system: [SYSTEM]

user: 4. 主要结果 假设 G i ( t ， s ) = { r i ( t − s ) ， 0 ≤ s ≤ t ≤ 2 π ， r i ( 2 π + t − s ) ， 0 ≤ t ≤ s ≤ 2 π ， 其中 i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， r i ( t ) 是三阶线性问题(4)的唯一解。 根据引理6~引理9有 r i ( t ) > 0 ， i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] ，设 m i = min t ∈ [ 0 ， 2 π ] r i ( t ) ， M i = max t ∈ [ 0 ， 2 π ] r i ( t ) ， i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 则 m i ≤ r i ( t ) ≤ M i ， m i ≤ G i ( t ) ≤ M i ， t ， s ∈ [ 0 ， 2 π ] . (5) 设 h ∈ C [ 0 ， 2 π ] ，由引理1可知，周期边值问题(1)的线性周期边值问题 { u ‴ + a u ″ + b u ′ + c u = h ( t ) ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] ， u ( i ) ( 0 ) = u ( i ) ( 2 π ) ， i = 0 ， 1 ， 2 有唯一解 u ，其中 u ( t ) = ∫ 0 2 π G i ( t ， s ) h ( s ) d s ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] ， i = 1 ， 2 ， 3 ， 4. 接下来定义一个算子 A u ( t ) = ∫ 0 2 π G i ( t ， s ) f ( s ， u ( s ) ) d s ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] ， i = 1 ， 2 ， 3 ， 4. (6) 其中 C + [ 0 ， 2 π ] 是 C [ 0 ， 2 π ] 中所有非负函数构成的锥，则非线性周期边值问题(1)的解等价于 A 的不动点，接下来，用锥上的不动点指数理论找到 A 的非零不动点，选择 C + [ 0 ， 2 π ] 中的子锥 K = { u ∈ C + [ 0 ， 2 π ] | u ( t ) ≥ σ i ‖ u ‖ ， 0 ≤ t ≤ 2 π } ， 其中 σ i = m i M i > 0 ， i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， ‖ u ‖ 是 C + [ 0 ， 2 π ] 中最大的范数， 则有下述引理： 引理10 A ( K ) ∈ K ，且 A : K → K 是全连续的。 证明：设 u ∈ K ，由 G i ( t ， s ) ≤ M i ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] ， i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 可得 A u ( t ) = ∫ 0 2 π G i ( t ， s ) f ( s ， u ( s ) ) d s ≤ M i ∫ 0 2 π f ( s ， u ( s ) ) d s ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] ， i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 且 ‖ A u ( t ) ‖ ≤ M i ∫ 0 2 π f ( s ， u ( s ) ) d s ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] ， 再由 m i ≤ G i ( t ， s ) 可得 A u ( t ) = ∫ 0 2 π G i ( t ， s ) f ( s ， u ( s ) ) d s ≥ m i ∫ 0 2 π f ( s ， u ( s ) ) d s ≥ m i M i ‖ A u ‖ = σ i ‖ A u ‖ ， 其中 t ∈ [ 0 ， 2 π ] ， i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，这表明 A u ∈ K ，因此 A ( K ) ∈ K ，故 A 是全连续的。 假设 E 是一个Banach空间，并且 K ( ⊂ E ) 是空间 E 的一个闭锥，假设 Ω 是 E 的一个有界开集，其边界为 ∂ Ω ，并且 K ∩ Ω ¯ ≠ ∅ 。设 A : K ∩ Ω ¯ → K 是一个全连续映射，如果对于任意的 u ∈ K ∩ ∂ Ω ， A u ≠ u ，此时可以定义不动点指数理论 i ( A ， K ∩ Ω ， K ) ，最重要的是，如果 i ( A ， K ∩ Ω ， K ) ≠ 0 ，则在 K ∩ Ω 中 A 有一个不动点。 