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user: 4. 求正则曲面特征值和特征向量的讨论 下面举出几个正则曲面的例子来讨论Weingarten变换下的特征值和特征向量的解法。 正则曲面 r = r ( u ， v ) 的坐标网为渐近网时，即 L = N = 0 。这样的曲面的例子如双曲抛物面，通过一个例子来讨论。 例4.1 双曲抛物面 S : r ( u ， v ) = ( u + v ， u − v ， u v ) 在 ( 2 ， 0 ， 1 ) 处的Weingarten变换下的特征值和单位特征向量。 解1) 先求出第一基本量E，F，G和第二基本量L，M，N。 由 r ( u ， v ) = ( u + v ， u − v ， u v ) ，可得 r 1 = r u = ( 1 ， 1 ， v ) ， r 2 = r v = ( 1 ， − 1 ， u ) ， r 1 × r 2 = r u × r v = ( u + v ， v − u ， − 2 ) ， n = r 1 × r 2 | r 1 × r 2 | = ( u + v ， v − u ， − 2 ) 2 ( u 2 + v 2 + 2 ) ， r u u = r v v = ( 0 ， 0 ， 0 ) ， r u v = r v u = ( 0 ， 0 ， 1 ) ， 于是 E ( u ， v ) = r u ⋅ r u = 2 + v 2 ， F ( u ， v ) = r u ⋅ r v = u v ， G ( u ， v ) = r v ⋅ r v = 2 + u 2 ; L ( u ， v ) = r u u ⋅ n = 0 ， M ( u ， v ) = r u v ⋅ n = − 2 u 2 + v 2 + 2 ， N ( u ， v ) = r v v ⋅ n = 0 . 2) 再求得Weingarten变换在点 ( x ， y ， z ) = ( 2 ， 0 ， 1 ) 处的Weingarten矩阵，在点 ( x ， y ， z ) = ( 2 ， 0 ， 1 ) 处所对应为 { u + v = 2 u − v = 0 u v = 1 ， 解之得 u = v = 1 。 这时 E ( 1 ， 1 ) = 3 ， F ( 1 ， 1 ) = 1 ， G ( 1 ， 1 ) = 3 ; L ( 1 ， 1 ) = N ( 1 ， 1 ) = 0 ， M ( 1 ， 1 ) = − 2 2 . 所对应的Weingarten矩阵 ω = Ω g − 1 = ( L ( 1 ， 1 ) M ( 1 ， 1 ) M ( 1 ， 1 ) N ( 1 ， 1 ) ) ( E ( 1 ， 1 ) F ( 1 ， 1 ) F ( 1 ， 1 ) G ( 1 ， 1 ) ) − 1 = ( 0 − 2 2 − 2 2 0 ) ( 3 1 1 3 ) − 1 = ( 2 16 − 3 2 16 − 3 2 16 2 16 ) 求矩阵 的特征值，由 | λ I − ω | = 0 得 | λ − 2 16 − 3 2 16 − 3 2 16 λ − 2 16 | = 0 ， 解之得 λ 1 = 2 4 或 λ 2 = − 2 8 . 设 λ = 2 4 ，所对应的单位特征向量为 ，则 ξ 1 = ξ 1 1 r 1 ( 1 ， 1 ) + ξ 1 2 r 2 ( 1 ， 1 ) . 由 | ξ 1 | 2 = 1 得 | ξ 1 | 2 = ( ξ 1 1 ) 2 E ( 1 ， 1 ) + 2 ξ 1 ξ 2 F ( 1 ， 1 ) + ( ξ 1 2 ) 2 G ( 1 ， 1 ) = 3 ( ξ 1 1 ) 2 + 2 ξ 1 1 ξ 1 2 + 3 ( ξ 1 2 ) 2 = 1 ， 即 3 ( ξ 1 1 ) 2 + 2 ξ 1 1 ξ 1 2 + 3 ( ξ 1 2 ) 2 = 1 . (4.1) 又因为 解之得 ξ 1 1 = − ξ 1 2 (4.2) 联立上述(4.1)和(4.2)式解得 { ξ 1 1 = 1 2 ξ 1 2 = − 1 2 或 { ξ 1 1 = − 1 2 ξ 1 2 = 1 2 . 故 λ = 2 4 对应的特征向量为 ξ 1 = ξ 1 1 r u ( 1 ， 1 ) + ξ 1 2 r v ( 1 ， 1 ) = 1 2 ( 1 ， 1 ， 1 ) ( i j k ) − 1 2 ( 1 ， − 1 ， 1 ) ( i j k ) = j ， 同理可以得 ξ 1 = ξ 1 1 r u ( 1 ， 1 ) + ξ 1 2 r v ( 1 ， 1 ) = − 1 2 ( 1 ， 1 ， 1 ) ( i j k ) + 1 2 ( 1 ， − 1 ， 1 ) ( i j k ) = − j . 