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user: 3. 增强超立方体剖分图和全图的基尔霍夫指标 为了方便，我们把增强超立方体 Q n ， k 的顶点数和边数分别记为p和q，显然， p = 2 n ， q = ( n + 1 ) 2 n − 1 。记 Q n ， k 的拉普拉斯特征值为 μ 1 ≥ μ 2 ≥ ⋯ ≥ μ n ≥ μ n + 1 ≥ ⋯ ≥ μ 2 n − 1 ≥ μ 2 n = 0 。 下面我们首先给出增强超立方体 Q n ， k 的剖分图 s ( Q n ， k ) 的基尔霍夫指标。 定理3.1：设 1 ≤ k ≤ n − 1 ， s ( Q n ， k ) 为增强超立方体 Q n ， k 的剖分图，则我们可得 1) K f ( s ( Q n ， k ) ) = ( n + 3 ) 2 2 n − 2 ( ∑ t = 0 n ∑ j = 0 n 1 t + 1 ( n − k + 2 2 j ) ( k − 1 t + 1 − 2 j ) ) + ( n − 1 ) ( n + 3 ) 2 2 n − 3 + 2 n − 1 ，若n和k有相同的奇偶性； 2) K f ( s ( Q n ， k ) ) = ( n + 3 ) 2 2 n − 2 ( ∑ t = 0 n − 1 ∑ j = 0 n 1 t + 1 ( n − k + 2 2 j ) ( k − 1 t + 1 − 2 j ) ) + ( n − 1 ) ( n + 3 ) 2 2 n − 3 + 2 n − 1 ，若n和k有不同的奇偶性。 证明：假设 n ≥ 2 ， P L ( Q n ， k ) ( x ) = x 2 n + a 1 x 2 n − 1 + ⋯ + a 2 n − 2 x 2 + a 2 n − 1 x ， 1 ≤ k ≤ n ，为增强超立方体 Q n ， k 的拉普拉斯特征多项式。则由引理2.2 (2)得 P L ( s ( Q n ， k ) ) = ( − 1 ) p ( 2 − x ) q − p P L ( Q n ， k ) ( x ( n + 3 − x ) ) = ( − 1 ) p ( 2 − x ) q − p [ x 2 n ( n + 3 − x ) 2 n + a 1 x 2 n − 1 ( n + 3 − x ) 2 n − 1 + ⋯     + a 2 n − 2 x 2 ( n + 3 − x ) 2 + a 2 n − 1 x ( n + 3 − x ) ] 故我们可以得到在 P L ( s ( Q n ， k ) ) ( x ) 中 x 2 的系数为 ( − 1 ) p 2 q − p [ ( n + 3 ) 2 a 2 n − 2 − a 2 n − 1 − ( q − p ) ( n + 3 ) 2 − 1 a 2 n − 1 ] 。 而在 P L ( s ( Q n ， k ) ) ( x ) 中x的系数为 ( − 1 ) p 2 q − p ( n + 3 ) a 2 n − 1 。 另外，注意到 s ( Q n ， k ) 有 q + p = ( n + 1 ) 2 n − 1 + 2 n 多个顶点，由引理2.3，可得 K f ( s ( Q n ， k ) ) 2 n + ( n + 1 ) 2 n − 1 = − ( n + 3 ) 2 a 2 n − 2 − a 2 n − 1 − ( q − p ) ( n + 3 ) 2 − 1 a 2 n − 1 ( n + 3 ) a 2 n − 1 = − ( n + 3 ) a 2 n − 2 a 2 n − 1 + q − p 2 + 1 n + 3 = ( n + 3 ) 2 n K f ( Q n ， k ) + 1 n + 3 + ( n − 1 ) 2 n − 2 化简上述等式可得 K f ( s ( Q n ， k ) ) = ( n + 3 ) 2 2 K f ( Q n ， k ) + ( n − 1 ) ( n + 3 ) 2 2 n − 3 + 2 n − 1 将引理2.4的结果代入上式可得，增强超立方体 Q n ， k 的剖分图 s ( Q n ， k ) 的基尔霍夫指标如下： 若n和k有相同的奇偶性，则 K f ( s ( Q n ， k ) ) = ( n + 3 ) 2 2 n − 2 ( ∑ t = 0 n ∑ j = 0 n 1 t + 1 ( n − k + 2 2 j ) ( k − 1 t + 1 − 2 j ) ) + ( n − 1 ) ( n + 3 ) 2 2 n − 3 + 2 n − 1 。 