DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 2. 范德蒙德行列式的定义 定义1 [ 4 ] 形如 D n = | 1 1 1 ⋯ 1 a 1 a 2 a 3 ⋯ a n a 1 2 a 2 2 a 3 2 ⋯ a n 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a 1 n − 1 a 2 n − 1 a 3 n − 1 ⋯ a n n − 1 | 的 n 阶行列式称为范德蒙行列式。 若 D n 为 n 阶范德蒙德行列式 ( n ≥ 2 ) 则有 D n = ∏ 1 ≤ i ≤ j ≤ n ( a i − a j ) ，这里 ∏ 1 ≤ i ≤ j ≤ n ( a i − a j ) 表示所有同类因子 ( a i − a j ) (其中 i > j )的乘积： ∏ 1 ≤ j ≤ i ≤ n ( a i − a j ) = ( a n − a n − 1 ) ( a n − a n − 2 ) ⋯ ( a n − a 1 ) ( a n − 1 − a n − 2 ) ( a n − 1 − a n − 3 ) ⋯ ( a n − 1 − a 1 ) ⋯ ( a 3 − a 2 ) ( a 3 − a 1 ) ( a 2 − a 1 )
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user: 4. 结论 范德蒙德行列式构造独特，应用性强，在高等代数解题中具有独特的优势，只要我们能够熟练地运用范德蒙德行列式的各种形式以及构造范德蒙德行列式的各种技巧，就可以将高等代数中的部分题目转化成范德蒙德行列式来进行求解，这样便可以将复杂的问题变得简单化，同时也可以使自己的解题过程变得更为美观清晰。为了更直观地了解范德蒙德行列式规律以及运用方法，我们要在解题中学会总结归纳。
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user: 摘要 本文给出了一道1975年苏联大学生数学竞赛极限问题的七种不同解法，使读者从处理极限的多个不同角度出发去解决问题，一方面熟悉关于极限的多个知识点，达到融会贯通；另一方面能拓宽解题思路，培养和提高从多个角度解决实际问题的能力，达到举一反三。对于培养学生学习高等数学的兴趣和参加国内大学生数学竞赛也有很好的促进作用。
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user: 1. 引言 2009年，第一届全国大学生数学竞赛[The Chinese Mathematics Competitions (简称CMC)]开始举办。作为一项面向本科生的全国性高水平学科竞赛，CMC为青年学子提供了一个展示数学基本功和数学思维的舞台，为发现和选拔优秀数学人才并进一步促进高等学校数学课程建设的改革和发展积累了调研素材。由中国数学会承办，也是全国高中数学竞赛在大学里的良好接力。竞赛从第一届到现在，已经举办了12届(2021年10月份将举办第十三届全国大学生数学竞赛)，当前全国大学生数学竞赛已成为影响力很大的一项大学生学科竞赛(2020年参赛人数为20万)。笔者已经从事竞赛辅导培训工作八年，每年均获得山东省优秀指导教师称号，下面从1975年苏联的一道大学生数学竞赛题目的7种不同解法出发，来谈一下自己对于处理竞赛类题目的方法和体会。
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user: 摘要 沃利斯公式(Wallis Formula)是微积分中的一个重要的公式，是圆周率π的有理数极限表达式，其证明方法较多，一般都是利用积分 ∫ 0 π 2 s i n n x d x = ∫ 0 π 2 c o s n x d x 证明的。本文利用B函数以及B函数与Γ函数之间的关系，给出了沃利斯公式的两种新的证明方法。
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user: 1. 引言 沃利斯公式(Wallis formula)是圆周率π的有理数极限表达式，它是第一个用容易计算的有理数列的极限表示无理数 π / 2 (实质上是超越数)的重要公式，在理论上有重大意义。这个公式最早由英国数学家沃利斯(J. Wallis)得到，并发表于1655年。
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user: 2. 基础知识 微积分学中给出的沃利斯公式如下： 沃利斯公式 形如 π 2 = lim n → ∞ [ ( 2 n ) ! ! ( 2 n − 1 ) ! ! ] 2 1 2 n + 1 的公式称为沃利斯公式。 B函数 对任意实数 P ， Q > 0 ，都有 B ( P ， Q ) = ∫ 0 1 x P − 1 ( 1 − x ) Q − 1 d x ， 则称该公式为B函数，或贝塔函数，Beta函数，第一欧拉积分。 B函数 B ( P ， Q ) = ∫ 0 1 x P − 1 ( 1 − x ) Q − 1 d x ，当 0 < P < 1 且 Q > 1 时，是以 x = 0 为瑕点的瑕积分；当 0 < Q < 1 且 P > 1 时，是以 x = 1 为瑕点的瑕积分；当 0 < P < 1 且 0 < Q < 1 时，是以 x = 0 和 x = 1 均为瑕点的瑕积分；当 P > 1 且 Q > 1 时，是定积分。应用柯西判别法可证得当 P > 0 ， Q > 0 时， B ( P ， Q ) = ∫ 0 1 x P − 1 ( 1 − x ) Q − 1 d x 均收敛。 B函数具有很多重要的性质，现给出下文要用到的递推公式，即 B ( P ， Q ) = Q − 1 P + Q − 1 B ( P ， Q − 1 ) ， ( P > 0 ， Q > 1 ) ， 和 B ( P ， Q ) = P − 1 P + Q − 1 B ( P − 1 ， Q ) ， ( P > 1 ， Q > 0 ) . 在B函数的表达式中，若令 x = cos 2 φ ，则得到B函数的三角函数积分形式： B ( P ， Q ) = 2 ∫ 0 π 2 cos 2 P − 1 φ sin 2 Q − 1 φ d φ . Γ函数 在实数域上的Γ函数定义为 [ 1 ] Γ ( s ) = ∫ 0 + ∞ e − x x s − 1 d x   ( s > 0 ) . 也称为欧拉第二积分。 Γ函数具有很多重要的性质，现给出下文要用到的递推公式，即 Γ ( s + 1 ) = s Γ ( s )   ( s > 0 ) . 由递推公式可得，对任何正整数n，有 Γ ( n + 1 ) = n ! . B函数和Γ函数在分析学、概率统计、偏微分方程和组合数学等其他应用学科中有着重要的应用。两者之间存在着如下的关系： B ( P ， Q ) = Γ ( P ) Γ ( Q ) Γ ( P + Q ) .
