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user: 4. 裂纹尖端应力场 4.1. 边界条件及坐标变换 断裂力学中最重要的研究目标是确定裂纹端部奇异应力场。对于图1所示的空间裂纹体及图2所选定的坐标系，按极坐标给出上下裂纹面的位置是在 θ = ± π 处。因此，可将自由裂纹面的应力边界条件表示为： σ y = τ x y = τ y z = 0 ( θ = ± π ) (29) 根据裂纹尖端场的相关知识，可将以上公式中的复变函数选定为： Ψ ″ = Φ ′ = 1 w = 1 r ( cos θ + i h sin θ ) (30) 为了使复变函数的实部和虚部容易分解出来，这里采用如下的坐标变换： cos θ = λ 2 cos β ，       h sin θ = λ 2 sin β ，       h y = h r sin θ = r λ 2 sin β 则有： tan β = h tan θ ， λ 4 = cos 2 θ + h 2 sin 2 θ 。再令 λ > 0 ，由此可得： β = arctan ( h tan θ ) ，       λ = cos 2 θ + h 2 sin 2 θ 4 (31) 显而易见，当 θ = 0 时， β = 0 ， λ = 1 ；当 θ = ± π 时， β = ± π ， λ = 1 。复变量及其复变函数可转化为： w = r λ 2 ( cos β + i sin β ) = r λ 2 e i β Ψ ″ = Φ ′ = 1 r 1 λ exp ( − i β 2 ) = 1 r 1 λ ( cos β 2 − i sin β 2 ) } (32) 再对 Φ ′ 求导，并按极坐标可将 Φ ″ 转化为： Φ ″ = − 1 2 w 3 = − 1 2 r 1 r λ 3 ( cos 3 β 2 − i sin 3 β 2 ) 求出共轭复变函数的和与差，利用三角函数转换关系容易求得： Ψ ″ + Ψ ¯ ″ = Φ ′ + Φ ¯ ′ = 2 r 1 λ cos β 2 Ψ ″ − Ψ ¯ ″ = Φ ′ − Φ ¯ ′ = − i 2 r 1 λ sin β 2 w ¯ Φ ″ + w Φ ¯ ″ = − 1 r 1 λ ( cos β cos 3 β 2 − sin β sin 3 β 2 ) = − 1 r 1 λ ( cos β 2 − 2 sin β sin 3 β 2 ) w ¯ Φ ″ − w Φ ¯ ″ = i 1 r 1 λ ( sin β cos 3 β 2 + cos β sin 3 β 2 ) = i 1 r 1 λ ( sin β 2 + 2 sin β cos 3 β 2 ) 对于不同的参数 h n ( n = 1 ， 2 ， 3 ) ，复变量 w n 可表达为： w n = r λ n 2 ( cos β n + i sin β n ) = r λ n 2 exp ( i β n ) (33) 且有： β n = arctan ( h n tan θ ) ， λ n = cos 2 θ + h n 2 sin 2 θ 4 。 4.2. 应力分量与应力强度因子 利用以上选定的复变函数及转换关系式，可确定出应力分量的具体函数表达式。两个切应力表达式(22)可转变为： τ y z = 2 A 3 Re 1 r 1 λ 3 ( cos β 3 2 − i sin β 3 2 ) = 2 A 3 r 1 λ 3 cos β 3 2 τ x z = 2 A 3 h 3 Im 1 r 1 λ 3 ( cos β 3 2 − i sin β 3 2 ) = − 2 A 3 h 3 1 r 1 λ 3 sin β 3 2 } (34) 对于裂纹面， β 3 = ± π ， τ y z = 0 ，应力边界条件自动满足。在裂纹前沿 ( θ = 0 ) 应力具有奇异性，应力强度因子 K I I I 按如下确定 ( β 3 = 0 ， λ 3 = 1 ) ： K I I I = lim r → 0 2 π r τ y z | θ = 0 = 2 A 3 2 π 从而常数 A 3 可以确定： 2 A 3 = K I I I 2 π 。因此，应力分量既可表示为： τ y z = K I I I 2 π r 1 λ 3 cos β 3 2 τ x z = − K I I I 2 π r h 3 λ 3 sin β 3 2 } (35) 接下来继续确定另外的应力分量。对于情形1，为了化简应力分量公式(25)，先利用式(32)及各个共轭函数关系式将应力表达式(25)转化为： σ x = − ( C 1 − 2 C 3 ) 2 r h 2 λ cos β 2 − ( C 2 − 2 C 4 ) 2 r h 2 λ sin β 2               + C 3 r h 2 λ ( cos β 2 − 2 sin β sin 3 β 2 ) + C 4 r h 2 λ ( sin β 2 + 2 sin β cos 3 β 2 ) σ y = ( C 1 + 2 C 3 ) 2 r 1 λ cos β 2 + ( C 2 + 2 C 4 ) 2 r 1 λ sin β 2               − C 3 r 1 λ ( cos β 2 − 2 sin β sin 3 β 2 ) − C 4 r 1 λ ( sin β 2 + 2 sin β cos 3 β 2 ) τ x y = − 2 C 1 r h λ sin β 2 + 2 C 2 r h λ cos β 2 C 3 r h λ ( sin β 2 + 2 sin β cos 3 β 2 )               − C 4 r h λ ( cos β 2 − 2 sin β sin 3 β 2 ) } (36) 对于裂纹面 ( θ = ± π ) ，应力边界条件为 β = ± π ， σ y = τ x y = 0 ，由此可求得： 2 C 2 = − 3 C 4 ，       C 3 = 2 C 1 在裂纹前沿 ( θ = 0 ) 应力具有奇异性，可由正应力 σ y 和切应力 τ x y 分别确定出应力强度因子 K I 和 K I I 。