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user: 3. 主要结果 3.1. 不确定广义T-S模糊系统的稳定性分析 引理2 [ 34 ] 不确定广义T-S模糊系统是渐近稳定的，如果存在可逆矩阵 P 和 ε i > 0 ，使得 E T P = P T E ≥ 0 (6a) [ A i T P + P T A i + ε i H i H i T P E 1 i T E 1 i − ε i I ] < 0 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， r (6b) 接下来设计状态反馈控制器： u ( t ) = ∑ i = 1 r h i ( ξ ( t ) ) K i x ( t ) (7) 将(7)代入到系统(2)中，得到： E x ˙ ( t ) = ∑ i = 1 r ∑ j = 1 r h i ( ξ ( t ) ) h j ( ξ ( t ) ) [ ( A i + Δ A i ) + ( B i + Δ B i ) K j ] x ( t ) = ∑ i = 1 r h i T ( ξ ( t ) ) [ ( A i + Δ A i ) + ( B i + Δ B i ) K i ] x ( t ) + ∑ i < j ≤ r h i ( ξ ( t ) ) h j ( ξ ( t ) ) [ ( A i + Δ A i ) + ( B i + Δ B i ) K j + ( A j + Δ A j ) + ( B j + Δ B j ) K i ] x ( t ) (8) 定理1 系统是渐近稳定的，如果存在共同的非奇异矩阵 P ，使得 E T P = P T E ≥ 0 (9a) [ ( A ˜ i + Δ A ˜ i ) + ( B ˜ 1 i + Δ B ˜ 1 i ) K ˜ j ] T P + P T [ ( A ˜ i + Δ A ˜ i ) + ( B ˜ 1 i + Δ B ˜ 1 i ) K ˜ j ] < 0 (9b) 证明： [ ( A ˜ i + Δ A ˜ i ) + ( B ˜ 1 i + Δ B ˜ 1 i ) K ˜ j ] T P + P T [ ( A ˜ i + Δ A ˜ i ) + ( B ˜ 1 i + Δ B ˜ 1 i ) K ˜ j ] = ∑ i = 1 r ∑ j = 1 r h i ( ξ ( t ) ) h j ( ξ ( t ) ) [ A i T P + P T A i + K j T B 1 i T P + P T B 1 i K j + ( H i F i E a i ) T P + P T H i F i E a i + K j T ( H i F i E a i ) T P + P H i F i E a i K j ] = ∑ i = 1 r h i T ( ξ ( t ) ) G i i + ∑ i = 1 r ∑ j = 1 r h i ( ξ ( t ) ) h j ( ξ ( t ) ) ( G i j + G j i ) < 0 因此，定理1可以转化为： E T P = P T E ≥ 0 G i i < 0 G i j + G j i < 0 (10) G i i < 0 成立，当且仅当存在 ε i > 0 ，使得 A i T P + P T A i + K i T B 1 i T P + P T B 1 i K i + ε i P T H i H i T P + ε i − 1 ( E a i + E 1 i K i ) T ( E a i + E 1 i K i ) < 0 根据Schur补引理，等价于 [ A i T P + P T A i + K i T B 1 i T P + P T B 1 i K i + ε i P T H i H i T P E a i T + K i T E 1 i T E a i + E 1 i K i − ε i I ] < 0 G i j + G j i = A i T P + P T A i + K j T B 1 i T P + P T B 1 i K j + A j T P + P T A j + K i T B 1 j T P + P T B 1 j K i   + [ P T H i P T H j ] [ F i 0 0 F j ] [ E a i + E 1 i K j E a j + E 1 j K j ]   + [ E a i T + K j T E 1 i T E a j T + K i T E 1 j T ] [ F i T 0 0 F j T ] [ H i T P H j T P ] < 0 G i j + G j i < 0 当且仅当存在 ε i j > 0 ，使得 A i T P + P T A i + K j T B 1 i T P + P T B 1 i K j + A j T P + P T A j + K i T B 1 j T P + P T B 1 j K i + ε i j [ P T H i P T H j ] [ H i T P H j T P ] + ε i j − 1 [ E a i T + K j T E 1 i T E a j T + K i T E 1 j T ] [ E a i + E 1 i K j E a j + E 1 j K i ] < 0 根据Schur补引理，等价于 [ ϒ P T H i E a j T + K i T E 1 j T E a i + E 1 i K j − ε i j I 0 E a j + E 1 j K i 0 − ε i j I ] < 0 其中 ϒ = A i T P + P T A i + K j T B 1 i T P + P T B 1 i K j + A j T P + P T A j + K i T B 1 j T P + P T B 1 j K i + ε i j P T H i H i T P + ε i j P T H j H j T P 综上，令 X = P − 1 ， N i = K i P − 1 ，定理可改写为： X E T = E X T ≥ 0 [ X A i T + A i X T + N i T B 1 j T + B 1 j N i + ε i H i H i T X E a i T + N i T E 1 i T E a i X T + E 1 i N i − ε i I ] < 0 [ Π X E a i T + N j T E 1 i T X E a j T + N i T E 1 j T E a i X T + E 1 i N j − ε i j I 0 E a j X T + E 1 j N i 0 − ε i j I ] < 0 其中 Π = X A i T + A i X T + N j T B 1 i T + B 1 i N j + X A j T + A j X T + N i T B 1 j T + B 1 j N i + ε i j H i H i T + ε i j H j H j T 由上可得，当条件满足时，不确定广义T-S模糊系统在控制器下是稳定的，其中反馈增益矩阵为 K i = N i P 。 3.2. 控制器设计 考虑以下闭环系统： E x ˙ ( t ) = ∑ i = 1 r h i ( ξ ( t ) ) [ ( A i + Δ A i ) x ( t ) + ( B 1 i + Δ B 1 i ) u ( t ) + B 2 i ω ( t ) ] z ( t ) = ∑ i = 1 r ∑ j = 1 r h i ( ξ ( t ) ) h j ( ξ ( t ) ) [ C i x ( t ) + D i u ( t ) K j ] (11) 寻找广义状态反馈控制器 K i ，使系统(11)满足： ω ( t ) = 0 时，系统正则、脉冲、渐近稳定，则系统鲁棒稳定。 存在 γ > 0 ，在零初始条件下，满足 ‖ z ( t ) ‖ 2 < γ ‖ ω ( t ) ‖ 2 ，即系统具有 H ∞ 范数上界 γ 。 将闭环系统(11)简记为： E x ˙ ( t ) = [ ( A ˜ i + Δ A ˜ i ) x ( t ) + ( B ˜ 1 i + Δ B ˜ 1 i ) u ( t ) + B ˜ 2 i ω ( t ) ] z ( t ) = ( C ˜ i x ( t ) + D ˜ i K ˜ j ) x ( t ) (12) 定理2 正则、无脉冲的广义T-S模糊系统是鲁棒稳定的，如果存在共同的非奇异矩阵 P ，满足 E T P = P T E ≥ 0 (13a) [ [ ( A ˜ i + Δ A ˜ i ) + ( B ˜ 1 i + Δ B ˜ 1 i ) K ˜ j ] T P + P T [ ( A ˜ i + Δ A ˜ i ) + ( B ˜ 1 i + Δ B ˜ 1 i ) K ˜ j ] + C ˜ i T C ˜ i + K ˜ j T K ˜ j P T B ˜ 2 i B ˜ 2 i T P − γ 2 I ] < 0 (13b) 证明 可知 [ ( A ˜ i + Δ A ˜ i ) + ( B ˜ 1 i + Δ B ˜ 1 i ) K ˜ j ] T P + P T [ ( A ˜ i + Δ A ˜ i ) + ( B ˜ 1 i + Δ B ˜ 1 i ) K ˜ j ] < 0 考虑Lyapunov函数， V ( x ( t ) ) = x T ( t ) E T P x ( t ) ，由定理1可知，当 ω ( t ) = 0 时，系统鲁棒稳定。 