DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 2. 模型系数的贝叶斯估计 将线性模型矩阵化如下： ( y 11 ⋮ y 1 n ⋮ y r 1 ⋮ y r n ) = ( 1 n 1 1 n 2 ⋮ ⋮ ⋮ 1 n r − 1 1 n r ) ∗ μ + ( 1 n 0 ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 1 n 0 ⋯ ⋯ 0 ⋮ 0 0 ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0 ⋮ 0 0 ⋯ ⋯ 0 1 n 0 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ 0 1 n ) ∗ ( α 1 α 2 ⋮ ⋮ ⋮ α r − 1 α r ) + ( ε 11 ⋮ ε 1 n ⋮ ε r 1 ⋮ ε r n ) 其中 1 i = ( 1 ， 1 ， ⋯ ， 1 ) ′ 是一个 i × 1 的全 1 列向量，且 n 1 = n 2 = ⋯ = n r − 1 = n r = r 设 N = r ∗ n 。 故将单因素方差分析模型表示成了线性模型的一般形式： y = x μ + A α + ε 其中 ε ~ N ( 0 ， σ ε 2 I N ) ， α ~ N ( 0 ， σ α 2 I r ) 且 μ 和 α = ( α 1 ， α 2 ， ⋯ ， α r ) 为参数，则 y ~ N ( x μ + A α ， σ ε 2 I N ) 。 故 y 在参数 μ ， α ， σ ε 2 下的似然函数为： L ( y | μ ， α ， σ ε 2 ) = 1 ( 2 π σ ε ) N ∗ exp { − 1 2 σ ε 2 ( y − x μ − A α ) ′ ( y − x μ − A α ) } 假设参数 σ ε 2 ， μ ， α 相互独立，且参数的先验分布函数为： π ( μ ) = c 1 ， π ( α ) = c 2 ， π ( σ ε 2 ) = 1 σ ε 2 其中 c 1 和 c 2 为常数。 则参数 σ ε 2 的联合密度函数为： h ( y ， μ ， α | σ ε 2 ) = 1 σ ε 2 ∗ L ( y | μ ， α ， σ ε 2 ) = 1 σ ε 2 ∗ 1 ( 2π σ ε ) N ∗ exp { − 1 2 σ ε 2 ( y − x μ − A α ) ′ ( y − x μ − A α ) } 由贝叶斯公式可求得参数 σ ε 2 的联合后验分布为： π ( σ ε 2 | y ， μ ， α ) = h ( y ， μ ， α | σ ε 2 ) ∫ h ( y ， μ ， α | σ ε 2 ) d σ ε 2 ∝ ( σ ε 2 ) − ( N 2 + 1 ) ∗ exp { − 1 σ ε 2 [ ( y − x μ − A α ) ′ ( y − x μ − A α ) 2 ] } (1-1) (1-1)式恰好为倒Gamma分布密度函数 1 σ ε 2 ∗ 1 ( 2π σ ε ) N ∗ exp { − 1 2 σ ε 2 ( y − x μ − A α ) ′ ( y − x μ − A α ) } 的核即： π ( σ ε 2 | y ， μ ， α ) ~ I G ( N 2 ， 1 2 ( y − x μ − A α ) ′ ( y − x μ − A α ) ) 又由正态变量的二次型可知有： μ ′ x ′ ( σ ε 2 I n ) − 1 x μ = μ ′ Σ μ − 1 μ ⇒ Σ μ = σ ε 2 ( x ′ x ) − 1 将 Σ μ 代入下式： μ ′ x ′ ( σ ε 2 I n + r ) − 1 ( y − A α ) = μ ′ Σ μ − 1 α μ ⇒ α μ = ( x ′ x ) − 1 x ′ ( y − A α ) 得到参数 μ 的满条件后验分布为： π ( μ | y ， α ， σ ε 2 ) ~ N ( ( x ′ x ) − 1 x ′ ( y − A α ) ， σ ε 2 ( x ′ x ) − 1 ) (1-2) 又由正态变量的二次型可知有： α ′ A ′ ( σ ε 2 I n ) − 1 A α + α ′ ( σ α 2 I r ) − 1 α = α ′ Σ α − 1 α ⇒ Σ α = ( 1 σ ε 2 A ′ A + 1 σ α 2 I r ) − 1 将 Σ α 代入下式： α ′ A ′ ( σ ε 2 I n + r ) − 1 ( y − x μ ) = α ′ Σ α − 1 v ⇒ v = ( A ′ A + σ ε 2 σ α 2 I r ) − 1 A ′ ( y − x μ ) 其中 v = D α ，且 0 < D α < 1 。 得到参数 α 的满条件后验分布为： π ( α | y ， σ ε 2 ， σ α 2 ) ~ N ( ( A ′ A + σ ε 2 σ α 2 I r ) − 1 A ′ ( y − x μ ) ， ( 1 σ ε 2 A ′ A + 1 σ ε 2 I r ) − 1 ) (1-3) 从上面的结果得到，参数 和 α 的满条件后验分布都是不常见的概率分布，本文采用Gibbs抽样的方法来抽取。 又 α 在参数 σ α 2 下的似然函数为： L ( α | σ α 2 ) = 1 ( 2 π σ α ) r ∗ exp { − 1 2 σ α 2 ( α ′ α ) } 假设参数 σ α 2 的先验分布函数为： π ( σ α 2 ) = 1 σ α 2 则参数 α 的联合密度函数为： h ( α | σ α 2 ) = 1 σ α 2 ∗ L ( α | σ α 2 ) = 1 σ α 2 ∗ 1 ( 2π σ α ) r ∗ exp { − 1 2 σ α 2 ( α ′ α ) } 又由贝叶斯估计的公式可求得参数 σ α 2 的联合后验分布函数为： π ( σ α 2 | α ) = h ( α | σ α 2 ) ∫ h ( α | σ α 2 ) d σ α 2 ∝ 1 σ α 2 ∗ 1 ( 2π σ α ) r ∗ exp { − 1 2 σ α 2 ( α ′ α ) } ∝ ( σ α 2 ) − ( r 2 + 1 ) ∗ exp { − 1 σ α 2 ( α ′ α 2 ) } (1-4) (1-4)式恰好为倒Gamma分布密度函数的核即： π ( σ α 2 | α ) ~ I G ( r 2 ， 1 2 α ′ α ) 故由上可得方差分析模型中参数的后验分布函数为： π ( σ α 2 | α ) ~ I G ( r 2 ， 1 2 α ′ α ) π ( σ ε 2 | y ， μ ， α ) ~ I G ( N 2 ， 1 2 ( y − x μ − A α ) ′ ( y − x μ − A α ) ) π ( μ | y ， α ， σ ε 2 ) ~ N ( ( x ′ x ) − 1 x ′ ( y − A α ) ， σ ε 2 ( x ′ x ) − 1 ) π ( α | y ， σ ε 2 ， σ α 2 ) ~ N ( ( A ′ A + σ ε 2 σ α 2 I r ) − 1 A ′ ( y − x μ ) ， ( 1 σ ε 2 A ′ A + 1 σ α 2 I r ) − 1 )
