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user: 2. 主要结果 从定理1.2中我们可以提出它的逆命题，即： 函数 f ( x ， y ) ， g ( x ， y ) 在闭凸区域 D ¯ 上连续，在开区域D上可微，且 d g ( x ， y ) ≠ 0 ， ( x ， y ) 为D内任一点，对任意一点 ( ξ ， η ) ，则在D内任意通过该点的线段 M N ¯ 上，总存在两点 M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ) 使得 f ( x 2 ， y 2 ) − f ( x 1 ， y 1 ) g ( x 2 ， y 2 ) − g ( x 1 ， y 1 ) = f x ( ξ ， η ) ( x 2 − x 1 ) + f y ( ξ ， η ) ( y 2 − y 1 ) g x ( ξ ， η ) ( x 2 − x 1 ) + g y ( ξ ， η ) ( y 2 − y 1 ) 。 这个逆命题是不成立的。如设 f ( x ， y ) = x 2 − x 4 / 4 ， g ( x ， y ) = x 2 ， ( ξ ， η ) = ( 0 ， y ) ， D = [ − 1 ， 1 ] × [ − 1 ， 1 ] ， 可以验证当 M N ¯ 是平行于x轴的线段且 ξ 靠近0时，上面的结果不正确。即这样的柯西中值定理的逆命题并不成立，所以我们需要适当的加强条件来使之成立。下面定理为本文的主要结果。 定理2.1 设函数 f ( x ， y ) ， g ( x ， y ) 在闭凸区域 D ¯ 上可微，且 d g ( x ， y ) ≠ 0 。假定 ( a 1 < a 2 )， [ f x ( a 1 ， b 1 ) ( a 2 − a 1 ) + f y ( a 1 ， b 1 ) ( b 2 − b 1 ) ] [ g x ( a 2 ， b 2 ) ( a 2 − a 1 ) + g y ( a 2 ， b 2 ) ( b 2 − b 1 ) ] < [ f x ( a 2 ， b 2 ) ( a 2 − a 1 ) + f y ( a 2 ， b 2 ) ( b 2 − b 1 ) ] [ g x ( a 1 ， b 1 ) ( a 2 − a 1 ) + g y ( a 1 ， b 1 ) ( b 2 − b 1 ) ] (2.1) 或 [ f x ( a 1 ， b 1 ) ( a 2 − a 1 ) + f y ( a 1 ， b 1 ) ( b 2 − b 1 ) ] [ g x ( a 2 ， b 2 ) ( a 2 − a 1 ) + g y ( a 2 ， b 2 ) ( b 2 − b 1 ) ] > [ f x ( a 2 ， b 2 ) ( a 2 − a 1 ) + f y ( a 2 ， b 2 ) ( b 2 − b 1 ) ] [ g x ( a 1 ， b 1 ) ( a 2 − a 1 ) + g y ( a 1 ， b 1 ) ( b 2 − b 1 ) ] (2.2) 则当 A 1 ( x 1 ， y 1 ) ， A 2 ( x 2 ， y 2 ) ( x 1 < x 2 )在 D ¯ 上，存在点 A 0 ( x 0 ， y 0 ) ∈ A 1 A 2 使得 1) 当点 B ( ξ ， η ) ∈ A 1 A 0 ，存在唯一的 P ( ζ ， λ ) ∈ A 1 A 2 ，使得 f ( ζ ， λ ) − f ( x 1 ， y 1 ) g ( ζ ， λ ) − g ( x 1 ， y 1 ) = f x ( ξ ， η ) ( ζ − x 1 ) + f y ( ξ ， η ) ( λ − y 1 ) g x ( ξ ， η ) ( ζ − x 1 ) + g y ( ξ ， η ) ( λ − y 1 ) ；(2.3) 2) 当点 B ( ξ ， η ) ∈ A 0 A 2 ，存在唯一的 P ( ζ ， λ ) ∈ A 1 A 2 ，使得 f ( x 2 ， y 2 ) − f ( ζ ， λ ) g ( x 2 ， y 2 ) − g ( ζ ， λ ) = f x ( ξ ， η ) ( x 2 − ζ ) + f y ( ξ ， η ) ( y 2 − λ ) g x ( ξ ， η ) ( x 2 − ζ ) + g y ( ξ ， η ) ( y 2 − λ ) 。 (2.4) 证明：不妨假定(2.1)成立，因为(2.2)的情况类似可以证明。现在我们将分两种情况对它进行分类讨论。 1) 第一情况：直线段 A 1 A 2 与x轴或者y轴平行，即直线段MN上的点横坐标或者纵坐标相等。不失一般性，假定 A 1 A 2 与x轴平行，也即 y 1 = y 2 。记 y 1 = y 0 。此时我们可以把二元函数转换为一元函数，使得问题变得更加方便。这时我们要证明的是存在唯一的 x 0 ， x 1 < x 0 < x 2 ，记 ( x 0 ， y 0 ) 为 A 0 ，使得 a) 当 B ( ξ ， y 0 ) ∈ A 1 A 0 ，存在唯一的 P ( ζ ， y 0 ) ∈ A 1 A 2 ，使得 f ( ζ ， y 0 ) − f ( x 1 ， y 0 ) g ( ζ ， y 0 ) − g ( x 1 ， y 0 ) = f x ( ξ ， y 0 ) g x ( ξ ， y 0 ) ； b) 当 D ( ξ ， y 0 ) ∈ A 0 A 2 ，存在唯一的 P ( ζ ， y 0 ) ∈ A 1 A 2 ，使得 f ( x 2 ， y 0 ) − f ( ζ ， y 0 ) g ( x 2 ， y 0 ) − g ( ζ ， y 0 ) = f x ( ξ ， y 0 ) g x ( ξ ， y 0 ) 。 令 f ( x ， y 0 ) = F ( x ) ， g ( x ， y 0 ) = G ( x ) 。由条件(2.1)可知如果 x ′ 1 ≤ x ′ 2 ，那么 F ′ ( x ′ 1 ) G ′ ( x ′ 2 ) − F ′ ( x ′ 2 ) G ′ ( x ′ 1 ) < 0 。 于是由定理1.2可知(2.3)和(2.4)成立。 2) 第二种情况： A 1 、 A 2 横坐标或纵坐标都不相同的情况。此时我们对坐标轴进行平移，使得原来的坐标轴 x o y 移动到以 ( x 1 ， y 1 ) 为原点的坐标轴并记为坐标轴 x ′ o y ′ ，使得新的x轴与y轴与原先的平行且同向。此时新的坐标轴 x ′ o y ′ 上的点 ( x ′ ， y ′ ) 在坐标轴 x o y 上就可以表示成 ( x ′ + x 1 ， y ′ + y 1 ) 。接着我们旋转坐 标轴 x ′ o y ′ 使得直线段 A 1 A 2 可以与横坐标轴重合，记逆时针旋转的角度为 θ ( − π 2 < θ < π 2 )，记新的坐标轴为 x ″ o y ″ 。此时在 x ″ o y ″ 上的点 ( x ″ ， y ″ ) 在 x ′ o y ′ 上的坐标为 ( x ″ cos θ − y ″ sin θ ， x ″ sin θ + y ″ cos θ ) 。这样坐标系 x ″ o y ″ 和坐标轴 x o y 上同一点的坐标 ( x ″ ， y ″ ) 和 ( x ， y ) 的关系可以表示成 x = x ″ cos θ − y ″ sin θ + x 1 ， y = x ″ sin θ + y ″ cos θ + y 1 。 由于此时直线段 A 1 A 2 与 x ″ 轴重合，故线段 A 1 A 2 的纵坐标 y ″ = 0 ，我们记 A ( x ″ ) = f ( x ， y ) = f ( x ″ cos θ + x 1 ， x ″ sin θ + y 1 ) ， (2.5) B ( x ″ ) = g ( x ， y ) = g ( x ″ cos θ + x 1 ， x ″ sin θ + y 1 ) 。 (2.6) 经过坐标变换，我们将复杂的情况转化成了简便的情形来处理。接下来我们将证明 A ( x ″ ) ， B ( x ″ ) 在 0 ≤ x ″ ≤ ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 上都可导且当 x ″ 1 < x ″ 2 时，有 A ′ ( x ″ 1 ) B ′ ( x ″ 2 ) < A ′ ( x ″ 2 ) B ′ ( x ″ 1 ) 。 我们先证明 A ( x ″ ) ， B ( x ″ ) 在 0 ≤ x ″ ≤ ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 上都可导。