DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 5. 结论 本文总结了一些常用的处理数据缺失的方法，并提出了将Gibbs抽样应用到缺失数据的填补中。在实际操作中，只要通过已知数据得到满条件分布，就可以开始迭代产生随机数，这一迭代过程可以轻松地通过R语言实现，而且Gibbs抽样的结果与已知数据的统计特征吻合程度比较高，可以比较理想地完成缺失数据的填补过程。综上，Gibbs抽样具有简单易操作，可充分利用总体的信息，不受限于小样本，且填补结果拟合程度高的优点。 但是需要指出的是，并没有哪种处理方法是普遍适用的，在实际情况中还是要根据具体问题，充分考虑每种方法的优点和缺点以及适用情况之后再选择最合适的方法进行数据填补。还有一点值得注意的是，Gibbs抽样并非真正的随机抽样，它每一步的抽样都是上一步的函数，只是上一步的抽样是随机的，所以利用Gibbs抽样得到的数据实际上是Markov链。
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user: 摘 要 轨迹规划是四足机器人研究的关键，合理的足端轨迹有助于减少四足机器人足端触地时的冲击，本文根据零冲击原则规划了三条四足机器人的足端轨迹。对各条足端轨迹进行虚拟样机仿真分析，根据功率最优原则，针对不同的步态选择相应最优的足端轨迹，为类似问题的实现开辟了新思路和新途径。 关键词 :四足机器人，步态规划，轨迹规划
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user: 1. 引言 轨迹规划是四足机器人研究的关键，合理的足端轨迹有助于减少四足机器人足端触地时的冲击，而且，足端轨迹对四足机器人的动力学特性有着重要影响。由于本论文所研究的四足机器人几何尺寸较大，系统需要的总功率较大，而过大的系统总功率会造成动力系统的质量和几何尺寸增加，对四足机器人的运动特性不利 [ 1 ] 。所以，减少驱动的功率，是本论文重要内容。这里提出的功率最优原则，即希望四足机器人在行走过程中的最大液压缸驱动功率最小。据此，可以降低系统总功率并减小动力系统的质量和几何尺寸。 本文将对四足机器人的足端轨迹进行规划。将数学中的复合摆线和多项式曲线引入到足端轨迹的规划中，根据零冲击原则 [ 2 ] ，规划出3条满足要求的足端轨迹，包括：复合摆线轨迹、八次多项式轨迹和分段五次多项式轨迹。并基于功率最优原则选择最优的足端轨迹。 论文基于功率最优原则的足端轨迹规划，仅针对walk步态进行，即间歇步态和协调步态这两种典型的静步态。这是由于walk步态的稳定性较好，不同的足端轨迹对walk步态行走稳定性的影响可以忽略不计，但trot步态属于动步态，通过虚拟样机仿真发现足端轨迹对trot步态的稳定性有一定影响，足端冲击会因为足端轨迹的不同而产生很大的变化 [ 3 ] 。因此，trot步态不适用于本章所进行的足端轨迹规划方法，本章的足端轨迹规划仅针对walk步态进行。
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user: 2. 足端轨迹约束方程 2.1. 四足机器人几何结构 四足机器人的拓扑结构选择前肘后膝式 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] ，驱动方案选择液压驱动，四条腿尺寸相同，前后和左右腿对称，四足机器人的三维结构如图1所示。四足机器人的躯体和四条腿的主体材料选择7075航空合金铝，7075航空合金铝具有密度小、强度高的特点，适合本课题四足机器人的使用。 如表1所示，为四足机器人的结构参数表。 2.2. 足端轨迹约束方程 令占空比 ，则在 ，足端处于摆动相，在 ，足端处于支撑相，这样便于绘制足端轨迹的曲线 [ 3 ] 。设水平方向为X方向，竖直方向为Y方向，根据四足机器人足端运动位置的要求，可确定足端轨迹在水平方向(X方向)和竖直方向(Y方向)的位移方程如下。 水平方向(X方向)： 图1. 四足机器人三维结构图 Table 1 Structure parameters of quadruped robo 参数 数值 长度 2066 mm 宽度 840 mm 高度 1517 mm 质量 183.8 kg 表1. 四足机器人结构参数表 (1) 竖直方向(Y方向)： (2) 为了减小四足机器人在摆动相和支撑相切换瞬间的冲击和惯性力，基于零冲击原则，希望在理想状态下足端触地时的速度和加速为零。那么，需要足端轨迹曲线在水平方向和竖直方向上的速度和加速度满足如下公式。 水平方向(X方向)： (3) (4) 竖直方向(Y方向)： (5) (6)
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user: 3. 足端轨迹规划 根据足端轨迹约束方程可推导满足要求的足端轨迹方程，并利用MATLAB绘制相应的足端轨迹曲线。设 ，在推导足端轨迹方程的过程中，用 代替 进行推导。设定步长 ，步高 ， 。 3.1. 复合摆线轨迹 3.1.1. 摆动相足端轨迹 对于水平方向(X方向)，为了满足加速度约束条件，即公式(4)，可令水平方向轨迹的加速度函数为 。将上式对时间求积分，并代入水平方向速度约束条件，即公式(3)，可得到水平方向轨迹的速度函数为 。将上式对时间求积分，并代入水平方向位移约束条件，即公式(1)，可求得 ，水平方向足端轨迹曲线为 。对于竖直方向(Y方向)，当 时，为了满足加速度约束条件，即公式(6)，可令竖直方向轨迹的加速度函数为 。将上式对时间求积分，并代入速度约束条件，即公式(5)，可得到竖直方向轨迹的速度函数为 。将上式对时间求积分，并代入位移约束条件，即公式(5)，可求得 ，竖直方向足端轨迹曲线为： 。同理可得，当 时， 。 综上，复合摆线轨迹的摆动相足端轨迹曲线函数为： (7) 3.1.2. 支撑相足端轨迹 相比于摆动相的足端轨迹，支撑相的足端轨迹比较简单：支撑相水平方向的位移曲线与摆动相的关于 对称；竖直方向的位移始终为零。所以，复合摆线轨迹的支撑相足端轨迹曲线函数为： (8) 3.1.3. 复合摆线轨迹的运动曲线 根据轨迹方程，利用MATLAB可得到复合摆线轨迹的运动曲线，如图2所示。 3.2. 八次多项式轨迹 3.2.1. 摆动相足端轨迹 除了复合摆线轨迹，高次多项式轨迹也能够很好地拟合足端轨迹曲线，并满足约束条件。所以，可以通过多项式推导足端轨迹方程。 图2. 复合摆线轨迹运动曲线 对于水平方向(X方向)，约束条件有6个，则设水平方向足端轨迹为五次多项式： (9) 将上式代入到水平方向约束方程中，可得水平方向足端轨迹曲线为： 。对于竖直方向(Y方向)，约束条件有9个，则设竖直方向足端轨迹为八次多项式： (10) 将上式代入到竖直方向约束方程中，即公式(2)、(5)和(6)，计算得到竖直方向足端轨迹曲线为： (11) 综上，八次多项式轨迹的摆动相足端轨迹曲线函数为： (12) 3.2.2. 支撑相足端轨迹 相比于摆动相的足端轨迹，支撑相的足端轨迹比较简单：支撑相水平方向的位移曲线与摆动相的关于 对称；竖直方向的位移始终为零。所以，八次多项式轨迹的支撑相足端轨迹曲线函数为： (13) 3.3. 分段五次多项式轨迹 3.3.1. 摆动相足端轨迹 八次多项式轨迹的竖直方向轨迹利用了9个约束条件，如果能够采用分段多项式轨迹的方法，可以利用12个约束条件，拟合效果更好。 分段五次多项式轨迹的水平方向(X方向)轨迹与八次多项式轨迹的相同，都是五次多项式轨迹；竖直方向(Y方向)采用分段五次多项式轨迹。 当 时，设竖直方向轨迹曲线为： (14) 将上式代入到竖直方向约束方程中，即公式(2)、(5)和(6)，计算得到竖直方向足端轨迹曲线为： (15) 同理可得，当 时，竖直方向足端轨迹曲线为 (16) 综上，分段五次多项式轨迹的足端轨迹曲线函数为： (17) 3.3.2. 支撑相足端轨迹 相比于摆动相的足端轨迹，支撑相的足端轨迹比较简单：分段五次多项式轨迹的支撑相水平方向的位移曲线与八次多项式轨迹的相同；竖直方向的位移始终为零。所以，八次多项式轨迹的支撑相足端轨迹曲线函数为： (18)
