DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 2. 引理 引理1 [ 6 ] ：设 A 1 ( z ) 和 A 0 ( z ) 为 Δ 内解析函数且满足1) σ M ( A 1 ) < σ M ( A 0 ) ，或2) D M ( A 1 ) < ∞ 而 D M ( A 0 ) = ∞ ，则方程(1.1)的所有解 f ≡ 0 都满足 σ ( f ) = ∞ 且 σ 2 ( f ) = σ M ( A 0 ) 。 引理2 [ 6 ] ：设 f 和 g 为 Δ 内亚纯函数， n ∈ ℕ ，则 1) σ n ( f ) = σ n ( 1 f ) ，   σ n ( a ⋅ f ) = σ n ( f ) ( a ∈ ℂ − { 0 } ) ； 2) σ n ( f ) = σ n ( f ′ ) ； 3) max { σ n ( f + g ) ， σ n ( f ⋅ g ) } ≤ max { σ n ( f ) ， σ n ( g ) } ； 4) 如果 σ n ( f ) < σ n ( g ) ，那么 σ n ( f + g ) = σ n ( g ) ， σ n ( f ⋅ g ) = σ n ( g ) 。 引理3 [ 6 ] ：设 f ( z ) 是方程 L ( f ) = f ( k ) + A k − 1 ( z ) f ( k − 1 ) + ⋯ + A 0 ( z ) f = F ( z )   ( k ∈ ℕ ) 的一个亚纯解，其中 A 0 ， ⋯ ， A k − 1 ， F ≡ 0 是 Δ 内的亚纯函数。若 max { σ i ( F ) ， σ i ( A j ) ( j = 0 ， ⋯ ， k − 1 ) } : = b < σ i ( f ) : = σ 这里 i = 1 ， 2 ，则有 λ ¯ i ( f ) = λ i ( f ) = σ i ( f ) ，其中 λ ¯ 1 ( f ) ， λ 1 ( f ) 和 σ 1 ( f ) 分别表示为 λ ¯ ( f ) ， λ ( f ) 和 σ ( f ) 。 引理4 [ 6 ] ：设 f 和 g 为 Δ 内解析函数， n ∈ ℕ ，则 1) σ M ， n ( a ⋅ f ) = σ M ， n ( f )   ( a ∈ ℂ − { 0 } ) ； 2) σ M ， n ( f ) = σ M ， n ( f ′ ) ； 3) max { σ M ， n ( f + g ) ， σ M ， n ( f ⋅ g ) } ≤ max { σ M ， n ( f ) ， σ M ， n ( g ) } ； 4) 如果 σ M ， n ( f ) < σ M ， n ( g ) ，那么 σ M ， n ( f + g ) = σ M ， n ( g ) 。 引理5 [ 6 ] ：设 A 1 ( z ) 和 A 0 ( z ) 为 Δ 内解析函数且满足(i) σ ( A 1 ) < σ ( A 0 ) ，或(ii) D ( A 1 ) < ∞ 而 D ( A 0 ) = ∞ ，则方程(1.1)的所有解 f ≡ 0 都满足 σ ( f ) = ∞ 且 α M ≥ σ 2 ( f ) ≥ σ ( A 0 ) ，其中 α M = max { σ M ( A 0 ) ， σ M ( A 1 ) } 。 引理6 [ 7 ] ：设方程 L ( f ) = f ( k ) + A k − 1 ( z ) f ( k − 1 ) + ⋯ + A 0 ( z ) f = 0   ( k ∈ ℕ ) (2.1) 的系数 A 0 ( z ) ， ⋯ ， A k − 1 ( z ) 在 Δ 内解析， max { σ M ( A j ) : j = 1 ， ⋯ ， k − 1 } < σ M ( A 0 ) 或 max { σ ( A j ) : j = 1 ， ⋯ ， k − 1 } < σ ( A 0 ) 。如果 σ 2 ( A j ) < ∞   ( j = 0 ， ⋯ ， k − 1 ) ，那么(2.1)式的每个解 f ≡ 0 满足 λ ¯ 2 ( f − z ) = σ 2 ( f ) 。 引理7 [ 7 ] ：设(2.1)式的系数 A 0 ( z ) ， ⋯ ， A k − 1 ( z ) 在 Δ 内解析，如果 max { σ M ( A j ) : j = 1 ， ⋯ ， k − 1 } < σ M ( A 0 ) ，那么(2.1)式的所有解 f ≡ 0 都满足 σ M ( A 0 ) = σ 2 ( f ) ≥ σ ( A 0 ) 。 引理8 [ 7 ] ：设 Δ 内解析的函数 A 0 ( z ) ， ⋯ ， A k − 1 ( z ) 是(2.1)式的系数，如果 max { σ ( A j ) : j = 1 ， ⋯ ， k − 1 } < σ ( A 0 ) ，那么(2.1)式的所有解 f ≡ 0 都满足 σ ( A 0 ) ≤ σ 2 ( f ) ≤ α M ，其中 α M = max { σ M ( A j ) : j = 0 ， ⋯ ， k − 1 } 。
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user: 3. 定理1的证明 下面证 σ M ( A ) < σ M ( B ) < ∞ 的情形。 设 f ≡ 0 为方程(1.1)的解，由引理1知， σ ( f ) = ∞ ，   σ 2 ( f ) = σ M ( B ) (3.1) 1) 首先考虑 f ′ ( z ) 的不动点。假设 g 1 ( z ) = f ′ ( z ) − z ，   z ∈ Δ ，由(3.1)，有 σ ( g 1 ) = σ ( f ′ ) = ∞ ，   σ 2 ( g 1 ) = σ 2 ( f ′ ) = σ 2 ( f ) ，   λ ¯ 2 ( g 1 ) = λ ¯ 2 ( f ′ − z ) (3.2) 微分(1.1)，得 f ‴ + A f ″ + ( A ′ + B ) f ′ + B ′ f = 0 (3.3) 由(1.1)，有 f = − f ″ + A f ′ B (3.4) 将(3.4)代入(3.3)，得 f ‴ + D 1 ( z ) f ″ + D 0 ( z ) f ′ = 0 (3.5) 将 f ′ = g 1 + z 代入(3.5)，得 g ″ 1 + D 1 ( z ) g ′ 1 + D 0 ( z ) g 1 = D ( z ) (3.6) 其中， D 1 ( z ) = A − B ′ B (3.7) D 0 ( z ) = A ′ + B − A B ′ B (3.8) D ( z ) = − ( D 1 ( z ) + z D 0 ( z ) ) (3.9) 下证 D ( z ) ≡ 0 ，若 D ( z ) ≡ 0 ，由(3.9)，有 D 1 ( z ) + z D 0 ( z ) = 0 (3.10) 令 f ′ 1 = z ，由(3.5)、(3.10)知， f 1 为(3.5)的解。