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user: 3. 主要结果 对于点数相对少的 ψ -图 ψ ( l ， m ， n ， q ， r ) (不妨设 2 ≤ l ≤ m ≤ n ，其中最多有一个等于2， q ≥ 2， r ≥ 3 )，我们利用Matlab软件可计算出它的正负惯性指数和零度(见表1) (此处将图 G = ψ ( l ， m ， n ， q ， r ) 均简记为G， p ( G ) ， n ( G ) ， η ( G ) 分别简记为p，n， )。 Table 1 Positive and negative inertia indexes and nullity of tricyclic graph ψ ( l ， m ， n ， q ， r ) ( 2 ≤ l ， q ≤ 5，   3 ≤ m ， n ， r ≤ 6，   l ≤ m ≤ n G p n η G p n η G p n η G p n η (2，3，3，2，3) 2 4 1 (2，3，5，3，3) 5 5 0 (2，4，4，4，3) 5 6 0 (2，4，6，5，3) 7 7 0 (2，3，3，2，4) 3 3 2 (2，3，5，3，4) 5 5 1 (2，4，4，4，4) 5 5 2 (2，4，6，5，4) 7 7 1 (2，3，3，2，5) 4 4 1 (2，3，5，3，5) 6 6 0 (2，4，4，4，5) 6 7 0 (2，4，6，5，5) 8 8 0 (2，3，3，2，6) 4 5 1 (2，3，5，3，6) 6 6 1 (2，4，4，4，6) 6 7 0 (2，4，6，5，6) 8 8 1 (2，3，3，3，3) 3 4 1 (2，3，5，4，3) 5 6 0 (2，4，4，5，3) 6 6 0 (2，5，5，2，3) 5 5 1 (2，3，3，3，4) 3 4 2 (2，3，5，4，4) 5 5 2 (2，4，4，5，4) 6 6 1 (2，5，5，2，4) 5 5 2 (2，3，3，3，5) 4 4 2 (2，3，5，4，5) 7 6 0 (2，4，4，5，5) 7 7 0 (2，5，5，2，5) 7 5 1 (2，3，3，3，6) 5 5 1 (2，3，5，4，6) 7 7 0 (2，4，4，5，6) 7 7 1 (2，5，5，2，6) 7 6 1 (2，3，3，4，3) 3 5 1 (2，3，5，5，3) 6 6 0 (2，4，5，2，3) 5 5 0 (2，5，5，3，3) 5 5 2 (2，3，3，4，4) 4 4 2 (2，3，5，5，4) 6 6 1 (2，4，5，2，4) 5 5 1 (2，5，5，3，4) 6 5 2 (2，3，3，4，5) 5 5 1 (2，3，5，5，5) 7 7 0 (2，4，5，2，5) 6 6 0 (2，5，5，3，5) 7 6 1 (2，3，3，4，6) 5 6 1 (2，3，5，5，6) 7 7 1 (2，4，5，2，6) 6 6 1 (2，5，5，3，6) 7 7 1 (2，3，3，5，3) 4 5 1 (2，3，6，2，3) 4 6 0 (2，4，5，3，3) 5 6 0 (2，5，5，4，3) 6 6 1 (2，3，3，5，4) 4 5 2 (2，3，6，2，4) 5 5 1 (2，4，5，3，4) 5 5 2 (2，5，5，4，4) 6 6 2 (2，3，3，5，5) 5 5 2 (2，3，6，2，5) 6 6 0 (2，4，5，3，5) 7 6 0 (2，5，5，4，5) 8 6 1 (2，3，3，5，6) 6 6 1 (2，3，6，2，6) 6 7 0 (2，4，5，3，6) 7 7 0 (2，5，5，4，6) 8 7 1 (2，3，4，2，3) 4 4 0 (2，3，6，3，3) 