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user: 3. 数据分析与讨论 3.1. 互相关波动函数幂律关系检测 首先，我们检测长株潭三城市间上述空气质量指标的分形无标度性。下面以PM2.5浓度为例，图2展示了上述两两城市间q阶互相关波动函数 F x y ( q ， L ) 与时滞L的幂律关系(在本文中，我们以0.5的步长取q从0.5到5)。一般地，如果两个时间序列具有较好的相关性，则它们的q阶互相关波动函数 F x y ( q ， L ) 与时滞L具有幂律关系，这表现为 log F x y ( q ， L ) 与log(L)呈现较好的线性关系。如图2所示，在双对数图中完美的直线表示长沙、株洲和湘潭两两城市间的PM2.5浓度具有较好的互相关性。通过检验，本文所选取的三个城市间的AQI与NO 2 的互相关波动函数与时滞L间也都具有类似的幂律关系。下面我们将利用AMF-HXA来做进一步分析。 Table 1 General statistics of the AQI， PM2.5 and NO2 series of Changsha， Zhuzhou and Xiangta 均值 标准差 极差 偏度 峰度 变异系数 AQI 长沙 88.9406 49.9035 338.0000 6.4599 1.6654 0.5611 株洲 85.1361 48.438 340.0000 7.3759 1.8103 0.5689 湘潭 86.5772 45.8179 344.0000 7.3582 1.767 0.5292 PM2.5 长沙 80.8701 43.3231 267.9000 3.9494 0.8820 0.5357 株洲 91.6120 51.1703 348.8000 5.5913 1.3596 0.5586 湘潭 96.8545 52.5998 374.4000 5.3707 1.3377 0.5431 NO 2 长沙 38.5184 16.589 102.9000 3.9007 1.0686 0.4307 株洲 35.2328 14.5183 82.1000 3.7306 0.9431 0.4121 湘潭 37.1953 15.3931 92.3000 3.7458 0.9937 0.4138 表1. 长沙，株洲和湘潭AQI、PM2.5浓度与NO 2 浓度的基本统计情况 图1. 长沙，株洲和湘潭从2013年12月1日至2016年11月30日的PM2.5值和NO 2 值 图2. PM2.5浓度的F xy (q， L)与L的分形幂律关系：(a) 表示长沙与株洲；(b) 表示长沙与湘潭；(c) 表示株洲与湘潭 3.2. 空气质量指数与污染因子的关系 在本节中我们关注三城市的AQI与传统污染因子NO 2 浓度及细微颗粒物PM2.5浓度波动趋势的关系。为此，利用式(6)定义的 Δ F ( q ， L ) 来定量描述各个城市AQI序列与NO 2 序列及PM2.5序列的q阶波动函数的差异。我们选取了两个q值(q = 0.5和q = 4)来考察小波动区间和大波动区间的 Δ F ( q ， L ) ，如图3~图5所示。在每幅图中，a、b子图表示AQI与PM2.5浓度的波动函数的差距，而c、d子图表示AQI与NO 2 浓度的波动函数的差距。左边两幅子图表示小波动区间的 Δ F ( q ， L ) ，而右边两幅子图表示大波动区间的 Δ F ( q ， L ) 。从这3幅图可以看出，无论是在大波动区间还是小波动区间，每个城市AQI与PM2.5浓度的波动函数的差距均小于0.25，说明AQI与PM2.5的波动变化规律基本吻合。与此对比，每个城市AQI与NO 2 浓度的波动函数的差距均大于0.5。尤其是长沙和株洲，该值间于1到2之间，说明AQI与NO 2 浓度的波动有着较大的差异。表明当前空气质量的评价主要受到细微颗粒物的影响。一个有趣的现象是夏季的AQI与PM2.5的波动函数差距最小，而AQI与NO 2 浓度的波动函数以夏季的差距最大，说明这两种空气 图3. 