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user: 3. 方程的适定性 3.1. 解的存在性 定义3.1：设 f ( u ) 满足(1.6)~(1.7)， z 0 = ( u 0 ， η 0 ) ∈ M 1 ， z = ( u ， η t ) 是方程(1.1)的整体弱解，记 I = [ 0 ， T ] 则对 ∀ T > 0 ，若z满足方程(1.1)并且 u ∈ C ( I ; H 0 ) ∩ L 2 ( I ; H 1 ) ∩ L p ( I ; L p ( ℝ n ) ) ， u t ∈ L 2 ( I ; H 0 ) η t ∈ C ( ℝ ; L μ 2 ( ℝ + ; H 0 ) ) ; η t t + η s t ∈ L ∞ ( ℝ ; L μ 2 ( ℝ + ; H 1 ) ) 并且对任意 ω ( x ) ∈ H 1 ( ℝ n ) ， φ ( x ， t ) ∈ H 1 有 { 〈 u t ， ω 〉 + 〈 ∇ η t ， ∇ ω 〉 μ ， H 0 + 〈 ∇ u ， ∇ ω 〉 + λ 〈 u ， ω 〉 + 〈 f ( u ) ， ω 〉 = 〈 g ， ω 〉 〈 η t t + η s t ， φ 〉 μ ， H 0 = 〈 u ， φ 〉 μ ， H 0 对于 t ∈ ℝ 几乎处处成立。 首先，对任意的正整数n，我们给定一个球 B n = { x ∈ ℝ n : | x | < n } (3.1) 由于 B n 是有界域，故利用标准的Faedo-Galerkin方法可以获得如下初边值问题解的存在性 { u n t − Δ u n − ∫ 0 ∞ μ ( s ) Δ η n t ( s ) d s + λ u n + f ( u n ) = g n ，   x ∈ B n ， η n t t = − η n s s + u n ， (3.2) 初始条件为： u n ( x ， 0 ) = χ n u 0 ( x ) ， η n 0 ( x ， s ) = ∫ 0 s χ n u 0 ( x ， − τ ) d τ ， (3.3) 边界条件为： u n ( x ， t ) | ∂ B n = 0 ， η n t ( x ， s ) | ∂ B n × ℝ + = 0. (3.4) 其中 χ n ( x ) 为一个光滑函数，其满足 χ n = { 1 ，    x ∈ B n − 1 ， 0 ，    x ∉ B n . 对上述方程的解 z n = ( u n ， η n t ) 我们给出如下引理。 引理3.2：假设 T > 0 ， f ∈ C 1 ( ℝ ) 且满足条件(1.6)~(1.7)，核函数 μ 满足而 g ∈ H − 1 ( ℝ n ) ，则对于任意的 t ∈ [ 0 ， T ] ，有如下估计： | u n ( t ) | 2 2 + ‖ ∇ η n t ‖ μ ， H 0 2 + ∫ 0 T ( ‖ u n ( s ) ‖ 0 2 + ‖ ∇ η n s ‖ μ ， H 0 2 + | u n ( s ) | p p ) d s ≤ ρ 1 . 其中 ρ 1 仅依赖于T，不依赖于n。 证明：对(3.2)中的第一个方程乘以 u n ，并在 ℝ n 上积分得 1 2 d d t ( | u n ( t ) | 2 2 + ‖ ∇ η n t ‖ μ ， H 0 2 ) + γ 1 ( ‖ u n ‖ 0 2 + ‖ ∇ η n t ‖ μ ， H 0 2 + | u n | p p ) ≤ ∫ ℝ n g n u n ， (3.5) 其中 γ 1 = min { 1 ， θ 1 ， δ 2 ， λ − β 1 } 。