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user: 2. 复合核反应模型与随机矩阵理论 诞生于上世纪50年代的随机矩阵理论(RMT)正是Wigner [ 8 ] [ 9 ] 等人在研究原子核的复合核反应过程 [ 10 ] 中发展起来的。如果入射粒子和原子核发生碰撞形成一个复合系统，这个系统存在的时间大大超过粒子穿过核所用的时间而不衰变，则这个系统被称为复合核。玻尔假设：复合核一经形成，它的衰变由自身的性质(寿命、能量、角动量和宇称等)完全决定，而与它形成的历史无关。入射能量在核子的发射阈值附近的核反应(几个MeV的数量级)，由于准束缚态或库仑势垒的存在，其激发函数出现共振，根据共振峰的数目，可以将复合核反应按三种不同状况来处理，即孤立能级共振，当入射粒子能量接近于复合系统的某一能级时，截面出现独立的共振峰，此时，可以用Breit-Wigner公式描写。当几个共振能级相互重叠而无法区分，但仍然可以观测到截面随入射粒子能量而发生涨落时，可以通过对涨落的分析提取到重叠能级的有关知识。不论是独立的共振峰还是相互重叠的共振峰，峰间距与宽度的分布均表现出统计随机性。当众多能级被激发，涨落由于统计平均而不甚明显时，需要用统计理论描述。然而，Ericson曾指出 [ 11 ]：随着复合系统中间态的增多，截面随入射能量的变化并非趋于平滑，而是继续涨落——随机性将会进一步增强。这些特征告诉人们随机性的产生有着更为深刻的物理涵义。 定义能谱中相邻能级之间的间距为紧邻能级间距，可以用紧邻能级间距与平均能级间隔之间的差来反应能级间距的涨落。理论和实验均已证明 [ 12 ]，这个涨落与一个实对称矩阵所描述的哈密顿系统的相邻本征值之差具有相同的统计性质，即：紧邻能级间距满足Wigner分布 P ( s ) = π s 2 exp ( − π s 2 4 ) (1) 其中，s是紧邻能级间距。实对称哈密顿矩阵的矩阵元 { H μ ν ， μ ， ν = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ } 为平均值为零、且关联函数满足： 〈 H μ ν H ρ σ 〉 = λ 2 N ( δ μ ρ δ ν σ + δ μ σ δ ν ρ ) (2) 的高斯随机数。这样的哈密顿系统组成的系综，称之为高斯正交系综(GOE)。研究表明这样的哈密顿系统所对应的经典运动会表现出强的混沌特征。(1)式也就是截面激发函数中的相邻共振峰之距的涨落。共振峰的半宽度满足所谓的Porter-Thomas分布 P ν ( x ) d x = ν 2 Γ ( ν 2 ) ( ν x 2 ) ν − 2 2 exp ( − ν x 2 ) d x (3) 其中 ν = 1 。系综的本征值之间的关联用统计量 Δ 3 ，称之为谱刚度来描述。对于遵循GOE统计的能谱，在能谱区间范围 L > 15 的情况下，其平均刚度为： Δ ¯ 3 ( L ) ≈ 1 π 2 ( ln L − 0.0687 ) (4) 按照统计理论 [ 13 ] [ 14 ]，复合核反应截面可以用S矩阵来表示： σ a b = π k a 2 g a | δ a b − S a b | 2 ，其中 S a b 就是 由入射道a到出射道b的S矩阵。反应截面对能量的平均值可以写作 〈 σ a b 〉 = 〈 σ a b S E 〉 + 〈 σ a b C N 〉 。对于形状弹性(形状非弹性 a ≠ b )散射，其截面为 σ a b S E = π k a 2 g a | δ a b − 〈 S a b 〉 | 2 复合核反应截面为 σ a b C N = π k a 2 g a 〈 | S a b f l | 2 〉 (4) 在 〈 S a b 〉 = δ a b 〈 S a a 〉 的条件下，定义穿透系数 T a = 1 − | 〈 S a a 〉 | 2 ，按照Hauser-Fechbach理论，并考虑到宽度涨落修正后，复合核反应截面为 σ a b C N = π k a 2 g a T a T b ∑ c T c W a b (5) 其中 W a b 为宽度涨落修正因子。由此可见，核反应截面的确定可归结为计算S矩阵。