a 当 a < 0 ， ε < 0 ，当 0 < a < 1 ， ε < m ，当 a > 1 ， ε < m ，则得出两条曲线之间误差较小。 利用定理2中通过控制多边形几何特征条件求出的DP-PH曲线更逼近其控制多边形，具有更好的逼近效果。
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user: 摘 要 考虑如下分数布朗运动驱动的自吸引扩散过程 X t H = B t H − θ ∫ 0 t ∫ 0 t ( X s H − X u H ) d u d s + v t ，其中 B t H 表示Hurst指数为 H ∈ [ 1 2 ， 1 ) 的分数布朗运动，而 θ > 0 ， v ∈ ℝ 为未知参数。在离散观测下，给出了这两个未知参量的最小二乘估计量 θ ^ 和 v ^ ，验证了它们无相合性同时构造新的弱相合估计量。 关键词 :分数布朗运动，最小二乘估计，自吸引扩散 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 一个中心化高斯过程 B H = { B t H ， t ≥ 0 } 称为Hurst指数为 H ∈ ( 0，1 ) 的分数布朗运动(fractional Brownian motion，简记为fBm)，若它的协方差函数为： R H ( t ， s ) = E ( B t H B s H ) 1 2 ( s 2 H + t 2 H − | t − s | 2 H ) ，     s ， t ≥ 0. 特别的，当 H = 1 / 2 ， B 1 / 2 是标准布朗运动。分数布朗运动既不是马氏过程，也不是半鞅(布朗运动情形除外)，所以不能用经典的Ito随机分析理论来进行研究。关于分数布朗运动的随机积分的研究见文献 [ 1 ] [ 2 ]。 自吸引扩散的数学模型由Durrett和Rogers [ 3 ] 于1992年给出，用来刻画一种增长聚合物(布朗聚合物)的形状变化，在一定条件下建立了该模型对应随机微分方程解的渐近性态。随后，M. Cranston和Y. Le Jan [ 4 ] 推广了该模型并引入了自吸引扩散的概念。L. Yan等 [ 5 ] 考虑了由分数布朗运动驱动的自吸引扩散并研究了线性情形下相关结论。值得注意的是在线性情况下，相互作用的扩散足以吸引Ornstein-Uhlenbeck过程 [ 6 ] [ 7 ]，故而可以研究相关渐近行为。此外，由分数布朗运动驱动的随机方程的统计推断是现代随机分析以及应用概率论中的一个重要的课题。Y. Gan和L. Yan [ 7 ] 研究了连续观测下分数布朗运动驱动的线性自排斥扩散的最小二乘估计。 受上述文献启发，本文讨论由分数布朗运动驱动的自吸引扩散过程： X t H = B t H − θ ∫ 0 t ∫ 0 t ( X s H − X u H ) d u d s + v t . 令 Y t H = ∫ 0 t ( X s H − X u H ) d u ，则模型简化为 X t H = B t H − θ ∫ 0 t Y s H d s + v t . (1) 若过程 X t H 在离散时刻 t k = k h ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 被观测到，构造未知参数 θ ， v 的最小二乘估计量，并建立相关弱相合估计量。用 t n 表示观测窗口的长度，且当 n → ∞ 时， h → 0 。
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user: 2. 准备知识 令 B H = { B t H ， t ≥ 0 } 是定义在完备概率空间 ( Ω ， F t ， Ρ ) 上的Hurst指数为H的标准一维分数布朗运动。本节主要回顾分数布朗运动的一些基本概念和结论 H 表示与分数布朗运动有关的再生核Hlibert空间，它为示性函数 { 1 [ 0 ， t ] ， t ∈ [ 0 ， T ] } 关于内积 〈 1 [ 0 ， t ] ， 1 [ 0 ， s ] 〉 H = 1 2 ( s 2 H + t 2 H − | t − s | 2 H ) 生成的线性空间 的闭包。