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user: 4. Bogdanov-Takens分支 当 f 1 ( u 5 ) = 1 且 f 2 ( u 5 ) = − 1 时，系统(2)在正平衡点 E 5 处的特征方程(5)有两个零特征值，此时 u 5 满足方程组(6)及 β u 5 3 + ( 2 β − 1 ) u 5 2 + ( β + r − 2 ) u 5 − 1 = 0. 利用辗转相除法，最终可得到特征方程(5)有两个零特征值的参数条件： { r = 1 8 ( α + β ) 2 { − 2 α β ( 2 α + 2 β − 13 ) + 2 θ ( 2 α 2 + 6 α β − β ) − β 3 − θ ( − 6 β 2 + β θ + 2 α )           + 16 α 2 + 10 β 2 − [ ( 2 α + β ) 2 + β θ + 2 ( α + β ) ] ( β + θ ) 2 + 8 ( α + β ) } ≜ r 0 ， h 0 = α ( θ − r 0 ) ( β + θ ) + ( 2 α + 2 r 0 − 3 ) ( α + β ) − 2 β θ ( 2 α + β ) 2 + β θ + 2 ( α + β ) ≜ h 00 . 图1. (a) 当 α = 0.6 ， β = 5 ， r = 12 ， θ = 0.2 ， h 0 = 1.29 时，在 E 5 附近有一个稳定极限环；(b) 当 α = 0.6 ， β = 5 ， r = 3 ， θ = 0.2 ， h 0 = 0.23 时，在 E 5 附近有一个不稳定极限环 我们选取 h 0 ， r 作为分支参数，讨论系统(2)在 ( h 0 ， r ) = ( h 00 ， r 0 ) 附近的Bogdanov-Takens分支问题。 记 X = ( u ， v ) T ， μ = ( h 0 ， r ) T ， X 0 = ( u 5 ， u 5 ) T ， μ 0 = ( h 00 ， r 0 ) T 。于是系统(2)可以写成 d X d τ = F ( X ， μ ) = ( r u 1 + v − α u 2 − β u v − θ u − h 0 v u ( u − v ) ) ， 其中 X ∈ R 2 ， μ ∈ R 2 。 F ( X ， μ ) 在 ( X 0 ， μ 0 ) 处的泰勒展开式为 F ( X ， μ ) = D F ( X 0 ， μ 0 ) ( X − X 0 ) + F μ ( X 0 ， μ 0 ) ( μ − μ 0 ) + 1 2 D 2 F ( X 0 ， μ 0 ) ( X − X 0 ， X − X 0 )     + F μ X ( X 0 ， μ 0 ) ( X − X 0 ， μ − μ 0 ) + ⋯ 其中 D F ( X 0 ， μ 0 ) = ( f 1 ( u 5 ) f 2 ( u 5 ) 1 − 1 ) = ( 1 − 1 1 − 1 ) . 设有二阶可逆矩阵 P = ( p 1 ， p 2 ) ，使得 P − 1 D F ( X 0 ， μ 0 ) P = ( 0 1 0 0 ) 。可取 p 1 = ( 1 1 ) ， p 2 = ( 2 1 ) 再设 P − 1 = ( q 1 ， q 2 ) T ，可得 q 1 = ( − 1 2 ) ， q 2 = ( 1 − 1 ) . 利用文献 [ 12 ] 中的记号，通过计算，不难得到： a ˜ ≡ 1 2 p 1 T ( q 2 ⋅ D 2 F ( X 0 ， μ 0 ) ) p 1 = − ( α + β ) − r ( 1 + u 5 ) 3 ， b ˜ ≡ p 1 T ( q 1 ⋅ D 2 F ( X 0 ， μ 0 ) ) p 1 + p 1 T ( q 2 ⋅ D 2 F ( X 0 ， μ 0 ) ) p 2 = − 2 α − β − r ( 1 + u 5 ) 2 ， S 1 T ≡ q 2 T F μ ( X 0 ， μ 0 ) = ( − 1 ， u 5 1 + u 5 ) ， S 2 ≡ [ 2 a ˜ b ˜ ( p 1 T ( q 1 ⋅ D 2 F ( X 0 ， μ 0 ) ) p 2 + p 2 T ( q 2 ⋅ D 2 F ( X 0 ， μ 0 ) ) p 2 )       − p 1 T ( q 2 ⋅ D 2 F ( X 0 ， μ 0 ) ) p 2 ] × F μ T ( X 0 ， μ 0 ) q 1     − 2 a ˜ b ˜ ∑ i = 1 2 ( q i ⋅ F μ x ( X 0 ， μ 0 ) ) p i + ( q 2 ⋅ F μ x ( X 0 ， μ 0 ) ) p 1 = ( s 21 ， s 22 ) T 其中 s 21 = 4 α u 5 4 + ( 4 α r + 12 α + 5 ) u 5 3 + ( 12 α − 4 r + 15 ) u 5 2 + ( 4 α + 15 ) u 5 + 5 u 5 ( 1 + u 5 ) 3 ( 2 α u 5 + 1 ) . s 22 = − 6 α u 5 4 + ( 4 α r + 16 α + 7 ) u 5 3 + ( 14 α − 6 r + 20 ) u 5 2 + ( 4 α + 19 ) u 5 + 6 ( 1 + u 5 ) 4 ( 2 α u 5 + 1 ) . 