system: [SYSTEM]

user: 3. 研究实例 3.1. 研究区概况 长江流域的洪水多由暴雨形成。流域内发生特大暴雨，上下游洪水先后叠加，易形成峰高量大的洪水，造成局部河段的洪水灾害。金沙江是长江的上游河段，全长3500 km，控制流域面积为50万km 2 。金沙江洪水主要由上游的融雪和中下游暴雨叠加形成，洪量大、历时长、涨落幅度小。金沙江流域面积大，流域形状狭长，且降雨常连续发生，使多场洪水连在一起，洪水持续时间最长可达40天。岷江为长江上游左岸的一级支流，全长735 km，流域面积13.54万km 2 。岷江洪水多由暴雨形成，历时短、洪峰高、涨落快，洪峰一般持续2~4小时。两江流向与暴雨走向大体一致，洪水易发生遭遇，形成长江上游大洪水。如1966年，金沙江发生自1939年以来实测最大洪水，同时岷江也出现年最大洪水，成为两江洪水遭遇的典型。 本文采用金沙江屏山站和岷江高场站1951~2016年共66年的汛期日径流资料，采用年最大取样法，分别得到两站年最大日流量及其发生时间的序列，作为年最大洪水样本。 3.2. 边缘分布的建立 3.2.1. 洪水发生时间的边缘分布 方彬等 [ 17 ] 首次引入von Mises分布拟合年最大洪水发生时间，结果表明von Mises分布能较好地拟合具有周期性特征的变量。洪水发生时间往往呈现出多峰的特征，所以采用混合von Mises分布来描述其概率密度函数 [ 18 ]。 将洪水发生时间转换为弧度x， x = 2 π D j / L ，其中 D j 代表洪水发生在汛期的第j天，L为汛期的总长度，洪水发生时间X的概率密度函数为： f X ( x ) = ∑ i = 1 m p i 2 π I 0 ( k i ) exp [ k i cos ( x − u i ) ] ; 0 ≤ x ≤ 2 π ， 0 ≤ u i ≤ 2 π ， k i > 0 (13) 式中： p i 为混合比例的系数； k i 是尺度参数； u i 是位置参数； I 0 ( k i ) 是0阶Bessel函数；m是有限混合von Mises分布的阶，取m = 3。 采用极大似然法估计混合von Mises分布的参数，采用Kolmogorov-Smirnov法(K-S)和均方根误差法(RMSE)进行拟合检验，结果如表1所示。在显著水平为5%的情况下，K-S检验统计量均小于临界值0.164，说明两站的边缘分布都通过检验，且两站理论分布与经验频率的RMSE值都比较小。因此，采用混合von Mises分布拟合洪水发生时间是可行的。图1为屏山站和高场站年最大洪水发生时间经验点据与理论分布频率曲线的拟合图。由图可知，理论值与经验频率拟合较好。 3.2.2. 洪水量级的边缘分布 根据《水利水电工程设计洪水计算规范》，采用P-III型分布计算设计洪水，即年最大洪水量级Y服从P-Ⅲ型分布，其概率密度函数如下 [ 19 ]： f Y ( y ) = β α Γ ( α ) ( y − δ ) α − 1 exp [ − β ( y − δ ) ] ; α > 0 ， β > 0 ， δ ≤ y < ∞ (14) 式中： α 、 β 和 δ 分别是P-III型分布的形状、尺度和位置参数； Γ ( ⋅ ) 是伽玛函数。 采用线性矩法估算P-III型分布的参数，采用 χ 2 检验法和均方根误差法进行拟合检验，结果如表2所示。当显著性水平为5%时，自由度为 k − r − 1 (其中r为参数个数，k为 χ 2 检验的分组数)的 χ 2 检验的p值均大于临界值0.05，说明两站的P-III型分布都通过了假设检验，且两站的RMSE值都较小。因此，可以选用P-III型分布拟合年最大洪水量级。图2为两站年最大洪水量级经验点据与理论分布频率曲线拟合图。图中，理论值与经验频率拟合情况良好。 