system: [SYSTEM]

user: 2. 定理证明 为了证明定理1.8，还需要知道以下定义及引理。 定义2.1 A 的上阴 ∇ A ： A ⊆ B n ( k ) ，则 ∇ A = { B ∈ B n ( k + 1 ) : ∃ A ∈ A ， A ⊂ B } ，其中 k < n 。 定义2.2 A 的下阴 Δ A ： A ⊆ B n ( k ) ，则 Δ   A = { B ∈ B n ( k − 1 ) : ∃ A ∈ A ， B ⊂ A } ，其中 k < n 。 引理2.3 [ 2 ] 令 M ⊆ B n ( k ) ，当 k > ⌈ n 2 ⌉ 时， | Δ M | > | M | ； k < ⌊ n 2 ⌋ 时， | ∇ M | > | M | 。 引理2.4 [ 7 ] 令 M ⊆ B n ( k ) ，那么存在一个 x ≥ k 使 | M | = ( x k ) 且 | Δ M | ≥ ( x k − 1 ) ；同样它的对偶情况也成立，即存在一个 x ≥ k 使 | M | = ( x k ) 且 | ∇ M | ≥ ( x k − 1 ) 。 通常 ( x k ) = x ( x − 1 ) ⋯ ( x − k + 1 ) k ! 其中 x ∈ ℝ + ， k ∈ ℤ + 。 为了方便证明，令 T ( n ) = ( n ⌈ n 2 ⌉ ) / 2 n 容易计算得 T ( 2 n − 1 ) = T ( 2 n ) ; T ( 2 n ) / T ( 2 n + 1 ) = ( 2 n + 2 ) / ( 2 n + 1 ) ，因此有下式成立 T ( 1 ) = T ( 2 ) > T ( 3 ) = T ( 4 ) > ⋯ > T ( 2 m − 1 ) = T ( 2 m ) > ⋯ 用归纳假设法来证明定理1.8。 当 n = 1 时显然成立。假设 n − 1 时(1)式也成立，现来看n时的情况。令 F 为 B n 中的一个压缩滤子， F = F 1 ∪ F 2 ， F 1 = { A ∈ F : n ∈ A } ， F 2 = { A ∈ F : n ∉ A } ， F 1 ( n ¯ ) 为 A \ { n } 的所有集合，其中 A ∈ F 1 。由定义知 F 1 ( n ¯ ) ， F 2 ∈ B n − 1 ，且均为 B n − 1 中的压缩滤子。因此由归纳假设在 B n − 1 中，存在最大Sperner集族 A 1 ( n ¯ ) ⊆ F 1 ( n ¯ ) 和 A 2 ⊆ F 2 有 | A 1 ( n ¯ ) | | F 1 ( n ¯ ) | ≥ T ( n − 1 ) ，                 | A 2 | | F 2 | ≥ T ( n − 1 ) (2) 令 A 1 = { A ∪ { n } : A ∈ A 1 ( n ¯ ) } ，那么 A 1 为 F 1 中最大反链，有 | A 1 | | F 1 | = | A 1 ( n ¯ ) | | F 1 ( n ¯ ) | ≥ T ( n − 1 ) ≥ T ( n ) (3) 其中 F i ( k ) 代表 F i 在 B n ( k ) 中的所有元素集合， A i ( k ) 代表 A i 在 B n ( k ) 中的所有元素集合， i = 1 ， 2 。取 s = max { k : A 1 ( k ) ≠ ∅ } ， r = min { k : A 2 ( k ) ≠ ∅ } 。则由压缩滤子的定义有 F 1 ( r ) = B n − 1 ( r − 1 ) ∪ { n } 。所以 F 1 可写成如下形式： F 1 = ( ∪ k = r n B n − 1 ( k − 1 ) ∪ { n } ) ∪ ∪ k < r F 1 ( k ) (4) 现来证 r ≥ ⌊ n 2 ⌋ 。由已知 A 2 ( r ) ⊆ B n − 1 ( r ) ⊆ B n ( r ) ，如果则 r < ⌊ n 2 ⌋ 由引理2.3有 | ∇ A 2 ( r ) | > | A 2 ( r ) | 用 ∇ A 2 ( k ) 代替 A 2 ( k ) ，可在 F 2 中的到一个比 A 2 更大的Sperner 集族，与已知矛盾，所以 r ≥ ⌊ n 2 ⌋ 。 下面分两种情况证明 F 中存在最大Sperner 集族 A 使(1)成立。 情况1：n为偶数时，令 n = 2 m 。则 r ≥ m ，现来证 s ≤ r 。假设 s > r ，令 A 1 ¯ = ( A 1 \ { A 1 ∩ F 1 ( s ) } ) ∪ ( Δ ( r ) ( A 1 ∩ F 1 ( s ) ) ) 其中 Δ ( r ) ( A 1 ∩ F 1 ( s ) ) = { A ∈ B 2 m r : ∃ B ∈ A 1 ∩ F 1 ( s ) ， A ⊂ B } 由(4)知 Δ ( r ) ( A 1 ∩ F 1 ( s ) ) ⊂ F 1 并且 A 1 ¯ 在 F 1 中仍是一个Sperner集族，由引理2.3有 | Δ ( r ) ( A 1 ∩ F 1 ( s ) )   | > | A 1 ∩ F 1 ( s ) | 即 | A 1 ¯ | > | A 1 | ，这与 A 1 为 F 1 中最大的Sperner 集族矛盾，所以 s ≤ r 。