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user: 3. 主要结果及其证明 定理1 [ 6 ] ：如果集值映射 F : X → P 0 ( Y ) 是闭的，则 ∀ x ∈ X ， F ( x ) 是闭的。 定理2 [ 6 ] ：设 X ， Y ， Z 是Housdorff拓扑空间， F : X → P 0 ( Y ) 和 G : Y → P 0 ( Z ) 是两个集值映射，如果F在X上是上半连续的，G在Y上是上半连续的，则复合映射 G F : X → P 0 ( Z ) 在X上是上半连续的。 定理3 [ 1 ] ：设M是一Banach空间，M是X的一个非空闭凸子集。 F : M → P ( M ) 是一个集值映射。假设F满足以下条件： (f1) F ( M ) 是一相对紧集； (f2) F在M是上半连续的； (f3) 集合 F ( x ) 是非空闭凸集。 那么，存在 x ∈ M ，使得 x ∈ F ( x ) 。 定理4 若M是Banach空间，X是非空有界闭凸集， A : M → P ( M ) 是一个集值映射， B : M → X 是单值映射。若满足以下条件： (i) A ( M ) 是一个相对紧集； (ii) A在M上是上半连续的； (iii) B是一个压缩映射，且 A x + B x ∈ M ， ∀ x ∈ M ； (iv) 集合 A ( x ) 是非空闭集，且 ∀ y ∈ M ， { x ∈ M : ( I − B ) x ∈ A y } 是一个凸集。 则存在 x ∈ M ，使得 x ∈ A x + B x 。 证明：任取 y ∈ M ，考虑 T x = B x + y 。由于B是压缩映射，则 T : M → X 是压缩映射。由Banach压缩映像原理，T在M中存在唯一的不动点 x 0 ，使得 x 0 = B x 0 + y ， x 0 ∈ M 。 即 ( I − B ) x 0 = y ，所以 I − B 是可逆的。 下证 ( I − B ) − 1 是连续的。 令 ( I − B ) − 1 x n = y n ， ( I − B ) − 1 x = y ，即证明 y n → y 。 由 ‖ x n − x ‖ = ‖ ( I − B ) y n − ( I − B ) y ‖ ≥ ‖ y n − y ‖ − ‖ B y n − B y ‖ ≥ ‖ y n − y ‖ − k ‖ y n − y ‖ = ( 1 − k ) ‖ y n − y ‖ ， 因为 x n → x ， y n → y ，可得 ( I − B ) − 1 是连续的。 构造复合映射： F = ( I − B ) − 1 A ： 由(i)可得， F ( M ) 是一个相对紧集。 由(ii)可知，A是上半连续的，上证 ( I − B ) − 1 是连续的，所以由定理2可知F是上半连续的。 由(iv)，对任意的 x ∈ M ， F ( x ) 是非空闭凸的。 所以由定理3，存在 x ∈ M ，使得 x ∈ F ( x ) ，即 x ∈ A x + B x 。 定理5 若M是Banacha空间，X是非空有界闭凸集， A : M → P ( M ) 是一个集值映射且是闭值的， B : M → X 是连续单值映射。若满足以下条件： (a) A ( M ) ⊂ ( I − B ) ( M ) ； (b) A ( M ) 包含在M的一个紧子集里面； (c) 如果 ( I − B ) x n → y ，那么存在 { x n } 的一个收敛子列 { x n k } ； (d) ∀ y ∈ M ， { x ∈ M : ( I − B ) x ∈ A y } 是一个凸集。 那么，存在 y ∈ M ，使得 y ∈ A y + B y 。 证明：若 I − B 是可逆的： 由(c)可得， ( I − B ) − 1 是连续的，下面给出证明。 要证明 ( I − B ) − 1 是连续的，只要证明当 y n → y 0 时， ( I − B ) − 1 y n → ( I − B ) − 1 y 0 。 