system: [SYSTEM]

user: 3. Hom-Malcev代数的配对 定义3.1：设 ( M 1 ， [ ] 1 ， α 1 ) 和 ( M 2 ， [ ] 2 ， α 2 ) 为Hom-Malcev代数，若 ( ρ 1 ， M 2 ， α 2 ) 和 ( ρ 2 ， M 1 ， α 1 ) 分别为 ( M 1 ， [ ] 1 ， α 1 ) 和 ( M 2 ， [ ] 2 ， α 2 ) 的表示，对于 ∀ x 1 ， y 1 ， z 1 ∈ M 1 ， x 2 ， y 2 ， z 2 ∈ M 2 ，有 [ [ ρ 2 ( x 2 ) x 1 ， α 1 ( y 1 ) ] 1 ， α 1 2 ( z 1 ) ] 1 − [ ρ 2 ( α 2 ( x 2 ) ) [ y 1 ， z 1 ] 1 ， α 1 2 ( x 1 ) ] 1 − [ ρ 2 ( ρ 1 ( x 1 ) x 2 ) α 1 ( y 1 ) ， α 1 2 ( z 1 ) ] 1   − [ [ ρ 2 ( x 2 ) z 1 ， α 1 ( x 1 ) ] 1 ， α 1 2 ( y 1 ) ] 1 + ρ 2 ( ρ 1 ( α 1 ( y 1 ) ) ( ρ 1 ( x 1 ) x 2 ) ) α 1 2 ( z 1 ) + α 1 ( [ [ x 1 ， z 1 ] 1 ， ρ 2 ( x 2 ) y 1 ] 1 )   − ρ 2 ( α 2 2 ( x 2 ) ) [ [ x 1 ， y 1 ] 1 ， α 1 ( z 1 ) ] 1 + α 1 ( ρ 2 ( ρ 1 ( y 1 ) x 2 ) [ x 1 ， z 1 ] 1 ) + [ ρ 2 ( ρ 1 ( z 1 ) x 2 ) α 1 ( x 1 ) ， α 1 2 ( y 1 ) ] 1   + ρ 2 ( ρ 1 ( [ y 1 ， z 1 ] 1 ) α 2 ( x 2 ) ) α 1 2 ( x 1 ) − ρ 2 ( ρ 1 ( α 1 ( x 1 ) ) ( ρ 1 ( z 1 ) x 2 ) ) α 1 2 ( y 1 ) = 0 ， (3.1) [ [ ρ 1 ( x 1 ) x 2 ， α 2 ( y 2 ) ] 2 ， α 2 2 ( z 2 ) ] 2 − [ ρ 1 ( α 1 ( x 1 ) ) [ y 2 ， z 2 ] 2 ， α 2 2 ( x 2 ) ] 2 − [ ρ 1 ( ρ 2 ( x 2 ) x 1 ) α 2 ( y 2 ) ， α 2 2 ( z 2 ) ] 2   − [ [ ρ 1 ( x 1 ) z 2 ， α 2 ( x 2 ) ] 2 ， α 2 2 ( y 2 ) ] 2 + ρ 1 ( ρ 2 ( α 2 ( y 2 ) ) ( ρ 2 ( x 2 ) x 1 ) ) α 2 2 ( z 2 ) + α 2 ( [ [ x 2 ， z 2 ] 2 ， ρ 1 ( x 1 ) y 2 ] 2 )   − ρ 1 ( α 1 2 ( x 1 ) ) [ [ x 2 ， y 2 ] 2 ， α 2 ( z 2 ) ] 2 + [ ρ 1 ( ρ 2 ( z 2 ) x 1 ) α 2 ( x 2 ) ， α 2 2 ( y 2 ) ] 2 + α 2 ( ρ 1 ( ρ 2 ( y 2 ) x 1 ) [ x 2 ， z 2 ] 2 )   + ρ 1 ( ρ 2 ( [ y 2 ， z 2 ] 2 ) α 1 ( x 1 ) ) α 2 2 ( x 2 ) − ρ 1 ( ρ 2 ( α 2 ( x 2 ) ) ( ρ 2 ( z 2 ) x 1 ) ) α 2 2 ( y 2 ) = 0 ， (3.2) ρ 2 ( ρ 1 ( α 1 ( x 1 ) ) [ x 2 ， y 2 ] 2 ) α 1 2 ( y 1 ) − α 1 ( ρ 2 ( ρ 1 ( x 1 ) x 2 ) ( ρ 2 ( y 2 ) y 1 ) ) + ρ 2 ( α 2 2 ( x 2 ) ) [ ρ 2 ( y 2 ) ( x 1 ) ， α 1 ( y 1 ) ] 1   − [ ρ 2 ( α 2 ( y 2 ) ) ( ρ 2 ( x 2 ) y 1 ) ， α 1 2 ( x 1 ) ] 1 − [ ρ 2 ( [ x 2 ， y 2 ] 2 ) α 1 ( x 1 ) ， α 1 2 ( y 1 ) ] 1 + α 1 ( ρ 