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user: 5. 数值模拟 在本节中，我们利用RStudio来评估所构建的五种置信区间( C I L ， C I G 1 ， C I G 2 ， C I B S 1 和 C I B S 2 )的表现。我们提出以下的指标来衡量区间的表现： · 覆盖率(CP)：模拟的置信区间覆盖住 θ 的比例； · 平均长度(AL)：模拟置信区间的平均长度； · 相对偏度(RB)： RB = | ( uppererrorrate ) − ( lowererrorrate ) | | ( uppererrorrate ) + ( lowererrorrate ) | 其中，“lower error rate”为 θ 低于区间下极限的次数的比例，同样“upper error rate”可类似定义。在模拟学习中，我们选择显著性水平 α = 0.05 。对于任何参数配置，我们分别从两个独立对数正态总体中生成5000组随机样本来构建95%置信区间。我们选取样本量大小 ( n 1 ， n 2 ) 分布为 ( 20 ， 20 ) ， ( 40 ， 40 ) ， ( 60 ， 60 ) ， ( 20 ， 60 ) ， ( 20 ， 100 ) ， ( 40 ， 100 ) ， ( 60 ， 100 ) ， ( 100 ， 100 ) 。所有模拟结果均被记录在表1、表2和表3中。表1中的参数配置为 ( μ 1 ， μ 2 ) = ( 1 ， 1 ) ， ( μ 1 ， μ 2 ) = ( 3 ， 1 ) 以及 ( σ 1 ， σ 2 ) = ( 0.1 ， 0.1 ) ，表2的参数配置为 ( μ 1 ， μ 2 ) = ( 1 ， 1 ) ， ( μ 1 ， μ 2 ) = ( 3 ， 1 ) 以及 ( σ 1 ， σ 2 ) = ( 0.1 ， 0.3 ) ，表3的参数配置为 ( μ 1 ， μ 2 ) = ( 1 ， 1 ) ， ( μ 1 ， μ 2 ) = ( 3 ， 1 ) 以及 ( σ 1 ， σ 2 ) = ( 0.3 ， 0.3 ) 。 Table 1 Simulation results of Coverage Probability， Average Length and Relative Bias of CIs where (Sigma1， Sigma2) = (0.1， 0.1 样本量(均值参数都为1) (20， 20) (40， 40) (60， 60) (20， 60) (20， 100) (40， 100) (60， 100) (100， 100) C I L CP 0.9446 0.9472 0.9526 0.9358 0.9370 0.9422 0.9492 0.9416 AL 0.1234 0.0873 0.0714 0.1004 0.0948 0.0730 0.0639 0.0553 RB 0.1311 0.2273 0.1477 0.1526 0.0349 0.2042 0.1102 0.0205 C I G 1 CP 0.9586 0.9512 0.9578 0.9454 0.9476 0.9480 0.9526 0.9422 AL 0.1315 0.0900 0.0729 0.1060 0.1003 0.0749 0.0650 0.0560 RB 0.0239 0.1121 0.0685 0.0706 0.0781 0.0866 0.0167 0.0345 C I G 2 CP 0.9586 0.9512 0.9578 0.9454 0.9476 0.9480 0.9526 0.9422 AL 0.1315 0.0899 0.0728 0.1059 0.1003 0.0750 0.0650 0.0560 RB 0.0242 0.1475 0.0711 0.0476 0.1069 0.1385 0.0295 0.0865 C I B S 1 CP 0.9626 0.9524 0.9548 0.9486 0.9520 0.9476 0.9472 0.9410 AL 0.1336 0.0899 0.0725 0.1071 0.1015 0.7470 0.0645 0.0555 RB 0.0481 0.1597 0.1239 0.0739 0.1000 0.1450 0.0985 0.0102 C I B S 2 CP 0.9540 0.9474 0.9550 0.9422 0.9430 0.9446 0.9504 0.9400 AL 0.1296 0.0888 0.0719 0.1044 0.0988 0.0739 0.0641 0.0553 RB 0.0522 0.2167 