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user: 3. 匀速圆周运动物体系统在受约束离心力作用下产生周期性运动 3.1. 构建物理实验模型 如图1，光滑平面，对称设置的两个质量均为m的球 C 1 ， C 2 ，二者做镜像的分别绕轴O、O’的匀速圆周运动，转动半径同为R，平板装置A全系统的质量为M (=km)。鉴于球 C 1 ， C 2 采用镜像对称设置，为便于研究，分析以球 C 1 为例(如图2) (球 C 2 类同，讨论略。系统不计摩擦)。 图1. 镜像对称圆周运动 图2. 离心力分析 图1中，两个镜像对称的作匀速圆周运动质点(球 C 1 ， C 2 )的向心力，在y轴方向上的合力为0，即系统向心力在y轴方向上的力受到约束，并始终处于平衡状态，只考虑二者向心力在x轴方向上的作用。 3.2. 匀速圆周运动系统离心力作用的解析 3.2.1. 匀速圆周运动系统离心力及在x轴方向上的冲量 如图2，圆周运动系统的向心力( − F ′ R = − m v 2 R )与离心力( F R )遵循牛顿第三定律 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]： F R = − F ′ R ， 离心力在x轴上的分量： F x = F R sin ϕ = − F ′ R sin ϕ = − m v 2 R sin ϕ . 离心力在x轴上的分量的冲量： 根据动量和动量守恒定律，在任意时间段 t 1 → t 2 ( ϕ 1 → ϕ 2 ) ，以匀速v转动的 C 1 向心力在x轴方向的分量所产生的冲量，其数值大小等于该向心力的反作用力——离心力在x轴方向的分量对平板A系统产生的冲量，( C 1 在x轴方向的初速度 v x 1 ，末速度 v x 2 ；相对应平板A系统在x轴方向的初速度 v 1 ( M ) ，末速度 v 2 ( M ) )： ∵ v x = v cos ϕ ， v x 1 = v cos ϕ 1 ， v x 2 = v cos ϕ 2 ， t = R ϕ v ； ∴ ∫ t 1 t 2 F x d t = F ¯ x ( t 2 − t 1 ) = ∫ t 1 t 2 ( − m v 2 R ) sin ϕ d t = ∫ ϕ 1 ϕ 2 ( − m v 2 R ) sin ϕ d ( R ϕ v )                           = m v cos ϕ 2 − m v cos ϕ 1 = M v 2 ( M ) − M v 1 (M) 根据平均力算法： F ¯ x = m v cos ϕ 2 − m v cos ϕ 1 t 2 − t 1 . 且 v 2 ( M ) = m v cos ϕ 2 − m v cos ϕ 1 + M v 1 ( M ) M 。 前半周(0→π)区间的冲量： ∫ 0 T 2 F x d t = F ¯ x T 2 = F ¯ x π R v = m v cos ϕ 2 − m v cos ϕ 1 | 0 π = − 2 m v F ¯ x = m v cos ϕ 2 − m v cos ϕ 1 t 2 − t 1 = − 2 m v 2 π R . 若 v 1 ( M ) = 0 ，且 M = k m ， v 2 ( M ) = m v cos ϕ 2 − m v cos ϕ 1 k m = − 2 m v k m = − 2 k v . 设 k = 3 ， v 2 ( M ) = − 2 3 v ； k = 2 ， v 2 ( M ) = − v 。 后半周(π→2π)区间的冲量： ∫ T 2 T F x d t = F ¯ x T 2 = F ¯ x π R v = m v cos ϕ 2 − m v cos ϕ 1 | π 2 π = 2 m v F ¯ x = m v cos ϕ 3 − m v cos ϕ 2 t 3 − t 2 = 2 m v 2 π R . 3.2.2. 