DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 3. 粉煤灰的主要成分及除氯的必要性 粉煤灰作为燃煤电厂的副产物，可资源化利用再应用于多个领域。其主要成分如表2 [ 20 ] 所示。它的主要应用可概括分为以下三种途径：第一，用于建筑工业领域，主要是水泥和混凝土的制备；第二，农业领域，粉煤灰独特的孔洞和网格状结构可加入土壤中增加土壤的孔隙率，使其具有良好的通气性；第三，高附加值利用领域，主要是提取粉煤灰中的SiO 2 、Al 2 O 3 作为功能填料使用。粉煤灰中的化学成分SiO 2 、Al 2 O 3 、Fe 2 O 3 可发生火山灰反应，生成类似水泥水化的C-S-H凝胶，使混凝土胶结具备良好的力学性能 [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]。同时，粉煤灰还可以提高混凝土结构的强度、耐久性及抗冻性 [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]。添加粉煤灰可提高水泥的抗冲击性，且冲击韧性随龄期的增长而增强 [ 28 ]。 Table 2 Table of fly ash major content [20 成分 SiO 2 Al 2 O 3 Fe 2 O 3 CaO MgO SO 3 Na 2 O K 2 O Cl − 含量/% 47.7~51.0 20.0~28.6 5.8~8.8 3.6~6.2 2.2~4.8 0.2~0.7 0.9~1.3 2.2~3.5 0.01 表2. 粉煤灰主要成分表 [ 20 ] 粉煤灰应用范围广，作为固废物可资源化利用实现可持续发展。但在实际应用中粉煤灰的氯对其应用产生一定程度的影响。将粉煤灰作为功能填料用于橡胶的填料剂使用时，出现粉煤灰中残余的NaCl使橡胶制品硫化时间延长的现象 [ 29 ]。在建筑工业领域，由氯离子引起的钢筋腐蚀是导致钢筋混凝土损坏的主要原因。引起破坏的氯离子来源主要分为两类，一类是原料中所携带的氯即内掺氯离子；另一类是在使用过程中由外界引入的氯离子即外掺氯离子 [ 30 ]。内掺氯离子在一定时间后与水化产物结合将使水泥浆体和混凝土的水化硬化，同时影响水泥和混凝土各方面的性能。如内掺氯离子的存在会使水泥材料的微观结构改变从而降低水泥的抗压强度 [ 31 ] [ 32 ]。 一般氯离子在混凝土中的作用形式可以分为破坏钝化膜、形成腐蚀电池、去极化作用、导电作用这四类 [ 33 ]。混凝土钢筋表面有一层在强碱性环境下(pH > 12)氧化生成的致密钝化膜，这层膜中含有Si-O键，可起到保护钢筋表面的作用。但当氯离子侵入使环境pH降低，钝化膜逐渐变得不稳定直至被完全破坏，从而引起钢筋混凝土大面积腐蚀。通常氯离子破坏钝化膜后会形成局部腐蚀导致钢筋露出铁基体，与尚完好的钝化膜区域形成电位差；铁基体作为阳极而受腐蚀，而大面积的钝化膜区域则作为阴极。这就是腐蚀电池的作用机理。 所以，氯离子在混凝土、水泥中的迁移十分复杂但可以肯定地是氯离子对混凝土结构有负面作用。 除了氯在粉煤灰实际应用中产生的负面作用外，氯在大气排放和设备损伤上也值得我们关注。氯在水泥熟料的煅烧中会以单元素氯、氯化物及其他复合化合物等多种形式出现，这些物质的挥发温度和熔融温度低于900℃~1200℃，易在系统中富集。因此容易对水泥熟料的生产，设备及人体健康产生危害。水泥煅烧过程中，其烟气含有一定量的氯和氧，且烟气温度可达300℃~900℃，具备生成大量有毒二噁英和呋喃的条件。有毒二噁英和呋喃的释放对人体产生危害，排放到大气中将污染环境。无机氯化物在温度较高的条件下易生成致密又难以处理的结皮。当熟料中只含氯且富集量超过1.7%时，开始出现结皮趋势；超过3.5%时，将出现大量结皮 [ 34 ]。另外，氯化物还会与设备中的金属成分反应，破坏设备 [ 35 ]。 因此，尽可能地减少粉煤灰中的含氯量十分有必要，它不仅能提高粉煤灰的品质及扩大应用途径，而且对于大气污染、设备寿命延长等都有其价值与实际意义。
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user: 4. 粉煤灰除氯技术分析 4.1. 沉淀法 沉淀法是通过添加处理剂与氯离子结合形成难溶化合物，使氯离子以沉淀的形式脱出。常用的处理剂有硫酸银、石灰乳、熟石灰和铝酸钠、氯化亚铜、活性铜粉等 [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]。沉淀法的处理效果受多种因素的影响，如温度、pH值，所添加处理剂的摩尔比，这些因素最终都影响到氯离子的处理效果。张强等 [ 39 ] 考虑到实际处理效果、环境友好度及经济效益等多方位因素，采用氧化钙和偏铝酸钠作为处理剂。在该实验中氧化钙和偏铝酸钠的最佳摩尔比分别为9、13；最佳处理温度为40℃，超过40℃时沉淀产物的结构将会发生变化导致氯离子浓度急剧增大；最佳pH值为10，在酸性条件下沉淀易被溶解导致无法形成沉淀而碱性过强OH - 过多将会导致沉淀产物产生影响。其反应时间越长处理效果越好，当时间达到2 h时达到顶峰，随后时间再延长对除氯效果几乎没有改善。如表3所示，按照张强 [ 40 ] 等的方法处理后氯离子的脱除率可达90%以上，效果十分显著。另有彭婧婧 [ 41 ] 等采用共沉淀法，使用氢氧化钙和偏铝酸钠为处理剂脱出氯离子，氯离子去除率可达84%。 Table 3 Results of chlorine removal experiment [20 除氯次数 氯离子含量/(mg/L) 去除率(%) 第一次 520.05 77.76 第二次 181.18 92.25 表3. 除氯实验结果 [ 20 ] 4.2. 蒸发浓缩法 蒸发浓缩法适合处理高浓度含氯废水，其工作原理是根据原液中各成分沸点和蒸汽压不同的特性，通过控制时间、温度等条件，将氯离子从原液中脱离出来。温度是蒸发浓缩法中最重要的因素，它对浓缩体积、浓缩倍数、时间、电耗等多方面都有影响。蒸发时间的延长将会提高时间成本，同时时间越长耗电越多，经济成本也将增加。史铁锤 [ 42 ] 等在对高盐废水的处理中研究发现当温度为115.5℃，浓缩倍数3.33时处理效果最佳，最佳蒸发时间为24 min左右，此时消耗的电能可达到0.80 (kW·h)/kg。姚夏研 [ 43 ] 等发明了一种用蒸发浓缩法除去强铜冶炼过程产生的污酸中氟、氯的装置和方法：收集经过除氟处理的冷凝液的上层清液，将磁感强度调至0.2~0.8 T，pH控制在12.8~13.0之间，加入氢氧化钙和偏铝酸钠，反应50~70 min完成除氯过程，其氯离子去除率在99%以上。 4.3. 电吸附法 电吸附法的工作原理是在废水溶液两端的两电极上加直流电压，使溶液表面形成静电场的同时，两电极表面形成双电层，吸附水中离子。它利用双电层的电容特性，进行充放电。本质上电吸附法中的离子不发生化学反应，在充电过程中吸附溶液中的离子并保存在两极，放电时释放能量和离子，从而实现双电层再生。