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user: 4. 内积、Riemann度量与Jacobi行列式的关系 这部分内容将积分变换与向量内积和外积联系到一起，运用到Riemann度量的知识，是求取体积元几何与Jacobi行列式的另一种方法，一些相关的知识来源可以参考教材 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]。 4.1. 向量的数量积和向量积 定义4.1.1 两个向量 a 和 b 的模和它们夹角的余弦的乘积叫做向量 a 和 b 的数量积或称内积，记做 a ⋅ b 或 a b ，即 a ⋅ b = | a | | b | cos ∠ ( a ， b ) . 定义4.1.2 两向量 a 与 b 的向量积或称外积是一个向量，记作 a × b 或 [ a b ] ，它的模是 | a × b | = | a | | b | sin ∠ ( a ， b ) . 已知三角函数公式 sin 2 θ + cos 2 θ = 1 ，我们可以推出 sin θ = 1 − cos 2 θ 。若记 ∠ ( a ， b ) = θ ，根据内积公式有 cos ∠ ( a ， b ) = a ⋅ b | a | | b | ，那么 | a × b | = | a | | b | sin θ = | a | | b | 1 − ( a ⋅ b | a | | b | ) 2 = | a | 2 | b | 2 − ( a ⋅ b ) 2 = | ( a ⋅ a a ⋅ b b ⋅ a b ⋅ b ) | = | A | ， 式中记 A = ( a ⋅ a a ⋅ b b ⋅ a b ⋅ b ) = ( a b ) ( a b ) 。 需要指出的是我们所介绍的向量运算的定义与运算规律，是和坐标系的选取没有关系的，但是选取不同的坐标系将对应不同的向量运算表达式。 例如 两个向量 a 、 b 的内积在直角坐标系下为 a ⋅ b = X 1 X 2 + Y 1 Y 2 其中 X 1 、 Y 1 与 X 2 、 Y 2 分别是向量 a 与 b 的直角坐标。如果选取一般的坐标系，设 a = X 1 e 1 + Y 1 e 2 ， b = X 2 e 1 + Y 2 e 2 ， 由内积的运算规律有 a ⋅ b = X 1 X 2 e 1 2 + Y 1 Y 2 e 2 2 + ( X 1 Y 2 + Y 1 X 2 ) e 1 ⋅ e 2 = ( X 1 Y 2 ) ( e 1 ⋅ e 1 e 1 ⋅ e 2 e 2 ⋅ e 1 e 2 ⋅ e 2 ) ( X 2 Y 2 ) 上式中 A = ( e 1 ⋅ e 1 e 1 ⋅ e 2 e 2 ⋅ e 1 e 2 ⋅ e 2 ) = ( e 1 e 2 ) ( e 1 e 2 ) . 4.2. 将内积、Riemann度量应用到Jacobi行列式 定理1 设光滑曲面S由方程 r = r ( x ， y ) 或变换 T : x = x ( u ， v ) ， y = y ( u ， v ) 给出，变换T将 u v 平面上按段光滑的封闭的曲线所围成的闭区域 Δ 一对一的映射成 x y 平面上的闭区域D，函数 x ( u ， v ) ， y ( u ， v ) 在 Δ 内具有一阶连续偏导数且它们的Jacobi行列式为 J ( u ， v ) = ∂ ( x ， y ) ∂ ( u ， v ) = | A | ≠ 0 ， ( u ， v ) ∈ Δ ， 则 Δ 和 x y 平面上的对应区域D之间的微元面积伸缩系数为 | A | ，即 | d r | = d x d y = | A | d u d v 证明 由参数方程 x = x ( u ， v ) ， y = y ( u ， v ) 及方程 r = r ( x ， y ) 知 d x = ∂ x ∂ u d u + ∂ x ∂ v d v ， d x = ∂ x ∂ u d u + ∂ x ∂ v d v ， ∂ r ∂ u = ∂ r ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ r ∂ y ∂ y ∂ u ， ∂ r ∂ v = ∂ r ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ r ∂ y ∂ y ∂ v ， 根据一阶微分形式的不变性，得 d r = r x d x + r y d y = r x ( ∂ x ∂ u d u + ∂ x ∂ v d v ) + r y ( ∂ y ∂ u d u + ∂ y ∂ v d v ) = ( ∂ r ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ r ∂ y ∂ y ∂ u ) d u + ( ∂ r ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ r ∂ y ∂ y ∂ v ) d v = ∂ r ∂ u d u + ∂ r ∂ v d v = e 1 d u + e 2 d v 式中记 ∂ r ∂ u = e 1 ， ∂ r ∂ v = e 2 。 