system: [SYSTEM]

user: 2. 临界问题解的多重性 2.1. 辅助问题解的多重性 首先通过 u ( x ) ↦ u ( ε x ) 的变量替换，我们可以看到方程(1.3)与下列问题等价 ( − Δ ) A ε s u + V ε ( x ) u = f ( | u | 2 ) u + | u | 2 s ∗ − 2 u ， x ∈ ℝ N ， (2.1) 其中 A ε ( x ) : = A ( ε x ) ， V ε ( x ) : = V ( ε x ) 。然后利用截断技巧处理问题。 固定常数 k > 1 和 a > 0 使得 f ( a ) + a 2 s ∗ − 2 2 = V 0 k ，我们引入方程 f ˜ ( t ) : = { f ( t ) + ( t + ) 2 s ∗ − 2 2 ， t ≤ a ; V 0 k ， t > a ， 且 g ( x ， t ) = χ Λ ( x ) ( f ( t ) + ( t + ) 2 s ∗ − 2 2 ) + ( 1 − χ Λ ( x ) ) f ˜ ( t ) . 其中 χ Λ 是 Λ 上的特征函数，记 G ( t ) = ∫ 0 t g ( τ ) d τ 。 显然，我们根据假设(h 1 )~(h 4 )，经过标准计算容易得到 g ( x ， t ) 满足下列条件： (k 1 ) 对任意 x ∈ ℝ N ，都有 lim t → 0 g ( x ， t ) = 0 ； (k 2 ) 对任意 x ∈ ℝ N 和 t > 0 ，有 g ( x ， t ) ≤ f ( t ) + t 2 s ∗ − 2 2 ； (k 3 ) (i) 对任意 x ∈ Λ 和 t > 0 ，有 0 ≤ G ( x ， t ) ≤ g ( x ， t ) t ≤ V ( x ) k t ； (ii) 对任意 x ∈ ℝ N \ Λ 和 t > 0 ，有 0 ≤ G ( x ， t ) ≤ g ( x ， t ) t ≤ V ( x ) k t ； (k 4 ) (i) 对任意 x ∈ Λ ，有 t ↦ g ( x ， t ) 在 ( 0 ， + ∞ ) 上是单调递增的； (ii) 对任意 x ∈ ℝ N \ Λ ，有 t ↦ g ( x ， t ) 在 ( 0 ， + ∞ ) 上是单调递增的。 然后考虑下列辅助问题 ( − Δ ) A ε s u + V ε ( x ) u = g ε ( x ， | u | 2 ) u ， x ∈ ℝ N ， (2.2) 其中 g ε ( x ， t ) : = g ( ε x ， t ) 。注意到，如果u是方程(2.2)的解使得对任意 x ∈ ℝ N \ Λ ε 有 | u ( x ) | 2 ≤ a ， (2.3) 其中 Λ ε : = { x ∈ ℝ N : ε x ∈ Λ } ，则u也是原始问题的解即方程(2.1)。 显然可以找到方程(2.2)的弱解对应的是下列Euler-Lagrange泛函的临界点 J ε ( u ) = 1 2 ‖ u ‖ ε 2 − 1 2 ∫ ℝ N G ε ( x ， | u | 2 ) d x ， 其中泛函 u : ℝ N → ℂ 是有定义的，且u属于空间 H ε s = { u ∈ D A s ( ℝ ℕ ， ℂ ) : ∫ ℝ N V ε ( x ) | u | 2 d x < ∞ } 带有实数内积为 〈 u ， v 〉 H ε s = ℜ ( ∬ ℝ 2 N ( u ( x ) − u ( y ) e i A ( x + y 2 ) ⋅ ( x − y ) ) ( v ( x ) − v ( y ) e i A ε ( x + y 2 ) ⋅ ( x − y ) ) ¯ | x − y | N + 2 s d x d y + ∫ ℝ N V ε ( x ) u v ¯ d x ) 另一方面，考虑方程(2.2)的自治问题如下 V 0 u = f ( u 2 ) u + | u | 2 s ∗ − 2 u ， x ∈ ℝ N ， (2.4) 定义泛函 I 0 : H s ( ℝ N ， ℝ ) → ℝ ，则对应能量泛函为 I 0 ( u ) = 1 2 ‖ u ‖ 0 2 − 1 2 ∫ ℝ N H ( u 2 ) d x − 1 2 s ∗ ∫ ℝ N | u | 2 s ∗ d x . 