2 ( ρ 1 ( y 1 ) y 2 ) ( ρ 2 ( x 2 ) x 1 ) )   − ρ 2 ( [ ρ 1 ( y 1 ) x 2 ， α 2 ( y 2 ) ] 2 ) α 1 2 ( x 1 ) − ρ 2 ( α 2 2 ( y 2 ) ) ( ρ 2 ( α 2 ( x 2 ) ) [ x 1 ， y 1 ] 1 ) + α 1 ( [ ρ 2 ( x 2 ) x 1 ， ρ 2 ( y 2 ) y 1 ] 1 )   − ρ 2 ( α 2 2 ( x 2 ) ) ( ρ 2 ( ρ 1 ( x 1 ) y 2 ) α 1 ( y 1 ) ) + ρ 2 ( ρ 1 ( ρ 2 ( x 2 ) y 1 ) α 2 ( y 2 ) ) α 1 2 ( x 1 ) = 0 ， (3.3) ρ 1 ( ρ 2 ( α 2 ( x 2 ) ) [ x 1 ， y 1 ] 1 ) α 2 2 ( y 2 ) − α 2 ( ρ 1 ( ρ 2 ( x 2 ) x 1 ) ( ρ 1 ( y 1 ) y 2 ) ) + ρ 1 ( α 1 2 ( x 1 ) ) [ ρ 1 ( y 1 ) x 2 ， α 2 ( y 2 ) ] 2   − [ ρ 1 ( α 1 ( y 1 ) ) ( ρ 1 ( x 1 ) y 2 ) ， α 2 2 ( x 2 ) ] 2 − [ ρ 1 ( [ x 1 ， y 1 ] 1 ) α 2 ( x 2 ) ， α 2 2 ( y 2 ) ] 2 + α 2 ( ρ 1 ( ρ 2 ( y 2 ) y 1 ) ( ρ 1 ( x 1 ) x 2 ) )   − ρ 1 ( [ ρ 2 ( y 2 ) x 1 ， α 1 ( y 1 ) ] 1 ) α 2 2 ( x 2 ) − ρ 1 ( α 1 2 ( y 1 ) ) ( ρ 1 ( α 1 ( x 1 ) ) [ x 2 ， y 2 ] 2 ) + α 2 ( [ ρ 1 ( x 1 ) x 2 ， ρ 1 ( y 1 ) y 2 ] 2 )   − ρ 1 ( α 1 2 ( x 1 ) ) ( ρ 1 ( ρ 2 ( x 2 ) y 1 ) α 2 ( y 2 ) ) + ρ 1 ( ρ 2 ( ρ 1 ( x 1 ) y 2 ) α 1 ( y 1 ) ) α 2 2 ( x 2 ) = 0 ， (3.4) ρ 2 ( α 2 2 ( x 2 ) ) [ ρ 2 ( y 2 ) y 1 ， α 1 ( x 1 ) ] 1 − ρ 2 ( [ ρ 1 ( x 1 ) y 2 ， α 2 ( x 2 ) ] 2 ) α 1 2 ( y 1 ) − [ ρ 2 ( α 2 ( x 2 ) ) ( ρ 2 ( y 2 ) x 1 ) ， α 1 2 ( y 1 ) ] 1   + ρ 2 ( α 2 2 ( y 2 ) ) [ ρ 2 ( x 2 ) x 1 ， α 1 ( y 1 ) ] 1 − [ ρ 2 ( α 2 ( y 2 ) ) ( ρ 2 ( x 2 ) y 1 ) ， α 1 2 ( x 1 ) ] 1 − ρ 2 ( [ ρ 1 ( y 1 ) x 2 ， α 2 ( y 2 ) ] 2 ) α 1 2 ( x 1 )   − ρ 2 ( α 2 2 ( y 2 ) ) ( ρ 2 ( ρ 1 ( x 1 ) x 2 ) α 1 ( y 1 ) ) − ρ 2 ( α 2 2 ( x 2 ) ) ( ρ 2 ( ρ 1 ( y 1 ) y 2 ) α 1 ( x 1 ) ) + α 1 ( ρ 2 ( [ x 2 ， y 2 ] 2 ) [ x 1 ， y 1 ] 1 )   + ρ 2 ( ρ 1 ( ρ 2 ( x 2 ) y 1 ) α 2 ( y 2 ) ) α 1 2 ( x 1 ) + ρ 2 ( ρ 1 ( ρ 2 ( y 2 ) x 1 ) α 2 ( x 2 ) ) α 1 2 ( y 1 ) = 0 ， (3.5) ρ 1 ( α 1 2 ( x 1 ) ) [ ρ 1 ( y 1 ) y 2 ， α 2 ( x 2 ) ] 2 − ρ 1 ( [ ρ 2 ( x 2 ) y 1 ， α 1 ( x 1 ) ] 1 ) α 2 2 ( y 2 ) − [ ρ 1 ( α 1 ( x 1 ) ) ( ρ 1 ( y 2 ) x 2 ) ， α 2 2 ( y 2 ) ] 2   + ρ 1 ( α 