DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 摘 要 本文提出了一个求解非线性半定规划的线搜索精确罚函数方法。在每次迭代中通过求解一个二次半定规划产生搜索方向，某个精确罚函数作为效益函数用于线搜索确定步长。且借助信赖域子问题的最优解更新罚参数。在较温和的条件下本文证明了算法具有全局收敛性。 关键词 :非线性半定规划，线搜索，罚函数，全局收敛性 Copyright © 2019 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 本文考虑如下非线性半定规划问题(NLSDP)： min f ( x ) s .t . h ( x ) = 0， G ( x ) ≼ 0， (0.1) 其中函数 f : ℝ n → ℝ ， G : ℝ n → S m ， h : ℝ n → ℝ p 是连续可微函数。 S m 表示所有m阶实对称矩阵构成的矩阵空间。 A ≼ 0 表示A为半负定矩阵， A ≺ 0 表示A为负定矩阵。 非线性半定规划在工程设计，最优控制，经济，金融等领域有着广泛的应用(见文 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] )。基于非线性规划的罚函数法思想，一些学者提出了求解非线性半定规划的罚函数型算法。文 [ 4 ] 引进了非线性半定规划罚函数，结合线搜索策略提出了一个罚函数型的序列半定规划算法；文 [ 5 ] 基于罚函数技术和二阶校正方向，提出了一个超线性收敛的序列半定规划算法；文 [ 6 ] 通过由两个具有相同系数矩阵的线性方程组产生主搜索方向，罚函数作为效益函数用于线搜索确定步长，提出非线性半定规划的一个序列线性方程组算法；文 [ 7 ] 的第3章通过引进罚函数作为效益函数建立了一个超线性收敛的序列半定规划算法。 本文是将文 [ 8 ] 中产生搜索方向的子问题的构造策略和罚参数的更新策略推广到非线性半定规划，建立一个求解非线性半定规划的线搜索精确罚函数方法。在每次迭代中通过求解一个二次半定规划产生搜索方向的某个精确罚函数作为效益函数，用于线搜索确定步长。而且构造了一个信赖域子问题，并且借助信赖域子问题的最优解更新罚参数。在较温和的条件下算法具有全局收敛性。
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user: 4. 数值试验 为了验证算法A的可行性与有效性，本节利用MATLAB (2014a)实现了算法，程序运行环境为：Windows 7 (64 bite)，RAM: 4G，CPU 3，60 GHz。测试的算例来自于文 [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] 中的静态反馈控制问题(SOFP)，即 min Tr ( L Q F ) s .t . A F L + L A F T + I = 0， A F L + L A F T ≼ 0， L ≻ 0， 在算法实现中，选取 [ 12 ] 的初始点为 L = 10 I ∈ R n x × n x ， F = 0 ∈ R n u × n y ，其中 n x ， n u ， n y 为给定的数。选取的参数如下： α 0 = 80 ， ρ = 100 ， η 1 = 0.5 ， η 2 = 0.3 ， τ = 0.5 ， η = 0.001. 终止准则为： ‖ d k ‖ ≤ 10 − 4 ， ‖ v ( x k ) ‖ ≤ 10 − 4 。数值结果见表1，表中的主要符号含义如下： 问题：COMPl e ib算例库的算例名称； n：自变量维数； m：半定约束矩阵的阶数； p：等式约束个数； f * ：最优函数值； Iter：算法迭代次数； P * ：最优解的约束违反度函数值； Time：计算机运行时间(秒)。 Table 1 Numerical resul 问题 n p m Iter P * f * Time AC1 24 15 5 667 4.858138e−08 2.002884e+01 2.063345e+01 AC2 24 15 5 667 4.858138e−08 2.002884e+01 2.136759e+01 AC3 23 15 5 171 4.535034e−09 2.184061e+01 3.566312e+00 AC4 12 10 4 369 5.104441e−08 1.198998e+01 1.165651e+01 AC6 36 28 7 182 1.592843e−07 1.090587e+01 7.348702e+00 AC7 47 45 9 3322 1.995717e−08 1.559962e+02 1.983689e+02 AC15 16 10 4 2980 6.315831e−11 1.590686e+02 7.697651e+01 AC17 12 10 4 135 6.463962e−09 1.462636e+01 4.201801e+00 HE2 14 10 4 45 1.267061e−09 1.187440e+01 1.268405e+00 DIS1 52 36 8 132 1.102015e−09 1.535720e+01 6.519064e+00 DIS2 10 6 3 120 5.039833e−09 8.595297e+00 4.221502e+00 DIS3 37 21 6 84 1.312657e−08 5.986639e+00 3.557754e+00 DIS4 45 21 6 110 1.514964e−09 3.957641e+00 4.589913e+00 AGS 82 78 12 78 5.434856e−09 4.942235e+01 9.242347e+00 UWV 40 36 8 1368 3.847353e−05 2.093619e+00 6.385419e+01 IH 341 231 21 73 1.276043e−08 4.229681e+01 4.684438e+01 CSE1 230 210 20 95 4.403847e−10 7.669994e+01 6.509819e+01 PSM 34 28 7 124 5.515611e−09 3.236933e+00 4.639584e+00 NN2 4 3 2 79 1.417326e−08 3.464102e+00 4.567462e+00 NN4 16 10 4 134 3.508822e−09 5.407893e+00 2.829252e+00 NN8 10 6 3 44 5.854256e−08 4.438272e+00 1.167806e+00 NN11 151 136 16 127 3.684578e−09 2.758270e+02 6.448854e+01 NN15 10 6 3 2624 3.601449e−12 4.695404e+02 8.593176e+01 NN16 52 36 8 439 4.972716e−07 1.536476e+01 2.148031e+01 HF2D13 23 15 5 1638 3.981798e−10 5.109506e−01 5.149195e+01 HF2D14 23 15 5 4468 1.019683e−09 4.556688e+00 1.815774e+02 HF2D16 23 15 5 501 5.804131e−09 3.227871e+00 1.714861e+01 HF2D17 23 15 5 586 2.309633e−09 7.647004e−01 1.991716e+01 HF2D18 19 15 5 4407 1.710919e−10 1.309318e+01 1.319252e+02 TMD 29 21 6 835 1.695120e−09 4.798488e+01 2.122048e+01 表1. 数值结果
