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user: 5. 地方病平衡点的全局渐近稳定性 下面证明地方病全局渐近稳定性 定理3：若 R 0 > 1 ，则模型(7)的地方病平衡点 E * = ( S h * ， I h * ， S m * ， I m * ) 是全局渐近稳定的。 证：在 处线性化，令 S h ( t ) = S h ∗ + x h ， E * ， S m ( t ) = S m ∗ + x m ， I m ( t ) = I m ∗ + y m ， 得到如下线性化系统 { d x h ( t ) d t = − a e − μ m τ 1 β m h μ h S h ∗ Λ h y m ( t − τ 1 ) − [ a e − μ m τ 1 β m h μ h I m ∗ Λ h + μ h ] x h ， d y h ( t ) d t = a e − μ m τ 1 β m h μ h S h ∗ Λ h y m ( t − τ 1 ) + a e − μ m τ 1 β m h μ h I m ∗ Λ h x h − ( μ h + γ ) y h ， d x m ( t ) d t = − a e − μ h τ 3 β h m μ h S m ∗ Λ h y h ( t − τ 3 ) − [ a e − μ h τ 3 β h m μ h I h ∗ Λ h + μ m ] x m ， d y m ( t ) d t = a e − μ h τ 3 β h m μ h S m ∗ Λ h y h ( t − τ 3 ) + a e − μ h τ 3 β h m μ h I h ∗ Λ h x m − μ m y m ， (18) 寻找指数解 x h ( t ) = x h ¯ e λ t ， I h ( t ) = y h ¯ e λ t ， x m ( t ) = x m ¯ e λ t ， ， E * 的稳定性取决于特征方程(19)的特征根 { λ x h ¯ = − a e − μ m τ 1 β m h μ h S h ∗ Λ h y m ¯ e − λ τ 1 − [ a e − μ m τ 1 β m h μ h I m ∗ Λ h + μ h ] x h ¯ ， λ y h ¯ = a e − μ m τ 1 β m h μ h S h ∗ Λ h y m ¯ e − λ τ 1 + a e − μ m τ 1 β m h μ h I m ∗ Λ h x h ¯ − ( μ h + γ ) y h ¯ ， λ x m ¯ = − a e − μ h τ 3 β h m μ h S m ∗ Λ h y h ¯ e − λ τ 3 − [ a e − μ h τ 3 β h m μ h I h ∗ Λ h + μ m ] x m ¯ ， λ y m ¯ = a e − μ h τ 3 β h m μ h S m ∗ Λ h y h ¯ e − λ τ 3 + a e − μ h τ 3 β h m μ h I h ∗ Λ h x m ¯ − μ m y m ¯ ， (19) 显然， − μ m 是模型(7)的一个负特征根，其余的特征根由方程(20)决定 ( λ + μ h + B ) ( λ + μ m + D ) ( λ + μ h + γ ) − A C ( λ + μ h ) e − λ ( τ 1 + τ 3 ) = 0 ， (20) 其中 ， B = a e − μ m τ 1 β m h μ h I m ∗ Λ h ， C = a e − μ h τ 3 β h m μ h S m ∗ Λ h ， D = a e − μ h τ 3 β h m μ h I h ∗ Λ h 。 下面证明方程(20)的所有特征根具有负实部。 令 F ( λ ) = ( λ + μ h + B ) ( λ + μ m + D ) ( λ + μ h + γ ) ， G ( λ ) = A C ( λ + μ h ) e − λ ( τ 1 + τ 3 ) 。 故只需证明方程 F ( λ ) = G ( λ ) 的所有特征根具有负实部即可。 容易得到 F ( λ ) ( λ + μ h ) ≥ ( λ + μ m + D ) ( λ + μ h + γ ) ≥ ( μ m + D ) ( μ h + γ ) = ( μ m + a e − μ h τ 3 β h m μ h I h ∗ Λ h ) ( μ h + γ ) > μ m ( μ h + γ ) = a e − μ m τ 1 β m h μ h Λ h S h ∗ I m ∗ I h ∗ a e − μ h τ 3 β h m μ h Λ h S m ∗ I h ∗ I m ∗ = a 2 e − μ m τ 1 e − μ h τ 3 β m h β h m μ h 2 Λ h 2 S h ∗ S m ∗ ， G ( λ ) ( λ + μ h ) = A C e − λ ( τ 1 + τ 3 ) ≤ A C = a 2 e − μ m τ 1 e − μ h τ 3 β m h β h m μ h 2 Λ h 2 S h ∗ S m ∗ ， 矛盾。