system: [SYSTEM]

user: 3. 定理的证明 对于每一个素数 p ≡ 3 ( mod 4 ) ，且 p > 7 ，由于 gcd ( 27 ， p ) = 1 ，因此根据中国剩余定理知 Z 27 p 同构于 Z p × Z 27 。下面我们对 p ≡ 3 ( mod 4 ) 分13种情形以引理的形式进行讨论。 引理 2.1若 p ≡ 71 ， 191 ， 239 ， 359 ， 431 ， 599 ， 311 ， 479 ， 551 ， 671 ， 719 ， 839 ( mod 840 ) 是素数， ξ = min { x | x ∈ C 1 } ，则 A = { C 0 2 ⋅ A 1 ， j : j = 1 ， 2 ， 3 } 形成一个 2 − C P ( { 3 ， 7 } ， 1 ， { 2 3 ， 1 3 } ; 27 p ) ，其中 A 1 ， 1 = { ( 0 ， 0 ) ， ( 5 ， 0 ) ， ( 1 ， 1 ) ， ( ξ ， 3 ) ， ( 3 ， 5 ) ， ( 2 ， 11 ) ， ( 4 ， 18 ) } ， A 1 ， 2 = { ( 0 ， 0 ) ， ( − 5 ， 4 ) ， ( − 1 ， 12 ) } ， A 1 ， 3 = { ( 0 ， 0 ) ， ( 1 ， 6 ) ， ( − 1 ， 13 ) } . 证明：根据 A 1 ， 1 ， A 1 ， 2 ， A 1 ， 3 计算 L i ，   0 ≤ i ≤ 26 。 易见 L s = − L 27 − s ，   14 ≤ s ≤ 26 。因此，只需计算 L i ，   0 ≤ i ≤ 13 。 L 0 = { 5 ， − 5 } ， L 1 = L 9 = { 1 ， − 4 } ， L 2 = { ξ − 1 ， 3 − ξ } ， L 3 = { ξ ， ξ − 5 } ， L 4 = { 2 ， − 5 } ， L 5 = − L 11 = { 3 ， − 2 } ， L 6 = L 13 = { 1 ， − 1 } ， L 7 = { 2 ， − 2 } ， L 8 = { 4 ， 2 − ξ } ， L 10 = { 3 ， − 1 } ， L 12 = { ξ − 4 ， − 1 } 。 由引理1.3的(1)和(2)知， 2 ∈ C 0 2 ， 3 ∈ C 0 2 ， 5 ∈ C 0 2 ，且 ξ − l ∈ C 0 ，   1 ≤ l < ξ 。不难验证 | L i ∩ C k 2 | = 1 ， 0 ≤ i ≤ 26 ， k = 0 ， 1 。由前述知， A 形成一个 2 − C P ( { 3 ， 7 } ， 1 ， { 2 3 ， 1 3 } ; 27 p ) 。 利用引理1.3相应的条件，同理可证引理2.2~2.13成立。 引理 2.2 若 p ≡ 43 ， 67 ， 163 ， 403 ， 547 ， 667 ， 187 ， 283 ， 307 ， 523 ， 643 ， 787 ( mod 840 ) 是素数，则 A = { C 0 2 ⋅ A 2 ， j : j = 1 ， 2 ， 3 } 形成一个 2 − C P ( { 3 ， 7 } ， 1 ， { 2 3 ， 1 3 } ; 27 p ) ，其中 A 2 ， 1 = { ( 1 ， 0 ) ， ( 2 ， 0 ) ， ( 3 ， 1 ) ， ( − 3 ， 3 ) ， ( 6 ， 5 ) ， ( 0 ， 11 ) ， ( − 2 ， 18 ) } ， A 2 ， 2 = { ( 0 ， 0 ) ， ( 4 ， 4 ) ， ( 1 ， 12 ) } ， A 2 ， 3 = { ( 0 ， 0 ) ， ( 1 ， 6 ) ， ( 3 ， 13 ) } . 