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user: 6. 椭圆算例 考虑一个长半径为2，短半径为1的椭圆板，初始温度为100℃，板边界接触热源为400℃。材料密度 ρ = 271   kg / m 3 ，比热容 c x = 871   J / ( kg ⋅ K ) ，热导率 k = 202.4   W / ( m ⋅ K ) ，边界对流换热系数 h = 80   W / ( m 2 ⋅ K ) 。我们选取X轴上9个点和Y轴正半轴上9个点进行边界元温度计算。X轴9个点的坐标分别为(−1.6， 0)、(−1.2， 0)、(−0.8， 0)、(−0.4， 0)、(0， 0)、(0.4， 0)、(0.8， 0)、(1.2， 0)、(1.6， 0)，Y轴9个点的坐标分别为(0， 0.9)、(0， 0.8)、(0， 0.7)、(0， 0.6)、(0， 0.5)、(0， 0.4)、(0， 0.3)、(0， 0.2)、(0， 0.1)，由于椭圆模型为轴对称模型，所以下部受热情况类似上部，故下部未选点，两坐标轴均有选点，点的选取具有一般性。我们可以通过细分程序将椭圆周围的点细化成不同的份数，只需要确定初始点数然后进行细分带入到边界元程序中进行计算，通过给出的控制点，不断地插入节点进而拟合给出的椭圆曲线，这种生成点的方法为细分曲线，对于不规则的模型来说，不像椭圆一样有完整的轨迹方程，我们只能通过确定控制点，进行点的细分从而生成所需要的边界节点，即为等几何边界元(IGABEM)相应的NURBS是一种生成节点的方法，这是通过Bezier操作不改变原有控制点的位置，在部分单元上中间点处插入新的控制点，从而逼近模型情况。图1为生成的椭圆模型图。 图1. 椭圆模型图 表1为200S时间下不同步长对不同点处温度值的影响图，其中左边的NSTEP代表的是不同的计算步长，NODE1-NODE9为X轴上的不同坐标点，NTYP (径向基函数的类型) = 3，横向来看越靠近原点(0， 0)温度值越低，其主要原因是受热不均匀，越靠近内部点接受热源越少传热速度越慢，所以温度值变化速率越慢，而关于原点对称的两个点其温度值的相对误差接近10 −7 ，焦点在X轴上的椭圆，越靠近长轴两端升温速率越快。虽然选取不同时间差分步长会得到不同计算结果，但总体影响不大。一般来说，较小的步长会带来更可靠的结果，对二维问题步长取5是合适的。 Table 1 The effect of asynchronous length on temperature at different points in 200 NSTEP NODE1 (−1.6， 0) NODE2 (−1.2， 0) NODE3 (−0.8， 0) NODE4 (−0.4， 0) NODE (0， 0) NODE6 (0.4， 0) NODE7 (0.8， 0) NODE8 (1.2， 0) NODE9 (1.6， 0) 5 136.156 117.783 109.520 106.530 105.821 106.535 109.522 117.784 136.159 6 135.715 117.454 109.308 106.386 105.691 106.386 109.309 117.456 135.717 7 135.273 117.127 109.096 106.238 105.562 106.238 109.097 117.128 135.275 8 136.043 117.776 109.588 106.621 105.908 106.621 109.588 117.778 136.045 9 135.603 117.450 109.376 106.472 105.778 106.472 109.377 117.452 135.605 10 135.969 117.773 109.632 106.678 105.966 106.678 109.633 117.775 135.971 表1. 200 s下不同步长对不同点处温度值的影响 表2为不同的径向基函数类型表，径向基函数的不同类型影响着差值的类型，最常用的是NTYP = 3的逆复合二次插值径向基函数和NTYP = 8的高斯插值函数，未作特殊说明均采用NTYP = 3的插值函数，常用的差值还有薄板样条插值，复合二次插值，四阶样条函数插值等，选取不同的径向基函数类型对温度值也存在一定的影响，但径向基函数只是一种插值函数，它影响的主要是被替代函数温度倒数，其逼近程度决定了计算结果的精确与否，此外多项式的阶数(NPOLY)也是一个影响因素，多项式阶数的大小与计算时间成反比，与计算精度成正比。 Table 2 Different types of radial basis function NTYP 1 2 3 4 5 6 7 8 R ( 1 + R 2 ) 1 2 ( 1 + R 2 ) − 1 2 ( 1 + R 2 ) − 5 2 ( 1 + R 2 ) − 7 2 ( 1 + R ) − 1 e − R e − R 2 表2. 不同的径向基函数类型表 表3是步长为5，计算时长为200S，不同的径向基函数NTYP对应的不同的温度值，由表可知越靠近内部受热越慢温度值越小，原因类似于步长图内部温度小于外部温度的原因，其变化趋势如图2所示由边界到内部下降速率增加，因为受热程度相似导致对称点上温度值的误差非常小，其温度值高于100℃且小于400℃，由此可见采用不同的径向基函数对温度的影响并不大，径向基函数的变化影响的是插值函数的变化，即为与原函数的误差变化，虽然无法精确的表示出原函数但采用径向基函数可以逼近原函数，所以此解为数值解非解析解，温度值并没有出现大的波动或者跳跃，说明算法的可靠性与稳定性得到验证。 Table 3 The effect of asynchronous length on temperature at different points in 200 NTYP NODE1 (−1.6， 0) NODE2 (−1.2， 0) NODE3 (−0.8， 0) NODE4 (−0.4， 0) NODE (0， 0) NODE6 (0.4， 0) NODE7 (0.8， 0) NODE8 (1.2， 0) NODE9 (1.6， 0) 1 136.417 117.892 109.492 106.436 105.700 106.436 109.491 117.892 136.416 2 136.541 118.114 109.663 106.374 105.545 106.370 109.648 118.109 136.559 3 136.156 117.783 109.521 106.535 105.820 106.535 109.522 117.784 136.159 4 135.574 117.337 109.233 106.515 105.737 106.515 109.232 117.338 135.575 5 135.595 117.413 109.232 106.419 105.539 106.419 109.232 117.414 135.595 6 135.991 117.557 109.300 106.550 105.903 106.549 109.300 117.575 135.992 7 135.878 117.538 109.341 106.606 105.948 106.607 109.341 117.537 135.877 8 135.590 117.347 109.292 106.615 105.954 106.615 109.291 117.347 135.592 表3. 200 s下不同的径向基函数对温度的影响图 图2. 传统BEM与IGABEM获得的温度值的对比 图2中X轴和Y轴正半轴上点的温度值传统BEM计算结果与IGABEM计算结果对比图，其中左图为不同时刻沿X轴温度分布图，由图可见IGABEM与传统BEM的方法相比几乎没有误差，或者在二维问题中误差极小，由此可验证本文算法的正确性，右图为沿Y轴正半轴温度分布图，越靠近边界温度越高。通过二图不难看出IGABEM的方法在与传统边界元的计算方法相比较情况下还是有一定优势，减少了矩阵的组装求逆过程，节省了计算时间，提高了计算精度，此外还有FLUENT方法也可验证IGABEM算法的正确性。