DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 3. 通过秩的非凸逼近的低秩张量RPCA算法 在这一部分中，我们提出了一种新的张量管秩逼近，并提出了一种非凸张量RPCA算法。 定义3.1张量的 γ -范数 [ 1 ]。 假设张量 L ∈ R n 1 × n 2 × n 3 ，不妨设 n = min ( n 1 ， n 2 ) 有T-SVD分解； L = U ∗ S ∗ V ∗ ，张量L的 γ -范数定义为： ‖ L ‖ γ = 1 n 3 ∑ i ∑ j ( 1 + γ ) σ i ( L ¯ ( j ) ) γ + σ i ( L ¯ ( j ) ) (3.1) 可以观察到 lim γ → ∞ ‖ L ‖ γ = ‖ L ‖ * ，并且 ‖ L ‖ γ 是一个正交不变范数，即对于任意的正交张量 U ， V ，有 ‖ L ‖ γ = ‖ U L V ‖ γ 成立。 3.2张量RPCA的非凸优化模型 由于新定义的张量的 γ -范数 ‖ L ‖ γ 可以看作是张量的核范数的近似，不妨考虑RPCA的一般框架 min L ， S ‖ L ‖ γ + ‖ S ‖ l 1     s .t .   X = L + S (3.2) 对于问题(3.2)，通过引入拉格朗日乘子Y和二次惩罚项可以构造增广拉格朗日函数 L ( L ， S ， Y ， μ ) = ‖ L ‖ γ + λ ‖ S ‖ l 1 + 〈 Y ， L + S − X 〉 + μ 2 ‖ L + S − X ‖ F 2 (3.3) 其中 μ 是正参数，我们采用交替方向乘子方法(ADMM)对L，S，Y进行迭代更新 [ 2 ]，其中，在第 k + 1 步迭代时，我们更新 L k + 1 ： L k + 1 = arg min L ‖ L ‖ γ + μ k 2 ‖ L − ( X − S k − Y k μ k ) ‖ F 2 (3.4) 对于S， Y， μ 的更新如下 [ 3 ]： 更新S S k + 1 = arg min S λ ‖ S ‖ l 1 + μ k 2 ‖ S − ( X − L k + 1 − Y k μ k ) ‖ F 2 (3.5) 更新Y Y k + 1 = Y k + μ k ( L k + 1 − X + S k + 1 ) (3.6) 更新 μ μ k + 1 = ρ μ k (3.7) 为了求解问题(3.4)，首先引入定理3.1。 定理3.1 假设矩阵 A ∈ R n 1 × n 2 有奇异值分解 A = U Σ A V T ，其中 Σ A = d i a g ( σ A ) ，令 F ( X ) = f ∘ σ ( X ) ，则下述优化问题 min X F ( X ) + μ 2 ‖ X − A ‖ F 2 的最优解为 X * = U Σ X * V T ，其中 Σ X * = d i a g ( σ * ) ，而 σ * = p r o x f ， μ ( σ A ) ，这里 p r o x f ， μ ( σ A ) 定义为 p r o x f ， μ ( σ A ) = arg min σ f ( σ ) + μ 2 ‖ σ − σ A ‖ 2 2 由于上述问题是凹凸函数的组合，这种内在结构促使我们使用DC算法(DCA: Difference of Convex Algorithm)，即将一个非凸函数分解为两个凸函数的差值，并在每次迭代时通过线性化凹项来迭代优化 [ 4 ]。在第k+1步内部迭代时， σ k + 1 = arg min 〈 w k ， σ 〉 + μ t 2 ‖ σ − σ A ‖ 2 2 其封闭解为 σ k + 1 = ( σ A − w k μ t ) + ， w k = ∂ f ( σ k ) 是 f ( σ ) 在 σ k 处的梯度。 设张量 A ， X 的块对角矩阵分别为 A ^ ， X ^ ，由块循环矩阵和块对角矩阵的关系，得到： ‖ A ‖ F = 1 n 3 ‖ A ^ ‖ F ， 〈 X ， A 〉 = 1 n 3 〈 X ^ ， A ^ 〉 。不妨记张量L的块对角矩阵为 L ^ ，则由矩阵的 γ -范数的定义，有 ‖ L ^ ‖ γ = ∑ i ( 1 + γ ) σ i ( L ^ ) γ + σ i ( L ^ ) ，其中 σ i ( L ^ ) 表示块对角矩阵 L ^ 的 n ⋅ n 3 个奇异值，而由块对角矩阵的定义可以得到 ‖ L ^ ‖ γ = ∑ i ( 1 + γ ) σ i ( L ^ ) γ + σ i ( L ^ ) = ∑ j ∑ i ( 1 + γ ) σ i ( L ¯ ( j ) ) γ + σ i ( L ¯ ( j ) ) 其中 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ; j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 3 ，在这里 n = min ( n 1 ， n 2 ) ，为了后文说明方便，不妨记 Q = X − S k − Y k μ k ，故可以将原始目标函数(3.4)转化为 min μ k 2 ⋅ 1 n 3 ‖ L ^ − Q ^ ‖ F 2 + 1 n 3 ⋅ ‖ L ^ ‖ γ (3.8) 则有 ( L ^ ) k + 1 = arg min L ^ μ k 2 ⋅ 1 n 3 ‖ L ^ − Q ^ ‖ F 2 + 1 n 3 ⋅ ‖ L ^ ‖ γ = 1 n 3 arg min L ^ { μ k 2 ‖ L ^ − Q ^ ‖ F 2 + ‖ L ^ ‖ γ } (3.9) 由于 ‖ L ^ ‖ γ = f ∘ σ ( L ^ ) 是关于矩阵 L ^ 的正交不变函数，根据定理3.1优化问题 min { μ k 2 ‖ L ^ − Q ^ ‖ F 2 + ‖ L ^ ‖ γ } 的解为 ( L ^ ) * = U Σ L ^ * V T ，其中 Q ^ = U Σ Q ^ V T 是矩阵 Q ^ 的SVD分解。而 Σ L ^ * = d i a g ( σ * ) ，其中 σ * = p r o x f ， μ ( σ Q ^ ) 。这里 p r o x f ， μ ( σ Q ^ ) 定义为 p r o x f ， μ ( σ Q ^ ) = arg min σ f ( σ ) + μ 2 ‖ σ − σ Q ^ ‖ 2 2 (3.10) 对于(3.10)，我们采取凸差算法，凸差算法旨在每次迭代时通过线性化凹项进行优化。在第 k + 1 步内部迭代时，有 σ k + 1 = arg min 〈 w k ， σ 〉 + μ t 2 ‖ σ − σ Q ^ ‖ 2 2 (3.11) 其封闭解为 σ k + 1 = ( σ Q ^ − w k μ t ) + = max ( σ Q ^ − w k μ t ， 0 ) (3.12) 其中， w k = ∂ f ( σ k ) 是 f ( σ ) 在 σ k 处的梯度，经过一系列的迭代以后， σ k + 1 收敛到局部最优点 σ * 。故(3.8)的解为 ( L ^ ) k + 1 = 1 n 3 U ∑ L ^ * V T 。
