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user: 2. 四因素方差分析模型 假定影响实验结果的因素有四个，记为A，B，C，D。其中因子A取r个水平，因子B取s个水平，因子C取t个水平，因子D取u个水平，分别记为 A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A r ， B 1 ， B 2 ， ⋯ ， B s ， C 1 ， C 2 ， ⋯ ， C t ， D 1 ， D 2 ， ⋯ ， D u ，在水平组合 ( A i ， B j ， C k ， D l ) 下样本相互独立且服从正态分布 y i j k l ~ N ( μ i j k l ， σ 2 ) 。 令 μ = 1 r s t u ∑ i = 1 r ∑ j = 1 s ∑ k = 1 t ∑ l = 1 u μ i j k l 表示一般均值； μ i • • • = 1 s t u ∑ j = 1 s ∑ k = 1 t ∑ l = 1 u μ i j k l 表示在A的第i个水平下均值； μ • j • • = 1 r t u ∑ i = 1 r ∑ k = 1 t ∑ l = 1 u μ i j k l 表示在B的第j个水平下均值； μ • • k • = 1 r s u ∑ i = 1 r ∑ j = 1 s ∑ l = 1 u μ i j k l 表示在C的第k个水平下均值； μ • • • l = 1 r s t ∑ i = 1 r ∑ j = 1 s ∑ k = 1 t μ i j k l 表示在D的第l个水平下均值； μ i j • • = 1 t u ∑ k = 1 t ∑ l = 1 u μ i j k l 表示在A的第i个水平和B的第j个水平组合下均值； μ i • k • = 1 s u ∑ j = 1 s ∑ l = 1 u μ i j k l 表示在A的第i个水平与C的第k个水平组合下均值； μ i • • l = 1 s t ∑ j = 1 s ∑ k = 1 t μ i j k l 表示在A的第i个水平与D的第l个水平组合下均值； μ • j k • = 1 r u ∑ i = 1 r ∑ l = 1 u μ i j k l 表示在B的第j个水平与C的第k个水平组合下均值； μ • j • l = 1 r t ∑ i = 1 r ∑ k = 1 t μ i j k l 表示在B的第j个水平与D的第l个水平组合下均值； μ • • k l = 1 r s ∑ i = 1 r ∑ j = 1 s μ i j k l 表示在C的第k个水平与D的第l个水平组合下均值； μ i j k • = 1 u ∑ l = 1 u μ i j k l 表示在A的第i个水平、B的第j个水平、C的第k个水平组合下均值； μ i j • l = 1 t ∑ k = 1 t μ i j k l 表示在A的第i个水平、B的第j个水平、D的第l个水平组合下均值； μ i • k l = 1 s ∑ j = 1 s μ i j k l 表示在A的第i个水平、C的第k个水平、D的第l个水平组合下均值； μ • j k l = 1 r ∑ i = 1 r μ i j k l 表示在B的第j个水平、C的第k个水平、D的第l个水平组合下均值。 其中，在上述定义中， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， r ； j = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ； k = 1 ， 2 ， ⋯ ， t ； l = 1 ， 2 ， ⋯ ， u 。 则各因子主效应和交互效应定义为： α i = μ i • • • − μ 为因子A的主效应； β j = μ • j • • − μ 为因子B的主效应； γ k = μ • • k • − μ 为因子C的主效应； θ l = μ • • • l − μ 为因子D的主效应； η i j = μ i j • • − μ − α i − β j 为因子A和B的交互效应； η i k = μ i • k • − μ − α i − γ k 为因子A和C的交互效应； η i l = μ i • • l − μ − α i − θ l 为因子A和D的交互效应； η j k = μ • j k • − μ − β j − γ k 为因子B和C的交互效应； η j l = μ • j • l − μ − β j − θ l 为因子B和D的交互效应； η k l = μ • • k l − μ − γ k − θ l 为因子C和D的交互效应； η i j k = μ i j k • − ( μ i j • • − μ i • • • ) − ( μ • j k • − μ • j • • ) − ( μ i • k • − μ • • k • ) − μ 为因子A，B，C的交互效应； η i j l = μ i j • l − ( μ i j • • − μ i • • • ) − ( μ i • • l − μ • • • l ) − ( μ • j • l − μ • j • • ) − μ 为因子A，B，D的交互效应； η