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user: 3. 存在性与不变测度 本节主要证明随机蚊子种群模型的正解存在性与不变测度。 定理3.1 对任意 ( w ， g ， i ) ∈ R + 2 × M ，具有马尔可夫链的随机蚊子种群模型(1.3)存在初始值为 ( w 0 ， g 0 ， i 0 ) ∈ R + 2 × M 的唯一全局正解，且随机过程 ( w ( t ) ， g ( t ) ， α ( t ) ) 是一个马尔科夫费勒过程。此外，如果 g = 0 ，则 P w ， g ， i { w ( t ) > 0 ， t > 0 } = 1 和 P w ， g ， i { g ( t ) = 0 ， t > 0 } = 1 ，如果 g > 0 ，则 P w ， g ， i { g ( t ) > 0 ， t > 0 } = 1 。 证明：容易知道，在 ( w ， g ， i ) ∈ R + 2 × M 中，具有马尔可夫链的随机蚊子种群模型(1.3)的系数满足局部利普西兹条件，故系统(1.3)在时间 [ 0 ， τ e ] 内具有唯一连续解，其中 τ e = inf { t ≥ 0 : w ( t ) ∨ g ( t ) = ∞ } ， inf ϕ = ∞ ，且解是一个强马尔科夫过程 [ 11 ]。定义 τ k = inf { t ≥ 0 : w ( t ) ∨ g ( t ) > k } ， 故 τ e = lim k → ∞ τ k 。 考虑 V ^ 1 ( w ， g ， i ) = κ 0 w + g ，利用伊藤公式，获得 L V ˜ 1 ( w ， g ， i ) = κ 0 a ( i ) w 2 1 + w + g − κ 0 w μ 1 ( w ， i ) − k ˜ ( i ) g   + w [ b ( w ， g ， i ) 1 + w − κ 0 ( w + g ) ξ 1 ( w ， g ， i ) ] ≤ κ 0 a ( i ) w 2 1 + w + g + b ( w ， g ， i ) w 1 + w 因此， E w ， g ， i V ^ 1 ( w ( τ k ∧ t ) ， g ( τ k ∧ t ) ， α ( τ k ∧ t ) ) ≤ V ^ 1 ( w ， g ， i ) + κ 0 a ( i ) w 2 1 + w + g + b ( w ， g ， i ) w 1 + w ，这意味着 P w ， g ， i { τ k < t } ≤ P w ， g ， i { V ^ 1 ( w ( τ k ∧ t ) ， g ( τ k ∧ t ) ， α ( v ) ) ≥ k } ≤ V ^ 1 ( w ， g ， i ) + κ 0 a ( i ) w 2 1 + w + g + b ( w ， g ， i ) w 1 + w k → 0 ，   k → ∞ . 故有 P w ， g ， i { τ e ≤ t } = 0 或 P w ， g ， i { τ e > t } = 1 ，   ∀ t > 0 ，从而，有 P w ， g ， i { τ e = ∞ } = 1 。因此，具有马尔可夫链的随机蚊子种群模型(1.3)存在唯一的全局连续解。 下面，关注正解的情况。首先，假设 w ， g > 0 ，对任意 n ∈ Z + ，我们定义以下截断函数： μ 1 ( n ) ( w ， i ) = μ 1 ( w ∧ n ， i ) ； ξ 1 ( n ) ( w ， g ， i ) = ξ 1 ( w ∧ n ， g ∧ n ， i ) ； b ( n ) ( w ， g ， i ) = b ( w ∧ n ， g ∧ n ， i ) 。特别地，让 μ 1 ( n ) ， ξ 1 ( n ) ， b ( n ) 替代 μ 1 ， ξ 1 ， b 。 ( w ( n ) ( t ) ， g ( n ) ( t ) ) 成为系统(1.3)与(1.4)的解。注意 η ( n ) = inf { t ≥ 0 : w ( n ) ( t ) ∧ g ( n ) ( t ) ≤ 0 } η k ( n ) = inf { t ≥ 0 : w ( n ) ( t ) ∧ g ( n ) ( t ) < 1 k } 并且有 η ( n ) = lim k → ∞ η k ( n ) 。考虑 V ^ 2 ( n ) ( w ， g ， i ) = w − c 1 ( n ) − c 1 ( n ) ln w c 1 ( n ) + c 2 ( g − ln g − 1 ) ， 其中 c 2 = 1 κ 0 ， c 1 ( n ) = max i ∈ M sup w > 0 g μ 1 ( n ) ( w ， i ) ( w + g ) ξ 1 ( n ) ( w ， g ， i ) 。令 c 2 ( n ) : = max i ∈ M sup w > 0 w μ 1 ( n ) ( w ， i ) g ， w > 5 + 4 g 2 ， g > 0 ， 。 由于 ξ 1 ( n ) ( w ， g ， i ) 满足局部利普西兹条件， ξ 1 ( n ) ( 0 ， g ， i ) = 0 ，所以 sup w > 0 ξ 1 ( n ) ( w ， g ， i ) w < ∞ 。类似地， sup w > 0 μ 1 ( n ) ( w ， i ) w < ∞ 。