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user: 1. 引言及主要结果 本文中， f ( z ) 与 g ( z ) 为复平面 C 上的非常数亚纯函数，a，b为任意有穷复数，m，k为正整数。若 f − a 与 g − a 的零点相同(不计重数)，则称a为 f ( z ) 与 g ( z ) 的IM分担值；若 f − a 与 g − a 的零点相同，且满足每个零点的重级相同，则称a为 f ( z ) 与 g ( z ) 的CM分担值； N k ( r ， 1 f − a ) 表示 f ( z ) − a 的零点重级 m ≤ k 以m重来计数， m > k 以k重计数的计数函数； N ¯ ( k + 1 ( r ， 1 f − a ) 表示 f ( z ) − a 的零点重级大于k的零点的精简计数函数数； N ¯ 0 ( r ， 1 f ′ ) 表示 f ′ ( z ) 的零点，但不是 f ( z ) 与 f ( z ) − 1 的零点的精简计数函数； S ( r ， f ) 表示任意满足 S ( r ， f ) = O { T ( r ， f ) } ( r → ∞ ， r ∉ E ， m e s E < + ∞ ) 的量。 1977年，Rubel和Yang证明了下述结果： 定理A [ 1 ] 若非常数整函数f与 f ′ 具有两个有穷的CM分担值，则 f ≡ f ′ 。 1979年，Mues和teinmetz把定理A中的CM分担值的条件换成IM分担值，得到下述结果： 定理B [ 1 ] 若非常数整函数f与 f ′ 具有两个有穷的IM分担值，则 f ≡ f ′ 。 1980年，Gundersen将定理A中的整函数替换为亚纯函数，得到以下结果： 定理C [ 1 ] 若f与 f ′ 以0， a ( ≠ 0 ) 为CM分担值，则 f ≡ f ′ 。 1983年，Mues和Gunderen研究了比较一般的情形，得到下述结论： 定理D [ 1 ] 若f与 f ′ 具有两个有穷的CM分担值，则 f ≡ f ′ 。 1986年，Frank和Ohlenroth考虑将定理D中一阶导数扩展到它的高阶导数，他们得到： 定理E [ 1 ] 若f与 f ( k ) 具有两个有穷的CM分担值，则 f = f ( k ) 。 1986年，Jank，Mues，and Volkmann得出以下两个结论： 定理F [ 1 ] 若f， f ′ ， f ″ 以 a ( ≠ 0 ) 为CM分担值，则 f ≡ f ′ 。 定理G [ 2 ] 设 f ( z ) 为非常数整函数。若f与 f ′ 以 a ( ≠ 0 ) 为IM分担值，且当 f ( z ) = a 时， f ″ ( z ) = a ，则 f ≡ f ′ 。 1995年，H. Zhong考虑了高阶导数得到以下结论： 定理H [ 3 ] 设 f ( z ) 为非常数整函数。若f与 f ′ 以 a ( ≠ 0 ) 为CM分担值，且当 f ( z ) = a 时， f ( k ) ( z ) = f ( k + 1 ) ( z ) = a ，则 f ≡ f ( k ) 。 围绕定理C与定理D、定理H前人得出以下问题： 问题1 [ 1 ] 设 f ( z ) 为非常数亚纯函数， a ( ≠ 0 ) 为有穷复数， k ， m 为两个正整数，且 m > n + 1 。若f， f ( k ) ， f ( m ) 以 a ( ≠ 0 ) 为CM分担值，则我们是否能得到 f ≡ f ( k ) 。 例1. 设 k ， m 为两个正整数，且 m > k + 1 。若 a = b k ， f ( z ) = e b z + a − 1 ，则f， f ( k ) ， f ( m ) 以 a ( ≠ 0 ) 为CM分担值，但是 f ≡ f ( k ) 。 然而，f为有穷级整函数时，当 m = k + 1 ，问题1是成立的。1998年，C. C. Yang就证明以下结论： 定理I [ 4 ] 设 f ( z ) 为有穷级整函数，a为有穷复数，k为正整数。