因此，方程(1.1)有解 f 1 满足 f ′ 1 = z 且 σ ( f 1 ) < ∞ 。这与(3.1)矛盾。故 D ( z ) ≡ 0 。由注1知， σ ( A ) ≤ σ M ( A ) < ∞ ， σ ( B ) ≤ σ M ( B ) < ∞ ，从而由(3.7)~(3.9)与引理2可知 σ ( D 0 ( z ) ) < ∞ ， σ ( D 1 ( z ) ) < ∞ ， σ ( D ( z ) ) < ∞ ，从而由(3.1)、(3.2)得 max { σ 2 ( D 0 ( z ) ) ， σ 2 ( D 1 ( z ) ) ， σ 2 ( D ( z ) ) } < σ 2 ( g 1 ) = σ 2 ( f ) (3.11) 由(3.6)与引理3得 λ ¯ 2 ( g 1 ) = λ 2 ( g 1 ) = σ 2 ( g 1 ) ，从而 λ ¯ 2 ( f ′ − z ) = λ ¯ 2 ( g 1 ) = λ 2 ( f ′ − z ) = λ 2 ( g 1 ) = σ 2 ( g 1 ) = σ 2 (f) 2) 再次考虑 f ″ ( z ) 的不动点。假设 g 2 ( z ) = f ″ ( z ) − z ，   z ∈ Δ ，由(3.1)，有 σ ( g 2 ) = σ ( f ″ ) = ∞ ，   σ 2 ( g 2 ) = σ 2 ( f ″ ) = σ 2 ( f ) ，   λ ¯ 2 ( g 2 ) = λ ¯ 2 ( f ″ − z ) (3.12) 微分(3.3)，得 f ( 4 ) + A f ‴ + ( 2 A ′ + B ) f ″ + ( A ″ + 2 B ′ ) f ′ + B ″ f = 0 (3.13) 下证 D 0 ( z ) ≡ 0 。假设 D 0 ( z ) ≡ 0 ，由(3.8)，得 A ′ + B − A B ′ B = 0 ，或 A ′ B − A B ′ = − B 2 。因此， ( A B ) ′ = − 1 ，可得 A B = − z + C (3.14) 其中 C 为任意常数。则 A = ( C − z ) B ， B = A C − z 。又因为 σ M ( C − z ) = σ M ( 1 C − z ) = 0 ，从而由引理4可知 σ M ( A ) ≤ max { σ M ( C − z ) ， σ M ( B ) } = σ M ( B ) ， σ M ( B ) ≤ max { σ M ( 1 C − z ) ， σ M ( A ) } = σ M (A) 即 σ M ( A ) = σ M ( B ) ，与题设矛盾。故 D 0 ( z ) ≡ 0 。由(3.5)得 f ′ = 1 D 0 ( z ) ( − f ‴ − D 1 ( z ) f ″ ) (3.15) 将(3.4)、(3.15)代入(3.13)，得 f ( 4 ) + B 2 ( z ) f ‴ + B 1 ( z ) f ″ = 0 (3.16) 其中， B 1 ( z ) = ( 2 A ′ + B − B ″ B ) − d 1 ( z ) d 2 ( z ) ( A − B ′ B ) (3.17) B 2 ( z ) = A − d 1 ( z ) d 2 ( z ) (3.18) d 1 ( z ) = A ″ + 2 B ′ − B ″ B A (3.19) d 2 ( z ) = A ′ + B − B ′ B A (3.20) 将 f ″ = g 2 + z 代入(3.16)，得 g ″ 2 + B 2 ( z ) g ′ 2 + B 1 ( z ) g 2 = B ( z ) (3.21) 其中 B ( z ) = − B 2 ( z ) − z B 1 ( z ) (3.22) 下证 B ( z ) ≡ 0 。假设 B ( z ) ≡ 0 ，由(3.22)，得 B 2 ( z ) + z B 1 ( z ) = 0 (3.23) 令 f ″ 2 = z ，由(3.16)、(3.23)，可知 f 2 为(3.16)的一个解。因此，方程(1.1)有解 f 2 满足 f ″ 2 = z 且 σ ( f 2 ) < ∞ 。这与(3.1)矛盾。故 B ( z ) ≡ 0 。由注1知， σ ( A ) ≤ σ M ( A ) < ∞ ， σ ( B ) ≤ σ M ( B ) < ∞ ，故由(3.17)~(3.20)、(3.22)与引理2，易知 σ ( B 1 ( z ) ) < ∞ ， σ ( B 2 ( z ) ) < ∞ ， σ ( B ( z ) ) < ∞ 。从而由(3.12)得 max { σ 2 ( B 1 ( z ) ) ， σ 2 ( B 2 ( z ) ) ， σ 2 ( B ( z ) ) } < σ 2 ( g 2 ) = σ 2 ( f ) (3.24) 由(3.21)与引理3得 λ ¯ 2 ( g 2 ) = λ 2 ( g 2 ) = σ 2 ( g 2 ) ，从而 λ ¯ 2 ( f ″ − z ) = λ ¯ 2 ( g 2 ) = λ 2 ( f ″ − z ) = λ 2 ( g 2 ) = σ 2 ( g 2 ) = σ 2 (f) 综上所述，在 σ M ( A ) < σ M ( B ) < ∞ 的情形下，有 λ ¯ 2 ( f ′ − z ) = λ 2 ( f ′ − z ) = λ ¯ 2 ( f ″ − z ) = λ 2 ( f ″ − z ) = σ 2 (f) 在 σ ( A ) < σ ( B ) < ∞ 的情形下，结合引理5，类似可证得结论也成立。
