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user: 2. 正周期解的存在性 引理1 (连续理论 [ 11 ] [ 12 ] ) 假设X和Z是两个Banach空间，映射 L : D o m L ⊂ X → Z 是一个指标为0的Fredholm算子，映射 N : X → Z 在 Ω ¯ 上L-紧的。 Ω 是X的一个有界开子集，另外，假设下列所有条件满足： 1) ∀ λ ∈ ( 0 ， 1 ) ， ∀ x ∈ ∂ Ω ∩ D o m L ， L x ≠ λ N x ， 2) Q N x ≠ 0 ，对 ∀ x ∈ ∂ Ω ∩ ker L ， 3) deg { J Q N ， Ω ∩ ker L ， 0 } ≠ 0 ， 那么方程 L x = N x 在 D o m L ∩ Ω ¯ 上至少存在一个解。 定理1 假设 r i ( t ) ， K i ( t ) ， a i ( t ) ， i = 1 ， 2 是定义在R上的非负连续有界的 ω 周期函数， exp M 1 < K 1 ( t ) ， exp M 2 < K 2 ( t ) ， t ∈ [ 0 ， ω ] ， 则系统(1)至少有一个 ω 正周期解。其中 M 1 = A 2 + 2 ∫ 0 ω r 2 ( t ) d t ， M 2 = A 1 + 2 ∫ 0 ω r 1 ( t ) d t ， A 1 = ln ∫ 0 ω r 2 ( t ) d t ∫ 0 ω b 2 ( t ) d t ， A 2 = ln ∫ 0 ω r 1 ( t ) d t ∫ 0 ω b 1 ( t ) d t . 证明：考虑到(1)的现实生物意义，在此本文仅聚焦于该系统正周期解的存在性。因此，令 x ( t ) = e u 1 ( t ) ， y ( t ) = e u 2 ( t ) ， 方程组(1)变为： { u ′ 1 ( t ) = r 1 ( t ) − r 1 ( t ) exp u 1 ( t − τ 1 ( t ) ) K 1 ( t ) + a 1 ( t ) exp u 2 ( t ) − b 1 ( t ) exp u 2 ( t ) u ′ 2 ( t ) = r 2 ( t ) − r 2 ( t ) exp u 2 ( t − τ 2 ( t ) ) K 2 ( t ) + a 2 ( t ) exp u 1 ( t ) − b 2 ( t ) exp u 1 ( t ) (2) 其中所有函数定义同(1)。显然若(2)有一个周期解 ( u 1 * ( t ) ， u 2 * ( t ) ) T ，那么 ( x * ( t ) ， y * ( t ) ) T = ( exp { u 1 * ( t ) } ， exp { u 2 * ( t ) } ) T 是(1)的一个 ω 周期解。因此，我们只需证明定理1的条件能保证系统(2)有一个 ω 周期解即可。令 X = { ( x 1 ， x 2 ) | x i ∈ C ( R ) ， x i ( t + w ) = x i ( t ) ， ∀ t ∈ R ， i = 1 ， 2 } ， ∀ ( x 1 ， x 2 ) ∈ X ，定义 ‖ ( x 1 ， x 2 ) ‖ = max 0 ≤ t ≤ ω ( | x 1 ( t ) | + | x 2 ( t ) | ) . 则X按照上述范数构成Banach空间。令 Z = X ， ∀ ( u 1 ， u 2 ) ∈ X ，定义 L ( u 1 ， u 2 ) = ( u ′ 1 ， u ′ 2 ) ，则 D o m L = { ( u 1 ， u 2 ) ∈ X | ( u ′ 1 ， u ′ 2 ) ∈ X } ， K e r L = R 2 ， Im L = { ( u 1 ， u 2 ) ∈ D o m L | ∫ 0 ω u 1 ( t ) d t = ∫ 0 ω u 2 ( t ) d t = 0 } ， Z / Im L = R 2 . 分别定义P、Q算子如下形式： P : X ∩ D o m L → K e r L ， P ( u 1 ， u 2 ) = ( 1 ω ∫ 0 ω u 1 ( t ) d t ， 1 ω ∫ 0 ω u 2 ( t ) d t ) . Q : Z → Z / Im L ， Q ( u 1 ， u 2 ) = ( 1 ω ∫ 0 ω u 1 ( t ) d t ， 1 ω ∫ 0 ω u 2 ( t ) d t ) . 从而L是指标为0的Fredholm算子。