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user: 2. 主要结果 定理1：设A为Banach空间X上的一个凸集， 0 ∈ int A ，则下列条件等价： 1) 当 μ A ( ∑ i = 1 k + 1 x i ) = ∑ i = 1 k + 1 μ A ( x i ) ，   x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x k + 1 ∈ ∂ A 时，存在不全为0的 k + 1 个实数 r 1 ， r 2 ， ⋯ ， r k + 1 ，使得 ∑ i = 1 k + 1 r i x i = 0 成立。其中 μ A 是A上的Minkowski泛函。 2) 任意 x ∈ ∂ ( A ) ，则x是A的k端点。 3) A是k严格凸集。 证明：1)⟹2)假设2)的结论不成立，则存在 z 0 ∈ ∂ ( A ) ， 及 x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x k + 1 ∈ A ， 0 < t i < 1 ， ∑ i = 1 k + 1 t i = 1 ，使得 z 0 = ∑ i = 1 k + 1 t i x i ， 但不存在一组不全为0的实数 r 1 ， r 2 ， ⋯ ， r k + 1 ，使得 ∑ i = 1 k + 1 r i x i = 0 成立。 令 μ A 为A上的Minkowski泛函，且 0 ∈ int ( A ) ，故 μ A 为X上的连续泛函，且 int ( A ) = { x : μ A ( x ) < 1 } ，且有 int ( A ) ¯ = A ¯ 成立。所以 1 = μ A ( z 0 ) = μ A ( ∑ i = 1 k + 1 t i x i ) ≤ ∑ i = 1 k + 1 t i μ A ( x i ) ≤ ∑ i = 1 k + 1 t i = 1 所以 ∑ i = 1 k + 1 t i μ A ( x i ) = 1 ，因此 μ A ( x i ) = 1 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k + 1 ，现在我们证明 μ A ( ∑ i = 1 k + 1 x i ) = ∑ i = 1 k + 1 μ A ( x i ) ，假设 μ A ( ∑ i = 1 k + 1 x i ) < ∑ i = 1 k + 1 μ A ( x i ) ，我们有 μ A ( z 0 ) = μ A ( ( t 1 + ⋯ + t k + 1 ) k z 0 ) = μ A ( ( t 1 + ⋯ + t k + 1 ) k ( ∑ i = 1 k + 1 t i x i ) ) = μ A ( t 1 k + 1 x 1 + ⋯ + t k + 1 k + 1 x k + 1 + ⋯ + k ! t 1 t 2 ⋯ t k + 1 ( x 1 + ⋯ + x k + 1 ) ) < t 1 k + 1 + ⋯ + t k + 1 k + 1 + ⋯ + k ! t 1 t 2 ⋯ t k + 1 ( k + 1 ) = ( t 1 + ⋯ + t k + 1 ) k ( t 1 + ⋯ + t k + 1 ) = 1 又 μ A ( z 0 ) = 1 ，即 1 < 1 ，矛盾。故 μ A ( ∑ i = 1 k + 1 x i ) = ∑ i = 1 k + 1 μ A ( x i ) 成立。但不存在一组不全为0的实数 r 1 ， r 2 ， ⋯ ， r k + 1 ，使得 ∑ i = 1 k + 1 r i x i = 0 ，同1)矛盾，故2)成立。 2)⟹3)任意 x ∈ ∂ ( A ) ，及实泛函f，满足 f ( x ) ≥ sup f ( int A ) ，任取 x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x k + 1 ∈ { y : f ( y ) = f ( x ) } ，令 z = 1 k + 1 ( ∑ i = 1 k + 1 x i ) ，易证 z ∈ { y : f ( y ) = f ( x ) } ，则 z ∈ ∂ A (事实上，假设 z ∈ int A ，则存在 r ∈ R ，且 r > 1 ， s.t r z ∈ int ( A ) ，由 f ( x ) ≥ sup f ( int A ) ， int A ¯ = A ¯ 知 f ( x ) ≥ sup f ( A ) ， r ( z ) ∈ A ，故 f ( x ) = f ( z ) ≥ f ( r z ) ，故 1 ≥ r ，矛盾)通过2)知z是A的k端点。