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user: 2. 主要结果 为了叙述方便，引入以下符号： x 1 i ( k ) = k m ( Λ i − k k + 1 | a i i | ) Λ i ( i ∈ N 1 ( k ) ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) ， δ 0 ， i = Λ i ( A ) | a i i | ( ∀ i ∈ N 3 ) ， δ l ， i = P l ， i | a i i | ( ∀ i ∈ N 3 ， l ∈ Z + ) ， P l ， i ( A ) = ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | + ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | δ l − 1 ， t ( ∀ i ∈ N 3 ， l ∈ Z + ) ， x 2 i = ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 ， t ≠ i | a i t | + ∑ t ∈ N 3 | a i t | δ l ， t | a i i | ( ∀ i ∈ N 2 ， l ∈ Z + ) ， Q l = max i ∈ N 3 ( ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | δ l ， t P l ， i ( A ) ) ( l ∈ Z + ) . 规定：在本文定理中，对 ∀ i ∈ N 3 ， l ∈ Z + ， ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) = 0 和 ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | δ l − 1 ， i = 0 不会同时存在。 2.1. 定理1 设 A ∈ M n ( C ) ，若存在 l ∈ Z + ，使得 | a i i | x 1 i ( k ) > ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) ， t ≠ i | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + Q l ∑ t ∈ N 3 | a i t | δ l ， t ( ∀ i ∈ N 1 ( k ) ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) ， (1) | a i i | x 2 i > ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 ， t ≠ i | a i t | x 2 t + Q l ∑ t ∈ N 3 | a i t | δ l ， t ( ∀ i ∈ N 2 ) ， (2) 则 A ∈ D ˜ 。 证明 根据 x 1 i ( k ) 的定义可知， 0 < x 1 i ( k ) < 1 ( ∀ i ∈ N 1 ( k ) ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) ， 又根据 P l ， i ( A ) 的定义，对 ∀ i ∈ N 3 有 P 1 ， i ( A ) = ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t |   x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | + ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t |   δ 0 ， t < Λ i ( A ) ， 即 ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t |   x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | + ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | P 1 ， t | a t t | < ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t |   x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | + ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | Λ t ( A ) | a t t | ， 则 P 2 ， i ( A ) < P 1 ， i ( A ) 。故对 ∀ i ∈ N 3 ，有 P 2 ， i ( A ) < P 1 ， i ( A ) < 1 ，假设当 l = n − 1 时， P n ， i < P n − 1 ， i ，则当 l = n 时，由 ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t |   x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | + ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | P n ， t | a t t | < ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t |   x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | + ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | P n − 1 ， t | a t t | ， 可得 P n + i ， i ( A ) < P n ， i ( A ) ，故由数学归纳法知， P l ， i < P l − 1 ， i < ... < P 2 ， i ( A ) < P 1 ， i ( A ) < Λ i ( A ) 。 因为 δ l ， i = P l ， i | a i i | ( i ∈ N 3 ， l ∈ Z + ) ，因此对 ∀ i ∈ N 3 ， l ∈ Z + ，有 0 < δ l ， i < δ l − 1 ， i < ⋯ < δ 1 ， i < Λ i ( A ) | a i i | < 1 . 