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user: 3. 主要定理 如果 ( M ， ρ ) 为左 C -余模，那么 M 就是有理右 C ∗ -模；同时 ( M ∗ ， γ ) 也是左 C ∗ -模，其中模的结构映射是限制 γ = ρ ∗ | C ∗ ⊗ M ∗ 。 定理3.1：设 C 是 K -余代数。如果 C 是左 H -余模余代数，将 H ∗ 对左 H ∗ -模 ( C ∗ ， ⋅ ) 的作用限制在 H 0 上，那么 (1) 作为代数并具有左 H 0 -模结构的 ( C ∗ ， ⋅ ) 是一个左 H 0 -模代数； (2) 同态单射 η : C ∗ # H 0 → ( C ∗ H ) ∗ 是一个代数同态，其中 η ( c ∗ # h 0 ) = c ∗ ⊗ h 0 。 证明：(1) 显然，只需证明(MA1)，(MA2)成立即可。 ∀ h 0 ∈ H 0 ， ∀ c ∗ ， d ∗ ∈ C ∗ ， ∀ c ∈ C ( h 0 ⋅ ( c ∗ d ∗ ) ) ( c ) = ∑ h 0 ( c ( − 1 ) ) ( c ∗ d ∗ ( c ( 0 ) ) ) = ∑ h 0 ( c ( − 1 ) ) c ∗ ( c ( 0 ) ( 1 ) ) d ∗ ( c ( 0 ) ( 2 ) ) = ∑ h 0 ( c ( 1 ) ( − 1 ) c ( 2 ) ( − 1 ) ) c ∗ ( c ( 1 ) ( 0 ) ) d ∗ ( c ( 2 ) (0)) = ∑ h ( 1 ) 0 ( c ( 1 ) ( − 1 ) ) h ( 2 ) 0 ( c ( 2 ) ( − 1 ) ) c ∗ ( c ( 1 ) ( 0 ) ) d ∗ ( c ( 2 ) ( 0 ) ) = ∑ ( h ( 1 ) 0 ⋅ c ∗ ) ( c ( 1 ) ) ( h ( 2 ) 0 ⋅ d ∗ ) ( c ( 2 ) ) = ∑ ( ( h ( 1 ) 0 ⋅ c ∗ ) ( h ( 2 ) 0 ⋅ d ∗ ) ) (c) 所以，(MA1)成立。 ( h 0 ⋅ ε ) ( c ) = ∑ h 0 ( c ( − 1 ) ) ε ( c ( 0 ) ) = ∑ h 0 ( ε ( c ) 1 ) = h 0 ( 1 ) ε (c) 即，(MA2)成立。 (2) 由定理2.2可知 C ∗ H 是余代数，进而 ( C ∗ H ) ∗ 是一个代数；显然 C ∗ # H 0 是个代数。而 η 的单射性是自然的。现只需论证 η 保持单位元和乘法即可，而等式的验证工作较易。 □ 设 A 为左 H -模代数， H 的反极元为 S 。注意到 i : A → A # H ， i ( a ) = a # 1 ， ∀ a ∈ A 和 j : H → A # H ， j ( h ) = 1 # h ， ∀ h ∈ H 都是代数同态，易知当 I 是 A # H 的余有限维理想，则 J = i − 1 ( I ) 及 L = j − 1 ( I ) 分别是 A 和 H 的余有维限理想。而且 A 的余有限维理想 J 还是 A 的左 H -子模，因为 ∀ a ∈ A ， ∀ h ∈ H ， i ( h ⋅ a ) = h ⋅ a # 1 = ∑ h ( 1 ) ⋅ a # h ( 2 ) S ( h ( 3 ) ) = ∑ ( 1 # h ( 1 ) ) ( a # S ( h ( 2 ) ) ) = ∑ ( 1 # h ( 1 ) ) ( a # 1 ) ( 1 # S ( h ( 2 ) ) ) = ∑ ( 1 # h ( 1 ) ) i ( a ) ( 1 # S ( h ( 2 ) ) ) 另外，由于 A 0 是含在 A ∗ 内的余代数，设 A □ = { f | f ∈ A 0 ， f ( I ) = o } ， I 是 A 的某个余有限维理想而且还是 A 的左 H -子模，那么 A □ 是 A 0 的子余代数，这是因为作为 ( A ⊗ H ) ∗ 的子模 ( A # H ) 0 ⊆ A □ ⊗ H 0 ，所以有 I ⊆ i ( J ) ( 1 # H ) + ( A # 1 ) j ( L ) = J # H + A # L 定理3.2：设 A 是左 H -模代数。模结构映射 μ : H ⊗ A → A ，   μ ( h ⊗ a ) = h ⋅ a 。那么 (1) μ ∗ ( A □ ) ⊆ H 0 ⊗ A □ 且 ( A □ ， ρ ) 形成一个左 H 0 -余模，其中 ρ = μ ∗ | A □ 是一个限制； (2) 余模 A □ 是一个左 H 0 -余模余代数； (3) 嵌入映射 ( A # H ) 0 → A □ ∗ H 0 是一个余代数同构。 证明：(1)设 a 0 ∈ A □ ，那么存在 A 的某个余有限维理想 I 使得 a 0 ( I ) = o 。所以 μ ∗ ( a 0 ) 自然能零化 H ⊗ I ，这说明， μ ∗ ( a 0 ) ∈ ( H ⊗ I ) ⊥ = H ∗ ⊗ I ⊥ ⊆ H ∗ ⊗ A □ 。