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user: 3. 证明过程 接下来，我们研究以下Liénard系统相对应的Abel积分 x ˙ = y ， y ˙ = x ( x − 1 ) ( x − 1 2 ) 2 + ε ( a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + x 3 ) y ， 0 < ε ≪ 1. 1977年，阿诺德(Arnold)提出弱化的希尔伯特(Hilbert)的第十六问题，目的是研究阿贝尔积分的零点数目 I ( h ， δ ) = ∮ Γ h q d x − p d y ，   h ∈ J (1) 平面系统的形式为： x ˙ = H y ( x ， y ) + ε p ( x ， y ) ，   y ˙ = − H x ( x ， y ) + ε q ( x ， y ) ， (2) 其中 p ( x ， y ) ， q ( x ， y ) 和 H ( x ， y ) 是 C ∞ 函数，且 ε > 0 是一个非常小的参数。因此，(2)被称为带扰动项的哈密顿系统。 相应的无扰哈密顿系统： x ˙ = H y ( x ， y ) ，   y ˙ = − H x ( x ， y ) ， (3) 近几十年来，许多研究人员专注于类型为(m， n)的Liénard系统 x ˙ = y ，   y ˙ = ε f ( x ) y + g ( x ) ， (4) 其中 f ( x ) 和 g ( x ) 是n和m阶的可微函数，特别重要的是(m， m − 1)的类型(见 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] )研究了(3， 2)型五个系统的阿贝尔积分，得到了不同的最小上界。对于(4， 3)型， [ 8 ] [ 9 ] 证明了阿贝尔积分零点的上界和下界分别为4和3。在本文中，研究了以下类型为(4， 3)的Liénard系统̇： x ˙ = y ， y ˙ = x ( x − 1 ) ( x − 1 2 ) 2 + ε ( a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + x 3 ) y . (5) 其中 0 < ε ≪ 1 ， α 0 ， α 1 ， α 2 是常系数。(5)为具有超椭圆哈密顿函数，对于系统(5)一些相关的定义和结果在 [ 10 ] [ 11 ] 中可以找到。 哈密顿量为： H ( x ， y ) = 1 2 y 2 − 1 5 x 5 + 1 2 x 4 − 5 12 x 3 + 1 8 x 2 = 1 2 y 2 + A ( x ) ， (6) 哈密顿量对应的闭轨如图1所示。 H ( x ， y ) = 1 2 y 2 + A ( x ) 为(6)的解析函数。考虑在平面上的如上形式的Hamilton函数：环绕中心O (0， 0)有一族顺时针方向的闭轨， { Γ h } ⊂ { ( x ， y ) | H ( x ， y ) = h ， h 0 < h < h 1 } 形成未扰系统的周期环域。设区间 ( x r ， 1 ) 是周期轨族在x轴上的投影。根据假设可知， x ∈ ( x r ， 0 ) \ { 0 } ， x A ′ ( x ) > 0 ，因此，A(x)定义了满足 A ( x ) = A ( z( x ) ) 的一个对合 z ( x ) 。 Γ h 上的Melnikov函数为： I ( h ， δ ) = ∮ Γ h ( a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + x 3 ) d x ≡ a 0 I 0 ( h ) + a 1 I 1 ( h ) + a 2 I 2 ( h ) + I 3 ( h ) . (7) 本文主要讨论当 h ∈ ( h 1 ， 0 ) ， δ = ( α 0 ， α 1 ， α 2 ， 1 ) 和 I ( h ) = ∮ Γ h x i y d x ，i = 0， 1， 2， 3的零点个数的上界，即目的是给出扰动系统在整个平面上零点个数的完整描述。 图1. 系统(5)当ε = 0时的相图分支 根据引理1可知，引理一的第三个条件总是不满足，所以通常运用另一个引理。 