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user: 2. 定理的证明 引理6：设 D = ( X ， B ) 为一个 5 - ( q + 1 ， 6 ， λ ) 设计， X = G F ( q ) ∪ { ∞ } 。若 G = P G L ( 2 ， q ) 区传递作用于 D 上，则 λ | G B | ( q − 2 ) ( q − 3 ) = 720 。可能出现的情形： q = 11 ， λ = 2 。 证明：由于 D = ( X ， B ) 为G区传递作用下的 5 - ( q + 1 ， 6 ， λ ) 设计，可设 B = B G ，则 b = | B G | = | G | / | G B | 。由引理2知 b = λ ( q + 1 5 ) / ( 6 5 ) = ( q + 1 ) q ( q − 1 ) | G B | . 故 λ | G B | ( q − 2 ) ( q − 3 ) = 720 。由于q为素数幂且 v > k + t ，可得 q = 11 。 当 q = 11 时， λ | G B | = 10 。由于 λ 为正整数，故 λ ∈ { 1 ， 2 ， 5 ， 10 } 。由引理1知，若 D 为一个 5 - ( 12 ， 6 ， 1 ) 设计，则 D 也为一个 4 - ( 12 ， 6 ， 4 ) 设计；若 D 为一个 5 - ( 12 ， 6 ， 2 ) 设计，则 D 也为一个 4 - ( 12 ， 6 ， 8 ) ；若 D 为一个 5 - ( 12 ， 6 ， 5 ) 设计，则 D 也为一个 4 - ( 12 ， 6 ， 2 0 ) 设计；若 D 为一个 5 - ( 12 ， 6 ， 10 ) 设计，则 D 也为一个 4 - ( 12 ， 6 ， 40 ) 设计。再由引理3知 λ 的值可能为2。 下用一个新的方法证明文献 [ 3 ] 中的一个结论。 定理1：设 D = ( X ， B ) 为一个 5 - ( q + 1 ， 6 ， λ ) 设计， X = G F ( q ) ∪ { ∞ } 。如果 G = P G L ( 2 ， q ) 区传递作用于 D 上，则存在唯一的 5 - ( 12 ， 6 ， 2 ) 设计。 证明：设 B = B G 。由引理6知若 λ = 2 ，则 | G B | = 5 。令 G B = 〈 f 〉 。由于B为X的6-子集，故B中包含f的一个5-圈和一个不动点。由于G在X上的作用是精确3重传递的，可设 B = { ∞ ， 0 ， 1 ， α ， β ， γ } ，其中 ( ∞       0       1       α     β ) 为f的一个5-圈， γ 为f的一个不动点。设 x f = a x + b c x + d ，其中 a ， b ， c ， d ∈ G F ( 11 ) 。由 ∞ f = 0 及 0 f = 1 知 a = 0 且 b = d ，从而 x f = b c x + b 。由于 b ≠ 0 ，故存在 e ∈ G F ( 11 ) 使得 x f = 1 e x + 1 。由 1 f = α 得 x f = α ( 1 − α ) x + α 。又 α f = β 及 β f = ∞ ，从而 α ( 2 − α ) − α 2 + α + 1 = ∞ ，即 − α 2 + α + 1 = 0 。将方程 − α 2 + α + 1 = 0 在 G F ( 11 ) 中求解，得 α = 4 或 α = 8 。当 α = 4 时， x f = 1 2 x + 1 ， β = 5 ， γ = 6 或 γ = 10 。当 α = 8 时， x f = 2 x + 2 ， β = 9 ， γ = 4 或 γ = 5 。综上述B可能为如下四种情形： { ∞ ， 0 ， 1 ， 4 ， 5 ， 6 } ， { ∞ ， 0 ， 1 ， 4 ， 5 ， 10 } ， { ∞ ， 0 ， 1 ， 8 ， 9 ， 4 } ， { ∞ ， 0 ， 1 ， 8 ， 9 ， 5 } 。 取 B = { ∞ ， 0 ， 1 ， 4 ， 5 ， 6 } ，调用程序得到初始区组B在G作用下的轨道 B G ，发现上述四个区组在同一条轨道中，且 | G B | = 5 。故只需验证 ( X ， B G ) 是否可以构成一个 5 - ( 12 ， 6 ， 2 ) 设计。调用程序知X的任意给定的5-子集都恰好含于 B G 的两个成员之中。故 ( X ， B G ) 为同构意义下满足条件的唯一的 5 - ( 12 ， 6 ， 2 ) 设计。 