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user: 2. 定理1的证明 在证明定理1之前，我们需要一些准备工作，首先考虑符号图 Γ = ( G ， σ ) 中的圈 C n : x 1 x 2 ⋯ x n x n + 1 = x 1 ，我们对 C n 做如下特殊的全染色，记为 ℜ 。 情况1：如果 C n 有偶数条正边，则 ℜ ( x 1 ) = 1 ℜ ( x i + 1 ) = − ℜ ( x i ) 当 x i x i + 1 为 正 边 ℜ ( x i + 1 ) = ℜ ( x i ) 当 x i x i + 1 为 负 边 ℜ ( x 1 ， x 1 x 2 ) = 2 ℜ ( x i + 1 ， x i x i + 1 ) = ℜ ( x i ， x i x i + 1 ) 当 x i x i + 1 为 正 边 ℜ ( x i + 1 ， x i x i + 1 ) = − ℜ ( x i ， x i x i + 1 ) 当 x i x i + 1 为 负 边 ℜ ( x i + 1 ， x i + 1 x i + 2 ) = − ℜ ( x i + 1 ， x i x i + 1 ) 1 ≤ i ≤ n 情况2：如果 C n 有奇数条正边，则 ℜ ( x 1 ) = 1 ℜ ( x i + 1 ) = − ℜ ( x i ) 当 x i x i + 1 为 正 边 ℜ ( x i + 1 ) = ℜ ( x i ) 当 x i x i + 1 为 负 边 ℜ ( x 1 ， x 1 x 2 ) = 2 ℜ ( x i + 1 ， x i x i + 1 ) = ℜ ( x i ， x i x i + 1 ) 当 x i x i + 1 为 正 边 ℜ ( x i + 1 ， x i x i + 1 ) = − ℜ ( x i ， x i x i + 1 ) 当 x i x i + 1 为 负 边 ℜ ( x i + 1 ， x i x i + 1 ) = − ℜ ( x i + 1 ， x i + 1 x i + 2 ) 1 ≤ i ≤ n − 1 对 x n 和 x n x 1 ℜ ( x n ) = − ℜ ( x n ， x n x n − 1 ) ℜ ( x 1 ， x n x 1 ) = − ℜ ( x 1 ) 此时，我们称上述在圈 C n 上的染色方法为特殊染色，根据上述的特殊染色，我们可以得出在最大度为2的符号图Γ中， χ T ( Γ ) ≤ 4 。因为当Γ是一条路时，对其点用颜色±1进行染色，其边用±2进行染色。在正边个数为奇数的圈 C n 中，我们称点 x 1 ， x n − 1 和点 x n 为特殊点。不难看出，如果 ℜ 是圈 C n 上的特殊染色，对非特殊点 x i 来说，我们交换点 x i 和incidence ( x i ， x i x i + 1 ) 的颜色并根据边 x i x i + 1 的符号确定 ( x i + 1 ， x i x i + 1 ) 的颜色，交换后 ℜ 仍然是 C n 的正常全染色。 现在我们根据上述在圈中的特殊全染色 ℜ 来证明定理1，首先证明下面的相关引理。 引理2.1 符号图 Γ = ( G ， σ ) 是最大度为3的连通图，如果 Γ = ( G ， σ ) 不是3-正则的，则 χ T ( Γ ) ≤ 5 。 证明：对符号图Γ的点数做归纳，因为符号图Γ不是3-正则的，因此Γ有一个点x使得 d ( x ) ≤ 2 ，当点数为1，2，3时，该结果显然成立。现在假设图Γ的点数大于3，对符号图 Γ − x ，根据归纳假设， Γ − x 有一个正常的5-全染色f，其颜色为 { ± a ， ± b ， c } 。现在我们将用相同的5个颜色把f扩展为图Γ上的正常全染色，我们分为两个情况讨论： 情况1： 如果 d ( x ) = 1 ， x y ∈ E ( Γ ) ，在 Γ − x 中，颜色 { ± a ， ± b } 中至少有一个颜色在点y上没有使用，设为a，此时用颜色a对incidence ( y ， x y ) 染色并根据边xy的符号对 ( x ， x y ) 和点x染色，不妨假设边xy为正边， f ( y ) = b ，因此我们可用颜色a对 ( x ， x y ) 染色，用颜色c对点x染色。 