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user: 3. 主要结果 3.1. m维无穷区域各向异性非齐次热传导方程非齐次初始条件的初值问题的求解 定解问题I (m维无穷区域各向异性非齐次热传导方程非齐次初始条件的初值问题)： { ∂ u ∂ t = 1 2 ∑ k ， j = 1 m a k j ∂ 2 u ∂ x k ∂ x j + ∑ k = 1 m ( r − q k ) ∂ u ∂ x k − r u + γ ( t ) δ ( x − x ( t ) ) ， x ∈ R m ， x ( t ) ∈ R m ， 0 < t < T                         ( 1 ) u ( x ， 0 ) = φ ( x ) ， x ∈ R m                                                                                                                                                                                                                       ( 2 ) lim x → − ∞ | u | < ∞ ， lim x → ∞ | u | < ∞                                                                                                                                                                                                                         ( 3 ) 定理3.1.1 (定解问题I的精确解)：若 1) A = ( a k j ) m × m 为m阶实对称正定矩阵， A = B B T ( B 为正线下三角矩阵)； 2) x ( t ) = ( x 1 ( t ) ， ⋯ ， x m ( t ) ) T ∈ R m ， x k ( t ) 为充分光滑的单调函数， k = 1 ， ⋯ ， m ； 3) γ ( t ) ∈ C ( [ 0 ， ∞ ) ) ； 4) φ ( x ) ∈ C ( R m ) ，   0 ≤ φ ( x ) ≤ M e θ ‖ B − 1 x ‖ 2 2 T ，   0 ≤ θ < 1 ； 则定解问题I有充分光滑的精确解 u ( x ， t ) = V ( x ， t ) + W ( x ， t ) (4) 其中 V ( x ， t ) = e − r t ( 2 π t ) m 2 | B | ∫ R m φ ( ξ ) e − ‖ B − 1 x − B − 1 ξ − t υ ‖ 2 2 t d ξ (5) W ( x ， t ) = 1 ( 2 π ) m 2 | B | ∫ 0 t ( t − τ ) − m 2 γ ( τ ) e − r ( t − τ ) e − ‖ B − 1 x − B − 1 x ( τ ) − ( t − τ ) υ ‖ 2 2 ( t − τ ) d τ (6) 定解问题I的求解过程： 记偏微分算子 L = 1 2 ∑ k ， j = 1 m a k j ∂ 2 ∂ x k ∂ x j + ∑ k = 1 m ( r − q k ) ∂ ∂ x k − r (7) 先考虑m维线性常系数偏微分方程在无界区域 R m 的特征值问题I L E = 1 2 ∑ k ， j = 1 m a k j ∂ 2 E ∂ x k ∂ x j + ∑ k = 1 m ( r − q k ) ∂ E ∂ x k − r E = − λ E (8) 为求解特征值问题I和定解问题I我们建立了引理3.1.1~引理3.1.6。 引理3.1.1：设 A = ( a k j ) m × m 为m阶实对称正定矩阵，则存在正线下三角矩阵 B = ( b k j ) m × m ∈ R m × m 满足 A = B B T 且分解是唯一的；且有 1) 正线下三角矩阵 B 的行列式 | B | = ∏ j = 1 m b j j > 0 ； 2) 记 ( B T ) − 1 ≜ C = ( c k j ) m × m ，则 C 为正线上三角矩阵， | C | = ∏ j = 1 m c j j = ∏ j = 1 m b j j − 1 > 0 ，   c k j = 0 ，   k > j ，   j = 1 ， ⋯ ， m − 1 ； 3) 记 I ( k ; x ) ≜ ∑ n = k m c k n ∑ j = 1 n c j n x j ，   k = 1 ， ⋯ ， m ， x = ( x 1 ， ⋯ ， x m ) T ∈ R m ；则当 x = ( x 1 ， ⋯ ， x m ) T > 0 ，有 I ( k ; x ) > 0 ， k = 1 ， ⋯ ， m ；当 x = ( x 1 ， ⋯ ， x m ) T < 0 ，有 I ( k ; x ) < 0 ， k = 1 ， ⋯ ， m 。 3)' 当 x = [ x 1 ， ⋯ ， x m ] T < 0 ，有 I ( k ; x ) = [ x 1 ， ⋯ ， x m ] C [ c k 1 ⋮ c k m ] < 0 ，   k ∈ { 1 ， ⋯ ， m } ；当 x = [ x 1 ， ⋯ ， x m ] T > 0 ，有 I ( k ; x ) = [ x 1 ， ⋯ ， x m ] C [ c k 1 ⋮ c k m ] > 0 ，   k ∈ { 1 ， ⋯ ， m } 。 证明：由矩阵理论的结论 [ 13 ] 即知存在正线下三角矩阵 B = ( b k j ) m × m ∈ R m × m 满足 A = B B T 且分解是唯一的。由 A = B B T 有 | A | = | B | 2 。 正线下三角矩阵 B = ( b k j ) m × m ，正线下三角矩阵 B 的行列式 | B | = ∏ j = 1 m b j j > 0 ，且 b k j = 0 ，   k < j ，   j = 2 ， ⋯ ， m ； B 的转置矩阵 B T 为正线上三角矩阵。 B T 的逆矩阵 C 为正线上三角矩阵。 | C | = ∏ j = 1 m c j j = ∏ j = 1 m b j j − 1 > 0 ，   c k j = 0 ，   k > j ，   j = 1 ， ⋯ ， m − 1 。 下证3) 由于 C 为正线上三角矩阵，即有 ∑ n = k m c k n ∑ j = 1 n c j n x j = ∑ n = 1 m c k n ∑ j = 1 n c j n x j 和 [ ∑ j = 1 1 c j 1 x j ， ∑ j = 1 2 c j 2 x j ⋯ ， ∑ j = 1 m c j m x j ] T = [ ∑ j = 1 m c j 1 x j ， ∑ j = 1 m c j 2 x j ⋯ ， ∑ j = 1 m c j m x j ] T ；从而有 I ( k ; x ) ≜ ∑ n = k m c k n ∑ j = 1 n c j n x j = ∑ n = 1 m c k n ∑ j = 1 n c j n x j = [ c k 1 ， ⋯ ， c k k ⋯ ， c k m ] [ ∑ j = 1 1 c j 1 x j ， ∑ j = 1 2 c j 2 x j ⋯ ， ∑ j = 1 m c j m x j ] T = [ c k 1 ， ⋯ ， c k k ⋯ ， c k m ] [ ∑ j = 1 m c j 1 x j ， ∑ j = 1 m c j 2 x j ⋯ ， ∑ j = 1 m c j m x j ] T x = ( x 1 ， ⋯ ， x m ) T 为列向量，应用分块矩阵的乘法运算即有 [ ∑ j = 1 m c j 1 x j ， ∑ j = 1 m c j 2 x j ⋯ ， ∑ j = 1 m c j m x j ] T = C T x (9) 从而有 I ( k ; x ) = [ c k 1 ， c k 2 ⋯ ， c k m ] C T x ，   k ∈ { 1 ， ⋯ ， m } (10) 由于 C C T = ( ( B T ) − 1 ) ( ( B T ) − 1 ) T = ( ( B T ) − 1 ) ( B − 1 ) = ( B B T ) − 1 = A − 1 即有 [ I ( 1 ; x ) I ( 2 ; x ) ⋮ ⋮ I ( m ; x ) ] = C C T x = A − 1 x (11) A = ( a k j ) m × m 为正定矩阵，则 A − 1 为正定矩阵， x T A − 1 x 为正定二次齐式，从而有 x T [ I ( 1 ; x ) I ( 2 ; x ) ⋮ ⋮ I ( m ; x ) ] = x T A − 1 x > 0 ，   x ≠ 0 (12) ∑ j = 1 m x j I ( j ; x ) > 0 ，   x ≠ 0 (13) 由 x 的任意性，分别令 x = y p ε p ， y p ≠ 0 ， p = 1 ， ⋯ ， m ， 其中 ε 1 = ( 1 ， 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) T ， ε 2 = ( 0 ， 1 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) T ， ⋯ ， ε m = ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ， 1 ) T 。 