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user: 2. 动力学性质 2.1. 正平衡点的存在性与稳定性 为了讨论时滞效应对模型(1.2)动力学性质的影响，我们首先分析模型(1.2)所对应的正平衡点的存在性与稳定性。 令 A = − a 1 c 2 − c 1 ( 1 − m ) 2 r 2 D = b r 1 c 2 − h c 2 − b c 1 k ( 1 − m ) r 2 ， B = r 1 c 2 − b a 1 c 2 − b c 1 ( 1 − m ) 2 r 2 − c 1 k ( 1 − m ) r 2 . 并给出如下条件： H 1 : m < h c 2 + c 1 k r 2 − r 1 c 2 k c 1 r 2 ， B > 0 ， Δ = B 2 − 4 A D > 0. 经过计算可知，当条件 成立时，模型(1.2)存在两个正平衡点 E 4 = ( u 4 ， v 4 ) 和 E 5 = ( u 5 ， v 5 ) 。其中， u 4 = − B + B 2 − 4 A D 2 A ， v 4 = r 2 ( ( 1 − m ) u 4 + k ) c 2 u 5 = − B − B 2 − 4 A D 2 A ， v 4 = r 2 ( ( 1 − m ) u 5 + k ) c 2 下面讨论正平衡点 E 4 ， E 5 的局部渐近稳定性。容易算得模型(1.2)在平衡点 E 4 ， E 5 处的雅可比矩阵： J E i = ( u i ( h ( b + u i ) 2 − a 1 ) − c 1 ( 1 − m ) u i r 2 2 ( 1 − m ) c 2 − r 2 ) ， i = 4 ， 5 显然， t r ( J E i ) = u i ( h ( b + u i ) 2 − a 1 ) − r 2 ， (2.1.1) d e t ( J E i ) = u i r 2 c 2 ( b + u i ) 2 ( ( a 1 c 2 + c 1 ( 1 − m ) 2 r 2 ) ( b + u i ) 2 − h c 2 ) . (2.1.2) 令 G ( u ) = ( ( a 1 c 2 + c 1 ( 1 − m ) 2 r 2 ) ( b + u i ) 2 − h c 2 ) ， 计算可知， G ( u ) = 0 存在一个正根 P 1 = 2 b A + − 4 h c 2 A − 2 A . 由于 G ( u 4 ) < G ( P 1 ) = 0 ，因此可以得到 d e t ( J E 4 ) < 0 ，即 E 4 恒为不稳定平衡点。类似地，我们可以得出 d e t ( J E 5 ) > 0 。即 E 5 的局部渐近稳定性取决于 t r ( J E i ) 的正负。将方程(2.1.1)整理为如下形式 t r ( J E 5 ) = − 1 8 ( b + u 5 ) 2 A 3 [ L 1 − L 2 ( E − b A ) 2 + 4 h c 2 A ] ， 其中， L 1 = h [ 4 A 2 ( ( E + b A ) + 2 r 2 c 2 + b a 1 c 2 ) − 12 A E a 1 c 2 ] + 4 ( E − b A ) 2 ( A r 2 − a 1 E ) ， L 2 = h [ − 4 A 2 + 4 A a 1 c 2 ] + 4 ( E − b A ) ( a 1 E − A r 2 ) ， E = r 1 c 2 − c 1 k ( 1 − m ) r 2 . 由 A < 0 可知 t r ( J E 5 ) 的符号与函数 L 1 − L 2 ( E − b A ) 2 + 4 h c 2 A 一致。 经过计算，存在正根 h 1 ， h 2 使得 L 1 ( h 1 ) = 0 ， L 2 ( h 2 ) = 0 ，其中， h 1 = − 4 ( E − b A ) 2 ( A r 2 − a 1 E ) 4 A 2 ( ( E + b A ) + 2 r 2 c 2 + b a 1 c 2 ) − 12 A E a 1 a 2 ， h 2 = − 4 ( E − b A ) ( a 1 E − A r 2 ) − 4 A 2 + 4 A a 1 c 2 . 