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user: 3. 2.2中模型(2)的分析 3.1. 没有人接种疫苗，即x = 0 当博弈免疫模型中的免疫比例x为0时，即没有人接种疫苗，此时模型(2)与模型(1)相同，用下一代矩阵法 [ 9 ] [ 10 ] 计算基本再生数： F = [ β β 1 β 2 0 0 0 0 0 0 ] ， V = [ δ + μ 0 0 − δ m + μ 0 0 − m γ + μ ] ， V − 1 = [ 1 δ + μ 0 0 δ ( δ + μ ) ( m + μ ) 1 m + μ 0 δ m ( δ + μ ) ( m + μ ) ( γ + μ ) m ( m + μ ) ( γ + μ ) 1 γ + μ ] ， R 0 = ρ ( F V − 1 ) = δ ( γ + μ ) β + ( m + μ ) ( γ + μ ) β 1 + δ m β 2 ( γ + μ ) ( m + μ ) ( δ + μ ) . 又由于在模型(1)中， S + E + I + Q + R = N ，故R可以消掉，并对系统作归一化变换，令 s = S N ， e = E N ， i = I N ， q = Q N ， r = R N ， 微分方程为： { d s d t = μ − ( β s i + β 1 s e + β 2 s q ) − μ s ， d e d t = β s i + β 1 s e + β 2 s q − δ e − μ e ， d i d t = δ e − m i − μ i ， d q d t = m i − γ q − μ q . (3) 系统(3)的可行域为 D 1 = { ( s ， e ， i ， q ) ∈ R 4 | 0 ≤ s ， e ， i ， q ≤ 1 ， 0 ≤ s + e + i + q ≤ 1 } 且 D 1 为正向不变集。 通过计算，系统有一个无病平衡点 ζ 1 ( s 0 ， e 0 ， i 0 ， q 0 ) = ( 1 ， 0 ， 0 ， 0 ) 和一个地方病平衡点 ζ 2 ( s * ， e * ， i * ， q * ) = ( 1 R 0 ， μ ( R 0 − 1 ) ( δ + μ ) R 0 ， δ μ ( R 0 − 1 ) ( δ + μ ) ( m + μ ) R 0 ， δ m μ ( R 0 − 1 ) ( δ + μ ) ( m + μ ) ( γ + μ ) R 0 ) . 定理1 1) 当 R 0 < 1 时，无病平衡点 ζ 1 在正向不变集 D 1 内是全局渐近稳定的； 2) 当 R 0 > 1 时，地方病平衡点 ζ 2 在正向不变集 D 1 内是全局渐近稳定的。 证明：1) 令 M = F − V = ( β 1 − δ − μ β β 2 δ − μ 0 0 0 − γ − μ ) ， 令S(M) = max{Re λ : λ 是矩阵M的特征值}，由文献 [ 10 ] 的定理2可得 R 0 > 1 ⇔ S ( M ) > 0 ， R 0 < 1 ⇔ S ( M ) < 0. ζ 1 的雅可比矩阵为 J ( ζ 1 ) = ( M 0 J 1 J 2 ) ， 其中 J 1 = − F ，     J 2 ( ζ 1 ) = ( − μ 0 0 − μ ) . J 2 的特征值为 λ 1 = λ 2 = − μ 。当 R 0 < 1 时， S ( M ) < 0 ， S ( J 2 ( ζ 1 ) ) < 0 。所以无病平衡点 ζ 1 在 R 0 < 1 时局部渐近稳定。 下证无病平衡点 ζ 1 的全局渐近稳定性。构造如下所示Lyapunov函数 L 1 = s − s 0 − s 0 ln s 0 s + e + [ β s 0 m + μ + m β 2 s 0 ( m + μ ) ( γ + μ ) ] i + β 2 s 0 γ + μ q ， d L 1 d t = ( 1 − s 0 s ) s ′ + e ′ + [ β s 0 m + μ + m β 2 s 0 ( m + μ ) ( γ + μ ) ] i ′ + β 2 s 0 γ + μ q ′ = ( 1 − s 0 s ) [ μ − ( β s i + β 1 s e + β 2 s q ) − μ s ] + ( β s i + β 1 s e + β 2 s q − δ e − μ e )   + [ β s 0 m + μ + m β 2 s 0 ( m + μ ) ( γ + μ ) ] ( δ e − m i − μ i ) + β 2 s 0 γ + μ ( m i − γ q − μ q ) = μ s 0 ( 1 + 1 s − 1 s 0 − s s 0 ) + [ β 1 − ( δ + μ ) + δ β m + μ + δ m β 2 ( m + μ ) ( γ + μ ) ] e = μ s 0 ( 1 + 1 s − 1 s 0 − s s 0 ) + ( δ + μ ) ( R 0 − 1 ) e 由不等式 1 − a ≤ − ln a ， a > 0 ，有 1 + 1 s − 1 s 0 − s s 0 ≤ 1 s − ln 1 s + ln 1 s 0 − 1 s 0 。 因此，在基本再生数 R 0 < 1 时， d L 1 d t < 0 成立。所以由LaSalle’s不变集原理 [ 11 ] 可知 R 0 < 1 时，无病平衡点 ζ 1 在 D 1 内是全局渐近稳定的。 