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user: 2. 离散 在 [ 0 ， T ] 上取分点为 t k = k Δ t ， k = 0 ， 1 ， ⋯ ， L ，其中时间步长 Δ t = T / L ，L为正整数。在区间 [ a ， b ] 上取分点 x i = a + i h ，   i = 0 ， 1 ， ⋯ ， N + 1 ，其中空间步长 h = ( b − a ) / ( N + 1 ) ，N为正整数。N个空间有限体为 [ x i − 1 2 ， x i + 1 2 ] ，   i = 1 ， ⋯ ， N ，其中 x i + 1 2 = x i + x i + 1 2 ，   i = 0 ， 1 ， ⋯ ， N 。 在方程(1.1)中取 t = t n ( n = 0 ， 1 ， ⋯ ， L ) 得到 ∂ u ∂ t | t n = [ k α ∂ 2 ∂ x 2 − ∂ ∂ x f ( x ， t n ) ] D t 1 − α u ( x ， t n ) . (2.1) 利用向后差分，(2.1)式左侧可以写成 ∂ u ∂ t | t n = u ( x ， t n ) − u ( x ， t n − 1 ) Δ t + r n ( 1 ) ， (2.2) 其中 r n ( 1 ) = ∂ u ∂ t | t n − u ( x ， t n ) − u ( x ， t n − 1 ) Δ t 满足 | r n ( 1 ) | ≤ C Δ t 。 用Lubich一阶线性多步法逼近Riemann-Liouville分数阶导数(参考文献 [ 15 ] ) D t 1 − α u ( x ， t n ) = Δ t α − 1 ∑ j = 0 n ω n − j 1 − α u ( x ， t j ) + r n ( 2 ) ， (2.3) 其中 ω k α = ( − 1 ) k Γ ( α + 1 ) Γ ( k + 1 ) Γ ( α − k + 1 ) ( k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ) ， r n ( 2 ) = D t 1 − α u ( x ， t n ) − Δ t α − 1 ∑ j = 0 n ω n − j 1 − α u ( x ， t j ) 满足 r n ( 2 ) = C ( x ) Δ t ， C ( x ) 是与解u有关的光滑函数。 将(2.2)式，(2.3)式带入(2.1)式中，得 u ( x ， t n ) − u ( x ， t n − 1 ) Δ t + r n ( 1 ) = [ k α ∂ 2 ∂ x 2 − ∂ ∂ x f ( x ， t n ) ] [ Δ t α − 1 ∑ j = 0 n ω n − j 1 − α u ( x ， t j ) + r n ( 2 ) ] . (2.4) 用 u n ( x ) 表示 u ( x ， t n ) 的近似，由(2.4)我们得到原问题的时间半离散格式 u n ( x ) − u n − 1 ( x ) Δ t = [ k α ∂ 2 ∂ x 2 − ∂ ∂ x f ( x ， t n ) ] [ Δ t α − 1 ∑ j = 0 n ω n − j 1 − α u j ( x ) ] ， (2.5) 记 v n ( x ) : = Δ t α − 1 ∑ j = 0 n ω n − j 1 − α u j ( x ) . (2.6) 易知 u n ( x ) : = Δ t 1 − α ∑ j = 0 n ω n − j α − 1 v j ( x ) . (2.7) 将(2.6)式，(2.7)式带入(2.5)式中，得到 Δ t − α [ ∑ j = 0 n − 1 ( ω n − j α − 1 − ω n − j − 1 α − 1 ) v j ( x ) + ω 0 α − 1 v n ( x ) ] = [ k α ∂ 2 ∂ x 2 − ∂ ∂ x f ( x ， t n ) ] v n ( x ) . (2.8) 在有限体 [ x i − 1 2 ， x i + 1 2 ] 上对(2.8)式积分 ∫ x i − 1 2 x i + 1 2 Δ t − α [ ∑ j = 0 n − 1 ( ω n − j α − 1 − ω n − j − 1 α − 1 ) v j ( x ) + ω 0 α − 1 v n ( x ) ] d x = ∫ x i − 1 2 x i + 1 2 [ k α ∂ 2 ∂ x 2 − ∂ ∂ x f ( x ， t n ) ] v n ( x ) d x . (2.9) 利用中矩形积分公式，用 v i n 表示 v n ( x i ) ，(2.9)式左侧可以写成 ∫ x i − 1 2 x i + 1 2 Δ t − α [ ∑ j = 0 n − 1 ( ω n − j α − 1 − ω n − j − 1 α − 1 ) v j ( x ) + ω 0 α − 1 v n ( x ) ] d x = h Δ t − α [ ∑ j = 0 n − 1 ( ω n − j α − 1 − ω n − j − 1 α − 1 ) v i j + ω 0 α − 1 v i n ] − h r i ， n ( 1 ) ， (2.10) 其中 h | r i ， n ( 1 ) | ≤ C h 3 . (2.11) 用 f i + 1 / 2 ， n 表示 f ( x i + 1 / 2 ， t n ) ，(2.9)式右侧可以写成 ∫ x i − 1 2 x i + 1 2 [ k α ∂ 2 ∂ x 2 − ∂ ∂ x f ( x ， t n ) ] v n ( x ) d x = k α ( ∂ v n ∂ x | x i + 1 2 − ∂ v n ∂ x | x i − 1 2 ) − ( f i + 1 2 ， n v i + 1 2 n − f i − 1 2 ， n v i − 1 2 n ) . (2.12) 用中心差分格式，(2.12)式右侧第一项可以写成 k α ( ∂ v n ∂ x | x i + 1 2 − ∂ v n ∂ x | x i − 1 2 ) = k α ( v i + 1 n − v i n h − v i n − v i − 1 n h ) + h r i ， n ( 2 ) ， (2.13) 其中 h | r i ， n ( 2 ) | ≤ C h 3 ; (2.14) 由于(2.12)式右侧第二项可以写成 f i + 1 2 ， n v i + 1 2 n − f i − 1 2 ， n v i − 1 2 n = f i + 1 2 ， n v i n + v i + 1 n 2 − f i − 1 2 ， n v i n + v i − 1 n 2 − h r i ， n ( 3 ) ， (2.15) 其中 h | r i ， n ( 3 ) | ≤ C h 3 . (2.16) 将(2.10)，(2.12)，(2.13)，(2.15)式带入(2.9)式中，得 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ; n = 1 ， 2 ， ⋯ ， L ， h Δ t − α [ ∑ j = 0 n − 1 ( ω n − j α − 1 − ω n − j − 1 α − 1 ) v i j + ω 0 α − 1 v i n ] − h r i ， n ( 1 ) = k α ( v i + 1 n − v i n h − v i n − v i − 1 n h ) + h r i ， n ( 2 ) − ( f i + 1 2 ， n v i n + v i + 1 n 2 − f i − 1 2 ， n v i n + v i − 1 n 2 ) + h r i ， n ( 3 ) ， (2.17) 用 V i n 近似 v i n ，由(2.17)式我们可以得到如下的有限体积法(FV)： i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ; n = 1 ， 2 ， ⋯ ， L ， h Δ t − α [ ∑ j = 0 n − 1 ( ω n − j α − 1 − ω n − j − 1 α − 1 ) V i j + ω 0 α − 1 V i n ] = k α ( V i + 1 n − V i n h − V i n − V i − 1 n h ) − ( f i + 1 2 ， n V i n + V i + 1 n 2 − f i − 1 2 ， n V i n + V i − 1 n 2 ) ， (2.18) 初始条件和边值条件为 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ; n = 1 ， 2 ， ⋯ ， L ) V i 0 = φ ( x i ) ，     V 0 n = G 1 ( t n ) = Δ t α − 1 ∑ j = 0 n ω n − j 1 − α g 1 ( t n ) ， V N + 1 n = G 2 ( t n ) = Δ t α − 1 ∑ j = 0 n ω n − j 1 − α g 2 ( t n ) . (2.19)