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user: 2. 光在晶体内的传播规律分析 o光是寻常光，它在晶体内的传播规律比较简单，遵守斯涅尔折射定律，所以我们要重点了解e光在晶体内的传播规律，以负单轴晶体为例，即有 n o > n e ，在晶体内e光的传播速度大于o光的传播速度。 2.1. 惠更斯作图法 根据惠更斯作图法，可以画出光在晶体内的传播过程，如图1所示。鉴于很多教材对作图方法讲得不是很明白，尤其是A点的选取与圆和椭圆参数的关系以及椭圆空间方位的确定。下面分步骤详细讲解惠更斯作图方法。为了方便作图，设入射面与主截面重合，即入射线、法线、光轴在同一平面，这时o光和e光也在这个平面内，问题可以大大简化。 惠更斯作图法步骤： (1) 在界面上任取一点A，作平行于入射线的直线AB。 (2) 过入射点O作垂直于AB的垂线，垂足为B， Δ t = AB ¯ / c 。 (3) 以O为中心， v o Δ t 为半径作圆；以O为中心，以 v o Δ t 为半短轴、 v e Δ t 为半长轴作椭圆，其中 v o 和 v e 分别对应晶体主折射率 n o 和 n e 的光速，即 v o = c / n o ， v e = c / n e ，使椭圆的短轴与光轴重合，长轴与光轴垂直。圆和椭圆在光轴处相切。 (4) 过A点分别作圆和椭圆的切线，切点分别为C和D。 (5) 分别连接OC和OD，即为o光和e光在晶体内的传播方向。 图1. 光在负晶体内传播的惠更斯作图法 几点说明： (1) 为了清晰地表示圆和椭圆与光轴的相对位置关系，图1中把整个圆和椭圆都画了出来，这一点不同于教材中的画法。很多教材为了表示光在晶体内的传播，只画出了波面在晶体内的半圆和椭圆部分，界面以上的部分略去，使读者不易看出光在晶体内传播的球面波和椭球面波，此外，也不容易看出椭圆的方位与光轴之间的关系。 (2) A点的选取是任意的，但A点一旦确定下来，则圆的半径和椭圆的两个半轴也随之确定。从图中可以看出，圆的半径和椭圆的半短轴为 v o Δ t = c / n o × AB ¯ / c = AB ¯ / n o ，椭圆的半长轴 v e Δ t = c / n e × AB ¯ / c = AB ¯ / n e 。 (3) 仅有椭圆的半长轴和半短轴还不足确定椭圆的方位。在光轴方向，o光和e光传播方向一致，速度相同。同时，光轴方向也是e光传播速度最小的方向(对负晶体而言)，所以光轴方向就是椭圆的短轴方向。 (4) 对于同一波面上的入射光而言，A点的入射光到达界面上的时间比O点的入射光晚了 Δ t 时间，也就是说，在 Δ t 时间内，O点发出的次波面是以 v o Δ t 为半径的半圆面，这样A点处发出的o光与C点的o光光波是同相位的。OA之间所有面元形成的次波面都是以界面上一点为圆心、以相应长度为半径的半圆面，如图中以A′为圆心的小圆所示，这些次波叠加后形成的包络面就是包含直线AC在内的平面。这个平面与O点发出的次波面相切于C点，根据惠更斯原理，连接OA的方向就是入射点O处的o光传播的方向。同样OD方向是e光传播方向。 现在回到本文提出的问题：波片中的o光和e光为什么不分开？现在的情形与图1的情形稍有不同，现在入射光是垂直界面入射，O点和A点的入射波不存在时间延迟，它们在波片中发出相同的次波面。同时，由于光轴平行于界面，椭圆的短轴也平行于界面，椭圆的长轴在法线方向，所以椭圆是个正椭圆，如图2所示。o光和e光形成的次波包络面都是与界面平行的平面，它们与O点发出的次波波面相切于B、D两点，与A点发出的次波波面相切于C、E两点。对于入射点O处的入射光而言，o光沿OB方向，e光沿OD方向，可见它们同方向，都在法线方向上，即o光和e光的折射角都为零，故o光和e光不分开。A点的入射光亦是如此。 以上用惠更斯作图法简单演示了光线在晶体内的传播过程。