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user: 1. 绪论现状 1.1. 研究背景及现状 非线性偏微分方程的研究在很早之前就已经得到了广大学者的关注。特别是在数学、物理、化学等学术领域中，非线性偏微分问题得到了广泛的应用。近些年来，关于 ( p ( x ) ， q ( x ) ) -Laplacian问题解的存在性、唯一性和正则性结果已经得到了大量完整的结论 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]。如今， p ( u ) -Laplacian问题在处理一些全变分图像恢复问题、数学图像处理和计算视觉等方面有了进一步的深入研究 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]。这些变量指数椭圆问题的解决，对数学学科以后的发展具有很大的影响。 本文将在学者的基础上，深入探究 ( p ( u ) ， q ( u ) ) -Laplacian问题在局部、非局部情况下解的存在性，可以说 ( p ( u ) ， q ( u ) ) -Laplacian为 ( p ( x ) ， q ( x ) ) -Laplacian问题的自然拓展，考虑了一种新的变化图像能够去噪的模型。 近些年来，变量指数椭圆问题吸引了广大学者的关注。2010年，Andreianov、Bendahmane等 [ 7 ] 研究了下列典型问题 { u − d i v ( | ∇ u | p ( u ) − 2 ∇ u ) = f ( x ) ， x ∈ Ω ， u = 0 ， x ∈ ∂ Ω ， (1.1) 得到了方程(1.1)弱解的存在性。进一步，为了在 L 1 ( Ω ) 中使得相关的解是保序且收缩的。2019年，Chipot、Oliverira [ 8 ] 考虑了如下方程 { − d i v ( | ∇ u | p ( u ) − 2 ∇ u ) = f ( x ) ， x ∈ Ω ， u = 0 ， x ∈ Ω ， (1.2) 其中 Ω ⊂ ℝ d ( d ≥ 2 ) 是一个光滑有界区域， f ( x ) 是给定的函数并且 p ， q : ℝ → [ 1 ， + ∞ ) 为变量指数函数，用小扰动的方法证明了弱解的存在性。方程(1.2)的提出源于Zhikov [ 9 ] 介绍的 p ( x ) -Laplacian方程的拓展。在过去的二十年里，人们对这一领域的兴趣主要来源于建模应用 [ 10 ] [ 11 ]，例如热流体或电流变流体和图像复原 [ 12 ]。 2019年，Chipot、Oliverira [ 8 ] 研究了非局部情形下的方程 { − d i v ( | ∇ u | p ( b ( u ) ) − 2 ∇ u ) = f ( x ) ， x ∈ Ω ， u = 0 ， x ∈ ∂ Ω ， (1.3) 其中 f ( x ) 为给定的函数， p : ℝ → [ 1 ， + ∞ ) ， b : W 0 1 ， α ( Ω ) → ℝ 为非线性指数的函数，这里 1 < α < ∞ 。在这种情况下，给出映射b的一些合适的例子，例如 b ( u ) = ‖ ∇ u ‖ α 或者对于 q ≤ α * 且 1 α * = 1 α − 1 d ， b ( u ) = ‖ u ‖ q 。通过Schauder不动点定理研究了其弱解的存在性问题。 1.2. 预备知识 这一部分介绍本文用到的数学符号和基础知识。 变指数函数p由弱解u决定，而u最终取决于变量x。p可以写成可变指数 h ( x ) ： h ( x ) = q ( u ( x ) ) 。这可以促使我们在指数可变的Sobolev空间中寻找方程的解。在过去的20年。函数空间的数学理论发展得如此之快，以至于现在可以用这个理论来分析原方程。因此我们可利用具有可变指数的Lebesgue空间及Sobolev空间的性质来解决问题 [ 2 ] [ 10 ] [ 11 ]。符号“ → ”和“ → w ”分别表示在相应空间中强收敛和弱收敛。 令 ς ( Ω ) 表示所有Lebesgue可测函数 h : = Ω → [ 1 ， ∞ ) 的集合，并定义： h − : = ess x ∈ Ω inf h ( x ) ，       h + : = ess x ∈ Ω sup h ( x ) 其中 h ∈ ς ( Ω ) 。