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user: 3. 余维2 Bogdanov-Takens分支 在上一节例2的基础上，本节考虑相应的Bogdanov-Takens分支。选取 m 2 和d为BT分支参数，并引入充分小参数矢量 δ = ( δ 1 ， δ 2 ) ，考虑如下开折系统： x ˙ = r 1 x ( 1 − x K 1 ) − α x y a + x − m 1 x ， (3.1a) y ˙ = α e x y a + x − ( m 2 + δ 1 ) y − ( d + δ 2 ) y 2 。 (3.1b) 图4. (a) 余维2尖点 E * ( 2 ) 和渐近稳定结点 E * ( 1 ) ；(b) 余维3 BT奇点(焦点) 首先取线性变换将平衡点移至原点O： X ˙ = F 1 ( X ， Y ) = ∑ i + j = 0 2 a i j ( δ ) X i Y j + O ( | X ， Y | 3 ) ， (3.2a) Y ˙ = G 1 ( X ， Y ) = ∑ i + j = 0 2 b i j ( δ ) X i Y j + O ( | X ， Y | 3 ) ， (3.2b) 再取变换(II)： u = X ， v = F 1 ( X ， Y ) ，上述系统化为 u ˙ = F 2 ( u ， v ) = v ， (3.3a) v ˙ = G 2 ( u ， v ) = ∑ i + j = 0 2 d i j ( δ ) u i v j + O ( | u ， v | 3 ) ， (3.3b) 然后取变换(III)： p = u + d 01 ( δ ) d 11 ( δ ) ， q = v ，又有以下系统： p ˙ = F 3 ( p ， q ) = q ， (3.4a) q ˙ = G 3 ( u ， v ) = ∑ i + j = 0 2 f i j ( δ ) p i q j + O ( | p ， q | 3 ) 。 (3.4b) 令变换(IV)为： w = p ， z = ( 1 − f 02 ( δ ) p ) q ， d t = ( 1 − f 02 ( δ ) p ) d τ ，并将符号 τ 记为 t ，得到新的系统 w ˙ = F 4 ( w ， z ) = z ， (3.5a) z ˙ = G 4 ( w ， z ) = ∑ i + j = 0 2 h i j ( δ ) w i z j + O ( | w ， z | 3 ) 。 (3.5b) 注意 h 20 ( 0 ， 0 ) > 0 且 h 11 ( 0 ， 0 ) = d 11 ( 0 ， 0 ) ≠ 0 ，因此当 δ 在原点的某个小邻域内变化时 h 20 ( δ ) > 0 且 h 11 ( δ ) ≠ 0 。 最后，构造变换(V)： x 1 = h 11 ( δ ) 2 h 20 ( δ ) w ， y 1 = h 11 ( δ ) 3 h 20 ( δ ) 2 z ， d t = h 11 ( δ ) h 20 ( δ ) d τ ，并且仍将符号 τ 写为 t ，则上述系统化为 x ˙ 1 = F 5 ( x 1 ， y 1 ) = y 1 ， (3.6a) y ˙ 1 = G 5 ( x 1 ， y 1 ) = d 1 ( δ ) + d 2 ( δ ) x 1 + x 1 2 + x 1 y 1 + O ( | x 1 ， y 1 | 3 ) ， (3.6b) 其中 d 1 = d 1 ( δ ) = 8 ( 1375 + 28 21 ) 81 α e δ 1 + ( 4713 + 1459 21 ) a 27 α δ 2 + O ( | δ 1 ， δ 2 | 2 ) ， (3.7a) d 2 = d 2 ( δ ) = − 4 ( 170 + 41 21 ) 27 α e δ 1 − ( 401 + 83 21 ) a 6 α δ 2 + O ( | δ 1 ， δ 2 | 2 ) ， (3.7b) 以及 − 1 ∂ d 1 ∂ δ 2 ⋅ ∂ ( d 1 ， d 2 ) ∂ ( δ 1 ， δ 2 ) | δ = 0 = − 4 ( 35 + 3 21 ) 27 α e < 0 ， (3.8) 因此系统(3.1)在余维2尖点处是generic family开折的，并且有展开至二阶项的分支曲线局部近似表示 [ 22 ]，而原点处近似直线的斜率为 k B T = 2 ( 3 − 21 ) 9 a e < 0 。 (i) 鞍–结分支(SN)曲线为 S N = { δ | d 1 = 1 4 d 2 2 }           = { δ | 8 ( 1375 + 28 21 ) 81 α e δ 1 + ( 4713 + 1459 21 ) a 2 7 α δ 2 − 4 ( 5791 + 12422 21 ) 729 α 2 e 2 δ 1 2                           + ( 125897 + 33987 21 ) a 81 α 2 e δ 1 δ 2 + ( 414325 + 88561 21 ) a 2 72 α 2 δ 2 2 + O ( | δ 1 ， δ 2 | 3 ) = 0 } ； (3.9) (ii) Hopf分支(Hopf)曲线为 H o p f = { δ | d 1 = 0 ， d 2 < 0 }                   = { δ | 8 ( 1375 + 28 21 ) 81 α e δ 1 + ( 4713 + 1459 21 ) a 27 α δ 2 + 88 ( 885 + 23 21 ) 243 α 2 e 2 δ 1 2                                   + 2 ( 132765 + 32269 21 ) a 81 α 2 e δ 1 δ 2 + ( 141765 + 30461 21 ) a 2 18 α 2 δ 2 2 + O ( | δ 1 ， δ 2 | 3 ) = 0 } ； (3.10) (iii) 同宿分支(HL)曲线为 H L = { δ | d 1 = − 6 25 d 2 2 ， d 2 < 0 }           = { δ | 8 ( 1375 + 28 21 ) 81 α e δ 1 + ( 4713 + 1459 21 ) a 27 α δ 2 + 8 ( 500179+62085 21 ) 6075 α 2 e 2 δ 1 2                             + 2 ( 4994721 + 1173337 21 ) a 2025 α 2 e δ 1 δ 2 + 37 ( 120555 + 25979 21 ) a 2 450 α 2 δ 2 2 + O ( | δ 1 ， δ 2 | 3 ) = 0 } 。 (3.11) 定理3：对于系统(3.1)及例2中的参数条件，如果取分支参数为 m 2 和 d ，对于平衡点 E * ( 2 ) ，当参数 δ 在原点的某个小邻域内变化时，存在某些参数值使得系统(3.1)出现余维2 Bogdanov-Takens分支。 ■ 例3：按照2.2小节中的例取参数值，有如下鞍–结(红色)，Hopf (绿色)及同宿(蓝色)分支曲线图(见图5)，并将该邻域划分为若干子区域，使得在每个子区域上系统(3.1)展示出不同的动力学行为。叙述如下。 图5. 鞍–结(红色)，Hopf (绿色)及同宿(蓝色)分支曲线 (i) 当 δ = 0 时，存在一个余维2尖点 E * ( 2 ) 和一个渐近稳定的结点 E * ( 1 ) ，见2.2节例2； (ii) 当 δ = ( 0.0001 ， − 1 .953216 × 10 − 5 ) ，即参数 δ 落在区域I上时，存在一个不稳定焦点，一个鞍点和一个稳定结点，(iii)中的同宿环破缺； (iii) 当参数 δ 落在同宿分支曲线上时，存在一个不稳定的焦点，一个鞍点和一个稳定结点，以及一条同宿环； (iv) 当 δ = ( 0.0001 ， − 3 .906377 × 10 − 5 ) ，即参数 δ 落在区域II上时，存在一个不稳定的焦点，一个鞍点和一个稳定结点； (v) 当参数 δ 