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user: 3. 模型构建 回归分析是多元统计分析方法中应用最广泛的一种，它用于分析事物之间的统计关系，着重考察变量之间的数量变化规律，并通过回归方程的形式描述和反映这种关系，帮助人们准确把握变量受其他一个或多个变量影响的程度，进而为控制和预测提供科学依据，在解决实际问题时，我们通常从最简单而又最普遍的多元线性回归模型入手。 3.1. 多元线性回归 根据上述问题，中国粮食作物播种面积 的影响因素有粮食净进口量( )、城乡收入比( )、农业机械总动力( )、受灾面积( )、第一产业就业人口( )、化肥施用量( )、有效灌溉面积( )、农业总产值( )、粮食产量( )。 多元线性回归模型 [ 13 ] 的基本形式： Table 2 Correlations between sample 1 0.4041 −0.6398 0.1852 −0.2701 −0.4436 0.2001 0.2840 0.4156 0.6826 0.4041 1 0.2931 0.9410 −0.8866 −0.9764 0.9336 0.9625 0.9847 0.9166 −0.6398 0.2931 1 0.5524 −0.3117 −0.3080 0.5564 0.4382 0.2912 0.0360 0.1852 0.9410 0.5524 1 −0.8470 −0.9480 0.9967 0.9870 0.9552 0.8222 −0.2701 −0.8866 −0.3117 −0.847 1 0.8544 −0.8465 −0.8452 −0.8787 −0.8267 −0.4436 −0.9764 −0.3080 −0.948 0.8544 1 −0.9536 −0.9573 −0.9854 −0.9448 0.2001 0.9336 0.5564 0.9967 −0.8465 −0.9536 1 0.9769 0.9504 0.8328 0.2840 0.9625 0.4382 0.9870 −0.8452 −0.9573 0.9769 1 0.9773 0.8615 0.4156 0.9847 0.2912 0.9552 −0.8787 −0.9854 0.9504 0.9773 1 0.9306 0.6826 0.9166 0.0360 0.8222 −0.8267 −0.9448 0.8328 0.8615 0.9306 1 表2. 样本间相关系数 其中， ， ， 都是未知参数， 称为回归常数， 为回归变量， 为回归系数。 假设 ， ，是 的 个观测值，则它们满足关系 ， 式中， 相互独立，则 也相互独立，且 建立多元线性回归模型，首先要估计未知参数 ，为此得到 组数据 ， 则有： 其中 相互独立，且服从 分布。令 ， ， 写成矩阵形式为： 式中， 称为观测向量， 称为设计矩阵，它们是由观测数据得到的，是已知的， 是待估计的未知参数向量， 是由不可观测的随机误差得到的，并简记为 。 常常采用最小二乘法寻找 的估计值 ， 的真值应该使误差向量 达到最小，也就是它的长度平方达到最小 因此，我们应该通过求 的最小值来求 的估计： 利用矩阵微商公式求解，则有： ， 于是 得到 因为设计阵 满足 ，则有： 据模型建立，可以将标准化后样本数据代入公式求解 ，本文使用的是Matlab软件 [ 14 ] ，求得结果如表3。 Table 3 Coefficients of the regression model， confidence interval of coefficient 回归系数 回归系数估计值 回归系数置信区间 0.0000 [−0.0824 0.0824] 0.3709 [−0.3499 1.0916] −0.9965 [−1.5373 −0.4556] 1.8328 [−2.2289 5.8946] 0.3853 [0.0897 0.6809] 0.3772 [−0.9353 1.6898] 0.2800 [−2.4497 3.0096] -0.4393 [−2.1419 1.2633] -1.8639 [−3.2860 −0.4418] 1.4263 [0.7580 2.0947] 表3. 回归模型的系数、系数置信区间 经整理后得到如下多元线性回归方程模型1： 模型1的拟合优度为0.9856，其调整拟合优度为0.9726，说明模型拟合数据的效果非常好， ，表明回归方程高度显著，说明粮食作物播种面积和自变量有高度的线性关系。然后检验其回归系数的显著性。 