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user: 5. 桥梁变形监测处理 5.1. 变形监测数据的粗差探测 桥梁的变形监测要受到外界因素的干扰，从而产生粗差。小波变换后，细节部分的极大值往往是函数的突变点，根据这一特点，利用小波分析进行多层次的分解，通过判断高频系数部分的极大值，进行判断，找出奇异点，从而发现异常点。根据实验结果，选择最优小波基db10小波进行j = 3的分解。 图10为原始信号的曲线图和db10小波分解后低频部分的近似信号图。图11中d1、d2、d3分别为第一层、第二层、第三层分解后的高频信号。从d1来看，t = 4，t = 5，t = 6，t = 7，t = 8，t = 10，t = 12，t = 13，t = 15处存在极值，这些点很有可能是信号的奇异点，可能是粗差。为了确定这些极值是粗差还是正常值，采用以下模型对这些点的数值进行检验 [ 6 ] 。 利用原始数据与小波三层分解后的近似信号的数据之差作为异常值检验的模型，并计算出标准差 的值，采用3 的值作为标准，若原始信号数据与近似信号数据之间的差超过3 ，则为粗差，否则则为环境变化引起的正常值 [ 7 ] 。 图9. 原始数据图像与去噪后的数据图像 图10. 原始信号图像与分解后的低频信号 Table 2 Root mean square error at different levels of decomposition and relative change J 1 2 3 4 5 RMSE k 0.0084 0.0108 0.0120 0.0421 0.0087 r k 1.285 1.111 3.508 0.2066 表2. 不同分解层次的均方根误差以及相对变化 Table 3 Signal to noise ratio of all kinds of wavele Harr小波 Sym6小波 Db6小波 Db10小波 Db3小波 Coif3小波 5.4239 6.6528 6.6991 7.0084 6.2971 6.7846 表3. 各类小波的信噪比 经过计算得到3s = 2.97 mm，各点的近似信号值与实测值的误差如表4所示。 从表4中可以看出，经过粗差探测可知只有7号点的误差绝对值大于3s，所以7号点为粗差点，应对其给予剔除或者修复。 在图11中，从分解的第二层高频信号d2中可以看出前16个观测周期中，有一个约为35的天的信号，这可能是由于桥梁在变形监测过程中存在一个周期性运动的力造成桥梁起伏 [ 8 ] 。从分解的d1和d2层高频系数可知，均为前20期变化较大，后期观测值的变化较小，这表示随着时间的推移，桥梁的下沉量越小。 本文将同时利用近似信号和高频部分的信号进行粗差的修正工作 [ 6 ] ，分为以下三步：1) 对原始信号进行分解，提取高频部分的系数；2) 对系数进行分析，对于系数中的奇异值进行插值，将插值结果替换该奇异值；3) 将替换后的高频系数与低频系数一起进行小波信号重构，再对重构后的信号进行去噪处理。 由图11可知，由于只有d1层的高频系数的奇异值特征显著，所以只对d1层的高频系数进行线性插值。如表5、表6、表7所示。 将插值替换后的高频系数与低频系数进行信号重构，重构后的信号如下图12所示。 粗差点7的实际值与重构后该点的值的绝对误差为1.57 mm，小于3 ，故经过插值替换后的高频系数与低频系数重构的信号已经基本上消除了粗差。利用重构后的信号进行去噪分析，效果更为理想。 图11. 分解后的高频信息 Table 4 Gross error detection result 周数 误差的绝对值 3s = 2.97mm 结果 4 0.7205 <3s 正常点 5 0.2583 <3s 正常点 6 1.2863 <3s 正常点 7 3.0955 >3s 粗差点 8 1.2539 <3s 正常点 10 0.4986 <3s 正常点 12 1.3654 <3s 正常点 13 2.5579 <3s 正常点 15 1.2843 <3s 正常点 表4. 粗差探测结果 图12. 原始信号与重构信号 Table 5 4， 5 Interpolation result 1 2 3 4 5 −0.2007 −0.1596 0.2478 0.5287 −0.6227 − − − 0.5285 −0.6228 表5. 4，5期插值结果 Table 6 6， 7， 8， 10 Interpolation result 6 7 8 9 10 −0.7443 1.611 −0.9219 −0.0323 0.3494 −0.7444 0.3494 −0.9220 − 0.3494 表6. 6，7，8，10期插值结果 Table 7 12， 13， 15 Interpolation result 11 12 13 14 15 −0.1124 −0.3804 0.4436 0.1289 −0.5561 − −0.3804 0.44336 − −0.5562 表7. 12，13，15期插值结果 5.2. 