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user: 3. 互相关性检测与分析 3.1. 互相关波动函数幂律关系检测 首先检测14个市州城镇与农村之间的人均收入的分形标度行为。一般地，如果两个时间序列具有互相关性，则它们的q阶互相关波动函数 F x y ( q ， L ) 与时滞L具有幂律关系，这表现为 F x y ( q ， L ) 与L在双对数图中呈现较好的线性关系 [ 19 ]。经分析，我们发现14个市州的q阶互相关波动函数 F x y ( q ， L ) 与时滞L均具有良好的幂律关系。以长沙市和湘西自治州为例，如图1所示，在不同的波动区间(q值从0.4~2，以0.4的步长)城镇与农村的人均收入的q阶互相关波动函数 F x y ( q ， L ) 与时间间隔L具有幂律关系，表示长沙市和湘西自治州的城镇与农村的人均收入具有较好的线性关系。 Table 1 Basic statistics of per capita disposable income in various regions of Hunan Provinc 均值 标准差 极差 偏度 峰度 变异系数 城镇 湘北 16，404.8569 5208.8843 15，652.1200 0.1710 −1.2340 0.3175 湘南 16，602.3686 5721.2626 17，058.2000 0.1590 −1.2920 0.3446 湘西 13，617.5116 4919.2397 14，502.4300 0.2620 −1.2300 0.3612 湘东 22，841.3914 8910.9819 26，126.8400 0.2510 −1.3130 0.3901 湘中 15，771.2609 5726.1444 16，774.2600 0.2520 −1.2720 0.3631 农村 湘北 6557.7926 3084.0709 8763.8700 0.5270 −1.2410 0.4703 湘南 6675.0845 3308.0131 9098.2600 0.5690 −1.3060 0.4956 湘西 4194.7809 1974.2316 5656.4300 0.5900 −1.0850 0.4706 湘东 10，919.1292 5436.0216 15，299.9600 0.3700 −1.4100 0.4978 湘中 6290.4995 3076.1138 8716.6900 0.6270 −1.1620 0.4890 表1. 湖南省各区域人均收入基本统计情况 图1. 长沙(a)、湘西自治州(b)的 F x y ( q ， L ) 与L的双对数图 3.2. 波动差异与时滞的关系 在本节中，我们关注每个城市的城镇和农村人均收入之间的波动趋势的差异，为此，我们利用(6)式定义的 Δ F ( q ， L ) 来定量描述各个城市的城镇和农村人均收入的q阶波动函数的差异。我们选取了两个q值(q = 0.4和q = 2)来分别考察小波动区间和大波动区间的情况。作为例子，图2(a)为长沙、岳阳、娄底、湘西自治州的小波动区间的 Δ F ( q ， L ) ，图2(b)为大波动区间的情形。 从图2可以看出，图中长沙市与岳阳市不论在小波动区间还是大波动区间其波动函数的差距均小于0.5，说明长沙市与岳阳市的城镇与农村的人均收入的波动变化差异较小，并且长沙不论在小波动区间还是在大波动区间中，其波动函数的差距均低于岳阳市的，说明长沙市的城镇与农村的人均收入的波动变化差异较岳阳市要平稳。娄底市在小波动区间中，波动函数差距有部分超出0.5，但在大波动区间中，波动函数的差距均大于0.5，说明娄底市的城镇与农村的人均收入的波动变化规律在大波动区间内有着较大差异，在小波动区间差异不是特别大。湘西自治州的波动函数不论是在小波动区间还是在大波动区间中，其波动函数均大于0.6，说明湘西自治州的城镇与农村之间的波动差异是较大的，并且在小波动区间的低阶时滞以及大波动区间下，波动函数的差距均大于0.9。由此可以看出越不发达的地区城镇与农村之间的波动差异越大。 图2. 长沙、岳阳、娄底、湘西自治州的小波动区间及大波动区间的 Δ F ( q ， L ) 3.3. 各市州及区域人均收入差异的相关分析 本节我们分别考区域之间城镇人均收入和农村人均纯收入的相关性。为此，我们先构建一个统计量来检验两个序列之间是否存在显著的交叉相关。 建立零假设：H0：两个序列阶不存在互相关性； 备择假设：H1：两个序列阶存在互相关性。 计算 ρ q ( L ) ，再计算得到95%置信度下的临界值 ρ 0 ( L ) ，再考察 ρ q ( L ) 与 ρ 0 ( L ) 的大小关系。若 ρ q ( L ) > ρ 0 ( L ) 则拒绝原假设，认为两个时间序列之间存在显著的交叉相关性。具体地，为了获取不同时间尺度L下的95%置信度的临界值 ρ 0 ( L ) ，首先生成10，000对独立的零均值单位方差的高斯分布随机变量，使得概率分布的概率函数位于 ( − ρ 0 ， ρ 0 ) 之间的积分结果等于0.95，并记录此时的 ρ 0 。 最后，分别对于不同区域之间的序列，利用(7)式计算得到区域内部或区域之间的 ρ q ( L ) 与临界值进行比较。如果 ρ q ( L ) < ρ 0 ( L ) 则说明区域内部或区域之间农村或城市的互相关是统计不显著的，反之，其间的互相关是统计显著的。 