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user: 4. 定理2的证明 证明：令 S = V ( P ) 。令 G ′ = G − S ，以及 f ′ 是 V ( G ′ ) 到N上的一个映射且满足对于 v ∈ V ( G ′ ) 都有 f ′ ( v ) = f ( v ) − | N G ( v ) ∩ S | 除了那些在S上有三个邻点的点，以及对于 i = 2 ， 3 ， f ′ ( t i ) = 1 。 情形1： p k − 2 p k ∉ E ( G ) 。 1.1 t 2 p 2 ， t 3 p 2 中一个是G中的边。 我们假设 t 2 p 2 ∈ E ( G ) 。在第i回合Lister选中一个未染顶点集 L i ，Painter按照以下策略选择 I i ： 1) 对于 i = 1 ， 2 ， 3 有 t i ∈ L i ，玩家Painter优先选择 t i 在 I i 中。 2) 如果 L i ⊆ S ，那么玩家Painter按照顺序 p 1 ， p 2 ， ⋯ ， p k − 1 ， p k 选择在 I i 中。 3) 如果 L i ⊄ S ，玩家Painter一般优先考虑S中的点。当y在P上的邻点是 p i ， p i + 1 ， p i + 2 ，其中 2 ≤ i ≤ k − 2 。如果 p i ， p i + 1 ， y ∈ L i ，那么Painter优先考虑 p i ， p i + 1 ；如果 p i + 2 ， y ∈ L i ，那么玩家Painter优先考虑y。当y在P上的邻点是 p 1 ， p 2 ， p 3 ，因为 t 2 p 2 ∈ E ( G ) 以及根据引理4，我们有 t 2 y ∉ E ( G ) 。如果 t 2 ， p 2 ， y ∈ L i ，那么Painter优先考虑 t 2 ， y ；如果 p 2 ， y ∈ L i ，Painter优先考虑 p 2 。 由以上的策略，S中的点一般只会因为它前面的邻点丢失1个筹码。只有当y在P上有三个邻点 p i ， p i + 1 ， p i + 2 时， p i + 2 会因为y丢失3个筹码，根据引理12，y是唯一的，所以 p i + 2 最多丢失4个筹码， p i + 2 还有筹码可用。因此 G [ S ] 是在线f-可选的。对于G中的点，我们需要说明 ( G ′ ， f ′ ) 满足引理1的条件。由 f ′ 定义可知G中的点除了y都有足够的筹码可用，因此我们只需要说明 f ′ 在 G ′ 中至少有3个筹码可用。根据以上的策略，点y最多因为 p i ， p i + 1 丢掉2个筹码，所以y在 G ′ 中至少有3个筹码。从而 G − E ( T ) 在线f -可选的，与G是反例相矛盾。 1.2 t 2 p 2 ， t 3 p 2 都不是G中的边。 在第i回合Lister选中一个未染顶点集 L i ，Painter按照以下策略选择 I i ： 1) 对于 i = 1 ， 2 ， 3 有 t i ∈ L i ，玩家Painter优先选择 t i 在 I i 中。 2) 如果 L i ⊆ S ，那么玩家Painter按照顺序 p 1 ， p 2 ， ⋯ ， p k − 1 ， p k 选择在 I i 中。 3) 如果 L i ⊄ S ，玩家Painter一般优先考虑S中的点。当y在P上的邻点是 p i ， p i + 1 ， p i + 2 ，其中 1 ≤ i ≤ k − 2 。如果 p i ， p i + 1 ， y ∈ L i ，那么Painter优先考虑 p i ， p i + 1 ；如果 p i + 2 ， y ∈ L i ，那么玩家Painter优先考虑y。 由以上的策略，S中的点一般只会因为它前面的邻点丢失1个筹码。只有当y在P上有三个邻点 p i ， p i + 1 ， p i + 2 时， p i + 2 会因为y丢失3个筹码，根据引理12，y是唯一的，所以 p i + 2 最多丢失4个筹码， p i + 2 还有筹码可用。因此 G [ S ] 是在线f-可选的。对于G中的点，我们需要说明 ( G ′ ， f ′ ) 满足引理1的条件。由 f ′ 定义可知G中的点除了y都有足够的筹码可用，因此我们只需要说明 f ′ 在 G ′ 中至少有3个筹码可用。