魏鸿礼 [ 44 ] 使用电吸附法去除再生水中的氯离子，结果显示：原水氯离子平均量为307 mg/L，产水平均为91 mg/L，浓水平均567 mg/L，氯离子平均去除率为70.4%，去除率要高于其平均的除盐率(62%)。电吸附法不发生化学反应不会产生新的排放物，与电解法相比，它的成本更低。 4.4. 电解法 电解法 [ 45 ] 是指电解槽阴阳两极产生电位差时，污水流过电解槽，其中的阴离子向阳极移动发生氧化反应；阳离子向阴极移动，发生还原反应，以此达到去除污水中目标离子的目的。李长俊 [ 45 ] 等采用混凝絮凝-电解法处理含氯的油田污水，实现了氯离子的脱除。原污水氯离子浓度为136，698.2 mg/L，经处理后氯离子浓度为562.1 mg/L，氯离子去除率60.35%。电解法去除氯离子经济成本高，因此一般用于废水预处理后使用，与其他方法结合使用效果更好。如邱媛媛 [ 46 ] 等使用碱浸–电解锌工艺来去除含锌废渣中的氯，实验结果表明，在碳酸钠质量浓度4 g/L、液固比8:1、温度90℃、反应时间90 min的条件下，氯的去除率可达到90%以上。 4.5. 溶剂萃取法 溶液萃取法可将含氯离子的化合物用萃取剂萃取去除氯离子。其萃取过程包括三个阶段，第一阶段萃取剂传递到水相或水相内界面；第二阶段萃取剂与氯离子发生反应生成萃合物；第三阶段萃合物传递并溶解到有机相。窦传龙 [ 47 ] 利用溶液萃取法脱除硫酸锌溶液中的氯，相关工艺流程图如图1所示，其中反萃液使用地是5%~10%的氢氧化钠。实验结果显示在对中上层清液进行氯离子萃取时，其一级萃取去除率可达80.78%，萃余液中氯离子含量为0.10 g/L，远低于0.30 g/L的锌电解要求；二级萃取后萃余液中氯离子含量低至0.076 g/L。雷春生 [ 48 ] 等人发明的由无机盐和有机酸复合得到的脱氯剂可去除99.9%以上的氯离子。 4.6. 溶剂萃取法 离子交换法是通过一定载体并利用离子交换剂与水中的离子进行交换，通常可分为离子交换树脂法和水滑石法。离子交换树脂法可用于脱硫废水中氯离子的有效脱除或柠檬酸等盐类中氯离子的脱除 [ 49 ]。薛融 [ 50 ] 等人自制的离子交换树脂可用于碱回收炉飞灰中氯离子的有效脱出，其氯离子的去除率可达85%。宋志红 [ 51 ] 发明了一种可实现氯离子转移，氯盐制备、吸附脱除氯的除氯装置，该工艺成本低不会造成其他污染且流程简单便于产业化应用。 水滑石是一类由带正电荷层和层间填充带负电荷的阴离子所构成的层状化合物，又称为层状双氢氧化物。水滑石类材料层间阴离子可与外界溶液中的阴离子进行交换，可作为阴离子污染物吸附剂使用 [ 52 ]。实验结果表明，严刚 [ 52 ] 等制备得到的镁铝水滑石对氯离子的最大吸附量是21.67 mg/g。雷博林 [ 53 ] 等制备得到的纳米水滑石，当n(Mg):n(Al) = 4:1时，主体层板电荷密度减小，对层间阴离子的吸附能力减弱从而导致层间距变大。因此更有利于层间阴离子的交换，镁铝水滑石对氯离子的去除率达到最大，可达85.96%。 其他方法如热处理法 [ 54 ]，在不同煅烧温度、煅温时间进行对比分析，ZHAO等研究发现当700℃下热处理1 h，可溶性氯化物去除率可达75.25%。除此之外，采用酸浸法 [ 55 ]，研究者不同类型的酸及酸浓度对粉煤灰除氯的影响。 图1. 溶剂萃取法除氯工艺流程图 [ 47 ] Table 4 System resulting data of standard experiment [ 56 ] [57 方式 适用条件 优点 缺点 沉淀法 适用于绝大多数条件 操作简单；见效快；成本低 原料消耗大，生成的沉淀物多；反应试剂利用率低；处理后的废水具有强碱性 蒸发浓缩法 高氯浓度物质 处理工艺简单，效率高；余热资源可再利用 对设备要求高，成本高；高能耗；需二次处理 电吸附法 适用于绝大多数条件 低能耗；耐受性好；不发生化学反应，无二次污染 装置复杂，耗电量大 电解法 适用于绝大多数条件 效率高；效果稳定；不易堵塞 装置复杂，耗电量大；成本高；生成Cl 2 ； 溶剂萃取法 可溶于萃取剂的物质 效果稳定 应用于小水量处理 离子交换树脂法 适用于绝大多数条件 工艺简单；可再生；经济环保 交换剂容易饱和，费用高；易发生二次污染；应用于低浓度废水处理 水滑石法 适用于绝大多数条件 效果稳定 反应条件要求高；操作复杂；应用于低浓度废水处理 表4. 标准试验系统结果数据 [ 56 ] [ 57 ]
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user: 5. 粉煤灰除氯的发展方向的展望 目前主要的处理燃煤电厂脱硫废水的方法可划分为：半干法、干法和湿法。燃煤电厂一般不设置专门的脱氯装置，是在脱硫过程中协同脱氯。根据这三类方法脱氯情况的利弊而言，半干法脱氯是最优解，此类方法技术成熟、系统简单也环保经济。进行半干法脱氯后脱硫废水中的氯将会全部转入粉煤灰中，因此粉煤灰除氯的问题更需要推动解决。如表4所示，现有的各类除氯技术各有所长也有不足，在除氯过程中需要根据实际状况进行选择。 根据粉煤灰中氯的特质，其存在可能性以NaCl、KCl等居多。参考韦世强 [ 58 ] 等发明的一种有关除去稀土中氯、钠离子的方案。它是将氧化稀土溶液与草酸钙溶液混合放入反应釜中生成草酸稀土沉淀，然后对沉淀进行多次搅拌洗涤脱除氯离子，其中洗涤用水可多次循环利用对环境负担小。沉淀法具有操作简单，经济成本低等优势，在处理粉煤灰后不会增加其再利用的成本。在处理过程中可替换处理剂，如氧化钙和偏铝酸钠，这类处理剂对环境友好程度高。
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user: 6. 总结 目前有关粉煤灰除氯的研究性文章较少，大部分研究性文章都只针对于粉煤灰的资源化利用。有关研究人员的目光并未聚集到粉煤灰除氯上来，一是粉煤灰中氯含量低，但随着燃煤电厂脱氯技术的进入，粉煤灰中的氯含量将会有所提升；二是除氯技术不一而足，各有优势同时劣势也不可忽略。本文根据粉煤灰中氯的特质，认为可借鉴稀土处理氯的方式来去除粉煤灰中的氯。针对该领域的下一步研究应从实验设计出发探寻能有效处理的除氯方式及合理的除氯剂，在处理效果显著的同时也要保证对环境影响降到最低。
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user: 摘要 在数学发展的历史长廊中，闭区间上连续函数的性质，为数学学科的发展奠定了理论基础。本文主要介绍闭区间上连续函数的零点存在性定理，并例举出零点定理在求解椅子放稳、电梯升降、以及政府对宏观经济的调控等实际生活中的应用，最后归纳总结出应用零点定理求解实际问题的一般步骤。
