system: [SYSTEM]

user: 4. 风险加和的VaR最小值问题 4.1. 问题相关定义和引理 4.1.1. 质量函数 质量函数是每个点上的质量，这类似于密度函数，与密度函数唯一不同的是质量函数不要求其和为1。 4.1.2. 引理 S N d 上的一个质量函数A满足质量递减，且重心为0，则A一定是 阶可混合的。其中 S N d = { − N ， ⋯ ， − 1 ， 0 ， 1 ， ⋯ ， d N } 表示的是质量函数A的点集， ， S N d 中有 ( d + 1 ) N + 1 个点。 引理的证明见文献 [ 8 ] 。 4.1.3. 推论 假设分布P概率密度函数p(x)在 [ a ， b ] 是单调的，并且在 [ a ， b ] 之外的地方 p ( x ) = 0 ，如果p(x)是单调 递增的，并且有 E ( X ) ≤ b − 1 n ( b − a ) ；如果p(x)是递减的，并且有 E ( X ) ≥ a + 1 n ( b − a ) ，则P对于任意大 于等于n可混合。 4.1.4 m i n V a R α ( S ) 或 m a x V a R α (S) X 1 ， ⋯ ， X n ~ F ˜ (n为正整数)，密度函数为p(x)在区间 [ 0 ， 1 ] 上，在区间 [ 0 ， 1 ] 以外有 p ( x ) = 0 ， X 1 ， ⋯ ， X n 相依结构未知， S = X 1 + ⋯ + X n ，在置信度为 α 时，能否使得 VaR α ( S ) 最小或最大，使得下式成立的相依结构是什么？ min VaR α ( S ) 或 max VaR α (S) 因为我们考虑的是VaR，只需要将区间 [ 0 ， α ] 上的值进行搭配，而不需要考虑区间 [ α ， 1 ] 上的值，所以后续讨论我们只针对区间 [ 0 ， α ] 进行讨论，并记此区间上的随机变量的分布函数为F (具体只需进行归一化即可)，因此在新的分布下，上述问题等价于 min VaR 1 ( S ) 。 我们首先考虑p(x)单调递减，当 n = 1 ， 2 时，分布F的密度函数p(x)在区间 [ 0 ， 1 ] 上单调递减，其期望 μ ( F ) ≤ 1 2 。当 n = 1 时满足条件的分布F是不存在的。当 n = 2 时，满足条件的分布只有均匀分布 F = U [ 0 ， 1 ] ， 根据上述完全混合的例子中可以看出，这是2阶可混合的。 当 n ≥ 3 时，首先令 S N = { − N / N ， ( − N + 1 ) ， ⋯ ， ( d N − 1 ) / N ， d N / N } ，在 [ − 1 ， d ] 上 Y ~ F ，其均值为0，密度函数单调递减。令 F ¯ N 为[NY]/N的分布函数，其中[NY]为NY的整数部分，{NY}表示NY的小数部分， F ^ N 为 S N 上的离散均匀分布的分布函数。由于 μ ( F ¯ N ) = E ( [ N Y ] / N ) = E ( ( N Y − { N Y } ) / N ) = E ( Y − { N Y } / N ) = E ( Y ) − E ( { N Y } / N ) = − E ( { N Y } / N ) 且 { N Y } N ∈ [ − 1 N ， 0 ] ，所以其期望也在 [ − 1 N ， 0 ] 之间，因此 μ ( F ¯ N ) ∈ [ − 1 N ， 0 ] 。 由于 F ^ N 服从 S N 上的离散均匀分布，因此其均值为： μ ( F ^ N ) = d − 1 2 因为 d ≥ 2 ，即 n ≥ 3 ，所以上式 μ ( F ^ N ) ≥ 1 2 。 接下来，我们想寻找一个 0 ≤ λ N ≤ 2 N ，构造一个 和 F ¯ N 的组合，使组合的期望为0，取 λ N = − μ ( F ¯ N ) d − 1 2 − μ ( F ¯ N ) 构造函数 F N = ( 1 − λ N ) F ¯ N + λ N F ^ N ，则 μ ( F N ) = 0 ，且 F N 在 S N 上递减，因而 F N 可 d + 1 阶可混合。 当 N → ∞ 时，根据完全混合的收敛性知， F N 依分布收敛于F，且F是 d + 1 阶可混合的。 根据完全混合的仿射不变性，我们可以得到当密度函数p(x)在区间 [ 0 ， 1 ] 上单调递减，在区间 [ 0 ， 1 ] 以 外有 p ( x ) = 0 ，且 μ ( F ) ≥ 1 n 时F可n阶完全混合。 由于当X的密度单调递增时，−X的密度则单调递减，若X可完全混合，由完全混合仿射不变性可知，−X也可以完全混合，故密度函数单调递增也可完全混合。 当 μ ( F ) < 1 n 时，无法构成完全混合结构，我们考虑以下的结构： 当均值条件不满足时，这说明中心偏左，最大值即使用最小的来进行调和也无法达到均值，于是我们考虑将最大的与( n − 1 )个最小的匹配，即 VaR 1 − t 配( )个 VaR ( n − 1 ) t ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ，直到 [ c ， 1 − ( n − 1 ) c ] 区间内能够混合。