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user: 1. 准备工作 定义1 [ 1 ] ：若时滞微分方程中未知函数的最高阶导数含有两个不同的变元值，称之为中立型时滞微分方程； 考虑时滞微分系统： d x d t = f ( t ， x ( t ) ， x ( t − τ ) ， x ˙ ( t − τ ) ) (1.1) 其中 x ∈ R n ， y = c o l ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x m ) ， z = c o l ( x m + 1 ， x m + 2 ， ⋯ ， x n ) ， x = c o l ( y ， z ) ， f ( t ， 0 ， 0 ， 0 ) ≡ 0 ， τ ≥ 0 为常数，给定初始函数： x ( t ) = φ ( t ) ， x ˙ ( t ) = φ ˙ ( t ) ∀ t ∈ E t 0 = [ t 0 − τ ， t 0 ] 连续可微 (1.2) 我们总假定(1.1)满足初始条件(1.2)的解存在唯一，并用 x ( t ， t 0 ， φ ) 表示(1.1)满足条件(1.2)的解。 定义2 [ 2 ] ：称(1.1)的平凡解关于部分变元y是Lipschitz稳定的，如果存在常数 M ( t 0 ) > 0 和 δ ( t 0 ) > 0 ，使当 ‖ φ ‖ + ‖ φ ˙ ‖ < δ (对 ∀ t ∈ E t 0 )时，有： ‖ y ( t ; t 0 ， φ ) ‖ + ‖ y ˙ ( t ; t 0 ， φ ) ‖ ≤ M ( t 0 ) ( ‖ φ ‖ + ‖ φ ˙ ‖ ) 于 t ≥ t 0 ≥ 0 成立，简记为LS； 定义3 [ 3 ] [ 4 ] ：称(1.1)的平凡解关于部分变元y是一致Lipschitz稳定的，若定义2中的M和 δ 均与 t 0 无关，简记为ULS； 引理1：设如下条件于 t ≥ 0 成立 (I)：常数 c > 0 ； (II)： u ( t ) ≤ c + ∫ 0 t a ( s ) u ( s ) d s + ∑ i = 1 I ∫ 0 t b i ( s ) u α i + 1 ( s ) d s     + ∑ j = 1 J ∫ 0 t c j ( s ) ∫ 0 s d j ( σ ) u ( σ ) d σ d s     + ∑ k = 1 K ∫ 0 t e k ( s ) ∫ 0 s f k ( σ ) u β k + 1 ( σ ) d σ d s     + ∫ 0 t ∑ i = 1 I b i ( s ) u α i ( s ) [ ∑ l = 1 L ∫ 0 s g l ( σ ) ∫ 0 σ h l ( τ ) u ( τ ) d τ d σ ] d s     + ∫ 0 t ∑ i = 1 I b i ( s ) u α i ( s ) [ ∑ m = 1 M ∫ 0 s p m ( σ ) ∫ 0 σ q m ( τ ) u γ m + 1 ( τ ) d τ d σ ] d s 其中： u ( t ) ， a ( t ) ， b i ( t )   ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， I ) ， c j ( t ) ， d j ( t )   ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， J ) ， e k ( t ) ， f k ( t )   ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， K ) ， g l ( t ) ， h l ( t )   ( l = 1 ， 2 ， ⋯ ， L ) ， p m ( t ) ， q m ( t )   ( m = 1 ， 2 ， ⋯ ， M ) 均为 R + 上非负连续函数， 且： α i   ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， I ) ， β k   ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， K ) ， γ m   ( m = 1 ， 2 ， ⋯ ， M ) 均为大于1的常数， 1 ≤ α 1 ≤ α 2 ≤ ⋯ ≤ α I ， 1 ≤ β 1 ≤ β 2 ≤ ⋯ ≤ β K ， 1 ≤ γ 1 ≤ γ 2 ≤ ⋯ ≤ γ M 令： α ¯ = max ( α I ， β K ， γ M ) ， α _ = min ( α 1 ， β 1 ， γ 1 ) (III) 设 A ( t ) = a ( t ) + ∑ i = 1 I b i ( t ) + ∑ j = 1 J c j ( t ) ∫ 0 t d j ( s ) d s + 2 ∑ k = 1 K e k ( t ) ∫ 0 t f k ( s ) d s     + ∑ i = 1 I b i ( t ) ∫ 0 t ∑ l = 1 L g l ( s ) ∫ 0 s h l ( σ ) d σ d s + ∑ i = 1 I b i ( t ) ∫ 0 t ∑ m = 1 M p m ( s ) ∫ 0 s q m ( σ ) d σ d s B ( t ) = ∑ i = 1 I b i ( t ) + ∑ k = 1 K e k ( t ) ∫ 0 t f k ( s ) d s + ∑ i = 1 I b i ( t ) ∫ 0 t ∑ l = 1 L g l ( s ) ∫ 0 s h l ( σ ) d σ d s     + 2 ∑ i = 1 I b i ( t ) ∫ 0 t ∑ m = 1 M p m ( s ) ∫ 0 s q m ( σ ) d σ d s C ( t ) = ∫ 0 t ∑ m = 1 M p m ( s ) ∫ 0 s q m ( σ ) d σ d s E 1 ( t ) = 1 − α ¯ c α ¯ ∫ 0 t [ B ( τ ) + C ( τ ) ] exp ( α ¯ ∫ 0 τ A ( σ ) d σ ) d τ F ( t ) = a ( t ) + ∑ j = 1 J c j ( t ) ∫ 0 t d j ( s ) d s G ( t ) = ∑ i = 1 I b i ( t ) Щ α i − α _ + ∑ k = 1 K e k ( t ) ∫ 0 t f k ( s ) Щ β k − α _ d s     + ∑ i = 1 I b i ( t ) N α i − α _ ∫ 0 t ∑ l = 1 L g l ( s ) ∫ 0 s h l ( σ ) d σ H ( t ) = ∑ m = 1 M p m ( t ) ∫ 0 t q m ( s ) Щ γ m − α _ d s E 2 ( t ) = 1 − α _ c α _ ∫ 0 t [ G ( τ ) + H ( τ ) ] exp ( α _ ∫ 0 τ F ( σ ) d σ ) d τ 且 ∫ 0 + ∞ A ( s ) d s < + ∞ ， E 1 ( t ) > 0 ， [ 1 − ( α ¯ − 1 ) c α ¯ ∫ 0 t B ( s ) E 1 − 1 α ¯ ( s ) exp ( α ¯ ∫ 0 s A ( τ ) d τ ) d s ] > 0 E 2 ( t ) > 0 ， [ 1 − ( α _ − 1 ) c α _ ∫ 0 t G ( s ) E 2 − 1 α _ ( s ) exp ( α _ ∫ 0 s F ( τ ) d τ ) d s ] > 0 则有： u ( t ) ≤ c exp ( ∫ 0 t F ( s ) d s ) ⋅ [ 1 − ( α _ − 1 ) c α _ ∫ 0 t G ( s ) E 2 − 1 α _ ( s ) exp ( α _ ∫ 0 s F ( τ ) d τ ) d s ] − 1 α _ − 1 注：该引理已在文献 [ 5 ] 中证明。