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user: 4. 平衡点的稳定性 4.1. 无病平衡点的局部稳定性 定理1 当 R 0 < 1 时，无病平衡点 E 0 是局部渐近稳定的。 当 R 0 > 1 时，无病平衡点 E 0 是不稳定的。 证明：模型(3-1)在无病平衡点 E 0 处的Jacobi矩阵为，令 | ξ E − J ( E 0 ) | = 0 ，即 | − d 1 − β 1 v a 1 0 0 − β 1 x 1 β 1 v − δ 1 − a 1 0 0 β 1 x 1 0 0 − d 2 − β 2 v a 2 − β 2 x 2 0 0 β 2 v − δ 2 − a 2 β 2 x 2 0 k 1 0 k 2 − c | = 0 得到特征方程： ( ξ + d 1 ) ( ξ + d 2 ) { ( ξ + δ 1 + a 1 ) [ ( ξ + δ 2 + a 2 ) ( ξ + c ) − k 2 β 2 x 2 0 ] − k 1 β 1 x 1 0 ( ξ + δ 2 + a 2 ) } = 0 整理得： ( ξ + d 1 ) ( ξ + d 2 ) ( ξ + c ) ( ξ + δ 1 + a 1 ) ( ξ + δ 2 + a 2 ) [ 1 − k 1 β 1 x 1 0 ( ξ + c ) ( ξ + δ 1 + a 1 ) − k 2 β 2 x 2 0 ( ξ + c ) ( ξ + δ 2 + a 2 ) ] = 0 其中 q 1 ( ξ ) = 1 − k 1 β 1 x 1 0 ( ξ + c ) ( ξ + δ 1 + a 1 ) − k 2 β 2 x 2 0 ( ξ + c ) ( ξ + δ 2 + a 2 ) 。 那么 E 0 的局部渐近稳定性就取决于 q 1 ( ξ ) = 0 的根。 (1) 当 R 0 > 1 时， q 1 ( 0 ) = 1 − k 1 β 1 x 1 0 c ( δ 1 + a 1 ) − k 2 β 2 x 2 0 c ( δ 2 + a 2 ) = 1 − R 0 ， q 1 ( 0 ) < 0 ，且 lim ξ → + ∞ q 1 ( ξ ) = 1 > 0 。所以 由零点定理得 q 1 ( ξ ) 在 ( 0 ， + ∞ ) 上至少有一个根，所以 E 0 在 R 0 > 1 上是不稳定的。 (2) 当 R 0 < 1 时，假设 R e ( ξ ) ≥ 0 ，那么 ξ 满足 q 1 ( ξ ) = 0 就可以得到 1 = k 1 β 1 x 1 0 ( ξ + c ) ( ξ + δ 1 + a 1 ) + k 2 β 2 x 2 0 ( ξ + c ) ( ξ + δ 2 + a 2 ) 1 = | k 1 β 1 x 1 0 ( ξ + c ) ( ξ + δ 1 + a 1 ) + k 2 β 2 x 2 0 ( ξ + c ) ( ξ + δ 2 + a 2 ) | ≤ | k 1 β 1 x 1 0 ( ξ + c ) ( ξ + δ 1 + a 1 ) | + | k 2 β 2 x 2 0 ( ξ + c ) ( ξ + δ 2 + a 2 ) | ≤ | k 1 β 1 x 1 0 c ( δ 1 + a 1 ) | + | k 2 β 2 x 2 0 c ( δ 2 + a 2 ) | = R 0 而 R 0 ≥ 1 与 R 0 < 1 相矛盾，那么就可以得到 R e ( ξ ) < 0 ，其中 q 1 ( ξ ) = 0 。所以当 R 0 < 1 时， R e ( ξ ) < 0 ，无病平衡点 E 0 是局部稳定的。 综上得出，当 R 0 < 1 时，无病平衡点 E 0 是局部渐近稳定的；当 R 0 > 1 时，无病平衡点 E 0 是不稳定的。 4.2. 无病平衡点的全局稳定性 定理2 当 R 0 < 1 且满足 d 1 + δ 1 k 1 = d 2 + δ 2 k 2 时，无病平衡点 E 0 是全局渐近稳定的。 证明：通过定理1，当 R 0 < 1 时，无病平衡点 E 0 是局部渐近稳定的，那么证明它是全局吸引的。 