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user: 3. 主要结论 在这一节中，我们将在完备的偏 ν -度量空间中来证明我们的结论。 定理3.1：令 ( X ， d ) 是完备的偏 ν -度量空间，函数 α : X × X → [ 0 ， ∞ ) ，映射 T : X → X 。假设下列条件成立： 1) 对所有的 ，且 α ( x ， y ) ≥ 1 ， M ( x ， y ) > 0 ，有 d ( T x ， T y ) < M ( x ， y ) (3.1) 其中 M ( x ， y ) = max { d ( x ， y ) ， d ( x ， T x ) ， d ( y ， T y ) ， d ( x ， T x ) d ( y ， T y ) 1 + d ( x ， y ) + d ( x ， T y ) + d ( y ， T x ) ， d ( x ， T x ) d ( y ， T y ) 1 + d ( T x ， T y ) } ; 2) 对任意的 ε > 0 ，存在 δ > 0 ，对所有的 x ， y ∈ X ，有 α ( x ， y ) ≥ 1 ， M ( x ， y ) < ε + δ ⇒ d ( T x ， T y ) ≤ ε ; (3.2) 3) T是三角 α -容许映射，且 α 具有反身性； 4) 存在 x 0 ∈ X ，有 α ( x 0 ， T x 0 ) ≥ 1 成立； 5) T是连续的。 则T有唯一的不动点u，且 { T n x 0 } 收敛于u。更进一步，若对所有的 x ， y ∈ F ( T ) ，有 α ( x ， y ) ≥ 1 ，则T在X中有唯一的不动点。 证明：令 x 0 ∈ X 且满足 α ( x 0 ， T x 0 ) ≥ 1 。我们通过下列方式来构造数列 { x n } ： x n = T x n − 1 = T n x 0 ， n ∈ N 。若对某个 n ∈ N ，有 x n = x n + 1 ，则 x n 是T的不动点。在接下来的证明中，我们假设对所有的 n ∈ N ， x n ≠ x n + 1 。因为T是 α -容许映射，对所有的 n ， m ∈ N ， n < m ，我们有 α ( x n ， x m ) ≥ 1 (3.3) 1) 我们首先证明 lim n → ∞ d ( x n − 1 ， x n ) = 0 。 在(3.1)中令 x = x n − 1 ， y = x n ，我们得到 d ( x n ， x n + 1 ) = d ( T x n − 1 ， T x n ) < M ( x n − 1 ， x n ) (3.4) 其中 M ( x n − 1 ， x n ) = max { d ( x n − 1 ， x n ) ， d ( x n − 1 ， T x n − 1 ) ， d ( x n ， T x n ) ， d ( x n − 1 ， T x n − 1 ) d ( x n ， T x n ) 1 + d ( x n − 1 ， x n ) + d ( x n − 1 ， T x n ) + d ( x n ， T x n − 1 ) ，       d ( x n − 1 ， T x n − 1 ) d ( x n ， T x n ) 1 + d ( T x n − 1 ， T x n ) } = max { d ( x n − 1 ， x n ) ， d ( x n − 1 ， x n ) ， d ( x n ， x n + 1 ) ， d ( x n − 1 ， x n ) d ( x n ， x n + 1 ) 1 + d ( x n − 1 ， x n ) + d ( x n − 1 ， x n + 1 ) ， d ( x n − 1 ， x n ) d ( x n ， x n + 1 ) 1 + d ( x n ， x n + 1 ) } = max { d ( x n − 1 ， x n ) ， d ( x n ， x n + 1 ) } (3.5) 利用(3.4)和(3.5)，对所有的 n ∈ N ，我们得到 d ( x n ， x n + 1 ) < d ( x n − 1 ， x n ) (3.6) 因此 { d ( x n ， x n + 1 ) } 是递减数列。故存在 r ≥ 0 ，使 lim n → ∞ d ( x n ， x n + 1 ) = r 。明显地，对于所有的 n ∈ N ， d ( x n ， x n + 1 ) > r 。若 r > 0 ，令 ε = r ，存在 δ > 0 ，对所有的 x ， y ∈ X ，有 α ( x ， y ) ≥ 1 ， M ( x ， y ) < ε + δ ⇒ d ( T x ， T y ) ≤ ε (3.7) 因为对于所有的 n ∈ N ， d ( x n ， x n + 1 ) = M ( x n ， x n + 1 ) ， lim n → ∞ d ( x n ， x n + 1 ) = r ，则存在 n 0 ∈ N ，对所有的 n ≥ n 0 ，有 M ( x n ， x n + 1 ) = d ( x n ， x n + 1 ) < r + δ 由(3.7)，对所有的 n ≥ n 0 ，我们得到 d ( x n + 1 ， x n + 2 ) ≤ r ，这与 d ( x n ， x n + 1 ) > r ， ∀ n ∈ N 是矛盾的。