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user: 3. 应用B函数证明沃利斯公式 引理 ∫ 0 1 x n 1 − x 2 d x = 1 2 B ( n + 1 2 ， 3 2 ) ， ( n ∈ N + ) 。 证明 在B函数的表达式 B ( P ， Q ) = ∫ 0 1 x P − 1 ( 1 − x ) Q − 1 d x 中，作变量替换 x = t 2 ，则 B ( P ， Q ) = ∫ 0 1 x P − 1 ( 1 − x ) Q − 1 d x = ∫ 0 1 t 2 P − 2 ( 1 − t 2 ) Q − 1 ⋅ 2 t d t = 2 ∫ 0 1 t 2 P − 1 ( 1 − t 2 ) Q − 1 d t ， 将 P = n + 1 2 ， Q = 3 2 代入上式，得 B ( n + 1 2 ， 3 2 ) = 2 ∫ 0 1 t n 1 − t 2 d t ， 引理得证。 设 I n = ∫ 0 1 x n 1 − x 2 d x ， n ∈ N + ，由引理知， I n = ∫ 0 1 x n 1 − x 2 d x = 1 2 B ( n + 1 2 ， 3 2 ) ， I n − 2 = ∫ 0 1 x n − 2 1 − x 2 d x = 1 2 B ( n − 1 2 ， 3 2 ) 由B函数的递推公式 B ( P ， Q ) = P − 1 P + Q − 1 B ( P − 1 ， Q ) ， ( P > 1 ， Q > 0 ) ，有 B ( n + 1 2 ， 3 2 ) = n + 1 2 − 1 n + 1 2 + 3 2 − 1 B ( n + 1 2 − 1 ， 3 2 ) = n − 1 n + 2 B ( n − 1 2 ， 3 2 ) ， 从而 I n = ∫ 0 1 x n 1 − x 2 d x = 1 2 B ( n + 1 2 ， 3 2 ) = 1 2 n − 1 n + 2 B ( n − 1 2 ， 3 2 ) = n − 1 n + 2 I n − 2 . 得到积分数列 I n 的递推公式。 由积分数列 I n 的递推公式 I n = n − 1 n + 2 I n − 2 可得 I n = n − 1 n + 2 ⋅ n − 3 n I n − 4 = n − 1 n + 2 ⋅ n − 3 n ⋅ n − 5 n − 2 I n − 6 = ⋯ = { n − 1 n + 2 ⋅ n − 3 n ⋅ n − 5 n − 2 ⋅ ⋯ ⋅ 1 4 ⋅ I 0 ，   n 为 偶 数 n − 1 n + 2 ⋅ n − 3 n ⋅ n − 5 n − 2 ⋅ ⋯ ⋅ 2 5 ⋅ I 1 ，   n 为 奇 数 ， 又 I 0 = ∫ 0 1 1 − x 2 d x = π 4 ， I 1 = ∫ 0 1 x 1 − x 2 d x = 1 3 。因此 I n = { n − 1 n + 2 ⋅ n − 3 n ⋅ n − 5 n − 2 ⋅ ⋯ ⋅ 1 4 ⋅ π 4 ，   n 为 偶 数 n − 1 n + 2 ⋅ n − 3 n ⋅ n − 5 n − 2 ⋅ ⋯ ⋅ 2 5 ⋅ 1 3 ，   n 为 奇 数 . 即 当 n = 2 m ( m ∈ N + ) 时， I 2 m = 2 m − 1 2 m + 2 ⋅ 2 m − 3 2 m ⋅ 2 m − 5 2 m − 2 ⋅ ⋯ ⋅ 1 4 ⋅ 1 2 ⋅ π 2 = π 2 ⋅ ( 2 m − 1 ) ! ! ( 2 m + 2 ) ! ! ； 当 n = 2 m − 1 ( m ∈ N + ) 时， I 2 m − 1 = 2 m − 2 2 m + 1 ⋅ 2 m − 4 2 m − 1 ⋅ 2 m − 6 2 m − 3 ⋅ ⋯ ⋅ 2 5 ⋅ 1 3 = ( 2 m − 2 ) ! ! ( 2 m + 1 ) ! ! 。 定理 对数列 I n = ∫ 0 1 x n 1 − x 2 d x ， n ∈ N + ，有 lim n → ∞ I n − 1 I n = 1 。 证明 用单调有界准则证明数列 { I n } 的收敛性。因为 I n = ∫ 0 1 x n 1 − x 2 d x < ∫ 0 1 x n − 1 1 − x 2 d x = I n − 1 ， 故数列 { I n } 单调递减。又有 x ∈ ( 0 ， 1 ) 时， x n 1 − x 2 > 0 ，故 I n = ∫ 0 1 x n 1 − x 2 d x > 0 . 即数列 { I n } 有下界。 综上，数列 { I n } 单调递减且有下界。由单调有界准则，数列 { I n } 收敛。 又由数列 { I n } 收敛，所以 lim n → ∞ I n − 1 I n = 1 。 定理得证。 由上述定理可知， lim m → ∞ I 2 m − 1 I 2 m = lim n → ∞ I n − 1 I n = 1 ，即 1 = lim m → ∞ I 2 m − 1 I 2 m = lim m → ∞ ( 2 m − 2 ) ! ! ( 2 m + 1 ) ! ! π 2 ⋅ ( 2 m − 1 ) ! ! ( 2 m + 2 ) ! ! = lim m → ∞ 2 π ⋅ ( 2 m − 2 ) ! ! ( 2 m + 2 ) ! ! ( 2 m + 1 ) ! ! ( 2 m − 1 ) ! ! = lim m → ∞ 2 π ⋅ [ ( 2 m ) ! ! ] 2 [ ( 2 m − 1 ) ! ! ] 2 ⋅ 1 2 m + 1 ⋅ 2 m + 2 2 m = lim m → ∞ 2 π ⋅ [ ( 2 m ) ! ! ] 2 [ ( 2 m − 1 ) ! ! ] 2 ⋅ 1 2 m + 1 ， 变形得 lim m → ∞ [ ( 2 m ) ! ! ] 2 [ ( 2 m − 1 ) ! ! ] 2 ⋅ 1 2 m + 1 = π 2 ， 沃利斯公式得证。
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user: 4. 应用B函数和Γ函数证明沃利斯公式 应用B函数和Γ函数证明沃利斯公式的思路是将下列积分转化为由B函数和Γ函数表示，即 ∫ 0 π 2 sin n x d x = ∫ 0 π 2 sin n − 1 x ⋅ sin x d x = − cos x ⋅ sin n − 1 x | 0 π 2 + 1 n − 1 ∫ 0 π 2 sin n − 2 x ⋅ cos 2 x d x = 1 n − 1 ∫ 0 π 2 sin n − 2 x ⋅ cos 2 x d x ， 因 B ( P ， Q ) = 2 ∫ 0 π 2 cos 2 P − 1 φ sin 2 Q − 1 φ d φ ，故 ∫ 0 π 2 sin n − 2 x ⋅ cos x d x = 1 2 B ( 3 2 ， n − 1 2 ) ， 从而 ∫ 0 π 2 sin n x d x = 1 n − 1 ∫ 0 π 2 sin n − 2 x ⋅ cos x d x = n − 1 2 B ( 3 2 ， n − 1 2 ) = n − 1 2 Γ ( 3 2 ) Γ ( n − 1 2 ) Γ ( n + 2 2 ) . 