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user: 2. 渗流单元模型 2.1. 渗流单元与绝对渗透率 设孔隙度为f 的多孔介质包含n个微通道，长度都为L，则可将该多孔介质划分为n个渗流单元，每个渗流单元的孔隙度也为f 并且包含一个长度为L的微通道，如图1所示。渗流单元上的微通道可以是圆形截面、矩形截面或者其他几何形状的截面。设第i个微通道位于第i个渗流单元上，每个渗流单元的压降相同。 渗流速度又称为表观速度 [ 9 ]。对于微通道中的两相渗流，若假设孔隙度f = 1，则其渗流速度就是两相流中的表观速度。对于单相流动，设u ip 为流体在第i个微通道中的真实平均流速，J i 为第i个渗流单元的渗流速度，则渗流速度与真实平均流速的关系为 J i = ϕ u i p (1) 图1. 渗流单元物理模型 由Darcy-Weisbach公式，单相流体在第i个微通道中的平均流速与摩擦压降之间的关系为 Δ p f L = 1 8 λ i p ρ u i p 2 B i p A i p (2) 其中，λ ip 为达西摩擦系数，r为流体密度，u ip 为流体在第i个微通道中的平均流速，B ip 为第i个微通道中的流体湿周，A ip 为第i个微通道的横截面积。 渗流一般为层流，其达西摩擦阻力系数为 λ i p = 64 R e i p = 64 μ u i p ρ d i p (3) 式(3)中，Re ip 为第i个微通道中流体流动的雷诺数，m为流体动力粘度，d ip 为水力直径。若第i个渗流单元上是非圆形截面微通道，则其水力直径为 d i p = 4 A i p B i p = 4 ϕ A i B i p (4) 若A i 为第i个渗流单元的面积，依据前述假设每个渗流单元的孔隙度都为f，则微通道横截面积A ip 与渗流单元面积A i 两者之间的关系为 A i p = ϕ A i (5) 由式(1)~(5)可得 J i = ϕ 3 A i 2 2 B i p 2 1 μ Δ p f L (6) 第i个渗流单元上的达西渗流公式可表示为 J i = k i μ Δ p f L (7) 比较式(5)和式(6)，第i个渗流单元上的绝对渗透率为 k i = 1 2 ϕ 3 A i 2 B i p 2 (8) 式(8)表明，绝对渗透率k i 只与孔隙度以及微通道的几何尺度有关。 若知道各个渗流单元的渗流速度，再结合式(6)~(8)，多孔介质的平均渗流速度为 J = ∑ i = 1 n J i A i ∑ i = 1 n A i = 1 μ Δ p f L ∑ i = 1 n 1 2 ϕ 3 A i 3 B i p 2 ∑ i = 1 n A i (9) 其中各个渗流单元面积的总和 ∑ i = 1 n A i 就是多孔介质的渗流面积。与Darcy渗流定律 J = k μ Δ p f L 相比较，多孔介质的绝对渗透率为 [ 10 ][ 11 ] k = = ∑ i = 1 n k i A i ∑ i = 1 n A i (10) 式(10)表明，若各渗流单元的孔隙率相同，则多孔介质的绝对渗透率是各渗流单元绝对渗透率的加权平均，权重就是渗流单元面积与渗流总面积的比值。通过研究渗流单元上的渗透率k i ，可认识多孔介质渗透率的特征。 式(10)同时表明，若多孔介质微通道中的流动状态为层流，则多孔介质的绝对渗透率k只与多孔介质的几何特性有关，与流体性质无关。 2.2. 两相渗流的相对渗透率 相对渗透率是多相渗流的重要参数，由管道两相流的分相模型可推导出相对渗透率的具体表达式。对于多孔介质中第i个微通道中的油水两相流，动量方程中的惯性力相对于压力、重力、粘性力和毛管力等可忽略，相间阻力也可忽略，则分相模型的动量方程为 [ 12 ] ϕ A i S i p w d p w d x + 1 8 λ i p w ρ w u i p w 2 B i p w + ϕ A i S i p w ρ w g sin θ = 0 (11) ϕ A i S i p o d p o d x + 1 8 λ i p o ρ o u i p o 2 B i p o + ϕ A i S i p o ρ o g sin θ = 0 (12) 对于油和水，第i个微通道中的平均流速与第i个渗流单元的渗流速度两者间的关系为 J i w = ϕ S i p w u i p w = ϕ Q i p w A i p (13) J i o = ϕ S i p o u i p o = ϕ Q i p o A i p (14) 式(11)~(14)中，S为微通道中的相份额(对于管流)或者流体饱和度(对于渗流)，p为压力，x为长度坐标，λ为达西摩擦系数，u为流体在微通道中的平均流速，r为密度，J为流体的渗流速度，Q为体积流量；下标i表示第i个渗流单元，下标p表示微通道中的参数，下标w表示水，下标o表示油；q 为倾斜向上方向与水平线的夹角，流动方向倾斜向上时q为正值，倾斜向下时q为负值；饱和度 S i p w + S i p o = 1 。