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user: 3. 带记忆的鲁棒无源性分析 定理1：对于闭环系统(4)如果 C 2 i + C 2 i T > 0 ， E T P = P T E ≥ 0 存在可逆矩阵 P ∈ P n × n ， K σ ( t ) ∈ R p × n ， K 1 σ ( t ) ∈ R p × n ， K 2 σ ( t ) ∈ R p × n 和矩阵 Q 1 = Q 1 T > 0 ， Q 2 = Q 2 T > 0 ，且 Q 1 n × n ， Q 2 ∈ R n × n 正实数 h 1 < 1 ， h 2 < 1 使得下面不等式成立： [ Ξ P A ¯ 1 i + P B 1 i K 1 i P A ¯ 2 i + P B 1 i K 2 i P B 2 i − C i T − K i T C i T * − ( 1 − h 1 ) Q 1 0 − K 1 i T C 1 i T * * − ( 1 − h 2 ) Q 2 − K 1 i T C 2 i T * * * − C 2 i − C 2 i T ] < 0 (5) 其中 Ξ = P A ¯ i + A ¯ i T P + P B 1 i B 1 i T P + K i T K i + Q 1 + Q 2 + C T ƛ T ƛ C + P D D T P ，*表示关于对角线的对称矩阵部分，则此时Lurie切换广义系统(1)在任意切换规则下对所有扰动是渐进稳定且严格无源的。 证明：先证在外部扰动 ω ( t ) ≡ 0 时，闭环系统(4)是渐近稳定的。 构造Lyapunov-Krasovskii泛函如下 V 1 ( x ( t ) ， t ) = x T ( t ) E T P x ( t ) + ∫ t − d 1 ( t ) t x T ( s ) Q 1 x ( s ) d s                                   + ∫ t − d 2 ( t ) t x T ( s ) Q 2 x ( s ) d s (6) 其中 P ∈ R n × n ， Q 1 ∈ R n × n ， Q 2 ∈ R n × n 。记 σ ( t ) = i ， ( i ∈ N ¯ ) ，及 ξ ( t ) = ( x T ( t ) ， x T ( t − d 1 ( t ) ) ， x T ( t − d 2 ( t ) ) ) T ， η ( t ) = ( x T ( t ) ， x T ( t − d 1 ( t ) ) ， x T ( t − d 2 ( t ) ) ， ω T ( t ) ) T 对 V 1 ( x ( t ) ， t ) 沿闭环系统(4)求导，可以得到 V ˙ 1 ( x ( t ) ， t ) | ( 4 ) = x ˙ T ( t ) E T P x ( t ) + x T ( t ) E T P x ˙ ( t ) + x T ( t ) Q 1 x ( t ) − ( 1 − d ˙ 1 ( t ) ) x T ( t − d 1 ( t ) ) Q 1 x ( t − d 1 ( t ) )     + x T ( t ) Q 2 x ( t ) − ( 1 − d ˙ 2 ( t ) ) x T ( t − d 2 ( t ) ) Q 2 x ( t − d 2 ( t ) ) = ( E x ˙ ( t ) ) T P x ( t ) + x T ( t ) P T ( E x ˙ ( t ) ) + x T ( t ) Q 1 x ( t ) − ( 1 − d ˙ 1 ( t ) ) x T ( t − d 1 ( t ) ) Q 1 x ( t − d 1 ( t ) )     + x T ( t ) Q 2 x ( t ) − ( 1 − d ˙ 2 ( t ) ) x T ( t − d 2 ( t ) ) Q 2 x ( t − d 2 (t) ) = [ ( A ¯ i + B 1 i K i ) x ( t ) + ( A ¯ 1 i + B 1 i K 1 i ) x ( t − d 1 ( t ) ) + ( A ¯ 2 i + B 1 i K 2 i ) x ( t − d 2 ( t ) ) + B 2 i ω ( t ) + D f ( μ ( t ) ) ] T P x ( t )     + x T ( t ) P [ ( A ¯ i + B 1 i K i ) x ( t ) + ( A ¯ 1 i + B 1 i K 1 i ) x ( t − d 1 ( t ) ) + ( A ¯ 2 i + B 1 i K 2 i ) x ( t − d 2 ( t ) ) + B 2 