system: [SYSTEM]

user: 4. 预见控制器的设计 对导出的增广误差系统(15)，设计如下的输出反馈控制器： Δ u ( k ) = K ( a ) Z ( k ) = ( ∑ i = 1 s a i K i ) Z ( k ) (16) 其中 K i 和 a i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ) 分别是不确定参数矩阵和可调节变量且 a i ≥ 0 ， ∑ i = 1 s a i = 1 。 基于(15)和(16)导出闭环系统： { x ¯ ( k + 1 ) = [ A ¯ ( θ ) + B ¯ ( θ ) K ( a ) C Z ( θ ) ] x ¯ ( k ) + A ¯ d ( θ ) x ¯ ( k − d 1 ) + A ¯ d ( θ ) x ¯ ( k − d 2 ) + η ¯ ( θ ) w ( k ) Z ( k ) = C Z ( θ ) x ¯ ( k ) (17) 基于设计的输出反馈控制器(16)，如果闭环系统是渐近稳定的，则有 lim k → ∞ x ¯ ( k ) = 0 ，注意到 e ( k ) 是闭环系统状态 x ¯ ( k ) 的一部分，即可得到 lim k → ∞ e ( k ) = 0 。因此我们设计一个包含参考信号预见行为的输出反馈控制器能够实现系统(1)的输出对参考信号的鲁棒跟踪目的。在(16)中，增益矩阵 能够通过解LMI方法获得。 为导出闭环系统渐近稳定的充分条件，考虑(17)的标称系统： { x ¯ ( k + 1 ) = [ A ¯ ( θ ) + B ¯ ( θ ) K ( a ) C Z ( θ ) ] x ¯ ( k )   + A ¯ d ( θ ) x ¯ ( k − d 1 ) + A ¯ d ( θ ) x ¯ ( k − d 2 ) Z ( k ) = C Z ( θ ) x ¯ ( k ) (18) 系统(18)渐近稳定的充分条件由如下的定理1给出。 定理1：给定正数 β ，可逆矩阵W和矩阵Q，系统(18)是鲁棒渐近稳定的如果存在一个正定矩阵 P ( θ ) ， S 1 ( θ ) ， S 2 ( θ ) ，矩阵 L ( a ) 和可逆矩阵 G ( a ) ，U使得 Π ( a ， θ ) < 0 (19) 其中 Π ( a ， θ ) 为下列矩阵 ( − G ( a ) T − G ( a ) + P − 1 ( θ ) ∗ ∗ ∗ 0 − S 1 ( θ ) ∗ ∗ 0 0 − S 2 ( θ ) ∗ A ¯ ( θ ) G ( a ) + B ¯ ( θ ) L ( a ) Q A ¯ d ( θ ) A ¯ d ( θ ) − P − 1 ( θ ) G ( a ) 0 0 0 G ( a ) 0 0 0 C Z ( θ ) G ( a ) − U Q 0 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − S 1 ( θ ) − 1 ∗ ∗ 0 − S 2 ( θ ) − 1 ∗ 0 0 − β U W − β W T U T ) 证明：令 L ( a ) U − 1 = K ( a ) ， A ^ ( θ ) = A ¯ ( θ ) + B ¯ ( θ ) K ( a ) C Z ( θ ) ，由引理2，条件(19)能够保证： ( − G ( a ) T − G ( a ) + P − 1 ( θ ) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 − S 1 ( θ ) ∗ ∗ ∗ ∗ 0 − S 2 ( θ ) ∗ ∗ ∗ A ^ ( θ ) G ( a ) A ¯ d ( θ ) A ¯ d ( θ ) − P ( θ ) − 1 ∗ ∗ G ( a ) 0 0 0 − S 1 ( θ ) − 1 ∗ G ( a ) 0 0 0 0 − S 2 ( θ ) − 1 ) < 0 (20) 又因为 − G ( a ) T − G ( a ) + P ( θ ) − 1 ≥ − G ( a ) T P ( θ ) G ( a ) ，所以 ( − G ( a ) T P ( θ ) G ( a ) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 − S 1 ( θ ) ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 − S 2 ( θ ) ∗ ∗ ∗ A ^ ( θ ) G ( a ) A ¯ d ( θ ) A ¯ d ( θ ) − P ( θ ) − 1 ∗ ∗ G ( a ) 0 0 0 − S 1 ( θ ) − 1 ∗ G ( a ) 0 0 0 0 − S 2 ( θ ) − 1 ) < 0 (21) 不等式(21)能够保证下式(22)成立(注：(22)式不等式左边作合同变换：前乘可逆对称阵 d i a g { G ( a ) ， I ， I ， I ， I ， I } ，后乘它的转置阵，则可得到不等式(21)，故(21)与(22)等价)： ( P ( θ ) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 − S 1 ( θ ) ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 − S 2 ( θ ) ∗ ∗ ∗ A ^ ( θ ) A ¯ d ( θ ) A ¯ d ( θ ) − P ( θ ) − 1 ∗ ∗ I 0 0 0 − S 1 ( θ ) − 1 ∗ I 0 0 0 0 − S 2 ( θ ) − 1 ) < 0 (22) 利用Schur补引理，由(23)式能够得到： Ω = ( A ^ ( θ ) T P ( θ ) A ^ ( θ ) − P ( θ ) + S 1 ( θ ) + S 2 ( θ ) A ¯ d ( θ ) T P ( θ ) A ^ ( θ ) A ¯ d ( θ ) T P ( θ ) A ^ ( θ ) A ^ ( θ ) T P ( θ ) A ¯ d ( θ ) A ^ ( θ ) T P ( θ ) A ¯ d ( θ ) A ¯ d ( θ ) T P ( θ ) A ¯ d ( θ ) − S 1 ( θ ) A ¯ d ( θ ) T P ( θ ) A ¯ d ( θ ) A ¯ d ( θ ) T P ( θ ) A ¯ d ( θ ) A ¯ d ( θ ) T P ( θ ) A ¯ d ( θ ) − S 2 ( θ ) ) < 0 (23) 取Lyapunov函数： V ( x ¯ ( k ) ) = x ¯ ( k ) T P ( θ ) x ¯ ( k ) + ∑ i = k − d 1 k − 1 x ¯ ( i ) T S 1 ( θ ) x ¯ ( i ) + ∑ i = k − d 2 k − 1 x ¯ ( i ) T S 2 ( θ ) x ¯ ( i ) (24) 其中 P ( θ ) = ∑ i = 1 s θ i P i ， S 1 ( θ ) = ∑ i = 1 s θ i S 1 i ， S 2 ( θ ) = ∑ i = 1 s θ i S 2 i 。 定义 Δ V ( x ¯ ( k ) ) = V ( x ¯ ( k + 1 ) ) − V ( x ¯ ( k ) ) 则有： Δ V ( x ¯ ( k ) ) = ( x ¯ T ( k ) x ¯ T ( k − d 1 ) x ¯ T ( k − d 2 ) ) Ω ( x ¯ T ( k ) x ¯ T ( k − d 1 ) x ¯ T ( k − d 2 ) ) T (25) 由(23)，得到 Δ V ( x ¯ ( k ) ) < 0 ，则证得系统(17)是鲁棒渐近稳定的。 注意到定理1依赖不确定参数 θ ，以下定理2是在假设1的基础上，将定理1转换成一般LMI的形式，以便通过LMI工具箱得到相关矩阵的可行性解。 定理2：给定正数 β ，可逆矩阵W和矩阵Q，如果存在正定矩阵 X i ， Y 1 i ， Y 2 i ，矩阵 L j 和可逆矩阵 ，U ( i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， s ; j = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， s ) 使得 Γ i j < 0             ( i ， j ∈ { 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， s } ) (26) 其中， Γ i j = ( − G j T − G j + X i ∗ ∗ ∗ 0 − Y 1 i ∗ ∗ 0 0 − Y 2 i ∗ A ¯ i G j + B ¯ i L j Q A ¯ d i Y 1 i A ¯ d i Y 2 i − X i G j 0 0 0 G j 0 0 0 C Z i G j − U Q 0 0 β W T L j T B ¯ i T ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − Y 1 i ∗ ∗ 0 − Y 2 i ∗ 0 0 − β U W − β W T U T ) 则系统(17)是鲁棒渐近稳定，且增益矩阵 K i = L i U − 1 。