system: [SYSTEM]

user: 2. 拟网(弱网)与其子网 定义4设 { ( X i ， ≺ i ) } i = 1 n 是n个传递集，在笛卡尔积 ∏ i = 1 n X i 上定义的关系“ ≺ ”称为n-乘积序，如果对于 ∀ x = ( x 1 ， ⋯ x n ) ， y = ( y 1 ， ⋯ y n ) ∈ ∏ i = 1 n X i ， x ≺ y 当且仅当 ∀ i ( 1 ≤ i ≤ n ) ，有 x i ≺ i y i 。这时称有序偶 ( ∏ i = 1 n X i ， ≺ ) 是 { ( X i ， ≺ i ) } i = 1 n 的乘积，并且每个都称为是 ( ∏ i = 1 n X i ， ≺ ) 其的乘积因子(简称因子)。其中：n是不小于2的自然数或者是正无穷大 + ∞ 。 根据上述定义，有如下定理： 定理3有限个或者可数个弱定向集(拟定向集，定向集)的乘积也是弱定向(拟定向，定向)的。 证明 仅对n是不小于2的自然数进行证明。当 n = + ∞ 时，证明方法完全类似。 (1) 设每个   ( X i ， ≺ i ) 是弱定向集 ( i = 1 ， ⋯ ， n ) 。因为对于 ( x 1 ， ⋯ ， x n ) ， ( y 1 ， ⋯ ， y n ) ， ( z 1 ， ⋯ ， z n ) ∈ ∏ k = 1 n X k ，如果 ( x 1 ， ⋯ ， x n ) ≺ ( y 1 ， ⋯ ， y n ) 并且 ( y 1 ， ⋯ ， y n ) ≺ ( z 1 ， ⋯ ， z n ) ，由定义4， x i ≺ i y i 并且 y i ≺ i z i ，再由弱定向的传递性，有 x i ≺ i z i   ( i = 1 ， ⋯ ， n ) 。因此， ( x 1 ， ⋯ ， x n ) ≺ ( z 1 ， ⋯ ， z n ) 。从而， ( ∏ i = 1 n X i ，   ≺ ) 是弱定向的。 (2) 要证明n个拟定向集的乘积是拟定向集，由定理1，只需证明：乘积序 ≺ 是自反的。事实上， ∀ ( x 1 ， ⋯ x n ) ∈ ∏ k = 1 n X k ，因为每个   ( X i ， ≺ i ) 是拟定向的，即每个 ≺ i 自反，因此 x i ≺ i x i   ( i = 1 ， ⋯ ， n ) ，所以 ( x 1 ， ⋯ ， x n ) ≺ ( x 1 ， ⋯ ， x n ) 。乘积序 ≺ 具有自反性。 同上面(2)的情形一样，要证明n个定向集的乘积也是定向集，只需证明：乘积序 ( R 2 ， ≺ ) 具有反称性。事实上，不难证明：乘积对反称性是保持的。因此，结论不证自明。 现在，引入弱网与拟网接触点以及收敛的概念： 定义5 设 { x δ } δ ∈ S 是拓扑空间X中的一个拟网(或者弱网)， x 0 ∈ X ，称 { x δ } δ ∈ S 终在U内，如果 ∃ δ 0 ∈ S ，使得 ∀ δ ∈ S ， δ ≻ δ 0 时恒有 x δ ∈ U ；若 { x δ } δ ∈ S 终在 x 0 的每一个领域内，则称 { x δ } δ ∈ S 收敛于 x 0 。 定义6 设 { x δ } δ ∈ S 是空间X中的一个拟网(或者弱网)， x 0 ∈ X 并且 U ⊂ X 。称 { x δ } δ ∈ S 是常在U中的，如果 ∀ δ ∈ S ， ∃ δ 0 ∈ S 使得 δ 0 ≻ δ ，并且 x δ 0 ∈ U ；若 { x δ } δ ∈ S 常在 x 0 的每一个领域内，则称 x 0 是 { x δ } δ ∈ S 的一个接触点。 