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user: 1. 引言和主要结果 早在19世纪末20世纪初，Brunn-Minkowski理论开始逐渐进入人们的视野。从1962年开始，Brunn-Minkowski理论逐渐进入 L p Brunn-Minkowski理论阶段(见 [ 1 ] )，在经过Lutwak (见 [ 2 ] [ 3 ] )等的基础性工作之后， L p Brunn-Minkowski理论得到迅速的发展(见 [ 4 ] - [ 10 ] )。最近，在Lutwak Yang和Zhang等人的开创性研究(见 [ 11 ] [ 12 ] )和近期的一系列探究性工作(见 [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] )的推动下，凸体的经典Brunn-Minkowski理论(见 [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] ) (包括 L p Brunn-Minkowski理论(见 [ 20 ] ))已被推广到Orlicz-Brunn-Minkowski理论之中。 设 S n − 1 和B分别表示n维欧式空间 ℝ n 中的单位球面和标准单位球，用 κ n 表示 ℝ n 中所有凸体(非空内点的紧凸集)构成的集合， κ o n ， κ s n 分别表示 κ n 中以原点为内点和关于原点对称的所有凸体构成的集合。 v o l k ( ⋅ ) 表示k维体积，且记 v o l n ( B ) = ω n 。在 ℝ n 中，一个紧的星形(关于原点) K的径向函数 ρ K = ρ ( K ， ⋅ ) 被定义为：对 x ∈ ℝ n \ { 0 } ， ρ K ( x ) = ρ ( K ， x ) = max { λ ≥ 0 : λ x ∈ K } 。当 ρ K 是一个正的连续函数时，称K是一个星体(关于原点)。设 S n 为 T ∈ G L ( n ) 中所有星体(支撑上有连续径向函数的关于原点的星形集)构成的集合，用 S o n 表示 S n 中以原点为内点的所有星体构成的集合。如果 K ， L ∈ S o n 且 ρ K ( u ) / ρ L ( u ) 与 u ∈ S n − 1 无关，则称K和L互为膨胀。显然，当 K ， L ∈ S o n 时， K ⊆ L 当且仅当 ρ K ≤ ρ L . (1.1) 若 c > 0 ，就有 ρ c K ( x ) = c ρ K ( x ) ，   x ∈ ℝ n \ { 0 } . (1.2) 一般地，根据径向函数的定义可得：若 T ∈ G L ( n ) ，则K的象 T K = { T y : y ∈ K } 的径向函数为(见 [ 16 ] [ 21 ] ) ρ T K ( x ) = ρ K ( T − 1 x ) ，   x ∈ ℝ n \ { 0 } ， (1.3) 其中 G L ( n ) 表示一般的非奇异线性变换群， T − 1 为T的逆变换。 关于凸体仿射均质积分的概念，Lutwak (见 [ 22 ] )已给出了明确的定义：如果 K ∈ κ o n ， Φ ˜ 0 ( K ) = V ( K ) ， Φ ˜ n ( K ) = ω n ，那么当 0 < i < n 时，凸体K的仿射均质积分被定义为 Φ n − i ( K ) = ω n ( ∫ G ( n ， i ) [ v o l i ( K | ξ ) ω i ] − n d μ i ( ξ ) ) − 1 n ， 其中 G ( n ， i ) ， μ i 和 v o l i ( K | ξ ) 分别表示 ℝ n 中i维线性子空间的Grassman流形(且 μ ( G ( n ， i ) ) = 1 )， G ( n ， i ) 上规范Haar测度和K在i维子空间 ξ ⊂ ℝ n 上正交投影的i维体积。 在文献 [ 23 ] 中，Lutwak进一步给出对偶仿射均质积分的定义：如果 K ∈ S o n ， Φ ˜ 0 ( K ) = V ( K ) ， Φ ˜ n ( K ) = ω n ，那么对于 0 < i < n ，星体K的对偶仿射均质积分被定义为 Φ ˜ n − i ( K ) = ω n ( ∫ G ( n ， i ) [ v o l i ( K ∩ ξ ) ω i ] n d μ i ( ξ ) ) 1 n ， (1.4) 其中 v o l i ( K ∩ ξ ) 表示K与i维子空间 ξ ⊂ ℝ n 交的i维体积。 随后，袁俊(见 [ 9 ] )给出混合p次对偶仿射均质积分的概念：如果 K ， L ∈ S o n ， ξ ∈ G ( n ， i ) ，那么对于 0 ≤ p ≤ i ，混合p次对偶仿射均质积分被定义为 Φ ˜ p ， n − i ( K ， L ) = ω n ( ∫ G ( n ， i ) [ V ˜ p ， i ( K ， L ; ξ ) ω i ] n d μ i ( ξ ) ) 1 n ， (1.5) 其中 V ˜ p ， i ( K ， L ; ξ ) = V ˜ ( K ∩ ξ ， i − p ; L ∩ ξ ， p ) 。