在文献 [ 2 ] 中可得 lim n → ∞ ∫ 0 π 2 sin n x d x ∫ 0 π 2 sin n + 1 x d x = 1 ， 因此 1 = lim n → ∞ ∫ 0 π 2 sin n x d x ∫ 0 π 2 sin n + 1 x d x = lim n → ∞ n − 1 2 Γ ( 3 2 ) Γ ( n − 1 2 ) Γ ( n + 2 2 ) n + 1 2 Γ ( 3 2 ) Γ ( n 2 ) Γ ( n + 3 2 ) = lim n → ∞ n − 1 2 n + 1 2 ⋅ lim n → ∞ Γ ( n − 1 2 ) ⋅ Γ ( n + 3 2 ) Γ ( n + 2 2 ) ⋅ Γ ( n 2 ) = lim n → ∞ Γ ( n − 1 2 ) ⋅ Γ ( n + 3 2 ) Γ ( n + 2 2 ) ⋅ Γ ( n 2 ) ， 由Γ函数的递推公式，上式变为 1 = lim n → ∞ Γ ( n − 1 2 ) ⋅ Γ ( 1 + n + 1 2 ) Γ ( 1 + n 2 ) ⋅ Γ ( n 2 ) = lim n → ∞ n + 1 2 Γ ( n − 1 2 ) ⋅ Γ ( n + 1 2 ) n 2 [ Γ ( n 2 ) ] 2 = lim n → ∞ ( n 2 − 1 ) 2 2 [ Γ ( n − 1 2 ) ] 2 n 2 [ Γ ( n 2 ) ] 2 . 上式极限为数列极限，将之分为奇数项所构成的子数列和偶数项所构成的子数列两个数列来考察极限。 1) 若n为偶数，设 n = 2 m ，则 1 = lim m → ∞ ( 4 m 2 − 1 ) 2 2 [ Γ ( 2 m − 1 2 ) ] 2 m [ Γ ( m ) ] 2 ， 因为 Γ ( m ) = ( m − 1 ) ! ，且 Γ ( 2 m − 1 2 ) = Γ ( 1 + 2 m − 3 2 ) = 2 m − 3 2 Γ ( 2 m − 3 2 ) = 2 m − 3 2 ⋅ 2 m − 5 2 Γ ( 2 m − 5 2 ) = ⋯ = 2 m − 3 2 ⋅ 2 m − 5 2 ⋅ ⋯ ⋅ 3 2 ⋅ 1 2 Γ ( 1 2 ) = ( 2 m − 3 ) ! ! 2 m − 1 π ， 从而得到 1 = lim m → ∞ ( 4 m 2 − 1 ) 2 2 [ Γ ( 2 m − 1 2 ) ] 2 m [ Γ ( m ) ] 2 = lim m → ∞ ( 4 m 2 − 1 ) 2 2 [ ( 2 m − 3 ) ! ! 2 m − 1 π ] 2 m [ ( m − 1 ) ! ] 2 ， 两边取倒数，再乘以 1 / π ，变形得 π = lim m → ∞ 2 2 m m ⋅ [ ( m − 1 ) ! ] 2 ( 4 m 2 − 1 ) [ ( 2 m − 3 ) ! ! ] 2 = lim m → ∞ 1 2 m + 1 ⋅ 2 2 m ( 2 m − 1 ) ⋅ [ ( m ) ! ] 2 m [ ( 2 m − 1 ) ! ! ] 2 = lim m → ∞ 1 2 m + 1 ⋅ ( 2 m − 1 ) ⋅ [ ( 2 m ) ! ! ] 2 m [ ( 2 m − 1 ) ! ! ] 2 = lim m → ∞ 2 2 m + 1 ⋅ [ ( 2 m ) ! ! ] 2 [ ( 2 m − 1 ) ! ! ] 2 ， 化简得 lim m → ∞ 1 2 m + 1 ⋅ [ ( 2 m ) ! ! ] 2 [ ( 2 m − 1 ) ! ! ] 2 = π 2 . 即当n为偶数时，沃利斯公式得证。 2) 若n为奇数，设 n = 2 m + 1 ，则 1 = lim m → ∞ 2 m ⋅ ( 2 m + 2 ) 2 2 [ Γ ( m ) ] 2 2 m + 1 2 [ Γ ( 2 m + 1 2 ) ] 2 ， 因为 Γ ( 2 m + 1 2 ) = Γ ( 1 + 2 m − 1 2 ) = 2 m − 1 2 Γ ( 2 m − 1 2 ) = 2 m − 1 2 ⋅ 2 m − 3 2 Γ ( 2 m − 3 2 ) = ⋯ = 2 m − 1 2 ⋅ 2 m − 3 2 ⋅ ⋯ ⋅ 3 2 ⋅ 1 2 Γ ( 1 2 ) = ( 2 m − 1 ) ! ! 2 m π ， 从而得到 1 = lim m → ∞ 2 m ⋅ ( 2 m + 2 ) 2 2 [ Γ ( m ) ] 2 2 m + 1 2 [ Γ ( 2 m + 1 2 ) ] 2 = lim m → ∞ m ⋅ ( m + 1 ) [ ( m − 1 ) ! ] 2 π 2 m + 1 2 [ ( 2 m − 1 ) ! ! 2 m ] 2 = 2 π lim m → ∞ 1 2 m + 1 ⋅ m + 1 m ⋅ 2 2 m ( m ! ) 2 [ ( 2 m − 1 ) ! ! ] 2 = 2 π lim m → ∞ 1 2 m + 1 ⋅ [ ( 2 m ) ! ! ] 2 [ ( 2 m − 1 ) ! ! ] 2 变形得 lim m → ∞ 1 2 m + 1 ⋅ [ ( 2 m ) ! ! ] 2 [ ( 2 m − 1 ) ! ! ] 2 = π 2 . 即当n为奇数时，沃利斯公式得证。 综合(1) (2)可知，奇数项所构成的子数列和偶数项所构成的子数列均收敛于 π / 2 ，故数列极限为 π 2 = lim n → ∞ [ ( 2 n ) ! ! ( 2 n − 1 ) ! ! ] 2 1 2 n + 1 ， 沃利斯公式得证。
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user: 摘要 本文运用Abel积分生成元的切比雪夫理论结合多项式符号计算技术，对(4， 3)型的Liénard系统对应的Abel积分的零点个数上界进行研究分析。求出 I ( h ， δ ) 的零点个数的最小上界。讨论以下系统 x ˙ = y ， y ˙ = x ( x − 1 ) ( x − 1 2 ) 2 + ε ( a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + x 3 ) y Abel积分的零点个数问题。通过对其Abel积分 I ( h ， δ ) 的深入研究，证明阿贝尔积分的生成元能否构成Chebeyshev系统，得出其零点个数的上界。
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user: 1. 背景介绍 法国数学家庞加莱发表的一系列论文将定性理论分析运用到微分方程的研究中，其结果在理论和实际应用中都发挥了重要的作用。关于定性理论的分析改变了人们以往的固有思维，为解决较难的数学问题提供了很好的思路。对于一些微分方程，求出特定解的意义不大，关键在于研究解的性质。毫无疑问，庞加莱的这一理论的提出实现了由定量到定性方向的转变。因此，可以说法国数学家庞加莱的成果为常微分方程定性理论的发展奠定了基础。它的基本思想是在不求出具体的微分方程解的条件下，研究该方程解的相关性质。 从上世纪开始，随着结构稳定性系统研究的逐渐快速发展，对分支理论的研究也受到越来越大的关注。分支理论悠久的历史背景和广泛的应用，推动了现代数学理论的发展。由微分方程定义的动力学系统分支种类有很多种。分支现象在自然界中也随处可见，因此在关于自然现象而建立的数学模型中可以找到许多的分支理论。由此可知，对分支理论的研究极具现实意义。重要的Hilbert第16问题是由希尔伯特提出的 [ 1 ]，与Poincare分支有着密切的联系。许多数学家对这一问题进行了大量的研究。但是到目前为止，第16问题还没有得到彻底解决。