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user: 3. 空间地图投影数学分析研究对策 针对当前空间地图投影研究存在的问题，笔者认为非常有必要开展空间地图投影计算机代数精密分析研究，以空间地图投影各种数学分析过程和数学模型为研究对象，充分利用具有严格解析意义的计算机代数分析方法，借助计算机代数系统强大的数学分析能力 [ 23 ] [ 24 ] ，系统地解决过去人工推导未能完美解决的空间地图投影数学分析问题，推导和建立理论上更为严密、形式上更为简单、精度上更为精确的空间地图投影新公式和新算法，揭示各类空间地图投影复杂数学模型和海量数据背后隐藏的规律，实现空间地图投影在一些具体数学分析问题上的突破和创新，进一步丰富和完善空间地图投影的理论体系。具体可以从以下四个方面开展研究。 3.1. 卫星地面轨迹投影计算机代数精密分析研究 卫星地面轨迹也称卫星星下点轨迹，即地心至卫星的向径与地球表面的交点(星下点)在地面上移动的轨迹，如图1所示。卫星地面轨迹投影是指将卫星星下点轨迹描绘在地图上的投影，是构建卫星图像空间地图投影的基础，因此是空间地图投影的一项重要内容。研究卫星地面轨迹投影的目的是为了便于确定卫星地面轨迹的位置。 图1. 卫星星下点示意图 现有的关于卫星地面轨迹线的投影主要有三种基本形式：一是圆柱投影，即卫星轨道圆柱投影；二是双正形纬线圆锥投影，包括双纬线卫星轨迹正形圆锥 投影和双正形纬线卫星轨迹圆锥投影(其中一纬线为轨迹极限)；三是单标纬圆锥投影，包括单正形纬线卫星轨迹圆锥投影和最接近方位投影的卫星轨迹圆锥投影。 卫星地面轨迹方程和投影的计算涉及卫星轨道摄动、椭球偏心率幂级数展开、复合函数微分、三角函数变换、超越函数解算等一系列与时间变量有关的复杂数学分析问题。这些问题过去由于历史条件和分析手段的限制，许多推导过程由人工完成，特别是为了推导方便，采取了一些这样或那样的近似处理，如现有的算法通常将地球简单视为球体，不仅理论上不够严密，而且包含复杂的迭代过程，计算效率不高。 因此，需要基于地球椭球模型，对卫星地面轨迹方程、卫星地面轨迹圆柱投影、卫星地面轨迹圆锥投影以及卫星地面轨迹方位投影进行深入研究，利用计算机代数分析方法，借助计算机代数系统的强大数学分析和符号推导能力，消除以往采取的近似处理和迭代运算，推导理论上更为严密、形式上更为简单、精度上更为精确的符号化的新公式和新算法。 3.2. 空间地图投影正反解的计算机代数精密分析研究 空间地图投影正反解涉及大量的椭球偏心率幂级数展开、隐函数高阶导数求取、特殊函数展开、空间坐标变换等一系列包含时间变量的繁琐的符号推导过程。人工处理这些问题既费时费力，又非常繁琐、容易出错，并且随着展开阶数的增高，展开式的复杂性会呈几何级数增加，变得人工几乎不可能推导。过去有些算法是基于球体模型导出的，存在近似，精度不高；有些算法正反解表达式相当复杂繁琐，计算效率不高；特别是有些投影正解展开式系数为积分形式，应用时以具体的数值形式给出，对于不同的椭球需要重新计算系数，不便于推广应用，反解展开式则包含繁琐的迭代计算，理论分析不甚方便。而借助计算机代数系统则可以提高正解的推导效率，确保结果的准确性，并有可能导出反解无需迭代的直接公式，实现算法上的突破。 因此，需要利用计算机代数分析方法，借助计算机代数系统强大的数学分析能力，系统研究空间方位投影、空间圆柱投影、空间圆锥正反解的计算机代数解法，重点研究各类空间地图投影正反解中涉及到的椭球偏心率幂级数展开、傅里叶级数展开、空间坐标变换、三角函数变换等数学分析过程，通过具有严格解析意义的数学分析，导出各类空间地图投影正反解关于椭球偏心率的符号表达式，使其理论上更为严密、形式上更为简单、精度上更为精确，解决空间地图投影正反解以往限于历史条件和分析手段未能完美解决的数学问题，实现空间地图投影在一些具体问题上的突破和创新。 因此，需要从等角空间投影和复变函数的内在联系出发，研究各类等角空间投影正反解的复变函数表示，借助计算机代数分析方法和计算机代数系统，推导出严密、准确、简单的等角空间投影正反解的复变函数表达式。 