DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 3. 转移概率矩阵 马尔可夫链作为一种随机过程，在控制图的相关领域中，常用来预测控制图各个状态的转移概率，利用状态转移矩阵去计算控制图的统计指标，从而对控制图进行统计和经济优化。基于本文的双抽样可变样本容量T 2 控制图，为简单起见，假设 μ 0 和 Σ 已知，则T 2 服从自由度为p的中心卡方分布。若过程出现异常，均值发生偏移，T 2 服从非中心参数为 η 的非中心卡方分布。现将第一阶段的样本统计量 T 11 2 和 T 12 2 统称为 T 1 2 ，则可将过程分为以下四种状态： 状态一： T 1 2 ∈ I 1 状态二： T 1 2 ∈ I 2 状态三： T 1 2 ∈ I 3 ∩ T 2 2 ∈ I 5 状态四： T 1 2 ∈ I 4 ， T 1 2 ∈ I 3 ∩ T 2 2 ∈ I 6 其中状态四为吸收态，马尔可夫链转移矩阵P如下： P = ( P 11 P 12 P 13 P 14 P 21 P 22 P 23 P 24 P 31 P 32 P 33 P 34 0 0 0 1 ) 其中 P i j 为状态i转移到状态j的概率，因此 P 11 = P ( T 1 2 ∈ I 1 | n 1 ; h ) = P ( T 1 2 ≤ w 1 ) = F ( w 1 ， p ， η = n 1 δ 2 ) P 1 2 = P ( T 1 2 ∈ I 2 | n 1 ; h ) = P ( w 1 ≤ T 1 2 ≤ w 2 ) = F ( w 2 ， p ， η = n 1 δ 2 ) − F ( w 1 ， p ， η = n 1 δ 2 ) P 1 3 = P ( T 1 2 ∈ I 3 & T 2 2 ∈ I 5 | n 1 ; h ) = P ( w 2 ≤ T 1 2 ≤ k 1 ) × P ( T 2 2 ≤ k 2 ) = [ F ( k 1 ， p ， η = n 1 δ 2 ) − F ( w 2 ， p ， η = n 1 δ 2 ) ] × F ( k 2 ， p ， η = n 3 δ 2 ) P 14 = 1 − ∑ i = 1 3 P 1 i P 2 1 = P 3 1 = P ( T 1 2 ∈ I 1 | n 2 ; h ) = P ( T 1 2 ≤ w 1 ) = F ( w 1 ， p ， η = n 2 δ 2 ) P 22 = P 32 = P ( T 1 2 ∈ I 2 | n 2 ; h ) = P ( w 1 ≤ T 1 2 ≤ w 2 ) = F ( w 2 ， p ， η = n 2 δ 2 ) − F ( w 1 ， p ， η = n 2 δ 2 ) P 23 = P 33 = P ( T 1 2 ∈ I 3 & T 2 2 ∈ I 5 | n 2 ; h ) = P ( w 2 ≤ T 1 2 ≤ k 1 ) × P ( T 2 2 ≤ k 2 ) = [ F ( k 1 ， p ， η = n 2 δ 2 ) − F ( w 2 ， p ， η = n 2 δ 2 ) ] × F ( k 2 ， p ， η = n 3 δ 2 ) P 2 4 = P 3 4 = 1 − ∑ i = 1 3 P 2 i = 1 − ∑ i = 1 3 P 3 i 其中 F ( x ， p ， η ) 为非中心卡方分布的累计概率分布函数，p为自由度，即需要监控的质量特征的个数， η 为非中心参数，计算公式为 η = n δ 2 ，其中 δ 为多变量均值向量漂移量。
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user: 4. 统计指标计算 统计指标常用来测评控制图的性能表现。主要有受控状态下过程平均运行链长 A R L 0 ，平均周期时间 A T S 0 以及一个控制周期的平均抽样数 A N I 0 和失控状态下平均周期时间 A T S 1 以及一个控制周期的平均抽样数 A N I 1 ，计算公式分别如下： A R L 0 = b ′ ( I − Q 0 ) − 1 l A T S 0 = b ′ ( I − Q 0 ) − 1 h 0 A N I 0 = b ′ ( I − Q 0 ) − 1 N A T S 1 = b ′ ( I − Q 1 ) − 1 h 0 A N I 1 = b ′ ( I − Q 1 ) − 1 N 其中 b ′ = ( b 1 ， b 2 ， b 3 ) 为初始状态概率矩阵，为避免在过程开始就出现异常，一般设 b ′ = ( 0 ， 1 ， 0 ) ；I为3 × 3单位矩阵； Q 0 为多变量均值不发生漂移时 ( δ = 0 ) 转移概率矩阵P删除吸收态后的3 × 3矩阵， Q 1 为多变量均值发生漂移时 ( δ > 0 ) 转移概率矩阵P删除吸收态后的3 × 3矩阵； l ′ = ( 1 ， 1 ， 1 ) ； h 为取样间隔，由于该控制图采样间隔固定，则取样间隔向量 h ′ 0 = ( h ， h ， h ) ；N为取样个数向量，则 N ′ = ( n 1 ， n 2 ， n 3 ) 。
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user: 5. 经济模型构建 为方便该控制图经济成本的计算，现假设如下： · 控制图从受控状态开始运行； · 控制图受控时间服从均值为 1/ λ 的指数分布； · 控制图发生警报后，便停止运行，查找异常原因并完全维修； · 二次抽样间隔为0。 本文采用Lorenzen-Vance经济模型 [ 11 ]，首先计算控制图的单个过程周期时间 E ( T ) 。其中包括受控时间x，其服从均值为 1/ λ 的指数分布；失控时间AATS，由 A T S 1 减去过程漂移与之前最后一次抽样之间 的时间期望值 τ ，因为受控时间x服从均值为 1/ λ 的指数分布， τ = E ( x | 0 < x < h ) = 1 − e − λ h ( λ h + 1 ) λ ( 1 − e − λ h ) ， A A T S = A T S 1 − τ ；查找过程异常并完全维修的时间 ε ，是一个常量，则有 E ( T ) = 1 λ + A A T S + ε 将控制图从开始运行至报警记为一个运行周期，则控制图在一个运行周期内的成本，主要由五个部分组成： 1) 受控状态下的过程成本 记受控状态下单位时间成本为 c 1 ，因为受控时间服从均值为 1/ λ 的指数分布，则受控状态下的过程成本为 c 1 / λ 。 2) 失控状态下的过程成本 记失控状态下的单位时间成本为 c 2 ，失控时间为AATS，则失控状态下的过程成本为 c 2 × A A T S 。 3) 误报警成本 记寻找一个误报警的成本为 c 3 ，受控状态下的期望抽样次数为s，受控下的平均抽样次数等于过程开始到过程均值发生偏移前最后一次抽样的时间长度除以平均抽样间隔，由于抽样间隔固定，则 s = 1 / λ − τ E ( h ) = 1 / λ − τ h ，误报警的概率为 1 / A R L 0 ，则误报警成本为 c 3 s A R L 0 。 