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user: 3. 一类四次李氏卵圆方程 定理1：设 a ， b ， c > 0 ，且 b < a ≤ ( 3 + 2 2 ) b (1) x 2 ( a − b a + b x + 2 a b a + b ) 2 + y 2 c 2 = 1 (2) y = ± 2 c a b − x 2 + ( a − b ) x + a b ( a − b ) x + 2 a b (3) x 2 y 2 + 4 a b a − b x y 2 + 4 a b c 2 ( a − b ) 2 x 2 + 4 a 2 b 2 ( a − b ) 2 y 2 − 4 a b c 2 a − b x − 4 a 2 b 2 c 2 ( a − b ) 2 = 0 (4) ( a − b ) 2 x 2 y 2 + 4 a b ( a − b ) x y 2 + 4 a b c 2 x 2 + 4 a 2 b 2 y 2 − 4 a b c 2 ( a − b ) x − 4 a 2 b 2 c 2 = 0 (5) { x = 2 a b cos t a + b − ( a − b ) cos t y = c sin t ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] (6) 则(2)~(6)都是相互等价的以a，b，c为长半径、短半径、对称半径的李氏卵圆方程。 为了证明定理1，我们先证明如下引理： 引理1：若(1)成立，则(2)~(6)互相等价。 证明：由(2)经过恒等变形即可得到(3)~(5)，故(2)~(5)互相等价。 将(6)的第一式代入下式的左边，得 a − b a + b x + 2 a b a + b = a − b a + b ⋅ 2 a b cos t a + b − ( a − b ) cos t + 2 a b a + b 将上式右边化简，即得 a − b a + b x + 2 a b a + b = 2 a b a + b − ( a − b ) cos t (7) 由(6)的第一式及(7)，得 x 2 = [ 2 a b a + b − ( a − b ) cos t ] 2 cos 2 t = ( a − b a + b x + 2 a b a + b ) 2 cos 2 t 即 x 2 ( a − b a + b x + 2 a b a + b ) 2 = cos 2 t (8) 又由(6)的第二式得 y 2 c 2 = sin 2 t (9) (8)与(9)相加，并注意到 sin 2 t + cos 2 t = 1 ，即得(2)。故(6)与(2)等价，从而(2)~(6)互相等价。 引理2：由参数式(6)所确定的函数 y ( x ) 的一阶导数和二阶导数分别记为 y ′ x ( t ) 和 y ″ x ( t ) ，则 y ′ x ( t ) = − c 2 a b ( a + b ) [ ( a + b ) − ( a − b ) cos t ] 2 cot t (10) y ″ x ( t ) = − c 4 a 2 b 2 ( a + b ) 2 ⋅ h ( t ) ⋅ g ( t ) (11) 其中 g ( t ) = − [ a + b − ( a − b ) cos t ] 3 sin 3 t ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] (12) h ( t ) = a + b − 3 ( a − b ) cos t + 2 ( a − b ) cos 3 t ， t ∈ [ 0 ， 2 π ] (13) 证明：由(6)得 y ′ x ( t ) = y ′ t ( t ) x ′ t ( t ) = ( c sin t ) ′ ( 2 a b cos t a + b − ( a − b ) cos t ) ′ 上式化简即得(10)。由(10)得 y ″ x ( t ) = [ y ′ x ( t ) ] ′ x ′ t = { − c 2 a b ( a + b ) [ a + b − ( a − b ) cos t ] 2 cot t } ′ ( 2 a b cos t a + b − ( a − b ) cos t ) ′ 上式化简即得 y ″ x ( t ) = − c 4 a 2 b 2 ( a + b ) 2 ⋅ [ a + b − ( a − b ) cos t ] 3 sin 3 t ⋅ [ a + b − 3 ( a − b ) cos t + 2 ( a − b ) cos 3 t ] (14) 由(14)即知(11)~(13)成立。 引理3：设(1)成立， h ( t ) 如(13)所示，则 h ( t ) ≥ 0 ， t ∈ [ 0 ， π ] (15) 且(15)中的等号仅在 t = π 4 时成立。 证明：由(13)求得 h ( t ) 的一、二阶导数 h ′ ( t ) ， h ″ (t) h ′ ( t ) = 3 ( a − b ) sin t ( 2 sin 2 t − 1 ) (16) h ″ ( t ) = 3 ( a − b ) cos t ( 5 − 6 cos 2 t ) (17) 由(16)，令 h ′ ( t ) = 0 ，得 h ( t ) 在 t ∈ ( 0 ， π ) 上仅有一个稳定点 t = π 4 。 