system: [SYSTEM]

user: 3. 一类SI-SEIR模型的分析 3.1. 模型的建立 H7N9型禽流感在禽类中有低致病性，禽类一般不发病或症状很轻，而在人类中却有高致病性。由于禽类是人类感染禽流感的来源，因而我们首先考虑禽流感在禽类间的传播。 把禽类分为易感禽类和携带病毒的禽类，分别用 X ( t ) ， Y ( t ) 表示 t 时刻易感禽类和携病毒类禽类的数量，记 N ( t ) = X ( t ) + Y ( t ) 为禽类总数，假设其传播过程为： 图1. 禽类系统传播过程图 由此，我们可以写出其对应SI型ODB模型。 { X ′ = A − β 1 X Y − d X Y ′ = β 1 X Y − d Y − m Y (3.1) 其中， A 表示禽类的常数输入率； β 1 表示禽类对易感禽类的传染率， β 1 X Y 则表示具有禽流感病毒的受感染禽类在时间 t 的感染能力； d 表示禽类自然死亡率； m 表示禽类的因病死亡率，这里假定所有参数均为正数。 其次，考虑禽流感在人类间的传播，H7N9禽流感病毒主要通过带病毒的禽类与人类接触进行传播，目前并没有明显数据表明禽流感在人类中可以相互传播，对此，我们假设该病毒在人与人之间不存在传播。从禽流感病毒的背景出发，发现该病毒具有一周左右的潜伏期，因而我们假设其传播过程为： 图2. 人类系统传播过程图 因此，对人类系统我们考虑SEIR模型。把人类分为易感者类、潜伏期者类、染病者类和移除者类，分别用 S ( t ) ， E ( t ) ， I ( t ) ， R ( t ) 表示其在 t 时刻的人口数量，记 M ( t ) = S ( t ) + E ( t ) + I ( t ) + R ( t ) 为 t 时刻人类总数，因而结合上述传播框图，建立如下SEIR模型： { S ′ = B − μ S − β 2 S Y E ′ = β 2 S Y − μ E − ω E I ′ = ω E − μ I − δ I − γ I R ′ = γ I − μ R (3.2) 其中，参数 B 表示人类的常数输入率； β 2 表示人类和禽类接触时处于染病期的禽类对人类的传染率； ω 表示人类从潜伏者转化为染病者的转化率； μ 表示人类自然死亡率； δ 表示人类的因病死亡率； γ 表示人类的恢复率，这里假定所有参数均为正数。 综上，我们给出如下SI-SEIR人–禽流感模型。 { X ′ = A − β 1 X Y − d X Y ′ = β 1 X Y − d Y − m Y S ′ = B − μ S − β 2 S Y E ′ = β 2 S Y − μ E − ω E I ′ = ω E − μ I − δ I − γ I R ′ = γ I − μ R (3.3) 3.2. 有界性 考虑疾病传播的生物学意义，设 ( X ， Y ， S ， E ， I ， R ) ∈ ℝ + 6 由系统(3.3)可得 { N ′ ( t ) = A − d N ( t ) − m Y M ′ ( t ) = B − μ M ( t ) − δ I (3.4) 且可行域 D = { ( X ， Y ， S ， E ， I ， R ) ∈ ℝ + 6 | 0 ≤ X + Y ≤ A d ， 0 ≤ S + E + I + R ≤ B μ } 。 定理3.1 如果 ( X ( 0 ) ， Y ( 0 ) ， S ( 0 ) ， E ( 0 ) ， I ( 0 ) ， R ( 0 ) ) ∈ ℝ + 6 成立，那么系统(3.3)的所有解是最终一致有界的。 证明：由 N ′ ( t ) = X ′ + Y ′ = A − d N ( t ) − m Y 可得 N ′ ( t ) ≤ A − d N (t) 由比较定理得 N ( t ) ≤ ( N ( 0 ) − A d ) e − d t + A d 故 lim sup t → ∞ N ( t ) ≤ A d 即 N 最终一致有上界。 又 N ′ ( t ) ≥ A − ( d + m ) N (t) 由比较原理得 N ( t ) ≥ ( N ( 0 ) − A d + m ) e − ( d + m ) t + A d + m 故 lim inf t → ∞ N ( t ) ≥ A d + m 即 N 最终一致有下界。 因此，存在充分大的 T * ，当 t > T * ，存在正常数 k N 和 K N ，使得 k N ≤ N ≤ K N 。同理可得，存在充分大的 T * * ，当 t > T * * ，存在正常数 k M 和 K M ，使得 k M ≤ M ≤ K M 。即结论得证。 3.3. 平衡点的稳定性分析 3.3.1. 