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user: 3. 主要结果 3.1. 构造长为 n = q 2 − 1 r 的EAQMDS码 在本节中q为一个奇素数的方幂， r | q + 1 。注意到 n = q 2 − 1 r ，则有 r n = q 2 − 1 ， o r d r n ( q 2 ) = 1 ，这意味着每个模rn的 q 2 -分圆陪集只包含一个元素。 定理3.1 若C是一个在 F q 2 上，长度为 n = q 2 − 1 r 的 η -常循环码，它的定义集为 Z = ∪ j = 0 δ C 1 + r j ，则能找到所有长度为n的EAQMDS码，它的参数为 〚 n ， n − 2 ( δ + 1 ) + c ( δ ) ， δ + 2 ; c ( δ ) 〛 q 。 证明 由于 | Z | = δ + 1 则从引理2.1和引理2.3可知C是一个参数为 [ n ， n − ( δ + 1 ) ， δ + 2 ] q 2 MDS码。根据引理2.7 c = | Z ∩ ( − q Z ) | = | { ( j ， k ) | 1 + r j ≡ − q ( 1 + r k ) ( mod   r n ) ， 0 ≤ j ， k ≤ δ } | = | { ( j ， k ) | j + q k ≡ − q + 1 r ( mod   n ) ， 0 ≤ j ， k ≤ δ } | . 这表明c与 δ 的取值范围有关。由引理2.4存在参数为 〚 n ， n − 2 ( δ + 1 ) + c ( δ ) ， δ + 2 ; c ( δ ) 〛 q 的EAQMDS码。为了找到c关于 δ 的对应关系，讨论同余方程 j + q k ≡ − q + 1 r ( mod   n ) 的解，注意到 Ω = { 1 + j r | 0 ≤ j ≤ n − 1 } ，因此可假定 0 ≤ j ， k ≤ n − 1 。这样 j + q k ≡ − q + 1 r ( mod n ) 有整数解 ( j ， k ) ⇔ 对 l ∈ Z 来说， n l − q + 1 r = j + q k 有整数解 ( j ， k ) 。 由 0 ≤ j ， k ≤ n − 1 ，当 r ≠ 1 时，可得 1 ≤ l ≤ q 。在取定l后把 n l − q + 1 r 表示成 j + q k 这种形式，其中 ( j ， k ) 的取法是多样的，例如： j + q k = n l − q + 1 r = l ( q 2 − 1 ) r − q + 1 r = ( l ( q + 1 ) r − x ) q + x q − ( l + 1 ) ( q + 1 ) r . 令 b l ， x = max ( j ， k ) = max ( x q − ( l + 1 ) ( q + 1 ) r ， l ( q + 1 ) r − x ) ，得到所有的 b l ， x ，只要给定r，就可以把 b l ， x 从小到大排列。依次记为 b 1 ， b 2 ， b 3 ， ⋯ 。若 b i 对应的 b l ， x 有 c i 个，则当 0 ≤ δ ≤ b 1 − 1 时， c ( δ ) = 0 ；当 b 1 ≤ δ ≤ b 2 − 1 时， c ( δ ) = c 1 ； ⋯ ；当 b i ≤ δ ≤ b i + 1 − 1 时， c ( δ ) = c 1 + c 2 + ⋯ + c i 。接下来计算所有的 b l ， x 。 当 l = t ( 1 ≤ t ≤ q ) 时，有 t q 2 − 1 r − q + 1 r = ( t ( q + 1 ) r − x ) q + x q − ( t + 1 ) ( q + 1 ) r ，因为 0 ≤ j ， k ≤ n − 1 ，则 0 ≤ t ( q + 1 ) r − x ≤ n − 1 ， 0 ≤ x q − ( t + 1 ) ( q + 1 ) r ≤ n − 1 即当 t > 1 时 ⌈ ( t + 1 ) ( q + 1 ) r q ⌉ ≤ x ≤ ⌊ q 2 − 1 − r + ( t + 1 ) ( q + 1 ) r q ⌋ . 