system: [SYSTEM]

user: 5. 实证分析 5.1. 残差自回归模型 图1显示的汽油价格序列时序图，呈现出比较明显的先平稳后下降再上升的趋势。根据序列时序图的特点，对趋势效应的拟合分别采用自变量为时间t的三次函数和自变量为历史观测值的自回归模型。序列并没有明显的季节效应，故考虑建立如下的残差自回归模型： { x t = T t + ε t ，   t = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ε t = φ 1 ε t − 1 + ⋯ + φ p ε t − p + a t E ( a t ) = 0 ， V a r ( a t ) = σ 2 ， C o v ( a t ， a t − i ) = 0 ，   ∀ i ≥ 1 。 图1. 2013~2018 (8月)年北京市92 # 汽油价格序列时序图 5.1.1. 确定性模型拟合 (1) 时间t的幂函数为变量： T t = β 0 + β 1 ⋅ t + β 2 ⋅ t 2 + β 3 ⋅ t 3 ，   t = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ 表1为分别采用lm函数和nls函数拟合关于t的三次函数回归模型，两个函数得到的拟合结果完全一致，t的一次方不显著，模型整体及其他变量都是显著的，所以对趋势效应的拟合模型则为： x t = 7.958 − 0.0007611 t 2 + 0.000005572 t 3 + ε t ， ε t ~ N ( 0 ， 0.3895 2 ) 。 Table 1 Fitting the cubic function regression model about 项目 数值 检验 t 2 −7.611e−04 <2e−16 t 3 5.572e−06 <2e−16 R 2 0.7767 调整R 2 0.7734 F 231.4 <2.2e−16 表1. 拟合关于t的三次函数回归模型 (2) 1阶延迟 x t − 1 为变量： T t = β 0 + β 1 ⋅ x t − 1 表2为拟合关于1阶延迟序列值自回归模型的输出结果，模型整体及变量都是显著的，我们可以得到如下的确定性趋势拟合模型： x t = 0.13576 + 0.98037 x t - 1 + ε t ， ε t ~ N ( 0 ， 0.1769 2 ) 。 Table 2 Fitting autoregressive model for delay variabl 项目 数值 检验 Price lag 0.98037 <2e−16 R 2 0.9538 调整R 2 0.9534 F 2743 <2.2e−16 表2. 拟合关于延迟变量的自回归模型 图2显示了两种拟合模型对趋势效应的拟合效果，星号标识为序列观察值，粗(红)线为关于时间t的三次函数拟合模型估计值，清晰的描述了序列的长期变化趋势，细(蓝)线为关于1阶延迟变量的自回归拟合模型估计值。 趋势部分已经拟合较为充分，下面来检验残差部分。根据图3中原序列拟合第一个趋势效应后的残差序列，时序图显示序列基本在0值附近上下浮动，并没有显示出任何明显的趋势或周期性，大体符合平稳的特征，我们暂时认为残差序列已平稳。 5.1.2. 残差自相关性检验及拟合 表3为拟合两个确定性趋势模型后残差序列DW检验结果，第一个确定性趋势模型DW统计量的值小于2，且P值极小，根据相关性判断标准，该模型拟合后的残差序列高度正相关。而对第二个模型而言，因为自变量和因变量具有自相关关系，所以需要使用Durbin h检验，DW统计量的值在2附近，说明残差序列不存在显著相关。 图2. 两个趋势拟合模型的拟合效果图 图3. 原序列拟合第一个趋势效应后的残差及其平方图 Table 3 DW-test on correlation of residual sequenc 项目 数值 检验 DW 0.20362 <2.2e−16 1.851 0.1684 表3. 关于残差序列相关性的DW检验 通过对两个模型残差序列的LB检验，同样显示出第一个模型拟合后的残差序列高度正相关。为了充分提取相关信息，我们需要对第一个模型的残差序列再次进行信息提取。 