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user: 3. 定理1.1的证明 本节的主要工作是证明定理1.1。 引理3.1假设 ( f 1 ) 和 ( f 2 ) 成立，若在 W V 1 ， Φ ( ℝ N ) 中有 u n ⇀ u ，则下列结论成立： (1) ∫ ℝ N f ( x ， u n ) u n d x → ∫ ℝ N f ( x ， u ) u d x ；(2) ∫ ℝ N F ( x ， u n ) d x → ∫ ℝ N F ( x ， u ) d x 。 证首先证明(1)。假设 { u n } 是 W V 1 ， Φ ( ℝ N ) 中的序列，满足 u n ⇀ u (在 W V 1 ， Φ ( ℝ N ) 中)。 根据引理2.4，存在 { u n } 的一个子列(仍记为其本身)，使得 u n → u (在 L Ψ ( ℝ N ) 中)。 那么存在 { u n } 的一个子列(仍记为其本身)，以及函数 h ∈ L Ψ ( ℝ N ) ，使得 u n → u a.e. x ∈ ℝ N ， | u n | ≤ h a.e. x ∈ ℝ N 。 由 ( f 1 ) 和 ( a 1 ) 可得 | f ( x ， u n ) u n | ≤ C | u n | + C ψ ( u n ) | u n | ≤ C h + C ψ ( h ) h ≤ C h + C m Ψ Ψ ( h ) ∈ L 1 ( ℝ N ) 。 由Lebesgue控制收敛定理，有 lim n → ∞ ∫ ℝ N f ( x ， u n ) u n d x = ∫ ℝ N f ( x ， u ) u d x 。 下面证明(2)。由 ( f 2 ) 可得 lim t → 0 F ( x ， t ) Ψ ( t ) = lim t → 0 f ( x ， t ) ψ ( t ) < λ 。 对任意 ε > 0 充分小，存在 δ > 0 ，成立 | F ( x ， t ) | Ψ ( t ) < λ − ε ， x ∈ ℝ N ， | t | < δ 。 因此 | F ( x ， u n ) | < ( λ − ε ) | Ψ ( u n ) | ≤ ( λ − ε ) Ψ ( h ) ∈ L 1 ( ℝ N ) 。 由Lebesgue控制收敛定理，有 lim n → ∞ ∫ ℝ N F ( x ， u n ) d x = ∫ ℝ N F ( x ， u ) d x 。证毕。 注3.1给定 ε > 0 充分小，由 ( f 1 ) 和 ( f 2 ) 可知，存在常数 C ε > 0 ，使得 | f ( x ， t ) | ≤ ( λ − ε ) | ψ ( t ) | + C ε ψ ( t ) ， t ∈ ℝ ， 从而 | F ( x ， t ) | ≤ ( λ − ε ) Ψ ( t ) + C ε Ψ ( t ) ， t ∈ ℝ 。 (4) 由 ( f 2 ) 和 ( a 1 ) ，可得 lim sup t → 0 f ( x ， t ) t Ψ ( t ) < λ m Ψ 。 (5) 再根据 ( f 1 ) 和(5)可得 | f ( x ， t ) t | ≤ ( λ m Ψ − ε ) Ψ ( t ) + C ε Ψ ( t ) ， t ∈ ℝ 。 (6) 分别对(4)和(6)关于x在 ℝ N 上积分，对 ε > 0 充分小，存在 C ε > 0 ，使得对任意 u ∈ W V 1 ， Φ ( ℝ N ) 有 ∫ ℝ N f ( x ， u ) u d x ≤ ( λ m Ψ − ε ) ∫ ℝ N Ψ ( u ) d x + C ε ∫ ℝ N Ψ ( u ) d x ， ∫ ℝ N F ( x ， u ) d x ≤ ( λ − ε ) ∫ ℝ N Ψ ( u ) d x + C ε ∫ ℝ N Ψ ( u ) d x 。 利用引理2.1和引理2.4，对 u ∈ W V 1 ， Φ ( ℝ N ) ，有 ∫ ℝ N f ( x ， u ) u d x ≤ ( λ m Ψ − ε ) max { ‖ u ‖ l Ψ ， ‖ u ‖ m Ψ } + C ε max { ‖ u ‖ l Ψ ， ‖ u ‖ m Ψ } ， (7) ∫ ℝ N F ( x ， u ) d x ≤ ( λ − ε ) max { ‖ u ‖ l Ψ ， ‖ u ‖ m Ψ } + C ε max { ‖ u ‖ l Ψ ， ‖ u ‖ m Ψ } 。 (8) 下面将研究纤维映射在无穷远处和原点附近的行为。 引理3.2 设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) 、 ( V 1 ) - ( V 2 ) 和 ( f 1 ) - ( f 4 ) 成立，对 u ∈ W V 1 ， Φ ( ℝ N ) \ { 0 } ，则成立： (1) lim t → 0 h ′ u ( t ) t m − 1 > 0 ， lim t → ∞ h ′ u ( t ) t m − 1 = − ∞ ；(2) lim t → 0 h u ( t ) t m > 0 ， lim t → ∞ h u ( t ) t m = − ∞ 。 证 先证(1)。因为 h ′ u ( t ) = ∫ ℝ N t ( ϕ ( t | ∇ u | ) | ∇ u | 2 + V ( x ) ϕ ( t | u | ) u 2 ) d x − ∫ ℝ N f ( x ， t u ) u d x ， 由注1.1，引理2.1以及(7)可得 t h ′ u ( t ) = ∫ ℝ N ( ϕ ( t | ∇ u | ) | t ∇ u | 2 + V ( x ) ϕ ( t | u | ) | t u | 2 ) d x − ∫ ℝ N f ( x ， t u ) t u d x ≥ l ∫ ℝ N ( Φ ( t | ∇ u | ) + V ( x ) Φ ( t | u | ) ) d x − ∫ ℝ N f ( x ， t u ) t u d x ≥ l t m ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x − ( λ m Ψ − ε + C ε ) max { ‖ t u ‖ l Ψ ， ‖ t u ‖ m Ψ } 。 对任意 u ∈ W V 1 ， Φ ( ℝ N ) \ { 0 } ，当 0 < t < 1 时，有 h ′ u ( t ) t m − 1 ≥ l ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x − ( λ m Ψ − ε + C ε ) max { ‖ t u ‖ l Ψ ， ‖ t u ‖ m Ψ } t m 。 由于 m < l Ψ ，于是 h ′ u ( t ) t m − 1 ≥ l ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x + ο ( 1 ) ，故 lim t → 0 h ′ u ( t ) t m − 1 > 0 。 进一步，根据引理2.1，当 t > 1 时，有 t h ′ u ( t ) = ∫ ℝ N ( ϕ ( t | ∇ u | ) | t ∇ u | 2 + V ( x ) ϕ ( | t u | ) | t u | 2 ) d x − ∫ ℝ N f ( x ， t u ) t u d x ≤ m t m ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x − ∫ ℝ N f ( x ， t u ) t u d x 。 所以 h ′ u ( t ) t m − 1 ≤ m ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x − 1 t m ∫ ℝ N f ( x ， t u ) t u d x 。利用 ( f 4 ) 可得 lim inf t → ∞ ∫ ℝ N f ( x ， t u ) t u t m d x = lim inf t → ∞ ∫ ℝ N f ( x ， t u ) | t u | m − 2 t u | u | m d x = + ∞ 。 由Fatou引理，结合上式，有 lim t → ∞ h ′ u ( t ) t m − 1 ≤ m ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x − lim inf t → ∞ ∫ ℝ N f ( x ， t u ) t u t m d x = − ∞ 。 结论(2)可以根据L’Hospital法则得到。证毕。 