定义泛函 J ε 的Nehari流形如下 N ε : = { u ∈ H ε s \ { 0 } : 〈 J ′ ε ( u ) ， u 〉 = 0 } ， 考虑g的增长性条件，我们可以得到存在与u无关的r使得对任意 u ∈ N ε ，有 ‖ u ‖ ε > r ， (2.5) 实际上，固定 u ∈ N ε ，我们得到 0 = ‖ u ‖ ε 2 − ∫ ℝ N g ε ( x ， | u | 2 ) | u | 2 d x ≥ ‖ u ‖ ε 2 − 1 k ∫ ℝ N g ε ( x ) | u | 2 d x − C ‖ u ‖ L 2 s ∗ ( ℝ ) 2 s ∗ ≥ k − 1 k ‖ u ‖ ε 2 − C ‖ u ‖ L 2 s ∗ ( ℝ ) 2 s ∗ . 引理2.1.1 [ 6 ] 泛函 J ε 满足下列性质： (i) J ε ( 0 ) = 0 ； (ii) 存在 β ， r > 0 ，使得对任意 u ∈ H ε s 且 ‖ u ‖ ε = r ，都有 J ε ( u ) ≥ β ； (iii) 存在 e ∈ H ε s 且 ‖ e ‖ ε > r ，使得 J ε ( e ) < 0 。 由引理2.1.1，定义山路水平集为 c ε = inf γ ∈ Γ ε max t ∈ [ 0 ， 1 ] J ε ( γ ( t ) ) ， 其中 Γ ε = { γ ∈ C ( [ 0 ， 1 ] ， H ε s ) : γ ( 0 ) = 0 and J ε ( γ ( 1 ) ) < 0 } . 由参考文献 [ 14 ] 易得 c ε = inf u ∈ H ε s \ { 0 } sup t ≥ 0 J ε ( t u ) = inf u ∈ N ε J ε ( u ) ， 引理2.1.2 [ 6 ] 令 c ∈ ℝ 使得 c < s N S ∗ N 2 s ，则泛函 J ε 在空间 H ε s 上满足(PS) c 条件。 根据多重性的证明方法，为了获得多个临界点，我们需要将泛函 J ε 约束在 N ε 上作，那接下来的紧性证明很重要。 λ n → 0 。 命题2.1.1令 c ∈ ℝ 使得 c < s N S ∗ N 2 s ，则泛函 J ε 约束在 N ε 上也满足(PS) c 条件。 证明：令 { u n } ⊂ N ε 使得，当 n → ∞ ，有 J ε ( u n ) → c 且 ‖ J ′ ε ( u n ) | N ε ‖ ∗ → 0 。则存在 { λ n } ⊂ ℝ ，使得 J ′ ε ( u n ) = λ n T ′ ε ( u n ) + o n ( 1 ) ， (2.6) 其中定义 T ε : H ε s → ℝ 为 T ε ( u ) = ‖ u ‖ ε 2 − ∫ ℝ N g ε ( x ， | u | 2 ) | u | 2 d x . 利用 〈 J ′ ε ( u n ) ， u n 〉 = 0 和g的定义可得 〈 T ′ ε ( u n ) ， u n 〉 = 2 ‖ u n ‖ ε 2 − 2 ∫ ℝ N g ′ ε ( x ， | u n | 2 ) | u n | 4 d x − 2 ∫ ℝ N g ε ( x ， | u n | 2 ) | u n | 2 d x = − 2 ∫ ℝ N g ′ ε ( x ， | u n | 2 ) | u n | 4 d x = − 2 ∫ Λ ε ∪ { | u n | 2 ≤ a } g ′ ε ( x ， | u n | 2 ) | u n | 4 d x − 2 ∫ { ℝ N \ Λ ε } ∩ { | u n | 2 > a } g ′ ε ( x ， | u n | 2 ) | u n | 4 d x = − 2 ∫ Λ ε ∪ { | u n | 2 ≤ a } g ′ ε ( x ， | u n | 2 ) | u n | 4 d x (2.7) = − 2 ∫ Λ ε ∪ { | u n | 2 ≤ a } [ f ′ ( | u n | 2 ) | u n | 4 + 2 s ∗ − 2 2 ( | u n | 2 ) 2 s ∗ − 2 2 − 1 2 | u n | 4 ] d x = − 2 ∫ Λ ε ∪ { | u n | 2 ≤ a } [ f ′ ( | u n | 2 ) | u n | 4 + ( 2 s ∗ − 2 ) ( | u n | 2 ) 2 s ∗ − 2 2 − 1 2 | u n | 4 ] d x ≤ 0. 