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user: 3. 紧性和半交换性 我们称 φ 是可导的指的是它到圆盘内部的Possion扩张是可导的。为了方便，这种意义下，我们不再区分 φ 和它的Possion扩张。一般地， 。在 [ 7 ] 中，我们讨论了 T φ * = T φ ¯ 的充要条件是 φ 为常值。 定理3.1：设 φ ∈ G 。如果 ∂ φ ¯ ∂ z ∈ L a 2 ，则 T φ * − T φ ¯ 是紧算子当且仅当 φ 是共轭解析的。 证明：对 ∀ f ， g ∈ D ，我们有 〈 ( T φ * − T φ ¯ ) f ， g 〉 D = 〈 f ， T φ g 〉 D − 〈 T φ ¯ f ， g 〉 D = 〈 f ， φ g 〉 L 2 ， 1 − 〈 φ ¯ f ， g 〉 L 2 ， 1 = 〈 f ′ ， ∂ φ ∂ z g 〉 − 〈 ∂ φ ¯ ∂ z f ， g ′ 〉 。 不失一般性，令 f l = z l ， g = z k ( k ∈ ℤ + ) ，则 f l 在 D 上弱收敛到0。从而 〈 ( T φ * − T φ ¯ ) f l ， g 〉 D = 〈 f l ′ ， φ 1 ′ g 〉 − 〈 φ 2 ′ f l ， g ′ 〉 = 〈 l z l − 1 ， ∑ n = 0 + ∞ n a n z n − 1 + k 〉 − 〈 ∑ n = 1 + ∞ n a ¯ − n z n − 1 + l ， k z k − 1 〉 。 对固定的 k ，总有 l > k 。因此，我们有 〈 ( T φ * − T φ ¯ ) f l ， g 〉 D = 〈 l z l − 1 ， ∑ n = 0 + ∞ n a n z n − 1 + k 〉 = ( l − k ) a ¯ l − k 。 于是，若 T φ * − T φ ¯ 是紧算子，则 ‖ ( T φ * − T φ ¯ ) f l ‖ D → 0 。因此，由Cauchy-Schwarz不等式知 ( l − k ) | a ¯ l − k | → 0 。进一步地，我们有 。又因为系数 l − k ∈ ℕ (自然数)，故必要条件得证。反之，显然。证毕。 定理3.2：如果 φ ∈ G ，则 T φ 紧当且仅当 φ = 0 。 证明：显然，如果 φ =0 ，则 T φ 是紧的。若 T φ 紧，令 f l = z l l ( l ∈ ℤ + ) ，则 ‖ f l ‖ D = 1 ， f l → w 0 ， ‖ T φ f l ‖ D → 0 。因为 1 1 − z e − i θ = ∑ k = 0 + ∞ e − i k θ z k ，于是由(1)知， T φ f l ( z ) = ∑ k = 0 + ∞ ∫ 0 2π ( φ f ) ( e i θ ) e − i k θ d θ 2 π z k = ∑ k = 0 + ∞ 〈 φ f ， χ k 〉 H 2 z k 。 又 φ f ( e i θ ) = ∑ n = 0 + ∞ a n l χ n + l + ∑ n = 1 + ∞ a − n l χ l − n ，则 ‖ T φ f l ‖ D 2 = ∑ k = 0 + ∞ | 〈 φ f ， χ k 〉 H 2 | 2 〈 z k ， z k 〉 D = ∑ k = 0 + ∞ k l | a k − l | 2 。 因此，对 ∀ ε > 0 ， ∃ N ∈ ℤ + ，当 l > N 时有 lim l → + ∞ ∑ k = 0 + ∞ k l | a k − l | 2 < ε 。固定 l 0 ( l 0 > N ) ，对 ∀ k ∈ ℕ ，我们有 k l 0 | a k − l 0 | 2 < ∑ k = 0 + ∞ k l 0 | a k − l | 2 < ε ，于是 | a k − l 0 | =0 ，即 a k − l 0 =0 。又因为 k ≥ 0 ，从而当 l 0 → + ∞ 时，系数 k − l 0 可以取遍整数集。故 a n = 0 ( n ∈ ℤ ) ，进而 φ = 0 。证毕。 