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user: 2. 主要结论 定理2.1：假设 ∀ T ≥ t 0 ， ∃ T ≤ a 1 < b 1 ≤ a 2 < b 2 使得 e ( t ) { ≤ 0 ， t ∈ [ a 1 ， b 1 ] ， ≥ 0 ， t ∈ [ a 2 ， b 2 ] . (7) 若存在一个函数 H ∈ Φ ，使得 ∫ a i b i H ( b i ， s ， a i ) { Q ( s ) − r ( s ) 4 [ p ( s ) r ( s ) − h ( b i ， s ， a i ) ] 2 } d s > 0 (8) 其中 Q ( s ) = ∏ k = 1 n η k − η k q k η k ( s ) ， i = 1 或 i = 2 。则方程(1)是振动的。 证明：假设方程(1)存在非振动解 y ( t ) ，无妨设 y ( t ) > 0 ， t ≥ T 1 ≥ t 0 。我们定义如下函数： w ( t ) = r ( t ) y ′ ( t ) y ，     t ≥ T 1 (9) 由方程(1)和(9)式，对于 t ≥ T 1 我们有 w ′ ( t ) = − p ( t ) r ( t ) w ( t ) − ∑ i = 1 n q i ( t ) | y | α i − 1 − w 2 ( t ) r ( t ) + e ( t ) y (10) 由算术几何平均不等式： ∑ k = 1 n C k V k ≥ ∏ k = 1 n V k C k (11) 其中， ， V k > 0 ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ，我们令 C k = η k ，记 Q ( t ) = ∏ k = 1 n η k − η k q k η k ( t ) (12) V k = η k − 1 q k ( t ) | y ( t ) | α k − 1 (13) 我们有 ∑ k = 1 n q k ( t ) | y ( t ) | α k − 1 = ∑ k = 1 n η k η k − 1 q k ( t ) | y ( t ) | α k − 1 ≥ ∏ k = 1 n [ η k − 1 q k ( t ) | y ( t ) | α k − 1 ] η k ≥ ∏ k = 1 n η k − η k q k η k ( t ) | y ( t ) | ∑ k = 1 n α k η k − η k = ∏ k = 1 n η k − η k q k η k ( t ) = Q ( t ) (14) 因此 w ′ ( t ) ≤ − p ( t ) r ( t ) w ( t ) − Q ( t ) − w 2 ( t ) r ( t ) + e ( t ) y (15) 根据假设，选择 b 1 > a 1 > T 1 ， y ( t ) > 0 使得在区间 I 1 = [ a 1 ， b 1 ] 上， e ( t ) < 0 ，得到 w ′ ( t ) ≤ − p ( t ) r ( t ) w ( t ) − Q ( t ) − w 2 ( t ) r ( t ) 。 (16) 方程(16)两边同时乘 H ( b i ， s ， a i ) ，将t用s替代，并将它们从 a 1 到 b 1 ( b 1 > a 1 > t 0 ) 积分，通过简单计算我们可以得到 ∫ a 1 b 1 H ( b 1 ， s ， a 1 ) Q ( s ) d s ≤ − ∫ a 1 b 1 H ( b 1 ， s ， a 1 ) w ′ ( s ) d s − ∫ a 1 b 1 p ( s ) H ( b 1 ， s ， a 1 ) w ( s ) r ( s ) d s − ∫ a 1 b 1 H ( b 1 ， s ， a 1 ) w 2 ( s ) r ( s ) d s = ∫ a 1 b 1 H ( b 1 ， s ， a 1 ) { [ h ( b 1 ， s ， a 1 ) − p ( s ) r ( s ) ] w ( s ) − w 2 ( s ) r ( s ) } d s ≤ ∫ a 1 b 1 H ( b 1 ， s ， a 1 ) r ( s ) 4 [ h ( b 1 ， s ， a 1 ) − p ( s ) r ( s ) ] 2 d s (17) 这就意味着 ∫ a 1 b 1 H ( b i ， s ， a i ) { Q ( s ) − r ( s ) 4 [ h ( b i ， s ， a i ) − p ( s ) r ( s ) ] 2 } d s ≤ 0 (18) 这与(8)式矛盾，从而 y ( t ) 至少有一个零解 t * ∈ [ a 1 ， b 1 ] 。 