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user: 3. Blow-Up准则 定理3.1 假设 h 0 = ( 1 − ∂ x 2 ) ( 4 − ∂ x 2 ) u 0 ∈ H s ( R ) ， s > 1 2 ，且h是方程(3)对应的解。如果 T h 0 * > 0 是解h的 最大存在时间，那么有 T h 0 * < ∞ ⇒ ∫ 0 T h 0 * ‖ h ( τ ) ‖ L ∞ d τ = ∞ . (8) 根据方程(3)，我们得到 h t + u h x = − b u x h . (9) 引理3.2 方程(3)满足引理2.3的四个条件。 证明：对于 1 2 < s < 1 ，由第一个Moser型估计(4)，有 ‖ u x h ‖ H s ≤ C ( ‖ u x ‖ H s ‖ h ‖ L ∞ + ‖ u x ‖ L ∞ ‖ h ‖ H s ) . (10) 因为 h ^ = F ( 4 u − 5 u x x + u x x x x ) = F [ ( 1 − ∂ x 2 ) ( 4 − ∂ x 2 ) u ] = ( 1 + ξ 2 ) ( 4 + ξ 2 ) u ^ ， 所以 u ^ = 1 1 + ξ 2 ⋅ 1 4 + ξ 2 h ^ ， 于是得到 u ^ x = i ξ u ^ = i ξ 1 + ξ 2 ⋅ 1 4 + ξ 2 h ^ ， 因此，我们有 ‖ u x ‖ H s = [ ∫ R | ξ | 2 s | u ^ x | 2 d ξ ] 1 2 = [ ∫ R | ξ | 2 s | i ξ 1 + ξ 2 ⋅ 1 4 + ξ 2 h ^ | 2 d ξ ] 1 2 = [ ∫ R | ξ | 2 s ⋅ ξ 2 ( 1 + ξ 2 ) 2 ⋅ 1 ( 4 + ξ 2 ) 2 | h ^ | 2 d ξ ] 1 2 ≤ [ ∫ R | ξ | 2 s | h ^ | 2 d ξ ] 1 2 = ‖ h ‖ H s . (11) 此外， u x = ∂ x { [ ( 1 − ∂ x 2 ) ( 4 − ∂ x 2 ) ] − 1 h } = ∂ x ν * h ， (12) 其中 ν = ν 1 ∗ ν 2 = 1 2 e − | x | ∗ 1 4 e − 2 | x | = 1 8 ∫ R e − | x − y | e − 2 | y | d y ， 故有 ∂ x ν = 1 8 ∫ R − s i g n ( x − y ) e − | x − y | ⋅ e − 2 | y | d y . Young不等式意味着 ‖ u x ‖ L ∞ ≤ ‖ ∂ x ν ‖ L 1 ‖ h ‖ L ∞ ≤ C ‖ h ‖ L ∞ . (13) 结合(11)和(13)，对于 1 2 < s < 1 ，式子(10)可以整理为 ‖ u x h ‖ H s ≤ C ‖ h ‖ H s ‖ h ‖ L ∞ ， (14) 由Sobolev嵌入不等式，当 1 2 < s < 1 时，有 ‖ u x ‖ L ∞ ≤ C ‖ h ‖ L ∞ ≤ C ‖ h ‖ H s . (15) 因此，对于 1 2 < s < 1 ，以下结论成立： h 0 ∈ H s ( R ) ，   u x ∈ L 1 ( [ 0 ， T ] ; L ∞ ( R ) ) ， u x h ∈ L 1 ( [ 0 ， T ] ; H s ( R ) ) ，       h ∈ L ∞ ( [ 0 ， T ] ; H s ( R ) ) ∩ C ( [ 0 ， T ] ; S ′ ( R ) ) ; 同理，对于 1 ≤ s < 2 ，我们有 ∂ x h 0 ∈ H s − 1 ( R ) ， u x ∈ L 1 ( [ 0 ， T ] ; L ∞ ( R ) ) ， u x h x + u x x h ∈ L 1 ( [ 0 ， T ] ; H s − 1 ( R ) ) ，       ∂ x h ∈ L ∞ ( [ 0 ， T ] ; H s − 1 ( R ) ) ∩ C ( [ 0 ， T ] ; S ′ ( R ) ) ; 并且对于 s ≥ 2 ，以下结论成立。 ∂ x k h 0 ∈ H s − k ( R ) ，                 ∑ l = 0 k − 1 C k l ∂ x k − 1 u ∂ x l + 1 h + ∂ x k ( u x h ) ∈ L 1 ( [ 0 ， T ] ; H s − k ( R ) ) ， u x ∈ L 1 ( [ 0 ， T ] ; L ∞ ( R ) ) ，     ∂ x k h ∈ L ∞ ( [ 0 ， T ] ; H s − k ( R ) ) ∩ C ( [ 0 ， T ] ; S ′ ( R ) ) . 得证。 下面我们将分三步来证明定理3.1。 第一步 对于 s ∈ ( 1 2 ， 1 ) ，对等式(9)应用引理2.3，我们得到对所有 0 < t < T h 0 * ， ‖ h ( t ) ‖ H s ≤ ‖ h 0 ‖ H s + C ∫ 0 t ‖ u x ( τ ) ‖ L ∞ ‖ h ( τ ) ‖ H s d τ + C ∫ 0 t ‖ u x h ( τ ) ‖ H s d τ . (16) 将(13)和(14)代入(16)，有 ‖ h ( t ) ‖ H s ≤ ‖ h 0 ‖ H s + C ∫ 0 t ‖ h ( τ ) ‖ L ∞ ‖ h ( τ ) ‖ H s d τ ， (17) 根据Gronwall不等式，对任意的 0 < t < T h 0 * ， ‖ h ( t ) ‖ H s ≤ ‖ h 0 ‖ H s e C ∫ 0 t ‖ h ( τ ) ‖ L ∞ d τ ， (18) 所以，如果最大存在时间 T h 0 * < ∞ 满足 ∫ 0 T h 0 * ‖ h ( τ ) ‖ L ∞ d τ < ∞ ，那么(18)意味着 lim sup t → T h 0 * ‖ h ( t ) ‖ H s < ∞ . (19) 这与最大存在时间 T h 0 * < ∞ 的假设相矛盾。对于 s ∈ ( 1 2 ， 1 ) ，这就完成了定理3.1的证明。 第二步 对于 s ∈ [ 1 ， 2 ) ，对(9)关于x求一阶导数，得到 ∂ t ( h x ) + u ∂ x ( h x ) = − ( b + 1 ) u x h x − b u x x h ， (20) 对(20)应用引理2.3，有 ‖ ∂ t h ( t ) ‖ H s − 1 ≤ ‖ ∂ t h 0 ‖ H s − 1 + C ∫ 0 t ‖ u x ( τ ) ‖ L ∞ ‖ ∂ x h ( τ ) ‖ H s − 1 d τ + C ∫ 0 t ( ‖ u x h x ( τ ) ‖ H s − 1 + ‖ u x x h ( τ ) ‖ H s − 1 ) d τ . (21) 由式(5)，(11)和(13)，得到 ‖ u x ∂ x h ‖ H s − 1 ≤ C ( ‖ u x ‖ H s ‖ h ‖ L ∞ + ‖ u x ‖ L ∞ ‖ ∂ x h ‖ H s − 1 ) ≤ C ‖ h ‖ L ∞ ‖ h ‖ H s . (22) 由 h = 4 u − 5 u x x + u x x x x ，故下列不等式成立 ‖ u x x ‖ L ∞ ≤ C ( ‖ u ‖ L ∞ + ‖ u x x x x ‖ L ∞ + ‖ h ‖ L ∞ ) = C ( ‖ ν * h ‖ L ∞ + ‖ ∂ x 4 ν * h ‖ L ∞ + ‖ h ‖ L ∞ ) ≤ C ( ‖ ν ‖ L 1 ‖ h ‖ L ∞ + ‖ ∂ x 4 v ‖ L 1 ‖ h ‖ L ∞ + ‖ h ‖ L ∞ ) ≤ C ‖ h ‖ L ∞ . (23) 利用式子(11)，得到 ‖ u x x ‖ H s − 1 = ‖ u x ‖ H s ≤ C ‖ h ‖ H s . (24) 根据(4)，并结合(23)和(24)，有 ‖ u x x h ‖ H s − 1 ≤ C ( ‖ u x x ‖ L ∞ ‖ h ‖ H s − 1 + ‖ u x x ‖ H s − 1 ‖ h ‖ L ∞ ) ≤ C ‖ h ‖ L ∞ ‖ h ‖ H s . (25) 根据(13)，(22)和(25)，(21)化为 ‖ h ( t ) ‖ H s ≤ ‖ h 0 ‖ H s + C ∫ 0 t ‖ h ( τ ) ‖ L ∞ ‖ h ( τ ) ‖ H s d τ . 