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user: 4. 图像数据实验 在本文中，我们主要将所提出的新的非凸的低秩张量RPCA算法应用于图像去噪，并将其与传统的TRPCA [ 5 ] 与SNN算法 [ 6 ] 的去噪效果进行比较。具体来说，选取大小设置为 321 × 481 × 3 ，30%的像素被破坏一张彩色测试图像，通过对比彩色图片的恢复效果，来评价张量去噪模型的修复效果，实验结果如图1所示。 图1. 用不同方法进行图像恢复的比较(a)原始图片(b)噪声图片(c) (d) (e)分别表示经过TRPCA，SNN，NCTRPCA三种模型后恢复的图片 其中NCTRPCA表示本文所提出的基于秩的非凸逼近的TRPCA算法，通过观察恢复后的图片，我们可以证明所提出的新算法在图像去噪上是有效的。
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user: 5. 结论 在本文中，我们提出了一个张量秩的非凸近似并建立了一个非凸张量鲁棒主成分分析模型，通过对图像去噪的实验证明，应用该非凸优化算法对于带有噪声的原始图片去噪是具有一定效果的。
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user: 摘要 21世纪以来，张量引起了数据科学和统计学领域的极大兴趣，张量技术被广泛应用于数据挖掘、机器学习和统计学等领域，其中，张量回归模型是一类很重要的工具。本文研究了近十年张量回归模型理论及应用的发展和现状，对张量回归模型进行了简单梳理，主要介绍了张量线性回归模型的理论和应用。为了方便读者理解，本文还介绍了张量、张量分解等基本概念。
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user: 1. 引言 近十年来，张量回归模型(Tensor Regression Model， TRM)的理论及应用研究获得很大的进展，已成为张量数据分析的重要工具，在神经图像分析、信号处理、时空数据分析、机器学习等领域得到广泛应用。张量，又称为多维数组，是向量和矩阵在高维空间中的自然推广。标量可以看作零阶张量，向量是一阶张量，矩阵是二阶张量，三阶及三阶以上张量统称为高阶张量。在实际应用中，很多数据都是张量结构。例如，灰度图像是矩阵数据(二阶张量)，彩色图像是三阶张量，面板数据也可以看作三阶张量(个体，特征，时间)。 张量的概念最早由Hitchcock于1927年提出 [ 1 ]，随后被应用于微分几何、物理、化学计量、信号处理、数据科学等领域。进入二十一世纪后，张量数据的处理和分析引起数据科学家和统计学家们的极大兴趣，发展出了一系列的张量数据分析方法，并应用于实际问题的分析处理。其中，关于张量在机器学习和统计学中的发展与应用可以参考Ji等 [ 2 ] 及Bi等 [ 3 ]。 回归分析是统计学中一类非常重要且实用的分析方法，一直被应用统计、经济金融、生物医药、数据科学等领域广泛使用。将张量数据纳入回归分析的框架，既扩展了张量数据分析的方法和手段，也进一步丰富了回归分析的理论成果。近年来，学者们先后提出了各种张量回归模型，既有线性回归模型，也有非线性回归模型；既有因变量为标量的张量回归模型，也有因变量为张量的多重张量回归模型；既有基于似然估计的回归方法，也有基于贝叶斯估计的回归方法。尽管张量回归模型的理论和应用得到极大丰富与发展，但仍存在一些难题需要去解决，去满足更多的应用场景。
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user: 2. 张量和张量分解 为了方便读者理解，在本节中，我们介绍一些矩阵和张量的基本运算及相关记号。 设矩阵 X = [ x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ] ∈ R m × n ， Y = [ y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y q ] ∈ R p × q ，则 X ⊗ Y = ( x 11 Y x 12 Y ⋯ x 1 n Y x 21 Y x 22 Y ⋯ x 2 n Y ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x m 1 Y x m 2 Y ⋯ x m n Y ) ∈ R m p × n q 称为X和Y的Kronecker积；若X和Y的列数相同，即 n = q ，称 X ⊙ Y = [ x 1 ⊗ y 1 ， x 2 ⊗ y 2 ， ⋯ ， x n ⊗ y n ] 是X和Y的Khatri-Rao积。设D阶张量 X ∈ R I 1 × I 2 × ⋯ × I D ，由元素 x i 1 i 2 ⋯ i d ( i 1 = 1 ， ⋯ ， I 1 ; i 2 = 1 ， ⋯ ， I 2 ; ⋯ ; i d = 1 ， ⋯ ， I D ) 组成，则 v e c ( X ) 表示将X向量化，即将 x i 1 i 2 ⋯ i d 转换为 v e c ( X ) 的第j个元素，其中 j = 1 + ∑ d = 1 D ( i d − 1 ) ∏ d ′ = 1 d − 1 I d ′ ； X ( d ) 表示将X沿模-d矩阵化，即将 x i 1 i 2 ⋯ i d 转换为 X ( d ) 的第j个元素，其中 j = 1 + ∑ d ′ ≠ d ( i d ′ − 1 ) ∏ d ″ < d ′ ， d ″ ≠ d I d ″ 。 秩1张量是很重要的一类张量。若一个D阶张量 X 可以表示成D个向量的外积的形式，即 X = a 1 ∘ a 2 ∘ ⋯ ∘ a D ，则称 X 是秩1张量。 张量的乘法运算较为复杂，设张量 X ∈ R I 1 × I 2 × ⋯ × I D ，矩阵 U ∈ R J × I d ，则张量 X 沿模-d与U的乘积用 X × d U 表示，它是一个 I 1 × I 2 × ⋯ × I d − 1 × J × I d + 1 × ⋯ × I D 的张量，其元素为 ( X × d U ) i 1 i 2 ⋯ i d − 1 j i d + 1 ⋯ i D = ∑ i d = 1 I d x i 1 i 2 ⋯ i D u j i d . 