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user: 3. 具有嵌套结构的分层线性模型统计推断 在统计数据过程中，数据往往存在分层结构，例如研究高校间不同学生的学习情况，或用于研究国家经济发展的差异如何与成人教育程度相互作用，或研究临床药物的治疗方法的差异等，这些情况中存在嵌套问题的研究，分层线性回归模型给出了良好的模型结构。分层线性模型是由Lindley和Smith [ 6 ] (1972)提出的，作为对线性模型的贝叶斯估计的重要贡献，同时对复杂的嵌套结构数据给出了通用的分层线性模型的形式。 这里以两层数据模型为例，给出两层分层线性模型的具体形式，假设有 ( X ， Y ) 的一组独立同分布观测值 { ( X 1 ， Y 1 ) ， ( X 2 ， Y 2 ) ， ⋯ ， ( X n ， Y n ) } ，其中 Y i 是实数被解释变量的值， X i 是已知的 1 × d 维第一层的解释变量， β i 是未知的 d × 1 维系数向量，满足第一层模型(田茂再等 [ 7 ] 2006)： Y i = X i β i + r i ， r i ~ N ( 0 ， σ 2 ) 其中， r i 是i.i.d不可观测随机效应变量，假定与解释变量独立，并服从均值为0，方差为 σ 2 的正态分布。 在第二层模型中，第一层模型中系数向量作为被解释变量， γ 为固定效应向量， w i 为第二层已知的解释变量矩阵： β i = w i γ + u i ， u i ~ N ( 0 ， T ) 其中， u i 是第二层 d × 1 维随机效应向量，假定与第二层解释变量和 r i 独立，并服从均值向量为0，协方差为T的多元分布。 将第二层模型带入第一层模型中，得到下列形式(Raudenbush和Bryk [ 18 ] 1992)： Y i = X i w i γ + X i u i + r i ， i = 1 ， ⋯ ， n 上述模型也称为线性混合模型，可以用于分析处理纵向数据和面板数据等各类重复测量数据，相比线性模型，对观测值的协方差矩阵可以有更灵活的设定，同时对于随机效应部分给出更方便和合理的假设。 关于对二分因变量进行嵌套模型分析的统计方法(谢宇 [ 5 ] 2013)，其目的在于估计和预测成功或失败的概率是否受到协变量的影响。二分因变量解释为其取值只有两种可能，也通常称为0-1变量，常用于处理二分因变量的模型为logit模型。针对存在嵌套关系的二分因变量，常通过进行对数似然比检验来判断模型的拟合优度更佳问题，即具体为两个嵌套模型之间的对数似然比之差构造统计量，其统计量服从 χ 2 分布，相应为的统计量形式为： Δ G 2 = G r 2 − G u 2 其中， G r 2 表示约束模型的对数似然比， G u 2 为无约束模型的对数似然比，则二分因变量嵌套模型服从的 χ 2 分布对应的自由度为无约束模型的残差自由度与约束模型的残差自由度之差。 对于上述多元线性回归模型的假定检验和二分因变量的嵌套模型检验，扩展到分层线性回归模型下，对于分层线性模型中未知参数估计主要是估计固定效应的回归系数和随机效应的方差协方差部分，具体可根据Raudenbush [ 18 ] (1992)提出的利用完全数据充分统计量的条件期望代替期望步进行的迭代过程得到，这里不具体讨论参数估计过程，下面内容主要是得出分层线性模型的似然函数。 将第二层模型带入到第一层模型中， Y i 具有线性混合模型形式，已知第一层随机误差 r i ~ N ( 0 ， σ 2 ) 和第二层随机误差 u i ~ N ( 0 ， T ) ，所以线性混合模型 Y i 服从 y ~ N ( x w r ， V ) ，相应的， V = x T x Τ + σ 2 I n 。从而给出分层线性模型的似然函数为： L ( y ) = ∏ j = 1 J [ ( 2 π ) − n 2 | V | 1 2 exp { − 1 2 ( Y − X w r ) Τ V − 1 ( Y − X w r ) } ] = ∏ j = 1 J [ ( 2 π ) − n 2 | x j τ x j Τ + σ 2 I n | 1 2 exp { − 1 2 ( Y − X w r ) Τ | x j τ x j Τ + σ 2 I n | − 1 ( Y − X w r ) } ] = ( 2 π ) − n 2 2 | x j τ x j Τ + σ 2 I n | n 2 exp { − 1 2 ∑ i = 1 n ( Y − X w r ) Τ | x j τ x j Τ + σ 2 I n | − 1 ( Y − X w r ) } 其中， T = d i a g ( τ ， ⋯ ， τ ) ，且 j = 1 ， ⋯ ， J 。 