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user: 5. 信用支付和收益共享契约下的供应链 为了协调供应和需求不确定的供应链，本节将综合应用信用支付和收益共享契约 ( w ， φ ) ，即：销售期前，供应商发布批发价 w ，零售商采用信用支付方式订购产品，订购时仅支付订购资金 B ；销售期末，零售商先将其部分销售收入(比例为 ( 1 − φ ) )返给供应商， φ ∈ ( 0 ， 1 ) ，再支付剩余货款及利息。供应商按照零售商的订购量确定计划生产量。 5.1. 供应链成员的最优生产订购决策 零售商的期望利润函数为： E π r L T R ( q ) = φ p E min ( q ， x ) − ( w q − B ) ( 1 + α ) − B = ( φ p − ( 1 + α ) w ) q − φ p ∫ 0 q F ( x )   d x + α B . (19) 其中，第一项为保留的销售收入，第二项为未偿还货款及利息，第三项为订购货物时支付的部分货款。 供应商的期望利润函数为： E π s L T R ( q ， R ) = ( 1 − φ ) p E min ( q ， x ) + B + ( 1 + α ) ( w q − B ) − e E ( q − ε R ) + − c R = ( 1 + α ) w q + ( 1 − φ ) p [ q − ∫ 0 q F ( x )   d x ] − e R ∫ a q / R G ( ε )   d ε − α B − c R . (20) 其中：第一项为零售商返还的销售收入，第二项为销售期前所获部分货款，第三项为销售期末所获剩余货款及利息，第四项为从现货市场采购产品的成本，第五项为生产成本。 定理4：在信用支付和收益共享契约下，若 φ p > ( 1 + α ) w ，则零售商的最优订购量 q L T R 和供应商的最优计划生产量 R L T R 分别为： q L T R = max ( q L T r ， q W ) ， R L T R = q L T R / z 。 (21) 其中， z 由(3)式定义，且 q L T r = F − 1 ( φ p − ( 1 + α ) w φ p ) 。 (22) 证明：对 E π r L T R ( q ) 求关于 q 的一阶和二阶导数得： d E π r L T R ( q ) d q = φ p [ 1 − F ( q ) ] − ( 1 + α ) w ， (23) d 2 E π r L T R ( q ) d q 2 = − φ p f ( q ) 。 (24) 由 φ p > ( 1 + α ) w 可得： lim q → 0 d E π r L T R ( q ) d q = φ p − ( 1 + α ) w ≥ 0 ， lim q → ∞ d E π r L T R ( q ) d q = − ( 1 + α ) w < 0 。 由根的存在性定理可得，存在 q L T r ∈ ( 0 ， ∞ ) 满足(22)式，使 d E π r L T R ( q ) / d q = 0 。由 f ( x ) > 0 可得， d 2 E π r L T R / d q 2 < 0 ，即 E π r L T R 是关于 q 的凹函数。又因 q ≥ q W ，因此， q L T R = max ( q L T r ， q W ) 。采用类似定理3的证明方法，可得 R L T R = q L T R / z ，其中 z 由(3)式定义。 供应商的最优期望利润为： E π s L T R ( q L T R ， R L T R ) = [ ( 1 + α ) w − c z ] q L T R + ( 1 − φ ) p [ q L T R − ∫ 0 q L T R F ( x )   d x ] − α B 。 (25) 5.2. 供应链协调 定理5：假设 p > c z ，若契约参数 ( w ， φ ) 满足条件： B / q C ≤ w 且 φ = 1 + α c z w 。 (26) 则零售商和供应链系统的期望利润同时达到最优。 证明：首先，由 p > c z 及(26)式，得到： φ p = p ( 1 + α ) c z w > ( 1 + α ) w 。 由定理4可知， q L T R = max ( q L T r ， q W ) 。由(26)式可得： q L T r = q C ；再由 B / q C ≤ w ，可得： q W ≤ q C 。于是， q L T r = q C ≥ q W 。因此， q L T R = q L T r = q C 。由定理4和定理1可知， R L T R = q L T R / z = q C / z = R C ，即定义1中的条件(1)得到满足。 