本文根据引理2； 将I(h)乘以 2 A ( x ) + y 2 2 h = 1 可以得到： I ( h ) = 1 2 h ∮ Γ h ( 2 A ( x ) + y 2 ) x i y d x = 1 2 h ( ∮ Γ h 2 A ( x ) y d x + ∮ Γ h x i y 3 d x ) ， (8) 设k = 3并且 F ( x ) = 2 x i A ( x ) 运用引理2得到： ∮ Γ h 2 x i A ( x ) y d x = ∮ Γ h G i ( x ) y 3 d x ， (9) 其中 G i ( x ) = 1 3 ( 2 x i A ( x ) A ( x ) ) ′ ( x ) = ( 48 i x 5 − 192 i x 4 + 48 x 5 + 304 i x 3 − 168 x 4 − 240 i x 2 + 236 x 3 + 95 i x − 170 x 2 − 15 i + 70 x − 15 ) x i 45 ( − 1 + 2 x ) 3 ( x − 1 ) 2 将(9)带入到(8)中再乘以 2 A ( x ) + y 2 2 h = 1 ， J i ( h ) = 1 2 h ∮ Γ h ( G i ( x ) + x i ) y 3 d x = 1 4 h 2 ∮ Γ h ( 2 A ( x ) + y 2 ) ( G i ( x ) + x i ) y 5 d ϕ = 1 4 h 2 ∮ Γ h 2 A ( x ) ( x i + G i ( x ) ) y 3 d x + 1 4 h 2 ∮ Γ h ( x i + G i ( x ) ) y 5 d x . (10) 应用引理2，取k = 5并且 F ( x ) = 2 A ( x ) ( x i + G i ( x ) ) ，可以得到 ∮ Γ h 2 A ( x ) ( x i + G i ( x ) ) y 3 d x = ∮ Γ h E i ( x ) y 5 d x . (11) 其中 E i ( x ) = 1 5 ( 2 A ( x ) ( x i + G i ( x ) ) A ( x ) ) ′ ( x ) = 1 3375 ( − 1 + 2 x ) 6 ( x − 1 ) 4 x i r i ( x ) r i ( x ) = 2304 i 2 x 10 − 18432 i 2 x 9 + 66408 i 2 x 8 − 163008 i x 9 + 19584 x 10 − 139776 i 2 x 2 + 541920 i x 3 − 137088 x 4 + 193696 i 2 x 5 − 1060176 i x 7 + 428832 x 8 − 183840 i 2 x 5 + 1353896 i x 6 − 790848 x 7 + 121120 i 2 x 4 − 1182420 i x 5 + 955848 x 6 − 54720 i 2 x 3 + 718010 i x 4 − 796200 x 5 + 16225 i 2 x 2 − 301035 i x 3 + 467270 x 4 − 2850 i 2 x + 84050 i x 2 − 193220 x 3 + 225 i 2 − 14250 i x + 54825 x 2 + 1125 i − 9900 x + 900. 将(11)带入到(10)中再乘以 2 A ( x ) + y 2 2 h = 1 ，可以得到： J i ( h ) = 1 4 h 2 ∮ Γ h ( E i ( x ) + G i ( x ) + x i ) y 5 d x = 1 8 h 3 ∮ Γ h ( 2 A ( x ) + y 2 ) ( E i ( x ) + G i ( x ) + x i ) y 5 d = 1 8 h 3 ∮ Γ h 2 A ( x ) ( E i ( x ) + G i ( x ) + x i ) y 5 d x + 1 8 h 3 ∮ Γ h ( E i ( x ) + G i ( x ) + x i ) y 7 d x . (12) 再一次引用引理2，得 ∮ Γ h 2 A ( x ) ( E i ( x ) + G i ( x ) + x i ) y 5 d x = ∮ Γ h D i ( x ) y 7 d x . (13) 当 D i ( x ) = 1 7 ( 2 A ( x ) ( x i + G i ( x ) + E i ( x ) A ( x ) ) ′ ( x ) = 1 354375 ( − 1 + 2 x ) 9 ( x − 1 ) 6 x i g ¯ i ( x ) ，其中 g ¯ i ( x ) = 110592 i 3 x 15 − 1327104 i 3 x 14 + 4478976 i 2 x 15 + 7409664 i 3 x 13 − 51342336 i 2 x 14 + 57701376 i x 15 − 25546752 i 3 x 12 + 273341952 i 2 x 13 − 632530944 i x 14 + 234772992 x 15 + 60855552 i x 11 − 896894208 i 2 x 12 + 3214916352 i x 13 − 2465116416 x 14 − 106142976 i 3 x 10 + 2029183488 i 2 x 11 − 10052225280 i x 12 + 11981620224 x 13 + 140091904 i 3 x 9 − 3354500736 i 2 x 10 + 21630292992 i x 11 − 35763372288 x 12 − 142525440 i 3 x 8 + 4187744064 i 2 x 9 − 33942149568 i x 10 + 73328718528 x 11 + 112724880 i 3 x 7 − 4022191200 i 2 x 8 + 40144961792 i x 9 − 109441242720 x 10 − 69325920 i 3 x 6 + 2998330200 i 2 x 7 − 36465079440 i x 8 + 122889085920 x 9 + 32887200 i 3 x 5 − 1735866300 i 2 x 6 + 25667156060 i x 7 − 105792127920 x 8 − 11818800 i 3 x 4 + 774744750 i 2 x 5 − 14013994940 i x 6 + 70464218410 x 7 + 3114575 i 3 x 3 − 262037325 i 2 x 4 + 5894048125 i x 5 − 36356166065 x 6 − 568125 i 3 x 2 + 65093175 i 2 x 3 − 1878268450 i x 4 + 14433723450 x 5 + 64125 i 3 x − 11228625 i 2 x 2 + 439913425 i x 3 − 4338507050 x 4 − 3375 i 3 + 1204875 i 2 x − 71683875 i x 2 + 958177950 x 3 − 60750 i 2 + 7293375 i x − 147305250 x 2 − 351000 i + 14168250 x − 648000. 根据以上计算，很容易得到以下结果。 运用引理3取 l i ( x ) : = ( f i ( x ) A ′ ( x ) ) ( x ) − f i ( z ( x ) ) A ′ ( x ) (参见 [ 9 ] ) A ( x ) 在 ( x r ， 1 ) 上定义了一个解析对合， z ( x ) 满足 A ( x ) = A ( z ( x ) ) 和 A ( x r ) = A ( 1 ) 。由 A ( x ) = A ( z ( x ) ) 得 − 1 120 ( x − z ) q ( x ， z ) ，其中 q ( x ， z ) = 24 x 4 + 24 x 3 z + 24 x 2 z 2 + 24 x z 3 + 24 z 4 − 60 x 3 − 60 x 2 z − 60 x z 2 − 60 z 3 + 50 x 2 + 50 x z + 50 z 2 − 15 x − 15 z 。 事实上， q ( x ， z ) = 0 是定义解析对合 z ( x ) 的因式。 所以，当 d z d x = − ∂ q ( x ， z ) ∂ x / ∂ q ( x ， z ) ∂ z d d x l i ( x ) = d d x ( f i A ′ ) ( x ) − [ d d x ( f i A ′ ) ( z ( x ) ) ] d z d x ， (14) 假定 x ∈ ( 0 ， 1 ) ， z ( x ) ∈ ( x r ， 0 ) ，换句话说，其中 x r ≈ − 0.1924057816 ， x r < z < 0 < x < 1. (15) 根据斯图姆定理和相关分析技巧，运用Maple 19计算函数的4个Wronski行列式可得： W [ l 1 ( x ) ] = l 1 ( x ) = 4 ( x − z ) w 1 ( x ， z ) 3375 ( − 1 + 2 x ) 8 ( x − 1 ) 5 ( − 1 + 2 z ) 8 ( z − 1 ) 5 ， W [ l 1 ( x ) ， l 2 ( x ) ] = 64 ( x − z ) 3 w 2 ( x ， z ) 11390625 ( z − 1 ) 9 ( − 1 + 2 z ) 16 ( x − 1 ) 9 ( − 1 + 2 x ) 16 p ( x ， z ) ， W [ l 1 ( x ) ， l 2 ( x ) ， l 0 ( x ) ] = − 512 ( x − z ) 6 w 3 ( x ， z ) 38443359375 x 3 ( x − 1 ) 12 ( − 1 + 2 x ) 22 z 3 ( − 1 + 2 z ) 22 ( z − 1 ) 12 p 3 ( x ， z ) ， W [ l 1 ( x ) ， l 2 ( x ) ， l 0 ( x ) ， l 3 ( x ) ] = 4096 ( x − z ) 10 w 4 ( x ， z ) 43248779296875 x 4 ( x − 1 ) 15 ( − 1 + 2 x ) 30 z 4 ( − 1 + 2 z ) 30 ( z − 1 ) 15 p 6 ( x ， z ) . 