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user: 3. 准备工作 首先，为叙述并证明主要结果，在此给出系统(3)的一些假设和符号说明。系统(3)的基本假设为： (A 1 ) 函数 λ ( ⋅ ) ， μ ( ⋅ ) ， b ( ⋅ ) ， k 1 ( ⋅ ) ， k 2 ( ⋅ ) ， n ( ⋅ ) ， d j ( ⋅ ) ， d ( ⋅ ) 为 ( 0 ， + ∞ ) 上的正的有界函数且连续； (A 2 ) 若函数 g ( t ) 为 [ 0 ， + ∞ ) 上的连续有界函数，则 g ∞ = lim t → ∞ inf g ( t ) ， g ∞ = lim t → ∞ sup g ( t ) . (A 3 ) 存在正的常数 ω 1 ， ω 2 > 0 ，使得 lim t → ∞ inf ∫ t t + ω 1 λ ( s ) d s > 0 ， lim t → ∞ inf ∫ t t + ω 2 μ ( s ) d s > 0 (A 4 ) 对于所有 t ≥ 0 来说，都有 d j ( t ) > d ( t ) 。 系统(3)的初值条件为： { x ( θ ) = ϕ 1 ( θ ) ， y ( θ ) = ϕ 2 ( θ ) ， y j ( θ ) = ϕ 3 ( θ ) ， − τ ≤ θ ≤ 0 ， ϕ i ( 0 ) > 0 ， i = 1 ， 2 ， 3. (4) 其中对所有的 θ ∈ [ − τ ， 0 ] ，有 ϕ ( θ ) = ( ϕ 1 ( θ ) ， ϕ 2 ( θ ) ， ϕ 3 ( θ ) ) T 使得 ϕ i ( θ ) ≥ 0 ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 且C表示从 [ − τ ， 0 ] 到R 3 上的连续映射的全体构成的Banach空间 C ( [ − τ ， θ ] ， R 3 ) 元素 ϕ 在C上的范数为： ‖ ϕ ‖ = max − τ ≤ θ ≤ 0 { | ϕ 1 ( θ ) | ， | ϕ 2 ( θ ) | ， | ϕ 3 ( θ ) | } . 其次为得到系统(3)的持久性与灭绝性的充分条件，在此给出相关的定义和引理。 定义3.1：系统(3)称为是持续的，若存在正的常数 q ， q ˜ i 及 L ， L ˜ ( i = 1 ， 2 ) 使得 { q ≤ lim t → + ∞ inf x ( t ) ≤ lim t → + ∞ sup x ( t ) ≤ L ， q ˜ 1 ≤ lim t → + ∞ inf y ( t ) ≤ lim t → + ∞ sup y ( t ) ≤ L ˜ 1 ， q ˜ 2 ≤ lim t → + ∞ inf y j ( t ) ≤ lim t → + ∞ sup y j ( t ) ≤ L ˜ 2 . 对系统(3)具有初值条件(4)的任意解 ( x ( t ) ， y ( t ) ， y j ( t ) ) 均成立，且 q ， q ˜ i 及 L ， L ˜ ( i = 1 ， 2 ) 不依赖于初值条件(4)。 引理1 [ 23 ] ：考虑下面非自治线性系统 z ′ ( t ) = λ ( t ) − μ ( t ) z ( t ) (5) 假设(A 1 )与(A 2 )成立，则 1) 方程(5)具有初值 z ( 0 ) > 0 任意解的最终极限 z * ( t ) 在 R + 内有界且全局一致吸引； 2) 存在常数m使得 m ≤ lim t → + ∞ inf z ( t ) ≤ lim t → + ∞ sup z ( t ) ≤ M ； 3) 若方程(5)是ω-周期的，则方程(5)存在唯一非负ω的周期解且全局一致吸引； 4) 对任意的 t ≥ 0 ， μ ( t ) > 0 ，若 0 < lim t → ∞ inf λ ( t ) μ ( t ) ≤ lim t → ∞ sup λ ( t ) μ ( t ) < ∞ 则方程(5)具有初值 z ( 0 ) > 0 的任意解 z ( t ) 满足： ( λ μ ) ∞ < lim t → + ∞ inf z ( t ) ≤ lim t → + ∞ sup z ( t ) < ( λ μ ) ∞ 其中 ( λ μ ) ∞ = lim t → ∞ inf λ ( t ) μ ( t ) ，   ( λ μ ) ∞ = lim t → ∞ sup λ ( t ) μ (t) 模型解的正性和有界性 命题1：对任意 t ≥ 0 ，系统(3)具有初值(4)的任意解 ( x ( t ) ， y ( t ) ， y j ( t ) ) 均是正的有界函数。 证明：由于系统(3)的右端是全连续的，因此系统(3)具有初值(4)的任意解 ( x ( t ) ， y ( t ) ， y j ( t ) ) 是存在且唯一的。 