5 6 0 (2，4，5，4，3) 6 6 0 (2，5，5，5，3) 6 6 2 (2，3，4，2，4) 4 4 1 (2，3，6，3，4) 5 6 1 (2，4，5，4，4) 6 6 1 (2，5，5，5，4) 7 6 2 (2，3，4，2，5) 5 5 0 (2，3，6，3，5) 6 7 0 (2，4，5，4，5) 7 7 0 (2，5，5，5，5) 8 7 1 (2，3，4，2，6) 5 5 1 (2，3，6，3，6) 7 7 0 (2，4，5，4，6) 7 7 1 (2，5，5，5，6) 8 8 1 (2，3，4，3，3) 4 5 0 (2，3，6，4，3) 5 7 0 (2，4，5，5，3) 6 7 0 (2，5，6，2，3) 6 6 0 (2，3，4，3，4) 4 4 2 (2，3，6，4，4) 6 6 1 (2，4，5，5，4) 6 6 2 (2，5，6，2，4) 6 6 1 (2，3，4，3，5) 6 5 0 (2，3，6，4，5) 7 7 0 (2，4，5，5，5) 8 7 0 (2，5，6，2，5) 8 6 0 (2，3，4，3，6) 6 6 0 (2，3，6，4，6) 7 8 0 (2，4，5，5，6) 8 8 0 (2，5，6，2，6) 8 7 0 (2，3，4，4，3) 5 5 0 (2，3，6，5，3) 6 7 0 (2，4，6，2，3) 5 6 0 (2，5，6，3，3) 7 6 0 (2，3，4，4，4) 5 5 1 (2，3，6，5，4) 6 7 1 (2，4，6，2，4) 5 5 2 (2，5，6，3，4) 7 6 1 (2，3，4，4，5) 6 6 0 (2，3，6，5，5) 7 8 0 (2，4，6，2，5) 7 6 0 (2，5，6，3，5) 8 7 0 (2，3，4，4，6) 6 6 1 (2，3，6，5，6) 8 8 0 (2，4，6，2，6) 7 7 0 (2，5，6，3，6) 8 8 0 (2，3，4，5，3) 5 6 0 (2，4，4，2，3) 4 5 0 (2，4，6，3，3) 6 6 0 (2，5，6，4，3) 7 7 0 (2，3，4，5，4) 5 5 2 (2，4，4，2，4) 4 4 2 (2，4，6，3，4) 6 6 1 (2，5，6，4，4) 7 7 1 (2，3，4，5，5) 7 6 0 (2，4，4，2，5) 6 5 0 (2，4，6，3，5) 7 7 0 (2，5，6，4，5) 9 7 0 (2，3，4，5，6) 7 7 0 (2，4，4，2，6) 6 6 0 (2，4，6，3，6) 7 7 1 (2，5，6，4，6) 9 8 0 (2，3，5，2，3) 4 5 0 (2，4，4，3，3) 5 5 0 (2，4，6，4，3) 6 7 0 (2，5，6，5，3) 8 7 0 (2，3，5，2，4) 4 5 1 (2，4，4，3，4) 5 5 1 (2，4，6，4，4) 6 6 2 (2，5，6，5，4) 8 7 1 (2，3，5，2，5) 6 5 0 (2，4，4，3，5) 6 6 0 (2，4，6，4，5) 8 7 0 (2，5，6，5，5) 9 8 0 (2，3，5，2，6) 6 6 0 (2，4，4，3，6) 6 6 1 (2，4，6，4，6) 8 8 0 (2，5，6，5，6) 9 9 0 (2，6，6，2，3) 6 7 0 (3，3，4，3，3) 4 4 2 (3，4，4，4，3) 6 6 0 (3，5，5，5，3) 7 7 1 (2，6，6，2，4) 6 6 2 (3，3，4，3，4) 5 4 2 (3，4，4，4，4) 6 6 1 (3，5，5，5，4) 7 7 2 (2，6，6，2，5) 8 7 0 (3，3，4，3，5) 6 5 1 (3，4，4，4，5) 8 6 0 (3，5，5，5，5) 8 8 1 (2，6，6，2，6) 8 8 0 (3，3，4，3，6) 6 6 1 (3，4，4，4，6) 8 7 0 (3，5，5，5，6) 8 8 2 (2，6，6，3，3) 7 7 0 (3，3，4，4，3) 5 5 1 (3，4，4，5，3) 7 6 0 (4，4，4，2，3) 5 6 0 (2，6，6，3，4) 7 7 1 (3，3，4，4，4) 5 5 2 (3，4，4，5，4) 7 6 1 (4，4，4，2，4) 5 5 2 (2，6，6，3，5) 8 8 0 (3，3，4，4，5) 7 5 1 (3，4，4，5，5) 8 7 0 (4，4，4，2，5) 7 6 0 (2，6，6，3，6) 8 8 1 (3，3，4，4，6) 7 6 1 (3，4，4，5，6) 8 8 0 (4，4，4，2，6) 7 7 0 (2，6，6，4，3) 7 8 0 (3，3，4，5，3) 6 5 1 (3，4，5，2，3) 5 6 0 (4，4，4，3，3) 6 6 0 (2，6，6，4，4) 7 7 2 (3，3，4，5，4) 6 5 2 (3，4，5，2，4) 5 5 2 (4，4，4，3，4) 6 6 1 (2，6，6，4，5) 9 8 0 (3，3，4，5，5) 7 6 1 (3，4，5，2，5) 7 6 0 (4，4，4，3，5) 7 7 0 (2，6，6，4，6) 9 9 0 (3，3，4，5，6) 7 7 1 (3，4，5，2，6) 7 7 0 (4，4，4，3，6) 7 7 1 (2，6，6，5，3) 8 8 0 (3，3，5，2，3) 4 5 1 (3，4，5，3，3) 6 6 0 (4，4，4，4，3) 6 7 0 (2，6，6，5，4) 8 8 1 (3，3，5，2，4) 4 4 3 (3，4，5，3，4) 6 6 1 (4，4，4，4，4) 7 6 1 (2，6，6，5，5) 9 9 0 (3，3，5，2，5) 6 5 1 (3，4，5，3，5) 7 7 0 (4，4，4，4，5) 8 7 0 (2，6，6，5，6) 9 9 1 (3，3，5，2，6) 6 6 1 (3，4，5，3，6) 7 8 0 (4，4，4，4，6) 8 8 0 (3，3，3，2，3) 3 3 2 (3，3，5，3，3) 5 5 1 (3，4，5，4，3) 6 7 0 (4，4，4，5，3) 7 7 0 (3，3，3，2，4) 3 3 3 (3，3，5，3，4) 5 5 2 (3，4，5，4，4) 6 6 2 (4，4，4，5，4) 7 7 1 (3，3，3，2，5) 4 4 2 (3，3，5，3，5) 6 6 1 (3，4，5，4，5) 8 7 0 (4，4，4，5，5) 8 8 0 (3，3，3，2，6) 4 4 3 (3，3，5，3，6) 6 6 2 (3，4，5，4，6) 8 8 0 (4，4，4，5，6) 8 8 1 (3，3，3，3，3) 3 4 2 (3，3，5，4，3) 5 6 1 (3，4，5，5，3) 7 7 0 (4，4，5，2，3) 5 7 0 (3，3，3，3，4) 3 3 4 (3，3，5，4，4) 5 5 3 (3，4，5，5，4) 7 7 1 (4，4，5，2，4) 6 6 1 (3，3，3，3，5) 5 4 2 (3，3，5，4，5) 7 6 1 (3，4，5，5，5) 7 8 0 (4，4，5，2，5) 7 7 0 (3，3，3，3，6) 5 5 2 (3，3，5，4，6) 7 7 1 (3，4，5，5，6) 7 9 0 (4，4，5，2，6) 7 7 1 (3，3，3，4，3) 4 4 2 (3，3，5，5，3) 6 6 1 (3，5，5，2，3) 5 6 1 (4，4，5，3，3) 6 7 0 (3，3，3，4，4) 4 4 3 (3，3，5，5，4) 6 6 2 (3，5，5，2，4) 5 5 3 (4，4，5，3，4) 6 7 1 (3，3，3，4，5) 5 5 2 (3，3，5，5，5) 7 7 1 (3，5，5，2，5) 7 6 1 (4，4，5，3，5) 7 8 0 (3，3，3，4，6) 5 5 3 (3，3，5，5，6) 7 7 2 (3，5，5，2，6) 7 7 1 (4，4，5，3，6) 8 8 0 (3，3，3，5，3) 4 5 2 (3，4，4，2，3) 5 5 0 (3，5，5，3，3) 6 6 1 (4，4，5，4，3) 6 8 0 (3，3，3，5，4) 4 4 4 (3，4，4，2，4) 5 5 1 (3，5，5，3，4) 6 6 2 (4，4，5，4，4) 7 7 1 (3，3，3，5，5) 6 5 2 (3，4，4，2，5) 7 5 0 (3，5，5，3，5) 7 7 1 (4，4，5，4，5) 8 8 0 (3，3，3，5，6) 6 6 2 (3，4，4，2，6) 7 6 0 (3，5，5，3，6) 7 7 2 (4，4，5，4，6) 8 9 0 (3，3，4，2，3) 4 4 1 (3，4，4，3，3) 6 5 0 (3，5，5，4，3) 6 7 1 (4，4，5，5，3) 7 8 0 (3，3，4，2，4) 4 4 2 (3，4，4，3，4) 6 5 1 (3，5，5，4，4) 6 6 3 (4，4，5，5，4) 7 8 1 (3，3，4，2，5) 6 4 1 (3，4，4，3，5) 7 6 0 (3，5，5，4，5) 7 7 1 (4，4，5，5，5) 8 9 0 (3，3，4，2，6) 6 5 1 (3，4，4，3，6) 7 7 0 (3，5，5，4，6) 8 8 1 (4，4，5，5，6) 9 9 0 (4，5，5，2，3) 5 7 1 (4，5，5，4，3) 6 8 1 (5，5，5，2，3) 6 6 2 (5，5，5，4，3) 7 7 2 (4，5，5，2，4) 6 6 2 (4，5，5，4，4) 7 7 2 (5，5，5，2，4) 6 6 3 (5，5，5，4，4) 7 7 3 (4，5，5，2，5) 7 7 1 (4，5，5，4，5) 8 8 1 (5，5，5，2，5) 7 7 2 (5，5，5，4，5) 8 8 2 (4，5，5，2，6) 7 8 1 (4，5，5，4，6) 8 9 1 (5，5，5，2，6) 7 7 3 (5，5，5，4，6) 8 8 3 (4，5，5，3，3) 6 7 1 (4，5，5，5，3) 7 8 1 (5，5，5，3，3) 6 7 2 (5，5，5，5，3) 7 8 2 (4，5，5，3，4) 6 7 2 (4，5，5，5，4) 7 8 2 (5，5，5，3，4) 6 6 4 (5，5，5，5，4) 7 7 4 (4，5，5，3，5) 7 7 2 (4，5，5，5，5) 8 8 2 (5，5，5，3，5) 8 7 2 (5，5，5，5，5) 9 8 2 (4，5，5，3，6) 8 8 1 (4，5，5，5，6) 9 9 1 (5，5，5，3，6) 8 8 2 (5，5，5，5，6) 9 9 2 表1. 三圈图 ψ ( l ， m ， n ， q ， r ) 的正负惯性指数和零度(2 ≤ l ， q ≤ 5，   3 ≤ m ， n ， r ≤ 6，   l ≤ m ≤ n) 设 ψ -型的三圈图G (即 G ∈ β )，三圈图G的核表示为 χ G ，对每一个点 v ∈ χ G ，记 G { v } 为包含点v且不包含 χ G 上的其他点的图G的最大连通导出子图，易知 G { v } 是一棵树，假如存在点 v ∈ χ G 使得点v是 G { v } 的匹配点，则称图G是I—型的，否则称图G是II—型的。 定理1：设三圈图 G ∈ β ，其中 χ G 为图G的核。 