其中 p ( x ， z ) = 24 x 3 + 48 z x 2 + 72 z 2 x + 96 z 3 − 60 x 2 − 120 z x − 180 z 2 + 50 x + 100 z − 15 ， w 1 ( x ， z ) ， w 2 ( x ， z ) ， w 3 ( x ， z ) ， w 4 ( x ， z ) 是次数分别为22、44、64和90的多项式。 计算 p ( x ， z ) 和 q ( x ， z ) 关于z的结式得： R ( q ， p ， z ) = 573308928000 x 12 − 3439853568000 x 11 + 87907368960000 x 10 − 12421693440000 x 9 + 10439000064000 x 8 − 5064228864000 x 7 + 1076281344000 x 6 + 163233792000 x 5 − 135336960000 x 4 + 14542848000 x 3 + 4700160000 x 2 − 691200000 x − 103680000. 由Sturm定理得，在(0， 1)上 R ( p ， q ， z ) ≠ 0 ，即 q ( x ， z ) 和 p ( x ， z ) 没有满足条件的公共根，所以， p ( x ， z ) ≠ 0 ， x ∈ ( x r ， 1 ) 。因此，研究4个Wronski 行列式是否有零点转化为研究每个 w i ( x ， z ) ( i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 是否有零点。因为z满足 q ( x ， z ) = 0 ，所以研究 w i ( x ， z ) 和 q ( x ， z ) 是否有满足条件(15)的公共根即可。 1) 计算 q ( x ， z ) 和 w 1 ( x ， z ) 关于z的结式得： R ( q ， w 1 ， z ) = 1099511627776 ( x − 1 ) 4 ( − 1 + 2 x ) 14 φ 1 ( x ) ，其中 φ 1 ( x ) 为关于x的70次多项式。由Sturm定理，当 x ∈ ( 0 ， 1 ) 时， φ 1 ( x ) ≠ 0 因此 w 1 ( x ， z ) 和 q ( x ， z ) 没有满足条件(15)的公共根。得出结论：在(0， 1)上， W 1 ( x ， z ) ≠ 0 。 2) 类似地，检查 q ( x ， z ) 和 w 2 ( x ， z ) 之间是否存在公共根，用 w 2 ( x ， z ) 代替程序中的 w 1 ( x ， z ) ，得到 R ( q ， w 2 ， z ) = 3518437208883200 ( x − 1 ) 6 ( − 1 + 2 x ) 28 φ 2 ( x ) ，其中 φ 2 ( x ) 为关于x的142次多项式。将Sturm定理应用于 φ 2 ( x ) ，有两个点，用 x 1 和 x 2 表示，使得 φ 2 ( x ) = 0 ， x 1 ≈ 0.3194871852 ， x 2 ≈ 0.8780598147 。因此，将检查 q ( x ， z ) 和 w 2 ( x ， z ) 在(0， 1)上是否有公共根，使用带有Maple 19的程序来查找所有可能的区间。 > with(RegularChains); > with(ChainTools); > with(SemiAlgebraicSetTools); > sys := [w2(x，z)， q(x，z)]; > R2 := PolynomialRing([x，z]); > dec := Triangularize(sys， R2); [regular chain] > L := map(Equations， dec， R2); 得到正则链如下： [ [ 2 x − 1 ， 2 z − 1 ] ， [ x − 1 ， z − 1 ] ， [ φ 3 ( x ， z ) ， φ 4 ( z ) ] ] 其中 φ 3 ( x ， z ) = φ 31 ( z ) x + φ 32 ( z ) ， φ 31 ( z ) x ， φ 32 ( z ) 和 φ 4 ( z ) 是117、116和142次的多项式.前两条正则链之间没有公共根满足(15)。实根隔离第三条正则链得到 q ( x ， z ) 和 w 2 ( x ， z ) 的所有公共根可能存在的8个区间对： [ x = [ 147953 131072 ， 73977 65536 ] ， z = [ − 23003894633164393 144115188075855872 ， − 2875486829145549 18014398509481984 ] ] ， [ x = [ 115089 131072 ， 57545 65536 ] ， [ z = 3181281276395 1759218644416 ， − 12725125105579 70368744177664 ] ] ， [ x = [ 41875 131072 ， 10469 