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user: 4. 分散式供应链 在分散式供应链中，零售商和供应商是独立的经济主体。在销售季节前，零售商根据批发价和市场需求信息决定订购量，供应商按零售商的订单生产产品。 4.1. 批发价契约 在批发价契约下，零售商和供应商的期望利润分别如下： E π r ( q ) = p S ( q ) + h I ( q ) − w q = ( p − w ) q − ( 1 − α ) ( p − h ) ∫ 0 q + θ u F ( x ) d x . (8) E π s ( q ) = ( w − c ) q 。 (9) 因此，零售商的决策模型为： max E π r ( q ) s . t . 0 < q ≤ q 0 . (10) 定理2：在批发价契约下，当参数满足： ( 1 − α ) F ( θ u ) ≤ p − w p − h < 1 − α ， (11) 时，零售商的最优订购量为： q r * = min ( q 0 ， q r ) ，其中， q r = F − 1 ( p − w ( 1 − α ) ( p − h ) ) − θ u 。 (12) 证：对 E π r ( q ) 关于 q 分别求一阶导和二阶导得： d E π r ( q ) d q = ( p − w ) − ( 1 − α ) ( p − h ) F ( q + θ u ) ， d 2 E π r ( q ) d q 2 = − ( 1 − α ) ( p − h ) f ( q + θ u ) 。 易知 d 2 E π r ( q ) d q 2 < 0 ，所以， E π r ( q ) 是关于 q 的凹函数。 由(11)式，有 lim q → 0 d E π r ( q ) d q = ( p − w ) − ( 1 − α ) ( p − h ) F ( θ u ) ≥ 0 ， lim q → ∞ d E π r ( q ) d q = ( p − w ) − ( 1 − α ) ( p − h ) < 0 。 由根的存在定理知，存在 q r ∈ ( 0 ， ∞ ) 使得 d E π r ( q ) d q = 0 ，整理即得(12)式。又因 0 < q ≤ q 0 ，因此，零售商的最优订购量 q r * = min ( q 0 ， q r ) 。 由定理2知，当 q 0 ≥ q r 时， q r * = q r ，由于 w > c ，则 q r * < q c ；当 q 0 < q r 时， q r * = q 0 ，则 q r * < q r < q c 。由此可知，在批发价契约下，零售商的最优订购量总是小于集中式供应链的最优订购量，则 E π r ( q r * ) + E π s ( q r * ) < E π c ( q c ) 。由供应链协调的定义知，批发价契约无法使供应链实现协调。所以，为了激励零售商增加订购量，实现供应链协调，供应商需提供其他协调契约。 4.2. 回馈与惩罚契约 在回馈与惩罚契约下，在销售季节前，供应商公布批发价 w 、销售目标 T 和回馈与惩罚参数 β ，零售商决定订购量。在销售季节结束后，如果零售商能超额完成销售目标，则供应商对超额完成部分单位奖励 β ，相反，对未完成目标部分单位惩罚 β 。 在回馈与惩罚契约下，零售商和供应商的期望利润分别为： E π r 1 ( q ) = p S ( q ) + h I ( q ) + β E ( s ( q ) − T ) − w q = ( p − w + β ) q − ( 1 − α ) ( p − h + β ) ∫ 0 q + θ u F ( x ) d x − β T . (13) E π s 1 ( q ) = ( w − c ) q − β E ( s ( q ) − T ) = ( w − c − β ) q + β ( 1 − α ) ∫ 0 q + θ u F ( x ) d x + β T . (14) 因此，零售商的决策模型为： max E π r 1 ( q ) s . t . 0 < q ≤ q 0 . (15) 定理3：在回馈与惩罚契约下，当契约参数满足： ( 1 − α ) F ( θ u ) ≤ p − w + β p − h + β < 1 − α ， (16) 时，零售商的最优订购量为： q r 1 * = min ( q 0 ， q r 1 ) ，其中， q r 1 = F − 1 ( p − w + β ( 1 − α ) ( p − h + β ) ) − θ u 。 (17) 证：对 E π r 1 ( q ) 分别关于 q 求一阶导和二阶导得： d E π r 1 ( q ) d q = p − w + β − ( 1 − α ) ( p − h + β ) F ( q + θ u ) ， d 2 E π r 1 ( q ) d q 2 = − ( p − h + β ) f ( q + θ u ) 。 易知 d 2 E π r 1 ( q ) d q 2 < 0 ，所以， E π r 1 ( q ) 是关于 q 的凹函数。 当(16)式成立时，有 lim q → 0 d E π r 1 ( q ) d q = p − w + β − ( 1 − α ) ( p − h + β ) F ( θ u ) ≥ 0 ， lim q → ∞ d E π r 1 ( q ) d q = p − w + β − ( 1 − α ) ( p − h + β ) < 0 。 由根的存在性定理知，存在 q r 1 使得 d E π r 1 ( q ) d q = 0 ，整理即得(17)式。又因 0 < q ≤ q 0 ，因此，零售商的最优订购量 q r 1 * = min ( q 0 ， q r 1 ) 。 由定理3知，当零售商为风险中性时，零售商的最优订购量为 q r 1 。但是，当零售商为库存风险厌恶时，零售商的最优订购量为 q r 1 * = min ( q 0 ， q r 1 ) ， q r 1 * 与 ( w ， β ) 、 α 和 ξ 有关。 记 E π r 1 * = E π r 1 ( q c ) ， E π s 1 * = E π s 1 ( q c ) ， E π c * = E π c ( q c ) ， E π r * = E π r ( q r ) ， E π s * = E π s ( q r ) 。接下来，我们探讨用回馈与惩罚契约来实现供应链协调的途径。 定理4：假设 ( 1 − α ) F ( θ u ) ≤ p − c p − h ≤ ( 1 − α ) F ( F − 1 ( ζ ) + v 1 − α ) ， (18) 若回馈与惩罚契约的参数 ( w ， β ， T ) 满足条件： β = p − h c − h w − p − h c − h c ， (19) T 1 ≤ T ≤ T 2 ， (20) 则该契约能够协调供应链，其中， T 1 = ( c − h ) E π s * + ( w − c ) E π c * ( p − h ) ( w − c ) ， T 2 = ( w − h ) E π c * − ( c − h ) E π r * ( p − h ) ( w − c ) 。 证：当契约参数满足(19)式时，可以推出： p − w + β p − h + β = p − c p − h 。 (21) 由(18)式得到： ( 1 − α ) F ( u θ ) ≤ p − c p − h ≤ ( 1 − α ) F ( F − 1 ( ζ ) + v 1 − α ) < 1 − α 。 (22) 由定理1知，供应链系统的最优订购量为 q c ，且 q c ≤ q 0 ；由(21)式、(22)式和定理3知，零售商的最优订购量为 q r 1 * = min ( q 0 ， q r 1 ) ；由(18)式和(21)式知， q r 1 ≤ q 0 ；再由(7)式和(17)式，得到 q r 1 = q c 。 于是， q r 1 * = q r 1 = q c ，即分散式供应链的期望利润等于集中式供应链的最优期望利润，且零售商的库存超过预定值的概率不超过 ξ 。 由供应链的协调定义可知，若要使供应链实现协调，还需满足： { E π r 1 * ≥ E π r * E π s 1 * ≥ E π s * 。 由(5)式、(13)式和(19)式可得： E π r 1 * = w − h c − h E π c * − ( p − h ) ( w − c ) c − h T ， (23) 由(5)式、(14)式和(19)式可得： E π s 1 * = c − w c − h E π c * + ( p − h ) ( w − c ) c − h T 。 (24) 当 T 1 ≤ T ≤ T 2 时， E π s 1 * ≥ E π s * ， E π r 1 * ≥ E π r * 。此时，供应链的协调定义的三个条件均得到满足，则供应链实现了协调。 由定理4可知，当参数满足(18)式和(19)式时，对于任意 T ∈ [ T 1 ， T 2 ] ，回馈与惩罚契约能够协调供应链。