情况2： 如果 d ( x ) = 2 ， x y ， x z ∈ E ( Γ ) ，根据归纳假设符号图 Γ − x 有正常的5-全染色f，因此点y和点z至少分别缺少两个颜色，我们不妨考虑点y和点z分别缺少两个颜色的情况，此时在符号图Γ中 d ( y ) = d ( z ) = 3 。 情况2.1：点y和点z缺少的两个颜色相同 情况2.1.1：当缺少的两个颜色为相反颜色时，记为 { ± a } ，此时用颜色a对incidence ( y ， x y ) 染色，根据边xy的符号对 ( x ， x y ) 染色，再用与 ( x ， x y ) 相反的颜色对 ( x ， x z ) 染色，根据边xz的符号对 ( z ， x y ) 染色，例如： f ( y ， x y ) = f ( x ， x y ) = a ，则 f ( x ， x z ) = − a ， f ( z ， x z ) = − a 当边xz为正边，否则 f ( z ， x z ) = a ，现在考虑点x，因为incidence ( x ， x y ) ， ( x ， x z ) ，点y和点z至多使用四个不同的颜色，再根据边xy和xz的符号即可对点x进行染色。 情况2.1.2：当缺少的两个颜色不相反时，记为 { a ， b } ，此时分别用颜色a和b对incidence ( y ， x y ) 和 ( z ， x z ) 染色，根据边xy和xz的符号对 ( x ， x y ) ， ( x ， x z ) 染色，对于点x，可采用情况2.1.1中对点x的方法染色。 情况2.2：点y和点z缺少两个颜色至多一个相同，记为a，此时我们可以在点y和点z缺少的颜色中找出两个颜色既不相同又不相反的颜色，不妨记为 { − a ， b } ，此时分别用颜色-a和b对incidence ( y ， x y ) 和 ( z ， x z ) 染色，根据边xy和xz的符号对 ( x ， x y ) ， ( x ， x z ) 染色，对于点x，仍旧采用情况2.1.1中对点x的方法染色，该引理得证。 引理2.2 符号图 Γ = ( G ， σ ) 是连通的3-正则图，如果 Γ = ( G ， σ ) 包含割边 e = u v ，则 χ T ( Γ ) ≤ 5 。 证明：因为 e = u v 是符号图Γ的一条割边，则 Γ − e 有两个连通分支 Γ 1 和 Γ 2 ， u ∈ Γ 1 ， v ∈ Γ 2 ，因此 d Γ 1 ( u ) = d Γ 2 ( v ) = 2 ，根据引理2.1， Γ 1 和 Γ 2 分别有正常的5-全染色 f 1 和 f 2 。 情况1：如果 e = u v 是正边，通过对 f 1 和 f 2 中的颜色进行排列调整，使得 (1) f 1 ( u ) ≠ f 2 ( v ) ； (2) 在 Γ 1 中与点u相关联的两个incidence的颜色和在 Γ 2 中与点v相关联的两个incidence的颜色相同。 此时，对 e = u v 上的两个incidence可用第五种颜色染色，现在我们便可以将 f 1 和 f 2 组合并将其扩展为符号图 Γ 上的一个正常的5-全染色f。 情况2：如果 e = u v 是负边，通过对 f 1 和 f 2 中的颜色进行排列调整，使得 (1) f 1 ( u ) = f 2 ( v ) = c ； (2) 在 Γ 1 中与点u相关联的两个incidence的颜色和在 Γ 2 中与点v相关联的两个incidence的颜色相同，并且使用的两个颜色相反。 类似的，对 e = u v 上的两个incidence可用剩余的两个相反颜色染色，现在便可将 f 1 和 f 2 组合并将其扩展为 Γ 上的一个正常的5-全染色f，该引理得证。 在图 G = ( V ， E ) 中，对集是没有公共顶点的边集合，当对集M覆盖图G中的所有点时，称M为完美对集或1-因子。 引理2.3 [ 5 ] 如果G是没有割边的3-正则图，则G的边集可分解为1-因子和边不交的圈的并集。 