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user: 3. 重心球球心间距公式的验证 3.1. 一维至四维重心自身距离为零 A A 2 = ( a − a ) 2 + ( 0 − 0 ) 2 + ( 0 − 0 ) 2 = 0 (2点坐标距离公式) A A 2 = a 2 + a 2 − 2 ( 1 × 1 ) − 1 a 2 = 0 (重心球距离公式) Table 1 15-point barycentric coordinates and the square of radius of barycentric spher 序 子集态 坐标符号 分坐标X 分坐标Y 分坐标Z 维数 半径符号 重心球半径平方 1 点 A a 0 0 1 R A a 2 2 点 B 0 b 0 1 R B b 2 3 点 C 0 0 c 1 R C c 2 4 点 D bct act abt 1 R D d 2 5 线 G AB a 2 b 2 0 2 R A B 1 2 2 ( a 2 + b 2 ) 6 线 G AC a 2 0 c 2 2 R A C 1 2 2 ( a 2 + c 2 ) 7 线 G BC 0 b 2 c 2 2 R B C 1 2 2 ( b 2 + c 2 ) 8 线 G AD a + b c t 2 a c t 2 a b t 2 2 R A D 1 2 2 ( a 2 + d 2 ) 9 线 G BD b c t 2 b + a c t 2 a b t 2 2 R B D 1 2 2 ( b 2 + d 2 ) 10 线 G CD b c t 2 a c t 2 c + a b t 2 2 R C D 1 2 2 ( c 2 + d 2 ) 11 面 G ABC a 3 b 3 c 3 3 R A B C 1 3 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) 12 面 G ABD a + b c t 3 b + a c t 3 a b t 3 3 R A B D 1 3 2 ( a 2 + b 2 + d 2 ) 13 面 G ACD a + b c t 3 a c t 3 c + a b t 3 3 R A C D 1 3 2 ( a 2 + c 2 + d 2 ) 14 面 G BCD b c t 3 b + a c t 3 c + a b t 3 3 R B C D 1 3 2 ( b 2 + c 2 + d 2 ) 15 体 G a + b c t 4 b + a c t 4 c + a b t 4 4 R G 1 4 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) 表1. 15点重心坐标和对映的重心球半径的平方 表内： t = − d 2 v + a b c 。D坐标在第7象限， v = a 2 b 2 c 2 + a 2 b 2 d 2 + a 2 c 2 d 2 + b 2 c 2 d 2 = 6 V A B C D 。 G A B G A B 2 = ( a 2 − a 2 ) 2 + ( b 2 − b 2 ) 2 + ( 0 − 0 ) 2 = 0 (2点坐标距离公式) G A B G A B 2 = 1 2 2 ( a 2 + b 2 ) + 1 2 2 ( a 2 + b 2 ) − 2 ( 2 × 2 ) − 1 ( a 2 + b 2 ) = 0 (重心球距离公式) G A B C G A B C 2 = ( a 3 − a 3 ) 2 + ( b 3 − b 3 ) 2 + ( c 3 − c 3 ) 2 = 0 (2点坐标距离公式) G A B C G A B C 2 = 1 3 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + 1 3 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) − 2 ( 3 × 3 ) − 1 ( a 2 + b 2 + c 2 ) = 0 (重心球距离公式) G G 2 = ( a + b c t 4 − a + b c t 4 ) 2 + ( b + a c t 4 − b + a c t 4 ) 2 + ( c + a b t 4 − c + a b t 4 ) 2 = 0 (2点坐标距离公式) G G 2 = 1 4 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) + 1 4 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) − 2 ( 4 × 4 ) − 1 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) = 0 (重心球距离公式) 3.2. 