根据伊藤公式，有 L V ^ 2 ( n ) ( w ， g ， i ) = ( 1 − c 1 ( n ) g ) ( a ( i ) w 2 1 + w + g − w μ 1 ( n ) ( w ， i ) − w ( w + g ) ξ 1 ( n ) ( w ， g ， i ) ) + c 1 ( n ) σ 1 2 ( i ) 2     + ( c 2 − c 2 g ) ( w b ( n ) ( w ， g ， i ) 1 + w + g − g k ˜ ( i ) ) + c 2 σ 2 2 ( i ) 2 ≤ a ( i ) w 2 1 + w + g + c 1 ( n ) c 2 ( n ) + c 2 k ˜ ( i ) ( g + i ) + c 1 ( n ) σ ^ 1 2 + c 2 σ ^ 2 2 2 + c 2 k ^     + w [ c 1 ( n ) ( w + g ) ξ 1 ( n ) ( w ， g ， i ) g − μ 1 ( n ) ( w ， i ) ]     + w [ c 2 b ( n ) ( w ， g ， i ) 1 + w − c 2 b ( n ) ( w ， g ， i ) g ( 1 + w ) ] ≤ a ( i ) + c 1 ( n ) c 2 ( n ) + c 1 ( n ) σ ^ 1 2 + c 2 σ ^ 2 2 2 : = K ( n ) ;     w ， g > 0. 其中算子 L ( n ) 定义作 L ， ξ 1 ， μ 1 ， b 替换为 ξ 1 ( n ) ， μ 1 ( n ) ， b ( n ) 。再次运用伊藤公式，获得 E w ， g ， i V ^ 2 ( n ) ( w ( n ) ( η k ( n ) ∧ t ) ， g ( n ) ( η k ( n ) ∧ t ) ， α ( n ) ( η k ( n ) ∧ t ) ) = V ^ 2 ( n ) ( w ， g ， i ) + E w ， g ， i ∫ 0 η k ( n ) ∧ t L V ^ 2 ( n ) ( w ( n ) ( u ) ， g ( n ) ( u ) ， α ( n ) ( u ) ) d u ≤ V ^ 2 ( n ) ( w ， g ， i ) + K ( n ) t . 因此，由 V ^ 2 ( n ) 的定义，如果 η k ( n ) < t ，则 V ^ 2 ( n ) ( w ( n ) ( η k ( n ) ∧ t ) ， g ( n ) ( η k ( n ) ∧ t ) ， α ( n ) ( η k ( n ) ∧ t ) ) ≥ ( c 1 ( n ) ln k c 1 ( n ) − c 1 ( n ) ) ∧ ( c 2 ln k − c 2 ) . 从而，获得 P w ， g ， i { η k ( n ) < t } ≤ V ^ 2 ( n ) ( w ， g ， i ) + K ( n ) t ( c 1 ( n ) ln k c 1 ( n ) − c 1 ( n ) ) ∧ ( c 2 ln k − c 2 ) → 0 ;     as     k → ∞ 且对任意 n ∈ Z + ， P w ， g ， i { η ∞ ( n ) = ∞ } = 1 ，即 P w ， g ， i { w ( n ) ( t ) ， g ( n ) ( t ) > 0 : ∀ t > 0 } = 1. 对任意的 t > 0 和 w ∈ { τ e = ∞ } ∩ { w ( n ) ( t ) ， g ( n ) ( t ) > 0 : ∀ t > 0 ， n ∈ Z + } ，存在 n 0 = n 0 ( ω ， t ) ，使得 w ( y ) ( ω ) ∨ g ( y ) ( ω ) < n 0 ;     ∀ 0 ≤ y ≤ t . 成立，从而，有 w ( t ) ( ω ) = w ( n 0 ) ( t ) ( ω ) > 0 ， g ( t ) ( ω ) = g ( n 0 ) ( t ) ( ω ) > 0. 结合 P w ， g ， i { τ e = ∞ } = 1 ，故有 P w ， g ， i { w ( t ) > 0 : t > 0 } = P w ， g ， i { g ( t ) > 0 : t > 0 } = 1 ; ∀ w ， g > 0. (3.1) 如果 w > 0 ， g = 0 ，则选择 c 2 = 0 ，证明 P w ， g ， i { w ( t ) > 0 : t > 0 } = 1 。显然 P w ， g ， i { g ( t ) = 0 : t > 0 } = 1 。 考虑初始值 w 0 = 0 和 g 0 ≥ 0 的情况，令 ε > 0 满足充分小，即 a ( i ) w ˜ 2 1 + w ˜ + g − w ˜ μ 1 ( w ˜ ， i ) − w ˜ ( w ˜ + g ) ξ 1 ( w ˜ ， g ， i ) ≥ 0. (3.2) 对任意 ( w ˜ ， g ˜ ， i ˜ ) ∈ R 2 × M ，满足 w ˜ + | g ˜ − g | < ε 。令 τ ˜ 1 = inf { t > 0 : w ( t ) + | g ( t ) − g | ≥ ε } . 