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user: 2. 有限体积法求解空间分布阶时间分数阶扩散方程的Crank-Nicolson迭代格式 令 t n = n τ ， t = 0 ， ​   1 ， 2 ， ⋯ ， N ， x i = i h ， i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， M 离散区间 [ 0 ， L ] × [ 0 ， T ] ，其中 h = L / M ， τ = T / N 。 采用文献 [ 10 ] 的离散方法，时间分数阶导数项可以近似为下面格式： ∂ β u ( x ， t n ) ∂ t β = 1 Γ ( 1 − β ) ∑ j = 0 n − 1 ∫ j τ ( j + 1 ) τ ∂ u ( x ， ξ ) ∂ ξ d ξ ( t n − ξ ) β = 1 Γ ( 1 − β ) ∑ j = 0 n − 1 u ( x ， t j + 1 ) − u ( x ， t j ) τ ∫ j τ ( j + 1 ) τ d ξ ( t n − ξ ) β + ο ( τ 2 − β ) = τ 1 − β Γ ( 2 − β ) ∑ j = 0 n − 1 u ( x ， t n − j ) − u ( x ， t n − j − 1 ) τ [ ( j + 1 ) 1 − β − j 1 − β ] + ο ( τ 2 − β ) = a [ u ( x ， t n ) − u ( x ， t n − 1 ) ] + a ∑ j = 1 n − 1 [ u ( x ， t n − j ) − u ( x ， t n − j − 1 ) ] b j + ο ( τ 2 − β ) (4) 其中 a = τ − β Γ ( 2 − β ) ， b j = ( j + 1 ) 1 − β − j 1 − β ， j = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。在(1)中，如果 P ( 1 ) = 0 ，我们可以得到 ∫ 1 2 P ( α ) ∂ α u ( x ， t ) ∂ | x | α d α = ∫ 1 + 2 P ( α ) ∂ α u ( x ， t ) ∂ | x | α d α . (5) 定义 1 + = 1 + ε ， ε → 0 ，用网格 1 + ε = ξ 0 < ξ 1 < ⋯ < ξ S = 2 离散区间 [ 1 + ， 2 ] 且 Δ ξ k = ξ k − ξ k − 1 = 1 S = σ ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， S ， α k = ξ k + ξ k + 1 2 = 1 + 2 k − 1 2 S 。用中点求积法，得到 ∫ 1 + 2 P ( α ) ∂ α u ( x ， t ) ∂ | x | α d α = ∑ k = 1 S P ( α k ) ∂ α k u ( x ， t ) ∂ | x | α k Δ ξ k + ο ( σ 2 ) . (6) 结合(1)，(4)，(6)我们可以得到 a [ u ( x ， t n ) − u ( x ， t n − 1 ) ] + a ∑ j = 1 n − 1 b j [ u ( x ， t n − j ) − u ( x ， t n − j − 1 ) ] = σ ∑ k = 1 S P ( α k ) ∂ α k u ( x ， t n ) ∂ | x | α k + f ( x ， t n ) + ο ( τ 2 − β + σ 2 ) = σ ∑ k = 1 S a k P ( α k ) ∂ ∂ x [ ∂ γ k u ( x ， t n ) ∂ x γ k − ∂ γ k u ( x ， t n ) ∂ ( − x ) γ k ] + f ( x ， t n ) + ο ( τ 2 − β + σ 2 ) (7) 其中 1 < α k < 2 ， a k = − 1 2 cos ( π α k / 2 ) > 0 ， 0 < γ k = α k − 1 < 1 ， a k = − 1 2 cos ( π ( 1 + γ k ) / 2 ) > 0 。 定义 x i − 1 / 2 = x i + x i − 1 2 ， 为区间 [ x i − 1 ， x i ] 的中点。方程(7)在 [ x i − 1 / 2 ， x i + 1 / 2 ] ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， M − 1 下积分，得到 a ∫ x i − 1 2 x i + 1 2 u ( x ， t n ) d x − σ ∑ k = 1 S a k P ( α k ) [ ∂ γ k u ( x ， t n ) ∂ x γ k − ∂ γ k u ( x ， t n ) ∂ ( − x ) γ k ] x i − 1 2 x i + 1 2 = a ∫ x i − 1 2 x i + 1 2 u ( x ， t n − 1 ) d x − a ∑ j = 1 n − 1 b j ∫ x i − 1 2 x i + 1 2 [ u ( x ， t n − j ) − u ( x ， t n − j − 1 ) ] d x + ∫ x i − 1 2 x i + 1 2 f ( x ， t n ) d x + ο ( h ( τ 2 − β + σ ) ) (8) 现在，我们将空间 V h 定义为网格 { [ x i − 1 ， x i ] } i = 1 ， 2 ， ⋯ ， M 上的分段线性多项式的集合。然后，近似解 u h ( x ， t n ) ∈ P ( 0 ， 1 ) 可以用分段多项式表示为 u h ( x ， t n ) ≈ ∑ m = 1 M − 1 u m n ϕ m ( x ) 。 ϕ i ， 0 ≤ i ≤ M 是 V h 的节点基函数。 