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user: 3. 传递置换群的秩和次级数 本篇文章的主要结论如下。 定理3.1群 S m   w r   S m 和它的子群 S m   w r   C m ， ( S m   w r   S m ) ∩ A m ， ( S m   w r   C m ) ∩ A m 非本原作用在m 3 个点上的秩均为6，且它们的次级数都为1， m − 1 ， m − 1 ， ( m − 1 ) 2 ， m ( m − 1 ) ， m ( m − 1 ) 2 。 证明 设 Δ = { 1 ， 2 ， ⋯ ， m } ，令 Ω = Δ × Δ × Δ ，故 | Ω | = m 3 ，而群 S m   w r   S m 在集合Ω上的作用如下： ( i ， j ， k ) ( g 1 ， g 2 ， ⋯ ， g m ， h ) = ( i g k ， j h ， k h ) . 取 α = ( 1 ， 1 ， 1 ) ∈ Ω ，则群 S m   w r   S m 稳定点α的稳定子群为： L = { ( g 1 ， g 2 ， ⋯ ， g m ， h ) | 1 g 1 = 1 h = 1 } . 对于 1 ≠ i ， j ， k ∈ Δ ，我们有 | ( i ， j ， k ) L | = | { ( 1 g k ， j h ， k h ) } | = | { ( s ， t ， u ) | s ， t ， u ∈ Δ 且 t ， u ≠ 1 } | = m ( m − 1 ) 2 ， | ( i ， 1 ， 1 ) L | = | { ( i g 1 ， 1 h ， 1 h ) } | = | { ( s ， 1 ， 1 ) | s ∈ Δ 且 s ≠ 1 } | = ( m − 1 ) ， | ( 1 ， j ， 1 ) L | = | { ( 1 g 1 ， j h ， 1 h ) } | = | { ( 1 ， t ， 1 ) | t ∈ Δ 且 t ≠ 1 } | = ( m − 1 ) ， | ( i ， j ， 1 ) L | = | { ( i g 1 ， j h ， 1 h ) } | = | { ( s ， t ， 1 ) | s ， t ∈ Δ 且 s ， t ≠ 1 } | = ( m − 1 ) 2 ， | ( 1 ， 1 ， k ) L | = | { ( 1 g k ， 1 h ， k h ) } | = | { ( s ， 1 ， u ) | s ， u ∈ Δ 且 u ≠ 1 } | = m ( m − 1 ) . 故群 S m   w r   S m 的次级数为6，次级数为1， m − 1 ， m − 1 ， ( m − 1 ) 2 ， m ( m − 1 ) ， m ( m − 1 ) 2 。 现在考虑群 S m   w r   S m 的子群 S m   w r   C m ， ( S m   w r   S m ) ∩ A m 和 ( S m   w r   C m ) ∩ A m ，它们作用在Ω上的关于点α的点稳定子与群 S m   w r   S m 作用在Ω上的关于点α的点稳定子相同，自然就有相同的秩和次级数。 推论3.2群 S m   w r   S m 的子群 D 2 m   w r   S m 非本原作用在m 3 个点上的秩为m + 3或m + 4。 证明 假设Δ，Ω，α的定义同定理3.1，且群 D 2 m 在集合Ω上的作用也同定理3.1，从而群 D 2 m 中稳定α的稳定子群也为L。 当m为偶数时， D 2 m = 〈 ( 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， m ) ， ( 2 ， m ) ( 3 ， m − 1 ) ⋯ ( m 2 ， m + 4 2 ) 〉 。此时有 g 1 = ( 2 ， m ) ( 3 ， m − 1 ) ⋯ ( m 2 ， m + 4 2 ) 。 