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user: 3. 模型的建立 3.1. 收得率计算模型 3.1.1. 数据预处理 由于数据不完整、存在干扰数据，所以本文通过对无关干扰数据的减除，再利用均值插补法对缺失数据进行填补，并针对不同的钢号对数据进行分类，将所给数据分为了HRB400B、HRB400D、HRB500、20 MnK、Q五类，见图1。 图1. 钢号分类图 在钢水脱氧合金化的过程中，合金的收得率受多种因素的影响。合金的收得率指脱氧合金化是被钢水吸收的合金元素的重量与如该元素总重量之比。为此本文建立了收得率计算模型如： 3.1.2. C的收得率计算模型 (1) 3.1.3. Mn的收得率计算模型 { p = ( n 1 − n 0 ) ∗ m 钢 M M = m M n + m 钢 × n 0 m M n = m 合 金 × n c (2) 3.2. 主成分分析模型 求解出C、Mn两种元素的历史收得率以后，还需要分析影响收得率的主要因素。在钢水脱氧合金化的过程中，合金的收得率受多种因素的影响。为此本文在C、Mn两种元素的历史收得率的基础上建立了如下主成分分析模型： 主成分分析法就是利用其降维的思想，取少数几个综合指标，去反映原始数据中的大部分信息，且所含信息互不重复。这种方法在引进多方面变量的同时将复杂因素归结为几个主成分，使问题简单化，与此同时得到的结果也是更加科学有效的数据信息。 3.2.1. 对原始数据进行标准化处理 假设进行主成分分析的指标变量有m个，分别为 x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x m ，共有n个评价对象，第i个评价对象的第j个指标的取值为 a i j 。将各指标值 a i j 转换成标准化指标值 a ˜ i j ，则有 { a ˜ i j = a i j − μ j s j ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n μ j = 1 n ∑ i = 1 n a i j s j = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( a i j − μ j ) 2 j = 1 ， 2 ⋯ ， m (3) 其中， x ˜ j = x j − μ j s j ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 为标准化指标变量。 3.2.2. 计数相关系数矩阵R 相关系数矩阵 R = ( r i j ) m × m ，有 { r i j = ∑ i = 1 n a ˜ k i ⋅ a ˜ k j n − 1 ，     i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m r i i = 1 r i j = r j i (4) 3.2.3. 计算特征值和特征向量 计算相关系数矩阵R的特征值 λ 1 ≥ λ 2 ≥ ⋯ ≥ λ m ≥ 0 及对应的特征向量 u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u m ，其中 u j = [ u 1 j ， u 2 j ， ⋯ ， u m j ] T 由特征向量组成m个新的指标变量： y 1 = u 11 x ˜ 1 + u 21 x ˜ 2 + ⋯ + u m 1 x ˜ m ， y 2 = u 12 x ˜ 1 + u 22 x ˜ 2 + ⋯ + u m 2 x ˜ m ，                                       ⋮ y m = u 1 m x ˜ 1 + u 2 m x ˜ 2 + ⋯ + u m m x ˜ m ， (5) 3.2.4. 选择 p ( p ≤ m ) 个主成分，计算综合评价值 计算特征值 λ j ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 的信息贡献率和累计贡献率。称 b j = λ j ∑ k = 1 m λ k ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m (6) 为主成分 y j 的信息贡献率，同时有 α p = ∑ k = 1 p λ k ∑ k = 1 m λ k (7) 为主成分 y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y p 的累积贡献率。当 α p 接近于1时，说明其包含的原始变量信息越多，于是选择前p个指标变量 y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y p 作为p个主成分，代替原来m个指标变量，从而可对p个主成分进行综合分析。 计算综合得分： z = ∑ j = 1 p b j y j (8) b j 为第j个主成分的信息贡献率，根据综合得分值就可进行综合评价。 3.3. BP神经网络模型的建立 BP神经网络如图2所示，其中 N 1 为输入层， N 2 为中间层， N 3 为输出层。本文将影响合金的相关影响因子作为输入层(如连铸正样Ceq_val、连铸正样Cr、连铸正样Ni_val连铸正样Cu_val、连铸正样V_val、连铸正样Alt_val等)，最终输出预测结果。在神经网络中，神经元接收到来自其他神经元的输入信号，这些信号乘以权重累加到神经元接收的总输入值上，随后与当前神经元的阈值进行比较，然后通过激活函数处理，即可产生神经元的输出。 图2. 神经网络 理想的激活函数是阶跃函数，“0”对应神经元抑制，“1”对应神经元兴奋。