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user: 3. RLW-Burgers方程新的精确解 设方程(1)有行波解 u = u ( ξ ) = u ( x − c t ) ，其中 c 表示波速，从而方程(1)化为 ( c + 1 ) u ′ + u u ′ − θ u ″ − c δ u ‴ = 0 ， 将上式两边关于 ξ 进行积分并化简，得 ( c + 1 ) u + 1 2 u 2 − θ u ′ − c δ u ″ = M ， (6) 其中M为积分常数。设方程(1)的解能够表示成多项式 u ( ξ ) = ∑ i = 0 l a i ( m 1 G + n 1 G ′ m 2 G + n 2 G ′ ) i ，且 G = G ( ξ ) 满足一类变系数Bernoulli方程 G ′ ( ξ ) + p ( ξ ) G ( ξ ) + q ( ξ ) G ( ξ ) 2 = 0 ， 其中 p ( ξ ) ， q ( ξ ) 为 ξ 的任意函数。利用齐次平衡法，我们有 2 l = l + 2 ，得 l = 2 。则方程(1)的解表示为 u ( ξ ) = a 2 ( m 1 G + n 1 G ′ m 2 G + n 2 G ′ ) 2 + a 1 ( m 1 G + n 1 G ′ m 2 G + n 2 G ′ ) + a 0 ， (7) 由方程(4)和(7)式可得 u ′ ( ξ ) = − 2 a 2 ( q ( ξ ) ( − m 2 2 + p ( ξ ) m 2 n 2 + n 2 2 p ′ ( ξ ) ) + n 2 ( m 2 − p ( ξ ) n 2 ) q ′ ( ξ ) ) q ( ξ ) ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) ( m 1 G + n 1 G ′ m 2 G + n 2 G ′ ) 3     + 1 q ( ξ ) ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) ( q ( ξ ) ( a 1 ( m 2 2 − p ( ξ ) m 2 n 2 − n 2 2 p ′ ( ξ ) ) + 2 a 2 ( m 1 ( − 2 m 2 + p ( ξ ) n 2 )     + n 1 ( p ( ξ ) m 2 + 2 n 2 p ′ ( ξ ) ) ) ) + ( a 1 n 2 ( − m 2 + p ( ξ ) n 2 ) + 2 a 2 ( m 2 n 1 + ( m 1 − 2 p ( ξ ) n 1 ) n 2 ) )     × q ′ ( ξ ) ) ( m 1 G + n 1 G ′ m 2 G + n 2 G ′ ) 2 + 1 q ( ξ ) ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) ( q ( ξ ) ( 2 a 2 ( m 1 2 − p ( ξ ) m 1 n 1 − n 1 2 p ′ ( ξ ) ) + a 1 ( m 1 ( p ( ξ ) n 2 − 2 m 2 ) + n 1 ( p ( ξ ) m 2 + 2 n 2 p ′ ( ξ ) ) ) ) + ( 2 a 2 n 1 ( p ( ξ ) n 1 − m 1 ) + a 1 ( m 2 n 1 + ( m 1 − 2 p ( ξ ) n 1 ) n 2 ) ) q ′ ( ξ ) ) ( m 1 G + n 1 G ′ m 2 G + n 2 G ′ ) + a 1 ( q ( ξ ) ( m 1 2 − p ( ξ ) m 1 n 1 − n 1 2 p ′ ( ξ ) ) + n 1 ( − m 1 + p ( ξ ) n 1 ) q ′ ( ξ ) ) q ( ξ ) ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) u ″ ( ξ ) = 6 a 2 q ( ξ ) 2 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) 2 ( q ( ξ ) ( m 2 2 − p ( ξ ) m 2 n 2 − n 2 2 p ′ ( ξ ) ) + n 2 ( − m 2 + p ( ξ ) n 2 ) q ′ ( ξ ) ) 2     × ( m 1 G + n 1 G ′ m 2 G + n 2 G ′ ) 4 + 2 q ( ξ ) 2 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) 2 ( n 2 ( p ( ξ ) n 2 − m 2 ) ( a 1 n 2 ( p ( ξ ) n 2 − m 2 )     + 2 a 2 ( 2 m 2 n 1 + ( 3 m 1 − 5 p ( ξ ) n 1 ) n 2 ) ) q ′ ( ξ ) 2 + q ( ξ ) 2 ( a 1 ( − m 2 2 + p ( ξ ) m 2 n 2 + n 2 2 p ′ ( ξ ) ) 2     − a 2 ( m 1 ( 10 m 2 3 − 15 p ( ξ ) m 2 2 n 2 + m 2 n 2 2 ( 5 p ( ξ ) 2 − 11 p ′ ( ξ ) ) + n 2 3 ( 5 p ( ξ ) p ′ ( ξ ) − p ″ ( ξ ) ) ) + n 1     × ( 5 p ( ξ ) 2 m 2 2 n 2 − 5 p ( ξ ) ( m 2 3 − 3 m 2 n 2 2 p ′ ( ξ ) ) + n 2 ( − 9 m 2 2 p ′ ( ξ ) + 10 n 2 2 p ′ ( ξ ) 2 + m 2 n 2 p ″ ( ξ ) ) ) ) ) + q ( ξ ) ( ( 2 a 1 n 2 ( m 2 − p ( ξ ) n 2 ) ( − m 2 2 + p ( ξ ) m 2 n 2 + n 2 2 p ′ ( ξ ) ) + a 2 ( 5 ( m 2 − p ( ξ ) n 2 ) ( m 2 2 n 1     + 3 m 2 ( m 1 − p ( ξ ) n 1 ) n 2 − p ( ξ ) m 1 n 2 2 ) + 2 n 2 2 ( − 7 m 2 n 1 + ( − 3 m 1 + 10 p ( ξ ) n 1 ) n 2 ) p ′ ( ξ ) ) ) q ′ ( ξ )     − a 2 n 2 ( m 2 − p ( ξ ) n 2 ) ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) q ″ ( ξ ) ) ) ( m 1 G + n 1 G ′ m 2 G + n 2 G ′ ) 3 + 1 q ( ξ ) 2 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) 2     × ( 2 ( a 2 ( m 2 2 n 1 2 + 2 m 2 n 1 ( 4 m 1 − 5 p ( ξ ) n 1 ) n 2 + ( 3 m 1 2 − 14 p ( ξ ) m 1 n 1 + 12 p ( ξ ) 2 n 1 2 ) n 2 2 )     − a 1 n 2 ( m 2 − p ( ξ ) n 2 ) ( 2 m 1 n 2 + n 1 ( m 2 − 3 p ( ξ ) n 2 ) ) ) q ′ ( ξ ) 2 + q ( ξ ) 2 ( 2 a 2 ( m 1 2 ( 12 m 2 2 − 12 p ( ξ ) m 2 n 2 + n 2 2 ( 2 p ( ξ ) 2 − 5 p ′ ( ξ ) ) ) + n 1 2 ( 2 p ( ξ ) 2 m 2 2 + 12 p ( ξ ) m 2 n 2 p ′ ( ξ ) − 3 p ′ ( ξ ) m 2 2     − 4 n 2 2 p ′ ( ξ ) ) + 2 m 2 n 2 p ″ ( ξ ) ) + 2 m 1 n 1 ( 4 p ( ξ ) 2 − n 2 2 p ′ ( ξ ) ) − n 2 ( 8 m 2 p ′ ( ξ ) + n 2 p ″ ( ξ ) ) ) )     − a 1 ( m 1 ( 6 m 2 3 − 9 p ( ξ ) m 2 2 n 2 + m 2 n 2 2 ( 3 p ( ξ ) 2 − 7 p ′ ( ξ ) ) + n 2 3 ( 3 p ( ξ ) p ′ ( ξ ) − p ″ ( ξ ) ) ) )     + n 1 ( 3 p ( ξ ) 2 m 2 2 n 2 − 3 p ( ξ ) ( m 2 3 − 3 m 2 n 2 2 p ′ ( ξ ) ) + n 2 ( − 5 m 2 2 p ′ ( ξ ) + 6 n 2 2 p ′ ( ξ ) 2 ( a 1 ( ( 3 ( m 2     − p ( ξ ) n 2 ) ( m 2 2 n 1 + 3 m 2 ( m 1 − p ( ξ ) n 1 ) n 2 − p ( ξ ) m 1 n 2 2 ) − 4 n 2 2 ( 2 m 2 n 1 + ( m 1 − 3 p ( ξ ) n 1 ) n 2 ) − n 2 ( m 2 − p ( ξ ) n 2 ) ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) q ″ ( ξ ) ) + 2 a 2 ( − 2 ( 2 m 1 2 n 2 ( 3 m 2 − 2 p ( ξ ) n 2 ) + m 1 n 1 ( 6 m 2 2     − 16 p ( ξ ) m 2 n 2 + n 2 2 ( 6 p ( ξ ) 2 − 7 p ′ ( ξ ) ) ) + n 1 2 ( 2 p ( ξ ) m 2 ( − 2 m 2 + 3 p ( ξ ) n 2 ) + n 2 ( − 5 m 2     + 12 p ( ξ ) n 1 − m 1 n 2 ) ( m 2 n 1 + ( m 1 − 2 p ( ξ ) n 1 ) n 2 ) q ″ ( ξ ) ) ) ) ( m 1 G + n 1 G ′ m 2 G + n 2 G ′ ) 2 + 1 q ( ξ ) 2 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) 2     × ( − 2 n 1 ) ( a 1 n 2 ( − 2 m 2 n 1 − ( m 1 − 3 p ( ξ ) n 1 ) n 2 ) + 2 a 2 n 1 ( 2 m 1 n 2 + n 1 ( m 2 − 3 p ( ξ ) n 2 ) ) ) q ′ ( ξ ) 2     + q ( ξ ) 2 ( − 2 a 2 ( m 1 3 ( 6 m 2 − 3 p ( ξ ) n 2 ) + m 1 2 n 1 ( 3 p ( ξ ) 2 n 2 − 9 p ( ξ ) m 2 − 7 n 2 p ′ ( ξ ) ) + n 1 3 ( 3 p ( ξ ) m 2 p ′ ( ξ ) + 6 n 2 p ′ ( ξ ) 2 + m 2 p ″ ( ξ ) ) + m 1 n 1 2 ( 3 p ( ξ ) 2 m 2 − 5 m 2 p ′ ( ξ ) + 9 p ( ξ ) n 2 p ′ ( ξ )     − n 2 p ″ ( ξ ) ) ) + a 1 ( m 1 2 ( 6 m 2 2 − 6 p ( ξ ) m 2 n 2 + n 2 2 ( p ( ξ ) 2 − 3 p ′ ( ξ ) ) ) + n 1 2 ( p ( ξ ) 2 m 2 2 − m 2 2 p ′ ( ξ )     + 6 p ( ξ ) p ′ ( ξ ) m 2 n 2 + 6 n 2 2 p ′ ( ξ ) 2 + 2 m 2 n 2 p ″ ( ξ ) ) + 2 m 1 n 1 ( 2 p ( ξ ) 2 m 2 n 2 − 3 p ( ξ ) ( m 2 2 − n 2 2 p ′ ( ξ ) )     − n 2 ( 4 p ′ ( ξ ) m 2 + n 2 p ″ ( ξ ) ) ) ) ) + q ( ξ ) ( 2 a 2 ( ( 3 ( m 1 − p ( ξ ) n 1 ) ( m 2 n 1 ( 3 m 1 − p ( ξ ) n 1 ) + m 1 ( m 1     − 3 p ( ξ ) n 1 ) n 2 ) − 2 n 1 2 ( 5 m 1 n 2 + m 1 n 2 ) q ″ ( ξ ) ) + a 1 ( 2 ( m 1 2 n 2 ( 2 p ( ξ ) n 2 − 3 m 2 ) + n 1 2 ( p ( ξ ) m 2 ( 2 m 2 − 3 p ( ξ ) n 2 ) + 2 n 2 ( m 2 − 3 p ( ξ ) n 2 ) p ′ ( ξ ) ) + m 1 n 1 ( 8 p ( ξ ) m 2 n 2 − 3 m 2 2 + n 2 2 ( 4 p ′ ( ξ ) − 3 p ( ξ ) 2 ) ) )     × q ′ ( ξ ) + ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) ( m 2 n 1 + ( m 1 − 2 p ( ξ ) n 1 ) n 2 ) q ″ ( ξ ) ) ) ) ( m 1 G + n 1 G ′ m 2 G + n 2 G ′ )     + 1 q ( ξ ) 2 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) 2 ( 2 n 1 − p ( ξ ) n 1 ) 2 ( a 2 n 1 − a 1 n 2 ) q ′ ( ξ ) 2 + q ( ξ ) 2 ( 2 a 2 ( − m 1 2 + p ( ξ ) m 1 n 1     + n 1 2 p ′ ( ξ ) ) 2 − a 1 ( m 1 3 ( m 1 ( 2 m 2 ( 2 m 2 − p ( ξ ) n 2 ) + m 1 2 n 1 ( − 3 p ( ξ ) m 2 + p ( ξ ) 2 n 2 − 3 n 2 p ′ ( ξ ) ) + n 1 3 ( p ( ξ ) m 2 p ′ ( ξ ) + 2 n 2 p ′ ( ξ ) 2 + m 2 p ″ ( ξ ) ) + m 1 n 1 2 ( p ( ξ ) 2 m 2 − m 2 p ′ ( ξ ) + 3 p ( ξ ) n 2 p ′ ( ξ )     − n 2 p ″ ( ξ ) ) ) ) + q ( ξ ) ( m 1 − p ( ξ ) n 1 ) ( 4 a 2 n 1 ( − m 1 2 + p ( ξ ) m 1 n 1 + n 1 2 p ′ ( ξ ) ) q ′ ( ξ )     + a 1 ( ( m 1 2 n 2 + 3 m 1 n 1 ( m 2 − p ( ξ ) n 2 ) − n 1 2 ( p ( ξ ) m 2 + 4 p ′ ( ξ ) n 2 ) ) q ′ ( ξ )     + n 1 ( − m 2 n 1 + m 1 n 2 ) q ″ ( ξ ) ) ) ) 将上面 u 的各阶导数全部代入(6)式，并合并 ( m 1 G + n 1 G ′ m 2 G + n 2 G ′ ) 的同幂次项，比较方程两端的系数，化简得 ( m 1 G + n 1 G ′ m 2 G + n 2 G ′ ) 0 : q ( ξ ) 2 ( − 2 M + 2 ( 1 + c ) a 0 + a 0 2 ) ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) 2 − 8 c δ q ( ξ ) a 2 n 1 ( m 1 − p ( ξ ) n 1 ) ( − m 1 2 + p ( ξ ) m 1 n 1 + n 1 2 p ′ ( ξ ) ) q ′ ( ξ ) − 2 c δ q ( ξ ) a 1 ( m 1 − p ( ξ ) n 1 ) ( m 1 2 n 2 + 3 m 1 n 1 ( m 2 − p ( ξ ) n 2 ) − n 1 2 ( p ( ξ ) m 2 + 4 n 2 p ′ ( ξ ) ) ) q ′ ( ξ ) − 4 c δ n 1 ( m 1 − p ( ξ ) n 1 ) 2 ( a 2 n 1 − a 1 n 2 ) q ′ ( ξ ) 2 − 2 c δ q ( ξ ) 2 ( 2 a 2 ( − m 1 2 + p ( ξ ) m 1 n 1 + n 1 2 p ′ ( ξ ) ) 2 − a 1 ( m 1 3 ( 2 m 2 − p ( ξ ) n 2 ) + m 1 2 n 1 × ( − 3 p ( ξ ) m 2 + p ( ξ ) 2 n 2 − 3 n 2 p ′ ( ξ ) ) + n 1 3 ( p ( ξ ) m 2 p ′ ( ξ ) + 2 n 2 p ′ ( ξ ) 2 + m 2 p ″ ( ξ ) ) + m 1 n 1 2 − n 2 p ″ ( ξ ) ) ) ) + 2 q ( ξ ) a 1 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) ( θ q ( ξ ) ( − m 1 2 + p ( ξ ) m 1 n 1 + n 1 2 p ′ ( ξ ) ) + n 1 ( m 1 − p ( ξ ) ( p ( ξ ) 2 m 2 − m 2 p ′ ( ξ ) + 3 p ( ξ ) n 2 p ′ ( ξ ) n 1 ) ( θ q ′ ( ξ ) + c δ q ″ ( ξ ) ) ) = 0 ( m 1 G + n 1 G ′ m 2 G + n 2 G ′ ) 1 : 2 ( 2 c δ ( m 1 − p ( ξ ) n 1 ) ( a 1 n 2 ( − 2 m 2 n 1 − ( m 1 − 3 p ( ξ ) n 1 ) n 2 ) + 2 a 2 n 1 ( 2 m 1 n 2 + n 1 × ( m 2 − 3 p ( ξ ) n 2 ) ) ) q ′ ( ξ ) 2 + q ( ξ ) 2 ( 2 a 2 ( m 1 3 ( 6 c δ m 2 + ( θ − 3 c δ p ( ξ ) ) n 2 ) − m 1 2 n 1 ( ( θ + 9 c ( p ( ξ ) ( θ − 3 c δ p ( ξ ) ) + 7 c δ p ′ ( ξ ) ) ) + m 1 n 1 2 ( 3 c δ p ( ξ ) 2 m 2 − ( 5 c δ m 2 + θ n 2 ) p ′ ( ξ ) + p ( ξ ) ( θ m 2 + 9 c δ n 2 p ′ ( ξ ) ) − c δ n 2 p ″ ( ξ ) ) + n 1 3 ( 6 c δ n 2 p ′ ( ξ ) 2 + m 2 ( ( θ + 3 c δ p ( ξ ) ) p ′ ( ξ ) + p ″ ( ξ ) c δ ) ) ) + a 1 × ( m 1 2 ( − 6 c δ m 2 2 − 2 ( θ − 3 c δ p ( ξ ) ) m 2 n 2 + n 2 2 ( 1 + c + p ( ξ ) ( θ − c δ p ( ξ ) ) + a 