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user: 2. 使用须知 为了方便证明需要引入下列引理 引理2.1：(有界区域上的Trudinger-Moser不等式) [ 9 ] [ 10 ]。设 μ ∈ W 0 1 ， N ( Ω ) ， Ω ⊂ ℝ N ( N ≥ 2 ) 。为一有界区域，则有 ∫ Ω e α | u | N N − 1 d x < ∞ ， ∀ α > 0 此外，存在 C = C ( N ， | Ω | ) 使得 sup ‖ u ‖ W 0 1 ， N Ω ≤ 1 ∫ Ω e α | u | N N − 1 d x ≤ C ， ∀ α ≤ α N ， 其中 α N = N ω N − 1 1 N − 1 > 0 且 ω N − 1 为 ( N − 1 ) -球体的 ( N − 1 ) -维测度。 引理2.2：(无界区域上的Trudinger-Moser不等式) [ 5 ] [ 11 ]。设 μ ∈ W 0 1 ， N ( R N ) ， N ≥ 2 ，则有 ∫ ℝ N ( e α | u | N N − 1 − S N − 2 ( α ， u ) ) d x < ∞ ， ∀ α > 0 此外，如果有 | ∇ u | N N ≤ 1 ， | u | N ≤ M < ∞ 和 α ≤ α N ，则存在正常数 C = C ( N ， M ， α ) 使得 ∫ ℝ N ( e α | u | N N − 1 − S N − 2 ( α ， u ) ) d x ≤ C ， 其中 S N − 2 ( α ， u ) = ∑ k = 0 N − 2 α k k ! | u | N k N − 1 。 与此同时，联合以上两个引理以及Holder不等式，假如 α ， q > 0 那么 ∫ ℝ N | u | q ( e α | u | N N − 1 − S N − 2 ( α ， u ) ) d x < ∞ ，   ∀ u ∈ W 1 ， N ( ℝ N ) (2.1) 更确切的，当 α M N N − 1 < α N 时，如果有 ‖ u ‖ W 1 ， N ( ℝ N ) ≤ M 成立，则存在 C = C ( α ， q ， N ) > 0 使得 ∫ ℝ N | u | q ( e α | u | N N − 1 − S N − 2 ( α ， u ) ) d x ≤ C ‖ u ‖ W 1 ， N q ( ℝ N ) ， (2.2) 其中 ‖ u ‖ W 1 ， N ( ℝ N ) = ( ∫ ℝ N ( | ∇ u | N + | u | N ) d x ) 1 / N Sobolev空间 W 1 ， N ( ℝ N ) 的范数。 引理2.3 [ 12 ]：设 u ∈ W 0 1 ， N ( Ω ) ∩ L r ( Ω ) ，其中 r ≥ 1 ， Ω ⊆ ℝ N 为任意区域，那么对 q ≥ r 会有 ‖ u ‖ q ≤ c ( N ， r ) q 1 − 1 / N ‖ ∇ u ‖ N 1 − r q ‖ u ‖ r r q . (2.3) q 1 − 1 / N 为最佳指数，特别的有， c ( N ， N ) = 1 π ( Γ ( N 2 ) Γ ( 2 N ) 2 Γ ( N ) 2 ) 1 / N ≡ d N . (2.4) 注2.1：由上面的引理可知，当 q ≥ N 时 X → L q ( ℝ N ) 为连续嵌入且有 ‖ u ‖ q ≤ d N q 1 − 1 / N ‖ u ‖ Y . 考察方程(1.1)所对应的能量泛函 I (u) I ( u ) = 1 N ∫ ℝ N ( 1 + ( 2 α ) N − 1 | u | ( 2 α − 1 ) N ) | ∇ u | N d x + 1 N ∫ ℝ N V ( x ) | u | N d x − ∫ ℝ N G ( u ) d x . (2.5) 需要指出的是 I ( u ) 在X中无法定义，为了克服这一困难需引入变量替换 [ 2 ] u = f ( v ) 或者 v = f − 1 ( u ) ，其中f为 f ′ ( t ) = ( 1 + ( 2 α ) N − 1 | f ( t ) | ( 2 α − 1 ) N ) − 1 / N ， t ≥ 0 ， f ( 0 ) = 0 (2.6) f ( t ) = − f ( − t ) ， t ∈ ( − ∞ ， 0 ] . 