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user: 2. 均匀带电线状体在接地导体平面上产生的感应电荷分布 当导体置于电场中处于静电平衡时，其表面上的电场强度按电磁场理论为 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] ，其中 σ 为电荷面密度， ε 0 为真空中的介电常数， n ^ 为该处外法线单位矢量。则该处的电荷面密度大小为 σ = ε 0 E 。下面先考虑电场为点电荷的情况。 如图1(a)所示，设位于坐标原点 o 的点电荷 A 带正电量为 q ，它到时无限大接地导体平面的距离为 d ，则在导体平面上产生的感应负电荷为 − q ， x 轴正方向垂直于导体平面向右。按电磁理论中的镜像法，点电荷 q 与导体平面上的感应电荷 − q 在导体平面左侧空间产生的作用效果(包括力学的和电磁学的)等效于该点电荷经导体平面成像于 A ′ 处的负点电荷 − q 共同产生的效果。由此，在导体平面上任一点 p 处的电场强度大小为 [ 2 ] [ 3 ] ： 图1. 带电体在接地导体平面产生的感应电荷分布。(a) 点电荷周围的接地导体平面；(b) 带电线状体周围的接地导体平面 E = 2 1 4 π ε 0 q r 2 cos θ = q 2 π ε 0 cos ３ θ d 2 (1) 其中 θ ( − π / 2 ≤ θ ≤ π / 2 )为 A p 连线与 x 轴的夹角，逆时针方向为正。该 p 处感应负电荷面密度大小为： σ = q 2 π cos 3 θ d 2 (2) 接下来计算均匀带电线状体在导体平面产生的电荷面密度分布情况。建立如图1(b)所示的笛卡尔直角坐标系，设均匀带电线状长 L ，均匀带正电为 q ，它离导体平面最近的端点为坐标原点 o ，垂直于导体平面向右为 x 轴正方向， y 轴在 x 轴与线状体所决定的平面内， z 轴与 x 、 y 轴满足右手螺旋系。坐标原点到导体平面的距离为 d ，设线状体与 x 轴负方向夹角为 α ，在线状体任取一点 p ( − l   cos α ，   l   sin α ， 0 ) (其中 0 ≤ l ≤ L )，过该点作导体平面的垂线交平面于 p 2 ( d ， l sin θ ， 0 ) 点，在导体平面上任取一点 p 1 ( d ，   d tan θ cos φ ， d tan θ sin φ ) ，其中 θ ( − π / 2 < θ < π / 2 ) 角是 o p 1 连线 x 轴正方向夹角，称其极角； φ ( 0 ≤ φ ≤ 2 π ) 角是 p 1 点在 y o z 平面上的投影点与坐标原点的连线与 y 轴正方向夹角，称其方位角。则 p p 1 连线与 p p 2 的夹角 θ 1 的余弦值可由立体解析几何中位矢 | p p 1 | = ( d + l cos α ) i ^ + ( d tan θ cos φ − l sin α ) j ^ + d tan θ sin φ k ^ 与 | p p 2 | = ( d + l cos α ) i ^ 的点积给出，这里的 i ^ 、 j ^ 、 k ^ 分别是 x 、 y 、 z 轴正方向的单位矢。夹角 θ 1 的余弦值为： cos θ 1 = p p 1 ⋅ p p 2 | p p 1 |   | p p 2 | = d + l cos α ( d + l cos α ) 2 + ( d tan θ cos φ − l sin α ) 2 + ( d tan θ sin φ ) 2 (3) 在 p 处取一个微元电荷 d q = λ d l ，其中 λ = q / L ，当导体平面处于静电平衡时，它在 p 1 的产生的感应负电荷面密度大小为： d σ = d q 2 π   ( cos θ 1 ) 3 ( d + l cos α ) 2 = q d l 2 π L   d + l cos α r 3 (4) 其中 r = ( d + l cos α ) 2 + ( d tan θ cos φ − l sin α ) 2 + ( d tan θ sin φ ) 2 ，对 r 根式中表达式进行展开化简，令 A = 2 d ( cos α − sin α cos φ tan θ ) ，则可化为 r = ( d sec θ ) 2 + 2 A l + l 2 ，由(4)式可以看出，当导体平面上任 一点 