为便于分析和推导，空间地图投影有时需要采用“空间双重投影法”，即首先将椭球面按某种数学准则投影于球面，然后将球面投影于平面。因此，选取合适的数学准则，以使椭球面投影于球面的变形较小也是一个非常值得研究的问题。当前，椭球面投影于球面的准则主要有等距离、等角、等面积三种，这些准则以及球体半径的确定会涉及大量关于椭球偏心率的幂级数展开、复合函数的积分等运算，过去对这些问题的研究并不全面和充分，不仅包含很多的近似处理，而且有些公式还是具体的数值形式，不便于推广应用。因此，需要利用计算机分析方法，借助计算机代数系统强大的数学分析能力，探索更有效的空间双重投影准则，推导更加严密、准确的符号化的空间双重投影公式。 3.3. 空间地图投影变换计算机代数精密分析研究 空间地图投影变换包括不同空间地图投影之间的变换、空间地图投影与传统地图投影之间的变换。过去人们更多地关注空间地图投影与传统地图投影之间的变换问题，而较少研究不同空间地图投影之间的变换。采用的主要是反解变换法和数值变换法，反解变换法需要反解出椭球面地理坐标，有时需要经过繁琐的迭代运算，使得计算过程变得相当复杂，计算效率不高，数值变换法对于较大区域的地图为了保证变换精度必须分块处理，特别是这两种方法而未能建立投影坐标间的直接关系式，不能表达编图和制图过程中的数学实质，而且变换中有些公式的系数表现为适用于特定参考椭球的具体数值形式，不便于推广应用。 因此，需要将在导出的空间地图投影正反解表达式基础上，利用计算机代数分析方法，借助计算机代数系统强大的数学分析能力，研究空间地图投影变换的计算机代数精密分析，具体包括以下两个方面： a) 不同空间地图投影之间的变换； b) 空间地图投影和传统地图投影之间的变换。 研究中综合考虑正轴、横轴、斜轴三种情形，与传统反解变换不同的是，重点关注和研究椭球情形下不同变形性质间各类空间地图投影直接变换的数学分析过程，通过具有严格解析意义的计算机代数分析，推导出理论上更为严密、形式上更为简单、精度上更为精确的符号化的新公式和新算法。 对于等角空间投影之间的变换以及等角空间投影与传统等角投影之间的变换，传统上通常将一种等角投影的坐标展开为另一种等角投影坐标的幂级数形式，虽然是不同等角投影坐标间的直接关系式，但存在近似处理，特别是其计算精度受变换区域大小的限制。因此，需要在各类等角空间投影和传统等角投影正反解的复变函数表示基础上，利用计算机代数分析方法，借助计算机代数系统强大的数学分析能力，建立等角空间投影之间以及等角空间投影和传统等角投影之间直接变换的严密、准确、简单的复变函数表示模型，实现算法上的突破和创新。 3.4. 空间地图投影计算机代数可视化研究 过去地图投影可视化大都需要大型软件的支持，推广应用不甚方便。计算机代数系统不但具有符号推导功能，而且具有强大的可视化分析能力。借助于这些能力，将使人们更容易发现各类空间地图投影模型和大量数据背后隐藏的规律。因此，需要借助计算机代数系统强大的可视化功能，开展空间地图投影计算机代数可视化研究，具体包括：卫星地面轨迹投影的可视化表现手段和算法，各类空间地图投影角度、长度和面积变形的可视化表现手段和算法，分析投影后经纬线变形规律和特点，探索和设计新型空间地图投影；各类空间地图投影变换的可视化表达手段和算法。 利用计算机代数分析方法，通过计算机代数系统探索在动态、多维条件下的空间地图投影可视化表达，重点是将那些过去很难设想和非常相似的空间地图投影数学模型以及海量空间地图投影数据以动态直观的方式表现出来，其目的是提高对空间地图投影复杂数学过程分析的洞察能力，提高多维和多时相空间地图投影数据的显示能力，改善空间地图投影信息的表达效果。 通过计算机代数可视化分析，使空间地图投影数学分析变得生动有趣，给视觉化的空间地图投影研究带来了巨大改进，有效增强用户对于特殊空间地图投影方式的理解，通过建立新的可视化算法，优化空间地图投影变形设计，提高空间地图投影对空间信息表述的准确性。