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user: 2. 三元复合驱数学模型 三元复合驱的数学模型主要包括油、水渗流方程和驱替剂吸附扩散方程，是一组典型的拋物型偏微分方程组。另外还包括一系列物化代数方程：碱耗方程、渗透率方程、驱替剂吸附方程、粘度方程等。对于实际的矿场，对应的物化代数方程往往根据不同的地质条件，由实验数据确定。 三元复合驱问题的基本假设条件如下： 1) 地层均质，油藏等温，且吸附现象满足Langmuir等温吸附公式； 2) 驱油体系由碱、聚合物、表面活性剂组成，驱油过程为油水两相流，水相中存在碱、聚合物和表面活性剂，油相中存在表面活性剂； 3) Darcy定律适合化学剂存在情况下的油水两相； 4) 各种吸附都达到平衡，相平衡瞬间建立，且满足广义Fick定律； 流体和岩石微可压缩，考虑重力和毛管力的影响，忽略驱替剂对水溶液质量守恒的影响，考虑驱替剂引起的水相渗透率以及水相黏度的变化，并且考虑聚合物的不可及孔隙体积。 基于以上假设条件，设油藏所在的三维区域为 Ω ∈ R 3 ， ( x ， y ， z ∈ Ω ) ， ∂ Ω 为区域的边界， n 表示边界的法线方向，油藏中主要含有n种组分(油、水、聚合物、表面活性剂、碱)，则三元复合驱的数学模型 [ 1 ] [ 3 ] 如下所示： 油相渗流连续性方程： ∇ ⋅ [ K k r o B o μ o ∇ ( p o − ρ o g h ) ] + q o = ∂ ∂ t [ ϕ ( 1 − S w ) B o ] ， (1) 水相渗流连续性方程： ∇ ⋅ ( K k r w B w R k μ w ∇ ( p w − ρ w g h ) ) + q w = ∂ ∂ t ( ϕ S w B w ) ， (2) 聚合物吸附扩散方程： ∇ ⋅ ( K k r w c p B w R k μ w ∇ ( p w − ρ w g h ) ) + ∇ ⋅ [ ( D w + D w p ) ϕ p S w B w ∇ c p ] + q c = ∂ ∂ t ( ρ r ( 1 − ϕ ) C r p + ϕ p S w c p B w ) ， (3) 表面活性剂吸附扩散方程： ∇ ⋅ ( K k r w c w s B w R k μ w ∇ ( p w − ρ w g h ) ) + ∇ ⋅ ( K k r o c o s B o R k μ o ∇ ( p o − ρ o g h ) )   + ∇ ⋅ [ ( D o + D o s ) ϕ s S o B o ∇ c o s ] + ∇ ⋅ [ ( D w + D w s ) ϕ s S w B w ∇ c w s ] + q d = ∂ ∂ t ( ϕ s S o c o s B o + ϕ s S w c w s B w + ρ r ( 1 − ϕ ) C r s ) ， (4) 碱组分吸附扩散方程： ∇ ⋅ ( D O H ϕ S w B w ∇ c O H ) + ∇ ⋅ ( K k r w c O H B w R k μ w ∇ ( p w − ρ w g h ) ) + R O H + q e = ∂ ∂ t [ K a ( 1 + K b c O H ) 2 ( 1 − ϕ ) S w c O H + ϕ S w c O H B w ] ， (5) 初始条件： p ( x ， y ， z ， t ) | t = 0 = p 0   ，   S w ( x ， y ， z ， t ) | t = 0 = S w 0 ，   c Θ ( x ， y ， z ， t ) | t = 0 = c Θ 0 ，  ( x ， y ， z ) ∈ Ω ， (6) 边界条件： ∂ p ∂ n | ∂ Ω = 0 ，   ∂ S w ∂ n | ∂ Ω = 0 ，   ∂ c Θ ∂ n | ∂ Ω = 0 ， (7) 上述模型中各符号的物理意义如下： 在所有下标中 p ， s ， O H 分别表示聚合物、表面活性剂、碱；K为绝对渗透率[μm 2 ]； k r o ， k r w 分别为油相和水相的相对渗透率[-]； p o ， p w 为油相、水相压力[MPa]； S o ， S w 分别为含油饱和度、含水饱和度[-]； p c o w ( x ， y ， z ， t ) 为毛管力[MPa]；g为重力加速度[m/s 2 ]； h ( x ， y ， z ) 为深度[m]，向下为正； c Θ 为相应驱替剂的浓度 Θ = { p ， s ， O H } 分别代表聚合物浓度[g/L]、表面活性剂质量浓度[%]、碱的质量浓度[%]， c i j 表示j在i中的质量浓度[%]； ρ o ， ρ w ， ρ r 分别油相、水相和岩石的密度(kg/m 3 )； B o ， B w 分别油和水的体积系数[-]； μ o ， μ w 为加入驱替剂后油相和水相的黏度[mPa×s]； ϕ ， ϕ p ， ϕ s 分别为岩石的孔隙度、聚合物可及孔隙度以及表面活性剂可及孔隙度[-]， ϕ p ， s = ϕ f a ， s ， f a ， f s 为可及孔隙系数[-]； R k 为相对渗透率下降系数[-]； K a 为表征离子交换与吸附量大小的参数[-]； K b 为碱的吸附常数，[cm 3 /g]； v