在符号图中，我们可以看出引理2.3仍然成立，我们将借助引理2.3来证明下面的引理。 引理2.4 符号图 Γ = ( G ， σ ) 是连通的3-正则图，如果符号图 Γ 不包含割边 e = u v ，则 χ T ( Γ ) ≤ 5 。 证明：根据引理2.3，我们有 E ( Γ ) 可以分解为1-因子F和边不交的圈 C 1 ， C 2 ， C 3 ， ⋯ 首先，我们对圈 C 1 ， C 2 ， C 3 ， ⋯ 中的点做标号： C i : x 1 i x 2 i ⋯ x n i i x 1 i ，同时设计如下算法： 算法1：对任意的两个正边个数为奇数的圈 C i 和 C j 满足 x 1 i x 1 j ， x n i − 1 i x n j − 1 j ∉ E ( Γ ) (1) 步骤1：如果 C 1 ， C 2 ， C 3 ， ⋯ 中没有正边数为奇数的圈，对每一个圈 C i 的点标号 C i : x 1 i x 2 i ⋯ x n i i x 1 i ，如果 Γ 含有正边数为奇数的圈 C 1 ， C 2 ， ⋯ 我们标记 C 1 中的一个顶点为 x 1 1 。 步骤2：如果 x 1 1 与正边个数为奇数的未标号圈的顶点相邻，我们进行步骤3，如果 x 1 1 不相邻正边个数为奇数的未标号圈的顶点，我们在以点 x 1 1 起点的两个方向中选择任意一个方向对圈 C 1 中的其他点进行标号。此时，如果 x n 1 − 1 1 与正边个数为奇数的未标号圈的顶点相邻，我们进行步骤4，否则，我们回到步骤1，对未标号的圈继续做顶点标号。 步骤3：如果 x 1 1 与正边个数为奇数的未标号圈的顶点相邻，并将这个圈重新编号为 C 2 ，在 C 2 中与点 x 1 1 相邻的点记为 x n 2 − 1 2 并在以点 x n 2 − 1 2 起点的两个方向中任选一个方向对 C 2 中的其他点进行标号，此时我们回到步骤2考虑点 x 1 2 。 步骤4：如果 x 1 1 不相邻正边个数为奇数的未标号圈的顶点但是 x n 1 − 1 1 与正边个数为奇数的未标号圈的顶点相邻，记为y，我们将这个圈重新编号为 C 2 并将y标号为 x 1 2 ，再以点 x 1 2 起点的两个方向中选择任意一个方向对圈 C 2 中的其他点进行标号，此时，我们回到步骤2考虑点 x n 2 − 1 2 。 步骤5：因为图Γ是有限的，该算法最终会结束。我们从一个正边个数为奇数的未标号圈开始，重复步骤2的整个过程，我们可以对所有的正边个数为奇数的圈中的点完成标号，对正边个数为偶数的圈中的点我们可以对其选择任意标号。 现在我们根据对每一个圈 C i 中点的标号 C i : x 1 i x 2 i ⋯ x n i i x 1 i 和算法1的结果对符号图Γ做全染色。在符号图Γ中，圈 C 1 ， C 2 ， C 3 ， ⋯ 是Γ上的所有圈，令f是圈 C 1 ， C 2 ， C 3 ， ⋯ 的特殊染色，使用的颜色为 { ± 1 ， ± 2 } ，现在我们将f扩展为符号图Γ上5-全染色，其颜色集扩充为 { ± 1 ， ± 2 ， 3 } 。任取 x h k x q p ∈ F 。 情况1： x h k x q p 是正边。 情况1.1：如果 f ( x h k ) ≠ f ( x q p ) ，用颜色3对 ( x h k ， x h k x q p ) 和 ( x q p ， x h k x q p ) 进行染色。 情况1.2：如果 f ( x h k ) = f ( x q p ) 。 情况1.2.1：如果点 x h k 和 x q p 中有一个点不是特殊点，不妨设为 x h k 。此时用颜色3对 ( x h k ， x h k x q p ) 和 ( x q p ， x h k x q p ) 染色并交换点 x h k 和incidence ( x h k ， x h k x h + 1 k ) 的颜色，再根据边 x h k x h + 1 k 的符号确定 ( x h + 1 k ， x h k x h + 1 k ) 的颜色。 情况1.2.2：如果点 x h k 和 x q p 都是特殊点，根据算法1， x h k x q p 可能是 x n k k x n p p ， x 1 k x n p − 1 p 和 x n k − 1 k x 1 p 。