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user: 2. 相似度 定义1 [ 1 ] 假设 ( L ， ≤ ) 是非空的偏序集， D : L × L → [ 0 ， 1 ] ，对于 ∀ α ， β ， γ ∈ L 有： 1) 当 α ≤ β 时， D ( β / α ) = 1 。 2) 当 α ≤ β ≤ γ 时， D ( α / γ ) ≤ D ( α / β ) ，则称D为L上的包含度函数。 D ( β / α ) 为 α 在 β 中的包含度。 若修改(2)为：3) 当 α ≤ β ≤ γ 时，满足： D ( α / γ ) ≤ D ( α / β ) ∧ D ( β / γ ) ，则称D为强包含度函数。 D ( β / α ) 为 α 在 β 中的强包含度。 设 U 1 ， U 2 ， ⋯ ， U n 为论域， U = U 1 × U 2 × ⋯ × U n ， F L ( U i ) 是 U i 上L-模糊集组成的集合，( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n )， H n ( U ) = { A | A = ∏ i = 1 n A i ， A i ∈ F L ( U i ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n } ， A ( u ) = ( ∏ i = 1 n A i ) ( u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u n ) = ∧ i = 1 n A i ( u i ) ， u ∈ U 。 定义2 [ 2 ] 假设 ( L ， ≤ ) 为非空的偏序集， S M : L × L → [ 0 ， 1 ] ，对于 ∀ α ， β ， γ ∈ L 有： 1) S M ( α ， α ) = 1 。 2) S M ( α ， β ) = S M ( β ， α ) 。 3) 当 α ≤ β ≤ γ 时， S M ( α ， γ ) ≤ S M ( α ， β ) 。则称SM为L上的相似度函数。 S M ( α ， β ) 为 α 与 β 的相似度量。 若修改(3)为：当 α ≤ β ≤ γ 时， S M ( α ， γ ) ≤ S M ( α ， β ) ∧ S M ( β ， γ ) ，则称SM为L上的强相似度函数。 S M ( α ， β ) 为 α 与 β 的强相似度量。 定理1设 S M 1 ， S M 2 分别是 F L ( U 1 ) ， F L ( U 2 ) 上的相似度函数，那么 S M ( A ， B ) = T S [ S M 1 ( A 1 ， B 1 ) ， S M 2 ( A 2 ， B 2 ) ] 是 H 2 ( U ) 上的相似度函数。而 S M 1 ， S M 2 是强相似度函数，那么SM也为强相似度函数，其中 A ， B ∈ H 2 ( U ) ， A = ∏ i = 1 2 A i ， B = ∏ i = 1 2 B i 。 证不妨设TS是反三角模， S M 1 ， S M 2 是强相似度。 1) 显然 0 ≤ S M ( A ， B ) ≤ 1 。 2) S M ( A ， A ) = S [ S M 1 ( A 1 ， A 1 ) ， S M 2 ( A 2 ， A 2 ) ] = S ( 1 ， 1 ) = 1 。 3) S M ( A ， B ) = S [ S M 1 ( A 1 ， B 1 ) ， S M 2 ( A 2 ， B 2 ) ] = S [ S M 1 ( B 1 ， A 1 ) ， S M 2 ( B 2 ， A 2 ) ] = S M ( B ， A ) 。 4) A ⊆ B ⊆ C ⇒ A i ⊆ B i ⊆ C i ， i = 1 ， 2 ⇒ S M ( A ， C ) = S [ S M 1 ( A 1 ， C 1 ) ， S M 2 ( A 2 ， C 2 ) ] ≤ S [ S M 1 ( A 1 ， B 1 ) ， S M 2 ( A 2 ， B 2 ) ] = S M ( A ， B ) S M ( A ， C ) = S [ S M 1 ( A 1 ， C 1 ) ， S M 2 ( A 2 ， C 2 ) ] ≤ S [ S M 1 ( B 1 ， C 1 ) ， S M 2 ( B 2 ， C 2 ) ] = S M ( B ， C ) ⇒ S M ( A ， C ) ≤ S M ( A ， B ) ∧ S M ( B ， C ) 。 定理1的意义是可以递推生成 H n ( U ) 上的(强)相似度函数。 定理2 F L ( U ) 为论域U上的全体L-模糊集，D为 F L ( U ) 上的包含度函数，那么 S M ( A ， B ) = T S ( D ( B / A ) ， D ( A / B ) ) 为 F L ( U ) 上的相似度函数。而当D为强包含度函数，那么SM为强相似度函数。 证：不妨设TS是反三角模，已知D是强包含度： 1) 显然 0 ≤ S M ( A ， B ) ≤ 1 。 