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user: 2. 考虑兼职的客服排班实时调整模型 2.1. 问题背景 某保险公司人寿保险业务客服中心共240人。因呼叫中心分布式技术的存在，能够在不同地区招聘兼职，由于客服中心所在区域、经济发展状况及兼职市场结构等因素，在排班上以及招聘兼职的难易度也有所区别。 虽然兼职的规模庞大，但兼职与全职客服不同，全职人员是在接受该企业的月薪标准前提下确定入职的，工资不会对其出勤率造成较大影响。而兼职的选择空间大，因此企业招聘兼职时给予的时薪决定了是否有且有足够数量的兼职应聘。 假设兼职的时薪e与应聘的兼职人数q呈图1所示的线性关系。其中k反映的是兼职市场结构，即表示了招聘兼职的难易度。当时薪达到一定值，即EMIN时，才会有兼职应聘，且公司能接受的最高兼职时薪为EMAX，此后兼职数量不再变化。 图1. 时薪与应聘兼职人数关系图 时薪e与应聘的兼职人数q之间的关系可以表示为： q = { 0 ， e ∈ [ 0 ， E M I N ) k ( e − E M I N ) ， e ∈ [ E M I N ， E M A X ) k ( E M A X − E M I N ) ， e ∈ [ E M A X ， ∞ ) (2.1) 本文将在此背景下建立实时调整模型进行分析讨论。 2.2. 实时调整模型建立 2.2.1. 模型假设与符号定义 在企业实际运营中会出现部分时段人力不足，而部分时段人力冗余的情况。针对前者，可以采取客服加班或调用其他班组冗余客服，另外，本模型还考虑了雇佣兼职人员的方式，这也是该模型的重点之一。由于呼叫中心分布式技术的存在，可以同时在客服中心分部所在的多个地区招聘兼职，而不同城市的兼职市场结构以及经济发展水平不同，也需要对不同城市的兼职进行分别计算。针对后一种情况，可以将冗余的客服人员分配至其他人力不足的部门继续工作，或安排冗余的客服人员提早下班，或对于原计划该天需要上班但还未到其上班时间的客服人员，取消该天的上班安排。对于后两种，需要对客服人员支付一定的补偿金，即公司需要花费一定的调整成本。在班次实时调整时计算得到的新的人力需求可能会在某些时段大于计划安排的人数，而某些时段小于计划安排的人数，并且会穿插组合。本文假设前一部分时段中，通过实时更新后的客服需求量小于原来安排的客服数量，而后一部分时段中两者的数量则与前一部分时段呈现相反的情况，本文以此组合方式构建实时调整模型。 该模型的构建有如下假设： (1) 任何班次的客服加班时长不超过8个时段(0.5小时为1个时段)； (2) 其它班组的支援人员，统一的工作时间是16个时段； (3) 在人力冗余时，若某班次部分客服提前下班时的上班时间不足16个时段，则需在人力短缺时继续上班满16个时段，但不再加班； (4) 客服加班不超过8个时段，且必须工作16个时段才有机会提前下班； (5) 对于已确定提前下班客服，当天不再回去工作； (6) 客户在遇到呼叫占线的情况时等待达到其平均愿意等待时间后即放弃； (7) 客服平均服务时间比客户平均愿意等待的时间短。 该模型的符号定义及决策变量的符合和定义分别见表1和表2。 Table 1 Model symbol definitio 符号 定义 符号 定义 符号 定义 M 客服班次集合 y i k i班次客服加班k时段的人数 S i i班次客服提前下班时段 m i i班次客服提前排班计划上班的人数 p i t i班次客服在t时段处于调整状态所造成的惩罚成本 s i i班次客服提前下班带来的单位时段的节约成本 o i i班次客服加班一个时段的成本 e t c c分部兼职客服在t时段上班的成本 L i i班次客服正常下班的时段 ν i k i班次客服上班k时段后下班离开的人数 m 0 在 λ 时段前开始上班的客服班次数 δ t t时段人力需求实时更新值与计划安排人力值的差值 P t 上班时间不足16个时段的客服调整到 λ 时段后的t时段继续上班的客服人数 λ 从 λ 时段开始，实时更新后的人力需求大于计划安排的人力 α 调整系数 表1. 模型符号定义 Table 2 Decision variables and definition 决策变量 定义 决策变量 定义 决策变量 定义 X i t i班次客服在t时段加班的人数 Q t c 时段c城分部的兼职客服人数 Z i t 表示i班次客服在t时段处于离开系统状态的人数 E M I N c c城分部有兼职出现前的最低工资 E M A X c c城分部所能给到的最高兼职薪资 Q M A X t c 在一定条件下t时刻c城分部可招到的最大的兼职数量 k c c城分部兼职市场活跃度系数 表2. 