system: [SYSTEM]

user: 3. M/M/C模型超市服务系统的应用 本文对乌鲁木齐市某家超市进行数据调查，该超市一共有20个收银台，分别对节假日和非节假日两个时期进行调查，取15个时间段，每个时间段抽取400个样本进行统计，整理得出下表，非节假日数据见表1、表2，节假日数据见表3、表4、表5、表6。 Table 1 Statistics on the number of non-holiday customers coming in 人数/人 60以下 61~70 71~80 81~90 91~100 101~110 111~120 121~130 131~140 141以上 8:00~9:00 2 1 9 61 102 114 44 5 5 3 9:00~10:00 2 2 10 61 142 134 61 6 7 3 10:00~11:00 1 3 0 372 24 133 101 31 2 0 11:00~12:00 15 94 187 117 128 3 2 2 1 1 12:00~13:00 1 6 50 143 136 61 11 7 3 5 13:00~14:00 1 3 11 64 127 131 61 7 3 2 16:00~17:00 1 0 1 17 66 117 132 48 17 0 17:00~18:00 1 0 1 7 55 98 147 92 31 1 18:00~19:00 1 3 15 68 161 114 43 7 3 1 19:00~20:00 0 2 4 43 127 134 47 11 2 1 20:00~21:00 2 1 2 51 117 153 65 13 1 2 表1. 非节假日顾客到来人数统计频数1 Table 2 Statistics on the number of non-holiday customers coming in 人数/个 40以下 41~50 51~60 61~70 71~80 81~90 91以上 14:00~15:00 2 49 201 135 27 1 1 15:00~16:00 0 7 87 192 121 27 1 21:00~22:00 2 5 60 173 173 42 0 表2. 非节假日顾客到来人数统计频数2 Table 3 Statistics of the number of arrivals of holiday customers 人数/个 80以下 81~90 91~100 101~110 111~120 121~130 131~140 141~150 151~160 161以上 8:00~9:00 2 5 14 55 96 57 24 2 1 1 9:00~10:00 1 2 11 58 136 117 75 13 2 0 12:00~13:00 1 0 7 27 121 143 74 29 4 0 14:00~15:00 3 7 41 155 142 71 11 0 1 2 15:00~16:00 2 4 44 113 132 77 32 2 1 0 18:00~19:00 1 3 10 27 68 127 117 61 0 2 表3. 节假日顾客到来人数统计频数1 通过对表1~表6的分析计算可以得出顾客平均到达率，如下表，表7为单位时间内非节假日和节假日顾客到达率，表8和表9分别为非节假日/节假日顾客到达率及开放台数。其中 λ 1 和 λ 2 分别为非节假日和节假日顾客到达均值； n 1 和 n 2 分别为非节假日和节假日收银台数。 Table 4 Statistics of the number of arrivals of holiday customers 人数/个 100以下 101~110 111~120 121~130 131~140 141~150 151~160 161~170 171~180 181以上 10:00~11:00 1 2 1 9 38 90 135 105 51 11 11:00~12:00 1 1 7 34 97 131 108 27 6 2 19:00~20:00 2 4 11 61 120 133 67 21 1 1 20:00~21:00 1 4 14 60 118 134 70 19 4 0 表4. 节假日顾客到来人数统计频数2 Table 5 Statistics of the number of arrivals of holiday customers 人数/个 140以下 141~150 151~160 161~170 171~180 181~190 191~200 201~210 211~220 221以上 12:00~14:00 2 1 22 49 108 122 68 30 11 1 16:00~17:00 2 7 41 80 120 101 50 8 5 2 17:00~18:00 18 51 120 110 69 26 5 1 3 1 表5. 节假日顾客到来人数统计频数3 Table 6 Statistics of the number of arrivals of holiday customers 人数/个 40以下 41~50 51~60 61~70 71~80 81~90 91以上 9:00~10:00 2 3 47 172 134 28 5 表6. 节假日顾客到来人数统计频数4 Table 7 Customer arrival rate per unit tim 时间段 非节假日 节假日 8:00~9:00 46.21 70.35 9:00~10:00 42.31 69.24 10:00~11:00 110.97 119.78 11:00~12:00 96.24 124.12 12:00~13:00 94.15 107.58 13:00~14:00 99.85 104.21 14:00~15:00 89.21 79.01 15:00~16:00 90.54 101.24 16:00~17:00 103.58 152.14 17:00~18:00 108.25 167.58 18:00~19:00 102.54 160.48 19:00~20:00 91.47 128.41 20:00~21:00 76.78 80.12 21:00~22:00 53.14 54.34 表7. 