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user: 4. 推论 这一节我们考虑粘性Cach-Hilliard方程带有非线性的形式，即考虑下面的初边值问题： ( 1 − ν ) u t + g ( u ) = Δ μ ( u ) ， u = u ( t ， x ) ， ( t ， x ) ∈ R × Ω ， (18) μ ( u ) = − Δ u − f ( u ) + ν u t ， (19) u ( t ， x ) = Δ u ( t ， x ) = 0 ，   x ∈ ∂ Ω ， (20) ∂ u ∂ N = ∂ ( Δ u ) ∂ N = 0 ，   x ∈ ∂ Ω ， (21) 其中f的定义如前面的(5)而g的定义如下： g ( u ) = ∑ i = 1 2 q − 1 b i u i ， b 2 q − 1 > 0 ， q ∈ N ， q ≥ 2 ， (22) 有不等式： g ( s ) s ≥ q b 2 q − 1 s 2 q − c ′ ， ∀ s ∈ R ， (23) 由关于g的表达式(22)知 ∃ λ 1 > 0 ， ∀ v ∈ R ， | g ′ ( v ) | < λ 1 ， (24) 其中 λ 1 是一个常数。显然该初边值问题不满足质量守恒，下面讨论该初边值问题的局部 X α 解和全局 X α 解。 根据上一节中局部解的讨论过程，(10)同样成立。很容易可以得到当 α ∈ [ 1 2 ， 1 ) 时该初边值问题的局部 X α ( α ∈ [ 1 2 ， 1 ) ) 解存在。令V是 X α 空间上的有界集， ϕ ， ψ ∈ V ，则该方程的非线性项 B ν f − ( ( 1 − ν ) I − ν Δ ) − 1 g : X α → L 2 ( Ω ) 满足Lipschitz连续，即 ‖ [ B ν ( f ( ϕ ) ) − ( ( 1 − ν ) I − ν Δ ) − 1 g ( ϕ ) ] − [ B ν ( f ( ψ ) ) − ( ( 1 − ν ) I − ν Δ ) − 1 g ( ψ ) ] ‖ ≤ M 0 ‖ Δ f ( ϕ ) − Δ f ( ψ ) ‖ + M 0 ‖ g ( ϕ ) − g ( ψ ) ‖ ≤ M 0 ‖ [ f ′ ( ϕ ) Δ ϕ − f ′ ( ψ ) Δ ψ ] + [ f ″ ( ϕ ) | ∇ ϕ | 2 − f ″ ( ψ ) | ∇ ψ | 2 ] ‖     + M 0 ( ‖ g ( ϕ ) ‖ L ∞ ( Ω ) + ‖ g ( ψ ) ‖ L ∞ ( Ω ) ) ≤ C V ‖ ϕ − ψ ‖ X α ， 其中 C V 是关于V的常数。故可以知道该初边值问题的局部 X α ( α ∈ [ 1 2 ， 1 ) ) 解存在。 定理4.1 当 α ∈ [ 1 2 ， 1 ) ， ν ∈ ( 0 ， 1 ) 时，在条件(5)，(7)和(22)~(24)成立的情况下，初边值问题(18)~(21)存在唯一的全局 X α 解。 证明：用 w = u t + ϵ 1 u 与(18)作内积有u 1 2 d d t ‖ Δ u ‖ 2 + ϵ 1 ‖ Δ u ‖ 2 + ( 1 − ν ) ‖ w ‖ 2 − ( 1 − ν ) ϵ 1 ( u ， w ) + ν ϵ 1 ( Δ u ， w ) + ν ‖ ▽ v ‖ + ( g ( u ) ， w ) = ( − Δ f ( u ) ， w ) 根据Hölder不等式和Young不等式可得 − ( 1 − ν ) ϵ 1 ( u ， w ) ≥ − ( 1 − ν ) ϵ 1 λ 2 2 ‖ Δ u ‖ 2 − ( 1 − ν ) ϵ 1 2 ‖ w ‖ 2 ， (25) ν ϵ 1 ( Δ u ， w ) ≥ − ϵ 1 2 ν λ 4 ‖ Δ u ‖ 