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user: 2. 模型建立 2.1. 再保险与投资模型 经典Cramer-Lundberg模型的盈余过程 R ( t ) 为 R ( t ) = x + c t − ∑ i = 1 N ( t ) Y i ， 其中 x > 0 为初始盈余， c > 0 为保费收取速率， { N ( t ) ， t > 0 } 是强度为 λ > 0 的Poisson过程， { Y i ， i ≥ 1 } 是正的独立同分布随机变量，表示为索赔额。 { N ( t ) ， t > 0 } 与 { Y i ， i ≥ 1 } 之间相互独立，且有共同的分布函数 F ( ⋅ ) 与有限的一阶矩和二阶矩。若采用期望保费准则，则有 c = ( 1 + η ) λ E ( Y 1 ) ， 其中 η > 0 为保险人的安全负荷。 接下来考虑再保险问题。令 a 为超额损失自留额， Y i ( a ) = Y i ∧ a 为保险人的第 i 次索赔。假设再保险人和保险人有相同的安全负荷，则加入再保险后的盈余过程为 R ( a ) ( t ) = x + c ( a ) t − ∑ i = 1 N ( t ) Y i ( a ) ， (1) 其中 c ( a ) = ( 1 + η ) λ E ( Y 1 ( a ) ) 。不失一般性，假设 λ = 1 。由文献 [ 2 ]，可以用扩散过程逼近式(1)，则盈余过程为 d R ( a ) ( t ) = μ ( a ) d t + σ ( a ) d B 1 ( t ) ， R ( a ) ( 0 ) = x ， (2) 其中 { B 1 ( t ) ， t ≥ 0 } 是一个标准布朗运动，且 μ ( a ) = E ( Y i ( a ) ) = ∫ 0 a 1 − F ( x ) d x = ∫ 0 a F ¯ ( x ) d x ， (3) σ 2 ( a ) = E [ ( Y i ( a ) ) 2 ] = ∫ 0 a 2 x ( 1 − F ( x ) ) d x = ∫ 0 a 2 x F ¯ ( x ) d x . (4) 考虑超额损失自留额 a 是一个动态可控参数，那么关于时间 t ≥ 0 ，有 a = a t ，则盈余过程(2)变为 d R ( a ) ( t ) = μ ( a t ) d t + σ ( a t ) d B 1 ( t ) ， R ( a ) ( 0 ) = x . (5) 假设保险人是风险厌恶型的，且有效用函数 U ( x ) 使得 U ′ > 0 和 U ″ < 0 。为了使得所得最优投资与再保险策略的形式更加简洁，采用指数效用函数 U ( x ) = − 1 θ exp ( − θ x ) ， (6) 其中 θ > 0 是绝对风险厌恶系数。 下面考虑投资问题。假设保险公司在金融市场投资两种资产，即无风险资产和风险资产。其中无风险资产的价格过程为 d P 0 ( t ) = r P 0 ( t ) d t ， (7) 其中 r > 0 为无风险利率。风险资产的价格过程为 d P 1 ( t ) = α P 1 ( t ) d t + β P 1 ( t ) d B 2 ( t ) ， (8) 其中 α > 0 和 β > 0 为常数，其中 { B 2 ( t ) ， t ≥ 0 } 是一个标准布朗运动，且通常要求 α > r 。假设金融市场与保险公司有相关性且用 ρ 来描述，即有 C o v ( B 1 ( t ) ， B 2 ( t ) ) = ρ t 。为了方便计算，用一个与 B 1 ( t ) 相互独立的标准布朗运动 B 3 ( t ) 来表示，有 d B 2 ( t ) = ρ d B 1 ( t ) + 1 − ρ 2 d B 3 ( t ) ， 将上式代入式(8)，有 d P 1 ( t ) = α P 1 ( t ) d t + β ρ P 1 ( t ) d B 1 ( t ) + β 1 − ρ 2 P 1 ( t ) d B 3 ( t ) . 假设保险公司在 t 时刻将资金 π t 投到风险资产，那么考虑再保险控制 a 与投资策略 π 后的(5)变为 d R ( a ， π ) ( t ) = [ r R ( a ， π ) ( t ) + π t ( α − r ) + μ ( a t ) ] d t + [ σ ( a t ) + β ρ π t ] d B 1 ( t )           + β 1 − ρ 2 π t d B 3 ( t ) ， R ( a ， π ) ( 0 ) = x . (9) 2.2. 