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user: 3. 主要结果 记 n = ( r 0 + 1 ) ( r 1 + 1 ) ⋯ ( r s + 1 ) ( q 2 − 1 ) 2 k 0 p 1 k 1 ⋯ p s k s ，在这一节，我们利用厄米特自正交的GRS码来构造新的长度 为 1 + n 的量子MDS码。在此之前，我们先给出以下几个引理。 引理3.1 [ 3 ]. 设 q > 2 和 r ≥ 1 ，则存在 u 0 ， u 1 ， ⋯ ， u r 使得 ∑ i = 0 r u i = 0 根据引理3.1，我们有如下推论。 推论3.2. 设 q > 2 和 r ≥ 1 ， v ∈ F q * ，则存在 u 0 ， u 1 ， ⋯ ， u r 使得 ∑ i = 0 r u i = v 证明：我们分两种情况来证明此推论。 (1) r = 1 。任取 u 0 ∈ F q * 及 u 1 = v − u 0 ∈ F q * 则有 ∑ i = 0 r u i = v 。 (2) r > 1 。由引理3.1，则存在 u 0 ， u 1 ， ⋯ ， u r 使得 ∑ i = 0 r − 1 u i = 0 ，取 u r = v ∈ F q * ，我们有 ∑ i = 0 r u i = 0 + v = v 故结论成立。 3.1. 当 q = 2 m 时 对于一个向量 c = ( c 1 ， ⋯ ， c n ) ∈ F q 2 n 和 u ∈ F q 2 ，我们定义 c ⊕ u = ( c 1 ， ⋯ ， c n ， u ) ∈ F q 2 n + 1 。 当 q = 2 m 的时候， t 0 = 0 ， q 2 − 1 = p 1 t 1 p 2 t 2 ⋯ p s t s ，对于 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， s 令 a i = ( Γ i ) ⊗ ( α i 0 ， α i 1 ， ⋯ ， α i r i ) a = a 1 ⊗ a 2 ⊗ ⋯ ⊗ a s ⊕ 0 . 引理3.1.1. 假设 r 1 = max { r 1 ， ⋯ ， r w } 。则存在 v ∈ ( F q 2 * ) n + 1 使得 〈 a q j + l ， v q + 1 〉 E = 0 对所有 0 ≤ j ， l ≤ ⌊ r 1 − 1 2 ⌋ M 1 。 证明：我们分两步来证明这个引理。 第一步：我们先证明 〈 a q j + l ， ( v * ) q + 1 〉 E 对所有 0 ≤ j ， l ≤ ⌊ r 1 − 1 2 ⌋ M 1 。 对于 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ，通过对 α i 和 γ i 的选择，向量a里面的元素各不相同，同时令 v i = 1 p i t i − k i ⊗ ( v i 0 ， v i 1 ， ⋯ ， v i r i ) ∈ ( F q 2 * ) ( r i + 1 ) p i t i − k i ， 以及 v * = v 1 ⊗ v 2 ⊗ ⋯ ⊗ v s ∈ ( F q 2 * ) n ， 这里 1 p i t i − k i = ( 1 ， 1 ， ⋯ ， 1 ) ∈ ( F q 2 * ) p i t i − k i 。 由于 0 ≤ j ， l ≤ ⌊ r 1 − 1 2 ⌋ M 1 ，我们有 〈 a q j + l ， ( v * ) q + 1 〉 E = 〈 a 1 q j + l ， v 1 q + 1 〉 E 〈 a 2 q j + l ， v 2 q + 1 〉 E ⋯ 〈 a s q j + l ， v s q + 1 〉 E = ∏ i = 1 s ( ∑ m i = 0 p i t i − k i − 1 γ i m i ( q j + l ) ∑ y i = 0 r i α i y i ( q j + l ) v i y i q + 1 ) = ∏ i = 1 w ( ∑ m i = 0 p i t i − k i − 1 γ i m i ( q