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user: 3. 混凝土在管道中的压力损失动态变化公式推导 3.1. 压力损失经验公式 目前国内外广泛采用的压力损失计算式是由S. Morinaga根据理论和实验总结得出的经验公式，也是《混凝土泵送施工技术规程》 [ 9 ] 推荐使用的公式，此公式计算的是混凝土定常流运动时压力损失的数值。 Δ p H = 2 R [ K 1 + K 2 ( 1 + t 2 t 1 ) V ] α 2 (1) Δ p H ：混凝土在单位长度水平管道内流动时的压力损失(Pa/m)。 K 1 ：粘着系数，单位为Pa， K 1 的计算式为 K 1 = 300 − S ， S 为混凝土的坍落度。 K 2 ：速度系数，单位为Pags/m， K 2 的计算式为 K 2 = 400 − S 。 R ：混凝土流动管道的半径，单位为m。 t 2 t 1 ：混凝土泵分配阀切换时间与活塞推压混凝土时间之比。 V ：混凝土的平均流速，单位为m/s，计算式为 V = Q π R 2 ， Q 为混凝土的排量，单位为m 3 /h。 α 2 ：径向压力与轴向压力之比，普通混凝土一般取0.9。 3.2. 压力损失动态变化计算模型 3.2.1. 直管道压力损失分析 混凝土在管道中的流动近似为柱塞流，在管道的一个横截面上，速度和压力都不随半径变化，分析直管道压力损失，取长度为dx、半径为管道半径r的混凝土为控制体，受到沿管道长度方向的压力、沿管壁处的摩擦力和重力，其受力情况如图3所示，可得出流体运动方程为式2。 图3. 混凝土在管道中流动时的受力图 − ( P + d P ) π r 2 + P π r 2 + f ⋅ 2 π r d x + ρ π r 2 d x g sin φ = m a = − ρ π r 2 d x d V d t (2) 式中f为摩擦系数，S. Morinaga经过大量实验验证结合理论总结出混凝土在管道中流动时的摩擦系数可表示为 f = K 1 + K 2 V ， K 1 和 K 2 的计算与上述压力损失经验公式中计算公式一致。将f代入后，运动方程求解得 P = [ 2 r ( K 1 + K 2 V ) + ρ d V d t + ρ g sin φ ] x (3) 上式中如能得到混凝土流动速度随时间的变化关系，就能求出泵送压力的时间历程曲线。 3.2.2. 速度模型的建立 根据混凝土泵车泵送系统的原理，混凝土泵送示意图如图4，高压泵送时，油缸有杆腔连通，从无杆腔供油，当一个油缸活塞到达最大行程时，连接混凝土缸的S管阀和主油缸同时换向，主油泵给另一个油缸供油，相对应的充满混凝土的缸继续泵送混凝土，呈现周期性泵送的规律。 图4. 混凝土泵送示意图 油缸活塞的位移变化规律如图5 [ 10 ] ，为浙江大学黄前春测得活塞的行程图，吕彭民实验室已测得活塞杆应变信号如图6 [ 11 ] 所示，可以看出，活塞位移在稳定输送阶段随时间近似呈线性变化，速度为常数，在泵送开始和换向阶段，活塞位移随时间的变化不是线性的，速度会呈现加速上升和减速下降的趋势，由此，可以得出混凝土速度的变化图形如图7所示，在泵送开始阶段混凝土速度从0加速上升至一个恒定值，在稳定输送阶段，混凝土速度为一个恒定值，在换向阶段混凝土速度减速为0 [ 12 ] ，所以可以用式(4)所示的数学模型来表示速度随时间的变化，速度随时间变化的曲线图如图7所示。 V ( t ) = { 0 ( − t 3 ， − t 2 ) ， ( t 2 ， t 3 ) v 2 cos [ π ( t 2 − t 4 ) ( t + t 4 ) ] + v 2 ( − t 2 ， − t 4 ) v ( − t 4 ， t 1 ) v 2 cos [ π ( t 2 − t 1 ) ( t − t 1 ) ] + v 2 ( t 1 ， t 2 ) (4) 其中 v = Q 3600 π r 2 ， Q 为混凝土排量，单位为m 3 /h， r 为管道的半径。 ( − t 2 ， − t 4 ) 为活塞加速推送混凝土至平稳推送的时间， ( t 1 ， t 2 ) 为活塞缓冲减速时间， ( t 2 ， t 3 ) 为分配阀换向时间的一半。 把 V ( t ) 用傅里叶级数展开式写成一个表达式 图5. 泵送油缸活塞行程图 图6. 泵送油缸活塞应变压力信号变化 图7. 混凝土速度变化曲线 V ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n π t t 3 + b n sin n π t t 3 ) (5) 其中a 0 、a n 、b n 计算如下 a n = 1 t 3 ∫ − t 3 t 3 V ( t ) cos n π t t 3 d t = v 2 n π ( sin n π t 1 t 3 + sin n π t 4 t 3 + 2 sin n π t 2 t 3 ) + v n π ( t 2 − t 1 ) 2 ( sin n π t 1 t 3 + sin n π t 2 t 3 ) 2 [ π 2 t 3 2 − n 2 π 2 ( t 2 − t 1 ) 2 ] + v n π ( t 2 − t 1 ) 2 ( sin n π t 4 t 3 + sin n π t 2 t 3 ) 2 [ π 2 t 3 2 − n 2 π 2 ( t 2 − t 4 ) 2 ] (6) b n = 1 t 3 ∫ − t 3 t 3 V ( t ) sin n π t t 3 d t = v 2 n π ( − cos n π t 1 t 3 + cos n π t 4 t 3 ) − v n π ( t 2 − t 1 ) 2 ( cos n π t 1 t 3 + cos n π t 2 t 3 ) 2 [ π 2 t 3 2 − n 2 π 2 ( t 2 − t 