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user: 4. “X”型梯状图和“T”型梯状图的反强迫多项式 定义3：将一个梯子图水平放置，从梯子图内部某个方格子(称分叉方格子)处向与梯子图上下方向各延伸出一个梯子图，记从交叉方格子处，向上、向左、向右、向下分别有 n 1 ， n 2 ， n 3 ， n 4 个方格子，我们把这样得到的方格子图称为“X”型梯状图(如图2所示)，记为 X L n 1 ， n 2 ， n 3 ， n 4 。 图2. “X”型梯状图 X L n 1 ， n 2 ， n 3 ， n 4 我们称从交叉方格子处向上、向左、向右、向下方向的边中与虚线相交的边均为竖直边，在完美匹配中的竖直边称为竖直匹配边；其余边为水平边，在完美匹配中的水平边称为水平匹配边。 定义4：当“X”型梯状图的 n 4 = 1 时，我们把这样的退化“X”型梯状图称为“T”型梯状图(如图3所示)，记为 T L n 1 ， n 2 ， n 3 = X L n 1 ， n 2 ， n 3 ， 1 。 引理3：若M是 X L n 1 ， n 2 ， n 3 ， n 4 或 T L n 1 ， n 2 ， n 3 的完美匹配，则其水平匹配边必成对出现，即(非交叉)方格子中的两条相对水平边同时在M中。 证明：设M是 X L n 1 ， n 2 ， n 3 ， n 4 的完美匹配，若 X L n 1 ， n 2 ， n 3 ， n 4 的某一对水平边 e ∈ M ， e ′ ∉ M ，则整个图无竖直匹配边且至少存在两个M-非饱和的点，与M是 X L n 1 ， n 2 ， n 3 ， n 4 的完美匹配矛盾，所以 e ∈ M 时必有与其相对应的 e ′ ∈ M 。 图3. “T”型梯状图 T L n 1 ， n 2 ， n 3 因 X L n 1 ， n 2 ， n 3 ， n 4 是平面二部图，由引理1易知有下面的结论。 引理4：若G是方格子链 X L n 1 ， n 2 ， n 3 ， n 4 或 T L n 1 ， n 2 ， n 3 ，M是G的完美匹配，水平边 e ∉ M ，若存在G的最大M-相容交错集使其中的所有M-交错圈都不包含边e，则我们就可以从该方格子将G分解开来，即从G中删去边e和对边 e ′ ，不妨记分解得到的图为 G 1 ， G 2 ， M ∩ E ( G 1 ) = M 1 ， M ∩ E ( G 2 ) = M 2 ，则有 a f ( G ， M ) = a f ( G 1 ， M 1 ) + a f ( G 2 ， M 2 ) 我们可以对交叉方格子的四个顶点，多次应用定理1，从而将 X L n 1 ， n 2 ， n 3 ， n 4 的完美匹配分为8小类(如图4所示)： 图4. X L n 1 ， n 2 ， n 3 ， n 4 的8小类匹配方式 其中，(b)可以通过旋转得到(a)，同样(c)可以由(d)、(e)、(f)得到，(g)可以由(h)得到，因此我们将八小类匹配通过旋转得到3类，记(a)、(b)为类型1，(c)、(d)、(e)、(f)为类型2，(g)、(h)为类型3。 易知， T L n 1 ， n 2 ， n 3 的完美匹配分为6小类(如图5所示)： 图5. T L n 1 ， n 2 ， n 3 的6小类匹配方式 其中，(a)、(b)为类型1，(c)、(d)、(e)为类型2，(f)为类型3。 定理7： X L n 1 ， n 2 ， n 3 ， n 4 的反强迫多项式满足 P ( X L n 1 ， n 2 ， n 3 ， n 4 ， x ) = ∑ i = 1 4 ∑ M ∈ M e i ∈ M x a f ( X L n 1 ， n 2 ， n 3 ， n 4 ， M ) = P n 2 ∗ ( L n 2 + n 3 ， x ) P 1 ( L n 1 ， x ) P 1 ( L n 4 ， x )   + P n 1 ∗ ( L n 1 + n 4 ， x ) P 1 ( L n 2 ， x ) P 1 ( L n 3 ， x ) + x P ( L n 1 − 1 ， x ) P ( L n 4 − 1 ， x ) P 1 ( L n 2 ， x ) P 1 ( L n 3 − 1 ， x )   + x P ( L n 1 − 1 ， x ) P ( L n 4 − 1 ， x ) P 1 ( L n 2 ， x ) P 1 ( L n 3 − 1 ， x ) + x P ( L n 1 − 1 ， x ) P ( L n 4 − 1 ， x ) P 1 ( L n 2 − 1 ， x ) P 1 ( L n 3 ， x )   + x P ( L n 1 − 1 ， x ) P ( L n 4 − 1 ， x ) P 1 ( L n 2 − 1 ， x ) P 1 ( L n 3 ， x ) + x P ( L n 2 − 1 ， x ) P ( L n 3 − 1 ， x ) P 1 ( L n 1 − 1 ， x ) P 1 ( L n 4 ， x )   + x P n 2 − 1 ∗ ( L n 2 + n 3 − 2 ， x ) P a f ( L n 1 − 1 ， x ) P a f ( L n 4 − 1 ， x ) + x P n 1 − 1 ∗ ( L n 1 + n 4 − 2 ， x ) P ( L n 2 − 1 ， x ) P ( L n 3 − 1 ， x ) 证明：根据前面的分类情况，分别计算 X L n 1 ， n 2 ， n 3 ， n 4 的三种类型的反强迫多项式，然后按照旋转方式适当调整一下参数的下标即可。称一个匹配交错圈跨过一个方格子，若该匹配交错圈恰包含该方格子上的两条边。 情形1：不妨设完美匹配方式如图6，此时存在水平方向跨过交叉方格子且与交叉方格子相容的M-交错圈，不存在以其他方式跨过交叉方格子的M-交错圈，因此根据引理4有以下分解(这里我们用图本身来表示其反强迫多项式，下同) 图6. 具有类型1匹配时的 X L n 1 ， n 2 ， n 3 ， n 4 分解示意图 故而有 P n 2 ∗ ( L n 2 + n 3 ， x ) P 1 ( L n 1 ， x ) P 1 ( L n 4 ， x ) . 情形2：不妨设完美匹配方式如图7，此时不存在以任何跨过交叉方格子的M-交错圈(但可能包含交叉方格子的3条或4条边)，故根据引理4有以下分解 图7. 具有类型2匹配时 X L n 1 ， n 2 ， n 3 ， n 4 的分解示意图 故而有 x P ( L n 1 − 1 ， x ) P ( L n 4 − 1 ， x ) P 1 ( L n 2 ， x ) P 1 ( L n 3 − 1 ， x ) . 