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user: 2. 三轴搅拌桩施工挤土效应的Mindlin理论解析 2.1. Mindlin弹性基本解公式 事实上，所谓Mindlin弹性解就是在Boussinesq解答的基础上推导出竖向或水平向荷载作用在半无限弹性体内部时，半无限体内任一点的应力与位移。图1为水平向荷载作用在半无限弹性体内部时Mindlin弹性解示意图。1936年，Mindlin [ 1 ] 得到了均匀各向同性体三维弹性方程的解。 图1. Mindlin解模型示意图 σ x = P x 8 π ( 1 − ν ) { 1 − 2 ν R 1 3 + 3 x 2 R 1 5 − ( 1 − 2 ν ) ( 5 − 4 ν ) R 2 3 + 3 ( 3 − 4 ν ) x 2 R 2 5   + 4 ( 1 − ν ) ( 1 − 2 ν ) R 2 ( R 2 + z + c ) 2 [ 3 − x 2 ( 3 R 2 + z + c ) R 2 2 ( R 2 + z + c ) ]   − 6 c R 2 5 [ 3 c − ( 3 − 2 ν ) ( z + c ) + 5 x 2 z R 2 2 ] } (1) σ y = P x 8 π ( 1 − ν ) { − 1 − 2 ν R 1 3 + 3 y 2 R 1 5 − ( 1 − 2 ν ) ( 3 − 4 ν ) R 2 3 + 3 ( 3 − 4 ν ) y 2 R 2 5   + 4 ( 1 − ν ) ( 1 − 2 ν ) R 2 ( R 2 + z + c ) 2 [ 1 − y 2 ( 3 R 2 + z + c ) R 2 2 ( R 2 + z + c ) ]   − 6 c R 2 5 [ c − ( 1 − 2 ν ) ( z + c ) + 5 y z 2 R 2 2 ] } (2) σ z = P x 8 π ( 1 − ν ) { − 1 − 2 ν R 1 3 + 3 ( z − c ) 2 R 1 5 − 1 − 2 ν R 2 3 + 3 ( 3 − 4 ν ) ( z + c ) 2 R 2 5   − 6 c R 2 5 [ c + ( 1 − 2 ν ) ( z + c ) + 5 z ( z + c ) 2 R 2 2 ] } (3) τ x y = P y 8 π ( 1 − ν ) { 1 − 2 ν R 1 3 + 3 x 2 R 1 5 − 1 − 2 ν R 2 3 + 3 ( 3 − 4 ν ) x 2 R 2 5 + 4 ( 1 − ν ) ( 1 − 2 ν ) R 2 ( R 2 + z + c ) 2   + [ 1 − x 2 ( 3 R 2 + z + c ) R 2 2 ( R 2 + z + c ) ] − 6 c z R 2 5 [ 1 − 5 x 2 R 2 2 ] } (4) τ y z = P x y 8 π ( 1 − ν ) { 3 ( z − c ) R 1 5 + 3 ( 3 − 4 ν ) ( z + c ) R 2 5 − 6 c R 2 5 [ 1 − 2 ν + 5 z ( z + c ) R 2 2 ] } (5) τ z x = P 8 π ( 1 − ν ) { ( 1 − 2 ν ) ( z − c ) R 1 3 + 3 x 3 ( z − c ) R 1 5 − ( 1 − 2 ν ) ( z − c ) R 2 3 + 3 ( 3 − ν ) x 2 ( z + c ) R 2 5               + 6 c R 2 5 [ z ( z + c ) − ( 1 − 2 ν ) z 2 − 5 x z ( z + c ) R 2 2 ] } (6) u x = P 16 π G ( 1 − ν ) { 3 − 4 ν R 1 + x 2 R 1 3 + 1 R 2 + ( 3 − 4 ν ) x 2 R 2 3 + 2 c z R 2 3 ( 1 − 3 x 2 R 2 2 )               + 4 ( 1 − ν ) ( 1 − 2 ν ) R 2 + z + c [ 1 − x 2 R 2 ( R 2 + z + c ) ] } (7) u y = P x y 16 π G ( 1 − ν ) { 1 R 1 3 + 3 − 4 ν R 2 3 − 6 c z R 2 3 − 4 ( 1 − ν ) ( 1 − 2 ν ) R 2 ( R 2 + z + c ) 2 } (8) u z = P x 16 π G ( 1 − ν ) { z − c R 1 3 + ( 3 − 4 ν ) ( z − c ) R 2 3 − 6 c z ( z + c ) R 2 5 + 4 ( 1 − ν ) ( 1 − 2 ν ) R 2 ( R 2 + z + c ) } (9) 式中， R 1 = [ r 2 + ( z − c ) 2 ] 1 2 ， R 2 = [ r 2 + ( z + c ) 2 ] 1 2 ； c——水平力作用点与土体表面的垂直距离(m)； z——计算点与土体表面间的垂直距离(m)； x——水平力作用点与计算点之间在X轴上的投影距离(m)； P——水平集中力的大小(N)； G——土体剪切模量(MPa)，可通过弹性模量E折算 G = E 2 ( 1 + ν ) ； ν ——土体泊松比。 