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user: 3. 分析与讨论 按照上节EMD算法，对北京市PM2.5序列和天津市PM2.5序列进行EMD分解，分别将北京市PM2.5时间序列分解成10个IMF分量和一个剩余分量，将天津市PM2.5时间序列分解成8个IMF分量和一个剩余分量，如图1(a)、(b)所示。 从图1的分解结果可以看出，分解出的各阶IMF从最高模态到最低模态的波动频率逐渐降低，波动周期越来越大.为了从不同时间尺度分析北京市PM2.5和天津市PM2.5的相关性，本文拟将北京市PM2.5和天津市PM2.5时间序列经EMD分解成的各个IMF分量和趋势项按一定的方法组合成三个部分，分别是高频部分、低频部分和趋势部分。通过图1可以看出分解出的各阶IMF模态越高，频率越高，故下一步需要确定选取哪几个较高模态作为高频部分。而基于EMD方法具有自适应性以及时间上的局部性这两个特点，在提取趋势和周期信息等方面有一定的优势，故对北京市PM2.5和天津市PM2.5 EMD分解后各IMF进行周期性分析，首先，对EMD分解后所得的各阶IMF计算得到极值点(极大值点和极小值点)的个数，记为N1；其次，采用平均周期法来计算各阶IMF的周期性，平均周期法的定义为：T = N/N1.其中的N为总体数据个数 [ 11 ] ，本文中N的值为1461；运用MATLAB软件计算所得结果见表1，表2，图2。 从表1可看出北京市PM2.5周期性变化非常明显.其中，IMF1周期为2天，可能是受气温、风速、气压等气象条件的影响，IMF2周期为3天，可能是受工业废气排放、燃煤和机动车尾气等大气污染物的影响，IMF3的周期为7天，大约为一周；IMF4的周期为13天，大约为半个月；IMF5的周期为29，约为一个月；此外，IMF7的周期为104天，大约为3个月，也就是一个季度，IMF10的周期为365天，大约为一年。由此可知，北京市PM2.5大体是按周、月、季度或年为周期进行变化的。同样地，从表2可看出天津市PM2.5周期性变化也非常明显.为了看清楚分解后各个IMF之间的关系，利用互相关函数计算北京PM2.5与天津PM2.5分解后各个IMF的相关系数，并进行皮尔逊相关性检验，结果见表3。 通过表3可以看出北京市PM2.5各个IMF与天津市PM2.5各个IMF之间都通过了皮尔逊相关性检验，通过图2北京市和天津市PM2.5的周期对比情况，可以看出，北京PM2.5与天津PM2.5进行EMD分解后前4个IMF具有相同的平均周期，说明这四个IMF分量背后代表的物理意义是一致的，且频率相对较高，故将北京市PM2.5时间序列分解后的IMF1~IMF4组合为高频部分，记为HS1，其余IMF组合为低频部分，记为LS1，趋势项记为TS1。同样地，天津市PM2.5时间序列分解后的IMF1~IMF4组合为高频部分，记为HS2，其余IMF组合为低频部分，记为LS2，趋势项记为TS2。这样就通过EMD分解将北京市PM2.5时间序列与天津市PM2.5时间序列分解为高频项，低频项和趋势项.之所以这样重构分解后序列，是因为三者代表了不同的信息，其中，高频部分代表较小因素对序列的影响，即该因素对时间序列时间的发生影响面积小，或者说影响持续时间较短；低频项反映了重大因素对序列的影响，是序列的重要组成部分，通常是序列产生剧烈波动的重要和主要因素；趋势项是序列的主要组成部分，代表序列的长期走势 [ 12 ] 。为了更直观的分析北京市PM2.5重构后的高频部分HS1与天津市PM2.5重构后的高频部分HS2之间的关系，做出其时序对比图见图3，低频部分LS1与LS2之间的时序对比图见图4。 图1. 北京市PM2.5、天津市PM2.5时间序列EMD分解图。(a) 北京市PM2.5时间序列EMD分解结果；(b) 天津市PM2.5时间序列EMD分解结果 Table 1 . IMF cycles of PM2.5 in Beijing表1. 北京市PM2.5各阶IMF周期 Table 1 IMF cycles of PM2.5 in Beijin 分量序列 极大值个数 极小值个数 T (天) IMF1 409 408 2 IMF2 217 216 3 IMF3 102 101 7 IMF4 55 55 13 IMF5 25 26 29 IMF6 13 12 58 IMF7 7 7 104 IMF8 4 4 183 IMF9 2 3 292 IMF10 2 2 365 表1. 北京市PM2.5各阶IMF周期 Table 2 IMF cycles of PM2.5 in Tianji 分量序列 极大值个数 极小值个数 T (天) IMF1 430 429 2 IMF2 214 213 3 IMF3 111 111 7 IMF4 57 57 13 IMF5 30 29 25 IMF6 14 15 50 IMF7 5 5 146 IMF8 4 3 209 表2. PM2.5天津市各阶IMF周期 Table 3 IMF correlation and correlation test between Beijing and Tianjin PM2. 时间序列 相关度 P-Value Beijing_IMF1&Tianjin_IMF1 0.46 8.11e−79 Beijing_IMF2& Tianjin_IMF2 0.53 1.14e−10 Beijing_IMF3& Tianjin_IMF3 0.47 6.89e−82 Beijing_IMF4& Tianjin_IMF4 0.65 3.1e−173 Beijing_IMF5& Tianjin_IMF5 0.37 6.84e−49 Beijing_IMF6& Tianjin_IMF6 0.31 1.07e−34 Beijing_IMF7& Tianjin_IMF7 0.71 4.96e−228 Beijing_IMF8& Tianjin_IMF8 0.38 2.24e−51 表3. 北京市与天津市PM2.5各阶IMF相关性及相关性检验table_table_table_8-2580406_3_hanspub.htm 图2. 北京市与天津市PM2.5各阶IMF周期对比图 利用互相关函数计算重构后时间序列的动态相关性，见表4。通过上表可以看出，北京PM2.5与天津PM2.5重构后的时间序列高频项HS1与HS2之间滞后0天时，相关系数达到最大值0.74274，并通过了皮尔逊相关系数检验，说明其显著相关，并且其余滞后期对应的相关系数在0附近呈现周期性波动；天津PM2.5重构后的时间序列低频项LS1与北京PM2.5重构后的时间序列低频项LS2相关度达到0.6742，通过了皮尔逊相关系数检验，说明其显著相关，天津滞后北京1天时，相关系数达到最大值0.69792，并随着滞后天数的增加，相关系数逐渐减小，但在滞后10天时相关性仍然高于0.6，说明低频项之间呈现较强的相关性；天津PM2.5重构后的时间序列趋势项TS1与北京PM2.5重构后的时间序列趋势项TS2之间的相关性具有更明显的规律，在滞后期为0时相关性达到最强0.99502，随着滞后期的增加相关性单调递减为0。 图3. 北京市与天津市PM2.5高频部分时序对比图 图4. 北京市与天津市PM2.5低频部分时序对比图 Table 4 Cross correlation results of reconstructed PM2.5 parts in Beijing and Tianji 时间序列 滞后 互相关系数 相关度 P-Value HS1与HS2 0 0.74274 0.74274 2.35e−255 LS1与LS2 1 0.69792 0.6742 4.93e−216 TS1与TS2 0 0.99502 0.99502 2.94e−194 表4. 重构后北京市与天津市PM2.5各部分的互相关结果