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user: 4. 定理2的证明 由引理6并注意到当 σ ( A ) < σ ( B ) = ∞ 或 σ M ( A ) < σ M ( B ) = ∞ 时， σ 2 ( A ) ≤ σ 2 ( B ) ，可知在定理2的条件下，方程(1.1)的每个解 f ≡ 0 满足 λ ¯ 2 ( f − z ) = σ 2 ( f ) 。 由引理7及引理8知， σ 2 ( f ) ≥ σ ( B ) 。 1) 若 σ ( B ) < ∞ ，则 σ M ( A ) < σ M ( B ) < ∞ 或 σ ( A ) < σ ( B ) < ∞ ，由定理1知，定理2结论成立。 2) 若 σ ( B ) = ∞ ，由 σ 2 ( f ) ≥ σ ( B ) 知， σ 2 ( f ) = ∞ 。由 σ M ( A ) < σ M ( B ) = ∞ 或 σ ( A ) < σ ( B ) = ∞ ， 可知 σ 2 ( A ) ≤ σ 2 ( B ) ，又 σ 2 ( B ) < ∞ ，从而 σ 2 ( A ) ≤ σ 2 ( B ) < σ 2 ( f ) 。由引理2知， max { σ 2 ( D 0 ( z ) ) ， σ 2 ( D 1 ( z ) ) ， σ 2 ( D ( z ) ) } ≤ σ 2 (B) max { σ 2 ( B 1 ( z ) ) ， σ 2 ( B 2 ( z ) ) ， σ 2 ( B ( z ) ) } ≤ σ 2 (B) 则(3.11)与(3.24)成立。从而类似于定理1的证明，可知定理2结论成立。
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user: 摘 要 目的：分析食管纤维血管性息肉的各种影像学表现，为临床术前了解病变信息，提供丰富的影像学支持。方法：应用CT重建技术，从冠状位，矢状位和轴位分析病变的解剖和影像学特征，重现病变的大致形态，运用影像学分析对病变进行分析和总结。结果：术前分析结果与术后病理标本高度一致。结论：采用CT多种技术在术前能够为临床提供非常优质的影像学参考。 关键词 :CT诊断，食管，息肉 Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 食管纤维血管性息肉(Esophageal fibrovascular polyp， EFVP)是一种少见的良性肿瘤性病变，1990年世界卫组织(WTO)国际肿瘤组织学分型将纤维瘤、纤维上皮息肉、带蒂脂肪瘤、纤维脂肪瘤、粘液纤维瘤等统称为纤维血管性息肉 [ 1 ] 。目前病因不明，早期症状不明显，病变长大后，患者临床症状较痛苦，且有呼吸困难、窒息等严重症状，并有恶变可能。巨大纤维血管性息肉较少见，文献报道较少，为提高对本病的认识、诊断，为临床手术提供详细影像学支持，现结合文献复习报告如下。
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user: 2. 临床资料 患者男，45岁，主诉间断恶心、呕吐10年余，加重1月。患者于6年前发现呕吐时可有长蒂息肉样肿物由咽部呕出，呕吐后可回纳消失。外院检查：喉镜示反流性咽喉炎；胃镜示食管距门齿20~30 cm处左侧壁见粘膜下肿物，游动，性质待定；增强CT示多发食道粘膜下巨大囊肿？粘膜脱垂？于2016年1月25日入我院消化内科门诊就诊，门诊以“食管占位性质待定”收住消化内科，入院后上消化道钡餐检查示(图1)：食管上段、中段局限性充盈缺损，结合临床病史，考虑食道息肉。胃镜示(图2)：食管巨大息肉样肿物。胸部CT平扫加增强并多平面重建示(图3)：食道于胸1椎体水平至胸9/10椎间隙水平见长条形混杂密度影，长度约18.0 cm，边界清晰，边缘光整，以长蒂与食道上段相连，蒂基底部约宽1.5 cm，长约2.3 cm，另病变中段(平胸4椎体水平)见软组织密度影与其相连，大小约1.3 cm × 3.9 cm，连接部宽约0.9 cm，增强后可见强化，考虑巨大息肉样病变。 患者2016年2月3日在我院消化内科内镜中心行食管巨大息肉样肿物内镜下切除术，术中距门齿15 cm至距门齿37 cm可见一条形巨大病变，蒂位于近食管入口处，使用导丝将病变根部扎紧，钛夹于导丝旁夹紧瘤体，电刀切除，切除物使用圈套器套紧自口中取出，甲醛固定，送病理。术后病理示(图4~6)：灰白色长条状肿物一个，大小18.0 cm × 2.7 cm × 2.0 cm (上下径 × 左右径 × 前后径)，表面灰白色，切面呈灰黄色胶冻样，所连灰褐色息肉样物一块，大小1.3 cm × 6.1 cm。病理诊断：(食管)良性纤维血管性息肉。患者术后恢复良好，病情稳定，术后第3天出院。
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user: 3. 讨论 3.1. 发病原因 食管纤维血管性息肉是一种少见的良性肿瘤性病变，可发生于任何年龄，男性多于女性，目前报道最小的患者为5个月 [ 2 ] 。食管纤维血管性息肉早期症状不明显，这也是导致巨大纤维血管性息肉形成的原因，病变由纤维组织、脂肪组织及血管等构成，表面为正常分化的鳞状上皮覆盖，食管纤维血管性 图1. 消化道造影检查，食管中上段可见充盈缺损，病变表面光滑，可见分叶 图2. 胃镜检查食管内可见以蒂与食管壁相连的息肉样肿物 图3. 食道内见长度约18 cm长条形混杂密度影，边界清晰，边缘光整，以长蒂与食道上段相连，病变中段(平胸4椎体水平)见软组织密度影与其相连，大小约1.3 × 3.9 cm，连接部宽度约0.9 cm，CT增强扫描食管内肿物不均匀强化 图4. 病变内富含毛细血管，表面为鳞状上皮HE 40× 图5. 鳞状上皮与毛细血管HE 1000× 图6. 病灶切除大体大小为18.0 cm × 2.7 cm × 2.0 cm，分叶大小为1.3 cm × 6.1 cm 息肉通常起源于颈段食管邻近环咽肌的黏膜下层 [ 3 ] ，在生长过程中受到食管蠕动挤压而形成较大的带蒂腊肠样肿物。食管纤维血管性息肉可发生癌变，但发生率极低，其中脂肪成分可恶变成脂肪肉瘤，有报道此恶变成分还可伴有横纹肌分化，鳞状上皮可恶变成鳞状细胞癌，小的息肉还可能发展成腺癌 [ 4 ] 。 食管纤维血管性息肉诊断可依据X线钡剂检查、消化内窥镜和CT等检查方式，X线钡剂检查可发现病变形态及位置；内镜可直接观察息肉大小、位置、形态，同时还可钳取组织病检或进行镜下手术操作；CT可检测出肿物的主要组成成分、位置、与食管关系，有时在增强CT上可见到息肉内部由根蒂部发出的营养血管。 本例患者临床症状为恶性、呕吐，并可吐出息肉样肿物(图7)，在消化道造影检查中显示病灶巨大，占位效应明显，在CT增强并三维重建下进一步确定病变大小、形态、血供情况及与食管关系。术前影像学检查为最终内镜切除病灶提供了详细、准确的影像学基础，术前准备充分，术后病变大体形态与术前影像学检查所示病灶形态高度一致，最终术前影像学诊断与最后病理结果一致。 3.2. 鉴别诊断 本病通常可依据患者临床症状，结合食道造影、消化道内窥镜及胸部CT等影像学检查明确诊断。本病需与食管恶性病变及贲门失弛缓症相鉴别。 3.3. 治疗 本患者在进行了详细的影像学检查后，通过消化内镜进行手术切除。 图7. 息肉由患者口中吐出
