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user: 4. 一类连图的Yamada多项式的性质 4.1. 两点连图Yamada多项式的性质 定理4.1 [ 1 ] 图 G 1 和 G 2 有两个公共顶点u和v， G 1 : G 2 表示图 G 1 和 G 2 的两点并， K 1 和 K 2 分别是粘接图 G 1 和 G 2 的顶点u和v得到的图，则 H ( G 1 : G 2 ) = 1 σ [ H ( K 1 ) H ( K 2 ) + ( σ + 1 ) H ( G 1 ) H ( G 2 ) + H ( K 1 ) H ( G 2 ) + H ( K 2 ) H ( G 1 ) ] 4.2. 图 ( 1 ， n ) 的Yamada多项式的性质 定义4.1 [ 5 ] 给定两个图G，K， u 1 ， v 1 是图G的任意两个顶点， u 2 ， v 2 是图K的任意两个顶点，将顶点 u 1 ， u 2 用一条边连接起来， v 1 ， v 2 用n条边连接起来，如图1所示，所得到的图记作 ( 1 ， n ) ， n ≥ 1 。 定理4.2 对于图 ( 1 ， n ) ， n ≥ 1 ，有 H ( ( 1 ， n ) ) = − ( 1 − ( − σ ) n 1 + σ ) H G H K + ( 1 − ( − σ ) n 1 + σ ) H ( G : K ) 图1. 图 ( 1 ， n ) 其中： H G ， H K 分别为图G，K的Yamada多项式； H ( G : K ) 为图G，K的两点并的Yamada多项式， σ = A + 1 + A − 1 。 证明：利用性质3.4，对图 ( 1 ， n ) 的n条边中的一条边进行缩边减边的运算，再对 n − 1 条边进行缩边减边的运算，以此类推，那么有等式 H ( ( 1 ， n ) ) = H ( ( 1 ， n − 1 ) ) + H ( K n − 1 ) 成立，其中 H ( K n − 1 ) = ( − σ ) n − 1 H ( F ) ，则 H ( ( 1 ， n ) ) = H ( ( 1 ， n − 1 ) ) + ( − σ ) n − 1 H ( F ) (1) 由(1)式可知， H ( ( 1 ， n ) ) = H ( ( 1 ， n − 1 ) ) + ( − σ ) n − 1 H ( F ) H ( ( 1 ， n − 1 ) ) = H ( ( 1 ， n − 2 ) ) + ( − σ ) n − 2 H ( F ) H ( ( 1 ， n − 2 ) ) = H ( ( 1 ， n − 3 ) ) + ( − σ ) n − 3 H ( F ) ⋮ H ( ( 1 ， 2 ) ) = H ( ( 1 ， 1 ) ) + ( − σ ) 1 H ( F ) H ( ( 1 ， 1 ) ) = H ( ( 1 ， 0 ) ) + ( − σ ) 0 H ( F ) 所以 H ( ( 1 ， n ) ) = H ( ( 1 ， 0 ) ) + ( 1 + ( − σ ) 1 + ( − σ ) 2 + ⋯ + ( − σ ) n − 1 ) H ( F ) (2) 另外 H ( F ) = − H G H K + H ( G : K ) ，将其代入到(2)中，得 H ( ( 1 ， n ) ) = − ( 1 − ( − σ ) n 1 + σ ) H G H K + ( 1 − ( − σ ) n 1 + σ ) H ( G : K ) 其中图 K n − 1 ，F如图2所示。 4.3. 图 ( m ， n ) 的Yamada多项式的性质 定义4.2 [ 5 ] 给定两个图G，K， u 1 ， v 1 是图G的任意两个顶点， u 2 ， v 2 是图K的任意两个顶点，若顶点 u 1 ， u 2 用m条边连接起来， v 1 ， v 2 用n条边连接起来，如图3所示，所得到的图记作 ( m ， n ) ，且 m ， n ≥ 1 。 