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user: 4. 光子晶体的参数和相关特性 PCF因其灵活多变的构造而具备许多优异的特性，并可通过改变包层结构参数(如空气孔直径d及孔间距 Λ )来调节相关特性，例如改变空气孔数量、大小来调节包层有效折射率，从而改变模场、损耗等的大小，而且大量的实验研究发现包层结构参数与PCF各参数和性能密切相关，所以不能再沿用传统光纤的计算公式，需作出相应的调整，也正是这个原因，才发现了PCF具有一些传统光纤不可比拟的新奇特性。 4.1. 归一化频率与无截止单模传输特性 归一化频率V决定着光纤中传播的模式数，对于传统的阶跃型光纤，单模传输的定义及条件如下 [ 6 ] ： V = 2 π ρ λ n co 2 − n cl 2 < 2.405 (1) (1)式中，ρ为纤芯半径，n co 和n cl 分别为纤芯和包层的折射率。而PCF的结构复杂，不同于传统光纤，所以归一化频率的定义需要加以修正。光在纤芯中传播与传播常数β有关 [ 6 ] ： k n 0 > β > β FSM (2) (2)式中， k = 2 π / λ ，n 0 是纤芯的折射率，β FSM 是基本空间填充模(FSM)的传播常数，是相对于无限大的PCF包层而言，所以β FSM 也是允许在包层传播的最大传播常数，由于传统阶跃光纤的β与k n1 有关，所以Birks等对其定义为 [ 6 ] ： n eff = β FSM ⋅ k (3) (3)式中 k = 2 π / λ 。通过(2)式可知，纤芯的横向波矢k T 介于0到 k Tmax = ( k 2 n 0 2 − β FSM 2 ) 1 / 2 之间，再根据纤芯和包层的边界条件量化k T ，这样V值就由ρk Tmax 获得，其中孔间距 Λ 可粗略的认为是缺陷的纤芯的半径，所以PCF的有效归一化频率可被确定 [ 6 ] ： V = 2 π Λ λ n 0 2 − n eff 2 (4) (4)式中 n 0 2 − n eff 2 为PCF的数值孔径，通过公式可看出，V不但与波长有关还与孔间距 Λ 有关，同时Birks等人也给出了V与 Λ / λ 的关系，发现当 Λ / λ 趋于无限大，也就是波长趋于0时，V趋于一个常数，所以只要设计好 d / Λ 的比值，就可实现无限单模传输。 随后Niels Asger Mortensen和Jacob Riis Folkenberg对用石英棒替换一个空气孔作为纤芯的三角型PCF进行研究，详细地探究了V与 Λ / λ ， λ / Λ 与 d / Λ 的关系，发现当 V < π 就可实现单模传输，而单模与多模的边界为 d / Λ = 0.406 ，并给出了相应的关系式 [ 9 ] ： λ ∗ / Λ = α ( d / Λ − d ∗ / Λ ) γ (5) (5)式中α与γ为一常数， d ∗ / Λ = 0.406 。当 d / Λ > d ∗ / Λ 时， λ / Λ < λ ∗ / Λ 为多模传输， λ / Λ > λ ∗ / Λ 为单模传输。当 d / Λ ≤ d ∗ / Λ ( 0.406 ) 时，就可支持无限单模传输。 4.2. 数值孔径(Numerical Aperture， NA) 在阶跃型光纤中，数值孔径表示光进出光纤时的锥角大小，即束光能力的大小，是一个很重要的参数。高数值孔径的PCF是通过增大空气包层与纤芯材料的折射率差来提高数值孔径的。高数值孔径有利于提高耦合效率、传送高功率激光，尤其适合应用于激光尾纤、光纤传感、点火系统及包层泵浦等。 传统光纤的NA值定义为： N A = sin θ = n 1 2 − n 2 2 (6) 公式(6)中n 1 是纤芯的折射率，n 2 是包层的折射率，可看出NA与材料和传输光波长有关。