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user: 2. 本文模型 从生理学的角度来看，瞳孔的直径可从1.5毫米变化到7毫米，所引起的虹膜组织在切向上的变化可达到5倍以上(靠近瞳孔附近变化较大)，在径向的变化可达到2倍以上，Daugman的橡胶板模型已经不足以表达复杂的虹膜变形物理性质，需考虑房水折射和弹性组织特性引起的虹膜变形。如图1所示，虹膜组织内有环绕瞳孔排列的平滑肌，叫瞳孔括约肌，外有在虹膜外边界附近呈放射状排列的平滑肌，为瞳孔开大肌。光线微弱时，瞳孔开大肌向外扩张，增加光线进入;强光照射眼睛时，瞳孔括约肌向内收缩，减少光亮进入。 2.1. 房水折射 虹膜是位于前房后面、晶状体前面的一个环状组织 [ 7 ] ，中间瞳孔的扩张和收缩调节眼球进光量。前房是眼球中角膜后方与虹膜、晶状体前方之间的空腔，其内部充满房水。正常的角膜为球面，可以把前房和角膜的折射看作单折射球面模型 [ 8 ] ，采集虹膜图像时，采集仪器与人眼的距离在15~20 cm之间，而虹膜的直径约为12.5 mm，两者差别非常大，所以在虹膜采集过程中，可以把3D眼睛结构看作平行光线的球面折射模型，见图2所示。 观测到的虹膜图像是经角膜和房水折射后的图像，本文根据解剖精确的人眼模型建立三维折射模型，将虹膜重建到它的非折射状态，改善房水折射对初始定位的影响。 图1. 虹膜组织结构 图2.房水折射截面图图 2.2. 虹膜动力学定位 虹膜区域是一个薄圆柱壳，忽略其厚度的影响，将虹膜区域简化为二维极坐标 ( r ， θ ) 平面。在极坐标系中，用 σ r 表示径向正应力，用 σ θ 表示切向正应力， τ θ r 和 τ r θ 分别表示径向和切向的剪应力， ε r 和 ε θ 分别是沿径向和切向方向上的正应变， γ r θ 是剪应变， u r 和 u θ 分别为沿径向和切向方向上的位移，其应变位移几何关系 [ 9 ] 为： ε r = ∂ u r ∂ r − 1 2 { ( ∂ u r ∂ r ) 2 + ( ∂ u θ ∂ r ) 2 } ε θ = 1 r ∂ u θ ∂ θ + u r r − 1 2 r 2 { ( ∂ u θ ∂ θ ) 2 + ( ∂ u r ∂ θ ) 2 − 2 ∂ u r ∂ θ u θ + 2 ∂ u θ ∂ θ u r + u r 2 + u θ 2 } γ r θ = 1 r ∂ u r ∂ θ + ∂ u θ ∂ r − u θ r − 1 r { ( ∂ u r ∂ θ ) ( ∂ u r ∂ r ) + ( ∂ u θ ∂ r ) ( ∂ u θ ∂ θ ) + ∂ u θ ∂ r u r − ∂ u r ∂ r u θ } ，(1) 由于虹膜材料是正交各向异性，其应力与应变之间的本构关系式为： ( ε r ε θ γ r θ ) = ( 1 E r − ν r θ E θ 0 − ν θ r E r 1 E θ 0 0 0 2 ( 1 + ν r θ ) E θ ) ( σ r σ θ τ r θ ) ， (2) 其中 E r 和 E θ 分别是沿径向和切向方向上的杨氏模量，由虹膜区域的材料特性决定。 ν θ r 是沿切向方向上的泊松比， ν r θ 是沿径向方向上的泊松比。对于正交各向异性材料，有如下平衡关系： ν θ r E r = ν r θ E θ ，(3) 从环形虹膜上的任意位置处分割出扇形微分单元体ABCD，其由两个相距 d r 的圆柱面和互成 d θ 的两个径向面构成，进行受力分析，如图3所示，记应力分量由圆心向外和垂直于半径方向向下为正值。 当虹膜图像采集环境稳定时，虹膜处于相对平衡状态，可以得到如下平衡方程： f C D ( r + d r ) d θ − f A B r d θ + f A D d r sin ( − d θ 2 ) − f B C d r sin d θ 2 + g A D d r cos d θ 2 − g B C d r cos d θ 2 = 0 ， (4) 2.3. 