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user: 2. quasi-h-Bernstein-Vandermonde矩阵的双对角分解 定义2.1 [ 6 ] 如果矩阵 B ∈ ℝ ( n + 1 ) × ( n + 1 ) 有如下形式， [ ( n 0 ) ∏ k = 0 n − 1 ( 1 − t 1 + k h ) ∏ k = 0 n − 1 ( 1 + k h ) ( n 1 ) t 1 ∏ k = 0 n − 2 ( 1 − t 1 + k h ) ∏ k = 0 n − 1 ( 1 + k h ) ⋯ ( n n ) ∏ k = 0 n − 1 ( t 1 + k h ) ∏ k = 0 n − 1 ( 1 + k h ) ( n 0 ) ∏ k = 0 n − 1 ( 1 − t 2 + k h ) ∏ k = 0 n − 1 ( 1 + k h ) ( n 1 ) t 2 ∏ k = 0 n − 2 ( 1 − t 2 + k h ) ∏ k = 0 n − 1 ( 1 + k h ) ⋯ ( n n ) ∏ k = 0 n − 1 ( t 2 + k h ) ∏ k = 0 n − 1 ( 1 + k h ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ( n 0 ) ∏ k = 0 n − 1 ( 1 − t n + 1 + k h ) ∏ k = 0 n − 1 ( 1 + k h ) ( n 1 ) t n + 1 ∏ k = 0 n − 2 ( 1 − t n + 1 + k h ) ∏ k = 0 n − 1 ( 1 + k h ) ⋯ ( n n ) ∏ k = 0 n − 1 ( t n + 1 + k h ) ∏ k = 0 n − 1 ( 1 + k h ) ] (2.1) 那么B是h-Bernstein-Vandermonde矩阵，其中 h ∈ ℝ ， 0 < t 1 < t 2 < ⋯ < t n < t n + 1 < 1 。 引理2.2 [ 6 ] 令 B ∈ ℝ ( n + 1 ) × ( n + 1 ) 是形如(2.1)的h-Bernstein-Vandermonde矩阵，则 det B [ i − j + 1 ， ⋯ ， i | 1 ， ⋯ ， j ] = ( n 0 ) ( n 1 ) ⋯ ( n j − 1 ) ⋅ ∏ j − i + 1 ≤ s < l ≤ i ( t l − t s ) ∏ k = 0 n − j     ∏ l = i − j + 1 i ( 1 − t l + k h ) ∏ k = 0 n − 1 ( 1 + k h ) ∏ k = 0 n − 2 ( 1 + k h ) ⋯ ∏ k = 0 n − j ( 1 + k h ) (2.2) det B [ 1 ， ⋯ ， j | i − j + 1 ， ⋯ ， i ] = ( n i − j ) ( n i − j + 1 ) ⋯ ( n i − 1 ) ⋅ ∏ 1 ≤ s < l ≤ j ( t l − t s ) ∏ k = 0 n − j ∏ l = 1 j ( 1 − t l + k h ) ∏ k = 0 i − j − 1 ∏ l = 1 j ( t l + k h ) ∏ k = 0 n − 1 ( 1 + k h ) ∏ k = 0 n − 2 ( 1 + k h ) ⋯ ∏ k = 0 n − j ( 1 + k h ) (2.3) 推论2.3令 A ∈ R n × n 是形如(1.1)的quasi-h-Bernstein-Vandermonde矩阵，则关于矩阵A的子式有如下的结论： det A [ i ， ⋯ ， i + j − 1 | 1 ， ⋯ ， j ] = ( n − 1 0 ) ( n − 1 1 ) ⋯ ( n − 1 j − 1 ) ⋅ ∏ i ≤ s < l ≤ i + j − 1 ( t l − t s ) ∏ k = 0 n − j − 1     ∏ l = i i + j − 1 ( 1 − t l + k h ) ∏ k = 0 n − 2 ( 1 + k h ) ∏ k = 0 n − 3 ( 1 + k h ) ⋯ ∏ k = 0 n − j − 1 ( 1 + k h ) (2.4) det A [ 1 ， ⋯ ， j | i ， ⋯ ， i + j − 1 ] = ( n − 1 i − 1 ) ( n − 1 i − 2 ) ⋯ ( n − 1 i + j − 2 ) ⋅ ∏ 1 ≤ s < l ≤ j ( t l − t s ) ∏ k = 0 n − i − j   ∏ l = 1 j ( 1 − t l + k h ) ∏ k = 0 i − 2     ∏ l = 1 j ( t l + k h ) ∏ k = 0 n − 2 ( 1 + k h ) ∏ k = 0 n − 3 ( 1 + k h ) ⋯ ∏ k = 0 n − j − 1 ( 1 + k h ) (2.5) 证明 因为 A = B − z E n n ，其中B是h-Bernstein-Vandermonde矩阵， E n n = [ 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ] n × n . 