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user: 3. 模型应用 教学质量评价中使用的数学模型包括确定性模型、随机性模型和模糊性模型 [ 3 ][ 4 ][ 5 ]。所谓模糊性是指元素对集合的隶属关系而言，因此采用模糊定义时需要引入隶属度定义。隶属度用来表示元素 u i 属于模糊集合U的程度，也就是对模糊集合的判断是用元素对此集合的从属程度大小来表达的。用隶属度来刻画分级界线就使集合界线模糊不清，比较合理。 Case1：对某一教师的教学质量评价(表1) 设专家设定指标权重，其一级指标权重为： 二级指标权重为： A 1 = ( 0.3 ， 0.1 ， 0.4 ， 0.2 ) A 2 = ( 0.1 ， 0.2 ， 0.3 ， 0.2 ， 0.2 ) A 3 = ( 0.3 ， 0.1 ， 0.2 ， 0.1 ， 0.3 ) A 4 = ( 0.4 ， 0.2 ， 0.3 ， 0.1 ) 对各个子因素进行一级模糊综合评价 B 1 = A 1 R 1 = ( 0.35 ， 0.364 ， 0.186 ， 0.038 ， 0.042 ) B 2 = A 2 R 2 = ( 0.27 ， 0.27 ， 0.155 ， 0.2150 ， 0.09 ) B 3 = A 3 R 3 = ( 0.45 ， 0.16 ， 0.13 ， 0.14 ， 0.12 ) B 4 = A 4 R 4 = ( 0.50 ， 0.18 ， 0.10 ， 0.17 ， 0.05 ) 这样，二级综合评判为 C = A R = ( 0.30 ， 0.4 ， 0.2 ， 0.2 ) [ 0.35 0.364 0.186 0.038 0.042 0.27 0.27 0.155 0.215 0.09 0.45 0.16 0.13 0.14 0.12 0.50 0.18 0.10 0.17 0.05 ] = ( 0.403 ， 0.2852 ， 0.1638 ， 0.1594 ， 0.0826 ) 根据最大隶属度原则，对该教师的教学质量评价为优，同理可对其他教师的教学质量评价。 Case2：现有5个等级的教学设计模板 ( A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 ， A 5 ) ，待识别教学设计B.反映教学设计质量的因素有六项指标，构成论域U，其中 U = { u 1 ( 条 理 清 晰 ) ， u 2 ( 内 容 简 洁 ) ， u 3 ( 例 题 典 型 ) ，                   u 4 ( 目 的 明 确 ) ， u 5 ( 习 题 适 当 ) ， u 6 ( 反 思 到 位 ) } 设五个等级的教学设计模板对六项指标的数值为： U 1 = ( 0.8 ， 0.6 ， 0.4 ， 0.2 ， 0.8 ， 0.9 ) U 2 = ( 0.9 ， 0.1 ， 0.2 ， 0.4 ， 0.3 ， 0.7 ) U 3 = ( 0.6 ， 0.7 ， 0.9 ， 0.8 ， 0.5 ， 0.4 ) U 4 = ( 0.2 ， 0.4 ， 0.2 ， 0.2 ， 0.1 ， 0.6 ) U 5 = ( 0 ， 0.1 ， 0.2 ， 0.1 ， 0.6 ， 0.8 ) 待识别的教学设计各项指标 V = ( 0.8 ， 0.5 ， 0.4 ， 0.2 ， 0.3 ， 0.1 ) 由格贴近度公式计算可得 N ( V ， U 1 ) = 0.8 ， N ( V ， U 2 ) = 0.7 ， N ( V ， U 3 ) = 0.6 ， N ( V ， U 4 ) = 0.4 ， N ( V ， U 5 ) = 0.3 按择近原则，可以将V定为一级教学设计( )。 Case3：已知物电、信工、土木、食品、农业、生命、经管、数统、化工学院9个学院的16个新进教师上课情况的平均成绩如表2所列。试用模糊聚类分析方法对新进教师上课情况进行评价。 Step 1. 用 分别表示新进教师， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， 9 分别表示物电、信工、土木、食品、农业、生命、经管、数统、化工学院9个学院， a i j 表示第j个学院第i个新进老师的平均成绩。 数据标准化。采用极差变换 b i j = a i j − a i min a i max − a i min . 式中： 和 分别表示新进教师平均成绩的最小值和最大值； b i j 为第j个学院第i门课平均成绩的标准化数值。 按照上述公式计算得到9个学院16个新进教师成绩的标准化数据如表3所列。 Step 2. 