1 ) 2 ] + v n π ( t 2 − t 4 ) 2 ( cos n π t 4 t 3 + cos n π t 2 t 3 ) 2 [ π 2 t 3 2 − n 2 π 2 ( t 2 − t 4 ) 2 ] (7) a 0 = 1 t 3 ∫ − t 3 t 3 V ( t )   d t = v ( 2 t 2 + t 4 + t 1 ) 2 t 3 (8) 则速度V表达式为 V ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n π t t 3 + b n sin n π t t 3 ) = v ( 2 t 2 + t 4 + t 1 ) 4 t 3 + ∑ n = 1 ∞ { ( v 2 n π ( sin n π t 1 t 3 + sin n π t 4 t 3 + 2 sin n π t 2 t 3 )     + v n π ( t 2 − t 1 ) 2 ( sin n π t 1 t 3 + sin n π t 2 t 3 ) 2 [ π 2 t 3 2 − n 2 π 2 ( t 2 − t 1 ) 2 ] + v n π ( t 2 − t 1 ) 2 ( sin n π t 4 t 3 + sin n π t 2 t 3 ) 2 [ π 2 t 3 2 − n 2 π 2 ( t 2 − t 4 ) 2 ] ) cos n π t t 3     + { v 2 n π ( − cos n π t 1 t 3 + cos n π t 4 t 3 ) − v n π ( t 2 − t 1 ) 2 ( cos n π t 1 t 3 + cos n π t 2 t 3 ) 2 [ π 2 t 3 2 − n 2 π 2 ( t 2 − t 1 ) 2 ]     + v n π ( t 2 − t 4 ) 2 ( cos n π t 4 t 3 + cos n π t 2 t 3 ) 2 [ π 2 t 3 2 − n 2 π 2 ( t 2 − t 4 ) 2 ] } sin n π t t 3 } (9) 3.2.3. 压力损失动态变化模型求解 将V和求导后的V代入上述流体运动方程(3)，可得压力p计算公式 p = { 2 R ( K 1 + K 2 { v ( 2 t 2 + t 4 + t 1 ) 4 t 3 + ∑ n = 1 ∞ { ( v 2 n π ( sin n π t 1 t 3 + sin n π t 4 t 3 + 2 sin n π t 2 t 3 )     + v n π ( t 2 − t 1 ) 2 ( sin n π t 1 t 3 + sin n π t 2 t 3 ) 2 [ π 2 t 3 2 − n 2 π 2 ( t 2 − t 1 ) 2 ] + v n π ( t 2 − t 1 ) 2 ( sin n π t 4 t 3 + sin n π t 2 t 3 ) 2 [ π 2 t 3 2 − n 2 π 2 ( t 2 − t 4 ) 2 ] ) cos n π t t 3     + { v 2 n π ( − cos n π t 1 t 3 + cos n π t 4 t 3 ) − v n π ( t 2 − t 1 ) 2 ( cos n π t 1 t 3 + cos n π t 2 t 3 ) 2 [ π 2 t 3 2 − n 2 π 2 ( t 2 − t 1 ) 2 ]     + v n π ( t 2 − t 4 ) 2 ( cos n π t 4 t 3 + cos n π t 2 t 3 ) 2 [ π 2 t 3 2 − n 2 π 2 ( t 2 − t 4 ) 2 ] } sin n π t t 3 } } ) + ρ ∑ n = 1 ∞ { − ( v 2 n π ( sin n π t 1 t 3 + sin n π t 4 t 3 + 2 sin n π t 2 t 3 ) + v n π ( t 2 − t 1 ) 2 ( sin n π t 1 t 3 + sin n π t 2 t 3 ) 2 [ π 2 t 3 2 − n 2 π 2 ( t 2 − t 1 ) 2 ]   + v n π ( t 2 − t 1 ) 2 ( sin n π t 4 t 3 + sin n π t 2 t 3 ) 2 [ π 2 t 3 2 − n 2 π 2 ( t 2 − t 4 ) 2 ] ) sin n π t t 3 ⋅ n π t 3 + { v 2 n π ( − cos n π t 1 t 3 + cos n π t 4 t 3 )   − v n π ( t 2 − t 1 ) 2 ( cos n π t 1 t 3 + cos n π t 2 t 3 ) 2 [ π 2 t 3 2 − n 2 π 2 ( t 2 − t 1 ) 2 ] + v n π ( t 2 − t 4 ) 2 ( cos n π t 4 t 3 + cos n π t 2 t 3 ) 2 [ π 2 t 3 2 − n 2 π 2 ( t 2 − t 4 ) 2 ] } cos n π t t 3 ⋅ n π t 3 } } x (10) 混凝土缸泵送出口的压力包括其在直管道流动时的沿程压力损失，在弯管、锥管、连接处等附件的局部阻力损失和重力损失，根据日本学者黑岩秀介等人的实验及理论研究，弯管和锥管处的压力损失可以等效为单位长度直管沿程压力损失的倍数 [ 13 ] ，则混凝土缸出口压力为 P = [ 2 r ( K 1 + K 2 V ) + ρ d V d t ] ( x + l y + m z + n w ) + ρ g h (11) 其中x为直管长度，y为弯管等效的直管长度，z为锥管等效的直管长度，w为其他附件等效的直管长度，l、m、n分别为弯管、锥管及其他附件的个数。