对于张量 A ∈ R I 1 × ⋯ × I K × P 1 × ⋯ × P L 和 B ∈ R P 1 × ⋯ × P L × Q 1 × ⋯ × Q M ，定义 〈 A ， B 〉 L ∈ R I 1 × ⋯ × I K × Q 1 × ⋯ × Q M 为A和B的压缩张量积，其元素为 ( 〈 A ， B 〉 L ) i 1 ⋯ i K q 1 ⋯ q M = ∑ p 1 = 1 P 1 ⋯ ∑ p L = 1 P L ( A ) i 1 ⋯ i K p 1 ⋯ p L ( B ) p 1 ⋯ p L q 1 ⋯ q M . 张量分解是处理高阶张量的重要工具，其核心思想是将高阶张量分解为比较容易处理的低阶张量。CP分解和Tucker分解是最常用的两种张量分解方法。CP分解(CANDECOMP/PARAFAC分解)是将张量分解成有限个秩1张量的线性组合的形式，即 X = ∑ r = 1 R a 1 r ∘ a 2 r ∘ ⋯ ∘ a D r = 〚 A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A D 〛 ， 其中 A d = [ a d 1 ， ⋯ ， a d R ] ∈ R I d × R ， d = 1 ， ⋯ ， D ；R是CP分解的秩。CP分解本质上是矩阵的奇异值分解在高维空间中的扩展，而Tucker分解某种意义上来说也是矩阵奇异值分解的扩展，Tucker分解由称为高阶奇异值分解。相较于CP分解，由于核张量的存在，Tucker分解更为灵活。若D阶张量X可以表示为 X = ∑ r 1 = 1 R 1 ∑ r 2 = 1 R 2 ⋯ ∑ r D = 1 R D g r 1 r 2 ⋯ r D a 1 r 1 ∘ a 2 r 2 ∘ ⋯ ∘ a D r D ， 则称X满足Tucker分解，记为 X = 〚 G ， A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A D 〛 ，其中 G ∈ R R 1 × R 2 × ⋯ × R D 是一个D阶核张量，其元素为 ( G ) r 1 r 2 ⋯ r D = g r 1 r 2 ⋯ r D 。 事实上，CP分解是Tucker分解的一种特殊情况。 当 R 1 = R 2 = ⋯ = R D = R 且 g r 1 r 2 ⋯ r d = 1   ( r 1 = r 2 = ⋯ = r D ) 时，Tucker分解就是CP分解。无论是CP分解还是Tucker分解，其计算方法都已相对成熟，最经典的是使用交替最小二乘算法。一些常用的计算软件或统计软件，如MATLAB、Python和R，都有相关的包可供调用，非常方便。张量分解一直都是处理张量数据的有力工具，张量分解技术也被各领域广泛应用，包括机器学习、数据挖掘、信号处理、数据科学等。更多关于张量运算以及张量分解及其应用的信息，推荐读者参考Kolda和Bader的综述文章 [ 4 ]。
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user: 3. 张量回归模型理论研究现状 张量回归模型可分为两大类：线性回归模型和非线性回归模型。对于张量数据，传统的处理方法是将其向量化后应用多元线性回归模型进行分析。这种做法至少会导致两个问题：一是“维数的灾难”，即高维甚至是超高维问题；二是数据结构信息的损失。然而，通过张量分解，既能保持数据的张量结构，又能实现的有效的降维。 3.1. CP张量回归模型 Guo等 [ 5 ] 和Zhou等 [ 6 ] 分别将张量的CP分解与线性模型和广义线性模型相结合，构建了CP张量回归模型研究神经图像及其临床结果之间的关系。设响应变量 y ∈ R 服从指数分布族，其概率密度为 p ( y ; θ ， ϕ ) = exp { y θ − b ( θ ) a ( ϕ ) + c ( y ， ϕ ) } ， 其中 θ 和 ϕ 分别表示自然参数和散度参数。模型的系统部分为 g ( μ ) = η = 〈 B ， X 〉                             = 〈 ∑ r = 1 R b 1 r ∘ b 2 r ∘ ⋯ ∘ b D r ， X 〉                             = 〈 ( B _ D ⊙ ⋯ ⊙ B _ 1 ) 1 _ R ， v e c X 〉 ， 其中 B d = [ b d ( 1 ) ， ⋯ ， b d ( R ) ] ∈ R I d × R 。模型假设回归系数B是低秩张量，满足秩为R的CP分解 B = 〚 B 1 ， B 2 ， ⋯ ， B D 〛 。模型的未知参数为 θ = ( ( v e c B 1 ) T ， ( v e c B 2 ) T ， ⋯ ， ( v e c B D ) T ) T ，而且模型将待估参数的个数由 ∏ d I d 减少到 R ∑ d I d ，维度很大程度地降低了。 尽管 g ( μ ) 不是联合线性于 ( B 1 ， ⋯ ， B D ) 整体，但是 g ( μ ) 和单个 B d 是线性相关的。因此，通过分块松弛算法，交替更新 B d ， d = 1 ， ⋯ ， D 可以得到 θ 的极大似然估计。此外，为了消除CP分解中尺度变换和排列变换的不确定性，以及考虑到CP分解的唯一性，需要对参数空间作如下限制： B = { ( B 1 ， ⋯ ， B D ) : b d 1 ( r ) = 1 ， d = 1 ， ⋯ ， D − 1 ; r = 1 ， ⋯ ， R ; 且 b D 1 ( 1 ) > ⋯ > b D 1 ( R ) } 以及 ∑ d = 1 D k B d ≥ 2 R + ( D − 1 ) ，其中 k D d 表示矩阵 B d 的秩。 对于Gauss模型，分块松弛算法可以简化为交替最小二乘算法，石美丽和夏志明研究了基于CP分解的张量线性回归模型中的参数估计和假设检验问题 [ 7 ]。他们先基于最小二乘法得到参数的点估计量，证明其相合性；其次建立了参数线性假设检验的拟似然比检验统计量，并证明其大样本性质。 3.2. Tucker张量回归模型 Li等在CP张量回归模型的基础上，使用更为灵活的Tucker分解代替CP分解，发展了广义线性模型框架下的Tucker张量回归模型 [ 8 ]。在Tucker张量回归模型中，假设系数张量B满足Tucker分解，即 B = 〚 G ， B 1 ， B 2 ， ⋯ ， B D 〛 ，则模型的系统部分为 g ( μ ) = η = 〈 B ， X 〉 = 〈 ∑ r 1 = 1 R 1 ∑ r 2 = 1 R 2 ⋯ ∑ r D = 1 R D g r 1 r 2 ⋯ r D b 1 r 1 ∘ b 2 r 2 ∘ ⋯ ∘ b D r D ， X 〉 . 