目前，有多种方法计算 σ a b C N 。近年来，文献 [ 10 ] 的研究表明：利用Hauser-Beshbach投影算符方法，可以直接建立起复合核反应与随机矩阵理论(GOE)的联系。 定义P和Q分别为开道和闭道投影算符，将碰撞系统的Hamiltonian写为： ( E − H P P ) P ψ = H P Q Q ψ (6) ( E − H Q Q ) Q ψ = H Q P P ψ (7) 定义闭道空间的等效哈密顿量为 H Q Q E f f = H Q Q + H Q P 1 E + − H P P H P Q (8) 消去开道空间波函数后，得 S a b = S a b ( 0 ) − 2 π i 〈 ψ a ( − ) | H P Q 1 E + − H Q Q E f f H Q P | ψ b ( + ) 〉 (9) 在 S a b ( 0 ) 的本征空间S矩阵元可写为 S a b = δ a b ( 0 ) − 2 π i 〈 ψ a | H P Q 1 E − H Q Q E f f H Q P | ψ b 〉 (10) 其中状态： | ψ a ( + ) 〉 满足 ( E − H P P ) | ψ a ( + ) 〉 = 0 ，且 | ψ a 〉 = exp { − i ϕ } | ψ a ( + ) 〉 。设 { | μ 〉 } 是闭道空间的正交归一基矢，且 W μ a = 〈 μ | H Q P | ψ a 〉 = W a μ = W μ a * ， H μ ν = 〈 μ | H Q Q | ν 〉 ，则： S a b = δ a b − 2 π i ∑ μ ν W a μ ( D − 1 ) μ ν W ν b (11) D μ ν = E δ μ ν − H μ ν + i π ∑ c W μ c W c ν (12) 将上式中描述系统的等效哈密顿量 H μ ν e f f 换成 H μ ν G O E 矩阵，即将其矩阵元用相互独立的、满足Gaussian分布的随机变量。则(11)和(12)两式变为 S a b ( G O E ) = δ a b − 2 π i ∑ μ ν W a μ ( D − 1 ) μ ν W ν b (13) D μ ν = E δ μ ν − H μ ν ( G O E ) + i π ∑ c W μ c W c ν (14) 这里，矩阵 H G O E 的矩阵元之间必须满足： 〈 〈 H μ ν G O E 〉 〉 = 0 (15) 〈 〈 H μ ν G O E H ρ σ G O E 〉 〉 = λ 2 N ( δ μ ρ δ ν σ + δ μ σ δ ν ρ ) (16) 这里我们用双引号表示对系综的平均，利用文献 [ 15 ] 所提出的三重积分公式和Monte-Carlo数值方法，可以确定出其中的参数 λ ： d = π λ N 。同时，由于 H μ ν G O E 的正交不变性，可通过正交变换使 ，定义 x a = π 2 ζ a 2 d ，则 S ¯ a a = 1 − x a 1 + x a ， T a = 4 x a ( 1 + x a ) 2 (17) 在数值计算中，可令G为 N × Λ 的矩阵，O为一正交矩阵，要求 O − 1 G T G O = d i a g ( ζ a 2 ) ，其中 Λ 为开道的数目，N为矩阵 H G O E 的维数，这样可确定参数 ζ 并取 W = G O 。 按照上述GOE理论，结合文献 [ 15 ] 提出的多重积分公式和Monte-Carlo方法可以计算低能的散射矩阵和平均截面、预言中子阈能(或质子的库仑势垒)附近的共振与随机行为间的关系，并对其统计性质进行分析，不仅可以正确地预言共振峰之间的间距和复合核衰变的宽度分布，而且还可以正确计算散射角分布等问题，也可以给出共振峰的个数N与数据误差之间的关系。当然，无法利用统计理论预言单个共振的位置与宽度。实际上，建立具有动力学基础的复合核反应理论是人们多年来追求的目标。直到1980年代，受到人们对量子混沌研究的启发，逐步建立起了RMT和复合核反应间的联系，亦即，出现了量子混沌散射的概念。首次将混沌系统的能谱特征与RMT联系起来的为 [ 16 ]，而第一个将复合核散射、量子混沌等与RMT联系起来的为文献 [ 17 ]。