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user: 4. 实例研究 4.1. 数据选择 本文选择嘉陵江流域小河坝、武胜、罗渡溪、北碚站实测资料进行洪水遭遇计算，根据小河坝站1951~2014年、武胜站1944~2014年、罗渡溪站1953~2014年以及北碚站1939~2014年实测洪峰流量资料，按年最大取样，得到各站年最大洪峰流量序列。 图1. 嘉陵江流域水系及水文站分布图 4.2. 边缘分布 对于单变量水文系列资料，我国常采用P-III型分布，《水利水电工程设计洪水计算规范》中也推荐采用P-III型分布来计算设计洪水。边缘分布的经验频率计算公式： (5) 式中： 为 的频率， 为 的序号， 为样本容量。 本文采用K-S以及均方根误差( )来衡量边缘分布。 的计算公式为： (6) 式中： 为均方差， 为样本容量， 为理论频率， 为经验频率， 为样本序号。 本文选用P-III型分布来构建各站年最大洪峰流量的边缘分布，并利用线性矩法进行参数估计，嘉陵江流域各站年最大洪峰流量的P-III型分布拟合情况见图2。用 和K-S对边缘分布进行检验，检验结果见表1。从表1可以看出，四站边缘分布的理论频率和经验频率的均方根误差( )，各站误差均较小；在5%的显著性水平下，K-S检验接受域为小于等于临界值0.173，四站的P-III型分布均通过了K-S检验。可以采用P-III型分布来构建边缘分布。 4.3. 联合分布 采用二维Copula函数来描述两站之间的相关关系时，Copula函数的参数估计是构建二维联合分布的关键，Archimedean Copula函数联合分布的联结参数多采用Kendall秩相关系数 [ 10 ] 来得到， 的计算公式为 (7) 图2. 各站边缘分布拟合图 Table 1 Parameters and hypothesis test results of the marginal distribution 控制站 P-III型分布 小河坝 2.56 0.000387 2050 0.033 0.062 (0.173) 武胜 3.16 0.000338 2340 0.024 0.044 (0.173) 罗渡溪 4.00 0.000338 2960 0.054 0.098 (0.173) 北碚 5.22 0.000274 4760 0.041 0.091 (0.173) 表1. 边缘分布参数及检验结果 式中， 为样本， 为样本个数， 为符号函数。 采用AIC最小准则 [ 11 ] 以及均方根误差来评价确定出最优的Copula函数。AIC最小准则是由日本学者赤池弘次在研究信息论问题时提出的，AIC值的表达式为： (8) 式中： 为极大似然函数， 为独立参数的个数。 在水文计算中，一般常用的Copula函数是Archimedean Copula函数，本文选择Gumbel、Clayton以及Frank 3种常见的Copula函数进行比较分析，从中选择出最优的Copula函数来构建二维联合分布。嘉陵江流域狭长且分散，嘉陵江中上游、渠江和涪江之间的暴雨遭遇机会不大，本文计算嘉陵江流域干支流的洪水遭遇概率，因此联合分布分别为小河坝与北碚、武胜与北碚、罗渡溪与北碚二维Copula联合分布，Copula联合分布的参数及检验结果见表2。 由表2可知，三个联合分布中，罗渡溪与北碚的Kendall相关系数最大，说明两者关系密切，相关性较好。整体来看，Frank Copula函数的RMSE和 最大，Gumbel Copula函数的最小。小河坝与北碚的Gumbel Copula和Clayton Copula联合分布的RMSE和 相差不大，但考虑年最大洪峰流量属于极值条件，需要采用能够描述上尾相关性的Copula函数，因此本文选择Gumbel Copula函数参与计算。干流北碚站与支流小河坝、罗渡溪、武胜站的Gumbel Copula联合分布的经验与理论点据曲线见图3，可知拟合效果较好。 4.4. 联合分布重现期 重现期 与累计频率 之间的关系为： 。对于水文多变量来说，重现期分为联合重现期和同现重现期 [ 7 ] ，联合重现期是指多个变量中至少有一个超过某一特定值时，事件发生的重现期；同现重现期是指多个变 Table 2 Parameters and fitting inspection values of the Copula joint distribution Copula函数 小河坝与北碚 武胜与北碚 罗渡溪与北碚 Gumbel 0.1237 1.14 0.0322 −39.77 0.4958 1.98 0.0630 −48.42 0.5621 2.28 0.0306 −61.58 Clayton 0.28 0.0325 −39.68 1.97 0.0832 −43.34 2.57 0.0392 −57.08 Frank −1.13 0.0606 −31.09 −5.66 0.1279 −35.51 −7.00 0.1070 −38.75 表2. Copula联合分布函数的参数估计值及拟合检验 图3. 北碚与小河坝、罗渡溪、武胜站站联合经验点据及理论分布 量同时都超过特定值时，事件发生的重现期。根据以上得到的小河坝与北碚、武胜与北碚、罗渡溪与北碚的Copula联合分布，计算得到各两站的联合重现期和同现重现期，绘制等值线见图4 (省略了小河坝站与北碚站、武胜站与北碚站的等值线图)。 4.5. 嘉陵江干支流遭遇分析 嘉陵江流域干流与支流小河坝与北碚、武胜与北碚、罗渡溪与北碚的洪水遭遇且发生某一重现期的洪水概率为 ， 公式如下： 图4. 罗渡溪站与北碚站之间的联合重现期(左)和同现重现期(右)等值线图 Table 3 Coincidence risk analysis of flood magnitudes of Jialing River and its tributaries (% 控制站 重现期/a 设计值(m³/s) 北碚 T = 1000a T = 100a T = 50a T = 10a 60，020 m³/s 48，270 m³/s 44，493 m³/s 34，927 m³/s 小河坝 1000 28800 0.0167 0.0383 0.0447 0.0633 100 21818 0.0377 0.1721 0.2397 0.4352 50 19610 0.0440 0.2398 0.3595 0.7580 10 14206 0.0592 0.4355 0.7580 2.4155 武胜 1000 36500 0.0581 0.0946 0.0972 0.0992 100 28030 0.0950 0.5849 0.7644 0.9553 50 25362 0.0976 0.7644 1.1809 1.8211 10 18758 0.0997 0.9553 1.8209 6.1194 罗渡溪 1000 41640 0.0645 0.0974 0.0987 0.0995 100 32694 0.0979 0.6479 0.8332 0.9805 50 29850 0.0992 0.8335 1.3002 1.9047 10 22735 0.1000 0.9811 1.9049 6.6999 表3. 嘉陵江流域干流与支流洪水两两遭遇概率(%) (9) 式中： 、 代表 、 两江的洪水发生的量级， 、 分别代表 、 两江 年一遇的设计洪水。表3列出了嘉陵江流域干流与支流重现期分别为1000年、100年、50年、10年一遇设计洪水值及其遭遇概率。小河坝与北碚、武胜与北碚、罗渡溪与北碚遭遇千年一遇的洪水概率分别为0.000167、0.000581、0.000645，百年一遇的洪水遭遇概率分别为0.001721、0.005849、0.006479。由表可知，同河流，低重现期遭遇洪水概率大于高重现期；同重现期情况下，与嘉陵江干流北碚站的洪水遭遇，罗渡溪遭遇概率大于武胜，小河坝遭遇概率最低，这与计算二维联合分布的Kendall相关系数的大小相对应。说明对于嘉陵江流域，汛期洪水较多是由渠江(罗渡溪)造峰所致，涪江(小河坝)洪水造成北碚站发生同重现期洪水的概率最小。