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user: 3. 量子MDS码构造 引理7 [ 2 ] ：给定 r = q + 1 ，设 n = q 2 + 1 53 和 s = q 2 + 1 2 ，对于 ∀ j ∈ Ω = { 1 + ( q + 1 ) i | 0 ≤ i ≤ n − 1 } ，有 1) C s = { s } 和 C s + ( q + 1 ) n 2 = { s + ( q + 1 ) n 2 } ； 2) C s − ( q + 1 ) j = { s − ( q + 1 ) j ， s + ( q + 1 ) j } ， 1 ≤ j ≤ n 2 − 1 。 定理8：设 为一个奇素数的幂， n = q 2 + 1 53 和 s = q 2 + 1 2 ，且 C 是码长为 n 的 q 2 元 η − 常循环码及定义集 T = ∪ j = 0 δ C s + ( q + 1 ) j 。由 m ≥ 0 是正整数，则 1) 如果 q = 106 m + 23 ， 0 ≤ δ ≤ 9 m + 1 ，则 C ⊥ H ⊆ C 。 2) 如果 q = 106 m + 83 ， 0 ≤ δ ≤ 9 m + 6 ，则 C ⊥ H ⊆ C 。 证明：方法一：假设 C ⊥ H ⊄ C 也就是说 T ∩ T − q ≠ ∅ 。因此存在两个正整数 0 ≤ k ， l ≤ 9 m + 1 使得 s − ( q + 1 ) k ≡ − q ε ( s − ( q + 1 ) l ) ( mod r n ) ， ε = 1 ， 3 1) 如果 ε = 1 ，那么 s − ( q + 1 ) k ≡ − q ( s − ( q + 1 ) l ) ( mod ( q + 1 ) n ) s ≡ k + q l ( mod r n ) q 2 + 1 = 106 l q + 106 k ( mod 2 ( q + 1 ) ) 因为 0 ≤ k ， l ≤ 9 m + 1 ，那么 0 ≤ 106 k ， 106 l ≤ 106 ( 9 m + 1 ) = 9 q − 101 ， 0 ≤ 106 k + 106 l q ≤ 106 ( 9 m + 1 ) 9 q 2 。 令 106 k = q t + h ( 0 ≤ h < q ) ，则 t = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 。 我们可知 ( 106 l + t ) q + h = q 2 + 1 ， 3 q 2 + 3 ， 5 q 2 + 5 ， 7 q 2 + 7 。 ① 若 ( 106 l + t ) q + h = q 2 + 1 ⇒ h = 1 ，那么 ( 106 l + t ) = q ⇒ t = 23 ( mod 106 ) ⇒ t = 23 矛盾。 ② 若 ( 106 l + t ) q + h = 3 q 2 + 3 ⇒ h = 3 ，那么 ( 106 l + t ) = 3 q ⇒ t = 69 ( mod 106 ) ⇒ t = 69 矛盾。 ③ 若 ( 106 l + t ) q + h = 5 q 2 + 5 ⇒ h = 5 ，那么 ( 106 l + t ) = 5 q ⇒ t = 105 ( mod 106 ) ⇒ t = 9 矛盾。 ④ 若 ( 106 l + t ) q + h = 7 q 2 + 7 ⇒ h = 7 ，那么 ( 106 l + t ) = 7 q ⇒ t = 161 ( mod 106 ) ⇒ t = 55 矛盾。 1) 如果 ε = 3 ，那么 s − ( q + 1 ) k ≡ − q 3 ( s − ( q + 1 ) l ) ( mod ( q + 1 ) n ) 106 l q ≡ 106 k ( mod q 2 + 1 ) 106 l q ≡ q t + h ( mod q 2 + 1 ) 那么 106 l q = q t + h + p ( q 2 + 1 ) ，其中 0 ≤ p ≤ 8 。 ① 如果 p = 0 那么 106 l q = 106 k 。不可能成立。 ② 如果 p ≠ 0 那么 106 l q = q t + h + p ( q 2 + 1 ) ⇒ h + p = ( 106 l − t − p q ) q ⇒ h ≡ − p ( mod q ) ⇒ h = q − p 。 接下来，我们有 1 = 106 l − t − p q ，则 1 ≡ 106 l − t − p ( 106 m + 23 ) ( mod 106 ) 1 ≡ − t − 23 p ( mod 106 ) 不可能成立。由(1)(2)可知假设不成立，所以 T ∩ T − q = ∅ 。 方法二：通过引理5，想证明 C ⊥ H ⊆ C 则需要证明 T = ∪ j = 0 δ C s + ( q + 1 ) j 中不存在偏斜对称分圆陪集以及任何两个偏斜非对称分圆陪集成对出现。 令 q = 106 m + 23 ，则 n = q 2 + 1 53 = 212 m 2 + 92 m + 10 ， s = q 2 + 1 2 = 5618 m 2 + 2438 m + 265 。 令 x ， y ∈ Z = { s + ( q + 1 ) j | 0 ≤ j ≤ 9 m + 1 } 。我们需要证明 x + y q ≠ 0 ( mod r n ) 成立。 