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user: 4. 结论 因病变通常体积较大易引起不同程度的吞咽困难和食物梗塞，甚至因息肉的反流吸入气管，而引起呼吸困难、窒息等严重并发症。故一经发现，应当及时手术治疗。通过详细的影像学检查后，确定肿物构成成分及与食管的位置关系，若主要由纤维、脂肪组织构成，其间仅含少量血管，出血的可能性减小，且以蒂与食管相连，便可考虑内镜下切除 [ 5 ] ，若肿物基底宽阔，因根据其所在部位，选择经颈部或胸切除。因此术前通过影像学检查明确根蒂部位置、宽度及血供情况极为重要。因食管巨大纤维血管性息肉较为罕见，我院病例收集仅此一例，故此研究尚存在一定局限性。
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user: 摘 要 在实验室中模拟平稳大气环境和同等浓度的水蒸气环境与烟雾环境，获取氦氖激光器在三种环境下的激光光斑图像。利用Matlab处理光斑图像得到其灰度图，并提取出光斑轮廓线。编写程序计算光斑的分形维数，得到的结果表明：平稳大气环境对激光传输特性影响较小，分形维数也较小；同等浓度的水蒸气环境和烟雾环境，水蒸气对激光的传输特性影响较大，分形维数较大，光斑直径较大，能量密度较小；可以利用激光光斑分形维数来研究不同环境对激光传输特性的影响。 关键词 :Matlab，灰度图像，轮廓线，分形维数，传输特性 Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 激光在大气中的传输会受到大气衰减作用的影响，主要是大气分子与气溶胶粒子对激光的吸收和散射作用。当空气较为潮湿、水蒸气含量较高以及因气溶胶浓度升高造成的大气能见度较低等情况发生时，这种衰减作用便会大为增强。有关大气与激光相互作用的研究一直是相关领域的热点问题，研究的方法主要是以长期、大量的实验数据为基础，通过计算机进行数值模拟，构建物理模型，这样的研究方式周期长而且较为复杂 [ 1 ] 。用Mandelbrot提出的分形理论来研究激光传输一定距离后的激光光斑的分形维数，进而分析不同的大气环境对激光传输特性的影响，将会为我们提供一个解决问题的新思路。 笔者在实验室内以氦氖激光器作为激光光源，分别模拟出同等浓度的水蒸气环境与烟雾环境，利用ccd传感器获取平稳大气环境、水蒸气环境及烟雾环境下的激光光斑，再利用光束质量测量软件和matlab对图像进行相应的处理并计算其分形维数。
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user: 2. 实验数据处理 2.1. 原始图像处理 如图1是用matlab处理后得到的平稳大气环境的激光光斑的灰度图像(源程序部分参考了文献 [ 2 ] ，限于篇幅不再给出具体程序)。图像中颜色较为明亮的区域表示激光能量密度较大，灰度值较小的次明亮区域表示光斑因气体分子的散射作用和衍射现象出现了破碎。 根据光束测量软件的计算，在平稳大气环境下，功率0.2 W的氦氖激光器在距离出光孔0.3 m处的光斑直径为6132 μm。 再用同样的方法处理水蒸气环境下和烟雾环境下的激光光斑，分别如图2和图3所示。 激光光斑的直径分别是8428 μm和7252 μm，接收到的激光光斑功率值分别为0.13 W和0.17 W。 2.2. 光斑轮廓线提取 图像的边缘是指其周围像素的灰度值有阶跃现象的像素的结合 [ 3 ] ，在提取边缘之前，通常需要对图像进行区域填充和滤波，使图像更加完整和清晰。借助matlab的内置函数可以很方便的对图像边缘进行 图1. 平稳大气环境下的激光光斑图像 图2. 水蒸气环境下的激光光斑 图3. 烟雾环境下的激光光斑 提取，由于sobel算子在提取图像轮廓时算法简单、速度快，且抗噪性良好，所以这里我们采用sobel算子，具体操作过程不再赘述。处理后得到的平稳大气环境下、水蒸气环境下、烟雾环境下激光光斑的边缘图像依次如图4、图5、图6所示。
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user: 3. 轮廓线分形维数的计算 计算不规则图形的分形维数，最常用的方法是计盒维数法，该方法原理简单易懂，应用matlab软件 图4. 平稳大气环境下的激光光斑轮廓线 图5. 水蒸气环境下的激光光斑轮廓线 图6. 烟雾环境下的激光光斑轮廓线 实现起来也较为方便。 计盒维数法的基本原理是将图像二值化处理之后，得到一个关于每个像素点的矩阵数据文件，矩阵的行数和列数分别对应于二值图像的行数和列数。先用 n 1 × n 1 个边长为 r 1 的正方形小网格划分数据文件， 那么就会有很多小网格里包含数字0或者1，统计出包含数字1的小网格的数目 N ( 1 ) ( r ) 。接着缩小网格的尺寸为 r 2 ，统计出 N ( 2 ) ( r ) ，不断重复上述过程，使得 r → 0 ，那么分形维数即可由公式： D = − lim r → 0 log N ( i ) ( r ) log r i (1) 得到。 在实际的操作过程中， r i 不可能无限接近于0，而只能选取尽可能小的有限值进行计算 [ 4 ] 。据我们统计出的不同 r i 和与之对应的 N ( i ) ( r ) ，利用最小二乘法在对数坐标中进行直线拟合，得到的直线斜率相反数就是轮廓线的分形维数。 根据上述的基本原理，在matlab环境下编写程序进行计算。表1是迭代次数为8时，得到的 r i 和 N ( i ) ( r ) 数值，此时计算得到的数据较为准确且程序计算的速度也较快。 对表中的数值进行拟合。图7是平稳大气环境下，激光光斑的分形维数计算和数据拟合结果，matlab程序计算输出图7中橘色直线的斜率为1.0678，即在此条件下激光光斑的分形维数为1.0678。 按照同样的方法，计算出在水蒸气环境下，激光光斑的分形维数为1.1335；烟雾环境下激光光斑的分形维数为1.1183，数据拟合的结果分别如图8、图9所示。根据计算的结果我们可以发现，平稳大气环境下，得到的激光光斑分形维数较小，而对于同等浓度的烟雾环境和水蒸气环境来说，烟雾下的光斑分形维数小于水蒸气下的光斑分形维数。 Table 1 Result of box-statistic