因此得到 r = 0 。因此 lim n → ∞ d ( x n ， x n + 1 ) = 0 (3.8) 2) 下面我们证明对所有的 n ≠ m ，有 x n ≠ x m 。假设若对某一 n > m ，有 x n = x m 成立，因此我们得到 x n + 1 = T x n = T x m = x m + 1 。由(3.6)，得到 d ( x n ， x n + 1 ) < d ( x n − 1 ， x n ) < ⋯ < d ( x m ， x m + 1 ) = d ( x n ， x n + 1 ) ，矛盾。因此，对任意 n ≠ m ， x n ≠ x m 。 3) 接下来证明，对任意的 p ∈ N ，且 p ≥ 2 ，有 lim n → ∞ d ( x n ， x n + p ) = 0 成立。 因为 lim n → ∞ d ( x n ， x n + 1 ) = 0 ，对任意的 n ∈ N ，我们可以假设 d ( x n ， x n + 1 ) < 1 。在(3.1)中，令 x = x n − 1 ， y = x n + p − 1 。因 M ( x n − 1 ， x n + p − 1 ) ≥ d ( x n − 1 ， x n + p − 1 ) > 0 ， α ( x n − 1 ， x n + p − 1 ) ≥ 1 ，我们得到 d ( x n ， x n + p ) < M ( x n − 1 ， x n + p − 1 ) (3.9) 其中 M ( x n − 1 ， x n + p − 1 ) = max { d ( x n − 1 ， x n + p − 1 ) ， d ( x n − 1 ， T x n − 1 ) ， d ( x n + p − 1 ， T x n + p − 1 ) ，         d ( x n − 1 ， T x n − 1 ) d ( x n + p − 1 ， T x n + p − 1 ) 1 + d ( x n − 1 ， x n + p − 1 ) + d ( x n − 1 ， T x n + p − 1 ) + d ( T x n − 1 ， x n + p − 1 ) ， d ( x n − 1 ， T x n − 1 ) d ( x n + p − 1 ， T x n + p − 1 ) 1 + d ( T x n − 1 ， T x n + p − 1 ) } = max { d ( x n − 1 ， x n + p − 1 ) ， d ( x n − 1 ， x n ) ， d ( x n + p − 1 ， x n + p ) ，         d ( x n − 1 ， x n ) d ( x n + p − 1 ， x n + p ) 1 + d ( x n − 1 ， x n + p − 1 ) + d ( x n − 1 ， x n + p ) + d ( x n ， x n + p − 1 ) ， d ( x n − 1 ， x n ) d ( x n + p − 1 ， x n + p ) 1 + d ( x n ， x n + p ) } 因为数列 { d ( x n ， x n + 1 ) } 是递减的，且对所有的 n ∈ N ，有 d ( x n ， x n + 1 ) < 1 ，故得到 M ( x n − 1 ， x n + p − 1 ) = max { d ( x n − 1 ， x n + p − 1 ) ， d ( x n − 1 ， x n ) } (3.10) 由(3.9)和(3.10)，得到 d ( x n ， x n + p ) < max { d ( x n − 1 ， x n + p − 1 ) ， d ( x n − 1 ， x n ) } (3.11) 令 a n = d ( x n ， x n + p ) ， b n = d ( x n ， x n + 1 ) ，故 a n < max { a n − 1 ， b n − 1 } 因为 b n < b n − 1 ≤ max { a n − 1 ， b n − 1 } ，因此对任意的 n ∈ N ，得到 max { a n ， b n } < max { a n − 1 ， b n − 1 } 。故数列 { max { a n ， b n } } n ∈ N 是递减的，假设它收敛于某一 t ≥ 0 。因为 lim n → ∞ b n = 0 ，由引理2.3得到 lim n → ∞ a n = lim n → ∞ max { a n ， b n } = t 若 t > 0 ，因为 lim n → ∞ b n = 0 ， lim n → ∞ a n = lim n → ∞ max { a n ， b n } = t > 0 ，接下来，我们假设 a n > b n ， n ∈ N ，即 a n = max { a n ， b n } > t ， n ∈ N 。 令 ε = t ，存在 δ > 0 ，对任意的 x ， y ∈ X ，有 α ( x ， y ) ≥ 1 ， M ( x ， y ) < ε + δ ⇒ d ( T x ， T y ) ≤ ε (3.12) 因为对所有的 n ∈ N ， d ( x n ， x n + p ) = M ( x n ， x n + p ) ，且 lim n → ∞ d ( x n ， x n + p ) = t ，则存在 n 0 ∈ N ，对 n ≥ n 0 ，有 M ( x n ， x n + p ) = d ( x n ， x n + p ) < t + δ 由(3.12)，对所有的 n ≥ n 0 ， d ( x n + 1 ， x n + p + 1 ) ≤ t ，这与 d ( x n ， x n + p ) > t ， n ∈ N 是矛盾的。