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user: 2. 教学背景介绍及教学片断分析 两节“异课同构”课的教学内容分别选自北师大版高中数学必修1第三章第五节的内容《对数函数》和必修5第一章第三节的内容《等比数列》，两节课为同一位教师执教，执教教师的教龄为7年。所观察的班级为不同年级的两个班，学生的学习水平和认知水平较好，思维能力较活跃。 高中阶段的学生在教学活动中是不成熟、不断发展的主体，教师在具体教学设计过程中必须以学生思维发展为依据，利用恰当的方法引导他们去学习。下面从三方面的教学片断来感受这位教师在教学过程中的具体实施方式。 2.1. 教学片断一：利用情境，生成定义 2.1.1. 对数函数定义的生成过程 请同学们回答两个情境中的问题，并结合函数的概念，抽象出对数函数的定义。 情境1：我们知道考古学家估计出文物或古遗址的年代可以利用生物体内 C 14 的含量 推算生物体的 年代关系 t = log 5730 1 2 p ，那么 t 是关于 p 的函数吗？ 情境2：《庄子▪天下篇》中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，若木棰剩余部分长度为 x ，被截取的次数为 y ，那么 y 是关于 x 的函数吗？ 对于情境1，因为每一个 C 14 的含量 p 通过此关系都有唯一确定的年代 t 与它对应，所以得到 t 是 p 的函数。对于情境2，因为木棰被截取后剩余部分长度为 x ，而 x 的值决定了木棰被截取的次数 y ，所以得 y 是关于 x 的函数。类比后发现：对于每一个对数式 y = log a x 中的 x ，任取一个正的实数值，均有唯一确定的 y 与之对应，所以 y = log a x 是关于x的函数。 一般地，我们把函数 y = log a x ( a > 0 且 a ≠ 1 )叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域( 0 ， + ∞ )。 老师以学生熟悉的知识(函数定义)为背景，启发学生运用类比思想分析一般函数和对数函数的异同，让学生自己给出对数函数的定义，从而理解对数函数也是一种函数。 2.1.2. 等比数列定义的生成过程 请同学们根据以下情境，先将其转化为数学问题，观察共同点，类比等差数列的定义，给出等比数列的定义。 情境1：国王奖赏国际象棋发明者的事例，发明者要求：在第1个方格放1颗麦粒，在第2个方格上放2颗麦粒，在第3个方格上放4颗麦粒，在第4个方格上放8颗麦粒，依此类推，直到第64个方格子，国王能否满足他的要求呢？ ( 1 ， 2 ， 2 2 ， ⋯ ， 2 64 ) 情境2：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ( 1 ， 1 2 ， ( 1 2 ) 2 ， ⋯ ) 情境3：某轿车的售价约27万元，年折旧率约为10%(就是说这辆车每年减少它的价值的10%)那么该车从购买当年算起，逐年的价格依次为多少？ ( 27 ， 27 × 0.9 ， 27 × 0.9 2 ， ⋯ ， 拟 27 × 0.9 n ， ⋯ ) 学生将情境转化成数学问题后，发现了共同点：后一项与前一项的比值是相同的。结合等差数列的定义，轻松得到等比数列的定义。 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫等比数列。 教师可以通过列举生活中关于等比数列的大量实例，引导学生自己去发现、去探索，让学生自然地运用类比思想去分析例子间的数学问题，从而归纳出等比数列的定义。 在此过程中教师结合具体情境，以原有知识为出发点，不仅能激发学生的学习兴趣，建立解决新问题的信心，而且在提高学生发现问题能力和培养创新能力等方面都起到很好的促进作用。 2.2. 教学片断二：动手实践，合作探究 2.2.1. 对数函数图像的生成过程 引导学生思考：把如何画一般对数函数图像的问题转化为画特殊对数函数的图像。类比指数函数 a 的取值情况，可以取 a = 2 ， 1 2 ， 3 ， 1 3 ⋯ 。将学生分成四组，分别画出 y 1 = log 2 x ，   y 2 = log 1 / 2 x ，   y 3 = log 3 x ，   y 4 = log 1 / 3 x 这四个对数函数的图像。然后观察 y 1 = log 2 x ，   y 2 = log 1 / 2 x 两函数图像上点有(x， y) → (x， −y)的关系。 利用对数的运算法则(如： y 2 = log 1 / 2 x = − y 1 = log 2 x )列出表格(表1)在同一坐标内进行画图(图1)。 教师将类比思想融入分组画对数函数图像中，让学生从特殊函数的图像抽象出一般函数的图像，归 结出只要描出横坐标 x = 1 a ， 1 ， a 三个点，就可以确定对数函数图像的大致形状和位置这一结论。同时四个 函数图像在同一坐标系内学生容易发现对数函数的对称性，激发了他们探索函数性质的兴趣。分组画图既提高了课堂效率又增强了学生之间合作交流的热情，也为下个环节探索对数函数的性质做好铺垫。 