4) 抽样和检测成本 记一次抽样检测的固定成本为 c 4 ，则单个过程周期抽样检测的固定成本为 c 4 ( s + A A T S / h ) ；单个样品检测成本为 c 5 ，受控状态下，平均周期时间和平均抽样数分别为 A T S 0 和 A N I 0 ，则受控状态下的平均 单位时间抽样数为 A N I 0 A T S 0 ，当受控时间服从均值为 1/ λ 的指数分布时，受控状态下的样本抽样与检测成本为 c 5 × 1 / λ × A N I 0 A T S 0 ；失控状态下，平均周期时间和平均抽样数分别为 A T S 1 和 A N I 1 ，则失控状态下的平均单位时间抽样数为 A N I 1 A T S 1 ，失控时间为AATS，失控状态下的样本抽样与检测成本为 c 5 × A A T S × A N I 1 A T S 1 ；则抽样和检测的总成本为 c 4 ( s + A A T S h ) + c 5 ( 1 / λ × A N I 0 A T S 0 + A A T S × A N I 1 A T S 1 ) 。 5) 查找异常原因并完全维修的成本 记寻找异常原因并完全维修所需成本为 c 6 ，为一个常量。 综上，一个运行周期内的总成本 E ( C ) 为： E ( C ) = c 1 λ + c 2 × A A T S + c 3 s A R L 0 + c 4 ( s + A A T S h ) + c 5 ( 1 / λ × A N I 0 A T S 0 + A A T S × A N I 1 A T S 1 ) + c 6 则单位时间的运行成本函数 E ( A ) = E ( C ) E ( T ) ，该控制图的经济优化模型的目标函数为： min               E ( A ) s . t .                 0 < n 1 < n 2 < n 3 ≤ n max n 1 ， n 2 ， n 3 ∈ N + 0 < k 2 < k 1 0 < w l < w n < k 1 优化目标是确定控制图参数 ( w 1 ， w 2 ， k 1 ， k 2 ， n 1 ， n 2 ， n 3 ， h ) 使得该控制图单位时间的运行成本最小。
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user: 6. 数值计算 假定某生产过程需要同时监控的质量特性有3个，即 p = 3 。系统异常运行时仅导致均值发生偏移，多变量均值向量偏移量 δ = 0.9 。系统受控状态下的运行时间服从均值为 1 / λ = 100 的指数分布。本文的模型参数初始值参照Lorenzen和Vance [ 12 ] 在其文献中的设定值，即受控状态下单位时间成本 c 1 = 114.24 ，失控状态下的单位时间成本 c 2 = 949.2 ，寻找一个误报警的成本 c 3 = 977.4 ，一次抽样检测的固定成本 c 4 = 2 ，单个样品成本 c 5 = 4.22 ，寻找异常原因并完全维修所需成本 c 6 = 1086 ，查找过程异常并完全维 修的时间 ε = 5 / 60 。将上述数据代入运行成本函数 E ( A ) = E ( C ) E ( T ) ，利用MATLAB遗传算法工具箱，得到8个决策变量 ( n 1 ， n 2 ， n 3 ， h ， w 1 ， w 2 ， k 1 ， k 2 ) 和单位时间运行成本 E ( A ) 的最优解如表1所示。 Table 1 Optimal decision variables and objective function value n 1 n 2 n 3 h w 1 w 2 k 1 k 2 E ( A ) 2 5 22 1.929 2.453 4.304 23.386 10.188 163.266 表1. 最优决策变量及目标函数值
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user: 7. 灵敏度分析 为了研究均值向量漂移对决策变量及目标函数的影响，在上节基础之上进行灵敏度分析，如表2所示。 Table 2 The influence of mean vector drift on decision variable δ n 1 n 2 n 3 h w 1 w 2 k 1 k 2 E ( A ) 0.5 2 5 29 4.518 0.892 0.919 18.872 6.698 199.260 1 2 5 19 1.800 3.016 4.653 22.376 10.597 158.253 1.5 2 5 12 1.632 5.579 6.279 22.925 12.605 144.245 2 2 5 8 1.607 8.217 8.286 23.623 13.607 139.608 表2. 均值向量漂移量δ对决策变量的影响 由表2可知随着漂移量δ的增大，第一阶段抽样的样本容量n 1 ，n 2 不变，第二阶段抽样的样本容量n 3 减小，抽样间隔h减小，警戒限w 1 ，w 2 增加，控制限k 1 ，k 2 增加，单位时间运行成本 E ( A ) 减小，说明对于DSVSS T 2 控制图而言，当生产过程均值向量发生微小偏移时单位时间成本较高，这是因为尽管自适应控制图对微小偏移的反应足够及时，能有效避免过程异常时的生产损失，但当微小偏移发生时，需要抽取更多的样本去获得生产过程的信息，抽样成本将会增加，单位时间成本将增加。
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user: 8. 结论 本文提出的DSVSS T 2 控制图可以同时监控多个关键质量特性，将双抽样(DS)策略和可变样本容量(VSS)联合，提高了控制图在检测平均向量中位移的灵敏度且易于操控。利用马尔可夫链方法导出控制图统计指标的计算公式并构建单位时间成本模型，提出双抽样可变样本容量(DSVSS) T 2 控制图的优化设计方法。灵敏度分析表明随着均值向量漂移量递增，一阶段抽样样本量不变，二阶段抽样样本量递减，控制图的抽样间隔递减，警戒限和控制限递增，单位时间成本递减。
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user: 摘要 本文使用Gambit建立二维矩形液舱晃荡模型，采用VOF法追踪自由液面，利用Fluent计算10%、25%、40%、50%、65%、75%、90%七种装载率下液舱舱壁的晃荡压力。通过数值计算结果，分析不同装载率下舱壁自由液面附近的压力分布特点以及不同装载率下的共振频率，所得砰击压力载荷随时间变化与实验结果吻合，为液舱结构安全设计提供理论依据，同时也为接下来对多种三维液舱进行研究作铺垫。