进而由 x 2 i 的定义，对 ∀ i ∈ N 2 ，有 0 < x 2 i < 1 。因此对 ∀ i ∈ N 3 ， l ∈ Z + ，有 ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t |   x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t |   x 2 t + ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | δ l ， t P l ， i ( A ) ≤ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t |   x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t |   x 2 t + ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | δ l ， t ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t |   x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | + ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | δ l − 1 ， t ≤ 1 . 故由 Q l 的定义，对 ∀ i ∈ N 3 ， l ∈ Z + ，有 0 < Q l ≤ 1 。 利用(1)式和(2)式，存在 l ∈ Z + ，可适当地选择充分小的 ε > 0 ，使 ε 同时满足 | a i i | x 1 i ( k ) > ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) ， t ≠ i | a i t |   x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t |   x 2 t + ∑ t ∈ N 3 | a i t | ( Q l δ l ， t + ε ) ( ∀ i ∈ N 1 ( k ) ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) ， (3) | a i i | x 2 i > ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t |   x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 ， t ≠ i | a i t |   x 2 t + ∑ t ∈ N 3 | a i t | ( Q l δ l ， t + ε ) ( ∀ i ∈ N 2 ) ， (4) 构造正对角矩阵 D = d i a g ( d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d n ) ，记 B = A D = ( b i j ) ，其中 d i = { x 1 i ( k ) ， i ∈ N 1 ( k ) x 2 i ， i ∈ N 2 Q l δ l ， i + ε ， i ∈ N 3 1) 对 ∀ i ∈ N 1 ( k ) ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) ，由(3)式得 Λ i ( B ) = ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) ， t ≠ i | a i t |   x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + ∑ t ∈ N 3 | a i t | ( Q l δ l ， t + ε ) < | a i i | x 1 i ( k ) = | b i i | ； 2) 对 ∀ i ∈ N 2 ，由(4)式得 Λ i ( B ) = ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t |   x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 ， t ≠ i | a i t | x 2 t + ∑ t ∈ N 3 | a i t | ( Q l δ l ， t + ε ) < | a i i | x 2 i = | b i i | ； 3) 对 ∀ i ∈ N 3 ， l ∈ Z + ，有 ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | < | a i i | ，由 Q l ≥ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t |   x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t |   x 2 t + ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | δ l ， t P l ， i ( A ) ， 得 Q l P l ， i ( A ) ≥ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t |   x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | δ l ， t ≥ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t |   x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + Q l ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | δ l ， t (5) Λ i ( B ) = ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t |   x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | ( Q l δ l ， t + ε ) = ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t |   x 2 t + Q l ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | δ l ， t + ε ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | ≤ Q l P l ， i ( A ) + ε ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | < Q l δ l ， i | a i i | + ε | a i i | = | b i i | 综上所述， | b i i | > Λ i ( B ) ( ∀ i ∈ N ) ，即 B ∈ D ，所以矩阵 A 是非奇异H-矩阵。