i ω ( t ) + D f ( μ ( t ) ) ]     + x T ( t ) Q 1 x ( t ) − ( 1 − d ˙ 1 ( t ) ) x T ( t − d 1 ( t ) ) Q 1 x ( t − d 1 ( t ) ) + x T ( t ) Q 2 x ( t ) − ( 1 − d ˙ 2 ( t ) ) x T ( t − d 2 ( t ) ) Q 2 x ( t − d 2 ( t ) ) = f T ( μ ( t ) ) D T P x ( t ) + ω T ( t ) B 2 i T P x ( t ) + x T ( t − d 2 ( t ) ) ( K 2 i T B 1 i T + A ¯ 2 i T ) P x (t) + x T ( t − d 1 ( t ) ) ( K 1 i T B 1 i T + A ¯ 1 i T ) P x ( t ) + x T ( t ) ( K i T B 1 i T + A ¯ i T ) P x ( t )     + x T ( t ) ( P A ¯ i + B 1 i K i ) x ( t ) + x T ( t ) ( P A ¯ 1 i + B 1 i K 1 i ) x ( t − d 1 ( t ) )     + x T ( t ) ( P A ¯ 2 i + B 1 i K 2 i ) x ( t − d 2 ( t ) ) + x T ( t ) P B 2 i ω ( t ) + x T ( t ) P D f ( μ ( t ) )     + x T ( t ) Q 1 x ( t ) − ( 1 − d ˙ 1 ( t ) ) x T ( t − d 1 ( t ) ) Q 1 x ( t − d 1 ( t ) ) + x T ( t ) Q 2 x ( t )     − ( 1 − d ˙ 2 ( t ) ) x T ( t − d 2 ( t ) ) Q 2 x ( t − d 2 ( t ) ) = x T ( t ) ( P A ¯ i + A ¯ i T P + P B 1 i K i + K i T B 1 i T P + Q 1 + Q 2 ) x ( t ) + x T ( t − d 1 ( t ) ) ( A ¯ 1 i T P + K 1 i T B 1 i T P ) x ( t )     + x T ( t ) ( P A ¯ 1 i + P B 1 i K 1 i ) x ( t − d 1 ( t ) ) + x T ( t − d 2 ( t ) ) ( A ¯ 2 i T P + K 2 i T B 1 i T P ) x ( t )     + x T ( t ) ( P A ¯ 2 i + P B 1 i K 2 i ) x ( t − d 1 ( t ) ) − ( 1 − d ˙ 1 ( t ) ) x T ( t − d 1 ( t ) ) Q 1 x ( t − d 1 ( t ) )     − ( 1 − d ˙ 2 ( t ) ) x T ( t − d 2 ( t ) ) Q 2 x ( t − d 2 ( t ) ) + x T ( t ) P B 2 i ω ( t )     + ω T ( t ) B 2 i T P x ( t ) + x T ( t ) P D f ( μ ( t ) ) + f T ( μ ( t ) ) D T P x ( t ) (7) 由(2)式霍尔维茨角域可以等价表示为 f j ( μ ( t ) ) ( f j ( μ ( t ) ) − λ j c j x ( t ) ) ≤ 0 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， l ，可以导出 f T ( μ ( t ) ) f ( μ ( t ) ) ≤ x T ( t ) C T ƛ T ƛ C x ( t ) (8) 所以由引理3及(8)式可以得到 x T ( t ) P D f ( μ ( t ) ) + f T ( μ ( t ) ) D T P x ( t ) ≤ f T ( μ ( t ) ) f ( μ ( t ) ) + x T ( t ) P D D T P x ( t ) ≤ x T ( t ) C T ƛ T ƛ C x ( t ) + x T ( t ) P D D T P x ( t ) (9) 所以由 0 < d ˙ 1 ( t ) ≤ h 1 < 1 ， 0 < d ˙ 2 ( t ) ≤ h 2 < 1 以及(9)式可以得到 V ˙ 1 ( x ( t ) ， t ) | ( 4 ) ≤ x T ( t ) ( P A ¯ i + A ¯ i T P + P B 1 i K i + K i T B 1 i T P + Q 1 + Q 2 + C T ƛ T ƛ C + P D D T P ) x ( t )     + x T ( t − d 1 ( t ) ) ( A ¯ 1 i T P + K 1 i T B 1 i T P ) x ( t ) + x T ( t ) ( P A ¯ 1 i + P B 1 i K 1 i ) x ( t − d 1 ( t ) )     + x T ( t − d 2 ( t ) ) ( A ¯ 2 i T P + K 2 i T B 1 i T P ) x ( t ) + x T ( t ) ( P A ¯ 2 i + P B 1 i K 2 i ) x ( t − d 1 ( t ) )     − ( 1 − h 1 ) x T ( t − d 1 ( t ) ) Q 1 x ( t − d 1 ( t ) ) − ( 1 − h 2 ) x T ( t − d 2 ( t ) ) Q 2 x ( t − d 2 ( t ) )     + x T ( t ) P B 2 i ω ( t ) + ω T ( t ) B 2 i T P x ( t ) (10) 由引理3可得 x T ( t ) P B 1 i K i x ( t ) + x T ( t ) K i T B 1 i T P x ( t ) ≤ x T ( t ) P B 1 i B 1 i T P x ( t ) + x T ( t ) K i T K i x ( t ) (11) 将(11)式代入(10)式得 V ˙ ( x ( t ) ， t ) | ( 4 ) ≤ x T ( t ) ( P A ¯ i + A ¯ i T P + P B 1 i B 1 i T P + K i T K i + Q 1 + Q 2 + C T ƛ T ƛ C + P D D T P ) x ( t )     + x T ( t − d 1 ( t ) ) ( A ¯ 1 i T P + K 1 i T B 1 i T P ) x ( t ) + x T ( t ) ( P A ¯ 1 i + P B 1 i K 1 i ) x ( t − d 1 ( t ) )     + x T ( t − d 2 ( t ) ) ( A ¯ 2 i T P + K 2 i T B 1 i T P ) x ( t ) + x T ( t ) ( P A ¯ 2 i + P B 1 i K 2 i ) x ( t − d 1 ( t ) )     − ( 1 − h 1 ) x T ( t − d 1 ( t ) ) Q 1 x ( t − d 1 ( t ) ) − ( 1 − h 2 ) x T ( t − d 2 ( t ) ) Q 2 x ( t − d 2 ( t ) )     + x T ( t ) P B 2 i ω ( t ) + ω T ( t ) B 2 i T P x ( t ) (12) 记 ξ ( t ) = ( x T ( t ) ， x T ( t − d 1 ( t ) ) ， x T ( t − d 2 ( t ) ) ) T 所以 V ˙ 1 ( x ( t ) ， t ) | ( 4 ) ≤ ξ T ( t ) H 1 ξ (t) 其中 H 1 = [ Ξ P A ¯ 1 i + P B 1 i K 1 i P A ¯ 2 i + P B 1 i K 2 i * − ( 1 − h 1 ) Q 1 0 * * − ( 1 − h 2 ) Q 2 ] Ξ = P A ¯ i + A ¯ i T P + P B 1 i B 1 i T P + K i T K i + Q 1 + Q 2 + C T ƛ T ƛ C + P D D T P 由(5)式及Schur补引理知， H 1 < 0 所以 V ˙ 1 ( x ( t ) ， t ) < 0 ，通过Lyapunov稳定性理论得到闭环(4)是渐近稳定的。 下证闭环系统(4)满足的无源性。 V ˙ 1 ( x ( t ) ， t ) − ω T ( t ) z ( t ) = V ˙ 1 ( x ( t ) ， t ) − ω T ( t ) z ( t ) − z T ( t ) ω ( t ) + z T ( t ) ω ( t ) = x T ( t ) ( P A ¯ i + A ¯ i T P + P B 1 i B 1 i T P + K i T K i + Q 1 + Q 2 + C T ƛ T ƛ C + P D D T P ) x ( t )     + x T ( t − d 1 ( t ) ) ( A ¯ 1 i T P + K 1 i T B 1 i T P ) x ( t ) + x T ( t ) ( P A ¯ 1 i + P B 1 i K 1 i ) x ( t − d 1 ( t ) )     + x T ( t − d 2 ( t ) ) ( A ¯ 2 i T P + K 2 i T B 1 i T P ) x ( t ) + x T ( t ) ( P A ¯ 2 i + P B 1 i K 2 i ) x ( t − d 2 (t) ) − ( 1 − h 1 ) x T ( t − d 1 ( t ) ) Q 1 x ( t − d 1 ( t ) ) − ( 1 − h 2 ) x T ( t − d 2 ( t ) ) Q 2 x ( t − d 2 ( t ) )   + x T ( t ) P B 2 i ω ( t ) + ω T ( t ) B 2 i T P x ( t ) − ω T ( t ) ( ( C i + C i K i ) x ( t ) + C 1 i K 1 i x ( t − d 1 ( t ) )   + C 1 i K 2 i x ( t − d 2 ( t ) ) + C 2 i ω ( t ) ) − ( ( C i + C i K i ) x ( t ) + C 1 i K 1 i x ( t − d 1 ( t ) )   + C 1 i K 2 i x ( t − d 2 ( t ) ) + C 2 i ω ( t ) ) T ω ( t ) + z T ( t ) ω (t) = x T ( t ) ( P A ¯ i + A ¯ i T P + P B 1 i B 1 i T P + K i T K i + Q 1 + Q 2 + C T ƛ T ƛ C + P D D T P ) x ( t )     + x T ( t − d 1 ( t ) ) ( A ¯ 1 i T P + K 1 i T B 1 i T P ) x ( t ) + x T ( t ) ( P A ¯ 1 i + P B 1 i K 1 i ) x ( t − d 1 ( t ) )     + x T ( t − d 2 ( t ) ) ( A ¯ 2 i T P + K 2 i T B 1 i T P ) x ( t ) + x T ( t ) ( P A ¯ 2 i + P B 1 i K 2 i ) x ( t − d 2 ( t ) )     − ( 1 − h 1 ) x T ( t − d 1 ( t ) ) Q 1 x ( t − d 1 ( t ) ) − ( 1 − h 2 ) x T ( t − d 2 ( t ) ) Q 2 x ( t − d 2 (t) ) + x T ( t ) ( P B 2 i − K i T C i T − C i T ) ω ( t ) + ω T ( t ) ( B 2 i T P − C i − C i K i ) x ( t )     − x T ( t − d 1 ( t ) ) K 1 i T C 1 i T ω ( t ) − x T ( t − d 2 ( t ) ) K 1 i T C 1 i T ω ( t )     − ω T ( t ) C 1 i K 1 i x ( t − d 1 ( t ) ) − ω T ( t ) C 1 i K 2 i x ( t − d 2 ( t ) )     + ω T ( t ) ( − C 2 i − C 2 i T ) ω ( t ) = η T ( t ) H 2 η ( t ) + z T ( t ) ω (t) 其中 H 2 = [ Ξ P A ¯ 1 i + P B 1 i K 1 i P A ¯ 2 i + P B 1 i K 2 i P B 2 i − C i T − K i T C i T * − ( 1 − h 1 ) Q 1 0 − K 1 i T C 1 i T * * − ( 1 − h 2 ) Q 2 − K 1 i T C 2 i T * * * − C 2 i − C 2 i T ] Ξ = P A ¯ i + A ¯ i T P + P B 1 i B 1 i T P + K i T K i + Q 1 + Q 2 + C T ƛ T ƛ C + P D D T P ， η ( t ) = ( x T ( t ) ， x T ( t − d 1 ( t ) ) ， x T ( t − d 2 ( t ) ) ， ω T ( t ) ) T 而根据矩阵不等式(5)可以得到 H 2 < 0 则 V ˙ 1 ( x ) − 2 ω T ( t ) z ( t ) < 0 取 V ( x ) = 1 2 V 1 ( x ) ，此时满足定义1，所以Lurie切换广义系统(1)是渐进稳定且严格无源的。