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user: 3. 理论方法 本文采用Landau-de Gennes理论来研究，在向列相液晶系统中利用序参数张量Q来描述三维空间内指向矢的取向有序度。其中Q在主轴系中表示为 [ 15 ] ： Q = ∑ i = 1 3 λ i e i ⊗ e i (1) 其中 λ i 和 e i 分别为Q的第i个本征值和本征矢，其中 λ i 的取值范围为(−1/3， 2/3)。张量Q为对称无迹张量，满足 Q i j = Q j i ， t r Q = 0 。当Q的其中两个本征值相等时，系统处于单轴态，而不为零的本征值对应的本征矢就是指向矢。此时Q表示为： Q = S ( n ⊗ n − 1 3 I ) (2) 其中S为向列相单轴标量序参数， n 代表液晶分子指向矢，I代表单位张量。 (2)式可以在柱坐标系中写为矩阵形式： Q = ( Q ρ ρ Q ρ ϕ Q ρ z Q ϕ ρ Q ϕ ϕ Q ϕ z Q z ρ Q z ϕ Q z z ) = S ( n ρ n ρ − 1 3 n ρ n ϕ n ρ n z n ϕ n ρ n ϕ n ϕ − 1 3 n ϕ n z n z n ρ n z n ϕ n z n z − 1 3 ) . (3) 由于张量Q的对称无迹性，所以 Q ρ ϕ = Q ϕ ρ ， Q ρ z = Q z ρ ， Q ϕ z = Q z ϕ ， Q ρ ρ + Q ϕ ϕ + Q z z = 0 。当系统处于双轴态，即Q的三个本征值都不相同时，利用双轴性参数 β 2 来描述双轴性的大小 [ 16 ] ： β 2 = 1 − 6 [ t r ( Q 3 ) ] 2 [ t r ( Q 2 ) ] 3 . (4) 双轴性参数 β 2 反映了Q在三维空间内的不均匀性，其取值范围为[0，1]。当系统处于单轴态时， β 2 = 0 ；当系统处于最大双轴态时， β 2 = 1 。在本征坐标系中，存在 t r ( Q 3 ) = 3 det Q ，结合(4)式，当 det Q = 0 时，即三个本征值中至少有一个为零时，得到 β 2 = 1 。 在液晶系统中Landau-de Gennes理论的总自由能密度可以表示为： F = F b u l k + F e l a s t i c (5) 其中， F b u l k 为本体自由能密度， F b u l k 只依赖于序参数张量Q，其具体表达式为： F b u l k = 1 2 A t r Q 2 − 1 3 B t r Q 3 + 1 4 C ( t r Q 2 ) (6) 在上式中B，C为材料参数。 A = A 0 ( T − T ∗ ) ， A 0 为正常数， T ∗ 是最低过冷温度，所以A是随温度T变化的量。 T I N 是向列相与各向同性相之间的相变温度，当 T > T I N 时，液晶处于各向同性相，此时 S = 0 ； 相反，当 T < T I N ，得到单轴标量序参数 S e q ， S e q = B 4 C ( 1 + 1 − 24 A C B 2 ) ，且 S e q 与温度T有关。 F e l a s t i c 为弹性自由能密度，具体表达式为 [ 17 ] [ 18 ] ： F e l a s t i c = 1 2 L 1 ( ∇ Q ⋮ ∇ Q ) + 1 2 L 2 ( ∇ ⋅ Q ) ⋅ ( ∇ ⋅ Q ) + 1 2 L 4 Q : ( ∇ Q : ∇ Q ) (7) 其中， L i 与展曲 k 11 ，扭曲 k 22 和弯曲 k 33 弹性常数的关系为 [ 18 ] ： L 1 = 3 k 22 − k 11 + k 33 6 S 2 L 2 = k 11 − k 22 S 2 L 4 = k 33 − k 11 2 S 3 (8) 本文只在单一常数近似下研究，即 k 11 = k 22 = k 33 ，对应于 L 2 = 0 ， L 4 = 0 。