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user: 3. 方差分析中的贝叶斯估计的数值模拟 3.1. 算法步骤 1) 分别给定参数 μ 和 α 的初值，以及参数假定 ε ~ N ( 0 ， σ ε 2 I n ) ； 2) 随机生成一组随机误差的值 ε ~ N ( 0 ， 1 ) ； 3) 通过单因素方差分析模型： y = x μ + A α + ε ，得到1组随机生成的 y 值； 4) 此时，在方差分析模型中我们已随机生成一组样本 y ，下面通过样本求解参数 μ ， α 和 σ ε 2 的估计值； 5) 用MCMC方法求解贝叶斯的参数估计问题，其中用Gibbs抽样方法从参数 σ α 2 和 σ α 2 的满条件分布核中抽样，不断更新参数 μ ， α ， σ α 2 和 σ e 2 ，重复此步骤 n 次，得到 n 组参数的抽样值，取出后面 n − m 项并分别对其求均值输出，此处 n 和 m 分别取5000和2500； 6) 将(2)~(5)步骤重复 s 次，则可得到 s 组有关参数的抽样均值； 7) 将这 s 组参数的抽样均值再求期望，并与原假设数据做均方差矩阵MSEM的值； 8) 分别取 s 等于10和50求解参数估计的值。 3.2. 模拟的结果及分析 设定单因素方差分析模型： y = x μ + A α + ε 中的参数的真值分别为： α = ( α 1 ， α 2 ， α 3 ， α 4 ) ′ = ( 1 ， 0.2 ， 2 ， 0.6 ， 0 ， 0.8 ， 0.1 ， 1 ， 2 ， 0 ， − 2 ， − 0.6 ， − 0.1 ， 0 ， − 0.02 ， − 0.8 ， − 1 ， − 1 ， 0 ， − 2 ) ′ ， μ = 5 设 x ( i ) 是 i ∗ 1 的全1列向量，则 x 为 x ( 2000 ) 即为 2000 ∗ 1 的全1列向量， A 是 2000 ∗ 20 的矩阵有A = kronecker(diag(20)， x ( 2000 ) )，再随机生成1个 ε = ( ε 1 ， ε 2 ， ⋯ ， ε 2000 ) 其中有 ε i ~ N ( 0 ， 1 ) ，循环上面过程 s 次，得到 s 组 y 值，再用每组 y 值经过5000次抽样求解参数 μ ， α 和 σ e 的贝叶斯估计，最后求得估计均值见表1。 表1充分的显示出贝叶斯估计与真值的近似程度很高，并且具有很好的优良性和有效性。
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user: 4. 实例分析 为研究人们在催眠状态下对各种情绪的反应是否有差异，选取了8个受试者。在催眠状态下，要求每人按任意次序做出恐惧，愉快，忧虑和平静4种反应。表2给出了各受试者在处于这4种情绪状态下皮肤的电位变化值。试在 α = 0.05 下，检验受试者在催眠状态下对这4种情绪的反应力是否有显著差异。 Table 1 The simulated results of bayesian estimation are obtained from a random generated value with 50 and 10 5000 × 10次循环 5000 × 50次循环 估计参数 真值 估计均值 MSEM 估计均值 MSEM μ 5 4.987424 1.581591e−04 4.996145 1.486461e−05 σ e 2 1 1.004277 1.828892e−05 1.00301 9.060607e−06 α α 1 1 0.9552853 1.999403e−03 1.133144 1.772729e−02 α 2 0.2 0.1135279 7.477422e−03 0.3269546 1.611747e−02 α 3 2 1.878519 1.475755e−02 1.95898 1.682641e−03 α 4 0.6 0.6602855 3.634336e−03 0.5883567 1.355656e−04 α 5 0 −0.07259847 5.270538e−03 −0.03610165 1.303329e−03 α 6 0.8 0.7330294 4.485066e−03 0.8777618 6.046896e−03 α 7 0.1 0.03053701 4.825107e−03 0.1575079 3.307157e−03 α 8 1 0.9435907 3.182009e−03 1.074521 5.553396e−03 α 9 2 1.838888 2.595704e−02 2.027063 7.324115e−04 α 10 0 0.03807055 1.449367e−03 0.08877625 7.881222e−03 α 11 −2 −1.981183 3.540745e−04 −2.067859 4.604908e−03 α 12 −0.6 −0.6284297 8.082494e−04 −0.8013754 4.055205e−02 α 13 −0.1 −0.1009333 8.70968e−07 −0.115018 2.255403e−04 α 14 0 0.0001812512 3.2852e−08 0.09651642 9.315419e−03 α 15 −0.2 −0.1484892 2.653363e−03 −0.2123158 1.516792e−04 α 16 −0.8 −0.9698515 2.884953e−02 −0.6956514 1.088862e−02 α 17 −1 −0.9754212 6.041193e−04 −0.9718703 7.912795e−04 α 18 −1 −0.9279606 5.189679e−03 −0.9476162 2.744061e−03 α 19 0 −0.005409943 2.926748e−05 −0.008969074 8.044429e−05 α 20 −2 −2.02893 8.369557e−04 −1.994878 2.623501e−05 总MSEM值 5.115479e−03 5.904159e−03 表1. 对50和100个随机生成的 y 值求解贝叶斯估计的模拟结果 Table 2 The potential change value of skin under four emotional states (mV 情绪状态 受试者 1 2 3 4 5 6 7 8 恐惧 23.1 57.6 10.5 23.6 11.9 54.6 21.0 20.3 愉快 22.7 53.2 9.7 19.6 13.8 47.1 13.6 23.6 忧虑 22.5 53.7 10.8 21.1 13.7 39.2 13.7 16.3 平静 22.6 53.1 8.3 21.6 13.3 37.0 14.8 14.8 表2. 