system: [SYSTEM]

user: 5. 实例演示 考虑具有四个目标函数的优化问题： max f ( x ) = ( f 1 ( x ) ， f 2 ( x ) ， f 3 ( x ) ， f 4 ( x ) ) s . t . x ∈ X 其中， x = ( x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ) T ∈ E 4 ， f 1 ( x ) = 0.5 * x T * A 1 * x + B 1 T * x ， f 2 ( x ) = B 2 T * x ， f 3 ( x ) = 0.5 * x T * A 3 * x + B 3 T * x ， f 4 ( x ) = B 4 T * x ， A 1 = [ 1 2 − 1 1 2 5 0 3 − 1 0 5 1 1 3 1 2 ] ， B 1 = [ 1 − 2 0 4 ] ， B 2 = [ − 2 − 1 3 − 5 ] ， A 3 = [ 1 − 2 4 − 1 − 2 5 0 − 5 4 0 7 1 − 1 − 5 1 2 ] ， B 3 = [ − 1 3 − 7 5 ] ， B 4 = [ − 1 1 2 − 1 ] ， X = { − 2 * x 1 + 6 * x 2 − x 3 + x 4 ≤ 1 − x 1 − 2 * x 2 + x 3 + 4 x 4 = 1 0 ≤ x 1 ≤ 3 ， 0 ≤ x 2 ≤ 4 ， − 1 ≤ x 3 ≤ 6 ， 1 ≤ x 4 ≤ 7 1) 优化阶段 步骤一：确定目标函数值的取值范围及目标函数值规范化 利用Matlab(详细代码见附录)，运用线性规划和二次规划原理，得到各目标函数的取值范围分别为： f 1 ( x ) ∈ [ m 1 ， M 1 ] = [ 12 .7353 ， 33 .1013 ] ， f 2 ( x ) ∈ [ m 2 ， M 2 ] = [ − 17 .8077 ， 3 .5000 ] ， f 3 ( x ) ∈ [ m 3 ， M 3 ] = [ − 2 .7850 ， 6 .8650 ] ， f 4 ( x ) ∈ [ m 4 ， M 4 ] = [ − 6 .2500 ， 3 .5000 ] 进而，各目标函数 f i ( x ) 规范化为 f i ( x ) ′ = ( f i ( x ) − m i ) / ( M i − m i ) ， i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 。 步骤二：由决策者给出负理想点 在各目标函数规范化后，假设决策者给出的负理想点为 f * = ( f 1 * ， f 2 * ， f 3 * ， f 4 * ) = ( 0 ， 0 ， 0 ， 0 ) 。 步骤三：产生供选择的解 求解问题 max ∑ i = 1 4 w i ( f i ( x ) ′ − f i * ) s . t . x ∈ X ， ∑ i = 1 4 w i = 1 ， w i ≥ 10 − 3 ( i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 利用Matlab，运用二次规划和非线性规划原理，得到上述问题的最优解为 ( 3 .0000，1 .0958，0 .8982，1 .3234，0 .1000，0 .1000，0 .7000，0 .1000 ) T ，其对应的各目标函数规范化函数值为 ( 0 .8851，0 .4745，1 .000，0 .4942 ) T 。 步骤四：与决策者对话 假设决策者要求 f 4 ( x ) ′ ≥ 0.6 ，于是求解以下问题: max ∑ i = 1 4 w i ( f i ( x ) ′ − f i * ) s . t . x ∈ X ， ∑ i = 1 4 w i = 1 ， w i ≥ 10 − 3 ( i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) ， f 4 ( x ) ′ ≥ 0.6 利用Matlab，运用二次规划和非线性规划原理，得到上述问题的最优解为 ( 2 .2111，0 .9082，1 .0270，1 .0001，0 .1000，0 .1000，0 .7000，0 .1000 ) T ，其对应的各目标函数规范化函数值为 ( 0 .3688，0 .7379，1 .000，0 .6155 ) T 。与决策者的对话过程反复进行，得到决策者满意的决策方案集为矩阵P，其对应的规范化函数值矩阵为a。矩阵P，a分别为： P = [ 2 .21092 .59562 .88932 .78302 .36512 .64962 .21082 .64502 .79942 .21173 .0000 0 .90810 .99621 .06801 .04160 .94251 .00920 .90811 .00811 .04570 .90831 .0958 1 .02710 .94670 .90850 .92030 .99010 .93831 .02710 .93900 .91841 .02690 .8982 1 .00001 .16031 .27921 .23651 .06501 .18241 .00001 .18051 .24311 .00041 .3234 ] T A = [ 0 .36870 .60090 .80350 .72770 .45710 .63660 .36870 .63350 .73930 .36920 .8851 0 .73800 .60520 .50960 .54370 .68360 .58720 .73800 .58880 .53840 .73770 .4745 1 .00001 .00001 .00001 .00001 .00000 .99991 .00001 .00001 .00001 .00001 .0000 0 .61550 .55220 .50940 .52440 .58900 .54400 .61550 .54470 .52210 .61540 .4942 ] T 2) 决策阶段 步骤一：建立规范化决策矩阵 将优化阶段得到的规范化函数值矩阵a规范化处理为矩阵B： B = [ 00 .44970 .84200 .69520 .17120 .518800 .51280 .71770 .00101 .0000 1 .00000 .49600 .13320 .26260 .79350 .42771 .00000 .43380 .24250 .99890 1 .00001 .00001 .00001 .00001 .000001 .00001 .00001 .00001 .00001 .0000 1 .00000 .47820 .12530 .24900 .78150 .41061 .00000 .41630 .23000 .99920 ] T 步骤二：层次分析法计算主观权重向量 w 1 根据专家经验，对不同目标重要程度两两比较建立正互反判断矩阵 S = [ 1 3 5 2 1 / 3 1 6 2 1 / 5 1 / 6 1 3 1 / 2 1 / 2 1 / 3 1 ] ，计算得到其一致性比率 C R = 0.2916 > 0.1 ，这说明s未通过一致性检验，于是按照(11)式构造完全一致阵 S ˜ = [ 1 .00001 .65494 .16184 .3559 0 .60431 .00002 .51492 .6321 0 .24030 .39761 .00001 .0466 0 .22960 .37990 .95541 .0000 ] ，进一步由(12)式计算得到主观权重向量 w 1 = ( 0 .4821，0 .2913，0 .1158，0 .1107 ) 。 步骤三：变异系数法计算客观权重向量 w 2 首先，以(13)式计算标准差向量和平均值向量分别为 σ = ( 0 .3412，0 .3496，0 .2875，0 .3525 ) b ¯ = ( 0 .4462，0 .5262，0 .9091，0 .5173 ) ；进而变异系数向量 q = ( 0 .7647，0 .6644，0 .3162，0 .6815 ) ；最后计算得到客观权重向量 w 2 = ( 0 .3151，0 .2738，0 .1303，0 .2808 ) 。 步骤四：基于组合权向量w构造加权规范化矩阵C 取 r 1 = r 2 = 0.5 并计算组合权向量 w = r 1 w 1 + r 2 w 2 = ( 0 .3986，0 .2825，0 .1230，0 .1958 ) ； 利用组合权向量w和B构造加权规范化矩阵 C = ( c i j ) 11 × 4 = ( w j × b i j ) 11 × 4 ： C = [ 0 .14700 .23950 .32030 .29010 .18220 .25370 .14700 .25250 .29470 .14720 .3528 0 .20850 .17100 .14400 .15360 .19320 .16590 .20850 .16640 .15210 .20840 .1341 0 .12300 .12300 .12300 .12300 .12300 .12300 .12300 .12300 .12300 .12300 .1230 0 .12050 .10810 .09970 .10270 .11530 .10650 .12050 .10660 .10220 .12050 .0967 ] T 步骤五：确定理想点 c + 和负理想点 c − 计算理想点 c + = ( c j + ) 1 × 4 = ( max 1 ≤ i ≤ 11 c i j ) 1 × 4 = ( 0 .3528，0 .2085，0 .1230，0 .1205 ) ， 负理想点 c − = ( c j − ) 1 × 4 = ( min 1 ≤ i ≤ 11 c i j ) 1 × 4 = ( 0 .1470，0 .1341，0 .1230，0 .0967 ) 。 步骤六：计算各决策方案到理想点与负理想点的欧氏距离 d i + ， d i − 按照(14)式和(15)式计算各决策方案到理想点 c + 与负理想点 c − 的欧氏距离得到距离矩阵 d = [ 0 .20580 .23830 .24980 .26400 .31470 .33300 .39150 .40650 .41490 .46310 .4696 0 .07810 .12710 .21520 .25920 .26890 .29120 .30150 .32120 .35410 .36260 .4169 ] T d的第一行为各方案与理想点 c + 的欧氏距离，第一行为各方案与负理想点 c − 的欧氏距离。 步骤七：计算各方案的综合评价指数 Y i ，并按 Y i 对方案进行排序 根据 Y i = d i − d i + ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 11 ) 计算各方案的综合评价指数得到综合评价指数向量y： Y = ( 0 .3797，0 .5337，0 .8614，0 .9820，0 .8542，0 .8745，0 .7702，0 .7901，0 .8533，0 .7829，0 .8877 ) T 于是各方案最终排序结果为： 可以看出，方案4为最优方案，方案4对应原问题Pareto最优解 ( 2 .7830，1 .0416，0 .9203，1 .2365 ) ，其函数值规范化向量为 ( 0 .7277，0 .5437，1 .0000，0 .5244 ) 。