设 μ ∗ ( a 0 ) ≠ o ，那么 μ ∗ ( a 0 ) = ∑ i = 1 s f i ⊗ a i 0 ， f i ∈ H ∗ ， a i 0 ∈ A □ ，其中 s 是该等式成立的最小正整数。进而易知： { a 1 0 ， a 2 0 ， ⋯ ， a s 0 } 是线性无关，令 J = ∩ i = 1 S K e r ( f i ) ，那么 J 自然就是 H 的余有限维子空间，则有 ∑ i = 1 s f i ( h k ) a i 0 = a 0 ( h k ⋅ a ) = a 0 ( h ⋅ ( k ⋅ a ) ) = ∑ i = 1 s f i ( h ) a i 0 ( k ⋅ a ) 这表明 J 是 H 的右理想。所以 f 1 ， f 2 ， ⋯ ， f s ∈ H 0 ，即 μ ∗ ( A □ ) ⊆ H 0 ⊗ A □ 。 最后， ∀ a 0 ∈ A □ ( I H 0 ⊗ ρ ) ρ ( a 0 ) = ∑ a ( − 2 ) 0 ⊗ a ( − 1 ) 0 ⊗ a ( 0 ) 0 = ∑ Δ H 0 ( a ( − 1 ) 0 ) ⊗ a ( 0 ) 0 = ∑ ( Δ H 0 ⊗ I A □ ) ( a ( − 1 ) 0 ⊗ a ( 0 ) 0 ) = ( Δ H 0 ⊗ I A □ ) ρ (a0) ( ε H 0 ⊗ I A □ ) ρ ( a 0 ) = ∑ ( ε H 0 ⊗ I A □ ) ( a ( − 1 ) 0 ⊗ a ( 0 ) 0 ) = ∑ ε H 0 ( a ( − 1 ) 0 ) a ( 0 ) 0 = a 0 所以， ( A □ ， ρ ) 构成一个左 H 0 -余模。 (2) 欲证左 H 0 -余模 A □ 是一个左 H 0 -余模余代数，关键是证明(CC2)~(CC3)都成立。事实上， ∀ a 0 ∈ A □ ， ∀ h ∈ H ， ∀ a ， b ∈ A ，于是有 a 0 ( h ⋅ ( a b ) ) = ∑ a 0 ( ( h ( 1 ) ⋅ a ) ( h ( 2 ) ⋅ b ) ) = ∑ a ( 1 ) 0 ( h ( 1 ) ⋅ a ) a ( 2 ) 0 ( h ( 2 ) ⋅ b ) = ∑ a ( 1 ) ( − 1 ) 0 ( h ( 1 ) ) a ( 2 ) ( − 1 ) 0 ( h ( 2 ) ) a ( 1 ) ( 0 ) 0 ( a ) a ( 2 ) ( 0 ) 0 ( b ) = ∑ a ( 1 ) ( − 1 ) 0 a ( 2 ) ( − 1 ) 0 ( h ) a ( 1 ) ( 0 ) 0 ( a ) a ( 2 ) ( 0 ) 0 (b) 另一方面，还可以有 a 0 ( h ⋅ ( a b ) ) = ∑ a ( − 1 ) 0 ( h ) a ( 0 ) 0 ( a b ) = ∑ a ( − 1 ) 0 ( h ) a ( 0 ) ( 1 ) 0 ( a ) a ( 0 ) ( 2 ) 0 (b) 这就恰好表明 ∑ a ( 1 ) ( − 1 ) 0 a ( 2 ) ( − 1 ) 0 ⊗ a ( 1 ) ( 0 ) 0 ⊗ a ( 2 ) ( 0 ) 0 = ∑ a ( − 1 ) 0 ⊗ a ( 0 ) ( 1 ) 0 ⊗ a ( 0 ) ( 2 ) 0 即，(CC2)成立。而(CC3)成立是显然的，因为易知有 ∑ a ( − 1 ) 0 ε A □ ( a ( 0 ) 0 ) = ε A □ ( a 0 ) 1 H 0 。 (3) 显然， ε ( A ⊗ H ) 0 = ε A □ ∗ H 0 。另外， ∀ a ， b ∈ A ，   ∀ h ， k ∈ H ，   a 0 ⊗ h 0 ∈ ( A ⊗ H ) ∗ 我们有 〈 a 0 ⊗ h 0 ， ( a ⊗ h ) ( b ⊗ k ) 〉 = ∑ ( a 0 ⊗ h 0 ) ( a ( h ( 1 ) ⋅ b ) ⊗ h ( 2 ) k ) = ∑ a ( 1 ) 0 ( a ) a ( 2 ) 0 ( h ( 1 ) ⋅ b ) h ( 1 ) 0 ( h ( 2 ) ) h ( 2 ) 0 ( k ) = ∑ a ( 1 ) 0 ( a ) a ( 2 ) ( − 1 ) 0 ( h ( 1 ) ) a ( 2 ) ( 0 ) 0 ( b ) h ( 1 ) 0 ( h ( 2 ) ) h ( 2 ) 0 ( k ) = ∑ a ( 1 ) 0 ( a ) a ( 2 ) ( − 1 ) 0 h ( 1 ) 0 ( h ) a ( 2 ) ( 0 ) 0 ( b ) h ( 2 ) 0 ( k ) = ∑ 〈 a ( 1 ) 0 ⊗ a ( 2 ) ( − 1 ) 0 h ( 1 ) 0 ， a ⊗ h 〉 〈 a ( 2 ) ( 0 ) 0 ⊗ h ( 2 ) 0 ， b ⊗ k 〉 所以， Δ a 0 ⊗ h 0 = ( a ( 1 ) 0 ⊗ a ( 2 ) ( − 1 ) 0 h ( 1 ) 0 ) ⊗ ( a ( 2 ) ( 0 ) 0 ⊗ h ( 2 ) 0 ) 。 □