由Hölder不等式和Young不等式，有 ∫ ℝ n g n u n ≤ 1 2 γ 1 ‖ g n ‖ H − 1 2 + γ 1 2 ‖ u n ‖ 0 2 ≤ 1 2 γ 1 ‖ g ‖ H − 1 2 + γ 1 2 ‖ u n ‖ 0 2 . (3.6) 改写(3.5)式 d d t ( | u n ( t ) | 2 2 + ‖ ∇ η n t ‖ μ ， H 0 2 ) + γ 1 ( ‖ u n ‖ 0 2 + ‖ ∇ η n t ‖ μ ， H 0 2 + | u n | p p ) ≤ 1 γ 1 ‖ g ‖ H − 1 2 . (3.7) 应用Gronwall引理有 | u n ( t ) | 2 2 + ‖ ∇ η n t ‖ μ ， H 0 2 ≤ ( | u 0 | 2 2 + ‖ η 0 ‖ μ ， H 0 2 ) e − γ 1 t + 1 γ 1 2 ‖ g ‖ H − 1 2 . (3.8) 并且对(3.7)两边在 [ 0 ， T ] 上对t积分，有 ∫ 0 T ( | u n ( t ) | p p + ‖ u n ( t ) ‖ 0 2 + ‖ ∇ η n t ‖ μ ， H 0 2 ) d t ≤ 1 γ 1 ( | u 0 | 2 2 + ‖ η 0 ‖ μ ， H 1 2 + T γ 1 ‖ g ‖ H − 1 2 ) ， (3.9) 令 ρ 1 = 2 max { | u 0 | 2 2 + ‖ η 0 ‖ μ ， H 0 2 + 1 γ 1 2 ‖ g ‖ H − 1 2 ， 1 γ 1 ( | u 0 | 2 2 + ‖ η 0 ‖ μ ， H 1 2 + T γ 1 ‖ g ‖ H − 1 2 ) } . 结合(3.8)~(3.9)则结论成立，证毕！ 引理3.3 [ 4 ]：由假设(h 1 )对任意的 t ∈ [ 0 ， T ] ， η n t 满足如下估计： ‖ η n t ‖ μ ， H 0 2 + ∫ 0 t ‖ η n s ‖ μ ， H 0 2 d s ≤ ρ 2 . 其中 ρ 2 仅依赖于T，但不依赖于n。 引理3.4：设引理3.2成立，对所有的 t ∈ [ 0 ， T ] ，则存在不依赖n的正常数 ρ 3 ，使得 | u n ( t ) | p p ≤ ρ 4 ;   ∫ 0 T | u n t ( τ ) | 2 2 d τ ≤ ρ 3 成立。 证明：令 F ( s ) = ∫ 0 s f ( σ ) d σ ，则由(1.6)，可得 θ 3 | u n | p − β 3 ≤ F ( u n ) ≤ θ 4 | u n | p + β 4 . (3.10) 其中 θ i ， β i ( i = 3 ， 4 ) 均为正数。 对(3.2)中的第一个方程两边乘以 u n t ，并在 ℝ n 上积分，并结合Hölder不等式和Young不等式可以得到 d d t [ | ∇ u n | 2 2 + λ | u n | 2 2 + 2 ∫ ℝ n F ( u n ) ] + 2 | u n t | 2 2 ≤ 2 ‖ g ‖ H − 1 2 + 2 m 0 ‖ η n t ‖ μ ， H 0 2 + ‖ u n t ‖ 0 2 (3.11) 令 E ( t ) = | ∇ u n | 2 2 + λ | u n | 2 2 + 2 ∫ ℝ n F ( u n ) (3.12) 则有 | u n t | 2 2 + d d t E ( t ) ≤ 2 m 0 ‖ η n t ‖ μ ， H 0 2 + 2 ‖ g ‖ H − 1 2 (3.13) 由(3.10)式，可得 θ 3 | u n ( t ) | p p − β 3 | u n ( t ) | 2 2 ≤ ∫ ℝ n F ( u n ( t ) ) ≤ θ 4 | u n ( t ) | p p + β 4 | u n ( t ) | 2 2 . (3.14) 对(3.13)式在 [ 0 ， T ] 上对t积分，有 ∫ 0 T | u n t ( τ ) | 2 2 d τ + E ( T ) ≤ E ( 0 ) + 2 m 0 ∫ 0 T ‖ η n τ ‖ μ ， H 0 2 d τ + 2 T ‖ g ‖ H − 1 2 . (3.15) 根据(3.14)、引理3.3和引理3.2得 ∫ 0 T | u n t ( τ ) | 2 2 d τ + 2 θ 3 | u n ( T ) | p p ≤ 2 m 0 ρ 2 + ( 2 β 3 + λ + 2 β 4 ) ρ 1 + 2 T ‖ g ‖ H − 1 2 + ‖ ∇ u 0 ‖ 2 2 + 2 θ 4 ‖ u 0 ‖ p p . 