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user: 2. 预备知识和引理 定义1 (H函数)：称函数 H = H ( t ， s ) 属于函数类X，记作 H ∈ X ，假如 H ∈ C ( D ， ℝ + ) 满足： H ( t ， t ) = 0 ， H ( t ， s ) > 0 ， t > s ， 其中 D = { ( t ， s ) : − ∞ < s ≤ t < ∞ } ， 且H在D上有导函数 ∂ H ∂ t 和 ∂ H ∂ s 满足 ∂ H ∂ t ( t ， s ) = h 1 ( t ， s ) H ( t ， s ) ， ∂ H ∂ s ( t ， s ) = − h 2 ( t ， s ) H ( t ， s ) ， h 1 ， h 2 = L l o c ( D ， ℝ ) 定义2 (解)：称函数 x ( t ) 是方程(1)的解，如果函数 x ( t ) : [ T 0 ， ∞ ) → ℝ ， T 0 ≥ t 0 ，使得 x ( t ) 和 a ( t ) ( x ( t ) + p ( t ) x ( τ ( t ) ) ) ′ 都是连续并且可微的，而且对 t ≥ T 0 ，满足方程(1)。 本文中我们着重讨论研究的是方程(1)的非平凡解 x ( t ) ，若该解满足 sup { | x ( t ) | : t ≥ T } > 0 那么对于所有的 T ≥ T 0 结论都是成立的。 定义3 (振动)：如果方程(1)的非平凡解有任意大的零点，即无论自变量多大，该解的函数都与坐标轴x轴有交点，那么就称这个非平凡解是振动的；若不然就称它是非振动的。方程(1)称为振动的，如果它的所有的非平凡解都是振动的。 引理1：假设 x ( t ) 是方程(1)的最终正解，即存在足够大的 T 0 ≥ t 0 ，使得 t ≥ T 0 时 x ( t ) > 0 ，那么对于它的任何子区间 [ c ， b ) ⊂ [ T 0 ， ∞ ) 以及任何非递减的函数 ρ ∈ C 1 ( I ， ℝ + ) 和 H ∈ C ( D ， ℝ + ) 都有： ∫ c b k 1 k 2 ρ ( s ) q ( s ) ( 1 − ρ ( σ i 0 ( s ) ) ) H ( b ， s ) d s ≤ H ( b ， s ) ω ( c ) + 1 4 ∫ c b ρ ( s ) a ( σ ( s ) ) σ ′ ( s ) [ h 2 ( b ， s ) − ρ ′ ( s ) ρ ( s ) H ( b ， s ) ] 2 d s (2) 成立，其中 ω ( t ) = ρ ( t ) a ( t ) z ′ ( t ) z ( σ ( t ) ) ， z ( t ) = x ( t ) + p ( t ) x ( τ ( t ) ) 。 证明：假设 x ( t ) 是方程的最终正解，则存在一个很大的 T 0 ≥ t 0 ，使 t ≥ T 0 时， x ( t ) > 0 ，进而由假设可知 x ( τ ( t ) ) > 0 ， x ( σ ( t ) ) > 0 ， x ( σ i ( t ) ) > 0 ( i ∈ I m )， 显然在 [ c ， b ) ⊂ [ T 0 ， ∞ ) 上，以上各不等式依然成立。令 z ( t ) = x ( t ) + p ( t ) x ( τ ( t ) ) ， 可以证明为 a ( t ) z ′ ( t ) 减函数。事实上，由(1)式 [ a ( t ) ( x ( t ) + p ( t ) x ( τ ( t ) ) ) ′ ] ′ + q ( t ) f ( x ( σ 1 ( t ) ) ， x ( σ 2 ( t ) ) ， ⋯ ， x ( σ m ( t ) ) ) g ( x ( t ) ) = 0 可知 [ a ( t ) ( x ( t ) + p ( t ) x ( τ ( t ) ) ) ′ ] ′ = − q ( t ) f ( x ( σ 1 ( t ) ) ， x ( σ 2 ( t ) ) ， ⋯ ， x ( σ m ( t ) ) ) g ( x ( t ) ) . 