system: [SYSTEM]

user: 3. 被感染害虫的脉冲释放 为了便于陈述和证明我们的主要结果，我们首先给出下面的定义、符号和引理。记 R + = [ 0 ， ∞ ) ， x ( t ) = ( S ( t ) ， I ( t ) ) ∈ R + 2 ， f = ( f 1 ， f 2 ) T 表示系统(2)的右边函数 V : R + × R + 2 → R + ，而V被称作具有 V 0 级是指 1) V在 ( n τ ， ( n + 1 ) τ ] × R + 2 上是连续的，而且对于任意的 x ∈ R + 2 ， n ∈ Z + ，极限 lim ( t ， y ) → ( n τ + ， x ) V ( t ， y ) = V ( n τ + ， x ) 存在有限。 2) V关于x满足局部Lipschitzian条件。 定义3.1 对于 V ∈ V 0 ， ( t ， x ) ∈ ( n τ ， ( n + 1 ) τ ] × R + 2 ，定义 D + V ( t ， x ) = lim h → 0 + sup 1 h [ V ( t + h ， x + h f ( t ， x ) ) − V ( t ， x ) ] . 记系统(2)的解为 x ( t ) = ( S ( t ) ， I ( t ) ) : R + → R + 2 ， x ( t ) 在 ( n τ ， ( n + 1 ) τ ] × R + 2 ， n ∈ Z + 上是连续可微的，而且 x ( n τ + ) = lim t → n τ + x ( t ) 存在。由于系统(2)具有光滑性 [ 5 ]，所以系统(2)的解是全局存在惟一的。 下面的引理是明显的。 引理3.1 假设 x ( t ) 是系统(2)的一个解，满足 x ( 0 + ) ≥ 0 ，那么对于所有的 t ≥ 0 ，都有 x ( t ) ≥ 0 。而且，如果 x ( 0 + ) > 0 ，那么对于所有的 t > 0 ，都有 x ( t ) > 0 。 引理3.2 (比较定理， [ 12 ] )记 V : R + × R + 2 → R + ， V ∈ V 0 ，假设 { D + V ( t ， x ( t ) ) ≤ g ( t ， V ( t ， x ( t ) ) ) ， t ≠ n τ ， V ( t ， x ( t + ) ) ≤ Ψ n ( V ( t ， x ( t ) ) ) ， t = n τ ， (4) 这里 g : R + × R + → R 在 ( n τ ， ( n + 1 ) τ ] × R + 上连续，而且对于任意的 z ∈ R + ， n ∈ Z + ，极限 lim ( t ， y ) → ( n τ + ， z ) g ( t ， y ) = g ( n τ + ， z ) 存在有限； Ψ n : R + → R + 单调不减。记 R ( t ) 是下面脉冲微分方程 { v ˙ ( t ) = g ( t ， v ( t ) ) ， t ≠ n τ ， v ( t + ) = ψ n ( v ( t ) ) ， t = n τ ， v ( 0 + ) = v ( 0 ) ， (5) 在 [ 0 ， + ∞ ) 上的最大解。那么只要 V ( 0 + ， x 0 ) ≤ v 0 就有 V ( t ， x ( t ) ) ≤ R ( t ) ， t ≥ 0 ，这里 x ( t ) 是系统(2)的任一解。 往下，我们将证明系统(2)解的最终一致有界性。 引理3.3 存在 M 2 > 0 ，使得对于系统(2)的任一解 ( S ( t ) ， I ( t ) ) ，只要t充分大，就有 S ( t ) ≤ M 2 ， I ( t ) ≤ M 2 。 证明 定义函数 V ( t ) = S ( t ) + I ( t ) ，通过直接计算可得 { D + V ( t ) + ω V ( t ) = ( r + ω ) S − r S 2 + r θ S I k ， t ≠ n τ ， V ( n τ + ) = V ( n τ ) + τ u ， n = 1 ， 2 ， ⋯ . (6) 易知方程(6)的右边函数有界。因此，存在 L > 0 使得 { D + V ( t ) + ω V ( t ) < L ， t ≠ n τ ， V ( n τ + ) = V ( n τ ) + τ u ， n = 1 ， 2 ， ⋯ . 由比较定理知，对于任意的 t ∈ ( n τ ， ( n + 1 ) τ ] 有 V ( t ) ≤ ( V ( 0 + ) − L ω ) e − ω t + τ u ( 1 − e − n ω τ ) 1 − e − ω τ e − ω ( t − n τ ) + L ω 因此 V ( t ) 最终有界，于是存在 M 2 > 0 ，使得对于系统(2)的任一解 ( S ( t ) ， I ( t ) ) ，只要t充分大，就有 S ( t ) ≤ M 2 ， I ( t ) ≤ M 2 。