引理 2.3若 p ≡ 23 ， 263 ， 407 ， 527 ， 743 ， 767 ， 47 ， 143 ， 167 ， 383 ， 503 ， 647 ( mod 840 ) 是素数，则 A = { C 0 2 ⋅ A 3 ， j : j = 1 ， 2 ， 3 } 形成一个 2 − C P ( { 3 ， 7 } ， 1 ， { 2 3 ， 1 3 } ; 27 p ) ，其中 A 3 ， 1 = { ( 9 ， 0 ) ， ( 5 ， 0 ) ， ( 6 ， 1 ) ， ( 4 ， 3 ) ， ( 8 ， 5 ) ， ( 7 ， 11 ) ， ( 10 ， 18 ) } ， A 3 ， 2 = { ( 0 ， 0 ) ， ( − 1 ， 4 ) ， ( 4 ， 12 ) } ， A 3 ， 3 = { ( 0 ， 0 ) ， ( − 5 ， 6 ) ， ( 5 ， 13 ) } . 引理 2.4若 p ≡ 19 ， 139 ， 451 ， 619 ， 691 ， 811 ( mod 840 ) 是素数，则 A = { C 0 2 ⋅ A 4 ， j : j = 1 ， 2 ， 3 } 形成一个 2 − C P ( { 3 ， 7 } ， 1 ， { 2 3 ， 1 3 } ; 27 p ) ，其中 A 4 ， 1 = { ( 0 ， 0 ) ， ( 2 ， 0 ) ， ( 1 ， 1 ) ， ( 4 ， 3 ) ， ( 5 ， 5 ) ， ( 3 ， 11 ) ， ( − 3 ， 18 ) } ， A 4 ， 2 = { ( 0 ， 0 ) ， ( 2 ， 4 ) ， ( 6 ， 12 ) } ， A 4 ， 3 = { ( 0 ， 0 ) ， ( 2 ， 6 ) ， ( 3 ， 13 ) } . 引理 2.5若 p ≡ 211 ， 331 ， 379 ， 499 ， 571 ， 739 ( mod 840 ) 是素数，则 A = { C 0 2 ⋅ A 5 ， j : j = 1 ， 2 ， 3 } 形成一个 2 − C P ( { 3 ， 7 } ， 1 ， { 2 3 ， 1 3 } ; 27 p ) ，其中 A 5 ， 1 = { ( 0 ， 0 ) ， ( 2 ， 0 ) ， ( 1 ， 1 ) ， ( 4 ， 3 ) ， ( 5 ， 5 ) ， ( 3 ， 11 ) ， ( − 3 ， 18 ) } ， A 5 ， 2 = { ( 0 ， 0 ) ， ( 2 ， 4 ) ， ( 3 ， 12 ) } ， A 5 ， 3 = { ( 0 ， 0 ) ， ( 2 ， 6 ) ， ( 3 ， 13 ) } . 引理 2.6若 p ≡ 31 ， 199 ， 271 ， 391 ， 439 ， 559 ( mod 840 ) 是素数，则 A = { C 0 2 ⋅ A 6 ， j : j = 1 ， 2 ， 3 } 形成一个 2 − C P ( { 3 ， 7 } ， 1 ， { 2 3 ， 1 3 } ; 27 p ) ，其中 A 6 ， 1 = { ( 2 ， 0 ) ， ( 0 ， 0 ) ， ( − 3 ， 1 ) ， ( 6 ， 3 ) ， ( 5 ， 5 ) ， ( 3 ， 11 ) ， ( − 4 ， 18 ) } ， A 6 ， 2 = { ( 0 ， 0 ) ， ( 3 ， 4 ) ， ( − 1 ， 12 ) } ， A 6 ， 3 = { ( 0 ， 0 ) ， ( 2 ， 6 ) ， ( 5 ， 13 ) } . 