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user: 2. 有限体积元格式 2.1. 空间有限体积元半离散 问题(1.1)的变分形式为，对每一个t，寻求 u ( x ， t ) ∈ H 0 1 ( I ) ，使得 { ( u t ， v ) + a ( u ， v ) + ( f ( u ) ， v ) − ( g ， v ) = 0 ，                             ∀ v ∈ H 0 1 ( I ) ， u ( x ， 0 ) = φ ( x ) ， (2.1) 其中 H 0 1 ( I ) = { v ( x ， t ) | v ( x ， t ) ∈ H 1 ( I ) ， I = [ a ， b ] ， v ( a ， t ) = v ( b ， t ) = 0 } ， t ∈ [ 0 ， T ] ， a ( u ， v ) = ∫ a b p u x v x d x   . (2.2) 对区间 I = [ a ， b ] 作如下剖分： 设单元 I j = [ x j − 1 ， x j ] ，每个单元的中点记为 x j − 1 / 2 = ( x j + x j − 1 ) / 2 ，步长 ， h = max 1 ≤ j ≤ n h j ， 并假设剖分 J h 是拟一致的，即存在常数 C > 0 使得 h ≤ C h j ，另外设 I 0 ∗ = [ x 0 ， x 1 / 2 ] ， I i ∗ = [ x i − 1 / 2 ， x i + 1 / 2 ] ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 ) ， I n ∗ = [ x n − 1 / 2 ， x n ] ，那么所有的 I i ∗ ( i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n ) 构成 J h 的对偶剖分 J h * ，每个 I i ∗ ( i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n ) 也称为体积控制元.设基于剖分 J h 的试探函数空间为 U h = { u | u ∈ C ( I ) ， u 在 每 个 单 元 为 线 性 多 项 式 } ， 对每个t， u ( x ， t ) 在节点 x j 上的基函数为： ϕ j ( x ) = { x − x j − 1 h j ，       x ∈ I j ， x j + 1 − x h j + 1 ， x ∈ I j + 1 ， 0 ，         其 他 ，                                         j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 ， 设基于对偶剖分 J h * 的函数空间 V h 的为分片常数空间，对每个t， u ( x ， t ) 在节点 x j 上的基函数为： φ j ( x ) = { 1 ，       x ∈ I j ∗ ， 0 ，         其 他 ，                                   j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 ， 对每个t，我们再定义插值算子 I h : C ( I ) → U h ， v ( x ， t ) ↦ ∑ j = 1 n − 1 v ( x j ， t ) ϕ j ( x ) ，和插值算子 I h * : C ( I ) → V h ， v ( x ， t ) ↦ ∑ j = 1 n − 1 v ( x j ， t ) φ j ( x ) 。则问题(1.1)的插值系数线性有限体积元解 u h ( x ， t ) ∈ U h 满足 ( u h ， t ( x ， t ) ， I h * v h ) + a ( u h ( x ， t ) ， I h * v h ) + ( I h f ( u h ( x ， t ) ) ， I h * v h ) − ( g ( x ， t ) ， I h * v h ) = 0     ，     ∀ v h ∈ U h ， (2.3) 这里 u h ( x ， t ) ， I h f ( u h ( x ， t ) ) 分别为 u h ( x ， t ) = ∑ j = 1 n − 1 u h ( x j ， t ) ϕ j ( x ) = ∑ j = 1 n − 1 u j ( t ) ϕ j ( x ) ， I h f ( u h ( x ， t ) ) = ∑ j = 1 n − 1 f ( u h ( x j ， t ) ) ϕ j ( x ) = ∑ j = 1 n − 1 f ( u j ( t ) ) ϕ j ( x ) ， 其中 u j ( t ) = u h ( x j ， t ) ， f ( u j ( t ) ) = f ( u h ( x j ， t ) ) 。则式(2.3)可以等价的表示为 ( u h ， t ( x ， t ) ， φ j ) + a ( u h ( x ， t ) ， φ j ) + ( I h f ( u h ( x ， t ) ) ， φ j ) − ( g ( x ， t ) ， φ j ) = 0 ，     j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 ， (2.4) 即 ∫ x j − 1 / 2 x j + 1 / 2 u h ， t d x = ∫ x j − 1 / 2 x j + 1 / 2 ( p u h ， x ) x d x + ∫ x j − 1 / 2 x j + 1 / 2 I h f ( u h ) d x + ∫ x j − 1 / 2 x j + 1 / 2 g ( x ， t ) d x ，               j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 ，       (2.5) 其中 u h ， t = ∂ u h ( x ， t ) ∂ t ， u h ， x = ∂ u h ( x ， t ) ∂ x 。