system: [SYSTEM]

user: 2. 秩为8的Virasoro代数 设 V = ⊕ ( a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 5 ， a 6 ， a 7 ， a 8 ) ∈ Z 8 C L ( a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 5 ， a 6 ， a 7 ， a 8 ) 为复数域C上的一个线性空间， L ( a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 5 ， a 6 ， a 7 ， a 8 ) ( a i ∈ Z ， i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ) ，在线性空间V上定义李运算如下： [ L ( a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 5 ， a 6 ， a 7 ， a 8 ) ， L ( b 1 ， b 2 ， b 3 ， b 4 ， b 5 ， b 6 ， b 7 ， b 8 ) ] = [ a 8 ( b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + b 5 + b 6 + b 7 ) − b 8 ( a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) ]       × L ( a 1 + b 1 ， a 2 + b 2 ， a 3 + b 3 ， a 4 + b 4 ， a 5 + b 5 ， a 6 + b 6 ， a 7 + b 7 ， a 8 + b 8 ) 在基上进行双线性扩张，易验证李运算满足反对称性和雅克比恒等式，故线性空间V关于这个李运算构成一个新的Virasoro代数。 定理2.1 令 P = { f | f ( L α ) = L ( a i 1 ， a i 2 ， a i 3 ， a i 4 ， a i 5 ， a i 6 ， a i 7 ， a 8 ) } ，其中 α = ( a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 5 ， a 6 ， a 7 ， a 8 ) ∈ Z 8 ， i 1 ， i 2 ， i 3 ， i 4 ， i 5 ， i 6 ， i 7 为1，2，3，4，5，6，7的一个排列。在P上定义映射乘法 ∀ f i ， f j ∈ P ， f i ∘ f j ( L α ) = f i ( f j ( L α ) ) ，则集合P关于映射乘法构成一个代数，且与 S 7 同构。 证明 构造P到 S 7 的同构映射 δ : f → ( 1 2 3 4 5 6 7 i 1 i 2 i 3 i 4 i 5 i 6 i 7 ) ，易得定理成立。 对 ∀ L α ∈ V ，定义以下变换： f 1 ( L α ) = L α ， f 2 ( L α ) = L ( a 1 ， a 2 ， a 5 ， a 6 ， a 3 ， a 4 ， a 7 ， a 8 ) ， f 3 ( L α ) = L ( a 3 ， a 4 ， a 1 ， a 2 ， a 5 ， a 6 ， a 7 ， a 8 ) ， f 4 ( L α ) = L ( a 3 ， a 4 ， a 5 ， a 6 ， a 1 ， a 2 ， a 7 ， a 8 ) ， f 5 ( L α ) = L ( a 5 ， a 6 ， a 3 ， a 4 ， a 1 ， a 2 ， a 7 ， a 8 ) ， f 6 ( L α ) = L ( a 5 ， a 6 ， a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 7 ， a 8 ) ， 并将 f 1 ， f 2 ， f 3 ， f 4 ， f 5 ， f 6 在V的基向量上进行线性扩张。 定理2.2 映射 f 1 ， f 2 ， f 3 ， f 4 ， f 5 ， f 6 是V的自同构。 证明 令 α = ( a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 5 ， a 6 ， a 7 ， a 8 ) ∈ Z 8 ， β = ( b 1 ， b 2 ， b 3 ， b 4 ， b 5 ， b 6 ， b 7 ， b 8 ) 。由于 f 2 ( [ L α ， L β ] ) = [ a 8 ( b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + b 5 + b 6 + b 7 ) − b 8 ( a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) ]       × L ( a 1 + b 1 ， a 2 + b 2 ， a 5 + b 5 ， a 6 + b 6 ， a 3 + b 3 ， a 4 + b 4 ， a 7 + b 7 ， a 8 + b 8 ) = [ L ( a 1 ， a 2 ， a 5 ， a 6 ， a 3 ， a 4 ， a 7 ， a 8 ) ， L ( b 1 ， b 2 ， b 5 ， b 6 ， b 3 ， b 4 ， b 7 ， b 8 ) ] = [ f 2 ( L α ) ， f 2 ( L β ) ] ， 故 ∀ x ， y ∈ V ， f 2 ( [ x ， y ] ) = [ f 2 ( x ) ， f 2 ( y ) ] ，又f 2 是双射，故f 2 是V的同构。 