进一步有n个 ∫ 0 T | u n t ( τ ) | 2 2 d τ + 2 θ 3 | u n ( t ) | p p ≤ ρ 3 . (3.16) 其中 ρ 3 = 2 m 0 ρ 2 + ( 2 β 3 + λ + 2 β 4 ) ρ 1 + 2 T ‖ g ‖ H − 1 2 + ‖ ∇ u 0 ‖ 2 2 + 2 θ 4 ‖ u 0 ‖ p p 则存在与n无关的正常数 ρ 4 = ρ 3 2 θ 3 ，使得任意的 t ∈ ( 0 ， T ] 有 | u n ( t ) | p p ≤ ρ 4 ;   ∫ 0 T | u n t ( τ ) | 2 2 d τ ≤ ρ 3 . 证毕！ 通过上述引理可以得如下关于方程(1.1)解的存在性定理： 定理3.5：假设条件(h 1 )~(h 2 )成立，则对任意的 T > 0 和 z 0 = ( u 0 ， η 0 ) ∈ M 1 。方程(1.1)存在弱解 z = ( u ， η t ) ，且其满足 u ∈ L ∞ ( 0 ， T ; H 1 ) ， η t ∈ L μ 2 ( 0 ， T ; H 1 ) 。 证明：在 B n 外取 ( u n ， η n t ) = 0 ，则可将 ( u n ， η n t ) 延拓到整个 ℝ n 上，结合引理3.3和引理3.2，可得 u n 在 L ∞ ( 0 ， T ; H 1 ( ℝ n ) ) ∩ L 2 ( 0 ， T ; H 1 ) 一致有界； η n t 在 L ∞ ( 0 ， T ; H 1 ) ∩ L 2 ( 0 ， T ; H 1 ) 一致有界； u n t 在 L 2 ( 0 ， T ; H 1 ) 一致有界。 故存在 { z n = ( u n ， η n t ) } n = 1 ∞ 的子列 { z n k = ( u n k ， η n k t ) } k = 1 ∞ ，满足 u n k ⇀ u 在 L 2 ( 0 ， T ; H 1 ) 中弱收敛； η n k t ⇀ η t 在 L 2 ( 0 ， T ; H 1 ) 中弱收敛； u n k t ⇀ u t 在 L 2 ( 0 ， T ; H 1 ) 中弱收敛。 此外，取q为 p ( p ≥ 2 ) 互为对偶数，则结合(1.7)式，可以得到 ∫ 0 T ∫ B n | f ( u n ) | q d x d t ≤ C ∫ 0 T ( | u n ( t ) | p p + | u ( t ) | 2 2 ) d t (3.17) 由引理3.4，令 ρ 0 = C ( ρ 3 + ρ 1 T ) ，则 ∫ 0 T ∫ B n | f ( u n ) | q d x d t ≤ ρ 0 . (3.18) 同理，当 u n ∉ B n 时，若 u n = 0 ，则将 u n 延拓到整个 ℝ n 上，则有 f ( u n ) ⇀ χ 在 L q ( ( 0 ， T ] × ℝ n ) 是弱收敛的。 而对任意给定的 t ∈ ( 0 ， T ] ，在 L 2 ( ℝ n ) 中 u n ⇀ u 且 | u n | 2 2 ∈ [ 0 ， ρ 1 ] ，则 u n → u ( n → ∞ ) 在 L 2 ( ℝ n ) 中是强收敛的。