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user: 2. 有限体积元格式 首先对问题(1)作如下函数变换 r ( t ) = e − ∫ 0 t p ( s ) d s ， w ( x ， t ) = r ( t ) u ( x ， t ) ， (2) 则问题(1)变换如下： { ∂ w ( x ， t ) ∂ t − ∂ 2 w ( x ， t ) ∂ x 2 = 0 ， x ∈ ( a ， b ) ， t > 0 ， w ( a ， t ) = 0 ， w ( b ， t ) = 0 ， t ≥ 0 ， w ( x ， 0 ) = f ( x ) ， x ∈ [ a ， b ] ， r ( t ) = w ( x * ， t ) / E ( t ) ， a < x * < b ， t ≥ 0. (3) 该定解问题中方程不含参数函数，比原问题要简单，而且前三式直接为关于 w ( x ， t ) 和 r ( t ) 的正问题，继而就可以求出参数 p ( t ) 。 下面给出空间上二次有限体积元离散的计算格式，对空间区间 I = [ a ， b ] 作如下剖分： 设单元 I j = [ x j − 1 ， x j ] ，步长 h j = x j − x j − 1 ， h = max 1 ≤ j ≤ n h j ，单元中点为 x j − 1 / 2 = ( x j + x j − 1 ) / 2 ，单元内四分点为 x j ± 1 / 4 = x j ± h j / 4 ，并要求该剖分 J h 是拟一致剖分，即存在常数 C > 0 使得 h ≤ C h j ，此外再设 I 0 ∗ = [ x 0 ， x 1 / 4 ] ， I 2 i + 1 ∗ = [ x i + 1 / 4 ， x i + 3 / 4 ] ( i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 ) ，   I 2 i ∗ = [ x i − 1 / 4 ， x i + 1 / 4 ] ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 ) ， I 2 n ∗ = [ x n − 1 / 4 ， x n ] ， 那么所有的 I i ∗ ( i = 0 ， 1 ， ⋯ ， 2 n ) 构成 J h 的一个对偶剖分 J h * ，每个 I i ∗ ( i = 0 ， 1 ， ⋯ ， 2 n ) 为体积控制元。设试探函数空间为 U h = { u | u ∈ C ( I ) ， u 在 每 个 单 元 I j 上 为 二 次 多 项 式 } ，对每个t， w ( x ， t ) 在单元 I j 上的基函数为： { φ j − 1 ( x ) = 2 h j 2 ( x j − x ) ( x j − 1 / 2 − x ) ， φ j − 1 / 2 ( x ) = 4 h j 2 ( x j − x ) ( x − x j − 1 ) ， φ j ( x ) = 2 h j 2 ( x − x j − 1 / 2 ) ( x − x j − 1 ) ， 则定义插值算子 Π 2 : C ( I ) → U h 使得对任意的 w ( x ， t ) ∈ U h 表示为 Π 2 w h = ∑ j = 0 n w j ( x ) φ j ( x ) + ∑ j = 1 n w j − 1 / 2 ( x ) φ j − 1 / 2 ( x ) . 再设函数空间 V h 为分片常数空间，对每个t， w ( x ， t ) 在基于节点 x j ， x j + 1 / 2 上的对偶单元 I i * 的基函数为： ψ j ( x ) = { 1 ， x ∈ I 2 j ∗ ， 0 ， 其 他 ， j = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， ψ j + 1 / 2 ( x ) = { 1 ，   x ∈ I 2 j + 1 ∗ ， 0 ，   其 他 ， j = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 ， 则定义插值算子 Π 2 * : C ( I ) → V h ，使得对任意的 w ( x ， t ) ∈ V h 表示为 Π 2 * w h = ∑ j = 0 j = n w j ( t ) ψ j ( x ) + ∑ j = 1 j = n w j + 1 / 2 ( t ) ψ j + 1 / 2 ( x ) ， 即对任意 w h ∈ U h ，在单元 I j 可以表示为 w h = w j − 1 ( t ) φ j − 1 ( x ) + w j − 1 / 2 ( t ) φ j − 1 / 2 ( x ) + w j ( t ) φ j ( x ) ， 其中   w j ( t ) = w h ( x j ， t ) ， w j − 1 / 2 ( t ) = w h ( x j − 1 / 2 ， t ) ，且 w 0 ( t ) = w h ( a ， t ) ， w n ( t ) = w h ( b ， t ) 。 则(3)的二次有限体积元半离散为：固定变量t，寻求 w h ( t ) ∈ U h ，使得， { ∫ I i * ∂ w h ( x ， t ) ∂ t d x − ∫ I i * ∂ 2 w h ( x ， t ) ∂ x 2 d x = 0 ， i = 1 ， ⋯ ， 2 n − 1 ， w 0 ( t ) = w n ( t ) = 0 ， w h ( 0 ) = Π 2 f ( x ) ∈ U h ， 即 { ∫ x i + 1 / 4 x i + 3 / 4 ∂ w h ( x ， t ) ∂ t d x − ∫ x i + 1 / 4 x i + 3 / 4 ∂ 2 w h ( x ， t ) ∂ x 2 d x = 0 ， i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n − 1 ， ∫ x i − 1 / 4 x i + 1 / 4 ∂ w h ( x ， t ) ∂ t d x − ∫ x i − 1 / 4 x i + 1 / 4 ∂ 2 w h ( x ， t ) ∂ x 2 d x = 0 ， i = 1 ， ⋯ ， n − 1 ， w 0 ( t ) = w n ( t ) = 0 ， w h ( 0 ) = Π 2 f ( x ) ∈ U h ， 引入如下记号： w ( t ) = ( w 1 / 2 ( t ) w 1 ( t ) w 3 / 2 ( t ) w 2 ( t ) ⋯ w n − 1 ( t ) w n − 1 / 2 ( t ) ) T ， α 0 = ( f ( x 1 / 2 ) f ( x 1 ) f ( x 3 / 2 ) f ( x 2 ) ⋯ f ( x n − 1 ) f ( x n − 1 / 2 ) ) T ， 则可以得到二次体积元半离散的形式，用矩阵表示为如下满足初始条件的一阶线性常微分方程组 { A w ˙ ( t ) = B w ( t ) ， w ( 0 ) = α 0 . (4) 其中 A = h 48 [ 22 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 5 16 5 − 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 1 22 1 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 − 1 5 16 5 − 1 ⋯ 0 0 0 0 0 0 0 1 22 1 ⋯ 0 0 0 0 0 0 0 − 1 5 16 ⋯ 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 1 22 1 0 0 0 0 0 0 0 ⋯ − 1 5 16 5 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 22 ] ( 2 n − 1 ) × ( 2 n − 1 ) ， B = 1 h [ − 4 2 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 2 − 4 2 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 2 − 4 2 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 2 − 4 2 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 0 2 − 4 2 ⋯ 0 0 0 0 0 0 0 0 2 − 4 ⋯ 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 2 − 4 2 0 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 2 − 4 2 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 2 − 4 ] ( 2 n − 1 ) × ( 2 n − 1 ) .