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user: 4. 拼接实例 设有两个轴线参数表达式为 L 1 : { x = 3 ， y = − 3 + 3 ⋅ t z = 0. 和 L 2 : { x = 0 ， y = 4 ， z = 3 + t . t ∈ [ 0 ， 1 ] 的异面管道， P 0 ( 3 ， − 3 ， 0 ) ， P 1 ( 3 ， 0 ， 0 ) 是 L 1 上的两个点， P 2 ( 0 ， 4 ， 0 ) ， P 3 ( 0 ， 4 ， 3 ) 是 L 2 上的两个点，连接 P 2 和 P 2 构成空间控制多边形。求插值于点 P 0 和 P 3 ，且与 P 1 − P 0 和 P 3 − P 2 相切的拟三次均匀B样条曲线，由例1拟三次均匀B样条曲线的实际控制顶点为 V 0 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) ， V 1 ( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ， V 2 ( x 2 ， y 2 ， z 2 ) ， V 3 ( x 3 ， y 3 ， z 3 ) 。取 λ = − 8 ，得到拟三次均匀B样条曲线的参数表达式为 r ( t ) : { x ( t ) = b 0 ( t ) x 0 + b 1 ( t ) x 1 + b 2 ( t ) x 2 + b 3 ( t ) x 3 ， y ( t ) = b 0 ( t ) y 0 + b 1 ( t ) y 1 + b 2 ( t ) y 2 + b 3 ( t ) y 3 ， z ( t ) = b 0 ( t ) z 0 + b 1 ( t ) z 1 + b 2 ( t ) z 2 + b 3 ( t ) z 3 . t ∈ [ 0 ， 1 ] (1) 效果图为图2。 图2. λ = − 8 时，拟三次均匀B样条曲线为轴线的管道与轴线光滑拼接效果图 例2已知两个圆管道 p 1 ( t ， φ ) : { x = x 1 ( t ) + 0.5 e 11 sin φ + 0.5 e 21 cos φ ， y = y 1 ( t ) + 0.5 e 12 sin φ + 0.5 e 22 cos φ ， z = z 1 ( t ) + 0.5 e 13 sin φ + 0.5 e 23 cos φ . t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] 和 p 2 ( t ， φ ) : { x = x 2 ( t ) + 0.5 e 11 sin φ + 0.5 e 21 cos φ ， y = y 2 ( t ) + 0.5 e 12 sin φ + 0.5 e 22 cos φ ， z = z 2 ( t ) + 0.5 e 13 sin φ + 0.5 e 23 cos φ . t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] ，其轴线异面。由此 构造出光滑拼接管道为 p ( t ， φ ) : { x ( t ， φ ) = x ( t ) + 0.5 B 1 ( t ) + 0.5 N 1 ( t ) ， y ( t ， φ ) = y ( t ) + 0.5 B 2 ( t ) + 0.5 N 2 ( t ) ， z ( t ， φ ) = z ( t ) + 0.5 B 3 ( t ) + 0.5 N 3 ( t ) . t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] (2) 其中 [ x ( t ) ， y ( t ) ， z ( t ) ] 是构造拼接管道的拟三次均匀B样条曲线， N = [ N 1 ( t ) ， N 2 ( t ) ， N 3 ( t ) ] 是其在点t处的主法矢，而 B = [ B 1 ( t ) ， B 2 ( t ) ， B 3 ( t ) ] 则为在点t处的副法矢。 拼接效果，如图3。 图3. 