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user: 3. 永磁同步电机模型的处理 据上述推导关系知，系统(3)在 E 0 ( 0 ， 0 ， 0 ) 处的性质等价系统(2)在平衡点 E 1 ( w 1 * ， i d 1 * ， i q 1 * ) 的性质，我们可把系统(2)在 E 1 的稳定性转化为系统(3)在 E 0 处的来讨论。模型(3)的特征方程为： λ 3 + p λ 2 + q λ + l = 0 (4) 其中： p = − α 1 − β 2 − γ 3 ， q = α 1 β 2 + α 1 γ 3 − α 3 γ 1 + β 2 γ 3 − β 3 γ 2 l = α 1 β 3 γ 2 − α 2 β 3 γ 1 − α 1 β 2 γ 3 + α 3 β 2 γ 1 求得方程(4)的特征值为： λ 1 ， 2 = ε 2 ± − l p + ε − ε 2 4 ， λ 3 = − p − ε 令 q 0 = − l p ， q = q 0 + ε ( p + ε ) 2 − l p p + ε ，当参数 ε 趋近于零时， ， lim ε → 0 λ 3 = − p − ε = − p 此时点 E 0 ( 0 ， 0 ， 0 ) 将退化为系统(3)的临界焦点，具有局部不变流行的性质。 令 x 1 ， x 2 ， x 3 与 μ ， η ， ζ 的关系式如下： x 1 = μ + ζ x 2 = ε 2 β 2 − l p + ε β 2 2 + ε β 2 − l p + ε μ + β 2 − l p + ε − ε 2 4 β 2 2 + ε β 2 − l p + ε η + p + ε − α 1 − p − ε + β 2 ζ x 3 = ε 2 β 2 γ 3 − l p + ε ( ε 2 + β 2 + γ 3 ) [ β 2 2 + ε β 2 − l p + ε ] [ γ 2 2 + ε γ 2 − l p + ε ] μ + ( β 2 γ 3 + l p + ε ) − l p + ε − ε 2 4 [ β 2 2 + ε β 2 − l p + ε ] [ γ 2 2 + ε γ 2 − l p + ε ] η     + β 3 ( p + ε − α 1 ) ( − p − ε + β 2 ) ( − p − ε + γ 3 ) ζ 则系统(3)可变为： { d μ d t = ε 2 μ − − l p + ε − ε 2 4 η + f 1 ( μ ， η ， ζ ) + σ [ m 7 μ + m 8 η + m 9 ζ ] ξ ( t ) d η d t = − l p + ε − ε 2 4 μ + ε 2 η + f 2 ( μ ， η ， ζ ) + σ [ n 7 μ + n 8 η + n 9 ζ ] ξ ( t ) d ζ d t = − ( p + ε ) ζ + f 3 ( μ ， η ， ζ ) + σ [ r 7 μ + r 8 η + r 9 ζ ] ξ ( t ) (5) 其中： f 1 ( μ ， η ， ζ ) = m 1 μ 2 + m 2 μ η + m 3 μ ζ + m 4 η 2 + m 5 η ζ + m 6 ζ 2 f 2 ( μ ， η ， ζ ) = n 1 μ 2 + n 2 μ η + n 3 μ ζ + n 4 η 2 + n 5 η ζ + n 6 ζ 2 f 3 ( μ ， η ， ζ ) = r 1 μ 2 + r 2 μ η + r 3 μ ζ + r 4 η 2 + r 5 η ζ + r 6 ζ 2 此时系统(3)在原点附近具有局部不变流行： w l o c c ( o ) = { ( μ ， η ， ζ ) | ζ = h ( μ ， η ) ， | μ | + | η | ≤ 1 ， h ( 0 ， 0 ) = h μ ( 0 ， 0 ) = h η ( 0 ， 0 ) = 0 } 对系统(5)降维可近似表示为下式： { d μ d t = ε 2 μ − − l p + ε − ε 2 4 η + ψ ( μ ， η ) + σ [ m 7 μ + m 8 η + m 9 ζ ] ξ ( t ) d η d t = − l p + ε − ε 2 4 μ + ε 2 η + Φ ( μ ， η ) + σ [ n 7 μ + n 8 η + n 9 ζ ] ξ ( t ) (6) 其中： ψ ( μ ， η ) = m 1 μ 2 + m 2 μ η + m 3 μ h + m 4 η 2 + m 5 η h + m 6 h 2 Φ ( μ ， η ) = n 1 μ 2 + n 2 μ η + n 3 μ h + n 4 η 2 + n 5 η h + n 6 h 2 且h满足 ζ 的全微分 ζ ˙ = h μ μ ˙ + h η η ˙ ，所以将 ζ 的全微分代入(6)式得， h μ μ ˙ + h η η ˙ = h μ ( ε 2 μ − − l p + ε − ε 2 4 η + ψ ( μ ， η ) + σ [ m 7 μ + m 8 η + m 9 ζ ] ξ ( t ) )     + h η ( − l p + ε − ε 2 4 μ + ε 2 η + Φ ( μ ， η ) + σ [ n 7 μ + n 8 η + n 9 ζ ] ξ ( t ) ) = − ( p + ε ) h + r 1 μ 2 + r 2 μ η + r 3 μ ζ + r 4 η 2 + r 5 η ζ + r 6 ζ 2 + σ [ r 7 μ + r 8 η + r 9 ζ ] ξ (t) 我们要求解的中心流形可用下式来逼近： h ( μ ， η ) = h 1 μ 2 + h 2 μ η + h 3 μ σ ξ ( t ) + h 4 η 2 + h 5 η σ ξ ( t ) + h 6 σ 2 ξ ( t ) 2 + ⋯ 代入上述方程两边相同幂系数合并得： h 1 = p 2 r 1 + 2 q ( r 1 + r 4 ) − p q r 2 p ( 4 q + p 2 ) ，     h 2 = 2 q ( r 1 − r 4 ) + p r 2 4 q + p 2 ，     h 3 = p r 7 − q r 8 p 2 + q h 4 = p 2 r 4 + 2 q ( r 1 + r 4 ) + p q r 2 p ( 4 q + p 2 ) ，     h 5 = p r 8 − q r 7 p 2 + q ，     h 6 = 0 忽略高阶项，可进一步得到系统(7) { d μ d t = − p η + m 1 μ 2 + m 2 μ η + m 3 h 1 μ 3 + ( m 3 h 2 + m 5 h 1 ) μ 2 η                 + ( m 3 h 4 + m 5 h 2 ) μ η 2 + m 5 h 4 η 3 + σ ( m 7 μ + m 8 η ) ξ ( t ) d η d t = p μ + n 1 μ 2 + n 2 μ η + n 3 h 1 μ 3 + ( n 3 h 2 + n 5 h 1 ) μ 2 η                 + ( n 3 h 4 + n 5 h 2 ) μ η 2 + n 5 h 4 η 3 + σ ( n 7 μ + n 8 η ) ξ ( t ) (7) 令 μ = r cos θ ， η = r sin θ ，进行极坐标变换系统(7)可转化为： { g 1 ( r ， θ ， ξ t ) = r ˙ ( t ) = d μ d t cos θ + d η d t sin θ g 2 ( r ， θ ， ξ t ) = θ ˙ ( t ) = − d μ d t sin θ r + d η d t cos θ r (8) 其中： g 1 ( r ， θ ， ξ t ) = m 1 r 2 cos 3 θ + m 3 h 1 r 3 cos 4 θ + ( m 2 + n 1 ) r 2 cos 2 θ sin θ + m 4 n 5 r 3 sin θ     + m 1 n 3 r 3 cos 3 θ + ( m 3 h 2 + m 5 h 1 ) r 3 cos 3 θ sin θ + m 5 h 4 r 3 cos θ sin θ     + n 3 h 4 r 3 cos θ sin θ + ( m 3 h 4 + m 5 h 2 + n 3 h 2 + n 5 h 1 ) r 3 cos 2 θ sin θ     + σ ( m 7 cos 2 θ + ( m 7 + n 8 ) cos θ sin θ + n 8 sin 2 θ ) ξ (t) g 2 ( r ， θ ， ξ t ) = q + n 1 r 2 cos 3 θ + n 3 h 1 r 3 cos 4 θ − ( n 1 − m 2 ) r cos 2 θ sin θ     + n 3 h 2 r 3 cos 3 θ sin θ − n 5 h 4 r 2 sin 4 θ + ( n 5 h 1 − m 3 h 1 ) r 2 cos 2 θ sin θ     + ( n 5 h 4 − m 3 h 4 − m 5 h 2 ) r 2 cos θ sin 3 θ − m 2 r cos θ sin 2 θ     + ( n 3 h 4 + n 5 h 2 − m 3 h 2 + m 5 h 1 ) r 2 cos 2 θ sin 2 θ     + σ ( n 7 cos 2 θ − ( m 7 − n 8 ) cos θ sin θ − m 8 sin 2 θ ) ξ (t) 在解决系统(8)时，精确解不易求出，但可基于Khasminskii极限定理 [ 4 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]，当白噪声强度充分小时，其反应 { r ( t ) ， θ ( t ) } 弱收敛于一个二维的马尔可夫扩散过程，运用随机平均法，系统(8)可得到Itô随机微分方程： { d r = m r d t + σ 11 d w d θ = m θ d t + σ 21 d w (9) 对于上述二维马尔可夫扩散过程，计算它的转换概率密度，方程(9)表达为： { d r = ( v 1 8 r + v 2 8 r 3 ) d t + v 3 8 r 2 d w d θ = ( q + v 4 8 r 2 ) d t + v 5 r d w (10) 其中： v 1 = 5 σ 2 m 7 2 + 5 σ 2 n 8 2 + 3 σ 2 m 8 2 + 3 σ 2 n 7 2 + 6 σ 2 m 8 2 n 7 2 − 2 σ 2 m 7 n 8 v 2 = 3 m 3 h 1 + m 3 h 4 + m 5 h 5 + n 3 h 2 + n 5 h 1 + 3 n 3 h 4 v 3 = 3 σ 2 m 7 2 + 3 σ 2 n 8 2 + σ 2 n 7 2 + σ 2 m 8 2 + 2 σ 2 m 8 2 n 7 2 + 2 σ 2 m 7 2 n 8 2 v 4 = 6 n 3 h 1 + 2 n 5 h 2 − 2 m 3 h 2 + 2 n 3 h 4 − 2 m 5 h 1 − 6 h 4 h 2 v 5 = 1 4 σ 2 ( m 7 + n 8 ) ( n 7 − m 8 ) 根据扩散矩阵，可以得到平均振幅是一维的马尔可夫过程，如下式(11)： d r = ( v 1 8 r + v 2 8 r 3 ) d t + ( v 3 8 r 2 ) 1 2 d w (11) 这样，在讨论模型的稳定性和随机分岔时获得一个思路，即根据参数的随机概率密度分布，分析在概率密度意义下平均振幅的稳定性和临界分岔。