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user: 2. 弧长、面积、体积元的表示与Jacobi行列式 为了能让读者更快的进入到这篇论文的内容，本节以标准《数学分析》教材为准对弧长微元、面积微元、体积微元相关内容进行讲解，具体的一些知识可参考教材 [ 1 ] [ 2 ] [ 5 ]。 2.1. 平面曲线的弧长 定义2.1.1 设曲线C是一条没有自交点的非闭的平面曲线，由参数方程 x = x ( t ) ， y = y ( t ) ， t ∈ [ α ， β ] (1) 给出若 x ( t ) ， y ( t ) 在 [ α ， β ] 上连续可微，则C是可求弧长的。 定义2.1.2 设曲线C由参数方程(1)给出的。若 x ( t ) ， y ( t ) 在 [ α ， β ] 上连续可微，且 x ′ ( t ) 和 y ′ ( t ) 不同时为零(即 x ′ 2 ( t ) + y ′ 2 ( t ) ≠ 0 ， t ∈ [ α ， β ] )，则称C是一条光滑曲线。 定义2.1.3 设光滑曲线C由参数方程(1)给出。见图1，PR为曲线在点P处的切线，在三角形PQR中，PQ为 d x ，QR为 d y ，PR则称为弧微分，记为 d s 。见图1中三角形PQR称为微分三角形。 图1. 微分三角形 在直角三角形中PQR由勾股定理得： d s = d x 2 + d y 2 ，又 d x = x ′ ( t ) d t ， d y = y ′ ( t ) d t ，所以有弧微分 d s = d x 2 + d y 2 =   x ′ 2 ( t ) + y ′ 2 ( t ) d t (2) 推论1 设曲线C由极坐标方程 r = r ( θ ) ， θ ∈ [ α ， β ] (3) 表示，把它化为参数方程为 x = r ( θ ) cos θ ， y = r ( θ ) sin θ ， θ ∈ [ α ， β ] 由于 x ′ ( θ ) = r ′ ( θ ) cos θ − r ( θ ) sin θ ， y ′ ( θ ) = r ′ ( θ ) sin θ + r ( θ ) cos θ ， x ′ 2 ( θ ) + y ′ 2 ( θ ) = r 2 ( θ ) + r ′ 2 ( θ ) ， 由(2)可知 d s = r 2 ( θ ) + r ′ 2 ( θ ) d θ . 推论2 设曲线C由直角坐标方程 y = f ( x ) ， x ∈ [ a ， b ] (4) 给出，把它化为参数方程为 x = x ， y = f ( x ) ， x ∈ [ a ， b ] . 由(2)可知 d s = 1 + f ′ 2 ( x ) d x . 定理1 设曲线C由参数方程(1)给出，若C是一条光滑曲线，则C是可求取弧长的，且弧长为 s = ∫ α β x ′ 2 ( t ) + y ′ 2 ( t ) d t . 推论1 若曲线C由极坐标方程(3)给出，当 r ′ ( θ ) 在 [ α ， β ] 上连续，且 r ( θ ) 和 r ′ ( θ ) 不同时为零，此极坐标曲线为一条光滑曲线，此时弧长为 s = ∫ α β r 2 ( θ ) + r ′ 2 ( θ )   d θ . 推论2 若曲线C由直角坐标方程(4)表示，当 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上连续可微时，此曲线是一条光滑曲线，此时弧长为 s = ∫ α β 1 + f ′ 2 ( x )   d x . 2.2. 第一型曲线积分 定理2 设光滑曲线 L : { x = φ ( t ) ， y = ψ ( t ) ， t ∈ [ α ， β ] ， 函数 f ( x ， y ) 为定义在L上的连续函数，则 ∫ L f ( x ， y ) d s = ∫ α β f ( φ ( t ) ， ψ ( t ) ) φ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t . (5) 推论1 当曲线L由方程 y = ψ ( x ) ， x ∈ [ a ， b ] 表示，且 ψ ( x ) 在 [ a ， b ] 上有连续的导函数时，(5)式成为 ∫ L f ( x ， y ) d s = ∫ a b f ( x ， ψ ( x ) ) φ ′ 2 ( x ) + ψ ′ 2 ( x ) d x . 