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user: 4. 电路、信号与系统课程中的系统稳态分析 以上分别分析了基于相量法和频域分析的系统稳态分析方法，以及目前教学实践中存在的问题。下面讨论在“电路、信号与系统”课程中，如何通过一个全新的授课思路，让学生在相对比较少的课时条件下，真正掌握电路稳态问题的分析方法，理解系统频响特性的实际意义。 “电路基础理论”与“信号与系统”两门课的结合点在于动态电路的分析方法。笔者之前提出了“电路、信号与系统”课程的总体组织框架 [ 3 ]，即，电路篇、信号篇和系统篇。基本思想是，在电路篇里在电阻电路的环境下介绍电路所特有的基本规律、定理和分析方法；在动态电路部分先介绍基本的动态元件(电感、电容等)的伏安关系，动态电路微分方程的列写以及响应的构成，强调动态电路所具有的动态响应和稳态响应过程。电路正弦稳态分析则从电路篇中移出，合并到系统篇中的系统稳态分析部分，在频域分析方法之后引出。在信号篇里，以线性叠加定理为切入点，系统介绍信号的时域、频域以及s域的分解。在强调积分、傅氏和拉氏三大变换的物理意义的同时为解决动态系统分析提供必要的数学工具。在系统篇里则打破时域、频域以及s域分析的传统框架，将系统篇分为系统动态分析和稳态分析两个部分。灵活应用数学工具为系统分析服务。比如在系统动态分析部分，直接把时域和S域方法打通。引入电路的S域模型，强调指出，在S域模型下，之前电路篇中的电阻电路的理论、分析方法可以完全移植过来，从而方便地解决动态电路的动态分析。在动态过程分析中强调系统过渡过程和稳态响应的概念，为系统稳态分析做好铺垫。 系统稳态分析的重要概念是系统的频率响应特性，其次是明确所谓系统的稳态响应本质上是稳定系统在功率信号激励下的响应，也就是系统对正弦信号的响应的合成。为防止学生落入纯数学推演的陷阱，将系统在正弦信号激励下的响应与系统频率特性的关系直接以“定理”的形式给出，然后通过三种途径加以证明。 定理：频率响应特性为 H ( j ω ) 的系统在 f ( t ) = A cos ( ω 0 t + φ 0 ) 激励下的稳态响应为 y ( t ) = A | H ( j ω 0 ) | cos [ ω 0 t + φ 0 + φ ( ω 0 ) ] 。 证明一：设系统的输入为 f 1 ( t ) = A e j ( ω 0 t + φ 0 ) 、冲激响应为 h ( t ) ，则系统的输出为 y 1 ( t ) = f 1 ( t ) ∗ h ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ A e j [ ω 0 ( t − τ ) + φ 0 ] h ( τ ) d τ = A e j ( ω 0 t + φ 0 ) ∫ − ∞ + ∞ A e − j ω 0 τ h ( τ ) d τ = A e j ( ω 0 t + φ 0 ) H ( j ω 0 ) = A | H ( j ω 0 ) | e j ( ω 0 t + φ 0 ) e j φ ( ω 0 ) = A | H ( j ω 0 ) | e j [ ω 0 t + φ 0 + φ ( ω 0 ) ] 由于 f ( t ) = A cos ( ω 0 t + φ 0 ) 是 f 1 ( t ) = A e j ( ω 0 t + φ 0 ) 的实部，所以系统的输出 y ( t ) 也是v的实部，即、 y ( t ) = A | H ( j ω 0 ) | cos [ ω 0 t + φ 0 + φ ( ω 0 ) ] 。 证明二：设系统的输入为 f 1 ( t ) = cos ( ω 0 t ) ε ( t ) 、传递函数为 H ( s ) ，则系统输出 y 1 ( t ) 的拉氏变换为 Y 1 ( s ) = s s 2 + ω 0 2 H ( s ) = Y 1 h ( s ) + 1 2 1 s − j ω 0 H ( j ω 0 ) + 1 2 1 s + j ω 0 H ( − j ω 0 ) 其中， Y 1 h ( s ) 对应的是输出中暂态响应部分的拉氏变换，其余对应的是稳态响应 y 1 s s ( t ) = | H ( j ω 0 ) | cos [ ω 0 t + φ ( ω 0 ) ] 。