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user: 3. 主要结果及证明 下面给出主要定理。 定理1：设T为任一时标， a ， X ∈ T ， y ( x ) 为 [ a ， X ] T 上的右稠连续函数，且满足 y ( a ) = 0 ，则 ( p + q ) ∫ a X | y ( x ) | p | y Δ ( x ) | q Δ x ≤ q ( X − a ) p ∫ a X | y Δ ( x ) | p + q Δ x ， p ， q ≥ 1 。 (3) 证明：对任意的 x ∈ [ a ， X ] T ，定义 z ( x ) = ∫ a x | y Δ ( t ) | q Δ t ，则有 z Δ ( x ) = | y Δ ( x ) | q 。由于 | y σ ( x ) | = | − y σ ( x ) | = | y ( b ) − y σ ( x ) | = | ∫ σ ( x ) b y Δ ( t ) Δ t | ≤ ∫ σ ( x ) b | y Δ ( t ) | Δ t ， 对上式运用指标分别为 q q − 1 和q的Cauchy-Schwarz不等式，可以得到 | y ( x ) | ≤ ( ∫ a x Δ t ) q − 1 q ( ∫ a x | y Δ ( t ) | q Δ t ) 1 q ≤ ( X − a ) q − 1 q z 1 q ( x ) 。 注意到 z ( t ) 是单调递增的，利用其单调性， z ( t ) ≤ z ( X ) ， z ( t ) ≤ z σ ( t ) 。设 f = z ( p + q ) / q ， z = z ( t ) ，根据链式法则，有 ( f ∘ z ) Δ ( t ) = [ ∫ 0 1 f ′ ( z ( t ) + h μ ( t ) z Δ ( t ) ) d h ] z Δ ( t ) ， 注意到 μ ( t ) z Δ ( t ) = z σ ( t ) − z ( t ) ， q p + q ( f ∘ z ) Δ ( t ) = q p + q [ ∫ 0 1 f ′ ( z ( t ) + h μ ( t ) z Δ ( t ) ) d h ] z Δ ( t ) = q p + q [ ∫ 0 1 p + q q ( z ( t ) + h μ ( t ) z Δ ( t ) ) p q d h ] z Δ ( t ) = [ ∫ 0 1 ( z ( t ) + h [ z σ ( t ) − z ( t ) ] ) p q d h ] z Δ ( t ) ≥ z p q ( t ) z Δ ( t ) ∫ 0 1 ( 1 + h [ z σ ( t ) − z ( t ) z ( t ) ] ) p q d h ≥ z p q ( t ) z Δ ( t ) 。 对上式两边同时进行积分，并由 z ( a ) = 0 ，得 ∫ a X z p q ( x ) z Δ ( x ) Δ x ≤ q p + q ∫ a X ( f ∘ z ) Δ ( x ) Δ x = q p + q ( z ( x ) ) p + q q | a X = q p + q ( z ( X ) ) p + q q ， 由此可得 ( p + q ) ∫ a X | y ( x ) | p | y Δ ( x ) | q Δ x ≤ ( p + q ) ∫ a X ( X − a ) p ( q − 1 ) q z p q ( x ) z Δ ( x ) Δ x ≤ q ( X − a ) p ( q − 1 ) q ( z ( X ) ) p + q q ≤ q ( X − a ) p ∫ a X | y Δ ( x ) | p + q Δ x ， 故(3)式得证。 定理2：设T为任一时标， b ， X ∈ T ，， y ( x ) 为 [ X ， b ] T 上的右稠连续函数，且满足 y ( b ) = 0 ，则 ( p + q ) ∫ X b | y σ ( x ) | p | y Δ ( x ) | q Δ x ≤ q ( b − X ) p ∫ X b | y Δ ( x ) | p + q Δ x ， p ， q ≥ 1 。 (4) 证明：对任意的 x ∈ [ X ， b ] T ，定义 z ( x ) = − ∫ x b | y Δ ( t ) | q Δ t ，易知 z ( x ) 非减且 。由于 | y σ ( x ) | = | − y σ ( x ) | = | y ( b ) − y σ ( x ) | = | ∫ σ ( x ) b y Δ ( t ) Δ t | ≤ ∫ σ ( x ) b | y Δ ( t ) | Δ t ， 对上式运用指标分别为 q q − 1 和q的Cauchy-Schwarz不等式，可以得到 | y σ ( x ) | ≤ ( ∫ σ ( x ) b Δ t ) q − 1 q ( ∫ σ ( x ) b | y Δ ( t ) | q Δ t ) 1 q ≤ ( b − X ) q − 1 q ( − z σ ( x ) ) 1 q 。 进一步可得 ( p + q ) ∫ X b | y σ ( x ) | p | y Δ ( x ) | q Δ x ≤ ( p + q ) ∫ X b ( b − X ) p ( q − 1 ) q ( − z σ ( x ) ) p q z Δ ( x ) Δ x 。 由于 ( − ( − z ) p + q q ) Δ ( x ) = p + q q ( − z ) p q ( c ) z Δ ( x ) ， c ∈ ( x ， σ ( x ) ) ， 注意到 z ( x ) 为非减函数，可得 ( − ( − z ) p + q q ) Δ ( x ) = p + q q ( − z ) p q ( c ) z Δ ( x ) ≥ p + q q ( ( − z ) σ ( x ) ) p q z Δ ( x ) 。 (5) 由(5)式，可计算得 ( p + q ) ∫ X b | y σ ( x ) | p | y Δ ( x ) | q Δ x ≤ ( p + q ) ∫ X b ( b − X ) p ( q − 1 ) q ( − z σ ( x ) ) p q z Δ ( x ) Δ x ≤ q ( b − X ) p ( q − 1 ) q ( ∫ X b [ − ( − z ) p + q q ( x ) ] Δ Δ x ) ≤ q ( b − X ) p ( − z ) p + q q ( X ) = q ( b − X ) p ∫ X b | y Δ ( x ) | p + q Δ x ， 故(4)式得证。 定理3：设T为任一时标， a < b ∈ T ，且 a + b 2 ∈ T ， y ( x ) 为 [ a ， b ] T 上的右稠连续函数，且满足 y ( a ) = y ( b ) = 0 ，则 ( p + q ) ∫ a b | y ( x ) | p | y Δ ( x ) | q Δ x ≤ q ( b − a 2 ) p ∫ a b | y Δ ( x ) | p + q Δ x ， p ， q ≥ 1 。(6) 证明：因为 ( p + q ) ∫ a b | y ( x ) | p | y Δ ( x ) | q Δ x = ( p + q ) ∫ a a + b 2 | y ( x ) | p | y Δ ( x ) | q Δ x + ( p + q ) ∫ a + b 2 b | y ( x ) | p | y Δ ( x ) | q Δ x ≤ ( p + q ) ∫ a a + b 2 | y ( x ) | p | y Δ ( x ) | q Δ x + ( p + q ) ∫ a + b 2 b | y σ ( x ) | p | y ( x ) | q Δ x 。 (7) 令 X = a + b 2 ，分别运用定理1、定理2结论可知， ( p + q ) ∫ a a + b 2 | y ( x ) | p | y Δ ( x ) | q Δ x ≤ q ( b − a 2 ) p ∫ a a + b 2 | y Δ ( x ) | p + q Δ x ， ( p + q ) ∫ a + b 2 b | y σ ( x ) | p | y Δ ( x ) | q Δ x ≤ q ( b − a 2 ) p ∫ a + b 2 b | y Δ ( x ) | p + q Δ x ， 将上面两不等式代入(5)式可得(6)，定理得证。