然而阶跃函数的缺点是不连续、不可导，且不光滑，所以常用sigmoid函数作为激活函数代替阶跃函数，即 s i g m o i d ( x ) = 1 1 + e − x (9) 对于一个训练例 ( E r D ， E r n n ) ，假设神经网络的输出为 E r n n ，则输出可表示为： y = σ ( [ w 11 ⋯ w 1 n ⋮ ⋱ ⋮ w m 1 ⋯ w m n ] [ ε ( 1 ) ⋮ ε ( n ) ] + [ θ 1 ⋮ θ n ] ) 其中 σ ( ε ) 为激活函数。中间层节点为 O = [ O ( 1 ) ， O ( 2 ) ， ⋯ ， O ( l ) ] ′ ，阈值为 θ 1 = [ θ 11 ， θ 12 ， ⋯ ， θ 1 l ] ′ ，输出层节点的阈值为 θ 2 = [ θ 21 ， θ 22 ， ⋯ ， θ 2 m ] ′ 。输入层与中间层神经元间的权值矩阵为 W 1 、中间层与输出层神经元间的权值矩阵为 W 2 可分别表示为 W 1 = ( ω 1 i j ) l × n ， ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， l ; j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， W 2 = ( ω 2 i j ) m × l ， ( i = 1 ， 2 ⋯ ， m ; j = 1 ， 2 ， ⋯ ， l ) 。 带入传递函数，可得中间层节点为 O ( i ) = f ( ∑ j = 1 n ω 1 i j Y e a r ( j ) − θ 1 i ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， l ， 因此输出层节点，即网络输出值 E r n n = [ ε ^ ( 1 ) ， ε ^ ( 2 ) ， ⋯ ， ε ^ ( n ) ] 为 ε ^ ( i ) = f ( ∑ j = 1 l ω 2 i j O ( j ) − θ 1 j ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ，则，网络输出值与原始数据的误差为 E = 1 m ∑ i = 1 m ( ε ^ ( i ) − ε ( i ) ) 2 (10) 通过调整 W 1 和 W 2 的值，使得误差E最小，从而确定权值。 确定权值之后，即可根据 { O ( i ) = f ( ∑ j = 1 n ω 1 i j ε ( j ) − θ 1 i ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， l ε ^ ( i ) = f ( ∑ j = 1 l ω 2 i j O ( j ) − θ 1 j ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m (11) 得到通过BP神经网络得到 E r n n = ( ε ^ ( 1 ) ， ε ^ ( 2 ) ， ⋯ ， ε ^ ( n ) ) 。 反向传播的基本思想就是通过计算输出层与期望值之间的误差来调整网络参数，从而使得误差变小。在此利用梯度下降法训练，取代价函数为偏差平方和。 3.3.1. 分数阶灰色模型 由于BP神经网络模型运算速度缓慢和易陷入局部最小值的缺点，所以本文运用分数阶灰色模型与BP神经网络网络组合的方式对预测模型进行了改进，建立了分数阶灰色神经网络组合预测模型。通过MATLAB软件编程求解出不同钢号分类下的影响C、Mn两种元素的收得率。 设有非负序列 X ( 0 ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) ， x ( 0 ) ( 2 ) ， ⋯ ， x ( 0 ) ( n ) ) ， X ( r ) = ( x ( r ) ( 1 ) ， x ( r ) ( 2 ) ， ⋯ ， x ( r ) ( n ) ) 为 X ( 0 ) 的r累加序列，且称 x ( r ) ( k ) = ∑ i = 1 k x ( r − 1 ) ( i ) 为 x ( 0 ) ( k ) 的r阶累加算子，则 x ( r ) ( k ) = ∑ i = 1 k C k − i + r − 1 k − i x ( 0 ) ( i ) (12) 其中，规定 C r − 1 0 = 1 ， C k k + 1 = 0 ，且 k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， C k − i + r − 1 k − i = ( k − i + r − 1 ) ( k − i + r − 2 ) ⋯ ( r + 1 ) r ( k − i ) ! 称 x ( r ) ( k + 1 ) = β 1 x ( r ) ( k ) + β 2 (13) 为r阶累加离散灰色模型，其中 k = 0 ， 1 ， ⋯ ， n − 1 。而离散灰色模型参数的最小二乘估计满足 [ β 2 β 1 ] = ( B T B ) − 1 B T Y (14) 其中， B = [ 1 x ( r ) ( 1 ) 1 x ( r ) ( 2 ) ⋮ ⋮ 1 x ( r ) ( n − 2 ) 1 x ( r ) ( n − 1 ) ] ， Y = [ x ( r ) ( 2 ) x ( r ) ( 3 ) ⋮ x ( r ) ( n − 1 ) x ( r ) ( n ) ] 。 