根据Rouche定理 [ 22 ] ，方程(20)不可能存在具有非负实部的特征根。 因此，当 R 0 > 1 时，模型(7)的地方病平衡点是局部渐近稳定的。 下证地方病平衡点的全局渐近稳定性 构造Lyapunov泛函： V ( S h ， I h ， S m ， I m ) = V 1 ( S h ， I h ， S m ， I m ) + V 2 ( S h ， I h ， S m ， I m ) ， 其中 V 1 ( S h ， I h ， S m ， I m ) = 1 a e − μ m τ 1 β m h μ h Λ h I m * h 1 + I h * a e − μ m τ 1 β m h μ h Λ h S h * I m * h 2 + h 5 ， V 2 ( S h ， I h ， S m ， I m ) = 1 a e − μ h τ 3 β h m μ h Λ h I h * h 3 + I m * a e − μ h τ 3 β h m μ h Λ h S m * I h * h 4 + h 6 ， 而 h 1 = S h ( t ) S h * − 1 − ln S h ( t ) S h * ， ， h 3 = S m ( t ) S m * − 1 − ln S m ( t ) S m * ， h 4 = I m ( t ) I m * − 1 − ln I m ( t ) I m * ， ， h 6 = ∫ t − τ 3 t ( I h ( η ) I h * − 1 − ln I h ( η ) I h * ) d η 。 则有 d h 1 ( t ) d t = ( 1 − S h * S h ) 1 S h * d S h ( t ) d t = ( 1 − S h * S h ) 1 S h * [ Λ h − a e − μ m τ 1 β m h μ h S h ( t ) I m ( t − τ 1 ) Λ h − μ h S h ( t ) ] = ( 1 − S h * S h ) 1 S h * [ a e − μ m τ 1 β m h S h * I m * μ h Λ h + μ h S h * − a e − μ m τ 1 β m h μ h S h ( t ) I m ( t − τ 1 ) Λ h − μ h S h ( t ) ] = ( S h − S h * ) S h S h * μ h ( S h − S h * ) + ( S h − S h * ) S h S h * a e − μ m τ 1 β m h μ h Λ h [ S h * I m * − S h ( t ) I m ( t − τ 1 ) ] = − μ h ( S h − S h * ) 2 S h S h * + a e − μ m τ 1 β m h μ h Λ h I m * [ 1 − S h * S h − I m ( t − τ 1 ) S h I m * S h * + I m ( t − τ 1 ) I m * ] ， d h 2 ( t ) d t = ( I h − I h * ) I h I h * d I h ( t ) d t = ( I h − I h * ) I h I h * [ a e − μ m τ 1 β m h μ h S h ( t ) I m ( t − τ 1 ) Λ h − ( μ h + γ ) I h ( t ) ] ， ， d h 4 ( t ) d t = a e − μ h τ 3 β h m μ h Λ h S m I h ( t − τ 3 ) I m * − a e − μ h τ 3 β h m μ h Λ h S m I h ( t − τ 3 ) I m − μ m I m I m * + μ m ， d h 5 ( t ) d t = I m I m * − ln I m I m * − I m ( t − τ 1 ) I m * + ln I m ( t − τ 1 ) I m * ， d h 6 ( t ) d t = I h I h * − ln I h I h * − I h ( t − τ 3 ) I h * + ln I h ( t − τ 3 ) I h * 。 