故对于 1 ≤ s < 2 ，(18)依然成立。重复第一步中相同的过程，我们发现对于 1 ≤ s < 2 ，定理3.1成立。 第三步 设 2 ≤ k ∈ N 。通过归纳法，我们假设(8)在 k − 1 ≤ s < k 时成立，并且证明了它在 k ≤ s < k + 1   ( 2 ≤ k ∈ N ) 时也成立。 对(9)关于x求k阶导数，得到 ∂ t ∂ x k h + u ∂ x ( ∂ x k h ) = − ∑ l = 0 k − 1 C k l ∂ x k − 1 u ∂ x l + 1 h − b ∂ x k ( u x h ) ， (26) 对(26)再次应用引理2.3，意味着 ‖ ∂ x k h ( t ) ‖ H s − k ≤ ‖ ∂ x k h 0 ‖ H s − k + C ∫ 0 t ‖ u x ( τ ) ‖ L ∞ ‖ ∂ x k h ( τ ) ‖ H s − k d τ   + C ∫ 0 t ‖ ( ∑ l = 0 k − 1 C k l ∂ x k − 1 u ∂ x l + 1 h + b ∂ x k ( u x h ) ) ( τ ) ‖ H s − k d τ . (27) 利用(4)，(11)和(13)，我们推出 ‖ b ∂ x k ( u x h ) ‖ H s − k ≤ C ( ‖ u x ‖ H s ‖ h ‖ L ∞ + ‖ u x ‖ L ∞ ‖ h ‖ H s ) ≤ C ‖ h ‖ L ∞ ‖ h ‖ H s . (28) 利用(5)和Sobolev嵌入不等式，我们得到 ‖ ∑ l = 0 k − 1 C k l ∂ x k − 1 u ∂ x l + 1 h ‖ H s − k ≤ C ∑ l = 0 k − 1 C k l ( ‖ u ‖ H s − k + k − l + 1 ‖ ∂ x l h ‖ L ∞ + ‖ ∂ x k − 1 u ‖ L ∞ ‖ h ‖ H s − k + l + 1 ) ≤ C ∑ l = 0 k − 1 C k l ( ‖ u ‖ H s − l + 1 ‖ h ‖ H l + 1 2 + ε 0 + ‖ u ‖ H k − l + 1 2 + ε 0 ‖ h ‖ H s − k + l + 1 ) ≤ C k ‖ h ‖ H k − 1 2 + ε 0 ‖ h ‖ H s ， (29) 其中，常数 ε 0 ∈ ( 0 ， 1 4 ) ，使得 H 1 2 + ε 0 ( R ) 嵌入到 L ∞ ( R ) 成立。将(13)，(28)和(29)代入到(27)，得到 ‖ h ( t ) ‖ H s ≤ ‖ h 0 ‖ H s + C ∫ 0 t ‖ h ( τ ) ‖ L ∞ ‖ h ( τ ) ‖ H s d τ + C ∫ 0 t ( ‖ h ( τ ) ‖ H k − 1 2 + ε 0 + ‖ h ( τ ) ‖ L ∞ ) ‖ h ( τ ) ‖ H s d τ ， 那么 ‖ h ( t ) ‖ H s ≤ ‖ h 0 ‖ H s + C ∫ 0 t ‖ h ( τ ) ‖ H k − 1 2 + ε 0 ‖ h ( τ ) ‖ H s d τ . (30) 在这里，我们使用了Sobolev嵌入定理，对于 k ≥ 2 ， H k − 1 2 + ε 0 ( R ) 可嵌入到 L ∞ ( R ) 中。 应用Gronwall不等式，整理(30)，得到 ‖ h ( t ) ‖ H s ≤ ‖ h 0 ‖ H s e C ∫ 0 t ‖ h ( τ ) ‖ H k − 1 2 + ε 0 d τ ， (31) 因此，如果最大存在时间 T h 0 * < ∞ 满足 ∫ 0 T h 0 * ‖ h ( τ ) ‖ L ∞ d τ < ∞ ，根据定理2.2中解的唯一性，我们通过归纳假设，我们发现， ‖ h ( t ) ‖ H k − 1 2 + ε 0 在 t ∈ ( 0 ， T h 0 * ) 上是一致有界的，又根据(31)，得到 lim sup t → T h 0 * ‖ h ( t ) ‖ H s < ∞ . 这就产生了矛盾。 因此，步骤1到3完成了定理3.1的证明。