4种情绪状态下皮肤的电位变化值(mV) 对于上面的问题建立方差分析模型： y = x μ + A α + ε 其中： y = ( 23.1 ， 57.6 ， 10.5 ， 23.6 ， 11.9 ， 54.6 ， 21.0 ， 20.3 ， 22.7 ， 53.2 ， 9.7 ， 19.6 ， 13.8 ， 47.1 ， 13.6 ， 23.6 ，       22.5 ， 53.7 ， 10.8 ， 21.1 ， 13.7 ， 39.2 ， 13.7 ， 16.3 ， 22.6 ， 53.1 ， 8.3 ， 21.6 ， 13.3 ， 37.0 ， 14.8 ， 14.8 ) x 为32 × 1的全1列向量，A为kronecker(diag(4)，array(d，dim=c(8，1)))一个32 × 4的矩阵，则下面通过R程序得以下结果： μ = 25.1489461 ， σ ε 2 = 15.7876821 α 1 = 0.05077693 ， α 2 = − 0.011519118 ， α 3 = − 0.005867851 ， α 4 = − 0.008307687 下面检验受试者在催眠状态下对这4种情绪的反应力是否有显著差异， α = 0.05 假设原假设为： H 0 : α 1 − α 2 = α 1 − α 3 = α 1 − α 4 = 0 则可知： p ( α 1 ， α 2 ) = 0.01513101 < 0.025 p ( α 1 ， α 3 ) = 0.04791839 < 0.025 p ( α 1 ， α 4 ) = 0.06331945 > 0.025 由上式可知在 α = 0.05 的拒绝区间下，应拒绝原假设，得到结论是受试者在催眠状态下对这4种情绪的反应力有显著差异。
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user: 5. 总结及展望 通过将贝叶斯估计运用到单因素方差分析模型中的数值模拟，可以发现贝叶斯估计的优良性和高度的近似性，用在实例分析中也简单易懂。再通过对单因素方差分析模型的研究，可以将贝叶斯估计推广到多因素方差分析模型的研究中。同时也可以经验贝叶斯估计运用在单因素方差分析和多因素方差分析模型的研究，也将是一个新的挑战。
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user: 摘 要 本文对磷酸在TBP中萃取伴生结晶过程的研究，对该过程有了初步了解和认识。研究了磷酸在TBP中的溶解度、介稳区宽度及降温速率和磷酸浓度变化对该过程的影响及变化行为。结果表明，随着降温速率的增加，介稳区宽度相应增大，这个变化和磷酸在水溶液中介稳区宽度变化类似。 关键词 :TBP，磷酸，热力学 Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 传统的湿法磷酸净化是用有机溶剂萃取，后洗涤反萃，得到净化的磷酸 [ 1 ] 。经多次萃取净化后的磷酸可达工业级标准，如若再进一步提纯，需要进行结晶操作，工艺繁琐、流程较长且效率不高 [ 2 ] 。本研究在溶剂萃取净化的基础上，提出了一种新方法，可以实现萃取过程中伴生结晶的产生，以期同时达到溶剂萃取和结晶净化的双重功效。其基本思路为辅以外加诱导，在萃取单元中促使系统产生磷酸结晶，实现单元操作中磷酸的进一步净化。具体做法为：将萃取相冷却后诱导结晶，分离处理晶体，得到纯度较高的磷酸产品。新方法的特点在于，将萃取和结晶在同一个单元操作中完成，缩短了工艺流程，降低了分离提纯的费用，同时净化的效率得到了提升 [ 3 ] [ 4 ] 。
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user: 2. 萃取伴生结晶的热力学研究 研究磷酸萃取伴生结晶过程，需要掌握一定的基础数据，包括结晶热力学和结晶动力学数据等 [ 5 ] 。本研究首先需要明确该过程的基本热力学数据，这主要指的是溶解度。 2.1. 磷酸在TBP中的溶解度 溶解度的测量有两种方法，一种方法是静态法，另一种方法是动态法。静态法是指取饱和固液混合物(混合物含有过量未溶解的晶体)置于结晶器中，充分搅拌条件下，于一定温度下恒温一段时间，至待测物系达到完全溶解结晶平衡状态。关闭搅拌静置，取固液混合物的上清液检测浓度，即可得在此温度下物质的溶解度数据。改变温度，重复上述步骤即可得不同温度条件下对应的物质一系列溶解度数据。 动态法的做法则不同，同样取饱和固液混合物置于结晶器中，充分搅拌条件下恒温一段时间达到固液平衡后，以一恒定升温速率缓慢升温，至混合物中固体消失(由激光透射功率达到最大判断)，记录下此时对应溶液的温度，同时取样检测溶液浓度，即可得此温度下对应的物质溶解度数据。改变浓度(加水或者加半水磷酸晶体晶体)重复以上步骤，即可得不同温度条件下对应的物质一系列溶解度数据 [ 6 ] 。 本研究采用下述方法测量磷酸在磷酸三丁酯(TBP)中的溶解度： 1) 首先制备磷酸的TBP溶液。保持一定温度，磷酸和TBP在搅拌条件下混合均匀，达到液液平衡，静置分层(辅以离心机离心)。移去水相，得到的油相即为磷酸的TBP溶液。 2) 将所制得的溶液转入结晶器中(S212-500 mL型)，采用静态法测量磷酸在TBP中的溶解度。取约5~10 wt%的晶种，加入制得的溶液中，恒定温度T 1 下搅拌5~6 h，至液固达到平衡，分析此时液相中磷酸的浓度，即可得温度T 1 下磷酸在TBP中的溶解度。 3) 改变温度T 2 ，重复步骤2的操作，即可得到温度T 2 下磷酸在TBP中的溶解度。继续改变温度，可得到一系列溶解度数据。 溶解度随温度变化数据及曲线见表1和图1。可以看到，在测量温度范围内(0.95℃~19.11℃)溶解度 图1. 磷酸在TBP中的溶解度曲线 Table 1 Solubility data for phosphoric acid in TBP at temperature t and pressure p = 0.1 MP t/˚C 100x/mass fractions t/˚C 100x/mass fractions 1.53 38.96 12.91 43.68 3.04 39.49 14.97 44.77 4.96 39.93 15.64 45.78 6.89 40.62 17.85 49.81 9.03 41.36 19.11 51.82 10.94 42.49 表1. 磷酸在TBP中的溶解度数据 α Standard uncertainties u are u(t) = 0.05˚C， u(p) = 3 kPa， u(x) = 0.03% 随温度升高而增大，这种变化趋势符合文献的记载。 依据所得实验数据，可得到一个该体系溶解度的多项拟合公式(1)， x = 0.00381 × t 3 − 0.0725 × t 2 + 0.725 t + 37.88 (1) 这里t是温度，单位℃，x表示此温度下磷酸在TBP中的浓度。该拟合式的相关系数为0.9955，这表明该多项式拟合是比较精确的。