由此，我们得到了弱网(或者拟网)与其各类型子网之间的收敛关系的如下一些结果： 定理4 设 { x δ } δ ∈ S 是空间X中的一个拟网， A ⊂ P ( X ) ( A ≠ ∅ ) ，它使得 { x δ } δ ∈ S 常在 A 的每个元内并且还使得 A 内任意两个元之交包含 A 的一个元，则 { x δ } δ ∈ S 有一个拟子网(或者弱子网)终在 A 的每个元内。 证明 因为拟子网是弱子网，存在拟子网即存在弱子网，所以仅以拟子网为例进行证明。 因为 A 内任意两个元之交包含 A 的一个元，所以 A 关于 ⊂ 为拟定向集，令 E = { ( δ ， A ) | δ ∈ S ， x δ ∈ A ∈ A } ，由定理1可知，E关于 S × A 的乘积序为拟定向集。定义映射 f : E → S ，其中 ( δ ， A ) → δ ，即 f ( δ ， A ) = δ 。那么 { x f ( δ ， A ) } ( δ ， A ) ∈ E 是 { x δ } δ ∈ S 的一个拟子网并且终在 A 的每个元内。事实上， ∀ δ ∈ S ， ∀ A ∈ A ，由于 { x δ } δ ∈ S 常在A中，所以存在 ρ ∈ S 使得 ρ ≻ δ ，并且 x ρ ∈ A 。所以 ( ρ ， A ) ∈ E 且 f ( ρ ， A ) = ρ ≻ δ ，所以 { x f ( δ ， A ) } ( δ ， A ) ∈ E 是 { x δ } δ ∈ S 的一个拟子网。又因为 ∀ ( τ ， B ) ∈ E ，当 ( τ ， B ) ≻ ( ρ ， A ) 时，有 x f ( τ ， B ) = x τ ∈ B ⊂ A ，所以 { x f ( δ ， A ) } ( δ ， A ) ∈ E 终在 A 的每个元内。 用完全相同的方法，可得如下推论： 推论1 设 { x δ } δ ∈ S 是空间X中的一个弱网， A ⊂ P ( X ) ( A ≠ ∅ ) ，它使得 { x δ } δ ∈ S 常在 A 的每个元内并且还使得 A 内任意两个元之交包含 A 的一个元，则 { x δ } δ ∈ S 有一个弱子网终在 A 的每个元内。 定理5 设 { x δ } δ ∈ S 是空间X中的一个拟网， x 0 ∈ X ，则 x 0 为 { x δ } δ ∈ S 的接触点当且仅当存在 { x δ } δ ∈ S 的拟子网(或者弱子网)收敛于 x 0 。 证明 因为拟子网是弱子网，存在拟子网即存在弱子网，所以仅以拟子网为例进行证明。 必要性。设 x 0 为 { x δ } δ ∈ S 的接触点， ，则 的任意两个元相交为 的一个元并且网 { x δ } δ ∈ S 常在 x 0 的每一个领域内，由定理4可知 { x δ } δ ∈ S 有一个拟子网终在 的每个元内，则该拟子网收敛于 x 0 。 充分性。设 { x δ } δ ∈ S 有拟子网 { y α } α ∈ Δ 收敛于 x 0 ，则 ∀ U ∈ U ( x 0 ) ， ∃ α U ∈ Δ ，当 α ≻ α U 时，有 y α ∈ U 。对于 ∀ δ ∈ S ，由 ( S N 2 ) 可知 ∃ α * ∈ Δ ，使得 δ ≺ J ( α * ) ，再由定向性， ∃ α 0 ∈ Δ ，使得 α 0 ≻ α U 且 α 0 ≻ α * ，则存在 δ 0 = J ( α 0 ) ≻ J ( α * ) ≻ δ ，并且 x δ 0 = x J ( α 0 ) = y α 0 ∈ U 。所以 x 0 是 { x δ } δ ∈ S 的一个接触点。 