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user: 2. 预备知识 在这一章，我们将给出一些常用的符号以及后面讨论中将会用到的一些定义及结论。设X是Banach 空间， X ∗ 和 B X 分别表示X的共轭空间和X的单位闭球。对于 x ¯ ∈ X 及 δ > 0 ，设 B X ( x ¯ ， δ ) 和 B X [ x ¯ ， δ ] 分别表示X中以 δ 为半径且以 x ¯ 为心的开球和闭球。设 ( x ¯ ， y ¯ ) 是一个真的下半连续泛函，集合 d o m ( f ) : = { x ∈ X : f ( x ) < + ∞ } 和 e p i ( f ) : = { ( x ， α ) ∈ X × R : f ( x ) < α } 分别表示f的有效定义域和上方图形。对于 x ∈ d o m ( f ) 及 h ∈ X ，用 f ↑ ( x ， h ) 表示f在x点沿方向h的Rockafelllar方向导数(参见文献 [ 25 ] )，即 f ↑ ( x ， h ) : = lim ε ↓ 0 lim sup u → f x ， t ↓ 0 inf ω ∈ h + ε B X f ( u + t ω ) − f ( u ) t ， 其中 u → f x 表示 u → x 且 f ( u ) → f ( x ) 。当f在x附近是Lipschitz的，则 f ↑ ( x ， h ) : = lim u → x sup t ↓ 0 f ( u + t h ) − f ( u ) t ， 此时 δ ′ 1 : = min { δ 0 ， δ 1 ， δ 2 ， δ 3 4 } 即为f在x点沿方向h的Clarke方向导数。记 x y ∈ F − 1 ( y ) 为f在x处的Clarke次微分，即 κ 0 : = κ 当f是凸泛函时， ∂ f ( x ) = { x ∗ ∈ X ∗ : 〈 x ∗ ， y − x 〉 ≤ f ( y ) − f ( x ) ， ∀ y ∈ X } = { x ∗ ∈ X ∗ : 〈 x ∗ ， h 〉 ≤ lim t → 0 + f ( x + t h ) − f ( x ) h ， ∀ y ∈ X } 对于 ( x ¯ ， x ¯ ∗ ) ∈ g p h ( ∂ f ) : = { ( x ， x ∗ ) ∈ X × X ∗ ， x ∗ ∈ g p h ( ∂ f ) } ，若有 lim ( x ， x ∗ ) → g p h ( ∂ f ) ( x ¯ ， x ¯ ∗ ) f ( x ) = f ( x ¯ ) ， 则称f在 ( x ¯ ， x ¯ ∗ ) 处是次微分连续，其中 ( x ， x ∗ ) → g p h ( ∂ f ) ( x ¯ ， x ¯ ∗ ) 表示 ( x ， x ∗ ) ∈ g p h ( ∂ f ) 且 ( x ， y ) ∈ B X ( x ¯ ， δ ′ 1 ) × B Y ( y ¯ ， δ ′ 1 ) 。 下面的引理在变分分析中起着重要的作用(参见文献 [ 25 ] ，命题2.3.3)。 引理2.1 设X是Banach空间， f 1 ， f 2 : X → R ∪ { + ∞ } 是真的下半连续泛函， x ∈ d o m ( f 1 ) ∩ d o m ( f 2 ) 且 f 1 在x附近是Lipschitz的，则 ∂ ( f 1 + f 2 ) ( x ) ⊂ ∂ f 1 ( x ) + ∂ f 2 (x) 且 ∂ ( α f 1 ) ( x ) = α ∂ f 1 ( x ) ， ∀ α ∈ R . 给定一个admissible函数 φ : R + → R + ，Zheng和Zhu [ 24 ] 引进并研究了一致φ-增长条件，本文主要考虑在 φ ( t ) = t q 的情况下对应的一致增长条件。 