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user: 3. 非均匀复变解析函数零点的定义及性质 3.1. 非均匀复变解析函数零点的定义 定义3.1 若函数 g ( z ) 在区域D内非均匀解析，且在点a的值为零，那么称点a为非均匀解析函数 g ( z ) 的零点。 如果非均匀解析函数 g ( z ) 在 | z − a | k < R 内不恒为零，若 g ( z ) 在点a展成幂级数满足下面的关系， g ( a ) = g ′ ( a ) = ⋯ = g ( m − 1 ) ( a ) = 0 ，但 g ( m ) ( a ) ≠ 0 ，则称m为零点a的阶，a则称为 g ( z ) 的m阶零点。尤其是当m = 1时，该点a也称 g ( z ) 的单零点。 3.2. 非均匀复变解析函数零点的性质 定理3.2 若非均匀解析函数 g ( z ) 不恒为零，则a为 g ( z ) 的m阶零点的充要条件是 g ( z ) = ( z − a ) m φ ( z ) 其中 φ ( z ) 是邻域 | z − a | k < R 内的非均匀解析函数，并且满足 φ ( a ) ≠ 0 。 证明：必要性由假设有， g ( z ) = g ( m ) ( a ) m ! ( z − a ) m + g ( m + 1 ) ( a ) ( m + 1 ) ! ( z − a ) m + 1 + ⋯ 令 φ ( z ) = g ( m ) ( a ) m ! + g ( m + 1 ) ( a ) ( m + 1 ) ! ( z − a ) + ⋯ 即可得结论。 充分性由假设有， g ( z ) = ( z − a ) m φ ( z ) φ ( z ) 在a处泰勒展开，注意到泰勒展开的唯一性得 g ( z ) = g ( m ) ( a ) m ! ( z − a ) m + g ( m + 1 ) ( a ) ( m + 1 ) ! ( z − a ) m + 1 + ⋯ ， 其中 φ ( a ) = g ( m ) ( a ) m ! ≠ 0 。 定理3.3 (零点的孤立性) 若非均匀解析函数 g ( z ) 不恒为零，则a为 g ( z ) 的零点，那么一定存在该点a的一个邻域，使得a是 g ( z ) 该邻域内的唯一零点。 证明：已知a为 g ( z ) 的m阶零点，于是由定理3.2， g ( z ) = ( z − a ) m φ ( z ) 其中 φ ( a ) = g ( m ) ( a ) m ! ≠ 0 ， 从而由 φ ( z ) 在点a的连续性和保号性，存在一邻域 | z − a | k < r ，使得 φ ( z ) 于其中恒不为零，故 g ( z ) 在其中无异于a的其他零点。 推论3.4 已知函数 g ( z ) 在区域 K : | z − a | k < R 内非均匀解析，在K内有 g ( z ) 的一列零点 z n ( z n ≠ a ) 收敛于a，则 g ( z ) 在K内一定是恒等于零的。 证明：因为 g ( z ) 在区域 K : | z − a | k < R 内非均匀解析，那么该函数一定在a点连续，同时使得 g ( z n ) = 0 ，并且让n趋于无穷，然后取极限，则可以得到 g ( a ) = 0 。综上所述，该点a则一定是一个非孤立的零点。于是根据定理3.3， g ( z ) 在K内一定是恒为零的。 3.3. 非均匀复变解析函数的惟一性 本小节，我们利用非均匀解析函数零点的孤立性，讨论解析函数整体与局部的关系，建立下面的惟一性定理： 定理3.6 (惟一性定理) 设 g 1 ( z ) 和 g 2 ( z ) 都是区域D内的非均匀解析函数；且在D内存在一个收敛于 a ∈ D 的点列 { z n } ( z n ≠ a ) ，满足 g 1 ( z n ) = g 2 ( z n ) ，则 g 1 ( z ) 和 g 2 ( z ) 在D内恒等。 证明：令 g ( z ) = g 2 ( z ) − g 1 ( z ) ，那么我们只需证明 g ( z ) 在D内恒为零就行了。 已知 g ( z ) 在D内解析，同时在D内有一列零点 { z n } ( z n ≠ a ) 收敛于 a ∈ D 。