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user: 3. 主要结论的证明 根据引理2中的先验估计，我们下面利用引理1和Young不等式来估计 u 的 L p ( Ω ) ， ∇ v 的 L 2 p ( Ω ) 和 w 的 L p + 1 ( Ω ) 的有界性。 引理3：设 p > max { 1 ， n − 2 2 } ，若 μ 足够大，则对于任意的 t ∈ ( 0 ， T max ) ，存在正常数 C : = C ( p ， | Ω | ， μ ) 使得趋化模型(1.1)的解 ( u ， v ， w ) 满足 ‖ u ‖ L p ( Ω ) p ≤ C ， ‖ ∇ v ‖ L 2 p ( Ω ) 2 p ≤ C 和 ‖ w ‖ L p + 1 ( Ω ) p + 1 ≤ C 。 证明：第一步：对于任意的 t ∈ ( 0 ， T max ) ，利用 ∇ v ⋅ ∇ ( Δ v ) = 1 2 Δ | ∇ v | 2 − | D 2 v | 2 和趋化模型(1.1)的第二个方程，经过简单的直接计算可得 (3.1) 对于等式(3.1)中的I项，取 r ∈ ( 0 ， 1 2 ) ，则由 W r + 1 2 ， 2 ( Ω ) 紧嵌入在 L 2 ( ∂ Ω ) 可得 1 2 ∫ ∂ Ω | ∇ v | 2 p − 2 ∂ | ∇ v | 2 ∂ n   d x ≤ 1 2 C Ω ‖ | ∇ v | p ‖ L 2 ( ∂ Ω ) 2 ≤ C 1 ‖ | ∇ v | p ‖ W r + 1 2 ， 2 ( Ω ) 2 ， (3.2) 进一步，通过Gagliardo-Nirenberg不等式和 | ∇ v | 2 的有界性，则存在 a ∈ ( 0 ， 1 ) 使得 ‖ | ∇ v | p ‖ W r + 1 2 ， 2 ( Ω ) 2 ≤ C 2 ‖ | ∇ v | p ‖ L 2 ( Ω ) a + C 3 ≤ p − 1 C 1 p 2 ∫ Ω | ∇ | ∇ v | p | 2 d x + C 4 ， 联合不等式(3.2)可得 。 (3.3) 此外，对于等式(3.1)中的II项，利用Young不等式可知 − ∫ Ω w ∇ v ⋅ ∇ ( | ∇ v | 2 p − 2 )   d x = − ( p − 1 ) ∫ Ω w | ∇ v | 2 ( p − 2 ) ∇ v ⋅ ∇ | ∇ v | 2 d x ≤ p − 1 4 ∫ Ω | ∇ v | 2 p − 4 | ∇ | ∇ v | 2 | 2 d x + ( p − 1 ) ∫ Ω w 2 | ∇ v | 2 p − 2 d x ≤ p − 1 p 2 ∫ Ω | ∇ | ∇ v | p | 2 d x + ( p − 1 ) ∫ Ω w 2 | ∇ v | 2 p − 2 d x . (3.4) 另一方面，对于等式(3.1)中的III项，利用估计 | Δ v | ≤ n | D 2 v | 和Young不等式可得 − ∫ Ω w | ∇ v | 2 p − 2 Δ v d x ≤ n ∫ Ω w | ∇ v | 2 p − 2 | D 2 v |   d x ≤ 1 4 ∫ Ω | ∇ v | 2 p − 2 | D 2 v | 2 d x + n ∫ Ω w 2 | ∇ v | 2 p − 2 d x 。 (3.5) 最后，利用Young不等式和引理1可得 ∫ Ω w 2 | ∇ v | 2 p − 2 d x ≤ 1 4 ( n + p − 1 ) k 0 ∫ Ω | ∇ v | 2 p + 2 d x + 2 p + 1 ( 4 ( n + p − 1 ) ( p − 1 ) k 0 p + 1 ) p − 1 2 ∫ Ω w p + 1 d x   ≤ 1 4 ( n + p − 1 ) ∫ Ω | ∇ v | 2 p − 2 | D 2 v | 2 d x + δ 1 ∫ Ω w p + 1 d x + C ， (3.6) 联合不等式(3.1)和(3.3)~(3.6)可得 1 2 p d d t ‖ ∇ v ‖ L 2 p ( Ω ) 2 p + ∫ Ω | ∇ v | 2 p d x + 1 2 ∫ Ω | ∇ v | 2 p − 2 | D 2 v | 2 d x ≤ δ 1 ∫ Ω w p + 1 d x + C ， (3.7) 其中 。 第二步：为了处理不等式(3.7)右端的项 δ 1 ∫ Ω w p + 1 d x ，对趋化模型(1.1)的第三个方程乘以 w p 并在 Ω 上进行积分并利用Young不等式可得 τ p + 1 d d t ‖ w ‖ L p + 1 ( Ω ) p + 1 + ∫ Ω w p + 1 d x = ∫ Ω u w p d x ≤ 1 2 ∫ Ω w p + 1 d x + C ( p ) ∫ Ω u p + 1 d x ， (3.8) 即 τ p + 1 d d t ‖ w ‖ L p + 1 ( Ω ) p + 1 + 1 2 ∫ Ω w p + 1 d x ≤ C ( p ) ∫ Ω u p + 1 d x 。 (3.9) 其中 C ( p ) = 1 p + 1 ( p + 1 2 p ) − p 。 