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user: 5. 举例 根据相似构造法的步骤，求解下列边值问题( a 1 = 1 3 ， b 1 = 1 4 ， c 1 = 1 2 ; a 2 = 1 4 ， b 2 = 1 5 ， c 2 = 1 2 ; α = 1 5 ， θ = 1 3 ， β = 1 2 ， e = 2 ， f = 3 ， Q = 2 ， λ = μ = 1 ， G = 2 ， H = 3 )： { x ( 1 − x ) y ″ 1 + ( 1 2 − 19 12 x ) y ′ 1 + 1 12 y 1 = 0 ，   1 5 < x < 1 3 x ( 1 − x ) y ″ 2 + ( 1 2 − 29 20 x ) y ′ 2 + 1 20 y 2 = 0 ，   1 3 < x < 1 2 [ 2 y 1 + 7 y ′ 1 ] | x = 1 5 = 2 y 1 | x = 1 3 = y 2 | x = 1 3 y ′ 1 | x = 1 3 = y ′ 2 | x = 1 3 [ 2 y 2 + 3 y ′ 2 ] | x = 1 2 = 0 (24) 第一步由方程 x ( 1 − x ) y ″ 1 + ( 1 2 − 19 12 x ) y ′ 1 + 1 12 y 1 = 0 ， ( 1 5 < x < 1 3 ) 的两个线性无关的解，作引解函数 φ 0 ， 0 1 ( x ， ξ ) = ξ 1 2 F ( 1 3 ， 1 4 ， 1 2 ， x ) F ( 5 6 ， 3 4 ， 3 2 ， ξ ) − x 1 2 F ( 5 6 ， 3 4 ， 3 2 ， x ) F ( 1 3 ， 1 4 ， 1 2 ， ξ ) φ 1 ， 0 1 ( x ， ξ ) = 1 6 ξ 1 2 F ( 4 3 ， 5 4 ， 3 2 ， x ) F ( 5 6 ， 3 4 ， 3 2 ， ξ ) − 1 2 x − 1 2 F ( 5 6 ， 3 4 ， 3 2 ， x ) F ( 1 3 ， 1 4 ， 1 2 ， ξ )   − 5 12 x 1 2 F ( 11 6 ， 7 4 ， 5 2 ， x ) F ( 1 3 ， 1 4 ， 1 2 ， ξ ) φ 0 ， 1 1 ( x ， ξ ) = 1 2 ξ − 1 2 F ( 1 3 ， 1 4 ， 1 2 ， x ) F ( 5 6 ， 3 4 ， 3 2 ， ξ ) + 5 12 ξ 1 2 F ( 1 3 ， 1 4 ， 1 2 ， x ) F ( 11 6 ， 7 4 ， 5 2 ， ξ )   − 1 6 x 1 2 F ( 5 6 ， 3 4 ， 3 2 ， x ) F ( 4 3 ， 5 4 ， 3 2 ， ξ ) φ 1 ， 1 1 ( x ， ξ ) = 1 12 ξ − 1 2 F ( 4 3 ， 5 4 ， 3 2 ， x ) F ( 5 6 ， 3 4 ， 3 2 ， ξ ) + 5 72 ξ 1 2 F ( 4 3 ， 5 4 ， 3 2 ， x ) F ( 11 6 ， 7 4 ， 5 2 ， ξ )   − 1 12 x − 1 2 F ( 5 6 ， 3 4 ， 3 2 ， x ) F ( 4 3 ， 5 4 ， 3 2 ， ξ ) − 5 72 x 1 2 F ( 11 6 ， 7 4 ， 5 2 ， x ) F ( 4 3 ， 5 4 ， 3 2 ， ξ ) 由方程 x ( 1 − x ) y ″ 2 + ( 1 2 − 29 20 x ) y ′ 2 + 1 20 y 2 = 0 ， ( 1 3 < x < 1 2 ) 的两个线性无关的解，作引解函数 φ 0 ， 0 2 ( x ， ξ ) = ξ 1 2 F ( 1 4 ， 1 5 ， 1 2 ， x ) F ( 3 4 ， 7 10 ， 