根据标准化数据建立各学院之间新进教师上课成绩指标的相似关系矩阵 Table 2 Average scores of 16 new teachers in clas 物电 信工 土木 食品 农业 生命 经管 数统 化工 教师1 81 85 70 72 87 80 91 82 92 教师2 89 72 68 79 80 82 79 83 78 教师3 82 81 77 78 84 83 85 88 84 教师4 80 80 80 82 77 84 83 76 81 教师5 83 85 85 83 76 82 80 81 84 教师6 90 70 65 84 80 81 78 75 85 教师7 91 75 75 72 83 87 92 82 84 教师8 85 85 81 73 78 85 86 83 82 教师9 88 70 70 71 80 80 80 79 78 教师10 92 71 80 78 78 82 82 74 89 教师11 73 80 85 88 76 90 84 83 73 教师12 75 82 90 82 86 91 80 86 84 教师13 79 83 75 85 86 81 71 80 76 教师14 95 84 73 84 83 85 77 81 75 教师15 83 86 82 82 84 92 74 71 83 教师16 85 87 95 83 82 83 79 81 76 表2. 16个新进教师上课平均成绩表 Table 3 Standardization of average score 物电 信工 土木 食品 农业 生命 经管 数统 化工 教师1 0.5 0.681818 0 0.090909 0.772727 0.454545 0.954545 0.545455 1 教师2 1 0.190476 0 0.52381 0.571429 0.666667 0.52381 0.714286 0.47619 教师3 0.454545 0.363636 0 0.090909 0.636364 0.545455 0.727273 1 0.636364 教师4 0.5 0.5 0.5 0.75 0.125 1 0.875 0 0.625 教师5 0.777778 1 1 0.777778 0 0.666667 0.444444 0.555556 0.888889 教师6 1 0.2 0 0.76 0.6 0.64 0.52 0.4 0.8 教师7 0.95 0.15 0.15 0 0.55 0.75 1 0.5 0.6 教师8 0.923077 0.923077 0.615385 0 0.384615 0.923077 1 0.769231 0.692308 教师9 1 0 0 0.055556 0.555556 0.555556 0.555556 0.5 0.444444 教师10 1 0 0.428571 0.333333 0.333333 0.52381 0.52381 0.142857 0.857143 教师11 0 0.411765 0.705882 0.882353 0.176471 1 0.647059 0.588235 0 教师12 0 0.4375 0.9375 0.4375 0.6875 1 0.3125 0.6875 0.5625 教师13 0.533333 0.8 0.266667 0.933333 1 0.666667 0 0.6 0.333333 教师14 1 0.5 0 0.5 0.454545 0.545455 0.181818 0.363636 0.090909 教师15 0.571429 0.714286 0.52381 0.52381 0.619048 1 0.142857 0 0.571429 教师16 0.473684 0.578947 1 0.368421 0.315789 0.368421 0.157895 0.263158 0 表3. 平均成绩的标准化 r j k = ∑ i = 1 m min ( b i j ， b i k ) ∑ i = 1 m max ( b i j ， b i k ) 计算得到相似关系矩阵如表4所列。 Step 3. 由平方法可求得传递闭包 R ^ = R 4 ，其结果如表5： Step 4. 分类结果。根据模糊等价关系矩阵 R ^ = ( r i j ) 9 × 9 。基于公式(7)，构造并计算 R ^ 的 λ 截矩阵。等价传递闭包矩阵中的元素按照从大到小排列，由1降为0， λ = { 1 ， 0 .6137 ， 0. 6051 ， 0 .5987 ， 0 .5914 ， 0 .5893，0 .5532 ， 0 .5362 ， 0 .4930 } ，写出 R λ ( j ， k ) ，按 R λ ( j ， k ) 进行分类， 元素i和j归为同一类的条件是 R λ ( j ， k ) = 1 ，   i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， 9 . 