system: [SYSTEM]

user: 4. 连续角度下的全向STBC编码设计 当考虑连续角度域的设计时，本文第二部分所述的全向传输条件中的离散角度变量变为连续角度变量，即对 W x k 作DTFT变换，并考虑T个时隙 k = 1 ， 2 ， ⋯ ， T 的发送总功率，我们得到修正后的全向传输条件： P ( ω ) = ∑ k = 1 T | ∑ n = 1 M ( W x k ) n e − j ω n | 2 = const ，   ω ∈ [ − π ， π ] (31) 4.1. N = 2时的全向STBC编码设计 当 N = 2 时，我们仍然利用(3)式中给出的Alamouti编码。为得到(31)式的等效条件，我们将 W 写出列向量的形式： W = [ w 1 ， w 2 ] 。并记对列向量 w 1 ， w 2 的DTFT变换分别为 S 1 ( ω ) ， S 2 ( ω ) ，即： S i ( ω ) = ∑ n = 1 M w i ， n e − j ω n ，   i ∈ { 1 ， 2 } (32) 利用(32)式，(31)式又可写作： P ( ω ) = [ S 1 ( ω ) ， S 2 ( ω ) ] [ x 1 ， x 2 ] T [ x 1 ， x 2 ] * [ S 1 ( ω ) ， S 2 ( ω ) ] H     + [ S 1 ( ω ) ， S 2 ( ω ) ] [ x 2 * ， − x 1 * ] T [ x 2 * ， − x 1 * ] * [ S 1 ( ω ) ， S 2 ( ω ) ] H = [ S 1 ( ω ) ， S 2 ( ω ) ] [ | x 1 | 2 + | x 2 | 2 0 0 | x 1 | 2 + | x 2 | 2 ] × [ S 1 ( ω ) ， S 2 ( ω ) ] H = ( | x 1 | 2 + | x 2 | 2 ) ( | S 1 ( ω ) | 2 + | S 2 ( ω ) | 2 ) (33) 根据(33)式得到的等效表达式，我们得到考虑连续角度时的设计准则： ·全向传输条件：由于 | x 1 | = | x 2 | = 1 ，为满足各方向用户所接收的总功率相等，只需满足 | S 1 ( ω ) | 2 + | S 2 ( ω ) | 2 = const 。 ·PA利用率条件：PA利用率的约束条件与离散角度域相同，需要满足 W x k 为一恒模向量。 ·最大化分集增益：为保证编码后仍能取得最大分集增益，我们希望使 rank ( W ) = N 根据上述设计准则，取天线数 M = 2 M 0 ，我们提出一种构造方法： W = [ a 1 cos θ − b 1 sin θ b 1 sin θ a 1 cos θ a 2 cos θ − b 2 sin θ b 2 sin θ a 2 cos θ ⋮ ⋮ a M 0 cos θ − b M 0 sin θ b M 0 sin θ a M 0 cos θ ] (34) 其中 [ a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a M 0 ] 和 [ b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b M 0 ] 为一对长度为 M 0 的glory互补序列。当 M 0 = 2 p ，glory序列可由递归方法生成：取初始序列 s 1 = [ 1 ， 1 ] ，   t 1 = [ 1 ， − 1 ] ，根据 s k + 1 = [ s k ， t k ] ， t k + 1 = [ s k ， − t k ] 进行递归生成，则 s p ， t p 即为所求的glory互补序列。 证明：首先将 S 1 ( ω ) ， S 2 ( ω ) 变形为： S 1 ( ω ) = cos θ ∑ n = 1 M 0 b n e − j ω 2 n + sin θ ∑ n = 1 M 0 a n e − j ω ( 2 n − 1 ) = cos θ A ( 2 ω ) + e j ω sin θ B ( 2 ω ) (35) S 2 ( ω ) = − sin θ ∑ n = 1 M 0 b n e − j ω 2 n + cos θ ∑ n = 1 M 0 a n e − j ω ( 2 n − 1 ) = − sin θ e j ω B ( 2 ω ) + cos θ A ( 2 ω ) (36) 其中 A ( ω ) = ∑ n = 1 M 0 a n e − j ω n ， B ( ω ) = ∑ n = 1 M 0 b n e − j ω n 分别为 [ a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a M 0 ] 和 [ b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b M 0 ] 的DTFT变换函数。利用(35) (36)式可得： | S 1 ( ω ) | 2 + | S 2 ( ω ) | 2 = 2 cos 2 θ | A ( 2 ω ) | 2 + 2 sin 2 θ | B ( 2 ω ) | 2 + sin 2 θ ℜ ( e − j ω A ( 2 ω ) B * ( 2 ω ) )         − sin 2 θ ℜ ( e j ω A * ( 2 ω ) B ( 2 ω ) ) = 2 cos 2 θ | A ( 2 ω ) | 2 + 2 sin 2 θ | B ( 2 ω ) | 2 + 2 sin 2 θ ℜ ( 2 j ℑ ( e − j ω A ( 2 ω ) B * ( 2 ω ) ) ) = 2 cos 2 θ | A ( 2 ω ) | 2 + 2 sin 2 θ | B ( 2 ω ) | 2 (37) ℑ ( ⋅ ) 表示取虚部。