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user: 4. 确定区域内地物的布尔代数结构 4.1. 基于幂集的布尔代数结构论证 [定理1] 亚当曲线设J是平面 Y ⊂ R 2 上的点集，它是圆周的同胚像(称为约当闭曲线)，则 Y − J 必由两个连通分支组成，以作为它们的共同边界 [ 29 ]。 由于方形、矩形、梯形等闭合线和任意约当曲线都同胚，它们也同约当曲线一样，把平面分为两个连通分支，即界线的内部 A ∘ 和外部 A e ，就点集性质而论，内部和外部都为开集，而边界线则为闭集。设 b ( A ) 为A的边界，则 A − = A ∘ ∪ b ( A ) 就是A的闭包，也即包含的最小闭集 [ 30 ]。对于任意的 A i ∈ A | i ∈ I A ，每个 A i 都有边界 b ( A i ) ，而且总有某些 A i 的边界与A的边界重合，即： ∀ b ( A i ) ， ∃ b ( A i ) ∈ b ( A ) | i ∈ I A (5) 根据库拉托夫斯基闭包公理，可知所有 A i 的闭包的并集等于A的闭包： A − = ∪ i ∈ I A A i − (6) (6)式表明，A的闭包与各地类 A i 的闭包 A i − 之间具有包含关系，即： A i − ⊂ A − | i ∈ I A (7) [定义3] 幂集设A是集合，由A的所有子集所组成的集合称为A的幂集，记为 P ( A ) 。即： P ( A ) = { X | X ⊆ A } (8) 根据(7)式给出的包含关系代入(8)式，得： p ( A − ) = { A i − | A i − ⊆ A − } (9) 由定义可知， ∅ ∈ P ( A − ) ; A − ∈ P ( A − ) ; A i − ∈ P ( A − ) 当且仅当 A i − ⊆ A − 。如果 A − 中有n个元素，则 P ( A − ) 中有 2 n 个元素 [ 31 ]。 由于 A − 是非空集合，则 ( P ( A − ) ， ∪ ， ∩ ， − ， ∅ ， A − ) 是布尔代数 [ 32 ]。 地图的点集模型、符号模型和图层数据库模型都属于布尔代数系，从模型与原型的一一对应性条件可见，作为地图制作原型的实地，无疑也具有布尔代数结构 [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]。 4.2. 基于拓扑变换的布尔代数算子 [定义4] 拓扑变换(同胚)设X和Y是两个随意的拓扑空间，并设 f : X → Y 。如果f是连续双一一函数，并且它是反函数 f − 1 也是连续的，f就叫做空间X到空间Y上的一个同胚或拓扑映射或拓扑变换。 地物的变化主要体现为某类性质的点集的新生或消亡、选取或舍弃、增补、扩大或缩小、移位、合并、分割等的变换，这些变换都属于满足特定条件下的拓扑变换。据此，可定义各个引发地类变化的布尔代数算子 [ 36 ] [ 37 ]： [定义5] 基于基本点集和结构点集运算的目标点集。 设 a i ， e i ∈ X | e i ⊆ a i ∨ e i ⊄ a i ，则称 a i 为基本点集， e i 为结构点集。在变换f下的象 c i = f ( a i ， e i ) ∈ Y 称为目标点集。 a i 和 e i 的关系及变换f决定着 的结果。 在[定义5]的基础上可对若干主要变换概念进行定义。 [定义6] 新生设 a i ∈ X ， c i ∈ Y ，在 P ( x ， y ， z ) ∈ a i ∨ c i ，若变换满足： ∃ a i = ∅ ∧ e i ≠ ∅ ⇒ c i = f 1 ( ∅ ∪ e i ) = e i ∈ Y (10) 则称 c i 为新生，即某一地点 P ( x ， y ， z ) 上由空集到非空集的变换。 i ∈ I A 的任意性使在 P ( x ， y ， z ) 点上可以新生任意性质的地物。 [定义7] 消亡设 a i ∈ X ， c i ∈ Y ， P ( x ， y ， z ) ∈ a i ∨ c i ，若变换满足： ∃ a i ≠ ∅ ∧ e i = ∅ ⇒ c i = f 2 ( a i ∩ ∅ ) = ∅ ∈ Y (11) 则称 c i 为 a i 的消亡。同理， i ∈ I A 的任意性使在 P ( x ， y ， z ) ∈ a i 上任何性质的地物都存在消亡的可能。 