1 2 ( y 1 ) ) [ ρ 1 ( x 1 ) x 2 ， α 2 ( y 2 ) ] 2 − [ ρ 1 ( α 1 ( y 1 ) ) ( ρ 1 ( x 1 ) y 2 ) ， α 2 2 ( x 2 ) ] 2 − ρ 1 ( [ ρ 2 ( y 2 ) x 1 ， α 1 ( y 1 ) ] 1 ) α 2 2 ( x 2 )   − ρ 1 ( α 1 2 ( y 1 ) ) ( ρ 1 ( ρ 2 ( x 2 ) x 1 ) α 2 ( y 2 ) ) − ρ 1 ( α 1 2 ( x 1 ) ) ( ρ 1 ( ρ 2 ( y 2 ) y 1 ) α 2 ( x 2 ) ) + α 2 ( ρ 1 ( [ x 1 ， y 1 ] 1 ) [ x 2 ， y 2 ] 2 )   + ρ 1 ( ρ 2 ( ρ 1 ( x 1 ) y 2 ) α 1 ( y 1 ) ) α 2 2 ( x 2 ) + ρ 1 ( ρ 2 ( ρ 1 ( y 1 ) x 2 ) α 1 ( x 1 ) ) α 2 2 ( y 2 ) = 0 ， (3.6) 则称 ( M 1 ， M 2 ， ρ 1 ， ρ 2 ) 为这两个Hom-Malcev代数的配对。 定理3.2：设 ( M 1 ， [ ] 1 ， α 1 ) ， ( M 2 ， [ ] 2 ， α 2 ) 为Hom-Malcev代数， ρ 1 : M 1 → E n d ( M 2 ) 和 ρ 2 : M 2 → E n d ( M 1 ) 为线性映射，在 M 1 ⊕ M 2 上定义二元反对称双线性运算 [ ] : ( M 1 ⊕ M 2 ) × ( M 1 ⊕ M 2 ) → ( M 1 ⊕ M 2 ) ，对于 ∀ x 1 ， y 1 ∈ M 1 ， x 2 ， y 2 ∈ M 2 ，有 [ x 1 + x 2 ， y 1 + y 2 ] = [ x 1 ， y 1 ] 1 + ρ 2 ( x 2 ) y 1 − ρ 2 ( y 2 ) x 1 + [ x 2 ， y 2 ] 2 + ρ 1 ( x 1 ) y 2 − ρ 1 ( y 1 ) x 2 ， 并定义 则 ( M 1 ⊕ M 2 ， [ ] ， α 1 + α 2 ) 为Hom-Malcev代数当且仅当 为 ( M 1 ， [ ] 1 ， α 1 ) 和 ( M 2 ， [ ] 2 ， α 2 ) 这两个Hom-Malcev代数的配对。 证明： ( M 1 ⊕ M 2 ， [ ] ， α 1 + α 2 ) 为Hom-Malcev代数当且仅当对于 ∀ x 1 ， y 1 ， z 1 ， w 1 ∈ M 1 ， x 2 ， y 2 ， z 2 ， w 2 ∈ M 2 ， ( α 1 + α 2 ) ( [ x 1 + x 2 ， y 1 + y 2 ] ) = [ ( α 1 + α 2 ) ( x 1 + x 2 ) ， ( α 1 + α 2 ) ( y 1 + y 2 ) ] ， (3.7) ( α 1 + α 2 ) ( [ [ x 1 + x 2 ， z 1 + z 2 ] ， [ y 1 + y 2 ， w 1 + w 2 ] ] ) = [ [ [ x 1 + x 2 ， y 1 + y 2 ] ， ( α 1 + α 2 ) ( z 1 + z 2 ) ] ， ( α 1 + α 2 ) 2 ( w 1 + w 2 ) ]         + [ [ [ y 1 + y 2 ， z 1 + z 2 ] ， ( α 1 + α 2 ) ( w 1 + w 2 ) ] ， ( α 1 + α 2 ) 2 ( x 1 + x 2 ) ]         + [ [ [ z 1 + z 2 ， w 1 + w 2 ] ， ( α 1 + α 2 ) ( x 1 + x 2 ) ] ， ( α 1 + α 2 ) 2 ( y 1 + y 2 ) ]         + [ [ [ w 1 + w 2 ， x 1 + x 2 ] ， ( α 1 + α 2 ) ( y 1 + y 2 ) ] ， ( α 1 + α 2 ) 2 ( z 1 + z 2 ) ] (3.8) 成立。 (3.7)成立等价于(2.3)成立，(3.8)成立等价于这16种情况下(3.8)成立： 1) x 2 ， y 2 ， z 2 ， w 2 ∈ M 2 ， x 1 = y 1 = z 1 = w 1 = 0 ； 2) w 1 ∈ M 1 ， x 2 ， y 2 ， z 2 ∈ M 2 ， x 1 = y 1 = z 1 = w 2 = 0 ； 3) z 1 ∈ M 1 ， x 2 ， y 2 ， w 2 ∈ M 2 ， x 1 = y 1 = z 2 = w 1 = 0 ； 4) z 1 ， w 1 ∈ M 1 ， x 2 ， y 2 ∈ M 2 ， x 1 = y 1 = z 2 = w 2 = 0 ； 5) y 1 ∈ M 1 ， x 2 ， z 2 ， w 2 ∈ M 2 ， x 1 = y 2 = z 1 = w 1 = 0 ； 6) y 1 ， w 1 ∈ M 1 ， x 2 ， z 2 ∈ M 2 ， x 1 = y 2 = z 1 = w 2 = 0 ； 7) y 1 ， z 1 ∈ M 1 ， x 2 ， w 2 ∈ M 2 ， ； 8) y 1 ， z 1 ， w 1 ∈ M 1 ， x 2 ∈ M 2 ， x 1 = y 2 = z 2 = w 2 = 0 ； 9) x 1 ∈ M 1 ， y 2 ， z 2 ， w 2 ∈ M 2 ， x 2 = y 1 = z 1 = w 1 = 0 ； 10) x 1 ， w 1 ∈ M 1 ， y 2 ， z 2 ∈ M 2 ， x 2 = y 1 = z 1 = w 2 = 0 ； 11) x 1 ， z 1 ∈ M 1 ， y 2 ， w 2 ∈ M 2 ， x 2 = y 1 = z 2 = w 1 = 0 ； 12) x 1 ， z 1 ， w 1 ∈ M 1 ， y 2 ∈ M 2 ， ； 13) x 1 ， y 1 ∈ M 1 ， z 2 ， w 2 ∈ M 2 ， ； 14) x 1 ， y 1 ， w 1 ∈ M 1 ， z 2 ∈ M 2 ， x 2 = y 2 = z 1 = w 2 = 0 ； 15) x 1 ， y 1 ， z 1 ∈ M 1 ， w 2 ∈ M 2 ， ； 16) x 1 ， y 1 ， z 1 ， w 1 ∈ M 1 ， x 2 = y 2 = z 2 = w 2 = 0 。 其中，情况1)下(3.8)成立 ⇔ ( M 2 ， [ ] 2 ， α 2 ) 为Hom-Malcev代数，情况2) 3) 5) 9)下(3.8)成立 ⇔ (2.4) (3.1)成立，情况8) 12) 14) 15)下(3.8)成立 ⇔ (2.4) (3.2)成立，情况4) 7) 10) 13)下(3.8)成立 ⇔ (3.3) (3.4)成立，情况6) 11)下(3.8)成立 ⇔ (3.5) (3.6)成立，情况16)下(3.8)成立 ⇔ ( M 1 ， [ ] 1 ， α 1 ) 为Hom-Malcev代数。 定理3.3：设 ( M ， [ ] M ， α ) 为Hom-Malcev代数， Δ : M → M ⊗ M 为线性映射，在 M * 上定义 [ a * ， b * ] M * = Δ * ( a * ⊗ b * ) ( ∀ a * ， b * ∈ M * )，则 1) ( M * ， [ ] M * ， α * ) 为Hom-Malcev代数当且仅当 Δ 满足以下两个条件： Δ = − τ Δ ， (3.9) ( 1 ⊗ τ ⊗ 1 ) ( Δ ⊗ Δ ) Δ α = ( Δ ⊗ α ⊗ 1 ) ( Δ ⊗ α 2 ) Δ + ( 1 ⊗ 1 ⊗ τ ) ( 1 ⊗ τ ⊗ 1 ) ( τ ⊗ 1 ⊗ 1 ) ( Δ ⊗ α ⊗ 1 ) ( Δ ⊗ α 2 ) Δ         + ( 1 ⊗ τ ⊗ 1 ) ( τ ⊗ 1 ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ 1 ⊗ τ ) ( 1 ⊗ τ ⊗ 1 ) ( Δ ⊗ α ⊗ 1 ) ( Δ ⊗ α 2 ) Δ         + ( τ ⊗ 1 ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ τ ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ 1 ⊗ τ ) ( Δ ⊗ α ⊗ 1 ) ( Δ ⊗ α 2 ) Δ ， (3.10) 2) ( M * ， [ ] M * ， α * ) 为相容的Hom-Malcev代数当且仅当 Δ 满足(2.9)和(2.10)且 ( α ⊗ 1 ) Δ α = ( 1 ⊗ α ) Δ ， (3.11) (3.12) 