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user: 摘 要 《黄帝内经》中的“慎起居”是有其严密的地球公转和自转等天文学基础的，而这又提示了“二分二至”(春分日、卯时，秋分日、酉时，夏至日、午时，冬至日、子时)。用“二分二至”和阴阳理论可以较好地阐明睡眠的时间规律。就一年而言，春夏时睡眠不宜过长、夏天少于春天；秋冬时睡眠宜长、冬天多于秋天。对一天来说：1) 午睡对人是有益的。2) 所处环境的气候越炎热，午睡对人的益处越大。3) 午睡以“午时”或“午时”之前入睡为宜。4) 在生理上，午睡时间长短没有统一的标准，醒则即起。5) 在病理上，午睡对“阴虚阳亢”体质者尤其重要，而“阴胜阳虚”者却不宜多睡。6) “子时”或“子时”之前就寝较好，秋冬之时更应提早，特别是体弱、阳虚者。7) 由于存在着时间性、区域性和个体性差异，夜间睡眠时间的长短没有统一标准，应因时、因地、因人制宜；起床时间以第二天早上自然醒来为标准。 关键词 :《黄帝内经》，睡眠，午睡，夜间睡眠，阴阳，时间，“二分二至”，昼夜节律，生物钟 Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 《黄帝内经》是中医学的经典著作。其开卷第一篇《上古天真论》重点阐述了养生的重要性及方法，一个重要方面就是“起居有常”。并在最后列举了4种人的养生方法，如“真人”“提挈天地，把握阴阳”；“至人”“和于阴阳，调于四时”；“圣人”“处天地之和，从八风之理”；“贤人”“法则天地，象似日月，辩列星辰，逆从阴阳，分别四时”。这些都隐约提示了“起居有常”是有其天文学基础的。
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user: 2. 地球公转、自转与阴阳 地球总是斜着绕太阳公转，地轴和公转的轨道平面始终保持66˚34'倾斜角，所以一年四季太阳光直射到地面上的点也不断变化 [ 1 ] 。太阳直射地球最北23˚26'N，最南23˚26'S。就北半球而言，当太阳直射在23˚26'N时是夏至日(公历6月22日)，在赤道时是秋分日(公历9月23日)，在23˚26'S时是冬至日(公历12月22日)，再次直射赤道时是春分日(公历3月21日) [ 1 ] ；夏至日昼最长夜最短，冬至日昼最短夜最长，春分日和秋分日昼夜等长。太阳为地球最主要的能量来源，太阳高度角是影响地球接受太阳能量的最主要因素。因此，太阳高度角越大地球接受的能量愈多。夏季地球接受太阳能量最多，“夏至日”达到极点，此时，北半球阳最盛、阴最少，所谓“夏至一阴生”；与之相反，冬季北半球接受太阳能量最少，“冬至日”达到极点，这时，北半球阳最少、阴最盛，即“冬至一阳生”；而“春分日”和“秋分日”，是北半球接受太阳能量多少变化的两个转折点，春分日后北半球阳多于阴，秋分日后阳少于阴(详见时间阴阳变化示意图1)。南半球的情况正好与此相反。 以上是地球一年阴阳变化的情况，一天的阴阳变化与此类似。中午相当于夏季，“午时”相当于夏至日，阳最盛，阴最少，故“午时一阴生”；半夜相当于冬季，“子时”相当于冬至日，阳最少，“子 图1. 时间阴阳变化示意图 时一阳生”，阴最盛；而清晨和傍晚相当于春季和秋季，“卯时”和“酉时”相当于春分日和秋分日，此时多数地方可见昼夜交替。人类生活在地球上，与地球环境相适应，因此，其阴阳变化亦与地球同步。影响大气温度的因素有太阳辐射、地面辐射和大气辐射，而到达大气上届的太阳辐射取决于太阳高度角、日地距离和可照时间 [ 2 ] 。故日最高、最低气温并不是在“午时”和“子时”，而是出现 [ 2 ] 在午后14~15时和日出前后。因此，地球和人的阴阳峰值也相应的推迟约2~3小时。但是，在阴阳峰值来临之前的“子时”和“午时”的休息，更有利于阴阳的转化。
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user: 3. 地球公转、自转与阴阳的意义 太阳对地球阴阳变化的影响在《黄帝内经》中已有深刻的认识。其第二篇就指出了四季睡眠的方法，如“春三月”“夜卧早起”、“夏三月”“夜卧早起，无厌于日”、“秋三月，早卧早起，与鸡俱兴”、“冬三月，早卧晚起，必待阳光”。并列举了违反此作息规律所造成的危害。正由于春夏阳较多，故睡眠时间不宜过长；而夏天阳多于春天，故睡眠时间又少于春天；同理，秋冬阳少，故其睡眠时间较长，而冬天又长于秋天，且还需“必待阳光”，否则“扰阳”。 《黄帝内经》对地球公转、自转和阴阳的认识还提示了一年的“二分二至”(春分日，秋分日，夏至日，冬至日)的重要性和意义。夏至日，阳最盛“一阴生”；冬至日，阴最盛“一阳生”。初生之阴、初生之阳，犹如初生之婴儿，生命力脆弱，需内外环境平稳以助其生长。而春分日和秋分日是阴、阳势力强弱转化的关键日子，因此，这两天也需特别照顾以助其平稳转化。以此类推，一日的“二分二至”(卯、酉、午、子时)也一样。有研究表明 [ 3 ] ：7：00起床后，到11：00人体需要睡眠；经过16小时的清醒后，睡意在23：00产生。“二分二至”是地球阴阳转化的四个关键点，也是人体阴阳转化的四个关键点。这些关键点是外界环境变化较剧烈的时候，同时也是人体生命活动的低谷，机体时刻发生着无数的生化反应、基因突变，若无一个良好的内外环境，许多生理反应就很可能转化成病理反应。“关键点”的阴阳转化是否顺利，直接影响着一个人一天、一年的阴阳平衡。天天如此，年年如此，其影响之大可见矣！因此，“二分二至”将至之时应给机体一个平稳的内外环境。
