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user: 5. 数值模拟 5.1. 模拟数据产生 对混合分布模型的参数估计由于不同分布的比重、分布的交叠情形及样本量都直接影响最终的参数估计(这里的交叠指的是正态分布的均值是否在均匀分布的参数区间范围内)，为了验证本文提出方法的试用情形，本文针对不同的混合比例、分布交叠情形和样本量共产生5大类10组模拟数据，每组组内由不同样本量的数据组成，因此总共有20种类型的模拟数据，对于每种模拟数据及其参数设置如表1所示。 5.2. 算法参数初始化 对于3.2节中的 和 的选取，选取 是为了保证有足够多的数据点做线性回归，可以根据数据的疏密程度进行适当的调整； 是衡量经验累积分布函数和选取特定点的线性回归直线之间的接近程度， 的选取直接决定了均匀分布的参数估计的准确性，另外 也受观测数据的稀疏程度及样本量的影响。本模拟中因为数据相对比较集中因此选取 ， 。 对于EM算法参数迭代的初始化问题，因为EM算法易受初始值的影响，选择一个好的初始值能使算法取得全局最优解，同样不好的初始值会使算法收敛到局部最优解。在考虑前面得到的均匀分布参数估计值较为准确的前提下，选取均匀分布的混合比例为观测值在均匀分布参数估计值区间内的比值，正态分布的均值和方差为不在均匀分布参数估计区间内的所有观测数据的均值和方差。 对于EM算法迭代的终止条件，主要从两个方面进行限制，一方面是迭代次数的限制，限定为300次，另一方面是对似然函数的限制，若两次迭代之间的似然函数的改变量小于最小预设精度，则停止迭代，模拟中选取的最小精度为0.001。 5.3. 参数估计模拟结果 对表1中的20种情形每种情形分别模拟100次，并计算估计值的均值和标准差见表2 (括号内为估 Table 1 The parameter setting of simulated dat 类别 组数 参数设置 ( ) 样本量(N) 一 1 0.7U(−1，1) + 0.3N(0，1) (0.7，-1，1，0，1) 100 0.7U(−1，1) + 0.3N(0，1) 1000 2 0.7U(2，3) + 0.3N(0，1) (0.7，2，3，0，1) 100 0.7U(2，3) + 0.3N(0，1) 1000 二 3 0.6U(−1，1) + 0.4N(0，1) (0.6，−1，1，0，1) 100 0.6U(−1，1) + 0.4N(0，1) 1000 4 0.6U(2，3) + 0.4N(0，1) (0.6，2，3，0，1) 100 0.6U(2，3) + 0.4N(0，1) 1000 三 5 0.5U(−1，1) + 0.5N(0，1) (0.5，−1，1，0，1) 100 0.5U(−1，1) + 0.5N(0，1) 1000 6 0.5U(2，3) + 0.5N(0，1) (0.5，2，3，0，1) 100 0.5U(2，3) + 0.5N(0，1) 1000 四 7 0.4U(−1，1) + 0.6N(0，1) (0.4，−1，1，0，1) 100 0.4U(−1，1) + 0.6N(0，1) 1000 8 0.4U(2，3) + 0.6N(0，1) (0.4，2，3，0，1) 100 0.4U(2，3) + 0.6N(0，1) 1000 五 9 0.3U(−1，1) + 0.7N(0，1) (0.3，−1，1，0，1) 100 0.3U(−1，1) + 0.7N(0，1) 1000 10 0.3U(2，3) + 0.7N(0，1) (0.3，2，3，0，1) 100 0.3U(2，3) + 0.7N(0，1) 1000 表1. 模拟数据参数设置 计值的标准差)。 表2中的第三列和第四列分别对应着分布有交叠情形和无交叠情形下的参数估计，从中可以看出无交叠情形下的参数估计效果要优于有交叠情形下的参数估计效果，并且样本量的大小也直接影响估计效果，在模拟数据的参数设定相同的情况下，样本量为1000的估计效果要优于样本量为100的估计效果。 从表2第三列有交叠情形中可以看出其估计的混合比例较真值有很大的偏差，这是因为均匀分布和正态分布的数据完全的混合在一起，致使错误分类的比例增大；另外均匀分布的参数的估计受交叠程度的影响较大，在存在交叠的情形下，均匀分布参数估计会出现一定的误差，会低估均匀分布的参数；正态分布的参数受交叠情形影响较小，都能够准确的估计出参数值。 