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user: 4. 一致(关于 σ ∈ ∑ )吸引子的存在性 在本节中，首先运用能量不等式进行先验估计，其次根据定理A证明空间 E 0 中过程族 { U σ ( t ， τ ) } ( t ≥ τ ，       τ ∈ ℝ ，       σ ∈ ∑ ) 的一致(关于 σ ∈ ∑ )渐近紧性，最后给出问题(1)~(3)所对应的过程族一致(关于 σ ∈ ∑ )吸引子存在的结论。 用 B 0 表示空间 E 0 中过程族 { U σ ( t ， τ ) } ( t ≥ τ ，       τ ∈ ℝ ，       σ ∈ ∑ ) 的一致(关于 σ ∈ ∑ )有界吸收集，并且设 E w ( t ) = 1 2 ‖ Δ w ( t ) ‖ 2 + 1 2 ‖ w t ( t ) ‖ 2 . 4.1. 先验估计 对任意的 ( u 0 i ， v 0 i ) ∈ B 0 ，设 ( u i ( t ) ， u i t ( t ) ) 是对应于时间符号 σ i 且依赖于初值 ( u 0 i ， v 0 i ) 的解， i = 1 ， 2 ，即 ( u i ( t ) ， u i t ( t ) ) 是如下方程的解 { u t t + a ( x ) φ ( u t ) + ( β − α ‖ ∇ u ‖ 2 ) Δ u + Δ 2 u + μ u + g ( u ) = σ i ( x ， t ) ，                                                                       ( 34 ) u | ∂ Ω = ∂ ∂ v u | ∂ Ω = 0 ，                                                                                                                                                                                                             ( 35 ) ( u ( 0 ) ， u t ( 0 ) ) = ( u 0 i ， v 0 i ) .                                                                                                                                                                                           ( 36 ) 为了方便起见，记 h i ( t ) = σ i ( x ， t ) ， t ≥ 0 ， i = 1 ， 2 ， w ( t ) = u 1 ( t ) − u 2 ( t ) ，则 w ( t ) 满足下面的方程组 { w t t ( t ) + a ( x ) ( φ ( u 1 t ( t ) ) − φ ( u 2 t ( t ) ) ) + Δ 2 w ( t ) − α ( ‖ ∇ u 1 ( t ) ‖ 2 Δ u 1 ( t ) − ‖ ∇ u 2 ( t ) ‖ 2 Δ u 2 ( t ) ) + μ w ( t ) + β Δ w ( t ) + g ( u 1 ( t ) ) − g ( u 2 ( t ) ) = h 1 ( t ) − h 2 ( t ) ，                                                                                                           ( 37 ) w | ∂ Ω = ∂ ∂ v w | ∂ Ω = 0 ，                                                                                                                                                                                                                       ( 38 ) ( w ( 0 ) ， w t ( 0 ) ) = ( u 0 1 ， v 0 1 ) − ( u 0 2 ， v 0 2 ) .                                                                                                                                                                           ( 39 ) 首先，用 w ( t ) 乘以(37)式，并对其在 [ 0 ， T ] × Ω 上积分，得 ∫ 0 T ‖ Δ w ( t ) ‖ 2 d t = ∫ Ω w ( 0 ) w t ( 0 ) d x − ∫ Ω w ( T ) w t ( T ) d x + β ∫ 0 T ‖ ∇ w ( t ) ‖ 2 d t + ∫ 0 T ‖ w t ( t ) ‖ 2 d t − μ ∫ 0 T ‖ w ( t ) ‖ 2 d t                                         − ∫ 0 T ∫ Ω a ( x ) ( φ ( u 1 t ( t ) ) − φ ( u 2 t ( t ) ) ) w ( t ) d x d t − ∫ 0 T ∫ Ω ( g ( u 1 ( t ) ) − g ( u 2 ( t ) ) ) w ( t ) d x d t                                         + α ∫ 0 T ∫ Ω ( ‖ ∇ u 1 ( t ) ‖ 2 Δ u 1 ( t ) − ‖ ∇ u 2 ( t ) ‖ 2 Δ u 2 ( t ) ) w ( t ) d x d t + ∫ 0 T ∫ Ω ( h 1 ( t ) − h 2 ( t ) ) w ( t ) d x d t . (40) 在 [ 0 ， T ] 上对 E w ( t ) 关于 t 积分，再结合(40)式，有 ∫ 0 T E w ( t ) d t = 1 2 ∫ Ω w ( 0 ) w t ( 0 ) d x − 1 2 ∫ Ω w ( T ) w t ( T ) d x + β 2 ∫ 0 T ‖ ∇ w ( t ) ‖ 2 d t + ∫ 0 T ‖ w t ( t ) ‖ 2 d t − μ 2 ∫ 0 T ‖ w ( t ) ‖ 2 d t                                   − 1 2 ∫ 0 T ∫ Ω a ( x ) ( φ ( u 1 t ( t ) ) − φ ( u 2 t ( t ) ) ) w ( t ) d x d t − 1 2 ∫ 0 T ∫ Ω ( g ( u 1 ( t ) ) − g ( u 2 ( t ) ) ) w ( t ) d x d t                                   + α 2 ∫ 0 T ∫ Ω ( ‖ ∇ u 1 ( t ) ‖ 2 Δ u 1 ( t ) − ‖ ∇ u 2 ( t ) ‖ 2 Δ u 2 ( t ) ) w ( t ) d x d t + 1 2 ∫ 0 T ∫ Ω ( h 1 ( t ) − h 2 ( t ) ) w ( t ) d x d t . (41) 其次，用 w t ( t ) 乘以(37)式，并对其在 [ s ， T ] × Ω ( 0 ≤ s ≤ T ) 上积分，得 E w ( T ) + μ 2 ‖ w ( T ) ‖ 2 + ∫ s T ∫ Ω a ( x ) ( φ ( u 1 t ( t ) ) − φ ( u 2 t ( t ) ) ) w t ( t ) d x d t = E w ( s ) + μ 2 ‖ w ( s ) ‖ 2 + β 2 ‖ ∇ w ( T ) ‖ 2 − β 2 ‖ ∇ w ( s ) ‖ 2 − ∫ s T ∫ Ω ( g ( u 1 ( t ) ) − g ( u 2 ( t ) ) ) w t ( t ) d x d t       + α ∫ s T ∫ Ω ( ‖ ∇ u 1 ( t ) ‖ 2 Δ u 1 ( t ) − ‖ ∇ u 2 ( t ) ‖ 2 Δ u 2 ( t ) ) w t ( t ) d x d t + ∫ s T ∫ Ω ( h 1 ( t ) − h 2 ( t ) ) w t ( t ) d x d t . (42) 对(42)式在 [ 0 ， T ] 上关于 s 积分，可得 T E w ( T ) ≤ ∫ 0 T E w ( s ) d s + μ 2 ∫ 0 T ‖ w ( s ) ‖ 2 d s + T β 2 ‖ ∇ w ( T ) ‖ 2 − β 2 ∫ 0 T ‖ ∇ w ( s ) ‖ 2 d s                               + α ∫ 0 T ∫ s T ∫ Ω ( ‖ ∇ u 1 ( t ) ‖ 2 Δ u 1 ( t ) − ‖ ∇ u 2 ( t ) ‖ 2 Δ u 2 ( t ) ) w t ( t ) d x d t d s                               + ∫ 0 T ∫ s T ∫ Ω ( h 1 ( t ) − h 2 ( t ) ) w t ( t ) d x d t d s − ∫ 0 T ∫ s T ∫ Ω ( g ( u 1 ( t ) ) − g ( u 2 ( t ) ) ) w t ( t ) d x d t d s . (43) 进一步，取 s = 0 ，则由(42)式可知 ∫ 0 T ∫ Ω a ( x ) ( φ ( u 1 t ( t ) ) − φ ( u 2 t ( t ) ) ) w t ( t ) d x d t = E w ( 0 ) + μ 2 ‖ w ( 0 ) ‖ 2 + β 2 ‖ ∇ w ( T ) ‖ 2 − β 2 ‖ ∇ w ( 0 ) ‖ 2 − ∫ 0 T ∫ Ω ( g ( u 1 ( t ) ) − g ( u 2 ( t ) ) ) w t ( t ) d x d t       + α ∫ 0 T ∫ Ω ( ‖ ∇ u 1 ( t ) ‖ 2 Δ u 1 ( t ) − ‖ ∇ u 2 ( t ) ‖ 2 Δ u 2 ( t ) ) w t ( t ) d x d t + ∫ 0 T ∫ Ω ( h 1 ( t ) − h 2 ( t ) ) w t ( t ) d x d t . (44) 进而结合(4)和引理1可得， ∫ 0 T ‖ w t ( t ) ‖ 2 d t ≤ δ T meas ( Ω ) + C δ α 0 E w ( 0 ) + μ C δ 2 α 0 ‖ w ( 0 ) ‖ 2 + β C δ 2 α 0 ‖ ∇ w ( T ) ‖ 2 − β C δ 2 α 0 ‖ ∇ w ( 0 ) ‖ 2                                       − C δ α 0 ∫ 0 T ∫ Ω ( g ( u 1 ( t ) ) − g ( u 2 ( t ) ) ) w t ( t ) d x d t + C δ α 0 ∫ 0 T ∫ Ω ( h 1 ( t ) − h 2 ( t ) ) w t ( t ) d x d t                                       + α C δ α 0 ∫ 0 T ∫ Ω ( ‖ ∇ u 1 ( t ) ‖ 2 Δ u 1 ( t ) − ‖ ∇ u 2 ( t ) ‖ 2 Δ u 2 ( t ) ) w t ( t ) d x d t . (45) 下面估计 ∫ 0 T ∫ Ω a ( x ) ( φ ( u 1 t ( t ) ) − φ ( u 2 t ( t ) ) ) w ( t ) d x d t 。 先用方程(1)与 u i t ( t ) 在空间 H 中作内积，然后结合一致(关于 σ ∈ ∑ )有界吸收集存在性的证明过程，可知 ∫ 0 T ∫ Ω a ( x ) φ ( u i t ( t ) ) u i t ( t ) d x d t ≤ C ρ ， T ， (46) 其中 C ρ ， T 是一个与空间 E 0 中一致(关于 σ ∈ ∑ )有界吸收集 B 0 的大小和 T 有关的常数。 