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user: 3. 分析方法 3.1. 经典的调和分析法 在经典的调和分析方法中，潮汐水位可用正弦项的线性组合来表示 [ 14 ]： Z ( t ) = S 0 + ∑ j = 1 J ( H j cos ( σ j t − g j ) ) (1) 其中， Z ( t ) 是时间t的水位。 σ j 、 H j 和 g j 分别是第j个潮汐的频率、振幅和相位。 S 0 是平均海平面。引入新的未知数 a j 和 b j ，重写方程(1)将其线性化： Z ( t ) = S 0 + ∑ j = 1 J ( a j cos σ j t + b j sin σ j t ) (2) 其中： H j = a j 2 + b j 2 ， g j = arctan ( b j / a j ) 在回归分析中，方程(2)可以用矩阵形式写成 Z = A x ，其中Z是水位向量，A是在测量计算时的基函数矩阵，x是未知参数向量。经典调和分析方法通常使用普通最小二乘法进行，这使每个数据点在解中的权重相等。为缩小置信区间，需用标准来限制调和分析中成分的数量。Godin使用瑞利分离方程 [ 15 ]： | σ 1 − σ 2 | > 1 m Δ t (3) 其中： σ 1 和 σ 2 是两个相邻的潮汐频率，m是样本的数量， Δ t 是样本间隔， m Δ t 是记录的长度。在用瑞利准则确定最小允许频率分离后，以潮势振幅作为后验，决定列入的顺序。 本文使用T_TIDE程序包执行带有节点校正、推理的经典调和分析，选择传统的最小二乘法求解青岛港口观测站的调和常数数，并用Matlab R2016a加载和分析时间序列，对青岛港每日不同时刻的潮位情况数据进行分析。其中t_tide.m用于分析，t_predic.m用于潮汐预报。具体步骤如下： 1) 数据预处理。对原始数据资料的个别奇异点进行中值滤波处理，剔除毛刺，对极少部分缺测资料利用Gil等(2005)介绍的最小二乘插值法进行插值 [ 16 ]，并将该时间序列转换成格林威治时间。 2) 程序实现。首先读取数据，目的是为了将原始数据一列的读取在变量中。接着使用t_tide分析逐时的潮位资料，得到输出参数分潮的符号(name)、振幅(amp)、迟角(pha)、信噪比(snr)、回报的潮位(xout)等。一般认为snr > 2的分潮是显著的。 3) 潮汐预报。调和分析结束后用t_predic进行潮汐的预报，得到不含计算数据平均值的预报潮位。 运行Matlab软件，对青岛港观测站1年多的潮位数据的进行经典调和分析，得到67个分潮成分，按振幅贡献率排名，取其中最大的8种成分的振幅、迟角和信噪比于下表1中。 Table 1 The harmonic constants of the main tidal component 分潮名称 振幅/cm 相位/˚ 信噪比 M2 137.823 132.29 4.10E+03 S2 42.4772 177.57 4.70E+02 N2 25.8679 106.86 1.80E+02 K1 25.588 354.9 1.70E+02 O1 21.1035 295.87 1.10E+02 SA 20.9708 204.05 1.20E+02 M4 13.6372 159.58 65 K2 12.9462 167.23 43 表1. 主要分潮的调和常数 由表1知，青岛港潮汐以M2分潮为主，其次为S2、N2、K1、O1和SA等分潮，受半日分潮影响显著，与青岛港为正规半日潮港相契合。其中振幅贡献率前三名为半日分潮M2、S2和N2，主要全日分潮K1和O1的振幅分别约为半日分潮M2的0.1857倍和0.1531倍；太阳年周潮SA的振幅为20.9708 cm；主要浅水分潮M4的振幅为13.6372 cm。 在上述分析中不包含节点修正，因为与阶段变化的影响相比，河流潮汐的节点调制通常很小 [ 5 ]。为与T_TIDE的结果进行比较，下文也不对S_TIDE确定的潮汐特性进行节点修正。使用T_TIDE程序包，青岛港观测站的回报只解释了原始信号方差的89.4%，潮汐高度的均方根误差(RMSE)为37.181 cm。故经典调和分析方法具有一定的局限性，因此对该方法进行改进是学者未来研究的方向。 3.2. 