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user: 3. a尺度二维四向多分辨分析 定义子空间序列 { V j } j ∈ Z ⊂ L 2 ( R 2 ) ， V j = C l o s e L 2 ( R 2 ) 〈 a j Φ ( a j x − k ， a j y − l ) ， a j Φ ( a j x − k ， l − a j y ) ，                 a j Φ ( k − a j x ， a j y − l ) ， a j Φ ( k − a j x ， l − a j y ) ， k ， l ∈ Z 〉 ， (13) 那么要产生在 L 2 ( R 2 ) 中的一个多分辨分析 { V j } j ∈ Z 当且仅当(13)式里的 V j 应当满足以下条件： 1) ⋯ ⊂ V − 1 ⊂ V 0 ⊂ V 1 ⊂ ⋯ ； 2) C l o s e L 2 ( R 2 ) ∪ j ∈ Z     V j = L 2 ( R 2 ) ； 3) ∩ j ∈ Z     V j = { 0 } ； 4) f ( x ， y ) ∈ V j ⇔ f ( a x ， a y ) ∈ V j + 1 ； 5) 存在 L 2 ( R 2 ) 里的一个函数 Φ ( x ， y ) ，使得集合 { Φ ( x − k ， y − l ) ， Φ ( x − k ， l − y ) ， Φ ( k − x ， y − l ) ， Φ ( k − x ， l − y ) : k ， l ∈ Z } 是 V 0 的Riesz基，那么就有两个常数 0 < A ≤ B < ∞ ，则对于系数向量序列 { c k ， l } k ， l ∈ Z = { [ c 1 k ， l ， c 2 k ， l ， c 3 k ， l ， c 4 k ， l ] } k ， l ∈ Z ⊂ l 2 ( Z 4 ) 有 A ‖ ∑ k ， l ∈ Z c k ， l c k ， l * ‖ 2 2 ≤ ‖ ∑ k ， l ∈ Z c 1 k ， l Φ ( x − k ， y − l ) + ∑ k ， l ∈ Z c 2 k ， l Φ ( x − k ， l − y )     + ∑ k ， l ∈ Z c 3 k ， l Φ ( k − x ， y − l ) + ∑ k ， l ∈ Z c 4 k ， l Φ ( k − x ， l − y ) ‖ 2 2 ≤ B ‖ ∑ k ， l ∈ Z c k ， l c k ， l * ‖ 2 2 ， (14) 称式(14)为稳定性条件。 根据多重多分辨分析的性质 f ( x ， y ) ∈ V j ⇔ f ( x + k a j ， y + l a j ) ∈ V j ，可以定义： Φ j ， k ， l + ， + = a j Φ ( a j x − k ， a j y − l ) ，   Φ j ， k ， l + ， − = a j Φ ( a j x − k ， l − a j y ) ， Φ j ， k ， l − ， + = a j Φ ( k − a j x ， a j y − l ) ，   Φ j ， k ， l − ， − = a j Φ ( k − a j x ， l − a j y ) . 则 { Φ j ， k ， l + ， + ， Φ j ， k ， l + ， − ， Φ j ， k ， l − ， + ， Φ j ， k ， l − ， − : k ， l ∈ Z } 同样可以构成 V j 的Riesz基，有 A ‖ ∑ k ， l ∈ Z c k ， l c k ， l * ‖ 2 2 ≤ ‖ ∑ k ， l ∈ Z c 1 k ， l Φ j ， k ， l + ， + + ∑ k ， l ∈ Z c 2 k ， l Φ j ， k ， l + ， − + ∑ k ， l ∈ Z c 3 k ， l Φ j ， k ， l − ， + + ∑ k ， l ∈ Z c 4 k ， l Φ j ， k ， l − ， − ‖ 2 2 ≤ B ‖ ∑ k ， l ∈ Z c k ， l c k ， l * ‖ 2 2 ， 因为 Φ ( x ， y ) ∈ V 0 ⊂ V 1 ，并且 { Φ j ， k ， l + ， + ， Φ j ， k ， l + ， − ， Φ j ， k ， l − ， + ， Φ j ， k ， l − ， − : k ， l ∈ Z } 同样也可以构成 V 1 的Riesz基，故有 c 1 k ， l ， c 2 k ， l ， c 3 k ， l ， c 4 k ， l ∈ l 2 ( Z 4 ) ，从而使 Φ ( x ， y ) 满足(1)式。 