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user: 4. 北京市能源消费增长与经济增长关系的实证分析 4.1. 单位根检验 采用Augmented Dickey-Fuller(ADF)检验时间序列的稳定性，其基本原理是通过在回归方程右边加入因变量 y t 的滞后差分项来控制高阶序列相关。 Δ y t = α + η y t − 1 + ∑ i = 1 p − 1 β i Δ y t − i + μ t 式中， y t 代表时间序列变量；p为模型滞后阶数；Δ表示序列的一阶差分； μ t 代表白噪声残差(white noise)； α 为常数项，代表回归方程的截距； η 为回归方程的趋势系数。 本文的模型求解全部借助软件Eviews9.0完成。通过时间序列图可以发现经济增长量与能源消费增长量不存在确定性时间趋势(见图1)，其平稳性需要进一步通过单位根检验验证。 利用ADF检验法对EG和ECG及其差分序列进行单位根检验，滞后期根据AIC(Akaike information criterion)准则选择。各序列单位根检验结果(见表2)。 检验结果显示，一阶差分ECG、EG序列能够通过99%检验水平下的临界值，所以接受原假设零单位根假设，认为 Δ E C G 、 Δ E G 序列为平稳序列。即 E C G t ~ I ( 1 ) ， E G t ~ I ( 1 ) 一阶差分完以后，可判断为平稳时间序列。 虽然一些经济变量本身是非平稳序列，但是它们的线性组合却有可能是平稳序列，Engle和Granger指出两个或多个非平稳时间序列的线性组合可能是平稳的。假如这样的一种具有长期稳定关系的线性组合存在，这些非平稳时间序列之间被认为具有协整关系。本文采用回归残差协整检验方法。Johansen极大似然估计法，模型估计残差为： μ ^ t = y 1 t − β ^ 2 y 2 t − β ^ 3 y 3 t − ⋅ ⋅ ⋅ − β ^ k y k t 4.2. 协整检验分析 利用EG两步法对残差进行检验：首先，建立回归方程： E C G t = β E G t + μ t (1) 图1. 经济增长与能源消费增长时间序列图 Table 2 The results of the unit root test of energy consumption growth and economic growt 检验变量 检验类型 ADF检验值 临界值 结论 α = 1 % α = 5 % α = 10 % EG Intercept −2.94376 −3.654 −2.957 −2.617 不平稳 ΔEG None −6.65383 −2.642 −1.952 −1.610 ***平稳 ECG None −1.45514 −2.642 −1.952 −1.610 不平稳 ΔECG Intercept −4.29795 −3.662 −2.960 −2.619 ***平稳 表2. 能源消费增长ECG和经济增长EG的单位根检验结果 注：1) Intercept表示有常数项None表示无常数项和时间趋势；2) ***表示在99%置信水平上的显著性；3) Δ是对序列的一阶差分。 对方程进行OLS估计得到不含截距项的方程： E C G t = 0.25 E G t + μ ^ t ( T = 8.72   R 2 = 0.2   D .W = 1.87 ) (2) 其次，对估计方程得出的残差项进行单整性检验。如果残差项为稳定序列，则认为变量ECG t 、EG t 之间协整；如果为一阶单整，则二者之间不存在协整关系。 对式(2)的残差进行单位根检验，由回归方程估计结果可得： μ ^ t = E C G t − 0.25 E G t (3) 对 μ ^ 进行单位根检验，不含常数和时间趋势，由SIC准则确定滞后阶数(见表3)： 结果显示，残差项 μ ^ t ( T = − 5.13 < t = − 3.65 ， P = 0.0002 )不存在单位根，因此可以确定 μ ^ t 为平稳序列，即 μ ^ t ~ I ( 0 ) 。所以认为方程 E C G t = 0.25 E G t + μ ^ t 线性组合后是平稳的。 时间序列变量之间协整关系的数量由特征值检验(Eigenvalue)与迹检验(Trace Statistic)判断，用R代表协整关系的数量。原假设为变量之间不存在协整关系，即H 0 ：R = 0；备择假设为变量至少存在N个协整关系，即H 1 ：R ≤ N，N = 1，2，见表4。 协整检验结果：对于原假设不存在协整关系，迹检验(Trace Statistic)与最大特征根检验(Maximum Eigenvalue)均高于5%置信水平下的临界值；即16.596 > 15.495，15.367 > 14.265在95%置信水平上拒绝了原假设；对于原假设变量间最多存在1个协整关系，迹检验(Trace Statistic)与最大特征根检验(Maximum Eigenvalue)均低于5%置信水平下的临界值第二行即：2.22 < 3.84，接受了原假设。所以，在5%的显著水平上存在1个协整关系。 Table 3 Residual sequence unit root tes T检验 P Augmented Dickey-Fuller test statistic(ADF) −5.134339 0.002 检验水平 1% −3.653730 5% −2.957110 10% −2.617434 表3. 残差序列单位根检验 Table 4 Growth of energy consumption and economic growth co-integration tes 迹统计量检验(Trace) 协方差个数 特征根(Eignevalue) 迹检验(Trace Statistic) 5%置信水平 P None 0.329 16.59554 15.49471 0.03 At most 1 0.127 2.220386 3.841466 0.13 最大特征根检验(Maximum Eigenvalue) 协方差个数 特征根(Eignevalue) 最大特征根 (Maximum Eigenvalue) 5%置信水平 P None 0.329 15.36744 14.26469 0.03 At most 1 0.127 2.220386 3.841466 0.13 表4. 