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user: 3. 传感器优化布设 无线传感器节点通过配置各种传感器(例如水分、温度等)可以准确获得土壤属性，并将采集的土壤数据和节点自身的位置通过无线网络实时传输到后台基站或区域内行驶的越野车辆上，为地表土壤监测和越野路径选择提供参数依据。 没有位置属性的感知信息将失去利用价值 [ 3 ] ，为了动态监测野外给定区域的地表土壤属性，必须首先确保布设在区域内的节点能够得到有效定位，当区域范围很大远远超出无线节点的通信范围时，我们采用分而治之的策略，将大区域划分为若干子区域，使每个子区域都位于单跳通信范围内，然后在各子区域内的寻找锚节点(位置已知的参考节点)的最优位置，最后在各子区域内随机布设普通传感器节点。这里涉及到两个关键问题：1) 区域的划分；2) 锚节点位置的选择。 3.1. 区域的划分 在二维定位场景中，对于单个待定位节点而言，至少要接收三个锚节点的位置广播并测量与之距离才能解算出自身的位置，因此，对于区域而言，至少达到3-覆盖才能实现区域任一位置处的节点可定位，即区域中任一位置处都可以接收到至少三个锚节点的位置广播。 3.1.1. 子区域的形状 关于区域的划分，子区域形状的选择问题可以转化为何种正多边形的内角可以等分一个圆周，我们有如下定理： 定理1：正n边形等分一个圆周，当且仅当n = 3，4，6。 证明：正n边形的内角为 n − 2 n ⋅ 180 ° ，无缝拼接等分要求 360 ° ⋅ n ( n − 2 ) ⋅ 180 ° = 2 + 4 n − 2 为整数，此时n 只能取3，4，6。证毕。 因此我们提出了以待定位区域质心为中心，进行正n边形划分的方法，n = 3，4，6，分别如下图2(a)~(c)所示，各区域的质心用“”标识。 当正多边形完全位于待定位区域内时，将多边形的顶点作为锚节点的布设位置，在图3中用“§”标识；当某个正多边形没有完全被待定位区域覆盖时，我们将在3.2节详细讨论此种情况下如何选取锚节点的位置。 图2. 区域的划分 图3. 子区域边长的选取 3.1.2. 子区域的边长 假定无线电信号传播符合单位圆盘模型(unit disk model)，通信半径为R。为了确保节点位于子区域内任意位置时均能够得到定位，对正n边形的边长亦有要求，由图3中的几何关系可知： n = 3，当三角形的边长l 1 ≤ R时，可确保当锚节点布设在三角形顶点上时，三角形内任意位置处都可以接收到三个锚节点的广播位置(我们称之为3-覆盖)，反之，若l 1 > R，则三角形内总会存在无法被3-覆盖的位置，因此，三角形边长的最大值为R； n = 4，为了确保正方形内任一点都可以被3-覆盖，要求四边形的边长 l 2 ≤ 2 R 5 。可以验证，当 R ≥ 5 2 l 2 时3-覆盖条件满足，我们用反证法来说明该条件的必要性，在图3(b)中保持l 2 不变，改变以锚节点为中 心的圆半径R大小，当 R ′ < 5 2 l 2 时，正方形区域内存在不满足3-覆盖的点，例如点A，它只能接收到1、2号锚节点的位置广播，3、4号锚节点由于距离太远而失去作用，因此 l 2 ≤ 2 R 5 是3-覆盖的必要条件； 当n = 6时，要求六边形的边长 l 2 ≤ 2 R 5 ，推导过程与n = 4的情形类似。 子区域边长选取的示意图如图3所示，“”表示区域的质心，“§”表示锚节点的布设位置。 3.1.3. 正三角形划分 根据3.1.2节中所确定的多边形边长可计算出三角形的面积是 3 4 R 2 ，四边形面积为 4 R 2 5 ，六边形面积为 3 2 R 2 ，下面我们来计算覆盖同样面积的待定位区域，各种划分方法所需要的锚节点个数。 假设三角形的个数为n 1 ，四边形个数为n 2 ，六边形个数为n 3 ，覆盖相同面积要求： 3 4 n 1 = 4 5 n 2 = 3 2 n 3 此时， n 1 = ⌈ 1.84 ⌉ n 2 ，   n 1 = 2 n 3 ，即 n 2 = n 1 2 ，   n 3 = n 1 2 (1) 当三角形、四边形和六边形以如图4方式拼接时，相邻多边形间有两个公共顶点，那么n 1 个三角形所需的锚节点数为n 1 + 2，n 2 个四边形所需的锚节点数为2n 2 + 2，n 3 个三角形所需的锚节点数为4n 3 + 2，根据式(1)的数值关系可知，用图4方式覆盖同样面积的区域，所需要的锚节点个数分别为n 1 + 2、n 1 + 2，2n 1 + 2。 从而可知，三角形划分与四边形划分所需要的锚节点个数相对较少，由于 n 1 = ⌈ 1.84 ⌉ n 2 涉及到上取整，因此实际中三角形划分所需要的锚节点个数比四边形要少；而且对于图4中的三种区域划分方式，(a)中三角形划分，对于每个子区域而言，刚好提供了三个锚节点位置，实现3-覆盖，每个锚节点都最大限度地发挥了定位功效，信号覆盖的冗余度最小。 因此在确保区域中节点都可定位的前提下，从节省硬件和能耗开销角度考虑，三角形划分方式是最经济实用的布设方式。 3.2. 锚位置的选取 子区域划分完毕后，对于某个子三角形而言，若子三角形的顶点全位于待定位区域内，那么就将锚节点布设在顶点上；当三角形的顶点超出待定位区域时，首先我们证明，区域边界与该三角形的交点数至少为2。 定理2：对于凸区域而言，若三角形存在部分面积位于区域外，那么该三角形与区域边界的交点数至少为2。 