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user: 2. 洛伦兹变换下的麦克斯韦方程组 相对性原理可表述为：同种物理学方程在独立且平权的任意坐标系中的数学形式都是相同的。取各自独立且彼此平权的坐标系K和K'，根据相对性原理，麦克斯韦方程组在坐标系K中的分量形式为： ∂ E z ∂ y − ∂ E y ∂ z = − ∂ B x ∂ t (1) ∂ E x ∂ z − ∂ E z ∂ x = − ∂ B y ∂ t (2) ∂ E y ∂ x − ∂ E x ∂ y = − ∂ B z ∂ t (3) ∂ B x ∂ x + ∂ B y ∂ y + ∂ B z ∂ z = 0 (4) ∂ H z ∂ y − ∂ H y ∂ z = J x + ∂ D x ∂ t (5) ∂ H x ∂ z − ∂ H z ∂ x = J y + ∂ D y ∂ t (6) ∂ H y ∂ x − ∂ H x ∂ y = J z + ∂ D z ∂ t (7) ∂ D x ∂ x + ∂ D y ∂ y + ∂ D z ∂ z = ρ (8) 在坐标系K'中的分量形式为： ∂ E ′ z ∂ y ′ − ∂ E ′ y ∂ z ′ = − ∂ B ′ x ∂ t ′ (9) ∂ E ′ x ∂ z ′ − ∂ E ′ z ∂ x ′ = − ∂ B ′ y ∂ t ′ (10) ∂ E ′ y ∂ x ′ − ∂ E ′ x ∂ y ′ = − ∂ B ′ z ∂ t ′ (11) ∂ B ′ x ∂ x ′ + ∂ B ′ y ∂ y ′ + ∂ B ′ z ∂ z ′ = 0 (12) ∂ H ′ z ∂ y ′ − ∂ H ′ y ∂ z ′ = J ′ x + ∂ D ′ x ∂ t ′ (13) ∂ H ′ x ∂ z ′ − ∂ H ′ z ∂ x ′ = J ′ y + ∂ D ′ y ∂ t ′ (14) ∂ H ′ y ∂ x ′ − ∂ H ′ x ∂ y ′ = J ′ z + ∂ D ′ z ∂ t ′ (15) ∂ D ′ x ∂ x ′ + ∂ D ′ y ∂ y ′ + ∂ D ′ z ∂ z ′ = ρ ′ (16) 其中：E为电场强度，B为磁感应强度，H为磁化力，D为电位移矢量，J为真实的宏观传导电流密度， ρ 宏观电荷密度。 洛伦兹变换相对于坐标系K把以速度为v运动转化成在坐标系K'中去测量。对于麦克斯韦方程组会采取怎样的数学形式，经过长期研究，洛伦兹发现，若将坐标和时间写成洛伦兹变换的形式，在坐标系K中的(1)~(8)可以转化为坐标系K'中的(9)~(16)，前提条件是只要场量也以特殊方式进行协变。 麦克斯韦方程组在洛伦兹变换条件下从坐标系K中的(1)~(8)协变为坐标系K'中的(9)~(16)的证明方法请参见文献 [ 1 ]，本文只将其中从(1)~(4)协变为(9)~(12)部分内容的证明方法作以简介和分析： 设坐标系K与K'之间互相沿着公共坐标轴x-x'以速率v互作平移，根据洛仑兹正变换： x ′ = γ ( x − v t ) ， y ′ = y ， z ′ = z ， t ′ = γ ( t − v x c 2 ) . 其中 γ = 1 1 − v 2 c 2 得到 ∂ ∂ x = γ ( ∂ ∂ x ′ − v c 2 ∂ ∂ t ′ ) (17) ∂ ∂ y = ∂ ∂ y ′ (18) ∂ ∂ z = ∂ ∂ z ′ (19) ∂ ∂ t ′ = γ ( ∂ ∂ t − ∂ ∂ x ′ ) (20) 根据洛伦兹逆变换： x = γ ( x ′ + v t ′ ) ， y = y ′ ， z = z ′ ， t = γ ( t ′ + v x ′ c 2 ) . 得到 ∂ ∂ x ′ = γ ( ∂ ∂ x + v c 2 ∂ ∂ t ) (21) ∂ ∂ y ′ = ∂ ∂ y (22) ∂ ∂ z ′ = ∂ ∂ z (23) ∂ ∂ t ′ = γ ( ∂ ∂ t + ∂ ∂ x ) (24) 把(17)、(19)、(20)代入(2)，得到 ∂ E x ∂ z ′ − ∂ ∂ x ′ γ ( E z + v B y ) = − ∂ ∂ t ′ γ ( B y + v c 2 E z ) (25) 将(25)与(10)进行对比，可设定 E ′ x = E x ， E ′ z = γ ( E z + v E y ) (26) E ′ y = γ ( E y + v c 2 E z ) (27) 反之，把(21)、(23)、(24)代入(10)，得到 ∂ E ′ x ∂ z − ∂ ∂ x γ ( E ′ z + v B ′ y ) = − ∂ ∂ t γ ( B ′ y + v c 2 E ′ z ) (28) 将(28)与(2)进行对比，可设定 E x = E ′ x ， E z = γ ( E ′ z − v E ′ y ) (29) E y = γ ( E ′ y − v c 2 E ′ z ) (30) 把(17)、(18)、(20)代入(3)，得到 γ ∂ ∂ x ′ ( E y − v B z ) − ∂ E x ∂ y ′ = − γ ∂ ∂ t ′ ( B z + v c 2 E y ) (31) 将(31)与(11)进行对比，可设定 E ′ x = E x ， E ′ y = γ ( E y − v B z ) (32) B ′ z = γ ( B z − v c 2 E y ) (33) 把(21)、(22)、(24)代入(11)，得到 γ ∂ ∂ x ( E ′ y + v B ′ z ) − ∂ E x ∂ y ′ = − γ ∂ ∂ x ( B ′ z + v c 2 E ′ y ) (34) 将(31)与(11)进行对比，可设定 E x = E ′ x ， E y = γ ( E ′ y + v B ′ z ) (35) B z = γ ( B ′ z + v c 2 E ′ y ) (36) 把(18)、(19)、(20)代入(1)，得到 ∂ E z ∂ y ′ − ∂ E y ∂ z ′ = − γ ( ∂ B x ∂ t ′ − ∂ B x ∂ x ′ ) (37) 把(17)、(18)、(19)代入(4)，得到 γ ( ∂ B x ∂ x ′ − v c 2 ∂ B x ∂ t ′ ) + ∂ B y ∂ y ′ + ∂ B z ∂ z ′ = 0 (38) (39)与(9)之间，(38)与(12)之间可以进行方程对比和场量协变关系设定。根据文献 [ 1 ]，把(29)、(35)代入(37)，得到 ∂ B x ∂ x ′ + ∂ B ′ y ∂ y ′ + ∂ B ′ z ∂ z ′ = 1 v ( ∂ E ′ z ∂ y ′ − ∂ E ′ y ∂ z ′ + ∂ B x ∂ t ′ ) (39) 再把(30)、(36)代入(38)，得到 ∂ B x ∂ x ′ + ∂ B ′ y ∂ y ′ + ∂ B ′ z ∂ z ′ = v c 2 ( ∂ E ′ z ∂ y ′ − ∂ E ′ y ∂ z ′ + ∂ B x ∂ t ′ ) (40) 比较(39)与(40)，若 v ≠ c ，则有 ∂ B x ∂ x ′ + ∂ B ′ y ∂ y ′ + ∂ B ′ z ∂ z ′ = 0 (41) ∂ E ′ z ∂ y ′ − ∂ E ′ y ∂ z ′ = − ∂ B x ∂ t ′ (42) 将(41)与(9)，(42)与(12)进行对比，可设定 B x = B ′ x 麦克斯韦方程组服从相对性原理借助洛伦兹变换的原因有三： 一是坐标系K和K'是各自独立且彼此平权的，麦克斯韦方程组服从相对性原理与坐标系K和K'之间在任一方向上的平移无关。例如：若设坐标系K和K'之间互沿坐标原点o-o'连线以速率v相对平移，洛伦兹变换将在这个时候产生。 二是通过以上证明过程，可看出，只有同时含有 ∂ / ∂ t 和 ∂ / ∂ x 的方程，即(2)和(3)才可直接借助洛伦兹变换进行场量关系协变设定，而未同时含有 ∂ / ∂ t 和 ∂ / ∂ x 的方程，即(1)和(4)并不能直接借助洛伦兹变换进行场量关系协变设定。 对于(1)和(4)而言，在推理逻辑上是先把根据洛伦兹正变换得到的(18)、(19)和(20)代入(1)；把(17)、(18)和(19)代入(4)，分别得到(37)和(38)；再把根据洛仑兹逆变换得到的(29)和(35)代入(37)；把(30)和(36)代入(38)，分别得到(39)和(40)。若未先将(2)和(3)协变为(28)和(31)，同样可以将(1)和(4)协变为(39)和(40)。因此，这种证明方法在推理逻辑上是自洽的。 而且对(39)和(40)两式的两边分别相除，也可得到 v = c 。 三是麦克斯韦方程组在洛伦兹变换条件下给出在坐标系K和K'之间麦克斯韦方程组的一系列场量协变关系设定，可以实验进行有效验证。当 v ≪ c 时，洛伦兹变换被约化为伽利略变换，根据(32)和(27)，得到的是 E ′ y = E y − v B z ， B ′ z = B z ; 根据(33)和(26)，得到的是 B ′ y = B y ， E ′ z = E z − v B y ; 伽利略变换可以满足麦克斯韦方程组的协变要求，当坐标系K和K'之间的相对速率 v ≪ c 时，麦克斯韦方程组的场量协变关系可通过实验进行验证。