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user: 3. 凸三角多面体的快速搜索 首先求解所有凸三角多面体的快速搜索数，接着提出相关推论。 2011年Stanley和Yang [ 6 ] 提出如下推论和定理： 推论1：对于一个没有叶子节点的图 G = ( V ， E ) ，有 f s ( G ) ≥ 1 2 | V o d d | + 2 。 定理1：对于一个连通立体图 G = ( V ， E ) ，设 τ 是图G的切点块图的叶子节块的数量，如果图G不包含切点，则 τ = 2 ，那么 f s ( G ) = | V | 2 + τ 。 2011年Yang [ 13 ] 提出如下定理： 定理2：对于一个满足 δ ( G ) ≥ 3 的连通图G，有 f s ( G ) ≥ max { δ ( G ) + 1 ， ⌈ δ ( G ) + | V o d d ( G ) | − 1 2 ⌉ } 引理1：对于正四面体 C 4 ，有 f s ( C 4 ) = 4 。 证：正四面体是一个连通立体图，显然不含有切点，又已知 | V ( C 4 ) | = 4 ，根据定理1得： f s ( C 4 ) = 4 (图1)。 引理2：对于双三角锥 C 6 ，有 f s ( C 6 ) = 4 。 证：首先提出一个由4个搜索者组成的快速搜索策略： 图1. 完全正四面体 C 4 、双三角锥 C 6 1) 我们把搜索者 λ 1 、 λ 2 、 λ 3 均放置到顶点 v 1 ，把 λ 4 放置到顶点 v 2 ； 2) λ 1 、 λ 2 、 λ 3 分别沿边 v 1 v 2 、 v 1 v 3 、 v 1 v 4 移动，使得 v 2 、 v 3 、 v 4 分别被1个搜索者守卫； 3) λ 4 从 v 2 沿环 v 2 v 3 v 4 v 2 清理回到 v 2 ； 4) λ 1 、 λ 2 、 λ 3 分别沿 v 2 v 5 、 v 3 v 5 、 v 4 v 5 移动到 v 5 ，完成对图 C 6 的清理。即 f s ( C 6 ) ≤ 4 。 其次已知 δ ( C 6 ) = 3 ， | V o d d ( C 6 ) | = 2 ，根据定理2得： f s ( C 6 ) = 4 (图1)。 引理3：对于正八面体 C 8 ，有 f s ( C 8 ) = 5 。 证：首先提出一个由5个搜索者组成的快速搜索策略： 1) 我们把搜索者 λ 1 、 λ 2 、 λ 3 、 λ 4 均放置到顶点 v 1 ，把 λ 5 放置到顶点 v 2 ； 2) λ 1 、 λ 2 、 λ 3 、 λ 4 分别沿边 v 1 v 2 、 v 1 v 3 、 v 1 v 4 、 v 1 v 5 移动，使得 v 2 、 v 3 、 v 4 、 v 5 分别被1个搜索者守卫； 3) λ 4 从 v 2 沿环 v 2 v 3 v 4 v 5 v 2 清理回到 v 2 ； 4) λ 1 、 λ 2 、 λ 3 、 λ 4 分别沿 v 2 v 6 、 v 3 v 6 、 v 4 v 6 、 v 5 v 6 移动到 v 6 ，完成对图 C 8 的清理。即 f s ( C 8 ) ≤ 5 。 其次已知 δ ( C 8 ) = 4 ， | V o d d ( C 8 ) | = 0 ，根据定理2得： f s ( C 8 ) = 5 (图2)。 引理4：对于双五角锥 C 10 ，有 f s ( C 10 ) = 5 。 证：首先提出一个由5个搜索者组成的快速搜索策略清理图 C 10 ： 1) 我们把搜索者 λ 1 、 λ 2 、 λ 3 、 λ 4 均放置到顶点 v 2 ，把 λ 5 放置到顶点 v 6 ； 2) λ 1 、 λ 2 、 λ 3 、 λ 4 分别沿边 v 2 v 1 、 v 2 v 3 、 v 2 v 5 、 v 2 v 6 移动，使得 v 1 、 v 3 、 v 5 、 v 6 分别被至少1个搜索者守卫， λ 5 从 v 6 沿环 v 6 v 4 v 3 v 7 v 6 清理回到 v 6 ； 3) λ 1 、 λ 3 分别沿 v 1 v 4 、 v 5 v 7 移动，使得 v 4 、 v 7 被一个搜索者守卫； 4) λ 5 从 v 6 沿环 v 6 v 4 v 3 v 7 v 6 清理回到 v 6 ， v 6 上的 λ 3 清理 v 7 v 4 ，完成对图 C 8 的清理。