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user: 3. 主要结果 定义非负连续凹泛函 ϕ : P → [ 0 ， ∞ ) ϕ ( u ) = 1 2 ( u ( w ) + u ( N + 2 − w ) ) ， u ∈ P ， 则对 u ∈ P ，有 ϕ ( u ) ≤ ‖ u ‖ 。 定理1：假设存在常数 0 < a ′ < w N + 2 b ′ < b ′ < N + 2 w b ′ ≤ d ′ ，使得下列条件成立 (H 1 )： f ( u ) < φ p ( a ′ L i ) ， i = 1 ， 2 ， 0 ≤ u ≤ a ′ ； (H 2 )：存在常数 e ′ > d ′ ，使得 f ( u ) < φ p ( e ′ L i ) ， i = 1 ， 2 ， 0 ≤ u ≤ e ′ ； (H 3 )： f ( u ) > φ p ( 2 b ′ w l ) ， w N + 2 b ′ ≤ u ≤ d ′ ； 则边值问题(1)和(2)至少存在三个正解 u 1 ， u 2 ， u 3 满足 0 ≤ ‖ u 1 ‖ < a ′ ， ϕ ( u 2 ) > b ′ ， ‖ u 3 ‖ > a ′ ， ϕ ( u 3 ) < b ′ 。 证明：由算子A的定义及性质，只需证明算子A满足引理 [ 6 ] 条件。 首先，若 ‖ u ‖ < a ′ ，则 ‖ A u ‖ < a ′ 。事实上，若 u ∈ P a ′ ¯ ，则由(H 1 )知， Δ A u ( n ) = { φ q ( A u − ∑ j = 0 n − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≥ 0 ，   n ∈ N [ 0 ， n 0 ] φ q ( A u − ∑ j = 0 n − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≤ 0 ，   n ∈ N [ n 0 ， N + 1 ] ‖ A u ‖ = A u ( n 0 + 1 ) = β α φ q ( A u − ∑ j = 0 ξ − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) + ∑ i = 0 n 0 φ q ( A u − ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≤ β α φ q ( ∑ j = ξ n 0 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) + ∑ i = 0 n 0 φ q ( ∑ j = i n 0 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≤ a ′ L 1 [ β α φ q ( ∑ j = ξ n 0 h ( j ) ) + ∑ i = 0 n 0 φ q ( ∑ j = i n 0 h ( j ) ) ] = a ′ ， 和 ‖ A u ‖ = A u ( n 0 + 1 ) = δ γ φ q ( ∑ j = 0 η − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − A u ) + ∑ i = n 0 + 1 N + 1 φ q ( ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − A u ) ≤ δ γ φ q ( ∑ j = n 0 η − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) + ∑ i = n 0 + 1 N + 1 φ q ( ∑ j = n 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≤ a ′ L 2 [ β α φ q ( ∑ j = n 0 η − 1 h ( j ) ) + ∑ i = n 0 + 1 N + 1 φ q ( ∑ j = n 0 i − 1 h ( j ) ) ] < a ′ 。 同理，条件(H 2 )保证，存在常数 c ′ > d ′ ，使得 A : P c ′ ¯ → P c ′ ¯ 。 (3) 由条件(H 2 )和(3)式易知，取 e ′ = c ′ 即可。 其次证明引理 [ 6 ] 中的条件(i)满足。为了验证条件成立，假设 u ( t ) ≡ b ′ + d ′ 2 。 注意到 ϕ ( u ( t ) ) = ϕ ( b ′ + d ′ 2 ) = b ′ + d ′ 2 > b ′ ，因此 { u ∈ P ( ϕ ， b ′ ， d ′ ) : ϕ ( u ) > b ′ } ≠ ∅ 。 令 u ∈ P ( ϕ ， b ′ ， d ′ ) ，则 ϕ ( u ) > b ′ ，因此有 b ′ ≤ ‖ u ‖ ≤ d ′ ，由引理 [ 4 ] 知， w N + 2 b ′ ≤ w N + 2 ‖ u ‖ ≤ u ( n ) ≤ d ′ ， n ∈ [ w ， N + 2 − w ] ，从而 f ( u ) > φ p ( 2 b ′ w l ) 。 若 n 0 + 1 ∈ ( 0 ， w ] ，则对任意的 u ∈ P ( ϕ ， b ′ ， d ′ ) ，有 ϕ ( A u ) = 1 2 ( A u ( w ) + A u ( N + 2 − w ) ) ≥ A u ( N + 2 − w ) ≥ β α φ q ( ∑ j = n 0 + 1 η − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) + ∑ i = n 0 + 1 N + 1 φ q ( ∑ j = n 0 + 1 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≥ ∑ N + 2 − w N + 1 φ q ( ∑ j = n 0 + 1 N + 1 − w h ( j ) f ( u ( j ) ) ) > 2 b ′ w l w φ q ( ∑ j = n 0 + 1 N + 1 − w h ( j ) ) > b ′ ， 若 n 0 + 1 ∈ ( w ， N + 2 − w ) ，则对 u ∈ P ( ϕ ， b ′ ， d ′ ) ，有 2 ϕ ( A u ) = A u ( w ) + A u ( N + 2 − w ) ≥ ∑ i = 0 w − 1 φ q ( A u − ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) + ∑ i = N + 2 − w N + 1 φ q ( ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − A u ) ≥ ∑ i = 0 w − 1 φ q ( ∑ j = i n 0 − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) + ∑ i = N + 2 − w N + 1 φ q ( ∑ j = n 0 + 1 N + 1 − w h ( j ) f ( u ( j ) ) ) > 2 b ′ w l w [ φ q ( ∑ j = w − 1 n 0 − 1 h ( j ) ) + φ q ( ∑ j = n 0 + 1 N + 1 − w h ( j ) ) ] > 2 b ′ ， 从而 ϕ ( A u ) > b ′ 。 