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user: 4. 基于功率最优的足端轨迹仿真 4.1. 足端接触力的设置 足端接触力(contact)的设置是ADAMS虚拟样机建模的重要内容。足端接触力由两部分力组成，即：接触正压力和摩擦力。接触正压力采用冲击函数法计算，摩擦力采用Coulomb法进行计算。 4.1.1. 接触正压力计算模型 根据赫兹接触理论，计算接触正压力时，采用冲击(impact)函数构造的非线性等效弹簧-阻尼模型作为计算模型。在该计算模型中，接触正压力由两部分组成，即：两个构件由于弹性变形而产生的相互之间的弹性力，以及由于相对速度产生的阻尼力。接触正压力满足下式： (19) 式中： ——接触正压力(N)； ——赫兹接触刚度(N/mm 3/2 )； ——接触点的法向穿透深度(mm)； ——接触指数； ——阻尼系数(N∙s/mm)； ——接触点的法向相对速度(mm/s)。 接触刚度 表示接触面的刚度。一般情况下， 值越大，越能模拟接触的实际情况；但如果 值过大，会导致积分求解困难，仿真时间过长。对于旋转物体的碰撞， 值可根据下式来确定： (20) 式中： ——碰撞半径(mm)， ， 和 分别是两个构件在碰撞点的半径； ——碰撞弹性模量(MPa)， ， 和 分别代表两个构件的弹性模量， 和 分别代表两个构件的泊松比。 阻尼系数 表征碰撞能量损失的程度。当两构件开始接触后，阻尼系数 是法向穿透深度 的三次函数；当法向穿透深度增大到临界值 后，阻尼系数达到最大值 ，并且随着法向穿透深度的继续增大，阻尼系数保持 不变。接触指数 表征材料的非线性度，金属材料取1.3~1.5，橡胶材料取2~3。 4.1.2. 摩擦力计算模型 接触力中的摩擦力可以表达为：接触正压力与摩擦系数的乘积，即： (21) 摩擦力是非线性摩擦力，静摩擦和动摩擦根据接触物体的相对滑动速度进行切换，摩擦系数 也随之变化。当相对滑动速度满足 时，即相对滑动速度小于静摩擦转变系数时，摩擦属于静摩擦，摩擦系数 随着相对滑动速度的增大而逐渐增大到最大静摩擦系数 ；当相对滑动速度的绝对值大于静摩擦转变速度 ，且不大于动摩擦转变速度 时，即 时，属于静摩擦向动摩擦的过渡状态，摩擦系数 随着相对滑动速度的增大而逐渐减小到动摩擦系数 ；当 后，即相对滑动速度大于动摩擦转变系数时，属于动摩擦状态，摩擦系数 保持动摩擦系数 值不变。 4.1.3. 接触力参数 根据接触力模型原理，并参考其它文献中的相关内容，接触力(contact)模型的参数如表2所示。 4.2. 足端轨迹的虚拟样机仿真 利用第2节建立的四足机器人虚拟样机模型对规划的三种足端轨迹进行仿真，仿真时采用的步态为间歇步态和协调步态。步态参数：占空比 ，步长 ，步高 ，周期 ，仿真时长为4个步态周期。通过虚拟样机仿真得到液压缸驱动功率曲线，通过比较不同足端轨迹的驱动功率曲线，选出最优的足端轨迹。 4.2.1. 间歇步态足端轨迹仿真 以间歇步态对四足机器人虚拟样机进行仿真，得到左后大腿液压缸驱动功率曲线如图3所示。 4.2.2. 协调步态足端轨迹仿真 以协调步态对四足机器人虚拟样机进行仿真，得到左后大腿液压缸驱动功率曲线如图4所示。 4.2.3. 足端轨迹仿真分析 根据图3和图4可知，四足机器人的某一条腿在摆动相结束接触地面的瞬间，该腿上的液压缸驱动功率最大。这是由于足端接触地面时有冲击，液压缸推力瞬间增大造成的。通过比较图3的三条功率变化曲线，可以看出复合摆线轨迹的最大功率是三种足端轨迹中最小的；通过比较图4的三条功率变化曲线，可以看出分段五次多项式轨迹的最大功率是三种足端轨迹中最小的。所以，间歇步态采用复合摆线 Table 2 Parameter table of contact force mode 名称 数值 赫兹接触刚度 50 N/mm 3/2 阻尼系数 5 N∙s/mm 接触指数 2.2 接触点临界法向穿透深度 0.1 mm 最大静摩擦系数 0.9 最大动摩擦系数 0.9 静摩擦转变速度 1.0 mm/s 动摩擦转变速度 2.0 mm/s 表2. 接触力模型参数表 图3. 间歇步态左后大腿液压缸驱动功率曲线 图4. 协调步态右后大腿液压缸驱动功率曲线 轨迹，协调步态采用分段五次多项式轨迹。
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user: 5. 结论 本文首先从减少足端与地面接触冲击的角度，确定了四足机器人的足端轨迹约束方程。然后，在约束方程的基础上，规划了三种满足约束条件的足端轨迹：复合摆线轨迹、八次多项式轨迹和分段五次多项式轨迹。最后，建立四足机器人ADAMS虚拟样机模型，采用规划的间歇步态和协调步态，对三种足端轨迹进行虚拟样机仿真，并根据驱动功率最优的原则，优选合适的足端轨迹，即：间歇步态选择复合摆线轨迹，协调步态选择分段五次多项式轨迹。合理的足端轨迹规划和步态规划是四足机器人行走的必要条件，而基于驱动功率最优原则的足端轨迹规划，为四足机器人找到了最为节能的足端轨迹。
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user: 摘 要 利用全球和区域气候模式，所有研究结果考虑人类排放增加的各种情景，预估的中国暖日和暖夜将增加，冷日和冷夜将减少，中国热浪频次明显增加，强度增强，中国极端强降水频次将可能增加，强度更强，尤以长江流域更明显。当全球温升控制目标从1.5℃增加到5.0℃，中国热浪频次将增加和强度增强，极端强降水的强度和频次也可能增强和增加。例如，考虑RCP8.5高排放情景，当全球达到2℃温升控制目标(约2037~2038年)时，与目前气候(1971~2000年)对比，每年中国热浪日数将增加7天，中国极端强降水量(R99p)将可能增加38毫米。由于气候模式的不确定性以及人类排放情景的复杂性，未来中国气候变化的预估仍存在较大的不确定性，尤其是降水的预估，有待更多的研究做进一步的验证。 关键词 :综述，预估，热浪，极端强降水，气候模式，中国
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user: 1. 引言 热浪和极端强降水事件对人类健康和社会生产的影响非常显著。进入21世纪以来，观测到的全球热浪和极端强降水发生的频次增多以及强度增强，并造成巨大的经济损失，因而引起更大的关注 [ 1 ] [ 2 ] 。观测到的中国近30年热浪与极端强降水的频次和强度也明显增加 [ 3 ] [ 4 ] 。 国外做未来热浪与极端强降水预估大多采用全球和区域气候模式，考虑未来各种人类排放情景和气候系统内部相互作用，做出本世纪未来几十年全球或区域的极端气候事件变化的预估。也有些研究用同样的方法，预估未来达到各种温升控制目标时，如未来全球升温1.5℃，2.0℃或更高，计算高温和极端强降水的变化的预估。计算方法主要采用的模式来自第三次和第五次全球气候模式对比计划给出的全球气候模式和地球系统模式，(简称CMIP3和CMIP5)，未来预估的人类排放情景分别选用各国政府间气候变化委员会IPCC给出的SRES A2 (高排放)、A1B (中排放)和B1 (低排放)，以及RCP2.6 (低排放)、RCP4.5 (中低排放)、RCP6.0 (中排放)和RCP8.5 (高排放)。计算未来预估的变化是相对于目前气候态的变化，其气候态一般取20世纪后几十年的平均表示，或取20世纪后期到21世纪初期的几十年的平均表示 [ 1 ] [ 2 ] 。