Table 1 Parameters and test results of marginal distributions of flood occurrence date 控制站 u i k i p i K-S检验 RMSE 4.33 68.01 0.17 屏山 5.19 7.91 0.49 0.060 (0.164) 0.020 3.40 5.69 0.34 4.23 2.22 0.64 高场 3.66 300.00 0.13 0.046 (0.164) 0.014 2.88 7.87 0.23 表1. 洪水发生时间边缘分布参数及检验结果 Table 2 Parameters and test results of marginal distributions of flood magnitude 控制站 α β δ χ 2 检验p值 RMSE 屏山 7.93 0.0007 5129.4 0.262 (0.05) 0.018 高场 6.57 0.0005 3522.7 0.262 (0.05) 0.222 表2. 洪水量级边缘分布参数及检验结果 图1. 洪水发生时间经验点据与理论频率曲线拟合图 图2. 洪水量级经验点据与理论频率曲线拟合图 3.3. 联合分布的建立 采用Clayton Copula、GH Copula和Frank Copula函数分别建立金沙江屏山站和岷江高场站年最大洪水发生时间和洪水量级的二维联合分布，即： F ( t i ， t j ) = C ( T i ， T j ) (15) F ( q i ， q j ) = C ( Q i ， Q j ) (16) 式中： T i ， T j 分别表示金沙江屏山站和岷江高场站年最大洪水发生时间； Q i ， Q j 分别表示两站的洪水量级。 利用Kendall秩相关系数估计Archimedean Copula函数的参数，计算经验频率与理论频率的均方根误差进行拟合优度评价，结果如表3所示。由表可知，在洪水发生时间和洪水量级的联合分布中，三种Copula函数的RMSE值都相差较小，且GHCopula函数的RMSE值均最小，拟合效果最佳，故选用GHCopula函数分别建立两江洪水发生时间和量级的联合分布。图3分别为洪水发生时间和洪水量级联合分布的经验频率和理论频率关系图。由图可知，拟合效果较好，说明建立的联合分布合理可行。 Table 3 Parameter estimations and test results of the joint distributions of flood occurrence dates and magnitude Copula函数 发生时间 洪水量级 θ RMSE θ RMSE Clayton 0.09 0.0296 0.43 0.0330 GH 1.04 0.0293 1.21 0.0269 Frank 0.39 0.0294 1.62 0.0285 表3. 洪水发生时间及量级联合分布的参数估计值及拟合检验结果 图3. 洪水发生时间和量级联合分布经验频率与理论频率拟合图 3.4. 金沙江和岷江洪水遭遇风险分析 3.4.1. 洪水发生时间遭遇的风险分析 如前所述，流域内两江年最大日流量出现在同一天的概率极小。实测资料中，金沙江和岷江年最大洪水发生在同一天的情况也非常少。金沙江洪水持续时间长，涨落平缓，而岷江洪水持续时间相对较短，涨落较快，一般为5~7天。因此，认为两江年最大日流量发生时间的间隔在4天之内即为洪水发生遭遇。通过式(5)计算金沙江和岷江洪水发生时间遭遇的概率，点绘第k天遭遇的概率 P k t ，如图4所示。 由图可知，金沙江和岷江洪水在6月份以前遭遇的概率非常小，接近于0；在7月中旬~9月初易发生遭遇，遭遇概率基本维持在1.0 × 10 −3 以上；7月下旬出现遭遇的高峰期，7月24日遭遇的概率最大，达到5.0 × 10 −3 ；8月10日出现另一个小的峰值，概率为2.6 × 10 −3 。根据气候实测资料统计，金沙江和岷江的暴雨都主要集中在6月~9月，8月暴雨最多，其次是7月。由此可见，模型计算的年最大洪水发生时间遭遇结果与实测统计相一致。 图4. 金沙江和岷江洪水发生时间的日遭遇风险 3.4.2. 