引理3.3 设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) 和 ( V 1 ) 成立，则 u ∈ W V 1 ， Φ ( ℝ N ) ↦ ∫ ℝ N ( ϕ ( | ∇ u | ) | ∇ u | 2 + V ( x ) ϕ ( | u | ) u 2 ) d x 和 u ∈ W V 1 ， Φ ( ℝ N ) ↦ ∫ ℝ N ( m Φ ( | ∇ u | ) − ϕ ( | ∇ u | ) | ∇ u | 2 + V ( x ) ( m Φ ( | u | ) − ϕ ( | u | ) u 2 ) ) d x 都是弱下半连续的。 证 此引理的证明是初等的，此处从略。 引理3.4假设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) 、 ( V 2 ) 和 ( f 1 ) - ( f 4 ) 成立，那么对 u ∈ W V 1 ， Φ ( ℝ N ) \ { 0 } ，存在唯一的 t max ( u ) > 0 ，使得 t max ( u ) u ∈ M ，并且对任意 u ∈ M ，有 I ( u ) > 0 。 证设 u ∈ W V 1 ， Φ ( ℝ N ) \ { 0 } ，根据引理3.2知，当t足够小， h ′ u ( t ) > 0 ；当t足够大， h ′ u ( t ) < 0 ，则 h ′ u ( t ) 至少存在 t max ( u ) ∈ ( 0 ， ∞ ) ，使得 h ′ u ( t max ( u ) ) = 0 ，从而 t max ( u ) u ∈ M 。 下面证明 t max ( u ) 是唯一的。事实上，由注1.1，对任意 x ∈ ℝ N ， t > 0 ，有 d d t ( ϕ ( t | ∇ u | ) ∇ ( t u ) ∇ u t m − 1 ) = | ∇ u | 2 ( ϕ ′ ( t | ∇ u | ) | ∇ ( t u ) | − ( m − 2 ) ϕ ( t | ∇ u | ) ) t m − 1 ≤ 0 。 (9) 同理可得 d d t ( V ( x ) ϕ ( t | u | ) t u 2 t m − 1 ) = u 2 ( ϕ ′ ( t | u | ) | t u | − ( m − 2 ) V ( x ) ϕ ( t | u | ) ) t m − 1 ≤ 0 。 (10) 由 h ′ u ( t ) = 〈 I ′ ( t u ) ， u 〉 ，结合(3.6)、(3.7)和 ( f 3 ) ，对任意 t > 0 ， u ∈ W V 1 ， Φ ( ℝ N ) \ { 0 } ， d d t ( h ′ u ( t ) t m − 1 ) ≤ − ∫ ℝ N d d t ( f ( x ， t u ) | t u | m − 2 t u ) | u | m d x < 0 。 (11) 因此， t ↦ h ′ u ( t ) t m − 1 在 ( 0 ， ∞ ) 上是递减函数，从而 h ′ u ( t ) 有唯一的极大值点 t max ( u ) > 0 ，并且 t max ( u ) u ∈ M ，由(11)式可知，对任意 u ∈ W V 1 ， Φ ( ℝ N ) \ { 0 } ， t > 0 ，有 h ″ u ( t ) < 0 。根据引理3.2(1)知 h ( t max ( u ) ) > 0 ，故 I ( t max ( u ) u ) > 0 。因为 u ∈ M 当且仅当 t max ( u ) = 1 ，故对任意 u ∈ M ，有 I ( u ) > 0 。证毕。 引理3.5设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) 和 ( V 2 ) 成立，定义 J : W V 1 ， Φ ( ℝ N ) → ℝ ： J ( u ) = ∫ ℝ N ( ϕ ( | ∇ u | ) | ∇ u | 2 + V ( x ) ϕ ( | u | ) u 2 ) d x ， 则 J ( u ) 是 C 1 的，且 〈 J ′ ( u ) ， v 〉 = ∫ ℝ N ( 2 ϕ ( | ∇ u | ) + ϕ ′ ( | ∇ u | ) | ∇ u | ) ∇ u ∇ v d x + ∫ ℝ N V ( x ) ( 2 ϕ ( | u | ) + ϕ ′ ( | u | ) | u | ) u v d x ， u ， v ∈ W V 1 ， Φ ( ℝ N ) 。 证 此证明是基本的，这里略去。 