从表2第四列参数无交叠的情形中可以看出其估计效果易受样本量的影响，当样本量为1000时，其估计效果明显，因为两分布参数无交叠，所以在应用3.2节中的算法估计均匀分布参数时能够准确定位出均匀分布的位置，同时也为EM算法选定准确的初始值，因此混合比例和正态分布的参数估计值也较有交叠的情形下准确。 考虑表2的模拟结果，本文提出的参数估计方法对两个分布无交叠情形的效果要优于有交叠的情形，特别是无交叠的情形只要样本量足够大，此方法能较为准确的估计出参数值；对于3.2节中提出的估计 Table 2 The parameter estimation of simulation dat 类别 样本量 N 参数估计 参数估计 一 ( ) 100 0.238，−0.507，0.326，0.003，0.82 (0.248，0.432，0.443，0.2，0.182) 0.498，2.108，2.851，0.859，1.359 (0.151，0.157，0.138，0.552，0.193) 1000 0.348，−0.766，0.854，0.004，0.825 (0.227，0.371，0.313，0.072，0.103) 0.656，1.973，2.968，0.283，1.195 (0.062，0.067，0.045，0.332，0.193) 二 ( ) 100 0.241，−0.592，0.464，0.012，0.834 (0.205，0.513，0.505，0.131，0.108) 0.412，2.052，2.824，0.735，1.364 (0.132，0.223，0.136，0.427，0.191) 1000 0.338，−0.81，0.822，0.008，0.885 (0.218，0.34，0.298，0.057，0.091) 0.564，1.943，2.968，0.191，1.134 (0.063，0.074，0.056，0.278，0.181) 三 ( ) 100 0.244，−0.556，0.565，0.025，0.867 (0.213，0.526，0.484，0.278，0.14) 0.345，2.002，2.822，0.538，1.34 (0.116，0.435，0.148，0.398，0.192) 1000 0.224，−0.806，0.818，0.003，0.884 (0.16，0.315，0.285，0.044，0.062) 0.481，1.909，2.976，0.097，1.082 (0.041，0.077，0.04，0.18，0.136) 四 ( ) 100 0.188，−0.607，0.585，−0.002，0.909 (0.17，0.538，0.492，0.111，0.103) 0.271，2.04，2.732，0.419，1.319 (0.098，0.16，0.189，0.303，0.155) 1000 0.171，−0.753，0.743，0.005，0.906 (0.115，0.3，0.321，0.042，0.046) 0.381，1.903，2.968，0.083，1.088 (0.028，0.074，0.036，0.121，0.103) 五 ( ) 100 0.198，−0.581，0.58，0.013，0.963 (0.153，0.455，0.487，0.128，0.103) 0.197，−0.319，1.04，0.713，1.383 (0.206，0.971，1.043，0.648，0.288) 1000 0.131，−0.73，0.724，−0.001，0.937 (0.097，0.319，0.299，0.034，0.041) 0.252，1.451，2.605，0.198，1.144 (0.072，0.959，0.816，0.295，0.166) 表2. 模拟数据的参数估计 均匀分布参数的方法，理论上均匀分布的累积分布函数为一条倾斜的直线，只要实际数据中的均匀分布的经验累积分布函数呈现一条倾斜的直线，其经验累积分布函数就能够用线性回归的方法确定，进而估计出均匀分布的参数；应用3.2节提出的算法不仅能够直接准确的估计出均匀分布的参数还能够为EM算法迭代提供选择初始值的依据；另外本文提出的算法在EM算法之前就直接确定均匀分布的参数，不需要遍历整个数据集。