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user: 3. 显–隐和隐–显方法的稳定性分析 首先分析时间分数阶慢扩散方程的显–隐格式的稳定性，其显–隐格式可以写成如下形式： { u j 2 k + 1 = ( a 0 − a 1 − 2 μ ) u j 2 k + μ u j + 1 2 k + μ u j − 1 2 k + ∑ i = 1 2 k − 1 ( a 2 k − i − a 2 k − i + 1 ) u j i − a 2 k u j 0 + μ g j 2 k + 1 ， ( 1 + 2 μ ) u j 2 k + 2 − μ u j + 1 2 k + 2 − μ u j − 1 2 k + 2 = ( a 0 − a 1 ) u j 2 k + 1 + ∑ i = 1 2 k ( a 2 k − i + 1 − a 2 k − i + 2 ) u j i − a 2 k + 1 u j 0 + μ g j 2 k + 2 ， (10) 其中 μ = τ γ h 2 Γ ( 2 − γ ) 。 设 U j k 是显–隐格式的近似解，定义 ρ j k = u j k − U j k ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， M − 1 ) 和 ρ k = [ ρ 1 k ， ρ 2 k ， ⋯ ， ρ M − 1 k ] T ，代入(10)式可得如下误差扰动方程： { ρ j 2 k + 1 = ( a 0 − a 1 − 2 μ ) ρ j 2 k + μ ρ j + 1 2 k + μ ρ j − 1 2 k + ∑ i = 1 2 k − 1 ( a 2 k − i − a 2 k − i + 1 ) ρ j i − a 2 k ρ j 0 ， ( 1 + 2 μ ) ρ j 2 k + 2 − μ ρ j + 1 2 k + 2 − μ ρ j − 1 2 k + 2 = ( a 0 − a 1 ) ρ j 2 k + 1 + ∑ i = 1 2 k ( a 2 k − i + 1 − a 2 k − i + 2 ) ρ j i − a 2 k + 1 ρ j 0 ， (11) 下面使用Fourier方法分析显–隐格式的稳定性。在此，定义网格函数 ρ k ( x ) = { 0 ， 0 ≤ x ≤ h 2 ， ρ j k ， x j − h 2 < x ≤ x j + h 2 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， M − 1 ， 0 ， L − h 2 < x ≤ L . ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ) ρ k ( x ) 的Fourier展开形式为： ρ k ( x ) = ∑ l = − ∞ ∞ d k ( l ) e i 2 π l x / L ， 其中系数 d k ( l ) = 1 L ∫ 0 L ρ k ( x ) e − i 2 π l x / L d x 。 另外，离散2模的定义 ‖ ρ k ‖ 2 2 = ∑ j = 1 M − 1 h | ρ j k | 2 = ∫ 0 h 2 | ρ k ( x ) | 2 d x + ∑ j = 1 M − 1 ∫ x j − h 2 x j + h 2 | ρ k ( x ) | 2 d x + ∫ L − h 2 L | ρ k ( x ) | 2 d x = ∫ 0 L | ρ k ( x ) | 2 d x (12) 应用Parseval等式，有 ∫ 0 L | ρ k ( x ) | 2 d x = L ∑ m = − ∞ ∞ | d k ( m ) | 2 ，即 ‖ ρ k ‖ 2 2 = L ∑ m = − ∞ ∞ | d k ( m ) | 2 . 基于上面的分析，假设(11)式有如下形式的波动解 ρ j k = d k e i σ j h ，其中 σ = 2 π m / L 。 