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user: 3. 均衡Riccati方程 现代最优控制问题的基本特征是符合Bellman最优性原理。也就是说，一旦在某个时刻做出最优决策，则该决策在此时刻后的任何时刻都是最优的，即该决策的最优性具有时间一致的特征。该结论成立的前提是决策环境和决策者的心态不纳入决策因素。但在金融、经济等领域，这个前提显然不符合客观事实。这使得现代控制理论成为解决许多应用问题强而有力的工具，但对许多经济问题却不适用，因为人们的经济行为是一个极其复杂的活动。如何发展现代控制论，使之成为能够解决经济、金融等领域的许多问题的强有力工具，是控制论发展的一个重要方向，即建立时间不一致控制问题的基本理论。为此建立相对简单的时间不一致LQ控制问题的基本理论理所当然就成为一个突破点。即推广Riccati方程，使得时间不一致LQ控制问题的可解性与该Riccati方程的可解性等价。正是在这一背景之下，人们引进了均衡Riccati方程。 2011年雍炯敏教授在研究了一类时间不一致最优控制问题时，引入时间一致均衡控制，运用非合作博弈，证明了均衡控制的存在性可由一个微分方程和一个倒向Riccati-Volterra积分方程的耦合方程组 { P ˙ Δ ( s ) + P Δ ( s ) A Δ ( s ) + A Δ ( s ) T P Δ ( s ) + Q Δ ( s ) − P Δ ( s ) B Δ ( s ) R Δ ( s ) − 1 B Δ ( s ) T P Δ ( s ) = 0 ，     s ∈ ( t k − 1 ， t k ) ， P Δ ( t k − 0 ) = Φ Δ ( t N ; t k ) T G ( t k − 1 ) Φ Δ ( t N ; t k ) + ∫ t k t N ( Φ Δ ( s ; t k ) T Q ( t k − 1 ， s ) Φ Δ ( s ; t k )                                     + Ψ Δ ( s ; t k ) T R ( t k − 1 ， s ) Ψ Δ ( s ; t k ) ) d s ，     1 ≤ k ≤ N (6) 来刻画，他将之称为均衡Riccati方程。上述微分方程中 Φ Δ ( ⋅   ; t k ) 是方程 { Φ s Δ ( s ; t k ) = [ A Δ ( s ) − B Δ ( s ) R Δ ( s ) − 1 B Δ ( s ) T P Δ ( s ) ] Φ Δ ( s ; t k ) ，   s ∈ ( t k ， T ] ， Φ Δ ( t k ; t k ) = I 的解且 Ψ Δ ( s ; t k ) = − R Δ ( s ) − 1 B Δ ( s ) P Δ ( s ) Φ Δ ( s ; t k ) ， s ∈ [ t k ， T ] ，其中 Δ 为 [ 0 ， T ] 上的分割 [ 30 ]。这是首次将Riccati方程引入时间不一致问题研究中，但此均衡Riccati方程解的存在唯一性在 [ 30 ] 中并未给出具体证明。他在2012年研究一类随机微分方程支配的时间不一致LQ问题时，定义均衡值函数，建立均衡值函数满足的均衡HJB方程。他从均衡HJB方程构造了时间一致闭环均衡控制，并推导得到了均衡Riccati方程 { P t ( τ ， t ) + P ( τ ， t ) A ^ ( t ) + A ^ ( t ) T P ( τ ， t ) + A ^ 1 ( t ) T P ( τ ， t ) A ^ 1 ( t ) + Q ^ ( τ ， t ) = 0 ，     ( τ ， t ) ∈ D [ 0 ， T ] ， P ( τ ， T ) = G ( τ ) ，       τ ∈ [ 0 ， T ] (7) 其中 { Γ ( t ) = [ R ( t ， t ) + B 1 ( t ) T P ( t ， t ) B 1 ( t ) ] − 1 [ B ( t ) T P ( t ， t ) + B 1 ( t ) T P ( t ， t ) A 1 ( t ) ] ， A ^ ( t ) = A ( t ) − B ( t ) Γ ( t ) ，   A ^ 1 ( t ) = A 1 ( t ) − B 1 ( t ) Γ ( t ) ，   ( τ ， t ) ∈ D [ 0 ， T ] ， Q ^ ( τ ， t ) = Q ( τ ， t ) + Γ ( t ) T R ( τ ， t ) Γ ( t ) . 虽然该方程是确定型微分方程，但是由随机微分方程推导出来的，并且他采用了“对角线”方法和不动点原理证明上述Riccati方程解的适定性 [ 31 ]。