又 d r ⋅ d r = ( e 1 d u + e 2 d v ) ⋅ ( e 1 d u + e 2 d v ) = ( d u d v ) ( e 1 e 2 ) ( e 1 e 2 ) ( d u d v ) = ( d u d v ) ( e 1 ⋅ e 1 e 1 ⋅ e 2 e 2 ⋅ e 1 e 2 ⋅ e 2 ) ( d u d v ) = ( d u d v ) A ( d u d v ) 式中记 A = ( e 1 ⋅ e 1 e 1 ⋅ e 2 e 2 ⋅ e 1 e 2 ⋅ e 2 ) ， 所以有 | d r | = d x d y = | A | d u d v . 推论1 设光滑曲面S由方程 r = r ( x ， y ) 给出，又 f ( x ， y ) 在S上连续，并存在极坐标变换 T : { x = ρ cos θ ， y = ρ sin θ ， 0 ≤ ρ < + ∞ ， 0 ≤ θ < 2 π 且函数 x ， y 满足定理1中的条件，若记 e 1 = ∂ r ∂ ρ = ( cos θ sin θ ) ， e 2 = ∂ r ∂ θ = ( − ρ sin θ ρ cos θ ) ，由定理1则有 A = ( e 1 ⋅ e 1 e 1 ⋅ e 2 e 2 ⋅ e 1 e 2 ⋅ e 2 ) = ( 1 0 0 ρ 2 ) . 那么变换T的函数行列式为 J ( u ， v ) = | A | = ρ ，故得 ∬ D f ( x ， y )   d x d y = ∬ Δ f ( r cos θ ， r sin θ )   ρ d ρ d θ . 推论2 设光滑曲面S由方程 r = r ( x ， y ) 给出，又 f ( x ， y ) 在S上连续并存在广义极坐标变换 T : { x = a ρ cos θ ， y = b ρ sin θ ， 0 ≤ r < + ∞ ， 0 ≤ θ < 2 π 且函数 x ， y 满足定理1中的条件，若记 e 1 = ∂ r ∂ ρ = ( a cos θ b sin θ ) ， e 2 = ∂ r ∂ θ = ( − a ρ sin θ b ρ cos θ ) ，由定理1则有 A = ( e 1 ⋅ e 1 e 1 ⋅ e 2 e 2 ⋅ e 1 e 2 ⋅ e 2 ) = a 2 b 2 ρ 2 ， 那么变换T的函数行列式为 J ( u ， v ) = | A | = ρ a b ，得 ∬ D f ( x ， y )   d x d y = ∬ Δ f ( r cos θ ， r sin θ )   ρ a b d ρ d θ . 4.3. 第一型曲面积分 定理2 设光滑曲面S由方程 r = r ( x ， y ， z ) 表示或者由参数方程 x = x ( u ， v ) ， y = y ( u ， v ) ， z = z ( u ， v ) ， ( u ， v ) ∈ D 确定，其中函数 x ( u ， v ) ， y ( u ， v ) ， z ( u ， v ) 在 D 上具有连续的一阶偏导数，且Jacobi行列式 ( x u y u z u x v y v z v ) 的秩为2，如果设曲面S上任意一点P处，有一条u-曲线和v-曲线，它们都经过点P， r u 和 r v 分别是这两条曲线在P处的切向量，那么 r u d u 和 r u d u 都应是曲面S在点P得切平面，则 | r u d u | 和 | r v d v | 分别是u-曲线和v-曲线的弧长微分，所以 | r u d u × r v d v | = | r u × r v | d u d v 是以 r u d u 和 r u d u 为相邻两边的平行四边形得面积，称为曲面S的面积元素，记 d S ，也就是 d S = | r u × r v | d u d v ， 那么曲面S的面积就是 S = ∫ D | r u × r v | d u d v . 