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user: 4. 在正平衡点附近的渐近性态 文献 [ 10 ] 已证明了在确定性方程中的正平衡点 E 1 = ( S u * ， S e * ， I * ， R * ) 的存在性，并且给出了阈值，证明了高于该阈值的时候，系统(1)的正平衡点是全局渐近稳定的，那么在随机微分方程中，此正平衡点将不满足随机微分方程，那在这点附近是否仍然满足条件使之是渐近稳定的呢？下面证明在一定条件下，系统(2)的解在点 E 1 = ( S u * ， S e * ， I * ， R * ) 附近的渐近性。 定理3 若 ℜ ′ 0 = β q Λ γ ( γ + μ ) + β σ Λ ( 1 − q ) ( γ + μ ) 2 > 1 且满足条件： 1) 4 γ − b β 2 > 0 ； 2) 2 γ − σ 1 2 > 0 ； 3) 2 γ + d γ − σ 1 2 − d σ 1 2 2 > 0 则对于任何给定的初值 ( S u ( 0 ) ， S e ( 0 ) ， I ( 0 ) ， R ( 0 ) ) ∈ R + 4 ，随机微分方程满足如下性质： lim t → ∞ sup 1 t E ∫ 0 t [ ( S u − k 1 2 S u ∗ ) 2 + ( S e − k 2 S e ∗ ) 2 + ( I − k 3 I ∗ ) 2 + ( R − k 4 R ∗ ) 2 ] d s ≤ N k 5 其中： k 1 = − 8 γ S u ∗ + b β S u ∗ − 4 γ S e * − 4 γ R ∗ ( − 4 γ + b β 2 + σ 1 2 ) S u ∗ ， k 2 = − 2 γ − 2 γ S u ∗ S e ∗ − 2 γ + σ 1 2 ， k 3 = − 4 γ + b β 2 − 4 γ + b β 2 + σ 1 2 ， k 4 = − 2 γ − d γ − 2 γ S u ∗ R ∗ − 2 γ − d γ + σ 1 2 + d σ 1 2 2 ， k 5 = min { 4 γ − b β 2 ， 2 γ − σ 1 2 ， 2 γ + d γ − σ 1 2 − d σ 1 2 2 } ； N = k 1 2 4 ( 4 γ − b β 2 − σ 1 2 ) S u ∗ 2 + ( 2 γ − σ 1 2 ) k 2 2 S e ∗ 2 + ( 4 γ − b β 2 − σ 1 2 ) k 3 2 I ∗ 2 + 1 2 σ 1 2 b I ∗     + ( 2 γ + d γ − σ 1 2 − d σ 1 2 2 ) k 4 2 R ∗ 2 。 证明 设 υ 1 = ( S u − S u ∗ + S e − S e ∗ + I − I ∗ + R − R ∗ ) 2 ， υ 2 = I − I ∗ − I ∗ ln I I ∗ ， υ 3 = 1 2 ( R − R ∗ ) 2 ， 构造李雅普诺夫函数 V ( S u ( t ) ， S e ( t ) ， I ( t ) ， R ( t ) ) = υ 1 + b υ 2 + d υ 3 ， 由伊藤公式可知： L υ 1 = 2 ( S u − S u ∗ + S e − S e ∗ + I − I ∗ + R − R ∗ ) ( Λ − γ S u − γ S e − γ I − γ R )     + σ 1 2 S u 2 + σ 1 2 S e 2 + σ 1 2 I 2 + σ 1 2 R 2 = − 2 γ ( S u − S u ∗ ) 2 − 2 γ ( S e − S e ∗ ) 2 − 2 γ ( I − I ∗ ) 2 − 2 γ ( R − R ∗ ) 2 − 4 γ ( S u − S u ∗ ) ( S e − S e ∗ )     − 4 γ ( S u − S u ∗ ) ( I − I ∗ ) − 4 γ ( S u − S u ∗ ) ( R − R ∗ ) − 4 γ ( S e − S e ∗ ) ( I − I ∗ )     − 4 γ ( S e − S e ∗ ) ( R − R ∗ ) − 4 γ ( I − I ∗ ) ( R − R ∗ ) + σ 1 2 S u 2 + σ 1 2 S e 2 + σ 1 