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user: 2. 粒子波函数的相关概念 基本粒子以及实物粒子具有波粒二重性。薛定谔方程通过粒子几率波揭示粒子运动的波动属性，但是还没有充分解释粒子波动的本质。 2.1. 基本粒子波长与外场能量密度波长 基本粒子是具有一定能量密度的自旋体 [ 22 ] ，在具有一定能量密度的外场中运动。所谓基本粒子波长，是指在一定密度能量场中运动的具有一定质量的基本粒子能量场边缘的能量密度，即基本粒子能量场半径外切点的能量密度。基本粒子在不同密度的能量场中有不同的波长，能量密度越大，波长越短，反之越长。基本粒子的半径与其运动速度有关，速度越大，半径越短，反之越长。基本粒子的运动速度与其质量有关，同时与路径上的外部能量场的能量密度有关。光子由于质量很小，在大于光子静止质量波长的能量密度中可以自动产生位移运动，在真空中接近光速c。电子及其他粒子，由于质量较大，只有在具有势能差的外场中才能产生位移运动。基本粒子在不同外部能量场运动有不同的半径，这就是运动粒子的能量场半径。氢原子从核心至外缘，能量密度从大至小呈梯度分布。这一梯度能量场，可以用能量密度波长进行刻画，一定的能量密度与一定的波长一一对应。氢原子外层电子吸收一个光子向外层跃迁，由于受原子核的吸引而回落，并辐射光子，在某一辐射点，电子有一定波长，辐射光子有同样波长，辐射点的能量密度也有同样波长。氢原子光谱的每一条光谱线非常精确地反映了辐射点运动电子的波长 λ e 和辐射光子的波长 λ γ ，刻画了辐射点能量密度波长 λ ρ 。基本粒子波长揭示粒子的粒子属性。运用粒子波长可以计算粒子的静止质量、运动质量、动量和能量等相关变量。 2.2. 基本粒子波动与外场势能波动 所谓基本粒子波动，是指运动中的基本粒子与外部能量场的相互作用而产生的波动。外部能量场由原子、分子、固体、流体，以及真空构成。基本粒子本身也互为外部能量场。基本粒子在外部能量场运动，有一定的波长、动量、能量、速度，也有一定的运动路径。运动中的基本粒子是一个自旋球体梯度能量场，并融入外部能量场，随外部能量场的起伏而波动。不同波长的光子通过透明晶体或气体走不同能量密度的路径，在入射点发生折射，在出射点出现色散。不同速度的电子有不同的波长，通过一定能量场，也会发生折射和散射。基本粒子在均匀能量场中走直线，在非均匀能量场中不走直线，即产生波动。如金属晶格是非均匀能量场，电子在金属晶格中运动产生波动;空气分子晶格是非均匀能量场，光子在空气分子晶格中运动产生波动。能量场的均匀与非均匀是相对的，从原子、分子层面看是非均匀的，从原子集合体、分子集合体层面看是均匀的。如光子在空气分子晶格中波动，波幅小于1纳米，不易察觉和测量。因此，人们的经验是光子在空气中、水体中以及透明晶体中走直线。基本粒子在晶格中波动，有波幅和波长。显然，基本粒子波动波长与基本粒子波长是不同性质的。基本粒子波动波长揭示粒子的波动属性。 2.3. 基于相对论的粒子波长与动量 1900年，普朗克提出的能量常数h，实际上是电子的能量常数。普朗克常数h与电子静止质量 m e 、电子能量E、康普顿电子波长 λ c 之间的关系， h = m e c λ c ， E = h c / λ c ， λ c = h / m e c 。1905年，爱因斯坦提出质能关系式 E = m c 2 ，电子的静止质量转换成能量 m e c 2 = h c / λ c ，所以 λ c = h / m e c ， m e = h / c λ c 。康普顿电子波长 λ c 是计算电子静止质量的波长。因此，依据基本粒子的波长(如各种光子的波长)计算其静止质量是合理的。