引理3.6设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) 、 ( V 2 ) 和 ( f 1 ) - ( f 4 ) 成立，那么 M 是 W V 1 ， Φ ( ℝ N ) 的 C 1 子流形，并且泛函I在 M 的临界点是I在 W V 1 ， Φ ( ℝ N ) 上的临界点。 证 由 h u ( t ) 的定义知，对 u ∈ W V 1 ， Φ ( ℝ N ) \ { 0 } ， h ′ u ( t ) = 〈 I ′ ( t u ) ， u 〉 。定义函数 G ( u ) : = 〈 I ′ ( u ) ， u 〉 ，根据引理3.5，对任意 u ∈ W V 1 ， Φ ( ℝ N ) \ { 0 } ，知 G ∈ C 1 。由引理3.4的证明过程可得， h u ( t ) 在 t = 1 处取得全局极大值，且当 t > 0 时，对任意 u ∈ W V 1 ， Φ ( ℝ N ) \ { 0 } ，有 h ″ u ( t ) < 0 ，因此 G ′ ( u ) = I ″ ( u ) ⋅ ( u ， u ) + 〈 I ′ ( u ) ， u 〉 = h ″ u ( 1 ) < 0 ， ∀ u ∈ M 。 因为 M = G − 1 ( 0 ) ，且0是 G ( u ) 的正则值，所以 M 是 W V 1 ， Φ ( ℝ N ) 的 C 1 子流形。 不失一般性，假设 u 0 是I在 M 中的局部极小值点，那么 u 0 也是下列极小化问题的解 { min I ( u ) h ( u ) = 0 。 因此，由Lagrange乘数定理，存在Lagrange乘子 μ 1 ∈ ℝ ，使得 I ′ ( u 0 ) = μ 1 G ′ ( u 0 ) 。 于是 〈 I ′ ( u 0 ) ， u 0 〉 = μ 1 〈 G ′ ( u 0 ) ， u 0 〉 = 0 。 由于 〈 G ′ ( u 0 ) ， u 0 〉 = h ″ u ( 1 ) < 0 ， ∀ u 0 ∈ M 。 所以 μ = 0 ，从而 I ′ ( u 0 ) = 0 ，故 u 0 是I的极小值点。证毕。 引理3.7设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) 、 ( V 2 ) 和 ( f 1 ) - ( f 4 ) 成立，那么存在常数 C > 0 ，使得对任意 u ∈ M ，有 ‖ u ‖ > C 。 证 反证。假设存在 { u n } ⊂ M ，对任意整数 n ≥ 1 ，有 ‖ u n ‖ ≤ 1 n 。给定 ε > 0 ，由(3.4)知，存在 C ε > 0 ，使得 ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u n | ) + V ( x ) Φ ( | u n | ) ) d x ≤ 1 l ∫ ℝ N ( ϕ ( | ∇ u n | ) ∇ u n 2 + V ( x ) ϕ ( | u n | ) u n 2 ) d x = 1 l ∫ ℝ N f ( x ， u n ) u n d x ≤ 1 l ( λ m Ψ − ε ) ∫ ℝ N Ψ ( | u n | ) d x + C ε l ∫ ℝ N Ψ ( | u n | ) d x ≤ 1 l ( λ m Ψ − ε ) max { ‖ u n ‖ l Ψ ， ‖ u n ‖ m Ψ } + C ε l max { ‖ u n ‖ l Ψ ， ‖ u n ‖ m Ψ } = C 1 max { ‖ u n ‖ l Ψ ， ‖ u n ‖ m Ψ } + C 2 max { ‖ u n ‖ l Ψ ， ‖ u n ‖ m Ψ } 不妨假设 ‖ ∇ u n ‖ Φ ≥ ‖ u n ‖ Φ ， V ，则有 ‖ ∇ u n ‖ Φ ≥ 1 2 ‖ u n ‖ ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ，因此 ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u n | ) + V ( x ) Φ ( | u n | ) ) d x ≥ min { ‖ ∇ u n ‖ Φ l ， ‖ ∇ u n ‖ Φ m } ≥ ( 1 2 ) m min { ‖ u n ‖ l ， ‖ u n ‖ m } = ( 1 2 ) m ‖ u n ‖ m 所以 ( 1 2 ) m ‖ u n ‖ m ≤ ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u n | ) + V ( x ) Φ ( | u n | ) ) d x ≤ C ‖ u n ‖ l Ψ + C 2 ‖ u n ‖ l Ψ ≤ C 3 ‖ u n ‖ l Ψ ， 其中 C 1 、 C 2 和 C 3 是大于0的常数，进一步有 1 < C 3 ‖ u n ‖ l Ψ − m 。