p 1 确定，既 θ 、 φ 确定，线状体上任一点 p 在导体平面上 p 1 点处产生的电荷面密度只与 l 是有关，既利用了电场的叠加原理(在数学上是积分)， p 1 将 代入(4)式，对变量 l 关于(4)式积分，可得出均匀带电线状体在导体平面上 p 1 处产生的感应负电荷面密度大小： σ = q 2 π L [ 2 d ( A + 2 L ) − 2 cos α ( 2 d 2 sec 2 θ + A L ) ( 4 d 2 sec 2 θ − A 2 ) d 2 sec 2 θ + A L + L 2 − 4 d cos α sec θ − 2 A cos θ 4 d 2 sec 2 θ − A 2 ] (5) 由此可以看出现，导体平面上任一处的感应负电荷面密度跟均匀带电线状体自体的特征量(电量 q 和长度 L )有关，还跟它与导体平面的相对位置(距离 d 、夹角 α 、极角 θ 和方位 φ )有关。 由(5)式可验证导体平面上总的感应负电荷量大小： ∬ σ d s = ∫ 0 2π d φ ∫ − π / 2 π / 2 σ ⋅ d tan θ d cos 2 θ d θ = q 给出两种特殊情况下导体平面上的感应负电荷面密度分布： A当 α = 0 时，既均匀带电线状体与导体平面垂直，可得： σ = q 2 π L [ cos θ d − 1 L 2 + 2 L d + d 2 sec 2 θ ] (6) 当 L 较小时，可将(6)式中的根式函数按 L cos θ / d 用泰列级数展开，得到： 1 L 2 + 2 L d + d 2 sec 2 θ = cos θ d [ １ − cos θ ( L cos θ d ) − ( 3 cos 2 θ − 1 ２ ) ( L cos θ d ) 2 + ⋯ ] (7) 将(7)式代入(6)式，当 L → 0 ，这时线状体变为点电荷，其电荷面密度为(2)式。 B当 α = π / 2 时，既带电线状体与导体平面平行，可得： σ = q 2 π L L − d cos φ tan θ + cos φ sin θ L 2 − 2 L d cos φ tan θ + d 2 sec 2 θ d ( sec 2 θ − cos 2 φ tan 2 θ ) L 2 − 2 L d cos φ tan θ + d 2 sec 2 θ (8) 同样当 L 较小时，可将(8)式中的函数按 L cos θ / d 用泰列级数展开，得到： L − d cos φ tan θ + cos φ sin θ L 2 − 2 L d cos φ tan θ + d 2 sec 2 θ d ( sec 2 θ − cos 2 φ tan 2 θ ) L 2 − 2 L d cos φ tan θ + d 2 sec 2 θ = cos 2 θ d [ L cos θ d + 3 2 cos φ sin θ ( L cos θ d ) 2 + ⋯ ] 将上式代入(8)，当 L → 0 ，线状体变为点电荷，(8)式变为(2)式。 为了直观形象展示导体平面上感应负电荷的分布规律，绘出了均匀带电线状体作用下导体平面处于静电平衡时，其表面上的感应负电荷面密度随距离和角度变化而变化的图像。在图2中，参数取如下值： L = 0.10   m ， d = 0.10   m ；(a) 图中是方位角 φ = 0 的情况，既是 x o y 所决定的平面与导体平面( φ = 0 )的相交直线处电荷密度随角 θ   ( − π / 2 ∼ π / 2 ) 而变化的情况；(b) 图是在 x o z 平面与导体平面( φ = π / 2 )的交直线上电荷密度随角 θ 而变化。在这两个图中，在第一象限内的图线自下而上分别对应 α = 0 ， π / 6 ， π / 4 ， π / 3 ， π / 2 的情况；从这两个图中可以看出，在带电线状体自体特征量( q 、 L )及与导体平面相对位置( α 、 d )确定时，电荷密度分布与极角 θ 和方位角 φ 有关，且随极角 θ 增大而减小且趋于零，仅当 α = 0 时，既线状体与导体平面垂直，电荷面密度只与极角 θ 有关，与方位角 φ 无关。的图(c)、(d)分别是 α = π / 6 、 α = π / 3 时电荷密度随角 θ ( − π / 2 ~ π / 2 ) 和 φ ( 0 ~ 2 π ) 而变化的三D图像。这四个图都清楚表明，电荷面密度随极角 θ 增大而减小且趋于零。