但在折射率引导型光子晶体光纤中，由上面知，NA值也按照传统光纤的公式来定义： N A = n 0 2 − n neff 2 (7) (7)式中的有效折射率n eff 不再是材料的真实折射率，而是有效折射率，与包层的结构参数有关，当包层的孔径变化时，有效折射率n eff 也随之变化，所以通过计算可得出NA与 d / Λ 的关系曲线，如图4，无论当 Λ 还是d固定不变时，NA都随 d / Λ 和λ的增大而变大 [ 45 ] 。 图4. 不同d/Λ数值下NA与λ的关系 4.3. 有效模场面积与限制损耗特性 在光纤中，光能量不完全集中在纤芯中传输，部分能量在包层中传输，纤芯直径不能反映光纤中的能量分布。于是人们提出了有效面积的概念，其计算公式为 [ 46 ] ： A eff = n 2 [ ∬ E t ( x ， y ) ⋅ E t * ( x ， y ) d x d y ] 2 ∬ n ˜ 2 ( x ， y ) [ E t ( x ， y ) ⋅ E t * ( x ， y ) ] 2 d x d y (8) (8)式中， E t ( x ， y ) 是横截面的电场分布(*表示共轭)， n ˜ 2 表示某点材料的非线性折射率系数。 通常包层微结构的空气孔层数是有限的，纤芯中传导的光从纤芯通过包层空气孔间隙泄漏到包层，从而造成光纤的传输损耗，称为限制损耗。基模的限制损耗值为 [ 47 ] ： L c = 40 π λ ln 10 I m ( n eff )   ( dB / m ) (9) (9)式中n eff 是基模的有效折射率，I(n eff )表示基模有效折射率的虚部。 PCF的有效模场面积(A eff )是由空气孔的直径d和孔间距Λ决定的，与光纤的尺寸无关，所以可以通过调节d和 Λ 以及 d / Λ 来调整A eff 。一般，包层的填充率的增大会有效的减小纤芯面积和纤芯–包层折射率差，使模场面积减小，但也不尽然。Vittoria Finazzi等人对三角形4环单实芯石英PCF的有效模场面积进行了详细分析，发现当纤芯直径( d co = 2 Λ − d )小于波长时，由于芯径太小而不能很好地限制光波，模场会迅速变大，有效模场面积随芯径的变化有最小值 [ 46 ] 。 在高功率激光器中，由于功率大，模场面积小，能量密度大，会导致显著的非线性效应，而且一些单模光纤中因耦合效率等因素，也需要大模场面积。所以，大模场单模PCF可以很好地解决这个问题。较小的包层空气填充率就可保证大模场面积，可是也会造成较大的限制损耗，从 [ 46 ] 可知限制损耗随有效模场面积与 Λ 和 d / Λ 都有关，我们选定 d / Λ = m ，以 d = m Λ ，代入 d co = 2 Λ − d (10) 得到 d co = ( 2 − m ) Λ (11) 从(11)式可知，令 m = 0.6 ， Λ = 1.0   μ m 时， d co < λ ，A eff 随 Λ 增大而减小， Λ = 1.2   μ m 时， d co > λ ( 1.55   μ m ) ，A eff 随 Λ 增大而增大，即把A eff 与芯径的关系转换成了A eff 与孔间距的关系，如果 Λ < 1.2   μ m 时，限制损耗随A eff 的减小而减小，当 Λ > 1.2   μ m 时，限制损耗随A eff 的增大而减小，限制损耗并不是随有效截面积单调递增或递减。所以在设计PCF时，如果 时，我们在追求大模面积的同时，不能忽略随之增大的限制损耗，一定要综合考虑。 4.4. 高双折射与保偏性能分析 理想的单模光纤的横截面及折射率分布是高度对称的，可以传输两种基模HE 11 x 和HE 11 y ，这两种基模相互正交且具有相同传输常数 ，因此这两个基模是相互简并的。