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user: 2. 主要结果与证明 定理1：设 λ 0 为问题(1) (2)的特征值，其秩记为 R ( λ 0 ) ，则 1) R ( λ 0 ) = 4 的充要条件是 k ( λ 0 ) = k ′ ( λ 0 ) = k ″ ( λ 0 ) = k ( 3 ) ( λ 0 ) = 0 且 k ( 4 ) ( λ 0 ) ≠ 0 。 2) 当满足条件 a i 2 + a i 4 = 0 或 a i 1 + a i 3 = 0 ( i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 时， R ( λ 0 ) = 3 的充要条件是 3) 当满足条件 a i 2 + a i 4 = 0 和 a i 1 + a i 3 = 0 ( i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 时， R ( λ 0 ) = 2 的充要条件是 k ( λ 0 ) = k ′ ( λ 0 ) = 0 ， k ″ ( λ 0 ) ≠ 0 4) 当满足条件 a i 2 + a i 4 = 0 和 时， 的充要条件是 k ( λ 0 ) = 0 ， k ′ ( λ 0 ) ≠ 0 证明：(1)~(4)的充分性显然成立。下面证明必要性。 1) R ( A ) = 4 ， λ 0 对应4个线性无关的特征函数 H i ( x ， λ 0 ) ， i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 。 | A | k ( λ 0 ) = | A Ω ( λ 0 ) | = | H ′ 1 ( 1 ， λ 0 ) − a 11 H ″ 1 ( 1 ， λ 0 ) − a 12 H ‴ 1 ( 1 ， λ 0 ) − a 13 H 1 ( 1 ， λ 0 ) − a 14 H ′ 2 ( 1 ， λ 0 ) − a 21 H ″ 2 ( 1 ， λ 0 ) − a 22 H ‴ 2 ( 1 ， λ 0 ) − a 23 H 2 ( 1 ， λ 0 ) − a 24 H ′ 3 ( 1 ， λ 0 ) − a 31 H ″ 3 ( 1 ， λ 0 ) − a 32 H ‴ 3 ( 1 ， λ 0 ) − a 33 H 3 ( 1 ， λ 0 ) − a 34 H ′ 4 ( 1 ， λ 0 ) − a 41 H ″ 4 ( 1 ， λ 0 ) − a 42 H ‴ 4 ( 1 ， λ 0 ) − a 43 H 4 ( 1 ， λ 0 ) − a 44 | = 0 因为 H ′ i ( 1 ， λ 0 ) = a i 1 ， H ″ i ( 1 ， λ 0 ) = a i 2 ， H ‴ i ( 1 ， λ 0 ) = a i 3 ， H i ( 1 ， λ 0 ) = a i 4 ，且 | A | ≠ 0 ，故 k ( λ 0 ) = 0 。 又因为求导后展开的每个行列式中至少有一行未被求导，从而行列式 | A | k ′ ( λ 0 ) = | A | k ″ ( λ 0 ) = | A | k ‴ ( λ 0 ) = 0 。同理可得 k ′ ( λ 0 ) = k ″ ( λ 0 ) = k ‴ ( λ 0 ) = 0 。 对 | A | k ( λ ) 关于 λ 求四阶导数后，在 λ = λ 0 处只剩一项。 | A | k ( 4 ) ( λ 0 ) = | H ˙ ′ 1 ( 1 ， λ 0 ) H ˙ ″ 1 ( 1 ， λ 0 ) H ˙ 1 ( 3 ) ( 1 ， λ 0 ) H ˙ 1 ( 1 ， λ 0 ) H ˙ ′ 2 ( 1 ， λ 0 ) H ˙ ″ 2 ( 1 ， λ 0 ) H ˙ 2 ( 3 ) ( 1 ， λ 0 ) H ˙ 2 ( 1 ， λ 0 ) H ˙ ′ 3 ( 1 ， λ 0 ) H ˙ ″ 3 ( 1 ， λ 0 ) H ˙ 3 ( 3 ) ( 1 ， λ 0 ) H ˙ 3 ( 1 ， λ 0 ) H ˙ ′ 4 ( 1 ， λ 0 ) H ˙ ″ 4 ( 1 ， λ 0 ) H ˙ 4 ( 3 ) ( 1 ， λ 0 ) H ˙ 4 ( 1 ， λ 0 ) | | A | k ( 4 ) ( λ 0 ) | B | = | 〈 H 1 ， H 1 〉 〈 H 1 ， H 2 〉 〈 H 1 ， H 3 〉 〈 H 1 ， H 4 〉 〈 H 2 ， H 1 〉 〈 H 2 ， H 2 〉 〈 H 2 ， H 3 〉 〈 H 2 ， H 4 〉 〈 H 3 ， H 1 〉 〈 H 3 ， H 2 〉 〈 H 3 ， H 3 〉 〈 H 3 ， H 4 〉 〈 H 4 ， H 1 〉 〈 H 4 ， H 2 〉 〈 H 4 ， H 3 〉 〈 H 4 ， H 4 〉 | 上式右端是Crame行列式，故由文献 [ 2 ] 知， | A | k ( 4 ) ( λ 0 ) | B | ≠ 0 ，故 k ( 4 ) ( λ 0 ) ≠ 0 。 2) 先证在 a i 2 + a i 4 = 0 条件下的结论，另一种情况类似证明。 R ( A ) = 3 ，可以生成3个线性无关的特征函数，不妨取为： ( H 1 H 2 H 4 ) = ( a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 41 a 42 a 43 a 44 ) ( Q 1 ( 1 ， λ 0 ) Q 2 ( 1 ， λ 0 ) Q 3 ( 1 ， λ 0 ) Q 4 ( 1 ， λ 0 ) ) 则右端 3 × 4 阶矩阵至少存在一个三阶子式非零，不妨取为： | a 11 a 12 a 14 a 21 a 22 a 24 a 41 a 42 a 44 | ≠ 0 此行列式展开的六项中至少有一项非零，为讨论方便取为 a 11 a 22 a 44 ≠ 0 。 k ( λ ) = 1 a 11 a 22 a 44 | a 11 [ Q ′ 1 ( 1 ， λ ) − 1 ] a 11 Q ″ 1 ( 1 ， λ ) a 11 Q 1 ( 3 ) ( 1 ， λ ) a 11 Q 1 ( 1 ， λ ) a 22 Q ′ 2 ( 1 ， λ ) a 22 [ Q ″ 2 ( 1 ， λ ) − 1 ] a 22 Q 2 ( 3 ) ( 1 ， λ ) a 22 Q 2 ( 1 ， λ ) Q ′ 3 ( 1 ， λ ) Q ″ 3 ( 1 ， λ ) Q 3 ( 3 ) ( 1 ， λ ) − 1 Q 3 ( 1 ， λ ) a 44 Q ′ 4 ( 1 ， λ ) a 44 Q ″ 4 ( 1 ， λ ) a 44 Q 4 ( 3 ) ( 1 ， λ ) a 44 ( Q 4 ( 1 ， λ ) − 1 ) | 经过初等变换得 k ( λ ) = 1 a 11 a 22 a 44 | H ′ 1 ( 1 ， λ ) − a 11 H ″ 1 ( 1 ， λ ) − a 12 H 1 ( 3 ) ( 1 ， λ ) − a 13 H 1 ( 1 ， λ ) − a 14 H ′ 2 ( 1 ， λ ) − a 21 H ″ 2 ( 1 ， λ ) − a 22 H 2 ( 3 ) ( 1 ， λ ) − a 23 H 2 ( 1 ， λ ) − a 24 Q ′ 3 ( 1 ， λ ) Q ″ 3 ( 1 ， λ ) Q 3 ( 3 ) ( 1 ， λ ) − 1 Q 3 ( 1 ， λ ) H ′ 4 ( 1 ， λ ) − a 41 H ″ 4 ( 1 ， λ ) − a 42 H 4 ( 3 ) ( 1 ， λ ) − a 43 H 4 ( 1 ， λ ) − a 44 | 显然 k ( λ 0 ) = 0 ， k ′ ( λ 0 ) = 0 ， k ″ ( λ 0 ) 。 