注意到 u 0 ( t ) = u h ( a ， t ) = 0 ，且 u n ( t ) = u h ( b ， t ) = 0 ，(2.5)得到如下计 算格式： { 3 8 ( h 1 + h 2 ) u ′ 1 ( t ) + 1 8 h 2 u ′ 2 ( t ) + ( p 1 / 2 h 1 + p 3 / 2 h 2 ) u 1 ( t ) − p 3 / 2 h 2 u 2 ( t )       + 3 8 ( h 1 + h 2 ) f ( u 1 ( t ) ) + 1 8 h 2 f ( u 2 ( t ) ) = g 1 ( t ) + 1 8 h 1 f 0 ， 1 8 h j u ′ j − 1 ( t ) + 3 8 ( h j + h j + 1 ) u ′ j ( t ) + 1 8 h j u ′ j + 1 ( t ) − p j − 1 / 2 h j u j − 1 ( t ) + ( p j − 1 / 2 h j + p j + 1 / 2 h j + 1 ) u j ( t )       − p j + 1 / 2 h j + 1 u j + 1 ( t ) + 1 8 h j f ( u j − 1 ( t ) ) + 3 8 ( h j + h j + 1 ) f ( u j ( t ) ) + 1 8 h j f ( u j + 1 ( t ) ) = g j ( t ) ，             j = 2 ， ⋯ ， n − 2 ， 1 8 h n − 1 u ′ n − 2 ( t ) + 3 8 ( h n − 1 + h n ) u ′ n − 1 ( t ) − p n − 3 / 2 h n − 1 u n − 2 ( t ) + ( p n − 3 / 2 h n − 1 + p n − 1 / 2 h n ) u n − 1 ( t )       − 1 8 h n − 1 f ( u n − 2 ( t ) ) + 3 8 ( h n − 1 + h n ) f ( u n − 1 ( t ) ) = g n − 1 ( t ) + 1 8 h n f n ， (2.11) 其中 f 0 = f ( u h ( x 0 ， t ) ) = f ( u ( a ， t ) ) = f ( 0 ) ， f n = f ( u h ( x n ， t ) ) = f ( u ( b ， t ) ) = f ( 0 ) . g j ( t ) = ∫ x j − 1 / 2 x j + 1 / 2 g ( x ， t ) d x ，   j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 ， 如下向量记号： u ( t ) = ( u 1 ( t ) u 2 ( t ) u 3 ( t ) ⋯ u n − 1 ( t ) ) T ， u ˙ ( t ) = ( u ′ 1 ( t ) u ′ 2 ( t ) u ′ 3 ( t ) ⋯ u ′ n − 1 ( t ) ) T ， F ( u ) = ( f ( u 1 ( t ) ) f ( u 2 ( t ) ) f ( u 3 ( t ) ) ⋯ f ( u n − 1 ( t ) ) ) T ， G = ( g 1 ( t ) + 1 8 h 1 f ( 0 ) g 2 ( t ) g 3 ( t ) ⋯ g n − 1 ( t ) + 1 8 h n f ( 0 ) ) T 相应的 u ˙ ( t ) ， u ( t ) 系数矩阵记为 A ， B ，则式(2.11)用矩阵表示为： A u ˙ ( t ) + B u ( t ) + A F ( u ) − G ( t ) = 0 . (2.12) 另记 则方程(1.1)在空间上用线性有限体积元方法离散，得到如下的 关于t的一阶常微分方程组 { A u ˙ ( t ) + B u ( t ) + A F ( u ( t ) ) − G ( t ) = 0 ， u ( 0 ) = α 0 . (2.13) 2.2. 时间差分全离散 在式(2.13)中，由于 A 是严格对角占优矩阵，故 A 可逆，则式(2.13)可化为 (2.14) 将时间区域 J = [ 0 ， T ] 分成N等分，节点为 t k = t 0 + i Δ t ，步长为 Δ t = T / N ，将式(2.14)在节点 处离散化，对充分光滑的解 u ( t ) ，利用向后差分可得 { u ( t k ) − u ( t k − 1 ) Δ t + A − 1 B u ( t k ) + F ( u ( t k ) ) − A − 1 G ( t k ) = 0 ， u ( 0 ) = α 0 . (2.17) 即得到单步隐式格式： { M u ( k ) + Δ t F ( u ( k ) ) − Δ t A − 1 G = u ( k − l ) ， u ( 0 ) = α 0 . (2.18) 其中 M = I + Δ t A − 1 B ， ， k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， N 。在式(2.18)中，令 H ( u ( k ) ) = M u ( k ) + Δ t F ( u ( k ) ) − Δ t A − 1 G ( k ) − u ( k − l ) ， (2.19) 则式(2.18)可化为 (2.20) 利用Newton迭代法可得 u ( k ) ， ( l + 1 ) = u ( k ) ， ( l ) − D H − 1 ( u ( k ) ， ( l ) ) H ( u ( k ) ， ( l ) ) ， k = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， N ， (2.21) 这里的 u ( k ) ， ( l ) 表示 的第l次迭代， D H ( u ( k ) ， ( l ) ) 表示对矩阵 求导， D H − 1 ( u ( k ) ， ( l ) ) 表示 的逆矩阵，对式(2.19)求导可得 D H ( u ) = M + Δ t F ′ ( u ) ， (2.22) 其中 F ′ ( u ) = [ f ′ ( u 1 ) 0 ⋯ 0 0 f ′ ( u 2 ) ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ f ′ ( u n − 1 ) ] . 利用(2.21)式，就可得到方程(1.1)的数值解。