0 + 3 c δ p ′ ( ξ ) ) ) + 2 m 1 n 1 ( ( θ + 3 c δ p ( ξ ) ) m 2 2 − m 2 n 2 ( 1 + c + a 0 + 2 c δ × ( p ( ξ ) 2 − 2 p ′ ( ξ ) ) ) + n 2 2 ( ( − 3 c δ p ( ξ ) + θ ) p ′ ( ξ ) + c δ p ″ ( ξ ) ) ) + n 1 2 × ( a 0 + m 2 2 ( 1 + c + c δ p ′ ( ξ ) ) − 2 m 2 n 2 ( ( θ + 3 c δ p ( ξ ) ) p ′ ( ξ ) + c δ p ″ ( ξ ) ) ) ) ) + q ( ξ ) ( − 2 a 2 ( ( ( m 1 − p ( ξ ) n 1 ) ( − m 2 n 1 ( − 9 c δ m 1 + ( θ + 3 c δ p ( ξ ) ) n 1 ) + m 1 × ( 3 c δ m 1 + ( θ − 9 c δ p ( ξ ) ) n 1 ) n 2 ) − 2 c δ n 1 2 ( 5 m 1 n 2 + n 1 ( m 2 − 6 p ( ξ ) n 2 ) ) p ′ ( ξ ) ) × q ′ ( ξ ) + c δ n 1 ( m 1 − p ( ξ ) n 1 ) ( − m 2 n 1 + m 1 n 2 ) q ″ ( ξ ) ) + a 1 ( m 1 2 n 2 × ( ( 6 c δ m 2 + ( θ − 4 c δ p ( ξ ) ) n 2 ) q ′ ( ξ ) + c δ n 2 q ″ ( ξ ) ) + 2 m 1 n 1 ( ( 3 c δ m 2 2 − 8 c δ p ( ξ ) m 2 n 2 − n 2 2 ( p ( ξ ) ( θ − 3 c δ p ( ξ ) ) + 4 c δ p ′ ( ξ ) ) ) q ′ ( ξ ) − c δ p ( ξ ) q ″ ( ξ ) n 2 2 ) + n 1 2 ( ( m 2 ( − ( θ + 4 c δ p ( ξ ) ) m 2 + 2 p ( ξ ) ( θ + 3 c δ p ( ξ ) ) n 2 ) − 4 c δ n 2 ( − 3 p ( ξ ) n 2 + m 2 ) p ′ ( ξ ) ) q ′ ( ξ ) − c δ m 2 ( − p ( ξ ) n 2 + m 2 ) q ″ ( ξ ) ) ) ) ) = 0 ( m 1 G + n 1 G ′ m 2 G + n 2 G ′ ) 2 : ( 4 c δ ( − a 2 ( m 2 2 n 1 2 + 2 m 2 n 1 ( 4 m 1 − 5 p ( ξ ) n 1 ) n 2 + ( 3 m 1 2 − 14 p ( ξ ) m 1 n 1 + 12 p ( ξ ) 2 n 1 2 ) n 2 2 ) + a 1 n 2 ( m 2 − p ( ξ ) n 2 ) ( 2 m 1 n 2 + n 1 ( m 2 − 3 p ( ξ ) n 2 ) ) ) q ′ ( ξ ) 2 + q ( ξ ) 2 ( 2 a 2 ( m 1 2 ( − c m 2 2 24 δ − 4 ( − 6 c δ p ( ξ ) + θ ) m 2 n 2 + n 2 2 ( 1 + c + 2 p ( ξ ) ( θ − 2 c δ p ( ξ ) ) + a 0 + 10 p ′ ( ξ ) c δ ) ) + 2 m 1 n 1 ( 2 ( θ + 6 c δ p ( ξ ) ) m 2 2 − m 2 n 2 ( 1 + c + a 0 + 8 c δ ( p ( ξ ) 2 − 2 p ′ ( ξ ) ) ) + 2 n 2 2 × ( ( θ − 6 c δ p ( ξ ) ) p ′ ( ξ ) + p ″ ( ξ ) c δ ) ) + n 1 2 ( − 24 c δ n 2 2 p ′ ( ξ ) 2 + m 2 2 ( 1 + c − 2 p ( ξ ) × ( 2 c δ p ( ξ ) + θ ) + a 0 + 6 c δ p ′ ( ξ ) ) − 4 m 2 n 2 ( ( θ + 6 c δ p ( ξ ) ) p ′ ( ξ ) + c δ p ″ ( ξ ) ) ) ) + a 1 ( a 1 m 1 2 n 2 2 + 2 m 1 ( 6 c δ m 2 3 + ( θ − 9 c δ p ( ξ ) ) m 2 2 n 2 − m 2 n 2 ( a 1 n 1 + n 2 ( p ( ξ ) ( θ − 3 c δ p ( ξ ) ) + 7 c δ p ′ ( ξ ) ) ) − n 2 3 ( ( θ − 3 c δ p ( ξ ) ) p ′ ( ξ ) + c δ p ″ ( ξ ) ) ) + n 1 ( − 2 ( θ + 3 c δ p ( ξ ) ) m 2 3 + 12 c δ n 2 3 p ′ ( ξ ) 2 + m 2 2 ( a 1 n 1 + 2 n 2 ( p ( ξ ) ( θ + 3 c δ p ( ξ ) ) − 5 c δ p ′ ( ξ ) ) ) + 2 m 2 n 2 2 × ( ( θ + 9 c δ p ( ξ ) ) p ′ ( ξ ) + c δ p ″ ( ξ ) ) ) ) ) + 2 q ( ξ ) ( a 1 ( ( − ( m 2 − p ( ξ ) n 2 ) ( 3 c δ m 2 2 n 1 + m 2 ( 9 c δ m 1 − ( θ + 9 c δ p ( ξ ) ) n 1 ) n 2 + ( θ − 3 c δ p ( ξ ) ) m 1 n 2 2 ) + 4 c δ n 2 2 ( 2 m 2 n 1 + ( m 1 − 3 p ( ξ ) n 1 ) n 2 ) p ′ ( ξ ) ) q ′ ( ξ ) + c δ n 2 ( m 2 − p ( ξ ) n 2 ) ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) q ″ ( ξ ) ) + 2 a 2 ( m 1 2 n 2 ( ( 12 c δ m 2 + ( θ − 8 c δ p ( ξ ) ) n 2 ) q ′ ( ξ ) + c δ n 2 q ″ ( ξ ) ) + 2 m 1 n 1 ( ( 6 c δ m 2 2 − 16 c δ p ( ξ ) m 2 n 2 − n 2 2 ( p ( ξ ) ( θ − 6 c δ p ( ξ ) ) + 7 c δ p ′ ( ξ ) ) ) q ′ ( ξ ) − c δ p ( ξ ) n 2 2 q ″ ( ξ ) ) + n 1 2 ( ( m 2 ( − ( θ + 8 c δ p ( ξ ) ) m 2 + 2 p ( ξ ) ( θ + 6 p ( ξ ) c δ ) n 2 ) + 2 c δ n 2 ( − 5 m 2 + 12 p ( ξ ) n 2 ) p ′ ( ξ ) ) q ′ ( ξ ) − c δ m 2 ( m 2 − 2 p ( ξ ) n 2 ) q ″ ( ξ ) ) ) ) = 0 ( m 1 G + n 1 G ′ m 2 G + n 2 G ′ ) 3 : ( 4 c δ n 2 ( m 2 − p ( ξ ) n 2 ) ( a 1 n 2 ( − m 2 + p ( ξ ) n 2 ) + 2 a 2 ( 2 m 2 n 1 + ( 3 m 1 − 5 p ( ξ ) n 1 ) n 2 ) ) q ′ ( ξ ) 2 + 2 q ( ξ ) 2 ( − 2 c δ a 1 ( − m 2 2 + p ( ξ ) m 2 n 2 + n 2 2 p ′ ( ξ ) ) 2 + a 2 ( a 1 m 1 2 n 2 2 + 2 m 1 ( 10 c δ m 2 3 + ( − 15 c δ p ( ξ ) + θ ) m 2 2 n 2 − m 2 n 2 ( a 1 n 1 + n 2 ( p ( ξ ) ( θ − 5 c δ p ( ξ ) ) + 11 c δ p ′ ( ξ ) ) ) − n 2 3 ( ( θ − 5 c δ p ( ξ ) ) p ′ ( ξ ) + c δ p ″ ( ξ ) ) ) + n 1 ( − 2 ( θ + 5 c δ p ( ξ ) ) m 2 3 + 20 c δ n 2 3 p ′ ( ξ ) 2 + m 2 2 ( a 1 n 1 + 2 n 2 ( p ( ξ ) ( θ + 5 p ( ξ ) c δ ) − 9 c δ p ′ ( ξ ) ) ) + 2 m 2 n 2 2 ( ( θ + 15 c δ p ( ξ ) ) p ′ ( ξ ) + c δ p ″ ( ξ ) ) ) ) ) + 4 q ( ξ ) ( 2 c δ a 1 n 2 ( p ( ξ ) n 2 − m 2 ) ( − m 2 2 + p ( ξ ) m 2 n 2 + n 2 2 p ′ ( ξ ) ) q ′ ( ξ ) + a 2 ( ( − ( m 2 − p ( ξ ) n 2 ) ( 5 c δ m 2 2 n 1 + m 2 ( 15 c δ m 1 − ( θ + 15 c δ p ( ξ ) ) n 1 ) n 2 + ( − 5 p ( ξ ) c δ + θ ) m 1 n 2 2 ) + 2 c δ n 2 2 ( 7 m 2 n 1 + ( 3 m 1 − 10 p ( ξ ) n 1 ) n 2 ) p ′ ( ξ ) ) q ′ ( ξ ) + c δ n 2 ( m 2 − n 2 p ( ξ ) ) ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) q ″ ( ξ ) ) ) ) = 0 ( m 1 G + n 1 G ′ m 2 G + n 2 G ′ ) 4 : q ( ξ ) 2 a 2 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) 2 − 12 c δ ( q ( ξ ) ( m 2 2 − p ( ξ ) m 2 n 2 − n 2 2 p ′ ( ξ ) ) + n 2 ( − m 2 + n 2 p ( ξ ) ) q ′ ( ξ ) ) 2 = 0 。 用Mathematica软件对以上代数方程组进行求解，我们得到了以下五组解： 1) a 2 = 3 ( 10 c δ m 2 + ( θ − 10 c δ C 3 ) n 2 ) 2 ( − 10 c δ m 2 + ( θ + 10 c δ C 3 ) n 2 ) 2 2500 c 3 δ 3 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) 2 ， a 1 = 3 ( 10 c δ m 1 − ( θ + 10 c δ C 3 ) n 1 ) ( 10 c δ m 2 + ( θ − 10 c δ C 3 ) n 2 ) 2 ( − 10 c δ m 2 + ( θ + 10 c δ C 3 ) n 2 ) 1250 c 3 δ 3 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) 2 ， a 0 = 1 2500 c 3 δ 3 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) 2 ( 3 θ 3 n 1 n 2 ( 20 c δ m 2 n 1 + ( − 20 c δ m 1 + θ n 1 ) n 2 )     − 300 c 2 δ 2 θ 2 ( m 2 2 n 1 2 − 2 C 3 m 2 n 1 2 n 2 + ( m 1 2 − 2 C 3 m 1 n 1 + 2 C 3 2 n 1 2 ) n 2 2 )     + 500 c 3 δ 3 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) ( − n 1 ( ( 5 + 5 c − 12 θ C 3 ) m 2 + 12 θ C 3 2 n 2 )     + m 1 ( − 12 θ m 2 + ( 5 + 5 c + 12 θ C 3 ) n 2 ) ) ) ， M = 18 θ 4 625 c 2 δ 2 − c 2 2 − c − 1 2 ， p ( ξ ) = C 3 + θ 10 c δ tanh ( θ ( ξ + 5 c δ C 1 ) 10 c δ ) ， q ( ξ ) = C 1 e C 3 ξ + C 2 sech ( θ ( ξ + 5 c δ C 1 ) 10 c δ ) ， 其中 C i ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 均为任意常数。