DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 3. 平衡点存在性与稳定性 通过计算模型(2)存在四个平衡点 S 0 ( 0 ， 0 ， 0 ) ， S 1 ( k ， 0 ， 0 ) ， S 2 ( P 1 ， Z 1 ， 0 ) ， S 3 ( P ∗ ， Z ∗ ， E ∗ ) ，平衡点 P 0 ， P 1 显然永远存在，下面主要考虑 S 2 ( P 1 ， Z 1 ， 0 ) ， S 3 ( P ∗ ， Z ∗ ， E ∗ ) 存在的充分性条件。 定理1 若满足条件 β 1 > d α k + γ + d ，则平衡点 S 2 ( P 1 ， Z 1 ， 0 ) 是存在的。 证明 平衡点 满足如下方程： (9) 解得 ， 。 所以由条件 得 都大于0。定理证毕。 定理2 若条件 ， (10) 和 (11) 满足，则平衡点 是唯一存在的。 证明 平衡点 满足方程： (12) 解得 ， ， 由 ， ，可知 ， 。当 时，可知 ，故 都 大于0。 同时模型(2)的Jacobian矩阵为 (13) 1) 平衡点 对应的特征根分别为 ， ， 因此 是一个鞍点。 2) 平衡点 的特征方程为 ，易知，所有的特征根均小于0，因此平衡点 是局部渐近稳定的。 定理3 如果满足 和 ，则平衡点 是局部渐近稳定的。 证明 模型(2)在平衡点 的特征方程为 (14) 其中 ， 。 当 和 成立时，其特征值均为负，因此 是局部渐近稳定的。 模型(2)在平衡点 处的Jacobian为 (15) 其特征方程为： (16) 其中 (17) (18) (19) 当 时，可知 即 ，由Routh-Hurwitz判别法可知方程(16)的根均有负实部，正平衡点 是局部渐近稳定的。于是有以下定理： 定理4 当 时，正平衡点 是局部渐近稳定的。
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user: 4. 最优税收策略 在实际问题中，最优税收政策就是通过调节税收即使得人类在捕获活动中的总收入达到最大值，又能保证自然资源持续发展，这个目标社会收入的贴现值可表示为： (20) 其中 ， 为年贴现率，解决这个最优问题，就是确定一个税收策略 使得J在满足状态方程(2)和控制约束条件 下取得最大值。 现构造控制问题的Hamiltion函数： (21) 其中 都是伴随变量 [ 8 ] ，假设Hamiltion函数不会在 或者 取得最大值，从而可得奇异控制 [ 8 ] (22) 根据Pontryagin最大值原理有 (23) (24) (25) 由(25)得 (26) 把 的结果代入(23)得到 (27) 其中 ， 上述微分方程的解为 (28) 其中 是一个常数。当 ， 时，影子价格 是有界的。 (29) 同理，由(24)和(29)可得 (30) 其中 ， 由(26)和(30)联立有 (31) 把正平衡点 代入(31)式得到一个关于 的方程，此方程的解(如果存在的话)用 表示，再将 代入 和 ，可得最优平衡解( ， ， )和最优税收 。 现在建立了最优平衡解的存在条件，满足了最大原理的必要条件，因此正如Clark指出，由Bang-Bang控制和非平衡奇异控制组合而成的最优路径是很难找到的，因此，我们只考虑一个最优平衡。 注：从本节进行的上述分析，我们观察以下情况： i) 从(22)，(29)和(30)，注意到 ，( 是伴随变量)在最优平衡的时间间隔内保持恒定。因此，当 时，它们满足在 上的横截性条件。 ii) 考虑到内平衡点，(25)式可以改写成 这意味着单位收获的总用户成本等于稳定状态水平下未来价格的折扣值。 iii) 在(31)式中，当 时， 。因此，净收益 ，这意味着 当贴现率是无限时，净收益趋于0。
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user: 5. 数值模拟 现在主要通过数据仿真来验证理论结果的有效性和可行性，且进一步探讨税收措施如何影响模型(2)的动力学性态，其参数取值为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 。依据定理2和定理4，可计算平衡点为 ，且是局部渐近稳定的，详细见图1和图2，进而说明所得理论结果是可行的。 依据理论推导可知税收措施可以对捕获起到一定的控制作用，从而影响浮游植物和浮游动物的种群密度动态变化趋势。从图3~图5不难看出，渔民所获得的收益随着税收的增加而减少，同时渔民就会减少对浮游动物的捕获(即捕获强度减低)，因此浮游动物种群密度就会增加，从而导致浮游植物种群密度逐渐减少，因而，税收措施严重影响浮游植物和浮游动物的种群密度动态变化趋势。 图1. 当 时的相位图 图2. 当 时的时间序列图 图3. 不同税收水平下的浮游植物的动态变化趋势 图4. 不同税收水平下的浮游动物的动态变化趋势 图5. 不同税收水平下收获强度的动态变化趋势
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user: 6. 结论 本文构建了具有税收措施的产毒浮游植物–浮游动物生态模型，讨论了模型的正性、有界性和平衡点的存在性；利用Routh-Hurwitz判据，得到了平衡点局部渐近稳定的临界条件；依据Pontryagin最大值原理探讨了税收措施的最优平衡解，得到了使社会收入贴现值为最大的税收值。数值模拟验证了理论结果的可行性与有效性。总而言之，这些研究结果为资源管理者合理制定资源管理政策提供了理论依据。
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user: 摘 要 本文提出四种理论假设旨在探讨饭店职业生涯管理与职业满意度之间的关系、职业期望与职业满意度的关系、职业期望与职业生涯管理的关系，以及职业期望在组织职业生涯管理与职业满意度之间的中介作用。本文发放378份调查问卷进行数据收集，利用职业期望量表和李克特七等级量表测量变量，运用SPSS和AMOS软件对数据进行描述性分析、信度检验、探索性因子分析、确定性因子分析、结构方程分析等。研究结果表明：饭店职业生涯管理与职业期望正相关；职业生涯管理与职业满意度正相关，其中职业考评对员工的职业满意度影响最大，职业发展次之，职业培训对其影响最小；职业期望与职业满意度存在正相关关系；职业期望在饭店职业生涯管理与职业满意度之间起中介作用，其中职业期望在职业考评与职业满意度之间的中介作用最为显著，其次是职业培训与职业发展。研究结果充分表明，在酒店实施有效的职业生涯管理将产生积极的影响。有效的职业生涯管理有助于满足员工的职业期望，提高他们的职业满意度，并帮助员工获得职业成功，提高业务效率。 关键词 :职业期望，组织职业生涯管理，职业满意度，中介作用 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 人力资源是饭店行业最活跃、最宝贵的资源。作为服务性行业之一，饭店经营成功与否与员工的工作态度和服务质量存在直接关系 [ 1 ] 。