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user: 4. 随机模型的解围绕确定性模型地方病平衡点的渐近行为 本章假设 R 1 > 1 ， R 1 > R 2 。此时确定性模型(1.1)存在一个全局渐近稳定的地方病平衡点 E ∗ = ( S ∗ ， I 1 ∗ ， I 2 ∗ ， R ∗ ) ，但是这个无病平衡点不是随机SIR模型(1.2)的正平衡点。但是，经研究发现随机SIR模型(1.2)的解的渐近性态是与 E ∗ = ( S ∗ ， I 1 ∗ ， I 2 ∗ ， R ∗ ) 有关联的.所以得到下面的定理。 定理4.1：如果 R 1 > 1 ， R 1 > R 2 并且满足条件 γ 2 ≤ γ 1 ，那么对于任何给定的初值 ( S ( 0 ) ， I 1 ( 0 ) ， I 2 ( 0 ) ， R ( 0 ) ) ∈ R + 4 ，模型(1.2)的解有如下性质 lim sup t → ∞ 1 t E ∫ 0 t [ ( S − 2 S ∗ ) 2 + ( I 1 − 2 μ μ − p σ 1 2 I 1 ∗ ) 2 + ( I 2 − 2 μ μ − p σ 2 2 I 2 ∗ ) 2 + ( R − 2 ( 1 + p ) 1 + 2 p R ∗ ) 2 ] d r ≤ a 9 M 其中， p = 2 μ γ 1 ， M = min { μ 2 ， μ − p σ 1 2 2 ， μ − p σ 2 2 2 ， μ + 2 p μ 2 } a 9 = 6 μ S ∗ 2 + 2 μ 2 + 4 μ ( μ − p σ 1 2 ) μ − p σ 1 2 I 1 ∗ 2 + 2 μ 3 + ( 2 μ − p γ 2 ) 2 ( μ − p σ 2 2 ) + 4 μ 2 ( μ − p σ 2 2 ) μ ( μ − p σ 2 2 ) I 2 ∗ 2     + 2 μ 2 ( 1 + p ) 2 + ( 2 μ − p γ 2 ) 2 ( 1 + 2 p ) + 2 μ 2 ( 1 + 2 p ) μ ( 1 + 2 p ) R ∗ 2 + 4 μ ε 2 β 2 2 + ( b ε + a σ 1 2 2 ) I 1 ∗ + b σ 2 2 I 2 ∗ 2 证明：为方便起见，记 x ( t ) = ( S ( t ) ， I 1 ( t ) ， I 2 ( t ) ， R ( t ) ) T ，则初始值 x ( 0 ) = ( S ( 0 ) ， I 1 ( 0 ) ， I 2 ( 0 ) ， R ( 0 ) ) T 。首先，定义一个函数 V : R + 4 → R + 如下： V ( x ) = 1 2 ( S − S ∗ + I 1 − I 1 ∗ + I 2 − I 2 ∗ + R − R ∗ ) 2 + a ( I 1 − I 1 ∗ − I 1 ∗ ln I 1 I 1 ∗ )     + b ( I 2 − I 2 ∗ − I 2 ∗ ln I 2 I 2 ∗ ) + 1 2 p ( R − R ∗ ) 2 (4.1) 其中， a ， b ， p 是待定的正常数。 为简便起见，将(4.1)这个函数分成如下两个函数： V ( x ) = V 1 ( x ) + V 2 ( x ) ， 其中， V 1 ( x ) = 1 2 ( S − S ∗ + I 1 − I 1 ∗ + I 2 − I 2 ∗ + R − R ∗ ) 2 + a ( I 1 − I 1 ∗ − I 1 ∗ ln I 1 I 1 ∗ ) + b ( I 2 − I 2 ∗ − I 2 ∗ ln I 2 I 2 ∗ ) V 2 ( x ) = 1 2 p ( R − R ∗ ) 2 由伊藤公式有 d V 1 ( x ) = L V 1 d t − a ( 1 − I 1 ∗ I 1 ) σ 1 I 1 d B 1 ( t ) − b ( 1 − I 2 ∗ I 2 ) σ 2 I 2 d B 2 (t) 和 d V 2 ( x ) = L V 2 d t + p ( R − R ∗ ) σ 1 I 1 d B 1 ( t ) + p ( R − R ∗ ) σ 2 I 2 d B 2 (t) 其中， L V 1 = ( S − S ∗ + I 1 − I 1 ∗ + I 2 − I 2 ∗ + R − R ∗ ) ( A − μ S − μ I 1 − μ I 2 − μ R ) + a σ 1 2 I 1 ∗ 2 + b σ 2 2 I 2 ∗ 2     + a ( 1 − I 1 ∗ I 1 ) [ β 1 I 1 S − ( μ + γ 1 + ε ) I 1 ] + b ( 1 − I 2 ∗ I 2 ) [ β 2 I 2 S + ε I 1 − ( μ + γ 2 ) I 2 ] = ( S − S ∗ + I 1 − I 1 ∗ + I 2 − I 2 ∗ + R − R ∗ ) ( μ S ∗ + μ I 1 ∗ + μ I 2 ∗ + μ R ∗ − μ S − μ I 1 − μ I 2 − μ R )     + a σ 1 2 I 1 ∗ 2 + b σ 2 2 I 2 ∗ 2 + a ( 1 − I 1 ∗ I 1 ) [ β 1 I 1 S − ( μ + γ 1 + ε ) I 1 ] + b ( 1 − I 2 ∗ I 2 ) [ β 2 I 2 S + ε I 1 − ( μ + γ 2 ) I 2 ] = − μ ( S − S ∗ + I 1 − I 1 ∗ + I 2 − I 2 ∗ + R − R ∗ ) 2 + a ( I 1 − I 1 ∗ ) [ β 1 S − ( μ + γ 1 + ε ) ]       + b ( I 2 − I 2 ∗ ) [ β 2 S + ε I 1 I 2 − ( μ + γ 2 ) ] + a σ 1 2 I 1 ∗ 2 + b σ 2 2 I 2 ∗ 2 = − μ ( S − S ∗ + I 1 − I 1 ∗ + I 2 − I 2 ∗ + R − R ∗ ) 2 + a ( I 1 − I 1 ∗ ) ( β 1 S − β 1 S ∗ )       + b ( I 2 − I 2 ∗ ) ( β 2 S + ε I 1 I 2 − β 2 S ∗ − ε I 1 ∗ I 2 ∗ ) + a σ 1 2 I 1 ∗ 2 + b σ 2 2 I 2 ∗ 2 = − μ ( S − S ∗ + I 1 − I 1 ∗ + I 2 − I 2 ∗ + R − R ∗ ) 2 + a β 1 ( S − S ∗ ) ( I 1 − I 1 ∗ )       + b β 2 ( S − S ∗ ) ( I 2 − I 2 ∗ ) + b ε ( I 2 − I 2 ∗ ) ( I 1 I 2 − I 1 ∗ I 2 ∗ ) + a σ 1 2 I 1 ∗ 2 + b σ 2 2 I 2 ∗ 2 = − μ ( S − S ∗ ) 2 − μ ( I 1 − I 1 ∗ ) 2 − μ ( I 2 − I 2 ∗ ) 2 − μ ( R − R ∗ ) 2 − ( 2 μ − a β 1 ) ( S − S ∗ ) ( I 1 − I 1 ∗ )       − ( 2 μ − b β 2 ) ( S − S ∗ ) ( I 2 − I 2 ∗ ) − 2 μ ( S − S ∗ ) ( R − R ∗ ) − 2 μ ( I 1 − I 1 ∗ ) ( I 2 − I 2 ∗ )       − 2 μ ( I 1 − I 1 ∗ ) ( R − R ∗ ) − 2 μ ( I 2 − I 2 ∗ ) ( R − R ∗ ) + b ε ( I 1 − I 1 I 2 I 2 ∗ − I 1 ∗ I 2 ∗ I 2 + I 1 ∗ ) + a σ 1 2 I 1 ∗ 2 + b σ 2 2 I 2 ∗ 2 (4.2) 和 L V 2 = p ( R − R ∗ ) ( γ 1 I 1 + γ 2 I 2 − μ R ) + 1 2 p σ 1 2 I 1 2 + 1 2 p σ 2 2 I 2 