证毕。 下面，我们考虑系统(2)的辅助系统 { I ′ ( t ) = − ω I ( t ) ， t ≠ n τ ， Δ I ( t ) = I ( t + ) − I ( t ) = τ u ， t = n τ ， I ( 0 + ) = I 0 ≥ 0. (7) 当 n τ < t < ( n + 1 ) τ 时，系统(7)的解是 I ( t ) = ( I ( 0 + ) − τ u 1 − e − ω τ ) e − ω t + τ u e − ω ( t − n τ ) 1 − e − ω τ . 由此我们得到 引理3.4 系统(7)有一个正周期解 I * ( t ) ，而且对于系统(7)的任一个解 I ( t ) ，当 t → ∞ 时，总有 | I ( t ) − I * ( t ) | → 0 。这里 I * ( t ) = τ u e − ω ( t − n τ ) 1 − e − ω τ ， I * ( 0 + ) = τ u 1 − e − ω τ 。 现在，我们研究系统(2)的边界周期解的稳定性。易知系统(2)有一个边界周期解 ( 0 ， I * ( t ) ) 。即 ( 0 ， I * ( t ) ) = ( 0 ， τ u e − ω ( t − n τ ) 1 − e − ω τ ) ， n τ < t ≤ ( n + 1 ) τ . 定理3.1 系统(2)的边界周期解 ( 0 ， I * ( t ) ) 是全局渐近稳定的，只要 u > k ω θ .(8) 证明 通过研究解的微小参数扰动，我们可以确定边界周期解 ( 0 ， I * ( t ) ) 的稳定性。 记 ( S ( t ) ， I ( t ) ) 是系统(2)的任一解，而且 S ( t ) = u 1 ( t ) ， I ( t ) = u 2 ( t ) + I * ( t ) 。系统(2)在 ( 0 ， I * ( t ) ) 的相应线性系统是 { u ˙ 1 ( t ) = r   u 1 − r θ I * ( t ) u 1 k ，   t ≠ n τ ， u ˙ 2 ( t ) = − ω   u 2 ，           t ≠ n τ ， u 1 ( t + ) = u 1 ( t ) ，           t = n τ ， u 2 ( t + ) = u 2 ( t ) ，         t = n τ . (9) 记 ϕ ( t ) 是(9)的基解矩阵，则 ϕ ( t ) 满足 d ϕ ( t ) d t = ( r − r θ I * ( t ) k 0 0 − ω ) ϕ ( t ) = A ϕ ( t ) ， (10) 而且 ϕ ( 0 ) = I ，这里I是单位矩阵。因此，基解矩阵是 ϕ ( t ) = ( exp ( ∫ 0 t ( r − r θ k I * ( s ) ) d s ) 0 Δ exp ( − ω t ) ) . 这里我们忽略矩阵中 Δ 的精确表达式，因为下面的研究过程用不到。 系统(9)的第3和第4个方程可以写为 ( u 1 ( n τ + ) u 2 ( n τ + ) ) = ( 1 0 0 1 ) ( u 1 ( n τ ) u 2 ( n τ ) ) . 边界周期解 ( 0 ， I * ( t ) ) 的稳定性由下面的单位矩阵的特征值决定。 M = ( 1 0 0 1 ) ϕ ( τ ) = ϕ ( τ ) . 这里 λ 1 = e − ω τ < 1 ， λ 2 = exp ( ∫ 0 τ ( r − r θ k I * ( s ) ) d s ) . 由Floquet理论 [ 4 ]，如果 | λ 2 | < 1 ，也即条件(8)成立，则边界周期解 ( 0 ， I * ( t ) ) 是局部稳定的。 下面，我们将证明全局吸引性。给定 ε > 0 ，使得 ρ = exp ( ∫ 0 τ ( r − r θ k ( I * ( s ) − ε ) ) d s ) < 1 。 注意 I ˙ ( t ) ≥ − ω I ( t ) ，由引理3.2和3.3，只要t充分大，就有 I ( t ) > I * ( t ) − ε .(11) 为简化计，我们假设(11)对任意的 t ≥ 0 成立。因此由方程(2)和(11)得 S ˙ ( t ) ≤ r S ( t ) ( 1 − θ k ( I * − ε ) ) (12) 在区间 ( n τ ， ( n + 1 ) τ ] 积分(12)得 S ( ( n + 1 ) τ ) ≤ S ( n τ ) exp ( ∫ n τ ( n + 1 ) τ ( r − r θ k ( I * ( t ) − ε ) ) d t ) = S ( n τ ) ρ . 