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user: 5. 物质波的波动方程 任何波除了遵循波的叠加原理之外，还遵循特定的波动方程所描述的规律，物质波也不例外，下面将对物质波的波动方程——关于描述物质波的波函数 Ψ ( r ， t ) 的偏微分方程——的建立进行较详细的讨论。由于具有量子化能量的物质波是不同于经典物理学中的任何实物波的虚波，因此其波动方程无法从经典力学的原理导出，而要通过对自由粒子——特别是运动速度远低于光速的自由粒子——物质波的波动方程结构的分析中构建出来，为此，需要先建立远低于光速运动的自由粒子的物质波的波动方程。将表达式(7)两边对时间参数求偏导数，可得 ∂ Ψ ∂ t = − i ℏ E Ψ (16) 再将表达式(7)两边分别对空间坐标x、y、z求两次偏导数并将所获三个等式两边分别相加，可得如下偏微分方程 ∂ 2 Ψ ∂ x 2 + ∂ 2 Ψ ∂ y 2 + ∂ 2 Ψ ∂ z 2 = − p 2 ℏ 2 Ψ (17) 上式中由于 p = i p x + j p y + k p z ，则 p 2 = p x 2 + p y 2 + p z 2 。而在运动速度远低于光速的条件下自由粒子有如下能量–动量关系式 E = p 2 2 m (18) 因而 i ℏ ∂ Ψ ∂ t = − ℏ 2 2 m ( ∂ 2 Ψ ∂ x 2 + ∂ 2 Ψ ∂ y 2 + ∂ 2 Ψ ∂ z 2 ) = − ℏ 2 2 m ∇ 2 Ψ (19) 式中 ∇ = i ∂ / ∂ x + j ∂ / ∂ y + k ∂ / ∂ z 是波函数 Ψ ( r ， t ) 的梯度算符，方程式(19)就是运动速度远低于光速条件下的自由粒子的物质波的波动方程。 实际上，在上述自由粒子的物质波的波动方程建立过程中，仅在通过对表达式(7)两边分别就时间、空间坐标求一次偏导数时就可得到如下具有普遍意义的关系式 i ℏ ∂ ∂ t Ψ = E Ψ (20) − i ℏ ( i ∂ ∂ x Ψ + j ∂ ∂ y Ψ + k ∂ ∂ z Ψ ) = ( i p x + j p y + k p z ) Ψ = p Ψ (21) 如果将以上两式中波函数 Ψ ( r ， t ) 对时间及空间坐标的偏导数运算看作两者之间的乘法运算，则可得到关 于波函数 Ψ ( r ， t ) 的两个重要算符 i ℏ ∂ / ∂ t 及 − i ℏ ∇ (其中劈形算符 ∇ = i ∂ / ∂ x + j ∂ / ∂ y + k ∂ / ∂ z 为梯度算符)。比较以上两个等式左右两边的运算式可见，物质波波函数 Ψ ( r ， t ) 的这两个算符分别与其粒子的能量及动量密切关联，从而可以构造出波函数的所谓能量算符 i ℏ ∂ / ∂ t ↔ E 及动量算符 − i ℏ ∇ ↔ p ，使得物质波的能量(或动量)算符与物质波波函数 Ψ ( r ， t ) 之间的“乘积”完全等效于其粒子的能量(或动量)与物质波波函数 Ψ ( r ， t ) 之间的乘积，从而体现了物质波与其粒子之间密不可分的整体关系，也反映了物质波的虚波特征。 显然，如果将低速运动情况下自由粒子的能量–动量关系式中的粒子的能量E及动量p分别用波函数 Ψ ( r ， t ) 的能量算符 i ℏ ∂ / ∂ t 及动量算符 − i ℏ ∇ 代替，并将其作用于波函数 Ψ ( r ， t ) 上，即可得到自由粒子的物质波的波动方程。同样的，利用波函数 Ψ ( r ， t ) 的能量算符及动量算符，可以很自然的将运动速度远低于光速的自由粒子的物质波的波动方程推广至运动速度远低于光速且处于势场中的粒子的情况。