若n和k有不同的奇偶性，则 K f ( s ( Q n ， k ) ) = ( n + 3 ) 2 2 n − 2 ( ∑ t = 0 n − 1 ∑ j = 0 n 1 t + 1 ( n − k + 2 2 j ) ( k − 1 t + 1 − 2 j ) ) + ( n − 1 ) ( n + 3 ) 2 2 n − 3 + 2 n − 1 。 证毕。 定理3.2：设 1 ≤ k ≤ n − 1 ， t ( Q n ， k ) 为增强超立方体 Q n ， k 的全图，则我们可得 1) 若n和k有相同的奇偶性，则 K f ( t ( Q n ， k ) ) = 2 n − 1 + ( n − 1 ) ( n + 3 ) n + 2 2 2 n − 3 + ( n + 3 ) ( 3 n + 13 ) n + 4 2 n − 2     × ( ∑ t = 0 n ∑ j = 0 n 3 t + n + 7 ( t + 1 ) ( 2 t + n + 6 ) ( n − k + 2 2 j ) ( k − 1 t + 1 − 2 j ) ) 2) 若n和k有不同的奇偶性，则 K f ( t ( Q n ， k ) ) = 2 n − 1 + ( n − 1 ) ( n + 3 ) n + 2 2 2 n − 3 + ( n + 3 ) ( 3 n + 13 ) n + 4 2 n − 2     × ( ∑ t = 0 n − 1 ∑ j = 0 n 3 t + n + 7 ( t + 1 ) ( 2 t + n + 6 ) ( n − k + 2 2 j ) ( k − 1 t + 1 − 2 j ) ) 证明：我们都知道增强超立方体 Q n ， k 是 ( n + 1 ) 正则的。则由引理2.2 (3)可得 P L ( t ( Q n ， k ) ) ( x ) = x ( x − n − 3 ) ( x − 2 n − 4 ) q − p ∏ i = 1 2 n − 1 [ x 2 − ( n + 3 + 2 μ i ) x + μ i 2 + ( n + 4 ) μ i ] ， 其中 μ i 是 Q n ， k 的非零拉普拉斯特征值。设b，c分别是 P L ( t ( Q n ， k ) ) 中 x 2 和x的系数，则 ( − 1 ) q − p b = ( 2 n + 4 ) q − p ∏ i = 1 2 n − 1 [ μ i 2 + ( n + 4 ) μ i ] + ( n + 3 ) ( q − p ) ( 2 n + 4 ) q − p − 1 ∏ i = 1 2 n − 1 [ μ i 2 + ( n + 4 ) μ i ]     + ( n + 3 ) ( 2 n + 4 ) q − p ∑ j = 1 2 n − 1 [ ( 2 + 2 μ j + d ) ∏ i = 1 ， i ≠ j 2 n − 1 ( μ i 2 + ( n + 4 ) μ i ) ] 。 且 c = ( − 1 ) q − p − 1 ( n + 3 ) ( 2 n + 4 ) q − p ∏ i = 1 2 n − 1 [ μ i 2 + ( n + 4 ) μ i ] 。 注意到 t ( Q n ， k ) 有 q + p = ( n + 3 ) 2 n − 1 个顶点，由引理2.3可得 K f ( t ( Q n ， k ) ) q + p = − b c = 1 n + 3 + q − p 2 ( n + 2 ) + ∑ i = 1 2 n − 1 2 μ i + n + 3 μ i ( μ i + n + 4 ) = 1 n + 3 + q − p 2 ( n + 2 ) + ∑ i = 1 2 n − 1 ( n + 3 n + 4 × 1 μ i + n + 5 n + 4 × 1 μ i + n + 4 ) = 1 n + 3 + q − p 2 ( n + 2 ) + n + 3 ( n + 4 ) 2 n K f ( Q n ， k ) + n + 5 n + 4 ∑ i = 1 2 n − 1 