system: [SYSTEM]

user: 3. 定理1和推论的证明 我们用3.1节来证明定理1(a)，用3.2节来证明定理1(b)，并且在每节用具体的群来分别说明我们的方法。接着用3.3节来证明定理1(c)，(d)，最后用3.4节证明推论1，2。 3.1. 定理1(a)的证明 证明定理1(a)时，我们要借助计算机软件Magma [ 11 ]，设 D 是一个2-(15， 8， 4)对称设计，且群G是 D 的区传递自同构群，则 D 和G必须满足下列四个事实： 1) G中至少存在一个指数为15的子群H； 因为群G在区组 B 上传递，于是，对任意的 B ∈ B 有 | G : G B | = b = 15 ，即 n = | G B | = | G | / b = | G | / 15 ，我们利用命令Subgroups(G:OrderEqual:=n)，得到G的指数为15的所有子群共轭类，记为H。 2) G B 作用在点集 P 中至少存在一个长为k = 8的不动区； 因为B是 G B 的不动区，则 G B 存在长为8的不动区(即 G B 一些轨道的并)。利用命令Orbits(H)可以得到H作用在点集 P 上的所有轨道，找出子群H的长为8的不动区，记为区组B，则 H = G B 。 3) G B 的所有长为8的不动区中至少有一个不动区B满足 | B G | = b = 15 。 因为G是区传递的，则 | B | = | B G | = b = 15 ，利用命令 # ( B ∧ G ) ，得到G作用在B上的轨道长。 4) 验证 ( P ， B G ) 为一个2-设计。 利用命令 Design ( 2 ， v | B G ) 验证 D 是否为一个2-设计。 首先，借助Magma软件我们知道15个点上的传递置换群一共有104个，然后，经过上述4个事实的筛选，剔掉不符合条件的群，最后我们得出结论，一共存在9个群，分别为 A 5 ( 15 ) ， F ( 5 ) [ 1 / 2 ] S ( 3 ) ， GL ( 2 ， 4 ) ， S 5 ， A 6 ， 3 S 5 ， S 6 ， A 7 和 PSL ( 4 ， 2 ) 。再利用命令IsIsomorphic(Di， Dj)知这9个设计两两同构，它们对应的参数 ( v ， k ， λ ) 、群G、基区B、设计列表如下表1。 下面我们用 A 5 ( 15 ) 为例说明我们定理1(a)的证明方法。首先，利用命令TransitiveGroup(15， 5)输出15个点上的置换群 A 5 ( 15 ) 记为群G，其次，由G的区传递性，知道G有指数为15的子群，因为 | G | / b = | G | / 15 = 4 ，所以利用命令Subgroups(G:OrderEqual:=4)得到G的指数为15的子群共轭类只有一个，记为H。利用命令Orbits(H)，得到H的所有轨道分别为： { 12 } ， { 13 } ， { 14 } ， { 1 ， 2 ， 3 ， 15 } ， { 4 ， 5 ， 6 ， 7 } ， { 8 ， 9 ， 10 ， 11 } Table 1 Block-transitive automorphism groups of symmetric 2-(15，8，4) designs and their base block 情形 (v，k，λ) G 基区B 设计 1 (15，8，4) A 5 ( 15 ) {1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 15} D 1 2 (15，8，4) F ( 5 ) [ 1 / 2 ] S ( 3 ) {1， 2， 3， 4， 6， 8， 9， 12} ≅ D 1 3 (15，8，4) GL ( 2 ， 4 ) {1， 7， 10， 12， 3， 5， 8， 14} ≅ D 1 4 (15，8，4) S 5 {1， 3， 5， 7， 8， 10， 12， 14} ≅ D 1 5 (15，8，4) A 6 {2， 3， 6， 7， 8， 9， 12， 13} ≅ D 1 6 (15，8，4) 3 S 5 {1， 3， 5， 7， 8， 10， 12， 14} ≅ D 1 7 (15，8，4) S 6 {1， 4， 5， 8， 9， 12， 13， 15} ≅ D 1 8 (15，8，4) A 7 {2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 15} ≅ D 1 9 (15，8，4) PSL ( 4 ， 2 ) {1， 6， 7， 10， 11， 12， 13， 15} ≅ D 1 表1. 2-(15，8，4)设计区传递自同构群及基区 这些轨道的长度分别为1， 1， 4， 4， 4.显然，H没有长为8的轨道，但这些轨道的并可组成长度为8的不动区，它们分别为： B 1 : = { 1 ， 2 ， 3 ， 15 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 } ， B 2 : = { 1 ， 2 ， 3 ， 15 ， 8 ， 9 ， 10 ， 11 } ， B 3 : = { 8 ， 9 ， 10 ， 11 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 } 接着，通过命令计算有 | B 1 G | = | B 2 G | = | B 3 G | = 15 = b ，再通过命令 D 1 : = Design 〈 2 ， 15 | B 1 G 〉 ， D 2 : = Design 〈 2 ， 15 | B 2 G 〉 ， D 3 : = Design 〈 2 ， 15 | B 3 G 〉 。验证 D 1 ， D 2 ， D 3 都是2-设计。又因为通过验证发现 B 1 G = B 2 G = B 3 G ，所以 D 1 = D 2 = D 3 。