system: [SYSTEM]

user: 3. 多项式趋势曲线在白条猪价格指数中的应用 在本节中，我们将以白条猪价格指数为例来说明多项式趋势曲线的应用，其数据来源于全国农产品商务信息公共服务平台(http://nc.mofcom.gov.cn/zhuanti/ap88/jgzs.shtml)的最新数据(星期六和星期日的数据系统没有统计)，具体见下面的表1： Table 1 White pig price index data (2019 日期 数据 日期 数据 日期 数据 日期 数据 7月29日 130.1427 8月6日 136.4426 8月14日 152.2939 8月22日 165.8016 7月30日 131.9156 8月7日 138.327 8月15日 152.943 8月23日 167.3721 7月31日 135.4068 8月8日 139.9601 8月16日 155.0518 8月26日 175.1701 8月1日 135.8287 8月9日 144.0913 8月19日 161.606 8月27日 175.8024 8月2日 137.0636 8月12日 143.721 8月20日 163.5428 8月28日 181.1142 8月5日 138.0497 8月13日 147.8427 8月21日 162.9741 表1. 白条猪价格指数数据(2019年) 对表1的数据，我们分别考虑 p = 2 ( n = 21 ) ， p = 3 ( n = 20 ) ， p = 4 ( n = 20 ) 三种类型的多项式曲线进行建模，通过Matlab 2013b编程计算得到他们的数学表达式分别为 · p = 2时的表达式 x ^ ( k ) = 132.2933 + 0.2485 k + 0.0846 k 2 . (10) · p = 3时的表达式 x ^ ( k ) = 134.3811 − 0.7934 k + 0.2035 k 2 − 0.0037 k 3 . (11) · p = 4时的表达式 x ^ ( k ) = 127.4445 + 3.9015 k − 0.7084 k 2 + 0.0634 k 3 − 0.0016 k 4 . (12) 通过计算得到相应的数值结果见表2。 从表2可以看出，四阶多项式趋势曲线在建模误差方面是最好的，无论是MAPE还是RMSPE都是最好的，但是拟合误差的值很大，均大于10%。另一方面，二阶多项式趋势曲线和三阶多项式趋势曲线从整体上来看都是很好的，无论是建模误差还是拟合误差都在1.5%一下，并且两个模型基本上精度都是一样的。不过从苛刻的角度来看，三阶还是比二阶有一点点的优势。因此，对于白条猪价格指数我们选择三阶趋势曲线来建模、拟合和预测。 但是，由上面的理论分析我们会问三阶趋势曲线是否完全将历史数据的信息提取出来了呢？针对这一问题，我们将继续对其残差序列进行分析，下面的分析工作是基于统计数学软件EViews 8.0计算出来的，具体见图1和图2。 下面的图1给出了残差APE的时序图，从中可以定性的看出，序列值基本上是在0值附近随机波动，但是波动强度随时间变化并不大，一直在[−2，3]之间波动。进一步，序列值也没有明显的趋势性和周期性。因此，由时序图判断法可以判断残差序列APE为平稳时间序列，或白噪声序列。 Table 2 Computation results of three polynomial trend curves (2019 二阶 APE (%) 三阶 APE (%) 四阶 APE (%) 7月29日 130.1427 132.6264 1.9084 133.7875 2.8006 130.6993 0.4276 7月30日 131.9156 133.1286 0.9195 133.5785 1.2606 132.8943 0.7419 7月31日 135.4068 133.7999 −1.1868 133.7317 −1.2371 134.3506 −0.7800 8月1日 135.8287 134.6403 −0.8749 134.2247 −1.1809 135.3496 −0.3527 8月2日 137.0636 135.6498 −1.0315 135.0351 −1.4800 136.1333 −0.6787 8月5日 138.0497 136.8285 −0.8846 136.1404 −1.3831 136.9042 −0.8298 8月6日 136.4426 138.1763 1.2706 137.5183 0.7884 137.8253 1.0134 8月7日 138.3270 139.6932 0.9877 139.1464 0.5924 139.0201 0.5011 8月8日 139.9601 141.3793 1.0140 141.0022 0.7446 140.5727 0.4377 8月9日 144.0913 143.2344 −0.5947 143.0634 −0.7134 142.5276 −1.0852 8月12日 143.7210 145.2587 1.0700 145.3075 1.1038 144.8898 0.8133 8月13日 147.8427 147.4522 −0.2641 147.7121 −0.0884 147.6250 −0.1472 8月14日 152.2939 149.8147 −1.6279 150.2548 −1.3389 150.6593 −1.0733 8月15日 152.9430 152.3464 −0.3901 152.9132 −0.0195 153.8791 0.6121 8月16日 155.0518 155.0472 −0.0030 155.6649 0.3954 157.1317 1.3414 8月19日 161.6060 157.9171 −2.2826 158.4875 −1.9297 160.2246 −0.8548 8月20日 163.5428 160.9562 −1.5816 161.3585 −1.3356 162.9261 −0.3771 8月21日 162.9741 164.1644 0.7304 164.2557 0.7864 164.9646 1.2214 8月22日 165.8016 167.5417 1.0495 167.1564 0.8171 166.0295 0.1375 8月23日 167.3721 171.0881 2.2202 170.0385 1.5931 165.7704 −0.9570 8月26日 175.1701 174.8037 −0.2092 172.8793 −1.3078 163.7973 −6.4924 8月27日 175.8024 178.6884 1.6416 175.6566 −0.0829 159.6812 −9.1701 8月28日 181.1142 182.7422 0.8989 178.3479 −1.5274 152.9531 −15.5488 MAPE (%) 1.0524 1.0794 0.7192 1.2702 0.9727 10.4038 1.0714 1.0655 1.9824 RMSPE (%) 1.2114 1.2451 0.7928 1.3234 1.1619 11.0756 1.2215 1.2345 4.0678 表2. 三种多项式趋势曲线的计算结果(2019年) 图1. 残差APE的时序图 图2. APE的相关系数图 图2左边显示残差的自相关系数和偏自相关系数都在2倍标准差范围内，且变化范围不大，即两种的值都是非常小的。因此，结合自相关系数判断法可以知道序列值为平稳序列或在白噪声序列。 图2的右边给出的是相应的P值，从计算的结果可知，所有的P值都是大于0.05的。因此，结合P值判断法可明确知道APE序列是一个白噪声序列。即三阶趋势曲线已经将白条猪价格指数的信息提取完全，没有进一步对其残差进行分析建模的必要。基于此，本文的白条猪价格指数的函数表达式为 x ^ ( k ) = 134.3811 − 0.7934 k + 0.2035 k 2 − 0.0037 k 3 . (13) 有了方程(13)，我们可以预测接下来的几天时间里白条猪价格指数的走势，从而为政府和相关部门制定决策提供可量化的依据，其预测计算结果见表3。 Table 3 Prediction results of trend curves of third-order polynomial 8月29日 8月30日 9月2日 9月3日 180.9308 183.3829 185.6817 187.8050 9月4日 9月5日 9月6日 189.7302 191.4350 192.8969 表3. 三阶多项式趋势曲线的预测结果