根据以上的策略，点y最多因为 p i ， p i + 1 丢掉2个筹码，所以y在 G ′ 中至少有3个筹码。从而 G − E ( T ) 在线f-可选的，与G是反例相矛盾。 情形2： p k − 2 p k ∈ E ( G ) 。 A 不存在点 v ∈ V ( G ) − V ( P ) 使得 σ ( v ) = p k 。 A1 t 2 p 2 ， t 3 p 2 中一个是G中的边。 我们假设 t 2 p 2 ∈ E ( G ) 。在第i回合Lister选中一个未染顶点集 L i ，Painter按照以下策略选择 I i ： 1) 对于 i = 1 ， 2 ， 3 有 t i ∈ L i ，玩家Painter优先选择 t i 在 I i 中。 2) 如果 L i ⊆ S ，那么玩家Painter按照顺序 p 1 ， p 2 ， ⋯ ， p k − 1 ， p k 选择在 I i 中。 3) 如果 L i ⊄ S ，玩家Painter一般优先考虑S中的点。当y在P上的邻点是 p i ， p i + 1 ， p i + 2 ，其中 2 ≤ i ≤ k − 2 。如果 p i ， p i + 1 ， y ∈ L i ，那么Painter优先考虑 p i ， p i + 1 ；如果 p i + 2 ， y ∈ L i ，那么玩家Painter优先考虑y。当y在P上的邻点是 p 1 ， p 2 ， p 3 ，因为 t 2 p 2 ∈ E ( G ) 以及根据引理4，我们有 t 2 y ∉ E ( G ) 。如果 t 2 ， p 2 ， y ∈ L i ，那么Painter优先考虑 t 2 ， y ；如果 p 2 ， y ∈ L i ，Painter优先考虑 p 2 。 由以上的策略，S中的点一般只会因为它前面的邻点丢失1个筹码。只有当y在P上有三个邻点 p i ， p i + 1 ， p i + 2 时， p i + 2 会因为y丢失3个筹码，根据引理12，y是唯一的，所以 p i + 2 最多丢失4个筹码， p i + 2 还有筹码可用。因此 G [ S ] 是在线f-可选的。对于G中的点，我们需要说明 ( G ′ ， f ′ ) 满足引理1的条件。由 f ′ 定义可知G中的点除了y都有足够的筹码可用，因此我们只需要说明 f ′ 在 G ′ 中至少有3个筹码可用。根据以上的策略，点y最多因为 p i ， p i + 1 丢掉2个筹码，所以y在 G ′ 中至少有3个筹码。从而 G − E ( T ) 在线f -可选的，与G是反例相矛盾。 A2 t 2 p 2 ， t 3 p 2 都不是G中的边。 在第i回合Lister选中一个未染顶点集 L i ，Painter按照以下策略选择 I i ： 1) 对于 i = 1 ， 2 ， 3 有 t i ∈ L i ，玩家Painter优先选择 t i 在 I i 中。 2) 如果 L i ⊆ S ，那么玩家Painter按照顺序 p 1 ， p 2 ， ⋯ ， p k − 1 ， p k 选择在 I i 中。 3) 如果 L i ⊄ S ，玩家Painter一般优先考虑S中的点。当y在P上的邻点是 p i ， p i + 1 ， p i + 2 ，其中 1 ≤ i ≤ k − 2 。如果 p i ， p i + 1 ， y ∈ L i ，那么Painter优先考虑 p i ， p i + 1 ；如果 p i + 2 ， y ∈ L i ，那么玩家Painter优先考虑y。 由以上的策略，S中的点一般只会因为它前面的邻点丢失1个筹码。只有当y在P上有三个邻点 p i ， p i + 1 ， p i + 2 时， p i + 2 会因为y丢失3个筹码，根据引理12，y是唯一的，所以 p i + 2 最多丢失4个筹码， p i + 2 还有筹码可用。因此 G [ S ] 是在线f-可选的。对于G中的点，我们需要说明 ( G ′ ， f ′ ) 满足引理1的条件。由 f ′ 定义可知G中的点除了y都有足够的筹码可用，因此我们只需要说明 f ′ 在 G ′ 中至少有3个筹码可用。根据以上的策略，点y最多因为 p i ， p i + 1 丢掉2个筹码，所以y在 G ′ 中至少有3个筹码。从而 G − E ( T ) 在线f-可选的，与G是反例相矛盾。 B 存在点 v ∈ V ( G ) − V ( P ) 使得 σ ( v ) = p k 。 