分类结果分析与聚类图如下(图1)： Table 4 Similar relation Matri 物电 信工 土木 食品 农业 生命 经管 数统 化工 物电 1 0.456428 0.285711 0.399714 0.475333 0.589268 0.495456 0.451496 0.583518 信工 0.456428 1 0.493013 0.510195 0.474011 0.536169 0.410317 0.474089 0.466645 土木 0.285711 0.493013 1 0.423429 0.270684 0.420732 0.300886 0.311713 0.365426 食品 0.399714 0.510195 0.423429 1 0.459248 0.553192 0.37477 0.389941 0.417331 农业 0.475333 0.474011 0.270684 0.459248 1 0.584289 0.489518 0.598652 0.561147 生命 0.589268 0.536169 0.420732 0.553192 0.584289 1 0.613706 0.591361 0.5709 经管 0.495456 0.410317 0.300886 0.37477 0.489518 0.613706 1 0.55691 0.605088 数统 0.451496 0.474089 0.311713 0.389941 0.598652 0.591361 0.55691 1 0.496829 化工 0.583518 0.466645 0.365426 0.417331 0.561147 0.5709 0.605088 0.496829 1 表4. 相似关系矩阵 Table 5 Transmit closure matri 1 0.536169 0.493013 0.553192 0.589268 0.589268 0.589268 0.589268 0.589268 0.536169 1 0.493013 0.536169 0.536169 0.536169 0.536169 0.536169 0.536169 0.493013 0.493013 1 0.493013 0.493013 0.493013 0.493013 0.493013 0.493013 0.553192 0.536169 0.493013 1 0.553192 0.553192 0.553192 0.553192 0.553192 0.589268 0.536169 0.493013 0.553192 1 0.591361 0.591361 0.598652 0.591361 0.589268 0.536169 0.493013 0.553192 0.591361 1 0.613706 0.591361 0.605088 0.589268 0.536169 0.493013 0.553192 0.591361 0.613706 1 0.591361 0.605088 0.589268 0.536169 0.493013 0.553192 0.598652 0.591361 0.591361 1 0.591361 0.589268 0.536169 0.493013 0.553192 0.591361 0.605088 0.605088 0.591361 1 表5. 传递闭包矩阵 图1. 分类图 1) 当 0.6137 < λ ≤ 1 时，将9个学院分为8类：{物电}，{信工}，{土木}，{食品}，{农业}，{生命，经管}，{数统}，{化工}。 2) 当 时，将9个学院分为7类：{物电}，{信工}，{土木}，{食品}，{农业}，{生命，经管，化工}，{数统}。 3) 当 0.5987 < λ ≤ 0.6051 时，将9个学院分为7类：{物电}，{信工}，{土木}，{食品}，{农业，数统}，{生命，经管，化工}。 4) 当 0.5914 < λ ≤ 0.5987 时，将9个学院分为7类：{物电}，{信工}，{土木}，{食品}，{农业，数统，生命，经管，化工}。 5) 当 0.5893 < λ ≤ 0.5914 时，将9个学院分为2类：{物电，信工，土木，食品}，{农业，数统，生命，经管，化工}。 6) 当 0.5532 < λ ≤ 0.5893 时，将9个学院分为2类：{信工，土木，食品}，{物电，农业，数统，生命，经管，化工}。 7) 当 0.5362 < λ ≤ 0.5532 时，将9个学院分为2类：{信工，土木}，{物电，食品，农业，数统，生命，经管，化工}。 8) 当 0.4930 < λ ≤ 0.5362 时，将9个学院分为2类：{土木}，{物电，信工，食品，农业，数统，生命，经管，化工}。