故 t = 0 。即 lim n → ∞ d ( x n ， x n + p ) = 0 (3.13) 4) 下面我们证明 lim n ， m → ∞ d ( x n ， x m ) = 0 。相反地，我们假设 { d ( x n ， x m ) } 不收敛于0，选取子列 { x m i } ， { x n i } ⊂ { x n } ，存在 ε 0 > 0 ， n i 是使下列式子成立的最小指标 ， d ( x m i ， x n i ) > 2 ε 0 (3.14) 由定理3.1条件(2)知，存在 δ > 0 ，对任意的 x ， y ∈ X ， α ( x ， y ) ≥ 1 ， M ( x ， y ) < ε 0 + δ ⇒ d ( T x ， T y ) ≤ ε 0 (3.15) 显然地，(3.15)式中用 δ ′ = min { ε 0 ， δ } 来代替 δ ，(3.15)仍成立。因为 lim n → ∞ d ( x n ， x n + p ) = 0 ， p = 1 ， 2 ， ⋯ ， ν ，则存在 i 0 ∈ N ，对所有 n ≥ i 0 ，有 d ( x n ， x n + p ) < δ ′ 3 ν (3.16) 对 j ∈ [ m i 0 ， n i 0 ] ，由偏 ν -不等式，有 d ( x m i 0 ， x j ) ≤ d ( x m i 0 ， x j + 1 ) + d ( x j + 1 ， x j + 2 ) + ⋯ + d ( x j + ν − 1 ， x j + ν ) + d ( x j + ν ， x j ) − ∑ k = 1 ν d ( x j + k ， x j + k ) ≤ d ( x m i 0 ， x j + 1 ) + ν × δ ′ 3 ν = d ( x m i 0 ， x j + 1 ) + δ ′ 3 d ( x m i 0 ， x j + 1 ) ≤ d ( x m i 0 ， x j ) + d ( x j ， x j + 2 ) + ⋯ + d ( x j + ν − 1 ， x j + ν ) + d ( x j + ν ， x j + 1 ) − d ( x j ， x j ) − ∑ k = 2 ν d ( x j + k ， x j + k ) ≤ d ( x m i 0 ， x j ) + ν × δ ′ 3 ν = d ( x m i 0 ， x j ) + δ ′ 3 即 | d ( x m i 0 ， x j ) − d ( x m i 0 ， x j + 1 ) | ≤ δ ′ 3 。 因为 d ( x m i 0 ， x m i 0 + 1 ) < ε 0 ， d ( x m i 0 ， x n i 0 ) > ε 0 + δ ′ ，即能推得存在 j 0 ∈ [ m i 0 ， n i 0 ] ，有 ε 0 + 2 δ ′ 3 < d ( x m i 0 ， x j 0 ) < ε 0 + δ ′ (3.17) 其中 M ( x m i 0 ， x j 0 ) = max { d ( x m i 0 ， x j 0 ) ， d ( x m i 0 ， T x m i 0 ) ， d ( x j 0 ， T x j 0 ) ，             d ( x m i 0 ， T x m i 0 ) d ( x j 0 ， T x j 0 ) 1 + d ( x m i 0 ， x j 0 ) + d ( x m i 0 ， T x j 0 ) + d ( T x m i 0 ， x j 0 ) ， d ( x m i 0 ， T x m i 0 ) d ( x j 0 ， T x j 0 ) 1 + d ( T x m i 0 ， T x j 0 ) } = max { d ( x m i 0 ， x j 0 ) ， d ( x m i 0 ， x m i 0 + 1 ) ， d ( x j 0 ， x j 0 + 1 ) ，             d ( x m i 0 ， x m i 0 + 1 ) d ( x j 0 ， x j 0 + 1 ) 1 + d ( x m i 0 ， x j 0 ) + d ( x m i 0 ， x j 0 + 1 ) + d ( x m i 0 + 1 ， x j 0 ) ， d ( x m i 0 ， x m i 0 + 1 ) d ( x j 0 ， x j 0 + 1 ) 1 + d ( x m i 0 + 1 ， T x j 0 + 1 ) } = d ( x m i 0 ， x j 0 ) (3.18) 利用定理3.1条件(2)，我们有 d ( x m i 0 + 1 ， x j 0 + 1 ) ≤ ε 0 。