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user: 3. 主要结果及其证明 定理3.1：令F是G的正规幂零子群，P是F的Sylow p-子群，这里p是奇数阶。若F的所有极小子群在G中SS-拟正规，或若 ω ( F ) ≥ 3 且F所有权重为2的子群D在G中SS-拟正规。则P是G-超可解群。 证明：假设 ω ( F ) ≥ 3 且F所有权重为2的子群D在G中SS-拟正规。令E是F的极小G-不变子群。根据引理2.5 2)知E是素数阶，所以F/E任意极小子群在G/E中SS-拟正规。又因为 E < F ≤ F ( G ) ，所以F/E任意极小子群在G/E中S-置换。因为可由PE/E的G-超可解性直接推出P的G-超可解性。因此只要考虑当F所有极小子群在G中SS-拟正规的情况即可。 假设F所有极小子群在G中SS-拟正规，因为 F ≤ F ( G ) ，所以F所有极小子群在G中S-置换。显然F的所有子群继承了假设条件。因此假设 F = P 且P的所有真G-不变子群是G-超可解群。若 V 1 和 V 2 是P中不同的极大G-不变子群，则 V 1 和 V 2 都是G-超可解群，所以P也是G-超可解群。因此设P有唯一极大G-不变子群V。 为了证明P的G-超可解性，我们只要证明P/V是p阶群。若 V = 1 ，则P是G的极小正规子群，又根据引理2.5知P是G-超可解群。若 V > 1 ，则根据引理2.4知 G / C G ( V ) 是超可解群。 假设 C P ( V ) < P 。因为 C P ( V ) 是P中G-不变子群，且V是P中唯一极大G-不变子群，所以 C P ( V ) ≤ V ，则P/V同构于 G / C G ( V ) 的G-主因子，因此 P / V ≅ ℤ p 。因此假设 C P ( V ) = P ，则 V ≤ Z ( P ) ，且P最多有2个类。令 Ω 1 是P中所有p阶元生成的子群，所以 exp ( Ω 1 ) = p 。 假设 Ω 1 = P ，令 〈 y 〉 V / V 是P/V的任意极小子群。因为 exp ( P ) = p ， 〈 y 〉 是p阶群且在G中S-置换，因此P/V的所有极小子群在G/V中S-置换。因此根据引理2.5 2)知P/V是p阶群。 假设 Ω 1 < P ，则 Ω 1 ≤ V ≤ Z ( P ) ，因此 Ω 1 是初等交换群。又因为 Ω 1 是G-超可解群，所以根据引理2.4知 G / C G ( Ω 1 ) 是超可解群。若 p ′ -群平凡的作用在 Ω 1 上，则 p ′ -群平凡的作用在P上。则 C G ( Ω 1 ) / C G ( P ) 是p-群。显然 C G ( P / V ) ≥ C G ( P ) 。又因为P/V是G的p-主因子，且 O p ( G / C G ( P / V ) ) = 1 ，所以 C G ( P / V ) ≥ C G ( Ω 1 ) ，又因为 G / C G ( Ω 1 ) 是超可解群，所以 G / C G ( P / V ) 是超可解群。根据引理2.1 4)知 Ω 1 是由一些p阶 O p ( G ) -不变子群的直积生成，因此 O p ( G ) / C O p ( G ) ( Ω 1 ) 是交换群且 exp ( O p ( G ) / C O p ( G ) ( Ω 1 ) ) | p − 1 。令 T ⊲ G 使得 T / C G ( P / V ) = O p ( G / C G ( P / V ) ) ，显然 T = O p ( G ) C G ( P / V ) ， C O p ( G ) ( P / V ) = O p ( G ) ∩ C G ( P / V ) ≥ O p ( G ) ∩ C G ( Ω 1 ) = C O p ( G ) ( Ω 1 ) ，则 T / C G ( P / V ) ≅ O p ( G ) / ( C G ( P / V ) ∩ O p ( G ) ) = O p ( G ) / C O p ( G ) ( P / V ) 是 O p ( G ) / C O p ( G ) ( Ω 1 ) 的商群，因此 T / C G ( P / V ) 是交换群且 exp ( T / C G ( P / V ) ) | p − 1 。