由(13)式即有 y p ∑ n = 1 m c k n c p n y p > 0 ，   p = 1 ， ⋯ ， m 即 ∑ n = 1 m c k n c p n y p 2 > 0 ，   y p ≠ 0 ，   p = 1 ， ⋯ ， m (14) 再记 y p 2 ≜ x p ， p = 1 ， ⋯ ， m ；有 x p > 0 ， p = 1 ， ⋯ ， m 和 ∑ p = 1 m ∑ n = 1 m c k n c p n y p 2 = ∑ p = 1 m ∑ n = 1 m c k n c p n x p = I ( k ; x ) ，   k = 1 ， ⋯ ， m (15) 由(14)，(15)两式即有：当 x = ( x 1 ， ⋯ ， x m ) T ， x j > 0 ， j = 1 ， ⋯ ， m ，有 I ( k ; x ) > 0 ， k = 1 ， ⋯ ， m ；显然也有： 当 x = ( x 1 ， ⋯ ， x m ) T ， x j < 0 ， j = 1 ， ⋯ ， m ，有 I ( k ; x ) < 0 ， k = 1 ， ⋯ ， m 。由(10)式： I ( k ; x ) = [ c k 1 ， ⋯ ， c k m ] C T x ∈ R 1 × 1 ，   k = 1 ， ⋯ ， m ; I ( k ; x ) = [ I ( k ; x ) ] T = x T C [ c k 1 ， ⋯ ， c k m ] T = [ x 1 ， ⋯ ， x m ] C [ c k 1 ⋮ c k m ] (16) 结论也可表述为：3)' 当 x = [ x 1 ， ⋯ ， x m ] T < 0 ，有 I ( k ; x ) = [ x 1 ， ⋯ ， x m ] C [ c k 1 ⋮ c k m ] < 0 ，   k ∈ { 1 ， ⋯ ， m } ；当 x = [ x 1 ， ⋯ ， x m ] T > 0 ，有 I ( k ; x ) = [ x 1 ， ⋯ ， x m ] C [ c k 1 ⋮ c k m ] > 0 ，   k ∈ { 1 ， ⋯ ， m } 。引理证毕。 记 x ∈ R m ， y ∈ R m ，作 R m 到 R m 的线性变换 x = B y (17) 记 E ( x ) = E ( B y ) ≜ Y ( y ) (18) 引理3.1.2：若 x = B y ，则有 ∇ y = B T ∇ x (19) 其中 ∇ y ≜ [ ∂ ∂ y 1 ⋮ ∂ ∂ y m ] (20) 为向量偏微分算子。 证明：由(17)式即有 [ x 1 ⋮ x m ] = [ ∑ p = 1 m b 1 p y p ⋮ ∑ p = 1 m b m p y p ] (21) 由(18)式即有 E ( x ) = E ( x 1 ， ⋯ ， x m ) = E ( ∑ p = 1 m b 1 p y p ， ⋯ ， ∑ p = 1 m b m p y p ) = Y ( y ) (22) 由复合函数的求导法则，即有 [ ∂ ∂ y 1 ⋮ ∂ ∂ y m ] Y ( y ) = [ b 11 ， ⋯ ， b m 1 ⋮ b 1 m ， ⋯ ， b m m ] [ ∂ ∂ x 1 ⋮ ∂ ∂ x m ] E ( x ) = B T [ ∂ ∂ x 1 ⋮ ∂ ∂ x m ] E ( x ) (23) 即(19)式成立。引理证毕。 m维二阶线性偏微方程在无界区域 R m 的特征值问题II ∑ k = 1 m [ 1 2 ∂ 2 Y ( y ) ∂ y k 2 − υ k ∂ Y ( y ) ∂ y k + ( λ k − r m ) Y ( y ) ] = 0 ，   y = ( y 1 ， ⋯ ， y m ) T ∈ R m (24) 其中 λ = ∑ k = 1 m λ k (25) υ k ≜ ∑ j = 1 k ( q j − r ) c j k ，   k = 1 ， ⋯ ， m (26) 引理3.1.3：若 x = B y ，则特征值问题I中方程(8)与特征值问题II中方程(24)等价。 证明：由 A = B B T ，有 ∑ k ， j = 1 m a k j ( ∂ ∂ x k ) ( ∂ ∂ x j ) E ( x ) = [ ∂ ∂ x 1 ⋮ ∂ ∂ x m ] T A [ ∂ ∂ x 1 ⋮ ∂ ∂ x m ] E ( x ) = ( B T ∇ x ) T ( B T ∇ x ) E ( x ) = ( ∇ y ) T ( ∇ y ) Y ( y ) (27) 记 C ≜ ( B T ) − 1 ，由引理3.1.1矩阵 C 为正线上三角矩阵。 由(18)式有 C [ ∂ ∂ y 1 ⋮ ∂ ∂ y m ] = [ ∂ ∂ x 1 ⋮ ∂ ∂ x m ] (28) 由矩阵乘法 [ ∑ p = 1 m c 1 p ∂ ∂ y p ⋮ ∑ p = 1 m c m p ∂ ∂ y p ] = [ ∂ ∂ x 1 ⋮ ∂ ∂ x m ] (29) 从而 ∂ ∂ x k = ∑ p = 1 m c k p ∂ ∂ y p (30) ∑ k = 1 m ( r − q k ) ∂ E ( x ) ∂ x k = ∑ k = 1 m ( r − q k ) ∑ p = 1 m c k p ∂ Y ( y ) ∂ y p = ∑ p = 1 m [ ∑ k = 0 m c k p ( r − q k ) ] ∂ Y ( y ) ∂ y p (31) 由于 C 为正线上三角矩阵，有 ∑ k = 0 m c k p ( r − q k ) = ∑ k = 0 p c k p ( r − q k ) (32) 记 υ p ≜ ∑ k = 1 p ( q k − r ) c k p ，   p = 1 ， ⋯ ， m (33) 即有 ∑ k = 1 m ( r − q k ) ∂ E ( s ) ∂ x k = − ∑ p = 1 m υ p ∂ Y ( y ) ∂ y p (34) 由(27)，(34)两式即知方程(8)与方程(24)等价。引理证毕。 引理3.1.4：特征值问题II的特征值 (35) 所对应的特征函数为 Y ( y ) = Y β ( y ) = e ∑ k = 1 m α k y k e i ∑ k = 1 m β k y k (36) 其中 υ ≜ ( υ 1 ， ⋯ ， υ m ) T ， υ p = ∑ k = 1 p ( q k − r ) c k p ，   p = 1 ， ⋯ ， m 。 证明：由分离变量法容易求解特征值问题II： 令 Y ( y ) = ∏ k = 1 m Y k ( y k ) (37) 则 1 2 d 2 Y k ( y k ) d y k 2 − υ k d Y k ( y k ) d y k + ( λ k − r m ) Y k ( y k ) = 0 (38) Y k ( y k ) = e α k y k (39) 1 2 α k 2 − υ k α k + ( λ k − r m ) = 0 (40) α k = υ k ± υ k 2 − 2 ( λ k − r m ) (41) α k = υ k ± i | β k | (42) Y k = e [ υ k ± υ k 2 − 2 ( λ k − r m ) ] y k = e υ k y k e ± i y k 2 ( λ k − r m ) − υ k 2 = e υ k y k e i y k β k ，   β k ∈ R (43) β k = ± 2 ( λ k − r m ) − υ k 2 ， β k ∈ R (44) λ k = β k 2 + υ k 2 2 + r m (45) 由(45)式，(25)式即有(35)式成立。由(37)式，(43)式即有(36)式成立。引理证毕。 由(17)和(18)式换回原变量即得特征值问题I的特征函数。于是得到 引理3.1.5：特征值问题I的特征值 λ = λ β = ∑ k = 1 m λ β k = ∑ k = 1 m β k 2 + υ k 2 + 2 r m 2 ，   β = ( β 1 ， ⋯ ， β m ) T ∈ R m (46) 所对应的特征函数为 E β ( x ) = e 〈 υ ， B − 1 x 〉 e i 〈 β ， B − 1 x 〉 (47) 其中 υ ≜ ( υ 1 ， ⋯ ， υ m ) T ， υ p = ∑ k = 1 p ( q k − r ) c k p ， p = 1 ， ⋯ ， m 。 