当 x q − ( t + 1 ) ( q + 1 ) r ≥ t ( q + 1 ) r − x 即 x ≥ ⌈ 2 t + 1 r ⌉ 时， b t ， x = x q − ( t + 1 ) ( q + 1 ) r ，否则 b t ， x = t ( q + 1 ) r − x 。得到所有的 b t ， x 如下： b t ， ⌈ ( t + 1 ) ( q + 1 ) r q ⌉ = t ( q + 1 ) r − ⌈ ( t + 1 ) ( q + 1 ) r q ⌉ ， ⋯ ， b t ， ⌈ 2 t + 1 r ⌉ − 1 = t ( q + 1 ) r − ( ⌈ 2 t + 1 r ⌉ − 1 ) b t ， ⌈ 2 t + 1 r ⌉ = ⌈ 2 t + 1 r ⌉ q − ( t + 1 ) ( q + 1 ) r ， ⋯ ， b t ， ⌊ q 2 − 1 − r + ( t + 1 ) ( q + 1 ) r q ⌋ = ⌊ q 2 − 1 − r + ( t + 1 ) ( q + 1 ) r q ⌋ q − ( t + 1 ) ( q + 1 ) r . 取 l = 1 ，得到所有的 b 1 ， x ： b 1 ， ⌈ 3 r ⌉ = ⌈ 3 r ⌉ q − 2 ( q + 1 ) r ， b 1 ， ⌈ 3 r ⌉ + 1 = ( ⌈ 3 r ⌉ + 1 ) q − 2 ( q + 1 ) r ， ⋯ ， b 1 ， q + 1 r = q + 1 r q − 2 ( q + 1 ) r . 取 l = 2 ，得到所有的 b 2 ， x ： b 2 ， ⌈ 3 ( q + 1 ) r ⌉ = 2 ( q + 1 ) r − ⌈ 3 ( q + 1 ) r ⌉ ， ⋯ ， b 2 ， ⌈ 5 r ⌉ − 1 = 2 ( q + 1 ) r − ( ⌈ 5 r ⌉ − 1 ) b 2 ， ⌈ 5 r ⌉ = ( ⌈ 5 r ⌉ ) q − 3 ( q + 1 ) r ， ⋯ ， b 2 ， ⌊ q 2 − 1 − r + 3 ( q + 1 ) r q ⌋ = ⌊ q 2 − 1 − r + 3 ( q + 1 ) r q ⌋ q − 3 ( q + 1 ) r . ⋮ 取 l = q ，得到所有的 b q ， x ： b q ， q + 1 r + 1 = q ( q + 1 ) r − ( q + 1 r + 1 ) = n − 1 ， ⋯ ， b q ， 2 ( q + 1 ) r − 1 = q ( q + 1 ) r − ( 2 ( q + 1 ) r − 1 ) . 注意当 r = 1 时，同理可计算所有的 b l ， x 。综上若C的定义集为 Z = ∪ j = 0 δ C 1 + r j ，当 b i ≤ δ ≤ b i + 1 − 1 时，则存在参数为 〚 n ， n − 2 ( δ + 1 ) + c 1 + ⋯ + c i ， δ + 2 ; c 1 + ⋯ + c i 〛 q 的EAQMDS码。 推论3.2 1) 若C是一个在 F q 2 上，长度为 n = q 2 − 1 的 η -常循环码，它的定义集为 Z = ∪ j = 0 δ C 1 + j ，则存在参数为 〚 n ， n − 2 ( δ + 1 ) + c ( δ ) ， δ + 2 ; c ( δ ) 〛 q EAQMDS码。当 0 ≤ δ ≤ q − 3 时， c ( δ ) = 0 ，得 C ⊥ H ⊆ C ；当 q − 2 ≤ δ ≤ 2 q − 4 时， c ( δ ) = 1 ；当 δ = 2 q − 3 时， c ( δ ) = 2 ；当 2 q − 2 ≤ δ ≤ 3 q − 5 时， c ( δ ) = 4 ；当 δ = 3 q − 4 时， c ( δ ) = 5 ；当 δ = 3 q − 3 时， c ( δ ) = 7 ；当 3 q − 2 ≤ δ ≤ 4 q − 6 时， c ( δ ) = 9 。 2) 若C是一个在 F q 2 上，长度为 n = q 2 − 1 2 的 η -常循环码，它的定义集为 Z = ∪ j = 0 δ C 1 + 2 j ，则存在参数为 〚 n ， n − 2 ( δ + 1 ) + c ( δ ) ， δ + 2 ; c ( δ ) 〛 q EAQMDS码。