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user: 4. 点态化完备代数正规类中的诣零根 A是一个点态化完备代数正规类。 定义4.1： ∀ a ∈ A ： 1) x ∈ S a ，如果有正整数n，使得 〈 x 〉 n = 0 ，则称x是幂零元； 2) 如果 ∀ x ∈ S a ，x都是幂零元，则称a是诣零代数； 3) i ⊲ a ( i ≤ a ， i ⊲ r a ， i ⊲ l a ) ，如果i是诣零代数，则称i是a的一个诣零理想(诣零子代数、诣零右理想，诣零左理想)； 4) 如果对任意有限集 { x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x k } ⊆ S a 生成的子代数 〈 x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x k 〉 是幂零的，则称a是局部幂零代数； 5) i ⊲ a ( i ≤ a ， i ⊲ r a ， i ⊲ l a ) ，如果i是局部幂零代数，则称i是a的一个局部幂零理想(局部幂零子代数、局部幂零右理想，局部幂零左理想)； 6) 如果对任意可数集 A = { x n ∈ S a | n = 1 ， 2 ， ⋯ } 生成的子代数 〈 A 〉 是幂零的，则称a是可数局部幂零代数； 7) i ⊲ a ( i ≤ a ， i ⊲ r a ， i ⊲ l a ) ，如果i是可数局部幂零代数，则称i是a的一个可数局部幂零理想(可数局部幂零子代数、可数局部幂零右理想，可数局部幂零左理想)。 一个幂零代数是局部幂零代数、可数局部幂零代数，一个可数局部幂零代数是局部幂零代数，一个幂零代数、局部幂零代数、可数局部幂零代数都是诣零代数。 引理4.2： ∀ a ∈ A ， 0 ≠ p ⊲ a 。则： 1) p是半素理想当且仅当 ∀ x ∈ S a ， 〈 x 〉 a 〈 x 〉 ≤ p 可推出 〈 x 〉 ≤ p ； 2) p是素理想当且仅当 ∀ x ， y ∈ S a ， 〈 x 〉 a 〈 y 〉 ≤ p 可推出 〈 x 〉 ≤ p 或 〈 y 〉 ≤ p 。 证明：1) 设p是半素理想， x ∈ S a ， 〈 x 〉 a 〈 x 〉 ≤ p ，则 ( a 〈 x 〉 a ) 2 = ( a 〈 x 〉 a ) ( a 〈 x 〉 a ) ≤ ( a 〈 x 〉 a a 〈 x 〉 a ) ≤ ( a 〈 x 〉 a 〈 x 〉 a ) ≤ a p a ≤ p ，据p是半素理想，故 〈 x 〉 a 〈 x 〉 ≤ p 及 〈 x 〉 3 ≤ 〈 x 〉 a 〈 x 〉 ≤ p ，因此 ( x ) 3 ≤ a ( x ) a = a ( 〈 x 〉 ∨ a ( x ) ∨ a ( x ) ∨ a ( x ) a ) a ≤ a 〈 x 〉 a ≤ p ，据p是半素理想，因此 〈 x 〉 ≤ ( x ) ≤ p 。 反之，如果 〈 x 〉 a 〈 x 〉 ≤ p 可推出 〈 x 〉 ≤ p ，如果 i ⊲ a ， i 2 ≤ p ，则 ∀ x ∈ ϕ a ( i ) ，有 〈 x 〉 ≤ ( x ) ≤ i ，因此 〈 x 〉 a 〈 x 〉 ≤ ( x ) a ( x ) ≤ ( x ) a ( x ) ≤ ( x ) 2 ≤ i 2 ≤ p ，所以 i = ∨ { 〈 x 〉 | x ∈ ϕ a ( i ) } ≤ p ，即p是半素理想。 2) 设p是素理想， x ， y ∈ S a ， 〈 x 〉 a 〈 y 〉 ≤ p ，则 ( a 〈 x 〉 a ) ( a 〈 y 〉 a ) ≤ a ( 〈 x 〉 a 〈 y 〉 ) a ≤ a p a ≤ p ，据p是素理想，故 a 〈 x 〉 a ≤ p 或 a 〈 y 〉 a ≤ p 。