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user: 3. 学生高等数学成绩建模分析 本文研究取自某211学校2014级不同学院两个学期的平均高数成绩和学生与任课老师的一些基本资料。根据一些常识与变量之间的相关性分析，本文初始选定自变量：学生的性别(标注为sex)、学生依老师中心化后的高考数学成绩(标注为cgaokao)、任课老师的性别(标注为xb)、任课老师的教龄(标注为jiaoling)、任课老师的职称(标注为zc)，因变量为学生的高等数学成绩(标注为gaoshu)。现得到学生依老师中心化后的高等数学成绩与高考数学成绩的关系如图1： 图1. 某211大学学生的高数成绩与学生高考数学成绩(已中心化)之间的回归分析图 由图可知各位老师所教授学生的高数成绩与高考数学成绩之间的回归关系有显著不同，因此可初步得出运用分层线性模型是合理的。 1) 现在建立空模型，它是最简单的随机效应模型： g a o s h u i j = β 0 j + ε i j (3.1) β 0 j = γ 00 + u 0 j (3.2) 其中： g a o s h u i j ：第j位老师所教授的第i位学生的高数成绩。 u 0 j ：第j位老师所教授学生的高数成绩均值与总均值 γ 00 之间的差异。 ε i j ：每位学生的高数成绩与老师所教授学生的高数成绩均值之间的差异。 根据检验得老师这一第2水平解释变量对学生的高考数学成绩与高数成绩之间的关系有显著影响，此时使用分层线性模型是合理的。 此时进行协方差参数估计得：水平1随机截距方差估计为 σ ^ u 0 2 = 18.34 、水平1残差方差估计为 σ ^ 2 = 416.86 。组内相关系数ICC = 0.04，即学生的高数成绩中大约有4%的变异是由老师的不同引起的，每位老师所教授学生的高数成绩均值有显著不同。下面建立带宏观解释变量的随机截距模型。 2) 带宏观解释变量的随机截距模型： g a o s h u i j = β 0 j + ε i j (3.3) β 0 j = γ 00 + γ 01 j i a o l i n g j + γ 02 x b j + γ 03 z c j + u 0 j (3.4) 其中： j i a o l i n g j ：第j位老师的教龄。xb j ：第j位老师的性别，为虚拟变量，xb = 1表示为男性，xb = 0表示为女性。zc j ：第j位老师的职称，为虚拟变量，zc = 1表示为副教授，zc = 0表示为讲师。 经过回归系数的显著性检验，老师的性别是显著的，而教龄与职称均不显著，因此最终将变量xb引入模型。得到最终的分层线性模型： g a o s h u i j = β 0 j + ε i j (3.5) β 0 j = γ 00 + γ 01 x b j + u 0 j (3.6) 此时进行协方差估计得，模型中组内方差的估计值为 σ ^ 2 = 416 . 86 ，与空模型中组内方差的估计值 σ ^ 2 = 416 . 86 基本相同。组间方差的估计值为却从18.34下降到6.95。这说明了水平2解释变量xb能解释组间变异，但不能解释组内变异。此时组内相关系数ICC = 0.02。 模型解释的学生高数成绩组间变异可通过Raudenbush & Bryk方法或Snijders & Bosker方法进行估计 [ 3 ] 。此时采取Raudenbush & Bryk方法计算可得约有62.1%的学生高数成绩跨老师水平的变异可由组水平解释变量xb解释；采用Snijders & Bosker方法计算可得约有53.6%的学生高数成绩跨老师水平的变异可由组水平解释变量xb解释。 3) 现在考虑是否有个体因素会影响个人的高数成绩，因此将依老师中心化后的个体变量高考数学成绩和学生性别纳入模型2得到模型3： g a o s h u i j = β 0 j + β 1 c g a o k a o i j + β 2 s e x i j + ε i j (3.7) β 0 j = γ 00 + γ 01 x b j + u 0 j (3.8) 经过回归系数显著性检验得中心化后的高考数学成绩与学生性别均显著，因此将两个变量都纳入分层线性模型。模型拟合统计量的结果表明将水平1的解释变量引入模型可以显著改善模型拟合度。 使用Raudenbush & Bryk方法，仅有7.5%的水平1变异可被模型解释，有66.9%的水平2变异可被模型解释；而用Snijders & Bosker方法则约有10%的水平1变异可被模型解释，有58.8%的水平2变异可被模型解释。在模型3中水平2解释方差为66.9%，而在模型2中为62.1%。这一结果说明了水平1解释变量既可在个体水平，也可在组群水平上影响结局变异。 4) 水平1解释变量斜率的随机性检验，建立模型4： g a o s h u i j = β 0 j + β 1 j c g a o k a o i j + β 2 j s e x i j + ε i j (3.9) β 0 j = γ 00 + γ 01 x b j + u 0 j (3.10) β 1 j = γ 10 + u 1 j (3.11) β 2 j = γ 20 + u 2 j (3.12) 对回归系数的随机性进行显著性检验，得到结果依老师中心化后的学生高考数学成绩在老师与老师之间有显著性差别，即依老师中心化后的高考数学成绩的回归系数是随机回归系数。学生性别回归系数的随机性不显著，说明学生性别对学生依老师中心化后的高数成绩的影响不随老师的变化而变化。得到最终模型： g a o s h u i j = β 0 j + β 1 j c g a o k a o i j + β 2 s e x i j + ε i j (3.13) β 0 j = γ 00 + γ 01 x b j + u 0 j (3.14) β 1 j = γ 10 + u 1 j (3.15) 5) 考虑跨层交互作用，建立模型5： g a o s h u i j = β 0 j + β 1 j c g a o k a o i j + β 2 s e x i j + ε i j (3.16) β 0 j = γ 00 + γ 01 x b j + u 0 j (3.17) β 1 j = γ 10 + γ 11 x b j + u 1 j (3.18) 经检验得学生的依老师中心化的高考数学成绩这一个体解释变量的效应并不受老师性别这一组群水平变量的影响。因此得到最终模型： g a o s h u i j = β 0 j + β 1 j c g a o k a o i j + β 2 s e x i j + ε i j (3.19) β 0 j = γ 00 + γ 01 x b j + u 0 j (3.20) β 1 j = γ 10 + u 1 j (3.21) 模型检验得检验结果，如表1所示： Table 1 Test results of the final mode 固定效应 变量名 估计值 标准差 P值 截距项 72.08 1.57 <0.0001 老师性别 7.60 2.00 0.0068 学生依老师中心化后的高考数学成绩 0.38 0.06 <0.0001 学生性别 −6.81 1.36 <0.0001 方差成分 V a r ( ε i j ) : σ ^ 2 382.84 − − V a r ( u 0 j ) : σ ^ u 0 2 5.88 − <0.0001 V a r ( u 1 j ) : σ ^ u 1 2 0.02 − 0.0930 C o v ( u 0 j ， u 1 j ) : σ ^ u 01 2 −0.15 − 0.0544 −2LL = 11429; AIC = 11445; BIC = 11487 表1. 最终所建模型的检验结果 由检验结果可知，当学生依老师中心化后的高考数学成绩增加1分，则该学生的高数成绩平均增加0.38分；由于老师性别是虚拟变量(0-女性，1-男性)，所以在保持其他条件不变的情况下，男老师所教授的学生的高数平均成绩比女老师所教授的学生的高数平均成绩高7.6；在其他条件不变的情况下，男同学的高数成绩在平均意义下比女同学低6.81。