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user: 3. 新的风险度量准则——指数平方误差风险 经典的马柯威茨均值–方差模型度量风险的参数为资产收益率的方差，其试图平衡风险投资领域中资产组合的预期收益和风险这两个核心问题 [ 6 ] - [ 11 ]。然而由于方差作为风险度量存在的不足，需要对风险度量的准则作进一步改进 [ 7 ] [ 8 ] [ 10 ] [ 11 ]，因此获得指数平方误差风险度量的概念。 定义3 设 r i 表示第i个证劵投资， R i 表示其期望收益，用 x i 表示第i项投资的额度 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，则对于单个投资而言投资组合的风险指数 [ 7 ]： ϕ ( u i ) = 1 − E [ exp ( − u i 2 / γ ) ] 其中， u i = R i − x i T r i ， γ 为控制估计量的鲁棒性程度的指数。 注1 较小的 γ 在这些估计量中将限制异常值的影响，尽管它也降低了估计量的灵敏度。 注2 当 γ 非常大时， ϕ ( u ) ≈ u 2 / γ ，此时，该估计量类似于最小二乘估计； 当 γ 非常小时，通过对 u i = R i − x i T r i 的大量的绝对值可以观测到 ϕ γ ( u i ) 的大额损失，此时，该估计量对参数 R i 的估算有一些影响。 因此，较小的 γ 在这些估计量中将限制异常值的影响，尽管它也降低了估计量的灵敏度。 定义4 一个估计量在有限样本下添加的击穿点被定义为： B P ( β ⌢ n ; D n − m ) = min { m n : sup D m ‖ β ⌢ ( D n ) − β ⌢ ( D n − m ) ‖ = ∞ } 其中， β ⌢ n 是d维向量的未知参数， D n = ( D 1 ， ⋯ ， D n ) ， D i = ( x i ， Y i ) ， D n − m = { D m + 1 ， ⋯ ， D n } ， m n 是 D n 中的坏点比例， β ⌢ ( D n ) 是基于样本 D n 回归估计， ‖   ⋅   ‖ 是欧几里德范数。 注3 定义3提供了下界的击穿点，这个界依赖于初始估计和调整参数 γ n 的击穿点。 注4 如果 β ˜ n 是渐近击穿点的1/2倍鲁棒估计且 γ n 使得 ζ ( γ ) ∈ ( 0 ， 1 ] ，那么 B P ( β ⌢ n ; D n − m ; γ n ) 是渐近的1/2。 定义5 用风险指数作为风险度量因子，则这种风险度量下的风险模型 [ 7 ] 表示为： max     E ( u ) = E ( x 1 r 1 + x 2 r 2 + ⋯ + x n r n ) s .t     { E ( ϕ ( u ) ) ≤ c ∑ i = 0 n x i = 1 x i ≥ 0 (4) 3.1. 指数平方误差损失模型的有效前沿 由定义2及推论1有：取 E ( ϕ ( u ) ) = u 0 ，求解以下线性约束二次规划问题： max     σ 2 ( ϕ ( u ) ) = X T V X s .t     { E ( ϕ ( u ) ) = X T R = u 0 X T e = 1 就可求得前沿上的点的问题，进而可求得在前沿上的方差最小的证劵组合。 定理2 前沿上的两个证劵组合协方差为： C o v ( u 0 ， u 1 ) = X T V X 1 = C D ( u 0 − A C ) ( u 1 − A C ) + 1 C 当 u 0 = u 1 时，证劵组合的方差 σ ( ϕ ( u ) ) 2 = C D ( E ( ϕ ( u ) ) − A / C ) 2 + 1 C ，即 σ ( ϕ ( u ) ) 2 1 / C − ( E ( ϕ ( u ) ) − A / C ) 2 D / C 2 = 1 的上半支曲线即为对应的均值–方差模型的有效前沿。 