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user: 3. 主要结果 本部分主要研究圆环Bergman空间 L a 2 ( Ω ) 上的拟正规Toeplitz算子。 引理2.1设 k ， m 是非负整数， T z ¯ m z k = { k − m + 1 k + 1 1 − R 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k − m + 1 ) z k − m                                           k − m ≠ − 1 − ( 1 − R k + m + 1 ) ( k + m + 1 ) log R z − 1                                                                               k − m = − 1 证明：设 z = r e i θ ∈ Ω ，则 T z ¯ m z k ( ω ) = P ( z ¯ m z k ) ( ω ) = 〈 z k z ¯ m ， K ω ( z ) 〉 代入 K ω ( z ) = ∑ n ≠ − 1 n = − ∞ + ∞ n + 1 1 − R 2 ( n + 1 ) ( ω ¯ z ) n − 1 2 log R ( ω ¯ z ) − 1 ， T z ¯ m z k = ∑ p ≠ − 1 p = − ∞ ∞ p + 1 1 − R 2 ( p + 1 ) ω p 〈 z ¯ m z k ， z p 〉 − 1 2 log R ω − 1 〈 z ¯ m z k ， z − 1 〉 = 1 π ∑ p ≠ − 1 p = − ∞ ∞ p + 1 1 − R 2 ( p + 1 ) ω p ∫ 0 2 π ∫ R 1 r k + m + p + 1 e i ( k − m − p ) θ d r d θ     − 1 2 π log R ω − 1 ∫ 0 2 π ∫ R 1 r k + m e i ( k − m + 1 ) θ d r d θ 由 { ∫ 0 2π e i ( n − l ) θ d θ = 2 π ，                   n = l ; ∫ 0 2π e i ( n − l ) θ d θ = 0 ，                               n ≠ l . 进行如下讨论： ① 当 k ≠ m − 1 ， k − m − p = 0 时， p = k − m 时， P ( z k z ¯ m ) ( ω ) = k − m + 1 k + 1 1 − R 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k − m + 1 ) ω k − m ； ② 当 k = m − 1 时， k − m − p ≠ 0 ( p ≠ − 1 ) ，则 P ( z k z ¯ m ) ( ω ) = − ( 1 − R k + m + 1 ) ( k + m + 1 ) log R ω − 1 。 以下定理证明圆环Bergman空间上以有界调和函数为符号的Toeplitz算子的交换性。 定理2.1设 φ = f 1 + f ¯ 2 ， ψ = g 1 + g ¯ 2 在 Ω 上是有界调和函数。则 T φ T ψ = T ψ T φ 成立的充要条件是： 1) φ 和 ψ 在 Ω 上都是解析的。 2) φ ¯ 和 ψ ¯ 在 Ω 上都是解析的。 3) 存在不同时为零的复常数a和b，则 a φ + b ψ 在 Ω 上也是常值函数。 根据定理2.1可得出以下推论。 推论2.1设 u ( z ) = f ( z ) + g ( z ) ¯ ， T u 为正规算子当且仅当 a f + b g ≡ c 。其中c为常数，且 | a | + | b | > 0 。 以下证明本章的主要定理，给出了拟正规Toeplitz算子与正规Toeplitz算子的关系。 定理2.2设 u ( z ) = f ( z ) + g ( z ) ¯ ， f ( z ) = a n z n + a m z m ， g ( z ) = b n z n + b m z m 若 T u 是拟正规的，则 a n = λ b n ，     a m = λ b m     ( | λ | = 1 ) ， 其中m， n是非负整数且 n < m ， a i ≠ 0 ， b j ≠ 0 且 i ， j = 1 ， 2 。 进而由推论2.1得 T u 为正规算子。 证明：对充分大的k， T u z k = T f + g ¯ z k = T f z k + T g ¯ z k = ( f + T g ¯ ) z k . 由引理2.1得， T u z k = a n z k + n + a m z k + m + b ¯ n k − n + 1 k + 1 1 − R 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k − n + 1 ) z k − n + b ¯ m k − m + 1 k + 1 1 − R 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k − m + 1 ) z k − m 由此表达式可以看出， T u z k 由四个单项式 z k + n ， z k + m ， z k − n ， z k − m 组成。每经 T u 作用一次，即被 a n z n ， a m z m ， b ¯ n T z ¯ n ， b ¯ m T z ¯ m 作用一次。因为 k + 2 m − n 可以分解成： ( k + m ) + m + ( − n ) ，     ( k − n ) + m + m ，     ( k + m ) − n + m . 