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user: 1. 引言 闭区间上连续函数的零点定理是《高等数学》课程教学中必不可少的内容，根据零点定理可以引出《高等数学》中几个重要的定理例如：介值定理、拉格朗日中值定理等。数学来源于生活，必将应用到生活中，零点定理不论是在数学中或者物理中都具有广泛的应用 [ 1 ]。例如：椅子放稳、电梯升降、以及政府对宏观经济的调控等实际生活问题，本文将在零点定理的基础上，建立数学模型，针对以上所提出的问题进行求解，并归纳总结出求解的一般步骤 [ 2 ]。
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user: 2. 零点定理的介绍 零点定理 [ 3 ] [ 4 ]：设函数 f ( x ) 在闭区间 [ a ， b ] 上连续，且 f ( a ) 与 f ( b ) 异号，即 f ( a ) ⋅ f ( b ) < 0 ，那么在开区间 ( a ， b ) 内至少存在一点 ξ ，使得 f ( ξ ) = 0 。 (即：方程 f ( x ) = 0 在 ( a ， b ) 内至少存在上一个实根) 几何意义：对于曲线 y = f ( x ) ，如果曲线的两个端点处于水平线x轴两侧，则曲线与x轴至少有一个交点.
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user: 3. 零点定理的应用 零点定理的应用背景非常广泛，下面将介绍定理在不同背景下的应用。 例1 [ 5 ] [ 6 ]：将四条腿长度相同的椅子放置在凹凸不平的地面上，现分析椅子是否能平稳的放置在地面。 分析：图1中A、B、C、D为椅子的四只脚，坐标系原点选椅子中心，坐标轴选为其对角线，椅子的移动位置可以由正方形沿坐标原点旋转的角度 θ 唯一表示。现假设某椅子脚与地面的垂直距离为y，显然y是关于 θ 的函数，记为 y = f ( θ ) ，由于正方形的中心对称性，可以用对应的两个脚与地面的距离之和来表示两个脚与地面的距离关系，记 f ( θ ) 为A、C的距离之和； g ( θ ) 为B、D的距离之和，显然 f ( θ ) ≥ 0 、 g ( θ ) ≥ 0 ，并且是 θ 的连续函数，要使椅子能在地面放稳至少有三只脚同时着地，即对于任意的 θ ， f ( θ ) ， g ( θ ) 至少有一个为0，不妨设当 g ( θ ) = 0 时， f ( θ ) > 0 (即A、C其中一点着地) g ( θ ) = 0 (即B、D着地)。 图1. 椅子四角图 上述命题可描述为如下命题。 命题：设函数 f ( θ ) ， g ( θ ) 是关于 θ 的非负连续函数，对任意的 θ ，有 f ( θ ) ⋅ g ( θ ) = 0 ，且 f ( θ ) > 0 ， g ( θ ) = 0 ，则有存在 θ 0 ，使 f ( θ 0 ) ⋅ g ( θ 0 ) = 0 。 证明：现将椅子旋转90˚，则椅子对角线AC与BD互换，由 f ( θ ) > 0 ， g ( θ ) = 0 变为 f ( π 2 ) = 0 ， g ( π 2 ) > 0 。 令 h ( θ ) = f ( θ ) − g ( θ ) 则有 h ( 0 ) > 0 和 h ( θ ) < 0 ，由 h ( θ ) 的连续性及连续函数的中值定理，必存在一个 θ 0 ∈ ( 0， π 2 ) ，使 h ( θ 0 ) = 0 ，即则有存在 θ 0 ，使 f ( θ 0 ) = 0 ， g ( θ 0 ) = 0 。 例2：某小区住户甲早上8点从42层坐电梯楼下，8点3分到一楼，住户乙8点从一楼返回42层，8点3分到达，试证明住户甲与住户乙在某个时刻会经过相同位置高度。 证明：根据题意，现以时间t为横坐标，电梯所在高度h为纵坐标，建立直角坐标系，如图2所示，直线AB为住户甲所在电梯的运动轨迹，直线DC为住户甲所在电梯的运动轨迹。现假设住户甲与住户乙在某个时间t内处于同一高度，记为： Q ( t ， h ) 。 图2. 电梯运动轨迹 记直线AB： h = ϕ ( t )           ( 8 : 00 ≤ t ≤ 8 : 03 ) ； 记直线CD： h = φ ( t )           ( 8 : 00 ≤ t ≤ 8 : 03 ) 。 令 f ( t ) = ϕ ( t ) − φ ( t )         ( 8 : 00 ≤ t ≤ 8 : 03 ) 。 因为 ϕ ( t ) ， φ ( t ) 连续，因此 f ( t ) 在 ( 8 : 00 ≤ t ≤ 8 : 03 ) 上式连续的。 从而 f ( t ) | t = 8 : 00 = ϕ ( t ) | t = 8 : 00 − φ ( t ) | t = 8 : 00 = H > 0 (H为电梯所在的高度) f ( t ) | t = 8 : 03 = ϕ ( t ) | t = 8 : 03 − φ ( t ) | t = 8 : 03 = − H < 0 根据零点定理可知，则在区间 ( 8 : 00 ≤ t ≤ 8 : 03 ) 上至少存在一个点 ς ∈ [ 8 : 00 ， 8 : 03 ] ，使得 f ( ς ) = 0 ，从而 ϕ ( ς ) = φ ( ς ) 。 例3：在经济快速增长的时代，政府对市场经济实行必要的调控，是维持经济良性发展的有效手段，假设市场经济增长函数为 ϕ ( t ) ，政府调控经济增长函数为 φ ( t ) ，试证明在某一时刻市场增长价格与政府调控价格相同。 证明： h ( t ) = ϕ ( t ) − φ ( t ) 因为 ϕ ( t ) ， φ ( t ) 连续，因此 h ( t ) 为连续函数。 从而 h ( t ) | t = t 0 = ϕ ( t ) | t = t 0 − φ ( t ) | t = t 0 = a > 0 表示 t 0 时刻市场经济增长函数 ϕ ( t ) 的值大于政府调控经济增长函数 φ ( t ) 的值 f ( t ) | t = t N = ϕ ( t ) | t = t N − φ ( t ) | t = t N = − a < 0 表示 t N 时刻市场经济增长函数 ϕ ( t ) 的值小于政府调控经济增长函数 φ ( t ) 的值，其中a为常数，表示政府调控价格与市场价格的差值。 根据零点定理可知，则在区间 ( 0 ≤ t ≤ N ) 上至少存在一个点 ξ ∈ [ 0 ， N ] ，使得 f ( ξ ) = 0 ，从而 ϕ ( ξ ) = φ ( ξ ) ，即至少存在一个确定时刻 ξ ，使得政府调控价格与市场价格相同，从而达到经济宏观调控的目的。
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user: 4. 零点定理求解一般步骤 通过实例的分析，得到零点定理求解不同背景的一般步骤： 第一步 作辅助函数：将定理中 f ( ξ ) 用 f ( x ) 替换，写出相对应的方程； 第二步 找函数异号值：在自变量的取值范围内找出两个异号的自变量值； 第二步 寻找“0”点位置：通过异号性找出“0”点位置。