由于p是素理想从而是p是半素理想，故如果 a 〈 x 〉 a ≤ p 则 〈 x 〉 ≤ p ，如果 a 〈 y 〉 a ≤ p 则 〈 y 〉 ≤ p 。 反之，如果 〈 x 〉 a 〈 y 〉 ≤ p 可推出 〈 x 〉 ≤ p 或 〈 y 〉 ≤ p 。如果 i ， j ⊲ a ， i j ≤ p ，如果 i ≤ p ， j ≤ p ，则存在 x ， y ∉ ϕ a ( p ) x ∈ ϕ a ( i ) ， y ∈ ϕ a ( j ) ，所以 〈 x 〉 ≤ p 或 〈 y 〉 ≤ p ，因此 〈 x 〉 a 〈 y 〉 ≤ p 。但是 〈 x 〉 a 〈 y 〉 ≤ ( x ) a ( y ) ≤ ( x ) ( y ) ≤ i j ≤ p ，矛盾，所以 i ≤ p 或 j ≤ p ，即p是素理想。证毕。 引理4.3： ∀ a ∈ A ， 0 ≠ p ⊲ a 。则： 1) 诣零代数a (幂零代数、局部幂零代数、可数局部幂零代数)的商 b = a / i 是诣零代数(幂零代数、局部幂零代数、可数局部幂零代数)； 2) ∀ i ⊲ a ，如果i及 a / i 两者都是诣零代数(幂零代数、局部幂零代数、可数局部幂零代数)，则a是诣零代数(幂零代数、局部幂零代数、可数局部幂零代数)。 证明：下面只证明诣零情形，其他类似。 1) 如果a是幂零代数，显然商 b = a / i 是幂零代数。 如果a是诣零代数， ∀ y ∈ S a / i ，存在 x ∈ S a 使得 φ i ( x ) = y 。因为a是诣零代数，所以存在n使得 〈 x 〉 n = 0 ，因此 〈 y 〉 = 〈 φ i ( x ) 〉 = ( 〈 x 〉 ∨ i ) / i ，故 〈 y 〉 n = ( ( 〈 x 〉 ∨ i ) / i ) n = ( 〈 x 〉 n ∨ i ) / i = 0 ，即商 b = a / i 是诣零代数。 如果a是可数局部幂零代数， ∀ B = { y n ∈ S a / i | n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ } ，存在 A = { x n ∈ S a | n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ } ，使得 φ i ( x n ) = y n ， n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ 。因为a是可数局部幂零代数，所以存在m使得 A m = 0 ，因此 B m = 〈 { φ i ( x n ) | n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ } 〉 m = ( ( 〈 A 〉 ∨ i ) / i ) m = ( 〈 A 〉 m ∨ i ) / i = 0 ，即商 b = a / i 是可数局部幂零代数。 如果a是局部幂零代数，类似可证商 b = a / i 是局部幂零代数。 2) 如果i及 a / i 都是幂零代数，显然a是幂零代数。 如果i及 a / i 都是诣零代数， x ∈ S a ，则存在正整数n使得 〈 φ i ( x ) 〉 n = 0 ，即 ( ( 〈 x 〉 ∨ i ) / i ) n = ( 〈 x 〉 n ∨ i ) / i = 0 ，从而 〈 x 〉 n ≤ i 。因为存在 z ∈ 〈 x 〉 n ≤ i 使得 〈 x 〉 n + 1 = 〈 x 〉 〈 z 〉 = 〈 z 〉 〈 x 〉 ，所以存在正整数m使得 〈 z 〉 m = 0 ，所以 〈 x 〉 m ( n + 1 ) = ( 〈 x 〉 〈 z 〉 ) m = 〈 x 〉 m 〈 z 〉 m = 0 ，即a是诣零代数。 