式(11)和式(12)中，p w 与p o 的不同之处在于毛管力。 渗流一般为层流，水与油的达西摩擦系数分别为 λ i p w = 64 R e i p w = 64 μ w u i p w ρ w d i p w (15) λ i p o = 64 R e i p o = 64 μ o u i p o ρ o d i p o (16) 式(15)和式(16)中，d ipw 和d ipo 分别为第i个微通道中水相与油相的水力直径，表示为 d i p w = 4 A i ϕ S i p w B i p w (17) d i p o = 4 A i ϕ S i p o B i p o (18) 压降与压力梯度的关系为 d p w d x = − Δ p w L (19) d p o d x = − Δ p o L (20) 将式(13)、(15)、(17)和(19)代入式(11)，将式(14)、(16)、(18)和(20)代入(12)，则水与油的动量方程分别变为 J i w = ϕ 3 A i 2 S i p w 3 2 B i p w 2 ⋅ 1 μ w ( Δ p w L + ρ w g sin θ ) (21) J i o = ϕ 3 A i 2 S i p o 3 2 B i p o 2 ⋅ 1 μ o ( Δ p o L + ρ o g sin θ ) (22) 尽管p w 与p o 的因毛管力而不同，但是压降Dp w 和Dp o 并不因毛管力而不同，因此有 Δ p w = Δ p o = Δ p ，由该条件并将式(8)代入式(21)和(22)，整理后可得， J i w = k i r w k i μ w ( Δ p L + ρ w g sin θ ) (23) J i o = k i r o k i μ o ( Δ p L + ρ o g sin θ ) (24) k i r w = S i p w 3 ( B i p B i p w ) 2 (25) k i r o = S i p o 3 ( B i p B i p o ) 2 (26) 其中，k irw 和k iro 分别为第i个渗流单元上水与油的相对渗透率。 显然，第i个渗流单元上的相对渗透率与孔隙度无关，而是微通道总湿周、油水两相在微通道中的饱和度及其湿周等参数的函数。由于流体在微通道中的饱和度以及湿周与相态分布有关，因此，两相流的相态分布影响相对渗透率。 对式(23)和式(24)所表示的渗流速度进行面积加权平均，就可得到油水两相在多孔介质中的相对渗透率，即 J w = ∑ i = 1 n J i w A i ∑ i = 1 n A i = 1 μ w ( Δ p L + ρ w g sin θ ) ∑ i = 1 n k i r w k i A i ∑ i = 1 n A i (27) J o = ∑ i = 1 n J i o A i ∑ i = 1 n A i = 1 μ o ( Δ p L + ρ o g sin θ ) ∑ i = 1 n k i r o k i A i ∑ i = 1 n A i (28) 多孔介质中油水两相的渗流方程为 [ 10 ][ 11 ] J w = k r w k μ w ( Δ p L + ρ w g sin θ ) (29) J o = k r o k μ o ( Δ p L + ρ o g sin θ ) (30) 将(27)和(28)分别式(29)和(30)进行比较可得 k r w k = ∑ i = 1 n k i r w k i A i ∑ i = 1 n A i (31) k r o k = ∑ i = 1 n k i r o k i A i ∑ i = 1 n A i (32) 式(31)和式(32)中，k irw 和k iro 分别为水与油在多孔介质中的相对渗透率，多孔介质的绝对渗透率k由式(10)计算。 式(31)和式(32)表明，知道了渗流单元上油水两相的相对渗透率k irw 和k iro ，就可由式(31)和式(32)计算出多孔介质中油水两相的相对渗透率k irw 和k iro 。鉴于此，研究渗流单元上油水两相的相对渗透率k irw 和k iro ，是进一步认识多孔介质中油水两相的相对渗透率k irw 和k iro 的前提。k irw 和k iro 只与微通道中的流动特性有关，下面通过微流动实验揭示相对渗透率k irw 和k iro 的变化规律。