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user: 2. Delannoy类矩阵的行多项式的根 定义2.1 定义 d n ( x ) = ∑ k = 0 n d ( n ， k ) x k ， n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ 是Delannoy类矩阵的行多项式，则 d n ( x ) 满足下列递归关系 d n ( x ) = ( e + x ) d n − 1 ( x ) + h x d n − 2 ( x ) ， (2.1) 其中 d 0 ( x ) = 1 ， d 1 ( x ) = e + x 。 定义2.2 假设 f ， g ∈ R Z 。令 { r i } 和 { s j } 分别是f和g的根的非增序列。如果 deg f = deg g = n ， s n ≤ r n ≤ s n − 1 ≤ ⋯ ≤ s 2 ≤ r 2 ≤ s 1 ≤ r 1 ， 我们称g交替f的左边(简称g交替f)。若果 deg f = deg g + 1 = n ， r n ≤ s n − 1 ≤ ⋯ ≤ s 2 ≤ r 2 ≤ s 1 ≤ r 1 ， 我们称g交错f。将g交替f或者g交错f记为 g ≼ f 。 在给出 d n ( x ) 实根性之前，我们需要下面判断实根性的重要引理。 引理2.3 [ 4 ] 令 F ， f ， g 是三个实多项式，且满足下面条件 a) F ( x ) = a ( x ) f ( x ) + b ( x ) g ( x ) ，其中 a ( x ) ， b ( x ) 是两个实多项式，有 deg F = deg f 或 deg f + 1 。 b) f ， g ∈ R Z ， g ≼ f 。 c) F与g有相同的首项系数。 假设当 f ( r ) = 0 时 b ( r ) ≤ 0 ，则有 F ∈ R Z ， f ≼ F 。 定理2.4 设 r n − 1 ， i 和 r n ， i 分别是多项式 d n − 1 ( x ) ， d n ( x ) 的根。 d n ( x ) 的根均为实根且 d n − 1 ( x ) 的根严格交替于 d n ( x ) 的根，即 r n ， 1 < r n − 1 ， 1 < r n ， 2 < ⋯ < r n ， n − 1 < r n − 1 ， n − 1 < r n ， n . 证明：由(2.1)递归关系 d n ( x ) = ( e + x ) d n − 1 ( x ) + h x d n − 2 ( x )   ( n ≥ 2 ) ， d 0 ( x ) = 1 ， d 1 ( x ) = e + x 知 deg d n ( x ) = deg d n − 1 ( x ) + 1. 下面用归纳假设证明 d n ( x ) 只有实根且 d n − 1 ( x ) ≼ d n ( x ) 。 由 d 1 ( x ) = e + x ， d 2 ( x ) = e 2 + ( 2 e + h ) x + x 2 . 解得其根分别为 r 1 ， 1 = − e ， r 2 ， 1 = − ( 2 e + h ) + ( 2 e + h ) 2 − 4 e 2 2 ， r 2 ， 2 = − ( 2 e + h ) − ( 2 e + h ) 2 − 4 e 2 2 ， 均为实根且满足 r 2 ， 1 < r 1 ， 1 < r 2 ， 2 ，即 d 1 ( x ) ≼ d 2 ( x ) 。现假设 k < n 时 d k ( x ) 的根均为实的且 d n − 2 ( x ) ≼ d n − 1 ( x ) 。易知 d n ( x ) 与 d n − 2 ( x ) 的首项系数相同。 d n − 1 ( x ) 的各项系数均为正，故 d n − 1 ( x ) = 0 的根全为负数，即 r n − 1 ， k < 0 。因为 h > 0 ，所以 b ( r n − 1 ， k ) = h r n − 1 ， k < 0 。由引理2.3从而有 d n ( x ) 的根为实根且 d n − 1 ( x ) ≼ d n ( x ) 。 □ 以上证明了 d n ( x ) 的实根性，下面我们给出根的存在区间及在对应的闭区间上稠密的证明。在证明之前，先来介绍一下相关的定义及引理。 定义2.5 假设 ( f n ( x ) ) n ≥ 0 为一个复多项式序列。若存在一个序列 ( z n ) n ≥ 0 使得 f n ( z n ) = 0 并且当 n → + ∞ 有 z → x 成立，则我们称复数x为多项式序列 ( f n ( x ) ) n ≥ 0 的零点的极限。 引理2.6 [ 5 ] 在非退化的情况下， f n ( x ) = ∑ j = 1 k a j ( x ) λ j n ( x ) 中的任意一个 a j ( x ) 都不恒为零多项式且使得对于一些单位模的 ω ∈ ℂ 有 λ i ( x ) = ω λ j ( x ) 成立的i与j( i ≠ j )不存在。