推论2 当空间曲线L是一条光滑的曲线，由参数方程 x = φ ( t ) ， y = ψ ( t ) ， z = χ ( t ) ， t ∈ [ α ， β ] 表示时， f ( x ， y ， z ) 是L上的连续函数，则弧微分为 d s =   φ ′ 2 ( t ) + ψ 2 ( t ) + χ ′ 2 ( t ) d t 其弧长为 ∫ L f ( x ， y ， z ) d s = ∫ α β f ( φ ( t ) ， ψ ( t ) ， χ ( t ) ) φ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) + χ ′ 2 ( t ) d t . 2.3. 二重积分的变量变换与面积微元 引理 设变换 T : x = x ( u ， v ) ， y = y ( u ， v ) 将 u v 平面上按段光滑的封闭的曲线所围成的闭区域 Δ 一对一的映射成 x y 平面上的闭区域D，函数 x ( u ， v ) ， y ( u ， v ) 在 Δ 内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 J ( u ， v ) = ∂ ( x ， y ) ∂ ( u ， v ) ≠ 0 ， ( u ， v ) ∈ Δ， 则 Δ 和 x y 平面上的对应区域D之间的微元面积伸缩系数为 | J ( u ， v ) | ，即 d x d y = | J ( u ， v ) | d u d v . 证明 在 Δ 上任取一个点 A ( u ， v ) ，以A为其中一个定点作一个矩形ABCD。它的4个顶点坐标分别为 A ( u ， v ) ， B ( u + d u ， v ) ， C ( u + d u ， v + d v ) ， D ( u ， v + d v ) 。在变换 x = x ( u ， v ) ， y = y ( u ， v ) 下， Δ 上矩形ABCD相应的会得到 x y 平面上一个曲边四边形，那 A ′ B ′ C ′ D ′ 么它的四个顶点分别为 A ′ ( x 1 ， y 1 ) ， B ′ ( x 2 ， y 2 ) ， C ′ ( x 3 ， y 3 ) ， D ′ ( x 4 ， y 4 ) (见图2)。 图2. 面积微元的变换 我们可以利用Taylor公式得到 A ′ : x 1 = x ( u ， v ) ， y 1 = y ( u ， v ) ; B ′ : x 2 = x ( u + d u ， v ) = x ( u ， v ) + ∂ x ( u ， v ) ∂ u d u + ο ( d u ) ， y 2 = y ( u + d u ， v ) = y ( u ， v ) + ∂ y ( u ， v ) ∂ u d u + ο ( d u ) ; C ′ : x 3 = x ( u + d u ， v + d v ) = x ( u ， v ) + ∂ x ( u ， v ) ∂ u d u + ∂ x ( u ， v ) ∂ v d v + ο ( d u ) + ο ( d v ) ， y 3 = y ( u + d u ， v + d v ) = y ( u ， v ) + ∂ y ( u ， v ) ∂ u d u + ∂ y ( u ， v ) ∂ v d v + ο ( d u ) + ο ( d v ) ; D ′ : x 4 = x ( u ， v + d v ) = x ( u ， v ) + ∂ x ( u ， v ) ∂ v d v + ο ( d v ) ， y 4 = y ( u ， v + d v ) = y ( u ， v ) + ∂ y ( u ， v ) ∂ v d v + ο ( d v ) ; 若想计算矩形 A ′ B ′ C ′ D ′ 的面积，可将 A ′ B ′ ， B ′ C ′ ， C ′ D ′ ， D ′ A ′ 用直线连接起来作成一个四边形 A ′ B ′ C ′ D ′ 。当我们所取的 d x 和 d y 足够小时，在计算时就可以忽略髙阶无穷小量，此时曲边四边形的面积就可以等于四边形 A ′ B ′ C ′ D ′ 的面积。 由 x i ， y i ( i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 的表达式，当计算假设是省略掉 ο ( d u ) 和 ο ( d v ) ，则 x 2 − x 1 = x 3 − x 4 ， x 4 − x 1 = x 3 − x 2 ， y 2 − y 1 = y 3 − y 4 ， y 4 − y 1 = y 3 − y 2 . 