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user: 4. 一维模型解的唯一性 上一章节在先验估计的基础上证明了整体解的存在性。由于函数 M ( ϕ ) ∈ C 0 1 ( ℝ ) 不是常值函数，因此在这一章节我将证明一维空间域内初边值问题(1.1)~(1.6)解的唯一性，即定理2。 定理2的证明：假设 ( n 1 ， ϕ 1 ) 和 ( n 2 ， ϕ 2 ) 为定理1意义下的两个解，则差 n = n 1 − n 2 和 ϕ = ϕ 1 − ϕ 2 满足 n t − D n x x + α c ( ϕ 1 ) − α c ( ϕ 2 ) = 0 ， (4.1) ϕ t + ε 2 ( M ( ϕ 1 ) ϕ 1 x x x − M ( ϕ 2 ) ϕ 2 x x x ) x − 3 ( M ( ϕ 1 ) ϕ 1 2 ϕ 1 x − M ( ϕ 2 ) ϕ 2 2 ϕ 2 x ) x + ( M ( ϕ 1 ) ϕ 1 x − M ( ϕ 2 ) ϕ 2 x ) x − ( M ( ϕ 1 ) ( α ′ ( ϕ 1 ) n 1 ) x − M ( ϕ 2 ) ( α ′ ( ϕ 2 ) n 2 ) x ) x = 0 ， (4.2) ∂ n ∂ ν | ∂ Ω = 0 ， n ( 0 ， x ) = 0 (4.3) ∂ ∂ ν ϕ x x | ∂ Ω = ∂ ϕ ∂ ν | ∂ Ω = 0 ， ϕ ( 0 ， x ) = 0 ， (4.4) n ∈ L ∞ ( 0 ， T e ; H 1 ( Ω ) ) ∩ L 2 ( 0 ， T e ; H 2 ( Ω ) ) ， (4.5) ϕ ∈ L ∞ ( 0 ， T e ; H 1 ( Ω ) ) ∩ L 2 ( 0 ， T e ; H 3 ( Ω ) ) . (4.6) 为证 n = ϕ = 0 ，需要得到 n 和 ϕ 的估计，下面分成三部分进行： (1) (4.1) 两边同乘 n ，关于 x 做积分，然后根据分部积分公式可以得到 1 2 d d t ‖ n ( t ) ‖ 2 + D ‖ n x ( t ) ‖ 2 = ∫ Ω ( α c ( ϕ 2 ) − α c ( ϕ 1 ) ) n d x . 由假设(H)知， | α c ( ϕ 1 ) − α c ( ϕ 2 ) | = | α ′ c ( ξ ) ( ϕ 1 − ϕ 2 ) | ≤ ν 5 | ϕ | ， 其中 ξ ∈ 〈 ϕ k ν ， ϕ 〉 是一个函数。应用Hölder不等式，可得 1 2 d d t ‖ n ( t ) ‖ 2 + D ‖ n x ( t ) ‖ 2 ≤ C ( ‖ n ( t ) ‖ 2 + ‖ ϕ ( t ) ‖ 2 ) . 于是，关于 t 做积分，可推得 ‖ n ( t ) ‖ 2 + 2 D ∫ 0 t ‖ n x ( t ) ‖ 2 d τ ≤ ‖ n ( 0 ) ‖ 2 + C ∫ 0 t ‖ n ( t ) ‖ 2 d τ + C ∫ 0 t ‖ ϕ ( t ) ‖ 2 d τ . (4.7) (2) (4.1)两边同乘 − n x x ，不难得到 ‖ n x ( t ) ‖ 2 + D ∫ 0 t ‖ n x x ( t ) ‖ 2 d τ ≤ ‖ n x ( 0 ) ‖ 2 + C ∫ 0 t ‖ ϕ ( t ) ‖ 2 d τ . (4.8) (3) 在(4.2)左右两边同乘 ϕ ，关于 x 做积分，利用分部积分公式可以得到 1 2 d d t ‖ ϕ ( t ) ‖ 2 − ε 2 ( M ( ϕ 1 ) ϕ 1 x x x − M ( ϕ 2 ) ϕ 2 x x x ， ϕ x ) +3 ( M ( ϕ 1 ) ϕ 1 2 ϕ 1 x − M ( ϕ 2 ) ϕ 2 2 ϕ 