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user: 2. 数值模型建立方法 2.1. 形状参数选取 土体颗粒形状定量表征方法有多种，为了综合描述颗粒的不规则形状，揭示颗粒形状对砂土宏观的力学性能以及变形性能的影响规律，本文选取两个被广泛应用的形状定量表征指标：细长比AR (Aspect Ratio)和凹凸度C (Convexity)。其中细长比的定义公式为 [ 10 ]： A R = D F min D F max (1) 式中 D F min 代表与颗粒外轮廓相切平行线之间的最短距离， D F max 代表与颗粒外轮廓相切平行线之间的最长距离。凹凸度表示为 [ 11 ]： Convexity = A A + B (2) 式中：A表示颗粒的几何面积，B表示颗粒凹陷区域的几何面积，也可以用颗粒凸包的面积与颗粒面积做差得出。考虑真实土体颗粒形状各向异性，采用Luo等 [ 5 ] 的试验作为标定参考，使用福建砂测得的AR和C两个形状参数统计如图1和图2所示。 2.2. 颗粒团簇单元构建 考虑到计算机的算力，如果用几十个圆去近似拟合一个不规则形状的砂土颗粒，那相比于圆颗粒模型，同等大小的模型盒将使用几十倍的颗粒数量。如果一个由圆颗粒组成的模型盒有5万个颗粒，那颗粒形状精细化建模得到的模型盒将有百万计的颗粒数，以现在的计算机算力还无法处理这么多的颗粒数量，以往的学者大多使用圆颗粒进行模型简化也正是因为这个原因。 为了同时考虑颗粒细长比AR和凹凸性C的影响，也兼顾计算机的运算速度，本论文构建了四颗粒模型，即一个颗粒团簇(clump)仅由4个圆颗粒粘结构成，位置分布呈矩形结构，如图3所示。 图1. 福建砂AR形状参数累积分布图 图2. 福建砂C形状参数累积分布图 图3. 四颗粒模型示意图 建模过程为：首先确定颗粒细长比AR，构建出一个长宽比等于AR的矩形，然后在其内部四个顶点附近做四个内切圆，这样改变内切圆半径的时候，颗粒细长比AR不会改变。然后根据颗粒凹凸性C，用下式方程求解出需要的小圆半径r [ 11 ]： A R − ( 4 − π ) r 2 − 2 [ r ( A R − 2 r ) − π r 2 90 − θ 1 180 − 1 2 r 2 sin 2 θ 1 ] − 2 [ r ( 1 − 2 r ) − π r 2 90 − θ 2 180 − 1 2 r 2 sin 2 θ 2 ] A R − ( 4 − π ) r 2 = C (3) 式中， θ 1 = arccos A R − 2 r 2 r ， θ 2 = arccos 1 − 2 r 2 r 。 设置好某形状的颗粒簇基本单元后，在PFC软件中clump建模时使用diameter命令，并设置好对应的圆颗粒直径，软件即可自动将颗粒簇的尺寸等比例放缩，最终建出的颗粒模型将与目标直径的圆颗粒有着相同的面积。 根据Luo [ 5 ] 等室内试验用到的福建砂AR以及C的累计分布图，做出5组不同形状的颗粒簇，如图4所示，分别代表20%的颗粒总数。 图4. 标定试验所用五种颗粒形状图 为了得到形状参量对力学特性的影响，除了标定的砂性地层外，还改变了AR，C参数，做出了多组不同形状的颗粒单元，如表1和图5所示。 必须指出的是，四颗粒模型也有其局限性，只有AR > 0.5以及C较接近1的时候，关于内切圆半径r的方程才有解，且AR越接近0.5，让方程有解的C参数范围也越小，不过从福建土这一天然土颗粒的AR，C累积分布图可以看到，AR参数和C参数极端的情况几乎不存在，大部分的类土岩堆体颗粒都在四颗粒模型的模拟范围之内。因此，本文的研究颗粒形状参数都在 0.6 ≤ A R ≤ 1.0 和 0.95 ≤ C ≤ 1.0 范围内进行变化，这也与类土岩堆体砂性地层的形状参数分布较为吻合。 Table 1 Summary of the grain shape parameter 编号 AR C r AR1C1 0.572 0.95 0.286 AR2C1 0.70 0.95 0.276 AR4C1 0.85 0.95 0.275 AR6C1 1.0 0.95 0.29 AR2C2 0.7 0.97 0.302 AR4C2 0.85 0.97 0.301 AR6C2 1.0 0.97 0.317 AR2C3 0.7 0.99 0.35 AR4C3 0.85 0.99 0.346 AR5C3 0.92 0.99 0.355 AR6C3 1.0 0.99 0.363 AR3C4 0.77 0.996 0.385 AR4C4 0.85 0.996 0.385 AR5C4 0.92 0.996 0.39 AR6C4 1.0 0.996 0.40 表1. 