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user: 3. 全局存在性及衰减 本节我们给出局部存在性和整体存在性的证明。 定理3.1.(局部存在性) 设 u i n ， n i n ， θ i n ∈ H s ( T 3 ) ，那么存在常数 τ > 0 ，使得双极不可压缩纳维–斯托克–傅里叶–泊松方程组(1)~(5)在 [ 0 ， τ ] 上存在唯一解 ( u ， n ， θ ) 满足 u ， n ， θ ∈ L ∞ ( 0 ， T ; H s ( T 3 ) ) . 证明：考虑下面的迭代方程组 { ∂ t u k + 1 + u k ⋅ ∇ u k + 1 − μ Δ u k + 1 = − ∇ p k + 1 + 1 2 n k ∇ ϕ k ， ∇ ⋅ u k + 1 = 0 ∂ t θ k + 1 + u k ⋅ ∇ θ k + 1 − κ Δ θ k + 1 = 0 ∂ t n k + 1 + u k ⋅ ∇ n k + 1 − σ 2 Δ n k + 1 + σ n k + 1 = 0 Δ ϕ k + 1 = n k + 1 (*) 其中 u 0 ( t ， x ) ≡ u i n ( x ) ， θ 0 ( t ， x ) ≡ θ i n ( x ) ， n 0 ( t ， x ) ≡ n i n ( x ) . 对于任意固定的 τ > 0 ，由线性椭圆方程和抛物方程的解的存在性理论可知，当 k = 0 时，迭代方程组存在一个唯一解 u ， θ ， n ∈ C ( [ 0 ， τ ] ; H s ( T 3 ) ) 。 定义 E k ( t ) ≜ ‖ u k ‖ H s 2 + ‖ θ k ‖ H s 2 + ‖ n k ‖ H s 2 + ‖ ∇ ϕ k ‖ H s 2 ， 对于足够小的 M > 0 ，假设 E 0 ( t ) = ‖ u i n ‖ H s 2 + ‖ θ i n ‖ H s 2 + ‖ n i n ‖ H s 2 + ‖ ∇ ϕ i n ‖ H s 2 ≤ M 2 。 我们断言对于足够小的 M > 0 ，存在 T ( M ) > 0 使得 若 sup 0 ≤ t ≤ τ E k ( t ) ≤ M ， 则 sup 0 ≤ t ≤ τ E k + 1 ( t ) ≤ M 。 事实上，我们对迭代方程组(*)做高阶求导 ∇ m 后，分别与 ∇ m u ， ∇ m θ ， ∇ m n 做 L 2 内积有 1 2 d d t ( ‖ ∇ m u k + 1 ‖ 2 2 + ‖ ∇ m θ k + 1 ‖ 2 2 + ‖ ∇ m n k + 1 ‖ 2 2 + ‖ ∇ m + 1 ϕ k + 1 ‖ 2 2 ) + μ ‖ ∇ m + 1 u k + 1 ‖ 2 2   + κ ‖ ∇ m + 1 θ k + 1 ‖ 2 2 + σ 2 ‖ ∇ m + 1 n k + 1 ‖ 2 2 + 3 σ 2 ‖ ∇ m n k + 1 ‖ 2 2 + σ ‖ ∇ m + 1 ϕ k + 1 ‖ 2 2 ≤ ‖ n k ‖ H s ‖ ∇ ϕ k ‖ H s ‖ u k + 1 ‖ H s + ‖ u k ‖ H s ‖ u k + 1 ‖ H s ‖ ∇ u k + 1 ‖ H s     + ‖ u k ‖ H s ‖ n k + 1 ‖ H s ‖ ∇ n k + 1 ‖ H s + ‖ u k ‖ H s ‖ n k +1 ‖ H s ‖ ∇ ϕ k + 1 ‖ H s ， 利用Young不等式有 d d t ( ‖ ∇ m u k + 1 ‖ 2 2 + ‖ ∇ m θ k + 1 ‖ 2 2 + ‖ ∇ m n k + 1 ‖ 2 2 + ‖ ∇ m + 1 ϕ k + 1 ‖ 2 2 ) + μ ‖ ∇ m + 1 u k + 1 ‖ 2 2   + κ ‖ ∇ m + 1 θ k + 1 ‖ 2 2 + σ 2 ‖ ∇ m + 1 n k + 1 ‖ 2 2 + 3 σ 2 ‖ ∇ m n k + 1 ‖ 2 2 + σ ‖ ∇ m + 1 ϕ k + 1 ‖ 2 2 ≤ C ‖ u k ‖ H s ( ‖ u k + 1 ‖ H s 2 + ‖ θ k + 1 ‖ H s 2 + ‖ n k + 1 ‖ H s 2 + ‖ ∇ ϕ k + 1 ‖ H s 2 ) + ‖ u k + 1 ‖ H s ( ‖ n k ‖ H s 2 + ‖ ∇ ϕ k ‖ H s 2 ) ， 对上式从 [ 0 ， t ] 上积分，并对 | m | ≤ s 求和，我们得到 E k + 1 ( t ) ≤ E k + 1 ( 0 ) + C t sup 0 ≤ τ ′ ≤ t E k ( τ ′ ) sup 0 ≤ τ ′ ≤ t E k + 1 ( τ ′ ) + C t sup 0 ≤ τ ′ ≤ t E k ( τ ′ ) sup 0 ≤ τ ′ ≤ t E k + 1 ( τ ′ ) ≤ E k + 1 ( 0 ) + C t sup 0 ≤ τ ′ ≤ t E k ( τ ′ ) sup 0 ≤ τ ′ ≤ t E k + 1 ( τ ′ ) + C t sup 0 ≤ τ ′ ≤ t [ E k ( τ ′ ) ] 2 + C t sup 0 ≤ τ ′ ≤ t E k + 1 ( τ ′ ) 又因为 sup 0 ≤ τ ′ ≤ t E k ( τ ′ ) ≤ M ，故有 ( 1 − C T M − C T ) sup 0 ≤ τ ′ ≤ t E k + 1 ( τ ′ ) ≤ M 2 + C T M 2 。 因此，如果M与 τ 足够小，我们便能得到：若 sup 0 ≤ t ≤ τ E k ( t ) ≤ M ，则 sup 0 ≤ t ≤ τ E k + 1 ( t ) ≤ M ，断言成立。 同样的利用能量估计，可以证明 ‖ u k + 1 − u k ‖ H s 2 + ‖ θ k + 1 − θ k ‖ H s 2 + ‖ n k + 1 − n k ‖ H s 2 + ‖ ∇ ϕ k + 1 − ∇ ϕ k ‖ H s 2 ≤ 1 2 ( ‖ u k − u k − 1 ‖ H s 2 + ‖ θ k − θ k − 1 ‖ H s 2 + ‖ n k − n k − 1 ‖ H s 2 + ‖ ∇ ϕ k − ∇ ϕ k − 1 ‖ H s 2 ) . 令 k → ∞ ，有 ( u k ， θ k ， n k ) → ( u ， θ ， n ) ， 可以证明 ( u ， θ ， n ) 即为方程组(1)~(5)的局部解，得到局部解的存在性，定理3.1得证。 下面用连续性方法证明双极不可压缩纳维–斯托克–傅里叶–泊松方程组解的整体存在性与指数衰减性质，即证明定理1。 定理1的证明：一方面，我们由 E ( t ) 的定义有 E ( 0 ) = 2 ‖ u i n ‖ H s 2 + 2 ‖ θ ‖ H s 2 + 5 2 ‖ n i n ‖ H s 2 + 3 ‖ ( ∇ ϕ ) i n ‖ H s 2 ≤ 3 E i n ， 定义 P ( E ( t ) ) ≜ C E 1 2 ( t ) ，故不等式(3.41)可以写成 1 4 d d t E ( t ) + D ( t ) ≤ D ( t ) P ( E ( t ) ) ， 此处 P ( 0 ) = 0 且 P ( ⋅ ) 是严格递增的。那么存在 ε 0 = ε 0 ( u ， σ ， s ) > 0 ，使得若 E i n < ε 0 ，则 P ( E ( 0 ) ) ≤ P ( 3 E i n ) ≤ 1 4 。 现在定义： R ≜ sup { τ ≥ 0 ; sup t ∈ [ 0 ， τ ] P ( E ( t ) ) ≤ 3 4 } ≥ 0 。 由 E ( t ) 的连续性可以得到 R > 0 。我们其实可以得到 R = + ∞ ，下面用反证法证明。假设 R < + ∞ ，那么对于所有的 t ∈ [ 0 ， R ] 有 1 4 d d t E ( t ) + D ( t ) ≤ D ( t ) P ( E ( t ) ) ≤ 3 4 D ( t ) ， 即 d d t E ( t ) + D ( t ) ≤ 0 ， 对上式从 [ 0 ， R ] 积分有 sup t ∈ [ 0 ， R ] E ( t ) ≤ E ( 0 ) ， 从而有 sup t ∈ [ 0 ， R ] P ( E ( t ) ) ≤ P ( E ( 0 ) ) ≤ 1 4 。 由 E ( t ) 的连续性可以知道，存在 t ∗ > 0 ，使得对所有 t ∈ [ 0 ， R + t ∗ ] ， P ( E ( t ) ) ≤ 3 4 ，这与R的定义矛盾，故 R < + ∞ 的假设不成立，我们得到 R = + ∞ 。 