2 = p ( R − R ∗ ) ( γ 1 I 1 + γ 2 I 2 − μ R − γ 1 I 1 ∗ − γ 2 I 2 ∗ + μ R ∗ ) + 1 2 p σ 1 2 I 1 2 + 1 2 p σ 2 2 I 2 2 = p γ 1 ( I 1 − I 1 ∗ ) ( R − R ∗ ) + p γ 2 ( I 2 − I 2 ∗ ) ( R − R ∗ ) − μ p ( R − R ∗ ) 2 + 1 2 p σ 1 2 I 1 2 + 1 2 p σ 2 2 I 2 2 (4.3) 这里选取 a = 2 μ β 1 使得 2 μ − a β 1 = 0 ； b = 2 μ β 2 使得 2 μ − b β 2 = 0 。将 a ， b 的取值带入等式(4.2)中可以得到 L V 1 ≤ − μ ( S − S ∗ ) 2 − μ ( I 1 − I 1 ∗ ) 2 − μ ( I 2 − I 2 ∗ ) 2 − μ ( R − R ∗ ) 2     − 2 μ ( S − S ∗ ) ( R − R ∗ ) − 2 μ ( I 1 − I 1 ∗ ) ( I 2 − I 2 ∗ ) − 2 μ ( I 1 − I 1 ∗ ) ( R − R ∗ )     − 2 μ ( I 2 − I 2 ∗ ) ( R − R ∗ ) + b ε ( I 1 + I 1 ∗ ) + a σ 1 2 I 1 ∗ 2 + b σ 2 2 I 2 ∗ 2 那么则有， L V = L V 1 + L V 2 ≤ − μ ( S − S ∗ ) 2 − μ ( I 1 − I 1 ∗ ) 2 − μ ( I 2 − I 2 ∗ ) 2 − ( μ + p μ ) ( R − R ∗ ) 2 − 2 μ ( S − S ∗ ) ( R − R ∗ )     − 2 μ ( I 1 − I 1 ∗ ) ( I 2 − I 2 ∗ ) − ( 2 μ − p γ 1 ) ( I 1 − I 1 ∗ ) ( R − R ∗ ) − ( 2 μ − p γ 2 ) ( I 2 − I 2 ∗ ) ( R − R ∗ )     + b ε ( I 1 + I 1 ∗ ) + a σ 1 2 I 1 ∗ 2 + b σ 2 2 I 2 ∗ 2 + 1 2 p σ 1 2 I 1 2 + 1 2 p σ 2 2 I 2 2 如果我们令 p = 2 μ γ 1 ，也就是 2 μ − p γ 1 = 0 .又因为定理4.1的条件 γ 2 ≤ γ 1 ，所以就有 2 μ − p γ 2 ≥ 0 因此有 L V ≤ − μ ( S − S ∗ ) 2 − μ ( I 1 − I 1 ∗ ) 2 − μ ( I 2 − I 2 ∗ ) 2 − ( μ + p μ ) ( R − R ∗ ) 2     − 2 μ ( S − S ∗ ) ( R − R ∗ ) − 2 μ ( I 1 − I 1 ∗ ) ( I 2 − I 2 ∗ ) − ( 2 μ − p γ 2 ) ( I 2 − I 2 ∗ ) ( R − R ∗ )     + b ε ( I 1 + I 1 ∗ ) + a σ 1 2 I 1 ∗ 2 + b σ 2 2 I 2 ∗ 2 + 1 2 p σ 1 2 I 1 2 + 1 2 p σ 2 2 I 2 2 ≤ − μ ( S − S ∗ ) 2 − μ ( I 1 − I 1 ∗ ) 2 − μ ( I 2 − I 2 ∗ ) 2 − ( μ + p μ ) ( R − R ∗ ) 2       + ( 2 μ − p γ 2 ) I 2 ∗ R + ( 2 μ − p γ 2 ) R ∗ I 2 + 2 μ S ∗ R + 2 μ R ∗ S + 2 μ I 1 ∗ I 2       + 2 μ I 2 ∗ I 1 + b ε ( I 1 + I 1 ∗ ) + a σ 1 2 I 1 ∗ 2 + b σ 2 2 I 2 ∗ 2 + 1 2 p σ 1 2 I 1 2 + 1 2 p σ 2 2 I 2 2 ≤ − ( μ S 2 − 2 μ S ∗ S ) − [ ( μ − 1 2 p σ 1 2 ) I 1 2 − 2 μ I 1 ∗ I 1 ] − [ ( μ − 1 2 p σ 2 2 ) I 2 2 − 2 μ I 2 ∗ I 2 ]       − [ ( μ + p μ ) R 2 − 2 ( μ + p μ ) R ∗ R ] + ( 2 μ − p γ 2 ) I 2 ∗ R + ( 2 μ − p γ 2 ) R ∗ I 2       + 2 μ S ∗ R + 2 μ R ∗ S + 2 μ I 1 ∗ I 2 + 2 μ I 2 ∗ I 1 + b ε I 1 + b ε I 1 ∗ + a σ 1 2 I 1 ∗ 2 + b σ 2 2 I 2 ∗ 2 (4.4) 又因为存在不等式： ( 2 μ − p γ 2 ) I 2 ∗ R ≤ μ 4 R 2 + ( 2 μ − p γ 2 ) 2 μ I 2 ∗ 2 ； 2 μ S ∗ R ≤ μ 4 R 2 + 4 μ S ∗ 2 ； ( 2 μ − p γ 2 ) R ∗ I 2 ≤ μ 4 I 2 2 + ( 2 μ − p γ 2 ) 2 μ R ∗ 2 ； 2 μ R ∗ S ≤ μ 2 S 2 + 2 μ R ∗ 2 ； 2 μ I 2 ∗ I 1 ≤ μ 4 I 1 2 + 4 μ I 2 ∗ 2 ; 2 μ I 1 ∗ I 2 ≤ μ 4 I 2 2 + 4 μ I 1 ∗ 2 ; b ε I 1 = 2 μ β 2 ε I 1 ≤ μ 4 I 1 2 + 4 μ ε 2 β 2 2 . 所以将上述不等式带入(4.4)中可以得到 L V ≤ − ( μ 2 S 2 − 2 μ S ∗ S ) − ( μ − p σ 1 2 2 I 1 2 − 2 μ I 1 ∗ I 1 ) − ( μ − p σ 2 2 2 I 2 2 − 2 μ I 2 ∗ I 2 )     − [ ( μ 2 + p μ ) R 2 − 2 ( μ + p μ ) R ∗ R ] + ( 2 μ − p γ 2 ) 2 μ I 2 ∗ 2 + ( 2 μ − p γ 2 ) 2 μ R ∗ 2     + 4 μ S ∗ 2 + 2 μ R ∗ 2 + 4 μ I 2 ∗ 2 + 4 μ I 1 ∗ 2 + 4 μ ε 2 β 2 2 + b ε I 1 ∗ + a σ 1 2 I 1 ∗ 2 + b σ 2 2 I 2 ∗ 2 ≤ − μ 2 ( S − 2 S ∗ ) 2 − μ − p σ 1 2 2 ( I 1 − 2 μ μ − p σ 1 2 I 1 ∗ ) 2 − μ − p σ 2 2 2 ( I 2 − 2 μ μ − p σ 2 2 I 2 ∗ ) 2         − μ + 2 p μ 2 [ R − 2 ( 1 + p ) 1 + 2 p R ∗ ] 2 + 2 μ S ∗ 2 + 2 μ 2 μ − p σ 1 2 I 1 ∗ 2 + 2 μ 2 μ − p σ 2 2 I 2 ∗ 2         + 2 μ ( 1 + p ) 2 1 + 2 p R ∗ 2 + ( 2 μ − p γ 2 ) 2 μ I 2 ∗ 2 + ( 2 μ − p γ 2 ) 2 μ R ∗ 2 + 4 μ S ∗ 2 + 2 μ R ∗ 2         + 4 μ I 2 ∗ 2 + 4 μ I 1 ∗ 2 + 4 μ ε 2 β 2 2 + b ε I 1 ∗ + a σ 1 2 I 1 ∗ 2 + b σ 2 2 I 2 ∗ 2 : = − a 1 ( S − a 2 S ∗ ) 2 − a 3 ( I 1 − a 4 I 1 ∗ ) 2 − a 5 ( I 2 − a 6 I 2 ∗ ) 2 − a 7 ( R − a 8 R ∗ ) 2 + a 9 (4.5) 其中有 a 1 = μ 2 ， a 2 = 2 ， a 3 = μ − p σ 1 2 2 ， a 4 = 2 μ μ − p σ 1 2 ， a 5 = μ − p σ 2 