和磷酸在水溶液中的溶解度数据相比，磷酸在TBP中的溶解度较小 [ 7 ] 。 实验数据和由公式计算数据点之间的相对标准偏差由公式(2)计算，得相对标准偏差为0.064。 σ = { [ ∑ i = 1 N ( x expt − x calc x expt ) 2 ] / N } 1 / 2 (2) 这里N是实验点数，x calc 指的是由公式(2)计算得到的数值，x expt 表示溶解度的实验数据。 2.2. 磷酸在TBP中的介稳区 本研究中采取激光透射法测量磷酸在TBP溶液中的介稳区宽度，实验装置见图2，介稳区宽度(MZW)定义见公式(3)： Δ T max = t * − t n (3) 这里是t * 平衡温度，t n 代表成核温度即爆发结晶时对应的饱和溶液温度，所得介稳区宽度数据见表2。 从表中可看到，随着降温速率的增加，介稳区宽度相应增大，这个变化和磷酸在水溶液中介稳区宽度变化类似。然而它也有和磷酸水溶液不同的性质，表现在随着磷酸在TBP溶液中浓度的降低，其介稳区宽度反而呈现增加的变化，但是这种变化趋势和3-硝基-1，2，4-三唑-5-酮+水系统相似 [ 8 ] 。
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user: 3. 结论 萃取伴生结晶提纯湿法磷酸新方法的提出，丰富了化工分离的手段，为萃取净化其他物质提供了一个有益的参考借鉴。本项目主要涉及新方法的基础应用研究，重点从理论、工艺上系统分析，构建萃取伴生结晶的基础应用框架，为新方法的工业应用提供技术储备和科技支撑。 本文对磷酸在TBP中萃取伴生结晶过程的研究，对该过程有了初步了解和认识。研究了磷酸在TBP中的溶解度、介稳区宽度及降温速率和磷酸浓度变化对该过程的影响及变化行为。结果表明，随着降温 图2. 介稳区宽度测量装置。1) 激光发生器；2) 结晶器；3) 晶种加入口；4) 搅拌器；5) 温度计；6) 激光信号接收器；7) 信号显示器；8) 低温冷却器；9) 物料出口 Table 2 MZW data for phosphoric acid in TB H 3 PO 4 100x/ mass fractions ΔT max /˚C 3˚C/h 6˚C/h 12˚C/h 24˚C/h 51.82 3.83 4.27 5.05 6.26 45.78 4.19 4.78 5.62 6.99 44.42 5.51 6.17 7.65 8.93 43.06 9.68 11.53 14.00 15.66 表2. 磷酸在TBP中介稳区数据 速率的增加，介稳区宽度相应增大，这个变化和磷酸在水溶液中介稳区宽度变化类似。
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user: 摘 要 谐振式传感器的高动态应用近年来得到越来越多的关注。典型谐振式传感器利用反映被测量的轴向载荷调制谐振梁的固有频率实现这种映射。高动态应用中的核心问题是动态轴向载荷下谐振梁的振动特性。本文以微元法为基础，利用基本的微元力学平衡关系建立了动态轴向力作用下谐振梁振动的数学模型，利用Mathieu方程的一般形式进行分析，引入了等效电路方法进行模型求解。通过对等效电路的仿真，得到了谐振梁在典型动态载荷下的振动响应。此外，本文研究了阻尼对谐振梁的影响，得出阻尼项仅影响谐振梁的振幅，基本不影响谐振梁的频率的结论。 关键词 :谐振梁，动态响应，传感器，等效电路，阻尼 Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 谐振式压力传感器因其高精度、高灵敏度得到越来越多的关注 [ 1 ] 。典型谐振式传感器多以谐振梁作为敏感元件，通过测量谐振梁振动频率的变化来测量待测压力。实际应用中谐振梁的高动态应用日益受到重视，在动态载荷的作用下，谐振梁需做出快速精确的响应，为保证测量结果的准确性，对谐振梁的动态响应进行分析显得尤为重要。目前对谐振梁振动特性的研究局限于移动力或只对梁的结构进行分析 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] ，本文试图从理论上探讨动态载荷对欧拉梁振动特性的作用机理，建立更一般形式的动态轴向载荷下梁的振动的数学模型。该模型在特定情况下可以对应为Mathieu方程，然而Mathieu方程在求解过程中有一定的局限性，因此采用等效电路的方法对该模型进行分析 [ 5 ] 。此外，考虑到实际振动中谐振梁的阻尼损耗，分别通过对谐振梁边界条件的理论计算以及Comsol软件仿真分析了阻尼对谐振梁振动特性的影响。
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user: 2. 谐振梁振动数学模型建立 假设谐振梁在动态轴向载荷的作用下为伯努利-欧拉梁的模型 [ 6 ] ，受力模型如图1。以微元dx段为研究对象，受力分析如图2。 图中各项的物理意义： F——梁承受的载荷； 图1. 动态轴向载荷作用下双端固支梁弯曲振动示意图 图2. 谐振梁微段dx受力分析 ρ ——梁的密度； E——梁的弹性模量； I——梁横截面对中性轴的惯性矩。 A、L、h、b分别是梁的横截面积、长度、高度、宽度。设 y ( x ， t ) 表示谐振梁上距原点为x处的截面在t时刻的横向位移，由力矩平衡公式与弯矩平衡公式共同联立得梁横向弯曲振动的方程为： E I ∂ 4 y ∂ x 4 − F ∂ 2 y ∂ x 2 + ρ A ∂ 2 y ∂ t 2 = 0 (1) 用分离变量法求该方程的解，设方程(1)的解为： y ( x ， t ) = ϕ ( x ) sin ( ω t + φ ) (2) 其中 ω 为梁振动的固有频率， Y ( x ) 为梁振动的模态函数。则式(1)可变形为： E I d 4 Y d x 4 − F d 2 Y d x 2 − ρ A Y d 2 P d t 2 = 0 (3) 解得梁自由振动振型公式： φ i ( x ) = ch λ i x − cos λ i x + η i ( sh λ i x − sin λ i x ) (4) 谐振梁在实际振动时，总有能量通过谐振梁两端的固支端损失，因此将谐振梁的边界等效为弹簧支撑情况代入有阻尼的边界条件，其中k表示弹性系数 { d 2 Y ( 0 ) d x 2 = 0 d 2 Y ( l ) d x 2 = 0 E I [ d 3 Y ( 0 ) d x 3 ] = k Y ( 0 ) E I [ d 3 Y ( l ) d x 3 ] = k Y ( l ) (5) 解得 cos λ l     ch λ l + 1 = − k E I λ 3 ( cos λ l     sh λ l − sin λ l     ch λ l ) (6) 谐振梁的各项参数取值如表1所示： Table 1 Parameters of the resonant bea 参数 描述 值 r 梁的密度 2.33 × 10 3 kg / m 3 E 梁的弹性模量 1.7 × 10 11 Pa L 梁的长度 10 − 3 m b 梁的宽度 10 − 4 m h 梁的高度 10 − 5 m 表1. 