定理3：如果尺度函数 Φ ( x ， y ) ∈ L 2 ( R 2 ) 符合多分辨分析，现定义 V j = { Φ j ， k ， l + ， + ， Φ j ， k ， l + ， − ， Φ j ， k ， l − ， + ， Φ j ， k ， l − ， − : k ， l ∈ Z } 构成 V 0 的Riesz基。若存在函数集 { Φ ( x − k ， y − l ) ， Φ ( x − k ， l − y ) ， Φ ( k − x ， y − l ) ， Φ ( k − x ， l − y ) : k ， l ∈ Z } 构成 V 0 的Riesz基，那么 ∩ j ∈ Z     V j = { 0 } 。 证明：由于 { Φ j ， k ， l + ， + ， Φ j ， k ， l + ， − ， Φ j ， k ， l − ， + ， Φ j ， k ， l − ， − : k ， l ∈ Z } 构成 V 0 的Riesz基，故存在两个常数 0 < A ≤ B < ∞ ，对任意的 f ( x ， y ) ∈ V 0 ，有 A ‖ f ‖ 2 2 ≤ ∑ k ， l ∈ Z | 〈 f ， Φ 0， k ， l + ， + 〉 | 2 + ∑ k ， l ∈ Z | 〈 f ， Φ 0， k ， l + ， − 〉 | 2 + ∑ k ， l ∈ Z | 〈 f ， Φ 0， k ， l − ， + 〉 | 2 + ∑ k ， l ∈ Z | 〈 f ， Φ 0， k ， l − ， − 〉 | 2 ≤ B ‖ f ‖ 2 2 ， 所以对于所有的 f ( x ， y ) ∈ V j ，就有 A ‖ f ‖ 2 2 ≤ ∑ k ， l ∈ Z | 〈 f ， Φ j ， k ， l + ， + 〉 | 2 + ∑ k ， l ∈ Z | 〈 f ， Φ j ， k ， l + ， − 〉 | 2 + ∑ k ， l ∈ Z | 〈 f ， Φ j ， k ， l − ， + 〉 | 2 + ∑ k ， l ∈ Z | 〈 f ， Φ j ， k ， l − ， − 〉 | 2 ≤ B ‖ f ‖ 2 2 ， 对于 ∀ ε > 0 ， f ( x ， y ) ∈ ∩ j ∈ Z     V j ，存在一个紧支撑连续函数 f ˜ ( x ， y ) ，使 ‖ f − f ˜ ‖ L 2 ≤ ε 。 若 P j 是 V j 的正交投影算子，则 ‖ f ‖ − ‖ P j f ˜ ‖ ≤ ‖ f − P j f ˜ ‖ = ‖ P j f − P j f ˜ ‖ ≤ ‖ f − f ˜ ‖ ≤ ε ，故 ‖ f ‖ ≤ ε + ‖ P j f ˜ ‖ ， ∀ j ∈ Z 。 设 S u p p   f ˜ ( x ， y ) = [ − r ， r ] × [ − r ， r ] = S ，则 ∑ k ， l ∈ Z | 〈 f ˜ ， Φ j ， k ， l + ， + 〉 | 2 ≤ a 2 j ∑ k ， l ∈ Z [ ∫ ( x ， y ) ∈ S | f ˜ ( x ， y ) | | Φ ( a j x − k ， a j y − l ) | d x d y ] 2 ≤ a 2 j ‖ f ˜ ( x ， y ) ‖ L ∞ 2 ∑ k ， l ∈ Z [ ∫ ( x ， y ) ∈ S | Φ ( a j x − k ， a j y − l ) | d x d y ] 2 ≤ a 2 j ‖ f ˜ ( x ， y ) ‖ L ∞ 2 ∑ k ， l ∈ Z ∫ ( x ， y ) ∈ S | Φ ( a j x − k ， a j y − l ) | 2 d x d y = ‖ f ˜ ( x ， y ) ‖ L ∞ 2 ∫ D j | Φ ( x ， y ) | 2 d x d y 其中 D j = ∪ k ， l [ k − a j r ， k + a j r ] × [ l − a j r ， l + a j r ] 。所以，当 j → − ∞ 时 ∑ k ， l ∈ Z | 〈 f ˜ ， Φ j ， k ， l + ， + 〉 | 2 → 0 。同理，可以证明： ∑ k ， l ∈ Z | 〈 f ˜ ， Φ j ， k ， l − ， + 〉 | 2 → 0 ， ∑ k ， l ∈ Z | 〈 f ˜ ， Φ j ， k ， l + ， − 〉 | 2 → 0 ， ∑ k ， l ∈ Z | 〈 f ˜ ， Φ j ， k ， l − ， − 〉 | 2 → 0 。