令 x n = ( I − B ) − 1 y n ， x 0 = ( I − B ) − 1 y 0 ，则有 ( I − B ) x n → ( I − B ) x 0 。 任取 { x n ′ } ，只要证明存在 { x n ′ n } → x 0 就可以了。 因为 x ′ n = ( I − B ) − 1 y ′ n ，即 ( I − B ) x ′ n = y ′ n ， ( I − B ) x ′ n → y 0 ，由(c)，存在 { x n ′ k } → x 1 。 下证 x 1 = x 0 ，由于 ( I − B ) { x n ′ k } = ( I − B ) x 1 ，又 ( I − B ) { x n ′ k } → y 0 = ( I − B ) x 0 ，所以 x 1 = x 0 ，即证 ( I − B ) − 1 是连续的。 对任意 y ∈ M ，构造复合映射： F : ( I − B ) − 1 A ： 由(a)可知， F : M → M 。由定理1可知，存在 y ∈ M ，使得 y ∈ A y + B y 。 若 I − B 不是可逆的。 下面验证满足定理3的条件。 ① F ( x ) 是凸集(由(d)可得)。 ② 验证F是图闭的。 即证明当 x n → x 0 ， y n → y 0 ， ( x n ， y n ) → ( x 0 ， y 0 ) 时， y 0 ∈ F ( x 0 ) 。 因为 y n ∈ F ( x n ) ，即 y n ∈ ( I − B ) − 1 A x n ，那么一定存在 x ′ n ∈ A x n ，使得 ( I − B ) y n = x ′ n 。 由(b)可得， { x ′ n } 存在收敛子列 x ′ n k → x ′ 0 ，所以存在 y n k ，使得 ( I − B ) y n k = x ′ n k 。 两边同时取极限可得 ( I − B ) y 0 = x ′ 0 且 ( I − B ) y 0 = x ′ 0 ∈ A ( x 0 ) ， 即 y 0 ∈ ( I − B ) − 1 A x 0 (因为A是闭值的)，所以F在M上是图闭的。 ③ 验证 F ( x ) 是闭值的。 由(b)知F是图闭的，由定理1可知， ∀ x ∈ M ， F ( x ) 是闭值的。 ④ 验证 F ( M ) 是相对紧集。 要验证 F ( M ) 是相对紧集，即验证 ∀ y n ∈ F ( M ) ，都有收敛子列。 对 { y n } ，存在 { x n } ，使得 y n ∈ ( I − B ) − 1 A x n ，那么一定存在 x ′ n ∈ A x n ，使得 ( I − B ) y n = x ′ n 。因为 A ( M ) 包含在M的一个紧子集里面，所以存在收敛子列 { x ′ n k } ， x ′ n k → u ，即存在 y n k ，使得 ( I − B ) y n k = x ′ n k → u 由(c)可知， { y n k } 有收敛子列 { y ′ n k } 。 ⑤ 验证F是上半连续的。 即对任意的闭集 B ⊂ M ， F − 1 ( B ) = { x ∈ M : F ( x ) ∩ B ≠ ∅ } 是M中的闭集。 任选 { y n } ∈ F − 1 ( B ) ， y n → y 0 ，验证 y 0 ∈ F − 1 ( B ) 就可以了。 对 { y n } ∈ F − 1 ( B ) ，存在： x n ∈ F ( y n ) ∩ B ⊂ F ( y n ) ⊂ F ( M ) ( F ( M ) 是相对紧集)。 此时 x n 有收敛子列 x n k → x 0 ( x 0 ∈ M ， M 是闭集)。 所以必存在 y ′ n ∈ A y n ，使得 ( I − B ) x n = y ′ n ，即 ( I − B ) x n k = y ′ n k 。 两边同时取极限，即 ( I − B ) x 0 = y ′ 0 ∈ A ( y 0 ) 。 所以 x 0 ∈ F ( y 0 ) ∩ B ，即 y 0 ∈ F − 1 ( B ) ，所以F是上半连续的。 由定理3可知，存在 y ∈ M ，使得 y ∈ A y + B y 。