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user: 2. 格子Boltzmann模型 2.1. 描述宏观流动的格子Boltzmann模型 本文采用双组份格子Boltzmann模型描述爆轰的宏观流动过程。其离散速度模型使用文献 [ 16 ] 所提出的D2V33模型。D2V33模型具有33个离散速度，能够满足恢复Navier-Stokes方程所需的七阶各向同性。其中， { v 0 = 0 ， v k i = v k [ c o s ( i π / 4 ) ， s i n ( i π / 4 ) ] . (1) 下标 k = 1 ， 2 ， 3 ， 4 表示第 k 组粒子速度是 v k ，本文选取 v 1 = 1.00 、 v 2 = 1.92 、 v 3 = 2.99 、 v 4 = 4.49 ； i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 8 表示粒子速度方向。 分布函数 f k i σ 遵循以下格子Boltzmann方程： ∂ f k i σ ∂ t + v k i ⋅ ∂ f k i σ ∂ r = − 1 τ σ [ f k i σ − f k i σ ， e q ] . (2) 其中 σ ∈ ( r ， p ) ，分别代表反应物和产物； r 表示空间坐标； τ σ 为 σ 组份的松弛因子； σ 组份的局域平衡态分布函数 f k i σ ， e q 由下式给出 f k i σ ， e q = ρ σ F k { [ 1 − u 2 2 T + u 4 8 T 2 ] + v k i ε u ε T ( 1 − u 2 2 T ) + v k i ε v k i π u ε u π 2 T 2 ( 1 − u 2 2 T )     + v k i ε v k i π v k i υ u ε u π u υ 6 T 3 + v k i ε v k i π v k i υ v k i ξ u ε u π u υ u ξ 24 T 4 } . (3) 在(3)式中， ρ σ 表示 σ 组份的密度； u 表示局域平均速度，有 u = ρ r u r + ρ p u p ρ r + ρ p ； (4) T 表示局域平均温度，有 T = ρ r T r + ρ p T p ρ r + ρ p ； (5) 权重因子 F k 和 F 0 与文献 [ 13 ] [ 17 ] 一致。 为了在连续极限下得到与恢复Navier-Stokes方程一致的结果， σ 组份的局域平衡态分布函数 f k i σ ， e q 需要满足以下矩关系 ∑ k i f k i σ ， e q = ρ σ ， (6) ∑ k i v k i f k i σ ， e q = ρ σ u σ ， (7) ∑ k i 1 2 v v i 2 f k i σ ， e q = e t h e r m σ + 1 2 ρ σ ( u σ ) 2 = ρ σ T σ + 1 2 ρ σ ( u σ ) 2 = P σ + 1 2 ρ σ ( u σ ) 2 ， (8) ∑ k i v k i α v k i β f k i σ ， e q = e t h e r m σ δ α β + ρ σ u α σ u β σ ， (9) ∑ k i v k i α v k i β v k i γ f k i σ ， e q = e t h e r m σ ( u γ σ δ α β + u α σ δ β γ + u β σ δ γ α ) + ρ σ u α σ u β σ u γ σ ，(10) ∑ k i 1 2 v k 2 v k i α f k i σ ， e q = 2 e t h e r m σ u α σ + 1 2 ρ σ ( u σ ) 2 u α σ ， (11) ∑ k i 1 2 v k 2 v k i α v k i β f k i σ ， e q = [ 2 T σ + 1 2 ( u σ ) 2 ] e t h e r m σ δ α β + [ 3 e t h e r m σ + 1 2 ρ σ ( u σ ) 2 ] u α σ u β σ . (12) 首先，通过(6)~(8)式计算 σ 组份的密度 ρ σ 、速度 u σ 、压力 P σ 和温度 T σ 。当 r 组份(反应物)和 p 组份(产物)处于平衡状态时，通过(3)式计算 σ 组份( r 和 p )的局域平衡态分布函数 f k i σ ， e q ，并使用共同的局域平均速度 u 和局域平均温度 T 。在双组份流动系统中， r 组份(反应物)和 p 组份(产物)的粒子通过碰撞过程交换动量和能量，相对应的分布函数 f k i r 和 f k i q 不是相互独立的，而是通过两个格子Boltzmann方程耦合。分布函数 f k i σ 通过松弛时间松弛到局域平衡状态，在求解 f k i σ ， e q 过程中，即在(3)式中使用相同的局域平均速度 u 和局域平均温度 T 实现两个格子Boltzmann方程的耦合。 