2) S M ( A ， A ) = S ( D ( A / A ) ， D ( A / A ) ) = S ( 1 ， 1 ) ≥ S ( 0 ， 1 ) = 1 ，故 S M ( A ， A ) = 1 。 3) 由反三角模的对称性，易证SM的对称性。 4) A ⊆ B ⊆ C ⇒ D ( A / C ) = D ( A / B ) ∧ D ( B / C ) ， D ( C / A ) = D ( B / A ) = D ( C / B ) = 1 ⇒ S M ( A ， C ) = S ( 1 ， D ( A / C ) ) ， S M ( A ， B ) = S ( 1 ， D ( A / B ) ) ， S M ( B ， C ) = S ( 1 ， D ( B / C ) ) ⇒ S M ( A ， C ) ≤ S M ( A ， B ) ， S M ( A ， C ) ≤ S M ( B ， C ) ⇒ S M ( A ， C ) ≤ S M ( A ， B ) ∧ S M ( B ， C ) 。从而SM为强相似度。 可以利用 F L ( U i ) 上的包含度函数 D i ( i ≤ n ) 通过不同的方式生成 H n ( U ) 上的相似度函数。也可以利用 F L ( U i ) 上的强包含度函数 D i ( i ≤ n ) 通过不同的方式生成 H n ( U ) 上的强相似度函数。如可以用递推法生成 H n ( U ) 上的(强)包含度函数 [ 1 ]，然后根据定理2生成 H n ( U ) 上的(强)相似度函数。当然第一步根据定理2生成每一个 F L ( U i ) 上的(强)相似度，第二步根据定理1通过递推法生成 H n ( U ) 上的(强)相似度也是可行的，这两种方式生成的(强)相似度可能是不同的。而下面的定理3说明这两种方式在一定的条件下生成的(强)相似度是相同的。当然，只要这两个过程使用的是同一个三角模或反三角模，则在 H n ( U ) 上生成的相似度就是相同的，但是在同一过程中不必要求是同一个三角模或反三角模。我们给出了结论(3) (4)。 定理3设 A ， B ∈ H 2 ( U ) ， D i 是 F L ( U i ) ( i ≤ 2 ) 上的(强)包含度，则 1) S M ( A ， B ) = T [ T ( D 1 ( B 1 / A 1 ) ， D 1 ( A 1 / B 1 ) ) ， T ( D 2 ( B 2 / A 2 ) ， D 2 ( A 2 / B 2 ) ) ] = T [ T ( D 1 ( B 1 / A 1 ) ， D 2 ( B 2 / A 2 ) ) ， T ( D 1 ( A 1 / B 1 ) ， D 2 ( A 2 / B 2 ) ) ] 2) S M ( A ， B ) = S [ S ( D 1 ( B 1 / A 1 ) ， D 1 ( A 1 / B 1 ) ) ， S ( D 2 ( B 2 / A 2 ) ， D 2 ( A 2 / B 2 ) ) ] = S [ S ( D 1 ( B 1 / A 1 ) ， D 2 ( B 2 / A 2 ) ) ， S ( D 1 ( A 1 / B 1 ) ， D 2 ( A 2 / B 2 ) ) ] 3) S M ( A ， B ) = T [ S ( D 1 ( B 1 / A 1 ) ， D 1 ( A 1 / B 1 ) ) ， S ( D 2 ( B 2 / A 2 ) ， D 2 ( A 2 / B 2 ) ) ] = T [ S ( D 1 ( B 1 / A 1 ) ， D 2 ( B 2 / A 2 ) ) ， S ( D 1 ( A 1 / B 1 ) ， D 2 ( A 2 / B 2 ) ) ] 4) S M ( A ， B ) = S [ T ( D 1 ( B 1 / A 1 ) ， D 1 ( A 1 / B 1 ) ) ， T ( D 2 ( B 2 / A 2 ) ， D 2 ( A 2 / B 2 ) ) ] = S [ T ( D 1 ( B 1 / A 1 ) ， D 2 ( B 2 / A 2 ) ) ， T ( D 1 ( A 1 / B 1 ) ， D 2 ( A 2 / B 2 ) ) ] 只证(4)。(1) (2) (3)可类似证明。 证记 D 1 ( B 1 / A 1 ) = α ， D 1 ( A 1 / B 1 ) = β ， D 2 ( B 2 / A 2 ) = a ， D 2 ( A 2 / B 2 ) = b S M ( A ， B ) = S [ T ( α ， β ) ， T ( a ， b ) ] = S [ α ， T ( β ， T ( a ， b ) ) ] = S [ α ， T ( β ， T ( b ， a ) ) ] = S [ α ， T ( T ( β ， b ) ， a ) ] = S [ α ， T ( a ， T ( β ， b ) ) ] = S [ T ( α ， a ) ， T ( β ， b ) ] 。即(4)成立。