设X是Banach空间， f : X → R ∪ { + ∞ } 是一个真的下半连续泛函， δ ， ρ ∈ ( 0 ， + ∞ ) 且 q ∈ [ 1 ， + ∞ ) 。若存在 κ ， δ 1 ， δ 2 ∈ ( 0 ， + ∞ ) 及映射 ϑ : B X ∗ ( 0 ， δ 1 ) → B X ( x ¯ ， δ 2 ) 使得 ϑ ( 0 ) = x ¯ 且 κ ‖ x − ϑ ( u ∗ ) ‖ q ≤ f ( x ) − f ( ϑ ( u ∗ ) ) − 〈 u ∗ ， x − ϑ ( u ∗ ) 〉 ，   ∀ ( x ， u ∗ ) ∈ B X ( x ¯ ， δ 2 ) × B X ∗ ( 0 ， δ 1 ) ， 则称f在 x ¯ 处满足一致q阶增长条件。 为了研究一致q阶增长条件，本文采用Hölder度量正则性。 设X和Y都是Banach空间， F : X → Y 是一个多值映射， p ∈ ( 0 ， + ∞ ) 且 ( x ¯ ， y ¯ ) ∈ g p h ( F ) : = { ( x ， y ) ∈ X × Y : y ∈ F ( x ) } 。 1) 若存在 κ ， δ 1 ， δ 2 ∈ ( 0 ， + ∞ ) 使得 d ( x ， F − 1 ( y ) ) p ≤ κ d ( y ， F ( x ) ) ，     ∀ ( x ， y ) ∈ B X ( x ¯ ， δ 1 ) × B Y ( y ¯ ， δ 2 ) ， (2.1) 则称F在 ( x ¯ ， y ¯ ) 处是p阶Hölder度量正则的。 2) 若存在 κ ， δ 1 ， δ 2 ， δ 3 ∈ ( 0 ， + ∞ ) 使得(2.1)成立且 F − 1 ( y ) ∩ B X ( x ¯ ， δ 3 ) = { z y } ， ∀ y ∈ B Y ( y ¯ ， δ 2 ) ， 则称F在 ( x ¯ ， y ¯ ) 处是p阶Hölder强度量正则的。 命题2.1. 设X和Y都是Banach空间， F : X → Y 是一个多值映射， p ∈ ( 0 ， + ∞ ) 且 ( x ¯ ， y ¯ ) ∈ g p h ( F ) : = { ( x ， y ) ∈ X × Y : y ∈ F ( x ) } ，则称F在 ( x ¯ ， y ¯ ) 处是p阶Hölder强度量正则的当且仅当存在 κ 0 ， δ ′ 1 ， δ ′ 2 ∈ ( 0 ， + ∞ ) 及 θ : B Y ( y ¯ ， δ ′ 1 ) → B X ( x ¯ ， δ ′ 2 ) 使得 ‖ x − θ ( y ) ‖ p ≤ κ 0 d ( y ， F ( x ) ) ，   ∀ ( x ， y ) ∈ B X ( x ¯ ， δ ′ 1 ) × B Y ( y ¯ ， δ ′ 1 ) (2.2) 且 F − 1 ( y ) ∩ B X ( x ¯ ， δ ′ 2 ) = { θ ( y ) } ， ∀ y ∈ B Y ( y ¯ ， δ ′ 1 ) . (2.3) 证明：充分性是显然的，下证必要性。由于F在 ( x ¯ ， y ¯ ) 处是p阶Hölder强度量正则的， 则存在 κ ， δ 1 ， δ 2 ， δ 3 ∈ ( 0 ， + ∞ ) 使得(2.1)成立且 F − 1 ( y ) ∩ B X ( x ¯ ， δ 3 ) = { z y } ， ∀ y ∈ B Y ( y ¯ ， δ 2 ) . (2.4) 由(2.1)及 y ¯ ∈ F ( x ¯ ) 可知 d ( x ， F − 1 ( y ) ) p ≤ κ d ( y ， F ( x ) ) ≤ κ ‖ y − y ¯ ‖ ，   ∀ y ∈ B Y ( y ¯ ， δ 2 ) 所以 lim y → y ¯ d ( x ¯ ， F − 1 ( y ) ) = 0. 