证明：将凸区域边界上点的集合标记为À，将位于三角形内部的边界点的集合标记为À in ，位于三角形外部的边界点的集合记为À out ，任从À in 中取出一点记为v 1 ，从À out 中任取一点记为v 2 ，由于区域边界上的点是连续的，因此从v 1 到v 2 的区域边界À v 2-v1 必然与三角形的某条边相交，记该点为v intersect-1 ；从v 1 到v 2 后，继续沿着区域边界向前，将存在一点v 3 ∈ À out ，同理，区域边界À v 2-v3 必然与三角形的某条边相交，记该点为v intersect-2 ，命题得证。 因此，当三角形的顶点超出待定位区域时，用V in 表示位于待定位区域内的三角形顶点，V out 表示区域外的顶点，我们提出如下布设策略： 情况1：|V in | = 0时 由定理2可知区域边界与三角形边界的交点数n >= 2，由于待定位区域为凸，因此，交点数为2，记这两个交点为v intersect-1 、v intersect-2 ，此时从位于三角形内部的区域边界Àv intersect-1- v intersect-2 中选出构成面积最大的一个点v boundary ，将三个锚节点布设在v intersect-1 、v intersect-2 和v boundary 上； 图4. 子区域的拼接 情况2：|V in | = 1时 区域边界与三角形边界的交点数记为n，由定理2可知n >= 2。若n = 2，我们将三个锚节点布设在V in 和另两个交点上；若n > 2，则从n + 1个点中(n个交点和三角形的一个顶点)选出覆盖面积最大的3个作为锚节点的布设位置； 情况3：|V in | = 2时 由定理2可知区域边界与三角形边界的交点数n >= 2，此时从n + 2个点中(n个交点和三角形的两个顶点)选出覆盖面积最大的3个作为锚节点的布设位置。 图5表示三角形划分下的锚节点布设策略，“§”表示锚节点的布设位置，(a)为|V in | = 0时，将锚节点布设在交点和边界上；(b)为|V in | = 1时的情形；(c)为|V in | = 2，此时由于交点数大于3-|V in |，需要从两个交点中选择覆盖面积更大的一个作为第三个锚节点的布设位置；(d)为|V in | = 3时，将锚节点布设在三角形的顶点上。 我们称图5所示的基于正三角形的锚节点布设策略为TBAD (Triangle Based Anchor Deployment)，下面我们证明TBAD可以确保布设在区域内任一位置处的待定位节点均可被至少三个锚节点覆盖，即整个区域都可定位。 定理3：上述布设策略TBAD，可确保待定位区域内任一位置处的节点均可定位。 证明：对图5中的各种布设情形而言，锚节点总是布设在三角形的顶点或内部；当三角形整体位于待定位区域内时，锚节点布设在三角形的顶点上，由三角形边长与通信半径R的关系可知，对于三角形内部任意点而言，总可被3-覆盖；当三角形部分位于待定位区域内时，将交叠区域记为S cover ，S cover ⊂ S triangle ，对S cover 内的任意两个点v 1 ，v 2 而言，两点的直线距离l v 1-v2 总小于R，即三角形的边长，因此无论三个锚节点布设在S cover 内的哪个位置，S cover 内的所有点都可以被3-覆盖。 综上，此种锚节点布设策略，可以确保待定位区域内的任一点均可定位。证毕。 3.3. 性能评价 为了评价大范围区域内传感器锚节点优化布设策略TBAD的性能，我们从两个方面与随机布设策略进行比较：1) 区域内传感器节点的定位覆盖率(可定节点占节点总数的比例)；2) 区域内节点的定位精度。 仿真配置：1000米 × 1000米的的区域随机布设500个待定位传感器节点，锚节点和待定位节点的通信半径R相同，为200米。在优化布设方法中，先将区域等分为边长等于R的正三角形，然后依据TBAD布设策略设置锚节点的位置，可知需要布设的锚节点数为45个，见图6中的正方形节点；在随机布设方法中，我们将45个锚节点随机布设在区域中，单次布设情形见图6中的三角形节点，计算不同布设策略下的定位覆盖率和定位精度。 计算随机布设策略下的定位覆盖率时，我们将45个锚节点随机布设在500个节点的随机网络中，计算每次布设下的覆盖率，然后蒙特卡罗仿真1000次取各次覆盖率的平均值作为最终结果。暂不考虑已定位节点升级为锚节点进而定位其他待定位节点的情形，我们认为若待定位节点的一跳邻居数少于3个就为无法定位节点。仿真结果表明，对于随机布设策略而言，定位覆盖率约为90%；对于优化布设策略TBAD而言，定位覆盖率为100%，与理论分析结果相一致。 假设锚节点与待定位节点间的测距误差服从零均值的高斯同分布N(0，s 2 )，定位精度使用网络中所有节点的均方根误差RMS来衡量。蒙特卡罗仿真1000次，取平均RMS作为最终结果，如图7所示。横坐标表示测距误差，纵坐标表示定位误差RMS，从中可明显看出，锚节点优化布设策略TBAD下的定位精度比随机策略要高很多，而且随着测距误差的增大，定位精度的提高越显著，当测距误差为20米(10%R) 图5. 锚节点布设策略 图6. 不同布设策略的锚节点分布 图7. 不同布设策略的定位精度对比 时，锚节点优化布设策略TBAD对应的定位误差比随机策略小12米，相较于信号传播半径R = 200米而言，定位精度提高了6% R。