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user: 5. 结束语 本文提出了一个线搜索精确罚函数法。搜索方向由二次半定规划子问题产生，罚函数作为效益函数用于线搜素，线搜索保证效益函数的充分下降；罚参数在算法中自动更新，且罚参数的更新策略依赖信赖域子问题的最优解。在适当的条件下算法具有全局收敛性。
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user: 摘 要 本文的主要目的是在一个完备黎曼流形上推导出一个二阶椭圆方程 Δ f u = p l o g u + q u 的局部梯度估计，该方程具有光滑函数 f 、p和q。 关键词 :梯度估计，椭圆方程，完备黎曼流形 Copyright © 2019 by author and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 研究背景 梯度估计是研究偏微分方程解的重要工具之一。历史上，S. T. Yau [ 1 ] 证明了一个全局梯度估计：对于 n 维的具有下界的Ricci曲率(即 R i c ≥ − ( n − 1 ) K ，这里整数 K ≥ 0 )的黎曼流形上的正调和函数 u (即 Δ u = 0 )，我们有 | ∇ u | ≤ ( n − 1 ) K u 。在此基础上，对椭圆方程的梯度估计进行了研究。举几个例子，L. Ma [ 2 ] 推导了下列椭圆方程的局部梯度估计： Δ u + a u log u + b u = 0 ， (1.1) 这是从在 a < 0 和 b 为常数的黎曼流形上的Ricci孤子的势推导出的。2017年，B. Ma，G. Huang和Y. Luo [ 3 ] 证明了在完备黎曼流形上对于 Δ u + c u α = 0 的正解的梯度估计，其中 c ， α 是两个实常值，并且 c ≠ 0 。 f -Laplacian是Laplace-Beltrami算子的自然类比，它由 C 2 函数 u 定义： Δ f u = Δ u − 〈 ∇ u ， ∇ f 〉 ， Bakry-Émery Ricci曲率定义为： R i c f : = R i c + H e s s f . K. Brighton [ 4 ] 研究了下列方程的正解的梯度估计： Δ f u = 0 ， (1.2) 并且得到了Liouville定理：在具有非负Bakry-Émery Ricci曲率的完备光滑度量空间上，具有正边界的 f -调和函数(即 Δ f u = 0 )是常值。此外，G. He和S. Zhang [ 5 ] 证明了在具有非负Bakry-Émery Ricci曲率的完备光滑度量空间上的 f -调和函数新的梯度估计。 受这些工作的启发，我们考虑了一个 n 维完备黎曼流形上的二阶椭圆偏微分方程 ( M n ， g ) ： Δ f u = p u log u + q u ， (1.3) 这里 f ， p ， q ∈ C ∞ ( M n ) 。很明显，公式(1.3)是(1.1)和(1.2)的一般化。 本文的主要研究成果如下。首先，我们证明了(1.3)的正解的局部梯度估计。 定理1.1：假设 ( M n ， g ) 是一个 n -维黎曼流形，在 B ( x ¯ ， 2 ρ ) 上对于 K ≥ 0 ，有 R i c f ≥ − ( n − 1 ) K 。这里 ρ ≥ 1 ，且 u ( x ) 是公式(1.3)的正解。则存在正常值 C 1 和 C 2 使得对于任意常数 0 < ε < 1 ，我们得到在 B ( x ¯ ， ρ ) ¯ 上，有： | ∇ u | u ≤ 2 n 1 − ε [ | α | C 1 + ( n − 1 ) K ( 2 ρ − 1 ) C 1 2 ρ + C 2 2 ρ 2 + ( 2 n + ε ) C 1 2 ε ρ 2 + D θ 1 + σ 1 + η 1 2 n + θ 1 + ( n − 1 ) K + D θ 2 + σ 2 2 ] 1 2 + n ( θ 2 + σ 2 ) 1 − ε 4 ， (1.4) 特别地，在 B ( x ¯ ， 1 ) ¯ 上，有： | ∇ u | u ≤ 2 n [ D θ 1 + σ 1 n + η 1 2 n + θ 1 + ( n − 1 ) K + D θ 2 2 + σ 2 2 ] 1 2 + n ( D θ 2 + σ 2 ) 4 . (1.5) 在 B ( x ¯ ， 2 ρ ) 上，对于正常值 D ， θ 1 ， θ 2 ， σ 1 ， σ 2 和 η 1 ，我们假设 α : = max ∂ B ( x ¯ ， 1 ) Δ f r ， u ≤ e D ， | p | ≤ θ 1 ， | ∇ p | ≤ θ 2 ， | q | ≤ σ ， | ∇ q | ≤ σ 2 ， | ∇ f | ≤ η 1 。
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user: 2. 理论基础 这部分内容，我们主要是陈述由E. Calabi [ 6 ] (同样参考 [ 2 ] [ 7 ] )提出的关于cut-off函数的一些结论。选择一个 C 2 函数 ξ : [ 0 ， + ∞ ) → [ 0 ， 1 ] 使得对于 0 ≤ s ≤ 1 有 ξ ( s ) = 1 ，并且对于 s ≥ 2 有 ξ ( x ) = 0 。此外，对于常值 C 1 > 0 和 C 2 > 0 ，有 − C 1 ≤ ξ ′ ( s ) ξ ( s ) ≤ 0 且 ξ ″ ( s ) ≥ − C 2 . 在一个 n -维黎曼流形 ( M n ， g ) 上，假设 r ( x ) : = d ( x ， x ¯ ) 是对于固定点 x ¯ ∈ M n 的一个距离函数。对于任意的 ρ ≥ 1 ，我们定义cut-off函数： φ ( x ) = ξ ( r ( x ) ρ ) 。不失一般性，我们假设在 B ( x ¯ ， 2 ρ ) 内具有支撑集的函数 φ 是 C 2 的(参考E. Calabi [ 6 ] )。 通过计算可以得到，在 B ( x ¯ ， 2 ρ ) 上， | ∇ φ | 2 φ ≤ C 1 2 ρ 2 ， (2.1) 并且 Δ f φ = ξ ′ Δ f r ρ + ξ ″ | ∇ r | 2 ρ 2 . (2.2) 如果对于一些非负常数 K ，有 R i c f ≥ − ( n − 1 ) K ，并且 x ∈ B ( x ¯ ， 2 ρ ) \ B ( x ¯ ， 1 ) ，那么由 f -Laplacian比较定理(参考 [ 8 ] [ 9 ] )可以推出： Δ f r ( x ) ≤ α + ( n − 1 ) K ( 2 ρ − 1 ) ， (2.3) 这里 α = max ∂ B ( x ¯ ， 1 ) Δ f r 。 因此，我们可以从公式(2.2)和(2.3)中得出 Δ f φ ( x ) ≥ − C 1 ρ [ α + ( n − 1 ) K ( 2 ρ − 1 ) ] − C 2 ρ 2 . (2.4)