由于随机过程 ( w ( t ) ， g ( t ) ) 具有连续性，故 P 0 ， g ， i { τ ˜ 1 > 0 } = 1 。根据常数变易法公式 [ 12 ]，将 w ( t ) 定义成如下形式： w ( t ) = Φ ( t ) [ ∫ 0 t Φ − 1 ( u ) ( a ( α ( u ) ) w ( u ) 2 1 + w ( u ) + g − w ( u ) μ 1 ( w ( u ) ， α ( u ) ) − w ( u ) ( w ( u ) + g ) ξ 1 ( w ( u ) ， g ( u ) ， α ( u ) ) ) d u ] (3.3) 其中 Φ ( t ) = exp ( − ∫ 0 t σ 1 2 ( α ( u ) ) 2 d u + ∫ 0 t     σ 1 ( α ( u ) ) d B 2 ( u ) ) ， t ∈ [ 0 ， τ ˜ 1 ) 。 根据(3.2)，当 t ∈ ( 0 ， τ ˜ 1 ] 时，有 a ( α ( u ) ) w ( u ) 2 1 + w ( u ) + g − w ( u ) μ 1 ( w ( u ) ， α ( u ) ) − w ( u ) ( w ( u ) + g ) ξ 1 ( w ( u ) ， g ( u ) ， α ( u ) ) > 0. 由上式与(3.3)相结合，获得 P 0 ， g ， i { w ( t ) > 0 ， t ∈ ( 0 ， τ ˜ 1 ] } = 1. 由于过程 ( w ( t ) ， g ( t ) ， α ( t ) ) 具有强马尔科夫性，结合(3.1)得 P 0 ， g ， i { w ( t ) > 0 ， t ∈ ( 0 ， ∞ ] } = 1. 定理得证。 定理3.2 如果满足假设2.1和2.2条件，则下列结论成立 如果 λ < 0 ，则 lim t → ∞ ln g ( t ) t = λ 几乎处处成立。且 ( w ( t ) ， α ( t ) ) 分布弱收敛于唯一不变概率测度 π 。 如果 λ = 0 ，则 lim T → ∞ 1 T E w ， g ， i ∫ 0 T w ( t ) d t = a ，     lim T → ∞ 1 T E w ， g ， i ∫ 0 T g ( t ) d t = 0. (3.4) 此外，如果对于 i ∈ M ， ∂ μ 1 ( w ， i ) ∂ w 和 ∂ b ( w ， 0 ， i ) ∂ w 存在且正连续，则 ∂ μ 1 ( w ， i ) ∂ w 的下界是一个正常数。 如果 λ > 0 ，则在空间 R + 2 ， o × M 中存在一个不变概率测度 μ * 与 lim t → ∞ ‖ P ( t ， w ， i ， ⋅ ) − μ * ( ⋅ ) ‖ T V = 0 。此外，对于 q ∈ ( 0 ， 1 ] ，有 lim w → ∞ μ 1 ( w ， i ) w q > 0 ，   i ∈ M 。并且有： i) 对于 q < 1 的情况，对任意 1 ≤ β < 1 1 − q lim t → ∞ t β − 1 ‖ P ( t ， w ， g ， i ， ⋅ ) − μ * ( ⋅ ) ‖ T V = 0 ，     ( w ， g ， i ) ∈ R + × R + o × M ; (3.5) ii) 对于 q = 1 的情况，此时存在一个 r ˜ > 0 ，有 lim t → ∞ e r ˜ t ‖ P ^ ( t ， w ， i ， ⋅ ) − μ * ( ⋅ ) ‖ T V = 0 ，     ( w ， g ， i ) ∈ R + × R + ο × M . 其中 P ( t ， w ， g ， i ， ⋅ ) 是 ( w ( t ) ， g ( t ) ， α ( t ) ) 的转移概率。 证明：令 g ( t ) = 0 来检查边界，让 w ^ ( t ) 成为(1.3)在 g ( t ) = 0 时的解，即 d w ^ ( t ) = [ a ( t ) w ^ ( t ) 1 + w ^ ( t ) − μ 1 ( w ^ ( t ) ， α ( t ) ) − ξ 1 ( w ( t ) ， 0 ， α ( t ) ) ] w ^ ( t ) d t + σ 1 ( α ( t ) ) w ^ ( t ) d B 1 ( t ) 根据比较定理，当 w ( t ) > 0 时， a ( t ) w ( t ) 1 + w ( t ) ≤ a ( t ) ，有 d w ^ ( t ) ≤ [ a ( t ) − μ 1 ( w ^ ( t ) ， α ( t ) ) ] w ^ ( t ) d t + σ 1 ( α ( t ) ) w ^ ( t ) d B 1 ( t ) . (3.6) 对于充分小的 w ^ ( t ) > 0 ， [ L ^ ( w + ln w 1 + w ) ] ( w ， i ) ≤ − 1       if   w < w ^     or       w > 1 w ^ L ^ 是方程(3.6)的相关算子。由于它的非退化性，方程(3.6)的扩散系数是正常返的，且系统(3.6)存在唯一不变测度 π 。