谐振梁各项参数取值 代入各项已知数值后，计算出此时谐振梁频率为88 kHz，经Matlab计算可得，在仿真计算中发现，中所定k值的改变不影响两方程交点的改变，因此，得到一阶结果为 λ 1 l = 1.880 (7) 对应参数 η 1 = cos λ L − ch λ L sh λ L − sin λ L (8) 得出梁自由振动–阶振型公式 ϕ ( x ) = ch λ x + cos λ x + 0 .7341 ( sh λ x + sin λ x ) (9) 对式(3)两边都乘以 Y ( x ) ，再对 x 进行积分，利用分部积分法以及齐次边界条件可得： ( ∫ 0 l ρ A ϕ 2 d x ) d 2 P d t 2 + ( ∫ 0 l E I ( ϕ ″ ) 2 d x − F ( t ) ∫ 0 l ( ϕ ′ ) 2 d x ) ⋅ P = 0 (10) 式(10)简化可写为： d 2 P d t 2 + ( A − B × F ( t ) ) ⋅ P = 0 (11) 其中A，B为常量，该式为一般载荷形式作用下梁的振动模型。 输入载荷为正弦时，通过如式(10)的变量代换： { K ˜ = ∫ 0 l E J ( ϕ ″ ) 2 d x ∫ 0 l ρ A ϕ 2 d x α ˜ = ε ⋅ ∫ 0 l ( ϕ ′ ) 2 d x 2 ∫ 0 l ρ A ϕ 2 d x (12) 将式(10)进行转换后，可得到如式(13)所示的标准形式的Mathieu方程。 d 2 P d t 2 + ( K ˜ − 2 α ˜ cos ( ω ⋅ t ) ) P = 0 (13) 将公式中的参数全部统一为国际单位制后，经过数值计算，式(11)为： d 2 P d t 2 + ( 3.0434 × 10 11 − N ( t ) × 5.2798 × 10 12 ) ⋅ P = 0 (14) 通常可以利用Mathieu方程可以推导出在动态输入载荷下谐振梁的振动模型，但是Mathieu方程对输入载荷的形式有要求，因此有局限性。故本文采取建立等效电路的方法模拟动态轴向载荷下谐振梁振动方程特性，来实现动态输入载荷的一般性 [ 7 ] 。
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user: 3. 谐振梁振动模型电路模拟 根据已经建立的谐振梁振动模型建立输出谐振梁振动信号的等效电路，如图3所示。 其中F(t)即对应系统中的输入载荷，通过改变输入来模拟动态力的加载模式。 根据数值要求及电路自激振荡的条件确定电路各项参数后，对电路输入不同的激励进行仿真，如图所示，分别为对电路输入载荷为0 mv的直流电压、−20 mv的直流电压、频率为10 kHz载荷为10 mv及20 mv的交流电压和频率为50 kHz载荷为10 mv的交流电压(如图4)。 根据电路仿真结果可以看出，当电压频率及幅值改变时，输出响应的频率和幅值也相应改变，且当输入信号增大时，输出响应出现频率被调制的现象。符合在机械系统中， 因外载荷增大而系统刚度增大，振荡频率升高而振幅下降的现象。
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user: 4. 阻尼对谐振梁振动特性影响 在谐振梁的分析中，阻尼的分类主要有以下几种：1) 锚点损耗，当谐振器振动时，谐振梁的动能通过边界传递到锚点，再通过锚点将动能传递到谐振器基底，最后造成能量耗散；2) 表面能量损耗，由表面晶格缺陷以及表面含有吸附物造成的表面应力损耗；3) 空气阻尼，当谐振器工作在空气中时，空气阻尼损耗是谐振器的主要能量损耗方式，为了提高谐振器Q值，必须对谐振器采用真空封装以减小阻尼损耗。然而绝对真空的封装是很难实现的，空气阻尼损耗也不可能完全消除；4) 热弹性阻尼，当谐振器振 图3. 谐振梁动态响应等效电路图 图4. 电路仿真结果 动时，谐振梁内部温度会发生变化，使得谐振梁内部的温度场为非均匀温度场，由于材料热胀冷缩的性质，会产生相应的应力、应变，阻碍谐振器的振动，造成能量损耗，可以将其称为热弹性阻尼 [ 7 ] [ 8 ] 。 目前很多传感器均采用真空封装，这样将会减小谐振器的空气阻尼损失，虽然绝对真空的封装是很难实现的，空气阻尼损耗也不可能完全消除，但是其影响在真空封装的作用下，已有很大程度的减少。热弹性阻尼及表面损耗阻尼均属于内部损耗，在此不多加讨论。因此，本部分主要讨论锚点损耗对谐振梁的影响。 ① 等效电路方法分析 考虑在谐振梁的振动方程中加入阻尼项，则原振动方程的一般形式变为 d 2 P d t 2 + c ⋅ d P d t + ( A − B × F ( t ) ) ⋅ P = 0 (15) 其中c为阻尼系数，则原始的电路模型变为(如图5)。 加入由比例放大电路构成的阻尼模块，从第一级积分输出引出到加法器的输入端，设第一级积分输 图5. 有阻尼谐振梁动态响应等效电路图 出为 u 1 ( t ) ，阻尼模块放大倍数为 k ′ ，根据输入输出关系列出如下方程： { − 1 C 1 R 1 ∫ 0 t − ( ( A − B × F ( t ) ) ⋅ P + k ′ u 1 ( t ) ) d t = u 1 ( t ) − 1 C 2 R 2 ∫ 0 t u 1 ( t ) d t = P (16) 整理后可得到， d 2 P d t 2 + k ′ R 1 C 1 ⋅ d P d t + 1 R 1 C 1 R 2 C 2 ( A − B × F ( t ) ) ⋅ P = 0 (17) 带入相关参数后对电路进行仿真，设定阻尼系数，此时可得到如下仿真结果，其中红色实线表示加入阻尼后的电路输出情况，黑色实线表示未加入阻尼的电路输出情况(图6)： 仿真结果显示，在电路中加入阻尼后几乎不会对电路的谐振频率产生影响，但幅值因阻尼的加入有所改变。 ② COMSOL方法分析 实验中利用Comsol Multiphysics 5.0对谐振梁进行仿真分析，仿真模型中，设置了一个参数k，定义为阻尼系数，即在两侧的连接边界设置固定载荷，载荷T = kv，该式为矢量式，即受到来自外部的应力(Pa)正比于边界处的速度(m/s)，那么如此定义的阻尼系数单位为[Pa*s/m]。仿真时，使用参数化扫描对k的值进行变化，k分别取值为0，50，100，150，200，250，300。其中，0则代表自由边界。 图7和图8所示坐标图为以上7个k值下，谐振梁中心点的振幅，已归一化到最大值为1。 仿真结果显示，在不同阻尼的影响下，所得谐振频率基本相同，随着两端阻尼系数的增加，谐振梁能量在锚点损耗，振幅逐渐减小，但谐振频率基本保持不变，由此可以得出结论，不同阻尼导致的边界条件下，阻尼的改变仅对谐振梁的幅值变化有影响，对谐振梁的谐振频率并不存在很大的影响。文献 [ 9 ] 图6. 有阻尼电路仿真结果 图7. Comsol对谐振梁仿真中心振幅变化 图8. Comsol对谐振梁仿真频率变化 利用小参数摄动法所得出的结论中，带阻尼类Mathieu方程与不带阻尼类Mathieu方程仅在幅值项上有区别，对频率项没有影响，与实验结果相符合 [ 9 ] 。
