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user: 2. 体积勾股定理的证明 2.1. 体积勾股定理 当四面体的3组对棱分别相等、或3组对棱的平方和相等，该四面体体积的平方等于其4个三角面外凸直角四面体体积的平方和。其公式为： V A B C D 2 = v A B C 4 2 + v A B D 3 2 + v A C D 2 2 + v B C D 1 2 = 1 36 ( a 2 b 2 c 2 + a 2 b 2 d 2 + a 2 c 2 d 2 + b 2 c 2 d 2 ) (1) 注：下标： A ， B ， C ， D 为四面体的4顶点，1，2，3，4为外凸4个直角四面体的直角的交点(见图1)。 图1. 四面体外4个直角四面体图 2.2. 证明 根据Cayley-Menger行列式四面体体积公式 [ 1 ] 即：任意四面体给定4顶点间距离，求四面体体积的平方公式为： V 1234 2 = 1 288 | 0 1 1 1 1 1 0 d 12 2 d 13 2 d 14 2 1 d 12 2 0 d 23 2 d 24 2 1 d 13 2 d 23 2 0 d 34 2 1 d 14 2 d 24 2 d 34 2 0 | (2) 下标 i j ∈ 1 ， 2 ， 3 ， 4 表示四面体4顶点， d i j 是连接两个顶点连线的长度。 2.2.1. 所设如(图1) · 设四面体4顶点为： A ， B ， C ， D ； · 设公式(2)四面体各顶点间距离为： a = d 23 ; b = d 13 ; c = d 12 ; d = d 14 ; e = d 24 ; f = d 34 注： ( a ， b ， c ) 的对棱依次为 ( d ， e ， f ) 。 · 设外凸4个直角四面体的直角交点为：1、2、3、4点(依次为四面体( A ， B ， C ， D ) 4顶点的对平面的凸点)，及其至四面体各顶点距离设为(参见：图1)： A 4 = a 4 ， B 4 = b 4 ， C 4 = c 4 ， A 3 = a 3 ， B 3 = b 3 ， D 3 = d 3 ， A 2 = a 2 ， C 2 = c 2 ， D 2 = d 2 ， B 1 = b 1 ， C 1 = c 1 ， D 1 = d 1 ， 2.2.2. 证明 假设公式(1)成立，公式(2)转换成公式(3)所设体积的平方和，联立公式为： V A B C D 2 = 1 288 | 0 1 1 1 1 1 0 c 2 b 2 d 2 1 c 2 0 a 2 e 2 1 b 2 a 2 0 f 2 1 d 2 e 2 f 2 0 | = 1 36 ( a 4 2 b 4 2 c 4 2 + a 3 2 b 3 2 d 3 2 + a 2 2 c 2 2 d 2 2 + b 1 2 c 1 2 d 1 2 ) (3) 将公式(3)右侧的4个直角四面体体积的平方，根据勾股定理，再转换成所设的四面体的6棱 ( a ， b ， c ， d ， e ， f ) 来表达：使得公式(3)左右式统一计量。表达式为： { 1 36 a 4 2 b 4 2 c 4 2 = 1 36 − a 2 + b 2 + c 2 2 a 2 − b 2 + c 2 2 a 2 + b 2 − c 2 2 1 36 a 3 2 b 3 2 d 3 2 = 1 36 c 2 + d 2 − e 2 2 c 2 − d 2 + e 2 2 − c 2 + d 2 + e 2 2 1 36 a 2 2 c 2 2 d 2 2 = 1 36 b 2 + d 2 − f 2 2 b 2 − d 2 + f 2 2 − b 2 + d 2 + f 2 2 1 36 b 1 2 c 1 2 d 1 2 = 1 36 a 2 + e 2 − f 2 2 a 2 − e 2 + f 2 2 − a 2 + e 2 + f 2 2 (4) 将公式(4)右式代入公式(3)右式，合并系数，假设等式成立，公式(3)左右式之差为零。