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user: 3. 模型建立和实证分析 3.1. Lasso回归模型建立 Lasso回归模型(Trevor Hastie et al. (2008) [ 16 ] ， P. 68)是目前比较流行的高维数据分析方法之一，它可以很好的克服多重共线性问题，并且还可以同时进行变量选择和参数估计，其参数估计方程如下： β lasso = arg min β { ∑ i = 1 N ( y i − β 0 − ∑ j = 1 p x i j β j ) 2 + λ ∑ j = 1 p | β j | } (1) 利用R语言中的glmnet包中的glmnet()函数，我们通过交叉验证选出Lasso回归的最佳 λ 值等于2.553376，如图1所示。 我们将样本的3/4作为训练样本，剩余的1/4样本作为测试样本。通过交叉验证选取最优的参数 λ = 2.553 ，此时我们可以获得Lasso回归的参数估计结果以及测试均方误差MSE和测试均方根误差RMSE如表5最后一列所示。我们将Lasso回归的结果与传统的最小二乘方法、向前逐步回归以及向后逐步回归方法的参数估计结果进行了对比，通过观察比较这些方法所获得的测试均方误差(MSE)和测试均方根误差(RMSE)我们发现，Lasso回归的测试MSE = 110.216，其RMSE = 10.498，这两个数值相比于最小二乘、向前逐步回归以及向后逐步回归所获得的MSE和RMSE要小得多，这说明Lasso回归在多重共线性非常严重时，除了是一种非常好的变量选择方法外，其所建立的方程预测效果相比于这三种方法更是具有得天独厚的优势。同样，我们还可以将Lasso回归结果和岭回归结果进行比对，通过交叉验证，我们选择最优岭回归参数 λ = 18.437 ，此时所获得的岭回归模型的测试均方误差MSE = 118.906，而RMSE = 10.904。这表明针对温州市1994~2015年的财政收入及其影响因素数据而言，Lasso回归的预测效果略胜于岭回归的预测效果。 由表5中最后一列结果，我们可以获得温州市财政收入(y)的Lasso回归方程如下： y ^ = − 32.644 + 0.315 x 1 + 0.002 x 4 + 0.092 x 7 + 0.054 x 9 (2) 由此，我们得到温州市财政收入的4个主要影响因素，它们分别是： x 1 ——在岗职工工资总额(亿元)， x 4 ——城镇居民人均消费性支出(元)， x 7 ——地区生产总值(亿元)， x 9 ——税收(亿元)。 3.2. 建立灰色系统模型GM (1， 1) (详细介绍可参考刘思峰等人(2014) [ 17 ] ) 我们拟通过GM (1， 1)模型预测四个关键性因素2016~2018年的值。 灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测。尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此得到的数据集合具备潜在的规律。灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。目前使用最广泛的灰色预测模型就是关于数列预测的一个变量、一阶微分的GM (1， 1)模型。它是基于随机的原始时间序列，经按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近。经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间序列呈指数变化规律。因此，当原始时间序列隐含着指数变化规律时，灰色模型GM (1， 1)的预测是非常成功的。 图1. 交叉验证 Table 5 Parameter estimation and error estimation results of five different method 最小二乘 岭回 λ = 18.437 向前逐步 向后逐步 Lasso回归 λ = 2.553 Intercept −137.765 −266.701 34.198 34.198 −32.644 x 1 −0.017 0.184 0.315 x 2 0.091 0.038 0.083 0.083 x 3 −0.021 0.002 x 4 0.004 0.003 0.002 0.002 0.002 x 5 0.309 0.281 x 6 0.016 0.030 x 7 0.137 0.022 0.151 0.151 0.092 x 8 −2.358 0.394 −2.480 −2.480 x 9 0.055 0.206 0.054 x 10 −76.335 27.305 MSE 570.016 118.906 554.354 554.354 110.216 RMSE 23.875 10.904 23.545 23.545 10.498 表5. 