system: [SYSTEM]

user: 2. 数学模型和有限差分格式 如图1所示，多孔介质封闭方形腔体中，充满流体。假设腔体上壁是绝热的，腔体下壁和左壁持续加热，右壁进行冷却保持恒温。由于存在温度梯度和浓度梯度而产生浮力比，从而产生自然对流传热传质。 图1. 系统简图 引入Boussinesq假设及Darcy定律，并引进无量纲变量，考虑如下双扩散自然对流方程 [ 8 ] ： ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0   ， (1) ∂ u ∂ t = − ∂ p ∂ x + P r ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 ) − 1 ε ( ∂ u 2 ∂ x + ∂ u v ∂ y 2 ) − P r D a u − 1.75 u 2 + v 2 150 D a ε u   ， (2) ∂ u ∂ t = − ∂ p ∂ y + P r ( ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 ) − 1 ε ( ∂ v 2 ∂ y + ∂ u v ∂ x ) − P r D a v − 1.75 u 2 + v 2 150 D a ε v + P r R a ( θ + M S ) ， (3) ∂ θ ∂ t = ( ∂ 2 θ ∂ x 2 + ∂ 2 θ ∂ y 2 ) − ( ∂ u θ ∂ x + ∂ v θ ∂ y ) ， (4) ∂ S ∂ t = 1 L e ( ∂ 2 S ∂ x 2 + ∂ 2 S ∂ y 2 ) − ( ∂ u S ∂ x + ∂ v S ∂ y ) . (5) 这里x和y分别是水平方向和垂直方向上的无量纲坐标，u，v分别是x，y方向上的速度分量， θ 和S分别表示无量纲温度和浓度；p是无量纲压力参数。另外， P r   ， ε ， D a   ， R a ， M   ， L e 分别是普朗特数，多孔介质的孔隙度，达西数，雷利数，浮力比和刘易斯数，它们将对流动，换热和传质产生重要影响。 初始条件：当t = 0时，对于 0 ≤ x ， y ≤ 1 u ( x ， y ) = 0 = v ( x ， y ) ， θ ( x ， y ) = 0 ， S ( x ， y ) = 0. (6) 边界条件：当t > 0时 u ( x ， 1 ) = u ( x ， 0 ) = u ( 0 ， y ) = u ( 1 ， y ) = 0 ， (7) v ( x ， 0 ) = v ( x ， 1 ) = v ( 0 ， y ) = v ( 1 ， y ) = 0 ， (8) θ ( x ， 0 ) = 1 ， ∂ θ ∂ y ( x ， 1 ) = 0 ， (9) θ ( 0 ， y ) = 1 ， θ ( 1 ， y ) = 0 ， (10) S ( x ， 0 ) = 1 ， ∂ S ∂ y ( x ， 1 ) = 0 ， (11) S ( 0 ， y ) = 1 ，           S ( 1 ， y ) = 0. (12) 设 Δ x ， Δ y 分别是x方向和y方向的空间步长， Δ t 表示时间步长， N = [ T / Δ t ] ，通过在点 ( x i ， y k ， t n ) 处离散 θ ， p ， S ，在点 ( x j + 1 2 ， y k ， t n ) 处离散u，在点 ( x j ， y k + 1 2 ， t n ) 处离散v，可以得到下列交错网格有限差分格式： u j + 1 2 ， k n + 1 − u j − 1 2 ， k n + 1 Δ x + v j ， k + 1 2 n + 1 − v j ， k − 1 2 n + 1 Δ y = 0 (13) u j + 1 2 ， k n + 1 − u j + 1 2 ， k n Δ t = − p j + 1 ， k n − p j ， k n Δ x + P r ( u j + 3 2 ， k n − 2 u j + 1 2 ， k n + u j − 1 2 ， k n Δ x 2 + u j + 1 2 ， k + 1 n − 2 u j + 1 2 ， k n + u j + 1 2 ， k − 1 n Δ y 2 )     − 1 ε ( ( u 2 ) j + 1 ， k n − ( u 2 ) j ， k n Δ x + ( u v ) j + 1 2 ， k + 1 2 n − ( u v ) j + 1 2 ， k − 1 2 n Δ y )     − P r ε D a u j + 1 2 ， k n − 1.75 u j + 1 2 ， k n ( u 2 ) j + 1 2 ， k n + ( v 2 ) j + 1 2 ， k n 150 D a ε (14) v j ， k + 1 2 n + 1 − v j ， k + 1 2 n Δ t = − p j ， k + 1 