system: [SYSTEM]

user: 2. 叶片参数化造型程序 叶片参数化造型在MATLAB平台编程完成，程序流程图如图1所示。 2.1. 叶轮初始参数 本文以某已生产运行单级高速离心鼓风机为例，其设计流量为2.1 kg/s，转速为27，000 rpm，压比为1.7。叶轮为半开式叶轮，叶片形式为后弯式，如图2所示。叶轮基本几何参数列于表1中。 图1. 叶片参数化设计程序流程图 图2. 离心鼓风机叶轮示意图 Table 1 Basic geometric parameters of impelle 叶轮几何参数 数值 叶轮几何参数 数值 进口轮缘半径r 1s /mm 72.0 主叶片数Z 1 7 进口轮盘半径r 1h /mm 22.5 分流叶片数Z 2 7 叶轮出口半径r 2 /mm 117 进口轮盘叶片角β 1h /˚ 35 叶轮轴向长度L z /mm 88 进口轮缘叶片角β 1s /˚ 53 叶轮出口宽度b 2 /mm 23.8 出口叶片角β 2 55 表1. 叶轮基本几何参数 2.2. 叶片子午面设计 叶轮子午面形状对气体在离心鼓风机内的流动至关重要 [ 13 ]，本文采用平面Bezier曲线定义进行叶片子午面轮缘、轮盘型线，实现对叶轮的子午面参数化设计。 2.2.1. 子午面控制曲线 离心叶轮叶片子午面的定义方法经历长期的发展。从最初的简单圆锥曲面 [ 14 ] [ 15 ]，到复杂的Coons曲面 [ 16 ] [ 17 ]，最后发展到广泛使用的Bezier曲线、曲面 [ 18 ]。利用Bezier曲线来设计叶轮型线有如下优势：曲面由解析方程定义，可以系统地对曲面形状进行改进，并且可以给出任意次的连续导数；解析方程的参数形式使叶片曲面坐标可以通过任意数量的点以任何合适的分布获得，该方法为压缩机叶片几何造型提供了一种简单而准确的设计方法，而且适用于嵌入计算机辅助设计程序，故被广泛应用于各种离心叶轮的设计中 [ 19 ]。 Bezier曲线是由参数方程控制的空间曲线，n次Bezier曲线由 n + 1 个控制点控制，其参数方程为： B → ( u ) = ( 1 − u ) n P 0 → + n ( 1 − u ) n − 1 u P 1 → + n ( n − 1 ) 2 ( 1 − u ) n − 2 u 2 P 2 → + ⋯ + u n P 2 → = ∑ k = 1 n C n k ( 1 − u ) n − k u k P k → (1) 其中，u为参数，其取值范围为0~1，图3为空间Bezier曲线示意图， P k → 是依次连接所有控制点的多边形，称为控制多边形。 图3. 空间Bezier曲线示意图 本文采用平面四次Bezier曲线来设计离心鼓风机叶轮子午面型线，其参数方程为： { z ( u ) = a 0 ( 1 − u ) 4 + 4 a 1 ( 1 − u ) 3 u + 6 a 2 ( 1 − u ) 2 u 2 + 4 a 3 ( 1 − u ) u 3 + a 4 u 4 r ( u ) = b 0 ( 1 − u ) 4 + 4 b 1 ( 1 − u ) 3 u + 6 b 2 ( 1 − u ) 2 u 2 + 4 b 3 ( 1 − u ) u 3 + b 4 u 4 (2) 如图4所示， ( a 0 ， b 0 ) 、 ( a 1 ， b 1 ) 、 ( a 2 ， b 2 ) 、 ( a 3 ， b 3 ) 和 ( a 4 ， b 4 ) 为五个控制点的坐标，可以发现，确定了控制点坐标，Bezier曲线也随之确定。以子午面轮盘型线为例，控制点根据Bezier曲线的端点性质求取： 1) Bezier曲线和其控制多边形分于起点、合于终点。据此可知Bezier曲线起点和终点分别是其第一个、最后一个控制点，因此点0和点4的位置由叶轮基本几何参数确定： z 0 = z ( 0 ) = a 0 (3) z 4 = z ( 1 ) = a 4 (4) 图4. 平面四次Bezier曲线 2) Bezier曲线和其控制多边形的第一条、最后一条边相切于起点和终点，切矢量的模长为相切边边长的n倍。对于四次Bezier曲线，参照图4可知，特征多边形的边0-1、3-4的斜率为曲线端点处的斜率，长度分别为端点处 d B / d u 值的1/4。因此，端点处的斜率决定点1和点3的方向，而端点处的 d B / d u 值决定边0-1、3-4的长度，通过给定端点处的斜率和 d B / d u 值可改变控制1、3的位置，从而改变曲线形状。