单位时间内顾客到达率 Table 8 Customer arrival rate and number of corresponding open service desks during non-holiday holiday 时间段 非节假日到达率 非节假日开放服务台数/个 8:00~9:00 403.15 7 9:00~0:00 413.25 7 10:00~11:00 721.24 7 11:00~12:00 631.12 11 12:00~13:00 721.45 11 13:00~14:00 733.54 11 14:00~15:00 402.58 11 15:00~16:00 684.25 11 16:00~17:00 785.94 11 17:00~18:00 806.84 11 18:00~19:00 845.67 11 19:00~20:00 658.47 11 20:00~21:00 558.46 11 21:00~22:00 453.73 7 表8. 非节假日各时段顾客到达率及相应开放服务台数量 Table 9 Customer arrival rate and number of corresponding open service desks during each holiday perio 时间段 节假日到达率 节假日开放服务台数/个 8:00~9:00 687.57 9 9:00~10:00 785.13 9 10:00~11:00 902.89 9 11:00~12:00 1078.25 14 12:00~13:00 825.73 14 13:00~14:00 1172.45 14 14:00~15:00 1172.58 14 15:00~16:00 758.14 14 16:00~17:00 1253.17 14 17:00~18:00 1351.56 14 18:00~19:00 1156.85 14 19:00~20:00 945.32 9 20:00~21:00 752.87 9 21:00~22:00 582.34 9 表9. 节假日各时段顾客到达率及相应开放服务台数量 从表8和表9可以看出，该超市收银台开放台数不太合理。例如在非节假日期间，13:00~14:00为低峰期，收银台开放数目为11，而19:00~20:00为高峰期，开放数也为11，这样可能会造成低峰期资源浪费，而高峰期出现拥堵，服务质量下降的情况。因此该超市服务台系统设置很不合理，需要对其进行优化。为了研究每个顾客服务时间的概率分布，我们随机调查顾客服务时间，整理得表10，并且抽查了一些顾客询问他们能容忍的最长的等待时间和等待队长。见表11~表14。 根据表11~表14可以计算出在非节假日期间顾客能忍受的最长平均等待时间为9.13 min，平均等待队长为10.09人；在节假日期间顾客能忍受的最长平均等待时间为10.04 min，平均等待队长为10.52人。 在之前计算的非节假日期间顾客能忍受的最长平均等待时间为9.13 min，平均等待队长为10.09人；在节假日期间顾客能忍受的最长平均等待时间为10.04 min，平均等待队长为10.52人。如表15和表16所示，该超市在有些时段开放的服务台数不合理，出现服务台开放过多或过少的现象，比如在非节假日8:00~9:00，根据顾客的平均逗留时间7.53 min和之前计算的9.13 min比较差距很大，可能会造成资源浪费现象。在节假日8:00~9:00，根据顾客的平均逗留时间15.53 min和之前计算的10.04 min比较差距很大，可能会造成顾客的损失现象。 因此，将对该超市的收银台排队系统进行优化，如下式： n * = min { n | ρ n = λ n μ < 1 ， W q = ρ n λ ( 1 − ρ n ) 2 ρ n ≤ T w ， L q = ρ n ( 1 − ρ n ) 2 ρ n ≤ n L w } . { ρ n = λ n μ < 1 W q = ρ n λ ( 1 − ρ n ) 2 ρ n ≤ T w L q = ρ n ( 1 − ρ n ) 2 ρ n ≤ n L w . Table 1 0 Customer service time require 服务时间/s 0~15 16~30 31~45 46~60 61~75 76~90 91~105 106~120 121~135 136~150 151~165 166~180 181以上 频数 57 54 62 75 69 61 51 43 32 28 24 17 11 表10. 顾客所需的服务时间 Table 1 1 The longest waiting time that can be tolerated during holiday 最长等待时间/min 6以下 6~9 10~13 13以上 频数 11 127 198 64 表11. 非节假日所能容忍的最长的等待时间 Table 1 2 The longest waiting captain that can be tolerated on holiday 最长队长/人 7以下 8~11 11~14 14以上 频数 58 113 164 65 表12. 非节假日所能容忍的最长的等待队长 Table 1 3 The longest waiting time that holidays can tolerat 最长等待时间/min 6以下 6~9 10~13 13以上 频数 9 75 206 110 表13. 