对于 G / C G ( P / V ) 的任意 p ′ -主因子 △ 。因为 △ 一定是 T / C G ( P / V ) 的 G / C G ( P / V ) -主因子，所以 △ 是素数q阶且 q | p − 1 。又因为 G / C G ( P / V ) 的Sylow p-子群平凡的作用在 △ 上，所以也平凡的作用在 T / C G ( P / V ) 上。因为 O p ( G / C G ( P / V ) ) = 1 ，所以 T = G 。因此 G / C G ( P / V ) 是交换群且 exp ( G / C G ( P / V ) ) | p − 1 ，所以P/V是p阶群。得证。 □ 定理3.2：设G是满足条件1.1的可解群且 n ≥ 2 ，若G所有极大子群链链长至少为 n + 1 ，或者 l max ( G ) ≥ 2 n ，则G是超可解群。 证明：假设G不是超可解群，且G是极小阶反例。令D是G唯一的极小正规子群，当 ω ( D ) ≥ n − 1 时，则根据引理2.9和引理2.11，可知G/D是超可解群。当 ω ( D ) ≤ n − 2 时，则G/D满足定理的所有条件，根据归纳法可知G/D是超可解群。如果G有不同的极小正规子群 D 1 ， D 2 ，则根据归纳法 G / D i 都是超可解群。如果 D i ≤ Φ ( G ) 时，因为G/D是超可解群。则G也是超可解群。当 Φ ( G ) = 1 时，设D是G唯一极小正规子群，则根据引理2.10知 G = D ⋊ A 且 D = F ( G ) ，其中A是G的极大子群。 如果G的任意极大子群链链长至少为 n + 1 ，则 ω ( A ) ≥ n ；如果 l max ( G ) ≥ 2 n ，则 ω ( A ) ≥ 2 n − ω ( D ) ≥ n 。取P是A中极大正规幂零子群。则 P ≤ F ( G ) ，又因为 D = F ( G ) ，所以 P ∩ D > 1 ，又因为 D ∩ A = 1 ，矛盾。 从而G是超可解的。 □ 定理3.3：设G是满足条件1.1的可解群且 n ≥ 2 ，若 ω ( G ) ≥ n ( 1 + k ) / k ，k是正整数， n l ( G ) 表示G的幂零长，则 n l ( G ) ≤ 1 + k 。 证明若 k = 1 ，则 ω ( G ) ≥ 2 n ，则根据定理3.2知G是超可解群，所以 n l ( G ) ≤ 2 = 1 + k 。 若 k ≥ 2 ，令D是G的极小正规子群。若 ω ( D ) ≥ n − 1 ，则根据引理2.9和引理2.11知G/D是超可解群。所以 n l ( G ) ≤ 3 ；若 ω ( D ) ≤ n − 2 ，令 n ′ D = n − ω ( D ) ，则 n ′ D ≥ 2 ，则G/D满足定理条件，G/D中所有权重为 n ′ D 的子群都是SS-拟正规子群，并且 ω ( G / D ) ≥ n ′ D ( 1 + k ) / k ，则根据归纳法知 n l ( G / D ) ≤ 1 + k 。假设 Φ ( G ) = 1 且 D = F ( G ) 是G唯一的极小正规子群，所以 G = D ⋊ A ，其中A是G的极大子群。令 d = ω ( D ) ，且 a = ω ( A ) 。若 a ≥ n ，则A中有子群M在G中SS-拟正规，则 M ∩ F ( G ) = M ∩ D > 1 ，矛盾。所以 a < n ，因为 a + d = ω ( G ) ≥ n ( k + 1 ) / k 。则 k ( a + d − n ) ≥ n > a ， k ≥ 2 ，因此 a > ( n − d ) k / ( k − 1 ) = n ′ D k / ( k − 1 ) 。根据归纳法可知 n l ( A ) ≤ 1 + ( k − 1 ) = k ，所以 n l ( G ) ≤ 1 + k 。□