当 y ( t ) < 0 时，我们可以选择 b 2 > a 2 > T 1 ，使得在区间 上 e ( t ) ≥ 0 ，那么就得到类似上述的矛盾。所以 y ( t ) 至少有一个零解 t * ∈ [ a 2 ， b 2 ] 。 注意到T是任意的，于是可得方程的每个解都有任意大的零点。因此方程(1)是振动的。定理2.1证毕。 令 H ( t ， s ， l ) = ( t − s ) α ( s − l ) β ，其中 α ， β > 1 ，根据定理2.1，我们有以下的振动结论。 定理2.2：假设任意 ，存在 T ≤ a 1 < b 1 ≤ a 2 < b 2 ，使得(7)式成立。如果存在两个常数 α ， β > 1 ，使得 ∫ a i b i ( b i − s ) α ( s − a i ) β [ Q ( s ) − r ( s ) 4 ( p ( s ) r ( s ) − β b i − ( α + β ) s − α a i ( b i − s ) ( s − a i ) ) 2 ] d s > 0 (19) 其中 Q ( s ) = ∏ k = 1 n η k − η k q k η k ( s ) ， i = 1 或 i = 2 ，则方程(1)是振动的。 定义 令 H ( t ， s ， l ) = [ R ( t ) − R ( s ) ] α [ R ( s ) − R ( l ) ] β ，其中 α ， β > 1 ，则有 h ( t ， s ， l ) = β R ( t ) − ( α + β ) R ( s ) + α R ( l ) r ( s ) [ R ( t ) − R ( s ) ] [ R ( s ) − R ( l ) ] 根据定理2.1，我们有以下的振动结论。 定理2.3：假设任意 T ≥ t 0 ，存在 T ≤ a 1 < b 1 ≤ a 2 < b 2 ，使得(7)式成立。如果存在两个常数 α ， β > 1 ，使得 ∫ a i b i [ R ( b i ) − R ( s ) ] α [ R ( s ) − R ( a i ) ] β ⋅ [ Q ( s ) − r ( s ) 4 ( p ( s ) r ( s ) − β R ( b i ) − ( α + β ) R ( s ) + α R ( a i ) r ( s ) [ R ( b i ) − R ( s ) ] [ R ( s ) − R ( a i ) ] ) 2 ] d s > 0 (20) 其中 Q ( s ) = ∏ k = 1 n η k − η k q k η k ( s ) ， i = 1 或 i = 2 ，则方程(1)是振动的。 定理2.4：设 l i m t → ∞ R ( t ) = ∞ 。且对任意的 T ≥ t 0 ，存在 T ≤ a 1 < b 1 ≤ a 2 < b 2 使得(7)式成立。如果存在两个常数 α ， β > 1 ，使得 1 [ R ( b i ) − R ( a i ) ] α + β − 1 ∫ a i b i [ R ( b i ) − R ( s ) ] α [ R ( s ) − R ( a i ) ] β ⋅ [ Q ( s ) − p 2 ( s ) 4 r ( s ) + p ( s ) [ β R ( b i ) − ( α + β ) R ( s ) + α R ( a i ) ] 2 r ( s ) [ R ( b i ) − R ( s ) ] [ R ( s ) − R ( a i ) ] ] d s > α β ( α + β − 2 ) Γ ( β − 1 ) Γ ( α − 1 ) 4 Γ ( α + β ) (21) 其中 Q ( s ) = ∏ k = 1 n η k − η k q k η k ( s ) ， i = 1 或 i = 2 ，则方程(1)是振动的。 