接下来，我们考虑两个算子的乘积的紧性问题。假设 ψ = ψ 1 + ψ ¯ 2 = ∑ m = 0 + ∞ b m χ m + ∑ m = 1 + ∞ b − m χ − m 。 定理3.3：如果 φ ， ψ ∈ G ，则 T φ T ψ − T φ ψ 是紧算子当且仅当 φ 共轭解析或 ψ ¯ 2 是多项式。 证明：对 l ∈ ℤ + ，我们有 T φ T ψ z l = P H [ φ P H ( ψ z l ) ] = P H [ ( φ 1 + φ ¯ 2 ) ( ψ ^ 1 z l + P H ( ψ ¯ 2 z l ) ) ] = φ ^ 1 ψ ^ 1 z l + P H ( φ ¯ 2 ψ 1 z l ) + P H ( φ 1 P H ( ψ ¯ 2 z l ) ) + P H ( φ ¯ 2 P H ( ψ ¯ 2 z l ) ) ， T φ ψ z l = P H ( φ ψ z l ) = P H ( ( φ 1 ψ 1 + φ 1 ψ ¯ 2 + φ ¯ 2 ψ 1 + φ ¯ 2 ψ ¯ 2 ) z l ) = φ ^ 1 ψ ^ 1 z l + P H ( φ ¯ 2 ψ 1 z l ) + P H ( φ 1 ψ ¯ 2 z l ) + P H ( φ ¯ 2 ψ ¯ 2 z l ) 。 此外， P H ( φ 1 P H ( ψ ¯ 2 z l ) ) = P H [ ( ∑ n = 0 + ∞ a n χ n ) P H ( ∑ m = 1 + ∞ b − m χ − m z l ) ] = ∑ n = 0 + ∞ ∑ m = 1 l a n b − m z l + n − m ， (2) P H ( φ ¯ 2 P H ( ψ ¯ 2 z l ) ) = P H [ ( ∑ n = 0 + ∞ a − n χ − n ) ( ∑ m = 1 l b − m z l − m ) ] = ∑ m = 1 l − 1 ∑ n = 1 l − m a − n b − m z l − n − m ， (3) P H ( φ 1 ψ ¯ 2 z l ) = P H [ ∑ n = 0 + ∞ a n χ n ∑ m = 1 + ∞ b − m χ − m z l ] = ∑ n = 0 + ∞ ∑ m = 1 l + n a n b − m z l + n − m ， (4) 。 (5) 记 Δ = T φ T ψ − T φ ψ ，则由等式(2)，(3)，(4)和(5)知， ‖ Δ ( z l ) ‖ H 2 ( D ) 2 = ‖ ∑ n = 1 + ∞ ∑ m = l + 1 l + n a n b − m z l + n − m ‖ H 2 ( D ) 2 = ∑ n = 1 + ∞ ∑ m = l + 1 l + n | a n b − m | 2 。 (6) 由于 z l 在空间 D 中是弱收敛到0的，从而如果 T φ T ψ − T φ ψ 是紧算子，则对 ∀ ε > 0 ， ∃ L ∈ ℤ + ，当 l > L 时有 lim l → + ∞ ∑ n = 1 + ∞ ∑ m = l + 1 l + n | a n b − m | 2 < ε 。 令 l = l 0 > L ，则 ∑ n = 1 + ∞ ∑ m = l 0 + 1 l 0 + n | a n b − m | 2 < ε 。 (7) 由(7)有， lim N → + ∞ ∑ n = 1 N ∑ m = l 0 + 1 l 0 + n | a n b − m | 2 < ε 。因此对整数 n = n 0 ∈ [ 1 ， N ] ，我们有 | a n 0 b − m | 2 < ∑ m = l 0 + 1 l 0 + n 0 | a n 0 b − m | 2 < ε 。 于是对整数 n ∈ [ 1 ， + ∞ ) 有 | a n b − m | 2 = 0 ，即 | a n | = 0 或 | b − m | = 0 (整数 m ∈ [ l 0 + 1 ， + ∞ ) )。从而，如果 T φ T ψ − T φ ψ 是紧算子，则 φ 共轭解析或 是多项式。 