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user: 2. 引理及结论证明 引理1 [ 13 ]。设 a ( n ) ， b ( n ) 为非负序列且其上下界为正，进一步假设正序列 { x ( n ) } 满足 x ( n + 1 ) ≥ x ( n ) exp { a ( n ) − b ( n ) x ( n ) } ， n ≥ N 0 ， N 0 ∈ N 和 lim sup n → + ∞ x ( n ) ≤ x ∗ ，则 lim inf n → + ∞ x ( n ) ≥ min { a L b U exp { a L − b U x ∗ } ， a L b U } . 引理2 [ 12 ]。若 A > 0 ，   y ( 0 ) > 0 且 y ( n + 1 ) ≤ A y ( n ) + B ( n ) ，   n = 1 ， 2 ， ⋯ ，则 y ( n ) ≤ A k y ( n − k ) + ∑ i = 0 k − 1 A i B ( n − i − 1 ) ，   k ≤ n . 进一步地，若 A < 1 且B有上界M，则 lim inf n → + ∞ y ( n ) ≥ M 1 − A 。 引理3 [ 12 ]。若 A > 0 ，   y ( 0 ) > 0 且 y ( n + 1 ) ≥ A y ( n ) + B ( n ) ，   n = 1 ， 2 ， ⋯ ，则有 y ( n ) ≥ A k y ( n − k ) + ∑ i = 0 k − 1 A i B ( n − i − 1 ) ，   k ≤ n . 进一步地，若 A < 1 且B有下界m，则 lim inf n → + ∞ y ( n ) ≥ m 1 − A 。 引理4 [ 1 ]。系统(1)的任一正解 ( x 1 ( n ) ， x 2 ( n ) ， u 1 ( n ) ， u 2 ( n ) ) T 满足： lim sup n → + ∞ x i ( n ) ≤ exp ( r i U − 1 ) a i L ≜ M i ， lim sup n → + ∞ u i ( n ) ≤ M i d i U e i L ≜ W i ，   i = 1 ， 2. 引理5。若(H 1 ) r 1 L α 1 L > ( b 1 U − r 1 L γ 1 L ) M 2 成立，则对系统(1)的任一正解 ( x 1 ( n ) ， x 2 ( n ) ， u 1 ( n ) ， u 2 ( n ) ) T ，有 lim inf n → + ∞ x 1 ( n ) ≥ m 1 ， lim inf n → + ∞ u 1 ( n ) ≥ w 1 ，这里 m 1 ， w 1 > 0 为常数。 证明根据引理4，对 ∀ ε > 0 ， ∃   N 1 > 0 ，当 n ≥ N 1 时，有 x i ( n ) ≤ M i + ε ≜ M i ε ， u i ( n ) ≤ W i + ε ≜ W i ε ， i = 1 ， 2. 结合(H 1 )，对上面的 ε > 0 ，存在足够小的 ξ 1 > 0 ，满足 r 1 L α 1 L − ( b 1 U − r 1 L γ 1 L ) M 2 ε > ξ 1 . (3) 由系统(1)的第一个方程及(3)式可得，若 n ≥ N 1 ，则有 x 1 ( n + 1 ) ≥ x 1 ( n ) exp { r 1 L − a 1 U M 1 ε − b 1 U M 2 ε α 1 L − c 1 U W 1 ε } ≥ x 1 ( n ) exp { − a 1 U M 1 ε − b 1 U M 2 ε α 1 L − c 1 U W 1 ε } ≜ x 1 ( n ) exp { Q 1 ε } ， (4) 其中 Q 1 ε = − a 1 U M 1 ε − b 1 U M 2 ε α 1 L − c 1 U W 1 ε < 0 。对 ∀ k ≤ n 来说，根据(4)式可得， ∏ j = n − k n − 1 x 1 ( j + 1 ) x 1 ( j ) ≥ ∏ j = n − k n − 1 exp { Q 1 ε } = exp { k Q 1 ε } 即 x 1 ( n − k ) ≤ x 1 ( n ) exp { − k Q 1 ε } . (5) 根据系统(1)可知 u 1 ( n + 1 ) ≤ ( 1 − e 1 L ) u 1 ( n ) + d 1 U x 1 ( n ) ≜ A 1 u 1 ( n ) + B 1 ( n ) ， (6) 这里 A 1 = 1 − e 1 L ，   B 1 ( n ) = d 1 U x 1 ( n ) 。