任意一维与对平面7点因无交集球，其距离的平方为2重心球半径的平方和 以D点与对平面 A ， B ， C ， G A B ， G A C ， G B C ， G A B C 为例： 3.2.1. D点与对平面3个一维重心间距平方 D点与对平面一维重心球间距 A ， B ， C 已在公式(4)，公式(5)，公式(6)已证，不再累述 3.2.2. D点与对平面3个二维重心间距平方 D G A B 2 = ( b c t − a 2 ) 2 + ( a c t − b 2 ) 2 + ( a b t − 0 ) 2 = d 2 + 1 2 2 ( a 2 + b 2 ) (2点坐标距离公式) D G A B 2 = d 2 + 1 2 2 ( a 2 + b 2 ) − 2 ( 1 × 2 ) − 1 ( 0 ) = d 2 + 1 2 2 ( a 2 + b 2 ) (重心球距离公式) D G A C 2 = ( b c t − a 2 ) 2 + ( a c t − 0 ) 2 + ( a b t − c 2 ) 2 = d 2 + 1 2 2 ( a 2 + c 2 ) (2点坐标距离公式) D G A C 2 = d 2 + 1 2 2 ( a 2 + c 2 ) − 2 ( 1 × 2 ) − 1 ( 0 ) = d 2 + 1 2 2 ( a 2 + c 2 ) (重心球距离公式) D G B C 2 = ( b c t − 0 ) 2 + ( a c t − b 2 ) 2 + ( a b t − c 2 ) 2 = d 2 + 1 2 2 ( b 2 + c 2 ) (2点坐标距离公式) D G B C 2 = d 2 + 1 2 2 ( b 2 + c 2 ) − 2 ( 1 × 2 ) − 1 ( 0 ) = d 2 + 1 2 2 ( b 2 + c 2 ) (重心球距离公式) 3.2.3. D点与对平面1个三维重心间距平方 D G A B C 2 = ( b c t − a 3 ) 2 + ( a c t − b 3 ) 2 + ( a b t − c 3 ) 2 = d 2 + 1 3 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) (2点坐标距离公式) D G A B C 2 = d 2 + 1 3 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) − 2 ( 1 × 3 ) − 1 ( 0 ) = d 2 + 1 3 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) (重心球距离公式) 3.3. 任意一维与除了对平面7点外其它7点重心距离的平方 以D点与除对平面其它7点 G A D ， G B D ， G C D ， G A B D ， G A C D ， G B C D ， G 间距平方为： 3.3.1. D点与除对平面3个二维重心间距平方 D G A D 2 = ( b c t − a + b c t 2 ) 2 + ( a c t − a c t 2 ) 2 + ( a b t − a b t 2 ) 2 = 1 2 2 ( a 2 + d 2 ) (2点坐标距离公式) D G A D 2 = d 2 + 1 2 2 ( a 2 + d 2 ) − 2 ( 1 × 2 ) − 1 ( d 2 ) = 1 2 2 ( a 2 + d 2 ) (重心球距离公式) D G B D 2 = ( b c t − b c t 2 ) 2 + ( a c t − b + a c t 2 ) 2 + ( a b t − a b t 2 ) 2 = 1 2 2 ( b 2 + d 2 ) (2点坐标距离公式) D G B D 2 = d 2 + 1 2 2 ( b 2 + d 2 ) − 2 ( 1 × 2 ) − 1 ( d 2 ) = 1 2 2 ( b 2 + d 2 ) (重心球距离公式) D G C D 2 = ( b c t − b c t 2 ) 2 + ( a c t − a c t 2 ) 2 + ( a b t − c + a b t 2 ) 2 = 1 2 2 ( c 2 + d 2 ) (2点坐标距离公式) D G C D 2 = d 2 + 1 2 2 ( c 2 + d 2 ) − 2 ( 1 × 2 ) − 1 ( d 2 ) = 1 2 2 ( c 2 + d 2 ) (重心球距离公式) 3.3.2. D点与除对平面3个三维重心间距平方 D G A B D 2 = ( b c t − a + b c t 3 ) 2 + ( a c t − b + a c t 3 ) 2 + ( a b t − a b t 3 ) 2 = 1 3 d 2 + 1 3 2 ( a 2 + b 2 + d 2 ) (2点坐标距离公式) D G A B D 2 = d 2 + 1 3 2 ( a 2 + b 2 + d 2 ) − 2 ( 1 × 3 ) − 1 ( d 2 ) = 1 3 d 2 + 1 3 2 ( a 2 + b 2 + d 2 ) (重心球距离公式) D G A C D 2 = ( b c t − a + b c t 3 ) 2 + ( a c t − a c t 3 ) 2 + ( a b t − c + a b t 3 ) 2 = 1 3 d 2 + 1 3 2 ( a 2 + c 2 + d 2 ) (2点坐标距离公式) D G A C D 2 = d 2 + 1 3 2 ( a 2 + c 2 + d 2 ) − 2 ( 1 × 3 ) − 1 ( d 2 ) = 1 3 d 2 + 1 3 2 ( a 2 + c 2 + d 2 ) (重心球距离公式) D G B C D 2 = ( b c t − b c t 3 ) 2 + ( a c t − b + a c t 3 ) 2 + ( a b t − c + a b t 3 ) 2 = 1 3 d 2 + 1 3 2 ( b 2 + c 2 + d 2 ) (2点坐标距离公式) D G B C D 2 = d 2 + 1 3 2 ( b 2 + c 2 + d 2 ) − 2 ( 1 × 3 ) − 1 ( d 