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user: 3. 定理1.2的证明 首先，我们需要证明下面的命题。 命题3.1：如果 χ 是一个模 p a 的一个狄利克雷特征，且 p l ( 0 ≤ l ≤ a ) 是 χ 的导子，则我们有下列恒等式： ∑ 1 ≤ k ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ≤ p a gcd ( k ， p a ) = 1 gcd ( k − 1 ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ， p a ) χ ( k ) = φ ( p a ) σ r ( p a p l ) 。 证明：如果 l = 0 ，则 χ 是一个平凡特征，上式退化为Sury的恒等式(2)。如果 l = a ，则 χ 是一个模 p a 的本原特征，这时候上式就是定理1.1。对于剩下的情形，根据定理1.1的证明，我们有 ∑ 1 ≤ k ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ≤ p a gcd ( k ， p a ) = 1 gcd ( k − 1 ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ， p a ) χ p a ( k ) = p a − 1 + ∑ m = 1 a − 1 ( p m − 1 ) ∑ 1 ≤ k ≤ p a gcd ( k − 1 ， p a ) = p m m ≠ a χ p a ( k ) + ∑ m = 1 a − 1 ( p m − 1 ) ∑ 1 ≤ b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ≤ p a gcd ( b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ， p a ) = p m m < a ∑ 1 ≤ k ≤ p a gcd ( k − 1 ， p m ) = p m χ p a ( k )       + ∑ m = 1 a − 2 ( p m − 1 ) ∑ 1 ≤ b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ≤ p a gcd ( b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ， p a ) = p s m < s < a ∑ 1 ≤ k ≤ p a gcd ( k − 1 ， p s ) = p m χ p a (k) 为了方便记号，将上面各项简记为： A = p a − 1 ， B = ∑ m = 1 a − 1 ( p m − 1 ) ∑ 1 ≤ k ≤ p a gcd ( k − 1 ， p a ) = p m m ≠ a χ p a ( k ) ， C = ∑ m = 1 a − 1 ( p m − 1 ) ∑ 1 ≤ b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ≤ p a gcd ( b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ， p a ) = p m m < a ∑ 1 ≤ k ≤ p a gcd ( k − 1 ， p m ) = p m χ p a ( k ) ， D = ∑ m = 1 a − 2 ( p m − 1 ) ∑ 1 ≤ b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ≤ p a gcd ( b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ， p a ) = p s m < s < a ∑ 1 ≤ k ≤ p a gcd ( k − 1 ， p s ) = p m χ p a (k) 现在分别计算B， C， D各项。由引理2.4，我们有 B = ∑ m = 1 a − 1 ( p m − 1 ) ∑ 1 ≤ j ≤ p a − m gcd ( j ， p ) = 1 χ p a ( 1 + j p m ) = ∑ m = 1 l − 1 ( p m − 1 ) ∑ 1 ≤ j ≤ p a − m gcd ( j ， p ) = 1 χ p a ( 1 + j p m ) + ∑ m = l a − 1 ( p m − 1 ) ∑ 1 ≤ j ≤ p a − m gcd ( j ， p ) = 1 χ p a ( 1 + j p m ) = 1 − p a − 1 + ( a − l ) φ (pa) 再由引理2.2，我们得到： C = ∑ m = 1 a − 1 ( p m − 1 ) ( ( p a − m ) r − ( p a − m − 1 ) r ) ∑ 1 ≤ u ≤ p a − m χ p a ( 1 + u p m ) = ∑ m = 1 a − 1 ( p m − 1 ) ( ( p a − m ) r − ( p a − m − 1 ) r ) ∑ i = 0 a − m ∑ 1 ≤ v ≤ p a − m − i gcd ( v ， p ) = 1 χ p a ( 1 + v p m + i ) = ∑ m = 1 a − 1 ( p m − 1 ) ( ( p a − m ) r − ( p a − m − 1 ) r ) ∑ i = 0 a − m ∑ 1 ≤ v ≤ p