图2. K n − 1 ，F 图3. ( m ， n ) 定理4.3 对于图 ( m ， n ) ， m ， n ≥ 1 ，有 H ( ( m ， n ) ) = − ( 1 − ( − σ ) n + ( − σ ) ( 1 − ( − σ ) m − 1 ) 1 + σ ) H G H K + ( 1 − ( − σ ) n ) ( 1 − ( − σ ) m ) ( 1 + σ ) 2 H ( G : K ) 其中： H G ， H K 分别为图G，K的Yamada多项式； H ( G : K ) 为图G，K的两点并的Yamada多项式， σ = A + 1 + A − 1 。 证明：首先利用性质3.4，对图 ( m ， n ) 的m条边其中的一条边进行缩边减边运算，得到图 ( G ∪ n K ) ，再对图 ( G ∪ n K ) 的n条边进行运算，其次对 m − 1 条边进行缩边减边运算，以此类推，那么有等式 H ( ( m ， n ) ) = H ( ( m − 1 ， n ) ) + H ( E m − 1 ) 成立，其中 H ( E m − 1 ) = ( − σ ) m − 1 H ( G ∪ n K ) ，则 H ( ( m ， n ) ) = H ( ( m − 1 ， n ) ) + ( − σ ) m − 1 H ( G ∪ n K ) = H ( ( m − 1 ， n ) ) + ( − σ ) m − 1 H ( G ∪ n − 1 K ) + ( − σ ) m − 1 H ( F n − 1 ) 且 H ( F n − 1 ) = ( − σ ) n − 1 H ( G : K ) ，代入上式中得 H ( ( m ， n ) ) = H ( ( m − 1 ， n ) ) + ( − σ ) m − 1 H ( G ∪ n − 1 K ) + ( − σ ) m − 1 ( − σ ) n − 1 H ( G : K ) (3) 另外有 H ( G ∪ n − 1 K ) = H ( G ∪ n − 2 K ) + ( − σ ) n − 2 H ( G : K ) H ( G ∪ n − 2 K ) = H ( G ∪ n − 3 K ) + ( − σ ) n − 3 H ( G : K ) H ( G ∪ n − 3 K ) = H ( G ∪ n − 4 K ) + ( − σ ) n − 4 H ( G : K ) ⋮ H ( G ∪ 2 K ) = H ( G ∪ 1 K ) + ( − σ ) 1 H ( G : K ) H ( G ∪ 1 K ) = − H G H K + H ( G : K ) 综上所述我们得到 H ( G ∪ n − 1 K ) = − H G H K + ( 1 + ( − σ ) 1 + ( − σ ) 2 + ⋯ + ( − σ ) n − 2 ) H ( G : K ) 将其代入(3)式可得 H ( ( m ， n ) ) = H ( ( m − 1 ， n ) ) − ( − σ ) m − 1 H G H K + ( − σ ) m − 1 ( 1 + ( − σ ) 1 + ( − σ ) 2 + ⋯ + ( − σ ) n − 1 ) H ( G : K ) H ( ( m − 1 ， n ) ) = H ( ( m − 2 ， n ) ) − ( − σ ) m − 2 H G H K + ( − σ ) m − 2 ( 1 + ( − σ ) 1 + ( − σ ) 2 + ⋯ + ( − σ ) n − 1 ) H ( G : K ) ⋮ H ( ( 2 ， n ) ) = H ( ( 1 ， n ) ) − ( − σ ) 1 H G H K + ( − σ ) 1 ( 1 + ( − σ ) 1 + ( − σ ) 2 + ⋯ + ( − σ ) n − 1 ) H ( G : K ) H ( ( 1 ， n ) ) = − ( 1 + ( − σ ) 1 + ( − σ ) 2 + ⋯ + ( − σ ) n − 1 ) H G H K + ( 1 + ( − σ ) 1 + ( − σ ) 2 + ⋯ + ( − σ ) n − 1 ) H ( G : K ) 由此我们可以得到 H ( ( m ， n ) ) = − ( 1 + ( − σ ) 1 + ( − σ ) 2 + ⋯ + ( − σ ) n − 1 + ( − σ ) 1 + ( − σ ) 2 + ⋯ + ( − σ ) m − 1 ) H G H K     + ( 1 + ( − σ ) 1 + ( − σ ) 2 + ⋯ + ( − σ ) n − 1 ) ( 1 + ( − σ ) 1 + ( − σ ) 2 + ⋯ + ( − σ ) m − 1 ) H ( G : K ) = − ( 1 − ( − σ ) n + ( − σ ) ( 1 − ( − σ ) m − 1 ) 1 + σ ) H G H K + ( 1 − ( − σ ) n ) ( 1 − ( − σ ) m ) ( 1 + σ ) 2 H ( G : K ) 其中图 E m − 1 ， G ∪ n K ， F n − 1 如图4所示。 图4. E m − 1 ， G ∪ n K ， F n − 1 4.4. 一类三点连图Yamada多项式的性质 定理4.4 给定两个图 G 1 和 G 2 ， G 1 ⋮ G 2 表示图 G 1 和 G 2 的三点连图，其中顶点 u ， v ， w ⊆ G 1 ， u ′ ， v ′ ， w ′ ⊆ G 2 ，设图 G 1 中的顶点u与w，v与w之间无边且无环边，图 G 2 中的顶点 u ′ 与 w ′ ， v ′ 与 w ′ 之间无边且无环边。 k 1 ， k 2 ， k 3 ， k 0 及 k ′ 1 ， k ′ 2 ， k ′ 3 ， k ′ 0 分别为粘接图 G 1 和 G 2 的顶点u与v，u与w，v与w， u ， v ， w 及 u ′ 与 v ′ ， u ′ 与 w ′ ， v ′ 与 w ′ ， u ′ ， v ′ ， w ′ 得到的图，则 H ( G 1 ⋮ G 2 ) = − 1 σ 2 [ H ( k 0 ) H ( k ′ 0 ) + ( σ + 1 ) H ( k 1 ) H ( k ′ 1 ) + H ( k 0 ) H ( k ′ 1 ) + H ( k ′ 0 ) H ( k 1 )     + H ( k 2 ) H ( k ′ 0 ) + ( σ + 1 ) H ( G 1 ) H ( k ′ 1 ) + H ( k 2 ) H ( k ′ 1 ) + H ( k ′ 0 ) H ( G 1 )     + σ ( σ + 1 ) H ( G 1 ) H ( G 2 ) + σ H ( k 1 ) H ( G 2 ) ] (4) 证明：令 G = G 1 ⋮ G 2 ， p ( G ) ， q ( G ) 分别表示图G的顶点个数与边的个数，下面通过对图G的边数 q ( G ) 用归纳法来证明这一定理。 若 q ( G ) = 0 ，那么 G 1 和 G 2 都是由孤立顶点组成。假设 p ( G 1 ) = p 1 ≥ 3 ， p ( G 2 ) = p 2 ≥ 3 ，则G是由 p 1 + p 1 − 3 个孤立点组成的图。由性质3.1和性质3.5，得 H ( G ) = ( − 1 ) p 1 + p 2 − 3 。 又因为 p ( k 1 ) = p 1 − 1 ， p ( k 2 ) = p 1 − 1 ， p ( k 3 ) = p 1 − 1 ， p ( k 0 ) = p 1 − 2 ， p ( k ′ 1 ) = p 2 − 1 ， p ( k ′ 2 ) = p 2 − 1 ， p ( k ′ 3 ) = p 2 − 1 ， p ( k ′ 0 ) = p 2 − 2 ，将其带入等式(4)的右边有： H ( G 1 ⋮ G 2 ) = − 1 σ 2 [ ( − 1 ) p 1 − 2 ( − 1 ) p 2 − 2 + ( σ + 1 ) ( − 1 ) p 1 − 1 ( − 1 ) p 2 − 1 + ( − 1 ) p 1 − 2 ( − 1 ) p 2 − 1 + ( − 1 ) p 2 − 2 ( − 1 ) p 1 − 1     + ( − 1 ) p 1 − 1 ( − 1 ) p 2 − 2 + ( σ + 1 ) ( − 1 ) p 1 ( − 1 ) p 2 − 1 + ( − 1 ) p 1 − 1 ( − 1 ) p 2 − 1 + ( − 1 ) p 2 − 2 ( − 1 ) p 1     + σ ( σ + 1 ) ( − 1 ) p 1 ( − 1 ) p 2 + σ ( − 1 ) p 1 − 1 ( − 1 ) p 2 ] = ( − 1 ) p 1 + p 2 − 3 因此等式(4)成立。 