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user: 3. t α 型热传导方程解的性质 3.1. 解的存在性 首先我们用傅里叶变换来求解 t α 型热传导方程的柯西问题： { ∂ u ∂ t = t α ∂ 2 u ∂ x 2 + f ( x ， t ) u ( x ， 0 ) = φ ( x ) ( 0 ≤ α ≤ l ) (11) 在研究这一个非齐次的 t α 型热传导方程之前，我们先求解齐次 t α 型热传导方程： { ∂ u ∂ t = t α ∂ 2 u ∂ x 2 u ( x ， 0 ) = φ ( x ) ( 0 ≤ α ≤ l ) (12) 对x进行傅里叶变换，记 F [ u ( x ， t ) ] = u ˜ ( λ ， t ) ， F [ φ ( x ) ] = φ ˜ ( λ ) 。 对式(10)的两边关于x进行傅里叶变换，可以得到 { d u ˜ d t = − t α λ 2 u ˜ u ˜ ( λ ， 0 ) = φ ˜ (λ) 上式的解为 u ˜ ( λ ， t ) = φ ˜ ( λ ) e − λ 2 α + 1 t α + 1 . 函数 e − λ 2 α + 1 t α + 1 的傅里叶逆变换为 F − 1 ( e − λ 2 α + 1 t α + 1 ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e − λ 2 α + 1 t α + 1 e i λ x d λ = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e − λ 2 α + 1 t α + 1 ( cos λ x + i sin λ x ) d λ = 1 π ∫ 0 ∞ e − λ 2 α + 1 t α + 1 cos λ x d λ . 利用复变函数的积分计算得 ∫ 0 ∞ e − λ 2 α + 1 t α + 1 cos λ x d λ = α + 1 t α + 1 π 2 e − α + 1 4 t α + 1 x 2 所以 F − 1 [ e − λ 2 α + 1 t α + 1 ] = α + 1 2 π t α + 1 e − α + 1 4 t α + 1 x 2 . 因此，利用傅里叶变换性质，我们可以得到齐次 t α 型热传导方程的柯西问题的解为 u ( x ， t ) = α + 1 2 π t α + 1 ∫ − ∞ ∞ φ ( ξ ) e − ( x − ξ ) 2 ( α + 1 ) 4 t α + 1 d ξ . (13) 在求解出齐次 t α 型热传导方程的柯西问题后，由齐次化原理，非齐次方程柯西问题的解也可以写为 u ( x ， t ) = ∫ 0 l w ( x ， t ; τ ) d τ ， 其中， w = w ( x ， t ; τ ) 为下面的定解问题的解： { ∂ w ∂ t = t α ∂ 2 w ∂ x 2 ， t > τ ， w ( x ， τ ) = f ( x ， τ ) . 这样，由叠加原理及上述求得的解，我们就求得了问题(11)的解为 u ( x ， t ) = α + 1 2 π t α + 1 ∫ − ∞ ∞ φ ( ξ ) e − ( x − ξ ) 2 ( α + 1 ) 4 t α + 1 d ξ + α + 1 2 π ∫ 0 t ∫ − ∞ ∞ f ( ξ ， τ ) ( t − τ ) α + 1 e − ( x − ξ ) 2 ( α + 1 ) 4 ( t − τ ) α + 1 d ξ d τ . (14) 定理1若 φ ( x ) 连续且有界，则 t α 型热传导方程柯西问题的解是存在的。 证明：设 | φ ( x ) | ≤ M ，则注意到 ∫ − ∞ ∞ e − ζ 2 d ζ = π ，由式(13)得 | u ( x ， t ) | ≤ M 1 π | ∫ − ∞ ∞ α + 1 2 t α + 1 e − ( x − ξ ) 2 ( α + 1 ) 4 t α + 1 d ξ | = M 1 π ∫ − ∞ ∞ e − ζ d ζ = M 这就说明了式(13)是有界的。 