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user: 3. 主要结果 据Momihara Koji在文献 [ 7 ] 中论述到，Galois环 GR ( 2 2 ， 2 2 s ) 中， Tr ¯ 是 F 2 s 到 F 2 的迹映射，我们可以找到一组对应关系 g 从 F 2 s / F 2 映射到 F 2 s * 的差集，当 Tr ¯ ( γ ) = 1 (其中 γ ∈ F 2 s )，可得到 { x : Tr ¯ ( x ) = 1 ， x ∈ F 2 s * } = { β 2 + β + γ : β ∈ F 2 s } 。 D = { x − 1 : Tr ¯ ( x ) = 1 ， x ∈ F 2 s } 为 F 2 s * 差集，双射 g : F 2 s / F 2 → D ， f = g − 1 ，则有 g ( β + F 2 ) = ( β 2 + β + γ ) − 1 。 下面定义两个映射 σ 1 ， σ 2 ，根据p为2时Galois环 GR ( 2 2 ， 2 2 s ) 的元素性质可定义： σ 1 ( γ i ) = ξ i ， σ 2 ( γ i + F 2 ) = 2 ( ξ i + T 2 ) ，由此发现 σ 1 : F 2 s * → T 2 s * ， σ 2 : F 2 s / F 2 → I 2 s / I 2 ，f为从 F 2 s * 差集D到 F 2 s / F 2 的映射，若X为 T 2 s ∗ 差集， Y = I 2 s / I 2 ，可诱导出双射 h : X → Y . P = p ∗ T 2 ∗ = { 2 } 。 引理1 [ 7 ]. 若h为X到 I 2 s / I 2 的一组双射， D i = ξ i ( P ∪ ( ∪ x ∈ X x ( 1 + h ( x ) ) ) ) ，(其中 0 ≤ i ≤ 2 s − 2 )， { D 0 ， D 1 ， ⋯ ， D 2 s − 2 } 是 ( GR ( 2 2 ， 2 2 s ) ， + ) 中参数为 { 2 2 s ， { 2 s + 1 ， 2 s + 1 ， ⋯ ， 2 s + 1 } ， 2 s ， 2 2 s − 1 } 的差族。 定理1. GR ( 2 2 ， 2 2 s ) 中指数s为偶数时，令 D i = ξ i ( P ∪ ( ∪ x ∈ X x ( 1 + h ( x ) ) ) ) ，(其中 0 ≤ i ≤ 2 s − 2 )， D ˜ 0 = D 0 ∪ { a } ， Δ ( D ˜ 0 ) = { x − y : x ∈ D ˜ 0 ， y ∈ D ˜ 0 ， x ≠ y } 。若不存在 x ∈ D 0 ， y ∈ D 0 满足方程 x + y = 2 a ，则 { D ˜ 0 ， D 1 ， ⋯ ， D 2 s − 2 } 是参数为 { v ， { k 1 ， k 2 ， ⋯ ， k m } ， λ ， t } = { 2 2 s ， { 2 s + 2 ， 2 s + 1 ， ⋯ ， 2 s + 1 } ， 2 s ， 2 2 s − 2 s + 1 − 3 } 的 GR ( 2 2 ， 2 2 s ) 几乎差族，其中 { 2 s + 2 ， 2 s + 1 ， ⋯ ， 2 s + 1 } 元素个数 m = 2 s − 1 。 证明 易知 Δ ( D ˜ 0 ) = Δ ( D 0 ) ∪ ( a − D 0 ) ∪ ( D 0 − a ) 。由假设知不存在 x ∈ D 0 ， y ∈ D 0 满足方程 a − x = y − a ，从而 ( a − D 0 ) ∩ ( D 0 − a ) = ϕ 。同时集合 a − D 0 中没有重复元素，集合 D 0 − a 中亦没有重复元素，故 ( a − D 0 ) ∪ ( D 0 − a ) 中元素仅出现一次。