如果要定量地给出o光和e光在晶体内的折射角度，上述方法就无能为力了，需要采用数学解析方法。 2.2. 晶体内光传播的解析计算方法 在用公式求解光线在晶体内的一般传播规律时，输入参数是：入射角i、光轴与晶体表面的夹角 θ 、入射面与主截面(晶体表面的法线与光轴组成的平面)所成的角 φ 1 、晶体的主折射率 n o 和 n e 。这里之所以需要 φ 1 ，是因为根据三维空间的几何关系，仅由i和 θ 尚不足以确定 φ 1 。需要计算的参数是：o光折射角 α 、e光折射角 β 、e光折射面与入射面之间的角 γ 或者折射面与主截面之间的夹角 φ 2 。由于o光折射服从斯涅尔定律，计算较为简单，下面主要介绍e光折射角和折射面的计算。 当光轴在入射面内，即入射面与主截面重合时，有 φ 1 = 0 ，这时e光折射面与入射面一致，即有 γ = 0 ，计算过程可大大简化，只需计算 α 、 β 即可，根据图1的几何关系，问题转化为一个平面解析几何问题。为简化计算，取光轴方向为X轴，椭圆的长轴方向为Y轴，入射光以输入角i从空气射向晶体表面，如图3所示。令线段 AB ¯ = 1 ，则椭圆的半长轴和半短轴分别为 1 / n e 和 1 / n o 。 图2. 入射光垂直入射波片时的惠更斯作图法 图3. 负折射晶体中折射角的计算 从图中可以看出，OA的长度为 AB ¯ / sin i ，它与X轴的夹角为 θ ，故A点坐标为 A ( cos θ / sin i ， sin θ / sin i ) 。在直角三角形OCA中， ∠ OAC = α ，OC长度为 1 / n o ，我们有 sin α = OC / OA = sin i / n o ，这正是斯涅尔定律，即o光是遵守折射定律的。求e光的折射角时，如果知道D点的坐标 D ( m ， n ) ，从图中可以看出 ∠ AOD = π / 2 − β ，直线OD与X轴的夹角为 θ + ∠ AOD ，故而对于D点有 tan ( θ + π / 2 − β ) = n / m ，即有 tan ( θ − β ) = − m / n ，此时问题转化为从椭圆外一点作椭圆的切线，求切点坐标问题。 先在一般情况下求这个问题的解。设椭圆方程为 x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1 ，过椭圆外一点 ( x 0 ， y 0 ) 作椭圆的切线，要求切点坐标 ( m ， n ) 。椭圆上一点 ( m ， n ) 处的切线斜率为 − b 2 m / a 2 n 。又切线过 ( m ， n ) 和 ( x 0 ， y 0 ) 两点，故切线斜率为 ( y 0 − n ) / ( x 0 − m ) ，令两者相等，并联合椭圆方程，得到关于m、n的方程组 { m 2 a 2 + n 2 b 2 = 1 y 0 − n x 0 − m = − b 2 m a 2 n (1) 从以上方程组中消去n，经整理后得到关于m的一元二次方程 ( a 2 y 0 2 + b 2 x 0 2 ) m 2 − 2 a 2 b 2 x 0 m + a 4 ( b 2 − y 0 2 ) = 0 (2) 得到m的两个解为 m = a 2 b 2 x 0 ± a 2 y 0 Δ a 2 y 0 2 + b 2 x 0 2 (3) 其中， Δ = a 2 y 0 2 + b 2 x 0 2 − a 2 b 2 ，它是大于0的，证明如下： Δ = a 2 b 2 ( x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2 − 1 ) (4) 对于椭圆外一点 ( x 0 ， y 0 ) ，显然有 x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2 > 1 ，故 Δ > 0 。方程(3)的两个根分别对应从椭圆外一点向 椭圆作切线的两个切点的横坐标。