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user: 3. 数值算例 在本节，将通过数值算例来验证算子分裂格式的收敛阶和稳定性。为方便分析，对如下符号进行解释： CI-ABA： CI-ABA： 其中 通过二阶中心差分法求得； CII-ABA： CII-ABA： 其中 通过二阶中心差分法求得； 3.1. 算例一 为验证收敛阶，本文选取文献 [ 20 ] 作为数值算例。Allen-Cahn方程的精确解为： (15) 其中 。且其区域的取值范围为 ， 。 现欲验证所用算法格式ABA与BAB的高效性和准确性。 假设 ，当h取充分小值时，得到 ，且 (16) 当 取充分小值时，可得到 ，且 (17) 由上得到收敛阶的表达式，以下记为Rate。 在2.2节二阶中心差分格式求解热传导方程的基础上，我们将网格以N = 100，200，400，800，1600；M对应取M = 20，40，80，160，320进行剖分，满足 ，其中c = 0.2。 在迭代格式CI-ABA和CI-BAB中，通过算子分裂算法分别进行计算得到表1、表2。 Table 1 Calculation results of the CI-ABA schem 格式 I N = 100， M = 20 N = 200， M = 40 N = 400， M = 80 N = 800， M = 160 N = 1600， M = 320 1.0106e−02 2.5469e−03 6.3967e−04 1.5999e−04 4.0003e−05 2.5724e−03 6.4747e−04 1.6215e−04 4.0554e−05 1.0140e−05 Rate - 2.014 1.9665 1.9993 1.9998 CPU 2.2932 2.6052 5.1168 23.7122 145.1277 表1. 格式CI-ABA的计算结果 Table 2 Calculation results of the CI-BAB schem 格式 I N = 100， M = 20 N = 200， M = 40 N = 400， M = 80 N = 800， M = 160 N = 1600， M = 320 1.4514e−02 3.6814e−03 9.2341e−04 2.3110e−04 5.7784e−05 3.5482e−03 8.9491e−04 2.2423e−04 5.6088e−05 1.4024e−05 Rate - 1.9705 2.002 1.9985 1.9998 CPU 4.6488 4.9296 6.3804 13.5720 87.1578 表2. 格式CI-BAB的计算结果 对比表1和表2，在用二阶中心差分格式求解Allen-Cahn中，随着网格剖分变细，最大误差值 和2-范数 的数量级从 下降到 ，且收敛精度逐渐接近预期的算子分裂方法的2阶收敛率。再对比它们CPU时间，在M、N取值较小时，格式CI-BAB计算所用时间比格式CI-ABA长，而随着网格的剖分变细，格式CI-BAB的CPU远小于格式CI-ABA。 同理，在2.4节四阶紧致差分格式求解热传导方程的基础上，我们将网格以N = 20，40，80，160，320；M对应取M = 100，400，1600，6400，25600进行剖分。满足 ，其中c = 0.25。 在迭代格式CII-ABA和CII-BAB中，分别计算得到表3、表4。 通过对比表3和表4，在四阶紧致差分格式下求解Allen-Cahn方程，随着网格剖分变细，最大误差值 和2-范数 的数量级从 下降到 ，收敛精度逐渐接近预期的算子分裂方法的4阶收敛率。再对比两者的CPU时间，在M、N取较小值时，迭代格式CII-BAB计算所用时间比格式CII-ABA长，而随着网格的剖分变细，格式CII-BAB的CPU远小于格式CII-ABA。 综上，结合实际情况，在求解热传导方程时，由于迭代过程中产生的误差不断累积，如果采用格式CII-BAB进行计算，误差能够被大大减小。 3.2. 算例二 在下面的数值实验中，我们定义能量函数E(u)： (18) 初值 ，取Dirichlet边界条件，左边界值 ，右边界值 。 在2.2节的二阶中心差分格式情况下，取 ， 。 对此，我们将网格取N = 40，M = 750进行剖分，此时 ， 。其中图2和图3为 的运行结果；图4和图5为 的运行结果；图6和图7为 的运行结果。 Table 3 Calculation results of the CII-ABA schem 格式II N = 20， M = 100 N = 40， M = 400 N = 80， M = 1600 N = 160， M = 6400 N = 320， M = 25600 4.4632e−02 2.7318e−03 1.8605e−04 1.1590e−05 7.3054e−07 1.0947e−02 6.2072e−04 3.8951e−05 2.4378e−06 1.5242e−07 Rate - 4.0460 3.8592 4.0047 3.9878 CPU 2.1528 4.4928 6.7704 22.7605 200.2429 表3. 格式CII-ABA的计算结果 Table 4 Calculation results of the CII-BAB schem 格式II N = 20， M = 100 N = 40， M = 400 N = 80， M = 1600 N = 160， M = 6400 N = 320， M = 25600 4.4465e−02 2.7189e−03 1.8537e−04 1.1547e−05 7.2762e−07 1.0907e−02 6.1822e−04 3.8795e−05 2.4281e−06 1.5181e−07 Rate - 4.0428 3.8645 4.0048 3.9882 CPU 3.8220 4.0248 6.4116 17.8465 120.6512 表4. 格式CII-BAB的计算结果 图2. ξ = 0.1.二阶中心差分格式能量随时间变化 图3. ξ = 0.1.二阶中心差分格式数值解图像 图4. ξ = 0.075.二阶中心差分格式能量随时间变化 图5. ξ = 0.075.二阶中心差分格式数值解图像 图6. ξ = 0.125.二阶中心差分格式能量随时间变化 图7. ξ = 0.125.二阶中心差分格式数值解图像 图8. ξ = 0.1.四阶紧致差分格式能量随时间变化 图9. ξ = 0.1.四阶紧致差分格式数值解图像 图10. ξ = 0.075.四阶紧致差分格式能量随时间变化 图11. ξ = 0. 075.四阶紧致差分格式数值解图像 图12. ξ = 0.125.四阶紧致差分格式能量随时间变化 图13. ξ = 0.125.四阶紧致差分格式数值解图像 首先，观察 时，图2表示的能量函数E(u)随着时间t的增加在不断减少，图3的数值解图像表明首先形成边界层，然后到达亚稳态，最后到达稳态。从中我们可以观察到从初始值到亚稳态这一个快速的动力学行为。当 时，比较图2与图4，随着 的变小，要出现图3的行为，所需的网格剖分需越细密；当 时，比较图2与图6，随着 的变大，所需的网格剖分越稀疏，即M、N需取较小的值。 在2.3节的四阶紧致差分格式情况下，我们将网格取N=20，M=750进行剖分，此时 ， ，此时 ， 。其中图8和图9为 的运行结果；图10和图11为 的运行结果；图12和图13为 的运行结果。 同理，可得到类似结论。 综上，不论二阶中心差分格式或者四阶紧致差分格式， 的取值越小，所取的网格剖分则需越细密，才能减少误差，满足能量函数E(u)呈现如上图所示的递减规律。对比两种差分格式，发现出现同样结果下，四阶紧致差分格式的剖分可以更稀疏，从而可见高阶情况下所需的网格剖分要求不那么高。