根据引理1知 { D 0 ， D 1 ， ⋯ ， D 2 s − 2 } 是 GR ( 2 2 ， 2 2 s ) 上参数为 { 2 2 s ， { 2 s + 1 ， 2 s + 1 ， ⋯ ， 2 s + 1 } ， 2 s ， 2 2 s − 1 } 的差族。从而 { D ˜ 0 ， D 1 ， ⋯ ， D 2 s − 2 } 是参数为 { 2 2 s ， { 2 s + 2 ， 2 s + 1 ， ⋯ ， 2 s + 1 } ， 2 s ， 2 2 s − 2 s + 1 − 3 } 的几乎差族。 例1. 当 s = 2 ，   a = 1 时，设环 R 1 = GR ( 2 2 ， 2 4 ) = Z 4 [ x ] / ( g 1 ( x ) ) = Z 4 [ ξ ] ，其中 g 1 ( x ) = x 2 + x + 1 ， ξ 为 g 1 ( x ) 在R 1 中的根， ξ 2 = 3 + 3 ξ ，环 R 1 的单位群 R 1 * = T 2 2 * × ( 1 + 2 T 2 2 ) ，其中 T 2 2 * = { 1 ， ξ ， ξ 2 } ， T 2 2 = T 2 2 * ∪ { 0 } ， P = { 2 } ，构造 D i = ξ i ( P ∪ ( ∪ x ∈ X x ( 1 + h ( x ) ) ) ) ，(其中 0 ≤ i ≤ 2 s − 2 )， D ˜ 0 = D 0 ∪ { 1 } 结果(见表1)： Table 1 Elements of almost difference familyon R i D i = ξ i ( P ∪ ( ∪ x ∈ X x ( 1 + h ( x ) ) ) ) ， D ˜ 0 = D 0 ∪ { 1 } 0 D ˜ 0 = { 1 ， 2 ， 3 ξ 2 ， 5 ξ 2 ， ξ ( 1 + 2 ξ ) ， ξ ( 3 + 2 ξ ) } 1 D 1 = { 2 ξ ， 3 ξ 3 ， 5 ξ 3 ， ξ 2 ( 1 + 2 ξ ) ， ξ 2 ( 3 + 2 ξ ) } 2 D 2 = { 2 ξ 2 ， 3 ξ 4 ， 5 ξ 4 ， ξ 3 ( 1 + 2 ξ ) ， ξ 3 ( 3 + 2 ξ ) } 表1. R 1 中几乎差族元素 计算 ( D ˜ 0 − D ˜ 0 ) ∪ ( D 1 − D 1 ) ∪ ( D 2 − D 2 ) 结果，将元素及其出现次数用有序数对表示如下： {0， 16}， {3， 5}， {3ξ， 5}， {2 + ξ， 5}， {3 + ξ， 5}， {3 + 3ξ， 5}， {1， 5}， {1 + 3ξ， 5}， {ξ， 5}， {2 + 2ξ， 4}， {3 + 2ξ， 4}， {2 + 3ξ， 5}， {1 + 2ξ， 4}， {2ξ， 4}， {1 + ξ， 5}， {2， 4}。将数对中元素重复出现的次数进行计数为：{16， 1}， {5， 10}， {4， 5}。 可以发现在 GR ( 2 2 ， 2 4 ) 中5个非零元素重复出现4次，10个非零元素重复出现了5次，则 { D ˜ 0 ， D 1 ， D 2 } 可构成Galois环上参数为 { 16 ， { 6 ， 5 ， 5 } ， 4 ， 5 } 的几乎差族。 例2. 当 s = 4 ，   a = 1 时，设环 R 2 = GR ( 2 2 ， 2 8 ) = Z 4 [ x ] / ( g 2 ( x ) ) = Z 4 [ ξ ] ，其中 g 2 ( x ) = x 4 + 2 x 2 + 3 x + 1 ，环 R 2 的单位群 R 2 * = T 2 4 * × ( 1 + 2 T 2 4 ) ，其中 T 2 4 * = { 1 ， ξ ， ξ 2 ， ξ 3 ， ξ 4 ， ξ 5 ， ξ 6 ， ξ 7 ， ξ 8 ， ξ 9 ， ξ 10 ， ξ 11 ， ξ 12 ， ξ 13 ， ξ 14 } ， T 2 4 = T 2 4 * ∪ { 0 } ， P = { 2 } 。