五种不同方法的参数估计以及误差估计结果 为方便理解起见，我们对GM (1， 1)先做个简短的介绍。令 X ( 0 ) 为GM (1， 1)建模序列， X ( 0 ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) ， x ( 0 ) ( 2 ) ， ⋯ ， x ( 0 ) (n) ) X ( 1 ) 为 X ( 0 ) 的1-AGO序列， X ( 1 ) = ( x ( 1 ) ( 1 ) ， x ( 1 ) ( 2 ) ， ⋯ ， x ( 1 ) ( n ) ) ， x ( 1 ) ( k ) = ∑ i = 1 k x ( 0 ) ( i ) ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 令 Z ( 1 ) 为 X ( 1 ) 的紧邻均值(MEAN)生成序列 Z ( 1 ) = ( z ( 1 ) ( 2 ) ， z ( 1 ) ( 3 ) ， ⋯ ， z ( 1 ) ( n ) ) ， z ( 1 ) ( k ) = 0.5 x ( 1 ) ( k ) + 0.5 x ( 1 ) ( k − 1 ) 则GM (1， 1)的灰微分方程模型为 x ( 0 ) ( k ) + a z ( 1 ) ( k ) = b (3) 式中 a 称为发展系数， b 为灰色作用量。设 α ^ 为待估参数向量，即 α ^ = ( a ， b ) T ，则灰微分方程(3)的最小二乘估计参数列满足 α ^ = ( B T B ) − 1 B T Y n 其中 B = [ − z ( 1 ) ( 2 ) 1 − z ( 1 ) ( 3 ) 1 ⋮ ⋮ − z ( 1 ) ( n ) 1 ] ， Y n = [ x ( 0 ) ( 2 ) x ( 0 ) ( 3 ) ⋮ x ( 0 ) ( n ) ] 称 d x ( 1 ) d t + a x ( 1 ) = b (4) 为灰色微分方程 x ( 0 ) ( k ) + a z ( 1 ) ( k ) = b 的白化方程，也叫影子方程。 如上所述，则有 a)白化方程 d x ( 1 ) d t + a x ( 1 ) = b 的解也称时间响应函数为 x ^ ( 1 ) ( t ) = ( x ( 1 ) ( 0 ) − b a ) e − a t + b a b) GM (1， 1)灰色微分方程 x ( 0 ) ( k ) + a z ( 1 ) ( k ) = b 的时间响应序列为 x ^ ( 1 ) ( k + 1 ) = [ x ( 1 ) ( 0 ) − b a ] e − a k + b a ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n C) 取 x ( 1 ) ( 0 ) = x ( 0 ) ( 1 ) ，则 x ^ ( 1 ) ( k + 1 ) = [ x ( 0 ) ( 1 ) − b a ] e − a k + b a ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n d) 还原值 x ^ ( 0 ) ( k + 1 ) = x ^ ( 1 ) ( k + 1 ) − x ^ ( 1 ) (k) 上式即为预测方程。 下面我们建立灰色系统模型GM (1， 1)，通过R语言编程，计算在岗职工工资总额x 1 、城镇居民人均消费性支出x 4 、地区生产总值x 7 、税收x 9 等因素的2016~2018年的预测值，并对其预测精度给予评级，结果如表6。 表6的结果显示，我们通过灰色系统模型GM (1， 1)得到近三年2016~2018年度在岗职工工资总额x 1 、城镇居民人均消费性支出x 4 、地区生产总值x 7 和税收x 9 等4个关键因素的预测值，同时由于它们后验差比值检验C值均小于0.35，故而我们给予这些因素预测精度评估等级为好。 3.3. 温州财政收入神经网络预测模型 BP神经网络是一种按误差逆传播算法训练的多层前馈网络，能实现任何复杂非线性映射。本文我们综合考虑温州市预测财政收入的各种因素的影响，以便反映各种因素的综合效应。我们将结合Lasso变量选择的结果以及四个关键性影响因素在岗职工工资总额x 1 、城镇居民人均消费性支出x 4 、地区生产总值x 7 和税收x 9 的2016~2018年的预测值，训练合适的BP神经网络模型，我们拟在充分考虑各个关键因素的历史信息的综合效应后得到温州市财政收入2016~2018年的预测值。我们将BP神经网络的参数设置如下：误差精度设为 10 − 7 ，学习次数为10，000次，神经元个数为Lasso变量选择的变量个数4个。通过R语言编程，我们可以获得温州市财政收入2016~2018年的预测值分别为763.05646亿，769.90083亿，769.52872亿元。从图2我们可以看出，BP神经网络在预测温州市财政收入时具有非常好的效果，其真实值曲线和预测值曲线几乎重合。