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user: 2. 主要内容 2.1. 预备知识 在文献 [ 5 ] 中吴和孟给出了下面的结果。 定理2.1.1： [ 5 ] 如果图 G 既不是星图也不是三角形，则 diam ( G − − − ) ≤ 3 。 当图 G 是星图或者是三角形的时候，图 G --- 是不连通的。由定理2.1.1的证明过程可知，当 u ， v ∈ V ( G ) 时， d ( u ， v ) ≤ 3 ；当 u ， v ∈ E ( G ) 时， d ( u ， v ) ≤ 2 ；当 u ∈ V ( G ) ， v ∈ E ( G ) 时， d ( u ， v ) ≤ 3 。而且当 diam ( G − − − ) = 3 ，我们有图 G 的结构(如图1所示)。 如图1(1)中，在其变换图中距离是3的顶点对为 u ， v ；如图1(2)中，在其变换图中距离是3的顶点对为 u ， v 、 u ， w 、 u ， u v 及 u ， u w ；如图1(3)中，在其变换图中距离是3的顶点对为 u ， v 、 u ， u v ；如图1(4)中，在其变换图中距离是3的顶点对为 u ， v 、 u ， u v 及 v ， v u 。 在本文，我们主要根据上面直径求变换图 G − − − 的Wiener指标。 2.2. 直径小于等于2 当顶点 u 和边 e 关联时，我们记为 m u e = 1 ，当边 e ， f 相邻时记为 m e f = 1 。否则，我们分别记为 m u v = 0 ， m e f = 0 。 图1. diam ( G − − − ) = 3 定理2.2.1：如果图 G 的顶点的阶数为 n ，边的阶数为 m ，且 diam ( G − − − ) ≤ 2 ，则 W ( G − − − ) = 1 2 ( m 2 + n 2 + ∑ v ∈ V ( G ) d G 2 ( v ) ) + m n + 3 2 m − 1 2 n . 证明：记 u ， v 为图 G 中任意两个顶点， e ， f 为图 G 中任意两条边， V ( G − − − ) = { u 1 ， u 2 ， ⋯ u m + n } 。在图 G 相邻边的个数为 ∑ v ∈ V ( G ) ( d G ( v ) 2 ) ，又因为 diam ( G − − − ) ≤ 2 ，所以对于任意的点 u 1 ， u 2 ∈ V ( G − − − ) ， u 1 和 u 2 之间的距离为1或2。因此，由Wiener指标的定义可知： W ( G − − − ) = ∑ u ， v d G − − − ( u ， v ) + ∑ u ， e d G − − − ( u ， e ) + ∑ e ， f d G − − − ( e ， f ) = ( ∑ u v ∉ E ( G ) d G − − − ( u ， v ) + ∑ u v ∈ E ( G ) d G − − − ( u ， v ) ) + ( ∑ m u e = 0 d G − − − ( u ， e ) + ∑ m u e = 1 d G − − − ( u ， e ) ) + ( ∑ m e f = 0 d G − − − ( e ， f ) + ∑ m e f = 1 d G − − − ( e ， f ) ) = ( ( n 2 ) − m + 2 m ) + ( m n − 2 m + 4 m ) + ( ( m 2 ) − ∑ v ∈ V ( G ) ( d G ( v ) 2 ) + 2 ∑ v ∈ V ( G ) ( d G ( v ) 2 ) ) = 1 2 ( m 2 + n 2 + ∑ v ∈ V ( G ) d G 2 ( v ) ) + m n + 3 2 m − 1 2 n . 2.3. 直径等于3 定理2.3.1：如果图 G 的边数为 m ，顶点数为 n ，当 diam ( G − − − ) = 3 时，则具有图1四类图中的某一种结构，且对应的Wiener指标分别为 1) W ( G − − − ) = 1 2 ( m 2 + n 2 + ∑ v ∈ V ( G ) d G 2 ( v ) ) + m n + 3 2 m − 1 2 n + 1 2) W ( G − − − ) = 1 2 ( m 2 + n 2 + ∑ v ∈ V ( G ) d G 2 ( v ) ) + m n + 3 2 m − 1 2 n + 4 3) W ( G − − − ) = 1 2 ( m 2 + n 2 + ∑ v ∈ V ( G ) d G 2 ( v ) ) + m n + 3 2 m − 1 2 n + 2 4) W ( G − − − ) = 1 2 ( m 2 + n 2 + ∑ v ∈ V ( G ) d G 2 ( v ) ) + m n + 3 2 m − 1 2 n + 3 证明：首先由定理2.1.1的证明可以知道，直径可以达到3的变换图 G − − − 的原图 G 的结构只有图1中四种结构。下面分别给出它们的Wiener指标。 对于图1(1)，容易看出图 G − − − 中距离是3的点对只有 u ， v 。