该问题一方面是寻求“平面向量场的极限环个数的最小上界 H ( n ) 并且找到极限环在什么位置上可能出现”。这是动力系统及其相关的常微分方程所研究的内容，其中 P n ( x ， y ) ， Q n ( x ， y ) 是关于x和y的次数为n的实数型多项式。 { d x d t = P n ( x ， y ) d y d t = Q n ( x ， y ) 系统的最大极限环的个数 H ( n ) 是一个与n相关的数，这是著名的Hilbert的猜想。到目前为止研究结果只发现，对于一个具体的系统，给出任意参数后，当 P n ( x ， y ) ， Q n ( x ， y ) 解析时，在 n ≥ 2 的情况下确实存在极限环的最大个数 H ( n ) ，这一问题己经在1991年和1992年分别得到研究结果。但是对上述的所有n次系统的极限环的个数的有界性的问题的研究，在n = 2时的研究工作仍没有完全解决。由此，在1977年V. I. Arnold提出了新的解决这个问题的方法，那就是称作弱化的Hilbert-Arnold问题，也叫做弱化的第十六问题，即考虑如下的近哈密顿系统： x ˙ = H y ( x ， y ) ，   y ˙ = − H x ( x ， y ) 然而解决弱化的Hilbert-Arnold问题也是很困难的，并且可知研究弱化的第十六问题与估计Abel积分的零点个数密切相关。关于微小扰动下的哈密顿系统的极限环分支问题受到广泛关注。通过以上叙述可知一阶Melnikov函数对解决极限环的分支问题起着重要的作用。对于具有同宿环的系统来说研究极限环分支给出的多项式系统的展开式极为重要。借助于Melnikov函数展开式解决了很多系统的极限环分支问题，甚至说给出了哈密顿系统弱化的第十六问题的答案。研究Hilbert第16问题困难非常大，因而转向研究弱Hilbert第16问题。并且，估计Abel积分的零点个数是研究弱Hilbert第16问题的重要内容之一。将弱化的第十六问题转化为估计Abel积分的零点个数的问题，实现了问题的简化。因此，上述Abel积分的零点个数与极限环个数有着密切的关系。 本文对于具有普遍研究意义的n次扰动，研究Abel积分零点个数上界的这一内容仍存在许多尚未解决的问题。主要考虑含有扰动项的Liénard系统的阿贝尔积分，通过阿贝尔积分求系统的零点个数的最小上界。找到Liénard系统的阿贝尔积分零点个数上界，并证明阿贝尔积分的生成元能否构成Chebeyshev系统。利用I(h)的展开式和在Maensas和Villadelprat中开发的代数准则 [ 2 ]，得出的结论是I(h)的零点个数的上限为3。
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user: 2. 预备知识 定理1 [ 3 ] 假设 f 0 ( x ) ， f 1 ( x ) ， ⋯ ， f n − 1 ( x ) 是定义在开区间J上的解析函数，有以下定义： 1) 若任意的线性组合 k 0 f 0 ( x ) + k 1 f 1 ( x ) + ⋯ + k n − 1 f n − 1 ( x ) 在J上最多具有 n − 1 个孤立零点，则 { f 0 ( x ) ， f 1 ( x ) ， ⋯ ， f n − 1 ( x ) } 称为Chebyshev系统(简称T系统)。 2) 若任意线性组合 k 0 f 0 ( x ) + k 1 f 1 ( x ) + ⋯ + k n − 1 f n − 1 ( x ) ，对于 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 最多具有 i − 1 个零点(考虑重数)，则 { f 0 ( x ) ， f 1 ( x ) ， ⋯ ， f n − 1 ( x ) } 称为扩充完全Chebyshev系统(简称ECT系统)。 3) 记 W [ f 0 ( x ) ， f 1 ( x ) ， ⋯ ， f k − 1 ( x ) ] 为如下行列式： W [ f 0 ( x ) ， f 1 ( x ) ， ⋯ ， f k − 1 ( x ) ] = det ( f i j ) 0 ≤ i j ≤ i − 1 = | f 0 ( x ) f 1 ( x ) ⋯ f n − 1 f ′ 0 ( x ) f ′ 1 ( x ) ⋯ f ′ n − 1 ( x ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ f 0 ( n − 1 ) ( x ) f 1 ( n − 1 ) ( x ) ⋯ f n − 1 ( n − 1 ) ( x ) | 这称为有序函数列 { f 0 ( x ) ， f 1 ( x ) ， ⋯ ， f n − 1 ( x ) } 的Wronski行列式。其中 f ′ ( x ) 是 f ( x ) 一阶导数， f i j 是 f ( x ) j 阶导数， i ≥ 2 。 引理1 [ 3 ] 在 ( x l ， x r ) 上，假设解析函数 f i j 满足 I i ( h ) = ∮ Γ h f i ( x ) y 2 s − 1 d x ， i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 其中 h ∈ ( h 1 ， h 2 ) ， s ∈ N ， Γ h 是含于曲线族 { A ( x ) + 1 2 y 2 m = h } 的围绕原点的闭代数曲线。假设： l i ( x ) : = f i ( x ) A ′ ( x ) − f i ( z ( x ) ) A ′ ( x ) 如果满足以下假设： 1) 当 i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n − 2 时， W [ l 0 ， l 1 ， ⋯ ， l i ] 在 ( x l ， x r ) 上存在， 2) W [ l 0 ， l 1 ， ⋯ ， l i ] 在 ( x l ， x r ) 上有零点，用多重数计数， 3) s > n + k − 2 ， 那么对于任意的非平凡线性组合 { I 1 ， I 2 ， ⋯ ， I n − 1 } ，在 ( h 1 ， h 2 ) 最多有 n + k − 1 上有零点，用多重数计数。同时，当 W [ l 0 ， l 1 ， ⋯ ， l i ] 是 { l 0 ， l 1 ， ⋯ ， l n − 1 } 的Wronskian行列式时， { I 1 ， I 2 ， ⋯ ， I n − 1 } 被称为具有精确度为k的在 ( h 1 ， h 2 ) 上的T系统。 引理2 假定 Γ h 是沿着 { A ( x ) + 1 2 y 2 m = h } 的一条闭轨线， F ( x ) 是满足 F ( x ) A ′ ( x ) 在 x = 0 处解析的一元函数。当 G ( x ) = 1 k ( F ( x ) A ′ ( x ) ) ′ ( x ) 时，以下等式成立， ∮ Γ h F ( x ) y k − 2 d x = ∮ Γ h G ( x ) y k d x ， ∀ k ∈ N . 引理3 当 f i ( x ) = x i + G i ( x ) + E i ( x ) + D i ( x ) 时 8 h 3 I i ( h ) = ∮ Γ h f i ( x ) y 7 d x ≡ I ˜ i ( h ) 则 { I 0 ( h ) ， I 1 ( h ) ， I 2 ( h ) ， I 3 ( h ) } 是一个ECT系统，并且当且仅当 { I ˜ 0 ( h ) ， I ˜ 1 ( h ) ， I ˜ 3 ( h ) } 也是一个ECT系统。 引理4 当 x ∈ ( 0 ， 1 ) 时，函数元组 { l 0 ( x ) ， l 1 ( x ) ， l 3 ( x ) ， l 4 ( x ) } 是一个ECT系统。