在0.05的显著性水平下，有 显著外，其他自变量都不十分显著，可能的原因是自变量之间存在多重共线性，回归系数通不过显著性检验，甚至给模型回归系数得不到合理的解释，另外我们通过绘制其残差图如图1，可以看到：除第8个点外，其余点偏离不是很大，说明模型1与原数据拟合效果比较理想。 3.2. 调整模型 在多元线性回归模型中可能遇到某个检验水平 下，整个回归模型的统计检验小于 ，而模型的各偏回归系数的检验却大于 ，根据数据的专业知识，已知模型的因变量与自变量之间有重要的联系，但检验结果大于 ，在统计学中这种现象称为多重共线性。当自变量之间存在近似的线性关系，即某个自变量能由其它自变量的线性组合表示时，就会造成参数估计的误差急剧增大，这会对回归分析产生严重的影响，为此在建模前需要消除变量之间的多重共线性。消除多重共线性的方法有很多，例如主成分回归法、逐步回归法、岭回归法、偏最小二乘回归法等，本文主要采用逐步回归法来进一步综合分析粮食作物播种面积的影响因素。 3.3. 逐步回归法 逐步回归法是线性回归分析中重要的一种分析方法，主要用来解决多元线性回归模型中解释变量个数较多时，如何筛选解释变量以使得回归模型中包含所有对被解释变量影响显著的解释变量而不包含影响不显著的解释变量的问题。它的主要思路是将全部解释变量中按对被解释变量的贡献大小逐个引入回归方程，已被引入回归方程的变量在引入新变量后也可能失去显著性，而需要从回归方程中剔除出去。引入一个变量或者从回归方程中剔除一个变量都要进行F检验，同样对已经选入的解释变量逐个进行t 图1. 模型1的残差图 检验，以确保每次引入新的变量之前回归方程中只包含显著性变量。这是一个反复的过程，直到既没有显著的解释变量选入回归方程，也没有不显著的解释变量从回归方程中剔除为止，以保证最后所得到的解释变量集是最优的。 通过用Matlab软件 [ 15 ] 求解逐步回归法，我们可以得出如下三个模型： 在上面用线性回归法得到的模型1中，自变量存在多重共线性，对其系数做回归系数检验表4，在0.05的显著性水平下，回归系数 最不显著 ，首先剔除化肥施用量( )，其余变量进行回归。得到模型2的回归方程为： 可以知道模型2的拟合优度为0.9855，其调整拟合优度为0.9750，继续对其系数做回归系数检验表5，回归系数 不显著 ，所以剔除第一产业就业人口( )，得到模型3的回归方程为： 可以知道模型3的拟合优度为0.9850，其调整拟合优度为0.9762，将剩下的变量进行回归系数检验表6，得到回归系数 不显著 ，所以剔除有效灌溉面积( )，最后得到模型4的回归方程为： 可以知道模型4的拟合优度为0.9846，其调整拟合优度为0.9775，调整拟合优度值越大，说明模型越好，在模型4的方程中，继续剔除变量，都没有模型4的调整拟合优度好，所以最终可以确认模型4为最佳模型。由模型4可以知道在其他条件不变的情况下，每增加一单位农业机械总动力( )，粮食作物播种面积增加1.559个单位，粮食净进口量( )每增加一单位，粮食作物播种面积增加0.2145个单位，城乡收入比( )每增加一单位，粮食作物播种面积减少0.926个单位，受灾面积( )每增加一个单位，粮食作物播种面积增加0.3176个单位。农业总产值( )每增加一单位，粮食作物播种面积减少2.0207个单位。粮食产量( )，每增加一单位，粮食作物播种面积增加1.3808个单位。 Table 4 Regression coefficients test results of model 变量 1.1465 −4.1053 1.0054 2.9045 0.6404 0.2285 −0.5749 −2.9203 4.7549 0.2783 0.0021 0.3384 0.0157 0.5363 0.8238 0.5781 0.0153 0.0008 表4. 模型1回归系数检验结果 Table 5 Regression coefficients test results of model 变量 1.2311 −4.2882 2.2978 3.0340 0.6263 −0.8293 −3.1207 5.6631 0.2440 0.0013 0.0422 0.0114 0.5439 0.4246 0.0097 0.0001 表5. 模型2回归系数检验结果 Table 6 Regression coefficients test results of model 变量 1.0969 −4.4900 2.2939 3.9279 −0.5673 −4.0869 8.3017 0.2942 0.0007 0.0406 0.0020 0.5810 0.0015 0.0000 表6. 模型3回归系数检验结果