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user: 3. 实证分析 3.1. 常微分方程求解 3.1.1. 建立模型 假设有一个变量 x ( t ) 是时间变量t的函数，它满足一阶常微分方程条件： d x ( t ) d t + a x ( t ) = b (1) 这里的参数 和 是两个常系数。假设参数 是任意常数，那么，该微分方程的通解为： x ( t ) = b + e a ( C − t ) a (2) 如果 x ( t ) 有一个初值，在 t = 0 时，初值为 x ( 0 ) ，那么， x ( 0 ) 也满足这个解，代入微分方程的通解，就有： x ( t ) = b a + ( x ( 0 ) − b a ) e − a t (3) 3.1.2. 常微分方程下的房价预测 1) 数据选取 本文选取深圳市2002~2018年商品房平均售价数据，数据来源于国家统计局官网。 2.2) 预测方法 本文借助Python等数学工具，运用灰色GM(1，1)预测模型常微分求解算法进行运算，代入不同初值进行五次拟合，分别得出其参数a和b的值，构建函数，进而对2019~2023年的数据做出预测。 3) 预测结果 五条拟合曲线的参数均相等，收敛较好。求出的a值为−0.16，b值为−270.41，进而可以推知： x ( t ) = 270.41 0.16 + ( 5802 − 270.41 0.16 ) e 0.16 t (4) x ( t ) = 1690.06 + 4111.94 e 0.16 t (5) 相对误差计算公式为： δ = x ( t ) − x 0 ( t ) x 0 ( t ) × 100 % (6) 由于五条拟合曲线收敛，故此处只列出一条拟合曲线的拟合值。按照常微分方程求解算法运算出的2002年至2023年的预测值与实际值对比如表1所示，相对误差整体偏小。 Table 1 House price prediction under ordinary differential equatio 年份 实际值 预测值 相对误差 年份 实际值 预测值 相对误差 2002 5802.00 5802.00 0.00% 2013 24，402.00 25，681.86 5.24% 2003 6256.00 6517.40 4.18% 2014 24，723.00 29，853.42 20.75% 2004 6756.37 7357.18 8.89% 2015 33，942.00 34，750.22 2.38% 2005 7582.27 8342.96 10.03% 2016 45，146.00 40，498.34 −10.29% 2006 9385.34 9500.11 1.22% 2017 47，936.00 47，245.78 −1.44% 2007 14，049.69 10，858.44 −22.71% 2018 54，132.44 55，166.27 1.91% 2008 12，665.00 12，452.91 −1.67% 2019 − 64，463.77 2009 14，615.00 14，324.59 −1.99% 2020 − 75，377.65 2010 19，170.00 16，521.67 −13.81% 2021 − 88，188.94 2011 21，350.13 19，100.71 −10.54% 2022 − 103，227.50 2012 19，589.82 22，128.12 12.96% 2023 − 120，880.54 表1. 常微分方程下的房价预测(单位：元/平方米) 拟合图形如图1所示。 图1. 常微分方程下的预测拟合图 由图1可看出，实际点与拟合曲线较为贴合，说明常微分方程求解算法拟合效果较好。 3.2. 邓聚龙算法求解 3.2.1. 建立模型 根据邓聚龙文献“Introduction to Grey System Theory (Deng Julong，The Journal of Grey System 1， 1989， 1-24)”，灰色系统GM(1，1)参数可以通过一个近似矩阵求解的方式来估计。 