当 0 ≤ δ ≤ q − 2 时， c ( δ ) = 0 ，得 C ⊥ H ⊆ C ；当 q − 1 ≤ δ ≤ 3 q − 5 2 时， c ( δ ) = 2 ；当 3 q − 3 2 ≤ δ ≤ 2 q − 3 时， c ( δ ) = 4 ；当 δ = 2 q − 2 时， c ( δ ) = 6 ；当 2 q − 1 ≤ δ ≤ 5 q − 7 2 时， c ( δ ) = 8 。 证明 我们只证明1)，2)的证明是类似的。在定理3.1中，取定 r = 1 ，所有的 b l ， x 取值如下： 当 l = 1 时， q − 2 ， 2 q − 2 ， 3 q − 2 ， 4 q − 2 ， 5 q − 2 ， ⋯ ， ( q − 1 ) q − 2. 当 l = 2 时， 2 q − 2 ， 2 q − 3 ， 3 q − 3 ， 4 q − 3 ， 5 q − 3 ， ⋯ ， ( q − 1 ) q − 3 . 当 l = 3 时， 3 q − 2 ， 3 q − 3 ， 3 q − 4 ， 4 q − 4 ， 5 q − 4 ， ⋯ ， ( q − 1 ) q − 4 . 当 l = 4 时， 4 q − 2 ， 4 q − 3 ， 4 q − 4 ， 4 q − 5 ， 5 q − 5 ， ⋯ ， ( q − 1 ) q − 5 . ⋮ 当 l = t 时， t q − 2 ， t q − 3 ， t q − 4 ， t q − 5 ， ⋯ ， t q − t ， t q − ( t + 1 ) ， ( t + 1 ) q − ( t + 1 ) ， ⋯ ， ( q − 1 ) q − ( t + 1 ) . ⋮ 当 l = q + 1 时， ( q + 1 ) q − ( q − 2 ) = n − 1. 现在把 b l ， x 从小到大排列出来，这里只排列出前面部分，有 b 1 = q − 2 ， c 1 = 1 ; b 2 = 2 q − 3 ， c 2 = 1 ; b 3 = 2 q − 2 ， c 3 = 2 ; b 4 = 3 q − 4 ， c 4 = 1 ; b 5 = 3 q − 3 ， c 5 = 2 ; b 6 = 3 q − 2 ， c 6 = 2. 根据定理3.1即可得出结论。 推论3.3 1) 若C是一个在 F q 2 上，长度为 n = q 2 − 1 r 的 η -常循环码，其中 r | q + 1 且 r ≥ 3 ，r是一个奇数。令 r = 2 m + 1 ， λ = q + 1 r 。C的定义集为 Z = ∪ j = 0 δ C 1 + r j ，则存在参数为 〚 n ， n − 2 ( δ + 1 ) + c ( δ ) ， δ + 2 ; c ( δ ) 〛 q 的EAQMDS码。当 0 ≤ δ ≤ m λ − 2 时， c ( δ ) = 0 ，得 C ⊥ H ⊆ C ；当 m λ − 1 ≤ δ ≤ ( m + 1 ) λ − 2 时， c ( δ ) = 1 ；当 ( m + 1 ) λ − 1 ≤ δ ≤ ( m + 2 ) λ − 2 时， c ( δ ) = 3 ；当 ( m + 2 ) λ − 1 ≤ δ ≤ ( m + 3 ) λ − 2 时， c ( δ ) = 5 ； ⋯ ；当 ( m + t ) λ − 1 ≤ δ ≤ ( m + t + 1 ) λ − 2 时， c ( δ ) = 2 t + 1 ； ⋯ ；当 ( 2 m − 1 ) λ − 1 ≤ δ ≤ q − 2 时， c ( δ ) = 2 m − 1 ；当 δ = q − 1 时， c ( δ ) = 2 m + 1 。 2) 若C是一个在 F q 2 上，长度为 n = q 2 − 1 r 的 η -常循环码，其中 r | q + 1 且 r ≥ 4 ，r是一个偶数。令 r = 2 m 和 λ = q + 1 r 。C的定义集为 Z = ∪ j = 0 δ C 1 + r j ，则存在参数为 〚 n ， n − 2 ( δ + 1 ) + c ( δ ) ， δ + 2 ; c ( δ ) 〛 q 的EAQMDS码。