2017年他又研究了平均场随机微分方程支配的时间不一致LQ控制问题，获得了近似问题的时间一致均衡策略，并证明该策略的收敛性，从而得到了均衡Riccati方程组 { P s ( s ， t ) + P ( s ， t ) A ( s ) + A ( s ) T P ( s ， t ) + C ( s ) T P ( s ， t ) C ( s ) + Q ( s ， t )     − [ P ( s ， t ) B ( s ) + C ( s ) T P ( s ， t ) D ( s ) ] [ R ^ ( s ， s ) + D ( s ) T P ( s ， s ) D ( s ) ] − 1     ⋅ [ B ( s ) T P ^ ( s ， s ) + D ( s ) T P ( s ， s ) C ( s ) ] = 0 ， P ^ s ( s ， t ) + P ^ ( s ， t ) A ( s ) + A ( s ) T P ^ ( s ， t ) + C ( s ) T P ( s ， t ) C ( s ) + Q ^ ( s ， t )     − [ P ^ ( s ， t ) B ( s ) + C ( s ) T P ( s ， t ) D ( s ) ] [ R ^ ( s ， s ) + D ( s ) T P ( s ， s ) D ( s ) ] − 1     ⋅ [ B ( s ) T P ^ ( s ， s ) + D ( s ) T P ( s ， s ) C ( s ) ] = 0 ，         s ∈ [ t ， T ] ， P ( T ， t ) = G ( t ) ，   P ^ ( T ， t ) = G ^ ( t ) . (8) 他运用 [ 31 ] 中的“对角线”方法和齐次线性Volterra积分方程的性质证明了上述方程的适定性 [ 32 ]。 著名行为经济学家周迅宇教授等人于2012年也研究了一类随机微分方程支配的时间不一致LQ控制问题，他们引进开环均衡控制并得到了开环均衡控制存在的充分条件 [ 33 ]。随后，周教授等人证明了 [ 33 ] 中开环均衡控制存在的一个充要条件，其核心是均衡控制与某个由FBSDEs推导出的耦合Riccati方程组解的存在唯一性等价，证明了 [ 33 ] 中构造的显式开环均衡控制确实是唯一的。其中一个耦合Riccati方程组为 { M ˙ = − [ 2 A + | C | 2 + Γ B ′ ( R + M D ′ D ) − 1 ( B + D ′ C ) ] M − Q     + ( B + D ′ C ) ( R + M D ′ D ) − 1 ( B + D ′ C ) M 2     − B ′ ( R + M D ′ D ) − 1 ( B + D ′ C ) M N ， N ˙ = − [ 2 A + Γ B ′ ( R + M D ′ D ) − 1 B ] N     + B ′ ( R + M D ′ D ) − 1 ( B + D ′ C ) M N − B ′ ( R + M D ′ D ) − 1 B N 2 ， M T = G ，   N T = h . (9) 他们主要考虑了两种特殊情况下Riccati方程解的定性理论，存在性可运用截断方法验证，唯一性也是可以验证的。进而，提出一般时间不一致决策问题解的存在唯一性在连续时间条件下还不存在，即使能找到解，但很难找到参数不太苛刻的条件来保证解的存在 [ 34 ]。与 [ 33 ] 定义的解条件相比较， [ 34 ] 新定义的条件更弱也更恰当。 2018年，彭云飞教授等人在研究一类ODEs支配的时间不一致问题时，引入下列耦合Riccati方程 { P ¯ ˙ ( t ) + P ¯ ( t ) A + A T P ¯ ( t ) + Q ¯ ( t ) − P ¯ ( t ) B M − 1 B T P ¯ ( t ) = 0 ， ​           t ∈ [ 0 ， T ] ， Q ¯ ( t ) = Q ( t ) − ∫ t T Φ ¯ T ( τ ， t ) ( Q ˙ ( t ) + R ¯ T ( τ ) M ˙ ( t ) R ¯ ( t ) ) Φ ¯ ( τ ， t ) d τ ，     t ∈ [ 0 ， T ] ， R ¯ ( t ) = M − 1 B T P ¯ ( t ) ，                                               t ∈ [ 0 ， T ] ， P ¯ ( T ) = 0 (10) 并证明了均衡控制的存在性等价于Riccati方程解的存在性 [ 35 ]。 关于时间不一致LQ问题的最新研究，可参阅文献 [ 36 ]。