2) 对于地方病平衡点 ζ 2 ( s * ， e * ， i * ， q * ， r * ) ，构造如下所示Lyapunov函数 L 2 = s − s * − s * ln s * s + e − e * − e * ln e * e + β s * i * + β 2 s * q * δ e * ( i − i * − i * ln i * i ) + β 2 s * q * m i * ( q − q * − q * ln q * q ) d L 2 d t = ( 1 − s * s ) s ′ + ( 1 − e * e ) e ′ + β s * i * + β 2 s * q * δ e * ( 1 − i * i ) i ′ + β 2 s * q * m i * ( 1 − q * q ) q ′ = ( 1 − s * s ) [ μ − ( β s i + β 1 s e + β 2 s q ) − μ s ] + ( 1 − e * e ) ( β s i + β 1 s e + β 2 s q − δ e − μ e )   + β s * i * + β 2 s * q * δ e * ( 1 − i * i ) ( δ e − m i − μ i ) + β 2 s * q * m i * ( 1 − q * q ) ( m i − γ q − μ q ) = β s * i * [ ( 1 − s * s ) ( 1 − s i s * i * ) + ( 1 − e * e ) ( s i s * i * − e e * ) ] + β s * i * + β 2 s * q * δ e * δ e * ( 1 − i * i ) ( e e * − i i * ) + β s * e * [ ( 1 − s * s ) ( 1 − s e s * e * ) + ( 1 − e * e ) ( s e s * e * − e e * ) ] + μ s * ( 1 − s * s ) ( 1 − s s * )     + β s * q * [ ( 1 − s * s ) ( 1 − s q s * q * ) + ( 1 − e * e ) ( s q s * q * − e e * ) ] + β 2 s * q * m i * m i * ( 1 − q * q ) ( i i * − q q * ) = β s * i * ( 2 − s * s + i i * − e * e − s i e * s * i * e ) + β s * i * + β 2 s * q * δ e * δ e * ( 1 + e e * − i * i − i * e i e * )     + β 2 s * q * ( 2 − s * s + q q * − e * e − s q e * s * q * e ) + β 2 s * q * m i * m i * ( 1 + i i * − q * q − i q * i * q ) + ( β 1 s * e * + μ s * ) ( 2 − s * s − s s * ) 由于 2 − s * s − s s * ≤ 0 ，且用到不等式 1 − a ≤ − ln a ， a > 0 ， 1+ e e * − i i * − i * e i e * ≤ e e * − ln e e * + ln i i * − i i * ， 1+ i i * − q q * − i q * i * q ≤ i i * − ln i i * + ln q q * − q q * ， 2 − s * s + i i * − e * e − s i e * s * i * e ≤ − ln s s * + i i * − e e * − ln s i e * s * i * e = i i * − ln i i * + ln e e * − e e * 2 − s * s + q q * − e * e − s q e * s * q * e ≤ − ln s s * + q q * − e e * − ln s q e * s * q * e = q q * − ln q q * + ln e e * − e e * 因此， d L 2 d t ≤ ( β s * i * + β 2 s * q * ) ( e e * − ln e e * − e e * + ln e e * ) + ( β s * i * + β 2 s * q * ) ( i i * − ln i i * − i i * + ln i i * ) + β 2 s * q * ( q q * − ln q q * − q q * + ln q q * ) + ( β 1 s * e * + μ s * ) ( 2 − s * s − s s * ) ≤ 0 . 所以，根据 [ 12 ] 中定理3.1的定义，函数 L 2 是系统(3)的Lyapunov函数，当且仅当 s = s * ， e = e * ， i = i * ， q = q * 时， L ′ 2 = 0 成立，且对于可行域 D 1 中的所有点，都有 L ′ 2 ≤ 0 。根据LaSalle’s不变原理 [ 11 ]，当 R 0 > 1 时，地方病平衡点 ζ 2 在 D 1 内是全局渐近稳定的。 3.2. 