DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 3. 点云配准实验 3.1. 实验数据及运行环境 本文对三组城市环境的固定站激光点云数据进行配准测试。三组数据都采用Regel VZ-400扫描仪进行数据采集。数据分别来自不同类型的城市环境，采集过程中记录架站的相对位置关系草图，无靶标，不记录架站的位置和姿态信息。所有数据的原始坐标都是扫描仪局部坐标：笛卡尔右手坐标系，坐标原点为扫描仪中心，Z轴与水平面垂直，X轴方向任意。三组数据具体信息如表1所示： 本文全部实验算法采用C++编写，Visual Studio 2013编译环境下运行，硬件采用Intel Xeon E3处理器，3.5GHz，8G内存，单线程运行，无GPU加速。在此环境下对配准算法的运算效率进行分析。 3.2. 两两配准表现 根据图1所示的两两配准的流程，对原始数据进行配准。图5是场景B中某两站的两两配准过程，从上到下依次是原始数据、面片提取结果、最优同名面片(左站右站各两个，分别用绿色和蓝色标示)以及最终的点云拼接结果。 本文对三个场景一共进行了51次两两配准，均成功完成粗配准，精度足够满足ICP的收敛条件。通过ICP算法精化转换参数。 效率方面，三个场景的配准算法表现及效率如表2所示(不包括数据读入和写入耗时)。由表2可知，本文采用的区域生长面片提取算法，不仅面片提取效果稳定可靠，而且对于大数据量的点云数据有很高的计算效率，每站点云在面片提取算法上的耗时不超过5秒，两站点云从原始数据输入，到配准完成，整个流程时间消耗在10秒以内。对于数十站的大场景激光扫描数据，完成配准不过几分钟的时间，充分证明了本文方法效率方面具有很好的实用性。 Table 1 Information of three scene 场景 场景A 场景B 场景C 站数 5 17 32 平均单站点数 1681万 1294万 1540万 环境 校园 家属区 公园 环境特点 广场及周围建筑 聚集建筑物 空旷场地零散建筑 表1. 三个场景信息 Table 2 Efficiency of two station registration algorith 场景 场景A 场景B 场景C 总计/平均 站数 5 17 32 54 两两配准次数 4 16 31 51 面片平均个数 98.6 35.5 56.0 53.5 面提取平均耗时 3.84s 1.71s 2.78s 2.54s 配准平均耗时 2.16s 0.27s 0.60s 0.62s 表2. 两两配准算法效率 图5. 两两配准过程示意图 3.3. 多站输出及配准结果 本文为多站点云自动化输出编写独立的交互模块，如图6所示。该模块根据用户指定的两两匹配关系(来自数据采集时的架站记录)，自动分析站与站的连通关系，通过2.6.2节的方法，推荐最佳基准站(也可手工指定基准站)，根据基准站和连通关系图，自动实现每站点云配准参数的换算以及配准后点云文件的输出。 三个场景的点云配准结果如图7所示。由配准结果图可知，本文算法在各种类型城市环境的表现都比较稳定，场景B(第二幅图)所示的环境建筑物密集，遮挡严重，仍能自动实现配准的完整过程。图8展示了场景C中一个建筑物的局部匹配细节效果，不同站的点用不同颜色表示。 图6. 多站输出界面功能
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user: 4. 结论与展望 本文提出了一种地面站激光点云全自动配准方法，创新性利用面片的相对位置组合关系解决配准问题，完整实现了从两两配准，到多站点云输出的过程。面片作为一种良好的几何基元，对点云密度变化有很强适应性，面片位置关系组合起来用于配准，能很大程度克服视角遮挡的难题，确保算法的稳健性。 实验证明该方法有以下优势，第一，配准算法对遮挡有较强的适应性，对重叠度没有过高的要求，比起基于点特征自动配准算法有很大的进步，大大提高了数据获取时架站的灵活性；第二，算法效率高，从大文件原始点云中进行平面分割，到站间相对位置匹配，整个计算过程只需数秒时间，有很强的实用性；第三，本文提供了大场景多站点云配准的完整解决方案，自动化程度高，大大减少了人工工作量。 然而，本文方法过于依赖平面元素，仅适用于城市环境的配准工作，对于林区或自然地形等不存在人工建筑物的场景，很难提取到稳定可靠的平面元素，配准效果不佳。多类几何元素(如杆状物、三维曲线、脊线等)共同组合，能够适用于更多场景的配准问题，是可行的改进方向。 综上，本文方法能够很好解决城市环境下站载LiDAR的配准问题，算法稳健，自动化程度高，在激光点云数据处理过程中有很高的实用价值。 图7. 三个场景架站及配准结果示意图 图8. 某建筑物配准的局部效果
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user: 摘 要 针对频繁发生而难以得到有效治理的自行车盗窃问题，该文提出了基于北斗和地理围栏的公共自行车防盗系统。通过将北斗特有的短报文双向通信功能与新型的地理围栏技术相结合，实现了自动监测用户自行车是否超出围栏范围并进行报警追踪的功能。在本系统中，用户在上位机中个性设置的内容将会通过GPRS传输给单片机，同时北斗内核将定位到的自行车实时位置信息与用户设置的围栏范围进行对比。当检测到车辆超出围栏范围时，北斗内核发出短报文警告给用户并通过单片机触发蜂鸣器报警。用户接到短报文警告后，对自行车是否经过授权被移至围栏范围外的具体情况进行判断，从而做出相应对策。研究结果表明，该系统可以有效降低自行车被盗风险。 关键词 :北斗通信，公共自行车防盗，地理围栏，霍尔感应器 Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 北斗卫星导航系统简称为北斗系统(Beidou navigation satellite system， BDS)是我国正在实施的自主建设、独立运行的全球卫星导航系统。按照“先区域、后全球，先有源、后无源”的总体发展思路 [ 1 ] ，它的建设分为三步：第一步，在2000年初步建成北斗卫星导航试验系统，形成区域有源服务能力；第二步，在2012年建成“区域覆盖”的北斗卫星导航系统，形成亚太地区的区域无源服务能力；第三步，在2020年左右，建成“全球覆盖”的北斗卫星导航系统，形成全球无源服务能力。到目前为止，我国自主研发的北斗卫星导航系统已经成功发射了16颗卫星 [ 2 ] ，其中主要包括地球静止轨道卫星、中圆地球轨道卫星和斜地球同步轨道卫星，已实现对中国、西太平洋、东印度洋等部分区域的覆盖，并为这些区域提供了一些服务。在我国境内，可见的北斗卫星导航系统的卫星数量超过7颗，且位置精确强弱度(PDOP)均不超过5，这为本系统的定位和通信提供了技术方面的可行性。 随着轻便车辆盗窃问题的逐渐恶化，自行车盗窃案的处理与侦破已然成为了最棘手的问题之一，尤其是对于防范意识薄弱的大学校园。据某高校保卫处统计 [ 3 ] ，报案数量最少的一个月平均每天3起，此外每天还有许多没有报告的丢失案件。大学校园是个相对开放的场所，每天人来人往，无疑给案件的告破增添了难度。