然而，由(3.15)~(3.18)知 ε 0 + 2 δ ′ 3 < d ( x m i 0 ， x j 0 ) ≤ d ( x m i 0 ， x m i 0 + 1 ) + d ( x m i 0 + 1 ， x j 0 + 1 ) + d ( x j 0 + 1 ， x j 0 + 2 ) + ⋯ + d ( x j 0 + ν − 2 ， x j 0 + ν − 1 )       + d ( x j 0 + ν − 1 ， x j 0 ) − d ( x m i 0 + 1 ， x m i 0 + 1 ) − ∑ k = 1 ν − 1 d ( x j 0 + k ， x j 0 + k ) < d ( x m i 0 + 1 ， x j 0 + 1 ) + ν × δ ′ 3 ν ≤ ε 0 + δ ′ 3 这与已知的矛盾。故 lim n ， m → ∞ d ( x n ， x m ) = 0 ，即 { x n } 是柯西列。因为 ( X ， d ) 是完备的，所以存在 u ∈ X ，使得 lim n ， m → ∞ d ( x n ， x m ) = lim n → ∞ d ( x n ， u ) = d ( u ， u ) = 0 5) 假设T是连续的，下面我们证明u是T的不动点。因为T是连续的，则 lim n → ∞ d ( T x n ， T u ) = lim n → ∞ d ( x n + 1 ， T u ) = d ( T u ， T u ) 因为对于 n ≠ m ，数列 { x n } 满足 x n ≠ x m ，我们可以假设每一 x n 与 u ， T u 都是不同的。考虑 d ( u ， T u ) ≤ d ( u ， x n + ν ) + d ( x n + ν ， x n + ν − 1 ) + ⋯ + d ( x n + 2 ， x n + 1 ) + d ( x n + 1 ， T u ) − ∑ k = 1 ν d ( x n + k ， x n + k ) ≤ d ( u ， x n + ν ) + d ( x n + ν ， x n + ν − 1 ) + ⋯ + d ( x n + 2 ， x n + 1 ) + d ( x n + 1 ， T u ) 因 lim n ， m → ∞ d ( x n ， x m ) = 0 ，得到 d ( u ， T u ) ≤ d ( T u ， T u ) 。因此 d ( u ， T u ) = d ( T u ， T u ) (3.19) 假设u不是T的不动点，即 u ≠ T u ，则 M ( u ， u ) = max { d ( u ， u ) ， d ( u ， T u ) ， d ( u ， T u ) ， d ( u ， T u ) d ( u ， T u ) 1 + d ( u ， u ) + d ( u ， T u ) + d ( u ， T u ) ， d ( u ， T u ) d ( u ， T u ) 1 + d ( T u ， T u ) } = d ( u ， T u ) > 0 因为 α 具有反身性，由(3.1)， x = u ， y = u ，我们得到 d ( T u ， T u ) < M ( u ， u ) = d ( u ， T u ) 这与(3.19)是矛盾的。即u是T的不动点。 6) 最后，我们证明T的不动点是唯一的。假设 u ， v 是T的两个不动点，且 u ≠ v 。则由假设 α ( u ， v ) ≥ 1 。 所以由(3.1)式， x = u ， y = v ，得到 d ( u ， v ) = d ( T u ， T v ) < M ( u ， v ) 其中 M ( u ， v ) = max { d ( u ， v ) ， d ( u ， T u ) ， d ( v ， T v ) ， d ( u ， T u ) d ( v ， T v ) 1 + d ( u ， v ) + d ( u ， T v ) + d ( v ， T u ) ， d ( u ， T u ) d ( v ， T v ) 1 + d ( T u ， T v ) } = d ( u ， v ) 即 d ( u ， v ) < d ( u ， v ) 矛盾。因此 u = v 。 推论3.2：令 ( X ， ≺ ， d ) 是完备的偏 ν -度量空间。映射 T : X → X 是单调的，且满足下列条件： 1) 对任意的 x ， y ∈ X ，且 x ≺ y ，若 M ( x ， y ) > 0 ，则有 d ( T x ， T y ) < M ( x ， y ) ，其中 M ( x ， y ) = max { d ( x ， y ) ， d ( x ， T x ) ， d ( y ， T y ) ， d ( x ， T x ) d ( y ， T y ) 1 + d ( x ， y ) + d ( x ， T y ) + d ( y ， T x ) ， d ( x ， T x ) d ( y ， T y ) 1 + d ( T x ， T y ) } ; 2) 对任意的 ε > 0 ，存在 δ > 0 ，且对任意的 x ， y ∈ X ，有 x ≺ y ， M ( x ， y ) < ε + δ ⇒ d ( T x ， T y ) ≤ ε ; 3) 存在 x 0 ∈ X ，满足 ； 4) T是连续的。 则T存在不动点u且 { T n x 0 } 收敛于u。更进一步，若对任意的 x ， y ∈ F ( T ) ，我们有 ，则T在X中存在唯一的不动点。 证明：定义 α : X × X → [ 0 ， ∞ ) ，且 α ( x ， y ) = { 1             x ≺ y 0           其 他 显然地，由定理3.1，T存在不动点。