对于 r > 0 ，令 K r = { u ∈ K | ‖ u ‖ < r } ， ∂ K r = r 是 K r 在 K 中的边界。因此，下文将用到下述的两个引理去证明问题(1)正解的存在性。 引理11 [ 11 ] 设 A : K → K 是一个全连续映射，如果对于任意的 u ∈ ∂ K r ，当 0 < μ ≤ 1 时，有 μ A u ≠ u ，则 i ( A ， K r ， K ) = 1 。 引理12 [ 11 ] 设 A : K → K 是一个全连续映射，假设下面两种情况成立： (i) inf u ∈ ∂ K r ‖ A u ‖ > 0 ， (ii) 对于任意的 u ∈ ∂ K r ，当 μ ≥ 1 ， μ A u ≠ u ， 则 i ( A ， K r ， K ) = 0 。 接下来将证明三阶微分方程周期边值问题正解的存在性。 情况1：当 Δ = 0 时，若 p = 0 ，则 q = 0 ， μ 1 = μ 2 = μ 3 = 0 ，即 λ 1 = λ 2 = λ 3 = − a 3 = − c a = − 3 c b ， λ ∈ R 。 定理1 设 f ∈ C ( [ 0 ， 2 π ] × [ 0 ， + ∞ ) ， [ 0 ， + ∞ ) ) ，且特征值 λ < 0 ，则在下面每种情况下 (i) f ¯ 0 < c ， f _ ∞ > c ; (ii) f _ 0 > c ， f ¯ ∞ < c ， 周期边值问题(1)至少存在一个正解。 证明：由引理10和 K 的定义得，(6)式定义的算子 A 的非零不动点是周期边值问题(1)的正解，下面将分两种情况去证明 A 有一个非零不动点。 情况(i)：由于 f 0 ¯ < c ，根据 f 0 ¯ 的定义，取 ε ∈ ( 0 ， c ) ， r 0 > 0 ，使得 f ( t ， u ) ≤ ( c − ε ) u ， ∀ t ∈ [ 0 ， 2 π ] ， 0 ≤ u ≤ r 0 . (7) 令 r ∈ ( 0 ， r 0 ) 。 下面用反证法证明：对于任意的 u ∈ ∂ K r 和 0 < μ ≤ 1 ，有 μ A u ≠ u 。 假设存在 u 0 ∈ ∂ K r 和 0 < μ 0 ≤ 1 ，使得 μ 0 A u 0 = u 0 ，则由 A 的定义得 u 0 ( t ) 满足微分方程 u ‴ 0 ( t ) + a u ″ 0 ( t ) + b u ′ 0 ( t ) + c u 0 ( t ) = μ 0 f ( t ， u 0 ( t ) ) ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] (8) 和边界条件 u 0 ( i ) ( 0 ) = u 0 ( i ) ( 2 π ) ， i = 0 ， 1 ， 2 ，对上述微分方程从 0 到 2 π 上积分，并且利用 u 0 ( t ) 周期性和(7)式，可得 c ∫ 0 2 π u 0 ( t ) d t = μ 0 ∫ 0 2 π f ( t ， u 0 ( t ) ) d t ≤ ∫ 0 2 π f ( t ， u 0 ( t ) ) d t ≤ ( c − ε ) ∫ 0 2 π u 0 ( t ) d t ， 由 K 的定义， u 0 ( t ) ≥ σ 1 ‖ u 0 ‖ = σ 1 r ，则有 ∫ 0 2 π u 0 ( t ) d t > 0 。从上面不等式可得 c ≤ c − ε ，矛盾。因此 A 满足引理11的条件，故 i ( A ， K r ， K ) = 1 (9) 另一方面，由于 f ∞ _ > c ，则存在 ε > 0 ， H > 0 使得 f ( t ， u ) ≥ ( c + ε ) u ， ∀ t ∈ [ 0 ， 2 π ] ， u ≥ H . (10) 令 C = max 0 ≤ t ≤ 2 π ， 0 ≤ u ≤ H | f ( t ， u ) − ( c + ε ) u | + 1 ，因此对于任意的 t ∈ [ 0 ， 2 π ] 和 u ≥ 0 ，有 f ( t ， u ) ≥ ( c + ε ) u − C ， (11) 取 R > R 0 : = max { H / σ 1 ， r 0 } ，设 u ∈ ∂ K R 。由于当 s ∈ [ 0 ， 2 π ] 时，有 u ( s ) ≥ σ 1 ‖ u ‖ > H ，结合(5)式、(10)式和 K 的定义可得 ‖ A u ‖ ≥ A u ( t ) = ∫ 0 2 π G 1 ( t ， s ) f ( s ， u ( s ) ) d s ≥ m ∫ 0 2 π f ( s ， u ( s ) ) d s ≥ m ( c + ε ) ∫ 0 2 π u ( s ) d s ≥ 2 π m ( c + ε ) σ 1 ‖ u ‖ ， 即 ‖ A u ‖ ≥ 2 π m ( c + ε ) σ 1 ‖ u ‖ (12) 因此 inf u ∈ ∂ K R ‖ A u ‖ > 0 ，即引理12的(i)成立。 下面用反证法证明：若 R 足够大，则对于任意的 u ∈ ∂ K R 和 μ ≥ 1 ，有 μ A u ≠ u 。 