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user: 3. 实证分析 3.1. 样本数据来源与描述统计 本文所选用的数据是上海期货铜的价格数据，利用万德数据库来收集2001年7月2日至2015年10月21日期间的上海期货铜收盘价，本文选取了3566个交易数据对上述模型进行分析。我们使用上海期货日收益率作为我们的研究对象，我们用对数收益率作为收益率的代表， ，其中 表示第 天上海期货铜的收盘价。我们可以得到期货铜收益率 的时间序列图1。 由图1可知，上海期货铜对数收益率基本上在0处附近波动，可以看出上海期货铜对数收益率存在明显的波动集聚现象。为了后文对上述模型更好地建模，我们需要做好一些整备工作。首先，我们需要了解3566个交易日的收益率数据的基本统计学特征以及相关检验。表1中所示为本文所选的3566个交易日的收益率数据的描述性统计分析。 表1中给出了上海期货铜对数收益率的最小值、最大值、均值、中位数、标准差、峰度、J-B统计量的统计学分析指标，可以看出在2001年7月2日至2015年10月21日期间，上海期货铜对数收益率的最小值为−6.65%，最大值为5.96%，平均值为0.02，中位数为0.05，标准差为1.53。上海期货铜对数收益率数据的偏度为−0.25，小于临界值0，表明数据并不是对称分布，存在一定的左偏现象；上海期货铜对数收益率数据的峰度为5.01，大于临界值3，表明数据并不服从正态分布，存在一定的向中间聚集的现象。所以，我们可以认为上海期货铜对数收益率数据存在着尖峰、左偏的现象。因此，如果我们用传统的统计模型对数据进行分析会存在一定的困难。J-B统计量指的是Jarque-Bera统计量，它主要是用来验证数据是否来源于一个正态分布的总体，而J-B统计量服从一个自由度为2的 分布，当计算出的J-B统计量大于临界值是，我们就认为数据并非来源于正态分布，而上海期货铜对数收益率的J-B统计量高达639.15，进一步证明了上海期货铜对数收益率数据并非服从正态分布的结论。我已经对海期货铜对数收益率数据有了初步的了解，但是我们还需要对该数据进行平稳性检验、自相关性检验、ARCH检验。表2中所示为本文所选的3566个交易日的收益率数据的相关检验结果。 图1. 上海期货铜对数收益率时间序列图 Table 1 Shanghai futures copper logarithmic yield of the statistical characteristic 样本数 最小值 最大值 均值 中位数 3566 −6.65 5.96 0.02 0.05 标准差 偏度 峰度 J-B统计量 1.53 −0.25 5.02 642.57 表1. 上海期货铜对数收益率的统计学特征 Table 2 Shanghai futures copper log yield rate of the relevant test result 样本数 ADF检验 L-B检验 残差平方L-B检验 P Q(12) P Q(12) P 3566 −31.339 0.00% 13.468 33.6% 2763.9 0.00% 表2. 上海期货铜对数收益率的相关检验结果 表2中给出了上海期货铜对数收益率的平稳性检验、自相关性检验、ARCH检验结果。其中ADF检验的 统计量值为−31.339，其对应的P值为0.00%，说明在显著水平在5.00%下拒绝原假设，上海期货铜对数收益率是平稳序列；L-B检验的滞后12期的Q统计量值为13.468，其对应的P值为33.6%，说明在显著水平在5.00%下不拒绝原假设，上海期货铜对数收益率不存在自相关；残差平方L-B检验滞后12期的Q统计量值为2763.9，其对应的P值为0.00%，说明在显著水平在5.00%下拒绝原假设，上海期货铜对数收益率存在ARCH检验。 3.2. 波动率模型的估计结果与分析 我们采用GARCH模型、RGARCH模型、GJR-GARCH模型以及MRS-GARCH模型对上海期货铜对数收益率数据进行建模分析，我们假定上述三种模型的残差项均服从正态分布和 分布。根据对数据的初步分析，我们知道上海期货铜对数收益率不存在自相关，所以我们可以将上述三种模型中的均值方程设置为： 。表3中给出上述三种模型相关的参数估计结果。 通过对上述三个模型拟合结果，我们对比几个模型的AIC值可以知道在上述六个模型中最优的模型为GARCH-T模型。