记 λ 1 = h 0 − h 00 ， λ 2 = r − r 0 ，则 β 1 ≡ S 1 T ( μ − μ 0 ) = − λ 1 + λ 2 u 5 1 + u 5 ， β 2 ≡ S 2 T ( μ − μ 0 ) = s 21 λ 1 + s 22 λ 2 . 由文献 [ 12 ] 可知，当 0 < ‖ ( λ 1 ， λ 2 ) ‖ ≪ 1 时，系统(2)在正平衡点 E 5 附近的中心流形上的轨线行为局部拓扑等价于以下系统 { d z 1 d τ = z 2 ， d z 2 d τ = β 1 + β 2 z 1 + a ˜ z 1 2 + b ˜ z 1 z 2 . (8) 由于 a ˜ < 0 ， b ˜ < 0 ，再作变量变换 τ = − b ˜ a ˜ t 1 ， z 1 = a ˜ b ˜ 2 η 1 ， z 2 = − a ˜ 2 b ˜ 3 η 2 ， 于是系统(8)变为 { d η 1 d t 1 = η 2 ， d η 2 d t 1 = γ 1 + γ 2 η 1 + η 1 2 − η 1 η 2 . (9) 其中： γ 1 = b ˜ 4 a ˜ 3 β 1 ， γ 2 = b ˜ 2 a ˜ 2 β 2 。对系统(9)，利用文 [ 11 ] 中关于Bogdanov-Takens分支的讨论，可知，当 0 < ‖ ( γ 1 ， γ 2 ) ‖ ≪ 1 时，系统(9)在原点附近有以下分支现象： i) 有鞍结点分支曲线： ； ii) 有Hopf分支曲线： H = { ( γ 1 ， γ 2 ) : γ 1 = 0 ， γ 2 < 0 } ； iii) 有同宿分支曲线： H L = { ( γ 1 ， γ 2 ) : 25 γ 1 + 6 γ 2 2 = o ( γ 2 2 ) ， γ 2 < 0 } 。 例如，取参数 α = 0 .6 ， β = 5 ， θ = 0.2 时，可算出 r 0 = 2.414799684 ， h 00 = 0.1590754631 ，当 ( r ， h 0 ) = ( r 0 ， h 00 ) 时，系统(2)在正平衡点 E 5 ( 0.146243216 ， 0.146243216 ) 处有两个零特征值。当 0 < ‖ ( r − r 0 ， h 0 − h 00 ) ‖ ≪ 1 时，在 E 5 附近有Bogdanov-Takens分支产生。出现的鞍结点分支曲线SN，Hopf分支曲线H与同宿分支曲线HL将整个参数平面 O γ 1 γ 2 分为四个区域，分别为图2(a)中区域①~④。下面在 ( r 0 ， h 0 0 ) 附近适当选取几组参数值 ( r ， h 0 ) ，使得 ( γ 1 ， γ 2 ) 分别位于每一个区域上，并作出系统(2)对应的相图。 取 h 0 = 0.1690754631 。当 r = 2.464799684 时， ( γ 1 ， γ 2 ) = ( 0.0404349372 ， 0.0870823038 ) ∈ ①，此时系统(2)的相图如图2(b)所示，系统(2)无正平衡点；当 r = 2.492799684 时， ( γ 1 ， γ 2 ) = ( 0.0005403447 ， − 0.0761137454 ) ∈ ②，此时系统(2)的相图如图2(c)所示；当 r = 2.493799684 时， ( γ 1 ， γ 2 ) = ( − 0.0008844622 ， − 0.0819421757 ) ∈ ③，此时系统(2)的相图如图2(d)所示，系统(2)有一个不稳定极限环(红色闭曲线)出现；当 r = 2.514799684 时， ( γ 1 ， γ 2 ) = ( − 0.0308054066 ， − 0.2043392125 ) ∈ ④，此时系统(2)的相图如图2(e)所示；当 r = 2.494410328 时， ( γ 1 ， γ 2 ) = ( − 0.0017545115 ， − 0.0855012698 ) ∈ H L ，此时系统(2)的相图如图2(f)所示，系统(2)有一条同宿轨(红色曲线)出现。