system: [SYSTEM]

user: 2. 定理1.1的证明 为了证明我们的结论，需要下面四个引理。 引理2.1：如果p是一个素数， 满足 m < a 且 χ 是一个模 p a 的本原特征，则我们有 ∑ u = 1 p a − m χ ( 1 + u p m ) = 0 。 证明：设 U = { 1 + u p m ¯ | 1 ≤ u ≤ p a − m } 是 ( Z / p a Z ) * 的一个子群。定义一个同态 f : ( Z / p a Z ) * → ( Z / p m Z ) *               a ¯ ↦ a ¯ ， 我们得到 ker   f = U 。事实上，设 b ¯ = 1 + u p m ¯ ∈ U ，我们有 f ( b ¯ ) = b ¯ = 1 ¯ ( mod p m ) 和 U ⊂ ker f 。因为 # ker f = φ ( p a ) φ ( p m ) = p a − 1 ( p − 1 ) p m − 1 ( p − 1 ) = p a − m = # U ， 又由第一同构定理，我们有 ( Z / p a Z ) * / ker f ≅ ( Z / p m Z ) * ， 所以 ker   f = U 。而且，因为 χ 是一个模 p a ( a > m ) 的本原特征， χ | U 在U上是一个非平凡特征。由狄利克雷特征的正交性，我们得到 ∑ s ∈ U χ ( s ) = 0 = ∑ u = 1 p a − m χ ( 1 + u p m ) 。 引理2.2 ( [ 1 ] ，引理2.4)：如果p是一个素数，自然数 a ， m ， r ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r 满足 a − m − 1 ≥ 0 ，则我们有 ∑ 1 ≤ k ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ≤ p a gcd ( b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ， p a ) = p m 1 = ( p a − m ) r − ( p a − m − 1 ) r 。 引理2.3 ( [ 7 ] ，引理2.1])：设p是一个素数，n是一个正整数，且 χ 是一个模 p n 的本原的狄利克雷特征，如果m是一个正整数且 1 ≤ m < n ，则我们有 ∑ 1 ≤ k ≤ p n − m gcd ( k ， p ) = 1 χ ( k p m + 1 ) = { 0 ，     1 ≤ m < n − 1 ; − 1 ，         m = n − 1. 引理2.4 ( [ 7 ] ，引理2.4])：设p是一个素数，n是一个正整数，且 χ 是一个模 p n 的非平凡的狄利克雷特征，再设 p l ( 1 ≤ l ≤ n ) 是 χ 的导子，如果m是一个正整数且 ，则我们有 ∑ 1 ≤ k ≤ p n − m gcd ( k ， p ) = 1 χ ( k p m + 1 ) = { φ ( p n − m ) ，     l ≤ m < n ; − p n − l ，         m = l − 1 ; 0 ，             1 ≤ m < l − 1. 定理1.1的证明： 记 。其中 χ n 为一个模n的狄利克雷特征，存在 使得 gcd ( s ， t ) = 1 ，且成立下面等式： f ( s t ) = ∑ 1 ≤ k ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ≤ s t gcd ( k ， s t ) = 1 gcd ( k − 1 ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ， s t ) χ s t ( k ) = ∑ 1 ≤ k 1 ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ≤ s gcd ( k 1 ， s ) = 1 ∑ 1 ≤ k 2 ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ≤ t gcd ( k 2 ， t ) = 1 gcd ( k 1 t + k 2 s − 1 ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ， s t ) χ s ( k 1 t + k 2 s ) χ t ( k 1 t + k 2 s ) = ∑ 1 ≤ k 1 ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ≤ s gcd ( k 1 ， s ) = 1 ∑ 1 ≤ k 2 ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ≤ t gcd ( k 2 ， t ) = 1 gcd ( k 1 t − 1 ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ， s ) gcd ( k 2 s − 1 ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ， t ) χ s ( k 1 t ) χ t ( k 2 s ) = f ( s ) f ( t ) (4) 从(4)式我们可以看出f是积性函数，而且每一个模k的狄利克雷特征 χ 都能够被唯一的写成这种形式的乘积 χ = χ k 1 χ k 2 ⋯ χ k r ，其中 k = k 1 k 2 ⋯ k r ， gcd ( k i ， k j ) = 1 ， i ≠ j ，且 χ k i 是模 k i 的特征。再者，如果 χ 是本原的，则每一个 χ k i 模 k i 也是本原的。因此如果我们能证明对每一个 p a ，有 f ( p a ) = φ ( p a ) 成立，那么定理1的证明就完成了。为此，我们现在来计算 f ( p a ) ： f ( p a ) = ∑ 1 ≤ k ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ≤ p a gcd ( k ， p a ) = 1 gcd ( k − 1 ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ， p a ) χ p a ( k ) = ∑ 1 ≤ k ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ≤ p a gcd ( k − 1 ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ， p a ) χ p a ( k ) = ∑ 1 ≤ k ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ≤ p a gcd ( k − 1 ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ， p a ) ≠ 1 gcd ( k − 1 ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ， p a ) χ p a ( k ) + ∑ 1 ≤ k ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ≤ p a gcd ( k − 1 ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ， p a ) = 1 χ p a ( k ) = ∑ m = 1 a ∑ 1 ≤ k ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ≤ p a gcd ( k − 1 ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ， p a ) = p m p m χ p a ( k ) − ∑ m = 1 a ∑ 1 ≤ k ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ≤ p a gcd ( k − 1 ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ， p a ) = p m χ p a ( k ) + ∑ 1 ≤ b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ≤ p a ∑ 1 ≤ k ≤ p a χ p a ( k ) = ∑ m = 1 a ∑ 1 ≤ k ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ≤ p a gcd ( k − 1 ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ， p a ) = p m ( p m − 1 ) χ p a ( k ) + ∑ 1 ≤ b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ≤ p a 0 上面最后一个等式是由引理2.3得到，最后由引理2.1，我们有： f ( p a ) = φ ( p a ) + ∑ m = 1 a − 1 ( p m − 1 ) ∑ 1 ≤ b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ≤ p a gcd ( b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ， p a ) = p m 0 = φ ( p a ) 。 所以我们完成了定理1.1的证明。