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user: 2. 数据与方法 2.1. GEMMA地壳模型 GEMMA地壳结构模型是欧洲航天局(ESA， European Space Agency)的地球重力场和海洋环流探测卫星(GOCE， Gravity field and steady-state Ocean Circulation Explorer)的重力梯度产品的应用之一。该地壳结构模型反演地壳地幔边界Moho面与地壳密度时，以地震波折射资料反演得到的CRUST2.0\cite地壳结构模型为基础，考虑USGS1995发布的大地构造分区、全球尺度因子及地壳密度随深度变化的因素，直接使用GOCE重力梯度径向观测值进行反演。最终，联合反演得到分辨率为0.5˚ × 0.5˚的地壳结构模型GEMMA，该模型在全球范围内与GOCE重力梯度观测值有较好一致性，GEMMA正演所得对应重力观测值与GOCE重力梯度观测值总体标准差在49 mE。 2.2. 三维各向异性的重力正演 根据牛顿力学万有引力，在 Σ 外的一点P的保守无旋引力位V由全球物质的积分并将其中欧几里得距离倒数核函数 1 / l 作球谐展开可以得到 [ 32 ] ： V ( P ) = G M R ∑ n ， m ∞ ( R r ) n + 1 1 M ( 2 n + 1 ) Y n m ( Ω ) ∫ Σ ( r ′ R ) n ρ ( r ′ ， Ω ′ ) Y n m * ( Ω ′ ) d Σ (1) 其中，G为地球引力常数，M为地球质量，R为地球的平均半径， ρ 为 Σ 内物质的密度分布，且 Q ∈ Σ ； l ( P ， Q ) 为计算点 P ( r ， Ω ) 与无穷小体积元 d Σ = r 2 d r d Ω 的流动点 Q ( r ′ ， Ω ′ ) 在地心球坐标系 ( r ， Ω ) 下的欧几里得距离；r为地心距离， d Ω = sin θ d θ d λ 为单位球上的面元， θ 和 λ 分别表示余纬和经度。 ∑ n ， m ∞     = ∑ n = 0 ∞ ∑ m = − n n 为阶次求和的简写， Y n m 表示完全正则化拉普拉斯面球谐函数，写作： Y n m ( θ ， λ ) = P n m ( cos ϕ ) { cos ( m λ ) ， m ≤ 0 sin ( m λ ) ， m > 0 (2) 其中， P n m 为第一类(4π-normalized)完全正则化缔合勒让德函数。由此，从(1)提取得无量纲的完全正则化球谐系数： V n m = 3 4 π ρ ¯ R 3 ( 2 n + 1 ) ∫ Σ ( r ′ R ) n ρ ( r ′ ， Ω ′ ) Y n m * ( Ω ′ ) d Σ (3) 其中，将M近似替换为 4 3 π ρ ¯ R 3 ， ρ ¯ 为地球的平均密度。为了推导地球分层引力位公式， [ 26 ] 将浅层地球 物质按照特定的规则划分为一系列物质层，在此将该注记方法概括如下，除此之外其他类似详见 [ 23 ] [ 28 ] [ 33 ] 。提取一个半径定义域为 R ′ ( ω ) + r i ( ω ) ( Ω ′ ) ≤ r ′ ≤ R ′ ( ω ) + r e ( ω ) ( Ω ′ ) 的分层 ω ( ω = [ 1 ， 2 ， ⋯ ， ω max ] ) ，给定分层的完全正则化球谐系数可以由下式给出： V n m ( ω ) = 3 4 π R n + 3 ( 2 n + 1 ) ∫ σ ∫ R ′ ( ω ) + r i ( ω ) ( Ω ) R ′ ( ω ) + r e ( ω ) ( Ω ′ ) r ′ n + 2 ρ ( ω ) ( r ′ ， Ω ′ ) ρ ¯ Y n m * ( Ω ′ ) d Ω d r (4) 其中，在给出半径范围及对应径向距离的时候做出了球近似。给定分层在点 Ω ′ 的密度 ρ ( r ， Ω ′ ) 的横向分布通常由离散点表示，而其径向分布则由多项式函数表示 [ 34 ] 。