即 f s ( C 10 ) ≤ 5 。 其次已知 δ ( C 10 ) = 4 ， | V o d d ( C 10 ) | = 2 ，根据定理2得： f s ( C 10 ) = 5 (图2)。 引理5：对于变稜双五角椎 C 12 ，有 f s ( C 12 ) = 5 。 证：首先提出一个由5个搜索者组成的快速搜索策略： 1) 把搜索者 λ 1 、 λ 2 、 λ 3 、 λ 4 均放置到顶点 v 2 ，把 λ 5 放置到顶点 v 4 ； 2) λ 1 、 λ 2 、 λ 3 、 λ 4 分别沿边 v 2 v 1 、 v 2 v 3 、 v 2 v 4 、 v 2 v 5 移动，使得 v 1 、 v 3 、 v 4 、 v 5 分别至少被1个搜索者守卫， λ 5 从 v 4 沿环 v 4 v 5 v 3 v 1 v 4 清理回到 v 4 ； 3) λ 1 、 λ 5 分别沿 v 1 v 6 、 v 4 v 6 移动(此时 v 6 被2个搜索者守卫)； 4) λ 4 沿 v 4 v 7 移动到顶点 v 7 ， v 6 上的 λ 5 沿路径 v 6 v 7 v 5 v 8 移动到 v 8 ； 5) λ 4 沿 v 7 v 8 移动到 v 8 ，然后 v 8 上的 λ 5 沿 v 8 v 3 移动到 v 3 ； 6) v 3 上的 λ 5 清理 v 3 v 6 ，完成对图 C 12 的清理。即 f s ( C 12 ) ≤ 5 。 其次已知 δ ( C 12 ) = 4 ， | V o d d ( C 12 ) | = 4 ，根据定理2得： f s ( C 12 ) = 5 (图3)。 图2. 完全正八面体 C 8 、双五角锥 C 10 图3. 变稜双五角椎 C 12 、三侧锥三角柱 C 14 引理6：对于三侧锥三角柱 C 14 ，有 f s ( C 14 ) = 6 。 证：三侧锥三角柱的顶点布局为： 3 × 3 4 、 6 × 3 5 。根据搜索者放置的初始顶点的度数，我们分为两种情况： Case 1：初始顶点的度数为4，不失一般性，我们选取 v 1 作为初始顶点。 1) 搜索者 λ 1 、 λ 2 、 λ 3 、 λ 4 均放置到顶点 v 1 ； 2) λ 1 、 λ 2 、 λ 3 、 λ 4 从 v 1 沿领边进行清理，移动到其4个邻点 v 2 、 v 3 、 v 4 、 v 6 (此时这4个搜索者不满足继续移动清理图的条件而只能守卫)； 3) 不失一般性，放置 λ 5 到 v 3 ； 4) λ 5 沿环 v 3 v 2 v 6 v 4 v 3 清理回到 v 3 (此时 v 3 有两条邻边未被清理且有2个搜索者 λ 2 、 λ 5 )； 5) λ 2 、 λ 5 从 v 3 分别沿邻边进行清理，移动到 v 8 、 v 5 ； 此时5个搜索者所在的顶点上只有1个搜索者且其未被清理的邻边不止一条，所以这5个搜索者不满足继续移动清理图的条件。 Case 2：初始顶点的度数为5，不失一般性，我们选取 v 2 作为初始顶点。 1) 放置 λ 1 、 λ 2 、 λ 3 、 λ 4 、 λ 5 到 v 2 ，然后 λ 1 、 λ 2 、 λ 3 、 λ 4 、 λ 5 分别沿邻边进行清理，移动到其5个邻点 λ 1 、 λ 3 、 λ 4 、 λ 5 、 λ 7 ，此时5个搜索者所在的顶点上只有1个搜索者且其未被清理的邻边不止一条，因此这5个搜索者不满足继续移动清理图的条件。 由上面分析可以得出：5个搜索者不足以成功地清理图 C 14 ，即 f s ( C 14 ) > 5 。 其次需要证明 f s ( C 14 ) ≤ 6 。接着Case 1的第5步： 2) 我们再放置第6个搜索者 λ 6 到 v 6 ，然后 λ 6 从 v 6 沿路径 v 6 v 8 v 5 v 2 v 7 清理移动到 v 7 ； 3) λ 4 从 v 6 沿邻边 v 6 v 9 移动到 v 9 ，然后 λ 2 从 v 8 沿路径 v 8 v 9 v 4 v 7 v 5 v 9 v 7 清理，完成对图 C 14 的清理， 即 f s ( C 14 ) ≤ 6 。