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user: 3. 定理证明 本节主要利用中心流形定理来补充证明系统(2)的一个地方病平衡点的局部稳定性条件，文献 [ 7 ] 中系统(2)存在一个地方病平衡点 E ( N * ， I * ) 的条件为： 1) R 0 > σ 2 > 1 > σ 1 ， β k ( r − d ) = 2 β k μ r [ ( 1 − q ) r − ( d + μ ) ] + μ [ β k − ( 1 − q ) r ] ， β k ( r − d ) + μ [ ( 1 − q ) r − β k ] > 0 ； 2) R 0 > 1 > σ i ， R < 1 ， i = 1 ， 2 ； 3) R 0 > σ i > 1 ， R < 1 ， i = 1 ， 2 ； 4) R 0 > σ i > 1 ， R > 1 ， β k ( r − d ) − μ [ ( 1 − q ) r − β k ] > 0 ， i = 1 ， 2 ， [ β k ( r − d ) ] 2 = 4 β k μ r [ ( 1 − q ) r − ( d + μ ) ] − μ [ ( 1 − q ) r − β k ] { [ ( 1 − q ) r − β k ] μ + 2 β k ( r − d ) } 。 证明： 在地方病 E ( N * ， I * ) 处，系统(2)的Jacobian矩阵为 J E = ( r − d − 2 r k N * − μ β k − ( 1 − q ) r k I * − β I * ) . 此时，特征方程为 λ 2 + b 1 λ − b 0 = 0 . 其中， b 1 = β k I * + 2 r N * − k ( r − d ) k ， b 0 = β [ k ( r − d ) − 2 r N * ] + μ [ ( 1 − q ) r − β k ] k I * 。 特征值为： λ 1 = − b 1 − b 1 2 + 4 b 0 2 ， λ 2 = − b 1 + b 1 2 + 4 b 0 2 . 针对条件1)，此时的地方病平衡点为 E ( N * ， I * ) ， N * = β k ( r − d ) + μ [ ( 1 − q ) r − β k ] 2 β r ， I * = ( 1 − q ) r − ( d + μ ) β − ( r − d ) [ ( 1 − q ) r − β k ] 2 β r − μ [ ( 1 − q ) r − β k ] 2 2 β 2 k r = k ( r − d ) 2 4 μ r − μ [ ( 1 − q ) r − β k ] 2 4 β 2 k r . 显然，在这种条件下 b 0 = β [ k ( r − d ) − 2 r N * ] + μ [ ( 1 − q ) r − β k ] k I * = 0 . 此时，若 b 1 < 0 成立，则会出现正的特征值，那么，地方病平衡点 E ( N * ， I * ) 不稳定；所以要求 b 1 > 0 ，若 β k ( r − d ) 2 − β k [ μ ( σ 1 − 1 ) ] 2 + 4 μ r ( σ 1 − 1 ) > 0 成立，则 b 1 > 0 。此时，特征值 λ 1 < 0 ， λ 2 = 0 ，下面用中心流形定理来判断地方病平衡点 E ( N * ， I * ) 的稳定性。 首先，对系统(2)做平移变换： N ( t ) = x ( t ) + N * ， I ( t ) = y ( t ) + I * ，将地方病平衡点 E ( N * ， I * ) 移至原点 ( 0 ， 0 ) 处，此时系统(2)变为： { d x ( t ) d t = ( r − d ) x ( t ) − 2 r k N * x ( t ) − μ y ( t ) − r k x 2 ( t ) d y ( t ) d t = β k − ( 1 − q ) r k I * x ( t ) − β I * y ( t ) + β k − ( 1 − q ) r k x ( t ) y ( t ) − β y 2 (t) 即 ( x ′ y ′ ) = ( ( r − d ) − 2 r k N ∗ − μ β k − ( 1 − q ) r k I * − β I ∗ ) ( x y ) + ( − r k x 2 β k − ( 1 − q ) r k x y − β y 2 ) . 