对于 m 2 + 1 ≠ i ∈ Δ ; 1 ≠ j ， k ∈ Δ ，我们有 | ( i ， j ， k ) L | = | { ( i g k ， j h ， k h ) } | = | ( s ， t ， u ) | s ， t ， u ∈ Δ 且 t ， u ≠ 1 | = m ( m − 1 ) 2 ； | ( i ， 1 ， 1 ) L | = | { ( i g 1 ， 1 h ， 1 h ) } | = | { ( i ， 1 ， 1 ) ， ( m + 2 − i ， 1 ， 1 ) } | = 2 ， i共有 m − 2 2 种取法； | ( 1 ， j ， 1 ) L | = | { (   1 g 1 ， j h ， 1 h ) } | = | { ( 1 ， t ， 1 ) | t ∈ Δ 且 t ≠ 1 } | = ( m − 1 ) ； | ( i ， j ， 1 ) L | = | { ( i g k ， j h ， 1 h ) } | = | { ( i ， t ， 1 ) ， ( m + 2 − i ， t ， 1 ) | t ∈ Δ 且 t ≠ 1 } | = 2 ( m − 1 ) ， i共有 m − 2 2 种取法； | ( i ， 1 ， k ) L | = | { ( i g k ， 1 h ， k h ) } | = | { ( s ， 1 ， u ) | s ， u ∈ Δ 且 u ≠ 1 } | = m ( m − 1 ) 。 而当 i = m 2 + 1 时，我们有 | ( m 2 + 1 ， j ， 1 ) L | = | { ( m 2 + 1 ， t ， 1 ) | t ∈ Δ 且 t ≠ 1 } | = m − 1 ， | ( m 2 + 1 ， 1 ， 1 ) L | = | { ( m 2 + 1 ， t ， 1 ) } | = 1 所以L有2个长为1的轨道， m − 1 2 个长为2的轨道，2个长为 m − 1 的轨道， m − 1 2 个长为 2 ( m − 1 ) 的轨道，1个长为 m ( m − 1 ) 的轨道，1个长为 m ( m − 1 ) 2 的轨道。从而群 D 2 m   w r   S m 作用在集合Ω上的秩为 2 + m − 2 2 + 2 + m − 2 2 + 1 + 1 = m + 4 ，次级数为1，1， 2 ， 2 ， ⋯ ， 2 ︸ m − 2 2 ， m − 1 ， m − 1 ， 2 ( m − 1 ) ， 2 ( m − 1 ) ， ⋯ ， 2 ( m − 1 ) ︸ m − 2 2 ， m ( m − 1 ) ， m ( m − 1 ) 2 。 当m为奇数时， D 2 m = 〈 ( 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， m ) ， ( 2 ， m ) ( 3 ， m − 1 ) ⋯ ( m + 1 2 ， m + 3 2 ) 〉 。此时有 g 1 = ( 2 ， m ) ( 3 ， m − 1 ) ⋯ ( m + 1 2 ， m + 3 2 ) 。 现在考虑群 D 2 m 的次轨道的情况并计算它们的长度。 对于 1 ≠ i ， j ， k ∈ Δ ，我们有 | ( i ， j ， k ) L | = | { ( i g k ， j h ， k h ) } | = | ( s ， t ， u ) | s ， t ， u ∈ Δ 且 t ， u ≠ 1 | = m ( m − 1 ) 2 ； | ( i ， 1 ， 1 ) L | = |     { ( i g 1 ， 1 h ， 1 h ) }     | = | { ( i ， 1 ， 1 ) ， ( m + 2 − i ， 1 ， 1 ) } | = 2 ， i共有 m − 1 2 种取法； | ( 1 ， j ， 1 ) L | = | { (   1 g 1 ， j h ， 1 h ) } | = | { ( 1 ， t ， 1 ) | t ∈ Δ 且 t ≠ 1 } | = ( m − 1 ) ； | ( i ， j ， 1 ) L | = | { ( i g 1 ， j h ， 1 h ) } | = | { ( i ， t ， 1 ) ， ( m + 2 − i ， t ， 1 ) | t ∈ Δ 且 t ≠ 1 } | = 2 ( m − 1 ) ， i共有 m − 1 2 种取法； | ( i ， 1 ， k ) L | = | { ( 1 g k ， 1 h ， k h ) } | = | { ( s ， 1 ， u ) | s ， u ∈ Δ 且 u ≠ 1 } | = m ( m − 1 ) 。 所以L有1个长为1的轨道， m − 1 2 个长为2的轨道，1个长为 m − 1 的轨道， m − 1 2 个长为 2 ( m − 1 ) 的轨道，1个长为 m ( m − 1 ) 的轨道，1个长为 m ( m − 1 ) 2 的轨道。从而群 D 2 m   w r   S m 作用在集合Ω上的秩为 1 + m − 1 2 + 1 + m − 1 2 + 1 + 1 = m + 3 ，次级数为1， 2 ， 2 ， ⋯ ， 2 ︸ m − 1 2 ， m − 1 ， 2 ( m − 1 ) ， 2 ( m − 1 ) ， ⋯ ， 2 ( m − 1 ) ︸ m − 1 2 ， m ( m − 1 ) ， m ( m − 1 ) 2 。 