粒子的质量也是量子化的，用粒子静止质量常数 h m = 5 .45025577174353 × 10 − 65   kg ⋅ m 3 [ 22 ] 和粒子波长计算粒子静止质量 m = 1 4 3 π λ 3 h m ， (4) 将基本粒子的静止质量与体积大小统一起来计算 m = 1 4 3 π ( α λ / 2 π ) 3 h m = 6 π 2 α 3 λ 3 h m ， (5) 式中 α 为精细结构常数， α λ / 2 π 为基本粒子半径， h m = 8.53833170512487 × 10 − 74   kg ⋅ m 3 。 玻尔氢原子基态电子波长是电子在基态的运动波长，基态电子的等效速度为精细结构常数乘以光速， v = α c 。氢原子外层电子的等效速度 v e = α c / λ e λ 0 ， (6) 式中 λ e 为氢原子外层电子运动波长， λ 0 为氢原子外层电子基态波长。式(6)符合相对论要求，可以代入洛仑兹公式进行计算。玻尔氢原子基态电子波长 λ 0 = λ e ( α c / v e ) 2 ， λ 0 = k λ c ， (7) 式中 k = 2.66256772601872 × 10 − 5 ，是电子波长(康普顿电子波长 λ c )与基态电子波长之比。依据粒子的静止质量，可以计算粒子的波长和基态波长。粒子以不同的速度运动，有不同的粒子运动波长。氢原子外层电子运动波长 λ e = ( α c / v e ) 2 λ 0 . (8) 由于电子辐射光子，电子运动波长 λ e 的值在实验中是可以测量的。普朗克常数h是电子的能量常数，电子的动能 E = h c λ e . (9) 在原子中，电子的等效速度不可能超过基态电子速度，但运用强磁场可以加速电子。当电子运动波长 λ e 接近两倍康普顿电子波长 2 λ c 时，电子速度接近光速。当电子速度 v = 2 99792457.999999   m / s ，电子运动质量 m m 是电子静止质量 m e 的 1.21515011366118 × 10 7 倍。依据电子运动波长计算电子运动质量与总质量 m m = m / 1 − ( v 2 / c 2 ) − m ， (10) m + m m = m / 1 − ( v 2 / c 2 ) . (11) 依据电子运动质量计算电子的动能 E = m m c 2 . (12) 在低速情况下式(10)计算结果，与牛顿动能方程 E = 1 2 m v 2 计算结果基本一致。当电子速度大于基态 电子等效速度，甚至接近光速时，前者计算结果远远大于后者计算结果。实物粒子的运动质量很小，牛顿动能方程只考虑了实物粒子的静止质量，没有考虑实物粒子的运动质量。事实上，无论实物粒子还是基本粒子，在运动中都是质量(磁量子)的相对位移，都增加相应的运动质量。粒子运动加速，运动质量增加，反之减少，粒子运动终止，运动质量瞬间转化为能量全部释放。因此，电子的动能 E = ( 1 2 m + m m ) v 2 ， (13) 式(12)计算结果与式(13)计算结果的比值r接近1。这一比值可以对式(13)的值进行修正，即 m m c 2 = r ( 1 2 m + m m ) v 2 . (14) 如果用下式计算电子动能 E = 1 2 ( m + m m ) v 2 ， (15) 随着粒子速度接近光速，式(12)计算结果与式(15)计算结果的比值r接近2。这一比值可以对式(15)的系数“1/2”进行修正，即 m m c 2 = r 1 2 ( m + m m ) v 2 . (16) 式(16)实现了牛顿动能方程思想与爱因斯坦运动粒子质能方程思想的统一，揭示了基本粒子和实物粒子运动质量、动能和能量的本质。因此，电子动量 p = ( m + m m ) v = ( 2 m + m m ) E ， (17) 式中 E = m m c 2 。 以上计算电子静止质量、电子波长、电子波长半径、速度、电子运动波长、动量、动能等公式，完全符合相对论要求，具有普遍意义，可以用于基本粒子和实物粒子相关变量的计算。计算举例见表1。