2 − ν ‖ ∇ w ‖ 2 ， (26) 由(25)和(26)可得 1 2 d d t ‖ Δ u ‖ 2 + c 5 ‖ Δ u ‖ 2 + c 6 ‖ w ‖ 2 + ( g ( u ) ， w ) ≤ ( − Δ f ( u ) ， w ) ， 其中 c 5 = ϵ 1 − ( 1 − ν ) ϵ 1 λ 2 2 − ϵ 1 2 ν λ 4 ， c 6 = ( 1 − ν ) ( 1 − ϵ 1 2 ) ， 又由 ( − Δ f ( u ) ， w ) = ( ∇ f ( u ) ， ∇ w ) ≤ λ 0 2 4 c 6 ‖ Δ u ‖ 2 + c 6 ‖ w ‖ 2 ， 则 1 2 d d t ‖ Δ u ‖ 2 + ( c 5 − λ 0 2 4 c 6 ) ‖ Δ u ‖ 2 + ϵ 1 ∫ Ω g ( u ) u d x ≤ − ∫ Ω g ( u ) u t d x ， 由(23)以及Young不等式和格林公式有 1 2 d d t ‖ Δ u ‖ 2 + ( c 5 − λ 0 2 4 c 6 − λ 1 2 λ 2 2 ) ‖ Δ u ‖ 2 + ϵ 1 q b 2 q − 1 ‖ u ‖ L 2 q ( Ω ) 2 q ≤ c ′ | Ω | + 1 2 ‖ u t ‖ 2 ， (27) 再将 u t 与(18)作内积得 ‖ u t ‖ 2 + ‖ ∇ u t ‖ 2 + 1 2 d d t ‖ Δ u ‖ 2 + ∫ Ω g ( u ) u t d x = ( − Δ f ( u ) ， u t ) ， 由(7)，(24)以及格林公式和Yong不等式得到 1 2 ‖ u t ‖ 2 ≤ − 1 2 d d t ‖ Δ u ‖ 2 + ( λ 0 2 λ 2 + λ 1 2 λ 2 2 ) ‖ Δ u ‖ 2 ， (28) 将(28)带入(27)，再由空间嵌入定理有 d d t ‖ Δ u ‖ 2 + c 7 ‖ Δ u ‖ 2 + ϵ 1 q b 2 q − 1 ‖ u ‖ L 2 q ( Ω ) 2 q ≤ c ′ | Ω | ， 其中 c 7 = c 5 − λ 0 2 4 c 6 − λ 0 2 λ 2 − λ 1 2 λ 2 。取适当 ϵ 1 ，使得 c 7 > 0 ，则由Gronwall引理得： ∃ M 1 > 0 ， ‖ Δ u ‖ 2 ≤ M 1 ， 则 ‖ Δ u ‖ 2 + ‖ u ‖ 2 ≤ ( 1 + λ 2 ) M 1 . 将(18)改写为： u t = ( B ν Δ + ρ I ) u − B ν f ( u ) − ( ( 1 − ν ) I − ν Δ ) − 1 g ( u ) − ρ u ， 由空间嵌入定理(10)，在Y空间上有下列先验估计： ‖ − B ν f ( u ( t ) ) − ( ( 1 − ν ) I − ν Δ ) − 1 g ( u ( t ) ) − ρ u ( t ) ‖ ≤ ‖ B ν ‖ L ( X ， X ) ‖ f ( u ( t ) ) ‖ + M 0 ‖ g ( u ( t ) ) ‖ + ρ ‖ u ( t ) ‖ ≤ max ( ‖ B ν ‖ L ( X ， X ) ， M 0 ) sup | s | ≤ c 8 ‖ u ( t ) ‖ H 2 ( Ω ) ( | f ( s ) | + | g ( s ) | + ρ ) ( 1 + ‖ u ( t ) ‖ H 2 ( Ω ) ) = g ( ‖ u ( t ) ‖ H 2 ( Ω ) ) ， 其中 g : [ 0 ， ∞ ) → [ 0 ， ∞ ) 是一个增函数，证毕。 以上的结果，拓展了粘性Cach-Hilliard方程的讨论范围，得出了在一定条件下带有非线性的粘性Cach-Hilliard方程局部解和全局解的存在性。当然，我们所作的假设条件还可以得到更一般的结论，这将是我们后面所要努力的。