根据已有的条件可以知道 k 1 k 2 > 0 ， f ( x ( σ 1 ( t ) ) ， x ( σ 2 ( t ) ) ， ⋯ ， x ( σ m ( t ) ) ) > 0 ， q ( t ) > 0 ， g ( x ( t ) ) > 0 因为 [ a ( t ) ( x ( t ) + p ( t ) x ( τ ( t ) ) ) ] ′ < 0 ，所以 a ( t ) z ′ ( t ) 为减函数。 我们还可以证明 ( a ( t ) z ′ ( t ) ) ′ + k 1 k 2 q ( t ) [ 1 − p ( σ i 0 ( t ) ) ] z ( σ ( t ) ) ≤ 0. (3) 事实上， ( a ( t ) z ′ ( t ) ) ′ + k 1 k 2 q ( t ) [ 1 − p ( σ i 0 ( t ) ) ] z ( σ ( t ) ) = − q ( t ) f ( x ( σ 1 ( t ) ) ， x ( σ 2 ( t ) ) ， ⋯ ， x ( σ m ( t ) ) ) g ( x ( t ) )     + k 1 k 2 q ( t ) z ( σ ( t ) ) − k 1 k 2 q ( t ) p ( σ i 0 ( t ) ) z ( σ ( t ) ) = q ( t ) ( k 1 k 2 z ( σ ( t ) ) − f ( x ( σ 1 ( t ) ) ， x ( σ 2 ( t ) ) ， ⋯ ， x ( σ m ( t ) ) ) g ( x ( t ) )     − k 1 k 2 p ( σ i 0 ( t ) ) z ( σ ( t ) ) ) (*) = q ( t ) [ k 1 k 2 ( x ( t ) + p ( t ) x ( τ ( t ) ) ) − f ( x ( σ 1 ( t ) ) ， ⋯ ， x ( σ m ( t ) ) ) g ( x ( t ) )     − k 1 k 2 p ( σ i 0 ( t ) ) ( x ( t ) + p ( t ) x ( τ ( t ) ) ) ] = q ( t ) [ k 1 k 2 x ( t ) + k 1 p ( t ) x ( τ ( t ) ) − f ( x ( σ 1 ( t ) ) ， ⋯ ， x ( σ m ( t ) ) ) g ( x ( t ) )     − k 1 k 2 p ( σ i 0 ( t ) ) p ( t ) x ( τ ( t ) ) ] 由条件(I 5 ) f ( x ( σ 1 ( t ) ) ， x ( σ 2 ( t ) ) ， ⋯ ， x ( σ m ( t ) ) ) ≥ k 1 x i ( t )   ( f > 0 ， x i ( t ) > 0 ) f ( x ( σ 1 ( t ) ) ， x ( σ 2 ( t ) ) ， ⋯ ， x ( σ m ( t ) ) ) g ( x ( t ) ) ≥ k 1 k 2 x i ( t ) g ( x ) ≥ k 1 k 2 x i (t) 所以 ( ∗ ) ≤ q ( t ) [ k 1 k 2 p ( t ) x ( τ ( t ) ) − k 1 k 2 p ( σ i ( t ) ) − k 1 k 2 p ( σ i ( t ) ) p ( t ) x ( τ ( t ) ) ] = q ( t ) ( − k 1 k 2 p ( σ i ( t ) ) − k 1 k 2 p ( t ) x ( τ ( t ) ) ( 1 − p ( σ i ( t ) ) ) ) 又 1 − p ( σ i ( t ) ) > 0 ， q ( t ) > 0 ， − k 1 k 2 p ( σ i ( t ) ) − k 1 k 2 p ( t ) x ( τ ( t ) ) ( 1 − p ( σ i ( t ) ) ) < 0 所以 ( ∗ ) ≤ 0 ，故(3)式得证。 