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user: 3. 结果与讨论 3.1. “精密度法则”在光度法中的作用 实践证明，光度法测定中的人员、器械、物料、方法、环境都会严重影响它的测定结果，错乱光度法的真实规律。只有严格遵循“精密度法则”，即严格保持各干扰因素在同一测定系列各个样品(包括标准样品)的制备和测定中的同一性 [ 13 ]，才能显现光度法的真实规律。同时，它是正态分布理论在光度法中的具体体现，使光度法的样本测得值近似正态分布，不仅易于发现系统误差和统计离群值，保证了测定结果的可靠性，而且简化了结果的不确定度评定，确立了不确定度的测量模型。 3.2. 化学物质吸光规律 选取多个碳钢标准样品，在严格遵循“精密度法则”条件下，按照本文2.2的方法，测定 MnO 4 − 的吸光度。测定结果列于表1。 Table 1 Absorption of manganese standard sample at 520 n 标准含量C (%) 0.19 0.48 0.77 0.96 1.40 1.78 2.02 520 nm吸光度A 0.114 0.235 0.350 0.428 0.608 0.760 0.860 表1. 锰标准样品520 nm的吸光度 根据表1数据，绘制锰的“校准曲线”(图1)。从图1可以看出，在入射光520 nm值域(0.10~0.86)内，所有样品的含量和吸光度的坐标点(C，A)都落在同一“校准曲线”上。曲线方程是“两点式”： 图1. 锰的“校准曲线” ( A x − A I ) / ( A I I − A I ) = ( C x − C I ) / ( C I I − C I ) (1) 从图1可知，曲线的方程可以有如下形式： A I I - A I = k ( C I I − C I ) (2) 以吸光度改变量 Δ A 、含量改变量 Δ C 分别替代 ( A I I - A I ) 和 ( C I I − C I ) ，式(2)可简化为： Δ A = k Δ C (3) 式(3)表明，“在入射光值域内，化学物质的吸光度改变量 Δ A 与其相应的含量改变量 Δ C 成正比： Δ A = k Δ C ”。我们称它为“化学物质吸光规律”。 “化学物质吸光规律”的存在，决定了入射光值域上、下限两个标准样品的坐标点连接线，即可作为样品含量的“测定线”，从而确立了“两标准光度法”，无需采用多个标准样品绘制“校准曲线”，因为“测定线”和“校准曲线”处于同一 Δ A = k Δ C 的直线上。吸光度A x 对应的样品含量C x ，既可从“测定线”上查得，也可根据如下公式获得： C x = [ ( A x − A t ) ( C I I − C I ) / ( A I I − A I ) ] + C I (4) 比如，样品A x = 0.428的相应含量，从“测定线”上查得是0.96%，将A x = 0.428、A I = 0.114、C II = 2.02%、C I = 0.19%、A II = 0.860代入式(4)，得到的含量同样是0.96%： C x = [ ( 0.614 ) ( 1.83 ) / ( 0.746 ) ] + 0.19 = 0.770 + 0.19 = 0.96 (%) 上述事实表明“测定线”与式(4)是等效的，它们都是“化学物质吸光规律”的具体体现。但“校准曲线”(“测定线”)却与比尔定律不符，比如，“测定线”上吸光度A x = 0.428的相应含量是0.96%，而按照比尔定律，若以含量0.19%、吸光度0.114作标准，则A x = 0.428的相应含量为0.71%；若以0.77%、吸光度0.350作标准，则其含量为0.94%；若以1.40%、吸光度0.608作标准，则其含量又为0.99%；若以2.02%、吸光度0.860作标准，又成为1.01%。可见，按照比尔定律，只有用含量与样品逼近的标准样品进行换算，如0.77%或1.40%，才可得到较为接近样品实际含量的结果，而以与样品含量相差较大的标准换算，则两者含量相差越大，得到样品结果的系统误差误差也越大，这是采用比尔定律造成测定结果带有系统误差的根本原因(见本文3.4中的实例)。所以，认为光度法在“校准曲线”范围内符合比尔定律的观点仍然是错误的。 “化学物质吸光规律”不仅使光度法的实际操作得以简化，更重要的是，它奠定了光度法测定各种含量的理论基础，因为 Δ A = k Δ C 中的含量改变量 Δ C ，既可是痕量的改变量，也可是高含量的改变量。 3.3. “精密度法则”是正态分布理论在光度法中的具体体现 中心极限定理表明，如果受一系列独立因素影响的随机变量X i 的变化，对其总和的影响“都很微小”，则X i 的分布极限是正态分布 [ 14 ] [ 15 ]。也就是当 n → ∞ 时，量值μ样本的测得值X i 是正态分布。