如果i及 a / i 都是可数局部幂零代数， A = { x n ∈ S a | n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ } ⊆ S a ，则 B = φ i ( a ) = { y n = φ i ( x n ) | n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ } ⊆ S a / i 是可数集，则存在正整数m使得 〈 B 〉 m = 〈 φ i ( A ) 〉 m = 0 ，即 〈 A 〉 m ≤ i ，又存在 A ′ s ⊆ 〈 A 〉 m ≤ i 使得 〈 A 〉 m + 1 = 〈 A 〉 〈 A ′ s 〉 = 〈 A ′ s 〉 〈 A 〉 ，所以存在正整数n使得 〈 A ′ s 〉 n = 0 ，所以 〈 A 〉 n ( m + 1 ) = 〈 A ′ s 〉 n 〈 A 〉 n = 0 ，即a是可数局部幂零代数。 如果i及 a / i 是局部幂零代数，类似可证a是局部幂零代数。证毕。 引理4.4： ∀ a ∈ A ， i 1 ， i 2 ⊲ a ， i 1 ， i 2 诣零理想(幂零理想、局部幂零理想、可数局部幂零理想)，则 i 1 ∨ i 2 也是诣零理想(幂零理想、局部幂零理想、可数局部幂零理想)。 证明：因为 i 1 是诣零理想，因此 ( i 1 ∨ i 2 ) / i 1 ∼ i 1 / ( i 1 ∧ i 2 ) 是诣零理想诣零理想(幂零理想、局部幂零理想、可数局部幂零理想)，又 i 1 是诣零理想诣零理想(幂零理想、局部幂零理想、可数局部幂零理想)，所以由引理4.3有 i 1 ∨ i 2 是诣零理想(幂零理想、局部幂零理想、可数局部幂零理想)。证毕。 引理4.5： ∀ a ∈ A ，则： 1) U ( a ) = ∨ { i | i 是诣零理想}，则 U ( a ) 是诣零理想； 2) L ( a ) = ∨ { i | i 是局部幂零理想}，则 L ( a ) 是局部幂零理想； 3) L C ( a ) = ∨ { i | i 是可数局部幂零理想}，则 L C ( a ) 是局部幂零理想； 4) N ( a ) = ∨ { i | i 是幂零理想}，则 N ( a ) 是诣零理想，且 N ( a ) 包含a的所有幂零右理想及所有幂零左理想。 证明：1) 设 x ∈ S U ( a ) ，则存在正整数k及a的诣零理想是 i 1 ， i 2 ， ⋯ ， i k ，使得 x ∈ ϕ a ( i 1 ∨ i 2 ∨ ⋯ ∨ i k ) 。因为由引理4.4有 i 1 ∨ i 2 ∨ ⋯ ∨ i k 是a的诣零理想，所以存在正整数n，使得 〈 x 〉 n = 0 ，因此 U ( a ) 是a的诣零理想； 2) 设 x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x l ∈ S L ( a ) ，则存在正整数k及a的诣零理想是 i 1 ， i 2 ， ⋯ ， i k ，使得 x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x l ∈ ϕ a ( i ∨ 1 i 2 ∨ ⋯ ∨ i k ) 。因为由引理4.4有 i 1 ∨ i 2 ∨ ⋯ ∨ i k 是a的局部幂零理想，所以存在正整数n，使得 〈 x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x l 〉 n = 0 ，所以 L ( a ) 是a的局部幂零理想； 3) 设 x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x l ∈ S L C ( a ) ，则存在正整数k及a的可数局部幂零理想是 i 1 ， i 2 ， ⋯ ， i k ，使得 x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x l ∈ ϕ a ( i ∨ 1 i 2 ∨ ⋯ ∨ i k ) 。