由于函数 g ( x ， y ) 可微，故对 A ( x ″ ) ， B ( x ″ ) 求导可以得到 A ′ ( x ″ ) = f x ( x ″ cos θ + x 1 ， x ″ sin θ + y 1 ) cos θ + f y ( x ″ cos θ + x 1 ， x ″ sin θ + y 1 ) sin θ ； (2.7) B ′ ( x ″ ) = g x ( x ″ cos θ + x 1 ， x ″ sin θ + y 1 ) cos θ + g y ( x ″ cos θ + x 1 ， x ″ sin θ + y 1 ) sin θ 。 (2.8) 由题意易知 B ′ ( x ″ ) ≠ 0 。下面我们证明当 x ″ 1 < x ″ 2 时， A ′ ( x ″ 1 ) B ′ ( x ″ 2 ) < A ′ ( x ″ 2 ) B ′ ( x ″ 1 ) 。 记 P ″ 1 ( x ″ 1 cos θ + x 1 ， x ″ 1 sin θ + y 1 ) ， P ″ 2 ( x ″ 2 cos θ + x 1 ， x ″ 2 sin θ + y 1 ) ，则 P ″ 1 P ″ 2 → = ( x ″ 2 − x ″ 1 ) ( cos θ ， sin θ ) 。根据条件(2.1)有 [ ( f x ( P ″ 1 ) ， f y ( P ″ 1 ) ) ⋅ P ″ 1 P ″ 2 → ] [ ( g x ( P ″ 1 ) ， g y ( P ″ 1 ) ) ⋅ P ″ 1 P ″ 2 → ] < [ ( f x ( P ″ 2 ) ， f y ( P ″ 2 ) ) ⋅ P ″ 1 P ″ 2 → ] [ ( g x ( P ″ 2 ) ， g y ( P ″ 2 ) ) ⋅ P ″ 1 P ″ 2 → ] ， 也即 A ′ ( x ″ 1 ) B ′ ( x ″ 2 ) ( x ″ 2 − x ″ 1 ) 2 < A ′ ( x ″ 2 ) B ′ ( x ″ 1 ) ( x ″ 2 − x ″ 1 ) 2 。 故 A ′ ( x ″ 1 ) B ′ ( x ″ 2 ) < A ′ ( x ″ 2 ) B ′ ( x ″ 1 ) 。 现在由定理1.2可知存在唯一的 x 0 ， 0 ≤ x 0 ≤ ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 ，使得 a) 当 0 < ξ < x 0 时，存在唯一的 0 < ζ < ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 ，使得 A ( ζ ) − A ( 0 ) B ( ζ ) − B ( 0 ) = A ′ ( ξ ) B ′ ( ξ ) ； b) 当 x 0 < ξ < ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 ，存在唯一的 0 < ζ < ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 ，使得 A ( ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 ) − A ( ζ ) B ( ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 ) − B ( ζ ) = A ′ ( ξ ) B ′ ( ξ ) 。 现在将(2.5)、(2.6)及(2.7)、(2.8)代入到上面的(a)、(b)就可得到定理。 注1 1) 在定理2.1中如果设 f ( x ， y ) = F ( x ) ， g ( x ， y ) = G ( x ) ， D ¯ = [ a ， b ] ，则定理2.1即为定理1.2。 2) 在定理2.1中如果设 g ( x ， y ) = x ，那么(2.1)变为 [ f x ( a 1 ， b 1 ) ( a 2 − a 1 ) + f y ( a 1 ， b 1 ) ( b 2 − b 1 ) ] < [ f x ( a 2 ， b 2 ) ( a 2 − a 1 ) + f y ( a 2 ， b 2 ) ( b 2 − b 1 ) ] ； (2.9) (2.2)变成 [ f x ( a 1 ， b 1 ) ( a 2 − a 1 ) + f y ( a 1 ， b 1 ) ( b 2 − b 1 ) ] > [ f x ( a 2 ， b 2 ) ( a 2 − a 1 ) + f y ( a 2 ， b 2 ) ( b 2 − b 1 ) ] 。(2.10) 当f是严格凸函数时，(2.9)成立；当f是严格凹函数时，(2.10)成立。故定理2.1是定理1.3的改进。