新生和消亡互为逆变换，即： f 1 − 1 = f 2 ∨ f 2 − 1 = f 1 (12) [定义8] 增补若变换满足： ∃ a i ≠ ∅ ∈ X ∧ e i ≠ ∅ ∉ X ⇒ c i = f 3 ( a i ∪ e i ) = ( a i ∪ e i ) ∈ Y (13) 则称 c i = ( a i ∪ e i ) ∈ Y 中的 e i 为在 a i 上的增补元素。 地图编绘中对现势地物的增补即属此列。 [定义9] 扩大若变换满足： ∃ a i ， e i ∈ X ⇒ c i = f 4 ( a i ∪ e i ) = ( a i ∪ e i ) ∈ Y | a i ≠ ∅ ， e i ≠ ∅ (14) 则称 c i ∈ Y 为 a i 的扩大。 [定义10] 缩小若变换满足： ∃ a i ， e i ∈ X ⇒ c i = f 5 ( a i − e i ) = ( a i − e i ) ∈ Y | a i ≠ ∅ ， e i ≠ ∅ (15) 则称 a i 与 e i 的差集 c i = ( a i − e i ) ∈ Y 为 a i 的缩小。 扩大与缩小变换互为逆变换，即： f 4 − 1 = f 5 ∨ f 5 − 1 = f 4 (16) 例如，在修筑道路时，若把道路视为 a i ，则 a i 在不断扩大，而被道路覆盖的主要地类就不断缩小，其扩大和缩小的代数和恒为零。 [定义11] 选取与舍弃 ∃ a i ≠ ∅ ∧ e i ≠ ∅ ， a i ， e i ∈ X ，若变换满足： ∃ a i ， e i ∈ X ⇒ c i = f 6 ( a i ) ∪ f 7 ( e i ∩ ∅ ) = ( a i ∪ ∅ ) = a i ∈ Y | a i ≠ ∅ ， e i ≠ ∅ (17) 则称 为对 a i 选取，而 f 7 = ( e i ∩ ∅ ) = ∅ 为对 e i 的舍弃。 选取与舍弃互为逆变换，即： f 6 − 1 = f 7 ∨ f 7 − 1 = f 6 (18) 地图编绘中对地物的选取和舍弃属于此定义的应用。 [定义12] 合并若变换满足： ∃ ( a i ∐ e i ) ∈ X ⇒ f 8 ( a i ∐ e i ) = ( a i ∪ e i ) = c i ∈ Y | a i ≠ ∅ ∧ e i ≠ ∅ (19) 则称 c i = ( a i ∪ e i ) ∈ Y 为对 a i 和 e i 的合并。合并即从分离并到并集的变换。 [定义13] 分割若变换满足： ∃ ( a i ∪ e i ) ∈ X ⇒ f 9 ( a i ∪ e i ) = ( a i ∐ e i ) = c i ∈ Y | a i ≠ ∅ ∧ e i ≠ ∅ (20) 则称 c i = ( a i ∐ e i ) ∈ Y 为对 a i 和 e i 的分割。分割即从并集到分离并的变换。 合并和分割互为逆变换，即： f 8 − 1 = f 9 ∨ f 9 − 1 = f 8 (21) 地图比例尺变换中街区的合并和分割最为常见。 [定义14] 无移位变换和移位设 P a ( x ， y ， z ) ∈ a i 为 a i 的定位点(定位中心)，若变换满足： ∃ P a ∈ a i ⇒ P c = f 10 ( P a ) ，   s . t   d ( P a ， P c ) ≥ 0 (22) 1) 当 d ( P a ， P c ) = 0 ⇔ 无移位变换。 s . t 表示“使得”或“能使”。 2) 当 d ( P a ， P c ) = k > 0 ⇔ 位移变换，k为位移值。 3) 当 a i 为线状地物 ∧ l a ∈ a i 为 a i 的定位线时，无位移变换和移位满足： ∀ P a ∈ l a ⇒ P c = f 10 ( P a ) ∈ Y ，   s . t   d ( P a ， P c ) = k (23) 在(23)式中，当且仅当 k = 0 时为无位移变换；当 k > 0 时，称 c i 为 a i 的移位，k为位移值。 例如，在某块地上挖一个池塘，原地块的定位中心与新挖池塘的中心是一致的，属无移位变换；把实地上的一条铁路和路边的一间房子表示到某种比例尺的地图上，由于半依比例的铁路在其路宽方向是非比例的，其路宽已占用了很多的实地空间，此时要表示路边的房子的相对关系，房子必须向外推移，这就造至了房子定位点的移位，铁路的定位中心线也需有一定量的移位。 [定义15] 地类性质变换设 i a ∈ a i ， i c ∈ c i ，若变换满足： ∃ i a ∈ a i ⇒ i c = f 11 ( i a ) ∈ c i | i a ≠ i c (24) 则称 c i 为 a i 的性质变换。 例如，在 a i 上原为草地( i a )，把它改种水稻( i c )，便属于地类性质变换。