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user: 3. I L n − i 的反强迫数和反强迫谱 定理1 若M是删边梯子图 I L n − i 的含有 p ≤ 2 条非内部垂直匹配边的完美匹配，则 a f ( I L n − i ， M ) = { n − 2 2 ，             p = 0 n − 1 2 ， p = 1 且 i 为 偶 数 n − 3 2 ， p = 1 且 i 为 奇 数 n − 2 2 ，             p = 2 。 证明 因为 I L n − i 是一个不可分解删边梯子图，所以由引理1和分解引理知 I L n − i 的完美匹配M有 p ( p = 0 ， 1 ， 2 ) 条垂直匹配边。下面根据p值分情况讨论： 情形1 若 p = 0 ，此时删边梯子图 I L n − i 无垂直匹配边且n为偶数，匹配方式如图3所示。 图3. I L n − i 中 p = 0 的情形 所以 a f ( I L n − i ， M ) = q − 1 = n − 2 2 ； 情形2 若 p = 1 ，此时删边梯子图 I L n − i 仅有一条垂直匹配边，不妨设 a 1 b 1 是这条垂直匹配边，当i为偶数时，匹配方式如图4(a)所示；i为奇数时，匹配方式如图4(b)所示。 图4. p = 1 情形(a) i为偶数；(b) i为奇数 令 A 是 I L n − i 的相容M-交错集，因为一个M-交错圈至少包含两条垂直边，当i是偶数时，所有交错4圈和交错圈 a 1 a 2 ⋯ a i a i + 1 b i + 1 b i ⋯ b 2 b 1 a 1 是M-相容的，且用完了每一个垂直单边，又因包含 a 1 b 1 的M-相容交 错圈必包含 a 1 a 2 ，故 | A | max = n − 1 2 ；当i是奇数时，因没有M-交错圈能包含 a 1 b 1 和 a i − 1 b i − 1 ，而其余垂直边均包含在M-相容交错4圈中，故 | A | max = n − 3 2 。因此由引理1知 a f ( I L n − i ， M ) = { q = n − 1 2 ， i 为 偶 数 q − 1 = n − 3 2 ， i 为 奇 数 ； 情形3 p = 2 ，此时删边梯子图 I L n − i 有两条垂直匹配边且分别位于两边，匹配方式如图5所示。 图5. I L n − i 中 p = 2 所以由引理1知 a f ( I L n − i ， M ) = q = n − 2 2 综上，定理得证。 在 I L n − i 中，我们把位于 a i b i 左边的垂直匹配边的总数记为 p 1 ，位于 a i b i 右边的垂直匹配边的总数记为 p 2 ，显然有 p = p 1 + p 2 ≡ n 。 定理2 若M是删边梯子图 I L n − i 的一个包含p条垂直匹配边的完美匹配，则 a f ( I L n − i ， M ) = { n + p − 2 2 ， p 1 = 0 ， 且 a i − 1 a i ∈ M 或   p 2 = 0 且 a i a i + 1 ∈ M ， n + p − 4 2 ， 其 它 . 证明 当 I L n − i 无垂直匹配边则 p 1 = p 2 = 0 ；当 a i b i 只有一侧存在垂直匹配边则 p 1 = 0 ， p 2 ≠ 0 或 p 1 ≠ 0 ， p 2 = 0 ；当 a i b i 两侧都存在垂直匹配边则 p 1 p 2 ≥ 1 。下面分情况讨论： 情况1若 p 1 = p 2 = 0 ，整个删边梯子图无垂直匹配边，即 p = 0 ，所以由定理1易知 a f ( I L n − i ， M ) = q − 1 = n − 2 2 = n + p − 2 2 ； 情况2 ① 若 p 1 = 0 ， p 2 ≠ 0 ， a i b i 只有右侧存在垂直匹配边，不妨设离 a i b i 最近的右侧垂直匹配边为 a j b j ，由引理4可知整个删边梯子图可以从 a j b j 处分解成两个片段，第一片段为删边梯子图 I L j − i ，第二 片段为梯子图 L n − j + 1 ，此处 p 2 = p 。定义 M 1 = M ∩ E ( I L j − i ) 是 I L j − i 上的完美匹配； M 2 = M ∩ E ( L n − j + 1 ) 是 L n − j + 1 上的完美匹配，由引理2和引理4易知 a f ( I L j − i ， M 1 ) = { j − 1 2 ， i 为 偶 数 j − 3 2 ， i 为 奇 数 ； a f ( L n − j + 1 ， M 2 ) = n − j + 1 + p 2 − 2 2 。 