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user: 3. 普遍性差分格式解的稳定性和收敛性分析 3.1. 差分格式稳定性分析 假设 u ˜ i n 是普遍性差分格式的近似解，定义误差 ε i n = u i n − u ˜ i n ， ε 0 n = ε M n = 0 ， ε n = ( ε 1 n ， ε 2 n ， ⋯ ， ε M − 1 n ) 。满足如下误差扰动方程： { ( 2 a + b + 2 r θ ) ε i 1 − r θ ( ε i + 1 1 + ε i − 1 1 ) = ( 2 a + b − 2 r ( 1 − θ ) ) ε i 0 + ( 1 − θ ) r ( ε i + 1 0 + ε i − 1 0 ) ， ( a + b + 2 r θ ) ε i k + 1 − r θ ( ε i + 1 k + 1 + ε i − 1 k + 1 ) = [ a ( 2 d 0 − d 1 ) + b ( c 0 − c 1 ) − 2 r ( 1 − θ ) ] ε i k                                                                                                   + r ( 1 − θ ) ( ε i + 1 k + ε i − 1 k ) + ∑ j = 1 k − 1 q j ε i k − j + q k ε i 0 . (7) 下面使用Fourier方法分析普遍性差分格式的稳定性。在此，定义网格函数 ε n ( x ) = { ε l n ， x ∈ ( x l − 1 / 2 ， x l + 1 / 2 ] ， l = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， M − 1 ， 0 ， x ∈ [ L 1 ， h / 2 ] ∪ ( L 2 − h / 2 ， L 2 ] . 对 ε n ( x ) 进行傅立叶展开： ε n ( x ) = ∑ j = − ∞ + ∞ v j n e i 2 j π x L ( i = − 1 ) ， n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， N 其中 v j n = 1 L ∫ L 1 L 2 ε n e i 2 j π x L d x ， j = ± 0 ， ± 1 ， ⋯ . 定义范数： ‖ ε n ( x ) ‖ 2 = ∑ j = 1 M − 1 h | ε j n | 2 ( ε 1 n ， ε 2 n ， ⋯ ， ε M − 1 n ) 。由于 ε 0 n = ε M n = 0 ，有 ‖ ε n ‖ 2 = ∫ L 1 L 2 | ε n ( x ) | 2 d x = ‖ ε n ( x ) ‖ 2 . 从而利用Parseval定理 ‖ ε n ( x ) ‖ 2 = L ∑ j = − ∞ + ∞ | v j n | 2 ，得出 ‖ ε n ( x ) ‖ 2 = ∑ j = 1 M − 1 h | ε j n | 2 = L ∑ j = − ∞ + ∞ | v j n | 2 ， n = 0 ， 1 ， ⋯ ， N 基于以上分析，可以假设方程误差解的形式为 ε l n = v n e i λ l h ( λ = 2 j π L ) . 当 k = 1 时， ( 2 a + b + 2 r θ − r θ e i λ h − r θ e − i λ h ) v 1 = ( 2 a + b − 2 r ( 1 − θ ) + ( 1 − θ ) r ( e i λ h + e − i λ h ) ) v 0 (8) 因 e ± i λ h = cos λ h ± i sin λ h ， sin 2 λ h 2 = − 1 4 ( e i λ h − 2 + e − i λ h ) ，可得 | v 1 | = | 2 a + b − 4 r ( 1 − θ ) sin 2 λ h 2 | | 2 a + b + 4 r θ sin 2 λ h | | v 0 | . 由 | 2 a + b − 4 r ( 1 − θ ) sin 2 λ h 2 | | 2 a + b + 4 r θ sin 2 λ h | ≤ 1 ，可得 2 r ( 1 − 2 θ ) ≤ 2 a + b ；因此，普遍性差分格式的稳定条件为：当 0 ≤ θ < 1 2 时， r ≤ 2 a + b 2 ( 1 − 2 θ ) ；当 1 2 ≤ θ ≤ 1 时，无条件稳定。 当 k > 1 时， ( a + b + 2 r θ − r θ ( e i λ h + e − i λ h ) ) v k + 1 = [ a ( 2 d 0 − d 1 ) + b ( c 0 − c 1 ) − 2 r ( 1 − θ ) + r ( 1 − θ ) ( e i λ h + e − i λ h ) ] v k + ∑ j = 1 k − 1 q j v k − j + q k v 0 (9) ( a + b + 4 r θ sin 2 λ h ) | v k + 1 | = [ a ( 2 d 0 − d 1 ) + b ( c 0 − c 1 ) − 4 r ( 1 − θ ) sin 2 λ h ] | v k | + ∑ j = 1 k − 1 q j | v k − j | + q k | v 0 | ≤ { | [ a ( 2 d 0 − d 1 ) + b ( c 0 − c 1 ) − 4 r ( 1 − θ ) sin 2 λ h ] | + ∑ j = 1 k − 1 | q j | + | q k | } | v 0 | ≤ { | [ a ( 2 d 0 − d 1 ) + b ( c 0 − c 1 ) − 4 r ( 1 − θ ) sin 2 λ h ] | + b c 1 + a ( d 0 − d 1 ) } | v 0 | ≤ | [ a + b − 4 r ( 1 − θ ) sin 2 λ h ] | | v 0 | 由 | a + b − 4 r ( 1 − θ ) sin 2 λ h 2 | | a + b + 4 r θ sin 2 λ h | ≤ 1 ，可得 2 r ( 1 − 2 θ ) ≤ 2 a + b ；此时普遍性差分格式的稳定条件为：当 0 ≤ θ < 1 2 时， r ≤ a + b 2 ( 1 − 2 θ ) ；当 1 2 ≤ θ ≤ 1 时，无条件稳定。 