如果运动速度远低于光速且处于势场中的粒子所具有的势能为U(r)，则其能量–动量关系式为 E = p 2 2 m + U ( r ) (22) 将该等式中的能量E、动量p及势能U(r)分别用波函数 Ψ ( r ， t ) 的能量算符 i ℏ ∂ / ∂ t 、动量算符 − i ℏ ∇ 、势能算符U(r)替代，并将等式两边同乘以波函数 Ψ ( r ， t ) ，则可得 i ℏ ∂ Ψ ∂ t = − ℏ 2 2 m ∇ 2 Ψ + U ( r ) Ψ (23) 此即在低速运动情况下处于势场U(r)中的粒子的物质波的波动方程，同时也是量子力学中最基本及最重要的方程——薛定谔方程。 以上所得物质波的波动方程(即薛定谔方程)显然只适用于粒子的运动速度远低于光速的情况，而当粒子的运动速度与光速相比无法忽略时，薛定谔方程对微观现象的描述显然就会与实际完全不符，这种情况下就必须建立具有洛伦兹变换不变性的物质波的波动方程。实际上对自由粒子而言，具有洛伦兹变换不变性的物质波的波动方程有两种形式，并且这两种形式的波动方程都可以从狭义相对论中的能量–动量关系及方程对时间、空间坐标的对称性要求出发并借助波函数 Ψ ( r ， t ) 的能量算符 i ℏ ∂ / ∂ t 及动量算符 − i ℏ ∇ 而获得，二者分别是克莱因–高登方程(适用于对自旋为0的粒子如π介子等的描述)及狄拉克相对论方程(适用于对自旋不为0的费米子如电子等的描述)。对于接近光速运动的自由粒子，其能量及动量之间有关系 (5a) 将等式(5a)中粒子的能量及动量分别用波函数 Ψ ( r ， t ) 的能量算符及动量算符替代后可得 − ℏ 2 ∂ 2 Ψ ∂ t 2 = − ℏ 2 C 2 ∇ 2 Ψ + m 0 2 C 4 Ψ (24) 此即克莱因–高登方程，这是波函数 关于时间及空间的二阶偏微分方程，也是物质波的波动方程的其中一种形式，该方程显然符合洛伦兹变换不变性。若要导出以接近光速运动的自由粒子的物质波的波函数 Ψ ( r ， t ) 关于时间及空间的一阶偏微分方程，则应考虑自由粒子的能量E、动量p之间的如下关系 E = P 2 C 2 + m 0 2 C 4 (25) 由于该等式两边量纲必须相同，因而右边开平方后的关系式中只能有pC项及m 0 C 2 项，将该式中粒子的能量E及动量p分别用波函数 Ψ ( r ， t ) 的能量算符及动量算符替代后，要确保所得波函数 Ψ ( r ， t ) 关于时间及空间的一阶偏微分方程满足洛伦兹变换不变性，方程必须具有如下形式 i ℏ ∂ Ψ ∂ t = ( − i ℏ C α ⋅ ∇ + β m 0 C 2 ) Ψ (26) 其中 α = ( α x ， α y ， α z ) 及 β 分别为矩阵 α = [ 0 σ σ 0 ] ， β = [ I 0 0 − I ] ， σ x = [ 0 1 1 0 ] ， σ y = [ 0 − i i 0 ] ， σ z = [ 1 0 0 − 1 ] 为 泡利矩阵，I则是二阶单位矩阵。由此可得 α x = [ 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 ] ， α y = [ 0 0 0 0 0 − i i 0 0 − i i 0 0 0 0 0 ] ， α z = [ 0 0 0 0 1 0 0 − 1 1 0 0 − 1 0 0 0 0 ] ， β = [ 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 − 1 ] 此即著名的狄拉克相对论方程。该方程是关于自由粒子的波函数 的齐次线性方程组，也是以接近光速运动的自由粒子的物质波的一阶偏微分形式的波动方程。 以上所述物质波的各种形式的波动方程是物质波的粒子在不同的速度条件下的具体表现形式，并且这些方程与量子力学中相应的方程数学形式完全相同，因此可以将现有量子力学的数学演算体系移植到新概念物质波的概念体系下。在现有的量子力学理论体系中，这些方程并不描述客观实在的过程，因此没有明确的物理意义，甚至在哥本哈根学派看来这些方程仅是将环境条件与测量结果联系起来的符号体系，而新概念物质波则赋予这些方程以客观意义，并使其成为可理解的。