但实际的光纤并不是那么完美，例如，由于截面形状的不对称或者横截面应力的存在，x和y方向折射率有区别，导致模式简并特性被破坏，两模式的传播常数存在以下差别： Δ β = | β x − β y | (12) (12)式中β x 和β y 分别是x轴和y轴的传播常数，双折射的值一般用模式双折射B来衡量： B = Δ β / k 0 = | β x − β y | / k 0 (13) 将HE 11 x 和HE 11 y 模式的有效折射率 n eff x = β x / k 0 和 n eff y = β y / k 0 代入(13)式可得： B = | n eff x − n eff y | (14) B即是两个正交偏振模的有效折射率之差，差值越大保偏性能越好。PCF中获得高双折射一般通过提高几何尺寸的非对称程度或改变某一方向的应力等方式。提高非对称性的方法有：改变纤芯附近的空气孔的形状、尺寸或排列，改变包层空气孔的形状、尺寸或排列。提高某一偏振方向上的应力的方法有：在空气孔中填充各向异性材料。传统光纤的双折射一般在10 −4 的量级上，而光子晶体光纤已经到了10 −2 的量级 [ 32 ] ，具有优越的保偏性能。这与PCF特殊的纤芯和包层的结构参数有关，如椭圆形单实纤芯三角形PCF，纤芯椭圆率 η = d y / d x = 1 (d x 和d y 为椭圆的短轴和长轴)时，即为圆形，双折射B = 0，当η偏离1时，双折射不断增大，并且随着纤芯面积S的减小，双折射B越大 [ 48 ] 。当纤芯的形状和大小不变，改变包层孔径d和孔间距 Λ 的大小，双折射也会相应的变化，同一波长在不同的孔间距具有不同的双折射，且每一模式下双折射曲线都有一个峰值 [ 48 ] 。 4.5. 非线性效应 PCF可以实现超连续谱的产生、光孤子效应和波长变化等非线性效应。非线性系数是光纤性能的重要参数，其计算公式如下： γ = 2 π n 2 λ A eff (15) (15)式中，n 2 是背景材料的非线性折射率系数，A eff 是有效模场面积。传播光波长一定时，一般通过增大n 2 或者减小A eff 来增大非线性系数。上面已经提到A eff 与孔径d和孔间距 Λ 有关，所以γ与d和 Λ 也有关系，在背景材料和λ确定的情况下，非线性系数γ与A eff 成反比。如图5所示，当空气孔径不变时，非线性系数随波长和孔间距变大而减小 [ 49 ] 。 图5. 不同孔间距下非线性系数与波长的关系 4.6. 色散 在光纤通信中，光纤色散会直接导致光脉冲展宽，从而导致信号的失真，所以色散是衡量光纤性能的一个重要参数。PCF的总色散可近似为 [ 47 ] ： D ≈ D m ( λ ) + D w ( λ ) (16) (16)式中D m (λ)为材料色散，D w (λ)为波导色散，计算公式如下 [ 47 ] ： D m ( λ ) = − λ c d 2 n M d λ 2 (17) D w ( λ ) = − λ c d 2 Re ( n eff ) d λ 2 (18) 材料色散与光纤的结构无关，一旦背景材料确定，其材料色散就确定下来，可通过Sellmeier公式求得。而波导色散与n eff 的实部有关，前面提到n eff 与包层的参数有关，所以D w (λ)与包层结构参数d和 Λ 有关，即光纤总色散D与PCF结构参数相关。2017年邹辉等人在三角形PCF中引入类矩形栅格和三角形栅格排列两种圆形空气孔，通过改变矩形栅格大空气孔径d 2 和小空气孔的间隔 Λ ，得到X偏振态的色散系数与波长的关系，如图6，可以看出该光纤的X偏振态具有两个零色散点，并且通过改变包层结构参数，在同一波长下，可获得不同的色散系数 [ 12 ] 。 图6. 不同孔径和间隔下色散系数与波长的关系