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user: 2. 研究模型 假设 t 表示时间变量，当表示离散型时间变量时， t = 0 ， 1 ， ⋯ ， t ， ⋯ ， T ；当表示连续型时间变量时， t ∈ [ 0 ， T ] ，日时间区间为 [ t − 1 ， t ] 。假设离散型、连续型时间变量具有同样的意义，今后将不加区别。 假设 p t 表示金融市场上的股票价格指数， r t 表示与股票价格指数所对应的股票收益指数，那么，股票收益指数 r t 将由下式定义： r t = { p t p t − 1 ，         t = 2 ， ⋯ ， t ， ⋯ ， T 1 ，                   t = 1 ;   p 1 = p 0 (1) 这里，股票收益指数 r t 是一个时间序列变量。显然，如果 p t > p t − 1 ，则 r t > 1 ，表示股票价格上涨；如果 p t < p t − 1 ，则 r t < 1 ，表示股票价格下跌；如果 p t = p t − 1 ，则 r t = 1 ，表示股票价格不变。股票收益指数 r t 将围绕曲线 r t = 1 上下波动。 如果股票收益指数 r t 是一个平稳时间序列，其均值为 μ 0 ，方差为 σ 0 2 ，时间变量 t ∈ [ 1 ， ⋯ ， T ] ，那么，时间序列 r t 与其 k 阶滞后序列之间的自协方差可以定义为： γ k = C o v ( r t ， r t − k ) = E ( r t − μ 0 ) ( r t − k − μ 0 ) (2) 那么，时间序列 r t 与其 k 阶滞后序列之间的自相关系数可以定义为(Tsay， 2005) [ 17 ] ： ρ k = γ k γ 0 = C o v ( r t ， r t − k ) V a r ( r t ) = E ( r t − μ 0 ) ( r t − k − μ 0 ) E ( r t − μ 0 ) 2 (3) 如果零假设条件为 H 0 : ρ 1 = ρ 2 = ⋯ = ρ m = 0 ，表示不存在自相关性；非零备择假设 H a : ρ i ≠ 0 ， i ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， m } ，表示存在自相关性。统计量 Q ( m ) 被专门用来检验时间序列 r t 是否存在自相关性(Ljung & Box，1978) [ 18 ] ： Q ( m ) = T ( T + 2 ) ∑ k = 1 m ρ k 2 T − k (4) 如果统计量 Q ( m ) > χ α 2 ，那么，就拒绝零假设 H 0 : ρ 1 = ρ 2 = ⋯ = ρ m = 0 ，表示存在自相关性。这里： χ α 2 表示 χ 2 分布， α 表示显著性概率水平， m 表示自由度。当使用Eview统计软件进行检验时，统计检验条件 Q ( m ) > χ α 2 与显著性概率水平 p ≤ α 一致，所以，一般地，只要统计量 Q ( m ) 检验的概率值小于1%、5%、10%，就可以拒绝假设 H 0 而接受假设 H a 。 如果股票收益指数 r t 是一个自相关时间序列，没有单位根，那么，就适合采用自回归(AR)模型作为预测模型。假设AR自回归模型具有形式 r t = μ t + a t ，对于滞后阶数 p 的选择，可以根据回归过程按照AIC信息准则选取。其中， μ t = ϕ 0 + ϕ 1 r t − 1 + ⋯ + ϕ p r t − p 表示自相关模型的期望值， E ( r t ) = μ t 。误差项 a t 具有均值 E ( a t ) = 0 ，动态方差由GARCH(1，1)确定， V a R ( a t ) = σ t 2 = ω + α a t − 1 2 + β σ t − 1 2 ，且 a t = σ t ε t ， ε t ~ N ( 0 ， 1 ) 。 一般地，为了提高预测精度，大多数人喜欢采用移动平均模型(MA)来处理误差项，为此而采用ARMA模型。由于MA模型无论如何处理，其原始模型的误差项 a t 并没有改变，所以，我们将试图通过差分模型来提高预测模型的精度。 为了对误差项进行差分处理，需要做一些变换。假设变量 q t = F ( a t ) ∈ [ 0 ， 1 ] 表示随机误差变量 a t 的累积概率函数，它的反函数满足 a t = F − 1 ( q t ) ∈ ( − ∞ ， + ∞ ) 。为了满足概率函数极限值要求，可以定义概率函数为如下形式： F ( x ) = 1 1 + e − x ，   ∀ x ∈ ( − ∞ ， ∞ ) ，   lim x → − ∞ F ( x ) = 0 ，   lim x → ∞ F ( x ) = 1 ，   F ( x ) ∈ ( 0 ， 1 ) (5) 我们的目的就是要把对于误差项 a t 的讨论，转化成对于其概率值 q t 的讨论，从而通过对于概率值 q t 的差分运算和模型预测，实现提高误差项 a t 的预测精度的目的。 为了实现对于概率值 q t 的预测，我们希望求出条件期望值 E ( q t | F t − 1 ) 。