1)若G为I-型的，且点v是 G { v } 的一个可匹配点则 p ( G ) = p ( G { v } ) + p ( G − G { v } ) ， n ( G ) = n ( G { v } ) + n ( G − G { v } ) ， η ( G ) = η ( G { v } ) + η ( G − G { v } ) . 其中 G { v } 是树， G − G { v } 是一些双圈图，单圈图和树的并。 2) 若图G为II-型的，则 p ( G ) = p ( G − χ G ) + p ( χ G ) ， n ( G ) = n ( G − χ G ) + n ( χ G ) ， η ( G ) = η ( G − χ G ) + η ( χ G ) . 证明：1) 若G是I-型的，点v是 G { v } 的可匹配点，则存在一个正整数 k ∈ { 2，3，4 } 使得 G = G { v } ( v ) ⊙ k ( G − G { v } ) 成立，由引理4知 p ( G ) = p ( G { v } ) + p ( G − G { v } ) ， n ( G ) = n ( G { v } ) + n ( G − G { v } ) ， η ( G ) = η ( G { v } ) + η ( G − G { v } ) . 其中 G { v } 是树， G − G { v } 是双圈图，单圈图和树的并。 2) 若G是II-型且G不是 ψ -图，所以H有悬挂点或树，点v为 G { v } 的未匹配点，由引理5有 n ( G ) = n ( G { v } − v ) + n ( G − ( G { v } − v ) ) ， η ( G ) = η ( G { v } − v ) + η ( G − ( G { v } − v ) ) . 反复运用引理1和引理5有 p ( G ) = ∑ v ∈ χ G p ( G { v } − v ) + p ( χ G ) = p ( G − χ G ) + p ( χ G ) ， n ( G ) = ∑ v ∈ χ G n ( G { v } − v ) + n ( χ G ) = n ( G − χ G ) + n ( χ G ) ， η ( G ) = ∑ v ∈ χ G η ( G { v } − v ) + η ( χ G ) = η ( G − χ G ) + η ( χ G ) . 从而结论得证。 文献 [ 2 ] 中作者提出了一个猜想：设G是一个图，则 − c 3 ( G ) ≤ p ( G ) − n ( G ) ≤ c 5 ( G ) . 接下来的推论验证次猜想对本文所研究的一类三圈图成立。 推论1：设三圈图 G ∈ β ，则 − c 3 ( G ) ≤ p ( G ) − n ( G ) ≤ c 5 ( G ) . 证明：设 χ G 是三圈图G的核， 1) 若G是I-型的且点v是 G { v } 的匹配点，则 p ( G ) = p ( G { v } ) + p ( G − G { v } ) ， n ( G ) = n ( G { v } ) + n ( G − G { v } ) . 其中 G { v } 是树， G − G { v } 是双圈图，单圈图和树的并，由引理6知对于树和双圈图，单圈图和树的并成立，从而对于三圈图G结论成立。 2) 若G为II-型的，由定理1知 p ( G ) = p ( G − χ G ) + p ( χ G ) ， n ( G ) = n ( G − χ G ) + n ( χ G ) . 因为 G − χ G 是森林，根据树的正负惯性指数相等，得 p ( G ) − n ( G ) 等于它的核的正负惯性指数之差，由引理7和表1中所含图的正负惯性指数之差，可检验 p ( χ G ) − n ( χ G ) 满足结论中的不等式，从而推论成立。