于是存在 δ 0 ∈ ( 0 ， δ 3 ) 使得对于任意的 y ∈ B Y ( y ¯ ， δ 0 ) 都存在 x y ∈ F − 1 ( y ) 使得 ‖ x y − x ¯ ‖ < min { δ 1 ， δ 2 ， δ 3 4 } . (2.5) 令 δ ′ 1 : = min { δ 0 ， δ 1 ， δ 2 ， δ 3 4 } ， κ 0 : = κ 及 δ ′ 2 : = δ 3 。并定义 θ : B Y ( y ¯ ， δ ′ 1 ) → B X ( x ¯ ， δ ′ 2 ) 使得 θ ( y ) = z y ， ∀ y ∈ B Y ( y ¯ ， δ ′ 1 ) 。 由(2.4)和(2.5)可知对于任意的 y ∈ B Y ( y ¯ ， δ ′ 1 ) 都有 x y ∈ ( F − 1 ( y ) ∩ B X ( x ¯ ， δ ′ 2 ) ) = ( F − 1 ( y ) ∩ B X ( x ¯ ， δ 3 ) ) = { z y } = ( θ ( y ) ) ， 所以 θ ( y ) = x y = z y ∈ B X ( x ¯ ， δ ′ 2 ) 且(2.3)成立。下面只需证明(2.2)。由(2.5)可知对于任意的 ( x ， y ) ∈ B X ( x ¯ ， δ ′ 1 ) × B Y ( y ¯ ， δ ′ 1 ) 都有 d ( x ， F − 1 ( y ) ∩ B X ( x ¯ ， δ ′ 2 ) ) ≤ ‖ x − x y ‖ ≤ ‖ x − x ¯ ‖ + ‖ x ¯ − x y ‖ < δ ′ 1 + δ 3 4 ≤ δ 3 2 = δ ′ 2 2 且 d ( x ， F − 1 ( y ) \ B X ( x ¯ ， δ ′ 2 ) ) ≥ d ( x ¯ ， F − 1 ( y ) \ B X ( x ¯ ， δ ′ 2 ) ) − ‖ x − x ¯ ‖ > δ ′ 2 − δ ′ 1 ≥ δ ′ 2 − δ 3 4 = 3 δ ′ 2 4 所以对于任意的 ( x ， y ) ∈ B X ( x ¯ ， δ ′ 1 ) × B Y ( y ¯ ， δ ′ 1 ) 都有 d ( x ， F − 1 ( y ) ) = min { d ( x ， F − 1 ( y ) ∩ B X ( x ¯ ， δ ′ 2 ) ) ， d ( x ， F − 1 ( y ) \ B X ( x ¯ ， δ ′ 2 ) ) } = d ( x ， F − 1 ( y ) ∩ B X ( x ¯ ， δ ′ 2 ) ) = ‖ x − θ ( y ) ‖ (2.6) (最后一个等式成立是因为(2.3))，从而由(2.1)和(2.6)可得到(2.2)，证毕。 Prox-正则体现了二阶变分性质，在变分分析中被广泛使用，本文采用更一般的Hölder正则性(参见文献 [ 1 ] ，定义3.1，取 φ ( t ) = t p )。 设X是Banach空间， f : X → R ∪ { + ∞ } 是一个真的下半连续泛函， ( x ¯ ， x ¯ ∗ ) ∈ g p h ( ∂ f ) 且 s ∈ [ 1 ， + ∞ ) 。 1) 若存在 δ ， ρ ∈ ( 0 ， + ∞ ) 使得对于任意的 x ∈ B X ( x ¯ ， δ ) ， ( z ， f ( z ) ) ∈ B ( ( x ¯ ， f ( x ¯ ) ) ， δ ) 及 u ∗ ∈ ∂ f ( z ) ∩ B X ∗ ( x ¯ ∗ ， δ ) 都有 〈 u ∗ ， x − z 〉 ≤ f ( x ) − f ( z ) + ρ ‖ x − z ‖ s ， 则称f在 ( x ¯ ， x ¯ ∗ ) 处是s阶正则的。 2) 若存在 δ ， ρ ∈ ( 0 ， + ∞ ) 使得对于任意的 x ∈ B X ( x ¯ ， δ ) ， ( z ， f ( z ) ) ∈ B ( ( x ¯ ， f ( x ¯ ) ) ， δ ) 及 u ∗ ∈ ∂ f ( z ) ∩ B X ∗ ( x ¯ ∗ ， δ ) 都有 〈 u ∗ ， x − z 〉 ≤ f ( x ) − f ( z ) + ρ d ( x ， ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) ) s ， 则称f在 ( x ¯ ， x ¯ ∗ ) 处是s阶S-正则的。 