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user: 摘 要 本文考虑一个具有间接信号产出的山松甲壳虫趋化增长系统： { u t = Δ u − ∇ ⋅ ( u ∇ v ) + μ ( u − u 2 ) ， v t = Δ v + w − v ， τ w t + w = u ， x ∈ Ω ， t > 0 ， x ∈ Ω ， t > 0 ， x ∈ Ω ， t > 0 ， ，其中 Ω ⊂ ℝ n ( n ≥ 3 ) 是一个光滑有界区域， τ > 0 。利用能量方法和Moser迭代证明了在任意充分光滑的初值边界条件下，当 μ 足够大，该模型有唯一的全局有界经典解。 关键词 :间接信号产出，趋化性，Logistic源，有界性 Copyright © 2019 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 本文考虑了具有间接信号产生的趋化增长模型： { u t = Δ u − ∇ ⋅ ( u ∇ v ) + μ ( u − u 2 ) ， x ∈ Ω ， t > 0 ， v t = Δ v + w − v ， x ∈ Ω ， t > 0 ， τ w t + w = u ， x ∈ Ω ， t > 0 ， ∂ u ∂ n = ∂ v ∂ n = ∂ w ∂ n = 0 ， x ∈ ∂ Ω ， t > 0 ， u ( x ， 0 ) = u 0 ( x ) ，   v ( x ， 0 ) = v 0 ( x )   ， w ( x ， 0 ) = w 0 ( x ) ， x ∈ Ω ， (1.1) 其中 Ω ⊂ ℝ n ( n ≥ 3 ) 是一个光滑有界区域， τ > 0 。 u = u ( x ， t ) 表示飞行甲壳虫的密度， v = v ( x ， t ) 表示做窝甲壳虫释放的化学信号浓度， w = w ( x ， t ) 表示做窝甲壳虫的密度。山松甲壳虫的模型最早由Strohm，Tyson和Powell [ 1 ] 提出，该模型是为了研究山松甲壳虫的趋化行为。趋化行为是指由化学信号浓度梯度引起细胞的偏向运动，细胞偏向于朝化学信号浓度增加的地方移动 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]。著名的趋化模型是由Keller-Segel于1970年提出 [ 5 ] ，具体表示为： { u t = Δ u − ∇ ⋅ ( u ∇ v ) ， x ∈ Ω ， t > 0 ， v t = Δ v − v + u ， x ∈ Ω ， t > 0 ∂ u ∂ n = ∂ v ∂ n = 0 ， x ∈ ∂ Ω ， t > 0 ， u ( x ， 0 ) = u 0 ( x ) ，   v ( x ， 0 ) = v 0 ( x ) ， x ∈ Ω ， 其中 Ω ⊂ ℝ n 是一个光滑有界区域， u 表示细胞密度； v 表示细胞产生的化学信号浓度。Keller-Segel模型中的化学信号是由细胞直接产出的，不同于Keller-Segel模型的是模型(1.1)飞行的甲壳虫在松树上做窝产卵变为做窝的甲壳虫产出 [ 6 ]。 当 n = 3 ， μ > 0 时，Hu和Tao在文献 [ 7 ] 中证明了模型解的全局有界性。本文证明了 n ≥ 3 ， μ > δ 2 + C ( p ) ( 2 δ 1 + ε ) 时，模型(1.1)解的全局有界性，其中 δ 1 ， δ 2 ， C ( p ) 满足(3.7)，(3.11)，(3.9)。当 n ≥ 2 时，Li和Tao [ 8 ] 研究了logistic源为 u − u α 时的情况，系数满足 α > n / 2 时模型解的全局有界性，维数 n ≥ 4 时，显然 α > 2 ，而本文 α = 2 优于其结果。在Hu和Tao研究的基础上，Qiu，Mu和Wang [ 9 ] 将飞行甲壳虫的随机扩散项 Δ u 用非线性函数 D ( u ) 来描述，考虑扩散系数 D ( u ) 对模型的影响，当 n ≥ 3 时，假设扩散系数 D ( u ) > D 0 u θ 得到 θ > 1 − 4 / n 时模型解的全局有界性。而当 n ≥ 4 时，本文 θ = 0 优于其结果。当 n ≥ 1 时，Zheng在文献 [ 10 ] 中假设扩散系数 D ( u ) ≥ C D ( u + 1 ) m − 1 得到 m > { 1 − μ χ [ 1 + λ 0 ‖ v 0 ‖ L ∞ ( Ω ) 2 3 ] n ≤ 2 ， 1 n ≥ 3 ， 时模型解的全局有界性。但是本文 n ≥ 3 时 是文献 [ 10 ] 的一个临界情况。 本文在证明解的全局有界性时，先建立 ∫ Ω u 2 ( ⋅ ， t )   d x 和 ‖ v ( ⋅ ， t ) ‖ W 1 ， q ( Ω ) ≤ C 一致先验估计，再建立飞行甲壳虫 u 的 L p ( Ω ) 一致估计，再由Moser迭代推得 u 的 L ∞ ( Ω ) 一致有界性，进而根据抛物型方程Neumann边值问题的正则性理论推得 v 和 w 的一致有界性。具体地说，有以下结果。 定理1： n ≥ 3 ，假设 u 0 ∈ C 0 ( Ω ¯ ) ， v 0 ∈ C 1 ( Ω ¯ ) ， w 0 ∈ C 1 ( Ω ¯ ) ， u 0 ≥ 0 ， v 0 ≥ 0 ， w 0 ≥ 0 和 u 0 ≡ 0 。存在唯一的非负函数 ( u ， v ， w ) ： u ∈ C 0 ( Ω ¯ × [ 0 ， T max ) ) ∩ C 2 ， 1 ( Ω ¯ × ( 0 ， T max ) ) ， v ∈ C 0 ( Ω ¯ × [ 0 ， T max ) ) ∩ C 2 ， 1 ( Ω ¯ × ( 0 ， T max ) ) ， w ∈ C 0 ， 1 ( Ω ¯ × [ 0 ， T max ) ) ， 在 Ω × ( 0 ， ∞ ) 是模型(1.1)的经典解。特别的，存在一个常数 C > 0 ，使得 u ( x ， t ) ≤ C ， v ( x ， t ) ≤ C 和 w ( x ， t ) ≤ C ， x ∈ Ω ， t > 0 。