因此 A 1 ∪ A 2 在 F 中仍是一个Sperner集族。由(2)和(3)有 | A 1 ∪ A 2 | | F | = | A 1 | + | A 2 | | F 1 | + | F 2 | ≥ T ( 2 m − 1 ) = T ( 2 m ) 因此 A = A 1 ∪ A 2 是 F 中最大的Sperner集族。 情况2：n为奇数时，令 n = 2 m − 1 ，则 r ≥ m − 1 。如果 r > m − 1 ，由(4)知与情况1类似可得到 s ≤ r ，且 A = A 1 ∪ A 2 是 F 中最大的Sperner集族。如果 r = m − 1 ， F 1 = ( ∪ k = r 2 m − 1 B 2 m − 2 ( k − 1 ) ∪ { 2 m − 1 } ) ∪ ∪ k < m − 1 F 1 ( k ) 其中 A 1 = B 2 m − 2 ( m − 1 ) ∪ { 2 m − 1 } ，但这时 ( B 2 m − 2 ( m − 1 ) ∪ { 2 m − 1 } ) ∪ A 2 不是一个Sperner 集族。令 A 2 ¯ = ( A 2 \ { A 2 ( m − 1 ) } ) ∪ ( ∇ ( A 2 ( m − 1 ) ) ) 其中 ∇ ( A 2 ( m − 1 ) ) 是 A 2 ( m − 1 ) 在 F 2 中的上阴。在 F 2 中 A 2 ¯ 仍是一个Sperner 集族，那么 ( B 2 m − 2 ( m − 1 ) ∪ { 2 m − 1 } ) ∪ A 2 ¯ 在 F 中仍是一个Sperner 集族。下证 | ( B 2 m − 2 ( m − 1 ) ∪ { 2 m − 1 } ) ∪ A 2 ¯ | | F 1 | + | F 2 | ≥ T ( 2 m − 1 ) (5) 这里 | B 2 m − 2 ( m − 1 ) ∪ { 2 m − 1 } | = ( 2 m − 2 m − 1 ) ，即证 | ( 2 m − 2 m − 1 )   | + | A 2 ¯ | | F 1 | + | F 2 | ≥ ( 2 m − 1 m ) / 2 2 m − 1 整理有 2 2 m − 1 ( 2 m − 2 m − 1 ) + 2 2 m − 1 | A 2 ¯ | ≥ ( 2 m − 1 m ) ( | F 1 | + | F 2 | ) 因为 max | F 1 | = 2 2 m − 2 ，所以可转化为证 2 2 m − 1 ( 2 m − 2 m − 1 ) + 2 2 m − 1 | A 2 ¯ | ≥ 2 2 m − 2 ( 2 m − 1 m ) + ( 2 m − 1 m ) | F 2 | 逐步整理如下 2 2 m − 1 2 m ( 2 m − 2 m − 1 ) + 2 2 m − 1 | A 2 ¯ | ≥ ( 2 m − 1 m ) | F 2 | 1 2 m ( 2 m − 2 m − 1 ) + | A 2 ¯ | ≥ T ( 2 m − 1 ) T ( 2 m ) | A 2 | ( 2 m − 2 m − 1 ) ≥ ( 2 m − 1 ) | A 2 | − 2 m | A 2 ¯ | 这里由 | A 2 | = | A 2 ( m − 1 ) | + ∑ i > m − 1 | A 2 ( i ) | | A 2 ¯ | = | ∇ ( A 2 ( m − 1 ) ) | + ∑ i > m − 1 | A 2 ( i ) | 我们有 ( 2 m − 1 ) | A 2 | − 2 m | A 2 ¯ | = ( 2 m − 1 ) | A 2 ( m − 1 ) | − ( 2 m − 1 ) | A 2 ( m − 1 ) | − ∑ i > m − 1   | A 2 ( i ) | ≤ ( 2 m − 1 ) | A 2 ( m − 1 ) | − ( 2 m − 1 ) | A 2 ( m − 1 ) | 因此证(5)式转化为证 ( 2 m − 2 m − 1 ) ≥ ( 2 m − 1 ) | A 2 ( m − 1 ) | − 2 m | ∇ ( A 2 ( m − 1 ) )   | (6) 由 A 2 ( m − 1 ) ⊆ F 2 ( m − 1 ) ⊆ B 2 m − 2 ( m − 1 ) ，假设 | A 2 ( m − 1 ) | = ( x m − 1 ) 其中 m − 1 ≤ x ≤ 2 m − 2 ，那么由引理2.4有 | ∇ ( A 2 ( m − 1 ) )   | ≥ ( x m − 2 ) 那么 ( 2 m − 1 ) | A 2 ( m − 1 ) | − 2 m | ∇ ( A 2 ( m − 1 ) )   | ≤ ( 2 m − 1 ) ( x m − 1 ) − 2 m ( x m − 2 ) = ( ( 2 m − 1 ) ⋅ x − m + 2 m − 1 − 2 m ) ( x m − 2 ) ≤ ( ( 2 m − 1 ) ⋅ 2 m − 2 − m + 2 m − 1 − 2 m ) ( 2 m − 2 m − 2 ) = m m − 1 ( 2 m − 2 m − 2 ) = ( 2 m − 2 m − 1 ) 由此(6)式得证，综上定理1.8证毕。 □