目前已有的基于射频识别(RFID)的自行车防盗系统 [ 4 ] 在一定程度上有效，但仍存在如下问题：①系统硬件环境要求比较严格，如要有成熟的社区管理以及车库环境才能实现防盗的目的；②系统报警功能需要人工进行，等到车主或者安保人员发现自行车丢失时可能已无法及时找回。因此，本文结合“地理围栏”方法，在校园周边架设虚拟区域围栏，使在非本人授权下“逃出”校园的自行车受到限制。 地理围栏 [ 5 ] (Geo-fencing)是基于移动位置服务(Location Based Service)的一种新应用，即用一个虚拟的栅栏围出一个虚拟地理边界。当进入、离开某个特定地理区域，或在该区域内活动时，设备可以自动接收通知和警告。有了地理围栏技术，位置社交网络就可以帮助用户在进入某一地区时自动记录。用户可以在自己车上比较隐蔽的位置安装本文设计的系统配套硬件报警器，之后在软件上通过可视化界面选定一定数量的点并连接成一个封闭范围作为对自己车辆的围栏检测范围，以学校为例，对进出校园的所有出入口进行采点并记录到系统中，将这些点抽象成较为规则的几何图形，作为校园边界，当用户的自行车超出边界时，便会通知用户自行车目前的位置，并要求用户确认是否为本人操作，之后进行后续相应的处理。 本项研究旨在结合北斗导航定位及通信技术，以校园周边为例，研究并架设地理围栏，监管在相对较为开放的环境下用户的个人财产安全，辅助地区安全工作的管理，从而为用户的学习、工作和生活保驾护航。
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user: 2. 变量说明 ① 围栏范围：该变量用来描述用户设定的自行车安全范围。将用户在可视化地图界面上选取的关键点连接起来形成封闭的几何图形，可是一个圆形或多边形地理区域。 ② 位置信息：用经纬度来表示，double型。该变量主要用来描述用户自行车的实时位置信息。 ③ 通信公司ID：string型。该变量主要用来描述非北斗手机与北斗内核通信时所通过的通信公司的标识。 ④ 用户手机号：string型。该变量主要用来标识防盗系统内的各个用户。 ⑤ 被监控对象：被追踪的对象(自行车上的硬件)，必须是一个已存在的实体(entity)并上传轨迹(track)。一旦该实体进出围栏，都将触发报警。 ⑥ 观察者：接收该围栏报警的人(即用户)，必须是一个已存在的实体(entity)，但不需要上传轨迹。
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user: 3. 方案设计 3.1. 工作原理 本系统主要包括北斗卫星及由北斗内核、单片机、GPRS、蜂鸣器组成的报警器硬件和上位机控制软件等组成部分。主要工作分为两个部分：一是车辆是否在围栏范围内的检测阶段；二是自动报警后的后续处理阶段。这两个阶段的所有通讯均是通过北斗的短报文功能实现。 1) 车辆是否在围栏范围内的检测阶段 该阶段主要目的是检测车辆是否在围栏范围内。 首先，用户需要在上位机中设置围栏范围、手机号等内容。之后，上位机中设置的内容将会通过GPRS传输给单片机。同时，北斗内核将定位到的自行车实时位置信息与用户设置的围栏范围进行对比。当检测到车辆超出围栏范围时北斗内核发出短报文警告给用户，并通过单片机触发蜂鸣器报警。 2) 自动报警后的后续处理阶段 用户接到短报文警告后，对自行车被移至围栏范围外的具体情况进行判断。 若自行车是非自主超出围栏范围，那么可以判定是有人在车主不知情的情况下擅自挪动了车辆位置，这时用户便可以及时发送获取自行车位置信息的请求并进行持续追踪，以便追回车辆。 若自行车是自主超出围栏范围，那么用户可以通过发送“关闭蜂鸣器 + 硬件ID”的短报文请求来暂时关闭蜂鸣器，以节约资源。当根据实时位置信息检测到车辆重新回到围栏范围内后，通过单片机控制自动开启蜂鸣器。 以上过程适用于内置北斗通信模块的手机，对于没有内置北斗模块的手机，可以通过通信公司代收代发短报文，此时在上位机中还要设置代理通信公司的ID。基本原理如图1所示。 图1. 基本原理示意图。(1：用户设置；2：管理围栏；3：自行车定位；4：短报文通信) 3.2. 性能分析 影响自行车防盗系统性能的因素主要有如下两方面： 1) 地理围栏范围精度 卫星定位由于坐标系标准不统一及卫星钟差等原因常会产生定位漂移问题。目前，GPS信号误差对测量距离的影响为1.5 m~15 m [ 6 ] ；而北斗导航系统定位精度可达数10 ns的同步精度 [ 7 ] ，与GPS相当，若设备可以接收北斗增强信号，使用北斗自带的差分信息，则误差在2米左右。因此在围栏范围边缘地带会产生一定的误报警情况。此处可通过设置误差区间值来消除误报，例如对于误差在2米左右的情况，地理围栏范围误差经验值可设为正负3米，以减少自行车用户因误报产生的影响。 2) 请求响应的效率 北斗卫星短报文的基本原理 [ 8 ] 是首先由发送方将包含接收方ID号和通信内容的通讯申请信号加密后通过卫星转发入站。然后地面中心站接受到通讯申请信号后，经脱密和再加密加入持续广播的出站广播电文中，经卫星广播给用户。最后，接收方用户接受机接受出站信号，解调出站电文，完成一次通讯。其通讯传输时延约0.5秒，通讯的最高频率是1秒1次。因此，当过多用户同时发送请求时返回的位置信息以及蜂鸣器的开关控制会有一定的延迟，尤其是对于非北斗手机需要通信公司代理的情况。 3.3. 具体设计方案 3.3.1. 软件设计 上位机控制程序帮助用户通过可视化界面进行相应的设置，界面示意如图2所示。 其中，“管理”模块可以对自行车编号及硬件部分进行关联，“围栏”模块可以对地理围栏范围进行创建、更新和删除，“设置”模块可以输入手机号、通信公司ID等信息，“追踪”模块可以对发生异常的自行车进行轨迹记录。 3.3.2. 硬件设计 报警器硬件装置主要由北斗内核、单片机、GPRS和蜂鸣器组成，以充电电池形式供电，安装在车座或车架等较为隐蔽的位置，且要防水防晒。各部分硬件的连通示意如图3所示。 图2. 可视化界面示意图 图3. 硬件结构设计示意图 硬件部分的设备具体选择如下： 北斗通信模块可采用电子科技公司开发的模块，该模块利用北斗一代通信卫星RDSS载荷进行通信，模块集成了RDSS射频收发芯片、功放芯片、基带电路等，可完整实现RDSS收发信号、调制解调全部功能。其集成度高、功耗低，非常适应于系统大规模应用的需求。 单片机选择采用stm32f4系列，其所具有的先进技术工艺和较高性能可以很好地满足设计需求，且该系列单片机兼容于stm32f2系列，便于用户扩展或升级产品。 单片机和北斗通信模块主要通过串口通信，实现短报文的发送、读取功能。发送功能是指由单片机利用相关的指令集，将特定内容的短报文发送给指定的接收方。读取功能是指在北斗通讯模块接收到短报文后，产生中断，单片机进入读取程序，将接收到的短报文按照约定的通讯规则进行分类并读取相应数据。 GPRS无线数传模块可采用LQ8110 GPRS-DTU，它是基于中国移动通讯运营商的GSM/GPRS通信网络的数据传输和远程监控终端设备，适用于GSM/GPRS网络覆盖范围内的各种室内或野外恶劣环境。其利用GPRS网络平台实现数据信息的透明传输，并可通过辅助手段来实现对DTU控制，组成用户专用数据网络，从而提供高速、永远在线、透明数据传输通道。 蜂鸣器可采用压电式有源蜂鸣器SFM-42-I型，重14 g，电压范围3~28 V，工作温度−20℃~+50℃。这里选择压电式蜂鸣器 [ 9 ] 主要因其体积小、重量轻、厚度薄、耗电省、可靠性好，造价低廉。相比于无源蜂鸣器，有源蜂鸣器主要有如下两个特点：①有源蜂鸣器内部带震荡源，所以只要一通电就会鸣叫；②程序控制方便，单片机一个高低电平就可以让其发出声音，而无源蜂鸣器却做不到。