引理7：设 D = ( X ， B ) 为一个 5 - ( q + 1 ， 6 ， λ ) 设计， X = G F ( q ) ∪ { ∞ } 。若 G = P S L ( 2 ， q ) 区传递作用于 D 上，则 λ | G B | ( q − 2 ) ( q − 3 ) = 360 。可能出现的情形： q = 11 ， λ = 1 。 证明：由于 D = ( X ， B ) 为一个G区传递作用下的 5 - ( q + 1 ， 6 ， λ ) 设计，设 B = B G ，则 b = | B G | = | G | / | G B | 。由引理2知 b = λ ( q + 1 5 ) / ( 6 5 ) = ( q + 1 ) q ( q − 1 ) ( 2， q − 1 ) | G B | . 故 λ | G B | ( q − 2 ) ( q − 3 ) ( 2 ， q − 1 ) = 720 。由于q为素数幂且 v > k + t ，可得 q = 11 。即 λ | G B | ( q − 2 ) ( q − 3 ) = 360 。 当 q = 11 时， λ | G B | = 5 。由于 λ 为正整数，故 λ ∈ { 1 ， 5 } 。由引理1知，若 D 为一个 5 - ( 12 ， 6 ， 1 ) 设计，则 D 也为一个 4 - ( 12 ， 6 ， 4 ) 设计；若 D 为一个 5 - ( 12 ， 6 ， 5 ) 设计，则 D 也为一个 4 - ( 12 ， 6 ， 2 0 ) 设计。再由引理4知 λ 的值可能为1。 引理8： G = P S L ( 2 ， 11 ) 作用在X的6-子集上的轨道及轨道长度分别为： O 1 = { 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 } G ， | O 1 | = | G | / 2 ; O 2 = { 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 6 } G ， | O 2 | = | G | / 5 ; O 3 = { 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 9 } G ， | O 3 | = | G | / 5 ; O 4 = { 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 6 } G ， | O 4 | = | G | / 6 ; O 5 = { 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 7 } G ， | O 5 | = | G | / 6 ; O 6 = { 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 9 } G ， | O 6 | = | G | / 6 . 证明：由Cauchy-Frobenius引理知G作用在X的6-子集上的轨道条数为: t = 1 | G | ∑ g ∈ G χ 6 ( g ) 。由引理 5知 q = 11 时只有 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 6 阶元可以固定6-子集，故 t = 1 | G | [ ( q + 1 6 ) + | G | q + 1 ( q + 1 2 3 ) + 2 | G | q + 1 ( q + 1 3 2 ) + 8 | G | 5 + | G | 3 ] = 6 . 调用程序得到G作用在X的6-子集上的轨道及轨道长度。 定理2：设 D = ( X ， B ) 为一个 5 - ( q + 1 ， 6 ， λ ) 设计， X = G F ( q ) ∪ { ∞ } 。如果 G = P S L ( 2 ， q ) 区传递作用于 D 上， D 为两个不同构的 5 - ( 12 ， 6 ， 1 ) 设计。 证明：设 B = S G 。由引理7知若 λ = 1 ，则 | G S | = 5 。再由引理8，故只需验证 ( X ， O 2 ) 与 ( X ， O 3 ) 是否可以构成 5 - ( 12 ， 6 ， 1 ) 设计。调用程序知X的任意给定的5-子集都恰好含于 O i 的一个成员之中，其中 i = 2 ， 3 。即 ( X ， B G ) 为满足条件的两个不同构的 5 - ( 12 ， 6 ， 1 ) 设计。