决策变量及定义 其中， Z i t = { ∑ k = 1 t − S i − 1 v i k ， ∀ i < M 0 ， t < λ 0 ， 其 他 (2.2) X i t = { m i − Z i ， λ − 1 − ∑ k = 1 t − L i − 1 y i k ， ∀ i < M 0 ， t ≥ max { λ ， L i + 1 } m i − ∑ k = 1 t − L i − 1 y i k ， ∀ i > M 0 ， t ≥ L i + 1 0 ， ∀ i ， t ≤ L i (2.3) 2.2.2. 模型建立 基于以上的问题假设和符号假设，实时调整模型公式如下： 目标函数： min ∑ i = 1 M 0 ∑ t = 2 λ − 1 p i t ( Z i t − Z i ， t − 1 ) − ∑ i = 1 M 0 ∑ t = S i + 16 L i s i ( Z i t − Z i ， S i + 15 )   + ∑ i = 1 M ∑ λ T − 1 p i t ( X i t − X i ， t + 1 ) + ∑ i = 1 M ∑ λ T o i X i t + ∑ t = 1 T ∑ c = 1 2 e t c Q t c (2.4) 模型约束条件： Z i ， t + 1 ≥ Z i t ， ∀ i < M 0 ， S i ≤ t < min { λ ， L i } (2.5) Z i t = Z i ， t − 1 ， ∀ i < M 0 ， min { λ ， L i } ≤ t ≤ max { λ ， L i } (2.6) Z i t ≤ m i ， ∀ i < M 0 ， t = min { λ − 1 ， L i } (2.7) P t = ∑ Z i ， S i + 15 ， λ ≤ t ≤ λ + 15 ， S i + 15 ≤ λ (2.8) X i t ≥ X i ， t + 1 ， ∀ i ， t > L i (2.9) X i t = 0 ， ∀ i ， t < L i + 1 (2.10) X i t ≤ m i − Z i ， λ − 1 ， ∀ i < M 0 ， t = L i + 1 (2.11) X i t ≤ m i ， ∀ i > M 0 ， t = L i + 1 (2.12) ∑ i = 1 M 0 Z i t ≤ max { − α δ t ， 0 } ， ∀ t ≤ λ (2.13) P t + ∑ i = 1 M ∑ λ T X i t + ∑ max { 0 ， t − 15 } t ∑ c = 1 2 Q t c ≥ α δ t ， ∀ t (2.14) Q t c ≤ Q M A X t c ， ∀ t ， ∀ c (2.15) P t ， X i t ， Z i t ， Q t c ， Q M A X t c ， E M I N c ， E M A X c ∈ Z + ∪ { 0 } ， ∀ i ， t (2.16) 其中目标函数第一项是对实时更新后客服人力需求小于计划安排人力时对客服进行调整的成本，后三项则是对需求大于计划人力时的调整成本，最后一项则为兼职成本。约束条件(2.5)表示i班次客服在开始上班时段到其有限的时段范围内满足 t + 1 时段处于下班状态的人数大于等于在t时段处于离开系统状态的人数。约束(2.6)指在 λ 时段与班次结束后的时段提前下班的客服人数相等。(2.7)指各班次能够提前离开系统的客服人数不能超过该班次上班的人数。(2.8)表示将预计安排提前下班但上班时间不足16个时段的客服调整到从 λ 时段开始继续上班16个时段的客服人数。约束条件(2.9)指i班次客服在t时段加班的人数大于等于 t + 1 时段加班的客服人数。(2.10)是指 班次客服在其正常下班时段前加班的人数为零。(2.11)指在 λ 时段前上班的班次，至少加班一个时段的客服人数小于等于该班次的总上班人数与该班次提前下班的人数之间的差值。(2.12)表示在 λ 时段后开始上班的客服各个时段的加班人数不超过该班次的总上班人数。(2.13)表示在 λ 时段前所有班次的客服在各个时间段处于离开系统状态的人数不会超过各时段人力冗余值。(2.14)表示在 λ 时段后，调整的客服及兼职人数之和不少于该时段的人力空缺值。约束(2.15)指实际招聘的兼职数小于等于该时段该城市可招到的最大兼职量；(2.16)约束了各参数为正整数或0。