当 ω ( t ) ≠ 0 时， V ( x ( t ) ) = x T ( t ) ( Θ T P + P T Θ ) x ( t ) + x T ( t ) P T B ˜ 2 i ω ( t ) + ω T ( t ) B ˜ 2 i T P x ( t ) 其中 Θ = ( A ˜ i + Δ A ˜ i ) + ( B ˜ 1 i + Δ B ˜ 1 i ) K ˜ j 总存在一个充分小的 0 < δ < 1 ，使得 [ { Θ T P + P T Θ + C ˜ i T C ˜ i + K ˜ j T K ˜ j } P T B ˜ 2 i B ˜ 2 i T P − γ 2 ( 1 − δ ) I ] < 0 Θ = ( A ˜ i + Δ A ˜ i ) + ( B ˜ 1 i + Δ B ˜ 1 i ) K ˜ j ∫ 0 T [ ‖ z ( t ) ‖ 2 d t − γ 2 ( 1 − δ ) ‖ ω ( t ) ‖ 2 ] d t = ∫ 0 T [ z ( t ) T z ( t ) − γ 2 ( 1 − δ ) ω ( t ) T ω ( t ) + V ˙ ( x ( t ) ) ] d t − V ( x ( T ) ) = ∫ 0 T { [ ( C ˜ i + Δ D ˜ i K ˜ j ) x ( t ) ] T ( C ˜ i + Δ D ˜ i K ˜ j ) x ( t ) − γ 2 ( 1 − δ ) ω T ( t ) ω ( t ) + x ( t ) T { [ ( A ˜ i + Δ A ˜ i ) + ( B ˜ 1 i + Δ B ˜ 1 i ) K ˜ j ] T P + P T [ ( A ˜ i + Δ A ˜ i ) + ( B ˜ 1 i + Δ B ˜ 1 i ) K ˜ j ] } x ( t ) x ( t ) T P T B ˜ 2 i ω ( t ) + ω T ( t ) B ˜ 2 i T P x ( t ) } d t − V ( x ( t ) ) = ∫ 0 T [ x ( t ) ω ( t ) ] [ ( Θ T P + P T Θ + C ˜ i T C ˜ i + K ˜ j T K ˜ j ) P T B ˜ 2 i B ˜ 2 i T P − γ 2 ( 1 − δ ) I ] d t < 0 其中 Θ = ( A ˜ i + Δ A ˜ i ) + ( B ˜ 1 i + Δ B ˜ 1 i ) K ˜ j 可得 V ( x ( T ) ) + ∫ 0 T [ z T ( t ) z ( t ) ] d t < ∫ 0 T γ 2 ( 1 − δ ) ω T ( t ) ω ( t ) d t 因此 ‖ z ( t ) ‖ 2 2 ≤ γ 2 ( 1 − δ ) ‖ ω ( t ) ‖ 2 2 < γ 2 ‖ ω ( t ) ‖ 2 2 所以系统渐近稳定，并且状态反馈控制器为鲁棒 H ∞ 控制器。 条件(13b)等价于 [ Θ T P + P T Θ P T B ˜ 2 i C ˜ i T K ˜ j T B ˜ 2 i T P − γ 2 I 0 0 C ˜ i 0 − I 0 K ˜ j 0 0 − I ] < 0 ∑ i = 1 r h i ( ξ ( t ) ) G i i + ∑ i < j ≤ r r h i ( ξ ( t ) ) h j ( ξ ( t ) ) ( G i j + G j i ) < 0 其中 Θ = ( A ˜ i + Δ A ˜ i ) + ( B ˜ 1 i + Δ B ˜ 1 i ) K ˜ j G i j = [ Ζ P T B 2 i C i T K j T B 2 i T P − γ 2 I 0 0 C i 0 − I 0 K j 0 0 − I ] 其中 Ζ = A i T P + P T A i + K j T B 1 i T P + P T B 1 i K j + ( H i F i E a i ) T P + P T H i F i E a i + K j T ( H j F i E 1 i ) T P + P T H j F i E 1 i K j 因此定理2成立，只要 E T P = P T E ≥ 0 G i i < 0 G i j + G j i < 0 (14) G i i = [ Ζ P T B 2 i C i T K i T B 2 i T P − γ 2 I 0 0 C i 0 − I 0 K i 0 0 − I ] 其中 Ζ = A i T P + P T A i + K i T B 1 i T P + P T B 1 i K i + ( H i F i E a i ) T P + P T H i F i E a i + K i T ( H i F i E 1 i ) T P + P T H i F i E 1 i K i G i i < 0 等价于 A i T P + P T A i + K i T B 1 i T P + P T B 1 i K i + ( H i F i E a i ) T P + P T H i F i E a i + K i ( H i F i E 1 i ) T P + P T H i F i E 1 i K i − [ P T B 2 i C i T K i ] [ − γ 2 I 0 0 0 − I 0 0 0 − I ] − 1 [ B 2 i T P C i K i T ] < 0 由引理1可得，当且仅当存在 ε i > 0 ，使得 A i T P + P T A i + K i T