证明： Y β ( y ) = e ∑ k = 1 m υ k y k e i ∑ k = 1 m β k y k ，   υ ∈ R m ， β ∈ R m (48) y = ( y 1 ， ⋯ ， y m ) T y = B − 1 x Y β ( y ) = e 〈 υ ， y 〉 e i 〈 β ， y 〉 = e 〈 υ ， B − 1 x 〉 e i 〈 β ， B − 1 x 〉 = E β ( x ) (49) 引理证毕。 引理3.1.6：特征值问题I的特征函数系 E β ( x ) = e 〈 υ ， B − 1 x 〉 e i 〈 β ， B − 1 x 〉 是无界区域 R m 带权函数 ρ ( x ) = e − 2 〈 υ ， B − 1 x 〉 的完备正交系；正交关系即 ∫ R m E β ( x ) E ¯ β ′ ( x ) ρ ( x ) d x = ( 2 π ) m | B | δ ( β ′ − β ) ，   β ′ ∈ R m ，   β ∈ R m (50) 证明：由于 ∫ R m E β ( x ) E ¯ β ′ ( x ) ρ ( x ) d x = ∫ R m e i 〈 β ， B − 1 x 〉 e − i 〈 β ′ ， B − 1 x 〉 d x = ∫ R m e i 〈 ( β − β ′ ) ， B − 1 x 〉 d x (51) 变量替换 B − 1 x = y (52) 则 x = B y = [ b 11 ⋯ b 1 m ⋮ ⋱ ⋮ b m 1 ⋯ b m m ] [ y 1 ⋮ y m ] = [ ∑ j = 1 m b 1 j y j ⋮ ∑ j = 1 m b m j y j ] (53) | ∂ ( x 1 ， ⋯ ， x m ) ∂ ( y 1 ， ⋯ ， y m ) | = | ∂ x 1 ∂ y 1 ⋯ ∂ x 1 ∂ y m ⋮ ⋱ ⋮ ∂ x m ∂ y 1 ⋯ ∂ x m ∂ y m | = | b 11 ⋯ b 1 m ⋮ ⋱ ⋮ b m 1 ⋯ b m m | = | B | (54) 即有变量替换的雅可比行列式 | ∂ ( x 1 ， ⋯ ， x m ) ∂ ( y 1 ， ⋯ ， y m ) | = | B | ≠ 0 ，   x ∈ R m (55) 由多重积分变量替换公式，即有 ∫ R m E β ( x ) E ¯ β ′ ( x ) ρ ( x ) d x = ∫ R m e i 〈 β ， B − 1 x 〉 e − i 〈 β ′ ， B − 1 x 〉 d x = ∫ R m e i 〈 ( β − β ′ ) ， B − 1 x 〉 d x = ∫ R m e i 〈 ( β − β ′ ) ， y 〉 | ∂ ( x 1 ， ⋯ ， x m ) ∂ ( y 1 ， ⋯ ， y m ) | d y = ∫ R m e i 〈 ( β − β ′ ) ， y 〉 | B | d y = | B | ( 2 π ) m δ ( β ′ − β ) ，   β ′ ∈ R m ，   β ∈ R m (56) 引理证毕。 由引理3.1.5与引理3.1.6的结论可以引入广义特征函数法 [ 11 ] [ 12 ] 求解定解问题I。 不妨设解 u ∈ C ( R m × [ 0 ， T ) ) ，将其表为特征函数的积分形式 u ( x ， t ) = ∫ R m U β ( t ) E β ( x ) d β (57) 将上式两边乘以 E ¯ β ′ ( x ) ρ ( x ) 再关于变量 x 在 R m 积分，利用正交关系(50)则有 (58) 得到 U β ( t ) = 1 ( 2 π ) m | B | ∫ R m u ( x ， t ) E ¯ β ( x ) ρ ( x ) d x ，   β ∈ R m (59) 将方程中的自由项 f ( x ， t ) 也表为特征函数的积分形式 f ( x ， t ) = γ ( t ) δ ( x − x ( t ) ) = ∫ R m f β ( t ) E β ( x ) d β (60) 由(59)即有 f β ( t ) = 1 ( 2π ) m | B | ∫ R m γ ( t ) δ ( x − x ( t ) ) E ¯ β ( x ) ρ ( x ) d x (61) 应用d-函数的积分性质即 f β ( t ) = γ ( t ) ( 2 π ) m | B | E ¯ β ( x ( t ) ) ρ ( x ( t ) ) = γ ( t ) ( 2 π ) m | B | e 〈 υ ， B − 1 x ( t ) 〉 e − i 〈 β ， B − 1 x ( t ) 〉 e − 2 〈 υ ， B − 1 x ( t ) 〉 = γ ( t ) ( 2 π ) m | B | e − i 〈 β ， B − 1 x ( t ) 〉 e − 〈 υ ， B − 1 x ( t ) 〉 (62) 含参变量积分与算子 L 的运算交换次序即有 L u ( x ， t ) = ∫ R m U β ( t ) L E β ( x ) d β = − ∫ R m U β ( t ) λ β E β ( x ) d β (63) 且有 ∂ u ∂ t ( x ， t ) = ∫ R m U ′ β ( t ) E β ( x ) d β (64) 由(2)式即有 φ ( x ) = u ( x ， 0 ) = ∫ R m U β ( 0 ) E β ( x ) d β (65) φ β = U β ( 0 ) = 1 ( 2 π ) m | B | ∫ R m φ ( x ) E ¯ β ( x ) ρ ( x ) d x (66) 将(60) (63) (64)式代入方程(1)即有 ∫ R m [ U ′ β ( t ) + λ β U β ( t ) − f β ( t ) ] E β ( x ) d β = 0 (67) 由特征函数系的完备正交性即有 U ′ β ( t ) + λ β U β ( t ) − f β ( t ) = 0 (68) 从而得到非齐次常微分方程的初值问题 { U ′ β ( t ) + λ β U β ( t ) − f β ( t ) = 0 ，   t > 0 U β ( 0 ) = φ β (69) 用常数变易法得到非齐次常微分方程的初值问题的解为 U β ( t ) = φ β e − λ β t + ∫ 0 t f β ( τ ) e − λ β ( t − τ ) d τ (70) u ( x ， t ) = ∫ R m U β ( t ) E β ( x ) d β = ∫ R m φ β e − λ β t E β ( x ) d β + ∫ R m [ ∫ 0 t f β ( τ ) e − λ β ( t − τ ) d τ ] E β ( x ) d β (71) u ( x ， t ) = V ( x ， t ) + w ( x ， t ) (72) V ( x ， t ) = ∫ R m φ β e − λ β t E β ( x ) d β (73) W ( x ， t ) = ∫ R m [ ∫ 0 t f β ( τ ) e − λ β ( t − τ ) d τ ] E β ( x ) d β (74) 将(62)代入方程(74)即有 W ( x ， t ) = ∫ R m [ ∫ 0 t γ ( τ ) ( 2 π ) m | B | E ¯ β ( x ( τ ) ) ρ ( x ( τ ) ) e − λ β ( t − τ ) d τ ] E β ( x ) d β = ∫ 0 t γ ( τ ) ( 2 π ) m | B | e 〈 υ ， B − 1 ( x − x ( τ ) ) 〉 e − ∑ k = 1 m υ k 2 + 2 r m 2 ( t − τ ) d τ ∫ R m e − ∑ k = 1 m β k 2 2 ( t − τ ) e i 〈 β ， B − 1 ( x − x ( τ ) ) 〉 d β = 1 ( 2 π ) m | B | ∫ 0 t e 〈 υ ， B − 1 ( x − x ( τ ) ) 〉 γ ( τ ) e − ∑ k = 1 m υ k 2 + 2 r m 2 ( t − τ ) d τ ∏ k = 1 m ∫ − ∞ ∞ e − β k 2 2 ( t − τ ) e i β k [ B − 1 ( x − x ( τ ) ) ] k d β k = 1 ( 2 π ) m | B | ∫ 0 t [ γ ( τ ) e − ∑ k = 1 m υ k 2 + 2 r m 2 ( t − τ ) d τ ∏ k = 1 m ( 2 π t − τ ) 1 2 e − { [ B − 1 ( x − x ( τ ) ) ] k } 2 2 ( t − τ ) e υ k [ B − 1 ( x − x ( τ ) ) ] k = 1 ( 2 π ) m | B | ∫ 0 t γ ( τ ) e − ∑ k = 1 m υ k 2 + 2 r m 2 ( t − τ ) d τ ∏ k = 1 m ( 2 π t − τ ) 1 2 e − { [ B − 1 ( x − x ( τ ) ) ] k } 2 2 ( t − τ ) e υ k [ B − 1 ( x − x ( τ ) ) ] k = 1 ( 2 π ) m | B | ∫ 0 t γ ( τ ) e − ∑ k = 1 m υ k 2 + 2 r m 2 ( t − τ ) d τ ∏ k = 1 m ( 2 π t − τ ) 1 2 e − { [ B − 1 ( x − x ( τ ) ) ] k − ( t − τ ) υ k } 2 2 ( t − τ ) e ( t − τ ) υ k 2 2 由于 ∑ k = 1 m [ ( B − 1 x ) k − ( B − 1 x ( τ ) ) k − ( t − τ ) υ k ] 2 = ‖ B − 1 x − B − 1 x ( τ ) − ( t − τ ) υ ‖ 2 即知 W ( x ， t ) = 1 ( 2 π ) m 2 | B | ∫ 0 t ( t − τ ) − m 2 γ ( τ ) e − r ( t − τ ) e − ‖ B − 1 x − B − 1 x ( τ ) − ( t − τ ) υ ‖ 2 2 ( t − τ ) d τ (75) 将(66)式代入(73)式即有 V ( x ， t ) = 1 ( 2 π ) m | B | ∫ R m φ ( ξ ) e − 2 〈 υ ， B − 1 ξ 〉 d ξ ∫ R m e 〈 υ ， B − 1 ξ 〉 e − i 〈 β ， B − 1 ξ − x 〉 e − λ β t e 〈 υ ， B − 1 ξ 〉 d β = 1 ( 2 π ) m | B | ∫ R m φ ( ξ ) d ξ ∏ k = 1 m e − [ υ k 2 2 + r m ] t ∫ − ∞ ∞ e − β k 2 2 t e i β k [ B − 1 ( x − ξ ) ] k d β k (76) V ( x ， t ) = 1 ( 2 π t ) m 2 | B | ∫ R m φ ( ξ ) d ξ ∏ k = 1 m e − [ υ k 2 2 + r m ] t e − { [ B − 1 ( x − ξ ) ] k } 2 2 t = 1 ( 2 π t ) m 2 | B | ∫ R m φ ( ξ ) d ξ ∏ k = 1 m e − [ υ k 2 2 + r m ] t e − { [ B − 1 ( x − ξ ) ] k } 2 − 2 [ B − 1 ( x − ξ ) ] k t υ k + [ t υ k ] 2 − [ t υ k ] 2 2 t = 1 ( 2 π t ) m 2 | B | ∫ R m φ ( ξ ) d ξ ∏ k = 1 m e − [ υ k 2 2 + r m ] t e − { [ B − 1 ( x − ξ ) ] k − t υ k } 2 − [ t υ k ] 2 2 t = e − r t ( 2 π t ) m 2 | B | ∫ R m φ ( ξ ) e − ∑ k = 1 m [ ( B − 1 x ) k − ( B − 1 ξ ) k − t υ k ] 2 2 t d ξ 由于 ∑ k = 1 m [ ( B − 1 x ) k − ( B − 1 ξ ) k − t υ k ] 2 = ‖ B − 1 x − B − 1 ξ − t υ ‖ 2 即有 V ( x ， t ) = e − r t ( 2 π t ) m 2 | B | ∫ R m φ ( ξ ) e − ‖ B − 1 x − B − 1 ξ − t υ ‖ 2 2 t d ξ (78) 即定解问题I的解中 的表达式(78)式即知(5)式成立，解中 W ( x ， t ) 的表达式(75)式即(6)式成立。定理3.1.1证毕。 附注3.1.1：在定理3.1.1的条件4)下，易证(5)式右端积分在 Ω ¯ 绝对一致收敛，则所表示的 V 在 Ω ¯ 连 续，即 V ∈ C ( Ω ¯ ) ；且易证 ∂ V ∂ x ∈ C ( Ω ) ， ∂ V ∂ t ∈ C ( Ω ) 。 3.2. m维无穷区域各向异性热传导方程的奇异内边界问题 数学模型I (m维无穷区域各向异性非齐次热传导方程齐次初始条件的奇异内边界问题)： 求 { w ( x ， t ) ; x ( t ) } ，使其满足 { ∂ w ∂ t = 1 2 ∑ k ， j = 1 m a k j ∂ 2 w ∂ x k ∂ x j + ∑ k = 1 m ( r − q k ) ∂ w ∂ x k − r w + γ ( t ) δ ( x − x ( t ) ) ， x ∈ R m ， x ( t ) ∈ R m ， 0 < t < T                                 ( 79 ) w ( x ， 0 ) = 0 ， x ∈ R m                                                                                                                                                                                                                                           ( 80 ) w ( x ( t ) ， t ) = max x ∈ R m w ( x ， t ) ，   0 < t < T                                                                                                                                                                                                 ( 81 ) lim x → − ∞ | w | < ∞ ，   lim x → ∞ | w | < ∞                                                                                                                                                                                                                                 ( 82 ) 定理3.2.1 (数学模型I的精确解)：若 1) A = ( a k j ) m × m 为m阶实对称正定矩阵， A = B B T ( B 为正线下三角矩阵)； 2) x ( t ) = ( x 1 ( t ) ， ⋯ ， x m ( t ) ) T ∈ R m ， x k ( t ) 为充分光滑的单调函数， k = 1 ， ⋯ ， m ； 3) γ ( t ) ∈ C ( [ 0 ， T ) ) ， γ ( t ) ≥ 0 ； 则数学模型I的充分光滑的精确解为 { w ( x ， t ) ; x ( t ) } ： { w ( x ， t ) = 1 ( 2π ) m 2 | B | ∫ 0 t ( t − τ ) − m 2 γ ( τ ) e − r ( t − τ ) e − ‖ B − 1 x − B − 1 x ( τ ) − ( t − τ ) υ ‖ 2 2 ( t − τ ) d τ                                                   ( 83 ) x ( t ) = t B υ + χ ， T > t > 0                                                                                                                                                               ( 84 ) 证明：定解问题I的精确解 W ( x ， t ) 表达式(6)即有(83)式满足(79)式，(80)式，(82)式三式。再令 ‖ B − 1 x − B − 1 x ( τ ) − ( t − τ ) υ ‖ 2 = 〈 B − 1 x − B − 1 x ( τ ) − ( t − τ ) υ ， B − 1 x − B − 1 x ( τ ) − ( t − τ ) υ 〉 ≜ J ( x ， t ; x ( τ ) ， τ ) ≜ J (85) 下面由引理3.2.1和引理3.2.2完成定理3.2.1的证明；也可以由引理3.2.3和引理3.2.4完成定理3.2.1的证明。记 B − 1 x ( t ) − B − 1 x ( τ ) − ( t − τ ) υ ≡ 0 ，   ∀ t ≥ τ ≥ 0 (86) 引理3.2.1：(86)式等价于(84)式。 