j + l ) ∑ y i = 0 r i α i y i ( q j + l ) v i y i q + 1 ) ∏ i = w + 1 s ( ∑ m i = 0 p i t i − k i − 1 γ i m i ( q j + l ) ∑ y i = 0 r i α i y i ( q j + l ) v i y i q + 1 ) 我们考虑一下两种情况： (1) 存在 x : 1 ≤ x ≤ s 使得 p x t x − k x ∤ q j + l ，或者存在 x : 1 ≤ x ≤ w 使得 p x t x − k x ∤ j + l ，或者存在 x : w + 1 ≤ x ≤ s 使得 p x t x − k x ∤ j − l 。我们有 〈 a x q j + l ， v x q + 1 〉 E = 0 。因此 〈 a q j + l ， v q + 1 〉 E = 0 。 (2) 当对于任意的 x : 1 ≤ x ≤ s ， p x t x − k x | q j + l ，对于任意的 x : 1 ≤ x ≤ w ， p x t x − k x | j + l ，对于任意的 x : w + 1 ≤ x ≤ s ， p x t x − k x | j − l 时，由于 gcd ( p i ， p j ) = 1 对于 1 ≤ i ≠ j ≤ s 和 o r d ( α i ) = p i t i ，我们可以得到 M | q j + l ， M 1 | j + l ， M 2 | j − l 。考虑 i = 1 时的情况，有 α 1 q j + l = α 1 ( q − 1 ) j + j + l = α 1 j + l 所以存在整数 c 1 和 c 2 使得 j + l = c 1 M + c 2 p 1 t 1 。考虑一下两种情况。 (2.1) r 1 为奇数时。 由于 r 1 为奇数，故 0 ≤ j + l ≤ ( r 1 − 1 ) M 1 ，则存在 l 1 ∈ ℤ * 使得 j + l = l 1 M 1 ，故有 α 1 j + l = ( α 1 M 1 ) l 1 和 ∑ y 1 = 0 r 1 α 1 y 1 ( q j + l ) v 1 y 1 q + 1 = ∑ y 1 = 0 r 1 ( α 1 M 1 ) y 1 l 1 v 1 y 1 q + 1 。 同时，我们可以得到 l 1 ∈ { 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， r 1 − 1 } 。即要去找出 ( z 0 ， z 1 ， ⋯ ， z r 1 ) ∈ ( F q * ) r 1 + 1 使得 ∑ i = 0 r 1 α 1 i ( j + l ) z i = 0 记 Δ 1 = α 1 M 1 ，则 o r d ( Δ 1 ) = p 1 k 1 ，由于 q ≡ 1 mod ( p 1 ) ，我们有 Δ 1 q = Δ 1 。 令 A = ( 1 1 1 ⋯ 1 1 Δ 1 Δ 1 2 ⋯ Δ 1 r 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 Δ 1 r 1 − 2 Δ 1 2 ( r 1 − 2 ) ⋯ Δ 1 r 1 ( r 1 − 2 ) 1 Δ 1 r 1 − 1 Δ 1 2 ( r 1 − 1 ) ⋯ Δ 1 r 1 ( r 1 − 1 ) ) ， z = ( z 0 z 1 ⋮ z r 1 ) . 考虑 r 1 + 1 次线性方程组 A Z = 0 T (1) 由于 Δ 1 i j q = Δ 1 i j ，则意味着 A q = A 。由引理2.2知，方程组 A Z = 0 T 存在一个解 u T 和 u = ( u 0 ， u 1 ， ⋯ ， u r 1 ) ∈ ( F q * ) r 1 + 1 ，取 v 1 i 使得 v 1 i q + 1 = u i 对于 i = 0 ， 1 ， ⋯ ， r 1 ，令 v 1 = 1 p 1 t 1 − k 1 ⊗ ( v 10 ， v 11 ， ⋯ ， v 1 r 1 ) ∈ ( F q 2 * ) ( r 1 + 1 ) p 1 t 1 − k 1 ， 则有 〈 a 1 q j + l ， v 1 q + 1 〉 E = 0 ，即 〈 a q j + l ， ( v * ) q + 1 〉 E 。 (2.1) r 1 为偶数时。 由于 r 1 为偶数，故 0 ≤ j + l ≤ ( r 1 − 2 ) M 1 ，我们可以得到 l 1 ∈ { 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， r 1 − 2 } 。记 Δ 1 = α 1 M 1 ，则 o r d ( Δ 1 ) = p 1 k 1 ，由于 q ≡ 1 mod ( p 1 ) ，我们有 Δ 1 q = Δ 1 。 令 A 1 = ( 1 1 1 ⋯ 1 1 Δ 1 Δ 1 2 ⋯ Δ 1 r 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 Δ 1 r 1 − 3 Δ 1 2 ( r 1 − 3 ) ⋯ Δ 1 r 1 ( r 1 − 3 ) 1 Δ 1 r 1 − 2 Δ 1 2 ( r 1 − 2 ) ⋯ Δ 1 r 1 ( r 1 − 2 ) ) 。 由推论2.3，我们同样可以得出方程组 A 1 Z = 0 T (2) 存在一个解 u T 和 u = ( u 0 ， u 1 ， ⋯ ， u r 1 ) ∈ ( F q * ) r 1 + 1 ，与(2.1)类似，我们也可以得到向量 v 1 使得 〈 a 1 q j + l ， v 1 q + 1 〉 E = 0 ，即 〈 a q j + l ， ( v * ) q + 1 〉 E 。 故由上述讨论可得 〈 a q j + l ， ( v * ) q + 1 〉 E 对所有 0 ≤ j ， l ≤ ⌊ r 1 − 1 2 ⌋ M 1 。 第二步：令 v = v * ⊕ 0 。 对所有 0 ≤ j ， l ≤ ⌊ r 1 − 1 2 ⌋ M 1 ，当 j + l = 0 时，有 〈 a 0 ， v q + 1 〉 = v 0 q + 1 + p 1 t 1 − k 1 ∑ i = 1 r 1 v 1 i q + 1 + ⋯ + p s t s − k s ∑ i = 1 r s v s i q + 1 ∈ F q 。 当 j + l > 0 时，有 〈 a q j + l ， v q + 1 〉 E = ∏ i = 1 s ( ∑ m i = 0 p i t i − k i − 1 γ i m i ( q j + l ) ∑ y i = 0 r i α i y i ( q j + l ) v i y i q + 1 ) 。 对于 j + l > 0 的情况，由第一步知，存在 v 1 = 1 p 1 t 1 − k 1 ⊗ ( v 10 ， v 11 ， ⋯ ， v 1 r 1 ) ∈ ( F q 2 * ) ( r 1 + 1 ) p 1 t 1 − k 1 ， 使得 〈 a 1 q j + l ， v 1 q + 1 〉 E = 0 ，则有 〈 a q j + l ， v q + 1 〉 E = 0 。 由推论3.2，存在 δ 0 ， δ c i ∈ F q * 使得 δ 0 + ∑ c ≠ 1 ( p c t c − k c ∑ i = 0 r i δ c i ) = − p 1 t 1 − k 1 ( v 11 q + 1 + ⋯ + v 1 r 1 q + 1 ) ∈ F q * 。 则存在 e 0 ， e c i ∈ F q 2 * 使得 e 0 q + 1 = δ 0 ， e c i q + 1 = δ c i 。令 v 0 = e 0 ，对于 i = 2 ， ⋯ ， s ，取 v i = 1 p i t i − k i ⊗ ( e i 0 ， e i 1 ， ⋯ ， e i r i ) 则有 〈 a 0 ， v q + 1 〉 = 0 。最后，令 v = v 1 ⊗ v 2 ⊗ ⋯ ⊗ v s ⊕ e 0 ∈ ( F q 2 * ) n + 1 。 有 〈 a q j + l ， v q + 1 〉 E = 0 对所有 0 ≤ j ， l ≤ ⌊ r 1 − 1 2 ⌋ M 1 。 