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user: 2. 预备知识 设 C [ 0 ， 1 ] 为实值连续函数构成的空间，其在范数 ‖ u ‖ C = max t ∈ [ 0 ， 1 ] | u ( t ) | 下构成Banach空间。 令 X = { u ∈ C 3 [ 0 ， 1 ] | u ( 0 ) = u ′ ( 0 ) = u ″ ( 1 ) = u ‴ ( 1 ) = 0 } ，其在范数 ‖ u ‖ X = max { ‖ u ‖ C ， ‖ u ′ ‖ C ， ‖ u ″ ‖ C ， ‖ u ‴ ‖ C } 下构成Banach空间。 设 ( E ， ‖ ⋅ ‖ ) 是一个Banach空间， K ⊂ E 是E中的一个锥。 A : [ 0 ， ∞ ) × K → E 是一个非线性算子。如果 A ( [ 0 ， ∞ ) × K ) ⊆ K ，则称非线性算子A是正的。若A是连续的且A将 [ 0 ， ∞ ) × K 中的有界集映为E中的准紧子集，则称非线性算子A是K-全连续的。设 V : E → E 是一个正线性算子，如果 A ( λ ， u ) ≥ λ V ( u ) 对 ( λ ， u ) ∈ [ 0 ， ∞ ) × K 成立，则称V是关于A的线性弱函数。 设B是E上的线性连续算子，令 r ( B ) 为B的谱半径，定义集合 C K ( B ) = { λ ∈ [ 0 ， ∞ ) | 存在 x ∈ K 且 ‖ x ‖ = 1 ，使得 x = λ B x } 。 引理1 [ 9 ] 假设 i) K有非空的内部，且 E = K − K ¯ ， ii) A : [ 0 ， ∞ ) × K → E 是K-全连续的正算子，对 λ ∈ R ， A ( λ ， 0 ) = 0 且 A ( λ ， u ) = λ B u + F ( λ ， u ) ， 其中 B : E → E 是线性强正紧算子且 r ( B ) > 0 ， F : [ 0 ， ∞ ) × K → E 满足当 ‖ u ‖ → 0 时， ‖ F ( t ， u ) ‖ = o ( ‖ u ‖ ) 对 λ 局部一致成立，则集合 D K ( A ) = { ( λ ， u ) ∈ [ 0 ， ∞ ) × K | u = A ( λ ， u ) ， u ≠ 0 } ∪ ( r ( B ) − 1 ， 0 ) 存在一个无界连通分支 C 且 ( r ( B ) − 1 ， 0 ) ∈ C 。更进一步，如果V是A的一个线性弱函数，且存在 ( μ ， y ) ∈ ( 0 ， ∞ ) × K ，使得 ‖ y ‖ = 1 且 μ V y ≥ y ，则 C ⊆ { D K ( A ) ∩ ( [ 0 ， μ ] × K ) } . 引理2 [ 9 ] (Krein-Rutman定理)设E是一个Bannach空间， K ⊂ E 是一个锥满足 K ∖ K ¯ = E 。设 T ∈ L ( E ) 是一个紧的正算子，并且 r ( T ) > 0 ，则 r ( T ) 是T的具有正特征函数的正特征值。 引理3 若 φ ∈ C [ 0 ， 1 ] ， u ∈ C 4 [ 0 ， 1 ] ，则线性边值问题 { u ( 4 ) ( t ) = φ ( t ) ， t ∈ ( 0 ， 1 ) ， u ( 0 ) = u ′ ( 0 ) = u ″ ( 1 ) = u ‴ ( 1 ) = 0 存在唯一解 u ( t ) = ∫ 0 1 G 1 ( t ， s ) φ ( s ) d s ， 其中 G 1 ( t ， s ) = { 1 6 s 2 ( 3 t − s ) ， 0 ≤ s ≤ t ≤ 1 ， 1 6 t 2 ( 3 s − t ) ， 0 ≤ t ≤ s ≤ 1 而 u ′ ( t ) = ∫ 0 1 G 2 ( t ， s ) φ ( s ) d s ， 其中 G 2 ( t ， s ) = { 1 2 s 2 ， 0 ≤ s ≤ t ≤ 1 ， t s − 1 2 t 2 ， 0 ≤ t ≤ s ≤ 1 为了研究问题(2)，需要考虑线性特征值问题 { u ( 4 ) = λ ( α u + β u ′ ) ， 0 < t < 1 ， u ( 0 ) = u ′ ( 0 ) = u ″ ( 1 ) = u ‴ ( 1 ) = 0 (3) 其中 ( α ， β ) ∈ [ 0 ， ∞ ) × [ 0 ， ∞ ) 均为常数且满足 α + β > 0 。 定义1 [ 9 ] 如果 λ 使得问题(3)有非平凡解，则称 λ 是问题(3)的广义特征值。 