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user: 摘要 本文提出了一种有效的有限元方法来求解球域上的椭圆方程。首先，利用球坐标变换和球谐函数展开，将原问题化为一系列等价的一维问题。其次，通过引入带权的Sobolev空间，建立了每个一维问题的弱形式和相应的离散形式。另外，利用分片线性插值多项式的逼近性质证明了逼近解的误差估计。最后给出了算法的具体实现过程，并通过数值例子验证了算法的有效性。
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user: 1. 引言 有限元方法是求解微分方程常用的数值方法之一，具有数值稳定性、通用性强的特点。其思想是利用变分原理，通过构造有限维空间中的分片多项式函数来逼近原问题的真解。计算机的出现，使得有限元法在很多方面得到广泛应用，例如：物理学、材料科学、生物学(参见文献 [ 1 ] - [ 9 ] )等。 关于求解二阶椭圆方程的数值方法有很多，主要包括弱有限元法，即在多边形或多面体网格区域上求解二阶椭圆问题(参见文献 [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] )、有限体积法和谱方法(参见文献 [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] )等。然而，却很少在于球域上研究椭圆方程，主要是直接在球域上通过网格剖分构造基函数比较复杂和困难。 因此，本文提出了一种有效的有限元方法来求解球域上的椭圆方程。首先，利用球坐标变换和球谐函数展开，将原问题化为一系列等价的一维问题。其次，通过引入带权的Sobolev空间，建立了每个一维问题的弱形式和相应的离散形式。另外，利用分片线性插值多项式的逼近性质证明了逼近解的误差估计。最后给出了算法的具体实现过程，并通过数值例子验证了算法的有效性。 最后，简要介绍本文接下来的工作安排。在第2节，我们推导了原问题的降维格式。在第3节，引入带权的Sobolev空间，推导原问题基于降维格式的弱形式和相对应的离散格式。在第4节，证明逼近解的误差估计。在第5节，给出了该算法的具体实现过程。在第6节，提供了一些数值例子验证算法的有效性。最后，在第7节，给出了一些结论性评注。
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user: 2. 降维格式 作为模型问题，我们考虑下面的二阶椭圆方程： { − Δ u + α u = f ，   x ∈ Ω ， u = 0 ，                                 x ∈ ∂ Ω ， (2.1) 其中， Ω = { ( x ， y ， z ) ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 < R } ，n是边界 ∂ Ω 的单位外法向量。 为了有效地求解该问题，我们将利用球坐标变换和球谐函数展开，将原问题化为一系列等价的一维问题。定义如下的微分算子： L v = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ v ∂ r ) + 1 r 2 Δ s v (2.2) 其中 Δ s = 1 sin θ ∂ ∂ θ ( sin θ ∂ ∂ θ ) + 1 sin 2 θ ∂ 2 ∂ ϕ 2 由格林公式可知，(2.1)的弱形式为：找 u ∈ H 0 1 ( Ω ) ，使得 ∫ Ω ∇ u ∇ v ¯ d x d y d z + α ∫ Ω u v ¯ d x d y d z = ∫ Ω f v ¯ d x d y d z ， ∀ v ∈ H 0 1 ( Ω ) (2.3) 其中 v ¯ 是v的复共轭。则由球坐标变化 x = r sin θ cos ϕ ， y = r sin θ sin ϕ ， z = r cos θ 可得到(2.1)在球坐标系下的方程为： (2.4) φ ( R ， θ ， ϕ ) = 0 (2.5) 其中 φ ( r ， θ ， ϕ ) = u ( x ， y ， z ) ， g ( r ， θ ， ϕ ) = f ( x ， y ， z ) ， 。 由(2.3)可得到(2.4)，(2.5)的弱形式为： a ( φ ， ψ ) = ( g ， ψ ) (2.6) 其中 a ( φ ， ψ ) = ∫ 0 R ∫ S r 2 L φ ψ ¯ d r d S + α ∫ 0 R ∫ S r 2 φ ψ ¯ d r d S ( g ， ψ ) = ∫ 0 R ∫ S r 2 g ψ ¯ d r d S 其中S是单位球面。令 φ ( r ， θ ， ϕ ) = ∑ | m | = 0 ∞ ∑ | l | = 0 m φ m l Y m l ， g ( r ， θ ， ϕ ) = ∑ | m | = 0 ∞ ∑ | l | = 0 m g m l Y m l ，其中 Y m l 表示球调和函数，且具 有如下性质： Δ s Y m l = − m ( m + 1 ) Y m l ， m ≥ 0 ， | l | ≤ m ， ∫ S Y m l Y m ′ l ′ d S = σ m m ′ σ l l ′ (2.7) 令 l m v = 1 r 2 ( r 2 v r ) r − m ( m + 1 ) r 2 v ，则由球调和函数的性质(2.7)可知(2.4)和(2.5) 等价于如下的一系列一维问题： − l m φ m + α φ m = g m ( r ) ， r ∈ ( 0 ， R ) (2.8) φ m l ( R ) = 0 (2.9) 令 r = R t ， u m l ( t ) = φ m l ( R t ) ， F m l ( t ) = g m l ( R t ) ， L m v = 1 t 2 ( t 2 v t ) t − m ( m + 1 ) t 2 v ，则(2.8)~(2.9)等价为： − L m u m l + α R 2 u m l = R 2 F m l ， t ∈ ( 0 ， 1 ) (2.10) u m l ( 1 ) = 0 (2.11)
