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user: 2. 数学模型的建立及机理分析 2.1. 典型系统结构模型 由于交、直流间存在复杂的相互作用，除了考虑交流电压及其相角和直流电流等因数外，还需考虑各直流系统之间的相互作用对换相失败的影响；除所考虑的逆变侧自身参数影响外 [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] ，还与其他逆变侧的影响有关 [ 11 ] - [ 16 ] 。现以一个具有两条直流输电线的交、直流输电系统为例进行研究，如图1所示。两条直流输电线由HVDC标准模型组成 [ 6 ] ，逆变侧接于相邻的同侧，相邻交流换流母线用耦合阻抗连接，直流系统整流侧相互独立。整流侧采用定电流控制，逆变侧采用定熄弧角控制。 2.2. 直流输电系统逆变侧对应的交流系统母线电压的计算 忽略输电线路的电阻，运用基尔霍夫电流定律计算每个逆变侧的相邻母线电压的表达式，具体推导如下。 对节点1有： ( E 1 − U a c 1 ) y N 1 = ( U a c 1 − U L 1 ) y a c 1 + 6 π I d 1 (1) 对节点2有： ( E 2 − U a c 2 ) y N 2 = ( U a c 2 − U L 2 ) y a c 2 + 6 π I d 2 (2) 对节点3有： 6 π I d 1 + ( U a c 1 − U L 1 ) y a c 1 = ( U L 1 − U L 2 ) y p + ( U L 1 − U c ) y L 1 (3) 对节点4有： 6 π I d 2 + ( U a c 2 − U L 2 ) y a c 2 + ( U L 1 − U L 2 ) y p = ( U L 2 − U c ) y L 2 (4) 对节点5有： ( E S − U C ) y N S + ( U L 1 − U C ) y L 1 + ( U L 2 − U c ) y L 2 = 0 (5) 上式中 y N 1 、 y N 2 、 y N S 为三台发电机联络线对应的等值导纳， E 1 、 E 2 、 E s 为三台发电机对应的等值电动势， U L 1 、 (节点3、节点4见图1)为两条直流输电线逆变侧对应的交流系统母线线电压有效值， U a c 1 ~ U a c 2 (节点1~节点2见图1)为两条直流输电线整流侧对应的交流系统母线线电压有效值， U C (节点5见图1)为与两条直流输电线逆变侧对应的等值交流系统母线线电压有效值， y p 为两条直流系统逆变侧换流母线间的传输线导纳， y a c 1 ~ y a c 2 为与两条直流输电系统相并联的交流传输线导纳值， y L 1 ~ y L 2 为与两条直流输电系统逆变侧相对应的交流系统等值导纳值， I d 1 ~ I d 2 为两条直流输电线对应的直流系统输送的直流电流， R d 1 ~ R d 2 为两条直流输电线对应的直流输送系统的电阻。 图1. 测试系统模型 化简式(1)~式(5)，可得到两条直流输电系统逆变侧对应的交流系统母线电压方程式： A 1 U L 1 − B 1 U L 2 = C 1 (6) − A 2 U L 1 + B 2 U L 2 = C 2 (7) 式中， A 1 = [ ( y L 1 + y L 2 + y N S ) ( y p + y N 1 ) + y L 1 ( y L 2 + y N S ) ] y a c 1     + y p y N 1 ( y L 1 + y L 2 + y N S ) + y L 1 y N 1 ( y L 2 + y N S ) B 1 = [ y p ( y L 1 + y L 2 + y N S ) + y L 1 y L 2 ] y a c 1     + y p y N 1 ( y L 1 + y L 2 + y N S ) + y L 1 y N 1 y L 2 C 1 = [ y N 1 E 1 ( y L 1 + y L 2 + y N S ) + y L 1 y N S E S ] y a c 1     + y N 1 ( y L 1 + y L 2 + y N S ) 6 π I d 1 + y L 1 y N 1 y N S E S A 2 = [ y p ( y L 1 + y L 2 + y N S ) + y L 1 y L 2 ] y a c 2     + y p y N 2 ( y L 1 + y L 2 + y N S ) + y L 1 y N 2 y L 2 B 2 = [ ( y L 1 + y L 2 + y N S ) ( y p + y N 2 ) + y L 2 ( y L 1 + y N S ) ] y a c 2     + y p y N 2 ( y L 1 + y L 2 + y N S ) + y L 2 y N 2 ( y L 1 + y N S ) C 2 = [ y N 2 E 2 ( y L 1 + y L 2 + y N S ) + y L 2 y N S E S ] y a c 2     + y N 2 ( y L 1 + y L 2 + y N S ) 6 π I d 2 + y L 2 y N 2 y N S E S 解式(6)、(7)，得 U L 1 = C 1 B 2 + B 1 C 2 A 1 B 2 − B 1 A 2 (8) U L 2 = C 1 A 2 + A 1 C 2 A 1 B 2 − B 1 A 2 (9) 2.3. 