模型允许系数张量B在不同的模上有不同数量的基向量，拥有更高的灵活性。此外，待估参数的个数由 ∏ d R d 减少到 ∑ d I d R d + ∏ d R d ，同样有效降低了参数的维度。 类似于CP张量回归，在Tucker张量回归模型中，亦可以使用分块松弛算法获得未知参数的极大似然估计。然而，Tucker张量回归和CP张量回归一样，模型的阶数选择都要依赖AIC、BIC等准则，不能实现自选择。鉴于此，Guhaniyogi等应用贝叶斯方法研究了Gauss模型下的Tucker张量回归 [ 9 ]。他们提出了一类新的关于张量系数的多边压缩先验分布，发展了贝叶斯张量回归理论，克服了Li等模型中的阶数不能自选择的困难。Billio等进一步发展了贝叶斯动态张量回归模型，他们基于CP分解开发了一种新的参数化方法，既能实现参数的简约化，又能考虑稀疏性 [ 10 ]。 3.3. 多重张量回归模型 在CP张量回归模型和Tucker张量回归模型中，都只考虑了自变量是张量而因变量是标量的情况，在此基础上，学者们发展了因变量是矩阵(张量)的回归模型，统称为多重张量回归模型。Zhao等发展了高阶偏最小二乘回归，可以视为广义多线性张量回归模型，它通过Tucker分解提取输入与输出的共同潜变量后进行回归，从而对输出进行预测 [ 11 ]。Miranda等基于贝叶斯方法应用多重张量回归模型进行神经图像分析 [ 12 ]。此外基于CP分解 [ 13 ] 和基于Tucker分解 [ 14 ] 的多重张量回归模型也被陆续提出。Hoff发展了一类特殊的双线性张量回归模型，用来处理自变量和因变量具有相同结构的预测问题，并使用Gibbs抽样方法来进行推断 [ 15 ]。Lock发展了更为一般的多重张量回归模型，利用收缩张量积实现了自变量和因变量均为任意阶张量的回归，上述张量回归模型都可以纳入此分析框架中来 [ 16 ]。 设自变量 X ∈ R N × P 1 × ⋯ × P L ，因变量 Y ∈ R ^ ( N × Q 1 × ⋯ × Q M ) ，建立多重张量回归模型 Y = 〈 B ， X 〉 L + E 其中 B ∈ R P 1 × ⋯ × P L × Q 1 × ⋯ × Q M 为系数张量， E ∈ R ^ ( N × Q 1 × ⋯ × Q M ) 为误差张量， 〈 B ， X 〉 L 表示张量B和X的压缩张量积。参数B的前L个模用来压缩X的维度，而后M个模用来压缩Y的维度。设 P = ∏ l P l 表示自变量X的总维数， Q = ∏ m Q m 表示因变量Y的总维数，则当 Q = 0 ， P ≥ 2 时，即为自变量为张量，因变量为标量的张量回归模型；当 Q = P = 1 时，即为自变量和因变量均为矩阵的双线性回归模型。 上述模型均是依赖于线性或多线性回归的参数张量模型，当然，学者们也研究了一些非线性的张量回归模型。一般情况下，可以采用两种建模策略来输入和输出之间的非线性依赖关系：基于核的方法和基于神经网络的方法。Zhao等将张量数据于Gauss过程相结合，发展了张量Gauss过程 [ 17 ]。Kossaifi等结合深度卷积神经网络发展了张量回归网络模型，受益于深层结构，该模型可以表示张量回归系数，从而具有更好的数据特征或潜在分量表示，有望进一步增强可预测性 [ 18 ]。
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user: 4. 张量回归模型应用研究现状 张量回归模型的提出应归功于现实应用的需要，正是由于大量张量数据的分析需求，促使了张量回归相关理论的快速发展。张量回归模型被广泛应用于神经图像分析、自然信号处理、时空数据分析和机器学习等领域。 神经图像分析是神经科学的一项重要工作，而神经图像都可以看成张量数据。例如，脑电图(EEG)是2阶张量；核磁共振图像(MRI)是3阶张量；功能性核磁共振图像(fMRI)是4阶张量。为了研究神经图像与临床结果之间的关系，理解人类大脑的内在工作机制，Hung和Wang首先应用矩阵Logistic模型进行了脑电图(EEG)的分类 [ 19 ]，其后Zhou等和Li等分别利用CP张量回归模型和Tucker张量回归模型针对小儿多动症(ADHD)探索了核磁共振图像和功能性核磁共振图像与临床结果之间的关系 [ 6 ] [ 8 ]。在此基础上，Hou发展了分层Tucker张量回归模型，在神经图像分析上也有不错的表现 [ 20 ] [ 21 ]。 张量回归模型在机器学习领域的应用主要包括模式识别和多任务学习。Guo等基于张量的CP分解技术采用不同的损失函数提出了高秩张量岭回归模型和高秩支持张量回归模型 [ 5 ]。利用公开数据库的真实数据，对头部姿态、人体年龄和三维身体姿态估计问题进行了实验，不仅验证了张量分解相对于向量化的优越性，而且验证了所提出的算法的有效性。Gao等研究了张量线性回归问题，并提出了一种新的张量低秩方法 [ 22 ]，该方法利用基于张量-奇异值分解(t-SVD)的张量核范数来强调嵌入在彩色图像中的空间结构并将其应用于彩色人脸分类。近年来，张量回归方法也被应用在多线性多任务学习问题(MLMTL)的问题 [ 23 ]。在多线性多任务学习问题中，任务由多个索引引用，指示所有任务之间的复杂相关性。然而，现有的基于凸松弛技术的多线性多任务方法在计算上是非常昂贵的，因为在交替方向方法中需要大矩阵的全奇异值分解操作，使得它在大规模应用中是不可行的。 张量回归模型以及其他基于张量技术的分析方法，正逐渐引起学者们的关注，也将被更多的领域所发展和应用，不仅仅是在自然科学领域，在社会科学领域也将会被重视起来。
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user: 5. 结论 本文研究了张量回归模型相关理论及其应用在近十年的发展与现状。其中，张量线性回归模型得到良好的发展及应用，但仍缺乏一个类似于经典线性模型的统一的分析框架。此外，实际应用中需要更为快速和便宜的估计方法和算法，以及更为灵活的应用场景。当然，张量回归模型的理论也需要进一步丰富和发展。将张量数据和张量技术与深度学习框架相结合，是目前研究的一个热点，也将在应用领域有所发展，但这也呼唤着其背后统计理论的进一步完善。
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user: 摘要 本文构造了通过给定控制多边形指定顶点且与始末控制多边形的始末边相切的两段连续三次B样条曲线，并以此两段连续的三次B样条曲线为轴线的管道光滑拼接了轴线异面椭圆管道。该方法相较于三段连续的三次均匀B样条曲线为轴线的管道、插值于两端点并与控制多边形的始末边相切的三次有理B样条曲线为轴线的管道、两段连续二次B样条曲线为轴线的管道光滑拼接轴线异面管道，各有其优越性。具有理论意义和应用价值。
