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user: 2. 主要结论及证明 定理 设 ξ 1 ， ξ 2 ， ⋯ 为连续投资于m种股票的收益向量序列， ω 1 ， ω 2 ， ⋯ 为投资组合向量序列，设 { a n ， n ≥ 1 } 是一列正的实数列，且满足(1.5)。令 H : = { ω : 0 < r ( ω ) < + ∞ } (2.1) 如果 D : = { w : ∑ n = 1 ∞ A n E φ n ( | log w n T ξ n | ) φ n ( a n ) < ∞ } (2.2) 其中 A n = max ( 1 C n ， D n ) ，则 lim n → ∞ lim n → ∞ 1 a n ∑ k = 1 n { log ( w k T ξ k ) − E [ log ( w k T ξ k ) ] } = 0     a .s .   ω ∈ H ∩ D (2.3) 证明：令 f n ( ξ n ) = log ( w n T ξ n ) ，     f n * ( ξ n ) = f n ( ξ n ) I [ | f n ( ξ n ) | ≤ a n ] (2.4) 其中 I [ ⋅ ] 为示性函数。 当 | f n ( ξ n ) | ≥ a n ，有 | f n ( ξ n ) | a n ≤ | f n ( ξ n ) | α n a n ≤ A n φ n ( | f n ( ξ n ) | ) φ n ( a n ) (2.5) 于是 ∑ n = 1 ∞ P [ f n ( ξ n ) ≠ f n * ( ξ n ) ] = ∑ n = 1 ∞ E I [ | f n ( ξ n ) | > a n ] ≤ ∑ n = 1 ∞ E [ | f n ( ξ n ) | a n ] ≤ ∑ n = 1 ∞ A n E [ φ n ( | f n ( ξ n ) | ) φ n ( a n ) ] < ∞ ，       ω ∈ D (2.6) 由Borel-Cantelli引理 P [ f n ( ξ n ) ≠ f n * ( ξ n ) ， i . o . ] = 0 (2.7) 所以 ∑ n = 1 ∞ f n ( ξ n ) − f n * ( ξ n ) a n 收敛a.s. (2.8) 因为 E f n * ( ξ n ) − E f n ( ξ n ) a n ≤ E | f n * ( X n ) − f n ( ξ n ) | a n = E { | f n ( ξ n ) | a n I [ | f n ( ξ n ) | > a n ] } ≤ E { A n φ n ( | f n ( ξ n ) | ) φ n ( a n ) I [ | f n ( ξ n ) | > a n ] } ≤ A n E [ φ n ( | f n ( ξ n ) | ) φ n ( a n ) ] < ∞ (2.9) 所以 ∑ n = 1 ∞ E f n * ( ξ n ) − E f n ( ξ n ) a n ≤ ∑ n = 1 ∞     A n E [ φ n ( | f n ( ξ n ) | ) φ n ( a n ) ] < ∞ ，     ω ∈ D (2.10) 令 η k = f k * ( ξ k ) − E f k * ( ξ k ) a k ， y k = f k * ( x k ) − E f k * ( x k ) a k ，易知 | η k | ≤ 2 。定义 g n ( x 1 ， ⋯ ， x n ) ∶ = ∏ k = 1 n p k ( x k ) exp ( λ y k ) E [ exp ( λ η k ) ] ⋅ r n ( ω ) (2.11) 易知 g n ( x 1 ， ⋯ ， x n ) 是概率密度函数。定义随机变量如下： Λ n ( ω ) : = g n ( ξ 1 ， ⋯ ， ξ n ) p n ( ξ 1 ， ⋯ ， ξ n ) = ∏ k = 1 n exp ( λ η k ) E [ exp ( λ η k ) ] ⋅ r n ( ω ) (2.12) 易知 E Λ n ( ω ) = 1 ，则由引理1有 lim n → ∞ exp ( λ ∑ k = 1 n η k ) ∏ k = 1 n E [ exp ( λ η k ) ] ⋅ r n ( ω ) < ∞     a .s .     ω ∈ H (2.13) 由不等式 0 ≤ e x − 1 − x ≤ x 2 2 e | x |   ( x ∈ R ) ，并注意到 E η k = 0 ，有 0 ≤ ∑ k = 1 ∞     E [ exp ( λ η k ) ] − 1 = ∑ k = 1 ∞ [ exp ( λ η k ) − 1 − λ η k ] ≤ ∑ k = 1 ∞     E [ λ 2 η k 2 2 exp ( | λ | ⋅ | η k | ) ] ≤ λ 2 2 e 2 | λ | ∑ k = 1 ∞     E [ η k 2 ] (2.14) 又 E [ η k 2 ] = E [ f k * ( ξ k ) − E f k * ( ξ k ) a k ] 2 ≤ E [ f k * ( ξ k ) a k ] 2 = ∫ | f k ( x k ) | ≤ a k f k 2 ( ξ k ) a k 2 d F k ( x k ) ≤ ∫ | f k ( x k ) | ≤ a k | f k ( ξ k ) | β k a k β k d F k ( x k ) ≤ ∫ | f k ( x k ) | ≤ a k A k φ k ( | f k ( ξ k ) | ) φ k ( a k ) d F k ( x k ) ≤ A k E [ φ k ( | f k ( ξ k ) | ) φ k ( a k ) ] (2.15) 由(2.2)和(2.14)，(2.15)有 ∑ k = 1 ∞ E [ exp ( λ η k ) ] − 1 < ∞     a .s .     ω ∈ D ∩ H (2.16) 从而 ∏ k = 1 ∞ E [ exp ( λ η k ) ] < ∞     a .s .     ω ∈ D ∩ H (2.17) 由(2.13)和(2.17)有 lim n → ∞ exp ( λ ∑ k = 1 n     η k ) < ∞     a .s .     ω ∈ D ∩ H (2.18) 分别令 λ = ± 1 有 lim n → ∞ exp ( ∑ k = 1 n     η k ) < ∞     a .s .     ω ∈ D ∩ H (2.19) lim n → ∞ exp ( − ∑ k = 1 n     η k ) < ∞     a .s .     ω ∈ D ∩ H (2.20) 于是 ∑ k = 1 ∞     η k = ∑ n = 1 ∞ f k * ( ξ k ) − E f k * ( ξ k ) a k < ∞     a .s .     ω ∈ D ∩ H (2.21) 由 (2.8)，(2.10)和(2.21)，得 ∑ n = 1 ∞ f n ( ξ n ) − E f n ( ξ n ) a n < ∞     a .s .     ω ∈ D ∩ H (2.22) 由Kronecker引理知 lim n → ∞ 1 a n ∑ k = 1 n { f n ( ξ n ) − E f n ( ξ n ) } = 0     a .s .     ω ∈ D ∩ H (2.23) 即 lim n → ∞ 1 a n ∑ k = 1 n { log ( w k T ξ k ) − E [ log ( w k T ξ k ) ] } = 0     a .s .     ω ∈ D ∩ H 。