假设变量 x ( t ) 的原始离散序列为 X ( 0 ) ，是一个非负序列，具有形式： X ( 0 ) = { X 0 ( 0 ) ， ⋯ ， X n − 1 ( 0 ) }     ( n ≥ 3 ; X i ( 0 ) ≥ 0 ; i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 ) (7) 假设离散序列 X ( 1 ) 为序列 X ( 0 ) 的一次累加序列，具有如下形式： X i ( 1 ) = X 0 ( 0 ) + X 1 ( 0 ) + X 2 ( 0 ) + ⋯ + X i ( 0 ) = ∑ l = 0 i X l ( 0 ) (8) 假设离散序列 Z ( 1 ) 为一个均值序列： Z ( 1 ) = { Z 1 ( 1 ) ， ⋯ ， Z n − 1 ( 1 ) }     ( n ≥ 3 ; i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 ) (9) Z i ( 1 ) = 1 2 ( X i − 1 ( 1 ) + X i ( 1 ) ) (10) 那么，对于一阶微分方程： d x ( 0 ) ( t ) d t + a x ( 0 ) ( t ) = b (11) 其参数(a，b)可以根据最小二乘法来估计： a ^ = ( a b ) = ( B T B ) − 1 B T y N (12) B = ( − Z 1 ( 1 ) 1 ⋮ ⋮ − Z n − 1 ( 1 ) 1 ) ， y N = ( X 1 ( 0 ) ⋮ X n − 1 ( 0 ) ) (13) 相应于等价微分方程，离散序列 X ( 1 ) 的估计值解可以由下式定义： X ^ k + 1 ( 1 ) = ( X 1 ( 0 ) − b a ) e − a k + b a (14) 由于： X ^ k + 1 ( 0 ) = X ^ k + 1 ( 1 ) − X ^ k ( 1 ) (15) 所以，原始离散数列 X ( 0 ) 的估计值为： X ^ K + 1 ( 0 ) = ( X 0 ( 0 ) − b a ) e − a k − ( X 0 ( 0 ) − b a ) e − a ( k − 1 ) (16) 3.2.2. 邓聚龙算法下的房价预测 1) 数据选取 此处依旧采用深圳市2002~2018年商品房平均售价数据，数据来源于国家统计局官网。 2) 预测方法 本文借助Python等数学工具，运用邓聚龙教授提出的灰色GM(1，1)动态预测模型算法进行运算，用累计数得出其参数a和b的值，构建函数，进而对2019~2023年的数据做出预测。 3) 预测结果 按照邓聚龙算法得出 a = − 0.1463 ， b = 4622.4439 ，进而可以得出函数式为： X ^ k + 1 ( 0 ) = ( 5802 − 4622.4439 − 0.1463 ) e 0.1463 k − ( 5802 − 4622.4439 − 0.1463 ) e 0.1463 ( k − 1 ) (17) X ^ k + 1 ( 0 ) = 37397.65 e 0.1463 k − 37397.65 e 0.1463 ( k − 1 ) (18) 相对误差计算公式为： δ = X ^ k + 1 ( 0 ) − X k ( 0 ) X k ( 0 ) × 100 % (19) 按照邓聚龙算法运算出深圳市2002年至2023年的预测值与实际值对比如表2，相对误差整体偏大，准确度不高。 Table 2 House price forecast based on Deng Julong algorith 年份 实际值 预测值 相对误差 年份 实际值 预测值 相对误差 2002 5802.00 5802.00 0.00% 2013 24，402.00 22，239.86 −8.86% 2003 6256.00 454.00 −92.74% 2014 24，723.00 25，742.55 4.12% 2004 6756.37 5962.88 −11.74% 2015 33，942.00 29，796.90 −12.21% 2005 7582.27 6902.01 −8.97% 2016 45，146.00 34，489.80 −23.60% 2006 9385.34 7989.05 −14.88% 2017 47，936.00 39，921.81 −16.72% 2007 14，049.69 9247.29 −34.18% 2018 54，132.44 46，209.34 −14.64% 2008 12，665.00 10，703.71 −15.49% 2019 - 53，487.14 2009 14，615.00 12，389.50 −15.23% 2020 − 61，911.16 2010 19，170.00 14，340.80 −25.19% 2021 − 71，661.93 2011 21，350.13 16，599.42 −22.25% 2022 − 82，948.40 2012 19，589.82 19，213.76 −1.92% 2023 − 96，012.46 表2. 邓聚龙算法下的房价预测(单位：元/平方米) 拟合图形如图2。 图2. 邓聚龙算法下的预测拟合图 由图2可看出，散点与拟合曲线的拟合度较低，预测偏差较大。