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user: 2. 证明垂心四面体的线(棱)角、面角的正弦和余弦定理及其公式 2.1. 符号约定 2.1.1. 设正交4球半径、2球心间距、3球心所围2倍的面积、4球心所围6倍的体积 · 设正交4球球心为A，B，C，D半径依次为a，b，c，d； · 设正交4球球心间6连线长度为： | A B | = a 2 + b 2 ，     | A C | = a 2 + c 2 ，     | A D | = a 2 + d 2 ， | B C | = b 2 + c 2 ，     | B D | = b 2 + d 2 ，     | C D | = c 2 + d 2 · 设正交4球球心间4个面的2倍面积为： s 1 = b 2 c 2 + b 2 d 2 + c 2 d 2 ，     s 2 = a 2 c 2 + a 2 d 2 + c 2 d 2 ， s 3 = a 2 b 2 + a 2 d 2 + b 2 d 2 ，     s 4 = a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 下标：1，2，3，4依次为球心A，B，C，D的对平面，见(图1)。 · 设正交4球球心所围体积的6倍为： v = a 2 b 2 c 2 + a 2 b 2 d 2 + a 2 c 2 d 2 + b 2 c 2 d 2 2.1.2. 设正交4球6棱间12个线(棱)角符号 设：以正交4球心A，B，C，D的对平面依次为1，2，3，4平面。正交4球6棱间12个线角符号，线角所设见(图1)，且根据余弦公式得出余弦值以及1减余弦值的平方等于正弦值的平方。它们的代数值为： 图1. 垂心四面体线角、面角符号示意图 · 设交于球心A点的3个线角为： A 2 = ∠ C A D ⇒ cos A 2 = a 2 | A C | | A D | ⇒ sin A 2 = s 2 | A C | | A D | (1) (上述所设公式(1)代数值说明： cos A 2 = a 2 | A C | | A D | ， sin A 2 = s 2 | A C | | A D | cos A 2 = cos ∠ C A D = | A C | 2 + | A D | 2 − | C D | 2 2 | A C | | A D | = a 2 + c 2 + a 2 + d 2 − ( c 2 + d 2 ) 2 | A C | | A D | = a 2 | A C | | A D | sin 2 A 2 = 1 − cos 2 A 2 = 1 − ( a 2 | A C | | A D | ) 2 = ( s 2 | A C | | A D | ) 2 ⟹ 两边开方 sin A 2 = s 2 | A C | | A D | ) 同理可得以下正弦余弦代数值公式。 A 3 = ∠ B A D ⇒ cos A 3 = a 2 | A B | | A D | ⇒ sin A 3 = s 3 | A B | | A D | A 4 = ∠ B A C ⇒ cos A 4 = a 2 | A B | | A C | ⇒ sin A 4 = s 4 | A B | | A C | · 设交于球心B点的3个线角为： B 1 = ∠ C B D ⇒ cos B 1 = b 2 | B C | | B D | ⇒ sin B 1 = s 1 | B C | | B D | (2) B 3 = ∠ A B D ⇒ cos B 3 = b 2 | A B | | B D | ⇒ sin B 3 = s 3 | A B | | B D | B 4 = ∠ A B C ⇒ cos B 4 = b 2 | A B | | B C | ⇒ sin B 4 = s 4 | A B | | B C | · 设交于球心C点的3个线角为： C 1 = ∠ B C D ⇒ cos C 1 = c 2 | B C | | C D | ⇒ sin C 1 = s 1 | B C | | C D | (3) C 2 = ∠ A C D ⇒ cos C 2 = c 2 | A C | | C D | ⇒ sin C 2 = s 2 | A C | | C D | C 4 = ∠ A C B ⇒ cos C 4 = c 2 | A C | | C B | ⇒ sin C 4 = s 4 | A C | | C B | · 设交于球心D点的3个线角为： D 1 = ∠ B D C ⇒ cos D 1 = d 2 | B D | | C D | ⇒ sin D 1 = s 1 | B D | | C D | (4) D 2 = ∠ A D C ⇒ cos D 2 = d 2 | A D | | C D | ⇒ sin D 2 = s 2 | A D | | C D | D 3 = ∠ A D B ⇒ cos D 3 = d 2 | A D | | B D | ⇒ sin D 3 = s 3 | A D | | B D | 2.1.3. 