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user: 2. 准备工作 设 ( Ω ， F ， ℙ ) 是一个固定概率空间，其上定义了d维布朗运动 { B s } s ∈ [ 0 ， T ] 和马氏链 { θ s } s ∈ [ 0 ， T ] ，其中 Ω 是从 [ 0 ， T ] 到 R d 的连续函数的集合，从0开始 ( Ω = C 0 ( [ 0 ， T ] ， R d ) ) ， F 是 Ω 上完备的Borel σ -代数，P是维纳测度。这里我们假设 F = ( F s ) s ∈ [ 0 ， T ] ，其中 F s ≜ F s θ ∨ F s B 。令 ( F s B ) s ∈ [ 0 ， T ] 表示布朗运动 { B s } s ∈ [ 0 ， T ] 产生的过滤。且 ( F s θ ) s ∈ [ 0 ， T ] 表示马氏链 { θ s } s ∈ [ 0 ， T ] 生成的过滤。假设B和 θ ⋅ 是独立的。马氏链 { θ s } s ∈ [ 0 ， T ] 取有限状态空间 M = { 1 ， ⋯ ， m } 中的值，是可观测的。马氏链 { θ s } s ∈ [ 0 ， T ] 的生成元 Q = ( q i k ) i ， k ∈ M ∈ R m × m 由下式给出 P ( θ s + δ = k | θ s = i ， s ∈ [ 0 ， T ] ) = { q i k δ + o ( δ ) ， k ≠ i ， 1 + q i i δ + o ( δ ) ， k = i ， 其中 q i k 是从市场机制i到k的切换概率，对于每个 ( i ， k ) ∈ M × M ， q i i = − ∑ k ≠ i q i k < 0 且 q i k ≥ 0 。 我们将在倒向随机微分方程的框架下，在有限时间范围内研究一个具有切换的两人零和随机微分对策。随机微分对策的动态由下面随机微分方程描述：对于 t ∈ [ 0 ， T ] ， (2.1) 其中 T > 0 为固定的有限时间范围， ( t ， x ， i ) ∈ [ 0 ， T ] × R n × M 视为初始状态， P { θ t t ， i = i } = 1 。 X t 是X在时间t的值， ( u ， v ) = ( u s ， v s ) s ∈ [ t ， T ] 是一对 F t 适应的过程，它们在一些紧致度量空间U和V中取值，分别称为两个参与者I和II的容许控制。下面给出了系数 b : [ 0 ， T ] × R n × M × U × V → R n 和 σ : [ 0 ， T ] × R n × M × U × V → R n × d 的精确假设。映射b和 σ 满足下列条件： (H2.1) (i) 对于每一固定 x ∈ R n ， i ∈ M ， b ( ⋅ ， x ， i ， ⋅ ， ⋅ ) 和 σ ( ⋅ ， x ， i ， ⋅ ， ⋅ ) 是关于 ( t ， u ， v ) 连续的； (ii) 对于任意 x ， x ′ ∈ R n ， i ∈ M 和 u ∈ U ， v ∈ V ，存在一正的常数C使得， | b ( t ， x ， i ， u ， v ) − b ( t ， x ′ ， i ， u ， v ) | + | σ ( t ， x ， i ， u ， v ) − σ ( t ， x ′ ， i ， u ， v ) | ≤ C | x − x ′ | . 从(H2.1)我们能够得到b和 σ 的局部增长条件即，存在 C > 0 使得，对于所有的 0 ≤ t ≤ T ， u ∈ U ， v ∈ V ， x ∈ R n ， i ∈ M | b ( t ， x ， i ， u ， v ) | + | σ ( t ， x ， i ， u ， v ) | ≤ C ( 1 + | x | ) . 如果上述假设成立，对于任意 u ∈ U 和 v ∈ V ，控制系统(2.1)有唯一解 { X t ， x ， i ; u ， v ， 0 ≤ t ≤ s ≤ T } 。且我们有如下估计。 引理2.1. 在映射b和 σ 的假设下，存在一常数 C > 0 使得，对于任意 x ， x ′ ∈ R n ，   i ∈ M 和 u ∈ U ， v ∈ V ， E { sup t ≤ s ≤ T | X s t ， x ， i ; u ， v | 2 | F t } ≤ C ( 1 + | x | 2 ) ，   P- a . s . ， E { sup t ≤ s ≤ T | X s t ， x ， i ; u ， v − X s t ， x ′ ， i ; u ， v | 2 | F t } ≤ C | x − x ′ | 2 ，   P- a . s . 玩家的成本泛函由倒向随机微分方程： Y s t ， x ， i ; u ， v = Φ ( X T t ， x ， i ; u ， v ， θ T t ， i ) + ∫ s T f ( r ， X r t ， x ， i ; u ， v ， Y r t ， x ， i ; u ， v ， Z r t ， x ， i ; u ， v ， θ r t ， i ， u r ， v r ) d r − ∫ s T Z r t ， x ， i ， u ， v d B r ，   s ∈ [ t ， T ] ， (2.2) 给出，其中 X t ， x ， i ; u ， v 和 θ t ， i 是 给出的。