此外， lim t → ∞ ‖ P ^ ( t ， w ， i ， ⋅ ) − π ( ⋅ ) ‖ T V = 0 ，     ( w ， i ) ∈ ( 0 ， ∞ ) × M . (3.7) 其中 ‖   ⋅   ‖ T V 是测度的总变差范数， P ^ ( t ， w ， i ， ⋅ ) 是 ( w ^ ( t ) ， α ( t ) ) 的转移概率。由于 P 0 ， i { w ^ ( t ) > 0 ， t > 0 } = 1 ，当 w = 0 时，式(3.7)仍然成立。 当 g ( t ) 很小时， w ( t ) 可以用 w ^ ( t ) 近似表示。由伊藤公式和随机过程 ( w ^ ( t ) ， α ( t ) ) 的遍历性，当 g ( t ) 很小时，它的长期增长率 ln g ( t ) t 可以由临界值近似得到 λ : = ∑ i ∈ M ∫ R + 0 ( b ( w ， 0 ， i ) − k ˜ ( i ) − σ 2 2 ( i ) 2 π ( d w ， i ) ) (3.8) 所以，符号 λ 决定了 g ( t ) 是否收敛于0。 1) λ = 0 的情况。 运用反证法进行论证。假设 ( w ( t ) ， g ( t ) ， α ( t ) ) 在 R + 2 ， o × M 上有一个不变概率测度 μ * 。根据遍历性，我们进一步得到对于每个初始值 ( w 0 ， g 0 ， i 0 ) ，有 lim T → ∞ 1 T ∫ 0 T h ( w ( t ) ， g ( t ) ， α ( t ) ) d t = ∑ i ∈ M ∫ R + 2 ， ο h ( w ′ ， g ′ ， i ′ ) μ * ( d w ′ ， d g ′ ， i ′ ) (3.9) 对任意的可测函数h来说是 μ * 可积的。由于转移概率密度是连续且为正的，不变测度 μ * 是唯一的，等价于 m ˜ × π α ，其中 m ˜ 是在 R + 2 ， o 上的勒贝格测度。因此，如果 μ * ( A ) = 1 ，那么当 t > 0 时，对每个 ( w ， g ， i ) ∈ R + 2 ， o × M 有 P w ， g ， i ( ( w ( t ) ， g ( t ) ， α ( t ) ) ∈ A ) = 1 ，这意味着对于任意初始值 ( w 0 ， g 0 ， i 0 ) ∈ R + 2 ， o × M ，式(3.9)成立。根据比较定理，当 w ^ ( 0 ) = w ( 0 ) 时， P { w ^ ( t ) ≥ w ( t ) } = 1 。因此，由式(1.3)，(3.6)和 w ( t ) ， w ^ ( t ) 是非负的，以及在 μ 1 ( ⋅ ， ⋅ ) 上w是非减的，有 lim T → ∞ sup E w ， g ， i 1 T ∫ 0 T μ 1 ( w ( t ) ， α ( t ) ) d t ≤ lim T → ∞ sup 1 T E g ， i ∫ 0 T μ 1 ( w ^ ( t ) ， α ( t ) ) d t ≤ a . (3.10) 此外，由于 i ∈ M ， ∂ μ 1 ( w ， i ) ∂ w 的下界是一个正常数， μ 1 ( 0 ， i ) = 0 ，因此存在一个 g ¯ 1 > 0 ，有 μ 1 ( w ， i ) ≥ g ¯ 1 ，     ∀ i ∈ M . (3.11) 令 0 < p ¯ < g ¯ 1 2 σ ^ 1 2 和 0 < g ¯ 2 < ( 1 + p ¯ ) g 1 4 通过伊藤公式，得到 E w ， i e g ¯ 2 T w ^ 1 + p ¯ ( T ) = w 1 + p ¯ + E w ， i ∫ 0 T e g ¯ 2 t ( 1 + p ¯ ) w ^ p ¯ + 1 ( t ) [ ( a − μ 1 ( w ^ ( t ) ， α ( t ) ) ) + p ¯ σ 1 2 ( α ( t ) ) 2 + g ¯ 2 1 + p ¯ ] d t ≤ w 1 + p ¯ + E w ， i ∫ 0 T e g ¯ 2 t ( 1 + p ¯ ) w ^ p ¯ + 1 ( t ) ( a − g ¯ 1 2 ) d t ≤ w 1 + p ¯ + g ¯ 3 e g ¯ 2 T g ¯ 2 ， 其中 g ¯ 3 : = ( 1 + p ¯ ) 2 a p ¯ + 1 ( a − σ ^ 1 2 ) g ¯ 1 。 从而，得到 lim T → ∞ sup E w ， g ， i w 1 + p ¯ ( T ) ≤ lim T → ∞ sup E w ， i w ^ 1 + p ¯ ( T ) ≤ g ¯ 3 g 2 . (3.12) 此外，还有 E w ， g ， i ( w ( T ) + g ( T ) ) 1 + p ¯ 是在T中一致有界的. (3.13) 根据伊藤公式，得到 E w ， i w ^ 1 + p ¯ ( T ) T = w 1 + p ¯ T + a ( 1 + p ¯ ) T E w ， i ∫ 0 T w ^ 1 + p ¯ ( t ) d t   − 1 + p ¯ T E w ， i ∫ 0 T w ^ 1 + p ¯ ( t ) μ 1 ( w ^ ( t ) ， α ( t ) ) d t   + p ¯ ( 1 + p ¯ ) 2 T E w ， i ∫ 0 T σ 1 2 ( α ( t ) ) w ^ 1 + p ¯ ( t ) d t . 