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user: 4. 方案实施 4.1. 理想情况下的实施过程 首先，北斗手机用户在上位机中设置围栏范围、手机号等内容，非北斗手机用户还需设置代理通信公司的ID以便代收代发短报文。之后，上位机中设置的内容将会通过GPRS传输给单片机。同时，北斗内核将定位到的自行车实时位置信息与用户设置的围栏范围进行对比。当检测到车辆超出围栏范围时北斗内核发出短报文警告给用户，并通过单片机触发蜂鸣器报警。 用户接到短报文警告后，对自行车被移至围栏范围外的具体情况进行判断：若自行车是在用户不知情的情况下超出围栏范围，此时用户便可以及时发送获取自行车位置信息的请求并进行持续追踪，以便追回车辆；若自行车是在用户许可下离开围栏范围，那么可以通过发送“关闭蜂鸣器 + 硬件ID”的短报文请求来暂时关闭蜂鸣器。当根据实时位置信息检测到车辆重新回到围栏范围内后，通过单片机控制自动开启蜂鸣器。 4.2. 突发问题的应对 在利用地理围栏的方式对自行车进行保护时，依然可能遭到不法分子的偷盗。比如偷盗者可能会强行拆除防盗报警器，对于类似情况，显然无法做到彻底根绝，但可以采取一定的措施对不法分子进行威慑。 首先，增加防盗报警器的拆除难度。拆除难度并非以所需技巧为指标，而应以拆除所需的最少时间为指标。因此，即使靠增加螺丝数量也可以达到增加拆除难度的效果。 其次，可以考虑关联霍尔防拆技术。霍尔传感器 [ 10 ] 是霍尔效应的原理制成的一种传感器，通过对位置变化或者磁性物体进行非接触性测量，来实现防拆检测，其内部电路如图4所示。在此应用中，将霍尔传感器安装在产品需要进行防拆保护的固定部分上，磁源则安装在可拆卸的移动部分上。正常情况下，由于磁源的磁场原因，霍尔传感器中会有电量产生，而当受保护的固定部分和移动部分由于拆卸发生分离时，引起磁源在固定部分霍尔传感器处的磁场减少，同样霍尔传感器的电量也会减小，而当完全分离时，霍尔传感器中电量为0。通过对霍尔传感器电量的变化进行比较分析，判断拆卸的状态，并将此消息发送给车主，以便及时采取相应措施。 4.3. 预期效果 基于北斗和地理围栏的自行车防盗系统旨在减小个人自行车被盗风险。风险的减小首先体现在该系统本身对不法分子的威慑，会使其放弃偷盗该车辆的想法，其次体现在当车辆被盗或防盗报警器遭到破坏时，车主能够及时地收到信息，进而采取下一步措施。 图4. 霍尔传感器电路图 因此，本系统虽无法彻底杜绝车辆被盗的可能，但可以很大程度上降低车辆被成功偷盗的可能性。尤其是对于价格不菲的高档山地车，使用本系统就更为必要。
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user: 5. 评价与分析 5.1. 创新点 1) 用户自定义设置围栏 通过上位机控制程序，用户可以在地图上自主绘制任意形状的围栏范围或是匹配某一地物范围，不限于默认的圆形围栏。用户还可以在常用停车区域，如住所自行车停车区和公司停车棚等处，设置固定围栏。 2) 利用北斗短报文功能进行互动 当自行车离开围栏范围时，北斗内核会向用户发送短报文报警提醒，若车辆的离开未经用户授权，此时用户可以立即通过短报文向北斗内核请求返回车辆的实时位置信息，从而根据轨迹追踪车辆动向并及时追回。 3) 蜂鸣器的智能控制 若自行车是经用户授权离开围栏范围，那么用户可以通过发送“关闭蜂鸣器 + 硬件ID”的短报文请求来暂时关闭蜂鸣器，以节约资源。当根据实时位置信息检测到车辆重新回到围栏范围内后，可以通过单片机控制自动开启蜂鸣器。 5.2. 不足与改进 5.2.1. 精度的改进——轨迹纠偏 针对定位漂移所导致的围栏范围边缘误报警情况，可以考虑采用一种降低北斗卫星导航定位装置定位漂移的方法 [ 11 ] ，它包括如下步骤： · 获取一段时间内接收到的定位数据，并将其按照定位时间进行排序； · 从第一个定位数据点开始，计算相邻两个定位点之间的距离，并根据两个定位点之间的时间间隔计算车辆的行驶速度； · 如果所述车辆的行驶速度过高，超过了现实中可能达到的最大值，则将这两个定位点删除。 经过上述步骤最终得到的定位数据列表中的定位数据信息即为无漂移点的相对精确定位信息，可以有效降低北斗卫星导航定位装置定位漂移，提高定位数据的准确度。 5.2.2. 电源的改进——脚踏动力发电 自行车报警器往往需要全天候工作，这对仪器电源有较高要求，仅仅使用充电电源可能会带来诸多不便。一种理想方案是依靠自行车动力自发电，为报警器装置供能。目前已有能安装在自行车车轴上的小型发电机，但是极不常见，主要的瓶颈是发电机的功率很低，因此这方面还有待进一步探索。
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user: 6. 结束语 本系统充分利用北斗卫星的导航定位技术及其特有的短报文通信功能，设计出基于北斗和地理围栏的公共自行车防盗系统，实现了自动监测用户自行车是否超出围栏范围并进行报警追踪的功能。采用上位机和单片机对数据的并发进行处理，通过软件技术克服硬件对网络并发请求处理不及时的问题，自行车监测系统搭建部署容易实现。通过分析，整个系统在技术、经济、法律等方面均具有较高的可行性且在硬件设计及报警器防拆卸方面创新性较强。此外，个人自行车防盗上的技术和经验可以转移到共享单车的管理中。通过设置各级围栏，对自行车进行管理，规范行业和民众习惯。在设备终端方面，针对不同用户习惯，可以考虑增加应用平台，提供微信公众号、IOS客户端、Android客户端等多种查询服务。
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user: 摘 要 当前国内晶圆自动划切的工业应用中，主要采用基于灰度的模板匹配方法，但其计算量大、划切效率较低。本文提出一种改进的基于几何边缘的模板匹配算法，通过Canny边缘检测生成合适的边缘模板，计算模板边缘曲线的梯度方向作为匹配信息进行相似度计算，采用相似度阈值判断优化搜索策略，然后在图像金字塔最顶层进行粗遍历匹配获得潜在匹配目标，逐层匹配直到最底层，以达到对传统的几何模版匹配算法进行加速的目的。实验表明，该方法具有较高的鲁棒性，对于目标均匀或非均匀变化的光照、部分遮挡的情况可以得到良好的匹配效果，而且算法在保证精度的同时可以满足实时性要求，适用于晶圆图像自动划切的工业应用。 关键词 :模板匹配，几何特征，相似性度量，图像金字塔 Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 模版匹配是晶圆自动划片图像处理系统中重要的组成部分。晶圆的加工制造是半导体制造业的一项关键工艺过程，其中，晶圆划片工艺是把一个晶圆划片成单独的芯片。划片机主要用于硅集成电路，发光二极管，铌酸锂，压电陶瓷，砷化镓，石英，玻璃，太阳能电池片等材料的划切加工 [ 1 ] 。