类似于(26)的估计方法，运用Hölder不等式，结合(5)、(25)和(46)可得，当 i = 1 ， 2 时有 | ∫ 0 T ∫ Ω a ( x ) φ ( u i t ( t ) ) w ( t ) d x d t | ≤ 2 C C ρ ， T ( ∫ 0 T ∫ Ω a ( x ) | w ( t ) | q + 1 d x d t ) 1 q + 1 + C ∫ 0 T ∫ Ω a ( x ) | w ( t ) | d x d t . (47) 联立(41)、(45)、(47)、(43)，可以推出 E w ( T ) ≤ C T T + 1 T ϕ T ( ( u 0 1 ， v 0 1 ) ， ( u 0 2 ， v 0 2 ) ; σ 1 ， σ 2 ) (48) 其中 C T = δ T meas ( Ω ) + C δ α 0 E w ( 0 ) + β C δ 2 α 0 ‖ ∇ w ( T ) ‖ 2 − β C δ 2 α 0 ‖ ∇ w ( 0 ) ‖ 2               + μ C δ 2 α 0 ‖ w ( 0 ) ‖ 2 − 1 2 ∫ Ω w ( T ) w t ( T ) d x + 1 2 ∫ Ω w ( 0 ) w t ( 0 ) d x ， (49) ϕ T ( ( u 0 1 ， v 0 1 ) ， ( u 0 2 ， v 0 2 ) ; σ 1 ， σ 2 ) = C C ρ ， T ( ∫ 0 T ∫ Ω a ( x ) | w ( t ) | q + 1 d x d t ) 1 q + 1 + C ∫ 0 T ∫ Ω a ( x ) | w ( t ) | d x d t + T β 2 ‖ ∇ w ( T ) ‖ 2 + 1 2 ∫ 0 T ∫ Ω ( h 1 ( t ) − h 2 ( t ) ) w ( t ) d x d t − ∫ 0 T ∫ s T ∫ Ω ( g ( u 1 ( t ) ) − g ( u 2 ( t ) ) ) w t ( t ) d x d t d s + C δ α 0 ∫ 0 T ∫ Ω ( h 1 ( t ) − h 2 ( t ) ) w t ( t ) d x d t − C δ α 0 ∫ 0 T ∫ Ω ( g ( u 1 ( t ) ) − g ( u 2 ( t ) ) ) w t ( t ) d x d t + ∫ 0 T ∫ s T ∫ Ω ( h 1 ( t ) − h 2 ( t ) ) w t ( t ) d x d t d s − 1 2 ∫ 0 T ∫ Ω ( g ( u 1 ( t ) ) − g ( u 2 ( t ) ) ) w ( t ) d x d t + α ∫ 0 T ∫ s T ∫ Ω ( ‖ ∇ u 1 ( t ) ‖ 2 Δ u 1 ( t ) − ‖ ∇ u 2 ( t ) ‖ 2 Δ u 2 ( t ) ) w t ( t ) d x d t d s + α 2 ∫ 0 T ∫ Ω ( ‖ ∇ u 1 ( t ) ‖ 2 Δ u 1 ( t ) − ‖ ∇ u 2 ( t ) ‖ 2 Δ u 2 ( t ) ) w ( t ) d x d t + α C δ α 0 ∫ 0 T ∫ Ω ( ‖ ∇ u 1 ( t ) ‖ 2 Δ u 1 ( t ) − ‖ ∇ u 2 ( t ) ‖ 2 Δ u 2 ( t ) ) w t ( t ) d x d t . (50) 4.2. 渐近紧性 定理3 假设(W1)~(W4)成立，若 h 0 ∈ L ∞ ( ℝ ;   L 2 ( Ω ) ) ∩ W b 1 ， r ( ℝ ;   L r ( Ω ) ) ( r > 2 n n + 4 ) ，且 ∑ 是由(17)所定义的，则问题(1)~(3)对应的过程族 { U σ ( t ， τ ) } ( t ≥ τ ，       τ ∈ ℝ ，       σ ∈ ∑ ) 在空间 E 0 中是一致(关于 σ ∈ ∑ )渐近紧的。 证明 因为过程族 { U σ ( t ， τ ) } ( t ≥ τ ，       τ ∈ ℝ ，       σ ∈ ∑ ) 有一致有界吸收集，所以对任意固定的 ε > 0 ，取 δ ≤ ( 2 meas ( Ω ) ) − 1 ε ，取 T 足够大，使得 T − 1 C T ≤ ε 。因此，根据定理A，下面只需证明对于每一个固定的 T ，函数 ϕ T ( ⋅ ， ⋅ ; ⋅ ， ⋅ ) ∈ contr ( B 0 ， ∑ ) 。 根据定理2的证明过程可以推断出，对于每一个固定的 T ， ∪ σ ∈ ∑ ∪ t ∈ [ 0 ， T ] U σ ( t ， 0 ) B 0 在 E 0 中 是 有 界 的 (51) 并且界依赖于 T 。 