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user: 3. 系统的存在性 3.1. 系统正解的存在性 对于Lotka-Volterra多种群互惠系统(1)： d x i ( t ) = x i ( t ) [ ( r i − a i i x i ( t ) + ∑ j ∈ J i a i j x j ( t ) ) d t + α i d 〈 B i ， B i 〉 t + σ i d B i ( t ) ] ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 设 A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) : = ( a i j ) n × n ， A ¯ = ( − a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 − a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ − a n n ) : = ( a ¯ i j ) n × n ， x ( t ) = ( x 1 ( t ) ， x 2 ( t ) ， ⋯ ， x n ( t ) ) . 条件1 矩阵 A = ( a i j ) n × n 是不可约的，且 r i > 0 ， a i j ≥ 0 ， γ i : = a i i − ∑ j ∈ J i a i j > 0 ，   i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。 定理3.1. 若条件1成立，则对任意初值 x ( 0 ) = x 0 ∈ ℝ + n ，系统(1)存在唯一的正解 x ( t ) ，且该解以概率1位于 ℝ + n 中，即对所有的 t ≥ 0 ， x ( t ) ∈ ℝ + n q.s.。 证明 由于系统(1)的系数满足局部Lipschitz条件，那么对 x ( 0 ) = x 0 ∈ ℝ + n ，存在唯一的局部解 x ( t ) > 0 ， t ∈ [ 0 ， τ e ) ，其中 τ e 表示爆破时刻(可参见Arnold [ 6 ]、Freedman [ 7 ]、Mao [ 8 ] )。证明该解是全局存 在的，只需证明 τ e = ∞ q.s.设 0 < k 0 < 1 满足 x 0 ∈ [ 1 k 0 ， k 0 ] 。对每一个整数 k ≥ k 0 ，定义停时： τ k = inf { t ∈ [ 0 ， τ e ) : x ( t ) ∉ ( 1 k ， k ) } ， 此处及后面总假设 inf ∅ = ∞ 。显然，随着 k → ∞ ， τ k 是递增的。令 τ ∞ = lim k → ∞ τ k ，则 τ ∞ ≤ τ e q.s.因此要证 τ e = ∞ q.s.，只需证明 τ ∞ = ∞ q.s.，并且此时显然满足 x ( t ) > 0 ， t ≥ 0 q.s.。换而言之，完成该定理的证明只需证明 τ ∞ = ∞ q.s.。如若不然，存在常数 T > 0 和 ε ∈ ( 0 ， 1 ) 使得 C ¯ { τ ∞ ≤ T } > ε 。从而存在整数 k 1 ≥ k 0 满足 C ¯ { τ k ≤ T } ≥ ε ，对所有的 k ≥ k 1 。 定义 C 2 函数 V : ℝ + → ℝ + ： V ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ) = ∑ i = 1 n c i ( x i − 1 − log x i ) ，其中 c i 表示 L A 的第i个对角元的余子式(见引理A.1.)。由附录A中引理A.1.的结论可知 c i > 0   ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ，则函数 V ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ) 是正定的。