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user: 6. 算例分析 采用文献 [ 18 ] 中的实例，一家风电厂计划购进风电增速器，有三个供应商，分别是 A 1 、 A 2 、 A 3 ，可靠性、体积、动态特性、传递效率和噪声是供应商的5个评价指标，分别记为 C 1 、 C 2 、 C 3 、 C 4 、 C 5 ，其中 C 1 、 C 3 、 C 4 是效益型属性， C 2 、 C 5 是成本型属性。各个供应商的相关信息是由决策者根据常识、经验以及真实数据等获得的，如表1初始决策矩阵。 Table 1 Initial decision matri C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 A 1 〈 ( 5 ， 7 ， 8 ) ; 0.7 ， 0.3 〉 〈 ( 1 ， 4 ， 5 ) ; 0.6 ， 0.4 〉 〈 ( 3 ， 7 ， 8 ) ; 0.7 ， 0.1 〉 〈 ( 4 ， 7 ， 8 ) ; 0.6 ， 0.3 〉 〈 ( 1 ， 2 ， 5 ) ; 0.7 ， 0.2 〉 A 2 〈 ( 4 ， 6 ， 7 ) ; 0.9 ， 0 〉 〈 ( 1 ， 3 ， 4 ) ; 0.7 ， 0.3 〉 〈 ( 3 ， 4 ， 6 ) ; 0.8 ， 0.1 〉 〈 ( 4 ， 6 ， 7 ) ; 0.8 ， 0.1 〉 〈 ( 1 ， 2 ， 4 ) ; 0.8 ， 0.1 〉 A 3 〈 ( 6 ， 8 ， 9 ) ; 0.8 ， 0.1 〉 〈 ( 2 ， 4 ， 5 ) ; 0.6 ， 0.3 〉 〈 ( 3 ， 5 ， 6 ) ; 0.7 ， 0.3 〉 〈 ( 4 ， 6 ， 7 ) ; 0.8 ， 0.2 〉 〈 ( 2 ， 3 ， 5 ) ; 0.6 ， 0.3 〉 表1. 初始决策矩阵 Step 1 利用式(8)和式(9)对表1规范化处理，得到规范化矩阵，如表2： Table 2 Normalized matri C 1 C 2 C 3 A 1 〈 ( 0.556 ， 0.778 ， 0.889 ) ; 0.7 ， 0.3 〉 〈 ( 0 ， 0.2 ， 0.8 ) ; 0.6 ， 0.4 〉 〈 ( 0.375 ， 0.875 ， 1 ) ; 0.7 ， 0.1 〉 A 2 〈 ( 0.444 ， 0.667 ， 0.778 ) ; 0.9 ， 0 〉 〈 ( 0.2 ， 0.4 ， 0.8 ) ; 0.7 ， 0.3 〉 〈 ( 0.375 ， 0.5 ， 0.75 ) ; 0.8 ， 0.1 〉 A 3 〈 ( 0.667 ， 0.889 ， 1 ) ; 0.8 ， 0.1 〉 〈 ( 0 ， 0.2 ， 0.6 ) ; 0.6 ， 0.3 〉 〈 ( 0.375 ， 0.625 ， 0.75 ) ; 0.7 ， 0.3 〉 C 4 C 5 A 1 〈 ( 0.5 ， 0.875 ， 1 ) ; 0.6 ， 0.3 〉 〈 ( 0 ， 0.6 ， 0.8 ) ; 0.7 ， 0.2 〉 A 2 〈 ( 0.5 ， 0.75 ， 0.875 ) ; 0.8 ， 0.1 〉 〈 ( 0.2 ， 0.6 ， 0.8 ) ; 0.8 ， 0.1 〉 A 3 〈 ( 0.5 ， 0.75 ， 0.875 ) ; 0.8 ， 0.2 〉 〈 ( 0 ， 0.4 ， 0.6 ) ; 0.6 ， 0.3 〉 表2. 规范化矩阵 Step 2 运用式(2)求各属性权重： ω 1 = 0.26 ， ω 2 = 0.19 ， ω 3 = 0.20 ， ω 4 = 0.14 ， ω 5 = 0.21 ， ω 1 最大， C 1 为参考属性。 Step 3 根据式(5)得正理想解为： x + = { 〈 ( 0.667 ， 0.889 ， 1 ) ; 0.8 ， 0.1 〉 ， 〈 ( 0.2 ， 0.4 ， 0.8 ) ; 0.7 ， 0.3 〉 ， 〈 ( 0.375 ， 0.875 ， 1 ) ; 0.7 ， 0.1 〉 ，                                             〈 ( 0.5 ， 0.75 ， 0.875 ) ; 0.8 ， 0.1 〉 ， 〈 ( 0.2 ， 0.6 ， 0.8 ) ; 0.8 ， 0.1 〉 } ， 利用式(1)求出在每个属性下所有方案到理想解的距离，如表3： Table 3 The distance from each solution to the ideal solution under each attribut C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 A 1 0.2055 0.16 0 0.1708 0.11 A 2 0.2112 0 0.1729 0 0 A 3 0 0.213 0.1917 0.0354 0.2433 表3. 