节假日所能容忍的最长的等待时间 Table 1 4 The longest waiting captain that the holiday can tolerat 最长队长/人 7以下 8~11 11~14 14以上 频数 43 98 167 92 表14. 节假日所能容忍的最长的等待队长 Table 1 5 Indicators of the non-holiday syste 时间段 等待概率 平均队长/人 平均等待时间/min 平均逗留时间/min 8:00~9:00 0.34 6.13 6.16 7.53 9:00~10:00 0.52 6.57 5.18 6.82 10:00~11:00 0.85 7.26 6.80 7.52 11:00~12:00 0.58 14.67 7.06 8.14 12:00~13:00 0.42 10.34 5.85 6.40 13:00~14:00 0.77 12.56 4.35 5.27 14:00~15:00 0.42 7.27 5.14 6.05 15:00~16:00 0.65 8.23 6.76 7.17 16:00~17:00 0.85 15.77 6.44 7.07 17:00~18:00 0.87 14.55 7.24 8.05 18:00~19:00 0.72 13.89 9.17 10.58 19:00~20:00 0.64 9.17 6.80 7.37 20:00~21:00 0.66 5.69 4.90 5.26 21:00~22:00 0.63 4.35 4.20 4.86 表15. 非节假日系统的各项指标 Table 1 6 Indicators of the holiday syste 时间段 等待概率 平均队长/人 平均等待时间/min 平均逗留时间/min 8:00~9:00 0.64 13.14 12.65 15.53 9:00~10:00 0.55 9.55 8.86 10.15 10:00~11:00 0.64 11.78 7.04 9.65 11:00~12:00 0.44 12.54 8.73 10.65 12:00~13:00 0.45 12.57 5.88 6.17 13:00~14:00 0.54 13.82 6.45 7.86 14:00~15:00 0.58 11.24 8.34 10.77 15:00~16:00 0.36 8.78 6.35 7.45 16:00~17:00 0.84 16.46 7.25 8.57 17:00~18:00 0.84 16.66 9.36 12.83 18:00~19:00 0.63 14.34 8.74 9.73 19:00~20:00 0.47 12.87 8.21 10.03 20:00~21:00 0.46 9.89 6.55 7.68 21:00~22:00 0.73 7.64 5.01 6.78 表16. 节假日系统的各项指标 W q = ρ n ∗ λ ( 1 − ρ n ∗ ) 2 ρ n ∗ ， L q = ρ n ∗ λ ( 1 − ρ n ∗ ) 2 ρ n . 如表17和表18所示，用计算机编程来计算该超市节假日和非节假日应开的服务台数。 Table 1 7 Number of service desks and corresponding parameters that should be opened during non-holiday holiday 时间段 应开放的服务台数/个 优化后平均队长/人 优化后平均逗留时间/min 8:00~9:00 6 3.64 7.52 9:00~10:00 6 7.14 6.83 10:00~11:00 6 7.58 7.53 11:00~12:00 11 8.23 8.14 12:00~13:00 11 15.66 6.10 13:00~14:00 15 8.24 7.12 14:00~15:00 11 9.20 6.44 15:00~16:00 11 11.33 6.01 16:00~17:00 15 8.58 6.02 17:00~18:00 15 9.72 7.01 18:00~19:00 15 8.53 6.97 19:00~20:00 11 8.82 7.34 20:00~21:00 11 5.65 5.27 21:00~22:00 7 4.32 4.86 表17. 非节假日应开放的服务台数量及相应参数 Table 1 8 Number of service desks and corresponding parameters that should be opened during holiday 时间段 应开放的服务台数/个 优化后平均队长/人 优化后平均逗留时间/min 8:00~9:00 7 9.16 6.86 9:00~10:00 16 7.53 7.56 10:00~11:00 16 8.80 8.26 11:00~12:00 16 9.38 8.27 12:00~13:00 16 8.27 7.64 13:00~14:00 18 6.75 8.33 14:00~15:00 16 6.53 7.40 15:00~16:00 16 7.45 9.18 16:00~17:00 18 8.53 6.86 17:00~18:00 18 10.13 8.32 18:00~19:00 18 8.16 9.55 19:00~20:00 14 9.13 6.74 20:00~21:00 11 9.89 8.71 21:00~22:00 11 7.65 6.79 表18. 节假日应开放的服务台数量及相应参数 在之前的处理数据工作的基础上，通过建立数学模型，并用计算机相关软件对该超市不同时段开放的服务台数进行优化，得出表17和表18的数据。这样不仅合理利用资源，还能提高顾客的满意程度。