system: [SYSTEM]

user: 2. 预备知识及基本引理 首先引入完备代数正规类及相关的概念。 设 A 是完备代数类，其中的对象称为代数，0是 A 的一个固定元，称零代数，~是 A 上的一个等价关系，它们满足以下公理(A1~A7) [ 17 ] ： A1： ∀ a ∈ A ，对应有1个完备格 ( L a s ， ≤ ) 及其3个完备子格 ( L a ， ≤ ) ， ( L a r ， ≤ ) 及 ( L a l ， ≤ ) ，使得 L a s ⊆ A ，且0，a分别是 ( L a s ， ≤ ) 中的底和顶， 0 ， a ∈ L a ， L a = L a r ∩ L a l 。 ∀ a ， b ∈ A ，如果 a ≤ b ，称a小于b，或者b大于a，或者b包含a。 ∀ a ∈ A ， i ∈ L a s ，称i为a的子代数，记为 i ≤ s a ； i ∈ L a ，称i为a的理想，记为 i ⊲ a ； i ∈ L a r ，称i为a的右理想，记为 i ⊲ r a ； i ∈ L a l ，称i为a的左理想，记为 i ⊲ l a 。 ∀ i ， j ∈ L a s ， [ i ， j ] L a s 表示区间 { x | x ∈ L a s ， i ≤ x ≤ j } ； ∀ i ， j ∈ L a s ， [ i ， j ] L a 表示区间 { x | x ∈ L a ， i ≤ x ≤ j } ； ∀ i ， j ∈ L a s ， [ i ， j ] L a r 表示区间 { x | x ∈ L a r ， i ≤ x ≤ j } ； ∀ i ， j ∈ L a s ， [ i ， j ] L a l 表示区间 { x | x ∈ L a l ， i ≤ x ≤ j } 。 ∀ a ， b ∈ A ，如果存在 a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a n ∈ A ( n ≥ 1 ) ，使得 b = a n ⊲ a n − 1 ⊲ ⋯ ⊲ a 2 ⊲ a 1 = a ，则称b为a的可达子代数。记 A a = { i ∈ A | i 是a的可达子代数}。 A2： ∀ a ∈ A ， i ， j ∈ L a s 。 如果 i ， j ∈ L a ，则 i ∨ j ， i ∧ j 运算在 ( L a s ， ≤ ) 与 ( L a ， ≤ ) 中一致； 如果 i ， j ∈ L a r ，则 i ∨ j ， i ∧ j 运算在 ( L a s ， ≤ ) 与 ( L a r ， ≤ ) 中一致； 如果 i ， j ∈ L a l ，则 i ∨ j ， i ∧ j 运算在 ( L a s ， ≤ ) 与 ( L a l ， ≤ ) 中一致。 A3： ∀ a ∈ A ，如果 i ∈ L a s ， [ 0 ， i ] L a s = L i s ， [ 0 ， i ] L a 是 L i 的一个子格， [ 0 ， i ] L a r 是 L i r 的一个子格， [ 0 ， i ] L a l 是 L i l 的一个子格； ∀ a ∈ A ，如果 ∀ i ∈ L a s ， [ 0 ， i ] L a s = L i s ， [ 0 ， i ] L a = L i ， [ 0 ， i ] L a r = L i r ， [ 0 ， i ] L a l = L i l ，则称a为平凡代数。 A4： ∀ a ∈ A ， i ⊲ a ，有 A 中一个代数(记为a/i，称a关于理想i的商)使得 i ∈ L a / i s = { k / i | k ∈ [ i ， a ] L a s } ，且映射： φ 1 : [ i ， a ] L a s → L a / i s ， φ 1 ( k ) = k / i 是格同构； φ 2 : [ i ， a ] L a → L a / i ， φ 2 ( k ) = k / i 是格同构； φ 2 : [ i ， a ] L a r → L a / i r ， φ 3 ( k ) = k / i 是格同构； φ 4 : [ i ， a ] L a l → L a / i l ， φ 4 ( k ) = k / i 是格同构。 A5：如果 a ， b ∈ A ，a~b，则存在一个格同构 f : L a → L b ，使得 k ∈ L a s ，有：k~f(k)且如果 k ∈ L a ，则 a / k ~ b / f ( k ) 。 A6： ∀ a ∈ A ， i ∈ L a ， j ∈ L a s ，有 ( i ∨ j ) / i ~ j / ( i ∧ j ) ；如果 i ≤ j ， j ∈ L a ，则 ( a / i ) / ( j / i ) ~ a / j 。 