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user: 摘要 为全面贯彻落实党中央、国务院打好水源保护攻坚战决策部署，云南省乡镇级集中式饮用水水源地已基本完成保护区划定工作，但面临的困难和挑战依然十分艰巨。本文介绍了云南省乡镇级集中式饮用水水源地的现状，分析了现阶段存在的问题，并对今后的生态环境保护工作提出了对策建议。
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user: 1. 引言 饮水安全事关民生福祉和群众身体健康，云南省高度重视饮用水水源地环境保护工作，认真贯彻落实习近平总书记在全国生态环境保护大会上提出“要把解决突出生态环境问题作为民生优先领域”的要求，为防治饮用水水源污染，保障饮用水安全，云南省持续开展乡镇级及以上集中式饮用水水源环境状况评估，大力落实“划(保护区划定)、立(保护区标志设立)、治(保护区环境问题整治)”保护措施，不断加强集中式饮用水水源地环境保护。
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user: 2. 全省乡镇级集中式饮用水水源地现状 据全国农村集中式水源地基础信息调查系统统计，云南省共有乡镇(含街道) 1405个，其中1031个乡镇有独立供水的集中式饮用水水源地，317个乡镇与城市、县城或其他乡镇联网供水，供水服务人口不足1000人的乡镇水源地有57个。2020年，全省共有1283个乡镇级集中式饮用水水源地(含千吨万人水源)，日供水量达138.2万吨，服务人口1088.2万人。 截至2020年11月底，云南省全面完成1283个千吨万人及其他乡镇级集中式饮用水水源保护区划定和审批工作。全省乡镇级集中式饮用水水源划分保护区面积累计8391.272平方公里，其中，一级保护区面积489.852平方公里，二级保护区面积6145.320平方公里，准保护区面积1756.100平方公里。至此，云南省乡镇级及以上饮用水水源保护区制度得到全面建立 [ 1 ]。
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user: 3. 存在的问题 乡镇级集中式饮用水水源保护虽然取得了阶段性成果，但面临的困难和挑战依然十分艰巨。乡镇级集中式饮用水水源主要存在以下五个问题： (一) 水资源分配不均，部分饮用水水源地季节性缺水 云南省乡镇级集中式饮用水水源类型主要分为湖库型、河流型及地下水型，占比分别为37.4%、35.3%、27.3%，湖库型水源地供水量相对稳定，河流型水源地多为山箐、河沟汇水，水资源量以降水补给为主，地下水型水源地大多为岩溶水、裂隙水，受季节影响较大，因此，资源性、工程性缺水问题十分突出。 (二) 农业农村面源污染严重，部分饮用水源水质达不到水质标准 当前，全省乡镇级集中式饮用水水源地环境污染问题形势严峻，农业农村面源污染为主要问题。自古以来，人类就习惯择水而居、沿河湖而居的生存方式，农村饮用水水源地周边普遍存在原住居民、农业种植、畜禽养殖、牲畜放牧及农家乐等农业农村面源污染，大量生活污水和散养畜禽粪便收集处理不到位，直接汇同雨水进入水体；农业种植粗放，大量使用化肥、农药的现象比较突出，土壤中残留的农药、化肥随地表径流进入水体，对水源地造成污染。2020年四季度，对全省314个千吨万人饮用水水源地水质进行监测，水质达标率为93.63%，主要超标指标为总大肠菌群、菌落总数、总磷、五日生化需氧量等。 (三) 农村饮用水源基础管理工作较薄弱 相比城镇而言，农村饮用水水源管理在能力建设、监测预警、污染预防、应急机制等方面都非常薄弱。部分州市和县(市、区)存在缺乏业务用房、监测设备和人员严重不足等问题。根据2020年我省开展的乡镇级及以下饮用水水源地基础环境调查结果，近85%的乡镇级及以下饮用水水源未开展水质监测，开展监测的乡镇级集中式饮用水水源地常规监测项目严重不足，缺乏统一的监测指标规范。乡镇级集中式饮用水水源地缺乏突发环境风险事件的预见意识与处理能力，水源地环境安全风险较高。 (四) 水源地保护监督管理措施落实不到位 当前，在乡镇级集中式饮用水水源地保护工作中，存在水源地保护监督管理措施落实不到位，主要体现在以下三个方面：一是法律法规欠缺，地方难以建立一套规范的水源地管理制度体系。由于水源保护涉及部门众多，目前缺乏饮用水水源地保护专门的法律法规，现行饮用水水源地保护区制度执行碎片化，在实际的保护工作中，各部门单打独斗，一些保护问题权责不清，保护措施落实不到到位，导致表面多头管理实际无人管理的混乱局面。二是危机意识不强，缺乏积极开展饮用水水源地保护的主动性。县级及以下相关水源地保护部门意识淡薄，危机意识不强，抱着当前水源的水还能饮用的态度，积极开展水源地保护的主动性不够，水源地保护工作疏于管理，导致本来薄弱的保护措施更难以落实到位，已建污水治理项目管理也不到位。三是资金投入力度不足，污染治理工程系统性不强。水源保护是一个系统性工程，农业面源污染治理点多面广，相关部门虽然都在加大资金投入力度，但资金量小且分散，治理工程系统性不强，效率低下，难以达到预期效果。 (五) 尚未建立饮用水水源地生态补偿机制 目前，云南省尚未建立饮用水水源地生态补偿机制，饮用水水源保护治理资金难以得到保障。主要体现在以下三个方面：一是由于地方财政普遍困难，在生态补偿制度未建立的情况下，跨界水源保护区划定方案难以达成一致意见。二是应在水源地保护区内实施退耕还林还草、优化种植结构等保护措施造成损失的农户的必要补偿难以落实。三是水源地保护区划定之前合法合规建设的项目搬迁或关停的补偿资金难以落实。
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user: 4. 保护对策及建议 (一) 严格落实饮用水水源保护区管理制度，提升集中式饮用水水源地规范化建设水平 划定集中式饮用水水源保护区是水源保护的基础，也是水源保护的法律边界，持续开展新增乡镇级集中式饮用水水源地的保护区划定工作。严格按照《集中式饮用水水源地规范化建设环境保护技术要求》(HJ 773-2015)，开展集中式饮用水水源地的规范化建设，在饮用水水源保护区边界合理设立明确的地理界标和明显的警示标志，在一级保护区周边人类活动频繁的区域设置隔离防护设施。 (二) 全面整治集中式饮用水水源保护区内环境问题 全面排查乡镇级集中式饮用水水源保护区内存在的环境问题，对违法建设项目、违法排污口、违法网箱养殖等问题开展清理整治。优先开展保护区内农村环境综合整治，对农村生活污水和生活垃圾进行集中收集处理，提高畜禽粪污综合利用率。保护区内的农业种植和经济林结合土地利用调整，逐步退出，现阶段应调整种植结构，大力发展生态农业，开展化肥减量增效行动，通过精准施肥，调整化肥结构，改进施肥方式等措施严格控制化肥施用量 [ 2 ]，减轻保护区内农业面源污染。 (三) 强化集中式饮用水水源监测与安全监管 持续开展千吨万人饮用水水源地水质监测工作，全面提升水质监测能力，尽快将全省乡镇级集中式饮用水水源地水质监测工作纳入常规监测范围。