用 r a ， a ( n ) ， r b ， b ( n ) 分别表示 [ a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a M 0 ] 和 [ b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b M 0 ] 的自相关函数，根据glory互补序列的性质有 r a ， a ( n ) + r b ， b ( n ) = 0 ，   ∀ 1 ≤ n ≤ M 0 − 1 ，我们进一步得到： | A ( ω ) | 2 + | B ( ω ) | 2 = ∑ n = 1 M 0 ( | a n | 2 + | b n | 2 ) + 2 ∑ n = 1 M 0 − 1 ℜ ( e − j ω n ( r a ， a ( n ) + r b ， b ( n ) ) ) = 2 M 0 (38) 令 θ = π / 4 ，于是有 | S 1 ( ω ) | 2 + | S 2 ( ω ) | 2 = | A ( 2 ω ) | 2 + | B ( 2 ω ) | 2 = 2 M 0 ，为与 ω 无关的定值。这就证明了式(34)所提构造符合全向传输条件。另一方面，容易验证 W x k = 1 2 M 0 及 rank ( W ) = N = 2 ，综上，式(34)中的OP矩阵完全符合设计准则。 4.2. N = 4时的全向STBC编码设计 当 时，我们仍考虑采用式(20)中的星座旋转编码，此时与 N = 2 时的推导类似，我们可以得到： P ( ω ) = ∑ n = 1 4 | x n | 2 ∑ n = 1 4 | S n ( ω ) | 2 。设计准则与 N = 2 的情况类似，我们给出一种构造方法： W = [ [ I 4 ] ， : 1 ⊗ a T ， [ I 4 ] ， : 2 ⊗ b T ， [ I 4 ] ， : 3 ⊗ c T ， [ I 4 ] ， : 4 ⊗ d T ] (39) 其中 a = [ a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a M 0 ] ， b = [ b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b M 0 ] ， c = [ c 1 ， c 2 ， ⋯ ， c M 0 ] ， d = [ d 0 ， d 1 ， ⋯ ， d M 0 ] 。 与(38)式类似，本文可以得到： | A ( ω ) | 2 + | B ( ω ) | 2 + | C ( ω ) | 2 + | D ( ω ) | 2 = ∑ n = 1 M 0 ( | a n | 2 + | b n | 2 + | c n | 2 + | d n | 2 )       + 2 ∑ n = 1 M 0 = 1 ℜ ( e − j ω n ( r a ， a ( n ) + r b ， b ( n ) + r c ， c ( n ) + r d ， d ( n ) ) ) (40) 由上式可知，满足全向传输条件的关键是得到一组非循环完全互补序列，满足 r a ， a ( n ) + r b ， b ( n ) + r c ， c ( n ) + r d ， d ( n ) = k δ ( n ) ，其中 δ ( n ) 为长度为 M 0 的Kronecker序列。我们利用生成树的方法提出一种完全互补序列组的构造方法：令 C a 1 = [ 1 ， 1 ] ， C a 2 = [ 1 ， − 1 ] ， S a 1 = [ − 1 ， 1 ] ， S a 2 = [ − 1 ， − 1 ] ，首先我们得到一组4个长度为8的完全序列集： L 4 × 8 = [ C a 1 C a 2 S a 1 S a 2 C a 1 − C a 2 S a 1 − S a 2 C a 2 C a 1 S a 2 S a 1 C a 2 − C a 1 S a 2 − S a 1 ] (41) 在(41)的基础上进行递推，可以得到一组4个长度为16的互补序列集： L 4 × 16 = [ C a 1 C a 2 C a 1 − C a 2 C a 1 C a 2 − C a 1 C a 2 C a 1 − C a 2 C a 1 C a 2 C a 1 − C a 2 − C a 1 − C a 2 S a 1 S a 2 S a 1 − S a 2 S a 1 S a 2 − S a 1 S a 2 S a 1 − S a 2 S a 1 S a 2 S a 1 − S a 2 − S a 1 − S a 2 ] (42) 事实上，据此可以归纳出由 L 4 × 2 k 递推得到 L 4 × 2 k + 1 的一般方法：首先我们将 L 4 × 2 k 分块记为： L 4 × 2 k = [ L k ， 1 L k ， 2 L k ， 3 L k ， 4 ] (43) 其中 L k ， 1 ， L k ， 2 ， L k ， 3 ， L k ， 4 ∈ ℝ 2 × 2 k − 1 。注意到所提构造以 C a 1 ， C a 2 ， S a 1 ， S a 2 为基本单位，我们用记号 F ( x ) 表示将序列 x 中的负号左移一次，用记号 x ¯ 表示对序列 x 取反，例如设 x = [ C a 1 ， C a 2 ， C a 1 ， − C a 2 ] ，则 F ( x ) = [ C a 1 ， C a 2 ， − C a 1 ， C a 2 ] ，而 x ¯ = [ − C a 1 ， − C a 2 ， − C a 1 ， C a 2 ] 。运用上述记号，由 L 4 × 2 k 生成 L 4 × 2 k + 1 的递推关系可表示为： L 4 × 2 k + 1 = [ vec ( L k ， 1 ) vec ( L k ， 2 ) F ( vec ( L k ， 1 ) ) F ( vec ( L k ， 2 ) ) F ( F ( vec ( L k ， 1 ) ) ) F ( F ( vec ( L k ， 2 ) ) ) vec ( L k ， 1 ) ¯ vec ( L k ， 2 ) ¯ ] (44) 通过上述关系式，我们构造了一组4个长度为任意 2 p 的互补序列，该序列组中的任意两序列均为一对glory互补序列。用这四个序列分别作为式(39)中的序列 a ， b ， c ， d ，即可得到满足全向传输条件的OP矩阵。与 N = 2 的情形类似，容易验证 W x k 恒模及 rank ( W ) = N = 4 ，因此(39)式中的构造方法符合三个设计准则的要求。另外，注意到(39)中矩阵每行只有一个非零元素，根据下文的讨论可以看到，其能够保持传输信号的峰均比。