所以(7)式 F e l a s t i c 又可以简化为： F e l a s t i c = 1 2 L 1 ( ∇ Q ⋮ ∇ Q ) (9) 根据SamoKralj [ 19 ] 等人的工作，对系统进行无量纲化处理，定义最高过热温度 T ∗ ∗ 下的序参数为 ，且 。以 q 0 对序参数张量、表面强度和体平衡态下的单轴标量序参数进行约化，即 Q ˜ i j = Q i j / q 0 ( i ， j = ρ ， ϕ ， z ) ， w ˜ s = w s / B q 0 ξ 。定义 f 0 = B 4 / ( 4 C ) 3 ，以 f 0 对 F b u l k 进行约化有： F ˜ b u l k = F b u l k / f 0 ，所以约化后的本体自由能为： F ˜ b u l k = A ˜ 12 ( Q ˜ ρ ρ 2 + Q ˜ ϕ ϕ 2 + Q ˜ z z 2 + 2 Q ˜ ρ ϕ 2 + 2 Q ˜ ρ z 2 + 2 Q ˜ ϕ z 2 )     − 1 3 [ Q ˜ ρ ρ ( Q ˜ 2 ) ρ ρ + Q ˜ ϕ ϕ ( Q ˜ 2 ) ϕ ϕ + Q ˜ z z ( Q ˜ 2 ) z z     + 2 Q ˜ ρ ϕ ( Q ˜ 2 ) ρ ϕ + 2 Q ˜ ρ z ( Q ˜ 2 ) ρ z + 2 Q ˜ ϕ z ( Q ˜ 2 ) ϕ z ]     + 1 16 ( Q ˜ ρ ρ 2 + Q ˜ ϕ ϕ 2 + Q ˜ z z 2 + 2 Q ˜ ρ ϕ 2 + 2 Q ˜ ρ z 2 + 2 Q ˜ ϕ z 2 ) 2 (10) 引入相干长度 ξ = L 1 B q 0 来约化长度变量，即 z ˜ = z / ξ ， ρ ˜ = ρ / ξ 。约化后的弹性自由能密度 F ˜ e l a s t i c = F e l a s t i c / f 0 为： F ˜ e l a s t i c = 1 2 { ( ∂ Q ˜ ρ ρ ∂ ρ ˜ ) 2 + ( ∂ Q ˜ ρ ρ ∂ z ˜ ) 2 + ( ∂ Q ˜ ϕ ϕ ∂ ρ ˜ ) 2 + ( ∂ Q ˜ ϕ ϕ ∂ z ˜ ) 2 + ( ∂ Q ˜ z z ∂ ρ ˜ ) 2 + ( ∂ Q ˜ z z ∂ z ˜ ) 2     + 2 [ ( ∂ Q ˜ ρ ϕ ∂ ρ ˜ ) 2 + ( ∂ Q ˜ ρ ϕ ∂ z ˜ ) 2 ] + 2 [ ( ∂ Q ˜ ρ z ∂ ρ ˜ ) 2 + ( ∂ Q ˜ ρ z ∂ z ˜ ) 2 ] + 2 [ ( ∂ Q ˜ ϕ z ∂ ρ ˜ ) 2 + ( ∂ Q ˜ ϕ z ∂ z ˜ ) 2 ]     + 2 ρ ˜ 2 ( Q ˜ ρ ρ 2 + Q ˜ ϕ ϕ 2 + 4 Q ˜ ρ ϕ 2 + Q ˜ ρ z 2 + Q ˜ ϕ z 2 − 2 Q ˜ ρ ρ Q ˜ ϕ ϕ ) } (11) 使用松弛迭代方法对液晶系统进行数值模拟，利用动力学方程，让序参数张量Q在一定的初始状态下随时间演化，得到平衡态的结果。动力学方程如下： ∂ Q ∂ t = Γ ( − δ F δ Q ) (12) 其中， Γ = 6 D ∗ / [ 1 − 3 t r ( Q 2 ) ] 2 ， D ∗ 是向列相的转动扩散系数 [ 20 ]。约化后的动力学方程为： ∂ Q ˜ ∂ t = − Γ ˜ ( ∂ F ˜ ∂ Q ˜ i j − ∂ ∂ ρ ˜ ∂ F ˜ ∂ Q ˜ i j ， ρ ˜ − 1 ρ ˜ ∂ F ˜ ∂ Q ˜ i j ， ρ ˜ − ∂ ∂ z ˜ ∂ F ˜ ∂ Q ˜ i j ， z ˜ ) (13) 其中， Γ ˜ = Γ × ( B q 0 ) 。使用有限差分迭代法，将上式离散成差分形式为： [ Q ˜ ( t + Δ t ) − Q ˜ ( t ) ] / Δ t = − Γ ˜ δ F ˜ δ Q ˜ (14) 由于Q的无迹性，在柱坐标系下无量纲的平衡态方程表示为： ∂ F ˜ ∂ Q ˜ i j − ∂ ∂ ρ ˜ ∂ F ˜ ∂ Q ˜ i j ， ρ ˜ − 1 ρ ˜ ∂ F ˜ ∂ Q ˜ i j ， ρ ˜ − ∂ ∂ z ˜ ∂ F ˜ ∂ Q ˜ i j ， z ˜ = 0 (15) 在无外场作用下，球形液滴内部液晶分子的取向完全依赖于向列相表面层，即表面层决定内部分子的排列结构，可通过表面对液晶分子锚泊作用的强弱来体现，本文采用具有易取向方向的弱锚定边界条件进行研究。在柱坐标系下表面锚定能密度 F s 的表达式为 [ 21 ] ： F s = 1 2 w s t r ( Q − Q s ) 2 (16) 其中 w s = w / S e q ，w是Frank弹性理论的锚定强度系数。 Q s 为具有易取向方向的序参数张量。引入约化 量 Q ˜ = Q / q 0 ， Q ˜ s = Q s / q 0 ， W ˜ s = W s q 0 B ξ ， F ˜ s = F s q 0 3 B 。得到约化后的表面锚定能密度 F ˜ s 表达式： F ˜ s = 1 2 W ˜ s ξ 0 t r ( Q ˜ − Q ˜ s ) 2 = 1 2 W ˜ ξ 0 { 2 Q ˜ ρ ρ 2 + 2 Q ˜ ϕ ϕ 2 + 2 Q ˜ ρ ρ Q ˜ ϕ ϕ + 2 Q ˜ ρ ϕ 2 + 2 Q ˜ ρ z 2 + 2 Q ˜ ϕ z 2 + 2 Q ˜ s ρ ρ 2 + 2 Q ˜ s ϕ ϕ 2     + 2 Q ˜ s ρ ρ Q ˜ s ϕ ϕ + 2 Q ˜ s ρ ϕ 2 + 2 Q ˜ s ρ z 2 + 2 Q ˜ s ϕ z 2 − 2 ( 2 Q ˜ ρ ρ Q ˜ s ρ ρ + 2 Q ˜ ϕ ϕ Q ˜ s ϕ ϕ     + Q ˜ ρ ρ Q ˜ s ϕ ϕ + Q ˜ ϕ ϕ Q ˜ s ϕ ϕ + 2 Q ˜ ρ ϕ Q ˜ s ρ ϕ + 2 Q ˜ ρ z Q ˜ s ρ z + 2 Q ˜ ϕ z Q ˜ s ϕ z ) } (17) 弱锚定边界条件表示如下： ∂ F s ∂ Q i j + ∂ F ∂ Q i j ， k v k = 0 (18) 上式约化后： ∂ F ˜ s ∂ Q ˜ i j + ξ 0 ∂ F ˜ ∂ Q ˜ i j ， k ˜ v k = 0 (19) 对于球形液滴可以表示为： ∂ F ˜ s ∂ Q ˜ i j + ξ ∂ F ˜ ∂ ( ∂ Q ˜ i j ∂ ρ ˜ ) ν ρ + ξ ∂ F ˜ ∂ ( ∂ Q ˜ i j ∂ z ˜ ) ν z = 0 (20) 本文数值计算中，选取了液晶材料5CB [ 22 ] [ 23 ] 的各项系数为： A 0 = 0.195 × 10 6 J / m 3 ⋅ K ， B = 7.155 × 10 6 J / m 3 ， C = 8.82 × 10 6 J / m 3 ， D * = 0.35   m 2 ⋅ N − 1 ⋅ s − 1 ， L 1 = 10.125 × 10 − 12 N ，对应的相干长度ξ约为2.64nm，约化温度设定为 A ˜ = 2 / 3 ，则序参数约化后为 S ˜ = t ˜ = S e q / q 0 = 1 + 1 − A ˜ ≈ 1.577 。