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user: 4. t分布在假设检验中的应用 4.1. 单样本t检验 4.1.1. 单样本t检验定义 t检验是常用的假设检验方法之一，常用于正态总体均值的假设检验，单样本t检验中 当 (1) 的假设检验问题成为双边假设检验； 当 (2) 的假设检验问题成为左边检验 当 (3) 的假设检验问题成为右边检验 在单个正态总体 均值 的检验中，当 未知时，可选用t检验中(1)、(2)、(3)。 未知时， 是 的一个置信水平为 的单侧置信区间，其中 是置信 下限，即对于任意的 ，有 ． (4) 考虑右边检验 ，其拒绝为 ，等价于 ， (5) 恒等变形得 ，即 ；同理如果 ，则 ，恒等变形得 (6) 即有 ，此时应接受 ．所以我们要检验假设(3)，可先求出 的置信水平为 的单 侧置信区间 ，然后考察区间是否包含 ， 若 ，则接受 ；若 ，则拒绝 。 4.1.2. 单样本t检验的应用 1) 单样本t检验在产品寿命中的应用 单样本在SPSS统计软件中，置信区间类型为 (置信度为 )，故我们通过求出 的置信度为 的置信区间 ，即可求出 的置信度为 的单侧置信区间 ，同理按上述方法可以检验假设(3)。 例3.1 [ 5 ] [ 8 ] 某种产品的使用寿命x(以h计)服从正态分布 ， 未知，随机抽取16只该产品，测得16只该产品的使用寿命如表3。 问是否可以认为该产品的平均使用寿命大于225小时(取显著性水平为 )？ 解：原假设和备择假设为 ，建立数据文件，然后点击软件SPSS13.0中“Analyze → Descriptive Statistics → Explore” [ 5 ] -[ 10 ] 就能得出图2的结果，其中置信度设置为 。 由图2可知，均值 的置信度为 的单侧置信区间为 。又因为 ，所以在显著性水平 下接受 ，故认为该产品的平均使用寿命小于等于225小时。 Table 3 The service life of the product is measured in 16 (unit: h 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 表3. 测得16只产品的使用寿命(单位：h) 图2. 某种产品抽样样本数据表 2) 单样本t检验在农业中的应用 例3.2 有一种新型农药防治柑桔红蜘蛛，进行了9个校区的实验，其防治效果为：95%，92%，88%，92%，93%，95%，89%，98%，92%，与原用农药的防治效果90%比较，分析其效果是否高于原用农药。 解：在这里应用spss13.0软件来分析，在数据编辑窗口输入分析数据，在软件spss13.0主菜单中选中“Analyze→Compare Means→One-Sample T Test”，打开单一样本T检验主对话框，从左边的变量列表中选中“防治效果”变量之后，点击中部的右拉按钮，使得这个变量就进入到检验分析“Test Variable(s):”框里，用户可以从左边变量列表里选择一个或多个变量进行分析。在“Test Variable(s)”输入栏里，输入用于比较检验的均值：在本例中为90。单击“Options”按钮，打开设置检验的置信度和缺失值对话框。在“Confidence Interval:”框输入置信度水平，系统默认为95%。在“Missing Values”栏里选择缺失值处理方式：输入完成后，在过程主窗口中单击“OK”按钮，SPSS输出分析结果如图3。 从图3中读取数值，t值为2.596，Sig.(2-tailed)为单边t检验的显著性概率0.032，小于0.05，由此得出结论：新型农药和原用农药差异显著。 3) 单样本t检验在材料中的应用 例3.3 某种汽车配件的平均长度要求为12 cm，高于或低于标准均被认为是不合格的。汽车生产企业在购进配件时，通常是经过招标，然后对中标的配件提供的样品进行检验，用来决定是否购进此汽车配件．现在对一个配件提供商提供的10个样本进行了检验。结果如表4。 假设该供货商生产的配件长度服从正态分布，在0.05的显著性水平下，检验该供货商提供的配件长度符合标准要求？ 解：依题意建立如下原假设与备择假设： 根据样本数据计算得： 由于 为小样本，采用t检验： 根据自由度 ，查t分布表得： ， 由于 ，所以不拒绝原假设，样本提供的证据还不足以推翻原假设。 单样本t检验在日化产品中的应用 图3. 新旧农药防治效果的t检验结果 Table 4 10 length of accessories (unit: cm 12.2 10.8 12.0 11.8 11.9 12.4 11.3 12.2 12.0 12.3 表4. 