0.1467 0.0796 0.0456 0.1769 0.0484 0.0333 样本量(均值参数分别为3和1) (20， 20) (40， 40) (60， 60) (20， 60) (20， 100) (40， 100) (60， 100) (100， 100) C I L CP 0.9360 0.9422 0.9476 0.9400 0.9402 0.9454 0.9426 0.9480 AL 0.9110 0.6469 0.5279 0.7426 0.7034 0.5396 0.4718 0.4094 RB 0.1313 0.0519 0.0992 0.1467 0.1037 0.1136 0.0244 0.1846 C I G 1 CP 0.9496 0.9500 0.9510 0.9488 0.9510 0.9482 0.9478 0.9496 AL 0.9706 0.6671 0.5387 0.7834 0.7447 0.5536 0.4798 0.4143 RB 0.0480 0.0418 0.0588 0.0902 0.0159 0.0403 0.0530 0.0939 C I G 2 CP 0.9496 0.9500 0.9510 0.9488 0.9510 0.9482 0.9478 0.9496 AL 0.9703 0.6674 0.5385 0.7837 0.7444 0.5541 0.4799 0.4144 RB 0.0159 0.0080 0.0122 0.0469 0.0286 0.0502 0.0498 0.1032 C I B S 1 CP 0.9550 0.9456 0.9496 0.9510 0.9512 0.9472 0.9440 0.9468 AL 0.9856 0.6667 0.5365 0.7919 0.7531 0.5520 0.4772 0.4112 RB 0.0667 0.0221 0.0873 0.1184 0.1311 0.0833 0.0714 0.1654 C I B S 2 CP 0.9482 0.9432 0.9482 0.9472 0.9742 0.9470 0.9430 0.9468 AL 0.9560 0.6568 0.5315 0.7724 0.7333 0.5460 0.4733 0.4085 RB 0.0811 0.0211 0.0733 0.0909 0.0909 0.0491 0.0175 0.1353 表1.覆盖率、平均长度和相对偏度的模拟结果 Table 2 Simulation results of Coverage Probability， Average Length and Relative Bias of CIs where (Sigma1， Sigma2) = (0.1， 0.3 样本量(均值参数都为1) (20， 20) (40， 40) (60， 60) (20， 60) (20， 100) (40， 100) (60， 100) (100， 100) C I L CP 0.9414 0.9454 0.9410 0.9490 0.9476 0.9434 0.9494 0.9460 AL 0.2750 0.1951 0.1595 0.1745 0.1464 0.1327 0.1279 0.1238 RB 0.3311 0.2601 0.1458 0.3020 0.0763 0.1519 0.0514 0.1556 C I G 1 CP 0.9536 0.9502 0.9464 0.9550 0.9534 0.9452 0.9508 0.9488 AL 0.2945 0.2017 0.1630 0.1802 0.1511 0.1351 0.1297 0.1255 RB 0.0862 0.1148 0.0308 0.0933 0.0815 0.0076 0.0855 0.0077 C I G 2 CP 0.9536 0.9502 0.9464 0.9550 0.9534 0.9452 0.9508 0.9488 AL 0.2947 0.2016 0.1630 0.1802 0.1510 0.1350 0.1296 0.1255 RB 0.0603 0.1165 0.0373 0.1022 0.0815 0.0219 0.0894 0.0156 C I B S 1 CP 0.9558 0.9516 0.9448 0.9542 0.9510 0.9432 0.9494 0.9456 AL 0.2981 0.2015 0.1620 0.1800 0.1510 0.1341 0.1286 0.1243 RB 0.1674 0.2149 0.0580 0.2751 0.0531 0.0493 