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user: 4. 具有混合切换的随机HCV模型的灭绝性与持久性 在本节，我们将随机HCV模型(1.2)和(1.3)或(1.4)进一步拓展为模型(1.5)。在这个部分，我们仍令 N t = W t + I t + V t 。在完成主要结果证明之前，我们先准备以下两个引理。 引理4.1 对任意 p ∈ ( 1，1 + 2 ϒ ^ / ( μ ⌣ e ) 2 ) ，存在常数 M p > 0 ，使得 sup k ∈ N E ( sup k ≤ s ≤ k + 1 N s p ) ≤ M p . (4.1) 证明：根据系统(1.5)，可知 d N t = { S α t − ( b α t − a α t ) W t − ( ω α t − ν α t ) I t − ( W t + I t ) b α t W t + a α t I t W max                 + ( 1 − ϵ α t ) p α t I t − c α t V t } d t − ( b α t − a α t ) W t d B t ( 1 ) − a α t I t W max W t d B t ( 2 )                     − ( 1 − η α t ) β α t V t W t d B t ( 3 ) − ( ω α t + q α t − ν α t ) I t d B t ( 1 ) − ν α t W t W max I t d B t ( 2 )                     − c α t V t d B t ( 1 ) ，       t ≥ 0. (4.2) 从而，有 d N t ≤ { S α t − ϒ α t N t } d t − μ α t e N t d B t ( 1 ) − 2 m α t I t W t d B t ( 2 )                 − ( 1 − η α t e ) β α t e V t W t d B t ( 3 ) ，       t ≥ 0， (4.3) 其中 μ α t e = m i n { b α t e − a α t e ， ω α t e + q α t e − ν α t e ， c α t e } ； m α t e = min { a α t e W max ， b α t e W max } 。 接下来，令 p ∈ ( 1，1 + 2 ϒ ^ / ( μ ⌣ e ) 2 ) ，根据伊藤公式，可获得 d N t p ≤ { p N t p − 1 ( S α t − ϒ α t N t ) + 1 2 p ( p − 1 ) N t p − 2 ( 2 m α t e I t W t ) 2     + 1 2 p ( p − 1 ) N t p − 2 { ( 1 − η α t e ) β α t e V t W t } 2 } d t − p μ α t e N t p d B t ( 1 )     − 2 p N t p − 1 m α t e I t W t d B t ( 2 ) − p N t p − 1 ( 1 − η α t e ) β α t e V t W t d B t ( 3 ) . (4.4) 运用杨氏不等式： a α b 1 − α ≤ α a + ( 1 − α ) b ， a ， b > 0 ， α ∈ ( 0 ， 1 ) ，得到 E N t p ≤ E N s p + ∫ s t { p S ⌣ E N u p − 1 + ( 2 p ( p − 1 ) m ⌣ 2 + p ( p − 1 ) 2 ( 1 − η ^ ) 2 β ⌣ 2 ) E N u p + 2                     − ( p ϒ ^ + p ( p − 1 ) 2 ( μ ⌣ e ) 2 ) E N u p } d u                   ≤ E N s p + ∫ s t { m 1 − m 2 E N u p } ，         0 ≤ s ≤ t ， p ∈ ( 1，1 + 2 ϒ ^ / ( μ ⌣ e ) 2 ) ， (4.5) 其中常数 m 1 ， m 2 > 0 ，相应地。