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user: 1. 引言 晃荡现象广泛存在于各类部分充满的液舱之中，是一种常见的流体运动。例如最近发射的长征五号B型运载火箭燃料舱、往返海上的巨型油轮、大型液化天然气船以及生活中常遇到的洒水车等。晃荡时舱内液体会对舱壁产生巨大的冲击力，对整体结构和材料都是一项考验。当晃荡发生时，舱内将产生自由液面，若此时液舱的运动频率接近或等于液体共振频率时，舱内液体会产生剧烈的大幅晃荡，这样的大幅度晃荡会产生很高的局部压力。随着越来越多的大型液舱投入使用，对晃荡问题的研究就非常的迫切。 当前的晃荡研究方法有三种：数值模拟，实验研究和理论分析。宁德志 [ 1 ] 人通过VOF数值模拟的方法，对纵摇容器中液体晃荡进行非线性数值模拟，研究运动频率对液体晃荡的影响，探究共振发生时的晃荡剧烈程度。黄硕 [ 2 ] 等人通过单独液舱数值模拟，研究LNG，FPSO液舱晃荡及其与船舶耦合运动。蔡忠华 [ 3 ] 讨论了数值模拟液舱晃荡的基本控制方程以及相应数值方法，分析了装载率，激励频率对晃荡的冲击力大小的影响，并且用晃荡试验验证数值模拟结果。Faltinsen [ 4 ] 首次使用边界元法研究水平激励下的二维矩形液舱非线性液体晃荡现象。当前对于三维液舱的研究方向主要是改进现有的数值模型，通过实验验证模型的可靠性，通过此模型对晃荡载荷对结构的影响有更深刻的认识。还有是将现有的数值模型与实际问题相结合，为结构设计提供依据。王硕 [ 5 ] 通过将ANSYS中多模块结合，以舱壁力矩的变化规律为依据，探究晃荡产生的水动力对舱壁载荷的影响；胡泰安 [ 6 ] 提出改进的光滑粒子流体动力学与光滑点插值耦合方法，通过对比计算数据验证了方法的有效性；丁仕风 [ 7 ] 对液化天然气船在冰区运动的耦合进行分析，建立船–冰–液的数值模型，探究三者的耦合影响并且给出冰区LNG船设计时的建议。本文对规则三维矩形液舱进行简化成二维液舱晃荡进行分析，能够更好的研究晃荡产生的波形变化，动水压力分布等，计算结果与实验数据对比趋于一致，具有一定的可靠性，便于后期对三维液舱晃荡的问题进一步探究。
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user: 2. 激励条件的计算 2.1. 固有频率 晃荡产生于部分充满的液舱中，当液舱运动频率与舱内液体固有频率相近时，会产生更加剧烈的晃荡现象，此时舱壁受到的砰击载荷较大。在矩形液舱中，固有频率与液舱运动方向的自由液面长度，液体装载高度有关。液体固有频率： f n = 1 2 π g n π L tanh ( n π L H ) (1) 式中， f n 为n阶固有频率，单位Hz；g为当地重力加速度，L表示液舱运动方向自由液面长度；H表示液舱内液体装载高度。液舱纵摇时，L等于液舱长度；本文研究的是液舱横摇状态，故L等于液舱宽度。当n等于1时，即液体的最低固有频率，此时的频率最容易被激发，且在此频率附近晃荡最剧烈，对舱壁产生的冲击力也最大。 二维矩形液舱横摇运动下的几何模型尺寸见图1，宽0.75 m，高0.71 m。 图1. 简化液舱模型(单位：m) 按照装载率不同，压力传感器在舱壁的位置分别为71 mm，177.5 mm，284 mm，355 mm，461.5 mm，532.5 mm和639 mm位置处。 根据式(1)计算出不同装载率下的液体共振频率见表1。由于理论计算结果与实际频率会有一定的偏差，所以在数值模拟时，选取计算结果之上增减0.05 Hz与0.1 Hz，即每个装载率下选取5个频率，见表2。液舱内液体从静止到稳定晃荡需经历一定的时间，所以记录的冲击载载荷至少是10~15个周期长度。 Table 1 Theoretical inherent frequency at different loading rate 装载率 频率(Hz) 10%H 0.55 25%H 0.81 40%H 0.93 50%H 0.97 65%H 1.00 75%H 1.01 90%H 1.01 表1. 不同装载率下的理论固有频率 Table 2 Selected external frequencies and transverse rocking parameters for each loading rate operating conditio 装载率 频率(Hz) 横摇中心 横摇角 10% 0.55 0.6 0.65 0.5 0.45 0.492 (m) 12˚ 25% 0.81 0.86 0.91 0.76 0.71 40% 0.93 0.98 1.03 0.88 0.83 50% 0.97 0.98 1.03 0.88 0.83 65% 1.00 1.05 1.1 0.95 0.9 75% 1.01 1.06 1.11 0.96 0.91 90% 1.01 1.06 1.11 0.96 0.91 表2. 各装载率工况下选取的外部频率以及横摇参数 2.2. 外部激励 横摇角激励： θ = θ 0 sin ω t = θ 0 sin 2 π f t 其中 θ 0 为横摇角，取12˚，f为选取的横摇激励频率。
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user: 3. 数值模拟 3.1. Gambit建模 使用Gambit建模，需遵循多点成线，多线成面，多面成体的规律，模型建立后再进行网格的划分。 本文研究二维矩形液舱，液舱模型宽0.75 m，高0.71 m。因为网格划分的越是密集，计算的精确度越高，但是对计算机的性能要求就越高。所以模拟时划分的网格宽0.0075 m，高0.0071 m。本文所研究的二维矩形液舱，通过网格无关性分析，采用结构化四边形网格，数量10，000个，在计算机承受范围内保证了数据的准确性。此时若传感器设为一个点，因为网格划分的不够细致，会大大影响数据的精度，所以将传感器设置为单位网格的高度0.0071 m，即每个传感器的所在高度为0.0781 m (10%H)，0.1846 m (25%H)，0.2911 m (40%H)，0.3621 m (50%H)，0.4686 m (65%H)，0.5396 m (75%H)，0.6461 m (90%H)。 3.2. Fluent设置 3.2.1. 定义模型 定义models solver为一阶瞬态求解。模型定义为液体，VOF Scheme选择explict，这种求解方法保证自由液面更加清晰，更加精确，但消耗计算机资源较多。湍流模型选择标准型k-epsiloon模型，边界层计算模型采用Standard-Wall-Functions，此套计算满足当前网格密度的计算，若加大网格的密集程度，则应选取其他边界层计算模型。定义材料为液态水。Reference Pressure Location应在计算区域外较远的位置，参考模型的大小，选择(0， 1)的位置。求解器选择一阶求解，高阶的计算周期长，增加了计算机消耗，选择一阶求解足够解决二维动网格模型。 3.2.2. 动网格设置 外部激励使模型产生转动，所以模型的转动周期等于外部激励周期。Fluent求解器调用Profile文件，可以实现模型按正弦波转动。文件格式为： ((moving transient步数1) (time时间步) (theta_z时间步对应的角度))