证明：由(86)即有恒等式 B − 1 x ( t ) − t υ ≡ B − 1 x ( τ ) − τ υ ，   ∀ t ≥ τ ≥ 0 (87) 令 τ = 0 即得 B − 1 x ( t ) − t υ ≡ B − 1 x ( 0 ) 在上式两端左乘 B 矩阵即有 x ( t ) − t B υ ≡ x ( 0 ) ≜ χ (88) 即得(84)式。反之(84)式成立， ∀ t ≥ τ ≥ 0 ，有 x ( t ) − t B υ ≡ χ 和 x ( τ ) − τ B υ ≡ χ 两式，两式相减则有恒等式 x ( t ) − x ( τ ) − ( t − τ ) B υ ≡ 0 ，   ∀ t ≥ τ ≥ 0 ；在上式两端左乘 B − 1 矩阵即有(86)式成立。 引理3.2.2：若(83)式，(84)式成立；则有(81)式成立。 证明：若(84)式成立，则有(86)式成立，即有 B − 1 x ( t ) − B − 1 x ( τ ) − ( t − τ ) υ ≡ 0 ， ∀ t ≥ τ ≥ 0 e − ‖ B − 1 x ( t ) − B − 1 x ( τ ) − ( t − τ ) υ ‖ 2 2 ( t − τ ) ≡ 1 ≥ e − ‖ B − 1 x − B − 1 x ( τ ) − ( t − τ ) υ ‖ 2 2 ( t − τ ) ≥ 0 ，   ∀ x ∈ R m ，   ∀ t ≥ τ ≥ 0 (89) 由(83)式，故有(81)式成立。证毕。 由引理3.2.1和引理3.2.2即知(83) (84)式满足(81)式，从而满足数学模型I。证毕。 引理3.2.3：当(83)和(84)式成立时，则有 (a) ∂ w ∂ x k > 0 ，   ( x ， t ) ∈ Ω − ，   k = 1 ， ⋯ ， m ；(b) ∂ w ∂ x k < 0 ，   ( x ， t ) ∈ Ω + ，   k = 1 ， ⋯ ， m 。 证明：由于 J = ‖ B − 1 x − B − 1 x ( τ ) − ( t − τ ) υ ‖ 2 = ‖ C T x − C T x ( τ ) − ( t − τ ) υ ‖ 2 ∂ J ∂ x l = ∂ 〈 C T x − C T x ( τ ) − ( t − τ ) υ ， C T x − C T x ( τ ) − ( t − τ ) υ 〉 ∂ x l = 2 〈 ∂ C T x ∂ x l ， C T x − C T x ( τ ) − ( t − τ ) υ 〉 (90) C T x = [ c 11 ⋯ c m 1 ⋮ ⋱ ⋮ c 1 m ⋯ c m m ] [ x 1 ⋮ x m ] = [ ∑ j = 1 m c j 1 x j ⋮ ∑ j = 1 m c j m x j ] (91) ∂ C T x ∂ x l = ∂ ∂ x l [ ∑ j = 1 m c j 1 x j ⋮ ∑ j = 1 m c j m x j ] = [ c l 1 ⋮ c l m ] (92) ∂ J ∂ x l = 2 〈 [ c l 1 ⋮ c l m ] ， C T x − C T x ( τ ) − ( t − τ ) υ 〉 = 2 [ C T ( x − x ( τ ) − ( t − τ ) B υ ) ] T [ c l 1 ⋮ c l m ] = 2 [ x − x ( τ ) − ( t − τ ) B υ ] T C [ c l 1 ⋮ c l m ] (93) 由(93)即知，(84)式成立的充要条件是 ∂ J ∂ x l | x = x ( t ) ≡ 0 ，   l = 1 ， 2 ， ⋯ ， m (94) 又由 ∂ w ∂ x l ( x ， t ) = − 1 2 ( 2π ) m 2 | B | ∫ 0 t ( t − τ ) − m 2 − 1 γ ( τ ) e − r ( t − τ ) e − ‖ B − 1 x − B − 1 x ( τ ) − ( t − τ ) υ ‖ 2 2 ( t − τ ) ∂ J ∂ x l d τ (95) ∂ J ∂ x l = 2 〈 [ c l 1 ⋮ c l m ] ， C T x − C T x ( τ ) − ( t − τ ) υ 〉 (96) ∂ J ∂ x l = 2 ( C T x − C T x ( τ ) − ( t − τ ) υ ) T [ c l 1 ⋮ c l m ] = 2 ( x − x ( τ ) − ( t − τ ) B υ ) T C [ c l 1 ⋮ c l m ] (97) (a) ( x ， t ) ∈ Ω − ，   − ∞ < x < x ( t ) ，   ∀ t > 0 x − x ( τ ) − ( t − τ ) B υ < x ( t ) − x ( τ ) − ( t − τ ) B υ ≡ 0 即有 x − x ( τ ) − ( t − τ ) B υ < 0 (98) 由引理3.1.1中3)'的结论即得 ∂ J ∂ x l < 0 ， l = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ；再由(95)式即有 ∀ ( x ， t ) ∈ Ω − ，   ∂ w ∂ x l ( x ( t ) ， t ) > 0 ，   l = 1 ， 2 ， ⋯ ， m (99) 从而有 w ( x ( t ) ， t ) = max x ∈ ( − ∞ ， x ( t ) ] w ( x ， t ) ，   0 < t < T (100) 同理 (b) ( x ， t ) ∈ Ω + ，   ∂ w ∂ x l ( x ( t ) ， t ) < 0 ，   l = 1 ， 2 ， ⋯ ， m (101) 从而有 w ( x ( t ) ， t ) = max x ∈ [ x ( t ) ， ∞ ) w ( x ， t ) ，   0 < t < T (102) 引理3.2.3证毕。 记 ∂ w ∂ x l ( x ( t ) ， t ) = 0 ，   l = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ，   ∀ t ∈ ( 0 ， T ) (103) 引理3.2.4：由(83)式确定的 w ( x ， t ) ，使得(84)式与(103)式等价。 证明：由(95)式即知，当且仅当(94)式成立有(103)式成立。从而当且仅当(84)式成立时有(103)式成立。 引理3.2.4证毕。 当(83)和(84)式成立时，有引理3.2.3，引理3.2.4成立，从而有(103)式，(100)式，(102)式成立，推出(81)式成立。由此也得到定理3.2.1的证明。证毕。 附注3.2.1：定理3.2.1中解 w ( x ， t ) 由(83)式给出，它依赖于奇异源强度函数 γ ( t ) > 0 的确定。由(83)式，(86)式即知 w ( x ( t ) ， t ) = 1 ( 2 π ) m 2 | B | ∫ 0 t ( t − τ ) − m 2 γ ( τ ) e − r ( t − τ ) d τ ≜ μ ( t ) (104) 若边值函数 μ ( t ) 为已知函数，则 ∫ 0 t ( t − τ ) − m 2 γ ( τ ) e − r ( t − τ ) d τ = ( 2π ) m 2 | B | μ ( t ) (105) 是关于奇异源强度函数 γ ( t ) 作为未知函数的第一类Volterra积分方程。 附注3.2.2：奇异源强度函数 γ ( t ) 也可以是广义函数，此时积分方程为 ∫ 0 − t ( t − τ ) − m 2 γ ( τ ) e − r ( t − τ ) d τ = ( 2π ) m 2 | B | μ ( t ) (105)' 例如，若边值函数为 μ ( t ) = ( 2π ) − m 2 | B | − 1 t − m 2 e − r t ，容易验证 γ ( t ) = δ ( t ) ， t ≥ 0 是满足积分方程(105)'的解。 定解问题II (m维无穷区域各向异性齐次热传导方程非齐次初始条件的初值问题)： { ∂ V ∂ t = 1 2 ∑ k ， j = 1 m a k j ∂ 2 V ∂ x k ∂ x j + ∑ k = 1 m ( r − q k ) ∂ V ∂ x k − r V ，   x ∈ R m ，   0 < t < T                                                     ( 106 ) V ( x ， 0 ) = φ ( x ) ， x ∈ R m                                                                                                                                                                   ( 107 ) lim x → − ∞ | V | < ∞ ， lim x → ∞ | V | < ∞                                                                                                                                                                 ( 108 ) 由定理3.1.1即知定解问题II的解由(5)式给出。 