建立健全饮用水水质全过程监测体系，构建集中式饮用水水源、供水单位出厂水、用户水龙头水等水质监测网络，对取水、制水、供水实施全过程管理。对水质不达标水源提出对策措施并积极整改。 (四) 建立并完善水源地监督、管理保障体系 目前我国专门针对饮用水水源保护方面的法律法规并不完善，云南省应加快制定符合本省实际的《云南省饮用水水源保护条例》，使保护饮用水水源地的行为有法可依，进一步压实水源所在地乡镇及以上人民政府的主体责任，落实部门主管责任，形成水利、生态环境、住房城乡建设、卫生健康、自然资源、农业农村等多方联动的保护机制。建立完善的预警监控体系和应急事件处置体系，组织开展集中式饮用水水源地径流区(补给区)及供水系统周边污染风险评估，精准筛查饮用水水源地及供水系统周边可能存在的污染风险因素，高风险区域设置应急物资储备库及事故应急池等应急防护工程，强化风险管控，编制应急预案，提高对突发事件的应急响应机制和处置能力，防范饮水安全突发事故。 (五) 建立健全饮用水水源保护区生态补偿机制 充分发挥政府对生态环境保护的主导作用，建立健全饮用水水源保护区生态补偿机制，遵循“谁受益，谁补偿”的基本原则，形成受益者付费、保护者得到合理补偿的运行机制，对保护区内实施退耕还林还草、禁止使用农药化肥的农田进行必要的经济补偿 [ 2 ]。探索构建多元化补偿模式，在通过省级奖补激励政策引导实施经济补偿的基础上，鼓励各地积极探索多元化生态补偿方式和实施市场化的补偿模式，积极运用水权交易、排污权交易等市场化补偿模式，拓宽集中式饮用水水源地补偿资金来源渠道。
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user: 5. 结语 综上所述，当前我省农村饮水安全问题仍不容乐观，乡镇级集中式饮用水水源地面临的困难和挑战依然十分艰巨。针对乡镇级集中式饮用水水源地存在的生态环境问题，我省需统筹城乡发展，有条件的地区实现多水源、跨区域联网供水；加快推进农村基础设施建设，全面防治农业农村面源污染；加强集中式饮用水水源环境监管；建立健全集中式饮用水水源保护区生态补偿机制；从根本上解决农村饮水安全问题 [ 3 ]。
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user: 摘要 登革热是一种严重危害人类健康的传染病。考虑登革热的传播在人群中具有潜伏期，并将蚊虫分为幼虫和成虫两阶段，建立传染病模型，再研究其动力学行为。通过引入原系统的极限系统，得到了系统是一致持久的，进一步，利用单调系统相关理论证明了其地方病平衡点在 R 0 > 1 时是全局渐近稳定的。
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user: 1. 引言 登革热是由登革热病毒引起的一种急性传染病。这种疾病自出现起在全球广泛流行，2014年世卫组织(WHO)称其为“全球蔓延最快的虫媒传染病”。在登革热的传播过程中，蚊虫通过叮咬患病者而吸入携带登革病毒的血液，然后再叮咬易感人类，登革病毒经过两者的血液交换后使人患病。此外，人类感染病毒之后，并不会立马表现出相应的症状，而是会经过一段3~8天的潜伏期，潜伏期内的个体一般不具有传染性。鉴于此，文献 [ 1 ] [ 2 ] 提出了人类感染病毒之后具有潜伏期的传染病模型，并分析了模型的平衡点的全局渐近行为。另外，科学试验证明自然界主要存在四种登革病毒血清型(DENV-1，2，3，4)，人类感染其中某一种血清型病毒并被治愈之后会获得对这种血清型的终生免疫能力，而对另外三种仅会产生短暂的免疫 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]。Abidemi等 [ 3 ] [ 4 ] 基于这一事实，认为人类感染某一特定登革病毒之后，仍然有感染其它三种登革病毒的可能性，从而建立了人类分两阶段(感染某型登革病毒被治愈后又再次感染其它型登革病毒)感染病毒的传播动力学模型。虽然治疗登革病毒感染的特异性药物仍然有待于进一步的研究 [ 5 ]，但是已有不少学者通过引入疫苗有效作用于人群之后建立了具有疫苗控制的传染病模型 [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]，结果显示，疫苗对于登革热的控制产生了很好的效果。而在涉及到蚊虫的发育阶段建模时，学者们主要是考虑蚊虫由幼虫经过类似于Logistic生长抑制作用之后才发育为成虫，从而将蚊虫分为三类(幼虫、易感成虫和感染成虫)来建立模型 [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]。 虽然上述文献在建模时考虑因素较为全面，但是这也导致传染病模型的地方病平衡点的全局稳定性证明变得异常困难，许多作者都没能给出理论证明，只能通过数值模拟作为辅助证明 [ 3 ] [ 7 ]。为便于分析，本文只考虑人类感染1种血清型病毒，因而不会发生交叉感染。借鉴文献 [ 2 ] 的建模思路之后，我们引入了一个人类和幼虫都以常数输入进行增殖的简单系统，借助于单调系统的相关理论对系统平衡点作了更为详细和全面的分析，得到了关于平衡点稳定性比较完整的结果，最后结合数值模拟加以佐证。
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user: 2. 模型建立 大量科学事实证明登革热病毒在感染人群之后，人群会进入到3~8天的疾病潜伏期，随后，进入感染阶段。因此，借鉴文献 [ 1 ] [ 2 ] 的思路，将人群划分为以下四个仓室是比较合适的： S h ( t ) ：易感者类(t时刻能被登革热病毒感染的人类数量)； E h ( t ) ：潜伏者类(t时刻被登革热病毒感染，但还不具备将病毒传染给其他人和蚊虫的能力的人类数量)； I h ( t ) ：染病者类(t时刻被登革热病毒感染且能将病毒传染给其他人和蚊虫的人类数量)； R h ( t ) ：移除者类(t时刻从感染登革热病毒中治愈或获得该病毒免疫能力的人类数量)。 另一方面，考虑到蚊虫的生长分为幼虫和成虫两个主要阶段，再结合其生命周期较短，一旦染病将终生不能治愈的特点，根据文献 [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] 可将蚊虫分为如下三类： A m ( t ) ：幼虫类(t时刻的幼虫数量)； S m ( t ) ：易感成虫类(t时刻能被登革热病毒感染的成虫数量)； I m ( t ) ：感染成虫类(t时刻感染登革热病毒的成虫数量)。 为了更好地理解登革热传播过程，在建立传染病微分方程系统之前，我们先给出系统中参数需要满足的一些假设条件和相应解释如下： 1) 所有人类和媒介(蚊虫)的新生个体仍为易感者类( S h ( t ) 和 S m ( t ) )，即不发生垂直传播； 2) 每个种群在t时刻时的个体总数量分别为所划分的各仓室的个体数量之和，即 N h ( t ) = N h = S h ( t ) + E h ( t ) + I h ( t ) + R h ( t ) 和 N m ( t ) = S m ( t ) + I m ( t ) ； 3) 人群和蚊虫分别以常数输入率A和C进行增殖； 4) 蚊虫在单位时间内平均叮咬人的次数恒定，设为B； 5) 不考虑人群和蚊虫的因病致死。 由此，我们可以得到登革热病毒在两个种群中的传播流程如下图1。 图1. 登革病毒的传播流程图 根据以上病毒传播流程框图和相应假设，建立登革热传染病的模型如下 { S ′ h = A − B β m h I m N h S h − μ h S h E ′ h = B β m h I m N h S h − γ E h − μ h E h I ′ h = γ E h − μ h I h − δ I h R ′ h = δ I h − μ h R h A ′ m = C − η A m − μ A A m S ′ m = η A m − μ m S m − B β h m I h N h S m I ′ m = B β h m I h N h S m − μ m I m (1) 模型涉及到的参数及其具体意义见表1，考虑到生物学意义，我们假设模型中所有参数的值均为非负。