引理 2.7若 p ≡ 79 ， 151 ， 319 ， 631 ， 751 ， 799 ( mod 840 ) 是素数，则 A = { C 0 2 ⋅ A 7 ， j : j = 1 ， 2 ， 3 } 形成一个 2 − C P ( { 3 ， 7 } ， 1 ， { 2 3 ， 1 3 } ; 27 p ) ，其中 A 7 ， 1 = { ( 2 ， 0 ) ， ( 0 ， 0 ) ， ( − 3 ， 1 ) ， ( 6 ， 3 ) ， ( 5 ， 5 ) ， ( 3 ， 11 ) ， ( − 4 ， 18 ) } ， A 7 ， 2 = { ( 0 ， 0 ) ， ( 3 ， 4 ) ， ( − 1 ， 12 ) } ， A 7 ， 3 = { ( 0 ， 0 ) ， ( 5 ， 6 ) ， ( 7 ， 13 ) } . 引理 2.8若 p ≡ 83 ， 227 ， 467 ， 563 ， 587 ， 803 ( mod 840 ) 是素数，则 A = { C 0 2 ⋅ A 8 ， j : j = 1 ， 2 ， 3 } 形成一个 2 − C P ( { 3 ， 7 } ， 1 ， { 2 3 ， 1 3 } ; 27 p ) ，其中 A 8 ， 1 = { ( 9 ， 0 ) ， ( 5 ， 0 ) ， ( 7 ， 1 ) ， ( 0 ， 3 ) ， ( 8 ， 5 ) ， ( 6 ， 11 ) ， ( 4 ， 18 ) } ， A 8 ， 2 = { ( 0 ， 0 ) ， ( 2 ， 4 ) ， ( 3 ， 12 ) } ， A 8 ， 3 = { ( 0 ， 0 ) ， ( 2 ， 6 ) ， ( 1 ， 13 ) } . 引理 2.9若 p ≡ 107 ， 323 ， 347 ， 443 ， 683 ， 827 ( mod 840 ) 是素数，则 A = { C 0 2 ⋅ A 9 ， j : j = 1 ， 2 ， 3 } 形成一个 2 − C P ( { 3 ， 7 } ， 1 ， { 2 3 ， 1 3 } ; 27 p ) ，其中 A 9 ， 1 = { ( 9 ， 0 ) ， ( 5 ， 0 ) ， ( 7 ， 1 ) ， ( 0 ， 3 ) ， ( 8 ， 5 ) ， ( 6 ， 11 ) ， ( 4 ， 18 ) } ， A 9 ， 2 = { ( 0 ， 0 ) ， ( 2 ， 4 ) ， ( 3 ， 12 ) } ， A 9 ， 3 = { ( 0 ， 0 ) ， ( 2 ， 6 ) ， ( 1 ， 13 ) } . 引理 2.10若 p ≡ 59 ， 131 ， 251 ， 299 ， 419 ， 731 ( mod 840 ) 是素数，则 A = { C 0 2 ⋅ A 10 ， j : j = 1 ， 2 ， 3 } 形成一个 2 − C P ( { 3 ， 7 } ， 1 ， { 2 3 ， 1 3 } ; 27 p ) ，其中 A 10 ， 1 = { ( 4 ， 0 ) ， ( 9 ， 0 ) ， ( 5 ， 1 ) ， ( 1 ， 3 ) ， ( 10 ， 5 ) ， ( 3 ， 11 ) ， ( 8 ， 18 ) } ， A 10 ， 2 = { ( 0 ， 0 ) ， ( − 1 ， 4 ) ， ( 2 ， 12 ) } ， A 10 ， 3 = { ( 0 ， 0 ) ， ( 2 ， 6 ) ， ( − 1 ， 13 ) } . 