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user: 6. 格林函数在常微分方程中的应用 在上一节中，我们讨论了格林函数在偏微分方程中的作用，本节将继续讨论格林函数在常微分方程中的应用。 6.1. 预备知识 δ 函数是由物理学家狄拉克首先引进的。在数学上，可以把 δ 函数看成广义函数。传统意义上， δ 函数的定义 [ 17 ] 是 δ ( x ) = { 0 ， x ≠ 0 ∞ ， x = 0 且 ∫ − ∞ + ∞ δ ( x ) d x = 1 . δ 函数一般具有下列性质 [ 18 ] ： 1) ∫ x 1 x 2 f ( x ) δ ( x ) d x = { f ( 0 ) ， x 1 < 0 < x 2 0 ， 0 ∉ ( x 1 ， x 2 ) 2) ∫ - ∞ + ∞ f ( x ) δ ( x − a ) = f (a) 3) δ ( − x ) = δ (x) 在求解非齐次的常微分方程初值问题时，除了常用的“常数便易法”，我们还可以考虑用格林函数法求解。格林函数在常微分方程中的应用始于1894年 [ 19 ] ，注意到格林函数用于解决二维和三维泊松公式，H. Burkhardt [ 20 ] (1861~1914)想知道格林函数能否用来解决如下问题 d 2 y d x 2 = f ( x ) ， a < x < b 他证明了这个问题的解可以写为 y ( x ) = − ∫ a x ( b − x ) ( ξ − a ) b − a f ( ξ ) d ξ − ∫ x b ( b − ξ ) ( x − a ) b − a f ( ξ ) d ξ 他更简略地把解表示为 物理上，非齐次项 f ( x ) 表明外界的扰动，而格林函数与非齐次项无关，只要求出格林函数，可以代入同一个积分 y = ∫ a b G ( x ， ξ ) f ( ξ ) d ξ 。我们注意到非齐次项 可以利用 δ 函数来表示 f ( x ) = ∫ f ( ξ ) δ ( x − ξ ) d ξ 下面，我们讲具体讨论如何求出对应的格林函数。 6.2. 一阶非齐次常微分方程 考虑如下的一阶线性非齐次方程 L [ y ] ≡ y ′ + p ( x ) y = f ( x ) ， x > a (16) 初始条件为 B [ y ] ≡ y ( a ) = 0 格林函数 G ( x ， ξ ) 被定义 [ 21 ] 为 { L [ G ( x ， ξ ) ] = δ ( x − ξ ) G ( a ， ξ ) = 0 的解。 非齐次方程(16)的解可以用含有格林函数的积分来表示。 为了证明 y ( x ) = ∫ a ∞ G ( x ， ξ ) f ( ξ ) d ξ 是方程的解，我们将线性算子应用于积分(假定积分是一致收敛的)。 L [ ∫ a ∞ G ( x ， ξ ) f ( ξ ) d ξ ] = ∫ a ∞ L [ G ( x ， ξ ) ] f ( ξ ) d ξ = ∫ a ∞ δ ( x − ξ ) f ( ξ ) d ξ = f (x) 积分仍然满足初始条件 B [ ∫ a ∞ G ( x ， ξ ) f ( ξ ) d ξ ] = ∫ a ∞ B [ G ( x ， ξ ) ] f ( ξ ) d ξ = ∫ a ∞ 0 ⋅ f ( ξ ) d ξ = 0 现在，我们考虑格林函数的定性行为。当 x ≠ ξ 时，格林函数仅是微分方程的一个齐次解，而 x = ξ 时，我们能得到一些奇解。 有一个狄拉克 δ 函数型的奇点，这表明 G ( x ， ξ ) 在 x = ξ 处有一个跳跃间断点，在区间 ( ξ − ， ξ + ) 上对微分方程进行积分来确定这个跳跃点。 G ′ + p ( x ) G = δ ( x − ξ ) ， G ( ξ + ， ξ ) − G ( ξ − ， ξ ) + ∫ ξ − ξ + p ( x ) G ( x ， ξ ) d x = 1 ， G ( ξ + ， ξ ) − G ( ξ − ， ξ ) = 1 (17) 微分方程的齐次解为 因为格林公式满足 x ≠ ξ 时的齐次解，所以 x > ξ 和 x < ξ 时，它是这个齐次解的常数倍。 