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user: 4. 引力波潮汐加速度导致悬浮镜相对于短程线的偏离方程 我们研究干涉臂两端悬浮镜的相对加速度(由引力波潮汐力引起) [ 12 ] (27) 这里，黎曼曲率张量是 (28) 就是X、Y臂(逆变)长度( ， )。注意：只有当引力波波长远大于 ， (且观察时间远远小于 ， )公式(27)才成立，否则需要将干涉臂 ， 进行一段段分割讨论。注意: (29) 这部分已经在前面讨论，所以这里不再讨论 项。黎曼曲率张量内的 因为太小(在精确到引力波幅度平方 下才为非零，在精确到 时完全可以看作为零)，故而我们不必讨论该项。于是根据公式(27)，我们有退化的方程 (30) 显然由于 与 都为零，故而悬浮镜在Z方向的相对加速度 为零；对于 ，由于 为零，故而 的变化率没有讨论意义。下面我们来看X轴干涉臂两端的悬浮镜在X轴上的相对加速度： (31) 由于 (右边第二项 因为属于引力波幅度平方 量级，故其太小，可不计)，所以 (32) 另， (右边第二项 太小故不计)，所以 (33) 由于引力波度规 ， ，以及 高度精确等于 ，由(31)我们有 (34) 同理，Y轴干涉臂两端的悬浮镜在Y轴上的相对加速度为 (35) 对以上两相对加速度关于时间积分两次，可以得到重要结论(两干涉臂在引力波潮汐加速度作用下的屈伸长度，此为LIGO干涉相移来源(之一))： (36) 由(35)式，我们可以得到悬浮镜速度 。 由于 数量级为 ( 为引力波频率)，那么在引力波潮汐力作用下，悬浮镜速度数量级为 (此数值含有两个小因子 和 ， 为引力波波长)。悬浮镜速度对上节所计算的速度 和 的修正，是微乎其微的(即为 量级，可以不计)，例如 中的 就是 和 量级。 根据式(27)，我们研究悬浮镜的短程线偏离方程之第零分量： 。根据实际情况，该式应退化为 。显然，由于黎曼曲率张量分量 ，这就导致悬浮镜速度第零分量不存在短程线偏离，它仍旧遵守短程线方程 。 为简化，下面我们仅仅考虑 的贡献，不考虑 。则根据(36)式，X与Y干涉臂逆变长度改变量分别为 、 。于是干涉相位改变量为(假设光子在X与Y干涉臂上各自来回一次) (37) 这里我们假设了 与 (前者当然成立，后者是LIGO实验设置)。如果激光在干涉臂循回 次，那么干涉相位移动量就放大 倍，该相移(起源于引力波潮汐力导致干涉臂长度变化)为 (38) 以上相移(起源于引力波潮汐力导致干涉臂长度变化)其实是熟知的结果(针对引力波波长远远大于LIGO干涉臂的情形)。 注意：上节已经论证，引力波振幅 的存在，不会改变激光协变波数 。当然，因为引力波波幅毕竟还含时空坐标，因此会导致引力波潮汐加速度。引力波潮汐力的存在，会改变激光协变波数 (这一点在下节会详细论述)，但如果引力波波长远远长于LIGO干涉仪臂长，那么激光协变波数 改变量可以不计，例如引力波事件GW150914与GW151226中，频率为200赫兹的引力波波长为 米，远大于LIGO干涉臂长(4千米)。 下面研究一下激光在干涉臂循环 次所需要的时间 。粗略地说，这个结果就是 (其中 为X轴干涉臂内的激光从激光源出来、然后在分束镜透过的时刻， 为激光经过在X轴干涉臂 次来回振荡后回到分束镜的时刻)。但实际上我们需要细致计算：根据光子短程线上的四维时空距离定义， 针对在X轴干涉臂的光子，我们根据 ，有 。由于引力波潮汐加速度使得逆变臂长 变化为 ，于是原方程 需要变为 ，即 ，从而 。于是激光在干涉臂循环 次所需要的时间 可以由下式获得： (39) 同理，针对在Y轴干涉臂的光子，在干涉臂循环 次所需要的时间 可以由下式获得： (40) 其中 为Y轴干涉臂内的激光从激光源出来、然后到达分束镜并透过分束镜的时刻， 也为激光经过在Y轴干涉臂 次来回振荡后回到分束镜的时刻。 由于引力波潮汐力缘故，X轴逆变长度变为 ，故在X轴干涉臂上循回振荡一次获得的相位为 ， 次循环就得相位 ，但此处 需要用式(39)代入，那么X轴干涉臂上 次循环累积相位就为 (41) 获得此结果的更为严密的方法是使用分段分析法：激光在X轴干涉臂上传播一段距离 ( 远小于 )获得的相位为 ，而经过这段距离 需要的时间的计算可以参考(39)，即 ，那么该相位 就被化为 ，于是X轴干涉臂上 次循环(有效臂长是 )累积 相位就是(41)。同理，由于引力波潮汐加速度的缘故，Y轴逆变长度变为 ，故在Y轴上循回一次相位为 。激光在Y轴干涉臂上经历 次循回振荡后就得相位 。考虑到式(40)，Y轴干涉臂上 次循环累积相位为 (42) 于是，LIGO巨型迈克尔逊干涉仪相移(起源于引力波潮汐力导致干涉臂长度变化)为 (43) 这两项是同阶小量，都不可忽略不计。