当 x h k x p p = x n k k x n p p ，根据特殊染色f，不妨令 f ( x h k ) = f ( x q p ) = 2 ，此时我们有边 x n k k x 1 k 和边 x n p p x 1 p 有相同的符号，否则的话会与 f ( x h k ) = f ( x q p ) 矛盾。如果边 x n k k x 1 k 和 x n p p x 1 p 边都是正边，f是特殊染色，因此 ( x n k k ， x n k k x 1 k ) 和 ( x 1 k ， x n k k x 1 k ) 的颜色都是−1。现在我们用颜色3对点 x q p 重新染色并用颜色1对 ( x q p ， x h k x q p ) 和 ( x h k ， x h k x q p ) 染色。如果边 x n k k x 1 k 和 x n p p x 1 p 边都是负边，可做类似处理。此时， f ( x 1 k ， x n k k x 1 k ) = − 1 ， f ( x n k k ， x n k k x 1 k ) = 1 ，用颜色3对点 x q p 重新染色并用颜色−1对 ( x q p ， x h k x q p ) 和 ( x h k ， x h k x q p ) 染色，该情况得证。 当 x h k x q p = x 1 k x n p − 1 p 或者 x h k x q p = x n k − 1 k x 1 p ，这两种情况类似，我们介绍 x h k x q p = x 1 k x n p − 1 p 时的情况，根据特殊染色f， f ( x 1 k ) = f ( x n p − 1 p ) = 1 并且边 x n p p x 1 p 和边 x n p − 1 p x n p p 有相反的符号，令 x n p − 1 p x n p p 是正边， x n p p x 1 p 是负边。因此 f ( x 1 p ， x n p p x 1 p ) = − 1 ， f ( x n p p ， x n p p x 1 p ) = 1 ， f ( x n p p ， x n p p x n p − 1 p ) = 2 ， f ( x n p − 1 p ， x n p p x n p − 1 p ) = 2 ， f ( x n p p ) = − 2 。下面考虑边 x n p − 1 p x n p − 2 p 的符号： 如果 x n p − 1 p x n p − 2 p 是正边，则 f ( x n p − 1 p ， x n p − 1 p x n p − 2 p ) = f ( x n p − 2 p ， x n p − 1 p x n p − 2 p ) = − 2 ， f ( x n p − 2 p ) = − 1 ，此时交换点 x n p − 2 p 和incidence ( x n p − 2 p ， x n p − 1 p x n p − 2 p ) 得到染色 f 1 。因为 x n p − 2 p 不是特殊点， f 1 是正常的全染色， f 1 ( x n p − 2 p ) = − 2 ， f 1 ( x n p − 1 p ， x n p − 2 p x n p − 1 p ) = f 1 ( x n p − 2 p ， x n p − 2 p x n p − 1 p ) = − 1 。现在 f 1 的基础上再次交换点 x n p − 1 p 和incidence ( x n p − 1 p ， x n p − 2 p x n p − 1 p ) 的颜色得到染色 f 2 ，则 f 2 ( x n p − 1 p ) = − 1 ， f 2 ( x n p − 1 p ， x n p − 2 p x n p − 1 p ) = f 2 ( x n p − 2 p ， x n p − 2 p x n p − 1 p ) = 1 ，现在用颜色3对 ( x 1 k ， x 1 k x n p − 1 p ) 和 ( x n p − 1 p ， x 1 k x n p − 1 p ) 进行染色，该情况得证。