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user: 3. 一些数值级数 3.1. 数值级数 在定理公式(1)~(20)，令 x = 1 / 2 = 2 / 2 ， arcsin x = π 4 ， B = 2 32 π 2 则分母为奇偶性不定线性因子乘积的二项式系数级数连带奇数倒数平方和数值恒等式 1) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 3 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( ∑ j = 1 m 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = − 2 16 π 2 + 1 ； 2) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 3 m ( m ! ) 2 ( m + 2 ) ( ∑ j = 1 m + 1 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = − 2 16 π 2 + 14 9 ； 3) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 3 m ( m ! ) 2 ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m + 2 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = − 43 2 240 π 2 + 1729 675 ； 4) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 3 m ( m ! ) 2 ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = − 177 2 560 π 2 + 49408 11025 ； 5) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 3 m ( m ! ) 2 ( m + 5 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = − 2867 2 5040 π 2 + 1323008 165375 ； 6) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 3 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( ∑ j = 1 m + 1 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 5 2 48 π 2 − 5 9 ； 7) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 3 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m + 2 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 7 2 120 π 2 − 1069 1350 ； 8) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 3 m ( m ! ) 2 ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m + 2 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 3 2 40 π 2 − 694 675 ； 9) ； 10) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 3 m ( m ! ) 2 ( m + 2 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 73 2 840 π 2 − 16229 11025 ； 11) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 3 m ( m ! ) 2 ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 23 2 168 π 2 − 62768 33075 ； 12) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 3 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m + 2 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = − 2 60 π 2 + 319 1350 ； 13) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 3 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = − 3 2 140 π 2 + 722324 33075 ； 14) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 3 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = − 11 2 420 π 2 + 4877 13230 ； 15) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 3 m ( m ! ) 2 ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = − 13 2 240 π 2 + 44621 33075 ； 16) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 3 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 2 210 π 2 − 1459 22050 ； 17) ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 3 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 4 ) ( m + 5 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 13 2 1890 π 2 − 587439 5953500 ； 18) ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 3 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( m + 5 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 2 126 π 2 − 146123 1323000 ； 19) ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 3 m ( m ! ) 2 ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( m + 5 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 17 2 1890 π 2 − 62119 496125 ； 20) ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 3 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( m + 5 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = − 2 945 π 2 + 8369 567000 。 3.2. 数值级数 在公式(1)~(20)，令 x = 1 ， arcsin x = π 2 ；计算公式中的项 ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a t b t ) B = 0 ， 因为 ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a t b t ) = 0 ，而 B = π 2 / 8 1 − x 2 → ∞ ， ( x → 1 ) 这时定理计算公式(1)~(20)中， ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a t b t ) 与B相乘的项的均为0 则分母为奇偶性不定线性因子乘积的二项式系数级数连带奇数倒数平方和数值恒等式 1) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( ∑ j = 1 m 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 1 2) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 2 ) ( ∑ j = 1 m + 1 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 8 9 ； 3) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m + 2 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 544 675 ； 4) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 8192 11025 ； 5) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 5 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 16384 23625 ； 6) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( ∑ j = 1 m + 1 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 1 9 ； 7) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m + 2 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 131 1350 ； 8) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m + 2 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 56 675 ； 9) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 2833 33075 ； 10) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 2 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 268 3675 ； 11) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 416 6615 ； 12) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m + 2 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 19 1350 ； 13) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 178501 33075 ； 14) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 251 22050 ； 15) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 332 33075 ； 16) ∑ m = 1 ∞ 2 m ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 89 66150 ； 17) ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 4 ) ( m + 5 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 780701 5953500 ； 18) ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( m + 5 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 13 147000 ； 19) ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( m + 5 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 556 496125 ； 20) ∑ m = 1 ∞ ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( m + 4 ) ( m + 5 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 223 3969000 。 3.3. 数值级数 在推论公式(1)~(5)令 x = 1 ， b = − 2 4 ln 2 ( 1 + 2 ) 则交错的分母为奇偶性不定因子乘积二项式系数级数连带奇数倒数平方和数值恒等式 1) ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 1 ) ( ∑ j = 1 m 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = − 2 ln 2 ( 1 + 2 ) + 1 ； 2) ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 2 ) ( ∑ j = 1 m + 1 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 3 2 ln 2 ( 1 + 2 ) − 4 9 ； 3) ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 3 ) ( ∑ j = 1 m + 2 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = − 7 15 2 ln 2 ( 1 + 2 ) + 304 675 ； 4) ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 4 ) ( ∑ j = 1 m + 3 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = 9 35 2 ln 2 ( 1 + 2 ) − 736 2205 ； 5) ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m ( 2 m ) ! 2 2 m ( m ! ) 2 ( m + 5 ) ( ∑ j = 1 m + 4 1 ( 2 j − 1 ) 2 ) = − 107 315 2 ln 2 ( 1 + 2 ) + 18176 55125 。