同理，输入为 f 2 ( t ) = sin ( ω 0 t ) ε ( t ) 时，稳态响应为 y 2 s s ( t ) = | H ( j ω 0 ) | sin [ ω 0 t + φ ( ω 0 ) ] 。故，当 f ( t ) = A cos ( ω 0 t + φ 0 ) ε ( t ) 时，稳态响应为 y s s ( t ) = A | H ( j ω 0 ) | cos [ ω 0 t + φ 0 + φ ( ω 0 ) ] 。 证明三：设系统的输入为 f 1 ( t ) = cos ( ω 0 t ) 、频响特性为 H ( j ω ) ，则系统输出 y 1 ( t ) 的傅氏变换为 Y 1 ( j ω ) = H ( j ω ) π [ δ ( ω − ω 0 ) + δ ( ω + ω 0 ) ] = π [ H ( j ω 0 ) δ ( ω − ω 0 ) + H ( − j ω 0 ) δ ( ω + ω 0 ) ] 所以， y 1 ( t ) = | H ( j ω 0 ) | cos [ ω 0 t + φ ( ω 0 ) ] 。 同理，当输入为 f 2 ( t ) = sin ( ω 0 t ) 时，响应为 y 2 ( t ) = | H ( j ω 0 ) | sin [ ω 0 t + φ ( ω 0 ) ] 。故，当输入为 f ( t ) = A cos ( ω 0 t + φ 0 ) 时，响应为 y ( t ) = A | H ( j ω 0 ) | cos [ ω 0 t + φ 0 + φ ( ω 0 ) ] 。 顺便指出，从以上的证明过程可以看到，正是由于在信号篇里解决了所有相关的数学问题，在系统篇里才可以方便、灵活地加以应用，同时也便于学生体会时域、频域和S域的本质和三者之间的联系。 在解决了一般线性系统的稳态响应后，再回头看电路的正弦稳态分析方法。首先，在动态电路的时域模型的基础上引入电路的频域模型，强调指出，之前电路篇中的电路理论、分析方法同样可以完全移植到频域模型来。同时考虑到相量法在很多教材和文献中都会出现，有必要对读者和学生有个交代，而且在讲完频域方法后，可以以一个全新的角度，更加简洁地引入电路的相量模型。从上面的证明一可以 看到，由于 f ( t ) = A cos ( ω 0 t + φ 0 ) 是 A e j ( ω 0 t + φ 0 ) 的实部，我们可以记输入、输出的相量形式分别为 F ˙ = A e j ( ω 0 t + φ 0 ) 、 Y ˙ = | H ( j ω 0 ) | A e j [ ω 0 t + φ 0 + φ ( ω 0 ) ] 。这样就可以写出正弦信号激励下系统输入、输出的相量形式的表达式 Y ˙ = F ˙ H ( j ω 0 ) 。 回到传统电路理论中的正弦稳态分析。正弦与相量形式的电流、电压表达式为： i ( t ) = 2 I cos ( ω 0 t + φ i 0 ) 、 u ( t ) = 2 U cos ( ω 0 t + φ u 0 ) 和 I ˙ = I e j φ i 0 = I ∠ φ i 0 、 U ˙ = U e j φ u 0 = U ∠ φ u 0 。对比两种相量记法，在电路理论中相量的模是其有效值，相角只记初相角而略去了角频率。之前电阻电路中的电路理论、分析方法同样可以完全移植到动态电路的相量模型中来。两种相量记法在本质上是一致的，都可以方便的表达系统在正弦信号激励下的稳态响应。 基于以上对系统频域分析方法和电路理论中相量法内在关系的深入剖析，在最近的两个教学周期里，我们实施了一个全新的教学方法，即、略去传统电路理论中的正弦稳态分析部分，在系统频域分析理论下讲清系统在正弦激励下的响应之后，引入一般意义的相量表达，接着介绍电路理论中的相量法。应用这种方法，只需增加一个学时便可完成相量法的讲授。相较传统讲授方法所需的5个学时，显著地减少了授课学时；同时我们发现这样的讲授方法让学生们进一步看清了一般系统频域分析与电路系统相量分析之间的内在联系并加以灵活应用。