G ( x ， ξ ) = { c 1 e − ∫ p ( x ) d x ， a < x < ξ c 2 e − ∫ p ( x ) d x ， x > ξ 为了满足齐次初始条件 G ( a ， ξ ) = 0 ，则 G ( x ， ξ ) = { 0 ， a < x < ξ c e − ∫ p ( x ) d x ， ξ < x 跳跃条件(方程(17))给出了约束条件 G ( ξ + ， ξ ) = 1 ，这决定了 x > ξ 时齐次解的常数。则 G ( x ， ξ ) = { 0 ， a < x < ξ e − ∫ p ( x ) d x ， x > ξ 我们可以用赫维赛德函数 来表示格林函数 G ( x ， ξ ) = e − ∫ ξ x p ( t ) d t H ( x − ξ ) 6.3. 二阶非齐次常微分方程 考虑二阶非齐次方程 { L [ y ] = y ″ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f ( x ) ， x ∈ ( a ， b ) y ( a ) = y ( b ) = 0 格林函数 被定义为 { L [ G ( x ， ξ ) ] = δ ( x − ξ ) G ( a ， ξ ) = G ( b ， ξ ) = 0 (18) 的解。 为了证明 y ( x ) = ∫ a b G ( x ， ξ ) f ( ξ ) d ξ 为方程(18)的解，我们将线性算子应用于积分(假定积分是一致收敛的)。 L [ ∫ a b G ( x ， ξ ) f ( ξ ) d ξ ] = ∫ a b L [ G ( x ， ξ ) ] f ( ξ ) d ξ = ∫ a b δ ( x − ξ ) f ( ξ ) d ξ = f (x) 此积分仍然满足边界条件 B i [ ∫ a ∞ G ( x ， ξ ) f ( ξ ) d ξ ] = ∫ a ∞ B i [ G ( x ， ξ ) ] f ( ξ ) d ξ = ∫ a b 0 ⋅ f ( ξ ) d ξ = 0 利用格林函数求解常微分方程的优点之一是只需要找到线性算子和特定的齐次边界条件的格林函数 L [ G ] = δ ( x − ξ ) ， B 1 [ G ] = B 2 [ G ] = 0 对任何非齐次问题都可以表示解 L [ f ] = f ( x ) ， B 1 [ y ] = B 2 [ y ] = 0 不需要额外的其他步骤来求一个非齐次微分方程的解。 二阶微分方程的格林函数有什么性质？它会有一个 δ 函数型的奇点吗？它会是连续的吗？回答这些问题，我们将首先研究 的积分和微分的性质。 对 δ ( x ) 进行积分得到赫维赛德函数 H ( x ) = ∫ − ∞ x δ ( t ) d t = { 0 ， x < 0 1 ， x > 0 对赫维赛德函数 H ( x ) 进行积分，得到斜坡函数 r (x) r ( x ) = ∫ − ∞ x H ( t ) d t = { 0 ， x < 0 x ， x > 0 当 x ≠ 0 时， δ ( x ) 的导数为0；在 x = 0 处，它的导数从0上升到 + ∞ ，下降到 − ∞ 然后回到0。 我们写出格林函数的微分方程 G ″ ( x ， ξ ) + p ( x ) G ′ ( x ， ξ ) + q ( x ) G ( x ， ξ ) = δ ( x − ξ ) 我们发现只有 G ″ ( x ， ξ ) 可以有一个 δ 函数型的奇点.如果其他项具有 δ 函数型的奇点，那么 G ″ ( x ， ξ ) 将比 δ 函数更奇异，并且在方程的右侧将不存在匹配这种奇异性的任何项。类似于从 δ 函数到赫维赛德函数到斜坡函数的过程，我们看到 G ′ ( x ， ξ ) 有一个跳跃间断点， 是连续的。 设 y 1 ， y 2 是齐次微分方程 L [ y ] = 0 的两个线性无关解。当 x ≠ ξ 时，格林函数满足齐次微分方程，因此它是齐次解的线性组合。 