此时设计 D 1 的基区B为： B 1 : = { 1 ， 2 ， 3 ， 15 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 } ， B 2 : = { 1 ， 2 ， 3 ， 15 ， 8 ， 9 ， 10 ， 11 } ， B 3 : = { 8 ， 9 ， 10 ， 11 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 } ， B 4 : = { 1 ， 2 ， 5 ， 6 ， 9 ， 10 ， 13 ， 14 } ， B 5 : = { 1 ， 6 ， 7 ， 10 ， 11 ， 12 ， 13 ， 15 } ， B 6 : = { 2 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11 ， 12 ， 14 ， 15 } ， B 7 : = { 1 ， 4 ， 5 ， 8 ， 9 ， 12 ， 13 ， 15 } ， B 8 : = { 2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10 ， 12 ， 14 ， 15 } ， B 9 : = { 1 ， 2 ， 4 ， 7 ， 8 ， 11 ， 13 ， 14 } ， B 10 : = { 3 ， 5 ， 6 ， 8 ， 11 ， 13 ， 14 ， 15 } ， B 11 : = { 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 8 ， 10 ， 12 ， 14 } ， B 12 : = { 2 ， 3 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 12 ， 13 } ， B 13 : = { 3 ， 4 ， 7 ， 9 ， 10 ， 13 ， 14 ， 15 } ， B 14 : = { 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 10 ， 11 ， 12 ， 13 } ， B 15 : = { 1 ， 3 ， 4 ， 6 ， 9 ， 11 ， 12 ， 14 } 。 因此， A 5 ( 15 ) 为2-(15，8，4)对称设计的区传递自同构群。 3.2. 定理1(b)的证明 G是旗传递的，那么G一定是区传递的，所以只需对定理1(a)中的群进行验证。但由引理1(2)可知，子群 G B 在区组B上传递，那么 G B 作用在点集P中至少存在一个长为k=8的轨道B，我们只需要修改上述的事实(2)，同理于定理1(a)的证明，得到6个群，分别为 S 5 ， A 6 ， 3 S 5 ， S 6 ， A 7 和 PSL ( 4 ， 2 ) 。可知此时存在6个两两同构的设计，它们对应表1中的情形4-9。 下面我们以 A 6 为例说明我们定理1(b)的方法。首先，TransitiveGroup(15， 20)是群 A 6 作用在15个点上和在Magma的位置。再利用对应的子群需要满足至少有一个长为k = 8轨道的条件，我们用Magma输入程序： H:=Subgroups(G:OrderEqual:=24);#H ; 2 >GB1:=H[ 1 ]`subgroup; >GB2:=H[ 2 ]`subgroup; > Orbits(GB1); [ GSet{ 10 }， GSet{ 1， 4， 5， 11， 14， 15 }， GSet{ 2， 3， 6， 7， 8， 9， 12， 13 }] >Orbits(GB2); [GSet{ 10， 11， 14 }， GSet{ 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 12， 13， 15 }] 其中Orbits(GB1)：输出的是子群GB1作用在点集上的所有轨道，从得到的所有结果中我们发现，子群GB1作用在点集上一共有三个轨道，且轨道长度为1， 6， 8. 由G的旗传递性可知， G B 必须存在长为k = 8的轨道。显然，只有第三个轨道符合记为 O 1 = { 2 ， 3 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 12 ， 13 } 。而子群GB2作用在点集上的所有轨道长度都不符合。我们再输入程序： >X1:=O1 G ;#X1; 15 >Design<2，15|X1>; 2-(15， 8， 4) Design with 15 blocks Point-set of 2-(15， 8， 4) Design with 15 blocks Block-set of 2-(15， 8， 4) Design with 15 blocks 可以知道，确实是一个2-(15，8，4)设计，因此 A 6 为2-(15，8，4)对称设计的旗传递自同构群。 3.3. 定理1(c)， (d)的证明 在这节我们来证明定理1(c)，(d)。在定理1(c)中，D是一个2-(15，8，4)对称设计，且群G是 D 的点本原自同构群。由Magma知，15次本原群只有6个，分别为 A 6 ， S 6 ， A 7 ， PSL ( 4 ， 2 ) ， A 15 或 S 15 。因为G是点本原的，则G是点传递的，由引理2，我们知道对称设计中G点传递等价于区传递，因而所求的本原群满足定理1(a)的条件，所以群G为 A 6 ， S 6 ， A 7 和 PSL ( 4 ， 2 ) 。通过表1可知此时存在4个两两同构的设计，它们对应表1中情形5，7~9。 在定理1(d)中，D是一个2-(15，8，4)对称设计，且群G是 D 的非点本原自同构群，同理于定理1(c)的证明，由定理1(a)和15个点上的非本原群可知，群G为 A 5 ( 15 ) ， F ( 5 ) [ 1 / 2 ] S ( 3 ) ， GL ( 2 ， 4 ) ， S 5 和 3 S 5 。此时存在5个两两同构的设计，它们对应表1中的情形1-4，6。 3.4. 推论的证明 在推论1中，D是一个2-(15，8，4)对称设计，G是D的旗传递且点本原自同构群，那么此时群G既需要满足定理1(b)又需要满足定理1(c)，因此群G为 A 6 ， S 6 ， A 7 和 PSL ( 4 ， 2 ) 。此时存在4个两两同构的设计，它们对应5，7~9。 Table 2 Flag-transitive point-imprimitive automorphism groups ofsymmetric 2-(15，8，4)designs and their base block (v，k，λ) G c d 基区B 设计 (15，8，4) S 5 3 5 {1， 3， 5， 7， 8， 10， 12， 14} ≅ D 1 (15，8，4) 3 S 5 3 5 {1， 3， 5， 7， 8， 10， 12， 14} ≅ D 1 表2. 2-(15，8，4)设计旗传递非点本原自同构群及基区 在推论2中，群G是旗传递非点本原的，那么此时既需要满足定理1(b)又需要满足定理1(d)，因此群G为 S 5 和 3 S 5 。此时存在2个两两同构的设计。而且群G是非点本原的，那么点集P存在一个长为c的d个非本原区的非本原分划 C ，由引理3(3)可知，c = 3，d = 5。它们对应的参数 ( v ， k ， λ ) ，群G、非本原分划c、d、基区B、设计D列表如上表2。