当 0 ≤ δ ≤ m λ − 2 时， c ( δ ) = 0 ，得 C ⊥ H ⊆ C ；当 m λ − 1 ≤ δ ≤ ( m + 1 ) λ − 2 时， c ( δ ) = 2 ；当 ( m + 1 ) λ − 1 ≤ δ ≤ ( m + 2 ) λ − 2 时， c ( δ ) = 4 ；当 ( m + 2 ) λ − 1 ≤ δ ≤ ( m + 3 ) λ − 2 时， c ( δ ) = 6 ； ⋯ ；当 ( m + t ) λ − 1 ≤ δ ≤ ( m + t + 1 ) λ − 2 时， c ( δ ) = 2 ( t + 1 ) ； ⋯ ；当 ( 2 m − 2 ) λ − 1 ≤ δ ≤ q − 2 时， c ( δ ) = 2 m − 2 ； 当 δ = q − 1 时， c ( δ ) = 2 m 。 证明 我们只证明1)，同理可证明2)。当 δ ≤ q − 1 时，有 0 ≤ j ， k ≤ q − 1 ，得到 n l = j + q k 的表示唯一，此时相当于对 n l 做带余除法。这里设定 δ ≤ q − 1 ，由 0 ≤ j ， k ≤ n − 1 和 r = 2 m + 1 可得 1 ≤ l ≤ 2 m + 1 。 当 l ≤ 2 m − 1 时，有 l q 2 − 1 r − q + 1 r = ( l ( q + 1 ) r − 1 ) q + q − ( l + 1 ) ( q + 1 ) r ； 当 l = 2 m 时，有 2 m q 2 − 1 r − q + 1 r = ( 2 m ( q + 1 ) r − 2 ) q + q − 1 ； 当 l = 2 m + 1 时，有 ( 2 m + 1 ) q 2 − 1 r − q + 1 r = ( q − 1 ) q + q − q + 1 r − 1. 因为 r = 2 m + 1 ，所以 当 l = m 时，有 q − ( m + 1 ) ( q + 1 ) r = m ( q + 1 ) r − 1 ， b m ， 1 = m q + 1 r − 1 ； 当 1 ≤ l < m 时，有 q − ( l + 1 ) ( q + 1 ) r > l ( q + 1 ) r − 1 ， b l ， 1 = q − ( l + 1 ) ( q + 1 ) r ； 当 m < l ≤ 2 m + 1 时，有 q − ( l + 1 ) ( q + 1 ) r < l ( q + 1 ) r − 1 ， b l ， 1 = l ( q + 1 ) r − 1. 又因为 ( m + t ) ( q + 1 ) r − 1 = q − ( m − t + 1 ) ( q + 1 ) r 故有 b m ， 1 = m q + 1 r − 1 ， b m − 1 ， 1 = b m + 1 ， 1 = ( m + t ) ( q + 1 ) r − 1 ， ⋯ ， b m − t ， 1 = b m + t ， 1 = ( m + t ) ( q + 1 ) r − 1 ， ⋯ ， b 1 ， 1 = b 2 m − 1 ， 1 = ( 2 m − 1 ) ( q + 1 ) r − 1 ， b 2 m ， 1 = q − 1 ， b 2 m + 1 ， 1 = q − 1. 将它们从小到大排列出来： b 1 = m λ − 1 ， c 1 = 1 ; b 2 = ( m + 1 ) λ − 1 ， c 2 = 2 ; b 3 = ( m + 2 ) λ − 1 ， c 3 = 2 ; ⋯ ; b t + 1 = ( m + t ) λ − 1 ， c t + 1 = 2 ; ⋯ ; b m = ( 2 m − 1 ) λ − 1 ， c m = 2 ; b m + 1 = q − 1 ， c m + 1 = 2. 根据定理3.1即可得出结论。 3.2. 构造长为 n = q 2 + 1 1 0 ，其中 q ≡ 7 ( m o d 1 0 ) 与长为 n = q 2 + 1 3 4 ，其中 q ≡ 2 1 ( m o d 3 4 ) 的 EAQMDS码 在本节中q为一个奇素数的方幂， r | q + 1 。注意到 n = q 2 + 1 10 或者 n = q 2 + 1 34 ，则有 o r d r n ( q 2 ) = 2 。