证明：1) ( M * ， [ ] M * ， α * ) 为Hom-Malcev代数当且仅当对于 ∀ a * ， b * ， c * ， d * ∈ M * [ a * ， b * ] M * = − [ b * ， a * ] M * ， α * ( [ [ a * ， c * ] M * ， [ b * ， d * ] M * ] M * ) = [ [ [ a * ， b * ] M * ， α * ( c * ) ] M * ， α ∗ 2 ( d ∗ ) ] M *       + [ [ [ d * ， a * ] M * ， α * ( b * ) ] M * ， α ∗ 2 ( c ∗ ) ] M *       + [ [ [ b * ， c * ] M * ， α * ( d * ) ] M * ， α ∗ 2 ( a ∗ ) ] M *       + [ [ [ c * ， d * ] M * ， α * ( a * ) ] M * ， α ∗ 2 ( b ∗ ) ] M * 成立。因此， ∀ x ∈ M ， 〈 [ a * ， b * ] M * + [ b * ， a * ] M * ， x 〉 = 0 ⇔ 〈 a * ⊗ b * ， Δ ( x ) 〉 + 〈 τ ( a * ⊗ b * ) ， Δ ( x ) 〉 = 0 等价于(3.9)成立。 〈 α * ( [ [ a * ， c * ] M * ， [ b * ， d * ] M * ] M * ) − [ [ [ a * ， b * ] M * ， α * ( c * ) ] M * ， α ∗ 2 ( d ∗ ) ] M * − [ [ [ d * ， a * ] M * ， α * ( b * ) ] M * ， α ∗ 2 ( c ∗ ) ] M * + [ [ [ b * ， c * ] M * ， α * ( d * ) ] M * ， α ∗ 2 ( a ∗ ) ] M * + [ [ [ c * ， d * ] M * ， α * ( a * ) ] M * ， α ∗ 2 ( b ∗ ) ] M * ， x 〉 = 0 ⇔ 〈 a * ⊗ c * ⊗ b * ⊗ d * ， ( Δ ⊗ Δ ) Δ ( α ( x ) ) 〉             − 〈 a * ⊗ b * ⊗ c * ⊗ d * ， ( Δ ⊗ α ⊗ 1 ) ( Δ ⊗ α 2 ) Δ ( x ) 〉             − 〈 b * ⊗ c * ⊗ d * ⊗ a * ， ( Δ ⊗ α ⊗ 1 ) ( Δ ⊗ α 2 ) Δ ( x ) 〉             − 〈 c * ⊗ d * ⊗ a * ⊗ b * ， ( Δ ⊗ α ⊗ 1 ) ( Δ ⊗ α 2 ) Δ ( x ) 〉             − 〈 d * ⊗ a * ⊗ b * ⊗ c * ， ( Δ ⊗ α ⊗ 1 ) ( Δ ⊗ α 2 ) Δ ( x ) 〉 = 0 等价于(3.10)成立。 2) ( M * ， [ ] M * ， α * ) 为相容的Hom-Malcev代数当且仅当1)且对于 ∀ a * ， b * ， c * ， d * ∈ M * 。 α * ( a d M * α * ( a * ) ( b * ) ) = a d M * a * ( α * ( b * ) ) ， a d M * b * ( a d M * [ a * ， c * ] M * ( α * ( d * ) ) ) − a d M * a * ( a d M * α * ( b * ) ( a d M * α ∗ 2 ( c * ) ( d * ) ) )   + α * ( a d M * [ b * ， c * ] M * ( a d M * α ∗ 2 ( a * ) ( d * ) ) ) + a d M * c * ( a d M * α * ( a * ) ( a d M * α ∗ 2 ( b * ) ( d * ) ) )   + α ∗ 2 ( a d M * [ [ a * ， b * ] M * ， α * ( c * ) ] M * ( d * ) ) = 0 成立。因此， ， 〈 α * ( a d M * α * ( a * ) ( b * ) ) − a d M * a * ( α * ( b * ) ) ， x 〉 = 0 ⇔ 〈 [ α * ( a * ) ， b * ] M * ， α ( x ) 〉 − 〈 [ a * ， α * ( b * ) ] M * ， x 〉 = 0 等价于(3.11)成立。 