所以在四边形 A ′ B ′ C ′ D ′ 中，两两对边的距离是相等的，所以当忽略高阶无穷小量时，曲边四边形相当于—个平行四边形(见图3)。 图3. 曲边四边形 它的面积 d Σ 是三角形 A ′ B ′ C ′ 面积的两倍，利用所学解析几何知识，则有 d Σ = ± | x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 | ，符号的选取使 d Σ > 0 ， 将 x i ， y i ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 的表达式带入到 d Σ 并忽略高阶无穷小量得 d Σ = ± | x ( u ， v )                       y ( u ， v )                       1 x ( u ， v ) + ∂ x ∂ u d u x ( u ， v ) + ∂ x ∂ u d u + ∂ x ∂ v d v y ( u ， v ) + ∂ y ∂ u d u 1 y ( u ， v ) + ∂ y ∂ u d u + ∂ x ∂ v d v 1 | = ± | x ∂ x ∂ u d u y 1 ∂ y ∂ u d u 0 ∂ x ∂ v d v ∂ x ∂ v d v 0 | ， 因此 d x d y = | ∂ ( x ， y ) ∂ ( u ， v ) | d u d v ，即面积之比 d x d y d u d v = | ∂ ( x ， y ) ∂ ( u ， v ) | = | J ( u ， v ) | ，所以 μ ( D ) = ∬ D d x d y = ∬ Δ | J ( u ， v ) | d u d v 。 2.4. 二重积分的变量变换 定理3 设在 f ( x ， y ) 有界闭区域D上可积，变换 T : x = x ( u ， v ) ， y = y ( u ， v ) 将 u v 平面上按段光滑的封闭的曲线所围成的闭区域 Δ 一对一的映射成 x y 平面上的闭区域D，函数 x ( u ， v ) ， y ( u ， v ) 在 Δ 内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 J ( u ， v ) = ∂ ( x ， y ) ∂ ( u ， v ) ≠ 0 ， ( u ， v ) ∈ Δ， 则有 ∬ D f ( x ， y )   d x d y = ∬ Δ f ( x ( u ， v ) ， y ( u ， v ) ) | J ( u ， v ) | d u d v . 推论1 当积分区域是圆域或者圆域的一部分，或者是 f ( x 2 + y 2 ) 时使用极坐标变换 T : x = r cos θ ， y = r sin θ 0 ≤ r < + ∞ ， 0 ≤ θ < 2 π 变换T的函数行列式为 J ( u ， v ) = | cos θ − r sin θ sin θ r cos θ | = r ，由引理可知 x y 平面中二重积分的面积微元 d x d y 与 r θ 平面中的面积微元 d r d θ 之间的关系为 d x d y = r d r d θ ，则有 ∬ D f ( x ， y ) d x d y = ∬ Δ f ( r cos θ ， r sin θ ) | J ( r ， θ ) | d r d θ . 推论2 与极坐标相似，当我们作广义极坐标变换 T : { x = a r cos θ ， y = b r sin θ ， 0 ≤ r < + ∞ ， 0 ≤ θ < 2 π 此时变换T的函数行列式为 J ( u ， v ) = | a cos θ − a r sin θ b sin θ b r cos θ | = a b r ，同理有 d x d y = a b r d r d θ ，则有 ∬ D f ( x ， y )   d x d y = ∬ Δ f ( a r cos θ ， b r sin θ )   a b r d r d θ . 2.5. 