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user: 4. 结果分析 4.1. 各装载率在不同频率下动压力变化情况 从图2中可以看出曲线都呈现处明显的先递增，再递减的变化，说明不同装载率下液舱都具有一个共振频率，且在此频率附近舱壁受到较大的砰击压力。当外部频率远离共振频率时，砰击压力变化速度较慢，越靠近共振频率，砰击压力变化的速度越快，并且随着装载率的增加，抨击压力的变化速度逐渐减缓，在高装载率时，抨击压力趋于平稳，共振与非共振下的砰击压力差异不大。图中表明了装载率与最大动压力关系，共振频率下的舱壁所受最大压力是随装载率的增大而减小，即同一矩形液舱，在不同装载率下，舱壁所受最大砰击载荷与装载率成反比。 由此可推测出结论，对于矩形的液舱，液体装载率越高，当舱壁处于共振晃荡时受到的最大砰击载荷越小，装载率越低，对舱壁结构与材料的强度就要求越高。需要在液舱的较低位置加装加强装置或增加低处部位的材料厚度来提高舱壁的安全性。 图2. 各装载率在不同频率下最大动压力变化情况 4.2. 共振频率附近动压力随时间历程 将图3压力图与甄长文 [ 8 ] 的刚性液舱横摇实验数据相对比，在低装载都出现了双峰的现象，并且前一波峰远远大于第二个波峰，波形吻合。从图中可以看出各装载率下，抨击压力曲线都呈现出双波峰的特征，前面一个波峰是由于砰击压力的原因，后一个波峰是自由液面的变化造成的。低装载率时，在共振频率附近舱壁所受的砰击压力持续时间短，压力值很大，随着装载率的升高，动压力的最大值逐渐减小。第二个波峰虽然比第一个波峰较低但持续时间大于第一波峰，随着装载率的增加，双波峰的差距逐渐减小，一个周期内大部分时间舱壁受到较大的动压力。 图3. 各装载率在共振频率附近监测点处动压力随时间变化历程 4.3. 典型云图分析 图4~10表示不同装载率下液舱内气液两相分布与动压力分布。气液分布图中红色表示液体的状态，蓝色表示空气的状态。根据该图可以看出在晃荡的过程中液体沿着舱壁有明显的上行，自由液面变形较大。随着装载率的增高，晃荡的越来越剧烈，液体内部开始出现气泡，接着波浪破碎，出现破波。从图4~10的动压力分布云图中可以看出液体内大部分区域动压力较小，较大的动压力基本集中在液体内自由液面与舱壁接触的位置，并且从集中位置呈扇形向液体内部递减。随着装载率的增加，液舱底部舱角处也会受到较大的动压力，同时由于装载率较大，舱角处也受到很大的静压力载荷，所以高装载率的时候，舱角处的压力载荷非常大，对结构安全威胁较大。 图4. 10%装载率在f = 0.55 Hz时液舱内气液两相分布与动压力分布 图5. 25%装载率在f = 0.81 Hz时液舱内气液两相分布与动压力分布 图6. 40%装载率在f = 0.83 Hz时液舱内气液两相分布与动压力分布 图7. 50%装载率在f = 0.87 Hz时液舱内气液两相分布与动压力分布 图8. 65%装载率在f = 0.9 Hz时液舱内气液两相分布与动压力分布 图9. 75%装载率在f = 1.01 Hz时液舱内气液两相分布与动压力分布 图10. 90%装载率在f = 1.02 Hz时液舱内气液两相分布与动压力分布
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user: 5. 结论 1) 在所研究的装载率下发生共振时，液舱的自由液面位置会产生较大的集中力载荷。 2) 随着外部频率的增加，舱壁的动压力载荷逐渐增加，达到共振频率后动压力载荷逐渐减小，而且增加速度快，减小的速度慢。 3) 矩形液舱发生共振时的频率与通过计算得到的固有频率不相等，其产生的主要原因是计算的时候没有考虑液体的粘度和大横摇角产生的非线性流动。 4) 在最小装载时舱壁受到的砰击压力最大，随着装载率的增加抨击压力逐渐减小且减小的速度逐渐变小。 在工程设计中给与一些建议：横截面为矩形液舱的设计时应考虑低载荷时液舱的结构安全性，提高舱壁低位置区域的结构强度，也可以限制液舱的最低装载率，提高经济性的同时保证安全性。对于更多舱型的晃荡载荷分布问题，还需要做进一步的研究。
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user: 摘要 准确高效的信用评估模型能够提高预测风险的能力，对信用贷款风险起到有效的防范作用。因此，我们提出了一种Lasso和CatBoost的融合模型及Lasso-CatBoost算法并将其应用于信贷数据。该算法先用Lasso进行特征选择，再用CatBoost结合重要特征进行信用风险分析，达到用较少的变量得到较高预测准确率的目的。为了验证该算法的高效性及准确性，我们以某银行信用数据为样本，在对数据进行预处理后，运用Lasso-CatBoost算法对该数据做信用风险分析。结果表明，以AUC作为评价指标，与Logistics回归算法以及RandomForest、Adaboost、XGBoost、LightGBM等集成算法相比，Lasso-CatBoost算法用到的特征最少且预测的准确率最高，说明了我们提出的算法在信用风险分析方面表现最好。
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user: 1. 引言 随着我国信用经济规模的迅速发展，越来越多的人通过信用卡、蚂蚁花呗、京东白条等信用产品进行有别于传统消费模式的超前消费。因此信用贷款、以个人名义的无抵押贷款等业务在商业银行、互联网金融机构及消费金融公司中所占的比例越来越大，与此同时，信贷违约问题也随之增多。然而客户违约问题严重影响了信贷行业的发展，进而使市场经济活动面临重大风险隐患，因此准确高效的信用评估算法能很好地规避信用违约带来的风险。 大多数学者认为，个人信用风险评估就是根据个人的信用信息，通过建立相应的数学模型对信贷客户进行科学的信用风险评估 [ 1 ] [ 2 ]。一般来说，我们将申请贷款的客户分为违约和不违约两类，因此信用风险分析可以看作是一个二分类问题。Durand (1941) [ 3 ] 最早将Fisher (1936) [ 4 ] 针对鸢尾花分类问题提出的多元判别分析法应用到信用风险分析中，他通过计算同意贷款带来的风险判定客户类别，进而引发了业界的研究兴趣。随后，Wiginton (1980) [ 5 ] 最先在信用评估中运用Logistic回归算法并与多元判别分析法进行对比，结果表明Logistic算法的建模效果更优。目前，Logistic算法已经是使用较为广泛的信用评级模型 [ 6 ]。罗昊(2016) [ 7 ] 将自适应Lasso与Logistic相互结合，进行了变量选择以及参数估计，基于信息权重的Logistic信用评估模型由此被提出。李海超等人(2017) [ 8 ] 运用Lasso回归算法，建立了最优变量子集回归模型来对影响网络借贷成功的影响因素进行分析，同时还提高了拟合精度。除此之外，Odom等人(1990) [ 9 ] 将深度学习最先运用到信用评估领域。Baesens等人(2003) [ 10 ] 在某信用数据集上比较了SVM与其他算法，结果表明SVM的分类效果更优。Yeh等人(2007) [ 11 ] 基于决策树对信贷数据集进行信用评估，并与多种模型对比分析，结果表明决策树有着相对不错的分类性能。