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user: 3. 模型构造 3.1. Copula函数 根据Sklar定理，任何一个联合分布函数都可由边缘分布函数和Copula函数构成，且如果所有的边缘分布函数均连续，则可以确定唯一的Copula函数。由于Copula函数具有将联合分布函数与边缘分布函数相连接的作用，故被称为连接函数，该函数可用于描述两个随机变量之间的相依结构。 3.2. 边缘分布函数 金融时间序列的显著特征之一是存在条件异方差。由于异方差可能使t检验结果及模型的预测产生不良影响，故需先消除异方差。为此，Engel [ 2 ] 提出自回归条件异方差模型(ARCH模型)。在此基础上，Bollerslev [ 3 ] 为提高模型的实用性，提出广义自回归条件异方差模型(GARCH模型)。 基本的GARCH(p，q)模型表示如下： 均值方程： r t = c + ∑ i = 1 p     φ i r t − i + ε t (1) 方差方程： σ t 2 = α 0 + ∑ i = 1 p     α i ε t − i 2 + ∑ j = 1 q     β j σ t − j 2 (2) 其中， r t 表示资产收益率， ε t 表示随机误差项。 σ t 2 表示t时刻 ε t 的条件方差，对于给定的随机变量 ε t − 1 2 ， ε t − 2 2 ， ⋯ ， ε t − p 2 ，有 σ t 2 = E ( ε t / ε t − 1 2 ， ε t − 2 2 ， ⋯ ， ε t − p 2 ) 。 α i 和 β j 为待估计参数。 由于金融时间序列的条件分布常出现高峰厚尾、偏斜等特征，不满足正态分布假设，而t分布、Skewed-T分布等可以更加合理地描述金融序列。由于比特币和S&P500的收益率序列均向左偏斜，而Skewed-T分布模型(Bruce E. Hansen)可以准确拟合偏态分布时间序列数据，故本文选用该分布。其密度函数如下式所示： Skewed-T ( z | η ， Φ ) = { b c [ 1 + 1 η − 2 ( b z + a 1 − Φ ) 2 ] − η + 1 2 ， z < − a b b c [ 1 + 1 η − 2 ( b z + a 1 + Φ ) 2 ] − η + 1 2 ， z ≥ − a b (3) 其中， a = 4 Φ c η − 2 η − 1 ， b = 1 + 3 Φ 2 − a 2 ， c = Γ ( η + 1 2 ) π ( η − 2 ) Γ ( η 2 ) ； η 为函数的峰度参数，其取值范围为 2 < η < ∞ ； Φ 为函数的不对称参数，其取值范围为 − 1 < Φ < 1 。 3.3. 动态条件相依结构 Copula模型可以用来进行金融市场联动性分析。本文选用Student-Copula (t-Copula)、Gaussian-Copula、Clayton-Copula和SJC-Copula四个模型拟合加密数字货币和美国股票市场相依关系，依据AIC和Log Likelihood准则，t-Copula的拟合效果最好。因此，本文运用参数时变的二元动态t-Copula来描述股票市场和加密数字货币市场之间的动态非线性相依性，函数模型介绍如下。 自由度为v的二元时变t-Copula函数的分布函数和密度函数分布为： C ( u ， υ ; ρ ， v ) = ∫ − ∞ T v − 1 ( u ) ∫ − ∞ T v − 1 ( υ ) 1 2 π 1 − ρ 2 ⋅ [ 1 + r 2 + s 2 − 2 ρ r s v ( 1 − ρ 2 ) ] − v + 2 2 d r d s (4) c ( u ， υ ; ρ ， v ) = ρ − 1 2 Γ ( v + 2 2 ) Γ ( v 2 ) [ Γ ( v + 1 2 ) ] 2 { 1 + [ T v − 1 ( u ) ] 2 + [ T v − 1 ( υ ) ] 2 − 2 ρ T v − 1 ( u ) T v − 1 ( υ ) v ( 1 − ρ 2 ) } − v + 2 2 ∏ i = 2 2 { 1 + [ T v − 1 ( ⋅ ) ] 2 v } − v + 2 2 (5) 其中 u ， υ 是随机变量， ρ 是相关系数， T v − 1 ( ⋅ ) 是自由度为v的t-Copula函数的逆函数。 时变t-Copula函数自身尾部较厚，因而对随机变量尾部的相关变化较敏感，故针对金融序列的偏斜、峰尖尾厚等特征有较好的适用性 [ 25 ] [ 26 ]；同时该函数也可以刻画出变量间相关关系的对称特点，即无论是增大或减小，变量的变化趋势总是对称的。 3.4. 时变t-Copula-GARCH(1，1)-Skewed-T模型参数估计 设随机变量 R cryptocurrency 和 R stock ，其边缘分布分别为 F ( R cryptocurrency ; θ 1 ) 和 G ( R stock ; θ 2 ) ，边缘分布密度函数为 f ( R cryptocurrency ; θ 1 ) 和 g ( R stock ; θ 2 ) ， θ 1 和 θ 2 为未知参数。 设Copula分布函数为 C ( u 1 ， u 2 ; λ ) ，其中 λ 为函数中的未知参数。 则Copula的密度函数为： c ( u 1 ， u 2 ; λ ) = ∂ 2 C ( u 1 ， u 2 ; λ ) ∂ u 1 ∂ u 2 (6) 故 R cryptocurrency 和 R stock 的联合分布函数为： C ( F ( R cryptocurrency ; θ 1 ) ， G ( R stock ; θ 2 ) ; λ ) (7) 联合密度函数为： c ( F ( R cryptocurrency ; θ 1 ) ， G ( R stock ; θ 2 ) ; λ ) ⋅ f ( R cryptocurrency ; θ 1 ) g ( R stock ; θ 2 ) (8) 则收益率序列的似然函数为(n为样本数量)： L ( θ 1 ， θ 2 ; λ ) = ∏ i = 1 n c ( F ( R cryptocurrency ; θ 1 ) ， G ( R stock ; θ 2 ) ; λ ) ⋅ f ( R cryptocurrency ; θ 1 ) g ( R stock ; θ 2 ) (9) 等式两边同取对数，得对数似然函数为： ln L ( θ 1 ， θ 2 ; λ ) (10) 为使对数似然函数中的各参数同时取得最大值，本文使用由Joe提出的边缘分布推断法(IFM估计)。具体分为两步进行，先估计边缘分布，再估计联合分布函数模型的参数。 首先取各金融资产时间序列样本 z i ， t ，分别对其边缘分布函数的参数 θ i 进行极大似然估计 ( i = 1 ， 2 ; t = 1 ， 2 ， ⋯ ， T ) ： θ ^ 1 = arg max ∑ t = 1 T     ln f ( z 1 ， t ; θ 1 ) (11) θ ^ 2 = arg max ∑ t = 1 T ln g ( z 2 ， t ; θ 2 ) (12) 式中 θ ^ 1 ， θ ^ 2 分别为参数 θ 1 ， θ 2 的估计值。将求解的 θ ^ 1 ， θ ^ 2 代入似然函数，即可计算出Copula函数的未知参数。 λ ^ = arg max ∑ t = 1 T ln c ( F ( R cryptocurrency ; θ ^ 1 ) ， G ( R stock ; θ ^ 2 ) ; λ ) (13)