禽类系统分析 由于禽类系统(3.1)与人类系统(3.2)是独立的，故首先考虑禽类系统。令系统(3.1)的右边为零，显然 它具有一个无病平衡点 q 0 = ( X 0 ， 0 ) ，其中 X 0 = A d 。记另一个平衡点为 q + = ( X * ， Y * ) ，其中 X * = d + m β 1 ， Y * = A d + m − d β 1 。 定义基本再生数 r 0 = A β 1 d ( d + m ) 。在 ℝ + 2 中， q 0 始终存在。当 r 0 > 1 时， q + 存在。且我们有： 定理3.2 如果 r 0 < 1 ，那么 q 0 在 ℝ + 2 上是全局渐近稳定的；如果 r 0 > 1 ，那么 q + 在 ℝ + 2 上是全局渐近稳定的。 证明：设Lyapunov函数为 V = Y 函数满足 V ′ = β 1 X Y − d Y − m Y ≤ ( A β 1 d − d − m ) Y 易知，当 r 0 > 1 时， V ′ > 0 平衡点 q 0 在 ℝ + 2 上是不稳定的;当 r 0 < 1 时， V ′ ≤ 0 。 显然， D 1 = { ( X ， Y ) ∈ D | V ′ = 0 } = ( X 0 ， 0 ) ，易知系统(3.1)在 D 中的最大不变集 M 只在集合 D 1 。由La Salle不变性原理 [ 15 ] 知，无病平衡点 q 0 在 ℝ + 2 上是全局渐近稳定的，且 M = { ( X 0 ， 0 ) } 。 下面考虑平衡点 q + 。如果 r 0 > 1 ， q + 在 ℝ + 2 上存在。系统(3.1)在 q + 的Jacobian矩阵为 J q + = ( − d − β 1 Y * − β 1 X * β 1 Y * 0 ) 可知Jacobian矩阵 J q + 的特征方程为： λ 2 + ( d + β 1 Y * ) λ + β 1 2 ( d + m ) Y * = 0 显然，若 r 0 > 1 ，则有 d + β 1 Y * > 0 ， β 1 2 ( d + m ) Y * > 0 。即特征方程的根有负实部。故若 r 0 > 1 ，正平衡点 q + 在 ℝ + 2 上是局部渐近稳定的。下证 q + 在 ℝ + 2 上是全局渐近稳定的。 取Dulac函数 ，设 ， ，于是 因而，系统(3.1)不存在周期解，由文献MC. and M [ 16 ] 中定理2.1知正平衡点 在 上是全局吸引的。故禽类系统的正平衡点 在 上是全局渐近稳定的。 3.3.2. 禽类–人类系统分析 当 ，系统(3.3)有两个平衡点：无病平衡点 和唯一的正平衡点 ，其中 ， ， ， ， ， 。 下面给出系统(3.3)的Jacobian矩阵 简单计算得， 对应的特征根分别为 。显然，当 时， 无病平衡点 局部渐近稳定。类似地， 对应的特征根分别为 。由于该Jacobian矩阵的代数重数与几何重数相等，故当 时，平衡点 局部渐近稳定。因此，可以得到下面结论。 定理3.3 若 ，则 是局部渐近稳定的；若 ，则 不稳定而 是局部渐近稳定的。 下面考虑系统(3.3)的无病平衡点 。定义 定理3.4 若 ，系统(3.3)的无病平衡点 是全局渐近稳定的。 证明：当 时，无病平衡点 是局部渐近稳定的，且 . 由定理3.2，结合极限系统 [ 17 ] 理论，知 即系统(3.3)是全局吸引的。故当 时，无病平衡点 在 上是全局渐近稳定的。 下面讨论系统(3.3)地方病平衡点 的全局稳定性。在给出主要结论之前，我们需要如下引理。 引理3.5 [ 18 ] 设 (A 1 ) 是 的一个紧子集； (A 2 ) 是 的一个紧子集。 若存在 ( )，使得 (1) ； (2) 。 则存在常数 和充分大的 ，使得对任意的 和任意的 ，有 的一个紧子集； 定理3.6 若 ，则系统(3.3)是永久生存的。 证明：由定理3.1及定理3.4知，存在 ，当 时，存在 及 ，使 ，及 。定义 易知， 是 的紧子集， 是 的紧子集，且 是前向不变的。 令 ，那么 是 的，当且仅当 时有 。此外，对任意 有 。因此，由引理3.5知，存在正常数 ，使得对任意 有 . 结合定理3.1知，存在 ，使 . 同理可得，存在 ，使 故系统(3.3)是永久生存的。 定理3.7若 ，则 是全局渐近稳定的。 证明：由定理3.2知，当 ， 时， 。又由定理3.6知，系统(3.3)是永 久生存的。由于人类系统的前三个方程中不含有 ，故系统(3.3)的全局稳定性可化为其对应的极限系统的研究： (3.5) 极限系统(3.5)在一般解 下的Jacobian矩阵为 . 对应第二可加性复合矩阵为 . 取函数 ，因此 . 取向量范数 ，则 由于 故 因此，由定理2.1，正平衡点 是全局渐近稳定的。