2 ) = 1 3 d 2 + 1 3 2 ( b 2 + c 2 + d 2 ) (重心球距离公式) 3.3.3. D点与除对平面1个四维重心间距平方 D G 2 = ( b c t − a + b c t 4 ) 2 + ( a c t − b + a c t 4 ) 2 + ( a b t − c + a b t 4 ) 2 = 1 2 d 2 + 1 4 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) (2点坐标距离公式) D G 2 = d 2 + 1 4 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) − 2 ( 1 × 4 ) − 1 ( d 2 ) = 1 2 d 2 + 1 4 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) (重心球距离公式) 其它A点、B点、C点与其它14点同理(略)。 3.4. 验证任意二维与除了4点一维外的10点距离的平方 以 G A B 对 G C D ， G A C ， G A D ， G B C ， G B D ， G A B C ， G A B D ， G A C D ， G B C D ， G 。 3.4.1. G AB 点与对棱1个二维重心G CD 间距平方 G AB 与G CD 因对棱无交集球，其距离的平方为2重心球半径的平方和 G A B G C D 2 = ( a 2 − b c t 2 ) 2 + ( b 2 − a c t 2 ) 2 + ( 0 − c + a b t 2 ) 2 = 1 2 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) (2点坐标距离公式) G A B G C D 2 = 1 2 2 ( a 2 + b 2 ) + 1 2 2 ( c 2 + d 2 ) − 2 ( 2 × 2 ) − 1 ( 0 ) = 1 2 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) (重心球距离公式) 3.4.2. G AB 点与其它4个旁棱二维重心间距平方 G A B G A C 2 = ( a 2 − a 2 ) 2 + ( b 2 − 0 ) 2 + ( 0 − c 2 ) 2 = 1 4 ( b 2 + c 2 ) (2点坐标距离公式) G A B G A C 2 = 1 2 2 ( a 2 + b 2 ) + 1 2 2 ( a 2 + c 2 ) − 2 ( 2 × 2 ) − 1 ( a 2 ) = 1 4 ( b 2 + c 2 ) (重心球距离公式) G A B G A D 2 = ( a 2 − a + b c t 2 ) 2 + ( b 2 − a c t 2 ) 2 + ( 0 − a b t 2 ) 2 = 1 4 ( b 2 + d 2 ) (2点坐标距离公式) G A B G A D 2 = 1 2 2 ( a 2 + b 2 ) + 1 2 2 ( a 2 + d 2 ) − 2 ( 2 × 2 ) − 1 ( a 2 ) = 1 4 ( b 2 + d 2 ) (重心球距离公式) G A B G B C 2 = ( a 2 − 0 ) 2 + ( b 2 − b 2 ) 2 + ( 0 − c 2 ) 2 = 1 4 ( a 2 + c 2 ) (2点坐标距离公式) G A B G B C 2 = 1 2 2 ( a 2 + b 2 ) + 1 2 2 ( b 2 + c 2 ) − 2 ( 2 × 2 ) − 1 ( b 2 ) = 1 4 ( a 2 + c 2 ) (重心球距离公式) G A B G B D 2 = ( a 2 − b c t 2 ) 2 + ( b 2 − b + a c t 2 ) 2 + ( 0 − a b t 2 ) 2 = 1 4 ( a 2 + d 2 ) (2点坐标距离公式) G A B G B D 2 = 1 2 2 ( a 2 + b 2 ) + 1 2 2 ( b 2 + d 2 ) − 2 ( 2 × 2 ) − 1 ( b 2 ) = 1 4 ( a 2 + d 2 ) (重心球距离公式) 3.4.3. G AB 点与4个三维重心间距平方 G A B G A B C 2 = ( a 2 − a 3 ) 2 + ( b 2 − b 3 ) 2 + ( 0 − c 3 ) 2 = 1 36 ( a 2 + b 2 + 4 c 2 ) (2点坐标距离公式) G A B G A B C 2 = 1 2 2 ( a 2 + b 2 ) + 1 3 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) − 2 ( 2 × 3 ) − 1 ( a 2 + b 2 ) = 1 36 ( a 2 + b 2 + 4 c 2 ) (重心球距离公式) G A B G A B D 2 = ( a 2 − a + b c t 3 ) 2 + ( b 2 − b + a c t 3 ) 2 + ( 0 − a b t 3 ) 2 = 1 36 ( a 2 + b 2 + 4 d 2 ) (2点坐标距离公式) G A B G A B D 2 = 1 2 2 ( a 2 + b 2 ) + 1 3 2 ( a 2 + b 2 + d 2 ) − 2 ( 2 × 3 ) − 1 ( a 2 + b 2 ) = 1 36 ( a 2 + b 2 + 4 d 2 ) (重心球距离公式) G