w 为渗流速度[cm/s]，流入为正； R O H 为碱耗，[1/d]； C r p ， C r s 为单位质量岩石吸附聚合物、表面活性剂的质量[mg/g]； r o ， r w 分别为油相和水相的流动系数[μm 2 /(mPa×s)]； q o 为油相在标准状态下的流速[1/d]，流入为正； q w 为水相在标准状态下的流速[1/d]，流入为正； q c ， q d ， q e 为井筒驱替剂的运移速度，单位为[g/(d×L)]， [1/(100d)]， [1/(100d)]； D i ， i ∈ { w ， o ， O H } 为扩散系数[m 2 /s]， D i j ， i ∈ { w ， o } ， j ∈ { s ， p } 表示j在i中的扩散系数[m 2 /s]；t为时间[d]； ∇ 为Hamilton算子，在直角坐标系中 ∇ = ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k ； x ， y ， z 为直角坐标系的三个方向，长度单位[m]。 上述代数关系式，可以通过模型中的辅助变量代入支配方程，不需要作为最优控制问题的等式约束。在上述模型中系统的状态变量为 p ， S w ， c Θ ，分别为油藏压力，含水饱和度和油藏中驱替剂浓度(聚合物、表面活性剂和碱)。控制变量(驱替剂的注入浓度)为 c Θ i n ，表示水井中相应驱替剂的注入浓度。 q o ， q w 分别为油相和水相的流速， q c ， q d ， q e 为井筒驱替剂的运移速度。 q i n ( x ， y ， z ， t ) ≥ 0 表示在位置 ( x ， y ， z ) 有井的注入项， q o u t ( x ， y ， z ， t ) ≥ 0 表示在位置 ( x ， y ， z ) 有井的产出项。 q o ， q w ， q c ， q i n ， q o u t 以及控制变量 c Θ i n 只在有井的位置有定义。将所有注入项和所有产出项位置的集合分别记为 ψ w = { ( x ， y ， z ) j ， k ， j ∈ κ w ， k ∈ ϑ w j } 和 ψ p = { ( x ， y ， z ) j ， k ， j ∈ κ p ， k ∈ ϑ p } ，则方程中的流量项定义为： q o = { − ( 1 − f w ) q o u t ，     ( x ， y ， z ) ∈ ψ p 0 ，                                                               ( x ， y ， z ) ∉ ψ p (8) q w = { − f w q o u t ，     ( x ， y ， z ) ∈ ψ p q i n ，                             ( x ， y ， z ) ∈ ψ w 0 ，                                     ( x ， y ， z ) ∉ ψ p ∪ ψ w (9) q c = { q w c p ，                   ( x ， y ， z ) ∈ ψ p q w c p i n ，             ( x ， y ， z ) ∈ ψ w 0 ，                                 ( x ， y ， z ) ∉ ψ p ∪ ψ w (10) q d = { q w c w s + q o c o s ，     ( x ， y ， z ) ∈ ψ p q w c s i n ，                 ( x ， y ， z ) ∈ ψ w 0 ，                                 ( x ， y ， z ) ∉ ψ p ∪ ψ w (11) q e = { q w c O H ，                   ( x ， y ， z ) ∈ ψ p q w c O H i n ，             ( x ， y ， z ) ∈ ψ w 0 ，                                   ( x ， y ， z ) ∉ ψ p ∪ ψ w (12) 模型中，油、水体积系数均为油藏压力 p ( x ， y ， z ， t ) 的函数，具体如下： B o = B o r / [ 1 + C o ( p − p r ) ] ， (13) B w = B w r / [ 1 + C w ( p − p r ) ] ， (14) 其中， p r 表示参考压力(MPa)， B w r ， B o r 分别表示参考压力下的水、油体积系数， C o ， C w 表示油、水压缩系数。 流动系数定义： r o = K k r o B o μ o ，   r w = K k r w B w R k μ w (15) f w ( x ， y ， z ， t ) 为含水率是状态 p ， S w ， c p ， c s ， c O H 的函数，其定义为 [ 3 ] f w = r w r w + r o ， (16) 表面活性剂浓度： c s = q w c w s + q o c o s q w + q o ， (17) 物化代数方程详见附录。