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user: 5. 结论 载荷的输入对谐振式压力传感器敏感元件谐振梁的振动频率会产生影响。在等效电路实验中，输出信号会根据输入电压信号的频率与幅值改变而产生相应的变化，电路中的调制现象与机械系统的振动特性相符合，即当增加外载荷时，机械系统振动频率变大，当外载荷达到最大值时，振动系统刚度最大，谐振频率最高，但会出现振幅下降的现象。此外，通过在等效电路中加入阻尼项及利用Comsol仿真后得到，阻尼仅影响谐振梁的振幅大小，对频率没有影响，因此对频率型谐振器来说，在工作过程中其准确性不会受到阻尼影响。 此外，本文中所设计的谐振梁模型及实验仿真都是在理想条件下进行，实际谐振器振动过程中将面临不同类型的输入叠加及梁体构造的不同，后期工作也将对此展开进一步的研究探讨。
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user: 摘 要 本文建立了高精度Fox-Goodwin时间积分法。这种方法采用等分步的思想，连乘每分步的Jacobi矩阵建立高精度Jacobi矩阵，然后利用高精度Jacobi矩阵进行递推求解。在构造高精度Jacobi矩阵的过程中，用指数矩阵运算技巧来达到降低计算量，用存贮增量矩阵策略来减小舍入误差的影响。性能分析表明，这种方法与精细积分法相比，具备较高的幅值和相位精度，且格式简单，便于应用。 关键词 :Fox-Goodwin方法，高精度，时间积分法，精细积分法 Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 时间积分法是求解结构动力学响应强有力的方法之一，它的基本思想是将时间域离散，通过迭代格式求出各离散时刻的物理量近似值。经典时间积分法有Houbolt方法 [ 1 ] ，Newmark方法 [ 2 ] ，Wilson-θ方法 [ 3 ] ，Hilber-Hughes-Taylor-α方法 [ 4 ] 和Wood-Bossak-Zienkiewicz-α方法 [ 5 ] 等，上世纪九十年代以来也出现了诸多新颖的时间方法，例如Zhai方法 [ 6 ] ，广义-α方法 [ 7 ] ，Bathe方法 [ 8 ] 和基于加权残量思想的方法 [ 9 ] 等。但这些方法大都只有二阶精度，需要使用非常小的步长才能实现高精度要求，导致大量的计算量。 对于线性定常系统，钟 [ 10 ] 提出了精细积分方法(Precise Integration Method， PIM)，以其高精度，高效率等优点得到了广泛应用。PIM的基本思想是对微分方程的解析解进行精确数值计算，对于齐次方程，PIM可以给出计算机精度的解。而对于非齐次方程，需要求解非齐次项产生的Duhamel积分，钟 [ 11 ] 和林 [ 12 ] 就非齐次项分别为多项式、弦函数、指数函数以及它们的组合形式时，推导了相应的精细积分递推格式，后来又发展了很多种非齐次项的积分方法，例如直接对非齐次项Duhamel积分进行数值积分求解 [ 13 ] ，或者增维精细积分方法 [ 14 ] 等。当用于求解结构动力学响应时，PIM是一种条件稳定算法 [ 15 ] ，它的精度会随着展开项的增多而提高。 本文借助PIM中使用的指数矩阵乘法和存储增量的技术，基于Fox-Goodwin方法 [ 16 ] 构造高精度时间积分法Highly Accurate Fox-Goodwin time Integration Method (HAFIM)。Fox-Goodwin方法是一种辛几何算法，对于无阻尼系统可实现四阶精度，并且具有足够的稳定区间。对于收敛的算法来说，当步长趋近于0时，数值解趋近于解析解。HAFIM的思想是将每个时间步长N等分，在每一个分步内使用Fox-Goodwin方法，通过连乘每分步的Jacobi矩阵计算出单步的高精度Jacobi矩阵，利用该Jacobi矩阵进行迭代求解。在构造高精度Jacobi矩阵的过程中，2 m 算法和增量算法分别被用来减少计算量和降低舍入误差。与PIM相比，HAFIM具有更简单的矩阵形式和更优秀的数值性能。
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user: 3. 算法性能 衡量算法性能优劣的指标主要有稳定性和精度两个方面。对于线性定常系统，由于模态正交性，可以通过对单自由度系统问题的分析来说明算法的特性，即振动方程为 x ¨ + 2 ξ ω + ω 2 x = 0 (19) 式中，ξ和ω分别为阻尼率和固有频率。为避免参数N的影响，这里仅研究Fox-Goodwin方法本身的性质，并与梯形法则(Trapezoidal-Rule， TR)，中心差分法(Central-Difference-Method， CDM)和PIM进行对比。TR和CDM是结构动力学中常用的时间积分法，对无阻尼系统不具有数值阻尼，精度较高。 3.1. 稳定性 稳定性要求算法的谱半径 ρ ( A ) = max { λ 1 ， λ 2 } ≤ 1 。对于单自由度方程(19)，Fox-Goodwin方法的Jacobi矩阵为 A F = 1 τ 2 + 12 ξ τ + 12 [ − 4 ξ τ 3 − 5 τ 2 + 12 ξ τ + 12 − 8 ξ 2 τ 2 + 12 2 τ 4 − 12 τ 2 4 ξ τ 3 − 5 τ 2 − 12 ξ τ + 12 ] ，   z k = [ x k h x ˙ k ] T (20) 式中， τ = ω h 。类似地，TR和CDM的Jacobi矩阵分别如下 A T = 1 τ 2 + 4 ξ τ + 4 [ − τ 2 + 4 ξ τ + 4 4 − 4 τ 2 − τ 2 − 4 ξ τ + 4 ] ， z k = [ x k h x ˙ k ] T (21) A C = 1 4 ξ τ + 4 [ − 2 ξ τ 3 − 2 τ 2 + 4 ξ τ + 4 − 4 ξ 2 τ 2 + 4 τ 4 − 4 τ 2 2 ξ τ 3 − 2 τ 2 − 4 ξ τ + 4 ] ， z k = [ x k h x ˙ k ] T (22) 而PIM的性质随着展开项数的增多而不同，这里给出最常用的两种情况： 1) L = 3 A 3 = I + h H + h 2 2 H 2 + h 3 6 H 3 (23) 2) L = 4 A 4 = I + h H + h 2 2 H 2 + h 3 6 H 3 + h 4 24 H 4 (24) 式中L表示截断阶数，而 H = [ − ξ ω 1 ξ 2 ω 2 − ω 2 − ξ ω ] ， z k = [ x k x ˙ k + ξ ω x k ] T (25) 图1和图2分别给出了无阻尼情况和阻尼率为0.1时这几种方法的谱半径曲线。可以看出，TR为无条件稳定算法，其余方法均为条件稳定方法，Fox-Goodwin方法的稳定区间介于两种精细积分法之间。为方便应用，表2给出了这三种方法的稳定极限τ cr ，当 τ ≤ τ cr 时，算法可以给出稳定的结果。 3.2. 