我国从七十年代末开始研制划片机，但是由于我国落后的工业基础，目前国产划片机性能仍然落后于国外先进设备。国内现有的划片机切割软件在晶圆的划切中需要人工手动对准 [ 2 ] ，寻找切割区域使得划片机操作的复杂性高，人工成本高，自动化程度低，为了提高产能，对晶圆划片机专用图像处理软件系统的研发提出了需求 [ 3 ] 。目前，国外全自动划片机釆用了可对准显微镜进行自动图像识别，自动图像对准的CCD光学系统 [ 4 ] 。DISCO公司的双轴对装式12英寸全自动划片机，代表着划片机的最高技术水平，并逐渐进入实用化阶段。而由于商业保密性和研究针对性，国内外很少有公开发表的针对晶圆芯片划切的研究，因此，晶圆自动划切工业的应用对视觉系统的研究提出了需求。 机器视觉有利于信息集成，是实现计算机集成制造技术的基础 [ 5 ] ，划片机图像识别系统的应用，可以提高划片机的视觉识别效率和自动对准的能力，使得在改变工件角度、尺寸、明暗度等条件的情况下，仍能精确定位物体，实现自动对准划切。 模板匹配是机器视觉技术重要研究内容之一，在目标识别、工件精确定位等领域中得到广泛应用 [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] 。目前国外著名的商业化机器视觉软件包，如MVtec的HALCON HMatchlt、EURESYS的eVi-son asyFind、Adept的AdeptSight及DALSA的Sapera等已开发出性能良好的几何模板匹配算法，但由于商业保密的原因，其所采用的技术核心鲜有报道。已公开发表的几何特征模板匹配算法很少能达到商业化软件的性能。傅卫平等 [ 9 ] 提出一种综合应用SIFT特征、马氏距离和放射变换方法的目标匹配定位算法，该方法应用到了机器人的抓取定位中，它利用了立体匹配信息，计算效率并不高。文献 [ 10 ] 提出了一种基于Hausdorff距离的模板匹配算法。文献 [ 11 ] 提出一种基于广义霍夫变换的几何模版匹配方法，此方法适用于搜索存在缩放或者旋转的目标，但是需建立较多累加器数组，并且耗时较长。文献 [ 12 ] 是基于几何基元的匹配算法，此类算法计算复杂度较高。而在国内关于晶圆自动划切的工业应用中，主要采用基于灰度的模板匹配方法，但其稳定性不高、计算量大、划切效率较低，和国外先进的商业软件包相比仍有很大差距。 针对上述存在的问题，本文研究一种基于几何特征的模板匹配算法，对传统的基于几何特征的模版匹配算法计算复杂等缺点进行优化，期望性能可以相对现有的基于灰度的模版匹配算法有较大提升，提升现有划切图像处理系统的稳定性与划切效率，能够达到或者超过商业软件的性能，并能应用到晶圆划片图像处理系统中，实现晶圆图像的快速高效的匹配检测，为晶圆划片成功率提供有效的保障，推动我国半导体制造业的发展。
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user: 2. 模板匹配简介 模版匹配主要有基于灰度相关和基于几何特征两种匹配方法。基于灰度的模板匹配方法主要是以模版图像和目标图像之间的灰度相关系数来判断模版图像和匹配目标之间的相似性。该方法原理简单、实现较容易，但是受光照影响较大、抗干扰性不强、鲁棒性不高，在光照条件非恒定的条件下或者目标图像存在部分遮挡情况下不够稳定。而基于几何特征的模版匹配算法提取出模板的边缘、角点等信息作为特征信息，然后对这些信息进行相似度量匹配。基于几何特征的模版匹配具备对于光照信息不是很敏感、可以有效地解决遮挡问题、抗干扰性强、可以处理微小畸变等优点。由于晶圆划片机图像识别系统容易受冷却水、划屑形成的假图像的影响，要求系统具有极强的去伪存真能力，因此基于边缘几何特征的匹配算法则适用于这种情况下的需求。 根据Brown原理 [ 13 ] [ 14 ] ，图像模版匹配算法有三个要素：特征空间，相似性度量，搜索策略。假设待匹配图像大小为 ，模版图像大小为 ，则在待匹配图像中需要进行 次匹配。匹配过程是通过相关函数的计算来获得目标在搜索图中的位置坐标，搜索窗口在待匹配的图像上以每次一个像素点的距离进行顺序移动，每次移动中都需要计算模版图像和搜索窗口之间的相关性，然后与给定的相关性阈值比较，若相关性大于该阈值则匹配成功，否则就继续移动窗口向后查找。
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user: 3. 优化的模板匹配方法 鉴于已有的基于几何边缘的模版匹配算法的计算量大、计算复杂、不能满足系统实时性要求等缺点，本文提出一种改进的基于几何模版匹配的晶圆图像自动切割方法，本文提出的模板匹配算法主要在如下三个方面进行了改进：1) 优化相似性度量函数计算效率；2) 设计一种新的相似性度量计算的停止标准；3) 采用图像金字塔对匹配进行加速，从而对传统的几何模版匹配算法进行加速，保证划片机图像处理软件系统能够高速实时的实现工业自动化生产的要求。 3.1. 加速的相似性度量计算方法 对于晶圆模版图像的边缘上的点 ， ，经过Canny边缘检测之后每个点对应的梯度方向向量表示为 ， 。待匹配图像经过Canny边缘检测之后的边缘点 处对应的梯度方向向量表示为 。匹配过程中变换后的模版图像与待匹配图像某一位置的子图像计算相似性度量值。模板中边缘点梯度向量经变换后为 ，即在目标图像某位置 子图像处，相似度量函数为式(1)所示 [ 15 ] ： (1) 式(1)计算得到模版边缘点与子图像对应边缘点的梯度向量点积平均值。当梯度方向相反时点积取得负的最大值。梯度方向正交时点积为零。一对对应边缘点梯度方向相同时，点积取得最大值。根据式(1)计算得到的相似度量值的取值范围为整个实数域，不方便判断，很难确定一个阈值来筛选所需要的结果。因此进行归一化处理，即归一化互相关算法(NCC)： (2) 由于式(2)对方向向量进行了归一化处理，所以相似性度量对光照变化具有不变性，此外噪声导致的方向向量是随机的平均后，其结果对(2)式没有影响，因此归一化的公式，提升了抗干扰性，但缺点是计算量大，时间复杂度高。当模版平移时，待匹配图像每个被模版覆盖的边缘点都要进行一次开方运算。文献 [ 16 ] 提出了一种NCC快速模版匹配算法，先对(2)式中的分子进行差分求和以降低每个位置处相似性度量值的计算量，再提出对待匹配图像进行区域分割并设定阈值，分别对分割后的小区域进行匹配和比较，减少了需要计算的点的数目；文献 [ 17 ] 提出了通过引入全1矩阵与源图像做卷积以此来降低NCC算法的计算量，该算法虽然降低了匹配时间，但是同时也降低了匹配精度。 针对以上研究现状，本文在计算相似性度量之前，首先对模版图像和待匹配图像的梯度进行归一化处理。优化过后的相似性度量公式为如公式(3)所示。其中 表示模版边缘梯度向量 的单位向量， 表示待匹配图像边缘梯度向量 的单位向量。 (3) 由(3)式可以看出，在相似度量求和时每个特征点只需要做两次乘法和一次加法。优化前当模板平移时，每次被模板覆盖的所有边缘点都要作一次开方运算。模板图像边缘点的梯度向量单位化时可以离线处理，而目标图像边缘点向量单位化时每个点只需要进行一次开方运算。降低了NCC算法的计算次数，在保证精度的前提下有效的减少了计算时间。 