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user: 2. 先验估计 为了证明定理1结果，首先介绍两个基本引理用于主要结论的证明。 引理1：假设 n ≥ 3 ， p > max { 1 ， n − 2 2 } ，则存在正常数 k 0 使得 ‖ ∇ v ‖ L 2 p + 2 ( Ω ) 2 p + 2 ≤ k 0 ( ‖ | ∇ v | p − 1 D 2 v ‖ L 2 ( Ω ) 2 + 1 ) 。 证明：在文献 [ 10 ] 中的引理2.7中有详细的证明过程。 要证明模型(1.1)的解全局有界，关键要建立 ∫ Ω u 2 ( ⋅ ， t )   d x 和 ‖ v ( ⋅ ， t ) ‖ W 1 ， q ( Ω ) ≤ C 的一致先验估计。 引理2：假设 n ≥ 3 ，对于任意 t ∈ ( 0 ， T max ) ，存在正常数 C > 0 ，使得模型(1.1)的解 ( u ， v ， w ) 满足 ∫ Ω u ( ⋅ ， t ) d x ≤ C ， ‖ v ( ⋅ ， t ) ‖ W 1 ， q ( Ω ) ≤ C 和 ∫ Ω u 2 ( ⋅ ， t ) d x ≤ C 。 证明：Hu和Tao在文献 [ 7 ] 中的引理2.2和引理4.4中证明了 ∫ Ω u ( ⋅ ， t )   d x 和 ∫ Ω u 2 ( ⋅ ， t )   d x 的有界性。由 ∫ Ω u 2 ( ⋅ ， t )   d x 的有界性可以得到 ∫ Ω w 2 ( ⋅ ， t )   d x ≤ C ，从而利用Horstmann和Winkler在文献 [ 11 ] 中的引理4.1得到 ‖ v ( ⋅ ， t ) ‖ W 1 ， q ( Ω ) ≤ C ，其中 q < 2 n n − 2 。
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user: 摘 要 Lyngsie，Thomassen和Zhong [ 1 ] 在1-2-3-猜想的基础上提出了一个强化4-色定理的猜想：对于任意不含孤立边的平面图 G ，存在 G 的一个边赋权 w : E ( G ) → { 1 ， 2 ， 3 } ，使得对任意相邻的两个顶点 u ， v ，有 ∑ e ∈ E ( u ) w ( e ) ≠ ∑ e ∈ E ( v ) w ( e ) ( m o d 4 ) . 我们称满足上述条件的边赋权 w 为 G 的一个3-边赋权4-染色。这是一个比4-色定理强很多的猜想。在本文中我们证明了阶数至少为3的树满足这个猜想。另外，利用4-色定理，我们证明了每一个平面图 G 存在一个4-边赋权4-染色。 关键词 :树，平面图，连通图，边赋权顶点染色 Copyright © 2019 by author and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 对于图的边赋权染色的概念是Karoński，Luczak和Thomason [ 2 ] 在2004年引进的。Karoński，Luczak和Thomason在 [ 2 ] 中提出如下猜想：对任意不含孤立边的图 G ，存在 G 的一个边赋权 w : E ( G ) → { 1 ， 2 ， 3 } ，使得对任意相邻的两个顶点 u ， v ，有 ∑ e ∈ E ( u ) w ( e ) ≠ ∑ e ∈ E ( v ) w ( e ) 。这一猜想近十多年来受到极大的关注，被称为1-2-3-猜想。我们称满足上述条件的边赋权 w 为 G 的一个3-边赋权顶点染色。设 w : E ( G ) → { 1 ， 2 ， ⋯ ， k } 的一个映射，我们称 w 为 G 的一个 k -边赋权。对于 G 的顶点 v ， ∑ e ∈ E ( v ) w ( e ) 为 v 相对于 w 的加权点度。如果对 G 的任意两个相邻的顶点 u ， v ， ∑ e ∈ E ( u ) w ( e ) ≠ ∑ e ∈ E ( v ) w ( e ) ，称 w 为 G 的一个 k -边赋权顶点染色。 Karoński，Luczak和Thomason证明了没有孤立边的3-可染的连通图满足1-2-3-猜想。2010年 Kalkowski，Karoński和Pfender [ 3 ] 证明了没有孤立边的连通图，存在一个5-边赋权染色。2017年，Wu，Zhang和Zhu [ 4 ] 等人证明了4-可染的4-边连通图存在3-边赋权染色。Lyngsie，Thomassen和Zhong [ 1 ] 提出了强化4-色定理的猜想。Lyngsie等人证明了4-可染的4-边连通图和三角化的平面图满足这个猜想。 在本文中我们证明了： 定理1：设 T 是一个阶数至少为3的树，则存在一个3-边赋权 w : E ( T ) → { 1 ， 2 ， 3 } ，使得对任意两个 u v ∈ E ( T ) ， ∑ e ∈ E ( u ) w ( e ) ≠ ∑ e ∈ E ( v ) w ( e ) ( mod 4 ) 。 定理2：至少三个顶点的平面图 G ，令 c : V ( G ) → { 0 ， 1 ， 2 ， 3 } 。若 ∑ v ∈ V ( G ) c ( v ) 是偶数，那么存在一个3-边赋权 w : E ( G ) → { 1 ， 2 ， 3 } ，使得对任意两个相邻的两个顶点 u ， v ， ∑ e ∈ E ( u ) w ( e ) ≠ ∑ e ∈ E ( v ) w ( e ) ( mod 4 ) 。
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user: 2. 定理1的证明 为了证明定理1，我们将证明一个更强的定理如下： 定理3：令 T 是树。假设 L 是 T 的一个列表分配，如下： L ( v ) = { 1 ， 2 ， 3 } ，如果 v 是 T 的叶子点； L ( v ) = { 0 ， 1 ， 2 ， 3 } ，否则。 那么存在一个边赋权 w : E ( T ) → { 1 ， 2 ， 3 } ，使得对任意的点 v 有 ∑ e ∈ E ( v ) w ( e ) ≡ c ( v ) ( mod 4 ) ， 且 c 是 T 的一个好的点染色， c ( v ) ∈ L ( v ) 。 我们通过 V ( T ) 上的归纳假设证明了这一点。如果 | V ( T ) | = 3 ，那么很容易证明定理3。假设 | V ( T ) | ≥ 4 且 n ′ < | V ( T ) | 时，定理3成立。令 u 是树 T 的叶子点， u u * ∈ E ( T ) 。因为 T 不包含 K 2 ，所以 d ( u * ) ≥ 2 。于是接下来的证明我们分两种情况： d ( u * ) = 2 以及 d ( u * ) ≥ 3 。 Case 1： d ( u * ) = 2 。 