尽管影响光度法的“人员、器械、物料、方法、环境”等因素千差万别，但只要在量值μ样本的各个观察值X i 的制备和测试过程，都严格遵循“精密度法则”，则各个观察值X i 就会“如出一模”，它们各自的变化对其总和的影响就必然“都很微小”，所以它们的“大样本( n → ∞ )”就是正态分布。统计学又证明这时，n > 5的“小样本”近似正态分布，而且容量越大越近似正态分布 [ 16 ]。 3.4. “小样本”中系统误差的排除 实践证明，由于采用标准样品与被测样品含量的差异，按照比尔定律求得结果，常常含有系统误差。比如碳钢中锰的9个重复测定结果(%)：0.68、0.69、0.68、0.67、0.69、0.71、0.72、0.69、0.70，就含有系统误差。因为遵循“精密度法则”的样本测得值近似正态分布，也就是测得值以均值为中心近似均称分布。比如，表2“两标准光度法”锰、硅、磷的10个测得值 [ 17 ]，它们的分布都基本均称。而上述9个测得值，6个≥0.69，3个<0.69，分布明显不均称，表明有系统误差。根据“两标准光度法”会消除系统误差的事实，采用“两标准光度法”对其重新确定(%)：0.66、0.66、0.67、0.66、0.67、0.66、0.68、0.67、0.73，其中≥0.67的是5个，<0.67的是4个，基本均称。实践证明，不经过系统误差排除，测定结果常常会是错误的 [ 18 ]，本例排除前均值为0.69%，排除后为0.67%，两者显然不同。 3.5. “小样本”中统计离群值的排除 “小样本”测得值中常常存在异常数据，即统计离群值，它们会严重影响结果的可靠性。“小样本”近似正态分布，为发现统计离群值提供了条件。因为正态分布的样本均值 X ¯ ′ ，会因测得值的不同而在极差中心的左右摆动，所以含最大残差E R 的测得值，必然处于极差R与0.5R之间。我们采用“折半法”，在n = 5~10的“小样本”中，对其测得值进行选择，使超出( X ¯ ′ ± E R )的测得值，即为GB/T4883-2008中格拉布斯法的“统计离群值” [ 19 ]。经过大量统计归纳，我们确定E R = 0.65R，即超出( X ¯ ′ ± 0.65 R )的测得值，就是应剔除的统计离群值。上述3.4中不含系统误差的9个测得值(%)：0.66、0.66、0.67、0.66、0.67、0.66、0.68、0.67、0.73， X ¯ ′ = 0.67%，R = 0.07%。它们的( X ¯ ′ ± 0.65 R )区间：0.62%~0.72%，测得值0.73%超出了该区间，所以是个应当剔除的统计离群值。清除0.73%后 X ¯ ′ = 0.67%既不含系统误差，也不含统计离群值，所以是可靠的。虽然清除0.73%前后的均值依然是0.67%，这并不表明这一清除没有必要，因为清除前的极差R = 0.07%，清除后的极差R = 0.02%。前者U 95 = 0.02%，测定结果为(0.67 ± 0.02)%，k p = 2；后者U 95 = 0.01%，测定结果为(0.67 ± 0.01)%，k p = 2。两个结果的不确定度差了一倍，表明只有排除了系统误差和统计离群值的结果才是真实可靠的。比如表2中“两标准光度法”锰、硅、磷的测得值，既排除了系统误差，同时又排除了统计离群值，所以它们才是真实可靠的 [ 17 ]。 Table 2 Determination results of “two standard photometry” for manganese， silicon and phosphoru 元素 标准值 测得值 均值 极差R 最大残差E R U 95 Mn 0.69 0.70，0.67，0.71，0.69，0.68， 0.69，0.71，0.67，0.70，0.71 0.69 0.04 0.03 0.008 Si 0.26 0.26，0.26，0.26，0.26，0.25， 0.27，0.27，0.28，0.28，0.27 0.27 0.03 0.02 0.006 P 0.024 0.021，0.025，0.025，0.024，0.024， 0.025，0.024，0.023，0.025，0.027 0.024 0.006 0.004 0.001 表2. 锰、硅、磷“两标准光度法”的测定结果 实践证明，以( X ¯ ′ ± 0.65 R )判断统计离群值是必要的，也是有效的。它简化了格拉布斯法的应用，对于保证检测结果的可靠性是极为实用的。 3.6. “增量光度法”的确立 基于系统误差可改变“两标准光度法”的吸光度而不改变其样品含量的事实，我们确立了微含量样品测定的“增量光度法”。比如，应用 MnO 4 − 光度法对含锰量低于0.10%的铁粉样品X中锰的测定：选取含锰0.00%的纯铁粉B 1 和含锰量0.96%的碳钢B 2 ，作为铁粉样品X锰测定的上、下限两个标准样品，并以含锰量0.96%的碳钢B 2 作为锰测定系列的系统“增量”，实施铁粉样品X中锰的测定。 按照本文2.2方法称取试样0.2000 g，制成各试样的“母液”100 ml。