这些研究方法存在的问题是，一方面全球气候模式对于模拟区域尺度气候变化特别是极端气候事件的变化的可靠性较低，另一方面人类排放情景是设定的，不一定是真实的排放。这些都有待进一步的改进。 未来中国的热浪与极端强降水如何变化是人们关注的焦点，类似国外的研究，国内目前做未来气候变化预估主要应用的工具也是第三次和第五次全球气候模式对比计划(分别简称CMIP3和CMIP5)提供的模式，以及区域气候模式的计算结果，经过与观测对比评估检验表明，大多数CMIP3和CMIP5模式以及区域气候模式能够较好的模拟出中国热浪和极端强降水的空间分布特征和热浪的时间变化特征，但是模拟极端强降水的时间变化特征稍差 [ 3 ] [ 4 ] 。同样类似国外的做法，未来预估的人类排放情景分别选用IPCC给出的SRES A2 (高排放)、A1B (中排放)和B1 (低排放)，以及RCP2.6 (低排放)、RCP4.5 (中低排放)、RCP6.0 (中排放)和RCP8.5 (高排放)。预估的变化同样是类似于国外的研究，相对于目前气候态的变化 [ 1 ] [ 2 ] 。本文综述近些年对这些方面的研究，即对未来中国热浪和极端强降水变化的预估，特别是当全球达到不同的温升控制目标时这两类极端气候事件的变化预估。
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user: 2. 未来中国热浪变化的预估 热浪的指标和定义：描述极端温度变化的常用指标为暖昼日数、暖夜日数、冷昼日数、冷夜日数、暖日持续日数和冷日持续日数。中国热浪的定义很多，常用指标有：热浪频次、最长热浪持续天数、热浪日数和高温(日最高气温 ≥ 35℃)日数。 热浪预估方法：一般用多个全球气候模式(CMIP3和CMIP5)考虑人类排放高、中和低情景，计算各个模式和所有模式集合平均对中国和分区热浪未来几十年相对于目前气候态的变化的预估。少量研究用中国区域气候模式考虑未来人类排放情景做热浪的预估。 综合多个研究结果：表1给出自2010年以来用CMIP3和CMIP5全球气候模式与区域气候模式做中国热浪预估的研究 [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] ，从表中注意到：1) 大约50个气候模式一致预估由于人类排放增加，未来中国暖日和暖夜将明显增加，冷日和冷夜将明显减少；2) 大约35个模式预估，随着人类排放增加，热浪日数将会增加且强度增强；3) 考虑人类中等排放情景，到2024年前，至少有50%的夏季气温比2013年更炎热；4) 由于气候模式模拟气温变化的能力较高，并且研究结论来自大量模式的模拟结果，因此对未来的中国热浪变化预估的可靠性很高。
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user: 3. 未来中国极端强降水变化的预估 极端强降水的指标和定义：中国地域辽阔，各个地区的地理环境差异大，降水变化随不同区域而有明显的不同，表征极端强降水的指标很多，有些以1日或5日降水量或强度表示，有些用日降水量大于25毫米(大雨)或大于50毫米(暴雨、大暴雨、特大暴雨)的日数表示，也有用降水百分率(如95%或99%，简称R95p或R99p)表示。 极端强降水的预估方法：一般用多个全球气候模式(CMIP3和CMIP5)考虑人类排放高，中和低情景，计算各个模式和所有模式集合平均对中国和分区强降水未来几十年相对于目前气候态的变化的预估。少量研究用中国区域气候模式考虑未来人类排放情景做极端强降水的预估。 综合多个研究结果：表2给出自2010年以来用CMIP3和CMIP5全球气候模式与区域气候模式做中国极端强降水变化预估的研究 [ 8 ] [ 10 ] - [ 15 ] 。从表中看到：1) 大约70个气候模式一致预估由于人类排放增加，未来中国极端强降水事件将有增加趋势；2) 长江流域降雨强度和最大5日降水总量频次的增加最强，洪涝灾害风险明显增加；3) 东北地区、华北地区、华南与东南沿海地区以及西北地区和青藏高原极端强降水可能更加频繁并且强度更大；4) 由于气候模式对中国降水的模拟效果较差，特别是极端强降水的模拟存在更大的不确定性，因此，研究成果有待更多的研究进行进一步的验证。
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user: 5. 结论和讨论 结论：做气候变化的预估需要利用全球和区域气候模式，使用最多的是CMIP3和CMIP5全球气候模式，评估表明，这些模式以及它们的集合有较强的能力模拟中国热浪的变化特征，对中国的极端强降水也具有一定的模拟能力。利用CMIP3和CMIP5模式，考虑人类排放增加的各种情景，如RCP的高中低情景：RCP8.5、RCP6.0、RCP4.5和RCP2.6，做中国热浪和极端强降水预估，主要结论有： 1) 气候模式考虑人类排放增加，预估中国暖日和暖夜将增加，冷日和冷夜将减少，中国热浪频次明显增加，强度增强，具有高的可靠性。值得注意的是，有研究利用26个CMIP5模式考虑人类中等排放情景，到2024年前，至少有50%的夏季比2013年更热； 2) 人类排放增加，中国极端强降水将可能频次增加，强度更强，尤以长江流域更明显，其降雨强度和最大五天降水总量频次的增加最强，洪涝灾害风险明显增加，具有较高的可靠性； 3) 计算不同温升控制目标下，例如UNFCCC提出的1.5℃或2.0℃，考虑中等排放情景，分别发生在大约2026年或2029~2047年，中国热浪频次将增加和强度增强，极端强降水的强度和频次也可能增强和增加。考虑高排放情景，在达到全球温升控制目标2℃，大约2037~2038年时，与目前气候(1971~2000年)对比，每年中国热浪日数将增加7天，中国极端强降水量(R99p)将可能增加38毫米。 讨论：需要强调指出的是，目前做热浪和极端强降水未来变化预估都是采用全球和区域气候模式，考虑未来不同的人类排放情景，由于气候模式的不确定性和人类排放情景的复杂性，造成未来气候变化的预估存在较大的不确定性，尤其是降水的预估，因此综述给出的中国热浪和极端强降水未来变化的预估只是趋势性的预估，有待更多的研究做进一步的验证。尚需提出的是，不同全球温升目标下的热浪和极端强降水变化的预估，对于不同气候模式出现同一全球温升控制目标的时间差异较大，因此也带来预估的不确定性，有待进一步提高模式的模拟能力。
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user: 摘 要 传统微分求积法和势能原理相结合有助于解决具有局域特殊性的力学问题，因此，求解这类问题时不仅涉及微分计算，还涉及积分计算。为简化计算流程，提高计算效率，本文基于微分/积分求积法的思想，提出了统一化的微分/积分求积的权系数计算方法，从而形成统一化的微分–积分求积法，并将此计算方法得到的结果与解析解进行比较，验证了该方法在收敛速度、求解精度、稳定性、应用范围方面的优势。 关键词 :微分求积法，积分求积分，势能原理，权系数
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user: 1. 引言 微分求积法(DQM) [ 1 ] 具有计算逻辑简明、程序过程紧凑、计算量少、计算精度高等优点，近年来已经被广泛应用于众多研究领域 [ 2 ] [ 3 ] 。但是，DQM在求解具有局域特殊性问题时，其计算收敛性和准确性受到很大影响，为了改善这一问题，一些研究者将DQM与势能原理相结合 [ 4 ] ，使得求解过程中同时存在数值微分和积分。对于势能泛函中的微分和积分计算，现有做法是利用微分求积法离散微分形式，利用Gauss-Lobatto求积、积分求积法 [ 5 ] 及其他求积方法来离散积分形式 [ 6 ] [ 7 ] 。由于微分和积分需要分开离散，且易受微积分计算节点不统一的约束，导致计算流程较为繁琐，计算效率降低。有鉴于此，本文提出了基于DQM和积分求积法(Integral Quadrature Method，简称IQM)思想的统一化的微分–积分求积法(Differential-Integral Quadrature Method，简称D-IQM)，建立计算微分求积法和积分求积法的权系数的统一方式，进一步提高了势能原理框架下的新型数值方法D-IQM的计算效率，从而有利于解决局域特殊性问题。
