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user: 3. 秩为2n的Virasoro代数 将文献 [ 7 ] 基元的秩推广至2n，可得一类新的Virasoro代数如下。 设 U = ⊕ ( a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a 2 n ) ∈ Z 2 n C L ( a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a 2 n ) 为复数域C上一线性空间，基为 ，在线性空间U上定义李运算如下： [ L ( a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a 2 n ) ， L ( b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b 2 n ) ] = [ ( a n + 1 + a n + 2 + ⋯ + a 2 n ) ( b 1 + b 2 + ⋯ + b n )       − ( b n + 1 + b n + 2 + ⋯ + b 2 n ) ( a 1 + a 2 + ⋯ + a n ) ] L ( a 1 + b 1 ， a 2 + b 2 ， ⋯ ， a 2 n + b 2 n ) 在基上双线性扩张，可由定义分别验证该运算满足反对称性和雅克比恒等式，从而得到该线性空间U关于所定义的运算构成一个新的无限维李代数。 定理3.1 令 α ′ = ( a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a 2 n ) ∈ Z 2 n ， P ′ 1 = { f | f ( L α ′ ) = L ( a i 1 ， a i 2 ， ⋯ ， a i n ， a n + 1 ， a n + 2 ， ⋯ ， a 2 n ) } ， P ′ 2 = { f | f ( L α ′ ) = L ( a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a n ， a i 1 ， a i 2 ， ⋯ ， a i n ) } ，其中 i 1 ， i 2 ， ⋯ ， i n 与 i n + 1 ， i n + 2 ， ⋯ ， i 2 n 分别是 1 ， 2 ， ⋯ ， n 和 n + 1 ， n + 2 ， ⋯ ， 2 n 的 排列。定义映射乘法为 h i ∘ h j ( L α ′ ) = h i ( h j ( L α ′ ) ) ， ∀ h i ， h j ∈ P ′ 1 ， P ′ 2 ，则 P ′ 1 ， P ′ 2 关于映射乘法都构成自同构群，且与对称群 S n 同构。 证明 分别构造 到对称群 S n 的映射： δ 1 : f → ( 1 2 ⋯ n i 1 i 2 ⋯ i n ) ， δ 2 : f → ( 1 2 ⋯ n i 1 i 2 ⋯ i n ) . 易得 δ 1 ， δ 2 分别是集合 P ′ 1 ， P ′ 2 与 S n 之间的同构映射。故 P ′ 1 ， P ′ 2 关于映射乘法都构成自同构群，且与对称群 S n 同构。 对于 P ′ 1 中元素， ∀ L α ′ ∈ U ，定义 h 1 ( L α ′ ) = L ( a k + 1 ， a k + 2 ， ⋯ ， a 2 k ， a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a k ， a 2 k + 1 ， a 2 k + 2 ， ⋯ ， a 2 n ) ， h 2 ( L α ′ ) = L ( a 2 k + 1 ， a 2 k + 2 ， ⋯ ， a 3 k ， a k + 1 ， a k + 2 ， ⋯ ， a 2 k ， a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a k ， a 3 k + 1 ， a 3 k + 2 ， ⋯ ， a 2 n ) ， h 3 ( L α ′ ) = L ( a 2 k + 1 ， a 2 k + 2 ， ⋯ ， a 3 k ， a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a k ， a k + 1 ， a k + 2 ， ⋯ ， a 2 k ， a 3 k + 1 ， a 3 k + 2 ， ⋯ ， a 2 n ) ， h 4 ( L α ′ ) = L ( a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a k ， a 2 k + 1 ， a 2 k + 2 ， ⋯ ， a 3 k ， a k + 1 ， a k + 2 ， ⋯ ， a 2 k ， a 3 k + 1 ， a 3 k + 2 ， ⋯ ， a 2 n ) ， h 5 ( L α ′ ) = L ( a k + 1 ， a k + 2 ， ⋯ ， a 2 k ， a 2 k + 1 ， a 2 k + 2 ， ⋯ ， a 3 k ， a 1 ， a 2 ， ... ， a k ， a 3 k + 1 ， a 3 k + 2 ， ⋯ ， a 2 n ) ， 其中 k ∈ Z ，且 4 k < n ，将 h 1 ， h 2 ， h 3 ， h 4 ， h 5 分别在U的基向量上线性扩张。 