system: [SYSTEM]

user: 4. 结合面接触特性检测模型振动响应 结构振动分析中，固有频率和模态向量的问题在数学上通常转化为求解特征值和特征向量。通常，任意形式周期性振动的函数都可用傅里叶级数展开为多个简谐振动之和，绝大部分的振动都是由有限个自由度的单自由度系统组成，则机械结构的振动特性可以多阶矩阵的微分方程来描述，利用特征值方法对振动系统方程进行求解。 系统在自由状态下，二自由度振动系统微分方程： { m 1 y ¨ 1 − k 1 y 1 − c 1 y ˙ 1 − k ( y 1 − y 2 ) − c ( y ˙ 1 − y ˙ 2 ) = 0 m 2 y ¨ 2 − k 2 y 2 − c 2 y ˙ 2 − k ( y 1 − y 2 ) − c ( y ˙ 1 − y ˙ 2 ) = 0 (3.1) 将振动微分方程式(3.1)转化为矩阵形式： [ m 1 0 0 m 2 ] { y ¨ 1 y ¨ 2 } + [ c 1 + c − c − c c 2 + c ] { y ˙ 1 y ˙ 2 } + [ k 1 + k − k − k k 2 + k ] { y 1 y 2 } = { 0 0 } (3.2) 当二自由度振动系统中m 1 、m 2 相互不接触时，系统可以分解为两个独立的单自由度振动。此时，系统的参数可以通过求解两个单自由度系统获得，其中固有频率ω 1 、ω 2 分别为： { ω 1 = k 1 m 1 ω 2 = k 2 m 2 (3.3) 式(3.3) k 1 、k 2 通过单自由度单元测量和计算获得；ω 1 、ω 2 通过检测单自由度单元自由振动响应数据，并拟合计算后获得，即拟合后的振动圆频率。 当二自由度系统考虑阻尼时，故令方程特征解加入衰减项的形式为： { y 1 = A 1 e ε t cos ( ω t + φ ) y 2 = A 2 e ε t cos ( ω t + φ ) (3.4) 振动模型加入阻尼衰减项 A = { A 1 A 2 } = { A 1 e s t A 2 e s t } (3.5) 此时，振动模型解的形式为 y = { y 1 y 2 } = { A 1 e s t A 2 e s t } (3.6) y ˙ = { y ˙ 1 y ˙ 2 } = { A 1 s e s t A 2 s e s t } (3.7) y ¨ = { y ¨ 1 y ¨ 2 } = { A 1 s 2 e s t A 2 s 2 e s t } (3.8) 将式(3.6)、(3.7)、(3.8)代入式(3.2)，得到 [ m 1 0 0 m 2 ] { A 1 s 2 e s t A 2 s 2 e s t } + [ c 1 + c − c − c c 2 + c ] { A 1 s e s t A 2 s e s t } + [ k 1 + k − k − k k 2 + k ] { A 1 e s t A 2 e s t } = 0 (3.9) 整理后， { m 1 s 2 + ( c 1 + c ) s + ( k 1 + k ) − c s − k − c s − k m 2 s 2 + ( c 2 + c ) s + ( k 2 + k ) } { A 1 e s t A 2 e s t } = 0 (3.10) 由前面分析可知，二自由度振动系统在自由状体下振动必有非零解使得式(3.10)成立，根据非零解的判定条件有 | m 1 s 2 + ( c 1 + c ) s + ( k 1 + k ) − c s − k − c s − k m 2 s 2 + ( c 2 + c ) s + ( k 2 + k ) | = 0 (3.11) 式(3.11)展开后为一个四元一次方程，则该方程应有四个特征根，特征根的特性将决定二自由度振动系统是否为振荡系统。 (1) 振荡系统 二自由度系统要构成振荡系统，则式(3.11)的特征根必定是成对的共轭复数，根据共轭复数的基本特性。令方程的特征根为s 1 、s 2 、s 3 、s 4 可以将特征根写为以下基本形式： s 1 = − ξ 1 + ω 1 i ，     s 2 = − ξ 1 − ω 1 i s 3 = − ξ 2 + ω 2 i ，     s 4 = − ξ 2 − ω 2 i (3.12) 则可以得到微分方程(3.4)的通解： { y 1 = A 1 a e s 1 t + A 1 b e s 2 t + A 1 c e s 3 t + A 1 d e s 4 t y 2 = A 2 a e s 1 t + A 2 b e s 2 t + A 2 c e s 3 t + A 2 d e s 4 t (3.13) 在计算过程中作如下假设： { A 1 a = 1 2 B 1 e − ψ ′ 1 t ， A 1 b = 1 2 B 1 e ψ ′ 1 t ， A 1 c = 1 2 B 1 e − ψ ′ 2 t ， A 1 d = 1 2 B 1 e ψ ′ 2 t A 2 a = 1 2 B 2 e − ψ ′ 1 t ， A 2 b = 1 2 B 2 e ψ ′ 1 t ， A 2 c = 1 2 B 2 e − ψ ′ 2 t ， A 2 d = 1 2 B 2 e ψ ′ 2 t (3.14) 将式(3.14)代入式(3.13)得到微分方程解的形式： { y 1 = B 1 e − ξ 1 t sin ( ω 01 t + φ 1 ) + B 2 e − ξ 2 t sin ( ω 0 2 t + φ 2 ) y 2 = λ 1 B 1 e − ξ 1 t sin ( ω 01 t + φ 1 ) + λ 2 B 2 e − ξ 2 t sin ( ω 02 t + φ 2 ) (3.15) 式中，由二自由度振动系统结构决定的参数有： ω 1 ， ω 2 ， ξ 1 ， ξ 2 ；由系统初始状态决定的系数有： B 1 ， B 2 ， φ 1 ， φ 2 。