A7 (子代数乘积公理)： L a s 上乘积为映射 f : L a s × L a s → L a s ， ∀ i ， j ∈ L a s (记 f ( i ， j ) = i j )，且满足： 1) ∀ a ∈ A ， i ， j ， k ∈ L a s ， ( i j ) k = i ( j k ) (记为ijk)； 2) ∀ a ∈ A ， i ∈ L a s ， i i ≤ i ； 3) ∀ a ∈ A ， i ， j α ∈ L a s ( α ∈ Γ ， Γ 是指标集)，有 i ( ∧ j α ) ≤ ∧ ( i j α ) ， ( ∧ j α ) i ≤ ∧ ( j α i ) ， i ( ∨ j α ) ≥ ∨ ( i j α ) ， ( ∨ j α ) i ≥ ∨ ( j α i ) ；特别地，如果 ∀ α ∈ Γ ， j α ∈ L a ，则 i ( ∨ j α ) = ∨ ( i j α ) ， ( ∨ j α ) i = ∨ ( j α i ) ； 4) ∀ a ∈ A ， i ， j ∈ L a s ， k ∈ L a ，有 ( ( i ∨ k ) / k ) ( ( j ∨ k ) / k ) = ( i j ∨ k ) / k ； 5) ∀ a ∈ A ， i ， j ∈ L a s ，如果 i ， j ∈ L a ，则 i j ∈ L a ；如果 i ， j ∈ L a r ，则 i j ∈ L a r ；如果 i ， j ∈ L a l ，则 i j ∈ L a l ； 6) ∀ a ∈ A ， i ∈ L a s ，则 i ∈ L a r 当且仅当 i a ≤ i ； 7) ∀ a ∈ A ， i ∈ L a s ，则 i ∈ L a l 当且仅当 a i ≤ i ； 8) ∀ a ∈ A ， i ， j ， k ∈ L a s ， i ≤ j 有 k i ≤ k j ， i k ≤ j k 。 ∀ a ∈ A ， i ∈ L a s ，n是正整数，记 i 1 = i ， i 2 = i i ， i 3 = i 2 i ， ⋯ ， i n = i n − 1 i ， n ≥ 2 。 对于一个代数类 A ， R ⊆ A 是 A 的子类。如果 0 ∈ R ，且 a ∈ R ，a~b，就有 b ∈ R ，则称R为一个抽象类；如果 a ∈ R ，则称a为R-代数；如果 i ∈ L a ， i ∈ R ，则称i为a的R-理想。 定义2.1 [ 12 ] ： A 是一个代数类， R ⊆ A 如果R满足： 1) ∀ a ∈ A ， i ⊲ a ，如果 a ∈ R ，则 a / i ∈ R (即R商闭)； 2) ∀ a ∈ A ，a有一个最大的R-理想(记为R(a))，称a的R-根； 3) ∀ a ∈ A ，有R(a/R(a)) = 0。 则称R为 A 中的一个根类，简称根。 定义2.2 [ 12 ] ： A 是一个代数类， R ⊆ A 是一个根类，A中代数类 PR = { a | R ( a ) = 0 } 称为R的半单类，PR中元素称为R-半单代数。 定义2.3 [ 12 ] ： A 是一个代数类， a ∈ A ， i ⊲ a ，如果 j ， k ⊲ a ，当 j ≤ i ≤ k ，i/j~k/i，且i/j是平凡代数，都有 j = i = k ，则称i是a的特异理想，记为 i ◀ a 。 定义2.4 [ 12 ] ： A 是一个代数类，称 A 是一个正规类，如果 A 满足以下公理： A8： ∀ a ∈ A ， i ⊲ a ， j ◀ i ，则 j ⊲ a 。 由定义即知完备代数正规类 A (即 A 既是一个完备代数类，又是一个正规类)是一般代数正规类 [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] 、可积代数正规类 [ 16 ] [ 21 ] ，故文献 [ 12 ] - [ 16 ] [ 21 ] 中的结论在完备代数正规类中皆成立。显然结合环类(相对于子环类、左理想类、右理想类及理想类关于集合包含关系“ ⊆ ”构成的完备格及相应的乘积)是完备代数正规类。由完备代数正规类乘积公理可保证环中理想、左右理想乘积相关的运算性质在完备代数正规类中皆成立。 引理2.5 [ 15 ] ： A 是一个完备代数正规类，则： 1) 如果 i ， j ⊲ a ，则 i j ≤ i ∧ j ，特别 i i ≤ i ； 2) 如果 i ， j ⊲ a ，则 i j ⊲ a ； 3) n是正整数，如果 i 1 ， i 2 ， ⋯ ， i n ⊲ a ，则 i 1 i 2 ⋯ i n ⊲ a 。 引理2.6 [ 13 ] [ 14 ] ： A 是一个完备代数正规类，R为 A 中的一个根类， a ∈ A ， i ⊲ a 。如果 a / i ∈ PR ，则 R ( a ) ≤ i 。 引理2.7 [ 15 ] ： A 是一个完备代数正规类，K为 A 的一个子类，K中每个代数的理想都在K中(即K对理想封闭)。则 R = { a ∈ A | ∀ i ⊲ a ， 0 ≠ a / i ∉ K } 是一个根类(称由K确定的上根，记为UK)，且 K ⊆ PR 。进一步有：如果 R 1 是一个根类，且 K ⊆ PR 1 ，则 R 1 ⊆ R ，记为根类 R 1 ≤ R 。 引理2.8 [ 15 ] ： A 是一个完备代数正规类，∀a∈A， i ⊲ a ， k ⊲ i ， k ¯ 是a的包含k的最小理想。则 k ¯ = k ∨ a k ∨ k a ∨ a k a ，且 k ¯ 3 ≤ k 。