system: [SYSTEM]

user: 3. Hopf分支 由上一节可知，当 r > θ + h 0 且 L ( u * ) < 0 时，系统(2)有两个正平衡点 E 4 ( u 4 ， u 4 ) 和 E 5 ( u 5 ， u 5 ) ，其中 E 4 是鞍点， E 5 为初等焦点或结点。下面讨论系统(2)在 E 5 ( u 5 ， u 5 ) 附近的Hopf分支。 系统(2)在 E 5 ( u 5 ， u 5 ) 处的雅可比矩阵为： A = ( f 1 ( u 5 ) f 2 ( u 5 ) 1 − 1 ) ， 其中 f 1 ( u 5 ) = r 1 + u 5 − ( 2 α + β ) u 5 − θ ， f 2 ( u 5 ) = − ( β + r ( 1 + u 5 ) 2 ) u 5 。则矩阵A的特征方程为 λ 2 + ( 1 − f 1 ( u 5 ) ) λ − ( f 1 ( u 5 ) + f 2 ( u 5 ) ) = 0 . (5) 当 f 1 ( u 5 ) = 1 时，矩阵A的特征方程(5)有一对纯虚根 ± i ω 0 (i为虚数单位， ω 0 = − 1 − f 2 ( u 5 ) > 0 )。由 E 5 是系统(2)的平衡点以及 f 1 ( u 5 ) = 1 可得 { ( α + β ) u 5 3 + ( α + β + θ ) u 5 2 + ( θ + h 0 − r ) u 5 + h 0 = 0 ， ( 2 α + β ) u 5 2 + ( 2 α + β + θ + 1 ) u 5 + θ − r + 1 = 0. (6) 由辗转相除法，可得 u 5 = − ( 4 α h 0 − r + 1 ) ( α + β ) + α θ ( r − θ ) + β θ + β 2 h 0 2 ( 2 h 0 − r ) α 2 + ( 4 h 0 − r ) α β − α θ 2 + β 2 h 0 + β θ + α + β . 将 u 5 代入 ( 2 α + β ) u 5 2 + ( 2 α + β + θ + 1 ) u 5 + ( θ − r + 1 ) = 0 ，得到A的特征根有一对纯虚根的条件： θ < β α + 1 − 2 α − β 且 h 0 = 1 2 ( 2 α + β ) 2 [ ( 4 α 2 − 4 α − 1 ) ( α + β ) − β ( β + θ ) + α ( β 2 + θ 2 ) + 2 α ( 2 α + β ) r     − ( α ( 2 α + β + θ − 1 ) − β ) ( 2 α + β − θ − 1 ) 2 + 4 r ( 2 α + β ) ] ≡ h 0 * 取 h 0 为分支参数。设特征方程(5)的特征根为： λ = p ( h 0 ) + i ω ( h 0 ) ，则有 p ( h 0 * ) = 0 ， ω ( h 0 * ) = ω 0 。由于 L ( u 5 ) = 0 ， L ′ ( u 5 ) > 0 ，则由 L ( u 5 ) = 0 确定的隐函数 u 5 = u 5 ( h 0 ) 的导数： u ′ 5 ( h 0 ) = − L ′ h 0 ( u 5 ) / L ′ u 5 ( u 5 ) = − ( u 5 + 1 ) / L ′ ( u 5 ) < 0 ，又 p ( h 0 ) = 1 2 [ f 1 ( u 5 ) − 1 ] ，于是有 p ′ ( h 0 ) = 1 2 ∂ f 1 ∂ u 5 u ′ 5 ( h 0 ) = 1 2 [ − r ( 1 + u 5 ) 2 − ( 2 α + β ) ] u ′ 5 ( h 0 ) > 0 . 由 知系统(2)产生Hopf分支的横截条件 [ 11 ] 满足，因此系统(2)在 h 0 = h 0 * 附近可产生Hopf分支。而且，当 h 0 < h 0 * 时，平衡点 E 5 是稳定的，当 h 0 > h 0 * 时，平衡点 E 5 是不稳定的。下面讨论Hopf分支的方向。 