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user: 2. 演化系统理论研究方法 我们介绍一下研究量子演化系统的一般理论方法。在上面介绍的绝热几何相位 γ = i ∫ 〈 ψ | ∂ ∂ t | ψ 〉 d t 中 [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]，状态函数 | ψ 〉 是瞬时定态Schrödinger方程 H ^ ( t ) | ψ 〉 = E | ψ 〉 的瞬时本征态。但在这里要指出，“瞬时定态Schrödinger方程”和“瞬时本征态”这两个概念在本质上是错误的。它们是不应该存在的概念。实际上，一旦哈密顿量算符含时，瞬时定态Schrödinger方程 H ^ ( t ) | ψ 〉 = E | ψ 〉 便不再严格成立，只有 原始的Schrödinger方程 H ^ ( t ) | ψ 〉 = i ℏ ∂ ∂ t | ψ 〉 才仍旧成立。那么几何相位 γ = i ∫ 〈 ψ | ∂ ∂ t | ψ 〉 d t 中的状态函数 | ψ 〉 是什么？如果它是Schrödinger方程 H ^ ( t ) | Ψ 〉 = i ℏ ∂ ∂ t | Ψ 〉 的解，但是Schrödinger方程的解又含有几何 相位因子 exp ( i γ ) ，几何相位 γ 也含有Schrödinger方程的解(态函数 | ψ 〉 )，这一逻辑很不自洽。所以，料想几何相位 γ 中的状态函数 | ψ 〉 不可能是Schrödinger方程的解。研究者相信，存在某个算符 I ^ ( t ) ，它具有本征值方程 I ^ ( t ) | ψ 〉 = σ | ψ 〉 ，其本征态就是几何相位 γ 中的状态函数 | ψ 〉 。1969年Lewis和Riesenfeld提出了一个不变量理论 [ 24 ]，解决了这个问题。在该理论中，不直接求含时Schrödinger方程 H ^ ( t ) | Ψ 〉 = i ℏ ∂ ∂ t | Ψ 〉 ，改求某个不变量 I ^ ( t ) 的本征值方程 I ^ ( t ) | ψ 〉 = σ | ψ 〉 ，而Schrödinger方程的解 | Ψ 〉 与 不变量 I ^ ( t ) 的本征态 | ψ 〉 只相差一个相位因子，该相位因子的相位为(非循回)几何相位与动力学相位之和 [ 24 ]。Lewis-Riesenfeld不变量 I ^ ( t ) 满足(或定义为)： ∂ I ^ ( t ) ∂ t + 1 i ℏ [ I ^ ， H ^ ] = 0 [ 24 ]。此方程右边为零，体现 不变量 I ^ ( t ) 的本征值 σ 是一个常数(守恒量)。读者也许可以看出，此方程是分析力学中正则哈密顿方程的量子力学版本(对守恒量)。这样，根据Lewis-Riesenfeld不变量理论 [ 24 ]，含时Schrödinger方程 H ^ ( t ) | Ψ 〉 = i ℏ ∂ ∂ t | Ψ 〉 的特解为 | Ψ σ ( t ) 〉 = exp ( 1 i Φ σ ) | ψ σ ( t ) 〉 ，相位 Φ σ ( t ) = 1 ℏ ∫ 0 t 〈 ψ σ ( t ′ ) | [ H ^ ( t ′ ) − i ℏ ∂ ∂ t ′ ] | ψ σ ( t ′ ) 〉 d t ′ ，其中 1 ℏ ∫ 0 t 〈 ψ σ ( t ′ ) | H ^ ( t ′ ) | ψ σ ( t ′ ) 〉 d t ′ 是普通的动力学相位， 1 ℏ ∫ 0 t 〈 ψ σ ( t ′ ) | [ − i ℏ ∂ ∂ t ′ ] | ψ σ ( t ′ ) 〉 d t ′ 是非循环、非绝热过程中呈现几何特性的相位 [ 24 ]。含时Schrödinger方程 的通解为上述所有特解的线性叠加。虽然Lewis-Riesenfeld理论早在1969年提出 [ 24 ]，但是当时并没有对后一相位的几何整体特性作特别钻研。 我们可以看出，Lewis-Riesenfeld理论并没有直接求含时Schrödinger方程的解，而是改弦易辙，把目 标放在求不变量本征态上。这也说明，Lewis-Riesenfeld不变量 I ^ ( t ) 方程 ∂ I ^ ( t ) ∂ t + 1 i ℏ [ I ^ ， H ^ ] = 0 和 I ^ ( t ) | ψ 〉 = σ | ψ 〉 [ 24 ] 合在一起时具有含时Schrödinger方程 H ^ ( t ) | Ψ 〉 = i ℏ ∂ ∂ t | Ψ 〉 的功能。态的演化，其实 就是满足某个么正群对称性下的么正变换。此二法(即不变量方法 [ 24 ] 与Schrödinger方程法)都是同一么正群的不同的等价表示而已。这让我们回忆起规范理论中的另一个现象：矢量规范场与物质场都是么正群的表示。确实如此，无源矢量规范场方程即Yang-Mills方程 ∂ μ F μ ν − i g [ A μ ， F μ ν ] = 0 [ 25 ] 与Lewis-Riesenfeld不变量 I ^ ( t ) 方程 ∂ I ^ ( t ) ∂ t + 1 i ℏ [ I ^ ， H ^ ] = 0 [ 24 ] 在结构上比较相似(只不过前者定义在四维时空内， 后者仅仅定义在一维时间上)；物质场方程如狄拉克方程和Schrödinger方程都含协变导数 ( ∂ μ − i g A μ ) ψ ， 而含时方程 H ^ ( t ) | Ψ 〉 = i ℏ ∂ ∂ t | Ψ 〉 也含有协变导数，即 ( ∂ ∂ t − 1 i ℏ H ^ ( t ) ) | Ψ 〉 ，故而两者在结构上也十分相似。 