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user: 2. 主要结果 2.1. 两个奇异点的数学模型 记号 ， ， ， ， ， ， ， ， 。 问题1 (两个奇异点的数学模型)求 使其满足 (1) 其中： 是区域 内的非负连续函数。 定义1若函数 在区域 内连续有界，但 在 内的某点 一阶左、右导数 ，则称 为函数 的奇异点。 定义2在区域 内具有多个(或单个)奇异点的数学模型的解称为弱解；弱解是区域 内的连续有界正解。 问题1的求解需同时求解(弱解) 和其奇异点 。 问题1的求解： 齐次尤拉方程有形如 的特解，将其代入尤拉方程，得到特征方程 (2) 它有两个根，记为 (3) 其中 。 易知 (4) 故方程的通解为 (5) 其中 为任意常数。由边界条件 推岀 ，由边界条件 得到 ，从而 (6) 由(6)和边界条件， 得到 (7) 完全类似的，得到 (8) (9) 再求 由边界条件 有 这是关于 的非齐次线性方程组，由克莱姆法则即得 于是有 (10) 由条件 和正解条件，必须要求 (11) 定理1 (问题1连续有界正解的存在定理)当 ， 时，问题1的解存在唯一，且可表出 (12) (13) 或 (14) 定理2 (问题1连续有界正解性质定理)问题1连续有界正解 ；有 ， 。 证明：由问题1的解在区间 中的表达式： ，有 ，又 ， 在区间 中 ， 单调增加，故 ： 由问题1的解在区间 的表达式： ，有 ，又 ， 在区间 中 ， 单调减少，故 。 定义3若函数 ；在区域 内点 处取最大值 ，则称点 为函数 的最佳实施边界，简称最佳实施点。 定理3 (问题1连续有界正解最佳实施点排除定理)若 ，问题1连续有界正解 ，则 1) 当 时，奇异点 不是最佳实施点； 2) 当 时，奇异点 不是最佳实施点； 3) 当 时，奇异点 不是最佳实施点；当 ，奇异点 不是最佳实施点。 证明：由 易知，当 时， ， ， ， ， 不是在区域 的最大值，从而 点不是最佳实施点。 当 时， ， ， ， 不是在区域 的最大值， 点不是最佳实施点。当 ， 时， ， ， ，有 ， 点不是最佳实施点；当 时， 有 ， 点不是最佳实施点。 即一般情况下两个奇异点 不一定是最佳实施点。 推论1若 ，则问题1的连续有界正解 (15) 且 1) 当且仅当 ，有 (16) 2) 当且仅当 ， ，有 (17) 3) 当且仅当 ， ，有 (18) 证明由(12)，(13)易得。 问题2.1求 使得 (19) 问题2.2求 使得 (20) 问题2.3求 使得 (21) 推论2当 时，问题2.1，问题2.2与问题2.3三个自由边界问题都有解，问题2.1的解 (22) 问题2.2的解 (23) 问题2.3的解 (24) 且有 。 定义4称问题2.1为左自由边界问题，它的自由边界 称为左自由边界点；称问题2.2为右自由边界问题，其自由边界 称为右自由边界点。 推论3若 ，左、右自由边界问题都有解。左自由边界问题的解 且满足 (25) 1) 当 ， (26) 2) 当 ， (27) 右自由边界问题的解 ，且满足 (28) 1) 当 ， (29) 2) 当 ， (30) 定义5 左自由边界点 ，右自由边界点 ，若有 ，则称右自由边界点 比左自由边界点 优，称右自由边界点 为较佳实施边界点：若有 ，则称左自由边界点 比右自由边界点 优，称左自由边界点 为较佳实施边界点。 推论4若 ，则左、右自由边界问题都有解， ， 且 1) 当且仅当 ，有 (31) 2) 当且仅当 ，有 (32) 3) 当且仅当 ，有 (33) 推论5若 ，则左、右自由边界问题都有解。此时 ，且 1) 当且仅当 ， ， ，有 ， ， ， ， ， 。 2) 当且仅当 ， ， ，有 ， ， ， ， ， ；若 ，则 ， ，有 ；若 ， ，则 ， ，有 。 3)当且仅当 ， ， ，有 ， ， ， ， ， 。 证明：由推论4，即有1)，3)成立。由推论4有当且仅当 ， ， ，有 ， ， ， ， ， 易证 有 ，让 ，则有 ，从而 。易证当 ， ，则有 ，从而 。 故2)成立。 推论6设左、右自由边界问题都有解，且左、右自由边界点 ，若左、右自由边界问题的两个解可以连续开拓到 的同一个连续有界函数 (即存在连续有界函数 ，满足 和 )，则必有 。反之，若左、右自由边界问题都有解，且 ，则必存在连续有界函数 是左、右自由边界问题的解的连续开拓。 证明：若存在连续有界函数 ，满足 和 ；则 在区间 中 ， 单调增加，故 ； 在区间 中 ， 单调减少，故 。若 ，则 ，推出 ；同时 ，又推出 。于是应有两式 同时成立，矛盾。从而必有 。反之，若左、右自由边界问题都有解，且 ，显然存在连续有界函数 是这两个解的连续开拓。 推论7若左、右自由边界问题都有解，且左、右自由边界点 ，连续有界函数 是它们的一个连续开拓，则 1) 当 或 时，左自由边界点 比右自由边界点 优。 2) 当 或 时，右自由边界点 比左自由边界点 优。 证明：由定理3即得。 即分别考虑左、右自由边界问题，若左、右两个自由边界点 ，自由边界 或 不一定是最佳实施点。 定理4 (自由边界点与最佳实施点关系定理)设左、右自由边界问题都有解，且左、右自由边界点 ，左、右自由边界问题解的连续开拓为 ，则 1) 若 ，左自由边界点 和右自由边界点 皆不是该连续开拓 的最佳实施点；当 ，或 时，左自由边界点 是该连续开拓 的较佳实施点；当 ，或 时，右自由边界点 是该连续开拓 的较佳实施点。 