近年来，Sang等人(2016) [ 12 ] 提出了一种基于并行随机森林分类器的信用评分模型来评估申请人的信用风险。Jena等人(2017) [ 13 ] 运用k近邻分类器在澳大利亚信贷和德国信贷两个数据集上预测贷款人的能力。Xia等人(2017) [ 14 ] 基于 XGBoost算法构建了XGBoost-TPE模型并使用多个信用数据集进行检验，结果表明该模型能够有效提高个人信用评估的分类性能。Ma等人(2018) [ 15 ] 对于P2P网络贷款违约现象，运用机器学习中的Light GBM和XGBoost算法进行研究，结果表明在多个信用数据集分类中Light GBM算法的预测效果最佳。 然而在实际中，我们会面临变量较多，建模耗时费力等情况，为了得到简单高效的模型，我们需要在建模前进行变量选择。基于这一想法，本文提出Lasso-CatBoost算法，并以某银行的个人信用数据为样本来构建个人信用评估模型，与传统logistics回归算法、随机森林、Adaboost、XGBoost、LightGBM等集成算法相比，Lasso-CatBoost算法使用了较少的特征，体现了通过该算法建模的简单性。其次，比较各个算法的AUC指标和ROC曲线，我们得到Lasso-CatBoost算法的预测效果最好。综上研究结果，Lasso-CatBoost算法能帮助银行信贷机构正确评估申请贷款的客户，提高工作效率和减少风险，具有重大的商业价值。
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user: 2. Lasso-CatBoost算法 2.1. Lasso算法 Lasso算法对于一般的回归模型： Y = X β + ε (1) 其中 Y 是被解释变量， X 是解释变量矩阵， β 是未知模型参数， ε 是误差项。我们由此可以预测响应变量 y ^ ： y ^ = x β ^ + ε (2) 其中 β ^ 是通过估计得到的模型参数。常用的估计方法有最小二乘估计和极大似然估计，但是这两种方法不能对变量进行选择，使得模型的预测和解释能力不佳。因此，一些惩罚技术被开发出来以提高预测效果。Lasso是一种使用 l − 1 正则化来选择变量，它可以减少某些变量的系数，甚至是绝对值小于0的系数，从而提高了模型的泛化能力： β ^ = arg min β { ‖ y − X β ‖ 2 + λ | β | 1 } (3) 式(3)的第一部分是最小二乘估计的目标函数，表示模型的拟合情况。第二部则是对变量施加惩罚，为了达到变量选择的目的，将绝对值较小的系数压缩为0。 2.2. CatBoost算法 CatBoost是2017年俄罗斯搜索巨头Yandex推出的一种机器学习库，是Boosting族算法的一种。CatBoost和XGBoost、LightGBM是GBDT的三个主要算法。它们都是在GBDT算法框架下的改进实现。XGBoost在工业上得到了广泛应用，LightGBM有效地提高了GBDT的计算效率，而Yandex的CatBoost算法在算法精度上优于XGBoost和LightGBM。CatBoost是一种基于对称决策树(oblivious trees)的GBDT框架，具有参数少、支持分类变量、精度高等优点。 主要的难点在于如何有效合理地处理类别型特征，Categorical和Boosting组成了CatBoost。另外，CatBoost还解决了梯度偏差(Gradient Bias)和预测偏移(Prediction shift)的问题，减少了过拟合的发生，提高了算法的精度和泛化能力。 CatBoost具有提供分类列索引的灵活性，通过使用one_hot_max_size将其编码为独热编码。假设数 据集 D = ( X k ， y k ) k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，其中 X k = ( x k 1 ， ⋯ ， x k m ) 是一个包含m个特征的向量， y k ∈ R 是标签的值。 首先，CatBoost算法对所有的数值特征进行二值化：使用oblivious树为基预测器，将浮点特征、统计信息与one-hot编码进行二值化。 其次，利用计算出的数值(TS：Target Statistic)代替 x k i 的处理分类特征的方法是有效的：1) 随机排序输入观测集以生成多个随机序列。2) 计算将同一类别置于给定值之前的标签值分类之一，此TS值的计 算如下： x k i = E ( y | x i = x k i ) 。由于某些类别出现的次数少，所以需要做平滑处理，将所有的分类特征值转 换为数值 x ^ k i = ∑ j = 1 n φ ( x j i = x k i ) y j + α p ∑ j = 1 n φ ( x j i = x k i ) y j (4) 其中 φ 为指示函数：满足条件 ( x j i = x k i ) 则函数值取1，否则函数值取0。P为先验值，参数 α > 0 为先验的权重， D k ⊂ D 。添加先验值有助于减少从低频类别中获得的噪音。 最后，进行特征组合处理时，CatBoost算法采用“贪婪策略”组合：1) 在树的第一次分裂中，不进行组合；2) 在第二次分裂中，当前树中的所有现有组合和分类特征与数据集中的所有分类特征相结合；3) 对组合结果进行了分析，将树中选择的所有分区作为二值分类，组合生成数字特征和分类特征的组合。 在梯度偏差处理中，CatBoost算法分两步构造树：1) 选择树结构，确定树结构，计算叶节点值；2)列出不同的分割方法来计算叶节点值。对获得的树记下评分以选择最佳分割。采用梯度或牛顿步长来逼近两步叶节点值。 CatBoost实现了训练数据集与处理类特征的同步，大大提高了特征处理的效率。同时，叶节点计算算法可以有效地避免“过拟合”，减少参数设置的需要，使模型更具通用性。同时，CatBoost将特征二值化处理，从而实现了最终打分时，模型输出的二值化。 2.3. Lasso-CatBoost算法 本文的创新算法Lasso-CatBoost算法(如图1)是根据以上Lasso和CatBoost的基础理论，我们提出下面的Lasso-CatBoost算法，即Lasso和CatBoost两阶段的组合。首先根据Lasso中对回归系数的 l − 1 正则化约束，将对信用评估有影响的特征筛选出来，同时删除对信用评估几乎没有影响的特征，从而降低数据的维度。随后使用Lasso筛选出来的特征作为CatBoost的输入，进而构建信用风险评估模型。因此，Lasso-CatBoost算法充分结合了Lasso筛选变量的特点和CatBoost分类准确率高的特点。
