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user: 2. 碳市场的马科维茨最优投资组合的实证研究 2.1. 样本选择 目前我国在北京、上海、广州、天津、深圳、湖北、重庆有7家主要的碳排放交易所。本文选取北京、上海、广州、湖北这四个碳交易试点作为研究对象，选取4个交易所从2017年1月3日至2018年3月16日共291个有效工作日的碳配额收盘价，各个交易所在2017年1月3日至2018年3月16日的日收盘价如图1~4所示(本文的数据来源为中国碳排放交易网)。 图1. 北京环境交易所的日收盘价 图2. 上海环境能源交易所的日收盘价 图3. 广州碳排放权交易所的日收盘价 图4. 湖北碳排放权交易中心的日收盘价 2.2. 数据处理 对上述4个碳排放交易所的日收盘价数据进行处理，不考虑节假日以及因重要原因停盘等因素的影响，将收盘价看成连续数据，那么可以通过公式(1)计算各个交易所的日收益率 r i j = P i j − P i j − 1 P i j − 1 (1) 其中r ij 表示第i个交易所在j时期的收益率，P ij 表示第i个交易所在j时期的收盘价， P i j − 1 表示第i个交易所在 j − 1 时期的收盘价， i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， 290 。 根据公式(1)分别计算4个交易所在2017年1月3日至2018年3月16日的日收益率，进而得到4个碳排放交易所收益率的均值、方差、标准差如表1所示： Table 1 The mean， variance， and standard deviation of the four carbon emission exchange 北京 上海 广州 湖北 均值 0.0019 0.0015 0.0006 −0.0005 方差 0.0036 0.0012 0.0018 0.0007 标准差 0.0603 0.0351 0.0428 0.0273 表1. 四个碳排放交易所收益率的均值、方差、标准差 根据4个碳排放交易所在2017年1月3日至2018年3月16日的日收益率，得到4个碳排放交易所收益率的协方差矩阵如表2所示： Table 2 The covariance matri 北京 上海 广州 湖北 北京 0.0036 0.0001 0.0001 0.0001 上海 0.0001 0.0012 0.0001 −0.0000 广州 0.0001 0.0001 0.0018 −0.0000 湖北 0.0001 −0.0000 −0.0000 0.0007 表2. 四个碳排放交易所收益率的协方差矩阵 2.3. 最优投资比例计算 由于马科维茨模型假定每个投资者都是风险规避者，即希望在获得一定收益的条件下投资风险最小，或者在风险一定的条件下获得收益最大。并且马科维茨投资组合理论表明，在一定的条件下投资者的投资决策只由收益率的期望值和方差决定，资产的风险值可以用资产收益率的方差来衡量，而且投资组合的风险不仅与每种资产的风险有关还与各种资产之间的协方差有关。那么在实际应用中可以根据收益率的历史数据算出样本收益率的均值和方差，并且用样本收益率的均值来度量这种资产的期望收益率，用样本收益率的方差来度量资产的风险。 2.3.1. 在给定期望收益率情况下的最优投资比例计算 考虑在给定投资组合期望收益率的情况下，使得风险最小，于是得到如下模型： min σ p 2 = ∑ i = 1 4 ∑ j = 1 4 w i w j cov ( R i ， R j ) s . t . { ∑ i = 1 4   w i μ i = μ p ∑ i = 1 4   w i = 1 w i ≥ 0 ，   i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 其中 μ i 表示资产i的期望收益率， σ i 2 表示资产i的风险(方差)，w i 表示资产i在投资组合中所占比例 ( 0 ≤ w i ≤ 1 ) ， cov ( R i ， R j ) 表示资产i的收益率与资产j的收益率之间的协方差， i = 1 ， 2 ， ⋯ 4 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， 4 。 将表1、表2中4个碳排放交易所收益率的均值和协方差矩阵代入到上述模型中，通过给定投资组合的期望收益率 μ p ，求出在4个碳排放交易所的投资比例见表3。 Table 3 Portfolios of four exchange μ p 北京 上海 广州 湖北 σ p 2 μ p σ p 0.0006 0.1011 0.3314 0.1769 0.3906 0.3616 × 10 − 3 0.0316 0.0008 0.1314 0.3935 0.1796 0.2955 0.4041 × 10 − 3 0.0398 0.0010 0.1617 0.4556 0.1824 0.2003 0.4749 × 10 − 3 0.0459 0.0012 0.1921 0.5177 0.1851 0.1051 0.5740 × 10 − 3 0.0501 0.0014 0.2224 0.5798 0.1879 0.0099 0.7014 × 10 − 3 0.0529 0.0016 0.3017 0.6754 0.0229 0.0000 0.9211 × 10 − 3 0.0527 0.0018 0.7500 0.2500 0.0000 0.0000 0.2138 × 10 − 2 0.0389 表3. 