由Itô公式可得 d V = ∑ i = 1 n c i ( x i − 1 ) ( r i − a i i x i + ∑ j ∈ J i a i j x j ) d t + ∑ i = 1 n c i σ i ( x i − 1 ) d B i ( t )     + [ ∑ i = 1 n c i α i ( x i − 1 ) + ∑ i = 1 n c i 2 σ i 2 ] d 〈 B i ， B i 〉 t : = L V d t + ∑ i = 1 n c i σ i ( x i − 1 ) d B i ( t ) + [ ∑ i = 1 n c i α i ( x i − 1 ) + ∑ i = 1 n c i 2 σ i 2 ] d 〈 B i ， B i 〉 t 其中 L V = ∑ i = 1 n c i ( x i − 1 ) ( r i − a i i x i + ∑ j ∈ J i a i j x j ) = ∑ i = 1 n c i [ ( r i + a i i ) x i − ∑ j ∈ J i a i j x j − a i i x i 2 + ∑ j ∈ J i a i j x i x j − r i ] ≤ ∑ i = 1 n c i [ ( r i + a i i ) x i − ∑ j ∈ J i a i j x j − a i i x i 2 + 1 2 ∑ j ∈ J i a i j ( x i 2 + x j 2 ) − r i ] . 由于矩阵A不可约，由附录A中引理A.3。 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n c i a i j x j 2 = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n c i a i j x i 2 ， 从而 ∑ i = 1 n ∑ j ∈ J i c i a i j x j 2 = ∑ i = 1 n ∑ j ∈ J i c i a i j x i 2 . 可得 L V ≤ ∑ i = 1 n c i [ ( r i + a i i ) x i − ∑ j ∈ J i a i j x j − a i i x i 2 + ∑ j ∈ J i a i j x i 2 − r i ] = ∑ i = 1 n c i [ ( r i + a i i ) x i − ∑ j ∈ J i a i j x j − γ i x i 2 − r i ] ≤ K ， 这里K是正常数。 从而 ∫ 0 τ k ∧ T d V ≤ ∫ 0 τ k ∧ T K d t + ∫ 0 τ k ∧ T ∑ i = 1 n c i [ α i ( x i − 1 ) + σ i 2 2 ] d 〈 B i ， B i 〉 t + ∫ 0 τ k ∧ T ∑ i = 1 n c i σ i ( x i − 1 ) d B i ( t ) . 取G-期望可得 E ^ V [ x 1 ( τ k ∧ T ) ， x 2 ( τ k ∧ T ) ， ⋯ ， x n ( τ k ∧ T ) ] ≤ V [ x 1 ( 0 ) ， x 2 ( 0 ) ， ⋯ ， x n ( 0 ) ] + K E ^ ( τ k ∧ T ) + E ^ [ ∫ 0 τ k ∧ T ∑ i = 1 n c i [ α i ( x i − 1 ) + σ i 2 2 ] d 〈 B i ， B i 〉 t ] ≤ V [ x 1 ( 0 ) ， x 2 ( 0 ) ， ⋯ ， x n ( 0 ) ] + K T + E ^ ( ∑ i = 1 n c i 2 σ i 2 〈 B i ， B i 〉 T ) + E ^ ( ∫ 0 T ∑ i = 1 n c i α i | x i − 1 | I τ k d 〈 B i ， B i 〉 t ) = V [ x 1 ( 0 ) ， x 2 ( 0 ) ， ⋯ ， x n ( 0 ) ] + K T + σ ¯ 2 ( ∑ i = 1 n c i 2 σ i 2 ) T + σ ¯ 2 E ^ ( ∫ 0 T ∑ i = 1 n c i α i | x i − 1 | I τ e d s ) : = C + K ¯ T . 其中 C = V [ x 1 ( 0 ) ， x 2 ( 0 ) ， ⋯ ， x n ( 0 ) ] + σ ¯ 2 E ^ ( ∫ 0 T ∑ i = 1 n c i α i | x i − 1 | I τ e d s ) ， K ¯ = K + σ ¯ 2 ( ∑ i = 1 n c i 2 σ i 2 ) . 对 k ≥ k 1 ，令 Ω k = { τ k ≤ T } ，可得 C ¯ ( Ω k ) ≥ ε 。注意到对每个 ω ∈ Ω k ， x 1 ( τ k ， ω ) ， x 2 ( τ k ， ω ) ， ⋯ ， x n ( τ k ， ω ) = k 或者 1 k 。 于是， V [ x 1 ( τ k ， ω ) ， x 2 ( τ k ， ω ) ， ⋯ ， x n ( τ k ， ω ) ] 不小于 ∑ i = 1 n c i ( k − 1 − log k ) 或者 ∑ i = 1 n c i ( 1 k − 1 + log k ) 。 