system: [SYSTEM]

user: 2. 理论和实证方法 2.1. 季节单位根检验——HEGY检验 HEGY检验的思路是通过对季节差分算子(1 − L S )在不同季节频率上进行因式分解来实现对零频率和季节频率单位根的同时检验。考虑月度(S = 12)差分算子的因式分解： ( 1 − L 12 ) = ( 1 − L ) ( 1 + L ) ( 1 + L 2 ) ( 1 + L + L 2 ) ( 1 − L + L 2 ) ( 1 + 3 + L 2 ) ( 1 − 3 + L 2 ) 图1. 中国入境旅游人数(1990.1~2014.12) 表1归纳了所有因式的根所代表的频率和循环周期。当这些因式根的模等于1时，相应的循环会形成累积冲击，而当这些根位于单位圆外，则冲击只具有短暂效应。 Table 1 Long-term’s and season’s frequencies of monthly time serie 过滤算子 根 频率 周期 每年的循环数 1 − L 1 0 ∞ (长期) 0 1 + L −1 π 2 (双月) 6 1 + L 2 ±i π/2；3π/2 4；4/3 3；9 1 + L + L 2 − ( 1 ± 3 i ) / 2 2π/3；4π/3 3 (季度)；1.5 4；8 1 − L + L 2 ( 1 ± 3 i ) / 2 π/3；5π/3 6 (半年度)；1.2 2；10 1 + 3 L + L 2 − ( 3 ± i ) / 2 5π/6；7π/6 2.4；1.7 5；7 1 − 3 L + L 2 ( 3 ± i ) / 2 π/6；11π/6 12 (年度)；1.09 1；11 表1. 月度时间序列的长期和季节频率 HEGY检验的辅助回归方程如下： ( 1 − L 12 ) y t = μ t + π 1 y 1 ， t − 1 + π 2 y 2 ， t − 1 + π 3 y 3 ， t − 1 + π 4 y 3 ， t − 2 + π 5 y 4 ， t − 1 + π 6 y 4 ， t − 2     + π 7 y 5 ， t − 1 + π 8 y 5 ， t − 2 + π 9 y 6 ， t − 1 + π 10 y 6 ， t − 2 + π 11 y 7 ， t − 1 + π 12 y 7 ， t − 2 + ε t (1) 其中， y 1 ， t = ( 1 + L ) ( 1 + L 2 ) ( 1 + L 4 + L 8 ) y t ， y 2 ， t = − ( 1 − L ) ( 1 + L 2 ) ( 1 + L 4 + L 8 ) y t ， y 3 ， t = − ( 1 − L 2 ) ( 1 + L 4 + L 8 ) y t ， y 4 ， t = − ( 1 − L 4 ) ( 1 − 3 L + L 2 ) ( 1 + L 2 + L 4 ) y t ， y 5 ， t = − ( 1 − L 4 ) ( 1 + 3 L + L 2 ) ( 1 + L 2 + L 4 ) y t ， y 6 ， t = − ( 1 − L 4 ) ( 1 − L 2 + L 4 ) ( 1 − L + L 2 ) y t ， y 7 ， t = − ( 1 − L 4 ) ( 1 − L 2 + L 4 ) ( 1 + L + L 2 ) y t 。 式(1)中， μ t 可以包含一个常数项，11个季节虚拟变量和一个时间趋势项， ε t 是白噪声。 HEGY检验通过使用T检验来测试如下关于 π 1 和 π 2 的零假设： H 0 : π 1 = 0 和 H 0 : π 2 = 0 ，如果不能拒绝 π 1 = 0 的零假设，则时间序列存在零频率(非季节性)单位根，应该使用(1 − L)过滤子对时间序列做处理。如果不能拒绝 π 2 = 0 的原假设，则含π频率的季节性单位根，应该使用(1 + L)过滤子对时间序列做处理。而对于其它成对的复数单位根，用F检验来测试关于 { π 3 ， π 4 } 、 { π 5 ， π 6 } 、 { π 7 ， π 8 } 、 { π 9 ， π 10 } 和 { π 11 ， π 12 } 的零假设： H 0 : π 3 = π 4 = 0 、 H 0 : π 5 = π 6 = 0 、 H 0 : π 7 = π 8 = 0 、 H 0 : π 9 = π 10 = 0 和 H 0 : π 11 = π 12 = 0 。