因为由引理4.4有 i 1 ∨ i 2 ∨ ⋯ ∨ i k 是a的局部幂零理想，所以存在正整数n，使得 〈 x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x l 〉 n = 0 ，所以 L C ( a ) 是局部幂零理想； 4) N ( a ) = ∨ { i | i 是幂零理想}，设 x ∈ S N ( a ) ，则由幂零理想是诣零理想及1)的证明知存在正整数n，使得 〈 x 〉 n = 0 ，故 N ( a ) 是诣零理想。对a的每个幂零右理想i，且 i k = 0 ，则 i ¯ = i ∨ a i ⊲ a ，因为 i ¯ k = ( i ∨ a i ) k ≤ i k ∨ a i k = 0 是a的幂零理想，因此 i ≤ i ¯ ≤ N ( a ) ，从而 N ( a ) 包含a的所有幂零右理想。同理有 N ( a ) 包含a的所有幂零左理想。证毕。 注1：通常 N ( a ) 不是幂零理想， L C ( a ) 不是可数局部幂零理想。 ∀ a ∈ A ： K ( a ) = ∨ { i | i 是诣零理想}， L C ( a ) = ∨ { i | i 是局部幂零理想}。 对每个序数 α ，理想 N ( α ) 定义为： 1) N ( 0 ) = 0 ； 假设 ∀ α < β ， N ( α ) 已经定义，则： 2) 如果 β = α + 1 ，则 N ( β ) / N ( α ) = ∨ { i | i 是 a / N ( α ) 的幂零理想}； 3) 如果 β 是极限序数， N ( β ) = ∨ { N ( α ) | α < β } 。 因为 S a 是一个集合，故 ∀ a ∈ A ，存在一个序数 γ 使得 N ( γ ) = N ( γ + 1 ) ，则理想 N ( γ ) 记为 N ( a ) 。 类似对每个序数 α ，理想 L C ( α ) 定义为： 1) L C ( 0 ) = 0 ； 假设 ∀ α < β ， L C ( α ) 已经定义，则： 2) 如果 β = α + 1 ，则 L C ( β ) / L C ( α ) = ∨ { i | i 是 a / L C ( α ) 的幂零理想}； 3) 如果 β 是极限序数， L C ( β ) = ∨ { L C ( α ) | α < β } 。 因为 S a 是一个集合，故 ∀ a ∈ A ，存在一个序数 γ 使得 L C ( γ ) = L C ( γ + 1 ) ，则理想 L C ( γ ) 记为 L C ( a ) 。 设A是一个点态化完备代数正规类， N ， L ， K 及 L C 是A的4个子类： 1) N = { a ∈ A | N ( a ) = a } ； 2) L = { a ∈ A | L ( a ) = a } ； 3) K = { a ∈ A | K ( a ) = a } ； 4) L C = { a ∈ A | L C ( a ) = a ( a ) = a } 。则： 定理4.6： ∀ a ∈ A ： 1) 存在 N ( a ) ⊲ a ，且 N ( a / N ( a ) ) = 0 ； 2) 存在 L ( a ) ⊲ a ，且 L ( a / L ( a ) ) = 0 ； 3) 存在 K ( a ) ⊲ a ，且 K ( a / K ( a ) ) = 0 ； 4) 存在 L C ( a ) ⊲ a ，且 。 因此， N ， L ， K 及 L C 都是根类，且 N ≤ L C ≤ L < K 。 证明：首先存在a的理想 N ( a ) ， L ( a ) ， K ( a ) ，及 L C ( a ) 。 1) 因为 N ( a ) = N ( γ ) = N ( γ + 1 ) 。如果 N ( a / N ( a ) ) ≠ 0 ，则 N ( a / N ( a ) ) = k / N ( a ) 且 k ⊲ a ， N ( a ) ≤ k ， N ( a ) ≠ k ，从而 N ( γ + 1 ) = k ，矛盾。