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user: 4. 仿生粘附式尺蠖机器人运动学建模 常见的机器人运动学建模方法有齐次变换法、矢量法、旋转法和四元数法等。本文采用其次变换法进行运动学建模，将运动、变换和映射与矩阵联系起来，运用基础矩阵转换知识便可求解问题 [ 9 ] 。在传统D-H矩阵变换法的基础上，对存在冗余度的逆运动学解进行分析，详细地分析了不同情况下逆运动学解的形式，并给出了解析解的具体表达形式了。此外，还对逆运动学方程中解的耦合性问题进行了分析。 尺蠖机器人运动学建模包括坐标系建立、正运动学问题求解和逆运动学问题求解三个过程。 4.1. 坐标系建立 采用建立杆件坐标系的D-H方法建立坐标系，首先要进行的是尺蠖机器人关节和杆件的编号。编号顺序从左脚底部开始，依次往后。杆件的编号从0到6，一共7个杆件；关节编号从1到6，一共6个关节，且各个关节均为转动关节。 在杆件编号完成后，根据D-H方法建立尺蠖机器人的杆件坐标系如图10所示。坐标系的建立顺序从左脚开始，依次往后，一共有7个坐标系。 4.2. 运动学方程推导 4.2.1. D-H参数的建立 在杆件坐标系建立完成以后，为了确定相邻坐标系 i − 1 和 i 之间的位置和姿态关系，建立尺蠖机器人的D-H参数如表2所示。 4.2.2. 仿生粘附式尺蠖机器人的正运动学 尺蠖机器人的正运动学研究是在已知各个关节转角的情况下，推导出尺蠖机器人末端执行器(即摆动脚)相对另一吸盘的位置和姿态关系。 由连续相对运动时的齐次变换矩阵的求法知相邻坐标系之间的变换矩阵为： A i − 1 i = T r a n s z ( d i ) R o t z ( θ i ) T r a n s x ( a i ) R o t x ( α i ) = [ cos θ i − cos α i sin θ i sin α i sin θ i a i cos θ i sin θ i cos α i cos θ i − sin α i cos θ i a i sin θ i 0 sin α i cos α i d i 0 0 0 1 ] (4-1) 图10. 尺蠖机器人坐标系 Table 2 D-H parameter table of inchworm-like robo i a i α i d i θ i 1 a 1 −90˚ 0 θ 1 2 a 2 0 0 θ 2 3 a 1 0 0 θ 3 4 a 1 0 0 θ 4 5 a 1 −90˚ 0 θ 5 6 0 0 0 θ 6 表2. 尺蠖机器人D-H参数表 求得尺蠖机器人相邻坐标系之间的转换矩阵 A 0 1 、 A 1 2 、 A 2 3 、 A 3 4 、 A 4 5 、 A 5 6 后，可以求得尺蠖机器人的左脚和右脚上坐标系之间的转换矩阵为： A 0 6 = A 0 1 A 1 2 A 2 3 A 3 4 A 4 5 A 5 6 = [ s 1 s 6 + c 1 c 6 c 2345     s 1 c 6 − c 1 s 6 c 2345 − c 1 s 6 + s 1 c 6 c 2345     − c 1 c 6 − s 1 s 6 c 2345 − c 6 s 2345         s 6 s 2345 0                   0           0     − c 1 s 2345     a 1 c 1 + a 2 c 1 c 2 + a 3 c 1 c 23 + a 4 c 1 c 234 + a 5 c 1 c 2345 a 1 s 1 + a 2 s 1 c 2 + a 3 s 1 c 23 + a 4 s 1 c 234 + a 5 s 1 c 2345 − a 2 s 2 − a 3 s 23 − a 4 s 234 − a 5 s 2345 1 ] (4-2) 式中： s i = sin θ i 、 c i = cos θ i 、 s i j ⋯ n = sin ( θ i + θ j + ⋯ + θ n ) 、 c i j ⋯ n = cos ( θ i + θ j + ⋯ + θ n ) 。 4.2.3. 仿生粘附式尺蠖机器人的逆运动学 仿生粘附式尺蠖机器人的逆运动学实际上就是在已知机器人的姿态(即左右脚的相对位姿关系)的情况下，寻找一种或者多种能够满足该姿态的关节转角 [ 9 ] 。本论文种的尺蠖机器人有6个转动关节，明显存在冗余自由度，理论上来讲逆运动学问题具有无穷多解。