n − p j ， k n Δ y + P r ( v j + 1 ， k + 1 2 n − 2 v j ， k + 1 2 n + v j − 1 ， k + 1 2 n Δ x 2 + v j ， k + 3 2 n − 2 v j ， k + 1 2 n + v j ， k − 1 2 n Δ y 2 )     − 1 ε ( ( v 2 ) j ， k + 1 n − ( v 2 ) j ， k n Δ y + ( u v ) j + 1 2 ， k + 1 2 n − ( u v ) j − 1 2 ， k + 1 2 n Δ x ) − P r ε D a v j ， k + 1 2 n     − 1.75 v j ， k + 1 2 n ( u 2 ) j + 1 2 ， k n + ( v 2 ) j ， k + 1 2 n 150 D a ε + P r R a ( θ j ， k + 1 2 n + N S j ， k + 1 2 n ) (15) θ j ， k n + 1 − θ j ， k n Δ t = ( θ j + 1 ， k n − 2 θ j ， k n + θ j − 1 ， k n Δ x 2 + θ j ， k + 1 n − 2 θ j ， k n + θ j ， k − 1 n Δ y 2 )     − ( ( u θ ) j + 1 2 ， k n − ( u θ ) j − 1 2 ， k + 1 2 n Δ x + ( v θ ) j ， k + 1 2 n − ( v θ ) j ， k − 1 2 n Δ y ) (16) S j ， k n + 1 − S j ， k n Δ t = 1 L e ( S j + 1 ， k n − 2 S j ， k n + S j − 1 ， k n Δ x 2 + S j ， k + 1 n − 2 S j ， k n + S j ， k − 1 n Δ y 2 )     − ( ( u S ) j + 1 2 ， k n − ( u S ) j − 1 2 ， k n Δ x + ( v S ) j ， k + 1 2 n − ( v S ) j ， k − 1 2 n Δ y ) (17) 将(14)式和(15)式代入(13)式得到关于p的泊松方程： p j + 1 ， k n − 2 p j ， k n + p j − 1 ， k n Δ x 2 + p j ， k + 1 n − 2 p j ， k n + p j ， k − 1 n Δ y 2 = R 2     ( n = 0 ， 1 ， ⋯ ， N ) (18) R n = ( u ˜ j + 1 2 ， k n − u ˜ j − 1 2 ， k n ) + ( v ˜ j ， k + 1 2 n − v ˜ j ， k − 1 2 n ) 其中， u ˜ j + 1 2 ， k n = u j + 1 2 ， k n Δ x Δ t + P r ( u j + 3 2 ， k n − 2 u j + 1 2 ， k n + u j - 1 2 ， k n Δ x 3 + u j + 1 2 ， k + 1 n − 2 u j + 1 2 ， k n + u j + 1 2 ， k - 1 n Δ x Δ y 2 )     − 1 ε ( ( u 2 ) j + 1 ， k n − ( u 2 ) j ， k n Δ x 2 + ( u v ) j + 1 2 ， k + 1 2 n − ( u v ) j + 1 2 ， k − 1 2 n Δ x Δ y ) − P r ε Δ x D a u j + 1 2 ， k n     − 1.75 u j + 1 2 ， k n ( u 2 ) j + 1 2 ， k n + ( v 2 ) j + 1 2 ， k n Δ x 150 D a ε v ˜ j ， k + 1 2 n = u j ， k + 1 2 n Δ y Δ t + P r ( v j + 1 ， k + 1 2 n − 2 v j ， k + 1 2 n + u j -1 ， k + 1 2 n Δ x 2 Δ y + v j ， k + 3 2 n − 2 v j ， k + 1 2 n + v j ， k - 1 2 n Δ y 3 )     − 1 ε ( ( v 2 ) j ， k + 1 n − ( u 2 ) j ， k n Δ y 2 + ( u v ) j + 1 2 ， k + 1 2 n − ( u v ) j − 1 2 ， k + 1 2 n Δ x Δ y ) − P r ε Δ y D a v j ， k + 1 2 n     − 1.75 v j ， k + 1 2 n ( u 2 ) j ， k + 1 2 n + ( v 2 ) j ， k + 1 2 n Δ y 150 D a ε + P r R a Δ y ( θ j ， k + 1 2 n + M S j ， k + 1 2 n )