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user: 4. 实证分析 选取沪深A股三个不同行业中具有代表性的股票：中国平安(601318)、贵州茅台(600519)和格力电器(000651)，这三支股票分别记为股票 g 1 、股票 g 2 和股票 g 3 ，其对应的投资比例为 x 1 ， x 2 ， x 3 ，股票收益率、风险值、流动性(用换手率刻画)分别记作 f 1 ， f 2 ， f 3 ，用 f 1 ， f 2 ， f 3 作为评价指标，其中包括基于成本的评价指标 f 2 和基于效益的评价指标 f 1 ， f 3 。从同花顺软件上下载这3支股票近两年来(2017年1月~2019年3月)的历史周交易数据，用直觉梯形模糊数表达收益、风险和换手率，用客观模糊频数统计法 [ 12 ] 得到股票周收益率直方图，各股票周收益率、风险、换手率频数分布直方图分别如下： (图1~9) 图1. 中国平安的周收益率频数分布图 图2. 中国平安的风险频数分布图 图3. 中国平安的换手率频数分布图 图4. 贵州茅台的周收益率频数分布图 图5. 贵州茅台的风险频数分布图 图6. 贵州茅台的换手率频数分布图 图7. 格力电器的周收益率频数分布图 图8. 格力电器的风险频数分布图 图9. 格力电器的换手率频数分布图 根据客观模糊频数统计法 [ 12 ] 近似估计出中国平安的直觉梯形模糊数收益为 ( [ − 0.07 ， 0 ， 0.03 ， 0.1 ] ; 0.9 ， 0.05 ) ，风险为 ( [ − 0.07 ， − 0.02 ， 0.03 ， 0.08 ] ; 0.9 ， 0.05 ) ，换手率为 ( [ 0.005 ， 0.025 ， 0.035 ， 0.065 ] ; 0.9 ， 0.05 ) ，同样方法可以得到贵州茅台和格力电器的模糊收益、模糊风险、模糊换手率水平，得出直觉梯形模糊矩阵 R ˜ ，如下表1。 第一步：用公式对矩阵 R ˜ 进行规范化，规范化后的矩阵为 R ′ ˜ ，规范化后得表2。 第二步：利用直觉梯形模糊数的重心横坐标公式(2)、(3)、(4)计算直觉梯形模糊数 R ′ ˜ i j 隶属、非隶属、犹豫度函数所包含的区域重心横坐标，如表3。 第三步：利用直觉梯形模糊数期望值定义(1)计算 R ′ ˜ i j 的期望值，如表4。 Table 1 Evaluation value information of intuitionistic trapezoidal fuzzy numbers of stock 股票\指标 f 1 f 3 g 1 ( [ − 0.07 ， 0 ， 0.03 ， 0.1 ] ; 0.9 ， 0.05 ) ( [ − 0.07 ， − 0.02 ， 0.03 ， 0.08 ] ; 0.9 ， 0.05 ) ( [ 0.005 ， 0.025 ， 0.035 ， 0.065 ] ; 0.9 ， 0.05 ) g 2 ( [ − 0.08 ， − 0.01 ， 0.04 ， 0.09 ] ; 0.9 ， 0.05 ) ( [ − 0.08 ， − 0.03 ， 0.02 ， 0.1 ] ; 0.8 ， 0.1 ) ( [ 0.0025 ， 0.0125 ， 0.015 ， 0.0275 ] ; 0.95 ， 0 ) g 3 ( [ − 0.08 ， − 0.03 ， 0.03 ， 0.1 ] ; 0.9 ， 0.05 ) ( [ − 0.08 ， − 0.02 ， 0.05 ， 0.1 ] ; 0.8 ， 0.1 ) ( [ 0.02 ， 0.04 ， 0.06 ， 0.085 ] ; 0.7 ， 0.2 ) 表1. 各股票的直觉梯形模糊数的评价值信息 Table 2 Evaluation value information of normalized intuitionistic ladder fuzzy number 股票\指标 f 1 f 2 f 3 g 1 ( [ 1 18 ， 8 18 ， 11 18 ， 1 ] ; 0.9 ， 0.05 ) ( [ 2 18 ， 7 18 ， 12 18 ， 17 18 ] ; 0.9 ， 0.05 ) ( [ 25 825 ， 225 825 ， 325 825 ， 625 825 ] ; 0.9 ， 0.05 ) g 2 ( [ 0 ， 7 18 ， 12 18 ， 17 18 ] ; 0.9 ， 0.05 ) ( [ 0 ， 8 18 ， 13 18 ， 1 ] ; 0.8 ， 0.1 ) ( [ 0 ， 100 825 ， 125 825 ， 250 825 ] ; 0.95 ， 0 ) g 3 ( [ 0 ， 5 18 ， 11 18 ， 1 ] ; 0.9 ， 0.05 ) ( [ 0 ， 5 18 ， 12 18 ， 1 ] ; 0.8 ， 0.1 ) ( [ 175 825 ， 375 825 ， 575 825 ， 1 ] ; 0.7 ， 0.2 ) 表2. 