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user: 4. 加权马尔可夫链预测 传统的马尔可夫链预测没有充分考虑各个数据之间相关关系的强弱，没有充分地利用历史数据中隐藏的信息，往往预测结果不尽如人意。鉴于马尔可夫链预测方法的这种不足，近年来许多学者都在探讨如何改进，加权马尔可夫链方法就是其中一种，参见文 [ 6 ] ，这种方法的好处在于充分利用了数据间的强弱关系，使已有数据资料的信息最大化被利用，使得预测结果更加准确合理。本节我们适当改进文 [ 6 ] 的方法，并讨论用其预测沈北新区房价走势的效果。 4.1. 方法介绍 设 x l ， l = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，为连续n个度量期的房价，可用加权马尔可夫链方法预测第 ( n + 1 ) 个度量期的房价，具体方法请见文 [ 6 ] 中2.3节。需要说明的是，在文 [ 6 ] 中，顾莹和夏乐天是用系统聚类–离差平方和法进行状态分类的，这种方法不是唯一的，实用中可以用其它方法进行分类。 下面我们通过基于A楼盘2016年9月~2017年8月连续12个月的房价预测2017年9月的房价来介绍与改革文 [ 6 ] 的方法。 4.1.1. 分类 先根据A楼盘2016年9月~2017年8月连续12个月房价的具体情况，用表4定义类别，然后再依表5给出这段时间里每月房价的类别。 Table 4 A partitioning of housing price state 价格区间/元 状态 级别 x < 6231.5 I 低 6231.5 ≤ x < 6555 II 中 6555 ≤ x < 6878.5 III 高 6878.5 ≤ x IV 上 表4. A楼盘房价状态区间划分 Table 5 A property price index and its corresponding status from September 2016 to August 201 月份 2016.09 2016.10 2016.11 2016.12 2017.01 2017.02 价格/元 5908 5909 5902 6010 6084 6103 状态 I I I I I I 月份 2017.03 2017.04 2017.05 2017.06 2017.07 2017.08 价格/元 6084 6303 6455 6821 7004 7202 状态 I II II III IV IV 月份 2017.09 2017.10 2017.11 2017.12 - - 价格/元 7465 7500 7499 7530 - - 状态 IV IV IV IV - - 表5. A楼盘2016年9月~2017年8月房价指数及对应状态 4.1.2. 马氏性检验 在房价预测中，马氏性检验是应用马尔可夫链预测的前提，只有通过了马氏性检验，才可以用马尔可夫链方法进行预测。 用文 [ 6 ] (或文 [ 12 ] )的方法对 A楼盘2016年9月~2017年8月连续12个月的房价进行马氏性检验。 设房价 x l 的状态为 x ′ l ，   l = 1 ， 2 ， ⋯ ， n (这里， n = 12 )。通过令 f i j = 1 n − 1 Card { l | x l = i ， x l + 1 = j ， l = 1 ， 2 ⋯ ， n − 1 } ，   i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 其中，m为状态的个数(这里 m = 4 )，做出一步转移概率矩阵 ( f i j ) m × m ，再命 p ⋅ j = ∑ i = 1 m f i j ∑ i = 1 m ∑ j = 1 m f i j ，且 p i j = f i j ∑ j = 1 m f i j ，则当n较大时有近似的统计量 χ 2 = 2 ∑ i = 1 m ∑ j = 1 m f i j | ln p i j p ⋅ j | ∼ χ 2 [ ( m − 1 ) 2 ] 。计算 χ 2 = 2 ∑ i = 1 m ∑ j = 1 m f i j | ln p i j p ⋅ j | ∼ χ 2 [ ( m − 1 ) 2 ] = 18.1578 ； 给定显著性水平 α = 0.05 ，查表得分位点 χ α 2 ( 9 ) = 16.92 。由于 χ 2 > χ α 2 ( ( m − 1 ) 2 ) 。该楼盘房价数据序 列符合马氏性，所以可以运用相关的方法和原理进行预测分析。 注：实际计算中可能遇到 p i j = 0 的情况，这时在运算中把 f i j | ln p i j p ⋅ j | 当作0来处理，这样做是合理的， 原因如下。 