即 C + K ¯ T ≥ E ^ [ I Ω k V ( x 1 ( τ k ) ， x 2 ( τ k ) ， ⋯ ， x n ( τ k ) ) ] = sup P ∈ P E P [ I Ω k V ( x 1 ( τ k ) ， x 2 ( τ k ) ， ⋯ ， x n ( τ k ) ] ≥ ε [ ∑ i = 1 n c i ( k − 1 − log k ) ] ∧ [ ∑ i = 1 n c i ( 1 k − 1 + log k ) ] ， 其中 I Ω k 表示集合 Ω k 的示性函数。令 k → ∞ ，得 ∞ > C + K ¯ T = ∞ ， 矛盾。因此必有 τ ∞ = ∞ q.s.定理得证。 3.2. 系统(1)存在平稳分布且具有遍历性 设非其次线性方程 A ¯ x = − r (2) 其中 A ¯ 如前所定义， x = ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ) T ， r = ( r 1 ， r 2 ， ⋯ ， r n ) T 。定义矩阵 B n = ( − b 1 a 12 ⋯ a 1 n − b 2 − a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ − b n a n 2 ⋯ − a n n ) ， 其中 b i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 是正常数。 引理3.1. 若 b i > 0 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 且条件1成立，有 ( − 1 ) n det ( B n ) > 0 ，   n ≥ 2. 引理3.2. 若条件1 满足，那么方程(2)存在正解。 X ( t ) 是 E l 中一自治Markov过程，那么它可表示以下随机微分方程的解： d X ( t ) = b ( X ) d t + ∑ r = 1 k g r ( X ) d B r ( t ) . 方程的扩散阵： Λ ( x ) = ( λ i j ( x ) ) ， λ i j ( x ) = ∑ r = 1 k g r i ( x ) g r j ( x ) . 假设B：存在具有正则边界 Γ 的有界区域 U ⊂ E l 满足： (B.1.) 在U和它的一些邻域，扩散阵 Λ ( x ) 的最小特征值是非零的。 (B.2.) 当 x ∈ E l \ U 时，从x出发的轨道到达集合U的平均时间 τ 是有限的，且对每个紧子集 K ⊂ E l 有 sup x ∈ K E x τ < ∞ 。 引理3.3. 如果上述假设成立，那么Markov过程 X ( t ) 存在平稳分布 μ ( ⋅ ) 。令 f ( ⋅ ) 为关于测度 μ 可积的函数。则对所有的 K ⊂ E l 成立 P x { lim T → ∞ 1 T ∫ 0 T f ( X ( t ) ) d t = ∫ E l f ( x ) μ ( d x ) } = 1. 引理3.4. 设 X ( t ) 为 E l 中的正则Markov过程。若 X ( t ) 相对于某个有界区域U是常返的，则它相对于 E l 中的任一非空区域是常返的。 注记3.1. 定理3.1.给出了系统(1)存在唯一的正解 x ( t ) 。另外，由定理3.1.的证明得到了 L V ≤ K ，现定义 V ˜ = V + K ，则 L V ˜ ≤ V ˜ ，且显然有 V ˜ R = inf x ∈ ℝ + n \ D K V ˜ ( x ) → ∞ ， 当 k → ∞ ， 其中 D k = ( 1 k ， k ) × ( 1 k ， k ) × ⋯ × ( 1 k ， k ) 。因此由Khas’minskii [ 9 ] 给出 x ( t ) 是 ℝ + n 中的自治Markov过程。 定理3.2. 假设条件1成立，且 r i > σ i 2 2 ， σ i > 0 ， i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 满足 ∑ i = 1 n c i x i * 2 σ i 2 < min { c i γ i ( x i * ) 2 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n } ， 其中 c i 如定理3.1.证明中所定义， x * = ( x 1 * ， x 2 * ， ⋯ ， x n * ) 是方程(2)的正解，则系统(1)存在平稳分布 μ ( ⋅ ) 且具有遍历性。 证明 定义 V : R + n → R + V ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ) = ∑ i = 1 n c i ( x i − x i * − x i * log x i x i * ) . 由于矩阵 A = ( a i j ) n × n 是不可约的，则由引理A.1.