令 s = q 2 + 1 2 则模 r n 的 q 2 -分圆陪集分别是 C s = { s } ， C s − r j = { s − r j ， s + r j } ，其中 1 ≤ j ≤ n − 1 2 。 引理3.4 令 s = q 2 + 1 2 ，当 n | s 时，有 ( j ， k ) 是 s − r j ≡ − q ( s − r k ) ( mod r n ) 的解 ⇔ ( k ， j ) 是 s − r j ≡ − q ( s + r k ) ( mod r n ) 的解。 证明 要证 ( j ， k ) 是 s − r j ≡ − q ( s − r k ) ( mod r n ) 的解 ⇔ ( k ， j ) 是 s − r j ≡ − q ( s + r k ) ( mod r n ) 的解，即证 ( j ， k ) 是 j + q k ≡ 0 ( mod n ) 的解 ⇔ ( k ， j ) 是 j − q k ≡ 0 ( mod n ) 的解。 先证必要性，由 ( j ， k ) 是 j + q k ≡ 0 ( mod n ) 的解，有 − q ( j + q k ) = − q j − q 2 k = − q j + k − ( q 2 + 1 ) k = k − q j ≡ 0 ( mod n ) 即 k − q j ≡ 0 ( mod n ) 得 ( k ， j ) 是 j − q k ≡ 0 ( mod n ) 的解。同理可证充分性。 引理3.5 s = q 2 + 1 2 ，当 n | s 时，则 ( j ， k ) 是 s − r ( n − 1 2 − j ) ≡ − q ( s − r ( n − 1 2 − k ) ) ( mod r n ) 的解 ⇔ ( k ， j ) 是 s − r ( n − 1 2 − j ) ≡ − q ( s + r ( n − 1 2 − k ) ) ( mod r n ) 的解。 证明 只需证 ( j ， k ) 是 j + q k − q + 1 2 ≡ 0 ( mod n ) 的解 ⇔ ( k ， j ) 是 j − q k + q − 1 2 ≡ 0 ( mod n ) 的解。 先证必要性，由 ( j ， k ) 是 j + q k − q + 1 2 ≡ 0 ( mod n ) 的解，有 − q ( j + q k − q + 1 2 ) = − q j − q 2 k + q 2 + q 2 = − q j + k − ( q 2 + 1 ) k + q 2 + 1 + q − 1 2 = k − q j + q − 1 2 ≡ 0 ( mod n ) 即 k − q j + q − 1 2 ≡ 0 ( mod n ) 得 ( k ， j ) 是 j − q k + q − 1 2 ≡ 0 ( mod n ) 的解。同理可证充分性。 定理3.6 q为一个奇素数的方幂，且 q ≡ 7 ( mod 10 ) ， q > 7 ，若C是一个在 F q 2 上，长度为 n = q 2 + 1 10 的 η -常循环码，它的定义集为 Z = ∪ j = 0 δ C s − r j ，则存在参数为 〚 n ， n − 2 ( 2 δ + 1 ) + c ( δ ) ， 2 δ + 2 ; c ( δ ) 〛 q 的EAQMDS码。 当 0 ≤ δ ≤ 3 q − 1 10 − 1 时， c ( δ ) = 1 ；当 3 q − 1 10 ≤ δ ≤ 4 q + 2 10 − 1 时， c ( δ ) = 5 ； 当 4 q + 2 10 ≤ δ ≤ 5 q + 5 10 − 1 时， c ( δ ) = 9 ；当 5 q + 5 10 ≤ δ ≤ 6 q − 2 10 − 1 时， c ( δ ) = 13 ； 当 6 q − 2 10 ≤ δ ≤ 7 q + 1 10 − 1 时， c ( δ ) = 17 ；当 7 q + 1 10 ≤ δ ≤ 8 q − 6 10 − 1 时， c ( δ ) = 21 ； 当 8 q − 6 10 ≤ δ ≤ 8 q + 4 10 − 1 时， c ( δ ) = 25 ；当 8 q + 4 10 ≤ δ ≤ 9 q − 3 10 时， c ( δ ) = 29 ； 当 9 q − 3 10 ≤ δ ≤ 9 q + 7 10 − 1 时， c ( δ ) = 33 。 