0.9190 0.0441 C I B S 2 CP 0.9516 0.9476 0.9416 0.9510 0.9500 0.9430 0.9484 0.9406 AL 0.2895 0.1986 0.1606 0.1774 0.1488 0.1330 0.1278 0.1236 RB 0.2479 0.1985 0.0548 0.2000 0.0320 0.0877 0.0233 0.0909 样本量(均值参数分别为3和1) (20， 20) (40， 40) (60， 60) (20， 60) (20， 100) (40， 100) (60， 100) (100， 100) C I L CP 0.9366 0.9434 0.9420 0.9426 0.9500 0.9474 0.9498 0.9496 AL 2.0281 1.4394 1.1799 1.2914 1.0807 0.9803 0.9444 0.9516 RB 0.1861 0.3004 0.2276 0.2544 0.0960 0.0875 0.1554 0.1032 C I G 1 CP 0.9506 0.9518 0.9500 0.9494 0.9564 0.9508 0.9510 0.9518 AL 2.1724 1.4894 1.2068 1.3343 1.1149 0.9975 0.9582 0.9282 RB 0.1120 0.1322 0.0569 0.0909 0.1121 0.0909 0.0252 0.0041 C I G 2 CP 0.9506 0.9518 0.9500 0.9494 0.9564 0.9508 0.9510 0.9518 AL 2.1724 1.4883 1.2063 1.3330 1.1144 0.9973 0.9587 0.9281 RB 0.0607 0.0871 0.0480 0.1067 0.0642 0.0813 0.0286 0.0622 C I B S 1 CP 0.9540 0.9500 0.9478 0.9488 0.9572 0.9500 0.9516 0.9482 AL 2.2009 1.4862 1.1997 1.3334 1.1151 0.9902 0.9493 0.9197 RB 0.0783 0.2000 0.1111 0.1719 0.0093 0.0480 0.0248 0.0656 C I B S 2 CP 0.9494 0.9472 0.9434 0.9454 0.9510 0.9484 0.9474 0.9474 AL 2.1366 1.4647 1.1886 1.3147 1.0989 0.9826 0.9444 0.9147 RB 0.1225 0.1894 0.1661 0.1868 0.0041 0.0388 0.0722 0.0951 表2. 覆盖率、平均长度和相对偏度的模拟结果 Table 3 Simulation results of Coverage Probability， Average Length and Relative Bias of CIs where (Sigma1， Sigma2) = (0.3， 0.3 样本量(均值参数都为1) (20， 20) (40， 40) (60， 60) (20， 60) (20， 100) (40， 100) (60， 100) (100， 100) C I L CP 0.9434 0.9432 0.9492 0.9466 0.9402 0.9464 0.9420 0.9520 AL 0.3710 0.2628 0.2145 0.3022 0.2852 0.2200 0.1922 0.1662 RB 0.3852 0.2887 0.2441 0.1835 0.3378 0.2090 0.2000 0.2333 C I G 1 CP 0.9570 0.9542 0.9530 0.9586 0.9516 0.9492 0.9470 0.9522 AL 0.3975 0.2717 0.2194 0.3202 0.3028 0.2263 0.1959 0.1685 RB 0.0741 0.0169 0.0209 0.1429 0.0947 0.0040 0.0039 0.0087 C I G 2 CP 0.9570 0.9542 0.9530 0.9586 0.9516 0.9492 0.9470 0.9522 AL 0.3976 0.2716 0.2192 0.3198 0.3028 0.2263 0.1959 0.1685 RB 0.0791 0.0131 0.0043 0.1787 0.1074 0.0236 0.0189 0.0209 C I B S 