根据 h 1 与 h 2 的大小，我们分为下面两种情况来讨论。 1) h 2 > h 1 在此条件下，当 h > h 2 ，可以推出 L 1 > 0 ， L 2 < 0 ，进而得出 t r ( J E 5 ) > 0 ，即平衡点 E 5 不稳定；当 h < h 1 ，可以推出 L 1 < 0 ， L 2 > 0 ，进而得出 t r ( J E 5 ) < 0 ，即平衡点 E 5 局部渐近稳定；当 h 1 < h < h 2 时， t r ( J E 5 ) 的符号与函数 L 1 2 − L 2 2 ( ( E − b A ) 2 + 4 h c 2 A ) 保持一致。 经计算， L 1 2 − L 2 2 ( ( E − b A ) 2 + 4 h c 2 A ) = h 2 ( − 4 A c 2 ( 4 A a 1 c 2 − 4 A 2 ) 2 ) + h M 1 + M 2 ， 其中， M 1 = 64 A 3 [ ( a 1 b − r 2 ) ( E a 1 − A r 2 ) c 2 2 + ( b A 2 ( a 1 b + 3 r 2 ) − 4 E A ( a 1 b + 1 4 r 2 ) + E 2 a 1 ) c 2 + A 2 E b ] ， M 2 = 64 A 6 b 3 r 2 − 64 A 5 E b 2 r 2 − 128 A 4 E 2 b r 2 + 128 A 4 E 2 b r 2 − 64 A 3 E 3 a 1 b . 令 Δ 1 = M 1 2 + 16 M 2 A c 2 ( 4 A a 1 c 2 − 4 A 2 ) 2 . 容易看出 M 2 > 0 ，那么当 M 1 < 0 ， Δ 1 > 0 时，存在 h 3 ， h 4 使得 L 1 2 − L 2 2 ( ( E − b A ) 2 + 4 h c 2 A ) 有两个零点分别为 h 3 = − M 1 − Δ 1 − 8 A c 2 ( 4 A a 1 c 2 − 4 A 2 ) 2 ， h 4 = − M 1 + Δ 1 − 8 A c 2 ( 4 A a 1 c 2 − 4 A 2 ) 2 . 因此，当 M 1 < 0 ， Δ 1 > 0 ， h 3 < h < h 4 时， L 1 2 − L 2 2 ( ( E − b A ) 2 + 4 h c 2 A ) < 0 。也即平衡点 E 5 局部渐近稳定。 2) h 2 < h 1 类似地，我们可以得出当 h > h 1 ，有 t r ( J E 5 ) > 0 ；当 0 < h < h 2 ，有 t r ( J E 5 ) < 0 ；当 h 2 < h < h 1 时，则 t r ( J E 5 ) 的符号与函数 L 1 2 − L 2 2 ( ( E − b A ) 2 + 4 h c 2 A ) 相反。 根据(1)中的分析可知，当下列条件(i)、(ii)、(iii)中任一条满足时，有 L 1 2 − L 2 2 ( ( E − b A ) 2 + 4 h c 2 A ) > 0 ，即平衡点 E 5 局部渐近稳定。 i) M 1 > 0 ；ii) M 1 < 0 ， Δ 1 < 0 ；iii) M 1 < 0 ， Δ 1 > 0 ， h ∈ ( 0 ， h 3 ) ∪ ( h 4 ， + ∞ ) 因此。得到定理2.1，如下： 定理2.1当条件 H 1 成立时，模型(2-1)存在两个正平衡点 E 4 和 E 5 ，并且 E 4 恒为不稳定的平衡点。平衡点 E 5 是局部渐近稳定当且仅当下列条件中的任意一条满足， a) h 2 > h 1 ， 0 < h < h 1 ，(b) h 2 > h 1 ， h 1 < h < h 2 ， M 1 < 0 ， Δ 1 > 0 ， h 3 < h < h 4 ， c) h 2 < h 1 ， 0 < h < h 2 ，(d) h 2 < h 1 ， M 1 > 0 ， h 2 < h < h 1 ， e) h 2 < h 1 ， M 1 < 0 ， h 2 < h < h 1 ， Δ 1 > 0 ， h ∈ ( 0 ， h 3 ) ∪ ( h 4 ， + ∞ ) ， f) h 2 < h 1 ， M 1 < 0 ， h 2 < h < h 1 ， Δ 1 < 0 。 