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user: 2. Hopf分岔分析 设 ( Q 0 ， N 0 ) 是系统(1)的平衡点，计算方程在平衡点的特征值，如果方程(1)的特征方程有一对纯虚根 ± i ω 0 ，并满足横截条件，则方程(1)发生了Hopf分岔，且经由Hopf分岔，系统(1)出现稳定或不稳定的周期解。作坐标平移，系统的三次Taylor截断展开式为 x ′ = a 11 x + a 12 y + b 1 x ( t − τ s ) + f ( x ， x ( t − τ s ) ， y ) y ′ = − γ N y + b 2 x ( t − τ N ) + b 3 y ( t − τ N ) + g ( x ( t − τ N ) ， y ， y ( t − τ N ) ) 其中 a 11 = − β ( Q * ) − k N ( N * ) − k δ − β ′ ( Q * ) Q * ，       a 12 = − k ′ N ( N * ) Q * ， b 1 = 2 e − r s τ s ( β ( Q * ) + β ′ ( Q * ) Q * ) ，       b 2 = e τ N P η N P − γ 0 τ N M k ( N * ) ， b 3 = e τ N P η N P − γ 0 τ N M k ′ ( N * ) Q * ， 和 f ( x ， x ( t − τ s ) ， y ) = − β ′ ( Q * ) x 2 − 1 2 β ″ ( Q * ) Q * x 2 − k ′ N ( N * ) x y − 1 2 k ″ N ( N * ) Q * y 2     + 2 e − γ s τ s β ′ ( Q * ) x 2 ( t − τ s ) + e − γ s τ s β ″ ( Q * ) Q * x 2 ( t − τ s )     + e − γ s τ s β ″ ( Q * ) x 3 ( t − τ s ) − 1 2 β ″ ( Q * ) x 3 − 1 6 β ‴ ( Q * ) Q * x 3 − 1 2 k ″ N ( N * ) x y 2     − 1 6 k ‴ N ( N * ) Q * y 3 + e − r s τ s β ″ ( Q * ) x 3 ( t − τ s ) + 1 3 e − r s τ s β ‴ ( Q * ) Q * x 3 ( t − τ s )     + o ( ‖ x 3 ‖ ， ‖ x 3 ( t − τ s ) ‖ ， ‖ y 3 ‖ ) g ( x ( t − τ N ) ， y ， y ( t − τ N ) ) = e τ N P η N P − γ 0 τ N M k ′ N ( N * ) x ( t − τ N ) y ( t − τ N )         + 1 2 e τ N P η N P − γ 0 τ N M k ″ N ( N * ) Q * y 2 ( t − τ N ) + 1 2 e τ N P η N P − γ 0 τ N M k ″ N ( N * ) x ( t − τ N ) y 2 ( t − τ N )         + 1 6 e τ N P η N P − γ 0 τ N M k ‴ N ( N * ) Q * y 3 ( t − τ N ) + 1 6 e τ N P η N P − γ 0 τ N M k ‴ N ( N * ) x ( t − τ N ) y 3 ( t − τ N ) 我们引入向量 m = ( x ， y ) T ，设参数向量 μ = ( γ s ， τ s ) ，那么方程(1)可以写成其向量形式 m ′ ( t ) = L ( μ ) m ( t ) + R 1 ( μ ) m ( t − τ s ) + R 2 ( μ ) m ( t − τ N )     + F ( m ( t ) ， m ( t − τ s ) ， m ( t − τ N ) ， μ ) (2) 其中 L = ( a 11 a 12 0 − γ N ) ， R 1 = ( b 1 0 0 0 ) ， R 2 = ( 0 0 b 2 b 3 ) 和 F ( m ( t ) ， m ( t − τ s ) ， m ( t − τ N ) ， μ ) = 1 2 B ( m ( t ) ， m ( t ) ) + 1 2 B ˜ ( m ( t − τ s ) ， m ( t − τ s ) )     + 1 2 B ^ ( m ( t − τ N ) ， m ( t − τ N ) ) + 1 6 C ( m ( t ) ， m ( t ) ， m ( t ) )     + 1 6 C ˜ ( m ( t − τ s ) ， m ( t − τ s ) ， m ( t − τ s ) ) + 1 6 C ^ ( m ( t − τ N ) ， m ( t − τ N ) ， m ( t − τ N ) ) (3) 设 C 表示连续可微函数 u : [ − τ N ， 0 ] → R 2 构成的巴拿赫空间，定义时间平移 u t ( θ ) = m ( t + θ ) ， θ ∈ [ − τ N ， 0 ] ，那么方程(2)的算子微分方程形式为 m ′ t = A m t + F ( m t ) (4) 这里，设在Hopf分岔临界值处的线性算子 A 为 A u ( θ ) = { d d θ u ( θ ) ，                                                                   θ ∈ [ − τ N ， 0 ) ， L u ( 0 ) + R 1 u ( − τ s ) + R 2 u ( − τ N ) ，     θ = 0 ， (5) 非线性算子 H 可被写作(6) H ( u ) ( θ ) = { 0 ，                                                                             θ ∈ [ − τ N ， 0 ) ， F ( u ( 0 ) ， u ( − τ s ) ， u ( − τ N ) ) ，       θ = 0 ， (6) 其中 u ∈ ∑ 。 设连续可微函数 v : [ 0 ， τ N ] → R 2 构成空间 C * ，在 上定义线性算子 A 的伴随线性算子为 A * v ( s ) = { − d d s v ( s ) ，                                                               s ∈ ( 0 ， τ N ) L T v ( 0 ) + R 1 T v ( τ s ) + R 2 T v ( τ N ) ，         s = 0 定义双线性形式 ( ， ) : C * × C → R 为 〈 v ， u 〉 = v ¯ T ( 0 ) u ( 0 ) + ∫ − τ s 0 v ¯ T ( ξ + τ s ) R 1 u ( ξ ) d ξ + ∫ − τ N 0 v ¯ T ( ξ + τ N ) R 2 u ( ξ ) d ξ (7) 容易证明，有 〈 v ， A u 〉 = 〈 A * v ， u 〉 成立。 在临界Hopf分岔值 u 0 = ( γ s ， τ s ) 处，有一对纯虚特征值 Λ = { − i ω 0 ， i ω 0 } ，且其余特征值都具有负实部。因而 C 可被分解为 C = P Λ ⊕ Q Λ ，其中 P Λ 为相应于 Λ 的特征空间，而 Q Λ 是其补空间。计算得 A ( 0 ) 相应于特征值 i ω 0 的特征向量为 q ( θ ) = ( γ N + i ω 0 − b 3 e − i ω 0 τ N b 2 e − i ω 0 τ N ) e i ω 0 θ ， − τ N ≤ θ ≤ 0 ， A * ( 0 ) 相应于 − i ω 0 的特征向量为 q * ( s ) = l ( − b 2 e i ω 0 τ N a 11 + i ω 0 + b 1 e i ω 0 τ s ) e i ω 0 s ， 0 ≤ s ≤ τ N ，满足 〈 q * ， q 〉 = 1 ，进一步可证明 〈 q * ， q ¯ 〉 = 0 。 注意到 A q ( θ ) = i ω 0 q ( θ ) ，       − τ N ≤ θ ≤ 0 ， A * q * ( s ) = − i ω 0 q * ( s ) ，       0 ≤ s ≤ τ N (8) 每个 u ∈ C 可以被写作 u t = z q + z ¯ q ¯ + w (9) 使得 z = 〈 q * ， m t 〉 ，     w ∈ Q Λ (10) 对(9)两边微分，注意到(8)式成立，因而可得 z ′ ( t ) = 〈 q * ， m ′ t 〉 = 〈 q * ， A z q 〉 + 〈 q * ， H ( z q + z ¯ q ¯ + w ( t ) ) 〉 = i ω 0 z + q ¯ * ( 0 ) F * ( z ， z ¯ ) (11) 其中 F * ( z ， z ¯ ) = F ( 2 Re { z q ( θ ) } + w ( t ) ) (12)