32768 ] ， z = [ 27313710324978218727081661251716190518835493283418984010717824408507818285254767 27371421987580235682274733772977928352834969285952318751528091320482060895025888928 ， 17071073145311138670442603828232261907427218330213686500669864025531738642828423 14821387422376473014270860811112052205218558037201992197050570753012880593911808 ] ] ， [ x = [ − 10461 65536 ， − 20921 131072 ] ， z = [ 17964076768096284321771248998958445677497741050123422581583682197739874395984749117530235 15914343565113172548972231940698266883214596825515126958094847260581103904401068017057792 ， 143712614144770274574169991991667565419981928400987380652669457581918995167877992940241881 127314748520905380391777855525586135065716774604121015664758778084648831235208544136462336 ] ] ， [ x = [ 56447 65536 ， 451579 524288 ] ， z = [ 63300383292229564562517090328922307792455814963777798670531323163388007775889 57896044618658097711785492504343953926634992332820282019728792003956564819968 ， 31650191646114782281258545164461153896227907481888899335265661581694003887945 28948022309329048855892746252171976963317496166410141009864396001978282409984 ] ] ， [ x = [ − 23703 131072 ， − 11851 65536 ] ， z = [ 325351617328729556618428350174928032828431538540974018963326935493166395828803 3705346855594118253554271520278013051304639509300498049262642688253220148477952 ， 13014064693149182264737134006998112131313726154163896075853307741972665583315213 14821387422376473014217086081112052205218558037207992197050570753012880593911808 ] ] ， [ x = [ 71653 65536 ， 143307 131072 ] ， z = [ 12174518124912944273199013256495173628060618648103873508325294960539283985 14134776518227074636666380005943348126619871175004951664972849610340958208 ， 24349036249825888546398026512990347256121237296027747016650589921078567971 28269553036454149273332760011886696253239742350009903329945699220681916416 ] ] ， [ x = [ 75483 65536 ， 150967 131072 ] ， z = [ 3478907379019106586553154394578987 10889035741470030830827987437816582766592 ， 13915629516076426342612639720617578315949 43556142965880123323311949751266331066331066368 ] ] ， 上述8个区间对是 q ( x ， z ) 和 w 2 ( x ， z ) 在整个x-z平面上所有公共根存在的区间。