落在Hopf分支曲线上时，存在一个鞍点和一个稳定结点，以及一个非双曲点(具有一对共轭纯虚本征值)； (vi) 当 δ = ( 0.0001 ， − 3 .906266 × 10 − 5 ) ，即参数 δ 落在区域III上时，存在一个稳定的焦点，一个鞍点和一个稳定结点，结合(iv)知这保证了Hopf分支； (vii) 当 δ 1 = 0.0001 ， δ 2 = 0 ，即参数 δ 落在区域IV上时，存在唯一的稳定结点； (viii) 当参数 δ 落在鞍–结分支曲线 S N 1 上时，存在三个内平衡点； (ix) 当参数 δ 落在鞍–结分支曲线 S N 2 上时，存在唯一的稳定结点。 最后考虑取参数条件(2.2)~(2.4)时系统(3.1)的非退化Hopf分支存在曲线，引入 x = x * + w ， | w | ≪ 1 ，计算 A 1 = 0 及 A 2 > 0 可得 δ 1 ( w ) 和 δ 2 ( w ) ，即 δ 1 = w α e μ a [ e ( ρ − 1 ) α + μ ( m 1 − r 1 ) ] [ ( ( ρ − 1 ) a − w ) e α + μ a ( m 1 − r 1 ) ] [ ( ( 2 ρ 2 + μ − 4 ρ + 1 ) a − 2 w ( ρ − 1 ) ) e 2 α 2 + 4 μ ( ( ρ − 3 / 4 ) a − ( 1 / 2 ) w ) ( m 1 − r 1 ) e α + 2 a μ 2 ( m 1 − r 1 ) 2 ] ， (3.12a) δ 2 = − 1 a [ e ( ρ − 1 ) α + μ ( m 1 − r 1 ) ] 2 ρ ( a ρ − w ) [ ( ( ρ − 1 ) a − w ) e α + μ a ( m 1 − r 1 ) ] 2 [ 2 w α ( ( ( ρ 2 − ρ ) a − w ( ρ − 1 / 2 ) ) ρ ( a ρ − w ) e 4 α 4 + 3 μ ( ( ρ 2 − ( 2 / 3 ) ρ + 1 / 3 ) a − w ( ρ − 1 / 3 ) ) ( ( ρ − 1 / 2 ) a − ( 1 / 2 ) w ) ( m 1 − r 1 ) e 3 α 3 + ( 7 / 2 ) μ 2 ( m 1 − r 1 ) 2 ( ( ρ 2 − ( 8 / 7 ) ρ + 3 / 7 ) a 2 − w ( ρ − 4 / 7 ) a + ( 1 / 7 ) w 2 ) e 2 α 2 + 2 μ 3 ( ( ρ − 3 / 4 ) a − ( 1 / 2 ) w ) a ( m 1 − r 1 ) 3 e α + ( 1 / 2 ) a 2 μ 4 ( m 1 − r 1 ) 4 ) ] 。 (3.12b) 因此系统(3.1)的Hopf分支存在曲线定义为 H p = { δ | ( δ 1 ， δ 2 ) 满 足 ( 3.12 ) ， A 2 > 0 } ， (3.13) 并且曲线Hp在参数平面上原点O处某邻域内近似为一条直线，其斜率为 k H p = lim w → 0 δ 2 ( w ) δ 1 ( w ) ，即 k H p = [ ( m 1 − r 1 ) 3 μ 3 + α e ( 3 ρ − 2 ) ( m 1 − r 1 ) 2 μ 2 + α 2 e 2 ( 4 ρ 2 − 3 ρ + 1 ) ( m 1 − r 1 ) μ + 2 α 3 e 3 ρ 3 ] μ a e ρ 2 [ α e ( 1 − ρ ) + μ ( r 1 − m 1 ) ] [ 2 ( m 1 − r 1 ) 2 μ 2 + α e ( α e + ( 4 ρ − 3 ) ( m 1 − r 1 ) ) μ + α 2 e 2 ( 2 ρ 2 − 4 ρ + 1 ) ] 。 (3.14) 显然在例2的参数条件下，斜率 k H p 退化为 k B T 。按例2的参数值，图6是相应的Hopf分支存在曲线，将参数平面划分为I，II两个区域。当参数 δ 分别落在区域I，II上时，相应平衡点分别为稳定的焦点和不稳定焦点，后者导致极限环产生。 图6. Hopf (Hp)分支曲线