令 T ′ = T − u ，由归纳假设对任意的点 v ∈ V ( T ′ ) 存在一个边赋权 w ′ : E ( T ′ ) → { 1 ， 2 ， 3 } ， ∑ e ∈ E ( v ) w ′ ( e ) ≡ c ′ ( v ) ( mod 4 ) 。 并且 c ′ 是 T ′ 的一个好的染色 c ′ ( v ) ∈ L ′ ( v ) ，其中对任意的 v ∈ V ( T ′ ) − { u * } 时 L ′ ( v ) = L ( v ) ，且 L ′ ( u * ) = { 1 ， 2 ， 3 } 。令 u * * ≠ u 是 u * 的一个邻点。定义 T 的一个边赋权 w : E ( T ) → { 1 ， 2 ， 3 } ：使得如果 e ∈ E ( T ′ ) ，那么 w ( e ) = w ′ ( e ) ，而 w ( u u * ) 定义如表1。 Table 1 The definition of w ( u u * C(u ** ) 0 1 2 3 C(u * ) 1 2 3 2 3 1 3 1 2 W(uu * ) 11 22 11 33 22 33 11 22 11 33 22 33 11 22 11 33 22 33 表1. w ( u u * ) 的定义 不难发现 w 是 T 的一个边赋权，使得对 ∀ v ∈ V ( T ) ，有 ∑ e ∈ E ( v ) w ( e ) ≡ c ( v ) ( mod 4 ) c 是 T 的一个好的染色， c ( v ) ∈ L ( v ) 。 Case 2： d ( u * ) ≥ 3 。 用集合 S 表示 T 的所有叶子点，即 S = { v : v 是 T 的 叶 子 点 } 。令 N ( S ) = { v * : v v * ∈ E ( T ) ， v ∈ S } 。注意对任意的 v * ∈ N ( S ) 有 d ( v * ) ≥ 3 。如果对任意的 v * ∈ N ( S ) ，在 T 中 v * 只有一个叶子点邻点，那么 T 的平均度 d ¯ ( T ) ≥ 2 ，即 | E ( T ) | ≥ | V ( T ) | ，与 T 是树相矛盾。因此， N ( S ) 中存在一个顶点，不失一般性地 u * ∈ N ( S ) ，使得 u * 在 T 中至少有两个叶子点邻点，记作 u 和 u 1 。令 T ′ = T − { u ， u 1 } ，由归纳假设使对每一个点 v ∈ V ( T ′ ) 存在一个边赋权 w ′ : E ( T ′ ) → { 1 ， 2 ， 3 } ， ∑ e ∈ E ( v ) w ′ ( e ) ≡ c ′ ( v ) ( mod 4 ) ， 使得 c ′ ( v ) ∈ L ′ ( v ) 且 c ′ 是 T ′ 的一个好的染色。其中 L ′ 的定义如下： 如果 d ( u * ) = 3 ，那么 L ′ ( u * ) = { 1 ， 2 ， 3 } ，对任意的点 v ∈ V ( T ′ ) − { u * } 有 L ′ ( v ) = L ( v ) ；如果 d ( u * ) ≥ 4 ，那么对任意的点 v ∈ V ( T ′ ) 有 L ′ ( v ) = L ( v ) 。 定义边赋权 w : E ( T ) → { 1 ， 2 ， 3 } ：如果 e ∈ E ( T ′ ) ，那么 w ( e ) = w ′ ( e ) ；这时我们定义 w ( u * u 1 ) 和 w ( u * u ) 如下：如果 c ′ ( u * ) ≠ 2 那么 w ( u * u 1 ) = w ( u * u ) = 2 ；否则， w ( u * u 1 ) = 1 ， w ( u * u ) = 3 。注意对于每个点 v ∈ V ( T ′ ) ， c ′ ( v ) ≡ c ( v ) ( mod 4 ) 。此外，因为 c ( v ) = c ′ ( v ) + w ( u * u 1 ) + w ( u * u ) ，它验证了 c ( u 1 ) ≠ c ( u * ) ， c ( u ) ≠ c ( u * ) ( mod 4 ) 。因此， w 是 T 中对于每个点 v 的一个边赋权染色， ∑ e ∈ E ( v ) w ( e ) ≡ c ( v ) ( mod 4 ) ， 并且 c 是 T 的一个好的染色， c ( v ) ∈ L ( v ) 。证毕。
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user: 3. 定理2的证明 定理2也可以表述为： 定理4：令 Γ 是四阶循环群，令 G 是非平凡的平面图。那么存在一个边赋权 w : E ( G ) → Γ 使得 c 是一个好的点染色，其中 c ( v ) = ∑ e ∈ E ( v ) w ( e ) 。 因为 Γ 是循环群，由同构的性质我们可以假设 Γ = { g 1 ， g 2 ， g 3 ， g 4 } = { 0 ， 1 ， 2 ， 3 } 。由四色定理，我们可以用四种颜色将一个平面图 G 染好。对于 1 ≤ i ≤ 4 我们假设第 i 个颜色包含 n i ≥ 0 个点。 Case 1：如果图 G 是二部图。 如果二部图 G 是星图 K 1 ， t ，那么令 v 是 K 1 ， t 中不是叶子的点，用 v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v t 表示 K 1 ， t 的叶子点，其中 t 是正整数且 t ≥ 2 。如果 t ≠ 4 p + 1 ，那么对所有的边 e ∈ E ( G ) 令 w ( e ) = 1 。如果 t = 4 p + 1 ，那么对于 i ≤ 4 p − 1 时，令 w ( v v i ) = 1 ；和 w ( v v 4 p ) = w ( v v 4 p + 1 ) = 2 ，这证明了 c 是图 G 的一个好的染色。 假设 G 不是星图。 首先，令 c 0 : V ( G ) → { 0 ， 1 } ，对于 1 ≤ i ≤ 2 我们假设第 i 个颜色类包含 n i ≥ 0 个点。然后我们定义权重 w : E ( G ) → { 0 ， 1 ， 2 ， 3 } 。当 c 0 ≠ ∑ e ∈ E ( v ) w ( e ) 时我们说这个点是错误的点；且当 c 0 = ∑ e ∈ E ( v ) w ( e ) 时我们说这个点是正确的点。我们想要实现图 G 中的每个顶点都是正确的顶点。 最初，我们定义图 G 的每条边的权重为0，即对于任意的 e ∈ E ( G ) 有 w 0 ≡ 0 。因为图 G 是非平凡图，那么由对称性，我们可以在颜色类1中选择一个点 x 以及 d ( x ) ≥ 2 。所以颜色类1中的每个点都是错误的点，因为 c 0 = 1 ≠ 0 = ∑ e ∈ E ( v ) w ( e ) 。 现在我们尝试修改权重：选择一个从错误的点 u 且 g = ∑ e ∈ E ( u ) w ( e ) 到另一个错误的点 v 的偶长途径。遍历这个途径，给途径上的边交替增加 1 − g ， g − 1 ， ⋯ 。这个操作保持了顶点权重的总和，除了点 u 和点 v 其他所有点的权重不变，并且生成了一个正确的点。 