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user: 2. 主要结果的证明 我们把方程(1)的第一个方程和第二个方程加减运算，把方程1转化为如下方程 { ∂ t w + + w − ⋅ ∇ w + + ∇ p = Δ w + ， ∂ t w − + w + ⋅ ∇ w − + ∇ p = Δ w − ， ∇ ⋅ w + = ∇ ⋅ w − = 0 ， w + ( x ， 0 ) = w 0 + ( x ) ， w − ( x ， 0 ) = w 0 − ( x ) ，         ( x ， t ) ∈ R 3 × ( 0 ， T ] (5) 为了证明定理1，让我们介绍一些辅助结论。我们给出三维乘法的Sobolev不等式及压力估计如下： 引理1 存在一个常数 C > 0 ，使得下式成立 ‖ u ‖ L 3 q ≤ C ‖ ∂ 1 u ‖ L 2 1 3 ‖ ∂ 2 u ‖ L 2 1 3 ‖ ∂ 3 u ‖ L q 1 3 ，       1 ≤ q ≤ ∞ . (6) 引理2 假设 ( w + ， w − ， P ) 是方程2.1组的光滑解，那么有下式成立 i) ‖ P ‖ L r ≤ C ‖ w + ‖ L 2 r ‖ w − ‖ L 2 r ， (7) ii) ‖ ∂ 3 P ‖ L r ≤ C ‖ w − ⋅ ∂ 3 w + ‖ L r ， (8) iii) ‖ ∂ 3 P ‖ L r ≤ C ‖ w + ⋅ ∂ 3 w − ‖ L r . (9) 注：这里 1 < r < ∞ ，引理1的详细证明参见Wu和Cao文献 [ 3 ]，引理2的证明可参见文献 [ 16 ]。 定理1的证明： 因为 当 31 8 ≤ q ≤ ∞ 时， L 25 q 23 q − 36 ( 0 ， T ; L q ( R 3 ) ) ⊂ L 2 q 2 q − 3 ( 0 ， T ; L q ( R 3 ) ) ， 当 19 8 ≤ q ≤ ∞ 时， L 13 q 11 q − 18 ( 0 ， T ; L q ( R 3 ) ) ⊂ L 2 q 2 q − 3 ( 0 ， T ; L q ( R 3 ) ) 。 根据定理1和(2)式的假设，定理1的证明只要证明下式成立 u 3 ， b 3 ∈ L 3 ( 0 ， T ; L 9 ( R 3 ) ) . 在方程(5)的第一个和第二个方程两边分别用 w + ， w − 作内积，利用 ∇ ⋅ w + = ∇ ⋅ w − = 0 ，分部积分相加得： ‖ w + ( ⋅ ， t ) ‖ L 2 2 + ‖ w − ( ⋅ ， t ) ‖ L 2 2 + 2 ∫ 0 t ( ‖ ∇ w + ( ⋅ ， τ ) ‖ L 2 2 + ‖ ∇ w − ( ⋅ ， τ ) ‖ L 2 2 ) d τ ≤ ‖ w + ( ⋅ ， 0 ) ‖ L 2 2 + ‖ w − ( ⋅ ， 0 ) ‖ L 2 2 ≤ C . (10) 用 | w 3 + | w 3 + ， | w 3 − | w 3 − 分别与方程(5)的第一个和第二个方程作内积，利用 ∇ ⋅ w + = ∇ ⋅ w − = 0 ，然后相加得： 1 3 d d t ( ‖ w 3 + ‖ L 3 3 + ‖ w 3 − ‖ L 3 3 ) + 4 9 ∫ R 3 ( | ∇ | w 3 + | 3 / 2 | 2 + | ∇ | w 3 − | 3 / 2 | 2 ) d x = − ∫ R 3 ∂ 3 p ⋅ w 3 + | w 3 + | d x − ∫ R 3 ∂ 3 p ⋅ w 3 − | w 3 − | d x = I 1 + I 2 . (11) 针对定理1第一种情况的证明，利用Hölder不等式，Yuong不等式和式(8)，对式(11)右边第一项进行估计得 | I 1 | ≤ C ‖ ∂ 3 p ‖ L 3 ‖ w 3 + ‖ L 3 2 (由Hölder不等式) ≤ C ‖ w + ⋅ ∂ 3 w − ‖ L 3 ‖ w 3 + ‖ L 3 2 (由式(8)) ≤ C ‖ w + ‖ L 3 q / ( q − 3 ) ‖ ∂ 3 w − ‖ L q ‖ w 3 + ‖ L 3 2 ≤ C ‖ w + ‖ L 2 ( 8 q − 31 ) / 3 ( 4 q − 3 ) ‖ w + ‖ L 3 q ( q + 18 ) / 2 ( 4 q − 3 ) ‖ ∂ 3 w − ‖ L q ‖ w 3 + ‖ L 3 2 ≤ C ‖ ∂ 1 w + ‖ L 2 ( q + 18 ) / 6 ( 4 q − 3 ) ‖ ∂ 2 w + ‖ L 2 ( q + 18 ) / 6 ( 4 q − 3 ) ‖ ∂ 3 w + ‖ L q ( q + 18 ) / 6 ( 4 q − 3 ) ‖ ∂ 3 w − ‖ L q ‖ w 3 + ‖ L 3 2 ≤ C ‖ ∇ w + ‖ L 2 ( q + 18 ) / 3 ( 4 q − 3 ) ‖ ∂ 3 w + ‖ L q ( q + 18 ) / 6 ( 4 q − 3 ) ‖ ∂ 3 w − ‖ L q ‖ w 3 + ‖ L 3 2 ≤ C ( ‖ ∇ w + ‖ L 2 2 + ‖ ∂ 3 w + ‖ L q ( q + 18 ) / ( 23 q − 36 ) ‖ ∂ 3 w − ‖ L q 6 ( 4 q − 3 ) / ( 23 q − 36 ) ) ‖ w 3 + ‖ L 3 2 (12) ≤ C ( ‖ ∇ w + ‖ L 2 2 + ‖ ∂ 3 w + ‖ L q 25 q / ( 23 q − 36 ) + ‖ ∂ 3 w − ‖ L q 25 q / ( 23 q − 36 ) ) ‖ w 3 + ‖ L 3 2 类似 | I 1 | 的估计方法，得到式(11)右边第二项 | I 2 | 的估计如下： | I 2 | ≤ C ( ‖ ∇ w − ‖ L 2 2 + ‖ ∂ 3 w − ‖ L q 25 q / ( 23 q − 36 ) + ‖ ∂ 3 w + ‖ L q 25 q / ( 23 q − 36 ) ) ‖ w 3 + ‖ L 3 2 . (13) 由 | I 1 | 和 | I 2 | 的估计式(12)和(13)代入式(11)得 d d t ( ‖ w 3 + ‖ L 3 3 + ‖ w 3 − ‖ L 3 3 ) ≤ d d t ( ‖ w 3 + ‖ L 3 3 + ‖ w 3 − ‖ L 3 3 ) + 4 9 ( ‖ ∇ | w 3 + | 3 2 ‖ L 2 2 + ‖ ∇ | w 3 − | 3 2 ‖ L 2 2 ) ≤ C ( ‖ ∇ w + ‖ L 2 2 + ‖ ∇ w − ‖ L 2 2 + ‖ ∂ 3 w + ‖ L q 25 q / ( 23 q − 36 ) + ‖ ∂ 3 w − ‖ L q 25 q / ( 23 q − 36 ) ) ( ‖ w 3 + ‖ L 3 2 + ‖ w 3 − ‖ L 3 2 ) . (14) 在上式两边同时除以 ( ‖ w 3 + ‖ L 3 2 + ‖ w 3 − ‖ L 3 2 ) ，在时间空间上积分，利用能量不等式(10)和式(3)得到 ‖ w 3 + ‖ L ∞ ( 0 ， T ; L 3 ( R 3 ) ) + ‖ w 3 − ‖ L ∞ ( 0 ， T ; L 3 ( R 3 ) ) ≤ C . 