设正交4球4面间6个面角符号 设：正交4球心A，B，C，D的对平面依次为1，2，3，4平面。4面间交于各棱的6个面角符号，见(图1)，且根据余弦公式得出面角余弦以及1减余弦值的平方等于面角正弦值的平方。它们的代数值为： · 设交于CD棱的面角为： H C D 点见(图2) α 12 = ∠ A H C D B ⇒ cos α 12 = c 2 d 2 s 1 s 2 ⇒ sin α 12 = | C D | v s 1 s 2 (5) (上述所设公式(5)说明： cos α 12 = c 2 d 2 s 1 s 2 ， sin α 12 = | C D | v s 1 s 2 cos α 12 = cos ∠ A H C D B = | A H C D | 2 + | B H C D | 2 − | A B | 2 2 | A H C D | | B H C D | = a 2 + r H C D 2 + b 2 + r H C D 2 − ( a 2 + b 2 ) 2 | A H C D | | B H C D | = r H C D 2 | A H C D | | B H C D | = r H C D 2 ( a 2 + r H C D 2 ) ( a 2 + r H C D 2 ) = c 2 d 2 c 2 + d 2 ( a 2 + c 2 d 2 c 2 + d 2 ) ( a 2 + c 2 d 2 c 2 + d 2 ) = c 2 d 2 b 2 c 2 + b 2 d 2 + c 2 d 2 a 2 c 2 + a 2 d 2 + c 2 d 2 = c 2 d 2 s 1 s 2 sin 2 α 12 = 1 − cos 2 α 12 = 1 − ( c 2 d 2 s 1 s 2 ) 2 = ( c 2 + d 2 ) v 2 ( b 2 c 2 + b 2 d 2 + c 2 d 2 ) ( a 2 c 2 + a 2 d 2 + c 2 d 2 ) = ( c 2 + d 2 ) v 2 s 1 2 s 2 2 ⟹ 2边开方 sin α 12 = | C D | v s 1 s 2 ) 图2. 点、线、面3态垂心坐标符号展开图 同理可得以下正弦余弦代数值公式。 · 设交于BD棱的面角为： α 13 = ∠ A H B D C ⇒ cos α 13 = b 2 d 2 s 1 s 3 ⇒ sin α 13 = | B D | v s 1 s 3 (6) · 设交于BC棱的面角为： α 14 = ∠ A H B C D ⇒ cos α 14 = b 2 c 2 s 1 s 4 ⇒ sin α 14 = | B C | v s 1 s 4 (7) · 设交于AD棱的面角为： α 23 = ∠ B H A D C ⇒ cos α 23 = a 2 d 2 s 2 s 3 ⇒ sin α 23 = | A D | v s 2 s 3 (8) · 设交于AC棱的面角为： α 24 = ∠ B H A C D ⇒ cos α 24 = a 2 c 2 s 2 s 4 ⇒ sin α 24 = | A C | v s 2 s 4 (9) · 设交于AB棱的面角为： α 34 = ∠ C H A B D ⇒ cos α 34 = a 2 b 2 s 3 s 4 ⇒ sin α 34 = | A B | v s 3 s 4 (10) 2.2. 线角的正弦定理、外积正弦定理 [ 5 ] 、1面3线角积正弦定理 根据上述线角的正弦和余弦的代数值，可得各4组的正弦定理和余弦定理为： 2.2.1. 4组相等的线角正弦定理为 定义：垂心四面体，每面的3棱分别与其对角正弦的商相等于该面3球心外接圆的直径。其代数值等于该面3棱的积与其所围面积的2倍之商。为线角正弦定理。