虹膜扩张和收缩运动的不对等性 虹膜是一弹性圆环组织，其上每一点的应力分量随位置的变化而变化的，以AB面距离虹膜中心的半径长度r，应力大小 f A B ( σ r ) = | σ r | ，剪应力大小 g A B ( σ r ) = | τ r θ | 为参照标准，当瞳孔扩张时，虹膜组织向外运动，应力 f A B ( σ r ) = σ r ，剪应力 g A B ( σ r ) = − τ r θ ；当瞳孔收缩时，虹膜组织向内运动，应力 f A B ( σ r ) = − σ r ，剪应力 g A B ( σ r ) = τ r θ 。 相对于扇形微分单元体ABCD，有AB面上的应力分量指向圆心为负值，有 f A B ( σ r ) = − σ r ，剪应力分量垂直于半径方向向上也为负值 g A B ( σ r ) = − τ r θ ；因此CD面上的应力分量指向无穷远处为正值，剪应力分量垂直于半径方向向下为正值，且相对于AB面上的应力分量CD面上的应力分量和剪应力分量分别为： f C D ( σ r ) = | σ r | + ∂ σ r ∂ r d r g C D ( σ r ) = | σ r | + ∂ σ r ∂ r d r 同理，当AD面上的应力分量为 f A D = | σ θ | 和剪应力分量为 g A D = | τ θ r | 时，有BC面上的应力分量和剪应力分量为： 图3. 虹膜特征点受力分析图 f B C = | σ θ | + ∂ σ θ ∂ θ d θ g B C = | τ θ r | + ∂ τ θ r ∂ θ d θ 化简(4)式得： | σ r | − | σ θ | r + ∂ σ r ∂ r + 1 r ∂ τ r θ ∂ r = 0 ， (5) 光线较弱时，虹膜为保证一定的进光量，弹性组织向外扩张 [ 10 ] ，此时虹膜沿径向方向整体所受应力由圆心向外，沿切向方向应力垂直于半径方向向下，均为正值，其平衡方程为： σ r − σ θ r + ∂ σ r ∂ r + 1 r ∂ τ r θ ∂ r = 0 ， (6) (1)(2)代入上式，化简可得如下控制微分方程边值问题： { d 2 u d r 2 + 1 r d u d r − ξ u r 2 − 1 − ν ξ 2 r ( d u d r ) 2 − ν − 1 2 r ( u r ) 2 − 1 2 d d r ( d u d r ) 2 − ν ξ 2 d d r ( u r ) 2 = 0 u ( r 1 ) = μ 1 ≥ 0 ，     u ( r 2 ) = 0 ，     r ∈ ( r 1 ， r 2 ) ，(7) 其中 r 1 是虹膜模板的瞳孔半径， u = u ( r ) 是径向方向的位移，位于半径r处的特征点被移动到位于半径 r + u ( r ) 的最终位置。 强光照射眼睛时，虹膜组织向内收缩，此时虹膜沿径向方向整体所受应力指向圆心，沿切向方向所受应力垂直于半径方向上，均为负值，化简(5)式得： − σ r + σ θ r + ∂ σ r ∂ r + 1 r ∂ τ r θ ∂ r = 0 ， (8) 将(1)(2)代入上式，化简可得如下控制微分方程边值问题： { d 2 u d r 2 − 2 ξ − 1 r d u d r − ξ ( 1 − 2 ν ) r 2 u − 1 − ν ξ 2 r ( d u d r ) 2 + ξ ( 3 ν − 1 ) 2 r ( u r ) 2 − 1 2 d d r ( d u d r ) 2 − ν ξ 2 r 2 d d r ( u ) 2 = 0 u ( r 1 ) = μ 1 < 0 ，     u ( r 2 ) = 0 ，     r ∈ ( r 1 ， r 2 ) ，(9) 通过分析瞳孔扩张、收缩方程知，虹膜组织沿径向方向向外、向内运动，不单单是两个反向力作用的结果，还有剪应力的影响，导致在一对大小相同、方向相反力的作用下，虹膜运动出现沿径向方向内外运动的不对等性。