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user: 2. 资料及模型 利用云南全省133个气象站自建站至2017年底逐日雨量资料(统一采用当日08时~次日08时雨量代表日雨量，其中个别站点在上世纪90年代偶有中断情况，但在空间分布分析中仍可参考)，统计其极端最大日降水量的气候极值空间分布特征及时间演变趋势。 极值分析及重现期估算的方法很多，在气象、水文等分析中较常见的有皮尔逊(Pearson)分布、耿贝尔(Gumbel)分布、詹金森(Jenkinson)分布等 [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] ，这些分析方法各有优缺点。本文以耿贝尔(Gumbel)分布为基本统计模型，通过矩方法和Gumbel法对分布函数参数(尺度参数及密度众数)进行计算，得出云南全省各观测站点近70年极端最大日雨量及其不同再现期内可能出现的极端最大日雨量分布以及云南极端强降水变化趋势图。 极端最大降水及重现期问题实际是随机序列的概率问题，即对于随机变量 ξ 而言，其取值小于极值x的分布函数为： F ( x ) = P ( ξ < x ) = ∫ − ∞ x f ( x ) d x (1) 其中 f ( x ) 为概率密度函数，当 ξ 超过某个确定的值x的发生概率即为右侧概率，根据全概率事件归一原理，右侧概率为： P ( ξ ≥ x ) = 1 − F ( x ) = ∫ x ∞ f ( x ) d x (2) 如果当 ξ 大于特定值x的事件在T年内发生1次，则将T称为极端值x的重现期或说该值为T年一遇的极值。根据频率(概率)与周期互为倒数原理有： T max = 1 P ( ξ ≥ x ) = 1 1 − F ( x ) (3) 可见，要针对随机序列的极值 ξ 确定其重现期，或针对特定重现期内可能出现的极端最大值问题时，关键在于其分布函数及其参数的确定。在此，采用耿贝尔分布。 2.1. 耿贝尔模型 当随机变量的分布相类于指数型分布(如正态分布、皮尔逊分布、Jenkinson分布、耿贝尔分布、 χ 2 分布等)时，其极大值分布函数以耿贝尔I型分布为模型 [ 1 ] [ 18 ] ： F ( x ) = e − e − a ( x − b ) ， ( − ∞ < x < ∞ ) (4) 其中a为尺度参数，b为密度众数；问题的关键在于函数中尺度参数a和密度众数b的确定。方法有多种，在此我们分别采用矩方法和耿贝尔法来确定参数。 2.1.1. 矩法参数估算 方便起见，令 y = a ( x − b ) ，则分布函数及其对应的密度函数可表示为： { F ( x ) = e − e − a ( x − b ) f ( y ) = e − y − e − y (5) 根据数学期望和方差的意义，对(5)式分别进行一阶矩(数学期望)和二阶矩(方差)的运算可有： { E ( y ) = ∫ − ∞ ∞ y f ( y ) d y = ∫ − ∞ ∞ y e − y − e − y d y E ( y 2 ) = ∫ − ∞ ∞ y 2 f ( y ) d y = ∫ − y ∞ y 2 e − y − e − y d y s y 2 = ∫ − ∞ ∞ y 2 e − y − e − y d y − ∫ − ∞ ∞ y e − y − e − y d y (6) 通过变换积分，令 t = e − y ，则(6)式转化为典型的特殊函数积分问题： { E ( y ) = ∫ − ∞ ∞ ln t e − t d t = Γ ( 1 ) ( 1 ) = C E ( y 2 ) = ∫ − ∞ ∞ ( ln t ) 2 e − t d t = C 2 + π 2 6 s y 2 = E ( y 2 ) − ( E ( y ) ) 2 = π 2 6 (7) (7)式中C为是欧拉常数，取0.57722； π 是圆周率，取3.1415926；由于实际观测样本为X序列，根据 y = a ( x − b ) ，则可确定尺度参数a和密度众数b的解析形式为： { a = π 6 S x = 1 0.779697 S x b = E ( x ) − 6 C π S x (8) 对于有限样本长度的时间序列，以其序列平均值和方差值作为其数学期望和方差的无偏估计量进行计算，即： ， s x = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − x ¯ ) 2 其中N为雨量观测样本总容量；将其代入(8)式即可计算分布参数的估算值。 2.1.2. 耿贝尔法参数估算 显然，采用矩法计算分布参数具有简单、快捷的优势。但以其计算参数估计量过程中，一当遇到总体原点矩不存在的分布序列时，则矩法不再适用；另一方面矩法只涉及总体分布的部分特征，但对总体分布特征的综合考虑不够全面，只有当随机序列的样本容量N足够大时，才能体现矩法的优点。为此，我们再以Gumbel法进行参数估算比较。 令 y = a ( x − b ) ，则与随机序列 X i 相应的新序列中出现不小于极值y的概率为： P ( Y ) = P ( Y > y ) = 1 − e − e − y (9) 对 y = a ( x − b ) 分别取均值和方差运算可有 E ( y ) = E [ a ( x − b ) ] = a ( x ¯ − b ) 即 y ¯ = a ( x ¯ − b ) V a r ( y ) = V a r [ a ( x − b ) ] = a s x 即 s y = a s x ， 将其联立可得关于随机变量 x ， y 的分布参数： { a = s y s x b = x ¯ − s x s y y ¯ (10) 由(10)式可见，通过变化可将分布模型中参数a，b的估算转化为对随机变量 x ， y 的均值 x ¯ ， y ¯ 及方差 s x ， s y 估算来实现。 对实测的随机序列 { x i ， i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n } ，其均值和方差容易确定，关键在于与其相对应的 { y i ， i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n } 的参数估算；若将 { x i } 按序排列： x 1 ≥ x 2 ≥ ⋯ ≥ x m ≥ ⋯ ≥ x n ，则出现大于极值 x m 的经验频率与理论概率关系为： e − e − y m = m n + 1 (11) 显然，(11)式两端均为非负实数，对其两端取对数并做均值和方差计算得： { y m = − ln ( − ln m n + 1 ) y ¯ = 1 n ∑ m = 1 n y m = 1 n ∑ m = 1 n [ − ln ( − ln m n + 1 ) ] s y = 1 n ∑ m = 1 n ( y m − y ¯ ) 2 (12) 由(12)式可以根据实际观测样本的变化确定变量y的相关统计参数，再与(10)式结合即可确定耿贝尔分布函数中的参数a，b。 2.2. 极端最大值重现期的估算 如果说极端值的大小估算便于我们掌握特定气候要素极值的可能取值范围，则在减灾防灾及相关重大工程的规划、设计与论证中，需要在掌握其极端值范围的同时，能把握该极值发生的频率即重现期，以便根据极端最大值和重现期做出科学的决策。 对随机序列 { X i ， i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， m ， ⋯ ， n } 而言，在n年的观测样本中该随机变量出现不小于某一特定极端最大值 x m 的概率(几率)可表示为 p ( x ≥ x m ) = 1 − F ( x ) = 1 − e − e − a ( x − b ) ；根据时间序列中特定事件发生的概率(频率)与相应的周期(重现期)间互为倒数的关系，极端最大值 x m 及其重现期 T m 可表示为： { x m = b − 1 a ln [ − ln ( 1 − 1 T m ) ] T m = 1 P ( x ≥ x m ) = 1 1 − e − e − a ( x m − b ) (13) 这样，分布函数的参数a，b一旦确定，则可通过(13)式估算重现周期为 T m 的内的极端值 x m ，反之，亦可针对某一特定极端最大值 x m 计算其可能重现的周期 T m 。