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user: 3. 二阶向后差分混合方法和最优误差估计 3.1. 二阶向后差分方法和相关定理 在这部分，我们将对修正的RLW方程在二阶向后差分混合有限元下讨论先验误差估计。对于整个离散过程，我们对时间区间 [ 0 ， T ] 进行剖分， 0 < t 0 < t 1 < ⋯ < t N = T ，其中步长为 Δ t = T / N ，N为正整数。 ϕ 为 [ 0 ， T ] 上的光滑函数，定义 ϕ n = ϕ ( t n ) ，以及 ∂ t 2 u n + 1 = 3 u n + 1 − 4 u n + u n − 1 2 Δ t 。在时间 t = t n + 1 处，方程(2.3)-(2.4)有如下形式； ( u x n + 1 ， w ) = ( q n + 1 ， w ) ，   ∀ w ∈ L 2 ( Ω ) ， (3.1) ( u t n + 1 ， v ) + ( q n + 1 ， v ) + 6 ( ( u n + 1 ) 2 q n + 1 ， v ) + μ ( q t n + 1 ， v x ) = 0 ，   ∀ v ∈ H 0 1 . (3.2) 将方程(3.1)~(3.2)在时间方向上利用向后二阶差分近似，我们得到线性化的时间离散形式： ( u x n + 1 ， w ) = ( q n + 1 ， w ) ，   ∀ w ∈ L 2 ( I ) ， (3.3) ( ∂ t 2 u n + 1 ， v ) + μ ( ∂ t 2 q n + 1 ， v x ) + ( q n + 1 ， v ) + 6 ( 2 ( u n ) 2 q n − ( u n − 1 ) 2 q n − 1 ， v ) = ( τ 1 n + 1 ， v ) + ( τ 2 n + 1 ， v x ) + 6 ( τ 3 n + 1 ， v ) ，   ∀ v ∈ H 0 1 ， (3.4) 其中 τ 1 n + 1 = ∂ t 2 u n + 1 − u t n + 1 ， τ 2 n + 1 = μ ( ∂ t 2 q x n + 1 − q x t n + 1 ) ， τ 3 n + 1 = ( 2 ( u n ) 2 q n − ( u n − 1 ) 2 q n − 1 ) − ( u n + 1 ) 2 q n + 1 . (3.5) 引理3.1：(文献 [ 26 ] )对于 τ i n + 1 ， i = 1 ， 2 ， 3 ，下列估计成立： ‖ τ 1 n + 1 ‖ + ‖ τ 2 n + 1 ‖ + ‖ τ 3 n + 1 ‖ ≤ C Δ t 2 . (3.6) 引理3.2：(文献 [ 26 ] )对于数列 { w n } ，下列不等式成立： ( ∂ t 2 w n + 1 ， w n + 1 ) ≥ 1 4 Δ t [ ‖ w n + 1 ‖ 2 + ‖ 2 w n + 1 − w n ‖ 2 − ‖ w n ‖ 2 − ‖ 2 w n − w n − 1 ‖ 2 ] . (3.7) 现在我们需要在 V h × W h 中找到一组 { u h n + 1 ， q h n + 1 } 满足： ( u h x n + 1 ， w h ) = ( q h n + 1 ， w h ) ，   ∀ w h ∈ W h ， (3.8) 和 ( ∂ t 2 u h n + 1 ， v h ) + μ ( ∂ t 2 q h n + 1 ， v h x ) + ( q h n + 1 ， v h ) + 6 ( 2 ( u h n ) 2 q h n − ( u h n − 1 ) 2 q h n − 1 ， v h ) = 0 ，   ∀ v h ∈ V h . (3.9) 为了先验误差估计的理论分析，针对我们的方程引入了一些投影。 