同理， f 1 ， f 3 ， f 4 ， f 5 ， f 6 是V的自同构。 定理2.3 H = { f 1 ， f 2 ， f 3 ， f 4 ， f 5 ， f 6 } 关于映射乘法同构于对称群 S 3 。 证明 由于三元对称群 S 3 = { e ， ( 23 ) ， ( 12 ) ， ( 123 ) ， ( 13 ) ， ( 132 ) } 。建立 F : H → S 3 。由于 F ( f 2 ∘ f 3 ( L α ) ) = F ( L ( a 5 ， a 6 ， a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 7 ， a 8 ) ) = F ( f 6 ( L a ) ) = ( 132 ) ， F ( f 2 ( L α ) ) ∘ F ( f 3 ( L α ) ) = ( 23 ) ( 12 ) = ( 132 ) ， 同理得 ∀ f i ， f j ∈ H ， F ( f i ∘ f j ) = F ( f i ) ∘ F ( f j ) ，又F为双射，故F为同构映射，即H同构于 S 3 。 由定理2.3易得以下推论成立。 推论2.1 ∀ L α ∈ V ，定义以下变换： f 7 ( L α ) = L ( a 2 ， a 1 ， a 6 ， a 5 ， a 4 ， a 3 ， a 7 ， a 8 ) ， f 8 ( L α ) = L ( a 4 ， a 3 ， a 2 ， a 1 ， a 6 ， a 5 ， a 7 ， a 8 ) ， f 9 ( L α ) = L ( a 4 ， a 3 ， a 6 ， a 5 ， a 2 ， a 1 ， a 7 ， a 8 ) ， f 10 ( L α ) = L ( a 6 ， a 5 ， a 4 ， a 3 ， a 2 ， a 1 ， a 7 ， a 8 ) ， f 11 ( L α ) = L ( a 6 ， a 5 ， a 2 ， a 1 ， a 4 ， a 3 ， a 7 ， a 8 ) ， 并将 f 7 ， f 8 ， f 9 ， f 10 ， f 11 在V的基向量上进行线性扩张。则 H * = { f 1 ， f 7 ， f 8 ， f 9 ， f 10 ， f 11 } 关于映射乘法与对称群 S 3 同构。 推论2.2 对 ∀ L α ∈ V ，定义以下变换： f 12 ( L α ) = L ( a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 7 ， a 8 ， a 5 ， a 6 ) ， f 13 ( L α ) = L ( a 3 ， a 4 ， a 1 ， a 2 ， a 7 ， a 8 ， a 5 ， a 6 ) ， 则 I = { f 1 ， f 3 ， f 12 ， f 13 } 关于映射乘法构成一个Klein四元群。 ∀ L α ∈ V ，定义 f 14 ( L α ) = 1 n 2 L n α ( n ≠ 0 ) 。显然， f 14 有以下两种特殊情形： 当 n = 1 时， f 14 = f 1 ， f 14 ( L α ) = L α ；当 n = -1 时， f 14 是同构，记为 f 15 ， f 15 ( L α ) = L - α 。 推论2.3 { f 1 ， f 15 } 在以上映射乘法的定义下构成一个二阶群。 引理2.1 定义 ∀ L α ∈ V ， f 16 ( L α ) = 1 n 1 n 2 L ( n 1 a 1 ， n 1 a 2 ， n 1 a 3 ， n 1 a 4 ， n 1 a 5 ， n 1 a 6 ， n 1 a 7 ， n 2 a 8 ) ( n 1 n 2 ≠ 0 ) ，并将 f 16 在V的基向量上线性扩张，则 f 16 是V的单自同态。 证明 f 16 ( [ L α ， L β ] ) = 1 n 1 n 2 [ a 8 ( b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + b 5 + b 6 + b 7 ) − b 8 ( a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) ] × L ( n 1 ( a 1 + b 1 ) ， n 1 ( a 2 + b 2 ) ， n 1 ( a 3 + b 3 ) ， n 1 ( a 4 + b 4 ) ， n 1 ( a 5 + b 5 ) ， n 1 ( a 6 + b 6 ) ， n 1 ( a 7 + b 7 ) ， n 2 ( a 8 + b 8 ) ) = [ 1 n 1 n 2 L ( n 1 a 1 ， n 1 a 2 ， n 1 a 3 ， n 1 a 4 ， n 1 a 5 ， n 1 a 6 ， n 1 a 7 ， n 2 a 8 ) ， 1 n 1 n 2 L ( n 1 b 1 ， n 1 b 2 ， n 1 b 3 ， n 1 b 4 ， n 1 b 5 ， n 1 b 6 ， n 1 b 7 ， n 2 b 8 ) ] = [ f 16 ( L α ) ， f 16 ( L β ) ] ， 故对于 ∀ x ， y ∈ V ， f 16 ( [ x ， y ] ) = [ f 16 ( x ) ， f 16 ( y ) ] ，易知 f 16 为单射，故 f 16 是V的单自同态。 