故不存在一组不全为0的实数 r 1 ， r 2 ， ⋯ ， r k + 1 ，使得 ∑ i = 1 k + 1 r i x i = 0 ，故 { y = f ( y ) = f ( x ) } 张成的实线性子空间维数不超过k。故3)成立。 3)⟹1)假设1)不成立，则存在 x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x k + 1 ∈ ∂ A ，使得 μ A ( ∑ i = 1 k + 1 x i ) = ∑ i = 1 k + 1 μ A ( x i ) ，但不存在一组不全为0的实数 r 1 ， r 2 ， ⋯ ， r k + 1 ，使得 ∑ i = 1 k + 1 r i x i = 0 ，令 x 0 = 1 k + 1 ∑ i = 1 k + 1 x i ⇒ μ A ( x 0 ) = 1 k + 1 ∑ i = 1 k + 1 μ A ( x i ) = 1 ，故 x 0 ∈ ∂ A 。由分离定理存在实泛函f，使得 f ( x 0 ) ≥ sup f ( int A ) ，故 f ( x i ) = f ( x 0 ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k + 1 ，因此 { x i } i = 1 k + 1 ⊂ { y : f ( y ) = f ( x 0 ) } 。由3)知 { y = f ( y ) = f ( x 0 ) } 张成的实线性子空间维数不超过k，矛盾。故1)成立。 定义4设A是Banach空间X上的一个内部不空的凸集，如果对任给的 ε > 0 ，存在 δ > 0 ，使得对任意 x ， y ∈ ∂ ( A ) ，当 B δ ( 1 2 x + 1 2 y ) ⊄ A 时，有 ‖ x − y ‖ < ε 成立。则称A为一致凸集。 下面我们给凸集加上限制条件把一致凸集的概念推广到k一致凸集。 定义5设 是Banach空间X上的一个内部不空的有界凸集，如果对任给的 ε > 0 ，存在 δ > 0 ，使得对任意 x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x k + 1 ∈ ∂ ( A ) ，当 B δ ( 1 k + 1 ( x 1 + x 2 + ⋯ + x k + 1 ) ) ⊄ A 时，有 A ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x k + 1 ) = sup { ‖ 1 1 ⋯ 1 f 1 ( x 1 ) f 1 ( x 2 ) ⋯ f 1 ( x k + 1 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ f k + 1 ( x 1 ) f k + 1 ( x 1 ) ⋯ f k + 1 ( x k + 1 ) ‖ : f i ∈ S ( X * ) } < ε 成立。则称A为k一致凸集。 从k一致凸集的定义不难验证1一致凸集即为一致凸集，有界的一致凸集为1-一致凸集。 定理2设A是Banach空间X上的k一致凸集，则A为 k + 1 一致凸集。 证明：由k一致凸集的定义不难验证A为k一致凸集当且仅当属于A边界的 ( k + 1 ) 个元列 { ( x 1 ( n ) ， x 2 ( n ) ， ⋯ ， x k + 1 ( n ) ) | n = 1 ， 2 ， ⋯ } ，当 B δ n ( 1 k + 1 ( x 1 + x 2 + ⋯ + x k + 1 ) ) ⊄ A 时，其中 lim n → ∞ δ n = 0 成立。则有 A ( x 1 ( n ) ， x 2 ( n ) ， ⋯ ， x k + 1 ( n ) ) → 0 ( n → ∞ ) 成立。 设 { ( x 1 ( n ) ， x 2 ( n ) ， ⋯ ， x k + 2 ( n ) ) | n = 1 ， 2 ， ⋯ } 是属于A边界的 ( k + 2 ) 个元列，且存在实数列 { δ n } n = 1 ∞ ， δ n → 0 ( n → ∞ ) ， B δ n ( 1 k + 1 ( x 1 + x 2 + ⋯ + x k + 1 ) ) ⊄ A 成立，则存在实数列 { δ ′ n } n = 1 ∞ ， δ ′ n → 0 ( n → ∞ ) ，使得 B δ ′ n ( 1 k + 1 ( x 1 + x 2 + ⋯ + x k + 1 ) ) ⊄ A 成立。