公式为： | C D | sin B 1 = | B D | sin C 1 = | B C | sin D 1 = 2 R B C D = | B C | | B D | | C D | s 1 (11) | C D | sin A 2 = | A D | sin C 2 = | A C | sin D 2 = 2 R A C D = | C D | | A C | | A D | s 2 (12) | B D | sin A 3 = | A D | sin B 3 = | A B | sin D 3 = 2 R A B D = | A B | | A D | | B D | s 3 (13) | B C | sin A 4 = | A C | sin B 4 = | A B | sin C 4 = 2 R A B C = | A B | | A C | | B C | s 4 (14) 上述 R B C D ， R A C D ， R A B D ， R A B C 为下标球心外接圆半径。 2.2.2. 4组相等的线角外积正弦定理 定义：4球正交的4球心的对平面，每面2倍的面积等于该面任意2棱与其夹角正弦的积，为线角外积正弦定理。公式如下： A球心对平面的3个线角： s 1 = | B C | | B D | sin B 1 = | B C | | C D | sin C 1 = | B D | | C D | sin D 1 B球心对平面的3个线角： s 2 = | A C | | A D | sin A 2 = | A C | | C D | sin C 2 = | A D | | C D | sin D 2 C球心对平面的3个线角： s 3 = | A B | | A D | sin A 3 = | A B | | B D | sin B 3 = | A D | | B D | sin D 3 D球心对平面的3个线角： s 4 = | A B | | A C | sin A 4 = | A B | | B C | sin B 4 = | A C | | B C | sin C 4 (15) 2.2.3. 8组相等的1面3线角积正弦定理 定义：4球心与其对平面间的3左角或3右角正弦与对平面2倍之积的8组相等为4面积2倍的积与6棱积之商的正弦定理为：公式如下： s 1 sin B 4 sin C 2 sin D 3 = s 1 sin B 3 sin C 4 sin D 2 = s 2 sin A 4 sin C 1 sin D 3 = s 2 sin A 3 sin C 4 sin D 1 = s 3 sin A 4 sin B 1 sin D 2 = s 3 sin A 2 sin B 4 sin D 1 = s 4 sin A 2 sin B 3 sin C 1 = s 4 sin A 3 sin B 1 sin C 2 = s 1 s 2 s 3 s 4 | A B | | A C | | A D | | B C | | B D | | C D | (16) 2.3. 线角的余弦定理、内积余弦定理 [ 6 ] 、维方3线角余弦定理、体积余弦定理 2.3.1. 12个分式线角余弦定理 定义：正交4球心点6连线组成12个分式线角余弦定理为：顶点球半径平方与所夹2棱长乘积之商。其公式如下： cos A 2 = a 2 | A C | | A D | ，     cos A 3 = a 2 | A B | | A D | ，     cos A 4 = a 2 | A B | | A C | cos B 1 = b 2 | B C | | B D | ，     cos B 3 = b 2 | A B | | B D | ，     cos B 4 = b 2 | A B | | B C | cos C 1 = c 2 | B C | | C D | ，     cos C 2 = c 2 | A C | | C D | ，     cos C 4 = c 2 | A C | | B C | cos D 1 = d 2 | B D | | C D | ，     cos D 2 = d 2 | A D | | C D | ，     cos D 3 = d 2 | A D | | B D | (17) 2.3.2. 4组3线角积的余弦定理 定义：各球心点3个线角余弦的乘积等于该球半径的6次方与所交3棱乘积的平方之商。其公式如下： cos A 2 cos A 3 cos A 4 = a 6 | A B | 2 | A C | 2 | A D | 2 cos B 1 cos B 3 cos B 4 = b 6 | A B | 2 | B C | 2 | B D | 2 cos C 1 cos C 2 cos C 4 = c 6 | A C | 2 | B C | 2 | C D | 2 cos D 1 cos D 2 cos D 3 = d 6 | A D | 2 | B D | 2 | C D | 2 (18) 2.3.3. 交4球心点的4组线角内积余弦定理为 定义：4球正交的4球心，4组球心点的球半径的平方等于交于该球心的任意两棱长与其夹角余弦的积，为内积线角余弦定理。