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user: 3. 弱形式和离散格式 首先，我们引入通常的带权Sobolev空间： L ω 2 ( I ) : = { f : ∫ I ω f m 2 d t < ∞ } 相应的内积和范数分别为： ( f m ， g m ) ω = ∫ I ω f m g m d t ， ‖ f m ‖ ω = ( ∫ I ω f m 2 d t ) 1 2 其中 I = ( 0 ， 1 ) ， ω = x 2 为权函数。然后定义非一致带权Sobolev空间： H 0 ， ω ， 0 1 ( I ) : = { u 0 l : ∂ t k u 0 l ∈ L ω 2 ( I ) ， u 0 l ( 1 ) = 0 ， k = 0 ， 1 } ， m = 0 ; H 0 ， ω ， m 1 ( I ) : = { u m l : ∂ t k u m l ∈ L ω k 2 ( I ) ， u m l ( 1 ) = 0 ， k = 0 ， 1 } ， m ≥ 1 其相对应的内积和范数分别为： ( f 0 l ， g 0 l ) 1 ， ω ， 0 = ∑ k = 0 1 ( ∂ t k f 0 l ， ∂ t k g 0 l ) ω ， ‖ f 0 l ‖ 1 ， ω ， 0 = ( f 0 l ， f 0 l ) 1 ， ω ， 0 1 2 ; ( f m l ， g m l ) 1 ， ω ， m = ∑ k = 0 1 ( ∂ t k f m l ， ∂ t k g m l ) ω k ， ‖ f m l ‖ 1 ， ω ， m = ( f m l ， f m l ) 1 ， ω ， m 1 2 则方程(2.10)~(2.11)的弱形式为：找 u m l ∈ H 0 ， ω ， m 1 ( I ) ，使得 a m ( u m l ， v ) = F m ( v ) ， ∀ v ∈ H 0 ， ω ， m 2 ( I ) (3.1) 其中： a m ( u m l ， v ) = ∫ I t 2 ( u m l ) ′ v ′ + m ( m + 1 ) u m l v d t + α R 2 ∫ I t 2 u m l v d t ， F m ( v ) = R 2 ∫ I t 2 F m l v d t 。 取逼近空间 X m h = U h ∩ H 0 ， ω ， m 1 ( I ) ，其中 U h 是由分段线性插值基函数组成的空间，则(3.1)相对应的离散格式为：找 u m h l ∈ X m h ，使得 a m ( u m h l ， v m h l ) = F m ( v m h l ) ， ∀ v m h l ∈ X m h (3.2)
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user: 4. 误差估计 为了简洁起见，我们使用表达式 a ≲ b 或 a ≳ b 来表示存在一个正常数C使得 a ≤ C b 或 a ≥ C b 。 定理1. 双线性形式 a m ( u m l ， v ) 在 H 0 ， ω ， m 1 ( I ) × H 0 ， ω ， m 1 ( I ) 上是有界且正定的，即： | a m ( u m l ， v ) | ≲ ‖ u m l ‖ 0 ， ω ， m ‖ v ‖ 0 ， ω ， m ， a m ( u m l ， u m l ) ≳ ‖ u m l ‖ 0 ， ω ， m 2 。 证明：由Cauchy-Schwarz不等式我们可得： | a m ( u m l ， v ) | = | ∫ I t 2 ( u m l ) ′ v ′ + m ( m + 1 ) u m l v d t + α R 2 ∫ I t 2 u m l v d t | ≲ ∫ I t 2 | ( u m l ) ′ v ′ | + m ( m + 1 ) | u m l v | + t 2 | u m l v | d t ≲ [ ∫ I t 2 [ ( u m l ) ′ ] 2 + t 2 ( u m l ) 2 + m ( m + 1 ) ( u m l ) 2 d t ] 1 2 [ ∫ I t 2 ( v ′ ) 2 + t 2 v 2 + m ( m + 1 ) v 2 d t ] 1 2 ≲ ‖ u m l ‖ 0 ， ω ， m ‖ v ‖ 0 ， ω ， m a m ( u m l ， u m l ) = ∫ I t 2 [ ( u m l ) ′ ] 2 + m ( m + 1 ) ( u m l ) 2 d t + α R 2 ∫ I t 2 ( u m l ) 2 d t ≳ ‖ u m l ‖ 0 ， ω ， m 2 定理2. 如果 F m ( t ) ∈ L ω 2 ( I ) ，则 F m ( v ) 为 H 0 ， ω ， m 1 ( I ) 上的有界线性泛函，即： | F m ( v ) | ≲ ‖ v ‖ 0 ， ω ， m 。 证明：由Cauchy-Schwarz不等式有 | F m ( v ) | = | ∫ I t 2 F m l v d x | = | ∫ I ( t F m l ) ( t v ) d t | ≲ [ ∫ I ( t F m l ) 2 d t ] 1 2 [ ∫ I ( t v ) 2 d t ] 1 2 ≲ [ ∫ I ( t v ) 2 d t ] 1 2 ≲ [ ∫ I ( t v ′ ) 2 + ( t v ) 2 d t ] 1 2 = ‖ v ‖ 0 ， ω ， m 则由定理1，定理2和Lax-milgram定理我们有下面的定理： 定理3. 若 F m l ∈ L ω 2 ( I ) ，方程(3.1) 和(3.2)分别存在唯一解 u m l ∈ H 0 ， ω ， m 1 ( I ) 和 u m h l ∈ X m h 。 定义区间I上的插值投影 I h u m l ： H 0 ， ω ， m 1 ( I ) → U h ，由文献 [ 16 ] 中的分段线性插值理论可得如下引理。 引理1. 对于 u m l ∈ H 0 ， ω ， m 1 ( I ) ，若 u m l ( x ) 在区间I上有连续导数，则成立： ‖ I h u m l − u m l ‖ 0 ， ω ， m ≲ h 。 定理4. 假设 u m 和 u m h 分别是方程(3.1)和(3.2)的解，则下列不等式成立： ‖ u m l − u m h l ‖ 0 ， ω ， m ≲ h 。 证明：由(3.1) 和(3.2)我们可得 a m ( u m l ， v h ) = F m ( v h ) ， ∀ v h ∈ X m h (4.1) a m ( u m h l ， v h ) = F m ( v h ) ， ∀ v h ∈ X m h (4.2) 因此 a m ( u m l − u m h l ， v h ) = 0 (4.3) 结合定理1和(4.3)可得 ‖ u m l − u m h l ‖ 0 ， ω ， m 2 ≲ a m ( u m l − u m h l ， u m l − u m h l ) = a m ( u m l − u m h l ， u m l + v h − v h − u m h l ) = a m ( u m l − u m h l ， u m l − v h ) ≲ ‖ u m l − u m h l ‖ 0 ， ω ， m ‖ u m l − v h ‖ 0 ， ω ， m 则有 ‖ u m l − u m h l ‖ 0 ， ω ， m ≲ inf v h ∈ X m h ‖ u m l − v h ‖ 0 ， ω ， m (4.4) 结合(4.4)和引理1可得 ‖ u m l − u m h l ‖ 0 ， ω ， m ≲ h .