由于概率值 q t 来自于自回归模型的误差项，它的取值与许多未知因素有关，所以，预测很困难。不同类型的投资者，例如风险厌恶型、风险喜爱型、风险折中型，他们对于条件期望值 E ( q t | F t − 1 ) 的预测可能低于50%、高于50%、或者等于50%。为了解决这个问题，我们将尝试使用差分方法来处理条件期望值 E ( q t | F t − 1 ) 。 对于概率变量 q t ，其一阶差分可以表示为 d q t = q t − q t − 1 ，二阶差分可以表示为 d 2 q t = d q t − d q t − 1 ，依此类推，n阶差分可以表示为 d n q t = d n − 1 q t − d n − 1 q t − 1 。如果考虑差分运算的逆运算，就有 d n − 1 q t = d n − 1 q t − 1 + d n q t ，依此类推， d q t = d q t − 1 + d 2 q t ， q t = q t − 1 + d q t 。所以，按照差分模式，就有一般形式： q t = q t − 1 + d q t − 1 + d 2 q t − 1 + ⋯ + d n − 1 q t − 1 + d n q t (6) 这里，n是差分项最大阶数。以上关系式是一个恒等式，其前n项是已知的，只有最后一项 d n q t 是未知项。假如未知项 d n q t 可以用前面的已知项进行预测，即： d n q t = π t + υ t (7) 其中，主要部分 π t 可以表示为： π t = α 0 + α 1 d q t − 1 + ⋯ + α n − 1 d n − 1 q t − 1 + β 1 d n q t − 1 + β 2 d n q t − 2 + ⋯ + β l d n q t − l (8) 所以，概率变量 q t 可以表示为： q t = q t − 1 + d q t − 1 + d 2 q t − 1 + ⋯ + d n − 1 q t − 1 + π t + υ t (9) 这里， υ t 是以上回归模型的误差项，l是未知项 d n q t 的滞后阶数。在实际验证过程中，我们将尝试给l赋予不同的滞后阶数值，来测试l滞后阶数的选取对于预测精度的影响。 如果得到了概率变量 q t 的预测值 q ′ t = q t − 1 + d q t − 1 + d 2 q t − 1 + ⋯ + d n − 1 q t − 1 + π t ，那么，就可以通过下式获得自相关AR模型的误差项 a t 的预测值 a ′ t ： a ′ t = F − 1 ( q ′ t ) = − ln ( 1 q ′ t − 1 ) (10) 这样，再通过AR自相关模型，就可以得到股票收益指数 r t 的预测值为： r t = μ t + a ′ t + η t (11) 其中，误差项 η t 是比误差项 a t 更小的一个误差项； r ′ t = μ t + a ′ t 将成为收益指数 r t 的新预测值。误差项 η t 的取值由下式决定： η t = a t − a ′ t = − ln ( 1 q t − 1 ) + ln ( 1 q ′ t − 1 ) = ln q t ( 1 + q ′ t ) q ′ t ( 1 + q t ) (12) 关于预测模型精度的测量，主要采用以下三种测试形式。假设变量 r t 表示实际股票收益指数， r ′ t 表示股票收益指数的预测值，那么，我们主要采用以下三种测试值来测量预测的精度。 1) 样本相关系数值(Corr)。一般来说，因为相关系数是表现自变量和因变量之间相关依赖关系的主要参数，回归系数 R 的平方值往往被用来测定预测模型的绩效(Ferreira & Pedro， 2011) [ 19 ] 。预测值与实际值之间的契合程度，通常用他们之间是否具有最小预测误差值、或者最高相关系数值来决定(Alexander， 2008II) [ 20 ] 。 C o r r ( r t ， r ⌢ ) = ∑ t = 1 T ( r t − r ¯ t ) ( r ′ t − r ¯ ′ t ) ∑ t = 1 T ( r t − r ¯ t ) 2 ∑ t = 1 T ( r ′ t − r ¯ ′ t ) 2 (13) 2) 误差平均值(RMSE)。它可以用误差平方值的均值开方而得到，能够很好地判断预测模型(Assis et al.， 2010) [ 21 ] 。 R M S E = 1 T ∑ t = 1 T ( r t − r ′ t ) 2 (14) 3) 涨跌命中率(Hit Ratio)，用具有相同符号值的样本个数除以样本总数得到。 Hit   Ratio = Number   of   correct   signs Total   number   of   predictions (15) 如果预测的目的仅仅是简单地预测金融市场资产的价格，那么，对于投资者来说，决策的有效性就会受到限制(Zhang， Pan， Chen， 2013) [ 22 ] ，因为对于大多数投资者来说，预测价格发展的涨、跌趋势，比预测价格相比于实际值的接近程度更有意义。涨跌命中率(Hit Ratio)是一种简单而有效的方法(Sonono & Mashele， 2015) [ 23 ] 。