上面的倒向随机微分方程有唯一一个解 ( Y s t ， x ， i ; u ， v ， Z s t ， x ， i ; u ， v ) s ∈ [ t ， T ] 。 我们现在给出两个函数 f : [ 0 ， T ] × R n × R × R d × R m × m × U × V → R 和端点成本函数 Φ : R n → R 满足下面条件： (H2.2) (i) 对于任意固定的 ( x ， y ， z ， i ) ∈ R n × R × R d × M ， f ( ⋅ ， x ， y ， z ， i ， ⋅ ， ⋅ ) 是关于 ( t ， u ， v ) 连续的。 (ii) 存在 C > 0 使得，对于所有 t ∈ [ 0 ， T ] ， x ， x ′ ∈ R n ， y ， y ′ ∈ R ， z ， z ′ ∈ R d ， i ∈ M ， u ∈ U 和 v ∈ V ， | f ( t ， x ， y ， z ， i ， u ， v ) − f ( t ， x ′ ， y ′ ， z ′ ， i ， u ， v ) | ≤ C ( | x − x ′ | + | y − y ′ | + | z − z ′ | ) . (iii) 存在 C > 0 使得，对于所有的 x ， x ′ ∈ R n ， i ∈ M | Φ ( x ， i ) − Φ ( x ′ ， i ) | ≤ C | x − x ′ | . 在上面的条件下，我们有如下估计。 引理2.2. 对于所有的 t ∈ [ 0 ， T ] ， i ∈ M ， u ∈ U 和 v ∈ V ，存在一常数 C > 0 使得， (2.3) 现在，我们介绍容许控制和容许策略。令 t 1 ， t 2 是两个确定时间，且 0 ≤ t 1 ≤ t 2 ≤ T 。 定义2.3. 对于玩家I (或者，player II)在时间 [ t ， T ] 上取值于 U t ， T (或者， V t ， T )的容许控制过程 u = { u ( s ， ω ) : s ∈ [ t 1 ， t 2 ] } (或者， v = { v ( s ， w ) : s ∈ [ t 1 ， t 2 ] } )关于滤波 F 是循序可测的。 在时间 [ t 1 ， t 2 ] 上对于玩家I (或者，玩家II)的所有容许控制被定义为 U t 1 ， t 2 (或者， V t 1 ， t 2 )。 定义2.4.在时间 [ t ， T ] 上玩家Ⅰ的非预测性策略是一映射 α : V → U 使得，对于任意 F t -停时S和任意的 v ， v ′ ∈ V t ， T ，如果在 〚 t ， S 〛 上 v ≡ v ′ (符号 〚 t ， S 〛 = { ( s ， ω ) ∈ [ 0 ， T ] × Ω ， t ≤ s ≤ S ( ω ) } )。同理，我们可以定义在 [ t ， T ] 上玩家II的非预测性策略 β : U t ， T → V t ， T 。 在时间 [ t ， T ] 上对于玩家I (或者，玩家II)的所有非预测性策略被定义为 A t ， T (或者， B t ， T )。 对于给定的控制过程 u ∈ U t ， T 和 v ∈ V t ， T ，我们定义相关的成本泛函 J ( t ， x ， i ; u ， v ) = E [ Y t t ， x ， i ; u ， v | F t ] ，   ( t ， x ， i ) ∈ [ 0 ， T ] × R n × M ， 其中， Y t ， x ， i ; u ， v 是由倒向随机微分方程 定义的。在对策中，我们分别定义下值函数W和上值函数U， W ( t ， x ， i ) = essinf β ∈ B t ， T esssup u ∈ U t ， T J ( t ， x ， i ; u ， β ( u ) ) ， 和 U ( t ， x ， i ) = esssup α ∈ A t ， T essinf v ∈ V t ， T J ( t ， x ， i ; α ( v ) ， v ) . 上面的引理在 [ 5 ] 中已经被证明，只是随机微分对策的情况有一些差异。因此，参考 [ 5 ] 在本文的框架中，很容易得到上述结果。 引理2.5. 在假设(H2.1)和(H2.2)下，对于所有 ( t ， x ， i ) ∈ [ 0 ， T ] × R n × M ，值函数 W ( t ， x ， i ) 和 U ( t ， x ， i ) 是确定性函数。 引理2.6. 在假设(H2.1)和(H2.2)下，对于所有 ( t ， x ， i ) ∈ [ 0 ， T ] × R n × M 和 x ， x ′ ∈ R n ，我们有 | W ( t ， x ， i ) | ≤ C ( 1 + | x | ) . | W ( t ， x ， i ) − W ( t ′ ， x ， i ) | ≤ C ( 1 + | x | ) | t − t ′ | 1 2 ， | W ( t ， x ， i ) − W ( t ， x ′ ， i ) | ≤ C | x − x ′ | ， 对于函数U相同性质成立。