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user: 4. 多元线性回归模型 综合以上相关分析的结果，对于厦门市2016年影响PM2.5浓度的要素分析，主要考虑以下5个因素PM10、NO 2 、SO 2 、CO、O 3 的影响，且已满足多元线性回归模型的条件，只要数据准确无误，便可以着手构建模型。 多元线性回归模型，通常形式为： 其中 即PM2.5， 为自变量PM10， 为NO 2 ， 是SO 2 ， 为CO， 为O 3 ， ( )称为回归系数，可称上式为总体回归函数的随机表达式。 将搜集到的数据代入回归模型计算变量的回归系数，运行SPSS软件得到如下结果： 表5中B代表各项自变量的系数，系数B的置信区间中，变量 (NO 2 )过了0点，说明其系数取值在正负之间摆动，没达到预测效果，且表中NO 2 的P值大于显著性水平0.05，故该变量不适合作回归分析。在满足构建模型的情况下，造成以上结果很可能源于数据存在异常值或者异方差性。 首先我们进行的是检验数据是否存在异常值。回归分析中，搜集的数据常出现一些异常或极端的值，极大地影响拟合效果，一元线性回归可用简单的残差图或散点图来识别，本文的多元线性回归采用库克距离( )来识别，判别标准为：若 < 0.5时，是非异常值点； > 1便是异常值点。用软件计算结果如下图： 由图3可以看出第53行数据的库克距离(表中COO_1列)大于1，我们将这行异常数据剔除后再计算一次库克距离后的结果显示库克距离全部小于1，那么异常值已经剔除了，可以进行拟合，拟合结果如表6。 由表6可知变量 (NO 2 )系数的P值为0.747，剔除异常值后依然没有通过显著性检验，所以对回归模型计算出错的原因不是因为数据存在异常值。 接下来，本文改斯皮尔曼等级相关系数法来检验数据的异方差性，其应用更广泛，可用于线性也可 Table 3 Pearson correlation coefficients for each index in Jun AQI指数 PM2.5 PM10 NO 2 SO 2 CO O 3 AQI指数 1 0.957 0.962 0.468 0.307 0.479 0.618 PM2.5 0.957 1 0.918 0.417 0.17 0.459 0.663 PM10 0.962 0.918 1 0.383 0.325 0.438 0.448 NO 2 0.468 0.417 0.383 1 0.602 0.614 0.355 SO 2 0.307 0.17 0.325 0.602 1 0.459 −0.136 CO 0.479 0.459 0.438 0.614 0.459 1 0.188 O 3 0.618 0.663 0.448 0.355 −0.136 0.188 1 表3. 6月份各指标的Pearson相关系数 Table 4 Pearson correlation coefficients for each indicator in 201 PM2.5 PM10 NO 2 SO 2 CO O 3 AQI PM2.5 1 0.934 0.585 0.602 0.623 0.26 0.959 PM10 0.934 1 0.539 0.673 0.475 0.34 0.972 NO 2 0.585 0.539 1 0.682 0.655 −0.04 0.546 SO 2 0.602 0.673 0.682 1 0.376 0.212 0.648 CO 0.603 0.475 0.655 0.376 1 0.07 0.546 O3 0.26 0.34 −0.04 0.212 0.07 1 0.404 AQI指数 0.959 0.972 0.546 0.648 0.546 0.404 1 表4. 2016年各指标的Pearson相关系数 图2. 单因素方差分析结果 Table 5 Calculation of regression model coefficient B 标准误差 标准系数 t Sig. (常量) −9.446 1.031 −9.158 0 PM10 0.615 0.016 0.888 39.399 0 NO 2 0.015 0.037 0.01 0.391 0.696 SO 2 −0.306 0.096 −0.08 −3.204 0.001 CO 20.899 1.951 0.226 10.713 0 O 3 −0.033 0.014 −0.041 −2.422 0.016 表5. 