3) 若存在 δ ， ρ ∈ ( 0 ， + ∞ ) 使得对于任意的 x ∈ B X ( x ¯ ， δ ) 都有 〈 x ¯ ∗ ， x − x ¯ 〉 ≤ f ( x ) − f ( x ¯ ) + ρ ‖ x − x ¯ ‖ s ， 则称f在 ( x ¯ ， x ¯ ∗ ) 处是s阶次正则的。 4) 若存在 δ ， ρ ∈ ( 0 ， + ∞ ) 使得对于任意的 x ∈ B X ( x ¯ ， δ ) 都有 〈 x ¯ ∗ ， x − x ¯ 〉 ≤ f ( x ) − f ( x ¯ ) + ρ d ( x ， ( ∂ f ) − 1 ( x ¯ ∗ ) ) s ， 则称f在 ( x ¯ ， x ¯ ∗ ) 处是s阶S-次正则的。 命题2.2. 设X是Banach空间， f : X → R ∪ { + ∞ } 是一个真的下半连续泛函， ( x ¯ ， x ¯ ∗ ) ∈ g p h ( ∂ f ) 且 s ∈ [ 1 ， + ∞ ) 。若f在 ( x ¯ ， x ¯ ∗ ) 处是次微分连续，则f在 ( x ¯ ， x ¯ ∗ ) 处是s阶正则的当且仅当 δ ， ρ ∈ ( 0 ， + ∞ ) 使得对于任意的 x ， z ∈ B X ( x ¯ ， δ ) 且 u ∗ ∈ ∂ f ( z ) ∩ B X ∗ ( x ¯ ∗ ， δ ) 都有 〈 u ∗ ， x − z 〉 ≤ f ( x ) − f ( z ) + ρ ‖ x − z ‖ s . 证明：充分性是显然的，下证必要性。由于f在 ( x ¯ ， x ¯ ∗ ) 处是s阶正则的，则存在 δ 0 ， ρ 0 ∈ ( 0 ， + ∞ ) 使得对于任意的 x ∈ B X ( x ¯ ， δ 0 ) ， ( z ， f ( z ) ) ∈ B ( ( x ¯ ， f ( x ¯ ) ) ， δ 0 ) 及 u ∗ ∈ ∂ f ( z ) ∩ B X ∗ ( x ¯ ∗ ， δ 0 ) 都有 〈 u ∗ ， x − z 〉 ≤ f ( x ) − f ( z ) + ρ 0 ‖ x − z ‖ s . (2.7) 由于f在 ( x ¯ ， x ¯ ∗ ) 处是次微分连续的，故存在 δ ∈ ( 0 ， δ 0 ) 使得对于任意的 ( z ， u ∗ ) ∈ ∂ f ( z ) ∩ ( B X ( x ¯ ， δ ) × B X ∗ ( x ¯ ∗ ， δ ) ) 都有 | f ( x ) − f ( x ¯ ) | < δ 0 . (2.8) 令 ρ : = ρ 0 ，由(2.7)和(2.8)可知对于任意的 x ， z ∈ B X ( x ¯ ， δ ) 且 u ∗ ∈ ∂ f ( z ) ∩ B X ∗ ( x ¯ ∗ ， δ ) 都有 〈 u ∗ ， x − z 〉 ≤ f ( x ) − f ( z ) + ρ ‖ x − z ‖ s ， 证毕。 为了后面的叙述方便，我们回顾下面的概念。 设X是Banach空间， f : X → R ∪ { + ∞ } 是一个真的下半连续泛函，f的共轭函数定义如下 f ∗ : X ∗ → R ∪ ( 0 ， + ∞ ) ： f ∗ ( x ∗ ) : = sup x ∈ X ( 〈 x ∗ ， x 〉 − f ( x ) ) ， ∀ x ∗ ∈ X ∗ . 对于 x ∗ ∈ X ∗ 和 x ∈ X ，容易得到(参见文献 [ 26 ] ，命题5.3.1) f ∗ ( x ∗ ) = 〈 x ∗ ， x 〉 − f ( x ) ⇒ x ∈ ∂ f ∗ ( x ∗ ) . 当f是凸泛函时(参见文献 [ 26 ] ，推论5.3.3)，则 x ∗ ∈ ∂ f ( x ) ⇔ x ∈ ∂ f ∗ ( x ∗ ) .