基于引理2.4，我们可以得出如下定理。 定理3.1.2.设 q = 2 m ，则存在参数为 〚 1 + ( r 1 + 1 ) ⋯ ( r s + 1 ) ( q 2 − 1 ) p 1 k 1 ⋯ p s k s ， ( r 1 + 1 ) ⋯ ( r s + 1 ) ( q 2 − 1 ) p 1 k 1 ⋯ p s k s − 2 k + 1 ， k + 1 〛 的量子MDS码，其中 r 1 = max { r 1 ， ⋯ ， r w } ， M 1 = q − 1 p 1 k 1 ⋯ p w k w ， 0 ≤ k ≤ ⌊ r 1 − 1 2 ⌋ M 1 。 由于 ⌊ r 1 − 1 2 ⌋ M 1 < q 2 + 1 ，但通过下列例子可以得出极小可以再次扩大，以至于大于 q 2 + 1 。 例3.1.3.当 q = 2 5 时， q 2 − 1 = 31 × 3 × 11 ，令 p 1 = 31 ， p 2 = 3 ， p 3 = 11 ，则 n = ( r 1 + 1 ) ( r 2 + 1 ) ( r 3 + 1 ) ( q 2 − 1 ) 31 k 1 3 k 2 11 k 3 其中 0 ≤ r 1 ≤ 31 k 1 − 1 ， 0 ≤ r 2 ≤ 3 k 2 − 1 ， 0 ≤ r 3 ≤ 11 k 3 − 1 ， 0 ≤ k 1 ， k 2 ， k 3 ≤ 1 和 0 ≤ k ≤ ⌊ r 1 − 1 2 ⌋ M 1 。取 M 1 = 1 ， r 1 = 30 ， M 2 = 11 ，则 ⌊ r 1 − 1 2 ⌋ M 1 = 14 < q 2 = 16 。考虑方程 ∑ i = 0 31 α 1 i ( j + l ) z i = 0 ，注意到此时 l 1 ∈ { 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， 28 } ， 而当 l 1 > 30 时，由于， o r d ( α 1 ) = 31 ，方程与 l 1 − 31 时同解，然而只有当 j + l = l 1 且 11 | j − l 时， l 1 才会出现在方程中，通过计算，方程中 l 1 第一次出现数依次为：0，32，2，34，4，36，6，38，8，40，10，42，12，13，…，29，30。这里面最大为42，故当 j ， l ≤ 20 时， j + l < 42 。因此极小距离d可以达到42，大于17。 通过上述例子，我们可以找出有定理3.1.2给出的量子MDS码使其极小距离 d > q 2 + 1 。由于 ⌊ r 1 − 1 2 ⌋ M 1 < q 2 ，当 r 1 = p 1 k 1 − 1 及 M 1 = q − 1 p 1 k 1 时， ⌊ r 1 − 1 2 ⌋ M 1 = q − 1 − 3 M 1 2 。所以只需要去检查方程 ∑ i = 0 r 1 α 1 i ( j + l ) z i = 0 对于 j > q − 1 − 3 M 1 2 或者 l > q − 1 − 3 M 1 2 ， l ′ 1 ≡ l 1 mod ( r 1 ) ， j + l ≡ 0 ( mod M 1 ) ， l − j ≡ 0 mod ( M 2 ) ，然后利用中国剩余定理去计算 l ′ 1 第一次出现在方程中的数。我们称数 l ′ 1 为L 1 -forms。 引理3.1.4. 假设 1 + r s = max { p w + 1 k w + 1 ， ⋯ ， p s k s } 。则存在 v ∈ ( F q 2 * ) n + 1 使得 〈 a q j + l ， v q + 1 〉 E = 0 对所有 0 ≤ j ， l ≤ r s − 2 2 M 2 。 证明：我们仍然分两步来证明这个引理。 第一步：我们先证明 〈 a q j + l ， ( v * ) q + 1 〉 E 对所有 0 ≤ j ， l ≤ r s − 2 2 M 2 。 