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user: 4. 泊松代数半直积的Nijenhuis算子 命题4.1 [ 5 ] 设 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 是泊松代数，V是域F上的线性空间， S [ ， ] ， S ∘ : P → E n d ( V ) 为线性映射，在 P ⊕ V 上定义 [ x 1 + v 1 ， x 2 + v 2 ] = [ x 1 ， x 2 ] + S [ ， ] ( x 1 ) v 2 − S [ ， ] ( x 2 ) v 1 ， (4.1) ( x 1 + v 1 ) ∘ ( x 2 + v 2 ) = x 1 ∘ x 2 + S ∘ ( x 1 ) v 2 + S ∘ ( x 2 ) v 1 ， (4.2) ∀ x 1 ， x 2 ∈ P ， v 1 ， v 2 ∈ V ，则 ( V ， S [ ， ] ， S ∘ ) 是泊松代数 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 的模当且仅当 ( P ⊕ V ， [ ， ] ， ∘ ) 是泊松代数，简记为 P ⋉ S [ ， ] ， S ° V 。 定理4.2 设 ( V ， S [ ， ] ， S ∘ ) 是泊松代数 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 的模， N ∈ E n d ( P ) ， M ∈ E n d ( V ) ，则N是泊松代数 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 上的Nijenhuis算子且M满足等式(3.33)、(3.34)当且仅当线性变换 N + M 是 P ⋉ S [ ， ] ， S ° V 上的Nijenhuis算子。 证明：必要性。 ∀ x 1 ， x 2 ， P ， v 1 ， v 2 ∈ V ，由等式(3.33)及N是 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 上的Nijenhuis算子知， [ ( N + M ) ( x 1 + v 1 ) ， ( N + M ) ( x 2 + v 2 ) ] = [ N ( x 1 ) + M ( v 1 ) ， N ( x 2 ) + M ( v 2 ) ] = [ N ( x 1 ) ， N ( x 2 ) ] + S [ ， ] ( N ( x 1 ) ) M ( v 2 ) − S [ ， ] ( N ( x 2 ) ) M ( v 1 ) ， ( N + M ) [ ( N + M ) ( x 1 + v 1 ) ， x 2 + v 2 ] + [ x 1 + v 1 ， ( N + M ) ( x 2 + v 2 ) ] − ( N + M ) ( [ x 1 + v 1 ， x 2 + v 2 ] ) ) = ( N + M ) ( [ N ( x 1 ) + M ( v 1 ) ， x 2 + v 2 ] + [ x 1 + v 1 ， N ( x 2 ) + M ( v 2 ) ]     − ( N + M ) ( [ x 1 ， x 2 ] + S [ ， ] ( x 1 ) v 2 − S [ ， ] ( x 2 ) v 1 ) ) = N ( [ N ( x 1 ) ， x 2 ] + [ x 1 ， N ( x 2 ) ] − N ( [ x 1 ， x 2 ] ) ) + M ( S [ ， ] ( N ( x 1 ) ) v 2 + S [ ， ] ( x 1 ) M ( v 2 ) − M ( S [ ， ] ( x 1 ) v 2 ) )     − M ( S [ ， ] ( N ( x 2 ) ) v 1 + S [ ， ] ( x 2 ) M ( v 1 ) − M ( S [ ， ] ( x 2 ) v 1 ) ) = [ N ( x 1 ) ， N ( x 2 ) ] + S [ ， ] ( N ( x 1 ) ) M ( v 2 ) − S [ ， ] ( N ( x 2 ) ) M ( v 1 ) ， 比较上述两式知线性变换 N + M 满足等式(3.31)。