system: [SYSTEM]

user: 3. 主要结果 定义3.1：设 ( X ， e ) 为UFCPO， x ∈ X 且 A ∈ U F ( X ) ，如果 A 满足： 1) x = ∐ A ；2) ∀ B ∈ U F ( X ) ， ∀ y ∈ X ， e ( x ， ∐ B ) ∧ A ( y ) ≤ ∨ a ∈ X B ( a ) ∧ e ( y ， a ) 。 则称 A 为 x 的一致模糊极小集。 定理3.1：设 ( X ， e ) 为UFCPO， x ∈ X 且 A ∈ L X ，则下列条件等价： (1) A 是 x 一致模糊极小集；(2) A ∈ U F ( X ) ， A ≤ ⇓ U F x 且 x = ∐ A 。 证明： ( 1 ) ⇒ ( 2 ) ∀ B ∈ U F ( X ) ， ∀ y ∈ X 。因为 e ( x ， ∐ B ) ∧ A ( y ) ≤ ∨ a ∈ X B ( a ) ∧ e ( y ， a ) ≤ B ( y ) ，故 A ( y ) ≤ e ( x ， ∐ B ) → B ( y ) ，所以 A ( y ) ≤ ⇓ U F x ( y ) ，即 A ≤ ⇓ U F x 。 ( 2 ) ⇒ ( 1 ) ∀ B ∈ U F ( X ) ， ∀ y ∈ X ， e ( x ， ∐ B ) ∧ A ( y ) = e ( x ， ∐ ↓ B ) ∧ A ( y ) ≤ ↓ B ( y ) = ∨ a ∈ X B ( a ) ∧ e ( y ， a ) 。 引理3.1：设 ( X ， e ) 为UFCPO， ∀ x ∈ X ，若 ∃ A ∈ U F ( X ) ，满足 x = ∐ A 和 A ≤ ⇓ U F x ，则 ⇓ U F x ∈ U F I ( X ) 且 x = ∐ ⇓ U F x 。 证明： ∀ y ∈ X ， ⇓ U F x = ∧ I ∈ U F I ( X ) ( e ( x ， ∐ I ) → ( ∨ d ∈ X I ( d ) ∧ e ( y ， d ) ) )       ≤ e ( x ， ∐ ↓ A ) → ( ∨ d ∈ X A ( d ) ∧ e ( y ， d ) )       = 1 → ( ∨ d ∈ X A ( d ) ∧ e ( y ， d ) ) ∨ d ∈ X A ( d ) ∧ e ( y ， d ) 。 从而 ∀ c ∈ X ，有 ∧ c ∈ X ⇓ U F x ( c ) ≤ ∧ c ∈ X ∨ y 1 ∈ X A ( y 1 ) ∧ e ( c ， y 1 )               ≤ ∧ c ∈ X ∨ y 1 ∈ X ∨ y ∈ X A ( y 1 ) ∧ e ( y 1 ， y ) ∧ e ( c ， y 1 )               = ∧ c ∈ X ∨ y ∈ X A ( y ) ∧ e ( c ， y )               ≤ ∨ y ∈ X A ( y ) ∧ ( ∧ c ∈ X e ( c ， y ) ) 。 因此 ⇓ U F x 是一致模糊的，故为一致模糊理想。又因为 1 = s u b ( A ， ⇓ U F x ) ≤ e ( ∐ A ， ∐ ⇓ U F x ) = e ( x ， ⇓ U F x ) 。 同时 1 = s u b ( ⇓ U F x ， ↓ x ) ≤ e ( ∐ ⇓ U F x ， ∐ ↓ x ) = e ( ⇓ U F x ， x ) ，故 x = ∐ ⇓ U F x 。 由定理3.1及引理3.1易到下面的定理3.2和定理3.3。 定理3.2：设 ( X ， e ) 为UFCPO，则 ( X ， e ) 是一致模糊domain当且仅当 ∀ x ∈ X ， x 有一致模糊极小集。 定理3.3：设 ( X ， e ) 为UFCPO，若 ∀ x ∈ X ， x 有一致模糊极小集，则 ⇓ U F x 是 x 的最大一致模糊极小集。 定理3.4：设 ( X ， e ) 为UFCPO，则下列条件等价： (1) ( X ， e ) 是一致模糊Domain； (2) ∀ x ∈ X ， x 有一致模糊极小集； (3) ∀ x ∈ X ， ∃ A ∈ U F ( X ) 满足 x = ∐ A 且 A ≤ ⇓ U F x ，使得 A 为 x 的一致模糊极小集。 