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user: 4. 总结 本文将Lasso算法与CatBoost算法融合在一起，提出了一种新的算法：Lasso-CatBoost算法。为了验证该算法在分类模型上的简单有效性，文章基于某信用数据集，与logistics回归算法以及RandomForest、Adaboost、XGBoost、LightGBM等集成分类算法相比研究，通过几种重要性指标的结果对比，说明本文提出的Lasso-CatBoost算法在该数据集上所构建的个人信用评估模型是简单有效的，提高了评估预测风险的能力，对信用贷款风险起到有效的防范作用。除此之外，本文还得到以下结论： 通过对特征重要性的分析得出2005年9月的还款情况排第一、客户个人及家庭信用额度排第二、2005年9月的账单记录是第三，再对类别型变量进行分析后得出贷款的男性女性中，男性违约率高于女性违约率、而研究生及以上学历人群的违约率略高，因此并不是学历越高，违约率越低、已婚人群的相比之下违约率较高、年轻人的违约率较高。给出的实际性建议为银行在考虑是否给客户发放贷款时，应着重关注这几个变量因素。 在建立模型时，选择正确及合理数量的变量是至关重要的，本文利用Lasso算法进行变量筛选，对变量进行降维处理，挑选相对重要的变量，剔除系数为零的变量，最终剔除了6个系数为零的变量，剩余17个作为Lasso-CatBoost算法的输入值。其余5种分类算法均用23个变量建立模型，相较而言，本文提出的Lasso-CatBoost算法在该数据集上的分类效果最佳。 AUC值是金融风控中常用的评估指标，因此模型的性能评价以AUC值为主，Lasso-CatBoost算法模型的AUC值为0.7838，是6种算法中最高的。除了AUC值，还通过常用的评估指标：准确率、精确率、召回率和F1进行验证，Lasso-CatBoost算法模型准确率为0.8268，精确率为0.8447，召回率为0.9548，F1值为0.8964，Lasso-CatBoost算法在这些指标上相比其他算法模型都是最好的。 本文验证了所提出的Lasso-CatBoost算法在个人信用评估方面是有效的。而如今金融信贷发展迅速，信用数据量大、数据维度高，因此个人信用评估研究不能仅仅局限于现有的数据集上，应该对更广泛的数据集进行研究。
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user: 摘要 PPP协议兼有公法特性和私法特性，使其相关纠纷的解决在实践中也存在争议，在2019年出台《最高人民法院关于审理行政协议案件若干问题的规定》后，将部分PPP协议纳入行政协议范畴，但有关PPP协议的纠纷解决途径仍然不明朗。本文通过群案分析，按照PPP协议的不同特点进行分析，提出通过行政附带民事诉讼途径来解决PPP协议的相关纠纷。
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user: 1. 引言 由于PPP协议的签订主体和内容的特殊性，对于其定性一直存在争议，2019年12月出台的行政协议司法解释第二条将大部分PPP协议划分为行政协议，但在实践中PPP协议的相关纠纷究竟采用何种模式仍然存在争议，本文希望通过对行政协议司法解释出台后的案例进行分析，对PPP协议的纠纷特点进行分析，提出统一的PPP协议相关纠纷的解决模式，避免社会资本和政府将纠纷的争议焦点集中于PPP协议的定性和解纷模式，从而出现同案不同判的问题，提高此类案件的纠纷解决效率。
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user: 2. PPP协议及其特点 我国的PPP模式是政府为提高公共服务能力和效率与社会资本建立的较为长期的合作关系。通常PPP项目周期较长，牵涉多个法律关系，PPP协议以协议群的形式存在，在财政部《政府和社会资本合作模式操作指南(试行)》 [ 1 ]，PPP项目合同体系是项目各参与方通过签订合同来规范彼此权利义务关系的合同群，主要包括项目合同、股东合同、融资合同、保险合同、工程承包合同等。这些合同体现着PPP项目的不同阶段与进程，在这些阶段中均可能发生争议。在PPP模式下，政府不再是公共服务和公共产品的直接提供者，政府通过出资将PPP项目交由社会资本建设、运营、移交。在此过程中，政府同时扮演着政策“制定者”、“合作者”、“监督者”的角色，社会资本通过参与项目实现己方经济利益。政府作为行政主体在项目中实行行政行为体现PPP项目的公法特性，例如政府对项目的制定、特许经营协议中对社会资本主体资格的审查。协议的签订、项目实施中的风险共担体现了双方协议中双方平等的主体地位，在此层面上PPP项目具有私法特性。
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user: 3. PPP协议的理论困境 (一) 行政协议的边界不明确 要厘清哪些PPP协议符合行政协议司法解释中规定的行政协议，首先应该明确行政协议的边界。在“四川兴文经济开发区管理委员会诉中核城市建设发展有限公司合同纠纷案”中 [ 2 ]，四川兴文经济开发区管理委员会在该案二审中抗辩称作为开发区管委会自己没有行政审批和行政管理的职能，因此双方签署的《兴文县工业园区五、六号公路及配套设施项目PPP合同》不属于行政合同，属于民事合同。显然仅依据该项目的审批权判断该合同性质过于片面。并且该项目属于建设、经营、移交类的模式，在兴文开发区管委会与中核城市建设公司签订的合同中约定由兴文开发区管委会提供兴文县人民政府关于该项目实施的批复文件、项目入库、政府付费纳入财政规划等事项，均表明兴文开发区管委会尽管没有直接审批该项目的权利，但兴文开发区管委会属于由兴文县人民政府授权进行该项目的运营的行政主体。该案裁判意见认为行政审批只能作为协议的内容，不能凭此判断协议性质，而从协议的目的、职责、主体、行为、内容确定该协议属于民事合同。那么究竟是否仅依据行政主体和行政行为就能判断一份协议是否属于行政协议呢？在“大英县永佳纸业有限公司诉四川省大英县人民政府不履行行政协议案”中，最高院再审确定界定行政协议的四个标准分别是：主体要素、目的要素、内容要素、意思要素。即要求协议双方一方是行政主体，另一方式行政相对人；且该协议是为了实现行政管理获公共服务目标；协议内容上具有行政法上的权利义务；双方当事人必须协商一致 [ 3 ]。在四个要素中，内容要素的判断较为模糊，相关法律以及司法解释没有对行政法上的权利义务进行具体解释，行政法上的权利义务如何体现存在争议。 (二) PPP协议的法律性质 关于PPP协议的法律性质一直存在争议，理论界主要有三种观点：民事合同说、行政协议说、混合合同说。这三种学说对应着三种不同的纠纷救济方式的主张，分别是民事救济途径、行政救济途径、混合救济途径。而在司法实践中不同法院对PPP协议的法律性质的判断也不相同，对PPP协议的法律性质能否正确判断极大的影响了纠纷解决效率。在北大法宝上搜索“PPP、行政诉讼、民事诉讼”关键词，有57个案例，其中有30个案例经过二审改判，1例经过再审程序，而其中22个案例是在2019年12月31日之后结案，说明在2019年12月行政协议司法解释出台后，依然没有解决对PPP协议定性统一的问题，导致大量案例以对PPP协议的定性为争议焦点进行上诉，一定程度上属于司法资源的浪费。在个别案例中，当事人以此为由重复起诉，如“四川兴文经济开发区管理委员会诉中核城市建设发展有限公司合同纠纷案”中 [ 4 ]，中核公司经过民事诉讼二审后，以该案适用行政诉讼为由提起行政诉讼，在一定程度上滥用了诉权。 