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user: 2. 基本引理 首先引进一些基本记号： 1) Q T R = { ( x ， t ) ∈ R 3 × R : | x | < R ( t ) ， 0 < t < T } ， Q ¯ T R 是 Q T R 的闭包。 2) W p 2 ， 1 ( Q T R ) = { μ ∈ L P ( Q T R ) : ∂ x m ∂ t k ∈ L P ( Q T R ) ， | m | + 2 k ≤ 2 } ，其范数为 ‖ μ ‖ W p 2 ， 1 ( Q T ) = ∑ ‖ ∂ x m ∂ t k μ ‖ p . 3) 对开集 Ω ∈ R 3 ， p > 5 2 ，记 D p ( Ω ) 是 W p 2 ， 1 ( Ω × ( 0 ， T ) ) 在 t = 0 的迹空间， i . e .       φ ∈ D p ( Ω ) ，当且仅当存在 μ ∈ W p 2 ， 1 ( Q T ) ，使得 μ ( ⋅ ， 0 ) = φ 。当 p > 5 2 时， W p 2 ， 1 ( Ω × ( 0 ， T ) ) → C ( Ω × ( 0 ， T ) ) 。 D p ( Ω ) 的范数为： ‖ μ ‖ D p ( Ω ) = i n f { T − 1 p ‖ μ ‖ W p 2 ， 1 ( Ω × ( 0 ， T ) ) : μ ∈ W p 2 ， 1 ( Ω × ( 0 ， T ) ) ， μ ( ⋅ ， 0 ) = φ } 明显地，如果 φ ∈ W 2 ， p ( Ω ) ，则 φ ∈ D p ( Ω ) ，且 ‖ φ ‖ D p ( Ω ) ≤ ‖ φ ‖ W 2 ， p ( Ω ) 。 下面介绍本文需要的引理。 引理2.1：设 a ( t ) ， b ( x ， t ) ， f ( x ， t ) 分别是 [ 0 ， T ] 和 [ 0 ， 1 ] × [ 0 ， T ] ( T > 0 ) 的有界连续函数， m ¯ 是一个常 数， m 0 ( x ) 是 [ 0 ， 1 ] 的函数且 m 0 ( | x | ) ∈ D p ( B 1 ) ( p > 5 2 ) ，其中 B 1 是 R 3 的单位球。则下列初边值问题： ∂ m ∂ t = 1 x 2 ∂ ∂ x ( x 2 ∂ m ∂ x ) + a ( t ) ∂ m ∂ x + b ( x ， t ) + f ( x ， t )   ，     0 ≤ x ≤ 1 ，   0 ≤ τ ≤ T ， (2.1) ∂ m ∂ t ( 0 ， t ) = 0 ，         m ( 1 ， t ) = m ¯ ，     0 ≤ t ≤ T ， (2.2) m ( x ， 0 ) = m 0 ( x ) ，       0 ≤ x ≤ 1 ， (2.3) 有唯一的解 m ( x ， t ) ∈ W p 2 ， 1 ( Q T ) ，同时有 ‖ m ( x ， t ) ‖ W p 2 ， 1 ( Q T ) ≤ C p ( T ) ( m ¯ + ‖ m 0 ‖ D p ( B 1 ) + ‖ f ‖ p ) ， 其中 C p ( T ) 是依赖于 p ， T ， ‖ a ‖ ∞ ， ‖ b ‖ ∞ 的常数，而且对任意的T， C p ( T ) 是有界的。更进一步，有 ‖ m ‖ ∞ ≤ max ( | m ¯ | ， ‖ m 0 ‖ ∞ ) + T e c 0 T ‖ f ‖ p ， 其中若 b ≤ 0 时， c 0 = 0 ；否则 b > 0 ， c 0 = max Q T b 。 证明：引理2.1的证明可参见 [ 8 ] 中的引理4.1的证明。 引理2.2：设 μ ( ρ ， τ ) ， a i j ( ρ ， τ ) ( i ， j = 1 ， 2 ) ， f i ( ρ ， τ )   ( i = 1 ， 2 ) 是 [ 0 ， 1 ] × [ 0 ， T ] ( T > 0 ) 上的有界连续函数， μ ( ρ ， τ ) 关于 ρ 连续可微， μ ( 0 ， τ ) = μ ( 1 ， τ ) ，则对任意 ( P ， Q ， M ， N ) ∈ C [ 0 ， 1 ] ，则下列初边值问题 ∂ M ∂ τ + μ ( ρ ， τ ) ∂ M ∂ t = a 11 ( ρ ， τ ) M + a 12 ( ρ ， τ ) N + f 1 ( x ， t ) ，     0 ≤ ρ ≤ 1 ，   0 ≤ τ ≤ T ， (2.4) ∂ N ∂ τ + μ ( ρ ， τ ) ∂ N ∂ t = a 21 ( ρ ， τ ) M + a 22 ( ρ ， τ ) N + f 2 ( x ， t ) ，     0 ≤ ρ ≤ 1 ，   0 ≤ τ ≤ T ， (2.5) M ( ρ ， 0 ) = M 0 ( ρ ) ， N ( ρ ， 0 ) = N 0 ( ρ ) ，     0 ≤ ρ ≤ 1 ， (2.6) 有唯一的弱解 ( M ， N ) ∈ C ( [ 0 ， 1 ] × C [ 0 ， T ] ) ，且满足 ‖ ( M ， N ) ‖ ∞ ≤ e T A 0 ( T ) ( ‖ ( M 0 ， N 0 )   ‖ ∞ + 2 T ‖ ( f 1 ， f 2 ) ‖ ∞ ) ， 其中 A 0 ( T ) = 8 max { ‖ a i j ‖ ∞ : i ， j = 1 ， 2 } 。当 a i j ( ρ ， τ )   ( i ， j = 1 ， 2 ) ， f i ( ρ ， τ ) ( i = 1 ， 2 ) 关于 ρ 连续可微， ( M 0 ， N 0 ) ∈ C 1 [ 0 ， 1 ] ，则问题(2.4)~(2.6)的弱解是经典解。而且有如下估计成立： ‖ ∂ M ∂ ρ ， ∂ N ∂ ρ ‖ ∞ ≤ e T ( A 0 ( T ) + A ( T ) ) ( ‖ M ′ 0 ， N ′ 0 ‖ ∞ + T A 1 ( T 0 ) e A ( T ) ‖ M 0 ， N 0 ‖ ∞ + 2 T e A ( T ) ‖ ∂ f 1 ∂ ρ ， ∂ f 2 ∂ ρ ‖ ∞ ) ， (2.7) 其中当 A 1 ( T 0 ) = 8 max { ‖ ∂ a i j ∂ ρ ‖ ∞ : i ， j = 1 ， 2 } ， A ( T ) = ‖ ∂ u ∂ ρ ‖ ∞ 。 当 ∂ a i j ( ρ ) ≥ 0 ， i ≠ j ， M 0 ( ρ ) ≥ 0 ， N 0 ( ρ ) ≥ 0 ， f i j ( ρ ， τ ) ≥ 0 ( i ， j = 1 ， 2 ) ， 0 ≤ ρ ≤ 1 ，   0 ≤ τ ≤ T ，有 (2.8) 证明：引理2.2的证明可参见 [ 8 ] 中的引理4.2的证明。 引理2.3：设 f i ( ρ ， τ ， M ， N ) ( i = 1 ， 2 ) 是 [ 0 ， 1 ] × [ 0 ， T ] ( T > 0 ) ， ( M ， N ) ∈ R 3 的有界连续函数，并且对所有参数都连续，关于 ( ρ ， τ ， M ， N ) 连续可微， μ ( ρ ， τ ) 关于 ρ 连续可微， μ ( ρ ， τ ) = μ ( 1 ， τ ) ，则下列初边值问题 ∂ M ∂ τ + μ ( ρ ， τ ) ∂ M ∂ ρ = f 1 ( ρ ， τ ， M ， N ) ，   0 ≤ ρ ≤ 1 ，   0 ≤ τ ≤ T ， (2.9) ∂ N ∂ τ + μ ( ρ ， τ ) ∂ N ∂ ρ = f 2 ( ρ ， τ ， M ， N ) ，             0 ≤ ρ ≤ 1 ，   0 ≤ τ ≤ T ， (2.10) M ( ρ ， 0 ) = M 0 ( ρ ) ， N ( ρ ， 0 ) = N 0 ( ρ ) ，             0 ≤ ρ ≤ 1 ， (2.11) 如果 ( M 0 ， N 0 ) ∈ C [ 0 ， 1 ] ，则存在 0 ≤ T ≤ T 1 ，且T是只依赖于 H 0 = ‖ M 0 ， N 0 ‖ ∞ ， f i ， ∂ f i ∂ M ， ∂ f i ∂ N 。 在 [ 0 ， 1 ] × [ 0 ， T ] × [ − 2 H 0 ， 2 H 0 ] × [ − 2 H 0 ， 2 H 0 ] 上的上确界的常数，使得上述问题(2.9)-(2.11)有唯一的弱解 ( M ， N ) ∈ C ( [ 0 ， 1 ] × [ 0 ， T 1 ] ) ，同时满足 ‖ ( M ， N ) ‖ ∞ ≤ 2 H 0 ， 当 ( M 0 ， N 0 ) ∈ C 1 [ 0 ， 1 ] ，则上面问题的弱解是经典解。而且有下面估计成立： ‖ ∂ M ∂ ρ ， ∂ N ∂ ρ ‖ ∞ ≤ e T ( A ( T ) + B 0 ( T ) ) ( ‖ M ′ 0 ， N ′ 0 ‖ ∞ + 2 T e A ( T ) ‖ ∂ f 1 ∂ ρ ， ∂ f 2 ∂ ρ ‖ ∞ ) ， (2.12) 其中 B 0 ( T ) = max 1 ≤ i ≤ 2 { ‖ ∂ f i ∂ M ‖ ∞ ， ‖ ∂ f i ∂ N ‖ ∞ } ， A ( T ) = ‖ ∂ u ∂ ρ ‖ ∞ 。 证明：引理2.3的证明可参见 [ 8 ] 中的引理4.3的证明。