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user: 4. 几种分层MC方法 4.1. 分层概率加权方法 考察欧式看涨期权定价问题。注意： S ( T ) = S ( t ) exp { ( r − 1 2 σ 2 ) ( T − t ) + σ T − t ⋅ ε } (9) 其中 ε 服从标准正态分布，将随机变量 ε 的值域进行分层，划分为没有交集的K个区间 A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A K ，并用 p i 来表示标准正态随机变量落入每一个小区间 A i 的概率，即： P ( A i ) = p i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， K 。 那么： P r ( Y ∈ ∪ i = 1 K A i ) = 1 E [ Y ] = ∑ i = 1 K P r ( ε ∈ A i ) E [ Y | ε ∈ A i ] = ∑ i = 1 K P i E [ Y | ε ∈ A i ] 其中 Y = max { S ( T ) − K ， 0 } ，最后生成 Y | ε ∈ A i 分布的样本。 在随机抽样时，产生的与 ε 同分布随机数落入区间 A i 的比例通常不等于 p i ，尽管产生的随机总数n增大时，它会趋于 p i 。在分层抽样中提前约定：从每层 A i 中提取一定数量的随机数，每个从 A i 提取的随机数，都被限制在条件 ε ∈ A i 的标准正态随机数。最后计算每一层上的条件期望，并把它们按照概率比重 p i 进行加权平均。按分层概率加权Monte-Carlo方法的计算步骤如下： Step1：将随机数对应的总体X的值域进行K个区间划分 A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A K ，并计算落入每个区间的概率 p i ，即(直接对总体 max { S ( T ) − K ， 0 } 分层即可)。 P ( A i ) = p i ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， K Step2：给定第一层样本容量 n 1 (数量必须保证模拟精度)，产生的随机数 ε ，若 ε ∈ A i 则保留，否则重复产生随机数，直到达到容量 n 1 为止。这样我们就获取了第一层 A i 上的 n 1 个随机数。 ε 1 ， 1 ， ε 1 ， 2 ， ⋯ ， ε 1 ， n 1 Step3：利用第一层的 A i 上的 n 1 个随机数估计条件期望 E 1 = 1 n ∑ j = 1 n 1 Y 1 ， j ，         j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 1 其中 Y 1 ， j = max { S 1 j − K ， 0 } ， S 1 ， j = S ( 0 ) exp { ( r − 1 2 σ 2 ) ( T − t ) + σ T − t ⋅ ε 1 ， j } Step4：重复步骤2和步骤3，估计其他分层的条件 E 2 ， E 3 ， ⋯ ， E k ； Step5：按照概率比重 p i 将 E i 加权平均，即可估计欧式看涨期权在t时刻的价格 c ^ = exp { − r ( T − t ) } ∑ i = 1 K p i n i ∑ j = 1 n 1 Y i ， j (10) 为了节省计算机运行时间，同时兼顾精度的需求，通常按照概率比重设置分层的模拟次数，令 q i = n i / n ，     ∑ i = 1 K n i = n ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， K 由于 n i 必须取值非负整数，很难做到 q i 和 p i 完全一致，但当n足够大时， p i ≈ q i ，此时统计量可以改写为： c ^ = exp { − r ( T − t ) } p i n q i ∑ i = 1 K ∑ j = 1 n 1 Y i ， j (11) 则(11)式可改写成(12)式： c ^ = exp { − r ( T − t ) } 1 n ∑ i = 1 K p i q i ∑ j = 1 n 1 Y i j (12) 分层概率加权的区间估计 现在我们讨论使用分层抽样对欧式看涨期权价格进行区间估计，假设样本数为n，分到每层的样本数为 n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n K ，且有 n 1 + n 2 + ⋯ + n K = n ， Y | ε ∈ A i 的样本值为 Y i ， j ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， K ，有： μ i = E [ Y i ， j ] = E [ Y | ε ∈ A i ] σ i 2 = V a r [ Y i ， j ] = V a r [ Y | ε ∈ A i ] μ = E [ Y ] = ∑ i = 1 K p i μ i 其中 Y i ， j = max { S i ， j − K ， 0 } 无论是否按照比例设置分层样本容量，估计量 c ^ 是无偏，因为 E [ c ^ ] = exp { − r ( T − t ) } ∑ i = 1 K p i n i ∑ j = 1 n 1 μ i = exp { − r ( T − t ) } ∑ i = 1 K p i μ i = c 其中 c = exp { − r ( T − t ) } E [ max { S ( T ) − K ， 0 } ] E [ Y | ε ∈ A i ] 的无偏估计为： Y i = ( ∑ j = 1 n i Y i ， j ) / n i 则 E [ Y ] 的分层抽样估计为： Y ^ S = ∑ i = 1 K p i Y i = ∑ i = 1 K p i 1 n i ∑ j = 1 n 1 Y i ， j (13) 通过(13)可以计算出 E [ Y S ] = μ ，因此分层抽样估计 Y S 为 E [ Y ] 的无偏估计。