G ( x ， ξ ) = { c 1 y 1 + c 2 y 2 ， x < ξ d 1 y 1 + d 2 y 2 ， x > ξ 我们要求 G ( x ， ξ ) 是连续的 我们可以用齐次解来表示 对 L [ G ( x ， ξ ) ] = δ ( x − ξ ) 在 ( ξ − ， ξ + ) 上积分，得 ∫ ξ − ξ + [ G ″ ( x ， ξ ) + p ( x ) G ′ ( x ， ξ ) + q ( x ) G ( x ， ξ ) ] d x = ∫ ξ − ξ + δ ( x − ξ ) d x 因为 G ( x ， ξ ) 是连续的， G ′ ( x ， ξ ) 有一个跳跃间断点，所以 ∫ ξ − ξ + p ( x ) G ′ ( x ， ξ ) d x = 0 ， ∫ ξ − ξ + q ( x ) G ( x ， ξ ) d x = 0 ， ∫ ξ − ξ + G ″ ( x ， ξ ) d x = ∫ ξ − ξ + δ ( x − ξ ) d x ， ⇒ G ′ ( x ， ξ ) | ξ − ξ + = [ H ( x − ξ ) ] | ξ − ξ + ， ⇒ G ′ ( ξ + ， ξ ) − G ′ ( ξ − ， ξ ) = 1. 我们用齐次解来表示这个跳跃条件 d 1 y ′ 1 ( ξ ) + d 2 y ′ 2 ( ξ ) − c 1 y ′ 1 ( ξ ) − c 2 y ′ 2 ( ξ ) = 1 结合这两个边界条件，共有四个方程来确定四个常数 c 1 ， c 2 ， d 1 ， d 2 的值。 6.4. 斯特姆-刘维尔问题 一般的二阶线性方程总可以化成如下这种形式： L [ y ] = d d x [ p ( x ) d y d x ] + q ( x ) y = f ( x ) (19) 边界条件 { B 1 [ y ] = α 1 y ( a ) + α 2 y ′ ( a ) = 0 B 2 [ y ] = β 1 y ( b ) + β 2 y ′ ( b ) = 0 。 这就是斯特姆-刘维尔问题。要求格林函数，应当使格林函数满足如下条件： L [ G ( x ， ξ ) ] = δ ( x − ξ ) ， B 1 [ G ( x ， ξ ) ] = B 2 [ G ( x ， ξ ) ] = 0 设 y 1 ， y 2 是方程(19)对应的齐次方程的两个非零解(分别满足左、右边值条件)，即 { L [ y 1 ] = 0 B 1 [ y 1 ] = 0 ， { L [ y 2 ] = 0 B 2 [ y 2 ] = 0 当 x ≠ ξ 时，格林函数满足的微分方程退化为齐次方程，因此可以改写如下形式 G ( x ， ξ ) = { c 1 ( ξ ) y 1 ( x ) ， a ≤ x ≤ ξ c 2 ( ξ ) y 2 ( x ) ， ξ ≤ x ≤ b 这里， c 1 ， c 2 是关于 ξ 的未知函数，由连续性条件 G ( ξ − ， ξ ) = G ( ξ + ， ξ ) c 1 ( ξ ) y 1 ( ξ ) = c 2 ( ξ ) y 2 (ξ) 将非齐次方程写成标准形式 G ″ ( x ， ξ ) + p ′ p G ′ ( x ， ξ ) + q p G ( x ， ξ ) = δ ( x − ξ ) p 由跳跃条件， G ′ ( ξ + ， ξ ) − G ′ ( ξ − ， ξ ) = 1 p ( ξ ) ， c 2 ( ξ ) y ′ 2 ( ξ ) − c 1 ( ξ ) y ′ 1 ( ξ ) = 1 p ( ξ ) ， 得到可以求出 c 1 ， c 2 的方程组 { c 1 ( ξ ) y 1 ( ξ ) − c 2 ( ξ ) y 2 ( ξ ) = 0 c 1 ( ξ ) y ′ 1 ( ξ ) − c 2 ( ξ ) y ′ 2 ( ξ ) = − 1 p (ξ) 用克拉默法则求解方程组，得 c 1 ( ξ ) = − y 2 ( ξ ) p ( ξ ) ( − W ( ξ ) ) ， c 2 ( ξ ) = − y 1 ( ξ ) p ( ξ ) ( − W (ξ)) 这里， W ( x ) 是 y 1 ( x ) 和 y 2 ( x ) 的伏朗斯基行列式。因此，格林函数为 G ( x ， ξ ) = { y 1 ( x ) y 2 ( ξ ) p ( ξ ) W ( ξ ) ， a ≤ x ≤ ξ y 2 ( x ) y 1 ( ξ ) p ( ξ ) W ( ξ ) ， ξ ≤ x ≤ b 6.5. 