不难看出对于所有的 t > 0 ，每一个解都有 x 1 ( t ) > 0 ， x 2 ( t ) > 0 。因此不失一般性，可以构造出Lyapunov方程 [ 4 ] [ 5 ] U ( t ) = d 1 + δ 1 δ 1 + a 1 ( x 1 − x 1 0 − x 1 0 ln x 1 x 1 0 ) + a 1 2 ( δ 1 + a 1 ) x 1 0 ( x 1 − x 1 0 + y 1 ) 2   + d 2 + δ 2 δ 2 + a 2 ( x 2 − x 2 0 − x 2 0 ln x 2 x 2 0 ) + a 2 2 ( δ 2 + a 2 ) x 2 0 ( x 2 − x 2 0 + y 2 ) 2   + d 1 + δ 1 δ 1 + a 1 y 1 + d 2 + δ 2 δ 2 + a 2 y 2 + d 1 + δ 1 k 1 v 计算 U ( t ) 导数，并带入 λ = d x 0 ，得到如下： U ′ = d 1 + δ 1 δ 1 + a 1 [ d 1 x 1 0 − d 1 x 1 − β 1 x 1 v + a 1 y 1 − x 1 0 x 1 ( d 1 x 1 0 − d 1 x 1 − β 1 x 1 v + a 1 y 1 ) ]   + a 1 ( δ 1 + a 1 ) x 1 0 ( x 1 − x 1 0 + y 1 ) ( d 1 x 1 0 − d 1 x 1 − β 1 x 1 v + a 1 y 1 + β 1 x 1 v − δ 1 y 1 − a 1 y 1 )   + d 2 + δ 2 δ 2 + a 2 [ d 2 x 2 0 − d 2 x 2 − β 2 x 2 v + a 2 y 2 − x 2 0 x 2 ( d 2 x 2 0 − d 2 x 12 − β 2 x 2 v + a 2 y 2 ) ]   + a 2 ( δ 2 + a 2 ) x 2 0 ( x 2 − x 2 0 + y 2 ) ( d 2 x 2 0 − d 2 x 2 − β 2 x 2 v + a 2 y 2 + β 2 x 2 v − δ 2 y 2 − a 2 y 2 )   + d 1 + δ 1 δ 1 + a 1 ( β 1 x 1 v − δ 1 y 1 − a 1 y 1 ) + d 2 + δ 2 δ 2 + a 2 ( β 2 x 2 v − δ 2 y 2 − a 2 y 2 ) + d 1 + δ 1 k 1 ( k 1 y 1 + k 2 y 2 − c v ) = − d 1 ( d 1 + δ 1 ) ( x 1 − x 1 0 ) 2 ( δ 1 + a 1 ) x 1 + a 1 y 1 ( d 1 + δ 1 ) δ 1 + a 1 ( 1 − x 1 0 x 1 ) + d 1 + δ 1 δ 1 + a 1 β 1 x 1 0 v     − a 1 d 1 ( x 1 − x 1 0 ) 2 ( δ 1 + a 1 ) x 1 0 − a 1 δ 1 y 1 2 ( δ 1 + a 1 ) x 1 0 + a 1 y 1 ( d 1 + δ 1 ) δ 1 + a 1 ( 1 − x 1 x 1 0 )     − d 2 ( d 2 + δ 2 ) ( x 2 − x 2 0 ) 2 ( δ 2 + a 2 ) x 2 + a 2 y 2 ( d 2 + δ 2 ) δ 2 + a 2 ( 1 − x 2 0 x 2 ) + d 2 + δ 2 δ 2 + a 2 β 2 x 2 0 v     − a 2 d 2 ( x 2 − x 2 0 ) 2 ( δ 2 + a 2 ) x 2 0 − a 2 δ 2 y 2 2 ( δ 2 + a 2 ) x 2 0 + a 2 y 2 ( d 2 + δ 2 ) δ 2 + a 2 ( 1 − x 2 x 2 0 ) − d 1 + δ 1 k 1 c v = − ( d 1 + δ 1 x 1 + a 1 x 1 0 ) d 1 ( x 1 − x 1 0 ) 2 δ 