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user: 5. 数值模拟 之前的章节中，本文利用边界流方法，得到了系统(4.4)的一致持久性，进一步结合极限系统理论和单调动力系统理论研究了系统(4.4)的全局动力学行为，得到了系统(4.4)的无病平衡点和地方病平衡点是全局渐近稳定的。为了验证结论的合理性，本节我们将对前面的理论证明给出合适的数值模拟，以便于更加清晰的理解登革热的动力学行为。分别取系统(4.4)的参数如下表2。 Table 2 Parameter value 参数 A B β m h μ h γ δ C η μ A μ m β h m R 0 < 1 12000 12 0.005 0.00031 0.00145 0.00042 10 0.00032 0.0037 0.00037 0.005 R 0 > 1 12000 12 0.0078 0.00031 0.000145 0.000042 10 0.00032 0.0037 0.00037 0.0078 表2. 参数取值 和五组不同的初值如下表3。 Table 3 Five different sets of initial value 初值 S h ( 0 ) E h ( 0 ) I h ( 0 ) S m ( 0 ) I m ( 0 ) Initial Value 1 35900000 10000 1500 1800 300 Initial Value 2 31500000 21000 3200 1750 280 Initial Value 3 27000000 32000 5300 1470 250 Initial Value 4 37070000 40000 7500 1700 200 Initial Value 5 38000000 59000 9800 1950 100 表3. 五组不同初值 根据以上参数和初值，可以得到系统(4.4)中 R 0 < 1 时解曲线如下图2所示。 图2. R 0 < 1时解曲线 显然当t充分大时，系统(4.4)的解曲线随着时间的变化最终趋于无病平衡点 E 1 0 ，这和前面定理5的结论一致。 R 0 > 1 时系统(4.4)的解曲线如下图3所示。 图3. R 0 > 1时解曲线 当t充分大时，系统(4.4)的解曲线随着时间的变化最终趋于地方病平衡点 E 2 * ，这和定理7的结论一致。
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user: 6. 结束语 本文建立了人类感染登革病毒之后具有潜伏期的传染病模型，基于下一代矩阵理论构造了系统的基本再生数 R 0 ，并证明了当 R 0 < 1 时，系统的无病平衡点全局渐近稳定；当 R 0 > 1 时，系统的地方病平衡点全局渐近稳定。最后用一组数值算例对理论结果进一步进行验证。
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user: 摘要 计算机视觉领域，目标跟踪是一项具有许多现实应用的视觉任务，对运动的目标进行精准估计成为了一项具有重要意义的工作。本文将区间算法应用到计算机视觉目标跟踪中，基于频谱滤波器，利用区间运算实现计算机视觉目标跟踪问题的可信估计。当目标跟踪失败时，利用颜色识别对每一帧背景进行预处理，预估目标所在的区域范围，从而更好的确定目标位置。
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user: 1. 引言 目标跟踪就是对视频图像序列中的运动目标进行检测、提取、识别和跟踪，获得运动目标的运动参数，如目标质心位置、速度等，以及运动轨迹，从而进行进一步处理与分析，实现对运动目标的行为理解 [ 1 ]。目标跟踪作为一门跨学科的前沿技术，融合了图像处理、模式识别、人工智能、自动控制等多种不同领域的理论知识 [ 2 ]，并且在视频理解、机器人导航、智能监控等领域都有着广泛的应用，因此跟踪算法的研究具有重要的意义。 目标跟踪过程中能够影响跟踪结果的因素有很多，如何提高目标跟踪的稳定性成为了计算机视觉方向一个需要突破的难题。近年来，众多科研学者致力于此方向的研究，所提出的算法可以大致分为两类：基于部分跟踪算法和整体跟踪算法。 Prokhorov [ 3 ] 等人提出了一个层次化的外观的表示模型用于跟踪，基于利用多个量化级别的共享信息的图形模型，通过对像素和超像素的联合分类来找到目标的最可能位置，在所有级别获得最佳配置。雷震等人 [ 4 ] 提出了一种新的多部件联合在线跟踪分割算法(JOTS)，将跟踪和分割融合为一个统一的能量优化框架来处理视频分割任务。卢湖川等人 [ 5 ] 中提出了一个基于超混合的判别外观模型，能够解决严重遮挡问题，并且能够从漂移中恢复跟踪的目标。Malik等人 [ 6 ] 提出了一种从背景中重复分割图形的跟踪模式，用于解决长时间跟踪时物体的外观、形状和比例变化对计算结果产生的影响。 不同的是，整体的跟踪方法似乎更受欢迎，例如高效且具有良好鲁棒性优点的基于相关滤波器(CF)的模型。在CF模型的基础上出现了相关滤波器的一些正则化方法，此类型的方法从空间抑制背景区域以解决杂乱背景对跟踪器性能的影响。崔振等人 [ 7 ] 提出一种新的方法称为递归目标参与跟踪(RTT)，用来解决估计误差的累积和传播。Danelljan等人 [ 8 ] 提出了高精度的用于跟踪的空间正则化判别相关滤波器(SRDCF)。与此同时Danelljan等人 [ 9 ] 还研究了基于DCF的两个跟踪框架(标准DCF框架和SRDCF框架)中卷积特征的影响，标准的基于DCF的方法依赖于手工制作的特性来进行稳健的图像描述，提出建议在基于DCF的框架中使用卷积特征来进行视觉跟踪。 跟踪结果的准确率会随着外部环境的变化而大幅度的下降，同时一些传统的目标跟踪滤波器自身也会存在很多缺点。针对如何提高目标跟踪结果准确率的问题，学者们给出了不同的答案。朱明敏等人 [ 10 ] 提出一种可以实时高效准确的跟踪快速运动目标的长时核相关滤波(LKCF)跟踪算法，此算法引入了CN颜色特征及基于光流法的再检测机制，当目标跟踪失败时可以对失踪的目标进行重新获得。徐烨超 [ 11 ] 提出了IFCT (基于独立特征通道的跟踪)，用来解决基于相关滤波器(CF)的视觉目标跟踪算法中非充分学习、非置信结合和非弹性更新在内的三个缺陷，并且提出了RCF (基于独立特征通道的可逆向学习相关滤波器)以解决场景导致的模型漂移和算法导致的模型漂移等问题。张雷 [ 12 ] 等人提出来基于KCF的多尺度目标跟踪的方法，解决了目标跟踪问题中有关目标尺度估计的困难。 与基于CF的方法的整体回归不同，崔振等 [ 13 ] 人提出了对每个像素的多个局部区域的跟踪模型进行回归的频谱滤波器(SFT)跟踪方法。本文将Rump区间算法应用到频谱滤波器(SFT)的跟踪模型中，实现目标跟踪问题的可信估计，同时利用颜色识别提高跟踪结果的准确性。
