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user: 2. 四个单调有界数列 为了使学生便于理解和接受单调有界数列存在极限这一定理，我们从四个大家熟悉的案例中找出了四个单调有界的数列，并对数列的单调性和有界性给出了严格地证明。其中对第一和第二个引例的单调性的证明用到了一定的不等式放缩技巧，也为大家学习和利用不等式放缩提供了一定的方法。 引例1我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来推算圆的面积–割圆术，我们给出了单位圆内接正多边形的面积构成的数列 S n ，并证明了 S n 为单调增加有上界的数列，则可利用单调有界定理判断出数列存在极限。 图1给出了圆内接正三角形和圆内接正四边形，其中正三角形 Δ A B C 的面积为三角形 Δ A O B 的面积的三倍，且圆心角 ∠ A O B 弧度为 2 π 3 ，则可得三角形 Δ A B C 的面积 S 3 为 S 3 = 3 2 sin ( 2 π 3 ) ， (2) 图1. 圆内接正三角形和圆内接正四边形 图1正四边形的面积为三角形 Δ A O B 面积的四倍，且圆心角 ∠ A O B 弧度为 2 π 4 ，可求得正四边形的面积为 S 4 = 4 2 sin ( 2 π 4 ) . (3) 由(2)，(3)式和数学归纳法，可以得到圆内接正n边形的面积为 S n = n 2 sin ( 2 π n ) ， n ≥ 3 ， (4) 由(4)可得 S n + 1 = n + 1 2 sin ( 2 π n + 1 ) = n 2 sin ( 2 π n + 1 ) + 1 2 sin ( 2 π n + 1 ) . (5) 方法1证明数列 S n 单调递增 由(4)和(5)可得 S n + 1 − S n = n 2 ( sin ( 2 π n + 1 ) − sin ( 2 π n ) ) + 1 2 sin ( 2 π n + 1 ) = n 2 ( 2 cos ( 2 n + 1 ) π n ( n + 1 ) sin − π n ( n + 1 ) ) + 1 2 sin 2 π n + 1 > n cos ( ( 2 n + 1 ) π n ( n + 1 ) ) − π n ( n + 1 ) + 1 2 sin 2 π n + 1 = − π n + 1 cos π ( 2 n + 1 ) n ( n + 1 ) + 1 2 sin 2 π n + 1 > − π n + 1 cos 2 π n + 1 + 1 2 sin 2 π n + 1 ， (6) 要使得(6)式大于零，即为 1 2 sin 2 π n + 1 − π n + 1 cos 2 π n + 1 > 0 ， (7) (7)式可变形为 n + 1 2 π sin 2 π n + 1 cos 2 π n + 1 = n + 1 2 π tan 2 π n + 1 > n + 1 2 π ⋅ 2 π n + 1 = 1 ， (8) 由(6)，(8)可得 S n + 1 − S n > 0. (9) 由(9)可得数列 S n 为单调增加数列，且 S n = n 2 sin 2 π n < n 2 2 π n = π ，所以 S n 单调增加有上界，可得数列 S n 存在极限。由重要极限 lim x → 0 sin x x = 1 ，可求得 S n 极限为 lim n → ∞ n 2 sin 2 π n = lim n → ∞ π sin 2 π n 2 π n = π . 方法2证明数列 S n 单调递增 令 f ( x ) = x 2 sin 2 π x ， x ≥ 3 。则 f ′ ( x ) = 1 2 sin 2 π x − π x cos 2 π x ， f ″ ( x ) = − 2 π 2 x 3 sin 2 π x < 0 ， (10) 由(10)得 f ′ ( x ) 为单调递减函数，且由 f ′ ( 3 ) = 1 2 sin 2 π 3 − π 3 cos 2 π 3 = 3 4 + π 6 ， (11) lim x → ∞ f ′ ( x ) = 0 ， (12) 由(11) (12)可得 f ′ ( x ) > 0 ， x ∈ [ 3 ， + ∞ ) 。所以， f ( x ) ， x ∈ [ 3 ， + ∞ ) 为单调递增的函数，即 S n 为单调递增的数列。 方法3证明数列 S n 单调递增 令 f ( x ) = x 2 sin 2 π x ， x ∈ [ n ， n + 1 ] ， n ≥ 3 。则 f ( x ) 满足拉格朗日(微分)中值定理的条件，可得 S n + 1 − S n = f ( n + 1 ) − f ( n ) = f ′ ( ξ ) = 1 2 sin 2 π ξ − π ξ cos 2 π ξ ， ξ ∈ ( n ， n + 1 ) ， (13) 而 f ″ ( ξ ) = − 2 π 2 ξ 3 sin 2 π ξ < 0 ，所以 f ′ ( ξ ) ≥ f ′ ( n + 1 ) = 1 2 sin 2 π n + 1 − π n + 1 cos 2 π n + 1 ， (14) 则(14)化为(6)，所以由方法1可得 S n + 1 − S n > 0 ，即 S n 为单调递增数列。 方法4证明数列 S n 单调递增 令 f ( x ) = x 2 sin 2 π x ， x ≥ 3 。