我们可以先在定性上分析一下：如果引力波频率很低，或引力波波长远远大于干涉臂长(在引力波事件GW150914与GW151226中，引力波波长是干涉臂长的几百倍。当然对于实际LIGO情形还要考虑 次循回振荡导致的有效臂长 )， 可以近似看作与时间关系不大，上式可以近似写为 (44) 由(39)和(40)，我们有 、 ，于是 (45) 那么LIGO巨型迈克尔逊干涉仪相移(属于“潮汐相移”)为 (46) 这与前面结果(38)相同。 LIGO巨型迈克尔逊干涉仪相移还有其它表示形式：激光在X臂与Y臂上循回传播得到的相位分别是 (47) (48) 我们分别代 与 入上两式，得到 (49) (50) 值得注意的是，如果引力波波长比有效臂长 要长很多， 可以近似写为 ，而 内的 与 内的 也近似等于 ，故而激光在X臂与Y臂上循回传播得到的相位分别可以化为 (51) 这种写法，其物理含义是十分明确的，因为它们就是 (52) 这两个表达式可以诠释如下：由于引力波潮汐加速度的存在，X臂长度变化为原先的 倍，Y臂长度变化为原先的 倍，上面(52)体现了这一点。 顺便提及，使用式(39)与(40)，由 ，我们可以得到 ，也即 (53) 于是LIGO巨型迈克尔逊干涉仪相移(起源于引力波潮汐力导致干涉臂长度变化)也可以写为 (54) 值得注意的是，对于光子，由于 ，那么 的累积也可以转化为时间上 的累积。不过，需要注意的是频率需要用 来代替(这个结论将在本文后面论证)，于是在X轴干涉臂上相位为 。使用 ，可得激光在X轴干涉臂内循回传播得到的相位 (55) 对于Y轴干涉臂，频率需要用 来代替(这个结论将在本文后面论证)，于是在Y轴干涉臂上相位为 。使用 ，得到激光在Y轴干涉臂内循回传播得到的相位 (56) 于是LIGO巨型迈克尔逊干涉仪相移(起源于引力波潮汐加速度导致干涉臂长度变化)为 (57) 我们之所以在这里给出潮汐相移的多种表达法，乃为促进对下面所要钻研的由X和Y轴干涉臂激光频移(X与Y干涉臂内的光波有略微不同的频率)产生的弱相干LIGO相移的理解。为了与弱相干相移 区分，上面的潮汐相移 在下文将表示为 。 特别需要强调的是，从激光源(Laser Source)到束分器(Beam Splitter)这段距离SS (见图1)对于两束光而言都是需要传播的相同路径，故由此产生的相位是一样的，它们并不导致干涉相位的移动，所以可以不计。但也得说明一点，由于干涉的两束光在X， Y干涉臂上所驻时间并不同，它们从激光源出发，其实是在不同时刻( 、 )到达束分器的。由于引力波振幅 是含时的，故由于引力波潮汐加速度影响，从激光源到束分器这段距离长度SS是随时间变化的，对X， Y干涉臂两束光而言，它们在这段距离SS产生的相位其实是略微不同的，因此也能导致LIGO干涉相移。但由于这段距离SS太短，最终这个相移仍旧可以忽略不计。类似(39)与(40)，我们有 (58) 由于 ，所以 。 与 分别为X与Y轴干涉臂内的激光从激光源出来的时刻， 与 分别为X与Y轴干涉臂内的激光到达束分器的时刻。对于将在X， Y干涉臂上传播的两束光，它们在SS这段距离上的相位各自是 (59) 说明：由于SS这段距离位于X轴上，所以(59)内的被积式均是 。由于引力波振幅 是含时的，这两个相位并不相等。但是由于SB长度 远远小于两个干涉臂长(4 km)，故而 与 可以被忽略不计。 需要指出，以上是干涉臂逆变长度的改变量(并非标准长度的改变量)。值得一提的是，前面提到过的干涉臂标准长度(几何意义上的)改变量与这里得到的干涉臂逆变长度的改变量(因引力波潮汐力引起)恰好相等。如：干涉臂标准长度平方是 (60) 利用引力波 ， ，干涉臂标准长度为 (61) 于是其改变量是 (62) 另一方面，由引力波潮汐加速度伸缩导致的改变量是 。由前面已得的(36)，我们发现，显然 等于 。特别强调：虽然干涉臂标准长度的改变量 与这里的干涉臂逆变长度的改变量 (及 ) (因引力波潮汐力)恰好相等，但这是两个起源压根不同的伸缩，不可混为一谈(不可将它们看作是同一长度伸缩的不同体现)。前者属于弯曲时空几何量的改变，后者来源于引力波潮汐加速度( )对其的伸缩贡献。前者因为是几何量的改变，故而不可测(在引力波作用下，干涉臂标准长度 与激光标准波长 以同等比例屈伸，即被测长度与标准尺共同拉伸或收缩)，后者才是由真正的引力(引潮力)产生的干涉臂长度伸缩(引力潮汐力才是真正的可测引力，它不可利用等效原理抵消掉)。前者即使在静态引力“波”情形(即所谓静场条件下)也可出现，但后者在静场条件下并不出现(这可以从式(35)看出)。 前面已经论证：激光光子协变波数 ， (在 项作用下)不变，此即意味着由此定义的“逆变”波长也不变，但是激光标准波长 是要受到引力波影响的(因为 )。不过它与干涉臂标准长度 同等比例伸缩，实际上并无可观测效应(即无干涉相位的移动)。