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user: 2. 主要结果 定理1：设 { X t ， t ∈ T ( n ) } 是具有分布(1)的任意随机场， { σ n ( ω ) ， n ≥ 1 } 是定义在S上的任意非负实值函数序列， R n ( ω ) 由(4)定义。又设 M > 0 ， 0 ≤ c < 1 其为常数，令 D ( c ) 为满足下列条件的样本点 ω 的全体： D ( c ) = { ω : lim n → ∞ σ n ( ω ) = + ∞ ， lim sup n → ∞ 1 σ n ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t N p t ≤ M ， lim inf n → ∞ 1 σ n ln R n ( ω ) ≥ − c } (6) 则 lim sup n → ∞ 1 σ n ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t ( X t − N p t ) ≤ c ( 2 M + 1 ) + c μ-a.s. ω ∈ D ( c ) ，(7) lim inf n → ∞ 1 σ n ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t ( X t − N p t ) ≥ − 5 c ( M + 1 ) μ-a.s. ω ∈ D ( c ) 。(8) 证明：取 ( Ω ， F ， P ) 为所考虑的概率空间，设 λ ∈ ( 1 / 5 ， 2 ) 为常数，并设 q t = 1 − p t ， t ∈ T ( n ) 。令 μ Q ( X T ( n ) ， λ ) = λ ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t X t ∏ k = 0 n ∏ t ∈ L k ( 1 λ Y t p t + q t ) N C N X t p t X t q t N − X t (9) 则有 ∑ x L n ∈ S μ Q ( X T ( n ) ， λ ) = ∑ x L n ∈ S λ ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t X t ∏ k = 0 n ∏ t ∈ L k ( 1 λ Y t p t + q t ) N C N X t p t X t q t N − X t = μ Q ( X T ( n − 1 ) ， λ ) ∑ x L n ∈ S ∏ t ∈ L n λ y t x t ( 1 λ y t p t + q t ) N C N x t p t x t q t N − x t = μ Q ( X T ( n − 1 ) ， λ ) ∏ t ∈ L n ∑ x t ∈ S ( 1 λ y t p t + q t ) N C N x t ( λ y t p t ) x t q t N − x t = μ Q ( X T ( n − 1 ) ， λ ) ∏ t ∈ L n ( 1 λ y t p t + q t ) N ( λ y t p t + q t ) N = μ Q ( X T ( n − 1 ) ， λ ) (10) 因此，我们可知 { μ Q ( X T ( m ) ， λ ) ， n ≥ 0 } 是定义在 S T ( n ) 上的一族相容分布函数。又记 U n ( λ ， ω ) = μ Q ( X T ( n ) ， λ ) μ ( X T ( n ) ) ， (11) 由(9)，我们可以把(11)整理为 U n ( λ ， ω ) = 1 μ ( X T ( n ) ) λ ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t X t ∏ k = 0 n ∏ t ∈ L k ( 1 λ Y t p t + q t ) N ⋅ ∏ k = 0 n ∏ t ∈ L k C N X t p t X t q t N − X t (12) 由于 μ Q 和 μ 是两个概率测度，由Doob鞅收敛定理 [ 4 ] [ 14 ] [ 15 ] 很容易看出 { U n ( λ ， ω ) ， n ≥ 1 } 是一个非负上鞅。于是有 lim n → ∞ U n ( λ ， ω ) = U ∞ ( λ ， ω ) < ∞ μ-a.s.(13) 由(13)与(6)式的第一式，我们有 lim sup n → ∞ 1 σ n ln U n ( λ ， ω ) ≤ 0 μ-a.s. ω ∈ D ( c ) (14) 由(4)与(12)，有 ln U n ( λ ， ω ) = ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t X t ln λ − ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k N ln ( p t λ Y t + q t ) + ln R n ( ω ) (15) 由(6)的第三式有 lim inf n → ∞ 1 σ n ln R n ( ω ) ≥ − c μ-a.s. ω ∈ D ( c ) (16) 由(14)，(15)与(16)有 lim sup n → ∞ 1 σ n [ ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t X t ln λ − ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k N ln ( p t λ Y t + q t ) ] ≤ c μ-a.s. ω ∈ D ( c ) (17) 取 λ ∈ ( 1 ， 2 ) ，将(17)两边同除以 ln λ ，得： lim sup n → ∞ 1 σ n [ ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t X t − ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k N ln ( p t λ Y t + q t ) ln λ ] ≤ c ln λ μ-a.s. ω ∈ D ( c ) (18) 由(18)及上极限的性质： lim sup n → ∞ ( a n − b n ) ≤ d ⇒ lim sup n → ∞ ( a n − c n ) ≤ lim sup n → ∞ ( b n − c n ) + d 有 lim sup n → ∞ 1 σ n ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t ( X t − N p t ) ≤ lim sup n → ∞ 1 σ n ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k N [ ln ( p t λ Y t + q t ) ln λ − Y t p t ] + c ln λ μ-a.s. ω ∈ D ( c ) (19) 由(19)与不等式 1 − 1 / x ≤ ln x ≤ x − 1   ( x > 0 ) ， λ x − 1 − x ln λ ≤ ( x ln λ ) 2 e | x ln λ | | x ln λ | ， 及(6)式的第二式，并注意到 0 ≤ Y t ≤ 1 ， t ∈ T ( n ) ，有 lim sup n → ∞ 1 σ n ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t ( X t − N p t ) ≤ lim sup n → ∞ 1 σ n ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k N ( p t λ Y t + q t − 1 ln λ − Y t p t ) + c ln λ = lim sup n → ∞ 1 σ n ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k N ( p t λ Y t + q t − 1 ln λ − Y t p t ln λ ln λ ) + c ln λ = lim sup n → ∞ 1 σ n ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k N p t ( λ Y t − 1 − Y t ln λ ln λ ) + c ln λ (20) ≤ lim sup n → ∞ 1 σ n ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k N p t ( Y t ln λ ) 2 λ Y t ln λ + c ln λ ≤ ln λ ⋅ lim sup n → ∞ 1 σ n ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k N p t Y t 2 λ Y t + c λ − 1 + c ≤ ( λ − 1 ) λ ⋅ lim sup n → ∞ 1 σ n ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t N p t + c λ − 1 + c ≤ 2 ( λ − 1 ) ⋅ M + c λ − 1 + c               a .s .     ω ∈ D ( c ) 当 0 < c ≤ 1 时，在(20)中令 λ = 1 + c ，于是由(18)有 lim sup n → ∞ 1 σ n ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t ( X t − N p t ) ≤ c ( 2 M + 1 ) + c a.s. 于 D ( c ) (21) 即得当 0 < c ≤ 1 时，(7)成立。当 c = 0 时，取 λ i ∈ ( 1 ， 2 ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ) ，使 λ i → 1 ( i → ∞ ) ，则对一切i，由(20)有 lim sup n → ∞ 1 σ n ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t ( X t − N p t ) ≤ 0 a.s. ω ∈ D ( 0 ) (22) 故由(22)知当 c = 0 时，(7)也成立。 取 λ ∈ ( 1 / 5 ， 1 ) ，将(17)两边同除以 ln λ ，得： lim inf n → ∞ 1 σ n [ ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t X t − ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k N ln ( p t λ Y t + q t ) ln λ ] ≥ c ln λ a.s ω ∈ D ( c ) (23) 由(23)与下极限的性质： lim inf n → ∞ ( a n − b n ) ≥ d ⇒ lim inf n → ∞ ( a n − c n ) ≥ lim inf n → ∞ ( b n − c n ) + d 有 lim inf n → ∞ 1 σ n ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t ( X t − N p t ) ≥ lim inf n → ∞ 1 σ n ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k N ( p t λ Y t + q t − 1 ln λ − Y t p t ) + c ln λ ≥ lim inf n → ∞ 1 σ n ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k N ( p t λ Y t + q t − 1 ln λ − Y t p t ln λ ln λ ) + c ln λ ≥ lim inf n → ∞ 1 σ n ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k N p k ( λ Y t − 1 − Y t ln λ ln λ ) + c ln λ ≥ lim inf n → ∞ 1 σ n ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k N p k ( Y t ln λ ) 2 λ − Y t ln λ + c ln λ ≥ ln λ ⋅ lim sup n → ∞ 1 σ n ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k N p t Y t 2 λ − Y t + c ln λ ≥ λ − 1 λ − 1 λ ⋅ lim sup n → ∞ 1 σ n ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t N p t + c λ − 1 ≥ λ − 1 λ 2 M + c λ − 1 ≥ 25 ( λ − 1 ) M + c λ − 1               ω ∈ D ( c ) (24) 当 0 < c ≤ 1 时，在(24)中令 ，得 lim inf n → ∞ 1 σ n ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t ( X t − N p t ) ≥ − 5 c ( M + 1 ) a.s. ω ∈ D ( c ) (25) 故由(25)知当 0 < c ≤ 1 时，(8)成立。仿照(22)的证明可知当 c = 0 时，(8)也成立。 推论1：在定理(1)的假设下，有 lim n → ∞ 1 σ n ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t ( X t − N p t ) = 0 a.s. ω ∈ D ( 0 ) 。 (26) 证明：在(7)与(8)中令 c = 0 即可。 推论2：设 { X t ， t ∈ T ( n ) } 是服从参数为 ( N ， p t ) 的二项分布的独立随机场，则有 lim n → ∞ 1 | T ( n ) | ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t ( X t − N p t ) = 0 a.s. (27) 证明：在定理1中，令 μ = μ P ，此时有 R n ( ω ) ≡ 1 。当 c = 0 时，(6)第三式显然成立。令 σ n ( ω ) = | T ( n ) | ，则有 lim n → ∞ | T ( n ) | = ∞ ，又设 M = N ，则有 lim sup n → ∞ 1 σ n ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t N p t ≤ lim sup n → ∞ 1 | T ( n ) | ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k N p t ≤ lim sup n → ∞ N | T ( n ) | | T ( n ) | = N 于是有 D ( 0 ) = Ω 。因而由(26)便得(27)式。 推论3：在定理(1)的假设下，设 H ( 0 ) = { ω : lim n → ∞ ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t = + ∞ ， lim inf n → ∞ 1 ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t ln R n ( ω ) ≥ 0 } (28) 则有 lim n → ∞ 1 ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t ( X t − N p t ) = 0 a.s. ω ∈ H ( 0 ) (29) 证明：在推论1中令 σ n ( ω ) = ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t ， M = N ，则显然有 lim sup n → ∞ 1 ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t N p t ≤ lim sup n → ∞ 1 ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t N ≤ N ， (30) 所以当 c = 0 时有 D ( 0 ) = H ( 0 ) 。于是有(29)成立。 推论4：在定理(1)的条件下，令 D = { ω : lim n → ∞ σ n ( ω ) = + ∞ } (31) 则 lim sup n → ∞ 1 σ n ( ω ) ln R n ( ω ) ≤ 0 a.s. ω ∈ D (32) 证明：在(14)中令 λ = 1 ，得 R n ( ω ) = U n ( 1 ， ω ) 。 由(14)与(31)即得(32)成立。 定理2：在设 { X t ， t ∈ T ( n ) } 是具有联合分布(1)的任意随机场， R n ( ω ) 由(4)定义。又设 M > 0 ， 0 ≤ c < 1 其为常数，令 L ( c ) 为满足下列条件的样本点 ω 的全体： L ( c ) = { ω : lim n → ∞ ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t N p t = + ∞ ， lim inf n → ∞ 1 ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t N p t ln R n ( ω ) ≥ − c } (33) 则有 lim sup n → ∞ ( ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t X t / ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t N p t ) ≤ 1 + 3 c + c μ-a.s. ω ∈ L ( c ) ， (34) lim inf n → ∞ ( ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t X t / ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t N p t ) ≥ 1 − 10 c μ-a.s. ω ∈ L ( c ) 。 (35) 证明：在定理1中令 σ n ( ω ) = ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t N p t ， M = 1 ，则显然有 lim sup n → ∞ 1 ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t N p t ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t N p t ≤ 1 ， (36) 于是有 D ( c ) = L ( c ) 。由(7)，(8)有 lim sup n → ∞ ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t X t ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t N p t − 1 ≤ lim sup n → ∞ ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t X t − ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t N p t ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t N p t ≤ 3 c + c μ-a.s. ω ∈ L ( c ) ， (37) lim inf n → ∞ ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t X t ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t N p t − 1 ≥ lim inf n → ∞ ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t X t − ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t N p t ∑ k = 0 n ∑ t ∈ L k Y t N p t ≥ − 10 c μ-a.s. ω ∈ L ( c ) 。 (38) 由(37)，(38)可知(34)，(35)成立。