引理 2.11若 p ≡ 11 ， 179 ， 491 ， 611 ， 659 ， 779 ( mod 840 ) 是素数，则 A = { C 0 2 ⋅ A 11 ， j : j = 1 ， 2 ， 3 } 形成一个 2 − C P ( { 3 ， 7 } ， 1 ， { 2 3 ， 1 3 } ; 27 p ) ，其中 A 11 ， 1 = { ( 4 ， 0 ) ， ( 9 ， 0 ) ， ( 5 ， 1 ) ， ( 1 ， 3 ) ， ( 10 ， 5 ) ， ( 3 ， 11 ) ， ( 8 ， 18 ) } ， A 11 ， 2 = { ( 0 ， 0 ) ， ( − 1 ， 4 ) ， ( 2 ， 12 ) } ， A 11 ， 3 = { ( 0 ， 0 ) ， ( 2 ， 6 ) ， ( − 1 ， 13 ) } . 引理 2.12若 p ≡ 103 ， 223 ， 367 ， 607 ， 703 ， 727 ( mod 840 ) 是素数，则 A = { C 0 2 ⋅ A 12 ， j : j = 1 ， 2 ， 3 } 形成一个 2 − C P ( { 3 ， 7 } ， 1 ， { 2 3 ， 1 3 } ; 27 p ) ，其中 A 12 ， 1 = { ( 5 ， 0 ) ， ( 2 ， 0 ) ， ( 7 ， 1 ) ， ( 0 ， 3 ) ， ( 3 ， 5 ) ， ( 4 ， 11 ) ， ( 9 ， 18 ) } ， A 12 ， 2 = { ( 0 ， 0 ) ， ( 4 ， 4 ) ， ( 2 ， 12 ) } ， A 12 ， 3 = { ( 0 ， 0 ) ， ( − 1 ， 6 ) ， ( − 7 ， 13 ) } . 引理 2.13若 p ≡ 127 ， 247 ， 463 ， 487 ， 583 ， 823 ( mod 840 ) 是素数，则 A = { C 0 2 ⋅ A 13 ， j : j = 1 ， 2 ， 3 } 形成一个 2 − C P ( { 3 ， 7 } ， 1 ， { 2 3 ， 1 3 } ; 27 p ) ，其中 A 13 ， 1 = { ( 7 ， 0 ) ， ( 4 ， 0 ) ， ( 2 ， 1 ) ， ( 9 ， 3 ) ， ( 5 ， 5 ) ， ( 6 ， 11 ) ， ( − 1 ， 18 ) } ， A 13 ， 2 = { ( 0 ， 0 ) ， ( 4 ， 4 ) ， ( 1 ， 12 ) } ， A 13 ， 3 = { ( 0 ， 0 ) ， ( 2 ， 6 ) ， ( − 1 ， 13 ) } . 定理的证明：对于每个素数 p ≡ 3 ( mod 4 ) 且 p > 7 ，由引理2.1~2.13可得到一个 2 − C P ( { 3 ， 7 } ， 1 ， { 2 3 ， 1 3 } ; 27 p ) 。对于 p = 7 ，设 A = { { 0 ， 1 ， 3 ， 7 ， 12 ， 20 ， 44 } ， { 0 ， 14 ， 35 ， 50 ， 66 ， 88 ， 114 } ， { 0 ， 10 ， 28 ， 55 ， 95 ， 118 ， 160 } ，       { 0 ， 25 ， 58 } ， { 0 ， 30 ， 76 } ， { 0 ， 34 ， 83 } ， { 0 ， 47 ， 98 } ， { 0 ， 54 ， 116 } ， { 0 ， 56 ， 117 } } 则 A 形成一个 2 − C P ( { 3 ， 7 } ， 1 ， { 2 3 ， 1 3 } ; 27 p ) 。 因此，由引理1.1和1.2知，对于任意的素数 p ≡ 3 ( mod 4 ) 且 p ≥ 7 ，可得到一个最优的 2 − C P ( { 3 ， 7 } ， 1 ， { 2 3 ， 1 3 } ; 27 p ) 和最优的变重量光正交码 ( 27 p ， { 3 ， 7 } ， 1 ， { 2 3 ， 1 3 } ) − OOC 。