定理3.3 群 S m   w r   S m 和它的子群 S m   w r   C m ， ( S m   w r   S m ) ∩ A m ， ( S m   w r   C m ) ∩ A m 非本原作用在m 3 个点上的秩均为6，且它们的次级数都为1， m − 1 ， m − 1 ， ( m − 1 ) ( m − 1 ) ， m ( m − 1 ) ， m ( m − 1 ) 2 。 证明 设 Δ = { 1 ， 2 ， ⋯ ， m } ，令 Ω = Δ × Δ × Δ ，故 | Ω | = m 3 ，而群 S m   w r   S m 在集合Ω上的作用如下： ( i ， j ， k ) ( g 1 ， g 2 ， ⋯ ， g m ， h ) = ( i g j ， j h ， k h ) . 取 α = ( 1 ， 1 ， 1 ) ∈ Ω ，则群 S m   w r   S m 稳定点α的稳定子群为： L = { ( g 1 ， g 2 ， ⋯ ， g m ， h ) | 1 g 1 = 1 h = 1 } . 对于 1 ≠ i ， j ， k ∈ Δ ，我们有 | ( 1 ， j ， k ) L | = | { ( 1 g j ， j h ， k h ) } | = | { ( s ， t ， u ) | s ， t ， u ∈ Δ 且 t ， u ≠ 1 } | = m ( m − 1 ) 2 ， | ( i ， 1 ， 1 ) L | = | { ( i g 1 ， 1 h ， 1 h ) } | = | { ( s ， 1 ， 1 ) | s ∈ Δ 且 s ≠ 1 } | = ( m − 1 ) ， | ( 1 ， 1 ， k ) L | = | { ( 1 g 1 ， 1 h ， k h ) } | = | { ( 1 ， 1 ， u ) | u ∈ Δ 且 u ≠ 1 } | = ( m − 1 ) ， | ( i ， 1 ， k ) L | = | { ( i g 1 ， 1 h ， k h ) } | = | { ( s ， 1 ， u ) | s ， u ∈ Δ 且 s ， u ≠ 1 } | = ( m − 1 ) 2 ， | ( 1 ， j ， 1 ) L | = | { ( 1 g j ， j h ， 1 h ) } | = | { ( s ， t ， 1 ) | s ， t ∈ Δ 且 t ≠ 1 } | = m ( m − 1 ) 。 故群 S m   w r   S m 的次级数为6，次级数为1， m − 1 ， m − 1 ， ( m − 1 ) 2 ， m ( m − 1 ) ， m ( m − 1 ) 2 。 现在考虑群 S m   w r   S m 的子群 S m   w r   C m ， ( S m   w r   S m ) ∩ A m 和 ( S m   w r   C m ) ∩ A m ，它们作用在Ω上的关于点α的点稳定子与群 S m   w r   S m 作用在Ω上的关于点α的点稳定子相同，自然就有相同的秩和次级数。 推论3.4群 S m   w r   S m 的子群 D 2 m 非本原作用在m 3 个点上的秩为m + 3或m + 4。 证明 假设Δ，Ω，α的定义同定理3.3，且群 D 2 m 在集合Ω上的作用也同定理3.3，从而群 D 2 m 中稳定α的稳定子群也为L。 当m为偶数时， D 2 m = 〈 ( 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， m ) ， ( 2 ， m ) ( 3 ， m − 1 ) ⋯ ( m 2 ， m + 4 2 ) 〉 。此时有 g 1 = ( 2 ， m ) ( 3 ， m − 1 ) ⋯ ( m 2 ， m + 4 2 ) 。 对于 m 2 + 1 ≠ i ∈ Δ ; 1 ≠ j ， k ∈ Δ ，我们有 | ( 1 ， j ， k ) L | = | { ( 1 g j ， j h ， k h ) } | = | ( s ， t ， u ) | s ， t ， u ∈ Δ 且 t ， u ≠ 1 | = m ( m − 1 ) 2 ； | ( i ， 1 ， 1 ) L | = |     { ( i g 1 ， 1 h ， 1 h ) }     | = | { ( i ， 1 ， 1 ) ， ( m + 2 − i ， 1 ， 1 ) } | = 2 ， i共有 m − 2 2 种取法； | ( 1 ， 1 ， k ) L | = | { (   1 g 1 ， 1 h ， k h ) } | = | { ( 1 ， 1 ， u ) | u ∈ Δ 且 u ≠ 1 } | = ( m − 1 ) ； | ( i ， 1 ， k ) L | = | { ( i g 1 ， 1 h ， k h ) } | = | { ( i ， 1 ， u ) ， ( m + 2 − i ， 1 ， u ) | u ∈ Δ 且 u ≠ 1 } | = 2 ( m − 1 ) ， i共有 m − 2 2 种取法； | ( 1 ， j ， 1 ) L | = | { ( 1 g j ， j h ， 1 h ) } | = | { ( s ， t ， 1 ) | s ， t ∈ Δ 且 t ≠ 1 } | = m ( m − 1 ) 。 而当 i = m 2 + 1 时，我们有 | ( m 2 + 1 ， 1 ， k ) L | = | { ( m 2 + 1 ， 1 ， u ) | u ∈ Δ 且 u ≠ 1 } | = m − 1 ， | ( m 2 + 1 ， 1 ， 1 ) L | = | { ( m 2 + 1 ， 1 ， 1 ) } | = 1 所以L有2个长为1的轨道， m − 2 2 个长为2的轨道，2个长为 m − 1 的轨道， m − 2 2 个长为 2 ( m − 1 ) 的轨道，1个长为 m ( m − 1 ) 的轨道，1个长为 m ( m − 1 ) 2 的轨道。从而群 D 2 m   w r   S m 作用在集合Ω上的秩为 2 + m − 2 2 + 2 + m − 2 2 + 1 + 1 = m + 4 ，次级数为1，1， 2 ， 2 ， ⋯ ， 2 ︸ m − 2 2 ， m − 1 ， m − 1 ， 2 ( m − 1 ) ， 2 ( m − 1 ) ， ⋯ ， 2 ( m − 1 ) ︸ m − 2 2 ， m ( m − 1 ) ， m ( m − 1 ) 2 。 当m为奇数时， D 2 m = 〈 ( 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， m ) ， ( 2 ， m ) ( 3 ， m − 1 ) ⋯ ( m + 1 2 ， m + 3 2 ) 〉 。此时有 g 1 = ( 2 ， m ) ( 3 ， m − 1 ) ⋯ ( m + 1 2 ， m + 3 2 ) 。 现在考虑群 D 2 m 的次轨道的情况并计算它们的长度。 对于 1 ≠ i ， j ， k ∈ Δ ，我们有 | ( 1 ， j ， k ) L | = | { ( 1 g j ， j h ， k h ) } | = | ( s ， t ， u ) | s ， t ， u ∈ Δ 且 t ， u ≠ 1 | = m ( m − 1 ) 2 ； | ( i ， 1 ， 1 ) L | = | { ( i g 1 ， 1 h ， 1 h ) } | = | { ( i ， 1 ， 1 ) ， ( m + 2 − i ， 1 ， 1 ) } | = 2 ， i共有 m − 1 2 种取法； | ( 1 ， 1 ， k ) L | = | { (   1 g 1 ， 1 h ， k h ) } | = | { ( 1 ， 1 ， u ) | u ∈ Δ 且 u ≠ 1 } | = ( m − 1 ) ； | ( i ， 1 ， k ) L | = | { ( i g 1 ， 1 h ， k h ) } | = | { ( i ， 1 ， u ) ， ( m + 2 − i ， 1 ， u ) | u ∈ Δ 且 u ≠ 1 } | = 2 ( m − 1 ) ， i共有 m − 1 2 种取法； | ( 1 ， j ， 1 ) L | = | { ( 1 g j ， j h ， 1 h ) } | = | { ( s ， t ， 1 ) | s ， t ∈ Δ 且 t ≠ 1 } | = m ( m − 1 ) 。 所以L有1个长为1的轨道， m − 1 2 个长为2的轨道，1个长为 m − 1 的轨道， m − 1 2 个长为 2 ( m − 1 ) 的轨道，1个长为 m ( m − 1 ) 的轨道，1个长为 m ( m − 1 ) 2 的轨道。从而群 D 2 m   w r   S m 作用在集合Ω上的秩为 1 + m − 1 2 + 1 + m − 1 2 + 1 + 1 = m + 3 ，次级数为1， 2 ， 2 ， ⋯ ， 2 ︸ m − 1 2 ， m − 1 ， 2 ( m − 1 ) ， 2 ( m − 1 ) ， ⋯ ， 2 ( m − 1 ) ︸ m − 1 2 ， m ( m − 1 ) ， m ( m − 1 ) 2 。 