令 Z = ∪ i = 1 5 I i ， I 1 = [ s ， s + ( q + 1 ) m ] ， I 2 = [ s + ( q + 1 ) ( m + 1 ) ， s + ( q + 1 ) 3 m ] ， I 3 = [ s + ( q + 1 ) ( 3 m + 1 ) ， s + ( q + 1 ) ( 5 m + 1 ) ] ， I 4 = [ s + ( q + 1 ) ( 3 m + 2 ) ， s + ( q + 1 ) ( 7 m + 1 ) ] ， I 5 = [ s + ( q + 1 ) ( 7 m + 2 ) ， s + ( q + 1 ) ( 9 m + 1 ) ] 。 ① x ∈ I 1 时 26 r n < 26 r n + ( q 2 + 1 ) ( q + 1 ) 106 = s ( q + 1 ) ≤ x ( q + 1 ) ≤ [ s + ( q + 1 ) m ] ( q + 1 ) < 27 r n 。 ② x ∈ I 2 时 27 r n < [ s + ( q + 1 ) ( m + 1 ) ] ( q + 1 ) ≤ x ( q + 1 ) ≤ [ s + ( q + 1 ) 3 m ] ( q + 1 ) < 28 r n 。 ③ x ∈ I 3 时 28 r n < [ s + ( q + 1 ) ( 3 m + 1 ) ] ( q + 1 ) ≤ x ( q + 1 ) ≤ [ s + ( q + 1 ) ( 5 m + 1 ) ] ( q + 1 ) < 29 r n 。 ④ x ∈ I 4 时 29 r n < [ s + ( q + 1 ) ( 5 m + 2 ) ] ( q + 1 ) ≤ x ( q + 1 ) ≤ [ s + ( q + 1 ) ( 7 m + 1 ) ] ( q + 1 ) < 30 r n 。 ⑤ x ∈ I 5 时 30 r n < [ s + ( q + 1 ) ( 7 m + 2 ) ] ( q + 1 ) ≤ x ( q + 1 ) ≤ [ s + ( q + 1 ) ( 9 m + 1 ) ] ( q + 1 ) < 31 r n 。 因此在 T 中不存在任何偏斜对称分圆陪集。 ① x ， y ∈ I 1 时， 26 r n < x + y q < 27 r n 。 ② x ， y ∈ I 2 时， 27 r n < x + y q < 28 r n 。 ③ x ， y ∈ I 3 时， 28 r n < x + y q < 29 r n 。 ④ x ， y ∈ I 4 时， 29 r n < x + y q < 30 r n 。 ⑤ x ， y ∈ I 5 时， 30 r n < x + y q < 31 r n 。 ⑥ x ∈ I 1 ∪ I 2 ， y ∈ I 1 时， 26 r n < x + y q < 27 r n 。 ⑦ x ∈ I 1 ∪ I 2 ∪ I 3 ， y ∈ I 1 时， 26 r n < x + y q < 27 r n 。 ⑧ x ∈ I 1 ∪ I 2 ∪ I 3 ∪ I 4 ， y ∈ I 1 时， 26 r n < x + y q < 27 r n 。 ⑨ x ∈ I 1 ∪ I 2 ∪ I 3 ∪ I 4 ∪ I 5 ， y ∈ I 1 时， 26 r n < x + y q < 27 r n 。 ⑩ x ∈ I 2 ∪ I 3 ， y ∈ I 2 时， 27 r n < x + y q < 28 r n 。 ⑪ x ∈ I 2 ∪ I 3 ∪ I 4 ， y ∈ I 2 时， 26 r n < x + y q < 27 r n 。 ⑫ x ∈ I 2 ∪ I 3 ∪ I 4 ∪ I 5 ， y ∈ I 2 时， 26 r n < x + y q < 27 r n 。 ⑬ x ∈ I 3 ∪ I 4 ， y ∈ I 3 时， 28 r n < x + y q < 29 r n 。 ⑭ x ∈ I 3 ∪ I 4 ∪ I 5 ， y ∈ I 3 时， 28 r n < x + y q < 29 r n 。 ⑮ x ∈ I 4 ∪ I 5 ， y ∈ I 4 时， 29 r n < x + y q < 30 r n 。因此不存在偏斜非对称分圆陪集成对出现。 定理9：如果 q = 106 m + 23 或 q = 106 m + 83 ，则存在 [ [ q 2 + 1 53 ， q 2 + 1 53 − 2 d + 2 ， d ] ] q 量子MDS码。当 q = 106 m + 23 时， 2 ≤ d ≤ 18 m + 4 且为偶数；当 q = 106 m + 83 时， 2 ≤ d ≤ 18 m + 14 且为偶数。 证明： 2 ≤ d ≤ 18 m + 14 ，当 2 ≤ d ≤ 18 m + 14 时，考虑 F q 2 域上码长为 n = q 2 + 1 53 上的 η − 常循环码 C 并且它的定义集 T = ∪ j = 0 δ C s + ( q + 1 ) j ， 0 ≤ δ ≤ 9 m + 1 ，通过引理8，可知 C ⊥ H ⊆ C 又由引理7，可知 T 包含 2 δ + 1 个元素 { s − ( q + 1 ) δ ， ⋯ ， s ， s + ( q + 1 ) ， ⋯ ， s + ( q + 1 ) δ } 。说明 C 的最小距离 d C ≥ 2 δ + 2 且为偶数。因此 C 的参数为 [ n ， n − ( 2 δ + 1 ) ， ≥ 2 δ + 2 ] q 2 。由Hermitian Construction 定理和量子Singleton界可知存在量子MDS码 [ [ n ， n − 4 δ − 2 ， 2 δ + 2 ] ] q 。因此 [ [ q 2 + 1 53 ， q 2 + 1 53 − 2 d + 2 ， d ] ] q ， 2 ≤ d ≤ 18 m + 4 量子MDS码存在。 同理当 q = 106 m + 83 时， [ [ q 2 + 1 53 ， q 2 + 1 53 − 2 d + 2 ， d ] ] q ， 2 ≤ d ≤ 18 m + 14 量子MDS码存在。