令 ω ( t ) = ρ ( t ) a ( t ) z ′ ( t ) z ( σ ( t ) ) ，在子区间 [ c ， b ) 上，有 ω ′ ( t ) = ρ ′ ( t ) ρ ( t ) ω ( t ) + ρ ( t ) ( a ( t ) z ′ ( t ) ) ′ z ( σ ( t ) ) − ρ ( t ) a ( t ) z ′ ( t ) z 2 ( σ ( t ) ) z ′ ( σ ( t ) ) σ ′ ( t ) ≤ ρ ′ ( t ) ρ ( t ) ω ( t ) − k 1 k 2 ρ ( t ) q ( t ) [ 1 − p ( σ i 0 ( t ) ) ] − σ ′ ( t ) ρ ( t ) a ( σ ( t ) ) ω 2 (t) k 1 k 2 ρ ( t ) q ( t ) [ 1 − p ( σ i 0 ( t ) ) ] ≤ − ω ' ( t ) + ρ ′ ( t ) ρ ( t ) ω ( t ) − σ ′ ( t ) ρ ( t ) a ( σ ( t ) ) ω 2 ( t ) ， (4) 将上式中的t替换成s，两边同时乘以 H ( t ， s ) ，并对s从c到 t ( t ∈ [ c ， b ) ) 积分，得出 ∫ c t k 1 k 2 ρ ( s ) q ( s ) ( 1 − p ( σ i 0 ( s ) ) ) H ( t ， s ) d s ≤ − ∫ c t H ( t ， s ) ω ′ ( s ) d s + ∫ c t H ( t ， s ) ρ ′ ( s ) ρ ( s ) ω ( s ) d s − ∫ c t H ( t ， s ) σ ′ ( s ) ρ ( s ) a ( σ ( s ) ) ω 2 ( s ) d s = H ( t ， c ) ω ( c ) − ∫ c t [ h 2 ( t ， s ) H ( t ， s ) − H ( t ， s ) ρ ′ ( s ) ρ ( s ) ] ω ( s ) d s     − ∫ c t H ( t ， s ) σ ′ ( s ) ρ ( s ) a ( σ ( s ) ) ω 2 ( s ) d s = H ( t ， s ) ω ( c ) − ∫ c t [ H ( t ， s ) σ ′ ( t ) ρ ( s ) a ( σ ( s ) ) ω ( s ) + 1 2 ρ ( s ) a ( σ ( s ) ) σ ′ ( s ) ( h 2 ( t ， s ) − H ( t ， s ) ρ ′ ( s ) ρ ( s ) ) ] 2 d s     + 1 4 ∫ c t ρ ( s ) a ( σ ( s ) ) σ ′ ( s ) [ h 2 ( t ， s ) − ρ ′ ( s ) ρ ( s ) H ( t ， s ) ] 2 d s ≤ H ( t ， c ) ω ( c ) + 1 4 ∫ c t ρ ( s ) a ( σ ( s ) ) σ ′ ( s ) [ h 2 ( t ， s ) − ρ ′ ( s ) ρ ( s ) H ( t ， s ) ] 2 d s 对上式中的t，使 t → b − ，由此可知(2)式成立，引理得证。 引理2：假设 x ( t ) 是方程(1)的最终正解，即存在足够大的 T 0 ≥ t 0 ，使得 t ≥ T 0 时， x ( t ) ≥ 0 ， ω ( t ) 如引理1所定义，那么对于任何子区间 ( a ， c ] ⊂ [ T 0 ， ∞ ) 以及任何非递减函数 ρ ∈ C 1 ( I ， ℝ + ) 和 H ∈ C ( D ， ℝ + ) 有下列不等式成立 ∫ a c k 1 k 2 ρ ( s ) q ( s ) ( 1 − p ( σ i 0 ( s ) ) ) H ( s ， a ) d s ≤ H ( c ， a ) ω ( c ) + 1 4 ∫ a c ρ ( s ) a ( σ ( s ) ) σ ′ ( s ) [ h 1 ( s ， a ) + ρ ′ ( s ) ρ ( s ) H ( s ， a ) ] d s (5) 证明方法类似引理1的证明，此处略。