1 + a 1 − ( d 2 + δ 2 x 2 + a 2 x 2 0 ) d 2 ( x 2 − x 2 0 ) 2 δ 2 + a 2     + a 1 y 1 ( d 1 + δ 1 ) δ 1 + a 1 ( 2 − x 1 0 x 1 − x 1 x 1 0 ) + a 2 y 2 ( d 2 + δ 2 ) δ 2 + a 2 ( 2 − x 2 0 x 2 − x 2 x 2 0 )     − a 1 δ 1 y 1 2 ( δ 1 + a 1 ) x 1 0 − a 2 δ 2 y 2 2 ( δ 2 + a 2 ) x 2 0 + c ( d 1 + δ 1 ) k 1 ( R 0 − 1 ) v 因此易得，当 R 0 < 1 时， d d t U ( t ) = 0 。此外， d d t U ( t ) = 0 当且仅当 x 1 ( t ) = x 1 0 ， x 2 ( t ) = x 2 0 成立。由 Lasalle不变集原理 [ 6 ]，能够证明在 E 0 是全局吸引的。 所以，当 R 0 < 1 时，无病平衡点 E 0 是全局渐近稳定的。 4.3. 感染平衡点的局部稳定性 定理3当 R 0 > 1 时，感染平衡点 E * 是局部渐近稳定的。 证明：模型(3-1)在感染平衡点 E * 处的Jacobi矩阵为 J ( E * ) ，令 | ξ E − J ( E * ) | = 0 ，即： | − d 1 − β 1 v * a 1 0 0 − β 1 x 1 * β 1 v * − δ 1 − a 1 0 0 β 1 x 1 * 0 0 − d 2 − β 2 v * a 2 − β 2 x 2 * 0 0 β 2 v * − δ 2 − a 2 β 2 x 2 * 0 k 1 0 k 2 − c | = 0 整理得： 1 − ( ξ + d 1 ) k 1 β 1 x 1 * ( ξ + c ) [ ( ξ + d 1 + β 1 v * ) ( ξ + δ 1 ) + a 1 ( ξ + d 1 ) ] − ( ξ + d 2 ) k 2 β 2 x 2 * ( ξ + c ) [ ( ξ + d 2 + β 2 v * ) ( ξ + δ 2 ) + a 2 ( ξ + d 2 ) ] = 0 假设 R e ( ξ ) ≥ 0 ，其中 ξ 满足 | ξ E − J ( E * ) | = 0 ，则可得到 1 = ( ξ + d 1 ) k 1 β 1 x 1 * ( ξ + c ) [ ( ξ + d 1 + β 1 v * ) ( ξ + δ 1 ) + a 1 ( ξ + d 1 ) ] + ( ξ + d 2 ) k 2 β 2 x 2 * ( ξ + c ) [ ( ξ + d 2 + β 2 v * ) ( ξ + δ 2 ) + a 2 ( ξ + d 2 ) ] = ( ξ + d 1 ) k 1 β 1 x 1 * ( ξ + c ) [ ( ξ + d 1 ) ( ξ + δ 1 + a 1 ) + β 1 v * ( ξ + δ 1 ) ] + ( ξ + d 2 ) k 2 β 2 x 2 * ( ξ + c ) [ ( ξ + d 2 ) ( ξ + δ 2 + a 2 ) + β 2 v * ( ξ + δ 2 ) ] < | k 1 β 1 x 1 * ( ξ + c ) ( ξ + δ 1 + a 1 ) + k 2 β 2 x 2 * ( ξ + c ) ( ξ + δ 2 + a 2 ) | < | k 1 β 1 x 1 * c ( δ 1 + a 1 ) + k 2 β 2 x 2 * c ( δ 2 + a 2 ) | 由模型方程组的第五个式子： k 1 y 1 * + k 2 y 2 * − c v * = 0 ，即 k 1 β 1 x 1 * c ( δ 1 + a 1 ) + k 2 β 2 x 2 * c ( δ 2 + a 2 ) = 1 ，可以推出1 < 1， 产生矛盾，则 R e ( ξ ) < 0 。 综上得出，当 R 0 > 1 时，感染平衡点 E * 是局部渐近稳定的。