而工作质量很大程度上与职业满意度有关，只有当员工对他的职业满意时，才会产生较高的工作热情感和责任感，从而更好地为顾客提供服务。近年来，越来越多的中国企业意识到，获得成功的职业生涯——经常体现为员工对自我职业期望得到满足的感知——是员工努力工作的主要动机 [ 2 ] 。研究证明，饭店业不完善的组织职业生涯管理是员工满意度降低的主要原因之一。为了吸引并留住员工，很多企业开始从组织的角度对员工的职业生涯进行管理(Barnett and Bradley， 2007; Wong et al.， 1999) [ 3 ] [ 4 ] ，饭店业提供的有效职业生涯管理有助于员工增强职业能力、提高职业满意度，从而使其提供更高质量的服务，进而将组织和个人的需要和利益相结合，获得双赢 [ 5 ] 。 职业期望伴随着寻找工作和选择职业而产生(Fish & Lauren， 2010) [ 6 ] ，且在某些特性方面具有稳定性(Junk & Armstrong， 2010)，但其仍然会随着对自我及工作世界认识的不断深入而发生改变(Rojewski， 1997) [ 7 ] ，从而激励个体去进行职业选择并获得职业成功(Mau & Bikos， 2000; Schoon & Parsons， 2002) [ 8 ] [ 9 ] 。饭店提供一系列有益的职业生涯管理活动，如为员工提供培训、构建职业发展的通道、协助员工进行个人职业规划等，来帮助员工部分或全部地实现自身的职业期望，这一过程可能对员工职业满意度的提高有积极作用。因此，本文试图验证饭店业通过提供组织职业生涯管理活动来满足员工的职业期望，从而提高其职业满意度。 我国大多数饭店还未建立起科学、完善的职业生涯管理系统，进而导致饭店员工的高离职率和低职业满意度 [ 5 ] 。许多饭店高层管理人员还未认识到组织职业生涯管理的重要性，即使一部分人具备这种意识，由于国内相关领域缺乏大量的实证研究，将组织职业生涯管理系统引入饭店的实际运作仍然十分困难 [ 1 ] 。另外，随着我国经济的迅速发展、经济体制改革的不断深入和人才竞争的加剧，员工的职业期望发生了较大变化。因此通过分析员工的职业期望，根据其期望来提供相应的组织职业生涯管理，进而提高其职业满意度，促进企业效益不断增加，对我国饭店业而言具有较重要的现实意义。
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user: 2. 理论基础与研究假设 2.1. 饭店职业生涯管理与职业期望的关系 组织职业生涯管理是指由组织实施的、旨在开发员工的潜力、留住员工、使员工能自我实现的一系列管理方法 [ 10 ] 。饭店职业生涯管理则是指饭店企业提供的职业生涯管理活动，具体而言，它是企业和员工对员工个人的职业生涯进行设计、规划、执行、评估、反馈和修正的一个综合性的过程，是企业提供的用于帮助企业内正从事某类职业的员工的行为过程，通过员工和企业的共同努力与合作，使每个员工的生涯目标与企业发展目标一致 [ 11 ] [ 12 ] 。近年来，组织职能逐渐由传统的指挥和控制向支持和帮助转变，通过提供培训、指导、绩效评估及职业发展项目等有效的职业生涯管理活动(Kong et al.， 2010) [ 13 ] ，饭店职业生涯管理对实现员工个人职业目标及企业战略目标都有十分重要的意义。 职业期望是真实的、可实现的想法，指个体近期想获得的职业目标(Armstrong & Crombie， 2000; Metz， 2009) [ 14 ] [ 15 ] 。另外，Perronevd (2010)认为职业期望指个体关于自身想获得何种职业生涯的想法和信念。学者认为职业期望是员工将自身的兴趣、能力、价值观等主观因素与社会需要、就业机会不断协调的过程以及从中产生的认知和定位的过程(Gottfredson， 2005; Super， 1990) [ 16 ] 。 目前关于职业期望与组织职业生涯管理及职业满意度的研究很少。根据Gottfredson (2005) [ 16 ] 及Leslie (2012) [ 17 ] 等人的研究，如果青少年寻求或得到有益的职业建议和信息，并通过教育和培训提高了竞争力，那么他们往往更容易实现其职业期望。由此类推，从所在的饭店企业获得有益职业生涯管理支持的员工更易于实现其职业期望。此外，Kong，Cheung和Song (2012) [ 18 ] 研究发现，饭店职业生涯管理作为职业能力和职业满意度的重要预测指标之一，对员工的职业发展和职业期望有重要作用。因此，当饭店企业为员工提供一系列的职业生涯管理活动时，员工会从中获得帮助来完善和实现自身的职业期望。基于上述分析，本文做出以下假设： H1：饭店职业生涯管理与职业期望有正相关关系。 2.2. 职业期望与职业满意度的关系 职业满意度，一般定义为个体对其整体职业生涯的满意程度，指个体对于来自其职业生涯内在方面和外在方面的满意程度，包括薪酬、晋升和发展机会。职业满意度作为职业心理的主要构成要素之一，对择业动机、职业流动意愿等都有重要的影响。 研究发现有较高职业期望的年轻人通常更容易获得进入更好职业的机会 [ 9 ] ，进而取得职业成功，而主观职业成功的主要衡量标准就是职业满意度。刘雪莲(2007)研究证明职业期望对就业选择及就业满意度有重要影响 [ 19 ] ，就业满意度是职业满意度的组成部分。此外，研究发现，职业生涯早期员工的工作满意度对离职倾向具有显著的负向预测效应，对情感承诺、规范承诺和持续承诺均具有显著的正向预测效应。职业期望对留职意愿有重要影响，只有当员工职业满意度较高时，才会产生较高的留职意愿 [ 20 ] 。因此，当员工的职业期望得到满足时，他们更容易增强对自身职业生涯的满足感，从而产生更积极的工作态度和留职意愿。基于上述分析，本文做出以下假设： H2：职业期望与职业满意度有正相关关系。 2.3. 饭店职业生涯管理与职业满意度的关系 有效的管理和领导可以提高员工的职业满意度、组织认同感，并提高员工的留职意愿(Pazy， 1988; Long， 2002) [ 21 ] [ 22 ] 。例如Kraimer et al. (2003) [ 23 ] 研究发现企业开展的组织职业生涯管理活动对员工感知组织支持有积极作用，这种组织支持感会转化为职业满意度的提高，并激励员工实现其最大效能(Rhoades & Eisenberger， 2002; Kong， Cheung & Song， 2012) [ 24 ] [ 25 ] 。研究发现，组织职业生涯管理中的公平晋升、培训和促进职业自我认识均对组织承诺和工作满意度有显著的正向影响 [ 26 ] ；职业生涯规划与员工的职业满意度获得和职业成熟度发展有重要的关系，通过规划，员工有更明确的职业目标，在工作过程中获得的自信和成就感更高，对职业的满意度更高，对企业的忠诚度也就更高 [ 27 ] 。因此，如果饭店企业能正确认识到员工在职业方面面临的挑战和问题，并积极帮助他们解决、与其进行有效交流并定期提供建设性的反馈意见，往往会获得较高的员工职业满意度。