根据格朗沃尔不等式可知，对于常数 m 3 > 0 ，有 sup t ≥ 0 E N t p ≤ ( E N s p + c 1 ( t − s ) ) exp { − c 2 ( t − s ) } ≤ m 3 . (4.6) 此外，通过BDG不等式和杨氏不等式，结合(4.4)，则存在常数 m 4 ， m 5 > 0 ，使得对任意 t ∈ [ k ， k + 1 ] ， E ( sup k ≤ s ≤ t N s p ) ≤ E N k p + m 4 ∫ k t   E N s p d s + m 4 E ( ∫ k t   N s 2 p d s ) 1 2 ≤ E N k p + m 4 ∫ k t   E N s p d s + m 4 E ( sup k ≤ s ≤ t N s p ∫ k t   N s p d s ) 1 2 ≤ 1 2 E ( sup k ≤ s ≤ t N s p ) + E N k p + m 5 ∫ k t   E N s p d s . (4.7) 从而，结合(4.6)式，即得(4.1)式。 引理4.2 下列不等式成立 lim t → ∞ ( 1 t ∫ 0 t ν α s W s W max d B s ( 2 ) ) = 0 ，   a .s . (4.8) 证明：为了证明(4.8)成立，我们只需要证明 lim k → ∞ ( 1 k sup t ∈ [ k ， k + 1 ] | ∫ k t ν α s W s W max d B s 2 | ) = 0，   a .s . (4.9) 和 lim k → ∞ ( 1 k ∫ 0 k ν α s W s W max d B s ( 2 ) ) = 0 ，   a .s . (4.10) 在这里，我们将p限制在 ( 1， ( 1 + 2 ϒ ^ ( μ ⌣ e ) 2 ) ∧ 2 ) 之间，通过BDG不等式和(4.1)式可知，存在常数 M ˜ p ， M ^ p > 0 ，使得 E ( sup t ∈ [ k ， k + 1 ] | ∫ k t ν α s e W s W max d B s ( 2 ) | p ) ≤ M ˜ p ν ⌣ e W max E ( ∫ k k + 1     W s 2 d s ) p 2 ≤ M ˜ p ν ⌣ e W max E ( sup k ≤ s ≤ k + 1 W s p ) ≤ M ^ p . (4.11) 对任意常数 C > 0 和每个实数 k ≥ 1 ，令 B k ， C : = { 1 k sup t ∈ [ k ， k + 1 ] | ∫ k t ν α s e W s W max d B s ( 2 ) | ≥ C } 由切比雪夫不等式及(4.11)式，可得 ℙ ( B k ， C ) ≤ 1 k p C p E ( s u p t ∈ [ k ， k + 1 ] | ∫ k t ν α s e W s W max d B s ( 2 ) | p ) ≤ M ^ p k p C p 又因为级数 ∑ k = 1 ∞ 1 k p 收敛，于是利用波莱尔—康特立引理，可以得到 ℙ ( lim k → ∞ sup B k ， C ) = 0. 由C的任意性可知(4.9)式成立。 下证(4.10)式成立 令 z 0 = 0 ， z k = ∫ 0 k ν α s W s W max d B s ( 2 ) ， u k = z k − z k − 1 ， k ≥ 1 显然， E ( u k / k ) < ∞ ，另一方面，(4.11)式意味着 ∑ k = 1 ∞   E ( | u k | p | F k − 1 ) k − p ≤ M ^ p ∑ k = 1 ∞     k − p < ∞ (4.12) 因此，由( [ 15 ]， Theorem 5)知，(4.10)式成立。 