p i j p ⋅ j = ( f i j ∑ k = 1 m f k j ) ( ∑ i = 1 m ∑ j = 1 m f i j ) ∑ j = 1 m f i j = f i j ( ∑ i = 1 m ∑ j = 1 m f i j ) ( ∑ j = 1 m f i j ) ( ∑ k = 1 m f k j ) = f i j ⋅ σ f i j + δ ， 其中 σ = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 m f i j ≠ 0 ， δ = ∑ k = 1 k ≠ i m f k j ，由此可知当 p i j = 0 时，必有 f i j = 0 ，将 f i j 视为无穷小量，则： f i j | ln p i j p ⋅ j | = f i j + σ δ ⋅ f i j ⋅ δ f i j + σ | ln f i j ⋅ σ f i j + σ | → 0 ， 所以这样做是合理的。 4.1.3. 计算出各阶自相关系数 r k = ∑ l = 1 n − k ( x l − x ¯ ) ( x l + k − x ¯ ) / ∑ l = 1 n ( x l − x ¯ ) 2 ，   k = 1 ， 2 ， ⋯ ， K ，(这里 K = m ) 其中， r k 为滞时是k个时期的自相关系数，K为要计算的最大阶数， x ¯ 为房价的均值。结果见表6。 4.1.4. 规范化 w k = | r k | ∑ k = 1 m | r k | ， 结果见果表6，其意义见文献 [ 6 ] 。 Table 6 Summary of results of normalization of autocorrelation coefficients by order in example k r k 与 w k k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 r k 0.2674 0.2114 0.0542 −0.0048 w k 0.4972 0.3931 0.1008 0.0089 表6. 实例中各阶自相关系数规范化结果汇总 4.1.5. 求各步转移概率矩阵 仿照文献 [ 6 ] 的方法求出一步，二步，三步和四步转移概率矩阵，结果如下。 P ( 1 ) = [ 6 7 1 7 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ] ， P ( 2 ) = [ 5 7 2 7 0 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 1 0 0 0 1 ] ， P ( 3 ) = [ 4 7 2 7 1 7 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] P ( 4 ) = [ 3 7 2 7 1 7 1 7 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] 4.1.6. 求转移概率 基于 ( n − k ) （初始月）时点的房价状态 x ′ n − k ， k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， K − 1 (这里 K = 4 )，用频率方法求 ( n + 1 ) 时点房价为状态i的概率 p x ′ n − k i ( k + 1 ) ，简记为 p i [ k ] 。结果如表7所示。 4.1.7. 预测 命 P i = ∑ k = 1 K w k p i [ k ] = ∑ k = 1 3 w k p i [ k ] ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ，用其作为 ( n + 1 ) 时点房价状态为i的概率；然后找出满足 P i * = max { P i | i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m } 的状态i * ，以其作为 ( n + 1 ) 时点房价的预测状态。在当前情况下，i * = IV。 由表7可知，最大加权概率和为1，相应的状态为IV，即用此方法预测该楼盘2017年9月房价的状态为IV，也就是说此时的房价应满足： x ≥ 6878.5 。根据我们的跟踪结果，该楼盘在2017年9月的实际房价为7465元/平方米，该房价正好处于状态IV，说明预测结果准确。 Table 7 A housing prices forecast for September 201 初始月 状态 步长 状态权重 i = I i = II i = III i = IV 概率 2017.08 IV 1 0.4972 0 0 0 1 p i [ 1 ] 2017.07 IV 2 0.3931 0 0 0 1 p i [ 2 ] 2017.06 III 3 0.1008 0 0 0 1 2017.05 II 4 0.0089 0 0 0 1 加权和 0 0 0 1 表7. 2017年9月A楼盘房价的预测 4.2. 方法检验 运用上述方法，依次基于A楼盘2016年10月~2017年9月连续12个月的房价预测2017年10月的房价，基于A楼盘2016年11月~2017年10月连续12个月的房价预测2017年11月的房价，基于A楼盘2016年12月~2017年11月连续12个月的房价预测2017年12月的房价。预测结果状态依次为：IV，IV，IV；实际房价状态依次为：IV，IV，IV。准确率达到100%，由此可见加权马尔可夫链预测方法适于用来预测沈阳市沈北新区该楼盘的房价。