〈 a d M * b * ( a d M * [ a * ， c * ] M * ( α * ( d * ) ) ) − a d M * a * ( a d M * α * ( b * ) ( a d M * α ∗ 2 ( c * ) ( d * ) ) )   + α * ( a d M * [ b * ， c * ] M * ( a d M * α ∗ 2 ( a * ) ( d * ) ) ) + a d M * c * ( a d M * α * ( a * ) ( a d M * α ∗ 2 ( b * ) ( d * ) ) )   + α ∗ 2 ( a d M * [ [ a * ， b * ] M * ， α * ( c * ) ] M * ( d * ) ) ， x 〉 = 0 ⇔ 〈 b * ⊗ a * ⊗ c * ⊗ d * ， ( 1 ⊗ Δ ⊗ α ) ( 1 ⊗ Δ ) Δ ( x ) 〉           + 〈 c * ⊗ a * ⊗ b * ⊗ d * ， ( 1 ⊗ 1 ⊗ α 2 ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ α ⊗ Δ ) ( 1 ⊗ Δ ) Δ ( x ) 〉           + 〈 b * ⊗ c * ⊗ a * ⊗ d * ， ( 1 ⊗ 1 ⊗ α 2 ⊗ 1 ) ( Δ ⊗ Δ ) Δ ( α ( x ) ) 〉           + 〈 a * ⊗ b * ⊗ c * ⊗ d * ， ( Δ ⊗ α ⊗ 1 ) ( Δ ⊗ 1 ) Δ ( α 2 ( x ) ) 〉           − 〈 a * ⊗ b * ⊗ c * ⊗ d * ， ( 1 ⊗ 1 ⊗ α 2 ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ α ⊗ Δ ) ( 1 ⊗ Δ ) Δ ( x ) 〉 = 0 等价于(3.12)成立。 定理3.4：设 ( M ， [ ] M ， α ) 为相容的Hom-Malcev代数，线性映射 Δ : M → M ⊗ M 满足(3.9)~(3.12)，在 M ⊕ M * 上定义二元反对称双线性运算 [ ] : ( M ⊕ M * ) × ( M ⊕ M * ) → ( M ⊕ M * ) ，对于 ∀ x ， y ∈ M ， a * ， b * ∈ M * ，有 [ x + a * ， y + b * ] = [ x ， y ] M + a d M * * ( a * ) y − a d M * * ( b * ) x + [ a * ， b * ] M * + a d M * * ( x ) b * − a d M * * ( y ) a * ， 并定义 ( α + α * ) ( x + a * ) = α ( x ) + α * ( a * ) ， 则 是Hom-Malcev代数当且仅当对于 ∀ x ， y ， z ， ∈ M ， a * ， b * ， c * ∈ M * ， Δ 满足 ( α ⊗ 1 ) ( a d M [ y ， z ] M ⊗ 1 ) Δ ( α 2 ( x ) ) − ( 1 ⊗ a d M α 2 ( z ) ) ( 1 ⊗ a d M α ( y ) ) Δ ( x ) + ( a d M y ⊗ α ) Δ ( [ x ， z ] M )   + ( 1 ⊗ a d M α 2 ( y ) ) ( 1 ⊗ a d M α ( x ) ) Δ ( z ) + ( α 2 ⊗ 1 ) Δ [ [ x ， y ] M ， α ( z ) ] M − ( α ⊗ a d M α 2 ( x ) ) Δ ( [ y ， z ] M )   − ( 1 ⊗ α ) ( 1 ⊗ a d M [ x ， z ] M ) Δ ( y ) − ( a d M z ⊗ a d M α 2 ( y ) ) Δ ( α ( x ) ) + ( a d M x ⊗ a d M α 2 ( z ) ) Δ ( α ( y ) )   − ( a d M x ⊗ 1 ) ( a d M α ( y ) ⊗ 1 ) Δ ( α 2 ( z ) ) + ( a