民事合同说认为尽管PPP协议有行政主体的参与、协议内容为完成公共设施或者提供公共服务，但该协议本质上属于市场交易行为，该协议的达成以双方的意思自治为基础。政府和社会资本在该协议中属于平等的民事主体，政府以出资的方式获得社会资本等价的服务，适当的政府干预不影响合同性质 [ 5 ]。政府的项目“制定者”、“监督者”身份非为该项目的核心，项目的制定虽为行政行为，但后续履行协议内容独立于该行政行为，不影响双方的权利义务。而政府对项目的监督属于普遍监督，在其余建设工程项目中政府也会进行监督，该监督行为不影响双方在协议中责任承担 [ 6 ]。另外，也有学者认为将PPP协议定性为民事合同更有利于保护合同主体，使形式上不平等的双方达到实质平等，从而促进社会资本进入PPP项目，提高政府提供公共服务的水平和效率 [ 7 ]。 行政协议说认为PPP项目的目的是政府利用社会资本进行公共设施的建设和提供公共服务，社会资本进入项目需要获得政府的授权也因此需要遵守该法律规则 [ 8 ]。而章剑生教授也提出行政协议的宪政意义在于行政相对人是完成现代行政任务的行政伙伴 [ 9 ]。笔者认为行政协议说忽略了在PPP协议中政府的获益，以特许经营来概括整个PPP协议群较为片面，应该根据不同类型的协议来确定纠纷解决模式。行政协议说将PPP协议的法律关系定性为行政法律关系的根本在于政府为该协议的一方主体，由此，其协议内容必然涉及公共服务项目，从而奠定了合同的基础，也就决定了该公益性的项目涉及行政审批、行政监管等行政行为。而在2019出台的《最高人民法院关于审理行政协议案件若干问题的规定》第二条指明符合第一条的政府和社会资本合作协议属于行政协议，该条规定是否将所有PPP协议纳入行政协议？从限定条件来看，在满足四个条件前提下可以认定为行政协议，从而可以通过行政诉讼的救济途径解决该纠纷。首先是主体条件，协议一方是行政主体。其次是目的条件，该协议签订的目的是为了满足行政管理或者行政服务。再者是协议内容，该协议应当约定的是行政法上的权利义务。最后是双方应当处于真实的意思表示，协商一致达成协议。该司法解释没有如特许经营协议一样将PPP协议直接定性为行政协议，而是将部分PPP协议排除，可见由于PPP项目的特殊性，难以直接将PPP协议以一类协议来定性，需要具体归纳分类。同时，将部分PPP协议划分为行政协议范畴，规定可以通过行政诉讼解决有关的PPP协议纠纷，引发另一个问题：通过行政诉讼来解决PPP纠纷是否真正有利于限制行政主体滥用公权力？行政诉讼的胜诉率较小，且行政诉讼一般在县级或者市级法院诉讼，政府作为应诉主体是否会影响法院的裁判？ 混合合同说认为PPP协议兼具公法、私法特性。一方面，PPP协议是行政主体与社会资本基于意思自治原则达成的协议，双方违约均需承担相应的违约责任。但另一方面，政府在此过程中因为行政主体的角色对该项目有监管的职责。PPP项目影响公共利益时，政府可以行使行政优益权，政府何时可以行使行政优益权，如何不滥用行政优益权是缺乏专门的法律规制的。笔者认为该种观点较为全面地概括了PPP协议的特点，但没有提出如何解决PPP协议相关纠纷，何时适用行政诉讼？何时适用民事诉讼？
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user: 4. PPP协议的司法困境 (一) 行政协议司法解释后仍难判断PPP协议的解纷模式 行政协议司法解释并没有像规定特许经营、土地征收征用补偿协议等直接规定PPP协议属于行政协议，而是将其限定为满足第一条行政协议条件的PPP协议。笔者可以理解立法者没有“一刀切”地将所有PPP协议定性为行政协议，如此意义不大也缺乏可行性，在司法实践中，PPP协议具体可以是河流整治项目、固废综合治理项目、地铁、铁路修建项目、特许经营项目等，单一地的定性PPP项目难以解决多元的PPP协议纠纷问题，使得立法指导性不强 [ 10 ]。在行政协议司法解释的规定之下，判断PPP协议法律性质仍然需要聚焦在个案之下。判断哪些PPP协议属于行政协议的核心成为了如何理解“行政法上权利义务内容”，因为在PPP协议中，行政主体作为合同一方其主要目的在于通过合作更好地履行其行政职能，从而实现行政职能，如此PPP协议一般满足第一条中“行政机关为了实现行政管理或者公共服务目标。在司法实践中，法院判断适用行政诉讼还是民事诉讼不仅仅只考虑该协议是否涉及行政法上的权利义务，因为在实际案例中一个PPP项目往往涉及多个法律关系，即既包括行政法律关系也包括民事法律关系，此时法院更多的是考虑该协议的核心是民事法律关系中的权利义务还是行政法律关系上的权利义务。在“云南亚兴房地产开发有限公司诉寻甸回族彝族自治县人民政府案”中 [ 11 ]，云南亚兴房地产公司与寻甸县政府签订的《市政建设合作协议》以及《投资建设移交合同》既符合行政协议的定义，也包含承揽的民事法律关系，原告选择民事诉讼程序起诉，法院予以驳回，但说理部分较为牵强。该案裁判意见判断该协议有关民事权利义务与行政权利义务的约定互相交织，难以完全分离。法院考虑到该协议中存在大量的行政权利义务，为了审判的便利性、纠纷解决的有效性以及对行政权力的监督和公共利益的维护等方面，法院认为适用行政诉讼程序更合适，因此裁定驳回上诉。显然，以适用行政诉讼程序更便利、有效不具有使当事人信服的说服力，使得当事人不能更好地监督法院是否中立公正的裁判。 (二) 司法裁判观点冲突 从22个案例中可以总结出法院对于PPP协议纠纷处理大致有两种观点：一种是认定为行政协议，应当采用行政诉讼的救济模式，也是大部分案例的观点。在这些案例中法院的主要理由为协议主体地位不平等，且协议内容具有行政法上的权利义务关系，协议目标是为了实现行政管理目的或者公共利益。例如在“云南水务投资股份有限公司诉富民县人民政府合同纠纷案”中 [ 12 ]，一审法院认为从双方的协议内容来看，水务公司依据协议提供水库扩建和城镇供水服务并按约定收取水费和政府可行性缺口补助，属于具有行政法上的权利义务内容的协议，为了实现有关供水的行政管理和公共服务目标，因此该协议属于行政协议，适用行政诉讼程序。水务公司上诉理由法院应以双方就解除终止补偿的问题产生的争议是否属于行政诉讼范围进行判断。二审法院支持以《最高人民法院关于审理行政协议案件若干问题的规定》第一条有关于行政协议的性质来判断该协议是否属于行政协议，是否适用行政诉讼。另一种观点认为协议兼具民事法律关系和行政法律关系，但双方争议的主要内容体现的是民事法律关系，因此应当采用民事诉讼解纷模式。在“沧源佤族自治县人民政府诉云南福满铭泰投资有限公司合同纠纷案”中 [ 13 ]，沧源县政府与北京福满铭泰投资有限公司签订了《沧源佤族自治县旅游文化项目投资开发合作协议》，协议约定双方采用政府和社会资本合作模式对沧源县勐来大峡谷—翁丁原始部落进行开发，双方共同出资成立沧源华金天源旅游文化有限公司 [ 14 ]，后双方因合同是否达到解除条件的问题出现争议，法院据此认为该案适用民事诉讼程序。 由此可见，在行政协议司法解释出台后，如何判断PPP协议性质以及适用何种解纷模式依然存在争议。不可否认，该司法解释的出台统一了较大部分的实务观点，但仍然缺乏具体的判断标准。具体划分PPP协议类型，从而规范PPP协议的纠纷的途径对于规范该类案件的审判颇有意义。