定理3.5群 S n   w r   S 3 及它的子群 S n   w r   C 3 ， ( S n   w r   S 3 ) ∩ A n ， ( S n   w r   C 3 ) ∩ A n 利用乘积作用作用在m 3 个点上的秩都为7，且它们的次级数均为1， m − 1 ， 3 ( m − 1 ) ， 3 ( m − 1 ) ， 3 ( m − 1 ) ( m − 2 ) ， 3 ( m − 1 ) ( m − 2 ) ， ( m − 1 ) ( m − 2 ) ( m − 3 ) 。 证明设 Γ = { 1 ， 2 ， ⋯ ， m   } ， Δ = { a ， b ， c } ，定义 Ω :   = F u n ( Δ ， S m ) ，则 | Ω | = m 3 。群 S m   w r   S 3 = F u n ( Δ ， S m ) : S 3 在集合Ω上的作用如下： Φ ( f ， x ) ( γ ) : = Φ ( γ x − 1 ) f ( γ x − 1 ) 其中 γ ∈ Δ ， Φ ∈ Ω ， f ∈ F u n ( Δ ， S m ) ， x ∈ S 3 。定义映射， Φ 1 : Φ 1 ( a ) = Φ 1 ( b ) = 1 。可由[1，引理2.7]知，群 S m   w r   S 3 中稳定 Φ 1 的点稳定子为： L = { ( f ， x ) ∈ S m   w r   S 3 | f ( γ ) ∈ ( S m ) 1 ， γ = a ， b 或 c } ，则 则 Σ 1 = { Φ 1 } ， Σ 2 = { Φ 2 | Φ 2 ( a ) = Φ 2 ( b ) = 1 ， Φ 2 ( c ) = i ≠ 1 或 Φ 2 ( b ) = Φ 2 ( c ) = 1 ， Φ 2 ( a ) = i ≠ 1 或 Φ 2 ( c ) = Φ 2 ( a ) = 1 ， Φ 2 ( b ) = i ≠ 1 } ， Σ 3 = { Φ 3 | Φ 3 ( a ) = 1 ， Φ 2 ( b ) = i ≠ 1 ， Φ 2 ( c ) = j ≠ 1 或 Φ 3 ( b ) = 1 ， Φ 2 ( c ) = i ≠ 1 ， Φ 2 ( a ) = j ≠ 1 或 Φ 3 ( c ) = 1 ， Φ 2 ( a ) = i ≠ 1 ， Φ 2 ( b ) = j ≠ 1 } ， Σ 4 = { Φ 4 | Φ 4 ( a ) = 1 ， Φ 4 ( b ) = Φ 4 ( c ) = i ≠ 1 或 Φ 4 ( b ) = 1 ， Φ 4 ( c ) = Φ 4 ( a ) = i ≠ 1 或 Φ 4 ( c ) = 1 ， Φ 4 ( a ) = Φ 4 ( b ) = i ≠ 1 } ， Σ 5 = { Φ 5 | Φ 5 ( a ) = i ≠ 1 ， Φ 5 ( b ) = Φ 5 ( a ) = j ≠ 1 或 Φ 5 ( b ) = i ≠ 1 ， Φ 5 ( c ) = Φ 5 ( a ) = j ≠ 1 或 Φ 5 ( c ) = i ≠ 1 ， Φ 5 ( a ) = Φ 5 ( b ) = j ≠ 1 } ， Σ 6 = { Φ 6 | Φ 6 ( a ) = Φ 6 ( b ) = Φ 6 ( c ) = i ≠ 1 } ， Σ 7 = { Φ 6 | Φ 6 ( a ) = i ≠ 1 ， Φ 6 ( b ) = j ≠ 1 ， Φ 6 ( c ) = k ≠ 1 且 i ≠ j ≠ k } 。 故群 S m   w r   S 3 的秩为7，由上述证明易知 | Σ 1 | = 1 ， | Σ 2 | = 3 ( m − 1 ) ， | Σ 3 | = 3 ( m − 1 ) ( m − 2 ) ， | Σ 4 | = 3 ( m − 1 ) ， | Σ 5 | = 3 ( m − 1 ) ( m − 2 ) ， | Σ 6 | = m − 1 ， | Σ 7 | = ( m − 1 ) ( m − 2 ) ( m − 3 ) 。因此群 S m   w r   S 3 的次级数为1， m − 1 ， 3 ( m − 1 ) ， 3 ( m − 1 ) ， 3 ( m − 1 ) ( m − 2 ) ， 3 ( m − 1 ) ( m − 2 ) ， ( m − 1 ) ( m − 2 ) ( m − 3 ) 。 现在考虑群 S m   w r   S 3 的子群 S m   w r   C 3 ， ( S m   w r   S 3 ) ∩ A m 和 ( S m   w r   C 3 ) ∩ A m ，它们通过乘积作用在Ω上的关于点 Φ 1 的点稳定子与群 S m   w r   S 3 作用在Ω上的关于点 Φ 1 的点稳定子相同，自然就有相同的秩和次级数。