2.2. Hopf分岔 本小节主要研究模型(1.2)中Hopf分岔的存在性。 首先将平衡点 E 5 平移至原点，令 { x ( t ) = u ( t ) − u 5 y ( t ) = v ( t ) − v 5 将模型(1.2)化为 { d x ( t ) d t = a 11 x ( t ) + a 12 y ( t ) d y ( t ) d t = a 21 x ( t − τ ) + a 22 y ( t − τ ) + a 23 y ( t ) (2.2.1) 其中， a 11 = u 5 ( h ( b + u 5 ) 2 − a 1 ) ， a 12 = − c 1 ( 1 − m ) u 5 ， a 21 = r 2 2 ( 1 − m ) c 2 ， a 22 = − r 2 ， a 23 = 0. 模型(2.2.1)对应的雅可比矩阵如下 [ a 11 a 12 a 21 e − λ τ a 22 e − λ τ ] 则特征方程为 λ 2 − ( a 11 + a 22 e − λ τ ) λ + ( a 11 a 22 − a 12 a 21 ) e − λ τ = 0. (2.2.2) 显然，当 τ = 0 时，如果定理3.1中条件(a)~(f)中任一条满足，则方程(2.2.2)的所有根都具有负实部。当 τ > 0 时，设存在一对纯虚根 λ = ± i ω ( τ ) ( ω > 0 ) ，将其带入方程(2.2.2)并分离实虚部可得： { − ω 2 ( τ ) + a 22 ω ( τ ) sin ω τ + ( a 11 a 22 − a 12 a 21 ) cos ω τ = 0 − a 11 ω ( τ ) − a 22 ω ( τ ) cos ω τ + ( a 11 a 22 − a 12 a 21 ) sin ω τ = 0 (2.2.3) 经过化简得到： ω 4 ( τ ) + ( a 11 2 − a 22 2 ) ω 2 ( τ ) − ( a 11 a 22 − a 12 a 21 ) 2 = 0. (2.2.4) 不难看出，方程(2.2.4)存在唯一的一个正根 ω 0 = ( a 22 2 − a 11 2 ) + ( a 22 2 − a 11 2 ) 2 + 4 ( a 11 a 22 − a 12 a 21 ) 2 2 . 利用方程(2.2.3)可以求出： cos ω 0 τ = − ω 0 2 a 21 a 12 a 22 2 ω 0 2 + ( a 11 a 22 − a 12 a 21 ) 2 ， 进一步得到， τ j = 1 ω 0 arccos − ω 0 2 a 21 a 12 a 22 2 ω 0 2 + ( a 11 a 22 − a 12 a 21 ) 2 + 2 j π ω 0 ， j = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ . 显然， τ 0 = min { τ j ， j = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ } 。下面证明Hopf分岔的横截性条件成立。 对方程(2.2.2)两边关于时滞参数 τ 求导： ( d λ d τ ) − 1 = ( 2 λ − a 11 λ ( a 11 λ − λ 2 ) − τ λ − a 22 λ ( a 11 a 22 − a 12 a 21 ) − a 22 λ 2 ) . 将 τ = τ 0 代入上述方程 ( d λ d τ ) − 1 中，通过分离实部与虚部可得 R e ( d λ d τ ) − 1 | τ = τ 0 = a 11 2 ( a 11 a 22 − a 12 a 21 ) 2 + 2 ω 0 2 ( a 11 a 22 − a 12 a 21 ) 2 + a 22 2 ω 0 4 ( a 11 2 ω 0 2 + ω 0 4 ) ( ( a 11 a 22 − a 12 a 21 ) 2 + a 22 2 ω 0 2 ) > 0. 易知 s i g n { d ( R e ( λ ) ) d τ } τ = τ 0 = s i g n { R e ( d λ d τ ) − 1 } τ = τ 0 ，即横截性条件满足。 