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user: 4. 蒙特卡罗模拟 为了进一步对理论成果进行说明，针对不同的复共线性程度及不同的自相关程度，本节我们用Monte Carlo模拟方法探讨上述各类估计在偏差和均方误差准则下的优良性。解释变量的数据产生采用与McDonald和Galarneau [ 10 ] 和Kibria [ 11 ] 相同的方法，即由以下方程生成： x i j = ( 1 − ρ 2 ) 1 / 2 z i j + ρ z i p + 1 ， i = 1 ， ⋯ ， n ; j = 1 ， ⋯ ， p (25) 其中， z i j 是标准正态随机变量产生的随机数； ρ 是给定的常数； ρ 2 表示两个不同解释变量之间的相关性，因而 ρ 2 某种程度上体现了模型复共线性的程度。在模拟实验中，我们取协变量的数目 p = 4 和 p = 6 ，样本数n考虑100、150和200三种情况， ρ 考虑0.85、0.9、0.95和0.99四种不同的情况。偏参数d我们考虑取0.1、0.3、0.5、0.7和0.9五种不同的取值。 响应变量对应的随机数来自伯努利分布 B e ( π i ) ，其中 π i = exp ( x ′ i β ) 1 + exp ( x ′ i β ) 。对于系数向量 β ，采用与Kibria [ 11 ] 相同的方法，对其做一定的限制，使其满足 ∑ j = 1 p β j 2 = 1 。本次模拟重复2000次。估计的MSE可以通过以下式子得到： M S E ( β ^ ) = 1 2000 ∑ m = 1 2000 t r ( M S E M ( β ^ ( m ) ) ) (26) 其中 β ^ ( m ) 是估计 β ^ 的第m次所得的估计值。模拟结果见表1~表4。 观察表1和表2可以看到，在不同复共线性程度、样本量、协变量的数目和偏参数d的情况下，一阶近似刀切Liu估计的均方误差值小于极大似然估计和一阶近似极大似然估计的均方误差值，即一阶近似刀切Liu估计在均方误差准则下优于极大似然估计和一阶近似极大似然估计。同时由表1和表2可以看出，当偏参数d取0.1时一阶近似刀切Liu估计的均方误差值小于d取0.3、0.5、0.7和0.9时一阶近似刀切Liu估计的均方误差值。当固定给定的d、n和p值时，各估计的均方误差值随着复共线性程度 ρ 的增大而增大。当固定给定的d、n和 ρ 值时，各估计的均方误差值随着协变量的数目p的增大而增大。当固定给定的d、p和 ρ 值时，各估计的均方误差值随着样本量n的增大而减小。 Table 1 Estimated MSE values of the MLE， FAE and FAJL when p = d MLE FAE FAJL 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 ρ 0.85 n 100 1.3927 1.2171 1.0357 1.0733 1.1125 1.1532 1.1954 150 0.8523 0.7907 0.7255 0.7395 0.7538 0.7684 0.7832 200 0.6223 0.5851 0.5551 0.5616 0.5683 0.5751 0.5819 ρ 0.9 n 100 2.0610 1.8175 1.3578 1.4478 1.5448 1.6487 1.7595 150 1.2784 1.1843 0.9980 1.0366 1.0768 1.1186 1.1620 200 0.9237 0.8726 0.7810 0.8005 0.8205 0.8410 0.8620 ρ 0.95 n 100 4.1806 3.6570 1.9873 2.2635 2.5939 2.9735 3.4173 150 2.5668 2.3768 1.5618 1.7121 1.8800 2.0655 2.2687 200 1.8695 1.7673 1.2976 1.3890 1.4878 1.5940 1.7077 ρ 0.99 n 100 22.4064 19.5469 5.6987 6.5321 8.6477 12.0457 16.7260 150 13.6913 12.6788 4.0059 4.7671 6.1946 8.2885 11.0488 200 9.9752 9.4003 3.2597 3.9126 4.9722 6.4384 8.3113 表1. 当p = 4时，估计MLE、FAE和FAJL的MSE Table 2 Estimated MSE values of the MLE， FAE and FAJL when p = d MLE FAE FAJL 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 ρ 0.85 n 100 2.6568 2.2046 1.7519 1.8419 1.9381 2.0403 2.1484 150 1.5989 1.4216 1.2474 1.2838 1.3215 1.3606 1.4009 200 1.1273 1.0448 0.9611 0.9790 0.9973 1.0160 1.0351 ρ 0.9 n 100 4.1114 3.3823 2.2859 2.4872 2.7127 2.9624 3.2363 150 2.4261 2.1629 1.6946 1.7871 1.8862 1.9919 2.1042 200 1.7291 1.5959 1.3494 1.4000 1.4530 1.5084 1.5661 ρ 0.95 n 100 8.5367 7.0108 3.3480 3.8997 4.6013 5.4527 6.4540 150 5.0352 4.5013 2.6422 2.9568 3.3277 3.7549 4.2384 200 3.5709 3.3047 2.1915 2.3932 2.6210 2.8749 3.1549 ρ 0.99 n 100 46.5859 38.2250 9.5522 11.3917 15.8210 22.8402 32.4493 150 27.3406 24.4286 6.6708 8.2228 11.1429 15.4311 21.0874 200 19.5496 18.0425 5.4978 6.7696 8.9077 11.9120 15.7824 表2. 