故 当i为偶数时，即 a i − 1 a i 为匹配边时 a f ( I L n − i ， M ) = a f ( I L j − i ， M 1 ) + a f ( L n − j + 1 ， M 2 ) = j − 1 2 + n − j + 1 + p 2 − 2 2 = n + p − 2 2 当i为奇数时，即 a i a i + 1 为匹配边时 a f ( I L n − i ， M ) = a f ( I L j − i ， M 1 ) + a f ( L n − j + 1 ， M 2 ) = j − 3 2 + n − j + 1 + p 2 − 2 2 = n + p − 4 2 。 ② p 1 ≠ 0 ， p 2 = 0 时同理可得 a f ( I L n − i ， M ) = { n + p − 2 2 ， a i a i + 1 为 匹 配 边 n + p − 4 2 ， a i − 1 a i 为 匹 配 边 情况3 若 p 1 ， p 2 ≥ 1 ， a i b i 两侧都存在垂直匹配边不妨记离 a i b i 最近的左右侧竖直匹配边分别为 a j b j ， a k b k ，则梯子图 I L n − i 可分解成三段，三个片段分别为 L j ， I L k − j + 1 − ( i − j + 1 ) ， L n − k + 1 ；不妨记 M 1 = M ∩ E ( L j ) ， M 2 = M ∩ E ( I L k − j + 1 − ( i − j + 1 ) ) ， M 3 = M ∩ E ( L n − k + 1 ) 分别是三个片段上的完美匹配， p 1 和 p 2 分别是 L j 和 L n − k + 1 上竖直匹配边的数目，显然 p 1 + p 2 = p 。由引理2，定理1和引理4可得 a f ( L j ， M 1 ) = j + p 1 − 2 2 ； a f ( I L k − j + 1 − ( i − j + 1 ) ， M 2 ) = k − j + 1 − 2 2 ； a f ( L n − k + 1 ， M 3 ) = n − k + 1 + p 2 − 2 2 。 所以 a f ( I L n − i ， M ) = a f ( L j ， M 1 ) + a f ( I L k − j + 1 − ( i − j + 1 ) ， M 2 ) + a f ( L n − k + 1 ， M 3 ) = j + p 1 − 2 2 + k − j + 1 − 2 2 + n − k + 1 + p 2 − 2 2 = n + p − 4 2 综上三种情况，定理得证。 定理3 I L n − i 的反强迫谱为 S p e c a f ( I L n − i ) = { { n − 3 2 + f ， n − 1 2 + f ， ⋯ ， n + p − 4 2 + f ， ⋯ ， 2 n − 5 2 + f } ， n ≥ 3 且 n 为 奇 数 { n − 2 2 ， n − 2 2 + f ， ⋯ ， n + p − 4 2 + f ， ⋯ ， 2 n − 5 2 + f } ， n ≥ 4 且 n 为 偶 数 其中将 I L n − i 按所有内部垂直匹配边分解为片段时，若包含 a i 的片段中仅含唯一的垂直匹配边 a j b j ，且 i ≡ j 时 f = 1 ，否则 f = 0 。 证明 按照 I L n − i 的完美匹配M中的垂直匹 配边的条数p和 i ， j 的同奇偶性分情况讨论： 情形1 若 p = 0 ，此时 a f ( I L n − i ， M ) = n − 2 2 ； 情形2 若 p = 1 ，此时包含 a i 的片段中仅含唯一的垂直匹配边 a j b j ，根据定理1情况2可知 当 i ≡ j 时， a f ( I L n − i ， M ) = n + p − 2 2 = n − 1 2 ； 当 i ≡ j 时， a f ( I L n − i ， M ) = n + p − 4 2 = n − 3 2 。 此时 a f ( I L n − i ， M ) = n + p − 4 2 + f = n − 3 2 + f 情形3 若 p ≥ 2 ，这时包含 a i 的片段可能包含一条或两条垂直匹配边。 情形3.1 当包含 a i 的片段中仅含唯一的垂直匹配边 a j b j 。