疫苗接种比例为常数 当博弈免疫模型中的免疫比例x为常数时，则每天按固定比例对易感者和新生儿接种，且设这个固定比例为v，此时模型为： { d S d t = μ ( 1 − v ) N − β S I + β 1 S E + β 2 S Q N − v S − μ S ， d E d t = β S I + β 1 S E + β 2 S Q N − δ E − μ E ， d I d t = δ E − m I − μ I ， d Q d t = m I − γ Q − μ Q ， d R d t = μ v N + v S + γ Q − μ R . (4) 与3.1相同，对于模型(4)消除R，并作归一化变换，微分方程为： { d s d t = μ ( 1 − v ) − ( β s i + β 1 s e + β 2 s q ) − v s − μ s ， d e d t = β s i + β 1 s e + β 2 s q − δ e − μ e ， d i d t = δ e − m i − μ i ， d q d t = m i − γ q − μ q . (5) 系统(5)的可行域为 D 2 = { ( s ， e ， i ， q ) ∈ R 4 | 0 ≤ s ， e ， i ， q ≤ 1 ， 0 ≤ s + e + i + q ≤ 1 } 且 D 2 为正向不变集。 通过计算，模型存在一个无病平衡点 ξ 1 ( s 0 ¯ ， e 0 ¯ ， i 0 ¯ ， q 0 ¯ ) = ( μ ( 1 − v ) v + μ ， 0 ， 0 ， 0 ) 和一个地方病平衡点 ξ 2 ( s * ¯ ， e * ¯ ， i * ¯ ， q * ¯ ) ，其中 s * ¯ = 1 R 0 ， e * ¯ = μ ( 1 − v ) R 0 − μ − v ( δ + μ ) R 0 ， i * ¯ = δ ( μ ( 1 − v ) R 0 − μ − v ) ( δ + μ ) ( m + μ ) R 0 ， q * ¯ = m δ ( μ ( 1 − v ) R 0 − μ − v ) ( δ + μ ) ( γ + μ ) ( m + μ ) R 0 . 由于 ξ 2 的存在性，可得有效再生数为 R v = ( 1 − v 0 ) R ， 0 v 0 = v ( 1 + μ ) μ + v . 定理2 1) 当 R v < 1 时，无病平衡点 ξ 1 在正向不变集 D 2 内是全局渐近稳定的； 2) 当 R v > 1 时，地方病平衡点 ξ 2 在正向不变集 D 2 内是全局渐近稳定的。 证明同定理1类似。 其中Lyapunov函数分别为 L 3 = s − s 0 ¯ − s 0 ¯ ln s 0 ¯ s + e + [ β s 0 ¯ m + μ + m β 2 s 0 ¯ ( m + μ ) ( γ + μ ) ] i + β 2 s 0 ¯ γ + μ q L 4 = s − s * ¯ − s * ¯ ln s * ¯ s + e − e * ¯ − e * ¯ ln e * ¯ e + β s * ¯ i * ¯ + β 2 s * ¯ q * ¯ δ e * ¯ ( i − i * ¯ − i * ¯ ln i * ¯ i ) + β 2 s * ¯ q * ¯ m i * ¯ ( q − q * ¯ − q * ¯ ln q * ¯ q ) 3.3. 疫苗接种比例随染病人数变化 当博弈免疫模型中的免疫比例x为随时间按变化时，就是加入博弈免疫的模型(2)，同3.1相同对于模型(2)消除R，微分方程为： { d S d t = μ ( 1 − x ) N − β S I + β 1 S E + β 2 S Q N − x S − μ S ， d E d t = β S I + β 1 S E + β 2 S Q N − δ E − μ E ， d I d t = δ E − m I − μ I ， d Q d t = m I − γ Q − μ Q ， d x d t = κ x ( 1 − x ) [ − 1 + ω ( E + I + Q ) ] . (6) 系统(6)的可行域为 D 3 = { ( S ， E ， I ， Q ， x ) ∈ R 5 | 0 ≤ S ， E ， I ， Q ≤ N ， 0 ≤ x ≤ 1 ， 0 ≤ S + E + I + Q ≤ N } 且 D 3 为正向不变集。 当 x ≠ 0 时，系统有2个平衡点， x = 1 时，有平衡点 ε 1 ( S 1 ¯ ， E 1 ¯ ， I 1 ¯ ， Q 1 ¯ ， x 1 ¯ ) = ( 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 1 ) ，此时所有人全部免疫，且 ε 1 是全局稳定的。 0 < x < 1 时，有一部分人选择接种疫苗，且当 R ω > 1 时，系统有一个地方病平衡点 ε 2 ( S 2 ¯ ， E 2 ¯ ， I 2 ¯ ， Q 2 ¯ ， x 2 ¯ ) ，其中 S 2 ¯ = N R 0 ， E 2 ¯ = ( γ + μ ) ( m + μ ) [ ( γ + μ ) ( m + μ ) + δ ( γ + μ ) + δ m ] ω ， I 2 ¯ = δ ( γ + μ ) [ ( γ + μ ) ( m + μ ) + δ ( γ + μ ) + δ m ] ω ， Q 2 ¯ = δ m [ ( γ + μ ) ( m + μ ) + δ ( γ + μ ) + δ m ] ω ， x 2 ¯ = μ ( R 0 − 1 ) μ R 0 + 1 − ( δ + μ ) ( γ + μ ) ( m + μ ) ω N ( μ R 0 + 1 ) [ ( γ + μ ) ( m + μ ) + δ ( γ + μ ) + δ m ] ， 模型的有效再生数 R ω 由 ε 2 的存在性得出 R ω = ( 1 − ω 0 ) R 0 ， ω 0 = ( δ + μ ) ( γ + μ ) ( m + μ ) μ ω N ( μ R 0 + 1 ) [ ( γ + μ ) ( m + μ ) + δ ( γ + μ ) + δ m ] .