若条件 H 1 成立，当定理2.1的条件(a)~(f)中任一条满足时，有如下定理： 定理2.2 当 τ < τ 0 时，正平衡点 E 5 是局部渐近稳定的；当 τ = τ 0 时，模型(1.2)在 E 5 处经历Hopf分岔；当 τ > τ 0 时，平衡点 E 5 是不稳定的。 2.3. Hopf分岔方向 小节2.2证明了，当 τ = τ j ， j = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ 时，模型(1.2)在 E 5 处经历了Hopf 分岔。因此，本小节主要利用中心流形定理与规范型理论来讨论Hopf分岔的方向以及相应周期解的稳定性。 首先做下列变换， x ( t ) = u ( t τ ) − u 5 ， y ( t ) = v ( t τ ) − v 5 ， τ = τ 0 + δ ， ϕ = ( x ， y ) T ， ϕ t ( θ ) = ϕ ( t + θ ) ， θ ∈ [ − 1 ， 0 ] . 将模型(1.2)化为 ( d x d t d y d t ) = τ ( B 1 ( x ( t ) y ( t ) ) + B 2 ( x ( t − 1 ) y ( t − 1 ) ) + f ) (2.3.1) 这里， B 1 = [ a 11 a 12 0 0 ] ， B 2 = [ 0 0 a 21 a 22 ] ， f = f ( δ ) ϕ = ( f 1 f 2 ) 。 其中， a 11 = − a 1 u 5 + h u 5 ( b + u 5 ) 2 ， a 12 = − c 1 ( 1 − m ) u 5 ， a 21 = r 2 2 ( 1 − m ) c 2 ， a 22 = − r 2 . f 1 = ( h b ( b + u 5 ) 3 − a 1 ) x 2 ( t ) − c 1 ( 1 − m ) x ( t ) y ( t ) ， f 2 = − ( 1 − m ) 2 r 2 2 c 2 ( ( 1 − m ) u 5 + k ) x 2 ( t − 1 ) + r 2 ( 1 − m ) ( 1 − m ) u 5 + k x ( t − 1 ) y ( t )   + r 2 ( 1 − m ) ( 1 − m ) u 5 + k x ( t − 1 ) y ( t − 1 ) − c 2 ( 1 − m ) u 5 + k y ( t ) y ( t − 1 ) . 由Riesz表示定理，存在二阶矩阵 η ( θ ， δ ) ， θ ∈ [ − 1 ， 0 ] ，使得 L δ ( ϕ ) = ∫ − 1 0 d η ( θ ， δ ) ϕ ( θ ) ， ϕ ∈ C ( [ − 1 ， 0 ] ， R 2 ) . 选取 η ( θ ， δ ) = τ 0 + δ [ B 1 κ ( θ ) − B 2 κ ( θ + 1 ) ] . 其中 κ 是Dirac-Delta函数 κ ( θ ) = { 0           θ ≠ 0 1         θ = 0 对于 θ ∈ C ( [ − 1 ， 0 ] ， R 2 ) ，定义 P ( δ ) ϕ ( θ ) = { d ϕ ( θ ) d θ ，                               − 1 ≤ θ < 0 ∫ − 1 0 d η ( s ， δ ) ϕ ( s ) ，           θ = 0 Q ( δ ) ϕ ( θ ) = { 0                       − 1 ≤ θ < 0 f ( δ ) ϕ             θ = 0 将方程(2.3.1)化为如下形式 d U d t = P ( δ ) U t + Q ( δ ) U t (2.3.2) 其中， U = ( x ， y ) T ， U ( t ) = U ( t + θ ) ， θ ∈ [ − 1 ， 0 ] 对于 ψ ∈ C ( [ − 1 ， 0 ] ， ( R 2 ) * ) ，定义 P * ψ ( s ) = { − d ψ ( s ) d s ，                                 0 < s ≤ 1 ∫ − 1 0 d η ( 0 ， ς ) ψ ( − ς ) ，           s = 0 并定义双线性内积： 〈 ψ ( s ) ， ϕ ( θ ) 〉 = ψ ¯ ( 0 ) ϕ ( 0 ) − ∫ − 1 0 ∫ ς = 0 θ ψ ¯ ( ς − θ ) d η ( θ ) ϕ ( ς ) . 