从而 ， d V 2 ( t ) d t = − μ m ( S m − S m * ) 2 a e − μ h τ 3 β h m μ h Λ h I h * S m S m * + 1 − S m * S m − I h ( t − τ 3 ) S m I h * S m * + I h ( t − τ 3 ) I h *     + S m I h ( t − τ 3 ) S m * I h * − μ m I m a e − μ h τ 3 β h m μ h Λ h S m * I h * − S m I h ( t − τ 3 ) I m * S m * I h * I m     + μ m I m * a e − μ h τ 3 β h m μ h Λ h S m * I h * + I h I h * − ln I h I h * − I h ( t − τ 3 ) I h * + ln I h ( t − τ 3 ) I h * 故 d V ( t ) d t = − μ h ( S h − S h * ) 2 a e − μ m τ 1 β m h μ h Λ h I m * S h S h * + 1 − S h * S h − I h I h * − S h I m ( t − τ 1 ) I h * S h * I m * I h + 1 − μ m ( S m − S m * ) 2 a e − μ h τ 3 β h m μ h Λ h I h * S m S m *     + 1 − S m * S m − S m I h ( t − τ 3 ) I m * S m * I h * I m − I m I m * + 1 − ln I m I m * + ln I m ( t − τ 1 ) I m * − ln I h I h * + ln I h ( t − τ 3 ) I h * = − μ h ( S h − S h * ) 2 a e − μ m τ 1 β m h μ h Λ h I m * S h S h * + 1 − S h * S h − I h I h * − S h I m ( t − τ 1 ) I h * S h * I m * I h + 1 − μ m ( S m − S m * ) 2 a e − μ h τ 3 β h m μ h Λ h I h * S m S m *     + 1 − S m * S m − S m I h ( t − τ 3 ) I m * S m * I h * I m − I m I m * + 1 − ln I m I m * + ln I m ( t − τ 1 ) I m * − ln I h I h * + ln I h ( t − τ 3 ) I h * = − μ h ( S h − S h * ) 2 a e − μ m τ 1 β m h μ h Λ h I m * S h S h * − μ m ( S m − S m * ) 2 a e − μ h τ 3 β h m μ h Λ h I h * S m S m * + 1 − S h * S h + ln S h * S h + 1 − S h I m ( t − τ 1 ) I h * S h * I m * I h     + ln S h I m ( t − τ 1 ) I h * S h * I m * I h + 1 − S m * S m + ln S m * S m + 1 − S m I h ( t − τ 3 ) I m * S m * I h * I m + ln S m I h ( t − τ 3 ) I m * S m * I h * I m ≤ 0 (21) 令 Ω = { ( S h ( t ) ， I h ( t ) ， S m ( t ) ， I m ( t ) ) ∈ X ∣ V ′ ( t ) = 0 } 。 需证 Ω 中最大不变集是 { E * } 。由 d S h ( t ) d t = 0 ，有 Λ h − a e − μ m τ 1 β m h μ h S h ( t ) I m ( t − τ 1 ) Λ h − μ h S h ( t ) = Λ h − a e − μ m τ 1 S h * β m h μ h I m ( t − τ 1 ) Λ h − μ h S h * = 0 ， 解上式得 I m ( t − τ 1 ) = Λ h − u h S h * a e − μ m τ 1 β m h μ h Λ h S h * = a e − μ m τ 1 β m h μ h Λ h S h * I m * a e − μ m τ 1 β m h μ h Λ h S h * = I m * 。 同理可得 I h ( t − τ 3 ) = I h * 由(21)知，当 V ′ ( t ) = 0 时， S h = S h * ， S m = S m * 。由拉萨尔不变原理知 地方病平衡点 E * = ( S h * ， I h * ， S m * ， I m * ) 是全局渐近稳定的。