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user: 3. 稳定过程的平方 3.1. 稳定过程平方的分布 本节主要阐述稳定过程的平方过程服从的分布。 引理3：对每个 t ≥ 0 ，映射 u → E ( e i u T t ) ，存在一个 α -稳定隶属子 T = ( T t ， t ≥ 0 ) ，使得 E ( e − u T t ) = e − t u α ， 其中， 0 < α < 1 ，   u ≥ 0 。 证明：对每个 t ≥ 0 ，映射 u → E ( e i u T t ) ，有以下Laplace变换 E ( e − u T t ) = e − t Ψ ( u ) ， 其中， Ψ 为隶属子的Laplace指数，对每个 t ≥ 0 ，有 Ψ ( u ) = − η ( i u ) = b u + ∫ 0 + ∞ ( 1 − e − u y ) λ ( d y ) . (2) 对积分 ，有 ∫ 0 + ∞ ( 1 − e − u x ) x − 1 − α d x = − ∫ 0 + ∞ ( ∫ 0 x u e − u y d y ) x − 1 − α d x = − ∫ 0 + ∞ ( ∫ y + ∞ x − 1 − α d x ) u e − u y d y = u α ∫ 0 + ∞ e − u y y − α d y = u α α ∫ 0 + ∞ e − x x − α d x = u α α Γ ( 1 − α ) 即 u α = α Γ ( 1 − α ) ∫ 0 + ∞ ( 1 − e − u x ) d x x 1 + α . 由引理1和方程(2)可得，对任意 0 < α < 1 ，都存在一个隶属子 T ，它的Laplace指数为 Ψ ( u ) = u α ，且它的刻画为 ( 0 ， λ ) ，其中 λ ( d x ) = α Γ ( 1 − α ) d x x 1 + α ， 因此， E ( e − u T t ) = e − t u α 。 证毕。 引理4：设 X ~ S α ( 1 ， 0 ， 0 ) ，则 X t = d 2 W T t ，其中， T t 为 α 2 隶属子。 证明：由定义2知，在对称稳定过程中，对任意 x t ，有 E ( e i u x t ) = e − | u | α σ α t . 由于 X ~ S α ( 1 ， 0 ， 0 ) ，即 β = μ = 0 ，   σ = 1 ，则 E ( e i u x t ) = e − | u | α σ α t = e − | u | α t . (3) 由定义1知，布朗运动具有独立平稳增量，因此布朗运动 W T t 有 W T t − W 0 ~ N ( 0 ， T t ) ，则 E ( e i u W T t | T t ) = e − 1 2 u 2 T t ， 因此 E ( e i u c W T t | T t ) = e − 1 2 u 2 c 2 T t . (4) T t 为 α 2 隶属子，由引理3，对等式(4)的右边取期望可得 E ( e − 1 2 u 2 c 2 T t ) = e ( − 1 2 u 2 c 2 ) α 2 t = e − | u | α t ( c 2 2 ) α . (5) 令(3)=(5)，解得 c = 2 。 因此 X t = d 2 W T t ，其中 T t 为 α 2 隶属子。 证毕。 接下来，我们利用以上的引理来证明本节的主要内容。 定理1：设 X ~ S α ( 1 ， 0 ， 0 ) ，则 X 2 = d 2 W T t 2 ，其中， T t 为 α 2 隶属子。 证明：由 W T t ~ N ( 0 ， T t ) 以及对称稳定过程的分布的对称性可得 P ( 2 W T t 2 ≤ y | T t ) = P ( { W T t ≤ y 2 | T t } ∩ { W T t ≥ − y 2 | T t } ) = ( P ( W T t ≤ y 2 | T t ) ) 2 = ( 2 ∫ − ∞ y 1 2 π T t e − x 2 2 T t d x ) 2 = ( ∫ − ∞ y ( π T t ) − 1 2 e − x 2 2 T t d x ) 2 = 2 Φ 2 ( y T t ) 又由引理2可知， X t = d 2 W T t ， T t 为 α 2 隶属子，则有 P ( X t 2 ≤ y | T t ) = P ( { X t ≤ y | T t } ∩ { X t ≥ − y | T t } ) = ( P ( 2 W T t ≤ y | T t ) ) 2 = ( P ( W T t ≤ y 2 | T t ) ) 2 = 2 Φ 2 ( y T t ) 因此，有 P ( 2 W T t 2 ≤ y | T t ) = P ( X t 2 ≤ y | T t ) ，即 X 2 = d 2 W T t 2 。 