构造 D i = ξ i ( P ∪ ( ∪ x ∈ X x ( 1 + h ( x ) ) ) ) ，(其中 0 ≤ i ≤ 2 s − 2 )， D ˜ 0 = D 0 ∪ { 1 } ，部分结果如下： D ˜ 0 = { 1 ， 2 ， 3 ξ 12 ， 5 ξ 12 ， ξ 4 ( 1 + 2 ξ ) ， ξ 4 ( 3 + 2 ξ ) ， ξ 3 ( 1 + 2 ξ 2 ) ， ξ 3 ( 3 + 2 ξ 2 ) ， ξ 9 ( 1 + 2 ξ 3 ) ， ξ 9 ( 3 + 2 ξ 3 ) ， ξ ( 1 + 2 ξ 5 ) ， ξ ( 3 + 2 ξ 5 ) ， ξ 8 ( 1 + 2 ξ 6 ) ， ξ 8 ( 3 + 2 ξ 6 ) ， ξ 6 ( 1 + 2 ξ 7 ) ， ξ 6 ( 3 + 2 ξ 7 ) ， ξ 2 ( 1 + 2 ξ 11 ) ， ξ 2 ( 3 + 2 ξ 11 ) } ， D 1 = { 2 ξ ， 3 ξ 13 ， 5 ξ 13 ， ξ 5 ( 1 + 2 ξ ) ， ξ 5 ( 3 + 2 ξ ) ， ξ 4 ( 1 + 2 ξ 2 ) ， ξ 4 ( 3 + 2 ξ 2 ) ， ξ 10 ( 1 + 2 ξ 3 ) ， ξ 10 ( 3 + 2 ξ 3 ) ， ξ 2 ( 1 + 2 ξ 5 ) ，                 ξ 2 ( 3 + 2 ξ 5 ) ， ξ 9 ( 1 + 2 ξ 6 ) ， ξ 9 ( 3 + 2 ξ 6 ) ， ξ 7 ( 1 + 2 ξ 7 ) ， ξ 7 ( 3 + 2 ξ 7 ) ， ξ 3 ( 1 + 2 ξ 11 ) ， ξ 3 ( 3 + 2 ξ 11 ) } ， ⋮ D 14 = { 2 ξ 14 ， 3 ξ 26 ， 5 ξ 26 ， ξ 18 ( 1 + 2 ξ ) ， ξ 18 ( 3 + 2 ξ ) ， ξ 17 ( 1 + 2 ξ 2 ) ， ξ 17 ( 3 + 2 ξ 2 ) ， ξ 23 ( 1 + 2 ξ 3 ) ，                   ξ 23 ( 3 + 2 ξ 3 ) ， ξ 15 ( 1 + 2 ξ 5 ) ， ξ 15 ( 3 + 2 ξ 5 ) ， ξ 22 ( 1 + 2 ξ 6 ) ， ξ 22 ( 3 + 2 ξ 6 ) ， ξ 20 ( 1 + 2 ξ 7 ) ，                   ξ 20 ( 3 + 2 ξ 7 ) ， ξ 16 ( 1 + 2 ξ 11 ) ， ξ 16 ( 3 + 2 ξ 11 ) } . 计算 ( D ˜ 0 − D ˜ 0 ) ∪ ( ∪ i = 1 14 ( D i − D i ) ) 结果可得到元素及其出现的次数，从中挑选出现相同次数的元素个数，记为有序数对： { 256 ， 1 } ， { 17 ， 34 } ， { 16 ， 221 } ，可以发现在 GR ( 2 2 ， 2 8 ) 中有221个非零元素重复出现16次，34个非零元素重复17次，构成参数为 { 256 ， { 18 ， 17 ， 17 ， 17 ， 17 ， 17 ， 17 ， 17 ， 17 ， 17 ， 17 ， 17 ， 17 ， 17 ， 17 } ， 16 ， 221 } 的几乎差族。 经数值实验，当参数s取6， 8， 10等偶数时，仍然正确。我们给出如下猜测： 当 GR ( 2 2 ， 2 2 s ) 中指数s为偶数时，令 D i = ξ i ( P ∪ ( ∪ x ∈ X x ( 1 + h ( x ) ) ) ) ，(其中 0 ≤ i ≤ 2 s − 2 )， D ˜ 0 = D 0 ∪ { 1 } ，则 { D ˜ 0 ， D 1 ， ⋯ ， D 2 s − 2 } 是 GR ( 2 2 ， 2 2 s ) 中参数为 { 2 2 s ， { 2 s + 2 ， 2 s + 1 ， ⋯ ， 2 s + 1 } ， 2 s ， 2 2 s − 2 s + 1 − 3 } 的几乎差族，其中 { 2 s + 2 ， 2 s + 1 ， ⋯ ， 2 s + 1 } 元素个数共 2 s − 1 个。