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user: 2. 单指标模型的非迭代WCQR方法 在这一部分，本文将提出单指标模型的非迭代WCQR方法(NIWCQR)。 2.1. NIWCQR方法 理论上，在单指标模型(1.1)中的参数真值 γ 0 满足下式： γ 0 = arg min γ ∑ k = 1 K w k E [ ρ τ k { Y − Q τ k ( Y | X T γ ) } ] (2.1) 其中 Q τ k ( Y | X T γ ) = c k + g ( X T γ ) ， W = ( w 1 ， ⋯ ， w K ) T 是与 X 相互独立的权重向量，且 ‖ W ‖ = 1 ， c k = F − 1 ( τ K ) ，其中 F ( · ) 代表模型误差 ε 的累积分布函数。 ρ τ k ( r ) = τ k r − r I ( r < 0 ) ( k = 1 ， ⋯ ， K ) 是k分位点上的损失函数，其中 0 < τ 1 < τ 2 < ⋯ < τ K < 1 。 为解决 γ 0 的参数估计，一般都需要进行迭代，本文定义 H τ k ( t | γ ) = E [ Q τ k ( Y | X ) | X T γ = t ] 其中， ( k = 1 ， ⋯ ， K ) ，因此，在单指标模型中 Q τ k ( Y | X T γ 0 ) = Q τ k ( Y | X ) = H τ k ( X T γ 0 | γ 0 ) ， k = 1 ， ⋯ ， K ， 那么 γ 0 满足下式 γ 0 = arg min γ ∑ k = 1 K w k E [ ρ τ k { Y − H τ k ( X T γ | γ ) } ] (2.2) { Y i ， X i } i = 1 n 是来自 { Y ， X } 独立同分布的样本，则(2.2)式右边的表达式可近似转化为 1 n ∑ i = 1 n ∑ k = 1 K w k ρ τ k { Y i − H τ k ( X i T γ | γ ) } 。对于每一个k我们可以得到 H τ k ( · | γ ) 的Nadaraya-Watson估计值 H ^ τ k ( t | γ ) (见Christou & Akrites [ 10 ] (2016)) H ^ τ k ( t | γ ) = ∑ i = 1 n Q ^ τ k ( Y | X i ) K h k ( X i T γ − t ) ∑ i = 1 n K h k ( X i T γ − t ) (2.3) 其中 K h k ( · ) = k ( · / h k ) ， K ( · ) 是核函数， h k 是窗宽，且一般 Q τ k ( Y | X ) = inf { y : P ( Y ≤ y | X = X ) ≥ τ k } ( k = 1 ， ⋯ ， K ) 是未知的，因此需要一个估计值来替代 Q τ k ( Y | X ) ，则由D-vine copula (Kraus & Czado [ 14 ] (2017))方法可得 Q ^ τ k ( Y | X ) = F ^ Y − 1 ( C ^ F Y | F 1 ， ⋯ ， F P − 1 ( τ | F ^ 1 ( x 1 ) ， ⋯ ， F ^ p ( x p ) ) ) ， k = 1 ， ⋯ ， K 其中 ， F ^ j ( x j ) = 1 n + 1 ∑ i = 1 n I ( X i j ≤ x j ) ( j = 1 ， ⋯ ， p ) 具体细节可参考Kraus & Czado [ 10 ] (2017)的3.2节。在(2.3)式中得到 H ^ τ k ( t | γ ) 后，未知参数 的估计值可简化为 γ ¯ = arg min γ 1 n ∑ i = 1 n ∑ k = 1 K w k ρ τ k { Y i − H ^ τ k ( X i T γ | γ ) } (2.4) 在模型(1.1)得到参数 γ 0 的估计值 γ ^ 的基础上，再根据Jiang [ 15 ] (2016b)的局部加权复合分位数回归(LWCQR) 估计出 g 0 ( · ) 的值，即对任一内点u ( a ^ 1 ， ⋯ ， a ^ K ， b ^ ) = arg min ( a 1 ， ⋯ ， a K ， b ) 1 n ∑ i = 1 n ∑ k = 1 K { Y i − a k − b ( X i T γ ^ − u ) } K h ( X i T γ ^ − u ) (2.5) 进而 g ^ ( u | γ ^ ) = ∑ k = 1 K v k a ^ k ，其中权重向量 V = ( v 1 ， ⋯ ， v K ) T 满足 ∑ k = 1 K v k = 1 ， ∑ k = 1 K v k c k = 0 ， 2.2. 