a − w gcd ( v ， p ) = 1 χ p a ( 1 + v p w ) 接着再由引理2.4，得到 C = ∑ m = 1 l − 2 ( p m − 1 ) ( ( p a − m ) r − ( p a − m − 1 ) r ) ( − p a − l + ∑ i = l − m a − m − 1 φ ( p a − m − i ) + 1 )     + ( p l − 1 − 1 ) ( ( p a − ( l − 1 ) ) r − ( p a − ( l − 1 ) − 1 ) r ) ( − p a − l + ∑ i = 1 a − l φ ( p a − ( l − 1 ) − i ) + 1 )     + ∑ m = l a − 1 ( p m − 1 ) ( ( p a − m ) r − ( p a − m − 1 ) r ) ( ∑ i = 0 a − m − 1 φ ( p a − m − i ) + 1 ) = 0 + 0 + p a ( p a r − p a r − r ) ∑ m = l a − 1 ( 1 − p − m ) p − m r = p a r + a − r l − p a − ( p 1 + r − p ) ( p a r + a − l − r l − 1 ) p 1 + r − 1 最后，由引理2.2和引理2.4计算D，得到 D = ∑ m = 1 a − 2 ( p m − 1 ) ∑ s = m + 1 a − 1 ∑ 1 ≤ b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ≤ p a gcd ( b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ， p a ) = p s ∑ 1 ≤ j ≤ p a − m gcd ( j ， p ) = 1 χ p a ( 1 + j p m ) = p a r − r ∑ m = 1 a − 2 ( p m − 1 ) p − m r ( 1 − ( p − r ) a − m − 1 ) ∑ 1 ≤ j ≤ p a − m gcd ( j ， p ) = 1 χ p a ( 1 + j p m ) = p a r − r ∑ m = 1 l − 1 ( p m − 1 ) p − m r ( 1 − ( p − r ) a − m − 1 ) ∑ 1 ≤ j ≤ p a − m gcd ( j ， p ) = 1 χ p a ( 1 + j p m ) + p a r − r ∑ m = l a − 2 ( p m − 1 ) p − m r ( 1 − ( p − r ) a − m − 1 ) ∑ 1 ≤ j ≤ p a − m gcd ( j ， p ) = 1 χ p a ( 1 + j p m ) = ( p a − 1 + p ( r + 1 ) ( a − l ) − p a r + a − 1 − l r − p a − l )         + p a r − r φ ( p a ) ( ∑ m = l a − 2 p − m r − ∑ m = l a − 2 p r − a r − ∑ m = l a − 2 p ( − r − 1 ) m + ∑ m = l a − 2 p r − a r p − m ) = p a − 1 − p + p a r + a − l r ( p − l − p − 1 ) − ( a − l − 1 ) φ ( p a ) + φ ( p a ) p a r − l r − p r p r − 1         − φ ( p a ) p a r − l r − l + 1 − p r − a + 2 p 1 + r − 1 把上面关于A， B， C， D的结果加起来，化简后结果为： A + B + C + D = φ ( P a ) σ r ( p a p l ) ， 所以得到了我们想要的结果。 定理1.2的证明：记 n = ∏ i = 1 r p i a i 和 d = ∏ i = 1 r p i b i ( 0 ≤ b i ≤ a i ) 。由定理1.1的证明，如果 χ 有分解 χ = χ p 1 χ p 2 ⋯ χ p r ，记 g ( χ p i ) 是 χ p i 的导子，则我们有 g ( χ ) = g ( χ p 1 ) g ( χ p 2 ) ⋯ g ( χ p r ) 且 g ( χ p i ) = p i b i ( 1 ≤ i ≤ r ) 。注意到，对于任意的模n的特征 χ ，函数 f ( n ) 是积性的(见(4)式)。于是由命题3.1，我们有 ∑ 1 ≤ k ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ≤ n gcd ( k ， n ) = 1 gcd ( k − 1 ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ， n ) χ ( k ) = ∏ i = 1 r ( ∑ 1 ≤ k ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ≤ n gcd ( k ， n ) = 1 gcd ( k − 1 ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b r ， n ) χ k i ( k ) ) = ∏ i = 1 r ( φ ( p i a ) σ r ( p i a p i l ) ) = φ ( n ) σ r (nd) 证毕。