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user: 5. 利用多元线性回归模型对人均预期寿命进行预测 从图2的分析可以看出，居民健康水平波动性较大，不稳定，而居民健康水平与 x 21 人均预期寿命、 x 22 达到国民体质标准合格以上的人数比例、 x 23 基本保险养老人数和 x 24 养老保险覆盖率相关，其中人均预期寿命是老百姓最为关心的指标。根据前面指标的相关性分析人均预期寿命主要受到人均医疗卫生事业费；每千人口医师数；每千人口床位数；达到国民体质标准合格以上的人数比例以及恩格尔系数有关。下面借助于未来5年、10年和15年深圳医疗和养老保障需要实现的目标量化指标数据以及2014~2019年间数据用多元线性回归分析方法来研究人均预期寿命与上面5个指标的联系。 5.1. 多元线性回归分析预测 为方便期间下面用 表示因变量人均预期寿命；用 y 1 表示自变量人均医疗卫生事业费(元)； y 2 表示自变量每千人口医师数； y 3 表示自变量每千人口床位数； y 4 表示自变量达到国民体质标准合格以上的人数比例； y 5 表示自变量恩格尔系数。 基于表2中的数据，假设五个因素 y i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 5 ) 和人居预期寿命z值满足多元线性回归模型 [ 10 ] [ 11 ]。则采用多元线性回归分析的模型为： z = β 0 + β 1 y 1 + β 2 y 2 + ⋯ + β 5 y 5 + ε ε ∼ N ( 0 ， σ 2 ) (14) 式中 β 0 ， β 1 ， ⋯ ， β 5 ， σ 2 都是与 y i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 5 ) 无关的未知参数，这里 β 0 ， β 1 ， ⋯ ， β 5 称为回归系数。 借助于已有数据，通过灰色系统预测方法得到10组独立观测数据 ( z i ， y i 1 ， y i 2 ， ⋯ ， y i 5 ) ，见表7。 由(14)得 z i = β 0 + β 1 y i 1 + β 2 y i 2 + ⋯ + β 5 y i 5 + ε i ε i ~ N ( 0 ， δ 2 ) ， ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 10 ) (15) 记 Y = ⌈ 1 1 ⋮ y 11 y 21 ⋮ ⋯ ⋯ ⋱ y 15 y 25 ⋮ 1 y 101 ⋯ y 105 ⌉ ， Z = ⌈ z 1 z 2 ⋮ z 10 ⌉ (16) ε = [ ε 1 ⋯ ε 10 ] T ， β = [ β 0 β 1 ⋯ β 10 ] T 公式(15)用矩阵形式可以表示为： Z = Y β + ε ， ε i ~ N ( 0 ， δ 2 E n ) ， ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 10 ) 其中 E n 为 n 阶单位矩阵。 Table 7 Next 5， 10 and 15 years and known relevant dat 年份 人均预期寿命 人均医疗卫生事业费(元) 每千人口医师数 每千人口床位数 达到国民体质标准 合格以上的人数比例 恩格尔系数 2014 78.3 772.97 2.49 2.88 89.8 0.331 2015 79 960.87 2.55 3.35 88.5 0.32 2016 79.9 1080.45 2.57 3.49 90.25 0.305 2017 80.35 1245.38 2.66 3.5 92 0.3 2018 81.25 1465.45 2.79 3.65 89.7 0.292 2019 81.45 2496.35 3.01 3.83 90.6 0.294 2020 81.7 3009.6 3.12 4.0 89.905 0.279 2025 82.55 9541.1 3.95 4.91 90.395 0.242 2030 83.75 22960 5.02 5.66 89.750 0.209 2035 84.13 45824 6.33 6.11 91.467 0.181 表7. 未来5年、10年和15年和已知相关数据 数据来源：深圳市卫生健康委网站、《深圳统计年鉴2019》、中国统计信息网。 5.2. 参数估计 模型(15)中的参数 β 0 ， β 1 ， ⋯ ， β 5 用最小二乘法估计，即应选取估计值 β ^ j ，使当 β j = β ^ j ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， 5 时，误差平方和 Q = ∑ i = 1 n ε i 2 = ∑ i = 1 10 ( z i − β 0 − β 1 y i 1 − β 2 y i 2 − ⋯ − β 5 y i 5 ) 2 (17) 达到最小。 图3. 原始数据残差图 图4. 去掉异常点后的残差图 运用MATLAB软件运行程序，残差图3可以看出，除第一个和第六个数据外，其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点。去除第六个点后再次运行程序，从残差图4可以看出，数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，可以认为第六个数据为异常点。 