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user: 3. 主要结果 注意本文中的S是一个序半群而不是序幺半群。但是根据文献 [ 11 ]，我们可以得到一系列相似的结论。为简明起见，我们省掉类似的证明。 设 ε 表示是序嵌入的S-poset同态构成的类。设 ε ≤ 表示范畴 P S o s ≤ 中满足条件： ∀ a ， a ′ ∈ A ， s ∈ S ， s ∗ e ( a ) ≤ e ( a ′ ) ⇒ s ∗ a ≤ a ′ 的态射构成的类。显然， ε ⊆ ε ≤ 。 通过类似于文献 [ 11 ] 中命题4和命题5的证明，可以得到以下结论： 命题3.1 (1)设 Q S 是一个S-quantale，则 Q S 在范畴 P S o s ≤ 中是 ε ≤ -内射的。 (2) 在范畴 P S o s ≤ 中，每个S-quantale的收缩是S-quantale。 对任意一个偏序集P， D ( P ) 表示P的所有下集组成的集合。设 ( A S ， ∗ ， ≤ ) 是一个S-poset。对任意的 X ， Y ∈ D ( A ) ， s ∈ S ，定义 s ∗ X = { s ∗ x | x ∈ X } . s • X =   ↓ ( s ∗ X ) . 可以证明 ( D S ( A ) ， • ， ⊆ ) 也是一个S-quantale。因此，由命题3.1我们可以知道 D S ( A ) 在范畴 P S o s ≤ 中是 ε ≤ -内射的。而且，类似于文 [ 11 ] 中定理7的证明，可知 A S 在范畴 P S o s ≤ 中是 ε ≤ -内射的当且仅当 A S 是一个S-quantale。 回忆一下偏序集P上的映射 j : P → P 被称为P上的闭包算子，如果j是保序的，增值的，幂等的。令 P j = j ( P ) ，即 P j = { x ∈ P | j ( x ) = x } = { j ( x ) | x ∈ P } 。如果j是P上的闭包算子，则 ∀ a ， b ∈ P ， a ≤ j ( b ) ⇔ j ( a ) ≤ j ( b ) 。有关闭包算子的更多性质，请参考文献 [ 12 ]。 设 ( A S ， ∗ ， ≤ ) 是S-poset，如果j是 ( A S ， ∗ ， ≤ ) 上的闭包算子，且j是S-次可乘的，则j被称为 ( A S ， ∗ ， ≤ ) 上的核映射。容易得到如下的结论： 1) 设j是S-poset ( A S ， ∗ ， ≤ ) 上的核映射，则 ∀ a ∈ A ， s ∈ S ， j ( s ∗ a ) = j ( s ∗ j ( a ) ) 。 2) 设j是S-quantale ( Q S ， ∗ ， ≤ ) 上的核映射，则 ( ( Q j ) S ， ∗ j ， ≤ ) 是S-quantale，其中， ∀ a ∈ Q j ， s ∈ S ， s ∗ j a = j ( s ∗ a ) 。 设 ( A S ， ∗ ， ≤ ) 是S-poset，对任意的 D ∈ D ( A ) ，定义 c l ( D ) = { x ∈ A | ∀ a ∈ A ， s ∈ S ， s • D ⊆   ↓ a ⇒ s ∗ x ≤ a } ; u l ( D ) = { x ∈ A | ∀ b ∈ A ， D ⊆   ↓ b ⇒ x ≤ b } ; c u ( D ) = c l ( D ) ∩ u l ( D ) . 引理3.2设 ( A S ， ∗ ， ≤ ) 是S-poset，则 c u 是S-quantale ( D S ( A ) ， • ， ⊆ ) 上的核映射，且 ∀ a ∈ A ， c u ( ↓ a ) =   ↓ a 。 证明：容易验证 c l 和 u l 是 ( D S ( A ) ， • ， ⊆ ) 上的闭包算子。所以 c u 是 D S ( A ) 上的闭包算子。设 s ∈ S ， D ∈ D ( A ) ，为证明 s • c u ( D ) ⊆ c u ( s • D ) ，只需证明 s ∗ c u ( D ) ⊆ c u ( s • D ) 。 (1) 设 x ∈ c u ( D ) ， a ∈ A ， t ∈ S ， t • ( s • D ) ⊆   ↓ a ，则 ( t ⊗ s ) • D ⊆   ↓ a 。因为 x ∈ c u ( D ) ⊆ c l ( D ) ，所以 ( t ⊗ s ) ∗ x ≤ a ，从而 t ∗ ( s ∗ x ) ≤ a ，因此 s ∗ x ∈ c l ( s • D ) 。 (2) 设 x ∈ c u ( D ) ， b ∈ A ， s • D ⊆   ↓ b ，则 x ∈ c u ( D ) ⊆ c l ( D ) 。所以 s ∗ x ≤ b 。从而 s ∗ x ∈ u l ( s • D ) 。 由(1) (2)可知 s ∗ c u ( D ) ⊆ c l ( s • D ) ∩ u l ( s • D ) = c u ( s • D ) 。 (3) 设 k ∈ A ，则 u l ( ↓ k ) =   ↓ k 。设 x ∈ u l ( ↓ k ) ， a ∈ A ， s ∈ S ， s • ( ↓ k ) ⊆   ↓ a ，则 s ∗ x ≤ s ∗ k ∈ s • ( ↓ k ) ⊆   ↓ a ，即 s ∗ x ≤ a ，所以 x ∈ c l ( ↓ k ) ，从而 u l ( ↓ k ) ⊆ c l ( ↓ k ) 。因此 c u ( ↓ k ) = u l ( ↓ k ) ∩ c l ( ↓ k ) = u l ( ↓ k ) =   ↓ k 。 由引理3.2，可以得到如下的命题： 命题3.3设 ( A S ， ∗ ， ≤ ) 是S-poset，则 ( ( D ( A ) c u ) S ， • c u ， ⊆ ) 是一个S-quantale。因此 ( ( D ( A ) c u ) S ， • c u ， ⊆ ) 在范畴 P S o s ≤ 中是 ε ≤ 内射的。 设 ( A S ， ∗ ， ≤ ) 是S-poset，定义一个映射 η : A → D ( A ) c u 为： ∀ a ∈ A ， η ( a ) = ↓ a . 定理3.4设 ( A S ， ∗ ， ≤ ) 是S-poset，则 ( ( D ( A ) c u ) S ， • c u ， ⊆ ) 是 ( A S ， ∗ ， ≤ ) 在范畴 P S o s ≤ 中的 ε ≤ -内射包。 证明：只需证明 η : A S → D S ( A ) c u 是 ε ≤ -本质的。 (1) 设 s ∈ S ， a ∈ A ，则 s • c u η ( a ) = c u ( s • ↓ ( a ) ) = c u ( ↓ ( s ∗ a ) ) =   ↓ ( s ∗ a ) = η ( s ∗ a ) 。所以 η : A S → D S ( A ) c u 是S-次可乘的。又因为 η 是序嵌入，从而， η ∈ ε ⊆ ε ≤ ，因此 η ∈ ε ≤ 。 (2) 设 ψ : ( ( D ( A ) c u ) S ， • c u ， ⊆ ) → ( B S ， ∗ ， ≤ ) 是S-poset次同态，且 ψ ∘ η ∈ ε ≤ 。要证明 ψ ∈ ε ≤ ，只需证明 ∀ D ， D ′ ∈ D ( A ) c u ， t ∈ S ， t ∗ ψ ( D ) ≤ ψ ( D ′ ) ⇒ t • c u D ⊆ D ′ 。 设 D ， D ′ ∈ D ( A ) c u ， t ∈ S ， t ∗ ψ ( D ) ≤ ψ ( D ′ ) ，则 D ′ = c u ( D ′ ) ， t • c u D = c u ( t • D ) 。 (i) 设 s ∈ S ， a ∈ A ， s • D ′ ⊆   ↓ a ，则 c u ( s • D ′ ) ⊆ c u ( ↓ a ) =   ↓ a = η ( a ) 。对任意的 d ∈ D ，有 s ∗ ( t ∗ ( ψ η ( d ) ) ) = s ∗ ( t ∗ ( ψ ( ↓ d ) ) ) ≤ s ∗ ( t ∗ ( ψ ( D ) ) ) ( ∵   ↓ d ⊆ d ) ≤ s ∗ ψ ( D ′ ) ≤ ψ ( s • c u D ′ )     ( ∵ ψ 是 S - 次 可 乘 的 ) = ψ ( c u ( s • D ′ ) ) ≤ ψ ( η ( a ) ) 因为 ψ ∘ η ∈ ε ≤ ，从而 s ∗ ( t ∗ d ) ≤ a 。由d的任意性可知 s ∗ ( t ∗ D ) ⊆ ↓ a ，所以 s • ( t • D ) = s •   ↓ ( t ∗ D ) =   ↓ ( s ∗ ( t ∗ D ) ) ⊆   ↓ a 。对任意的 x ∈ t • c u D ，有 x ∈ c l ( t • D ) ，从而 s ∗ x ≤ a ，所以 。由于x的任意性，因此， 。 (ii) 设 ，对任意的 ，有 。由假设 ，可得 。因此 。 由于e的任意性，从而 ，所以 。因此 。 由(i)~(ii)可得 。 引理3.5在S 1 -poset 中， 。 证明：设 ，设 ，则 。从而 ，所以 。所以 。因此 。 通过定理3.4，引理3.5，可以重新得到文献 [ 11 ] 的主要结论。 命题3.6设 是S 1 -poset，则 是 在范畴 中的 内射包。 定义3.7设 是S-poset，如果对任意的 ， 有右伴随，即有一个映射 ，使得对任意的 ， ，则称S-poset 为剩余S-poset。 引理3.8在剩余S-poset 中， 。 证明：设 。设 。则 。 ， ，即 ，从而， 。由假设 ，可得 ，即 ，从而 ，所以 ，因此 。 由定理3.4和引理3.8，我们可以得到如下的结论。 命题3.9设 是一个剩余S-poset，则 是 在范畴 中的 -内射包。 推论3.10在剩余S 1 -poset 中， 。