下面证明式(13)满足方程(12)，在式(11)中，令 ζ = ( ξ − x ) α + 1 2 t α + 1 ，得到 u ( x ， t ) = 1 π ∫ − ∞ ∞ φ ( x + 2 ζ t α + 1 α + 1 ) e − ζ 2 d ζ . 又有 φ ( x 0 ) = 1 π ∫ − ∞ ∞ φ ( x 0 ) e − ζ 2 d ζ ， 因此 u ( x ， t ) − φ ( x 0 ) = 1 π ∫ − ∞ ∞ [ φ ( x + 2 ζ t α + 1 α + 1 ) − φ ( x 0 ) ] e − ζ 2 d ζ . 对于所给的 ε > 0 ，取 N > 0 足够大，使 1 π ∫ N ∞ e − ζ 2 d ζ ≤ ε 6 M ， 1 π ∫ − ∞ − N e − ζ 2 d ζ ≤ ε 6 M ， 固定N，由 φ ( x ) 的连续性，可找到 δ > 0 ，使当 | x − x 0 | ≤ δ ， 0 < t ≤ δ 时成立 | φ ( x + 2 ζ t α + 1 α + 1 ) − φ ( x 0 ) | ≤ ε 3 ( − N ≤ ζ ≤ N ) 因此 | u ( x ， t ) − φ ( x 0 ) | = | 1 π ∫ − ∞ ∞ [ φ ( x + 2 ζ t α + 1 α + 1 ) − φ ( x 0 ) ] e − ζ 2 d ζ | ≤ 2 M π ∫ − ∞ − N e − ζ 2 d ζ + 1 π ∫ − N N | φ ( x + 2 ζ t α + 1 α + 1 ) − φ ( x 0 ) | e − ζ 2 d ζ + 2 M π ∫ N ∞ e − ζ 2 d ζ ≤ 1 π ε 3 ∫ − N N e − ζ 2 d ζ + 4 M ε 6 M ≤ ε 3 + 2 ε 3 = ε 这样，我们就证明了式(13)是柯西问题(12)的有界解。 3.2. 解的唯一性和稳定性 极值原理是描述扩散、热传导等现象的热传导方程的重要特性。现在我们对齐次 t α 型热传导方程 u t = t α u x x 的极值原理进行阐述。 极值原理 设 u ( x ， t ) 在矩形 R T { 0 ≤ x ≤ l ， 0 ≤ t ≤ T } 上连续，并且在矩形内部满足齐次 t α 型热传导方程， 则它在矩形的两个侧边( x = 0 及 x = l ， 0 ≤ t ≤ T )及底边( t = 0 ， 0 ≤ x ≤ l )上取到其最大值和最小值。换而言之，如果以 Γ T 表示 R T 的两侧边及底边所组成的边界曲线，那么成立着 max R T u ( x ， t ) = max Γ T u ( x ， t ) ，     max R T u ( x ， t ) = max Γ T u ( x ， t ) . 定理2 由极值原理，可以得到下述的 t α 型热传导方程的初边值问题 { u t = t α u x x + f ( x ， t ) ， u ( x ， 0 ) = φ ( x ) ， u ( 0 ， t ) = u 1 ( t ) ， u ( l ， t ) = u 2 ( t ) ， ( 0 ≤ α ≤ 1 ) (15) 在区域 R T 上的解是唯一的，而且连续地依赖于边界 Γ T 上所给定的初始条件及边界条件。 证明：假设问题(15)有两个解 u 1 及 u 2 ，则其差为 u = u 1 − u 2 在区域 R T 内满足齐次方程 u t = t α u x x ， 而在 Γ T 上取零值，于是由极值原理就能得到在 R T 上 u ≡ 0 ，即这两个解在 R T 全同。 其次，如果初边值问题的两个解 u 1 和 u 2 在 Γ T 上满足 | u 1 − u 2 | ≤ ε ， 则由极值原理就能得到在 R T 内也成立 | u 1 − u 2 | ≤ ε . 这就证明了初边值问题(15)的解的稳定性。