类似地，设 λ = − 2 8 ，对应的特征向量为 ξ 2 ，可以解得 { ξ 2 1 = 2 4 ξ 2 2 = 2 4 或 { ξ 2 1 = − 2 4 ξ 2 2 = − 2 4 . 故 ξ 2 = ξ 2 1 r u ( 1 ， 1 ) + ξ 2 2 r v ( 1 ， 1 ) = 2 4 ( 1 ， 1 ， 1 ) ( i j k ) + 2 4 ( 1 ， − 1 ， 1 ) ( i j k ) = 2 2 i + 2 2 k ， 或 ξ 2 = ξ 2 1 r u ( 1 ， 1 ) + ξ 2 2 r v ( 1 ， 1 ) = − 2 4 ( 1 ， 1 ， 1 ) ( i j k ) − 2 4 ( 1 ， − 1 ， 1 ) ( i j k ) = − 2 2 i − 2 2 k . Weingarten矩阵是一个2阶矩阵，求解2阶矩阵的特征值有一些规律，我们可以利用这样的规律使得计算更为简单。 引理4.1 [ 6 ] 设 A = ( a i j ) 1 ≤ i ， j ≤ 2 是实数域R上的二阶矩阵，如果 a 11 + a 12 = a 21 + a 22 ，则 λ 1 = a 11 + a 12 或 λ 1 = a 22 + a 21 是矩阵A的一个特征值，其另一个特征值为 λ 2 = a 11 − a 21 或 λ 2 = a 22 − a 12 。 如例题4.1的Weingarten矩阵 ω = ( 2 16 − 3 2 16 − 3 2 16 2 16 ) 于是直接利用引理4.1可得两个特征值分别为 λ 1 = a 11 + a 12 = 2 16 − 3 2 16 = − 2 8 ， 或 λ 2 = a 11 − a 21 = 2 16 − ( − 3 2 16 ) = 2 4 . 所得的特征值运用相同的方法可求得所求的特征向量。 正则曲面 r = r ( u ， v ) 的坐标网既是正交网，又是渐近网时，即 F = 0 ， L = N = 0 。得出它的特征值方程为 λ 2 − M 2 E G = 0 ， 从此方程可解得 λ 1 = − M E G 或 λ 2 = M E G . 既是正交网，又是渐近网的曲面最典型的曲面就是正螺面。 例4.2 求正螺面 S : r ( u ， v ) = ( u cos ， u sin v ， v ) 在原点 ( 0 ， 0 ， 0 ) 处的Weingarten变换下的特征值和单位特征向量。 解1) 类似例4.1中的1)，可求得第一基本量E，F，G和第二基本量L，M，N分别为 E ( u ， v ) = r u ⋅ r u = 1 ， F ( u ， v ) = r u ⋅ r v = 0 ， G ( u ， v ) = u 2 + 1 ; L ( u ， v ) = r u u ⋅ n = 0 ， M ( u ， v ) = r ( u ， v ) ⋅ n = − 1 u 2 + 1 ， N ( u ， v ) = r v v ⋅ n = 0 . 2) 再求得Weingarten变换在原点 ( 0 ， 0 ， 0 ) 的Weingarten矩阵。 在 ( x ， y ， z ) = ( 0 ， 0 ， 0 ) 处所对应为 { u cos v = 0 u sin v = 0 v = 0 ， 解之得 u = v = 0 。 此时有 E ( 0 ， 0 ) = 1 ， F ( 0 ， 0 ) = 1 ， G ( 0 ， 0 ) = 1 ， L ( 0 ， 0 ) = N ( 0 ， 0 ) = 0 ， M ( 0 ， 0 ) = − 1 . 于是 λ 1 = − M E G = 1 或 λ 2 = M E G = − 1 . 设 λ = 1 ，所对应的特征向量为 ξ 1 ，则 ξ 1 = ξ 1 1 r 1 ( 0 ， 0 ) + ξ 1 2 r 2 ( 0 ， 0 ) . 由 | ξ 1 | 2 = 1 得 | ξ 1 | 2 = ( ξ 1 1 ) 2 E ( 0 ， 0 ) + 2 ξ 1 1 ξ 1 2 F ( 0 ， 0 ) + ( ξ 1 2 ) 2 G ( 0 ， 0 ) = ( ξ 1 1 ) 2 + ( ξ 1 2 ) 2 = 1 ， 即 ( ξ 1 1 ) 2 + ( ξ 1 2 ) 2 = 1 . (4.3) 又因为 ( 0 − 1 − 1 0 ) ( ξ 1 1 ξ 1 2 ) = ( ξ 1 1 ξ 1 2 ) ， 解之得 ξ 1 1 = − ξ 1 2 . (4.4) 联立上述(4.3)和(4.4)式解得 { ξ 1 1 = − 2 2 ξ 1 2 = 2 2 或 { ξ 1 1 = 2 2 ξ 1 1 = − 2 2 . 