综上得证： f s ( C 14 ) = 6 (图3)。 引理7：对于双四角锥反角柱 C 16 ，有 f s ( C 16 ) = 7 。 证：首先由于双四角锥反角柱的对称性，只要证明必要的几何元素具有某种性质，就足以概括其余，这是显然的。双四角锥反角柱的顶点布局为： 2 × 3 4 、 8 × 3 5 。根据搜索者放置的初始顶点的度数，我们分为两种情况： Case 1：初始顶点的度数为5，不失一般性，我们选取顶点 v 3 作为初始顶点。 1) 放置 λ 1 、 λ 2 、 λ 3 、 λ 4 、 λ 5 到 v 3 ； 2) λ 1 、 λ 2 、 λ 3 、 λ 4 、 λ 5 从 v 3 分别沿邻边进行清理，到其5个邻点 v 1 、 v 2 、 v 6 、 v 9 、 v 4 (此时这5个搜索者不满足继续移动清理图的条件而只能守卫)； 3) 放置 λ 6 到顶点度数为4的顶点 v 1 的邻点 v 2 处(此时 v 2 上有2个搜索者 λ 2 、 λ 6 )； 4) λ 6 沿环 v 2 v 6 v 9 v 4 v 1 v 2 清理回到 v 2 (此时 v 1 有一条邻边未被清理且有1个搜索者 λ 1 )； 5) λ 1 沿着邻边 v 1 v 5 到 v 5 ， λ 2 沿邻边 v 2 v 5 到 v 5 (此时 v 2 有一条邻边未被清理且有1个搜索者 λ 6 ， v 5 上有2个搜索者 λ 1 、 λ 2 )； 6) λ 6 沿邻边 v 2 v 7 到 v 7 ； 由于 v 5 上有2个搜索者，移动其中1个。此时根据 v 5 的邻边未被清理的边的个数，可以分为以下两种情形： (A) 选择有两条邻边未被清理的顶点 a) λ 2 沿 v 5 v 4 移动到 v 4 (此时 v 4 上有2个搜索者 λ 2 、 λ 5 ，且只有一条邻边 v 4 v 8 未被清理)； b) λ 2 沿 v 4 v 8 移动到 v 8 ； 此时清理情况： λ 1 、 λ 2 、 λ 3 、 λ 4 及其所有邻边已经被清理；顶点 v 5 、 v 6 、 v 9 有两条邻边未被清理(各点上1个搜索者)； v 7 、 v 8 、 v 10 有两条邻边未被清理(各点上1个搜索者)，此时不满足继续移动清理图的条件； (B) 选择有三条邻边未被清理的顶点 a) λ 2 沿 v 5 v 7 移动到 v 7 ，此时 v 7 上有2个搜索者 λ 2 、 λ 6 ，可以移动其中1个；但是有三条邻边 v 7 v 6 、 v 7 v 8 、 v 7 v 10 未被清理，此时不满足继续移动清理图的条件； b) 如果 λ 6 沿边 v 7 v 8 移动到 v 8 ，由于此时 v 8 上1个搜索者且四条邻边，此时不满足继续移动清理图的条件； c) 如果 λ 6 沿边 v 7 v 10 移动到 v 10 ，由于此时 v 10 上1个搜索者且四条邻边，此时不满足继续移动清理图的条件； i) 如果 λ 6 沿 v 7 v 6 移动到 v 6 (此时 v 6 有2个搜索者 λ 3 、 λ 6 ，可以移动其中1个；且只有一条邻边 v 6 v 10 未被清理)； ii) λ 3 沿 v 6 v 10 移动到 v 10 ； 此时清理情况： v 1 、 v 2 、 v 3 、 v 6 及其所有邻边已经被清理( v 6 上1个搜索者)； v 4 、 v 5 、 v 7 、 v 9 有两条邻边未被清理(各顶点上有1个搜索者)； v 8 有五条邻边未被清理(0个搜索者)； v 10 有三条邻边未被清理(1个搜索者)，此时不满足继续移动清理图的条件； Case 2：初始顶点的度数为4，不失一般性，我们选取顶点 v 1 作为初始顶点。 