其中上述等式的证明还用到了(h 4 )， 2 s ∗ = 2 N N − 2 s > 2 以及 g ′ ε ( x ， | u n | 2 ) | u n | 4 = 0 ， ∀ | u n | 2 > a . 根据式子(2.7)和 { u n } 在 H ε s 上的有界性可知， 〈 T ′ ε ( u n ) ， u n 〉 → l ≤ 0 。如果 l = 0 ，则在 L 2 s ∗ ( ℝ N ， ℝ ) 上，有 | u n | → 0 。利用 〈 J ′ ε ( u n ) ， u n 〉 = 0 可得 0 ≤ ( 1 − 1 k ) ‖ u n ‖ ε 2 ≤ o n ( 1 ) ， 这可以推断出 ‖ u n ‖ ε 2 → 0 ，与式子(2.5)矛盾，因此 l < 0 。由式子(2.6)可得 λ n → 0 ，则 { u n } 是无约束泛函的一个(PS) c 序列。最后利用引理2.1.2，此命题得证。 推论2.1.1泛函 J ε 在 N ε 上的临界点就是 J ε 在 H ε s 上的临界点。 接下来要证明集合M的拓扑结构和辅助问题(2.2)正解的个数之间的关系，我们先要介绍两类映射 Φ ε 和 β ε 。在此之前，先证明一个紧性结果，它对于定义映射和证明辅助问题(2.2)的解是原问题(2.1)的解是非常重要的。 命题2.1.2令 ε n → 0 和 { u n } ⊂ N ε n 使得 J ε n ( u n ) → c 0 。则存在 ( y ˜ n ) ⊂ ℝ N ，使得 v n ( x ) = | u n ( x + y ˜ n ) | 在 H s ( ℝ N ， ℝ ) 中有一个强收敛子列。此外，在子列意义下，当 n → ∞ 时，有 y n : = ε n y ˜ n → y 0 ∈ M 。 证明：类似参考文献 [ 6 ] 中的引理3.6的证明，我们可以得到此命题。 考虑 σ > 0 使得 M σ ⊂ Λ ，选择 η ∈ C 0 ∞ ( ℝ + ， [ 0 ， 1 ] ) 使得 η ( t ) = { 1 ， 0 ≤ t ≤ σ 2 ; 0 ， t ≥ σ . 对任意 y ∈ M = { x ∈ Λ : V ( x ) = V 0 } ，定义 Ψ ε ， y ( x ) : = η ( | ε x − y | ) w ( ε x − y ε ) e ( i τ y ( ε x − y ε ) ) ， 这里 τ y ( x ) : = ∑ j N A j ( y ) x j 且 w ∈ H s ( ℝ N ， ℝ ) 是自治问题(2.4)的一个正基态解。 令 t ε > 0 是唯一正数使得 max t ≥ 0 J ε ( t Ψ ε ， y ) = J ε ( t ε Ψ ε ， y ) ， 则易得 t ε Ψ ε ， y ∈ N ε 。现在我们定义映射 Φ ε : M → N ε 为 Φ ε ( y ) : = t ε Ψ ε ， y ， 通过构造得，对任意 y ∈ M ， Φ ε ( y ) 有一个紧支集且它是连续的。 注记2.1.1 为了运算简便，我们将 Φ ε n ( y n ) ， Ψ ε n ， y n 和 t ε n 分别记作 Φ n ， Ψ n 和 t n 。 引理2.1.3 泛函 J ε 在 y ∈ M 时一致满足下列极限 lim ε → 0 J ε ( Φ ε ( y ) ) = c 0 . 证明：反证法。