定理3.2 h 1 ， h 2 ， h 3 ， h 4 ， h 5 是U的同构。 证明 令 β ′ = ( b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b 2 n ) 。由 h 1 ( [ L α ′ ， L β ′ ] ) = [ ( a n + 1 + a n + 2 + ⋯ + a 2 n ) ( b 1 + b 2 + ⋯ + b n ) − ( b n + 1 + b n + 2 + ⋯ + b 2 n ) ( a 1 + a 2 + ⋯ + a n ) ]       × L ( a k + 1 + b k + 1 ， a k + 2 + b k + 2 ， ⋯ ， a 2 k + b 2 k ， a 1 + b 1 ， a 2 + b 2 ， ⋯ ， a k + b k ， a 2 k + 1 + b 2 k + 1 ， a 2 k + 2 + b 2 k + 2 ， ⋯ ， a 2 n + b 2 n ) ， 又由 [ h 1 ( L α ′ ) ， h 1 ( L β ′ ) ] = [ L ( a k + 1 ， a k + 2 ， ⋯ ， a 2 k ， a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a k ， a 2 k + 1 ， a 2 k + 2 ， ⋯ ， a 2 n ) ， L ( b k + 1 ， b k + 2 ， ⋯ ， b 2 k ， b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b k ， b 2 k + 1 ， b 2 k + 2 ， ⋯ ， b 2 n ) ] = [ ( a n + 1 + a n + 2 + ⋯ + a 2 n ) ( b k + 1 + b k + 2 + ⋯ + b 2 k + b 1 + b 2 + ⋯ + b k + b 2 k + 1 + b 2 k + 2 + ⋯ + b n ) − ( b n + 1 + b n + 2 + ⋯ + b 2 n ) ( a k + 1 + a k + 2 + ⋯ + a 2 k + a 1 + a 2 + ⋯ + a k + a 2 k + 1 + a 2 k + 2 + ⋯ + a n ) ] × L ( a k + 1 + b k + 1 ， a k + 2 + b k + 2 ， ⋯ ， a 2 k + b 2 k ， a 1 + b 1 ， a 2 + b 2 ， ⋯ ， a k + b k ， a 2 k + 1 + b 2 k + 1 ， a 2 k + 2 + b 2 k + 2 ， ⋯ ， a 2 n + b 2 n ) . 由 4 k < n ，故 b k + 1 + b k + 2 + ⋯ + b 2 k + b 1 + b 2 + ⋯ + b k + b 2 k + 1 + b 2 k + 2 + ⋯ + b n = b 1 + b 2 + ⋯ + b n ， . 于是 h 1 ( [ L α ′ ， L β ′ ] ) = [ h 1 ( L α ′ ) ， h 1 ( L β ′ ) ] ， ∀ x ， y ∈ U ， h 1 ( [ x ， y ] ) = [ h 1 ( x ) ， h 1 ( y ) ] ， h 1 是同态映射。由于 h 1 为双射，故 h 1 为U的同构。同理， h 2 ， h 3 ， h 4 ， h 5 都是U的同构。 定理3.3 H ′ = { ε ， h 1 ， h 2 ， h 3 ， h 4 ， h 5 } 在关于映射乘法同构于对称群 S 3 。 证明 由于 S 3 = { e ， ( 23 ) ， ( 12 ) ， ( 123 ) ， ( 13 ) ， ( 132 ) } 。建立 F ′ : H ′ → S 3 。由 F ′ ( h 2 ∘ h 3 ( L α ′ ) ) = F ′ ( L ( a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a k ， a 2 k + 1 ， a 2 k + 2 ， ⋯ ， a 3 k ， a k + 1 ， a k + 2 ， ⋯ ， a 2 k ， a 3 k + 1 ， a 3 k + 2 ， ⋯ ， a 2 n ) ) = F ′ ( h 4 ( L α ′ ) ) = ( 23 ) ， 又由 F ′ ( h 2 ( L α ′ ) ) ∘ F ′ ( h 3 ( L α ′ ) ) = ( 13 ) ( 132 ) = ( 23 ) ， F ′ ( h 2 ∘ h 3 ) = F ′ ( h 2 ) ∘ F ( h 3 ) 。 