反之，由于 { z l l } ( l ∈ ℤ + ) 是空间 D 的标准正交基和等式(6)，则充分条件是显然的。证毕。 注：对 φ ， ψ ∈ G ，我们不能保证 φ ψ ∈ G 。一般地， Δ ( z l ) = T φ T ψ z l − T φ ψ z l ∉ D ，但是 Δ ( z l ) 在空间 H 2 ( D ) 上却是有意义的。 推论3.4：如果 φ ， ψ ∈ G 且 ψ 不是多项式，则 T φ T ψ = T φ ψ 当且仅当 φ 是共轭解析的。 证明：对 ∀ f ∈ D ，记 f = ∑ l = 1 + ∞ c l z l ， Δ ′ = T φ T ψ − T φ ψ 。若 T φ T ψ = T φ ψ ，则 Δ ′ = 0 ，从而 Δ ′ ( z l ) = ∑ l = 1 + ∞ ∑ n = 1 + ∞ ∑ m = l + 1 l + n a n b − m c l z l + n − m = 0 。 进一步，我们有 ‖ Δ ′ ( z l ) ‖ H 2 ( D ) 2 = ∑ l = 1 + ∞ ∑ n = 1 + ∞ ∑ m = l + 1 l + n | a n b − m c l | 2 = 0 。 于是当 f ≠ 0 时，总存在某个 l ，满足 c l ≠ 0 。因此，由定理3.3可知， φ 是共轭解析的。反之，显然。证毕。 定理3.5：如果 φ ， ψ ∈ G ，则 T ψ T φ − T φ T ψ 是紧算子当且仅当下列条件中的一个成立： 1) φ 或 ψ 共轭解析； 2) φ ¯ 2 ， ψ ¯ 2 都是多项式。 证明：通过计算，我们有 T ψ T φ z l = φ ^ 1 ψ ^ 1 z l + P H ( ψ ¯ 2 φ 1 z l ) + P H ( ψ 1 P H ( φ ¯ 2 z l ) ) + P H ( ψ ¯ 2 P H ( φ ¯ 2 z l ) ) 。 同时， ， P H ( ψ 1 P H ( φ ¯ 2 z l ) ) = ∑ m = 0 + ∞ ∑ n = 1 l a − n b m z l + m − n ， P H ( ψ ¯ 2 P H ( φ ¯ 2 z l ) ) = ∑ n = 1 l − 1 ∑ m = 1 l − n a − n b − m z l − n − m 。 (8) 记 Δ ″ = T ψ T φ − T φ T ψ 。我们已经得到了(2)，(3)，为了计算 Δ ″ ( z l ) ，我们还需要计算 P H ( φ ¯ 2 ψ 1 z l ) 。事实上， P H ( φ ¯ 2 ψ 1 z l ) = ∑ m = 0 + ∞ ∑ n = 1 l + m a − n b m z l + m − n 。此外，由于等式(3)和(8)是相等的，因此 Δ ″ ( z l ) = ∑ n = 1 + ∞ ∑ m = l + 1 l + n a n b − m z l + n − m − ∑ m = 1 + ∞ ∑ n = l + 1 l + m a − n b m z l + m − n 。 从而， ‖ Δ ″ ( z l ) ‖ D 2 = ∑ n = 1 + ∞ ∑ m = l + 1 l + n | a n b − m | 2 ( l + n − m ) + ∑ m = 1 + ∞ ∑ n = l + 1 l + m | a − n b m | 2 ( l + m − n ) 。 (9) 如果 T ψ T φ − T φ T ψ 是紧算子，则 ‖ Δ ″ ( z l ) ‖ D 2 → 0 。对 ∀ ε > 0 以及固定的 l ， ‖ Δ ″ ( z l ) ‖ D 2 → 0 当且仅当 ∑ n = 1 + ∞ ∑ m = l + 1 l + n | a n b − m | 2 ( l + n − m ) < ε ， ∑ m = 1 + ∞ ∑ n = l + 1 l + m | a − n b m | 2 ( l + m − n ) < ε 同时成立。故 | a n b − m | 2 = 0 和 | a − n b m | 2 = 0 同时成立，从而得到必要条件。反之，由等式(9)易得。证毕。