其线性化方程对应的特征值为 λ 1 = 0 ， λ 2 = − b 1 。通过计算，可以得到 λ 1 ， λ 2 对应的特征向量分别为 ( 1 1 − σ 1 ) ， ( 1 A ) ，这里 A = β I ∗ μ 。记 T = ( 1 1 1 − σ 1 A ) ，通过变换 ( x y ) = T ( m n ) ，可以得到： ( m ′ n ′ ) = ( 0 0 0 − b 1 ) ( m n ) + T − 1 ( − r k m 2 − r k n 2 − 2 r k m n β ( 1 − σ 1 ) ( 1 − σ 1 − A ) m n + β A ( 1 − σ 1 − A ) n 2 ) . 即 { m ′ = − A r ( A + σ 1 − 1 ) k m 2 − A r ( A + σ 1 − 1 ) k n 2 − 2 A r ( A + σ 1 − 1 ) k m n + β ( 1 − σ 1 ) m n + β A n 2 n ′ = − b 1 n − r ( σ 1 − 1 ) ( A + σ 1 − 1 ) k m 2 − r ( σ 1 − 1 ) ( A + σ 1 − 1 ) k n 2 − 2 r ( σ 1 − 1 ) ( A + σ 1 − 1 ) k m n − β ( 1 − σ 1 ) m n − β A n 2 计算中心流形，假设 h ( m ) = a m 2 + b m 3 + O ( m 4 ) ，带入上面的系统，我们可以得到 a = r ( 1 − σ 1 ) ( A + σ 1 − 1 ) b 1 k ， b = − β r ( 1 − σ 1 ) 2 ( A + σ 1 − 1 ) b 1 2 k + 2 r 2 ( σ 1 − 1 ) ( σ 1 − 1 − A ) ( A + σ 1 − 1 ) 2 b 1 2 k 2 . 所以，约束在中心流形上， m ′ = − A r ( A + σ 1 − 1 ) k m 2 + O ( m 3 ) 。显然在这种情况下 A r ( A + σ 1 − 1 ) k > 0 ， ( 0 ， 0 ) 是不稳定的平衡点，因此可以得出地方病平衡点 E ( N * ， I * ) 在这种条件下是不稳定的。 针对条件2)，此时的地方病平衡点为 E ( N * ， I * ) ， N * = β k ( r − d ) + μ [ ( 1 − q ) r − β k ] + { β k ( r − d ) + μ [ ( 1 − q ) r − β k ] } 2 − 4 β k μ r [ ( 1 − q ) r − ( d + μ ) ] 2 β r ， I * = β k − ( 1 − q ) r β k N * + ( 1 − q ) r − ( d + μ ) β . 若此时 2 N * > N 0 成立，则 b 0 < 0 ， b 1 > 0 ，进而特征方程必有两个负实根或一对带负实部的复根，因此系统(2)的地方病平衡点 E ( N * ， I * ) 在这种条件下是局部稳定的。 针对条件3)，通过与条件2)相同的证明方法可以得到当满足条件： R 0 > σ i > 1 ， R < 1 ， β r ( 2 N * − N 0 ) > μ [ ( 1 − q ) r − β k ] ， i = 1 ， 2 ，地方病平衡点 E ( N * ， I * ) 是局部稳定的。 针对条件4)，通过与条件1)相同的证明方法，利用中心流形定理得到当满足条件： R 0 > σ i > 1 ， R > 1 ， β k ( r − d ) − μ [ ( 1 − q ) r − β k ] > 0 ， i = 1 ， 2 ， [ β k ( r − d ) ] 2 = 4 β k μ r [ ( 1 − q ) r − ( d + μ ) ] − μ [ ( 1 − q ) r − β k ] { [ ( 1 − q ) r − β k ] μ + 2 β k ( r − d ) } ， 地方病平衡点 E ( N * ， I * ) 是不稳定的。 证毕