故 λ = 1 对应的单位特征向量为 ξ 1 = ξ 1 1 r 1 ( 0 ， 0 ) + ξ 1 2 r 2 ( 0 ， 0 ) = 2 2 ( 0 ， 0 ， 0 ) ( i j k ) − 2 2 ( 0 ， 0 ， 2 ) ( i j k ) = − 2 k 或 ξ 1 = ξ 1 1 r 1 ( 0 ， 0 ) + ξ 1 2 r 2 ( 0 ， 0 ) = − 2 2 ( 0 ， 0 ， 0 ) ( i j k ) + 2 2 ( 0 ， 0 ， 2 ) ( i j k ) = 2 k 类似的，设 λ = − 1 ，所对应的特征向量为 ξ 2 ，可以解得 { ξ 2 1 = 2 2 ξ 2 2 = 2 2 或 { ξ 2 1 = − 2 2 ξ 2 2 = − 2 2 . 于是它的单位特征向量分别为 ξ 2 = ξ 2 1 r 1 ( 0 ， 0 ) + ξ 2 2 r 2 ( 0 ， 0 ) = 2 2 ( 0 ， 0 ， 0 ) ( i j k ) + 2 2 ( 0 ， 0 ， 2 ) ( i j k ) = 2 k 或 ξ 2 = ξ 2 1 r 1 ( 0 ， 0 ) + ξ 2 2 r 2 ( 0 ， 0 ) = − 2 2 ( 0 ， 0 ， 0 ) ( i j k ) − 2 2 ( 0 ， 0 ， 2 ) ( i j k ) = − 2 k 正则曲面 r = r ( u ， v ) 的坐标网为曲率网时，即 F = M = 0 。这类的曲面比较特殊。此时，它的Weingarten矩阵为 ω = ( L E 0 0 N G ) ， 由 | λ I − ω | = 0 ，得 | λ − L E 0 0 λ − N G | = 0 ， 解之得 λ 1 = L E 或 λ 2 = N G . 对于这类的正则曲面，它有特征值，但没有单位特征向量，这是因为 F = M = 0 ，曲面上有脐点，曲面没有单位特征向量，即 设 λ = L E 对应的特征向量为 ξ 1 ，则 ω ( ξ 1 1 ξ 1 2 ) = λ ( ξ 1 1 ξ 1 2 ) ， 即 ( L E 0 0 N G ) ( ξ 1 1 ξ 1 2 ) = L E ( ξ 1 1 ξ 1 2 ) ， 则会出现 N G = L E ， 的结果，这是不可能的，即便是代入切平面的考察点，我们都无法保证这样的结论能够成立，因此我们断定该条件下的正则曲面是没有单位特征向量的。这类正则曲面的例子如环面和球面等，下面具体举出环面的例子来加深理解。 例4.3求环面 r = ( ( R + r cos u ) cos v ， ( R + r cos u ) sin v ， r sin u ) ， 0 ≤ u < 2 π ， 0 ≤ v < 2 π 的Weingarten变换的单位特征向量。 解1) 类似例4.1中的1)，可先求出第一、第二基本形式的系数，得 E ( u ， v ) = r u ⋅ r u = r 2 ， F ( u ， v ) = r u ⋅ r v = 0 ， G ( u ， v ) = r v ⋅ r v = ( R + r cos u ) 2 ; L ( u ， v ) = r u u ⋅ n = r ， ， N ( u ， v ) = r v v ⋅ n = ( R + r cos u ) cos u . 所以对应的Weingarten矩阵为 ω = ( L E 0 0 N G ) = ( 1 r 0 0 cos u R + r cos u ) ， 依照上文的讨论可直接得到关于 ω 的特征值分别为 或 λ 2 = cos u R + r cos u . 设 λ = 1 r 对应的特征向量为 ξ 1 ，由 知 ( 1 r 0 0 cos u R + r cos u ) ( ξ 1 1 ξ 1 2 ) = 1 r ( ξ 1 1 ξ 1 2 ) ， 这样会有 cos u R + r cos u = 1 r ， 显然这是不合理的，故环面没有Weingarten变换的单位特征向量。 同理设 λ = cos u R + r cos u 对应的特征向量为 ξ 2 ，也会出现 1 r = cos u R + r cos u 的结果。对此，作者也求出球面曲面特征值和特征向量，也是得到相同的结论，因此断定对于 F = M = 0 这类曲面，它们有特征值，但没有特征向量。