情形3：不妨设完美匹配方式如图8，此时存在竖直方向跨过交叉方格子且与交叉方格子相容的M-交错圈，不存在以任何跨过交叉方格子的M-交错圈，故根据引理4有以下分解 图8. 具有类型3匹配时 X L n 1 ， n 2 ， n 3 ， n 4 的分解示意图 故而有 x P n 1 − 1 ∗ ( L n 1 + n 4 − 2 ， x ) P ( L n 2 − 1 ， x ) P ( L n 3 − 1 ， x ) . 综上，定理得证。 特别的，当 n 1 = n 2 = n 3 = n 4 = n 时，有 推论5： X L n ， n ， n ， n 的反强迫多项式满足 P ( X L n ， n ， n ， n ， x ) = { 2 [ ∑ q = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) x n − q − 1 ] 4 + 4 x [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) x n − q − 2 ] 2 [ ∑ q = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) x n − q − 1 ]   [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 2 − q q ) x n − q − 2 ] + 2 x [ [ x 2 ∑ q = 0 ⌊ n − 3 2 ⌋ ( n − 2 − q q ) x n − q − 3 ] 2 + 2 x n 2 [ ∑ q = 0 ⌊ n − 3 2 ⌋ ( n − 2 − q q ) x n − q − 3 ] + x n − 1 ]   [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) x n − q − 2 ] 2 ， n 为 偶 数 ; 2 [ x 2 [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) x n − q − 2 ] 2 + 2 x n + 1 2 [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) x n − q − 2 ] + x n ] [ ∑ q = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) x n − q − 1 ] 2   + 4 x [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) x n − q − 2 + x n − 1 2 ] 2 [ ∑ q = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) x n − q − 1 ] [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 2 − q q ) x n − q − 2 ]   + 2 x 3 [ ∑ q = 0 ⌊ n − 3 2 ⌋ ( n − 2 − q q ) x n − q − 3 ] 2 [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) x n − q − 2 + x n − 1 2 ] 2 ， n 为 奇 数 . 推论6：梯状图 X L n ， n ， n ， n 的完美匹配的个数为 2 F ( n ) 2 F ( n + 1 ) 2 。 证明：通过引理2和上述推论进行证明：上述推论中，当 x = 1 时，可得 X L n ， n ， n ， n 的完美匹配的个数。 若n是偶数，则 2 [ ∑ q = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) ] 4 + 2 [ [ ∑ q = 0 ⌊ n − 3 2 ⌋ ( n − 2 − q q ) ] 2 + 2 [ ∑ q = 0 ⌊ n − 3 2 ⌋ ( n − 2 − q q ) ] + 1 ] [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) ] 2 4 [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) ] 2 [ ∑ q = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) ] [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 2 − q q ) ] = 2 F ( n ) 4 + 4 F ( n ) 2 F ( n ) F ( n − 1 ) + 2 F ( n − 1 ) 2 F ( n ) 2 = 2 F ( n ) 2 ( F ( n ) 2 + 2 F ( n ) F ( n − 1 ) + F ( n − 1 ) 2 ) = 2 F ( n ) 2 F ( n + 1 ) 2 若 是奇数，则 2 [ [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) ] 2 + 2 [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) ] + 1 ] [ ∑ q = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) ] 2 + 4 [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) + 1 ] 2 [ ∑ q = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) ] [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 2 − q q ) ] + 2 [ ∑ q = 0 ⌊ n − 3 2 ⌋ ( n − 2 − q q ) ] 2 [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) + 1 ] 2 = 2 F ( n ) 2 F ( n ) 2 + 4 F ( n ) 2 F ( n ) F ( n − 1 ) + 2 F ( n − 1 ) 2 F ( n ) 2 = 2 F ( n ) 2 F ( n + 1 ) 2 综上， X L n ， n ， n ， n 的完美匹配的个数为 2 F ( n ) 2 F ( n + 1 ) 2 结论成立。 