初值问题 考虑 { L [ y ] = y ″ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f ( x ) ， x ∈ ( a ， b ) y ( a ) = y 1 ， y ′ ( a ) = y 2 由于非齐次的线性微分方程初值问题满足叠加原理，不妨设解 ，这里 u ″ + p ( x ) u ′ + q ( x ) u = f ( x ) ， u ( a ) = 0 ， u ′ ( a ) = 0 u ″ + p ( x ) u ′ + q ( x ) u = 0 ， u ( a ) = γ 1 ， u ′ ( a ) = γ 2 因为伏朗斯基行列式 W ( x ) = c exp ( − ∫ p ( x ) d x ) 非零，所以v的微分方程的解是线性无关的，因此存在满足初值条件的v的唯一解。 关于u，格林函数满足 [ 22 ] { G ″ ( x ， ξ ) + p ( x ) G ′ ( x ， ξ ) + q ( x ) G ( x ， ξ ) = δ ( x − ζ ) G ( a ， ξ ) = 0 ， G ′ ( a ， ξ ) = 0 连续条件和跳跃条件为 G ( ξ − ， ξ ) = G ( ξ + ， ξ ) ， G ′ ( ξ − ， ξ ) + 1 = G ′ ( ξ + ， ξ ) 设 u 1 ， u 2 为微分方程的两个线性无关解，当 x < ξ 时， G ( x ， ξ ) 是这些解的线性组合，因为伏朗斯基行列式非零，故只有平凡解满足齐次初值条件，格林函数为 G ( x ， ξ ) = { 0 ， x < ξ u ξ ( x ) ， x > ξ 这里 u ξ ( x ) 是 u 1 ， u 2 的线性组合，且满足 u ξ ( ξ ) = 0 ， u ′ ξ ( ξ ) = 1 注意到伏朗斯基行列式非零，因此确定了 u ξ ( x ) 的唯一解。我们可以将格林函数写成如下形式 G ( x ， ξ ) = H ( x − ξ ) u ξ (x) 故关于u的方程的解可表示为 u = ∫ a b G ( x ， ξ ) f ( ξ ) d ξ = ∫ a b H ( x − ξ ) u ξ ( x ) f ( ξ ) d ξ = ∫ a x u ξ ( x ) f ( ξ ) d ξ 故 y = v + ∫ a x u ξ ( x ) f ( ξ ) d ξ 6.6. 混合边值问题 考虑 给定初边值条件 { B 1 [ y ] = α 11 y ( a ) + α 12 y ′ ( a ) + β 11 y ( b ) + β 12 y ′ ( b ) = γ 1 B 2 [ y ] = α 21 y ( a ) + α 22 y ′ ( a ) + β 21 y ( b ) + β 22 y ′ ( b ) = γ 2 由叠加原理，不妨设通解 y = u + v ，这里u和v分别满足 u ″ + p ( x ) u ′ + q ( x ) u = f ( x ) ， B 1 [ u ] = B 2 [ u ] = 0 ， v ″ + p ( x ) v ′ + q ( x ) v = 0 ， B 1 [ v ] = y 1 ， B 2 [ v ] = y 2 ， 其中，v的问题可能无解，有唯一解或有无穷多解。我们仅考虑v有唯一解的情况。在这种情况下，齐次方程的齐次边界问题只有平凡解 [ 23 ] 。 设 y 1 和 y 2 是满足齐次边界条件 B 1 [ y 1 ] = 0 和 B 2 [ y 2 ] = 0 的齐次常微分方程的解，又因为完全齐次问题无解，则 B 1 [ y 2 ] 和 B 2 [ y 1 ] 非零。解v有如下形式 v = c 1 y 1 + c 2 y 2 应用两个边界条件，得 v = γ 2 B 2 [ y 1 ] y 1 + γ 1 B 1 [ y 2 ] y 2 关于u的方程，格林函数满足 G ″ ( x ， ξ ) + p ( x ) G ′ ( x ， ξ ) + q ( x ) G ( x ， ξ ) = δ ( x − ξ ) ， B 1 [ G ] = B 2 [ G ] = 0 连续条件和跳跃条件分别是 G ( ξ − ， ξ ) = G ( ξ + ， ξ ) ， G ′ ( ξ − ， ξ ) + 1 = G ′ ( ξ + ， ξ ) 格林函数则可以写成 G ( x ， ξ ) = H ( x − ξ ) y ξ ( x ) + c 1 y 1 ( x ) + c 