定理3.2.2 (定解问题II的解的性质定理)：若 x ( t ) 由(84)式表出；则 2) 当 φ ( x ) = δ ( χ − x ) ， χ ∈ R m ；定解问题II的充分光滑的精确解可表为 V ( x ， t ) = e − r t ( 2 π t ) m 2 | B | e − 1 2 t ‖ B − 1 x − B − 1 χ − t υ ‖ 2 (109) 且 ∂ V ∂ x k > 0 ， ( x ， t ) ∈ Ω − ； ∂ V ∂ x k < 0 ， ( x ， t ) ∈ Ω + ， k = 1 ， ⋯ ， m ，满足 max x ∈ R m V ( x ， t ) = V ( x ( t ) ， t ) ， 0 < t < T 。 2) 当 φ ∈ Λ ( χ ， ∞ ) ， 0 ≤ φ ( x ) ≤ M e θ ‖ B − 1 x ‖ 2 2 T ， 0 ≤ θ < 1 ；定解问题II的充分光滑的精确解可表为 V a ( x ， t ) = e − r t ( 2 π t ) m 2 | B | ∫ ( χ ， ∞ ) φ ( ξ ) e − ‖ B − 1 x − B − 1 ξ − t υ ‖ 2 2 t d ξ (110) 且 ∂ V a ∂ x k ( x ， t ) > 0 ， ( x ， t ) ∈ Ω − ， k ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， m } ，满足 max x ∈ ( − ∞ ， x ( t ) ] V a ( x ， t ) = V a ( x ( t ) ， t ) ， 0 < t < T ； 3) 当 φ ∈ Λ ( − ∞ ， χ ) ， 0 ≤ φ ( x ) ≤ M e θ ‖ B − 1 x ‖ 2 2 T ， 0 ≤ θ < 1 ；定解问题II的充分光滑的精确解可表为 V b ( x ， t ) = e − r t ( 2 π t ) m 2 | B | ∫ ( − ∞ ， χ ) φ ( ξ ) e − ‖ B − 1 x − B − 1 ξ − t υ ‖ 2 2 t d ξ (111) 且 ∂ V b ∂ x k ( x ， t ) < 0 ， ( x ， t ) ∈ Ω + ， k ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， m } ，满足 max x ∈ [ x ( t ) ， ∞ ) V b ( x ， t ) = V b ( x ( t ) ， t ) ， 0 < t < T 。 证明：1) 当 φ ( x ) = δ ( χ − x ) ， χ ∈ R m ；且 x ( t ) = t B υ + χ ， t > 0 则由(5)式，定解问题II的解可表为 V ( x ， t ) = e − r t ( 2 π t ) m 2 | B | ∫ R m δ ( χ − ξ ) e − ‖ B − 1 x − B − 1 ξ − t υ ‖ 2 2 t d ξ = e − r t ( 2 π t ) m 2 | B | e − 1 2 t ‖ B − 1 x − B − 1 χ − t υ ‖ 2 (112) 0 ≡ ‖ B − 1 x ( t ) − B − 1 χ − t υ ‖ 2 ≤ ‖ B − 1 x − B − 1 χ − t υ ‖ 2 (113) e − 1 2 t ‖ B − 1 x − B − 1 χ − t υ ‖ 2 ≤ e − 1 2 t ‖ B − 1 x ( t ) − B − 1 χ − t υ ‖ 2 (114) V ( x ， t ) ≤ V ( x ( t ) ， t ) = e − r t ( 2 π t ) m 2 | B | (115) 满足 max x ∈ R m V ( x ， t ) = V ( x ( t ) ， t ) ， 0 < t < T 。 与下面2)中的证明方法类似可证： ∂ V ∂ x k > 0 ， ( x ， t ) ∈ Ω − ； ∂ V ∂ x k < 0 ， ( x ， t ) ∈ Ω + ， k = 1 ， ⋯ ， m 。 2) 当 φ ∈ Λ ( χ ， ∞ ) ， 0 ≤ φ ( x ) ≤ M e θ ‖ B − 1 x ‖ 2 2 T ， 0 ≤ θ < 1 ；定解问题II的充分光滑的精确解 V a ( x ， t ) 可由(110)表出，记 I ≜ ‖ B − 1 x − B − 1 ξ − t υ ‖ 2 = ‖ C T x − C T ξ − t υ ‖ 2 = 〈 C T x − C T ξ − t υ ， C T x − C T ξ − t υ 〉 由(110)有 ∂ V a ∂ x k = − 1 2 t e − r t ( 2 π t ) m 2 | B | ∫ ( χ ， ∞ ) φ ( ξ ) e − 1 2 t ‖ C T x − C T ξ − t υ ‖ 2 ∂ I ∂ x k d ξ (116) ∂ I ∂ x k = ∂ 〈 C T x − C T ξ − t υ ， C T x − C T ξ − t υ 〉 ∂ x k = 2 〈 ∂ C T x ∂ x k ， C T x − C T ξ − t υ 〉 (117) C T x = [ c 11 ⋯ c m 1 ⋮ ⋱ ⋮ c 1 m ⋯ c m m ] [ x 1 ⋮ x m ] = [ ∑ j = 1 m c j 1 x j ⋮ ∑ j = 1 m c j m x j ] (118) ∂ C T x ∂ x k = ∂ ∂ x k [ ∑ j = 1 m c j 1 x j ⋮ ∑ j = 1 m c j m x j ] = [ c k 1 ⋮ c k m ] (119) ∂ I ∂ x k = 2 〈 ∂ C T x ∂ x k ， C T x − C T ξ − t υ 〉 = 2 〈 [ c k 1 ⋮ c k m ] ， C T x − C T ξ − t υ 〉 = 2 ( C T x − C T ξ − t υ ) T [ c k 1 ⋮ c k m ] (120) 由 ( x ， t ) ∈ Ω − ， − ∞ < x < x ( t ) ;   ξ ∈ ( χ ， ∞ ) ， χ < ξ < ∞ 有 x − ξ − t B υ < x ( t ) − χ − t B υ ≡ 0 即 x − ξ − B υ t < 0 (121) 再由引理3.1.1中3)'的结论即得 ∂ I ∂ x k = 2 ( x − ξ − t B υ ) T C [ c k 1 ⋮ c k m ] < 0 ，   k ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， m } (122) 从而 ∂ V a ∂ x k = − 1 2 t e − r t ( 2 π t ) m 2 | B | ∫ ( χ ， ∞ ) φ ( ξ ) e − 1 2 t ‖ B − 1 x − B − 1 ξ − υ t ‖ 2 ∂ I ∂ x k d ξ > 0 ，   k ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， m } (123) 即有 ∂ V a ∂ x k ( x ， t ) > 0 ， ( x ， t ) ∈ Ω − ， k ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， m } (124) 故满足 max x ∈ ( − ∞ ， x ( t ) ] V a ( x ， t ) = V a ( x ( t ) ， t ) ， 0 < t < T ； 3)当 φ ∈ Λ ( − ∞ ， χ ) ， 0 ≤ φ ( x ) ≤ M e θ ‖ B − 1 x ‖ 2 2 T ， 0 ≤ θ < 1 ；定解问题II的充分光滑的精确解 V b ( x ， t ) 可由(111)式表出。当 ( x ， t ) ∈ Ω + ， x ( t ) < x < ∞ ;   ξ ∈ ( − ∞ ， χ ) ， − ∞ < ξ < χ ; x − ξ − t B υ > x ( t ) − χ − t B υ ≡ 0 (125) 与2)中证明类似，由引理3.1.1中3)'的结论即得 ∂ I ∂ x k = 2 ( x − ξ − t B υ ) T C [ c k 1 ⋮ c k m ] > 0 ，   k ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， m } (126) 从而 ∂ V b ∂ x k ( x ， t ) < 0 ，   ( x ， t ) ∈ Ω + ，   k ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， m } (127) 故满足 max x ∈ [ x ( t ) ， ∞ ) V b ( x ， t ) = V b ( x ( t ) ， t ) ，   0 < t < T 。