显然， f 16 有以下四种特殊情况： 当 n 1 = 1 ， n 2 = 1 时， f 16 为恒等同构，即 f 1 ， f 1 ( L α ) = L α ， 当 n 1 = 1 ， n 2 = − 1 时， f 16 为同构，记为 f 17 ， f 17 ( L α ) = − L ( a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 5 ， a 6 ， a 7 ， − a 8 ) ， 当 ， n 2 = 1 时， f 16 为同构，记为 f 18 ， f 18 ( L α ) = − L ( − a 1 ， − a 2 ， − a 3 ， − a 4 ， − a 5 ， − a 6 ， − a 7 ， a 8 ) ， 当 n 1 = − 1 ， n 2 = − 1 时， f 16 为同构，记为 f 19 ， f 19 ( L α ) = L − α 。 定理2.4 M = { f 1 ， f 17 ， f 18 ， f 19 } 在以上映射乘法的定义下构成Klein四元群。 证明 由题意得， f 17 ∘ f 18 ( L α ) = f 17 ( − L ( − a 1 ， − a 2 ， − a 3 ， − a 4 ， − a 5 ， − a 6 ， − a 7 ， a 8 ) ) = L − α = f 19 ( L α ) ，又有 f 18 ∘ f 17 ( L α ) = f 18 ( − L ( a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 5 ， a 6 ， a 7 ， − a 8 ) ) = L - α = f 19 ( L α ) ，同理， f 17 ∘ f 19 = f 19 ∘ f 17 = f 18 ， f 18 ∘ f 19 = f 19 ∘ f 18 = f 17 ， f 17 2 = f 18 2 = f 19 2 = f 1 ，故 M = { f 1 ， f 17 ， f 18 ， f 19 } 构成Klein四元群。 对该李代数上的子代数进行探讨，得到相关结果如下。 性质2.1 V无中心。 证明 令 α i = ( a i 1 ， a i 2 ， a i 3 ， a i 4 ， a i 5 ， a i 6 ， a i 7 ， a i 8 ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， d = ( d 1 ， d 2 ， d 3 ， d 4 ， d 5 ， d 6 ， d 7 ， d 8 ) ， r = ( r 1 ， r 2 ， r 3 ， r 4 ， r 5 ， r 6 ， r 7 ， r 8 ) . 假设V有中心 C 1 L α 1 + C 2 L α 2 + ⋯ + C n L α n ，则对 ∀ L β ∈ V ，有 [ C 1 L α 1 + C 2 L α 2 + ⋯ + C n L α n ， L β ] = C 1 [ b 8 ( a 1 1 + a 1 2 + a 1 3 + a 1 4 + a 1 5 + a 1 6 + a 1 7 ) − a 1 8 ( b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + b 5 + b 6 + b 7 ) ] L α 1 + β     + C 2 [ b 8 ( a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 + a 2 4 + a 2 5 + a 2 6 + a 2 7 ) − a 2 8 ( b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + b 5 + b 6 + b 7 ) ] L α 2 + β     + ⋯     + C n [ b 8 ( a n 1 + a n 2 + a n 3 + a n 4 + a n 5 + a n 6 + a n 7 ) − a n 8 ( b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + b 5 + b 6 + b 7 ) ] L α n + β 又由假设及李运算的反对称性，得 [ C 1 L α 1 + C 2 L α 2 + ⋯ + C n L α n ， L β ] = 0 。