规范化后的直觉梯形模糊数的评价值信息 Table 3 Gravity abscissa of membership， non-membership and hesitation functions of intuitionistic trapezoidal fuzzy number 股票\ ( x l ， x f ， x g ) 横坐标 f 1 Math_221# f 2 Math_223# f 3 Math_225# g 1 ( 19 36 ， 19 36 ， 19 36 ) ( 19 36 ， 19 36 ， 19 36 ) ( 257 693 ， 407 963 ， 257 693 ) g 2 ( 49 99 ， 514 1179 ， 49 99 ) ( 221 414 ， 139 306 ， 221 414 ) ( 53 363 ， 47 297 ， 53 363 ) g 3 ( 103 216 ， 1283 2376 ， 103 216 ) ( 677 1350 ， 421 810 ， 677 1350 ) ( 111 187 ， 634 1023 ， 111 187 ) 表3. 直觉梯形模糊数隶属、非隶属、犹豫度函数重心横坐标 Table 4 Intuitionistic trapezoidal fuzzy number expectatio 股票\指标 f 1 f 2 f 3 g 1 0.5278 0.5278 0.3881 g 2 0.4753 0.5073 0.1501 g 3 0.4979 0.5076 0.6023 表4. 直觉梯形模糊数期望值 假设 α = 0.6 ，且投资比例上限 u 0 = 0.65 根据模型(14)，将数据代入得到 max   0.6 × ( 0.5278 x 1 + 0.4753 x 2 + 0.4979 x 3 ) + 0.4 × ( 0.5278 x 1 + 0.5073 x 2 + 0.5076 x 3 )   s .t .         ∑ i = 1 3 x i = 1           0 ≤ x 1 ≤ 0.65           0 ≤ x 2 ≤ 0.65           0 ≤ x 3 ≤ 0.65 x 1 − 1 3 − e 1 + + e 1 − = 0     x 2 − 1 3 − e 2 + + e 2 − = 0     x 3 − 1 3 − e 3 + + e 3 − = 0     0 < ∑ i = 1 3 ( e i + + e i − ) ≤ θ   e 1 + ≥ 0 ，   e 2 + ≥ 0 ，   e 3 + ≥ 0 e 1 − ≥ 0 ，     e 2 − ≥ 0 ，     e 3 − ≥ 0 运用Lingo软件可求解该模型。当 θ 取不同值时，得到结果对比如下表5： Table 5 Investment proportion under different θ valu θ x 1 x 2 x 3 0.2 0.43 0.24 0.33 0.3 0.48 0.19 0.33 0.4 0.53 0.14 0.33 0.5 0.58 0.09 0.33 0.6 0.63 0.04 0.33 表5. 不同 θ 值下的投资比例 结果分析：由表5可以看出，最优投资组合分散投资在各支股票上。当 θ 值从0.2取到0.6时，投资者在股票2贵州茅台上的投资比例越来越低，在股票1股票3上的投资比例越来越高，越来越集中投资在股票1股票3上。当 θ 值越来越小时，即熵约束越来越强，投资股票资金比例有一定程度的分散，避免了资金分配过于集中，这就大大减少了由于资金过于集中在一支股票上带来风险的可能性。因此，投资者可以通过调节 θ 值的大小(熵约束性的强弱)，合理的调整自己的资金投资方案。 同样假设 α = 0.6 ，且投资比例上限 u 0 = 0.65 ，此时没有加入熵约束条件，模型为： max     α ∑ i = 1 n E ( R ˜ ′ i 1 ) x i + ( 1 − α ) ∑ i = 1 n E ( R ˜ ′ i 2 ) x i s .t .         ∑ i = 1 n x i = 1           0 ≤ x i ≤ u 0 ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n (15) 将数据代入模型(15)得到 max     0.6 × ( 0.5278 x 1 + 0.4753 x 2 + 0.4979 x 3 ) + 0.4 × ( 0.5278 x 1 + 0.5073 x 2 + 0.5076 x 3 )   s .t .           ∑ i = 1 3 x i = 1             0 ≤ x 1 ≤ 0.65 ， 0 ≤ x 2 ≤ 0.65 ，   0 ≤ x 3 ≤ 0.65 求解该模型，得到三支股票的投资比例分别为0.65， 0， 0.35，此时投资在中国平安、格力电器两支股票上，对比加入熵约束条件模型(14)，都投资在中国平安、贵州茅台、格力电器三支股票上，且投资比例更加分散，避免了资金过于集中。对比可知，本文提出的模型更符合投资者投资的心理，降低了投资组合的风险。