同理，可得 ∀ h i ， h j ∈ H ′ ， ，又 F ′ 为双射，故 F ′ 为同构映射。即 H ′ 在以上映射乘法的定义下同构于三元对称群 S 3 。 对于 P 1 ' 中元素， ∀ L α ′ ∈ U ，定义 h 6 ( L α ′ ) = L ( a 2 k ， a 2 k − 1 ， ⋯ ， a k + 1 ， a k ， a k − 1 ， ⋯ ， a 1 ， a 2 k + 1 ， a 2 k + 2 ， ⋯ ， a 2 n ) ， h 7 ( L α ′ ) = L ( a 3 k ， a 3 k − 1 ， ⋯ ， a 2 k + 1 ， a 2 k ， a 2 k = 1 ， ⋯ ， a k + 1 ， a k ， a k − 1 ， ⋯ ， a 1 ， a 3 k + 1 ， a 3 k + 2 ， ⋯ ， a 2 n ) ， h 8 ( L α ′ ) = L ( a 3 k ， a 3 k − 1 ， ⋯ ， a 2 k + 1 ， a k ， a k − 1 ， ⋯ ， a 1 ， a 2 k ， a 2 k − 1 ， ⋯ ， a k + 1 ， a 3 k + 1 ， a 3 k + 2 ， ⋯ ， a 2 n ) ， h 9 ( L α ′ ) = L ( a k ， a k − 1 ， ⋯ ， a 1 ， a 3 k ， a 3 k − 1 ， ⋯ ， a 2 k + 1 ， a 2 k ， a 2 k − 1 ， ⋯ ， a k + 1 ， a 3 k + 1 ， a 3 k + 2 ， ⋯ ， a 2 n ) ， h 10 ( L α ′ ) = L ( a 2 k ， a 2 k − 1 ， ⋯ ， a k + 1 ， a 3 k ， a 3 k = 1 ， ⋯ ， a 2 k + 1 ， a k ， a k − 1 ， ⋯ ， a 1 ， a 3 k + 1 ， a 3 k + 2 ， ⋯ ， a 2 n ) . 由定理3.3易得以下推论成立。 推论3.1 H ∗ ′ = { ε ， h 6 ， h 7 ， h 8 ， h 9 ， h 10 } 关于映射乘法同构于对称群 S 3 。 对于 P 1 ' 中元素， ∀ L α ′ ∈ U ，定义 h 11 ( L α ′ ) = L ( a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a 2 k ， a 3 k + 1 ， a 3 k + 2 ， ⋯ ， a 4 k ， a 2 k + 1 ， a 2 k + 2 ， ⋯ ， a 3 k ， a 4 k + 1 ， a 4 k + 2 ， ⋯ ， a 2 n ) ， h 12 ( L α ′ ) = L ( a k + 1 ， a k + 2 ， ⋯ ， a 2 k ， a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a k ， a 3 k + 1 ， a 3 k + 2 ， ⋯ ， a 4 k ， a 2 k + 1 ， a 2 k + 2 ， ⋯ ， a 3 k ， a 4 k + 1 ， a 4 k + 2 ， ⋯ ， a 2 n ) . 定理3.4 I ′ = { e ， h 1 ， h 11 ， h 12 } 关于映射乘法构成Klein四元群。 证明 由定义， h 1 ∘ h 11 ( L α ′ ) = L ( a k + 1 ， a k + 2 ， ⋯ ， a 2 k ， a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a k ， a 3 k + 1 ， a 3 k + 2 ， ⋯ ， a 4 k ， a 2 k + 1 ， a 2 k + 2 ， ⋯ ， a 3 k ， a 4 k + 1 ， a 4 k + 2 ， ⋯ ， a 2 n ) = h 12 ( L α ′ ) . 又有 h 11 ∘ h 1 ( L α ′ ) = L ( a k + 1 ， a k + 2 ， ⋯ ， a 2 k ， a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a k ， a 3 k + 1 ， a 3 k + 2 ， ⋯ ， a 4 k ， a 2 k + 1 ， a 2 k + 2 ， ⋯ ， a 3 k ， a 4 k + 1 ， a 4 k + 2 ， ⋯ ， a 2 n ) = h 12 ( L α ′ ) ，同理，得 h 1 ∘ h 12 = h 12 ∘ h 1 = h 11 ， h 11 ∘ h 12 = h 12 ∘ h 11 = h 1 ， h 1 = h 11 2 = h 12 2 = e 。故 I ′ 构成Klein四元群。 ∀ L α ′ ∈ U ，构造 h 13 : U → U ， h 13 ( L α ′ ) = 1 m 2 L m α ′ ( m ≠ 0 ) ，则 h 13 有以下两种特殊情形： 当 m = 1 时， h 13 是恒等同构，即 h 13 = e ， h 13 ( L α ′ ) = L α ′ ， 当 m = − 1 时， h 13 是同构，记为 h 14 ， h 14 ( L α ′ ) = L − α ′ 。 