d M z ⊗ 1 ) ( a d M α ( x ) ⊗ 1 ) Δ ( α 2 ( y ) ) = 0 ， (3.13) (3.14) 〈 b * ⊗ c * ， ( α 2 ⊗ 1 ) Δ ( a d M * * α * ( a * ) ( [ x ， y ] M ) ) 〉 − 〈 b * ⊗ c * ， ( 1 ⊗ α ) ( 1 ⊗ a d M ( a d M * * α * ( x ) ) ) Δ ( y ) 〉 + 〈 b * ⊗ c * ， ( a d M y ⊗ α ) Δ ( a d M * * α * ( x ) ) 〉 − 〈 b * ⊗ c * ， ( α ⊗ 1 ) ( a d M * * ( a d M * y ( a * ) ) ⊗ 1 ) Δ ( α 2 ( x ) ) 〉 − 〈 b * ⊗ c * ， ( a d M * * a * ⊗ 1 ) ( a d M α ( x ) ⊗ 1 ) Δ ( α 2 ( y ) ) 〉 + 〈 b * ⊗ c * ， ( a d M * * a * ⊗ a d M α 2 ( y ) ) Δ ( α ( x ) ) 〉 − 〈 b * ⊗ c * ， ( a d M x ⊗ a d M * * α ∗ 2 ( a * ) ) Δ ( α ( y ) ) 〉 + 〈 b * ⊗ c * ， ( 1 ⊗ α ) ( 1 ⊗ a d M * * ( a d M * x ( a * ) ) ) Δ ( y ) 〉 − 〈 b * ⊗ c * ， ( α ⊗ a d M α 2 ( x ) ) Δ ( a d M * * a * ( y ) ) 〉 + 〈 b * ⊗ c * ， ( 1 ⊗ a d M * * α ∗ 2 ( a * ) ) ( 1 ⊗ a d M α ( y ) ) Δ ( x ) 〉 + 〈 b * ⊗ c * ， ( α ⊗ 1 ) ( a d M ( a d M * * a * ( y ) ) ⊗ 1 ) Δ ( α 2 ( x ) ) 〉 = 0 ， (3.15) 〈 y ⊗ z ， ( a d M * x ⊗ a d M * α ∗ 2 ( b * ) ) Δ * ( α * ( a * ) ) 〉 − 〈 y ⊗ z ， ( 1 ⊗ α * ) ( 1 ⊗ a d M * ( a d M * x ( a * ) ) ) Δ * ( b * ) 〉 + 〈 y ⊗ z ， ( a d M * b * ⊗ α * ) Δ * ( a d M * x ( a * ) ) 〉 − 〈 y ⊗ z ， ( α * ⊗ 1 ) ( a d M * ( a d M * * b * ( x ) ) ⊗ 1 ) Δ * ( α ∗ 2 ( a * ) ) 〉 − 〈 y ⊗ z ， ( a d M * a * ⊗ a d M * α 2 ( x ) ) Δ * ( α * ( b * ) ) 〉 + 〈 y ⊗ z ， ( 1 ⊗ α * ) ( 1 ⊗ a d M * ( a d M * * a * ( x ) ) ) Δ * ( b * ) 〉 − 〈 y ⊗ z ， ( a d M * x ⊗ 1 ) ( a d M * α * ( a * ) ⊗ 1 ) Δ * ( α ∗ 2 ( b * ) ) 〉 + 〈 y ⊗ z ， ( α ∗ 2 ⊗ 1 ) Δ * ( a d M * α ( x ) ( [ a * ， b * ] M * ) ) 〉 − 〈 y ⊗ z ， ( a d M * x ⊗ 1 ) ( a d M * α * ( a * ) ⊗ 1 ) Δ * ( α ∗ 2 ( b * ) ) 〉 + 〈 y ⊗ z ， ( α ∗ 2 ⊗ 1 ) Δ * ( a d M * α ( x ) ( [ a * ， b * ] M * ) ) 〉 + 〈 y ⊗ z ， ( α * ⊗ 1 ) ( a d M * ( a d M * x ( b * ) ) ⊗ 1 ) Δ * ( α ∗ 2 ( a * ) ) 〉 = 0 ， (3.16) 〈 a * ⊗ b * ， ( α 2 ⊗ 1 ) ( a d M * * c * ⊗ 1 ) ( a d M α ( x ) ⊗ 1 ) Δ ( y ) 〉 − 〈 a * ⊗ b * ， ( α 2 ⊗ 1 ) ( a d M * * c * ⊗ a d M y ) Δ ( α ( x ) ) 