当不能拒绝对应的两个 π i 都为零的情况下，则存在相应的季节性单位根。使用HEGY检验的好处是可以测试每一个频率上的单位根是否存在，以便选择合适的差分滤子，从而避免了过度差分问题。 2.2. 最小LM单位根检验 设有数据产生过程(DGP)： y t = ψ ′ X t + u t 和 u t = ϕ u t − 1 + ε t ， (2) 考虑在水平和趋势上存在两个内生的突变点 T j ( j = 1 ， 2 )，对于 ，定义虚变量 D j t = 1 ，当 t ≥ T j + 1 ，以及虚变量 D T j t = t − T j ，当 t ≥ T j + 1 ，则(2)式的回归项 X t = [ 1 ， t ， D 1 t ， D 2 t ， D T 1 t ， D T 2 t ] 。LM单位根检验统计量可以由下列回归式来估计： Δ y t = ϕ ′ Δ X t + γ S ˜ t − 1 + ∑ i = 1 p ψ i Δ S ˜ t − i + u t (3) 其中 S ˜ t = y t − μ − X t ϕ ¯ ， t = 2 ， ⋯ ， n ， 是 Δ y t 对 Δ X t 的回归系数； 由 y 1 − X 1 ϕ ¯ 给出。加入滞后项 Δ S ˜ t − i 来矫正序列相关，并由GTOS (一般到特殊)法来确定该附加项的阶数。 记检验单位根假设 H 0 : γ = 0 的统计量为 τ ^ (其由(3)式中的 γ 的t比率给出)，并记 λ j = T j / n 为突变点 T j 占整个样本区间n的比率，考虑区间[0.1n， 0.9n]的所有点，使用网格搜索法使 τ ^ ( λ ) 达到最小，从而确定突变点 T j 。最小LM检验统计量定义为 L M τ = inf λ τ ^ ( λ ) ，Lee和Strazicich (2003)给出了由蒙特卡罗仿真得出的相应的临界值。 2.3. 多重结构突变点估计 考虑标准线性回归模型： y t = β ′ X t + ε t ( t = 1 ， ⋯ ， n ) (4) 给定任意m个内生突变点，记 为突变点的集合， I m ， n 也称为m划分。也即整个区间n中存在m + 1个区隔(其中 T 0 = 0 ， T m + 1 = n )，设每个区隔的回归系数保持为常数，这样，结构突变模型可写成： y i = β ′ j X i + ε i ( i = T j − 1 + 1 ， ⋯ ， T j ， j = 1 ， ⋯ ， m + 1 ) (5) 其中j是区隔指数，用OLS估计(5)式的 β j 系数，并计算如下总最小残差平方和： R S S ( T 1 ， ⋯ ， T m ) = ∑ j = 1 m + 1 r s s ( T j − 1 + 1 ， T j ) ，其中 r s s ( T j − 1 + 1 ， T j ) 区隔j的最小残差平方和。估计突变点的问题就是在满足 T j − T j − 1 ≥ n h ≥ k 所有划分中，选择突变点 T ^ 1 ， ⋯ ， T ^ m 使总残差平方和 R S S ( T 1 ， ⋯ T m ) 达到最小： ( T ^ 1 ， ⋯ ， T ^ m ) = arg min ( T 1 ， ⋯ ， T m ) R S S ( T 1 ， ⋯ ， T m ) (6) 采用动态规划法来获得(6)式的全局最小值，其基本思想是基于Bellman最优性原理来得到最优区隔满足的递推关系： R S S ( I m ， n ) = min m n h ≤ i ≤ n − n h [ R S S ( I m − 1 ， i ) + r s s ( i + 1 ， n ) ] (7) 一旦求出m划分中的最后的突变点 T m ，由递推关系(7)很容易获得先前各个时期的突变点。对于给定的任意结构突变数目m，该动态规划算法所需要的最小二乘运算数目最多为 O ( n 2 ) 。至于m的确定，可采用合适的信息准则来选择，Bai和Perron (2003)指出，AIC会高估结构突变的次数，而BIC是许多情况中合适选择m的信息准则。