这里， η ( θ ) = η ( θ ， 0 ) 。由于 ± i τ 0 ω 0 是P的特征值，故 ± i τ 0 ω 0 也是 P * 的特征值。 令 P ( 0 ) 对应特征值 i τ 0 ω 0 的特征向量为 q ( θ ) ， P * 对应特征值 − i τ 0 ω 0 的特征向量为 q * ( s ) q ( θ ) = ( 1 ， α ) T e i ω 0 τ 0 θ ， q * ( s ) = D ( 1 ， β ) T e i ω 0 τ 0 s . 根据 P ( 0 ) q ( θ ) = q ( θ ) i τ 0 ω 0 . 可得 [ i ω 0 I − ( K 1 + K 2 ) e − i ω 0 τ 0 ] q ( 0 ) = 0. 进一步有 [ i ω 0 − a 11 − a 12 − a 21 e − i ω 0 τ 0 i ω 0 − a 22 e − i ω 0 τ 0 ] ( 1 α ) = ( 0 0 ) ， 和 [ i ω 0 + a 11 a 21 e − i ω 0 τ 0 a 12 i ω 0 + a 22 e − i ω 0 τ 0 ] ( 1 β ) = ( 0 0 ) . 从而计算出 α = i ω 0 − a 11 a 12 ， β = − ( i ω 0 + a 11 ) e i τ 0 ω 0 a 21 . 进而得到 q * ( s ) ， q ( θ ) = q ¯ * ( 0 ) q ( 0 ) − ∫ − 1 0 ∫ 0 θ q ¯ * ( ς − θ ) d η ( θ ) q ( ς ) d ς = D ¯ ( 1 β ¯ ) ( 1 α ) − ∫ − 1 0 ∫ 0 θ D ¯ ( 1 β ¯ ) e − i ω 0 τ 0 ( ς − θ ) d η ( θ ) ( 1 α ) e − i ω 0 τ 0 ς d ς = D ¯ ( 1 + α β ¯ ) + τ 0 D ¯ e − i τ 0 ω 0 ( β ¯ r 2 2 ( 1 − m ) c 2 − β ¯ r 2 α ) . 故取 D = ( 1 + α ¯ β + τ 0 e i τ 0 ω 0 ( β r 2 2 ( 1 − m ) c 2 − β r 2 α ¯ ) ) − 1 ， 使得 〈 q * ( s ) ， q ( θ ) 〉 = 1 ， 〈 q * ( s ) ， q ¯ ( θ ) 〉 = 0. 定义 z ( t ) = 〈 q * ， U t 〉 ， W ( t ， θ ) = U t ( θ ) − 2 R e { z ( t ) q ( θ ) } ， (2.3.3) 其中， U t 表示方程(2.3.3)在 δ = 0 时的解。 在中心流形 C 0 处有 W ( t ， θ ) = W ( z ， z ¯ ， θ ) = W 20 ( θ ) z 2 2 + W 11 ( θ ) z z ¯ + W 02 ( θ ) z ¯ 2 2 + W 30 ( θ ) z 3 6 + ⋯ (2.3.4) 其中，z和 z ¯ 表示 C 0 在方向 q * 和 q * ¯ 上的局部坐标。 当 δ = 0 时，对于 U t ∈ C 0 ，有下式成立： d z ( t ) d t = 〈 q * ， U ˙ ( t ) 〉 = i ω 0 τ 0 z ( t ) + 〈 q ¯ * ( θ ) ， Q ( 0 ) ( W ( z ， z ¯ ， θ ) + 2 R e { z ( t ) q ( θ ) } ) 〉 = q ¯ * ( 0 ) f ( 0 ) ( W ( z ， z ¯ ， 0 ) + 2 R e { z ( t ) q ( 0 ) } ) ≜ i ω 0 τ 0 z ( t ) + g ( z ， z ¯ ) . 