再由系统(3)可得： x ( t ) = x ( 0 ) e − ∫ 0 t [ μ ( s ) + n ( s ) y ( s ) 1 + k 1 ( s ) x ( s ) + k 2 ( s ) y ( s ) ] d s + ∫ 0 t λ ( s ) e ∫ t s ( μ ( θ ) + n ( θ ) y ( θ ) 1 + k 1 ( θ ) x ( θ ) + k 2 ( θ ) y ( θ ) ) d s y ( t ) ≥ y ( 0 ) e − ∫ 0 t d ( s ) d s y j ( t ) = ∫ t − τ t n ( s ) b ( s ) x ( s ) y ( s ) e − ∫ s t d j ( u ) d u 1 + k 1 ( s ) x ( s ) + k 2 ( s ) y ( s ) d s = ∫ t − τ 0 n ( s ) b ( s ) x ( s ) y ( s ) e − ∫ s t d j ( u ) d u 1 + k 1 ( s ) x ( s ) + k 2 ( s ) y ( s ) d s + ∫ 0 t n ( s ) b ( s ) x ( s ) y ( s ) e − ∫ s t d j ( u ) d u 1 + k 1 ( s ) x ( s ) + k 2 ( s ) y ( s ) d s (6) 若 x ( 0 ) > 0 则对任意的 t ≥ 0 总有 x ( t ) > 0 ，显然对任意的 t ∈ [ 0 ， τ ] ， y ( t ) > 0 又 y j ( t ) 对任意的 t ∈ [ θ ， τ ] 有 y j ( t ) > 0 。从而得到了 x ( t ) ， y ( t ) ， y j ( t ) 在 [ − τ ， τ ] 上的正性。因此当 x ( 0 ) ， y ( 0 ) > 0 ， y j ( 0 ) > 0 时，对于任意的 t ≥ 0 ，总有 x ( t ) > 0 ， y ( t ) > 0 ， y j ( t ) > 0 。 最后证明对于任意的 t ≥ 0 ， x ( t ) > 0 ， y ( t ) > 0 ， y j ( t ) > 0 有界。 令： η ( t ) = x ( t ) + y ( t ) + y j (t) 计算 η ( t ) 沿系统(3)轨线的导数，可得： η ′ ( t ) = λ ( t ) − b ( t ) x ( t ) y ( t ) 1 + k 1 ( t ) x ( t ) + k 2 ( t ) y ( t ) + n ( t ) b ( t ) x ( t ) y ( t ) 1 + k 1 ( t ) x ( t ) + k 2 ( t ) y ( t )     − d ( t ) y ( t ) − d j ( t ) y j ( t ) − μ ( t ) x ( t ) ≤ λ ∞ ( n ∞ b ∞ K 2 ∞ − μ ∞ ) x ( t ) − d j ∞ y j ( t ) − d ∞ y ( t ) (7) 令 β = min { d j ∞ ， d ∞ } ，由(7)式可得： η ′ ( t ) + η ( t ) ≤ λ ∞ + β x ( t ) + ( n ∞ b ∞ K 2 ∞ − μ ∞ ) x (t) 由系统(3)的第一个方程，当 t ≥ 0 时，可得 x ′ ( t ) ≤ λ ( t ) − μ ( t ) x ( t ) ≤ λ ∞ − μ ∞ x ( t ) 。 应用文献 [ 22 ] 中的结论以及比较原理，可得存在 T 1 > 0 ，当 t ≥ T 1 时有： lim t → + ∞ sup x ( t ) ≤ λ ∞ μ ∞ . (8) 进而 η ′ ( t ) + β η ( t ) ≤ λ ∞ + ( β + n ∞ b ∞ K 2 ∞ − μ ∞ ) ⋅ λ ∞ μ ∞ : = M (9) 故存在 T 2 ≥ T ，当 t ≥ T 2 时，有 lim t → + ∞ sup η ( t ) < M β : = L ¯ (10) 因此， x ( t ) ， y ( t ) 是一致有界的，运用(6)式可得 y j ( t ) 也是一致有界的。故命题1得证。 由命题1的证明过程可知，对任意的 t ≥ 0 ，系统(3)具有初值条件(4)的任意解 ( x ( t ) ， y ( t ) ， y j ( t ) ) 均是正的有界函数，从而紧集 Ω : = { ( x ( t ) ， y ( t ) ， y j ( t ) ) | ( x ( t ) ， y ( t ) ， y j ( t ) ) ∈ [ 0 ， L ¯ ] × [ 0 ， L ¯ ] × [ 0 ， L ¯ ] } 是正不变的且在 R + 3 中的正轨道为一致吸引的。