将 t = π 4 代入(17)得 h ″ ( π 4 ) = 3 2 ( a − b ) > 0 故知 t = π 4 是 h ( t ) 在 [ 0 ， π ] 上的唯一极小值点 [ 8 ] ，从而也是 h ( t ) 在 [ 0 ， π ] 上的最小值点，且最小值为 h ( π 4 ) = a + b − 2 ( a − b ) 故 h ( t ) ≥ a + b − 2 ( a − b ) ， t ∈ [ 0 ， π ] (18) 且(18)中的等号仅在 t = π 4 处成立。又 a ≤ ( 3 + 2 ) b ⇔ a + b − 2 ( a − b ) ≥ 0 (19) 于是由(1)和(18)和(19)即知本引理结论成立。 定理1的证明：先证(3)的图形曲线L满足定义1的条件①~④。先考察(3)的带“+”号的显函数 y ( x ) = 2 c a b − x 2 + ( a − b ) x + a b ( a − b ) x + 2 a b (20) 求出函数(20)的导数，并化简，得 y ′ ( x ) = − c ( a + b ) 2 a b x [ ( a − b ) x + 2 a b ] 2 − x 2 + ( a − b ) x + a b (21) 设(3)的图形曲线为L，则显然L关于x轴对称且是闭合的，故L满足定义1的条件①。 由(21)知， y ( x ) 的导数 y ( x ) 在 ( − b ， a ) 上处处有限存在，在点 x = − b ， x = a 处的导数均为 ∞ ，故知(20)的曲线即L的上半部在 x ∈ [ − b ， a ] 上处处存在切线，从而是光滑的。由对称性知整个L都处处光滑。故L满足定义1的条件②。 又由(21)知仅在 x = 0 处， y ′ ( 0 ) = 0 ；且当 x < 0 时， y ′ ( x ) > 0 ，当 x > 0 时， y ′ ( x ) < 0 ，故 x = 0 是函数(20)的唯一极大值点 [ 8 ] ，从而也是其最大值点。又由(20)知其最大值为 y ( 0 ) = c ，故L上存在唯一一对对称点 S ( 0 ， c ) 和 T ( 0 ， − c ) ，到对称轴x轴的距离最大，且最大距离为c。故L满足定义1的条件③。 在(3)中令 y = 0 ，得 x = a 及 x = − b ，故L与其对称轴x轴有且仅有两个交点 P ( a ， 0 ) 和 Q ( − b ， 0 ) ，又PQ与ST相交于坐标原点 O ( 0 ， 0 ) ，且 O P = a > b = O Q ，故L满足定义1的条件④。 于是由引理1知，(2)~(6)的图形曲线L均满足定义1的条件①~④。 为证明(2)~(6)的图形曲线L都满足定义1的条件⑤，由引理1我们只须证明(6)的图形曲线L是凸的即可。设由(6)所确定的函数 y ( x ) 的二阶导数记为 y ″ x ( t ) ，则由引理2及引理3即(11)和(12)和(15)知 y ″ x ( t ) ≤ 0 ， t ∈ ( 0 ， π ) (22) 且(22)中的等号仅在 t = π 4 处成立。 由(22)知，L的上半部是上凸的且不含直线段 [ 8 ] ，再由对称性知，L的下半部是下凸的且不含直线段。故整个曲线L的是凸的且不含直线段，故L满足定义1的条件⑤。 故定理1的结论成立。 注1：在(2)中，令 b = a ， a > c ，则(2)变成 x 2 a 2 + y 2 c 2 = 1 上式显然为椭圆方程。故四次李氏卵圆方程(2)~(6)都是椭圆的推广。 定理2：设 B ， C ， E > 0 ，且 E ≤ B C (23) x 2 y 2 + B x y 2 + C x 2 + B 2 4 y 2 − E x − B E 4 = 0 (24) 则(24)为李氏卵圆方程，且卵圆的长、短、对称半径为 a = E + E 2 + B C E 2 C ， b = − E + E 2 + B C E 2 C ， c = E B (25) 证明：考察如下四次方程 x 2 y 2 + B x y 2 + C x 2 + D y 2 − E x − F = 0 (26) 比较(4)与(26)的系数，得 B = 4 a b a − b ， C = 4 a b c 2 ( a − b ) 2 ， D = 4 a 2 b 2 ( a − b ) 2 ， E = 4 a b c 2 a − b ， F = 4 a 2 b 2 c 2 ( a − b ) 2 (27) 由(27)得 D = B 2 4 ， F = B E 4 (28) 将(28)代入(26)即得(24)。 由(27)中的第一、二、四等式，得 B = 4 a b a − b ， C = 4 a b c 2 ( a − b ) 2 ， E = 4 a b c 2 a − b (29) 将(29)反解，即得(25)。 由(29)和(29)知 a ， b ， c > 0 且 a > b ⇔ B ， C ， E > 0 。 由(25)知 a ≤ ( 3 + 2 2 ) b ⇔ E + E 2 + B C E ≤ ( 3 + 2 2 ) ( − E + E 2 + B C E ) ⇔ ( 4 + 2 2 ) E ≤ ( 2 + 2 2 ) E 2 + B C E ⇔ ( 4 + 2 2 ) 2 E 2 ≤ ( 2 + 2 2 ) 2 ( E 2 + B C E ) ⇔ ( 24 + 16 2 ) E 2 ≤ ( 12 + 8 2 ) ( E + B C ) E ⇔ 8 ( 3 + 2 2 ) E ≤ 4 ( 3 + 2 2 ) ( E + B C ) ⇔ 2 E ≤ E + B C ⇔ E ≤ B C 故(1) ⇔ (23)，于是由定理1即得本定理。