2 y 2 (x) 这种形式下，则跳跃条件和连续条件已经满足，应用边界条件，得 B 1 [ G ] = B 1 [ H ( x − ξ ) y ξ ] + c 2 B 1 [ y 2 ] = 0 ， B 2 [ G ] = B 2 [ H ( x − ξ ) y ξ ] + c 1 B 2 [ y 1 ] = 0 ， G ( x ， ξ ) = H ( x − ξ ) y ξ ( x ) − β 21 y ξ ( b ) + β 22 y ′ ξ ( b ) B 2 [ y 1 ] y 1 ( x ) − β 11 y ξ ( b ) + β 12 y ′ ξ ( b ) B 1 [ y 2 ] y 2 (x) 由于 B 1 [ y 2 ] 和 B 2 [ y 1 ] 非零，定义的格林函数有意义。 u = ∫ a b G ( x ， ξ ) f ( ξ ) d ξ 故y的通解为 y = ∫ a b G ( x ， ξ ) f ( ξ ) d ξ + γ 2 B 2 [ y 1 ] y 1 + γ 1 B 1 [ y 2 ] y 2 6.7. 高阶非齐次常微分方程 考虑n阶微分方程 L [ y ] = y ( n ) + p n − 1 ( x ) y ( n − 1 ) + ⋯ + p 1 ( x ) y ′ + p 0 y = f (x) 满足边界条件 B j [ y ] = y j 这里 B [ y ] = ∑ k = 0 n − 1 α k y ( k ) ( a ) + ∑ k = 0 n − 1 β k y ( k ) (b) 假定微分方程的系数函数在 ( a ， b ) 上连续。通解 y = u + v ，这里u和v分别满足 L [ u ] = f ( x ) ， B j [ u ] = 0 ， L [ v ] = 0 ， B j [ v ] = y j . 下面我们将用格林函数来表示这个解。 首先我们考虑关于v的齐次常微分方程初值问题。设 { y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n } 是一组线性无关的解的集合，则 v = c 1 y 1 + c 2 y 2 + ⋯ + c n y n ，这里常数由下面的矩阵方程决定 ( B 1 [ y 1 ] B 1 [ y 2 ] ⋯ B 1 [ y n ] B 2 [ y 1 ] B 2 [ y 2 ] ⋯ B 2 [ y n ] ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ B n [ y 1 ] B n [ y 2 ] ⋯ B n [ y n ] ) ( c 1 c 2 ⋮ c n ) = ( y 1 y 2 ⋮ y n ) 为了求解关于u的问题，我们考虑满足下列等式的格林函数 { L [ G ( x ， ξ ) ] = δ ( x − ξ ) B j [ G ] = 0 让 y ξ ( x ) 是满足下列条件的齐次解的组合： y ξ ( ξ ) = 0 ， y ′ ξ ( ξ ) = 0 ，             ⋮ y ξ ( n − 2 ) ( ξ ) = 0 ， y ξ ( n − 1 ) ( ξ ) = 1 ， 因此解为 y c ( x ) = H ( x − ξ ) y ξ (x) 格林函数形式为 G ( x ， ξ ) = H ( x − ξ ) y ξ ( x ) + d 1 y 1 ( x ) + ⋯ + d n y n (x) 常数被如下的矩阵方程所决定 ( B 1 [ y 1 ] B 1 [ y 2 ] ⋯ B 1 [ y n ] B 2 [ y 1 ] B 2 [ y 2 ] ⋯ B 2 [ y n ] ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ B n [ y 1 ] B n [ y 2 ] ⋯ B n [ y n ] ) ( d 1 d 2 ⋮ d n ) = ( − B 1 [ H ( x − ξ ) y ξ ( x ) ] − B 2 [ H ( x − ξ ) y ξ ( x ) ] ⋮ − B n [ H ( x − ξ ) y ξ ( x ) ] ) 故 u = ∫ a b G ( x ， ξ ) f ( ξ ) d ξ