system: [SYSTEM]

user: 4. 开普勒-47双星系统周围的宜居带 4.1. 双星系统周围宜居带的内、外边界 双星公转轨道平面上的某点到主星和次星的距离分别表示为 和 ，接收到的主星和次星的辐射流量分别表示为 和 。双星系统周围宜居带的内边界上的某点到到主星和次星的距离分别表示为 和 ，接受到的主星和次星的辐射流量分别表示为 和 。双星系统周围宜居带的外边界上的某点到到主星和次星的距离分别表示为 和 ，接受到的主星和次星的辐射流量分别表示为 和 。单独由主星产生的宜居带的内、外边界的辐射流量分别表示为 和 ，主星宜居带的内、外边界到主星的距离分别表示为 和 。单独由次星产生的宜居带的内、外边界的辐射流量分别表示为 和 ，次星宜居带的内、外边界到次星的距离分别表示为 和 。 双星系统周围的某点会同时接受主星和次星的辐射，则双星系统周围宜居带的内、外边界上的辐射流量必然满足： (9) (10) 主星和次星的光度满足的关系式为： (11) (12) 联立(9)、(10)、(11)、(12)式，可以得出则双星宜居带的内、外边界的距离满足的条件为： (13) (14) 4.2. 开普勒-47双星系统周围宜居带的内、外边界与x轴的交点坐标 本文第3节已经算出：主星宜居带的内边界到主星的距离为0.76875 AU，次星宜居带的内边界到次星的距离为0.11546 AU；主星的坐标为(−0.02154 AU， 0)，次星的坐标为(0.06207 AU， 0)。把这四个数据代入(13)式，就可以得到双星宜居带内边界与x轴交点(y = 0)的横坐标的方程： (15) 显然(15)式是关于x的4次方程，没有解析解，只能求数值解。主星宜居带的内边界与x轴的两个交点的坐标分别为(−0.79029 AU， 0)和(0.74721 AU， 0)。而主星和次星对辐射流量都有贡献，所以双星宜居带的内边界距离主星会更远一些。可是次星光度仅仅是主星光度的1/60，所以双星宜居带与主星宜居带相差并不大。 我们先求双星宜居带内边界与x轴负向的交点坐标，具体方法如下。第一步，以0.01AU为间隔，分别求 ， ， ， 和 的值；计算结果显示 ，而 ；可以断定双星宜居带内边界与x轴负向的交点横坐标介于−0.79和−0.80 AU之间。第二步，以0.001AU为间隔，计算结果显示 ，而 ；可以断定双星宜居带内边界与x轴负向的交点横坐标介于−0.797和−0.798AU之间。第三步，以0.0001AU为间隔，计算结果显示 ，而 ；可以断定双星宜居带内边界与x轴负向的交点横坐标介于−0.7972和−0.7973AU之间。第四步，以0.00001 AU为间隔，计算结果显示 ， 与1最接近，所以双星宜居带内边界与x轴负向的交点坐标为(−0.79726AU，0)。重复这四个步骤，可以求出双星宜居带内边界与x轴正向的交点坐标为(0.75795AU，0)。这也就求出了双星宜居带内边界横坐标的取值范围： 。 主星宜居带的外边界到主星的距离为1.53526 AU，次星宜居带的外边界到次星的距离为0.23224 AU；主星的坐标为(−0.02154 AU， 0)，次星的坐标为(0.06207 AU， 0)。把这四个数据代入(14)式，就可以得到双星宜居带外边界与x轴交点(y=0)的横坐标的方程： (16) 主星宜居带的外边界与x轴的两个相交点的坐标分别为(−1.55680 AU， 0)和(1.51372 AU， 0)。采用与上一段相同的数值求解方法，就可以求出双星宜居带外边界与x轴的两个交点坐标为(−1.57253 AU， 0)和(1.53321 AU， 0)。这也就求出了双星宜居带外边界横坐标的取值范围： 。 4.3. 开普勒-47双星系统周围的宜居带 联立(13)、(15)式，可以得出双星宜居带内边界的横坐标和纵坐标满足： (17) 整理可得： (18) 当x给定时，(18)式就是以 为变量的一元二次方程，可以解出 (采用正数解，舍去负数解)，进而求出y(大小相等，一正一负的两个解)。4.2节已经求出双星宜居带内边界横坐标的取值范围是 。在 的范围，以0.001 AU的间隔选取不同的x值，根据(18)就可以解出相应的y值，把这些坐标点连起来就是双星宜居带的内边界。 联立(14)、(16)式，可以得出双星宜居带外边界的横坐标和纵坐标满足： (19) 整理可得： (20) 4.2节已经求出双星宜居带外边界横坐标的取值范围是 。在 的范围，以0.001 AU的间隔选取不同的x值，根据(20)就可以解出相应的y值，把这些坐标点连起来就是双星宜居带的外边界。双星宜居带内边界和外边界之间的区域就是双星宜居带，如图4所示。 4.4. 开普勒-47外行星与双星宜居带的关系 观测表明开普勒-47双星相互绕转的轨道和内行星的公转轨道的椭率都很小 [ 25 ] ，所以本文中采取正圆近似是可以接受的。