控制器由下式给出： Δ u ( k ) = K ( a ) Z ( k ) = ∑ i = 1 s a i L i U − 1 Z ( k ) (27) 证明：令 X i = P i − 1 ， Y 1 i = S 1 i − 1 ， Y 2 i = S 2 i − 1 。对(26)进行合同变换：左乘一个可逆对称阵 d i a g { I ， S 1 i ， S 2 i ， I ， I ， I ， I } 右乘它的转置阵，则有： Π ( a ， θ ) = ∑ i = 1 s ∑ j = 1 s θ i a j Π i j < 0 (28) 再根据定理1可以保证系统(17)渐近稳定，因此定理2得证。 基于定理1和定理2，我们给系统(1)设计具有预见跟踪性能的控制器由下面定理3给出。 定理3：如果假设1和假设2满足，且LMI(26)有一组可行性解，则设计的控制器为： u ( k ) = K e ∑ i = 0 k − 1 e ( i ) + K y y ( k ) + ∑ j = 0 M r K r ( j ) r ( k + j ) (29) 其中， K e = ∑ i = 1 s a i K e i ， K y = ∑ i = 1 s a i K y i ， K r ( j ) = ∑ i = 1 s a i K r i ( j ) ， K e i = ∑ j = 1 p K j i ， K i = L i U − 1 。 证明：基于定理1和定理2，可以得到期望的预见控制器，其中增益矩阵 K i 可通过解LMI(26)中的 L i     ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， s ) 和U得到 ( K i = L i U − 1 ) ，即有： Δ u ( k ) = K ( a ) Z ( k )     = ∑ i = 1 s a i   K i   Z ( k ) = ∑ i = 1 s a i ( K e i e ( k ) + K y i Δ y ( i ) + ∑ j = 0 M r K r i ( j ) Δ r ( k + j ) ) (30) 其中， K i = [ K 1 i K 2 i ⋯ K p i K y i           K r i ( 0 ) K r i ( 1 ) ⋯ K r i ( M r ) ] = L i U − 1 (31) 注意到 K e i = ∑ j = 1 p K j i ， K e = ∑ i = 1 s a i K e i ， K y = ∑ i = 1 s a i K y i ， K r ( j ) = ∑ i = 1 s a i K r i ( j ) ，令增益矩阵 K = [ K e K y K r ( 0 ) K r ( 1 ) ⋯ K r ( M r ) ] ，则有 Δ u ( k ) = K e e ( k ) + K y Δ y ( k ) + ∑ j = 0 M r K r ( j ) Δ r ( k + j ) ，由 Δ u ( k ) = u ( k + 1 ) − u ( k ) ，知道 u ( k ) = ∑ i = − M r − 1 k − 1 Δ u ( i ) + u ( − M r − 1 ) 。进一步，在假定 x ( i ) = 0 ， u ( i ) = 0 ， r ( i ) = 0 ， ( i < 0 ) 下得到： u ( k ) = K e ∑ i = 0 k − 1 e ( i ) + K y y ( k ) + ∑ j = 0 M r K r ( j ) r ( k + j ) (32) 定理3得证。 注2：矩阵 L i 和可逆矩阵U由不等式(26)决定。等式(31)决定着 K 1 i ， K 2 i ， ⋯ ， K p i ， K y i ， K r i ( 0 ) ， K r i ( 1 ) ， ⋯ ， K r i ( M r ) 以及 K i 之间的关系。在控制器(29下，系统(1)的闭环系统的输出 y ( k ) 能够准确的跟踪到参考信号 r ( k ) 。 注3：根据(29)，我们知道系统(1)的预见控制器包括三部分：第一部分是跟踪误差补偿，第二部分是输出反馈，最后一部分是可预见信息，表明控制器具备预见行为。