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user: 3. 超环上的矩阵及其理想 设 ( R ， + ， ⋅ ) 是一个Krasner (Salvo)超环。 定义3.1 集合 { A = ( a i j ) m × n | a i j ∈ R ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n } 称为R上的全矩阵集，记为 M m × n ( R ) 。 若 A ∈ M m × n ( R ) ，用 [ A ] i j 表示A的第i行第j列的元素。在 M m × n ( R ) 上定义超加法如下： A + B = { C | [ C ] i j ∈ [ A ] i j + [ B ] i j ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n } 。 若 r ∈ R ，可以定义r与A的数量积如下： [ r A ] i j = r [ A ] i j . ( r A = { C | [ C ] i j ∈ r [ A ] i j ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n } ) 若 A ∈ M m × n ( R ) ， B ∈ M n × l ( R ) ，可以定义A与B的超乘法如下： A B = { C | [ C ] i j ∈ ∑ k = 1 n [ A ] i k [ B ] k j ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， l } 。 当 m = n = l 时，上面定义的矩阵的乘法是 M n × n ( R ) 上的超乘法，即 M n × n ( R ) 中两个矩阵的乘积是它的一个非空子集。 关于准超环，文献 [ 6 ] 有如下结论： 引理3.2 [6，命题1.5]若 ( R ， + ， ⋅ ) 是一个准超环，则 M n × n ( R ) 在上面定义的超加法和超乘法运算下也是一个准超环。 定理3.3 设 ( R ， + ， ⋅ ) 是一个Krasner超环，则 M n × n ( R ) 是一个准超环。 证明：由命题2.2(4)，Krasner超环是准超环。再由引理3.2， M n × n ( R ) 是一个准超环。 命题3.4 设I是Krasner超环R的一个超理想，那么 M n × n ( I ) = { A ∈ M n × n ( R ) | [ A ] i j ∈ I ， ∀ i ， j = 1 ， ⋯ ， n } 是准超环 M n × n ( R ) 的超理想。 证明： ∀ A ， B ∈ M n × n ( I ) ，则有 [ A ] i j ， [ B ] i j ∈ I ， i ， j = 1 ， ⋯ ， n 。从而， [ A ] i j − [ B ] i j ∈ I 。这表明： A − B ∈ M n × n ( I ) 。而 ∀ C ∈ M n × n ( R ) ，显然有 A C ， C A ∈ M n × n ( I ) ，所以 M n × n ( I ) 是 M n × n ( R ) 的超理想。 下面我们证明 M n × n ( R ) 的超理想都具有命题3.4中 M n × n ( I ) 这种形式，即对 M n × n ( R ) 的每个超理想 U ，我们都存在R的一个超理想I，使得 U = M n × n ( I ) 。 先定义一类特殊矩阵 E i j ： E i j = { 1 ， 若 ( p ， q ) = ( i ， j ) 0 ， 其 他 ∀ A ∈ M m × n ( R ) ，显然有 A = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n [ A ] i j E i j 。 引理3.5 关于特殊矩阵 E i j ，有如下性质： 1) E i j E k l = { E i l ， 若   j = k O ，       若   j ≠ k ； 2) 设 A = ( a i j ) ∈ M n × n ( R ) ，则 ∀ p ， q = 1 ， ⋯ ， n ，有 A E p q = [ 0 ⋯ 0 a 1 p 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 a 2 p 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 a n p 0 ⋯ 0 ] 第 q 列 ； 3) 设 A = ( a i j ) ∈ M n × n ( R ) ，则 ∀ p ， q = 1 ， ⋯ ， n ，有 E p q A = [ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 a q 1 a q 2 ⋯ a q n 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ] 第 p 行 ； 4) 设 A = ( a i j ) ∈ M n × n ( R ) ，则 ∀ k ， s ， p ， q = 1 ， ⋯ ， n ，有 E k s A E p q = a s p E k q 。 