3.3.1. 各市州农村与城镇人均收入的相关性 依据上述理论，根据(7)式计算出各市州农村与城镇之间的 ρ q ( L ) ，由于图形过多，此处不一一画出，选择长沙市、湘西自治州、娄底市、株洲市作出其农村与城镇相关性及其显著性，如图3所示，空心曲面表示临界值，在该曲面上方表示具有显著的互相关性。 从图3可以看出，长沙市和株洲市的城镇和农村的人均收入不论在小波动区间还是在大波动区间中均具有高度互相关性，湘西自治州和娄底市在大波动区间范围内，农村与城镇的人均收入具有高度互相关性，在小波动范围中，当处于小时滞时，农村与城镇的人均收入具有高度互相关性，处于较大时滞时，农村与城镇的人均收入的互相关性不明显。作出其余各市州在小波动范围及大波动范围的 ρ q ( L ) 值，如表2、表3所示。 图3. 长沙、娄底、株洲、湘西的城镇与农村收入的互相关系数，空心曲面表示临界值 Table 2 ρq(L) (q = 0.2) values of small fluctuation intervals in 14 cities 城市\时滞L 2 3 4 5 6 长沙市 0.9988 0.9385 0.9991 0.9974 0.9993 株洲市 0.9994 0.9474 0.9993 0.9938 0.9992 湘潭市 0.9992 0.9952 0.9989 0.9979 0.9993 衡阳市 0.9983 0.9319 0.9983 0.9377 * 0.9984 邵阳市 0.9111 0.9938 0.9128 0.9861 * 0.9953 岳阳市 0.9337 0.8871 0.885 0.8814 * 0.9911 常德市 0.9951 0.9111 0.9957 0.9011 * 0.9970 张家界市 0.9187 0.9002 0.9917 0.8816 * 0.9932 益阳市 0.9194 0.8778 0.8755 0.8700 * 0.9806 郴州市 0.9194 0.9083 0.9933 0.8873 * 0.9949 永州市 0.9026 0.8760 0.8640 0.8694 * 0.8589 * 怀化市 0.9997 0.9995 0.9997 0.9973 0.9994 娄底市 0.7890 0.8432 0.7331 * 0.8255 * 0.9529 * 湘西自治州 0.9243 0.8932 0.9854 0.8664 * 0.9770 表2. 14个市州在小波动范围中的ρ q (L)值 注：表中标*表示ρ 0.2 (L)小于临界值，即为不显著。 在大波动范围内，14个市州的 ρ 2 ( L ) 均大于 ρ 0 ( L ) ，说明各个市州农村与城镇的人均收入具有高度互相关性，在小波动范围内，当时滞L = 5时，大部分城市的农村与城镇的人均收入不具有显著相关性，时滞L为其他值时还是具有较高显著的互相关性的。 Table 3 ρq(L) (q = 2) values of large fluctuation intervals in 14 citie 城市\时滞L 2 3 4 5 6 长沙市 0.9975 0.9984 0.9986 0.9985 0.9978 株洲市 0.9976 0.9984 0.9987 0.9986 0.9981 湘潭市 0.9986 0.9991 0.9988 0.9979 0.9963 衡阳市 0.9964 0.9973 0.9974 0.9972 0.9960 邵阳市 0.9896 0.9898 0.9895 0.9892 0.9858 岳阳市 0.9797 0.9824 0.9856 0.9866 0.9789 常德市 0.9920 0.9933 0.9935 0.9936 0.9906 张家界市 0.9901 0.9904 0.9886 0.9874 0.9812 益阳市 0.9747 0.9785 0.9820 0.9826 0.9724 郴州市 0.9872 0.9892 0.9889 0.9873 0.9811 永州市 0.9717 0.9755 0.9780 0.9782 0.9659 怀化市 0.9966 0.9978 0.9983 0.998 0.9985 娄底市 0.9476 0.9484 0.9491 0.9452 0.9207 湘西自治州 0.9840 0.9856 0.9831 0.9788 0.9695 表3. 14个市州在大波动范围中的ρ q (L)值 注：表中标*表示ρ 2 (L)小于临界值，即为不显著。 3.3.2. 各城市群之间人均收入的相关性 通过表1可以看出，湘中、湘南、湘北具有相近的趋势，为此，我们将湘东划分为I区，将湘中、湘南、湘北划分为II区，将湘西划分为III区，然后根据(7)式计算出III个区域农村与城镇之间的 ρ q ( L ) ，然后，比较 ρ q ( L ) 与临界值 ρ 0 ( L ) 的大小。3个区域间每两个区域之间农村和城镇的相关性及其显著性如图4和图5所示，其中空心曲面表示临界值，在该曲面上方表示具有显著的互相关性。 从图4和图5可以看出，不论是农村还是城镇，任意两个区域之间的互相关系数 ρ q ( L ) 均明显的大于临界值 ρ 0 ( L ) 。由于14个市州均隶属湖南省，其政策对各个市州的影响大体相同，故其发展方向也会趋同，不难解释区域之间具有显著的互相关性。