Table 1 Uses the logarithmic algorithm example tabl x ⋯ 1 4 ( 1 9 ) 1 2 ( 1 3 ) 1 (1) 2 (3) 4 (9) ⋯ y 1 = log 2 log 2 x ( y 3 = log 3 log 3 x ) ⋯ −2 −1 0 1 2 y 2 = log 1 2 log 1 2 x ( y 4 = log 1 3 log 1 3 x ) ⋯ 2 1 0 −1 −2 表1. 利用对数的运算法则示例表 图1. 对数运算示例图 2.2.2. 等比数列通项公式的生成过程 我们用公差d，项数n以及首项 a 1 表示等差数列的通项公式。那么在等比数列中，如何根据等比数列的定义来表示等比数列的每一项呢？ 教师启发引导，让学生分组讨论、大胆尝试，通过类比等差数列通项公式的推导方法(递推累加法)，学生讨论后归纳出等比数列的通项公式。教师继续将问题延伸，提出：对于这个通项公式，我们可以从哪几个方面去认识它？它可以变形成哪几种形式？公式还可以作怎样的推广？从函数的观点来认识需要怎样来解释？ 类比等差数列通项公式相关知识，学生经讨论后得到以下新知识：① 等比数列的通项公式 a n = a 1 q n − 1 ( a 1 ≠ 0 ， q ≠ 0 ) ，要确定一个数列的通项公式，只要把两个常数 a 1 与 q 求出来即可。② 通项公式可以推广为 a n = a m q n − m ( m ， n ∈ N * ) 。③ 从函数观点去认识， a n = a 1 q n − 1 ( a 1 ≠ 0 ， q ≠ 0 ) 可以看作以 n 为自变量的函数表达式。④ 从方程观点来看，可以把 a n = a 1 q n − 1 ( a 1 ≠ 0 ， q ≠ 0 ) 看成以 n 为未知量的一个方程。 整个活动探究的过程都是以学生为主体进行，通过类比来寻找解题思路，推广数学命题，加深了学生对等比数列通项公式的理解。与此同时，通过对等比数列通项公式的发现与猜想，学生思维的独创性与灵活性也得到训练。 2.3. 教学片断三：类比归纳，探究性质 2.3.1. 对数函数性质的生成过程 请同学们类比前面讨论指数函数性质的思路，思考研究对数函数的性质的内容和方法。(教师用PPT展示指数函数及其性质)上个环节学生们已完成对数函数图像的生成，所以结合图像以“两域三性”为出发点类比对数函数的性质(表2)。 对数函数这节内容相对抽象，学生并不容易理解。传统的灌输式教学反而不利于学生对知识的掌握。所以在进行这部分内容教学时，教师只做引导者，引导学生类比指数函数性质归纳思路，通过自己的观察，根据对数函数的图像得到对数函数的性质。整个教学过程注重学生自主探索知识能力的培养，让学生深刻体会知识的形成过程，充分认识到数学思想在探索新知识中起到的重要作用。 2.3.2. 等比数列性质的生成过程 等比数列性质这部分内容在教材中并没有以成节形式出现，这就需要学生去思考，去探究。如果教师以自己讲授为主，将相关性质直接灌输给学生，不仅不利于知识的吸收，可能还会造成一定的学习压力。由此，先让学生回顾等差数列的性质，以熟悉的知识为导向，并引导他们从等差、等比数列定义间的区别去思考，类比等差数列的性质，大胆猜想等比数列的性质(表3)。学生在教师的指导下自主发现问题、探究问题、获得结论。 学生从形式上得到类比的特征，从本质上体验思维的过程。了解类比不仅是形式上的“相似”，而是从相似中得到猜想，再由论证使之成为正确的类比。这不仅有利于激发学生的学习兴趣，使学生在辩证中掌握类比的思想方法，也倡导了以“以学生自身发展为本”的教学理念 [ 6 ] 。 在利用类比思想进行教学时，注重的是学生要善于发现新旧知识的联系，从而获得新知识的过程。这两节“异课同构”课是运用类比思想教学的典型代表，在已有知识经验的基础上，通过类比法的运用 Table 2 Comparison of the properties of logarithmic function 对数函数 y = log a x (a > 0，且a ≠ 1)的性质 两域三性 a > 0 0 < a < 1 图像的特征 图像 图像都在y轴右侧 定义域 (0， +∞) 图像可以上下无限延伸 值域 R 从左到右，图像上升或下降 单调性 单调递增 单调递增 单一函数的图像无对称性 奇偶性 非奇非偶函数 单一函数的图像无周期变化 周期性 非周期函数 其他 过点性(0， 1) 底数互为倒数的函数图像大于X轴对称 表2. 对数函数的性质对比 Table 3 Contrast series comparison proportional serie 性质 等差数列 等比数列 1 若m + n = s + t，则a m + a n = a s + a t 若m + n = s + t，则a m * a n = a s * a t 2 m + n = 2K，则a m + a n = 2a k m + n = 2K，则a m * a n = a k 2 3 {a n }中任意两项a m ，a n 都有a n = a m + (n − m)d {a n }中任意两项a m ，a n 都有a n = a m * q n − m 表3. 等差数列对比等比数列 使学生主动参与到教学活动中来，自发探索新旧知识的异同，进而巩固旧知识，掌握新知识，提升学习的积极性和自主性。