在每个属性下所有方案到理想解的距离 Step 4 利用式(10)计算出每个属性 C c 相对于参考属性 C 1 的相对权重值 ω c r ： ω 11 = 1 ， ω 21 = 0.73 ， ω 31 = 0.77 ， ω 41 = 0.54 ， ω 51 = 0.81 ； Step 5 令 θ = 1 ，利用式(7)和式(11)计算在属性 C c 下，方案 A i 相对于方案 A j 的优势度，写出优势度矩阵，如表4~8： Table 4 The dominance degree of the scheme A i over the scheme A j under attribute C A 1 A 2 A 3 A 1 0 0.2226 −0.8895 A 2 −0.8571 0 −0.9017 A 3 0.2310 0.2342 0 表4. 属性 C 1 下方案 A i 相对于方案 A j 的优势度 Table 5 The dominance degree of the scheme A i over the scheme A j under attribute C A 1 A 2 A 3 A 1 0 −0.9186 0.1232 A 2 0.1742 0 0.2010 A 3 −0.6496 −1.0599 0 表5. 属性 C 2 下方案 A i 相对于方案 A j 的优势度 Table 6 The dominance degree of the scheme A i over the scheme A j under attribute C A 1 A 2 A 3 A 1 0 0.1860 0.1958 A 2 −0.9298 0 0.1458 A 3 −0.9790 −0.7289 0 表6. 属性 C 3 下方案 A i 相对于方案 A j 的优势度 Table 7 The dominance degree of the scheme A i over the scheme A j under attribute C A 1 A 2 A 3 A 1 0 −1.1035 −0.9825 A 2 0.1548 0 0.0705 A 3 0.1378 −0.5024 0 表7. 属性 C 4 下方案 A i 相对于方案 A j 的优势度 Table 8 The dominance degree of the scheme A i over the scheme A j under attribute C A 1 A 2 A 3 A 1 0 −0.7231 0.1675 A 2 0.4521 0 0.2262 A 3 −0.7960 −1.0754 0 表8. 属性 C 5 下方案 A i 相对于方案 A j 的优势度 Step 6 根据式(12)求解相对优势度，如表9： Table 9 Relative dominance matri A 1 A 2 A 3 A 1 0 −2.3366 −1.3855 A 2 −1.3058 0 −0.2582 A 3 −2.0558 −3.1324 0 表9. 相对优势度矩阵 Step 7 根据式(13)分别计算得到每个方案的全局优势度： ξ 1 = 0.40 ， ξ 2 = 1 ， ξ 3 = 0 ； Step 8 由于 ξ 2 > ξ 1 > ξ 3 ，且全局优势度越大，方案越优，因此，供应商优劣排序为 A 2 > A 1 > A 3 ，供应商 A 2 是最优选择。 在文献 [ 18 ] 中，采用基于前景理论的多属性决策方案求得的最优选择是供应商 A 1 ，与本文的决策结果不相同，原因有以下两点：第一，文献 [ 18 ] 中的属性权重是决策者直接给出的，而本文中的属性权重是在决策矩阵的基础上采用最大离差赋权法求得的，与决策者直接提供的属性权重相比较，根据决策矩阵的数据求得的结果更具有科学性；第二，由于客观世界具有复杂和可变的特点，人们的认知也具有模糊性，不同的决策方法形成不同的结果，TODIM法是在前景理论的基础上提出的，和前景理论相比，能够更好地考虑决策者的有限理性和决策偏好，用TODIM法进行决策更符合实际。综上所述，本文的决策结果更合理，供应商 A 2 是最优选择。