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user: 2. 原理简介 2.1. 微分求积法 微分求积法(DQM)的基本原理：函数 在区间[a，b]上连续可微，则其在给定节点处的导数值可以表示为域内全部离散节点的函数值的加权和，即 (1) 其中， 是插值基函数，函数的高阶导数可表示为： (2) 式中， 为k阶导数加权系数。 若基函数采用拉格朗日插值多项式，则一阶导数权系数表达式如下： (3) 其中， 。已知一阶权系数，各高阶权系数 可由下式推出： (4) 2.2. 统一化的微分–积分求积法(D-IQM) 下面，基于DQM和积分求积法(Integral Quadrature Method，简称IQM)思想，本文提出统一化的微分–积分求积法(Differential-Integral Quadrature Method，简称D-IQM)，建立计算微分求积法和积分求积法的权系数的统一方式。 设定在区间[a，b]上连续可微的函数 、 ，对 进行n阶求导，有 (5) 式(5)结合DQM，且设 ， ，则 (6) 一般的，设 (7) 则式(6)可以表达为如下矩阵形式： (8) (9) 的一次积分可以表达 [ 2 ] 为： (10) 其中，c为积分区域外任意一点，由上述关系可得： (11) (12) 式(10)可进一步表示为： (13) 一般的，设 (14) 式(13)的矩阵表达式如下 (15) 因此，可以利用微积分统一形式的权系数计算方法解决微分计算和积分计算。 对于上述方法中n = 1的特殊情况，参看式(5)可知 的积分为原函数 ，设插值基函数 ， 为插值函数的系数矩阵，则有 (16) 因此，由式(13)可知 (17) 结合式(9)， (18) 式中 为统一化的集成权系数。 至此，我们得到了一套计算微分求积法和积分求积法的权系数的统一方式，即根据微分求积法方式所确定的权系数，在求解积分问题时可以采用式(15)进行计算；特别是当n = 1时可以采用式(18)进行计算。上述方式有助于提高新型数值方法D-IQM的计算效率，从而进一步拓展微分求积法的应用范围。 2.3. 基于势能原理的微分–积分求积法(D-IQM) 势能原理以变分形式表示物理定律 [ 8 ] ，即在满足一定约束条件的所有可能物体运动状态中，真实的运动状态使某物理量(如势能泛函)取极值或驻值。对于复杂结构，特别是具有局部特殊性的问题，引进势能泛函，应用D-IQM进行离散计算，有助于求解这类问题，改善计算结果的收敛性与准确性。 一般来讲，一维梁结构的总势能泛函表达式 [ 9 ] 如下： (19) 根据D-IQM，上式离散成如下表达形式： (20) 定义下列矩阵及向量： (21) 那么势能泛函式（20）可以写成矩阵表达形式： (22) 根据最小势能原理，结合式（21）中定义的权系数矩阵有 (23) 其中，在一维问题中，梁的刚度矩阵K为 (24) 梁的载荷矩阵Q为 (25) 在微分–积分求积法中，仍然可以采用方程替代法将边界条件加入到刚度矩阵中去，在此不再详述。 无论一维或是二维的局域性问题，结合势能原理的微分求积法具有良好的计算稳定性、收敛性及准确性，这主要是因为在势能原理的框架下，不仅方程中需要求导的阶次降低，而且泛函的形式更有利于局域载荷在求解中的处理，这些都有利于DQM更好地解决局域特殊性问题。
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user: 3. 实例结果及分析 3.1. 简单函数 为了检验上述微分–积分求积法(D-IQM)的正确性，现以若干简单函数(参见表1)为例进行对比。 所求结果与精确解对比如图1所示，可以发现以D-IQM所求结果与精确解近似，并随着节点的增多，呈现出较好的准确性、收敛性，计算结果有着良好的稳定性。 3.2. 力学问题 本文提出的D-IQM沿承了传统DQM的计算逻辑，在势能原理的框架下同样可以更好的处理应用性问题。为了进一步验证D-IQM的应用性，将其与势能原理结合(参见2.3节有关推导)求解具有局域特殊性的实际问题，下面以梁为例。 如图2所示，梁的材料弹性模量为 ，泊松比 ，梁长 ，梁横截面高 ，宽 ，坐标轴x以梁的左端为原点，梁的载荷类型及边界条件如表2所示，其中q为分布于全梁的均布载荷。 表2中“精确解”和“本文解”均指梁的最大挠度，其中，“本文解”即采用本文提出的D-IQM得到的解。从表2可以看出，上述两种解对于表2所列各种梁问题都取得了较为一致的结果。图3显示了 Table 1 Integrable function and integral interva CASE 被积函数 积分域 精确解 本文解 误差(%) 1 f(x) = x [0，1] 0.5 0.4958 −0.84 2 f(x) = x 2 [0，1] 0.333 0.3298 −0.96 3 f(x) = x 3 [0，1] 0.25 0.2498 −0.08 4 f(x) = x 4 [0，1] 0.2 0.1975 −1.25 5 f(x) = x 2 +2 [0，1] 2.333 2.3306 −0.10 6 f(x) = sinx [0，π] 2 2.002 0.10 7 f(x) = cosx [0，π] 0 0.0016 0.16 8 f(x) = 2 x [2，3] 5.771 5.7706 −0.007 表1. 被积函数及积分区间 图1. 计算结果与数值解对比图 Table 2 Load type and boundary condition of bea CASE 载荷类型 边界条件 精确解 本文解 误差(%) 1 q = 1 kN/m 两端简支 0.0195 0.0197 1.03 2 q = 1 kN/m 两端固支 0.0039 0.0040 2.56 3 q = 1 kN/m 左固支右简支 0.0081 0.0082 1.23 4 P = 100 N 两端简支 0.0031 0.0032 3.23 表2. 梁的载荷类型及边界条件 图2. 单集中力作用下的简支梁 图3. 梁最大挠度收敛情况 本文D-IQM求解的收敛趋势，由该图可知，D-IQM解随着节点数增多逐渐收敛于有限元值，并保持了良好的稳定性。这些结果表明，统一化的微分–积分求积法在保持原有DQM计算逻辑的简明性前提下，具有良好的数值计算性能，以及良好的应用性；同时，微分权系数计算方法和积分求积法计算方法的统一有助于简化计算逻辑，提高计算效率。
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user: 4. 结论 本文基于DQM和积分求积法，本文提出统一化的微分–积分求积法(简称D-IQM)，建立了计算微分求积法和积分求积法的权系数的统一方式，根据微分求积法的权系数计算积分权系数，从而简化了计算逻辑。文中对基础函数积分进行计算，通过对比讨论证明了该方法在收敛速度、求解精度、稳定性、应用范围方面的良好性能。进一步通过力学问题实例的求解，证明新型数值方法D-IQM可以有效提高势能原理框架下相关问题的计算效率，从而有利于解决局域特殊性问题。上述应用实例从不同侧面说明了本文提出的D-IQM的应用性和有效性。
