system: [SYSTEM]

user: 6. 多元产品的木板切割 6.1. 双产品的木板切割 在木板上切割两类产品，以集合 { L l i ， L w i } 为决策变量，切割度最大为目标建立如下的整数线性规划模型。 目标函数 max ∑ i ( l i × L l i ) + ∑ i w i × L ( w i ) (4) 由于切割下来的宽度不能超过木板的宽度，则约束条件 { ∑ i ( l i × L l i ) + ∑ i ( w i × L w i ) ≤ W L l i ， L w i ≥ 0 ， 为 整 数 (5) 由该模型得到某一种毛坯的排列方式，将他作为初始排列，不断迭代模型，最终木板不能排列毛坯时停止。 统计这两类产品的数量，根据下面公式计算木板利用率 k j = ∑ j = 1 m l i w i a j i L W × 100 % (6) 步骤1：对于产品P1和产品P3， i = 1 ， 3 。这两种类型组合的整数线性规划为 max 373 L l 1 + 201 L w 1 + 406 L l 3 + 229 l w 3 { 373 L l 1 + 201 L w 1 + 406 L l 3 + 229 L w 3 ≤ 3000 L l 1 ， L w 1 ， L l 3 ， L w 3 为 整 数 利用LINGO得到最优解为： ( L l 1 ， L w 1 ， L l 3 ， L w 3 ) T = ( 1 ， 7 ， 3 ， 0 ) T 。 由于 L w 1 的个数最多，占切割木板的面积最大，因此先排列此毛坯，由最优解得出一部分排列a，如图4所示。 步骤2：模型迭代 max 373 L l 1 + 406 L l 3 { 373 L l 1 + 406 L l 3 ≤ 1593 L l 1 ， L w 1 ， L l 3 ， L w 3 为 整 数 利用LINGO得到最优解为： L l 1 = 1 ， L l 3 = 3 ，由此得到排列b，如图4所示。 步骤3：木板中间的剩下未排列区域，以余料最少为原则，得到排列c，如图4所示。 图4. 迭代排列过程图 该模型可以得到多种方案，图5，图6，图7分别为三种切割方案，其中切割下来的产品数量和利用率如表5所示。 图5. 产品P1和P3的木板切割方案1示意图 图6. 产品P1和P3的木板切割方案2示意图 图7. 产品P1和P3的木板切割方案3示意图 Table 5 The specific parameter value of the cutting schem 方案编号 P1数量(件) P3数量(件) 利用率(%) 1 32 22 98.8 2 33 21 98.6 3 43 13 98.5 表5. 切割方案的具体参数值 6.2. 基于生产任务的双产品木板切割 在木板上全部切割产品P1作为方案4，全部切割产品P3作为方案5，得到表6。 Table 6 The specific parameter value of the cutting schem 方案编号 P1数量(件) P3数量(件) 利用率(%) 1 32 22 98.8 2 33 21 98.6 3 43 13 98.5 4 59 0 98.3 5 0 47 97.1 表6. 切割方案的具体参数值 构造方案矩阵 A n × m = ( a j i ) ，其中 i = 1 ， 2 ; j = 1 ， ⋯ ， 5 。方案矩阵用于存储每一个方案下的产品数量。 A 5 × 2 = ( 32 ⋯ 22 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 47 ) 以 c j 为决策变量，总木板利用率最高为目标建立整数规划模型。 目标函数 max ∑ i l i w i P i L W ∑ j = 1 n c j (7) 由于需要完成产品的生产任务，则约束条件为 { ∑ j = 1 n a j i c j ≥ P i ，     i = 1 ， ⋯ ， m c j ≥ 0 ， 为 整 数 ，     j = 1 ， ⋯ ， n (8) 统计这两类产品分别在每种方案下的数量，根据下面公式计算木板利用率 K = ∑ i l i w i P i L W ∑ j = 1 n c j × 100 % (9) 对于产品P1和P3，整数规划为 max 373 × 202 × 774 + 406 × 229 × 1623 ∑ j = 1 5 c j × 3000 × 1500 { 32 c 1 + 33 c 2 + 44 c 3 + 59 c 4 + 0 × c 5 ≥ 774 22 c 1 + 21 c 2 + 12 c 3 + 0 × c 4 + 47 c 5 ≥ 1623 c j ≥ 0 ， 为 整 数 ，     j = 1 ， ⋯ ， 5 编写程序，求出每个方案下木板S1的数量以及总利用率。结合LINGO得出最优解为： ( c 1 ， c 2 ， c 3 ， c 4 ， c 5 ) T = ( 21 ， 1 ， 2 ， 0 ， 24 ) T 最优值为： K = 96.7 % ， K ′ = 97.9 % 。其中K是实际的木板总利用率，P1和P3的产品数量为774件和1623件不变。 K ′ 是按超过生产任务的产品数量计算的木板利用率。切割下来的产品数量和总利用率如表7所示。 Table 7 The specific parameter value of the cutting schem 方案编号 S1数量(张) P1数量(件) P3数量(件) 利用率(%) 1 21 32 22 98.8 2 1 33 21 98.6 3 2 43 13 98.5 4 0 59 0 98.3 5 24 0 47 97.1 合计48 合计774 合计1623 木板总利用率96.7 表7. 