其中， g ( z ， z ¯ ) = q ¯ * ( 0 ) f ( 0 ) ( W ( z ， z ¯ ， 0 ) + 2 R e { z ( t ) q ( 0 ) } ) = D ¯ τ 0 ( f 1 + β ¯ f 2 ) = g 20 z 2 2 + g 11 z z ¯ + g 02 z ¯ 2 2 + g 21 z 2 z ¯ 2 + ⋯ (2.3.5) 由于 q ( 0 ) = ( 1 ， α ) T ， U t ( θ ) = ( x t ( θ ) ， y t ( θ ) ) T = 2 R e { z ( t ) q ( θ ) } + W ( t ， θ ) = z q ( θ ) + z ¯   q ¯ ( θ ) + W ( t ， θ ) . 可得 x ( t ) = z + z ¯ + W 20 ( 1 ) ( 0 ) z 2 2 + W 11 ( 1 ) ( 0 ) z z ¯ + W 02 ( 1 ) ( 0 ) z ¯ 2 2 ， y ( t ) = α z + α ¯ z ¯ + W 20 ( 2 ) ( 0 ) z 2 2 + W 11 ( 2 ) ( 0 ) z z ¯ + W 02 ( 2 ) ( 0 ) z ¯ 2 2 ， x ( t − 1 ) = z e − i ω 0 τ 0 + z ¯ e i ω 0 τ 0 + W 20 ( 1 ) ( − 1 ) z 2 2 + W 11 ( 1 ) ( − 1 ) z z ¯ + W 02 ( 1 ) ( − 1 ) z ¯ 2 2 ， y ( t − 1 ) = α z e − i ω 0 τ 0 + α ¯ z ¯ e i ω 0 τ 0 + W 20 ( 2 ) ( − 1 ) z 2 2 + W 11 ( 2 ) ( − 1 ) z z ¯ + W 02 ( 2 ) ( − 1 ) z ¯ 2 2 . 通过计算 g ( z ， z ¯ ) 并比较系数可得 g 20 = 2 D ¯ τ 0 [ f 11 + f 12 α + f 21 β ¯ e − 2 i ω 0 τ 0 + f 22 β ¯ α e − i ω 0 τ 0 + f 23 β ¯ α e − 2 i ω 0 τ 0 + f 24 α 2 β ¯ e − i ω 0 τ 0 ] ， g 11 = D ¯ τ 0 [ 2 f 11 + f 12 ( α ¯ + α ) + 2 f 21 β ¯ + f 22 β ¯ ( α ¯ e − i ω 0 τ 0 + α e i ω 0 τ 0 )   + f 23 β ¯ ( α ¯ + α ) + f 24 β ¯ ( α α ¯ e i ω 0 τ 0 + α α ¯ e − i ω 0 τ 0 ) ] ， g 02 = 2 D ¯ τ 0 [ f 11 + f 12 α ¯ + f 21 β ¯ e 2 i ω 0 τ 0 + f 22 β ¯ α ¯ e i ω 0 τ 0 + f 23 β ¯ α ¯ e 2 i ω 0 τ 0 + f 24 α ¯ 2 β ¯ e i ω 0 τ 0 ] ， g 21 = 2 D ¯ τ 0 [ f 11 ( W 20 1 ( 0 ) + 2 W 11 1 ( 0 ) ) + f 12 ( W 11 2 ( 0 ) + 1 2 W 20 2 ( 0 ) + 1 2 W 20 1 ( 0 ) α ¯ + W 11 1 ( 0 ) α )   + β ¯ ( f 21 ( W 20 1 ( − 1 ) e i ω 0 τ 0 + 2 W 11 1 ( 0 ) e − i ω 0 τ 0 ) )   + f 22 ( 1 2 W 20 2 ( 0 ) e i ω 0 τ 0 + W 11 2 ( 0 ) e − i ω 0 τ 0 + 1 2 W 20 1 ( − 1 ) α ¯ + α W 11 1 ( − 1 ) )   + f 23 ( 1 2 W 20 2 ( − 1 ) e i ω 0 τ 0 + W 11 2 ( − 1 ) e − i ω 0 τ 0 + 1 2 W 20 1 ( − 1 ) α ¯ e i ω 0 τ 0 + W 11 1 ( − 1 ) α e − i ω 0 τ 0 )   + f 24 ( 1 2 W 20 2 ( 0 ) α ¯ e i ω 0 τ 0 + W 11 2 ( 0 ) α e − i ω 0 τ 0 + α W 11 2 ( − 1 ) + 1 2 α ¯ W 20 2 ( − 1 ) ) ] ， 其中， f 11 = ( h b ( b + u 5 ) 3 − a 1 ) ， f 12 = − c 1 ( 1 − m ) ， f 21 = ( 1 − m ) 2 r 2 2 c 2 ( u 5 ( 1 − m ) + k ) ， f 22 = r 2 ( 1 − m ) u 5 ( 1 − m ) + k ， f 23 = r 2 ( 1 − m ) u 5 ( 1 − m ) + k ， f 24 = − c 2 u 5 ( 1 − m ) + k . 