1) 放置 λ 1 、 λ 2 、 λ 3 、 λ 4 到 v 1 ；然后 λ 1 、 λ 2 、 λ 3 、 λ 4 从 v 1 分别沿邻边进行清理，到其四个邻点 v 2 、 v 3 、 v 4 、 v 5 ，此时这4个搜索者只能守卫而不能再移动； 2) 不失一般性，为了使清理继续下去，放置 λ 5 到顶点 v 2 ； 3) λ 5 沿环 v 2 v 3 v 4 v 5 v 2 清理回到 v 2 (此时 v 2 上上有2个搜索者 λ 1 、 λ 5 且有两条未被清理的边)； 4) v 2 上的 λ 1 、 λ 5 沿邻边 v 2 v 7 、 v 2 v 6 到移动 v 7 、 v 6 ； 此时清理情况： v 1 、 v 2 及其所有邻边已经被清理； v 3 、 v 4 、 v 5 有两条邻边未被清理(各点上1个搜索者)； v 6 、 v 7 有三条邻边未被清理(各点上1个搜索者)； v 8 、 v 9 、 v 10 及其所有邻边已经被清理； 显然此时这5个搜索者只能守卫而不能再移动； 5) 为了使清理继续下去，我们需要放置第6个搜索者 λ 6 到图中，根据放置顶点处，未被清理边的个数，可以分为以下3种情形： (A) 不失一般性，放置 λ 6 到 v 5 (此时 v 5 上有2个搜索者 λ 4 、 λ 6 )； a) λ 4 、 λ 6 移动到其邻点 v 7 、 v 8 (此时 v 7 上有2个搜索者 λ 1 、 λ 4 )； b) 移动 λ 4 到 v 10 ，此时 v 10 上只有1个搜索者，清理不能继续下去； c) 移动 λ 4 到 v 8 ，此时 v 8 上有2个搜索者 λ 4 、 λ 6 ，移动 λ 6 到其一个邻点 v 4 ，再移动 λ 6 到 v 4 一个邻点 v 9 ，此时 v 3 、 v 6 、 v 7 、 v 8 、 v 9 上有且只有1个搜索者且不止一条未被清理的邻边；显然此时这6个搜索者只能守卫而不能再移动，清理不能继续下去； (B) 放置 λ 6 到有四条邻边未被清理的顶点上；类上同证! (C) 放置 λ 6 到有五条邻边未被清理的顶点上；类上同证! 由上面分析可以得出：6个搜索者不足以成功清理图 C 16 ，即 f s ( C 16 ) > 6 。 其次需要证明 f s ( C 16 ) ≤ 7 。接着Case 1(a)的第2步结束后，只需要在 v 7 处放置1个搜索者 λ 7 ；然后 λ 7 移动到 v 8 ； v 7 上的 λ 6 沿着路径 v 7 v 6 v 10 v 9 v 8 v 4 v 3 v 5 v 8 v 10 移动到 v 10 ，即完成对图 C 16 的清理。 因此7个搜索者足以成功地清理图 C 16 ，即 f s ( C 16 ) = 7 (图4)。 引理8：对于正二十面体 C 20 ，有 f s ( C 20 ) = 9 。 证明：首先需要证明 f s ( C 20 ) > 8 。由于正二十面体的高度对称性，只需要证明一种情形，就足以概括其余，这是显然的。 1) 不失一般性，放置搜索者 λ 1 、 λ 2 、 λ 3 、 λ 4 、 λ 5 到顶点 v 1 ，然后 λ 1 、 λ 2 、 λ 3 、 λ 4 、 λ 5 分别沿着其邻边移动到 v 2 、 v 3 、 v 4 、 v 5 、 v 6 (此时显然不满足继续移动清理的条件)； 2) 分别放置 λ 6 、 λ 7 、 λ 8 到 v 2 、 v 3 、 v 4 上； 3) 移动 λ 1 、 λ 6 分别到 v 7 、 v 8 ，移动 λ 2 、 λ 7 分别到 v 8 、 v 9 ，移动 λ 3 、 λ 8 分别到 v 9 、 v 10 (此时 v 8 上有2个搜索者 λ 6 、 λ 2 ，三条未被清理的邻边； v 9 上有2个搜索者 λ 7 、 λ 8 ，三条未被清理的邻边)； 4) λ 6 、 λ 7 分别沿 v 8 v 12 、 v 9 v 12 移动到 v 12 ，然后 λ 6 分别沿 v 12 v 11 移动到 v 11 ； 此时未被清理的顶点上都有1个搜索者，并且这些顶点不止一条邻边未被清理，所以8个搜索者不足以成功地清理图 C 20 ，即 f s ( C 20 ) > 8 。 其次未被清理的边构成欧拉子图且其每个顶点上都有1个搜索者，那么我们只需要放置1个搜索者到该欧拉子图的任一顶点上，该搜索者沿着欧拉回路就可以完成对图 C 20 的清理。因此9个搜索者足以成功地清理图 C 20 ，即 f s ( C 20 ) ≤ 9 。综上得证： f s ( C 20 ) = 9 (图4)。 根据引理1~8我们得出如下推论： 推论1：对于凸三角多面体 C n ，有 f s ( C n ) = max { δ ( C n ) + 1 ， ⌊ δ ( C n ) + | V o d d ( C n ) | 2 ⌋ + 1 } 。