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user: 1. 引言 利什曼病是由利什曼原虫引起的寄生虫病，利什曼病的两种常见形式是皮肤利什曼病和内脏利什曼病，而内脏利什曼病是两种疾病中较严重的一种，它的标志是肝脏或脾脏内形成肉芽肿。因此研究肉芽肿的形成过程对治疗内脏利什曼病有着积极的意义。本文研究的就是内脏肉芽肿形成的数学模型。该模型是由Nourridine Siewe，Abdul-Aziz Yakubu等人在论文 [ 1 ] 提出的，是由抛物型方程和双曲型方程组成的偏微分方程组，模型具体表达如下： ∂ P ∂ t + ∇ ⋅ ( v P ) − δ P ∇ 2 P = α 1 P ( 1 − P M ) + k 5 ˜ M P 2 P 2 + M 2 ( θ − 1 ) + k 5 N Q 2 Q 2 + N 2 θ                                                                   − μ P P − μ M P ，   | x | < R ( t ) ，   t > 0 ， (1.1) ∂ Q ∂ t + ∇ ⋅ ( v Q ) − δ N ∇ 2 Q = α 2 Q ( 1 − Q N ) + k 5 ˜ M P 2 P 2 + M 2 ( 1 − θ ) + k 5 N Q 2 Q 2 + N 2 ( 1 − θ )                                                                     − k 5 ˜ N Q 2 Q 2 + N 2 − μ Q Q − μ N Q ，   | x | < R ( t ) ， t > 0 ， (1.2) ∂ M ∂ t + ∇ ⋅ ( v M ) = − k 5 M P 2 P 2 + M 2 − μ M M ，   | x | < R ( t ) ，   t > 0 ， (1.3) ∂ N ∂ t + ∇ ⋅ ( v N ) = − k 5 N Q 2 Q 2 + N 2 − μ N N ，   | x | < R ( t ) ，   t > 0 ， (1.4) M + N = 1 ，     | x | < R ( t ) ，     t > 0 ， (1.5) d R d t = x | x | ⋅ v ，     | x | < R ( t ) ，     t > 0 ， (1.6) P = P 0 ，     Q = Q 0 ， M = M 0 ，     N = N 0 ，     | x | < R ( t ) ，     t > 0 ， (1.7) R = R 0 ，     t = 0. (1.8) 其中， M = M ( x ， t ) ，   N = N ( x ， t ) ，   P = P ( x ， t ) ，   Q = Q ( x ， t ) 分别代表促炎巨噬细胞密度，抗炎巨噬细胞密度，促炎巨噬细胞中的寄生虫密度和抗炎巨噬细胞中的寄生虫密度， v ( x ， t ) 代表细胞运动速度， μ M ， μ N 代表促炎巨噬细胞和抗炎巨噬细胞的死亡比率， μ P ， μ Q 代表促炎巨噬细胞和抗炎巨噬细胞中寄生虫的死亡比率， a 1 ， a 2 代表促炎巨噬细胞和抗炎巨噬细胞中寄生虫的增长系数， k 5 ， k 5 ˜ 代表促炎巨噬细胞和抗炎巨噬细胞中寄生虫的扩散系数，这些参数均是大于0的参数。 由于 M ， N ， P ， Q ， π 是球对称的，所以 P = P ( | x | ， t ) ，   Q = Q ( | x | ， t ) ，   M = M ( | x | ， t ) ，   N = N ( | x | ， t ) ，   ∀ x ∈ R 3 . 且存在一个标量函数 v = v ( x ， t ) ，使得 v = v ( | x | ， t ) ⋅ x → | x | ，   | x | < R ( t ) ，   t > 0 。 令 r = | x | ，有 ∇ P = ( ∂ P ∂ x 1 ， ∂ P ∂ x 2 ， ∂ P ∂ x 3 ) = x → r ⋅ ∂ P ∂ r ， ∇ ⋅ ( ∇ P ) = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ P ∂ r ) 。 则问题(1.1)~(1.8)可转化为： ∂ P ∂ t = δ P 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ P ∂ r ) − v ∂ P ∂ r + F 1 ( P ， Q ， M ， N ) P ，         0 < r < R ( t ) ，   t > 0 ， (1.9) ∂ Q ∂ t = δ N ∂ ∂ r ( r 2 ∂ Q ∂ r ) − v ∂ Q ∂ r + F 2 ( P ， Q ， M ， N ) Q ，         0 < r < R ( t ) ，   t > 0 ， (1.10) ∂ M ∂ t + v ∂ M ∂ r = g 11 ( P ， Q ， M ， N ) M + g 12 ( P ， Q ， M ， N ) N ，         0 < r < R ( t ) ，   t > 0. (1.11) ∂ N ∂ t + v ∂ N ∂ r = g 21 ( P ， Q ， M ， N ) M + g 22 ( P ， Q ， M ， N ) N ，     0 < r < R ( t ) ，   t > 0 ， (1.12) 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 v ) = h ( P ， Q ， M ， N ) ，   0 < r ≤ R ( t ) ，   t > 0 ， (1.13) ∂ P ∂ r ( 0 ， t ) = 0 ，   P ( R ( t ) ， t ) = P ¯ ，       ∂ Q ∂ r ( 0 ， t ) = 0 ，   Q ( R ( t ) ， t ) = Q ¯ ，             t > 0. (1.14) v ( 0 ， t ) = 0 ，         t > 0 ， (1.15) d R ( t ) d t = v ( R ( t ) ， t ) ，           t > 0 ， (1.16) P ( r ， 0 ) = P 0 ( r ) ，   Q ( r ， 0 ) = Q 0 ( r ) ，             | x | < R ( t ) ，   0 ≤ r ≤ R 0 ， (1.17) M ( r ， 0 ) = M 0 ( r ) ，   N ( r ， 0 ) = N 0 ( r ) ，         | x | < R ( t ) ，   0 ≤ r ≤ R 0 ， (1.18) R ( 0 ) = R 0 . (1.19) 其中， h ( P ， Q ， M ， N ) = ∇ ⋅ v = − k 5 M P 2 P 2 + M 2 − μ M M − k 5 N Q 2 Q 2 + N 2 − μ N N ， F 1 ( P ， Q ， M ， N ) = α 1 ( 1 − P M ) + k 5 ˜ M P P 2 + M 2 ( θ − 1 ) + k 5 N P Q 2 Q 2 + N 2 θ − μ P − μ M − ∇ ⋅ v ， F 2 ( M ， N ， P ， Q ) = α 2 ( 1 − Q N ) + k 5 N Q Q 2 + N 2 ( 1 − θ ) + k 5 ˜ M Q P 2 P 2 + M 2 ( 1 − θ )                                                                                                                               − k 5 ˜ N Q Q 2 + N 2 − μ Q − μ N − ∇ ⋅ v ， g 11 ( M ， N ， P ， Q ) = − k 5 P 2 P 2 + M 2 − μ M + k 5 M P 2 P 2 + M 2 + μ M M ， g 12 ( M ， N ， P ， Q ) = k 5 M Q Q 2 + N 2 + μ N M ， g 12 ( M ， N ， P ， Q ) = k 5 N P 2 P 2 + M 2 + μ M N ， g 22 ( M ， N ， P ， Q ) = − k 5 Q 2 Q 2 + N 2 − μ N + k 5 N Q 2 Q 2 + N 2 + μ N N . 1999年Friedman和其合作者开始进行关于肿瘤生长模型的严谨数学分析，通过一系列研究，得到了模型整体解和稳态解的存在唯一性 [ 2 ] 。随后，出现了大量的数学研究工作者对肿瘤生长自由边界问题的数学分析。参考见 [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] 。根据生物学及医学原理，本文做出以下假设： (A 1 ) M 0 ， N 0 在 [ 0 ， R 0 ] 上连续可微，当 p > 5 时，有 P 0 ( | x | ) ∈ D p ( B ( R 0 ) ) ， Q 0 ( | x | ) ∈ D p ( B ( R 0 ) ) ， B ( R 0 ) = { x ∈ R 3 : | x | < R 0 } ； (A 2 ) 当 0 ≤ r ≤ R 0 时， 0 ≤ P 0 ( r ) ≤ P 0 ¯ ， 0 ≤ Q 0 ( r ) ≤ Q 0 ¯ ， M 0 ( r ) ≥ 0 ， N 0 ( r ) ≥ 0 ， M 0 ( r ) + N 0 ( r ) = 1 ，且 P ′ 0 ( 0 ) = 0 ， P 0 ( R 0 ) = 0 ， Q ′ 0 ( 0 ) = 0 ， Q 0 ( R 0 ) = 0 。 定理1：在条件(A 1 )~(A 2 )成立时，对任意的 t ≥ 0 ，问题(1.9)~(1.19)都存在唯一解 ( R ， P ， Q ， M ， N ) ，其中 R ∈ C 1 [ 0 ， T ] ， M ， N ∈ C 1 ( Q ¯ T R ) ， P ， Q ∈ W p 2 ， 1 ( Q T R ) ，同时有以下结论成立： R ( t ) ≥ 0 ， t > 0 ， (1.20) 0 ≤ P ( r ， t ) ≤ P ¯ ，   0 ≤ Q ( r ， t ) ≤ Q ¯ ， 0 ≤ r ≤ R 0 ，   t ≥ 0 ， (1.21) M ( r ， t ) ≥ 0 ， N ( r ， t ) ≥ 0 ， 0 ≤ r ≤ R ( t ) ， t ≥ 0 ， (1.22) M ( r ， t ) + N ( r ， t ) = 1 ，   0 ≤ r ≤ R ( t ) ，   t ≥ 0. (1.23)