用同一10 ml刻度移液管分别移取各“母液”10 ml，分别置于3个200 ml的锥形瓶中。再用同一10 ml刻度移液管，向3个锥形瓶中分别加入B 2 “母液”10 ml作为测定系列的系统“增量”。再用同一5 ml刻度移液管向3个锥形瓶中分别加入硝酸银溶液、过硫酸铵溶液各5 ml。然后按照本文2.2方法显色、测定各自 MnO 4 − 的吸光度。 铁粉X、纯铁粉B 1 、碳钢B 2 三个样品的吸光度分别为0.310、0.300、0.560。纯铁粉B 1 锰含量为0.00%，标准B 2 在体积20 ml时锰含量为0.96%，在体积为30 ml时锰含量则为0.64%。以B 1 、B 2 两个的坐标点(0.00%，0.300)、(0.64%，0.560)连接线作为样品X锰的“测定线”，查得铁粉X吸光度0.310相应的锰含量为0.035%。 实践证明，“增量光度法”比“标准加入法”更简便而切合实际 [ 20 ]。 3.7. 光度法测定结果的不确定度 从本文3.3可知，遵循“精密度法则”的光度法样本测定，与JJF1059.1-2012《测量不确定度评定与表示》 [ 21 ] (以下简称“规范”)的重复性测量一致。“规范”之4.3.2.6指出，被测量的n次重复测量的平均值 X ¯ ′ 的A类标准不确定度为： u ( X ¯ ′ ) = S / n (5) 统计学指出， S / n 是测定“小样本”平均值 X ¯ ′ 的实验标准差，它表明 X ¯ ′ 落在 μ ± 2 S / n 和 μ ± 3 S / n 两个区间的概率分别为0.9545%和0.9973% [ 22 ]。“规范”之4.5指出，这两个包含区间的半宽度就分别是 X ¯ ′ 的两个扩展不确定度： U 95 = 2 S / n ， k p = 2 (6) U 99 = 3 S / n ， k p = 3 (7) S是样本观察值X i 的标准差。根据“规范”4.3.2.6之要求，“小样本”容量应取10。这时“小样本”必然近似正态分布，所以X 10 的S可按照极差法 S = R / C 评估。n = 10，则 C ≈ 3 ， S = R / 3 。将 S = R / 3 代入式(6)、式(7)，即可得到不确定度的测量模型： U 95 = 0.67 R / n ， k p = 2 (8) U 99 = R / n ， k p = 3 (9) 测量模型式(8)、式(9)表明，“小样本”均值 X ¯ ′ 的不确定度与样本极差成正比，与样本容量的平方根成反比。实践证明，它们是“规范”要求的“在任何给定被测量的测量值实际可达到的最小测量不确定度”，比“合成法”评定结果简明而切合实际 [ 18 ] [ 23 ]。 3.8. 不确定度与允许误差的统一 实验室的日常检测结果都有允许误差要求，而当前国家对实验室测量结果又有了不确定度要求 [ 24 ]，所以应当使两者统一，光度法的不确定度测量模型具备了这样的条件。因为无论不同实验室的“人员、器械、物料、方法、环境”多么不同，只要各自都遵循“精密度法则”，检测相同化学物质的“人员、器械、物料、方法、环境”检测能力必然是确定的，同一化学物质的同一个测定系列，就只能有一个的正常极差R (超常极差会在排除统计离群值中被清除)，所以各自样本的不确定度就只决定于各自样本的容量。如果设定各自样本测定的允许误差为 Δ ，它就是该物质日常检测结果的“约定不确定度”。已知容量为n“小样本”的不确定度是U 95 和U 99 ，则“约定不确定度” Δ 的“小样本”容量n X 就应分别为： n X = n ( U 95 / Δ ) 2 ( 取 整 数 ) (10) n X = n ( U 99 / Δ ) 2 ( 取 整 数 ) (11) 比如，表2碳钢中锰、硅、磷的10次测得值，锰的允许误差 Δ = ± 0.04 % ，不确定度U 95 = 0.008%；硅的允许误差 Δ = ± 0.03 % ，不确定度U 95 = 0.006%；磷的允许误差 Δ = ± 0.05 % ，不确定度U 95 = 0.001%。根据式(10)，它们的n X 都为0.4 (计算过程省略)，即都是一次测得值X i 就可满足允许误差要求。它们测定结果的允许误差和不确定度就统一是 Δ 。测得结果既可以允许误差方式表达为： ( X i ± Δ ) % ，也可以不确定度方式表达为： ( X i ± Δ ) % ，k p = 2。实际表2中锰、硅、磷的10个测得值中的每一个，与它们的标准值之间的误差，都没有超出各自的允许误差 Δ ，标准值也没有超出它包含概率0.95区间的半宽度 Δ 。 Δ 比表2中的U 95 值大，因为在遵循“精密度法则”条件下，样本容量愈小，不确定度就愈大。 式(10)、(11)对于常规检测的指导作用，证明了光度法不确定度模型的可靠性、普适性，“合成法”的评定结果就没有这种特性。也表明了“精密度法则”使光度法样本测得值正态分布的重要，因为没有样本的正态分布，就没有光度法不确定度的测量模型。