将上面求得的 p ( ξ ) ，   q ( ξ ) 代入(5)式，有 ， 其中 C 4 均为任意常数。再由(7)式，我们得到了RLW-Burgers方程的解为 u ( ξ ) = 3 ( 10 c δ m 2 + ( θ − 10 c δ C 3 ) n 2 ) 2 ( − 10 c δ m 2 + ( θ + 10 c δ C 3 ) n 2 ) 2 2500 c 3 δ 3 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) 2     ⋅ ( 10 c δ θ ( C 1 n 1 e C 2 + C 3 C 4 n 1 − C 4 m 1 ) + ( C 4 θ 2 n 1 − 100 C 1 c 2 δ 2 e C 2 ( m 1 − C 3 n 1 ) ) tanh ( θ ( ξ + 5 c δ C 1 ) 10 c δ ) ) 2 ( 10 c δ θ ( C 1 n 2 e C 2 + C 3 C 4 n 2 − C 4 m 2 ) + ( C 4 θ 2 n 2 − 100 C 1 c 2 δ 2 e C 2 ( m 2 − C 3 n 2 ) ) tanh ( θ ( ξ + 5 c δ C 1 ) 10 c δ ) ) 2     + 3 ( 10 c δ m 1 − ( θ + 10 c δ C 3 ) n 1 ) ( 10 c δ m 2 + ( θ − 10 c δ C 3 ) n 2 ) 2 ( − 10 c δ m 2 + ( θ + 10 c δ C 3 ) n 2 ) 1250 c 3 δ 3 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) 2 ⋅ 10 c δ θ ( C 1 n 1 e C 2 + C 3 C 4 n 1 − C 4 m 1 ) + ( C 4 θ 2 n 1 − 100 C 1 c 2 δ 2 e C 2 ( m 1 − C 3 n 1 ) ) tanh ( θ ( ξ + 5 c δ C 1 ) 10 c δ ) 10 c δ θ ( C 1 n 2 e C 2 + C 3 C 4 n 2 − C 4 m 2 ) + ( C 4 θ 2 n 2 − 100 C 1 c 2 δ 2 e C 2 ( m 2 − C 3 n 2 ) ) tanh ( θ ( ξ + 5 c δ C 1 ) 10 c δ )     + 1 2500 c 3 δ 3 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) 2 ( 3 θ 3 n 1 n 2 ( 20 c δ m 2 n 1 + ( − 20 c δ m 1 + θ n 1 ) n 2 )     − 300 c 2 δ 2 θ 2 ( m 2 2 n 1 2 − 2 C 3 m 2 n 1 2 n 2 + ( m 1 2 − 2 C 3 m 1 n 1 + 2 C 3 2 n 1 2 ) n 2 2 )     + 500 c 3 δ 3 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) ( − n 1 ( ( 5 + 5 c − 12 θ C 3 ) m 2 + 12 θ C 3 2 n 2 )     + m 1 ( − 12 θ m 2 + ( 5 + 5 c + 12 θ C 3 ) n 2 ) ) ) 这里的 ξ = x − c t 。 2) a 2 = 245 θ n 2 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) 54 n 1 3 ， a 1 = 70 θ ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) 27 n 1 2 ， a 0 = 10 θ 27 ( m 1 n 1 − m 2 n 2 ) − 1 ， c = 44 135 θ ( m 1 n 1 − m 2 n 2 ) ， δ = − 243 n 1 2 n 2 2 352 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) 2 ， M = 3760 θ 2 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) 2 + 2376 θ n 1 n 2 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) − 3645 n 1 2 n 2 2 7290 n 1 2 n 2 2 ， p ( ξ ) = ( − 2 m 2 n 1 + 5 m 1 n 2 ) e 8 m 1 9 n 1 ξ + 24 C 1 m 2 n 1 2 n 2 + ( 2 m 2 n 1 + 7 m 1 n 2 ) e 8 m 2 9 n 2 ξ + 24 C 1 m 1 n 1 n 2 2 3 n 1 n 2 e 8 m 1 9 n 1 ξ + 24 C 1 m 2 n 1 2 n 2 + 9 n 1 n 2 e 8 m 2 9 n 2 ξ + 24 C 1 m 1 n 1 n 2 2 ， q ( ξ ) = C 2 e ( 5 m 1 3 n 1 + 2 m 2 9 n 2 ) ξ e 8 m 1 9 n 1 ξ + 24 C 1 m 2 n 1 2 n 2 + 3 e 8 m 2 9 n 2 ξ + 24 C 1 m 1 n 1 n 2 2 ， 其中 C i ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 均为任意常数。