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user: 5. Busemann-Hausdorff和Holmes-Thompson测度下的子流形 在Finsler几何中，BH-体积形式和HT-体积形式是两个重要的体积形式。根据式(10)，对任意维度的一般 ( α ， β ) -流形，函数 σ 均不能表示为初等函数，但我们仍然可以对它进行研究。因此在本小节，我们将深入研究一类特殊 ( α ， β ) -流形在BH-测度和HT-测度下的极小子流形和极小曲面的不存在性。 在文献 [ 11 ] 中，通过观察式(6)的最后一项，作者计算了式(10)中HT-情况下的 2 ( b σ b + t σ t ) + n σ ，即 2 ( b σ b + t σ t ) + n σ = Γ ( n 2 ) π Γ ( n − 1 2 ) ∫ 0 π [ 2 ( b Q b + t Q t ) + n Q ] sin n − 2 θ d θ (12) 其中 2 ( b Q b + t Q t ) + n Q = ( 2 b ϕ b + s ϕ s + n ϕ ) ( ϕ − s ϕ s ) n − 2 ( ϕ − s ϕ s + ( t − s 2 ) ϕ s s ) + ( n − 2 ) ϕ ( ϕ − s ϕ s ) n − 3 ( 2 b ( ϕ b − s ϕ s b ) − s 2 ϕ s s ) ( ϕ − s ϕ s + ( t − s 2 ) ϕ s s ) + ϕ ( ϕ − s ϕ s ) n − 2 [ 2 b ( ϕ b − s ϕ s b ) + ( 2 b ϕ s s b + s ϕ s s s ) ( t − s 2 ) + ϕ s s ( 2 t − 3 s 2 ) ] ， (13) 且 b :   = ‖   β ˜   ‖ α ˜ 2 ， t :   = ‖   β   ‖ α 2 。因为 s = t 1 2 cos θ ，所以式(11)中函数 Q 可以看作是关于 ( b ， t ) 的函数。当给定函数 ϕ = ϕ ( b ， s ) 且 ϕ 满足式(8)后，那么通过一个技术上的计算就可以判断出 2 ( b Q b + t Q t ) + n Q 值的正负(在这里利用了 b ≥ t ≥ s 2 关系)，因此作者证明了投影平坦Finsler流形 ( Β n + P ( r μ ) ， F ˜ μ ) 中不存在HT-极小子流形(参看定理5.6)。下面我们首先对在BH-情况下的 2 ( b σ b + t σ t ) + n σ 进行一个技术上的计算。 引理3 对任意两变量的函数 ϕ = ϕ ( b ， s ) 且满足式(8)，其中 s = t 1 2 cos θ ，我们有 2 ( b σ b + t σ t ) + n σ = π Γ ( n − 1 2 ) Γ ( n 2 ) [ ∫ 0 π ϕ − n sin n − 2 θ d θ ] − 2 ∫ 0 π 2 n ϕ − n − 1 ( b ϕ b + t ϕ t + 1 2 ϕ ) sin n − 2 θ d θ (14) 证明：根据式(10)中BH-情况我们计算: σ b = π Γ ( n − 1 2 ) Γ ( n 2 ) [ ∫ 0 π ϕ − n sin n − 2 θ d θ ] − 2 ∫ 0 π n ϕ − n − 1 ϕ b sin n − 2 θ d θ 从而有 2 b σ b = π Γ ( n − 1 2 ) Γ ( n 2 ) [ ∫ 0 π ϕ − n sin n − 2 θ d θ ] − 2 ∫ 0 π 2 n ϕ − n − 1 b ϕ b sin n − 2 θ d θ (15) 同理 2 t σ t = π Γ ( n − 1 2 ) Γ ( n 2 ) [ ∫ 0 π ϕ − n sin n − 2 θ d θ ] − 2 ∫ 0 π 2 n ϕ − n − 1 t ϕ t sin n − 2 θ d θ (16) 注意 σ ( b ， s ) = π Γ ( n − 1 2 ) Γ ( n 2 ) [ ∫ 0 π sin n − 2 θ ϕ ( b ， s ) n d θ ] − 1 ， 即 n σ = n π Γ ( n − 1 2 ) Γ ( n 2 ) [ ∫ 0 π sin n − 2 θ ϕ ( b ， s ) n d θ ] − 1     = π Γ ( n − 1 2 ) Γ ( n 2 ) [ ∫ 0 π ϕ − n sin n − 2 θ d θ ] − 2 ∫ 0 π n ϕ − n sin n − 2 θ d θ . (17) 依据式(15)，(16)和(17)，我们有 2 ( b σ b + t σ t ) + n σ = π Γ ( n − 1 2 ) Γ ( n 2 ) [ ∫ 0 π ϕ − n sin n − 2 θ d θ ] − 2 ∫ 0 π 2 n ϕ − n − 1 ( b ϕ b + t ϕ t + 1 2 ϕ ) sin n − 2 θ d θ 故得到了式(14)。