system: [SYSTEM]

user: 4. 分界线和周期解 在这一节中讨论 ε − δ 参数平面上(6)解的稳定性区域。根据上一节的讨论，稳定性区域由从δ-轴上 δ = 0 ， δ = n 2 ( n ≠ 1 / 2 ) 和 δ = 1 / 4 分别出发的分界线所包围而成。下面分别进行讨论。 首先假设参数δ能写成如下展开形式 δ = δ 0 + δ 1 ε + δ 2 ε 2 + ⋯ ， (13) 其中 δ i 是常数，可通过避免久期项来计算。将(8)和(13)带入(6)并且令 ε 的各次幂系统为0，有 θ ¨ 1 + δ 0 θ 1 = 0 ， (14) θ ¨ 2 + δ 0 θ 2 = − ( δ 1 + sin t ) θ 1 − ν sin ( n t + ϕ ) ， (15) θ ¨ 3 + δ 0 θ 3 = − ( δ 1 + sin t ) θ 2 − ( δ 2 θ 1 − 1 6 δ 0 θ 1 3 ) 。 (16) 4.1. δ 0 = 0 将 δ 0 = 0 带入(14)，有 θ 1 = a ，其中 a 为常数依赖初始条件。此时(15)变为 θ ¨ 2 + a ( δ 1 + sin t ) + ν sin ( n t + ϕ ) = 0 。 (17) 如果令 δ 1 为0， θ 2 是周期的。(17)的特解可以写为 θ 2 = a sin t + ν n 2 sin ( n t + ϕ ) 。 (18) 将(18)带入(16)并消去久期项，有 θ 3 = − a 8 cos ( 2 t ) + ν cos [ ( n − 1 ) t + ϕ ] 2 n 2 ( n − 1 ) 2 − ν cos [ ( n + 1 ) t + ϕ ] 2 n 2 ( n + 1 ) 2 . (19) 从δ-轴上 δ 0 = 0 点出发的分界线可以近似表示为 δ = − 1 2 ε 2 ， (20) 分界线上的周期解可以解析地表示为 θ = a ε + [ a sin t + ν n 2 sin ( n t + ϕ ) ] ε 2 + [ − 1 8 a cos ( 2 t ) + ν cos ( ( n − 1 ) t + ϕ ) 2 n 2 ( n − 1 ) 2 − ν cos ( ( n + 1 ) t + ϕ ) 2 n 2 ( n + 1 ) 2 ] ε 3 . (21) 4.2. δ 0 = n 2 (n ≠ 1/2) 将 δ 0 = n 2 带入(14)，得到(14)的通解 θ 1 = a cos ( n t ) + b sin ( n t ) 。 (22) 将(22)带入(15)，(15)变为 θ ¨ 2 + n 2 θ 2 = − ( δ 1 + sin t ) [ a cos ( n t ) + b sin ( n t ) ] − ν sin ( n t + ϕ ) 。 (23) 要 θ 2 为周期解，必须要消去久期项，因此有 ν cos ( ϕ ) + b δ 1 = 0 ， ν sin ( ϕ ) + a δ 1 = 0. (24) a，b是任意依赖初始条件的常数，(24)的非平凡解可以写为 a = 0 ， ϕ = 0 ， δ 1 = − ν b ， 或者 b = 0 ， ϕ = π 2 ， δ 1 = − ν a . 4.2.1. a = 0 ， ϕ = 0 ， δ 1 = − ν b ， 在这种情况下(23)的特解可以表示为 θ 2 = − b cos ( ( n − 1 ) t ) 2 ( 2 n − 1 ) − b cos ( ( n + 1 ) t ) 2 ( 2 n + 1 ) . (25) 通过和前面相同的步骤，可以得到 δ 2 = 4 b 2 n 4 − b 2 n 2 + 4 8 ( 4 n 2 − 1 ) ， θ 3 = − ν cos ( ( n − 1 ) t ) 2 ( 2 n − 1 ) 2 + ν cos ( ( n + 1 ) t ) ( 2 n + 1 ) 2 + b 3 192 sin ( 3 n t ) − b sin ( ( n − 2 ) t ) 16 ( 2 n − 1 ) ( n − 1 ) − b sin ( ( n + 2 ) t ) 16 ( 2 n + 1 ) ( n + 1 ) . (26) 此时分界线可以表示为 δ = n 2 − ν b ε + 4 b 2 n 4 − b 2 n 2 + 4 8 ( 4 n 2 − 1 ) ε 2 . (27) 4.2.2. b = 0 ， ϕ = π / 2 ， δ 1 = − ν / a 在这种情况下分界线和分界线上的周期解可以分别表示为 δ = n 2 − ν a ε + 4 a 2 n 4 − a 2 n 2 + 4 8 ( 4 n 2 − 1 ) ε 2 ， (28) θ = a cos ( n t ) ε + [ a sin ( ( n − 1 ) t ) 2 ( 2 n − 1 ) + a sin ( ( n + 1 ) t ) 2 ( 2 n + 1 ) ] ε 2 + [ ν sin ( ( n − 1 ) t ) 2 ( 2 n − 1 ) 2 − ν sin ( ( n + 1 ) t ) 2 ( 2 n + 1 ) 2 − a cos ( ( n − 2 ) t ) ( 2 n − 1 ) ( n − 1 ) − a cos ( ( n + 2 ) t ) ( 2 n + 1 ) ( n + 1 ) − a 3 192 cos ( 3 n t ) ] ε 3 . (29) 4.3. δ 0 = 1/4 和前面过程类似，可以分为两种情况，下面分别讨论。 4.3.1. a = b 在这种情况下分界线和分界线上的周期解可以分别表示为 δ = 1 4 − 1 2 ε + ( b 2 16 − 1 8 ) ε 2 ， (30) θ = b [ cos ( 1 2 t ) + sin ( 1 2 t ) ] ε + 1 4 [ − b cos ( − 3 2 t ) + b sin ( − 3 2 t ) + 16 ν sin ( n t + ϕ ) 4 n 2 − 1 ] ε 2 + [ b ( b 2 + 6 ) 96 ( cos ( − 3 2 t ) + sin ( − 3 2 t ) ) − b 48 ( cos ( 5 2 t ) + sin ( 5 2 t ) ) + 8 ν cos ( ( n − 1 ) t + ϕ ) ( 2 n + 1 ) ( 2 n − 3 ) ( 2 n − 1 ) 2 − 8 ν cos ( ( n + 1 ) t + ϕ ) ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 1 ) 2 − 8 ν sin ( n t + ϕ ) ( 4 n 2 − 1 ) 2 ] ε 3 . (31) 4.3.2. a = −b 在这种情况下分界线和分界线上的周期解可以分别表示为 δ = 1 4 + 1 2 ε + ( b 2 16 − 1 8 ) ε 2 ， (32) θ = b [ − cos ( 1 2 t ) + sin ( 1 2 t ) ] ε − 1 4 [ b cos ( 3 2 t ) + b sin ( 3 2 t ) − 16 ν sin ( n t + ϕ ) 4 n 2 − 1 ] ε 2 − [ b ( b 2 + 6 ) 96 ( cos ( 3 2 t ) + sin ( 3 2 t ) ) + b 48 ( cos ( 5 2 t ) + sin ( 5 2 t ) ) + 8 ν cos ( ( n − 1 ) t + ϕ ) ( 2 n + 1 ) ( 2 n − 3 ) ( 2 n − 1 ) 2 − 8 ν cos ( ( n + 1 ) t + ϕ ) ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 1 ) 2 + 8 ν sin ( n t + ϕ ) ( 4 n 2 − 1 ) 2 ] ε 3 . (33) 根据上面的解析表达式，在分界线上有无穷多的周期解。以从 δ = 0 出发的分界线为例，在(20)中令 δ = − 0.02 ，则有 ε = 0.2 。另外，令 ν = 0.01 ，n = 0.4， ϕ = 0.15 ，并且取初始条件为 θ ( 0 ) = 0 和 θ ˙ ( 0 ) =0 .001 。直接采用数值方法对(6)进行积分得到倒摆摆角的时程图，相图和时程曲线的傅里叶谱，如图3所示。从图3(c)可以分辨出傅里叶谱中的频率分量为 ω = 0.4 ， 0.6 ， 1 ， 1.4 ⋯ ，这和解析解(21)的结果是吻合的。接下来选取 δ = − 0.02 ， ν = 0.01 ， n = 0.8 ， ϕ = 0.15 ， b = 0.016 ， ε = 0.482 ，此时(31)为近似解析解。直接对(6)进行积分得到时程图，相图和时程曲线的傅里叶谱，如图4所示。从图4(c)可以看到，周期解有频率分量 ω = 0.2 ， 0.5 ， 0.8 ， 1.5 ，这和(31)的结果是吻合的。