所以，有如下定理： 定理2：当 1 2 ≤ θ ≤ 1 时，分数阶电报方程的普遍性差分格式为无条件稳定的；当 0 ≤ θ < 1 2 且 r ≤ a + b 2 ( 1 − 2 θ ) 时，分数阶电报方程的普遍性差分格式是稳定的。 3.2. 差分格式收敛性分析 定义精确解和数值解之间的误差为 e j k = u ( x j ， t k ) − u j k   ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ; j = 1 ， 2 ， ⋯ ， M − 1 ) 和 e k = [ e 1 k ， e 2 k ， ⋯ ， e M − 1 k ] T ， R k = [ R 1 k ， R 2 k ， ⋯ ， R M − 1 k ] T . 则初始条件和边界条件为 e i 0 = 0 ， i = 0 ， 1 ， ⋯ ， M ， e 0 k = e M k = 0 ， k = 0 ， 1 ， ⋯ ， N 下面使用Fourier方法分析普遍性差分格式的收敛性。在此，定义网格函数 e k ( x ) = { 0 ， 0 ≤ x ≤ h 2 ， e j k ， x j − h 2 < x ≤ x j + h 2 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， M − 1 ， 0 ， L − h 2 < x ≤ L     ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ) 和 R k ( x ) = { 0 ， 0 ≤ x ≤ h 2 ， R j k ， x j − h 2 < x ≤ x j + h 2 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， M − 1 ， 0 ， L − h 2 < x ≤ L ，     ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ) e k ( x ) ， R k ( x ) 的Fourier展开形式为： e k ( x ) = ∑ l = − ∞ ∞ η k ( l ) e i 2 π l x / L ，其中系数 η k ( l ) = 1 L ∫ 0 L e k ( x ) e − i 2 π l x / L d x . R k ( x ) = ∑ l = − ∞ ∞ ξ k ( l ) e i 2 π l x / L ，其中系数 ξ k ( l ) = 1 L ∫ 0 L R k ( x ) e − i 2 π l x / L d x . 同样，关于离散2模，有 ‖ e k ‖ 2 2 = ∑ j = 1 M − 1 h | e j k | 2 = ∑ l = − ∞ ∞ | η k ( l ) | 2 ， (10) ‖ R k ‖ 2 2 = ∑ j = 1 M − 1 h | R j k | 2 = ∑ l = − ∞ ∞ | ξ k ( l ) | 2 . (11) 基于上面的分析，假设 e j k = η k e i σ j h ， R j k = ξ k e i σ j h ，其中 σ = 2 π m / L . { ( 2 a + b + 2 r θ ) e i 1 − r θ ( e i + 1 1 + e i − 1 1 ) = ( 2 a + b − 2 r ( 1 − θ ) ) e i 0 + ( 1 − θ ) r ( e i + 1 0 + e i − 1 0 ) + R i 1 ， ( a + b + 2 r θ ) e i k + 1 − r θ ( e i + 1 k + 1 + e i − 1 k + 1 ) = [ a ( 2 d 0 − d 1 ) + b ( c 0 − c 1 ) − 2 r ( 1 − θ ) ] e i k                                                                                                 + r ( 1 − θ ) ( e i + 1 k + e i − 1 k ) + ∑ j = 1 k − 1 q j e i k − j + q k e i 0 + R i k + 1 . (12) 其中 | R i k | ≤ K ( τ 2 − α + h 2 ) . 引理1：设 η k ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ) 是方程(10)的解，存在一个正数 c 2 ，使得 | η k | ≤ c 2 a k − 1 − 1 ξ 1 ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， N . 证明由定义，可知 e 0 = 0 ，有 η 0 ≡ η 0 ( m ) = 0. 