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user: 2. 主要结论 记 e i ( t ) = u i ( t ) − x i ( t ) ， r j ( t ) = v j ( t ) − y j ( t ) ，则 { e ′ i ( t ) = − α i e i ( t ) + ∑ j = 1 m a i j [ f j ( v j ( t ) ) − f j ( y j ( t ) ) ]                     + ∑ j = 1 m p i j [ f j ( v j ( t − τ j i ) ) − f j ( y j ( t − τ j i ) ) ] + P i ( t ) ， r ′ j ( t ) = − β j r j ( t ) + ∑ i = 1 n b j i [ g i ( u i ( t ) ) − g i ( x i ( t ) ) ]                     + ∑ i = 1 n q j i [ g i ( u i ( t − τ ¯ i j ) ) − g i ( x i ( t − τ ¯ i j ) ) ] + Q j ( t ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ; j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m (2.1) 这样，系统(1.1)和(1.2)的全局渐近同步问题，等价于 lim t → ∞ ( e ( t ) ， r ( t ) ) = ( 0 ， 0 ) 定理1：假设条件(H1)和(H2)成立， P ( t ) = ( P 1 ( t ) ， P 2 ( t ) ， ⋯ ， P n ( t ) ) T ， Q ( t ) = ( Q 1 ( t ) ， Q 2 ( t ) ， ⋯ ， Q m ( t ) ) T 满足： ∫ 0 ∞ ∑ i = 1 n | P i ( s ) | + ∑ j = 1 m | Q j ( s ) | d s < ∞ (2.2) 则系统(1.1)和(1.2)全局渐近同步，即 lim t → ∞ | u i ( t ) − x i ( t ) | = 0 ， lim t → ∞ | v j ( t ) − y j ( t ) | = 0 . 证明：首先，基于(2.1)，我们定义如下的Lyapunov函数 V [ e ， r ] ( t ) : ℝ → ℝ ： V [ e ， r ] ( t ) = ∑ i = 1 n e i ( t ) + ∑ j = 1 m r j ( t )                                 + ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m | p i j | | ∫ t − τ j i t f j ( v j ( s ) ) − f j ( y j ( s ) ) d s |                                 + ∑ j = 1 m ∑ i = 1 n | q j i | | ∫ t − τ ¯ i j t g i ( u i ( s ) ) − g i ( x i ( s ) ) d s | 这里，我们简记函数 V [ e ， r ] ( t ) 为 V ( t ) 。沿着系统 的解， V ( t ) 的右上导数为： D + V ( t ) = ∑ i = 1 n sgn e i ( t ) { − α i e i ( t ) + ∑ j = 1 m a i j [ f j ( v j ( t ) ) − f j ( y j ( t ) ) ]                             + ∑ j = 1 m p i j [ f j ( v j ( t − τ j i ) ) − f j ( y j ( t − τ j i ) ) ] + P i ( t ) }                             + ∑ j = 1 m sgn r j ( t ) { − β j r j ( t ) + ∑ i = 1 n b j i [ g i ( u i ( t ) ) − g i ( x i ( t ) ) ]                             + ∑ j = 1 m q j i [ g i ( u i ( t − τ ¯ i j ) ) − g i ( x i ( t − τ ¯ i j ) ) ] + Q j ( t ) }                             + ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m | p i j | [ | f j ( v j ( t ) ) − f j ( y j ( t ) ) | − | f j ( v j ( t − τ j i ) ) − f j ( y j ( t − τ j i ) ) | ] + ∑ j = 1 m ∑ i = 1 n | q j i | [ | g i ( u i ( t ) ) − g i ( x i ( t ) ) | − | g i ( u i ( t − τ ¯ i j ) ) − g i ( x i ( t − τ ¯ i j ) ) | ] ≤ ∑ i = 1 n [ − α i | e i ( t ) | + ∑ j = 1 m ( | a i j | + | p i j | ) | f j ( v j ( t ) ) − f j ( y j ( t ) ) | ]     + ∑ j = 1 m [ − β j | r j ( t ) | + ∑ i = 1 n ( | b j i | + | q j i | ) | g i ( u i ( t ) ) − g i ( x i ( t ) ) | ]     + ∑ i = 1 n | P i ( t ) | + ∑ j = 1 m | Q j ( t ) | 由条件(H1)和(H2)可知 D + V ( t ) ≤ ∑ i = 1 n [ − α i + ∑ j = 1 m G i ( | b j i | + | q j i | ) ] | e i ( t ) |                           + ∑ j = 1 m [ − β j + ∑ i = 1 n F j ( | a i j | + | p i j | ) ] | r j ( t ) |                           + ∑ i = 1 n | P i ( t ) | + ∑ j = 1 m | Q j ( t ) |                           ≤ − η ( ∑ i = 1 n | e i ( t ) | + ∑ j = 1 m | r j ( t ) | ) + ∑ i = 1 n | P i ( t ) | + ∑ j = 1 m | Q j ( t ) | (2.3) 于是，对不等式(2.3)两边从 0 到 t 积分可以得到 V ( t ) + η ∫ 0 t ∑ i = 1 n | e i ( s ) | + ∑ j = 1 m | r j ( s ) | d s ≤ V ( 0 ) + ∫ 0 t ∑ i = 1 n | P i ( s ) | + ∑ j = 1 m | Q j ( s ) | d s (2.4) 注意到式(2.2)和 V ( 0 ) 的有界性，由不等式(2.4)得知： ∫ 0 ∞ ∑ i = 1 n | e i ( s ) | + ∑ j = 1 m | r j ( s ) | d s < ∞ (2.5) V ( t ) 在区间 [ 0 ， ∞ ) 上有界 从而 e i ( t ) ， r j ( t ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ; j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 在区间 [ 0 ， ∞ ) 有界。再由(2.1)、(2.2)可知 e i ( t ) ， r j ( t ) 的导数在区间 [ 0 ， ∞ ) 上有界，所以函数 e i ( t ) ， r j ( t ) 在区间 [ 0 ， ∞ ) 上一致连续。这样，再利用(2.5)，我们得到 lim t → ∞ | e i ( t ) | = lim t → ∞ | u i ( t ) − x i ( t ) | = 0 lim t → ∞ | r j ( t ) | = lim t → ∞ | v j ( t ) − y j ( t ) | = 0 即，系统(1.1)和(1.2)全局渐近同步。证毕。 下面我们考虑 { P i ( t ) = λ sgn e i ( t ) | e i ( t ) | ， Q j ( t ) = λ sgn r j ( t ) | r j ( t ) | (2.6) 时，系统(1.1)和(1.2)的全局渐近同步行为。 定理2：假设(H1)、(H2)和(2.6)成立，则系统(1.1)和(1.2)全局渐近同步。 证明：仿照定理1的思路，我们定义Lyapunov函数 V [ e ， r ] ( t ) : ℝ → ℝ ： V [ e ， r ] ( t ) = ∑ i = 1 n e i ( t ) + ∑ j = 1 m r j ( t )                                 + ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m | p i j | ∫ t − τ j i t F j | r j ( s ) | d s                                 + ∑ j = 1 m ∑ i = 1 n | q j i | ∫ t − τ ¯ i j t G i | e i ( s ) | d s 则， V ( t ) 沿着系统(2.1)的右上导数为 (2.7) 利用(2.6)和(H2)，由不等式(2.7)得 D + V ( t ) ≤ ∑ i = 1 n { − α i | e i ( t ) | + [ ∑ j = 1 m ( | b j i | + | q j i | ) G i | e i ( t ) | + λ | e i ( t ) | ] }                           + ∑ j = 1 m { − β j | r j ( t ) | + [ ∑ i = 1 n ( | a i j | + | p i j | ) F j | r j ( t ) | + λ | r j ( t ) | ] }                       ≤ − μ [ ∑ i = 1 n | e i ( t ) | + ∑ j = 1 m | r j ( t ) | ] (2.8) 对不等式(2.8)两边从0到t积分，有 V ( t ) + μ ∫ 0 t ∑ i = 1 n | e i ( s ) | + ∑ j = 1 m | r j ( s ) | d s ≤ V ( 0 ) 由于 V ( 0 ) 是有界的，可知 V ( t ) 在区间 [ 0 ， ∞ ) 上有界且反常积分 ∫ 0 ∞ ∑ i = 1 n | e i ( s ) | + ∑ j = 1 m | r j ( s ) | d s < ∞ 。余下的证明效仿定理1，最后我们有 lim t → ∞ | e i ( t ) | = lim t → ∞ | u i ( t ) − x i ( t ) | = 0 lim t → ∞ | r j ( t ) | = lim t → ∞ | v j ( t ) − y j ( t ) | = 0 证毕。