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user: 2. 力学模型的建立及求解 2.1. 三维弯曲井眼中管柱的几何描述 管柱在井筒中常因外力发生失稳，出现正弦或螺旋的屈曲变形 [ 4 ] ，导致其轴线与井眼轨迹不再重合或平行。如图1所示，在法平面 O n → o b → o 上，管柱轴线上C点相对于井眼轴线上的O点，有一偏离主法线 n → o 的偏转角 θ 。假定弯曲失稳后管柱始终与井壁保持连续接触，则C点在以O点为圆心、半径为r的圆上，即： r = r w − r u o (1) 或 r → = r → o − r cos θ n → o + r sin θ b → o (2) 式中：r w 为井眼半径，m；r uo 为管柱外半径，m； r → o 为井眼轴线上O点的矢径，m； θ 为偏转角，(˚)； n → o 为主法线单位矢量，1； b → o 为次法线单位矢量，1。 图1. 井下管柱的几何描述 2.2. 管柱受力分析 管柱微元ds在井筒中的受力如图2所示。在单位长度上分布的外力矢量有： ① 管柱自重 q k → ，N/m (其中，q为管柱重量，N/m； k → 为竖直方向的单位矢量，1)。 ② 弯曲管柱与井壁之间的接触正压力 N ，N/m。 ③ 流体黏滞摩阻力 ( f u i + f u o ) τ → o ，N/m (其中，f ui 、f uo 分别为管柱内、外的流体流动摩阻力，N/m； τ → o 为井眼轴线的切向单位矢量，1)。 ④ 管柱与井壁之间的轴向摩擦力 f → f 1 = − f 1 N τ → o ，N/m (其中，f 1 为管柱与井壁之间的轴向摩擦系数，1)。 ⑤ 环向摩擦力 f → f 2 = − f 2 N ( cos θ n → o − sin θ b → o ) ，N/m (其中，f 2 为管柱与井壁之间的环向摩擦系数，1)。 管柱微元体内、外侧壁上的流体压力为p i (s)、p o (s)，Pa；其静力等效作用相当于分别在s和s + ds截面处作用有一对轴向压缩载荷(p i (s)A i 、p o (s + ds)A i )、拉伸载荷(p o (s)A o 、p o (s + ds)A o )和一个分布载荷( d F → i 、 d F → o )。其中，A i 、A o 分别为管柱的内、外圆截面积，m 2 。 管柱微元在以上外力及内、外流体压力的作用下处于平衡状态，有平衡方程： F → ( s ) − F → ( s + d s ) + [ p i ( s ) A i − p o ( s ) A o ] τ → o ( s ) + d F → i ( s ) + d F → o ( s ) + f → ( s ) d s + [ p o ( s + d s ) A o − p i ( s + d s ) A i ] τ → o ( s + d s ) = 0 (3) 图2. 微元体受力示意图 化简，得： d [ F → ( s ) + p i ( s ) A i τ → o − p o ( s ) A o τ → o ] d s = d F → i ( s ) d s + d F → o ( s ) d s + f → ( s ) (4) 引入等效力： F → e ( s ) = F → ( s ) + [ p i ( s ) A i − p o ( s ) A o ] τ → o (5) 则 d F → e ( s ) d s = f → ( s ) + d F → i ( s ) d s + d F → o ( s ) d s (6) 将单位长度上的外力代入式(6)，并沿 τ → o 投影，得管柱轴向力的平衡微分方程： d F → e τ ( s ) d s = f u o − f 1 N + q cos φ + ρ i g A i cos φ − ρ o g A o cos φ + ( f u o + f u w ) A o A h (7) 式中： f → ( s ) 为单位管柱所受外力，N/m； F → e ( s ) 为等效力，N； F → e τ ( s ) 为等效力沿 τ → o 的投影分量，N； F → e ( s ) 、 F → ( s + d s ) 分别为微元两端面的内力矢量，N；f uw 为井壁摩阻，N/m；A h 为环空面积，m 2 ； φ 为井斜角，(˚)；ρ i 和ρ o 分别为管柱内、外流体的密度，kg/m 3 。 2.3. 轴力计算 将总长为L的油管柱划分为n段，并从底端开始排列序号：0，1，…，n。