引理2.4：函数 f ( t ) 满足 ( f 1 ) f ∈ C 2 唯一确定且在 上可逆， ( f 2 ) 0 < f ′ ( t ) ≤ 1 ， ∀ t ∈ ℝ N ， ( f 3 ) | f ( t ) | ≤ | t | ， ∀ t ∈ ℝ N ， ( f 4 ) 当 t → 0 时， f ( t ) t → 1 ， ( f 5 ) | f ( t ) | ≤ ( 2 α ) 1 / 2 α N | t | 1 / 2 α ， ∀ t ∈ ℝ N ， ( f 6 ) 1 2 f ( t ) ≤ α t f ′ ( t ) ≤ α f ( t ) ， ∀ t ∈ [ 0 ， ∞ ) 以及 α f ( t ) ≤ α t f ′ ( t ) ≤ 1 2 f ( t ) ， ∀ t ∈ ( − ∞ ， 0 ] ， ( f 7 ) ∃ a ∈ ( 0 ， ( 2 α ) 1 / 2 α N ) 使得 f ( t ) t 1 / 2 α → a ， t → + ∞ ， ( f 8 ) ∃ b 0 > 0 使得 | f ( t ) | ≥ { b 0 | t |                 | t | ≤ 1 ， b 0 | t | 1 / 2 α         | t | ≥ 1. 通过变量替换后 I ( u ) 变为 J ( v ) ≡ I ( f ( v ) ) = 1 N ∫ ℝ N | ∇ v | N d x + 1 N ∫ ℝ N V ( x ) | f ( v ) | N d x − ∫ ℝ N G ( f ( v ) ) d x (2.7) 易见在假设( F 1 )~( F 2 )的条件下， J ( v ) 在X上有定义。 若 v ∈ W 1 ， N ( ℝ N ) ∩ L l o c ∞ ( ℝ N ) ( p > 1 ) 为泛函J的临界点，即对所有的 φ ∈ W 1 ， N ( ℝ N ) 有 J ′ ( v ) φ = 0 其中 J ′ ( v ) φ = ∫ R N | ∇ v | N − 2 ∇ v ∇ φ d x + ∫ R N V ( x ) | f ( v ) | N − 2 f ( v ) f ′ ( v ) φ d x − ∫ R N g ( f ( v ) ) f ′ ( v ) φ d x 那么v方程 − Δ N v = h ( v ) ， x ∈ ℝ N ， (2.8) 的解，其中 h ( s ) = V ( x ) | f ( s ) | N − 2 f ( s ) f ′ ( s ) + g ( f ( s ) ) f ′ ( s ) ， s ∈ ℝ 。 由此可知 u = f ( v ) 为方程(1.1)的弱解。 引理2.5：假设( F 1 )和( F 2 )成立如果 { v n } ⊂ E 为一PS序列，那么 { v n } 在E中有界。 证：不失一般性，对所有的 n ∈ ℕ 假设 v n ≠ 0 。令 φ n ( x ) = f ( v n ( x ) ) f ′ ( v n ( x ) ) ，则由引理2.4可得 | φ n ( x ) | ≤ 2 α | v n ( x ) | ，   | ∇ φ n ( x ) | ≤ 2 | ∇ v n ( x ) | ，   ‖ φ n ( x ) ‖ E ≤ 2 α ‖ v n ( x ) ‖ E ，   ∀ n ∈ ℕ 由于 { v n } 为一PS序列，则 ∃ c > 0 使得 c ≥ J ( v n ) − 1 q J ( v n ) v n ≥ ( 1 N − 2 α q ) ∫ ℝ N | ∇ v n | N d x + ( 1 N − 1 q ) ∫ ℝ N V ( x ) | f ( v ) | N d x     + 1 q ∫ ℝ N [ g ( f ( v n ) ) f ( v n ) − q G ( f ( v n ) ) ] d x ≥ ( 1 N − 2 α q ) ‖ ∇ v n ‖ N N + ( 1 N − 1 q ) ∫ ℝ N V ( x ) | f ( v ) | N d x (2.9) 由 q > 2 α N > N 可推出序列 { ‖ ∇ v n ‖ N } 以及 { ∫ ℝ N V ( x ) | f ( v n ) | N } 有界，亦如此，其中 A n N = ∫ ℝ N ( | ∇ v n | N + V ( x ) | f ( v n ) | N ) d x (2.10) 可得 { v n } 在 W 1 ， N ( ℝ N ) 中有界，接下来证明 { v n } 在 L N ( ℝ N ) 中有界。