最后，根据能量函数 E ( t ) 和 D ( t ) 的定义，我们得到 sup t ≥ 0 ( ‖ u ‖ H s ( T 3 ) 2 + ‖ θ ‖ H s ( T 3 ) 2 + ‖ n ‖ H s ( T 3 ) 2 + ‖ ∇ ϕ ‖ H s ( T 3 ) 2 ) + ∫ 0 ∞ ( μ ‖ ∇ u ‖ H s ( T 3 ) 2 + κ ‖ ∇ θ ‖ H s ( T 3 ) 2 + 3 σ 8 ‖ ∇ n ‖ H s ( T 3 ) 2   + σ 2 ‖ ∇ ϕ ‖ H s ( T 3 ) 2 + σ ‖ n ‖ H s ( T 3 ) 2 + σ 2 ∑ k = 0 s ‖ ∇ k + 1 ϕ − 1 2 ∇ k + 1 n ‖ L 2 ( T 3 ) 2 ) d t ≤ C ( μ ， σ ， κ ) E i n ， 并且上式对于时间t是一致有界的。因此，我们可以将定理3.2所构造的方程的解推广到时间区域 [ 0 ， + ∞ ) 内，我们也就完成了整体存在性的证明。 接下来，我们证明能量 E ( t ) 的指数衰减。 对方程(1)在周期区域 T 3 上积分有 ∫ T 3 ( ∂ t u + u ⋅ ∇ u − μ Δ u + ∇ p − 1 2 n ∇ ϕ ) d x = 0 ， ∫ T 3 ∂ t u d x + ∫ T 3 u ⋅ ∇ u d x − ∫ T 3 μ Δ u d x + ∫ T 3 ∇ p d x − ∫ T 3 1 2 n ∇ ϕ d x ≜ I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I 5 。 现在我们依次估计每一项 I i ( 1 ≤ i ≤ 5 ) ， I 1 = ∫ T 3 ∂ t u d x = d d t ( ∫ T 3 u d x ) ， 因为 d i v u = 0 ，我们可以得到 ( I 2 ) k = ∫ T 3 ∑ i = 1 3 u i ∂ u k d x = ∫ T 3 ∑ i = 1 3 [ ∂ i ( u i u k ) − ∂ i u i u k ] d x = ∫ T 3 [ d i v ( u k u ) − u k d i v u ] d x = 0 ， ( I 3 ) k = − ∫ T 3 μ Δ u k d x = − μ ∫ T 3 d i v ( ∇ u k ) = 0 ， ( I 4 ) k = ∫ T 3 ∂ k p d x = 0 ， ( I 5 ) k = − 1 2 ∫ T 3 ∇ ϕ ∂ k ϕ d x = − 1 2 ∫ T 3 [ d i v ( ∂ k ϕ ∇ ϕ ) − ∇ ϕ ⋅ ∇ ( ∂ k ϕ ) ] d x = 0 ， 综上所述，我们可以得到 d d t ( ∫ T 3 u d x ) = 0 。 由于初值满足零平均定理，对x积分有 ∫ T 3 u ( t ， x ) d x = ∫ T 3 u ( 0 ， x ) d x = ∫ T 3 u 0 ( x ) d x = 0 ， ∀ t > 0 ， 利用Poincare不等式有 ‖ u ‖ 2 = ‖ u − 1 | T 3 | ∫ T 3 u d x ‖ 2 ≤ C ‖ ∇ u ‖ 2 ， 故 ‖ u ‖ H s 2 = ‖ u ‖ 2 + ‖ ∇ u ‖ 2 + ⋯ + ‖ ∇ s u ‖ 2 ≤ C ‖ ∇ u ‖ 2 + ‖ ∇ u ‖ 2 + ⋯ + ‖ ∇ s u ‖ 2 ≤ C 2 D ( t ) 。 同理，我们可以得到 ‖ θ ‖ H s 2 = ‖ θ ‖ 2 + ‖ ∇ θ ‖ 2 + ⋯ + ‖ ∇ s θ ‖ 2 ≤ C ‖ ∇ θ ‖ 2 + ‖ ∇ θ ‖ 2 + ⋯ + ‖ ∇ s θ ‖ 2 ≤ C 3 D ( t ) 。 故存在 C 1 > 0 ，使得 D ( t ) ≥ C 1 E ( t ) ， ∀ t > 0 。 (3.29) 结合(3.28)和(3.29)得到 d d t E ( t ) + C 1 E ( t ) ≤ 0 ， 上式对t积分得到能量 E ( t ) 的指数衰减，即 E ( t ) ≤ e − C 1 t E ( 0 ) 。