则x为 ( f n ( x ) ) n > 0 的零点的极限当且仅当 i) 至少有两个 λ j ( x ) 是模相等的且严格大于其余 λ i ( x ) 的模；或者 ii) 对于一些j， λ j ( x ) 的模严格大于其余 λ i ( x ) 的模且 a j ( x ) = 0 。 引理2.7 [ 6 ] 令 λ 1 ， λ 2 ∈ ℝ ， n ∈ ℕ 。 i) 若n为奇数， λ 1 n − λ 2 n = ( λ 1 − λ 2 ) ∏ s = 1 n − 1 2 [ ( λ 1 + λ 2 ) 2 − 4 λ 1 λ 2 cos 2 s π n ] . ii) 若n为偶数， λ 1 n − λ 2 n = ( λ 1 − λ 2 ) ( λ 1 + λ 2 ) ∏ s = 1 n − 1 2 [ ( λ 1 + λ 2 ) 2 − 4 λ 1 λ 2 cos 2 s π n ] . 定理2.8 Delannoy类矩阵多项式的根都是实互异的，在区间 ( − ( e + h + h ) 2 ， − ( e + h − h ) 2 ) 内，且在闭区间上稠密。 证明：由定理2.4知， d n ( x ) 只有实根。由(2.1)式知其特征多项式为 λ 2 − ( e + x ) λ − h x = 0. 则可得到 d n ( x ) 的Binet形式如下， d n ( x ) = λ 1 n + 1 − λ 2 n + 1 λ 1 − λ 2 ， 这里 λ 1 ， 2 = e + x ± ( e + x ) 2 + 4 h x 2 (2.2) 是特征方程 λ 2 − ( e + x ) λ − h x = 0 的特征根且 λ 1 + λ 2 = e + x ， λ 1 λ 2 = − h x 。我们对n进行讨论，因为n为偶数与n为奇数的情况结果相同，现只对n为偶数进行分析。由引理2.7知，n + 1为奇数时，有 λ 1 n + 1 − λ 2 n + 1 = ( λ 1 − λ 2 ) ∏ k = 1 n 2 [ ( λ 1 + λ 2 ) 2 − 4 λ 1 λ 2 C k 2 ] ， 其中 C k = cos k π n + 1 。所以 d n ( x ) = λ 1 n + 1 − λ 2 n + 1 λ 1 − λ 2 = ∏ k = 1 n 2 [ ( e + x ) 2 + 4 h x C k 2 ] . 不难得到 [ x + ( e + h C k 2 + h C k ) 2 ] [ x + ( e + h C k 2 − h C k ) 2 ] = ( e + x ) 2 + 4 h x C k 2 ， 即 d n ( x ) = ∏ k = 1 n 2 [ x + ( e + h C k 2 + h C k ) 2 ] [ x + ( e + h C k 2 − h C k ) 2 ] . 因为 C n + 1 − k = − C k ，故 d n ( x ) = ∏ k = 1 n [ x + ( e + h C k 2 + h C k ) 2 ] . 则 d n ( x ) 的n个根为 r n ， k = − ( e + h C k 2 + h C k ) 2 ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n . 设 f ( x ) = − ( e + h x 2 + h x ) 2 ， ( x ∈ ℝ ) 。 因为 f ′ ( x ) = − 2 h ( e + h x 2 + h x ) 2 e + h x 2 < 0 ，所以 f ( x ) 是严格递减函数。根 r n ， k 中 C k 的值随着k的增大而减小，从而 r n ， k 的值逐渐增大，即 r n ， 1 < r n ， 2 < r n ， 3 < ⋯ < r n ， n . 由定理2.4知 d n − 1 ( x ) ≼ d n ( x ) ，即 r n ， 1 < r n − 1 ， 1 < r n ， 2 < ⋯ < r n ， n − 1 < r n − 1 ， n − 1 < r n ， n 。故 d n ( x ) 的最大根随着n增大而增大，最小根随着n的增大而减小。 lim n → + ∞ r n ， 1 = − ( e + h + h ) 2 ， 而 lim n → + ∞ r n ， n = − ( e + h − h ) 2 . 所以 d n ( x ) 的根在区间 ( − ( e + h + h ) 2 ， − ( e + h − h ) 2 ) 。下证在闭区间稠密，只需证明对于任意的 x ∈ [ − ( e + h + h ) 2 ， − ( e + h − h ) 2 ] 都是序列 ( d n ( x ) ) n ≥ 0 的根的极限为使得 | λ 1 ( x ) | = | λ 2 ( x ) | 成立的那些x，即 | e + x + ( e + x ) 2 + 4 h x | = | e + x − ( e + x ) 2 + 4 h x | . 所以 ( e + x ) 2 + 4 h x ≤ 0 ，即 − ( e + h + h ) 2 ≤ x ≤ − ( e + h − h ) 2 ， 故任意的 x ∈ [ − ( e + h + h ) 2 ， − ( e + h − h ) 2 ] 都是 ( d n ( x ) ) n ≥ 0 的根的极限。 □