结合式(3.12)，可以知道，对于 g ¯ 4 < ∞ ，有 lim T → ∞ sup 1 T E w ， i ∫ 0 T w ^ 1 + p ¯ ( t ) μ 1 ( w ^ ( t ) ， α ( t ) ) d t ≤ g ¯ 4 . (3.14) 根据式(3.6)和(3.12)，获得 lim T → ∞ 1 T E w ， i ∫ 0 T ( a − μ 1 ( w ^ ( t ) ， α ( t ) ) ) w ^ ( t ) d t = lim T → ∞ E w ， i w ^ ( T ) − w 0 T = 0. 因此，有 lim T → ∞ 1 T E w ， i ∫ 0 T μ 1 ( w ^ ( t ) ， α ( t ) ) d t = a . (3.15) 根据(1.3)，可知道 E w ， g ， i ∫ 0 T w ( t ) ( w ( t ) + g ( t ) ) ξ 1 ( w ( t ) ， g ( t ) ， α ( t ) ) d t ≤ a T + w 0 ，     T ≥ 0. 此外，根据式(3.13)的一致有界性， ξ 1 的线性增长有界性，式(3.10)的几乎肯定收敛以及控制收敛定理，得到 lim T → ∞ 1 T E w ， g ， i ∫ 0 T ( a ( α ( t ) ) w 2 ( t ) 1 + w ( t ) + g ( t ) − μ 1 ( w ( t ) ， α ( t ) ) w ( t ) ) d t ≤ lim T → ∞ 1 T E w ， g ， i ∫ 0 T ( a − μ 1 ( w ( t ) ， α ( t ) ) ) w ( t ) d t = ∑ i ′ ∈ M ∫ R + 2 ， o w ′ ( a − μ 1 ( w ′ ， i ′ ) ) μ * ( d w ′ ， d g ′ ， i ′ ) = : g ^ (3.16) 根据(1.3)和(3.13)，容易知道，极限 lim T → ∞ 1 T E w ， g ， i ∫ 0 T w ( t ) ( w ( t ) + g ( t ) ) ξ 1 ( w ( t ) ， g ( t ) ， α ( t ) ) d t 存在，且 lim T → ∞ 1 T E w ， g ， i ∫ 0 T ( a ( α ( t ) ) w 2 ( t ) 1 + w ( t ) + g ( t ) − w ( t ) μ 1 ( w ( t ) ， α ( t ) ) − w ( t ) ( w ( t ) + g ( t ) ) ξ 1 ( w ( t ) ， g ( t ) ， α ( t ) ) ) d t = lim T → ∞ E w ， g ， i w ( T ) − w 0 T = 0. (3.17) 根据法图引理，有 lim T → ∞ 1 T E w ， g ， i ∫ 0 T w ( t ) ( w ( t ) + g ( t ) ) ξ 1 ( w ( t ) ， g ( t ) ， α ( t ) ) d t = g ^ ≥ ∑ i ′ ∈ M ∫ R + 2 ， o w ′ ξ 1 ( w ′ ， g ′ ， i ′ ) μ * ( d w ′ ， d g ′ ， i ′ ) > 0. 根据(3.15)和(3.16)，有 lim T → ∞ 1 T E w ， g ， i ∫ 0 T [ μ 1 ( w ^ ( t ) ， α ( t ) ) − μ 1 ( w ( t ) ， α ( t ) ) ] d t = g ^ ，     w ， g ≥ 0 ， i ∈ M . (3.18) 令 H > 1 为一个充分大的常数并且满足 g ¯ 4 H p ≤ g ^ 2 ，得到 lim T → ∞ sup 1 T E w ， g ， i ∫ 0 T 1 { w ^ ( t ) > H } ( μ 1 ( w ^ ( t ) ， α ( t ) ) − μ 1 ( w ( t ) ， α ( t ) ) ) d t ≤ lim T → ∞ sup 1 T E w ， g ， i ∫ 0 T w ^ p ( t ) H p ¯ μ 1 ( w ^ ( t ) ， α ( t ) ) d t ≤ g ¯ 4 H p ¯ ≤ g ^ 2 . (3.19) 根据(3.18)和(3.19)，得出 lim T → ∞ inf 1 T E w ， g ， i ∫ 0 T 1 { w ^ ( t ) ≤ H } [ μ 1 ( w ^ ( t ) ， α ( t ) ) − μ 1 ( w ( t ) ， α ( t ) ) ] d t ≥ g ^ 2 . (3.20) 因为 ∂ μ 1 ( w ， 0 ， i ) ∂ w 是连续和非负的，所以存在一个 g ¯ 5 H < ∞ ，有 μ 1 ( w 1 ， i ) − μ 1 ( w 2 ， i ) ≤ g ¯ 5 H ( w 1 − w 2 ) ，     ∀ 0 ≤ w 2 ≤ w 1 ≤ H ，   i ∈ M . 因此，式(3.20)可以表示为 lim T → ∞ inf 1 T E w ， g ， i ∫ 0 T 1 { w ^ ( t ) ≤ H } ( w ^ ( t ) − w ( t ) ) d t ≥ θ g ^ 2 g ¯ 5 H . (3.21) 类似地，存在一个 g ¯ 6 H > 0 ，对任意的 0 ≤ w 2 ≤ w 1 ≤ H 有 b ( w 1 0 ， i ) − b ( w 2 ， 0 ， i ) ≥ g ¯ 6 H ( w 1 − w 2 ) ，     i ∈ M . 