所以 T u ¯ T u T u z k 的表达式中 z k + 2 m − n 的系数为： a m a m a ¯ n k + 2 m − n + 1 k + 2 m + 1 1 − R 2 ( k + 2 m + 1 ) 1 − R 2 ( k + 2 m − n + 1 ) + a m b ¯ n b m k − n + 1 k + 1 1 − R 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k − n + 1 )   + b m b ¯ n a m k + m − n + 1 k + m + 1 1 − R 2 ( k + m + 1 ) 1 − R 2 ( k + m − n + 1 ) . (1) 同理 T u T u ¯ T u z k 的表达式中 z k + 2 m − n 的系数为： a m a m a ¯ n k + m − n + 1 k + m + 1 1 − R 2 ( k + m + 1 ) 1 − R 2 ( k + m − n + 1 ) + a m b ¯ n b m k − n + 1 k + 1 1 − R 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k − n + 1 )   + b m b ¯ n a m k + 2 m − n + 1 k + 2 m + 1 1 − R 2 ( k + 2 m + 1 ) 1 − R 2 ( k + 2 m − n + 1 ) . (2) 由 T u T u * T u z k = T u * T u T u z k ，左右两边z的各项幂次相同。故(3.1)与(3.2)相同，合并同类项为 [ a m ( a m a ¯ n − b m b ¯ n ) ( k + 2 m − n + 1 k + 2 m + 1 1 − R 2 ( k + 2 m + 1 ) 1 − R 2 ( k + 2 m − n + 1 ) − k + m − n + 1 k + m + 1 1 − R 2 ( k + m + 1 ) 1 − R 2 ( k + m − n + 1 ) ) ] z k + 2 m − n = 0 而 a m ≠ 0 ， k + 2 m − n + 1 k + 2 m + 1 1 − R 2 ( k + 2 m + 1 ) 1 − R 2 ( k + 2 m − n + 1 ) − k + m − n + 1 k + m + 1 1 − R 2 ( k + m + 1 ) 1 − R 2 ( k + m − n + 1 ) 不恒为0， 得 a m a ¯ n = b m b ¯ n . 另一方面， k − m 可以分解成： ( k − n ) + n − m ，     ( k − n ) − m + n ，     ( k + m ) − m − m ， ( k + n ) − m − n ，     ( k + n ) − n − m ，     ( k − m ) + n − n ， ( k − m ) + m − m ，     ( k − m ) − n + n ，     ( k − m ) − m + m ， ( k − n ) − m + n ，     ( k − n ) + n − m ，     ( k + m ) − m − m ， ( k + n ) − n − m ，     ( k + n ) − m − n ，     ( k − m ) − m + m ， ( k − m ) − n + n ，     ( k − m ) + m − m ，     ( k − m ) + n − n . 所以 T u ¯ T u T u z k 的表达式中 z k − m 的系数为： a ¯ n a n b ¯ m k − m + 1 k + 1 k − m + 1 k − m + n + 1 1 − R 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k − m + 1 ) 1 − R 2 ( k − m + n + 1 ) 1 − R 2 ( k − m + 1 ) + a ¯ n a n b ¯ m k − m + 1 k + n + 1 1 − R 2 ( k + n + 1 ) 1 − R 2 ( k − m + 1 )   + a ¯ m a n b ¯ n k − n + 1 k + 1 k − m + 1 k + 1 1 − R 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k − n + 1 ) 1 − R 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k − m + 1 ) + a n a ¯ m b ¯ n k − m + 1 k + n + 1 1 − R 2 ( k + n + 1 ) 1 − R 2 ( k − m + 1 )   + a ¯ m a m b ¯ m k − m + 1 k + 1 k − m + 1 k + 1 1 − R 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k − m + 1 ) 1 − R 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k − m + 1 ) + a ¯ m a m b ¯ m k − m + 1 k + m + 1     1 − R 2 ( k + m + 1 ) 1 − R 2 ( k − m + 1 )   + b n b ¯ n b ¯ m k − m − n + 1 k + 1 1 − R 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k − m − n + 1 ) + b n b ¯ m b ¯ n k − m − n + 1 k + 1 1 − R 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k − m − n + 1 )   + b ¯ m b ¯ m b m k − 2 m + 1 k + 1 1 − R 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k − 2 m + 1 ) . 