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user: 3. 对偶犹豫模糊语言Frank集成算子 3.1. 对偶犹豫模糊语言Frank算子的运算规则 根据对偶犹豫模糊语言变量、Frank-T范数和Frank-S范数 [ 16 ]，定义对偶犹豫模糊语言环境下Frank算子的运算法则如下。 定义6：设 d 1 = ( s θ ( x 1 ) ， h 1 ， g 1 ) 和 d 2 = ( s θ ( x 2 ) ， h 2 ， g 2 ) 是两个给定的DHFLS，基于对偶犹豫模糊语言Frank 算子的运算规则定义如下 λ d 1 = 〈 s λ θ ( x 1 ) ， 1 − log θ ( 1 + ( θ 1 − γ 1 − 1 ) λ ( θ − 1 ) λ − 1 ) ， log θ ( 1 + ( θ η 1 − 1 ) λ ( θ − 1 ) λ − 1 ) 〉 ， λ > 0 ; (6) d 1 λ = 〈 s θ ( x 1 ) λ ， log θ ( 1 + ( θ γ 1 − 1 ) λ ( θ − 1 ) λ − 1 ) ， 1 − log θ ( 1 + ( θ 1 − η 1 − 1 ) λ ( θ − 1 ) λ − 1 ) 〉 ， λ > 0 ; (7) d 1 ⊕ d 2 = 〈 s θ ( x 1 ) + θ ( x 2 ) ， 1 − log θ ( 1 + ( θ 1 − γ 1 − 1 ) ( θ 1 − γ 2 − 1 ) ( θ − 1 ) ) ， log θ ( 1 + ( θ η 1 − 1 ) ( θ η 2 − 1 ) ( θ − 1 ) ) 〉 ; (8) d 1 ⊗ d 2 = 〈 s θ ( x 1 ) × θ ( x 2 ) ， log θ ( 1 + ( θ γ 1 − 1 ) ( θ γ 2 − 1 ) ( θ − 1 ) ) ， 1 − log θ ( 1 + ( θ 1 − η 1 − 1 ) ( θ 1 − η 2 − 1 ) ( θ − 1 ) ) 〉 . (9) 易证上述计算结果仍为对偶犹豫模糊语言变量。 为了实现多个对偶犹豫模糊语言变量的集结，本文提出了基于该语言集的加权算术平均算子、有序加权算术平均算子。 3.2. 对偶犹豫模糊语言Frank加权算术平均算子 定义7：设 d i = 〈 s θ ( x i ) ， h i ， g i 〉 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 为一组任意对偶犹豫模糊语言变量， ω = ( ω 1 ， ω 2 ， ⋯ ， ω n ) T 是 d i 的权重向量，满足 ω i ∈ [ 0 ， 1 ] 且 ∑ i = 1 n ω i = 1 ，那么对偶犹豫模糊语言Frank加权算术平均算子(DHFLFWA)定 义如下 DHFLFWA ( d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d n ) = ω 1 d 1 ⊕ ω 2 d 2 ⊕ ⋯ ⊕ ω n d n 定理1：设 d i = 〈 s θ ( x i ) ， h i ， g i 〉 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 为一组任意对偶犹豫模糊语言变量， ω = ( ω 1 ， ω 2 ， ⋯ ， ω n ) T 是d的权重向量，满足 ω i ∈ [ 0 ， 1 ] 且 ∑ i = 1 n ω i = 1 ，那么运用DHFLFWA算子计算得到的结果仍然是对偶犹豫模 糊语言变量，并且 (10) 易用数学归纳法证明等式(10)成立，此外，DHFLFWA算子也具有有界性，如定理2所示。 定理2：(有界性)设 d i = 〈 s θ ( x i ) ， h i ， g i 〉 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 为一组任意对偶犹豫模糊语言变量，若 s − = min s θ ( x i ) ， s + = max s θ ( x i ) ， γ − = min { γ i | γ i ∈ h i } ， γ + = max { γ i | γ i ∈ h i } ， η − = min { η i | η i ∈ g i } ， η + = max { η i | η i ∈ g i } ，则 〈 s − ， { γ − } ， { η + } 〉 ≤ DHFLFWA ( d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d n ) ≤ 〈 s + ， { γ + } ， { η − } 〉 此外，易知DHFLFWA也算子具有幂等性和单调性，如定理3和定理4所示。 