如果 x n p − 1 p x n p − 2 p 是负边，用上述方法做类似处理。 情况2： x h k x q p 是负边。 情况2.1：如果 f ( x h k ) = f ( x q p ) 。 情况2.1.1：如果点 x h k 和 x q p 中有一个点不是特殊点，不妨设为 x h k 。根据特殊染色f，不妨令 f ( x h k ) = f ( x q p ) = 1 ，用颜色3对点 x q p 重新染色，用颜色1对 ( x q p ， x h k x q p ) 染色，用颜色−1对 ( x h k ， x h k x q p ) 染色。 情况2.1.2：如果点 x h k 和 x q p 中都是特殊点，根据算法1， x h k x q p 可能是 x n k k x n p p ， x 1 k x n p − 1 p 和 x n k − 1 k x 1 p 。当 x h k x p p = x n k k x n p p ，不妨令 f ( x h k ) = f ( x q p ) = 2 ，同样的，边 x n k k x 1 k 和边 x n p p x 1 p 有相同的符号，如果边 x n k k x 1 k 和边 x n p p x 1 p 都为正边，则边 x n k k x 1 k 和边 x n p p x 1 p 上incidence的颜色都是−1。用颜色3对 ( x n k k ， x n k k x 1 k ) 和 ( x 1 k ， x n k k x 1 k ) 染色，用颜色1对 ( x q p ， x h k x q p ) 染色，用颜色−1对 ( x h k ， x h k x q p ) 染色。如果边 x n k k x 1 k 和边 x n p p x 1 p 都是负边时，考虑边 x n k k x n k − 1 k 和边 x n p p x n p − 1 p ，如果二者有一个是正边，不妨设为 x n k k x n k − 1 k ，此时用颜色3对 ( x n k k ， x n k k x n k − 1 k ) ， ( x n k − 1 k ， x n k k x n k − 1 k ) 和 x n p p 重新染色，用颜色2对 ( x n p p ， x n p p x n k k ) 染色，用颜色−2对 ( x n k k ， x n p p x n k k ) 染色。如果边 x n k k x n k − 1 k 和边 x n p p x n p − 1 p 都是负边，用颜色3对 x n p − 1 p 和 x n k k 重新染色，f是特殊染色并且 x n p p x 1 p 是负边，则 f ( x n p p ， x n p p x 1 p ) = 1 ，用颜色1对 ( x n p − 1 p ， x n p p x n p − 1 p ) 重新染色，用颜色−1对 ( x n p p ， x n p p x n p − 1 p ) 重新染色，此时我们可以用颜色2对 ( x n k k ， x n p p x n k k ) 染色，用颜色−2对 ( x n p p ， x n p p x n k k ) 染色，得证。 当 x h k x q p = x 1 k x n p − 1 p 或者 x h k x q p = x n k − 1 k x 1 p ，这两种情况类似，我们介绍 x h k x q p = x 1 k x n p − 1 p 时的情况，根据特殊染色f， f ( x h k ) = f ( x q p ) = 1 ，此时用颜色3对点 x h k 重新染色，用颜色1对 ( x h k ， x h k x q p ) 染色，因为边 x h k x q p 是负边，用颜色−1对 ( x q p ， x h k x q p ) 染色。 情况2.2： f ( x h k ) ≠ f ( x q p ) 。 情况2.2.1：如果点 x h k 和 x q p 中有一个点不是特殊点，不妨设为 x h k 。