零售商的订购资金无限时，批发价契约下零售商和供应商的最优期望利润分别作为各自的保留利润。零售商的保留利润记为 E π r 0 ，即 E π r 0 = E π r ( q I ) ；供应商的保留利润记为 E π s 0 ，即 E π s 0 = E π s ( q I ， R I ) 。记 E π c * = E π c ( q C ， R C ) ， E π r * = E π r L T R ( q C ) ， E π s * = E π s L T R ( q C ， R C ) 。为了保证双方接受契约，契约参数 ( w ， φ ) 还需满足： { E π r * ≥ E π r 0 ; E π s * ≥ E π s 0 . (27) 定理6：假设 p > c z ，若契约参数 ( w ， φ ) 满足： w = c z 1 + α φ ， (28) 且 max ( φ 0 ， φ 1 ) ≤ φ ≤ φ 2 。 (29) 则信用支付和收益共享契约使供应链协调。其中： φ 0 = ( 1 + α ) B c z q C ， φ 1 = E π r 0 − α B E π c * ， φ 2 = E π c * − E π s 0 − α B E π c * 。 证明：由 p > c z ，当契约参数 ( w ， φ ) 满足(28)式，且 φ 0 ≤ φ ，即 B / q C ≤ w 。由定理5得，零售商和供应链系统的期望利润同时达到最优。根据(4)式、(19)式和(25)式可得： E π r * = φ E π c * + α B ， (30) E π s * = ( 1 − φ ) E π c * − α B 。 (31) 由(27)式可得： φ 1 ≤ φ ≤ φ 2 。再结合 φ 0 ≤ φ ，可得(29)式。因此，若契约参数满足(28)式及(29)式，信用支付和收益共享契约使供应链协调。 在供应确定需求不确定的情形下，若契约参数 ( w ， φ ) 满足： φ = 1 + α c w 。 (32) 则信用支付和收益共享契约使零售商订购资金有限的供应链协调 [ 25 ] 。 定理7：与供应确定需求不确定供应链协调条件相比，为实现供需不确定供应链的协调，若 w 和 α 不变，则 φ 变小；若 φ 和 α 不变，则 w 变大。 证明：把(3)式改写为： z e G ( z ) − e ∫ a z G ( ε )   d ε = c ，因 z < 1 ，则： c z = e G ( z ) > z e G ( z ) − e ∫ a z G ( ε )   d ε = c ， (33) 即 c z > c 。比较(32)式和(26)式可得：若 w 和 α 不变，供需不确定供应链协调时的 φ 变小；若 φ 和 α 不变，供需不确定供应链协调时的 w 变大。 通过与供应确定需求不确定的情形比较，发现： c z > c ，即供应不确定会增加供应商的供货成本；在实现供需不确定供应链协调时，若利息率和批发价不变，供应商会要求从零售商处获取更大比例的销售收入；若利息率和收益共享比例不变，供应商会提高批发价，以弥补供应不确定带来的额外成本。 定理8：假设 p > c z ，若契约参数 ( w ， φ ) 满足(28)式和(29)式，则： E π r * 随着 w 、 φ 、 α 和 B 的增大而增大；而 E π s * 随着 w 、 φ 、 α 和 B 的增大而减少。 证明：由 p > c z 及(4)式可得， E π c * > 0 。当契约参数 ( w ， φ ) 满足(28)式和(29)式时， E π r * 和 E π s * 分别满足(30)式和(31)式，则： ∂ E π r * / ∂ φ = E π c * > 0 ， ∂ E π s * / ∂ φ = − E π c * < 0 。利用(28)式，把(30)式和(31)式分别改 写为： E π r * = 1 + α c z w E π c * + α B ， E π s * = ( 1 − 1 + α c z w ) E π c * − α B ，则 ∂ E π r * ∂ w = 1 + α c z E π c * > 0 ， ∂ E π r * ∂ α = w E π c * c z + B > 0 ， ∂ E π r * ∂ B = α > 0 ； ∂ E π s * ∂ w = − 1 + α c z E π c * < 0 ， ∂ E π s * ∂ α = − ( w E π c * c z + B ) < 0 ， ∂ E π s * ∂ B = − α < 0 。 应用信用支付和收益共享契约后，通过调整契约参数，满足一定的条件，零售商的订购量得到进一步的提高，从而使供应链协调。