可是，观测还表明开普勒-47外行星在95%的置信空间内，轨道椭率小于0.411 [ 25 ] ，这就应该区别对待。如果开普勒-47外行星的公转轨道是正圆，则整个轨道都在双星宜居带中，如图4所示。如果开普勒-47外行星的公转轨道是椭率为0.411的椭圆，则其公转轨道与双星宜居带又是什么样的关系呢？ 开普勒-47外行星的轨道半长轴为0.98927 AU，根据椭圆轨道的性质，可以算出焦点到椭圆中心的距离为0.40659 AU，轨道半短轴为0.90185 AU。开普勒-47外行星的轨道焦点就是双星系统的公共质心，开普勒-47外行星通过近日点的时候，可能与主星在焦点的同一侧，如图5所示；也可能与主星在焦点的相反两侧，如图6所示。由于主星的光度约为次星光度的60倍，所以双星系统的宜居带由主星来主导；双星系统的宜居带的中心更接近主星而不是双星系统的公共质心。由于双星宜居带的中心和外行星轨道的焦点并不重合，所以图5和图6所示的情况就有一定的差异，需要区别对待。 在本文中，以公共质心为坐标原点，而焦点就在公共质心上；所以图5中开普勒-47外行星的椭圆轨道中心的坐标为(0.40659 AU， 0)，近日点的坐标为(−0.58268 AU， 0)，远日点的坐标为(1.39586 AU， 0)。椭圆轨道方程为： (21) 整理(21)式可得： (22) 我们首先以0.001 AU的间隔选取不同的x值，根据(22)式解出y。 图4. 开普勒-47双星系统的宜居带 图5. 开普-47外行星的轨道近日点与主星在同一侧的示意图 图6. 开普-47外行星的轨道近日点与主星在相反两侧的示意图 图5显示椭圆轨道与双星宜居带内边界有交叉，可是交点坐标很难用解析法求出，只能通过数值计算来求解，具体步骤如下。第一步，仔细对比椭圆轨道与双星宜居带内边界的坐标数据，发现当x = −0.104 AU时，椭圆轨道的纵坐标小于双星宜居带内边界的纵坐标；而当x = −0.103 AU时，椭圆轨道的纵坐标大于双星宜居带内边界的纵坐标。第二步，在−0.104 AU和−0.103 AU之间以0.0001 AU的间隔选取不同的x值，当x = −0.1035 AU时，椭圆轨道的纵坐标小于双星宜居带内边界的纵坐标；而当x = −0.1034AU时，椭圆轨道的纵坐标大于双星宜居带内边界的纵坐标。第三步，在−0.1035 AU和−0.1034 AU之间以0.00001 AU的间隔选取不同的x值，当x = −0.10344 AU时，椭圆轨道的纵坐标的绝对值(0.77275523 AU)与双星宜居带内边界的纵坐标的绝对值(0.77275670 AU)最接近；这就求出了椭圆轨道与双星宜居带内边界的两个交点的坐标：(−0.10344 AU， 0.77276AU)和(−0.10344 AU， −0.77276 AU)。 根据两个交点的坐标，可以求出两个交点和坐标原点(椭圆轨道的焦点)组成的三角形的面积为0.07990200 AU 2 。两个交点的连线和两个交点之间的椭圆弧线组成的椭圆弓形面积很难解析法求出，只能通过数值计算来求解，具体步骤如下。第一步，根据近日点坐标和两个交点坐标可以确定椭圆弧线的横坐标取值范围是 。第二步，在 的范围，以0.001 AU的间隔选取不同的x值，列出相应的y值；这样就可以把椭圆弓形面积分成479个小梯形和1个小三角形。第三步，分别求出这479个小梯形和1个小三角形的面积，再求和，就求出了椭圆弓形的面积：0.52402848 AU 2 。 这样就可以求出两个交点和坐标原点(椭圆轨道焦点)组成的扇形面积为0.60393048 AU 2 。根据椭圆轨道半长轴和半短轴的数据，可以算出整个椭圆的面积为2.80285549 AU 2 ，进而求出扇形面积占椭圆面积的21.547%。根据开普勒第二定律，可以算出开普勒-47外行星有21.547%的时间不在双星宜居带中，而有78.453%的时间处在双星宜居带中。开普勒-47外行星的公转周期为303.158天 [ 25 ] ，可以算出开普勒-47外行星在一个公转周期内有65.321天不在双星宜居带中，而有237.837天处在双星宜居带中。 对于图6所示的情境，普勒-47外行星的椭圆轨道中心的坐标为(−0.40659 AU， 0)，近日点的坐标为(0.58268 AU， 0)，远日点的坐标为(−1.39586 AU， 0)。椭圆轨道方程为： (23) 整理(23)式可得： (24) 然后，我们采用相同的方法可以算出两个交点的坐标为(0.11705 AU， 0.76515 AU)和(0.11705 AU， −0.76515 AU)，扇形面积为0.59265807 AU 2 ；开普勒-47外行星在一个公转周期内有64.102天不在双星宜居带中，而有239.056天处在双星宜居带中。