由于GEMMA地壳模型同时给出了在横向和径向上的密度变化，并且一个分层的纵向变化与与其他分层均无关，那么在与 Ω 分离变量r后密度分布函数可以写作： ρ ( ω ) ( r ′ ， Ω ′ ) = ρ ( ω ) ( Ω ′ ) + ∑ i = 1 I α i ( Ω ′ ) ( R ′ − r ′ ) i (5) 其中，R'为目标层的上边界， α i 为多项式系数，I为给定分层定义径向密度变化所需的最大阶数。同时，在求得球谐系数后，重力扰动在球谐近似下可以由引力位求得，地形改正及地壳密度异常改正均能通过移除密度异常结构的引力信号得到，该过程也被称为剥离(Stripping) [ 35 ] 。 对(4)中对径向距离积分的项单独列出，则对其积分的解引入二项式展开 [ 2 ] ，并将其截断到阶 σ ( σ < n + 3 )后，得到精度允许下计算量更小的数值解： ∫ R ′ ( ω ) + r i ( ω ) ( Ω ) R ′ ( ω ) + r e ( ω ) ( Ω ′ ) r ′ n + 2 d r = R ′ ( ω ) n + 3 n + 3 ∑ k = 0 σ ( n + 3 k ) [ ( r e ( ω ) R ′ ( ω ) ) k − ( r i ( ω ) R ′ ( ω ) ) k ] + ϵ σ = R ′ ( ω ) n + 3 n + 3 ∑ k = 0 σ ( n + 3 k ) F k ω ( Ω ′ ) + ϵ σ (6) 其中， ϵ σ 为二项式的截断误差， F k ( ω ) ( Ω ′ ) 为正演模型第k阶的高度函数 [ 33 ] 。高度函数在计算效率与计算精度上的截断衡量在Hirt and Kuhn (2012) [ 27 ] 中给出了进一步的讨论，其指出7th阶项满足2160阶次的球谐系数的精度要求。将式.(6)代入式.(4)，并将积分移入二项式求和中，最终所求分层的球谐引力位系数为： V n m ( ω ) = 3 4 π ( n + 3 ) ( 2 n + 1 ) R ′ ( ω ) n + 3 R n + 3 ∑ k = 0 σ ( n + 3 k ) ∫ σ ρ ( ω ) ( Ω ′ ) ρ ¯ F k ( ω ) ( Ω ′ ) Y n m * ( Ω ′ ) d Ω (7) 根据Root et al. (2016) [ 24 ] ，公式(7)的解可以通过物质密度分布函数 ρ ( Ω ′ ) ρ ¯ 与高度函数 F ( ω ) ( Ω ′ ) 在空 域上的乘积求得，并进一步对函数乘积进行全球球谐分析(Gobal Spherical Harmonic Analysis， GSHA)后可得到其对应球谐系数。其中，GSHA的实现是通过Mark Wieczorek所编写的程序包SHTOOL 4.2 (https://shtools.oca.eu/shtools/)完成，该程序包涵盖适用于球谐计算的Fortran/Python方法。 任意物质分层实际密度的表示如前文所述，通过各层横向分布的径向多级多项式函数(通常取至第1阶)实现，但在GEMMA模型中额外给出了GOCE重力梯度观测值最小二乘估计得到的全球地壳模型尺度因子 h ( Ω ′ ) 及各个地质分区 χ i 及其密度函数多项式，于是GEMMA函数地壳分层下的三维密度描述给出如下： ρ ( ω ) ( r ′ ， Ω ′ ) = h ( ω ) ( Ω ′ ) ∑ i = 0 M [ α i 0 + α i 1 ( R ′ − r ′ ) ] χ i (8) 类似于(4)~(7)对于横向密度分布的重力正演模型的推导，任意物质分层三维各向异性的引力位球谐系数可得： V n m ( ω ) = 3 h ( ω ) 4 π ( 2 n + 1 ) R ′ ( ω ) n + 3 R n + 3 ∑ i = 0 M χ i ∫ σ [ α i 0 + α i 1 R ′ ρ ¯ ( n + 3 ) ∑ k = 0 σ ( n + 3 k ) F k ( ω ) ( Ω ′ ) − α i 1 R ′ ( ω ) ρ ¯ ( n + 4 ) ∑ k = 0 σ + 1 ( n + 4 k ) F k ( ω ) ( Ω ′ ) ] Y n m * ( Ω ′ ) d Ω (9) 其中，方括号内的公式分别应用式(6)中二维各向异性的FSM解得。