于是 C i [ b 8 ( a i 1 + a i 2 + a i 3 + a i 4 + a i 5 + a i 6 + a i 7 ) − a i 8 ( b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + b 5 + b 6 + b 7 ) ] = 0 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， 故 b 8 b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + b 5 + b 6 + b 7 = a i 8 a i 1 + a i 2 + a i 3 + a i 4 + a i 5 + a i 6 + a i 7 或 C i = 0   ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ，而存在 L d ∈ V ，有 d 8 d 1 + d 2 + d 3 + d 4 + d 5 + d 6 + d 7 ≠ b 8 b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + b 5 + b 6 + b 7 。 故若 C i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 不全为0，存在 L d ∈ V ，有 [ C 1 L a 1 + C 2 L a 2 + ⋯ + C n L a n ， L d ] ≠ [ L d ， C 1 L a 1 + C 2 L a 2 + ⋯ + C n L a n ] . 而 C i = 0 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 时， ∀ L r ∈ V ，有 [ 0 ， L r ] = [ L r ， 0 ] 。故V为无中心的Virasoro代数。 性质2.2 设 V 8 为 { L ( b 1 + t ， b 2 − t ， b 3 + t ， b 4 − t ， b 5 + t ， b 6 − t ， b ， 7 b 8 ) − L ( b 1 − t ， b 2 + t ， b 3 − t ， b 4 + t ， b 5 − t ， b 6 + t ， b 7 ， b 8 ) | b i ， t ∈ Z } 构成的李代数，则 V 8 是V的非零真理想，V不是单李代数。 证明 因为 ∀ L α ∈ V ， L ( b 1 + t ， b 2 − t ， b 3 + t ， b 4 − t ， b 5 + t ， b 6 − t ， b 7 ， b 8 ) − L ( b 1 − t ， b 2 + t ， b 3 − t ， b 4 + t ， b 5 − t ， b 6 + t ， b 7 ， b 8 ) ∈ V 8 有 [ L ( b 1 + t ， b 2 − t ， b 3 + t ， b 4 − t ， b 5 + t ， b 6 − t ， b 7 ， b 8 ) − L ( b 1 − t ， b 2 + t ， b 3 − t ， b 4 + t ， b 5 − t ， b 6 + t ， b 7 ， b 8 ) ， L α ] = [ b 8 ( a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) − a 8 ( b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + b 5 + b 6 + b 7 ) ]       × ( L ( b 1 + t + a 1 ， b 2 - t + a 2 ， b 3 + t + a 3 ， b 4 - t + a 4 ， b 5 + t + a 5 ， b 6 - t + a 6 ， b 7 + a 7 ， b 8 + a 8 )       − L ( b 1 − t + a 1 ， b 2 + t + a 2 ， b 3 - t + a 3 ， b 4 + t + a 4 ， b 5 − t + a 5 ， b 6 + t + a 6 ， b 7 + a 7 ， b 8 + a 8 ) ) ∈ V 8 . 可以确定 ∀ L α ∈ V 而 L α ∉ V 8 。假设 L α ∈ V 8 ，则一定有 L α = ∑ i = 1 n k i ( L ( k i 1 + t ， k i 2 − t ， k i 3 + t ， k i 4 − t ， k i 5 + t ， k i 6 − t ， k i 7 ， k i 8 ) − L ( k i 1 − t ， k i 2 + t ， k i 3 − t ， k i 4 + t ， k i 5 − t ， k i 6 + t ， k i 7 ， k i 8 ) ) ， 显然矛盾。故 V 8 是V的非零真理想，V不是单李代数。 由于 ∀ L α ∈ V ， [ L ( − 1 ， − 1 ， − 1 ， − 1 ， − 1 ， − 1 ， 6 ， 0 ) ， L α ] = 0 ，易得以下结论。 性质2.3 由 L ( − 1 ， − 1 ， − 1 ， − 1 ， − 1 ， − 1 ， 6 ， 0 ) 构成的子空间为V的一维交换理想，即V不是半单李代数。 