小波阈值去噪 对于桥梁的变形观测数据，其噪声大多集中于高频部分的系数中，比较适用采用小波阈值去噪法进行去噪。小波系数阈值化主要有软阈值去噪和硬阈值去噪两种方法。取阈值 λ = σ 2 log ( N ) ，但无论采用哪种方法都必须确定s的值，且其值一般都是未知的。处理不同的信号，都必须选择一个最佳的分解层数才能实现最佳的去噪效果。分解层数过多，会去除许多有用信号，同时增大计算量，使得计算速度变慢。反之，分解层数过少，则不能达到很好的去噪效果 [ 9 ] 。在实际操作过程中，往往采用小波分解后第一层高频系数的标准偏差的绝对值作为s的估计值 [ 10 ] 。经过计算得到 σ = 0.1158 ； λ = 0.2072 。 当 | w i j | ≥ λ 时， w i j ^ = w i j ；当 | w i j | < λ ， w i j ^ = 0 。该方法为硬阈值去噪法 [ 11 ] 。采用该方法对信号进行去噪后，再重构信号，去噪后的信号如下图13所示。 经计算得硬阈值去噪后的信噪比snr = 26.3735，均方误差RMSE = 0.4709，且由于硬阈值函数含有间断点，仅仅处理小于阈值的数据，而不处理大于阈值的数据。但在实际的信号中，大于阈值的数据往往也含有着噪声数据，所以去噪效果不明显。由图13可以看出硬阈值去噪的效果并不好，图像的平滑度较低。 软阈值去噪法定义如下：当 | w i j | ≥ λ 时， w i j ^ = s i g n ( w i j ) ( | w i j | − λ ) ；当 | w i j | < λ ， w i j ^ = 0 。采用该方法进行去噪后，再重构信号，得到去噪后的信号如下图14所示。 经计算得软阈值去噪后的信噪比snr = 46.5599，均方误差RMSE = 0.0617，且由图14可以看出软阈值去噪后的信号图像已经非常接近于原始信号的图像，去噪后信号的信噪比比硬阈值去噪高，且均方根误差比硬阈值去噪的结果小，图像的平滑度较高。综上所述，软阈值去噪的效果比硬阈值去噪的效果更好。 图13. 去除粗差后的信号与硬阈值去噪后的信号 图14. 去除粗差后的信号与软阈值去噪后的信号 但软阈值法对于大于阈值l的小波系数采用固定的值来进行处理，而噪声分量与小波系数成反比，小波系数越大，噪声分量也就越小。所以采用固定的值进行处理也有一定的缺陷，去噪后的信号的小波系数与原始信号的小波系数之间存在着一定的误差。 由于硬阈值去噪存在间断点的问题，而软阈值去噪存在一定偏差。为弥补两种阈值去噪方法的不足，提出了一种改进后的阈值函数处理方法，其函数表达式如下 [ 12 ] ： w i j ^ = { s i g n ( w i j ) ( | w i j | − λ exp ( | w i j | − λ λ ) ) ，     | w i j | ≥ λ 0 ，       | w i j | < λ (2) 由该函数表达式可知，当阈值很小时，该函数类似于硬阈值函数，但比硬阈值函数更加具有灵活性；当 | w i j | 接近于阈值时，并没有把小波系数变为零，而是采用渐近线逐渐趋于零，使得该函数具有连续性。当 | w i j | 大于阈值时，对小波系数缓慢地进行压缩，小波系数越大，压缩量就越小，当小波系数大于某一临界值时，不再对小波系数进行压缩 [ 13 ] ，这样能达到有效处理信号中存在的噪声的目的。 进行处理，处理结果如下图15所示。 各种阈值函数去噪后的信噪比(snr/db)和均方误差(RMSE)如表9所示。 通过表8可知，硬阈值去噪函数的效果最差，去噪能力最弱；改进后的阈值去噪函数去噪后信号的 图15. 去除粗差后的信号与新阈值去噪后的信号 Table 8 Signal-to-noise ratio and mean square error of various threshold functions after denoisin 方法 性能指标 信噪比(Snr/db) 均方误差(RMSE) 硬阈值去噪法 26.3735 0.4709 软阈值去噪法 46.5599 0.0617 改进后阈值去噪法 46.8592 0.0587 表8. 各种阈值函数去噪后的信噪比和均方误差 信噪比更高，均方误差更小。所以，改进后的阈值去噪函数的去噪效果比软阈值函数去噪的效果更好。 5.3. 去噪结果 通过采用改进后的阈值去噪函数对信号进行去噪效果更佳，去噪后的变形值如表9所示。 去噪后的变形监测数据如表9所示，图16为含有噪声的信号的下沉速度曲线与去噪后的信号的曲线。从图中我们可以看出，前10周，下沉速度较大，噪声比较严重。因为在这段时间内，桥梁建成没多久，是桥梁的沉降沉降较为剧烈的时候，同时由于外界因素的干扰，测量的数据中含有大量的噪声；从10周到第18周，桥梁仍然属于不稳定期，有明显的沉降，沉降数据也含有一些噪声；从19周到31周，桥梁趋于稳定，桥梁下沉速度减慢，但外界环境的干扰，仍然存在噪声；从31周到40周，由相关资料可知，此时桥梁已经试运行一段时间了，桥梁逐渐趋于稳定，测量数据中的噪声也逐渐减少。经过去噪后的信号显得更加的平滑，不仅剔除了数据的粗差，同时也基本消除了噪声的影响，使得数据变得更有规律，利于看出变形的性态和趋势。