于是，当 n → ∞ 时， S ( n τ ) ≤ S ( 0 + ) ρ n → 0 ，所以当 t → ∞ 时， S ( t ) → 0 。 往下我们证明当 t → ∞ 时， I ( t ) → I * ( t ) 。对于 0 < ε ≤ ω ，存在 t 0 > 0 ，使对所有的 t ≥ t 0 都有 0 < β S 2 n < ε 。不失一般性，假设对所有的 t ≥ 0 都有 0 < β S 2 n < ε ，于是由系统(3)得 − ω I ( t ) ≤ I ˙ ( t ) = β S 2 n I ( t ) − ω I ( t ) ≤ ( ε − ω ) I ( t ) (13) 由引理3.2和3.3得 y 1 ( t ) ≤ I ( t ) ≤ y 2 ( t ) ，而且当 t → ∞ 时， y 1 ( t ) → I * ( t ) ， y 2 ( t ) → y 2 * ( t ) ，这里 y 1 ( t ) ， y 2 ( t ) 分别是下述系统的解； { y ′ 1 ( t ) = − ω y 1 ( t ) ， t ≠ n τ ， Δ y 1 ( t ) = y 1 ( t + ) − y 1 ( t ) = τ u ， t = n τ ， y 1 ( 0 + ) = I 0 ≥ 0 ， (14) 和 { y ′ 2 ( t ) = ( ε − ω ) y 2 ( t ) ， t ≠ n τ ， Δ y 2 ( t ) = y 2 ( t + ) − y 2 ( t ) = τ u ， t = n τ ， y 2 ( 0 + ) = I 0 ≥ 0 ， (15) y 2 * ( t ) = τ u e ( ε − ω ) ( t − n τ ) 1 − e ( ε − ω ) τ ， n τ < t ≤ ( n + 1 ) τ . 因此，只要t充分大， ε 1 充分小，就有 I * ( t ) − ε 1 < I ( t ) < y 2 * ( t ) + ε 1 。由于当 ε → 0 时， y 2 * ( t ) → I * ( t ) ，因此，当 t → ∞ 时， I ( t ) → I * ( t ) 。证毕。 注意 由定理3.1，我们得到了控制变量的某个临界值，当有传染性的害虫的周期释放数目比这临界值大时，就会存在一个全局渐近稳定的边界周期解。 往下我们将研究系统(2)的持久性，为了方便，我们先给出下面的定义： 定义3.2 如果存在正常数 M ≥ m > 0 (与 S ， I 的初值无关)和确定的时间 T 0 ，使得对于系统(2)的任一解 ( S ( t ) ， I ( t ) ) ，只要 S ( 0 + ) > 0 ， I ( 0 + ) > 0 ，对于任意的 t > T 0 ( T 0 可以与初值 ( S ( 0 + ) ， I ( 0 + ) ) 有关)，总有 m ≤ S ( t ) ≤ M ， m ≤ I ( t ) ≤ M ，则称系统(2)是持久的。 定理3.2 系统(2)是持久的，只要 u < k ω θ . (16) 证明 假设 ( S ( t ) ， I ( t ) ) 是系统(2)的满足 S ( 0 ) > 0 ， I ( 0 ) > 0 的任一解，由引理3.3，存在正常数 M ( < L ) ，只要t充分大，就有 S ( t ) ≤ M ， I ( t ) ≤ M 。为方便计，假设对所有的 t ≥ 0 都有 S ( t ) ≤ M ， I ( t ) ≤ M 。由(11)得，只要t充分大，就有 I ( t ) > I * ( t ) − ε ，于是 I ( t ) ≥ τ u e − ω t 1 − e − ω τ − ε 2 ≜ m 2 ， ε 2 > 0 。 因此，只要确定 m 1 > 0 使 S ( t ) ≥ m 1 ，分以下两步 1) 首先令 m 3 > 0 ， ε 1 > 0 充分小，使 m 3 < ω β ， δ = β m 3 2 n − ω < 0 ， σ = r τ − r m 3 τ k + ( r θ k + m 3 β ) τ u δ − m 3 2 n − 1 β ε 1 τ > 0 ， η = r − r m 3 k − r θ M k − m 3 2 n − 1 β M < 0 ， 我们将证明 S ( t ) < m 3 不会对所有的 t ≥ 0 成立。否则 I ˙ ( t ) = β S 2 n ( t ) I ( t ) − ω I ( t ) ≤ I ( t ) ( β m 3 2 n − ω ) = δ I ( t ) 由引理3.2和3.3得 I ( t ) ≤ y 3 ( t ) ，而且当 t → ∞ 时 y 3 ( t ) → y 3 * ( t ) ，这里 y 3 ( t ) 满足 { y ′ 3 ( t ) = ( β m 3 2 n − ω ) y 3 ( t ) ， t ≠ n τ ， Δ y 3 ( t ) = y 3 ( t + ) − y 3 ( t ) = τ u ， t = n τ ， y 3 ( 0 + ) = I 0 ≥ 0 ， (17) 而且 y 3 * ( t ) = τ u e δ ( t − n τ ) 1 − e δ τ ， n τ < t ≤ ( n + 1 ) τ . 