由于实际计算过程中 d B / d u 难以给定，可通过给定 d z / d u 和 d r / d u 来替代： z ′ 0 = d z d u | u = 0 = 4 ( a 1 − a 0 ) (5) z ′ 4 = d z d u | u = 0 = 4 ( a 4 − a 3 ) (6) 3) 点2的位置影响两个端点处的斜率，由给定的端点处曲率确定点2位置 [ 20 ]： z ″ 0 = d 2 z d u 2 | u = 0 = 12 ( a 0 − 2 a 1 + a 2 ) (7) z ″ 4 = d 2 z d u 2 | u = 1 = 12 ( a 2 − 2 a 3 + a 4 ) (8) 由曲率公式有： { a 2 = z ′ 0 F 4 − z ′ 4 F 1 z ′ 0 r ′ 4 − z ′ 4 r ′ 0 b 2 = − r ′ 4 F 0 + r ′ 0 F 4 z ′ 0 r ′ 4 − z ′ 4 r ′ 0 (9) 将式(3)~(8)代入式(9)，整理得： { r ′ 0 a 2 − z ′ 0 b 2 = − r ′ 0 ( a 0 − 2 a 1 ) + z ′ 0 ( b 0 − 2 b 1 ) − 1 12 K 0 ( z ′ 0 2 + r ′ 0 2 ) 3 2 = F 0 r ′ 4 a 2 − z ′ 4 b 2 = r ′ 4 ( 2 a 3 − a 4 ) + z ′ 4 ( 2 b 3 − b 4 ) − 1 12 K 4 ( z ′ 4 2 + r ′ 4 2 ) 3 2 = F 4 (10) 当 z ′ 0 r ′ 4 − z ′ 4 r ′ 0 ≠ 0 时，可解得2点的坐标： { a 2 = z ′ 0 F 4 − z ′ 4 F 1 z ′ 0 r ′ 4 − z ′ 4 r ′ 0 b 2 = − r ′ 4 F 0 + r ′ 0 F 4 z ′ 0 r ′ 4 − z ′ 4 r ′ 0 (11) 而当 z ′ 0 r ′ 4 − z ′ 4 r ′ 0 = 0 时，两个端点处的切线平行，与实际情况不符。 通过上述方法得到子午面轮盘、轮缘型线控制点，如表2所示，通过控制点画出子午面轮盘、轮缘型线，分别连接首尾端点生成叶片子午面，如图5所示。 Table 2 Coordinates of control points of blade meridian wheel and rim profil 轮盘型线控制点 控制点坐标 轮盘型线控制点 控制点坐标 0 (0.00， 23.00) 0 (0.00， 72.00) 1 (32.00， 23.00) 1 (25.00， 73.00) 2 (78.12， 46.00) 2 (52.99， 82.28) 3 (85.50， 85.50) 3 (62.00， 97.00) 4 (88.00， 117.00) 4 (64.00， 117.00) 表2. 叶片子午面轮盘和轮缘型线控制点坐标 图5. 叶片子午面型线离散结果 2.2.2. 叶片子午面内切圆 子午面流道宽度分布规律是评价叶片子午面设计是否合理的重要指标 [ 21 ]，流道宽度分布规律即为子午面轮盘、轮缘型线的内切圆半径沿子午面型线弧长的变化规律。对子午面轮盘、轮缘型线进行离散，离散点数n可按设计者的需求输入，编程求出子午面型线总长度和按等弧长原则离散的离散点坐标，定义相对弧长 L r e l ： L r e l = L i L (12) 式中， L i 为子午面型线起点到离散点的弧长，L为子午面型线总弧长，根据定义可知 L r e l 的值域为[0， 1]。图5所示为将叶片子午面轮盘、轮缘型线按等弧长原则离散为20段，共21个离散点。任意离散点M的内切圆如图6所示，内切圆C与子午面轮盘、轮缘型线分别交于点M和点O，圆心为点P。 图6. 叶片子午面流道内切圆示意图 以子午面轮盘型线为基准，求解内切圆半径的具体方法为： 1) 计算出离散点M的坐标，求出点M处的子午面轮盘型线法线，如图7所示，法线与子午面轮缘型线只有一个交点K，求出点K的坐标。求点K坐标时采用二分法，程序框图及其运行结果如图8和图7所示。程序框图中， f ( u ) 为法线方程， r s ( u ) 为子午面轮缘型线r值的方程， B s ( u ) 为子午面轮缘型线上参数为u的点，a1为设置的精度。 2) 求子午面轮缘型线上到线段MK中点N距离最短的点。