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user: 2. 基本知识 2.1. ∂ 、 ∂ ¯ 算子 设M为一个复n维紧致复流形，M上一点z处的余切空间 T z ∗ M 作复化分解为 T z ∗ ℂ ( M ) = T z ∗ ′ ( M ) ⊕ T z ∗ ′ ​ ′ ( M ) ，   T z ∗ ′ ​ ′ = T z ∗ ′ ( M ) ¯ ， (2.1) 其中， T z ∗ ′ ( M ) 为反全纯余切空间， T z ∗ ′ ​ ′ ( M ) 为全纯余切空间。在局部坐标系 z = { z 1 ， ⋯ ， z n } 下， T z ∗ ′ ( M ) = s p a n { d z j } j = 1 n ，   T z ∗ ′ ​ ′ ( M ) = s p a n { d z ¯ j } j = 1 n . 于是，n次外微分形式空间有如下分解 Λ n T z ∗ ℂ ( M ) = ⊕ p + q = n ( Λ p T z ∗ ′ ( M ) ⊗ Λ q T z ∗ ′ ​ ′ ( M ) ) . 相应地，可记 A n ( M ) = ⊕ p + q = n A p ， q ( M ) ， (2.2) 其中， A p ， q ( M ) = { φ ∈ A p ， q ( M ) | φ ( z ) ∈ Λ p T z ∗ ′ ( M ) ⊗ Λ q T z ∗ ′ ​ ′ ( M ) ， ∀ z ∈ M } . (2.3) 一个形式 φ ∈ A p ， q ( M ) 被称为 ( p ， q ) 型外微分形式。 由于 d φ ( z ) ∈ ( Λ p T z ∗ ′ ( M ) ⊗ Λ q T z ∗ ′ ​ ′ ( M ) ∧ T z ∗ ℂ ( M ) ) ，由(2.1)知 d φ ∈ ( A p + 1 ， q ( M ) ⊕ A p ， q + 1 ( M ) ) ，故可定义两个算子 ∂ : A p ， q ( M ) → A p + 1 ， q ( M ) ∂ ¯ : A p ， q ( M ) → A p ， q + 1 ( M ) (2.4) 为 ∂ = π ( p + 1 ， q + 1 ) ∘ d ，   ∂ = π ( p + 1 ， q ) ∘ d ， 其中 π ( p + 1 ， q ) 和 π ( p ， q + 1 ) 分别为投影映射 π ( p + 1 ， q ) : A n ( M ) → A p + 1 ， q ( M )                                                                   ψ = ∑ j + k = n A j ， k ( M ) ↦ π ( p + 1 ， q ) ψ π ( p ， q + 1 ) : A n ( M ) → A p ， q + 1 ( M )                                                                     φ = ∑ j + k = n A j ， k ( M ) ↦ π ( p ， q + 1 ) φ 这样， d = ∂ + ∂ ¯ 。 在局部坐标 z = ( z 1 ， ⋯ ， z n ) 下， φ ∈ A p ， q ( M ) 的局部表达式写成 φ ( z ) = ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i p ≤ n 1 ≤ j 1 < j 2 < ⋯ < j q ≤ n φ i 1 ⋯ i p j ¯ 1 ⋯ j ¯ q ( z ) d z i 1 ∧ ⋯ ∧ d z i p ∧ d z ¯ j 1 ∧ ⋯ ∧ d z ¯ j q = 1 p ! 1 q ! ∑ i 1 ， ⋯ ， i p = 1 n ∑ j 1 ， ⋯ ， j q = 1 n φ i 1 ⋯ i p j ¯ 1 ⋯ j ¯ q ( z )   d z i 1 ∧ ⋯ ∧ d z i p ∧ d z ¯ j 1 ∧ ⋯ ∧ d z ¯ j q (2.5) 进而 ∂ ¯ φ ( z ) = ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i p ≤ n 1 ≤ j 1 < j 2 < ⋯ < j q ≤ n ∑ j = 1 n ∂ φ i 1 ⋯ i p j ¯ 1 ⋯ j ¯ q ( z ) ∂ z ¯ j d z ¯ j ∧ d z i 1 ∧ ⋯ ∧ d z i p ∧ d z ¯ j 1 ∧ ⋯ ∧ d z ¯ j q (2.6) ∂ φ ( z ) = ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ i p ≤ n 