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user: 1. 引言 轴线异面管道光滑拼接问题研究是计算几何领域中难点基础问题。我们提出基于轴线光滑拼接的轴线异面管道光滑拼接技术旨在构造更多的自由曲线来光滑拼接轴线异面管道的轴线，进而实现两个轴线异面的管道的光滑拼接。Bézier曲线具有很好的端点性质，但是不具有局部修改性质。人们尝试将具有很好的局部修改性质的B样条曲线也具有像Bézier曲线那样很好的端点性质。主要通过两个途径，一种是对于 V 0 ， V 1 ， ⋯ ， V n 为控制多边形顶点的三次B样条曲线在原来控制多边形的始末两段再增加两个顶点 V − 1 和 V n + 1 ，满足 V − 1 = 2 V 0 − V 1 和 V n + 1 = 2 V n − V n − 1 ，使B样条曲线通过原来控制多边形的起点 V 0 和终点 V n ；另一种是对于给定的以 V 0 ， V 1 ， ⋯ ， V n 为顶点的控制多边形构造过指定顶点的三次B样条曲线，反算B样条曲线的实际控制顶点 P 0 ， P 1 ， ⋯ ， P n 。由于B样条曲线是分段光滑曲线，增加顶点会增加分段曲线的段数。构造插值于两端点的B样条曲线，并要求分段光滑曲线的段数较少，可能由于约束条件较少，构造出来的B样条曲线的光顺性不够理想。我们在文献 [ 1 ] 中用增加顶点的方法构造了三段连续的三次B样条曲线，用于轴线光滑拼接的轴线异面管道的拼接。在文献 [ 2 ] 中，对于给定的控制顶点，尝试用一段三次B样条曲线光滑拼接轴线异面管道的轴线，并将其应该用于轴线异面管道光滑拼接，发现光顺性较差，改用一段三次有理B样条曲线，并将其应该用于轴线异面圆管道光滑拼接。在选取权因子调整轴线的形状时，两端点附近的切线发生急剧变化，致使不能应用于轴线异面椭圆管道的拼接中。而在文献 [ 3 ] 中，对于给定的一段三次B样条曲线的控制顶点 V 0 ， V 1 ， V 2 ， V 3 ，利用二次B样条曲线与控制多边形的两边相切并通过控制多边形中点这一特性，构造了两段连续的二次B样条曲线，并将其应用于轴线异面管道光滑拼接。由于二次B样条曲线是平面曲线，而轴线异面管道的轴线不在同一平面内，造成连接点处的切线不连续，在构造光滑拼接的椭圆管道时需要反复调整椭圆管道的长半轴和短半轴才能实现，且曲线只能过控制多边形的边 V 1 V 2 的中点。本文对于给定 控制多边形顶点 V 0 ， V 1 ， V 2 ， V 3 ，在 V 1 和 V 2 中间插入一个顶点 V 1 1 2 ，构造两段连续的三次B样条曲线过指定顶点 V 0 ， V 1 1 2 和 V 3 ，与始末两条边相切，并将其应用于轴线异面椭圆管道拼接中。
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user: 2. 过指定顶点的三次B样条曲线 在轴线异面管道拼接中，假设管道轴线 P 0 P 1 和 P 2 P 3 是异面直线， P 0 P 1 位于空间直角坐标系XOY平面内且与Y轴平行， P 2 P 3 位于YOZ平面内且与Y轴相交，连接 P 1 和 P 2 两点构成以 P 0 ， P 1 ， P 2 ， P 3 为控制顶点 的控制多边形。为了构造两段连续的三次B样条曲线，在 P 1 和 P 2 中间插入一个顶点 P 1 1 2 构成以 P 0 ， P 1 ， P 1 1 2 ， P 2 ， P 3 为顶点的控制多边形。 定义1设 r ( t ) = ∑ i = 0 3 N i ， 3 ( t ) V i 是三次均匀B样条函数。其中 N 0 ， 3 ( t ) ， N 1 ， 3 ( t ) ， N 2 ， 3 ( t ) ， N 3 ， 3 ( t ) 为三次均匀B样条基， V 0 ， V 1 ， V 2 ， V 3 为特征多边形的顶点。 令 P ′ 0 = P 0 ， P ′ 1 = P 1 ， P ′ 2 = P 1 1 2 ， P ′ 3 = P 2 ， P ′ 4 = P 3 ， V ′ 0 = V 0 ， V ′ 1 = V 1 ， V ′ 2 = V 1 1 2 ， V ′ 3 = V 2 ， V ′ 4 = V 3 。下面构造插值于 P ′ 0 ， P ′ 2 ， P ′ 4 ，并在 P ′ 0 处与 P ′ 0 P ′ 1 相切，在 P ′ 4 处与 P ′ 3 P ′ 4 相切的两段连续三次B样条曲线，需满足： { 1 6 V ′ 0 + 2 3 V ′ 1 + 1 6 V ′ 2 = P ′ 0 ， 1 6 V ′ 1 + 2 3 V ′ 2 + 1 6 V ′ 3 = P ′ 2 ， 1 6 V ′ 2 + 2 3 V ′ 3 + 1 6 V ′ 4 = P ′ 4 ， − 1 2 V ′ 0 + 1 2 V ′ 2 = P ′ 1 − P ′ 0 ， − 1 2 V ′ 2 + 1 2 V ′ 4 = P ′ 4 − P ′ 3 . 解以 V ′ 0 ， V ′ 1 ， V ′ 2 ， V ′ 3 ， V ′ 4 为变量的线性方程组，得 { V ′ 0 = 5 3 P ′ 0 − 13 6 P ′ 1 + 2 P ′ 2 − 1 6 P ′ 3 − 1 3 P ′ 4 ， V ′ 1 = 7 6 P ′ 0 + 7 12 P ′ 1 − P ′ 2 + 1 12 P ′ 3 + 1 6 P ′ 4 ， V ′ 2 = − 1 3 P ′ 0 − 1 6 P ′ 1 + 2 P ′ 2 − 1 6 P ′ 3 − 1 3 P ′ 4 ， V ′ 3 = 1 6 P ′ 0 + 1 12 P ′ 1 − P ′ 2 + 7 12 P ′ 3 + 7 6 P ′ 4 ， V ′ 4 = − 1 3 P ′ 0 − 1 6 P ′ 1 + 2 P ′ 2 − 13 6 P ′ 3 + 5 3 P ′ 4 . 于是，所求两段连续的三次B样条曲线的表达式为 r 1 ( t ) = ∑ i = 0 3 B i 3 ( t ) V ′ i ，   r 2 ( t ) = ∑ i = 0 3 B i 3 ( t ) V ′ i + 1 . 例1设 P 0 = ( 5 ， − 3 ， 0 ) ， P 1 = ( 0 ， − 3 ， 0 ) ， P 2 = ( 0 ， 5 ， 0 ) ， P 3 = ( 0 ， 5 ， 3 ) ，适当选取 V ′ 2 ，调整三次B样条曲线的形状。 