如果图 G 中的每个点都是正确的点，那么证毕。否则，存在一个点是错误的点，并且记这个错误的点 x 是颜色类1中的点。因为颜色类0中的点是正确的点，那么 x 的权重 g = 1 − n 2 。如果 g ≠ 0 ，那么证毕。否则我们可以将与 x 相关联的两条边分别加权重2和3。因此，我们得到了边赋权 w 和好的染色 c 。那么证毕。 Case 2：如果图 G 是非二部图。 令 c : V ( G ) → { 0 ， 1 ， 2 ， 3 } = { g 1 ， g 2 ， g 3 ， g 4 } 是一个好的点染色。通过置换颜色类，我们可以假设顶点颜色的总和是偶数，假设 ∑ v ∈ V ( G ) c ( v ) = 2 h 。令其中一条边的权重为 h ( mod 4 ) 和剩余其他边的权重为0，所以顶点权重的总和是 2 h 且 n 1 g 1 + n 2 g 2 + n 3 g 3 + n 4 g 4 = 2 h 。我们现在尝试修改权重，使得顶点的权重总和不变，直到所有染颜色 i 的顶点有权重 g i ， 1 ≤ i ≤ 4 。假设存在一个染颜色 i 的顶点 u 有错误的权重 g ≠ g i ；因为 n 1 g 1 + n 2 g 2 + n 3 g 3 + n 4 g 4 = 2 h 那么存在另一个顶点 v ∈ V ( G ) 的权重也是错误的，选择一个从 u 到 v 的偶长途径，这总是可以存在的，除非图 G 是二部图。遍历这个途径，给途径上的边交替增加 g i − g ， g − g i ， g i − g ， g − g i ， ⋯ 。这个操作保持点的权重的总和，除了点 u 和点 v 其他所有点的权重不变，并且生成了一个正确的点。因此，重复的应用以上操作给出所需的权重。定理证毕。 如果 | Γ | = 2 ，那么定理4可能会不满足。例如星图 K 1 ， 3 不可以用整数模2赋权。
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user: 摘 要 本文研究了复合泊松模型带投资和借贷的最优分红问题。当余额低于绝对破产限时，公司破产。我们的目的是最大化破产前的累积期望折现分红，我们运用测度值生成元理论得出了动态规划方程。 关键词 :最优分红，绝对破产，值函数，测度值生成元 Copyright © 2019 by author and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 保险中的最优分红问题可以追溯到 [ 1 ] 。之后，这一领域的论文大量涌现。关于复合泊松模型的代表性文章有 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] 。为了更贴近实际，我们考虑在此模型基础上加入投资和借贷， [ 7 ] 运用了粘性解的方法研究了这个模型的最优分红问题，但是证明过程比较复杂。我们创新性地运用了测度值生成元的方法重新研究了这个模型。较之以前的方法，这个新方法证明过程更加简单，简化了推导过程。 我们研究分红问题的目的是找到最优分红策略使得破产前的累积期望折现分红最大化。我们运用测度值生成元的方法时，索赔额分布我们允许是任意的。我们首先要讨论值函数的性质，且对可行策略和马氏策略进行刻画，然后从马氏策略中推导出动态规划原理和动态规划方程。但是我们从可行策略中证明了验证定理。 文章结构如下：第二节详细阐述了该问题。第三节讨论值函数性质，刻画了马氏策略和可行策略。第四节得出了动态规划原理和方程。
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user: 2. 模型介绍 为了使我们优化问题的研究过程更加严谨，首先给出一赋予完备 σ -代数流的概率空间 { Ω ， F ˜ ， { F ˜ t } { t ≥ 0 } ， P } 在不受控条件下，保险公司的盈余过程表示为： d R t = ( p + γ R I t − { R t − ≥ 0 } + β R t − I { R t − < 0 } ) d t − d ( ∑ i = 1 N ( t ) Y i ) ， 其中 p ≥ 0 为保费收入率。 { N ( t ) } 服从强度为 λ 的泊松过程，索赔额序列 { Y i } 为一列独立同分布分严格正随机变量，其分布函数为G，并且是与 { N ( t ) } 独立的。 γ > 0 为存款利率。 β ( β > γ ) 为借贷利率。当出现余额赤字时，进行借贷，并且贷款额等于赤字数。同时保险公司将连续地从保费收入中偿还贷款和贷款利息。 定义 τ i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ 为第i次索赔到达的时刻，定义推移算子 { θ t } t ≥ 0 ，其满足 ( θ s ω ) t = ω s + t ， 其中 ω = { ω t } t ≥ 0 ∈ Ω ，   s ， t ≥ 0 。 分红策略 L = { L t } t ≥ 0 是一过程， L t 是从初始时刻到t时刻公司分给股东的累积分红。给定分红策略L，则相对应的受控余额过程 R L 为： d R t L = ( p + γ R t - L I { R t − L ≥ 0 } + β R t − L I { R t − L < 0 } ) d t − d ( ∑ i = 1 N ( t ) Y i ) − d L t (1) 并且相对应的绝对破产时刻定义为： τ L = inf { t ≥ 0 : R t L < − p β } . 一个分红策略是可行的，如果： 1) L 0 = 0 ， L t 是非降的，可料的，左连右极； 2) 等式(1)有唯一强解 R L ； 3) 对任意 t ≥ 0 ，令 g ( x ) = p + γ x I { x ≥ 0 } + β x I { X < 0 } 。 L t < x + ∫ 0 t g ( R s L ) d s − ∑ i = 1 N ( t ) Y i + p β ，且 Δ + L t : = L t + − L t < R t L + p β ； 对任意 x > − p β ，我们定义 Π x 为所有满足初始条件 R 0 = x 的可行策略的集合。令 δ ( δ > α ) 是折现率。累积期望折现分红定义为： V L ( x ) = E x [ ∫ 0 τ L e − δ s d L s ] = E x [ ∫ 0 τ L e − δ s d L s | R 0 = x ] 值函数为 V ( x ) = sup L ∈ Π x V L ( x ) ， x > − p β ，特别地，我们规定当 x ≤ − p β 时， V ( x ) = 0 。如果存在可行策略 L * 满足 V ( x ) = V L * ( x ) 时，则我们称 L * 为最优分红策略。
