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user: 2. 概率中的思维之美 2.1. 抽象之美 数学理论的表述往往是抽象的，数学中的抽象美不太容易体验得到。数学思维的抽象美应该包含两个方面的内容：第一，我们不容易想象(或意想不到)的；第二，我们无法体验到(或与现实脱节)的 [ 4 ] 。在概率论中所得出的结果或有关的发展常常出乎意料、既引起了极大的惊诧、又引起了人们的赞赏与叹服、从而使人享受抽象之美。 案例1：蒲丰投针实验 1777年的一天，法国科学家蒲丰家热闹非凡，客人到齐之后，70岁高龄的蒲丰先生兴致勃勃的拿出一张纸来，纸上事先画好一条条等距离的平行线，又拿出准备好的一大把质量均匀的小针，这些小针是平行线距离的一半，蒲丰说：“请诸位把这些小针一根一根的往纸上随便扔吧，奇妙的事情自然会出现”。客人们好奇的把这些小针一根根往纸上乱扔，蒲丰在在一旁专注观察并不停的记数。小针扔完了，把它收起来又扔，忙碌了近1小时，蒲丰宣布：大家共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。 投 针 总 数 针 与 平 行 线 相 交 次 数 = 2212 704 ≈ 3 .142 总数2212与相交次数704的比值为3.142，是圆周率的近似值。众宾客哗然，在这种纷繁杂乱的投针场合出现了圆周率，这可是与圆半点也不沾边的呀，实在出乎人们的意料。蒲丰投针实验这段史实充分的体现了概率的抽象之美。 案例2：生日问题 全班有n个同学，求：1) 至少有两个同学生日相同的概率P(A n )；2) 至少有一个同学与你的生日同一天的概率P(B n ) [ 5 ] 。 对以上两个问题求解可得： P ( A n ) = 1 − A 365 n / 365 n ，由此公式，对不同的n，有以下结果： P ( B n ) = 1 − ( 364 / 365 ) n ，由此公式，对不同的n，有以下结果： 一个有30人的班，我们有70.6%的把握保证至少有两个同学生日相同，有50、60人的班，分别有97%、99.4%的把握保证至少有两个同学生日相同.比较概率P(A n )和P(B n )，从中可以看出，300人中与你的生日同一天的概率约为0.561，900人中与你的生日同一天的概率约为0.915，但50人中至少有两个同学生日相同的概率为0.97。这些结论和我们的直觉是不一致的。“生日问题”结论使人不解，是一个令人难以捉摸、难以凭空想象的例子。 以上例子给出的结论虽然我们想象起来很困难，但事实却正是如此，其结论都是经过严格的数学计算给出的，从中我们深刻体会了概率的抽象之美。 2.2. 和谐统一之美 概率中蕴含着丰富的辩证唯物主义思想，学生在学习的过程中可以感知到偶然与必然、确定与不确定、有限与无限、离散与连续的辨证统一之美。 案例3：掷硬币试验 人们经过长期的实践知道，虽然随机事件在某次试验或观察中可能出现也可能不出现，但在大量试验中它却呈现出明显的统计规律性—频率稳定性。掷一枚硬币观察出现正面朝上的概率。在投掷过程中，出现的结果可能正面朝上，也可能反面朝上，由古典概型的知识我们知道结果出现正面朝上的概率都是1/2。同样，通过实验我们可以得出硬币正面朝上的频率，频率是事件A发生的次数n A 与实验总次数n的比值，但是每次实验的结果都是不确定的，是随机的、偶然的。只有当n越来越大，即在大量重复试验时，正面朝上的频率值才会越来越逼近概率值1/2，历史上有许多学者都做过此试验。 每次实验值只是偶然现象，只有当试验次数足够大时，其正面朝上的频率的极限值才反映了本质。变化中蕴涵着规律，得到了不变的常数1/2，偶然中蕴涵着必然。 案例4：贝特朗悖论 18、19世纪，概率论在理论和应用方面取得了很多成果，但发展缓慢。19世纪末，科学家们发现的一些概率论悖论。悖论的产生，违背了人类正确思维所遵循的基本规律。对素有严谨著称的数学，它实际上是一种荒诞的美，在荒诞中蕴含着真理，促使数学家们去思考，给人以启迪，给人以美感。其中最著名的是“贝特朗悖论”。1899年法国学者贝特朗(J. Bertrand)指出：在半径为R的圆内随机选择弦，计算弦长超过圆内接正三角形边长的概率，根据“随机选择”含义的不同解释，可以得到不同的答案。这类悖论反映出概率的概念是以某种确定的实验为前提，这种实验有时由问题本身所明确规定，有时则不然。悖论的出现，说明概率的理论基础尚不够完美协调。