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user: 2. 定理1的证明 我们将证明分成以下几步： 引理2.1 我们有 ∫ Ω ∫ Ω | u n ( x ) − u n ( y ) | 2 | x − y | n + 2 s d x d y = ∫ Ω ∫ Ω | u n ( x ) − w n ( x ) − u n ( y ) + w n ( y ) | 2 | x − y | n + 2 s d x d y + ∫ Ω ∫ Ω | w n ( x ) − w n ( y ) | 2 | x − y | n + 2 s d x d y . 证明：因为 w n 是问题(3)的解，对任意 ψ ∈ K u n 我们有 ∫ Ω ∫ Ω ( u n ( x ) − w ( x ) − u n ( y ) + w ( y ) ) ( ψ ( x ) − ψ ( y ) ) | x − y | n + 2 s d x d y = 0. 取 ψ = w n ，我们得到 ∫ Ω ∫ Ω | u n ( x ) − u n ( y ) | 2 | x − y | n + 2 s d x d y = ∫ Ω ∫ Ω | u n ( x ) − w n ( x ) − u n ( y ) + w n ( y ) | 2 | x − y | n + 2 s d x d y + ∫ Ω ∫ Ω | w n ( x ) − w n ( y ) | 2 | x − y | n + 2 s d x d y     + 2 ∫ Ω ∫ Ω ( u n ( x ) − w ( x ) − u n ( y ) + w ( y ) ) ( ψ ( x ) − ψ ( y ) ) | x − y | n + 2 s d x d y = ∫ Ω ∫ Ω | u n ( x ) − w n ( x ) − u n ( y ) + w n ( y ) | 2 | x − y | n + 2 s d x d y + ∫ Ω ∫ Ω | w n ( x ) − w n ( y ) | 2 | x − y | n + 2 s d x d y . 引理2.2 我们有 ∫ Ω ∫ Ω | u n + 1 ( x ) − u n + 1 ( y ) | 2 | x − y | n + 2 s d x d y ≤ ∫ Ω ∫ Ω | u n ( x ) − w n ( x ) − u n ( y ) + w n ( y ) | 2 | x − y | n + 2 s d x d y . 证明：因为 u n ( x ) ⋅ w n ( x ) = 0 ，我们有 | u n ( x ) − w n ( x ) | 2 = 1 + | w n | 2 ≥ 1 ，所以 ∫ Ω ∫ Ω | u n + 1 ( x ) − u n + 1 ( y ) | 2 | x − y | n + 2 s d x d y = ∫ Ω ∫ Ω | u n − w n | u n − w n | ( x ) − u n − w n | u n − w n | ( y ) | 2 | x − y | n + 2 s d x d y = ∫ Ω ∫ Ω 2 − 2 ( u n ( x ) − w n ( x ) ) ⋅ ( u n ( y ) − w n ( y ) ) | u n ( x ) − w n ( x ) | | u n ( y ) − w n ( y ) | | x − y | n + 2 s d x d y ≤ ∫ Ω ∫ Ω 2 | u n ( x ) − w n ( x ) | | u n ( y ) − w n ( y ) | − 2 ( u n ( x ) − w n ( x ) ) ⋅ ( u n ( y ) − w n ( y ) ) | x − y | n + 2 s d x d y ≤ ∫ Ω ∫ Ω | u n ( x ) − w n ( x ) − u n ( y ) + w n ( y ) | 2 | x − y | n + 2 s d x d y . 引理2.3 w n 在空间 H s ( Ω ， ℝ 3 ) 中强收敛至 0 → 。 