2 x ， ϕ x ) − ( M ( ϕ 1 ) ϕ 1 x − M ( ϕ 2 ) ϕ 2 x ， ϕ x ) + ( M ( ϕ 1 ) ( α ′ ( ϕ 1 ) n 1 ) x − M ( ϕ 2 ) ( α ′ ( ϕ 2 ) n 2 ) x ， ϕ x ) = 0. (4.9) 由于 M ( ϕ 1 ) ∈ C 0 1 ( ℝ ) ，借助分部积分公式和边界条件(4.4)，有 ( M ( ϕ 1 ) ϕ x x x ， ϕ x ) = ( ϕ x x x ， M ( ϕ 1 ) ϕ x ) = − ( M ( ϕ 1 ) ϕ x x ， ϕ x x ) − ( M ′ ( ϕ 1 ) ϕ 1 x ϕ x x ， ϕ x ) . (4.10) 将(4.10)代入(4.9)中，整理得 1 2 d d t ‖ ϕ ( t ) ‖ 2 + ε 2 M ( ϕ 1 ) ‖ ϕ x x ‖ 2 + 3 ( M ( ϕ 1 ) ϕ 1 2 ϕ x ， ϕ x ) = − ε 2 ( M ′ ( ϕ 1 ) ϕ 1 x ϕ x x ， ϕ x ) + ε 2 ( ( M ( ϕ 1 ) − M ( ϕ 2 ) ) ϕ 2 x x x ， ϕ x ) − 3 ( M ( ϕ 1 ) ( ϕ 1 + ϕ 2 ) ϕ ϕ 2 x ， ϕ x ) − 3 ( ( M ( ϕ 1 ) − M ( ϕ 2 ) ) ϕ 2 2 ϕ 2 x ， ϕ x ) + ( M ( ϕ 1 ) ϕ x ， ϕ x ) + ( ( M ( ϕ 1 ) − M ( ϕ 2 ) ) ϕ 2 x ， ϕ x ) − ( M ( ϕ 1 ) ( α ′ ( ϕ 1 ) n 1 ) x − M ( ϕ 2 ) ( α ′ ( ϕ 2 ) n 2 ) x ， ϕ x ) . (4.11) 于是，(4.11)式关于 t 做积分，并将右边项分成以下几部分进行估计 ‖ ϕ ( t ) ‖ 2 + 2 ε 2 ν 2 ∫ 0 t ‖ ϕ x x ( τ ) ‖ 2 d τ + 6 ( M ( ϕ 1 ) ϕ 1 2 ， ϕ x 2 ) Q t = ‖ ϕ ( 0 ) ‖ 2 − 2 ε 2 ( M ′ ( ϕ 1 ) ϕ 1 x ϕ x x ， ϕ x ) Q t + 2 ε 2 ( ( M ( ϕ 1 ) − M ( ϕ 2 ) ) ϕ 2 x x x ， ϕ x ) Q t − 6 ( M ( ϕ 1 ) ( ϕ 1 + ϕ 2 ) ϕ ϕ 2 x ， ϕ x ) Q t − 6 ( ( M ( ϕ 1 ) − M ( ϕ 2 ) ) ϕ 2 2 ϕ 2 x ， ϕ x ) Q t + 2 ( M ( ϕ 1 ) ϕ x ， ϕ x ) Q t + 2 ( ( M ( ϕ 1 ) − M ( ϕ 2 ) ) ϕ 2 x ， ϕ x ) Q t − 2 ( M ( ϕ 1 ) α ″ ( ϕ 1 ) ϕ 1 x n ， ϕ x ) Q t − 2 ( M ( ϕ 1 ) α ″ ( ϕ 1 x ) ϕ n 2 ， ϕ x ) Q t − 2 ( M ( ϕ 1 ) ( α ″ ( ϕ 1 ) − α ″ ( ϕ 2 ) ) ϕ 2 x n 2 ， ϕ x ) Q t − 2 ( ( M ( ϕ 1 ) − M ( ϕ 2 ) ) α ″ ( ϕ 2 ) ϕ 2 x n 2 ， ϕ x ) Q t − 2 ( M ( ϕ 1 ) α ′ ( ϕ 1 ) n x ， ϕ x ) Q t − 2 ( M ( ϕ 1 ) ( α ′ ( ϕ 1 ) − α ′ ( ϕ 2 ) ) n 2 x ， ϕ x ) Q t − 2 ( ( M ( ϕ 1 ) − M ( ϕ 2 ) ) α ′ ( ϕ 2 ) n 2 x ， ϕ x ) Q t = ‖ ϕ 0 ‖ 2 + ∑ i = 1 13 I 2 ， i . (4.12) 考虑 Ω ⊂ ℝ ，则有Gagliardo-Nirenberg不等式 ‖ D ϕ ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ C ‖ D 2 ϕ ‖ 3 4 ‖ ϕ ‖ 1 4 + C ‖ ϕ ‖ ， (4.13) 结合假设(H2)以及带 η 的Young不等式，可以推导出 I 2 ， 1 的估计 | I 2 ， 1 | = 2 ε 2 | ( M ′ c ( ϕ 1 ) ϕ 1 x ϕ x x ， ϕ x ) Q t | ≤ 2 ε 2 ν 4 ∫ 0 t ‖ ϕ x ‖ L ∞ ( Ω ) ‖ ϕ 1 x ‖ ‖ ϕ x x ‖ d τ ≤ C ‖ ϕ 1 x ‖ L ∞ ( 0 ， t ; L 2 ( Ω ) ) ∫ 0 t ( ‖ ϕ x x ‖ 7 4 ‖ ϕ ‖ 1 4 + ‖ ϕ x x ‖ ‖ ϕ ‖ ) d τ ≤ η ∫ 0 t ‖ ϕ x x ( τ ) ‖ 2 d τ + C η ∫ 0 t ‖ ϕ ( τ ) ‖ 2 d τ . (4.14) 由假设(H)和积分中值定理，有 | M ( ϕ 1 ) − M ( ϕ 2 ) | = | M ′ ( ξ ) ( ϕ 1 − ϕ 2 ) | ≤ ν 4 | ϕ | ， 其中 ξ ∈ 〈 ϕ k ν ， ϕ 〉 是一个函数。于是借助插值不等式(4.13)，带 η 的Young不等式以及一般形式的Hölder不等式，再利用(4.6)，可得 | I 2 ， 2 | = 2 ε 2 | ( ( M ( ϕ 1 ) − M ( ϕ 2 ) ) ϕ 2 x x x ， ϕ x ) Q t | ≤ 2 ε 2 ν 4 ∫ 0 t ‖ ϕ ‖ ‖ ϕ 2 x x x ‖ ‖ ϕ x ‖ L ∞ ( Ω ) d τ ≤ 2 ε 2 ν 4 ∫ 0 t ( C 1 ‖ ϕ x x ‖ 3 4 ‖ ϕ ‖ 5 4 + C 2 ‖ ϕ ‖ 2 ) ‖ ϕ 2 x x x ‖ d τ ≤ C ‖ ϕ 2 x x x ‖ L 2 ( 0 ， t ; L 2 ( Ω ) ) ( ( ∫ 0 t ‖ ϕ x x ‖ 3 2 ‖ ϕ ‖ 5 2 d τ ) 1 2 + ( ∫ 0 t ‖ ϕ ‖ 4 d τ ) 1 2 ) ≤ C ( ∫ 0 t ‖ ϕ x x ‖ 2 d τ ) 3 8 ( ∫ 0 t ‖ ϕ ‖ 10 d τ ) 1 8 + C ( ∫ 0 t ‖ ϕ ‖ 4 d τ ) 1 2 ≤ η ∫ 0 t ‖ ϕ x x ( τ ) ‖ 2 d τ + C η ( ∫ 0 t ‖ ϕ ( τ ) ‖ 10 d τ ) 1 5 + C ‖ ϕ ‖ L ∞ ( 0 ， t ; L 2 ( Ω ) ) ( ∫ 0 t ‖ ϕ ‖ 2 d τ ) 1 2 ≤ η ∫ 0 t ‖ ϕ x x ( τ ) ‖ 2 d τ + C η ‖ ϕ ( τ ) ‖ L ∞ ( 0 ， t ; L 2 ( Ω ) ) 8 5 ( ∫ 0 t ‖ ϕ ( τ ) ‖ 2 d τ ) 1 5 + η ^ ‖ ϕ ( τ ) ‖ L ∞ ( 0 ， t ; L 2 ( Ω ) ) 2 + C η ^ ∫ 0 t ‖ ϕ ( τ ) ‖ 2 d τ ≤ η ∫ 0 t ‖ ϕ x x ( τ ) ‖ 2 d τ + η ¯ ‖ ϕ ( τ ) ‖ L ∞ ( 0 ， t ; L 2 ( Ω ) ) 2 + C η ， η ¯ ∫ 0 t ‖ ϕ ( τ ) ‖ 2 d τ . (4.15) 依据Sobolev嵌入定理，我们发现 H 1 ( Ω ) 嵌入到 L ∞ ( Ω ) 。