下面将引理1应用于一般 ( α ， β ) -流形中的子流形，得到以下命题。 命题1 设 M n 是一个等距浸入到一般 ( α ， β ) -流形 ( M ˜ n + p ， F ˜ ) 的子流形，其中 F ˜ = α ˜ ϕ ( ‖   β ˜   ‖ α ˜ 2 ， β ˜ / α ˜ ) 。如果 β ˜ 是共形向量场(2)， β ˜ 是关于 α ˜ 的共形1-形式且共形因子 c ≠ 0 ，那么在BH-测度和HT-测度下我们有 d i v M ( Φ β # ) = n 〈 H → σ   ，   β ˜ # 〉 α ˜ + c [ 2 ( b σ b + t σ t ) + n σ ] (18) 其中 b = ‖ β ˜ ‖ α ˜ 2 ， t = ‖ β ‖ α 2 ， σ 由式(10)给出， Φ 由式(3)定义， H → σ 称为流形 M 的 σ -平均曲率向量(5)，最后一项由式(12)，(13)和(14)给出。 现在考虑一类特殊的 ( α ， β ) -度量(Randers度量，Square度量和Matsumoto度量)，其中度量 F ˜ = α ˜ ϕ ( s ) ， s = β ˜ / α ˜ 且 ϕ ( 0 ) = 1 。文献 [ 16 ] 已经详细计算了这类度量在满足式(8)的条件下是Finsler度量。下面依据式(18)研究这类特殊 ( α ， β ) -流形 ( M ˜ ， F ˜ ) 在一定条件下不存在闭的可定向的BH-极小子流形和闭的可定向的HT-极小曲面(这里 ϕ 与 b 无关，故 ϕ b = 0 )。 定理1 设 ( M ˜ ， F ˜ ) 是一个Finsler流形，其中 F ˜ = α ˜ ϕ ( s ) = α ˜ + β ˜ ， β ˜ 是关于 α ˜ 的共形1-形式且共形因 子 c ≠ 0 。则在 0 ≤ b < 1 2 的条件下，Finsler流形 ( M ˜ ， F ˜ ) 中不存在闭的可定向的BH-极小子流形，其中 b 表 示 β ˜ 在Riemann度量 α ˜ 下的长度。 证明：对任意的 x ∈ M ˜ ，给定 β ˜ 在Riemann度量 α ˜ 下的长度 b :   = ‖ β ˜ x ‖ α ˜ < 1 ，依据式(8)我们有 ϕ − s ϕ s = 1 ，   ϕ − s ϕ s + ( b 2 − s 2 ) ϕ s s = 1 所以 F ˜ 在条件 | s | ≤ b < 1 下是正定的Finsler度量。由式(14)可以有(这里 s = t 1 2 cos θ ): t ϕ t = 1 2 s ，   t ϕ t + 1 2 ϕ = 1 2 ( 1 + 2 s ) 当给定条件 | s | ≤ b < 1 2 ， ϕ > 0 时，则有 2 n ϕ − n − 1 ( b ϕ b + t ϕ t + 1 2 ϕ ) = 2 n ϕ − n − 1 ( t ϕ t + 1 2 ϕ ) = n ϕ − n − 1 ( 2 s + 1 ) > 0 那么根据命题1，若存在一个闭的可定向的子流形 M ，则当 c > 0 且 H → σ = 0 时，流形 M 上的积分(18) 会出现一个矛盾，所以Finsler流形 ( M ˜ ， F ˜ ) 在条件 0 ≤ b < 1 2 下不存在闭的可定向的BH-极小子流形。 注记2 依据定理1的证明过程。设 ( M ˜ ， F ˜ ) 是一个Finsler流形，其中 F ˜ = ( α ˜ + β ˜ ) 2 α ˜ ， β ˜ 是关于 α ˜ 的 共形1-形式且共形因子 c ≠ 0 。则对任意的 x ∈ M ˜ ， β ˜ 在Riemann度量 α ˜ 下的长度 ‖ β ˜ x ‖ α ˜ < 1 ，对所有 | s | ≤ b < 1 ，我们有 ϕ − s ϕ s + ( b 2 − s 2 ) ϕ s s = ( 1 + s ) 2 − 2 s ( 1 + s ) + 2 ( b 2 − s 2 )                   = 1 + 2 b 2 − 3 s 2 ≥ 1 − b 2 > 0 ， 所以 F ˜ 在条件 | s | ≤ b < 1 下是正定的Finsler度量。