B1 存在点 w ∈ V ( G ) − V ( P ) 使得 σ ( w ) = p k − 2 。 B1.1 t 2 p 2 ， t 3 p 2 中一个是G中的边。 我们假设 t 2 p 2 ∈ E ( G ) 。在第i回合Lister选中一个未染顶点集 L i ，Painter按照以下策略选择 I i ： 1) 对于 i = 1 ， 2 ， 3 有 t i ∈ L i ，玩家Painter优先选择 t i 在 I i 中。 2) 如果 L i ⊆ S ，那么Painter按照顺序 p 1 ， p 2 ， ⋯ ， p k − 1 选择在 I i 中，对于 p k − 1 ， p k ，Painter优先考虑 p k 。 3) 如果 L i ⊄ S ，玩家Painter一般优先考虑S中的点。当y在P上的邻点是 p i ， p i + 1 ， p i + 2 ，其中 2 ≤ i ≤ k − 2 。如果 p i ， p i + 1 ， y ∈ L i ，那么Painter优先考虑 p i ， p i + 1 ；如果 p i + 2 ， y ∈ L i ，那么玩家Painter优先考虑y。当y在P上的邻点是 p 1 ， p 2 ， p 3 ，因为 t 2 p 2 ∈ E ( G ) 以及根据引理4，我们有 t 2 y ∉ E ( G ) 。如果 t 2 ， p 2 ， y ∈ L i ，那么Painter优先考虑 t 2 ， y ；如果 p 2 ， y ∈ L i ，Painter优先考虑 p 2 。 由以上的策略，S中的点一般只会因为它前面的邻点丢失1个筹码。只有当y在P上有三个邻点 p i ， p i + 1 ， p i + 2 时， p i + 2 会因为y丢失3个筹码，根据引理12，y是唯一的，所以 p i + 2 最多丢失4个筹码， p i + 2 还有筹码可用。因此 G [ S ] 是在线f-可选的。对于G中的点，我们需要说明 ( G ′ ， f ′ ) 满足引理1的条件。由 f ′ 定义可知G中的点除了y都有足够的筹码可用，因此我们只需要说明 f ′ 在 G ′ 中至少有3个筹码可用。根据以上的策略，点y最多因为 p i ， p i + 1 丢掉2个筹码，所以y在 G ′ 中至少有3个筹码。从而 G − E ( T ) 在线f-可选的，与G是反例相矛盾。 B1.2 t 2 p 2 ， t 3 p 2 都不是G中的边。 在第i回合Lister选中一个未染顶点集 L i ，Painter按照以下策略选择 I i ： 1) 对于 i = 1 ， 2 ， 3 有 t i ∈ L i ，玩家Painter优先选择 t i 在 I i 中。 2) 如果 L i ⊆ S ，那么Painter按照顺序 p 1 ， p 2 ， ⋯ ， p k − 1 选择在 I i 中，对于 p k − 1 ， p k ，Painter优先考虑 p k 。 3) 如果 L i ⊄ S ，玩家Painter一般优先考虑S中的点。当y在P上的邻点是 p i ， p i + 1 ， p i + 2 ，其中 1 ≤ i ≤ k − 2 。如果 p i ， p i + 1 ， y ∈ L i ，那么Painter优先考虑 p i ， p i + 1 ；如果 p i + 2 ， y ∈ L i ，那么玩家Painter优先考虑y。 由以上的策略，S中的点一般只会因为它前面的邻点丢失1个筹码。只有当y在P上有三个邻点 p i ， p i + 1 ， p i + 2 时， p i + 2 会因为y丢失3个筹码，根据引理12，y是唯一的，所以 p i + 2 最多丢失4个筹码， p i + 2 还有筹码可用。因此 G [ S ] 是在线f-可选的。对于G中的点，我们需要说明 ( G ′ ， f ′ ) 满足引理1的条件。由 f ′ 定义可知G中的点除了y都有足够的筹码可用，因此我们只需要说明 f ′ 在 G ′ 中至少有3个筹码可用。根据以上的策略，点y最多因为 p i ， p i + 1 丢掉2个筹码，所以y在 G ′ 中至少有3个筹码。从而 G − E ( T ) 在线f-可选的，与G是反例相矛盾。 B2 不存在点 w ∈ V ( G ) − V ( P ) 使得 σ ( v ) = p k − 2 。 B2.1 t 2 p 2 ， t 3 p 2 中一个是G中的边。 我们假设 t 2 p 2 ∈ E ( G ) 。