i k l = μ i • k l − ( μ i • k • − μ i • • • ) − ( μ i • • l − μ • • • l ) − ( μ • • k l − μ • • k • ) − μ 为因子A，C，D的交互效应； η j k l = μ • j k l − ( μ • j k • − μ • j • • ) − ( μ • j • l − μ • • • l ) − ( μ • • k l − μ • • k • ) − μ 为因子B，C，D的交互效应； η i j k l = μ i j k l + μ − ( μ i j k • − μ i j • • + μ i • • • ) − ( μ i j • l − μ i • • l + μ • j • • ) − ( μ i • k l − μ i • k • − μ • • k l + μ • • k • ) − ( μ • j k l − μ • j k • − μ • j • l + μ • • • l ) 为因子A，B，C，D的交互效应。 因此，四因素方差分析模型为： { y i j k l w = μ + α i + β j + γ k + θ l + η i j + η i k + η i l + η j k + η j l + η k l + η i j k + η i j l + η i k l + η j k l + η i j k l + ε i j k l w ∑ i = 1 r α i = 0 ， ∑ j = 1 s β j = 0 ， ∑ k = 1 t γ k = 0 ， ∑ l = 1 u θ l = 0 ∑ i = 1 r η i j = ∑ j = 1 s η i j = 0 ， ∑ i = 1 r η i k = ∑ k = 1 t η i k = 0 ， ∑ i = 1 r η i l = ∑ l = 1 u η i l = 0 ， ∑ j = 1 s η j k = ∑ k = 1 t η j k = 0 ， ∑ j = 1 s η j l = ∑ l = 1 u η j l = 0 ， ∑ k = 1 t η k l = ∑ l = 1 u η k l = 0 ∑ i = 1 r η i j k = ∑ j = 1 s η i j k = ∑ k = 1 t η i j k = 0 ， ∑ i = 1 r η i j l = ∑ j = 1 s η i j l = ∑ l = 1 u η i j l = 0 ， ∑ i = 1 r η i k l = ∑ k = 1 t η i k l = ∑ l = 1 u η i k l ， ∑ j = 1 s η j k l = ∑ k = 1 t η j k l = ∑ l = 1 u η j k l ∑ i = 1 r η i j k l = ∑ j = 1 s η i j k l = ∑ k = 1 t η i j k l = ∑ l = 1 u η i j k l ε i j k l w 相 互 独 立 ， 均 服 从 正 态 分 布 N ( 0 ， σ 2 ) i = 1 ， 2 ， ⋯ ， r ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， t ， l = 1 ， 2 ， ⋯ ， u ， w = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 在该模型下分析每个因子的主效应、任意两因子交互效应、三因子的交互效应以及四因子的交互效应对实验结果是否存在显著影响，需进行如下15个假设检验： H O A : α i = 0 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， r ； H O B : β j = 0 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ； H O C : γ k = 0 ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， t ； H O D : θ l = 0 ， l = 1 ， 2 ， ⋯ ， u ； H O A B : ∀ i ， j ， 均 有 η i j = 0 ； H O A C : ∀ i ， k ， 均 有 η i k = 0 ； H O A D : ∀ i ， l ， 均 有 η i l = 0 ； H O B C : ∀ j ， k ， 均 有 η j k = 0 ； H O B D : ∀ j ， l ， 均 有 η j l = 0 ； H O C D : ∀ k ， l ， 均 有 η k l = 0 ； H O A B C : ∀ i ， j ， k ， 均 有 η i j k = 0 ； H O A B D : ∀ i ， j ， l ， 均 有 η i j l = 0 ； H O A C D : ∀ i ， k ， l ， 均 有 η i k l = 0 ； H O B C D : ∀ j ， k ， l ， 均 有 η j k l = 0 ； H O A B C D : ∀ i ， j ， k ， l ， 均 有 η i j k l = 0 。