system: [SYSTEM]

user: 3. 主要的结果 定理：在假设a)~c)下，系统(1)的零平衡点是均方渐近稳定的，如果存在矩阵 Q = diag ( q i ) n × n 使得 − 2 P C + P A Q − 1 A T P + L Q L + P B Q − 1 B T P + P 2 + P D Q − 1 D T P + M Q M + N Q N + P 1 + U R U < 0 ， 其中 L = diag ( L i ) n × n > 0 ， M = diag ( M i ) n × n > 0 ， N = diag ( N i ) n × n > 0 ， U = diag ( U i ) n × n > 0 。 证明：下面是我们构建的李雅普诺夫函数。 对于系统(1)，我们应用Ito公式并且估计 L V ( x ( t ) ， t ) 如下： L V ( x ( t ) ， t ) = 2 x T ( t ) P [ − C x ( t ) + A f ( x ( t ) ) + B g ( x ( t − τ ) ) + D ∫ − ∞ t K ( t − s ) h ( x ( s ) ) d s ]         + x T ( t ) ( P 2 + M Q M ) x ( t ) − x T ( t − τ ) ( P 2 + M Q M ) x ( t − τ )         + ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n q j ∫ 0 ∞ k i j ( η ) h j 2 ( x j ( t ) ) d η − ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n q j ∫ 0 ∞ k i j ( η ) h j 2 ( x j ( t − η ) ) d η         + ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n r j ∫ 0 ∞ k i j ( ξ ) φ j 2 ( x j ( t ) ) d ξ − ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n r j ∫ 0 ∞ k i j ( ξ ) φ j 2 ( x j ( t − ξ ) ) d ξ + trace [ σ T ( x ( t ) ， x ( t − τ ) ， ∫ − ∞ t K ( t − s ) φ ( x ( s ) ) d s )         × P σ ( x ( t ) ， x ( t − τ ) ， ∫ − ∞ t K ( t − s ) φ ( x ( s ) ) d s ) ] = − 2 x T ( t ) P C x ( t ) + 2 x T ( t ) P A f ( x ( t ) ) + 2 x T ( t ) P B g ( x ( t − τ ) )         + 2 x T P D ∫ − ∞ t K ( t − s ) h ( x ( s ) ) d s + h T ( x ( t ) ) Q h ( x ( t ) )         + x T ( t ) ( P 2 + M Q M ) x ( t ) − x T ( t − τ ) ( P 2 + M Q M ) x ( t − τ ) + 2 x T P D ∫ − ∞ t K ( t − s ) h ( x ( s ) ) d s + x T ( t ) ( P 2 + M Q M ) x ( t )         − x T ( t − τ ) ( P 2 + M Q M ) x ( t − τ ) + h T ( x ( t ) ) Q h ( x ( t ) )         − ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n q j ∫ 0 ∞ k i j ( η ) h j 2 ( x j ( t − η ) ) d η + φ T ( x ( t ) ) R φ ( x ( t ) )         − ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n r j ∫ 0 ∞ k i j ( ξ ) φ j 2 ( x j ( t − ξ ) ) d ξ + x T ( t ) P 1 x ( t ) + x T ( t − τ ) P 2 x ( t − τ )         + ( ∫ − ∞ t K ( t − s ) φ ( x ( s ) ) d s ) T R ( ∫ − ∞ t K ( t − s ) φ ( x ( s ) ) d s ) = − 2 x T ( t ) P C x ( t ) + 2 x T ( t ) P A f ( x ( t ) ) + 2 x T ( t ) P B g ( x ( t − τ ) )         + 2 x T P D ∫ − ∞ t K ( t − s ) h ( x ( s ) ) d s + x T ( t ) ( P 2 + M Q M ) x ( t )         − x T ( t − τ ) ( P 2 + M Q M ) x ( t − τ ) + x T ( t ) N Q N x ( t )         − ( ∫ − ∞ t K ( t − s ) h ( x ( s ) ) d s ) T Q ( ∫ − ∞ t K ( t − s ) h ( x ( s ) ) d s )         − ( ∫ − ∞ t K ( t − s ) φ ( x ( s ) ) d s ) T R ( ∫ − ∞ t K ( t − s ) φ ( x ( s ) ) d s ) + x T ( t ) U R U x ( t ) + x T ( t ) P 1 x ( t ) + x T ( t − τ ) P 2 x ( t − τ )         + ( ∫ − ∞ t K ( t − s ) φ ( x ( s ) ) d s ) T R ( ∫ − ∞ t K ( t − s ) φ ( x ( s ) ) d s ) (9) 根据不等式 2 a T b ≤ a T X − 1 a + b T X b ，我们有 2 x T ( t ) P A f ( x ( t ) ) ≤ x T ( t ) P A Q − 1 A T P T x ( t ) + f T ( x ( t ) ) Q f ( x ( t ) ) ≤ x T ( t ) ( P A Q − 1 A T P + L Q L ) x ( t ) ， (10) 2 x T ( t ) P B g ( x ( t − τ ) ) ≤ x T ( t ) P B Q − 1 B T P T x ( t ) + g T ( x ( t − τ ) ) Q g ( x ( t − τ ) ) ≤ x T ( t ) ( P B Q − 1 B T P x ( t ) + x ( t − τ ) M Q M ) x ( t − τ ) ， (11) 2 x T ( t ) P D ∫ − ∞ t K ( t − s ) h ( x ( s ) ) d s ≤ x T ( t ) P D Q − 1 D T P x ( t ) + ( ∫ − ∞ t K ( t − s ) h ( x ( s ) ) d s ) T P ( ∫ − ∞ t K ( t − s ) h ( x ( s ) ) d s ) . (12) 通过(9)~(12)，我们得到 L V ( x ( t ) ， t ) ≤ x T ( t ) [ − 2 P C + P A Q − 1 A T P + L Q L + P B Q − 1 B T P + P 2     + P D Q − 1 D P + M Q M + N Q N + P 1 + U R U ] x (t) 因此，我们得到 L V ( x ( t ) ， t ) ≤ 0 。即，系统(1)的零平衡点是均方渐近稳定的。