对 ∀ k ≤ n ，结合(5)-(6)式和引理2可得， u 1 ( n ) ≤ A 1 k u 1 ( n − k ) + ∑ i = 0 k − 1 A 1 i B 1 ( n − i − 1 ) = A 1 k u 1 ( n − k ) + ∑ i = 0 k − 1 A 1 i d 1 U x 1 ( n − i − 1 ) ≤ A 1 k u 1 ( n − k ) + d 1 U x 1 ( n ) ∑ i = 0 k − 1 A 1 i exp { − ( i + 1 ) Q 1 ε } . (7) 根据 0 < e 1 L < 1 可知 0 < A 1 < 1 ，故当 k → + ∞ 时，有 0 ≤ A 1 k W 1 ε → 0 。 (8) 固定 N 2 = max { N 1 ， ln E 1 ln A 1 } + 1 ，这里 E 1 = ξ 1 2 c 1 U ( α 1 L + γ 1 L M 2 ε ) W 1 ε ，从而当 n ≥ N 2 时，有 c 1 U A 1 N 2 W 1 ε < ξ 1 2 ( α 1 L + γ 1 L M 2 ε ) . (9) 另一方面，当 n ≥ N 1 + N 2 时，我们可得 u 1 ( n ) ≤ A 1 N 2 u 1 ( n − N 2 ) + d 1 U x 1 ( n ) ∑ i = 0 N 2 − 1 A 1 i exp { − ( i + 1 ) Q 1 ε } ≤ A 1 N 2 W 1 ε + d 1 U x 1 ( n ) ∑ i = 0 N 2 − 1 A 1 i exp { − ( i + 1 ) Q 1 ε } ≜ A 1 N 2 W 1 ε + D 1 ε x 1 ( n ) ， (10) 其中 D 1 ε = d 1 U ∑ i = 0 N 2 − 1 A 1 i exp { − ( i + 1 ) Q 1 ε } 。 结合系统(1)、(3)式和(9)-(10)式可知， x 1 ( n + 1 ) ≥ x 1 ( n ) exp { r 1 L − a 1 U x 1 ( n ) − b 1 U M 2 ε α 1 L + γ 1 L M 2 ε − c 1 U u 1 ( n ) } ≥ x 1 ( n ) exp { r 1 L − a 1 U x 1 ( n ) − b 1 U M 2 ε α 1 L + γ 1 L M 2 ε − c 1 U [ A 1 N 2 W 1 ε + D 1 ε x 1 ( n ) ] } ≥ x 1 ( n ) exp { r 1 L − ( a 1 U + c 1 U D 1 ε ) x 1 ( n ) − b 1 U M 2 ε α 1 L + γ 1 L M 2 ε − c 1 U A 1 N 2 W 1 ε } ≥ x 1 ( n ) exp { ξ 1 2 ( α 1 L + γ 1 L M 2 ε ) − ( a 1 U + c 1 U D 1 ε ) x 1 ( n ) } ≜ x 1 ( n ) exp { F 1 − F 2 ε x 1 ( n ) } ， (11) 其中 F 1 = ξ 1 2 ( α 1 L + γ 1 L M 2 ε ) ， F 2 ε = a 1 U + c 1 U D 1 ε 。借助引理1和上式可得， lim inf n → + ∞ x 1 ( n ) ≥ min { F 1 F 2 ε exp { F 1 − F 2 ε M 1 } ， F 1 F 2 ε } . 取 ε → 0 ，则有 lim inf n → + ∞ x 1 ( n ) ≥ min { F 1 F 2 exp { F 1 − F 2 M 1 } ， F 1 F 2 } ≜ m 1 。 故 ∃   N 3 ≥ N 1 + N 2 ，当 n ≥ N 3 时，我们有 x 1 ( n ) ≥ m 1 2 。 由此及系统(1)易得， Δ u 1 ( n ) ≥ − e 1 ( n ) u 1 ( n ) + m 1 d 1 ( n ) 2 ，   ∀ n ≥ N 3 。 即有 u 1 ( n + 1 ) ≥ ( 1 − e 1 U ) u 1 ( n ) + m 1 d 1 L 2 。再根据引理3可知， lim inf n → + ∞ u 1 ( n ) ≥ m 1 d 1 L 2 e 1 U ≜ w 1 。证毕。 类似地，我们有： 引理6 若(H 2 ) r 2 L α 2 L > ( b 2 U − r 2 L γ 2 L ) M 1 成立，则对系统(1)的任一正解 ( x 1 ( n ) ， x 2 ( n ) ， u 1 ( n ) ， u 2 ( n ) ) T ，有 lim inf n → + ∞ x 2 ( n ) ≥ m 2 ， lim inf n → + ∞ u 2 ( n ) ≥ w 2 ，这里 m 2 ， w 2 > 0 为常数。 结合引理5和6可推得定理B成立。