金融市场的模糊性和值函数 对于以往的最优投资与再保险问题，必须要知道概率测度 P 的准确性才可以进行求解。然而，保险人通常是基于有限的信息和技术来估计 P (参考模型)，即保险公司对参考模型的认知不是完全准确的，所以参考模型对保险人来说是存在模糊的。因此，需要考虑其他的概率测度，即替代模型。假设保险人只对金融市场存在模糊性，且要求替代模型与参考模型等价。记所有满足条件的替代模型的集合为 Q ，由上可知若 Q ∈ Q ，则 Q ∼ P ，“ ∼ ”表示等价。由 [ 11 ] 中的Girsanov定理，发现 Q 满足 d Q d P ( B 3 [ 0 ， T ] ) = Λ ( T ) ， 其中 Λ ( t ) = exp { ∫ 0 t m ( s ) d B 3 ( s ) − ∫ 0 t m ( s ) 2 ds } 为P-鞅且其域流为 { F t } t ∈ [ 0 ， T ] ，并且满足Novikov条件 E P [ exp ( 1 2 ∫ 0 T m ( s ) 2 ds ) ] < ∞ . 其中 m ( t ) 为适应过程。由Girsanov定理，关于概率测度 P 的标准布朗运动 B 3 ( t ) 为 d B 3 ( t ) = m ( t ) d t + d B 3 Q ( t ) ， (10) 其中 B 3 Q ( t ) 为在概率测度下 Q 的标准布朗运动。并且由Girsanov定理，知 B 1 ( t ) 在 Q 下也为标准布朗运动，故 Q 不会改变盈余过程(5)。为了在研究中考虑替代模型，用相对熵来度量替代模型和参考模型之间的差异。 Q 和 P 的相对熵为 H ( Q ‖ P ) = E Q [ ln d Q d P ] = E Q { ∫ 0 t m ( s ) d B 3 ( s ) − 1 2 ∫ 0 t m ( s ) 2 ds } = E Q { ∫ 0 t m ( s ) d B 3 Q ( t ) + 1 2 ∫ 0 t m ( s ) 2 ds } = E Q [ 1 2 ∫ 0 t m ( s ) 2 ds ] . 最后一个等式是由于 B 3 Q ( t ) 在 Q 下为标准布朗运动。令 Z ( t ) = 1 2 m ( t ) 2 ，则可用 Z ( t ) 来衡量相对熵的 大小。由于参考模型是保险公司经过较多的经验与技术设计出来的，尽管存在模糊性，但是还是具有一定的参考价值，所以不使用参考模型而使用替代模型会有惩罚存在。显然，差异越大即相对熵越大，惩罚越大。 下面给出可行策略与其所满足的条件。 定义1如果 Ω 中的元素满足如下条件： (i) a = { a t ， 0 ≤ t ≤ T } 可料： (ii) π = { π t ， 0 ≤ t ≤ T } 可料并满足 E P ∫ 0 T π s 2 d s < ∞ ， T < ∞ ; 其中 E P 表示在概率测度 P 下的条件期望，那么称 Ω = { ( a t ， π t ) } t ∈ [ 0 ， T ] 为可行策略的集合。 与文献 [ 12 ] 类似，随机控制问题的值函数为 V ( t ， x ) = sup ( a ， π ) ∈ Ω inf Q ∈ Q E t ， x Q [ ∫ t T ξ ϕ ( V ( s ， R ( a ， π ) ( s ) ) ) d s + U ( R ( a ， π ) ( T ) ) ] ， (11) 其中 E t ， x Q [ ⋅ ] = E Q [ ⋅ | R ( a ， π ) ( t ) = x ] ， ϕ > 0 为是一标准化函数其作用是把惩罚的量级转化成与 V ( t ， x ) 同样的 数量级来惩罚， ξ > 0 表示保险公司对参考模型的信任程度。 ξ 越大，保险公司对参考模型越信任，此时若使用替代模型，保险公司则会面临越大的惩罚。inf代表保险公司对模糊的态度是厌恶的，sup表示公司目标是找到最优的投资与再保险策略。 注1 假设 0 < ξ < ∞ 。当 ξ → ∞ 时，表示保险公司对参考模型十分信任，若此时使用替代模型则会面临巨大的惩罚，所以不会使用任何替代模型，即不含模糊性；当 ξ → 0 时，表示保险公司对参考模型没有任何了解。 注2 式(12)中值函数 V ( t ， x ) 满足 ∂ ∂ x V ( t ， x ) > 0 ， ∂ 2 ∂ x 2 V ( t ， x ) < 0 ，证明过程与文献 [ 13 ] 类似。即 V ( t ， x ) 是凹函数，说明保险人对模糊的态度是厌恶的。