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user: 2. 研究内容及研究方法 2.1. 研究内容 液晶方程在动力学中的重要性不言而喻，但很少对大初值有界区域液晶方程组进行数学分析，特别是大初值有界区域的液晶方程组强解的爆破准则是未知的。本课题研究的重点是，如果方程组具有大初值，且方程组是在有界区域内，则液晶方程组强解的是否会发生爆破现象 [ 3 ]。 2.2. 具体研究方法 首先，我们考虑Euler坐标下的大初值有界区域一维完全可压缩的液晶方程组： { ρ ˜ t + ( ρ ˜ u ˜ ) x = 0 ( ρ ˜ u ˜ ) t + ( ρ ˜ u ˜ 2 + P ˜ ) x = ( μ u x ) x − n ˜ x n ˜ x x n ˜ t + u ˜ n ˜ x = n ˜ x x + | n ˜ x | 2 n ˜ P ˜ t + u ˜ P ˜ x + γ P ˜ u ˜ x = ( γ − 1 ) μ ( u ˜ x ) 2 + ( γ − 1 ) | n ˜ x x + | n ˜ x | 2 n ˜ | 2 (*) 其中 ρ ˜ ≥ 0 代表密度函数； u ˜ 代表速度场； n ˜ 代表单位的液晶光轴矢量(其中， | n ˜ | 2 = 1 )；压强 P ˜ ( ρ ˜ ) = R ρ ˜ θ ˜ ；且 P ˜ : [ 0 ， + ∞ ) → R 是局部Lipschitz连续函数 (2.1.1) 考虑初始条件 ( ρ ˜ ， u ˜ ， n ˜ ， P ˜ ) | t = 0 = ( ρ ˜ 0 ， u ˜ 0 ， n ˜ 0 ， P ˜ 0 ) ，其中 ρ ˜ 0 恒为常数。 (2.1.2) Ω是有界光滑区域，且 ( u ˜ ， ∂ n ˜ ∂ v ) | ∂ Ω = 0 (2.1.3) 其中v是 ∂ Ω 的单位外法向量。 定理2.1.令 是(*)在初始条件(2.1.2)和(2.1.3)下的初值边界问题的一个强解，假设 P ˜ 满足条件(2.1.1)，如果 0 < T ∗ < + ∞ 是强解存在的关于时间的最大值，那么 ∫ 0 T ∗ ( ‖ u ˜ x ‖ L ∞ + ‖ n ˜ x ‖ L ∞ 2 ) d t = + ∞ (2.1.4) 下面来证明定理2.1， 0 < T ∗ < + ∞ 是(*)在初始条件(2.1.2)和(2.1.3)下的初值边界问题存在强解 ( ρ ˜ ， u ˜ ， n ˜ ， P ˜ ) 的关于时间的最大值， ( ρ ˜ ， u ˜ ， n ˜ ， P ˜ ) 是(*)在 Ω × ( 0 ， T ] 上的一个强解，其中 0 < T < T ∗ ，但不是在 Ω × ( 0 ， T ∗ ] 上的强解，假设(2.1.4)是错误的，那么有 ∫ 0 T ∗ ( ‖ u ˜ x ‖ L ∞ + ‖ n ˜ x ‖ L ∞ 2 ) d t < + ∞ (2.1.5) 目标是在(2.1.5)式成立的条件下，这个方程组的强解仍然存在，那么便可以说明 T ∗ 不是这个方程组强解存在的关于时间的最大值。 引理2.2. 0 < T ∗ < + ∞ 是一个关于(*)在初始条件(2.1.2)和(2.1.3)下取得强解的关于时间的最大值，如果(2.1.5)式成立，那么对于任意的 2 ≤ r < + ∞ ，存在一个常数C，使得 sup 0 ≤ t < T * ‖ n ˜ x ‖ L r r + ∫ 0 T * ∫ Ω | n ˜ x | r − 2 | n ˜ x x | 2 d x d t ≤ C (2.2.1) 证明：由(*) 3 式两边对x求导得： n ˜ t x − n ˜ x x x = − ( u n ˜ x ) x + ( | n ˜ x | 2 n ˜ ) x (2.2.2) 在(2.2.2)式两边乘上 r | n ˜ x | r − 1 n ˜ x ，并对所得方程在 上做关于x的积分得： d d t ∫ | n ˜ x | r d x + r ( r − 1 ) ∫ | n ˜ x | r − 2 | n ˜ x x | 2 d x = r ∫ ( | n ˜ x | 2 n ˜ ) x | n ˜ x | r − 2 n ˜ x d x − r ∫ ( u n ˜ x ) x | n ˜ x | r − 2 n ˜ x d x = I 1 + I 2 (2.2.3) 又由 ( | n ˜ x | 2 n ˜ ) x = | n ˜ x | 2 n ˜ x + ( | n ˜ x | 2 ) x n ˜ ，且 n ˜ x n ˜ = 0 。 