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user: 4. “二分二至”对睡眠的指导意义 4.1. 午睡 对于午睡，某些研究发现其对人有帮助，某些却没有，似乎很难有令人信服的结果 [ 4 ] 。而“二分二至”理论可以给这些矛盾的结果予较合理的解释。“午时一阴生”，午睡有利于“阴”的生长，故午睡对人是有益的。中国南方多有午睡习惯。南方气候炎热、属火、火抑制阴，相比之下其“初生之阴”就比北方的脆弱多了，所以南方人的午睡对养护“初生之阴”益处更大。北方阴较南方多，虽没午睡的帮助，其“初生之阴”也能较好生长。美国学者Dinges对国外23多项午睡研究的总结也发现了经常午睡(每周至少午睡4次)的人的比例在接近赤道的国家(墨西哥、尼加拉瓜等)是最高的；相反，午睡率最低的国家——英国，是这些国家中离赤道最远的 [ 4 ] 。White [ 5 ] 亦发现人体冬季需要的午睡明显少于夏季。对于“阴虚阳亢”体质的人，午睡的意义就显得重要多了，与之相反，“阴胜阳虚”的人却不宜多睡。此外，对于午睡时间的长短也有讲究。一般说来，时间不宜过长，醒来即起。乃因“午时”仍以阳为主导，此时人应以活动为主。短暂的午睡目的只是为了扶助“初生之阴”，若午睡时间过长，“初生之阴”渐壮大，反过来则会困阻“阳”，“阳”必奋力抗争，阴阳相争，最终阴阳互损。 4.2. 夜间睡眠 有一些人夜间活动较多，十一、二点才回去休息，更有凌晨一、二点者，玩个通宵的人也不少。子时“一阳生”，理应好好休息，而他们却大肆挥霍“阳”，损“阳”。如此，“初生之阳”非但不生，还会损及原有的阳和阴。长此以往，阳损及阴，阴阳失调，就会产生疾病。故“子时”前应好好休息，秋冬更应早些入眠，病弱、“阳虚”者犹应注意。White [ 5 ] 亦发现人体冬季需要的睡眠明显多于夏季。人的阴阳变化与地球变化同步，当地球的阳大于阴时(大约在卯时)，人就会醒来，所以起床时间以第二天自然地醒了就起床为原则。Jeffrey C. Hall， Michael Rosbash和Michael W. Young发现了调控昼夜节律的分子机制 [ 6 ] 。同时，由于人所处的环境气候和自身阴阳多少的不同，因此夜间睡眠时间的长短没有统一的标准。
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user: 5. 结论与展望 《黄帝内经》中的“慎起居”有其严密的地球公转和自转等天文学基础，其天文学背景提示了“二分二至”(春分日、卯时，秋分日、酉时，夏至日、午时，冬至日、子时)及其重要意义。 就一年而言，春夏时睡眠不宜过长、夏天少于春天；秋冬时睡眠宜长、冬天多于秋天。对一天来说：① 午睡对人是有益的。② 所处环境的气候越热，午睡对人的益处越大。③ 午睡以“午时”或“午时”之前入睡为宜。④ 生理上，午睡时间长短没有统一的标准，醒则即起。⑤ 病理上，午睡对“阴虚阳亢”体质者尤其重要，而“阴胜阳虚”者却不宜多睡。⑥ “子时”或“子时”之前就寝较好，秋冬之时更应提早，特别是体弱、阳虚者。⑦ 由于存在着时间性、区域性和个体性差异，夜间睡眠时间的长短没有统一标准，应因时、因地、因人制宜；起床时间以第二天早上自然醒来为标准。 目前午睡和夜间睡眠的研究较活跃。但是，其研究结果多相互矛盾，无法取得令人满意的结论。其主要原因可能是因为当前关于午睡和夜间睡眠的研究过于追求标准化和统一性，忽略了个体的差异性和多样性。人体的生理活动存在较大的个体差异性，特别是午睡和夜间睡眠。即使能得出午睡和夜间睡眠时间的标准值，对于个体生理和病理而言，其意义也不大。显然，关于午睡和夜间睡眠时间规律的研究比其时间标准值的研究更有意义。正是由于个体差异化和多样性的存在，及中医理论也多为定性(规律性)的，这就为利用中医理论研究午睡和夜间睡眠时间的规律性提供了有利的空间。由此可见，对于存在较多个体差异性和多样性生理和病理的研究，不应一味追求标准化和统一性，而应充分利用中医理论定性特点来研究其规律性，只有这样才更可能取得预期科研成果。
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user: 摘 要 本文在一类具有时滞效应和收获效应的浮游植物–浮游动物模型基础上，考虑了浮游动物的年龄结构特征，从而得到了一类具有时滞效应，收获效应和年龄结构的浮游植物和浮游动物模型。文章的主要目的是研究年龄结构对该模型动力学性质的影响。通过模型分析，将其转化成一类抽象的柯西问题。在此基础上，本文主要研究了该模型平衡点的动力学性质，包括存在性和唯一性。 关键词 :年龄结构，浮游植物–浮游动物，平衡点 Copyright © 2017 by author and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 浮游植物在海域生态系统中起着十分重要的作用，因为它们不仅为海洋生物提供了丰富的食物来源，而且浮游植物每年能固定空气中超过20%的二氧化碳 [ 1 ] 。但是浮游植物的大量爆发会对海域生态系统产生极大的危害和污染。因此，研究浮游植物的生长机理是至关重要的。 研究表明，浮游植物的生长受到许多生物环境因素的影响。例如：Martin [ 2 ] 等人研究发现气候改变可以促进浮游植物生长；James [ 3 ] 等人研究发现光照强度和光照时间的长短也可以控制浮游植物的生长；Qasim [ 4 ] 等人发现海洋中低浓度的盐含量可以促进浮游植物的爆发；此外，Siegal和Doney等人 [ 5 ] 研究发现上层水域中不同的水深可以导致浮游植物产生不同的生长率。 另一方面，浮游动物是影响浮游植物种群生长的另一种重要因素，因为浮游动物能够通过捕食来控制浮游植物的生长和种群数量。为了研究浮游动物对浮游植物的影响，研究者提出了大量的数学模型来描述浮游植物与浮游动物之间的关系。例如：Dominic [ 6 ] 等人提出了一类浮游植物–浮游动物模型，并且首次将该模型应用在现实环境问题中；之后阮世贵等人 [ 7 ] 提出并讨论了伴有营养循环的浮游植物–浮游动物模型。根据动力学分析，他们发现在一些条件下，浮游植物和浮游动物可以达到共存并且这个系统是持久的，但是如果这些条件遭到破坏，系统将失去其持久性。 在现实生活中，浮游动物捕食浮游植物并将其能量转化为自身生长。但是由于消化作用，这些转化并非都是立刻发生的。所以时滞因素通常被考虑到模型中来表示实际情况 [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] 。通过研究发现，时滞因素可以促进浮游植物和浮游动物的共存。