证明 由于 | Z | = 2 δ + 1 则从引理2.1和引理2.3得C是一个带参数为 [ n ， n − ( 2 δ + 1 ) ， 2 δ + 2 ] q 2 MDS码。由引理2.4得存在参数为 〚 n ， n − 2 ( 2 δ + 1 ) + c ( δ ) ， 2 δ + 2 ; c ( δ ) 〛 q 的EAQMDS码。当 δ ≤ q − 1 时，有 0 ≤ j ， k ≤ q − 1 ，得到 n l = j + q k 的表示唯一，此时相当于对 n l 做带余除法。设定 δ ≤ q − 1 ，由于 s ≡ − q s ( mod r n ) ，根据引理2.7 c = | Z ∩ ( − q Z ) | = | { ( j ， k ) | s ± r j ≡ − q ( s ± r k ) ( mod r n ) ， 1 ≤ j ， k ≤ q − 1 } | + 1 = 2 | { ( j ， k ) | j + q k ≡ 0 ( mod n ) ， 1 ≤ j ， k ≤ q − 1 } |       + 2 | { ( j ， k ) | j − q k ≡ 0 ( mod n ) ， 1 ≤ j ， k ≤ q − 1 } | + 1. 又因为 j + q k ≡ 0 ( mod n ) 有整数解 ( j ， k ) ，其中 1 ≤ j ， k ≤ q − 1 ， ⇔ 对 1 ≤ l ≤ 9 ， l ∈ Z 来说， n l = j + q k 有整数解 ( j ， k ) ，其中 1 ≤ j ， k ≤ q − 1 。 j − q k ≡ 0 ( mod n ) 有整数解 ( j ， k ) ，其中 1 ≤ j ， k ≤ q − 1 ， ⇔ 对 − 9 ≤ l ≤ − 1 ， l ∈ Z 来说， n l = j − q k 有整数解 ( j ， k ) ，其中 1 ≤ j ， k ≤ q − 1 。 取定l后把 n l 表示成 j + q k 这种形式，令 b l ， 1 = max ( j ， k ) 。 当 l = 1 时，有 q 2 + 1 10 = ( q − 7 10 ) q + 7 q + 1 10 ， b 1 ， 1 = 7 q + 1 10 ； 当 l = 2 时，有 2 q 2 + 1 10 = ( 2 ( q − 7 ) 10 + 1 ) q + 4 q + 2 10 ， b 2 ， 1 = 4 q + 2 10 ； 当 l = 3 时，有 3 q 2 + 1 10 = ( 3 ( q − 7 ) 10 + 2 ) q + q + 3 10 ， b 3 ， 1 = 3 q − 1 10 ； 当 l = 4 时，有 4 q 2 + 1 10 = ( 4 ( q − 7 ) 10 + 2 ) q + 8 q + 4 10 ， b 4 ， 1 = 8 q + 4 10 ； 当 l = 5 时，有 5 q 2 + 1 10 = ( 5 ( q − 7 ) 10 + 3 ) q + 5 q + 5 10 ， b 5 ， 1 = 5 q + 5 10 ； 当 l = 6 时，有 6 q 2 + 1 10 = ( 6 ( q − 7 ) 10 + 4 ) q + 2 q + 6 10 ， b 6 ， 1 = 6 q − 2 10 ； 当 l = 7 时，有 7 q 2 + 1 10 = ( 7 ( q − 7 ) 10 + 4 ) q + 9 q + 7 10 ， b 7 ， 1 = 9 q + 7 10 ； 当 l = 8 时，有 8 q 2 + 1 10 = ( 8 ( q − 7 ) 10 + 5 ) q + 6 q + 8 10 ， b 8 ， 1 = 8 q − 6 10 ； 当 l = 9 时，有 9 q 2 + 1 10 = ( 9 ( q − 7 ) 10 + 6 ) q + 3 q + 9 10 ， b 9 ， 1 = 9 q − 3 10 ； 对 1 ≤ l ≤ 9 ， l ∈ Z ，将 b l ， 1 = max ( j ， k ) 从小到大排列，依次记为 b 1 ， b 2 ， b 3 ， ⋯ ， b 9 。