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user: 5. 模型建立与求解 5.1. 问题一的模型与求解 由于中心供水站只能与一级供水站连接，我们将中心供水站与一级供水站整体看作第一级供水系统，系统内使用I型管道进行连接。一级供水站与二级水站整体看作第二级供水系统。 我们将题目所给地图简化为赋权图G，设T是赋权图G的一棵生成树，称T中全部边上的权数之和为生成树的权，记为 w ( T ) ，即 w ( T ) = ∑ w ( e ) 。如果生成树T * 的权 w ( T * ) 是G的所有生成树的权最小者，则称T * 是G的最优树，即 w ( T * ) = ∑ min { w ( T ) } 。 基于已知的中心水站及一级水站位置坐标信息，我们计算求得包括中心水站在内的13个点间的距离矩阵。 接下来，我们对于水站节点给出限制条件，形成最优规划模型求解一级供水系统的最短管道连接方式。 设无向图共有n个节点，其赋权图的邻接矩阵为 d n ∗ n 。 d i j 表示节点i到j的距离。D为对称矩阵。令 D i i = 0 。 现求根节点1到各节点生成的最优树，要求各线路上的权值和最小 [ 1 ]。 引入决策变量： x i j = { 1                 节 点     i     与     j     连 通 0             节 点     i     与     j     不 连 通 我们的目标函数为： min Z = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n d i j x i j 约束条件： 1) 对起始点1至少有一条路出去，故有： ∑ j = 2 n x i j ≥ 1 2) 对其余各节点，恰有一条路进入，有： ∑ k = 1 k ≠ i n x k i = 1 ，   i = 2 ， ⋯ ， n 3) 所有节点间连线不出现圈，引入变量u，有： u i − u j − n x i j ≤ n − 1 ，       i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 总体规划模型为： min Z = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n d i j x i j s .t .     { ∑ j = 2 n x i j ≥ 1 ∑ k = 1 k ≠ i n x k i = 1 ，     i = 2 ， ⋯ ， n u i − u j − n x i j ≤ n − 1 ，       i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n x i j = 0     或     1 5.1.1. 一级供水系统的最短管道连接模型 对于一级供水系统(由中心供水站与12个一级供水站组成)， n = 13 ，选取中心供水站为1号水站。 总体规划模型为： min Z = ∑ i = 1 13 ∑ j = 1 13 d i j x i j s .t .     { ∑ j = 2 13 x i j ≥ 1 ∑ k = 1 k ≠ i 13 x k i = 1 ，     i = 2 ， ⋯ ， 13 u i − u j − n x i j ≤ 13 ，       i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， 13 x i j = 0     或     1 得到距离矩阵 D 1 ，以图1方式给出。 图1. 水站间距离矩阵 5.1.2. 一级供水系统的最短管道连接问题求解 将上述中已得到的数据输入LINGO软件中，可直接得出一级供水系统的连接方式，如图2 (0对于A中心水站)。 图2. 一级供水系统的连接方式 对应水站位置连接结果如图3。图中，横坐标为水站位置相对原点水平投影，纵坐标为水站位置相对原点竖直方向投影。下文水站连接图同理。 图3. 水站位置连接结果 此时一级管道连接最短距离为： min Z = ∑ i = 1 13 ∑ j = 1 13 d i j x i j = 120.9412   km 。 5.1.3. 各区域内二级供水系统的最短管道连接模型 考虑到供水质量及保障维修便利度因素，我们采用区域中心供水制，从每个二级供水站出发寻找距离它最近的一级供水站，选择同一一级供水站的二级水站组成一个集合，将168个二级水站按区域归属于12个一级水站区域。我们通过计算每一二级水站距离12个一级供水站的完整距离矩阵，得到分区情况。 对于每一个区域二级系统，我们进行赋权图简化，应用5.1.1中的最小树模型，将各二级区域内的一级供水站看作供水出发点，设为1号水站，得到总体规划模型为： min Z = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n d i j x i j s .t .     { ∑ j = 2 n x i j ≥ 1 ∑ k = 1 k ≠ i n x k i = 1 ，     i = 2 ， ⋯ ， n u i − u j − n x i j ≤ n − 1 ，       i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n x i j = 0     或     1 5.1.4. 二级供水系统的最短管道连接问题求解 根据我们得到的分区情况，区域对应规划模型中的n值如图3。 将上述中已得到的数据输入LINGO软件中，可直接得出各区二级供水系统的连接方式，如图4~图6 (各区中区号点对应区域的一级供水站)。 图4. V1~V4区水站连接方式 图5. V5~V8区水站连接方式 得到最终整体二级供水系统连接方式如图7。 此时二级管道连接最短距离为： min L = 484.38409   km 。 综合上述一级、二级供水系统连接方式求解，我们得到最终所有水站连接方式如图8。 图6. V9~V12区水站连接方式 图7. 整体二级供水系统连接方式 图8. 一级、二级供水系统连接方式 5.2. 二级水站升级的选取模型与求解 5.2.1. 二级水站升级的选取模型 根据二级水站连接方式，我们可以将二级水站进行分类。基于二级供水站有无传递水源能力，我们将二级水站分为以下两类： { 只 接 受 供 水 类 型     ( 如 下 图 9 中 B 点 ) 作 为 供 水 中 转 类 型     ( 如 下 图 9 中 A 点 ) 图9. 二级水站分类示意图 通过决策变量 ∑ k = 1 k ≠ i n x k i = 1 ，   i = 2 ， ⋯ ， n 可以看出，任何类型的二级水站都只有一个输入路线 [ 2 ]。 我们首先引入边缘点的概念：边缘点是在各二级供水系统中，到达一级供水站路线长度较长，处于各区二级供水系统边缘的二级水站。根据分析，我们可以知道边缘点具有如下特征： (1) 距离区域一级供水站距离较远，供水质量等条件较差。 (2) 连接边缘点使用更多II型供水管道。 出于更大程度增强供水质量以及缩短II型供水管道的目的，我们认为应优先升级各区域的边缘点。 根据分析二级点升级后对于周围二级点的影响，我们发现，在一条线路中对二级点进行升级时，将 必然出现 ∑ k = 1 k ≠ i n x k i > 1 ，   i = 2 ， ⋯ ， n 的情况，如图10示意。此时B升级为一级点，A存在两条输入路线。 图10. 二级水站升级后连接示意图 针对这种情况，为了满足 ∑ k = 1 k ≠ i n x k i = 1 ，   i = 2 ， ⋯ ， n 的决策变量限制，我们在已知线路中减去一条输入路线。 此时升级成一级供水站的二级供水站可以使全部二级供水站满足单条道路输入并且减短了二级水站的供水距离。根据5.1中所得到的各区域内部距离矩阵，我们挑选出成为通道的二级管道距离，并进行排序。找出各区域内最长的单条二级管道并设置该条通道上的边缘点为所在区域边缘点：B1~B12。如图11所示。 12个区域内最长二级管道距离J1~J12如图12。 当以i区边缘点作为升级点时，比较 B i j ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 12 ; j = 1 ， ⋯ ， 12 ) 与 J j ( j ≠ i ) 的大小关系，当 B i j ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 12 ; j = 1 ， ⋯ ， 12 ) > J j ( j ≠ i ) 时，不连通两个边缘点。当 B i j ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 12 ; j = 1 ， ⋯ ， 12 ) ≤ J j ( j ≠ i ) 时，连通两个边缘点，此时II型管道长增加 B i j ，减小 J j 。 图11. 区域边缘点B1~B12 图12. 12个区域内最长二级管道距离J1~J12 12个区域边缘点间距离矩阵如图13。 引入决策变量 Y i j ： Y i j = { 1               节 点 B i 与 B j 连 通 0           节 点 B i 与 B j 不 连 通 目标函数为： min T = ∑ i = 1 12 ∑ j = 1 12 ( B i j − J j ) Y i j s .t .     { B i j > J j ，     Y i j = 0 B i j ≤ J j ，     Y i j = 1 Y i j = 0     或     1 图13. 12个区域边缘点间距离矩阵 5.2.2. 二级水站升级的选取模型求解 将上述中已得到的 B i j 距离矩阵逐个输入与 J j 进行比较，可得出分别取12区域时T值，经过排序后得到最小T值为T5和T8，即选取P9 (24， 30)及P151 (40， 20)点升级为一级供水站，和的值分别为−21.2678和−24.46。