显然， g 20 ， g 11 ， g 02 ， g 21 的表达式中存在未知的 W 20 ( − 1 ) ， W 11 ( − 1 ) ， W 20 ( 0 ) ， W 11 ( 0 ) 。因此，进一步计算 W 20 ( θ ) ， W 11 ( θ ) 的值。 由方程(2.3.2)与(2.3.3)可得 W ˙ = U ˙ t − 2 R e { z ˙ q } = U ˙ t − z ˙ q − z ¯ ˙   q ¯ = P U t + Q U t − z ˙ q − z ¯ ˙   q ¯ = { P W − 2 R e { q ¯ * ( θ ) f ( 0 ) q ( θ ) } ，                         0 < θ ≤ 1 P W − 2 R e { q ¯ * ( 0 ) f ( 0 ) q ( 0 ) } + f ( 0 ) ，             θ = 0 = P W + H ( z ， z ¯ ， θ ) 其中， H ( z ， z ¯ ， θ ) = H 20 ( θ ) z 2 2 + H 11 ( θ ) z z ¯ + H 02 ( θ ) z ¯ 2 2 + ⋯ . 由方程(2.3.4)与(2.3.5)可知 W ˙ ( z ， z ¯ ) = W z z ˙ + W z z ¯ z ¯ ˙ = W 20 ( θ ) z z ˙ + W 11 ( θ ) z ¯ z ˙ + W 02 z ¯   z ¯ ˙ + W 11 ( θ ) z z ¯ ˙ + O ( | ( z ， z ¯ ) | 3 ) = W 20 ( θ ) z ( i ω 0 τ 0 z + g ( z ， z ¯ ) ) + W 11 ( θ ) z ¯ ( i ω 0 τ 0 z ¯ + g ¯ ( z ， z ¯ ) )   + W 11 z ( − i ω 0 τ 0 z ¯ + g ¯ ( z ， z ¯ ) ) + W 02 ( θ ) z ¯ ( − i ω 0 τ 0 z ¯ + g ¯ ( z ， z ¯ ) ) + O ( | ( z ， z ¯ ) | 3 ) = i ω 0 τ 0 W 20 ( θ ) z 2 − i ω 0 τ 0 W 02 ( θ ) z ¯ 2 + O ( | ( z ， z ¯ ) | 3 ) 比较系数得 ( 2 i ω 0 τ 0 I − P ( 0 ) ) W 20 ( θ ) = H 20 ( θ ) ， P ( 0 ) W 11 ( θ ) = − H 11 ( θ ) ， (2.3.6) ( 2 i ω 0 τ 0 I + P ( 0 ) ) W 02 ( θ ) = − H 02 ( θ ) 对于 − 1 ≤ θ < 0 ，有 H ( z ， z ¯ ， θ ) = − 2 R e { q ¯ * ( θ ) Q ( 0 ) q ( θ ) } = − g ( z ， z ¯ ) q ( θ ) − g ¯ ( z ， z ¯ ) q ¯ ( θ ) = − ( g 20 z 2 2 + g 11 z z ¯ + g 02 z ¯ 2 2 + ⋯ ) q ( θ ) − ( g ¯ 20 z ¯ 2 2 + g ¯ 11 z z ¯ + g ¯ 02 z ¯ 2 2 + ⋯ ) q ¯ ( θ ) . 