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user: 2. 改进的边坡稳定分析梯度优化方法 以寻找土质边坡圆弧滑动临界滑动面为例，来说明优化方法及其改进。 2.1. 基于目标函数梯度的改进优化方法 寻找具有最小稳定安全系数 的临界滑动面，是一个将由一组几何变量 组成的向量 所定义的滑动面的安全系数 最小化的过程。这个过程从一个初始滑弧动面 开始搜索直到找到具有最小安全系数 的滑动面为止。初始滑动面的不同将不会影响搜索结果，除非存在多级值问题。临界滑动面位于向量Z的边界或安全系数梯度向量G等于0的位置。 (1) 变量的上标表示搜索步。在m步搜索时，如下式所示，按照下降方向向量S和步长系数 ，将滑动面位置从 移向一个期望具有较小安全系数的新位置 (2) 最速下降法定义方向向量 为梯度向量 的负方向，即： (3) 传统方法通过求解如下所示的单变量优化方程找到沿着梯度方向使目标函数为最小的 值。 (4) 如图1(a)所示，从三个初始点A、B、C出发，用传统方法搜索目标函数的最小值。搜索从初始点A开始，沿着A点的最速下降方向AA'移动到该线上的最小点A 1 。重复这一过程直到找到最小值点P 2 。同样地，从B、C出发也找到P 2 。不幸的是另一个极值点P 1 没有被发现。 图1. 最速下降法搜索(a) 传统方法；(b) 改进方法 如果式(4)直接采用一个固定的 值，如图1(b)所示，近似地沿着最速下降方向小步长前进，使目标函数稳步降低。如果目标函数值在试探位置没有减小，即 ，则目标函数从 到 这个步长空间里一定经历了一个先下降后上升的过程，说明 存在一个沿着这两点连线的极小值。采用单变量优化方法可确定这一极值点的位置并将其作为下一步搜索的起点。极值点P 1 和P 2 在这一改进的方法中都找到了。改进的搜索方法搜索点近似地按照最速下降方向前进，是一个真正的“下山法”。从一系列搜索路径中可以得到目标函数的等高线信息，从而判断搜索到的极小值的全局属性。 将滑弧 中各变量的定义域都归一化到[0， 1]，且当方向向量不等于0时将其进行归一化可以使自变量的范围和移动步长的选取不受边坡的几何尺寸影响。当方向向量等于0时，极值存在于这一点的邻域内。依据几何条件确定的变量 的定义域为 ，归一化公式为 (5) 基于当前位置 按照下式计算试探滑动面位置向量 (6) 其中 是归一化后的方向向量， ， 是一个远远小于1的系数，其取值应使其沿着不同初始点出发的搜索能够如“下山”一样，能找出低洼点。对于边坡稳定优化一般可取0.1，而对于极值很多的情况，可取更小的步长。 2.2. 目标函数梯度方向计算的下降差分格式 一般认为向前差分和向后差分都不适合于方向向量的计算，因为按照这两种差分格式计算，极值点附近的方向向量可能与实际情况相反(朱伯芳等，1984；陈祖煜，2003)。中心差分法被广泛用于搜索向量的计算。然而，中心差分计算所得的方向向量只有在目标函数沿着坐标轴方向在计算点前后一个 差分步长内线性变化才是准确的。目标函数在其等值线形成一个沟或在极小值存在的凹陷处的变化是非线性的，计算所得的方向向量大大偏离最速下降方向，也很难得到0值。搜索终止于一个近似的极值点位置，甚至终止于一个伪极值点位置。为了解决这一问题，本文提出如图2所示的下降差分格式。图2中 、 、 分别表示向前差分、向后差分、中心差分，其值等于图中箭头所指的线段的斜率。 为下降差分，其值在情况(a)等于向前差分值；在情况(b)等于向后 差分值；在情况(c)等于0。显然，与中心差分法比较，下降差分法所得的方向向量在目标函数如图2(a)和图2(b)这种在 区间为单调的情况下更准确，其中 为坐标轴 方向的单位向量， 为差分步长。 下降差分格式的计算公式如下： (7) 其中， 和 分别为向前和向后差分值，按照如下公式计算： (8) (9) 图2. 下降差分格式(a) 向前下降；(b) 向后下降；(c) 非向前向后下降 点目标函数沿着坐标轴i的差分计算从下降方向的一个猜测开始。上一步的下降方向可以作为一个猜测。猜测的下降方向是向前时计算 ，向后时计算 。然后将计算值与已获得的 比较，检验猜测方向是否正确。如果猜测正确，则可计算出差分值，否则计算 坐标轴另一侧差分点的安全系数值，按照式(7)计算出差分值。这种差分格式的安全系数计算次数介于 与 之间，而中心差分格式的计算次数为 。 按照下降差分格式，如果方向向量为0 ，则 的近似 邻域内存在极值点。在区间 内，沿着坐标轴方向，对变量 ， ，进行一维优化得到这个方向的极小点，并更新 进行下一个坐标轴方向的一维优化，直到n个坐标轴方向优化所得的结果小于收敛误差为止。