(事实上，假设上述结论不成立，则存在 δ > 0 ，使得 B δ ( 1 k + 1 ( x 1 + x 2 + ⋯ + x k + 1 ) ) ⊂ A 成立。即 1 k + 1 ( x 1 + x 2 + ⋯ + x k + 1 ) ∈ int ( A ) ，不失一般性，不妨令 0 ∈ int ( A ) ，令 μ A 为A上的Minkowski泛函，则 μ A 连续且 int ( A ) = { x : μ A < 1 } ，则 μ A ( 1 k + 2 ( x 1 + x 2 + ⋯ + x k + 2 ) ) = μ A ( k + 1 k + 2 ( x 1 ( n k ) + ⋯ + x k + 1 ( n k ) k + 1 ) + 1 k + 2 x k + 2 ( n k ) ) = k + 1 k + 2 μ A ( 1 k + 1 ( x 1 ( n k ) + ⋯ + x k + 2 ( n k ) ) + 1 k + 2 x k + 2 ( n k ) ) = m < 1 成立。 令 y n k = 1 k + 2 ( x 1 ( n k ) + ⋯ + x k + 2 ( n k ) ) ，由 μ A 的连续性知，存在0点的领域 B δ 1 ( 0 ) ，使得 μ A ( B δ 1 ( 0 ) ) < 1 2 ( 1 − m ) ，取 y n k 的领域 y n k + B δ 1 ( 0 ) ，当 y ∈ y n k + B δ 1 ( 0 ) 时， μ A ( y ) ≤ μ A ( y − y n k ) + μ A ( y n k ) ≤ 1 2 ( 1 − m ) + m < 1 ，故 y n k + B δ 1 ( 0 ) ⊂ int ( A ) ⊂ A 。这与存在实数列 { δ n } n = 1 ∞ ， δ n → 0 ( n → ∞ ) ， B δ n ( 1 k + 1 ( x 1 + x 2 + ⋯ + x k + 1 ) ) ⊄ A 矛盾。)由A的k一致凸性知 A ( x 1 ( n ) ， ⋯ ， x k + 1 ( n ) ) → 0 ( n → ∞ ) ，同理当 ( 1 ≤ i ≤ k + 2 ) 时， A ( x 1 ( n ) ， ⋯ ， x i − 1 ( n ) ， x i + 1 ( n ) ， ⋯ ， x k + 1 ( n ) ) → 0 ( n → ∞ ) 。 由A的有界性知，存在 M > 0 ，使得对任意 f ∈ S ( X * ) ， x ∈ A ，有 | f ( x ) | ≤ M 成立。 故由行列式的性质知， A ( x 1 ( n ) ， ⋯ ， x k + 1 ( n ) ) ≤ ∑ i = 1 k + 2 M A ( x 1 ( n ) ， ⋯ ， x i − 1 ( n ) ， x i + 1 ( n ) ， ⋯ ， x k + 1 ( n ) ) ，所以 A ( x 1 ( n ) ， ⋯ ， x k + 1 ( n ) ) → 0 ( n → ∞ ) 。所以A为 k + 1 一致凸集。 故 sup { ‖ 1 1 ⋯ 1 f 1 ( x 1 ) f 1 ( x 2 ) ⋯ f 1 ( x k + 1 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ f k ( x k ) f k ( x k ) ⋯ f k ( x k + 1 ) ‖ : f i ∈ S ( X ， ‖   ⋅   ‖ 1 ) * } = ‖ f 1 ‖ ⋯ ‖ f k ‖ sup { ‖ 1 1 ⋯ 1 f 1 f 1 ( x 1 ) f 1 f 1 ( x 2 ) ⋯ f 1 f 1 ( x k + 1 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ f k f k ( x k ) f k f k ( x k ) ⋯ f k f k ( x k + 1 ) ‖ : f i ∈ S ( X ， ‖   ⋅   ‖ 1 ) * } ≤ ‖ f 1 ‖ ⋯ ‖ f k ‖ A ( x 1 ， ⋯ ， x k + 1 ) ≤ ( 1 m ′ ) k ‖ f 1 ‖ 1 ⋯ ‖ f k ‖ 1 ε M = 1 M ( 1 m ′ ) k ε 故 ( X ， ‖   ⋅   ‖ 1 ) 是k一致凸。