如果区域D本身就是以a为心的圆，或者D就是整个z平面，那么根据推论3.4可知 g ( z ) 恒等于零。 而在一般情形下，只要利用区域的道路连通性就可以获得，类似的证明参考文献 [ 8 ] [ 9 ]。 推论3.7 已知非均匀函数 g 1 ( z ) 和 g 2 ( z ) 在区域内非均匀解析D，并且D内的某一子区域(或一小段弧)上 g 1 ( z ) = g 2 ( z ) ，则在区域D内， g 1 ( z ) ≡ g 2 ( z ) 。 例3.1 设非均匀复变函数 g 1 ( z ) 和 g 2 ( z ) 在区域D内非均匀解析，且在D内 g 1 ( z ) g 2 ( z ) ≡ 0 。 则， g 1 ( z ) 或 g 2 ( z ) 在D内恒为零。 证明：若在区域D内存在 z 0 ∈ D 使 g 1 ( z 0 ) ≠ 0 ，又因为 g 1 ( z ) 在 z 0 解析，所以连续，存在 z 0 的邻域 K ⊂ D ，使 g 1 ( z ) 在K内恒不为零。由 g 1 ( z ) g 2 ( z ) ≡ 0 ， 可得 g 2 ( z ) ≡ 0 . 由定理3.6知 g 2 ( z ) ≡ 0 ( z ∈ D ) 。 例3.2 这些恒等式 sin 2 z + cos 2 z = 1 ， cos ( 2 z ) = 1 − 2 sin 2 z 等，在z平面上也成立。 例3.3 由推论3.7可以得到，数学分析中的初等函数的幂级数展开也可以推广到非均匀复变函数中，如： exp z = ∑ n = 0 ∞ z n n ! = 1 + z + z 2 2 + ⋯ ， cos z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z 2 n ( 2 n ) ! = 1 − z 2 2 + z 4 24 + ⋯ ， sin z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = z − z 3 6 + z 5 120 + ⋯ 注3.8 惟一性定理揭示了解析函数一个非常深刻的性质，函数在区域D内整体的值，不仅仅是整体的值，也是局部的值。由此可以得到与复变解析函数相似的结论，非均匀复变解析函数在区域D的局部与整体之间有着十分紧密的内在联系。 利用唯一性定理，文献 [ 9 ] 的178页的习题进一步推广到非均匀复变函数上，获得如下命题： 命题3.9 设区域D包含实轴上的区间 ( a ， b ) = I ， g ( z ) = p ( x ， y ) + j q ( x ， y ) 在D内解析，且 p ( z ， 0 ) + j q ( z ， 0 ) 在D内解析，则必有 g ( z ) = p ( z ， 0 ) + j q ( z ， 0 ) ， ∀ z ∈ D 。 利用这个命题，可以方便地将含有 x ， y 的解析函数化简为仅含单变元 z = x + j y 的形式。 利用旋转和平移可以把命题3.9推广到更一般的情况： 定理3.10 设 g ( z ) = p ( x ， y ) + j q ( x ， y ) 在区域D内非均匀解析， a = a 0 + j a 1 ∈ D 且 p ( z − j a 1 ， a 1 ) + j q ( z − j a 1 ， a 1 ) 在D内非均匀解析，则必有 g ( z ) = p ( z − j a 1 ， a 1 ) + j q ( z − j a 1 ， a 1 ) ， ∀ z ∈ D 。 证明：因为 a = a 0 + j a 1 ∈ D ，在D内存在邻域 U = { z | | z − a | < r ， r > 0 } ，作区域 D 0 = { z ′ | z ′ = z − a ， z ∈ D } ， U 0 = { z ′ | z ′ = z − a ， z ∈ U } ，则 U 0 = { z ′ | | z ′ | < r } ⊂ D 0 ，在 z ′ 平面的区域 D 0 内有实轴的一段区间 ( − r ， r ) ，记 z ′ = z − a ， z ′ = x ′ + j y ′ ，令 f ( z ′ ) = g ( z ) ，则有 f ( z ′ ) = g ( z ) = p ( x ， y ) + j q ( x ， y ) = p ( x ′ + a 0 ， y ′ + a 1 ) + j q ( x ′ + a 0 ， y ′ + a 1 ) = u ( x ′ ， y ′ ) + j v ( x ′ ， y ′ ) 且 f ( z ′ ) 在区域 D 0 内关于 z ′ 解析， p ( z − j a 1 ， a 1 ) + j q ( z − j a 1 ， a 1 ) 在D内解析，从而有 u ( z ′ ， 0 ) + j v ( z ′ ， 0 ) 在在区域 D 0 内关于 z ′ 解析，因此推论3.9的条件成立，在区域 f ( z ′ ) = u ( z ′ ， 0 ) + j v ( z ′ ， 0 ) ，即 g ( z ) = p ( z − j a 1 ， a 1 ) + j q ( z − j a 1 ， a 1 ) ， ∀ z ∈ D 。 注3.11 定理3.10可以看成命题3.9的推广，事实上，当a在实轴上时， a 1 = 0 ，就是命题3.9。 下面利用旋转推广命题3.9： 定理3.12 设 g ( z ) = p ( x ， y ) + j q ( x ， y ) 在区域D内解析， a = | a | k ( cos ( k φ ) + j k sin ( k φ ) ) = | a | k e j φ ∈ D ，且 m ( z ) 在D内解析，其中 m ( z ) 为下面函数， m ( z ) = p ( z cos ( k φ ) e − j φ ， z k sin ( k φ ) e − j φ )                     + j q ( z cos ( k φ ) e − j φ ， z k sin ( k φ ) e − j φ ) 则必有 g ( z ) = m ( z ) ， ∀ z ∈ D 。 证明：因为 a = | a | k ( cos ( k φ ) + j k sin ( k φ ) ) = | a | k e j φ ∈ D ，在D内存在邻域 U = { z | | z − a | < r ， r > 0 } ，作区域 D 0 = { z ′ | z ′ = z e j φ ， z ∈ D } ， U 0 = { z ′ | z ′ = z e − j φ ， z ∈ U } ，则 U 0 = { z ′ | | z ′ − | a | k | < r } ⊂ D 0 ，在 z ′ 平面的区域 D 0 内有实轴的一段区间 ( − r + | a | k ， r + | a | k ) ，记 z ′ = z e − j φ ， z ′ = x ′ + j y ′ ，令 f ( z ′ ) = g ( z ) ，则有 f ( z ′ ) = g ( z ) = p ( x ， y ) + j q ( x ， y ) = p ( x ′ cos ( k φ ) − y ′ k sin ( k φ ) ， x ′ k sin ( k φ ) + y ′ cos ( k φ ) )   + j q ( x ′ cos ( k φ ) − y ′ k sin ( k φ ) ， x ′ k sin ( k φ ) + y ′ cos ( k φ ) ) = u ( x ′ ， y ′ ) + j v ( x ′ ， y ′ ) 且 f ( z ′ ) 在区域 D 0 内关于 z ′ 解析， m ( z ) 在D内解析，从而有， u ( z ′ ， 0 ) + j v ( z ′ ， 0 ) 在区域 D 0 内关于 z ′ 解析，且在实区间 ( − r + | a | k ， r + | a | k ) 有 g ( z ) = m ( z ) ，因此命题3.9的条件成立，在区域 f ( z ′ ) = u ( z ′ ， 0 ) + j v ( z ′ ， 0 ) ，即 g ( z ) = m ( z ) ， ∀ z ∈ D 。 注3.13 根据上面的结论，若函数是解析的，则部分性质决定整体的性质，并且在适当的条件下进一步证明了文献 [ 6 ] 的定理3.2的结论。