2 I 2 + σ 1 2 R 2 ， L υ 2 = ( 1 − I ∗ I ) ( β S u I + β σ S e I − γ I − μ I ) + 1 2 σ 1 2 I ∗       = ( I − I ∗ ) ( β S u + β σ S e − γ − μ ) + 1 2 σ 1 2 I ∗       = β ( S u − S u ∗ ) ( I − I ∗ ) + β σ ( S e − S e ∗ ) ( I − I ∗ ) + 1 2 σ 1 2 I ∗ ， L υ 3 = ( R − R ∗ ) ( μ S e + μ I − γ R ) + 1 2 σ 1 2 R 2       = μ ( S e − S e ∗ ) ( R − R ∗ ) + μ ( I − I ∗ ) ( R − R ∗ ) − γ ( R − R ∗ ) 2 + 1 2 σ 1 2 R 2 ， 那么： L V = L υ 1 + b L υ 2 + d L υ 3       = − 2 γ ( S u − S u ∗ ) 2 − 2 γ ( S e − S e ∗ ) 2 − 2 γ ( I − I ∗ ) 2 − 2 γ ( R − R ∗ ) 2 − 4 γ ( S u − S u ∗ ) ( S e − S e ∗ )             − 4 γ ( S u − S u ∗ ) ( I − I ∗ )   − 4 γ ( S u − S u ∗ ) ( R − R ∗ ) − 4 γ ( S e − S e ∗ ) ( I − I ∗ )             − 4 γ ( S e − S e ∗ ) ( R − R ∗ ) − 4 γ ( I − I ∗ ) ( R − R ∗ ) + σ 1 2 S u 2 + σ 1 2 S e 2 + σ 1 2 I 2 + σ 1 2 R 2             + b β ( S u − S u ∗ ) ( I − I ∗ ) + b β σ ( S e − S e ∗ ) ( I − I ∗ ) + 1 2 σ 1 2 b I ∗             + d μ ( S e − S e ∗ ) ( R − R ∗ ) + d μ ( I − I ∗ ) ( R − R ∗ ) − d γ ( R − R ∗ ) 2 + 1 2 σ 1 2 d R 2 。 由于 σ 表示媒体宣传程度的有效性，我们有 0 ≤ σ ≤ 1 ，那么可以得到 − 4 γ + b β σ ≤ − 4 γ + b β 。 令 − 4 γ + b β σ = 0 ， − 4 γ + d μ = 0 ， 得到 d = 4 γ μ ， b = 4 γ β σ ， 那么有 − 4 γ + b β > 0 ，   ( − 4 γ + b β ) ( S u − S u ∗ ) ( I − I ∗ ) ≤ 1 2 ( − 4 γ + b β ) [ ( S u − S u ∗ ) 2 + ( I − I ∗ ) 2 ] ， 则 L V ≤ − 2 γ ( S u − S u ∗ ) 2 − 2 γ ( S e − S e ∗ ) 2 − 2 γ ( I − I ∗ ) 2 − ( 2 γ + d ) γ ( R − R ∗ ) 2 + 4 γ S u S e ∗ + 4 γ S u ∗ S e           + − 4 γ + b β 2 ( S u − S u ∗ ) 2 + − 4 γ + b β 2 ( I − I ∗ ) 2 + 4 γ S u R ∗ + 4 γ S u ∗ R + σ 1 2 S u 2 + σ 1 2 S e 2 + σ 1 2 I 2           + σ 1 2 R 2 + 1 2 σ 1 2 b I ∗ + 1 2 σ 1 2 d R 2 。 