对于 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ，通过对 α i 和 γ i 的选择，向量a里面的元素各不相同，同时令 v i = 1 p i t i − k i ⊗ ( v i 0 ， v i 1 ， ⋯ ， v i r i ) ∈ ( F q 2 * ) ( r i + 1 ) p i t i − k i ， 以及 v * = v 1 ⊗ v 2 ⊗ ⋯ ⊗ v s ∈ ( F q 2 * ) n ， 这里 1 p i t i − k i = ( 1 ， 1 ， ⋯ ， 1 ) ∈ ( F q 2 * ) p i t i − k i 。 由于 0 ≤ j ， l ≤ r s − 2 2 M 2 ，我们有 〈 a q j + l ， ( v * ) q + 1 〉 E = 〈 a 1 q j + l ， v 1 q + 1 〉 E 〈 a 2 q j + l ， v 2 q + 1 〉 E ⋯ 〈 a s q j + l ， v s q + 1 〉 E = ∏ i = 1 s ( ∑ m i = 0 p i t i − k i − 1 γ i m i ( q j + l ) ∑ y i = 0 r i α i y i ( q j + l ) v i y i q + 1 ) = ∏ i = 1 w ( ∑ m i = 0 p i t i − k i − 1 γ i m i ( q j + l ) ∑ y i = 0 r i α i y i ( q j + l ) v i y i q + 1 ) ∏ i = w + 1 s ( ∑ m i = 0 p i t i − k i − 1 γ i m i ( q j + l ) ∑ y i = 0 r i α i y i ( q j + l ) v i y i q + 1 ) 我们考虑一下两种情况： (1) 存在 x : 1 ≤ x ≤ s 使得 p x t x − k x ∤ q j + l ，或者存在 x : 1 ≤ x ≤ w 使得 p x t x − k x ∤ j + l ，或者存在 x : w + 1 ≤ x ≤ s 使得 p x t x − k x ∤ j − l 。我们有 〈 a x q j + l ， v x q + 1 〉 E = 0 。因此 〈 a q j + l ， v q + 1 〉 E = 0 。 (2) 当对于任意的 x : 1 ≤ x ≤ s ， p x t x − k x ∣ q j + l ，对于任意的 x : 1 ≤ x ≤ w ， p x t x − k x ∣ j + l ，对于任意的 x : w + 1 ≤ x ≤ s ， p x t x − k x ∣ j − l 时，由于 gcd ( p i ， p j ) = 1 对于 1 ≤ i ≠ j ≤ s 和 o r d ( α i ) = p i t i ，我们可以得到 M | q j + l ， M 1 | j + l ， M 2 | j − l 。考虑 i = s 时的情况，有 α s q j + l = α s ( q + 1 ) j − j + l = α s l − j 所以存在整数 c 1 和 c ′ 2 使得 l − j = c 1 M + c ′ 2 p s t s = l 2 M 2 。 由于 r 1 为偶数，故 − r s − 2 2 M 2 ≤ l − j ≤ r s − 2 2 M 2 ，我们可以得到 l 1 ∈ { − r s − 2 2 ， 1 − r s − 2 2 ， ⋯ ， r s − 2 2 − 1 ， r s − 2 2 } 。故 ∑ y s = 0 r s α s y s ( q j + l ) v s y s q + 1 = ∑ y s = 0 r s ( α s M s ) y s l 2 v s y s q + 1 。 记 Δ s = α s M 2 ，则 o r d ( Δ s ) = p s k s ，由于 q ≡ − 1 mod ( p s ) ，我们有 Δ s q = Δ s − 1 。令 R = r s − 2 2 ，故 p s k s = 2 R + 3 。即要去找出 ( z 0 ， z 1 ， ⋯ ， z r s ) ∈ ( F q * ) r s + 1 使得 ∑ i = 0 r s α s i ( j + l ) z i = 0 对每个 − R ≤ l 2 ≤ R 。