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user: 3. 估计量 θ ^ T 的相合性与渐进性 3.1. 相合性 微分方程唯一解 X t 与估计量 θ ^ T 密切联系，它的Malliavin导数 D s X t 可以由定义(11)计算得到。现在引理3.1提供了估计量 θ ^ T 另一种表现方式。 引理3.1：假设 H ≥ 1 / 2 ，则 θ ^ T = − X T 2 2 ∫ 0 T X t 2 d t + σ 2 α H ∫ 0 T ∫ 0 t e 2 c t ξ 2 H − 2 e − ( θ + c ) ξ d ξ d t ∫ 0 T X t 2 d t (11) 证明：利用散度积分和Riemann-Stieltjies积分之间的联系，计算得到 ∫ 0 T X t e c t ∘ d B t H = ∫ 0 T X t e c t d B t H + α H ∫ 0 T ∫ 0 t D s ( X t e c t ) ( t − s ) 2 H − 2 d s d t = ∫ 0 T X t e c t d B t H + α H σ ∫ 0 T ∫ 0 t e ( c − θ ) t + ( θ + c ) s ( t − s ) 2 H − 2 d s d t = ∫ 0 T X t e c t d B t H + α H σ ∫ 0 T ∫ 0 t e 2 c t ξ 2 H − 2 e − ( θ + c ) ξ d ξ d t (12) 另一方面，把微分方程(3)代入Riemann-Stieltjies积分，计算得到 σ ∫ 0 T X t e c t ∘ d B t H = ∫ 0 T X t ∘ d B t H + θ ∫ 0 T X t 2 d t = 1 2 X T 2 + θ ∫ 0 T X t 2 d t (13) 结合(12)和(13)代入公式(5)即可得到结论。 下面将叙述四个引理，并得到相合性定理。 引理3.2：假设 H ≥ 1 / 2 ，则 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − ( u + s ) | u − s | 2 H − 2 d s d u = Γ ( 2 H − 1 ) (14) 证明：通过变量替换 u − s = x ， ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − ( u + s ) | u − s | 2 H − 2 d s d u = 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 u e − ( u + s ) ( u − s ) 2 H − 2 d s d u = 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 u e − 2 u + x x 2 H − 2 d x d u = 2 ∫ 0 ∞ ∫ x ∞ e − 2 u + x x 2 H − 2 d u d x = ∫ 0 ∞ e − x x 2 H − 2 d x Gamma函数计算完毕，在之后的运算中会多次用到，有关计算将省略。 引理3.3：假设 H ≥ 1 / 2 ，则当T趋于无穷时 1 T ∫ 0 T σ 2 e − 2 θ t ( ∫ 0 t e θ s d B s H ) 2 d t → σ 2 θ − 2 H H Γ ( 2 H )     a . s . 和 2 c e 2 c T ∫ 0 T X t 2 d t → σ 2 ( θ + c ) − 2 H H Γ ( 2 H )     a . s . 证明：现在考虑随机过程 { Y t ， t ≥ 0 } Y t = σ e − θ t ∫ − ∞ t e θ s d B s H (15) 该过程是高斯平稳遍历过程。根据遍历性定理 [ 7 ] 1 T ∫ 0 T Y t 2 d t → E ( Y 0 2 ) 这里我们知道当 H = 1 / 2 时， E ( Y 0 2 ) = σ 2 / 2 θ ；当 H > 1 / 2 时，用分数布朗运动的内积公式 E ( Y 0 2 ) = α H σ 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − ( u + s ) | u − s | 2 H − 2 d s d u 把公式(15)与公式(2) (4)对比发现只有较少的区别，这样暗示了该引理的结论。 引理3.4 [ 7 ]：如果随机过程 ( Y t ， t ≥ 0 ) 满足： E ( Y 0 ) = 0 ， E ( Y s Y t ) = r ( t ) = 1 − C | t | α + o ( t α ) ， α > 0 和 sup 0 ≤ t ≤ 1 | t | − α ( 1 − r 2 ( t ) ) > 0 ，则 P { lim sup t → ∞ ( 2 log t ) 1 / 2 ( Y t − ( 2 log t ) 1 / 2 ) / log log t ≤ 1 2 + 1 α } = 1 引理3.5 [ 1 ]：假设 H ≥ 1 / 2 ，随机过程 Y t 为公式(17)，当T趋于无穷，任意 a>0 Y T T α → 0     a . s . 