从而得到 H 20 ( θ ) = − g 20 q ( θ ) − g ¯ 02 q ¯ ( θ ) ， H 11 ( θ ) = − g 11 q ( θ ) − g ¯ 11 q ¯ ( θ ) . (2.3.7) 结合方程(2.3.6)、方程(2.3.7)以及 P ( 0 ) 的定义知 W 20 ̇ ( θ ) = 2 i ω 0 τ 0 W 20 ( θ ) + g 20 q ( θ ) + g ¯ 02 q ¯ ( θ ) ， 从而解得 W 20 ( θ ) = i g 20 q ( 0 ) ω 0 τ 0 e i ω 0 τ 0 θ + i g ¯ 02 q ¯ ( 0 ) 3 ω 0 τ 0 e − i ω 0 τ 0 θ + G 1 e 2 i ω 0 τ 0 θ ， W 11 ( θ ) = − i g 11 q ( 0 ) ω 0 τ 0 e i ω 0 τ 0 θ + i g ¯ 11 q ¯ ( 0 ) ω 0 τ 0 e − i ω 0 τ 0 θ + G 2 . 其中， G 1 ， G 2 为二维常数向量。 当 θ = 0 时，有 H 20 ( 0 ) = − g 20 q ( 0 ) − g ¯ 02 q ¯ ( 0 ) + τ 0 ( z 1 ， z 2 ， 0 ) T ， H 11 ( 0 ) = − g 11 q ( 0 ) − g ¯ 11 q ¯ ( 0 ) + τ 0 ( z 3 ， z 4 ， 0 ) T . 其中， z 1 = f 11 + f 12 α ， z 2 = f 21 e − 2 i ω 0 τ 0 + f 22 e − i ω 0 τ 0 α + f 23 α e − 2 i ω 0 τ 0 + f 24 α 2 e − i ω 0 τ 0 ， z 3 = 2 f 11 + f 12 ( α + α ¯ ) ， z 4 = 2 f 21 + f 22 ( e − i ω 0 τ 0 α ¯ + e i ω 0 τ 0 α ) + f 23 ( α + α ¯ ) + f 24 ( α α ¯ e − i ω 0 τ 0 + α α ¯ e i ω 0 τ 0 ) . 由P(0)的定义以及方程(2.3.6)可得 ∫ − 1 0 d η ( θ ) W 20 ( θ ) = 2 i ω 0 τ 0 W 20 ( 0 ) − H 20 ( 0 ) ， ∫ − 1 0 d η ( θ ) W 11 ( θ ) = − H 11 ( 0 ) . 根据 H 20 ( 0 ) = 2 i ω 0 τ 0 W 20 ( 0 ) − τ 0 B 1 W 20 ( 0 ) − τ 0 B 2 W 20 ( − 1 ) ， H 11 ( 0 ) = − τ 0 B 1 W 11 ( 0 ) − τ 0 B 2 W 11 ( − 1 ) . 解得 G 1 = 1 2 i ω 0 τ 0 I − τ 0 B 1 − τ 0 B 2 e − 2 i ω 0 τ 0 ( H 20 ( 0 ) + 2 g 20 q ( 0 ) + 2 3 g ¯ 02 q ¯ ( 0 ) + B 1 i g 20 q ( 0 ) ω 0   + B 1 i g ¯ 02 q ¯ ( 0 ) 3 ω 0 + B 2 i g 20 q ( 0 ) ω 0 e − i ω 0 τ 0 + B 2 i g ¯ 02 q ¯ ( 0 ) 3 ω 0 e i ω 0 τ 0 ) ， G 2 = 1 τ 0 ( B 1 + B 2 ) ( − H 11 ( 0 ) + B 1 i g 11 q ( 0 ) ω 0 − B 1 i g ¯ 11 q ¯ ( 0 ) ω 0 + B 2 i g 11 q ( 0 ) ω 0 e − i ω 0 τ 0 − B 2 i g ¯ 11 q ¯ ( 0 ) ω 0 e i ω 0 τ 0 ) . 从而得到下列参数表达式： c 1 ( 0 ) = i 2 ω 0 τ 0 ( g 20 g 11 − 2 | g 11 | 2 − | g 02 | 2 3 ) + g 21 2 ， β 2 = R e ( c 1 ( 0 ) ) ， μ 2 = − R e ( c 1 ( 0 ) ) R e ( λ ′ ( τ 0 ) ) ， T 2 = − I m { c 1 ( 0 ) } + μ 2 I m { λ ′ ( τ 0 ) } ω 0 τ 0 . 根据 c 1 ( 0 ) ， β 2 ， μ 2 ， T 2 这些参数值，可以得到时滞参数临界值处的分岔方向和周期解稳定性。 μ 2 > 0 ( < 0 ) 时对应超临界Hopf分岔(亚临界)； β 2 < 0 ( > 0 ) 时对应稳定的周期解(不稳定的)； T 2 > 0 ( < 0 ) 时，对应周期解的周期是增加的(减少)。