而职业满意度也能正向预测工作绩效，高职业满意度的员工预期高，能够激发出更强的工作动机和更积极的工作行为，从而表现出更好的绩效 [ 28 ] 。基于上述分析，本文做出以下假设： H3：饭店职业生涯管理与职业满意度有正相关关系。 2.4. 职业期望的中介作用 研究发现有效的组织职业生涯管理实践，例如专业技能发展培训和岗位轮换制度等，能弥补物质激励的不足，满足员工的职业期望需求并影响他们的职业满意度。此外，Jiang & Klein (2002)，Heslin (2005)等学者研究发现组织职业生涯管理可以减小员工职业抱负与他们的现实职业生涯之间的差距，从而提高其职业满意度 [ 29 ] 。这说明组织职业生涯管理活动可以帮助员工将那些不实际、不合理的职业抱负变得更切实可行、更有益于个人的职业成功，换言之，将员工的职业抱负向职业期望转变，进而提高职业满意度。因此，饭店职业生涯管理活动可以通过满足员工的职业期望，或者协助、支持员工优化他们的职业期望进而使其得到满足，来提高员工的职业满意度。基于上述分析，本文做出以下假设： H4：职业期望在饭店职业生涯管理与职业满意度之间起中介作用。 综上所述，本文的理论框架如图1所示。
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user: 3. 研究方法 3.1. 研究样本与数据采集 通过发放调查问卷在我国包括北京、上海、山东、江苏等27个省份在内的饭店员工发放问卷400份，回收有效问卷378份。被调查者中男性176名，占46.6%；女性为202，占53.4%。年龄20岁以下共19人，占5.0%；21~25岁共202人，占53.4%；26~30岁共115人，占30.4%；31~40岁41人，占10.9%；40岁以上为1人。从教育状况来看：高中及高中以下学历者30人，占7.9%；技术学校和职业学院73人，占19.3%；专科122人，占32.3%；本科150人，占39.7%；本科以上共3人，占0.8%。 在变量测量方面，饭店职业生涯管理以孔海燕等人开发的量表为基础，共13个题项，样本题项为“我得到了关于我工作情况清楚的反馈”；职业期望采用吴谅谅、李宝仙(2001)开发的职业期望量表，共21个题项，样本题项为“收入高”；职业满意度采用Greenhaus et al. (1990)开发的量表，共5个题项，题项为“就实现增加收入这个目标而言，我对所取得的进展感到满意”。所有变量均采用Likert七级量表测量(1 = 非常不同意，7 = 非常同意)。 图1. 理论框架 3.2. 数据分析 数据收集后，按以下步骤进行分析：1) 首先检验每个个体测量模型，包括简单描述性分析和信度检验；2) 然后将收集的有效问卷随机分成相等的两部分，每部分189份，一部分用来进行探索性因子分析(EFA)，另一部分用来进行确定性因子分析(CFA)；3) 用所有数据检验总体测量模型；4) 最后检验结构模型。其中描述性分析、信度检验和探索性因子分析用SPSS17.0分析，确定性因子分析和结构方程运用AMOS 19软件分析。
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user: 4. 研究结果 4.1. 个体测量模型 4.1.1. 探索性因子分析与信度检验 通过分析发现，饭店职业生涯管理的KMO值为0.85，Bartlett’s球形检验的卡方值显著，证明变量间的相关性很强，适合做探索性因素分析，因素分析效果好。通过主成分分析法对饭店职业生涯管理共提取出3个因子，旋转之后的特征值分别为：4.87、1.60、1.08，累计解释方差百分比为58.08%。 职业期望的KMO值为0.93，Bartlett’s球形检验的卡方值显著，证明变量间的相关性很强，非常适合做探索性因素分析，因素分析效果好。职业满意度的KMO值为0.74，Bartlett’s球形检验的卡方值显著，证明变量间的相关性强，适合做探索性因素分析，因素分析效果较好。 饭店职业生涯管理的三个维度——职业考评、职业培训、职业发展的Cronbach’s Alpha分别为0.76、0.70、0.73；职业期望的整体Cronbach’s Alpha为0.92，职业满意度的Cronbach’s Alpha为0.83。所有变量的Cronbach’s Alpha均大于等于0.7，说明量表存在较好的内部一致性，可以用于后续研究。如表1所示。 4.1.2. 验证性因子分析 饭店职业生涯管理最终模型的拟合优度指标如下：卡方(c 2 ) = 106.81，自由度(df) = 61，比较拟合优度(CFI) = 0.93，拟合优度(GFI) = 0.92，近似误差均方根指标(RMSEA) = 0.06，通过拟合优度的检验。同时职业期望的确定性因子分析结果显示数据与模型拟合良好(c 2 = 655.28， df = 186， CFI = 0.92， GFI = 0.91， RMSEA = 0.08)。职业满意的的拟合优度为(c 2 = 51.33， df = 14， CFI = 0.94， GFI = 0.94， RMSEA = 0.09)。以上数据显示模型与数据拟合较好，三个个体测量模型均通过拟合度检验。 Table 1 KMO， eigenvalues， variance interpretation and Cronbach’s Alph KMO 本征值 方差解释量(%) Cronbach’s Alpha 职业期望 0.93 52.32 0.92 声望地位、稳定性因素 8.40 40.02 0.80 内在价值因素 1.38 6.59 0.85 外在价值因素 1.20 5.71 0.81 饭店职业生涯管理 0.85 55.42 0.87 职业考评 4.87 37.47 0.76 职业培训 1.60 12.28 0.70 职业发展 1.08 8.33 0.73 职业满意度 0.74 2.73 54.52 0.83 表1. KMO、本征值、方差解释量与Cronbach’s Alpha 4.2. 整体测量模型和结构模型 用全部有效问卷数据对总体测量模型进行检验。AVE分布在0.50~0.73之间，都满足大于0.50，并且大于其相关系数的平方，整体测量模型的结构效度达到满意效果。检验结果表明，整体模型的拟合指数可以接受(c 2 = 526.63， df = 179， CFI = 0.92， GFI = 0.90， RMSEA = 0.07)因此，总体测量模型合格，适合进行结构模型的检验。 结构模型的拟合指数为(c 2 = 703.34， df = 192， CFI = 0.91， GFI = 0.92， RMSEA = 0.07)。图2为结构模型的最终结果，各标准化路径系数及显著程度表明前文所提出的理论模型的假设得到检验支持。 图2. 结构模型最终结果 4.3. 假设检验 研究结果显示，饭店职业生涯管理与职业期望、职业满意度存在正相关关系；职业期望与职业满意度存在正相关关系；同时，职业期望在饭店职业生涯管理与职业满意度之间起中介作用，研究结论具有一定的理论和实践意义。相关数据详见表2。 Table 2 Hypothesis analysi 路径系数 t值 P 结论 H1：饭店职业生涯管理→职业期望 0.21 3.76 0.006** 支持 H2：职业期望→职业满意度 0.30 4.13 *** 支持 H3：饭店职业生涯管理→职业满意度 0.27 4.54 *** 支持 H4：职业期望的中介作用 H4：职业期望中介作用 0.04 3.72 *** 支持 表2. 假设分析 **p < 0.01; ***p < 0.001。