1 μ i + n + 4 将 p = 2 n ， q = ( n + 1 ) 2 n − 1 代入上式并化简上式，可得 K f ( t ( Q n ， k ) ) = 2 n − 1 + ( n − 1 ) ( n + 3 ) n + 2 2 2 n − 3 + ( n + 3 ) 2 2 ( n + 4 ) K f ( Q n ， k ) + ( n + 3 ) ( n + 5 ) n + 4 2 n − 1 ∑ i = 1 2 n − 1 1 μ i + n + 4 再将引理2.4和引理2.5的结果代入上式，由此可得增强超立方体全图的基尔霍夫指标如下： 若n和k有相同的奇偶性，则 K f ( t ( Q n ， k ) ) = 2 n − 1 + ( n − 1 ) ( n + 3 ) n + 2 2 2 n − 3 + ( n + 3 ) 2 n + 4 2 n − 2 ( ∑ t = 0 n ∑ j = 0 n 1 t + 1 ( n − k + 2 2 j ) ( k − 1 t + 1 − 2 j ) )     + ( n + 3 ) ( n + 5 ) n + 4 2 n − 1 ( ∑ t = 1 n − 1 ∑ j = 0 n 1 2 t + n + 6 ( n − k + 2 2 j ) ( k − 1 t + 1 − 2 j ) + k − 1 n + 6 + 1 3 ( n + 2 ) ) = 2 n − 1 + ( n − 1 ) ( n + 3 ) n + 2 2 2 n − 3 + ( n + 3 ) 2 n + 4 2 n − 2 ( ∑ t = 0 n ∑ j = 0 n 1 t + 1 ( n − k + 2 2 j ) ( k − 1 t + 1 − 2 j ) )     + ( n + 3 ) ( n + 5 ) n + 4 2 n − 1 ( ∑ t = 0 n ∑ j = 0 n 1 2 t + n + 6 ( n − k + 2 2 j ) ( k − 1 t + 1 − 2 j ) ) = 2 n − 1 + ( n − 1 ) ( n + 3 ) n + 2 2 2 n − 3 + ( n + 3 ) ( 3 n + 13 ) n + 4 2 n − 2 ( ∑ t = 0 n ∑ j = 0 n 3 t + n + 7 ( t + 1 ) ( 2 t + n + 6 ) ( n − k + 2 2 j ) ( k − 1 t + 1 − 2 j ) ) 若n和k有不同的奇偶性，则 K f ( t ( Q n ， k ) ) = 2 n − 1 + ( n − 1 ) ( n + 3 ) n + 2 2 2 n − 3 + ( n + 3 ) 2 n + 4 2 n − 2 ( ∑ t = 0 n − 1 ∑ j = 0 n 1 t + 1 ( n − k + 2 2 j ) ( k − 1 t + 1 − 2 j ) )     + ( n + 3 ) ( n + 5 ) n + 4 2 n − 1 ( ∑ t = 1 n − 1 ∑ j = 0 n 1 2 t + n + 6 ( n − k + 2 2 j ) ( k − 1 t + 1 − 2 j ) + k − 1 n + 6 ) = 2 n − 1 + ( n − 1 ) ( n + 3 ) n + 2 2 2 n − 3 + ( n + 3 ) 2 n + 4 2 n − 2 ( ∑ t = 0 n − 1 ∑ j = 0 n 1 t + 1 ( n − k + 2 2 j ) ( k − 1 t + 1 − 2 j ) )     + ( n + 3 ) ( n + 5 ) n + 4 2 n − 1 ( ∑ t = 0 n − 1 ∑ j = 0 n 1 2 t + n + 6 ( n − k + 2 2 j ) ( k − 1 t + 1 − 2 j ) ) = 2 n − 1 + ( n − 1 ) ( n + 3 ) n + 2 2 2 n − 3 + ( n + 3 ) ( 3 n + 13 ) n + 4 2 n − 2 ( ∑ t = 0 n − 1 ∑ j = 0 n 3 t + n + 7 ( t + 1 ) ( 2 t + n + 6 ) ( n − k + 2 2 j ) ( k − 1 t + 1 − 2 j ) ) 证毕。