用中点公式求出线段MK的中点N，假设轮缘型线上到线段MK中点N距离最短的点为点A，设置参数u的区间0值到1，递增量为du1，求出轮缘型线上所有点到点N的距离数组distance，调用MATLAB的求最小值函数min( )，找到最短距离distance_min，输出最短距离对应的点即为点A，根据几何关系，线段AN即为子午面轮缘型线过点A的法线。程序框图如图9所示，图10为程序运行结果。程序框图中，z_N、r_N分别表示点N坐标的z值和r值，以此类推。 图7. 求交点程序运行结果 图8. 二分法求交点程序框图 图9. 求点A程序框图 图10. 求点A程序运行结果 3) 求内切圆半径。由图10可知，若线段MN的长度等于线段AN的长度，点N即为子午面轮盘、轮缘型线的内切圆圆心，若不相等则不是。假设实际圆心为点P，子午面轮缘型线上到点P最短距离点为点O，点P始终位于线段MK上，MP的长度为内切圆半径R。采用递增或者递减参数u使P沿线段MK移动，求得实际圆心P，若线段MN的长度大于线段AN的长度，则实际圆心P位于N点右侧，使点P沿MK向右侧移动，反之则向左侧移动。设置变量du2，每当u值改变一个单位du2，采用求点A的方法求得点O，当点P到轮缘型线的最短距离(即线段OP长度)与线段MP长度之差小于设置精度a2时，认为点P为内切圆圆心，线段MP的长度为内切圆半径，点O为内切圆与子午面轮缘型线的切点，程序流程图及运行结果如图11、图12所示。 图11. 求内切圆程序框图 图12. 求内切圆程序运行结果 利用程序求解目标叶片子午面流道内切圆运行结果如图13所示，内切圆直径随轮盘相对弧长变化规律如图14所示。从图14可以看出，内切缘直径均匀变化，保证了叶轮通道无突变，符合设计要求。 图13. 子午面流道内切圆求解结果 图14. 内切圆半径分布规律 2.3. 叶片回转面设计 2.3.1. 叶片角和周向角设计 叶片角的分布决定了离心鼓风机叶片的载荷分布，同时决定了叶片的空间形状。本程序在求得子午面型线的基础上，按照给定的叶片角分布规律进行加载，在叶片回转面内求解，得到叶片空间型线。 首先给出叶片角的定义，如图15(a)所示，图中实线框为叶片中型面，两个虚线框为不同圆周位置的叶片子午面，左侧为初始化子午面，右侧子午面可由初始子午面绕叶轮旋转轴旋转一定角度得到，该子午面与叶片中型面相交，点T为交线上一点。图15(a)右下为点T附近的局部放大图，点T所在叶片型线在点T的切线方向为TL，点T所在子午面型线在点T的切线方向为TS，点T的圆周方向为SL，矢量TL与SL之间的夹角为叶片角，记为 β 。点B为点T在z轴上的投影，以BT为半径绕z轴旋转作圆弧，该圆弧与初始子午面交于点H，BT与BH之间的夹角为点T处的周向角，记为 φ 。 图15. 叶片角示意图 图15(b)为叶片型线上离散点空间几何示意图，由图可知，叶片角和周向角之间有如下几何关系： d φ = d L r tan β (13) 从子午面型线起点到止点积分可求得叶片周向角： φ = ∫ 0 1 d L r tan β (14) 式中， d φ 为周向角微分， d L 为子午面型线弧长微分，r为叶片角 β 处对应半径。 由式(13)和式(14)可知，给定叶片角沿子午面型线的分布规律，可求得叶片周向角。本文求解叶片型线的具体步骤如下： 1) 根据给定的叶片角分布规律，求出离散点叶片角，用于计算周向角 d φ 。每个离散点 T i + 1 相对于前一个离散点 T i 的圆周角 d φ i + 1 为： d φ i + 1 = d L r i + 1 tan β i (15) 2) 离散点 T i 相对于起点的周向角 φ i 可通过累加之前每个计算点的周向角 d φ 得到： { φ i = ∑ i = 2 n d φ i ， ( i = 2 ， 3 ， ⋯ ， n ) φ 1 = 0 (16) 为了便于数据的输入和调用，程序在给定叶片角分布时采用相对叶片角的方式，定义相对叶片角度： β r e l = β − β i n β o u t − β i n (17) 式中， β i n 、 β o u t 分别为叶轮进口、出口处叶片角。 程序中叶片角分布规律可以按函数关系和具体数值两种形式给定，利用MATLAB数据处理能力，以相对弧长为横坐标，相对叶片角为纵坐标，将叶片角的分布规律拟合成光滑曲线，既保证了叶片角变化的连续性，又便于读取任意离散点处叶片角的值。 对目标叶轮进行测量，根据测量数据拟合成如图16所示的叶片角分布规律，按此规律对子午面型线进行加载生成叶片中型面，叶片角具体分布数值如表3所示。 图16. 