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user: 5. 结论与建议 5.1. 研究结论与建议 5.1.1. 饭店职业生涯管理与职业期望 饭店职业生涯管理与职业期望正相关。这充分表明饭店实施有效的职业生涯管理将会产生积极的效果，有助于满足员工的职业期望，或帮助员工建立更为合理和合适的职业期望，从而提高员工的职业期望水平。 中国饭店业应了解哪些职业生涯管理活动能最大限度地满足或优化员工的职业期望，从而制定一整套有针对性的职业生涯管理系统。研究结果显示职业培训对员工职业期望影响最大，有效的职业培训可以提高员工的工作能力，使员工不断地适应经济发展和产业升级的需要，增强自身竞争力，从而更好地实现职业期望，获得职业成功。因此酒店应建立科学、完善、具有针对性的培训体系，根据员工需求和个人特点设计相应培训环节，既要考虑当前企业经营发展的需要，又要考虑员工个体长远职业发展的需要 [ 12 ] 。 5.1.2. 饭店职业生涯管理与职业满意度 饭店为员工提供有效的职业管理活动，有利于提高其职业满意度。其中职业考评对员工的职业满意度影响最大，职业发展次之，职业培训对其影响最小。此外，饭店的职业生涯管理活动还可以通过使员工的职业期望得到满足或改进，来提高员工的职业满意度。 研究结果表明，饭店企业采用的绩效考评方式是否科学、合理、公平，对员工的职业满意度影响最大，因此企业应建立公平合理，能够综合全面地对员工绩效进行考察的考评制度。此外，应致力于建立以员工潜能开发为核心的职业发展路径 [ 10 ] ，积极为员工提供职业生涯发展的渠道和信息，让员工感受到来自组织的支持，从而提高职业满意度，为企业带来更大利益、创造更高价值。 5.1.3. 职业期望与职业满意度 职业期望对职业满意度有积极的正向影响作用。员工的职业期望得到满足能提高员工对收入、提升、发展新技能、成就、职业总体目标的满意度。 因此饭店应对员工的职业期望有清晰的了解，以员工职业兴趣和期望目标为导向，实现人–职业、人–组织、人–岗位匹配 [ 12 ] 。此外，饭店业应通过培训、企业文化等帮助员工形成具有可行性、科学合理、并与企业目标相契合的职业期望，通过提供组织支持优化员工的职业期望，既利于员工取得职业成功，又利于企业目标的实现和企业的长远发展。 5.1.4. 职业期望的中介作用 职业期望在饭店职业生涯管理与职业满意度之间起中介作用，其中职业期望在职业考评与职业满意度之间的中介作用最为显著，其次是职业培训与职业发展。 研究结果表明饭店业提供的职业生涯管理活动可以通过满足员工的职业期望进而提高其职业满意度。因此饭店业应进一步提高对员工职业期望的关注度，科学、全面地分析员工的职业期望，并针对员工不同的期望特点建立相对应的职业生涯管理方式，例如对在收入方面期望度更高的员工与对工作有挑战性期望度更高的员工采取侧重点不同的考评制度、培训方式和发展路径。只有更好地了解员工的职业期望并帮助他们实现自身期望，员工才会提高职业满意度，更好地全身心投入工作之中，将个人的职业成功与企业的战略目标结合起来。 5.2. 研究不足与展望 本研究的被调查者多是进入职场3年以内的年轻员工，基本属于普通员工，管理类员工比例较小，不能代表饭店业全部员工的情况。未来的研究可以分析管理类员工的职业期望和职业满意度问题，从而为饭店提出相应的职业生涯管理方案。 其次，本文没有分析饭店规模(一般用星级衡量)对组织职业生涯管理、职业期望及职业满意度的影响。在我国，饭店规模不同，提供的职业生涯管理活动存在很大差距，从而影响员工的职业期望和职业满意度。因此未来的研究可以分析不同饭店规模对上述三个变量及变量间关系的影响。
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user: 摘 要 用Cayley-Menger行列式 [ 1 ] 证明：当四面体满足“对棱相等、或对棱的平方和相等”时，存在体积勾股定理：“该四面体的体积的平方等于所围的四个面外凸的直角四面体体积的平方和”，其公式为： V A B C D 2 = v A B C 4 2 + v A B D 3 2 + v A C D 2 2 + v B C D 1 2 (标注见：图1)。 关键词 :体积勾股定理，垂心四面体，代数几何 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 1) 已知勾股定理：直角三角形的2条直角边的平方和等于斜边的平方。其公式： a 2 + b 2 = c 2 2) 已知面积勾股定理 [ 2 ] ：直角四面体的3个直角三角形面积的平方和等于斜面锐角三角形面积的平方：其公式： S Δ A B C 2 = 1 4 ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) 3) 问题提出：是否可推广至“体积勾股定理”？
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user: 3. 总结 3.1. 当四面体对棱分别相等 存在“对棱平行为矩形的三维体积勾股定理”。其4面体体积的平方等于外围4个相同的直角四面体体积的平方和(含6棱全等的特例)，这里仅见的3维也可约去，公式可简化为： ( 1 3 ) 2 = ( 1 6 ) 2 + ( 1 6 ) 2 + ( 1 6 ) 2 + ( 1 6 ) 2 = 1 9 . 3.2. 当四面体3组对棱的平方和相等 存在“正交4球心间对棱垂直的四维体积勾股定理”。其特征正交4球心间体积的平方等于四组3球心与球面交点构成的直角四面体体积的平方和(含6棱全等的特例)。 特别是“四球正交体积勾股定理”的新发现，对正交4球(含垂心四面体)，在3D坐标系中，建立坐标、多项式的化简、计算相关几何参数和分析有了新的计算工具。