GEMMA地壳模型描述文件中的与地质分区相关的径向变化密度函数以径向不同深度下的离散点给出，不考虑全球地壳模型尺度因子 h ω ( Ω ) ′ 在不同地质分区下的多项式系数 { α i 0 ， α i 1 } 在最小二乘估计后给出在表1。 2.3. 重力正演模型的效率与精度 在重力正演模型推演中公式本身引入的误差主要包含两类误差：球谐近似的误差，边界函数二项展开的截断误差。其中，与纬度相关的球谐近似误差 [ 28 ] ，按照其给出的谐组合(HC， Harmonic Combination)椭球谐重力正演下全球重力扰动与球谐重力正演下重力绕动结果的比对，其差值在−2.9 mGal到4.7 mGal之间，且均值为0.6 mGal，差值标准差1.2 mGal。在频域上的0到150阶、300阶到2160阶分别表现出 Table 1 Density polynomials for Geological provinces， taking the upper crust boundary as the reference surfac 下标 地质构造单元 深度(/km) α 0 (km/m 3 ) α 1 (km/m 3 ) 1 OCC (Oceanic Crust) 0.0~3.0 2600 125 3.0~5.0 2850 50 5.0~Moho 2950 0 2 BAS (Basins) 0.0~40.0 2626 12.5 40.0~101.0 3122 0 3 IGP (Igneous Provinces) 0.0~40.0 2626 12.5 40.0~101.0 3122 0 4 ORC (Orogenetic Crust) 0.0~29.0. 2630 11.3 29.0~39.0 2669 10 39.0~101.0 2880 4.6 5 SHI (Shields) 0.0~40.0 2626 12.5 40.0~101.0 3122 0 6 PLA (Platforms) 0.0~40.0 2626 12.5 40.0~101.0 3122 0 7 EXC (Extended Crust) 0.0~20.0 2554 17.5 20.0~30.0 2643 13 30.0~101.0 3031 0 8 OCR (Oceanic Ridges) 0~Moho 2600 0 表1. 以地壳上边界为深度参考面的各个大地构造单元的密度多项式系数 了显著与细微的地球球近似引入的阶方差偏差。然而由于向地壳核幔边界重力延拓的重力正演的模型分辨率限制，下文将地球球谐近似的误差默认为背景噪声而不做出进一步的讨论。 另一项误差来源，在推导FSM过程中省略边界函数二项式展开高阶项的截断误差在最终求得的引力位误差中占据主导性地位。根据式.(6)边界函数二项展开公式，三维各项异性FSM截断误差 ϵ σ 给出如下： ϵ σ = R ′ ( ω ) n + 3 [ α i 0 + α i 1 R ′ ρ ¯ ( n + 3 ) ∑ k = 0 σ ( n + 3 k ) F k ( ω ) ( Ω ′ ) − α i 1 R ′ ( ω ) ρ ¯ ( n + 4 ) ∑ k = 0 σ + 1 ( n + 4 k ) F k ( ω ) ( Ω ′ ) ] (10) 考虑到截断误差计算成本过高，故分别单列出一阶的边界函数二项展开公式下对应的球谐系数： V n m ( ω ， k ) = 3 h ( ω ) 4 π ( 2 n + 1 ) R ′ ( ω ) n + 3 R n + 3 ∑ i = 0 M χ i ∫ σ [ α i 0 + α i 1 R ′ ρ ¯ ( n + 3 ) ( n + 3 k ) F k ( ω ) ( Ω ′ ) − α i 1 R ′ ( ω ) ρ ¯ ( n + 4 ) ( n + 4 k ) F k ( ω ) ( Ω ′ ) ] Y n m * ( Ω ′ ) d Ω (11) 其中 V n m ( ω ) = ∑ k = 0 σ V n m ( ω ， k ) ，将所得球谐系数的阶方差作能量谱分析，计算到所需精度下的截断阶次。