离心力在x轴上的分量所做的功 已知匀速圆周运动在x轴上的投影是简谐振动，根据有关文献 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] 和研究，匀速圆周运动系统与弹簧振子、单摆等简谐振动一样，存在机械能守恒特征，即球 C 1 向心力在x轴上的分量对其所做的功及所具有的能，完全转化为向心力的反作用力——离心力在x轴上的分量对系统A所做的功及所具有的能 [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] (假设机械能守恒) ∫ x 1 x 2 F x d x = F ¯ x ( x 2 − x 1 ) = ∫ x 1 x 2 ( − m v 2 R ) sin ϕ d x = ∫ x 1 x 2 ( − m v 2 R ) sin ϕ d ( R sin ϕ ) = 1 2 m v 2 cos 2 ϕ 2 − 1 2 m v 2 cos 2 ϕ 1 = 1 2 M v 2 ( M ) 2 − 1 2 M v 1 ( M ) 2 由于被积函数在 0 → π 2 → π ； π → 3 π 2 → 2 π 两段的做功区间有正、负，根据力做功的方向，使用 W = ∫ a b | f ( x ) d x | = ± ∫ a b f ( x ) d x 前半周(0→π)区间做的功和振幅： 球 C 1 在0→π区间的转动，相对应的系统A速度为 v 0 ( M ) → v M 。根据参考文献 [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] 和分析研究，离心力在前半周(0→π/2)、(π/2→π)做正功，假设系统机械能守恒： W | 0 π = ∫ 0 π 2 | F ′ x d x | + ∫ π 2 π | F ′ x d x | = 1 2 m v 2 + 1 2 m v 2 = 1 2 M v M 2 − 1 2 M v 0 ( M ) 2 在前半周(0→π)区间离心力对系统A作用的周期性运动存在，其振幅 X M ： 由 M = k m ，假设 v 0 ( M ) = 0 ， ∫ x 1 x 2 F x d x = F ¯ x [ x 2 ( M ) − x 1 ( M ) ] = F ¯ x X M = m v 2 = 1 2 M v 2 ( M ) 2 = 1 2 k m ( − 2 v k ) 2 = 2 k m v 2 ， 由此可知，系统初始静止，只有当k = 2，能量守恒，周期性运动成立；对系统初速不为0，k ≠ 2的有关动力学问题在此不作论述。系统振幅： X M = 1 2 M v 2 ( M ) 2 F ¯ x = 2 k m v 2 π R 2 m v 2 = π R k ， 当k = 2，即系统全质量是转动部分C 1 质量2倍时，系统振幅： X M = π R 2 . 3.2.3. 后半周(π→2π)区间离心力在x轴上的分量做的功和振幅 在后半周(π→2π)区间与前半周类同，离心力在后半周(π→3π/2)、(3π/2→2π)做负功(系统A在后半周区间速度为 v M → v M 3 )： | W | | π 2 π = ∫ π 3 π 2 | F ′ x d x | + ∫ 3 π 2 2 π | F ′ x d x | = 1 2 m v 2 + 1 2 m v 2 = − [ 1 2 M v M 3 2 − 1 2 M v M 2 ] . 后半周(π→2π)区间离心力对系统A作用产生周期性运动的平均力和振幅 X ′ M ： F ¯ x = m v cos ϕ 3 − m v cos ϕ 2 t 3 − t 2 = − 2 m v 2 π R . 当k = 2时，系统后半周振幅： 。(同上半周) 3.2.4. 前后半周(0→2π)做功之和 W = W | 0 π − | W | | π 2 π = 0 . 前后半周离心力对系统A做功之和等于0，再次表明系统A做周期性运动的特征。 由于 C 1 ， C 2 是镜像对称设置， C 2 与 C 1 类同， C 2 讨论略。 结果：对质点球 C 1 ， C 2 在前半周(0→π)区间的匀速转动，向心力的x轴方向分量为负方向，其反作用力——离心力的x轴方向分量为正方向，对系统作正功，使系统产生沿x轴正方向的运动；后半周(π→2π)区间的匀速转动，向心力的x轴方向分量为正方向，其反作用力——离心力的x轴方向分量为负方向，对系统作负功，使系统产生沿x轴负方向的运动，正负功数值相等，做功代数和为0，即系统沿x轴方向作周期性运动。且前后半周离心力沿x轴方向的分量的冲量值大小相等。