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user: 摘 要 18世纪提出的弦振动方程、调和方程与热传导方程等著名理论，在19世纪，逐渐形成偏微分方程的一般理论。20世纪后，生产实践和科学实验提出了大量的数学物理方程的新问题。这些都说明了偏微分方程发展的迅速，以及对生活的各个方面影响。它涉及多个领域，与其他学科中的交叉学科(比如：数学物理、金融数学、生物医学和通讯工程等学科)相结合发展，建立了多种适合于相应情况的数学模型，不断地扩大了偏微分方程的研究领域，为解决数学模型的建立问题提供了又一渠道。在实际生活中的运用是非常重要的，它能为我们提供一个快捷、简便易懂的方法去解决所遇到的问题。 关键词 :偏微分方程，数学物理方程，偏微分方程发展，交叉学科，数学模型 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 前言 偏微分方程的应用涉略于多个领域，与许多学科中的交叉学科(比如：数学物理、金融数学、生物医学和通讯工程等)相互结合共同进步、共同发展。偏微分方程的重要源泉是物理学、力学、电磁学与几何学。它起源于18世纪，发展于19世纪，兴盛于20世纪至今，在信息通讯、工程技术、生物数学、金融数学和图像处理等领域中备受关注。首先介绍了偏微分方程的发展及其意义；其次，在20世纪末以来，偏微分方程在备受关注的生物医学、物理学、金融数学与图像处理等领域大量涌现并得到应用。比如有年龄结构SIS型的传染病、微分几何、证券投资与图像处理等模型；最后，通过已叙述的几个实例说明建立数学模型并在其中运用偏微分方程的重要性，它们极大地推动了科学、技术、工程技术和社会的进步与发展。同时，它们也无时无刻地环绕在我们的身边，为我们的生活的各个方面提供着极大的便利，影响着我们的生活。
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user: 4. 数学模型的重要性 通过以上生活中不同方面数学模型的建立，可知道利用偏微分方程中的知识来建立数学模型在我们的实际生活中的应用是十分广泛的。合理而又正确地建立数学模型，在促进数学学科多方面发展的同时，也促进了社会的进步与发展。运用数学的语言与方法对各种实际对象作出抽象或模仿而形成的一种数学结构就是数学模型。它是数学中运用最典型的方法之一。其中把建立数学模型的过程称为数学建模。偏微分方程建模就是运用偏微分方程的思想和方法，去认真地了解、分析和解决社会中的应用问题。 数学模型这一方法越来越受到人们的重视，使许多的社会、经济等问题也越来越多的用偏微分方程(组)来建立，进而引起了社会各界的高度重视。我们要将实际问题转化为数学问题，构造出相应数学模型，从定性和定量的角度去分析和解决实际问题。例如，上面提到的BSM方程，不正是利用数学的工具，进行数学建模、理论分析等定量分析来研究金融方面的问题吗？回答当然是肯定的，正是利用与之相应的偏微分方程模型去代替生活中的实际对象，才可以将所需研究的现实问题运用数学模型表达成数学问题，再合理地利用数学工具去分析和处理问题，这样才能充分发挥数学工具在解决问题时的关键性作用，从而使我们能够深化对所需研究的实际问题的认识。 上述的几个用数学模型建立的偏微分方程的例子，目的就是为了说明建立数学模型具有重大的意义。现今科技与数学的飞速发展，以及电子计算机的广泛使用，使得想要实现数学化，建立数学模型成为了科技数学化的关键。我们身处于这个社会环境，经济发展等方面都需要运用数学模型，由于时间、空间的复杂性，需要忽略次要因素，抓住主要因素，建立合理、优化的偏微分方程模型，是为了让人们能更好、更方便地获取所需信息，从而推动社会的进步与发展。一些自然科学学科是比较容易建立偏微分方程模型的，如力学、物理学等，但也存在一些学科不是很容易建立偏微分方程模型，如生物学、金融学和社会学等。由于数学自身的快速发展，现代数学逐步地向高维、高次、多变量方向的迅猛发展，对于偏微分方程模型的建立要求也越来越高，不仅在于自然科学、工程建设等领域，更有经济、管理等领域，并成为一种解决社会环境，经济发展等问题的强有效的数学方法。
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user: 摘 要 本文通过 ψ ( x ) 的n阶导数，给出了广义Ramanujan常数 R ( a ， c − a ) = − 2 γ − ψ ( a ) − ψ ( c − a ) 的不同类型的级数展开式，这些级数展开式可以改进 R ( a ， c − a ) 的一些已知结果。 关键词 :广义Ramanujan常数，Psi函数，级数展开 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 在本文中，对于正实数x和y，Γ-函数、B-函数以及ψ-函数分别定义 [ 1 ] 为： Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t ， B ( x ， y ) = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) ， ψ ( x ) = Γ ′ ( x ) Γ ( x ) (1.1) 令 γ = lim n → ∞ [ ∑ k = 1 n 1 k − log n ] = 0 .57721566 ⋯ ，是Euler-Mascheroni常数，则 (1.2) 在 上定义Ramanujan常数 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] 为： (1.3) 当 时，式(1.3)记为 ， 结合式(1.2)~(1.3)知 。 当 时，式(1.3)记为 (1.4) 另外，Rieman-zeta函数 (1.5) 对 ， 有下面一些常用到的等式： (1.6) (1.7) (1.8) (1.9) (1.10) . 众周所知，Ramanujan常数 在零平衡的高斯超几何函数的研究中有着重要的应用，在特殊函数的一些其他领域也是必不可少的。而高斯超几何函数在特殊函数中有着极为重要的地位，与很多类型的特殊函数相关，它的性质和Γ-函数、B-函数以及ψ-函数密切相关，在研究这些函数的性质时经常用到Ramanujan常数 ，而 的级数展开是重要而有效的研究工具 [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] 。但目前 的一些已知性质主要考虑的是 的情况，本文的主要目的是建立广义Ramanujan常数 (即 的情形)的不同类型的级数展开。
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user: 2. 主要结果 本节给出主要结果，本节出现的 均是 。 首先，建立广义Ramanujan常数 在 点处的级数展开。 定理2.1. 设 ，广义Ramanujan常数 有如下的级数展开式： (2.1) 其中， 。 下面的定理中给出 的级数展开式。 定理2.2. 设 ，则 有如下的级数展开式： ，(2.2) 其中， . 下面的定理中，我们将 展开成 的级数。 定理2.3. 设 ，则 有如下的级数展开式： ， (2.3) 其中， 。
