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user: 2. 理论基础 2.1. Copula函数 Copula理论即可以将一个联合分布函数分解成多个边缘分布函数和一个Copula函数，适合描述多维随机变量相关关系的复杂性。 定理 [ 2 ] ：令 F 为一个 n 维随机向量的联合分布函数，其中各变量的边缘分布函数记为 F i ，那么一定存在一个Copula函数 ，使得 ，其中 F i ( x i ) ∈ ( 0 ， 1 ) ， i = 1 ， ⋯ ， n 。若边缘分布函数 F i 是连续的一元函数，则Copula函数 C 的形式是唯一确定的。 Copula理论发展出了各种形式的家族函数，经常使用的类型主要分为两类：一类是椭球Copula，常用的包括Gaussian Copula和t-Copula；另外一类是由生成函数 φ ( t ) ( t 为边缘分布)生成的阿基米德Copula，包括Clayton Copula、Gumbel Copula和Frank Copula。其中以边缘分布函数( u ， v )为自变量的二元Gaussian Copula、t-Copula、Clayton Copula、Gumbel Copula、Frank Copula [ 14 ] 分布函数具体的表达式分别如式(1)~(5)所示。 C 1 ( u ， v ; ρ ) = ∫ − ∞ Φ − 1 ( u ) ∫ − ∞ Φ − 1 ( v ) 1 2 π 1 − ρ 2 exp ( − ( s 2 + r 2 − 2 ρ s r ) 2 ( 1 − ρ 2 ) )   d s d r (1) 式中： Φ − 1 ( • ) 为标准正态分布函数 Φ ( • ) 的逆函数；相关系数 ρ ∈ ( − 1 ， 1 ) ； s ， r 分别为 的自变量。 C 2 ( u ， v ; ρ ， m ) = ∫ − ∞ T m − 1 ( u ) ∫ − ∞ T m − 1 ( v ) 1 2 π 1 − ρ 2 exp [ 1 + − ( s 2 + r 2 − 2 ρ s r ) m ( 1 − ρ 2 ) ] − m + 2 2 d s d r (2) 式中： T m − 1 ( • ) 为自由度是 的一元t分布函数 T m ( • ) 的逆函数；相关系数 ； 分别为 的自变量。 C 3 ( u ， v ; θ ) = ( u − θ + v − θ − 1 ) − 1 θ (3) 式中：生成函数 φ ( t ) = t − θ − 1 θ ， θ ∈ ( − 1 ， ∞ ) \ { 0 } 。 C 4 ( u ， v ; θ ) = exp ( − [ ( − ln u ) 1 θ + ( − ln v ) 1 θ ] θ ) (4) 式中：生成函数 。 C 5 ( u ， v ; θ ) = − 1 θ ln ( 1 + ( e − θ u − 1 ) ( e − θ v − 1 ) e − θ − 1 ) (5) 式中：生成函数 φ ( t ) = − ln e − θ t − 1 e − θ − 1 ， θ ≠ 0 。 2.2. 藤式Copula 为了降低Copula函数研究多维变量相关性的复杂程度，Aas等 [ 8 ] 提出了对Copula降维的Pair Copula分解法，即令 X = [ x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ] 为 n 维随机变量，其联合分布概率密度函数可分解为式(6)。 f ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ) = f n ( x n ) ⋅ f ( x n − 1 | x n ) ⋅ f ( x n − 2 | x n − 1 ， x n ) ⋯ f ( x 1 | x 2 ， ⋯ ， x n ) (6) 以四维随机变量为例，有星型结构的C-Vine (表达式如式(7)所示)和平行结构的D-Vine (表达式如式(8)所示)两种藤结构对其四维Copula函数进行降维。 