分层抽样 Y S 的方差为： V a r [ Y S ] = ∑ i = 1 K p i 2 V a r ( Y i ) = ∑ i = 1 K p i 2 V a r [ 1 n i ∑ j = 1 n i Y i ， j ] = ∑ i = 1 K P i 2 σ i 2 n i (14) 对于每一层 A i ，样本 ε 1 ， 1 ， ε 1 ， 2 ， ⋯ ， ε 1 ， n 1 是独立同分布且均值为 μ i ，方差为 σ i 2 ，因此满足当 n → ∞ 时， 1 n q i ∑ j = 1 n q i ( Y i ， j − μ i ) → d N ( 0 ， σ i 2 ) (15) 其中 q 1 ， q 2 ， ⋯ ， q K 固定，经中心化与规范化后的变量 n ( Y ^ − μ ) 可以写成 n ( c ^ − c ) = n exp { − r ( T − t ) } ∑ i = 1 K ( 1 n q i ∑ j = 1 n q i Y i ， j − μ i ) (16) 整理之后我们有： n ( c ^ − c ) = n exp { − r ( T − t ) } ∑ i = 1 K p i q i ( 1 n q i ∑ j = 1 n q i Y i j − μ i ) (17) 这表明 n ( c ^ − c ) 可渐进表示为独立同分布正态随机变量(均值为0，方差为 σ i 2 )的线性组合(系数为 exp { − r T } p i / q i )，因而当层级数量K固定、样本容量n足够大时 n ( c ^ − c ) ∼ N ( 0 ， exp { − 2 r ( T − t ) } σ 2 ( q ) ) (18) 从而我们给出的显著水平 α 的置信区间 [ c ^ − z α / 2 exp { − 2 r ( T − t ) } σ ( q ) n ， c ^ + z α / 2 exp { − 2 r ( T − t ) } σ ( q ) n ] (19) 在(18)与(19)实际应用中， σ 2 ( q ) 是未知的，但通常可以通过使用 s ( q ) = ∑ i = 1 K p i q i s i 2 (20) 通过(20)式来得到它的一致估计，其中 s i 2 为 max { S i ， 1 − K ， 0 } ， ⋯ ， max { S i ， n 1 − K ， 0 } 的修正样本标准差。 分层抽样的误差估计有两种方法：一种是直接方法，即利用 V a r [ Y S ] = ∑ i = 1 K p i 2 ( σ i 2 / n i ) 直接进行计算，其中 σ i 用其样本方差 s i 进行代替；另一种就是蒙特卡罗模拟方法，即直接模拟m个独立的分层抽样估计值，然后再计算这m个独立的分层估计值的标准差。 4.2. 分层匹配样本方法 分层匹配样本方法也称为比例分层抽样法。分层概率加权Monte-Carlo方法需要在每一层上不停的产生足够数量的样本，虽然可以最大限度的提高模拟精度，但是在反复产生随机数的同时需要不停的舍去那些不符分层标准的随机数，这肯定延长计算机运行时间。 本节构造了另一种分层方案，注意区间 A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A k 是随机变量 ε 的值域的完整划分。这意味着对于总体 ε 的任何一个随机数 ε (仍用 ε 表示)，存在一个分层区间 A i ，使得： ε ∈ A i ， ε ∉ A j ， i ≠ j ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， K 在比例分层抽样下， n i = n p i ，所以有： Y ^ S = Y ^ S ∘ p r o p = ( ∑ i = 1 K ∑ j = 1 n i Y i j ) / n                                             V a r [ Y ^ S ∘ p r o p ] = ( ∑ i = 1 K p i σ i 2 ) / n (21) 另外 V a r ( Y ) 为： V a r ( Y ) = E [ Y 2 ] − ( E [ Y ] ) 2 = ∑ i = 1 K p i E [ Y 2 | ε ∈ A i ] − μ 2 = ∑ i = 1 K p i ( σ i 2 + μ i 2 ) − μ 2 = ∑ i = 1 K p i σ i 2 − ∑ i = 1 K p i ( μ i − μ ) 2 / n (22) 则 V a r ( Y ^ c r u d e ) = V a r ( Y ) / n = V a r ( Y ^ S ∘ p r o p ) + ∑ i = 1 K p i ( μ i − μ ) 2 / n (23) 所以比例分层抽样的方差缩减效果为： V a r ( Y ^ c r u d e ) − V a r ( Y ^ S ∘ p r o p ) = ∑ i = 1 K p i ( μ i − μ ) 2 / n (24) 分层匹配样本的Monte-Carlo方法步骤如下： Step1：将随机数对应的总体X的值域进行K个区间划分 A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A K ，并计算落入每个区间的概率 p i ，即(直接对总体 max { S ( T ) − K ， 0 } 分层即可)。 