同理 T u T u ¯ T u z k 的表达式中 z k − m 的系数为： a ¯ n a n b ¯ m k − m − n + 1 k + 1 1 − R 2 ( k − m + n + 1 ) 1 − R 2 ( k − m − n + 1 ) + a ¯ m a n b ¯ n k − n − m + 1 k + 1 1 − R 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k − n − m + 1 )   + a ¯ m a m b ¯ m k − 2 m + 1 k + 1 1 − R 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k − 2 m + 1 ) + a ¯ m a n b ¯ n k − m + 1 k + n + 1 1 − R 2 ( k + n + 1 ) 1 − R 2 ( k − m + 1 )   + b n b ¯ m b ¯ n k − m + 1 k + 1 1 − R 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k − m + 1 ) k − m + 1 k − m + n + 1 1 − R 2 ( k − m + n + 1 ) 1 − R 2 ( k − m + 1 )   + a ¯ n a n b ¯ m k − m + 1 k + n + 1 1 − R 2 ( k + n + 1 ) 1 − R 2 ( k − m + 1 ) + a ¯ m a m b ¯ m k − m + 1 k + m + 1 1 − R 2 ( k + m + 1 ) 1 − R 2 ( k − m + 1 )   + b n b ¯ m b ¯ n k − n + 1 k + 1 1 − R 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k − n + 1 ) k − m + 1 k + 1 1 − R 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k − m + 1 )   + b ¯ m b ¯ m b m k − m + 1 k + 1 1 − R 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k − m + 1 ) k − m + 1 k + 1 1 − R 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k − m + 1 ) . 故 T u ¯ T u T u z k 的表达式中 z k − m 与 T u T u ¯ T u z k 的表达式中 z k − m 系数，合并同类项的式子为： 将   a m a ¯ n = b m b ¯ n ，代入合并同类项，得： [ ( | a n | 2 − | b n | 2 ) ( k − 2 n + 1 k + 1 1 − R 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k − 2 n + 1 ) − ( k − m − 1 ) 2 ( k − m + n + 1 ) ( k + 1 ) [ 1 − R 2 ( k + 1 ) ] [ 1 − R 2 ( k − m + n + 1 ) ] [ 1 − R 2 ( k − m − 1 ) ] 2 )   + ( | a m | 2 − | b m | 2 ) ( k − 2 m + 1 k + 1 1 − R 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k − 2 m + 1 ) − ( k − m + 1 ) 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k + 1 ) [ 1 − R 2 ( k + n + 1 ) ] 2 ) ] z k − m = 0. (3.3) 故 [ ( | a n | 2 − | b n | 2 ) ( k − 2 n + 1 k + 1 1 − R 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k − 2 n + 1 ) − ( k − m − 1 ) 2 ( k − m + n + 1 ) ( k + 1 ) [ 1 − R 2 ( k + 1 ) ] [ 1 − R 2 ( k − m + n + 1 ) ] [ 1 − R 2 ( k − m − 1 ) ] 2 ) + ( | a m | 2 − | b m | 2 ) ( k − 2 m + 1 k + 1 1 − R 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k − 2 m + 1 ) − ( k − m + 1 ) 2 ( k + 1 ) 1 − R 2 ( k + 1 ) [ 1 − R 2 ( k + n + 1 ) ] 2 ) ] = 0. 当k充分大时，有 | a m | = | b m | . 对于 z k − n 前面的系数同理可得， | a n | = | b n | . 记 a n = e i θ 1 b n ， a m = e i θ 2 b m ( 0 ≤ θ 1 ， θ 2 < 2 π ) 。又 a m a ¯ n = b m b ¯ n ，故 e i ( θ 2 − θ 1 ) b m b ¯ n = b m b ¯ n ， 即 θ 1 = θ 2 。即存在 λ ， | λ | = 1 。使得 a n = λ b n ，     a m = λ b m . 故 f ( z ) = a n z n + a m z m = λ g ( z ) ，由推论2.1得 T u 为正规算子。 说明：上述证明中分解对应的单项式已被逐项验证。但由于篇幅限制，本文不一一列出。