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user: 2. 研究方法与数据来源 2.1. 基于AMF-HXA的q阶互相关系数 [ 15 ] 设两个时间序列 { x t } 和 { y t } ， t = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 。首先计算它们的累积离差： X ( t ) = ∑ i = 1 t [ x i − 〈 x 〉 ]     ， Y ( t ) = ∑ i = 1 t [ y i − 〈 y 〉 ]     ， (1) 这里 〈 x 〉 和 〈 y 〉 分别表示序列 { x t } 和 { y t } 在整个时间区间上的平均值。然后定义在时滞为L下的两个累积离差序列的互增量如下： Δ L X ( t ) Y ( t ) = [ X ( t ) − X ( t + L ) ] ⋅ [ Y ( t ) − Y ( t + L ) ] . (2) 接着，利用引入符号算子的q阶协方差函数，对于每个L得到q阶协方差： F x y q ( L ) = 1 N − L ∑ t = 1 N − L sgn ( Δ L X ( t ) Y ( t ) ) | Δ L X ( t ) Y ( t ) | q / 2 ， (3) 这里 sgn ( Δ L X ( t ) Y ( t ) ) 表示 Δ L X ( t ) Y ( t ) 的符号函数。加入了此符号算子的 F x y q ( L ) 不但能提供波动信息，也能提供与q阶依赖的波动函数的符号信息，如此便能得到两个给定序列的真实互相关性，避免伪相关。 最后，考虑如下的尺度关系并得到尺度指数 λ × ( q ) ，如下式所示： [ F x y q ( L ) ] 1 / q = F x y ( q ， L ) ∝ L λ × ( q ) . (4) 这里L一般取1到一个大的整数N1，使得上述关系能在双对数图上得以较好的呈现。尺度指数 λ × ( q ) 能有效描述两个分形序列的互相关特性。 注意，(4)式所示的尺度关系仅对于q > 0时成立。根据q取不同的值， λ × ( q ) 可以描述两个分形序列在不同波动区间的长程互相关性。一般地，q > 1时， λ × ( q ) 主要体现了大波动区间的互相关性，而q < 1则是小波动区间的相关性占主导地位。类似于一元Hurst指数， λ × ( q ) > 0.5 反映的互持久性从统计意义上意味着正(负)的 Δ L X ( t + 1 ) Y ( t + 1 ) 更可能出现在正(负)的 Δ L X ( t ) Y ( t ) 后。相反地， λ × ( q ) < 0.5 则表示正(负)的 Δ L X ( t + 1 ) Y ( t + 1 ) 更可能出现在负(正)的 Δ L X ( t ) Y ( t ) 后，此时称这两个序列具有交互持久性。如果 { x t } = { y t } ，则该方法就退化成了经典的多重仿射分析 [ 16 ]，它将产生能描述单个序列长程自相关的广义Hurst指数 γ x x ，可通过如下幂律关系得到： F x x ( q ， L ) = 〈 Δ L X ( t ) q 〉 1 / q ∝ L γ x x . (5) 这里 Δ L X ( t ) = X ( t + L ) − X ( t ) 。 F x x ( q ， L ) 能通过不同阶的q值来表征原始序列 { x t } 不同的波动信息，较小的q对应较小的波动，较大的q表征较大的波动。一般地，q < 2扩大了小波动区间对 F x x ( L ) 的贡献，而q > 2扩大了大波动区间对其的贡献。为了定量刻画两个不同序列{x t }和{y t }的波动程度的差异，我们提出了一个新的量： Δ F ( q ， L ) = log F x x ( q ， L ) − log F y y ( q ， s ) ， (6) AMF-HXA方法能够准确检测两个时间序列的互相关性，然而，它不能定量地刻画这种互相关性。为了定量描述互相关的程度，基于AHXA (即取q = 2时)，利用公式(3)得到的两个序列的协方差函数又与公式(5)得到的两个序列的方差函数求比值，得到了一种所谓的基于AHXA的相关系数，如下所示： ρ ( L ) = F x y 2 ( L ) F x x ( 2 ， L ) F y y ( 2 ， L ) = 〈 sgn ( Δ L X ( t ) Y ( t ) ) | Δ L X ( t ) Y ( t ) | 〉 〈 Δ L X ( t ) 2 〉 〈 Δ L Y ( t ) 2 〉 . (7) ρ ( L ) 是一个无量纲量，且满足 − 1 < ρ ( L ) < 1 。为了刻画不同大小的波动区间对 ρ ( L ) 的影响，我们对上述公式进行如下调整： ρ q ( L ) = F x y q ( L ) F x x ( q ， L ) F y y ( q ， L ) = 〈 sgn ( Δ L X ( t ) Y ( t ) ) | Δ L X ( t ) Y ( t ) | 〉 q / 2 〈 Δ L X ( t ) q 〉 〈 Δ L Y ( t ) q 〉 . (8) 即认为 ρ ( L ) 是一个同时受变量q和L影响的互相关系数。 