当给定条件 | s | ≤ b < 1 3 ， ϕ > 0 时，由式(14)可以有 2 n ϕ − n − 1 ( t ϕ t + 1 2 ϕ ) = 2 n ϕ − n − 1 [ ( 1 + s ) s + 1 2 ( 1 + s ) 2 ]                     = n ( 3 s 2 + 4 s + 1 ) ϕ − n − 1                     = n ( s + 1 ) ( 3 s + 1 ) ϕ − n − 1 > 0. 那么由命题1，当 c > 0 且 H → σ = 0 时，对式(18)进行积分会出现一个矛盾，所以Finsler流形 ( M ˜ ， F ˜ ) 在 条件 0 ≤ b < 1 3 下不存在闭的可定向的BH-极小子流形。 注记3 同注记2的讨论方法一样。给定 ϕ ( s ) = 1 1 − s ，则 F ˜ = α ˜ 2 α ˜ − β ˜ ，其中 β ˜ 是关于 α ˜ 的共形1-形式且共形因子 c ≠ 0 。对任意的 x ∈ M ˜ ， β ˜ 在Riemann度量 α ˜ 下的长度 ‖ β ˜ x ‖ α ˜ < 1 ，依据式(8)易证明度量 F ˜ 在条件 | s | ≤ b < 1 2 下是正定的Finsler度量。当给定条件 | s | ≤ b < 1 2 ， ϕ > 0 时，根据式(14)我们有 2 n ϕ − n − 1 ( t ϕ t + 1 2 ϕ ) = 2 n ϕ − n − 1 [ s 2 ( 1 − s ) 2 + 1 2 ( 1 − s ) ]                 = 2 n ϕ − n − 1 1 2 ( 1 − s ) 2                 = n ϕ − n + 1 > 0. 从而根据命题1，当 c > 0 且 H → σ = 0 时，对式(18)进行积分会出现一个矛盾，所以在条件 0 ≤ b < 1 2 下， Finsler流形 ( M ˜ ， F ˜ ) 不存在闭的可定向的BH-极小子流形。 现在来观察等式(13)，因为 ϕ = ϕ ( s ) 与 b 无关且 ϕ b = ϕ s b = ϕ s s b = 0 ，所以式(13)右边的第二项是一个负值。在这种情况下给定函数 ϕ = ϕ ( s ) ，则 2 ( b Q b + t Q t ) + n Q 的计算将会变得复杂。因此为了简便计算，我们将这类特殊 ( α ， β ) -流形限制在 n = 2 (曲面情况)进行讨论，那么式(13)可以简化为 2 [ ( b Q b + t Q t ) + Q ] = ( s ϕ s + 2 ϕ ) ( ϕ − s ϕ s + ( t − s 2 ) ϕ s s ) + ϕ [ s ϕ s s s ( t − s 2 ) + ϕ s s ( 2 t − 3 s 2 ) ] . (19) 接下来根据式(19)，我们继续探讨这类特殊 ( α ， β ) -流形在Holmes-Thompson测度下极小曲面的不存在性。 定理2 设 ( M ˜ ， F ˜ ) 是一个Finsler流形，其中 F ˜ = ( α ˜ + β ˜ ) 2 α ˜ ， β ˜ 是关于 α ˜ 的共形1-形式且共形因子 c ≠ 0 。则在 0 ≤ b < 13 − 1 6 的条件下，Finsler流形 ( M ˜ ， F ˜ ) 不存在闭的可定向的HT-极小曲面，其中 b 表 示 β ˜ 在Riemann度量 α ˜ 下的长度。 证明：对任意的 x ∈ M ˜ ， β ˜ 在Riemann度量 α ˜ 下的长度 ‖ β ˜ x ‖ α ˜ < 1 ，易得到 F ˜ 在条件 | s | ≤ b < 1 下是正定的Finsler度量。由式(19)我们有 ϕ = ( 1 + s ) 2 ，   ϕ s = 2 ( 1 + s ) ，   ϕ s s = 2 ，   ϕ s s s = 0 从而有 s ϕ s + 2 ϕ = 2 ( s + 1 ) ( 2 s + 1 ) ϕ − s ϕ s + ( t − s 2 ) ϕ s s = 1 + 2 t − 3 s 2 在这里 b ，   t ，   s = t 1 2 cos θ 的关系是 b ≥ t ≥ s 2 。