B5连接B4，B9，B10，B8连接B10。升级二级水站取点情况如图14所示。图中黄色点为新升级的一级供水站。 图14. 新升级的一级供水站示意图 此时II型管道减少长度最多，相对于问题一减少45.7278 km (T5 + T8)。II级管道总里程为438.65629 km。 该情况下二级管道连接方式如图15。 图15. 二级管道连接方式 5.3. 考虑功率因素的二级水站升级模型与求解 5.3.1. 考虑功率因素的二级水站升级选取模型 在问题一的基础上，我们筛选出不符合题目要求的区域为V4、V7区，考虑将在这两个区域范围内的二级水站中的一个进行升级。新升级一个二级水站为一级水站会增加一级管道铺设里程，本着尽量少使用一级管道的原则，我们将改变中心水站与一级水站原本的连接路线。为使连接线路最短。我们将A、4、7三点连接成三角形，寻求三角形内一点到三角形三个顶点距离之和最小点，将此点设为Q。最靠近此点的二级水站被优化。这种情况下我们不考虑新升级水站对于其他区域的影响。 (1) 寻找点Q 在A、V4、V7构成的三角形(如图16)中选取距离三个顶点距离之和最小的点。 图16. A、V4、V7构成的三角形 对于Q点的寻找我们建立距离最小模型，设Q点坐标为(x， y)。 目标函数为： Z = ( x − 26 ) 2 + ( y − 31 ) 2 + ( x − 13 ) 2 + ( y − 34 ) 2 + ( x − 25 ) 2 + ( y − 47 ) 2 令 ∂ Z ∂ x = ∂ Z ∂ y = 0 ，求出x， y的值即为Q点坐标。 (2) 寻找被升级的二级水站 在Q点附近搜寻与Q点距离最小的二级水站，将此二级水站升级为一级水站。 (3) 给出新规划区域的最优连接方式 随后我们沿用解决问题一的模型，将新升级为一级水站命名为V13。对原V4区V7区包含的二级供水站重新划分区域，现区域为新V4、V7、V13区。得到每个区域内的距离矩阵，利用图论最优树模型得到新的水站铺设路线。将新规划的4、7、13区域中的一级点设置为1号水站。如5.1给出总体规划模型 [ 3 ] 为： min L = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n d i j x i j s .t .     { ∑ j = 2 n x i j ≥ 1 ∑ k = 1 k ≠ i n x k i = 1 ，     i = 2 ， ⋯ ， n u i − u j − n x i j ≤ n − 1 ，       i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n x i j = 0     或     1 同时对中心供水站与一级供水站利用图论最优树模型得到新A区的铺设路线图。 min Z = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n d i j x i j s .t .     { ∑ j = 2 n x i j ≥ 1 ∑ k = 1 k ≠ i n x k i = 1 ，     i = 2 ， ⋯ ， n u i − u j − n x i j ≤ n − 1 ，       i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n x i j = 0     或     1 5.3.2. 升级后区域划分及铺设路线求解 (1) Q点坐标求解 通过模型建立中的最小距离模型，我们得到被升级的二级水站为P59 (24， 38)。取点情况如图17 (图中黄色点为升级点)。 (2)新V4、V7、V13区铺设线路图 根据我们得到的分区情况，区域对应规划模型中的n值如图18。 将上述中已得到的数据输入LINGO软件中，可直接得出各区二级供水系统的连接方式，如图19 (各区中区号点对应区域的一级供水站)。 由LINGO求解得 L 4 = 36.11771   km ， L 7 = 50.66563   km ， L 13 = 22.72291   km 。结合5.1已知结果，可得： min L = ∑ i 12 L i min = 484.48187   km 。 图17. 被升级的二级水站如图黄色点 图18. 区域对应规划模型中的n值 图19. 各区二级供水系统的连接方式 图形连接方式如图20。 图20. 全部图形连接方式 (3) 新一级供水系统铺设线路图 对于一级供水系统， n = 14 。将上述中已得到的数据输入LINGO软件中，可直接得出新一级供水系统的连接方式，如图21 (1点对应中心供水站)。 图21. 新一级供水系统的连接方式 图形连接方式如图22。 整体管道连接方式如图23所示。 在这种情况下，只选取一个二级供水站进行升级。此时，每个一级供水站的分支路线长均小于40 km，所以可以确实，只需升级一个节点即可满足题目要求。这种情况下总距离长为： L min + Z min = 609.75977   km 。 图22. 全部图形连接方式 图23. 整体管道连接方式