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user: 3. 数学模型及定价公式 假设股票价格变化模型服从下面的随机微分方程： d S ( t ) = ( μ ( t ) − λ k ) S ( t ) d t + σ H S ( t ) d B t H + σ S ( t ) d B t + U S ( t ) d N t . (1) 其中 S ( t ) 为t时刻股票价格， μ ( t ) 为预期收益率， σ H ， σ 分别为股价波动率， { B t H ， t ≥ 0 } 为分数布朗运动，本文假设 0 < H < 1 ， { B t ， t ≥ 0 } 为布朗运动， N ( t ) 表示股价在时间段 [ 0 ， T ] 内随机跳跃次数，服从参数为 λ 的泊松过程，U表示股票价格跳跃的高度，服从对数正态分布，其中 ln ( 1 + U ) ∼ N ( μ J ， σ J 2 ) ， N ( μ J ， σ J 2 ) 为正态分布， μ J 为均值， σ J 为标准差，k是跳跃幅度U的无条件均值，且 k = E ( U ) 。 3.1. 微分方程法 根据李红 [ 2 ] 的方法通过混合分数伊藤公式及泰勒展开等可得混合分数跳扩散模型下期权价格满足的偏微分方程为： ∂ V ∂ t + r S ∂ V ∂ S + 1 2 [ σ 2 + 2 σ H 2 H t 2 H − 1 + λ k 2 ] S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 − r V = 0 令 σ 1 2 = σ 2 + λ k 2 则微分方程化为(2) ∂ V ∂ t + r S ∂ V ∂ S + 1 2 [ σ 1 2 + 2 σ H 2 H t 2 H − 1 ] S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 − r V = 0 (2) 定理1：假设 S ( t ) 服从SDE(1)，敲定价格X，到期日为T，且期权价格满足随机微分方程(2)的资产或无价值看涨期权定价公式为： V = S t N (d1) d 1 = ln S t X + r ( T − t ) + 1 2 σ 1 2 ( T − t ) + 1 2 σ H 2 ( T 2 H − t 2 H ) σ 1 2 ( T − t ) + σ H 2 ( T 2 H − t 2 H ) 证明：用王海叶 [ 9 ] 中的方法，根据热传导方程经典解理论可以得到该方程有唯一强解，由Poisson公式即可得定理1成立。 定理2：假设 S ( t ) 服从SDE(1)，敲定价格X，到期日为T，且期权价格满足随机微分方程(2)的现金或无价值看涨期权定价公式为： V = Q e − r ( T − t ) N (d2) d 2 = d 1 − σ 1 2 ( T − t ) + σ H 2 ( T 2 H − t 2 H ) 证明：用上面的方法易证定理2成立。 3.2. 保险精算法 引理3.2.1 [ 7 ] ：假设 S ( t ) 服从SDE(1)则根据混合分数跳-扩散Ito公式，随机微分方程(1)的解为： S ( t ) = S ( 0 ) exp { ∫ 0 t [ μ ( s ) − λ k − H σ H 2 s 2 H − 1 − 1 2 σ 2 ] d s + ∫ 0 t σ H d B t H + ∫ 0 t σ d B t + ∑ i = 0 N t ln ( 1 + U i ) } . 定义3.2.1 [ 7 ] ：股票价格过程 S ( t ) 在时间段 [ 0 ， t ] 上产生的期望收益率 ∫ 0 t β ( s ) d s 的定义为： exp { ∫ 0 t β ( s ) d s } = E [ S ( t ) ] S ( 0 ) . 其中 β ( t ) 是连续复利收益率。 定义3.2.2 [ 1 ] ：欧式期权的保险精算定价的定义为：在期权的到期日，若期权被执行，期权的价值为股票在到期日的折现和执行价格在到期日的折现的差在股价实际的概率分布下的期望。关于资产价格的折现，计算方法如下：无风险资产的折现按照无风险利率来折现，风险资产的折现价格按照期望收益率(定义3.2.1)来进行折现。欧式期权在到期日被执行的充要条件是： 看涨期权为： exp { − ∫ 0 T β ( s ) d s } S ( T ) > exp { − ∫ 0 T r ( s ) d s } X . 看跌期权为： exp { − ∫ 0 T β ( s ) d s } S ( T ) < exp { − ∫ 0 T r ( s ) d s } X . 引理3.2.1 [ 4 ] ：假设Y为服从正态分布的随机变量，那么有 E [ e Y I { Y > a } ] = e μ Y + σ Y 2 2 N ( − a + σ Y 2 + μ Y σ Y ) . 其中 I { ⋅ } 表示性函数， μ Y 为Y的期望， σ Y 为Y的标准差，a为常数， N ( ⋅ ) 为标准正态分布随机变量的分布函数。 定理3.2.2：设资产价格过程 S ( t ) 满足混合分数跳–扩散模型(1)，则X为敲定价格，T为到期日为的资产或无价值看涨期权定价公式为： c 1 = S ( 0 ) ∑ n = 0 + ∞ ( λ ( 1 + k ) T ) n e − λ ( 1 + k ) T n ! N ( d 1 ) d 1 = − ln X S ( 0 ) + ∫ 0 T r ( s ) d s + μ n + σ n σ n d 2 = − ln X S ( 0 ) + ∫ 0 T r ( s ) d s + μ n σ n = d 1 − σ n 证明：下面用保险精算的方法证明等式成立 由定义3.2.1知 ∫ 0 t β ( s ) d s = ∫ 0 t r ( s ) d s . 