所以 N ( a / N ( a ) ) = 0 ； 2) 如果 L ( a / L ( a ) ) ≠ 0 ，则 L ( a / L ( a ) ) = k / L ( a ) 且 k ⊲ a ， L ( a ) ≤ k ， L ( a ) ≠ k ，则由于 k / L ( a ) ， L ( a ) 都是局部幂零的，从而k局部幂零，与 L ( a ) ≠ k 矛盾。所以 L ( a / L ( a ) ) = 0 ； 3) 与2)类似可证； 4) 与1)类似可证。证毕。 定义4.7：根类 N ， L ， K 及 L C 分别称Bear根、Levitzki根、Koethe根和可数Levitzki根。 注2：根类N即是Bear根B [ 16 ] 。 定义4.8： ∀ a ∈ A 。 1) x 0 ， x 1 ， x 2 ， ⋯ 是 S a 中的序列，如果存在是 S a 中的序列 y 0 ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ，使得 x k + 1 ∈ ϕ a ( 〈 x k 〉 〈 y k 〉 〈 x k 〉 ) 且 〈 x k + 1 〉 ≤ 〈 x k 〉 〈 y k 〉 〈 x k 〉 ( k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ )，则称 x 0 ， x 1 ， x 2 ， ⋯ 为一个m-序列； 2) x 0 ， x 1 ， x 2 ， ⋯ 为一个m-序列，如果存在一个k，使得 〈 x k 〉 = 0 ，则称m-序列 x 0 ， x 1 ， x 2 ， ⋯ 消失； 3) x ∈ S a ，如果所有以x开始的m-序列都消失，则称x是强幂0元； 4) M ⊆ S a ，如果 ∀ x ， y ∈ M ，都存在 z ∈ M ，使得 〈 x 〉 〈 z 〉 〈 y 〉 ⊆ M ，则称M是一个m-系统。 引理4.9： ∀ a ∈ A ， d ， e ⊲ a ， x 0 ， x 1 ， x 2 ， ⋯ 为一个m-序列。如果 x i ∈ ϕ a ( d ) ， x j ∈ ϕ a ( e ) ，则存在 x k ∈ ϕ a ( d e ) 且 〈 x k 〉 ≤ d e ( i ， j ， k 是整数)。 证明： 〈 x k 〉 ≤ 〈 x j 〉 〈 y j 〉 〈 x j 〉 ≤ 〈 x j − 1 〉 〈 y j − 1 〉 〈 x j − 1 〉 〈 y j 〉 〈 x j 〉 ≤ 〈 x i 〉 〈 y i 〉 〈 x i 〉 ⋯ 〈 y j − 1 〉 〈 x j − 1 〉 〈 y j 〉 〈 x j 〉 ≤ 〈 x i 〉 a 〈 x j 〉 ≤ 〈 x i 〉 〈 x j 〉 ≤ d e 。证毕。 引理4.10： ∀ a ∈ A ， b ⊲ a ， a / b 不含非幂0理想， c ⊲ a ， b ≤ c ， b ≠ c ， a / b 不含非0理想。则存在a的素理想p，使得 b ≤ p 各 c ≤ p 。 证明：因为 b ≤ c ， b ≠ c ，因此 ϕ a ( c ) ⊆ ϕ a ( b ) 。选取 x 0 ∈ ϕ a ( c ) 使得 x 0 ∉ ϕ a ( b ) ，则由 a / b 不含非幂零理想，对 ∀ k 有 ( x 0 ) k ≤ b 。因为 ( x 0 ) 3 ≤ a 〈 x 0 〉 a ，故 ∀ k 有 ( a 〈 x 0 〉 a ) k ≤ b ，所以 〈 x 0 〉 a 〈 x 0 〉 ≤ b ，因此存在 y 0 ∈ S a 使得存在 x 1 ∈ ϕ a ( 〈 x 0 〉 〈 y 0 〉 〈 x 0 〉 ) 且 x 1 ∉ ϕ a ( b ) 及 x 1 ∈ ϕ a ( 〈 x 0 〉 〈 y 0 〉 〈 x 0 〉 ) ⊆ ϕ a ( 〈 x 0 〉 a 〈 x 0 〉 ) ⊆ ϕ a ( c a c ) ⊆ ϕ a ( c ) 。