2.2. 灰色预测模型 灰色系统的实质是通过对原始数据进行累加，得到规律性较强的曲线后，用指数曲线拟合得到模型 [ 17 ] [ 18 ]。本文运用基于累加生成数列的GM(1，1)模型，建模步骤如下： 第1步：原始数据的累加 设原始数据为非负序列 x ( 0 ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) ， x ( 0 ) ( 2 ) ， ⋯ ， x ( 0 ) ( n ) ) ，对其进行一次累加，得 x ( 1 ) = ( x ( 1 ) ( 1 ) ， x ( 1 ) ( 2 ) ， ⋯ ， x ( 1 ) ( n ) ) ，其中 x ( 1 ) ( k ) = ∑ i = 1 k x ( 0 ) ( i ) ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。累加数列克服了原始数列的波动 性和随机性，转化为了有良好规律性的递增数列，为建立微分方程形式的预测模型打下了基础。 第2步：建立GM(1，1)模型 微分方程 d x ( 1 ) d t + a x ( 1 ) = b (9) 就是灰色预测模型GM(1，1)，其中 a ， b 为常数，通过最小二乘法拟合可得到： a ^ = [ a ， b ] T = ( B T B ) − 1 B T Y (10) 其中 Y = [ x ( 0 ) ( 2 ) x ( 0 ) ( 3 ) ⋮ 7 x ( 0 ) ( n ) ] ， B = [ − 0.5 ( x ( 1 ) ( 2 ) ) + ( x ( 1 ) ( 1 ) ) 1 − 0.5 ( x ( 1 ) ( 3 ) ) + ( x ( 1 ) ( 2 ) ) 1 ⋮ ⋮ − 0.5 ( x ( 1 ) ( n ) ) + ( x ( 1 ) ( n − 1 ) ) 1 ] 。 微分方程(9)的解为 x ^ ( 1 ) ( k + 1 ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) − b a ) e − a k + b a ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， (11) 上式就是数列的预测公式。上式是对一次累加生成数列的预测值，可通过下式求得原始数列的还原预测值。 x ^ ( 0 ) ( k + 1 ) = x ^ ( 1 ) ( k + 1 ) − x ^ ( 1 ) ( k ) ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n . (12) 第三步：模型检验 当预测数列与原始数列拟合的精度较高则可用于外推预测，否则不能直接用于预测，预测数列经过残差修正后便可用于外推预测。预测数列与原始数列的拟合检验指标有平均相对误差、精度等。本文通过构建如下模型来检验拟合精度： 首先计算出残差： q ( k ) = x ( 0 ) ( k ) − x ^ ( 0 ) ( k ) ， (13) 其中是原始序列值， x ( 0 ) ( k ) ， x ^ ( 0 ) ( k ) 是预测序列的值。 然后求出相对误差： ε ( k ) = q ( k ) x ( 0 ) ( k ) × 100 % = x ( 0 ) ( k ) − x ^ ( 0 ) ( k ) x ( 0 ) ( k ) × 100 % . (14) 接下来求出平均相对误差： ε ( a v g ) = 1 n − 1 ∑ k = 2 n | ε ( k ) |     . (15) 最后得出精度p 0 ： p 0 = ( 1 − ε ( a v g ) ) × 100 % . (16) 检验模型时，p 0 越大越好，当 p 0 > 0.95 时，预测模型精度为优秀；当 0.8 < p 0 < 0.95 时，预测模型精度为良好；当p 0 值小于0.8时，则需要通过残差修正来调整。 2.3. 数据来源 为考察湖南省的城乡居民收入现状并对居民收入区域差距进行探讨，本文选取的长沙、株洲等城市的城乡人均收入数据来源于湖南省统计年鉴(http://tjj.hunan.gov.cn/tjsj/tjnj/)。选取自2005年~2016年的长沙、株洲、岳阳等湖南省14个城市的城镇和农村人均收入(根据湖南省统计年鉴的统计口径，城镇人均收入为人均可支配收入，农村人均收入为人均纯收入)作为研究对象。我们将这14个市州划分为五个城市群：湘北(包括岳阳、常德、张家界和益阳)、湘南(包括郴州和永州)、湘西(包括湘西自治州和怀化)、湘东(包括株洲、湘潭和长沙)、湘中(包括娄底、邵阳和衡阳)。其基本统计情况如表1所示。从表1可以看出，同一地区的城镇人均收入均值大于农村，且各地区的城镇人均收入排名与农村人均收入排名一致，均为湘东>湘南>湘北>湘中>湘西；湘东地区在城镇和农村的标准差均最大，而湘西地区均最小；除此，可以看出极差最大的为湘东地区，最小的为湘西地区，由上可以得出湘东地区的城乡人均收入的波动差异最大，湘西地区的城乡人均收入的波动差异最小。