当给定条件 | s | ≤ b < 13 − 1 6 时，我们有 2 [ ( b Q b + t Q t ) + Q ] = 2 ( s + 1 ) ( 2 s + 1 ) ( 1 + 2 t − 3 s 2 ) + 2 ( 1 + s ) 2 ( 2 t − 3 s 2 ) = 2 ( s + 1 ) ( − 9 s 3 − 6 s 2 + 2 s + 6 t s + 4 t + 1 ) = 2 ( s + 1 ) [ ( 6 s + 4 ) ( t − s 2 ) − 3 s 3 − 2 s 2 + 2 s + 1 ] = 2 ( s + 1 ) [ ( 6 s + 4 ) ( t − s 2 ) + ( s + 1 ) ( − 3 s 2 + s + 1 ) ] ≥ 2 ( s + 1 ) 2 ( − 3 s 2 + s + 1 ) > 0. 那么依据命题1，当 c > 0 且 H → σ = 0 时，若存在一个闭的可定向的极小曲面，则对式(18)进行积分会 出现一个矛盾，所以Finsler流形 ( M ˜ ， F ˜ ) 在条件 0 ≤ b < 13 − 1 6 下不存在闭的可定向的HT-极小曲面。 注记4 给定 ϕ ( s ) = 1 + s ，则 F ˜ = α ˜ + β ˜ ，其中 β ˜ 是关于 α ˜ 的共形1-形式且共形因子 c ≠ 0 。对任意的 x ∈ M ˜ ， β ˜ 在Riemann度量 α ˜ 下的长度 ‖ β ˜ x ‖ α ˜ < 1 ，那么度量 F ˜ 在条件 | s | ≤ b < 1 下是正定的Finsler度量。因为 ϕ − s ϕ s = 1 ，   ϕ s s = ϕ s s s = 0 ，所以式(13)可以化简为式(19)的一般情况。因此我们讨论 n = 2 是一种特殊的 情况，当限制 | s | ≤ b < n n + 1 ，根据式(13)计算可得 2 ( b Q b + t Q t ) + n Q = ( s ϕ s + n ϕ ) = ( n + 1 ) s + n > 0 那么依据命题1，当 c > 0 且 H → σ = 0 时，对式(18)进行积分会出现一个矛盾，所以Finsler流形 ( M ˜ ， F ˜ ) 在条件 0 ≤ b < n n + 1 下不存在闭的可定向的HT-极小子流形。 注记5 依据定理2的证明过程。设 ( M ˜ ， F ˜ ) 是一个Finsler流形，其中 F ˜ = α ˜ 2 α ˜ − β ˜ ， β ˜ 是关于 α ˜ 的共形1-形式且共形因子 c ≠ 0 。则依据式(8)易证明度量 F ˜ 在条件 | s | ≤ b < 1 2 下是正定的Finsler度量，那么根据式(19)可得 s ϕ s + 2 ϕ = 2 − s ( 1 − s ) 2 ，   ϕ − s ϕ s + ( t − s 2 ) ϕ s s = 1 − 3 s + 2 t ( 1 − s ) 3 ， s ϕ s s s ( t − s 2 ) + ϕ s s ( 2 t − 3 s 2 ) = ( 2 s + 4 ) ( t − s 2 ) − 2 s 2 ( 1 − s ) ( 1 − s ) 4 . 当给定条件 | s | ≤ b < 2 5 ， ϕ > 0 且 b ≥ t ≥ s 2 时，我们有 2 [ ( b Q b + t Q t ) + Q ] = ( 2 − s ) ( 1 − 3 s + 2 t ) ( 1 − s ) 5 + ( 2 s + 4 ) ( t − s 2 ) − 2 s 2 ( 1 − s ) ( 1 − s ) 5                   = [ ( 2 − s ) ( 1 − 3 s + 2 t ) + ( 2 s + 4 ) ( t − s 2 ) − 2 s 2 ( 1 − s ) ] ϕ 5                   = ( − 3 s 2 − 7 s + 2 + 8 t ) ϕ 5                           = [ 5 s 2 − 7 s + 2 + 8 ( t − s 2 ) ] ϕ 5 ≥ ( s − 1 ) ( 5 s − 2 ) ϕ 5 > 0. 那么依据命题1，当 c > 0 且 H → σ = 0 时，对式(18)进行积分会出现一个矛盾，所以在条件 0 ≤ b < 2 5 下， Finsler流形 ( M ˜ ， F ˜ ) 中不存在闭的可定向的HT-极小曲面。