按如下方法确定 ( β = 0 ， λ = 1 ) ： K I = lim r → 0 2 π r σ y | θ = 0 = 8 C 1 2 π ，       K I I = lim r → 0 2 π r τ x y | θ = 0 = − 4 C 4 h 2 π 可得： 8 C 1 = 4 C 3 = K I 2 π ， − 4 C 4 h = 8 C 2 h 3 = K I I 2 π 将确定的常数代入应力分量表达式(36)，化简后的裂纹尖端应力公式为： σ x = K I 2 π r h 2 λ cos β 2 ( 1 − sin β 2 sin 3 β 2 ) − K I I 2 π r h λ sin β 2 ( 2 + cos β 2 cos 3 β 2 ) σ y = K I 2 π r 1 λ cos β 2 ( 1 + sin β 2 sin 3 β 2 ) + K I I 2 π r 1 h λ sin β 2 cos β 2 cos 3 β 2 τ x y = K I 2 π r h λ sin β 2 cos β 2 cos 3 β 2 + K I I 2 π r 1 λ cos β 2 ( 1 − sin β 2 sin 3 β 2 ) } (37) 对于情形2，为了化简应力分量公式(28)，先利用式(32)及各个共轭函数关系式将应力表达式(28)转化为： σ x = − 2 r [ h 1 2 ( C 1 λ 1 cos β 1 2 + C 2 λ 1 sin β 1 2 ) + h 2 2 ( C 3 λ 2 cos β 2 2 + C 4 λ 2 sin β 2 2 ) ] σ y = 2 r ( C 1 λ 1 cos β 1 2 + C 2 λ 1 sin β 1 2 + C 3 λ 2 cos β 2 2 + C 4 λ 2 sin β 2 2 ) τ x y = 2 r ( − h 1 C 1 λ 1 sin β 1 2 + h 1 C 2 λ 1 cos β 1 2 − h 2 C 3 λ 2 sin β 2 2 + h 2 C 4 λ 2 cos β 2 2 ) } (38) 对于裂纹面 ( θ = ± π ， λ 1 = λ 2 = 1 ) ，应力边界条件为 σ y = τ x y = 0 ， ( β 1 = β 2 = ± π ) ，由此可得出常数关系为： C 2 + C 4 = 0 ，       h 1 C 1 + h 2 C 3 = 0 在裂纹前沿 ( θ = 0 ) 应力具有奇异性，可由正应力 σ y 和切应力 τ x y 分别确定出应力强度因子 K I 和 K I I 。按如下方法确定 ( β 1 = β 2 = 0 ， λ 1 = λ 2 = 1 ) ： K I = lim r → 0 2 π r σ y | θ = 0 = 2 ( C 1 + C 3 ) 2 π = 2 C 3 ( 1 − h 2 h 1 ) 2 π K I I = lim r → 0 2 π r τ x y | θ = 0 = 2 ( h 1 C 2 + h 2 C 4 ) 2 π = 2 C 2 ( h 1 − h 2 ) 2 π 可得： 2 C 3 h 2 = − 2 C 1 h 1 = K I 2 π h 1 h 2 h 1 − h 2 ， 2 C 2 = − 2 C 4 = K I I 2 π 1 h 1 − h 2 将确定的常数代入应力分量表达式(38)，化简后的裂纹端部应力公式为： σ x = K I 2 π r h 1 h 2 h 1 − h 2 ( h 1 λ 1 cos β 1 2 − h 2 λ 2 cos β 2 2 ) − K I I 2 π r 1 h 1 − h 2 ( h 1 2 λ 1 sin β 1 2 − h 2 2 λ 2 sin β 2 2 ) σ y = K I 2 π r 1 h 1 − h 2 ( h 1 λ 2 cos β 2 2 − h 2 λ 1 cos β 1 2 ) + K I I 2 π r 1 h 1 − h 2 ( 1 λ 1 sin β 1 2 − 1 λ 2 sin β 2 2 ) τ x y = K I 2 π r h 1 h 2 h 1 − h 2 ( 1 λ 1 sin β 1 2 − 1 λ 2 sin β 2 2 ) + K I I 2 π r 1 h 1 − h 2 ( h 1 λ 1 cos β 1 2 − h 2 λ 2 cos β 2 2 ) } (39) 这里还要说明，以上应力公式中没有采用实际角度 θ ，而是用变换的角度 β 才使得公式简明。应力表达式中包含材料参数( h ， λ )，这与各向同性材料形成明显差异，也显示出各向异性材料的复杂性。各向同性材料的应力场取决于几何尺寸和边界条件，与材料特性无关，而各向异性材料应力分布与材料性能密切相关。还要指出，文中忽略了z方向的正应力，但对于厚板就不合理了，设定 σ z ≈ 0 只是为了简化分析。在理论分析时取自由裂纹表面为±180˚，这是理想情况，在实际问题中两个裂纹面之间可能有一定间隔，但对于裂纹尖端应力影响很小，应力公式仍然适用。