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user: 3. 主要结论 定理1 设G是一个群，p是|G|的素因子且 ( | G | ， ( p − 1 ) ( p 2 − 1 ) ⋯ ( p n − 1 ) ) = 1 。如果G中存在一个Sylow p-子群P，使其每个阶为p t (其中t为正整数且t ≤ n)或者2p t (P是非交换2-群且|P|/p t > 2)子群H在G中弱Φ-可补，则G为p-幂零群。 证明 设结论不成立，并令G是极小阶反例。由引理2得p n+ 1 ||P|。通过下列断言完成定理1的证明。 1) G是极小非p-幂零群。 设L是G的真子群。因为|L|整除|G|，所以 ( | L | ， ( p − 1 ) ( p 2 − 1 ) ⋯ ( p n − 1 ) ) = 1 。如果p n+ 1 不整除|L|，那么由引理2得L为p-幂零群。如果p n+ 1 ||L|。令L p 是包含在P中L的Sylow p-子群，H是L p 的p t 或者2p t (M是非交换2-群且|L p |/p t > 2)阶子群。则对应的H是P的p t 或者2p t (P是非交换2-群且|P|/p t > 2)阶子群。由定理1的条件及引理1，H在L中弱Φ-可补。从而L满足定理1的条件。由G的选择得L为p-幂零群。 2) G = [P]Q，其中P是G的正规Sylow p-子群， Q ∈ S y l q ( G ) ，P/Φ(P)是G/Φ(P)的极小正规子群。 由1) 及( [ 10 ] ，定理3.4)得，2) 成立。 3) 设N是G的一个极小正规子群，则N为初等交换p-群。 因为G是P和Q的半直积，所以G为可解群。从而G的极小正规子群为初等交换r群。如果p n+ 1 不整除|G/N|，由引理2得G/N为p-幂零群。当p n+ 1 整除|G/N|时。如果r = q。设M/N是PN/N的子群且满足|M/N| = p t 或者2p t (PN/N是非交换2-群且|PN/N|/p t > 2)，则存在P的子群H且|H| = p t 或者2p t 使得M = HN。若PN/N是非交换2-群。因为P同构于PN/N，所以P是非交换2-群。由定理1的条件及引理1，M/N在G/N中弱Φ-可补。由G的极小选择得G/N为p-幂零群。由于N为q-群，所以G为p-幂零群。这一矛盾说明r ≠ q。从而N为初等交换p-群。 4) G/N为p-幂零群。 对|N|分三种情况考虑。①|N| > p t 。设H是N的真子群且|H| = p t 。因为N为初等交换群，所以H为初等交换群，从而Φ(H) = 1。由定理1的条件，存在G的子群T使得G = HT且H ∩ T ≤ Φ(H) = 1。因为N为交换群，所以N ∩ T正规于N。由N的正规性得N ∩ T正规于T。而G = HT = NT，故N ∩ T正规于G。由N的极小正规性得N ∩ T = 1或者N ∩ T = N。如果N ∩ T = 1。由H ∩ T = 1且H ≤ N，故H = N。这与H是N的真子群矛盾。如果N ∩ T = N。则G = NT = T。故H ∩ T = H。这与H ∩ T ≤ Φ(H)矛盾。②|N| < p t 。设H/N是P/N的子群且|H/N| = p t /|N|或者|H/N| = 2p t /|N| (如果P/N是非交换2-群且 | P / N | / ( p t / | N | ) > 2 )。则H是P的子群且|H| = p t 或者|H| = 2p t (相应地P是非交换2-群且|P|/p t > 2)。由定理1的条件及引理1，H/N在G/N中弱Φ-可补。又因为 ( G / N ) / ( P / N ) ≅ G / P 为p-幂零群，所以G/N满足定理1的条件。由G的极小选择，G/N为p-幂零群。③|N| = |D|。因为N为初等交换群，所以Φ(N) = 1。由定理1的条件知，N在G中弱Φ-可补。即存在G的子群T使得G = NT且N ∩ T ≤ Φ(N) = 1。故T是G的真子群。由1)知，T为p-幂零群。因为G/N同构于T，所以G/N为p-幂零群。 5) 最后的矛盾。 因为N正规于G，所以NΦ(P)/Φ(P)正规于G/Φ(P)。由2)和3)得N ≤ P。P/Φ(P)是G/Φ(P)的极小正规子群，所以NΦ(P)/Φ(P) = P/Φ(P)或者NΦ(P)/Φ(P) = 1。若NΦ(P)/Φ(P) = P/Φ(P)，则P = NΦ(P) = N为初等交换群。设H是P的p t 阶子群。则H为初等交换群，从而Φ(H) = 1。由定理1的条件，存在G的子群T使得G = HT且H ∩ T ≤ Φ(H) = 1。因为P为交换群，所以P ∩ T正规于P。由P的正规性得P∩T正规于T。而G = HT = PT，故P ∩ T正规于G。由P = N的极小正规性得P ∩ T = 1或者P ∩ T = P。如果P ∩ T = 1，由于H ∩ T = 1且H ≤ P，故H = N。这与|H| = p t < p n+ 1 且p n+ 1 整除|P|矛盾。如果P ∩ T = N，则G = PT = T。故H ∩ T = H。这与H ∩ T ≤ Φ(H)矛盾。若NΦ(P)/Φ(P) = 1，则N ≤ Φ(P)。由P的正规性得，Φ(P) ≤ Φ(G)。由4) G/Φ(G)为p-幂零群，故G为p-幂零群。这一最后的矛盾完成定理1的证明。 