证明： 一般的，引入以下的拉格朗日函数： L ( X ， λ ， μ ) = X T V X + λ ( u 0 − X T R ) + μ ( 1 − X T e ) 从而有： { ∂ L ∂ X T = 2 V X − λ R − μ e = 0 ∂ L ∂ λ = u 0 − X T R = 0 ∂ L ∂ μ = 1 − X T e = 0 (5) 显然，V是正定矩阵。解此方程组，可以得到： λ = ( C u 0 − A ) / D ，   μ = ( B − A u 0 ) / D 。 其中 A = e T V T R = R T V − 1 e ，   B = R T V − 1 R ，   C = e T V − 1 e ，   D = B C − A 2 > 0 。 将 λ ， μ 代入(5)式，得到在指定收益 u 0 下方差最小的证劵组合： X = u 0 C − A D V − 1 R + B − u 0 A D V − 1 e (6) 类似的，指定另外一个收益 r 1 ，在前沿上的证劵组合为： X 1 = u 1 C − A D V − 1 R + B − u 1 A D V − 1 e (7) 由(6) (7)式得到前沿上的两个证劵组合协方差为： C o v ( u 0 ， u 1 ) = X T V X 1 = C D ( u 0 − A C ) ( u 1 − A C ) + 1 C 。□ 3.2. 指数平方误差损失模型中 γ 的选取 选取 γ 的整个过程列为以下几个步骤 [ 9 ]： 1、 找伪离群值集的样本 令 D n = { ( x 1 ， R 1 ) ， ⋯ ， ( x n ， R n ) } ，计算 v i ( β ⌢ n ) = R i − x i T β ⌢ n ，   i = 1 ， ⋯ ， n 和 S n = 1.4826 × m e d i a n i | v i ( β ⌢ n ) − m e d i a n j ( β ⌢ n ) | ，然后采取伪异常，让 D m = { ( x i ， R i ) : | v i ( β ⌢ n ) | ≥ 2.5 S n } ，其中 m = # { 1 ≤ i ≤ n : | v i ( β ⌢ n ) | ≥ 2.5 S n } ， D n − m = D n / D m 。 2、更新调整参数 γ n 设 γ n 是 det ( V ⌢ ( γ ) ) 在集合 G = { γ : ζ ( γ ) ∈ ( 0 ， 1 ] } 中的极小值，其中 ζ ( γ ) 的定义为 ζ ( γ n ) = 2 m n + 2 n ∑ i = m + 1 n { 1 − E [ exp ( − u i 2 / γ ) ] } { v i ( β ˜ n ) } ，其中， u i = R i − x i T r i ， ζ ( γ n ) 是 ( 0 ， 2 ] 的实数。 V ⌢ ( γ ) = { I ⌢ 1 ( β ⌢ n ) } − 1 Σ 2 { I ⌢ 1 ( β ⌢ n ) } − 1 ，其中， I ⌢ 1 ( β ⌢ n ) = 2 γ { 1 n ∑ i = 1 n exp ( − v i 2 ( β ⌢ n ) / γ ) ⋅ ( 2 v i 2 ( β ⌢ n ) γ − 1 ) } × ( 1 n ∑ i = 1 n x i x i T ) Σ 2 = cov { exp ( − v 1 2 ( β ⌢ n ) / γ ) 2 v 1 ( β ⌢ n ) γ x 1 ， ⋯ ， exp ( − v n 2 ( β ⌢ n ) / γ ) 2 v 1 ( β ⌢ n ) γ x n } 3、根据固定的 λ n j = log ( n ) / ( n | β ⌢ n | ) 和在步骤2中确定的 γ n 使 l n ( β ) = ∑ i = 1 n exp { − ( R i − x i T β ) 2 / γ n } − n ∑ j = 1 d p λ n j ( | β j | ) 最大化来更新 β ⌢ n 。 取MM估计值 β ˜ n 作为初始估计值，即 β ⌢ n = β ˜ n ，然后重复步骤1~3，直到 β ⌢ n 和 γ n 收敛。 根据Matlab软件的计算结果，得到 γ = 3.9579 。