由于 l Ψ > m 。两边取极限，当 n → ∞ 时，上式与 ‖ u n ‖ ≤ 1 n 相矛盾，所以Nehari流形中元素的范数有正下界。证毕。 令 C M = inf u ∈ M I ( u ) ，首先证明I的任何极小化序列在 W V 1 ， Φ ( ℝ N ) 上是有界的。 引理3.8假设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) 、 ( V 1 ) - ( V 2 ) 和 ( f 1 ) - ( f 4 ) 成立，设 { u n } 是泛函I在Nehari流形 M 中的极小化序列，那么 { u n } 在 W V 1 ， Φ ( ℝ N ) 中有界。 证反证。如果 { u n } 在 W V 1 ， Φ ( ℝ N ) 中无界，则存在子序列(仍记为其本身)，使得 lim n → ∞ ‖ u n ‖ = ∞ ，且 ‖ u n ‖ > 1 ， ∀ n ∈ N 。 因为 { u n } ⊂ M 是 I ( u ) 的极小化序列，故 lim n → ∞ I ( u n ) = inf u ∈ M I ( u ) ，且 I ( u n ) ‖ u n ‖ m = ο n ( 1 ) 。 令 v n = u n ‖ u n ‖ ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ，则 { v n } ⊂ W V 1 ， Φ ( ℝ N ) ，且 ‖ v n ‖ = 1 ， ∀ n ∈ N 。因此存在 W V 1 ， Φ ( ℝ N ) 中的元素v，使得 v n ⇀ v (在 W V 1 ， Φ ( ℝ N ) 中)。 我们断言 v ≠ 0 。事实上，假设 v ≡ 0 ，因为 { u n } ⊂ M ，则 I ( u n ) = max t > 0 I ( t u n ) ， ∀ n ∈ N 。 设常数 z > 0 ，则 C M + ο n ( 1 ) ≥ I ( z v n ) = ∫ ℝ N ( Φ ( z | ∇ v n | ) + V ( x ) Φ ( z | v n | ) ) d x − ∫ ℝ N F ( x ， z v n ) d x 。 由于在 W V 1 ， Φ ( ℝ N ) 中有 v n ⇀ 0 ，根据引理3.1(2)知 ∫ ℝ N F ( x ， z v n ) d x → 0 。不妨假设 ‖ ∇ v n ‖ Φ ≥ ‖ v n ‖ Φ ， V ，则有 ‖ ∇ v n ‖ Φ ≥ 1 2 ‖ v n ‖ ， n = 1 ， 2 ， ⋯ 。由引理2.1和引理2.2，得到 C M + ο n ( 1 ) = I ( u n ) ≥ ∫ ℝ N ( Φ ( z | ∇ v n | ) + V ( x ) Φ ( z | v n | ) ) d x + ο n ( 1 ) ≥ min { ‖ z ∇ v n ‖ Φ l ， ‖ z ∇ v n ‖ Φ m } + min { ‖ z v n ‖ Φ ， V l ， ‖ z v n ‖ Φ ， V m } + ο n ( 1 ) ≥ min { ‖ z ∇ v n ‖ Φ l ， ‖ z ∇ v n ‖ Φ m } + ο n ( 1 ) ≥ min { ‖ 1 2 z v n ‖ l ， ‖ 1 2 z v n ‖ m } + ο n ( 1 ) 对上述不等式两边取极限，则 C M ≥ min { ( 1 2 z ) l ， ( 1 2 z ) m } ， z > 0 。得到矛盾，故 v ≠ 0 。 