颗粒单元形状参数汇总 图5. 敏感性分析中所用不同颗粒形状图 2.3. 接触本构模型选取 本文建模使用的接触本构模型是PFC软件内置的本构模型之一：滚动阻力线性模型，这是一个以线性模型为基础拓展而来的本构模型(图6)。 图6. 线性接触模型示意图 线性模型假设了模型颗粒之间的接触力与相对位移之间的线性关系，相当于在接触位置放置了一个切向和一个法向两个弹簧，力–位移满足胡克定律。只要设置好颗粒的刚度属性，两颗粒接触就像弹簧串联，其接触的切向刚度和法向刚度就能通过如下公式计算获得 [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]： k n = k n ( 1 ) ⋅ k n ( 2 ) k n ( 1 ) + k n ( 2 ) (4) k s = k s ( 1 ) ⋅ k s ( 2 ) k s ( 1 ) + k s ( 2 ) (5) 上式中， k n ( 1 ) 、 k n ( 2 ) 分别是颗粒1和2的法向刚度属性， k n 为两颗粒接触的法向刚度， k s ( 1 ) 、 k s ( 2 ) 分别是颗粒1和2两颗粒的切向刚度属性， k s 为两颗粒接触的切向刚度。 滚动抵抗线性模型则是在线性模型的基础上，新设了一个滚动摩擦系数，当滚动抵抗力矩超过一定限值时，滚动抵抗力矩不再继续提升，具体公式如下 [ 8 ]： M r = { M r ，   ‖ M r ‖ ≤ M * M * ( M r / ‖ M r ‖ ) ，   otherwise (6) M * = μ r R ¯ F n l (7) 式中 M * 是最大滚动抵抗力矩， μ r 是滚动摩擦系数， R ¯ 是接触有效半径，通过接触两端颗粒的半径倒数和再取倒数求得， F n l 是法向接触力， M r 为最终的滚动抵抗力矩。 2.4. 试样生成及加载 由于是使用二维模型模拟三轴试验，模型边界选择可平移的四个wall单元构成一个矩形区域，横向宽度71.1 mm，竖向高度142.2 mm。 试样生成方法选用重力沉积法，即让颗粒簇在整个矩形区域内随机生成，赋予颗粒刚度和重力，让颗粒簇在重力场作用下作自由落体运动，最终沉积在试样盒的底部，这样的生成方法可以让颗粒随机分布在整个模型空间内，且与实验室制样过程十分近似。 颗粒的半径按Luo等 [ 5 ] 的室内试验测得的级配曲线设置，如图7所示。 具体建模步骤如下： 图7. AR参数累积分布图 (1) 分五次填充不同形状(表1)的颗粒，每次填充(1 − 孔隙比) × 20%试样盒体积的颗粒，粒径按照级配曲线分布； (2) 设置墙体刚度和颗粒刚度，设置接触本构模型，墙体刚度远大于颗粒刚度，无摩擦； (3) 设置重力，添加重力场； (4) 循环，让试样颗粒自由扩散、堆积，有些clump重复面积过大，互相嵌套，受力保持一个平衡，无法通过扩散堆积分离，需删除堆叠重复的颗粒； (5) 设置目标围压，每个时步计算颗粒作用在墙体上的力，计算该力和目标围压之间的差，以此定义墙体运动速度，循环直至围压稳定； (6) 计算围压稳定后的孔隙比，若当前孔隙比大于目标给定的孔隙比，下调扩散、堆积时的摩擦系数，反之则下调摩擦系数； (7) 保持水平围压不变，撤去竖直围压，设置上下两个墙体一个恒定向中心的加载速度，加载过程中每1%遍历输出所有颗粒、接触的数据，直至整体试样达到30%轴应变。 最终建立模型如图8所示。 模型中的颗粒簇均为四颗粒模型，共36928个颗粒簇(clump)，147712个圆颗粒(pebble)。 2.5. 参数标定流程 参数标定分为可调参数和不可调参数，其中颗粒和模型盒的几何尺寸、颗粒密度、固结围压、初始孔隙度、压缩速率等，主要参考Luo等 [ 5 ] 的室内试验及现有文献常识取了一个合理值，在之后标定流程中不再更改，具体见表2取值。 可调参数包括颗粒刚度、摩擦系数、转动摩擦系数、阻尼等，通过与室内试验应力应变曲线和体积应变曲线匹配。参数标定时，不可调参数不做更改，当进行一轮试样生成及加载流程后，若偏应力–轴应变曲线和体积应变–轴应变曲线无法和室内试验的结果对应时，则微调可调参数，直至两条曲线匹配上室内试验的结果。最终标定完成的参数如表3。