此外，戴传军等人 [ 11 ] 通过建立具有时滞效应的浮游植物–浮游生物模型，发现时滞因素还能促进浮游植物斑块的形成。 之前对浮游植物和浮游动物的研究主要集中在时滞，营养循环和反应扩散等因素上，然而，研究表明浮游动物还具有年龄结构。因此，在本文中，我们考虑了浮游动物的年龄结构来研究年龄结构对浮游植物和浮游动物的影响。 自从提出了年龄结构模型以来，许多研究者就针对该类模型进行了大量研究，一部分研究者证明了种群的持久性问题，另一部分研究者证明了模型解的全局稳定性问题。其中，李佳 [ 12 ] 研究了一类食饵具有年龄结构的捕食者–食饵模型，作者主要研究了该模型平衡点的存在稳定性问题。研究结果发现，捕食者和食饵这两个种群在一些充分条件下可以达到共存的状态。然后曹斌等人 [ 13 ] 提出了一类具有年龄结构的传染病模型，他们分析了平衡点的全局稳定性和系统的一致持久性问题。此外，Yang等人 [ 14 ] 提出了一类具有年龄结构的SIR模型，他们证明了该模型平衡点的全局稳定性和系统的持久性。直到1990年，Thieme发现年龄结构模型可以转化为一类抽象的柯西问题。接着Magal和阮世贵在此基础上建立了该类抽象柯西问题的中心流形定理 [ 15 ] [ 16 ] 。然后刘志华等人 [ 17 ] 提出并总结了该类模型的Hopf分支理论。在年龄结构模型中，Hopf分支问题是一个很有趣的数学问题，因为人们推测，当系统存在Hopf分支时，系统会产生非平凡周期解。也就是说，此时种群的生长是周期震荡变化的。 现在虽然有许多对年龄结构模型的研究，但是对年龄结构的浮游植物–浮游动物模型的研究仍然是很少的。在本文中，我们提出了一类具有年龄结构，收获效应和时滞效应的浮游植物–浮游动物模型并研究了年龄结构对浮游植物和浮游动物的影响。 本文结构如下所示。在第二部分，我们首先提出本文要研究的模型和一些预备知识。第三部分主要描述了模型的转化过程，利用转化，我们将模型转为抽象的柯西问题，在此基础上我们来研究该模型的动力学性质。第四部分主要研究了该模型平衡点的存在情况。
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user: 2. 模型的提出和预备知识 2.1. 提出模型 模型(1.1)是一类具有收获效应和时滞效应的浮游植物–浮游动物模型： { d P ( t ) d t = r P ( t ) ( 1 − P ( t ) K ) − α 1 P ( t ) Z ( t ) − c 1 E P ( t ) d Z ( t ) d t = α 2 P ( t − τ 1 ) Z ( t ) − u Z ( t ) − c 2 E Z ( t ) (1.1) 其中， P ( t ) 表示在 t 时刻浮游植物的生物量， Z ( t ) 表示在 t 时刻的浮游动物的生物量， r 表示浮游植物的增长率， K 表示浮游植物的环境容纳量， α 1 ， α 2 分别表示浮游动物对浮游植物的捕食率以及浮游植物向浮游动物的转化率， u 表示浮游动物的死亡率， c 1 ， c 2 分别表示对浮游植物和浮游动物的收获系数， E 表示收获程度。 基于上述分析，在模型(1.1)的基础上，我们提出了一类如下所示的具有年龄结构的浮游植物–浮游动物模型： { d P ( t ) d t = r P ( t ) ( 1 − P ( t ) K ) − α 1 P ( t ) ∫ 0 + ∞ Z ( t ， a ) d a − c 1 E P ( t ) ∂ Z ( t ， a ) ∂ t + ∂ Z ( t ， a ) ∂ a = − ( u + c 2 E ) Z ( t ， a ) Z ( t ， 0 ) = α 2 P ( t − τ 1 ) ∫ 0 + ∞ β ( a ) Z ( t ， a ) d a Z ( 0 ， a ) = Z 0 (1.2) 其中 Z ( t ， a ) 表示 t 时刻，年龄为 a 的浮游动物，同时有 r = b − d 和 β ( a ) = { β *         if   a ≥ τ 2 0               其 它 。 2.2. 预备知识 我们首先提出一些基本假设： (A1) 空间 Z ( t ， a ) 的初值满足 Z 0 ∈ L 1 ( ( 0 ， + ∞ ) ， R ) ； (A2) 浮游动物的生育函数为 β ( a ) = { β *       if   a ≥ 1 0             其 它 ，其中 β * = M ( u + c 2 E ) e τ 2 ( u + c 2 E ) ； (A3) 空间 P ( t ) 的初值满足 P ( 0 ) = P 0 和 P 0 ∈ C ( [ − τ 1 ， 0 ] ， R ) ； (A4) 空间 X 的定义为 X = R 2 × L 1 ( ( 0 ， + ∞ ) ， R 2 ) ，其范数为 ‖ ( α φ ) ‖ = ‖ α ‖ R 2 + ‖ φ ‖ L 1 ( ( 0 ， + ∞ ) ， R 2 ) ； (A5) 线性算子 L 的定义为 L ( 0 φ ) = ( − φ ( 0 ) − φ ′ − D φ ) ，其中 L : D ( L ) → X 和 D ( L ) = { 0 } × W 1 ， 1 ( ( 0 ， + ∞ ) ， R 2 ) ； (A6) 空间 Y 的定义为 Y = { ( ζ ( ⋅ ) ϕ ( ⋅ ) ) | ( ζ ( ⋅ ) ϕ ( ⋅ ) ) ∈ C ( [ − τ 1 τ 2 ， 0 ] ， X ) ， ζ ( 0 ) = 0 } ； (A7) 算子 F : Y → X 的定义为 F ( ( ζ ( ⋅ ) ϕ ( ⋅ ) ) ) = ( B ( ϕ ( ⋅ ) ) 0 ) ； (A8) 空间 Z 为 Z = X × S ，它的范数是 ( α φ ) = ‖ α ‖ X + ‖ φ ‖ S ，其中 S = C ( [ − τ 1 τ 2 ， 0 ] ， X ) ； (A9) 线性算子 A 的定义为 A ( 0 X φ ) = ( − φ ′ ( 0 ) + L φ ( 0 ) φ ′ ) ，其中 A : D ( A ) ⊂ Z → Z 和 D ( A ) = { 0 X } × { φ ∈ C 1 ( [ − τ 1 τ 2 ， 0 ] ， X ) ， φ ( 0 ) ∈ D ( L ) } ； (A10) 算子 H 为 H ( 0 Y φ ) = ( F ( φ ) 0 Y ) ， H : D ( A ) ¯ → Z 和 D ( A ) ¯ = { 0 Y } × Y ；