3.2. 相似性度量的停止标准 搜索待匹配图像的过程中，在非可能目标位置相似度量值可以不必完全计算，即通过设定一定阈值，采用一定的终止条件，提前结束计算，从而快速地定位到真正的目标位置，加快整个算法的处理速度。 由归一化相似度量公式(2)可知，剩余n-j项的和小于 ，所以当部分和 满足 ( 为设定的阈值)，即可终止相似度量的计算。文献 [ 15 ] 提出了一个改进的终止条件，第1部分采用宽松的阈值判断，剩下的部分采用严格阈值判断，通过预设设定一个系数g来实现。 式中 ，当 时，所有的点都使用严格的终止条件；当 时，所有的点都使用宽松的终止条件来判断。一般情况下，为了保证不产生误判，参数g通常设置为0.9。在计算相似度量值时，每求一次和都要与阈值进行一次判断，判断的过程使得处理器没有充分发挥流水线功能，降低了处理器的效率，并且当存在部分遮挡时也检测不到。 在整个匹配过程中，绝大部分位置的相似度量值没有必要完全计算，一般只有目标位置计算相似度量值才是真正有用的，为了在搜索待匹配图像时能加快计算相似度量值，尽快终止在非目标位置处相似度量的计算，本文提出了一种停止标准的策略，即选择一部分散乱的边缘点作为试探点，先判断该点是否为可能的目标位置点，再决定是否继续计算相似性度量值。 本方法的具体策略为： 1) 提取出模板图像的边缘信息后，将边缘点分为2部分。设模板边缘点数为n，n1、n2分别为两部分的边缘点个数，且n1 + n2 = n，第1部分n1个零散点作为试探点，即先选择离模板左上角距离最远的边缘点作为第1点，再在到第1点的距离最远的边缘点作为第2个点；在剩余的边缘点中，选择到前面两点距离和最大的点作为第3点，依次而得到n1个点作为第1部分的点，剩余的边缘点作为第2部分， 2) 计算第1部分n1个点的部分相似度量值，计算完后与设定的阈值判断若 ，则停止计算本次相似度量值， 3) 若 ，则在 的基础上，继续计算第2部分n2个点的部分相似度量值，从而得到完整的相似度量值，停止计算本次相似度量值。 如图1所示为本文优化的停止标准算法流程图。 通过对停止标准进行优化提高了相似度量值的计算效率，降低了NCC算法的计算次数，从而减少了相似性度量的计算时间，因此提高了模版匹配的匹配效率。 3.3. 图像金字塔加速策略 仅仅通过相似性度量的停止标准来进行模版匹配的加速效果有限，想要达到晶圆自动划切的工业应用中的实时性要求，必须采用更加快速的搜索策略来提高计算效率。本文采用构建图像金字塔的方法有效的降低了算法的复杂度。 金字塔的第一层为原始的高分辨率图像，顶部为低分辨率图像。当金字塔向上层移动时，图像的尺寸和分辨率降低、像素点减少。如上图2所示，原始图像为J级，图像像素点数为 ，图像每向上移动一层目标图像和末班图像的像素点个数各减少到原来的1/4，大大减少了计算量，速度提高了16倍，因此提高了图像处理效率。假设金字塔共有 级，且 ，则 级金字塔中像素点总数为 (4) 图1. 停止标准优化算法流程图 由式(4)可见，越往上侧像素点越少。本文图像金字塔为4层，首先通过穷举使模板遍历一次金字塔最顶层的图像，即分辨率最低的那一层。在计算相似度量值时，使用上文提到的优化的计算方法和停止标准加快判断效率。然后，将在最顶层找到的位置映射到下一层，在该位置的一定邻域内进行更精细的匹配，直到图像金字塔的最底层，也即得到最高分辨率匹配精度。
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user: 4. 检测结果与分析 如下图3、图4、图5中(c)匹配结果所示，成功在目标图像中匹配到模版，并用绿色曲线标示出，基于几何边缘的模版匹配能够对不同类型的晶圆划切图像得到的不同模版匹配结果。可以看出本方法对不同类型的图像均得到较好的匹配结果。 而相对于传统的基于几何边缘的模版匹配算法，本文在计算效率上进行优化，大大提高了基于几何模版匹配算法的计算效率，使其能满足工业生产实时性的要求，克服了基于几何模版匹配算法耗时较大、计算复杂等问题。表1是对不同类型的待匹配图像，本文使用的匹配算法与传统的基于几何边缘的模版匹配算法和传统基于灰度模版匹配算法耗时进行的比较。从表1可以看出相对传统几何边缘模版匹配算法和传统基于灰度模版匹配算法，本文匹配时间大大降低，能够满足划片机图像处理软件系统要求的实时性、稳定性等需求。 图2. 图像金字塔 图3. 模版匹配结果1 图4. 模版匹配结果2 图5. 模版匹配结果3 Table 1 Comparision of this algorithm with the traditional matching algorithm based on edge and gra 图像 本文算法耗时[ms] 传统基于边缘算法耗时[ms] 传统基于灰度算法耗时[ms] 图像大小 类型1 13.2 2998 1490 640 × 480 类型2 16.4 3457 1725 768 × 576 类型3 11.7 2635 1321 580 × 480 表1. 本文算法和传统的基于边缘和基于灰度匹配算法耗时比较
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user: 5. 结束语 本文提出了一种优化的基于几何边缘模板匹配的晶圆划切图像检测方法，结合图像金字塔和相似度阈值计算的优化来提高匹配速度，解决了基于灰度的模版匹配和基于传统几何边缘算法计算效率低等问题。实验结果证明该方法高效快速，能适应实际工业自动化实时检测的需要。
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user: 摘 要 本文通过运用数学归纳法和两集合双射的充要条件证明了组合数学中圆排列问题下的2n圆排列猜想的正确性。 关键词 :组合数学，圆排列，数学归纳法，无重复排列 Copyright © 2017 by author and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 2n圆排列猜想是一个从中国古代河图洛书 [ 1 ] 演变推广而来的猜想。对该猜想的研究有助于完善排列组合分支下的圆排列问题，对于应用组合数学的科学领域也有贡献。本文从2n圆排列的n较小的情况入手，观察其排列规律，总结出排列方法，拆分命题，用计算机模拟计算出大量数据，并用归纳法和集合双射的充要条件证明该猜想。
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user: 2. 猜想来源 作者在大一上学期的新生研讨课(数学文化选讲)上从阴东升老师的授课中得知了老师早年在博士后研究工作报告 [ 2 ] 中提出的2n圆排列猜想。该猜想从洛书九宫图出发(图1)，把洛书中各个元素都减去5，得到新的元素并适当调整次序排列在圆周上，得到下图2： 图1. 洛书九宫图 图2. 一个2n圆排列猜想的例子 可从图中直观看出左下角三个元素和为2，其余首尾相连的三个元素和为0。于是归纳猜想是否对于任意的大于等于2的正整数n，其从1到2n的自然数排在圆周上，适当赋予正负号，也可以得出左下角三个元素和为2，其余首尾相连的三个元素和为0的结论也成立。