设 ( u n ， u n t ) 是对应于时间符号 σ n ∈ ∑ 且依赖于初值 ( u 0 n ， v 0 n ) ∈ B 0 的解， n = 1 ， 2 ， ⋯ 依据(51)，假设 u n 在 空 间 L ∞ ( [ 0 ， T ] ; V 2 ) 中 弱 * 收 敛 于 u ， (52) u n t 在 空 间 L ∞ ( [ 0 ， T ] ; H ) 中 弱 * 收 敛 于 u t ， (53) u n 在 空 间 L 2 ( [ 0 ， T ] ; H ) 中 收 敛 于 u ， (54) u n 在 空 间 L q + 1 ( [ 0 ， T ] ; L q + 1 ) 中 收 敛 于 u ， (55) u n ( T ) 在 空 间 V 1 中 强 收 敛 于 u ( T ) ， (56) 其中有紧嵌入 H 2 ⋐ V 1 ； H 2 ⋐ L q + 1 ， q < n + 4 n − 4 。 下面计算(50)中每一项。首先，由命题2和(55)可知 lim n → ∞ lim m → ∞ ∫ 0 T ∫ Ω ( h n ( x ， t ) − h m ( x ， t ) ) ( u n ( t ) − u m ( t ) ) d x d t = 0 ， (57) 且根据命题3有 lim n → ∞ lim m → ∞ ∫ 0 T ∫ Ω ( h n ( x ， t ) − h m ( x ， t ) ) ( u n t ( t ) − u m t ( t ) ) d x d t = 0 ， (58) lim n → ∞ lim m → ∞ ∫ 0 T ∫ s T ∫ Ω ( h n ( x ， t ) − h m ( x ， t ) ) ( u n t ( t ) − u m t ( t ) ) d x d t d s = 0 .(59) 其次，结合(4)，(52)和(55)，有 lim n → ∞ lim m → ∞ ‖ ∇ u n ( T ) − ∇ u m ( T ) ‖ 2 = 0 ， (60) lim n → ∞ lim m → ∞ ∫ 0 T ∫ Ω a ( x ) | u n ( t ) − u m ( t ) | d x d t = 0 ， (61) lim n → ∞ lim m → ∞ ( ∫ 0 T ∫ Ω a ( x ) | u n ( t ) − u m ( t ) | q + 1 d x d t ) 1 q + 1 = 0 . (62) 因为 { ( u n ， u n t ) } n = 1 ∞ 在空间 C ( 0 ， T ; E 0 ) 中是有界的，且有紧嵌入 H 2 ⋐ C ( Ω ¯ ) ，根据Arzela定理， { u n } n = 1 ∞ 在空间 C ( 0 ， T ; C ( Ω ¯ ) ) 中是紧的；另一方面， { u n } n = 1 ∞ 在空间 L ∞ ( 0 ， T ; V 2 ) 中弱*收敛于 u ，因此 { u n } n = 1 ∞ 在空间 C ( 0 ， T ; C ( Ω ¯ ) ) 中强收敛，于是有 | ∫ 0 T ∫ Ω ( ‖ ∇ u n ( t ) ‖ 2 Δ u n ( t ) − ‖ ∇ u m ( t ) ‖ 2 Δ u m ( t ) ) ( u n ( t ) − u m ( t ) ) d x d t | ≤ C R ， T ‖ u n ( t ) − u m ( t ) ‖ C ( 0 ， T ; C ( Ω ¯ ) ) . (63) 由上式可知 lim n → ∞ lim m → ∞ ∫ 0 T ∫ Ω ( ‖ ∇ u n ( t ) ‖ 2 Δ u n ( t ) − ‖ ∇ u m ( t ) ‖ 2 Δ u m ( t ) ) ( u n ( t ) − u m ( t ) ) d x d t = 0. (64) 最后，由于解的光滑性，则有 ∫ Ω ‖ ∇ u ( t ) ‖ 2 Δ u ( t ) u t ( t ) d x = − 1 4 d d t ‖ ∇ u ( t ) ‖ 4 . (65) 根据上式，可以计算出 ∫ 0 T ∫ Ω ( ‖ ∇ u n ( t ) ‖ 2 Δ u n ( t ) − ‖ ∇ u m ( t ) ‖ 2 Δ u m ( t ) ) ( u n t ( t ) − u m t ( t ) ) d x d t = − ∫ 0 T ∫ Ω ‖ ∇ u n ( t ) ‖ 2 Δ u n ( t ) u m t ( t ) d x d t − ∫ 0 T ∫ Ω ‖ ∇ u m ( t ) ‖ 2 Δ u m ( t ) u n t ( t ) d x d t       + 1 4 ( ‖ ∇ u n ( 0 ) ‖ 4 − ‖ ∇ u