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user: 3. 模型转化 为了分析模型(1.2)，我们要把它转化成抽象的柯西问题。 令 t ^ = t τ 2 ， a ^ = a τ 2 。 则模型(1.2)变为 { d P ( τ 2 t ^ ) d t ^ = τ 2 ( r P ( τ 2 t ^ ) ( 1 − P ( τ 2 t ^ ) K ) − α 1 P ( τ 2 t ^ ) ∫ 0 + ∞ τ 2 Z ( τ 2 t ^ ， τ 2 a ^ ) d a ^ − c 1 E P ( τ 2 t ^ ) ) ∂ Z ( τ 2 t ^ ， τ 2 a ^ ) ∂ t ^ + ∂ Z ( τ 2 t ^ ， τ 2 a ^ ) ∂ a ^ = − τ 2 ( u + c 2 E ) Z ( τ 2 t ^ ， τ 2 a ^ ) Z ( τ 2 t ^ ， 0 ) = α 2 P ( τ 2 t ^ − τ 1 ) ∫ 0 + ∞ β ( a ) τ 2 Z ( τ 2 t ^ ， τ 2 a ^ ) d a ^ Z ( 0 ， τ 2 a ^ ) = Z 0 (2.1) 令 P ^ ( t ^ ) = P ( τ 2 t ^ ) 和 Z ^ ( t ^ ， a ^ ) = τ 2 Z ( τ 2 t ^ ， τ 2 a ^ ) ，去掉尖角符号后我们得到下列模型(2.2)： { d P ( t ) d t = τ 2 ( r P ( t ) ( 1 − P ( t ) K ) − α 1 P ( t ) ∫ 0 + ∞ Z ( t ， a ) d a − c 1 E P ( t ) ) ∂ Z ( t ， a ) ∂ t + ∂ Z ( t ， a ) ∂ a = − τ 2 ( u + c 2 E ) Z ( t ， a ) Z ( t ， 0 ) = τ 2 α 2 P ( t − τ 1 τ 2 ) ∫ 0 + ∞ β ( a ) Z ( t ， a ) d a Z ( 0 ， a ) = τ 2 Z 0 (2.2) 设浮游植物 P ( t ) 也存在年龄结构，令 P ( t ) = ∫ 0 + ∞ p ( t ， a ) d a 。 则模型(2.2)的第一个方程可以表示成下列形式： { ∂ p ( t ， a ) ∂ t + ∂ p ( t ， a ) ∂ a = − τ 2 ( d + c 1 E ) p ( t ， a ) p ( t ， 0 ) = G ( p ( t ， a ) ， Z ( t ， a ) ) p ( 0 ， a ) = p 0 (2.3) 其中 G ( p ( t ， a ) ， Z ( t ， a ) ) = τ 2 ( b ∫ 0 + ∞ p ( t ， a ) d a − r K ( ∫ 0 + ∞ p ( t ， a ) d a ) 2 − α 1 ∫ 0 + ∞ p ( t ， a ) d a ∫ 0 + ∞ Z ( t ， a ) d a ) 将 Z ( t ， a ) 和 p ( t ， a ) 定义成一个二维向量，也就是令 w ( t ， a ) = ( Z ( t ， a ) p ( t ， a ) ) 。 模型(2.2)可表示为下列形式： { ∂ w ( t ， a ) ∂ t + ∂ w ( t ， a ) ∂ a = − D w ( t ， a ) w ( t ， 0 ) = ( τ 2 α 2 ∫ 0 + ∞ p ( t − τ 1 τ 2 ， a ) d a ∫ 0 + ∞ β ( a ) Z ( t ， a ) d a G ( p ( t ， a ) ， Z ( t ， a ) ) ) w ( 0 ， a ) = ( p 0 Z 0 ) (2.4) 其中 D = ( τ 2 ( u + c 2 E ) 0 0 τ 2 ( d + c 1 E ) ) 。 令 x ( t ) = ( 0 w ( t ， ⋅ ) ) ，则模型(2.4)将被转化成下列形式： { d x ( t ) d t = L x ( t ) + F ( x t ) x ( 0 ) = x 0 (2.5) 其中 B ( ϕ ( ⋅ ) ) = ( τ 2 α 2 ∫ 0 + ∞ ϕ 2 ( − τ 1 τ 2 ) ( a ) d a ∫ 0 + ∞ β ( a ) ϕ 1 ( 0 ) ( a ) d a G ( ϕ 1 ( 0 ) ( ⋅ ) ， ϕ 2 ( 0 ) ( ⋅ ) ) ) (2.6) 基于上述变化，记 x t ( θ ) = x ( t + θ ) ，则 x t ∈ Y 。为了将模型(2.2)转化成抽象柯西问题，我们将模型(2.5)做进一步的转化。 取 y ( t ， θ ) = x ( t + θ ) ，其中 y ∈ C ( [ 0 ， + ∞ ) × [ − τ 1 τ 2 ， 0 ] ; X ) ， t ≥ 0 ， θ ∈ [ − τ 1 τ 2 ， 0 ] 。 若 x ∈ C 1 ( [ 0 ， + ∞ ) × [ − τ 1 τ 2 ， 0 ] ) ，则 ∂ y ( t ， θ ) ∂ t = ∂ y ( t ， θ ) ∂ θ = x ′ ( t + θ ) 。 因此有 ∂ y ( t ， θ ) ∂ t − ∂ y ( t ， θ ) ∂ θ = 0 ， t ≥ 0 ， θ ∈ [ − τ 1 τ 2 ， 0 ] 。 通过上述分析，我们可以得到当 θ = 0 时 d x ( t ) d t = ∂ y ( t ， 0 ) ∂ θ = L x ( t ) + F ( x t ) = L y ( t ， 0 ) + F ( y ( t ， ⋅ ) ) . 则 y ( t ， θ ) 满足 { ∂ y ( t ， θ ) ∂ t − ∂ y ( t ， θ ) ∂ θ = 0 ∂ y ( t ， 0 ) ∂ θ = L y ( t ， 0 ) + F ( y ( t ， ⋅ ) ) y ( 0 ， ⋅ ) ∈ Y (2.7) 令 z ( t ) = ( 0 y ( t ) ) ，则模型(2.7)可以转化成下列抽象柯西问题： { d z ( t ) d t = A z ( t ) + H ( z ( t ) ) z ( 0 ) ∈ D ( A ) ¯ (2.8)