因此，结合 b ( w ， g ， i ) 在g上是非增的，我们知道，存在 g ≥ 0 ， 0 ≤ w 2 ≤ w 1 ≤ H ，有 b ( w 1 0 ， i ) − b ( w 2 ， g ， i ) ≥ g ¯ 6 H ( w 1 − w 2 ) ，       i ∈ M . (3.22) 由式(30.21)和(3.22)，得到 lim T → ∞ 1 T E w ， g ， i ∫ 0 T ( b ( w ^ ( t ) ， 0 ， α ( t ) ) − b ( w ( t ) ， g ( t ) ， α ( t ) ) ) d t ≥ lim T → ∞ 1 T E w ， g ， i ∫ 0 T 1 { w ^ ( t ) ≤ H } ( b ( w ^ ( t ) ， 0 ， α ( t ) ) − b ( w ( t ) ， g ( t ) ， α ( t ) ) ) d t ≥ g ¯ 6 H lim T → ∞ inf 1 T E w ， g ， i ∫ 0 T 1 { w ^ ( t ) ≤ H } ( w ^ ( t ) − w ( t ) ) d t ≥ g ¯ 6 H g ^ 2 g ¯ 5 H . 因此，获得 ∑ i ′ ∈ M ∫ R + 2 ， o ( b ( w ′ ， g ′ ， i ′ − k ˜ ( i ) − σ 2 2 ( i ) 2 ) ) μ * ( d g ′ ， d w ′ ， i ′ ) = lim T → ∞ 1 T E w ， g ， i ∫ 0 T ( b ( w ( t ) ， g ( t ) ， α ( t ) ) − k ˜ ( α ( t ) ) − σ 2 2 ( α ( t ) ) 2 ) d t ≤ lim T → ∞ 1 T E w ， g ， i ∫ 0 T ( b ( w ^ ( t ) ， 0 ， α ( t ) ) − k ˜ ( α ( t ) ) − σ 2 2 ( α ( t ) ) 2 ) d t ≤ λ − g ¯ 6 H g ^ 2 g ¯ 5 H = − g ¯ 6 H g ^ 2 g ¯ 5 H . (3.23) 根据式(1.3)，伊藤公式，遍历性以及(3.23)，得到 lim T → ∞ ln g ( T ) T = lim T → ∞ 1 T ( g ( 0 ) + ∫ 0 T σ 2 ( α ( t ) ) d B 2 ( t ) )     + lim T → ∞ 1 T ∫ 0 T ( b ( w ( t ) ， g ( t ) ， α ( t ) ) − k ˜ ( α ( t ) ) − μ 2 ( α ( t ) ) ) ≤ − g ¯ 6 H g ^ 2 g ¯ 5 H < 0.     a .s 综合上述，得 ℙ w ， g ， i { lim T → ∞ g ( T ) = 0 } = 1. 这个结果与随机过程在空间 R + 2 ， o × M 上具有不变概率测度的假设相矛盾。此外， π × δ * 是随机过程 ( w ( t ) ， g ( t ) ， α ( t ) ) 在 R + × M × R + 中的唯一不变测度， δ * 是度量为0的狄拉克测度。考虑经验测度 Π t w ， g ， i ( ⋅ ) = 1 t ∫ 0 t P w ， g ， i { ( w ( s ) ， g ( s ) ， α ( s ) ) ∈ ⋅ } d s . 回顾式(3.13)，对每一个 ( w ， g ， i ) ∈ R + 2 × M ，函数族 { Π t w ， g ， i ( ⋅ ) ， t ≥ 0 } 是紧集。由 [ 13 ]， Π t w ， g ， i ( ⋅ ) 在 t → ∞ 时的任何弱极限都是 ( w ( t ) ， g ( t ) ， α ( t ) ) 的不变概率测度。由于 π × δ * 是唯一不变概率测度，且 E w ， g ， i ( w ( t ) + g ( t ) ) 1 + p ¯ 在T中有界，故 lim T → ∞ 1 T E w ， g ， i ∫ 0 T w ( t ) d t = a ， lim T → ∞ 1 T E w ， g ， i ∫ 0 T g ( t ) d t = 0 。 2） λ < 0 的情况。 令 g ^ v ( t ) 成为以下方程的解 d g ^ ( t ) = b ( i ) w ^ ( t ) 1 + w ^ ( t ) − k ˜ ( i ) g ^ ( t ) d t + σ 2 ( i ) g ^ ( t ) d B ( t ) ，   g ^ ( 0 ) = v ， 其中 w ^ ( t ) 是(3.6)的解。根据比较定理，给定 w ^ ( 0 ) = w ( 0 ) = u ，   g ( 0 ) = g ^ ( 0 ) = v ，则 g u ， v ( t ) ≤ g ^ v ( t ) 几乎处处成立。再次利用比较定理，获得 b w ^ ( t ) 1 + w ^ ( t ) ≤ b ≤ b w ^ ( t ) ，     w ^ ( t ) > 0. 