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user: 2. 网络交通流模型 2.1. LWR模型 在单一路径中，非线性交通流问题可转化为如下双曲守恒律方程，并利用此方程来描述车流密度的变化规律 [ 3 ] [ 4 ] ∂ t ρ + ∂ x f ( ρ ) = 0 其中 ρ = ρ ( t ， x ) ∈ [ 0 ， ρ max ] 表示t时刻时不同位置的车流密度， ρ max 表示该路段可达到的最大车流密度。 f ( ρ ) = ρ v 表示流通量，指单位时间单位面积内的车流通量，该函数为严格凹函数，v是给定的只与密度有关的光滑单调递减函数，通常我们假设 f ( 0 ) = f ( ρ max ) = 0 。由于函数 f ( ρ ) 为严格凹函数故必存在唯一的极大值点 σ ，称其为临界密度，且满足 f ′ ( ρ ) = 0 。当 0 ≤ ρ ≤ σ 时，上述流量被认为是自由流动的，函数 f ( ρ ) 为密度的增加函数；而当 σ ≤ ρ ≤ ρ max 时，函数 f ( ρ ) 为密度的递减函数，表明此时路上出现堵塞情况。 本文所研究的路网模型包含有限条路 [ 11 ]，这些路交汇于某些交叉点处。例如在交叉路口J处，包含n条入路记作 I i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ，m条出路记作 I j ( j = n + 1 ， n + 2 ， ⋯ ， n + m ) ，记入路车流密度为 ρ i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ，出路车流密度为 ρ j ( j = n + 1 ， n + 2 ， ⋯ ， n + m ) ，交叉口J处满足入路车流总流量等于出路车流总流量： ∑ i = 1 n f ( ρ i ( t ， b i ) ) = ∑ j = n + 1 n + m f ( ρ j ( t ， a j ) ) 每条出路的车流量分布可由如下交通流分布矩阵A表示 [ 12 ] ： A = ( α n + 1 ， 1 α n + 1 ， 2 ⋯ α n + 1 ， n α n + 2 ， 1 α n + 2 ， 2 ⋯ α n + 2 ， n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ α n + m ， 1 α n + m ， 2 ⋯ α n + m ， n ) 其中 α j i ( 0 ≤ α j i ≤ 1 ) 为流量分配系数，表示车量从入路i驶入并从出路j驶出的百分比。 网络交通流模型中道路交叉点的处理起到至关重要的作用，一个固定交叉点J处的Riemann问题即可表示为一个带初值的Cauchy问题，且其初值在交叉点处的每条道路上都是常数。上述双曲守恒方程在整个路网结构下的Riemann解是由每一交叉点处的Riemann解演化而来，为了在交叉点处取到Riemann问题的唯一解，需满足以下条件 [ 13 ] [ 14 ] ： 1) 矩阵A每一列的百分比相加和为1，即： ∑ j = n + 1 n + m α j i = 1 ，   ( j = n + 1 ， ⋯ ， n + m ;   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 2) 当满足条件1时，流通量函数 f ( ρ ) 的最大值在交叉点处取到。若入路数比出路数多时，即当 n > m 时，此结论不成立； 3) 当入路数比出路数多时，即当 n > m 时。现假设交叉点入口处有a，b两条路，出口处只有c一条路，从a，b两条路驶入的车不一定都能从c驶出，可能有一部分会滞留在交叉口J处，故在出路c上要设定一个最大输出量Q，设 q ( 0 ≤ q ≤ 1 ) 为路径参数，记从入路a进来的车流量为 q ⋅ Q ，从入路b进来的车流量为 ( 1 − q ) ⋅ Q 。 可以发现在交叉口处求解Riemann问题相等于在每条路上求解方程的初边值问题，由于方程的非线性性，初边值问题的解可能达不到边界值，所以必须对每条道路的最大流量进行限制 [ 15 ]。 