令 B = ( 1 Δ s − R ⋯ Δ s − R ( 2 R + 2 ) 1 Δ s 1 − R ⋯ Δ s ( 1 − R ) ( 2 R + 2 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 Δ s 2 R ⋯ Δ s R ( 2 R + 2 ) ) ， z ( 1 ) = ( z 0 z 1 ⋮ z 2 R + 2 ) 考虑方程组 B z ( 1 ) = 0 T (3) 对矩阵B中的任意一个元素 Δ s ( i − R ) l 2 ，对于 0 ≤ i ≤ 2 R ，我们有 Δ s ( i − R ) l 2 q = Δ s − ( i − R ) l 2 = Δ s ( 2 R − i − R ) l 2 已知 Δ s ( 2 R − i − R ) l 2 也是矩阵B中的一个元素，故 B ( q ) 与B行等价。由推论2.3，方程组(3)存在一个解 u T 和 u = ( u 0 ， u 1 ， ⋯ ， u r s ) ∈ ( F q * ) r s + 1 ，与引理3.1.1中的(2.1)类似，我们也可以得到向量 v s 使得 〈 a s q j + l ， v s q + 1 〉 E = 0 ，即 〈 a q j + l ， ( v * ) q + 1 〉 E = 0 。 故由上述讨论可得 〈 a q j + l ， ( v * ) q + 1 〉 E 对所有 0 ≤ j ， l ≤ r s − 2 2 M 2 。 第二步：与引理3.1.1中第二步类似，令 v = v * ⊕ 0 ，我们可以找到 v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v s − 1 ， e 0 和 v = v 1 ⊗ v 2 ⊗ ⋯ ⊗ v s ⊕ e 0 ∈ ( F q 2 * ) n + 1 。 使得 〈 a q j + l ， v q + 1 〉 E = 0 对所有 0 ≤ j ， l ≤ r s − 2 2 M 2 。 定理3.1.5.设 q = 2 m ，则存在参数为 〚 1 + ( r 1 + 1 ) ⋯ ( r s − 1 + 1 ) ( q 2 − 1 ) p 1 k 1 ⋯ p s − 1 k s − 1 ， ( r 1 + 1 ) ⋯ ( r s − 1 + 1 ) ( q 2 − 1 ) p 1 k 1 ⋯ p s − 1 k s − 1 − 2 k + 1 ， k + 1 〛 的量子MDS码，其中 1 + r s = max { p w + 1 k w + 1 ， ⋯ ， p s k s } ， M 2 = q + 1 p w + 1 k w + 1 ⋯ p s k s ， 0 ≤ k ≤ r s − 2 2 M 2 。 同样的，我们可以找出有定理3.1.5给出的量子MDS码使其极小距离 d > q 2 + 1 。由于 r s − 2 2 M 2 < q 2 ， r s = p s k s − 1 ，当 M 2 = q + 1 p s k s 时， r s − 2 2 M 2 = q + 1 − 2 M 2 2 。所以只需要去检查方程 ∑ i = 0 r 1 α 1 i ( j + l ) z i = 0 对于 j > q + 1 − 2 M 2 2 或者 l > q + 1 − 2 M 2 2 ， l ′ 2 ≡ l 2 mod ( r s ) ， l + j ≡ 0 ( mod M 1 ) ， l − j ≡ 0 mod ( M 2 ) ，然后利用中国剩余定理去计算 l ′ 2 第一次出现在方程中的数。我们称数 l ′ 2 为L 2 -forms。 例3.1.6.当 q = 2 4 时， q 2 − 1 = 3 × 5 × 17 ，令 p 1 = 3 ， p 2 = 5 ， p 3 = 17 ，则 n = ( r 1 + 1 ) ( r 2 + 1 ) ( q 2 − 1 ) 3 k 1 5 k 2 其中 0 ≤ r 1 ≤ 3 k 1 − 1 ， 0 ≤ r 2 ≤ 5 k 2 − 1 ， 0 ≤ k 1 ， k 2 ≤ 1 和 0 ≤ k ≤ 7 M 2 。