得 b 1 = 3 q − 1 10 ， b 2 = 4 q + 2 10 ， b 3 = 5 q + 5 10 ， b 4 = 6 q − 2 10 ， b 5 = 7 q + 1 10 ， b 6 = 8 q − 6 10 ， b 7 = 8 q + 4 10 ， b 8 = 9 q − 3 10 ， b 9 = 9 q + 7 10 . 由引理3.4得 ( j ， k ) 是 j + q k ≡ 0 ( mod n ) 的解 ⇔ ( k ， j ) 是 j − q k ≡ 0 ( mod n ) 的解。对 − 9 ≤ l ≤ − 1 ， l ∈ Z ， n l = j − q k ，令 b l ， 1 = max ( j ， k ) ，将 b l ， 1 从小到大排列，顺序依然为 b 1 ， b 2 ， b 3 ， ⋯ ， b 9 。令 b 0 = 0 ，综上，对 0 ≤ i ≤ 8 ， i ∈ Z ，当 b i ≤ δ ≤ b i + 1 − 1 时， c ( δ ) = 4 i + 1 。 定理3.7 q为一个奇素数的方幂，且 q ≡ 7 ( mod 10 ) ， q > 7 ，若C是一个在 F q 2 上，长度为 n = q 2 + 1 10 的 η -常循环码，它的定义集为 Z = ∪ j = 0 δ C s − r ( n − 1 2 − j ) ，则存在参数为 〚 n ， n − 2 ( 2 δ + 1 ) + c ( δ ) ， 2 δ + 2 ; c ( δ ) 〛 q 的EAQMDS码。 当 0 ≤ δ ≤ 2 q + 6 10 − 1 时， c ( δ ) = 0 ；当 2 q + 6 10 ≤ δ ≤ 4 q + 2 10 − 1 时， c ( δ ) = 4 ； 当 4 q + 2 10 ≤ δ ≤ 5 q + 5 10 − 1 时， c ( δ ) = 8 ；当 5 q + 5 10 ≤ δ ≤ 6 q + 8 10 − 1 时， c ( δ ) = 16 ； 当 6 q + 8 10 ≤ δ ≤ 7 q + 1 10 − 1 时， c ( δ ) = 20 ；当 7 q + 1 10 ≤ δ ≤ 7 q + 11 10 − 1 时， c ( δ ) = 24 ； 当 7 q + 1 1 10 ≤ δ ≤ 8 q + 4 10 − 1 时， c ( δ ) = 28 ；当 8 q + 4 10 ≤ δ ≤ 9 q − 3 10 − 1 时， c ( δ ) = 32 ； 当 9 q − 3 10 ≤ δ ≤ 9 q + 7 10 − 1 时， c ( δ ) = 36 。 证明 由于 | Z | = 2 δ + 1 则从引理2.1和引理2.3得C是参数为 [ n ， n − ( 2 δ + 1 ) ， 2 δ + 2 ] q 2 的MDS码。由引理2.4得存在参数为 〚 n ， n − 2 ( 2 δ + 1 ) + c ( δ ) ， 2 δ + 2 ; c ( δ ) 〛 q 的EAQMDS码。当 δ ≤ q − 1 时，有 0 ≤ j ， k ≤ q − 1 ，得到 n l = j + q k 的表示是唯一的，此时相当于对 n l 做带余除法。我们设定 δ ≤ q − 1 ，由引理2.7，有 c = | Z ∩ ( − q Z ) | = | { ( j ， k ) | s ± r ( n − 1 2 − j ) ≡ − q ( s ± r ( n − 1 2 − k ) ( mod r n ) ， 0 ≤ j ， k ≤ q − 1 } | = 2 | { ( j ， k ) | j + q k − q + 1 2 ≡ 0 ( mod n ) ， 0 ≤ j ， k ≤ q − 1 } |       + 2 | { ( j ， k ) | j − q k + q − 1 2 ≡ 0 ( mod n ) ， 0 ≤ j ， k ≤ q − 1 } | . 而我们知道 j + q k − q + 1 2 ≡ 0 ( mod n ) 有整数解 ( j ， k ) ，其中 0 ≤ j ， k ≤ q − 1 ， ⇔ 对 0 ≤ l ≤ 9 ， l ∈ Z 来说， n l + q + 1 2 = j + q k 有整数解 ( j ， k ) ，其中 0 ≤ j ， k ≤ q − 1 。 