计算结果为： 0 = 1 288 | 0 1 1 1 1 1 0 c 2 b 2 d 2 1 c 2 0 a 2 e 2 1 b 2 a 2 0 f 2 1 d 2 e 2 f 2 0 |     − 1 288 [ ( − a 2 + b 2 + c 2 ) ( a 2 − b 2 + c 2 ) ( a 2 + b 2 − c 2 )     + ( c 2 + d 2 − e 2 ) ( c 2 − d 2 + e 2 ) ( − c 2 + d 2 + e 2 )     + ( b 2 + d 2 − f 2 ) ( b 2 − d 2 + f 2 ) ( − b 2 + d 2 + f 2 )     + ( a 2 + e 2 − f 2 ) ( a 2 − e 2 + f 2 ) ( − a 2 + e 2 + f 2 ) ] 展开整理后为： ⇒ 0 = ( a 2 − d 2 ) 2 ( 2 a 2 + 2 d 2 − b 2 − c 2 − e 2 − f 2 )                   + ( b 2 − e 2 ) 2 ( 2 b 2 + 2 e 2 − a 2 − c 2 − d 2 − f 2 )                   + ( c 2 − f 2 ) 2 ( 2 c 2 + 2 f 2 − a 2 − b 2 − d 2 − e 2 ) (5) 2.2.3. 根据公式(5)得 体积勾股定理成立的2个条件为：公式(5)的3组2项乘积，其中：3组前项均为零，或3组后项均为零(含前后项同时均为零)。 · 条件一：3组前项均为零时：3组对棱分别相等。 0 = { ( a 2 − d 2 ) ( b 2 − e 2 ) ( c 2 − f 2 ) ⇒ { a = d b = e c = f (6) · 条件二：3组后项同时为零时：3组对棱的平方和相等。 0 = { ( 2 a 2 + 2 d 2 − b 2 − c 2 − e 2 − f 2 ) ( 2 b 2 + 2 e 2 − a 2 − c 2 − d 2 − f 2 ) ( 2 c 2 + 2 f 2 − a 2 − b 2 − d 2 − e 2 ) ⇒ { 2 ( a 2 + d 2 ) = b 2 + c 2 + e 2 + f 2 2 ( b 2 + e 2 ) = a 2 + c 2 + d 2 + f 2 2 ( c 2 + f 2 ) = a 2 + b 2 + d 2 + e 2 ⇒ ( a 2 + d 2 ) = ( b 2 + e 2 ) = ( c 2 + f 2 ) 2.2.4. 结论 当四面体满足3组对棱分别相等、或3组对棱的平方和相等时。公式(3)及其体积勾股定理成立。命题得证。 2.3. 验证及引理 2.3.1. 验证条件一 当四面体的3组对棱分别相等：其体积公式可转化为： V A B C D 2 = [ x y z − 4 ( 1 6 x y z ) ] 2 = ( 1 3 x y z ) 2 = 4 ( 1 6 x y z ) 2 (7) 验证毕。 · 引理1：四面体3组对棱分别相等时，其组合体为矩形，且3组对棱分别平行的体积勾股定理。因仅见3维，简称为：3维平行体积勾股定理(见图2)。 图2. 三组对棱分别相等图 2.3.2. 验证条件二 当四面体的3组对棱平方和相等：为4球正交，其6棱的体积公式(3)可转化为4球半径为 x ， y ， z ， w 的正交4球心间体积勾股定理公式(见：图3)： 图3. 正交4球图 V x y z w 2 = 1 288 | 0 1 1 1 1 1 0 x 2 + y 2 x 2 + z 2 x 2 + w 2 1 x 2 + y 2 0 y 2 + z 2 y 2 + w 2 1 x 2 + z 2 y 2 + z 2 0 z 2 + w 2 1 x 2 + w 2 y 2 + w 2 z 2 + w 2 0 | = 1 36 ( x 2 y 2 z 2 + x 2 y 2 w 2 + x 2 z 2 w 2 + y 2 z 2 w 2 ) (8) · 公式(3) 6棱 a ， b ， c ， d ， e ， f 与公式(8) 4球半径 x ， y ， z ， w 对应关系(左式)为： a 2 = y 2 + z 2 ， b 2 = x 2 + z 2 ， c 2 = x 2 + y 2 ， d 2 = x 2 + w 2 ， e 2 = y 2 + w 2 ， f 2 = z 2 + w 2 ， a 2 + d 2 = b 2 + e 2 = c 2 + f 2 = x 2 + y 2 + z 2 + w 2 (3组对棱的平方和相等) · 四面体4顶点与外凸交点间连线，公式(3)右式等于公式(8)右式。