则 f ′ ( x ) = 1 2 sin 2 π x − π x cos 2 π x ， (15) 当 x ∈ [ 3 ， 4 ] 时，由于 sin 2 π x > 0 ， cos 2 π x < 0 ，则可得 f ′ ( x ) > 0 。而 1 2 sin 2 π x π x cos 2 π x = x 2 π tan 2 π x ， (16) 当 x ∈ ( 4 ， + ∞ ) 时， ，则可得 tan 2 π x > 2 π x ，     2 π x ∈ ( 0 ， π 2 ) ， (17) 由(15)，(16)，(17)可得 f ′ ( x ) > 0 。 所以当 x ≥ 3 ， S n 为单调递增数列。 引例2圆内接正 n ( n ≥ 3 ) 边形的周长所组成的数列 为单调递增有上界的数列。我们可以求得 l n = 2 n sin π n ，则 l n + 1 − l n = 2 n ( sin π n + 1 − sin π n ) + 2 sin π n + 1 = 2 n ( 2 cos π ( 2 n + 1 ) 2 n ( n + 1 ) sin − π 2 n ( n + 1 ) ) + 2 sin π n + 1 > − 2 n cos ( π ( 2 n + 1 ) 2 n ( n + 1 ) ) π 2 n ( n + 1 ) + 2 sin π n + 1 = − 2 π n + 1 cos π ( 2 n + 1 ) 2 n ( n + 1 ) + 2 sin π n + 1 > − 2 π n + 1 cos π n + 1 + 2 sin π n + 1 ， (18) 要使(18)大于零，即为 2 sin π n + 1 − 2 π n + 1 cos π n + 1 > 0 ， (19) 而 2 sin π n + 1 2 π n + 1 cos π n + 1 = n + 1 π tan π n + 1 > n + 1 π ⋅ π n + 1 = 1. (20) 由(20)可得(19)成立.则可得数列 { l n } 为单调递增数列，而 2 n sin π n < 2 n π n = 2 π ， (21) 由(21)可得数列 { l n } 为单调增加有上界的数列，可得极限为 lim n → ∞ 2 n sin π n = lim n → ∞ 2 n sin π n π n = 2 π . 引例3曲边三角形的面积。 计算由曲线 y = x 2 和直线 y = 0 ， x = 1 围成的曲边三角形的面积S，如图2所示。由于为曲边三角形，不能直接使用三角形面积公式计算其面积。我们用分点 1 n ， 2 n ， 3 n ， ⋯ ， n − 1 n ， ( n > 1 ) 将区间 [ 0 ， 1 ] 分为长度相等的n个小段，以每个小段为底作矩形，包含在曲边三角形内，每个矩形宽为 1 n ，高分别为每个区间的右端点对应的函数值，即为 ( 1 n ) 2 ， ( 2 n ) 2 ， ( 3 n ) 2 ， ⋯ ， ( n − 1 n ) 2 ， 1 ，则这些小矩形面积之和，即台阶形面积为 图2. 曲边三角形的面积与台阶形矩形的面积之间的关系 s n = 1 n 2 ⋅ 1 n + 2 2 n 2 ⋅ 1 n + ⋯ + ( n − 1 ) 2 n 2 ⋅ 1 n + 1 ⋅ 1 n = 1 n 3 [ 1 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + ( n − 1 ) 2 + n 2 ] = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 n 3 ， (22) 即 s n = 1 3 + 1 2 n + 1 6 n 2 ， (23) 则 s n + 1 为 s n + 1 = 1 3 + 1 2 ( n + 1 ) + 1 6 ( n + 1 ) 2 ， (24) 由(23) (24)可得 s n + 1 − s n = 1 2 ( n + 1 ) − 1 2 n + 1 6 ( n + 1 ) 2 − 1 6 n 2 = − n 2 − 3 n − 1 n 2 ( n + 1 ) 2 < 0 ， (25) 由(25)可得 { s n } 为单调递减数列，且满足 s n > 1 3 ， s n 即为单调减少有下界的数列，可以求得其极限为 lim n → ∞ ( 1 3 + 1 2 n + 1 6 n 2 ) = 1 3 . 引例4《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去，如图3所示。 图3. 一尺之棰截取二分之一后的图形 把每天截下部分的长度列出，可得数列为 A n = 1 2 n ，由 A n = 1 2 n ， A n + 1 A n = 1 2 n + 1 1 2 n = 1 2 ， 可得， A n 为单调递减的数列，且由 A n > 0 ，得 A n 为有下界的数列，所以 A n 的极限存在，可以求得其极限为 lim n → ∞ A n = lim n → ∞ 1 2 n = 0. 以上四个例子大家中学时都已经接触到，但中学时并没有给出相应的数列，但我们从直观上很容易判断随着圆内接正多边形的边数不断增加，面积会不断增加，且面积越来越接近圆的面积，但不会超过圆的面积。我们从中找到了单调增加有上界数列的情况。其中第三个例子，当高分别取每个区间左端点的时候对应单调增加有上界的数列 A n = 1 3 − ( 1 2 n − 1 6 n 2 ) 。同学们通过这些实际的例子更容易学以致用，同时，这些例子也增加了学习的趣味性，使得定理的应用不那么单调，也使得教学内容真正为培养应用型人才转变。