但在图3的情形下，我们只需要求界面下面的切点坐标。由于A点位于第一象限， x 0 和 y 0 都大于0，而D点位于第二象限，应有 m < 0 ，故而式(3)只能取减号，即 m = a 2 b 2 x 0 − a 2 y 0 Δ a 2 y 0 2 + b 2 x 0 2 (5) 由方程组(1)还可得到 n = a 2 b 2 − b 2 x 0 m a 2 y 0 (6) 把m的值代入上式，得到 n = a 2 b 2 y 0 + b 2 x 0 Δ a 2 y 0 2 + b 2 x 0 2 (7) 由 tan ( θ − β ) = − m / n ，得 tan θ − tan β 1 + tan θ tan β = − m n (8) 化简后得到 tan β = tan θ + m / n 1 − tan θ m / n = ( a 2 b 2 y 0 + b 2 x 0 Δ ) tan θ + a 2 ( b 2 x 0 − y 0 Δ ) a 2 b 2 y 0 + b 2 x 0 Δ − a 2 ( b 2 x 0 − y 0 Δ ) tan θ (9) 把 a = 1 / n o ， b = 1 / n e ， x 0 = cos θ / sin i ， y 0 = sin θ / sin i 代入上式，整理后得到 tan β = 1 n o 2 cos 2 θ + n e 2 sin 2 θ [ ( n o 2 − n e 2 ) cos θ sin θ + n o n e sin i n o 2 cos 2 θ + n e 2 sin 2 θ − sin 2 i ] (10) 对于光垂直波片入射情形，入射角 i = 0 ，光轴平行界面， θ = 0 ，代入上式，得到 tan β = 0 ，因而e光折射角为0。同时，o光遵守折射定律，折射角也为0，因而o光和e光同向传播而不分开。 从式(10)可以看出，当入射角 i = 0 ，而 θ ≠ 0 时，e光折射角不为0。这和o光情形截然不同。对于o光来说，当 i = 0 时，不论介质折射率多大，折射角始终为0。可见，e光不走寻常路线，非寻常光的名称名副其实。 文献 [ 7 ] 用费马原理计算了光轴在入射面内时e光的折射规律，文献 [ 8 ] 也是结合惠更斯作图法进行计算，但方法与本文不同，中间参数较多，计算过程较为繁琐。相比之下，本文的方法比较简洁，并且得到了折射角的完整表达式。 文献 [ 9 ] 针对一般情况下e光在晶体内的传播规律进行了研究，即当光轴不在入射面内的情况下给出了理论计算结果。当光从折射率为 n i 的各向同性介质中射入晶体时，折射面与主截面之间的夹角 φ 2 及折射角 β 如下： cot φ 2 = n e 2 n o 2 cos 2 θ + n e 2 sin 2 θ [ cot φ 1 + ( n o 2 − n e 2 ) sin θ cos θ n i n 0 n e sin i sin φ 1 Ω ] (11) tan β = n o n e Ω × n i 2 sin 2 i sin 2 φ 2 n e 4 + [ n i n o n e sin i cos φ 1 + Ω ( n o 2 − n e 2 ) sin θ cos θ n o n e ( n o 2 cos 2 θ + n e 2 sin 2 θ ) ] 2 (12) 其中 Ω = ( n o 2 cos 2 θ + n e 2 sin 2 θ ) ( 1 − n i 2 sin 2 i sin 2 φ 1 n e 2 ) − n i 2 sin 2 i cos 2 φ 1 (13) 可以验证，当 φ 1 = 0 时， φ 2 = 0 ，式(12)与式(10)相同。由于当光轴不在入射面内时，各线和面之间的空间几何关系较为复杂，具体推导和计算过程参见文献 [ 9 ]。