1 ≤ j 1 < j 2 < ⋯ j q ≤ n ∑ j = 1 n ∂ φ i 1 ⋯ i p j ¯ 1 ⋯ j ¯ q ( z ) ∂ z j d z j ∧ d z i 1 ∧ ⋯ ∧ d z i p ∧ d z ¯ j 1 ∧ ⋯ ∧ d z ¯ j q (2.7) 特别地，一个 ( p ， 0 ) 形式 φ ∈ A p ， 0 ( M ) 若满足 ∂ ¯ φ = 0 ，则 φ 被称为全纯 ( p ， 0 ) 形式，这意味着，局部坐标系下，由(2.5)、(2.6)知 φ ( z ) = ∑ # I = p φ I ( z ) d z I         = ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i p ≤ n φ i 1 ⋯ i p ( z ) d z i 1 ∧ ⋯ ∧ d z i p ， 其中 φ I ( z ) = φ i 1 ⋯ i p ( z ) 是全纯函数(即 ∂ φ I ( z ) / ∂ z ¯ j = 0 ， ∀ j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n )，多重指标 I = { i 1 ， ⋯ ， i p } 。 2.2. Dolbeault上同调群 由于 ∂ 2 / ∂ z ¯ i ∂ z ¯ j = ∂ 2 / ∂ z ¯ j ∂ z ¯ i ， ∂ 2 / ∂ z i ∂ z j = ∂ 2 / ∂ z j ∂ z i ，所以由(2.6)知 ∂ ¯ 2 | A p ， q ( M ) = ∂ ¯ | A p ， q + 1 ( M ) ∘ ∂ ¯ | A p ， q ( M ) = 0 ， 简记 ∂ ¯ 2 = 0 ； ∂ 2 | A p ， q ( M ) = ∂ | A p + 1 ， q ( M ) ∘ ∂ | A p ， q ( M ) = 0 ， 简记 ∂ 2 = 0 。 注意到 d 2 = 0 ，而 ( ∂ + ∂ ¯ ) 2 = ∂ ¯ 2 + ∂ ∂ ¯ + ∂ ¯ ∂ + ∂ 2 ，所以 ∂ ∂ ¯ = − ∂ ¯ ∂ 。 由 ∂ ¯ 2 | A p ， q ( M ) = 0 ， ∂ 2 | A p ， q ( M ) = 0 ，所以有 ∂ ¯ ( A p ， q − 1 ( M ) ) ⊂ Z ∂ ¯ p ， q ( M ) = ker ∂ ¯ | A p ， q ( M ) ， ∂ ( A p − 1 ， q ( M ) ) ⊂ Z ∂ p ， q ( M ) = ker ∂ | A p ， q ( M ) ， 于是可定义商群为 H ∂ ¯ p ， q ( M ) = Z ∂ ¯ p ， q ( M ) / ∂ ¯ ( A p ， q − 1 ( M ) ) ， H ∂ p ， q ( M ) = Z ∂ p ， q ( M ) / ∂ ( A p − 1 ， q ( M ) ) . 前者称为Dolbeault上同调群。 2.3. 厄米特(Hermite)度量h与正的(1，1)形式 ω 在维数为n的复流形M上的一个Hermite度量是指在任意 z ∈ M 的全纯切空间 T z 1 ， 0 M = T ′ z M = { v ∈ T z ℂ ( M ) | J v = − 1 v } 上给定的一个正的Hermite内积 (   ⋅     ，     ⋅     ) z = T ′ z ( M ) ⊗ T ′ z ( M ) ¯ → ℂ ， h i   j ¯ ( z ) = ( ∂ ∂ z i ， ∂ ∂ z ¯ j ) z 是光滑函数，且 h j ¯ i = ( ∂ ∂ z ¯ j ， ∂ ∂ z i ) = ( ∂ ∂ z i ， ∂ ∂ z ¯ j ) ¯ = h i   j ¯ ¯ (2.8) 针对 ( T ′ z ( M ) ⊗ T ′ z ( M ) ¯ ) ∗ = T z ∗ ′ ( M ) ⊗ T z ∗ ′ ​ ′ ( M ) 的基底 { d z i ⊗ d z ¯ j } ，M的Hermite内积 ( ⋅       ， ⋅ ) z 由对应的Hermite度量 d s 2 可表示为 d s 2 = ∑ i ， j = 1 n h i   j ¯ ( z ) d z i ⊗ d z ¯ j ， 满足1) h i   j ¯ ( z ) ¯ = h j   i ¯ ( z ) ； 2) ∑ i ， j = 1 n h i   j ¯ ( z ) ξ i ξ ¯ j ≥ 0 ，“=”成立当且仅当 ξ = ( ξ 1 ， ⋯ ， ξ n ) = 0. (2.9) Hermite度量 d s 2 的一个余标架是一个 ( 1 ， 0 ) 型形式的n元串 { φ 1 ， ⋯ ， φ n } 使得 d s 2 = ∑ j = 1 n φ j ⊗ φ ¯ j (2.10) 这里 φ j ∈ A 1 ， 0 ( M ) = Λ 1 T z ∗ ′ ( M ) ⊗ Λ 0 T z ∗ ′ ​ ′ ( M ) = Λ 1 T z ∗ ′ ( M ) ⊗ C ∞ ( T z ∗ ′ ​ ′ ( M ) ， ℂ ) ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。 