当p = 6时，估计MLE、FAE和FAJL的MSE Table 3 The sum of squares of the bias values of the MLE， FAE and FAJL when p = d 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 FAL FAJL FAL FAJL FAL FAJL FAL FAJL FAL FAJL ρ 0.85 n 100 0.0315 0.0040 0.0190 0.0024 0.0097 0.0012 0.0035 0.0004 0.0003 0.0000 150 0.0110 0.0007 0.0066 0.0004 0.0033 0.0002 0.0012 0.0000 0.0001 0.0000 200 0.0049 0.0002 0.0030 0.0001 0.0015 0.0000 0.0005 0.0000 0.0000 0.0000 ρ 0.9 n 100 0.0849 0.0810 0.0513 0.0109 0.0262 0.0055 0.0094 0.0020 0.0010 0.0002 150 0.0313 0.0040 0.0189 0.0024 0.0096 0.0012 0.0034 0.0004 0.0038 0.0000 200 0.0152 0.0013 0.0092 0.0007 0.0046 0.0004 0.0016 0.0001 0.0001 0.0000 ρ 0.95 n 100 0.3589 0.1426 0.2171 0.0863 0.1107 0.0440 0.0398 0.0158 0.0044 0.0017 150 0.1593 0.0464 0.0964 0.0281 0.0491 0.0143 0.0177 0.0051 0.0019 0.0005 200 0.0889 0.0199 0.0538 0.0120 0.0274 0.0061 0.0098 0.0022 0.0010 0.0002 ρ 0.99 n 100 4.4535 3.4889 2.6941 2.1106 1.3745 1.0768 0.4948 0.3876 0.0549 0.0430 150 2.5537 1.8134 1.5448 1.0969 0.7881 0.5596 0.2837 0.2014 0.0315 0.0223 200 1.7017 1.1097 1.0294 0.6713 0.5252 0.3425 0.1890 0.1233 0.0210 0.0137 表3. 当p = 4时，估计FAL和 FAJL的偏差的平方和 Table 4 The sum of squares of the bias values of the MLE， FAE and FAJL when p = d 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 FAL FAJL FAL FAJL FAL FAJL FAL FAJL FAL FAJL ρ 0.85 n 100 0.0683 0.0134 0.0413 0.0081 0.0210 0.0041 0.0075 0.0014 0.0008 0.0001 150 0.0246 0.0029 0.0148 0.0017 0.0075 0.0008 0.0027 0.0003 0.0003 0.0000 200 0.0118 0.0009 0.0071 0.0005 0.0036 0.0002 0.0013 0.0001 0.0001 0.0000 ρ 0.9 n 100 0.1748 0.0541 0.1057 0.0327 0.0539 0.0167 0.0194 0.0060 0.0021 0.0006 150 0.0717 0.0152 0.0434 0.0092 0.0221 0.0047 0.0079 0.0016 0.0008 0.0001 200 0.0343 0.0051 0.0208 0.0031 0.0106 0.0015 0.0038 0.0005 0.0004 0.0000 ρ 0.95 n 100 0.6484 0.3266 0.3922 0.1976 0.2001 0.1008 0.0720 0.0362 0.0080 0.0040 150 0.3162 0.1267 0.1913 0.0766 0.0976 0.0391 0.0351 0.0140 0.0039 0.0015 200 0.1779 0.0582 0.1076 0.0352 0.0549 0.0179 0.0197 0.0064 0.0021 0.0007 ρ 0.99 n 100 7.2163 5.8941 4.3654 3.5656 2.2272 1.8191 0.8018 0.6549 0.0890 0.0727 150 4.0267 3.0332 2.4359 1.8349 1.2428 0.9361 0.4474 0.3370 0.0497 0.0374 200 2.7304 1.9266 1.6517 1.1655 0.8427 0.5946 0.3033 0.2140 0.0337 0.0237 表4. 当p = 6时，估计FAL和 FAJL的偏差的平方和 根据表3和表4可知，在不同复共线性程度、样本量、协变量的数目和偏参数的情况下，一阶近似刀切Liu估计的偏差的平方和始终小于一阶近似Liu估计的偏差的平方和。且当偏参数d取0.9时一阶近似Liu估计和一阶近似刀切Liu估计的偏差的平方和小于d取0.1、0.3、0.5和0.7时一阶近似Liu估计和一阶近似刀切Liu估计的偏差的平方和。当固定给定的d、n和p值时，各估计的偏差的平方和随着复共线性程度 ρ 的增大而增大。当固定给定的d、n和 ρ 值时，各估计的偏差的平方和随着协变量的数目p的增大而增大。当固定给定的d、p和 ρ 值时，各估计的偏差的平方和随着样本量n的增大而减小。