证明：(1) ⇒ (2)若 ( X ， e ) 为一致模糊domain，由定义3.1知 ∀ x ∈ X ， ⇓ U F x 是 x 处的一个一致模糊极小集。 (2) ⇒ (3)由定理3.1即得。 (3) ⇒ (1)由条件(3)知 A 为一致模糊极小集，故 ( X ， e ) 为一致模糊domain。 定义3.2：设 ( X ， e X ) ， ( Y ， e Y ) 是UFCPO，称映射 f : X → Y 为一致模糊Scott连续映射，如果 f 是保模糊序的，即 ∀ A ∈ U F ( X ) ， f ( ∐ D ) = ∐ f → ( D ) 。其中 f → : L X → L Y 为 ∀ A ∈ L X ， y ∈ Y ， f → ( A ) ( y ) = ∨ x ∈ X A ( x ) ∧ e Y ( y ， f ( x ) ) 。 定义3.3：设 ( X ， e X ) ， ( Y ， e Y ) 是UFCPO， f : X → Y 是映射，如果 f 是一致模糊Scott连续映射且 f 保一致模糊way-below关系，则称 f 是一个模糊序同态。 定义3.4：设 ( X ， e X ) ， ( Y ， e Y ) 是UFCPO， f : X → Y 是映射，若 ∀ x ∈ X ，当 A ∈ L X 是 x 的一致模糊极小集时， f → ( A ) 是 f ( x ) 的一致模糊极小集，则称 f 保一致模糊极小集。 定理3.5：设 ( X ， e X ) ， ( Y ， e Y ) 是一致模糊Domain， f : X → Y 为保模糊序的映射，则下列条件等价： (1) f 保一致模糊极小集； (2) ∀ a ∈ X ， f → ( ⇓ U F a ) 是 f ( a ) 的一致模糊极小集； (3) f 是一致模糊Scott连续映射且 ∀ a ∈ X ， f → ( ⇓ U F a ) ≤ ⇓ U F f ( a ) ； (4) f 是模糊序同态。 证明： ( 1 ) ⇒ ( 2 ) 由 ⇓ U F a 为 a 的一致模糊极小集， f 为保一致模糊极小集映射，故 f → ( ⇓ U F a ) 为 f ( a ) 的一致模糊极小集。 ( 2 ) ⇒ ( 3 ) f → ( ⇓ U F a ) ≤ ⇓ U F f ( a ) 显然成立。下证 f 是一致模糊Scott连续映射。 ∀ y ∈ Y ，有 e Y ( ∐ f → ( A ) ， y ) = ∧ a ∈ X ( A ( a ) → e Y ( f ( a ) ， y ) ) = ∧ a ∈ X ( A ( a ) → e Y ( ∐ f → ( ⇓ U F a ) ， y ) ) = ∧ a ∈ X ( A ( a ) → ∧ x ∈ X ( ⇓ U F a ( x ) → e Y ( f ( x ) ， y ) ) ) = ∧ x ∈ X ( ( ∨ a ∈ X A ( a ) ∧ ⇓ U F a ( x ) ) → e Y ( f ( x ) ， y ) ) = ∧ x ∈ X ( ⇓ U F ( ∐ A ) ( x ) → e Y ( f ( x ) ， y ) ) = e Y ( ∐ f → ( ⇓ U F ( ∐ A ) ) ， y ) = e Y ( f ( ∐ A ) ， y ) 。 ( 3 ) ⇒ (4) ∀ x ， y ∈ X ， ⇓ U F f ( y ) ( f ( x ) ) ≥ f → ( ⇓ U F y ) ( f ( x ) ) = ∨ a ∈ X ⇓ U F y ( a ) ∧ e Y ( f ( x ) ， f ( a ) ) ≥ ∨ a ∈ X ⇓ U F y ( a ) ∧ e ( x ， a ) = ⇓ U F y ( x ) 。 ( 4 ) ⇒ ( 1 ) 设 ∀ x ∈ X 且 A ∈ L X 为 x 的一致模糊极小集，则 x = ∐ A 且 A ≤ ⇓ U F x 。由 f 保模糊序和一致模糊way-below关系，有 f → ( A ) ≤ f → ( ⇓ U F x ) ≤ ⇓ U F f ( x ) ，故 f → ( A ) 是一致模糊理想。而 f 一致模糊Scott连续，故 ∐ f → ( A ) = f ( ∐ A ) = f ( x ) ，进而 f → ( A ) 是 f ( x ) 的一致模糊极小集。