所以 det A [ i ， ⋯ ， i + j − 1 | 1 ， ⋯ ， j ] = det ( B − z E n n ) [ i ， ⋯ ， i + j − 1 | 1 ， ⋯ ， j ] = det B [ i ， ⋯ ， i + j − 1 | 1 ， ⋯ ， j ] det A [ 1 ， ⋯ ， j | i ， ⋯ ， i + j − 1 ] = det ( B − z E n n ) [ 1 ， ⋯ ， j | i ， ⋯ ， i + j − 1 ] = det B [ 1 ， ⋯ ， j | i ， ⋯ ， i + j − 1 ] 由h-Bernstein-Vandermonde矩阵的子式的引理2.2，结论得证。 定理2.4 令 A = ( a i j ) ∈ ℝ n × n 是一个形如(1.1)的非奇异quasi-h-Bernstein-Vandermonde矩阵。则 P M ( A ) ∈ R n × n 如下： (2.6) 证明 接下来，计算所有参数的表达式 ① 利用推论2.3中的表达式(2.4)得到： { β i 1 = det A [ i | 1 ] det A [ i − 1 | 1 ] = ∏ k = 0 n − 2 ( 1 − t i + k h ) ∏ k = 0 n − 2 ( 1 − t i − 1 + k h ) ，     ∀   1 < i ≤ n ; β i ， j = det A [ i − j + 1 ， ⋯ ， i | 1 ， ⋯ ， j ] det A [ i − j + 1 ， ⋯ ， i − 1 | 1 ， ⋯ ， j − 1 ] ⋅ det A [ i − j ， ⋯ ， i − 2 | 1 ， ⋯ ， j − 1 ] det A [ i − j ， ⋯ ， i − 1 | 1 ， ⋯ ， j ]           = [ 1 − t i − j + ( n − j ) h ] ∏ k = 0 n − j − 1 ( 1 − t i + k h ) ∏ l = 1 j − 1 ( t i − t i − l ) ∏ k = 0 n − j ( 1 − t i − 1 + k h ) ∏ l = 1 j − 1 ( t i − 1 − t i − l − 1 ) ，     ∀   1 ≤ j ≤ n − 2 ，     j < i ≤ n . (2.7) ② 利用推论2.3中的表达式(2.5)得到： { α 1 j = det A [ 1 | j ] det A [ 1 | j − 1 ] = ( n − j + 1 ) [ t 1 + ( j − 2 ) h ] ( j − 1 ) [ 1 − t 1 + ( n − j ) h ] ，     ∀   1 < j ≤ n ; α i ， j = det A [ 1 ， ⋯ ， i | j − i + 1 ， ⋯ ， j ] det A [ 1 ， ⋯ ， i − 1 | j − i + 1 ， ⋯ ， j − 1 ] ⋅ det A [ 1 ， ⋯ ， i − 1 | j − i ， ⋯ ， j − 2 ] det A [ 1 ， ⋯ ， i | j − i ， ⋯ ， j − 1 ]             = ( n − j + 1 ) [ t i + ( j − i − 1 ) h ] ∏ l = 1 i − 1 [ 1 − t l + ( n − j + 1 ) h ] ( j − 1 ) ∏ l = 1 i [ 1 − t l + ( n − j ) h ] ，     ∀   1 < i < n − 2 ，     i < j ≤ n . (2.8) ③ 利用矩阵A的初始子式表达式，得到： d i i = det A [ 1 ， ⋯ ， i | 1 ， ⋯ ， i ] det A [ 1 ， ⋯ ， i − 1 | 1 ， ⋯ ， i − 1 ] = ( n − 1 i − 1 ) ∏ k = 0 n − i − 1 ( 1 − t i + k h ) ∏ k = 0 n − i − 1 ( 1 + k h ) ∏ l = 1 i − 1 ( t i − t l ) [ 1 − t l + ( n − i ) h ] ，   1 ≤ i ≤ n − 2. (2.9) 下面讨论 d n − 1 ， n − 1 ， d n ， n ， β n ， n − 1 和 δ 的表达式。 