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user: 3. 结果 通过数据的搜集及整理，汇编成下述上海市老年福利机构表，如表1所示： Table 1 Shanghai senior welfare agenc 年份 机构(个) 床位数(张) 年末在院人数(人) 其中老人 (60周岁及以上) 年末床位利用率(%) 2009 589 84，714 51，974 49，789 61.352% 2010 600 89，897 56，860 55，118 63.250% 2011 602 93，599 58，660 57，597 62.672% 2012 601 96，512 61，268 59，383 63.482% 2013 609 102，097 65，030 63，152 63.694% 2014 637 107，473 66，614 64，549 61.982% 2015 607 105，284 69，280 67，286 65.803% 2016 626 111，864 72，939 70，904 65.203% 2017 648 120，260 76，518 74，161 63.627% 2018 649 124，974 78，552 76，645 62.855% 平均增长率(%) 1.12% 4.45% 4.72% 4.94% 平均床位利用率(%) 63.392% 表1. 上海市老年福利机构 3.1. 上海市老年福利机构预测模型 据上表1，分别建立时间序列： X ( 0 ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) ， x ( 0 ) ( 2 ) ， ⋯ ， x ( 0 ) ( 10 ) ) = ( 589 ， 600 ， 602 ， ⋯ ， 649 ) ； X ( 0 ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) ， x ( 0 ) ( 2 ) ， ⋯ ， x ( 0 ) ( 10 ) ) = ( 84714 ， 89897 ， ⋯ ， 124974 ) ； X ( 0 ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) ， x ( 0 ) ( 2 ) ， ⋯ ， x ( 0 ) ( 10 ) ) = ( 51974 ， 56860 ， ⋯ ， 78552 ) ； X ( 0 ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) ， x ( 0 ) ( 2 ) ， ⋯ ， x ( 0 ) ( 10 ) ) = ( 49789 ， 55118 ， ⋯ ， 76645 ) 。 经过计算，上述数列所有的级比数值都落入在区间 σ ( k ) = x ( 0 ) ( k − 1 ) x ( 0 ) ( k ) 内，即区间(0.8337529181， 1.1993961020)内，可以进行模型的建立。 分别通过累加构造生成列： (589， 1189， 1791， 2392， 3001， 3638， 4245， 4871， 5519， 6168) (84714， 183496， 268210， 364722， 466819， 574292， 679576， 791440， 911700， 1036674) (51974， 108834， 167494， 228762， 293792， 360406， 429686， 502625， 579143， 657695) (49789， 104907， 162504， 221887， 285039， 349588， 416874， 487778， 561939， 638584) 构造数据矩阵B和数据向量Y： B = ( − 1 2 [ x ( 0 ) ( 1 ) + x ( 0 ) ( 2 ) ] − 1 2 [ x ( 0 ) ( 2 ) + x ( 0 ) ( 3 ) ] ⋮ − 1 2 [ x ( 0 ) ( 9 ) + x ( 0 ) ( 10 ) ] ) Y = ( x ( 0 ) ( 2 ) x ( 0 ) ( 3 ) ⋮ x ( 0 ) ( 10 ) ) 经计算 B T B ， ( B T B ) − 1 ， a ^ = ( B T B ) − 1 × B T × Y 分别得到1) a ^ = − 0.0103148799 ， u ^ = 585.4778764426 ， u ^ a ^ = − 56760.5130890061 ；2) a ^ = − 0.0405344578 ， u ^ = 84150.6817303479 ， u ^ a ^ = − 2076028.3075183000 ；3) a ^ = − 0.0416592959 ， u ^ = 53297.5125791507 ， u ^ a ^ = − 1279366.6187311700 ；4) a ^ = − 0.0416420135 ， u ^ = 51843.1198791537 ， u ^ a ^ = − 1244971.4972204500 。 构造预测模型为： x ^ ( 1 ) ( k + 1 ) = [ x ( 0 ) ( 1 ) − u ^ a ^ ] e ( − a k ) + u ^ a ^ ， ( k = 2 ， 3 ， ⋯ ， n ) 。 经过级比检验，老年福利机构数量、床位数、年末在院人数、老人60周岁以上人数均通过检验，因此，可以建立GM(1，1)灰色预测模型。分别代入老年福利机构数量、床位数、年末在院人数、老人60周岁以上人数得出： 老年福利机构数量： X ^ ( 1 ) ( k + 1 ) = 57349.5130890061 × e ( 0.0103148799 × k ) − 6760.5130890061 ； 床位数： X ^ ( 1 ) ( k + 1 ) = 2160742.3075183000 × e ( 0.0405344578 × k ) − 2076028.3075183000 ； 年末在院人数： X ^ ( 1 ) ( k + 1 ) = 1331340.6187311700 × e ( 0.0416592959 × k ) − 1279366.6187311700 ； 老人60周岁以上人数： X ^ ( 1 ) ( k + 1 ) = 1294760.4972204500 × e ( 0.0416420135 × k ) − 1244971.4972204500 。 