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user: 2. 建立模型 2.1. 模型的假设 本文模型依据Schmitt，Noemi (2018) [ 17 ] 建立的。考虑一个具有一种风险资产和一种无风险资产的金融市场，其中无风险资产是弹性供应的，年利率为r，风险资产是零净供应的，随机股息过程 y t 为独立同分布的，均值为 y ¯ 。定义 p t 为t时点每股风险资产的价格， z t 为t时点购买风险资产的股份数目，则 t + 1 时点的财富动态为 W t + 1 = ( 1 + r ) W t + ( p t + 1 + y t + 1 − ( 1 + r ) p t ) z t 令 E h ， t 和 V h ， t 分别表示投资者h的条件期望和条件方差。假定投资者都是均值-方差最大化者，即 max z t E h ， t [ W t + 1 ] − a 2 V h ， t [ W t + 1 ] ， 这里，a为常数风险厌恶系数。h类投资者对风险资产的需求函数 z h ， t 为 z h ， t = E h ， t [ p t + 1 + y t + 1 − ( 1 + r ) p t ] a V h ， t [ p t + 1 + y t + 1 − ( 1 + r ) p t ] . 令 z s 表示投资者的风险外股票供应量， n h ， t 为t时点交易者h的市场分数，市场供需均衡意味着 ∑ h = 1 H n h ， t E h ， t [ p t + 1 + y t + 1 − ( 1 + r ) p t ] a V h ， t [ p t + 1 + y t + 1 − ( 1 + r ) p t ] = z s . 假定条件方差为常数，且对所有的投资者都有 V h ， t = σ 2 ，则均衡定价方程为 ( 1 + r ) p t = ∑ h = 1 H n h ， t E h ， t [ p t + 1 + y t + 1 ] − a σ 2 z s . 如同文献 [ 2 ] ，这里考虑外部供应为零的情形，即 z s = 0 。风险资产的基本价格由预期股息的贴现和供给给出，为 p t * = ∑ k = 1 ∞ E t [ y t + k ] ( 1 + r ) k = y ¯ r . 定义价格偏差为 x t = p t − p * . 则投资者的价格预期信念为 E h ， t ( p t + 1 ) = E t ( p t + 1 * ) + f h ( x t − 1 ， ⋯ ， x t − L ) = p * + f h ( x t − 1 ， ⋯ ， x t − L ) . f h ( x t − 1 ， ⋯ ， x t − L ) 表示投资者对价格偏离基本价格的信念。则得到定价方程为： ( 1 + r ) x t = ∑ h = 1 H n h ， t f h ， t . 2.2. 交易者的预期信念函数 基本面分析者假设知道基本价格 p t + 1 * 的相关信息，并且他们认为价格短时间内会偏离基本价格，但长时会均值回馈到基本价值。考虑基本面分析者持线性期规则， f 1 ， t = λ 1 x t − 1 . 这里， λ 1 ∈ [ 0 ， 1 ) 为均值回归系数，当 λ 1 = 0 时表示纯粹的基本面分析者，他们对下一期的价格预期为基本价格。 图表分析者通过近期的历史价格趋势推断形成他们的交易策略。受王铎启(2004)发，本文对图表分析者引入关于价格偏差的一般信念函数，即 f 2 ， t ( x t ) = λ 2 φ ( x t − 1 ) . 其中， | λ 2 | > 1 ，为图表分析者的趋势推断参数， λ 2 > 0 表示顺风者， λ 2 < 0 表示逆风者。对一般函数 φ ( x t ) ，设它在初始点 x 0 处存在直到n阶的导数，则有 φ ( x t ) = φ ( x 0 ) + φ ′ ( x 0 ) ( x t − x 0 ) + φ ″ ( x 0 ) 2 ! ( x t − x 0 ) + 2 ⋯     + φ n ( x 0 ) n ! ( x t − x 0 ) n + o ( x t − x 0 ) m . (1) 则 x t = 1 1 + r [ n 1 ， t f 1 ， t + n 2 ， t f 2 ， t ] . 其中，根据Cars and Tatiana (2012) [ 8 ] ，考虑记忆对市场分数的影响，则 n h ， t = α n h ， t − 1 + ( 1 − α ) exp [ β U h ， t − 1 ] ∑ i = 1 H exp [ β U i ， t − 1 ] ， h = 1 ， ⋯ ， H . 这里记忆参数 α ∈ [ 0 ， 1 ) ，为实数。 对适应度函数引入累计权重，即 γ = 1 ， μ ∈ [ 0 ， 1 ) 为实数，则 U h ， t + 1 = γ π h ， t + μ U h ， t . 令 R = 1 + r ，已实现的收益为 π h ， t = R t z h ， t − 1 − C h = ( x t − R x t − 1 + δ t ) f h ， t − 1 ( x t − 2 ) − R x t − 1 a σ 2 − C h . 令 m t = n 1 ， t − n 2 ， t 为市场分数差，则 m t = α m t − 1 + ( 1 − α ) tanh { β 2 ( U 1 ， t − 1 − U 2 ， t − 1 ) } . 令 C 1 = C ， C 2 = 0 ，根据胡建梅(2013) [ 9 ] ，本文对逆风者引入逆风参数k，即逆风者在图表分析者中所占的比例为 k ( 0 ≤ k ≤ 1 ) ，则顺风者所占比例为 1 − k ，资产定价方程可写为 x t = 1 R [ n 1 ， t λ 1 x t − 1 + n 2 ， t ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ( x t ) ] . (2) 得到下面的非线性离散随机动力系统 { x t = 1 R [ 1 + m t 2 λ 1 x t − 1 + 1 − m t 2 ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ( x t − 1 ) ] ， U 1 ， t = γ [ ( x t − R x t − 1 + δ t ) λ 1 x t − 2 − R x t − 1 a σ 2 − C ] + μ U 1 ， t − 1 ， U 2 ， t = γ ( x t − R x t − 1 + δ t ) ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ( x t − 2 ) − R x t − 1 a σ 2 + μ U 2 ， t − 1 ， m t = α m t − 1 + ( 1 − α ) tanh { β 2 ( U 1 ， t − 1 − U 2 ， t − 1 ) } . (3) 令 δ t = 0 ，通过增维降阶动力系统变为： { x t = 1 R [ 1 + m t 2 λ 1 x t − 1 + 1 − m t 2 ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ( x t − 1 ) ] ， y t = x t − 1 ， z t = y t − 1 ， U 1 ， t = γ [ ( x t − R x t − 1 + δ t ) λ 1 y t − 1 − R x t − 1 a σ 2 − C ] + μ U 1 ， t − 1 ， U 2 ， t = γ ( x t − R x t − 1 + δ t ) ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ( y t − 1 ) − R x t − 1 a σ 2 + μ U 2 ， t − 1 ， u 1 ， t = U 1 ， t − 1 ， u 2 ， t = U 2 ， t − 1 ， m t = α m t − 1 + ( 1 − α ) tanh { β γ 2 a σ 2 ( x t − 1 − R y t − 1 ) [ λ 1 z t − 1 − ( 1 − 2 k ) λ 2 φ ( z t − 1 ) ] + β μ 2 ( u 1 ， t − u 2 ， t ) − β γ C 2 } . (4)