若 i ≡ j ， a f ( I L n − i ， M ) = n + p − 2 2 = n + p − 4 2 + 1 = n + p − 4 2 + f ； 否则 a f ( I L n − i ， M ) = n + p − 4 2 = n + p − 4 2 + 0 = n + p − 4 2 + f ； 情形3.2 当包含 a i 的片段包含两条垂直匹配边时， a f ( I L n − i ， M ) = n + p − 4 2 = n + p − 4 2 + f 。 综上，结论成立。 根据以上结论，我们可以得出 I L n − i 的反强迫多项式，特别当 n ≡ i ≡ 1 时有 推论1 设 n ， i 都为奇数，则有 A f ( I L n − i ， x ) = ∑ p = 1 n − 2 | M p | x n + p − 4 2 。 其它情况下其形式过于复杂，在此不作赘述，仅给出几个具体例子： A f ( I L 8 − 3 ， x ) = 7 x 3 + 9 x 4 + 2 x 5 ， A f ( I L 7 − 4 ， x ) = 8 x 3 + 4 x 4 ， A f ( I L 16 − 6 ， x ) = 19 x 7 + 141 x 8 + 303 x 9 + 275 x 10 + 120 x 11 + 25 x 12 + 2 x 13 。 推论2 a f ( I L n − i ) = { n − 3 2 + f ， n ≥ 3 且 n 为 奇 数 n − 2 2 ， n ≥ 4 且 n 为 偶 数 。 推论3 A f ( I L n − i ) = n − 3 + f 。 定理4 若 I L n − i 含p条垂直匹配边，则其完美匹配个数为 | M p | = ∑ p 1 = 0 p ( ⌊ i − 1 + p 1 2 ⌋ p 1 ) ( ⌊ n − i + p − p 1 2 ⌋ p − p 1 ) 。 证明 设 a i 左边和右边分别有 p 1 ， p 2 条垂直匹配边， p 1 + p 2 = p 。 情形1 当i为偶数时， ① a i − 1 a i ∈ M ， p 1 必为偶数，则 I L n − i 可以从 a i − 2 a i − 1 和 a i a i + 1 处分解开，由引理8知 | M | p = ∑ p 1 = 0 p 1 ≡ i p ( i − 2 + p 1 2 p 1 ) ( n − i + p 2 2 p 2 ) ； ② a i − 1 a i ∉ M ， p 1 必为奇数，同理 | M | p = ∑ p 1 = 1 p 1 ≡ i p ( i − 2 + p 1 2 p 1 ) ( n − i + p 2 2 p 2 ) ； 情形2 当i为奇数时， ① a i − 1 a i ∈ M ， p 1 必为奇数， | M | p = ∑ p 1 = 1 p 1 ≡ i p ( i − 1 + p 1 2 p 1 ) ( n − i − 1 + p 2 2 p 2 ) ② a i − 1 a i ∉ M ， p 1 必为偶数， | M | p = ∑ p 1 = 0 p 1 ≡ i p ( i − 1 + p 1 2 p 1 ) ( n − i − 1 + p 2 2 p 2 ) 综上得， | M p | = ∑ p 1 = 0 p 1 ≡ i p ( i − 2 + p 1 2 p 1 ) ( n − i + p − p 1 2 p − p 1 ) + ∑ p 1 = 0 p 1 ≡ i p ( i − 1 + p 1 2 p 1 ) ( n − i − 1 + p − p 1 2 p − p 1 ) = ∑ p 1 = 0 p ( ⌊ i − 1 + p 1 2 ⌋ p 1 ) ( ⌊ n − i + p − p 1 2 ⌋ p − p 1 ) 定理得证。 我们用在梯子图的所有完美匹配中减去含 a i b i 的完美匹配的方法就可以得到以下推论。 推论4 I L n − i 含p条竖直匹配边完美匹配个数 | M p | = ( n + p 2 p ) − ∑ p 1 = 0 z ( i − 1 + p 1 2 p 1 ) ( n − i + p 2 2 p 2 ) ， 其中 z = min { p − 1 ， i − 1 } ， p 1 + p 2 = p − 1 ， n ≡ p ， p 1 ≡ i − 1 。 推论5 删边梯子图 I L n − i 完美匹配数 | M | = F n + 1 − F i F n − i + 1 = ∑ p = 0 n − 2 | M p | 。 由此可知，对于给定的i， I L n − i 的完美匹配数是一个具有特定初值的斐波那契数列。特别地，当 i = 2 ， 3 时分别为斐波那契数列和卢卡斯数列。