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user: 3. Q K p ( ℝ ) 空间的Carleson型刻画 在本节中，我们引入了 K p -Carleson测度，并用 K p -Carleson测度来刻画 Q K p ( ℝ ) 空间。设I是 ℝ 上任意一条平行于坐标轴的线段， ℝ + 2 = { ( x ， t ) : x ∈ ℝ ， t > 0 } 。Carleson方形 S ( I ) 定义为 S ( I ) = { ( x ， t ) ∈ ℝ + 2 : x ∈ I ， 0 < t < l ( I ) } 。 K p -Carleson测度定义如下： 定义4设 μ ( ⋅ ， ⋅ ) 为 ℝ + 2 上的一个正Borel测度，若 sup I ⊆ ℝ ∫ S ( I ) K ( t l ( I ) ) d μ ( x ， t ) < ∞ ， 则称 μ ( ⋅ ， ⋅ ) 是 ℝ + 2 上的一个 K p -Carleson测度。 引理1 [ 7 ] 令 1 < p < ∞ ， 1 / p + 1 / q = 1 ， 0 < b ≤ ∞ 。设非负函数 μ 和 ν 在 ( 0 ， b ) 上可测，对于所有可测函数 f ≥ 0 ，可得到以下Hardy型不等式： (i) ∫ 0 b ( ∫ 0 s f ( t ) d t ) p μ ( s ) d s ≤ C ∫ 0 b f p ( s ) ν ( s ) d s 成立，当且仅当 A : = sup 0 < s < b ( ∫ s b μ ( t ) d t ) 1 / p ( ∫ 0 s ν ( t ) 1 − q d t ) 1 / q < ∞ ， (ii) ∫ 0 b ( ∫ s b f ( t ) d t ) p μ ( s ) d s ≤ C ∫ 0 b f p ( s ) ν ( s ) d s 成立，当且仅当 B : = sup 0 < s < b ( ∫ 0 s μ ( t ) d t ) 1 / p ( ∫ s b ν ( t ) 1 − q d t ) 1 / q < ∞ ， 其中C取决于p，A或者B。 设f是 ℝ 上的可测函数，且满足 ∫ ℝ | f ( x ) | 1 + | x | 2 d x < ∞ ， (3) P t ( x ) = 1 π ⋅ t t 2 + | x | 2 为Poisson核，记 f ( ⋅ ， ⋅ ) 为f的Poisson积分， f ( x ， t ) = ∫ ℝ P t ( x − y ) f ( y ) d y ， ∇ f ( x ， t ) = ( ∂ f ( x ， t ) ∂ x ， ∂ f ( x ， t ) ∂ t ) 。 定理2令 1 < p < ∞ ， f ∈ L l o c p ( ℝ ) 满足(3)式。若K满足条件(1)和(2)，那么 f ∈ Q K p ( ℝ ) 当且仅当 | ∇ f ( x ， t ) | p d x d t 是 K p -Carleson测度。 证明 若K满足条件(1)和(2)，类似 [ 2 ] 中引理7和引理8的证明，可推出以下式子成立： sup 0 < s < 1 ( ∫ s 1 t − p K ( t ) d t ) 1 / p ( ∫ 0 s ( K ( t ) ) 1 / ( 1 − p ) d t ) ( p − 1 ) / p < ∞ ， (4) sup 0 < s < ∞ ( ∫ 0 s K ( t ) d t ) 1 / p ( ∫ s ∞ t p / ( 1 − p ) ( K ( t ) ) 1 / ( 1 − p ) d t ) ( p − 1 ) / p < ∞ 。 (5) (i) 充分性。设I是一条线段， f ( x ， t ) 为f的Poisson积分。由三角不等式可得 sup I ∫ | y | < l ( I ) K ( | y | l ( I ) ) 1 | y | p ∫ I | f ( x + y ) − f ( x ) | p d x d y ≲ M 1 + M 2 + M 3 ， 其中， { M 1 = sup I ∫ | y | < l ( I ) K ( | y | l ( I ) ) 1 | y | p ∫ I | f ( x ， | y | ) − f ( x ) | p d x d y ， M 2 = sup I ∫ | y | < l ( I ) K ( | y | l ( I ) ) 1 | y | p ∫ I | f ( x + y ， | y | ) − f ( x + y ) | p d x d y M 3 = sup I ∫ | y | < l ( I ) K ( | y | l ( I ) ) 1 | y | p ∫ I | f ( x + y ， | y | ) − f ( x ， | y | ) | p d x d y . ， 对于 M 1 ，由Minkowski不等式可得 ( ∫ I | f ( x ， | y | ) − f ( x ) | p d x ) 1 / p = ( ∫ I ( ∫ 0 | y | ∂ f ( x ， t ) ∂ t d t ) p d x ) 1 / p ≤ ∫ 0 | y | ( ∫ I | ∇ f ( x ， t ) | p d x ) 1 / p d t 。 