假设不成立，则存在 σ 0 > 0 ， { y n } ⊂ M ，取 ε n → 0 ，有 | J ε n ( Φ n ) − c 0 | ≥ σ 0 . (2.8) 利用参考文献 [ 10 ] 和Lebesgue控制收敛定理得 ‖ Ψ n ‖ ε n 2 → ‖ w ‖ 0 2 ∈ ( 0 ， ∞ ) ， (2.9) ‖ Ψ n ‖ L 2 s ∗ ( ℝ N ) → ‖ w ‖ L 2 s ∗ ( ℝ N ) . (2.10) 另一方面，考虑 〈 J ′ ε n ( Φ n ) ， Φ n 〉 = 0 ，作变量替换 z = ε n x − y n ε n ，则 t n 2 ‖ Ψ n ‖ ε n 2 = ∫ ℝ N g ( ε n z + y n ， | t n η ( | ε n z | ) w ( z ) | 2 ) | t n η ( | ε n z | ) w ( z ) | 2 d z . (2.11) 如果 z ∈ B δ / ε n ( 0 ) ，那么 ε n z + y n ∈ B σ ( y n ) ⊂ M σ ⊂ Λ 。再利用函数g和 η 的定义可得 t n 2 ‖ Ψ n ‖ ε n 2 = ∫ ℝ N h ( | t n η ( | ε n z | ) w ( z ) | 2 ) | t n η ( | ε n z | ) w ( z ) | 2 + | t n η ( | ε n z | ) w ( z ) | 2 s ∗ d z . (2.12) 通过(h 4 )和等式(2.11)，结合函数 η 在 B δ / 2 ( 0 ) ⊂ B δ / ε n ( 0 ) 中取值为1，得当n充分大时，有 ‖ Ψ n ‖ ε n 2 = 1 t n 2 ∫ ℝ N ( h ( | t n Ψ n | 2 ) | Ψ n | 2 + | t n Ψ n | 2 s ∗ ) d z ≥ ∫ B σ / ( 2 ε n ) ( 0 ) | w ( z ) | 2 s ∗ d z ≥ t n 2 s ∗ − 2 ∫ B δ / 2 ( 0 ) | w ( z ) | 2 s ∗ d z ≥ t n 2 s ∗ − 2 w ( ξ ) 2 s ∗ | B δ / 2 ( 0 ) | ， (2.13) 这里 w ( ξ ) = min z ∈ B δ / 2 ( 0 ) w ( z ) > 0 。接下来我们证明：当 ε n → 0 时， t n → 1 。一方面，如果当 ε n → 0 时， t n → ∞ ，利用式子(2.9)、(2.10)和(2.13)得 ‖ w ‖ 0 2 = ∞ ，这产生一个矛盾。另一方面，如果当 ε n → 0 时， t n → 0 ，根据式子(2.12)、(2.9)、(2.10)以及条件(k 1 )、(k 2 )得 t n 2 ‖ Ψ n ‖ ε n 2 → 0 ，这与等式(2.5)矛盾。总结得出：当 ε n → 0 时， t n → t 0 ∈ ( 0 ， ∞ ) 。现在对等式(2.12)两边取 n → ∞ ，则 t 0 2 ‖ w ‖ 0 2 = ∫ ℝ N ( h ( ( t 0 w ) 2 ) ( t 0 w ) 2 + ( t 0 w ) 2 s ∗ ) d z . w ∈ N 0 即 〈 I ′ 0 ( w ) ， w 〉 = 0 ，得 ‖ w ‖ 0 2 = ∫ ℝ N h ( w 2 ) w 2 d x + ∫ ℝ N w 2 s ∗ d x . 考虑上述两个等式，我们推断出 0 = ∫ ℝ N ( h ( ( t 0 w ) 2 ) − h ( w 2 ) ) w 2 d x + ( t 0 2 s ∗ − 2 − 1 ) ∫ ℝ N w 2 s ∗ d x . 再根据(h 4 )得 t 0 = 1 。现在对等式(2.11)两边取 n → ∞ ，得 lim n → ∞ J ε n ( Φ n ) = I 0 ( w ) = c 0 ， 这与式子(2.8)矛盾。因此，此引理得证。 根据上述引理，令 σ > 0 ，取 ρ = ρ ( σ ) > 0 使得 M σ ⊂ B ρ ( 0 ) ，先定义函数 ϒ : ℝ N → ℝ N 为 ϒ ( x ) = { x ， | x | < ρ ; ρ x / | x | ， | x | ≥ ρ . 