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user: 3. 主要结果的证明 本节给出定理2.1~2.3的证明。 定理2.1的证明：令 ，则 ， ，且 ， 根据式(1.5)和(1.9)可知， ， 于是， (3.1) 另外，由式(1.7)可知： (3.2) 有： (3.3) 由式(3.2)、(3.3)可得， 由 可得出第二个等式 . 定理2.2的证明：令 由式(1.4)及(3.3)可将 写成如下形式： (3.4) 当 时，式(3.4)化为 ， 对 求n阶导数，则 ， 由式(3.4)和(1.9)可知： (3.5) 因此， 在 处有如下的级数展开式： . 由此可得式(2.2)中的第一个等式。根据 可得式(2.2)中第二个等式。 定理2.3的证明：令 ， ， 易知 。由式(1.4)知， (3.6) 根据式(3.3)及 ， 可以写成 (3.7) 对 求n阶导数，可得 (3.8) 其中 . 结合式(3.8)， 有如下的级数展开式： (3.9) 由式(3.9)，可直接证得等式(2.3)。
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user: 摘 要 人类命运共同体理念自提出以来，赢得了世界大多数国家和人民的高度认同，延伸的区域命运共同体也在与诸多区域和地区的合作中取得了显著成效，将其与北极区域当前发展状况和未来发展形势相结合的北极命运共同体理念，将促进北极的合理开发、北极治理的优化和北极争端的进一步缓解。首先对北极开发利用现状和国际争端问题进行了分析，进而阐述了北极命运共同体的必要性，以及从北极自然和现实基础两个角度说明北极命运共同体建设的可行性，同时提出北极命运共同体的初步概念，并探讨“冰上丝绸之路”在北极命运共同体构建过程中所起到的三个基本作用，最后从中国角度提出推进北极命运共同体构建的策略。 关键词 :人类命运共同体，北极，北极命运共同体，冰上丝绸之路，大北极国家 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 党的十八大以来，习近平主席在多个国际场合和国际会议上，倡导性地提出应在世界上努力构建人类命运共同体，而后进一步从人类命运共同体细化至区域、国别命运共同体，先后提出共建中国–东盟命运共同体、中非命运共同体、海洋命运共同体、亚洲命运共同体等 [ 1 ] 。人类命运共同体从维护人类社会整体利益和消解国际社会矛盾的“共赢主义”视角出发，凸显了人类共生、共利、共荣的共同体意识 [ 2 ] 。构建人类命运共同体理念揭示了世界各国相互依存和人类命运紧密相联的客观规律，顺应了和平、发展、合作、共赢的时代潮流，准确把握了世界和人类社会的发展趋势，必将深刻影响人类社会的前途命运，必将不断地为人类社会发展指明前进方向。 随着全球变暖导致的北极冰雪消融，北极地区所展现的资源优势和航道开发潜力逐渐引起全世界的关注，在经济、科技不断发展的今天，开发利用北极成为许多国家的重要战略，北极地区也将成为世界发展的新重心。然而，北极也相应的成为了各国争抢的新战场，环北极国家之间因北极航线和北极资源而引起的争端一直无法解决，北极开发过程中也存在一系列问题，加之北极地区逐渐频繁的人类活动，北极环境的问题也日益凸显。在此背景下，人类命运共同体理念作为中国外交的新思维，为北极治理的机制创新提供了新思路，也为中国参与北极治理提供了依据 [ 3 ] 。中国作为人类命运共同体理念的积极倡导者和北极利益攸关者，有责任和义务推动构建北极命运共同体。另外，应将北极区域扩展为大北极区域，使更广泛的国家共同参与北极治理，将有效解决北极环境保护、资源分配以及治理体系化等问题，实现人类的共同利益。 “冰上丝绸之路”作为中俄合作以及亚欧美联通的重要通道，拉近了北半球国家、经济体、利益体之间的距离，近年来所取得的卓越成果已经得到了许多北极国家的认可，“冰上丝绸之路”建设过程中所展现的合作机制体现了中国相互尊重、公平正义、合作共赢的国际关系理念，并极大地推动了人类命运共同体理念的传播，将在北极命运共同体构建过程中发挥巨大作用。
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user: 2. “冰上丝绸之路”的由来和发展 近年来，随着全球气候变化、北冰洋变暖，北极航线显露出了巨大的交通价值和经济贸易价值。根据俄罗斯媒体报道，2014年途径北极航线的运货量为3982千吨，2015年为5432千吨，2016年为7266千吨，据估计到2020年，北极航线的货运量将会达到31，000千吨，2030年将会达到51，100千吨 [ 4 ] 。自2008年末开始的石油价格下滑，作为能源出口大国的俄罗斯收益暴跌，加上卢布汇率降低，以及西方对俄罗斯重工业实施的多轮制裁，再加上内需增长缓慢、外需增长不稳定等因素的影响，俄罗斯经济陷入困境。为吸引各国资金、技术和人才参与推动北方海航道建设，俄罗斯提出“冰上丝绸之路”概念，并选择了北极地区利益逐渐增大的中国作为共建北方海航道和“冰上丝绸之路”的伙伴。2017年5月，俄罗斯总统普京在“一带一路”国际合作高峰论坛上提出，“希望中国能利用北极航线，把北极航线同‘一带一路’连接起来”。俄罗斯的“冰上丝绸之路”合作倡议得到了中国政府的积极响应。2017年6月，中国国家发改委和当时的国家海洋局联合出台了《“一带一路”建设海上合作设想》，首次将北极航线确定为“一带一路”的三条蓝色经济通道之一。2017年7月初，习近平主席访俄期间，双方签署并发表了《中俄关于进一步深化全面战略协作伙伴关系的联合声明》，宣布两国将继续开展“一带一路”建设与欧亚经济联盟的对接，开展北极航线合作，共同打造“冰上丝绸之路”。同年11月2日，俄罗斯总理梅德韦杰夫访华，习近平主席在与其会晤时再次强调，“要做好‘一带一路’建设同欧亚经济联盟对接，努力推动滨海国际运输走廊等项目落地，共同开展北极航线开发和利用合作，打造‘冰上丝绸之路’”。2017年12月8日，中俄共建的亚马尔液化天然气项目开始投产，成为中俄共建“冰上丝绸之路”的首个建设成果 [ 5 ] 。2018年1月公布的《中国的北极政策》白皮书也指出，“中国愿依托北极航线的开发利用，与各方共建‘冰上丝绸之路’”。2018年6月普京访华期间，中俄发表联合声明再次强调要加强中俄北极可持续发展合作。2019年6月5日，习近平在莫斯科克里姆林宫同俄罗斯总统普京会谈共同签署《中华人民共和国和俄罗斯联邦关于发展新时代全面战略协作伙伴关系的联合声明》，并在声明中提到，将推动中俄北极可持续发展合作、在遵循沿岸国家权益基础上扩大北极航线开发利用以及北极地区基础设施、资源开发、旅游、生态环保等领域合作，同时，中国海洋石油有限公司、中国石油天然气集团公司与俄罗斯最大独立天然气生产商诺瓦泰克公司签署了相关协议，致力于开展北极地区世界级液化天然气项目的合作，中远海运集团与俄罗斯诺瓦泰克股份公司、俄罗斯现代商船公共股份公司以及丝路基金有限责任公司签署《关于北极海运有限责任公司的协议》。 对于“冰上丝绸之路”的概念，中国驻俄大使李辉通过翻译俄罗斯的“冰上丝绸之路”概念，称“冰上丝绸之路”系指穿越北极圈，连接北美、东亚和西欧三大经济中心的海运航道 [ 6 ] 。狭义上来说，“冰上丝绸之路”是俄罗斯针对开发北方海航道向中国提出的合作邀请，而在经过中国近几年对该概念的发展和充实，将其辐射到整个北极航线和北极区域，赋予“冰上丝绸之路”更丰富的含义，广义的“冰上丝绸之路”是为实现北极航线的开发及沿线港口与腹地的发展，经由北极航线区域的国家和地区之间开展的经济、政治、文化方面的国际合作，以达到共同建设连接欧洲与北美地区的蓝色经济通道。不管采用哪种“冰上丝绸之路”含义，都应以发展的眼光、国际的角度来看待“冰上丝绸之路”，思考“冰上丝绸之路”提出的国际合作与和平建设倡议，看到“冰上丝绸之路”所具有的广阔的战略发展前景。为使“冰上丝绸之路”更好地与北极命运共同体对接，如无特殊说明，本文后续研究内容采用的是广义的“冰上丝绸之路”概念。