2 2 ， a 6 = 2 μ μ − p σ 2 2 ， a 7 = μ + 2 p μ 2 ， a 8 = 2 ( 1 + p ) 1 + 2 p ， a 9 = 6 μ S ∗ 2 + 2 μ 2 + 4 μ ( μ − p σ 1 2 ) μ − p σ 1 2 I 1 ∗ 2 + 2 μ 3 + ( 2 μ − p γ 2 ) 2 ( μ − p σ 2 2 ) + 4 μ 2 ( μ − p σ 2 2 ) μ ( μ − p σ 2 2 ) I 2 ∗ 2             + 2 μ 2 ( 1 + p ) 2 + ( 2 μ − p γ 2 ) 2 ( 1 + 2 p ) + 2 μ 2 ( 1 + 2 p ) μ ( 1 + 2 p ) R ∗ 2 + 4 μ ε 2 β 2 2 + ( b ε + a σ 1 2 2 ) I 1 ∗ + b σ 2 2 I 2 ∗ 2 综上所述，可以得到 d V ( x ( t ) ) = L V d t − [ 2 μ β 1 ( I 1 − I 1 ∗ ) − 2 μ γ 1 ( R − R ∗ ) I 1 ] σ 1 d B 1 ( t )     − [ 2 μ β 2 ( I 2 − I 2 ∗ ) − 2 μ γ 1 ( R − R ∗ ) I 2 ] σ 2 d B 2 (t) 将上式两端从0到t积分并且取期望，然后将不等式(4.5)带入其中可得 0 ≤ E V ( x ( t ) ) ≤ V ( x ( 0 ) ) − E ∫ 0 t [ μ 2 ( S − 2 S ∗ ) 2 + μ − p σ 1 2 2 ( I 1 − 2 μ μ − p σ 1 2 I 1 ∗ ) 2                                             + μ − p σ 2 2 2 ( I 2 − 2 μ μ − p σ 2 2 I 2 ∗ ) 2 + μ + 2 p μ 2 ( R − 2 ( 1 + p ) 1 + 2 p R ∗ ) 2 ] d r + a 9 t 所以就有 E ∫ 0 t [ μ 2 ( S − 2 S ∗ ) 2 + μ − p σ 1 2 2 ( I 1 − 2 μ μ − p σ 1 2 I 1 ∗ ) 2 + μ − p σ 2 2 2 ( I 2 − 2 μ μ − p σ 2 2 I 2 ∗ ) 2 + μ + 2 p μ 2 ( R − 2 ( 1 + p ) 1 + 2 p R ∗ ) 2 ] d r ≤ V ( x ( 0 ) ) + a 9 t 将上式两端除以t并且令 t → ∞ ，就可以得到 lim sup t → ∞ 1 t E ∫ 0 t [ μ 2 ( S − 2 S ∗ ) 2 + μ − p σ 1 2 2 ( I 1 − 2 μ μ − p σ 1 2 I 1 ∗ ) 2 + μ − p σ 2 2 2 ( I 2 − 2 μ μ − p σ 2 2 I 2 ∗ ) 2 + μ + 2 p μ 2 ( R − 2 ( 1 + p ) 1 + 2 p R ∗ ) 2 ] d r ≤ a 9 令 M = min { μ 2 ， μ − p σ 1 2 2 ， μ − p σ 2 2 2 ， μ + 2 p μ 2 } ，那么最终得到结论 lim sup t → ∞ 1 t E ∫ 0 t [ ( S − 2 S ∗ ) 2 + ( I 1 − 2 μ μ − p σ 1 2 I 1 ∗ ) 2 + ( I 2 − 2 μ μ − p σ 2 2 I 2 ∗ ) 2 + ( R − 2 ( 1 + p ) 1 + 2 p R ∗ ) 2 ] d r ≤ a 9 M 定理证毕。 该定理证明了模型(1.2)的解在时间均值意义下在无穷远处围绕一个和 E ∗ 有关的定点 P ∗ = ( 2 S ∗ ， 2 μ μ − p σ 1 2 I 1 ∗ ， 2 μ μ − p σ 2 2 I 2 ∗ ， 2 ( 1 + p ) 1 + 2 p R ∗ ) 做随机振动，震动幅度不超过 a 9 M 。