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user: 3. 近似解的构造 定义线性算子 T ： W n 1 [ a ， b ] → W [ a ， b ] 。 对任意 y ( x ) ∈ W n 1 [ a ， b ] ，令 T y ( x ) = y ( n ) ( x ) ，则方程(1)转化成如下形式： T y ( x ) = F ( x ， y ( x ) ， y ′ ( x ) ， ⋯ y ( n − 1 ) ( x ) ) ， (2) 其中， y ( x ) ∈ W n 1 [ a ， b ] ，当 y = y ( x ) ∈ W n 1 [ a ， b ] 时， F ( x ， y ( x ) ， y ′ ( x ) ， ⋯ ， y ( n − 1 ) ( x ) ) ∈ W [ a ， b ] 。 引理1 T ： W n 1 [ a ， b ] → W [ a ， b ] 是有界线性算子。 设 { x i } i = 1 ∞ 是 [ a ， b ] 上的稠密子集。 令 φ i ( x ) = R ( x ， x i ) ， Ψ i ( x ) = T ∗ φ i ( x ) ，其中， T ∗ 是 T 的共轭算子。 引理2 假设 { x i } i = 1 ∞ 在 [ a ， b ] 上稠密，则 { Ψ i ( x ) } i = 1 ∞ 是 W n 1 [ a ， b ] 上的完全系。 证明 由 Ψ i ( x ) = ( T * φ i ) ( x ) = 〈 ( T * φ i ) ( t ) ， K ( t ， x ) 〉 W n 1 [ a ， b ] = 〈 φ i ( t ) ， T K ( t ， x ) 〉 W n 1 [ a ， b ] = T K ( t ， x ) ， 有 Ψ i ( x ) ∈ W n 1 [ a ， b ] 。 令 〈 y ( x ) ， Ψ i ( x ) 〉 W n 1 [ a ， b ] = 0 ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ，其中 y ( x ) ∈ W n 1 [ a ， b ] ，即得 〈 y ( x ) ， T * φ i ( x ) 〉 W n 1 [ a ， b ] = 〈 T y ( x ) ， φ i ( x ) 〉 W n 1 [ a ， b ] = T y ( x i ) = 0 ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ . 由 { x i } i = 1 ∞ 在 [ a ， b ] 上稠密，故 T y ( x ) = 0 。由 T − 1 的存在性可知 y ( x ) ≡ 0 ，定理得证。 我们将 { Ψ i ( x ) } i = 1 ∞ Gram-Schmidt正交化，得到 W n 1 [ a ， b ] 上的完全正交系 { Ψ ¯ i ( x ) } i = 1 ∞ ， Ψ ¯ i ( x ) = ∑ k = 1 i β i k Ψ k ( x ) ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ，其中， β i k 是正交化系数。 定理1 假设 { x i } i = 1 ∞ 在 [ a ， b ] 上稠密，如果 y ( x ) ∈ W n 1 [ a ， b ] 是方程(2)的解，则 y ( x ) = ∑ i = 1 ∞ ∑ k = 1 i β i k α k Ψ ¯ k ( x ) ， (3) 其中， α k = F ( x k ， y ( x k ) ， y ′ ( x k ) ， ⋯ ， y ( n − 1 ) ( x k ) ) ，   k = 1 ， 2 ， ⋯ 。 证明 y ( x ) ∈ W n 1 [ a ， b ] ， { Ψ ¯ i ( x ) } i = 1 ∞ 是 W n 1 [ a ， b ] 上的完全正交系，于是 y ( x ) = ∑ i = 1 ∞ ∑ k = 1 i 〈 y ( x ) ， Ψ ¯ k ( x ) 〉 W n 1 [ a ， b ] Ψ ¯ k ( x ) = ∑ i = 1 ∞ ∑ k = 1 i β i k 〈 y ( x ) ， Ψ k ( x ) 〉 W n 1 [ a ， b ] Ψ ¯ k ( x ) = ∑ i = 1 ∞ ∑ k = 1 i β i k 〈 y ( x ) ， T * φ k ( x ) 〉 W n 1 [ a ， b ] Ψ ¯ k ( x ) = ∑ i = 1 ∞ ∑ k = 1 i β i k 〈 T y ( x ) ， φ k ( x ) 〉 W n 1 [ a ， b ] Ψ ¯ k ( x ) = ∑ i = 1 ∞ ∑ k = 1 i β i k 〈 T y ( x ) ， R ( x ， x k ) 〉 W n 1 [ a ， b ] Ψ ¯ k ( x ) = ∑ i = 1 ∞ ∑ k = 1 i β i k T y ( x k ) Ψ ¯ k ( x ) = ∑ i = 1 ∞ ∑ k = 1 i β i k F ( x k ， y ( x k ) ， y ′ ( x k ) ， ⋯ ， y ( n − 1 ) ( x k ) ) Ψ ¯ k ( x ) = ∑ i = 1 ∞ ∑ k = 1 i β i k α k Ψ ¯ k ( x ) . 定理1给出了方程(2)精确解的表达式。 通过截断式(3)中给定的级数，得到方程(2)的近似解 y n ( x ) = ∑ i = 1 n ∑ k = 1 i β i k α k Ψ ¯ k ( x ) ，(4) 显然， ‖ y ( x ) − y n ( x ) ‖ W n 1 [ a ， b ] → 0 ，   n → ∞ 。 定理2 假设方程(2)的解存在唯一， y ( x ) 是方程(2)的解， y n ( x ) 是方程的近似解由式(4)给出，则 ‖ y ( x ) − y n ( x ) ‖ C → 0 ，   ‖ y ( i ) ( x ) − y n ( i ) ( x ) ‖ C → 0 ，   n → ∞ ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n . 证明 注意到 ‖ y ( x ) − y n ( x ) ‖ W n 1 [ a ， b ] → 0 ，   n → ∞ ，于是当 n → ∞ 时，有 | y ( x ) − y n ( x ) | = | 〈 y ( x ′ ) − y n ( x ′ ) ， K ( x ， x ′ ) 〉 W n 1 [ a ， b ] | ≤ ‖ y ( x ′ ) − y n ( x ′ ) ‖ W n 1 [ a ， b ] ‖ K ( x ， x ′ ) ‖ W n 1 [ a ， b ] ≤ C ˜ 1 ‖ y ( x ′ ) − y n ( x ′ ) ‖ W n 1 [ a ， b ] → 0 ， 所以 ‖ y ( x ) − y n ( x ) ‖ C → 0 ，   n → ∞ | y ( i ) ( x ) − y n ( i ) ( x ) | = | d i d x i ( y ( x ′ ) − y n ( x ′ ) ) | = | 〈 d i d x i ( y ( x ′ ) − y n ( x ′ ) ) ， K ( x ， x ′ ) 〉 W n 1 [ a ， b ] | = | 〈 y ( x ′ ) − y n ( x ′ ) ， d i d x i K ( x ， x ′ ) 〉 W n 1 [ a ， b ] | ≤ ‖ y ( x ′ ) − y n ( x ′ ) ‖ W n 1 [ a ， b ] ‖ d i d x i K ( x ， x ′ ) ‖ W n 1 [ a ， b ] ≤ C ˜ 2 ‖ y ( x ′ ) − y n ( x ′ ) ‖ W n 1 [ a ， b ] → 0 所以 ‖ y ( i ) ( x ) − y n ( i ) ( x ) ‖ C → 0 ，   n → ∞ ，这里 C ˜ 1 ， C ˜ 2 是常数， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。