所以 I 1 = r ∫ | n ˜ x | r + 2 d x ≤ ‖ n ˜ x ‖ L ∞ 2 ∫ | n ˜ x | r d x I 2 = − r ∫ ( u ˜ n ˜ x ) x | n ˜ x | r − 2 n ˜ x d x = − r ∫ ( u ˜ n ˜ x x | n ˜ x | r − 2 n ˜ x + u ˜ x n ˜ x | n ˜ x | r − 2 n ˜ x ) d x = − ∫ u ˜ ( | n ˜ x | r ) x d x − r ∫ u ˜ x | n ˜ x | r d x = ( 1 − r ) ∫ u ˜ x | n ˜ x | r d x ≤ ‖ u ˜ x ‖ L ∞ ∫ | n ˜ x | r d x 将 I 1 ， I 2 代入(2.2.3)式整理得： d d t ∫ | n ˜ x | r d x + r ( r − 1 ) ∫ | n ˜ x | r − 2 | n ˜ x x | 2 d x ≤ ( ‖ n ˜ x ‖ L ∞ 2 + ‖ u ˜ x ‖ L ∞ ) ∫ | n ˜ x | r d x 利用(2.1.5)式，由Gronwall不等式，对于任意的 0 ≤ t < T ∗ 有： ∫ | n ˜ x | r d x + r ( r − 1 ) ∫ 0 t ∫ Ω | n ˜ x | r − 2 | n ˜ x x | 2 d x d s ≤ ∫ | ( n ˜ 0 ) x | r d x ⋅ exp ( ∫ 0 T * ( ‖ n ˜ x ‖ L ∞ 2 + ‖ u ˜ x ‖ L ∞ ) d t ) ≤ C 证毕。 引理2.3. 0 < T ∗ < + ∞ 是一个关于(*)在初始条件(2.1.2)和(2.1.3)下取得强解的关于时间的最大值，如果(2.1.5)式成立，存在一个常数C，使得 sup 0 ≤ t < T * ‖ n ˜ x x ‖ L 2 2 + ∫ 0 T * ∫ Ω | n ˜ t x | 2 d x d t ≤ C (2.3.1) 证明：在(2.2.2)式两边乘上 n ˜ t x ，并对所得方程在 Ω 上做关于x的积分得： d d t ∫ | n ˜ x x | 2 d x + ∫ | n ˜ t x | 2 d x = ∫ ( ( | n ˜ x | 2 n ˜ ) x − ( u ˜ n ˜ x ) x ) n ˜ t x d x ≤ C ( ε ) ∫ ( | n ˜ x | 6 + | u ˜ x | 2 | n ˜ x | 2 + | u ˜ | 2 | n ˜ x x | 2 + | n ˜ x | 2 | n ˜ x x | 2 ) d x + ε ‖ n ˜ t x ‖ L 2 2 ≤ ε ‖ n ˜ t x ‖ L 2 2 + C + C ‖ n ˜ x ‖ L ∞ 2 ( ‖ u ˜ x ‖ L 2 2 + ‖ n ˜ x x ‖ L 2 2 ) + C ∫ | u ˜ | 2 | n ˜ x x | 2 d x (2.3.2) 利用(2.2.1)式(r = 6)，由Nirenberg’s interpolation不等式得： ∫ | u ˜ | 2 | n ˜ x x | 2 d x ≤ ‖ u ˜ ‖ L 6 2 ‖ n ˜ x x ‖ L 3 2 ≤ ‖ u ˜ x ‖ L 2 2 ‖ n ˜ x ‖ L 6 ‖ n ˜ x x x ‖ L 2 ≤ ‖ u ˜ x ‖ L 2 2 ‖ n ˜ x x x ‖ L 2 ≤ C ( ε ) ‖ u ˜ x ‖ L 2 4 + ε ‖ n ˜ x x x ‖ L 2 2 (2.3.3) 又由 (2.3.4) 将(2.3.3)代入(2.3.4)得： ‖ n ˜ x x x ‖ L 2 2 ≤ ‖ n ˜ t x ‖ L 2 2 + ‖ n ˜ x ‖ L ∞ 2 ( ‖ u ˜ x ‖ L 2 2 + ‖ n ˜ x x ‖ L 2 2 ) + ‖ u ˜ x ‖ L 2 4 + C (2.3.5) 将(2.3.5)代入(2.3.3)得： ∫ | u | 2 | n ˜ x x | 2 d x ≤ C + ε ‖ n ˜ t x ‖ L 2 2 + ‖ n ˜ x ‖ L ∞ 2 ( ‖ u ˜ x ‖ L 2 2 + ‖ n ˜ x x ‖ L 2 2 ) + ‖ u x ‖ L 2 4 (2.3.6) 将(2.3.6)代入(2.3.2)，利用(2.1)式，取 ε 适当小得： d d t ∫ | n ˜ x x | 2 d x + ∫ | n ˜ t x | 2 d x ≤ C + ‖ u ˜ x ‖ L 2 4 + ‖ n ˜ x ‖ L ∞ 2 ‖ u ˜ x ‖ L 2 2 + ‖ n ˜ x ‖ L ∞ 2 ‖ n ˜ x x ‖ L 2 2 ≤ C + ‖ n ˜ x ‖ L ∞ 2 ‖ n ˜ x x ‖ L 2 2 (2.3.7) 由Gronwall不等式，对于任意的 0 ≤ t < T ∗ 有： ∫ | n ˜ x x | 2 d x + ∫ 0 t ∫ Ω | n ˜ t x | 2 d x d s ≤ C T ⋅ exp ( C T ) + ∫ | ( n ˜ 0 ) x x | 2 d x ⋅ exp ( ∫ 0 T * ‖ n ˜ x ‖ L ∞ 2 d t ) ≤ C (2.3.8) 证毕。 接下来我们将(2.3.8)结果回代到(2.3.5)，利用(2.1.5)式我们得到 ‖ n ˜ x x x ‖ L 2 2 ≤ ‖ n ˜ t x ‖ L 2 2 + ‖ n ˜ x ‖ L ∞ 2 ( ‖ u ˜ x ‖ L 2 2 + ‖ n ˜ x x ‖ L 2 2 ) + ‖ u ˜ x ‖ L 2 4 + C ≤ C (2.3.9) 于是有 n ˜ x x x ∈ L x 2 ( Ω ) ，进而得到 n ˜ x x ∈ L x ∞ ( Ω ) ，     n ˜ x ∈ L x ∞ ( Ω ) (2.3.10) 推理2.3.从(2.1.5)和引理2.2得到的 ，进而得 ，另一方面，由(2.3.10)得 ，因此，由(*) 3 我们有： | n ˜ t | ≤ ( | u ˜ | | n ˜ x | + | n ˜ x x | + | n ˜ x x | 2 ) ∈ L t ∞ L x ∞ ( Ω × [ 0 ， T * ] ) (2.3.1) 接下来我们进行坐标变换 [ 4 ]，设y为拉格朗日坐标，将拉格朗日坐标y和欧拉坐标x之间的坐标变换定义为 x = η ( y ， t ) 。其中 η ( y ， t ) 是由 u ˜ 所确定的映射，即： { ∂ t η ( y ， t ) = u ˜ ( η ( y ， t ) ， t ) η ( y ， 0 ) = y 定义函数 ；于是有 J t = u y ；又因为 ( J ρ ) t = J t ρ + J ρ t = u y ρ − J u y J ρ = 0 ，且 ρ | t = 0 = ρ 0 ， J | t = 0 = 1 ；于是 。 通过以上的变换我们就可以得到拉格朗日坐标下的液晶方程组： { J t = u y ρ 0 u t − μ ( u y J ) y + P y + ( n y J ) y n y J = 0 n t = 1 J ( n y J ) y + | n y J | 2 n P t + γ P u y J = ( γ − 1 ) μ ( u y J ) 2 + ( γ − 1 ) | 1 J ( n y J ) y + | n y J | 2 n | 2 (**) 且其初始条件为： ( ρ ， u ， P ， n ) | t = 0 = ( ρ 0 ( x ) ， u 0 ( x ) ， P 0 ( x ) ， n 0 ( x ) ) ， x ∈ Ω 1 ，其中 ρ 0 ( x ) 恒为常数。 P仍是局部Lipschitz连续函数， Ω 变为 ∂ Ω 也仍是有界光滑区域，且 ( u ， ∂ n ∂ v 1 ) | ∂ Ω 1 = 0 (3.1.1) 其中 是 ∂ Ω 1 的单位外法向量。 (2.1.5)式变为 (3.1.2)