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user: 5. 算法的有效实施 为了更好的验证我们算法的有效性，我们构造满足边值条件的基函数如下： φ 0 ( t ) = { 1 − t − t 0 h 1 ，                 t 0 ≤ t ≤ t 1 ， 0 ，                                                                                   其 它 ， (5.1) φ i ( t ) = { 1 + t − t i h i ，               t i − 1 ≤ t ≤ t i ， 1 − t − t i h i + 1 ，                 t i ≤ t ≤ t i + 1 ， 0 ，                                                                                       其 它 ， (5.2) 其中 i = 1 ， ⋯ ， N − 1 。则逼近空间可取为： X h ( m ) = span { φ 0 ( t ) ， φ 1 ( t ) ， ⋯ ， φ N − 1 ( t ) } 。 设 a i j m = ∫ I t 2 φ ′ j φ ′ i d t ，                                                                             b i j m = m ( m + 1 ) ∫ I φ j φ i d t ， c i j m = α R 2 ∫ I t 2 φ j φ i d t ，                                     f i j m = R 2 ∫ I t 2 F m l φ j d t 令 u m h = ∑ i = 0 N − 1 u i m φ i ( t ) (5.3) 将(5.3)式代入(3.2)式，把 v m h 取遍逼近空间 X h ( m ) 中的所有基函数，即可得如下的线性系统： ( A + B + C ) U m = G m (5.4) 其中 A = ( a i j m ) ， B = ( b i j m ) ， C = ( c i j m ) ， G = ( f i j m ) ， U m = ( u 0 m ， u 1 m ， ⋯ ， u N − 1 m ) T 。 由分片线性插值基函数的性质知，(5.4)中的质量矩阵和刚度矩阵都是稀疏矩阵。
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user: 6. 数值案例 在这一节，我们将在MATLAB 2015a平台上进行编程计算，令 u M h ( x ， y ， z ) 为精确解 u ( x ， y ， z ) 的逼近解为， r = R t ，则有 u ( x ， y ， z ) = u ˜ ( t ， θ ， ϕ ) = ∑ | m | = 0 ∞ ∑ | l | = 0 m u m l ( t ) Y m l ， u M h ( x ， y ， z ) = u ˜ h ( t ， θ ， ϕ ) = ∑ | m | = 0 M ∑ | l | = 0 m u m h l ( t ) Y m l 。 定义精确解和数值解的误差如下： e ( u M h ( x ， y ， z ) ， u ( x ， y ， z ) ) = ‖ u M h ( x ， y ， z ) − u ( x ， y ， z ) ‖ L ∞ ( Ω ) = ‖ u ˜ M h ( t ， θ ， ϕ ) − u ˜ ( t ， θ ， ϕ ) ‖ L ∞ ( D ) . 例 取 α = R = 1 且 u = ( x 2 + y 2 + z 2 − 1 ) 2 e x 2 + y 2 + z 2 ，显然u满足边值条件，将u代入(2.1)便可得到f。利用第5节中提出的算法，对于不同的M和N，我们在表1中给出了数值解与精确解的之间的误差 e ( u M h ( x ， y ， z ) ， u ( x ， y ， z ) ) 。另外，为了更直观地表明算法的有效性，我们还在图1中分别给出数值解与精确解的图像，最后，为了验证该算法的有效性，我们呈现出了近似解的误差图在图2。 从表1可看出当 N ≥ 20 ， M = 6 时，误差 e ( u M h ( x ， y ， z ) ， u ( x ， y ， z ) ) 达到10 −6 左右的精度。同时，从图1和图2可看出我们算法是收敛的。 Table 1 The error e ( u M h ( x ， y ， z ) ， u ( x ， y ， z ) ) between numerical solution and exact solutio N M = 2 M = 4 M = 6 M = 8 10 1.0289e−04 1.0289e−04 1.0278e−04 1.0019e−04 15 2.3553e−05 2.3553e−05 2.3553e−05 2.3553e−05 20 8.0489e−06 8.0489e−06 8.0489e−06 8.0489e−06 25 3.4570e−06 3.4570e−06 3.4570e−06 3.4570e−06 表1. 数值解与精确解的误差 e ( u M h ( x ， y ， z ) ， u ( x ， y ， z ) ) 图1. 当 N = 20 ， m = 12 时，精确解(左)和数值解(右)的图像分别如下所示 图2. 当 N = 10 ， m = 6 (左)和 N = 25 ， m = 10 (右)时，精确解和数值解的误差图
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user: 7. 总结 本文提出了一种有效的有限元法求解球域上的二阶问题，亮点在于通过引入球坐标变化和球谐函数展开，将问题转化为一系列等价的一维问题，从而克服有限元在球域上剖分的困难，使得原问题更加容易解决。同时，并对这一系列一维问题进行了相应的误差分析。最后，我们提出的算法可应用到球域上更复杂的问题。
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user: 摘要 设S是一个序半群，本文采用序代数理论和quantale理论中的研究方法，在以S-poset为对象以S-次可乘映射为态射的范畴中，对于一类特殊的态射 ε ≤ ，构造了S-poset的内射包。本文的结果不仅推广了基于S是序幺半群时的相应结果，而且也得到了剩余S-poset的内射包。
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user: 1. 引言 受群作用和环的模理论研究的启发，在众多的学科中都产生了半群作用相关结构。因此在不同的领域半群作用有着不同的名称，比如：S-自动机，S-操作数，S-多边形，S-集，S-代数等 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]。作为半群作用与偏序集理论的结合，S-poset理论近年来得到了发展 [ 5 ] - [ 10 ]。粗略地说，S-poset是一个带有序半群S-作用并且满足一定的相容条件的偏序集。 内射性是重要的范畴性质，在以S-poset为对象的范畴中，内射性也得到了众多的关注与研究 [ 1 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 11 ]。目前对于该范畴的研究，S通常被假定为一个序幺半群，带有的态射不同，该范畴的性质相应的也不同。为了得到以S-poset为对象的范畴中的内射对象的完整刻画，在文献 [ 11 ] 中，研究了以S-poset为对象以S-次可乘映射为态射构成的范畴中的内射对象，并进一步得到了S-poset相对于一类 ε ≤ 态射的内射包。但，文献 [ 11 ] 中的主要结果是基于S为序幺半群得到的，因此，一个自然的问题是，这些结果能否推广到S是一般的序半群上，这是本文的主要动机。在以S-poset为对象以S-次可乘映射为态射构成的范畴中，对于一类特殊的态射 ε ≤ ，本文构造了任意S-poset的内射包。