f ( x 1 ， ⋯ ， x 4 ) = f 1 ( x 1 ) f 2 ( x 2 ) f 3 ( x 3 ) f 4 ( x 4 ) c 12 ( F 1 ( x 1 ) ， F 2 ( x 2 ) ) × c 13 ( F 1 ( x 1 ) ， F 3 ( x 3 ) ) × c 14 ( F 1 ( x 1 ) ， F 4 ( x 4 ) ) × c 23 | 1 ( F ( x 2 | x 1 ) ， F ( x 3 | x 1 ) ) × c 24 | 1 ( F ( x 2 | x 1 ) ， F ( x 4 | x 1 ) ) × c 34 | 12 ( F ( x 3 | x 1 ， x 2 ) ， F ( x 4 | x 1 ， x 2 ) ) (7) f ( x 1 ， ⋯ ， x 4 ) = f 1 ( x 1 ) f 2 ( x 2 ) f 3 ( x 3 ) f 4 ( x 4 ) c 12 ( F 1 ( x 1 ) ， F 2 ( x 2 ) ) × c 23 ( F 2 ( x 2 ) ， F 3 ( x 3 ) ) × c 34 ( F 3 ( x 3 ) ， F 4 ( x 3 ) ) × c 13 | 2 ( F ( x 1 | x 2 ) ， F ( x 3 | x 2 ) ) × c 24 | 3 ( F ( x 2 | x 3 ) ， F ( x 4 | x 3 ) ) × c 14 | 23 ( F ( x 1 | x 2 ， x 3 ) ， F ( x 4 | x 2 ， x 3 ) ) (8) 式中： F ( ⋅ ) 为边缘分布函数； f ( ⋅ ) 为边缘密度函数； c ( ⋅ ) 是二维Pair Copula密度函数。 2.3. 边缘分布模型 采用GARCH ( p ， q ) 模型能够很好的描述收益率序列的尖峰、厚尾、非对称、波动聚集等特征，模型构建如式(9)所示。 { R n t = μ n + ε n t ， ε n t = σ n t z n t ， σ n t 2 = ϖ n + α n 1 ε n ， t − 1 2 + ⋯ + α n q ε n ， t − q 2 + β n 1 σ n ， t − 1 2 + ⋯ + β n p σ n ， t − p 2 ， (9) 式中： μ n 是第 n 项收益率序列 R n t 的均值；误差 ε n t 的条件方差是 σ n t 2 ；残差 z n t 与 相互独立；常数 ϖ n > 0 ；常数 α n i ≥ 0 ， β n j ≥ 0 且 ∑ i = 1 q α n i + ∑ j = 1 p β n j < 1 ， p > 0 ， q > 0 ，其中 q 是ARCH项的阶数、 p 是GARCH项的阶数。 确保模型稳定性，将阶数设为1，则本文数据边缘拟合GARCH(1，1)模型如(10)所示。 { R n t = μ n + ε n t ， ε n t = σ n t z n t ， σ n t 2 = ϖ n + α n 1 ε n ， t − 1 2 + β n 1 σ n ， t − 1 2 ， (10) 式中： 、 ϖ n 、 α n 1 和 β n 1 为待估参数。 本文基于GARCH(1，1)模型拟合边缘分布，考虑了残差服从四种分布的情况，在四种残差结构中选取较优的拟合模型。如果残差 z n t 有 z n t ∼ N ( 0 ， 1 ) ，误差 ε n t 有 ，则构建的边缘分布函数是GARCH(1，1)-N模型；如果残差 z n t 有 z n t ∼ t ( m n ) ，即残差 z n t 符合自由度为 m n 、均值为0以及方差为1的t分布函数，则构建的边缘分布函数是GARCH(1，1)-t模型；如果残差 z n t 的概率密度函数如式(11)所示，则构建的边缘分布函数是GARCH(1，1)-GED；如果残差 的概率密度函数如式(12)所示，则构建的边缘分布函数是GARCH(1，1)-SGED。 f ( x ; υ ) = υ Γ ( 3 / υ ) 1 / 2 2 Γ ( 1 / υ ) 3 / 2 exp [ − | x | υ [ Γ ( 3 / υ ) Γ ( 1 / υ ) ] υ / 2 ] (11) 式中： Γ ( ⋅ ) 为伽玛函数；形状参数 υ ∈ ( − ∞ ， + ∞ ) 为待估参数。 (12) 式中： A= υ 2B Γ ( 1 / υ ) -1 ； B = Γ ( 1 / υ ) 1 / 2 Γ ( 3 / υ ) − 1 / 2 S ( λ ) − 1 ； G = 2 λ ⋅ D ⋅ S ( λ ) − 1 ； S ( λ ) = ( 1 + 3 λ 2 − 4 D 2 λ 2 ) 1 / 2 ； D = Γ ( 2 / υ ) Γ ( 1 / υ ) − 1 / 2 Γ ( 3 / υ ) − 1 / 2 ； sign ( ⋅ ) 为符号函数；形状参数 υ > 0 ；偏度参数 λ ∈ ( − 1 ， 1 ) 。