然后定义重心映射 β ε : N ε → ℝ N 为 β ε ( u ) : = 1 ‖ u ‖ L 2 ( ℝ N ) 2 ∫ ℝ N ϒ ( ε x ) | u ( x ) | 2 d x . 通过Lebesgue控制收敛定理以及数列 { y n } ⊂ M ⊂ M σ ⊂ B ρ ( 0 ) ，易得 β ε 在 y ∈ M 一致满足下列极限 lim ε → 0 β ε ( Φ ε ( y ) ) = y . (2.14) 接下来定义Nehari流形的一个子集如下 N ˜ ε = { u ∈ N ε : J ε ( u ) ≤ c 0 + h 1 ( ε ) } ， 其中 h 1 : ℝ → ℝ + ，且当 ε → 0 时， h 1 ( ε ) → 0 。实际上，固定 y ∈ M ，由引理2.1.3得当 ε → 0 时， h 1 ( ε ) = | J ε ( Φ ε ( y ) ) − c 0 | → 0 。因此 Φ ε ( y ) ∈ N ˜ ε 即对任意 ε > 0 ， N ˜ ε ≠ ∅ 。现在我们给出 N ˜ ε 和重心映射 β ε 之间的关系，并加以证明。 引理2.1.4 对任意 σ > 0 ，我们有 lim ε → 0 sup u ∈ N ˜ ε dist ( β ε ( u ) ， M σ ) = 0. 证明：令当 n → ∞ 时， ε n → 0 ，则存在 { u n } ⊂ N ˜ ε n 使得 sup u ∈ N ˜ ε n inf y ∈ M σ | β ε n ( u ) − y | = inf y ∈ M σ | β ε n ( u ) − y | + o n ( 1 ) . 因此只要证明存在 { y n } ⊂ M σ ，使得下式成立即可 lim n → ∞ | β ε n ( u n ) − y | = 0. (2.15) 利用引理1.3.1得，对任意 t ≥ 0 ，有 I 0 ( t | u n | ) ≤ J ε n ( t u n ) ，根据 { u n } ⊂ N ˜ ε n ⊂ N ε n ，可得 c 0 ≤ max t ≥ 0 I 0 ( t | u n | ) ≤ max t ≥ 0 J ε n ( t u n ) = J ε n ( u n ) ≤ c 0 + h 1 ( ε n ) ， (2.16) 由此推出当 n → ∞ 时， J ε n ( u n ) → c 0 。再利用命题2.1.1，得存在 { y ˜ n } ⊂ ℝ N 使得，当n充分大时， y n = ε n y ˜ n ∈ M σ 。作变量替换 z = x − y ˜ n ，则 β ε n ( u n ) = y n + ∫ ℝ N ( ϒ ( ε n z + y n ) − y n ) | u n ( z + y ˜ n ) | 2 d z ∫ ℝ N | u n ( z + y ˜ n ) | 2 d z . 最后根据 ε n x + y n → y 0 ∈ M σ ，可得 β ε n = y n + o n ( 1 ) 。因此，式子(2.15)成立即此引理得证。 现在我们将证明M的拓扑结构与辅助问题(2.3)解的多重性之间的关系。 定理2.1.1 对任意 σ > 0 使得 M σ ⊂ Λ ，存在 ε ˜ σ > 0 使得，对任意 ε ∈ ( 0 ， ε ˜ σ ) ，辅助问题(2.2)有至少 c a t M σ ( M ) 个非平凡解。 证明：考虑 σ > 0 使得 M σ ⊂ Λ ，利用方程(2.14)，引理2.1.3以及引理2.1.4，类似参考文献 [ 15 ] 的讨论，可推断出存在 ε ˜ σ > 0 ，对任意 ε ∈ ( 0 ， ε ˜ σ ) ，映射链 M → Φ ε N ˜ ε → β ε M σ 是有定义的且 β ε ∘ Φ ε 同伦于恒等映射 I d : M → M σ 。结合参考文献 [ 4 ] 中的引理2.2.2推断出 c a t N ˜ ε ( N ˜ ε ) ≥ c a t M σ ( M ) . (2.17) 结合命题2.1.1和Ljusternik-Schnirelmann理论可得 J ε 在 N ˜ ε 上存在至少 c a t N ˜ ε ( N ˜ ε ) 个临界点。