n ( T ) ‖ 4 + ‖ ∇ u m ( 0 ) ‖ 4 − ‖ ∇ u m ( T ) ‖ 4 ) . (66) 结合(52)~(53)及(56)，先让 m → ∞ ，再让 n → ∞ ，可以推出 lim n → ∞ lim m → ∞ ∫ 0 T ∫ Ω ( ‖ ∇ u n ( t ) ‖ 2 Δ u n ( t ) − ‖ ∇ u m ( t ) ‖ 2 Δ u m ( t ) ) ( u n t ( t ) − u m t ( t ) ) d x d t = 1 2 ( ‖ ∇ u ( 0 ) ‖ 4 − ‖ ∇ u ( T ) ‖ 4 ) − 2 ∫ 0 T ∫ Ω ‖ ∇ u ( t ) ‖ 2 Δ u ( t ) u t ( t ) d x d t = 0. (67) 类似地，可以得到 ∫ s T ∫ Ω ( ‖ ∇ u n ( t ) ‖ 2 Δ u n ( t ) − ‖ ∇ u m ( t ) ‖ 2 Δ u m ( t ) ) ( u n t ( t ) − u m t ( t ) ) d x d t = − ∫ s T ∫ Ω ‖ ∇ u n ( t ) ‖ 2 Δ u n ( t ) u m t ( t ) d x d t − ∫ s T ∫ Ω ‖ ∇ u m ( t ) ‖ 2 Δ u m ( t ) u n t ( t ) d x d t       + 1 4 ( ‖ ∇ u n ( s ) ‖ 4 − ‖ ∇ u n ( T ) ‖ 4 + ‖ ∇ u m ( s ) ‖ 4 − ‖ ∇ u m ( T ) ‖ 4 ) . (68) 同时，对于每个固定的 T ， | ∫ s T ∫ Ω ( ‖ ∇ u n ( t ) ‖ 2 Δ u n ( t ) − ‖ ∇ u m ( t ) ‖ 2 Δ u m ( t ) ) ( u n t ( t ) − u m t ( t ) ) d x d t | 是有界的，于是结合Lebesgue控制收敛定理，可以计算出 lim n → ∞ lim m → ∞ ∫ 0 T ∫ s T ∫ Ω ( ‖ ∇ u n ( t ) ‖ 2 Δ u n ( t ) − ‖ ∇ u m ( t ) ‖ 2 Δ u m ( t ) ) ( u n t ( t ) − u m t ( t ) ) d x d t d s = ∫ 0 T ( lim n → ∞ lim m → ∞ ∫ s T ∫ Ω ( ‖ ∇ u n ( t ) ‖ 2 Δ u n ( t ) − ‖ ∇ u m ( t ) ‖ 2 Δ u m ( t ) ) ( u n t ( t ) − u m t ( t ) ) d x d t ) d s = ∫ 0 T 0 d s = 0. (69) 由(54)可知 lim n → ∞ lim m → ∞ ∫ 0 T ∫ Ω ( g ( u n ( t ) ) − g ( u m ( t ) ) ) ( u n ( t ) − u m ( t ) ) d x d t = 0. (70) 结合文献 [ 12 ] 中的引理4.4，类似地，可以推出 lim n → ∞ lim m → ∞ ∫ 0 T ∫ Ω ( g ( u n ( t ) ) − g ( u m ( t ) ) ) ( u n t ( t ) − u m t ( t ) ) d x d t = 0 ， (71) lim n → ∞ lim m → ∞ ∫ 0 T ∫ s T ∫ Ω ( g ( u n ( t ) ) − g ( u m ( t ) ) ) ( u n t ( t ) − u m t ( t ) ) d x d t d s = 0. (72) 因此，结合(57)~(72)，有 ϕ T ( ⋅ ， ⋅ ; ⋅ ， ⋅ ) ∈ contr ( B 0 ， ∑ ) 。 4.3. 一致(关于 σ ∈ ∑ )吸引子的存在性 由定理2和定理3可以得到一致(关于 σ ∈ ∑ )吸引子的存在性，结果如下 定理4假设(W1)~(W4)成立，若 h 0 ∈ L ∞ ( ℝ ;   L 2 ( Ω ) ) ∩ W b 1 ， r ( ℝ ;   L r ( Ω ) ) ( r > 2 n n + 4 ) ，且 ∑ 是由(17)所定义的，则问题(1)~(3)对应的过程族 { U σ ( t ， τ ) } ( t ≥ τ ，       τ ∈ ℝ ，       σ ∈ ∑ ) 在空间 E 0 中有紧的一致(关于 σ ∈ ∑ )吸引子。