当 p = 1 时， Φ ˜ 1 ， i ( K ， L ) 可记为对偶混合仿射均质积分 Φ ˜ i ( K ， L ) 。当 0 ≤ p ≤ n − i 时，就有 Φ ˜ p ， i ( K ， K ) = Φ ˜ i ( K ) ， Φ ˜ n − i ， i ( K ， L ) = Φ ˜ i ( L ) 。 在此基础上，袁俊(见 [ 9 ] )给出了如下两个重要的不等式： 定理A：如果 K ， L ∈ S o n ，且 0 ≤ i ≤ n − 1 ，那么当 0 ≤ P ≤ i 时， Φ ˜ p ， i ( K ， L ) n − i ≤ Φ ˜ i ( K ) n − i − p Φ ˜ i ( L ) p ， (1.6) 等号成立当且仅当K是L的膨胀。 定理B：如果 K ， L ∈ S o n ，且 0 ≤ i ≤ n − 1 ，那么 Φ ˜ i ( K + ˜ L ) 1 n − i ≤ Φ ˜ i ( K ) 1 n − i + Φ ˜ i ( L ) 1 n − i ， (1.7) 等号成立当且仅当K是L的膨胀。 设 Ψ 是所有严格增的凹函数 ϕ : [ 0 ， + ∞ ) → [ 0 ， + ∞ ) 所构成的集合，且使得 ϕ ( 0 ) = 0 ， ϕ ( 1 ) = 1 和 lim t → ∞ ϕ ( t ) = ∞ 。 文献 [ 14 ] 和 [ 15 ] 各自独立地给出了如下的对偶Orlicz混合体积 V ˜ ϕ ( K ， L ) 的公式：对于 ϕ ∈ Ψ ， K ， L ∈ S n ，对偶Orlicz混合体积 V ˜ ϕ ( K ， L ) 为 V ˜ ϕ ( K ， L ) = 1 n ∫ S n − 1 ϕ ( ρ L ( u ) ρ K ( u ) ) ρ K n ( u ) d S ( u )     . (1.8) 其中S是 S n − 1 上的Lebesgue测度。当 ϕ ( t ) = t p ， 0 < p ≤ 1 时，对于 K ， L ∈ S o n ，对偶Orlic混合体积 V ˜ ϕ ( K ， L ) 变为p次对偶混合体积，即 V ˜ p ( K ， L ) = 1 n ∫ S n − 1 ρ K n − p ( u ) ρ L p ( u ) d S ( u )     . 本文提出了如下对偶Orlicz混合仿射均质积分的定义，从而推广了混合p次对偶仿射均质积分的概念。在此基础上，讨论了对偶Orlicz混合仿射均质积分的一些性质，建立了对偶Orlicz混合仿射均质积分的Orlicz-Minkowski不等式和Orlicz-Brunn-Minkowski不等式。 首先，提出对偶Orlicz混合仿射均质积分的定义。 定义1.1：设 K ， L ∈ S o n ， ξ ∈ G ( n ， i ) 。如果 ϕ ∈ Ψ ，那么对每一个 i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n − 1 ，对偶Orlicz混合仿射均质积分被定义为 Φ ˜ ϕ ， n − i ( K ， L ) = ω n ω i ( ∫ G ( n ， i ) [ V ˜ ϕ ( i ) ( K ∩ ξ ， L ∩ ξ ) ] n d μ i ( ξ ) ) 1 n ， (1.9) 其中 V ˜ ϕ ( i ) ( K ∩ ξ ， L ∩ ξ ) 表示 K ∩ ξ 和 L ∩ ξ 的i维对偶Orlicz混合体积。 当 ϕ ( t ) = t p ， 0 < p ≤ 1 时，对偶Orlicz混合仿射均质积分(1.9)变为袁俊(见 [ 9 ] )的混合p次偶仿射均质积分(1.5)。 其次，获得了对偶Orlicz混合仿射均质积分的Orlicz-Minkowski不等式。 定理1.2：如果 K ， L ∈ S o n ， ϕ ∈ Ψ ，那么对每一个 i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n − 1 ， Φ ˜ ϕ ， i ( K ， L ) ≤ Φ ˜ i ( K ) ϕ ( ( Φ ˜ i ( L ) Φ ˜ i ( K ) ) 1 n − i ) ， (1.10) 等号成立当且仅当K和L互为膨胀。 最后，利用定理1.2，建立了可推出对偶Orlicz混合仿射均质积分的Orlicz-Brunn-Minkowski不等式。 定理1.3：如果 K ， L ∈ S o n ， ϕ ∈ Ψ 且 α ， β > 0 。那么对每一个 i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n − 1 ， α ϕ ( ( Φ ˜ i ( K ) Φ ˜ i ( α ∗ K + ˜ ϕ β ∗ L ) ) 1 n − i ) + β ϕ ( ( Φ ˜ i ( K ) Φ ˜ i ( α ∗ K + ˜ ϕ β ∗ L ) ) 1 n − i ) ≥ 1 ， (1.11) 等号成立当且仅当K和L互为膨胀(径向Orlicz线性组合 α ∗ K + ˜ ϕ β ∗ L 的定义请见第二节(2.2))。