渐近性 假设 f ( · ) 是模型误差 ε 的密度函数， f U ( · ) 是 U = X T γ 0 的边缘密度函数， K ( · ) 是一个对称的核函数， 定义 μ j = ∫ u j K ( u ) d u ， v j = ∫ u j K 2 ( u ) d u ， R 1 ( W ) = { ∑ k = 1 K w k f ( c k ) } − 2 ∑ k = 1 K ∑ k ′ = 1 K w k w k ′ τ k k ′ ， R 2 ( V ) = ∑ k = 1 K ∑ k ′ = 1 K v k v k ′ τ k k ′ f ( c k ) f ( c k ′ ) 且 τ k k ′ = τ k Λ τ k ′ − τ k τ k ′ ， h max = max 1 ≤ k ≤ K { h k } ， h min = min 1 ≤ k ≤ K { h k } 。 定理2.1 假设定理证明中的条件C1-C4成立，S是非奇异的， n → ∞ ， n h max 4 → 0 ， n h min → ∞ ，则 n ( γ ^ − γ 0 ) → L N ( 0 ， S − 1 R 1 (W) ) 其中 → L 代表依分布收敛，且 S = E { g ′ 0 ( X T γ 0 ) 2 [ X − E ( X | X T γ 0 ) ] [ X − E ( X | X T γ 0 ) ] T } 。 从定理2.1中，易得出 γ ^ 的渐近方差只依赖于 R 1 ( W ) 中的 W 。因此， γ ^ 的最佳权重为 W o p t = arg min W R 1 ( W ) = ( f T Ω − 2 f ) − 1 / 2 Ω − 1 f (2.6) 其中 f = ( f ( c 1 ) ， ⋯ ， f ( c K ) ) T 且 Ω 是一个 K × K 阶矩阵， ( k ， k ′ ) 处的元素 Ω k k ′ = τ k k ′ 。则(2.4)式中的最优权重 R 1 ( W o p t ) = ( f T Ω − 1 f ) − 1 且 n ( γ ^ − γ 0 ) → L N ( 0 ， S − 1 ( f T Ω − 1 f ) − 1 ) (2.7) 定理 2.2 假设定理证明中的条件C1-C4成立，如果 n → ∞ ， h → 0 ， ，则对任一内点u有 n h { g ^ ( u | γ ^ ) − g 0 ( u ) − 1 2 g ″ 0 ( u ) μ 2 h 2 } → L N ( 0 ， V 0 R 2 ( V ) f U (u) ) 容易看出， g ^ ( u | γ ^ ) 中的偏差不受权向量 V 的影响，而方差项只依赖于 V ，即最优权重 与 g ^ ( u | γ ^ ) 的最小渐近方差有关，则 V o p t = arg min W R 2 ( V ) = ( r T A − 1 r ) A − 1 1 − ( 1 T A − 1 r ) A − 1 r ( r T A − 1 r ) ( 1 T A − 1 1 ) − ( 1 T A − 1 r ) 2 (2.8) 其中 r 是K维列向量，第K个元素为 c k ，且 1 是一个K维的单位列向量，A是一个 K × K 维的矩阵，在 ( k ， k ′ ) 处的元素为 τ k k ′ / ( f ( c k ) f ( c k ′ ) ) ( k ， k ′ = 1 ， ⋯ ， K ) 。故在最优化权值下 g ^ ( u | γ ^ ) 的渐近方差为 f U − 1 ( u ) v 0 R 2 ( V o p t ) 。 注2.2 定理2.1提出的估计实现了与半参数最大似然估计几乎相同的效率，(Jiang [ 7 ] (2016a))。特别地，当 w = ( 1 ， ⋯ ， 1 ) 时，WCQR方法是标准的CQR方法，见Jiang [ 12 ] (2012)。定理2.2的结果及最佳带宽h的选择参考Jiang [ 15 ] (2016b)。 注2.3 从(2.6)和(2.8)可以看出最佳权重向量 W 和 相对比较复杂，且涉及误差密度函数 f ( c k ) ( k = 1 ， ⋯ ， K ) 。一般 f ( c k ) 是未知的，而非参数密度估计方法可以提供f的一致估计 f ^ ，如基于估计误差 ε ^ 的核平滑估计，具体细节可以参考Jiang [ 7 ] (2016a)的2.3节。