这样一比较，我们认识到Lewis-Riesenfeld不变量 [ 24 ] 为什么必须呈现的理由了。具体说来， 类似群有基础表示，同时也有伴随表示一样，Lewis-Riesenfeld不变量方程(正则哈密顿方程的量子力学版本)好比是Schrödinger方程(基础表示)的伴随表示(这是作者个人的一家之言)。 当然，Lewis-Riesenfeld含时不变量 I ^ ( t ) [ 24 ] 的本征态仍旧难以求解。于是在1991年，Gao等人提出了一种么正变换方法(全名叫“与不变量有关的么正变换方法”) [ 26 ]。通过对不变量 I ^ ( t ) 的本征值方程 I ^ ( t ) | ψ 〉 = σ | ψ 〉 、不变量方程 ∂ I ^ ( t ) ∂ t + 1 i ℏ [ I ^ ， H ^ ] = 0 [ 24 ] 以及含时Schrödinger方程 H ^ ( t ) | Ψ 〉 = i ℏ ∂ ∂ t | Ψ 〉 三者 施行么正变换 V ^ [ 26 ]，将含时不变量 I ^ ( t ) 化为了一个不含时的不变量 I ^ V ，该么正变换总的思想是将含时不变量 I ^ ( t ) 和含时哈密顿量 H ^ ( t ) 对角化，这样求解就变得更为容易 [ 26 ]。经过么正变换，新的哈密顿量 算符变为 H ^ V ( t ) = V ^ + H ^ ( t ) V ^ − i ℏ V ^ + ∂ ∂ t V ^ [ 26 ]。如此一来，新的一项 − i ℏ V ^ + ∂ ∂ t V ^ 的规范势特点十分明显。这样的结构，显然满足普通的规范变换。新的这一项 − i ℏ V ^ + ∂ ∂ t V ^ (可以称为几何相联络或几何相规范势) 会导致几何相位。几何相位与该系统哈密顿量参数空间中的几何构型有关 [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]。如果哈密顿量不含时，那么这样的么正变换也是不含时的(即在时间轴上，这是一个整体规范变换，不再是一个局域规范 变换了)，新的这一项 − i ℏ V ^ + ∂ ∂ t V ^ 就变为零了，量子系统也就不含几何相位了。 不变量理论 [ 24 ] 及其么正变换方法 [ 26 ] (应用广泛 [ 27 ] [ 28 ] )，其意义有：(1) 将量子力学算符方程化为了不变量算符内的参量代数方程(虽然这组方程是非线性的，仍旧难以求解，需要依靠数值计算)，使得求解在形式上变得容易；(2) 回避了量子力学复杂的编时乘积和时序算符方法。我们知道，在Schrödinger 方程 H ^ ( t ) | Ψ 〉 = i ℏ ∂ ∂ t | Ψ 〉 中，如果哈密顿量 H ^ 不含时，那么方程的形式解很简单，它是 | Ψ ( t ) 〉 = exp ( 1 i ℏ H ^ t ) | Ψ ( 0 ) 〉 。但是如果哈密顿量 H ^ 含时，有人如果要将Schrödinger方程的解写为 | Ψ ( t ) 〉 = exp ( 1 i ℏ ∫ H ^ ( t ) d t ) | Ψ ( 0 ) 〉 ，这就错误。这是因为不同时刻的哈密顿量如 H ^ ( t 1 ) 与 H ^ ( t 2 ) 不可对易， 上面的解并不正确。不可对易算符的微积分与传统可对易数的微积分大不相同，前者十分复杂，涉及编时乘积问题。而Lewis-Riesenfeld不变量方法则回避了这个难题，因此该方法可望在量子场论中也有应用意义 [ 27 ] [ 28 ]。 对于量子力学系统，根据不同的参数条件，有三种相位值得注意，分别是：Berry相位(它是绝热、循回几何相位) [ 9 ]、Aharonov-Anadan相位(非绝热、循回几何相位) [ 29 ]、Lewis-Riesenfeld相位(非绝热、非循回几何相位) [ 24 ]。后者便是在Lewis-Riesenfeld不变量理论中计算得到的相位。Berry相位和Aharonov-Anadan相位因为是在哈密顿量参数在循回条件下定义，其拓扑秉性最为明显，即其相位大小就是哈密顿量参数空间内量子系统演化路径所张开的立体角 [ 9 ] [ 20 ]。Lewis-Riesenfeld相位的这一拓扑特点不明显 [ 24 ]，但是值得一提的是，它的微分形式也具有立体角微元的形式，因此在局域意义上，我们认为其亦有拓扑秉性。 我们叙述了有关几何相位的研究历史。下面扼要说明一下其应用。上面已经提到，只要哈密顿量含有演化参数，量子系统必然呈现等效的规范势、等效的“磁场”和通量，出现几何相位。这样的系统比较容易在实验上构造。几何相位因为其无色散性 [ 2 ]、规范不变性，不受动量和能量等动力学物理量的直接影响，只与参数空间演化路径几何构型有关，因此，几何相位在物理学各个分支中都有研究，包括量子力学 [ 30 ] - [ 36 ]、量子光学 [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]、原子物理学 [ 42 ] [ 43 ]、核物理学 [ 44 ]、规范理论 [ 45 ]、引力理论 [ 46 ]、凝聚态物理学 [ 47 ] [ 48 ]、分子物理/化学反应等领域 [ 49 ] 和量子计算 [ 44 ] [ 50 ] 等。具体介绍各个应用并非本文重点，但我们可以举若干简单例子(这些例子中的哈密顿量数学形式在后半文需要涉及)。