system: [SYSTEM]

user: 2. 预备知识 2.1. 系统描述 考虑一般的带有时变时滞的神经网络系统 { x ˙ ( t ) = − A x ( t ) + W 1 f ( W 0 x ( t ) ) + W 2 f ( W 0 x ( t − h ( t ) ) ) ， x ( θ ) = ϕ ( θ ) ， θ ∈ [ − h ， 0 ] . (1) 其中 x ( t ) ∈ R n 是系统的状态向量 A ∈ R n × n ， W 0 ∈ R n × n ， W 1 ∈ R n × n ，和 W 2 ∈ R n × n 是已知的实数矩阵，初始条件 φ ( θ ) 是连续的微分函数，h和u是已知的常数，且满足如下条件： 0 < h ( t ) < h ， h ˙ ( t ) < u . (2) f ( W 0 x ( t ) ) = col { f ( W 01 x ( t ) ) ， f ( W 02 x ( t ) ) ， ⋯ ， f ( W 0 n x ( t ) ) } 是神经元的激活函数 W 0 i 是 W 0 的第i行，假设 f ( 0 ) = 0 且满足Lipschitz条件 l i − ≤ f i ( a ) − f i ( b ) a − b ≤ l i + ， (3) 其中， l i − 和 l i + 是一些常数，且 L − = diag { l 1 − ， l 2 − ， ⋯ ， l n − } ， L + = diag { l 1 + ， l 2 + ， ⋯ ， l n + } 。 2.2. 引理 在分析系统(1)的时滞依赖稳定性判据之前，本节首先引入如下一些重要的引理： 引理1. [ 16 ] 给定一个二次函数 f ( y ) = a 2 y 2 + a 1 y + a 0 ，当 β ∈ [ 0 ， 1 ] 时，如果有 T i = f ( h i ) < 0 ( i = 1 ， 2 ) ， T 3 = − β 2 h 12 2 a 2 + f ( h 1 ) < 0 ， T 4 = − ( 1 − β ) 2 h 12 2 a 2 + f ( h 2 ) < 0 ， 那么 f ( y ) < 0   ( h 1 ≤ y ≤ h 2 ) 成立，其中 h 12 = h 2 − h 1 。 引理2. [ 12 ] 设 w ( t ) 是一个可微函数： [ a ， b ] → R n ，那么存在对称正定矩阵 H ∈ R n × n ，对于任意具有恰当维度的矩阵L，M，有下列的不等式成立： ∫ a b w ˙ T ( s ) H w ˙ ( s ) d s ≥ − sym { σ 0 T L σ 1 + σ 0 T M σ 2 } − ( b − a ) σ 0 T ( 3 L H − 1 L T + M H − 1 M T 3 ) σ 0 其中 σ 1 = x ( b ) − x ( a ) ， σ 2 = x ( b ) + x ( a ) − 2 b − a ∫ a b x ( s ) d s ， σ 0 是任意向量。 引理3. [ 17 ] 若对称正定矩阵 R > 0 ， x ( t ) 是一个可微函数： [ a ， b ] → R n ，则下列不等式成立 ∫ a b x T ( s ) R x ( s ) d s ≥ 1 b − a ( ∫ a b x ( s ) d s ) T R ( ∫ a b x ( s ) d s ) + 3 b − a Ω 1 T R Ω 1 ， ∫ a b x ˙ T ( s ) R x ˙ ( s ) d s ≥ 1 b − a Ω 2 T R Ω 2 + 3 b − a Ω 3 T R Ω 3 ， 其中 Ω 1 = ∫ a b x ( s ) d s − 2 b − a ∫ a b ∫ β b x ( s ) d s d β ， Ω 2 = x ( b ) − x ( a ) ， Ω 3 = x ( b ) + x ( a ) − 2 b − a ∫ a b x ( s ) d s . 为了能得到保守性更低的稳定性条件，本文首先引入一个改进的一重积分不等式如下： 引理4. 若半正定对称矩阵 Y i ∈ R n × n ( i = 1 ， 3 ) ， X i ∈ R n × n ( i = 1 ， 2 ) ，任意矩阵 Y 2 ∈ R n × n ， X 3 ∈ R n × n ， X 4 ∈ R 2 n × 2 n ， x ( t ) 是一个可微函数： [ a ， b ] → R n ，满足： Ω 0 = [ Y 1 Y 2 * Y 3 ] ≥ 0 ， Ω 1 = [ Y 1 Y 2 + X 1 * Y 3 ] ≥ 0 ， Ω 2 = [ Y 1 Y 2 + X 2 * Y 3 ] ≥ 0 ， Ω 3 = [ Y 3 X 3 * Y 3 ] ≥ 0 ， Ω 4 = [ Ω 1 X 4 * Ω 2 ] ≥ 0 ， 那么，对任意向量 c ∈ [ a ， b ] ，有下面的不等式成立 Φ = − ∫ a b W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s ≤ ξ T Ω ξ . (4) 其中 W ( s ) = col { x ( s ) ， x ˙ ( s ) } ， ξ = col { x ( b ) ， x ( c ) ， x ( a ) ， w 1 ， w 2 ， v 1 ， v 2 } ， w 1 = 1 b − c ∫ c b x ( s ) d s ， w 2 = 1 c − a ∫ a c x ( s ) d s ， v 1 = 1 b − c ∫ c b ∫ θ b x ( s ) d s d θ ， v 2 = 1 c − a ∫ a c ∫ θ c x ( s ) d s d θ ， e i = [ 0 n ， ( i − 1 ) n I n 0 n ， ( 7 − i ) n ] ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 7 ) ， ζ 1 = col { e 1 − e 2 ， e 2 − e 3 } ， ζ 2 = col { ( b − c ) e 4 − 2 e 6 ， 2 e 4 − e 1 − e 2 ， ( c − a ) e 5 − 2 e 7 ， 2 e 5 − e 2 − e 3 } ， Ω = sym { − e 4 T ( Y 2 + X 1 ) ( e 1 − e 2 ) − e 5 T ( Y 2 + X 2 ) ( e 2 − e 3 ) } − ( b − c ) e 4 T Y 1 e 4 − ( c − a ) e 5 T Y 1 e 5     − e 2 T ( X 1 − X 2 ) e 2 + e 1 T X 1 e 1 − e 3 T X 2 e 3 − 1 b − a ζ 1 T Ω 3 ζ 1 − 1 b − a ζ 2 T Ω 4 ζ 2 . 