类似地，可以得到以下结果 lim t → ∞ 1 t ( ∫ 0 t ( b α t − a α t ) W s d B s ( 1 ) ) = 0 ; lim t → ∞ 1 t ( ∫ 0 t a α t I s W max d B s ( 2 ) ) = 0 ; (4.13) lim t → ∞ 1 t ( ∫ 0 t ( 1 − η α s ) β α s V s W s d B s ( 3 ) ) = 0 ; lim t → ∞ 1 t ( ∫ 0 t ( ω α s + q α s − ν α s ) I s d B s ( 1 ) ) = 0 ; lim t → ∞ 1 t ( ∫ 0 t   c α s V s d B s ( 1 ) ) = 0 ; lim t → ∞ N t t = 0 ; 定理4.1 假设 H 1 和 H 2 及引理3.1中的条件成立，并进一步假设存在具有 l i m t → ∞ Ψ t = 0 的 Ψ : [ 0， ∞ ) → [ 0， ∞ ) 和 Φ : M → [ 0， ∞ ) ，使得 ( 1 − η α t ) β α t V t W t / I t ≤ Ψ t + Φ α t 。 (a) 若 i ↦ Φ i * : = Φ i − ( ω i + q i − ν i ) 为非减的，且有 Δ 9 : = ∑ i ∈ M π ˜ i Φ i ∑ i ∈ M π ˜ i ( ω i + q i − ν i ) < 1. (4.14) 则有 lim t → ∞ I t = 0 ，     a .s .     lim t → ∞ V t = 0 ，     a .s . (4.15) 和 ∑ i ∈ M   π i * S i ≤ lim inf t → ∞ ( 1 t ∫ 0 t { ( b α s − a α s ) W s + b α s W s 2 W max } d s ) ≤ lim sup t → ∞ ( 1 t ∫ 0 t { ( b α s − a α s ) W s + b α s W s 2 W max } d s ) ≤ ∑ i ∈ M   π ˜ i S i . (4.16) (b) 若 i ↦ Φ i * : = Φ i − ( ω i + q i − ν i ) 为非增的，且有 Δ 10 : = ∑ i ∈ M π i * Φ i ∑ i ∈ M π i * ( ω i + q i − ν i ) < 1. (4.17) 则有 l i m t → ∞ I t = 0，     a .s .     d l i m t → ∞ V t = 0，     a .s . 和 ∑ i ∈ M   π ˜ i S i ≤ lim inf t → ∞ ( 1 t ∫ 0 t { ( b α s − a α s ) W s + b α s W s 2 W max } d s ) ≤ lim sup t → ∞ ( 1 t ∫ 0 t { ( b α s − a α s ) W s + b α s W s 2 W max } d s ) ≤ ∑ i ∈ M   π i * S i . (4.18) 证明：为了使证明更加简化，记 I 1 ( t ) = − ∫ 0 t μ α s e d B s ( 1 ) ; I 2 ( t ) = − 1 t ∫ 0 t ν α s W s W m a x d B s ( 2 ) . 由伊藤公式及 0 ≤ W t ≤ N t ，可得 1 t ln ( I t / I 0 ) = 1 t ∫ 0 t { − ν α s W s + I s W max + ( 1 − η α s ) β α s V s W s I s − ( ω α s + q α s − ν α s ) − 1 2 ( ω α s + q α s − ν α s ) 2     − 1 2 ( ν α s W s W max ) 2 } d s − 1 t ∫ 0 t ( ω α s e + q α s e − ν α s e ) d B s ( 1 ) − 1 t ∫ 0 t ν α s W s W max d B s ( 2 ) ≤ 1 t ∫ 0 t { ( 1 − η α s ) β α s V s W s I s − ( ω α s + q α s − ν α s ) } d s + I 1 ( t ) t + I 2 ( t ) ≤ 1 t ∫ 0 t { Ψ s + Φ α s − ( ω α s + q α s − ν α s ) } d s + I 1 ( t ) t + I 2 ( t ) . (4.19) 由引理4.2知 l i m t → ∞ I 2 ( t ) = 0   a .s . (4.20) 令 〈 I 1 〉 t 为 I 1 ( t ) 的二次变差，则有 lim sup t → ∞ 1 t 〈 I 1 〉 t ≤ ( μ ⌣ e ) 2 . 