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user: 2. 预备知识 令 H ( D ) 表示D上所有的全纯函数，那么Bloch空间的定义为： B = { f ( z ) ∈ H ( D ) ; ‖ f ‖ B = sup z ∈ D ( 1 − | z | 2 ) | f ( z ) ′ | < ∞ } 它是Banach空间且它的范数为； ‖ f ‖ B = | f | + | f | B ，详见文献 [ 12 ]，对于 α > 0 ，那么 α -Bloch空间的定义为： B α = { f ( z ) ∈ H ( D ) ; ‖ f ‖ B α = sup z ∈ D ( 1 − | z | 2 ) α | f ( z ) ′ | < ∞ } 关于 α -Bloch空间的更多性质我们可以在文献 [ 13 ] 中找到， 令 φ : [ 0 ， ∞ ) → [ 0 ， ∞ ) 是严格递增的凸函数，并且 φ ( 0 ) = 0 ， lim t → ∞ φ ( t ) = ∞ ，此时我们将Bloch-Orilicz空间 B φ 定义为： B φ = { f ( z ) ∈ H ( D ) ; ‖ f ‖ B φ = sup z ∈ D ( 1 − | z | 2 ) φ ( λ | f ( z ) ′ | ) < ∞ } 对于一些取决于f且大于0的 λ ， ‖ f ‖ φ = inf { k > 0 ， S φ ( f ′ k ) } ，其中 S φ ( f ′ k ) = sup z ∈ D ( 1 − | z | 2 ) φ ( | f ( z ) ′ | ) ，详见文献 [ 14 ]，类似于 α -Bloch空间的定义，我们将 γ -Bloch-Orilicz空间 B γ φ 定义为： B γ φ = { f ( z ) ∈ H ( D ) ; ‖ f ‖ B γ φ = sup z ∈ D ( 1 − | z | 2 ) γ φ ( λ | f ( z ) ′ | ) < ∞ } 其中 γ ， λ 取决于f且 γ ， λ > 0 ，该定义我们可以在文献 [ 15 ] 中找到。 令 φ ( t ) 为凸函数，则下列陈述成立； i) 若 s < 1 ， t > 0 ，那么 φ ( s t ) ≤ s φ ( t ) ； ii) 若 s > 1 ， t > 0 ，那么 φ ( s t ) ≥ s φ ( t ) ； iii) 若 s > 1 ， t > 0 ，那么 φ − 1 ( s t ) ≤ s φ − 1 ( t ) ，其中 φ − 1 是 φ 的逆函数。 若 0 < p < ∞ ，当f满足下列条件时，我们称 H p 为哈代空间。 H p = { f ( z ) ∈ H ( D ) : sup 0 ≤ r < 1 ( 1 2 π ∫ 0 2 π | f ( r e i φ ) | p d φ ) 1 p < ∞ } 当 p = ∞ 的情况我们可以参考文献 [ 16 ]。 如果函数 f ∈ H ( D ) ，当函数满足条件： sup z ∈ D | f ( z ) | < ∞ 时，那么我们称 f ∈ H ∞ ，显然 H ∞ 是由D上全体有界解析函数组成，令 0 < q < ∞ ，相应地加权哈代空间 H q ∞ 的定义为： H q ∞ = { f ( z ) ∈ H ( D ) : ‖ f ‖ H q ∞ = sup 0 ≤ r < 1 | f ( z ) | ( 1 − | z | 2 ) q < ∞ } 当 f ( z ) 满足条件时： p = inf { q > 0 ; f ( z ) ∈ H q ∞ } 那么我们说 f ∈ G p 空间，关于 G p 空间的更多知识我们可以详见文献 [ 17 ]。 接下来为我们来介绍单位圆D上的解析函数 f ( z ) 的级 σ M ( f ) 的定义为： σ M ( f ) = lim sup r → 1 − log + log + M ( r ， f ) log 1 1 − r 其中 M ( r ， f ) = max | z | = r | f ( z ) | 。 最后，我们来回顾 ε β 空间的定义。 设 f ( z ) ∈ H ( D ) ，存在 α ∈ ( 0 ， ∞ ) 使得 | f ( z ) | ≤ e α ( 1 − | z | ) β ，则 f ( z ) ∈ ε β 。 2003年，Chyzhykov等人在文献 [ 18 ] 中研究了方程 f ( k ) + A ( z ) f = 0 解的增长性，从他们的研究中我们知道了若系数 A ( z ) ∈ G p ，那么就有 σ M ( f ) ≤ p k − 1 。 后来，李和肖在文献 [ 8 ] 研究了高阶非齐次线性微分方程： f ( k ) + A ( z ) f = F ( z ) (2) 解与函数空间的性质，这是对文献 [ 2 ] 中结果的推广，在该文章中得到了如下的结论： 定理2：若方程(2)中的系数 A ( z ) ， F ( z ) 在D上解析且满足： | A ( z ) | ≤ α ( 1 − | z | ) β ， F ( z ) ∈ H p 其中 α > 0 ， β ≥ 0 是两个有限的常数。且 1 k ≤ p ≤ ∞ ，那么方程(2)解满足 i) 若 0 ≤ β < k ，那么 f ( z ) ∈ H ∞ ； ii) 若 β = k ，那么 f ( z ) ∈ H α k − 1 ∞ ； iii) 若 k < β < ∞ ，那么 f ( z ) ∈ ε β = k 。 根据以上结论，2020年，曾在文献 [ 19 ] 中再一次研究了方程(1)的解与函数空间的关系，得到了如下结论： 定理2.1.4：若方程(1)中的系数 A j ( j = 0 ， 1 ， ⋯ ， k − 1 ) ， F ( z ) 都是D上的解析函数且满足： | A j ( z ) | ≤ α ( 1 − | z | ) β − j ， F ( z ) ∈ H p 其中 α > 0 ， β ≥ 0 是两个有限的常数。且 1 k ≤ p ≤ ∞ ， f ( z ) 为方程(1)的任意非平凡解，那么以下结论成立 i) 若 0 ≤ β < k ，则 f ( z ) ∈ H ∞ ； ii) 若 β = k ，则 f ( z ) ∈ H q ∞ ，其中q只与 k ， α 及 β 有关； iii) 若 β > k ，则 f ( z ) ∈ ε β − k 。 定理2.1.6：设 A j ( j = 0 ， 1 ， ⋯ ， k − 1 ) ， F ( z ) 是D上的解析函数且满足 | A j ( z ) | ≤ α 1 ( 1 − | z | ) β 1 − j ， | F ( z ) | ≤ α 2 ( 1 − | z | ) β 2 其中 α i > 0 ( i = 1 ， 2 ) ， β 1 ≥ 0 以及 β 2 ≥ 0 是两个有限的常数。那么方程(1)的任意非平凡解f(z)满足 i) 若 0 ≤ β 1 < k 且 0 ≤ β 2 < k ，则 f ( z ) ∈ H ∞ ； ii) 若 0 ≤ β 1 < k 且 0 ≤ β 2 = k ，则 f ( z ) ∈ H q ∞ ； iii) 若 0 ≤ β 1 < k 且 β 2 > k ，则 f ( z ) ∈ H β 2 − k ∞ ； iv) 若 β 1 = k ，则对任意有限的 β 2 ，存在一个常数 q > 0 ，使得 f ( z ) ∈ H q ∞ ； v) 若 β 1 = k ，则对任意有限的 β 2 ，有 f ( z ) ∈ ε β 1 − k 。