证明：对于半正定对称矩阵 X i ∈ R n × n ( i = 1 ， 2 ) ，有下面的零等式成立 0 = − 2 ∫ c b x T ( s ) X 1 x ˙ ( s ) d s + x T ( b ) X 1 x ( b ) − x T ( c ) X 1 x ( c ) ， 0 = − 2 ∫ a c x T ( s ) X 2 x ˙ ( s ) d s + x T ( c ) X 2 x ( c ) − x T ( a ) X 2 x ( a ) . 将上面两个零等式加入二重积分，合并同类项后可以得到 Φ = − ∫ a b W T ( s ) Ω 0 W ( s ) d s − 2 ∫ c b x T ( s ) X 1 x ˙ ( s ) d s − 2 ∫ a c x T ( s ) X 2 x ˙ ( s ) d s     − x T ( c ) ( X 1 − X 2 ) x ( c ) + x T ( b ) X 1 x ( b ) − x T ( a ) X 2 x ( a ) = − ∫ c b W T ( s ) Ω 1 W ( s ) d s − ∫ a c W T ( s ) Ω 2 W ( s ) d s − x T ( c ) ( X 1 − X 2 ) x ( c )     + x T ( b ) X 1 x ( b ) − x T ( a ) X 2 x ( a ) 利用引理3中的不等式放缩，展开计算如下 Φ ≤ − 1 b − c ( ∫ c b W ( s ) d s ) T Ω 1 ( ∫ c b W ( s ) d s ) − 1 c − a ( ∫ a c W ( s ) d s ) T Ω 2 ( ∫ a c W ( s ) d s )     − 3 b − c ( ∫ c b W ( s ) d s − 2 b − c ∫ c b ∫ β b W ( s ) d s d β ) T Ω 1 ( ∫ c b W ( s ) d s − 2 b − c ∫ c b ∫ β b W ( s ) d s d β )     − 3 c − a ( ∫ a c W ( s ) d s − 2 c − a ∫ a c ∫ β c W ( s ) d s d β ) T Ω 2 ( ∫ a c W ( s ) d s − 2 c − a ∫ a c ∫ β c W ( s ) d s d β )     − x T ( c ) ( X 1 − X 2 ) x ( c ) + x T ( b ) X 1 x ( b ) − x T ( a ) X 2 x ( a ) = − ( b − c ) w 1 T Y 1 w 1 − 2 w 1 T ( Y 2 + X 1 ) ( x ( b ) − x ( c ) ) − 1 b − c ( x ( b ) − x ( c ) ) T Y 3 ( x ( b ) − x ( c ) )     − ( c − a ) w 2 T Y 1 w 2 − 2 w 2 T ( Y 2 + X 2 ) ( x ( c ) − x ( a ) ) − 1 c − a ( x ( c ) − x ( a ) ) T Y 3 ( x ( c ) − x ( a ) )     − 3 b − c [ ( b − c ) w 1 − 2 v 1 2 w 1 − x ( b ) − x ( c ) ] T [ Y 1 Y 2 + X 1 * Y 3 ] [ ( b − c ) w 1 − 2 v 1 2 w 1 − x ( b ) − x ( c ) ]     − 3 c − a [ ( c − a ) w 2 − 2 v 2 2 w 2 − x ( c ) − x ( a ) ] T [ Y 1 Y 2 + X 2 * Y 3 ] [ ( c − a ) w 2 − 2 v 2 2 w 2 − x ( c ) − x ( a ) ]     − x T ( c ) ( X 1 − X 2 ) x ( c ) + x T ( b ) X 1 x ( b ) − x T ( a ) X 2 x ( a ) 利用交互凸组合不等式可得 Φ ≤ − ( b − c ) w 1 T Y 1 w 1 − 2 w 1 T ( Y 2 + X 1 ) ( x ( b ) − x ( c ) ) − ( c − a ) w 2 T Y 1 w 2     − 2 w 2 T ( Y 2 + X 2 ) ( x ( c ) − x ( a ) ) − x T ( c ) ( X 1 − X 2 ) x ( c ) + x T ( b ) X 1 x ( b )     − x T ( a ) X 2 x ( a ) − 1 b − a [ x ( b ) − x ( c ) x ( c ) − x ( a ) ] T [ Y 3 X 3 * Y 3 ] [ x ( b ) − x ( c ) x ( c ) − x ( a ) ]     − 3 b − a [ ( b − c ) w 1 − 2 v 1 2 w 1 − x ( b ) − x ( c ) ( c − a ) w 2 − 2 v 2 2 w 2 − x ( c ) − x ( a ) ] T [ Ω 1 X 4 * Ω 2 ] [ ( b − c ) w 1 − 2 v 1 2 w 1 − x ( b ) − x ( c ) ( c − a ) w 2 − 2 v 2 2 w 2 − x ( c ) − x ( a ) ] = ξ T Ω ξ 结论成立，证毕。