当 m = 1 时(m是时间层数)，我们使用显式差分格式，有 ρ j 1 = ( 1 − 2 μ ) ρ j 0 + μ ρ j + 1 0 + μ ρ j − 1 0 ， d 1 = ( μ e i σ h + 1 − 2 μ + μ e − i σ h ) d 0 ， 由 e ± i θ = cos θ ± i sin θ ，可得 | d 1 | = | 1 − 4 μ sin 2 σ h 2 | | d 0 | ≤ C | d 0 | ， (13) 当 m = 2 时，第一层使用显式格式，第二层使用隐式格式， ρ j 1 = ( 1 − 2 μ ) ρ j 0 + μ ρ j + 1 0 + μ ρ j − 1 0 ， ( 1 + 2 μ ) ρ j 2 − μ ρ j + 1 2 − μ ρ j − 1 2 = ( a 0 − a 1 ) ρ j 1 + a 1 ρ j 0 ， 联立两式，可得 ( 1 + 4 μ sin 2 σ h 2 ) d 2 = ( a 0 − a 1 ) ( 1 − 4 μ sin 2 σ h 2 ) d 0 + a 1 d 0 ， | d 2 | = | ( 1 − a 1 ) ( 1 − 4 μ sin 2 σ h 2 ) + a 1 1 + 4 μ sin 2 σ h 2 | | d 0 | ≤ | 1 − ( 1 − a 1 ) 4 μ sin 2 σ h 2 1 + 4 μ sin 2 σ h 2 | | d 0 | ≤ C | d 0 | .(14) 当 m = 2 k 时，假设 | d n | ≤ C | d 0 | ， n ≤ 2 k 成立；当 m = 2 k + 2 ，有 { d 2 k + 1 = ( a 0 − a 1 − 4 μ sin 2 σ h 2 ) d 2 k + ∑ i = 1 2 k − 1 ( a 2 k − i − a 2 k − i + 1 ) d i − a 2 k d 0 ， ( 1 + 4 μ sin 2 σ h 2 ) d 2 k + 2 = ( a 0 − a 1 ) d 2 k + 1 + ∑ i = 1 2 k ( a 2 k − i + 1 − a 2 k − i + 2 ) d j − a 2 k + 1 d 0 ， 两式结合，消去 d 2 k + 1 项，可得 ( 1 + 4 μ sin 2 σ h 2 ) d 2 k + 2 = ( a 0 − a 1 ) [ ( a 0 − a 1 − 4 μ sin 2 σ h 2 ) d 2 k + ∑ i = 1 2 k − 1 ( a 2 k − i − a 2 k − i + 1 ) d i − a 2 k d 0 ]         + ∑ i = 1 2 k ( a 2 k − i + 1 − a 2 k − i + 2 ) d j − a 2 k + 1 d 0 令 μ ˜ = 4 μ sin 2 σ h 2 ，由上式可得 ( 1 + 4 μ sin 2 σ h 2 ) | d 2 k + 2 | ≤ { ( a 0 − a 1 ) [ | ( a 0 − a 1 ) + 4 μ sin 2 σ h 2 | + ∑ i = 1 2 k − 1 | a 2 k − i − a 2 k − i + 1 | + | a 2 k | ] + ∑ i = 1 2 k | a 2 k − i + 1 − a 2 k − i + 2 | + | a 2 k + 1 | } C | d 0 | ≤ { ( 1 − a 1 ) ( 1 + 4 μ sin 2 σ h 2 ) + a 1 } C | d 0 | ≤ [ 1 + ( 1 − a 1 ) 4 μ sin 2 σ h 2 ] C | d 0 | | d 2 k + 2 | ≤ 1 + 4 μ sin 2 σ h 2 1 + ( 1 − a 1 ) 4 μ sin 2 σ h 2 C | d 0 | ≤ C | d 0 | . (15) 综上分析，有如下定理 定理1 R-L型分数阶扩散方程的显–隐格式是无条件稳定的。 证明：由(13，14，15)式，可知 ‖ ρ k ‖ 2 = L ∑ m = − ∞ ∞ | d k ( m ) | 2 ≤ C L ∑ m = − ∞ ∞ | d 0 ( m ) | 2 = C ‖ ρ 0 ‖ 2 ，     k = 1 ， 2 ， ⋯ ， N . 因此，分数阶扩散方程的显–隐格式是稳定的，定理1证毕。 同理，可有 定理2 R-L型分数阶扩散方程的隐–显格式是无条件稳定的。