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user: 2. 主要结论的证明 定理3的证明：因 J ( u 0 ) < d ， I ( u 0 ) > 0 。由定理2，知 u ( t ) 是问题(1)的一个全局弱解，且 u ( t ) ∈ W 对所有 0 ≤ t < ∞ 成立。 首先，我们考虑 ‖ Δ u ‖ 2 2 关于时间t的渐近性。由(9)，则 I ( u ( t ) ) ≥ 0. (18) 则由(13)，(7)，(18)和 p > 2 有 J ( u 0 ) ≥ J ( u ( t ) ) = 1 p I ( u ( t ) ) + 1 p 2 ‖ u ( t ) ‖ p p + p − 2 2 p ‖ Δ u ( t ) ‖ 2 2 ≥ p − 2 2 p ‖ Δ u ( t ) ‖ 2 2 ， (19) 由 log | u | < | u | ρ 1 ρ 1 和(19)知 ∫ x ∈ Ω | u ( t ) | p log | u ( t ) | d x = ∫ { x ∈ Ω : | u ( t ) | ≥ 1 } | u ( t ) | p log | u ( t ) | d x + ∫ { x ∈ Ω : | u ( t ) | ≤ 1 } | u ( t ) | p log | u ( t ) | d x ≤ e − 1 ρ 1 ∫ { x ∈ Ω } | u ( t ) | p + ρ 1 d x ≤ e − 1 ρ 1 ‖ u ( t ) ‖ p + ρ 1 p + ρ 1 = e − 1 ρ 1 ‖ u ( t ) ‖ p + ρ 1 p + ρ 1 − 2 ‖ u ( t ) ‖ p + ρ 1 2 ≤ e − 1 ρ 1 S p + ρ 1 2 ‖ u ( t ) ‖ p + ρ 1 p + ρ 1 − 2 ‖ Δ u ( t ) ‖ 2 2 ≤ e − 1 ρ 1 S p + ρ 1 p + ρ 1 [ 2 p p − 2 J ( u 0 ) ] p + ρ 1 − 2 2 ‖ Δ u ( t ) ‖ 2 2 . (20) 其中 S p + ρ 1 是 H 0 2 ( Ω ) 到 L p + ρ 1 ( Ω ) 的最佳嵌入常数，且参数 ρ 1 满足 0 < ρ 1 < 2 N N − 4 − p 。 在(12)式中 ϕ 取成u，由 I ( u ) 的定义有如下等式： d d t ‖ u ( t ) ‖ 2 2 = − 2 ( ‖ Δ u ( t ) ‖ 2 2 + ‖ ∇ u ( t ) ‖ p p − ∫ x ∈ Ω | u ( t ) | p log | u ( t ) | d x ) = − 2 I ( u ( t ) ) (21) 由上述 I ( u ) 的定义及(20)则 I ( u ( t ) ) = ‖ Δ u ( t ) ‖ 2 2 + ‖ ∇ u ( t ) ‖ p p − ∫ Ω | u ( t ) | p log | u ( t ) | d x ≥ ‖ Δ u ( t ) ‖ 2 2 − e − 1 ρ 1 ‖ u ( t ) ‖ p + ρ 1 p + ρ 1 ≥ [ 1 − e − 1 ρ 1 S p + ρ 1 p + ρ 1 ( 2 p p − 2 J ( u 0 ) ) p + ρ 1 − 2 2 ] ‖ Δ u ( t ) ‖ 2 2 ， (22) 作辅助函数 K ( t ) : = J ( u ( t ) ) + ‖ u ( t ) ‖ 2 2 ， (23) 则由(15)和(19)，有 K ( t ) ≤ J ( u ( t ) ) + 1 λ 1 ‖ Δ u ‖ 2 2 ≤ [ 1 + 2 p λ 1 ( p − 2 ) ] J ( u ( t ) ) ， (24) 此外，由(13)和(21)有 d d t K ( t ) = − ‖ u t ‖ 2 2 − 2 I ( u ( t ) ) ， 类似于(20)，则 ‖ u ( t ) ‖ p p = ‖ u ( t ) ‖ p p − 2 ‖ u ( t ) ‖ p 2 ≤ S p 2 ‖ u ( t ) ‖ p p − 2 ‖ Δ u ‖ 2 2 ≤ S p p ( 2 p p − 2 J ( u 0 ) ) p − 2 2 ‖ Δ u ‖ 2 2 ， (25) 此处 S p 是 H 0 2 ( Ω ) 到 L p ( Ω ) 的最佳嵌入常数。