根据上述内容，下面给出具有嵌套结构的分层线性模型的一般假定情况： 零假设情况下： 第一层： Y 1 = X β 1 + ε 1 ， ε 1 ~ N ( 0 ， σ 1 2 ) 第二层： β 1 ~ N ( w 1 r ， T 1 ) 备择假设情况下： 第一层： Y 2 = X 1 β 1 + X 2 β 2 + ε 2 ， ε 2 ~ N ( 0 ， σ 2 2 ) 第二层： ( β 1 β 2 ) ~ N ( ( w 1 r w 2 r ) ， T 2 ) 假设 L n ( θ | y ) 是参数 θ 的似然函数，其中 y = ( y 1 ， ⋯ ， y n ) ′ 是一个样本容量为n的样本，参数 θ 的参数空间为 Ω ，检验问题为 H 0 : θ ∈ Ω 0   vs   H 1 : θ ∉ Ω 0 ，则统计量定义似然比(吴密霞 [ 8 ] 2013)为： L R n ( y ) = sup θ ∈ Ω 0 L n ( θ | y ) sup θ ∈ Ω L n ( θ | y ) 在多元分析过程中，似然比检验是常用的检验方法，统计量利用经典似然函数的比值构造为： Λ ( x 1 ， ⋯ ， x n ) = L ( H 0 ) / L ( H 1 ) 。这里我们构造分层嵌套检验的似然比，原假设为限制性分层线性回归模型，备择假设为非限制性分层线性回归模型，从而构造分层线性回归模型的似然比检验统计量。 零假设情况下似然函数： L ( H 0 ) = ∏ i = 1 n [ ( 2 π ) − n 2 | V 1 | 1 2 exp { − 1 2 ( Y 1 i − X 1 i w 1 r ) Τ V 1 − 1 ( Y 1 i − X 1 i w 1 r ) } ] 其中， V 1 = x 1 T 1 x 1 Τ + σ 1 2 I n 。 备择假设情况下似然函数： L ( H 1 ) = ∏ i = 1 n [ ( 2 π ) − n 2 | V 2 | 1 2 exp { 1 2 ( Y 2 i − X 1 i w 1 r − X 2 i w 2 r ) Τ V 2 − 1 ( Y 2 i − X 1 i w 1 r − X 2 i w 2 r ) } ] 其中， V 2 = x 1 T 1 x 1 Τ + x 2 T 2 x 2 Τ + σ 2 2 I n 。 则构造统计量为： L ( H 0 ) L ( H 1 ) = ∏ i = 1 n [ ( 2 π ) − n 2 | V 1 | 1 2 exp { − 1 2 ( Y 1 i − X 1 i w 1 r ) Τ V 1 − 1 ( Y 1 i − X 1 i w 1 r ) } ] ∏ i = 1 n [ ( 2 π ) − n 2 | V 2 | 1 2 exp { − 1 2 ( Y 2 i − X 1 i w 1 r − X 2 i w 2 r ) Τ V 2 − 1 ( Y 2 i − X 1 i w 1 r − X 2 i w 2 r ) } ] = | V 1 | 1 2 exp { − 1 2 ∑ i = 1 n ( Y 1 i − X 1 i w 1 r ) Τ V 1 − 1 ( Y 1 i − X 1 i w 1 r ) } | V 2 | 1 2 exp { − 1 2 ∑ i = 1 n ( Y 2 i − X 1 i w 1 r − X 2 i w 2 r ) Τ V 2 − 1 ( Y 2 i − X 1 i w 1 r − X 2 i w 2 r ) } 其中，分子表示原假设的似然函数最大值，分母表示备择假设下的似然函数最大值，如果统计量的值很大，说明原假设情况的可能性比备择假设情况下的可能性要小，于是，我们有理由认为原假设不成立。 在多层线性模型中，对模型单个自变量参数估计值的统计诊断，可以通过极大似然估计得到固定部分参数估计结果已经对应的标准误，对于固定部分的显著性检验，可以用参数估计值除以标准误，即对应的 γ / s e ( γ ) 进行(刘红云 [ 9 ] 2005)。 对于多层嵌套线性回归模型，构造统计量为： Λ ( x 1 ， ⋯ ， x n ) = L ( H 0 ) L ( H 1 ) 该统计量服从 χ 2 分布，其自由度等于备择假设参数的个数减去原假设中参数的个数，对于给出的分层线性回归零假设与备择假设情况，这里 χ 2 分布对应的自由度为1。 在显著性水平 α 下，其拒绝域为： W = { χ 2 < χ 1 2 = c } ，如果落入拒绝域中，说明统计诊断不显著，则拒绝原假设，接受备择假设非限制性分层线性模型。