因此，借助插值不等式(4.13)和带 η 的Young不等式，可以得到 | I 2 ， 3 | = 6 | ( M ( ϕ 1 ) ( ϕ 1 + ϕ 2 ) ϕ ϕ 2 x ， ϕ x ) Q t | ≤ 6 ν 3 ‖ ϕ 1 + ϕ 2 ‖ L ∞ ( 0 ， t ; L ∞ ( Ω ) ) ∫ 0 t ‖ ϕ ‖ ‖ ϕ 2 x ‖ ‖ ϕ x ‖ L ∞ ( Ω ) d τ ≤ C ‖ ϕ 2 x ‖ L ∞ ( 0 ， t ; L 2 ( Ω ) ) ∫ 0 t ( C 1 ‖ ϕ x x ‖ 3 4 ‖ ϕ ‖ 5 4 + C 2 ‖ ϕ ‖ 2 ) d τ ≤ η ∫ 0 t ‖ ϕ x x ( τ ) ‖ 2 d τ + C η ∫ 0 t ‖ ϕ ( τ ) ‖ 2 d τ . (4.16) 考虑假设(H)，插值不等式(4.13)以及一些基本不等式，有 | I 2 ， 7 | = 2 | ( M ( ϕ 1 ) α ″ ( ϕ 1 x ) ϕ 1 n ， ϕ x ) Q t | ≤ ν 3 ν 6 ∫ 0 t ‖ ϕ x ‖ L ∞ ( Ω ) ‖ ϕ 1 x ‖ ‖ n ‖ d τ ≤ C ‖ ϕ 1 x ‖ L ∞ ( 0 ， t ; L 2 ( Ω ) ) ∫ 0 t ( ‖ ϕ x x ‖ 3 4 ‖ ϕ ‖ 1 4 ‖ n ‖ + ‖ n ‖ ‖ ϕ ‖ ) d τ ≤ ∫ 0 t ( η ‖ ϕ x x ‖ 2 + C η ‖ ϕ ‖ 2 5 ‖ n ‖ 8 5 ) d τ + C ∫ 0 t ( ‖ n ‖ 2 + ‖ ϕ ‖ 2 ) d τ ≤ η ∫ 0 t ‖ ϕ x x ‖ 2 d τ + η ∫ 0 t ‖ ϕ ‖ 2 d τ + C η ∫ 0 t ‖ n ‖ 2 d τ + C ∫ 0 t ( ‖ n ‖ 2 + ‖ ϕ ‖ 2 ) d τ ≤ η ∫ 0 t ‖ ϕ x x ( τ ) ‖ 2 d τ + C ∫ 0 t ‖ n ( τ ) ‖ 2 d τ + C ∫ 0 t ‖ ϕ ( τ ) ‖ 2 d τ . (4.17) 类似地，不难得到 I 2 ， i ( i = 4 ， 5 ， 6 ， 8 ， 9 ， 10 ， 12 ， 13 ) 的估计 | I 2 ， i | ≤ η ∫ 0 t ‖ ϕ x x ( τ ) ‖ 2 d τ + C η ∫ 0 t ‖ ϕ ( τ ) ‖ 2 d τ ， (4.18) 以及 | I 2 ， 11 | ≤ η ∫ 0 t ‖ ϕ x x ( τ ) ‖ 2 d τ + C η ∫ 0 t ‖ ϕ ( τ ) ‖ 2 d τ + C η ∫ 0 t ‖ n x ( τ ) ‖ 2 d τ . (4.19) 现在，结合(4.14)-(4.19)，选择 η ¯ = 1 2 和 η = ε 2 ν 2 13 代入(4.12)，可得 ‖ ϕ ( t ) ‖ 2 ≤ 2 ‖ ϕ ( 0 ) ‖ 2 + C ∫ 0 t ‖ n ( τ ) ‖ 2 d τ + C ∫ 0 t ‖ ϕ ( τ ) ‖ 2 d τ + C ∫ 0 t ‖ n x ( τ ) ‖ 2 d τ . (4.20) 最后，(4.7)，(4.8)与(4.20)三式相加，对任意的 t ∈ ( 0 ， T e ) ，有 ‖ n ( t ) ‖ 2 + ‖ n x ( t ) ‖ 2 + ‖ ϕ ( t ) ‖ 2 ≤ ‖ n ( 0 ) ‖ 2 + ‖ n x ( 0 ) ‖ 2 + 2 ‖ ϕ ( 0 ) ‖ 2 + C ∫ 0 t ( ‖ n ( τ ) ‖ 2 + ‖ n x ( τ ) ‖ 2 d τ + ‖ ϕ ( τ ) ‖ 2 ) d τ . (4.21) 根据初始条件(4.3)与(4.4)，利用积分形式的Gronwall不等式 [ 14 ]，发现 n = ϕ = 0 在 Q T e 中几乎处处成立。到此证毕。