2.2. 三轴水泥土搅拌桩挤土效应的Mindlin理论解析 2.2.1. 简化假定 三轴水泥土搅拌桩施工过程中，喷浆压力和沉桩压力均会对桩侧土体产生压力。搅拌桩的挤土效应实质上就是在半无限土体中作用了水平荷载，因此，可以采用 Mindlin理论求解。图2为三轴搅拌桩Mindlin理论解析的模型示意图。 为了分析验算方便，特做如下简化假定： 1) 所研究的土体为各向同性线弹性体； 2) 喷浆压力和沉桩钻进压力合并成单一荷载考虑； 3) 三轴搅拌桩横截面等效成外包圆截面，每次加载段长度固定，为d 1 ； 4) 假定搅拌桩施工过程荷载分段施加，位移场分段累加：前一阶段为后一阶段的初始位移场。 因此，求解某一段搅拌桩施工荷载对计算点的位移时，需要先按圆周对Mindlin理论解进行积分，然后对各段结果进行位移场叠加。 图2. 三轴搅拌桩 Mindlin解模型示意图 2.2.2. 单段加载时的位移公式 先求算分段情况下的位移场。图3和图4为圆形桩与计算点的位置关系计算简图(俯视图)。综合图3和图4，r的计算在转角 θ 取任意值都可按式(10)计算。 r = ( r 0 2 + ( r 0 + r 1 ) 2 − 2 ( r 0 + r 1 ) r 0 cos θ ) 1 2 (10) 将式(7)、式(9)中的 x 2 替换为 [ ( r 0 + r 1 ) cos θ − r 0 ] 2 ，令： R ′ 1 = [ r 0 2 + ( r 0 + r 1 ) 2 − 2 ( r 0 + r 1 ) r 0 cos θ + ( z − c ) 2 ] 1 2 (11) R ′ 2 = [ r 0 2 + ( r 0 + r 1 ) 2 − 2 ( r 0 + r 1 ) r 0 cos θ + ( z + c ) 2 ] 1 2 (12) 设搅拌桩各加载段长度为 d 1 ，加载压力为p，则 d P = p ⋅ d 1 ⋅ r ⋅ d θ (13) 将式(13)替换式(7)、式(9)中的P，并按圆周积分，可得某段加载对计算点的水平和竖向位移为： 图3. θ ∈ [ − 90 ∘ ， 90 ∘ ] 时计算简图 图4. θ ∈ [ 90 ∘ ， 270 ∘ ] 时计算简图 U x ( z ) = p ⋅ d 1 ⋅ r 16 π G ( 1 − ν ) ∫ 0 2 π { 3 − 4 ν R ′ 1 + [ ( r 0 + r 1 ) cos θ − r 0 ] 2 R ′ 1 3 + 1 R ′ 2 + ( 3 − 4 ν ) [ ( r 0 + r 1 ) cos θ − r 0 ] 2 R ′ 2 3                       + 2 c z R ′ 2 3 ( 1 − 3 [ ( r 0 + r 1 ) cos θ − r 0 ] 2 R ′ 2 2 ) + 4 ( 1 − ν ) ( 1 − 2 ν ) R ′ 2 + z + c [ 1 − [ ( r 0 + r 1 ) cos θ − r 0 ] 2 R ′ 2 ( R ′ 2 + z + c ) ] } d θ (14) U z ( z ) = p ⋅ d 1 ⋅ r 16 π G ( 1 − ν ) ∫ 0 2 π [ ( r 0 + r 1 ) cos θ − r 0 ]                         ⋅ { z − c R ′ 1 3 + ( 3 − 4 ν ) ( z − c ) R ′ 2 3 − 6 c z ( z + c ) R ′ 2 5 + 4 ( 1 − ν ) ( 1 − 2 ν ) R ′ 2 ( R ′ 2 + z + c ) } d θ (15) 式中， d 1 ——搅拌桩的桩头加载段长度，本工程取0.5 m； p——搅拌桩的桩头荷载集度(Pa)。 从式(14)和式(15)可以看出，邻近土体的水平向位移 U x ( z ) 和竖向位移 U z ( z ) 与等效圆圆周上的压力p密切相关，也与施工时加载段长度 d 1 有关。而加载段长度 d 1 是由搅拌桩机械设备决定的，为一定值，即一旦施工设备确定，则加载段长度 d 1 也即确定。所以，控制邻近土体的水平向位移 U x ( z ) 和竖向位移 U z ( z ) 只要控制压力p就行了。 所以Mindlin理论解可以十分方便地匡算出搅拌桩挤土效应(即邻近土体的水平向位移 U x ( z ) 和竖向位移 U z ( z ) )，以此作为依据，调整相应的注浆压力和沉桩速度，以达到确保周边环境安全之目的。 2.2.3. 整桩施工时的位移公式 将搅拌全过程切分为不同个小阶段，每个阶段产生的位移场成为下一阶段的初始位移场。整个过程在土体内确定一点产生的位移可以表示为： u t o t a l = u 1 + u 2 + u 3 + ⋯ + u i + ⋯ + u n (16) 式中， u i 为每个小阶段喷浆压力对确定一点土体造成的位移； n——划分的小阶段数目。