三重积分的变量变换法(与二重积分类似) 定理4 设 f ( x ， y ， z ) 是定义在三维空间可以求解体积的有界闭区域V上的函数，在变换 T : x = x ( u ， v ， w ) ， y = y ( u ， v ， w ) ， z = z ( u ， v ， w ) 下将uvw空间的闭区域 V ′ 一对一的变换为xyz空间区域V，且函数 x ( u ， v ， w ) ， y ( u ， v ， w ) ， z ( u ， v ， w ) 在 V ′ 内有连续的偏导数，变换T的函数行列式为 J ( u ， v ， w ) = ∂ ( x ， y ， z ) ∂ ( u ， v ， w ) = | ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ w ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ w | ≠ 0 ， ( u ， v ， w ) ∈ V ′ 那么函数 f ( x ， y ， z ) 在 x y z 空间的体积微元 d x d y d z 与 u v w 空间体积微元 d u d v d w 之间的关系为 d x d y d z = | J ( u ， v ， w ) | d u d v d w 则有 ∭ V f ( x ， y ， z )   d x d y d z = ∭ V ′ f ( x ( u ， v ， w ) ， y ( u ， v ， w ) ， z ( u ， v ， w ) ) | J ( u ， v ， w ) | d u d v d w . (6) 推论1 在柱面坐标变换下有 T : { x = r cos θ ， y = r sin θ ， z = z ， 0 ≤ r < + ∞ ， 0 ≤ θ ≤ 2 π ， − ∞ < z < + ∞ . 所对应的函数行列式 J ( r ， θ ， z ) = | cos θ − r sin θ 0 sin θ r cos θ 0 0 0 1 | = r ， 按照(6)式，三重积分的柱面坐标变换公式为 ∭ V f ( x ， y ， z )   d x d y d z = ∭ V ′ f ( r cos θ ， r sin θ ， z )   r d r d θ d z ， 式中的 f ( x ， y ， z ) 可求体积， V ′ 为V在柱面坐标变换下的原象。 推论2 在球坐标变换下有 T : { x = r cos φ cos θ ， 0 ≤ r < + ∞ ， y = r cos φ sin θ ， 0 ≤ θ ≤ 2 π ， z = r sin φ ， − π 2 ≤ φ ≤ π 2 . 所对应的函数行列式为 J ( r ， φ ， θ ) = | cos φ cos θ − r sin φ cos θ − r cos φ sin θ cos φ sin θ − r sin φ cos θ r cos φ cos θ sin φ r cos φ 0 | = r 2 cos φ ， 按照式(6)，球坐标变换下的公式为 ∬ V f ( x ， y ， z )   d x d y d z = ∬ V ′ f ( r cos φ cos θ ， r cos φ sin θ ， r sin φ )   r 2 cos φ d r d φ d θ ， 式中的 f ( x ， y ， z ) 可求体积， V ′ 为V在柱面坐标变换下的原象。 推论3 在广义球坐标变换下有 T : { x = a r sin φ cos θ ， y = b r sin φ sin θ ， z = c r cos φ ， 0 ≤ r < + ∞ ， 0 ≤ θ ≤ 2 π ， 0 ≤ φ ≤ π . 所对应的函数行列式为 J ( r ， φ ， θ ) = | a sin φ cos θ a r cos φ cos θ − a r sin φ sin θ b sin φ sin θ b r cos φ sin θ b r sin φ cos θ c cos φ − c r sin φ 0 | = a b c r 2 sin φ ， 按照式(6)，三重积分的在广义球坐标变换公式为 ∬ V f ( x ， y ， z )   d x d y d z = ∬ V ′ f ( a r sin φ cos θ ， b r sin φ sin θ ， c r cos φ )   a b c r 2 sin φ d r d φ d θ ， 式中的 f ( x ， y ， z ) 可求体积， V ′ 为V在广义球坐标变换下的原象。 2.6. 