10个配件的长度(单位：cm) 例3.4，某日化生产厂家生产一批次牙膏，要求牙膏总重为151.70 g，管长15.65 cm。随机抽取该批次30支牙膏，分别称重(g)为(表5)。 灌装后管长(mm)为(表6)。 判断这批牙膏是否符合标准要求？ 解：应用spss13.0软件来分析，在数据编辑窗口输入分析数据，在软件spss13.0主菜单中选中“Analyze → Compare Means → One-Sample T Test”，打开单一样本T检验主对话框，从左边的变量列表中选中“重量”变量之后，点击中部的右拉按钮，使得这个变量就进入到检验分析“Test Variable(s):”框里。在“Test Variable(s)”输入栏里，输入用于比较检验值：在本例中重量检验值为为151.70，灌装后管长检验值为156.5。单击“Options”按钮，打开设置检验的置信度和缺失值对话框。在“Confidence Interval:”框输入置信度水平，系统默认为95%。在“Missing Values”栏里选择缺失值处理方式：输入完成后，在过程主窗口中单击“OK”按钮，SPSS输出分析结果如图4。 从图4中可知经单样本双侧t检验得到的显著性水平 ，故与检验值151.70没有显著性差异，这批牙膏的重量是符合质量要求。 从图5中可知经单样本双侧t检验得到的显著性水平 ，故与检验值156.50没有显著性差异，这批牙膏灌装后的管长符合质量要求。 对于牙膏来说重量明显大于或小于标准值，通常需要进行设备调整，重量太大，会增加相对的损耗，也容易在灌装过程中造成牙膏软管破损；重量太轻，就会损害消费者的权益。故t检验在牙膏质量检测中起着非常重要的作用。 4.2. 独立两样本t检验 4.2.1 . 独立两样本t检验定义 [ 1 ] 独立两样本t检验可用于两正态总体均值差的建设检验，设 是来自正态总体 的样本， 是来自正态总体 的样本， 均未知．两样本相互独立，即他们的样本均值分别为 和 ，样本方差为 和 ，考虑检验问题： ，(7) 1.当 时，选用检验统计量 ， ; Table 5 Weighing 30 toothpaste (unit: g 152.50 150.80 152.68 149.96 150.52 151.45 151.50 152.03 151.57 150.78 151.75 151.71 150.87 149.68 152.75 151.87 148.86 153.01 152.27 151.95 151.58 151.78 151.89 152.11 151.45 150.78 151.79 151.65 151.68 153.02 表5. 30支牙膏的称重(单位：g) Table 6 30 toothpaste filling tube (unit: mm 156.35 155.89 157.12 156.01 156.45 156.21 156.30 157.04 155.99 157.67 156.67 156.45 156.43 156.36 156.46 156.29 156.47 156.15 155.98 156.98 156.54 156.50 155.57 157.02 157.95 156.00 156.15 156.42 155.67 156.59 表6. 30支牙膏灌装后管长(单位：mm) 图4. 牙膏灌装重量t检验结果 图5. 牙膏灌装管长t检验结果 2.当 ，用校正的t检验，此时 ， (8) 其自由度n计算如下 . 与单边单样本t检验类似，在单边独立两样本t检验(7)中，也可先求出量总体均值差 的置信度为 置信区间，从而可以求出 的置信度为 单侧置信区间，再根据 是否属于单侧置信区间，则接受 ;否则拒绝 。 4.2.2 . 独立两样本t检验的应用 1) 独立两样本t检验在啤酒业中的应用 例3.5 [ 1 ] 在20世纪70年代后期，在酿造啤酒的时候人们发现麦芽的干燥过程中容易形成对人体有伤害的致癌物质亚硝酸二甲胺(NDMA)。到了20世纪80年代初期为了避免酿造啤酒时麦芽干燥过程产生致癌物质亚硝酸二甲胺，研发了一种新型的麦芽干燥过程．下面给出了新老两种麦芽在干燥过程中形成的亚硝酸二甲胺含量(以下数据以20亿份中的份数统计得到)： 假设该两样本分服从自正态总体分布，单参数均未知，且该两样本相互独立，分别以 记对应于老、新过程两样本的总体均值、试检验假设 首先将新老两种麦芽在干燥过程中形成的亚硝酸二甲胺含量(表7)数据输入到SPSS13.0中，点击“Analyze→Compare Means→Independent-Samples T test [ 6 ] [ 7 ] [ 9 ] ”，设置好其中的检验变量和分组变量，在选项中设置其置信度为 ，再点击“Continue→OK”，得到图6，图7的分析结果。 