1) 取 P ′ 2 = ( 5 2 ， 5 2 ， 0 ) ，得以 P ′ 0 ， P ′ 1 ， P ′ 2 ， P ′ 3 ， P ′ 4 为控制顶点，并过 P ′ 0 ， P ′ 2 ， P ′ 4 ，且在 P 0 处与 P 0 P 1 相切，在 P 3 处与 P 2 P 3 相切的两段连续三次B样条曲线，其参数表达式 r 1 ( t ) = { x 1 = 5 4 t 3 − 15 4 t 2 + 5 ， y 1 = − 11 4 t 3 + 21 4 t 2 + 3 t − 3 ， z 1 = 3 2 t 3 − 2 3 t 2 .   r 2 ( t ) = { x 2 = 5 4 t 3 − 15 4 t + 5 2 ， y 2 = 1 4 t 3 − 3 t 2 + 21 4 t + 5 2 ， z 2 = − 3 2 t 3 + 3 t 2 + 3 2 t .   t ∈ [ 0 ， 1 ] 如图1。 2) 取 P ′ 2 = ( 5 2 ， 5 2 ， 1 5 ) ，得以 P ′ 0 ， P ′ 1 ， P ′ 2 ， P ′ 3 ， P ′ 4 为控制顶点，过点 P ′ 0 ， P ′ 2 ， P ′ 4 ，并在 P ′ 0 处与 P ′ 0 P ′ 1 相切，在 P ′ 4 处与 P ′ 3 P ′ 4 相切的两段连续三次B样条曲线，其参数表达式为 r 1 ( t ) = { x 1 = 5 4 t 3 − 15 4 t 2 + 5 ， y 1 = − 11 4 t 3 + 21 4 t 2 + 3 t − 3 ， z 1 = 11 10 t 3 − 9 10 t 2 .   r 2 ( t ) = { x 2 = 5 4 t 3 − 15 4 t + 5 2 ， y 2 = 1 4 t 3 − 3 t 2 + 21 4 t + 5 2 ， z 2 = − 11 10 t 3 + 12 5 t 2 + 3 2 t + 1 5 .   t ∈ [ 0 ， 1 ] 如图1。 3) 取 P ′ 2 = ( 5 2 ， 5 2 ， 2 5 ) ，得以 P ′ 0 ， P ′ 1 ， P ′ 2 ， P ′ 3 ， P ′ 4 为控制顶点，过点 P ′ 0 ， P ′ 2 ， P ′ 4 ，并在 P ′ 0 处与 P ′ 0 P ′ 1 相切，在 P ′ 4 处与 P ′ 3 P ′ 4 相切的两段连续三次B样条曲线，其参数表达式为 r 1 ( t ) = { x 1 = 5 4 t 3 − 15 4 t 2 + 5 ， y 1 = − 11 4 t 3 + 21 4 t 2 + 3 t − 3 ， z 1 = 7 10 t 3 − 3 10 t 2 .   r 2 ( t ) = { x 2 = 5 4 t 3 − 15 4 t + 5 2 ， y 2 = 1 4 t 3 − 3 t 2 + 21 4 t + 5 2 ， z 2 = − 7 10 t 3 + 9 5 t 2 + 3 2 t + 2 5 .   t ∈ [ 0 ， 1 ] 如图1。 将 V ′ 2 上述三种取值时得到的三条两段连续的三次B样条曲线放在一起，如图2。 V ′ 2 可以取多种值，利用B样条曲线的局部修改性质可得满足应用条件的轴线应用于轴线异面管道拼接中。 图1. 为 V ′ 2 取三种不同值时两段连续的三次B样条曲线与轴线连接情况 图2. 为 V ′ 2 取三种不同值时三条两段连续的三次B样条曲线放在一起的情况
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user: 4. 结束语 用指定顶点的两段连续三次B样条曲线为轴线的两段光滑拼接的椭圆管道拼接两个轴线异面的椭圆管道，与三段连续的三次B样条曲线为轴线的三段光滑拼接的管道拼接两个轴线异面管道相比较段数少，与插值于两端点的三次有理B样条曲线相比较能够构造椭圆管道拼接，而与二次B样条曲线为轴线的管道光滑拼接轴线异面管道相比较能够调整轴线的位置。具有理论意义和较好的应用价值。
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user: 摘要 针对线性模型下约束LIU估计的影响分析问题，得到了原模型与数据删除模型、协方差扰动模型以及均值漂移模型间约束LIU估计的关系式，分别给出了影响度量的广义Cook距离的计算公式。
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user: 1. 引言 考虑带等式约束的线性模型： { Y = X β + ε ， E ( ε ) = 0 ， C o v ( ε ) = σ 2 I n R β = 0 (1) 其中y是 n × 1 的响应变量，X是 n × p 的已知设计矩阵， β 为 p × 1 未知参数向量， E ( ε ) 和 C o v ( ε ) 分别表示随机误差向量 ε 的均值和协方差矩阵， I n 表示n阶单位矩阵，R为 q × p 阶的行满秩非零矩阵。 针对模型(1)中未知参数向量 β 的估计问题，Rao [ 1 ] 提出了 β 的约束最小二乘估计： β ^ R o l = ( I − S − 1 R ′ ( R S − 1 R ′ ) − 1 R ) β ^ o l 其中 S = X ′ X ， β ^ o l = ( X ′ X ) − 1 X ′ Y 。 为克服模型中可能存在的复共线性问题，GroB [ 2 ] 将线性模型中的岭估计思想引入模型(1)，提出了约束岭估计： β ^ R k = ( I − S k − 1 R ′ ( R S k − 1 R ′ ) − 1 R ) β ^ k 其中 S k − 1 = ( X ′ X + K I ) − 1 ， β ^ k = ( X ′ X + K I ) − 1 X ′ Y 。 类似的，徐建文 [ 3 ] 针对模型(1)中未知参数向量 β 的估计问题，提出了约束LIU估计： β ^ R d = ( I − S − 1 R ′ ( R S − 1 R ′ ) − 1 R ) β ^ d 其中 β ^ d = ( X ′ X + I ) − 1 ( X ′ X + d I ) β ^ o l 。 当给模型(1)加入微小扰动时，统计推断会发生改变，所以有必要对模型扰动的方式进行研究，同时给出度量扰动对统计推断影响大小的诊断统计量也是有必要的。 于义良和吴诗泳 [ 4 ] 研究了模型(1)中 β ^ R o l 的影响问题，得到了基于 β ^ R o l 的强影响点度量W-K统计量和Cook距离的表达式。赵帅 [ 5 ] 考虑了模型(1)的单个数据删除模型 { Y ( i ) = X ( i ) β + ε ( i ) ， E ( ε ( i ) ) = 0 ， C o v ( ε ( i ) ) = σ 2 I n − 1 R β = 0 (2) 扰动下含k、d参数LIU估计的影响分析问题，得到了模型(1)和模型(2)下LIU估计间的关系式，并给出度量模型(2)扰动前后LIU估计的影响大小的Cook距离表达式，模型(2)中 Y ( i ) ， X ( i ) 和 ε ( i ) 分别为模型(1)中的Y， X， ε 删除第i行数据所得的向量或矩阵。 