曲面的面积 定义2.6.1 设曲面S由方程 z = f ( x ， y ) ， ( x ， y ) ∈ D 确定，其中D是平面上可以求面积的有界区域， f ( x ， y ) 在D上具有连续的一阶偏导数，则曲面S的面积为 Δ S = ∬ D 1 + f x 2 ( x ， y ) + f y 2 ( x ， y ) d x d y (7) 还可以称 d S = 1 + f x 2 ( x ， y ) + f y 2 ( x ， y )   d x d y 为曲面S的面积微元。 定义2.6.2 设曲面S由参数方程 x = x ( u ， v ) ， y = y ( u ， v ) ， z = z ( u ， v ) ， ( u ， v ) ∈ D 确定，其中函数 x ( u ， v ) ， y ( u ， v ) ， z ( u ， v ) 在D上具有连续的一阶偏导数，且Jacobi行列式 ( x u y u z u x v y v z v ) 的秩为2，如果设曲面S无重点，由隐函数存定理，曲面S某点 P 0 ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) 的邻域可表示为 x = x ， y = y ， z = z ( x ， y ) 的形式，且有 ∂ z ∂ x = − ∂ ( y ， z ) ∂ ( u ， v ) / ∂ ( x ， y ) ∂ ( u ， v ) ， ∂ z ∂ y = − ∂ ( z ， x ) ∂ ( u ， v ) / ∂ ( x ， y ) ∂ ( u ， v ) ， 若D在 x y 平面上的相应区域为 D 1 ，由(7)式曲面S的面积为 ∂ z ∂ x = − ∂ ( y ， z ) ∂ ( u ， v ) / ∂ ( x ， y ) ∂ ( u ， v ) ， ∂ z ∂ y = − ∂ ( z ， x ) ∂ ( u ， v ) / ∂ ( x ， y ) ∂ ( u ， v ) ， = ∬ D 1 + ( − ∂ ( y ， z ) ∂ ( u ， v ) / ∂ ( x ， y ) ∂ ( u ， v ) ) 2 + ( − ∂ ( z ， x ) ∂ ( u ， v ) / ∂ ( x ， y ) ∂ ( u ， v ) ) 2 ⋅ | ∂ ( x ， y ) ∂ ( u ， v ) | d u d v = ∬ D ( ∂ ( x ， y ) ∂ ( u ， v ) ) 2 + ( ∂ ( y ， z ) ∂ ( u ， v ) ) 2 + ( ∂ ( z ， x ) ∂ ( u ， v ) ) 2 d u d v = ∬ D ( x u 2 + y u 2 + z u 2 ) ( x v 2 + y v 2 + z v 2 ) − ( x u x v + y u y v + z u z v )   d u d v 记 E = x u 2 + y u 2 + z u 2 ， F = x u x v + y u y v + z u z v ， G = x v 2 + y v 2 + z v 2 ，则有 Δ S = ∬ D E G − F 2 d u d v . 其中 E G − F 2 d u d v 为曲面S的面积微元。 定理5 设光滑曲面S由方程 z = f ( x ， y ) 定义在有界平面区域D上， f ( x ， y ， z ) 为S上的连续函数，则 ∬ S f ( x ， y ， z ) d S = ∬ D 1 + f x 2 ( x ， y ) + f y 2 ( x ， y ) d x d y . 推论 由参数形式表示的光滑曲面 S : { x = x ( u ， v ) ， y = y ( u ， v ) ， z = z ( u ， v ) ， ( u ， v ) ∈ D ， 则在曲面S上第一曲面积分的计算公式为 ∬ S f ( x ， y ， z ) d S = ∬ D f ( x ( u ， v ) ， y ( u ， v ) ， z ( u ， v ) ) E G − F 2 d u d v ， 其中 E = x u 2 + y u 2 + z u 2 ， F = x u x v + y u y v + z u z v ， G = x v 2 + y v 2 + z v 2 ，除此之外还要求雅克比行列式 ∂ ( x ， y ) ∂ ( u ， v ) ， ∂ ( y ， z ) ∂ ( u ， v ) ， ∂ ( z ， x ) ∂ ( u ， v ) 中至少有一个不为零。