ϕ 0 ， ϕ 1 ， ⋯ ， ϕ M 表示为下面形式： ϕ i ( x ) = { x − x i − 1 h ，   x ∈ [ x i − 1 ， x i ] x i + 1 − x h ，   x ∈ [ x i ， x i + 1 ] ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， M − 1 0 ，           其 它 和 ϕ 0 ( x ) = { x 1 − x h ，   x ∈ [ x 0 ， x 1 ] 0 ，           其 它 ， ϕ M ( x ) = { x − x M − 1 h ，   x ∈ [ x M − 1 ， x M ] 0 ，                 其 它 因此我们可以得到Crank-Nicolson格式： a ∑ m = 1 M − 1 u m n ∫ x i − 1 2 x i + 1 2 ϕ m ( x ) d x − σ ∑ m = 1 M − 1 u m n ∑ k = 1 S a k P ( α k ) [ ∂ γ k ϕ m ( x ) ∂ x γ k − ∂ γ k ϕ m ( x ) ∂ ( − x ) γ k ] x i − 1 2 x i + 1 2 = a ∑ m = 1 M − 1 u m n − 1 ∫ x i − 1 2 x i + 1 2 ϕ m ( x ) d x − a ∑ m = 1 M − 1 ∑ j = 1 n − 1 b j u m n − j ∫ x i − 1 2 x i + 1 2 ϕ m ( x ) d x + a ∑ m = 1 M − 1 ∑ j = 1 n − 1 b j u m n − j − 1 ∫ x i − 1 2 x i + 1 2 ϕ m ( x ) d x + ∫ x i − 1 2 x i + 1 2 f ( x ， t n ) d x (9) 通过直接计算，当 1 ≤ i ， m ≤ M − 1 ，得到 ∫ x i − 1 2 x i + 1 2 ϕ m ( x ) d x = { h / 8 ，     | i − m | = 1 3 h / 4 ，   i = m 0 ，         其 它 和 ∂ γ k ϕ m ( x i + 1 / 2 ) ∂ x γ k = 1 Γ ( 2 − γ k ) h γ k { 0 ，                 m > i + 1 2 γ k − 1 ，           m = i + 1 ( 3 / 2 ) 1 − γ k − 2 γ k ，     m = i c i − m + 1 k ，               m < i ∂ γ k ϕ m ( x i − 1 / 2 ) ∂ x γ k = 1 Γ ( 2 − γ k ) h γ k { 0 ，               m > i 2 γ k − 1 ，             m = i ( 3 / 2 ) 1 − γ k − 2 γ k ，           m = i − 1 c i − m k ，                   m < i − 1 ∂ γ k ϕ m ( x i + 1 / 2 ) ∂ ( − x ) γ k = 1 Γ ( 2 − γ k ) h γ k { c m − i k ，           m > i + 1 ( 3 / 2 ) 1 − γ k − 2 γ k ， m = i − 1 2 γ k − 1 ，         m = i 0 ，                   m < i ∂ γ k ϕ m ( x i − 1 / 2 ) ∂ ( − x ) γ k = 1 Γ ( 2 − γ k ) h γ k { c m − i + 1 k ，         ​     m > i ( 3 / 2 ) 1 − γ k − 2 γ k ，   m = i 2 γ k − 1 ，         m = i − 1 0 ，                   m < i − 1 其中， c i k = ( i − 3 / 2 ) 1 − γ k − 2 ( i − 1 / 2 ) 1 − γ k + ( i + 1 / 2 ) 1 − γ k ，   i = 2 ， 3 ， ⋯ 。 因此，方程(9)可以表示为 令 G i m = G 1 ， i m − G 2 ， i m ，其中 G 1 ， i m = σ ∑ k = 1 S a k P ( α k ) [ ∂ γ k ϕ m ( x i + 1 / 2 ) ∂ x γ k − ∂ γ k ϕ m ( x i − 1 / 2 ) ∂ x γ k ] ， G 2 ， i m = σ ∑ k = 1 S a k P ( α k ) [ ∂ γ k ϕ m ( x i + 1 / 2 ) ∂ ( − x ) γ k − ∂ γ k ϕ m ( x i − 1 / 2 ) ∂ ( − x ) γ k ] . 因此，当 n = 1 时， a h 8 ( u i − 1 1 + 6 u i 1 + u i + 1 1 ) − ∑ m = 1 M − 1 u m 1 G i m = a h 8 ( u i − 1 0 + 6 u i 0 + u i + 1 0 ) + ( F 1 ) i ， (10) 当 n > 1 时， (11) 其中 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， M − 1 ，令 ( F n ) i = ∫ x i − 1 2 x i + 1 2 f ( x ， t n ) d x ， A i m = ∫ x i − 1 2 x i + 1 2 ϕ m ( x ) d x ， r = 1 a = τ β Γ ( 2 − β ) ， d j = b j − 1 − b j ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 ， U n = ( u 1 n ， u 2 n ， ⋯ ， u M − 1 n ) T 。因此方程(10)，(11)可以表示为 { ( A − r G ) U 1 = A U 0 + r F ， 1                                         n = 1 ( A − r G ) U n = A ( d 1 U n − 1 + d 2 U n − 2 + ⋯ + d n − 1 U 1 + b n − 1 U 0 ) + r F ， n       n > 1 (12) 边界值和初始值分别离散为 ψ i 0 = ψ ( i h ) ，其中 i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， M ， U 0 = ( u 1 0 ， u 2 0 ， ⋯ ， u M − 1 0 ) T 。