定义 L h ( x ) ( Ω ) 为所有Lebesgue可测函数 u : Ω → ℝ 的空间且满足， ρ h ( x ) ( u ) : = ∫ Ω | u ( x ) | h ( x ) d x < ∞ 其对应Luxembourg范数为 ‖ u ‖ h ( x ) : = inf { λ > 0 : ρ h ( x ) ( u λ ) ≤ 1 } ， L h ( x ) ( Ω ) 为巴拿赫空间。 若对任意的 h − ， h + 满足 1 ≤ h − ≤ h + < ∞ (1.4) 则 L h ( x ) ( Ω ) 是可分的，且 C 0 ∞ ( Ω ) 在 L h ( x ) ( Ω ) 中稠密。同时， L ∞ ( Ω ) ∩ L h ( x ) ( Ω ) 在 L h ( x ) ( Ω ) 中也稠密。 若对任意的 h − ， h + 满足 1 < h − ≤ h + < ∞ ， (1.5) 则 L h ( x ) ( Ω ) 是自反的。在方程(1.5)成立的情况下，定义 L h ′ ( x ) ( Ω ) 为 L h ( x ) ( Ω ) 的对偶空间，其中 h ′ ( x ) 为 h ( x ) 的Holder共轭，且两者满足 1 h ( x ) + 1 h ′ ( x ) = 1 。 从 h − ， h + 的定义及方程(1.5)中，我们可以得到 ess x ∈ Ω inf h ′ ( x ) ≤ ess x ∈ Ω sup h ( x ) ≤ ( h − ) ′ < ∞ ， 同时，从 L h ( x ) ( Ω ) 空间及其范数的定义可知，若方程(1.5)成立，则满足 min { ‖ u ‖ h ( x ) h − ， ‖ u ‖ h ( x ) h + } ≤ ρ h ( ⋅ ) ( u ) ≤ max { ‖ u ‖ h ( x ) h − ， ‖ u ‖ h ( x ) h + } ， min { ρ h ( x ) ( u ) 1 h − ， ρ h ( x ) ( u ) 1 h + } ≤ ‖ u ‖ h ( x ) ≤ max { ρ h ( x ) ( u ) 1 h − ， ρ h ( x ) ( u ) 1 h + } ， 同时，利用这两个方程，我们可以得到 ‖ u ‖ h ( x ) h − − 1 ≤ ρ h ( x ) ( u ) ≤ ‖ u ‖ h ( x ) h + + 1 ， (1.6) Young不等式：对任意的 u ∈ L h ( x ) ( Ω ) ， v ∈ L h ′ ( x ) ( Ω ) 及正常数 C ( δ ) ，任意的 都有 Holder不等式：对任意的 ， ，都有 (1.7) 同时，若方程(1.7)成立，则对h满足方程(1.4)且对有界区域 ，都有 连续嵌入到 中，其中 对几乎处处的 都成立。 假设对任意的 都有弱导数 ，定义空间 其对应范数 。 若方程(1.4)成立，则 可分；若方程(1.5)成立，则 自反，同时当 对几乎处处的 ，都有 连续嵌入到 成立。定义空间 ，其对应范数为 ，若 ，则 的范数等价于 。 不同于经典Sobolev空间，在空间 中，光滑函数不一定是稠密的。故定义 为范数 定义下 的闭包，且满足 。 若 为有界区域， 为Lipschitz连续，且h满足局部Holder连续，则 在 中稠密。 局部Holder连续：若满足 (1.8) 则h为局部Holder连续。也就是 其中 且定义为 对 为连续递增的函数，使得 。若方程(1.8)成立，则 。特别的，若对 有 ，则h为局部Holder连续。 局部Holder连续的性质对变量指数Sobolev空间中建立Sobolev不等式是非常重要。定义 的点态Sobolev共轭为： 若在 中h为可测函数满足 且方程(1.8)，则有 ，对任意的 ，其中正常数C取决于 ，d及方程(1.8)。另一方面，若h满足方程(1.8)且 ，则有 ，对任意的 都成立，其中正常数C取决于 ，d及方程(1.8)。 引理1.3.1 [ 13 ] 假设对几乎处处的 ，常数 和 ，以及任意的 ，满足以下条件： i) ； ii) 当 时，在 中有 ； iii) 当 时，在 中 弱收敛于 ； iv) 对常数C有 ； 则有 (1.9) (1.10) 证明：由Young不等式得：对 ， 及 ，有 得到 (1.11) 令b为 中的函数， ， 代入方程(1.11)，由假设i)得到 (1.12) 由假设ii) iii)，使得方程(1.12)中取极限 时 得 (1.13) 令 ，这里 ，即 ， 代入上式 所以 当 时， 当 时， 所以，得到 故 令 ，则 由iv)，得 ，即 继而得到