小阻尼二自由度振动系统与无阻尼系统的振动叠加是相似的，均由以 ω 1 和 ω 2 为频率的自由振动叠加而成；它们的区别在于，小阻尼系统的自由振动是衰减的，各个独立运动单元的相位是不一致的。由式(3.11)推导小阻尼系统的接触刚度k和接触阻尼c的解，展开得： m 1 m 2 s 4 + ( m 1 c 2 + m 1 c + m 2 c 1 + m 2 c ) s 3 + ( m 1 k 2 + m 1 k + c 1 c 2 + c 1 c + c 2 c + m 2 k 1 + m 2 k ) s 2 + ( c 1 k 2 + c 1 k + c k 2 + c k 1 + c 2 k 1 + c 2 k ) s + ( k 1 k 2 + k 1 k + k 2 k ) = 0 (3.16) 特征解为复数，将特征解的复数形式代入式(3.16)后，并按实部和虚部移项且实部和虚部都为零，则有： m 1 m 2 ( ξ 2 − ω 2 ) 2 − 4 m 1 m 2 ξ 2 ω 2 + ( k 1 k 2 + k 1 k + k 2 k ) − ( m 1 c 2 + m 1 c + m 2 c 1 + m 2 c ) ( ξ 2 − 3 ω 2 ) ξ + ( m 1 k 2 + m 1 k + c 1 c 2 + c 1 c + c 2 c + m 2 k 1 + m 2 k ) ( ξ 2 − ω 2 ) − ( c 1 k 2 + c 1 k + c k 1 + c k 2 + c 2 k 1 + c 2 k ) ξ = 0 − 4 m 1 m 2 ξ ω ( ξ 2 − ω 2 ) + ( m 1 c 2 + m 1 c + m 2 c 1 + m 2 c ) ( 3 ξ 2 − ω 2 ) ω − 2 ( m 1 k 2 + m 1 k + c 1 c 2 + c 1 c + c 2 c + m 2 k 1 + m 2 k ) ξ ω + ( c 1 k 2 + c 1 k + c k 1 + c k 2 + c 2 k 1 + c 2 k ) ω = 0 (3.17) 式(3.17)移项后得到： m 1 m 2 ( ξ 2 − ω 2 ) 2 − 4 m 1 m 2 ξ 2 ω 2 + k 1 k 2 + ( m 1 c 2 + m 2 c 1 ) ( ξ 2 − 3 ω 2 ) ξ + ( m 1 k 2 + c 1 c 2 + m 2 k 1 ) ( ξ 2 − ω 2 ) − ( c 1 k 2 + c 2 k 1 ) ξ + { ( ξ 2 − 3 ω 2 ) ξ ( m 1 + m 2 ) + ( c 1 + c 2 ) ( ξ 2 − ω 2 ) − ( k 1 + k 2 ) ξ } c + { ( k 1 + k 2 ) + ( m 1 + m 2 ) ( ξ 2 − ω 2 ) − ( c 1 + c 2 ) ξ } k = 0 (3.18) − 4 m 1 m 2 ξ ω ( ξ 2 − ω 2 ) + ( m 1 c 2 + m 2 c 1 ) ( 3 ξ 2 − ω 2 ) ω − 2 ( m 1 k 2 + c 1 c 2 + m 2 k 1 ) ξ ω + ( c 1 k 2 + c 2 k 1 ) ω + { ( m 1 + m 2 ) ( 3 ξ 2 − ω 2 ) ω − 2 ( c 1 + c 2 ) ξ ω + ( k 1 + k 2 ) ω } c + { ( c 1 + c 2 ) ω − 2 ( m 1 + m 2 ) ξ ω } = 0 (3.19) 因为每一项均为0，所以按每一项前面的系数分别列开 { P k k + P c c + P 0 = 0 Q k k + Q c c + Q 0 = 0 (3.20) 式(3.20)中各项详细表述如下： P k = ( k 1 + k 2 ) + ( m 1 + m 2 ) ( ξ 2 − ω 2 ) − ( c 1 + c 2 ) P c = ( 3 ω 2 − ξ 2 ) ( m 1 + m 2 ) ξ + ( ξ 2 − ω 2 ) ( c 1 + c 2 ) − ( k 1 + k 2 ) ξ P 0 = m 1 m 2 ( ξ 2 − ω 2 ) 2 − 4 m 1 m 2 ξ 2 w 2 + ( m 1 c 2 + m 2 c 1 ) ( 3 w 2 − ξ 2 ) ξ     − ( c 1 k 2 + c 2 k 1 ) + k 1 k 2 + ( m 1 k 2 + c 1 c 2 + m 2 k 1 ) ( ξ 2 − ω 2 ) Q k = − 2 ( m 1 + m 2 ) ξ + ( c 1 + c 2 ) Q c = ( m 1 + m 2 ) ( 3 ξ 2 − ω 2 ) − 2 ( c 1 + c 2 ) ξ + ( k 1 + k 2 ) Q 0 = − 4 m 1 m 2 ξ ( ξ 2 − ω 2 ) + ( m 1 c 2 + m 2 c 1 ) ( 3 ξ 2 − ω 2 ) − 2 ( m 1 k 2 + c 1 c 2 + m 2 k 1 ) ξ + ( c 1 k 2 + c 2 k 1 ) 接触刚度k和接触阻尼c的解 { k = − P 0 Q c − P c Q 0 P k Q c − P c Q k c = − P 0 Q k − P k Q 0 P c Q k − P k Q c (3.21) 由式(3.20)和(3.21)可知，获取系统结构参数、初始条件参数以及系统的响应特征频率，即可求得小阻尼二自由度振动系统接触刚度k和接触阻尼c。