证毕。 3.2. 稳定过程平方的尾分布 我们根据稳定过程的尾分布来推出稳定过程平方的尾分布。 定理2：若随机变量 X ~ S α ( σ ， β ， μ ) ，则它服从的稳定过程的平方过程的尾分布为 P ( X 2 > x ) ~ C α σ α x − α 2 。 证明：稳定过程有如下性质 [ 2 ] ：若 X ~ S α ( σ ， β ， μ ) ，其中 0 < α < 2 ，则 { lim λ → + ∞ λ α P ( X > λ ) = C α 1 + β 2 σ α lim λ → + ∞ λ α P ( X < − λ ) = C α 1 − β 2 σ α 其中， C α = ( ∫ 0 ∞ x − α sin x d x ) − 1 。 因此，稳定过程的尾分布有如下形式： P ( X > λ ) ~ C α σ α λ − α . 对于稳定过程的平方，有 lim λ → + ∞ λ α P ( X 2 > λ ) = lim λ → + ∞ λ α P ( ( X > λ ) ∪ ( X < − λ ) ) = lim λ → + ∞ λ α P ( X > λ ) + lim λ → + ∞ λ α P ( X < − λ ) = ( λ ) α ( lim λ → + ∞ ( λ ) α P ( X > λ ) )     + ( λ ) α ( lim λ → + ∞ ( λ ) α P ( X < − λ ) ) = C α 1 + β 2 σ α λ α 2 + C α 1 − β 2 σ α λ α 2 = C α σ α λ α 2 因此，稳定过程平方的尾分布为 P ( X 2 > λ ) ~ C α σ α λ − α 2 证毕。 3.3. 稳定过程平方的二次变差 在前面的章节中，我们证明了稳定过程的平方过程也是一个稳定过程，并计算了稳定过程平方的尾分布，接下来，我们来讨论稳定过程的平方的二次变差。 定理3：若 Z t 是一个对称 α -稳定过程，则有 [ Z t ， Z t ] ( t ) → P t 2 α Y ， 其中， Y ~ S α 2 ( 1 ， 0 ， 0 ) 。 证明：由定义3和引理2可得 Z t i + 1 − Z t i ~ S α ( ( t i + 1 − t i ) 1 α ， 0 ， 0 ) = d ( t i + 1 − t i ) 1 α S α ( 1 ， 0 ， 0 ) . 设 X i ~ S α ( 1 ， 0 ， 0 ) ，则有 Z t i + 1 − Z t i = ( t i + 1 − t i ) 1 α X i 。 结合定义4可得 [ Z t ， Z t ] ( t ) = lim ‖ δ n ‖ → 0 ∑ i = 0 n − 1 ( Z t i + 1 − Z t i ) 2 = lim ‖ δ n ‖ → 0 ( t i + 1 − t i ) 2 α ∑ i = 0 n − 1   X i 2 ， 其中， ‖ δ n ‖ 为最大的分割区间。 令 t i + 1 − t i = t n ，则 [ Z t ， Z t ] ( t ) = lim ‖ δ n ‖ → 0 ( t n ) 2 α ∑ i = 0 n − 1     X i 2 = t 2 α lim ‖ δ n ‖ → 0 ( 1 n ) 2 α ∑ i = 0 n − 1     X i 2 . 1) α = 2 时， [ Z t ， Z t ] ( t ) = t lim ‖ δ n ‖ → 0 1 n ∑ i = 0 n − 1 X i 2 。 由 α = 2 的稳定过程是一个布朗运动，可得 E ( 1 n ∑ i = 0 n − 1     X i 2 ) = 1 n E ( ∑ i = 0 n − 1     X i 2 ) = 1 ， V a r ( 1 n ∑ i = 0 n − 1     X i 2 ) = 1 n 2 V a r ( ∑ i = 0 n − 1     X i 2 ) = 2 n ， 从而推出， ‖ δ n ‖ → 0 时， Y 服从一个均值为1，方差为0的分布，即 P ( Y = 1 ) = 1. 