因为 ∫ ℝ N | v n | N d x = ∫ ‖ v n ‖ ≤ 1 | v n | N d x + ∫ ‖ v n ‖ > 1 | v n | N d x (2.11) 注意由条件( F 2 )，可知 ∃ c > 0 使得 G ( s ) ≥ C s N ， | s | ≥ 1 ，因此有 ∫ ‖ v n ‖ > 1 | v n | N d x ≤ 1 C ∫ ‖ v n ‖ > 1 G ( f ( v n ) ) d x ≤ 1 C ∫ ℝ N G ( f ( v n ) ) d x 应用条件( f 7 ) | f ( s ) | ≥ C | s | ，对某些 C > 0 ， s < 1 ，有 ∫ ‖ v n ‖ ≤ 1 | v n | N d x ≤ 1 C ∫ ‖ v n ‖ ≤ 1 | f ( v n ) | N d x ≤ 1 C ∫ ℝ N ∫ ‖ v n ‖ ≤ 1 | f ( v n ) | N d x 由此可得出 { v n } 在 L N ( ℝ N ) 中有界，因此在E中有界。利用文献 [ 13 ] 类似的方法，可知 ∃ C 0 > 0 使得 ∫ ℝ N | ∇ v n | N + V ( x ) | f ( v n ) | N d x ≥ C 0 ‖ v n ‖ E N (2.12) 于是 { v n } 在E中有界，同样适用于 { v n } 的子序列仍记为 { v n } ，使得 ‖ v n ‖ E ， ‖ v ‖ E ≤ M 以及 v n ⇀ v     in   E ，   v n ⇀ v   in   L l o c q ( ℝ N ) ， ∀ q ∈ [ N ， + ∞ ) ， v n ( x ) ⇀ v ( x )   a . e .   in   ℝ N (2.13) 引理2.6：假设( V 1 )和( F 1 )~( F 3 )成立。如果序列 { v n } 满足(2.13)则 lim n → ∞ ∫ R N g ( f ( v n ) ) f ′ ( v n ) v n d x = ∫ R N g ( f ( v ) ) f ′ ( v ) v d x (2.14) 证：由条件( F 1 )~( F 3 )对任意小的 ε > 0 ， ∃ S 0 > s 0 > 0 使得 | G ( s ) | ≤ ε | s | N ， | s | ≤ s 0 以及 | G ( s ) | ≤ ε s g ( s ) ， | s | ≥ S 0 说明 | G ( s ) | ≤ ε ( | s | N + s g ( s ) ) + χ [ s 0 ， S 0 ] ( | s | ) | s g ( s ) | ， ∀ s ∈ ℝ (2.15) 其中 χ A 记为可测子集 A ⊂ R 的特征函数，这样对 n ∈ ℕ 可以得到 | g ( f ( v n ) ) f ′ ( v n ) v n | ≤ | g ( f ( v n ) ) f ( v n ) | ≤ ε ( V | f ( v n ) | N + f ( v n ) g ( f ( v n ) ) ) + χ [ s 0 ， S 0 ] ( | f ( v n ) | ) | f ( v n ) g ( f ( v n ) ) | ， 以及 ∫ B r c | g ( f ( v n ) ) f ′ ( v n ) v n | ≤ ε | Q ( v n ) | + S 0 g ( S 0 ) ∫ A n ∩ B r c χ [ s 0 ， S 0 ] ( | f ( v n ) | ) d x (2.16) 其中 A n = { x ∈ R N : s 0 ≤ | f ( v n ) | ≤ S 0 } 还有 Q ( v n ) = ∫ ℝ N ( V ( x ) | f ( v n ) | N + f ( v n ) g ( f ( v n ) ) ) d x 此外， s 0 g ( s 0 ) | A n | ≤ ∫ ℝ N f ( v n ) g ( f ( v n ) ) d x ≤ M 1 说明 sup n ∈ N | A n | ≤ M 1 s 0 g ( s 0 ) = μ < ∞ ， | A n | = meas ( A n ) 。由此可以断定对所有的 n ∈ N ，具有一致性。