因此，存在 T 1 > 0 ，只要 t > T 1 ，就有 I ( t ) ≤ y 3 ( t ) ≤ y 3 * ( t ) + ε 1 S ˙ ( t ) ≥ S ( t ) ( r − r m 3 k − r θ k ( y 3 * ( t ) + ε 1 ) − m 3 2 n − 1 β ( y 3 * ( t ) + ε 1 ) ) . (18) 取 N 1 ∈ Z + ，满足 N 1 τ ≥ T 1 ，在区间 ( n τ ， ( n + 1 ) τ ] ， n > N 1 上积分(18)得 S ( ( n + 1 ) τ ) ≥ S ( n τ + ) exp ( ∫ n τ ( n + 1 ) τ Δ d t ) = S ( n τ ) e σ . 这里 Δ = r − r m 3 k − r θ k ( y 3 * ( t ) + ε 1 ) − m 3 2 n − 1 β ( y 3 * ( t ) + ε 1 ) 。 于是，当 k → ∞ 时， S ( ( N 1 + k ) τ ) ≥ S ( N 1 τ ) e k σ → ∞ . 这与 S ( t ) 的有界性矛盾。因此，存在 t 1 > 0 ，使 S ( t 1 ) ≥ m 3 。 2) 其次，如果 S ( t ) ≥ m 3 对所有的 t ≥ t 1 成立，结论自然成立。因此，我们只需考虑离开区域 Γ = { ( S ( t ) ， I ( t ) ) ∈ R + 2 : S ( t ) < m 3 } 后又进入该区域的那些解。记 t * = inf t ≥ t 1 { t : S ( t ) < m 3 } ，则 S ( t ) ≥ m 3 ， t ∈ [ t 1 ， t * ) ，且由于 S ( t ) 连续，所以 S ( t * ) = m 3 。选取 n 2 ， n 3 ∈ Z + ，使 n 2 τ > 1 δ ln ε 1 M + τ u ， e n 2 η τ e n 3 σ > 1 . 记 T = n 2 τ + n 3 τ ，则我们可以断言，存在 t 2 ∈ ( t * ， t * + T ] 使得 S ( t 2 ) > m 3 。否则，我们在 y 3 * ( t * + ) = I ( t * + ) 下考虑(17)得 y 3 ( t ) = ( y 3 ( ( n 1 + 1 ) τ + ) − τ u 1 − e δ τ ) e ( t − ( n 1 + 1 ) τ ) δ + y 3 * ( t ) ， n τ < t ≤ ( n + 1 ) τ ， n 1 + 1 < n < n 1 + 1 + n 2 + n 3 . 于是 | y 3 ( t ) − y 3 * ( t ) | < ( M + τ u ) e ( t − ( n 1 + 1 ) τ ) δ < ε 1 ， I ( t ) ≤ y 3 ( t ) ≤ y 3 * ( t ) + ε 1 ， t * + n 2 τ ≤ t ≤ t * + T ， 这说明(18)在区间 t * + n 2 τ ≤ t ≤ t * + T 成立，与第一步类似可得 S ( t * + T ) ≥ S ( t * + n 2 τ ) e n 3 σ 。于是由(2)的第一个方程得 S ˙ ( t ) ≥ S ( t ) ( r − r m 3 k − r θ M k − m 3 2 n − 1 β M ) = η S ( t ) . 在区间 [ t * ， t * + n 2 τ ] 上积分得 S ( t * + n 2 τ ) ≥ S ( t * ) e n 2 η τ = m 3 e n 2 η τ ，因此， S ( t * + T ) ≥ m 3 e n 2 η τ e n 3 σ > m 3 ，矛盾。 记 t ¯ = inf t ≥ t ∗ { t : S ( t ) ≥ m 3 } ，则 S ( t ¯ ) ≥ m 3 ，于是对于任意的 t ∈ [ t * ， t ¯ ] 总有 S ( t ) ≥ S ( t * ) m 3 e ( t − t * ) η ≥ m 3 e ( n 2 + n 3 ) η τ ≜ m 1 . 对于 t > t ¯ ，由于 S ( t ¯ ) ≥ m 3 ，用类似的研究可得，对于任意的 t ≥ t 1 都有 S ( t ) > m 1 。证毕。 注意 由定理3.2，我们得到了控制变量的某个临界值，当有传染性的害虫的释放数目比这临界值小时，该系统是持久的，这表示平凡的边界周期解失去了它的稳定性。