从而 W ( G − − − ) = ∑ u ， v d G − − − ( u ， v ) + ∑ u ， e d G − − − ( u ， e ) + ∑ e ， f d G − − − ( e ， f ) = ( ∑ u v ∉ E ( G ) d G − − − ( u ， v ) + ∑ u v ∈ E ( G ) d G − − − ( u ， v ) ) + ( ∑ m u e = 0 d G − − − ( u ， e ) + ∑ m u e = 1 d G − − − ( u ， e ) ) + ( ∑ m e f = 0 d G − − − ( e ， f ) + ∑ m e f = 1 d G − − − ( e ， f ) ) = ( ( n 2 ) − m + 2 ( m − 1 ) + 3 ) + ( m n − 2 m + 4 m ) + ( ( m 2 ) − ∑ v ∈ V ( G ) ( d G ( v ) 2 ) + 2 ∑ v ∈ V ( G ) ( d G ( v ) 2 ) ) = 1 2 ( m 2 + n 2 + ∑ v ∈ V ( G ) d G 2 ( v ) ) + m n + 3 2 m − 1 2 n + 1. 对于图1(2)，容易看出图 G − − − 中距离是3的顶点对为 u ， v ； u ， w ； u ， u v 及 u ， u w 。从而 W ( G − − − ) = ∑ u ， v d G − − − ( u ， v ) + ∑ u ， e d G − − − ( u ， e ) + ∑ e ， f d G − − − ( e ， f ) = ( ∑ u v ∉ E ( G ) d G − − − ( u ， v ) + ∑ u v ∈ E ( G ) d G − − − ( u ， v ) ) + ( ∑ m u e = 0 d G − − − ( u ， e ) + ∑ m u e = 1 d G − − − ( u ， e ) ) + ( ∑ m e f = 0 d G − − − ( e ， f ) + ∑ m e f = 1 d G − − − ( e ， f ) ) = ( ( n 2 ) − m + 2 ( m − 2 ) + 3 × 2 ) + ( m n − 2 m + 2 ( 2 m − 2 ) + 3 × 2 ) + ( ( m 2 ) − ∑ v ∈ V ( G ) ( d G ( v ) 2 ) + 2 ∑ v ∈ V ( G ) ( d G ( v ) 2 ) ) = 1 2 ( m 2 + n 2 + ∑ v ∈ V ( G ) d G 2 ( v ) ) + m n + 3 2 m − 1 2 n + 4. 对于图1(3)，容易看出图 G − − − 中距离是3的顶点对为 u ， v 和 u ， u v 。从而 W ( G − − − ) = ∑ u ， v d G − − − ( u ， v ) + ∑ u ， e d G − − − ( u ， e ) + ∑ e ， f d G − − − ( e ， f ) = ( ∑ u v ∉ E ( G ) d G − − − ( u ， v ) + ∑ u v ∈ E ( G ) d G − − − ( u ， v ) ) + ( ∑ m u e = 0 d G − − − ( u ， e ) + ∑ m u e = 1 d G − − − ( u ， e ) ) + ( ∑ m e f = 0 d G − − − ( e ， f ) + ∑ m e f = 1 d G − − − ( e ， f ) ) = ( ( n 2 ) − m + 2 ( m − 1 ) + 3 ) + ( m n − 2 m + 2 ( 2 m − 1 ) + 3 ) + ( ( m 2 ) − ∑ v ∈ V ( G ) ( d G ( v ) 2 ) + 2 ∑ v ∈ V ( G ) ( d G ( v ) 2 ) ) = 1 2 ( m 2 + n 2 + ∑ v ∈ V ( G ) d G 2 ( v ) ) + m n + 3 2 m − 1 2 n + 2. 对于图1(4)，容易看出图 G − − − 中距离是3的顶点对为 u ， v ； u ， u v 及 v ， v u 。从而 W ( G − − − ) = ∑ u ， v d G − − − ( u ， v ) + ∑ u ， e d G − − − ( u ， e ) + ∑ e ， f d G − − − ( e ， f ) = ( ∑ u v ∉ E ( G ) d G − − − ( u ， v ) + ∑ u v ∈ E ( G ) d G − − − ( u ， v ) ) + ( ∑ m u e = 0 d G − − − ( u ， e ) + ∑ m u e = 1 d G − − − ( u ， e ) ) + ( ∑ m e f = 0 d G − − − ( e ， f ) + ∑ m e f = 1 d G − − − ( e ， f ) ) = ( ( n 2 ) − m + 2 ( m − 1 ) + 3 ) + ( m n − 2 m + 2 ( 2 m − 2 ) + 3 × 2 ) + ( ( m 2 ) − ∑ v ∈ V ( G ) ( d G ( v ) 2 ) + 2 ∑ v ∈ V ( G ) ( d G ( v ) 2 ) ) = 1 2 ( m 2 + n 2 + ∑ v ∈ V ( G ) d G 2 ( v ) ) + m n + 3 2 m − 1 2 n + 3.