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user: 2. 主要结论 定理1. 令图G是一个具有分数完美匹配的图，那么 μ m ( G ) 也是一个具有分数完美匹配的图。 证明. 我们在原图中选择一条具有最大权值 a ( a ≥ 1 / 2 ) 的边 e = v k v l ，我们构造如下 μ m ( G ) 的一个分数完美匹配(如图3所示)。 情形1：当m为偶数时，给以下e的生成边 { v k m u ， v l m u ， v k q v l q + 1 ， v l q v k q + 1 } (q为偶数)赋值1/2；给 { v i p v j p + 1 ， v j p v i p + 1 ， v i m u ， v j m u } (p为偶数)赋值0；给以下e的生成边 { v k 0 v l 0 ， v k q v l q + 1 ， v l q v k q + 1 } (q为奇数)赋值 a − 1 / 2 ；最后给以下 v i v j 的生成边 { v i p v j p + 1 ， v j p v i p + 1 ， v i 0 v j 0 } (p为奇数)的赋值与原图中 v i v j 的权值相同。 情形2：当m为奇数时，给以下e的生成边 { v k m u ， v l m u ， v k 0 v l 0 ， v k q v l q + 1 ， v l q v k q + 1 } (q为奇数)赋值1/2；给 { v i 0 v j 0 ， v i p v j p + 1 ， v j p v i p + 1 ， v i m u ， v j m u } (p为奇数)赋值0；给以下e的生成边 { v k q v l q + 1 ， v l q v k q + 1 } (q为偶数)赋值 a − 1 / 2 ；最后给以下 v i v j 的生成边 { v i p v j p + 1 ， v j p v i p + 1 } (p为偶数)的赋值与原图中 v i v j 的权值相同。 图3. 图G，μ(G)和μ 2 (G)的分数完美匹配 根据广义Mycielskian图的定义， μ 1 ( G ) 就是Mycielskian图，根据定理1可知若图G具有分数完美匹配，则 μ 1 ( G ) 也具有分数完美匹配。故有如下结论： 推论2. 令图G是一个具有分数完美匹配的图，那么 μ k ( G )   ( k ≥ 1 ) 也是一个具有分数完美匹配的图。 本文第二作者证明了，若原图G是哈密尔顿图，则 μ 也是一个哈密尔顿图 [ 8 ]。事实上，若一个图是 哈密尔顿图，则G一定有哈密尔顿圈，只需给哈密尔顿圈上的每一条边赋权值为 1 2 ，其余边赋权值为0， 这样的赋权自然是一个图G的分数完美匹配。 推论3. 若图G是一个具有分数完美匹配的哈密尔顿图，那么 μ m ( G ) 也是一个具有分数完美匹配的哈密尔顿图。 定理4. 若图G具有完美2-匹配，那么 μ m ( G ) 也具有完美2-匹配。 证明. 令F是图G的一个完美2-匹配。我们根据F中边的权值的不同分如下两种情形构造 μ m ( G ) 的一个完美2-匹配 F ′ ： 情形1：若F至少包含一条边 e = v k v l 的权值为2，根据m的奇偶性，我们构造如下 μ m ( G ) 的一个完美2-匹配 F ′ (如图4所示)：当m为偶数时，给以下e的生成边 { v k m u ， v l m u ， v k 0 v l 0 ， v k q v l q + 1 ， v l q v k q + 1 } 赋权值为1；给 { v i p v j p + 1 ， v j p v i p + 1 ， v i m u ， v j m u } (p为偶数)赋权值为0；最后给以下 v i v j 的生成边 { v i p v j p + 1 ， v j p v i p + 1 ， v i 0 v j 0 } (p为奇数)的赋值与原图中 v i v j 的权值相同。当m为奇数时，给以下e的生成边 { v k m u ， v l m u ， v k 0 v l 0 ， v k q v l q + 1 ， v l q v k q + 1 } 赋权值为1；给 { v i p v j p + 1 ， v j p v i p + 1 ， v i 0 v j 0 ， v i m u ， v j m u } (p为奇数)赋权值为0；最后给以下 v i v j 的生成边 { v i p v j p + 1 ， v j p v i p + 1 } (p为偶数)的赋值与原图中 v i v j 的权值相同。通过这种方式，对于F中的任何奇圈，在 F ′ 中都会有一个和它相对应的偶圈，对于F中的任何偶圈，在 F ′ 中都会有一对相同长度的偶圈与之对应。因此 F ′ 是 μ m ( G ) 的一个完美2-匹配。 情形2：若F中没有权值为2的边，取一个权值为1的边 e = v k v l 。根据m的奇偶性，我们构造如下 μ m ( G ) 的一个完美2-匹配 F ′ (如图5所示)：当m为偶数时，给以下e的生成边 { v k m u ， v l m u ， v k q v l q + 1 ， v l q v k q + 1 } (q为偶数)赋权值为1；给 { v i p v j p + 1 ， v j p v i p + 1 } (p为偶数)， { v i m u ， v j m u ， v k q v l q + 1 ， v l q v k q + 1 ， v k 0 v l 0 } (q为奇数)赋权值为0；最后给以下 v i v j 的生成边 { v i p v j p + 1 ， v j p v i p + 1 ， v i 0 v j 0 } (p为奇数)的赋值与原图中 v i v j 的权值相同。