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user: 2. 主要结果 本节，对于平均曲率型方程 a i j u i j = H ( x ) 1 + | ∇ u | 2 + α u 其中 H ( x ) ∈ C 1 ( Ω ¯ ) ， u i j = u x i x j ， α ∈ R 且 α ≥ 0 ，主要证明以下定理。 定理4设 Ω 是在 R n 中的有界领域具有 C 1 边界， u ∈ C 1 ( Ω ¯ ) ∩ C 3 ( Ω ) ， u ≥ 0 满足 Δ u − u i u j 1 + | ∇ u | 2 u i j = H ( x ) 1 + | ∇ u | 2 + α u             in   Ω 则 sup Ω | ∇ u | ≤ ( sup ∂ Ω | ∇ u | + sup Ω | H | ) exp { ( sup Ω | ∇ H | + c 0 ) | u | C 0 } 其中 c 0 是正常数. 证明：令 a i j = δ i j − p i p j 1 + | p | 2 f ( x ， u ， p ) = H ( x ) 1 + | p | 2 + α u 其中 p = ( p 1 ， p 2 ， ⋯ ， p n ) = D u ，则平均曲率型方程可以写成： a i j ( D u ) u i j = f ( x ， u ， D u )           inΩ . (2) 选取辅助函数： φ ( x ) = | D u | 2 e β ( M 0 + u ) ，               inΩ 其中 M 0 = sup Ω ¯ | u | ， β 是待定的正常数。 若 φ ( x ) 在 x 0 ∈ Ω ¯ 处达到极大值，则 ∀ x ∈ Ω ， φ ( x ) ≤ φ ( x 0 ) 。 | D u ( x ) | 2 e β ( M 0 + u ( x ) ) ≤ | D u ( x 0 ) | 2 e β ( M 0 + u ( x 0 ) ) | D u ( x ) | 2 ≤ | D u ( x 0 ) | 2 e β ( u ( x 0 ) − u ( x ) ) | D u ( x ) | ≤ | D u ( x 0 ) | e 1 2 β ( u ( x 0 ) − u ( x ) ) ≤ | D u ( x 0 ) | e β | u | C 0 | D u ( x ) | ≤ | D u ( x 0 ) | exp { β | u | C 0 } .               inΩ (3) 若 φ ( x ) 在 x 0 ∈ ∂ Ω 处达到极大值，则 | D u ( x 0 ) | ≤ sup ∂ Ω | D u |                   inΩ (4) 若 φ ( x ) 在 x 0 ∈ Ω 处达到极大值，由极值原理 ( log φ ) i ( x 0 ) = 0 和 ( log φ ) i j ( x 0 ) ≤ 0 ( log φ ) i = 2 u k u k i | D u | 2 + β u i ( log φ ) i j = 2 u k u k i j | D u | 2 + 2 u k i u k j | D u | 2 − 4 u k u l u k i u l j | D u | 4 + β u i j 因此 a i j ( log φ ) i j = 2 u k | D u | 2 a i j u k i j + 2 | D u | 2 a i j u k i u k j − 4 u k u l | D u | 4 a i j u k i u l j + β a i j u i j 为了消掉上式中的三阶导数，对(2)求微分可得 a i j u k i j + a i j ， p l u k l u i j = ∂ k f 其中 a i j ， p l = − δ l i p j + δ l j p i 1 + | p | 2 + 2 p i p j p l ( 1 + | p | 2 ) 2 . 则 a i j ( l o g φ ) i j = − 2 u k | D u | 2 a i j ， p l u k l u i j + 2 | D u | 2 a i j u k i u k j − 4 u k u l | D u | 4 a i j u k i u l j + 2 u k | D u | 2 ∂ k f + β f . 以下计算都在 x 0 点处，如下选取坐标标架， | D u ( x 0 ) | = ( u 1 ( x 0 ) ， 0 ， ⋯ ， 0 ) 且对于 2 ≤ i ≠ j ≤ n 时， u i j ( x 0 ) = 0 . a i j ( log φ ) i j = − 2 u 1 a i j ， p l u 1 l u i j + 2 u 1 2 a i j u k i u k j − 4 u 1 2 a i j u 1 i u 1 j + 2 u 1 ∂ 1 f + β f . 由 ( log φ ) i = 0 ，有 u 1 i = − 1 2 β u 1 u i 所以 u 11 = − 1 2 β u 1 2 ， (5) u 1 i = 0 ， i ≥ 2 ， 故 ( u i j ( x 0 ) ) 是对角矩阵。