公式如下： A球心的3个线角： a 2 = | A B | | A C | cos A 4 = | A B | | A D | cos A 3 = | A C | | A D | cos A 2 B球心的3个线角： b 2 = | A B | | B C | cos B 4 = | A B | | B D | cos B 3 = | B C | | B D | cos B 1 C球心的3个线角： c 2 = | A C | | B C | cos C 4 = | A C | | C D | cos C 2 = | B C | | C D | cos C 1 D球心的3个线角： d 2 = | A D | | B D | cos D 3 = | A D | | C D | cos D 2 = | B D | | C D | cos D 1 (19) 2.3.4. 8组相等的维方3线角余弦定理为 定义：4球正交的4球心的任意球心与对平面3棱构成的3左角或3右角的线角的余弦和该球半径的平方积相等于4球半径平方积与6棱长积之商。公式如下： a 2 cos B 4 cos C 2 cos D 3 = a 2 cos B 3 cos C 4 cos D 2 = b 2 cos A 4 cos C 1 cos D 3 = b 2 cos A 3 cos C 4 cos D 1 = c 2 cos A 4 cos B 1 cos D 2 = c 2 cos A 2 cos B 4 cos D 1 = d 2 cos A 3 cos B 1 cos C 2 = d 2 cos A 3 cos B 1 cos C 2 = a 2 b 2 c 2 d 2 | A B | | A C | | A D | | B C | | B D | | C D | (20) 2.3.5. 交4球心点的4组线角内积余弦定理为 定义：球心构成的垂心四面体6倍体积的平方为4面各3棱的平方积与该面3个线角的余弦积之和。即： v 2 = a 2 b 2 c 2 + a 2 b 2 d 2 + a 2 c 2 d 2 + b 2 c 2 d 2 = | A B | 2 | A C | 2 | B C | 2 cos A 4 cos B 4 cos C 4 + | A B | 2 | A D | 2 | B D | 2 cos A 3 cos B 3 cos D 3     + | A C | 2 | A D | 2 | C D | 2 cos A 2 cos C 2 cos D 2 + | B C | 2 | B D | 2 | C D | 2 cos B 1 cos C 1 cos D 1 (21) 2.4. 正交4球面角正弦定理、6面角积正弦定理、余弦定理、对面角积余弦定理 2.4.1. 6个分式面角正弦定理 定义：正交4球球心构成4平面交于6棱的6面角的分式正弦定理为：四面体6倍体积与2面共棱长积与所交2面2倍面积乘积之商。公式为： sin α 12 = | C D | v s 1 s 2 ，     sin α 13 = | B D | v s 1 s 3 ，     sin α 14 = | B C | v s 1 s 4 ， sin α 23 = | A D | v s 2 s 3 ，     sin α 24 = | A C | v s 2 s 4 ，     sin α 34 = | A B | v s 3 s 4 (22) 2.4.2. 6个面角积正弦定理 定义：正交4球球心构成4平面交于6棱的6面角正弦积等于四面体6倍体积的6方与6棱长积与4面2倍面积乘积立方之商。公式为： sin α 12 sin α 13 sin α 14 sin α 23 sin α 24 sin α 34 = | A B | | A C | | A D | | B C | | C D | | B D | v 6 s 1 3 s 2 3 s 3 3 s 4 3 (23) 2.4.3. 6个分式面角余弦定理 定义：正交4球球心构成4平面交于6棱的6面角的分式余弦定理为：2面共棱2端球半径平方积与所交2面2倍面积乘积之商。公式为： cos α 12 = c 2 d 2 s 1 s 2 ，     cos α 13 = b 2 d 2 s 1 s 3 ，     cos α 14 = b 2 c 2 s 1 s 4 ， cos α 23 = a 2 d 2 s 2 s 3 ，     cos α 24 = a 2 c 2 s 2 s 4 ，     cos α 34 = a 2 b 2 s 3 s 4 (24) 2.4.4. 