因此 u n → u ( n → ∞ ) 在 ℝ n 中是几乎处处收敛的，由f的连续性，有 f ( u n ( x ， t ) ) → f ( u ( x ， t ) ) 于 [ 0 ， T ] × ℝ n 上几乎处处收敛，并且由Lebesgue逐项积分定理可知，存在 ϕ ∈ L 2 ( 0 ， T ; C c ∞ ( ℝ n ) ) ，使得 lim n → ∞ ∫ 0 T ∫ ℝ n f ( u n ) ϕ d x d t = ∫ 0 T ∫ ℝ n f ( u ) ϕ d x d t (3.19) 可得在 L q ( [ 0 ， T ] × ℝ n ) ⊂ H − 1 ( [ 0 ， T ] × ℝ n ) 中 f ( u n ) ⇀ f ( u ) ，且由弱极限的唯一性可知： χ = f ( u ) 。 因为 g n ( x ) ∈ H − 1 ( B n ) ，对于一切的 x ∈ ℝ n ，有 g n → g ( n → ∞ ) ，则 g ( x ) ∈ L 2 ( 0 ， T ; H − 1 ( ℝ n ) ) 。 故当 n → ∞ 时，对所有的 ω ( x ) ∈ L 2 ( 0 ， T ; C 0 ∞ ( ℝ n ) ) ， φ ( x ， t ) ∈ L μ 2 ( ℝ + ; C 0 ∞ ( ℝ n ) ) 有以下等式成立： { 〈 u t ， ω 〉 + 〈 ∇ η t ， ∇ ω 〉 μ ， H 0 + 〈 ∇ u ， ∇ ω 〉 + λ 〈 u ， ω 〉 + 〈 f ( u ) ， ω 〉 = 〈 g ， ω 〉 ， 〈 η t t + η s t ， φ 〉 μ ， H 0 = 〈 u ， φ 〉 μ ， H 0 ， 证毕！ 3.2. 解的唯一性和对初值的连续依赖性 定理3.5：假设条件(h 1 )~(h 2 )成立，对任意的 T > 0 和 z 0 = ( u 0 ， η 0 ) ∈ M 1 。方程(1.1)在 M 1 中有唯一弱解 z = ( u ， η t ) ，且其解 z ( t ) = ( u ( t ) ， η t ) 连续依赖于初值 z 0 = ( u 0 ， η 0 ) 。 证明：设 z 1 = ( u 1 ， η 1 t ) ， z 2 = ( u 2 ， η 2 t ) 是方程(1.1)的两个解，且初值 z 10 ， z 20 ∈ M 1 ， g ∈ H − 1 ( ℝ n ) ，令 ω = u 1 − u 2 ， ζ t = η 1 t − η 2 t ， z = z 1 − z 2 ，则 ω 满足下面的初边值问题 { ω t − Δ ω − ∫ 0 ∞ μ ( s ) Δ ζ t ( s ) d s + λ ω + f ( u 1 ) − f ( u 2 ) = 0 ζ t t = − ζ s t + ω ， (3.20) 对方程(3.20)两端用 ω 作用，则得 d d t [ | ω | 2 2 + ‖ ζ t ‖ μ ， H 1 2 ] + [ 2 λ | ω | 2 2 + δ ‖ ζ t ‖ μ ， H 1 2 ] ≤ − 2 〈 f ( u 1 ) − f ( u 2 ) ， ω 〉 . (3.21) 对(3.21)式的右端项，我们有 − 2 〈 f ( u 1 ) − f ( u 2 ) ， ω 〉 = − ∫ ℝ n ( f ( u 1 ) − f ( u 2 ) ) ω d x ≤ 2 l | ω | 2 2 . (3.22) 结合(3.21)式和(3.22)式，令 ‖ z ′ ‖ M 1 2 = ‖ ω ‖ 0 2 + ‖ ζ t ‖ μ ， H 1 2 ，可得 d d t ‖ z ′ ‖ M 1 2 ≤ 2 l ‖ z ′ ‖ M 1 2 . 故由Gronwall引理可得 ‖ z 1 − z 2 ‖ M 1 2 ≤ e 2 l T ‖ z 1 ( 0 ) − z 2 ( 0 ) ‖ M 1 2 . (3.23) 当且仅当 z 1 ( 0 ) = z 2 ( 0 ) 时，(3.23)式中的等号成立。由此证得方程(1.1)解的唯一性和解对初值得连续依赖性，证毕！