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user: 4. 四元联合寿险精算模型 本章是第三章的推广，即在随机利率下由一元寿险精算模型向四元联合寿险精算模型的推广。 这一章我们主要讨论四元联合生存状态和最后生存者状态下的有关问题。 4.1. 死亡保单年度末给付的死亡保险 对于联合体M购买保险金为1的终身死亡保险。在联合生存状态下，假设 ( x y w z ) 的终止时刻为 T ( x y w z ) ，则保险金给付的时刻为 K ( x y w z ) + 1 。那么它的精算现值为 A x y w z = E [ e − δ ( t ) ] = E B E N E T [ e − δ ( t ) ] = E B E N [ ∑ j = 0 ∞ e − δ ( j + 1 ) p j x y w z q x + j : y + j : w + j : z + j ] = ∑ j = 0 ∞ e − δ ( j + 1 ) E B [ e − α | B ( j + 1 ) | ] E N [ e − β N ( j + 1 ) ] p j x y w z q x + j : y + j : w + j : z + j = 2 ∑ j = 0 ∞ e − δ ( j + 1 ) e 1 2 α 2 ( j + 1 ) [ 1 − Φ ( α j + 1 ) ] e λ ( j + 1 ) ( e − β − 1 ) p j x y w z q x + j : y + j : w + j : z + j . (4-1) 在最后生存者状态下，假设 ( x y w z ¯ ) 的终止时刻为 T ( x y w z ¯ ) ，则保险金给付的时刻为 K ( x y w z ¯ ) + 1 。那么它的精算现值为 A x y w z ¯ = E [ e − δ ( t ) ] = E B E N E T [ e − δ ( t ) ] = E B E N [ ∑ j = 0 ∞ e − δ ( j + 1 ) ( q j + 1 x y w z ¯ − q j x y w z ¯ ) ] = ∑ j = 0 ∞ e − δ ( j + 1 ) E B [ e − α | B ( j + 1 ) | ] E N [ e − β N ( j + 1 ) ] ( q j + 1 x y w z ¯ − q j x y w z ¯ ) = 2 ∑ j = 0 ∞ e − δ ( j + 1 ) e 1 2 α 2 ( j + 1 ) [ 1 − Φ ( α j + 1 ) ] e λ ( j + 1 ) ( e − β − 1 ) ( q j + 1 x y w z ¯ − q j x y w z ¯ ) . (4-2) 4.2. 期初领取的生存年金 对于联合体M参加单位保额的终身生存年金。在联合生存状态下，假设 ( x y w z ) 的终止时刻为 T ( x y w z ) ，则年金领取的时间长度为 K ( x y w z ) + 1 。那么它的精算现值为 a ¨ x y w z = E [ a ¨ K ( x y w z ) + 1 ] = E B E N E T [ ∑ j = 0 ∞ e − δ ( j ) I { K ( x y w z ) ≥ j } ] = ∑ j = 0 ∞ e − δ j E B [ e − α | B ( j ) | ] E N [ e − β N ( j ) ] p j x y w z = 2 ∑ j = 0 ∞ e − δ j e 1 2 α 2 j [ 1 − Φ ( α j ) ] e λ j ( e − β − 1 ) p j x y w z . (4-3) 在最后生存者状态下，假设 ( x y w z ¯ ) 的终止时刻为 T ( x y w z ¯ ) ，则年金领取的时间长度为 K ( x y w z ¯ ) + 1 那么它的精算现值为 a ¨ x y w z ¯ = E [ a ¨ K ( x y w z ¯ ) + 1 ] = E B E N E T [ ∑ j = 0 ∞ e − δ ( j ) I { K ( x y w z ¯ ) ≥ j } ] = ∑ j = 0 ∞ e − δ j E B [ e − α | B ( j ) | ] E N [ e − β N ( j ) ] p j x y w z ¯ = 2 ∑ j = 0 ∞ e − δ j e 1 2 α 2 j [ 1 − Φ ( α j ) ] e λ j ( e − β − 1 ) p j x y w z ¯ . (4-4) 4.3. 完全离散险种的年均衡净保费 对于联合体M购买保险金为1的完全离散型终身死亡保险。 