对面角余弦积相等定理 定义：正交4球球心构成的垂心四面体的交于6棱的6个面角的余弦定理为：交于对棱面角的3组余弦的积相等于4球半径积的平方与4面2倍面积之积的商。公式为： cos α 12 cos α 34 = cos α 13 cos α 24 = cos α 14 cos α 23 = a 2 b 2 c 2 d 2 s 1 s 2 s 3 s 4 (25) 2.5. 正交4球的线角和面角的关系符合球面三角学的弧长和球面角关系 关于线角面角与球面三角学同构说明：关于线角与面角的正弦定理与球面三角学相同为：即：线角等同于球面的弧线，面角等同于球面的顶角。其按4顶点有4组4等式的正弦定理公式如下： 2.5.1. 交4球心点的4组线角面角商同构于球面三角学的正弦定理为 关于线角面角与球面三角学同构说明：关于线角与面角的正弦定理与球面三角学相同为：即：线角等同于球面的弧线，面角等同于球面的顶角。区别在于这里3线角和3面角集中体现在4个顶点上。 · 交于球心A点的正弦面角线角商相同的线面角正弦定理为： sin α 34 sin A 2 = sin α 24 sin A 3 = sin α 23 sin A 4 = | A B | | A C | | A D | v s 2 s 3 s 4 (26) · 交于球心B点的正弦面角线角商相同的线面角正弦定理为： sin α 34 sin B 1 = sin α 14 sin B 3 = sin α 13 sin B 4 = | A B | | B C | | B D | v s 1 s 3 s 4 (27) · 交于球心C点的正弦面角线角商相同的线面角正弦定理为： sin α 24 sin C 1 = sin α 14 sin C 2 = sin α 12 sin C 4 = | A C | | B C | | C D | v s 1 s 2 s 4 (28) · 交于球心D点的正弦面角线角商相同的线面角正弦定理为： sin α 23 sin D 1 = sin α 13 sin D 2 = sin α 12 sin D 3 = | A D | | B D | | C D | v s 1 s 2 s 3 (29) 2.5.2. 4组线角面角商的正弦定理与线角正弦定理的乘积有36组全等的正弦积定理为 将公式(26)与公式(11)间任意(有9个组合)一组的乘积，等于公式(27)与公式(12)间任意(有9个组合)一组的乘积，等于公式(28)与公式(13)间任意(有9个组合)一组的乘积，等于公式(29)与公式(14)间任意(有9个组合)一组的乘积为：四面体2倍体积与6棱长积除以4个2倍面积的商。36组全等公式为： 公式(26)与公式(11)间任意(有9个组合)一组的乘积 | A B | | A C | | A D | | B C | | B D | | C D | v s 1 s 2 s 3 s 4 = | C D | sin B 1 sin α 34 sin A 2 = | C D | sin B 1 sin α 24 sin A 3 = | C D | sin B 1 sin α 23 sin A 4 = | B D | sin C 1 sin α 34 sin A 2 = | B D | sin C 1 sin α 24 sin A 3 = | B D | sin C 1 sin α 23 sin A 4 = | B C | sin D 1 sin α 34 sin A 2 = | B C | sin D 1 sin α 24 sin A 3 = | B C | sin D 1 sin α 23 sin A 4 公式(27)与公式(12)间任意(有9个组合)一组的乘积 | A B | | A C | | A D | | B C | | B D | | C D | v s 1 s 2 s 3 s 4 = | C D | sin A 2 sin α 34 sin B 1 = | C D | sin A 2 sin α 14 sin B 3 = | C D | sin A 2 sin α 13 sin B 4 = | A D | sin C 2 sin α 34 sin B 1 = | A D | sin C 2 sin α 14 sin B 3 = | A D | sin C 2 sin α 13 sin B 4 = | A C | sin D 2 sin α 34 sin B 1 = | A C | sin D 2 sin α 14 sin B 3 = | A C | sin D 2 sin α 13 sin B 4 公式(28)与公式(13)间任意(有9个组合)一组的乘积 | A B | | A C | | A D | | B C | | B D | | C D | v s 