引理3.3：(文献 [ 12 ] [ 17 ] [ 27 ] )若存在一个非线性算子 Π h : L 2 ( Ω ) → W h 使得下式成立 ( q − Π h q ， v h x ) = 0 ，   v h ∈ V h ， (3.10) 则下面的估计式成立： ‖ q − Π h q ‖ ≤ C h k + 1 ‖ q ‖ k + 1 ， (3.11) 引理3.4：(文献 [ 12 ] [ 17 ] [ 27 ] )对于任意的 u ∈ H 0 1 成立 ( u x − P h u x ， w h ) = 0 ，   w h ∈ W h ， (3.12) 则有 ‖ u x − P h u x ‖ + h ‖ u − P h u ‖ 1 ≤ C h k + 1 ‖ u ‖ k + 1 (3.13) 为了全离散误差估计，我们将误差可以写为： u n − u h n = ( u n − P h u n ) + ( P h u n − u h n ) = η n + ς n ， q n − q h n = ( q n − Π h q n ) + ( Π h q n − q h n ) = ρ n + ξ n . 联立方程(3.10)，(3.13)，(3.3)，(3.4)，(3.8)和(3.9)，在 t = t n + 1 处可以得到如下的误差方程： ( ξ n + 1 + ρ n + 1 ， w h ) = ( ς x n + 1 ， w h ) ，   ∀ w h ∈ W h ， (3.14) ( ∂ t 2 ς n + 1 ， v h ) + μ ( ∂ t 2 ξ n + 1 ， v h x ) + 6 ( 2 ( ( u n ) 2 q n − ( u h n ) 2 q h n ) − ( ( u n − 1 ) 2 q n − 1 − ( u h n − 1 ) 2 q h n − 1 ) ， v h ) + ( ρ n + 1 + ξ n + 1 ， v h ) = − ( ∂ t 2 η n + 1 ， v h ) + ( τ 1 n + 1 ， v h ) + ( τ 2 n + 1 ， v h x ) + 6 ( τ 3 n + 1 ， v h ) ，   v h ∈ V h . (3.15) 3.2. 最优误差估计 这部分中将得到全离散最优误差估计，并且获得了如下的定理3.5 定理3.5：已知 u h 0 ∈ V h ，   q h 0 ∈ W h ，则 ‖ u n − u h n ‖ + ‖ q n − q h n ‖ ≤ C ( h k + 1 + Δ t 2 ) ， ‖ u n − u h n ‖ 1 ≤ C ( h k + Δ t 2 ) . 证明：由(3.14)可得 ( ∂ t 2 ξ n + 1 ， w h ) = ( ∂ t 2 ς x n + 1 ， w h ) − ( ∂ t 2 ρ n + 1 ， w h ) ，   ∀ w h ∈ W h ， (3.16) 在(3.15)和(3.16)中分别令 v h = ς n + 1 ， w h = μ ς x n + 1 ，可以得到下面方程 ( ∂ t 2 ς n + 1 ， ς n + 1 ) + μ ( ∂ t 2 ς x n + 1 ， ς x n + 1 ) = μ ( ∂ t 2 ρ n + 1 ， ς x n + 1 ) − 6 ( 2 ( ( u n ) 2 q n − ( u h n ) 2 q h n ) − ( ( u n − 1 ) 2 q n − 1 − ( u h n − 1 ) 2 q h n − 1 ) ， ς n + 1 )   + ( ρ n + 1 + ξ n + 1 ， ς n + 1 ) + ( τ 1 n + 1 ， ς n + 1 ) + ( τ 2 n + 1 ， ς x n + 1 ) + 6 ( τ 3 n + 1 ， ς n + 1 ) ≤ C ( ‖ 2 ( ( u n ) 2 q n − ( u h n ) 2 q h n ) − ( ( u n − 1 ) 2 q n − 1 − ( u h n − 1 ) 2 q h n − 1 ) ‖ 2         + ‖ ρ n + 1 ‖ 2 + ‖ ξ n + 1 ‖ 2 + ‖ τ 1 n + 1 ‖ 2 + ‖ τ 2 n + 1 ‖ 2 + ‖ τ 3 n + 1 ‖ 2 + ‖ ς n + 1 ‖ 2 + ‖ ς x n + 1 ‖ 2 ) . (3.17) 现在我们估计不等式可以得到 ‖ 2 ( ( u n ) 2 q n − ( u h n ) 2 q h n ) − ( ( u n − 1 ) 2 q n − 1 − ( u h n − 1 ) 2 q h n − 1 ) ‖ 2 ≤ ‖ 2 ( u n ) 2 ( q n − q h n ) + 2 ( ( u n ) 2 − ( u h n ) 2 ) q h n − ( ( u n − 1 ) 2 ( q n − 1 − q h n − 1 ) + [ ( u n − 1 ) 2 − ( u h n − 1 ) 2 ] q h n − 1 ) ‖ 2 ≤ C ∑ j = n − 1 n [ ‖ ( u j ) 2 ‖ ∞ 2 ( ‖ ξ j ‖ + ‖ ρ j ‖ ) 2 + ( ‖ u j ‖ ∞ + ‖ u h j ‖ ∞ ) 2 ‖ q h j ‖ ∞ 2 ( ‖ η j ‖ + ‖ ς j ‖ ) 2 ] ≤ C ( ‖ ρ n ‖ 2 + ‖ ρ n − 1 ‖ 2 + ‖ η n ‖ 2 + ‖ η n − 1 ‖ 2 + ‖ ξ n ‖ 2 + ‖ ξ n − 1 ‖ 2 + ‖ ς n ‖ 2 + ‖ ς n − 1 ‖ 2 ) . (3.18) 在方程(3.14)中，我们令 w h = ξ n + 1 ，使用Cauchy-Schwarz不等式可以得到 ‖ ξ n + 1 ‖ 2 ≤ C ( ‖ ρ n + 1 ‖ 2 + ‖ ς x n + 1 ‖ 2 ) . (3.19) 现在联合方程(3.17)，(3.18)，(3.19)可以得到 ( ∂ t 2 ς n + 1 ， ς n + 1 ) + μ ( ∂ t 2 ς x n + 1 ， ς x n + 1 ) = μ ( ∂ t 2 ρ n + 1 ， ς x n + 1 ) − 6 ( 2 ( ( u n ) 2 q n − ( u h n ) 2 q h n ) − ( ( u n − 1 ) 2 q n − 1 − ( u h n − 1 ) 2 q h n − 1 ) ， ς n + 1 )   + ( ρ n + 1 + ξ n + 1 ， ς n + 1 ) + ( τ 1 n + 1 ， ς n + 1 ) + ( τ 2 n + 1 ， ς x n + 1 ) + 6 ( τ 3 n + 1 ， ς n + 1 ) ≤ C ( ‖ ρ n + 1 ‖ 2 + ‖ τ 1 n + 1 ‖ 2 + ‖ τ 2 n + 1 ‖ 2 + ‖ τ 3 n + 1 ‖ 2 + ∑ i = n − 1 n + 1 ( ‖ ς i ‖ 2 + ‖ ς x i ‖ 2 )         + ‖ ∂ t 2 ρ n + 1 ‖ 2 + ‖ ρ n ‖ 2 + ‖ ρ n − 1 ‖ 2 + ‖ η n ‖ 2 + ‖ η n − 1 ‖ 2 ) . (3.20) 利用引理3.2，并且用 4 Δ t 乘方程(3.20)，我们得到 ‖ ς n + 1 ‖ 1 2 + ‖ 2 ς n + 1 − ς n ‖ 1 2 − ‖ ς n ‖ 1 2 − ‖ 2 ς n − ς n − 1 ‖ 1 2 ≤ C ( ‖ ρ n + 1 ‖ 2 + ‖ τ 1 n + 1 ‖ 2 + ‖ τ 2 n + 1 ‖ 2 + ‖ τ 3 n + 1 ‖ 2 + ∑ i = n − 1 n + 1 ( ‖ ς i ‖ 2 + ‖ ς x i ‖ 2 ) + ‖ ∂ t 2 ρ n + 1 ‖ 2 + ‖ ρ n ‖ 2 + ‖ ρ n − 1 ‖ 2 + ‖ η n ‖ 2 + ‖ η n − 1 ‖ 2 ) . (3.21) 对n求和并使用离散Gronwall引理，可以得到： ‖ ς n + 1 ‖ 1 2 + ‖ 2 ς n + 1 − ς n ‖ 1 2 − ‖ ς n ‖ 1 2 − ‖ 2 ς n − ς n − 1 ‖ 1 2 ≤ C ( ‖ ρ n + 1 ‖ 2 + ‖ τ 1 n + 1 ‖ 2 + ‖ τ 2 n + 1 ‖ 2 + ‖ τ 3 n + 1 ‖ 2     + ‖ ∂ t 2 ρ n + 1 ‖ 2 + ‖ ρ n ‖ 2 + ‖ ρ n − 1 ‖ 2 + ‖ η n ‖ 2 + ‖ η n − 1 ‖ 2 ) . (3.22) 联立方程(3.20)和(3.19)可以得到 ‖ ξ n + 1 ‖ 2 ≤ C ( ‖ ρ n + 1 ‖ 2 + ‖ τ 1 n + 1 ‖ 2 + ‖ τ 2 n + 1 ‖ 2 + ‖ τ 3 n + 1 ‖ 2     + ‖ ∂ t 2 ρ n + 1 ‖ 2 + ‖ ρ n ‖ 2 + ‖ ρ n − 1 ‖ 2 + ‖ η n ‖ 2 + ‖ η n − 1 ‖ 2 ) . (3.23) 联立方程(3.22)~(3.23)，引理3.3~3.4以及三角不等式可以得到定理中的结论。