这意味着由全纯切空间 T ′ z ( M ) 上的内积诱导全纯余切空间 T z ∗ ′ ( M ) = { φ ∈ T z ∗ ℂ ( M ) | ∂ ¯ φ = 0 } 上的Hermite内积之下， { φ 1 ( z ) ， ⋯ ， φ n ( z ) } 是 T z ∗ ′ ( M ) 的一个单位正交基底。显然余标架场 { φ i ( z ) } i = 1 n 总是局部存在的；在全纯坐标系 { z j } j = 1 n 下，对 ∀ z ∈ M ，取 T z ∗ ′ ( M ) 的全纯自然基底 { d z 1 ， ⋯ ， d z n } ，应用Gram-Schmidt正交化过程就可以构造一个余标架场。 下面讨论Hermite度量 d s 2 的实部和虚部，诱导出实微分流形 M 2 n 上的两个特殊度量—黎曼度量和近Kähler形式度量。 由于有自然的实线性同构 T z ℝ ( M ) → T ′ z ( M ) ，所以M上的Hermite度量 d s 2 的实部 Re d s 2 = T z ℝ ( M ) ⊗ T z ℝ ( M ) → ℝ (2.11) 是M上的一个黎曼度量，称为Hermite度量 d s 2 的诱导黎曼度量。同时也看出 d s 2 的虚部 Im d s 2 = T z ℝ ( M ) ⊗ T z ℝ ( M ) → ℝ 是交错的，它表示一个二次实微分形式，取 ω = − ( 1 / 2 ) Im d s 2 ，称为Hermite度量的伴随 ( 1 ， 1 ) 型形式。为给出 Re d s 2 和 ω 的显表达式，设 { φ 1 ， ⋯ ， φ n } 为 d s 2 的一个标架， φ j = α j + − 1 β j ， j = 1 ， ⋯ ， n ， α j ， β j 为实微分形式，即 α j ， β j ∈ S p a n { d x 1 ， d y 1 ， ⋯ ， d x n ， d y n } ， α j = ∑ k = 1 n ( λ k d x k + μ k d y k ) ，   λ k ， μ k ∈ ℝ ， β j = ∑ k = 1 n ( λ ˜ k d x k + μ ˜ k d y k ) ，   λ ˜ k ， μ ˜ k ∈ ℝ . 则 d s 2 = ∑ j = 1 n φ j ⊗ φ ¯ j = ∑ j = 1 n ( α j + − 1 β j ) ⊗ ( α j − − 1 β j ) = ∑ j = 1 n ( α j ⊗ α j + β j ⊗ β j ) + − 1 ∑ j = 1 n ( − α j ⊗ β j + β j ⊗ α j ) (2.12) 从而诱导黎曼度量和伴随 ( 1 ， 1 ) 形式 ω 可显式表示为 Re d s 2 = ∑ j = 1 n ( α j ⊗ α j + β j ⊗ β j ) (2.13) ω = − ( 1 / 2 ) Im d s 2 = ∑ j = 1 n α j ∧ β j . (2.14) 注意到 φ j ∧ φ ¯ j = ( α j + − 1 β j ) ∧ ( α j − − 1 β j ) = − 2 − 1 α j ∧ β j ， 即 α j ∧ β j = − ( 1 / 2 − 1 ) φ j ∧ φ ¯ j = ( − 1 / 2 ) φ j ∧ φ ¯ j . (2.14)可以改写为 ω = ( − 1 / 2 ) ∑ j = 1 n φ j ∧ φ ¯ j = ( − 1 / 2 ) d s 2 . (2.15) 从(2.15)知，Hermite度量 d s 2 可以从伴随(1，1)形式中直接还原出来，即 d s 2 = − 2 − 1 ω . (2.16) 若对 ∀ z ∈ M ，取全纯坐标系 ( z 1 ， ⋯ ， z n ) ，任意全纯切向量 v ∈ T ′ z ( M ) ，有 − 1 〈 ω ( z ) ， v ∧ v ¯ 〉 z = 〈 − ( 1 / 2 ) d s 2 ， v ∧ v ¯ 〉 z = − ( 1 / 2 ) d s 2 ( v ， v ¯ ) > 0 ， 则微分形式 ω 是一个正的 ( 1 ， 1 ) 形式。若 ω ( z ) = ( − 1 / 2 ) ∑ i ， j = 1 n h i   j ¯ ( z ) d z i ∧ d z ¯ j 的系数矩阵 ( h i   j ¯ ( z ) ) 是一个正定的Hermite矩阵，则微分形式 ω 是正的。