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user: 3. 猜想的定义、代数描述及规律总结 3.1. 猜想定义 对于任意大于等于2的正整数n，把1到2n的自然数排在一个圆周上，人为定义 ，适当调整排列次序并赋予每个数正负号及序号(即按顺时针排，第二个数为 ，第三个数为 第2n个数为 )，可以使得第一个数到第三个和为2；第三个数到第五个个数的和为0，第五个数到第七个数的和为0，以此类推，直到第 个数到第一个数的和都为0。 3.2. 猜想的代数描述 3.3. 规律总结 通过枚举的方法找出n = 2， 3， 4， 5， 6时满足原命题的情况，得到如下表1： 观察每一行与下一行的变化，总结并提出一种规律 ，其作用在第n行数上时，每个数在第n + 1行会发生如下变化： ； ； ； 第n行的第三个到倒数第二个数都对应第n + 1行的数，按照“减二，加一，加一，加一”的规律重复运算； 在最后增加两个数，其数值大小为： 于是根据规律提出假设： ，根据规律的发生变化后，每行数能使命题成立。 Table 1 Some examples of 2n circle arrangement conjectur n 2n 2 4 1 −4 3 2 3 6 1 6 −5 2 3 −4 4 8 1 8 −7 3 4 2 −6 5 5 10 1 10 −9 4 5 3 −8 2 6 −7 6 12 1 12 −11 5 6 4 −10 3 7 2 −9 8 表1. 一些使2n圆排列猜想成立的例子
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user: 4. 证明思路 先用计算机模拟出大量数据，再通过数学归纳法及两集合双射的充要条件进行证明。
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user: 5. 证明过程 先将原命题分解为两个命题： 命题α： 命题β： 5.1. 计算机模拟过程 在Devcpp5.9.2中给出 的各个 的值，把规律编进程序，循环作用后判断并输出每一次的结果(程序见附录)。 5.2. α证明过程 所以 时，α成立。 所以 时，α成立。 下证 的情况： 假设 时，α成立，即 可使α成立。 设在第k行的各个数根据规律发生变化后在第k + 1行分别为 1) k为奇数： 显然， 到 在 到 的基础上按照“减二，加一，加一，加一”的规律重复运算； 于是按照命题α的要求，对所有数进行运算可得： 所以n为奇数时，命题α成立 2) k为偶数： 显然， 到 在 到 的基础上按照“减二，加一，加一，加一”的规律运算； 于是按照命题α的要求，对所有数进行加法运算可得： 所以n为偶数时，命题α成立 所以 时，命题α成立，即根据数学归纳法命题α得证。 5.3. β证明过程 ⇒ 可取尽1到2n所有的自然数。 ⇒ 可取尽1到2n所有的自然数。 下证 的情况： 对于 ，根据规律对 时的各个数字处理 次可得： 对于 ， 当i为奇数时，有 在第i行时的值为： 在第n行时的值为： 当i为偶数时，有 在第i行时的值为： 在第n行时的值为： 对于 ，无论奇偶，其在下一行都变为2，在第n行变为： 而在最后一次根据规律处理数字后有： 故可以得出 到 的所有值。 令集合 ，集合 若 是双射，则集合 与集合 的元素一一对应，命题β成立。 5.3.1. 单射证明 对于 且 有： 即 互不相等，故 是单射。 5.3.2. 满射证明 下证 是满射： 首先有： 再寻找3到2n的自然数： 1) n为奇数： 把 代入 可得3到 所有自然数。 把 代入 (奇数表达式)可得 到 之间所有自然数。 而 ； 把 代入 (偶数表达式)可得 到 之间所有自然数。 而 所以n为奇数时， 是满射。 2) n为偶数： 把 代入 可得3到 所有自然数。 把 代入 (奇数表达式)可得 到 之间所有自然数。 而 把 代入 (偶数表达式)可得 到 之间所有自然数。 而 所以n为偶数时， 是满射。 所以 是双射。 故集合 与集合 的元素一一对应，命题β成立。
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user: 摘 要 本文中给出了一些等级相同并满足一定条件的M角数数字关系式。得到了与毕达哥拉斯三角数相关的特殊M角数数字关系式。讨论了一些特殊情况，并得到了一些有趣的结果。 关键词 :M角数，Pythagorean方程，分拆 Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 Fermat在Diophtantus的《数论》的空白处写下了第18条评注是下面的命题 [ 1 ] 。 命题1：当m ≥ 3时，所有的自然数可表为不超过m个m角数 1 (m-gonal number)之和。 命题1中4角数部分抽出来就是下面的命题。 命题2：对任意的自然数n，不定方程 有解。 Euler在知道了Fermat的命题1时颇为激动，然而对命题2的证明颇费周章却不得其解。1772年Lagrange在Euler研究的基础上，利用Euler的四平方恒等式 [ 2 ] 证明了命题2，并于1812年证明了命题1。 无论Fermat还是Euler，都对命题1情有独钟。Fermat在所记命题1的空白处，写到了命题1是关系到数论的许多神秘之处，并说关于这一点他自己有写一本书的打算。Euler推导出的四平方恒等式也不是简单的，它使得只需要证明命题2对素数成立。 命题1没有要求自然数表为m个m角数之和。对命题2，就是没有要求 的解都是正整数(有些可以是0)。事实上，形为 的自然数不能表为4个正整数平方之和。 更准确的说，我们利用关系式 和命题2推出下面的结论 [ 3 ] ： 对于n ≥ 169的自然数，都可以表为5个正整数平方之和。 直接验证n < 169的自然数知道：除去下面的12个数，其它的自然数都可以表示为5个正整数平方之和。 结论中的5是不能改进的。 前面结论的逆命题是： 命题3：如果存在一个4角数，可以分别表示为2，3，4，5个相异四角数之和，那么大于这个4角数的所有自然数都可以表示为不超过4个4角数之和 [ 1 ] 。 命题３中4个4角数也是不能改进的。逆命题中最重要的一部分条件是：一个4角数拆成了两个相异4角数之和。即勾股定理 我们称“第几个正整数的平方”为“第几项4角数”，那么勾股定理可以解释为： 第13项4角数等于第12项4角数与第5项4角数之和。 当把勾股定理推广到任意m角数的时候，发现了如下的结论： 命题4：第 项m角数等于第 项m角数与第 项m角数之和。 在平方数定义为4角数的情况下，上述结论做为勾股定理的一个推广是合格的 2 ，它实际上是洛伦兹(Lorentz)变换的对偶定理 3 。顺便说，它也是数学上的质能公式。