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user: 摘 要 随着近些年饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽沙一下亚段烃源岩层段岩心分析资料的积累和丰富，有必要对其生烃量进行定量评价。本文通过对饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽沙一下亚段(Es1 x )烃源岩岩心样品进行地化特征统计，以低成熟度的烃源岩样品进行高温热模拟实验为基础，利用化学动力学方法计算饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽沙一下亚段烃源岩生烃量。研究结果表明：饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽沙一下亚段烃源岩有机质丰度较高、类型主要为II 1 -I型、处于低熟–成熟热演化阶段；其生烃门限大约为3000 m，约在3500 m开始大量生烃；该烃源岩以生油为主，生油、生气量分别为7.14 × 10 8 t和0.21 × 10 11 m 3 ，所能聚集的油、气资源量分别为(0.36~1.43) × 10 8 t和(0.001~0.004) × 10 11 m 3 。 关键词 :饶阳凹陷，蠡县斜坡–肃宁洼槽，沙一下亚段，烃源岩
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user: 1. 引言 饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽沙一下亚段(Es1 x )包括下部“尾砂岩”和上部“特殊岩性段”等2部分。“特殊岩性段”主要沉积砂岩、泥岩、油页岩、生物碎屑灰岩、鲕粒灰岩、泥灰岩和白云岩等岩性，按照狭义和广义的定义都属于典型的“混积岩” [ 1 ] 。国内外众多学者对海陆过渡带、海滨岸带和陆棚环境“混积岩”进行了大量研究，提出了4中混合成因：间断混合(punctuated mixing)；相混合(facies mixing)；原地混合(in situ mixing)；源地混合(source mixing) [ 2 ] ；总结了4种混合沉积环境和沉积相模式：陆相环境；海陆过渡环境和滨海岸环境；陆棚环境；斜坡到盆地环境 [ 3 ] [ 4 ] ；分析构造作用、气候条件、物源、海平面变化等因素对“混积岩”控制作用 [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] ；定性评价其成岩作用、划分成岩阶段 [ 8 ] ；开展层序地层特征研究，进行等时层序对比 [ 9 ] 。这些研究主要集中在对“混积岩”的成因和沉积等方面，而专门针对陆相湖盆的“混积岩”的烃源岩特征研究相对较少，尤其是研究区目的层段上部“特殊岩性段”中烃源岩成烃转化率、生烃量等问题已经严重制约该区油气的勘探与开发，亟需解决。因此，本文选取饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽沙一下亚段烃源岩作为研究对象，对烃源岩的丰度、类型、成熟度、成烃转化率和生烃量等开展研究。
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user: 2. 研究区概况 蠡县斜坡–肃宁洼槽是冀中拗陷最为重要的勘探区域之一，位于富油的饶阳凹陷西部，属于西高东低、北东走向的继承性沉积缓坡–洼槽组合 [ 10 ] 。蠡县斜坡–肃宁洼槽北部以出岸鼻状构造右翼为界，南部以高阳–西柳鼻状构造带左翼为界，西部以高阳断层为界，东部以任西洼槽和肃宁洼槽东坡为届。研究区自北向南发育4组北西向鼻状构造：同口–博士庄鼻状构造、高阳–西柳鼻状构造、大百尺–赵皇庄鼻状构造和蠡县鼻状构造。研究区具有南北分区、东西分带的构造格局 [ 11 ] 。蠡县斜坡–肃宁洼槽走向上以高阳–西柳鼻状构造带为界分为南部和北部，同时根据断层发育特征和地层形态特点在倾向上(NW-ES)将蠡县斜坡划分为斜坡内带、斜坡中带和斜坡外带(图1)。自北向南总体呈现出台地区和单斜区 图1. 饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽沙一下亚段勘探成果图 两大地貌单元，而斜坡东西方向，从凸起到洼陷则分为单斜区和平台–台坪区 [ 12 ] 。 研究区古近纪经历了2次大规模的湖进与湖退，一次为沙三段沉积早中期，另一次为沙一段沉积早期，即沙一下亚段沉积时期 [ 13 ] 。来自西南方向的安国–博野水系和北部的清苑–高阳水系控制着研究区碎屑岩沉积展布。前者为主物源，覆盖了蠡县斜坡大面积地区，从南部一直延伸到高阳–西柳鼻状构造带的东翼。北部为次要物源方向，控制了同口–博士庄等地区的沉积相。陆源碎屑主要为三角洲平原、三角洲前缘和滨浅湖沉积。随着湖平面快速上升，加之物源供应不足，在研究区目的层段上部广泛发育一套“特殊岩性段”，包括碎屑岩砂质滩坝、碳酸盐滩坝(含鲕粒灰岩、生物灰岩、泥灰岩、白云岩等)和油页岩等 [ 14 ] [ 15 ] ，形成一套自生自储的含油层系。其中，“特殊岩性段”中的暗色泥岩和油页岩是主要的烃源岩。蠡县斜坡–肃宁洼槽沙一下亚段已探明油气主要分布斜坡外带、肃宁洼槽陡坡带和斜坡北部等构造高部位。油藏类型主要为断鼻油藏和断块油藏、其次为上倾尖灭油藏和透镜体油藏 [ 16 ] 。
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user: 3. 烃源岩地化特征 3.1. 有机质丰度 对饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽内110口钻遇中沙一下亚段的探井和评价井共1819个样品点的地化特征进行统计(图2)。沙一下亚段烃源岩TOC值范围为0.08%~6.02%，数据点多大于0.6%，平均值为1.37%； 图2. 饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽Es1 x 烃源岩有机质丰度分布直方图 产油潜量S 1 + S 2 值范围为0.02~59.51 mg/g，数据点多大于2.00 mg/g，平均值为23.07 mg/g；氯仿沥青“A”含量为0.02%~1.66%，平均值为0.44%。按照黄第藩等 [ 17 ] 提出的陆相源岩的评价标准，饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽沙一下亚段烃源岩有机质丰度较高，达到好–优质源岩的标准。 3.2. 有机质类型 通过对饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽14口探井共24个Es1 x 烃源岩样品的有机元素分析数据进行统计，制作饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽Es1 x 有机质氢碳原子比和氧碳原子比H/C-O/C关系图(图3)，确 图3. 饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽Es1 x 烃源岩有机质H/C-O/C关系图 定饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽Es1 x 烃源岩有机质类型主要为II 1 -I型。从有利于生油的角度上看，饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽Es1 x 烃源岩类型较好。 3.3. 有机质成熟度 镜质体反射率(R o )是反映有机质成熟度最有效的参数。一般认为R o < 0.5%对应未成熟阶段，0.5%~1.3%对应低熟–成熟阶段，1.3%~2.0%对应高成熟阶段，R o > 2.0%对应过成熟阶段。对饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽Es1 x 烃源岩的29口探井共97个样品点进行统计(图4)，饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽Es1 x 烃源岩有机质R o 值分布为0.36%~1.11%，均值为0.66%，基本处于低熟–成熟热演化阶段，少部分样品点分布于未成熟阶段。另外，H/C-O/C关系也显示饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽Es1 x 烃源岩热演化程度处于低熟–成熟阶段(图3)。