3.2. 上海市老年福利机构数量、床位数、年末在院人数、老人60周岁以上人数预测模型的 检验 为了确保所建灰色模型有较高的精度应用于预测实践，一般需要按下述步骤进行检验：首先，求出残差、相对误差和平均相对误差： 残差： E ( k ) = x ( 0 ) ( k ) − x ^ ( 0 ) ( k ) ， k = 2 ， 3 ， ⋯ ， n ； 相对误差： ε ( k ) = q ( k ) x ( 0 ) ( k ) × 100 % = ( x ( 0 ) ( k ) − x ( 0 ) ( k ) − X ^ ( 0 ) ( k ) x ( 0 ) ( k ) ) × 100 % ， k = 2 ， 3 ， ⋯ ， n ； 平均相对误差： ε ( a v g ) = 1 n − 1 ∑ k = 2 n | ε ( k ) | 。 其次求出原始数据平均值、残差平均值： X ¯ = 1 n ∑ k = 1 n     x ( 0 ) ( k ) E ¯ = 1 n − 1 ∑ k = 2 n     E ( k ) 最后求出原始数据方差与残差方差的均方差比值C和小误差概率p； s 1 2 = 1 n ∑ k = 1 n [ x ( 0 ) ( k ) − x ¯ ] 2 s 2 2 = 1 n − 1 ∑ k = 2 n [ e ( 0 ) ( k ) − e ¯ ] 2 C = s 2 s 1 p = P { | e ( 0 ) ( k ) − e ¯ | < 0.6745 s 1 } p 0 = ( 1 − ε ( a v g ) ) × 100 % 通常e(k)、Δk、C值越小，p值越大，那么模型的精度也就越好。若 Δ ¯ < 0.01 ， C < 0.35 ， p > 0.95 ，则模型精度为一级。根据灰色系统理论，当发展系数 α ∈ ( − 2 ， 2 ) 且 α ≥ − 0.3 时则所建GM(1，1)模型则可用于中长期预测。实际灰色建模中，系统原始序列数据不一定全部用来建模。具体见表2。 Table 2 Gray prediction model fitting level test reference tabl 模型拟合等级 C P 优 ≤0.35 ≥0.95 良 ≤0.50 ≥0.80 勉强 ≤0.65 ≥0.70 不合格 >0.65 <0.70 表2. 灰色预测模型拟合等级检验参照表 经计算可知，上海市老年福利机构数量、床位数、年末在院人数、老人60周岁以上人数的平均相对误差分别为0.0000000000，0.0005081969，0.0000960589，0.0001360094。后验差比值C分别为0.0000000000，0.0000013852，0.0000008120，0.0000007665，模型精度P分别为100%、99.9492%、99.9904%、99.9864%，表明模型的精度较高，经模型验证，所有C均小于0.35，所有P均大于0.95由此可以表明所建立的模型等级好，均具有较为科学、准确的预测效果 [ 3 ]。由结果可知，所有模型−a均小于0.3，因此可以利用所构建的模型对上海市老年福利机构数量、床位数、年末在院人数、老人60周岁以上人数中长期的预测。具体拟合效果见图1~5。 3.3. 预测结果 通过对所建立模型的检验，上海市老年福利机构数量、床位数、年末在院人数、老人60周岁以上人数均属于一级模型，模型精度较高，可以用其对未来十年上海市老年福利机构数量、床位数、年末在院人数、老人60周岁以上人数进行中长期的预测，本研究预测周期为2019~2028年。根据上述图1~5显示，由预测结果可知，2019~2028年，上海市老年福利机构数量、床位数、年末在院人数、其中老人(60周岁以上)人数均呈稳步上升趋势，2019年~2018年的老年福利机构数量持续增长，预测将在2026年突破700家，于2028年达到716家，但是平均增长率由过去十年的1.12%下降至1.04%；老年福利机构床位数预测将在2026年突破170，000张，并于2028年达到185，408张，但平均增长率由4.45%下降至4.14%；年末在院人数也将在2024年突破100，000人，并在2028年预计达到119，879人，但平均增长率由4.72%下降至4.25%；其中老人(60周岁以上人数)预测将在2025年突破100，000人，并于2028年达到116，499人，但平均增长率由4.94%下降至4.25%；年末平均床位利用率由63.392%上升至64.330%。总体来看，老年福利机构的机构数量、床位数量、年末在院人数以及其中60周岁以上老人人数均稳步上升，但平 图1. 为上海市老年福利机构数量 图2. 为老年福利机构床位数 图3. 为老年福利机构年末在院人数 图4. 为老年福利机构其中60周岁老人人数 图5. 为老年福利机构床位利用率 均增长率有所下滑，床位利用率有所提高。可以看出上海市政府、社会组织对老年福利机构的重视以及老人对于老年福利机构的认知的不断转变，越来越接受老年福利机构的服务，总体表明上海市老人的老年福利机构正在稳步的发展，为更多的老人提供养老服务 [ 4 ]。如表3所示。 Table 3 Forecast of Shanghai’s elderly welfare institutions from 2019 to 2028 based on the GM(1，1) mode 年份 机构(个) 床位数(张) 年末在院人数(人) 其中老人 (60周岁及以上) 年末床位利用率(%) 2019 652 128，734 82，397 80，086 64.005% 2020 659 134，060 85，902 83，492 64.077% 2021 666 139，605 89，556 87，042 64.150% 2022 673 145，380 93，366 90，743 64.222% 2023 680 151，394 97，337 94，602 64.294% 2024 687 157，657 101，478 98，624 64.366% 2025 694 164，179 105，795 102，818 64.439% 2026 701 170，971 110，295 107，190 64.511% 2027 709 178，043 114，987 111，748 64.584% 2028 716 185，408 119，879 116，499 64.657% 平均增长率 1.04% 4.14% 4.25% 4.25% 平均床位利用率(%) 64.330% 表3. 基于GM(1，1)模型的2019~2028年上海市老年福利机构预测