将上面求得的 p ( ξ ) ， q ( ξ ) 代入(5)式，有 G ( ξ ) = 8 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) e 1 9 ( − 7 m 1 n 1 + 6 m 2 n 2 ) ξ 9 C 2 n 1 n 2 e 8 m 2 9 n 2 ( ξ − 27 C 1 n 1 2 n 2 2 ) + 8 C 3 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) ( e 8 m 1 9 n 1 ξ + 24 C 1 m 2 n 1 2 n 2 + 3 e 8 m 2 9 n 2 ξ + 24 C 1 m 1 n 1 n 2 2 ) ， 再由(7)式，我们得到了RLW-Burgers方程的解为 u ( ξ ) = 490 θ ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) ( 3 C 2 n 1 n 2 e 8 m 2 9 n 2 ξ − 8 C 3 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) ( e 8 m 1 9 n 1 ξ + 48 C 1 m 2 n 1 2 n 2 − e 8 m 2 9 n 2 ξ + 24 C 1 n 1 n 2 ( m 2 n 1 + m 1 n 2 ) ) ) 2 27 n 1 n 2 ( 21 C 2 n 1 n 2 e 8 m 2 9 n 2 ξ + 8 C 3 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) ( 5e 8 m 1 9 n 1 ξ + 48 C 1 m 2 n 1 2 n 2 + 7 e 8 m 2 9 n 2 ξ + 24 C 1 n 1 n 2 ( m 2 n 1 + m 1 n 2 ) ) ) 2     − 140 θ ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) ( 3 C 2 n 1 n 2 e 8 m 2 9 n 2 ξ − 8 C 3 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) ( e 8 m 1 9 n 1 ξ + 48 C 1 m 2 n 1 2 n 2 − e 8 m 2 9 n 2 ξ + 24 C 1 n 1 n 2 ( m 2 n 1 + m 1 n 2 ) ) ) 27 n 1 n 2 ( 21 C 2 n 1 n 2 e 8 m 2 9 n 2 ξ + 8 C 3 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) ( 5e 8 m 1 9 n 1 ξ + 48 C 1 m 2 n 1 2 n 2 + 7 e 8 m 2 9 n 2 ξ + 24 C 1 n 1 n 2 ( m 2 n 1 + m 1 n 2 ) ) )     + 10 θ 27 ( m 1 n 1 − m 2 n 2 ) − 1 ， 这里的 ξ = x − 44 135 θ ( m 1 n 1 − m 2 n 2 ) t 。 3) a 2 = 12 ( m 2 − C 1 n 2 ) 2 ( 5 c δ ( m 2 − C 1 n 2 ) ∓ θ n 2 ) 2 25 c δ ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) 2 ， a 1 = 6 125 c 2 δ 2 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) 2 ( 10 c δ ( m 1 − C 1 n 1 ) − ( 1 ± 1 ) θ n 1 ) ( m 2 − C 1 n 2 )     × ( 5 c δ ( m 2 − C 1 n 2 ) ∓ θ n 2 ) ( 10 c δ ( m 2 − C 1 n 2 ) + ( 1 ∓ 1 ) θ n 2 ) ， a 0 = 1 125 c 2 δ 2 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) 2 ( n 1 2 ( 5 c δ ( 25 c 2 δ ( 12 C 1 2 δ − 1 ) ± 6 θ 2 + 5 c δ ( − 5 + 12 C 1 θ ( 1 ± 1 ) ) ) m 2 2     − 12 ( 5 c δ C 1 + θ ) 2 ( 10 c δ C 1 + ( − 1 ± 1 ) θ ) m 2 n 2 + 60 c δ C 1 2 ( 5 c δ C 1 ± θ ) 2 n 2 2 )     − m 1 n 1 ( 300 c 2 δ 2 ( 10 c δ C 1 + ( 1 ± 1 ) θ ) m 2 2 − 10 c δ ( 25 c 2 δ ( 1 + 24 C 1 2 δ ) + 6 θ 2 + 5 c δ ( 5 ± 24 C 1 θ ) ) m 2 n 2     + 3 ( 10 c δ C 1 + ( − 1 ± 1 ) θ ) 2 ( 10 c δ C 1 + ( 1 ± 1 ) θ ) n 2 2 ) + 5 c δ m 1 2 ( 300 c 2 δ 2 m 2 2     − 60 c δ ( 10 c δ C 1 + ( − 1 ± 1 ) θ ) m 2 n 2 + ( 25 c 2 δ ( 12 δ C 1 2 − 1 ) + 5 c δ ( − 5 + 12 θ C 1 ( − 1 ± 1 ) ) ∓ 6 θ 2 ) n 2 2 ) ) ， M = 18 θ 4 625 c 2 δ 2 − c 2 2 − c − 1 2 ， p ( ξ ) = C 1 ± θ 5 c δ ， q ( ξ ) = C 2 e C 1 ξ ， 其中 C i ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 均为任意常数。将上面求得的 p ( ξ ) ， q ( ξ ) 代入(5)式，有 G ( ξ ) = θ e − C 1 ξ C 3 θ e ± θ 5 c δ ξ ∓ 5 c δ C 2 ， 再由(7)式，我们得到了RLW-Burgers方程的解为 u ( ξ ) = 12 ( m 2 − C 1 n 2 ) 2 25 c δ ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) 2 ( C 3 θ e ± θ 5 c δ ξ ( − 5 c δ ( m 1 − C 1 n 1 ) ± θ n 1 ) ± 25 c 2 δ 2 C 2 ( m 1 − C 1 n 1 ) ) 2 ( C 3 θ e ± θ 5 c δ ξ ( − 5 c δ ( m 2 − C 1 n 2 ) ± θ n 2 ) ± 25 c 2 δ 2 C 2 ( m 2 − C 1 n 2 ) ) 2 × ( 5 c δ ( m 2 − C 1 n 2 ) ∓ θ n 2 ) 2 + 6 125 c 2 δ 2 