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user: 4. 偏序集到完全分配格的并稠嵌入 设 是偏序集P上的一个二元关系，若 是附加序，且作为关系是正则的，则称 是P上的一个正则附加序；类似地，称 是P上的一个幂等附加序，若 是附加序，且作为关系是幂等的(等价于 具有插入性质)。 定义4.1 (Z-择一性质)：设P是Z-domain，r是P上的一个二元关系。r称为具有Z-择一性质，若r满足 (ZC) 。 定义4.2：设P是Z-domain。 (1) P称为是Z-正则domain，若P上存在一个具有Z-择一性质的、逼近的正则附加序。 (2) P称为是Z-幂等domain，若P上存在一个具有Z-择一性质的、逼近的幂等附加序。 显然，对偏序集P上的附加序r，r是幂等的当且仅当r具有插入性质。 引理4.3：设P是Z-domain。 (1) 若P是Z-正则domain，则P是Z-弱连续domain。 (2) P是Z-幂等domain Û P上存在一个幂等的、逼近的附加序 。 证明：(1)：由P是Z-正则domain，P上存在一个具有Z-择一性质的、逼近的正则附加序 。下证 。设 。 ，若 ，则由 是P上的附加序，有 。由 具有Z-择一性质， ；从而由 是P上的附加序，有 。故 。因而证明了 。由 的逼近性得到 的逼近性。故P是Z-弱连续domain。 (2)：设P是Z-幂等domain，则P上存在一个具有Z-择一性质的、逼近的幂等附加序 。由(1)的证明，有 。反之，设P上存在一个幂等的、逼近的附加序 ，下证 具有Z-择一性质。设 。由 是幂等的， 。由 ，有 ；从而 。由 是附加序，有 。故 具有Z-择一性质。所以P是Z-幂等domain。 命题4.4：设P是偏序集，r是P上逼近的正则附加序。 令 ， 。 定义一个二元关系 如下： 。则 (1) 。 (2) 是P上具有 -择一性质的、逼近的幂等附加序。 (3) r是幂等的当且仅当 。 (4) 若P是Z-domain，r具有Z-择一性质，则 。故 也具有Z-择一性质。 证明：(1) 设 。下证 。设 。由 ， 使 ；从而 。由r是附加序，有 ；因而有 。故 ，即 。由r是逼近的附加序，易知 。 (2) 由(1)和r是附加序，易知 是P上的附加序。下证 是幂等的。显然 是传递的，故只需证 具有插入性质。设 ，即 。由r是P上的正则关系(因而 是P上的正则关系)和定理3.4，L是完全分配格；从而由推论2.14， 使 。由 和引理2.9， 使 。故 。即证明了 是幂等的。最后证 具有 -择一性质。设 ，即 。由 的定义，有 ；从而由引理2.9， 使 ，即 。故 满足 -择一性质。 (3) 若 ，则由(2)知r是幂等的。反之，设r是幂等的，下证 。设 ，即 。由r是幂等的附加序(即r是具有插入性质的附加序)，有 ；从而 使 和 。由r是逼近 的附加序，有 ；因而由 和r是附加序，有 。故 。由(1)，有 。 (4) 由 的定义。 定义4.5：设 是偏序集。映射 称为是并稠的，若f(P)是Q的并生成集，即 。 引理4.6：设P是偏序集，L是完备格， 是并稠序嵌入。则f保任意交。 证明：设 在P中存在下确界。由f是序嵌入，有 。另一方面，由f是并稠的，有 。 ，若 (即 ， )，则由f是序嵌入，有 ；从而 。故 。所以 。 命题4.7：若完备格L可用保任意交的映射嵌入到某完全分配格中，则L可用保任意交的映射并稠地嵌入到某完全分配格中。 证明：由假设，L可用保任意交的映射f嵌入到某完全分配格 中。令 为 中以f(L)作为并生成集而生成的完备并子格，即 。则由f保任意交和 是完全分配格，易知 是 的完备子格，从而是完全分配的。定义映射 如下： 。则g 是保任意交的嵌入，且是并稠的。 下面给出本文的主要结果。 定理4.8 (AC) 设P是Z-domain，则下述各条件等价： (1) P可用Z-同态并稠地嵌入到某完全分配格中； (2) P可用保Z-并映射并稠地嵌入到某完全分配格中； (3) P是Z-幂等domain； (4) P是Z-正则domain； (5) 使P是 -强连续domain； (6) 使P是 -弱连续domain，且P上的 关系 具有插入性质。 证明 (1) Û (2)：由引理4.6。 (1) Þ (3)：设P可用Z-同态f并稠嵌入到完全分配格L中。在P上定义一个二元关系 如下： (1) 称为是由f诱导的关系。显然 是P上的一个附加序。 (a) 。 设 。 ，若 ，则由f是Z-同态，有 ；从而由 ， 使 。由f为序嵌入，有 。故 。 (b) r f 是幂等的。 设 ，即 。由推论2.14， 使 。由f是并稠的，有 。由引理2.9， 使 ，且 ；从而有 。因而 具有插入性质。显然 是传递的。故 是幂等的。 (c) 是逼近的。 设 。则由f为序嵌入，有 。