由等式(3.34)及N是 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 上的Nijenhuis算子知， ( N + M ) ( x 1 + v 1 ) ∘ ( N + M ) ( x 2 + v 2 ) = ( N ( x 1 ) + M ( v 1 ) ) ∘ ( N ( x 2 ) + M ( v 2 ) ) = N ( x 1 ) ∘ N ( x 2 ) + S ∘ ( N ( x 1 ) ) M ( v 2 ) + S ∘ ( N ( x 2 ) ) M ( v 1 ) ， ( N + M ) ( ( N + M ) ( x 1 + v 1 ) ∘ ( x 2 + v 2 ) + ( x 1 + v 1 ) ∘ ( N + M ) ( x 2 + v 2 ) − ( N + M ) ( ( x 1 + v 1 ) ∘ ( x 2 + v 2 ) ) ) = ( N + M ) ( ( N ( x 1 ) + M ( v 1 ) ) ∘ ( x 2 + v 2 ) + ( x 1 + v 1 ) ∘ ( N ( x 2 ) + M ( v 2 ) )       − ( N + M ) ( ( x 1 ∘ x 2 ) + S ∘ ( x 1 ) v 2 − S ∘ ( x 2 ) v 1 ) ) = N ( N ( x 1 ) ∘ x 2 + x 1 ∘ N ( x 2 ) − N ( x 1 ∘ x 2 ) ) + M ( S ∘ ( N ( x 1 ) ) v 2 + S ∘ ( x 1 ) M ( v 2 ) − M ( S ∘ ( x 1 ) v 2 ) )     + M ( S ∘ ( N ( x 2 ) ) v 1 + S ∘ ( x 2 ) M ( v 1 ) − M ( S ∘ ( x 2 ) v 1 ) ) = N ( x 1 ) ∘ N ( x 2 ) + S ∘ ( N ( x 1 ) ) M ( v 2 ) − S ∘ ( N ( x 2 ) ) M ( v 1 ) ， 比较上述两式知线性变换 N + M 满足等式(3.32)。所以 N + M 是泊松代数半直积 P ⋉ S [ ， ] ， S ° V 上的Nijenhuis算子。 充分性。设 N + M 是半直积泊松代数 P ⋉ S [ ， ] ， S ° V 上的Nijenhuis算子，则 ( N + M ) ( [ ( N + M ) ( x 1 + v 1 ) ， x 2 + v 2 ] + [ x 1 + v 1 ， ( N + M ) ( x 2 + v 2 ) ] − ( N + M ) ( [ x 1 + v 1 ， x 2 + v 2 ] ) ) − ( [ ( N + M ) ( x 1 + v 1 ) ， ( N + M ) ( x 2 + v 2 ) ] ) = ( N ( [ N ( x 1 ) ， x 2 ] + [ x 1 ， N ( x 2 ) ] − N ( [ x 1 ， x 2 ] ) ) − ( [ N ( x 1 ) ， N ( x 2 ) ] ) )     + ( − S [ ， ] ( N ( x 1 ) ) M ( v 2 ) + M ( S [ ， ] ( N ( x 1 ) ) v 2 + S [ ， ] ( x 1 ) M ( v 2 ) − M ( S [ ， ] ( x 1 ) v 2 ) ) )     + ( S [ ， ] ( N ( x 2 ) ) M ( v 1 ) − M ( S [ ， ] ( N ( x 2 ) ) v 1 + S [ ， ] ( x 2 ) M ( v 1 ) − M ( S [ ， ] ( x 2 ) v 1 ) ) ) = 0 ， 故线性变换N满足等式(3.30)且M满足等式(3.33)。又 ( N + M ) ( ( N + M ) ( x 1 + v 1 ) ∘ ( x 2 + v 2 ) + ( x 1 + v 1 ) ∘ ( N + M ) ( x 2 + v 2 ) − ( N + M ) ( ( x 1 + v 1 ) ∘ ( x 2 + v 2 ) ) ) − ( ( N + M ) ( x 1 + v 1 ) ∘ ( N + M ) ( x 2 + v 2 ) ) = ( N ( N ( x 1 ) ∘ x 2 + x 1 ∘ N ( x 2 ) − N ( x 1 ∘ x 2 ) ) − ( N ( x 1 ) ∘ N ( x 2 ) ) )     + ( − S [ ， ] ( N ( x 1 ) ) M ( v 2 ) + M ( S ∘ ( N ( x 1 ) ) v 2 + S ∘ ( x 1 ) M ( v 2 ) − M ( S ∘ ( x 1 ) v 2 ) ) )     + ( S [ ， ] ( N ( x 2 ) ) M ( v 1 ) − M ( S ∘ ( N ( x 2 ) ) v 1 + S ∘ ( x 2 ) M ( v 1 ) − M ( S ∘ ( x 2 ) v 1 ) ) ) = 0 ， 故线性变换N满足等式(3.31)且M满足等式(3.34)。