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user: 2. 目标跟踪的可信估计 定理1：区间矩阵 A ∈ I ℝ m × n ( m ≤ n ) ，和区间向量 b ∈ I ℝ m 满足 0 ∉ b ，如果verifylss函数对下列区间 线性系统成功运行 ( A T − I n O m ， n A ) ( w x ) = ( 0 b ) 则区间矩阵 A 是满秩的。 频谱滤波器 在给定视频帧的情况下，由于连续视频帧中目标的运动的变化不容易被察觉，首先在前一帧的边界框周围确定一个小的候选区域。为了减少局部外观变化对跟踪的影响，将候选区域建模为具有旋转不变性和平移不变性的像素网格图。 将像素空间网格结构建模为无向加权图，加权图 G = { V ， ε ， W } 由一组顶点 V = ( | V | = N ) 和一组边 ε ，邻域矩阵W为连接的边分配的正值。此外，每个顶点都与信号相关，即从其坐标位置提取多通道特征向量。形式上特征提取函数 f : v → R d 定义了顶点信号，其中d是特征维数。 谱图理论中图Laplacian算子L是一个关键的算子，定义为 L = D − W ，其中 D ∈ ℝ N × N 是对角矩阵 D i i = Σ j W i j 。一种常用的方法是归一化图Laplacian，即将每个权重 W i j 与一个因子 1 D i i D j j 相乘，即 L n o r m = D − 1 2 L D − 1 2 = I − D − 1 2 W D − 1 2 ， (1) 其中L为实对称矩阵，其具有完整的正交特征向量，其特征向量 { u l } 满足 L u l = λ l u l ( l = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ) ，其中 { λ l } 是非负实特征值。假设所有的特征值都是有序的则 0 = λ 1 < λ 2 ≤ λ 3 ≤ ⋯ ≤ λ N = λ max 。 在矩阵表达式中 L = U Λ U T ，其中 Λ = d i a g ( λ 1 ， λ 2 ， ⋯ ， λ N ) 。 步骤1 滤波器函数的构造 x的傅里叶变换 x = U T x 以及逆变换 x = U x ^ ，其中 x ^ 是产生的频率信号。 设滤波器函数 g ( ⋅ ) ，输入信号x上的频率滤波定义为 z ^ ( λ l ) = x ^ ( λ l ) g ^ ( λ l ) ，或为逆图傅里叶变换 z ( i ) = ∑ l − 1 N x ^ ( λ l ) g ^ ( λ l ) u ^ l ( i ) ， (2) 其中 z ^ ( λ l ) ， x ^ ( λ l ) ， g ^ ( λ l ) 是对应频谱 λ l 的傅里叶系数。通过使用矩阵表示法，信号x被过滤为 z = g ^ ( L ) x = U [ g ^ ( λ 1 ) ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ g ^ ( λ N ) ] U T x . (3) 步骤2 函数的求解 给定的输入x和输出z，通过特征值分解求解可求得(3)中的 g ( ⋅ ) ，同时利用K阶的Chebyshev展开式来逼近频域中的 g ( ⋅ ) 降低计算量。 Chebyshev展开式由递归关系定义为 T k ( x ) = 2 x T k − 1 ( x ) − T k − 2 ( x ) ， 其中 T 0 = 1 ，   T 1 = x 。 在适当的Sobolev空间中，Chebyshev多项式的集合构成了一个基，因此[−1，1]中任何一个函数都可 以通过展开来表示 f ( x ) = ∑ k = 0 ∞ a k T k ( x ) 。 为使得LaplacianL的特征值 { λ l } 落在[−1，1]中，将其缩放并转换为 λ ˜ l = 2 λ max λ l − 1 ，并在 { λ ˜ l } 上使用 Chebyshev多项式，考虑多项式分量的线性组合，则K阶滤波器 g ^ ( λ l ) = ∑ k = 0 K − 1 θ k T k ( λ ˜ l ) ， (4) 其中 θ ∈ ℝ K 是多项式系数的参数向量，K是多项式的阶。由(3) (4)有 z = U [ ∑ k = 0 K − 1 θ k T k ( λ ˜ l ) ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ ∑ k = 0 K − 1 θ k T k ( λ ˜ l ) ] U T x = ∑ k = 0 K − 1 θ k U [ T k ( λ ˜ l ) ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ T k ( λ ˜ l ) ] U T x (5) = ∑ k = 0 K − 1 θ k T k ( U [ λ ˜ l ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ λ ˜ l ] U T ) x (6) = ∑ k = 0 K − 1 θ k T k ( 2 λ max L − I ) x (7) 在(6)，(7)上使用Laplacian矩阵的谱分解 L = U d i a g ( [ λ 1 ， ⋯ ， λ N ] ) U T 。通过(5)和(6)利用滤波函数的基 本计算即 L k = U d i a g ( [ λ 1 k ， ⋯ ， λ N k ] ) U T = ( U d i a g [ λ 1 ， ⋯ ， λ N ] U T ) k (8) 在(7)中的K阶多项式是拉普拉斯图上的一个精确的K局部化滤波函数。为了得到图上的局部滤波响应，只需对拉普拉斯矩阵L进行运算，即多项式的每一项都可以作为滤波基， θ 是需要求解的参数。 步骤3 跟踪目标模型的建立 在视觉跟踪中，从多通道特征 X ∈ ℝ N × d 中回归峰值映射 y ∈ ℝ N × 1 ，其中N候选区域内的像素数(即顶 点)，每一行X对应一个顶点的信号。 L ˜ = 2 λ max L − I ，将(7)中定义的滤波器基变成 { T 0 ( L ˜ ) ， T 1 ( L ˜ ) ， ⋯ ， T K − 1 ( L ˜ ) } 。 给定一个信号和x和滤波器参数 θ = { θ 0 ， θ 2 ， ⋯ ， θ K − 1 } ，采用K个滤波器基的线性组合获得局部滤波响 应z。使用K个滤波器基对图进行滤波，将滤波参数和特征投影函数的学习结合到一个最小二乘回归模型中 arg min w ‖ F ( X ) w − y ‖ 2 + γ ‖ w ‖ 2 ， (9) 其中 γ 是平衡参数， F ( X ) 在特征维数上连接K滤波器基的响应， F ( X ) = [ T 0 ( L ˜ ) X ， T 1 ( L ˜ ) X ， ⋯ ， T K − 1 ( L ˜ ) X ] . (10) 因此，根据定理1，跟踪模型中的系数w可以利用Rump区间算法估计求解为 ( ( F ( X ) ) T − I n O m ， n F ( X ) ) ( w x ) = ( 0 y ) . (11) 步骤4 跟踪目标的坐标的计算 初始化拉普拉斯矩阵L，从候选区域中提取特征X，计算(10)方程中的K阶响应 F ( X ) ，利用(11)获取得分 y ˜ = F ( X ) w 通过找到得分最大的目标中心获取被跟踪目标的最终坐标。