现假设每条路的初始车流密度为： ρ 1 ， 0 ， ρ 2 ， 0 ， ⋯ ， ρ n ， 0 ， ρ n + 1 ， 0 ， ⋯ ， ρ n + m ， 0 ，密度严格最大值即临界密度为 σ ，此时入路的最大流通量 γ i max 满足： γ i max = { f ( ρ i ， 0 ) ，       ρ i ， 0 ∈ [ 0 ， σ ] f ( σ ) ，           ρ i ， 0 ∈ [ σ ， ρ max ]       i = 1 ， ⋯ ， n 出路的最大流通量 γ j max 满足： γ j max = { f ( ρ j ， 0 ) ，         ρ j ， 0 ∈ [ 0 ， σ ] f ( σ ) ，           ρ j ， 0 ∈ [ σ ， ρ max ]       j = n + 1 ， ⋯ ， n + m 其中 σ 为密度最大值点，有 f ′ ( σ ) = 0 成立，由上式可知在交叉口处入路流通量小于等于需求流通量，即 f ( ρ i ， 0 ) ≤ f ( σ ) ，且交叉点处的出路流通量小于等于供应流通量，即 f ( ρ j ， 0 ) ≤ f ( σ ) ，一些车流密度会在交叉点处根据上述式子重新确定。 2.2. 交叉点处流通量 交通流的问题关键在于如何确定交叉点J的流通量，本文主要讨论以下两种路网结构的黎曼问题：(A)一条入路和一条出路(Bottelneck问题)；(B)两条入路和一条出路。 2.2.1. 一条入路a和一条出路b 考虑最简单的由一条入路a和一条出路b构成的交通路网问题。首先根据入路、出路最大流通量的定义式分别确定入路a和出入b在交叉点J处最大流通量 γ a max 、 γ b max ，之后取二者的最小值记为交叉点J处的流通量，记作： γ ^ a = γ ^ b = γ ^ ，       γ ^ = min { γ a max ， γ b max } 则J处入流道和出流道的车流量取为： f ^ N a + 1 2 a = γ ^ a ，       f ^ 1 2 b = γ ^ b 2.2.2. 两条入路a、b和一条出路c 考虑由两条入路a、b和一条出路c构成的交通路网模型，首先同样根据入路、出路最大流通量的定义分别确定入路a、入路b和出路c在交叉点J处的最大流通量 γ a max 、 γ b max 、 γ c max ，此时交叉点处的流通量需分两种情况： Case1：两条入路在J处的最大流通量之和小于出入在J处的最大流通量，即当 γ ^ a max + γ ^ b max ≤ γ ^ c max 时，两条入路的车流均可顺利通过交叉点到达出路c，则记 γ ^ a = γ a max ，       γ ^ b = γ b max ，       γ ^ c = γ ^ a + γ ^ b Case2：两条入路在J处的最大流通量之和大于出入在J处的最大流通量，即当 时，两条入路的车流量之和超出出路c可承受车流量，故两条入路的车流需按2.1中条件3中所给出的比例进入c车道。现取路径参数为 q ( 0 ≤ q ≤ 1 ) ，此时c车道上的最大流通量为 γ c max ，则由路a驶入路c的车流量为 q ⋅ γ c max ，由路b驶入路c的车流量为 ( 1 − q ) ⋅ γ c max ，则交叉点J处三条路的实际流通量应满足以下三种情况： 1) 当 γ a max ≥ q γ c max ， γ b max ≥ ( 1 − q ) γ c max 时，则有 γ ^ a = q γ c max ，     γ ^ b = ( 1 − q ) γ c max ，     γ ^ c = γ c max 2) 当 γ a max < q γ c max ， γ b max ≥ ( 1 − q ) γ c max 时，则有 γ ^ a = γ a max ，     γ ^ b = γ c max − γ a max ，     γ ^ c = γ c max 3) 当 γ a max ≥ q γ c max ， γ b max < ( 1 − q ) γ c max 时，则有 γ ^ a = γ c max − γ b max ，     γ ^ b = γ b max ，     γ ^ c = γ c max 则交叉点J处入路a、b和出路c的车流量分别取为：