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user: 5. 数值算例 本节通过对比文献 [ 7 ] 的12个带区间参数的非线性方程(见表1)来检验新算法的有效性，并给出了相应的函数图像(见图4)。计算精度 取为10 −14 ，其中SI为初始区间，IT为迭代次数，B为二分次数，T为程序运行时间，I为区间解个数。下面我们通过数值实例来比较原始的HIN算法与新提出三种改进算法的差别。 Table 1 Test functio 函数编号 函数形式 1 x 3 + [ p ] 2 ⋅ x 2 + [ p ] 1 ⋅ x + [ p ] 0 ， [ p ] 0 = [ 1 ， 1.8907 ] ， [ p ] 1 = [ 2.8749 ， 4.2501 ] ， [ p ] 2 = [ 1.2499 ， 2.2501 ] 2 x 2 − [ p ] ， [ p ] = [ − 2 ， 2 ] 3 sin ( [ p ] 2 + 2 ⋅ x 2 ) e − [ p ] 2 − x 2 ， [ p ] = [ − 0.5 ， 0.5 ] 4 x 6 − p 5 ⋅ x 5 + p 4 ⋅ x 4 + [ p ] 3 ⋅ x 3 − p 2 ⋅ x 2 + [ p ] 1 ⋅ x + [ p ] 0 ， [ p ] 0 = 16.1024 ， [ p ] 1 = [ 15.8448 ， 16.52 ] ， p 2 = 7.872 ， [ p ] 3 = [ − 4.0388 ， − 3.875 ] ， p 4 = 1.0256 ， p 5 = 2 5 x 4 + [ p ] 1 3 ⋅ [ p ] 2 ⋅ x 3 + [ p ] 1 2 ⋅ [ p ] 2 2 ⋅ [ p ] 3 ⋅ x 2 + [ p ] 1 ⋅ [ p ] 2 3 ⋅ [ p ] 3 2 ⋅ x 2 + [ p ] 3 ， [ p ] 1 = [ 1.15 ， 1.65 ] ， [ p ] 2 = [ 1.3 ， 1.7 ] ， [ p ] 3 = [ 0.6 ， 1.0 ] 6 [ ( x + 10 ⋅ [ p ] 0 ) 2 − 5 ⋅ ( x − [ p ] 1 ) 2 − ( x − 2 [ p ] 2 ) 4 ] ⋅ e − x 2 + 2 ， [ p ] 0 = [ − 1 ， 0 ] ， [ p ] 1 = [ 0 ， 0.5 ] ， [ p ] 2 = [ − 0.25 ， 0.25 ] 7 y = ( 5 π ⋅ x − ( 5.1 4 ⋅ π 2 ) ⋅ x 2 + a − 6 ) 2 + 10 ⋅ 1 1 − 1 8 π ⋅ cos ( x ) ， [ p ] = [ − 2 ， 0 ] 8 ∑ j = 1 5 { j ⋅ sin ( ( j + 1 ) ⋅ [ p ] + j ) } ⋅ ∑ i = 1 5 { i ⋅ sin ( ( i + 1 ) ⋅ x + i ) } − 10 ， [ p ] = [ − 0.1 ， 0.2 ] 9 ∑ j = 1 5     j ⋅ [ sin ( ( j + 1 ) ⋅ x + j ) + x ⋅ sin ( ( j + 1 ) ⋅ [ p ] + j ) ] ， p = [ − 0.1 ， 0.2 ] 10 100 ⋅ ( [ p ] − x 2 ) 2 + ( x − 1 ) 2 ， p = [ − 5 ， 5 ] 11 ∑ i = 1 i ≠ 4 7 [ p ] i 2 4000 + x 2 4000 − ( ∏ i = 1 i ≠ 4 7 cos ( [ p ] i i ) + x 2 ) ， [ p ] i = 1 ， ⋯ ， 7 = [ 1 ， 2 ] 12 ∑ i = 1 8 { Y i ( 1 + 10 ⋅ Z i + 1 ) } + Y 9 ⋅ ( 1 + 10 ⋅ sin 2 ( π ⋅ x ) ) + Z 1 + ( x − 1 4 ) 2 − c ， Y i = ( [ p ] i − 1 ) 2 ， Z i = sin 2 ( π ⋅ [ p ] i ) ， [ p ] i = 1 ， ⋯ ， 9 = [ 0.9 ， 1.1 ] ， c = 05341615278415 表1. 测试函数 图4. 测试函数图像 由于四种方法所求零解区间一致，数值结果表明四种方法确实有效地收敛到了零解区间，差异主要存在于迭代次数，程序运行时间，二分次数三个部分，下面我们仅展示EIN_Multi所得到的具体数值结果(见表2)，其余结果汇总至对比表(表3)。表3中T1表示EIN程序所运行的时间，T2表示EIN_Multi程序所运行的时间，T3表示EIN_Ostrowski程序所运行的时间，T4表示EIN_King程序所运行的时间;IT1表示EIN方法所用的迭代次数，IT2表示EIN_Multi方法所用的迭代次数，IT3表示EIN_Ostrowski方法所用的迭代次数，IT4表示EIN_King方法所用的迭代次数，B1，B2，B3，B4所对应的方法同上。 Table 2 Numerical results are calculated by EIN_Mult NO. SI. IT. T. B. I. 零解区间 1 [ − 3 ， 2 ] 36 0.274717 4 1 R = [ − 1.17326412409134 ， − 0.24999180360996 ] 2 [ − 2 ， 3 ] 11 0.04699 0 1 R = [ − 1.41421356237310 ， 1.41421356237310 ] 3 [ − 2.5 ， 2.5 ] 247 2.090558 8 9 R 1 = [ − 2.50000000000000 ， − 2.48156912198301 ] R 2 = [ − 2.17080376367482 ， − 2.14181908208529 ] R 3 = [ − 1.77245385090553 ， − 1.73683408925256 ] R 4 = [ − 1.25331413731552 ， − 1.20241271067587 ] R 5 = [ 1.20241271067587 ， 1.25331413731552 ] R 6 = [ 1.73683408925256 ， 1.77245385090553 ] R 7 = [ 2.14181908208529 ， 2.17080376367482 ] R 8 = [ 2.48156912198301 ， 2.50000000000000 ] R 9 = [ − 0.00000000000000 ， 0.00000000000000 ] 4 [ − 1.5 ， 2.5 ] 56 0.687295 6 1 R = [ − 1.09407604482697 ， − 0.90864276306268 ] 5 [ − 10 ， 5 ] 57 0.719202 2 1 R = [ − 7.59915460917110 ， − 0.07454800183027 ] 6 [ − 2 ， 2 ] 302 3.329902 0 2 R 1 = [ − 1.25104523267424 ， − 0.11197875777009 ] R 2 = [ 0.48452219866311 ， 1.19533443162485 ] 7 [ 1 ， 11 ] 41 0.322251 1 2 R 1 = [ 2.52814125034009 ， 4.48890951702297 ] R 2 = [ 8.12229473437508 ， 9.90982400896169 ] 8 [ − 2.5 ， 2.5 ] 224 3.649435 0 7 R 1 = [ − 2.46715298055336 ， − 2.08746025441081 ] R 2 = [ − 1.95892289962050 ， − 1.51934276869069 ] R 3 = [ − 1.43694943975762 ， − 0.80225735033705 ] R 4 = [ − 0.72978696702962 ， − 0.22574758594195 ] R 5 = [ − 0.12074796475217 ， 0.31358054472210 ] R 6 = [ 0.87171438824452 ， 1.28070410572677 ] R 7 = [ 1.85830151425555 ， 2.24466631398474 ] 9 [ − 2.5 ， 2.5 ] 112 2.569604 0 6 R 1 = [ − 2.50000000000000 ， − 1.92087574283388 ] R 2 = [ − 1.52723438255972 ， − 1.25833986275812 ] R 3 = [ − 0.91204299203149 ， − 0.75571311847233 ] R 4 = [ − 0.15616336985750 ， − 0.12081187930700 ] R 5 = [ 0.32172903378594 ， 0.95147407919507 ] R 6 = [ 1.15013654741199 ， 2.50000000000000 ] 10 [ − 5 ， 5 ] 99 0.430902 0 1 R = [ 0.99999999999998 ， 1.00000000000001 ] 11 [ − 20 ， 20 ] 5 0.072306 0 1 R = [ − 0.52631341531172 ， 0.41987789619851 ] 12 [ − 3 ， 4 ] 47 0.788452 0 2 R 1 = [ − 1.92345419759984 ， − 1.06926475849962 ] R 2 = [ 3.06926475849960 ， 3.92345419759984 ] 表2. EIN_Multi得出的数值结果 Table 3 Comparison table of key data of four method NO. T1. T2. T3. T4. IT1. IT2. IT3. IT4. B1 B2 B3 B4. 1 0.846536 0.274717 0.288354 0.363102 143 36 33 37 51 4 4 4 2 0.083297 0.04699 0.050179 0.051712 26 11 11 11 7 0 0 0 3 3.993194 2.090558 1.377687 1.624863 675 247 173 185 242 8 8 8 4 3.533208 0.687295 0.798292 0.853034 356 56 57 57 153 6 6 6 5 1.273925 0.719202 0.6883 0.645072 125 57 51 48 29 2 2 2 6 3.309211 3.329902 3.353682 3.34104 302 302 302 302 0 0 0 0 7 1.133234 0.322251 0.376305 0.402133 213 41 41 40 80 1 1 1 8 3.65481 3.649435 3.631559 3.6014 224 224 224 224 0 0 0 0 9 8.799273 2.569604 3.054859 3.61761 585 112 109 111 230 0 0 0 10 0.42601 0.430902 0.424643 0.42413 99 99 99 99 0 0 0 0 11 0.118825 0.072306 0.089766 0.10952 13 5 5 5 3 0 0 0 12 2.984364 0.788452 1.086119 1.878941 284 47 52 67 122 0 0 0 表3. 四种方法关键数据对比表 由上述对比可知在12个算例中，9个算例的收敛速度都有明显提升，对于大部分函数基于普通的二步迭代、区间Ostrowski以及区间king迭代改进的EIN相较于原有的EIN而言迭代次数以及二分步数显著减少，由于单调区间并不是贯穿整个初始区间，收敛速度在二阶与三阶之间，若求解单调函数的零解区间，则收敛速度可达三阶！第6、8、10个函数上的时间相差较小，这是由于非单调区间过多，迭代次数几乎不变，时间几乎相等。综上所述，改进的三种方法对于大多数函数都明显加快了收敛，收敛阶由二阶最高可提升至三阶速度。