可知 c i > 0 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。此外由引理3.2.可知方程(2)存在正解 x * = ( x 1 * ， x 2 * ， ⋯ ， x n * ) 满足 r i = a i i x i * − ∑ j ∈ J i a i j x j * ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n . 于是 V ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ) 是正定的。由Itô公式并结合上式可得 d V = ∑ i = 1 n c i ( x i − x i * ) [ ( r i − a i i x i + ∑ j ∈ J i a i j x j ) d t + σ i d B i ( t ) ]     + [ ∑ i = 1 n c i 2 x i * σ i 2 + ∑ i = 1 n c i α i ( x i − x i * ) ] d 〈 B i ， B i 〉 t = ∑ i = 1 n c i ( x i − x i * ) [ ( ∑ j ∈ J i a i j ( x j − x j * ) − a i i ( x i − x i * ) ) d t + σ i d B i ( t ) ]     + [ ∑ i = 1 n c i 2 x i * σ i 2 + ∑ i = 1 n c i α i ( x i − x i * ) ] d 〈 B i ， B i 〉 t : = L V d t + ∑ i = 1 n c i σ i ( x i − x i * ) d B i ( t ) + [ ∑ i = 1 n c i 2 x i * σ i 2 + ∑ i = 1 n c i α i ( x i − x i * ) ] d 〈 B i ， B i 〉 t ， 其中， L V = − ∑ i = 1 n c i a i i ( x i − x i * ) + ∑ i = 1 n ∑ j ∈ J i c i a i j ( x i − x i * ) ( x j − x j * ) ≤ − ∑ i = 1 n c i a i i ( x i − x i * ) 2 + 1 2 ∑ i = 1 n ∑ j ∈ J i c i a i j [ ( x i − x i * ) 2 + ( x j − x j * ) 2 ] ≤ − ∑ i = 1 n c i a i i ( x i − x i * ) 2 + 1 2 ∑ i = 1 n ∑ j ∈ J i c i a i j [ ( x i − x i * ) 2 + ( x j − x j * ) 2 ] + ∑ i = 1 n c i 2 x i * σ i 2 = − ∑ i = 1 n c i a i i ( x i − x i * ) 2 + ∑ i = 1 n ∑ j ∈ J i c i a i j ( x i − x i * ) 2 + ∑ i = 1 n c i 2 x i * σ i 2 = − ∑ i = 1 n c i γ i ( x i − x i * ) 2 + ∑ i = 1 n c i 2 x i * σ i 2 由于 ∑ i = 1 n c i x i * 2 σ i 2 < min { c i γ i ( x i * ) 2 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n } ， 则椭圆 − ∑ i = 1 n c i γ i ( x i − x i * ) 2 + ∑ i = 1 n c i 2 x i * σ i 2 = 0 全部落于 ℝ + n 中。选取U是包含 U ¯ ⊆ ℝ + n 的一个邻域，使得当 x ∈ ℝ + n \ U ，有 L V ≤ − C (C为正常数)，这表明假设B中的条件(B.2.)满足。因此解 x ( t ) 在区域U是常返的，结合引理3.4.和注记3.1.可知 x ( t ) 在 ℝ + n 中的任意有界区域D是常返的。 另一方面，对任意的 D ⊆ ℝ + n ，设 M = min { σ i 2 x i 2 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， x ∈ D ¯ } > 0 ， 那么对 x ∈ D ¯ ， ξ ∈ ℝ + n ，有 ∑ i ， j = 1 n λ i j ξ i ξ j = ∑ i = 1 n σ i 2 x i 2 ξ i 2 ≥ M | ξ | 2 ， 所以条件(B.1.)也满足。由此系统(1)存在平稳分布 μ ( ⋅ ) 且具有遍历性。