张尚立和覃红 [ 6 ] 给出了模型(1)的协方差扰动模型 { Y = X β + ε ， E ( ε ) = 0 ， C o v ( ε ) = σ 2 G − 1 R β = 0 (3) 并研究了协方差阵扰动对最佳线性无偏估计(BLUE)的影响分析问题，得到了度量在约束条件下协方差阵对BLUE的影响程度的广义Cook距离的两个计算公式。其中G为正定矩阵。 邢慧娟 [ 7 ] 考虑了模型(1)的均值漂移模型 { Y = X β + D η + ε ， E ( ε ) = 0 ， C o v ( ε ) = σ 2 I n R β = 0 (4) 扰动前后岭估计的关系式，定义了用来度量模型(4)扰动前后影响大小的广义Cook距离计算表达式，得出一些有意义的理论结果。模型(4)中 η 为 m × 1 维列向量，D是 n × m 矩阵。 本文主要研究在模型(2)、(3)和(4)扰动下的影响分析问题，得到扰动前后 β ^ R d 间的关系，并给出度量扰动对约束LIU估计的影响程度的广义Cook距离的计算公式。
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user: 4. 结论 在约束LIU估计下，得到了数据删除模型、协方差模型及均值漂移模型扰动下 β ^ R d ( G ) 、 β ^ R d ( i ) 及 β ^ R d ( η ) 与原模型 β ^ R d 间的关系式，并根据度量最小二乘估计影响大小的诊断统计量Cook距离的思想，分别推导出了度量数据删除模型、协方差模型及均值漂移模型扰动前后影响大小的广义Cook统计量新的表达式。
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user: 摘要 新型冠状肺炎疫情严重冲击了我国的经济社会发展，并在世界范围内愈演愈烈，2020年全球经济衰退已成定局，以美联储为代表的央行大幅降息并推出无上限的量化宽松措施，中国也开始了以“新基建”和降税为标准的积极的财政政策。本文对宏观调控政策的作用领域进行了分析并通过IS-LM模型推导了宏观调控政策对国民收入的影响，并分析了“新基建”是对冲经济衰退以及推进供给侧结构性改革、激发创新动力、构建现代化经济体系、促进经济高质量增长的战略要点。
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user: 1. 引言 2020年初的新型冠状肺炎疫情(以下简称疫情)在我国大规模爆发，1月23日疫情较为严重的武汉地区更是采取了“封城”的措施，全国相继启动了重大突发事件一级响应，国家叫停了除基本生活保障和卫生医疗领域以外的活动，工厂停工、学生停学、公共交通停运，疫情对我国的社会经济造成巨大冲击，直接经济损失高达上千亿，2月底全国各地新增人数下降，但疫情已经波及到了全世界的各个国家和地区，到6月10号为止中国境内累计确诊84，614例，累计死亡4645人，全球累计确诊人数超过700万，累计死亡人数超过40万。此次新冠病毒的传染力和破坏力已远超2003年的SARS病毒，由于世界卫生组织的极力呼吁、各国的果断决策以及世界人民的社交隔离，此次疫情并未发展成为1918年在美国爆发并随美一战士兵扩散到整个欧洲进而席卷世界的“西班牙大流感”，根据世界卫生组织统计，“西班牙大流感”累计造成全世界5000万~1亿人死亡。但此次疫情对中国乃至全球的经济以及人民生活造成了极大影响，新冠疫情的持续蔓延导致国际贸易额大幅缩减，美股短期内数次熔断，石油价格也经历了暴跌，为了应对经济危机美联储宣布降息至0利率并推出无上限的量化宽松措施。因而由本次疫情所引发的经济危机是1929年美国“大萧条”时期以后最大规模的经济衰退，根据统计局数据第一季度国内生产总值同比降低6.8%，第一季度的商品零售总额同比下降19.0%，而根据货币基金组织的预测2020年全球GDP预计萎缩3%。
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user: 2. 疫情对国内外宏观经济的影响 2.1. 疫情对全球经济的影响 由于新冠疫情在全世界范围内的迅速传播，各大经济体猛遭重创，全球经济增速停滞，如表1所示，美国2020年第一季度的GDP增速下降4.8%，4月份的失业率更是达到了自“大萧条”以来最高的14.7%，自三月中旬以来美国已有4400万人初次申请失业救济；疫情对英国、西班牙、意大利、法国等国的冲击对经济本就疲软的欧元区来说无疑是火上浇油，欧洲央行预测2020年欧元区的实际国内生产总值将下降8.7%；日本在疫情发生前经济就持续低迷，而本次疫情对日本经济更是一次严重的打击，日本经济衰退的程度将超过其他发达经济体的衰退程度，并且恢复的过程也会更加艰难。 马克思认为“资本的逐利性”是资本主义运行的第一推力，疫情削弱了资本的逐利性，疫情导致生产生活停滞，消费者重新思考自己的价值取向，低欲望的社会逐渐形成，生产者面对消费热情的减退又加之疫情时期的风险比以往更高，因而抑制了资本的投入，由此使得供给和需求两端同时不振，这是全球资本主义受疫情影响所面临的实质问题。 Table 1 Macroeconomic and financial indicators of advanced economie 指标 2019年第四季度 2020年第一季度 10月 11月 12月 1月 2月 3月 美国 实际GDP增速(环比折年率，%) 2.1 −4.8 失业率(%) 3.6 3.5 3.5 3.6 3.5 4.4 CPI (同比，%) 1.8 2.1 2.3 2.5 2.3 1.5 DJ工业平均指数(期末) 27，046 28，051 28，538 28，256 25，409 21，917 欧元区 实际GDP增速(同比，%) 1 −3.3 失业率(%) 7.4 7.4 7.3 7.3 7.3 7.4 HICP消费者物价指数(同比，%) 0.7 1 1.3 1.4 1.2 0.7 EURO STOXX 50 (期末) 3604 3704 3745 3641 3329 2787 日本 实际GDP增速(环比折年率，%) −7.1 … 失业率(%) 2.4 2.2 2.2 2.4 2.4 2.5 CPI (同比，%) 0.2 0.5 0.8 0.7 0.4 0.4 日经225指数(期末) 22，927 23，294 23，657 23，205 21，143 18，917 表1. 发达经济体宏观经济金融指标 2.2. 