精度 考虑单自由度系统(19)，该问题的解析解为 x ( t ) = e − ξ ω t ( c 1 cos ω d t + c 2 sin ω d t ) (26) 式中，c 1 和c 2 为由初始条件确定的常数， ω d = ω 1 − ξ 2 。而数值解的形式为 x k = e − ξ ¯ ω ¯ t k ( c ¯ 1 cos ω ¯ d t k + c ¯ 2 sin ω ¯ d t k ) (27) 式中 图1. 谱半径曲线( ξ = 0) 图2. 谱半径曲线( ξ = 0.1) Table 2 The stability limits of these method τ cr ξ = 0 ξ = 0.1 Fox-Goodwin 2.4495 2.4495 TR ∞ ∞ CDM 2.0000 2.0000 PIM (L = 3) 1.7320 2.1541 PIM (L = 4) 2.8284 2.9509 表2. 算法的稳定极限 λ 1 ， 2 = A ± B i = e ( − ξ ¯ ω ¯ ± i ω ¯ d ) h ω ¯ d = arctan ( B / A ) h ω ¯ = ω ¯ d 1 − ξ ¯ 2 ξ ¯ = − ln ( A 2 + B 2 ) 2 ω ¯ h (28) 在稳定区间内，λ 1，2 为一对共轭复根。将数值解的形式与解析解对比，我们可以用 ξ ¯ 来表示数值耗散的程度，称为幅值衰减率。而数值弥散一般用周期延长率来表示，定义为 η = T ¯ − T T ， T ¯ = 2 π ω ¯ d ， T = 2 π ω d (29) 图3和图4分别给出了这几种格式的幅值衰减率和周期延长率曲线，结果表明无阻尼情况下，PIM的幅值精度较差，TR和CDM方法的相位精度较差，而Fox-Goodwin方法的幅值和相位精度皆优于其它方法，因此本文选用Fox-Goodwin方法来构造高精度时间积分法。特别地，由于Fox-Goodwin方法的辛几何特性，其幅值衰减率为零，这意味着幅值误差不会随着步数的增多而累积，对长期仿真十分有利。
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user: 4. 数值仿真 考虑三自由度无阻尼质点-弹簧系统，如图5所示。弹簧的刚度系统均为k = 1 N/m 2 ，质点的质量均为m = 1 kg，质点1处受到简谐激励R = 10sin5t N作用，系统的运动方程为 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] [ x ¨ 1 x ¨ 2 x ¨ 3 ] + [ 2 − 1 0 − 1 2 − 1 0 − 1 2 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 10 sin 5 t 0 0 ] (30) 令 x 4 = sin5 t ，则方程(28)可转化为齐次方程 [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] [ x ¨ 1 x ¨ 2 x ¨ 3 x ¨ 4 ] + [ 2 − 1 0 − 10 − 1 2 − 1 0 0 − 1 2 0 0 0 0 25 ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] = [ 0 0 0 0 ] (31) 初始条件为 x 0 = [ 0 0 0 0 ] T ， x ˙ 0 = [ 0 0 0 5 ] T (32) 图3. 幅值衰减率曲线( ξ = 0) 图4. 周期延长率曲线( ξ = 0) 在本例中，由于激励为简谐函数，齐次方程(29)与原方程(28)的解析解完全相同。 简谐激励周期为 T = 2π / ω = 1 . 2s ，因此采用的时间步长选为 h = T / 10 = 0. 1s ，令 m = 5 ，应用HAFIM和PIM (L = 3， L = 4)计算了该系统在[0， 40 s]内的位移，速度和加速度响应。质点1的结果如图6~8所示，其中精确解由模态叠加法得到。可以看出，由于HAFIM的保辛特性，其幅值误差不累积；而经过一段 图5. 质点–弹簧系统 图6. 质点1的位移响应和数值方法的绝对误差 图7. 质点1的速度响应和数值方法的绝对误差 图8. 质点1的加速度响应和数值方法的绝对误差 时间后，PIM的幅值耗散会大大降低结果的精度，尤其是位移和加速度响应更加明显，因此HAFIM对长期仿真十分有利。此外，虽然PIM的位移精度较高，但其速度精度较差，即使是截断到第4阶(L = 4)，其速度误差也远大于HAFIM给出的结果。
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user: 5. 结论 本文构造了高精度Fox-Goodwin时间积分法。它的基本思想是将每个时间步等分为N份，连乘每个分步的Jacobi矩阵构造高精度Jacobi矩阵，然后使用高精度Jacobi矩阵进行递推求解。在构造高精度Jacobi矩阵的过程中，2 m 算法和增量算法被用来提升计算效率，减小舍入误差。 相比较于精细积分法来说，本文提出的方法结合了时间积分法本身的优势，使得其在计算量和性能上得到优化。首先，这种方法的增量矩阵无需进一步计算，可采用文中给出的形式，并可直接得到位移和速度的数值解；其次，Fox-Goodwin方法的辛几何特性使得该方法具备较高的幅值精度，且应用于无阻尼系统时是一种四阶格式；最后，数值结果证实了高精度Fox-Goodwin时间积分法的精度优势。
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user: 摘 要 基于实际电容和电感本质上是分数阶的事实，针对以往开关变换器建模过程中一些理想化假设会引起较大误差的问题，建立了电感电流连续模式下Buck变换器的非理想状态分数阶模型及状态平均模型，提出了一种用于分数阶模型阶次辨识的改进随机数辨识方法，通过仿真验证了运行非理想状态下Buck变换器的分数阶仿真模型的合理性和可行性，并对Buck变换器分数阶阶次进行辨识，与一般传统的算法对比，结果表明改进的方法具有更高的准确性。 关键词 :Buck变换器，分数阶微积分，电感电流连续模式，参数辨识，数值模型 Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 开关变换电源的建模分析是研究开关电源的基础，对开关电源的分析与设计具有重要意义，决定着开关变换器控制器设计性能的高低，是当前电力电子技术领域的研究方向之一 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] 。开关变换器传统建模主要基于整数阶模型，但随着人们研究的深入发现，电路中的电容和电感在本质是分数阶的，建立相应的分数阶模型更能准确的描述实际电容和电感的电特性 [ 4 ] [ 5 ] 。以往建模过程中，为简化模型往往忽略电路中的寄生参数，这样得到的理想化模型在实际应用中存在误差，有一定局限性 [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] 。针对这一问题，本文采用基于分数阶的状态平均法建立了Buck变换器在考虑各种非理想因素条件下的数学模型，采用改进的随机数直接搜索法对分数阶变换器进行阶次的辨识研究，通过仿真实验平台对Buck变换器仿真，验证了分数阶变换器建模理论的正确性和随机数辨识法的可行性。