用 x 1 代替 x 0 重复以上过程可得 x 2 ∈ ϕ a ( 〈 x 1 〉 〈 y 1 〉 〈 x 1 〉 ) 且 x 2 ∉ ϕ a ( b ) 及 x 2 ∈ ϕ a ( c ) ，进而可得 ϕ a ( c ) 在m-序列 X = { x 0 ， x 1 ， x 2 ， ⋯ } 且 ∀ k ， x k ∉ ϕ a ( b ) 。由Zorn引理存在满足条件 b ≤ p ， X ⊆ ϕ a ( c ) 及 X ∩ ϕ a ( p ) = Ø 的极大理想p，下面仅证明p是a的素理想。设 d ， e ⊲ a ， d ≤ p ， e ≤ p ，则 ϕ a ( d ∨ p ) ∩ X ， ϕ a ( e ∨ p ) ∩ X 都非空，所以存在 x i ∈ ϕ a ( d ∨ p ) ， x j ∈ ϕ a ( e ∨ p ) ，进而由引理4.9存在正整数n，使得 〈 x n 〉 ≤ ( d ∨ p ) ( e ∨ p ) = d e ∨ p ，故 d e ∨ p ≤ p ，所以p是a的素理想。证毕。 定理4.11： ∀ a ∈ A ，B是Bear根，则有： 1) B ( a ) = ∧ { p ⊲ a | p 是素理想} [ 16 ] ； 2) B ( a ) = ∨ { 〈 x 〉 | x ∈ S a ，每个以x开始的m-序列都消失} = ∨ { 〈 x 〉 | x ∈ S a ，x是强幂0元}； 3) B ( a ) = ∨ { 〈 x 〉 | x ∈ S a ，每个含x的m-序列都包含0}。 证明：2)与3)等价，下面只证2)。 设 x ∈ S a ， x ∉ ϕ a ( B ( a ) ) ，则 ∀ k ，有 ( x ) k ≤ B ( a ) 。因为 ( x ) 3 ≤ a ( x ) a ，因此 ∀ k ， ( a ( x ) a ) k ≤ B ( a ) ，因此 ( a ( x ) a ) 3 ≤ B ( a ) ，从而 a ( x ) a ≤ B ( a ) 。从而存在 x 1 ， y 1 ∈ S a 满足 〈 x 1 〉 〈 y 1 〉 〈 x 1 〉 ≤ B ( a ) ，故存在 x 2 ∈ ϕ a ( 〈 x 1 〉 〈 y 1 〉 〈 x 1 〉 ) 满足， 〈 x 2 〉 ≤ B ( a ) ，即 x 2 ∉ ϕ a ( B ( a ) ) 。类似，可得 x i ， y i ∈ S a ， x i ∈ ϕ a ( 〈 x i − 1 〉 〈 y i − 1 〉 〈 x i − 1 〉 ) 且 x i ∉ ϕ a ( B ( a ) ) ，即 x = x 0 ， x 1 ， x 2 ， ⋯ 为一个不消失的m-序列。 设 x ∈ S a ， x ∈ ϕ a ( B ( a ) ) ， x 1 ， x 2 ， x 3 ， ⋯ 为一个m-序列，则 ∀ i ， x i ∈ ϕ a ( B ( a ) ) 。设 α i 是使得 x i ∈ N ( α i ) 的一个极小序数，则 α i 不是极限序数。设 α k 是所有 α i 的极小序数。如果 α k ≠ 0 则 α k = β + 1 ，从而对某个指数 2 k 有 ( x k ) 2 k ≤ N ( β ) 。因为 〈 x k + 1 〉 ≤ 〈 x k 〉 〈 y k 〉 〈 x k 〉 ≤ 〈 x k 〉 2 及 〈 x k + 2 〉 ≤ 〈 x k + 1 〉 〈 y k + 1 〉 〈 x k + 1 〉 ≤ 〈 x k 〉 4 ，因此有 〈 x k + l 〉 ≤ 〈 x k 〉 2 k ≤ N ( β ) 。这与 α k 的极小性矛盾，所以 α k = 0 ，所以 〈 x k 〉 = 0 。 综上， B ( a ) = ∨ { 〈 x 〉 | x ∈ S a ，每个以x开始的m-序列都消失}。证毕。