根据图4表现出来的关于残差序列的自相关和偏自相关的性质，可以有如下结论：自相关系数拖尾，偏自相关系数1阶截尾，所以对残差序列拟合AR (1)模型。拟合结果为： ε t = − 0.8969 ε t − 1 + e t ， e t ~ N ( 0 ， 0.02886 ) 模型显著性检验(表4)表明该模型是显著的。 图4. 残差序列的自相关图和偏自相关图 Table 4 Fitting the AR (1) model to the residual sequenc 项目 数值 ar1 −0.8969 aic −90.6 表4. 关于残差序列拟合AR (1)模型 此外，对上述1阶自回归模型进行DF检验，当特征根在单位圆内时，即 | − 0.8969 | < 1 ，判定该残差序列平稳。 对拟合AR (1)模型后的残差序列进行白噪声检验，延迟6阶和延迟12阶两个LB统计量的P值(表5)显著大于显著性水平 α ，所以该序列不能拒绝纯随机性的原假设，可以停止对该序列的统计分析。 Table 5 White noise tes 项目 数值 延迟6阶 0.82 延迟12阶 0.8513 表5. 白噪声检验 所以针对北京市2013年1月至2018年10月的92 # 汽油调整日的价格序列，我们构建了如下的残差自回归模型： { x t = 7.958 − 0.0007611 t 2 + 0.000005572 t 3 + ε t ε t = − 0.8969 ε t − 1 + e t ， e t ~ N ( 0 ， 0.02867 ) 该模型对原序列的波动规律进行了比较直观地解释：北京市92 # 汽油价格在2013年1月至2018年10月大致服从一个时间t的三次函数的波动趋势。 由上述残差自回归模型预测出2018年9月和10月的北京市92 # 汽油价格数据如表6所示，相对误差控制在百分之十五以下，非常接近真实值。说明用残差自回归模型来对北京市2013年~2018年92 # 汽油价格研究的可信度颇有实用价值。 Table 6 Table of predicted values， true values and relative error 时间 预测值 真实值 相对误差 2018年9月 7.4867377 7.4 0.011721311 7.6226538 7.66 −0.004875483 2018年10月 7.7540763 7.85 −0.01221958 7.88064 7.85 0.003903185 表6. 预测值、真实值和相对误差表 5.2. 集群效应与ARCH模型 对趋势效应拟合关于时间t的三次函数后的残差时序图及残差序列平方图(图3)显示该残差序列没有表现出明显的非平稳特征，大部分时期波动范围在 − 0.3 ~ 0.3 之间。但是在2014年中，2015年前后，2016年前后，2017年前后，序列的波动很大，表现出集群效应特征。 通过LM检验考察残差平方序列是否纯随机，LM检验统计量的P值均小于显著性水平 α ，拒绝原假设，认为该序列方差非齐。 在尝试过ARCH (3)和ARCH (2)，这两个模型的参数检验结果均显示有参数不显著，直至ARCH (1)模型，检验结果显示模型显著(表7)。所以最后得到的拟合模型是ARCH (1)模型： E ( ε t 2 | ε t − 1 ) = 0.022557 + 0.939331 ε t − 1 2 。 Table 7 ARCH (1) model for residual square sequenc 项目 数值 检验 a0 0.022557 0.01515 a1 0.939331 0.00582 Box-Ljung test 0.9078 表7. 关于残差平方序列拟合ARCH (1)模型 图5显示条件异方差模型拟合的置信区间(中间波动粗曲线)比无条件方差两条平行线给出的95%的置信区间更加符合原序列(中间波动细曲线)的真实波动情况。这说明条件异方差模型增加了对序列波动的预测的准确性。 图5. 条件异方差置信区间和方差齐性置信区间比较图 通过对比AR (1)模型和ARCH (1)模型对残差序列进行拟合的结果，前者的相对误差明显要比后者的相对误差要小，而且通过信息准则比较也可以得出同样的结论，故就本文的数据来说，残差自回归模型拟合效果更好。