下面我们给出该相关结构： 随机向量( X 1 ， ⋯ ， X n )具有一致的边际分布，则分布函数的联合分布(copula)为 [ 0 ， 1 ] n 上的均匀分布，即 ( U 1 ， ⋯ ， U n ) ~ Q n F ，其中 Q n F 为copula结构，它满足： 当密度函数递增时： (a) 对每一个 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，给定 U i ∈ [ 0 ， c ] ，我们有 U j = 1 − ( n − 1 ) U i ，   ∀ j ≠ i ； (b) 对于所有的 U i ∈ [ c ， 1 − ( n − 1 ) c ] ， F − 1 ( U 1 ) + ⋯ + F − 1 ( U n ) 是一个常数。 令 Q n F = Q n F ( c n ) ，其中 c n 为copula Q n F 满足(a) (b)条件存在的所有c中的最小值，并且 c n = 0 当且仅当F是n阶完全混合的。定义 H ( x ) = F − 1 ( x ) + ( n − 1 ) F − 1 ( 1 − ( n − 1 ) x ) ，则有 c n = min { c ∈ [ 0 ， 1 n ] : ∫ c 1 n H ( t ) d t ≤ ( 1 n − c ) H ( c ) } 当密度函数递减时： (c) 对每一个 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，给定 U i ∈ [ 1 − c ， 1 ] ，我们有 U j = ( n − 1 ) ( 1 − U i ) ，   ∀ j ≠ i ； (d) 对于所有的 U i ∈ [ ( n − 1 ) c ， 1 − c ] ， F − 1 ( U 1 ) + ⋯ + F − 1 ( U n ) 是一个常数。 由于当X的密度单调递减时，−X的密度则单调递增，所以F的性质与密度递增时类似，定义 H ( x ) = ( n − 1 ) F − 1 ( ( n − 1 ) x ) + F − 1 ( 1 − x ) ，则有 c n = min { c ∈ [ 0 ， 1 n ] : ∫ c 1 n H ( t ) d t ≥ ( 1 n − c ) H ( c ) } 下面我们对该结构的存在性进行证明。由于密度函数单调递增时和单调递减时类似，所以我们只针对密度函数单调递增的情况进行证明。 首先我们令 U 1 ， ⋯ ， U n ~ U ( [ 0 ， c ] ∪ [ 1 − ( n − 1 ) c ， 1 ] ) 使得 U 1 ， ⋯ ， U n 的联合分布均匀的分布在每个线段 U j = 1 − ( n − 1 ) U i ，   ∀ j ≠ i ，   U i ∈ [ 0 ， c ] 。通过4.1.3推论可知存在 Z 1 ， ⋯ ， Z n ~ U [ c ， 1 − ( n − 1 ) c ] 使得 F − 1 ( U 1 ) + ⋯ + F − 1 ( U n ) 是一个常数，因为 F − 1 ( U i ) 的密度单调递增，并且由 ∫ c 1 n H ( t ) d t ≤ ( 1 n − c ) H ( c ) 可知， E ( F − 1 ( Z 1 ) ) ≤ F − 1 ( c ) + n n − 1 [ F − 1 ( 1 − ( n − 1 ) c ) − F − 1 ( c ) ] 令随机变量U是均匀分布，且与( U 1 ， ⋯ ， U n ， Z 1 ， ⋯ ， Z n )相互独立，且 X i = 1 { U < n c } Y i + 1 { U ≥ n c } Z i ，则 X i ~ U ， i = 1 ， ⋯ ， n 。 X 1 ， ⋯ ， X n 的联合分布满足性质(a) (b)，这表明 Q n F 是存在的。 特别地，当n = 2时，如何得到 min 或 max VaR α ( X 1 + X 2 ) ? 当两个随机变量加和时求其最大最小值思路是比较容易想的，因为我们想要让该组合的分位数较小，应该考虑在取值一定的情况下，让他们的加和尽可能的集中，当所有的组合都集中于一点时， VaR α ( X 1 + X 2 ) 达到了最小，那什么样的相关结构能使他们集中于一点呢？就是反单调的时候，相关结构如图1所示。 对应上述图1中相依结构的表达式为： y = { 1 + α − x ，       x > α α − x ，                 x ≤ α 该相依结构同时达到了 VaR α ( X 1 + X 2 ) 的最大值和最小值，若取 α = 0.95 ，则其最大值为1.95，最小值为0.95。 图1. 两随机变量反单调的相关结构 二维情况下比较容易计算VaR的最值，但在多维的情况下就没有那么容易了，具体的计算请参考文献 [ 9 ] 。