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user: 2. 预备知识 定义2.1 ( [ 7 ] )函数 y : ( 0 ， + ∞ ) → R 的 α 阶Riemann-Liouville分数阶积分为 I 0 + α y ( t ) = 1 Γ ( α ) ∫ 0 t ( t − s ) α − 1 y ( s ) d s ，     t > 0 ， 其中 α > 0 ， Γ ( ⋅ ) 为gamma函数。 定义2.2 ( [ 7 ] )函数 y : ( 0 ， + ∞ ) → R 的 α 阶Riemann-Liouville分数阶导数为 D 0 + α y ( t ) = 1 Γ ( n − α ) ( d d t ) n ∫ 0 t y ( s ) ( t − s ) α − n + 1 d s ， 其中 α > 0 ， Γ ( ⋅ ) 为gamma函数， n = [ α ] + 1 。 引理2.1 ( [ 7 ] )设 f ∈ C [ 0 ， 1 ] ， q ≥ p ≥ 0 ，则 D 0 + p I 0 + q f ( t ) = I 0 + q − p f ( t ) . 引理2.2 ( [ 7 ] )若 α > 0 ，则分数阶微分方程 D 0 + α u ( t ) = 0 当且仅当 u ( t ) = c 1 t α − 1 + c 2 t α − 2 + ⋯ + c n t α − n ， 其中 c i ∈ R ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，其中 n 是大于等于 α 的最小整数。 引理2.3 ( [ 8 ] )若 α > 0 ，   u ∈ C ( 0 ， 1 ) ∩ L ( 0 ， 1 ) ，   D c 0 + α u ( t ) ∈ C ( 0 ， 1 ) ∩ L ( 0 ， 1 ) ，存在 c i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 使得 I 0 + α D 0 + α u ( t ) = u ( t ) + c 1 t α − 1 + c 2 t α − 2 + ⋯ + c N t α − N ， 其中 c i ∈ R ， i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， N − 1 ， N = [ α ] + 1 。 定义空间 X = { u ( t ) ∈ C ( J ， R ) : sup t ∈ J | u ( t ) | 1 + t α − 1 < + ∞ ， D 0 + α − 1 u ( t ) ∈ C ( J ， R ) ， sup t ∈ J | D 0 + α − 1 u ( t ) | < + ∞ } 模为 ‖ u ‖ = max { sup t ∈ J | u ( t ) | 1 + t α − 1 ， sup t ∈ J | D 0 + α − 1 u ( t ) | } 。 定理2.1 ( [ 9 ] )设 X 是一个实Banach空间， Ω 是 X 中的有界开子集， 0 ∈ Ω ， F : Ω ¯ → X 是一个全连续算子。则 ∃ x ∈ ∂ Ω ， λ > 1 ， s . t .   F ( x ) = λ x ，或存在不动点 x ∗ ∈ Ω ¯ 。 引理2.4 ( [ 9 ] ) ( X ， ‖ · ‖ ) 是Banach空间。 证明：设 { u n } n = 1 ∞ 是空间 ( X ， ‖ · ‖ ) 中的Cauchy序列，则对 ∀ ε > 0 ， ∃ N > 0 ， s . t . 当 ∀ t ∈ J ， n ， m > N ，有 | u n ( t ) 1 + t α − 1 − u m ( t ) 1 + t α − 1 | < ε ，则 { u n ( t ) 1 + t α − 1 } n = 1 ∞ 一致收敛于 u ( t ) 1 + t α − 1 及 u ( t ) ∈ X 。并且 { D 0 + α − 1 u n } n = 1 ∞ 一致收敛于 v ∈ X ，并且 sup t ∈ J | v ( t ) | < + ∞ 。 接下来证明 v = D 0 + α − 1 u 。 令 sup t ∈ J | u ( t ) | 1 + t α − 1 = M 0 2 ，则对于常数 M 0 2 > 0 ，   t ∈ J ，   ∃ N > 0 ， s . t . 当 n > N 时，有 | u n ( t ) 1 + t α − 1 − u ( t ) 1 + t α − 1 | < M 0 2 . 令 M i = sup t ∈ J | u i ( t ) | 1 + t α − 1 ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ， M = max { M i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N } ，易得 | u n ( t ) | 1 + t α − 1 ≤ M ，   n = 1 ， 2 ， ⋯ 。于是对 ∀ t ∈ J ， n − 1 < α < n ，有 | ∫ 0 1 ( t − s ) n − 1 − α ( 1 + s α − 1 ) | u n ( s ) | 1 + s α − 1 d s | ≤ M ∫ 0 t ( t − s ) n − 1 − α ( 1 + s α − 1 ) d s = M [ t n − α ∫ 0 1 ( 1 − τ ) n − 1 − α d τ + t n − 1 ∫ 0 1 ( 1 − τ ) n − 1 − α τ α − 1 d τ ] = M n − α t n − α + B ( α ， n − α ) M t n − 1 ， 其中， B ( α ， n − α ) 是Beta函数。根据 { D 0 + α − 1 u n ( t ) } n = 1 ∞ 的一致收敛性及Lebesgue控制收敛定理，可得 v ( t ) = lim n → + ∞ D 0 + α − 1 u n ( t ) = lim n → + ∞ 1 Γ ( n − α ) ( d d t ) n − 1 ∫ 0 t ( t − s ) n − 1 − α ( 1 + s α − 1 ) u n ( s ) 1 + s α − 1 d s = 1 Γ ( n − α ) ( d d t ) n − 1 ∫ 0 t ( t − s ) n − 1 − α ( 1 + s α − 1 ) u ( s ) 1 + s α − 1 d s = D 0 + α − 1 u ( t ) . 当 α = n 时，有 v ( t ) = lim n → + ∞ u n ( n − 1 ) ( t ) = ( d d t ) n − 1 lim n → + ∞ u n ( t ) = u ( n − 1 ) ( t ) . 所以， ( X ， ‖ · ‖ ) 是Banach空间。 注意到Arzela-Ascoli定理不能在空间 X 中使用，为此，引入以下改进的紧凑型标准。 引理2.5 ( [ 10 ] )设 Z ⊆ Y 是有界集，那么，当下述条件成立时， Z 在 Y 中是相对紧的： (i) 对 ∀ u ( t ) ∈ Z ， u ( t ) 1 + t α − 1 和 D 0 + α − 1 u ( t ) 在 J 的任何紧区间上是等度连续的。 (ii) 对于给定的 ε > 0 ， ∃ 常数 T = T ( ε ) > 0 ， s . t . 对 ∀ t 1 ， t 2 ≥ T ， u ( t ) ∈ Z ，有 | u ( t 1 ) 1 + t 1 α − 1 − u ( t 2 ) 1 + t 2 α − 1 | < ε ，     | D 0 + α − 1 u ( t 1 ) − D 0 + α − 1 u ( t 2 ) | < ε .