2) 若 ，当 ，或 时，左自由边界点 是该连续开拓 的最佳实施点；当 ，或 时，右自由边界点 是该连续开拓 的最佳实施点。 下面我们考虑左、右两个自由边界点 的条件。当 ，问题1即演变成单个奇异点的数学模型。 2.2. 单个奇异点的数学模型 问题3 (单个奇异点的数学模型)求 使其满足 (34) 定理5 (问题3连续有界正解的存在定理)当 ， 时，问题3的解存在唯一，且可表出 ， (35) 定义6函数 在 点一阶左，右导数之差 ，称 为 在 点的跳跃度。 我们已在 [ 4 ] 中得到 ， ， 三者中任一个确定其它两个；问题3连续有界正解也可由 表示，即有 定理6 (问题3连续有界正解的不同表示定理)当 ， ，问题3连续有界正解存在，且有精确解的表达式 (36) 或 (37) 定理7 (问题3连续有界正解性质定理)问题3连续有界正解 且解在奇异点 处取正的最大值 ；奇异点 就是永久美式期权最佳实施边界点。 证明：由(37)式解在区间 中的表达式： ，有 ， 在区间 中 ， 单调增加，故 ： 由(37)式解在区间 的表达式： ，有 ， 在区间 中 ， 单调减少，故 。 推论8当 ， 时，左、右两自由边界问题都有解，且 ，左自由边界问题的解 (38) 右自由边界问题的解 (39) 定理8 (三点合一定理)当 ， 时，左、右两自由边界点都等于奇异点 ，此时左、右自由边界点 都是永久美式期权最佳实施边界点。 推论9若 ， ，则 1) 当 时，有 (40) 2) 当 时，有 (41) 证明：参见 [ 4 ] 。 奇异点 和弱解的最大值 构成二维点 ，由 的取值唯一确定。由推论9即知二维点 所属集合 1) 当 时， ； 2) 当 时， 。 推论10问题3 (单个奇异点的数学模型)与 [ 4 ] 中问题2 (单个奇异点的基本解数学模型)是等价的。 证明：参见 [ 4 ] 中在广义函数空间关于基本解的推导即得。 从而研究问题3 (单个奇异点的数学模型)与 [ 4 ] 中问题2所得结果完全一致。 2.3. 求解多个奇异点的数学模型的特征函数法 问题4 (多个奇异点的数学模型) (42) 其中： 为狄拉克d-函数， 为奇异点， ， 。 等价于标准形式 (43) 其中： 为狄拉克d-函数， 为奇异点， ， ； 微分算子 问题4的求解： 先考虑特征值问题 (44) 这是关于尤拉方程在半无界区间的奇异施图姆-刘维尔问题。 尤拉方程的特解形式为 ，代入方程即有 特征根 即有 于是得到特征值 (45) 特征函数 (46) 特征函数系是半无界区域 上带权函数 的完备正交系。由于 即知特征函数系是半无界区域 上带权函数 的正交系。正交关系 (47) 定义在 的连续函数 可以展为特征函数的积分形式 (48) 由正交关系 (49) 由(48)，(49)这一对关系可以引入广义特征函数法 [ 5 ] 求解问题4。由(48)将问题4的解表为 (50) 由(49)则有 (51) (52) (53) (54) 将(53)，(54)两式代入(43)中方程则有 于是 (55) (56) 将上式代入(50)式即有 (57) 再将(45)，(46)，(53)式代入(57)式 由傅立叶积分变换公式 即知 (59) 定理9若 ， ，则问题4的精确解为 (60) 若该解还满足内边界条件 (61) 则应有相容条件 (62) (63) 记 则有 (64) (65) 附注1定理9中条件 即知，(60)式表示的不一定是正解，若在条件 下，则一定是正解。 问题5 (多个奇异点的数学模型)求 使得 记号 定理10当 ，且 ，满足条件 则问题5存在连续有界正解 ，且可表为 (73) 证明由问题4的解，记为 (74) 则 满足问题5中(66)，(69)两式，由(71)，(72)，(73)三式即有 ，且 (75) 1) 由 ，有 ， (76) (77) (78) (79) 由(71)，(72)，(73)三式即有 (80) 从而 (81) 2) (82) (83) (84) 由(82)有 (85) 由(71)，(72)，(73)三式即有 (86) 即有 (87) 由(81)，(87)两式即 满足条件(67)和(68)，为问题5的解。 左自由边界问题5.1求 使得 (88) 定理11当 ，且 ，满足条件 (89) 则左自由边界问题5.1存在连续有界正解 ，且可表为 (90) 且满足 (91) 推论11当自由边界问题2.1中 ， ，则存在连续有界正解 ，且可表为 (92) 右自由边界问题5.2求 使得 (93) 定理12当 ，且 ，满足条件 (94) 则右自由边界问题5.2存在连续有界正解 ，且可表为 (95) 且满足 (96) 推论12当自由边界问题2.2中 ，则存在连续有界正解 ，且可表为 (97) 附注2问题5连续有界正解 ， ， ， 。问题5连续有界正解是左自由边界问题题5.1与右自由边界问题5.2的解的连续开拓，若 ，则有左、右两个自由边界点 ，自由边界 或 不一定是最佳实施点。 附注3由定理11与推论11的结论可知，左自由边界问题5.1与左自由边界问题2.1有差异很大的解。由定理12与推论12的结论可知，右自由边界问题5.2与右自由边界问题2.2也有差异很大的解。