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user: 2. 泛函设置 设 Ω ∈ ℝ 3 是具有光滑边界的有界开集，Sobolev空间 W 0 1 ， 2 ( Ω ) 的范数为 ‖ u ‖ 1 ， 2 = ( ∫ Ω | ∇ u | 2 d x ) 1 2 Lebesgue空间 L p ( Ω )   ( p ≥ 1 ) 的范数为 接下来介绍一些本文用到的结论。 引理2.1 (Hardy-Littlewood-Sobolev不等式) 令 t ， r > 1 且 0 < μ < N 使得 1 r + μ N + 1 t = 2 。若 f ∈ L r ( ℝ N ) 且 h ∈ L t ( ℝ N ) 。则存在一个与 都无关的常数 C ( r ， N ， μ ， t ) > 0 ，使得 ∬ ℝ 2 N f ( x ) h ( y ) | x − y | μ d x d y ≤ C ( r ， N ， μ ， t ) ‖ f ‖ r ‖ h ‖ t 引理2.2 ( [ 1 ] ， Theorem1.1) 设X是实Banach空间， X = Y ⊕ Z 其中 Y ≠ 0 维数有限。假设 J ∈ C 1 ( X ， ℝ ) 有下界，并且满足 (R) ∃ R > 0 s . t . max u ∈ ∂ B Y ( R ) J ( u ) < inf u ∈ Z J (u) (PS) 对任意的序列 { u n } ⊂ X 使得 { J ( u n ) } ⊂ ℝ 有界，并且 ‖ J ′ ( u n ) ‖ X ∗ → 0 有收敛子列。 则J至少有三个临界点。 经过计算可以推出方程(1.3)相应的能量泛函为 J ( u ) = 1 2 ∫ Ω | ∇ u | 2 d x − β 2 ∫ Ω ( 1 | x | μ ∗ F ( u ) ) F ( u ) d x − λ 2 ∫ Ω | u | 2 d x + 1 p ∫ Ω | u | p d x − 1 2 ∫ Ω | h ( x ) | 2 d x 引理2.3 设 h ∈ L 2 ( Ω ) ，则泛函J满足： a) J ∈ C 1 ( W 0 1 ， 2 ( Ω ) ， ℝ ) 并且满足 〈 J ′ ( u ) ， φ 〉 = ∫ Ω ∇ u ∇ φ d x − β ∫ Ω ( 1 | x | μ ∗ F ( u ) ) f ( u ) φ d x − λ ∫ Ω u φ d x + ∫ Ω | u | p − 2 u φ d x − ∫ Ω h ( x ) φ d x 其中 u ， φ ∈ W 0 1 ， 2 ( Ω ) 。 b) u ∈ W 0 1 ， 2 ( Ω ) 是(1.3)的弱解，当且仅当 u ∈ W 0 1 ， 2 ( Ω ) 是J的临界点。 由上述引理可知，想要证明定理1.1只需证明J有至少三个临界点。 引理2.4 设 h ∈ L 2 ( Ω ) 则泛函J在 W 0 1 ， 2 ( Ω ) 上弱强制，即当 ‖ u ‖ 1 ， 2 → ∞ 时，有 且J有下界。 证明：根据(f 1 )以及(f 2 )可以得出，对任意的 ξ > 0 存在 C ξ > 0 使得下式成立 f ( t ) ≤ ξ | t | + C ξ | t | q − 1 ， F ( t ) ≤ ξ | t | 2 + C ξ | t | q (2.1) 根据(2.1)以及引理2.1，可以推出下面不等式成立 | ∫ Ω ( 1 | x | μ ∗ F ( u ) ) F ( u ) d x | ≤ C ‖ F ( u ) ‖ t ‖ F ( u ) ‖ t ≤ C ( ∫ Ω ( | u | 2 + | u | q ) t d x ) 2 t ≤ C ( ‖ u ‖ 2 t 4 + ‖ u ‖ q t 2 q ) (2.2) 其中 t = 6 6 − μ 。注意到 t < 2 则有 2 t < p ， t q < 2 q < p 。