由式(14)，上式和能量不等式(10)可得 4 9 ( ‖ ∇ | w 3 + | 3 2 ‖ L 2 2 + ‖ ∇ | w 3 − | 3 2 ‖ L 2 2 ) ≤ C ( ‖ ∇ w + ‖ L 2 2 + ‖ ∇ w − ‖ L 2 2 + ‖ ∂ 3 w + ‖ L q 25 q / ( 23 q − 36 ) + ‖ ∂ 3 w − ‖ L q 25 q / ( 23 q − 36 ) ) ( ‖ w 3 + ‖ L 3 2 + ‖ w 3 − ‖ L 3 2 ) ≤ C . 所以由嵌入不等式得 ‖ w 3 + ‖ L 3 ( 0 ， T ; L 9 ( R 3 ) ) + ‖ w 3 − ‖ L 3 ( 0 ， T ; L 9 ( R 3 ) ) = ‖ | w 3 + | 3 2 ‖ L 2 ( 0 ， T ; L 6 ( R 3 ) ) 2 3 + ‖ | w 3 − | 3 2 ‖ L 2 ( 0 ， T ; L 6 ( R 3 ) ) 2 3 ≤ ‖ ∇ | w 3 + | 3 2 ‖ L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( R 3 ) ) 2 3 + ‖ ∇ | w 3 − | 3 2 ‖ L 2 ( 0 ， T ; L 2 ( R 3 ) ) 2 3 ≤ C . 所以得 ‖ u 3 ‖ L 3 ( 0 ， T ; L 9 ( R 3 ) ) = 1 2 ‖ ( u 3 + b 3 ) + ( u 3 − b 3 ) ‖ L 3 ( 0 ， T ; L 9 ( R 3 ) ) ≤ 1 2 ( ‖ w 3 + ‖ L 3 ( 0 ， T ; L 9 ( R 3 ) ) + ‖ w 3 − ‖ L 3 ( 0 ， T ; L 9 ( R 3 ) ) ) ≤ C . 同理可证 ‖ b 3 ‖ L 3 ( 0 ， T ; L 9 ( R 3 ) ) = 1 2 ‖ ( u 3 + b 3 ) − ( u 3 − b 3 ) ‖ L 3 ( 0 ， T ; L 9 ( R 3 ) ) ≤ C . 所以定理1第一种情况证明完成。 定理1第二种情况的证明。利用Hölder不等式，Yuong不等式和式(7)，对式(11)右边第一项进行另一种估计得 | I 1 | = | ∫ R 3 ∂ 3 p ⋅ w 3 + | w 3 + | d x | ≤ C ∫ R 3 | p | | ∂ 3 w 3 + | | w 3 + | d x ≤ C ‖ p ‖ L 3 q / ( 2 q − 3 ) ‖ ∂ 3 w 3 + ‖ L q ‖ w 3 + ‖ L 3 ≤ C ( ‖ w + ‖ L 6 q / ( 2 q − 3 ) 2 + ‖ w − ‖ L 6 q / ( 2 q − 3 ) 2 ) ‖ ∂ 3 w 3 + ‖ L q ‖ w 3 + ‖ L 3 ≤ C ‖ w + ‖ L 2 2 ( 8 q − 19 ) / 3 ( 4 q − 3 ) ‖ w + ‖ L 3 q 2 ( q + 9 ) / 2 ( 4 q − 3 ) ‖ ∂ 3 w 3 + ‖ L q ‖ w 3 + ‖ L 3 + C ‖ w − ‖ L 2 2 ( 8 q − 19 ) / 3 ( 4 q − 3 ) ‖ w − ‖ L 3 q 2 ( q + 9 ) / 2 ( 4 q − 3 ) ‖ ∂ 3 w 3 + ‖ L q ‖ w 3 + ‖ L 3 ≤ C ‖ ∂ 1 w + ‖ L 2 ( q + 9 ) / 3 ( 4 q − 3 ) ‖ ∂ 2 w + ‖ L 2 ( q + 9 ) / 3 ( 4 q − 3 ) ‖ ∂ 3 w + ‖ L q ( q + 9 ) / 3 ( 4 q − 3 ) ‖ ∂ 3 w 3 + ‖ L q ‖ w 3 + ‖ L 3     + C ‖ ∂ 1 w − ‖ L 2 ( q + 9 ) / 3 ( 4 q − 3 ) ‖ ∂ 2 w − ‖ L 2 ( q + 9 ) / 3 ( 4 q − 3 ) ‖ ∂ 3 w − ‖ L q ( q + 9 ) / 3 ( 4 q − 3 ) ‖ ∂ 3 w 3 + ‖ L q ‖ w 3 + ‖ L 3 ≤ C ‖ ∇ w + ‖ L 2 2 ( q + 9 ) / 3 ( 4 q − 3 ) ‖ ∂ 3 w + ‖ L q 13 q / 3 ( 4 q − 3 ) ‖ w 3 + ‖ L 3     + C ‖ ∇ w − ‖ L 2 2 ( q + 9 ) / 3 ( 4 q − 3 ) ‖ ∂ 3 w − ‖ L q ( q + 9 ) / 3 ( 4 q − 3 ) ‖ ∂ 3 w + ‖ L q ‖ w 3 + ‖ L 3 (15) ≤ C ( ‖ ∇ w + ‖ L 2 2 + ‖ ∂ 3 w + ‖ L q 13 q / ( 11 q − 18 ) ) ‖ w 3 + ‖ L 3     + C ( ‖ ∇ w − ‖ L 2 2 + ‖ ∂ 3 w − ‖ L q ( q + 9 ) / ( 11 q − 18 ) ‖ ∂ 3 w + ‖ L q 3 ( 4 q − 3 ) / ( 11 q − 18 ) ) ‖ w 3 + ‖ L 3 ≤ C ( ‖ ∇ w + ‖ L 2 2 + ‖ ∂ 3 w + ‖ L q 13 q / ( 11 q − 18 ) ) ‖ w 3 + ‖ L 3     + C ( ‖ ∇ w − ‖ L 2 2 + ‖ ∂ 3 w − ‖ L q ( q + 9 ) / ( 11 q − 18 ) ‖ ∂ 3 w + ‖ L q 3 ( 4 q − 3 ) / ( 11 q − 18 ) ) ‖ w 3 + ‖ L 3 ≤ C ( ‖ ∇ w + ‖ L 2 2 + ‖ ∇ w + ‖ L 2 2 + ‖ ∂ 3 w + ‖ L q 13 q / ( 11 q − 18 ) + ‖ ∂ 3 w − ‖ L q 13 q / ( 11 q − 18 ) ) ‖ w 3 + ‖ L 3 同理可证 | I 2 | ≤ C ( ‖ ∇ w + ‖ L 2 2 + ‖ ∇ w + ‖ L 2 2 + ‖ ∂ 3 w + ‖ L q 13 q / ( 11 q − 18 ) + ‖ ∂ 3 w − ‖ L q 13 q / ( 11 q − 18 ) ) ‖ w 3 + ‖ L 3 . (16) 由 | I 1 | 和 | I 2 | 的估计式(15)和(16)代入式(11)得 d d t ( ‖ w 3 + ‖ L 3 3 + ‖ w 3 − ‖ L 3 3 ) ≤ d d t ( ‖ w 3 + ‖ L 3 3 + ‖ w 3 − ‖ L 3 3 ) + 4 9 ( ‖ ∇ | w 3 + | 3 2 ‖ L 2 2 + ‖ ∇ | w 3 − | 3 2 ‖ L 2 2 ) ≤ C ( ‖ ∇ w + ‖ L 2 2 + ‖ ∇ w + ‖ L 2 2 + ‖ ∂ 3 w + ‖ L q 13 q / ( 11 q − 18 ) + ‖ ∂ 3 w − ‖ L q 13 q / ( 11 q − 18 ) ) ( ‖ w 3 + ‖ L 3 + ‖ w 3 − ‖ L 3 ) 由上式两边同时除以 ( ‖ w 3 + ‖ L 3 + ‖ w 3 − ‖ L 3 ) ，并利用能量不等式(10)和式(4)得 ‖ w 3 + ‖ L ∞ ( 0 ， T ; L 3 ( R 3 ) ) + ‖ w 3 − ‖ L ∞ ( 0 ， T ; L 3 ( R 3 ) ) ≤ C . 同理定理1第一种情况的证明，可证得 u 3 ， b 3 ∈ L 3 ( 0 ， T ; L 9 ( R 3 ) ) ，所以定理第二种情况得证。