由此，根据连续鞅的强大数定理，可得 l i m t → ∞ 1 t I 1 ( t ) = 0   a .s . (4.21) 结合(4.20)和(4.21)及 i ↦ Φ i * 非降(或非增)的性质，并利用引理3.1和连续时间马尔科夫链的强遍历性定理，即得 l i m t → ∞ I t = 0   a .s . 这意味着对任意 ε ∈ ( 0，1 ) 充分小，存在 Ω 1 ⊆ Ω ( ℙ ( Ω 1 ) = 1 ) 和 T 1 = T 1 ( ω ) > 0 ，使得 I t ( ω ) ≤ ε ，   t ≥ T 1 ，   ω ∈ Ω 1 (4.22) 令 ξ i : = ω i + ι i + ( μ i e ) 2 / 2 ， i ∈ M ，且对任意 0 ≤ s ≤ t ， S s ， t : = ∫ s t μ α u e d B u ( 2 ) ;   Φ s ， t : = exp ( − ∫ s t ξ α u d u − S s ， t ) . 由(4.21)得 l i m t → ∞ 1 t l n Φ 0， t < 0，   a .s . 这就意味着必定会存在 Ω 2 ⊆ Ω ( ℙ ( Ω 2 ) = 1 ) 和 T 2 = T 2 ( ω ) > 0 ，使得 Φ 0， t ( ω ) ≤ ε ，   t ≥ T 2 ，   ω ∈ Ω 2 . (4.23) 而后，利用随机积分的迭代对数定律 [ 16 ] [ 17 ]，可以得到 lim inf t → ∞ S s ， t 2 〈 S 〉 s ， t log log 〈 S 〉 s ， t = − 1   a .s . 因此，必定存在 Ω 3 ⊆ Ω ( ℙ ( Ω 3 ) = 1 ) 和 T 3 = T 3 ( ω ) > 0 ，使得 − ( 1 + ε ) 2 〈 S 〉 s ， t log log 〈 S 〉 s ， t ≤ S s ， t ≤ ( − 1 + ε ) 2 〈 S 〉 s ， t log log 〈 S 〉 s ， t ， t ， s ≥ T 2 ， ε ∈ Ω 3 . (4.24) 由常数变易公式，由(4.23)和(4.24)式可知，对任意 和 t ≥ T : = T 1 + T 2 + T 3 ， V t ( ω ) = Φ 0 ， t ( ω ) { V 0 + ∫ 0 t     Φ − 1 ( s ) ( 1 − ϵ α s ) p α s I s ( ω ) d s } = Φ 0 ， t ( ω ) V 0 + Φ s ， t ( ω ) ∫ 0 t ( 1 − ϵ α s ) p α s I s ( ω ) d s ≤ V 0 ε + Φ T ， t ( ω ) ( 1 − ϵ ^ ) p ⌣ ∫ 0 T I s ( ω ) Φ s ， T ( ω ) d s + ( 1 − ϵ ^ ) p ⌣ ∫ T t I s ( ω ) Φ s ， t ( ω ) d s ≤ V 0 ε + ( 1 − ϵ ^ ) p ⌣ ε ∫ T t exp ( − ∫ s t   ξ α u d u + ( 1 + ε ) 2 〈 S 〉 s ， t log log 〈 S 〉 s ， t ) d s     + ( 1 − ϵ ^ ) p ⌣ ∫ 0 T I s ( ω ) Φ s ， T ( ω ) d s exp ( − ∫ T t     ξ α u d u + ( 1 + ε ) 2 〈 S 〉 T ， t log log 〈 S 〉 T ， t ) . (4.25) 显然，经观察可知，必定会存在实数 c > 0 和 q ∈ ( 0，1 ) ，使得 ( 1 + ε ) 2 〈 S 〉 s ， t log log 〈 S 〉 s ， t ≤ c + q ∫ s t   ξ α u d u . (4.26) 将(4.26)式代入(4.25)式，并由 ε ∈ ( 0，1 ) 的任意性，可得(4.15)式成立。 结合(4.15)，根据(4.2)和(4.13)式可得 l i m t → ∞ ( 1 t ∫ 0 t { S α s − ( b α s − a α s ) W s + b α s W s 2 W max d s } ) = 0 (4.27) 结合引理3.1即得(4.16)和(4.18)式。