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user: 2. 均方误差矩阵意义下新估计的优良性 在本节中，我们使用均方误差矩阵(MSEM)准则来研究随机约束改进两参数估计(SRMPTE)估计的性能。 首先，我们给出 β 的任一个估计 β ^ * 的均方误差矩阵(MSEM)的定义如下： M S E M ( β ^ * ) = E ( β ^ * − β ) ( β ^ * − β ) ′ = C o v ( β ^ * ) + B i a s ( β ^ * ) B i a s ( β ^ * ) ′ 其中 C o v ( β ^ * ) 是方差矩阵， B i a s ( β ^ * ) 是偏差向量，且 B i a s ( β ^ * ) = E ( β ^ * ) − β 。 假设 β ^ 1 ， β ^ 2 为参数向量 β 的两个估计，则 β ^ 1 在均方误差矩阵意义下优于 β ^ 2 当且仅当 M S E M ( β ^ 2 ) − M S E M ( β ^ 1 ) ≥ 0 ，即差值为正定或半正定矩阵。 引理1. 假设M是一个正定矩阵，即 M > 0 ， α 是一个向量，当且仅当 α ′ M − 1 α ≤ 1 时 M − α ′ α ≥ 0 。 引理2. 假设M是一个正定矩阵，N是非负定矩阵。然后有 M − N ≥ 0 ⇔ λ max ( N M − 1 ) ≤ 1 。 2.1. ME和SRMTPE的MSEM性能比较 ME估计的偏差向量和和协方差矩阵如下： B i a s ( β ^ m ) = E ( β ^ m ) − β = 0 ， C o v ( β ^ m ) = σ 2 ( S + R ′ V − 1 R ) − 1 ， 因此，其均方误差矩阵为： M S E M ( β ^ m ) = σ 2 ( S + R ′ V − 1 R ) − 1 。 对于SRMTPE估计，我们进一步有估计 β ^ y − m ( k ， d ， b ) 的偏差向量和均方误差矩阵为： B i a s ( β ^ y − m ( k ， d ， b ) ) = k ( d − 1 ) M ( k ) ( β − b ) ， M S E M ( β ^ y − m ( k ， d ， b ) ) = σ 2 M ( k ) ( S + k 2 d 2 S − 1 + R ′ V − 1 R ) + k 2 ( d − 1 ) 2 M ( k ) ( β − b ) ( β − b ) ′ M ( k ) 。 其中 S ( k ) = X ′ X + k I ， S ( k d ) = X ′ X + k d I ， M ( k ) = ( X ′ X + R ′ V − 1 R + k I ) − 1 。 所以，ME估计与SRMTPE估计之间的MSEM差值如下所示： Δ 1 = M S E M ( β ^ m ) − M S E M ( β ^ y − m ( k ， d ， b ) ) = M ( k ) ( σ 2 M 1 − k 2 ( d − 1 ) 2 ( β − b ) ( β − b ) ′ ) M ( k ) 其中 M 1 = 2 k I + k 2 ( ( X ′ X + R ′ V − 1 R ) − 1 − d 2 ( X ′ X ) − 1 ) 。 进一步，我们可以得到以下定理。 定理1. 如果 d 2 ≤ λ min ( S + R ′ V − 1 R ) − 1 S ，那么 Δ 1 ≥ 0 ，则称在均方误差矩阵准则下 β ^ y − m ( k ， d ， b ) 优于 β ^ m ，当且仅当 k 2 ( d − 1 ) 2 ( β − b ) ′ M 1 − 1 ( β − b ) ≤ σ 2 。 2.2. MTPE与SRMTPE的MSEM性能比较 MTPE估计的偏差向量和协方差矩阵如下： B i a s ( β ^ ( k ， d ， b ) ) = k ( d − 1 ) M ( k ) ( β − b ) ， C o v ( β ^ ( k ， d ， b ) ) = σ 2 S ( k ) − 1 S ( k d ) S − 1 ， 因此，其均方误差矩阵为： M S E M ( β ^ ( k ， d ， b ) ) = σ 2 S ( k ) − 1 S ( k d ) S − 1 。 MTPE估计与SRMTPE估计之间的MSEM差值如下所示： Δ 2 = M S E M ( β ^ ( k ， d ， b ) ) − M S E M ( β ^ y − m ( k ， d ， b ) ) = M ( k ) ( σ 2 M 2 − k 2 ( d − 1 ) 2 ( β − b ) ( β − b ) ′ ) M ( k ) 其中 M 2 = 2 k I + k 2 ( ( X ′ X + k I ) − 1 ( X ′ X + k d I ) ( X ′ X ) − 1 − d 2 ( X ′ X ) − 1 ) 。 类似的，我们可以得到以下定理。 定理2. 如果 d 2 ≤ λ min S ( k ) − 1 S ( k d ) ，那么 Δ 2 ≥ 0 ，则称在均方误差矩阵准则下 β ^ y − m ( k ， d ， b ) 优于 β ^ ( k ， d ， b ) ，当且仅当 k 2 ( d − 1 ) 2 ( β − b ) ′ M 2 − 1 ( β − b ) ≤ σ 2 。 2.3. SRTPE与SRMTPE的MSEM性能比较 SRTPE估计的偏差向量和协方差矩阵如下： B i a s ( β ^ y − m ( k ， d ) ) = k ( d − 1 ) M ( k ) β ， C o v ( β ^ y − m ( k ， d ) ) = σ 2 M ( k ) ( S + k 2 d 2 S − 1 + R ′ V − 1 R ) M ( k ) 。 