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user: 5. 以“冰上丝绸之路”推进北极命运共同体构建的策略 人类命运共同体是由习近平提出的、为世界贡献的、顺应时代潮流、汇聚人类力量、承担国际责任、实现合作共赢的方案 [ 20 ] ，而在构建北极命运共同体过程中，中国应担负起相应的责任和义务，积极推广人类命运共同体理念，在此过程中，“冰上丝绸之路”将始终发挥着不可或缺的作用，中国可以以“冰上丝绸之路”为平台，实施多元策略，从多角度展示中国的北极态度。 5.1. 坚定基本原则和立场 2018年1月26日中国发布了《中国的北极政策》白皮书，其中表达了中国的北极政策目标是：认识北极、保护北极、利用北极和参与北极治理，维护各国和国际社会在北极的共同利益，推动北极的可持续发展，以及为了实现以上政策目标，中国参与北极事务的基本原则是“尊重、合作、共赢、可持续” [ 21 ] 。需要清楚地认识到，中国在参与建设和做出贡献的过程中将会长期感受到外部的压力和疑虑，国际上依然有许多声音恶意揣测中国参与北极事务的目的，抹黑中国在北极事务中的立场。为此，中国应当在未来“冰上丝绸之路”开展及北极命运共同体构建过程中坚定贯彻《中国的北极政策》中的基本原则，并且坚持“不越位，不缺位”的基本立场，不介入完全属于北极国家之间以及北极区域内部的事务，同时积极参与关于北极跨区域和全球性问题的国际磋商和论坛会议，发挥协调和引导作用。 5.2. 积极承担北极责任 中国将以“冰上丝绸之路”为纽带与大北极国家产生更多联系，届时国际政治环境的变化也将增多，要在保障自身的利益的前提下友好处理对外关系，方能更好地推广人类命运共同体理念，推动北极命运共同体构建。虽然中国是非北极国家，在北极事务上无法获得与北极国家同等的权利，但在北极命运共同体中，中国由于提供了基础理论、分享了合作经验、为推动人类命运共同体付出巨大政治经济努力而处于不可代替的核心地位，未来北极命运共同体构建过程中也需要中国发挥引领作用，因此中国应以“冰上丝绸之路”为基础平台，积极承担其相应北极责任，积极参与北极相关论坛及会议，参与北极相关国际法规的制定，同时为更广泛的大北极网络中的非北极国家努力谋求参与北极问题的机遇，为维护北极和世界的和平与发展不断贡献中国智慧、中国方案、中国力量。 5.3. 发挥国家自身优势 构建北极命运共同体的过程中，各合作国家都应充分发挥各自的资源优势，中国也应认清自身优势并充分发挥。在“冰上丝绸之路”建设中，中国拥有强大的基础设施建设能力，可以与俄罗斯合作完成重大跨境基础设施建设，同时中国具有在冻土地带建设高速铁路的技术以及在水文、通信设施设备建设等方面的资源和经验，可以共建统一的北极航线的航海保障体系。而在北极命运共同体构建中，中国除了可以提供独有技术外，还可以与基础设施薄弱国家进行项目合作，提供所需资金、物质资源和劳动力，与各方共建“冰上丝绸之路”，并将中国悠久的传统文化与当今国际合作发展经验相结合，不断丰富完善人类命运共同体思想，并将其向全世界推广分享。 5.4. 坚持以合作促发展 北极命运共同体的核心是合作共赢。十八大报告提出“合作共赢，就是要倡导人类命运共同体意识，在追求本国利益时兼顾他国合理关切，在谋求本国发展中促进各国共同发展，建立更加平等均衡的新型全球发展伙伴关系，同舟共济，权责共担。增进人类共同利益” [ 22 ] 。习近平主席在多个国际场合深刻诠释了中国以义为先、先义后利的传统理念，强调只有义利兼顾才能义利兼得、只有义利平衡才能义利共赢 [ 22 ] 。中国一直以来能够保持和平稳定发展便在于中国所追求的始终是共同利益、始终坚持互利共赢，始终主张以合作促发展。在北极命运共同体构建中，中国应贯彻“冰上丝绸之路”建设中形成的合作机制，向世界分享“冰上丝绸之路”经验，将共同利益作为合作共赢理念的重要支撑，将合作作为实现国家利益的最有效途径，与合作国家就人类命运共同体理念达成合作共识，同时在合作中将对利益的追求与对北极的责任结合起来，科学开发北极，实现北极可持续发展。 5.5. 注重保护环境 任何地域的开发都要协调好经济发展与环境保护之间的平衡关系，尤其北极地区作为地球生态系统重要的组成部分，影响着全球气候的变化，北极环境的变化对位于北半球的大北极诸多国家的气候、海洋生态系统都会产生联动效应，因此应将保护北极环境作为构建北极命运共同体的基本要求，共同处理北极面临的生态环境挑战。中国作为近北极国家应以“冰上丝绸之路”为参与北极环境保护的切入点，寻求与“冰上丝绸之路”合作国家组成联合科考团队，开展与北极环境变化有关的广区域、深层次科考活动；积极推动与北极国家的关于北极物种保护和生态系统自然恢复工作的实施 [ 23 ] ；积极探索与国际非政府组织的对话、沟通与合作渠道，在“冰上丝绸之路”共建过程中吸纳民间社会的意见与智慧，同时传播中国的人类命运共同体的理论思想；努力与大北极国家共同建立完善的全球性的北极环境保护机制。
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user: 6. 结论 当前，北极命运共同体还处于构建初期，应当把握好“冰上丝绸之路”良好发展态势，运用好其在北极命运共同体构建过程中的催化、规范和基础作用，不断丰富北极命运共同体理论概念和治理机制，联合更多大北极国家，推动人类命运共同体构建，而无论中国未来在大北极网络中的影响力如何，中国作为北极重要利益攸关国的身份不会改变，始终坚定坚持中国的基本原则和立场，反对北极霸权，与各方一道努力实现北极的可持续发展。
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user: 摘 要 本文考虑了与一类非局部算子，即分数阶Laplace算子相关的一个重排优化问题。首先利用第一特征值性质证明含分数阶Laplace算子的扰动方程存在唯一解，然后以该分数阶Laplace算子方程相关的能量泛函为目标函数研究一个重排优化问题，最后在一定的条件下得到此极小重排优化问题的可解性。 关键词 :非局部算子，重排优化，扰动项 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 令 Ω ⊂ R N 为一个有界光滑区域，所谓 Ω 上可测函数f生成的重排函数空间 R ( f ) 是指由所有满足条件： m e a s ( { x ∈ Ω : g ( x ) ≥ a } ) = m e a s ( { x ∈ Ω : f ( x ) ≥ a } ) ， ∀ a ∈ R 的可测函数g组成的全体。 如果可行集为某个可测函数的所有重排函数组成的重排函数空间，则在此可行集上考虑的最优化问题即是重排优化问题。