由推论2.8， 使 。由f是并稠的， 。故 使 且 ；因而有 (因为f是序嵌入)。故 是逼近的。 综合(a)，(b)和(c)，P是Z-幂等的。 (3) Þ (4)：显然。 (4) Þ (5)：由P是Z-正则的，P上存在一个满足Z-择一原则的、逼近的正则附加序 。显然 也是正则的。令 。则由定理3.4和引理4.3的证明，知L是完全分配格，且 。令 。 (2) 则P是 。由 具有Z-择一性质，有 。显然P是 完备的。 (a) 若 ，则 。 事实上，由 和 ，有 存在，且 (因为 ) (因为 ) 。故 。 (b) 。故P是 -弱连续domain。 设 。 ，若 ，则由 是附加序和 的定义，有 ；从而 使 。由 是附加序，有 。故 。所以 。由 是逼近的，P是 -弱连续domain。 (c) ，若 ，则 。 设 。 ，若 ，则由 是附加序和 的定义，有 。由 ， 使 ；从而由 的逼近性，有 。故 。 (d) 。 由(b)， 。下证 。由 的完全分配性，性质(c)和 是L的并生成集，有 ，即 。故 。 (e) 具有插入性质。 设 。由(d)， 。由(a)，有 。 显然 。由 ， 。由性质(b)，(d)和(e)，P是 -强连续domain。 (5) Þ (6)：显然。 (6) Þ (1)：设 -弱连续domain，且P上的 关系 具有插入性质。显然 是传递的，故 是幂等的。因而 是幂等的。令 。则由定理3.4，知L是完全分配格。定义映射 如下： (3) 则有 (a) f是序嵌入。 ，由P是弱 -连续的，有 。故f是序嵌入。 (b) f是并稠的。 因为 是 的并生成集，故f是并稠的。 (c) f保 -并。 ，由 具有插入性质，易知 。 故 。因而f保 -并。 由(a)，(b)，(c)和引理4.6，f是Z-同态，且是并稠嵌入。故P可用Z-同态f并稠地嵌入到完全分配格L中。 推论4.9：设P是domain，则下述各条件等价： (1) P可用Lawson同态并稠地嵌入到某完全分配格中； (2) P可用Scott连续映射并稠地嵌入到某完全分配格中； (3) P是 -幂等domain； (4) P是 -正则domain； (5) 使P是 -强连续domain； (6) 使P是 -弱连续domain，且P上的 -below关系 具有插入性质。 由命题4.7和定理4.8，有下述 推论4.10：设L是完备格，则下述各条件等价： (1) L可用Z-同态嵌入到某方体[0， 1] X 之中； (2) L是Z-幂等的； (3) L是Z-正则的； (4) 使L是 -强连续的； (5) 使L是 -弱连续的，且L上的 关系 具有插入性质。 定义4.11：设P是偏序集，r是P上逼近的正则附加序。令 。映射 ， ，称为是由r诱导的并稠嵌入。 注4.12：设P是Z-domain，r是P上具有Z-择一性质的、逼近的附加序。则r诱导的并稠嵌入 保Z-并。 证明： ，有 (因为r是具有Z-择一性质的附加序) 。故 保Z-并。 注4.13：若P上存在(具有Z-择一性质的)逼近的正则附加序r，则通过r所诱导的(保Z-并)映射 ，P可并稠地嵌入到完全分配格 中；从而由命题4.4，P可由(具有Z-择一性质的)逼近的幂等附加序 诱导的(保Z-并)映射 并稠嵌入到完全分配格 。因而，对通过逼近的附加序所诱导的映射把偏序集并稠地嵌入到某完全分配格而言，附加序的正则性要求和幂等性要求并没有本质区别。 下面的结果表明，在同构的意义下，偏序集到完全分配格的(保Z-并的)并稠嵌入是唯一的，即只有由一些正则关系(或幂等关系)诱导的并稠嵌入。 定理4.14：设P是Z-domain，P可用映射f并稠地嵌入到某完全分配格L中。在P上定义一个二元关系 如下： 。则 (1) 是逼近的幂等附加序。 (2) 存在唯一的完备格同构 使 。 (3) 若f保Z-并，则 满足Z-择一原则，从而由 诱导的并稠嵌入 保Z-并。 证明 (1)：由定理4.8中(1) Þ (3)的证明。 (2)：首先证明下述性质 (a) ，若 ，则 。 令 。由L是完全分配格和f是并稠嵌入， 。 ，若 ，则由引理2.9， 使 ，即 。由 ， 使 ，即 。故 。同理有 。所以 。 由性质(a)，我们可定义一个映射 如下： (4) 则 (b) 。 (c) h保任意并。 。故h保任意并。 (d) 由f是并稠的，知h是满映射。 (e) h是单射。 设 ，即 ，下证 。设 ，则 使 ，即 ；从而 。由引理2.9， 使 ，即 。因而 。故 。同理有 。故 。所以h是单射。 由(b)~(e)， 是格同态，且 。设 是满足 的另一个格同态。则 ，有 。故 ，有 。即有 。故满足条件 的格同构 是唯一的。 (3) 设f保Z-并。下证 满足Z-择一原则。 ，若 ，即 ，则由f保Z-并，有 ；从而由引理2.9， ，即 。故 具有Z-择一性质。由注4.12，由 诱导的并稠嵌入 保Z-并。