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user: 4. 测度值DPE与QVI的关系 定理4.1：对于任意 x ≥ 0 ，测度值DPE(6)表明 0 = sup l ∈ M { ( 1 − V ′ ( ϕ x l ( t ) ) ) l ( ϕ x l ( t ) ) + V ′ ( ϕ x l ( t ) ) ( c + i ϕ x l ( t ) )           − ( λ + δ ) V ( ϕ x l ( t ) ) + λ Q V ( ϕ x l ( t ) ) }         a . e .   w . r . t .   t . (12) 其中， V ′ ( x ) = { V ′ ( x ) ，       导 数 存 在 ; 1 ，                         其 他 . 证明：根据引理2.1知道值函数V是局部利普西茨连续的，则导数极限几乎处处存在，因此有 V ( ϕ x l ( t ) ) − V ( x ) = ∫ 0 ϕ x l ( t ) V ′ ( u ) d u = ∫ 0 t V ′ ( ϕ x l ( s ) ) d ϕ x l ( s ) = ∫ 0 t V ′ ( ϕ x l ( s ) ) ( c + i ϕ x l ( s ) − l ( ϕ x l ( s ) ) ) d s . 测度值DPE(6)可重写为 0 = sup l ∈ M { ∫ 0 t [ ( 1 − V ′ ( ϕ x l ( s ) ) ) l ( ϕ x l ( s ) ) + V ′ ( ϕ x l ( s ) ) ( c + i ϕ x l ( s ) )     − ( λ + δ ) V ( ϕ x l ( s ) ) + λ Q V ( ϕ x l ( s ) ) ] d s } = sup l ∈ M { ∫ 0 t G l V ( ϕ x l ( s ) ) d s } ， (13) 其中 G l V ( x ) = ( 1 − V ′ ( x ) ) l ( x ) + V ′ ( x ) ( c + i x ) − ( λ + δ ) V ( x ) + λ Q V ( x ) 。 则对任意 x ≥ 0 ， l ∈ M ，我们可以得到 ∫ 0 t G l V ( ϕ x l ( s ) ) d s ≤ 0. (14) 根据引理3.1中 M 的性质对任意 l ∈ M 有 ϕ x l ( s + t ) = ϕ ϕ x l ( s ) l ( t ) 。因此 ∫ 0 t + h G l V ( ϕ x l ( s ) ) d s = ∫ 0 h G l V ( ϕ x l ( s ) ) d s + ∫ 0 t + h G l V ( ϕ x l ( s ) ) d s = ∫ 0 h G l V ( ϕ x l ( s ) ) d s + ∫ 0 t G l V ( ϕ x l ( h + s ) ) d s = ∫ 0 h G l V ( ϕ x l ( s ) ) d s + ∫ 0 t G l V ( ϕ ϕ x l ( h ) l ( s ) ) d s . 根据(14)式记 ∫ 0 t G l V ( ϕ ϕ x l ( h ) l ( s ) ) d s ≤ 0 ，因此 ∫ 0 t G l V ( ϕ x l ( s ) ) d s 是非增的，这表明 G l V ( ϕ x l ( s ) ) ≤ 0 。由于 0 = sup l ∈ M { ∫ 0 t G l V ( ϕ x l ( s ) ) d s } ≤ ∫ 0 t sup l ∈ M G l V ( ϕ x l ( s ) ) d s ≤ 0 ， 故(12)式成立。 接下来定义三个算子为 Λ V ( x ) : = c + i x − ( λ + δ ) V ( x ) + λ Q V ( x ) ; A V ( x ) : = ( 1 − V ′ ( x ) ) l 0 + ( c + i x ) V ′ ( x ) − ( λ + δ ) V ( x ) + λ Q V ( x ) ; B V ( x ) : = ( c + i x ) V ′ ( x ) − ( λ + δ ) V ( x ) + λ Q V ( x ) . 并定义 D 1 = { x ∈ ℝ + : c + i x < l 0 } D 2 = { x ∈ ℝ + : c + i x = l 0 } D 3 = { x ∈ ℝ + : c + i x > l 0 } . 因此当 l 0 < c ，则有 D 1 = D 2 = ∅ ， D 3 = ℝ + ；当 l 0 = c ，则有 D 1 = ∅ ， D 2 = { 0 } ， D 3 = ( 0 ， ∞ ) ；当 l 0 > c ，则有 D 1 = [ 0 ， l 0 − c i ) ， D 2 = { l 0 − c i } ， D 3 = ( l 0 − c i ， ∞ ) 。 定理4.2：假设测度值DPE成立。当 x ∈ D 1 ∪ D 2 ，则值函数V满足QVI(I) { Λ V ( x ) ≤ 0 ; A V ( x ) ≤ 0 ，       a . e . ; B V ( x ) ≤ 0 ，       a . e . ; ( Λ V ( x ) ) ( A V ( x ) ) ( B V ( x ) ) = 0 ，       a . e . 当 x ∈ D 3 ，则值函数V满足QVI(I { A V ( x ) ≤ 0 ，       a . e . ; B V ( x ) ≤ 0 ，       a . e . ; ( A V ( x ) ) ( B V ( x ) ) = 0 ，       a . e . 证明：我们首先证明QVI(I)。记(12)式表示值函数V满足 0 = sup a ∈ [ 0 ， l 0 ] { a ( 1 − V ′ ( x ) ) + ( c + i x ) V ′ ( x ) − ( λ + δ ) V ( x ) + λ Q V ( x ) }       a . e . (15) 对于任意 x ∈ D 1 ∪ D 2 ，当 V ′ ( x ) > 1 ，则有 Λ V ( x ) < B V ( x ) ，     A V ( x ) < B V ( x ) . 此时当 a = 0 时，(15)式有最大值，即在 { x ∈ D 1 ∪ D 2 : V ′ ( x ) > 1 } 有 B V ( x ) = 0 ，       a . e . 对于任意 x ∈ D 1 ∪ D 2 ，当 V ′ ( x ) = 1 ，则有 Λ V ( x ) = A V ( x ) = B V ( x ) . 又(15)式右侧括号内的值与a是独立的。因此(12)式表明在 { x ∈ D 1 ∪ D 2 : V ′ ( x ) = 1 } 有 Λ V ( x ) = A V ( x ) = B V ( x ) = 0 ，     a . e . 对于任意 x ∈ D 1 ∪ D 2 ，当 V ′ ( x ) < 1 ，则有 Λ V ( x ) ≤ A V ( x ) ，     B V ( x ) < A V ( x ) . 此时当 a = l 0 时，(15)式有最大值，即在 { x ∈ D 1 ∪ D 2 : V ′ ( x ) < 1 } 有 A V ( x ) = 0 ，       a . e . 综上所述，我们可以得到对于任意 x ∈ D 1 ∪ D 2 ，QVI(I)成立。 同理可证明QVI(II)： 在 { x ∈ D 3 : V ′ ( x ) > 1 } 有 B V ( x ) = 0 ，   a . e . ，且 A V ( x ) < B V ( x ) 。 在 { x ∈ D 3 : V ′ ( x ) = 1 } 有 A V ( x ) = B V ( x ) = 0 ，   a . e . 。 在 { x ∈ D 3 : V ′ ( x ) < 1 } 有 A V ( x ) = 0 ，   a . e . ，且 B V ( x ) < A V ( x ) 。 故对任意 x ∈ D 3 ，QVI(II)成立。