1 s 2 s 3 s 4 = | B D | sin A 3 sin α 24 sin C 1 = | B D | sin A 3 sin α 14 sin C 2 = | B D | sin A 3 sin α 12 sin C 4 = | A D | sin B 3 sin α 24 sin C 1 = | A D | sin B 3 sin α 14 sin C 2 = | A D | sin B 3 sin α 12 sin C 4 = | A B | sin D 3 sin α 24 sin C 1 = | A B | sin D 3 sin α 14 sin C 2 = | A B | sin D 3 sin α 12 sin C 4 公式(29)与公式(14)间任意(有9个组合)一组的乘积 | A B | | A C | | A D | | B C | | B D | | C D | v s 1 s 2 s 3 s 4 = | B C | sin A 4 sin α 23 sin D 1 = | B C | sin A 4 sin α 13 sin D 2 = | B C | sin A 4 sin α 12 sin D 3 = | A C | sin B 4 sin α 23 sin D 1 = | A C | sin B 4 sin α 13 sin D 2 = | A C | sin B 4 sin α 12 sin D 3 = | A B | sin C 4 sin α 23 sin D 1 = | A B | sin C 4 sin α 13 sin D 2 = | A B | sin C 4 sin α 12 sin D 3 (30) 2.5.3. 正交4球心间6组面角同构于球面三角学3线角表达的余弦定理为 定义：正交4球球心构成的垂心四面体的交于6棱的6个面角的余弦定理为：2面角余弦等于交于该棱任意一端2面边沿线角余弦与该点2个面的线角余弦积之差与该点2个面的线角正弦积的商。6组2面角余弦公式为： cos α 12 = cos C 4 − cos C 1 cos C 2 sin C 1 sin C 2 = cos D 3 − cos D 1 cos D 2 sin D 1 sin D 2 = c 2 d 2 s 1 s 2 cos α 13 = cos B 4 − cos B 1 cos B 3 sin B 1 sin B 3 = cos D 2 − cos D 1 cos D 3 sin D 1 sin D 3 = b 2 d 2 s 1 s 3 cos α 14 = cos B 3 − cos B 1 cos B 4 sin B 1 sin B 4 = cos C 2 − cos C 1 cos C 4 sin C 1 sin C 4 = b 2 c 2 s 1 s 4 cos α 23 = cos A 4 − cos A 2 cos A 3 sin A 2 sin A 3 = cos D 1 − cos D 2 cos D 3 sin D 2 sin D 3 = a 2 d 2 s 2 s 3 cos α 24 = cos A 3 − cos A 2 cos A 4 sin A 2 sin A 4 = cos C 1 − cos C 2 cos C 4 sin C 2 sin C 4 = a 2 c 2 s 2 s 4 cos α 34 = cos A 2 − cos A 3 cos A 4 sin A 3 sin A 4 = cos B 1 − cos B 3 cos B 4 sin B 3 sin B 4 = a 2 b 2 s 3 s 4 (31) 2.5.4. 同构于球面三角学的6面角余弦行列式为零 | − 1 cos α 12 cos α 13 cos α 14 cos α 21 − 1 cos α 23 cos α 24 cos α 31 cos α 32 − 1 cos α 34 cos α 41 cos α 42 cos α 43 − 1 | = | − 1 c 2 d 2 s 1 s 2 b 2 d 2 s 1 s 3 b 2 c 2 s 1 s 4 c 2 d 2 s 1 s 2 − 1 a 2 d 2 s 2 s 3 a 2 c 2 s 2 s 4 b 2 d 2 s 1 s 3 a 2 d 2 s 2 s 3 − 1 a 2 b 2 s 3 s 4 b 2 c 2 s 1 s 4 a 2 c 2 s 2 s 4 a 2 b 2 s 3 s 4 − 1 | = 0 s 1 2 s 2 2 s 3 2 s 4 2 = 0 (32) 上述各项正弦、余弦等各定理可以任意合理组合，变换成更多公式。