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) 2 ( 10 c δ ( m 1 − C 1 n 1 ) − ( 1 ± 1 ) θ n 1 )     × ( m 2 − C 1 n 2 ) ( 5 c δ ( m 2 − C 1 n 2 ) ∓ θ n 2 ) ( 10 c δ ( m 2 − C 1 n 2 ) + ( 1 ∓ 1 ) θ n 2 )     × ( C 3 θ e ± θ 5 c δ ξ ( − 5 c δ ( m 1 − C 1 n 1 ) ± θ n 1 ) ± 25 c 2 δ 2 C 2 ( m 1 − C 1 n 1 ) ) ( C 3 θ e ± θ 5 c δ ξ ( − 5 c δ ( m 2 − C 1 n 2 ) ± θ n 2 ) ± 25 c 2 δ 2 C 2 ( m 2 − C 1 n 2 ) )     + 1 125 c 2 δ 2 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) 2 ( n 1 2 ( 5 c δ ( 25 c 2 δ ( 12 C 1 2 δ − 1 ) ± 6 θ 2 + 5 c δ ( − 5 + 12 C 1 θ ( 1 ± 1 ) ) ) m 2 2 − 12 ( 5 c δ C 1 + θ ) 2 ( 10 c δ C 1 + ( − 1 ± 1 ) θ ) m 2 n 2 + 60 c δ C 1 2 ( 5 c δ C 1 ± θ ) 2 n 2 2 )     − m 1 n 1 ( 300 c 2 δ 2 ( 10 c δ C 1 + ( 1 ± 1 ) θ ) m 2 2 − 10 c δ ( 25 c 2 δ ( 1 + 24 C 1 2 δ ) + 6 θ 2     + 5 c δ ( 5 ± 24 C 1 θ ) ) m 2 n 2 + 3 ( 10 c δ C 1 + ( − 1 ± 1 ) θ ) 2 ( 10 c δ C 1 + ( 1 ± 1 ) θ ) n 2 2 )     + 5 c δ m 1 2 ( 300 c 2 δ 2 m 2 2 − 60 c δ ( 10 c δ C 1 + ( − 1 ± 1 ) θ ) m 2 n 2     + ( 25 c 2 δ ( 12 δ C 1 2 − 1 ) + 5 c δ ( − 5 + 12 θ C 1 ( − 1 ± 1 ) ) ∓ 6 θ 2 ) n 2 2 ) ) 这里的 ξ = x − c t 。 4) a 2 = − 2 ( 2 θ ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) − n 1 n 2 ) 2 5 n 1 4 ， a 1 = 0 ， a 0 = 2 ( θ 2 − δ ) 15 δ ， c = − 2 θ 2 15 δ ， M = 0 ， p ( ξ ) = ( 2 θ m 1 + n 1 ) e ξ 2 θ − m 1 e C 1 n 1 2 2 n 1 θ e ξ 2 θ − n 1 e C 1 n 1 2 ， q ( ξ ) = C 2 e ( 1 2 θ + m 1 n 1 ) ξ − 2 θ e ξ 2 θ + e C 1 n 1 2 ， 其中 C i ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 均为任意常数。将上面求得的 p ( ξ ) ， q ( ξ ) 代入(5)式，有 G ( ξ ) = e − m 1 n 1 ξ C 2 + C 3 e C 1 n 1 2 − 2 θ C 3 e ξ 2 θ ， 再由(7)式，我们得到了RLW-Burgers方程的解为 u ( ξ ) = − 2 C 3 2 ( 2 θ ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) − n 1 n 2 ) 2 e ξ θ 5 ( ( C 2 + C 3 e C 1 n 1 2 ) ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) − C 3 ( 2 θ ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) − n 1 n 2 ) e ξ 2 θ ) 2 + 2 ( θ 2 − δ ) 15 δ ， 这里的 ξ = x + 2 θ 2 15 δ t 。 5) a 2 = 2 ( 2 θ ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) + n 1 n 2 ) 2 5 n 1 4 ， a 1 = 0 ， a 0 = − 2 ( θ 2 + 14 δ ) 15 δ ， c = 2 θ 2 15 δ ， M = 0 ， p ( ξ ) = m 1 e ξ 2 θ − ( 2 θ m 1 − n 1 ) e C 1 n 1 2 n 1 e ξ 2 θ − 2 n 1 θ e C 1 n 1 2 ， q ( ξ ) = C 2 e m 1 n 1 ξ e ξ 2 θ − 2 θ e C 1 n 1 2 ， 其中 C i ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 均为任意常数。将上面求得的 p ( ξ ) ， q ( ξ ) 代入(5)式，有 G ( ξ ) = e 1 2 ( 1 θ − 2 m 1 n 1 ) ξ C 3 e ξ 2 θ − 2 θ C 3 e C 1 n 1 2 − 2 θ C 2 ， 再由(7)式，我们得到了RLW-Burgers方程的解为 u ( ξ ) = 2 ( 2 θ ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) + n 1 n 2 ) 2 ( C 2 + C 3 e C 1 n 1 2 ) 2 5 ( ( 2 θ ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) + n 1 n 2 ) ( C 2 + C 3 e C 1 n 1 2 ) − C 3 ( m 2 n 1 − m 1 n 2 ) e ξ 2 θ ) 2 − 2 ( θ 2 + 14 δ ) 15 δ ， 这里的 ξ = x − 2 θ 2 15 δ t 。