整理后得到 L V ≤ − ( 4 γ − b β 2 − σ 1 2 ) ( S u − k 1 2 S u ∗ ) 2 + ( − 4 γ + b β 2 ) S u ∗ 2 + k 1 2 4 ( 4 γ − b β 2 − σ 1 2 ) S u ∗ 2           − ( 2 γ − σ 1 2 ) ( S e − k 2 S e ∗ ) 2 + ( 2 γ − σ 1 2 ) k 2 2 S e ∗ 2 − 2 γ S e ∗ 2 − ( 4 γ − b β 2 − σ 1 2 ) ( I − k 3 I ∗ ) 2           + ( 4 γ − b β 2 − σ 1 2 ) k 3 2 I ∗ 2 + ( − 4 γ + b β 2 ) I ∗ 2 + 1 2 σ 1 2 b I ∗ − ( 2 γ + d γ − σ 1 2 − d σ 1 2 2 ) ( R − k 4 R ∗ ) 2           + ( 2 γ + d γ − σ 1 2 − d σ 1 2 2 ) k 4 2 R ∗ 2 − ( 2 γ + d γ ) R ∗ 2 ， 这里取 k 1 = − 8 γ S u ∗ + b β S u ∗ − 4 γ S e ∗ − 4 γ R ∗ ( − 4 γ + b β 2 + σ 1 2 ) S u ∗ ， k 2 = − 2 γ − 2 γ S u ∗ S e ∗ − 2 γ + σ 1 2 ， k 3 = − 4 γ + b β 2 − 4 γ + b β 2 + σ 1 2 ， k 4 = − 2 γ − d γ − 2 γ S u ∗ R ∗ − 2 γ − d γ + σ 1 2 + d σ 1 2 2 。 由于 4 γ − b β 2 ≥ 4 γ − b β 2 − σ 1 2 > 0 ， 所以 − ( 4 γ − b β 2 ) < 0 ， 那么就有 L V ≤ − ( 4 γ − b β 2 − σ 1 2 ) ( S u − k 1 2 S u ∗ ) 2 + k 1 2 4 ( 4 γ − b β 2 − σ 1 2 ) S u 2 − ( 2 γ − σ 1 2 ) ( S e − k 2 S e ∗ ) 2       + ( 2 γ − σ 1 2 ) k 2 2 S e ∗ 2 − ( 4 γ − b β 2 − σ 1 2 ) ( I − k 3 I ∗ ) 2 + ( 4 γ − b β 2 − σ 1 2 ) k 3 2 I ∗ 2 + 1 2 σ 1 2 b I ∗       − ( 2 γ + d γ − σ 1 2 − d σ 1 2 2 ) ( R − k 4 R ∗ ) 2 + ( 2 γ + d γ − σ 1 2 − d σ 1 2 2 ) k 4 2 R ∗ 2 。 令 N = k 1 2 4 ( 4 γ − b β 2 − σ 1 2 ) S u ∗ 2 + ( 2 γ − σ 1 2 ) k 2 2 S e ∗ 2 + ( 4 γ − b β 2 − σ 1 2 ) k 3 2 I ∗ 2 + 1 2 σ 1 2 b I ∗     + ( 2 γ + d γ − σ 1 2 − d σ 1 2 2 ) k 4 2 R ∗ 2 ， 取 k 5 = min { 4 γ − b β 2 ， 2 γ − σ 1 2 ， 2 γ + d γ − σ 1 2 − d σ 1 2 2 } ， 得到 L V ≤ − k 5 [ ( S u − k 1 2 S u ∗ ) 2 + ( S e − k 2 S e ∗ ) 2 + ( I − k 3 I ∗ ) 2 + ( R − k 4 R ∗ ) 2 ] + N ， 进而可以有 0 ≤ E V ( S u ， S e ， I ， R ) = V 0 + E ∫ 0 t L V ( S u ( s ) ， S e ( s ) ， I ( s ) ， R ( s ) ) d s       ≤ V 0 − k 5 E ∫ 0 t [ ( S u − k 1 2 S u ∗ ) 2 + ( S e − k 2 S e ∗ ) 2 + ( I − k 3 I ∗ ) 2 + ( R − k 4 R ∗ ) 2 ] d s + N t ， 整理后得 E ∫ 0 t [ ( S u − k 1 2 S u ∗ ) 2 + ( S e − k 2 S e ∗ ) 2 + ( I − k 3 I ∗ ) 2 + ( R − k 4 R ∗ ) 2 ] d s ≤ V 0 + N t k 5 。 因此 lim t → ∞   sup 1 t E ∫ 0 t [ ( S u − k 1 2 S u ∗ ) 2 + ( S e − k 2 S e ∗ ) 2 + ( I − k 3 I ∗ ) 2 + ( R − k 4 R ∗ ) 2 ] d s ≤ N k 5 。 定理得证。