上述GARCH类模型的 和 基本上都在在显著1%水平下显著不为零，这说明我国期货铜的收益率序列存在波动聚集效应，上一期波动率对当期波动的影响更大，从而波动率表现出很强的持续性。所有模型的ARCH效应检验都不显著，说明所有模型的残差不再具有异方差现象，GARCH类模型都可以较好地捕捉股市波动的特征，GARCH类模型都可以较好地刻画我国期货铜的收益率序列的波动。 表4给出了MRS-GARCH模型在残差服从正态分布、 分布、广义误差分布以及 分布的参数估计结果，可以看到所以的参数估计基本上在显著5%水平下显著不为零。对比各个模型的AIC值，可以知道MRS-GARCH-N模型的AIC值最小，而且MRS-GARCH模型的AIC值整体上要比GARCH类模型要小，说明MRS-GARCH模型的拟合效果从整体上来看基本上要优于GARCH模型。在高、低波动状态的 和 值相差比较大，这说明了我国期货铜收益率的波动存在明显的高、低波动状态。 表示状态1的无条件概率， 表示状态2的无条件概率。MRS-GARCH-N模型和MRS-GARCH-T模型的高、低波动状态的无条件概率，可以看出我国期货铜收益率处于低波动状态的概率远大于高波动状态。接下来，我们给出MRS-GARCH-N模型的两种波动状态的平滑概率图(图2给出低波动状态的平滑概率图，图3给出高波动状态的平滑概率图)。 由图2和图3可知，低波动状态的平滑概率在绝大多数情况下都处于较高值，说明低波动状态的出现频率较高，在此期间我国期货铜正处于低波动阶段。 3.3. 预测评价 为了了解上述模型对我国期货铜的收益率序列的波动预测效果，本文采用对比上述模型的向前一步预测效果，我们通过上面介绍的三种损失函数来比较各个模型的向前一步预测效果，从而评价上述模型的样本外的预测能力。首先根据已知的模型参数预测未来1天的波动率，然后，窗口向前滚动1天，重 图2. 低波动状态的平滑概率图 图3. 高波动状态的平滑概率图 新估计各模型的参数后再预测未来1天的波动率，依此类推，共得到200个波动率的预测值。我们可以得到MAE、MSE等四种损失函数。表5给出了上述三种损失函数以及AIC的具体数值，从表5中我们可以知道，其中GRACH-T模型在GARCH族模型中具有最小的损失函数，MRS-GARCH模型的损失函数总体上小于GARCH族模型。MRS-GARCH-N模型在所有波动率模型中具有最小的损失函数，因此MRS-GARCH-N模型具有最优的样本外的预测能力，MRS-GARCH-N模型比其他模型更适合预测我国期货铜的收益率序列的短期波动。 Table 3 Parameter estimation of the GARCH class mode 参数 GARCH模型 EGARCH模型 GJR-GARCH N T N T N T 0.0188 0.0293 0.0191 0.0289 * 0.0145 0.0270 (0.0190) (0.0175) (0.0115) (0.0145) (0.0193) (0.0177) 0.0219 ** 0.0129 ** 0.0162 ** 0.0055 * 0.02144 ** 0.0126 * (0.0049) (0.0115) (0.0023) (0.0024) (0.049) (0.0047) 0.0824 ** 0.0852 ** 0.0189 * 0.0116 0.0747 ** 0.0805 ** (0.0083) (0.0115) (0.0076) (0.0093) (0.0098) (0.0122) 0.9091 ** 0.0914 ** 0.982 ** 0.9902 ** 0.9103 ** 0.9143 ** (0.0088) (0.0115) (0.0011) (0.0114) (0.0088) (0.0100) － － 0.0181 ** 0.1855 ** 0.0128 0.0083 － － (0.0137) (0.0177) (0.0102) (0.0125) － 6. 6729 ** － 6.4891 ** － 6.6809 ** － (0.0115) － (0.7083) － (0.7450) AIC 3.3759 3.3396 3.3789 3.3424 3.3761 3.3401 LM(3) 0.8793 0.8308 1.5462 1.3091 1.0654 0.9173 LM(5) 1.2397 1.0782 2.0361 1.6583 1.4516 1.1640 LM(7) 2.3227 1.8560 3.0362 2.4117 2.4201 1.8796 表3. GARCH类模型的参数估计 注：N、T分别表示正态分布、t分布；v表示自由度，括号内表示参数的标准差， ** 表示参数在显著1%水平下显著不为零， * 表示在显著5%水平下显著不为零。 