虽然理论上除了边界以外，最小值只存在于梯度向量G等于0的部位。然而由于中心差分法的计算误差，真实的偏导数等于0的部位其导数计算值却与0有一定的误差，而这一误差范围也很难界定。因此，用中心差分法计算很难用梯度向量等于0作为极值点位置的判断。 为了防止搜索停止于局部小坑，将沿坐标轴优化的区间扩大到 ( 等于 常常是一个好选择)，如果某一坐标轴上的极值点位于 之外，则 点 邻域内的极小点为局部极值，以邻域外的这个极小点作为新的搜索起点继续搜索过程，可实现搜索过程不受局部小坑影响的功能。 差分步长 的取值一般应较小，使计算所得的梯度方向向量与优化变量当前点处的实际梯度方向接近。一般可取0.01，当移动步长 小于0.01时，应取差分步长等于移动步长。 2.3. 收敛准则 收敛条件的设定是优化问题的一个基础。单变量优化的终止需要一个收敛准则。传统方法中搜索终止条件 [ 8 ] 为 (10) 其中ε取一个小值，如1.5 × 10 −5 。如图3所示，实际安全系数与最小值的偏差可能远远大于给定的 值， 。 对于目标函数(连续)的最小值存在于单值区间 之中的单变量优化问题，在搜索点从两侧向极值点 移动的过程中目标函数的梯度是非增加的，即 图3. 相邻两次迭代值之差与实际误差的比较 (11) 黄金分割法或二分法等的搜索过程中， 总是在 区间中，因此 (12) 将式(12)代入式(11)可得 (13) 满足 的充分条件是 (14) 式(14)是单变量优化或多变量中沿着一条直线优化的收敛准则。 2.4. 圆弧滑动面优化变量 土质边坡的滑动破坏面在大多情况下近似为圆弧。因此，边坡稳定分析时对任意给定的圆弧计算安全系数，寻找安全系数最小的圆弧即圆弧滑动面优化。 平面上圆的确定需要圆心的两个坐标值和半径三个参数。以往多选用滑动面的圆心坐标和半径作为优化参数，但存在圆心坐标和半径的取值范围大，边界位置难以确定等困难。对于表面形状复杂的边坡，一个圆与边坡相交的弧段可能还不止一个。因此，优化变量采用圆心坐标和半径存在问题。将滑动面与坡面的2个交点--滑入点和滑出点的某一坐标(x坐标或y坐标)和拱高作为控制变量的方法解决了这一问题 [ 15 ] 。然而，对于坡面存在垂直段(采用x坐标)或水平段(采用y坐标)的情况，不能唯一确定圆弧。将此方法做一微小改进，即建立沿着坡面的一维曲线坐标，即可解决问题。因此，本文采用的圆弧滑动面控制变量是滑入点和滑出点的一维坐标和拱高。 如图4所示，在边坡上取一点 为原点，建立沿着边坡上表面的一维曲线坐标系。圆弧以滑入点 、滑出点 的一维坐标 、 和拱高 为控制变量。滑动面可以用向量 表达 (15) 根据需要搜索的圆弧滑动面滑入滑出点的范围和边坡上下表面对圆弧的约束，可得到各控制变量的取值范围分别为 图4. 圆弧滑动面的控制变量定义 (16) 式中， 、 和 、 分别为滑入滑出点范围的端点 、 、 、 的一维坐标； 为通过滑入点 和滑出点 的滑动面最小拱高， 为圆弧与边坡边界相切时滑动面的拱高， 定义为滑动面的深度， 为拱高与滑动面深度之差， 为设定的最小滑动面深度。 对各变量进行无量纲归一化处理，有 (17) 滑入滑出点的坐标归一化后取值范围为[0， 1]，拱高归一化后取值范围为(0， 1]。 2.5. 圆弧滑动面的两级搜索方法 在圆弧型临界滑动面搜索过程中，一般采用是滑动面控制变量一起移动的搜索方法，本文将这种滑动面控制变量整体寻优的搜索方法称为“一级搜索方法”。采用这种搜索方式对简单边坡进行临界滑动面搜索时，易陷入局部极值 [ 14 ] 。张小稳等人提出了“两级搜索方法” [ 16 ] ，即：对于任意给定滑弧，首先对拱高进行优化，最给定滑入滑出点位置条件下的最小安全系数滑弧。因此，经过拱高优化后，优化变量减少一个，第二级优化是对滑入滑出点位置(s 1 ， s 2 )的优化。 一般情况下，对于给定滑入点和滑出点的一组滑弧，安全系数与拱高的关系曲线并不是一个单峰曲线，如图5所示。因而可首先采用枚举法，将曲线分成若干单极值区间。然后再采用黄金分割法求单峰区间的极值，并和区间的端点比较，取得全局的最小值。本文通过将拱高的变化区间 等份为若干份(50份)，依变量从小到大计算各点安全系数。安全系数的峰值点，即为区间的分割点。如图5所示的拱高区间 ， 和 均为单极值(最小值)区间。对于每个单峰值区间采用一维寻优方法找到极小值点，可求得到区间 内的最小安全系数拱高 。 对拱高进行一级优化后，边坡圆弧滑动的优化函数可表示为 (18) 上式是对滑入滑出点为优化变量，对于每一组滑入滑出点，首先找到最小安全系数拱高，然后寻找整体最小安全系数滑弧的二步优化方法优化函数。