证明： ∫ a i b i [ R ( b i ) − R ( s ) ] α − 2 [ R ( s ) − R ( a i ) ] β − 2 [ β R ( b i ) − ( α + β ) R ( s ) + α R ( a i ) ] 2 1 r ( s ) d s = ∫ a i b i [ R ( b i ) − R ( s ) ] α − 2 [ R ( s ) − R ( a i ) ] β − 2 { β [ R ( b i ) − R ( s ) ] − α [ R ( s ) − R ( a i ) ] } 2 d R ( s ) = ∫ 0 R ( b i ) − R ( a i ) u β − 2 [ R ( b i ) − R ( a i ) − u ] α − 2 { β [ R ( b i ) − R ( a i ) − u ] − α u } 2 d u = ∫ 0 v u β − 2 ( v − u ) α − 2 [ β ( v − u ) − α u ] 2 d u = β 2 ∫ 0 v u β − 2 ( v − u ) α d u − 2 α β ∫ 0 v u β − 1 ( v − u ) α − 1 d u + α 2 ∫ 0 v u β ( v − u ) α − 2 d u (22) 其中，设 u = R ( s ) − R ( a i ) ， v = R ( b i ) − R ( a i ) 。使用Euler公式 ∫ 0 1 x μ − 1 ( 1 − x ) v − 1 d x = Γ ( μ ) Γ ( v ) Γ ( μ + v ) 且 R e ( μ ， v ) > 0 设 x = u v 我们可以得到， ∫ 0 v u β − 2 ( v − u ) α d u = v α + β − 1 Γ ( β − 1 ) Γ ( α + 1 ) Γ ( α + β ) (23) ∫ 0 v u β − 1 ( v − u ) α − 1 d u = v α + β − 1 Γ ( β ) Γ ( α ) Γ ( α + β ) (24) ∫ 0 v u β ( v − u ) α − 2 d u = v α + β − 1 Γ ( β + 1 ) Γ ( α − 1 ) Γ ( α + β ) (25) 因此 ∫ 0 v u β − 2 ( v − u ) α − 2 [ β ( v − u ) − α u ] 2 d u = β 2 v α + β − 1 Γ ( β − 1 ) Γ ( α + 1 ) Γ ( α + β ) − 2 α β v α + β − 1 Γ ( β ) Γ ( α ) Γ ( α + β ) + α 2 v α + β − 1 Γ ( β + 1 ) Γ ( α − 1 ) Γ ( α + β ) = v α + β − 1 Γ ( α + β ) [ β 2 Γ ( β − 1 ) Γ ( α + 1 ) − 2 α β   Γ ( β ) Γ ( α ) + α 2 Γ ( β + 1 ) Γ ( α − 1 ) ] = α β ( α + β − 2 ) Γ ( α − 1 ) Γ ( β − 1 ) Γ ( α + β ) v α + β − 1 (26) 将(26)式代入(22)，我们有 ∫ a i b i [ R ( b i ) − R ( s ) ] α − 2 [ R ( s ) − R ( a i ) ] β − 2 [ β R ( b i ) − ( α + β ) R ( s ) + α R ( a i ) ] 2 1 r ( s ) d s = α β ( α + β − 2 ) Γ ( α − 1 ) Γ ( β − 1 ) Γ ( α + β ) [ R ( b i ) − R ( a i ) ] α + β − 1 (27) 于是 1 [ R ( b i ) − R ( a i ) ] α + β − 1 ∫ a i b i [ R ( b i ) − R ( s ) ] α [ R ( s ) − R ( a i ) ] β ⋅ [ Q ( s ) − r ( s ) 4 ( p ( s ) r ( s ) − β R ( b i ) − ( α + β ) R ( s ) + α R ( a i ) r ( s ) [ R ( b i ) − R ( s ) ] [ R ( s ) − R ( a i ) ] ) 2 ] d s = 1 [ R ( b i ) − R ( a i ) ] α + β − 1 ∫ a i b i [ R ( b i ) − R ( s ) ] α [ R ( s ) − R ( a i ) ] β     ⋅ [ Q ( s ) − p 2 ( s ) 4 r ( s ) + p ( s ) [ β R ( b i ) − ( α + β ) R ( s ) + α R ( a i ) ] 2 r ( s ) [ R ( b i ) − R ( s ) ] [ R ( s ) − R ( a i ) ] ] d s     − 1 4 [ R ( b i ) − R ( a i ) ] α + β − 1 ∫ a i b i [ R ( b i ) − R ( s ) ] α − 2 [ R ( s ) − R ( a i ) ] β − 2 · [ β R ( b i ) − ( α + β ) R ( s ) + α R ( a i ) ] 2 1 r ( s ) d s = 1 [ R ( b i ) − R ( a i ) ] α + β − 1 ∫ a i b i [ R ( b i ) − R ( s ) ] α [ R ( s ) − R ( a i ) ] β     ⋅ [ Q ( s ) − p 2 ( s ) 4 r ( s ) + p ( s ) [ β R ( b i ) − ( α + β ) R ( s ) + α R ( a i ) ] 2 r ( s ) [ R ( b i ) − R ( s ) ] [ R ( s ) − R ( a i ) ] ] d s     − α β ( α + β − 2 ) Γ ( β − 1 ) Γ ( α − 1 ) 4 Γ ( α + β ) (28) 由(21)和(28)式，得到 ∫ a i b i [ R ( b i ) − R ( s ) ] α [ R ( s ) − R ( a i ) ] β ⋅ [ Q ( s ) − r ( s ) 4 ( p ( s ) r ( s ) − β R ( b i ) − ( α + β ) R ( s ) + α R ( a i ) r ( s ) [ R ( b i ) − R ( s ) ] [ R ( s ) − R ( a i ) ] ) 2 ] d s > 0 因此，依据定理2.2方程(1)是振动的。定理2.4证毕。 推论2.1：设 l i m t → ∞ R ( t ) = ∞ 。且对任意的 T ≥ t 0 ，存在 T ≤ a 1 < b 1 ≤ a 2 < b 2 使得(7)式成立。如果存在一个常数 α > 1 2 使得 1 [ R ( b i ) − R ( a i ) ] 2 α + 1 ∫ a i b i [ R ( b i ) − R ( s ) ] 2 α [ R ( s ) − R ( a i ) ] 2 ⋅ [ Q ( s ) − p 2 ( s ) 4 r ( s ) + p ( s ) [ R ( b i ) − ( α + 1 ) R ( s ) + α R ( a i ) ] r ( s ) [ R ( b i ) − R ( s ) ] [ R ( s ) − R ( a i ) ] ] d s > α ( 2 α − 1 ) ( 2 α + 1 ) (29) 其中 Q ( s ) = ∏ k = 1 n η k − η k q k η k ( s ) ， i = 1 或 i = 2 ，则方程(1)是振动的。 证明：在(21)中分别用 2 α 和2替代 α 和 β ，可以得到 (30) 推论2.2：设 l i m t → ∞ R ( t ) = ∞ 。且对任意的 T ≥ t 0 ，存在 T ≤ a 1 < b 1 ≤ a 2 < b 2 使得(7)式成立。如果存在一个常数 β > 1 2 有 1 [ R ( b i ) − R ( a i ) ] 2 β + 1 ∫ a i b i [ R ( b i ) − R ( s ) ] 2 [ R ( s ) − R ( a i ) ] 2 β ⋅ [ Q ( s ) − p 2 ( s ) 4 r ( s ) + p ( s ) [ β R ( b i ) − ( β + 1 ) R ( s ) + R ( a i ) ] r ( s ) [ R ( b i ) − R ( s ) ] [ R ( s ) − R ( a i ) ] ] d s > β ( 2 β − 1 ) ( 2 β + 1 ) (31) 其中 Q ( s ) = ∏ k = 1 n η k − η k q k η k ( s ) ， i = 1 或 i = 2 ，则方程式(1)是振动的。 