设有非负序列 X ( 0 ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) ， x ( 0 ) ( 2 ) ， ⋯ ， x ( 0 ) ( n ) ) ， X ( − r ) = ( x ( − r ) ( 1 ) ， x ( − r ) ( 2 ) ， ⋯ ， x ( − r ) ( n ) ) 为 X ( 0 ) 的r累减序列，且称 x ( − r ) ( k ) = ∑ i = 1 k x ( − r − 1 ) ( i ) 为 x ( 0 ) ( k ) 的r阶累减算子，则 x ( − r ) ( k ) = ∑ i = 1 k C k − i − r − 1 k − i x ( 0 ) ( i ) (15) 其中，规定 C − r − 1 0 = 1 ， C k k + 1 = 0 ，且 k = 0 ， 1 ， ⋯ ， n − 1 ， C k − i − r − 1 k − i = ( k − i − r − 1 ) ( k − i − r − 2 ) ⋯ ( − r + 1 ) ( − r ) ( k − i ) ! 。 定义，对于非负序列 X ( 0 ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) ， x ( 0 ) ( 2 ) ， ⋯ ， x ( 0 ) ( n ) ) 的分数阶灰色模型的预测值为 X ^ ( 0 ) = ( x ^ ( 0 ) ( 1 ) ， x ^ ( 0 ) ( 2 ) ， ⋯ ， x ^ ( 0 ) ( n ) ) ，则其相对误差 E r D = ( ε ( 1 ) ， ε ( 2 ) ， ⋯ ， ε ( n ) ) 为 ε ( k ) = x ( 0 ) ( k ) − x ^ ( 0 ) ( k ) x ( 0 ) ( k ) ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n (16) 3.3.2. 分数阶灰色神经网络组合预测模型 记以 t 0 为起始影响因子，连续n个原始数据 X ( 0 ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) ， x ( 0 ) ( 2 ) ， ⋯ ， x ( 0 ) ( n ) ) ，记以t为截至影响因子，模拟序列为 P r e = ( p r e ( 1 ) ， p r e ( 2 ) ， ⋯ ， p r e ( t − t 0 ) ) 。 取其中前k个影响因子的数据作为 D G M ( 1 ， 1 ) 的原始序列 X ( 0 ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) ， ⋯ ， x ( 0 ) ( k ) ) ，通过分数阶灰色模型得模拟序列 X ^ ( 0 ) = ( x ^ ( 0 ) ( 1 ) ， x ^ ( 0 ) ( 2 ) ， ⋯ ， x ^ ( 0 ) ( t − t 0 ) ) ，并计算各影响因子相对误差 E r D = ( ε ( 1 ) ， ε ( 2 ) ， ⋯ ， ε ( k ) ) 。 建立输入层节点数为1、中间层节点数为m、输出层节点数为1的BP神经网络模型，将年份 Y e a r 作为输入，相对误差 E r n n 作为输出，以分数阶灰色模型的前k年相对误差 E r D = ( ε ( 1 ) ， ε ( 2 ) ， ⋯ ， ε ( k ) ) 为目标进行训练，并预测出以 t 0 为起始年份，以t为截至影响因子的相对误差 E r n n = ( ε ^ ( 1 ) ， ε ^ ( 2 ) ， ⋯ ， ε ^ ( t − t 0 ) ) 。 最终通过方程： P r e = X ^ ( 0 ) 1 − E r n n (17) 解出预测值 P r e 作为最终结果。 建模步骤如下所示： Step1：通过(9)式，计算得到r阶累加序列 X ( r ) = ( x ( r ) ( 1 ) ， x ( r ) ( 2 ) ， ⋯ ， x ( r ) ( n ) ) ； Step2：将 x ( r ) ( k ) ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 带入(10)式，采用最小二乘法估计参数 [ β ^ 2 ， β ^ 1 ] ′ ； Step3：利用 x ^ ( r ) ( k ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) − β ^ 2 1 − β ^ 1 ) β ^ 1 ( k − 1 ) + β ^ 2 1 − β ^ 1 预测得到 X ^ ( r ) ； Step4：对 X ^ ( r ) 作r阶累减得到 X ^ ( 0 ) = ( x ^ ( 0 ) ( 1 ) ， x ^ ( 0 ) ( 2 ) ， ⋯ ， x ^ ( 0 ) ( n ) ) ； Step5：利用公式(14)，计算各影响因子相对误差 E r D = ( ε ( 1 ) ， ε ( 2 ) ， ⋯ ， ε ( n ) ) ； Step6：以分数阶灰色模型的前k影响因子相对误差 E r D 为目标进行训练，并预测出以 t 0 为起始影响因子，以t为截至影响因子的相对误差 E r n n ； Step7：利用公式(17)，求出预测值 P r e 作为最终预测结果。 3.4. 反解收得率计算模型 在钢水脱氧合金化的过程中，合金的收得率受多种因素的影响。合金的收得率指脱氧合金化是被钢水吸收的合金元素的重量与如该元素总重量之比。所以本文通过对收得率计算模型的反解，求解出相应的元素总质量。建立了如下的反解收得率计算模型： { M = ( n 1 − n 0 ) × m 钢 p m c = M − m 钢 × n 0 m M n = M − m 钢 × n 0 (18) 3.5. 动态规划数学模型 本文通过建立成本函数作为目标函数，以元素总含量作为约束条件，建立了如下的动态规划数学模型： min z = ∑ i = 1 ; j = 1 16 x i p j { x i ⋅ k j ≥ m c i i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， 16 (19)