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user: 4. 油气生成量及资源量评价 4.1. 成烃转化率 为了利用化学动力学计算饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽Es1 x 烃源岩有机质的成烃转化率，选取成熟度相对较低的高58井饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽Es1 x 烃源岩样品(R o = 0.44%)进行热解实验。热解实验在Rock-Eval-II型热解仪上进行，从200℃开始，分别以10℃/h、20℃/h和40℃/h的升温速率将样品加热至600℃，实时记录产油量、产气量与温度(时间)之间的关系。即可得到不同升温速率条件下各温度点的成油和成气转化率，以此数据进行化学动力学标定(图5)，标定方法见文献 [ 18 ] [ 19 ] 。 通过化学动力学标定，得到饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽Es1 x 烃源岩有机质成油、成气转化率与深度的关系(图6)。根据成烃转化率与深度的关系，确定饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽Es1 x 烃源岩生烃门限约为3000 m，约在3500 m进入生烃高峰。 图4. 饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽Es1 x 烃源岩有机质镜质体反射率R o 与深度关系 4.2. 原始有机碳与原始氢指数 虽然饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽Es1 x 烃源岩处于未成熟至成熟演化阶段，但也生成并排出了一定数量的油气。目前实测的残余有机碳(TOC)不能反映烃源岩有机质的原始丰度，各项有机质性质指标所反映的有机质类型也有偏差。因此，进行生烃量计算时需要对有机质原始有机碳(TOC 0 )和原始氢指数(HI 0 )进行恢复。 依据化学动力学原理计算成烃转化率并恢复有机质原始有机碳和原始氢指数方法 [ 20 ] ，利用上述成烃转化率，结合研究区埋藏史和热史，即可得到饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽Es1 x 烃源岩有机质的原始有机碳和原始氢指数(表1)。恢复后的原始有机碳(TOC 0 )和原始氢指数(HI 0 )均明显高于实测残余有机碳(TOC)和残余产油潜量(HI)。 4.3. 油气资源量计算 以饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽Es1 x 烃源岩原始有机碳等值线图、原始氢指数等值线图、烃源岩顶底埋深等值线图以及有机质成烃转化率、烃源岩密度随深度的变化规律等数据为基础，对饶阳凹陷蠡县 图5. 高58井Es1 x 烃源岩样品成油、成气转化率与温度及升温速率的关系 图6. 饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽Es1 x 烃源岩成烃剖面 Table 1 Average original hydrogen index and total organic carbon of the Es1x source rocks in Lixian Slope-Suning Subsag of Raoyang Sa 层位 残余氢指数 HI (mg/g) 原始氢指数 HI 0 (mg/g) 氢指数恢复系数 HI 0 /HI 残余有机碳 TOC (%) 原始有机碳 TOC 0 (%) 有机碳恢复系数 TOC 0 /TOC Es1 x 23.07 312.83 13.56 1.37 1.69 1.23 表1. 饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽Es1x烃源岩平均原始氢指数和原始有机碳 斜坡–肃宁洼槽Es1 x 烃源岩油气生成量进行定量计算。其中，原始有机碳等值线图、原始氢指数等值线 Table 2 Generated oil and gas of the Es1x source rocks in Lixian Slope-Suning Subsag of Raoyang Sa 层位 总净生油量/10 8 t 总生气量/10 11 m 3 油资源量/10 8 t (运聚系数5%~20%) 气资源量/10 11 m 3 (运聚系数0.5%~2%) Es1 x 7.14 0.21 0.36~1.43 0.001~0.004 表2. 饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽Es1 x 烃源岩总生油气量 图和有机质成烃转化率随深度的变化规律是根据现有地化分析数据利用化学动力学计算得到；烃源岩顶底埋深等值线图为井震相结合的解释结果；烃源岩密度随深度的变化规律由实测样品点对密度测井曲线进行校正而得到。首先，将饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽Es1 x 地层按照200 m × 200 m × 1 m进行三维网格化；然后给每个网格单元赋予相应的烃源岩厚度、原始有机碳、原始氢指数和有机质成烃转化率；最后利用微积分方法将每个网格单元的油气生成量进行累加，即得到油气生成量。 按照现代油气成因机制，单位体积源岩生成油气量取决于有机质的丰度、类型和成熟度，每个网格单元的油气生成量计算方法为公式 (1) 利用微积分求取凹陷总油气生成量计算方法见公式 (2) 式中，S为网格单元面积，m 2 ；ρ(z)为源岩密度，t/m 3 ；F(z)为由化学动力学模型计算得到的成烃转化率，z 0 和z分别为烃源岩的最小和最大埋深，m；n为网格单元数目。 按照此方法计算饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽Es1 x 烃源岩生油、生气量分别为7.14×10 8 t和0.21 × 10 11 m 3 。饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽Es1 x 烃源岩主要以生油为主，伴生少量天然气。参考前人研究结果 [ 17 ] [ 21 ] ，分别取油、气的运聚系数为5%~20%和0.5%~2%，饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽Es1 x 烃源岩生成油气所能聚集的油、气资源量分别为(0.36~1.43) × 10 8 t和(0.001~0.004) × 10 11 m 3 (表2)。