即证明： ( a 4 2 b 4 2 c 4 2 + a 3 2 b 3 2 d 3 2 + a 2 2 c 2 2 d 2 2 + b 1 2 c 1 2 d 1 2 ) = ( x 2 y 2 z 2 + x 2 y 2 w 2 + x 2 z 2 w 2 + y 2 z 2 w 2 ) 根据垂心四面体对棱的平方和相等关系可证： x 2 = { a 4 2 = b 2 + c 2 − a 2 2 a 3 2 = c 2 + d 2 − e 2 2 a 2 2 = b 2 + d 2 − f 2 2 代入所设 ⇒ x 2 = { a 4 2 = x 2 + z 2 + x 2 + y 2 − y 2 − z 2 2 a 3 2 = x 2 + y 2 + x 2 + w 2 − y 2 − w 2 2 a 2 2 = x 2 + z 2 + x 2 + w 2 − z 2 − w 2 2 y 2 = { b 4 2 = a 2 + c 2 − b 2 2 b 3 2 = c 2 + e 2 − d 2 2 b 1 2 = a 2 + e 2 − f 2 2 代入所设 ⇒ y 2 = { b 4 2 = y 2 + z 2 + x 2 + y 2 − x 2 − z 2 2 b 3 2 = x 2 + y 2 + y 2 + w 2 − x 2 − w 2 2 b 1 2 = y 2 + z 2 + y 2 + w 2 − z 2 − w 2 2 z 2 = { z 4 2 = a 2 + b 2 − c 2 2 z 2 2 = b 2 + f 2 − d 2 2 z 1 2 = a 2 + f 2 − e 2 2 代入所设 ⇒ z 2 = { z 4 2 = y 2 + z 2 + x 2 + z 2 − x 2 − y 2 2 z 2 2 = x 2 + z 2 + z 2 + w 2 − x 2 − w 2 2 z 1 2 = y 2 + z 2 + z 2 + w 2 − x 2 − w 2 2 w 2 = { d 3 2 = d 2 + e 2 − c 2 2 d 2 2 = d 2 + f 2 − b 2 2 d 1 2 = e 2 + f 2 − a 2 2 代入所设 ⇒ w 2 = { d 3 2 = x 2 + w 2 + y 2 + w 2 − x 2 − y 2 2 d 2 2 = x 2 + w 2 + z 2 + w 2 − x 2 − z 2 2 d 1 2 = y 2 + w 2 + z 2 + w 2 − y 2 − z 2 2 因此，公式(8)得以验证。且得出： · 引理2：四面体3组对棱的平方和相等时，其形态为正交4球的多胞体，外凸4交点为不同的3球面交点，且4球心连线对棱垂直，其所围体积的平方等于4个3球心与外凸球面交点所围体积的平方和的体积勾股定理。可见正交4球半径，简称为：4维垂直体积勾股定理。 2.3.3. 验证同时满足上述2条件的特例 验证当同时满足上述2条件的交集特例，即矩形体积的3边均相同为a时，为正方体、也是正交4球的半径均相同为x时，为正四面体。两者均仅存单变量。对棱既平行同时又垂直。 · 四面体棱与正交4球半径关系为 2 a 2 = 2 x 2 ⇒ a = x ： V x y z w 2 = 1 288 | 0 1 1 1 1 1 0 2 a 2 2 a 2 2 a 2 1 2 a 2 0 2 a 2 2 a 2 1 2 a 2 2 a 2 0 2 a 2 1 2 a 2 2 a 2 2 a 2 0 | = 8 a 6 9 = 1 288 | 0 1 1 1 1 1 0 2 x 2 2 x 2 2 x 2 1 2 x 2 0 2 x 2 2 x 2 1 2 x 2 2 x 2 0 2 x 2 1 2 x 2 2 x 2 2 x 2 0 | = 8 x 6 9 · 引理3：当6棱全等时，同时满足上述两条件，且仅见单变量，简称为：正体积勾股定理。 验证及引理毕。