增强的调和分析法 新提出的增强调和分析还假定同T_TIDE一样的时变 S 0 、 a j 和 b j ： Z ( t ) = S ( t ) + ∑ j = 1 J ( a j ( t ) cos σ j t + b j ( t ) sin σ j t ) (4) 在用IP方案求解方程(4)时，S_TIDE与NS_TIDE不同 [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]。IP方案的基本思想非常简单 [ 7 ] [ 8 ]。假设调和参数(例如振幅)是时变的， X = { X 1 ， X 2 ， X 3 ， ⋯ ， X n } 是时间指数。首先，选择IP的索引，即 X ˜ = { X 1 ， X 3 ， ⋯ ， X 2 n − 1 } 作为参数空间的代表。 X ˜ 是X的子集。第二，计算IP处的调和参数。最后，在IP之间插值其它点 { X 2 ， X 4 ， ⋯ ， X 2 n } 上的调和参数 [ 12 ]。X被命名为独立点，因为其他点的值是通过在IP上插值值获得的，或者在某种意义上，它们依赖于IP上的值 [ 20 ]。 下面介绍增强调和分析的主要思想。在IP上均匀分布的平均海平面和潮汐系数被选择为独立参数(表示为 S i 、 a i ， j 和 b i ， j )，而在其它点上的平均海平面和潮汐系数则是通过IP之间的插值得到的。因此，变化的平均海平面和潮汐系数可以用 S i 、 a i ， j 和 b i ， j 的函数来表示，它们是： S ( t ) = ∑ i = 1 M s f t ， i S i a j ( t ) = ∑ i = 1 M f t ， i a i ， j b j ( t ) = ∑ i = 1 M f t ， i b i ， j (5) 其中， f t ， i 是时间t的第i个IP的插值权重，其值取决于插值方法。M S 和M分别是平均海平面和成分的IP编号。目前为止 S i 、 a i ， j 和 b i ， j 的值未知，但可通过插值得到，时变 S ( t ) 、 a j ( t ) 和 b j ( t ) 可分别表示为 S i 、 a i ， j 和 b i ， j 值的线性组合，方程(4)和(5)的组合产生方程(6): Z ( t ) = ∑ i = 1 M s f t ， i S i + ∑ j = 1 J ( ∑ i = 1 M f t ， i a i ， j cos σ j t + ∑ i = 1 M f t ， i b i ， j sin σ j t ) (6) 三次样条插值由于其稳定、收敛和平滑的特性而被广泛应用 [ 18 ] [ 21 ] [ 22 ]。故在本方案中采用三次样条插值计算。当在N矩处测量，即在 t = t 1 ， t 2 ， ⋯ ， t N 时 Z = Z 1 ， Z 2 ， ⋯ ， Z N ，我们得到以下方程集： ∑ i = 1 M s f t 1 ， i S i + ∑ j = 1 J ( ∑ i = 1 M f t 1 ， i a i ， j cos σ j t 1 + ∑ i = 1 M f t 1 ， i b i ， j sin σ j t 1 ) = Z ( t 1 ) ∑ i = 1 M s f t 2 ， i S i + ∑ j = 1 J ( ∑ i = 1 M f t 2 ， i a i ， j cos σ j t 2 + ∑ i = 1 M f t 2 ， i b i ， j sin σ j t 2 ) = Z ( t 2 )                                                                                       ⋮ ∑ i = 1 M s f t N ， i S i + ∑ j = 1 J ( ∑ i = 1 M f t N ， i a i ， j cos σ j t N + ∑ i = 1 M f t N ， i b i ， j sin σ j t N ) = Z ( t N ) (7) 方程(7)中的 2 M J + M S 的总和是未知数，当观察记录数量N远大于 2 M J 时，可被估计出来。此外， S i 、 a i ， j 和 b i ， j 可通过最小二乘拟合估计，在对其进行插值，可得到时变平均海平面、振幅等。 下面介绍误差估计算法 [ 12 ]。首先，从原始观测时间序列中去除增强调和分析估计的潮部和潮下部，以获得残余或噪声。然后，通过重采样残差的时间序列，产生合成噪声实现。第三，将潮汐部分和潮下部分加入到每个噪声实现中，通过最小二乘拟合得到潮汐部分和潮下部分的新估计。最后，利用t分布可以计算置信区间。在S_TIDE中，组成选择取决于IP的数量。