A B G A C D 2 = ( a 2 − a + b c t 3 ) 2 + ( b 2 − a c t 3 ) 2 + ( 0 − c + a b t 3 ) 2 = 1 36 ( a 2 + 9 b 2 + 4 c 2 + 4 d 2 ) (2点坐标距离公式) G A B G A C D 2 = 1 2 2 ( a 2 + b 2 ) + 1 3 2 ( a 2 + c 2 + d 2 ) − 2 ( 2 × 3 ) − 1 ( a 2 ) = 1 36 ( a 2 + 9 b 2 + 4 c 2 + 4 d 2 ) (重心球距离公式) G A B G B C D 2 = ( a 2 − b c t 3 ) 2 + ( b 2 − b + a c t 3 ) 2 + ( 0 − c + a b t 3 ) 2 = 1 36 ( 9 a 2 + b 2 + 4 c 2 + 4 d 2 ) (2点坐标距离公式) G A B G B C D 2 = 1 2 2 ( a 2 + b 2 ) + 1 3 2 ( b 2 + c 2 + d 2 ) − 2 ( 2 × 3 ) − 1 ( b 2 ) = 1 36 ( 9 a 2 + b 2 + 4 c 2 + 4 d 2 ) (重心球距离公式) 3.4.4. G AB 点与1个四维重心间距平方(任意二维与四维重心间距均相同) G A B G 2 = ( a 2 − a + b c t 4 ) 2 + ( b 2 − b + a c t 4 ) 2 + ( 0 − c + a b t 4 ) 2 = 1 16 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) (2点坐标距离公式) G A B G 2 = 1 2 2 ( a 2 + b 2 ) + 1 4 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) − 2 ( 2 × 4 ) − 1 ( a 2 + b 2 ) = 1 16 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) (重心球距离公式) 3.5. 验证任意三维与四维重心距离的平方 G G A B C 2 = ( a + b c t 4 − a 3 ) 2 + ( b + a c t 4 − b 3 ) 2 + ( c + a b t 4 − c 3 ) 2 = 1 144 ( a 2 + b 2 + c 2 + 9 d 2 ) (2点坐标距离公式) G G A B C 2 = 1 4 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) + 1 3 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) − 2 ( 4 × 3 ) − 1 ( a 2 + b 2 + c 2 ) = 1 144 ( a 2 + b 2 + c 2 + 9 d 2 ) (重心球距离公式) G G A B D 2 = ( a + b c t 4 − a + b c t 3 ) 2 + ( b + a c t 4 − b + a c t 3 ) 2 + ( c + a b t 4 − a b t 3 ) 2 = 1 144 ( a 2 + b 2 + 9 c 2 + d 2 ) (2点坐标距离公式) G G A B D 2 = 1 4 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) + 1 3 2 ( a 2 + b 2 + d 2 ) − 2 ( 4 × 3 ) − 1 ( a 2 + b 2 + d 2 ) = 1 144 ( a 2 + b 2 + 9 c 2 + d 2 ) (重心球距离公式) G G A C D 2 = ( a + b c t 4 − a + b c t 3 ) 2 + ( b + a c t 4 − a c t 3 ) 2 + ( c + a b t 4 − c + a b t 3 ) 2 = 1 144 ( a 2 + 9 b 2 + c 2 + d 2 ) (2点坐标距离公式) G G A C D 2 = 1 4 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) + 1 3 2 ( a 2 + c 2 + d 2 ) − 2 ( 4 × 3 ) − 1 ( a 2 + c 2 + d 2 ) = 1 144 ( a 2 + 9 b 2 + c 2 + d 2 ) (重心球距离公式) G G B C D 2 = ( a + b c t 4 − b c t 3 ) 2 + ( b + a c t 4 − b + a c t 3 ) 2 + ( c + a b t 4 − c + a b t 3 ) 2 = 1 144 ( 9 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) (2点坐标距离公式) G G B C D 2 = 1 4 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) + 1 3 2 ( b 2 + c 2 + d 2 ) − 2 ( 4 × 3 ) − 1 ( b 2 + c 2 + d 2 ) = 1 144 ( 9 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) (重心球距离公式)