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user: 6. 结语 近来，社会经济的迅速发展使得社会对PPP项目的需求不断增大，随之而来的纠纷也不断增加，且纠纷类型繁多复杂，统一PPP协议的解纷模式变得十分必要。要研究PPP协议的纠纷解决模式，应当首先对PPP协议的性质进行研究，在理论界和实务届对PPP协议的性质均有不同看法，总的分为三类：民事合同说、行政协议说、混合合同说。在2019年行政协议司法解释出台后，将大部分的PPP协议定性为行政协议，但形成了立法与实践相冲突的情况，当事人依然以民事诉讼寻求救济、一二审不同判等问题。在PPP专门立法前，适用行政附带民事诉讼来解决相应的纠纷不失为新途径。一方面可以补充行政诉讼的局限性，另一方面可以发挥行政诉讼的全面审查的作用。
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user: 摘要 本文主要研究对称随机矩阵的逆特征值问题。通过将该问题转化为求两个集合交点的可行性问题，提出用交替投影法进行求解。因为其中一个集合不是凸集，关于凸可行性问题的收敛性结果不能用来分析算法的收敛性。对于算法的收敛性，本文在已有关于两个黎曼流形的交替投影算法收敛性的研究结果上，建立了交替投影算法在一定条件下的线性收敛性。最后数值例子也表明了算法的有效性。
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user: 1. 引言 求一个 n 阶非负矩阵(所有元素都是非负数)，使得它的特征值是给定的 n 个常数 λ i     ( i = 1 ， ⋯ ， n ) 的问题称为非负逆特征值问题(简称 N I E P )。 N I E P 在很多领域有广泛的应用，例如在博弈论，数值分析，数据分析，群论和经济学等领域中，详见( [ 1 ] - [ 20 ] )及其参考文献。1937年Kolmogorov [ 1 ] 提出逆特征值问题：一个复数 z 何时为某个非负矩阵的特征值的问题？后来，Suleimanova ( [ 2 ] )在1949年提出了更一般的非负逆特征值问题，并证明了当 { λ i } 中只有一个数大于0 (其他数小于等于0)时， N I E P 有解的充分必要条件是这些数的和大于0。此后， N I E P 有解的充分和必要条件一直是学者们研究的热点问题之一。一些学者研究了 N I E P 有解的必要条件，取得了一些重要的研究成果。例如，Loewy和Johnson ( [ 3 ] )、Johnson ( [ 4 ] )建立了 N I E P 有解的四个必要条件。1998年，Laffey和Meehan给出了奇数阶非负矩阵迹为零的必要条件。此外，一些学者对低阶的情形进行研究，1978年Loewy和Londow给出了 n = 3 时， N I E P 有解的四个充分必要条件。此外，1996年Reams解决了 n = 4 时非负矩阵迹为零的问题，1999年Laffey和Meehan解决了 n = 5 时同样的问题(详见 [ 5 ] )。其他研究成果参考( [ 6 ] - [ 20 ] )及其参考文献。 本文主要关注求解 N I E P 的有效算法。据我们所知，目前关于 N I E P 的算法并不多，主要有梯度流下降算法，交替投影算法，非光滑牛顿法以及共轭梯度法。在 [ 21 ] 中，Chu和Guo将 N I E P 转化为以下优化问题： min P ， R ∈ R n × n       F ( P ， R ) = 1 2 ‖ P Λ P − 1 − R ∘ R ‖ 2 ， (1.1) 其中 Λ 是以给定的 n 个常数为主对角元的 n 阶对角矩阵，“ ∘ ”表示Hadamard积(详见 [ 21 ] )。他们提出了求解问题(1.1)的基于微分方程的梯度流下降算法，并通过一些应用说明了算法的有效性。文献 [ 22 ] 中，Orsi将 N I E P 转化为含两个集合的可行性问题： 求 X ∈ E ∩ N (1.2) 其中 E 是以给定的 n 个常数为特征值的 n 阶实对称矩阵集合， N 是 n 阶非负矩阵的集合。在 [ 22 ] 中，Orsi给出了集合 E 上的投影算子的计算式，并提出了求解 N I E P (即问题(1.2))的交替投影算法(交替地在集合 E 和 N 上进行投影)。因为集合 E 不是凸集，所以问题(1.2)不是凸可行问题。关于非凸的可行性问题的交替投影算法的收敛性分析非常困难，收敛性结果也非常少。在 [ 22 ] 中，作者证明了当 E ∩ int     N ≠ ϕ ，且迭代点充分接近 x ∈ E ∩ int     N 时，算法再经过一次迭代得到的 N I E P 解，其中 int     N 是集合 N 的内点集。类似地假设条件也被用在 [ 23 ] 算法的分析中。此外，参考文献 [ 24 ] 和 [ 25 ] 研究了已知部分特征对的 N I E P 问题的算法，即已知矩阵的部分特征值及其特征向量，求一个非负矩阵。这两篇文献分别通过将这类问题转化为欧氏空间和黎曼流形上的优化问题进行求解。 [ 24 ] 提出了求解该问题的非光滑牛顿法，并证明了算法的二阶收敛性； [ 25 ] 中提出求解该问题的黎曼流形上的共轭梯度法，并证明了算法的收敛性。 本文主要研究一类特殊的 N I E P 问题的数值算法——对称随机逆特征值问题(简称 S t I E P )，即求解一个对称随机矩阵(行/列和为1的非负实对称矩阵)，使得它的特征值是给定的 n 个常数。受 [ 22 ] 启发，我们将问题转化为含两个集合的可行性问题： 求 X ∈ E ∩ F (1.3) 其中集合 E 的定义同问题(1.2)，集合 F 是双随机矩阵集合(即行和、列和均为1的非负矩阵)，并提出交替投影算法进行求解。在算法运行中，我们采用 [ 22 ] 中计算式计算集合 E 上投影 P E ( ⋅ ) ，而集合 F 上的投影 P F ( ⋅ ) ，我们采用同时投影的子迭代计算，详见算法3.2。正如我们在上面提到集合 E 不是凸集，所以问题(1.3)也是非凸可行性问题，凸可行问题的交替投影算法的收敛性分析方法不能用来分析算法的收敛性。注意到集合 F 没有内点，不满足 [ 22 ] 中的假设条件： E ∩ int     N ≠ ϕ 。所以这一假设条件不能用来分析求解问题(1.3) (即 S t I E P )的交替投影算法的收敛性。注意到Lewis在( [ 26 ]， Theorem 13)中研究了当两个集合在解的附近是光滑黎曼流形时(不一定是凸集)，交替投影算法的收敛性，并建立了算法线性收敛性条件。结合集合 E 和 F 的特性以及对算法产生的迭代点列的分析(注意集合 F 并不是黎曼流形)，用 [ 26 ] 中的结论建立了交替投影算法线性收敛的条件。 本文结构如下。第一节是预备知识，包括一些记号，概念和一些重要引理。论文的主要结果在第二节，我们提出求解 S t I E P 的交替投影算法，给出了一些集合上投影的计算式，并建立了算法线性收敛的条件。第三节的数值实验结果表明交替投影算法是有效的算法。最后是对本文的总结以及展望。