证毕。 数学模型II (m维无穷区域各向异性非齐次热传导方程非齐次初始条件的奇异内边界问题)： 求 { u ( x ， t ) ; x ( t ) } 使其满足 定理3.2.3 (数学模型II奇异内边界问题解的存在定理)：若 1) A = ( a k j ) m × m 为m阶实对称正定矩阵， A = B B T ( B 为正线下三角矩阵)， 2) γ ( t ) ∈ C ( [ 0 ， ∞ ) ) ， γ ( t ) ≥ 0 ， 3) φ ( x ) = δ ( x − χ ) ； 则数学模型II存在充分光滑的精确解 { u ( x ， t ) ， x ( t ) } ： { u ( x ， t ) = w ( x ， t ) + V ( x ， t )                                                                                                         ( 132 ) x ( t ) = t B υ + χ ， T > t > 0                                                                                                             ( 133 ) 其中 V ( x ， t ) = e − r t ( 2 π t ) m 2 | B | e − 1 2 t ‖ B − 1 x − B − 1 χ − t υ ‖ 2 (134) w ( x ， t ) = 1 ( 2 π ) m 2 | B | ∫ 0 t ( t − τ ) − m 2 γ ( τ ) e − r ( t − τ ) e − ‖ B − 1 x − B − 1 x ( τ ) − ( t − τ ) υ ‖ 2 2 ( t − τ ) d τ (135) 证明：由定理3.2.1，定理3.2.2即得。证毕。 推论3.2.1 (数学模型II奇异内边界问题解的存在定理)：若 1) A = ( a k j ) m × m 为m阶实对称正定矩阵， A = B B T ( B 为正线下三角矩阵)； 2) γ ( t ) = δ ( t ) ， t ≥ 0 ； 3) φ ( x ) = δ ( x − χ ) ； 则数学模型II存在充分光滑的精确解 { u ( x ， t ) ， x ( t ) } ： { u ( x ， t ) = w ( x ， t ) + V ( x ， t ) = 2 t − m 2 e − r t ( 2 π ) m 2 | B | e − ‖ B − 1 x − B − 1 x ( t ) ‖ 2 2 t                                                                     ​ ( 136 ) x ( t ) = t B υ + χ ， T > t > 0                                                                                                                                                 ​ ( 137 ) 其中 V ( x ， t ) = t − m 2 e − r t ( 2 π ) m 2 | B | e − ‖ B − 1 x − B − 1 x ( t ) ‖ 2 2 t (138) w ( x ， t ) = t − m 2 e − r t ( 2 π ) m 2 | B | e − ‖ B − 1 x − B − 1 x ( t ) ‖ 2 2 t (139) 3.3. m维各向异性齐次热传导方程非齐次初始条件的自由边界问题II a 和II b 问题II a (m维各向异性齐次热传导方程非齐次初始条件在区域 Ω − 上的自由边界问题)： 求 { u ( x ， t ) ， x ( t ) } ，使其满足 { ∂ u ∂ t = 1 2 ∑ k ， j = 1 m a k j ∂ 2 u ∂ x k ∂ x j + ∑ k = 1 m ( r − q k ) ∂ u ∂ x k − r u ，   x ∈ ( − ∞ ， x ( t ) ) ，   0 < t < T                                                       ​ ( 140 ) u ( x ， 0 ) = φ ( x ) ， x ∈ R m                                                                                                                                                                                       ​ ( 141 ) u ( x ( t ) ， t ) = max x ∈ ( − ∞ ， x ( t ) ] u ( x ， t ) ，   0 < t < T                                                                                                                                               ​ ( 142 ) lim x → − ∞ | u | < ∞                                                                                                                                                                                                                       ​ ( 143 ) 定理3.3.1 (自由边界问题II a 解的存在定理)：若 1) A = ( a k j ) m × m 为m阶实对称正定矩阵， A = B B T ( B 为正线下三角矩阵)， 2) γ ( t ) ∈ C ( [ 0 ， ∞ ) ) ， γ ( t ) ≥ 0 ， 3) φ ∈ Λ ( χ ， ∞ ) ， 0 ≤ φ ( x ) ≤ M e θ ‖ B − 1 x ‖ 2 2 T ， 0 ≤ θ < 1 ； 则自由边界问题II a 存在充分光滑的精确解 { u ( x ， t ) ， x ( t ) } ： { u ( x ， t ) = w ( x ， t ) + V a ( x ， t )                                                                                                                 ​ ( 144 ) x ( t ) = t B υ + χ ， T > t > 0                                                                                                             ​         ( 145 ) 其中 V a ( x ， t ) = e − r t ( 2 π t ) m 2 | B | ∫ ( χ ， ∞ ) φ ( ξ ) e − ‖ B − 1 x − B − 1 ξ − t υ ‖ 2 2 t d ξ (146) w ( x ， t ) = 1 ( 2 π ) m 2 | B | ∫ 0 t ( t − τ ) − m 2 γ ( τ ) e − r ( t − τ ) e − ‖ B − 1 x − B − 1 x ( τ ) − ( t − τ ) υ ‖ 2 2 ( t − τ ) d τ (147) 证明：由于当 x ≠ x ( t ) 时， δ ( x − x ( t ) ) ≡ 0 ，故当 x ∈ ( − ∞ ， x ( t ) ) 时， w ( x ， t ) 满足齐次方程(140)，从而(144)式满足(140) (141) (143)三式；由引理3.2.3证明中(100)式有 w ( x ( t ) ， t ) = max x ∈ ( − ∞ ， x ( t ) ] w ( x ， t ) ， 0 < t < T ，又定理3.2.2证明了 V a ( x ， t ) 满足 max x ∈ ( − ∞ ， x ( t ) ] V a ( x ， t ) = V a ( x ( t ) ， t ) ， 0 < t < T ；即有 max x ∈ ( − ∞ ， x ( t ) ] u ( x ， t ) = max x ∈ ( − ∞ ， x ( t ) ] w ( x ， t ) + max x ∈ ( − ∞ ， x ( t ) ] V a ( x ， t ) = w ( x ( t ) ， t ) + V a ( x ( t ) ， t ) = u ( x ( t ) ， t ) ，   0 < t < T 即得(142)式成立。