若f， f ( k ) ， f ( k + 1 ) 以a为IM分担值， f ( k ) ， f ( k + 1 ) 以a为CM分担值，则 f ≡ f ′ 。 2001年，Ping和C. C. Yang参考了问题1来减弱了定理H的条件，得到以下结果： 定理J [ 5 ] 若f， f ( k ) ， f ( k + 1 ) ( k ≥ 2 ) 以 a ( ≠ 0 ) 为CM分担值，则 f ≡ f ′ 。 2009年，Al-Khaladi围绕定理B得出以下结论： 定理K [ 6 ] 若f与 f ′ 以 a ( ≠ 0 ) 为CM分担值，且 N ¯ ( r ， 1 f ) = S ( r ， f ) ，则 f ≡ f ′ 或 f ( z ) = a ( z − c ) 1 + A e − z ，其中 A ≠ 0 ，c为常数。 定理L [ 6 ] 若f与 f ′ 以 a ( ≠ 0 ) 为IM分担值，且 N ¯ ( r ， 1 f ) + N ¯ ( r ， 1 f ′ ) = S ( r ， f ) ，则 f ≡ f ′ 或 f ( z ) = 2 a 1 − A e − z ，其中 A ≠ 0 ，c为常数。 2013年，Al-Khaladi根据定理K与定理L考虑了高阶导数得出以下结论： 定理M [ 7 ] 若f与 f ( k ) ( k ≥ 2 ) 以 a ( ≠ 0 ) 为CM分担值，且 N ¯ ( r ， 1 f ) = S ( r ， f ) ，则 f ≡ f ( k ) 。 定理N [ 7 ] 若f与 f ( k ) ( k ≥ 2 ) 以 a ( ≠ 0 ) 为IM分担值，且 N ¯ ( r ， 1 f ) + N ¯ ( r ， 1 f k ) = S ( r ， f ) ，则 f ≡ f ( k ) 。 在本文中，我们围绕以上定理，得到下面的结果： 定理1设 f ( z ) 为非常数亚纯函数。k为大于1的整数。若f与 f ′ 以1为IM分担值， f ′ 与 f ( k ) ( m ≠ k ) 以1为CM分担值，且 N ¯ ( r ， 1 f ) + N ¯ 0 ( r ， 1 f ′ ) = S ( r ， f ) ，则 f ≡ f ( k ) 。 由定理1容易得到以下两个结论： 推论1设 f ( z ) 为非常数亚纯函数。k为大于1的整数。若f与 f ′ 以 a ( ≠ 0 ) 为IM分担值， f ′ 与 f ( k ) ( m ≠ k ) 以1为CM分担值，且 N ¯ ( r ， 1 f ) + N ¯ 0 ( r ， 1 f ′ ) = S ( r ， f ) ，则 f ≡ f ( k ) 。 推论2设 f ( z ) 为非常数整函数。若f与 f ′ 以 a ( ≠ 0 ) 为IM分担值，且满足 N ¯ ( r ， 1 f ) = S ( r ， f ) ，则 f ≡ f ′ 或 f ( z ) = 2 a 1 − A e − z ，其中 A ≠ 0 ，c为常数。 定理2设 f ( z ) 为非常数亚纯函数，m，k为两个大于1的整数。若f与 f ( k ) 以1为IM分担值， f ( m ) 与 f ( k ) ( m ≠ k ) 以1为CM分担值，且满足 N ¯ ( r ， 1 f ) + N ¯ 0 ( r ， 1 f ′ ) = S ( r ， f ) ，则 f ( k ) ≡ f ( m ) ≡ f 。 由定理2容易得到以下两个结论： 推论3设 f ( z ) 为非常数亚纯函数，m，k为两个大于1的整数。若f与 f ( k ) 以 a ( ≠ 0 ) 为IM分担值， f ( m ) 与 f ( k ) ( m ≠ k ) 以 a ( ≠ 0 ) 为CM分担值，且满足 N ¯ ( r ， 1 f ) + N ¯ 0 ( r ， 1 f ′ ) = S ( r ， f ) ，则 f ( k ) ≡ f ( m ) ≡ f 。 推论4设 f ( z ) 为非常数整函数，k为大于1的整数。若f与 f ( k ) 以 a ( ≠ 0 ) 为IM分担值，且 N ¯ ( r ， 1 f ) = S ( r ， f ) ，则 f ≡ f ( k ) 。