当m为奇数时，给以下e的生成边 { v k m u ， v l m u ， v k 0 v l 0 ， v k q v l q + 1 ， v l q v k q + 1 } (q为奇数)赋权值为1；给 { v k q v l q + 1 ， v l q v k q + 1 ， v i 0 v j 0 ， v i m u ， v j m u ， v i p v j p + 1 ， v j p v i p + 1 } (p为奇数，q为偶数)赋权值为0；最后给以下 v i v j 的生成边 { v i p v j p + 1 ， v j p v i p + 1 } (p为偶数)的赋值与原图中 v i v j 的权值相同。 图4. (情形1)原图G，μ 2 (G)和μ 3 (G)的完美2-匹配 图5. (情形2)原图G，μ 2 (G)和μ 3 (G)的完美2-匹配 如果图G是一个哈密尔顿图，只需给图G的一个哈密尔顿圈上的所有边赋权值为1，其余边赋权值为0，这种赋值自然是图G的一个完美2-匹配。因此，类似与推论3，我们有如下结果： 推论5. 若图G是一个具有完美2-匹配的哈密尔顿图，那么 μ m ( G ) 也是一个具有完美2-匹配的哈密尔顿图。 具有完美2-匹配的图与具有正则性的图相关，正则性是广义Mycielskian图结构所保留的另一个与匹配相关的性质。一个图G称为是可正则化的，若图G的每条边用一些非空的平行边代替之后，所得的图是一个正则图 [ 9 ]。 引理6. 一个图是可正则化的当且仅当图G的每条边e都存在一个完美2-匹配，其中e的权值为1或2 [ 9 ]。 定理7. 若图G是可正则化的，那么 μ m ( G ) 也是可正则化的。 证明. 根据引理6，为了得到 μ m ( G ) 的正则性，我们只需证明对于 μ m ( G ) 的每条边e，存在一个权值为1或者2的完美2-匹配。 情形1：若图G存在一个完美2-匹配F使得 e = v k v l ∈ E ( G ) 的权值为2，我们构造如下 μ m ( G ) 的一个完美2-匹配 F ′ ：给所有由e生成的边赋权值为1，当拷贝偶次时：给 { v i p v j p + 1 ， v j p v i p + 1 ， v i m u ， v j m u } (p为偶数)赋权值为0；给以下 v i v j 的生成边 { v i p v j p + 1 ， v j p v i p + 1 ， v i 0 v j 0 } (p为奇数)的赋值与原图中 v i v j 的权值相同。当拷贝奇次时，给所有由e生成的边赋权值为1，给 { v i p v j p + 1 ， v j p v i p + 1 ， v i 0 v j 0 ， v i m u ， v j m u } (p为奇数)赋权值为0；给以下 v i v j 的生成边 { v i p v j p + 1 ， v j p v i p + 1 } (p为偶数)的赋值与原图中 v i v j 的权值相同。 情况2：若图G存在一个完美2-匹配F使得 e = v k v l ∈ E ( G ) 的权值为1，我们构造如下 μ m ( G ) 的一个完美2-匹配 F ′ ：当m是偶数时，给以下e的生成边 { v k m u ， v l m u ， v k q v l q + 1 ， v l q v k q + 1 } (q为偶数)赋权值为1；给 { v i p v j p + 1 ， v j p v i p + 1 } (p为偶数)， { v i m u ， v j m u ， v k q v l q + 1 ， v l q v k q + 1 ， v k 0 v l 0 } (q为奇数)赋权值为0；给以下 v i v j 的生成边 { v i p v j p + 1 ， v j p v i p + 1 ， v i 0 v j 0 } (p为奇数)的赋值与原图中 v i v j 的权值相同。当m是奇数时，给以下e的生成边 { v k m u ， v l m u ， v k 0 v l 0 ， v k q v l q + 1 ， v l q v k q + 1 } (q为奇数)赋权值为1；给 { v k q v l q + 1 ， v l q v k q + 1 ， v i 0 v j 0 ， v i m u ， v j m u ， v i p v j p + 1 ， v j p v i p + 1 } (p为奇数，q为偶数)赋权值为0；给以下 v i v j 的生成边 { v i p v j p + 1 ， v j p v i p + 1 } (p为偶数)的赋值与原图中 v i v j 的权值相同。这就证明了对于 μ m ( G ) 的每条边e，存在一个权值为1或者2的完美2-匹配。 如果图G的每条边都包含在某个完美匹配中，那么称图G是1-可扩的。下面给出1-可扩图的广义Mycielskian图的正则性的结果。 推论8. 若G是1-可扩图，那么 μ m ( G ) 是可正则化的。 证明. 通过给图G中的某个完美匹配赋权值为2，我们可以得到一个完美2-匹配，这就说明每个完美匹配也是一个完美2-匹配。根据引理6可知图G是可正则化的，再根据定理7可知 μ m ( G ) 是可正则化的。