3 2 ， ξ ) − x 1 2 F ( 3 4 ， 7 10 ， 3 2 ， x ) F ( 1 4 ， 1 5 ， 1 2 ， ξ ) φ 1 ， 0 2 ( x ， ξ ) = 1 10 ξ 1 2 F ( 5 4 ， 6 5 ， 3 2 ， x ) F ( 3 4 ， 7 10 ， 3 2 ， ξ ) − 1 2 x − 1 2 F ( 3 4 ， 7 10 ， 3 2 ， x ) F ( 1 4 ， 1 5 ， 1 2 ， ξ )   − 7 20 x 1 2 F ( 7 4 ， 17 10 ， 5 2 ， x ) F ( 1 4 ， 1 5 ， 1 2 ， ξ ) φ 0 ， 1 2 ( x ， ξ ) = 1 2 ξ − 1 2 F ( 1 4 ， 1 5 ， 1 2 ， x ) F ( 3 4 ， 7 10 ， 3 2 ， ξ ) + 7 20 ξ 1 2 F ( 1 4 ， 1 5 ， 1 2 ， x ) F ( 7 4 ， 17 10 ， 5 2 ， ξ )   − 1 10 x 1 2 F ( 3 4 ， 7 10 ， 3 2 ， x ) F ( 5 4 ， 6 5 ， 3 2 ， ξ ) φ 1 ， 1 2 ( x ， ξ ) = 1 20 ξ − 1 2 F ( 5 4 ， 6 5 ， 3 2 ， x ) F ( 3 4 ， 7 10 ， 3 2 ， ξ ) + 7 200 ξ 1 2 F ( 5 4 ， 6 5 ， 3 2 ， x ) F ( 7 4 ， 17 10 ， 5 2 ， ξ ) − 1 20 x − 1 2 F ( 5 4 ， 6 5 ， 3 2 ， ξ ) F ( 3 4 ， 7 10 ， 3 2 ， x ) − 7 200 x 1 2 F ( 7 4 ， 17 10 ， 5 2 ， x ) F ( 5 4 ， 6 5 ， 3 2 ， ξ ) 第二步由 φ i ， j 2 ( x ， ξ ) ， ( i ， j = 0 ， 1 ) 及右边值条件 [ 2 y 2 + 3 y ′ 2 ] | x = 1 2 = 0 的系数，生成右相似核函数： Φ * ( x ) = 2 φ 0 ， 0 2 ( x ， 1 2 ) + 3 φ 0 ， 1 2 ( x ， 1 2 ) 2 φ 1 ， 0 2 ( 1 3 ， 1 2 ) + 3 φ 1 ， 1 2 ( 1 3 ， 1 2 ) ， ( 1 3 < x < 1 2 ) (25) 第三步由 φ i . j 1 ( x ， ξ ) ， ( i ， j = 0 ， 1 ) ， Φ * ( θ ) 及交界点的衔接条件 y 1 | x = 1 3 = y 2 | x = 1 3 ， y ′ 1 | x = 1 3 = y ′ 2 | x = 1 3 的系数，生成 左相似核函数： Φ ( x ) = Φ * ( 1 3 ) φ 0 ， 1 1 ( x ， 1 3 ) − φ 0 ， 0 1 ( x ， 1 3 ) Φ * ( 1 3 ) φ 1 ， 1 1 ( 1 5 ， 1 3 ) − φ 1 ， 0 1 ( 1 5 ， 1 3 ) ， ( 1 5 < x < 1 3 ) (26) 第四步由左边值条件 [ 2 y 1 + 7 y ′ 1 ] | x = 1 5 = 2 的系数和 Φ ( x ) ， Φ ( α ) 组装可得左区( 1 5 < x < 1 3 )解： y 1 = 2 1 2 + 1 3 + Φ ( 1 5 ) 1 3 + Φ ( 1 5 ) Φ ( x ) (27) 和右区( 1 3 < x < 1 2 )解： y 2 = Q 1 2 + 1 3 + Φ ( 1 5 ) 1 3 + Φ ( 1 5 ) φ 0 ， 1 1 ( 1 3 ， 1 3 ) Φ * ( 1 3 ) φ 1 ， 1 1 ( 1 5 ， 1 3 ) − φ 1 ， 0 1 ( 1 5 ， 1 3 ) Φ * ( x ) (28)