所以 e − ∫ 0 T β ( s ) d s S ( T ) = S ( 0 ) e { ∫ 0 T ( μ ( s ) − λ k − H σ H 2 s 2 H − 1 − 1 2 σ 2 ) d s + ∫ 0 T σ H d B t H + ∫ 0 T σ d B t + ∑ i = 0 N T ln ( 1 + U i ) } = S ( 0 ) e { ∫ 0 T ( − λ k − H σ H 2 s 2 H − 1 − 1 2 σ 2 ) d s + ∫ 0 T σ H d B t H + ∫ 0 T σ d B t + ∑ i = 0 N T ln ( 1 + U i ) } = S ( 0 ) e X N T (3) 记 X n = ∫ 0 T ( − λ k − H σ H 2 s 2 H − 1 − 1 2 σ 2 ) d s + ∫ 0 T σ H d B t H + ∫ 0 T σ d B t + ∑ i = 0 n ln ( 1 + U i ) . 因为由股票价格的变化方程及假设条件可知： ∫ 0 T σ H d B t H ∼ N ( 0 ， ∫ 0 T 2 H σ H 2 s 2 H − 1 d s ) ， ∫ 0 T σ d B t ∼ N ( 0 ， ∫ 0 T σ 2 d s ) ， ∑ i = 0 n ln ( 1 + U i ) ∼ N ( n ln ( 1 + k ) − n σ J 2 2 ， n σ J 2 ) 令 μ n = ∫ 0 T ( − λ k − H σ H 2 s 2 H − 1 − 1 2 σ 2 ) d s + n ln ( 1 + k ) − n σ J 2 2 ，   σ n = ∫ 0 T 2 H σ H 2 s 2 H − 1 d s + ∫ 0 T σ 2 d s + n σ J 2 所以 X n ∼ N ( μ n ， σ n ) 。 则可以得到 e μ n + σ n 2 = ( 1 + k ) n e − λ k T 。由(3)可以得到： e − ∫ 0 T β ( s ) d s S ( T ) > e − ∫ 0 T r ( s ) d s X ⇔ X N ( T ) > ln X S ( 0 ) − ∫ 0 T r ( s ) d s . 则资产或无价值看涨期权的价格为： c 1 = E [ e − ∫ 0 T β ( s ) d s S ( T ) I { e − ∫ 0 T β ( s ) d s S ( T ) > e − ∫ 0 T r ( s ) d s X } ] = E [ e − ∫ 0 T β ( s ) d s S ( T ) I { X N ( T ) > ln X S ( 0 ) − ∫ 0 T r ( s ) d s } ] = E [ S ( 0 ) e X n I { X n > ln X S ( 0 ) − ∫ 0 T r ( s ) d s } | N ( T ) = n ] = S ( 0 ) ∑ n = 0 + ∞ ( λ T ) n e − λ T n ! E [ e X n I { X n > ln X S ( 0 ) − ∫ 0 T r ( s ) d s } ] 由引理3.2.1得： E [ e X n I { X n > ln X S ( 0 ) − ∫ 0 T r ( s ) d s } ] = e μ n + σ n 2 N ( − ( ln X S ( 0 ) − ∫ 0 T r ( s ) d s ) + σ n 2 + μ n σ n ) = e μ n + σ n 2 N ( − ( ln X S ( 0 ) − ∫ 0 T r ( s ) d s ) + σ n + μ n σ n ) = ( 1 + k ) n e − λ k T N (d1) 所以 c 1 = E [ S ( 0 ) e X N ( T ) I { X N ( T ) > ln X S ( 0 ) − ∫ 0 T r ( s ) d s } ] = S ( 0 ) ∑ n = 0 + ∞ ( λ T ) n e − λ T n ! ( 1 + k ) n e − λ k T N ( d 1 ) = S ( 0 ) ∑ n = 0 + ∞ ( λ ( 1 + k ) T ) n e − λ ( 1 + k ) T n ! N (d1) 即 c 1 = E [ e − ∫ 0 T β ( s ) d s S ( T ) I { X N ( T ) > ln X S ( 0 ) − ∫ 0 T r ( s ) d s } ] = S ( 0 ) ∑ n = 0 + ∞ ( λ ( 1 + k ) T ) n e − λ ( 1 + k ) T n ! N (d1) 所以定理3.2.2成立。 定理3.2.3：设资产价格过程 S ( t ) 满足混合分数跳-扩散模型(1)，则敲定价格X，到期日为T的现金或无价值看涨期权定价公式为： c 2 = Q ∑ n = 0 + ∞ ( λ T ) n e − λ T n ! N ( d 2 ) . 证明：用上面的保险精算的方法易证明定理3.2.3成立。 由以上内容得到了混合分数布朗运动下带跳的看涨两值期权的定价公式，下一部分介绍此模型下两值期权的数值解。