B 1 i T P + P T B 1 i K i + ε i P T H i H i T P + ε i − 1 ( E a i + E 1 i K i ) T ( E a i + E 1 i K i ) − [ P T B 2 i C i T K i ] [ − γ 2 I 0 0 0 − I 0 0 0 − I ] [ B 2 i T P C i K i T ] < 0 根据Schur补引理，等价于 [ Χ E a i T + K i T E 1 i T P T B 2 i C i T K i T E a i + E 1 i K i − ε i I 0 0 0 B 2 i T P 0 − γ 2 I 0 0 C i 0 0 − I 0 K i 0 0 0 − I ] < 0 其中 Χ = A i T P + P T A i + K i T B 1 i T P + P T B 1 i K i + ε i P T H i H i T P G i j + G j i = [ Φ i j + Φ j i P T B 2 i + P T B 2 j C i T + C j T K i T + K j T B 2 i T P + B 2 j T P − 2 γ 2 I 0 0 C i + C j 0 − 2 I 0 K i + K j 0 0 − 2 I ] < 0 其中 Φ i j = A i T P + P T A i + K j T B 1 i T P + P T B 1 i K j + ( H i F i E a i ) T P + P T H i F i E a i + K j T ( H j F i E 1 i ) T P + P T H j F i E 1 i K j 由Schur补引理，等价于 A i T P + P T A i + K j T B 1 i T P + P T B 1 i K j + A j T P + P T A j + K i T B 1 j T P + P T B 1 j K i + [ P T H i P T H j ] [ F i F j ] [ E a i + E 1 i K j E a j + E 1 j K i ] + [ E a i T + K j T E 1 i T E a j T + K i T E 1 j T ] [ F i T 0 0 F j T ] [ H i T P H j T P ] − [ P T B 2 i + P T B 2 j C i T + C j T K i T + K j T ] [ − 2 γ 2 I 0 0 0 − 2 I 0 0 0 − 2 I ] − 1 [ B 2 i T P + B 2 j T P C i + C j K i + K j ] < 0 由引理1及Schur补引理，当且仅当存在 ε i j > 0 ，使得 [ ( Γ i j + Γ j i + Ξ i + Ξ j ) ( E a i T + K j T E 1 i T ) ( E a j T + K i T E 1 j T ) ( P T B 2 i + P T B 2 j ) C i T + C j T K i T + K j T ∗ − ε i j I ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − ε i j I ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − 2 γ 2 I ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − 2 I ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − 2 I ] < 0 其中 Γ i j = A i T P + P T A i + K j T B 1 i T P + P T B 1 i K j ，     Ξ i = ε i j P T H i H i T P 令 X = P − 1 ， K i = N i P − 1 ，得到 [ Ψ X E a i T + N j T E 1 i T X E a j T + N i T E 1 j T B 2 i + B 2 j X C i T + X C j T N i T + N j T ∗ − ε i j I ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − ε i j I ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − 2 γ 2 I ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − I ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − I ] < 0 其中 Ψ = X A i T + A i X T + N j T B 1 i T + B 1 i N j 至此，定理得到证明。