若 n 0 + 1 ∈ [ N + 2 − w ， N + 2 ] ，则对任意的 u ∈ P ( ϕ ， b ′ ， d ′ ) ，有 ϕ ( A u ) = 1 2 ( A u ( w ) + A u ( N + 2 − w ) ) ≥ A u ( w ) ≥ ∑ i = 0 w − 1 φ q ( ∑ j = 0 n 0 − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) = ∑ i = 0 w − 1 φ q ( ∑ j = i n 0 − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) > 2 b ′ w l w φ q ( ∑ j = w − 1 n 0 − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) > b ′ ， 因此，对任意的 u ∈ P ( ϕ ， b ′ ， d ′ ) ，有 ϕ ( A u ) > b ′ 。 最后验证引理 [ 6 ] 中的条件(iii)成立。设 u ∈ P ( ϕ ， b ′ ， c ′ ) ，且 ‖ A u ‖ > d ′ ，由条件 d ′ ≥ N + 2 w b ′ ，知 ϕ ( A u ) = A u ( w ) + A u ( N + 2 − w ) ≥ w N + 2 ‖ A u ‖ > w N + 2 d ′ ≥ b ′ 。 综上所述边值问题(1)和(2)至少存在三个正解 u 1 ， u 2 ， u 3 满足 0 ≤ ‖ u 1 ‖ < a ′ ， ϕ ( u 2 ) > b ′ ， ‖ u 3 ‖ > a ′ ， ϕ ( u 3 ) < b ′ 。 定理2：如果把定理1的条件(H 2 )替换成 ( H ′ 2 )： lim sup u → ∞ < φ p ( 1 L i ) ， i = 1 ， 2 。 则定理1的结论依然成立。 证明：只需证明存在常数 c ′ 使得 c ′ > d ′ ， A : P c ′ ¯ → P c ′ ¯ 。 由条件( H ′ 2 )知存在 M ′ ， ε < φ p ( 1 L i ) 使得 f ( u ) φ p ( u ) ≤ ε ， u ≥ M ′ 。 (4) 令 G = max u ∈ [ 0 ， M ′ ] f ( u ) ，由(4)式易得 f ( u ) ≤ G + ε φ p ( u ) ， u ≥ 0 。 (5) 取 c ′ 满足 φ p ( c ′ ) > max { φ p ( d ′ ) ， G ( φ p ( 1 L 1 − ε ) ) − 1 ， G ( φ p ( 1 L 2 − ε ) ) − 1 } 。 (6) 则对任意的 u ∈ P c ′ ¯ ，由(5)式和(6)式可得 ‖ A u ‖ = A u ( n 0 + 1 ) = β α φ q ( A u − ∑ j = 0 ξ − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) + ∑ i = 0 n 0 φ q ( A u − ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≤ β α φ q ( ∑ j = 0 n 0 h ( j ) f ( u ( j ) ) − ∑ j = 0 ξ − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) + ∑ i = 0 n 0 φ q ( ∑ j = 0 n 0 h ( j ) f ( u ( j ) ) − ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≤ β α φ q ( ∑ j = ξ n 0 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) + ∑ i = 0 n 0 φ q ( ∑ j = i n 0 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≤ β α φ q ( ∑ j = ξ n 0 h ( j ) ( G + ε ϕ p ( u ) ) ) + ∑ i = 0 n 0 φ q ( ∑ j = i n 0 h ( j ) ( G + ε ϕ p ( u ) ) ) ≤ φ q ( G + ε φ p ( c ′ ) ) L 1 < L 1 φ q ( φ p ( c ′ ) ( ϕ p ( 1 L 1 ) − ε ) + ε φ p ( c ′ ) ) ≤ c ′ ， 及 ‖ A u ‖ = A u ( n 0 + 1 ) = δ γ φ q ( ∑ j = 0 η − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − A u ) + ∑ i = n 0 + 1 N + 1 φ q ( ∑ j = 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) − A u ) ≤ δ γ φ q ( ∑ j = n 0 η − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) + ∑ i = n 0 + 1 N + 1 φ q ( ∑ j = n 0 i − 1 h ( j ) f ( u ( j ) ) ) ≤ L 2 φ q ( φ p ( c ′ ) ( φ p ( 1 L 2 ) − ε ) + ε φ p ( c ′ ) ) ≤ c ′ 。 由上面的证明可知 A : P c ′ ¯ → P c ′ ¯ 。定理证毕。 定理3：假设存在常数满足 0 < a ′ 1 < w N + 2 b ′ 1 < b ′ 1 < N + 2 w b ′ 1 ≤ d ′ 1 < a ′ 2 < w N + 2 b ′ 2 < b ′ 2 < N + 2 w b ′ 2 ≤ d ′ 2 < ⋯ < a ′ n ， n ∈ N 使得 (H 4 )： f ( u ) < φ p ( a ′ i L j ) ， j = 1 ， 2 ， 0 ≤ u ≤ a ′ i ； (H 5 )： f ( u ) > φ p ( 2 b ′ i w l ) ， w N + 2 b ′ i ≤ u ≤ d ′ i 。 则边值问题(1)和(2)至少存在 2 n − 1 个正解。 证明：当n = 1时，由条件(H 4 )可知A： P a ′ 1 ¯ → P a ′ 1 ¯ ⊂ P a ′ 1 ¯ ，根据Schauder不动点定理可知A至少有一个不动点，即问题至少存在一个正解。 当n = 2时，取 c ′ = a ′ 2 ，则定理1条件满足，从而至少存在三个不同正解。 以此类推，用归纳法可知问题至少存在 2 n − 1 个正解。