system: [SYSTEM]

user: 2. 预备知识 定义1 [ 11 ] 设 α ∈ ( 0 ， 1 ) 并且 f : [ 0 ， ∞ ) → R ， f 的 α 阶分数导数可定义为 D α x ( t ) = lim ε → 0 x ( t + ε t 1 − α ) − x ( t ) ε ， ∀ t > 0 。 如果 f 在 t ∈ ( 0 ， a ) 是 α − 可微的， a > 0 且 lim t → 0 + D α x ( t ) 存在，定义 D α x ( 0 ) = lim t → 0 + D α x ( t ) 。 定义 2 [ 11 ] 设 α ∈ ( n ， n + 1 ] 并且 x 在 t > 0 是 n − 可微的，则 α 阶导数为 D α x ( t ) = lim ε → 0 x ( [ α ] − 1 ) ( t + ε t ( [ α ] − α ) ) − x ( [ α ] − 1 ) ( t ) ε ， 其中 [ α ] 是大于或等于 α 的最小整数。如果 f 在 t ∈ ( 0 ， a ) 是 α − 可微的， a > 0 且 lim t → 0 + D α x ( t ) 存在，定义 D α x ( 0 ) = lim t → 0 + D α x ( t ) 。 定义3 [ 11 ] 设 α ∈ ( 0 ， 1 ) ，对于 t ≥ 0 ， α 阶积分记为 I α x ( t ) ，可定义为 D − α x ( t ) ≡ I α x ( t ) = I 1 ( t α − 1 x ) ( t ) = ∫ 0 t x ( s ) s 1 − α d s 。 定义 4 [ 11 ] 设 α ∈ ( n − 1 ， n ) ， α 阶积分定义为 D − α x ( t ) ≡ I α x ( t ) = I n ( t α − [ α ] x ) ( t ) ， 其中 I n 表示普通积分 I 1 进行 n 次积分。 引理1 [ 10 ] α ∈ ( 1 ， 2 ] ， x 是定义在 I α 上的连续函数，当 t ≥ 0 时， D α I α x ( t ) = x ( t ) 。 引理2 [ 12 ] 设 E 为Banach空间， Ω 是 E 的有界开子集，且 0 ∈ Ω 。 T : Ω ¯ → E 是全连续算子，则必有下列结论之一成立。 1) 存在 u ∈ ∂ Ω 及 θ > 1 ，使得 T u = θ u ； 2) 存在 T 上的不动点 u * ∈ Ω ¯ 。 引理3 [ 2 ] 对于三点边值问题 { D α ( D + λ ) x ( t ) = σ ( t ) ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ， x ( 0 ) = 0 ， x ′ ( 0 ) = 0 ， x ( 1 ) = β x ( η ) ， 其中 α ∈ ( 1 ， 2 ] ， σ ∈ C [ 0 ， 1 ] 。当 β ≠ λ + e − λ − 1 λ η + e − λ η − 1 时，则该问题有唯一解 x ( t ) = ∫ 0 t e − λ ( t − s ) ( ∫ 0 s σ ( u ) u α − 2 ( s − u ) d u ) d s + A ( t ) [ β ∫ 0 η e − λ ( η − s ) ( ∫ 0 s σ ( u ) u α − 2 ( s − u ) d u ) d s − ∫ 0 1 e − λ ( 1 − s ) ( ∫ 0 s σ ( u ) u α − 2 ( s − u ) d u ) d s ] ， 其中 A ( t ) = 1 Δ ( λ t + e − λ t − 1 ) ， Δ = λ + e − λ − 1 − β ( λ η + e − λ η − 1 ) ≠ 0 。 设 E = C [ 0 ， 1 ] ，对 x ∈ E ， E 在范数 ‖ x ‖ = max t ∈ [ 0 ， 1 ] x ∈ Ω ¯ | x ( t ) | 下成为Banach空间。 定义算子 T : E → E ， ( T x ) ( t ) = ∫ 0 t e − λ ( t − s ) ( ∫ 0 s f ( u ， x ( u ) ) u α − 2 ( s − u ) d u ) d s + A ( t ) [ β ∫ 0 η e − λ ( η − s ) ( ∫ 0 s f ( u ， x ( u ) ) u α − 2 ( s − u ) d u ) d s − ∫ 0 1 e − λ ( 1 − s ) ( ∫ 0 s f ( u ， x ( u ) ) u α − 2 ( s − u ) d u ) d s ] 。 引理4 T 是 E → E 的全连续算子。 证明：设 Ω ⊂ E 为有界开集，由 f 的连续性可知 f ( t ， x ) 在 [ 0 ， 1 ] × Ω ¯ 上有界，记 R = max t ∈ [ 0 ， 1 ] | f ( t ， x ( t ) ) | 。 对 ∀ x ∈ Ω ¯ ，由算子 T 的定义可得 ‖ T x ‖ = max t ∈ [ 0 ， 1 ] | ∫ 0 t e − λ ( t − s ) ( ∫ 0 s f ( u ， x ( u ) ) u α − 2 ( s − u ) d u ) d s + A ( t ) [ β ∫ 0 η e − λ ( η − s ) ( ∫ 0 s f ( u ， x ( u ) ) u α − 2 ( s − u ) d u ) d s − ∫ 0 1 e − λ ( 1 − s ) ( ∫ 0 s f ( u ， x ( u ) ) u α − 2 ( s − u ) d u ) d s ] | ≤ ∫ 0 1 e − λ ( 1 − s ) ( ∫ 0 s | f ( u ， x ( u ) ) | u α − 2 ( s − u ) d u ) d s + A ( 1 ) [ β ∫ 0 η e − λ ( η − s ) ( ∫ 0 s | f ( u ， x ( u ) ) | u α − 2 ( s − u ) d u ) d s + ∫ 0 1 e − λ ( 1 − s ) ( ∫ 0 s | f ( u ， x ( u ) ) | u α − 2 ( s − u ) d u ) d s ] ≤ R [ ( 1 + A ( 1 ) ) ∫ 0 1 e − λ ( 1 − s ) ( ∫ 0 s u α − 2 ( s − u ) d u ) d s + A ( 1 ) β ∫ 0 η e − λ ( η − s ) ( ∫ 0 s u α − 2 ( s − u ) d u ) d s ] ≤ R α ( α − 1 ) ( ( 1 + A ( 1 ) ) ∫ 0 1 e − λ ( 1 − s ) s α d s + A ( 1 ) β ∫ 0 η e − λ ( η − s ) s α d s ) ≤ R ( ( 1 + A ( 1 ) ) ( 1 − e − λ ) + A ( 1 ) β η α ( 1 − e − λ η ) ) α ( α − 1 ) . 从而可知 T ( Ω ) 为一致有界的。 进一步，对任意的 x ∈ Ω 和任意的 t 1 ， t 2 ∈ [ 0 ， 1 ] 且 t 1 < t 2 有 | ( T x ) ( t 2 ) − ( T x ) ( t 1 ) | = | ∫ 0 t 2 e − λ ( t 2 − s ) ( ∫ 0 s f ( u ， x ( u ) ) u α − 2 ( s − u ) d u ) d s + A ( t 2 ) [ β ∫ 0 η e − λ ( η − s ) ( ∫ 0 s f ( u ， x ( u ) ) u α − 2 ( s − u ) d u ) d s − ∫ 0 1 e − λ ( 1 − s ) ( ∫ 0 s f ( u ， x ( u ) ) u α − 2 ( s − u ) d u ) d s ] − ∫ 0 t 1 e − λ ( t 1 − s ) ( ∫ 0 s f ( u ， x ( u ) ) u α − 2 ( s − u ) d u ) d s − A ( t 1 ) [ β ∫ 0 η e − λ ( η − s ) ( ∫ 0 s f ( u ， x ( u ) ) u α − 2 ( s − u ) d u ) d s − ∫ 0 1 e − λ ( 1 − s ) ( ∫ 0 s f ( u ， x ( u ) ) u α − 2 ( s − u ) d u ) d s ] | ≤ | ∫ 0 t 2 e − λ ( t 2 − s ) ( ∫ 0 s f ( u ， x ( u ) ) u α − 2 ( s − u ) d u ) d s − ∫ 0 t 1 e − λ ( t 2 − s ) ( ∫ 0 s f ( u ， x ( u ) ) u α − 2 ( s − u ) d u ) d s | + | ∫ 0 t 1 e − λ ( t 2 − s ) ( ∫ 0 s f ( u ， x ( u ) ) u α − 2 ( s − u ) d u ) d s − ∫ 0 t 1 e − λ ( t 1 − s ) ( ∫ 0 s f ( u ， x ( u ) ) u α − 2 ( s − u ) d u ) d s | + | A ( t 2 ) − A ( t 1 ) | | [ β ∫ 0 η e − λ ( η − s ) ( ∫ 0 s f ( u ， x ( u ) ) u α − 2 ( s − u ) d u ) d s − ∫ 0 1 e − λ ( 1 − s ) ( ∫ 0 s f ( u ， x ( u ) ) u α − 2 ( s − u ) d u ) d s ] | ≤ ∫ t 1 t 2 e − λ ( t 2 − s ) ( ∫ 0 s | f ( u ， x ( u ) ) | u α − 2 ( s − u ) d u ) d s + ∫ 0 t 1 | e − λ ( t 2 − s ) − e − λ ( t 2 − s ) | ( ∫ 0 s | f ( u ， x ( u ) ) | u α − 2 ( s − u ) d u ) d s + 2 λ ( t 2 − t 1 ) Δ [ β ∫ 0 η e − λ ( η − s ) ( ∫ 0 s | f ( u ， x ( u ) ) | u α − 2 ( s − u ) d u ) d s + ∫ 0 1 e − λ ( 1 − s ) ( ∫ 0 s | f ( u ， x ( u ) ) | u α − 2 ( s − u ) d u ) d s ] ≤ R α ( α − 1 ) [ ∫ t 1 t 2 e − λ ( t 2 − s ) s α d s + ∫ 0 t 1 | e − λ ( t 2 − s ) − e − λ ( t 2 − s ) | s α d s + 2 λ ( t 2 − t 1 ) Δ ( β ∫ 0 η e − λ ( η − s ) s α d s + ∫ 0 1 e − λ ( 1 − s ) s α d s ) ] = R α ( α − 1 ) [ t 2 α − t 1 α λ ( 1 − e − λ t 2 ) + t 1 α λ ( e − λ ( t 2 − s ) − e − λ ( t 2 − s ) ) + 2 λ ( t 2 − t 1 ) Δ β η α ( 1 − e − λ η ) + 1 − e − λ λ ] ≤ R α ( α − 1 ) [ t 2 α − t 1 α λ + ( t 2 − t 1 ) + 2 ( β η α ( 1 − e − λ η ) + 1 − e − λ ) Δ ( t 2 − t 1 ) ] . 再根据 t ， t α 在 [ 0 ， 1 ] 上的一致连续性，得 T ( Ω ) 是等度连续的。利用Arzela-Ascoli定理，可知上述引理成立。