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user: 3. 时滞广义变结构控制系统研究方法 随着对时滞广义系统的不断深入研究和发展，共有以下七种方法在时滞广义系统的研究领域中占有重要的地位，分别是：滑模近似法、受限综合法、软变结构控制法、趋近律法、受限等价法、自适应滑模控制法和随机广义控制法。下面分述这些研究方法。 3.1. 滑模近似法 考虑如下系统： { E x ˙ ( t ) = ( A + Δ A ) x ( t ) + ( B + Δ B ) x ( t − τ ) + ( F + Δ F ) u ( t ) + D g ( t ) x ( t ) = φ ( t ) ， t ∈ [ − τ ， 0 ] (2) 实际上，滑动模态将存在于滑模切换面 s = 0 的一个 Δ 邻域内，即带宽 S Δ = { x ‖ s ( x ) ‖ ≤ Δ } 。因此，将等效控制中得到的理想滑动模态近似等于实际滑动模态进行研究尤为必要，而滑模近似原理对于时滞广义系统的研究提供了理论支撑，高存臣 [ 48 ] 等已详细给出了系统(2)的滑模近似原理的证明及其应用。 3.2. 受限综合法 受限综合法 [ 48 ] ，即对具有固定结构的非线性时滞时变广义系统，先进行受限等价变换，然后再研究该系统的综合问题，考虑如下系统： { E x ˙ ( t ) = A ( t ) x ( t ) + f ( t ， x ( t ) ， x ( t − τ ) ) + B ( t ) u ( t ) x ( t ) = φ ( t ) ， t ∈ [ − τ ， 0 ] (3) 对于系统(3)，任给 t ∈ [ 0 ， + ∞ ] ， r a n k ( E ， B ( t ) ) = n ，矩阵函数 B ( t ) 列满秩，则存在可逆矩阵函数 P ( t ) ， Q ( t ) 使得以下两项成立： 1) 若 r a n k ( B ( t ) ， f ) = r a n k ( B ( t ) ) ，则系统(3)受限等价于： { x ˙ ( t ) = A 11 ( t ) x 1 ( t ) + A 12 ( t ) x 2 ( t ) 0 = A 21 ( t ) x 1 ( t ) + A 12 ( t ) x 2 ( t ) + f 2 ( t ， x 1 ( t ) ， x 2 ( t ) ， x 1 ( t − τ ) ， x 2 ( t − τ ) ) + B 2 ( t ) u ( t ) [ x 1 ( t ) x 2 ( t ) ] = P − 1 φ ( t ) = [ φ 1 ( t ) φ 2 ( t ) ] ， t ∈ [ − τ ， 0 ] (4) 2) 若 r a n k ( B ( t ) ， f ) ≠ r a n k ( B ( t ) ) ，则系统(3)受限等价于： (5) 对于受限综合法，先进行受限等价分解变换，经过非奇异的变换无论是连续系统还是离散系统不改变其广义系统的结构性质；通过等价分解，将高维系统转化为低维子系统，然后分别再利用综合法设计滑模面和控制器。无论是在计算上还是在控制律的设计上，都给研究广义系统带来便利。因此利用受限综合法研究广义系统尤为必要。 3.3. 软变结构控制法 软变结构控制 [ 49 ] [ 50 ] ，是一种无滑模变结构控制，通过连续的选择参量来改变控制器结构以实现状态信号变化。软变结构控制策略具有调节精度高，响应速度快，并可以有效的削弱系统抖振等优点，从而使得该系统在整个状态空间具有良好的动态性能。Liu [ 50 ] 等通过设计了一种动态软变结构控制器，可有效抑制系统的抖振，研究了一类广义系统的动态软变结构问题，从而提高了该系统的动态品质；Liu [ 51 ] 等针对一类L-可控广义系统，提出了一种新的软变结构控制方案；Röthig [ 52 ] 等基于软变结构控制法，设计了一种非饱和控制律，研究了一类线性系统的镇定性问题。软变结构控制策略的控制算法设计主要有3种 [ 50 ] ：1) 基于Lyapunov隐函数软变结构控制；2) 动态软变结构控制；3) S-型函数软变结构控制。 考虑如下系统： x ˙ ( t ) = A x ( t ) + b u ( t ) (6) 其中， x ( t ) ∈ R n 为系统的状态向量， u ( t ) ∈ R 为控制输入向量， A ∈ R n × n 为常数矩阵， b ∈ R n 为常数向量，且 ( A ， b ) 是能控的。而在实际的生活中，一般情况下控制输入是受限制的，为此进行假设： | u ( t ) | ≤ u 0 (7) 其中 u 0 是正常数。 