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user: 2. 应用简介 我们用 表示角数为m的M角数第s项数值，如果我们把m角数的第s项计算公式 代入上述的结论，很容易推出方程 也就是说，如果方程成立，就证明了上述的结论。然而，讲明白这个方程的符号和数字的物理意义并不是容易的事情 [ 4 ] 。从方程的推导过程我们仅仅可以看出，由质能公式确定的空间可以从五维降低到三维。 我们可以用哥德尔数简单解释质能公式如下：第 项m角数减第 项m角数对应质能公式的∆E，第 项m角数对应∆mc 2 ，两者数值相等。 我们逐渐的会明白，上述结论在形式上是对质能公式 的两边取对数得到的数学公式，它深刻地刻画了物质世界的基本属性 [ 5 ] [ 6 ] 。并预示着一个物理学上的以下结论：任何系统的平动量与转动量的和是一个定值。物理上的能量守恒定律和动量守恒定律以及万有引力定律都来源于此。 我们得到这些物理上的结论并不奇怪，因为质能公式和它的三次方程在数学上称为自守形式(Automorphic form)，它应用到物理上就是各种守恒定律。需要说明的是：守恒定律的个数是有限的，它的最多个数是由自守形式确定的。
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user: 3. 一般的整数分拆命题 一般的，第s项的m角数记为 ，拆数 成相异m个m角数的分拆 [ 7 ] [ 8 ] 种数，通常情况下都大于1。拆数 成相异 个m角数的分拆种数≥1。例如 也就是说，4角数(平方数)169拆成4个4角数及5角数852拆成5个5角数的相异分拆种数是2。 它可以推出命题5。 命题5：当 时，m角数的第 项，可以分拆为 个相异的m角数之和。 这个命题的正确性是毋庸置疑的，因为我们只需要重复命题1的证明过程并用哥德尔数解释方程 的意义。这种方法略显拙笨，且简化证明过程不属本文的内容。故不再赘述。 由命题5可以推出：所有的自然数都可以表示为不超过m个允许重复的m角数之和。下面给出5角数和6角数的相异分拆。 当 时，第 项拆成相异2个m角数之和的分拆种数都是1，当自然数N大于等于第 项m角数 时，拆数N成相异3个m角数或更多个m角数之和的相异分拆种数一般情况下都大于1，它们的种数计算依赖于二元数的分拆理论。
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user: 4. 分拆理论现状简介及展望——用多个平方和表示的数 在很多文献中，定义多项式幂 的展开式中，项x t 的系数为r s (t)。函数r s (t)表示的是拆数t为s个(注：不一定相异)平方数(4角数)的种数。 拆数t为2，3，4个4角数之和的分拆种数(或者相异种数)人们已经研究的很清楚了。对拆数t为偶数个4角数之和的分拆种数r 2k (t)的定量研究，目前多使用椭圆模函数理论，它涉及艰深的算数函数。对于t为奇数r 2k+1 (t)的定量研究，涉及Legendre符号和广义Jacobi符号 的一个有限和。这些结果许多都是大部头专著 [ 9 ] 。 由此可以看出，求解 时，拆数t成相异k个m角数的分拆种数是一个多么困难的问题。但是上述方法都不属于我们要讨论的内容。我们所要寻找的是，怎样用递推的方法求解出拆数t成相异k个m角数的分拆种数。m角数中第 项的分拆种数的计算为我们提供了这种可能，其中第 项的 分为两个m角数之和的种数都是1的结果已开先河。
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user: 摘 要 采用Pythagorean方程的解决方法，我们得到了一对M角数之差仍然为M角数的连接形式。使用给出的这些明显可计算的普通表达式，我们在两种数组之间建立了一种非凡的连接。从而使得两种数组的平面射影可以成为“局部”拓扑，并且在Desarguesian型拓扑实数射影平面上，自然而然的可以共享许多拓扑椭圆的性质。 关键词 :Pythagorean方程，M角数，拓扑椭圆 Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 首项为1，并通过连续增加算术级数中的公差得到的数字称为角数(或统称M角数)，由此得到 3角数： 4角数： 5角数： 等等。 显然，4角数就是自然数平方的数列。我们知道，关于4角数数列 的Pythagorean方程 的离散性质是几何的起源，它的迷人魅力至今吸引着许多人研究和推广。 对于一般的M角数，Diophtantus用 表示m角数的第s项 [ 1 ] ，并用公式 作为第s项m角数的几何定义 1 。因此，m角数的第s项公式也可以简化为如下形式 (1) 的递推法则是： (2) 它属于一种比较简单的分层递推。 自从Lagrange证明了任意自然数都可以表示为m个m角数之和的Fermat命题之后，M角数的研究沉寂了很长时间。近十年来，M角数的研究主要集中在公式(2)的推广。文献 [ 2 ] 利用Brahmagupta引理 [ 3 ] 和Pellian方程用解析法求出了满足 3角数−5角数=1，3角数−7角数=1，3角数−8角数=1，3角数−10角数=1 3角数−12角数=1，5角数−6角数=1，5角数−7角数=1，5角数−8角数=1 条件的8个整数数列的Pellian表达式，又由表达式推出了8个数列项数的递推法则。 我们用符号 表示m角数的数列，用 表示m角数数列减n角数的差等于k的那些数所形成的数列，在这里 为正整数，且 。 由此，上面满足的条件可以简记为 文献 [ 4 ] 研究了任意两种不同类m角数的上述情形，并给出了这些数列项数的递推法则。 更进一步，文献 [ 5 ] 求出了满足条件 的3角数递推法则为 文献 [ 5 ] 还研究了满足 条件的一般数列表达式和n角数项数的递推法则。文献 [ 6 ] 研究了满足 和 条件的数列表达式以及3角数和n角数项的递推法则。 有了这些结果，我们很自然的想知道，条件k取负值时(或者距离4角数更远的那个角数)的递推法则是怎样的。当 时，就是求解满足条件 (或 )的序列。然而我们发现即这种最简单的情形，也找不到递推法则的一般求法。 文献 [ 7 ] 在这方面做了一些尝试。它指出：存在确定得法则，可以从3角数数列中找到同时等于5数、8角数、10角数和12角数的那些数。这方面的综述还可以参看文献 [ 1 ] 。 实际上，我们已经知道了 的一部分性质，在研究满足条件 的数列之前，我们还应该弄清楚它们的中间情形，即：满足条件 和 的数列的性质。 这是一项非常巨大的工作，我们可以只抽出 来研究，它表示的数列条件是两个m角数之差仍然属于m角数。通常情况下，我们可以只考虑这种数列为正整数数列。 显然， 表示直角三角形的通解数列。我们知道，当直角三角形的斜边长与一个直角边长为相邻的整数时，Pythagorean方程 的通解公式为 因此，斜边长与一个直角边长为相邻整数的Pythagorean方程为 (3) 它可以解释为：第 项自然数的平方(即4角数)与第 项自然数的平方之和等于第 项自然数的平方。当k取整数时， 。 本文把上述Pythagorean方程的通解公式推广到任意m角数，得到了下面的定理。 定理：第 项m角数与第 项m角数之和等于第 项m角数。式中 用M角数的符号也可以表示定理为 (4) 由M角数几何性质可以看出，公式(4)把直角三角形的Pythagorean方程推广到了凸多边形。
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user: 2. 定理的证明 证明：由m角数的第s项公式(1)我们得到 它恰等于第 项m角数 。□ 虽然我们用代数的方法证明了定理。然而，讲明白这个定理中字符的一般意义并不是容易的事情。