它可以写成 H = { φ : [ 0 ， T ] → ℜ ‖ μ φ ‖ H < ∞ } ， 其中 ‖ φ ‖ H 2 : = α H ∫ 0 T ∫ 0 T φ ( t ) φ ( s ) | t − s | 2 H − 2 d t d s 考虑的 H 子空间 | H | ，它是定义为 [ 0 ， T ] 上可测函数 φ 构成的集合，使得 ‖ φ ‖ | H | 2 : = α H ∫ 0 T ∫ 0 T | φ ( t ) | | φ ( s ) | | t − s | 2 H − 2 d t d s < ∞ ， 容易得到 | H | 关于范数 ‖ φ ‖ | H | 是Banach空间，并且 E 在 | H | 中稠密。另外，对于任意 φ ， ψ ∈ | H | E ( ∫ 0 T φ s d B s H ∫ 0 T ψ s d B s H ) = α H ∫ 0 T ∫ 0 T | φ ( t ) | | ψ ( s ) | | t − s | 2 H − 2 d t d s 令 f ， g : [ 0 ， T ] → ℝ 分别是阶为 α ∈ ( 0 ， 1 ) ， β ∈ ( 0 ， 1 ) 且 α + β > 1 为Holder连续函数，Young [ 8 ] 证明了Riemann-Stieltjes积分(所谓Young积分) ∫ 0 T f s d g s 是存在的。而且，若 α = β ∈ ( 1 / 2 ， 1 ) 且 F : ℝ 2 → ℝ 为 C 1 的，积分 ∫ 0 . ∂ F ∂ f ( f u ， g u ) d f u 和 ∫ 0 . ∂ F ∂ g ( f u ， g u ) d g u 在Young积分意义下存在，并且有下述公式成立： F ( f t ， g t ) = F ( f 0 ， g 0 ) + ∫ 0 t ∂ F ∂ f ( f u ， g u ) d f u + ∫ 0 t ∂ F ∂ g ( f u ， g u ) d g ， t ∈ [ 0 ， T ] (2) 众所周知，当 H ≥ 1 / 2 分数布朗运动具有阶为 β < H 的Holder连续轨道。若过程 { u t ， t ∈ [ 0 ， T ] } 具有阶为 α > 1 − H 的Holder连续轨道，那么积分 ∫ 0 T u s d B s H 在Young积分意义下是适定的。
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user: 3. 最小二乘估计量 回顾分数布朗运动驱动的自吸引扩散为 X t H = B t H − θ ∫ 0 t Y s H d s + v t 。对其进行离散化，可得 X i h H − X ( i − 1 ) h H = B i h H − B ( i − 1 ) h H − θ h Y ( i − 1 ) h H + v h (3) 本节主要是建立 θ ， v 的最小二乘估计量，并研究相关估计量的相合性。 利用Hu和Nualart [ 6 ] 建立的最小二乘方法，通过对如下对比函数最小化 ∑ i = 1 n | X i h H − X ( i − 1 ) h H − ( v − θ Y ( i − 1 ) h H ) h | 2 = ∑ i = 1 n [ ( X i h H − X ( i − 1 ) h H ) 2 − 2 h ( v − θ Y ( i − 1 ) h H ) ( X i h H − X ( i − 1 ) h H ) + h 2 ( v 2 − 2 v θ Y ( i − 1 ) h H + θ 2 ( Y ( i − 1 ) h H ) 2 ) ] (4) 可以得到 θ ， v 的最小二乘估计量为： θ ⌢ n h = ∑ i = 1 n ( X i h H − X ( i − 1 ) h H ) ∑ i = 1 n Y ( i − 1 ) h H − n ∑ i = 1 n ( X i h H − X ( i − 1 ) h H ) Y ( i − 1 ) h H n h ∑ i = 1 n ( Y ( i − 1 ) h H ) 2 − h ( ∑ i = 1 n Y ( i − 1 ) h H ) 2 ， v ⌢ n h = 1 n h ∑ i = 1 n ( X i h H − X ( i − 1 ) h H ) + θ ⌢ n h n ∑ i = 1 n Y ( i − 1 ) h H (5) 由(3)， θ ⌢ n h − θ = ∑ i = 1 n ( X i h H − X ( i − 1 ) h H ) ∑ i = 1 n Y ( i − 1 ) h H − n ∑ i = 1 n ( X i h H − X ( i − 1 ) h H ) Y ( i − 1 ) h H n h ∑ i = 1 n ( Y ( i − 1 ) h H ) 2 − h ( ∑ i = 1 n Y ( i − 1 ) h H ) 2 − θ = ∑ i = 1 n ( B i h H − B ( i − 1 ) h H ) ∑ i = 1 n Y ( i − 1 ) h H − n ∑ i = 1 n ( B i h H − B ( i − 1 ) h H ) Y ( i − 1 ) h H n h ∑ i = 1 n ( Y ( i − 1 ) h H ) 2 − h ( ∑ i = 1 n Y ( i − 1 ) h H ) 2 = B n h H ∑ i = 1 n Y ( i − 1 ) h H − n ∑ i = 1 n ( B i h H − B ( i − 1 ) h H ) Y ( i − 1 ) h H n h ∑ i = 1 n ( Y ( i − 1 ) h H ) 2 − h ( ∑ i = 1 n Y ( i − 1 ) h H ) 2 = B n h H ∑ i = 1 n Y ( i − 1 ) h H − n ∑ i = 1 n ( B i h H − B ( i − 1 ) h H ) Y ( i − 1 ) h H Φ ( n ， H ) ， (6) v ⌢ n h − v = 1 n h ∑ i = 1 n ( B i h H − B ( i − 1 ) h H ) + θ ⌢ n h − θ n ∑ i = 1 n Y ( i − 1 ) h H = B n h H n h + ( θ ⌢ n h − θ ) ∑ i = 1 n Y ( i − 1 ) h H n . (7) 其中 Φ ( n ， H ) = n h ∑ i = 1 n ( Y ( i − 1 ) h H ) 2 − h ( ∑ i = 1 n Y ( i − 1 ) h H ) 2 。 显然， Y s H = ∫ 0 s ( X s H − X u H ) d u = s X s H − ∫ 0 s X u H d u = ∫ 0 s u d X u H (8) 同时由(1)可得 d X u H = ( v − θ Y u H ) d u + d B u H (9) 将(9)带入(8)式，并对两边同时求微分，得到 d Y S H = − θ s Y S H d s + v s d s + s d B S H ， 利用常数变易法解该微分方程可得 Y s H = e − 1 2 θ s 2 ∫ 0 s u e 1 2 θ u 2 d B u H + v θ ( 1 − e − 1 2 θ s 2 ) 为方便记 η s = e − 1 2 θ s 2 ∫ 0 s u e 1 2 θ u 2 d B u H ， Λ s = v θ ( 1 − e − 1 2 θ s 2 ) ，则 Y s H = η s + Δ s 。 引理3.1：令 1 2 ≤ H < 1 。当 n → ∞ ， h → 0 时， 1 n ∑ i = 1 n Y i h H → a . s . v θ . (10) 证明： 当 n → ∞ ， h → 0 时，有 h ∑ i = 1 n Y i h H ~ ∫ 0 n h Y S H d s 。 利用(1)有 (11) 故 。 引理3.2：令 。当 时， (12) 证明： 利用洛必达法则，并令 ，则 引理3.3：令 。当 时， (13) 证明： 考虑 ，由洛必达法则和引理3.2，当 时，有 ，易知 令 ，容易得到 。 由于 ，可得 又由于 ， 即 。进一步，有 。 考虑 ，当 时，有 ， 通过简单计算有 考虑 ，当 时，有 。由于 故 (14) 从而 引理得证。 引理3.4：令 。当 时， (15) 其中 证明： 根据引理3.1和引理3.2，易得 引理3.5：令 。当 时， (16) 证明： 由(2) 故 最后，当 时，有 ，从而 又 。引理得证。 根据引理3.4和引理3.5，可知： 即 。 定理3.1：令 。当 时，有 证明： 由 。 显然 。