令 n → ∞ ，由引理2.1， ∫ ℝ N F ( x ， u n ) ‖ u n ‖ m d x = 1 ‖ u n ‖ m ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u n | ) + V ( x ) Φ ( | u n | ) ) d x + ο n ( 1 ) ≤ ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ v n | ) + V ( x ) Φ ( | v n | ) ) d x + ο n ( 1 ) ≤ max { ‖ ∇ v n ‖ Φ l ， ‖ ∇ v n ‖ Φ m } + max { ‖ v n ‖ Φ ， V l ， ‖ v n ‖ Φ ， V m } + ο n ( 1 ) = ‖ ∇ v n ‖ Φ l + ‖ v n ‖ Φ ， V l + ο n ( 1 ) ≤ ‖ v n ‖ + ο n ( 1 ) = 1 + ο n ( 1 ) 得到 lim sup n → ∞ ∫ ℝ N F ( x ， u n ) ‖ u n ‖ m d x ≤ 1 。 另一方面，根据Fatou引理和 ( f 4 ) ，注意到 v ≠ 0 ，则 lim inf n → ∞ ∫ ℝ N F ( x ， u n ) ‖ u n ‖ m d x ≥ ∫ ℝ N lim inf n → ∞ F ( x ， u n ) ‖ u n ‖ m d x = ∫ ℝ N lim inf n → ∞ F ( x ， u n ) | u n | m | v n | m d x = + ∞ ， 矛盾，因此 { u n } 在 W V 1 ， Φ ( ℝ N ) 中有界。证毕。 引理3.9设 ( ϕ 1 ) - ( ϕ 3 ) 、 ( V 1 ) - ( V 2 ) 和 ( f 1 ) - ( f 4 ) 成立，则存在 u ∈ M ，使得 C M = I ( u ) > 0 。 证设 { u n } 是泛函I在 M 中的极小化序列，由引理3.8， { u n } 在 W V 1 ， Φ ( ℝ N ) 中有界，从而存在 u ∈ W V 1 ， Φ ( ℝ N ) ，使得 u n ⇀ u (在 W V 1 ， Φ ( ℝ N ) 中)。 易见 u ≡ 0 。事实上，假设 u ≡ 0 ，对 { u n } ⊂ M ，有 0 ≤ ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u n | ) + V ( x ) Φ ( | u n | ) ) d x ≤ 1 l ∫ ℝ N ( ϕ ( | ∇ u n | ) | ∇ u n | 2 + V ( x ) ϕ ( | u n | ) u n 2 ) d x = 1 l ∫ ℝ N f ( x ， u n ) u n d x (12) 根据引理3.1(1)可得 ∫ ℝ N f ( x ， u n ) u n d x = ο n ( 1 ) ，结合12(3.9)式，则有 ‖ u n ‖ → 0 ( n → ∞ )，这与引理3.7 中的结论 ‖ u ‖ > C 相矛盾，故 u ≡ 0 。 由引理3.3(1)和引理3.1(2)知， u ∈ W V 1 ， Φ ( ℝ N ) ↦ 〈 I ′ ( u ) ， u 〉 是弱下半连续的，故 〈 I ′ ( u ) ， u 〉 ≤ lim inf n → ∞ 〈 I ′ ( u n ) ， u n 〉 = 0 。 从而 h ′ u ( 1 ) = 〈 I ′ ( u ) ， u 〉 ≤ 0 ，根据引理3.4及其证明过程知，存在 t ∈ ( 0 ， 1 ] 使得 h ′ u ( t u ) = 0 ，故 t u ∈ M 。 我们断言当 t = 1 时， u ∈ M 。反证。假设 t ∈ ( 0 ， 1 ) ，则 C M ≤ I ( t u ) = I ( t u ) − 1 m 〈 I ′ ( t u ) ， t u 〉 = ∫ ℝ N ( Φ ( t | ∇ u | ) − 1 m ϕ ( t | ∇ u | ) t 2 | ∇ u | 2 + V ( x ) Φ ( t | u | ) − 1 m V ( x ) ϕ ( t | u | ) t 2 u 2 ) d x   + ∫ ℝ N ( 1 m f ( x ， t u ) t u − F ( x ， t u ) ) d x (13) 由 ( f 1 ) 可得 d d t { 1 m f ( x ， t ) t − F ( x ， t ) } = t m m ⋅ d d t { f ( x ， t ) t m − 1 } > 0 ， 故对任意 x ∈ ℝ N ， t ↦ 1 m f ( x ， t ) t − F ( x ， t ) 在 ( 0 ， ∞ ) 上递增。