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user: 2. 求解模型建立 在工程施工过程中，进行造价估算是一件非常重要的事。造价估算对原材料购买，施工队的人数，工程质量把握等都有着举足轻重的参考价值。 假设已知某给排水工程中所用的某种材质的管材的单位造价( y i )与管材口径的大小( x i )的价格表以及对应的不同口径的需求量( p i )，具体信息见表1。施工方已知不同口径管材的需求量( p i )，要估算本工程中这种管材消耗的资金。假设管材供应商所提供的价格表并不全面，管径大于 x n 的管材造价数据并未给出。问如何利用现有的数据推断出这种管材所消耗的资金M (元)。 首先，已知消耗的资金应该是这种管材不同口径所需资金的总和，目标函数应为： M = ∑ i = 1 t q i = ∑ i = 1 t p i y i 其次，由于管径大于 x n 的单位管材造价数据未知，所以 ∑ i = n + 1 t p i y i 未知。不过根据表1中数据，可以 Table 1 Price list of unit cost and diameter of pipe materia 管材口径/mm 管材造价/(元/m) 需求量/m 资金/元 x 1 y 1 p 1 q 1 x 2 y 2 p 2 q 2 x 3 y 3 p 3 q 3 x n y n p n q n x t 表1. 管材的单位造价与管材口径的大小的价格表 假设管材的口径和管材造价之间存在某种隐藏函数关系 y ( x ) 。如果这种函数关系存在，目标函数为 M = ∑ i = 1 t q i = ∑ i = 1 t p i y ( x i ) 。 最后，求出管材口径大小与单位长度管材造价的隐藏的函数关系 y ( x ) ，就能得到总资金M。 2.1. 一元线性回归模型 要考察的一元线形回归模型为 { y = a + b x + ε E ( ε ) = 0 ， D ( ε ) = σ 2 其中x是管材口径大小，y是管材的单位长度造价， a ， b 是两个未知参数， ε 为其他随机因素对y的影响，并且 ε 是不可观察的、均值为0的随机变量。在该模型下，第i组观测值记为 ( x i ， y i ) ，是一元线性回归方程的实验值，利用实验值对 a ， b 作估值。 设有n组观测值： ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ， ⋯ ， ( x n ， y n ) 。将上述观测值代入一元线性回归模型： { y i = a + b x i + ε i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n E ( ε i ) = 0 ， D ( ε i ) = σ 2 ， ε i > 0 使用最小二乘法计算模型中的未知数 a ， b 。 设函数Q是二元函数。 Q ( a ， b ) 为偏离真实直线的偏差平方和。记 Q = Q ( a ， b ) = ∑ i = 1 n ε 2 = ∑ i = 1 n ( y i − a − b x i ) 2 (1) 求 a ， b 的估计值 a ^ ， b ^ ，使得 Q ( a ^ ， b ^ ) = Q min ( a ， b ) (2) 然后(2)式分别对变量 a ， b 求偏导数，得到这个函数的驻点，用 a ^ ， b ^ 取代 a ， b ： { ∑ i = 1 n ( y i − a ^ − b ^ x i ) = 0 ∑ i = 1 n x i ( y i − a ^ − b ^ x i ) = 0 (3) 由(3)式可解得 { a ^ = y ¯ − b ^ x ¯ b ^ = x y ¯ − x ¯   y ¯ x 2 ¯ − x ¯ 2 (4) 其中 x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i ， y ¯ = 1 n ∑ i = 1 n y i ， x 2 ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i 2 ， x y ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i y i 。 用上述方法求出得估计值 a ^ ， b ^ 称为 a ， b 的最小二乘估计。回归方程为： y = a ^ + b ^ x ， y ¯ = b ^ ( x − x ¯ ) 其中， b ^ 为拟合直线的斜率， a ^ 为拟合直线在 x = x 0 的截距，实验值 ( x i ， y i ) 的几何重心 ( x ¯ ， y ¯ ) 落在拟合直线上。 2.2. 一元多项式回归 对于已给出的实验值 ( x i ， y i )   ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ，可以构造出m次多项式 [ 4 ] f ( x ) = ∑ j = 0 m a j x j (5) 求多项式的系数 a j ，使得 f ( x i ) − y i 的平方和最小，设多项式函数P： P min = ∑ i = 1 n [ f ( x i ) − y i ] 2 = ∑ i = 1 n ( ∑ j = 0 m a j x j − y i ) 2 (6) 分别对多元函数P中的每个自变量 a j 求偏导数： ∂ P ∂ a j = 2 ∑ i = 1 n ( ∑ k = 0 m a k x i k − y i ) x i j       ( j = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) (7) 求多元函数P的驻点，即令 a j 的偏导数都为0： ∂ P ∂ a j = 2 ∑ i = 1 n ( ∑ k = 0 m a k x i k − y i ) x i j = 0 (8) 对(8)式化简得到： ∑ k = 0 m ( ∑ i = i n x i j + k ) a k = ∑ i = i n x i j y i ( j = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) (9) 可以将(9)式写成矩阵的乘积 [ 5 ] ： = [ c 0 c 1 ⋯ c m c 1 c 2 ⋯ c m + 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ c m c m + 1 ⋯ c 2 m ] × [ a 0 a 1 ⋮ a m ] = [ b 0 b 1 ⋮ b m ] (10) { c k = ∑ i = i n x i k ， ( k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) b k = ∑ i = i n x i k y i ， ( k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) (11) 设 C = [ c 0 c 1 ⋯ c m c 1 c 2 ⋯ c m + 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ c m c m + 1 ⋯ c 2 m ] ， A = [ a 0 a 1 ⋮ a m ] ， B = [ b 0 b 1 ⋮ b m ] ，(10)式可以表示为： C A = B 。解出多项式回归的系数 a j ( j = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 就能够得到拟合函数关系： f ( x ) = a 0 + a 1 x + ⋯ + a m x m = ∑ j = 0 m a j x j 其中x为不同管径的取值， f ( x ) 为不同管径下的管材造价。 2.3. 模型比较 一元线性回归模型简单易操作，相比多项式而言，所求的变量更少，并且解决方法更加直观，更好理解。但是在拟合的精确度方面，一元线性回归模型不能与多项式模型相比，特别是在比例系数发生变化的情况下，一元线性回归模型只能建立出一个粗略的函数模型。一元多项式回归模型 f ( x ) = a 0 + a 1 x + ⋯ + a m x m ， 拟合的精度高，能够表示的函数种类多。当 n = 1 时多项式模型就化为 y = a 0 + a 1 x ，所以可以使用多项式回归模型来表示一元线性回归模型。多项式回归模型的缺点是计算量太大，但利用计算机软件求解，过程将会大大简化，缺点比较容易克服。综上所述，一元多项式回归模型要优于一元线性回归模型。