在联合生存状态下，假设 ( x y w z ) 的终止时刻为 T ( x y w z ) ，那么根据(4-1)、(4-3)可得它的年均衡净保费 P x y w z = A x y w z a ¨ x y w z = ∑ j = 0 ∞ e − δ ( j + 1 ) e 1 2 α 2 ( j + 1 ) [ 1 − Φ ( α j + 1 ) ] e λ ( j + 1 ) ( e − β − 1 ) p j x y w z q x + j : y + j : w + j : z + j ∑ j = 0 ∞ e − δ j e 1 2 α 2 j [ 1 − Φ ( α j ) ] e λ j ( e − β − 1 ) p j x y w z . (4-5) 在最后生存者状态下，假设 ( x y w z ¯ ) 的终止时刻为 T ( x y w z ¯ ) ，那么根据(4-2)、(4-4)可得它的年均衡净保费 P x y w z ¯ = A x y w z ¯ a ¨ x y w z ¯ = ∑ j = 0 ∞ e − δ ( j + 1 ) e 1 2 α 2 ( j + 1 ) [ 1 − Φ ( α j + 1 ) ] e λ ( j + 1 ) ( e − β − 1 ) ( q j + 1 x y w z ¯ − q j x y w z ¯ ) ∑ j = 0 ∞ e − δ j e 1 2 α 2 j [ 1 − Φ ( α j ) ] e λ j ( e − β − 1 ) p j x y w z ¯ . (4-6) 4.4. 完全离散险种的净责任准备金 对于联合体M购买保险金为1的完全离散型终身死亡保险。在联合生存状态下，假设 ( x y w z ) 的终止时刻为 T ( x y w z ) ，那么根据(4-1)、(4-3)、(4-5)可得它的净责任准备金 V t x y w z = A x + t : y + t : w + t : z + t − P x y w z a ¨ x + t : y + t : w + t : z + t = 2 ∑ j = 0 ∞ e − δ ( j + 1 ) e 1 2 α 2 ( j + 1 ) [ 1 − Φ ( α j + 1 ) ] e λ ( j + 1 ) ( e − β − 1 ) p j x + t : y + t : w + t : z + t q x + t + j : y + t + j : w + t + j : z + t + j     − ∑ j = 0 ∞ e − δ ( j + 1 ) e 1 2 α 2 ( j + 1 ) [ 1 − Φ ( α j + 1 ) ] e λ ( j + 1 ) ( e − β − 1 ) p j x y w z q x + j : y + j : w + j : z + j ∑ j = 0 ∞ e − δ j e 1 2 α 2 j [ 1 − Φ ( α j ) ] e λ j ( e − β − 1 ) p j x y w z     × 2 ∑ j = 0 ∞ e − δ j e 1 2 α 2 j [ 1 − Φ ( α j ) ] e λ j ( e − β − 1 ) p j x + t : y + t : w + t : z + t . (4-7) 在最后生存者状态下，假设 ( x y w z ¯ ) 的终止时刻为 T ( x y w z ¯ ) ，那么根据(4-2)、(4-4)、(4-6)可得它的年均衡净保费 V t x y w z ¯ = A x y w z ¯ + t − P x y w z ¯ a ¨ x y w z ¯ + t = 2 ∑ j = 0 ∞ e − δ ( j + 1 ) e 1 2 α 2 ( j + 1 ) [ 1 − Φ ( α j + 1 ) ] e λ ( j + 1 ) ( e − β − 1 ) ( q j + 1 x y w z ¯ + t − q j x y w z ¯ + t )     − ∑ j = 0 ∞ e − δ ( j + 1 ) e 1 2 α 2 ( j + 1 ) [ 1 − Φ ( α j + 1 ) ] e λ ( j + 1 ) ( e − β − 1 ) ( q j + 1 x y w z ¯ + t − q j x y w z ¯ + t ) ∑ j = 0 ∞ e − δ j e 1 2 α 2 j [ 1 − Φ ( α j ) ] e λ j ( e − β − 1 ) p j x y w z ¯     × 2 ∑ j = 0 ∞ e − δ j e 1 2 α 2 j [ 1 − Φ ( α j ) ] e λ j ( e − β − 1 ) p j x y w z ¯ + t . (4-8)