system: [SYSTEM]

user: 3. 错位同步 假设系统(1)为驱动系统，它对应的响应系统 D t q y = f ( y ) + d ( y ) + u 可以设计为： D t q y 1 = a y 1 + k y 2 − y 2 y 3 + d 1 ( t ) + u 1 D t q y 2 = − b y 2 − y 3 + y 1 y 3 + d 2 ( t ) + u 2 D t q y 3 = − y 1 − c y 3 + y 1 y 2 + d 3 ( t ) + u 3 (2) 式中 u i 表示控制器， d i ( t ) 表示外部扰动，有界。 系统(1)和(2)均为三维系统，定义系统错位同步误差变量如下： e ( t ) = y ( t ) − Δ x ( t ) 式中， Δ 表示错位矩阵， Δ ∈ R 3 × 3 表示每行每列有且仅有一个元素为1、其他元素均为0的三阶非奇异矩阵，满足条件的 Δ 共有 3 ! 个不同的矩阵，其中有 3 ! − 1 个 Δ 不是对角阵。在 Δ 不是对角阵时，有 lim t → ∞ e ( t ) = lim t → ∞ ( y ( t ) − Δ x ( t ) ) = 0 ，称两系统是错位同步。 不妨以如下错位矩阵为例 Δ = ( 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ) 即错位误差变量 e 1 = y 1 − x 2 ， e 2 = y 2 − x 3 ， e 3 = y 3 − x 1 ，由系统(1)和(2)得到误差系统如下： D t q e 1 = a y 1 + k y 2 − y 2 y 3 + b x 2 + x 3 − x 1 x 3 + d 1 ( t ) + u 1 D t q e 2 = − b y 2 − y 3 + y 1 y 3 + x 1 + c x 3 − x 1 x 2 + d 2 ( t ) + u 2 D t q e 3 = − y 1 − c y 3 + y 1 y 2 − a x 1 − k x 2 + x 2 x 3 + d 3 ( t ) + u 3 (3) 同步误差变量同样可以定义为 e ( t ) = Δ y ( t ) − x ( t ) ，有相同的结果。 假设1：设外部扰动 d i ( t ) 有界，即存在 m i ， n i > 0 使得： | d i ( t ) | < m i 。 假设2： m i ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 为未知的常数。 假设3： | d 2 ( t ) | ≤ ε | e 1 ( t ) | ，   | d 3 ( t ) | ≤ ε | e 2 ( t ) | ，   | d 1 ( t ) | ≤ ε | e 3 ( t ) | ，   0 < ε < 1 。 假设4： e i ( t ) = 0 时， f i ( t ) = 0 ， e i ( t ) ≠ 0 时， f i ( t ) ≠ 0 。 引理1 [ 16 ]：如果存在实对称正定矩阵P，使得 J ( x ( t ) ) = x T ( t ) P D t α x ( t ) < 0 ， ( 0 < α ≤ 1 ) ，则分数阶自治非线性微分方程 D t α x ( t ) = f ( x ( t ) ) 的分数阶系统渐近稳定。 引理2： [ 17 ] (Barbalat引理)若函数 f ( t ) 在 [ 0 ， + ∞ ) 上一致连续，并且广义积分 ∫ 0 + ∞ f ( t ) d t 存在，则有 lim t → ∞ f ( t ) = 0 。 定理1：假设1~4都成立，取滑模面 s ( t ) = D t q − 1 ( e 1 + e 2 + e 3 ) ， 取控制器： u 1 = − ( a + 1 ) y 1 − k y 2 + y 2 y 3 − ( b − 1 ) x 2 − x 3 + x 1 x 3 − m ^ 1 sgn ( s ) u 2 = ( b − 1 ) y 2 + y 3 − y 1 y 3 − x 1 − ( c − 1 ) x 3 + x 1 x 2 − m ^ 2 sgn ( s ) u 3 = 2 y 1 + y 2 − x 3 + c y 3 − y 1 y 2 + a x 1 + ( k − 1 ) x 2 − x 2 x 3 − m ^ 3 sgn ( s ) − η sgn ( s ) (4) 式中， η > 0 表示趋近速度的增益系数， m ^ i 为 m i 的估计值，若定义自适应律： m ^ ˙ i = | s | ， m ^ i ( 0 ) = m ^ i 0 ， i = 1 ， 2 ， 3 ，则分数阶四翼系统的驱动–响应系统(1)与(2)是滑模自适应同步的。 证明：当状态轨迹位于滑模面上时， s ( t ) = 0 ， s ˙ ( t ) = 0 ， 由于 s ( t ) = D t q − 1 ( e 1 + e 2 + e 3 ) = 0 ， 则， D t 1 − q D t q − 1 ( e 1 + e 2 + e 3 ) = 0 ， 从而， e 1 + e 2 + e 3 = 0 。 (5) 利用控制器(4)的表达式可得， D t q e 1 = − e 1 + d 2 ( t ) − m ^ 1 sgn ( s ) ， D t q e 2 = − e 2 + d 3 ( t ) − m ^ 2 sgn ( s ) ， 在滑模面上 s = 0 时 D t q e 1 = − e 1 + d 2 ( t ) ， D t q e 2 = − e 2 + d 3 ( t ) ， 另一方面 D t q e 3 = e 1 + e 2 + d 1 ( t ) − m ^ 3 sgn ( s ) − η sgn ( s ) 。 由于在滑模面上 s = 0 ，根据(5)得到 e 1 + e 2 = − e 3 ⇒ D t q e 3 = − e 3 + d 1 ( t ) ， 由引理1，则当 e i ( t ) ≠ 0 时 J = e T D t q e = [ e 1 e 2 e 3 ] T [ D t q e 1 D t q e 2 D t q e 3 ] = [ e 1 e 2 e 3 ] T [ − e 1 + d 2 ( t ) − e 2 + d 3 ( t ) − e 3 + d 1 ( t ) ] ≤ − ( 1 − ε ) ∑ i = 1 3 | e i | 2 < 0 ， 根据引理1，误差系统的解 e i ( t ) → 0 ， i = 1 ， 2 ， 3 。 所以在滑模面上 s = 0 ，误差系统(3)是渐进稳定的。 当状态轨迹不位于滑模面上时，选取Lyapunov函数， V ( t ) = 1 2 s 2 ( t ) + 1 2 ∑ i = 1 3 ( m ^ i − m i ) 2 求导得： V ˙ = s s ˙ + ∑ i = 1 3 ( m ^ i − m i ) | s | = s [ − e 1 + d 1 − m ^ 1 sgn s − e 2 + d 2 − m ^ 2 sgn s + e 1 + e 2 + d 3     − m ^ 3 sgn s − η sgn s ] + ∑ i = 1 3 ( m ^ i − m i ) | s | ≤ ∑ i = 1 3 m i | s | − ∑ i = 1 3 m ^ i | s | = − η | s ( t ) | < 0 。 通过积分计算得： ∫ 0 t | s ( τ ) | d τ ≤ ∫ 0 t V ˙ ( τ ) d τ − η ≤ V ( 0 ) − V ( ∞ ) − η ≤ V ( 0 ) < ∞ 。 所以 s ( t ) 是有界的，并且是可积的。根据由引理2，当 s ( t ) → 0 时 e i ( t ) → 0 ， i = 1 ， 2 ， 3 。 综合以上证明过程，误差系统(3)趋近于零。 由定理1知道，当状态轨迹在滑膜面上时，误差系统趋于稳定；当状态轨迹不在滑膜面上时，在控制器作用下，系统逐渐趋于滑膜面，从而误差系统趋于稳定，根据相关定义，驱动–响应系统实现错位同步。