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user: 3. 可行策略和马氏策略 在这一节我们将证明值函数的基本性质，并且刻画可行策略和马氏策略。 令 ϕ ( x ， t ) 为从 x 出发，没有索赔发生时 R 的确定路径，即 ϕ ( x ， t ) = { ( x + p γ ) e γ t − p γ ， t ≥ 0 ， x ≥ 0 ; p γ e γ ( t − t 0 ) − p γ ， t ≥ t 0 ， − p β < x < 0 ; ( x + p β ) e β t ， 0 ≤ t < t 0 ， − p β < x < 0. 其中 t 0 = 1 β ln ( p p + β x ) 。 命题3.1：值函数 V ( x ) 是非负的，非降的，在 ( − p β ， ∞ ) 上是局部Lipschitz连续的。若 α < δ ， x ∈ R 时， V ( x ) ≥ x + p β ，并且 x ≥ 0 时， V ( x ) ≤ δ x + p δ − α + p β 。 证明：证明过程详见 [ 7 ] 的定理3.1和定理3.2。证毕。 定义函数 α x : R + ↦ R + ，其满足： 1) α x ( 0 ) = 0 ， α x ( ⋅ ) 是非降的，左连右极的； 2) 等式 ϕ α ( x ， t ) = x + ∫ 0 t g ( ϕ α ( x ， s ) ) d s − α x ( t ) 有唯一解 ϕ α ； 3) 对任意 t ≥ 0 ， x > − p β ，有 α x ( t ) < x + ∫ 0 t g ( ϕ α ( x ， s ) ) d s + p β ，且 Δ + α x ( t ) : = α x ( t + ) − α x ( t ) < ϕ α ( x ， t ) + p β ； 令 S x 为所有满足上述条件的函数 α x 的集合。 定理3.2：一个分红策略 L 是可行的当且仅当 L t = L τ n + α R τ n L ( t − τ n ) ， t ∈ [ τ n ， τ n + 1 ) ， n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， (2) 其中 F ˜ τ n × B ( R + ) -可测的。 证明：若(2)式成立，我们显然可知分红策略L是可行的。所以我们只需证明必要性。由于 { F ˜ t } 是一个跳过滤(参考 [ 8 ] )，即 F ˜ t = F ˜ τ n a.s. t ∈ [ τ n ， τ n + 1 ) . 因此，存在 F ˜ τ n × B ( R + ) -可测函数 α R τ n L 使得(2)式成立。由于 L ∈ Π x ，所以 α R τ n L ∈ S R τ n L 。证毕。 定义3.3：若受控余额过程 R L 是强马氏过程，则称分红策略 L ∈ Π x 是马氏策略。若受控余额过程 R L 是时齐的强马氏过程，则称分红策略 L ∈ Π x ，是平稳马氏策略。 令U为所有可测函数 l 的集合，其中可测函数 l : R × R + ↦ R + 满足： 1) 对任意 x > − p β ， s，t ≥ 0 ， l ( x ， s + t ) = l ( x ， s ) + l ( ϕ l ( x ， s ) ， t ) ，其中 ϕ l 是等式 ϕ l ( x ， t ) = x + ∫ 0 t g ( ϕ l ( x ， s ) ) d s − l ( x ， t ) 的唯一解。 2) 对任意 x > − p β ， l ( x ， ⋅ ) ∈ S x 。 定理3.4：分红策略 L ∈ Π x ，是平稳马氏策略当且仅当存在可测函数 l ∈ U 使得 L t = L τ n + l ( R τ n L ， t − τ n ) ， t ∈ [ τ n ， τ n + 1 ) ， n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， (3) 证明：首先证明必要性。由于 L 是一个平稳马氏控制策略，因此其对应的盈余过程 R L 为是时齐的强马氏过程。进而可得 R s + t L = R t L ∘ θ s = R s L + ∫ 0 t g ( R s + u L ) d u − ∑ i = N ( s ) + 1 N ( s + t ) Y i − L t ∘ θ s = x + ∫ 0 s + t g ( R u L )   d u − ∑ i = 1 N ( s + t ) Y i − L s − L t ∘ θ s ， 其中 θ s 是一个推移算子。从(1)式，我们可得 L t + s = L s + L t ∘ θ s ，因此由 [ 9 ] 的定义4.1可知 L 是余额过程 R L 的可加泛函。从 [ 9 ] 的定理3.9，我们可知存在一个可测函数 l ∈ U 使得(3)式成立。 接下来，我们证明充分性。事实上 R L 是一个三元特征为 ( ϕ l ， F ， q ) 逐段决定马氏过程，其中 ϕ l ( x ， t ) 是两个索赔之间的确定的 R L 轨道。其表述为 ϕ l ( x ， t ) = x + ∫ 0 t g ( ϕ l ( x ， u ) ) d u − l ( x ， t ) 。 则 ϕ l ( x ， s + t ) = x + ∫ 0 s + t g ( ϕ l ( x ， u ) ) d u − l ( x ， s + t ) = ϕ l ( x ， s ) + ∫ 0 t g ( ϕ l ( x ， s + u ) ) d u − l ( ϕ l ( x ， s ) ， t ) ， ϕ l ( ϕ l ( x ， s ) ， t ) = ϕ l ( x ， s ) + ∫ 0 t g ( ϕ l ( ϕ l ( x ， s ) ， u ) ) d u − l ( ϕ l ( x ， s ) ， t ) . 然后定义两个函数 m ( t ) = ϕ l ( x ， s + t ) ； n ( t ) = ϕ l ( ϕ l ( x ， s ) ， t ) ， m ( 0 ) = n ( 0 ) = ϕ l ( x ， s ) ， m 和 n 都是方程 ψ ( t ) = ψ ( 0 ) + ∫ 0 t g ( ψ ( u ) ) d u − l ( ψ ( 0 ) ， t ) 的解。由于 l ( ψ ( 0 ) ， ⋅ ) ∈ S ψ ( 0 ) ，所以这个方程有唯一解。进而可得， ϕ l ( x ， s + t ) = ϕ l ( x ， s ) + ϕ l ( ϕ l ( x ， s ) ， t ) . 又由于 F ( x ， s ) F ( ϕ l ( x ， s ) ， t ) = e − λ s e − λ t = e − λ ( s + t ) = F ( x ， s + t ) . q ( ϕ l ( x ， s ) ， t ， d y ) = d G ( ϕ l ( ϕ l ( x ， s ) ， t ) − y ) = d G ( ϕ l ( x ， s + t ) − y ) = q ( x ， s + t ， y ) . 因此， R L 是一个时齐的强马氏过程， L 是平稳马氏控制策略。