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user: 2. 理论建模 2.1. Buck的工作原理和状态平均模型 Buck变换器又称降压变换器，它是一种对输入输出电压进行降压变换的直流斩波器，即输出电压低于输入电压。Buck电路的基本拓扑电路如图1所示， Q 为周期开关脉冲信号，其开关周期为 T 。设Buck变换器输入电压为 V i n ，电感电流为 i L ( t ) ，输出电压为 V 0 ( t ) 。Buck变换器工作在电感电流连续模式下，当周期性开关脉冲信号为高电平时，功率开关 Q 导通，电感电流大于负载电流时，电容处于充电状态，二极管承受反向电压而截止，电感输入端电压值为直流输入电压与开关导通压降只差，称为Buck工作模态1；当功率开关 Q 截止、二极管导通时，电感 L 为了保持其电流 i L ( t ) 不变，负载电压 V 0 ( t ) 仍是上正下负，电感电流小于负载电流时，电容处于放电状态，通过二极管续流，电感输入电压值为二极管正向导通电压，称为Buck工作模态2。 2.2. 非理想状态下Buck电路模型 本文讨论的非理想条件是指考虑开关管导通电阻 R o n 、二极管导通正向压降 V d 、电感等效串联电阻 R L 、电容等效串联电阻 R C 。在非理想条件下，对Buck变换器的建模作如下定义：1) 二极管导通状态由正向压降 V d 来代替，关断电阻近似为无穷大；2) 滤波电容足够大，流过电流恒定。可见，非理想Buck变换器处于2种不同工作过程，如图2所示。
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user: 3. Buck变换器的分数阶状态平均模型的建立与分析 根据分数阶电感和分数阶电容的数学模型以及上述的2种工作模态，可得运行于电感电流连续模式 图1. Buck变换器原理结构图 图2. 非理想Buck变换器工作过程. (a) Q导通，D关断时的拓扑结构图；(b) Q关断，D导通时的拓扑结构图 下Buck变换器的数学模型如下： 工作模态1： { d α i L d t α = − R o n + R L L i L − v 0 L + v i n L d β v 0 d t β = R C ( R + R C ) [ 1 − C R C ( R o n + R L ) L ] i L − C R C R + L C L ( R + R C ) v 0 + R C R L ( R + R C ) v i n (1) 工作模态2： { d α i L d t α = − R L L i L − v 0 L + v d L d β v 0 d t β = R C ( R + R C ) [ 1 − C R C R L L ] i L − C R C R + L C L ( R + R C ) v 0 − R C R L ( R + R C ) v d (2) 采用状态平均法进行电路状态平均变换时，需满足三点假设：1) 低频假设，交流小信号的频率应远小于开关频率；2) 小纹波假设，变换器的转折频率远小于开关频率；3) 小信号假设，电路中各变量的交流分量幅值远小于相应的直流分量。在本文研究的Buck变换器中，开关频率一般在 10 − 5 的级别，直流分量幅值远大于交流分量，容易满足状态平均法的假设。基于上式(1)、(2)以及状态平均建模方法，并根据分数阶微积分的性质，可直接得到工作电感电流连续状态下非理想Buck变换器的分数阶状态平均模型为： { d α 〈 i L 〉 d t α = − d R o n + R L L 〈 i L 〉 − v 0 L + d 〈 v i n 〉 L − d ′ v d L d β 〈 v 0 〉 d t β = R R + R C [ 1 C − R R C L − R o n R C L d ] 〈 i L 〉 − C R C R + L C L ( R + R C ) 〈 v 0 〉 + R C R L ( R + R C ) d 〈 v i n 〉 − R C R L ( R + R C ) d ′ V d (3)
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user: 4. 基于改进的随机数搜索辨识法 电力电子电路在工作中具有时变、非线性等特点，无法直接应用一些经典的、精确的电路分析方法。针对电力电子电路的这些性质，本文采用一种改进的随机数搜索法进行电力电子分数阶参数模型的辨识。针对Buck电路分数阶小信号模型，在模型结构已知的条件下计算步骤如下： 1) 确定要搜索的分数阶系统的微分项系数和阶次 2) 产生随即搜索向量 3) 选择评价函数，如式(4)所示 Φ = ∫ ( y 0 ( t ) − y ˜ ( t ) ) d t (4) 其中 y 0 ( t ) 表示在阶跃激励下测得实际对象输出， y ˜ ( t ) 表示阶跃激励下模型的输出。 4) 选择适当的初值与范围 选择一组随机数或一组整定参数作为初值 x ( i ) 0 ，并确定初始半径 r ( i ) 1 为初值的若干倍，即： r ( i ) 1 = C x ( i ) 0 (5) 其中， r 为半径，其通式是 r ( i ) j ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。 n 表示寻优参数的个数； j 为迭代次数， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， 100 。 5) 迭代计算 按照下式估算模型的参数： x k j ( i ) = x k j − 1 ( i ) + v k i r k j ( i ) (6) 6) 选择收缩系数 ψ 为了加快收敛速度，提高搜索效率，所以将在每一次迭代计算之后缩小搜索半径 r i j ，即： r i j = ψ r i j − 1 (7) 7) 修正搜索范围 r i j X 0 为要辨识参数的初值 x ( 0 ) ( i ) 。首先设定搜索半径允许的最大比例 η 。(一般大于0，可设为 η = 1.5 )。若某一变量 x j 在搜索后改变比率大于 η ，说明该变量的目前位置距离最佳位置较远，则不改变其搜索半径。即搜索半径的调整通过下式表示： r i 0 = C X 0 (8) r i j = C X j − 1 × v j ， j > 0 (9) 其中 v j 取值为：当 j = 0 ， 1 时， v j = 1 ；当 j > 1 ，若 1 / η < | X j − 1 / X j − 2 | < η 则 v j = ψ j × v j − 1 ；否则 v j = 1 。 8) 迭代搜索 重复步骤(5)，(6)与(7)进行下一次迭代计算。一般情况下迭代100次，计算结果己经可以收敛了，然后输出辨识结果。