则 X T e c T T α → 0     a . s . 定理3.1：假设 H ≥ 1 / 2 ，则当T趋于无穷时 θ ^ T → θ     a . s . 证明：从引理3.3知道 lim T → ∞ X T 2 ∫ 0 T X t 2 d t = 2 c 引理3.1中看出只要计算 θ ^ T 的第二部分收敛 lim T → ∞ ∫ 0 T ∫ 0 t e 2 c t ξ 2 H − 2 e − ( θ + c ) ξ d ξ d t ∫ 0 T X t 2 d t = lim T → ∞ ∫ 0 T ξ 2 H − 2 e − θ ξ d ξ 2 c ∫ 0 T X t 2 d t / e 2 c T = ( θ + c ) 1 − 2 H Γ ( 2 H − 1 ) σ 2 ( θ + c ) − 2 H H Γ ( 2 H ) = θ + c σ 2 α H 定理证毕。 3.2. 渐进性 引理3.6 [ 1 ]：下面两个无穷积分存在： C θ ， H = ∫ [ 0 ， ∞ ) 3 e − θ x 1 − θ | x 2 − x 3 | x 3 2 H − 2 | x 1 − x 2 | 2 H − 2 d x 1 d x 2 d x 3 (16) 和 C θ ， H ， c = ∫ [ 0 ， ∞ ) 3 e − θ x 1 − θ | x 2 − x 3 | e − c ( x 1 + x 2 + x 3 ) x 3 2 H − 2 | x 1 − x 2 | 2 H − 2 d x 1 d x 2 d x 3 ，     c > 0 (17) 证明：可以看出 0 < C θ ， H ， c < C θ ， H ，若公式(16)存在，则公式(17)也存在。 C θ ， H = θ 1 − 4 H ∫ [ 0 ， ∞ ) 3 e − x − | y − z | z 2 H − 2 | x − y | 2 H − 2 d x d y d z = θ 1 − 4 H d H 变量替换 w = y − x d H = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ ∫ − x ∞ e − x − | x + w − z | z 2 H − 2 | w | 2 H − 2 d w d x d z = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ ∫ z − x ∞ e − ( 2 x + w − z ) z 2 H − 2 | w | 2 H − 2 d w d x d z     + ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ ∫ − x z − x e − ( z − w ) z 2 H − 2 | w | 2 H − 2 d w d x d z = f H + ( 2 H − 1 / 2 ) Γ ( 2 H − 1 ) 2 变量替换 z − w = x ，把等式 ( w + x ) 2 H − 2 Γ ( 2 − 2 H ) = ∫ 0 ∞ e − ξ ( w + x ) ξ 1 − 2 H d ξ 代入 f H f H = ∫ 0 ∞ ∫ 0 z ( 1 + z − w ) e − ( z − w ) z 2 H − 2 w 2 H − 2 d w d z = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ ( 1 + x ) e − x ( w + x ) 2 H − 2 w 2 H − 2 d w d x = 1 Γ ( 2 − 2 H ) ∫ [ 0 ， ∞ ) ( 1 + x ) e − x − ξ ( w + x ) w 2 H − 2 ξ 1 − 2 H d ξ d w d x = ( 4 H − 1 ) Γ ( 2 H − 1 ) Γ ( 3 − 4 H ) Γ ( 4 H − 2 ) Γ ( 2 − 2 H ) 引理3.7 [ 1 ]：假设 X t 为公式(4)，则有 E [ ∫ s T e − ( θ − c ) ξ d B ξ H ∫ t T e − ( θ − c ) η d B η H ] ≤ e ( θ − c ) ( s + t ) C θ − c ， H | t − s | 2 H − 2 (18) 和 E [ X s X t ] ≤ σ 2 e c ( s + t ) C θ + c | t − s | 2 H − 2 (19) 定理3.2：假设 1 / 2 ≤ H < 5 / 8 ，则 θ ^ T − θ → L N ( 0 ， J θ ， c ) 。 证明：只需要证明满足引理3.1的条件即可。由于引理3.6只给出 C θ ， H ， c 存在，未能给出 J θ ， c 具体数值，但可以通过 C θ ， H 判断大致取值范围。 