证明：直接验证可得。 定理3.6 设R是Krasner超环， U 是准超环 M n × n ( R ) 的一个超理想，则存在R的唯一的超理想I，使得 U = M n × n ( I ) 。 证明：令 I = { r ∈ R | r   是 U     中 矩 阵 的 元 素 } 。 1) 先证I是R的超理想。 ∀ a ， b ∈ I ，存在 A ， B ∈ U ，使得 a ， b 分别是矩阵 A ， B 的元素，设 a = [ A ] k p ， b = [ B ] s q ，其中 k ， p ， s ， q ∈ { 1 ， ⋯ ， n } 。由引理3.5， a − b = { [ C ] k q | C ∈ A E p q − E k s B } 。而 A E p q − E k s B ⊆ U ，所以 a − b ⊆ I 。 ∀ a ∈ I ， r ∈ R ，存在 A ∈ U ，使得a是矩阵A的元素，设 a = [ A ] k p ，其中 k ， p ∈ { 1 ， ⋯ ， n } 。注意到 r a = [ r E A ] k p 。而 r E A ∈ U ，因此 r a ∈ I 。所以I是R的超理想。 2) 再证 U = M n × n ( I ) 。 显然 U ⊆ M n × n ( I ) 。下证反包含关系。设 A = ( a i j ) ∈ M n × n ( I ) ，那么 a i j ∈ I ， ∀ i ， j = 1 ， ⋯ ， n ，同时也有 A = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j E i j 。由于 a i j ∈ I ，所以存在矩阵 B ∈ U ，存在 p ， q ∈ { 1 ， ⋯ ， n } 。使得 a i j = [ B ] p q ，由引理3.5(4)，有 a i j E i j = [ B ] p q E i j = E i p B E q j ∈ U 。 从而 A = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j E i j ∈ U 。所以 U = M n × n ( I ) 。 3) 最后证明超理想I的唯一性，即证：若存在R的超理想J，使得 U = M n × n ( J ) ，则 I = J 。 由I的定义，显然有 J ⊆ I 。 ∀ a ∈ I ，存在矩阵 B ∈ U ，存在 p ， q ∈ { 1 ， ⋯ ， n } ，使得 a = [ B ] p q ，由引理3.5(4)，有 a E 11 = [ B ] p q E 11 = E 1 p B E q 1 ∈ U = M n × n ( J ) 。 因此， a ∈ J ，于是 I ⊆ J 。所以 I = J 。 把R与 M n × n ( R ) 的理想的集合分别记为 I ( R ) 与 I ( M n × n ( R ) ) ，由命题3.4和定理3.6的证明过程，有如下结论： 定理3.7 设R是Krasner超环，则 f : I ( R ) → I ( M n × n ( R ) ) ， I ↦ M n × n ( I ) 是 I ( R ) 到 I ( M n × n ( R ) ) 的双射。 由定理3.7可直接得到如下推论。 推论3.8 设R是Krasner超环，则R是单超环当且仅当 M n × n ( R ) 是单超环。 推论3.9 设R是Krasner超环，则R是素超环当且仅当 M n × n ( R ) 是素超环。 证明：“必要性”设R是素超环。若存在 U ， V ∈ I ( M n × n ( R ) ) ，使得 U V ⊆ ( 0 ) 。由定理3.7，存在 I ， J ∈ I ( R ) ，使得 U = M n × n ( I ) ， V = M n × n ( J ) 。因此， M n × n ( I ) M n × n ( J ) ⊆ ( 0 ) 。 ∀ a ∈ I ， b ∈ J ，注意到 a b E 11 = ( a E 11 ) ( b E 11 ) ⊆ M n × n ( I ) M n × n ( J ) ⊆ ( 0 ) 。于是， a b = 0 ，由 a ， b 的任意性 I J ⊆ ( 0 ) 。由于R是素超环，我们有 I ⊆ ( 0 ) 或 J ⊆ ( 0 ) 。从而 M n × n ( I ) ⊆ ( 0 ) 或 M n × n ( J ) ⊆ ( 0 ) ，即 U ⊆ ( 0 ) 或 V ⊆ ( 0 ) 。所以 M n × n ( R ) 是素超环。 “充分性”设 M n × n ( R ) 是素超环。若存在 I ， J ∈ I ( R ) ，使得 I J ⊆ ( 0 ) 。此时，显然有 M n × n ( I ) M n × n ( J ) ⊆ ( 0 ) 。由于 M n × n ( R ) 是素超环，有 M n × n ( I ) ⊆ ( 0 ) 或 M n × n ( J ) ⊆ ( 0 ) 。从而有 I ⊆ ( 0 ) 或 J ⊆ ( 0 ) 。所以R是素超环。