另外，有 ‖ R k ‖ 2 ≤ c 1 L ( τ 2 − α + h 2 ) ， (13) (11)式等式右边的系数数列是收敛的，因此存在一个正数 c 2 使得 | ξ k | ≡ | ξ k ( m ) | ≤ c 2 ξ 1 ≡ c 2 | ξ 1 ( m ) | ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， N . (14) 因此有 | ξ k | ≤ c 2 ξ 1 ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， N . 参考稳定性证明，使用数学归纳法可得 当 k = 1 时，有 ( 2 a + b + 2 r θ ) e i 1 − r θ ( e i + 1 1 + e i − 1 1 ) = ( 2 a + b − 2 r ( 1 − θ ) ) e i 0 + ( 1 − θ ) r ( e i + 1 0 + e i − 1 0 ) + R i 1 ， | η 1 | = 1 | 2 a + b + 4 r θ sin 2 λ h | ξ 1 ≤ q 0 − 1 ξ 1 . 当 k > 1 时， ( a + b + 2 r θ ) e i k + 1 − r θ ( e i + 1 k + 1 + e i − 1 k + 1 ) = [ a ( 2 d 0 − d 1 ) + b ( c 0 − c 1 ) − 2 r ( 1 − θ ) ] e i k + r ( 1 − θ ) ( e i + 1 k + e i − 1 k ) + ∑ j = 1 k − 1 q j e i k − j + q k e i 0 + R i k + 1 ( a + b + 4 r θ sin 2 λ h ) | η k + 1 | = [ a ( 2 d 0 − d 1 ) + b ( c 0 − c 1 ) − 4 r ( 1 − θ ) sin 2 λ h ] | η k | + ∑ j = 1 k − 1 q j | η k − j | + | R k |                                                                     ≤ { | [ a ( 2 d 0 − d 1 ) + b ( c 0 − c 1 ) − 4 r ( 1 − θ ) sin 2 λ h ] | q k − 1 + ∑ j = 1 k − 1 | q j | q k − j − 1 + 1 } c 2 | ξ 1 |                                                                     ≤ { | [ a ( 2 d 0 − d 1 ) + b ( c 0 − c 1 ) − 4 r ( 1 − θ ) sin 2 λ h ] | + ∑ j = 1 k − 1 | q j | + q k } c 2 q k − 1 | ξ 1 |                                                                     ≤ { | [ a ( 2 d 0 − d 1 ) + b ( c 0 − c 1 ) − 4 r ( 1 − θ ) sin 2 λ h ] | + b c 1 + a ( d 0 − d 1 ) } c 2 q k − 1 | ξ 1 |                                                                     ≤ | [ a + b − 4 r ( 1 − θ ) sin 2 λ h ] | c 2 q k − 1 | ξ 1 | 即 | η k + 1 | ≤ | a + b − 4 r ( 1 − θ ) sin 2 λ h | a + b + 4 r θ sin 2 λ h c 2 q k − 1 | ξ 1 | ≤ c 2 q k − 1 | ξ 1 | ， lim n → ∞ c n − 1 n α = lim n → ∞ n − α n 1 − α − ( n − 1 ) 1 − α = lim n → ∞ n − 1 1 − ( 1 − 1 n ) 1 − α = 1 1 − α ， 由 q k = a ( 2 d k − d k − 1 ) + c k = τ − 2 α Γ ( 3 − 2 α ) ( 2 d k − d k − 1 ) + τ − α Γ ( 2 − α ) c k ，可知 q k − 1 n α ≤ c k − 1 n α ， lim n → ∞ q k − 1 n α ≤ lim n → ∞ c k − 1 n α = 1 1 − α . 则存在正常数 C 1 ，使得 | η k + 1 | ≤ c 2 q k − 1 | ξ 1 | ≤ ( k τ ) α Γ ( 2 − α ) c k k α c 2 | ξ 1 | ≤ T α ( 1 − α ) Γ ( 2 − α ) c 2 | ξ 1 | = C 1 | ξ 1 | ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， N . 其中 C 1 = T α ( 1 − α ) Γ ( 2 − α ) c 2 . 同稳定性分析，由 | a + b − 4 r ( 1 − θ ) sin 2 λ h | a + b + 4 r θ sin 2 λ h ≤ 1 可知，普遍性差分格式的收敛条件为： 当 0 ≤ θ < 1 2 时， r ≤ a + b 2 ( 1 − 2 θ ) ；当 1 2 ≤ θ ≤ 1 时，无条件收敛。 综上，可有 定理3：当 1 2 ≤ θ ≤ 1 时，分数阶电报方程的普遍性差分格式是无条件收敛的，收敛阶是 O ( τ 2 − α + h 2 ) ；当 0 ≤ θ < 1 2 时，分数阶电报方程的普遍性差分格式收敛的条件是 r ≤ a + b 2 ( 1 − 2 θ ) .