system: [SYSTEM]

user: 3. 理想在环中的作用 接下来我们将利用群论中由群到商群的研究思路及不变子群在群的同态与同构中所起的作用，来阐明理想在环中所处的地位，并通过对一些定理及例题的证明向揭示理想在环中的重要意义。 设R是一个环，我们先找到环R的一个理想 μ ，这样， μ 关于我们所规定的加法自然能够做成一个加群，因而 μ 是一个关于加法构成的不变子群。接下来，我们将 μ 的所有左(右)陪集拿出来做成集合 R / μ 。我们希望能够得到一个与环R同态的环，因此，将 R / μ 中元素所在的类找出来，做成一个剩余类。我们发现 R / μ 中元素所在的类其实就是对整数集的一个分类。为方便起我们将其记为 R ¯ 。同样，我们可以得到以下结论： 1) R / μ 也是一个环，我们把它叫做商环，并且有 R ~ R / μ [ 4 ] ； 2) R ¯ 是环，且有： R ~ R ¯ [ 7 ] ； 3) (环同态基本定理 [ 4 ] )：若记 R → φ T ¯ ，则 K = K e r ( φ ) { x | φ ( x ) = 0 ¯ } 是R的理想，且有： R / K ≅ T ¯ ; 4) (环第二同构定理 [ 10 ] )：设R是环，S是其子环， μ ⊴ R ，则： ( S + μ ) / μ ≅ S / ( S ∩ μ ) . 如图2所示： 图2. 环同构的关系图 3.1. 有关理想的重要结论 定理1 [ 3 ] ：设N是环R的一个理想，则R/N对陪集的加法和乘法作成一个 ，称为R关于N的或称为剩余类环)，且 R ~ R / N 。 定理2 [ 7 ] ：设U是环R的理想，若“+”和“x”是 R ¯ 的二元运算，则 ( R ¯ ， + ， X ) 是环，且有 R ~ R ¯ 。 定理3 [ 4 ] ：(环同态基本定理)：设R与 R ¯ 是两个环，且 R ~ R ¯ ，则 1) 这个同态满射的核N，即零元的全体逆像是R的一个理想； 2) R / N ≅ R ¯ 。 定理4 [ 10 ] ：(环第二同构定理)：设R是环，S是其子环， μ ⊴ R ，则： ( S + μ ) / μ ≅ S / ( S ∩ μ ) . 3.2. 理想在环中的应用 下面我们通过对具体例题的分析和证明来阐明理想在环论中的广泛应用及重要作用。 3.2.1. 理想在循环环中的应用 结论1：N是循环环 R = 〈 a 〉 的一个理想，当且仅当N是R的子加群(子环)。 证明： ⇒ ) 理想当然是子加群； ⇐ ) 设N是循环环 R = 〈 a 〉 的一个子加群，则： ∀ b ∈ N ， r ∈ R ，有 b = s a ，     r = t a ，     a 2 = k a . 其中 s ， t ， k 为整数，则： r b = ( t a ) ( s a ) = ( t s ) ( a 2 ) = ( t s ) ( k a ) = ( t k ) ( s a ) = ( t k ) b ∈ N . 又循环环必是可交换环，故 N ⊴ R 。 3.2.2. 理想的可加性 结论2：若 N 1 ， N 2 ， ⋯ ， N m 是环R的m个(子环)理想，则 N 1 + N 2 + ⋯ + N m 也是环R的(子环)理想。 证明：对m采用数学归纳法。 1) 当 m = 1 时结果显然成立； 2) 当 m = 2 时， N 1 + N 2 显然作为R的子加群。又设 r ∈ R ，且： x = x 1 + x 2 ∈ N 1 + N 2 ，     x i ∈ N i ， 则由于 N 1 ， N 2 是R的理想，故 r x = r ( x 1 + x 2 ) = r x 1 + r x 2 ∈ N 1 + N 2 ; x r = ( x 1 + x 2 ) r = x 1 r + x 2 r ∈ N 1 + N 2 . 它们都属于 N 1 + N 2 从而 N 1 + N 2 ⊴ R ，即 m = 2 时结论成立。 3) 假定对 m − 1 时结论成立，则由于 N 1 + N 2 + ⋯ + N m − 1 + N m = ( N 1 + N 2 + ⋯ + N m − 1 ) + N m . 故由 m = 2 时的结论知此结果对于m也成立。 