基于Lyapunov隐函数软变结构控制：在有限个子控制器的无滑模变结构控制器中，一般设计子控制器为线性反馈控制器： u ( t ) = − k p T x ( t ) ， p = 1 ， 2 ， ⋯ ， k (8) 其中 k p ∈ R n 为常值向量。 2) 动态软变结构控制：假设所选择的策略参量 p 满足 p ˙ = f ( p ， x ) ，则设计的控制器为： u = − g T x − p h T x (9) 其中 g ， h ∈ R n 都是 n 维列向量。记 A 0 = A − b g T ，则可得到闭环控制系统： x ˙ = ( A − b g T ) x − p b h T x = ( A 0 − p b h T ) x (10) 3) S-型函数软变结构控制：构造两个向量 k 1 ∈ R n ， k 2 ∈ R n ，使得 (11) 其中， u 1 是线性控制器， 为基于双曲正切函数的软变结构控制器，构造控制器如下： u = u 1 + u 2 (12) 得到闭环软结构控制系统： x ˙ = ( A − b k 1 T − ρ φ b k 2 T ) x Δ _ _ A ¯ ( ρ ) x (13) 3.4. 趋近律法 3.4.1. 趋近律的研究状况 趋近律方法是研究滑模控制的常用方法，自1995年高为炳院士提出离散滑模控制系统的指数趋近律开始，国内外学者们便基于趋近律方法来研究滑模控制，设计的控制律简单并且容易实现，但是存在的一个缺点是系统会产生抖振。那么如何削弱抖振呢，又成为学者们研究的一个新领域。近两年来，Latosiński [ 53 ] 等设计了一种新的基于趋近律的离散系统滑模控制器，这种趋近律与大多数现有方法相反，新策略设计使用具有相对度2的滑动变量，即： s 2 ( k + 2 ) = f [ s 2 ( k + 1 ) ] f [ s 2 ( k ) ] s 2 ( k ) − α sgn [ s 2 ( k + 1 ) ] − f [ s 2 ( k + 1 ) ] α sgn [ s 2 ( k ) ] + c 2 T A b α ¯ ( k ) + c 2 T A b d ( k ) − d 2 (14) 该趋近律既保证了系统期望的动态特性，又将滑模变量驱动到比其相对度1更窄的准滑动模带；针对多输入多输出非线性系统，Devika [ 54 ] 等提出了两种改进的滑动趋近律方法，既保证了系统状态可以快速到达滑动面，又具有可以削弱系统抖振；Liu [ 55 ] 等又提出了一种新型指数趋近律： S ˙ = − k | s | α N | s | s i g n ( S ) (15) 其中 N ( S ) = β + ( 1 − β ) e − γ | s | μ ， α ， β ， γ ， μ 都是正数，且 0 < α ， β < 1 。此控制律能够有效抑制系统抖振，加快系统的逼近过程。Wang [ 56 ] 等提出了一种新的针对分数阶非奇异终端滑模控制趋近律，即采用快速TSM型趋近律，使得系统状态可以在有限时间内到达滑动模态，并做滑动运动。 3.4.2. 理想趋近律与扰动补偿趋近律 趋近律是一种理想的不产生抖振的滑动模态轨迹，而在实际生活中，由于建模以及不确定因素的估计，在设计滑模面的过程中总会产生抖振，对此期望有一种滑模，不仅是无抖振的而且要在有限时间到达滑模面。 理想趋近律：为了研究非匹配离散广义系统的滑模控制策略，宋 [ 57 ] 等给出了理想趋近律的概念。理想趋近律是一种可以人为预先设定的满足无抖振(实际为微抖振)特征，并在有限时间内可到达滑模面，并稳定于切换面的理想滑动模态轨迹，它需具备三个条件：1) 简单易实现；2) 有限时间内快速到达滑模面； 3) 稳定于切换面时速度趋于零，即 lim k → ∞ s ( k + 1 ) = s ( k ) 。 扰动补偿趋近律：为了有效的削弱系统的抖振，瞿 [ 58 ] 等给出了一种带有扰动补偿的趋近律： s ( k + 1 ) = ( 1 − q T ) s ( k ) − ε T s g n s ( k ) + c T g ( k ) − ρ s g n s ( k ) − ∑ i = 2 k [ s ( i ) − I ( α ) s ( i − 1 ) + ρ s g n s ( i − 1 ) ] (16) 3.5. 受限等价法 受限等价变换：如果对于两个广义系统，经过非奇异线性变换后，前后状态是保持一致(一一对应的)，则称这两个广义系统是受限等价的，而所进行的非奇异线性变化为受限等价变换。受限等价变换不改变广义系统的结构性质(如正则性、稳定性、可控性、可观性、传递函数、特征值等)。在时滞连续广义系统不确定的滑模控制策略和时滞连续广义系统不确定的滑模控制策略中，受限系统等价分解法极为重要。线性广义系统经过受限等价分解可以化为标准型，在标准型下系统的某些结构性质更加直观明了便于研究。