下面对尺蠖机器人的逆运动学方程进行推导： 设右脚相对左脚(即坐标系 O 6 X 6 Y 6 Z 6 相对坐标系 O 0 X 0 Y 0 Z 0 )的转换矩阵为 A 0 6 = [ x ^ 1 y ^ 1 z ^ 1 p 1 x ^ 2 y ^ 2 z ^ 2 p 1 x ^ 3 y ^ 3 z ^ 3 p 3 0 0 0 1 ] ，两边同时乘以 A 0 1 − 1 = [ cos θ 1 sin θ 1 0 − a 1 0 0 − 1 0 − sin θ 1 cos θ 1 0 0 0 0 0 1 ] ，得到 A 0 1 − 1 A 0 6 ，该矩阵与矩阵 A 1 2 A 2 3 A 3 4 A 4 5 A 5 6 是等价的， 利用两个矩阵对应元素相等，通过反三角函数的计算，可以求得逆运动学的解为： q 1 = θ 1 = arctan 2 ( − z ^ 1 z ^ 2 ) ± arctan 2 ( ( − z ^ 1 ) 2 + z ^ 2 2 − 0 0 ) = arctan 2 ( − z ^ 1 z ^ 2 ) ± π 2 (4-3) 解得 q 1 = θ 1 有两个解，角度上相差 π 。 q 6 = θ 6 = arctan 2 ( x ^ 2 cos θ 1 − x ^ 1 sin θ 1 y ^ 2 cos θ 1 − y ^ 1 sin θ 1 ) (4-4) 由于 q 1 = θ 1 有两个解，故 q 6 = θ 6 相应地也有两个解。 q 3 = θ 3 = arctan 2 ( K 1 K 2 ) ± arctan 2 ( K 1 2 + K 2 2 − K 3 2 K 3 ) (4-5) 其中： K 1 = − 2 a 2 a 4 sin θ 4 ， K 2 = 2 a 2 ( a 3 + a 4 cos θ 4 ) ， K 3 = A 2 + B 2 − a 2 2 − ( a 3 + a 4 cos θ 4 ) 2 − a 4 2 sin θ 4 2 A = a 2 cos θ 2 + a 3 cos ( θ 2 + θ 3 ) + a 4 cos ( θ 2 + θ 3 ) cos θ 4         − a 4 sin ( θ 2 + θ 3 ) sin θ 4   = a 2 cos θ 2 + ( a 3 + a 4 cos θ 4 ) cos ( θ 2 + θ 3 )       − a 4 sin θ 4 sin ( θ 2 + θ 3 ) B = a 2 sin θ 2 + a 3 sin ( θ 2 + θ 3 ) + a 4 sin ( θ 2 + θ 3 ) cos θ 4       + a 4 cos ( θ 2 + θ 3 ) sin θ 4   = a 2 sin θ 2 + ( a 3 + a 4 cos θ 4 ) sin ( θ 2 + θ 3 )       + a 4 sin θ 4 cos ( θ 2 + θ 3 ) 需要注意的是： 1) 只有当 K 1 2 + K 2 2 ≥ K 3 2 时 q 3 才有解。当不满足此式时，所给出的位姿不在尺蠖机器人的运动范围内。 2) q 3 有两个解，分别对应尺蠖机器人关节3的两种状态。 q 2 = θ 2 = arctan 2 ( K ′ 1 K ′ 2 ) ± arctan 2 ( K ′ 1 2 + K ′ 2 2 − K ′ 3 2 K ′ 3 ) (4-6) 其中， K ′ 1 = B 、 K ′ 2 = A 、 K ′ 3 = − A 2 − B 2 − a 2 2 + ( a 3 + a 4 cos θ 4 ) 2 + a 4 2 sin θ 4 2 2 a 2 需要注意的是： 1) 只有当 K ′ 1 2 + K ′ 2 2 ≥ K ′ 3 2 时 q 2 才有解。当不满足此式时，所给出的位姿不在尺蠖机器人的运动范围内。 2) q 2 有两个解，着分别对应尺蠖机器人关节2的两种状态。 此外，还存在角度关系： θ 2 + θ 3 + θ 4 + θ 5 = arctan 2 ( z ^ 1 cos θ 1 + z ^ 2 sin θ 1 z ^ 3 ) (4-7) 由于 q 1 = θ 1 有两个解，故 θ 2 + θ 3 + θ 4 + θ 5 也对应有两个解。 在 θ 2 + θ 3 + θ 4 + θ 5 中： 1) q 4 = θ 4 为假设的已知值， q 2 = θ 2 和 q 3 = θ 3 分别有两个解，则 ( θ 2 ， θ 3 ， θ 4 ) 有四组解 2) θ 2 + θ 3 + θ 4 + θ 5 有两个解，故 θ 5 有8个解， ( θ 2 ， θ 3 ， θ 4 ， θ 5 ) 有8组解。 由以上的分析可以得出仿生粘附式尺蠖机器人逆运动学的相关结论如下：本论文中的仿生粘附式尺蠖机器人具有冗余的自由度，满足尺蠖机器人位姿的机器人关节转角有无数多种组合。当指定机器人的关节4的转角 q 4 = θ 4 为指定值时，可以解算得到有限的逆运动学的解为： q 1 = θ 1 有两个解，对应 q 6 = θ 6 的两个解，此外，每一组解 ( θ 1 ， θ 6 ) 对应4组解 ( θ 2 ， θ 3 ， θ 4 ， θ 5 ) ，故 ( θ 1 ， θ 2 ， θ 3 ， θ 4 ， θ 5 ， θ 6 ) 一共有8组解。