则 N 1 + N 2 + ⋯ + N m 也是环R的(子环)理想。 3.2.3. 理想在除环中的应用 结论3：R是一个阶大于1的环，并且除了单位理想和零理想外无其它左或右理想，则当R有单位元时，R为除环；当R无单位元时，R为素阶零乘环。 为方便起见，我们先证明一个引理。 引理 [ 7 ] ：若R是环且 | R | > 1 ，则R是除环当且仅当对R中任意元素 a ≠ 0 ， b ，方程 a x = b 或 ( y a = b ) 在R中有解。 证明：必要性显然成立，下证充分性。 1) 先证环R中无零因子； 在R中任取元素 a ≠ 0 ， b ≠ 0 。因为方程 a x = b 在R中有解，设为c。即有： a c = b ； 又因方程 b x = c ，在R中有解，设为d，即有： b d = c 。 于是 a b d = a c = b ≠ 0 。从而 a b ≠ 0 ，即证环R中无零因子。 2) 再证R中有单位元。 在R中任取元素 a ≠ 0 因为方程 a x = a 在 中有解，设为e，即 a e = a ，从而有： a e 2 = a e ，     a e 2 − e = 0. 但 a ≠ 0 ，又无零因子，故 e 2 − e = 0 ， e 2 = e ≠ 0 。 再任取 b ∈ R ，则有： ( b e − b ) e = 0 ，     e ( e b − b ) = 0. 但 e ≠ 0 ，故 b e − b = e b − b = 0 。从而： b e = e b = b . 即R中有单位元e。 3) 最后证R中每个非零元都有逆元。 在R中任取元素 a ≠ 0 ，因为方程 a x = e 在R中有解，设为 a ′ ，即有 a a ′ = e ，下证 a ′ a = e 。 由于： ( a ′ a − e ) a ′ = a ′ a a ′ − e a ′ = a ′ e − a ′ = a ′ − a ′ = 0. 但 a ′ ≠ 0 ，故必有 a ′ a − e = 0 ， a ′ a = e 。因此： a ′ a = a a ′ = e . 即a在R中有逆元。 综上所述，R是一个除环。 接下来我们借用该引理证明结论3。 证明：首先，证明当R除了单位理想和零理想外无其他左理想时，结论成立。 设R除了单位理想和零理想外无其他左理想。在R中任取元素 a ≠ 0 ，则显然 R a = { r a | r ∈ R } 是R的一个左理想。 当R有单位元时， a ∈ R a ，从而 R a ≠ 0 。于是 R a = R ，即方程 y a = b ( b ∈ R ) 在R中有解。于是由以上引理知，R是除环； 当R无单位元时，若对R中任意元素 a ≠ 0 ，都有 R a = R ，则同样可知R是除环，这与R中无单位元相矛盾(除环中必有单位元)。因此，总存在元素 a ≠ 0 使得 R a = 0 ，于是 a 2 = 0 ，而且： N = { ⋯ ， − 2 a ， − a ， 0 ， a ， 2 a ， ⋯ } . 是环R的一个左理想，也是循环零乘环，故 N = R ，再由假设以及结论1知，R只能为素阶零乘环。 当R除了单位理想和零理想外无其他右理想时，同理可证。 3.2.4. 理想在多项式环中的应用 结论4 [ 11 ] ：设P为数域， P [ x ] 是P上的一元多项式环，称 P [ x ] 的非空子集合I为 P [ x ] 的理想，如果对任意的 f ( x ) ， g ( x ) ∈ I ， h ( x ) ∈ P [ x ] ，有 f ( x ) ∓ g ( x ) ∈ I ，     h ( x ) f ( x ) ∈ I . 证明：1) 对于 P [ x ] 的任意理想I，存在 d I ( x ) 使得对任意 f ( x ) ∈ I ，有 d I ( x ) | f ( x ) . 2) 对任意的 f ( x ) ， g ( x ) ∈ P [ x ] ，有： J = { u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ) | u ( x ) ， v ( x ) ∈ P [ x ] } . 是 P [ x ] 的理想，且 d J ( x ) 是 f ( x ) ， g ( x ) 的最大公因式。 