元素 d n − 1 ， n − 1 如下： d n − 1 ， n − 1 = − det A [ 2 ， ⋯ ， n | 1 ， ⋯ ， n − 1 ] det A [ 2 ， ⋯ ， n − 1 | 1 ， ⋯ ， n − 2 ] = ( n − 1 n − 2 ) ( 1 − t n ) ∏ l = 2 n − 1 ( t n − t l ) ( 1 − t l + h ) . (2.10) 则元素 d n ， n 如下： det A = det B ˜ − z det B ˜ [ 1 ， ⋯ ， n − 1 ] = [ ∏ l = 1 n − 1 ( t n − t l ) − z ∏ l = 1 n − 1 ( 1 − t l ) ] ( n − 1 0 ) ⋯ ( n − 1 n − 2 ) ∏ 1 ≤ s < l ≤ n − 1 ( t l − t s ) ∏ k = 0 n − 2 ( 1 + k h ) ⋯ ∏ k = 0 1 ( 1 + k h ) (2.11) 由(2.9)和(2.10)得： ∏ i = 1 n − 1 d i i = ( n − 1 0 ) ⋯ ( n − 1 n − 2 ) ( 1 − t 1 + h ) ( 1 − t n ) ( 1 − t n − 1 + h ) ⋅ ∏ l = 1 n − 2 ( 1 − t l ) ∏ l = 2 n − 1 ( t n − t l ) ∏ 1 ≤ s < l ≤ n − 2 ( t l − t s ) ∏ k = 0 n − 2 ( 1 + k h ) ⋯ ∏ k = 0 1 ( 1 + k h ) (2.12) 由(2.11)和(2.12)得： d n ， n = − det A / ∏ i = 2 n − 1 d i i = [ z ∏ l = 1 n − 1 ( 1 − t l ) − ∏ l = 1 n − 1 ( t n − t l ) ] ( 1 − t n − 1 + h ) ( 1 − t 1 + h ) ( 1 − t n ) ∏ l = 2 n − 1 ( t n − t l ) ∏ l = 1 n − 2 ( t n − 1 − t l ) ( 1 − t l ) . (2.13) 接下来求参数 β n ， n − 1 ， β n ， n − 1 = det A [ 1 ， ⋯ ， n − 1 ] det A [ 1 ， ⋯ ， n − 2 ] ⋅ det A [ 2 ， ⋯ ， n − 1 | 1 ， ⋯ ， n − 2 ] det A [ 2 ， ⋯ ， n | 1 ， ⋯ ， n − 1 ] = ( 1 − t n − 1 ) ( 1 − t n − 1 + h ) ∏ l = 1 n − 2 ( t n − 1 − t l ) ( 1 − t n ) ( 1 − t 1 + h ) ∏ l = 2 n − 1 ( t n − t l ) . (2.14) 最后，利用推论2.3得到参数 δ δ = det A [ 2 ， ⋯ ， n ] d n − 1 ， n − 1 ∏ t = 3 n     d t − 2 ， t − 2 α t − 2 ， t − 1 β t − 1 ， t − 2 = det B [ 2 ， ⋯ ， n ] − z det B [ 2 ， ⋯ ， n − 1 ] d n − 1 ， n − 1 ∏ t = 3 n     d t − 2 ， t − 2 α t − 2 ， t − 1 β t − 1 ， t − 2 = [ t n ∏ l = 2 n − 1 ( t n − t l ) − z ∏ l = 2 n − 1 ( 1 − t l ) ] ( n − 1 1 ) ⋯ ( n − 1 n − 2 )     ⋅ ∏ l = 2 n − 1     t l ∏ 2 ≤ s < l ≤ n − 1 ( t l − t s ) d n − 1 ， n − 1 ∏ t = 3 n     d t − 2 ， t − 2 α t − 2 ， t − 1 β t − 1 ， t − 2 ∏ k = 0 n − 2 ( 1 + k h ) ⋯ ∏ k = 0 1 ( 1 + k h ) . (2.15) 特别的，若 z = ( t n − r t 1 ) ∏ l = 2 n − 1 ( t n − t l ) ∏ l = 1 n − 1 ( 1 − t l ) ，   0 ≤ r < 1 。则： { d n ， n = ( 1 − r ) t 1 ( 1 − t n − 1 + h ) ( 1 − t 1 + h ) ( 1 − t n ) ∏ l = 1 n − 2 ( t n − 1 − t l ) ( 1 − t l ) ， δ = ( n − 1 1 ) ⋯ ( n − 1 n − 2 ) t 1 ( r − t n ) ( 1 − t 1 ) ⋅ ∏ l = 1 n − 1     t l ( t n − t l ) ∏ 2 ≤ s < l ≤ n − 1 ( t l − t s ) d n − 1 ， n − 1 ∏ t = 3 n     d t − 2 ， t − 2 α t − 2 ， t − 1 β t − 1 ， t − 2 ∏ k = 0 n − 2 ( 1 + k h ) ⋯ ∏ k = 0 1 ( 1 + k h ) . (2.16) 结论得证。 根据定理2.4，我们得到形如(1.1)的quasi-h-Bernstein-Vandermonde矩阵是符号序列为 ( 1 ， ⋯ ， 1 ， − 1 ) 的广义SR矩阵。