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user: 3. 定理的代数意义 令：公式(4)可以表示为联立方程如下： (5) 为了看清楚两种数组 的关系 2 ，我们很容易计算得到下面的表1。 例如，查表1 得 。表示对应7角数的第214项和7角数的21项。又由7角数的计算公式得到第214项和第21项的7角数为114，169和1071。那么，由定理可以求得7角数的第215项等于114，169 + 1071 = 115，240。 相反的，我们知道，表1中的数组 也对应唯一的数组 。由上面的表1我们只能转换一部分数组 填写在下面的表2中，其它的数组 由方程组(5)确定。 由于代数方程表示的空间曲面是连续的，可以认为上述方程的有理数数组的解 连续且唯一。虽然用这种方法求解出方程组的精确解是繁琐的，但是求解的步骤是确定的。例如：当 时，我们通过求解4次方程得到解为 。 特别需要说明的是，定理中的 是表示差分常数一个量。即：从3角数开始， 的二次差分常数为自然数的平方 ， 的一次差分常数为自然数 。例如 时 利用这个性质，我们由数组 可以递推的得到数组 ，见下面的表2。这是一种简单的分层递推。表2中的规律性数字揭示的就是这种递推法则。 Table 1 results in syste M角数 m = 2 m = 3 m = 4 m = 5 m = 6 m = 7 …… k = 1 (1， 1) (2， 2) (4， 3) (7， 4) (11， 5) (16， 6) k = 2 (1， 2) (5， 3) (12， 5) (23， 7) (38， 9) (57， 11) k = 3 (1， 3) (9， 4) (24， 7) (48， 11) (81， 13) (123， 10) k = 4 (1， 4) (14， 5) (40， 9) (82， 13) (140， 17) (214， 21) k = 5 (1， 5) (20， 6) (60， 11) (125， 16) (215， 21) (330， 26) k = 6 (1， 6) (27， 7) (84， 13) (177， 19) (306， 25) (471， 31) k = 7 (1， 7) (35， 8) (112， 15) (238， 22) (413， 25) (637， 36) k = 8 (1， 8) (44， 9) (144， 17) (308， 25) (536， 33) (828， 41) k = 9 (1， 9) (54， 10) (180， 19) (387， 28) (675， 37) (1144， 46) …… 表1. 坐标m⊾k下，二元数组 表 表1中m = 2可以解释为2角数。不妨假定它的数值遵循相同的法则，可以由计算公式给出。 Table 2 results in syste 整数 Y = 1 Y = 2 Y = 3 Y = 4 Y = 5 …… X = 1 (2/1， 1) X = 2 (4/2， 2) (3/1， 1) X = 3 (6/3， 3) (5/2， 2) X = 4 (8/4， 4) (7/3， 3) (4/1， 1) X = 5 (10/5， 5) (9/4， 4) (6/2， 2) X = 6 (14/6， 6) (11/5， 5) (8/3， 3) X = 7 (14/7， 7) (13/6， 6) (10/4， 4) (5/1， 1) X = 8 (16/8， 8) (15/7， 7) (12/5， 5) (7/2， 2) X = 9 (18/9， 9) (17/8， 8) (14/6， 6) (9/3， 3) X = 10 (20/10， 10) (19/9， 9) (16/7， 7) (11/4， 4) X = 11 (22/11， 11) (21/10， 10) (18/8， 8) (13/5， 5) (6/1， 1) X = 12 (24/12， 12) (23/11， 11) (20/9， 9) (15/6， 6) (8/2， 2) …… 表2. 坐标X⊾Y下，二元数组 表 表2仅给出了k ≥ 1的数组，k < 1的数组属于虚数平面的性质，不在我们研究的范围内。
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user: 4. 推广和结论 我们可以扩充 为有理数，使得Pythagorean方程 的通解公式(3)表示任意直角三角形的有理数边长。显然，当 无重复的取遍所有的正的既约分数时，上式恰好无重复的取遍三边为互素整数的相似直角三角形的不同种类。 由定理的证明过程可以看出，这种方法同样适用于本文的定理。也就是说，表1和表2表示的两种平面m⊾k，X⊾Y存在着某种连续的性质 [ 8 ] ，这是一种不明显的推广。 表2给出的是 为自然数且 的逆定理 3 。对于4角数，定理和逆定理可以替换为满足本原方程 所有整数解的充分必要条件： 或者记为 (6) 公式中 是奇偶性相反并满足 的正整数，且 。 比较直角三角形公式 和 的整数解可以看出， 是这样一个有理数，它使得 和 分别表示两个相似直角三角形的两个直角边的边长。因此 是相似直角三角形的缩放系数，是角度的函数。显然， 也是角度的函数。 当然，也可以把数组 推广为任意有理数数组 4 ，通过解方程组(5)并利用代数方程的连续性质得到逆定理的推广。 一般情况下，数组 是数组 为参数的三角函数数组，这两种有理数组及其映射关系属于Diophtantus方程(或离散数学及拓扑学)研究的范围。 综上所述，我们给出了把Pythagorean方程整数解的充分必要条件推广到任意M角数的一般方法。
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user: 5. 定理及逆定理在拓扑空间的应用 无论古典数学分支还是近代的数学分支，都以Pythagorean方程作为基本理论。下面，我们首先讨论Pythagorean方程的推广(即：本文的定理和逆定里)在拓扑学上的一个应用。 容易发现，表1第一列的数组可以直接转化为表2的第一列；表1中第一行的数组转换到表2时，都是表2所在行最后的一个组数，并且它们在同一条抛物线上。这些转换都是数组位置的映射，是拓扑。 由于表1和表2的有理数数组可以用自然数排序(可用自然数排序的集合称为偏序集)，即使我们扩充 为有理数(限定有理数的分子和分母不大于给定的定值，并逐步放松限定)，并逐步加密表1和表2以后，这种有理数组仍然可以用自然数排序。 在这种情况下，表1的数组表示的位置，映射到表2的数组表示的位置；以及两个数组位置连线的这种映射满足了拓扑空间的定义 [ 8 ] [ 9 ] ，因此表1到表2的映射构成了一个拓扑空间。 在上述拓扑空间中，表1上任意一个与轴线平行的直线都映射成表2上的一个二次曲线(仅第一列是一条直线，是 时的特例)，由公式(5)很容易得到这个性质。 上述位置和位置连线的映射也实际给出了一种拓扑椭圆，文献 [ 9 ] 仅证明了拓扑椭圆是存在的。