所以N是泊松代数 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 上的Nijenhuis算子且M满足等式(3.33)、(3.34)。综上，结论成立。 定理4.3 [ 4 ] 设 ( V ， S [ ， ] ， S ∘ ) 是泊松代数 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 的模，则 ( V ∗ ， S [ ， ] ∗ ， S ∘ ∗ ) 是 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 的模。 定义4.1 设 ( V ， S [ ， ] ， S ∘ ) 是泊松代数 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 的模， N ∈ E n d ( P ) ， M ∈ E n d ( V ) 。如果 N ， M ∗ 生成 ( V ∗ ， S [ ， ] ∗ ， S ∘ ∗ ) 的平凡形变，则称 ( N ， M ) 是P-模V的Nijenhuis结构。 定理4.4 设 ( V ， S [ ， ] ， S ∘ ) 是 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 的模，则 ( N ， M ) 是P-模V的Nijenhuis结构等价于N是 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 的Nijenhuis算子且满足 S [ ， ] ( N ( x ) ) M ( v ) = M ( S [ ， ] ( N ( x ) ) v ) + S [ ， ] ( x ) M 2 ( v ) − M ( S [ ， ] ( x ) M ( v ) ) ， (4.3) S ∘ ( N ( x ) ) M ( v ) = M ( S ∘ ( N ( x ) ) v ) + S ∘ ( x ) M 2 ( v ) − M ( S ∘ ( x ) M ( v ) ) . (4.4) ∀ x ∈ P ， v ∈ V . 证明：由定理4.2知，N和 M ∗ 生成泊松代数 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 的模 ( V ∗ ， S [ ， ] ∗ ， S ∘ ∗ ) 的无穷小形变当且仅当N是泊松代数 ( P ， [ ， ] ， ∘ ) 的Nijenhuis算子，且满足下列方程 S [ ， ] ∗ ( N ( x ) ) M ∗ ( v ∗ ) = M ∗ ( S [ ， ] ∗ ( N ( x ) ) v ∗ + S [ ， ] ∗ ( x ) M ∗ ( v ) − M ∗ ( S [ ， ] ∗ ( x ) v ∗ ) ) ， (4.5) S ∘ ∗ ( N ( x ) ) M ∗ ( v ∗ ) = M ∗ ( S ∘ ∗ ( N ( x ) ) v ∗ + S ∘ ∗ ( x ) M ∗ ( v ) − M ∗ ( S ∘ ∗ ( x ) v ∗ ) ) . (4.6) ∀ x ∈ P ， v ∈ V ， v ∗ ∈ V 。由于 〈 S [ ， ] ∗ ( N ( x ) ) M ∗ ( v ∗ ) − M ∗ ( S [ ， ] ∗ ( N ( x ) ) v ∗ ) − M ∗ ( S [ ， ] ∗ ( x ) M ∗ ( v ) ) + M ∗ ( M ∗ ( S [ ， ] ∗ ( x ) v ∗ ) ) ， v 〉 = 〈 v ∗ ， S [ ， ] ( N ( x ) ) M ( v ) − M ( S [ ， ] ( N ( x ) ) v ) − S [ ， ] ( x ) M 2 ( v ) + M ( S [ ， ] ( x ) M ( v ) ) 〉 ， 所以等式(4.5)成立当且仅当等式(4.3)成立。由于 〈 S [ ， ] ∗ ( N ( x ) ) M ∗ ( v ∗ ) − M ∗ ( S [ ， ] ∗ ( N ( x ) ) v ∗ ) − M ∗ ( S [ ， ] ∗ ( x ) M ∗ ( v ) ) + M ∗ ( M ∗ ( S [ ， ] ∗ ( x ) v ∗ ) ) ， v 〉 = 〈 v ∗ ， S [ ， ] ( N ( x ) ) M ( v ) − M ( S [ ， ] ( N ( x ) ) v ) − S [ ， ] ( x ) M 2 ( v ) + M ( S [ ， ] ( x ) M ( v ) ) 〉 ， 所以等式(4.6)成立当且仅当等式(4.4)成立。综上可知，结论成立。