由上式及(15)，(22)，下式成立 d d t K ( t ) = − ‖ u ′ ( t ) ‖ 2 2 − 2 I ( u ( t ) ) − β J ( u ( t ) ) + β p I ( u ( t ) ) + β p 2 ‖ u ( t ) ‖ p p + ( p − 2 ) β 2 p ‖ Δ u ( t ) ‖ 2 2 ≤ ( − 2 + β p ) I ( u ( t ) ) − β J ( u ( t ) ) + [ ( p − 2 ) β 2 p + β p 2 S H 0 2 ( Ω ) p ( 2 p p − 2 J ( u 0 ) ) p − 2 2 ] ‖ Δ u ( t ) ‖ 2 2 ≤ ( − 2 + β p ) I ( u ( t ) ) − β J ( u ( t ) ) + [ ( p − 2 ) β 2 p + β p 2 S H 0 2 ( Ω ) p ( 2 p p − 2 J ( u 0 ) ) p − 2 2 ]     . [ 1 − e − 1 ρ 1 S p + ρ 1 p + ρ 1 ( 2 p p − 2 J ( u 0 ) ) p + ρ 1 − 2 2 ] − 1 I ( u ( t ) ) = − β J ( u ( t ) ) + A I ( u ( t ) ) . (26) 其中 A = − 2 + [ ( p − 2 ) β 2 p + β p 2 S H 0 2 ( Ω ) p ( 2 p p − 2 J ( u 0 ) ) p − 2 2 ] [ 1 − e − 1 ρ 1 S p + ρ 1 p + ρ 1 ( 2 p p − 2 J ( u 0 ) ) p + ρ 1 − 2 2 ] − 1 + β p . 令 β 满足 β = 2 p [ p − 2 2 p + 1 p 2 S H 0 2 ( Ω ) p ( 2 p p − 2 J ( u 0 ) ) p − 2 2 ] [ 1 − e − 1 ρ 1 S p + ρ 1 p + ρ 1 ( 2 p p − 2 J ( u 0 ) ) p + ρ 1 − 2 2 ] − 1 + 1 则 A = 0 ，且由(24)知 d d t K ( t ) ≤ − β J ( u ( t ) ) ≤ − β [ 1 + 2 p λ 1 ( p − 2 ) ] − 1 K ( t ) = − β λ 1 ( p − 2 ) λ 1 ( p − 2 ) + 2 p K ( t ) ， (27) 又由(23)，有 J ( u ( t ) ) + ‖ u ( t ) ‖ 2 2 = K ( t ) ≤ K ( 0 ) exp [ − β λ 1 ( p − 2 ) λ 1 ( p − 2 ) + 2 p t ] = [ J ( u 0 ) + ‖ u 0 ‖ 2 2 ] exp [ − β λ 1 ( p − 2 ) λ 1 ( p − 2 ) + 2 p t ] . (28) 则由(19)和(28)，可得 ‖ Δ u ‖ 2 2 ≤ 2 p p − 2 J ( u ( t ) ) ≤ 2 p p − 2 [ J ( u 0 ) + ‖ u 0 ‖ 2 2 ] exp [ − β λ 1 ( p − 2 ) λ 1 ( p − 2 ) + 2 p t ] . (29) 定理4的证明：由定理2知存在有限时间 T > 0 ，使得问题(1)的弱解u在有限时间T爆破。下面，我们求T的下界。首先，我们定义如下一个函数 L ( t ) : = 1 2 ‖ u ( t ) ‖ 2 2 ， 则有 lim t → T L ( t ) = ∞ (30) 又根据(19)，则有 1 2 d d t ‖ u ( t ) ‖ 2 2 = − I ( u ( t ) ) = − ‖ Δ u ( t ) ‖ 2 2 − ‖ ∇ u ( t ) ‖ p p + ∫ Ω | u ( t ) | p log | u ( t ) | d x . (31) 由定理2，知 I ( u ( t ) ) < 0 。