令 w 1 = u − u 5 ， w 2 = v − u 5 ，则系统(2)变成以下形式 { d w 1 d τ = w 1 − ( r ( u 5 + 1 ) 2 + β ) u 5 w 2 − α w 1 2 − ( r ( u 5 + 1 ) 2 + β ) w 1 w 2 + r u 5 ( u 5 + 1 ) 3 w 2 2 + r w 1 w 2 2 ( u 5 + 1 ) 3 − r u 5 ( u 5 + 1 ) 4 w 2 3 + ⋯ ， d w 2 d τ = w 1 − w 2 − 1 u 5 w 1 2 + 2 u 5 w 1 w 2 − 1 u 5 w 2 2 + 1 u 5 2 w 1 3 − 2 u 5 2 w 1 2 w 2 + 1 u 5 2 w 1 w 2 2 + ⋯ . (7) 再作变换： ξ = w 2 − w 1 ， η = − ω 0 w 2 ， 系统(7)变为 { d ξ d τ = − ω 0 η + ( α − 1 u 5 ) ξ 2 + ( 2 α ω 0 + 1 + ω 0 2 u 5 ω 0 ) ξ η + 1 ω 0 2 ( α + ω 0 2 + 1 u 5 − r u 5 ( u 5 + 1 ) 3 ) η 2                 − 1 u 5 2 ξ 3 − 1 u 5 2 ω 0 ξ 2 η + r ( u 5 + 1 ) 3 ω 0 2 ξ η 2 + r η 3 ( u 5 + 1 ) 4 ω 0 3 + ⋯ ， d η d τ = ω 0 ξ + ω 0 u 5 ξ 2 + ω 0 u 5 2 ξ 3 + 1 u 5 2 ξ 2 η + ⋯ . 引入复变量： z = ξ + i η ，可以得到： d z d τ = i ω 0 z + ∑ 2 ≤ k + l ≤ 3 g k l z k z ¯ l ， 其中： g 20 = 1 4 [ α − 2 u 5 − α ω 0 2 − 1 u 5 ω 0 2 + r u 5 ω 0 2 ( u 5 + 1 ) 3 ] + 1 4 i ( ω 0 u 5 − 2 α ω 0 − 1 + ω 0 2 u 5 ω 0 ) ， g 11 = 1 2 [ α + α ω 0 2 + 1 u 5 ω 0 2 − r u 5 ( u 5 + 1 ) 3 ω 0 2 ] + ω 0 2 u 5 i ， g 21 = 1 8 [ − 2 u 5 2 + r ( u 5 + 1 ) 3 ω 0 2 ] + 1 8 i [ 3 ω 0 2 + 1 u 5 2 ω 0 − 3 r ( u 5 + 1 ) 4 ω 0 3 ] . 将上述结果代入一阶Lyapunov系数的计算公式 [ 11 ] l 1 ( 0 ) = 1 2 ω 0 2 Re ( i g 20 g 11 + ω 0 g 21 ) ， 可得 l 1 ( 0 ) = 1 16 ω 0 2 { [ α + α ω 0 2 + 1 u 5 ω 0 2 − r u 5 ( u 5 + 1 ) 3 ω 0 2 ] 2 α u 5 + 1 + ω 0 2 u 5 ω 0 − 2 ( α − 1 u 5 ) ω 0 u 5 − 2 ω 0 u 5 2 + r ( u 5 + 1 ) 3 ω 0 } . 因此，由文 [ 11 ] 可得以下结论： i) 当 l 1 ( 0 ) < 0 时，模型(1)在 E 5 附近有超临界的Hopf分支产生； ii) 当 l 1 ( 0 ) > 0 时，模型(1)在 E 5 附近有次临界的Hopf分支产生。 例如，取 α = 0 .6 ， β = 5 ， r = 12 ， θ = 0. 2 ，则 h 0 * = 1.286933942 ， u 5 = 0.851699139 ， ω 0 = 2.497849632 ，可算出 l 1 ( 0 ) = − 0.00309846244 < 0 。于是系统(2)在 h 0 = h 0 * 时产生超临界的Hopf分支。当 h 0 在大于 h 0 * 附近取值时，在平衡点 E 5 附近存在唯一稳定极限环。如图1(a)所示。若取 α = 0. 6 ， β = 5 ， r = 3 ， θ = 0. 2 ，则 h 0 * = 0.2330270625 ， u 5 = 0. 2072544242 ， ω 0 = 0.6803518274 ，可算出 l 1 ( 0 ) = 18 .74767753 > 0 ，于是系统(2)在 处产生次临界的Hopf分支。当 h 0 在小于 h 0 * 附近取值时，在平衡点 E 5 附近存在唯一不稳定极限环。如图1(b)所示。