P ( A i ) = p i ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， K Step2：产生一定量的样本(容量为n)，然后将他们匹配到分层 A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A K 去，假定第i个分层 A i 的样本为 ε i ， 1 ， ε i ， 2 ， ⋯ ， ε i ， n 1 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， K 其中 n 1 + n 2 + ⋯ + n K = n Step3：利用第i层的 A i 上的 n 1 个随机数估计条件期望 E i = 1 n i ∑ j = 1 n i Y i ， j ，         j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 1 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， K 其中 Y i ， j = max { S i ， j − K ， 0 } ， S i ， j = S ( 0 ) exp { ( r − 1 2 σ 2 ) ( T − t ) + σ T − t ⋅ ε i ， j } Step4：按照概率比重 p i 将 E i 加权平均，即可估计欧式看涨期权在t时刻的价格 c = exp { − r ( T − t ) } ∑ i = 1 K p i μ i (25) 4.3. 最优分层方法 在按比例匹配分层容量时，也就是在 n 1 + n 2 + ⋯ + n K = n 的条件下，求解 V a r [ Y S ] 的最小值， p i = q i 且方差参数 σ 2 ( q ) 化解为 ∑ i = 1 K p i 2 q i σ i 2 = ∑ i = 1 K p i σ i 2 (26) 利用拉格朗日法求解(26)式最小值，假设： L ( n 1 ， n 2 ， ⋯ ， n K ， λ ) = ∑ i = 1 K p i 2 σ i 2 n i + λ ( n 1 + n 2 + ⋯ + n K − n ) { ∂ L ∂ n i = − p i 2 σ i 2 n i 2 + λ = 0 ∂ L ∂ λ = n 1 + n 2 + ⋯ + n K − n = 0 ⇒ { n i = p i σ i λ n 1 + n 2 + ⋯ + n K = n ⇒ n i ∗ = n p i σ i ∑ i = 1 K p i σ i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， K 换句话说，每个层级的最优分配与层标准差的乘积成正比，所以最优分层的方差为： V a r ( Y ^ S ∘ o p t ) = ∑ i = 1 K p i n i * σ i 2 = σ ¯ 2 / n (27) 其中 σ ¯ = ∑ i = 1 K p i σ i 因为 ∑ i = 1 K p i ( σ i − σ ¯ ) 2 = ∑ i = 1 K p i σ i 2 − σ ¯ 2 所以公式(26)可写成： V a r ( Y ^ S ∘ o p t ) = [ ∑ i = 1 K p i σ i 2 − ∑ i = 1 K p i ( σ i − σ ¯ ) 2 ] / n (28) 则最优分层抽样的方差缩减效果为： V a r ( Y ^ c r u d e ) − V a r ( Y ^ S ∘ o p t ) = ∑ i = 1 K p i ( μ i − μ ) 2 / n + ∑ i = 1 K p i ( σ i − σ ¯ ) 2 / n (29) 另外，最优分层抽样相对比例分层抽样的方差缩减效果为： V a r ( Y ^ S ∘ p r o p ) − V a r ( Y ^ S ∘ o p t ) = ∑ i = 1 K p i ( σ i − σ ¯ ) 2 / n (30) 最优分层抽样方差的分解 假设用 Y | η 表示 Y | ε ∈ A i ，其中 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， K ，则有： V a r ( Y ^ c r u d e ) = 1 n V a r [ E ( Y | η ) ] + 1 n E [ V a r ( Y | η ) ] 其中 V a r [ E ( Y | η ) ] = ∑ i = 1 K p i ( μ i − μ ) 2 E [ V a r ( Y | η ) ] = ∑ i = 1 K p i ( σ i − σ ¯ ) 2 + σ ¯ 2 所以为了降低 V a r ( Y ^ c r u d e ) 的值，在选择分层变量 ε 时，应该尽量保证 V a r [ E ( Y | η ) ] 取得最大值，或 E [ V a r ( Y | η ) ] 取得最小值。也就是说，在进行分层时应该尽量保证各层之间的波动性比较大，层内波动性较小。