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user: 2. 预备知识 设P是一个偏序集 [ 12 ]， A ⊆ P ，定义 ↓ A = { x ∈ P : ∃ a ∈ A ， s . t .   x ≤ a } 。如果 A =   ↓ A ，则称A为下集。 ↓ a =   ↓ { a } 。本文用到的其它有关偏序集的概念和结论请参考文献 [ 12 ]。 定义2.1 [ 13 ] 设 ( S ， ⊗ ) 是半群， ( S ， ≤ ) 是偏序集。如果 ≤ 关于半群的乘法 ⊗ 是相容的，即 ∀ s 1 ， s 2 ， t 1 ， t 2 ∈ S ， s 1 ≤ t 1 ， s 2 ≤ t 2 ，有 s 1 ⊗ s 2 ≤ t 1 ⊗ t 2 ，则称 ( S ， ⊗ ， ≤ ) 为序半群。进一步，如果 ( S ， ⊗ ) 是一个幺半群，则称 ( S ， ⊗ ， ≤ ) 是序幺半群。 如果没有特别说明，本文中的 ( S ， ⊗ ， ≤ ) 均为序半群， S 1 表示一个序幺半群带有幺元1。 定义2.2 [ 5 ] 设 ( A ， ≤ ) 是一个偏序集， ∗ : S × A → A 是一个映射( ∀ ( s ， a ) ∈ S × A ， ∗ ( s ， a ) 记为 s ∗ a )。如果对任意的 a ， b ∈ A ， s ， t ∈ S ，满足以下条件： (1) ( s ⊗ t ) ∗ a = s ∗ ( t ∗ a ) ； (2) s ≤ t ， a ≤ b ⇒ s ∗ a ≤ t ∗ b ， 则称 ( A ， ∗ ， ≤ ) 为S-poset，为方便简记为 A S 或A。如果 S 1 是一个序幺半群，S 1 -poset A还需满足： ∀ a ∈ A ， 1 ∗ a = a 。 定义2.3 [ 11 ] 设 ( A S ， ∗ ， ≤ ) 是S-poset， ( A ， ≤ ) 是完备格，且 ∀ M ⊆ A ， s ∈ S ，都有 s ∗ ( ∨ M ) = ∨ { s ∗ m | m ∈ M } ，则称 Q S 是一个S-quantale。 s ∗ _ : A → A 有伴右随，记为 s → S _ : A → A 。 设 ( A S ， ∗ ， ≤ ) 和 ( B S ， ∗ ， ≤ ) 是S-poset，称映射 f : A S → B S 是S-可乘的(相应的，S-次可乘的)，如果 ∀ a ∈ A ， s ∈ S ， s ∗ f ( a ) = f ( s ∗ a ) (相应的， s ∗ f ( a ) ≤ f ( s ∗ a ) )。 设 ( A S ， ∗ ， ≤ ) 和 ( B S ， ∗ ， ≤ ) 是S-poset，称映射 f : A S → B S 是S-poset同态(相应的S-poset次同态)，如果 f : ( A ， ≤ ) → ( B ， ≤ ) 是保序映射且f是S-可乘的(相应的，S-次可乘的)。 以S-poset为对象以S-poset同态为态射的范畴记为 P S o s 。 以S-poset为对象以S-poset次同态为态射的范畴记为 P S o s ≤ 。 定义2.4 [ 14 ] 设 A 是一个范畴，M是 A 中的一个态射类， 1) 称 A 中的对象C为M-内射的，如果对M中的任意态射 m : A → B 以及 A 中的态射 f : A → C ，都存在唯一的态射 g : B → C 使得 f = g ∘ m 。 2) 称M中的态射 m : A → B 为M-本质的，如果对 A 中任意态射 f : B → C ， f ∘ m ∈ M 有 f ∈ M 。 3) 对于 A 中的对象A的和对象B，称对象B是对象A的M-内射包，如果对象B是M-内射的，且存在一个M-本质态射 m : A → B 。 有关范畴的相关知识，本文未作解释的请参考文献 [ 14 ]。
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user: 4. 结论 本文运用序代数理论的相关知识，构造出了S-poset的内射包。并推广到S是序幺半群时的相应结果，最后得到剩余S-poset的内射包。
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user: 摘要 本文通过对两个基础超几何级数恒等式的一系列变换，再对其应用q微分算子 D q ， a n ，推导出了两个终止型的基础超几何级数恒等式。再将其中一个恒等式进行简单的字母代换后，和另外三个终止型的级数恒等式联立起来，得到了三个新的恒等式。这三个新的恒等式是对已知恒等式的扩展，深入的研究将在以后的研究中给出。
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user: 2. 预备知识 本文用 [ 16 ] 中的q记号，假设 | q | < 1 ，q-移位阶乘被定义为： ( a ; q ) 0 = 1 ， ( a ; q ) n = ∏ k = 0 n − 1 ( 1 − a q k ) ， ( a ; q ) ∞ = ∏ k = 0 ∞ ( 1 − a q k ) ， n = 1 ， 2 ， ⋯ 对任意正整数n，q-移位阶乘 ( a ; q ) n 有以下形式： ( a ; q ) n = ( a ; q ) ∞ ( a q n ; q ) ∞ (1.1) ( a ， a q ; q 2 ) n = ( a ; q ) 2 n (1.2) 为方便，多个阶乘可写成以下形式： ( a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a m ; q ) n = ( a 1 ; q ) n ( a 2 ; q ) n ⋯ ( a m ; q ) n 基础超几何级数 ϕ r +1 r 被定义为： ϕ r + 1 r [ a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a r + 1 b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ; q ， z ] = ∑ n = 0 ∞ ( a 1 ; q ) n ( a 2 ; q ) n ⋯ ( a r + 1 ; q ) n ( q ; q ) n ( b 1 ; q ) n ( b 2 ; q ) n ⋯ ( b r ; q ) n z n (1.3) 其中 q ≠ 0 。 关于x的q微分算子被定义为： D q ， x { f ( x ) } = f ( x ) − f ( x q ) x 以上q微分算子的两个性质 [ 17 ]： D q ， x n { ( t x ; q ) ∞ ( s x ; q ) ∞ } = s n ( t s ; q ) n ( t x q n ; q ) ∞ ( s x ; q ) ∞ (1.4) D q ， x n { 1 ( s x ; q ) ∞ } = s n ( s x ; q ) ∞ (1.5)
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user: 3. 