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user: 5. 结论 1) 饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽沙一下亚段烃源岩有机质丰度较高，类型主要为II 1 -I型，处于低熟–成熟热演化阶段。 2) 饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽沙一下亚段烃源岩的生烃门限大约为3000 m，约在3500 m开始大量生烃。 3) 利用化学动力学方法计算饶阳凹陷蠡县斜坡–肃宁洼槽Es1 x 烃源岩以生油为主，生油、生气量分别为7.14 × 10 8 t和0.21 × 10 11 m 3 ，所能聚集的油、气资源量分别为(0.36~1.43) × 10 8 t和(0.001~0.004) × 10 11 m 3 。
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user: 摘 要 地球椭球面上的经线交于极点而纬线则相互平行。地图上的经纬网是地球椭球面上的经纬网的拓扑映射。投影网中极点到坐标原点的距离函数关联着7类常规地图投影的分类。距离等于零时对应着方位投影；距离为有限值时对应着圆锥投影和多圆锥投影;距离为无穷大时对应着圆柱投影。方位和伪方位投影的纬线为同心圆；圆锥和伪圆锥投影的纬线为同心圆弧；多圆锥投影的纬线为同轴圆弧；圆柱和伪圆柱投影的纬线为赤道的平行线。所有正常投影的经线均为直线，而伪型投影只有作为投影网对称轴的中央经线是直线，其余经线为中央经线的轴对称曲线。多圆锥投影的经线与伪型投影相同。极点到坐标原点的距离函数，与常规地图投影的分类具有等价关系，从而可以推出常规地图投影的一般定义。 关键词 :常规地图投影，拓扑映射，极点，坐标原点，距离函数，定义
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user: 1. 引言 正轴投影——投影中心轴与地轴一致的条件下的地图投影，即常规地图投影，包括方位投影、伪方位投影、圆锥投影、伪圆锥投影、圆柱投影、伪圆柱投影和多圆锥投影。常规地图投影作为经典的地图投影，在地图投影的教科书中已有较多的论述 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] 。这七类地图投影，方位和伪方位投影的投影面为平面，具有纬线为同心圆的共性，适用表示具有圆形轮廓的两极地区；圆锥和伪圆锥投影的投影面为圆锥面，具有纬线为同心圆弧的特点，适用于表示沿纬线方向延伸的中纬度地区；圆柱和伪圆柱投影的投影面为圆柱面，纬线为赤道的平行线，适用于表示沿纬线方向延伸的低纬度和赤道地区。多圆锥投影的纬线为同轴圆弧，圆心在中央经线上，中央经线为直线且为投影的对称轴，非中央经线为对称于中央经线的曲线。多圆锥投影常作为世界地图的数学基础。伪方位投影、伪圆锥投影和伪圆柱投影的中央经线也是直线，非中央经线为对称于中央经线的曲线 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] 。然而，导致这些地图投影之间差异的关键因素，相互关系和演化规律的阐释却鲜有文献论述，有鉴于此，笔者提出了地图投影中基于极点与坐标原点距离函数的常规地图投影的分类体系。
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user: 2. 地球椭球面上的经纬网 2.1. 经纬线的定义及其结构特点 测绘学是研究对实体中与地理空间分布有关的各种几何、物理、人文及随时间变化的信息采集、处理、管理、更新和利用的科学与技术。测定地面点的几何位置是指测定以地球椭球面为参考面的地面点位置 [ 6 ] 。地面点位置用地理坐标——经纬度来表示，也可用地心直角坐标表示。地理坐标和地心直角坐标之间可以换算。经线被定义为包含地轴的平面与地球椭球面的交线，而地轴与地球椭球面的交点便是地极点，即所用经线都交于北极和南极。纬线被定义为平行于赤道平面的平面与地球椭球面的交线，这一定义使得不同纬度的纬线不会相交。这就是经纬线的结构特点。 2.2. 经纬网 [定义1] 定向集：设 是偏序集，如果满足： 则称 为定向集。 所谓定向集 ，是指 中任意两个元素都存在比它们大的 的第三个元素。 [定义2] 网：设 是定向集，则每个映射 均称为 中的网。 用 表示 在点 的值，网 又可记作 [ 7 ] 。 显然，在地球椭球面上，当 时， 是定向集，对于 ， 为 ，都可以构成网 。当 时， 是定向集，对于 ，同样可以建立不同经线间隔 的网 。经线网和纬线的并集，即构成地球椭球面上的经纬网 。
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user: 3. 地图投影是地球椭球面上的经纬网在二维平面上的拓扑变换 3.1. 拓扑变换性质 拓扑学来源于希腊文 (位置)， (科学)，拓扑学在意译时可看成“位置几何”。由于图形的度量性质(长度、角度、面积等)在图形进行变换时，这些性质是不稳定的，因此不能作为深入研究图形特征的依据。拓扑学研究的是图形在连续变形下不变的整体性质，如分离性、可数性、紧性、连通性和多面体的维数、欧拉示性数等都是拓扑性质 [ 8 ] 。在拓扑概念下，曲直等价，长短等价。复杂的不规则的地理目标在拓扑概念下可用其拓扑等价物代替，从而简化了地理实体之间的空间关系演算。拓扑关系是指从几何观点看，由点状物体、线状物体和面状物体构成的网结构元素(点、线、面)之间的邻接关系、关联关系、包含关系和连通关系等。其中最重要的是邻接关系与关联关系 [ 9 ] 。 3.2. 地图投影的定义 [定义3] 同胚：设 与 是两个隨意的拓扑空间，并设 。如果 是连续的双一一函数，并且它的反函数 也是连续的，那末， 就叫做空间 到空间 上的一个同胚或拓扑映射或拓扑变換；此时空间 与空间 叫做同胚的，记作 。 设 表示单位球面： ，令 表示它的“北极” ‘则通过球极平面射映(stereographic projection)立即看出“刺孔球面” 与平面 同胚，从而与坐标平面 同胚： 。 “刺孔球面” 与二维平面 同胚原理，是建立以球面坐标(以纬度 与经度 )的球面二维场与平面二维场(平面直角坐标 ， ) 之间的地图投影的基本原理。“刺孔球面”实际上就是去除“北极”和“南极”的球面，因为这两点在地轴上，地轴上的无限多点在平面上的投影只有一点，不满足拓扑变換的双一一函数关系 [ 10 ] 。 [定义4] 地图投影：存在“刺孔球面” ，二维平面 以及变換 ，若 满足： (1) 则称满足(1)式的变换为地图投影。 不同，便构成不同的地图投影 [ 11 ] 。 3.3. 地图的经纬网及坐标原点和极点 [定义5] 地图的经纬网：存在地球椭球面上的经纬网 ，它在 下的拓扑映射便是地图上的经纬网： (2) (2) 式中的 即地图平面 上的经纬网。 拓扑变換必须满足的双一一函数关系，使得地球椭球面上的经线交点(极点) 在拓扑变換下变换为经纬网中的极点 ，而坐标原点 则变换为经纬网中的坐标原点 。由于方位投影、圆锥投影和圆柱投影都是可展面，因此可以定义平面上两个投影点间的距离。 [定义6] 度量或距离函数：设 是集合 的元素，如果存在着函数 ，满足下面两个度量公理( 是二维空间，即 )： M1. 恒等定律： ； M2. 三角形不等式： ； 那么， 叫做一个度量空间， 叫做 上的度量或距离函数， 的所有元素叫做度量空间 的点， 叫做两点 与 之间的距离， 的任何子集都叫做空间 的点集。 根据距离函数的定义，可以定义投影网络中极点 和坐标原点 的距离函数 。 由于常规地图投影与距离函数密切相关，从而可推出常规地图投影的一般定义，并在一般定义的基础上，通过约束条件的不同，分别推出各类常规地图投影的具体定义，从而建立基于极点和坐标原点的距离函数的常规地图投影定义体系。
