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user: 3. ∇ → A → 的计算 ∇ → A → 用抽象指标可表示为 ∇ → A → = ∇ a A b ，则： ∇ → A → = ∇ a A b = g a c ∇ c A b = g a c ( ∂ c A b + Γ c e b A e ) = g a c ∂ c A b + g a c Γ c e b A e (19) ∇ a 是跟三维欧氏度规相适配的导数算符，与曲线正交坐标系的导数算符 ∂ a 有下面的关系： ∇ c A b = ∂ c A b + Γ c e b A e (20) 其中 Γ a b d 是反映 ∇ a 与 ∂ a 区别的克氏符，注意克氏符下面的两个指标是对称的，即 Γ a b d = Γ b a d 。 根据克氏符的定义 Γ μ ν σ = 1 2 g σ ρ ( g ρ μ ， ν + g ν ρ ， μ − g μ ν ， ρ ) ，利用度规(13)以及度规的逆(14)可以算出非零克氏符，如下 2 Γ 11 1 = ∂ 1 h 1 h 1 ， Γ 12 1 = Γ 21 1 = ∂ 2 h 1 h 1 ， Γ 13 1 = ∂ 3 h 1 h 1 ， Γ 22 1 = − h 2 ∂ 1 h 2 h 1 2 ， Γ 31 1 = ∂ 3 h 1 h 1 ， Γ 33 1 = − h 3 ∂ 1 h 3 h 1 2 ， Γ 11 2 = − h 1 ∂ 2 h 1 h 2 2 ， Γ 12 2 = Γ 21 2 = ∂ 1 h 2 h 2 ， Γ 22 2 = ∂ 2 h 2 h 2 ， Γ 32 2 = ∂ 3 h 2 h 2 ， Γ 33 2 = − h 3 ∂ 2 h 3 h 2 2 ， Γ 11 3 = − h 1 ∂ 3 h 1 h 3 2 (21) Γ 13 3 = Γ 31 3 = ∂ 1 h 3 h 3 ， Γ 22 3 = − h 2 ∂ 3 h 2 h 3 2 ， Γ 23 3 = Γ 32 3 = ∂ 2 h 3 h 3 ， Γ 33 3 = ∂ 3 h 3 h 3 注意： ∂ i = ∂ u i = ∂ ∂ u i ，( i = 1 ， 2 ， 3 )。 把(19)式用曲线正交坐标基底 ( ∂ ∂ u i ) a 展开为： g a c ∂ c A b + g a c Γ c e b A e = C 11 ( ∂ ∂ u 1 ) a ( ∂ ∂ u 1 ) b + C 12 ( ∂ ∂ u 1 ) a ( ∂ ∂ u 2 ) b + C 13 ( ∂ ∂ u 1 ) a ( ∂ ∂ u 3 ) b + C 21 ( ∂ ∂ u 2 ) a ( ∂ ∂ u 1 ) b + C 22 ( ∂ ∂ u 2 ) a ( ∂ ∂ u 2 ) b + C 23 ( ∂ ∂ u 2 ) a ( ∂ ∂ u 3 ) b + C 31 ( ∂ ∂ u 3 ) a ( ∂ ∂ u 1 ) b + C 32 ( ∂ ∂ u 3 ) a ( ∂ ∂ u 2 ) b + C 33 ( ∂ ∂ u 3 ) a ( ∂ ∂ u 3 ) b (22) 其中： C 11 = ( g a c ∂ c A b + g a c Γ c e b A e ) ( d u 1 ) a ( d u 1 ) b ， C 12 = ( g a c ∂ c A b + g a c Γ c e b A e ) ( d u 1 ) a ( d u 2 ) b C 13 = ( g a c ∂ c A b + g a c Γ c e b A e ) ( d u 1 ) a ( d u 3 ) b ， C 21 = ( g a c ∂ c A b + g a c Γ c e b A e ) ( d u 2 ) a ( d u 1 ) b C 22 = ( g a c ∂ c A b + g a c Γ c e b A e ) ( d u 2 ) a ( d u 2 ) b ， C 23 = ( g a c ∂ c A b + g a c Γ c e b A e ) ( d u 2 ) a ( d u 3 ) b (23) C 31 = ( g a c ∂ c A b + g a c Γ c e b A e ) ( d u 3 ) a ( d u 1 ) b ， C 32 = ( g a c ∂ c A b + g a c Γ c e b A e ) ( d u 3 ) a ( d u 2 ) b C 33 = ( g a c ∂ c A b + g a c Γ c e b A e ) ( d u 3 ) a ( d u 3 ) b 其中 ( d u i ) a 是 ( ∂ ∂ u i ) a 的对偶坐标基底。 利用正交归一基底和坐标基底的关系(17)式，则(19)式用曲线正交坐标系的正交归一基底展开为： g a c ∂ c A b + g a c Γ c e b A e = C 11 h 1 h 1 ( e 1 ) a ( e 1 ) b + C 12 h 1 h 2 ( e 1 ) a ( e 2 ) b + C 13 h 1 h 3 ( e 1 ) a ( e 3 ) b + C 21 h 2 h 1 ( e 2 ) a ( e 1 ) b + C 22 h 2 h 2 ( e 2 ) a ( e 2 ) b + C 23 h 2 h 3 ( e 2 ) a ( e 3 ) b + C 31 h 3 h 1 ( e 3 ) a ( e 1 ) b + C 32 h 3 h 2 ( e 3 ) a ( e 2 ) b + C 33 h 3 h 3 ( e 3 ) a ( e 3 ) b (24) 我们这里计算(24)式右边第一项。