所以，由(4)和引理1可推出 M 1 ≤ sup I ∫ | y | < l ( I ) K ( | y | l ( I ) ) 1 | y | p ( ∫ 0 | y | ( ∫ I | ∇ f ( x ， t ) | p d x ) 1 / p d t ) p d y ≤ sup I ∫ 0 1 l ( I ) K ( r ) r p ( ∫ 0 r ( ∫ I | ∇ f ( x ， l ( I ) s ) | p d x ) 1 / p d s ) p d r ≲ sup I l ( I ) ∫ 0 1 ( ∫ I | ∇ f ( x ， l ( I ) r ) | p d x ) K ( r ) d r ≲ sup I ∫ S ( I ) | ∇ f ( x ， t ) | p K ( t l ( I ) ) d x d t < ∞ . 对于 M 2 ，得到 M 2 ≤ sup I ∫ | y | < l ( I ) K ( | y | l ( I ) ) 1 | y | p ∫ 3 I | f ( x ， | y | ) − f ( x ) | p d x d y ≲ M 1 < ∞ 。 由Minkowski不等式，我们得到 ( ∫ I | f ( x + y ， | y | ) − f ( x ， | y | ) | p d x ) 1 / p ≤ ( ∫ I ( ∫ 0 | y | | ∇ f ( x + t y | y | ， | y | ) | d t ) p d x ) 1 / p ≤ ∫ 0 | y | ( ∫ I | ∇ f ( x + t y | y | ， | y | ) | p d x ) 1 / p d t ≤ | y | ( ∫ 3 I | ∇ f ( x ， | y | ) | p d x ) 1 / p . 所以， M 3 ≤ sup I ∫ | y | < l ( I ) K ( | y | l ( I ) ) ∫ 3 I | ∇ f ( x ， | y | ) | p d x d y ≲ sup I ∫ S ( I ) | ∇ f ( x ， t ) | p K ( t l ( I ) ) d x d t < ∞ 。 综上所述， sup I ∫ | y | < l ( I ) K ( | y | l ( I ) ) 1 | y | p ∫ I | f ( x + y ) − f ( x ) | p d x d y < ∞ 。所以， f ∈ Q K p ( ℝ ) 。 (ii) 必要性。设I和J是 ℝ 上以 x 0 为中心的线段， l ( J ) = 3 l ( I ) 。由(4)可推出 sup 0 < s < 1 ( ∫ s 1 t − 2 p K ( t ) d t ) 1 / p ( ∫ 0 s t p / ( p − 1 ) ( K ( t ) ) 1 / ( 1 − p ) d t ) ( p − 1 ) / p < ∞ . (6) 由引理1，(5)和(6)，类似 [ 2 ] 中引理12的证明，我们可以得到 ∫ S ( I ) | ∇ f ( x ， t ) | p K ( t l ( I ) ) d x d t ≲ A 1 + A 2 + A 3 ， 其中 { A 1 = ∫ | y | ≤ l ( I ) ∫ x ∈ J | f ( x ) − f ( x + y ) | p | y | p K ( | y | l ( J ) ) d x d y ， A 2 = ( ∫ 0 1 K ( t ) d t + ∫ 1 / 8 ∞ K ( t ) t p d t ) ( l ( J ) ) 1 − p ∫ y ∈ J | f ( y ) − f J | p d y A 3 = ( l ( J ) ) 2 ∫ 0 1 K ( t ) d t ( ∫ ℝ \ ( 2 / 3 ) J | f ( y ) − f J | | y | 2 d y ) p . ， 显然， A 1 ≲ ‖ f ‖ Q K p ( ℝ ) p 。若 δ > 0 足够的小， z ∈ I 且 min { | x − z | ， | y − z | } > δ l ( I ) ，易得 C δ K ( δ ) | I | ≤ ∫ I m i n ( K ( | x − z | l ( I ) ) ， K ( | y − z | l ( I ) ) ) d z 。 则 A 2 ≲ ( l ( J ) ) − p − 1 ∫ J ∫ J | f ( x ) − f ( y ) | p ( ∫ I min { K ( | x − z | l ( I ) ) ， K ( | y − z | l ( I ) ) } d z ) d x d y ≲ ∫ J ∫ J | f ( x ) − f ( z ) | p | x − z | p K ( | x − z | l ( I ) ) d x d z ≲ ‖ f ‖ Q K p ( ℝ ) p . 对于 A 3 ，有 A 3 ≲ ( l ( J ) ) 2 ( ∑ k = 1 ∞ ∫ 2 k l ( J ) ≤ | x − x 0 | < 2 k + 1 l ( J ) | f ( x ) − f J | | x − x 0 | 2 d x ) p ≤ ( l ( J ) ) 2 { ∑ k = 1 ∞ ( 2 k l ( J ) ) − 2 ∫ 2 k + 1 J | f ( x ) − f 2 k + 1 J | d x   + ∑ k = 1 ∞ ∑ i = 0 k ( 2 k l ( J ) ) − 2 ∫ 2 k + 1 J | f 2 i + 1 J − f 2 i J | d x } p ≲ ( ∑ k = 1 ∞ 2 − 2 k / p ‖ f ‖ Q K p ( ℝ ) + ∑ k = 1 ∞ ∑ i = 0 k 2 − k ⋅ 2 i ( 1 − 2 / p ) ‖ f ‖ Q K p ( ℝ ) ) p ≲ ‖ f ‖ Q K p ( ℝ ) p . 所以， ∫ S ( I ) | ∇ f ( x ， t ) | p K ( t l ( I ) ) d x d t ≲ ‖ f ‖ Q K p ( ℝ ) p 。