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user: 2. 矩阵在知识层面的指导 2.1. 克拉默法则 [ 2 ] 对于有唯一解的二元线性方程组 { a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 当 a 11 a 22 − a 12 a 21 ≠ 0 时，解为 { x 1 = b 1 a 22 − a 12 b 2 a 11 a 22 − a 12 a 21 x 2 = a 11 b 2 − a 21 b 1 a 11 a 22 − a 12 a 21 方程组根据矩阵的定义可以写成 [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] [ x 1 x 2 ] = [ b 1 b 2 ] 当 | a 11 a 12 a 21 a 22 | ≠ 0 时，解为 { x 1 = | b 1 a 12 b 2 a 22 | | a 11 a 12 a 21 a 22 | x 2 = | a 11 b 1 a 21 b 2 | | a 11 a 12 a 21 a 22 | 由此，对于三元线性方程组有相仿的结论 { a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 当 | a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 | ≠ 0 时 解为 { x 1 = | b 1 a 12 a 13 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33 | | a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 | x 2 = | a 11 b 1 a 13 a 21 b 2 a 23 a 31 b 3 a 33 | | a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 | x 3 = | a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a 31 a 32 b 3 | | a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 | 这个方法就叫做克拉默法则，只不过这里是简单的特例，而课本只给出了二阶行列式的计算，下面我们来探究三阶行列式的计算方法。 (1) 三阶行列式的计算 [ 2 ] 定义1 由 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n 组成的一个有序数组称为一个n级排列，例如213是一个三级排列。 定义2在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数，例如213中21为逆序，逆序数为1。排列 j 1 j 2 ⋯ j n 的逆序数记作 τ ( j 1 j 2 ⋯ j n ) 。 定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列则称为奇排列。 定义4 n级行列式 | a 11 ⋯ a n n ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n ⋯ a n n | 等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积 a 1 j 1 a 2 j 2 ⋯ a n j n 的代数 和，可写成 ∑ j 1 j 2 ⋯ j n ( − 1 ) τ ( j 1 j 2 ⋯ j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 ⋯ a n j n ，这里的 j 1 j 2 ⋯ j n 是 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n 的一个排列，其中 τ ( j 1 j 2 ⋯ j n ) 称为逆序数。 对于三阶行列式 | a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 | ，由定义4得 | a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 | = ( − 1 ) τ ( 123 ) a 11 a 22 a 33 + ( − 1 ) τ ( 132 ) a 11 a 23 a 32 + ( − 1 ) τ ( 213 ) a 12 a 21 a 33     + ( − 1 ) τ ( 213 ) a 12 a 21 a 33 + ( − 1 ) τ ( 312 ) a 13 a 21 a 32 + ( − 1 ) τ ( 321 ) a 13 a 22 a 31 经过整理得 | a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 | = a 11 | a 22 a 23 a 32 a 33 | − a 12 | a 21 a 23 a 31 a 33 | + a 13 | a 21 a 23 a 31 a 33 | 在掌握了三阶行列式的求法之后，对于有计算量的三元一次方程组的解决有了很好的指导。 2.2. 平面向量基本定理 [ 3 ] 如果 e 1 ， e 2 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且仅有一对实数 λ 1 ， λ 2 ，使 a = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 反之，如果存在一对实数 λ 1 ， λ 2 ，使 a = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 ，若 λ 1 λ 2 ≠ 0 时，因为 λ 1 e 1 ∥ e 1 ， λ 2 e 2 ∥ e 2 ，由平行四边形法则知 a ， e 1 ， e 2 共面。 定义5 [ 4 ] 对于 n ( n ≥ 1 ) 个向量 a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a n ，如果存在不全为0的n个数 λ 1 ， λ 2 ， ⋯ ， λ n 使得 λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ⋯ + λ n a n = 0 ， 那么n个向量 a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a n 叫做线性相关，不是线性相关的向量叫做线性无关。 定理1三向量共面的充要条件是他们线性相关。 证明：必要性 已知三向量 a 1 ， a 2 ， a 3 共面，由平面向量基本定理得有且仅有一对实数 λ 1 ， λ 2 ，使 a 3 = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 ，则 a 3 − λ 1 a 1 − λ 2 a 2 = 0 ，因为 1 ≠ 0 ，则 a 1 ， a 2 ， a 3 线性相关。 充分性 已知三向量 a 1 ， a 2 ， a 3 线性相关，则存在不全为0的实数 λ 1 ， λ 2 ， λ 3 ，使得 λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + λ 3 a 3 = 0 不妨设 λ 1 ≠ 0 ，则 a 1 = − λ 2 λ 1 a 2 − λ 3 λ 1 a 3 由平面向量基本定理得三向量 a 1 ， a 2 ， a 3 共面。 定理2设三个非零向量 a 1 ， a 2 ， a 3 坐标分别为 ( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ， z 2 ) ， ( x 3 ， y 3 ， z 3 ) ，则三个向量共面的充要条件是 | x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 | = 0 证明：因为三个向量 e 1 ， e 2 ， a 共面，则必有一个向量可以表示成另外两个向量的线性组合，则三个非零向量线性相关，存在不全为0的实数 λ 1 ， λ 2 ， λ 3 ，使得 λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + λ 3 a 3 = 0 则 { λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + λ 3 x 3 = 0 λ 1 y 1 + λ 2 y 2 + λ 3 y 3 = 0 λ 1 z 1 + λ 2 z 2 + λ 3 z 3 = 0 把它看作 λ 1 ， λ 2 ， λ 3 的三元线性方程组，因为三个实数均0为方程组的一个解，由克拉默法则在三元线性方程组中的运用知 | x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 | = 0 2.3. 命题的应用 例1求 { 4 x 1 + 2 x 2 + x 3 = 5 2 x 1 − x 2 + x 3 = 4 2 x 1 + x 2 + x 3 = 0 的解。 解：令 D = | 4 2 1 2 − 1 1 2 1 1 | = 4 × | − 1 1 1 1 | − 2 × | 2 1 2 1 | + 1 × | 2 − 1 2 1 | = − 4 ≠ 0 D 1 = | 5 2 1 4 − 1 1 0 1 1 | = 5 × | − 1 1 1 1 | − 2 × | 4 1 0 1 | + 1 × | 4 − 1 0 1 | = − 14 D 2 = | 4 5 1 2 4 1 2 0 1 | = 4 × | 4 1 0 1 | − 5 × | 2 1 2 1 | + 1 × | 2 4 2 0 | = 8 D 3 = | 4 2 5 2 − 1 4 2 1 0 | = 4 × | − 1 4 1 0 | − 2 × | 2 4 2 0 | + 5 × | 2 − 1 2 1 | = 20 则 { x 1 = D 1 D = 7 2 x 2 = D 2 D = − 2 x 3 = D 3 D = − 5 例2如果向量 a = ( 1 ， λ ， 2 ) ， b = ( 2 ， − 1 ， 2 ) ， c = ( 1 ， 4 ， 4 ) 共面，求 λ 的值。 解：因为三个向量共面，则 | 1 λ 2 2 − 1 2 1 4 4 | = 0 | 1 λ 2 2 − 1 2 1 4 4 | = 1 × | − 1 2 4 4 | − λ × | 2 2 1 4 | + 2 × | 2 − 1 1 4 | = − 12 − 6 λ + 18 = 0 则 λ = 1 第一题运用了克拉默法则，第二题运用了向量共面时行列式的性质，从这两道题就可以看出矩阵作为数学工具的优越性，只有让学生意识到矩阵学习的必要性与优越性，才能达到要有的效果。