证明：根据引理2.1和引理2.2，我们有 ∫ Ω ∫ Ω | u n + 1 ( x ) − u n + 1 ( y ) | 2 | x − y | n + 2 s d x d y ≤ ∫ Ω ∫ Ω | u n ( x ) − w n ( x ) − u n ( y ) + w n ( y ) | 2 | x − y | n + 2 s d x d y = ∫ Ω ∫ Ω | u n ( x ) − u n ( y ) | 2 | x − y | n + 2 s d x d y − ∫ Ω ∫ Ω | w n ( x ) − w n ( y ) | 2 | x − y | n + 2 s d x d y . 从而，我们有 ∫ Ω ∫ Ω | w n ( x ) − w n ( y ) | 2 | x − y | n + 2 s d x d y ≤ ∫ Ω ∫ Ω | u n ( x ) − u n ( y ) | 2 | x − y | n + 2 s d x d y − ∫ Ω ∫ Ω | u n + 1 ( x ) − u n + 1 ( y ) | 2 | x − y | n + 2 s d x d y . 对这个不等式求和，设N为任意正整数，于是我们有 ∑ n = 0 N ∫ Ω ∫ Ω | w n ( x ) − w n ( y ) | 2 | x − y | n + 2 s d x d y ≤ ∫ Ω ∫ Ω | u 0 ( x ) − u 0 ( y ) | 2 | x − y | n + 2 s d x d y . 所以级数 ∑ n = 0 ∞ ∫ Ω ∫ Ω | w n ( x ) − w n ( y ) | 2 | x − y | n + 2 s d x d y 收敛。 再根据Sobolev嵌入定理， w n 在空间 H s ( Ω ， ℝ 3 ) 中强收敛至 0 → 。 引理2.4 u n 在空间 H s ( Ω ， ℝ 3 ) 中弱收敛到 u ∞ ∈ H n 0 s ( Ω ， S 2 ) 且 u ∞ 是s-阶调和映射。 证明：根据引理2.1可知， u n 在空间 H s ( Ω ， ℝ 3 ) 中有界，从而存在 使得 u n 在空间 H s ( Ω ， ℝ 3 ) 中弱收敛到 u ∞ 。因为 u n ∈ H n 0 s ( Ω ， S 2 ) 且 H n 0 s ( Ω ， S 2 ) 在弱拓扑意义下是 H n 0 s ( Ω ， ℝ 3 ) 的闭子集，从而 u ∞ ∈ H n 0 s ( Ω ， S 2 ) 。 下面我们证明 u ∞ 是s-阶调和映射。注意到 w n 满足的欧拉–拉格朗日方程为 ∫ Ω ∫ Ω ( u n ( x ) − w n ( x ) − u n ( y ) + w ( y ) ) ( Ψ ( x ) − Ψ ( y ) ) | x − y | n + 2 s d x d y = 0 ，   Ψ ∈ K u n . 取 Ψ = ϕ × u n ，这里 ϕ ∈ C 0 ∞ ( Ω ， ℝ 3 ) ，于是我们有 ∫ Ω ∫ Ω ( u n ( x ) − w n ( x ) − u n ( y ) + w n ( y ) ) ( ϕ ( x ) × u n ( x ) − ϕ ( y ) × u n ( y ) ) | x − y | n + 2 s d x d y = 0. 进一步，我们有 0 = ∫ Ω ∫ Ω ( u n ( x ) − w n ( x ) − u n ( y ) + w n ( y ) ) ( ϕ ( x ) × u n ( x ) − ϕ ( y ) × u n ( y ) ) | x − y | n + 2 s d x d y = ∫ Ω ∫ Ω ( u n ( x ) − w n ( x ) − u n ( y ) + w n ( y ) ) ( ϕ ( x ) − ϕ ( y ) ) × u n ( x ) | x − y | n + 2 s d x d y     + ∫ Ω ∫ Ω ( u n ( x ) − w n ( x ) − u n ( y ) + w n ( y ) ) [ ϕ ( y ) × ( u n ( x ) − u n ( y ) ) ] | x − y | n + 2 s d x d y = ∫ Ω ∫ Ω ( u n ( x ) − u n ( y ) ) ( ϕ ( x ) − ϕ ( y ) ) × u n ( x ) | x − y | n + 2 s d x d y     − ∫ Ω ∫ Ω ( w n ( x ) − w n ( y ) ) ( ϕ ( x ) − ϕ ( y ) ) × u n ( x ) | x − y | n + 2 s d x d y − ∫ Ω ∫ Ω ( w n ( x ) − w n ( y ) ) [ ϕ ( y ) × ( u n ( x ) − u n ( y ) ) ] | x − y | n + 2 s d x d y = ∫ Ω ∫ Ω ( ϕ ( x ) − ϕ ( y ) ) ⋅ [ u n ( x ) × ( u n ( x ) − u n ( y ) ) ] | x − y | n + 2 s d x d y     − ∫ Ω ∫ Ω ( ϕ ( x ) − ϕ ( y ) ) ⋅ [ u n ( x ) × ( w n ( x ) − w n ( y ) ) ] | x − y | n + 2 s d x d y     − ∫ Ω ∫ Ω ϕ ( y ) ⋅ [ ( u n ( x ) − u n ( y ) ) × ( w n ( x ) − w n ( y ) ) ] | x − y | n + 2 s d x d y ， 取极限我们得到 0 = ∫ Ω ∫ Ω ( ϕ ( x ) − ϕ ( y ) ) ⋅ [ u ∞ ( x ) × ( u ∞ ( x ) − u ∞ ( y ) ) ] | x − y | n + 2 s d x d y . 这等价于 0 = ∫ Ω ∫ Ω ( u ∞ ( x ) − u ∞ ( y ) ) ⋅ [ u ∞ ( x ) × ϕ ( x ) − u ∞ ( y ) × ϕ ( y ) ] | x − y | n + 2 s d x d y . 最后，令 ϕ = u ∞ × ψ ， ψ ∈ C 0 ∞ ( Ω ， ℝ 3 ) 且 ψ ∈ K u ∞ ，于是根据向量恒等式：对于任意的 a ， b ， c ∈ ℝ 3 ， a × ( b × c ) = 〈 a ， c 〉 b − 〈 a ， b 〉 c ，我们有 u ∞ ( x ) × ϕ ( x ) = u ∞ ( x ) × ( u ∞ ( x ) × ψ ( x ) ) = ( u ∞ ( x ) ⋅ ψ ( x ) ) u ∞ ( x ) − ( u ∞ ( x ) ⋅ u ∞ ( x ) ) ψ ( x ) = ψ ( x ) ， 所以 0 = ∫ Ω ∫ Ω ( u ∞ ( x ) − u ∞ ( y ) ) ⋅ ( ψ ( x ) − ψ ( y ) ) | x − y | n + 2 s d x d y . 因此，根据注记1可知 u ∞ 在弱解意义下是s-阶调和映射。 综上所述，定理1得证。 注记2 设 w ( u ) 是极小值问题(3)的解，则它是唯一的。事实上，设 w 1 和 w 2 都是解，则 ∫ Ω ∫ Ω ( u ( x ) − w 1 ( x ) − u ( y ) + w 1 ( y ) ) ⋅ ( w 1 ( x ) − w 2 ( x ) − w 1 ( y ) + w 2 ( y ) ) | x − y | n + 2 s d x d y 和 ∫ Ω ∫ Ω ( u ( x ) − w 2 ( x ) − u ( y ) + w 2 ( y ) ) ⋅ ( w 1 ( x ) − w 2 ( x ) − w 1 ( y ) + w 2 ( y ) ) | x − y | n + 2 s d x d y 成立，于是我们有 ∫ Ω ∫ Ω | w 1 ( x ) − w 2 ( x ) − w 1 ( y ) + w 2 ( y ) | 2 | x − y | n + 2 s d x d y = 0 。这意味着 w 1 = w 2 。 注记3 设 w ( u ) 是极小值问题(3)的解，则u是s-阶调和映射当且仅当 w ( u ) = 0 。事实上，若 w ( u ) = 0 ，我们有 ∫ Ω ∫ Ω ( u ( x ) − u ( y ) ) ⋅ ( Ψ ( x ) − Ψ ( y ) ) | x − y | n + 2 s d x d y = 0 ，   Ψ ∈ K u . 从而u是s-阶调和映射。上述过程可逆，从而充分条件成立。