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user: 4. 动态规划原理和方程 引理4.1：假定存在最优分红策略 L * ∈ Π x ，并且其是平稳马氏策略， l * ∈ U 与之一一对应，则对任意 x > − p β ， t ≥ 0 ，有 V ( x ) = sup l ∈ U E x [ ∫ 0 t ∧ τ 1 e − δ s l ( x ， d s ) + e − δ ( t ∧ τ 1 ) V ( R t ∧ τ 1 l ) ] . 证明：由于 L * ∈ Π x 是最优分红策略， l * ∈ U 之对应，则 V ( x ) = V L * ( x ) = E x [ ∫ 0 t ∧ τ 1 e − δ s l * ( x ， d s ) + e − δ ( t ∧ τ 1 ) V ( R t ∧ τ 1 l * ) ] . (4) 现在我们取 l ∈ U 构造一个新的平稳马氏策略 L ^ ，从0时刻到 t ∧ τ 1 ，我们取 L ^ = L ； t ∧ τ 1 之后取 L ^ = L * . 则，我们可得 V ( x ) > V L ^ ( x ) = E x [ ∫ 0 t ∧ τ 1 e − δ s l ( x ， d s ) + e − δ ( t ∧ τ 1 ) V ( R t ∧ τ 1 l ) ] . (5) 综合(4)和(5)式，结论得证。证毕。 整理(5)式，可知 0 ≥ E x [ ∫ 0 t ∧ τ 1 e − δ s l ( x ， d s ) + e − δ ( t ∧ τ 1 ) V ( R t ∧ τ 1 l ) ] − V ( x ) = e − λ t ∫ 0 t e − δ s l ( x ， d s ) + e − ( λ + δ ) t V ( ϕ l ( x ， t ) ) − V ( x ) + ∫ 0 t λ e − λ s ∫ 0 s e − δ u l ( x ， d u ) d s + ∫ 0 t λ e − ( λ + δ ) s ∫ ( 0 ， φ l ( x ， s ) + p β ) V ( ϕ l ( x ， s ) − y ) d G ( y ) d s . 又因为 e − λ t ∫ 0 t e − δ s l ( x ， d s ) = ∫ 0 t e − ( λ + δ ) s l ( x ， d s )                   − ∫ 0 t λ e − λ s ∫ 0 s e − δ u l ( x ， d u ) d s ， e − ( λ + δ ) t V ( ι l ( x ， t ) ) − V ( x ) = ∫ 0 t e − ( λ + δ ) s d V ( ϕ l ( x ， s ) ) − ( λ + δ ) ∫ 0 t e − ( λ + δ ) s V ( ϕ l ( x ， s ) )   d s . 则可得 0 ≥ ∫ 0 t e − ( λ + δ ) s l ( x ， d s ) − ∫ 0 t e − ( λ + δ ) s [ ( λ + δ ) V ( ϕ l ( x ， s ) ) + λ ∫ ( 0 ， φ l ( x ， s ) + p β ) V ( ϕ l ( x ， s ) − y ) d G ( y ) ] d s + e − ( λ + δ ) s d V ( ϕ l ( x ， s ) ) . (6) 令 H l V ( x ， t ) : = l ( x ， t ) − ∫ 0 t [ ( λ + δ ) V ( ϕ l ( x ， s ) ) + ∫ ( 0 ， φ l ( x ， s ) + p β ) V ( ϕ l ( x ， s ) − y ) d G ( y ) ]   d s + ∫ 0 t d V ( ϕ l ( x ， s ) ) . 对任意 t > s ≥ 0 ，则(6)式可被写为： 0 ≥ ∫ 0 t e − ( λ + δ ) s H l V ( x ， d s ) = ∫ 0 s e − ( λ + δ ) u H l V ( x ， d s ) + ∫ s t e − ( λ + δ ) u H l V ( x ， d u ) (7) 由于 ϕ l ( x ， s + t ) = ϕ l ( x ， s ) + ϕ l ( ϕ l ( x ， s ) ， t ) 和(7)式知 ∫ s t e − ( λ + δ ) u H l V ( x ， d u ) = ∫ 0 t − s e − ( λ + δ ) ( u + s ) H l V ( ϕ l ( x ， s ) d u ) ≤ 0. 因此，上式左边这个函数关于t是非增的，又由于 e − ( λ + δ ) t ≥ 0 ， t ≥ 0 。所以 H l V ( x ， t ) ≤ 0 ， t ≥ 0 ， x > − p β . 另一方面，我们假定存在最优平稳马氏策略L * ，其与函数 l * ∈ U 相对应。在(4)上运用相同的方法，可得 sup l ∈ U { H l V ( x ， t ) } = 0 ， t ≥ 0 ， x > − p β . (8) 因此，综合上述两个式子，我们可知 sup α x ∈ S x { H α V ( x ， t ) } = 0 ， t ≥ 0 ， x > − p β . (9) 这意味着 0 = sup α x ∈ S x { α x ( t ) − δ ∫ 0 t V ( ϕ α ( x ， s ) ) d s + A α V ( x ， t ) } ， (10) 其中 A α V ( x ， t ) = V ( ϕ α ( x ， t ) ) − V ( x ) − λ ∫ 0 t V ( ϕ α ( x ， s ) ) d s + λ ∫ 0 t ∫ ( 0 ， φ α ( x ， s ) + p β ) V ( ϕ α ( x ， s ) − y ) d G ( y ) d s 。 (11) 等式(10)为动态规划方程。
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user: 摘 要 2017年，美国食品药品监督管理局(FDA)加速批准了新药Bavencio，主要成分Avelumab。该药对转移性默克尔细胞癌(mMCC)具有持续缓解作用，它在美国已被加速批准用于治疗成人和12岁儿童的默克尔细胞癌(MCC)。在欧洲，治疗转移性尿路上皮癌生物制剂许可证申请也在接受FDA的优先审查，对于不同癌症治疗正处于发展阶段。本篇文章将讲述该药对于默克尔细胞癌以及转移性尿路上皮癌等几个方面的治疗作用，从药效学，药物动力学，临床试验及副反应等方面进行总结并对Avelumab类新药进行进一步发展进行探讨。 关键词 :Avelumab，默克尔细胞癌，Pd-L1，JAVELIN200 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/