接下来，定义锥 P = { u ∈ X | u ( t ) ≥ 0 ， u ′ ( t ) ≥ 0 ， t ∈ [ 0 ， 1 ] } ， 则P是正规的且有非空内部， X = P \ P ¯ 。 对于线性特征值问题 { u ( 4 ) = λ ( a u + b u ′ ) ， 0 < t < 1 ， u ( 0 ) = u ′ ( 0 ) = u ″ ( 1 ) = u ‴ ( 1 ) = 0 (4) 定义算子 T : P → C [ 0 ， 1 ] 为 T u ( t ) = λ ∫ 0 1 G 1 ( t ， s ) a u ( s ) d s + λ ∫ 0 1 G 2 ( t ， s ) b u ( s ) d s . 下证 T ( P \ { 0 } ) ⊂ int P 且 T : P → P 是全连续的。 引理 4 T ( P \ { 0 } ) ⊂ int P 。 证明 根据锥P的定义 P \ { 0 } 意味着 u ( t ) > 0 ，由边界条件 u ( 0 ) = 0 知，此时 t ∈ ( 0 ， 1 ] ，故对任意的 u ∈ P \ { 0 } ， ( T u ) ( t ) = λ ∫ 0 1 G 1 ( t ， s ) a u ( s ) d s + λ ∫ 0 1 G 2 ( t ， s ) b u ( s ) d s > 0 . 因此 T u ( t ) ⊂ int P ，即 T ( P \ { 0 } ) ⊂ int P 。 引理5 T : P → P 是全连续的。 证明 对任意的 t ∈ [ 0 ， 1 ] ，若存在一列 u n ( t ) → u ( t ) ( n → ∞ ) 于P，有 lim n → ∞ | T u n ( t ) − T u ( t ) | = lim n → ∞ λ | ∫ 0 1 G 1 ( t ， s ) a u n ( s ) d s − ∫ 0 1 G 1 ( t ， s ) a u ( s ) d s     + ∫ 0 1 G 2 ( t ， s ) b u n ( s ) d s − ∫ 0 1 G 2 ( t ， s ) b u ( s ) d s | ≤ lim n → ∞ λ ∫ 0 1 G 1 ( t ， s ) a | u n ( s ) − u ( s ) | d s + λ ∫ 0 1 G 2 ( t ， s ) b | u n ( s ) − u ( s ) | d s = 0 这表明当 u n ( t ) → u ( t ) ( n → ∞ ) 时，有 T u n ( t ) → T u ( t ) ，由Heine定理，T连续且在P中一致有界。 对任意的 ε > 0 ，存在 δ = 6 ϵ λ ‖ u ‖ C ( 2 a + 3 b ) > 0 ，使得 | t 1 − t 2 | < δ ， t 1 ， t 2 ∈ [ 0 ， 1 ] 及 u ∈ P 时，有 | T u ( t 1 ) − T u ( t 2 ) | = λ | ∫ 0 1 G 1 ( t 1 ， s ) a u ( s ) d s − ∫ 0 1 G 1 ( t 2 ， s ) a u ( s ) d s     + ∫ 0 1 G 2 ( t 1 ， s ) b u n ( s ) d s − ∫ 0 1 G 2 ( t 2 ， s ) b u ( s ) d s | ≤ λ | ∫ t 1 t 2 G 1 ( t ， s ) a u ( s ) d s | + λ | ∫ t 1 t 2 G 2 ( t ， s ) b u ( s ) d s | ≤ λ ‖ u ‖ C | ∫ t 1 t 2 G 1 ( t ， s ) d s | + λ b ‖ u ‖ C | ∫ t 1 t 2 G 2 ( t ， s ) d s | ≤ λ a ‖ u ‖ C ⋅ 1 3 | t 1 − t 2 | + λ b ‖ u ‖ C ⋅ 1 2 | t 1 − t 2 | = λ ‖ u ‖ C ( 2 a + 3 b ) 6 | t 1 − t 2 | < ε 因此T等度连续。由Arzela-Ascoli定理，T全连续。 由引理4，T是强正算子，故T一定是正算子，又由引理5，T是紧算子。结合引理2，T存在一个正特征值 λ 1 ( a ， b ) ，且 λ 1 ( a ， b ) 具有正特征函数 φ 1 ( t ) 。同理证得广义特征值问题 { u ( 4 ) = λ ( c u + d u ′ ) ， 0 < t < 1 ， u ( 0 ) = u ′ ( 0 ) = u ″ ( 1 ) = u ‴ ( 1 ) = 0 (5) 存在一个正特征值 λ 1 ( c ， d ) ，且 λ 1 ( c ， d ) 具有正特征函数 ϕ 1 ( t ) 。