疫情对中国宏观经济的影响 1) 疫情对中国GDP增长的影响 本次新冠疫情不同于2003年的非典疫情，根据统计局数据我国GDP增速在2003年非典疫情时期并未明显放缓，2002年GPD同比增长9.1%，2003年第一季度GDP同比增长达到11.0%，而后下降到10.0%，当时中国正处于加入世贸组织后经济高速发展的阶段，而此次疫情时期中国的经济发展已经明显放缓，2019年的GDP同比增长为6.1%，受疫情影响2020年一季度GDP同比降低了6.8% [ 1 ]。 2) 疫情对中国产业的影响 如图1所示，从非典时期三大产业GDP增速图中可以看出，三大产业的增速都应声下滑，但对第三产业的打击最大，第二产业三个月恢复了增长，而第三产业在六个月后才恢复增长，说明第三产业占比越大的经济体受疫情影响的程度也越大。 图1. 非典期间三大产业的增加值 而如今中国的第三产业占比已经从2003年的42.0%增长至2019年的53.9%，因而本次疫情对我国社会经济的影响更加严重，但“非典”疫情与本次疫情所造成的经济衰退都属于古典型的经济衰退，即受到巨大的外部冲击导致实体经济受挫，资本的运转进程遭到中断，但这种影响是可以缓和的，遭受古典型经济衰退时社会经济可能成“V”字型的衰退和回升。 Table 2 Impact of the epidemic on the three major industrie 2019年1季度 2019年2季度 2019年3季度 2019年4季度 2020年1季度 第一产业增加值同比增长(%) 2.7 3.3 2.7 3.4 −3.2 第二产业增加值同比增长(%) 6.1 5.6 5.2 5.8 −9.6 第三产业增加值同比增长(%) 7 7 7.1 6.6 −5.2 表2. 疫情对三大产业的影响 由表2可以看出2020年第一季度三大产业增加值同比增长−3.2%、−9.6%以及−5.2%，说明疫情对国民经济三大产业的影响很大。我国农业生产基本保持稳定，原粮储备较为充裕；我国规模以上工业增加值同比下降8.4%；第三产业生产下降5.2%，由于我国采取严格的防护措施，对人员密集程度的要求高，服务业成为此次疫情冲击最为严重的行业，2020年3月的服务业生产指数当月环比减少9.1%，四月减少4.5%，旅游、住宿、餐饮和娱乐行业遭受重创。
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user: 4. 结论 受新冠疫情影响，第一季度国内生产总值同比降低6.8%，第一季度的商品零售总额同比下降19.0%，2020年全球GDP预计萎缩3%，2020年全球经济衰退已然不可改变。美联储实施以零利率为代表的价格型调控手段，以及以无限量化宽松为代表的数量型调控手段激发企业投资动力、提升人民的消费信心。美国等国家会加速产业回流的进程，中国所面临的外部压力越来越大，同时更大的机遇也摆在我们面前，发达国家的疫情还未完全得以控制，利用好此次疫情的窗口期，使国内消费尽快恢复并且借由5G等新技术带来进一步产业升级，同时营造更加风清气和的政治经济文化环境，那么就意味着产业资本留在中国的收益将要远远大于成本，中国就将在未来的世界中扮演更为重要的角色。 疫情对于三大产业的影响严重，其中二、三产业受到的冲击尤为严重，第一季度，全国规模以上工业企业利润总额同比下降36.7%，六月中旬北京地区开始出现新冠患者使得刚刚复工复产的企业以及实体店铺纷纷关门，使得小微企业雪上加霜。 我国实施了包括减税降费、多渠道筹集资金、调整优化支出结构等多种财政政策，而财政政策所作用的领域为基建领域，并且根据IS-LM模型分析出若货币政策生效则利率降低，国民收入不变，若货币政策未生效而财政政策生效，若投资乘数效应大于挤出效应使得利率不变国民收入上升，国民经济得以健康发展。 新基建在本次新冠疫情的防控以及之后的复工复产中取得相当大的成效，此次疫情加快了数字化经济的发展，以往的劳动密集型和资源密集型的经济增长方式不足以支持中国经济高速发展，国家的战略导向和政策导向就是通过数字经济推动产业转型，提出供给侧改革，而“新基建”的乘数效应高于传统基建领域，并能激发改革创新活力，推动供给侧结构性改革，促进经济高质量发展。
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user: 摘要 通过在单元交界面处进行WENO-AO重构，构造了一种求解双曲守恒律方程的高分辨率熵稳定格式。该格式有三个优势：1) 该格式在光滑区域是五阶精度的，同时在间断附近无伪振荡产生；2) 在对称条件下，线性权值可以是任意和为1的正数；3) 该格式可以避免极值的裁剪。数值实验表明，该格式具有良好的鲁棒性、高分辨率等特性。
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user: 1. 引言 双曲守恒律方程广泛应用于科学和工程计算中。如海洋学(浅水方程)、空气动力学(欧拉方程)、等离子体物理学(MHD方程)和结构力学(非线性弹性)。在一维情形下，它们具有如下形式： u t + f ( u ) x = 0     ∀ ( x ， t ) ∈ ℝ × ℝ + u ( x ， 0 ) = u 0 ( x )   ∀ x ∈ ℝ (1.1) 其中 u : ℝ × ℝ + ↦ ℝ m 是守恒变量， f ( u ) : ℝ m → ℝ m 是相应的通量函数。众所周知，即使所给的初始条件充分光滑，方程(1.1)的解在时间推进的某个时刻也可能会出现间断，产生激波、接触间断等现象。因此，寻求满足方程(1.1)的唯一弱解成为主要挑战。为此引入了熵条件： η ( u ) t + q ( u ) x ≤ 0 (1.2) 其中： ( η ， q ) 为熵对，熵函数 η : ℝ m → ℝ 是一个凸函数，熵通量函数 q : ℝ m → ℝ 满足 ∂ u q = v T ∂ u f ，并称 v = ∂ u η 为熵变量。从而确定了满足相关物理特性的唯一弱解。 Tadmor等人提出的熵稳定格式一直备受关注。该格式由熵守恒通量和耗散项两部分构成。熵守恒通量在光滑区域表现良好，保持总熵不变。但在激波等间断区域会产生伪振荡，需要添加合适的数值粘性来维持熵的耗散。由于Roe格式对激波有良好的捕捉效果，Ismail和Roe对其数值粘性项加以延拓，并将之添加到熵守恒通量上，得到了熵稳定格式。该格式可有效避免伪振荡等现象，但在空间方向上只能达到一阶精度。科研工作者们构造了一系列高阶熵稳定格式，但其稳定性不佳。 本文基于熵稳定格式，通过在单元交界面处进行高阶WENO-AO型重构，采用三阶强稳定(SSP) Runge Kutta离散化方法进行时间推进，得到了一种求解双曲守恒律方程的高分辨率数值格式。最后，通过一些数值算例验证该格式的性能。