第三步：为了处理不等式(3.9)右端的项 ∫ Ω u p + 1 d x ，对趋化模型(1.1)的第一个方程乘 u p − 1 并在 Ω 上进行积分可得 1 p d d t ‖ u ‖ L p ( Ω ) p + ( p − 1 ) ∫ Ω u p − 2 | ∇ u | 2 d x = − ∫ Ω ∇ ⋅ ( u ∇ v ) u p − 1 d x + μ ∫ Ω u p d x − μ ∫ Ω u p + 1 d x . (3.10) 对于等式(3.10)右端的第一项，应用Young不等式和引理1可得 其中 δ 2 = p k 0 p ( p − 1 ) p + 1 2 p + 2 ( p + 1 ) p + 1 。进而可得 1 p d d t ‖ u ‖ L p ( Ω ) p + 1 p ‖ u ‖ L p ( Ω ) p ≤ 1 2 ∫ Ω | ∇ v | 2 p − 2 | D 2 v | 2 d x + ( μ + 1 p ) ∫ Ω u p d x − ( μ − δ 2 ) ∫ Ω u p + 1 d x + C . (3.11) 现在，由(3.7) + (3.9) × ( 2 δ 1 + ε ) + (3.11)可得 d d t [ 1 2 p ‖ ∇ v ‖ L 2 p ( Ω ) 2 p + τ ( 2 δ 1 + ε ) p + 1 ‖ w ‖ L p + 1 ( Ω ) p + 1 + 1 p ‖ u ‖ L p ( Ω ) p ] + ∫ Ω | ∇ v | 2 p d x + ε 2 ∫ Ω w p + 1 d x + 1 p ‖ u ‖ L p ( Ω ) p ≤ ( μ + 1 p ) ∫ Ω u p d x − [ μ − δ 2 − C ( p ) ( 2 δ 1 + ε ) ] ∫ Ω u p + 1 d x + C ， 其中 ε 是任意给定的小常数。若 μ − δ 2 − C ( p ) ( 2 δ 1 + ε ) > 0 ，则利用Young不等式和Gronwall不等式可得 ‖ ∇ v ‖ L 2 p ( Ω ) 2 p ≤ C ， ‖ w ‖ L p + 1 ( Ω ) p + 1 ≤ C 和 ‖ u ‖ L p ( Ω ) p ≤ C 。 事实上，若引理3中的 p ≥ n − 1 ，则由抛物型方程Neumann边值问题的正则性理论 [ 12 ] 可得如下结论。 引理4：设 ( u ， v ， w ) 是趋化模型(1.1)的解，若 μ 足够大，那么对于任意的 t ∈ ( 0 ， T max ) ，都存在一个常数 C > 0 使得 ‖ ∇ v ( ⋅ ， t ) ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ C 。 在引理3和引理4的基础上，我们有如下的结论。 引理5：若 u 0 ∈ C 0 ( Ω ¯ ) ， v 0 ∈ C 1 ( Ω ¯ ) 和 w 0 ∈ L ∞ ( Ω ¯ ) 是非负的，若 μ 足够大，那么对于任意的存在 t ∈ ( 0 ， ∞ ] ，存在常数 C > 0 ，使得 ‖ u ( ⋅ ， t ) ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ C 和 ‖ w ( ⋅ ， t ) ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ C 。 证明：对于任意的 p > 1 ，对趋化模型(1.1)的第一个方程两边同时乘 并在 Ω 进行积分，然后借助于Young不等式和引理4，容易得到 1 p d d t ‖ u ‖ L p ( Ω ) p + ( p − 1 ) ∫ Ω u p − 2 | ∇ u | 2 d x ≤ ( p − 1 ) ∫ Ω u p − 1 | ∇ u | | ∇ v | d x + μ ∫ Ω u p − 1 ( u − u 2 )   d x ≤ C ∫ Ω u p − 1 | ∇ u |   d x + μ ∫ Ω u p − 1 ( u − u 2 )   d x ≤ p − 1 4 ∫ Ω u p − 2 | ∇ u | 2 d x + C ∫ Ω u p d x + μ ∫ Ω u p − 1 ( u − u 2 )   d x ≤ p − 1 4 ∫ Ω u p − 2 | ∇ u | 2 d x + C ∫ Ω u p d x − μ ∫ Ω u p + 1 d x . 这样利用Young不等式可得 1 p d d t ‖ u ‖ L p ( Ω ) p + 1 p ∫ Ω u p d x + p − 1 p 2 ∫ Ω | ∇ u p 2 | 2 d x ≤ C ， 进一步利用Gronwall不等式可得证 ‖ u ( ⋅ ， t ) ‖ L p ( Ω ) ≤ C 。 那么在引理4和引理5的基础上，运用标准的Alikakos-Moser迭代 [ 13 ] 可得证 ‖ u ( ⋅ ， t ) ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ C 。 最后利用趋化模型(1.1)第三个一阶线性常微分方程的解，显然可得 ‖ w ( ⋅ ， t ) ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ C 。 从而定理1得证。 注1：本文在 μ 足够大的条件下证明了方程解的全局有界性，事实上，若Logistic源项变为 μ u − μ u α ，从引理3的证明可以看出，当 α > 2 时，对任意 μ > 0 趋化模型的解全局存在，证明过程只需要简单修改即可。