刘 [ 59 ] 给出了以下三种标准型式：1) Kronecker标准型；2) 微分反馈标准型；3) 动态分解标准型。 受限等价法在时滞广义系统中的应用十分广泛，高 [ 48 ] 等对于以下四种情况进行了考虑，分别进行受限等价分解，再设计不同的滑模控制律，来研究多个系统的稳定性问题。 1) 非结构式扰动的单时滞情况；2) 具有结构式扰动的单时滞情况；3) 非结构式扰动的多时滞情况；4) 具有结构式扰动的多时滞情况。 受限综合法与受限等价法之间的区别：受限综合法是指研究系统的性质(如稳定性、鲁棒性)时有些变量受到一定限制；受限等价法是指研究系统的等价性(如稳定性等价性)时有些变量有一定限制。 3.6. 自适应滑模控制法 自适应控制主要是针对系统的不确定性因素进行控制，即所设计的控制器能够根据外界的干扰以及自身的不确定因素来进行自行调整已求达到最优的控制性能。外界的干扰不可避免，系统在建模的过程中的不确定性影响因素也不可避免。随着科学技术进步和控制系统复杂性的增加，自适应滑模控制法尤为重要，将自适应滑模控制法与其他理论方法相结合，能够更有效的研究不同系统的动态性能。近年来，国内外学者对于自适应滑模控制理论的研究不断深入。Benamor [ 60 ] 等研究了一类不确定离散时变时滞系统的鲁棒自适应控制问题，通过定义一类新的鲁棒自适应滑模控制方法估计了不确定性的上限。控制律如下： u ( k ) = − ( C B ) − 1 [ C B K x ( k ) + K s i g n ( s ( k ) ) + s i g n ( s ( k ) ) A x ] (17) 其中： s i g n ( s ( k ) ) = [ s i g n ( s 1 ( k ) ) ⋮ s i g n ( s m ( k ) ) ] ， K = [ K 1 0 0 0 ⋱ 0 0 0 K m ] Gracia [ 61 ] 等研究了一类机器人自适应滑模控制问题，通过考虑和比较几种自适应开关增益，来分析所产生的不稳定性及其其他性能；Liu [ 62 ] 等研究的是一类离散非线性系统的无记忆自适应滑模控制，设计的控制器如下所示： u k = u k − 1 + Φ 2 ， k − 1 ( e k − Δ y k Φ 1 ， k − ε ¯ k + 1 ( η θ k + 1 − η ) − ε _ k + 1 η θ k + 2 − η ϑ k + 1 ) + Φ 2 ， k − 1 Λ s sign ( s k ) (18) 主要针对具有跟踪误差约束的离散时间非线性过程，提出了一种新的基于数据驱动的无记忆自适应滑模控制策略；Mofid [ 63 ] 等基于自适应控制方法，研究了一类具有参数不确定的四转子无人机稳定性问题；Riani [ 64 ] 等针对一类非线性系统的未知但有界的不确定性问题，提出了一种积分型的鲁棒自适应滑模控制策略，控制器如下： u = φ − 1 [ q ¨ d + α e ˙ q p + β e q 2 p − q − f + λ s + φ T A ^ s ‖ s ‖ ] (19) Zhang [ 65 ] 等是采用鲁棒自适应积分滑模控制方法，提出了一种基于动态滞后补偿的控制方法，研究了一类具有时间滞后和不确定性的系统的稳定性问题，设计了一种自适应律来估计积分滑模控制器的增益，从而削弱了系统抖振，且不再需要先验的不确定性上界有界的约束条件。采用自适应滑模控制法来设计控制器，不仅能够保证系统的鲁棒性，而且能够对系统的不确定性和外界干扰性进行补偿。 3.7. 随机广义控制法 广义系统具有层次性结构，并且广义系统的模型是建立在奇异摄动概念的基础上，它的解结构比较复杂。随机现象包含了很多不确定因素，因此研究随机广义系统的动态性能特别必要，近年来，国内外许多学者也开始对随机广义系统进行了深入研究。其中，Gao [ 66 ] 等研究了一类具有时滞脉冲和马尔可夫切换的广义随机脉冲微分方程的指数稳定性，针对大时滞、小时滞的脉冲控制问题，提出了一种新的脉冲和开关时序的子序列方法；Blom [ 67 ] 等研究了一类广义随机混合系统的到达概率估计问题；Zhang [ 68 ] 等研究了一类具有随机模式切换的混合线性变参数系统的稳定性和镇定性问题；Wang [ 69 ] 等研究了一类具有广义Prandtl-Ishlinskii滞后的反馈随机非线性系统的鲁棒自适应神经网络控制问题；Zhuang [ 70 ] 等研究了一类具有时滞的随机广义马尔可夫跳跃系统的可容许性分析和镇定问题，并设计了状态反馈控制器，保证了系统的稳定。 时滞现象在物质世界中普遍存在的，随机更是世界的本性特征。为此，对于随机广义系统的研究更为必要，其研究成果奖不断丰富控制理论体系。