性质2.4 设 N = ( a 1 8 a 1 1 + a 1 2 + a 1 3 + a 1 4 + a 1 5 + a 1 6 + a 1 7 a 2 8 a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 + a 2 4 + a 2 5 + a 2 6 + a 2 7 ⋮ ⋮ a n 8 a n 1 + a n 2 + a n 3 + a n 4 + a n 5 + a n 6 + a n 7 ) ，其中矩阵元素均为整数，则由基向量 L α 1 ， L α 2 ， ⋯ ， L α n 构成的子空间是V的交换子代数。 证明 由于 r ( N ) < 2 则 r ( N ) = 0 或 r ( N ) = 1 。 若 r ( N ) = 0 ，则矩阵N中的每个行向量皆是0，故对任意的 i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 都有 a i 8 = 0 ， a i 1 + a i 2 + a i 3 + a i 4 + a i 5 + a i 6 + a i 7 = 0 。故结论成立。 若 r ( N ) = 1 ，则N的任意一个子矩阵 P = ( a i 8 a i 1 + a i 2 + a i 3 + a i 4 + a i 5 + a i 6 + a i 7 a j 8 a j 1 + a j 2 + a j 3 + a j 4 + a j 5 + a j 6 + a j 7 ) ( ∀ i ≠ j ) 都满足 r ( P ) < 1 或 r ( P ) = 1 。故 | P | = 0 ，即 a i 8 ( a j 1 + a j 2 + a j 3 + a j 4 + a j 5 + a j 6 + a j 7 ) − a j 8 ( a i 1 + a i 2 + a i 3 + a i 4 + a i 5 + a i 6 + a i 7 ) = 0 . 综上，由基向量 L α 1 ， L α 2 ， ⋯ ， L α n 生成的子空间是V的交换子代数。 性质2.5 设 V + 是根据基向量 L α ( a i ∈ N * ， i ∈ { 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 } ) 构成的V的线性子空间，则 V + 中不存在二维非交换李子代数。 证明 令 。假设 V + 中存在二维非交换李子代数，那么 V + 中有基向量x，y， [ x ， y ] = x 。令 x = ∑ i = 1 n k i L a i ， k i ≠ 0 ， y = ∑ j = 1 n k j L β j ， k j ≠ 0 ，那么x与y已按字典序 排列。由 x = [ x ， y ] = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n k i q j [ a i 8 ( b j 1 + b j 2 + b j 3 + b j 4 + b j 5 + b j 6 + b j 7 ) − b j 8 ( a i 1 + a i 2 + a i 3 + a i 4 + a i 5 + a i 6 + a i 7 ) ] × L ( a i 1 + b j 1 ， a i 2 + b j 2 ， a i 3 + b j 3 ， a i 4 + b j 4 ， a i 5 + b j 5 ， a i 6 + b j 6 ， a i 7 + b j 7 ， a i 8 + b j 8 ) ， 则 [ x ， y ] 上的极小项为 L α 1 + β 1 ，极小项系数为 k 1 q 1 [ a 1 8 ( b 1 1 + b 1 2 + b 1 3 + b 1 4 + b 1 5 + b 1 6 + b 1 7 ) − b 1 8 ( a 1 1 + a 1 2 + a 1 3 + a 1 4 + a 1 5 + a 1 6 + a 1 7 ) ] ， 而x的极小项为 ，极小项系数为 k 1 。 由 a 1 i ， b 1 i ∈ Z + ( i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ) ，故 L α 1 + β 1 ≠ L α 1 ，故 k 1 = 0 。而由题意 ∀ k i ≠ 0 ，故 V + 中不存在二维非交换李子代数。 构造7个李代数 A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 ， A 5 ， A 6 ， A 7 。显然它们都是C上线性空间，其基向量都是 L α ( a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 5 ， a 6 ， a 7 ， a 8 ∈ Z ) 。