微分算子的应用 定理1 若k为任意非负整数，则有： ∑ n = 0 k ( b ， − b ， q − k ; q ) n ( − z q n ) n ( b 2 ， q ; q ) n ( z q n ; q ) n − k = ∑ n = 0 k ( q − k ， q ) n ( z 2 q 2 n ) n ( b 2 q ， b 2 ; q 2 ) n 证明：在参考文献 [ 9 ] 中，第100页练习题3.2 (i)： ϕ 3 2 [ a ， b ， − b b 2 ， a z ; q ， − z ] = ( z ; q ) ∞ ( a z ; q ) ∞ ϕ 2 1 ( a ， a q ; q b 2 ; q 2 ， z 2 ) ， | z | < 1 由(1.1)，(1.2)，(1.3)，上式可写成以下形式： 1 ( z ; q ) ∞ ∑ n = 0 ∞ ( b ， − b ; q ) n ( − z ) n ( a z q n ; q ) ∞ ( b 2 ， q ; q ) n ( a q n ; q ) ∞ = ∑ n = 0 ∞ z 2 n ( b 2 q ， q 2 ; q 2 ) n ( a q 2 n ; q ) ∞ 在以上等式左右两边同时应用算子 D q ， a n ，有： 1 ( z ; q ) ∞ ∑ n = 0 ∞ ( b ， − b ; q ) n ( − z ) n ( b 2 ， q ; q ) n D q ， a n { ( a z q n ; q ) ∞ ( a q n ; q ) ∞ } = ∑ n = 0 ∞ z 2 n ( b 2 q ， q 2 ; q 2 ) n D q ， a n { 1 ( a q 2 n ; q ) ∞ } (1.6) 由(1.4)和(1.5)，可得： D q ， a n { ( a z q n ; q ) ∞ ( a q n ; q ) ∞ } = q n 2 ( z ; q ) n ( a z q 2 n ; q ) ∞ ( a q n ; q ) ∞ (1.7) D q ， a n { 1 ( a q 2 n ; q ) ∞ } = q 2 n 2 ( a q 2 n ; q ) ∞ (1.8) 将(1.7) (1.8)代入(1.6)，并再次运用(1.1)，有： ∑ n = 0 ∞ ( b ， − b ， a ; q ) n ( − z q n ) n ( a z q 2 n ; q ) ∞ ( b 2 ， q ; q ) n ( z q n ; q ) ∞ = ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) 2 n ( z 2 q 2 n ) n ( b 2 q ， q 2 ; q 2 ) n 在上式中，令 a = q − k ，其中k为任意非负整数，就可得到定理1的等式。 定理2 ϕ 2 1 ( q − n ， b c ; q ， q n z ) = ( c b ， b z ; q ) ∞ ( c ， z ; q ) ∞ ϕ 2 1 ( q − n ， b b z ; q ， q n z ) (1.9) 证明：在参考文献 [ 9 ] 中第359页，(III.2)： ϕ 2 1 ( a ， b ; c ; q ， z ) = ( c b ， b z ; q ) ∞ ( c ， z ; q ) ∞ ϕ 2 1 ( a b z c ， b ; b z ; q ， c b ) 由q转换公式(1.1)，上式可写为以下形式： ∑ n = 0 ∞ ( b ; q ) n z n ( a ; q ) ∞ ( c ， q ; q ) n ( a q n ; q ) ∞ = ( c b ， b z ; q ) ∞ ( c ， z ; q ) ∞ ∑ n = 0 ∞ ( b ; q ) n ( c b ) n ( b z ; q ) n ( q ; q ) n ( a b z c ; q ) ∞ ( a b z q n c ; q ) ∞ 在以上等式左右两边同时应用算子 D q ， a n ，有： ∑ n = 0 ∞ ( b ; q ) n z n ( c ， q ; q ) n D q ， a n { ( a ; q ) ∞ ( a q n ; q ) ∞ } = ( c b ， b z ; q ) ∞ ( c ， z ; q ) ∞ ∑ n = 0 ∞ ( b ; q ) n ( c b ) n ( b z ; q ) n ( q ; q ) n D q ， a n { ( a b z c ; q ) ∞ ( a b z q n c ; q ) ∞ } (1.10) 由(1.4)可知： D q ， a n { ( a ; q ) ∞ ( a q n ; q ) ∞ } = q n 2 ( q − n ; q ) n (1.11) D q ， a n { ( a b z c ; q ) ∞ ( a b z q n c ; q ) ∞ } = ( b z q n c ) n ( q − n ; q ) n (1.12) 将(1.11)，(1.12)代入(1.10)，便完成了定理2的证明。 在参考文献 [ 9 ] 中第359页式6、7、8： ϕ 2 1 ( q − n ， b ; c ; q ， z ) = ( c b ; q ) n ( c ; q ) n ( b z q ) n ϕ 3 2 ( q − n ， q z ， c − 1 q 1 − n ; b c − 1 q 1 − n ， 0 ; q ， q ) = ( c b ; q ) n ( c ; q ) n ϕ 3 2 ( q − n ， b ， b z q − n c b q 1 − n c ， 0 ; q ， q ) = ( c b ; q ) n ( c ; q ) n b n ϕ 3 1 ( q − n ， b ， q z b q 1 − n c ; q ， z c ) 在以上三个式子中，都令 z = z q n ，再分别联立(1.9)，得到以下三个定理： 定理3 ( b q n − 1 z ) n ϕ 3 2 ( q − n ， 1 q n − 1 z ， q 1 − n c b q 1 − n c ， 0 ; q ， q ) = ( c q n b ， b z ; q ) ∞ ( c q n ， z ; q ) ∞ ϕ 2 1 ( q − n ， b b z ; q ， q n z ) 定理4 ϕ 3 2 ( q − n ， b ， b z c b q 1 − n c ， 0 ; q ， q ) = ( c q n b ， b z ; q ) ∞ ( c q n ， z ; q ) ∞ ϕ 2 1 ( q − n ， b b z ; q ， q n z ) 定理5 b n ϕ 3 1 ( q − n ， b ， 1 z q n − 1 b q 1 − n c ; q ， q n z c ) = ( c q n b ， b z ; q ) ∞ ( c q n ， z ; q ) ∞ ϕ 2 1 ( q − n ， b b z ; q ， q n z ) 显然，以上三个定理是成立的，本文不做证明。
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user: 4. 结论 本文通过两个q微分算子，得到了几个不同的恒等式，可以进一步思考，能不能利用这几个恒等式得到基础超几何级数中著名的恒等式。
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user: 摘要 英国本土红松鼠因外来灰松鼠的入侵而面临灭绝危机。针对目前的情况，文章根据疱疹病毒对两种松鼠影响程度的差异，建立竞争模型，并依据种群数量施加状态反馈脉冲，进而建立带有状态反馈的脉冲模型。利用后继函数法和微分方程的有关理论，研究了系统阶一周期解的存在性和稳定性。所得结论为红松鼠的保护工作提供了一定的理论依据。数值分析结果验证了文中定理的正确性。
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user: 1. 背景 19世纪初期，灰松鼠从美国被引到了英国，灰松鼠比英国土生土长的红松鼠强壮，且繁殖能力强，在抢占食物、栖息地的竞争中，红松鼠总是处于劣势 [ 1 ]。灰松鼠还携带疱疹病毒(squirrelpox)，这种病毒会引发一种滤过性皮肤病，对灰松鼠自身影响较小，对红松鼠影响较大。在英国，有60%的红松鼠都携带这种病毒，患病后的红松鼠健康状况急剧下降，无法觅食，最快在15天内死亡。2008年的统计数据表明，红松鼠的数量比2007年锐减了60%，这个数据大大高于此前每年10%左右的下降率。 对红松鼠的保护刻不容缓，利用数学模型研究红松鼠保护引起了学者的兴趣。刘琼在文献 [ 1 ] 中，考虑了捕杀灰松鼠，投放药物治疗红松鼠自身疾病的措施，建立了依赖红松鼠密度施加状态反馈脉冲控制模型，并对模型进行了相应的分析。因为状态反馈脉冲微分方程可以描述某些运动状态在固定或不固定时刻加速变化或跳跃，使模型更切合实际。近年来，学者用它解决了很多问题 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]。Jiang G R研究了带有阶段结构的害虫防治模型的脉冲效应，得到了系统存在周期解的充分条件 [ 7 ]。Jiang G R研究具Holling II类功能反应和状态反馈脉冲控制的食饵–捕食模型，得到了非平凡正解的存在性和稳定性的充分条件 [ 8 ]。 本文考虑疱疹病毒建立状态脉冲模型 [ 9 ]。