因此，其均方误差矩阵为： M S E M ( β ^ y − m ( k ， d ) ) = σ 2 M ( k ) ( S + k 2 d 2 S − 1 + R ′ V − 1 R ) + k 2 ( d − 1 ) 2 M ( k ) β β ′ M ( k ) ， SRTPE估计与SRMTPE估计之间的MSEM差值如下所示： Δ 3 = M S E M ( β ^ y − m ( k ， d ) ) − M S E M ( β ^ y − m ( k ， d ， b ) ) = k 2 ( d − 1 ) 2 M ( k ) ( β β ′ − ( β − b ) ( β − b ) ′ ) M ( k ) 在Li和Yang [ 8 ] 采用先验信息 b = 0.95 β ^ L ，所以当 ( β β ′ − ( β − b ) ( β − b ) ′ ) ≥ 0 时， Δ 3 ≥ 0 。所以， 我们有以下定理： 定理3. 对于 0 < d < 1 ， k > 0 ，在均方误差矩阵准则下 β ^ y − m ( k ， d ， b ) 优于 β ^ y − m ( k ， d ) 。 2.4. SSRE与SRMTPE的MSEM性能比较 SSRE估计的偏差向量和协方差矩阵如下： B i a s ( β ^ S S R E ) = − k ( X ′ X + R ′ V − 1 R + k I ) − 1 β ， C o v ( β ^ S S R E ) = σ 2 M ( k ) ( S + R ′ V − 1 R ) M ( k ) ，因此，其均方误差矩阵为： M S E M ( β ^ S S R E ) = σ 2 M ( k ) ( S + R ′ V − 1 R + k 2 β β ′ ) M ( k ) SSRE估计与SRMTPE估计之间的MSEM差值如下所示： Δ 4 = M S E M ( β ^ S S R E ) − M S E M ( β ^ y − m ( k ， d ， b ) ) = M ( k ) ( σ 2 M 3 + k 2 ( β β ′ − ( d − 1 ) 2 ( β − b ) ( β − b ) ′ ) ) M ( k ) 其中 M 3 = X ′ X − ( X ′ X + k d I ) ( X ′ X ) − 1 ( X ′ X + k d I ) = X ′ X ( I − ( X ′ X ) − 1 ( X ′ X + k d I ) ( X ′ X ) − 1 ( X ′ X + k d I ) ) 进一步，如果 I − ( X ′ X ) − 1 ( X ′ X + k d I ) ( X ′ X ) − 1 ( X ′ X + k d I ) > 0 ，那么 Δ 4 是正定的。既有 γ i = 1 − ( λ i + k d ) 2 λ i 2 ， γ i 为其特征值。由于 0 < d < 1 ， k > 0 ，所以当 λ i < k d 2 时， 1 − ( λ i + k d ) 2 λ i 2 > 0 。因此，我们可以表述如下定 理： 定理4. 对于 0 < d < 1 ， k > 0 ，当 λ i < k d 2 时，在均方误差矩阵准则下 β ^ y − m ( k ， d ， b ) 优于 β ^ y − m ( k ， d ) 。 2.5. TPE与SRMTPE的MSEM性能比较 TPE估计的偏差向量和协方差矩阵如下： B i a s ( β ^ ( k ， d ) ) = k ( d − 1 ) S ( k ) − 1 β ， C o v ( β ^ ( k ， d ) ) = σ 2 S ( k ) − 1 S ( k d ) S − 1 S ( k d ) S ( k ) − 1 ； 因此，其均方误差矩阵为： M S E M ( β ^ ( k ， d ) ) = σ 2 M ( k ) ( S + R ′ V − 1 R + k 2 β β ′ ) M ( k ) + k 2 ( d − 1 ) 2 S ( k ) − 1 β β ′ S ( k ) − 1 TPE估计与SRMTPE估计之间的MSEM差值如下所示： Δ 5 = M S E M ( β ^ ( k ， d ) ) − M S E M ( β ^ y − m ( k ， d ， b ) ) = σ 2 M ( k ) ( S + R ′ V − 1 R + k 2 β β ′ ) M ( k ) + k 2 ( d − 1 ) 2 S ( k ) − 1 β β ′ S ( k ) − 1     − σ 2 M ( k ) ( S + k 2 d 2 S − 1 + R ′ V − 1 R ) − k 2 ( d − 1 ) 2 M ( k ) ( β − b ) ( β − b ) ′ M ( k ) = A − B 其中 A = M S E M ( β ^ ( k ， d ) ) ， B = σ 2 M ( k ) ( S + k 2 d 2 S − 1 + R ′ V − 1 R ) + k 2 ( d − 1 ) 2 M ( k ) ( β − b ) ( β − b ) ′ M ( k ) 由于A是正定的，如果 A − B ≥ 0 ，即 A ≥ B ，那么 I ≥ A − 1 / 2 B A − 1 / 2 。所以， Δ 5 ≥ 0 的充分必要条件是 λ max ( A − 1 B ) ≤ 1 ，其中 λ max ( A − 1 B ) ≤ 1 为 A − 1 B 的最大特征值。现在我们给出下面的定理。 定理5. 当且仅当 λ max ( A − 1 B ) ≤ 1 ，在均方误差矩阵准则下 β ^ y − m ( k ， d ， b ) 优于 β ^ ( k ， d ) 。