两条直流输电系统传输线导纳与换相电压的关系分析和计算 如果只考虑与两条直流并联的传输线导纳 y a c 1 和 y a c 2 与直流系统换相失败的关系，可令除 y a c 1 和 y a c 2 外的其它导纳和相应参数为常数，则式(8)和式(9)中的六个系数项均可以简化。 则 A 1 = a 1 y a c 1 + a 11 B 1 = b 1 y a c 1 + b 11 A 2 = a 2 y a c 2 + a 22 B 2 = b 2 y a c 2 + b 22 C 1 = c 1 y a c 1 + c 11 C 2 = c 2 y a c 2 + c 22 由式(8)和式(9)可得 U L 1 = ( b 2 c 1 + b 1 c 2 ) y a c 1 y a c 2 + ( b 22 c 1 + b 1 c 22 ) y a c 1 + ( b 2 c 11 + b 11 c 2 ) y a c 2 + ( b 22 c 11 + b 11 c 22 ) ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) y a c 1 y a c 2 + ( b 22 a 1 − a 22 b 1 ) y a c 1 + ( a 11 b 2 − a 2 b 11 ) y a c 2 + ( a 11 b 22 − a 22 b 11 ) = [ ( b 2 c 1 + b 1 c 2 ) y a c 2 + ( b 22 c 1 + b 1 c 22 ) ] y a c 1 + ( b 2 c 11 + b 11 c 2 ) y a c 2 + ( b 22 c 11 + b 11 c 22 ) [ ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) y a c 2 + ( b 22 a 1 − a 22 b 1 ) ] y a c 1 + ( a 11 b 2 − a 2 b 11 ) y a c 2 + ( a 11 b 22 − a 22 b 11 ) = [ ( b 2 c 1 + b 1 c 2 ) y a c 1 + ( b 2 c 11 + b 11 c 2 ) ] y a c 2 + ( b 22 c 1 + b 1 c 22 ) y a c 1 + ( b 22 c 11 + b 11 c 22 ) [ ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) y a c 1 + ( a 11 b 2 − a 2 b 11 ) ] y a c 2 + ( b 22 a 1 − a 22 b 1 ) y a c 1 + ( a 11 b 22 − a 22 b 11 ) (10) U L 2 = ( a 2 c 1 + a 1 c 2 ) y a c 1 y a c 2 + ( a 22 c 1 + a 1 c 22 ) y a c 1 + ( a 2 c 11 + a 11 c 2 ) y a c 2 + ( a 22 c 11 + a 11 c 22 ) ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) y a c 1 y a c 2 + ( b 22 a 1 − a 22 b 1 ) y a c 1 + ( a 11 b 2 − a 2 b 11 ) y a c 2 + ( a 11 b 22 − a 22 b 11 ) = [ ( a 2 c 1 + a 1 c 2 ) y a c 2 + ( a 22 c 1 + a 1 c 22 ) ] y a c 1 + ( a 2 c 11 + a 11 c 2 ) y a c 2 + ( a 22 c 11 + a 11 c 22 ) [ ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) y a c 2 + ( b 22 a 1 − a 22 b 1 ) ] y a c 1 + ( a 11 b 2 − a 2 b 11 ) y a c 2 + ( a 11 b 22 − a 22 b 11 ) = [ ( a 2 c 1 + a 1 c 2 ) y a c 1 + ( a 2 c 11 + a 11 c 2 ) ] y a c 2 + ( a 22 c 1 + a 1 c 22 ) y a c 1 + ( b 22 c 11 + b 11 c 22 ) [ ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) y a c 1 + ( a 11 b 2 − a 2 b 11 ) ] y a c 2 + ( b 22 a 1 − a 22 b 1 ) y a c 1 + ( a 11 b 22 − a 22 b 11 ) (11) 从(10)和(11)式推导出的结果可以看出 U L 1 和 U L 2 与 y a c 1 和 y a c 2 强相关。为简单起见，我们研究 y a c 1 时，设定 y a c 2 为常量；研究 y a c 2 时，设定 y a c 1 为常量。则(10)和(11)式可以简化为下面表达式(这里只研究 y a c 1 为变量的情况，反之也然) U L 1 = m 10 y a c 1 + h 10 m 1 y a c 1 + h 1 (12) U L 2 = m 20 y a c 1 + h 20 m 1 y a c 1 + h 1 (13) 上式中 m 10 = ( b 2 c 1 + b 1 c 2 ) y a c 2 + ( b 22 c 1 + b 1 c 22 ) h 10 = ( b 2 c 11 + b 11 c 2 ) y a c 2 + ( b 22 c 11 + b 11 c 22 ) m 1 = ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) y a c 2 + ( b 22 a 1 − a 22 b 1 ) h 1 = ( a 11 b 2 − a 2 b 11 ) y a c 2 + ( a 11 b 22 − a 22 b 11 ) m 20 = ( a 2 c 1 + a 1 c 2 ) y a c 2 + ( a 22 c 1 + a 1 c 22 ) h 20 = ( a 2 c 11 + a 11 c 2 ) y a c 2 + ( a 22 c 11 + a 11 c 22 ) 且有 m 10 > 0 ， h 10 > 0 ， h 20 > 0 。 2.4. 两条交流传输线导纳与换相电压的关系分析 每个独立的直流子系统仍然运用两端直流输电系统已有的结论和公式 [ 1 ] [ 2 ] 。两端直流输电系统关断角的表达式为 γ = arccos [ 2 n ⋅ I d X L U L + cos β ] (14) 其中 I d 为直流电流； X L 为换相电抗； 为换流母线线电压有效值； β 为越前触发角； n 为换流变压器的变比。 如果只考虑传输线导纳与换相失败的关系，对于每条高压直流输电系统发生换相失败时总有对应的最低关断角 γ min 。设第一条直流输电线最低临界关断角为 γ 1 min ，而第二条直流输电线最低临界关断角为 γ 2 min 。再利用上式(14)可以求出当每条高压直流输电线发生换相失败时所对应的最低临界换相电压值 U L min 。这里设第一条直流输电线逆变侧最低临界换相电压为 U L 1 min ，第二条直流输电线逆变侧最低临界换相电压为 U L 2 min ，且不妨假设 U L 1 min < U L 2 min 。现在讨论式(12)~(13)。首先从式(12)~(13)可以看出 U L 1 与 U L 2 只差一个常数，这里不妨假设 h 10 < h 20 。同时从式(12)~(13)可以看出换相电压与传输线导纳的关系表达式为有条件限制( m 10 > 0 ， h 10 > 0 ， h 20 > 0 且有传输线导纳 y a c 1 大于等于零)的双曲线。设横坐标为传输线导纳，纵坐标为换相电压。我们从上面的分析可知，只要作出传输线导纳为正的双曲线部分就可以了。其中，双曲线的几个特征描述如下：纵坐标上的渐进线为 U L ∞ = m 10 / m 1 ；横坐标上的渐进线为 y a c 1 = − h 1 / m 1 ；纵坐标上的初始值为 U L 10 = h 10 / h 1 ； U L 20 = h 20 / h 1 。 a) 当 m 1 > 0 ， h 1 > 0 时，换相电压与传输线导纳的关系如图2所示。 b) 当 m 1 > 0 ， h 1 < 0 时，换相电压与传输线导纳的关系如图3所示。 c) 当 m 1 < 0 ， h 1 > 0 时，换相电压与传输线导纳的关系如图4所示。 d) 当 m 1 < 0 ， h 1 < 0 时，换相电压与传输线导纳的关系如图5所示。 图2. 交流传输线导纳与换相电压的关系 图3. 交流传输线导纳与换相电压的关系 图4. 交流传输线导纳与换相电压的关系 图5. 交流传输线导纳与换相电压的关系