同理可得如下推论： 推论2 设 { x δ } δ ∈ S 是空间X中的一个弱网， x 0 ∈ X ，则 x 0 为 { x δ } δ ∈ S 的接触点当且仅当存在 { x δ } δ ∈ S 的弱子网收敛于 x 0 。 定理6 设 { x δ } δ ∈ S 是空间X中的一个弱网(或者拟网)。 ∀ δ ∈ S ，令 A δ = { x α | α ∈ S ， α ≻ δ } ，则 x 0 为 { x δ } δ ∈ S 的接触点当且仅当 ∀ δ ∈ S ， x 0 ∈ A ¯ δ 。 证明 仅以弱网为例进行证明，拟网情形同理可证。 必要性。设 x 0 为 { x δ } δ ∈ S 的接触点，则 ∀ δ ∈ S ， ∀ U ∈ U ( x 0 ) ， ∃ δ 0 ∈ S 使得 δ 0 ≻ δ ，并且 x δ 0 ∈ U ；由 A δ 的定义， x δ 0 ∈ A δ ∩ U ≠ ∅ ，由定理2可知， x 0 ∈ A ¯ δ 。 充分性。反证。若 x 0 不是 { x δ } δ ∈ S 的接触点，则存在 U ∈ U ( x 0 ) 使得 x 0 不常在U内，那么 ∀ α ∈ S ， ∃ δ ∈ S ，当 α ≻ δ 时，有 x α ∉ U ；由 A δ 的定义， x α ∈ A δ ，即 A δ ∩ U = ∅ ，则 x 0 ∉ A ¯ δ ；这与 x 0 ∈ A ¯ δ 矛盾，所以 x 0 为 { x δ } δ ∈ S 的接触点。 定理7 设X为拓扑空间，X为紧空间当且仅当X中的任意拟网都有收敛的拟子网(或者弱子网)。 证明 必要性。设 { x δ } δ ∈ S 是空间X中的一个拟网。 ∀ δ ∈ S ，令 A δ = { x α | α ∈ S ， α ≻ δ } ，则 { A ¯ δ } δ ∈ S 是X上具有有限交性质的非空闭集族。 事实上，对于S中的任意有限子集 { δ 1 ， δ 2 ， ⋯ ， δ n } 。由S的定向性， ∃ α ∈ S ，使得 α ≻ δ i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 。因此 x α ∈ ∩ i = 1 n A δ i ⊂ ∩ i = 1 n A ¯ δ i ，所以 { A ¯ δ } δ ∈ S 具有有限交性质。由X的紧性， ∩ i = 1 n A ¯ δ i ≠ ∅ ，取 x 0 ∈ ∩ i = 1 n A ¯ δ i ，即 ∀ δ i ∈ S ， x 0 ∈ A ¯ δ ；由定理6可知， x 0 为 { x δ } δ ∈ S 的接触点；再由定理5可知， { x δ } δ ∈ S 的拟子网(或者弱子网)收敛于 x 0 。 充分性。设 F 是X的具有有限交性质的一个闭集族。为证 F 有非空交，我们构造X上的一个网如下：令 S = { δ ⊂ F | δ 为 非 空 有 限 集 } ，则 ( S ， ⊂ ) 是一个拟定向集。 ∀ δ ∈ S ，由于 F 的有限交性质，则 ∩ δ ≠ ∅ 。取 x δ ∈ ∩ δ ，则 { x δ } δ ∈ S 为X中的一个拟网。那么 { x δ } δ ∈ S 有收敛的拟子网，假设收敛于 x 0 ，则 x 0 为 { x δ } δ ∈ S 的接触点。现证 x 0 ∈ ∩ F 。 事实上， ∀ F ∈ F ，有 x F = x { F } ∈ F 。由接触点的定义， ∀ U ∈ U ( x 0 ) ， ∃ δ ∈ S ，使得 δ ⊃ { F } ，有 x δ ∈ U 。因为 x δ ∈ ∩ δ ⊂ F ，故 U ∩ F ≠ ∅ 。则 x 0 ∈ F ¯ = F 。因此 x 0 ∈ ∩ F ，所以 F 有非空交，X为紧空间。