四个交易所的投资组合 根据表3画出资产组合的有效边界曲线如图5所示： 图5. 有效边界曲线 2.3.2. 在给定风险值情况下的最优投资比例计算 考虑在给定投资组合风险值的情况下，使得收益率最大，于是得到如下模型： max μ p = ∑ i = 1 4   w i μ i s . t . { ∑ i = 1 4 ∑ j = 1 4   w i w j cov ( R i ， R j ) = σ p 2 ∑ i = 1 4   w i = 1 w i ≥ 0 ，   i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 其中 μ i 表示资产i的期望收益率， σ i 2 表示资产i的风险(方差)， w i 表示资产i在投资组合中所占比例 ( 0 ≤ w i ≤ 1 ) ， cov ( R i ， R j ) 表示资产i的收益率与资产j的收益率之间的协方差， i = 1 ， 2 ， ⋯ 4 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， 4 。 将表1、表2中4个碳排放交易所收益率的均值和协方差矩阵代入到上述模型中，通过给定投资组合的风险值 σ p 2 ，求出在4个碳排放交易所的投资比例见表4。 Table 4 Portfolios of four exchange σ p 2 北京 上海 广州 湖北 μ p μ p σ p 0.0004 0.1292 0.3889 0.1794 0.3025 0.7851 × 10 −3 0.0393 0.0005 0.1703 0.4731 0.1831 0.1735 0.1056 × 10 −2 0.0472 0.0006 0.1988 0.5316 0.1857 0.0839 0.1245 × 10 −2 0.0508 0.0007 0.2221 0.5792 0.1878 0.0109 0.1398 × 10 −2 0.0528 0.0008 0.2636 0.6309 0.1055 0.0000 0.1511 × 10 −2 0.0534 0.0009 0.2958 0.6685 0.0357 0.0000 0.1586 × 10 −2 0.0529 0.0010 0.3568 0.6432 0.0000 0.0000 0.1643 × 10 −2 0.0520 表4. 四个交易所的投资组合 根据表4画出资产组合的有效边界曲线如图6所示： 图6. 有效边界曲线 2.4. 结果与分析 由表1列出的四个碳排放交易所收益率的均值、方差、标准差可以看出北京环境交易所在2017年1月3日至2018年3月16日期间的日收益率的均值最大，为0.0019，而湖北碳排放权交易中心在这段时间内的日收益率的均值最小，为−0.0005。并且北京环境交易所在这段时期内的日收益率波动最大，湖北碳排放权交易中心的日收益率波动最小。 在给定投资组合期望收益率的情况下，当投资组合的期望收益率为 μ p = 0.0014 时，相应的投资组合风险值 σ p 2 = 0.7014 × 10 − 3 ，此时单位风险收益率 v p = 0.0529 达到最大值，因此可以认为在该期望收益率水平下的投资比例为这7种情况中的相对最优投资组合。即最优投资组合为：北京环境交易所占比为22.24%，上海环境能源交易所占比为57.98%，广州碳排放权交易所占比为18.79%，湖北碳排放权交易中心占比0.99%。 在给定投资组合风险值的情况下，当投资组合的风险值 σ p 2 = 0.0008 时，相应的投资组合期望收益率 μ p = 0.1511 × 10 − 2 ，此时单位风险收益率 v p = 0.0534 达到最大值，因此可以认为在该风险水平下的投资比例为这7种情况中的相对最优投资组合。即最优投资组合为：北京环境交易所占比为26.36%，上海环境能源交易所占比为63.09%，广州碳排放权交易所占比为10.55%，湖北碳排放权交易中心占比0%。 另外，由表3、表4中的数据可以看出北京环境交易所所占的投资比重随着收益率的提高而不断增加，湖北碳排放权交易中心所占的投资比重随着收益率的提高而不断减少。这是因为在样本所选的时间段内，北京环境交易所的平均收益率最高，湖北碳排放权交易中心的平均收益率最低，那么对于理性的投资者而言，收益较高风险可控的交易所将成为投资首选。因此，如果投资者想提高投资收益率，那么就需要提高在北京环境交易所的投资比重、降低在湖北碳排放权交易中心的投资比重。并且从表3，表4的结果中可以看出高收益意味着高风险，而且收益越高，入选投资的交易所越少。相反，收益越少，风险就越小，那么投资就越分散，这一结果与现代投资理论的结果也是一致的：风险小的投资是一个分散化的投资组合。