system: [SYSTEM]

user: 3. 主要结果及证明 令f是(1)式的折线函数，其中在 k 1 > 0 ， k 2 < 0 ， k 3 < 0 。 定理1 (i) 如果 x 0 ≤ t 0 且 f 3 ( b ) ≤ t 0 时，那么折点的个数在迭代下不会增加，即 V ( f n ) = 2 ， ∀ n ∈ N ，并且 f n 的折点坐标为 ( t 0 ， k 1 n t 0 + β 1 ( 1 − k 1 n 1 − k 1 ) ) ， ( t 1 ， k 1 n − 1 k 2 t 1 + k 1 n − 1 β 2 + β 1 ( 1 − k 1 n − 1 1 − k 1 ) ) . 另外，若 0 < k 1 < 1 ，则对任意 t ∈ I ，当 n → ∞ 时， f n ( t ) → β 1 1 − k 1 ； (ii) 如果 x 0 ≤ t 0 且 t 0 < f 3 ( b ) ≤ t 1 ，对所有的整数 n ≥ 2 ， V ( f n ) ≥ 3 ； (iii) 如果 x 0 ≤ t 0 且 f 3 ( b ) > t 1 ，对所有的整数 n ≥ 2 ， V ( f n ) ≥ 4 。 证明：(i) 如图1，当 x 0 < t 0 且 f 3 ( b ) < t 0 时， f 1 单调递增， f 2 单调递减， f 3 单调递增，有 a ≤ f ( t ) ≤ t 0 ， ∀ t ∈ [ a ， b ] 。因此f的n次迭代表达式为： f n ( t ) = { f 1 n ( t ) = k 1 n t + β 1 ( 1 − k 1 n 1 − k 1 ) ， t ∈ [ a ， t 0 ] ; f 1 n − 1 ( f 2 ( t ) ) = k 1 n − 1 k 2 t + k 1 n − 1 β 2 + β 1 ( 1 − k 1 n − 1 1 − k 1 ) ， t ∈ ( t 0 ， t 1 ] ; f 1 n − 1 ( f 3 ( t ) ) = k 1 n − 1 k 3 t + k 1 n − 1 β 3 + β 1 ( 1 − k 1 n − 1 1 − k 1 ) ， t ∈ ( t 1 ， b ] . 图1. x 0 < t 0 且 f 3 ( b ) < t 0 从上式可以看出，左导数 D f n ( t 0 − 0 ) = k 1 n ≠ k 1 n − 1 k 2 = D f n ( t 0 + 0 ) ， D f n ( t 1 − 0 ) = k 1 n − 1 k 2 ≠ k 1 n − 1 k 3 = D f n ( t 1 + 0 ) . 因此对所有的 n ∈ N ，有 V ( f n ) = 2 。 (ii) 如图2，当 x 0 < t 0 且 t 0 < f 3 ( b ) < t 1 时， f 1 单调递增， f 2 单调递减， f 3 单调递增，有 f 3 ( t 1 ) < t 0 ， f 3 ( b ) > t 0 ，根据 f 3 的连续性，必然存在 t 0 * ∈ ( t 1 ， b ) ，使得 f 3 ( t 0 * ) = t 0 ，因此 t 0 * = f 3 − 1 ( t 0 ) ，此时有 { a ≤ f ( t ) ≤ t 0 ， t ∈ [ a ， t 1 * ] ; t 0 < f ( t ) ≤ t 1 ， t ∈ ( t 1 * ， b ] . 并且 f 2 ( t ) = { f 1 2 ( t ) = k 1 2 t + β 1 ( 1 + k 1 ) ， t ∈ [ a ， t 0 ] ; f 1 ( f 2 ( t ) ) = k 1 k 2 t + k 1 β 2 + β 1 ， t ∈ ( t 0 ， t 1 ] ; f 1 ( f 3 ( t ) ) = k 1 k 3 t + k 1 β 3 + β 1 ， t ∈ ( t 1 ， t 0 * ] ; f 2 ( f 3 ( t ) ) = k 2 k 3 t + k 2 β 3 + β 2 ， t ∈ ( t 0 * ， b ] . 