证毕。 注1 由于 0 < k m ( Λ i ( A ) − k k + 1 | a i i | ) Λ i ( A ) < 1 ( ∀ i ∈ N 1 ( k ) ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) ， 0 < x 2 i < 1 ( ∀ i ∈ N 2 ) ，则本文定理1在迭代判定时要比文 [ 1 ] 定理1的判定范围更宽，后面的数值算例可以详细说明。 在定理1中取 m = 1 ，则 x 1 i = Λ i ( A ) − 1 2 | a i i | Λ i ( A ) ( ∀ i ∈ N 1 ) ，即得推论1。 2.1.1. 推论1 设 A ∈ M n ( C ) ，若存在 l ∈ Z + ，使得 | a i i | Λ i ( A ) − 1 2 | a i i | Λ i ( A ) > ∑ t ∈ N 1 ， t ≠ i | a i t | Λ t ( A ) − 1 2 | a t t | Λ t ( A ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + Q l ∑ t ∈ N 3 | a i t |   δ l ， t ( ∀ i ∈ N 1 ) ， | a i i | x 2 i > ∑ t ∈ N 1 | a i t | Λ t ( A ) − 1 2 | a t t | Λ t ( A ) + ∑ t ∈ N 2 ， t ≠ i | a i t | x 2 t + Q l ∑ t ∈ N 3 | a i t | δ l ， t ( ∀ i ∈ N 2 ) ， 则 A ∈ D ˜ 。 注2 因为 0 < Λ i ( A ) − | a i i | Λ i ( A ) < Λ i ( A ) − 1 2 | a i i | Λ i ( A ) < 1 ( ∀ i ∈ N 1 ) ， 0 < x 2 i < 1 ( ∀ i ∈ N 2 ) ，对 ∀ i ∈ N 3 ， l ∈ Z + ，有 0 < Q l ≤ 1 ， 0 < δ l ， i < Λ i ( A ) | a i i | < 1 ，此时本文推论1的迭代因子比文 [ 2 ] 和文 [ 4 ] 中定理1的迭代因子小。所以本文推论1的判定条件比文 [ 2 ] 定理1和文 [ 4 ] 定理1的条件弱，判定的矩阵范围更广。故本文推论1推广了文 [ 2 ] 的定理1和文 [ 4 ] 的定理1，后面的数值算例可以说明。 在定理1中取 m = 2 ，则 N 1 ( 1 ) = { i ∈ N : 0 < | a i i | < 1 2 Λ i ( A ) } ， N 1 ( 2 ) = { i ∈ N : 1 2 Λ i ( A ) < | a i i | < Λ i ( A ) } ， 即得推论2。 2.1.2. 推论2 设 A ∈ M n ( C ) ，若存在 l ∈ Z + ，使得 | a i i | 1 2 ( Λ i − 1 2 | a i i | ) Λ i > ∑ t ∈ N 1 ( 1 ) ， t ≠ i | a i t | 1 2 ( Λ t ( A ) − 1 2 | a i i | ) Λ t ( A ) + ∑ t ∈ N 1 ( 2 ) | a i t | Λ t ( A ) − 2 3 | a i i | Λ t ( A )     + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + Q l ∑ t ∈ N 3 | a i t |   δ l ， t ( ∀ i ∈ N 1 ( 1 ) ) ， | a i i | Λ i ( A ) − 2 3 | a i i | Λ i ( A ) > ∑ t ∈ N 1 ( 1 ) | a i t | 1 2 ( Λ t ( A ) − 1 2 | a i i | ) Λ t ( A ) + ∑ t ∈ N 1 ( 2 ) ， t ≠ i | a i t | Λ t ( A ) − 2 3 | a i i | Λ t ( A )     + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + Q l ∑ t ∈ N 3 | a i t |   δ l ， t ( ∀ i ∈ N 1 ( 2 ) ) ， | a i i | x 2 i > ∑ t ∈ N 1 ( 1 ) | a i t | 1 2 ( Λ t ( A ) − 1 2 | a i i | ) Λ t ( A ) + ∑ t ∈ N 1 ( 2 ) | a i t | Λ t ( A ) − 2 3 | a i i | Λ t ( A )     + ∑ t ∈ N 2 ， t ≠ i | a i t | x 2 t + Q l ∑ t ∈ N 3 | a i t |   δ l ， t ( ∀ i ∈ N 2 ) ， 则 A ∈ D ˜ 。 注3 因为 0 < Λ i ( A ) − | a i i | Λ i ( A ) < Λ i ( A ) − 2 3 | a i i | Λ i ( A ) ( ∀ i ∈ N 1 ( 2 ) ) ， 0 < x 2 i < 1 ( ∀ i ∈ N 2 ) ，又对 ∀ i ∈ N 3 ， l ∈ Z + ， 0 < Q l δ l ， i ≤ 1 ，并且随着每次迭代 Q l δ l ， i 的取值会逐渐变小，所以本文推论2改进了文 [ 3 ] 定理1的判定条件，后面的数值算例可以说明。 2.2. 