假设存在 u 0 ∈ ∂ K R 和 μ 0 ≥ 1 ，使得 μ 0 A u 0 = u 0 ，则 u 0 ( t ) 满足微分方程(8)和边界条件 u 0 ( i ) ( 0 ) = u 0 ( i ) ( 2 π ) ， i = 0 ， 1 ， 2 ，对方程(8)从 0 到 2 π 上积分得 c ∫ 0 2 π u 0 ( t ) d t = μ 0 ∫ 0 2 π f ( t ， u 0 ( t ) ) d t ≥ ∫ 0 2 π f ( t ， u 0 ( t ) ) d t ≥ ( c + ε ) ∫ 0 2 π u 0 ( t ) d t − C ， 因此 ∫ 0 2 π u 0 ( t ) d t ≤ C ε (13) 由 K 的定义， ∫ 0 2 π u 0 ( t ) d t ≥ σ 1 ‖ u 0 ‖ ，再结合(13)式可得 ‖ u 0 ‖ ≤ 1 σ 1 ∫ 0 2 π u 0 ( t ) d t ≤ C σ 1 ε : = R ¯ (14) 令 R > max { R ¯ ， R 0 } ，则对任意的 u ∈ ∂ K R 和 μ ≥ 1 ，有 μ A u ≠ u ，即引理12的条件(ii)也成立，则由引理12可得 i ( A ， K R ， K ) = 0 (15) 再由不动点指数的可加性、(9)式和(15)式可得 i ( A ， K R \ K r ¯ ， K ) = i ( A ， K R ， K ) − i ( A ， K r ， K ) = − 1 因此 A 在 K R \ K r ¯ 中有一个不动点，并且它是周期边值问题(1)的正解。 情况(ii)：由于 f 0 _ > c ，则存在 ε > 0 ， η > 0 ，使得 f ( t ， u ) ≥ ( c + ε ) u ， ∀ t ∈ [ 0 ， 2 π ] ， 0 ≤ u ≤ η . (16) 令 r ∈ ( 0 ， η ) ，则对任意的 u ∈ ∂ K r ，由(12)式得 inf u ∈ ∂ K r ‖ A u ‖ > 0 ，即引理12的条件(i)成立。 下面用反证法证明：对任意的 u ∈ ∂ K r 和 μ ≥ 1 ，有 μ A u ≠ u 。 假设存在 u 0 ∈ ∂ K r 和 μ 0 ≥ 1 ，使得 μ 0 A u 0 = u 0 ，则 u 0 ( t ) 满足微分方程(8)和边界条件 u 0 ( i ) ( 0 ) = u 0 ( i ) ( 2 π ) ， i = 0 ， 1 ， 2 ，由(8)式和(16)式可得 c ∫ 0 2 π u 0 ( t ) d t ≥ ( c + ε ) ∫ 0 2 π u 0 ( t ) d t . 由 ∫ 0 2 π u 0 ( t ) d t ≥ σ 1 ‖ u 0 ‖ > 0 ，得 c ≥ c + ε ，矛盾。即引理12的条件(ii)也成立，则由引理12得 i ( A ， K r ， K ) = 0 (17) 又由 f ¯ ∞ < c ，则存在 ε ∈ ( 0 ， c ) ， H > 0 ，使得 f ( t ， u ) ≤ ( c − ε ) u ， ∀ t ∈ [ 0 ， 2 π ] ， u ≥ H . 令 C = max 0 ≤ t ≤ 2 π ， 0 ≤ u ≤ H | f ( t ， u ) − ( c − ε ) u | + 1 ，则可得 f ( t ， u ) ≤ ( c − ε ) u + C ， ∀ t ∈ [ 0 ， 2 π ] ， u ≥ 0 (18) 下面用反证法证明：对任意的 u ∈ ∂ K R 和 0 < μ ≤ 1 ，有 μ A u ≠ u 。 假设存在 u 0 ∈ ∂ K R 和 0 < μ 0 ≤ 1 ，使得 μ 0 A u 0 = u 0 ，则 u 0 ( t ) 满足微分方程(8)和边界条件 u 0 ( i ) ( 0 ) = u 0 ( i ) ( 2 π ) ， i = 0 ， 1 ， 2 ，由(10)式和(18)式可得 c ∫ 0 2 π u 0 ( t ) d t ≤ ( c − ε ) ∫ 0 2 π u 0 ( t ) d t + C . 由(15)式得 ‖ u 0 ‖ ≤ R ¯ 。令 R > max { R ¯ ， η } ，则对任意的 u ∈ ∂ K R 和 0 < μ ≤ 1 ，有 μ A u ≠ u ，则由引理11得 i ( A ， K R ， K ) = 1 (19) 再由不动点指数的可加性，(17)式和(19)式得到 i ( A ， K R \ K r ¯ ， K ) = i ( A ， K R ， K ) − i ( A ， K r ， K ) = 1 。 因此 A 在 K R \ K r ¯ 中有一个不动点，它是周期边值问题(1)的正解。 证毕。 根据定理1，我们可以得出以下结论： 推论1设 f ∈ C ( [ 0 ， 2 π ] × [ 0 ， + ∞ ) ， [ 0 ， + ∞ ) ) ，且特征值 λ < 0 ，则在下述任意条件中： (i) f ¯ 0 = 0 ， f ¯ ∞ = + ∞ (超线性)； (ii) f _ 0 = + ∞ ， f _ + ∞ = 0 (次线性)， 周期边值问题(1)存在一个正解。 其他三种情况的证明与定理1相似。