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user: 3. 实证分析与数值模拟 3.1. 深证综指基本统计特征及相关检验 本文以深证综指(399106)日收盘价为基准反映真实金融市场特征，数据来源为深圳财富趋势科技股份有限公司通达信软件，选取上证指数日收盘价作为数据集，共5118个观测值，样本区间为1996.05.10~2017.06.20，记 P t ( t = 1 ， 2 ， ⋯ ， 5118 ) 为t时点的价格指数， r t = ln P t − ln P t − 1 为收益率。 3.1.1. 收益率序列基本统计特征 我们从表1可知 r t 的偏度为−0.627225 < 0，即收益率出现负值得概率大于出现正值的概率。JB统计量非常显著，拒绝正态分布的零假设，峰度大于3，亦表明收益率不服从正态分布，且具有尖峰厚尾特征。 3.1.2. 相关性检验 本文选择Ljung-Box Q统计量对收益率序列的自相关进行检验，零假设为“序列不存在k阶自相关”，具体的Q统计量(Ljung， Box， 1979)表达式为 Q L B = T ( T + 2 ) ∑ j = 1 k r j 2 T − j . 其中， r j 为j阶自相关系数，T为向本容量，k是设定的滞后阶数。 检验结果如下：在滞后20期的情况下，Q统计量为77.922，在5%的显著性水平下，拒绝自相关系数联合为零的假设。因此，收益率序列存在自相关。 3.1.3. 平稳性检验 由图1初步判断 P t 序列不平稳而 r t 序列平稳，下面进行序列稳定性检验， 最常用的平稳性检验方法由Kwiatkowski、Phillips、Schmidt和Shin于1992年提出，称为KPSS检验，零假设为“序列为平稳时间序列”，其检验方程为 x t = β D t + μ t + u t ， Table 1 Statistics of retur Mean Std Skewness Kurtosis Min Max Jarque-Bera 0.000491 0.018842 −0.627225 3.660153 −0.105887 0.092438 428.4303 表1. r t 的统计特征 图1. 上证指数价格和对数收益时间序列图 x t = β D t + μ t + u t ， μ t = μ t − 1 + ε t ，     ε t ∼ W N ( 0 ， σ ε 2 ) 其中， D t 包含确定性成分， u t 是一个可能含有异方差的平稳序列， μ t 是一个随机游走过程。 检验结果如下：KPSS统计量为0.0878，小于5%水平下的临界值0.463，不能够拒绝收益率序列为平稳时间序列的零假设，所以收益率序列为平稳时间序列。 3.2. 收益率的波动聚集性和非对称性分析 金融时间序列常表现出不稳定的特点，Mandelbrot (1983)指出：“大的波动倾向于伴随着大的波动(或正向或反向)，而小的波动倾向于伴随着小的波动。”这种现象后来被称为波动的聚集效应，在股市中有为常见。对于股价反向冲击所产生的波动将大于等量正向冲击所产生的波动，这就是所谓的股市波动的杠杆效应。一般认为，当等量的正负冲击对股市波动产生不同的影响时，就称为股市波动的非对称性。 3.2.1. GARCH模型参数估计 作为金融市场收益序列的显著特征，许多变换条件方差经济模型都被用来检验和衡量波动聚集性，本文应用Engle (1982)提出的，Bollerslev (1986)推广的GARCH模型，如果收益率服从AR(1)过程，那么GARCH(p，q)定义如下： { r t = a + b r t − 1 + ε t ，                                                   ε t = σ t z t ， σ t 2 = α 0 + α ( L ) ε t 2 + β ( L ) σ t 2 ，           z t ∼ N ( 0 ， 1 ) ， 这里L是滞后算子， α ( L ) = ∑ i = 1 q α i L i ， β ( L ) = ∑ j = 1 p β j L j 。定义 v t = ε t 2 − σ t 2 ，可以改写成一个ARMA(s，p)过程 [ 1 − α ( L ) − β ( L ) ] ε t 2 = α 0 + ( 1 − β ( L ) ) v t 这里 s = max { p ， q } ，表2列出上证指数GARCH(1，1)的参数估计，这里期望过程包含一个AR(1)结构。从表2可以看出 α 1 + β 1 接近于1，说明序列具有长记忆特征。 3.2.2. TGARCH模型参数估计 描述杠杆效应的一种常用模型是门限GARCH模型，又称为TGARCH模型，它是由Zakoian (1994)、以及Glosten、Jaganthan和Runkle (1994)分别独立提出来的，在TGARCH模型中，条件方差方程的形式为： σ t 2 = α 0 + ∑ i = 1 p α i ε t − i 2 + ∑ i = 1 p γ i ε t − i 2 d t − i + ∑ j = 1 q β j σ t − j 2 d t − i = { 0 ，       ε t − i ≥ 1 1 ，           ε t − i < 0 其中， γ i 被称为杠杆效应系数。 本文建立TARCH(1，1)模型拟合收益率序列，这里期望过程包含一个AR(1)结构。拟合结果如表3所示，可以发现，拟合的非对称系数为0.0284，且在5%的水平下显著异于零，其符号为正号，说明深证综指对利好消息的反映小于利空消息。 3.3. 金融市场幂率行为分析 我们分别画出深证综指的收益率、平方收益和绝对收益的自相关系数图，结果如图2所示，从图中我们发现，收益的自相关系数不显著，而绝对收益和平方收益的自相关系数显著，衰减缓慢且绝对收益自相关系数大于平方收益自相关系数，自相关系数的这种特征表明波动具有长记忆性或者说是幂率行为特征。 