所以有 [ Z t ， Z t ] ( t ) = t . 2) 0 < α < 2 时，由定理1知， X i 2 = d 2 W T i 2 ， T i 为 α 2 隶属子，可推出 [ Z t ， Z t ] ( t ) = t 2 α lim ‖ δ n ‖ → 0 ( 1 n ) 2 α ∑ i = 0 n − 1     X i 2 → P t 2 α Y ， 其中， Y = ( 1 n ) 2 α ∑ i = 0 n − 1 X i 2 ， Y ~ S α 2 ( 1 ， 0 ， 0 ) 。 证毕。 3.4. 稳定过程平方的参数估计 我们计算稳定过程平方的概率密度函数，从而运用极大似然法对参数 α 进行估计。 定理4：若随机变量 X ~ S α ( σ ， β ， μ ) ，则它服从的稳定过程的平方过程的概率密度函数有如下形式： f X 2 ( y ) = { 1 π y ∑ k = 1 + ∞ Γ ( k α + 1 ) k ! ( − ( y ) − α ) k sin ( k π 2 ( λ − α ) ) ，       x > 0 ，   0 < α < 1 1 π y σ ( y − μ ) 2 + σ 2 ，                                                                                     x > 0 ，   α = 1 1 π y ∑ k = 1 + ∞ Γ ( k α − 1 + 1 ) k ! ( − y ) k sin ( k π 2 α ( λ − α ) ) ，                 x > 0 ，   1 < α < 2 证明：若随机变量 X ~ S α ( σ ， β ， μ ) ，它的概率密度函数为 f X ( x ) 。令 Y = g ( x ) ，则有 f Y ( y ) = ∑ i     f X ( g i − 1 ( y ) ) | d g i − 1 ( y ) d y | ， 其中， g i − 1 ( y ) = x i 。 那么，对 y = X 2 ，即 X = ± y ，概率密度函数为 f Y ( y ) = ∑ i     f X ( g i − 1 ( y ) ) | d g i − 1 ( y ) d y | = 2 f X ( g − 1 ( y ) ) | d g − 1 ( y ) d y | = 2 f X ( y ) d y d y . 1) 当 x > 0 ，   0 < α < 1 时，随机变量 X 的概率密度函数为 [ 8 ] ： f X ( x ， λ ) = 1 π x ∑ k = 1 + ∞ Γ ( k α + 1 ) k ! ( − ( x ) − α ) k sin ( k π 2 ( λ − α ) ) ， 此时对于 y = X 2 ，概率密度函数为： f X 2 ( y ) = 2 f X ( y ) d y d y = 2 f X ( y ) 1 2 y = 1 π y ∑ k = 1 + ∞ Γ ( k α + 1 ) k ! ( − ( y ) − α ) k sin ( k π 2 ( λ − α ) ) 2) 当 x > 0 ，   α = 1 时，随机变量 X 服从的稳定分布为柯西分布，则 y = X 2 的概率密度函数为： f X 2 ( y ) = 1 π y σ ( y − μ ) 2 + σ 2 3) 当 x > 0 ，   1 < α < 2 时，随机变量 X 的概率密度函数为 [ 8 ] ： f X ( x ， λ ) = 1 π x ∑ k = 1 + ∞ Γ ( k α − 1 + 1 ) k ! ( − x ) k sin ( k π 2 α ( λ − α ) ) 此时对于 y = X 2 ，概率密度函数为： f X 2 ( y ) = 2 f X ( y ) d y d y = 2 f X ( y ) 1 2 y = 1 π y ∑ k = 1 + ∞ Γ ( k α − 1 + 1 ) k ! ( − y ) k sin ( k π 2 α ( λ − α ) ) 证毕。 至此，我们得到了稳定过程平方的概率密度函数，下面我们简单的介绍运用极大似然法 [ 9 ] 对参数 α 进行估计的方法： 1) 通过稳定过程平方的概率密度函数可以得到它的似然函数 L ； 2) 通过对似然函数 L 取对数可以得到 ln L ； 3) 令 ∂ ln L ∂ α = 0 ，求解该方程即可得到参数估计量 α ^ 。