回归模型系数计算 Table 6 Calculate the regression model coefficients after rejecting the outlier B 标准误差 标准系数 t Sig. (常量) −9.11 0.942 −9.674 0 PM10 0.653 0.015 0.927 43.804 0 NO 2 −0.011 0.034 −0.008 −0.322 0.747 SO 2 −0.394 0.088 −0.103 −4.49 0 CO 20.44 1.78 0.222 11.482 0 O 3 −0.039 0.012 −0.049 −3.148 0.002 表6. 剔除异常值后的回归模型系数计算 图3. 库克距离 用于非线性的情况。使用软件对已有数据进行Spearman测验，结果如表7。 由表7可知变量PM10、O 3 与残差绝对值(abs)都出现显著相关现象，表明数据存在异方差。 当一个回归问题有了异方差性时，普通最小二乘估计的有效性已被破坏。对于异方差的修正我们用加权最小二乘估计法，再次利用斯皮尔曼相关系数法检验出与PM2.5具有强相关性的自变量为PM10，我们令PM10做权变量，利用加权最小二乘估计，结果如表8。 从表8能够直观地看出各个变量的P值都是0，小于显著性水平0.05，表明能够继续对数据进行拟合。综上可得线性回归模型： . 最后，为了进一步确认上述加权回归模型的可靠性，我们还需要对模型进行显著性测验，借助软件可以得到结果如表9，表10。 由表9，表10的显示可得出以下结论： Table 7 Spearman rank correlation coefficient PM10 NO 2 SO 2 CO O 3 残差绝对值 PM10 相关系数 1.000 0.511 ** 0.677 ** 0.493 ** 0.423 ** 0.212 ** Sig. 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 NO 2 相关系数 0.511 ** 1.000 0.637 ** 0.667 ** 0.029 −0.008 Sig. 0.000 0.000 0.000 0.574 0.881 SO 2 相关系数 0.677 ** 0.637 ** 1.000 0.397 ** 0.251 ** −0.001 Sig. 0.000 0.000 0.000 0.000 0.987 CO 相关系数 0.493 ** 0.667 ** 0.397 ** 1.000 0.132 * 0.070 Sig. 0.000 0.000 0.000 0.012 0.182 O 3 相关系数 0.423 ** 0.029 0.251 ** 0.132 * 1.000 0.148 ** Sig. 0.000 0.574 0.000 0.012 0.004 残差绝对值 相关系数 0.212 ** −0.008 −0.001 0.070 0.148 ** 1.000 Sig. 0.000 0.881 0.987 0.182 0.004 表7. Spearman等级相关系数 Table 8 Weighted least squares estimation regression coefficient B 标准误差 t Sig. (常数) −9.579 0.154 −62.312 0 PM10 0.617 0.002 315.369 0 NO 2 0.016 0.004 3.656 0 SO 2 −0.316 0.009 −36.939 0 CO 20.974 0.204 103.04 0 O3 −0.031 0.002 −13.79 0 表8. 加权最小二乘估计回归系数 Table 9 The test of R 复相关系数 1.000 R方 0.999 估计的标准误 4.320 表9. R 2 检验 Table 1 0 The variance homogeneity of F tes 平方和 df 均方 F Sig. 回归 8260575.188 5 1652115.038 88540.663 0.000 残差 6717.382 360 18.659 总计 8267292.569 365 表10. 方差齐性F检验 1) 在拟合前，由统计软件可计算得R 2 = 0.918，表9显示拟合之后R 2 = 0.999，相差甚大，可见自变量与因变量之间的相关性极高，说明模型拟合比原模型好； 2) 方差齐性分析中的计算概率为0，小于显著性水平0.05，说明上述加权多元回归模型有效。 Table 1 1 The comparison of PM2.5 actual value and the predicted valu 日期 PM2.5的实测值 PM2.5预测值 2017/1/1 24 27 2017/1/2 53 53 …… …… …… 2017/2/28 60 50 表11. PM2.5实际值与预测值的对比 图4. 实际值与预测值对比图