令 N : X → X ： N ( u 1 u 2 ) = ( r 1 ( t ) − r 1 ( t ) exp u 1 ( t − τ 1 ( t ) ) K 1 ( t ) + a 1 ( t ) exp u 2 ( t ) − b 1 ( t ) exp u 2 ( t ) r 2 ( t ) − r 2 ( t ) exp u 2 ( t − τ 2 ( t ) ) K 2 ( t ) + a 2 ( t ) exp u 1 ( t ) − b 2 ( t ) exp u 1 ( t ) ) . Ω ⊂ X 为有界开集，则 Q N ( u 1 u 2 ) = 1 ω ( ∫ 0 ω ( r 1 ( t ) − r 1 ( t ) exp u 1 ( t − τ 1 ( t ) ) K 1 ( t ) + a 1 ( t ) exp u 2 ( t ) − b 1 ( t ) exp u 2 ( t ) ) d t ∫ 0 ω ( r 2 ( t ) − r 2 ( t ) exp u 2 ( t − τ 2 ( t ) ) K 2 ( t ) + a 2 ( t ) exp u 1 ( t ) − b 2 ( t ) exp u 1 ( t ) ) d t ) . 从而 Q N 连续，且 Q N ( Ω ¯ ) 有界。 L的广义逆 K p : Im L → K e r P ∩ D o m L ： K p ( u 1 u 2 ) = ( ∫ 0 t u 1 ( s ) d s − 1 ω ∫ 0 ω ∫ 0 t u 1 ( s ) d s d t ∫ 0 t u 2 ( s ) d s − 1 ω ∫ 0 ω ∫ 0 t u 2 ( s ) d s d t ) . 从而 K P ( I − Q ) N ( u 1 u 2 ) = ( g ( t ) h ( t ) ) ，其中 g ( t ) = ∫ 0 t ( r 1 ( s ) − r 1 ( s ) exp u 1 ( s − τ 1 ( s ) ) K 1 ( s ) + a 1 ( s ) exp u 2 ( s ) − b 1 ( s ) exp u 2 ( s ) ) d s     − 1 ω ∫ 0 ω ∫ 0 t ( r 1 ( s ) − r 1 ( s ) exp u 1 ( s − τ 1 ( s ) ) K 1 ( s ) + a 1 ( s ) exp u 2 ( s ) − b 1 ( s ) exp u 2 ( s ) ) d s     + ( t ω + 1 2 ) ∫ 0 ω ( r 1 ( s ) − r 1 ( s ) exp u 1 ( s − τ 1 ( s ) ) K 1 ( s ) + a 1 ( s ) exp u 2 ( s ) − b 1 ( s ) exp u 2 ( s ) ) d s . h ( t ) = ∫ 0 t ( r 2 ( s ) − r 2 ( s ) exp u 2 ( s − τ 2 ( s ) ) K 2 ( s ) + a 2 ( s ) exp u 1 ( s ) − b 2 ( s ) exp u 1 ( s ) ) d s     − 1 ω ∫ 0 ω ∫ 0 t ( r 2 ( s ) − r 2 ( s ) exp u 2 ( s − τ 2 ( s ) ) K 2 ( s ) + a 2 ( s ) exp u 1 ( s ) − b 2 ( s ) exp u 1 ( s ) ) d s     + ( t ω + 1 2 ) ∫ 0 ω ( r 2 ( s ) − r 2 ( s ) exp u 2 ( s − τ 2 ( s ) ) K 2 ( s ) + a 2 ( s ) exp u 1 ( s ) − b 2 ( s ) exp u 1 ( s ) ) d s . 从而 Q N ( Ω ) 及 K P ( I − Q ) N ( Ω ) 为相对紧，从而N在 Ω ¯ 上为L-紧。 设 η ∈ ( 0 ， 1 ) ， ( u 1 u 2 ) T ∈ X ，满足 L ( u 1 ， u 2 ) T = η N ( u 1 ， u 2 ) T ，则 { u ′ 1 ( t ) = η ( r 1 ( t ) − r 1 ( t ) exp u 1 ( t − τ 1 ( t ) ) K 1 ( t ) + a 1 ( t ) exp u 2 ( t ) − b 1 ( t ) exp u 2 ( t ) ) u ′ 2 ( t ) = η ( r 2 ( t ) − r 2 ( t ) exp u 2 ( t − τ 2 ( t ) ) K 2 ( t ) + a 2 ( t ) exp u 1 ( t ) − b 2 ( t ) exp u 1 ( t ) ) (3) 从0到 ω 对(3)积分得： { ∫ 0 ω ( r 1 ( t ) − r 1 ( t ) exp u 1 ( t − τ 1 ( t ) ) K 1 ( t ) + a 1 ( t ) exp u 2 ( t ) − b 1 ( t ) exp u 2 ( t ) ) d t = 0 ∫ 0 ω ( r 2 ( t ) − r 2 ( t ) exp u 2 ( t − τ 2 ( t ) ) K 2 ( t ) + a 2 ( t ) exp u 1 ( t ) − b 2 ( t ) exp u 1 ( t ) ) d t = 0 (4) 由(3)及(4)知： ∫ 0 ω | u ′ 1 ( t ) | d t ≤ η ( ∫ 0 ω r 1 ( t ) d t + ∫ 0 ω ( r 1 ( t ) exp u 1 ( t − τ 1 ( t ) ) K 1 ( t ) + a 1 ( t ) exp u 2 ( t ) + b ( t ) 1 exp u 2 ( t ) ) d t ) = 2 η ∫ 0 ω r 1 ( t ) d t ≤ 2 ∫ 0 ω r 1 ( t ) d t . (5) 同理可得 ∫ 0 ω | u ′ 2 ( t ) | d t ≤ 2 ∫ 0 ω r 2 ( t ) d t . (6) 由(4)知： ∫ 0 ω b 2 ( t ) exp u 1 ( t ) d t ≤ ∫ 0 ω r 2 ( t ) d t . (7) 记 A 1 = ln ∫ 0 ω r 2 ( t ) d t ∫ 0 ω b 2 ( t ) d t ， A 2 = ln ∫ 0 ω r 1 ( t ) d t ∫ 0 ω b 1 ( t ) d t 。若 ∀ t ∈ [ 0 ， ω ] ， u 1 ( t ) > A 1 ，由(7)推出矛盾，从而存在 t 0 ∈ [ 0 ， ω ] ，使 u 1 ( t 0 ) ≤ A 1 。故由(5)， ∀ t ∈ [ 0 ， ω ] ，有 u 1 ( t ) = u 1 ( t 0 ) + ∫ t 0 t u ′ 1 ( s ) d s ≤ u 1 ( t 0 ) + | ∫ t 0 t u ′ 1 ( s ) d s | ≤ A 1 + ∫ t 0 t | u ′ 1 ( s ) | d s ≤ A 1 + 2 ∫ 0 ω r 1 ( t ) d t ≜ M 2 . 类似可证 ∀ t ∈ [ 0 ， ω ] ， u 2 ( t ) ≤ A 2 + 2 ∫ 0 ω r 2 ( t ) d t ≜ M 1 由(4)知 0 < ∫ 0 ω r 1 ( t ) d t − ∫ 0 ω r 1 ( t ) K 1 ( t ) exp M 1 d t ≤ ∫ 0 ω b 1 ( t ) exp u 2 ( t ) d t 。从而存在 t 0 ∈ [ 0 ， ω ] 使 u 2 ( t 0 ) > − ln ∫ 0 ω ( r 1 ( t ) − r 1 ( t ) K 1 ( t ) exp M 1 ) d t ∫ 0 ω b 1 ( t ) d t ≜ − B 2 . 由(6)知， ∀ t ∈ [ 0 ， ω ] ，有 u 2 ( t ) = u 2 ( t 0 ) + ∫ t 0 t u ′ 2 ( s ) d s > − B 2 − | ∫ t 0 t u ′ 2 ( s ) d s | > − B 2 − ∫ 0 ω | u ′ 2 ( s ) | d s ≥ − B 2 − 2 ∫ 0 ω r 2 ( t ) d t = m 2 . 记 B 1 = ln ∫ 0 ω ( r 2 ( t ) − r 2 ( t ) K 2 ( t ) exp M 2 ) d t ∫ 0 ω b 2 ( t ) d t ，与上面类似可证 ∀ t ∈ [ 0 ， ω ] ，有 u 1 ( t ) > − B 1 − 2 ∫ 0 ω r 1 ( t ) d t = m 1 . 令 J = max ( 2 | m i | ， 2 | M i | ， i = 1 ， 2 ) ， Ω = { ( u 1 ， u 2 ) ∈ X | ‖ ( u 1 ， u 2 ) ‖ < J } ，则J为X的有界开子集，由J的取法知， ∀ ( u 1 ， u 2 ) ∈ ∂ Ω ∩ K e r L ，有 Q N ( u 1 u 2 ) = 1 ω ( ∫ 0 ω ( r 1 ( t ) − r 1 ( t ) exp u 1 ( t − τ 1 ( t ) ) K 1 ( t ) + a 1 ( t ) exp u 2 ( t ) − b 1 ( t ) exp u 2 ( t ) ) d t ∫ 0 ω ( r 2 ( t ) − r 2 ( t ) exp u 2 ( t − τ 2 ( t ) ) K 2 ( t ) + a 2 ( t ) exp u 1 ( t ) − b 2 ( t ) exp u 1 ( t ) ) d t ) ≠ 0. 令 φ ( λ ， ( u 1 ， u 2 ) ) = λ ( u 1 ， u 2 ) + Q N ( ( u 1 ， u 2 ) ) ， 0 ≤ λ ≤ 1 。 ∀ ( u 1 ， u 2 ) ∈ ∂ Ω ∩ K e r L ， λ ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ( λ ， ( u 1 ， u 2 ) ) ≠ 0 。由同伦不变性知 deg ( Q N ( u 1 ， u 2 ) ， ∂ Ω ∩ K e r L ， 0 ) ≠ 0. 从而 Ω 满足引理的所有条件。故存在 ( u 1 ， u 2 ) ∈ Ω ，使 L ( u 1 ， u 2 ) = N ( u 1 ， u 2 ) 。即(2)存在 ω 周期解 ( u 1 ( t ) ， u 2 ( t ) ) ，从而(1)存在正 ω 周期解 ( x 1 ( t ) ， x 2 ( t ) ) = ( exp u 1 ( t ) ， exp u 2 ( t ) ) 。定理得证。