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user: 2. 预备知识 在本节中，我们将介绍一些关于线性码和GRS (Generalized Reed-Solomon)码的一些符号和结论。 2.1. 基本符号 假设 q = p m ，其中p是一个素数，m是一个正整数，F q 为含有q个元素的有限域， F q * = F q \ { 0 } 。 对于任意两个向量 u = ( u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u n ) ， v = ( v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v n ) ∈ F q n ，它们的欧几里得内积和厄米特内积被分别定义为： 〈 u ， v 〉 E = ∑ i = 1 n u i v i ， 〈 u ， v 〉 H = ∑ i = 1 n u i v i q 假设C是 F q n 中一个长度为n的线性码，则C的厄米特对偶码定义为： C ⊥ H = { u ∈ F q n : 〈 u ， v 〉 H = 0 对 任 意 的 v ∈ C } 如果C满足 C ⊆ C ⊥ H ，则C被称为厄米特自正交码。若C的参数为 [ n ， k ， d ] ，则当 d = n − k + 1 时，我们称C为MDS码(maximum distance separable code)。 假设 a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a n 是 F q 中n个不同的元素， v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v n 是 F q 中n个非零元素，则关于向量 a = ( a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a n ) 和 v = ( v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v n ) 的GRS码定义为 G R S k ( a ， v ) = { ( v 1 f ( a 1 ) ， v 2 f ( a 2 ) ， ⋯ ， v n f ( a n ) ) : f ( x ) ∈ F q [ x ] ， deg ( f ( x ) ) ≤ k − 1 } 。 我们知道 G R S k ( a ， v ) 是一个参数为 [ n ， k ， n − k + 1 ] 的MDS码。 2.2. 基本引理和推论 引理2.2.1 [ 9 ]. 假设 a = ( a 0 ， a 1 ， ⋯ ， a n − 1 ) ∈ F q 2 n ， v = ( v 0 ， v 1 ， ⋯ ， v n − 1 ) ∈ ( F q 2 * ) n ，这里 a 0 ， a 1 ， ⋯ ， a n − 1 是 F q 中n个不同的元素，则 G R S k ( a ， v ) ⊆ G R S k ( a ， v ) ⊥ H 当且仅当 〈 a q j + l ， v q + 1 〉 = 0 对于任意的 0 ≤ j ， l ≤ k − 1 。 我们定义 0 为元素全为0的一维行向量，对于元素在 F q 2 中的矩阵 A = ( a i j ) ，定义 A ( q ) 为矩阵 ( a i j q ) ， 0 0 我们记为1。 引理2.2.2 [ 3 ] [ 10 ].假设 r > 0 ，A为元素在 F q 2 中的 r × ( r + 1 ) 阶矩阵并且满足以下两个条件： (1) A的任意r列线性无关。 (2) A ( q ) 与A行等价。 则方程组 A u T = 0 T 存在一个解 u = ( u 0 ， u 1 ， ⋯ ， u r ) ∈ ( F q * ) r + 1 。 推论2.2.3. 假设 r > 0 ， 1 ≤ a ∈ ℤ * 和 r + a < q + 1 。A为元素在 F q 2 中的 r × ( r + 1 ) 阶矩阵并且满足以下两个条件： (1) A的任意r列线性无关。 (2) A ( q ) 与A行等价。 则方程组 A u T = 0 T 存在一个解 u = ( u 0 ， u 1 ， ⋯ ， u r + a − 1 ) ∈ ( F q * ) r + a 证明：我们对a应用数学归纳法。 (1) 当 a = 1 时，由引理2.2.2，结论成立。 (2) 假设结论在 a ≤ x − 1 时成立，其中 x ≥ 2 是一个正整数。 (3) 当 a = x 时，假设 A 1 ( A r + x )为由矩阵A删除第一列(最后一列)获得的 r × ( r + x − 1 ) 阶矩阵。根据(2)的假设， A 1 和 A r + x 对于结论成立，因此方程组 A 1 u T = 0 T ， A r + x − 1 v T = 0 T 分别存在一个非零解 u = ( u 2 ， u 3 ， ⋯ ， u r + x ) 和 v = ( v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v r + x − 1 ) 。由于 r + x < q + 1 ，我们可以选出一个元素 θ ∈ F q * \ { u 2 v 2 ， u 3 v 3 ， ⋯ ， u r + x − 1 v r + x − 1 } 取 x = ( 0 ， u ) − θ ( v ， 0 ) ，则 x ∈ ( F q * ) r + x ，我们有 A x = ( 0 A 1 u T ) + θ ( A r + x − 1 v T 0 ) = 0 故结论成立。 引理2.2.4 [ 1 ]. 如果存在一个元素在 F q 2 上的 [ n ， k ， d ] 线性码C且 C ⊥ H ⊆ C ，则存在一个参数为 〚 n ， k ， ≥ d 〛 q 的量子码。 引理2.2.5 [ 8 ]. 如果存在一个厄米特自正交的 [ n ， k ， n − k + 1 ] q 2 MDS码，则存在一个参数为 〚 n ， n − 2 k ， k + 1 〛 q 的量子码。 假设 α = ( a 0 ， a 1 ， ⋯ ， a n − 1 ) ∈ F q 2 n ， β = ( b 0 ， b 1 ， ⋯ ， b m − 1 ) ∈ F q 2 m ，定义他们的张量积： α ⊗ β = ( a 0 β ， a 1 β ， ⋯ ， a n − 1 β ) ∈ F q 2 m n 。 可以看出 〈 α ⊗ β ， α 1 ⊗ β 1 〉 = 〈 α ， α 1 〉 〈 β ， β 1 〉 。 假设 F q 2 * = 〈 ω 〉 ，其中 ω 为 F q 2 的一个本原元。设 q 2 − 1 = 2 t 0 p 1 t 1 ⋯ p s t s 是对 q 2 − 1 的一个素数分解，再者，我们可以假设 q − 1 = 2 t ′ 0 p 1 t 1 ⋯ p w t w ， q + 1 = 2 t ″ 0 p w + 1 t w + 1 ⋯ p s t s ， M 1 = q − 1 2 k ′ 0 p 1 k 1 ⋯ p w k w ， M 2 = q + 1 2 k ″ 0 p w + 1 k w + 1 ⋯ p s k s 和 p 0 = 2 ， t 0 = t ′ 0 + t ″ 0 ， k 0 = k ′ 0 + k ″ 0 ， M = M 1 M 2 ， 0 ≤ k i ≤ t i 对于 0 ≤ i ≤ s 。很容易可以看出 q ( mod p i ) = { 1 ;                                             1 ≤ i ≤ w − 1 ;                     w + 1 ≤ i ≤ s ， q ( mod 4 ) = { 1 ;                                 1 = t ″ 0 < t ′ 0 − 1 ;                     1 = t ′ 0 < t ″ 0 假设 α i = ω q 2 − 1 p i t i 对于 i = 0 ， 1 ， ⋯ ， s ，则 o r d ( α i ) = p i t i ，我们可以得出 gcd ( o r d ( α i ) ， o r d ( α j ) ) = 1 对任意的 i ≠ j 因此 F q 2 * = 〈 α 0 〉 × 〈 α 1 〉 × ⋯ × 〈 α s 〉 是 s + 1 个子群的直积。 设 γ i = α i p i k i ，则 o r d ( γ i ) = p i t i − k i ，设 Γ i = 〈 γ i 〉 以及 ( Γ i ) = ( 1 ， γ i ， ⋯ ， γ i p i t i − k i − 1 ) 。 则有 〈 α i 〉 = ∪ t = 0 p i k i − 1 α i t 〈 γ i 〉 对任意的 i = 0 ， 1 ， ⋯ ， s 。