洪水量级遭遇的风险分析 本文在研究洪水量级遭遇时，考虑了洪水发生时间，认为洪水发生时间与洪水量级相互独立，根据式(10)和式(11)分别计算金沙江和岷江发生大于某重现期洪水遭遇的联合概率和同现概率，根据式(12)计算金沙江发生大于特定重现期洪水时，岷江发生某重现期洪水的条件概率。表4列出了重现期分别为5年、10年、20年、50年及100年情况下两江洪水遭遇的联合概率、同现概率和条件概率，对三种遭遇概率计算结果的分析讨论如下： 洪水发生量级遭遇的联合概率可能偏大。因为从联合概率定义的角度出发，不能保证两江都发生某一量级的洪水，若只有一江发生洪水，则不是洪水遭遇，这就会导致结果偏大。因此，在研究洪水遭遇问题时，采用联合概率描述遭遇风险并不合理，选用同现概率和条件概率更为恰当。 低重现期洪水遭遇的概率比高重现期洪水的大，且同现概率远小于条件概率。金沙江与岷江发生5年、10年、20年、50年和100年一遇洪水遭遇的同现概率分别为9.21 × 10 −3 、3.73 × 10 −3 、1.65 × 10 −3 、0.61 × 10 −3 和0.30 × 10 −3 ，随着重现期的增大，洪水量级遭遇的同现概率明显减小。而两江发生5年、10年、20年、50年和100年一遇洪水遭遇的条件概率分别为46.03 × 10 −3 、37.27 × 10 −3 、32.94 × 10 −3 、30.36 × 10 −3 和29.50 × 10 −3 ，随着重现期的增大，条件概率逐渐减小，但减小幅度不大。从同现概率和条件概率计算结果均可看出，金沙江和岷江大洪水发生遭遇的概率较小，中小洪水遭遇的概率更大，即中小洪水更容易发生遭遇，符合一般规律。 与发生小洪水相比，当上游金沙江发生大洪水时，下游岷江发生不同量级洪水的条件概率更大。金沙江发生5年一遇洪水时，岷江发生5年、10年、20年、50年和100年一遇洪水遭遇的条件概率分别为46.03 × 10 −3 、27.90 × 10 −3 、16.25 × 10 −3 、7.56 × 10 −3 和4.12 × 10 −3 ；而金沙江发生100年一遇洪水时，岷江发生5年、10年、20年、50年和100年一遇洪水遭遇的条件概率分别为82.43 × 10 −3 、68.94 × 10 −3 、56.48 × 10 −3 、40.66 × 10 −3 和29.50 × 10 −3 。由于金沙江和岷江洪水量级的Kendall相关系数为0.18，呈正相关关系，上游洪水对下游洪水有影响，且上游发生大洪水时，下游更容易发生洪水。 Table 4 Joint probability， co-occurrence probability and conditional probability of flood magnitudes coincidence of the Jinsha River and Min River (×10−3 河名 金沙江 遭遇概率 重现期 5 10 20 50 100 岷江 5 40.87 31.98 28.05 26.03 25.47 联合概率 10 31.98 21.31 16.41 13.82 13.08 岷江 20 28.05 16.41 10.87 7.83 6.95 联合概率 50 26.03 13.82 7.83 4.40 3.35 100 25.47 13.08 6.95 3.35 2.21 5 9.21 5.58 3.25 1.51 0.82 同现概率 10 5.58 3.73 2.37 1.21 0.69 20 3.25 2.37 1.65 0.93 0.57 50 1.51 1.21 0.93 0.61 0.41 100 0.82 0.69 0.57 0.41 0.30 5 46.03 55.80 64.99 75.60 82.43 条件概率 10 27.90 37.27 47.36 60.24 68.94 20 16.25 23.68 32.94 46.50 56.48 50 7.56 12.05 18.60 30.36 40.66 100 4.12 6.89 11.30 20.33 29.50 表4. 金沙江和岷江洪水发生量级遭遇的联合概率、同现概率和条件概率(×10 − 3 )