定理2 设 A ∈ M n ( C ) ， A 不可约，若存在 l ∈ Z + ，使得 | a i i | x 1 i ( k ) ≥ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) ， t ≠ i | a i t |   x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t |   x 2 t + Q l ∑ t ∈ N 3 | a i t |   δ l ， t ( ∀ i ∈ N 1 ( k ) ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) ，(6) | a i i | x 2 i ≥ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 ， t ≠ i | a i t | x 2 t + Q l ∑ t ∈ N 3 | a i t | δ l ， t ( ∀ i ∈ N 2 ) ， (7) 且上式中至少有一个严格不等式成立，则 A ∈ D ˜ 。 证明 因为A是不可约的，所以存在任一非空集， K ⊂ N ， ∀ i ∈ K ， j ∈ N / K ，有 | a i j | 不全为0。 构造正对角矩阵 D 1 = d i a g ( d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d n ) ，记 B = A D 1 = ( b i j ) ，其中 d i = { x 1 i ( k ) ， i ∈ N 1 ( k ) x 2 i ， i ∈ N 2 Q l δ l ， i ， i ∈ N 3 1) 对 ∀ i ∈ N 1 ( k ) ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) ，由(6)式得 Λ i ( B ) = ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) ， t ≠ i | a i t |   x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t |   x 2 t + Q l ∑ t ∈ N 3 | a i t |   δ l ， t ≤ | a i i | x 1 i ( k ) = | b i i | ; 2) 对 ∀ i ∈ N 2 ，由(7)式得 Λ i ( B ) = ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t |   x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 ， t ≠ i | a i t | x 2 t + Q l ∑ t ∈ N 3 | a i t |   δ l ， t ≤ | a i i | x 2 i = | b i i | ; 3) 对 ∀ i ∈ N 3 ， l ∈ Z + ，由(5)式得 Λ i ( B ) = ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t |   x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + Q l ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t | δ l ， t ≤ Q l δ l ， i | a i i | = | b i i | . 综上所述， | b i i | > Λ i ( B ) ( ∀ i ∈ N ) ，且至少有一个严格不等式成立。由矩阵A不可约的性质可知矩阵 B = A D 1 不可约，所以B是不可约对角占优矩阵。所以由引理1可知 B ∈ D ˜ ，即存在正对角阵D 2 使得 B D 2 ∈ D ，则 A ( D 1 D 2 ) = B D 2 为严格对角占优矩阵。由于 D 1 D 2 是正对角阵，所以A是非奇异H-矩阵。 2.3. 定理3 记 J 1 = U k = 1 m J 1 ( k ) ，其中 J 1 ( k ) = { i ∈ N 1 ( k ) : | a i i | x 1 i ( k ) > ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) ， t ≠ i | a i t |   x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + Q l ∑ t ∈ N 3 | a i t |   δ l ， t } ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) ， J 2 = { i ∈ N 2 : | a i i | x 2 i > ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t |   x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 ， t ≠ i | a i t | x 2 t + Q l ∑ t ∈ N 3 | a i t |   δ l ， t } ， J 3 = { i ∈ N 3 : Q l | a i i | δ l ， i > ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t | x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + Q l ∑ t ∈ N 3 ， t ≠ i | a i t |   δ l ， t } . 定理3 设 A ∈ M n ( C ) ，A不可约，若存在 l ∈ Z + ，使得 | a i i | x 1 i ( k ) ≥ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) ， t ≠ i | a i t |   x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 | a i t | x 2 t + Q l ∑ t ∈ N 3 | a i t |   δ l ， t ( ∀ i ∈ N 1 ( k ) ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) ， (8) | a i i | x 2 i ≥ ∑ k = 1 m ( ∑ t ∈ N 1 ( k ) | a i t |   x 1 t ( k ) ) + ∑ t ∈ N 2 ， t ≠ i | a i t | x 2 t + Q l ∑ t ∈ N 3 | a i t |   δ l ， t ( ∀ i ∈ N 2 ) ， (9) 且上式中至少有一个严格不等式成立，即 J 1 ∪ J 2 ≠ ∅ 。如果 i ∈ U i = 1 3 [ N i − J i ] 都有非零元素链 a i r 1 ， a r 1 r 2 ， ⋯ ， a r k − 1 k 使得 k ∈ U i = 1 3 J i ，则 A ∈ D ˜ 。