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user: 3. 平衡点分析和Hopf分岔存在性稳定性分析 假设系统的非平凡平衡点为 E * = ( x * ， y * ， z * ， w * ) ，通过代换 x ˜ ( t ) = x ( t ) − x * ， y ˜ ( t ) = y ( t ) − y * ， z ˜ ( t ) = z ( t ) − z * ， w ˜ ( t ) = w ( t ) − w * ，将系统平衡点移至原点，并将 x ˜ ( t ) ， y ˜ ( t ) ， z ˜ ( t ) ， w ˜ ( t ) 记为 x ( t ) ， y ( t ) ， y ( t ) ， w ( t ) ，则系统(3)可重新改写为如下系统： { x ˙ = y ( t − τ ) − a x 3 + ( b − 3 c x * ) x 2 + ( 2 b x * − 3 c x * 2 ) x − z y ˙ = − d x 2 − 2 d x * x − y ( t − τ ) − e w z ˙ = r s x − r z w ˙ = h f y ( t − τ ) − h p w (4) 系统(4)在原点的线性化系统为 { x ˙ = y ( t − τ ) + ( 2 b x * − 3 a x * 2 ) x − z y ˙ = − 2 d x * x − y ( t − τ ) − e w z ˙ = r s x ( t − τ 1 ) − r z w ˙ = h f y ( t − τ 2 ) − h p w (5) 系统(5)对应的雅克比矩阵为： A = ( 2 b x * − 3 a x * 2 e − λ τ − 1 0 − 2 d x * − e − λ τ 0 − e r s 0 − r 0 0 h f e − λ τ 0 − h p ) 其对应的特征方程为： λ 4 + k 3 λ 3 + k 2 λ 2 + k 1 λ + ( λ 3 + n 2 λ 2 + n 1 λ + n 0 ) e − λ τ = 0 (6) 其中 k 3 = 3 a x 2 − 2 b x + h p + r ，     k 2 = 3 ( a h p + a r ) x 2 − 2 ( b h p x + b r ) x + h p r + r s ， k 1 = 3 a h p r x 2 − 2 b h p r x + h p r s ，     n 2 = 3 a x 2 + 2 ( d − b ) x + h f e + h p + r ， n 1 = 3 ( a e f h + a h p + a r ) x 2 − 2 ( b e f h + b h p − d h p + b r − d r ) x + e f h r + h p r + r s ， n 0 = 3 ( a e f h r + a h p r ) x 2 − 2 ( b e f h r − d h p r ) x − 2 b h p r + e f h r s + h p r s 根据系统中时滞 τ 的值，分以下几种情形讨论： 情形1：时滞 τ = 0 时，特征方程(6)变为 λ 4 + q 13 λ 3 + q 12 λ 2 + q 11 λ + q 10 = 0 (7) 其中 q 13 = k 3 + 1 ，   q 12 = k 2 + n 2 ，   q 11 = k 1 + n 1 ，   q 10 = n 0 。 根据Routh-Hurwitz准则，得到如下结论： 当特征方程所对应的系数值满足如下条件 (H1) q 13 > 0 ， q 12 q 13 > q 11 ， q 11 q 12 q 13 > q 10 q 13 2 + q 11 2 。 则方程(7)的全部根满足具有负实部的条件，那么，系统(4)在平衡点处是渐进稳定的，即系统(3)在平衡点处是渐进稳定的。 情形1：时滞 τ ≠ 0 时，考虑特征方程(6) 令 λ = i ω 是方程(6)的根，则有 ω 4 − i k 3 ω 3 − k 2 ω 2 + i k 1 ω + ( − i ω 3 − n 2 ω 2 + i n 1 ω + n 0 ) [ cos ( ω τ ) − i sin ( ω τ ) ] = 0 (8) 分离方程(8)的实部和虚部可得： { ( n 0 − n 2 ω 2 ) cos ( ω τ ) + ( n 1 ω − ω 3 ) sin ( ω τ ) = k 2 ω 2 − ω 4 ( n 1 ω − ω 3 ) cos ( ω τ ) + ( n 2 ω 2 − n 0 ) sin ( ω τ ) = k 3 ω 3 − k 1 ω 那么 { sin ( ω τ 1 ) = ω 7 + A 2 ω 5 + A 1 ω 3 + A 0 ω ω 6 + B 2 ω 4 + B 1 ω 2 + B 0 cos ( ω τ 1 ) = A 5 ω 6 + A 4 ω 4 + A 3 ω 2 ω 6 + B 2 ω 4 + B 1 ω 2 + B 0 (9) 其中 A 0 = n 0 k 1 ， A 1 = n 1 k 2 − n 0 k 3 − n 2 k 1 ， A 2 = n 2 k 3 − n 1 − k 2 ， A 3 = n 0 k 2 − n 1 k 2 ， A 4 = n 1 k 3 − n 2 k 2 + k 1 − n 0 ， A 5 = n 2 − k 3 ， B 0 = n 0 2 ， B 1 = n 1 2 − 2 n 0 n 2 ， B 2 = n 2 2 − 2 n 1 把上述方程各式平方可得： ω 8 + b 3 ω 6 + b 2 ω 4 + b 1 ω 2 + b 0 = 0 (10) 其中 b 3 = k 3 2 − 2 k 2 − 1 ，     b 2 = k 2 2 − 2 k 1 k 3 − n 2 2 + 2 n 1 ， b 1 = k 1 2 + 2 n 0 n 2 − n 1 2 ，     b 0 = − n 0 2 令 η = ω 2 ，则方程(10)变为： η 4 + b 3 η 3 + b 2 η 2 + b 1 η + b 0 = 0 (11) 令 f ( η ) = η 4 + b 3 η 3 + b 2 η 2 + b 1 η + b 0 不失一般性，假设方程(11)有四个正根，分别记为 η 1 ， η 2 ， η 3 ， η 4 。因此，方程(10)有四个正根 ω i = η i ( i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 。 由方程(9)，记 τ 2 k ( i ) = 1 ω k { arccos ( A 25 ω 6 + A 24 ω 4 + A 23 ω 2 ω 6 + B 22 ω 4 + B 21 ω 2 + B 20 ) + 2 i π } ， k = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ; i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ 令 λ ( τ ) = α ( τ ) + i ω ( τ ) 是特征方程(6)在时滞 τ = τ 20 附近满足 α ( τ 20 ) = 0 ， ω ( τ 20 ) = ω 20 的根，可以得到如下横截性条件。 设 η k = ω k 2 且 h ′ ( z k ) ≠ 0 ，则 ( d ( Re λ ) d τ ) τ = τ 2 k ( i ) ≠ 0 且 ( d ( Re λ ) d τ ) τ = τ 2 k ( i ) 与 f ′ ( η k ) 有相同的符号。 则可得如下结论： 引理1：i)当 τ ∈ [ 0 ， τ 20 ) ，方程(6)的所有根具有负实部，系统(1)的平衡点 E * = ( x * ， y * ， z * ， w * ) 是渐进稳定的；当 τ 2 > τ 20 ，平衡点 E * = ( x * ， y * ， z * ， w * ) 是不稳定的。 ii) 若 f ′ ( η k ) ≠ 0 ，在临界值 τ 2 = τ 2 k ( i ) 时，系统(3)在平衡点 E * = ( x * ， y * ， z * ， w * ) 处发生Hopf分岔，即一组非常数周期解会从平衡点分岔出来。