用颜色3对点 x h k 和 x q p 重新染色，当 q ≠ n p 时用颜色 f ( x q p ) 对 ( x q p ， x h k x q p ) 染色，此时，根据边 x h k x q p 的符号，对其上的另一个incidence ( x h k ， x h k x q p ) 用颜色1或−1染色，而 x h k 不是特殊点，和它相关联的两个incidence的颜色为±2，因此该情况得证。当 q = n p 时，用颜色 − f ( x q p ， x q p x 1 p ) 对 ( x q p ， x h k x q p ) 染色，根据边 x h k x q p 的符号对 ( x h k ， x h k x q p ) 染色，该情况得证。 情况2.2.2：如果点 x h k 和 x q p 中都是特殊点，因为 f ( x h k ) ≠ f ( x q p ) 。 当 f ( x h k ) = − f ( x q p ) ，此时 x h k x q p 可能是 x n k k x n p p ， x 1 k x n p − 1 p 和 x n k − 1 k x 1 p 。如果 x h k x q p = x n k k x n p p ，根据特殊染色f，不妨令 f ( x h k ) = 2 ， f ( x q p ) = − 2 。此时，用颜色3对点 x h k 和 x q p 重新染色，用颜色2对 ( x h k ， x h k x q p ) 染色，用颜色−2对 ( x q p ， x h k x q p ) 染色。当 x h k x q p = x 1 k x n p − 1 p 或者 x h k x q p = x n k − 1 k x 1 p ，这两种情况类似，我们介绍 x h k x q p = x 1 k x n p − 1 p 时的情况，根据特殊染色f，我们有 f ( x h k ) = 1 ， f ( x q p ) = − 1 。此时，用颜色3对点 x h k 和 x q p 重新染色，用颜色1对 ( x h k ， x h k x q p ) 染色，用颜色−1对 ( x q p ， x h k x q p ) 染色。 当 f ( x h k ) ≠ − f ( x q p ) ，又 f ( x h k ) ≠ f ( x q p ) ，因此 x h k x q p = x n k k x n p − 1 p ， x n k k x 1 p ， x n p p x n k − 1 k 或者 x n k k x 1 p ，上述情况均类似，我们介绍 x h k x q p = x n k k x 1 p 时的情况，根据特殊染色f，不妨令 f ( x h k ) = 2 ， f ( x q p ) = 1 。 如果 x n k k x 1 k 是负边， f ( x 1 k ， x n k k x 1 k ) = − 1 ， f ( x n k k ， x n k k x 1 k ) = 1 ，用颜色3对 x q p 重新染色，用颜色1对 ( x q p ， x h k x q p ) 染色，用颜色−1对 ( x h k ， x h k x q p ) 染色。如果 x n k k x 1 k 是正边，则 f ( x 1 k ， x n k k x 1 k ) = − 1 ， f ( x n k k ， x n k k x 1 k ) = − 1 ，用颜色3对点 x q p ，incidence ( x h k ， x h k x 1 k ) 和 ( x 1 k ， x h k x 1 k ) 重新染色，用颜色1对 ( x q p ， x h k x q p ) 染色，用颜色−1对 ( x h k ， x h k x q p ) 染色，该引理得证。 和图的点染色及边染色类似，在对符号图进行全染色时，我们也只需考虑连通图即可。此时，便可以根据引理2.1，引理2.2和引理2.4得出：对任意的最大度为3的符号图 Γ = ( G ， σ ) ， χ T ( Γ ) ≤ 5 ，因此定理1得证。而在本文中，我们考虑的是最大度为3的符号图，对其他符号图的全染色问题未曾涉及，类比全染色猜想(TTC)，我们可以提出下述问题： 问题1：对任意的符号图 Γ = ( G ， σ ) ， χ T ( Γ ) ≤ Δ + 2 ？