定理3：(单调性)设 d i = 〈 s θ ( x i ) ， h i ， g i 〉 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 和 d ′ i = 〈 s θ ( x i ) ， h i ， g i 〉 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 为两组对偶犹豫模糊语言变量，若对于任意的 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，有 d ′ i ≤ d i ，那么 DHFLFWA ( d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d n ) = DHFLFWA ( d ′ 1 ， d ′ 2 ， ⋯ ， d ′ n ) 。 下面研究DHFLFWA算子中参数 θ 的性质。 推论1 当 θ → 1 时，对偶犹豫模糊语言Frank加权算术平均算子(DHFLFWA)就转化为对偶犹豫模糊语言加权算术平均算子(DHFLWAA)： DHFLWAA ( d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d n ) = ∑ i = 1 n ω i d i = 〈 s ∑ i = 1 n ω j θ ( d j ) ， ∪ γ i ∈ h i ， η i ∈ g i { { 1 − ∏ i = 1 n ( 1 − γ i ) ω i } ， { ∏ i = 1 n ( η i ) ω i } } 〉 (11) 证明 由定义2， d 1 ⊕ d 2 = 〈 s θ ( x 1 ) + θ ( x 2 ) ， ∪ γ 1 ∈ h 1 ， γ 2 ∈ h 2 ， η 1 ∈ g 1 ， η 2 ∈ g 2 { { γ 1 + γ 2 − γ 1 γ 2 } ， { η 1 η 2 } } 〉 可知若 y ( 1 − t ) 为严格单调递减的加性算子时， x ( t ) = y ( 1 − t ) = ln ( θ − 1 θ 1 − t − 1 ) ， 0 < t < 1 ，于是有 lim θ → 1 x ( t ) = lim θ → 1 ln ( θ − 1 θ 1 − t − 1 ) = lim θ → 1 ln ( 1 ( 1 − t ) θ − 1 ) = − ln ( 1 − t ) 可以得到 DHFLWAA ( d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d n ) = ⊕ i = 1 n ω i d i = 〈 s ∑ i = 1 n ω j θ ( d j ) ， ∪ γ i ∈ h i ， η i ∈ g i { { 1 − ∏ i = 1 n ( 1 − γ i ) ω i } ， { ∏ i = 1 n ( η i ) ω i } } 〉 3.3. 对偶犹豫模糊语言Frank有序加权算术平均算子 定义8：设 d i = 〈 s θ ( x i ) ， h i ， g i 〉 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 为一组任意对偶犹豫模糊语言变量， ω = ( ω 1 ， ω 2 ， ⋯ ， ω n ) T 是 d i 的位置权重向量，满足 ω i ∈ [ 0 ， 1 ] 且 ∑ i = 1 n ω i = 1 ， d σ ( i ) 为 d i 中第i大的元素。对偶犹豫模糊语言Frank有序加权算术平均算子(DHFLFOWA)定义如下 DHFLFOWA ( d 1 ， d 2 ， ⋯ d n ) = ω 1 d σ ( 1 ) ⊕ ω 2 d σ ( 2 ) ⊕ ⋯ ⊕ ω n d σ ( n ) = 〈 s ∑ i = 1 n ω i θ ( d σ ( i ) ) ， ∪ γ i ∈ h i ， η i ∈ g i 1 − log θ ( 1 + θ − 1 ∏ i = 1 n ( θ − 1 θ 1 − γ σ ( i ) − 1 ) ω σ ( i ) ) ， log θ ( 1 + θ − 1 ∏ i = 1 n ( θ − 1 θ η σ ( i ) − 1 ) ω σ ( i ) ) 〉 (12) 显然，与对偶犹豫模糊语言Frank加权算术平均算子(DHFLFWA)类似，对偶犹豫模糊语言Frank有序加权算术平均算子(DHFLFOWA)也具有有界性和单调性。此外，对偶犹豫模糊语言Frank有序加权算术平均算子(DHFLFOWA)还具有交换性。 定理4：(交换性)设 d i = 〈 s θ ( x i ) ， h i ， g i 〉 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 为一组任意对偶犹豫模糊语言变量，如果 ( d ′ 1 ， d ′ 2 ， ⋯ ， d ′ n ) 是 ( d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d n ) 的任意位置交换，则有 DHFLFOWA ( d ′ 1 ， d ′ 2 ， ⋯ ， d ′ n ) = DHFLFOWA ( d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d n ) .