(23)式第一项为： C 11 = ( g a c ∂ c A b + g a c Γ c e b A e ) ( d u 1 ) a ( d u 1 ) b = g 1 i ∂ i A u 1 + g 1 i Γ i e 1 A e = g 11 ∂ 1 A u 1 + g 11 Γ 1 e 1 A e = g 11 ∂ 1 A u 1 + g 11 Γ 11 1 A u 1 + g 11 Γ 12 1 A u 2 + g 11 Γ 13 1 A u 3 = g 11 ∂ 1 ( A 1 h 1 ) + g 11 Γ 11 1 A 1 h 1 + g 11 Γ 12 1 A 2 h 2 + g 11 Γ 13 1 A 3 h 3 (25) 上面最后一个等号我们利用了关系(18)。则得到： C 11 h 1 h 1 = 1 h 1 ∂ 1 A 1 + 1 h 1 h 2 ( ∂ 2 h 1 ) A 2 + 1 h 1 h 3 ( ∂ 3 h 1 ) A 3 (26) (24)式中其它的系数 C 12 h 1 h 2 ⋅ ⋅ ⋅ 可用类似的计算得到。最后把所求得的系数带入(24)式得到： ∇ → A → = [ 1 h 1 ∂ 1 A 1 + 1 h 1 h 2 ( ∂ 2 h 1 ) A 2 + 1 h 1 h 3 ( ∂ 3 h 1 ) A 3 ] e → 1 e → 1     + [ 1 h 1 ∂ 1 A 2 − 1 h 1 h 2 ( ∂ 2 h 1 ) A 1 ] e → 1 e → 2   + [ 1 h 1 ∂ 1 A 3 − 1 h 1 h 3 ( ∂ 3 h 1 ) A 1 ] e → 1 e → 3     + [ 1 h 2 ∂ 2 A 1 − 1 h 1 h 2 ( ∂ 1 h 2 ) A 2 ] e → 2 e → 1   + [ 1 h 2 ∂ 2 A 2 + 1 h 1 h 2 ( ∂ 1 h 2 ) A 1 + 1 h 2 h 3 ( ∂ 3 h 2 ) A 3 ] e → 2 e → 2   + [ 1 h 2 ∂ 2 A 3 − 1 h 2 h 3 ( ∂ 3 h 2 ) A 2 ] e → 2 e → 3 + [ 1 h 3 ∂ 3 A 1 − 1 h 1 h 3 ( ∂ 1 h 3 ) A 3 ] e → 3 e → 1   + [ 1 h 3 ∂ 3 A 2 − 1 h 2 h 3 ( ∂ 2 h 3 ) A 3 ] e → 3 e → 2 + [ 1 h 3 ∂ 3 A 3 + 1 h 1 h 3 ( ∂ 1 h 3 ) A 1 + 1 h 3 h 2 ( ∂ 2 h 3 ) A 2 ] e → 3 e → 3 (27) 这就是 ∇ → A → 在曲线正交坐标系的一般表达式，目前我们在通常的教科书中没有找到这个结果。常见的曲线正交坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系，我们以这三个例子为例，得出具体的表达式。 1) 直角坐标系下 u 1 = x ， u 2 = y ， u 3 = z h 1 = 1 ， h 2 = 1 ， h 3 = 1 ∇ → A → = ∂ x A 1 e → x e → x + ∂ x A 2 e → x e → y + ∂ x A 3 e → x e → z + ∂ y A 1 e → y e → x + ∂ y A 2 e → y e → y + ∂ y A 3 e → y e → z + ∂ z A 1 e → z e → x + ∂ z A 2 e → z e → y + ∂ z A 3 e → z e → z (28) 2) 柱坐标系下 u 1 = r ， u 2 = ϕ ， u 3 = z 利用变换关系 x = r cos ϕ ， y = r sin ϕ ， z = z 带入(12)式可算出： h 1 = 1 ， h 2 = r ， h 3 = 1 则得到： ∇ → A → = ∂ r A 1 e → r e → r + ∂ r A 2 e → r e → ϕ + ∂ r A 3 e → r e → z + [ 1 r ∂ ϕ A 1 − 1 r A 2 ] e → ϕ e → r + [ 1 r ∂ ϕ A 2 + 1 r A 1 ] e → ϕ e → ϕ + 1 r ∂ 2 A 3 e → ϕ e → z + ∂ z A 1 e → z e → r + ∂ z A 2 e → z e → ϕ + ∂ z A 3 e → z e → z (29) 3) 球坐标系下 u 1 = r ， u 2 = θ ， u 3 = ϕ h 1 = 1 ， h 2 = r ， h 3 = r sin θ ∇ → A → = ∂ r A 1 e → r e → r + ∂ r A 2 e → r e → θ + ∂ r A 3 e → r e → ϕ + [ 1 r ∂ θ A 1 − 1 r A 2 ] e → θ e → r + [ 1 r ∂ θ A 2 + 1 r A 1 ] e → θ e → θ + 1 r ∂ θ A 3 e → θ e → ϕ + [ 1 r sin θ ∂ ϕ A 1 − 1 r A 3 ] e → ϕ e → r + [ 1 r sin θ ∂ ϕ A 2 − cos θ r sin θ A 3 ] e → ϕ e → θ + [ 1 r sin θ ∂ ϕ A 3 + 1 r A 1 + cos θ r sin θ A 2 ] e → ϕ e → ϕ (30)