根据伊藤公式， w ^ u ( t ) 的遍历性， lim t → ∞ sup 1 t ln g ^ v ( t ) = lim t → ∞ sup 1 t ∫ 0 t ( b w ^ ( τ ) 1 + w ^ ( τ ) − ( k ˜ + σ 2 2 2 ) ) d τ + σ 2 B ( t ) t ≤ lim t → ∞ sup 1 t ∫ 0 t ( b w ^ ( t ) − ( k ˜ + σ 2 2 2 ) ) d τ + σ 2 B ( t ) t = b − ( k ˜ + σ 2 2 2 ) = λ < 0 ，       a .s . 再由假设2.2的条件(2)，类似 λ > 0 情况的证明，得到 E g ， w ， i V 5 ρ 4 ρ 3 ( w ( n * T 2 ) ， g ( n * T 2 ) ， α ( n * T 2 ) ) ≤ q ^ * V 5 ρ 4 ρ 3 ( w ， g ， i ) + K ^ * ;   i ∈ M ，   w ≥ 0 ，   g ≤ ε 3 ， 其中 β 3 ， β 4 ， n * ， T 2 ， q ^ * ∈ ( 0 ， 1 ) ， K ^ * ， ε 3 是常数， V 5 ( w ， g ， i ) = ( 1 − ρ 3 γ i ) g ρ 3 。根据( [ 14 ]，定理5.1和5.2]的证明，获得 ( w ( t ) ， α ( t ) ) 分布弱收敛于唯一不变概率测度 π 的结果。 3) λ > 0 的情况。 这是转移概率的总变差收敛到一个不变测度的证明。由 [ 15 ] W ( w ， g ， i ) = w + g ，   V ( w ， g ， i ) = ln g 1 + g ，得到 g ( t ) 的持久性和 ( w ( t ) ， g ( t ) ， α ( t ) ) 在 R + 2 ， o 上的不变概率测度的存在性。由于扩散项的非退化性，对任意的 t 0 > 0 ，随机过程 { ( w ( n t 0 ) ， g ( n t 0 ) ， α ( n t 0 ) ， n ∈ Z + ) } 具有不可约性和强费勒性质，则随机过程 ( w ( t ) ， g ( t ) ， α ( t ) ) 在 R + 2 ， o 上的转移概率到其不变概率测度的总变差具有收敛性 [ 11 ]。 现在，加以考虑收敛速度。假设2.2的条件(3)成立，回顾(3.6)，存在一个 H ^ > 0 ，有 ∑ i ∈ M ( inf g ≥ H ^ b ( w ， 0 ， i ) − k ˜ ( i ) − σ 2 2 ( i ) 2 ) π α ( i ) > 0. (3.24) 因此，由于 b ( w ， g ， i ) 在 g = 0 的一致连续性，存在一个 ε 1 > 0 ，有 4 λ ˜ : = ∑ i ∈ M     h ^ i π α ( i ) > 0 ， (3.25) 其中 h ^ i : = inf ( w ， g ) ∈ [ H ^ ， ∞ ) × [ 0 ， ε 1 ] { b ( w ， g ， i ) } − k ˜ ( i ) − σ 2 2 ( i ) 2 . 由于 ∑ i ∈ M ( 4 λ ˜ − h ^ i ) π α ( i ) = 0 ，根据佛雷德霍姆替代，存在 φ i > 0 ， i ∈ M ，有 ∑ j ∈ M     q i j φ j = 4 λ ˜ − h ^ i ，     ∀ i ∈ M . 令 ρ 1 满足充分小，有 ρ 1 φ i ( − 4 λ ˜ + h ^ i ) < λ ˜ ( 1 − ρ 1 φ i ) ，     ρ 1 σ 2 2 ( i ) < 4 λ ˜ ，     ρ 1 φ 1 < 1 ，     ∀ i ∈ M . 定义 V 3 = ( w ， g ， i ) = ( 1 − ρ 1 φ i ) g − ρ 1 ，获得 L V 3 ( w ， g ， i ) = ρ 1 V 3 ( w ， g ， i ) ( − b ( w ， g ， i ) + k ˜ ( i ) + 1 + ρ 1 2 σ 2 2 ( i ) )   + ρ 1 ( − 4 λ ˜ + h ^ i ) V 3 ( w ， g ， i ) + ρ 1 2 φ i ( − 4 λ ˜ + h ^ i ) w − ρ 1 ≤ − 2 ρ 1 λ V 3 ( w ， g ， i ) + ρ 1 2 φ i ( − 4 λ ˜ + h ^ i ) w − ρ 1 ≤ − ρ 1 λ ˜ V 3 ( w ， g ， i ) ， (3.26) 其中 i ∈ M ， w ≥ H ^ ， g ≤ ε 1 。由于 [ L 1 g ] ( w ， g ， i ) ≤ k ˜ ( i ) + σ 2 2 ( i ) g ≤ k ^ + σ ^ 2 2 g ， 则，有 E w ， g ， i g − 1 ( t ) ≤ e ( k ^ + σ ^ 2 2 ) t g − 1 ，     t ≥ 0 ，   ( w ， g ， i ) ∈ R + 2 ， o × M . (3.27) 另一方面，由可知式(3.8)，存在一个 T 1 > 1 ，满足 − ln ( 1 − ρ 1 φ 1 ) < ρ 1 λ T 1 4 ，     ∀ i ∈ M . (3.28) 因此， 1 T E w ， 0 ， i ∫ 0 T ( b ( w ( t ) ， 0 ， α ( t ) ) − k ˜ ( α ( t ) ) − σ 2 2 ( α ( t ) ) 2 ) d t > 3 λ 4 ，   i ∈ M ，   T ≥ T 1 ，   w ≤ H ^ . (3.29) 令 n * ∈ Z + 和 n * > k ^ + σ ^ 2 2 λ ˜ + 1 ，根据( [ 13 ]，命题4.1)，存在一些 ρ 2 ∈ ( 0 ， ρ 1 ) 和 ε 2 ∈ ( 0 ， ε 1 ) ，满足 E w ， g ， i g − ρ 2 ( t ) ≤ e − ρ 2 λ t 2 g − ρ 2     for     i ∈ M ，   t ∈ [ T 1 ， n * T 1 ] ，   w ≤ H ^ ，   g < ε 2 . (3.30) 利用定义的 ρ 2 ，由式(3.28)和(3.30)，得 E w ， g ， i V 3 ρ 1 ρ 2 ( w ( t ) ， g ( t ) ， α ( t ) ) ≤ E w ， g ， i g − ρ 2 ( t ) ≤ e − ρ 2 λ t 2 g − ρ 2 = e − ρ 2 λ t 2 V 3 ρ 2 ρ 1 ( w ， g ， i ) ( 1 − ρ 1 φ i ) − ρ 2 ρ 1 ≤ e − ρ 2 λ t 2 V 3 ρ 2 ρ 1 ( w ， g ， i ) e − ρ 2 λ t 4 ≤ e − ρ 2 λ t 2 V 3 ρ 2 ρ 1 ( w ， g ， i ) . (3.31) 其中 ∀ i ∈ M ， t ∈ [ T 1 ， n * T 1 ] ， w ≤ H ^ ， g < ε 2 。 由于 ρ 2 < ρ 1 ，应用伊藤公式，由(3.28)，得 L V 3 ρ 2 ρ 1 ( w ， g ， i ) ≤ − ρ 2 λ ˜ V 3 ρ 2 ρ 1 ( w ， g ， i ) ，   ∀ i ∈ M ，   w ≤ H ^ ，   g ≤ ε 2 . (3.32) 当g足够小且 w ≥ 0 时，应用(3.31)和(3.32)，通过 V 3 ρ ¯ 1 ( w ， g ， i ) 估计 E w ， g ， i V 3 ρ ¯ 1 ( w ( t ) ， g ( t ) ， α ( t ) ) 。 同理，使用式(3.31)，(3.32)和(3.27)，根据( [ 13 ]，定理4.1)，存在 q * ∈ ( 0.1 ) 和 k * > 0 ，有 E w ， g ， i V 3 ρ 2 ρ 1 ( w ( n * T 1 ) ， g ( n * T 1 ) ， α ( n * T 1 ) ) ≤ q * V 3 ρ 2 ρ 1 ( w ， g ， i ) + k * . (3.33) 此外，如果 lim w → ∞ inf μ 1 ( w ， i ) w q > 0 ，对 q ∈ ( 0 ， 1 ] ， i ∈ M ，有 c ˜ 1 ， c ˜ 2 > 0 ， [ L ( κ 0 w + g ) ] ( w ， g ， i ) ≤ a ( i ) w k 0 1 + w + g − k 0 μ 1 ( w ， i ) − k ˜ ( i ) g ≤ c ˜ 1 − c ˜ 2 ( k 0 w + g ) q . (3.34) 利用式(3.33)和(3.34)以及( [ 14 ]，命题22)，获得 E w ， g ， i ∑ k = 1 τ * ( H ˜ ) ( k + 1 ) β − 1 ≤ c β ( H ˜ ) ( V 3 ρ 2 ρ 1 ( w ， g ， i ) + κ 0 w + g + 1 ) ， (3.35) 其中 1 ≤ β < 1 1 − q ， H ˜ 是 [ 0 ， ∞ ) × ( 0 ， ∞ ) 上的紧集， c β ( H ˜ ) 是正常数，和 r * ( H ˜ ) = inf { k ∈ Z + : ( w ( k n * T 1 ) ， g ( k n * T 1 ) ) ∈ H ˜ } . 由于 w ( t ) = 0 时， g ( t ) 的漂移项是非负的，完备集 H ˜ 在 [ 0 ， ∞ ) × ( 0 ， ∞ ) 上是紧集 [ 9 ]。 根据(3.35)，参考文献 [ 16 ]，有 lim k → ∞ ( k + 1 ) β − 1 ‖ P ( k n * T 1 ， w ， g ， i ， ⋅ ) − μ * ( ⋅ ) ‖ T V = 0. 对任意的 1 ≤ β < 1 1 − q ，获得 lim k → ∞ t β − 1 ‖ P ( t ， w ， g ， i ， ⋅ ) − μ * ( ⋅ ) ‖ T V = 0. 如果 q = 1 ，由式(3.33)和(3.34)，得 E w ， g ， i [ V 3 ρ 2 ρ 1 ( w ( n * T 1 ) ， g ( n * T 1 ) ， α ( n * T 1 ) ) + κ 0 w ( n * T 1 ) + g ( n * T 1 ) ] ≤ q ˜ * ( V 3 ρ 2 ρ 1 ( w ， g ， i ) + κ 0 w + g ) + k ˜ * ， 其中 q ˜ * ∈ ( 0 ， 1 ) 和 k ˜ * > 0 。 对 r ˜ > 0 ，有 lim k → ∞ e γ ¯ k ‖ P ( k n * T 1 ， w ， g ， i ， ⋅ ) − μ * ( ⋅ ) ‖ T V = 0. 即随机过程的转移概率 P ( k n * T ， 1 w ， g ， i ， ⋅ ) 收敛到不变测度 μ * ( ⋅ ) ，并获得指数收敛速度，证明完成。