Table 8 Parameter values of multiple regression coefficient 系数 系数估计值 系数置信区间 β 0 161.0511 [91.5622， 230.5399] β 1 0 [−0.0002 ， 0.0002] β 2 −1.8413 [−5.3174， 1.6348] β 3 −2.8335 [−6.4871， 0.8200] β 4 −25.3407 [−64.8490， 14.1675] β 5 −142.4757 [−226.9093， −58.0421] R 2 = 0.9951; F = 122.1485; p = 0.0012 < 0.01; s 2 = 0.0535 表8. 多元回归系数参数值 由图4和表8可以看出，残差图十分正常，该模型完全可用。 对应的回归方程为： z = 161.0511 − 1.8413 y 2 − 2.8335 y 3 − 25.3407 y 4 − 142.4757 y 5 (18) 从公式(18)可以看出，指标恩格尔系数前的绝对值系数最大，可以看出人居预期寿命受恩格尔系数的影响最大。一般来说，在其他条件相同的情况下，恩格尔系数较高，作为家庭来说则表明收入较低，作为国家来说则表明该国较穷。反之，恩格尔系数较低，作为家庭来说则表明收入较高，作为国家来说则表明该国较富裕。因此加快经济发展，增加广大城镇居民收入水平，是降低恩格尔系数的最重要手段。影响人居预期寿命第二大的指标就是达到国民体质标准合格以上的人数比例。要想提高人均预期寿命还需要更好的加强体育锻炼，并且要长久坚持。 借助于原始数据表中恩格尔系数的数据，利用Matlab软件编程，以年份为自变量，对恩格尔系数进行拟合，拟合图如图5所示。 图5. 恩格尔系数拟合图 同时可得出残差为0.0146；相关系数0.9758；误差平方和SSE 0.0002135。 效果较好，可以用该函数进行预测。拟合得到的函数关系为： y 5 = 0.0004 x 3 − 0.0079 x 2 + 0.0364 x + 0.3178 (19) 由公式(1)、公式(2)、公式(3)、公式(18)以及公式(19)可得联立方程组： { y 2 = 0.0002 x 3 − 0.0005 x 2 + 0.0629 x + 2.0152 y 3 = − 0.0024 x 3 + 0.0416 x 2 − 0.0135 x + 2.0988 y 4 = 0.9025 + 0.003698 cos ( 0.6542 x ) + 0.00542 sin ( 0.6542 x ) + 0.0007838 cos ( 1.3084 x ) − 0.004582 sin ( 1.3084 x ) − 0.00251 cos ( 1.9626 x ) − 0.01157 sin ( 1.9626 x ) y 5 = 0.0004 x 3 − 0.0079 x 2 + 0.0364 x + 0.3178 z = 161.0511 − 1.8413 y 2 − 2.8335 y 3 − 25.3407 y 4 − 142.4757 y 5 (20) 此方程组都是以“年份”作为自变量的， x = 1 对应2009年， x = 2 对应2010年，依此类推， x = 12 对应2020年， x = 17 对应2025年， x = 22 对应2030年。 方程组对x求导可得每个指标的年增长率。 { d y 2 d x = 0.006 x 2 − 0.001 x + 0.0629 d y 3 d x = − 0.0072 x 2 + 0.0832 x − 0.0135 d y 4 d x = 0.0036 cos ( 0.6542 x ) − 0.0024 sin ( 0.6542 x ) − 0.006 cos ( 1.3084 x )           − 0.001 sin ( 1.3084 x ) − 0.023 cos ( 1.9626 x ) + 0.005 sin ( 1.9626 x ) d y 5 d x = 0.0012 x 2 − 0.0158 x + 0.0364 d z d x = − 1.8413 d y 2 d x − 2.8335 d y 3 d x − 25.3407 d y 4 d x − 142.4757 d y 5 d x 合并同类项后可得， { d y 4 d x = 0.0036 cos ( 0.6542 x ) − 0.0024 sin ( 0.6542 x ) − 0.006 cos ( 1.3084 x ) − 0.001 sin ( 1.3084 x ) − 0.023 cos ( 1.9626 x ) + 0.005 sin ( 1.9626 x ) d z d x = − 0.1616 x 2 + 1.917 x − 5.26367 − 25.3407 d y 4 d x 由上述方程组可知，要想求出表7中未来5年、10年和15年深圳医疗和养老保障需要实现的目标量化指标——人均预期寿命每年的增长率，只需要把相应的 值带进去即可。例如求人居预期寿命2023年的增长率，只需把 x = 15 (2023年对应的x为15)带入上述方程组即可。通过Mathematica软件计算函数值，可得人均预期寿命2023年的年增长率为0.0058。