〉 − 〈 a * ⊗ b * ， ( a d M y ⊗ α ) Δ ( a d M * * c * ( α 2 ( x ) ) ) 〉 − 〈 a * ⊗ b * ， ( 1 ⊗ α 2 ) ( 1 ⊗ a d M * * c * ) ( 1 ⊗ a d M α ( y ) ) Δ ( x ) 〉 + 〈 a * ⊗ b * ， ( 1 ⊗ α 2 ) ( a d M x ⊗ a d M * * c * ) Δ ( α ( y ) ) 〉 − 〈 a * ⊗ b * ， ( α ⊗ 1 ) ( a d M ( a d M * * c * ( α 2 ( y ) ) ) ⊗ 1 ) Δ ( x ) 〉 + 〈 a * ⊗ b * ， ( 1 ⊗ α ) ( 1 ⊗ a d M ( a d M * * c * ( α 2 ( x ) ) ) ) Δ ( y ) 〉 + 〈 a * ⊗ b * ， ( α ⊗ a d M x ) Δ ( a d M * * c * ( α 2 ( y ) ) ) 〉 + 〈 a * ⊗ b * ， ( α ⊗ 1 ) ( a d M * * ( a d M * α 2 ( y ) ( c * ) ) ⊗ 1 ) Δ ( x ) 〉 − 〈 a * ⊗ b * ， Δ ( a d M * * α * ( c * ) ( [ x ， y ] M ) ) 〉 − 〈 a * ⊗ b * ， ( 1 ⊗ α ) ( 1 ⊗ a d M * * ( a d M * α 2 ( x ) ( c * ) ) ) Δ ( y ) 〉 = 0 ， (3.17) 〈 x ⊗ y ， ( α ∗ 2 ⊗ 1 ) ( a d M * z ⊗ 1 ) ( a d M * α * ( a * ) ⊗ 1 ) Δ * ( b * ) 〉 − 〈 x ⊗ y ， ( α ∗ 2 ⊗ 1 ) ( a d M * z ⊗ a d M * b * ) Δ * ( α * ( a * ) ) 〉 − 〈 x ⊗ y ， ( a d M * b * ⊗ α * ) Δ * ( a d M * z ( α ∗ 2 ( a * ) ) ) 〉 − 〈 x ⊗ y ， ( 1 ⊗ α ∗ 2 ) ( 1 ⊗ a d M * z ) ( 1 ⊗ a d M * α * ( b * ) ) Δ * ( a * ) 〉 + 〈 x ⊗ y ， ( 1 ⊗ α ∗ 2 ) ( a d M * a * ⊗ a d M * z ) Δ * ( α * ( b * ) ) 〉 − 〈 x ⊗ y ， ( α * ⊗ 1 ) ( a d M * ( a d M * z ( α ∗ 2 ( b * ) ) ) ⊗ 1 ) Δ * ( a * ) 〉 + 〈 x ⊗ y ， ( α * ⊗ 1 ) ( a d M * ( a d M * * α ∗ 2 ( b * ) ( z ) ) ⊗ 1 ) Δ * ( a * ) 〉 + 〈 x ⊗ y ， ( α * ⊗ a d M * a * ) Δ * ( a d M * z ( α ∗ 2 ( b * ) ) ) 〉 + 〈 x ⊗ y ， ( 1 ⊗ α * ) ( 1 ⊗ a d M * ( a d M * z ( α ∗ 2 ( a * ) ) ) ) Δ * ( b * ) 〉 − 〈 x ⊗ y ， Δ * ( a d M * α ( z ) ( [ a * ， b * ] M * ) ) 〉 − 〈 x ⊗ y ， ( 1 ⊗ α * ) ( 1 ⊗ a d M * ( a d M * * α ∗ 2 ( a * ) ( z ) ) ) Δ * ( b * ) 〉 = 0 ， (3.18) 证明：由定理3.2可知， ( M ⊕ M * ， [ ] ， α + α * ) 是Hom-Malcev代数当且仅当 ( M ， M * ， a d M * ， a d M * * ) 为 ( M ， [ ] M ， α ) 和 ( M * ， [ ] M * ， α * ) 这两个Hom-Malcev代数的配对，当且仅当 ∀ x ， y ， z ， ∈ M ， 满足(3.1)~(3.6)即可。 定义3.5：设 ( M ， [ ] M ， α ) 为相容的Hom-Malcev代数， Δ : M → M ⊗ M 为线性映射，若 Δ 满足(3.9)~(3.18)，则称 ( M ， M * ， Δ ) 为Hom-Malcev双代数。