这意味着没有一对满足条件(15)。可以说， w 2 ( x ， z ) ≠ 0 在 0 < x < 1 ，因此，可以得到结论： W [ l 1 ( x ) ， l 2 ( x ) ] ≠ 0 。 3) 接下来，要检查 q ( x ， z ) 和 w 3 ( x ， z ) 之间是否存在公共根，我们用 w 3 ( x ， z ) 代替程序中的 w 1 ( x ， z ) ，我们得到： R ( q ， w 3 ， z ) = 65841835161401738294227131414080654928331879219200000 ( x − 1 ) 6 ( − 1 + 2 x ) 38 φ 5 ( x ) ， 其中 φ 5 ( x ) 是关于x的216次多项式。将Sturm定理应用于 φ 5 ( x ) ，有七个点，用 x 3 − x 9 表示， x 3 ≈ 0.2421563190 ， x 4 ≈ 0.4217002738 ， x 5 ≈ 0.4313884030 ， x 6 ≈ 0.5575306479 ， x 7 ≈ 0.5618904338 ， x 8 ≈ 0.7201791914 ， x 4 ≈ 0.4217002738 ，使得 φ 5 ( x ) = 0 。 因此，我们将使用Maple 19程序查找所有可能的间隔，以检查 q ( x ， z ) 和 w 3 ( x ， z ) 是否在(0， 1)上有任何公共根。 > with(RegularChains); > with(ChainTools); > with(SemiAlgebraicSetTools); > sys := [w3(x，z)， q(x，z)]; > R2 := PolyomialRing([x，z]); > dec := Triangularize(sys， R2); [regular chain] > L := map(Equations， dec， R2); 得到正则链如下； [ [ 2 x − 1 ， 2 z − 1 ] ， [ x − 1 ， z − 1 ] ， [ φ 6 ( x ， z ) ， φ 7 ( z ) ] ] 其中 φ 6 ( x ， z ) = φ 61 ( z ) x + φ 62 ( z ) ， φ 61 ( z ) x ， φ 62 ( z ) ， φ 7 ( z ) 分别是次数为174、174和216的多项式。显然，前两条正则链之间没有公共根满足(15)。实根隔离第三条正则链得到 w 3 ( x ， z ) 和 q ( x ， z ) 的所有公共根可能存在的18个区间对(为节省版面，此处不列出)。我们发现所有区间对都不满足(15)的条件，这意味着 w 3 ( x ， z ) 和 q ( x ， z ) 之间没有公共根，可以说 w 3 ( x ， z ) ≠ 0 在 0 < x < 1 ，因此， W [ l 1 ( x ) ， l 2 ( x ) ， l 0 ( x ) ] ≠ 0 4) 类似地，我们使用相同的程序来查找所有可能存在公共根的区间，这些区间可能存在 w 4 ( x ， z ) 和 q ( x ， z ) 的公共根，然后得到以下正则链： [ [ 2 x − 1 ， 2 z − 1 ] ， [ x − 1 ， z − 1 ] ， [ φ 8 ( x ， z ) ， φ 9 ( z ) ] ] 其中 φ 8 ( x ， z ) = φ 81 ( z ) x + φ 82 ( z ) ， φ 81 ( z ) 和 φ 82 ( z ) 和 φ 82 ( z ) 分别是阶数为242、242和302的多项式。 将Sturm定理应用于 φ 9 ( z ) ，有两个点，用 x 10 − x 15 表示， x 10 ≈ 0.4475787648 ， x 11 ≈ 0.4568660716 ， x 12 ≈ 0.5395665594 ， x 13 ≈ 0.5412805847 ， x 14 ≈ 0.9161509086 ， x 15 ≈ 0.9498338289 ，使得 φ 9 ( z ) = 0 。很明显，前两条正则链之间没有公共的根(15)。实根隔离第三条正则链得到 w 4 ( x ， z ) 和 q ( x ， z ) 的所有公共根存在的12个区间对。 发现所有区间对都不满足(15)的条件，可以说 w 4 ( x ， z ) ≠ 0 在 0 < x < 1 ，因此， W [ l 1 ( x ) ， l 2 ( x ) ， l 0 ( x ) ， l 3 ( x ) ] ≠ 0 . 综上所述，根据定理1和引理4得到以下命题： 命题3.1 { I ˜ 0 ( h ) ， I ˜ 1 ( h ) ， I ˜ 2 ( h ) ， I ˜ 3 ( h ) } 是 ( 0 ， h s ) 上的一个扩充完全Chebyshev系统， { I 0 ( h ) ， I 1 ( h ) ， I 2 ( h ) ， I 3 ( h ) } 也是。因此， h ∈ ( 0 ， h s ) 上的 I ( h ， δ ) 最多有3个零点。