因此有 a i j ( log φ ) i j = − 2 u 1 a i i ， p 1 u 11 u i i + 2 u 1 2 a i i u i i 2 − 4 u 1 2 a 11 u 11 2 + 2 u 1 ∂ 1 f + β f = − 2 u 1 a i i ， p 1 u 11 u i i − 2 u 1 2 a 11 u 11 2 + ∑ i = 2 n 2 u 1 2 a i i u i i 2 + 2 u 1 ∂ 1 f + β f . 由于 i ≥ 2 时，在 x 0 处有 u i ( x 0 ) = 0 ，可得 a 11 = 1 1 + u 1 2 ， a 11 ， p 1 = − 2 u 1 ( 1 + u 1 2 ) 2 a i i = 1 ( i ≥ 2 ) ， a i i ， p 1 = 0 ( i ≥ 2 ) 所以 a i j ( log φ ) i j ≥ 4 ( 1 + u 1 2 ) 2 u 11 2 − 2 u 1 2 ( 1 + u 1 2 ) u 11 2 + 2 u 1 ∂ 1 f + β f = 2 ( u 1 2 − 1 ) u 1 2 ( 1 + u 1 2 ) 2 u 11 2 + 2 u 1 ∂ 1 f + β f . 由于 ∂ 1 f = H 1 1 + u 1 2 + H u 1 u 11 1 + u 1 2 + α u 1 则 a i j ( log φ ) i j ≥ 2 ( u 1 2 − 1 ) u 1 2 ( 1 + u 1 2 ) 2 u 11 2 + 2 H 1 u 1 1 + u 1 2 + 2 H u 11 1 + u 1 2 + 2 α + β H 1 + u 1 2 + β α u ≥ 2 ( u 1 2 − 1 ) u 1 2 ( 1 + u 1 2 ) 2 u 11 2 + 2 H 1 u 1 1 + u 1 2 + 2 H u 11 1 + u 1 2 + β H 1 + u 1 2 . 把(5)代入上式 a i j ( log φ ) i j ≥ β 2 u 1 2 ( u 1 2 − 1 ) 2 ( 1 + u 1 2 ) 2 + 2 H 1 u 1 1 + u 1 2 + − β H u 1 2 1 + u 1 2 + β H + β H u 1 2 1 + u 1 2 由于 a i j ( log φ ) i j ≤ 0 ，可得 β 2 u 1 2 ( u 1 2 − 1 ) 2 ( 1 + u 1 2 ) 2 + 2 H 1 u 1 1 + u 1 2 + β H 1 + u 1 2 ≤ 0 或者 1 + u 1 2 ( β 2 u 1 2 ( u 1 2 − 1 ) 2 ( 1 + u 1 2 ) 2 + 2 H 1 u 1 1 + u 1 2 ) ≤ − β H 若 u 1 2 ≤ 3 ，则 u 1 2 ( u 1 2 − 1 ) 2 ( 1 + u 1 2 ) 2 = 1 2 ( 1 − 1 1 + u 1 2 ) ( 1 − 2 1 + u 1 2 ) ≤ 3 16 1 + u 1 2 u 1 2 = 1 + 1 u 1 2 ≥ 4 3 β 2 u 1 2 ( u 1 2 − 1 ) 2 ( 1 + u 1 2 ) 2 ≤ 3 16 β 2 | u 1 | ( 3 16 β 2 + 4 3 | ∇ H | ) ≤ β | H | 令 β = c 0 + sup Ω | ∇ H | ，则 3 16 β 2 + 4 3 | ∇ H | = 3 16 ( c 0 + sup Ω | ∇ H | ) 2 + 4 3 | ∇ H | ≥ 3 16 ( c 0 + sup Ω | ∇ H | ) 2 ， 当 β ≥ 16 3 时，就有 3 16 β 2 + 4 3 | ∇ H | ≥ β ≥ 1 因此有 | ∇ u ( x 0 ) | ≤ sup Ω | H | 若 u 1 2 ≥ 3 ，则 u 1 2 ( u 1 2 − 1 ) 2 ( 1 + u 1 2 ) 2 = 1 2 ( 1 − 1 1 + u 1 2 ) ( 1 − 2 1 + u 1 2 ) ≥ 3 16 并且 1 + u 1 2 u 1 2 = 1 + 1 u 1 2 ≤ 4 3 ， 所以 β 2 u 1 2 ( u 1 2 − 1 ) 2 ( 1 + u 1 2 ) 2 ≥ 3 16 β 2 ， 这意味着 | u 1 | ( 3 16 β 2 − 4 3 | ∇ H | ) ≤ β | H | 。 3 16 β 2 − 4 3 | ∇ H | = 3 16 ( c 0 + sup Ω | ∇ H | ) 2 − 4 3 | ∇ H | = 3 16 ( c 0 2 + sup Ω 2 | ∇ H | + 2 c 0 sup Ω | ∇ H | ) − 4 3 | ∇ H | = 3 16 ( c 0 2 + sup Ω 2 | ∇ H | ) + 3 8 c 0 sup Ω | ∇ H | − 4 3 | ∇ H | ， 可知存在一个正常数 c 0 ，即 c 0 ≥ 6 ， sup Ω | ∇ H | ≥ 16 3 时 β ≥ 34 3 ，就有 3 16 β 2 − 4 3 | ∇ H | ≥ β ≥ 1 则 | u 1 ( x 0 ) | ≤ sup Ω | H | 因此有 | ∇ u ( x 0 ) | ≤ sup Ω | H | 综上所述，当 β ≥ 34 3 时有 | ∇ u ( x 0 ) | ≤ sup Ω | H | (6) 则由(4) (6)可得 | ∇ u ( x 0 ) | ≤ sup ∂ Ω | ∇ u | + sup Ω | H | (7) 由(3) (7)可得要证得不等式。 即： sup Ω | ∇ u | ≤ ( sup ∂ Ω | ∇ u | + sup Ω | H | ) exp { ( sup Ω | ∇ H | + c 0 ) | u | C 0 } 定理证毕。