证毕。 推论3.3.1 (自由边界问题II a 解的存在定理)：若 1) A = ( a k j ) m × m 为m阶实对称正定矩阵， A = B B T ( B 为正线下三角矩阵)， 2) γ ( t ) = δ ( t ) ， t ≥ 0 3) φ ∈ Λ ( χ ， ∞ ) ， 0 ≤ φ ( x ) ≤ M e θ ‖ B − 1 x ‖ 2 2 T ， 0 ≤ θ < 1 ； 则自由边界问题II a 存在充分光滑的精确解 ： { u ( x ， t ) = w ( x ， t ) + V a ( x ， t )                                                                                                               ( 148 ) x ( t ) = t B υ + χ ， T > t > 0                                                                                                                     ​ ( 149 ) 其中 V a ( x ， t ) = e − r t ( 2 π t ) m 2 | B | ∫ ( χ ， ∞ ) φ ( ξ ) e − ‖ B − 1 x − B − 1 ξ − t υ ‖ 2 2 t d ξ (150) w ( x ， t ) = e − r t ( 2 π t ) m 2 | B | e − ‖ B − 1 x − B − 1 x ( t ) ‖ 2 2 ( t − ϑ ) (151) 问题II b (m维各向异性齐次热传导方程非齐次初始条件在区域 Ω + 上的自由边界问题)： 求 { u ( x ， t ) ， x ( t ) } ，使其满足 { ∂ u ∂ t = 1 2 ∑ k ， j = 1 m a k j ∂ 2 u ∂ x k ∂ x j + ∑ k = 1 m ( r − q k ) ∂ u ∂ x k − r u ， x ∈ ( x ( t ) ， ∞ ) ， 0 < t < T                                         ( 152 ) u ( x ， 0 ) = φ ( x ) ，   x ∈ R m                                                                                                                                                                       ( 153 ) u ( x ( t ) ， t ) = max x ∈ [ x ( t ) ， ∞ ) u ( x ， t ) ， 0 < t < T                                                                                                                               ( 154 ) lim x → ∞ | u | < ∞                                                                                                                                                                                                         ( 155 ) 定理3.3.2 (自由边界问题II b 解的存在定理)：若 1) A = ( a k j ) m × m 为m阶实对称正定矩阵， A = B B T ( B 为正线下三角矩阵)； 2) γ ( t ) ∈ C ( [ 0 ， ∞ ) ) ， γ ( t ) ≥ 0 ， 3) φ ∈ Λ ( − ∞ ， χ ) ， 0 ≤ φ ( x ) ≤ M e θ ‖ B − 1 x ‖ 2 2 T ， 0 ≤ θ < 1 ； 则自由边界问题II b 存在充分光滑的精确解 { u ( x ， t ) ， x ( t ) } ： { u ( x ， t ) = w ( x ， t ) + V b ( x ， t )                                                                                                                     ( 156 ) x ( t ) = t B υ + χ ， T > t > 0                                                                                                                           ( 157 ) 其中 V b ( x ， t ) = e − r t ( 2 π t ) m 2 | B | ∫ ( − ∞ ， χ ) φ ( ξ ) e − ‖ B − 1 x − B − 1 ξ − t υ ‖ 2 2 t d ξ (158) w ( x ， t ) = 1 ( 2 π ) m 2 | B | ∫ 0 t ( t − τ ) − m 2 γ ( τ ) e − r ( t − τ ) e − ‖ B − 1 x − B − 1 x ( τ ) − ( t − τ ) υ ‖ 2 2 ( t − τ ) d τ (159) 证明：由于当 时， δ ( x − x ( t ) ) ≡ 0 ，故当 x ∈ ( x ( t ) ， ∞ ) 时， w ( x ， t ) 满足齐次方程(152)，从而(156)式 满足(152) (153) (155)三式；由引理3.2.3证明中(102)式 w ( x ( t ) ， t ) = max x ∈ [ x ( t ) ， ∞ ) w ( x ， t ) ，   0 < t < T ， 定理3.2.2证明了 V b ( x ， t ) 满足 max x ∈ [ x ( t ) ， ∞ ) V b ( x ， t ) = V b ( x ( t ) ， t ) ，   0 < t < T 即得 max x ∈ [ x ( t ) ， ∞ ) u ( x ， t ) = max x ∈ [ x ( t ) ， ∞ ) w ( x ， t ) + max x ∈ [ x ( t ) ， ∞ ) V b ( x ， t ) = w ( x ( t ) ， t ) + V b ( x ( t ) ， t ) = u ( x ( t ) ， t ) ，   0 < t < T 即得(154)式成立。证毕。 推论3.3.2：(自由边界问题II b 解的存在定理)：若 1) A = ( a k j ) m × m 为m阶实对称正定矩阵， A = B B T ( B 为正线下三角矩阵)； 2) γ ( t ) = δ ( t ) ， t ≥ 0 ； 3) φ ∈ Λ ( − ∞ ， χ ) ， 0 ≤ φ ( x ) ≤ M e θ ‖ B − 1 x ‖ 2 2 T ， 0 ≤ θ < 1 ； 则自由边界问题II a 存在充分光滑的精确解 { u ( x ， t ) ， x ( t ) } ： { u ( x ， t ) = w ( x ， t ) + V b ( x ， t )                                                                                                                 ( 160 ) x ( t ) = t B υ + χ ， T > t > 0                                                                                                                     ( 161 ) 其中 V b ( x ， t ) = e − r t ( 2 π t ) m 2 | B | ∫ ( − ∞ ， χ ) φ ( ξ ) e − ‖ B − 1 x − B − 1 ξ − t υ ‖ 2 2 t d ξ (162) w ( x ， t ) = e − r t ( 2 π t ) m 2 | B | e − ‖ B − 1 x − B − 1 x ( t ) ‖ 2 2 t (163)