k ( 3 ) ( λ 0 ) = 1 a 11 a 22 a 44 | H ′ ˙ 1 ( 1 ， λ 0 ) H ″ ˙ 1 ( 1 ， λ 0 ) H ˙ 1 ( 3 ) ( 1 ， λ 0 ) H ˙ 1 ( 1 ， λ 0 ) H ′ ˙ 2 ( 1 ， λ 0 ) H ″ ˙ 2 ( 1 ， λ 0 ) H ˙ 2 ( 3 ) ( 1 ， λ 0 ) H ˙ 2 ( 1 ， λ 0 ) Q ′ 3 ( 1 ， λ 0 ) Q ″ 3 ( 1 ， λ 0 ) Q 3 ( 3 ) ( 1 ， λ 0 ) − 1 Q 3 ( 1 ， λ 0 ) H ˙ ′ 4 ( 1 ， λ 0 ) H ˙ ″ 4 ( 1 ， λ 0 ) H ˙ 4 ( 3 ) ( 1 ， λ 0 ) H ˙ 4 ( 1 ， λ 0 ) | 经过等值变换得 k ( 3 ) ( λ 0 ) = 1 a 11 2 a 22 2 a 44 2 | 〈 H 1 ， H 1 〉 〈 H 1 ， H 2 〉 〈 H 1 ， H 4 〉 H ˙ 1 ( 1 ， λ 0 ) 〈 H 2 ， H 1 〉 〈 H 2 ， H 2 〉 〈 H 2 ， H 4 〉 H ˙ 2 ( 1 ， λ 0 ) − a 12 − a 14 − a 22 − a 24 − a 42 − a 44 Q 3 ( 1 ， λ 0 ) 〈 H 4 ， H 1 〉 〈 H 4 ， H 2 〉 〈 H 4 ， H 4 〉 H ˙ 4 ( 1 ， λ 0 ) | 当 a i 2 + a i 4 = 0 ( i = 1 ， 2 ， 4 ) 时， k ( 3 ) ( λ 0 ) = − Q 3 ( 1 ， λ 0 ) a 11 2 a 22 2 a 33 2 | 〈 H 1 ， H 1 〉 〈 H 1 ， H 2 〉 〈 H 1 ， H 4 〉 〈 H 2 ， H 1 〉 〈 H 2 ， H 2 〉 〈 H 2 ， H 4 〉 〈 H 4 ， H 1 〉 〈 H 4 ， H 2 〉 〈 H 4 ， H 4 〉 | 下面说明 Q 3 ( 1 ， λ 0 ) ≠ 0 ，由以上假设知： W [ H 1 ， H 2 ， H 4 ， Q 3 ] = | a 11 a 21 a 41 0 a 12 a 22 a 42 0 a 13 a 23 a 43 1 a 14 a 24 a 44 0 | = − | a 11 a 21 a 41 a 12 a 22 a 42 a 14 a 24 a 44 | ≠ 0 因此 H 1 ， H 2 ， H 4 ， Q 3 是线性无关的。 另一方面，由引理2以及 a i 2 + a i 4 = 0 ( i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 知， ( a 12 − a 11 a 14 − a 13 a 22 − a 21 a 24 − a 23 a 32 − a 31 a 34 − a 33 a 42 − a 41 a 44 − a 43 ) ( Q ′ 3 ( 1 ， λ 0 ) Q ″ 3 ( 1 ， λ 0 ) Q 3 ( 3 ) ( 1 ， λ 0 ) − 1 Q 3 ( 1 ， λ 0 ) ) = ( 0 0 0 0 ) 假设 Q 3 ( 1 ， λ 0 ) = 0 ，由上式可得到 ( a 12 − a 11 a 14 a 22 − a 21 a 24 a 42 − a 41 a 44 ) ( Q ′ 3 ( 1 ， λ 0 ) Q ″ 3 ( 1 ， λ 0 ) Q 3 ( 3 ) ( 1 ， λ 0 ) − 1 ) = ( 0 0 0 ) 因为系数行列式不等于零，故有 Q ′ 3 ( 1 ， λ 0 ) = Q ″ 3 ( 1 ， λ 0 ) = 0 ， Q 3 ( 3 ) ( 1 ， λ 0 ) = 1 ，即 Q 3 ( 1 ， λ 0 ) 也是特征函数，这与已知矛盾，故 k ( 3 ) ( λ 0 ) ≠ 0 。 (3) (4)仿照 R ( λ 0 ) = 3 的方法，进行证明。