在第i回合Lister选中一个未染顶点集 L i ，Painter按照以下策略选择 I i ： 1) 对于 i = 1 ， 2 ， 3 有 t i ∈ L i ，玩家Painter优先选择 t i 在 I i 中。 2) 如果 L i ⊆ S ，那么Painter按照顺序 p 1 ， p 2 ， ⋯ ， p k − 1 ， p k 选择在 I i 中。 3) 如果 L i ⊄ S ，玩家Painter一般优先考虑S中的点。当y在P上的邻点是 p i ， p i + 1 ， p i + 2 ，其中 2 ≤ i ≤ k − 2 。如果 p i ， p i + 1 ， y ∈ L i ，那么Painter优先考虑 p i ， p i + 1 ；如果 p i + 2 ， y ∈ L i ，那么玩家Painter优先考虑y。当y在P上的邻点是 p 1 ， p 2 ， p 3 ，因为 t 2 p 2 ∈ E ( G ) 以及根据引理4，我们有 t 2 y ∉ E ( G ) 。如果 t 2 ， p 2 ， y ∈ L i ，那么Painter优先考虑 t 2 ， y ；如果 p 2 ， y ∈ L i ，Painter优先考虑 p 2 。当y在P上的邻点是 p k − 3 ， p k − 2 ， p k 。如果 p k − 3 ， p k ， y ∈ L i ，那么Painter优先考虑 p k − 3 ， p k ；如果 p k − 2 ， y ∈ L i ，Painter优先考虑y。 由以上的策略，S中的点一般只会因为它前面的邻点丢失1个筹码。只有当y在P上有三个邻点 p i ， p i + 1 ， p i + 2 时， p i + 2 会因为y丢失3个筹码，根据引理12，y是唯一的，所以 p i + 2 最多丢失4个筹码， p i + 2 还有筹码可用。因此 G [ S ] 是在线f-可选的。对于G中的点，我们需要说明 ( G ′ ， f ′ ) 满足引理1的条件。由 f ′ 定义可知G中的点除了y都有足够的筹码可用，因此我们只需要说明 f ′ 在 G ′ 中至少有3个筹码可用。根据以上的策略，点y最多因为 p i ， p i + 1 丢掉2个筹码，所以y在 G ′ 中至少有3个筹码。从而 G − E ( T ) 在线f-可选的，与G是反例相矛盾。 B2.2 t 2 p 2 ， t 3 p 2 都不是G中的边。 在第i回合Lister选中一个未染顶点集 L i ，Painter按照以下策略选择 I i ： 1) 对于 i = 1 ， 2 ， 3 有 t i ∈ L i ，玩家Painter优先选择 t i 在 I i 中。 2) 如果 L i ⊆ S ，那么Painter按照顺序 p 1 ， p 2 ， ⋯ ， p k − 1 ， p k 选择在 I i 中。 3) 如果 L i ⊄ S ，玩家Painter一般优先考虑S中的点。当y在P上的邻点是 p i ， p i + 1 ， p i + 2 ，其中 1 ≤ i ≤ k − 2 。如果 p i ， p i + 1 ， y ∈ L i ，那么Painter优先考虑 p i ， p i + 1 ；如果 p i + 2 ， y ∈ L i ，那么玩家Painter优先考虑y。当y在P上的邻点是 p k − 3 ， p k − 2 ， p k 。如果 p k − 3 ， p k ， y ∈ L i ，那么Painter优先考虑 p k − 3 ， p k ；如果 p k − 2 ， y ∈ L i ，Painter优先考虑y。 由以上的策略，S中的点一般只会因为它前面的邻点丢失1个筹码。只有当y在P上有三个邻点 p i ， p i + 1 ， p i + 2 时， p i + 2 会因为y丢失3个筹码，根据引理12，y是唯一的，所以 p i + 2 最多丢失4个筹码， p i + 2 还有筹码可用。因此 G [ S ] 是在线f-可选的。对于G中的点，我们需要说明 ( G ′ ， f ′ ) 满足引理1的条件。由 f ′ 定义可知G中的点了y都有足够的筹码可用，因此我们只需要说明 f ′ 在 G ′ 中至少有3个筹码可用。根据以上的策略，点y最多因为 p i ， p i + 1 丢掉2个筹码，所以y在 G ′ 中至少有3个筹码。从而 G − E ( T ) 在线f-可选的，与G是反例相矛盾。