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user: 4. 平面应力分析 为了解决图1所示的正交异性平板在边界受到分布载荷作用，需要选择合适的复变函数针对以上两类情况分别进行应力分析。 4.1. 复函数及应力(情形1) 对于情形1，为满足图1的应力边界条件并与式(18)的复变函数形式类同，可将应力函数用复变量的不同组合表示为： F = C 1 i w w ¯ ( ln w − ln w ¯ ) + C 2 w w ¯ + C 3 i ( w 2 − w ¯ 2 ) (22) 利用式(15)可求得偏导数为： ∂ F ∂ x = C 1 i [ ( w + w ¯ ) ( ln w − ln w ¯ ) + w ¯ − w ] + C 2 ( w + w ¯ ) + 2 C 3 i ( w − w ¯ ) ∂ F ∂ y = h C 1 [ ( w − w ¯ ) ( ln w − ln w ¯ ) − ( w + w ¯ ) ] − h C 2 i ( w − w ¯ ) − 2 h C 3 ( w + w ¯ ) 再求二阶偏导数，并代入式(5)，可确定出应力分量如下： σ x = ∂ 2 F ∂ y 2 = h 2 C 1 i ( 2 ln w w ¯ + w w ¯ − w ¯ w ) + 2 h 2 C 2 σ y = ∂ 2 F ∂ x 2 = C 1 i ( 2 ln w w ¯ + w ¯ w − w w ¯ ) + 2 C 2 τ x y = − ∂ 2 F ∂ x ∂ y = h C 1 ( w − w ¯ ) 2 w w ¯ + 2 h ( C 1 + 2 C 3 ) 利用式(14)的复数表示形式，将应力转化为： σ x = − 4 h 2 C 1 ( β + sin β cos β ) + 2 h 2 C 2 σ y = − 4 C 1 ( β − sin β cos β ) + 2 C 2 τ x y = − 4 h C 1 sin 2 β + 2 h ( C 1 + 2 C 3 ) 根据应力边界条件式(3)，且注意到： θ = 0 则 β = 0 及 θ = π 则 β = π ，可将常数确定如下： C 1 + 2 C 3 = 0 ，     2 C 2 = − q ，     − 4 π C 1 = q 因此，应力分量为： σ x = q h 2 π ( β + sin β cos β ) − q h 2 σ y = q π ( β − sin β cos β ) − q τ x y = q h π sin 2 β } (23) 显然此公式比较简明，当 h = 1 时，即可表示各向同性材料的应力分量解答。 4.2. 复函数及应力(情形2) 对于情形2，为满足图1的应力边界条件并与式(21)的复变函数形式类同，可选择应力函数的复变量表达式为： F = C 1 i ( w 1 2 ln w 1 − w ¯ 1 2 ln w ¯ 1 ) + C 2 ( w 1 2 + w ¯ 1 2 )             + C 3 i ( w 2 2 ln w 2 − w ¯ 2 2 ln w ¯ 2 ) + C 4 ( w 2 2 + w ¯ 2 2 ) (24) 求二阶偏导数后，可得应力分量为： σ y = ∂ 2 F ∂ x 2 = 2 C 1 i ln w 1 w ¯ 1 + 2 C 3 i ln w 2 w ¯ 2 + 4 C 2 + 4 C 4 σ x = ∂ 2 F ∂ y 2 = − 2 h 1 2 C 1 i ln w 1 w ¯ 1 − 2 h 2 2 C 3 i ln w 2 w ¯ 2 − 4 h 1 2 C 2 − 4 h 2 2 C 4 τ x y = − ∂ 2 F ∂ x ∂ y = 2 h 1 C 1 ( ln w 1 + ln w ¯ 1 + 3 ) + 2 h 2 C 3 ( ln w 2 + ln w ¯ 2 + 3 ) 根据应力边界条件，当 y = 0 时， τ x y = 0 ，由此可确定出： h 2 C 3 = − h 1 C 1 。应力分量转化为： σ x = − 2 h 1 2 C 1 i ( ln w 1 w ¯ 1 − h 2 h 1 ln w 2 w ¯ 2 ) − 4 h 1 2 C 2 − 4 h 2 2 C 4 σ y = 2 C 1 i ( ln w 1 w ¯ 1 − h 1 h 2 ln w 2 w ¯ 2 ) + 4 C 2 + 4 C 4 τ x y = 2 h 1 C 1 ln w 1 w ¯ 1 w 2 w ¯ 2 } (25) 为了化简上式，引入关系式： h 1 sin θ = M 1 sin β 1 ，     cos θ = M 1 cos β 1 h 2 sin θ = M 2 sin β 2 ，     cos θ = M 2 cos β 2 可导出： tan β 1 = h 1 tan θ ，     M 1 = h 1 2 sin 2 θ + cos 2 θ tan β 2 = h 2 tan θ ，     M 2 = h 2 2 sin 2 θ + cos 2 θ 复变量表达式(20)转化为： w 1 = r ( cos θ + i h 1 sin θ ) = r M 1 ( cos β 1 + i sin β 1 ) = r M 1 e i β 1 w 2 = r ( cos θ + i h 2 sin θ ) = r M 2 ( cos β 2 + i sin β 2 ) = r M 2 e i β 2 } (26) 由此可得： w 1 w ¯ 1 = e 2 i β 1 ， w 2 w ¯ 2 = e 2 i β 2 ， w 1 w ¯ 1 w 2 w ¯ 2 = ( M 1 M 2 ) 2 可将式(25)的应力分量简化为： σ x = 4 h 1 2 C 1 ( β 1 − h 2 h 1 β 2 ) − 4 h 1 2 C 2 − 4 h 2 2 C 4 σ y = − 4 C 1 ( β 1 − h 1 h 2 β 2 ) + 4 C 2 + 4 C 4 τ x y = 4 h 1 C 1 ln M 1 M 2 } (27) 注意到： θ = 0 则 β 1 = β 2 = 0 以及 θ = π 则 β 1 = β 2 = π 。再根据应力边界条件可确定出常数为： 4 C 1 = q h 2 π ( h 1 − h 2 ) ，       4 C 2 = q h 2 h 1 − h 2 ，       4 C 4 = − q h 1 h 1 − h 2 由此可得应力分量为： σ x = q h 1 h 2 π ( h 1 − h 2 ) ( h 1 β 1 − h 2 β 2 ) − q h 1 h 2 σ y = q π ( h 1 − h 2 ) ( h 1 β 2 − h 2 β 1 ) − q τ x y = q h 1 h 2 π ( h 1 − h 2 ) ln M 1 M 2 } (28) 式中， h 1 > h 2 > 0 ，根据正交异性材料工程弹性常数按式(19)确定数值。推导的结果表明，应力分量与径向r无关，随着角度 θ 而变化，符合应力边值要求。 值得注意，情形1与情形2有显著差异，适用范围不同。应力表达式(23)可适用于各向同性材料( h = 1 )，但常数h取值受到限制，必需满足式(17)，因此情形1所得结果是特定解答。情形2适用范围广，由式(28)给出的应力解答可适合一般正交异性材料，但公式中的分母出现两个常数之差( h 1 − h 2 )，显然对于各向同性材料就不适用了。由此看出，两种情形既有局限性，又有广泛性，相互弥补，使得解答得以完整。可以认为情形1的解答是在各向同性材料与正交异性材料之间构成的纽带，填补了理论上的缺陷。情形1在学术上显示出严谨性和规律性，情形2具有普遍性与工程实用性。本文的结果对基础理论研究和工程应用方面都可借鉴与参考。