Table 4 Parameter estimation of the MRS-GARCH mode 参数 MRS-GARCH模型 N T GED T2 0.0387 * (0.0028) 0.0920 * (0.0320) 0.1042 * (0.0310) 0.1084 * (0.0351) -0.0161 * (0.0415) 0.0026(0.0249) -0.0027(0.0230) 0.0023(0.0204) 0.0309 ** (0.0102) 0.0566 ** (0.0136) 0.0804 ** (0.0296) 0.1351 * (0.0027) 0.2364 ** (0.0391) 0.0175 * (0.0076) 0.0859 * (0.0213) 0.0064 * (0.0394) 0.0039(0.0226) 0.1212 ** (0.0000) 0.1065 * (0.0196) 0.1225 ** (0.0228) 0.0364 * (0.0000) 0.0433 * (0.0129) 0.0811 * (0.0177) 0.0546 * (0.0000) 0.8753 ** (0.0154) 0.87888 * (0.0000) 0.8745 ** (0.0233) 0.8410 ** (0.0268) 0.9616 ** (0.0000) 0.9329 ** (0.0168) 0.8158 ** (0.0334) 0.9454 * (0.0000) － 6.3398 * (0.6589) 1.3765 ** (0.0460) 10.7112 ** (3.5131) － － － 4.2937 ** (0.4822) 0.9304 * (0.0127) 0.9992 * (0.0000) 0.9993 * (0.0000) 0.9996 * (0.0000) 0.8927 * (0.0185) 0.9984 * (0.0014) 0.9994 * (0.0000) 0.9996 * (0.0000) 0.6066 0.6667 0.4615 0.5000 0.3934 0.3333 0.5385 0.5000 AIC 3.3346 3.3406 3.3415 3.3573 表4. MRS-GARCH模型的参数估计 注：N、T、GED分别表示正态分布、t分布、广义误差分布；T2表示t分布有两种不同的自由度，括号内表示参数的标准差， ** 表示参数在显著1%水平下显著不为零， * 表示在显著5%水平下显著不为零。 Table 5 Comparison of the previous step Predicted loss function of the mode 模型 N. of par MSE Rank MAE Rank QLIKE Rank R2LOG Rank GARCH-N 4 1.0456 7 0.8085 9 1.5526 9 7.5204 10 GARCH-T 5 1.0223 2 0.8033 2 1.5370 3 6.9298 1 EGARCH-N 5 1.1173 10 0.8084 8 2.1018 10 7.5018 9 EGARCH-T 5 1.0678 8 0.8076 7 1.5379 4 7.4768 6 GJR-GARCH-N 5 1.0679 9 0.8143 10 1.5524 8 7.4829 7 GJR-GARCH-T 6 1.0546 5 0.8065 5 1.5515 6 7.4701 5 MRS-GARCH-N 10 1.0140 1 0.7679 1 1.5250 1 7.4483 2 MRS-GARCH-T 11 1.0334 3 0.8049 3 1.5355 2 .45547 4 MRS-GARCH-GED 11 1.0358 4 0.8061 4 1.5498 5 7.4553 3 MRS-GARCH-T2 12 1.0550 6 0.8075 6 1.5517 7 7.4859 8 表5. 上述模型的向前一步预测的损失函数比较