根据方程(7)，利用差分方法可以确定j+1节点处的轴力为： F e τ ， j + 1 = F e τ ， j − [ q e ， j cos φ j + f u o ， j ( A h ， j + A o ， j ) + f u w ， j A o ， j A h ， j − f 1 N j ] Δ s j (8) j节点处的真实轴力为： F e τ ， j + 1 = F e τ ， j − p i ， j A i ， j + p o ， j A o ， j (9) 节点j处管柱受到的正压力按下式计算： N j = n j f n ， j (10) 其中： f n ， j = { [ F e τ ， j ( d φ d s ) j + q e ， j sin φ j ] 2 + [ F e τ ， j sin φ j ( d ψ d s ) j ] 2 } 1 / 2 (11) 式中： F e τ ， j 、 F e τ ， j + 1 为第j个节点和第j + 1个节点的轴力，N；Δs j 为管柱微元长度，m；q e，j 为管柱的等效线重，N/m；ψ为方位角，(˚)。 系数n j 随无量纲轴力β j 的取值不同，井下管柱处于不同的平衡状态：当β j < l时，管柱处于稳定状态；当1 < β j < 1.449时，管柱处于正弦屈曲状态；当β j > 1.449时，管柱处于螺旋屈曲状态 [ 5 ] 。 n j = { 1 β j ≤ 1 1 + 4 11 ( β j − 1 ) + 84 121 ( β j − 1 ) 2 1 < β j ≤ 1.449 β j 2 β j > 1.449 (12) 其中， β j = F e τ ， j 2 ( r j E j I j f n ， j ) 1 / 2 式中：E j 为节点j处管柱的弹性模量，Pa；I j 为节点j处的极惯性矩，m 4 ；r j 为节点j处的半径，m。 2.4. 边界条件 利用式(8)自下而上迭代计算管柱上各点的轴向力时，需首先确定管柱底端及封隔器处的边界条件。 2.4.1. 力边界条件 封隔器坐封时的受力情况如图3所示。封隔器随管柱下到预定位置后，投球封闭管柱下端，第一次加压使封隔器的卡瓦张开锚定在套管内壁上(图3(a))，有： F e ， 0 = F o − p o A p o + p i A p i = 0 (13) 在管柱下入过程中，管柱端部不封闭，则 p i = p o ，有： F e ， 0 = F o − p i ( A p o − A p i ) = 0 (14) 式中：F e ，0 为一次憋压封隔器受力，N；A o 、A i 分别为与封隔器相接的作业管柱的内、外横截面积，m 2 ；A po 、A pi 分别为封隔器密封筒的内、外横截面积，m 2 ； F o 为封隔器上部受到的真实轴力，N；p o 、p i 分别为管柱内、外流体压力，Pa。 当封隔器坐封后，油管内压力变化(二次憋压)引起的管柱变形已经受到限制，封隔器组(包括卡瓦、水力锚、胶筒等)将对封隔器密封筒产生作用力(图3(b))，则 F e ， 1 = F e ， 0 + F p (15) 在酸压、生产过程中，封隔器处的受力如图3(c)所示，有： F e ， 0 = F p + ( p i − p o ) A p o (16) 式中：F e ，1 为二次憋压封隔器受力，N；F p 为封隔器作用力，N。 由式(11)~(14)可以看出，在封隔器坐封前及一次憋压过程中，等效力为0，管柱不会发生屈曲，在生产和酸压过程中，等效轴力考虑了“虚构力” ( p i − p o ) A p o ，当内压远大于外压时，在管柱下部可能发生屈曲变形。另外，由于F p 未知，需根据封隔器处的位移边界条件来确定。 图3. 封隔器坐封时的受力 2.4.2. 位移边界条件 封隔器坐封后，由于二次憋压、酸压或生产过程中温度、压力的变化，封隔器上方的管柱变形发生变化，引起封隔器处管柱的位移。对于带插管或只带卡瓦的封隔器管柱，管柱只能上移，但不能下移；对于不能移动的封隔器，该处的管柱被固定。这些被限制的位移都将转化为各工况下封隔器的作用力。因此，以坐封状态为基准计算管柱的变形变化量，记为： Δ L ( s ) = L 1 ( s ) + L 2 ( s ) + L 3 ( s ) + L 4 ( s ) − L 0 (17) 式中：L 0 为坐封后初始状态的管柱长度，m；L 1 (s)为坐封后酸压、生产等工况下轴力产生的轴向变形，m；L 2 (s)为管柱弯曲产生的轴向变形，m；L 3 (s)为管柱内外压产生的轴向变形，m；L 4 (s)为温度产生的轴向变形，m。 封隔器对油管的作用力F p 按下面步骤进行迭代计算： 1) 假设封隔器作用力F p 为0，根据公式 Δ L ( s ) = Δ L 1 ( s ) + Δ L 2 ( s ) + Δ L 3 ( s ) + Δ L 4 ( s ) 计算轴向变形变化总量，此时 Δ L ( s ) 不等于0。 2) 由于台阶存在，这个变形变化量 Δ L 实际上是不可能发生的(图4)，令 F p = E ( A o − A i ) Δ L ( s ) L 0 。 图4. 封隔器上方管柱的变形示意图 3) 重新计算 Δ L ( s ) 。 4) 若 Δ L ( s ) 不等于0，修正 F p 为 F p + E ( A o − A i ) Δ L ( s ) L 0 。 5) 重复步骤3)、4)，直至 Δ L ( s ) = 0 ，输出F p 。