由定义知 T L n 1 ， n 2 ， n 3 是 X L n 1 ， n 2 ， n 3 ， n 4 的 n 4 = 1 的特例。 推论7： T L n 1 ， n 2 ， n 3 的反强迫多项式满足 P ( X L n 1 ， n 2 ， n 3 ， x ) = P n 2 ∗ ( L n 2 + n 3 ， x ) P 1 ( L n 1 ， x ) + x P ( L n 1 − 1 ， x ) P 1 ( L n 2 ， x ) P 1 ( L n 3 ， x )     + x P 1 ( L n 1 − 1 ， x ) P ( L n 2 − 1 ， x ) P ( L n 3 − 1 ， x ) + x P ( L n 1 − 1 ， x ) P 1 ( L n 2 ， x ) P 1 ( L n 3 − 1 ， x )     + x P ( L n 1 − 1 ， x ) P 1 ( L n 2 − 1 ， x ) P 1 ( L n 3 ， x ) + x P n 2 − 1 ∗ ( L n 2 + n 3 − 2 ， x ) P ( L n 1 − 1 ， x ) 推论8： T L n ， n ， n 的反强迫多项式为 推论9：梯状图 T L n ， n ， n 的完美匹配的个数为 F ( n ) F ( n + 1 ) F ( n + 2 ) 。 证明：通过引理2和上述推论进行证明：上述推论中，当 x = 1 时，可得 T L n ， n ， n 的完美匹配的个数。 若n是偶数，则 [ ∑ q = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) ] 3 + [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) ] [ ∑ q = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) ] 2 + [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 2 − q q ) ] [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) ] 2   + 2 [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) ] [ ∑ q = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) ] [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 2 − q q ) ]   + [ [ ∑ q = 0 ⌊ n − 3 2 ⌋ ( n − 2 − q q ) ] 2 + 2 [ ∑ q = 0 ⌊ n − 3 2 ⌋ ( n − 2 − q q ) ] + 1 ] [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) ] = F ( n ) 3 + F ( n ) 3 + F ( n − 1 ) F ( n ) 2 + 2 F ( n ) 2 F ( n − 1 ) + F ( n − 1 ) 2 F ( n ) = 2 F ( n ) 3 + 3 F ( n ) 2 F ( n − 1 ) + F ( n ) F ( n − 1 ) 2 = F ( n ) ( F ( n ) + F ( n − 1 ) ) ( F ( n + 1 ) + F ( n ) ) = F ( n ) F ( n + 1 ) F ( n + 2 ) 若n是奇数，则 [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) + 1 ] [ ∑ q = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) ] 2 + [ [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) ] 2 + 2 [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) ] + 1 ] [ ∑ q = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) ]   + [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 2 − q q ) ] [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) + 1 ] 2 + 2 [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) + 1 ] [ ∑ q = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) ] [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 2 − q q ) ]   + [ ∑ q = 0 ⌊ n − 3 2 ⌋ ( n − 2 − q q ) ] 2 [ ∑ q = 0 ⌊ n − 2 2 ⌋ ( n − 1 − q q ) + 1 ] = F ( n ) 3 + F ( n ) 3 + F ( n − 1 ) F ( n ) 2 + 2 F ( n ) 2 F ( n − 1 ) + F ( n − 1 ) 2 F ( n ) = F ( n ) F ( n + 1 ) F ( n + 2 ) 综上所述， T L n ， n ， n 的完美匹配的个数为 F ( n ) F ( n + 1 ) F ( n + 2 ) 。 注：梯状图 X L n ， n ， n ， n 的完美匹配个数 2 F ( n ) 2 F ( n + 1 ) 2 和 T L n ， n ， n 的完美匹配个数 F ( n ) F ( n + 1 ) F ( n + 2 ) 是两个已知的序列，在OEIS [ 22 ] 中的编号分别为A060635和A065563，前一个序列在该网站上的解释是一个特殊图方格子图的二米诺覆盖方式数，其实就是梯状图 X L n ， n ， n ， n 的完美匹配的个数，而后一序列网站上没有组合解释，推论9给出了其中一个组合解释。