长沙的AQI与两个污染因子，即PM2.5浓度(图a和图b)、NO 2 浓度(图c和图d)波动函数的差距。左边两幅子图表示小波动范围，右边两幅子图表示大波动范围 图4. 株洲的AQI与两个污染因子，即PM2.5浓度(图a和图b)、NO 2 浓度(图c和图d)波动函数的差距。左边两幅子图表示小波动范围，右边两幅子图表示大波动范围 图5. 湘潭的AQI与两个污染因子，即PM2.5浓度(图a和图b)、NO 2 浓度(图c和图d)波动函数的差距。左边两幅子图表示小波动范围，右边两幅子图表示大波动范围 污染因子在夏季对AQI的影响是不同的。 3.3. 长株潭三城市间空气污染因子的相关性 作为我们最关心的问题，本节我们分别考察长株潭三城市间空气污染因子PM2.5浓度和NO 2 浓度的相关性。为此，我们首先构建一个统计量来测试两个时间序列的交叉相关是否显著。建立零假设：H0：两个时间序列不存在互相关性；H1：两个时间序列存在互相关性。然后计算得到95%置信度下的临界值 ρ 0 ( L ) 。最后再考察 ρ ( L ) 与 ρ 0 ( L ) 的大小关系，若 ρ ( L ) > ρ 0 ( L ) 则拒绝原假设，认为两个时间序列间存在显著的交叉相关性。具体地说，为了获取不同时间尺度L下的95%置信度的临界值 ρ 0 ( L ) ，首先生成10，000对独立的来自零均值单位方差的高斯分布的随机变量，然后，使得概率分布函数位于 − ρ 0 和 ρ 0 之间的积分结果等于0.95，并记录此时的 ρ 0 。最后，分别对于PM2.5浓度和NO 2 浓度序列，利用(7)式计算得到长株潭两两城市间的 ρ ( L ) ，比较其与临界值 ρ 0 ( L ) 的大小。如果 ρ ( L ) > ρ 0 ( L ) 则认为两两城市间这两种污染因子的互相关性是统计显著的，反之，它们间的互相关是统计不显著的。长株潭两两城市间PM2.5浓度与NO 2 浓度的相关性及其显著性分别如图6和图7所示，黑色实线表示临界值，在该线上方表示具有显著的互相关性。 从图6和图7可以看出，长株潭两两城市间在四个季节里的PM2.5浓度的互相关性均大于0.9，表明它们之间具有高度互相关性，说明细微颗粒物覆盖了整个长株潭上空，具有充分的流动性。然而，NO 2 浓度只在冬秋两季中在两两城市间具有显著的互相关性。冬季的 ρ ( L ) 大于0.9，表明冬季NO 2 浓度污染严重，影响长株潭的空气质量。而春夏两季，株洲与湘潭间的NO 2 互相关性在大的时滞下不具有显著性。春季和秋季长沙和株洲的互相关性显著性明显强于其他两个城市间；而夏季只有长沙与湘潭的NO 2 互相关性具有显著性。上述结论表明NO 2 在不同季节对于长株潭的影响是不同的，也表明三个城市的NO 2 的排放具有显著差异，这为探寻三个城市的污染源提供了依据。 最后，我们来研究每个城市的PM2.5浓度与NO 2 浓度的互相关及其显著性，如图8所示。果然，对于不同的城市在不同季节里，PM2.5浓度与NO 2 浓度的互相关存在显著差异。对于长沙，春季里当时滞大于23天时上述两种污染源就不具有相关性了，而其余三个季节均表现出显著的相关性；对于株洲，除 图6. 长沙、株洲、湘潭三市PM2.5浓度的互相关系数及其显著性：(a)、(b)、(c)和(d)分别表示冬季、春季、夏季和秋季 图7. 长沙、株洲、湘潭三市NO 2 浓度的互相关系数及其显著性：(a)、(b)、(c)和(d)分别表示冬季、春季、夏季和秋季 了冬季的PM2.5与NO 2 具有较强的互相关性，其余三个季节均在一个月后上述两种污染因子的相关性变为不显著；对于湘潭，冬春两季的PM2.5与NO 2 的互相关性受到时滞的影响，而夏秋的互相关性随着时间尺度的增大而反而增强，说明这两种污染因子在这夏秋季节中相互影响程度较高。 图8. 三个城市冬季、春季、夏季和秋季的PM2.5浓度与NO 2 浓度的互相关系数及其显著性：(a)、(b)和(c)分别表示长沙、株洲和湘潭