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user: 4. GVaR、GCVaR一致性风险度量 前文中提到，一个良好的、合理的风险度量应该符合一致风险度量。下面对上边定义的GVaR、GCVaR进行理论证明。 定理2：定义4中定义的GVaR是一致性风险度量。 证明： 1) 单调性：对 ∀ f 1 ( x ， r ) ， f 2 ( x ， r ) ∈ Γ ，若 f 1 ( x ， r ) ≥ f 2 ( x ， r ) ，由非线性期望保单调性， 。从而 G V a R β [ f 1 ( x ， r ) ] = inf { α ∈ R : E ˙ [ α − f 1 ( x ， r ) ] ≥ β } ≤ inf { α ∈ R : E ˙ [ α − f 2 ( x ， r ) ] ≥ β } = G V a R β [ f 2 ( x ， r ) ] 于是GVaR满足一致性风险公理的单调性条件。 2) 次可加性：对 ∀ f 1 ( x ， r ) ， f 2 ( x ， r ) ∈ Γ ， G V a R β [ f 1 ( x ， r ) + f 2 ( x ， r ) ] = inf { α ∈ R : E ˙ [ α − [ f 1 ( x ， r ) + f 2 ( x ， r ) ] ] ≥ β } = inf { α + γ ∈ R : E ˙ [ α − f 1 ( x ， r ) ] + E ˙ [ γ − f 2 ( x ， r ) ] ≥ η } ≤ inf { α ∈ R : E ˙ [ α − f 1 ( x ， r ) ] ≥ υ } + inf { γ ∈ R : E ˙ [ γ − f 2 ( x ， r ) ] ≥ ω } = G V a R β [ f 1 ( x ， r ) ] + G V a R β [ f 2 ( x ， r ) ] 其中 ω ， υ ， η ， γ > 0 。于是GVaR满足一致性风险的次可加性条件。 3) 正齐性：对 ∀ λ > 0 ，由非线性期望的保常性和正齐性可得 G V a R β [ λ f ( x ， r ) ] = inf { α ∈ R : E ˙ [ α − λ f ( x ， r ) ] ≥ β } = λ inf { υ ∈ R : E ˙ [ υ − λ f ( x ， r ) ] ≥ η } = λ G V a R η [ f ( x ， r ) ] 其中 υ = α λ > 0 ， η = β λ > 0 ，于是GVaR满足正齐性条件。 4) 平移不变性：对 ∀ f ( x ， r ) ∈ Γ ， c > 0 ，由非线性期望的保常性得 G V a R β [ f ( x ， r ) + c ] = inf { α ∈ R : E ˙ [ α − [ f ( x ， r ) + c ] ] ≥ β } = inf { α ∈ R : E ˙ [ α − f ( x ， r ) ] ≥ β } − inf { α ∈ R : E ˙ [ α − c ] ≥ β } = G V a R β [ f ( x ， r ) ] − G V a R β [ c ] 于是GVaR满足一致性风险度量的平移不变性条件。 综上所证，GVaR满足一致性风险度量定义的四个条件，所以GVaR是非线性期望理论下的随机极限一致性风险度量。 定理3：定义5中定义的GCVaR是一致性风险度量。 证明： 1) 单调性：对 ∀ f 1 ( x ， r ) ， f 2 ( x ， r ) ∈ Γ ，若 f 1 ( x ， r ) ≥ f 2 ( x ， r ) ，由GVaR为一致风险度量保单调性， G V a R β [ f 1 ( x ， r ) ] ≤ G V a R β [ f 2 ( x ， r ) ] 。从而 G C V a R β [ f 1 ( x ， r ) ] = E ˙ [ f 1 ( x ， r ) | f 1 ( x ， r ) ≥ G V a R β [ f 1 ( x ， r ) ] ] ≥ E ˙ [ f 2 ( x ， r ) | f 2 ( x ， r ) ≥ G V a R β [ f 2 ( x ， r ) ] ] = G C V a R β [ f 2 ( x ， r ) ] 于是GCVaR满足一致性风险公理的单调性条件。GCVaR指在随机极限理论下，在某一指定的置信水平下，标的资产的投资组合损失将在未来的某时间段内超过随机在险价值GVaR的条件期望。如果在任何情况下都有损失函数 f 1 ( x ， r ) ≥ f 2 ( x ， r ) ，则 G C V a R β [ f 1 ( x ， r ) ] ≥ G C V a R β [ f 2 ( x ， r ) ] ，也就是说一种资产组合在任何情况下风险高于另一个资产组合。那如果前者随机损失的各分量大于后者随机损失所对应的各分量，那么前者资产组合的损失就相对较大。 2) 次可加性：对 ∀ f 1 ( x ， r ) ， f 2 ( x ， r ) ∈ Γ ， G C V a R β [ f 1 ( x ， r ) + f 2 ( x ， r ) ] = E ˙ [ f 1 ( x ， r ) + f 2 ( x ， r ) | f 1 + f 2 ≥ G V a R β [ f 1 + f 2 ] ] ≤ E ˙ [ f 1 ( x ， r ) | f 1 ≥ G V a R β [ f 1 ] ] + E ˙ [ f 2 ( x ， r ) | f 2 ≥ G V a R β [ f 2 ] ] = G C V a R β [ f 1 ( x ， r ) ] + G C V a R β [ f 2 ( x ， r ) ] 于是GCVaR满足一致性风险的次可加性条件。 G C V a R β [ f 1 ( x ， r ) + f 2 ( x ， r ) ] ≤ G C V a R β [ f 1 ( x ， r ) ] + G C V a R β [ f 2 ( x ， r ) ] ，那任意资产组合的总风险损失不大于各资产单独风险损失之和。 3) 正齐性：对 ∀ λ > 0 ，由非线性期望的保常性和正齐性可得 G C V a R β [ λ f ( x ， r ) ] = E ˙ [ λ f ( x ， r ) | λ f ( x ， r ) ] ≥ G V a R β [ f ( x ， r ) ] = λ E ˙ [ f ( x ， r ) | f ( x ， r ) ] ≥ η G V a R β [ f ( x ， r ) ] = λ G V a R β [ f ( x ， r ) ] 其中 η = 1 λ > 0 ，于是GCVaR满足正齐性条件。 4) 平移不变性：对 ∀ f ( x ， r ) ∈ Γ ， c > 0 ，由非线性期望的保常性得 G C V a R β [ f ( x ， r ) − c ] = E ˙ [ f ( x ， r ) − c | f ( x ， r ) − c ≥ G V a R β [ f ( x ， r ) ] − c ] = E ˙ [ f ( x ， r ) − c | f ( x ， r ) − c ≥ G V a R β [ f ( x ， r ) ] ] − G V a R β [ c ] = E ˙ [ f ( x ， r ) | f ( x ， r ) ≥ G V a R β [ f ( x ， r ) ] ] − E ˙ [ c | c ≥ G V a R β [ c ] ] = G C V a R β [ f ( x ， r ) ] − G C V a R β [ c ] 于是GCVaR满足一致性风险度量的平移不变性条件。 综上所证，GCVaR满足一致性风险度量的四个条件，所以GCVaR是非线性期望理论下，一致性随机极限风险度量。