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user: 2. 主要结果 考虑如下一类S-分布时滞静态神经网络模型 x ′ i ( t ) = − c i ( t ) x i ( t ) + g i ( ∑ j = 1 n ∫ − r 0 x j ( t + θ ) d w i j ( θ ) + I i ( t ) ) ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n . (2.1) 其中 c i ( t ) > 0 为连续函数，表示在与神经网络不联通且无外部附加电压差情况下第i个神经元恢复孤立静息状态下的速率， w i j ( θ ) 是 [ − r ， 0 ] ( r > 0 ) 上关于 θ 单调不减的有界变差函数，其余符号的意义与模型(1.2)相同。 为方便，记 I = { 1 ， 2 ， ⋯ ， n } ，对于 x ∈ R n ， 定义 ‖ x ‖ = max i ∈ I | x i | 。以 C ( [ − r ， 0 ] ， R n ) 表示定义在 [ − r ， 0 ] 上的n维连续向量函数空间。 C ( R ， R n ) 表示 ( − ∞ ， + ∞ ) 上的n维连续向量函数空间。 x ( t ) = x ( σ ， ϕ ， t ) = ( x 1 ( t ) ， ⋯ ， x n ( t ) ) T 表示模型(2.1)的一个满足初始条件 x ( σ + θ ) = ϕ ( θ ) ，   σ ∈ R，   θ ∈ [ − r ，0 ] . (2.2) 的解，其中 ϕ ( θ ) = ( ϕ 1 ( θ ) ， ϕ 2 ( θ ) ， ⋯ ， ϕ n ( θ ) ) T ∈ C ( [ − r ， 0 ] ， R n ) 。 为后面证明方便，给出以下假设： (H1) inf t ∈ R c i ( t ) = c i _ > 0 ，   i ∈ I 。 (H2) ∫ − r 0 x j ( t + θ ) d w i j ( θ ) 是Lebesgue-Stieltjes可积的，且 0 ≤ ∫ − r 0 d w i j ( θ ) < w i j < + ∞ ，   i ， j ∈ I 。 (H3) 存在 L i g > 0 ，使得 | g i ( u ) | ≤ L i g | u | ，   u ∈ R，   i ∈ I 。 (H4) 对任意的 i ∈ I ，存在 ξ 1 ， ξ 2 ， ⋯ ， ξ n > 0 ，   c i _ > λ > 0 ，满足 max i ∈ I { ξ i − 1 L i g ∑ j = 1 n ξ j e λ r + 1 } < c i _ − λ 且 | I i ( t ) | ≤ e − λ t ， i ∈ I 。 (H5) max i ∈ I { 1 c i _ ξ i − 1 L i g ∑ j = 1 n ξ j w i j } < 1 。 定理2.1. 若条件(H1)~(H5)成立，则模型(2.1)的解在 [ σ ， + ∞ ] 上整体存在。 证明：设 x ( t ) = x ( σ ， ϕ ， t ) = ( x 1 ( t ) ， x 2 ( t ) ， ⋯ ， x n ( t ) ) T 是模型(2.1)满足初始条件(2.2)的解。 令 y ( t ) = ( y 1 ( t ) ， y 2 ( t ) ， ⋯ ， y n ( t ) ) T = ( ξ 1 − 1 x 1 ( t ) ， ξ 2 − 1 x 2 ( t ) ， ⋯ ， ξ n − 1 x n ( t ) ) T 则有 y ′ i ( t ) = − c i ( t ) y i ( t ) + ξ i − 1 g i ( ∑ j = 1 n ∫ − r 0 x j ( t + θ ) d w i j ( θ ) + I i ( t ) ) ，   i ∈ I . (2.3) 当 t > s > σ 时，有 y ′ i ( s ) = − c i ( s ) y i ( s ) + ξ i − 1 g i ( ∑ j = 1 n ∫ − r 0 x j ( s + θ ) d w i j ( θ ) + I i ( s ) ) ，   i ∈ I . (2.4) 将(2.4)式两边乘以 e ∫ σ s c i ( u ) d u ，再从 σ 到t求积分，得 y i ( t ) = y i ( σ ) e − ∫ σ t c i ( u ) d u + ∫ σ t e − ∫ s t c i ( u ) d u [ ξ i − 1 g i ( ∑ j = 1 n ∫ − r 0 x j ( s + θ ) d ω i j ( θ ) + I i ( s ) ) ] d s ，   i ∈ I . (2.5) 由(2.5)式、初始条件(2.2)、条件(H1)~(H5)，得 | y i ( t ) | ≤ e − ∫ σ t c i ( u ) d u ξ i − 1 | ϕ i ( 0 ) | + | ∫ σ t e − ∫ s t c i ( u ) d u [ ξ i − 1 g i ( ∑ j = 1 n ∫ − r 0 x j ( s + θ ) w i j ( θ ) + I i ( s ) ) ] d s | ≤ e − ∫ σ t c i _ d u ξ i − 1 | ϕ i ( 0 ) | + ∫ σ t e − ∫ s t c i _ d u ξ i − 1 L i g ( | ∑ j = 1 n ∫ − r 0 x j ( s + θ ) d w i j ( θ ) | + | I i ( s ) | ) d s ≤ e − c i _ ( t − σ ) ξ i − 1 | ϕ i ( 0 ) | + ξ i − 1 L i g ∫ σ t e − c i _ ( t − s ) | ∑ j = 1 n ∫ − r 0 ξ j y j ( s + θ ) d w i j ( θ ) | d s + ξ i − 1 L i g ∫ σ t e − c i _ ( t − s ) e − λ s d s ≤ ξ i − 1 | ϕ i ( 0 ) | + 1 c i _ ξ i − 1 L i g ‖ y ‖ ∑ j = 1 n ξ j w i j + ξ i − 1 L i g e − λ σ λ − c i _ ， (2.6) 得， ‖ y ‖ ≤ max i ∈ I { ξ i − 1 | ϕ i ( 0 ) | + ξ i − 1 L i g e − λ σ λ − c i _ + 1 c i _ ξ i − 1 L i g ‖ y ‖ ∑ j = 1 n ξ j w i j } ， (2.7) 从而， ‖ y ‖ ≤ max i ∈ I { ξ i − 1 | ϕ i ( 0 ) | + ξ i − 1 L i g e − λ σ λ − c i _ } max i ∈ I { 1 − 1 c i _ ξ i − 1 L i g ∑ j = 1 n ξ j w i j } . (2.8) y有界，因此模型(2.1)的解不会发生爆破，在 [ σ ， + ∞ ] 上整体存在。 定理2.2. 假设条件(H1)-(H5)成立，则对于系统(2.1)满足初始条件(2.2)的任意解 x ( t ) ， x ( t ) 全局指数收敛到0，即存在常数 λ > 0 ， B > 0 ，使得对 i ∈ I ，有 | x i ( t ) | ≤ B e − λ t . 证明：令 ‖ ϕ ‖ = max i { ξ i − 1 max t ∈ [ − r ， 0 ] | ϕ i ( t ) | } 。当 t ∈ [ − r ， 0 ] 时，对任给的 ε > 0 ，由 ‖ ϕ ‖ 的定义及 λ > 0 ，有 | y i ( t ) | = | ξ i − 1 ϕ i ( t ) | < M ( ‖ ϕ ‖ + ε ) e − λ t . 从而， ‖ y ( t ) ‖ < M ( ‖ ϕ ‖ + ε ) e − λ t ，   t ∈ [ − r ， 0 ] . (2.9) 其中 M > 0 充分大，使得 | L i g ξ i − 1 I i ( t ) | < M ( ‖ ϕ ‖ + ε ) e − λ t ，   t ≥ 0 ，   i ∈ I . 下面证明，对任意的 t > 0 ，有 ‖ y ( t ) ‖ < M ( ‖ ϕ ‖ + ε ) e − λ t . (2.10) 反证，若不然，则存在 i ∈ I ， η > 0 ，使得 ‖ y ( η ) ‖ = | y i ( η ) | = M ( ‖ ϕ ‖ + ε ) e − λ η . (2.11) 且对 t ∈ [ − r ， η ] ，有 | y i ( t ) | < M ( ‖ ϕ ‖ + ε ) e − λ t . (2.12) 注意到，对 s ∈ [ 0 ， t ] ，   t ∈ [ 0 ， η ] ，有 y i ( t ) = y i ( 0 ) e − ∫ 0 t c i ( u ) d u + ∫ 0 t e − ∫ s t c i ( u ) d u ξ i − 1 g i [ ∑ j = 1 n ∫ − r 0 ξ j y j ( s + θ ) d ω i j ( θ ) + I i ( s ) ] d s ， 从而，当 η > 0 时，利用(2.9)和(2.12)式，以及条件(H1)~(H5)，有 | y i ( η ) | = | y i ( 0 ) e − ∫ 0 η c i ( u ) d u + ∫ 0 η e − ∫ s η c i ( u ) d u ξ i − 1 g i [ ∑ j = 1 N ∫ − r 0 ξ j y j ( s + θ ) d w i j ( θ ) + I i ( s ) ] d s | ≤ M ( ‖ ϕ ‖ + ε ) e − c i _ η + ∫ 0 η e − c i _ ( η − s ) ξ i − 1 L i g [ ∑ j = 1 n | ∫ − r 0 ξ j y j ( s + θ ) d w i j ( θ ) | + | I i ( s ) | ] d s ≤ M ( ‖ ϕ ‖ + ε ) e − c i _ η + ∫ 0 η e − c i _ ( η − s ) [ ξ i − 1 L i g ∑ j = 1 n ξ j M ( ‖ ϕ ‖ + ε ) e − λ ( s − r ) w i j + M ( ‖ ϕ ‖ + ε ) e − λ s ] d s ≤ M ( ‖ ϕ ‖ + ε ) e − c i _ η + M ( ‖ ϕ ‖ + ε ) ∫ 0 η e − c i _ ( η − s ) [ ξ i − 1 L i g ∑ j = 1 n ξ j e − λ ( s − r ) w i j + e − λ s ] d s ≤ M ( ‖ ϕ ‖ + ε ) [ e − c i _ η + e − c i _ η ∫ 0 η e − ( λ − c i _ ) s ( ξ i − 1 L i g ∑ j = 1 n ξ j e λ r w i j + 1 ) d s ] < M ( ‖ ϕ ‖ + ε ) e − c i _ η [ 1 + ∫ 0 η e − ( λ − c i _ ) s ( c i _ − λ ) d s ] < M ( ‖ ϕ ‖ + ε ) e − c i _ η ⋅ e − ( λ − c i _ ) η = M ( ‖ ϕ ‖ + ε ) e − λ η . 此与(2.11)式矛盾，故(2.10)式成立，即对任意的 t > 0 ，有 ‖ y ( t ) ‖ < M ( ‖ ϕ ‖ + ε ) e − λ t ， 从而，也有 ‖ x ( t ) ‖ < ξ M ( ‖ ϕ ‖ + ε ) e − λ t ， 其中 ξ = max i { ξ i } ，   i ∈ I 。即 ‖ x ( t ) ‖ ≤ B e − λ t ，   B = ξ M ( ‖ ϕ ‖ + ε ) 。