又由于 ‖ P j f ˜ ‖ 2 ≤ 1 A ∑ k ， l ∈ Z [ | 〈 f ， Φ 0， k ， l + ， + 〉 | 2 + | 〈 f ， Φ 0， k ， l + ， − 〉 | 2 + | 〈 f ， Φ 0， k ， l − ， + 〉 | 2 + | 〈 f ， Φ 0， k ， l − ， − 〉 | 2 ] 所以 lim j → − ∞ ‖ P j f ˜ ‖ = 0 。根据 ‖ f ‖ ≤ ε + ‖ P j f ˜ ‖ ， ∀ j ∈ Z ，可以知道 f ( x ， y ) = 0 。 定理4：若 Φ ( x ， y ) ∈ L 2 ( R 2 ) 符合定义式(1)，根据(13)式定义的 V j ，若 Φ ( x ， y ) 满足1) 集合 { Φ ( x − k ， y − l ) ， Φ ( x − k ， l − y ) ， Φ ( k − x ， y − l ) ， Φ ( k − x ， l − y ) : k ， l ∈ Z } 是 V 0 的Riesz基；2) 对所有的 ( ω 1 ， ω 2 ) ∈ R 2 ， Φ ^ ( ω 1 ， ω 2 ) 有界；3) Φ ^ ( ω 1 ， ω 2 ) 在 ( ω 1 ， ω 2 ) = ( 0，0 ) 附近连续， Φ ^ ( ω 1 ， ω 2 ) ≠ 0 ，那么 C l o s e L 2 ( R 2 ) ∪ j ∈ Z     V j = L 2 ( R 2 ) 。 证明：由于 { Φ j ， k ， l + ， + ， Φ j ， k ， l + ， − ， Φ j ， k ， l − ， + ， Φ j ， k ， l − ， − : k ， l ∈ Z } 构成 V 0 的Riesz基，故存在两个常数 0 < A ≤ B < ∞ ，对任意的 f ( x ， y ) ∈ V 0 ，有 A ‖ f ‖ 2 2 ≤ ∑ k ， l ∈ Z | 〈 f ， Φ 0， k ， l + ， + 〉 | 2 + ∑ k ， l ∈ Z | 〈 f ， Φ 0， k ， l + ， − 〉 | 2 + ∑ k ， l ∈ Z | 〈 f ， Φ 0， k ， l − ， + 〉 | 2 + ∑ k ， l ∈ Z | 〈 f ， Φ 0， k ， l − ， − 〉 | 2 ≤ B ‖ f ‖ 2 2 ， 所以对于所有的 f ( x ， y ) ∈ V j ，就有 A ‖ f ‖ 2 2 ≤ ∑ k ， l ∈ Z | 〈 f ， Φ j ， k ， l + ， + 〉 | 2 + ∑ k ， l ∈ Z | 〈 f ， Φ j ， k ， l + ， − 〉 | 2 + ∑ k ， l ∈ Z | 〈 f ， Φ j ， k ， l − ， + 〉 | 2 + ∑ k ， l ∈ Z | 〈 f ， Φ j ， k ， l − ， − 〉 | 2 ≤ B ‖ f ‖ 2 2 ， 对于 ， f ( x ， y ) ∈ ( ∪ j ∈ Z     V j ) ⊥ ，那么就有紧支撑连续函数 f ˜ ( x ， y ) ，使 ‖ f − f ˜ ‖ L 2 ≤ ε 。 若 P j 是 V j 的正交投影算子，则 ‖ P j f ˜ ‖ = ‖ P j ( f ˜ − f ) ‖ L 2 ≤ ε 。又因为 P j f ˜ ∈ V j ，则 B ‖ P j f ˜ ‖ 2 ≥ ∑ k ， l ∈ Z | 〈 P j f ˜ ， Φ j ， k ， l + ， + 〉 | 2 + ∑ k ， l ∈ Z | 〈 P j f ˜ ， Φ j ， k ， l + ， − 〉 | 2 + ∑ k ， l ∈ Z | 〈 P j f ˜ ， Φ j ， k ， l − ， + 〉 | 2 + ∑ k ， l ∈ Z | 〈 P j f ˜ ， Φ j ， k ， l − ， − 〉 | 2 ， 进一步可以得到 ∑ k ， l ∈ Z | 〈 P j f ˜ ， Φ j ， k ， l + ， + 〉 | 2 + ∑ k ， l ∈ Z | 〈 P j f ˜ ， Φ j ， k ， l + ， − 〉 | 2 + ∑ k ， l ∈ Z | 〈 P j f ˜ ， Φ j ， k ， l − ， + 〉 | 2 + ∑ k ， l ∈ Z | 〈 P j f ˜ ， Φ j ， k ， l − ， − 〉 | 2 = 1 ( 2 π ) 4 ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ ( | Φ ^ ( a − j ω 1 ， a − j ω 2 ) | 2 + | Φ ^ ( a − j ω 1 ， − a − j ω 2 ) | 2 + | Φ ^ ( − a − j ω 1 ， a − j ω 2 ) | 2   + | Φ ^ ( − a − j ω 1 ， − a − j ω 2 ) | 2 ) P j f ˜ ^ ( ω 1 ， ω 2 ) d ω 1 d ω 2 + D 其中 D ≤ ( ‖ Φ ^ ( ω 1 ， ω 2 ) ‖ L ∞ 2 + ‖ Φ ^ ( ω 1 ， − ω 2 ) ‖ L ∞ 2 + ‖ Φ ^ ( − ω 1 ， ω 2 ) ‖ L ∞ 2 + ‖ Φ ^ ( − ω 1 ， − ω 2 ) ‖ L ∞ 2 ) ⋅ ∑ k ≠ 0 ， l ≠ 0 | P j f ˜ ( a j k ， a j l ) | 2 . 因为 f ˜ ( x ， y ) ∈ C ∞ ，所以存在一个常数M，使 | f ˜ ( x ， y ) | ≤ M ( 1 + | x + y | ) − 2 故 D ≤ M 2 ( ‖ Φ ^ ( ω 1 ， ω 2 ) ‖ L ∞ 2 + ‖ Φ ^ ( ω 1 ， − ω 2 ) ‖ L ∞ 2 + ‖ Φ ^ ( − ω 1 ， ω 2 ) ‖ L ∞ 2 + ‖ Φ ^ ( − ω 1 ， − ω 2 ) ‖ L ∞ 2 ) ⋅ ∑ k ≠ 0 ， l ≠ 0 | P j f ˜ ( a j k ， a j l ) | 2 ≤ M 2 ( ‖ Φ ^ ( ω 1 ， ω 2 ) ‖ L ∞ 2 + ‖ Φ ^ ( ω 1 ， − ω 2 ) ‖ L ∞ 2 + ‖ Φ ^ ( − ω 1 ， ω 2 ) ‖ L ∞ 2 + ‖ Φ ^ ( − ω 1 ， − ω 2 ) ‖ L ∞ 2 ) ⋅ ∑ k ≠ 0 ， l ≠ 0 ( 1 + | a j k + a j l | ) − 2 ≤ M ′ 2 a − 2 j 由以上的推导，可以得到 1 ( 2 π ) 4 ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ ( | Φ ^ ( a − j ω 1 ， a − j ω 2 ) | 2 + | Φ ^ ( a − j ω 1 ， − a − j ω 2 ) | 2 + | Φ ^ ( − a − j ω 1 ， a − j ω 2 ) | 2 + | Φ ^ ( − a − j ω 1 ， − a − j ω 2 ) | 2 ) P j f ˜ ^ ( ω 1 ， ω 2 ) d ω 1 d ω 2 ≤ ∑ k ， l ∈ Z | 〈 P j f ˜ ， Φ j ， k ， l + ， + 〉 | 2 + ∑ k ， l ∈ Z | 〈 P j f ˜ ， Φ j ， k ， l + ， − 〉 | 2 + ∑ k ， l ∈ Z | 〈 P j f ˜ ， Φ j ， k ， l − ， + 〉 | 2       + ∑ k ， l ∈ Z | 〈 P j f ˜ ， Φ j ， k ， l − ， − 〉 | 2 + | D | ≤ B ε 2 + M ′ 2 a − 2 j . 由于 Φ ( ω 1 ， ω 2 ) 有界且在 ( ω 1 ， ω 2 ) = ( 0，0 ) 附近处连续且 Φ ( 0，0 ) ≠ 0 ，故当 j → + ∞ 时，以上不等式收敛于 1 ( 2 π ) 4 ( | Φ ^ ( 0，0 ) | 2 + | Φ ^ ( 0，0 ) | 2 + | Φ ^ ( 0，0 ) | 2 + | Φ ^ ( 0，0 ) | 2 ) ⋅ ‖ P j f ˜ ^ ‖ L 2 2 = 1 4 π 4 | Φ ^ ( 0，0 ) | 2 ⋅ ‖ P j f ˜ ^ ‖ L 2 2 从而 ‖ P j f ˜ ^ ‖ L 2 2 ≤ ( 2 π ) 4 B ε 2 4 | Φ ^ ( 0，0 ) | 2 = 4 π 4 B ε 2 | Φ ^ ( 0，0 ) | 2 ，所以 ‖ f ‖ L 2 ≤ ε + ‖ P j f ˜ ^ ‖ L 2 ≤ ε + 2 π 2 B ε | Φ ^ ( 0，0 ) | 2 ，因为 ε 是任意小的，所以 f = 0 ，则说明 C l o s e L 2 ( R 2 ) ∪ j ∈ Z     V j = L 2 ( R 2 ) 。