依次作如下定义， A 1 上李运算： [ L α ， L β ] = [ a 1 ( b 8 + b 2 + b 3 + b 4 + b 5 + b 6 + b 7 ) − b 1 ( a 8 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) ] L α + β ， A 2 上李运算： [ L α ， L β ] = [ a 2 ( b 1 + b 8 + b 3 + b 4 + b 5 + b 6 + b 7 ) − b 2 ( a 1 + a 8 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) ] L α + β ， A 3 上李运算： [ L α ， L β ] = [ a 3 ( b 1 + b 2 + b 8 + b 4 + b 5 + b 6 + b 7 ) − b 3 ( a 1 + a 2 + a 8 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) ] L α + β ， A 4 上李运算： [ L α ， L β ] = [ a 4 ( b 1 + b 2 + b 3 + b 8 + b 5 + b 6 + b 7 ) − b 4 ( a 1 + a 2 + a 3 + a 8 + a 5 + a 6 + a 7 ) ] L α + β ， A 5 上李运算： [ L α ， L β ] = [ a 5 ( b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + b 8 + b 6 + b 7 ) − b 5 ( a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 8 + a 6 + a 7 ) ] L α + β ， A 6 上李运算： [ L α ， L β ] = [ a 6 ( b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + b 5 + b 8 + b 7 ) − b 6 ( a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 8 + a 7 ) ] L α + β ， A 7 上李运算： [ L α ， L β ] = [ a 7 ( b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + b 5 + b 6 + b 8 ) − b 7 ( a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 8 ) ] L α + β 。 定理2.5 代数 A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 ， A 5 ， A 6 ， A 7 都与V同构。 证明 ∀ L α ∈ V ，构造 f 20 : V → A 1 ， f 20 ( L α ) = L ( a 8 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 5 ， a 6 ， a 7 ， a 1 ) 。由于 f 20 ( [ L α ， L β ] ) = [ a 8 ( b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + b 5 + b 6 + b 7 ) − b 8 ( a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) ] × L ( a 8 + b 8 ， a 2 + b 2 ， a 3 + b 3 ， a 4 + b 4 ， a 5 + b 5 ， a 6 + b 6 ， a 7 + b 7 ， a 1 + b 1 ) = [ f 20 ( L α ) ， f 20 ( L β ) ] ， 故 ∀ x ， y ∈ V ， f 20 ( [ x ， y ] ) = [ f 20 ( x ) ， f 20 ( y ) ] ，且 f 20 是双射，故 f 20 为同构映射，V与 A 1 同构。 同理， ∀ L α ∈ V ，定义 f 21 ( L α ) = L ( a 1 ， a 8 ， a 3 ， a 4 ， a 5 ， a 6 ， a 7 ， a 2 ) ， f 22 ( L α ) = L ( a 1 ， a 2 ， a 8 ， a 4 ， a 5 ， a 6 ， a 7 ， a 3 ) ， f 23 ( L α ) = L ( a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 8 ， a 5 ， a 6 ， a 7 ， a 4 ) ， f 24 ( L α ) = L ( a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 8 ， a 6 ， a 7 ， a 5 ) ， f 25 ( L α ) = L ( a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 5 ， a 8 ， a 7 ， a 6 ) ， f 26 ( L α ) = L ( a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， a 5 ， a 6 ， a 8 ， a 7 ) ， 则 f 21 ， f 22 ， f 23 ， f 24 ， f 25 ， f 26 都为同构映射，即代数 A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 ， A 5 ， A 6 ， A 7 都与V同构。