证明：1) 当 I = { 0 } 时： d I ( x ) = 0 ，   ∀ f ( x ) ∈ I ，   0 | f ( x ) . 显然是 P [ x ] 的理想。 当 I ≠ { 0 } 时，取I中次数最小的多项式为 d I ( x ) 。下证 ∀ f ( x ) ∈ I ， d I ( x ) | f ( x ) 。设 f ( x ) = d I ( x ) q ( x ) + r ( x ) . 此时 r ( x ) = 0 或者 r ( x ) ≠ 0 且 ∂ ∘ [ r ( x ) ] < ∂ ∘ d I ( x ) 。 而当 ∂ ∘ [ r ( x ) ] < ∂ ∘ d I ( x ) 时，这与 d I ( x ) ∈ I 且次数最小相矛盾。故： I = r ( x ) = f ( x ) − d I ( x ) q ( x ) = 0. 即： f ( x ) = d I ( x ) q ( x ) ⇒ d I ( x ) | f ( x ) . 综上，对于 P [ x ] 的任意理想I，存在 d I ( x ) 使得对任意 f ( x ) ∈ I ，有 d I ( x ) | f ( x ) 。 2) 设 ∀ h 1 ( x ) ， h 2 ( x ) ∈ J ， u 1 ( x ) ， u 2 ( x ) ， v 1 ( x ) ， v 2 ( x ) ∈ P [ x ] 。 h 1 ( x ) = u 1 ( x ) f ( x ) + v 1 ( x ) g ( x ) ，     h 2 ( x ) = u 2 ( x ) f ( x ) + v 2 ( x ) g ( x ) . h 1 ( x ) + h 2 ( x ) = u 1 ( x ) f ( x ) + v 1 ( x ) g ( x ) + u 2 ( x ) f ( x ) + v 2 ( x ) g ( x ) = ( u 1 ( x ) + u 2 ( x ) ) f ( x ) + ( v 1 ( x ) + v 2 ( x ) ) g ( x ) ∈ J . h 1 ( x ) h 2 ( x ) = [ u 1 ( x ) f ( x ) + v 1 ( x ) g ( x ) ] [ u 2 ( x ) f ( x ) + v 2 ( x ) g ( x ) ] = u 1 ( x ) u 2 ( x ) f 2 ( x ) + v 1 ( x ) v 2 ( x ) g 2 ( x )     + u 1 ( x ) v 2 ( x ) f ( x ) g ( x ) + v 1 ( x ) u 2 ( x ) f ( x ) g ( x ) = [ u 1 ( x ) u 2 ( x ) f ( x ) + u 1 ( x ) v 2 ( x ) g ( x ) ] f ( x )     + [ v 1 ( x ) u 2 ( x ) f ( x ) + v 1 ( x ) v 2 ( x ) g ( x ) ] g ( x ) ∈ J . 故对任意 f ( x ) ， g ( x ) ∈ P [ x ] ， J = { u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ) | u ( x ) ， v ( x ) ∈ P [ x ] } 是 P [ x ] 的理想。 又 d J ( x ) | f ( x ) ， d J ( x ) | g ( x ) ，即 d J ( x ) 是 f ( x ) 与 g ( x ) 的公因式。 因为 ∀ h ( x ) | f ( x ) ， h ( x ) | g ( x ) ，由最小数原理知： h ( x ) | d J ( x ) 。即得 d J ( x ) 是 f ( x ) 与 g ( x ) 的最大公因式。 本文通过对一些定理和结论的分析证明，以便让读者发现理想在环中的地位与群论中不变子群的地位相类似，熟练应用这些知识及定理可使得读者对群论和环论有更清楚、更直观的认识。让读者对近世代数有一个整体的认识和把握。由于学识，编者水平能力有限，谬误之处在所难免，恳请广大读者提出宝贵的批评意见和建议。