当 λ = − 8 时，以拟三次B样条曲线为轴线的管道拼接轴线异面管道效果图 例3 设两个圆管道 p 1 ( t ， φ ) : { x = x 1 ( t ) + 1 e 11 sin φ + 1 e 21 cos φ ， y = y 1 ( t ) + 1 e 12 sin φ + 1 e 22 cos φ ， z = z 1 ( t ) + 1 e 13 sin φ + 1 e 23 cos φ . t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] 和 p 2 ( t ， φ ) : { x = x 2 ( t ) + 0.5 e 11 sin φ + 0.5 e 21 cos φ ， y = y 2 ( t ) + 0.5 e 12 sin φ + 0.5 e 22 cos φ ， z = z 2 ( t ) + 0.5 e 13 sin φ + 0.5 e 23 cos φ . t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] ，其轴线异面且粗细不同。 此时光滑拼接 p 1 和 p 2 ，还需构造拟三次均匀B样条曲线 r ′ ( t ) ，使其两个端点通过 p 1 和 p 2 的两条母线 P ′ 0 ( 2 ， − 3 ， 0 ) ， P ′ 1 ( 2 ， 0 ， 0 ) ， P ′ 2 ( 0 ， 3.5 ， 0 ) ， P ′ 3 ( 0 ， 3.5 ， 3 ) r ′ ( t ) : { x ′ ( t ) = b 0 ( t ) x ′ 0 + b 1 ( t ) x ′ 1 + b 2 ( t ) x ′ 2 + b 3 ( t ) x ′ 3 ， y ′ ( t ) = b 0 ( t ) y ′ 0 + b 1 ( t ) y ′ 1 + b 2 ( t ) y ′ 2 + b 3 ( t ) y ′ 3 ， z ′ ( t ) = b 0 ( t ) z ′ 0 + b 1 ( t ) z ′ 1 + b 2 ( t ) z ′ 2 + b 3 ( t ) z ′ 3 . t ∈ [ 0 ， 1 ] (3) 如此得到拼接管道为 p ( t ， φ ) : { x ( t ， φ ) = x ( t ) + d ( t ) B 1 ( t ) + d ( t ) N 1 ( t ) ， y ( t ， φ ) = y ( t ) + d ( t ) B 2 ( t ) + d ( t ) N 2 ( t ) ， z ( t ， φ ) = z ( ( t ) + d ( t ) B 3 ( t ) + d ( t ) N 3 ( t ) . t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] (4) 其中 d ( t ) = 〈 r ′ ( t ) ， r ( t ) 〉 ， N = [ N 1 ( t ) ， N 2 ( t ) ， N 3 ( t ) ] ， B = [ B 1 ( t ) ， B 2 ( t ) ， B 3 ( t ) ] 分别是 r ( t ) 在点t处的主、副法矢。 拼接效果，如图4。 图4. λ = − 8 时，以拟三次B样条曲线为轴线的管道拼接粗细不同管道效果图 例4设两个椭圆管道 p 1 ( t ， φ ) : { x = x 1 ( t ) + 1 e 11 sin φ + 0. 8 e 21 cos φ ， y = y 1 ( t ) + 1 e 12 sin φ + 0. 8 e 22 cos φ ， z = z 1 ( t ) + 1 e 13 sin φ + 0. 8 e 23 cos φ . t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] 和 p 2 ( t ， φ ) : { x = x 2 ( t ) + 0.5 e 11 sin φ + 0. 4 e 21 cos φ ， y = y 2 ( t ) + 0.5 e 12 sin φ + 0. 4 e 22 cos φ ， z = z 2 ( t ) + 0.5 e 13 sin φ + 0. 4 e 23 cos φ . t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] ，其轴线异面。此时构造的拼接管道则为 p ( t ， φ ) : { x ( t ， φ ) = x ( t ) + d ( t ) B 1 ( t ) + 0 .8 d ( t ) N 1 ( t ) ， y ( t ， φ ) = y ( t ) + d ( t ) B 2 ( t ) + 0 .8 d ( t ) N 2 ( t ) ， z ( t ， φ ) = z ( t ) + d ( t ) B 3 ( t ) + 0 .8 d ( t ) N 3 ( t ) . t ∈ [ 0 ， 1 ] ， φ ∈ [ 0 ， 2 π ] (5) 拼接效果，如图5。