利用 ( ϕ 3 ) ，通过简单计算可以得到 t ↦ Φ ( t | ∇ u | ) − 1 m ϕ ( t | ∇ u | ) t 2 | ∇ u | 2 + V ( x ) Φ ( t | u | ) − 1 m V ( x ) ϕ ( t | u | ) t 2 u 2 在 ( 0 ， ∞ ) 上递增。由(12)和(13)可得 C M < ∫ R N ( Φ ( | ∇ u | ) − 1 m ϕ ( | ∇ u | ) | ∇ u | 2 ) d x   + ∫ R N ( V ( x ) Φ ( | u | ) − 1 m V ( x ) ϕ ( | u | ) u 2 ) d x   + ∫ ℝ N ( 1 m f ( x ， u ) u − F ( x ， u ) ) d x 根据引理3.3(2)和引理3.1， C M < lim n → ∞ ∫ R N ( Φ ( | ∇ u n | ) − 1 m ϕ ( | ∇ u n | ) | ∇ u n | 2 ) d x   + ∫ R N ( V ( x ) Φ ( | u n | ) − 1 m V ( x ) ϕ ( | u n | ) u n 2 ) d x   + ∫ ℝ N ( 1 m f ( x ， u n ) u n − F ( x ， u n ) ) d x = lim n → ∞ ( I ( u n ) − 1 m I ′ ( u n ) u n ) = C M 上式是一个矛盾的结论，故 t = 1 ，且 u ∈ M 。证毕。 定理1.1的证明 设 { u n } 是泛函在流形 M 中的极小化序列，由引理3.8知，存在流形 M 中的元素u，使得 u n ⇀ u 。由引理2.4可得在 L Φ ( ℝ N ) 中有 u n → u 。 下面的证明分为两步：第一步证明在 W V 1 ， Φ ( ℝ N ) 中有 u n → u ；第二步证明u是泛函I在 W V 1 ， Φ ( ℝ N ) 中的临界点。 第一步：反证。存在 δ 1 > 0 ，使得 lim inf n → ∞ ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u n − ∇ u | ) + V ( x ) Φ ( | u n − u | ) ) d x ≥ δ 1 > 0 。 (14) 根据Brezis-Lieb引理(见文献 [ 10 ] )有 lim inf n → ∞ ∫ ℝ N ( ( Φ ( | ∇ u n | ) − Φ ( | ∇ u n − ∇ u | ) ) + V ( x ) ( Φ ( | u n | ) − Φ ( | u n − u | ) ) ) d x = ∫ ℝ N ( Φ ( | u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x 。 (15) 由(14)和(15)可得 ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u | ) + V ( x ) Φ ( | u | ) ) d x ≤ lim n → ∞ ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u n | ) + V ( x ) Φ ( | u n | ) ) d x − δ 1 < lim n → ∞ ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u n | ) + V ( x ) Φ ( | u n | ) ) d x 。 再根据Lebesgue控制收敛定理，有 C M = lim n → ∞ I ( u n ) = lim n → ∞ { ∫ ℝ N ( Φ ( | ∇ u n | ) + V ( x ) Φ ( | u n | ) ) d x − ∫ ℝ N F ( x ， u n ) d x } > I ( u ) 。 上式是一个矛盾结论，故在 W V 1 ， Φ ( ℝ N ) 中有 u n → u 。 第二步：因为 I ( u ) ∈ C 1 ，故 I ′ ( u n ) → I ′ ( u ) 。根据引理3.9知， u ∈ M ，且 C M = I ( u ) = min u ∈ M I ( u ) > 0 。 由引理3.6可得 M 是 W V 1 ， Φ ( ℝ N ) 的 C 1 的子流形，故u是泛函I在流形 M 中的临界点，从而u是泛函I在 W V 1 ， Φ ( ℝ N ) 中的临界点。