将方程(2)的左端用Lax-Wendroff有限差分格式离散，右端添加色散项和附加粘性项，并用二阶中心差分格式离散，得到以下形式的有限差分格子Boltzmann方程 [ 17 ] ： f k i I σ ， n e w = f k i I σ − c k i α 2 ( f k i I + 1 σ − f k i I − 1 σ ) − Δ t τ ( f k i I σ − f k i I σ ， e q ) + c k i α 2 2 ( f k i I + 1 σ − 2 f k i I σ + f k i I − 1 σ )     + c k i α ( 1 − c k i α 2 ) 12 ( f k i I + 2 σ − 2 f k i I + 1 σ + 2 f k i I − 1 σ − f k i I − 2 σ ) + θ α I σ | k α σ | ( 1 − | k α σ | ) 2 ( f k i I + 1 σ − 2 f k i I σ + f k i I − 1 σ ) . (13) 其中， c k i α = v k i α Δ t / Δ r α ； k α σ = u α σ Δ t / Δ r α ；； θ α I σ = η σ | P α I + 1 σ − 2 P α I σ + P α I − 1 σ P α I + 1 σ + 2 P α I σ + P α I − 1 σ | ； I − 2 、 I − 1 、 I 、 I + 1 、 I + 2 代表 x 或 y 方向的5个连续点。修正的Lax-Wendroff有限差分格式是单调的守恒格式，能够改善数值稳定性。方程(13)中的“ θ α I σ | k α σ | ( 1 − | k α σ | ) 2 ( f k i I + 1 σ − 2 f k i I σ + f k i I − 1 σ ) ”项为附加粘性项，使模型既适用于低速不可压缩流体，又适用于高Mach数系统，使模型能够用于稳定冲击与爆轰问题。 2.2. 描述化学反应的Lee-Tarver反应率函数 爆轰中的化学反应过程相当复杂，选用恰当的化学反应率函数是关键，因为化学反应率函数能够决定爆轰的点火、发展和传播过程。Lee-Tarver反应率函数是与实验数据拟合最好的化学反应模型之一 [ 18 ] 。本文使用的Lee-Tarver反应率函数和初始条件如下： d λ d t = { a ( 1 − λ ) + b ( 1 − λ ) λ ，     T ≥ T t h ， 且 0 ≤ λ ≤ 1 0 ，       其 它 (14) 其中， λ 表示产物的组份数， a 、 b 为常数， T t h 为化学反应的温度阈值。 由于爆轰化学反应的时间非常快，比宏观流动的时间小几个数量级，所以化学反应和宏观流动不能用同一时间尺度描述。为此，采用算子分裂法求解方程(14)，即将化学反应过程分为两步： 首先计算对流过程， ∂ λ ∂ t + u ∇ λ = 0 (15) 并使用迎风格式计算，即 λ I n + 1 − λ I n Δ t = − { u ( λ I n − λ I − 1 n ) Δ x ， u ≥ 0 u ( λ I + 1 n − λ I n ) Δ x ， u < 0 (16) 其中， I − 1 、 I 、 I + 1 代表 x 或 y 方向的3个连续点。 然后计算化学反应过程 ∂ λ ∂ t = a ( 1 − λ ) + b ( 1 − λ ) λ ， (17) 式(17)的解析解为 λ I n + 1 = e ( a + b ) Δ t + a ( λ I n − 1 ) / ( a + b λ I n ) e ( a + b ) Δ t + b ( 1 − λ I n ) / ( a + b λ I n ) . (18) 2.3. 化学反应与流动的耦合 在真实的燃烧过程中，化学反应放出的热量和内能是耦合的。化学反应放出热量必然导致内能增加，内能的增加引起压强的变化，进而影响密度和流速的变化。在本文所构建的双组份格子Boltzmann模型中，总的内能 e ˙ 由化学反应产生的内能 e ˙ c h e m 和热力学内能 e ˙ t h e r m 两部分组成 e ˙ = e ˙ t h e r m + e ˙ c h e m ， (19) e ˙ c h e m = λ ˙ ρ Q . (20) 其中， Q 是单位质量反应物发生化学反应放出的热量，局域平均密度 ρ = ρ r + ρ p 。 在数值模拟中，首先通过(5)式计算热力学部分的内能 e t h e r m ，然后通过(19)~(20)式计算总的内能 e ；再用总内能 e 替代 e t h e r m 并更新压力 P 和温度 T ；最后更新反应物和产物的密度，即 ρ r ， n e w = ρ r − λ ˙ ρ ，(21) ρ p ， n e w = ρ p + λ ˙ ρ .(22) 通过这样的过程，化学反应和流场实现了自然耦合。