切割方案的具体参数值 6.3. 基于生产任务的多产品木板切割 由基于生产任务的两类产品木板切割可得到多类产品的切割处理方法。假设四类产品P1，P2，P3和P4都需要完成生产任务，由排列组合的原理四类产品有 2 4 − 1 种切割方案。 设方案矩阵 B 15 × 4 = ( b j i ) ，其中 b j i 表示在第j个方案下产品i的数量。文章前面已知矩阵B里每一个元素的数值。以 c j 为决策变量，总木板利用率最高为目标建立整数规划模型 目标函数 max ∑ i = 1 4 l i w i P i L W ∑ j = 1 15 c j 约束条件 { ∑ j = 1 15 B j i c j ≥ P i ，     i = 1 ， ⋯ ， 5 c j ≥ 0 ， 为 整 数 ，     j = 1 ， ⋯ ， 15 利用LINGO得到 K = 97.06 % ， K ′ = 97.70 % 。切割下来的产品数量和总利用率如表8所示。 Table 8 The specific parameter value of the cutting schem 方案编号 S1数量(张) P1数量(件) P2数量(件) P3数量(件) P4数量(件) 利用率(%) 1 11 59 0 0 0 98.3 2 0 0 31 0 0 92.67 3 0 0 0 47 0 97.1 4 0 0 0 0 48 93.5 5 0 20 21 0 0 96.09 6 0 17 0 0 45 98.3 7 39 0 16 24 0 97.41 8 5 32 0 22 0 98.76 9 0 0 21 0 22 96.98 10 0 0 0 31 9 97.63 11 0 10 0 25 9 98.1 12 0 7 19 0 18 96.45 13 0 20 9 18 0 97.41 14 85 0 18 7 19 97.81 15 0 23 5 21 1 98.21 合计140 合计774 合计2153 合计1623 合计1614 木板总利用率97.06 表8. 切割方案的具体参数值 将模型得到的不同方案下木板利用率与商业软件cuttLogic得到的结果做对比，如表9所示。 Table 9 The specific parameter value of the cutting schem 方案编号 组合 模型结果( ) cuttLogic结果(%) 差值(%) 1 P1 98.3 98.3 0 2 P2 92.67 92.67 0 3 P3 97.1 97.1 0 4 P4 93.5 93.5 0 5 P1， P2 96.09 97.9 -1.81 6 P1， P4 98.3 98.3 0 7 P2， P3 97.41 96.05 1.36 8 P1， P3 98.76 98.23 0.53 9 P2， P4 96.98 97.34 -0.36 10 P3， P4 97.63 98.7 -1.07 11 P1， P3， P4 98.1 98.56 -0.46 12 P1， P2， P4 96.45 97.55 -1.1 13 P1， P2， P3 97.41 96.89 0.52 14 P2， P3， P4 97.81 98.2 -0.39 15 P1， P2， P3， P4 98.21 98.05 0.16 模型结果： 最大值98.76 最小值92.67 软件结果： 最大值98.7 最小值92.67 表9. 切割方案的具体参数值 通过该表可以看出15个方案中，模型结果与软件模拟结果基本相同，甚至较多方案的利用率超过了软件结果，说明模型得出的切割方案是合理的，且模型的寻优能力好。模型结果的最大利用率大于软件的最大利用率，最小利用率数值相同，说明该模型比较稳定。 6.4. 限定原料的多产品木板切割 不考虑产品的生产任务，给定木板数量，首先考虑产品的组合形式。以产品的单位面积价格作为依 据来选取产品组合，由公式 h i = p i l i w i 计算出 h 1 ， h 2 ， h 3 ， h 4 ，且 max { h i } = h 1 ，如表10所示。 Table 1 0 Product specific parameter dat 产品类型 单位面积价格(元/件∙cm 2 ) P1 0.0265 P2 0.0171 P3 0.0226 P4 0.0229 表10. 产品的具体参数值 假设给定100张木板S1，每张木板的切割方案相同，对于P1，P2，P3和P4四类产品，以 c j ( j = 1 ， ⋯ ， 15 ) 为决策变量，总木板利用率最高为目标函数1，总利润最大为目标函数2，建立多目标规划模型。 目标函数1 max ∑ i = 1 4 l i w i P i L W ∑ j = 1 15 c j 目标函数2 max ∑ i a j i P i 约束条件 { ∑ j = 1 15 b j i c j ≥ P i ，     i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 c j ≥ 0 ， 为 整 数 ，     j = 1 ， ⋯ ， 15 利用LINGO得到 K = 98.3 % ， w 1 = 1174.1 ， W = 1174.1 × 100 = 11740 。切割下来的产品数量和总利用率如表11所示。 Table 1 1 The specific parameter value of the cutting schem S1数量(张) P1数量(件) P2数量(件) P3数量(件) P4数量(件) 利润(元/件) 利用率(%) 1 59 0 0 0 1174.1 98.3 100 774 2153 1623 1614 总利润117410 木板总利用率98.3 表11. 切割方案的具体参数值