推论3.2 { e ， h 14 } 关于映射乘法构成一个二阶群。 引理3.1 ∀ L α ′ ∈ U ，构造 h 15 ( L α ′ ) = 1 m 1 m 2 L ( m 1 a 1 ， m 1 a 2 ， ⋯ ， m 1 a n ， m 2 a n + 1 ， m 2 a n + 2 ， ⋯ ， m 2 a 2 n ) ， n ≠ 0 ，则 h 15 是U的单自同态。 证明 h 15 ( [ L α ′ ， L β ′ ] ) = 1 m 1 m 2 [ ( a n + 1 + a n + 2 + ⋯ + a 2 n ) ( b 1 + b 2 + ⋯ + b n ) − ( b n + 1 + b n + 2 + ⋯ + b 2 n ) ( a 1 + a 2 + ⋯ + a n ) ] × L ( m 1 ( a 1 + b 1 ) ， m 1 ( a 2 + b 2 ) ， ⋯ ， m 1 ( a n + b n ) ， m 2 ( a n + 1 + b n + 1 ) ， m 2 ( a n + 2 + b n + 2 ) ， ⋯ ， m 2 ( a 2 n + b 2 n ) ) = [ 1 m 1 m 2 L ( m 1 a 1 ， m 1 a 2 ， ⋯ ， m 1 a n ， m 2 a n + 1 ， m 2 a n + 2 ， ⋯ ， m 2 a 2 n ) ， 1 m 1 m 2 L ( m 1 b 1 ， m 1 b 2 ， ⋯ ， m 1 b n ， m 2 b n + 1 ， m 2 b n + 2 ， ⋯ ， m 2 b 2 n ) ] = [ h 15 ( L α ′ ) ， h 15 ( L β ′ ) ] ， 故有 ∀ x ， y ∈ U ， h 15 ( [ x ， y ] ) = [ h 15 ( x ) ， h 15 ( y ) ] ，又 h 15 为单射，故 h 15 是单自同态。 显然， h 15 有四种特殊情况： 当 m 1 = 1 ， m 2 = 1 时， h 15 为恒等同构，即e， h 15 ( L α ′ ) = L α ′ ， 当 m 1 = 1 ， m 2 = − 1 时， h 15 为同构，记为 h 16 ， h 16 ( L α ′ ) = − L ( a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a n ， − a n + 1 ， − a n + 2 ， ⋯ ， − a 2 n ) ， 当 m 1 = − 1 ， m 2 = 1 时， h 15 为同构，记为 h 17 ， h 17 ( L α ′ ) = − L ( − a 1 ， − a 2 ， ⋯ ， − a n ， a n + 1 ， a n + 2 ， ⋯ ， a 2 n ) ， 当 m 1 = − 1 ， m 2 = − 1 时， h 15 为同构，记为 h 18 ， h 18 ( L α ′ ) = L − α ′ 。 定理3.5 M = { e ， h 16 ， h 17 ， h 18 } 关于映射乘法构成Klein四元群。 以下结果与秩为8的代数类似，不再证明。 性质3.1 U无中心。 性质3.2 设 U n 为 L β ′ − L ( b 1 − t ， b 2 − t ， ⋯ ， b k − t ， b k + 1 + t ， b k + 2 + t ， ⋯ ， b 2 k + t ， b 2 k + 1 ， b 2 k + 2 ， ⋯ ， b 2 n ) ( b i ， t ∈ Z ， i ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， 2 n } ) 构成的李代数。则 U n 是U的非零真理想，U不是单李代数。 性质3.3 由 L ( − 2 m ， − 2 m ， ⋯ ， − 2 m ︸ k 个 ， m ， m ， ⋯ ， m ︸ 2 k 个 ， 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ︸ ( 2 n − 3 k ) 个 ) 构成的一维子空间是U的一维交换理想，即U不是半单李代数。 性质3.4设 N ′ = ( a 1 n + 1 + a 1 n + 2 + ⋯ + a 1 2 n a 1 n + a 1 1 + a 1 2 + ⋯ + a 1 n − 1 a 2 n + 1 + a 2 n + 2 + ⋯ + a 2 2 n a 2 n + a 2 1 + a 2 2 + ⋯ + a 2 n − 1 ⋮ ⋮ a m n + 1 + a m n + 2 + ⋯ + a m 2 n a m n + a m 1 + a m 2 + ⋯ + a m n − 1 ) ，其中矩阵元素均为整数，则由 基向量 L α ′ 1 ， L α ′ 2 ， ⋯ ， L α ′ m 构成的子空间是U的交换子代数。