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user: 4. 常规地图投影的定义体系 4.1. 常规地图投影的一般定义 常规地图投影的类型与投影网络中极点到坐标原点的距离大小密切相关，两者具有等价关系，因此，得常规地图投影的一般定义： [定义7] 常规地图投影：在投影中心轴与地轴一致的条件下，设 为极点的投影， 为坐标原点的投影，具有距离函数的投影： (3) 称为常规地图投影，即方位投影、伪方位投影、圆锥投影、伪圆锥投影、圆柱投影、伪圆柱投影和多圆锥投影。 4.2. 方位投影 [定义8] 方位投影：设经线 的曲率为 ， 为极点的投影， 为坐标原点的投影，若距离函数满足： (4) 则称 为方位投影。 1) 当 为正方位投影(见图1)； 2) 时，为伪方位投影(见图2)。 第二个条件表明，伪方位投影只有作为对称轴的中央经线 是直线，其余经线皆为曲线，而正方位投影的所有经线皆为直线。 4.3. 圆锥投影 [定义9] 圆锥投影：设经线 的曲率为 ， 为极点的投影， 为坐标原点的投影，若距离函数满足： 图1. 方位投影 图2. 伪方位投影 (5) 则称 为圆锥投影。 1) 当 为正圆锥投影(见图3)； 2) 时，为伪圆锥投影(见图4)。 第二个条件表明，伪圆锥投影只有作为对称轴的中央经线 是直线，其余经线皆为曲线，而正圆锥投影的所有经线皆为直线。 4.4. 圆柱投影 从中心射影引进无穷远元素，可拓广欧氏平面。在拓广的欧氏平面上，无穷远点是二维空间中平行直线的交点 [ 12 ] 。 [定义10] 圆柱投影：设经线 的曲率为 ， 为极点的投影， 为坐标原点的投影，若距离函数满足： (6) 则称 为圆柱投影。 1) 当 为正圆柱投影(见图5)； 图3. 圆锥投影 图4. 伪圆锥投影 2) 时，为伪圆柱投影(见图6)。 第二个条件表明，伪圆柱投影只有作为对称轴的中央经线 是直线，其余经线皆为曲线，而正圆柱投影的所有经线皆为直线。 4.5. 多圆锥投影 [定义11] 多圆锥投影：设 为极点的投影， 为坐标原点的投影，若距离函数和经线满足： (7) 则称 为多圆锥投影 [ 13 ] (见图7)。
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user: 5. 结论 地球椭球面上的经线交于极点 ，而纬线则相互平行。经纬线在地球椭球面上的空间结构和关系是 图5. 圆柱投影 图6. 伪圆柱投影 图7. 多圆锥投影 地图投影的原型。地图投影本质上是刺孔球面在二维平面上的拓扑影射。拓扑影射必须满足的双一一函数关系，使得地球椭球面的经线交点 和坐标点 ，在地图投影中必有对应的象 和 。在投影中心轴与地轴一致的正轴条件下，正方位投影、伪方位投影、正圆锥投影、伪圆锥投影、正圆柱投影、伪圆柱投影和多圆锥投影可用其极点投影 到坐标原点的投影 的距离函数来确定。 的取值，对应着地图投影的类型。所有正常投影的经线均为直线。伪方位投影、伪圆锥投影和伪圆柱投影等“伪”字型投影的共同点是，都存在一条作为投影对称轴的中央直经线，其余经线均为中央经线的轴对称曲线，其曲率随着与中央经线经差的大小而变化。非中央经线的曲率是否为零，是正、伪型投影的主要区别。多圆锥投影的经线也具有以中央经线的轴对称曲线的特点。本文的创新意义及其与传统的地图投影分类的主要特点是：本文揭示了常规地图投影的类型与投影网络中极点和坐标原点的距离大小密切相关性，给出了以极点和坐标原点的距离函数为变量的包括正方位投影、伪方位投影、正圆锥投影、伪圆锥投影、正圆柱投影、伪圆柱投影和多圆锥投影等七类常规地图投影的一般定义，从而使其获得高度的概括。
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user: 摘 要 由于精确传播特征表达式较复杂，不利于参数反演，因此有必要推导其近似的线性表达式，本文主要完成了三个方面的工作：用摄动法求解Christoffel方程，进一步用确定了q P 、q S 波的相速度、偏振向量；推导了极端弱各向异性介质中q P 、q S 波群速度的一阶表达式，并对已有的研究成果进行了补充和完善；在极端各向异性表达式的基础上，推导了VTI、HTI介质中的地震波属性表达式。 关键词 :摄动法，弱各向异性，VIT，HTI，偏振向量
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user: 1. 引言 由于精确传播特征表达式较复杂，一些参数为隐性表达式，这就不利于参数反演，因此有必要推导其近似的线性表达式，以方便以后反演需要。 2009年Jyoti Behura [ 1 ] ，以各向同性粘弹性介质为背景介质，利用摄动法推导出粘弹性VTI介质中P波、PS波的反射系数近似公式。 1984年Byun [ 2 ] 提出了射线追踪模拟法；Hnayga (1999， 2000) [ 3 ] 提出了动态射线追踪模拟法；2008年Vavryčuk [ 4 ] 提出用实射线追踪法对粘弹性各向异性介质中地震波进行数值模拟，取得了较好效果。 刘财，郭智奇(2006， 2007， 2008) [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] 对粘弹各向异性介质进行了伪谱法波场数值模拟，系统地研究了粘弹各向异性薄(互)层波的反射、透射等问题；2008年孙银行 [ 8 ] 采用各向同性近似法对弱各向异性介质进行了数值模拟，并进行了波场分析；吴国忱(2009， 2010) [ 9 ] 推导出TTI介质中地震波的精确相速度和偏振向量表达式，并给出了其弱各向异性近似表达式；2009年孙福利 [ 10 ] 实现了弱各向异性介质中 波的一阶射线追踪；2009年吴萍 [ 11 ] 研究了HTI介质中纵波随方位角变化特性；2010年郝奇 [ 12 ] 用改进的摄动理论研究弱各向异性粘弹性介质中的非均匀平面波的传播特征并进行了误差分析，得出了一些有益的结论。 本节在前人所做工作的基础上 [ 13 ] - [ 17 ] ，做了三方面的工作。1) 用摄动法求解Christoffel方程，进一步用确定了 、 波的相速度、偏振向量。2) 推导了极端弱各向异性介质中 、 波群速度的一阶表达式，对已有的研究成果进行了补充和完善。3) 在极端各向异性表达式的基础上，推导出VTI、HTI、EDA介质中的地震波属性表达式，并指出在奇异方向附近 波属性表达式所存在的不足。
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user: 2. VTI介质中地震波传播特征近似 VTI介质弹性张量 有六个独立分量，而在各向同性介质中 只有两个分量即： ， 。在弱各向异性介质中 与 的差异较小，可以考虑以 定义各向异性参数。具体定义如下 [ 18 ] ： (1)
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user: 3. HTI介质中的地震波传播特征近似 3.1. HTI介质中相速度一阶近似 由极端各向异性近似公式 [ 19 ] - [ 26 ] ，利用(1)消去 可得弱各向异性介质中 波的一阶相速度为： (2) 其中： 3.2. HTI介质中一阶偏振向量 将偏振向量的表式转换到观测坐标 [ 26 ] - [ 32 ] ，并用HTI弱各向异性参数表示，可得 波的一阶偏振单位向量。 (3) 其中： 3.3. HTI介质中一阶群速度 由(1)式及群速度的一阶表达式得： (4) 其中：