现在假设当 q ( G ) < k 时，定理4.4成立，其中 k ≥ 1 。那么我们不妨设 q ( G ) = k ，图 G = G 1 ⋮ G 2 ，e为图G的一条边，我们不妨假设 e ∈ E ( G 1 ) 。我们分两种情况进行讨论： 情况1. e是不连接顶点 u ， v 的边，那么e为 k 1 的一条非环边。因此， H ( G / e ) = H ( ( G 1 / e ) ⋮ G 2 ) = − 1 σ 2 [ H ( k 0 / e ) H ( k ′ 0 ) + ( σ + 1 ) H ( k 1 / e ) H ( k ′ 1 ) + H ( k 0 / e ) H ( k ′ 1 ) + H ( k ′ 0 ) H ( k 1 / e )     + H ( k 2 / e ) H ( k ′ 0 ) + ( σ + 1 ) H ( G 1 / e ) H ( k ′ 1 ) + H ( k 2 / e ) H ( k ′ 1 ) + H ( k ′ 0 ) H ( G 1 / e )     + σ ( σ + 1 ) H ( G 1 / e ) H ( G 2 ) + σ H ( k 1 / e ) H ( G 2 ) ] 且 H ( G − e ) = H ( ( G 1 − e ) ⋮ G 2 ) = − 1 σ 2 [ H ( k 0 − e ) H ( k ′ 0 ) + ( σ + 1 ) H ( k 1 − e ) H ( k ′ 1 ) + H ( k 0 − e ) H ( k ′ 1 ) + H ( k ′ 0 ) H ( k 1 − e )     + H ( k 2 − e ) H ( k ′ 0 ) + ( σ + 1 ) H ( G 1 − e ) H ( k ′ 1 ) + H ( k 2 − e ) H ( k ′ 1 ) + H ( k ′ 0 ) H ( G 1 − e )     + σ ( σ + 1 ) H ( G 1 − e ) H ( G 2 ) + σ H ( k 1 − e ) H ( G 2 ) ] 因此， H ( G ) = H ( G / e ) + H ( G − e ) = − 1 σ 2 [ H ( k 0 / e ) H ( k ′ 0 ) + ( σ + 1 ) H ( k 1 / e ) H ( k ′ 1 ) + H ( k 0 / e ) H ( k ′ 1 ) + H ( k ′ 0 ) H ( k 1 / e )     + H ( k 2 / e ) H ( k ′ 0 ) + ( σ + 1 ) H ( G 1 / e ) H ( k ′ 1 ) + H ( k 2 / e ) H ( k ′ 1 ) + H ( k ′ 0 ) H ( G 1 / e )     + σ ( σ + 1 ) H ( G 1 / e ) H ( G 2 ) + σ H ( k 1 / e ) H ( G 2 )     + H ( k 0 − e ) H ( k ′ 0 ) + ( σ + 1 ) H ( k 1 − e ) H ( k ′ 1 ) + H ( k 0 − e ) H ( k ′ 1 ) + H ( k ′ 0 ) H ( k 1 − e ) + H ( k 2 − e ) H ( k ′ 0 ) + ( σ + 1 ) H ( G 1 − e ) H ( k ′ 1 ) + H ( k 2 − e ) H ( k ′ 1 ) + H ( k ′ 0 ) H ( G 1 − e )     + σ ( σ + 1 ) H ( G 1 − e ) H ( G 2 ) + σ H ( k 1 − e ) H ( G 2 ) ] = − 1 σ 2 [ H ( k 0 ) H ( k ′ 0 ) + ( σ + 1 ) H ( k 1 ) H ( k ′ 1 ) + H ( k 0 ) H ( k ′ 1 ) + H ( k ′ 0 ) H ( k 1 )     + H ( k 2 ) H ( k ′ 0 ) + ( σ + 1 ) H ( G 1 ) H ( k ′ 1 ) + H ( k 2 ) H ( k ′ 1 ) + H ( k ′ 0 ) H ( G 1 )     + σ ( σ + 1 ) H ( G 1 ) H ( G 2 ) + σ H ( k 1 ) H ( G 2 ) ] 情况2. e是连接顶点 u ， v 的边，那么e为 k 1 的一条环边。