θ ^ T − θ = − σ ∫ 0 T X t e c t d B t H ∫ 0 T X t 2 d t = − σ 2 ∫ 0 T ∫ 0 t e − θ ( t − s ) e t + s d B t H ∫ 0 T X t 2 d t = − F T ∫ 0 T X t 2 d t / e 2 c T F T 是二重随机积分 F T = σ 2 2 e 2 c T I 2 ( e − θ ( t − s ) e t + s ) 下面证明当T趋于无穷时， E ( F T 2 ) 收敛于常数以及 ‖ D F T ‖ H 2 是 L 2 收敛于常数。 E ( F T 2 ) = σ 4 α H 2 2 e 2 c T I T 其中， I T = ∫ [ 0 ， T ] 4 e − θ | s 2 − u 2 | − θ | s 1 − u 1 | e c ( s 1 + s 2 + u 1 + u 2 ) | s 2 − s 1 | 2 H − 2 | u 2 − u 1 | 2 H − 2 d u d s 可以由公式(18)知道，极限存在 lim T → ∞ I T e 4 c T = lim T → ∞ 1 c e 3 c T ∫ [ 0 ， T ] 3 e − θ ( T − u 1 ) − θ | s 1 − u 1 | e c ( s 1 + u 1 + u 2 ) ( T − s 1 ) 2 H − 2 | u 2 − u 1 | 2 H − 2 d u 1 d u 2 d s 1 = lim T → ∞ 1 c ∫ [ 0 ， T ] 3 e − θ x 1 − θ | x 2 − x 3 | e − c ( x 1 + x 2 + x 3 ) x 3 2 H − 2 | x 1 − x 2 | 2 H − 2 d x 1 d x 2 d x 3 = C θ ， H ， c c 另一方面，对 F T 求Malliavin导数 D s F T = σ 2 2 e 2 c T ( ∫ 0 s e ( c − θ ) s e ( θ + c ) w d B w H + ∫ s T e ( c + θ ) s e ( c − θ ) w d B w H ) = σ 2 e 2 c T ( e c s X s + σ e ( c + θ ) s ∫ s T e ( c − θ ) w d B w H ) 计算 H > 1 / 2 时的范数 ‖ D F T ‖ H 2 = σ 2 α H 4 e 4 c T ∫ 0 T ∫ 0 T ( X u X s e c ( u + s ) + 2 σ X u e ( θ + c ) s ∫ s T e ( c − θ ) w d B w H     + σ 2 e ( c + θ ) ( u + s ) ∫ s T e ( c − θ ) w d B w H ∫ u T e ( c − θ ) w d B w H ) | u − s | 2 H − 2 d u d s = σ 2 α H 4 e 4 c T ( C T ( 1 ) + C T ( 2 ) + C T (3) ) 只需要计算第一项，另外两项相同计算过程 V T = E ( | C T ( 1 ) − E ( C T ( 1 ) ) | 2 ) = 2 ∫ [ 0 ， T ] 4 E ( X s X t ) E ( X u X v ) e c ( s + t + u + v ) | u − s | 2 H − 2 | v − t | 2 H − 2 d u d v d s d t 引理3.7结论中公式(18)和(19)代入 lim T → ∞ V T e 8 c T = lim T → ∞ 1 c e 8 c T ∫ [ 0 ， T ] 3 E ( X T X t ) E ( X u X v ) e c ( T + t + u + v ) ( T − u ) 2 H − 2 | v − t | 2 H − 2 d u d v d t ≤ C ∫ [ 0 ， T ] 3 ( T − t ) 2 H − 2 | u − v | 2 H − 2 ( T − u ) 2 H − 2 | v − t | 2 H − 2 d u d v d t ≤ C T 8 H − 5 ∫ [ 0 ， 1 ] 3 ( 1 − t ) 2 H − 2 | u − v | 2 H − 2 ( 1 − u ) 2 H − 2 | v − t | 2 H − 2 d u d v d t 这样最终得到 E [ ( ‖ D F T ‖ H 2 − E ( ‖ D F T ‖ H 2 ) ) 2 ] = σ 2 α H 4 e 4 c T E ( | C T ( 1 ) + C T ( 2 ) + C T ( 3 ) − E ( C T ( 1 ) + C T ( 2 ) + C T ( 3 ) ) | 2 )                                                                                 ≤ 9 σ 2 α H 4 e 4 c T ∑ i = 1 3     E ( | C T ( i ) − E ( C T ( i ) ) | 2 ) → 0 事实上还有 lim T → ∞ E ( ‖ D F T ‖ H 2 ) = p lim T → ∞ E ( F T 2 ) 其中p为随机积分积分重数，这里 p = 2 。