1 CP 0.9558 0.9494 0.9518 0.9556 0.9540 0.9502 0.9438 0.9494 AL 0.4020 0.2710 0.2178 0.3226 0.3055 0.2253 0.1944 0.1668 RB 0.2579 0.1858 0.1286 0.0090 0.2000 0.1165 0.0890 0.1621 C I B S 2 CP 0.9516 0.9488 0.9508 0.9538 0.9516 0.9496 0.9428 0.9480 AL 0.3900 0.2671 0.2160 0.3141 0.2973 0.2227 0.1931 0.1659 RB 0.2314 0.1518 0.1301 0.0216 0.2314 0.0952 0.1399 0.1231 样本量(均值参数分别为3和1) (20， 20) (40， 40) (60， 60) (20， 60) (20， 100) (40， 100) (60， 100) (100， 100) C I L CP 0.9428 0.9484 0.9498 0.9378 0.9378 0.9424 0.9414 0.9458 AL 2.7432 1.9434 1.5887 2.2276 2.1139 1.6230 1.4140 1.2275 RB 0.4266 0.2713 0.2908 0.2219 0.3248 0.3194 0.2696 0.1661 C I G 1 CP 0.9536 0.9566 0.9540 0.9486 0.9536 0.9518 0.9436 0.9490 AL 2.9379 2.0071 1.6245 2.3588 2.4667 1.6678 1.4412 1.2440 RB 0.0667 0.0456 0.0610 0.1000 0.0169 0.0857 0.0786 0.0078 C I G 2 CP 0.9536 0.9566 0.9540 0.9486 0.9536 0.9518 0.9436 0.9490 AL 2.9398 2.0096 1.6240 2.3597 2.2432 1.6689 1.4392 1.2449 RB 0.0776 0.0415 0.1043 0.0817 0.0172 0.0622 0.0426 0.0039 C I B S 1 CP 0.9548 0.9548 0.9506 0.9482 0.9562 0.9456 0.9444 0.9474 AL 2.9755 2.0041 1.6131 2.3777 2.2674 1.6627 1.4285 1.2322 RB 0.3009 0.1239 0.1903 0.0734 0.1781 0.1691 0.0426 0.1103 C I B S 2 CP 0.9510 0.9520 0.9512 0.9454 0.9472 0.9450 0.9412 0.9480 AL 2.8830 1.9762 1.5984 2.3174 2.2054 1.6425 1.4182 1.2258 RB 0.2408 0.0917 0.2377 0.0623 0.1894 0.2145 0.1633 0.1538 表3. 覆盖率、平均长度和相对偏度的模拟结果 模拟结果分析 基于表1、表2和表3： · 若考虑“覆盖率”，基于两种广义枢轴量以及Diffuse先验所构造的置信区间要更优于其他两种方法的置信区间。对于小样本和中等样本，基于Diffuse先验的贝叶斯可信区间表现更好，然而，两种广义置信区间更适用于大样本。 · 若考虑“平均长度”，基于似然方法构造的置信区间要明显优于其他几种，但无论参数的配置是怎样的，通常伴随着较低的覆盖率。 · 若考虑“覆盖率”和“平均长度”，两种广义枢轴量构造的广义置信区间的表现几乎一致，但在 μ 1 = μ 2 的情况下，第二种广义置信区间的“相对偏度”较大，但当 μ 1 ≠ μ 2 时，其“相对偏度”会较低。 · 关于两种贝叶斯方法，基于Diffuse先验的贝叶斯可信区间在“覆盖率”之下是表现更好的，但通常区间长度会更长，因此，若要得到更“短”的置信区间，基于独立Jeffreys先验的贝叶斯可信区间是更适合的。 · 对于相对较大的 ( σ 1 ， σ 2 ) 或者 ( σ 1 ， σ 2 ) 相差较大的情形，我们构造的置信区间通常伴随着明显较宽的区间长度，这种情形在 μ 1 ≠ μ 2 时尤为明显。 总而言之，对于小样本或中等样本，基于Diffuse先验的贝叶斯方法值得被推荐，对于大样本，两种广义枢轴量构造的置信区间更适合。但若想要得到较短的区间，也就是在考虑“平均长度”的情形下，似然方法以及基于独立Jeffreys先验的贝叶斯方法表现更好。