再利用推论2.1.1可得方程(2.2)有至少 c a t M σ ( M ) 非平凡解。 2.2. 定理1.1的证明 在这一部分我们将证明我们的主要结果。实际上，我们需要证明定理2.1.1中得到的解满足不等式(2.3)即辅助问题的解在一定条件下是方程(2.1)的解。 引理2.2.1 取 ε n → 0 ，令 u n ∈ N ˜ ε n 是方程(2.2)的一个解，则 J ε n ( u n ) → c 0 。而且， v n ( x ) : = | u n ( ⋅ + y ˜ n ) | 满足 v n ∈ L ∞ ( ℝ N ， ℝ ) 且存在常数 C > 0 使得，对任意 n ∈ N ，有 ‖ v n ‖ L ∞ ( ℝ N ) ≤ C ， 这里的 y ˜ n 是由命题2.1.1给出的。进一步有 lim | x | → ∞ | v n ( x ) | = 0 证明：利用 J ε n ( u n ) ≤ c 0 + h 1 ( ε n ) 且 lim n → ∞ h 1 ( ε n ) = 0 以及引理2.1.4中的方程(2.16)，可得 J ε n ( u n ) → c 0 。类似参考文献 [ 6 ] 中引理2.8证明，易得 { v n } 在 L ∞ ( ℝ N ， ℝ ) 上是有界的且 lim | x | → ∞ | v n ( x ) | = 0 。 定理1.1的证明 该证明分为如下2步： 第1步：证明方程(2.2)的解是方程(2.1)的解。即取 σ 使得 M σ ⊂ Λ ，证明存在 ε ^ σ > 0 使得对任意 ε ∈ ( 0 ， ε ^ σ ) > 0 ，方程(2.2)的任意解 u n ∈ N ˜ ε 都满足 ‖ u ε n ‖ L ∞ ( ℝ N \ Λ ε n ) 2 ≤ a . (2.18) 这里我们利用反证法。假设上式不成立，则可以找到一个序列 ε n → 0 ，对任意 u n : = u ε n ∈ N ˜ ε n ，使得 ‖ u n ‖ L ∞ ( ℝ N \ Λ ε n ) 2 > a . (2.19) 由于 J ε n ( u n ) ≤ c 0 + h 1 ( ε n ) 且 lim n → ∞ h 1 ( ε n ) = 0 ，根据引理2.1.4中的方程(2.16)可得 J ε n ( u n ) → c 0 。然后利用命题2.1.2可得，存在 y ˜ n ⊂ ℝ N 使得对 y 0 ∈ M ，有 ε n y ˜ n → y 0 。 因此，我们可以找到一个 r > 0 ，使得对所有的 n ∈ N 有 B r ( ε n y ˜ n ) ⊂ Λ 。也就是说对任意 n ∈ N 当n充分大时， B r ε n ( y ˜ n ) 。故 ℝ N \ Λ ε n ⊂ ℝ N \ B r ε n ( y ˜ n ) . 根据引理2.2.1知存在 R > 0 使得对任意 n ∈ N ，当 | x | ≥ R 有 v n 2 ≤ a ，这里 v n ( x ) : = | u n ( ⋅ + y ˜ n ) | 。故对任意 x ⊂ ℝ N \ B R ( y ˜ n ) ，   n ∈ N ，有 | u n | 2 ≤ a 。因此存在 v ∈ N ，对任意 n ≥ ν 和 r ε n > R 使得 ℝ N \ Λ ε n ⊂ ℝ N \ B r ε n ( y ˜ n ) ⊂ ℝ N \ B R ( y ˜ n ) ， 由此可以推断出对任意 x ⊂ ℝ N \ Λ ε n 和 n ≥ ν ，有 | u n | 2 ≤ a 。对照方程(2.19)这就产生了一个矛盾即证明了我们的目标。现在令 ε σ = min { ε ^ σ ， ε ˜ σ } ，固定 ε ∈ ( 0 ， ε σ ) ，利用定理2.1.1，得方程(2.1)有至少 c a t M σ ( M ) 个解。 第2步：证明方程(2.1)的解是方程(1.3)的解。如果 u ε ∈ N ˜ ε 是这些解中的一个，利用g的定义和方程(2.18)可以推断出 u ε 也是方程(2.2)的解。现在取 u ^ ε ( x ) = u ε ( x ε ) ，可以得到 u ε 也是方程(1.3)的一个解。