重排优化问题的相关理论最早由Burton建立，见参考文献 [ 1 ] [ 2 ] 。之后许多作者在寻找重排优化问题最优解的存在性和唯一性以及对称性等不同方面做了很多更为广泛的研究，见参考文献 [ 3 ] - [ 9 ] 。 值得注意的是，以上文献中研究的都是Laplace算子等局部算子相关的重排优化问题。非局部算子相关的重排优化问题研究结果并不多见。 在文献 [ 10 ] 中，我们考虑了如下边值问题 { − L θ s u = f ( x ) + h ( x ， u ) ， x ∈ Ω u = 0 ， x ∈ R N \ Ω (1.1) 相关的重排优化问题，其中 L θ s 是如下定义的分数阶Laplace型非局部算子 L θ s u ( x ) = ∫ R N u ( x + y ) + u ( x − y ) − 2 u ( x ) | y | N + 2 s θ ( y ) d y ， x ∈ R N ， 更多非局部算子相关的重排优化问题研究结果见 [ 11 ] [ 12 ] 。 在文献 [ 10 ] 中，扰动项 h ( x ， u ) 关于第二变元单调非增是方程(1.1)存在唯一解的一个重要假设条件。 本文将考虑如下的扰动方程 ( P λ ， h ， f ) { ( − Δ ) s u = f ( x ) + λ h ( x ) u ， x ∈ Ω u = 0 ， x ∈ R N \ Ω 引出的重排优化问题，其中 λ > 0 为一个参数， h ( x ) > 0 为某个可测函数。 容易看出，扰动项 λ h ( x ) u 关于第二变元是单调递增的，这是与文献 [ 10 ] 中关于扰动项 h ( x ， u ) 条件的一个重要区别。 记 I : H s ( Ω ) → R 为方程 ( P λ ， h ， f ) 的能量泛函，即 I ( u ) = 1 2 ∫ R N ∫ R N ( u ( x ) − u ( y ) ) 2 | x − y | N + 2 s d x d y − λ 2 ∫ Ω h u 2 d x − ∫ Ω f u d x (1.2) 假设 h 0 ， f 0 为可测函数，本文将研究下述重排优化问题：是否存在 h ^ ∈ R ( h 0 ) ， f ^ ∈ R ( f 0 ) 使得 (Opt) I ( u h ^ ， f ^ ) = inf h ∈ R ( h 0 ) ， f ∈ R ( f 0 ) I ( u h ， f ) ? 其中 u h ， f 为方程 ( P λ ， h ， f ) 的唯一基态解(参见定理3.1)。 不同于文献 [ 11 ] [ 12 ] ，文献 [ 11 ] 考虑的是与非局部算子相关的第一特征值优化问题，文献 [ 12 ] 研究的为含分数阶Laplace算子的形状优化问题。与文献 [ 10 ] 不同，由于本文研究的重排优化问题(Opt)中具有两个独立选取的函数 h 0 和 f 0 ，这将给我们的研究带来更多困难。
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user: 2. 预备知识 仍记 Ω ⊂ R N 为一个有界光滑区域。定义分数阶Sobolev空间如下 H s ( Ω ) = { u ∈ L 2 ( R N ) : u ≡ 0 ， x ∈ R N \ Ω ， ∫ R N ∫ R N ( u ( x ) − u ( y ) ) 2 | x − y | N + 2 s d x d y < ∞ } ， 其中 0 < s < 1 。 H s ( Ω ) 为Hilbert空间，其中u和v之间的内积定义为： 〈 u ， v 〉 = ∫ R N ∫ R N ( u ( x ) − u ( y ) ) ( v ( x ) − v ( y ) ) | x − y | N + 2 s d x d y ， ∀ u ， v ∈ H s ( Ω ) . 设 u ∈ H s ( Ω ) ，则u的范数为 ‖ u ‖ = ( ∫ R N ∫ R N ( u ( x ) − u ( y ) ) 2 | x − y | N + 2 s d x d y ) 1 2 . 定义2.1 称 u ∈ H s ( Ω ) 为方程 ( P λ ， h ， f ) 的一个解，如果 ∫ R N ∫ R N ( u ( x ) − u ( y ) ) ( v ( x ) − v ( y ) ) | x − y | N + 2 s d x d y − ∫ Ω ( λ h u v + f v ) d x = 0 ， ∀ v ∈ H s ( Ω ) . 容易验证，方程 ( P λ ， h ， f ) 的能量泛函 I ∈ C 1 ( H s ( Ω ) ， R ) 且 I ′ ( u ) v = ∫ R N ∫ R N ( u ( x ) − u ( y ) ) ( v ( x ) − v ( y ) ) | x − y | N + 2 s d x d y − ∫ Ω ( λ h u v + f v ) d x ， ∀ v ∈ H s ( Ω ) . 所以， u ∈ H s ( Ω ) 为方程 ( P λ ， h ， f ) 的解当且仅当 I ′ ( u ) v = 0 ， ∀ v ∈ H s ( Ω ) 。 在本文中，我们将记 ‖ u ‖ L p 为通常的空间 中的范数。记号C表示某个正常数。 现在我们给出一些本文中常用的引理。 引理2.1 (见文献 [ 13 ] 引理8) 可以连续嵌入 ，其中 且当 时 是紧嵌入。 引理2.2 (见文献 [ 2 ] 引理2.1) 若 ，则对任意的 都有 且 。 引理2.3 (见文献 [ 7 ] 引理2.3) 设 ， 则存在 为关于 的线性泛函 最大值点。 引理2.4 (见文献 [ 14 ] 引理6.2和定理6.1) 特征值方程 (2.1) 的第一特征值 可表示如下： (2.2) 且若 ，则存在 使得 . (2.3)
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user: 3. 方程 解的存在唯一性 定理3.1 设 ， ， ， ，其中 表示特征值方程 的第一特征值，则方程 存在唯一解 ，且 。 证明：第一步：证明方程 解的存在性。任取 ，结合Holder不等式和引理2.1可得 ， 其中 。 利用(1.2)和(2.2)，容易知道 ， 若 ， 所以泛函I是强制的。 容易看出泛函I是弱下半连续的。因此，I存在一个全局极小点 即 。又 ，则由全局极小原理可得 是方程 的一个解，即 . 第二步：证明方程 解的唯一性。 利用反证法，假设存在 是方程 的解且 ，即至少存在一个正测集 使得 . (2.4) 由定义2.1可知，对任一个 都有 ， . 上两式相减可得 . 特别地，令 并注意到 ， 则由(2.2)，(2.4)可知 矛盾。 综上：方程 存在唯一解 。 注：若 ， 是方程 的一个解，令 是方程 的特征函数，则容易验证，对任意的 和 都有 . 由定义2.1，这表明 也是方程 的解。因此，本文只考虑 的情形以保证方程 解的唯一性。