取 M 1 = 5 ， M 2 = 1 ，则 7 M 2 = 7 < q 2 = 8 。注意到此时的L 2 -forms为 l 2 ∈ { 9 ， 10 ， ⋯ ， 16 ， 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， 8 } ，当 | l 2 | = 7 时， j = 11 或者 l = 11 ，则d可以达到11，大于8。 3.2. q = p m 为一个奇数时 引理3.2.1. 设 q = p m 为一个奇数，我们有 (1) 若 r 1 = max { r 1 ， ⋯ ， r w } 。则存在 v ∈ ( F q 2 * ) n + 1 使得 〈 a q j + l ， v q + 1 〉 E = 0 对任意的 0 ≤ j ， l ≤ ⌊ r 1 − 1 2 ⌋ M 1 。 (2) 若 t ″ 0 = 1 ， r 0 > max { r 1 ， ⋯ ， r w } ，则存在 v ∈ ( F q 2 * ) n + 1 使得 〈 a q j + l ， v q + 1 〉 E = 0 对任意的 0 ≤ j ， l ≤ ⌊ r 0 − 1 4 ⌋ M 1 。 证明：(1)第一种情况的证明与引理3.1.1的证明类似。 (3) 对于 0 ≤ j ， l ≤ ⌊ r 0 − 1 4 ⌋ M 1 ，我们有 〈 a q j + l ， ( v * ) q + 1 〉 E = 〈 a 0 q j + l ， v 0 q + 1 〉 E 〈 a 1 q j + l ， v 1 q + 1 〉 E ⋯ 〈 a s q j + l ， v s q + 1 〉 E = ∏ i = 0 s ( ∑ m i = 0 p i t i − k i − 1 γ i m i ( q j + l ) ∑ y i = 0 r i α i y i ( q j + l ) v i y i q + 1 ) = ∏ i = 0 w ( ∑ m i = 0 p i t i − k i − 1 γ i m i ( q j + l ) ∑ y i = 0 r i α i y i ( q j + l ) v i y i q + 1 ) ∏ i = w + 1 s ( ∑ m i = 0 p i t i − k i − 1 γ i m i ( q j + l ) ∑ y i = 0 r i α i y i ( q j + l ) v i y i q + 1 ) 同样的，我们考虑如下两种情况。 (2.1)存在 x : 1 ≤ x ≤ s 使得 p x t x − k x ∤ q j + l ，或者存在 x : 1 ≤ x ≤ w 使得 p x t x − k x ∤ j + l ，或者存在 x : w + 1 ≤ x ≤ s 使得 p x t x − k x ∤ j − l 。我们有 〈 a x q j + l ， v x q + 1 〉 E = 0 。因此 〈 a q j + l ， ( v * ) q + 1 〉 E = 0 。 (2.2)当对于任意的 x : 0 ≤ x ≤ s ， p x t x − k x | q j + l ，对于任意的 x : 1 ≤ x ≤ w ， p x t x − k x | j + l ，对于任意的 x : w + 1 ≤ x ≤ s ， p x t x − k x | j − l 时，由于 2 t 0 − k 0 | q j + l ，则 2 t ′ 0 − k ′ 0 | q j + l ， 2 t ″ 0 − k ″ 0 | q j + l ，我们可以得到 M | q j + l ， M 1 | j + l ， M 2 | j − l 。由于 t ″ 0 = 1 ， t 0 = 1 + t ′ 0 ，假设 j + l = l 1 M 1 ， l − j = l 2 M 2 ，则 0 ≤ l 1 ≤ 2 ⌊ r 0 − 1 4 ⌋ ，由于 α 0 2 t 0 = 1 ，则 α 0 2 t ′ 0 = − 1 ， α 0 q − 1 = − 1 ，有 ∑ y 0 = 0 r 0 α 0 y 0 ( q j + l ) v 0 y 0 q + 1 = ∑ y 0 = 0 r 0 α 0 y 0 ( ( q − 1 ) j + j + l ) v 0 y 0 q + 1 = ∑ y 0 = 0 r 0 ( − 1 ) j y 0 α 0 y 0 ( j + l ) v 0 y 0 q + 1 = ∑ y 0 = 0 r 0 ( − 1 ) j y 0 ( α 0 M 1 ) y 0 l 1 v 0 y 0 q + 1 。 