如果假定 p ∈ C 1 ( [ t 0 ， ∞ ) ， R ) ，注意 ∫ a i b i H ( b i ， s ， a i ) p ( s ) h ( b i ， s ， a i ) d s = − ∫ a i b i H ( b i ， s ， a i ) p ′ ( s ) d s 根据定理2.1~2.4。我们可以得到以下定理。 定理2.5：设 p ∈ C 1 ( [ t 0 ， ∞ ) ， R ) 成立。且对任意 T ≥ t 0 ，存在 T ≤ a 1 < b 1 ≤ a 2 < b 2 使得(7)式成立。如果存在函数 H ∈ Φ ，使得 ∫ a i b i H ( b i ， s ， a i ) [ Q ( s ) − p 2 ( s ) 4 r ( s ) − p ′ ( s ) 2 − r ( s ) h 2 ( b i ， s ， a i ) 4 ] d s > 0 (32) 其中 Q ( s ) = ∏ k = 1 n η k − η k q k η k ( s ) ， i = 1 或 i = 2 ，则方程式(1)振动的。 定理2.6：设 p ∈ C 1 ( [ t 0 ， ∞ ) ， R ) 且对任意的 T ≥ t 0 ，存在 T ≤ a 1 < b 1 ≤ a 2 < b 2 使得(7)式成立。如果存在两个常数 α ， β > 1 ，使得 (33) 其中 Q ( s ) = ∏ k = 1 n η k − η k q k η k ( s ) ， i = 1 或 i = 2 ，则方程式(1)是振动的。 定理2.7：设 ， l i m t → ∞ R ( t ) = ∞ ，且对任意的 T ≥ t 0 ，存在 T ≤ a 1 < b 1 ≤ a 2 < b 2 使得(7)是成立。如果存在两个常数 α ， β > 1 ，使得 1 [ R ( b i ) − R ( a i ) ] α + β − 1 ∫ a i b i [ R ( b i ) − R ( s ) ] α [ R ( s ) − R ( a i ) ] β ⋅ [ Q ( s ) − p 2 ( s ) 4 r ( s ) − p ′ ( s ) 2 ] d s > α β ( α + β − 2 ) Γ ( β − 1 ) Γ ( α − 1 ) 4 Γ ( α + β ) (34) 其中 Q ( s ) = ∏ k = 1 n η k − η k q k η k ( s ) ， i = 1 或 i = 2 ，则方程式(1)是振动的。 推论2.3：设 p ∈ C 1 ( [ t 0 ， ∞ ) ， R ) ， l i m t → ∞ R ( t ) = ∞ 。且对任意的 T ≥ t 0 ，存在 T ≤ a 1 < b 1 ≤ a 2 < b 2 使得(7)式成立。如果存在常数 α > 1 2 使得 1 [ R ( b i ) − R ( a i ) ] 2 α + 1 ∫ a i b i [ R ( b i ) − R ( s ) ] 2 α [ R ( s ) − R ( a i ) ] 2 ⋅ [ Q ( s ) − p 2 ( s ) 4 r ( s ) − p ′ ( s ) 2 ] d s > α ( 2 α − 1 ) ( 2 α + 1 ) (35) 其中 Q ( s ) = ∏ k = 1 n η k − η k q k η k ( s ) ， i = 1 或 i = 2 ，则方程式(1)是振动的。 推论2.4：设 p ∈ C 1 ( [ t 0 ， ∞ ) ， R ) ， l i m t → ∞ R ( t ) = ∞ 。且对任意的 T ≥ t 0 ，存在 T ≤ a 1 < b 1 ≤ a 2 < b 2 使得(7)式成立。如果存在常数 β > 1 2 ，使得 1 [ R ( b i ) − R ( a i ) ] 2 β + 1 ∫ a i b i [ R ( b i ) − R ( s ) ] 2 [ R ( s ) − R ( a i ) ] 2 β ⋅ [ Q ( s ) − p 2 ( s ) 4 r ( s ) − p ′ ( s ) 2 ] d s > β ( 2 β − 1 ) ( 2 β + 1 ) (36) 其中 Q ( s ) = ∏ k = 1 n η k − η k q k η k ( s ) ， i = 1 或 i = 2 ，则方程式(1)是振动的。