首先我们来证明 lim r → ∞ | A n ∩ B r c | = 0 (2.17) 事实上，如果不成立，则 ∃ n 0 ≥ 1 ， δ > 0 ， r j ↑ ∞ 使得 | A n 0 ∩ B r j c | ≥ δ ， ∀ j ∈ N 不失一般性令 n 0 = 1 显然有 | A n 0 ∩ B r j c | ≤ | A 1 | ≤ μ ， ∀ j ∈ N 。 记 Ω j = B r j c \ B r j + 1 c ¯ ，易见 B r j c = ∪ l = j ∞ Ω l ， ∀ j ∈ N ， Ω l ∩ Ω k = ∅ ， l ≠ k 那么会有 | A 1 ∩ B r j c | = ∑ l = j ∞ | A 1 ∩ Ω l | ≥ δ ， ∀ j ∈ N (2.18) 以及序列 ∑ l = j ∞ | A 1 ∩ Ω l | = ∞ ，产生矛盾。于是极限(2.17)证毕。 其次，说明极限(2.17)的一致性。实际上由(2.3)可知 v n ， v ∈ L N ( R N ) 在 R N 上 v n ( x ) → v ( x ) 几乎处处成立，因此对于任意小的 ϵ > 0 ， ∃ r 0 ≥ 1 使得对 r ≥ r 0 有 ∫ B r c | v | N d x ≤ ϵ (2.19) 对该 ϵ > 0 选择 t 1 = r 0 ， t j ↑ ∞ 使得 D j = B t j c \ B t j + 1 c ¯ ， B r 0 c = ∪ j = 1 ∞ D j 和 ∫ D j | v | N d x ≤ ϵ 2 j ，   ∀ j ∈ N (2.20) 由Fatou引理，可得对任意 j ∈ N ，会有 lim n → ∞ sup ∫ D j ∩ A n | f ( v n ) | N d x ≤ ∫ D j lim n → ∞ sup | f ( v n ) | N d x ≤ ∫ D j | f ( v ) | N d x ≤ ϵ 2 j (2.21) 于是 s 0 N lim n → ∞ sup | A n ∩ B r 0 c | ≤ lim n → ∞ lim n → ∞ sup ∫ B r 0 c ∩ A n | f ( v n ) | N d x = lim n → ∞ sup ∑ j = 1 ∞ ∫ D j ∩ A n | f ( v n ) | N d x ≤ ∑ j = 1 ∞ lim n → ∞ sup ∫ D j ∩ A n | f ( v n ) | N d x ≤ ∑ j = 1 ∞ ∫ D j | f ( v n ) | N d x ≤ ∑ j = 1 ∞ ϵ 2 j = ϵ (2.22) 注意对 r ≥ r 0 ， n ∈ ℕ ，可得 ( A n ∩ B r c ) ⊂ ( A n ∩ B r 0 c ) ，即得 lim r → ∞ | A n ∩ B r c | = 0 对 n ∈ N 具有一致性。 此外，由积分的决定连续性可知对 ∀ ϵ > 0 ，存在常数 0 < δ < ϵ \ S 0 g ( S 0 ) ϵ > 0 使得对 r ≥ r 0 有 meas ( A n ∩ B r c ) < δ 以及 ∫ A n ∩ B r c χ [ s 0 ， S 0 ] ( | f ( v n ) | ) d x < ϵ S 0 g ( S 0 ) (2.23) 那么由(2.16)和(2.23)可推出 ∫ B r c | g ( f ( v n ) ) f ′ ( v n ) v n | d x ≤ ∫ B r c | g ( f ( v n ) ) f ( v n ) | d x ≤ ϵ ( M 2 + 1 ) ， r ≥ r 0 (2.24) 和 ∫ B r c | g ( f ( v ) ) f ′ ( v ) v | d x ≤ ∫ B r c | g ( f ( v ) ) f ( v ) | d x ≤ ∫ B r c | g ( f ( v n ) ) f ( v n ) | d x ≤ ϵ ( M 2 + 1 ) ， r ≥ r 0 (2.25) 另一方面，由(2.17)对所有的 r > 0 ， lim n → ∞ ∫ B r g ( f ( v n ) ) f ′ ( v n ) v n d x = ∫ B r g ( f ( v ) ) f ′ ( v ) v d x (2.26) 那么从(2.24)~(2.26)，可推出(2.14)。 