能源消耗增长量和经济增长协整检验 注：None表示变量间不存在协整关系；At most 1表示至多存在1个协整关系。 由于传统的经济模型通常表述的是变量之间的一种“长期均衡关系”，而实际上经济数据往往产生于“非均衡过程”，因此在建立模型时需要用数据的动态非均衡过程来逼近经济理论的长期均衡过程，进而建立误差修正模型(Error Correction Model， ECM)。 y t = β 0 + β 1 y 1 t + β 2 x t + β 3 x t − 1 + μ t 4.3. 误差修正模型(Error Correction Model， ECM) 为了增强模型精度，将协整回归中的误差项看做均衡误差，通过短期动态模型来弥补长期静态模型对的不足。首先建立1983年~2015年期间能源消费增长量与经济增长之间的长期趋势模型，利用OLS建立误差修正模型： E C G t = 1.165 × 10 − 3 + 0.237 E G t + μ ^ t (4) 令 e c m t = μ ^ t ，即将式中残差序列 μ ^ t 作为误差修正项，建立短期波动模型： Δ E C G t = α 0 + β 0 Δ E G t + γ e c m t − 1 + ε t (5) 修正后得到 Δ E C G t = − 4.36 × 10 − 4 + 0.203 Δ E G t − 0.906 e c m t − 1 + ε t                             T = ( − 0.2 )               ( 0.104 )                     ( − 4.819 )                             R 2 = 0.5             D . W . = 1.98 γ = − 0.906 且具有显著性 在误差修正模型中， Δ E G t 的系数为正， e c m t − 1 的系数为负，说明从短期变化中看，经济增长对能源消耗增长变化以20.3%比例产生正影响，差分项反映了短期波动的影响。 ARIMA(p，d，q)称为差分自回归移动平均模型，是指将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，通过偏相关系数和自相关系数确定p和q，估计未知参数，检验是否具有统计意义。再进行假设检验，诊断残差序列是否为白噪声，若为白噪声序列即平稳序列。最后用已通过的模型进行预测分析。经过d阶差分变换后的ARMA(p，q)模型称为ARIMA(p，d，q)模型(autoregressive integrated moving average models) Φ ( L ) ( 1 − L ) d y t = c + Θ ( L ) ε t 式中 Φ ( L ) = 1 − ϕ 1 L − ϕ 2 L 2 − ⋅ ⋅ ⋅ − ϕ p L p ， Θ ( L ) = 1 + θ 1 L 1 + θ 2 L 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + θ q L q 4.4. ARIMA(1，1，0)模型 对ECG一阶差分后得到的平稳序列ΔECG的自相关、偏自相关函数图。 从图2中可以看到，最后一列白噪声检验的Q统计量和相应的伴随概率表明序列存在相关性，因此序列为平稳非白噪声序列，可设定为ARMA过程。ΔECG的自相关函数1-2阶都是显著的，并且从第3阶开始下降很大，数值也不太显著，因此先设定q值为2。ΔECG的偏自相关函数1阶很显著，从第2阶开始下降很大，因此先设定p值为1，于是对于序列ΔECG，初步建立了ARMA(1，2)模型。 以最小值AIC选取准确的p和q值，因此通过六组不同的(p，q)值，利用最小二乘法建立ARIMA模型，分别求取各模型的AIC值(见表5)。 从表5各模型回归结果中AIC值看出，当p = 1，q = 0时所建立的ARIMA(1，1，0)模型是最佳的，此时AIC值(−5.7734)为最小值。因此对能源消耗增长ECG建立ARIMA(1，1，0)模型 Δ E C G t = − 0.6077 Δ E C G t − 1 + ε t                                       ( − 2.88 ) DW = 1.913   AIC = − 5.773   F = 8.375 (6) Table 5 AIC under different p and q value MA(0) MA(1) MA(2) AR(0) 0 −5.5701 −5.4703 AR(1) −5.7734 −5.7089 −5.7098 表5. 不同p、q值模型下AIC 图2. ΔECG的自相关、偏自相关函数图 图3. 残差序列的自相关系数和偏相关系数图 图4. 能源消费总量预测 通过观察图3，不存在滞后阶数，并且P值均大于0.05，所以残差序列为白噪声序列，即平稳序列。 模型应用 w t = Δ d E C G t = ( 1 − L ) d E C G t (7) 其中w t 为平稳序列，L为滞后算子， E C G t ⋅ L = E C G t − 1 。 将 Δ E C G t = − 0.6077 Δ E C G t − 1 + ε t 代入得到 E C G t = 0.3923 E C G t − 1 + 0.6077 E C G t − 2 (8) 利用公式(8)可以得出2017~2020年每年的能源消费总量为：6970.12万t、7033.19万t、7084.54万t、7143.79万t，并对其进行预测(见图4) 图4中Theil不等系数的取值在0，1之间，等于0表示预测与真值完全相同，能源消费总量的Theil不等系数为0.00478，表示ARIM(1，1，0)模型对2017~2020年北京市能耗总量的预测准确度较高。