由性质3.3及定理4.1得 H ( G / e ) = H ( ( k 1 − e ) : k ′ 1 ) = 1 σ [ H ( k 0 − e ) H ( k ′ 0 ) + ( σ + 1 ) H ( k 1 − e ) H ( k ′ 1 ) + H ( k 0 − e ) H ( k ′ 1 ) + H ( k ′ 0 ) H ( k 1 − e ) ] = − 1 σ 2 [ H ( k 0 ) H ( k ′ 0 ) + ( σ + 1 ) H ( k 1 ) H ( k ′ 1 ) + H ( k 0 ) H ( k ′ 1 ) + H ( k ′ 0 ) H ( k 1 ) ] 且 H ( G − e ) = H ( ( G 1 − e ) ⋮ G 2 ) = − 1 σ 2 [ H ( k 0 − e ) H ( k ′ 0 ) + ( σ + 1 ) H ( k 1 − e ) H ( k ′ 1 ) + H ( k 0 − e ) H ( k ′ 1 ) + H ( k ′ 0 ) H ( k 1 − e )     + H ( k 2 − e ) H ( k ′ 0 ) + ( σ + 1 ) H ( G 1 − e ) H ( k ′ 1 ) + H ( k 2 − e ) H ( k ′ 1 ) + H ( k ′ 0 ) H ( G 1 − e )     + σ ( σ + 1 ) H ( G 1 − e ) H ( G 2 ) + σ H ( k 1 − e ) H ( G 2 ) ] = − 1 σ 2 [ H ( k 2 / e ) H ( k ′ 0 ) + ( σ + 1 ) H ( G 1 / e ) H ( k ′ 1 ) + H ( k 2 / e ) H ( k ′ 1 ) + H ( k ′ 0 ) H ( G 1 / e ) + H ( k 2 − e ) H ( k ′ 0 ) + ( σ + 1 ) H ( G 1 − e ) H ( k ′ 1 ) + H ( k 2 − e ) H ( k ′ 1 ) + H ( k ′ 0 ) H ( G 1 − e )     + σ ( σ + 1 ) H ( G 1 − e ) H ( G 2 ) + σ H ( k 1 − e ) H ( G 2 ) + σ ( σ + 1 ) H ( G 1 / e ) H ( G 2 )     − σ ( σ + 1 ) H ( G 1 / e ) H ( G 2 ) ] = − 1 σ 2 [ H ( k 2 ) H ( k ′ 0 ) + ( σ + 1 ) H ( G 1 ) H ( k ′ 1 ) + H ( k 2 ) H ( k ′ 1 ) + H ( k ′ 0 ) H ( G 1 )     + σ ( σ + 1 ) H ( G 1 ) H ( G 2 ) + σ H ( k 1 ) H ( G 2 ) ] 因此， H ( G ) = H ( G / e ) + H ( G − e ) = − 1 σ 2 [ H ( k 0 ) H ( k ′ 0 ) + ( σ + 1 ) H ( k 1 ) H ( k ′ 1 ) + H ( k 0 ) H ( k ′ 1 ) + H ( k ′ 0 ) H ( k 1 )     + H ( k 2 ) H ( k ′ 0 ) + ( σ + 1 ) H ( G 1 ) H ( k ′ 1 ) + H ( k 2 ) H ( k ′ 1 ) + H ( k ′ 0 ) H ( G 1 )     + σ ( σ + 1 ) H ( G 1 ) H ( G 2 ) + σ H ( k 1 ) H ( G 2 ) ] 定理4.4得证。