除了从图形上初步判断r t 、 r t 2 和|r t |的自相关结构外，我们也可以构造模型来估计自相关衰减率，Geweke and Poter-Hudak (1983)提出基于对数谱坐标回归，用半参数法估计分数差分参数d，其中谱坐标为 ω j = 2 π   j / T ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) ，GPH估计法如下所示： log I ( ω j ) = c − d log ( 4 sin 2 ( ω j / 2 ) ) + v j ， 其中假设 v j ∼ N ( 0 ， π 2 6 ) 。如果纵坐标 m = g ( T ) 满足 lim T → ∞ g ( T ) = ∞ ， lim T → ∞ g ( T ) / T = 0 且 Table 2 GARCH(1，1) estimate a × 10 3 b α 0 × 10 4 α 1 β 1 0.197 (0.0002) 0.0498 (0.0147) 0.04 (0.00) 0.0856 (0.0073) 0.9037 (0.0078) 表2. 深证综指GARCH(1，1)参数估计 Table 3 TGARCH(1，1) estimate a × 10 3 b α 0 × 10 4 α 1 β 1 γ 1 0.057 (0.0002) 0.0525 (0.0148) 0.04 (0.00) 0.0699 (0.0080) 0.9042 (0.0078) 0.0284 (0.0098) 表3. 深证成指TGARCH模型参数估计 图2. 深证综指r t 、 r t 2 、|r t |自相关图 lim T → ∞ ( log ( T ) 2 ) / g ( T ) = 0 ，则OLS估计满足以下极限分布： m ( d ^ G P H − d ) → d N ( 0 ， π 2 24 ) . 这里我们分别估计 m = 50 ， 100 ， 150 ， 200 时的 d 值，结果如表4所示。 我们发现收益率序列的d值在任意显著性水平下均不显著，而绝对收益和平方收益的 d 值在任意显著性水平下均显著，这说明平方收益和绝对值收益具有幂率行为特征，而且绝对收益率的持续性比平方收益率强。 3.4. SDS模型的有效性讨论 以上主要讨论验证了真实金融市场收益率的一些特征，下面我们对应讨论模型的有效性。基于Monte-Carlo模拟统计检验，模拟独立运行1000次，每次生成4000个观测值。根据He and Li (2015)，参数选取如下所示： 3.4.1. 模型收益率的自相关结构 首先，我们看SDS模型的自相关结构，想知道模型是否能够复制真实市场的一些结论，模拟独立运行1000次，对每一次模拟，我们估计收益率、平方收益和绝对收益的自相关系数，然后取均值，结果如图3所示，通过比较图2，我们可以看到r t 、 r t 2 、|r t |的自相关函数的衰减模式很类似，为了观察模型的拟合效果，在图4中我们Newey-West修正标准差画出深证综指收益率、平方收益和绝对收益的置信区间，清楚发现SDS模型自相关系数基本落在深证综指自相关系数置信区间内，说明本文所建理论模型具有一定的现实合理性。 Table 4 The estimates of d t p-Value 95% CI d sds r t 0.118 1.081 0.285 [−0.101， 0.337] −0.3059 0.129 1.784 0.775 [−0.014， 0.272] −0.2168 0.069 1.215 0.226 [−0.043， 0.181] −0.1884 0.065 1.373 0.171 [−0.028， 0.158] −0.1688 r t 2 0.374 3.282 0.002 [0.145， 0.603] 0.3837 0.369 5.394 0.000 [0.233， 0.504] 0.3660 0.274 5.129 0.000 [0.169， 0.380] 0.3385 0.264 5.635 0.000 [0.172， 0.357] 0.3294 | r t | 0.402 3.753 0.000 [0.186， 0.616] 0.4976 0.427 6.385 0.000 [0.294， 0.560] 0.4549 0.361 7.086 0.000 [0.260， 0.462] 0.4193 0.353 8.053 0.000 [0.267， 0.440] 0.3963 表4. 深证综指及模型d值估计 图3. SDS模型r t 、 r t 2 、|r t |及自相关图 图4. SDS模型r t 、 r t 2 、|r t |自相关图 深证综指的置信区间 Table 5 GARCH(1，1) estimates for mode a × 10 3 b α 0 × 10 4 α 1 β 1 0.2366 −0.0101 0.5867 0.0857 0.9041 (0.0002) (0.0175) (0.00) (0.0346) (0.0384) 表5. SDS模型GARCH(1，1)参数估计 Table 6 TARCH(1，1) estimates for mode a × 10 3 b α 0 × 10 4 α 1 β 1 γ 1 −1.4988 −0.0105 0.3793 0.0005 0.9322 0.1255 (0.0009) (0.0188) (0.00) (0.0021) (0.0287) (0.0540) 表6. SDS模型TGARCH(1，1)参数估计 3.4.2. 模型GARCH和TGARCH参数估计 同样的方法用于估计GARCH、TGARCH模型参数，这里，我们继续计算估计参数的均值，结果如表5、表6所示。由表5可看出 α 1 + β 1 接近于1，说明模型序列具有强的波动持续性，由表6得到模型TGARCH的非对称系数为0.1255，其符号为正号，说明模型序列对利好消息的反映小于利空消息。综上分析，本模型可以很好地反映收益序列的波动聚集性和非对称性。 3.4.3. 模型幂率衰减指数估计 本小节继续运用GPH方法估计模型幂率衰减指数，并计算估计参数均值，结果如表4最后一列所示，从表中我们发现，平方收益和绝对收益序列估计d值均在深证综指估计d值的95%置信区间内，说明模型合理有效。