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user: 3. 模型的无病平衡点和基本再生数 令 I 1 = I 2 = I 3 = 0 可得系统(1)的无病平衡点 E 0 ( k d ， 0 ， 0 ， 0 ) 。记 S 0 = k d 。下面我们用再生矩阵的方法 [ 8 ] [ 9 ] 求得基本再生数。 令 X = ( I 1 ， I 2 ， I 3 ， S ) 则系统(1)变成 X ˙ = ℜ ( x ) − ℵ ( x ) ，其中： ℜ ( x ) = ( S ( β 1 I 1 + β 2 I 2 + β 3 I 3 ) 0 0 0 ) ， ℵ ( X ) = ( ( d + ω 1 ) I 1 ( d + ω 2 ) I 2 − ω 1 I 1 ( d + ω 3 ) I 3 − ω 2 I 2 S ( β 1 I 1 + β 2 I 2 + β 3 I 3 ) + d S − k ) . ℜ ( x ) ， ℵ ( x ) 在 E 0 处的Jacobian矩阵分别为： R = [ S 0 β 1 S 0 β 2 S 0 β 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] ， H = [ d + ω 1 0 0 0 − ω 1 d + ω 2 0 0 0 − ω 2 d + ω 3 0 S 0 β 1 S 0 β 2 S 0 β 3 d ] . 则模型的基本再生数 R 0 为： R 0 = ρ ( R H − 1 ) = S 0 β 1 ( d + ω 2 ) ( d + ω 3 ) + S 0 β 2 ω 1 ( d + ω 3 ) + S 0 β 3 ω 1 ω 2 ( d + ω 1 ) ( d + ω 2 ) ( d + ω 3 ) . 定理3.1：当 R 0 > 1 时，无病平衡点 E 0 是不稳定的；当 R 0 < 1 时，无病平衡点 E 0 是局部渐近稳定的。 证明：系统(1)在 E 0 的Jacobian矩阵为： J ( E 0 ) = ( − d − S 0 β 1 − S 0 β 2 − S 0 β 3 0 − d − ω 1 + S 0 β 1 S 0 β 2 S 0 β 3 0 ω 1 − d − ω 2 0 0 0 ω 2 − d − ω 3 ) . 记 A = ( − d − ω 1 + S 0 β 1 S 0 β 2 S 0 β 3 ω 1 − d − ω 2 0 0 ω 2 − d − ω 3 ) . 易知 J ( E 0 ) 有一个特征值为 − d ， J ( E 0 ) 的其余三个特征值即为A的特征值。 det ( A ) = S 0 β 3 ω 1 ω 2 − ( d + ω 3 ) [ d ( d + ω 3 ) − S 0 β 1 ( d + ω 2 ) + ω 1 ( − S 0 β 2 + d + ω 2 ) ] = ( d + ω 1 ) ( d + ω 2 ) ( d + ω 3 ) [ S 0 β 1 ( d + ω 2 ) ( d + ω 3 ) + S 0 β 1 ω 1 ( d + ω 3 ) + S 0 β 3 ω 1 ω 2 ( d + ω 1 ) ( d + ω 2 ) ( d + ω 3 ) − 1 ] = ( d + ω 1 ) ( d + ω 2 ) ( d + ω 3 ) ( R 0 − 1 ) . 当 R 0 > 1 时 det ( A ) > 0 。此时 J ( E 0 ) 必有一个正的特征根，因此无病平衡的 E 0 是不稳定的。下面说明当 R 0 < 1 时， E 0 是局部渐近稳定的。 由前面分析知： T r ( A ) = − 3 d − ω 1 − ω 2 − ω 3 + S 0 β 1 . 易知当 R 0 < 1 时 T r ( A ) < 0 。另外A的第二加性复合矩阵 [ 10 ] [ 11 ] 为： A [ 2 ] = ( − d − ω 1 + S 0 β 1 − d − ω 2 0 − S 0 β 3 ω 2 − d − ω 1 + S 0 β 1 − d − ω 3 0 0 ω 1 − d − ω 2 − d − ω 3 ) . 则 T r ( A [ 2 ] ) = S 0 ω 1 [ − β 3 ω 2 + β 2 ( 2 d − S 0 β 1 + ω 1 + ω 2 ) ]     − ( 2 d − S 0 β 1 + ω 1 + ω 2 ) ( 2 d − S 0 β 1 + ω 1 + ω 3 ) ( 2 d + ω 2 + ω 3 ) 当 R 0 < 1 时 T r ( A [ 2 ] ) < 0 。因此无病平衡点 E 0 是局部渐近稳定的 [ 6 ] 。 事实上， R 0 < 1 时 E 0 还是全局渐近稳定的。 定理3.2当 R 0 < 1 时，无病平衡点 E 0 是全局渐近稳定的。 证明：我们只需考虑 E 0 在系统的正向不变集 Ω = R + 4 ∩ { S + I 1 + I 2 + I 3 ≤ k d } 中的全局渐近稳定性。构造Lyapunov函数 V : Ω → R 如下： V ( S ， I 1 ， I 2 ， I 3 ) = ( S − S 0 − S 0 l n S S 0 ) + a 1 I 1 + a 2 I 2 + a 3 I 3 . 其中 a i ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 为待定常数。易知 V ∈ C 1 且在 Ω 内V只在 E 0 取得最小值，即 V ( E 0 ) = 0 。且有： V ˙ = S ˙ ( 1 − S 0 S ) + a 1 I ˙ 1 + a 2 I ˙ 2 + a 3 I ˙ 3 = ( 1 − S 0 S ) [ k − d S − S ( β 1 I 1 + β 2 I 2 + β 3 I 3 ) ]     + a 1 [ − d I 1 − ω 1 I 1 + S ( β 1 I 1 + β 2 I 2 + β 3 I 3 ) ]     + a 2 ( − d I 2 − ω 2 I 2 + ω 1 I 1 ) + a 3 ( − d I 3 − ω 3 I 3 + ω 2 I 2 ) = − d S ( 1 − S 0 S ) 2 − S ( β 1 I 1 + β 2 I 2 + β 3 I 3 ) + S 0 ( β 1 I 1 + β 2 I 2 + β 3 I 3 )     + a 1 [ − d I 1 − ω 1 I 1 + S ( β 1 I 1 + β 2 I 2 + β 3 I 3 ) ]     + a 2 ( − d I 2 − ω 2 I 2 + ω 1 I 1 ) + a 3 ( − d I 3 − ω 3 I 3 + ω 2 I 2 ) 令 a 1 = 1 ，   a 2 = S 0 β 2 ( d + ω 3 ) + ω 2 S 0 β 3 ( d + ω 2 ) ( d + ω 3 ) ，   a 3 = S 0 β 3 d + ω 3 ，则上式右端可变成： V ˙ = − d S ( 1 − S 0 S ) 2 + [ S 0 β 1 − ( d + ω 1 ) + a 2 ω 1 ] I 1 = − d S ( 1 − S 0 S ) 2 − ( d + ω 1 ) [ 1 − S 0 β 1 + a 2 ω 1 d + ω 1 ] I 1 = − d S ( 1 − S 0 S ) 2 − ( d + ω 1 ) ( 1 − R 0 ) I 1 . 因此当 R 0 < 1 时， V ˙ ≤ 0 。又注意到 { V ˙ = 0 } = { E 0 } ，由LaSalle不变原理， R 0 < 1 时 E 0 在 Ω 上是渐近稳定的，而 Ω 为吸收集，因此 E 0 是全局渐近稳定的。