即要去找出 ( z 0 ， z 1 ， ⋯ ， z r 0 ) ∈ ( F q * ) r 0 + 1 使得 ∑ i = 0 r 0 ( − 1 ) j i ( α 0 M 1 ) i l 1 z i = 0 对每个 0 ≤ l 1 ≤ 2 ⌊ r 0 − 1 4 ⌋ ，这个方程组共包含 2 ( 2 ⌊ r 0 − 1 4 ⌋ ) + 1 个等式。余下的证明跟引理3.1.1类似。 定理3.2.2. 设 q = p m 为一个奇数，若有 (1) 若 r 1 = max { r 1 ， ⋯ ， r w } ， 0 ≤ k ≤ ⌊ r 1 − 1 2 ⌋ M 1 。或者 (2) 若 t ″ 0 = 1 ， r 0 > max { r 1 ， ⋯ ， r w } ， 0 ≤ k ≤ ⌊ r 0 − 1 4 ⌋ M 1 。 则存在参数为 〚 1 + ( r 0 + 1 ) ( r 1 + 1 ) ⋯ ( r s + 1 ) ( q 2 − 1 ) 2 k 0 p 1 k 1 ⋯ p s k s ， ( r 0 + 1 ) ( r 1 + 1 ) ⋯ ( r s + 1 ) ( q 2 − 1 ) 2 k 0 p 1 k 1 ⋯ p s k s − 2 k + 1 ， k 〛 q 的量子MDS码。 由例子3.1.3下面的讨论，我们同样可以根据l 1 -forms去找出那些极小距离大于 q 2 + 1 的量子MDS码。 与引理3.2.1类似，我们可以得到如下引理。 引理3.2.3. 设 q = p m 为一个奇数，我们有 (1) 若 1 + r s = max { p 0 k ″ 0 ， p w + 1 k w + 1 ， ⋯ ， p s k s } 。则存在 v ∈ ( F q 2 * ) n + 1 使得 〈 a q j + l ， v q + 1 〉 E = 0 对任意的 0 ≤ j ， l ≤ r s − 2 2 M 2 。 (2) 若 t ′ 0 = 1 ， r 0 > max { p w + 1 k w + 1 ， ⋯ ， p s k s } ，则存在 v ∈ ( F q 2 * ) n + 1 使得 〈 a q j + l ， v q + 1 〉 E = 0 对任意的 0 ≤ j ， l ≤ p 0 k ″ 0 − 2 2 M 2 定理3.2.4.设 q = p m 为一个奇数，若有 (1) 若 r 1 = max { r 1 ， ⋯ ， r w } ， 0 ≤ k ≤ r s − 2 2 M 2 。或者 (2) 若 t ″ 0 = 1 ， r 0 > max { r 1 ， ⋯ ， r w } ， 0 ≤ k ≤ p 0 k ″ 0 − 2 2 M 2 。 则存在参数为 〚 1 + ( r 0 + 1 ) ( r 1 + 1 ) ⋯ ( r s + 1 ) ( q 2 − 1 ) 2 k 0 p 1 k 1 ⋯ p s k s ， ( r 0 + 1 ) ( r 1 + 1 ) ⋯ ( r s + 1 ) ( q 2 − 1 ) 2 k 0 p 1 k 1 ⋯ p s k s − 2 k + 1 ， k 〛 q 的量子MDS码。 同样的，我们可以根据l 2 -forms去找出那些极小距离大于 q 2 + 1 的量子MDS码。 Table 1 New quantum MDS code 类别 q q mod ( p i ) 长度 码距 1 2 m 1 1 + n 1 [ 1 ， d 1 ] 2 2 m -1 1 + n 2 [ 1 ， d 2 ] 3 p m 1 1 + n 1 [ 1 ， d 3 ] 或者 [ 1 ， d ′ 3 ] 4 p m -1 1 + n 1 [ 1 ， d 4 ] 或者 [ 1 ， d ′ 4 ] 表1. 新的量子MDS码