目标叶轮叶片角分布规律 Table 3 Blade angle distributio i 1 2 3 4 5 6 7 L rel 0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 β h /˚ 53.00 56.36 59.13 61.28 62.87 63.96 64.62 β s /˚ 35.00 35.60 35.99 36.55 37.25 38.06 38.97 i 8 9 10 11 12 13 14 L rel 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 β h /˚ 64.90 64.85 64.52 63.95 63.18 62.26 61.22 β s /˚ 39.98 41.06 42.23 43.46 44.75 46.08 47.44 i 15 16 17 18 19 20 21 L rel 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1 β h /˚ 60.11 58.97 57.86 56.82 55.92 55.27 55.00 β s /˚ 48.82 50.18 51.52 52.76 53.85 54.66 55.00 表3. 叶片角分布 注：i为计算点序号，β h 为轮盘型线叶片角，β s 为轮缘型线叶片角。 2.3.2. 叶片厚度设计 叶片厚度作为叶轮结构特征之一，对叶轮的结构强度和性能具有较大的影响 [ 22 ] [ 23 ]。本文叶片厚度设计与叶片角有异曲同工之处，以相对弧长 L r e l 为自变量，分别给定轮盘、轮缘叶片相对厚度分布规律，可设计出沿流线方向和叶高方向变厚度叶片。定义叶片相对厚度： δ r e l = δ n i δ n (18) 式中： δ n 为轮盘、轮缘处叶片法向厚度。 具体设计步骤如下： 1) 计算离散点叶片周向厚度。叶片法向厚度与周向厚度的几何关系如图17所示，两者之间存在如下关系： δ u i = δ n i sin β i (19) 式中， δ n i 为离散点 T i 叶片法向厚度， δ u i 为周向厚度。 2) 求解叶片压力面、吸力面型线。将离散点叶片周向厚度转化为周向角度，加在叶片中型面型线的周向角上，通过偏置轮盘型线和轮缘型线生成吸力面和压力面型线。在离散点 T i 处，叶片周向厚度与压力面吸力面之间的周向角之间几何关系如图17所示： θ i = δ u i r i (20) 式中， θ i 为离散点 T i 处吸力面和压力面之间的周向角，则偏置角为 θ i / 2 。 图17. 叶片厚度几何关系示意图 目标叶轮沿流线方向厚度一致，叶高方向呈现梯形变化规律，即轮盘处厚、轮缘处薄。轮盘处叶片法向厚度为4 mm，轮缘处叶片法向厚度为0.8 mm。将法向厚度换算为周向厚度，求出对应的压力面、吸力面偏置角，加载在叶片中型面型线上生成压力面、吸力面型线。 2.3.3. 分流叶片设计 分流叶片能够有效改善离心叶轮性能，与无分流叶片叶轮相比，带分流叶片的叶轮叶片负荷小、吸力面附面层分离程度低、横向压力梯度小，叶轮效率高 [ 24 ]。分流叶片通常由主叶片截断形成，设计时主要有两方面主要参数，前缘位置(截断位置)和周向位置，具体设计分为两个步骤： 1) 计算截断位置。分流叶片采用和主叶片相同的叶型，设计时需要给定子午面轮盘和轮缘型线上的截断位置。如图18所示，图中T h 、T s 为分流叶片子午面型线起点，定义分流叶片前缘位置参数 l r e l s 和 l r e l h ： l r e l s = L T s L s (21) l r e l h = L T h L h 式中 L T s 、 L T h 为主叶片子午面型线起点到分流叶片子午面型线起点的弧长， L h 、 L h 为主叶片子午面轮盘、轮缘型线弧长。 2) 计算周向位置。以主流叶片为基准，绕转轴旋转给定角度，获得分流叶片周向位置。如图18所示，定义分流叶片周向位置参数 θ r e l ： θ r e l = θ m a i n θ s p l i t (22) 式中， θ m a i n 为相邻主叶片之间角度， θ s p l i t 为主叶片吸力面侧与相邻分流叶片之间夹角。 图18. 分流叶片位置意图 目标叶轮的前缘位置参数 l r e l s 和 l r e l h 均为0.3，周向位置参数为0.5。根据叶片数计算出 θ m a i n ，结合给定周向位置参数计算出 θ s p l i t 。