从图6中可知， ，故可以认为新、老干燥过程的资料的方差齐，其中两样本均值差 的90%的置信区间为 ，因此 ，是两样本均值差 的95%的单侧置信区间，由于 ，故在显著性水平 下拒绝 ，即可认为老、新干燥过程的均值差大于2。 2) 独立两样本t检验在农业中的应用 例3.6 [ 2 ] 在某个有小麦丛矮病的麦田里，调查了13株病株和11株健株的植株高度，分析健株高度是否比病株高。其调查数据如表8。 解：应用SPSS分析，在SPSS中输入数据，在数据编辑窗口输入首先将上述数据输入到SPSS中，点击“Analyze”中的Compare Means并点击Independent-Samples T test，设置好检验变量和分组变量，在 Table 7 Nitrite content in the formation of new and old two methylamine two malt drying process [2 老过程 6 4 5 5 6 5 5 6 4 6 7 4 新过程 2 1 2 2 1 0 3 2 1 0 1 3 表7. 新老两种麦芽干燥过程中形成的亚硝酸二甲胺含量 [ 2 ] 图6. 新老干燥过程中形成的亚硝酸二甲胺含量的统计量结果 图7. 新老两种麦芽干燥过程中形成的亚硝酸二甲胺含量的t检验结果 Table 8 The plant height of 11 strains and 13 strains of plant healt 健株 26.0 32.4 37.3 37.3 43.2 47.3 51.8 55.8 57.8 64.0 65.3 病株 16.7 19.8 19.8 23.3 23.4 25.0 36.0 37.3 41.4 41.7 45.7 48.2 57.8 表8. 11株健株和13株病株的植株高度 选项中设置置信度水平，设置为95%的置信度水平，输入完成，在过程主窗口中单击“OK”按钮，SPSS输出分析结果如下图8，图9。 分析：从图9可知t的值是2.539，sig.(2-tailed)是双边t检验的显著性概率为0.019，小于0.05，可以得出结论：健株与病株的株高差异显著。 3) 独立两样本t检验在工业的应用 例3.7 [ 4 ] 某工厂铸造车间为了提高铸件的耐磨性，制造了一种镍合金铸件用来代铜合金铸件，从两种铸件中分别抽取一个容量分别为8和9的样本，分别测得其硬度（一种耐磨性指标）为(表9)。 根据专业经验，硬度服从正态分布，且方差保持不变，试在显著性水平 下判断镍合金的硬度是否有明显提高。 解：用X表示镍合金的硬度，Y表示铜合金的硬度，则有假设定， ，要检验的假设是 vs ．由于两者方差未知但相等，所以采用两样本t检验，经计算， ， 从而 ， ， 查表知 ，由于 ，故拒绝原假设，可判断镍合金硬度有显著提高。 应用SPSS分析，得出图10和图11： 由图11可知t的值是2.423，sig．(2-tailed)是双边t检验的显著性概率为0.028，小于0.05，故也可判断镍合金硬度有显著提高。 图8. 健株病株高度的统计量结果 图9. 健株病株高度的t检验结果 Table 9 Hardness of 8 nickel alloy and 9 copper alloy casting 镍合金 76.43 76.21 73.58 69.69 65.29 70.83 82.75 72.34 铜合金 73.66 64.27 69.34 71.37 69.77 68.12 67.27 68.07 62.61 表9. 8个镍合金和9个铜合金铸件的硬度 图10. 镍合金硬度的统计量结果 图11. 镍合金硬度的t检验结果 例3.8 [ 10 ] 甲、乙两台机床同时加工某种同类型的零件，已知两台机床加工的零件直径（单位：cm）分别服从正态分布 ，并且有 ，为比较两台机床的加工精度有无显著差异，分别独立抽取了甲机床加工的8个零件和乙机床加工的7个零件，通过测量得到两台机床加工零件的样本直径数据如表10： 在 的显著性水平下，样本数据是否提供证据支持“两台机床加工的零件直径不一致”的看法？ 解：提出的原假设和备择假设为： 两个独立样本的容量都小于30，两个总体方差未知但相等，根据样本数据计算得： 总体方差的合并估计量为： 计算的检验的统计量为： 根据自由度 对应的t分布临界值分别是2.160，−2.160检验统计量的值没有落入拒绝域．一次不拒绝原假设．故在0.05的显著性水平下，没有理由认为甲，乙两台机床加工的零件直径不一致。 应用SPSS分析，得出图12和图13。 由图13可知t的值是−0.855，sig.(2-tailed)是双边t检验的显著性概率为0.408，大于0.05，故没有理由认为甲，乙两台机床加工的零件直径不一致。