图2. x 0 < t 0 且 t 0 < f 3 ( b ) < t 1 从上式可以看出 D f 2 ( t 0 − 0 ) = k 1 2 ≠ k 1 k 2 = D f 2 ( t 0 + 0 ) ; D f 2 ( t 1 − 0 ) = k 1 k 2 ≠ k 1 k 3 = D f 2 ( t 1 + 0 ) ; D f 2 ( t 0 * − 0 ) = k 1 k 3 ≠ k 2 k 3 = D f 2 ( t 0 * + 0 ) . 这意味着 V ( f 2 ) = 3 ，进一步，根据非单调的定义， t 0 ， t 1 ， t 0 * 都是 f 2 的非单调点，由严格逐段单调连续函数f的非单调点也是其n次迭代 f n 的非单调点，所以其非单调点的个数在迭代下是不会减少的。另一方面，对于折线函数来说，每个非单调点都是折点(反过来不成立)，因此，对所有自然数 n ≥ 2 ，由 V ( f n ) ≥ N ( f n ) 可得 V ( f n ) ≥ 3 。 (iii) 证明过程与(ii)类似。 定理2(i) 如果 t 0 < x 0 ≤ t 1 ， x 1 ≥ t 0 且 f 1 ( a ) ≥ t 0 ， f 3 ( b ) ≤ t 1 时，那么折点的个数在迭代下不会增加，即 V ( f n ) = 2 ， ，并且 的折点坐标为 另外，若 则，对任意 ，当 时， ； (ii) 如果 ， ； ， ，对所有的整数 ， ； ， ，对所有的整数 ， ； ， ，对所有的整数 ， ； (iii) 如果 ， ； ， ，对所有的整数 ， ； ， ，对所有的整数 ， ； ， ，对所有的整数 ， ； ， ，对所有的整数 ， ； ， ，对所有的整数 ， ； ， ，对所有的整数 ， ； 证明：(i) 如图3，当 ， 且 ， 时， 单调递增， 单调递减， 单调递增，有 ， 。因此f的n次迭代表达式为： 图3. 且 从上式可以看出，左导数 因此对所有的 ，有 。 (ii) 如图4，当 ， ， ， 时，有 ， ，根据f 3 的连续性，必然存在 ，使得 ，因此 ，此时有 图4. 且 并且 从上式可以看出 这意味着 ，因此 。其余两种情况可类似证明。 (iii) 如图5，当 ， ， ， 时，有 ， ， ， ，根据 ， 的连续性，必然存在 ， ， ，使得 ， ， ，此时有 图5. 且 并且 从上式可以看出 这意味着 ，因此 。其余五种情况可类似证明。 定理3 (i) 如果 ， 且 ，那么折点的个数在迭代下不会增加，即 ， ，并且 的折点坐标为 另外，若 则，对任意 ，当 时， ； ，对所有的整数 ， ； ，对所有的整数 ， ； (ii) 如果 ， ； ， ，对所有的整数 ， ； ， ，对所有的整数 ， ； ， ，对所有的整数 ， ； ， ，对所有的整数 ， ； ， ，对所有的整数 ， ； ， ，对所有的整数 ， ； (iii) 如果 ， ； ， ，对所有的整数 ， ； ， ，对所有的整数 ， ； ， ，对所有的整数 ， ； ， ，对所有的整数 ， ； ， ，对所有的整数 ， ； ， ，对所有的整数 ， ； ， ，对所有的整数 ， ； ， ，对所有的整数 ， ； ， ，对所有的整数 ， ； 证明：(i) 如图6，当 ， 且 时， 单调递增， 单调递减， 单调递增，有 ， 。因此f的n次迭代表达式为： 从上式可以看出，左导数 因此对所有的 ，有 。 如图7，当 ， ， 时，有 ， ，根据 的连续性，必然存在 ，使得 ，因此 ，此时有 图6. 且 图7. 且 并且 从上式可以看出 这意味着 ，因此 。剩余的一种情况可类似证明。 (ii) 如图8，当 ， ， ， 时，有 ， ， ， ，根据 ， 的连续性，必然存在 ， ， ，使得 ， ， ，因此 ， ， ，此时有 并且 从上式可以看出 这意味着 ，因此 。其余五种情况可类似证明。 图8. 且 (iii) 如图9，当 ， ， ， 时，有 ， ， ， ，根据 ， 的连续性，必然存在 ， ， ， ，使得 ， ， ， ，因此 ， ， ， ，此时有 图9. 且 并且 从上式可以看出 这意味着 ，因此 。其余八种情况可类似证明。