引理2.7：假设( V 1 )和( F 1 )~( F 3 )成立，令 { v n } 为一PS序列，则有 lim n → ∞ sup ∫ ℝ N V ( x ) | f ( v n ) | N d x = ∫ ℝ N V ( x ) | f ( v ) | N d x (2.27) 和 lim n → ∞ ∫ ℝ N V ( x ) | f ( v n ) | N − 2 f ( v n ) f ′ ( v n ) v n d x = ∫ ℝ N V ( x ) | f ( v ) | N f ( v ) f ′ ( v ) v d x (2.28) 证：对 r > 1 ，可选择函数 η r = η r ( | x | ) ∈ C 1 ( ℝ N ) 使得 η r ( | x | ) ≡ 1 ， x ∈ B 2 r c ;   η r ( | x | ) = 0 ， x ∈ B r ; 0 ≤ η r ≤ 1 ， | ∇ η r | ≤ 2 r ，   in   ℝ N (2.29) 由于序列 { v n } 在中E有界，则序列 { η r φ n } ， φ n = f ( v n ) f ′ ( v n ) ，也在E中有界，那么会有 J ( v n ) ( η r φ n ) = o n ( 1 ) ，即 ∫ ℝ N | ∇ v n | N − 2 ∇ v n ∇ φ n η r d x + ∫ ℝ N V ( x ) | f ( v n ) | N η r d x = − ∫ ℝ N | ∇ v n | N − 2 ∇ v n ∇ η r φ n d x + ∫ ℝ N g ( f ( v n ) ) f ( v n ) η r d x + o n ( 1 ) (2.30) 其中 ∇ φ n = ( 1 + ( 2 α − 1 ) ( 2 α N − 1 ) | f ( v n ) | ( 2 α − 1 ) N 1 + 2 α N − 1 | f ( v n ) | ( 2 α − 1 ) N ) ∇ v n 以及 ω ( r ) = ∫ ℝ N g ( f ( v n ) ) f ( v n ) η r d x → 0 ， n → ∞ 那么(2.30)的极限说明 ∫ B r c ( | ∇ v n | N + V ( x ) | f ( v n ) | N ) η r d x ≤ ∫ B r c | ∇ v n | N − 2 | v n | | ∇ η r | d x + o n ( 1 ) + ω ( r ) ≤ 4 α r ∫ B r c | ∇ v n | N − 2 | v n | d x + o n ( 1 ) + ω ( r ) ≤ 4 α r ‖ ∇ v n ‖ L N ( Ω r ) N − 1 ‖ v n ‖ L N ( Ω r ) + o n ( 1 ) + ω ( r ) ≤ 4 α r ‖ v n ‖ E N + o n ( 1 ) + ω ( r ) ≤ 4 α r M p + o n ( 1 ) + ω ( r ) ， n → ∞ ， r → ∞ (2.31) 其中 Ω r = B r c \ B 2 r c ¯ ，可推出 lim n → ∞ sup ∫ B 2 r c ( | ∇ v n | N + V ( x ) | f ( v n ) | N ) d x < ϵ 。 此外，该极限还可得 lim n → ∞ sup ∫ B 2 r c ( V ( x ) | f ( v n ) | N ) d x ≤ ϵ (2.32) 便有， ∫ B 2 r c ( V ( x ) | f ( v ) | N ) d x ≤ ϵ (2.33) 由于 L N ( B 2 r ) 中， v n → v ，则有 lim n → ∞ ∫ B 2 r V ( x ) | f ( v n ) | N d x = ∫ B 2 r V ( x ) | f ( v ) | N d x (2.34) 对 ∀ ϵ > 0 ，极限(2.32)~(2.34)产生 lim n → ∞ sup ∫ R N | V ( x ) ( | f ( v n ) | N − | f ( v ) | N ) d x | ≤ 3 ϵ . (2.35) 接下来证明(2.28)，由 f ( 6 ) 和 ω ( r ) → 0 可得 ∫ ℝ N g ( f ( v n ) ) f ′ ( v n ) v n η r d x ≤ ∫ ℝ N g ( f ( v n ) ) f ( v n ) η r d x = ω ( r ) → 0 (2.36) 有由 J ( v n ) ( η r v