证明 因为 r u = ∂ r ∂ u = ∂ r ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ r ∂ y ∂ y ∂ u + ∂ r ∂ z ∂ z ∂ u ， r v = ∂ r ∂ v = ∂ r ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ r ∂ y ∂ y ∂ v + ∂ r ∂ z ∂ z ∂ v ， 记 ∂ r ∂ u = e 1 ， ∂ r ∂ v = e 2 ，同定理1证明得 A = ( e 1 ⋅ e 1 e 1 ⋅ e 2 e 2 ⋅ e 1 e 2 ⋅ e 2 ) = ( x u 2 + y u 2 + z u 2 x u x v + y u y v + y u y v x u x v + y u y v + y u y v x v 2 + y v 2 + z v 2 ) 如果令 E = e 1 ⋅ e 1 = x u 2 + y u 2 + z u 2 ， F = e 1 ⋅ e 2 = x u x v + y u y v + z u z v ， G = e 2 ⋅ e 2 = x v 2 + y v 2 + z v 2 ， 所以有 | A | = E G − F 2 。 于是曲面S的面积就是 S = ∬ D E G − F 2 d u d v . 注 如果光滑得曲面S的方程是 z = f ( x ， y ) ， ( x ， y ) ∈ D ，D是 x y 平面上可度量的区域，那么S的方程表示为 x = x ， y = y ， z = f ( x ， y ) ， ( x ， y ) ∈ D 那么 r x = ( 1 ， 0 ， ∂ f ∂ x ) ， r y = ( 0 ， 1 ， ∂ f ∂ y ) ， E = r x ⋅ r x = 1 + ( ∂ f ∂ x ) 2 ， F = r x ⋅ r y = ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ， G = r y ⋅ r y = 1 + ( ∂ f ∂ y ) 2 ， 所以 E G − F 2 = 1 + ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 ， 曲面S的面积就是 S = ∬ D 1 + ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 d x d y . 4.4. 三重积分的坐标变换 定理3设光滑曲面S由方程 r = r ( x ， y ， z ) 表示，又 f ( x ， y ， z ) 在S上连续，并存在坐标变换 T : x = x ( u ， v ， w ) ， y = y ( u ， v ， w ) ， z = z ( u ， v ， w ) ，并要求这一变换是正则变换，其中 ( x ， y ， z ) ∈ V ， ( u ， v ， w ) ∈ V ′ ，则 ∭ V f ( x ， y ， z )   d x d y d z 存在，且 ∭ V f ( x ， y ， z )   d x d y d z = ∭ V ′ f ( x ( u ， v ， w ) ， y ( u ， v ， w ) ， z ( u ， v ， w ) ) | A |   d u d v d w . 证明 因为 d x = ∂ x ∂ u d u + ∂ x ∂ v d v + ∂ x ∂ w d w ， d y = ∂ y ∂ u d u + ∂ y ∂ v d v + ∂ y ∂ w d w ， d z = ∂ z ∂ u d u + ∂ z ∂ v d v + ∂ z ∂ w d w ， 又 ∂ r ∂ u = ∂ r ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ r ∂ y ∂ y ∂ u + ∂ r ∂ z ∂ z ∂ u ， ∂ r ∂ v = ∂ r ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ r ∂ y ∂ y ∂ v + ∂ r ∂ z ∂ z ∂ v ， ∂ r ∂ w = ∂ r ∂ x ∂ x ∂ w + ∂ r ∂ y ∂ y ∂ w + ∂ r ∂ z ∂ z ∂ w ， 根据一阶微分形式的不变性，有 d r = r x d x + r y d y + r z d z = ∂ r ∂ x ( ∂ x ∂ u d u + ∂ x ∂ v d v + ∂ x ∂ w d w ) + ∂ r ∂ y ( ∂ y ∂ u d u + ∂ y ∂ v d v + ∂ y ∂ w d w ) + ∂ r ∂ z ( ∂ z ∂ u d u + ∂ z ∂ v d v + ∂ z ∂ w d w ) = ( ∂ r ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ r ∂ y ∂ y ∂ u + ∂ r ∂ z ∂ z ∂ u ) d u + ( ∂ r ∂ x ∂ x ∂ v + ∂ r ∂ y ∂ y ∂ v + ∂ r ∂ z ∂ z ∂ v ) d v + ( ∂ r ∂ x ∂ x ∂ w + ∂ r ∂ y ∂ y ∂ w + ∂ r ∂ z ∂ z ∂ w ) d w = ∂ r ∂ u d u + ∂ r ∂ v d v + ∂ r ∂ w d w = e 1 d u + e 2 d v + e 3 d w ， 式中记 ∂ r ∂ u = e 1 ， ∂ r ∂ v = e 2 ， ∂ r ∂ w = e 3 ， d r ⋅ d r = ( e 1 d u + e 2 d v + e 3 d w ) ⋅ ( e 1 d u + e 2 d v + e 3 d w ) = ( d u d v d w ) ( e 1 e 2 e 3 ) ( e 1 e 2 e 3 ) ( d u d v d w ) = ( d u d v d w ) ( e 1 ⋅ e 1 e 1 ⋅ e 2 e 1 ⋅ e 3 e 2 ⋅ e 1 e 2 ⋅ e 2 e 2 ⋅ e 3 e 3 ⋅ e 1 e 3 ⋅ e 2 e 3 ⋅ e 3 ) ( d u d v d w ) 记式中 A = ( e 1 ⋅ e 1 e 1 ⋅ e 2 e 1 ⋅ e 3 e 2 ⋅ e 1 e 2 ⋅ e 2 e 2 ⋅ e 3 e 3 ⋅ e 1 e 3 ⋅ e 2 e 3 ⋅ e 3 ) ， 与定理1相似在坐标变换T下的函数行列式 J ( u ， v ， w ) = | A | ，所以有 ∭ V f ( x ， y ， z ) d x d y d z = ∭ V ′ f ( x ( u ， v ， w ) ， y ( u ， v ， w ) ， z ( u ， v ， w ) ) | A | d u d v d w . 推论1 若是定理3中的坐标变换为柱面坐标变换 T : { x = ρ cos θ ， y = ρ sin θ ， z = z ， 0 ≤ ρ < + ∞ ， 0 ≤ θ ≤ 2 π ， − ∞ < z < + ∞ . 那么可以得出 e 1 = ∂ r ∂ ρ = ( cos θ sin θ 0 ) ， e 2 = ∂ r ∂ θ = ( − ρ sin θ ρ cos θ 0 ) ， e 3 = ∂ r ∂ z = ( 0 0 1 ) ， 经计算可得 | A | = ρ 2 ，所以有 ∭ V f ( x ， y ， z ) d x d y d z = ∭ V ′ f ( ρ cos θ ， ρ sin θ ， z ) ρ d ρ d θ d z . 推论2 若是定理3中的坐标变换为球坐标变换 T : { x = ρ cos φ cos θ ， 0 ≤ ρ < + ∞ ， y = ρ cos φ sin θ ， 0 ≤ θ ≤ 2 π ， z = ρ sin φ ， − π 2 ≤ φ ≤ π 2 . 那么可以得出 e 1 = ∂ r ∂ ρ = ( cos φ cos θ cos φ sin θ sin φ ) ， e 2 = ∂ r ∂ φ = ( − ρ sin φ cos θ − ρ sin φ sin θ ρ cos φ ) ， e 3 = ∂ r ∂ θ = ( − ρ cos φ sin θ ρ cos φ cos θ 0 ) ， 经计算可得 | A | = ρ 4 cos 2 φ ，所以有 ∭ V f ( x ， y ， z )   d x d y d z = ∭ V ′ f ( ρ cos φ cos θ ， ρ cos φ sin θ ， ρ sin φ )   ρ 2 cos φ d ρ d φ d θ . 推论3 若是定理3中的坐标变换为广义球坐标变换 T : { x = a ρ cos φ cos θ ， 0 ≤ ρ < + ∞ ， y = b ρ cos φ sin θ ， 0 ≤ θ ≤ 2 π ， z = c ρ sin φ ， − π 2 ≤ φ ≤ π 2 . 那么可以得出 e 1 = ∂ r ∂ ρ = ( a cos φ cos θ b cos φ sin θ c sin φ ) ， e 2 = ∂ r ∂ φ = ( − a ρ sin φ cos θ − b ρ sin φ sin θ c ρ cos φ ) ， e 3 = ∂ r ∂ θ = ( − a ρ cos φ sin θ b ρ cos φ cos θ 0 ) ， 经计算可得 | A | = a 2 b 2 c 2 ρ 4 cos 2 φ ，所以有 ∭ V f ( x ， y ， z ) d x d y d z = ∭ V ′ f ( ρ cos φ cos θ ， ρ cos φ sin θ ， ρ sin φ ) a b c ρ 2 cos φ d ρ d φ d θ .