因此，由不等式 log | u ( t ) | < | u ( t ) | ρ 1 ρ 1 对任意 ρ 1 > 0 成立，下式 ‖ u ( t ) ‖ p + ρ 1 p + ρ 1 ≤ C ^ p + ρ 1 ‖ Δ u ( t ) ‖ 2 ( 1 − θ ) ( p + ρ 1 ) ‖ u ( t ) ‖ 2 θ ( p + ρ 1 ) = C ^ p + ρ 1 ( ‖ Δ u ( t ) ‖ 2 2 ) ( 1 − θ ) ( p + ρ 1 ) 2 ⋅ ‖ u ( t ) ‖ 2 θ ( p + ρ 1 ) ≤ C ^ p + ρ 1 ( ‖ Δ u ( t ) ‖ 2 2 + ‖ ∇ u ( t ) ‖ p p ) ( 1 − θ ) ( p + ρ 1 ) 2 ⋅ ‖ u ( t ) ‖ 2 θ ( p + ρ 1 ) < C ^ p + ρ 1 ( ∫ Ω | u ( t ) | p log | u ( t ) | d x ) ( 1 − θ ) ( p + ρ 1 ) 2 ⋅ ‖ u ( t ) ‖ 2 θ ( p + ρ 1 ) < C ^ p + ρ 1 ρ 1 ( 1 − θ ) ( p + ρ 1 ) 2 ( ‖ u ‖ p + ρ 1 p + ρ 1 ) ( 1 − θ ) ( p + ρ 1 ) 2 ⋅ ‖ u ( t ) ‖ 2 θ ( p + ρ 1 ) . (32) 成立，其中 ρ 1 ∈ ( 0 ， 2 N N − 4 − p ) 。 又由于 0 < ρ 1 < 2 ∗ − p ， 2 < p < 2 ∗ 和 θ = 2 ∗ ⋅ 2 − 2 ( p + ρ 1 ) 2 ∗ ( p + ρ 1 ) − 2 ( p + ρ 1 ) ∈ ( 0 ， 1 ) ，故 ( 1 − θ ) ( p + ρ 1 ) 2 < 1 。 因此，由(32)，有 ‖ u ( t ) ‖ p + ρ 1 p + ρ 1 < ( C ^ p + ρ 1 ρ 1 ( 1 − θ ) ( p + ρ 1 ) 2 ) 2 2 − ( 1 − θ ) ( p + ρ 1 ) ( ‖ u ( t ) ‖ 2 2 ) θ ( p + ρ 1 ) 2 − ( 1 − θ ) ( p + ρ 1 ) (33) 此外，由注记 Γ = θ ( p + ρ 1 ) 2 − ( 1 − θ ) ( p + ρ 1 ) > 1. 联立(31)和(33)有 L ′ ( t ) = − ‖ Δ u ( t ) ‖ 2 2 − ‖ ∇ u ( t ) ‖ p p + ∫ Ω | u ( t ) | p log | u ( t ) | d x ≤ ∫ Ω | u ( t ) | p log | u ( t ) | d x ≤ 1 ε ‖ u ( t ) ‖ p + ρ 1 p + ρ 1 < C ˜ ( ‖ u ( t ) ‖ 2 2 ) Γ = 2 Γ C ˜ ( L ( t ) ) Γ ， (34) 其中 C ˜ = ( C ^ p + ρ 1 ρ 1 ( 1 − θ ) ( p + ρ 1 ) 2 ) 2 2 − ( 1 − θ ) ( p + ρ 1 ) 。 下面我们用反证法证明对任意 t ∈ [ 0 ， T ) ， L ( t ) > 0 。假设存在一个 t 1 ≥ 0 使得 ‖ u ( t 1 ) ‖ 2 2 = 0 ，则由(33)有 ‖ u ( t ) ‖ p + ρ 1 p + ρ 1 < 0 ，矛盾。则由(34)有 L ′ ( t ) ( L ( t ) ) Γ < 2 Γ C ˜ (35) 对上式从0到t积分，有 ( L ( 0 ) ) 1 − Γ − ( L ( t ) ) 1 − Γ < 2 Γ C ˜ ( Γ − 1 ) t (36) 让(37)中 t → T 并且运用(32)我们可得下面结论 T > ( L ( 0 ) ) 1 − Γ 2 Γ C ˜ ( Γ − 1 ) = ‖ u 0 ‖ 2 2 − 2 Γ 2 Γ C ˜ ( Γ − 1 ) 。