为了实现其理论的和谐美 [ 3 ] ，1900年夏，在世界数学家大会上，德国数学家希尔伯特(D. Hilbort)提出了建立概率公理系统的问题，引导了一批数学家投入了这方面的工作。这次概率发展史上的危机是由悖论而引起的，欲达到和谐，必先消除悖论。1933年原苏联数学家柯尔莫哥洛夫(A. Kolmgorov)的著作《概率论基础》正式出版，给出了概率公理化的完整结构，对于这一漂亮、优美的公理系统，深刻的体现了数学思维的和谐美。 2.3. 简约之美 爱因斯坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。 案例5：相关系数 线性相关系数刻画了两个随机变量之间的线性关系强弱，拥有着无可比拟的简洁美，主要体现在两个方面：首先数学表达上，相关系数的取值是−1到1之间的常数。如果相关系数为1，即完全正相关。如果相关系数为−1，即完全负相关。相关系数的绝对值越接近1，变量间的相关程度就越高；相关系数的绝对值越接近0，变量间的相关程度就越低。其次，相关系数的简约美体现在其不受变量量纲的影响。通过相关系数我们可以得到身高和体重之间的相关性，虽然它们的单位分别是米和千克。相关系数完成了一件非常神奇的事情：将大量芜杂无序、量纲不同的复杂数据加工成一个简洁、优雅的描述性数据。 美国哥伦比亚大学 张寿武 教授说：“我觉得数学最妙的地方是：正确是基于简单的理由，而不是复杂的理由。数学与科学和文学一样，能够留下来的东西是最简单的。”用相关系数描述随机变量之间的线性关系，异常简单，简单就会产生魅力，简单就可以大大地增加本身的存在价值。 2.4. 直觉形象之美 直觉思维是一种高度省略、简化、浓缩的方式洞察问题实质的思维，其主要特征是能在一瞬间迅速解决问题 [ 2 ] 。在概率学习中，我们常常能体验到这种美。 案例6：高尔顿钉板试验 经典的高尔顿钉板试验，是英国统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型，它的模型如图1。图中黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一 图1. 高尔顿钉板试验 层的两颗正中间。从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间的距离的小圆玻璃球，当小圆球向下降落过程中，碰到钉子后皆以1/2的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子。如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止。把许许多多同样大小的小球不断从入口处放下，当小球的数目足够大，小球落入各个格子中的频率趋于稳定。随着小球的数目逐渐增多，你的心灵会感到一种愉快的惊奇：逐渐增多的小球在底板堆成的形状越来越接近一条钟形曲线，即正态曲线(中间高，两头低，呈左右对称的古钟型)。经历了高尔顿钉板试验，借助直观图形，我们看到了秩序，看到了分明，看到了稳定，就是直觉思维的一个历程。这个思维历程给人形象且直观的美感。在体验这种美的同时，我们认识了正态分布、正态曲线的特点及曲线所表示的意义。 案例7：山羊和汽车 1991年1月31日，美国《Parade》杂志的M.塞望小姐主持的专栏刊登了如下题目：“有三扇门(如图2)，其中有一扇门的后面是一辆汽车，另两扇门的后面则是山羊。你可以猜一次，猜中羊可以牵走羊，猜中汽车可以开走汽车。现在假如你选了某扇门(例如1号门)，主持人把无车的一扇门打开(例如3号门)。此时，请问：你是否要换2号门？” [ 6 ] 答案无非是两种：换与不换。两种答案来源于两种直觉。一种直觉：这三扇门的后面有车的可能是一样的，都是1/3，所以不必换别的门。另一种直觉：车在1号门的概率是1/3，车在2号和3号门后面的概率是2/3。主持人既然把3号门打开了，那里没有车，所以2号门后面有车的概率是2/3，所以应该换。在这两种直觉思维火花的碰撞下，抓住契机，让学生分两组来试验。第一组玩100次这个游戏，坚持一开始的选择；第二组也玩100次此游戏，每次都在打开一扇有羊的门之后改变最初的选择。不论是选择换与不换的人，在试验过程中，都带着直觉的想象在寻找着真理。当一切顿悟，直觉之美散发出它特有的芬芳。 图2. 三门问题 2.5. 类比之美 在概率教学中经常会使用类比法。例如随机事件与集合的类比、离散型随机变量与连续型随机变量的类比等。 案例8：一维均匀分布与多维均匀分布(如下表)