j − q k + q − 1 2 ≡ 0 ( mod n ) 有整数解 ( j ， k ) ，其中 0 ≤ j ， k ≤ q − 1 ， ⇔ 对 − 9 ≤ l ≤ 0 ， l ∈ Z 来说， n l − q − 1 2 = j − q k 有整数解 ( j ， k ) ，其中 0 ≤ j ， k ≤ q − 1 。 取定l后把 n l + q + 1 2 表示成 j + q k 这种形式，令 b l ， 1 = max ( j ， k ) 。对 0 ≤ l ≤ 9 ， l ∈ Z ，将 b l ， 1 从小到大排列，依次记为 b 0 ， b 1 ， b 2 ， b 3 ， ⋯ ， b 9 。得 b 0 = 2 q + 6 10 ， b 1 = 4 q + 2 10 ， b 2 = 5 q + 5 10 ， b 3 = 5 q + 5 10 ， b 4 = 6 q + 8 10 ， b 5 = 7 q + 1 10 ， b 6 = 7 q + 11 10 ， b 7 = 8 q + 4 10 ， b 8 = 9 q − 3 10 ， b 9 = 9 q + 7 10 。 由引理3.5得 j + q k − q + 1 2 ≡ 0 ( mod n ) 有解 ( j ， k ) ⇔ j − q k + q − 1 2 ≡ 0 ( mod n ) 有解 ( k ， j ) 。对 − 9 ≤ l ≤ − 1 ， l ∈ Z ， n l = j − q k ，令 b l ， 1 = max ( j ， k ) 。将 b l ， 1 从小到大排列，顺序依然为 b 0 ， b 1 ， b 2 ， b 3 ， ⋯ ， b 9 。综上即可得出结论。 定理3.8 q为一个奇素数的方幂，且 q ≡ 21 ( mod 34 ) ， q > 21 ，若C是一个在 F q 2 上，长度为 n = q 2 + 1 34 的 η -常循环码，它的定义集为 Z = ∪ j = 0 δ C s − r j ，则存在参数为 〚 n ， n − 2 ( 2 δ + 1 ) + c ( δ ) ， 2 δ + 2 ; c ( δ ) 〛 q 的EAQMDS码。有 b 0 = 0 ， b 1 = 5 q − 3 34 ， b 2 = 8 q + 2 34 ， b 3 = 10 q − 6 34 ， b 4 = 11 q + 7 34 ， b 5 = 13 q − 1 34 ， b 6 = 14 q + 12 34 ， b 7 = 15 q − 9 34 ， b 8 = 16 q + 4 34 ， b 9 = 17 q + 17 34 ， b 10 = 18 q − 4 34 ， b 11 = 19 q + 9 34 ， b 12 = 20 q − 12 34 ， b 13 = 21 q + 1 34 ， b 14 = 22 q − 20 34 ， b 15 = 22 q + 14 34 ， b 16 = 23 q − 7 34 ， b 17 = 24 q + 6 34 ， b 18 = 25 q − 15 34 ， b 19 = 25 q + 19 34 ， b 20 = 26 q − 2 34 ， b 21 = 27 q − 23 34 ， b 22 = 27 q + 11 34 ， b 23 = 28 q − 10 34 ， b 24 = 28 q + 24 34 ， b 25 = 29 q + 3 34 ， b 26 = 30 q − 18 34 ， b 27 = 30 q + 16 34 ， b 28 = 31 q − 5 34 ， b 29 = 31 q + 29 34 ， b 30 = 32 q − 26 34 ， b 31 = 32 q + 8 34 ， b 32 = 33 q − 13 34 ， b 33 = 33 q + 21 34 ， b 34 = q 对 0 ≤ i ≤ 33 ， i ∈ Z ，当 b i ≤ δ ≤ b i + 1 − 1 时， c ( δ ) = 4 i + 1 。 证明 证明过程与定理3.6类似，此处省略。