n ) = o n ( 1 ) 可得 ∫ ℝ N [ | ∇ v n | N + V ( x ) | f ( v n ) | N − 2 f ( v n ) f ′ ( v n ) ] η r d x = − ∫ ℝ N | ∇ v n | N − 2 ∇ v n ∇ η r v n d x + ∫ ℝ N g ( f ( v n ) ) f ′ ( v n ) η r d x + o n ( 1 ) ≤ ∫ ℝ N | ∇ v n | N − 1 | ∇ v n | | ∇ η r | d x + o n ( 1 ) + ω ( r ) ≤ 4 α r M p + o n ( 1 ) + ω (r) 那么对 ∀ ϵ > 0 ， ∃ r 0 ≥ 1 使得 r > r 0 ， lim n → ∞ sup ∫ B 2 r c [ | ∇ v n | N η r + V ( x ) | f ( v n ) | N − 2 f ( v n ) f ′ ( v n ) v n ] d x ≤ ϵ (2.37) 于是 lim n → ∞ sup ∫ B 2 r c V ( x ) | f ( v n ) | N − 2 f ( v n ) f ′ ( v n ) v n d x ≤ ϵ (2.38) 以及 ∫ B 2 r c V ( x ) | f ( v ) | N − 2 f ( v n ) f ′ ( v ) v d x ≤ ϵ (2.39) 由于在 L N ( B 2 r ) 中 v n → v 以及在 ℝ N 中 v n ( x ) → v ( x ) 几乎处处成立。则有 lim n → ∞ sup ∫ B 2 r V ( x ) | f ( v n ) | N − 2 f ( v n ) f ′ ( v n ) v n d x = ∫ B 2 r V ( x ) | f ( v ) | N − 2 f ( v n ) f ′ ( v ) v d x 以及 lim n → ∞ sup ∫ ℝ N V ( x ) | f ( v n ) | N − 2 f ( v n ) f ′ ( v n ) v n − | f ( v ) | N − 2 f ( v ) f ′ ( v ) v d x ≤ 3 ϵ 。 因此极限(2.28)成立。 最后来证明在E中 v n 强收敛于v。 引理2.8 [ 13 ] 存在常数 C 3 > 0 使得对 ∀ ξ ， η ∈ ℝ N ， ( | ξ | p − 2 ξ − | η | p − 2 η ， ξ − η ) ≥ C 3 ( | ζ | + | η | ) p − 2 | ξ − η | 2 ，   if   1 < p < 2 ( | ξ | p − 2 ξ − | η | p − 2 η ， ξ − η ) ≥ C 3 | ξ − η | p ，   if   p ≥ 2 其中 ( . ， . ) 为 ℝ N 中数量积。 因为 v n ， v 在E中有界以及 〈 J ′ ( v n ) − J ′ ( v ) ， v n − v 〉 → 0 。 直接计算可得 〈 J ′ ( v n ) − J ′ ( v ) ， v n − v 〉 = A n m + B n m + C n m 其中 A n m = ∫ ℝ N ( | ∇ v n | N − 2 ∇ v n − | ∇ v | N − 2 ∇ v ) ∇ ( v n − v ) d x B n m = ∫ R N V ( x ) [ | f ( v n ) | N − 2 f ( v n ) f ′ ( v n ) v n − | f ( v ) | N − 2 f ( v ) f ′ ( v ) v ] ( v n − v ) d x C n m = ∫ ℝ N [ g ( f ( v n ) ) f ′ ( v n ) d − g ( f ( v ) ) f ( v ) ] ( v n − v ) d x 由以上引理可得 | B n m | → 0 ， | C n m | → 0 对于 A n m A n m ≥ ∫ ℝ N ( | ∇ ( v n − v ) | N ) d x → 0. 由 | f ( v n − v ) N | ≤ | v n − v | N 以及在 L N ( ℝ N ) 中 v n → v ，可推出 ∫ ℝ N V ( x ) | f ( v n − v ) | N d x → 0 ， n → ∞ ，于是在E中 v n → v 。