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user: 2. 预备知识 2.1. 模型描述 考虑如下具有空间扩散耦合和状态耦合的时空网络模型： { ∂ z r ( x ， t ) ∂ t = D Δ z r ( x ， t ) + A z r ( x ， t ) + B f ( z r ( x ， t ) ) + ε ∑ j = 1 m w r j Γ Δ z j ( x ， t ) + ε ∑ j = 1 m w r j Γ ^ Δ z j ( x ， t ) ， z r ( x ， 0 ) = z r 0 ( x ) ，     x ∈ [ 0 ， L ] ， (1) 其中 r = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ； z r ( x ， t ) = ( z r 1 ( x ， t ) ， z r 2 ( x ， t ) ， ⋯ ， z r n ( x ， t ) ) T 是第r个节点的时空状态； Δ = ∂ 2 ∂ x 2 代表拉普拉斯算子； f ( z r ( x ， t ) ) ∈ R n 是一个连续的非线性向量函数； z r 0 ( x ) 是 [ 0 ， L ] 上连续且有界的初值解； D = diag { d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d n } > 0 代表传播扩散矩阵；A和B是 n × n 维实矩阵； ε > 0 代表整体耦合强度； Γ = diag { γ 1 ， γ 2 ， ⋯ ， γ n } > 0 和 Γ ^ = diag { γ 1 ， γ 2 ， ⋯ ， γ n } > 0 是正定的内耦合矩阵； W = ( w r j ) m × m 表示网络的拓扑结构，其中如果节点r和节点j之间存在通信，那么 w r j = w j r ≠ 0 ，否则 w r j = 0   ( r ≠ j ) ，此外 w r j = − ∑ j = 1 ， r ≠ j m w r j 。 系统(1)满足如下混合边界条件： z r ( x ， t ) = 0 n ，     ∂ z r ( x ， t ) ∂ x | x = L = U r ( t ) ， (2) 其中 U r ( t ) = ( U r 1 ( t ) ， U r 2 ( t ) ， ⋯ ， U r n ( t ) ) T 是控制器。 设孤立节点的状态为系统(1)的同步态，且满足下列动力学方程： { ∂ ξ ( x ， t ) ∂ t = D Δ ξ ( x ， t ) + A ξ ( x ， t ) + B f ( ξ ( x ， t ) ) ， ξ ( x ， 0 ) = ξ 0 ( x ) ，     x ∈ [ 0 ， L ] ， ξ ( x ， t ) = ∂ ξ ( x ， t ) ∂ x | x = L = 0 n ，     t ∈ [ 0 ， + ∞ ) . (3) 定义 σ r ( x ， t ) = ( σ r 1 ( x ， t ) ， σ r 2 ( x ， t ) ， ⋯ ， σ r n ( x ， t ) ) T = z r ( x ， t ) − ξ ( x ， t ) ，则同步误差系统为： { ∂ σ r ( x ， t ) ∂ t = D Δ σ r ( x ， t ) + A σ r ( x ， t ) + B f ˜ ( σ r ( x ， t ) ) + ε ∑ j = 1 m w r j Γ Δ σ j ( x ， t ) + ε ∑ j = 1 m w r j Γ ^ Δ σ j ( x ， t ) ， σ r ( x ， 0 ) = z r 0 ( x ) − ξ 0 ( x ) ，     x ∈ [ 0 ， L ] ， σ r ( 0 ， t ) = 0 n ，     ∂ σ r ( x ， t ) ∂ x | x = L = U r ( t ) ，     t ∈ [ 0 ， + ∞ ) ， (4) 其中 f ˜ ( σ r ( x ， t ) ) = f ( z r ( x ， t ) ) − f ( ξ ( x ， t ) ) ∈ R n 。 定义1. [ 15 ] 对系统(1)和(3)满足不同初始条件和边界条件的任意解 z r ( x ， t ) 和 ξ ( x ， t ) ，若存在固定的时间 T max ≥ 0 和停息函数 T ( σ ( x ， 0 ) ) ≥ 0 使得 且 T ( σ ( x ， 0 ) ) ≤ T max ，则称系统(1)是固定时间同步的。 2.2. 引理和假设 为了得到主要结果，下面引入一些必要的假设和引理。 引理1. [ 13 ] 假设 F ( r ) : [ 0 ， L ] → R n 是连续且平方可积的函数，满足 F ( 0 ) = 0 或 F ( L ) = 0 ，则对于 Q > 0 有 ∫ 0 L F T ( r ) Q F ( r ) d r ≤ 4 L 2 π 2 ∫ 0 L ( d F ( r ) d r ) T Q ( d F ( r ) d r ) d r . 引理2. [ 15 ] 如果存在一个正则，正定且径向无界的函数 F ( x ( t ) ) : R n → R 使得： d d t F ( x ( t ) ) ≤ a F ( x ( t ) ) − b F η ( x ( t ) ) − c F δ ( x ( t ) ) ，     x ( t ) ∈ R n \ { 0 n } ， 其中 a ∈ R ， b ， c > 0 ， 0 < η < 1 ， δ > 1 ，则以下结果成立： (1) 若 a ≤ 0 ，则当 t ≥ T ( x ( 0 ) ) 时有 F ( x ( t ) ) = 0 ， x ( t ) = 0 ，且 T ( x ( 0 ) ) 满足： T ( x ( 0 ) ) ≤ T max 1 = π δ − η ( b c ) v csc ( v π ) ， 其中 v = 1 − η δ − η 。 (2) 若 0 < a < min { b ， c } ，则当 t ≥ T ( x ( 0 ) ) 时有 F ( x ( t ) ) = 0 ， x ( t ) = 0 ，且 T ( x ( 0 ) ) 满足： T ( x ( 0 ) ) ≤ T max 2 = π csc ( v π ) c ( δ − η ) ( c b − a ) 1 − v I ( c b + c − a ， v ， 1 − v ) + π csc ( v π ) b ( δ − η ) ( b c − a ) v I ( b b + c − a ， 1 − v ， v ) ， 其中Beta函数比率 I ( x ， y ， z ) 定义为 I ( x ， y ， z ) = 1 B ( y ， z ) ∫ 0 x t y − 1 ( 1 − t ) z − 1 d t ， 且Beta函数 B ( y ， z ) 定义为 B ( y ， z ) = ∫ 0 1 t y − 1 ( 1 − t ) z − 1 d t ， 其中 0 ≤ x ≤ 1 ， y > 0 ， z > 0 。 (1) 若 0 < a < 2 b c ， η + δ = 2 ，则当 t ≥ T ( x ( 0 ) ) 时有 F ( x ( t ) ) = 0 ， x ( t ) = 0 ，且 T ( x ( 0 ) ) 满足： T ( x ( 0 ) ) ≤ T max 3 = 1 δ − 1 2 4 b c − a 2 ( π 2 + arctan ( 2 4 b c − a 2 ) ) . 引理3. [ 16 ] 设 c k ≥ 0 ， 0 < u ≤ 1 ， v ≥ 1 。则有 ∑ k = 1 s c k u ≥ ( ∑ k = 1 s c k ) u ，     ∑ k = 1 s c k v ≥ s 1 − v ( ∑ k = 1 s c k ) v . 假设1. 对于任意向量 a ， b ∈ R n ，存在常数 ρ > 0 使得 ‖ f ( a ) − f ( b ) ‖ ≤ ρ ‖ a − b ‖ .