故结合(2.1)和(2.2)式可以推出 J ( u ) = 1 2 ∫ Ω | ∇ u | 2 d x − β 2 ∫ Ω ( 1 | x | μ ∗ F ( u ) ) F ( u ) d x − λ 2 ∫ Ω | u | 2 d x     + 1 p ∫ Ω | u | p d x − 1 2 ∫ Ω | h ( x ) | 2 d x ≥ 1 2 ‖ u ‖ 1 ， 2 2 − C ( ‖ u ‖ 2 t 4 + ‖ u ‖ q t 2 q ) − λ 2 ‖ u ‖ 2 2 + 1 p ‖ u ‖ p p − 1 2 ‖ h ‖ 2 2 ≥ 1 2 ‖ u ‖ 1 ， 2 2 − C ( ‖ u ‖ p 4 + ‖ u ‖ p 2 q + λ 2 ‖ u ‖ p 2 ) + 1 p ‖ u ‖ p p − 1 2 ‖ h ‖ 2 2 (2.3) 当 ‖ u ‖ 1 ， 2 → ∞ 时，有以下两种情况: i) 若 ‖ u ‖ p 有界，则有 J ( u ) → ∞ 。 ii) 若 ‖ u ‖ p → ∞ ，则由 p > 2 q 以及 p > 4 可知~ J ( u ) → ∞ 。 故J是弱强制的。此外，由(2.3)式可推出 J ( u ) ≥ − C ( ‖ u ‖ p 4 + ‖ u ‖ p 2 q + λ 2 ‖ u ‖ p 2 ) + 1 p ‖ u ‖ p p − 1 2 ‖ h ‖ 2 2 不等式右边是与 ‖ u ‖ p 有关的函数，又因为 p > 2 q 且 p > 4 ，所以不等式右边是有下界的，故出J有下界。 因为J是 C 1 且下方有界，由文献 [ 10 ] 知J存在PS序列。又因为J是弱强制的，所以PS序列 { u n } 有界，因此有下面引理成立。 引理2.5 如果序列 { u n } ⊂ W 0 1 ， 2 ( Ω ) 有界且 J ′ ( u n ) → 0 ，则 { u n } 有收敛子列。 证明：由 { u n } ⊂ W 0 1 ， 2 ( Ω ) 有界可知，在子列意义下有 u n → 弱 u 于 W 0 1 ， 2 ， u n → u 于 L t ( Ω ) ∀ t ∈ [ 1 ， 2 ∗ ) 注意到 o n ( 1 ) = 〈 J ′ ( u n ) ， u n 〉 = ‖ u n ‖ 1 ， 2 2 − β ∫ Ω ( 1 | x | μ ∗ F ( u n ) ) f ( u n ) u n d x     − λ ∫ Ω u n 2 d x + ∫ Ω | u n | p d x − ∫ Ω h ( x ) u n d x 故 ‖ u n ‖ 1 ， 2 2 = β ∫ Ω ( 1 | x | μ ∗ F ( u n ) ) f ( u n ) u n d x + λ ‖ u n ‖ 2 2 − ‖ u n ‖ p p + ∫ Ω h ( x ) u n d x + o n ( 1 ) (2.4) 此外 故 ‖ u ‖ 1 ， 2 2 = β ∫ Ω ( 1 | x | μ ∗ F ( u n ) ) f ( u n ) u d x + λ ‖ u ‖ 2 2 − ‖ u ‖ p p + ∫ Ω h ( x ) u d x + o n ( 1 ) (2.5) 因为 { u n } 有界，由(f 1 )-(f 2 )，引理2.1以及Hölder不等式可得出 | ∫ Ω ( 1 | x | μ ∗ F ( u n ) ) f ( u n ) u n d x − ∫ Ω ( 1 | x | μ ∗ F ( u n ) ) f ( u n ) u d x | ≤ ∫ Ω ( 1 | x | μ ∗ | F ( u n ) | ) | f ( u n ) | | u n − u | d x ≤ C ( ∫ Ω | F ( u n ) | t d x ) 1 t ( ∫ Ω | f ( u n ) | t | u n − u | t d x ) 1 t ≤ C ( ∫ Ω ( ξ | u n | + C ξ | u n | q − 1 ) t | u n − u | t d x ) 1 t ≤ C ( ∫ Ω | u n | t | u n − u | t d x + ∫ Ω | u n | ( q − 1 ) t | u n − u | t d x ) 1 t ≤ C ( ( ∫ Ω | u n − u | 2 t d x ) 1 2 + ( ∫ Ω | u n − u | q t d x ) 1 q ) 1 t = o n (1) 其中 t = 6 6 − μ 。结合(2.4)，(2.5)和(2.6)式可知 ‖ u n ‖ 1 ， 2 → ‖ u ‖ 1 ， 2 。又因为 u n → 弱 u 于 W 0 1 ， 2 ( Ω ) ，所以有 u n → u 于 W 0 1 ， 2 ( Ω ) 。