推论1 设G是一个群，p是|G|的素因子且 ( | G | ， p − 1 ) = 1 。如果G的某个Sylow p-子群P的每个p-阶子群和4阶子群(如果P是非交换2-群且|P| > 4)在G中弱Φ-可补，则G为p-幂零群。 注1 在推论1中，条件 ( | G | ， p − 1 ) = 1 不可以去掉。比如三次对称群S 3 ，p = 3时。每个p阶子群在S 3 弱Φ-可补，但S 3 不是p-幂零群。 注2 在推论1中，G的每个p阶子群和4阶循环子群在G中弱Φ-可补是G为p-幂零群的充分条件不必要条件。比如群G = [A]B，其中|A| = 5， B = 〈 a 〉 ， a ∈ A u t ( A ) 。则G是2-幂零的且 ( | G | ， 2 − 1 ) = 1 。假设T是 〈 a 2 〉 在G中弱Φ-可补。即 G = 〈 a 2 〉 T 且 〈 a 2 〉 ∩ T ≤ Φ ( 〈 a 2 〉 ) 。因为 Φ ( 〈 a 2 〉 ) = 1 ，所以 〈 a 2 〉 在G中可补充的。故 〈 a 2 〉 在B中可补充的，这与B是4阶循环群矛盾。所以 〈 a 2 〉 在G中不是Φ-可补的。 推论2 群G的每个极小子群和4阶子群(如果存在)在G中弱Φ-可补，则G为超可解群。 证明 设p 1 是|G|的最小素因子，则G的每个p 1 阶子群和4阶子群在G中弱Φ-可补。由推论1得，G为p 1 -幂零群。设T为G的一个正规Hall p ′ 1 子群且p 2 是|T|的最小素因子。则T对p 2 来说满足推论2的条件。故T有正规Hall -子群。依次类推下去，所以G是具有Sylow塔的群。故G为可解群，从而G的极小正规子群N为初等交换p群，其中p为|G|的素因子。从而N的任意非单位子群的Frattini子群为1。假设推论2结论不成立，并设G为极小阶反例。设L是G的真子群，由推论2的条件及引理1，L的每个极小子群和4阶子群(如果存在)在L中弱Φ-可补。即L满足推论2的条件。由G的极小选择，L为超可解群。对|N|分两种情况考虑。①|N| > p，设H是N的真子群且|H| = p。由推论2的条件知，H在G中弱Φ-可补。即存在G的子群T使得G = HT且H ∩ T ≤ Φ(H) = 1。因为N为交换群，所以N ∩ T正规于N。由N的正规性得N ∩ T正规于T。而G = HT = NT，故N ∩ T正规于G。由N的极小正规性得N ∩ T = 1或者N ∩ T = N。如果N ∩ T = 1，由于H ∩ T = 1且H ≤ N，故H = N。这与H是N的真子群矛盾。如果N ∩ T = N，则有G = NT = T。故H ∩ T = H。这与H ∩ T ≤ Φ(H)矛盾。②|N| = p。由推论2的条件知，N在G中弱Φ-可补。即存在G的子群T使得G = NT且N ∩ T ≤ Φ(N) = 1。故T是G的真子群。从而T为超可解的。故 G / N ≅ T 为超可解群。由( [ 12 ] ，引理2.3)，G为超可解群。 定理2 设G是一个群，p是|G|的素因子且 ( | G | ， ( p − 1 ) ( p 2 − 1 ) ⋯ ( p n − 1 ) ) = 1 。F为包含p-幂零群系的饱和群系。如果存在G的一个正规子群E使得 G / E ∈ F 且E中存在一个Sylow p-子群P，使其每个阶为p t (其中t为正整数且t ≤ n)或者2p t (P是非交换2-群且|P|/p t > 2)子群H在G中弱Φ-可补，则 G ∈ F 。 证明 假设结论不成立，G为极小阶反例。由引理1知，P的每个阶为p t (其中t为正整数且t ≤ n)或者2p t (P是非交换2-群且|P|/p t > 2)子群H在E中弱Φ-可补。由定理1知，E为p-幂零群。设T为E的正规Hall p'-子群。则T特征于E。由E的正规性，得T正规于G。下面对T分两种情况讨论。 T ≠ 1。因为(G/T)/(E/T)同构于G/E且 G / E ∈ F ，所以 ( G / T ) / ( E / T ) ∈ F 。因为P是E的Sylow p-子群且T是E的正规Hall p'-子群，所以E = PT且E/T同构于P。设M/T是E/T的子群且|M/T| = p t 或者2p t (如果E/T是非交换2-群且|PT/T|/p t > 2)。则存在P的子群H且|H| = p t 或者2p t (如果P是非交换2-群且|P|/p t > 2)使得M = HT。由定理2的条件及引理1，M/T在G/T中弱Φ-可补。由G的极小选择， G / T ∈ F 。而T是p'-子群，故 G ∈ F 。 T = 1。则E = P为p-群。于是PQ是G的一个子群，其中Q为G的任一Sylow q-子群(q ≠ p)。由引理1及定理1知，PQ是p-幂零的。从而Q正规于PQ。设N是包含在P中的G的任一非单位正规子群，则 O p ( G ) ≤ C G ( P ) ≤ C G ( N ) 。从而 [ N ， G ] = [ N ， G p O p ( G ) ] = [ N ， G p ] ，其中G p 为G的任一Sylow p-子群。故[N， G] < G p 。从而存在G的正规子群L使得N/L是G的主因子且[N， G] ≤ L。由此得到N/L ≤ Z(G/L)。由N的选择、 G / P ∈ F 及F为包含p-幂零群系的饱和群系，所以 G ∈ F 。 这一最后的矛盾完成了定理2的证明。