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user: 2. 引理和结论 为了证明定理1，我们首先引入几个引理。 2.1. 引理1 扫帚树 B ( n i ， l i ) 的Wiener指标为： W ( B ( n i ， l i ) ) = ∑ j = 1 l i − 1 j ( l i − j − 1 ) + 2 C n i − l i + 1 2 + ( n i − l i + 1 ) ∑ i = 1 l i − 1 j 2.2. 引理2 令图G为一个阶为 2 d + 1 ，直径为d的单圈图，圈C是图G的一个阶为 2 d + 1 − k 的子图。如图2，令 v 1 为图 G − C 的一个度大于等于3的顶点，同时与 v 2 和 v 3 相连，且有 v 2 和 v 3 到圈C的直径是 v 1 到圈C的直径加1，即 d ( C ， v 2 ) = d ( C ， v 3 ) = d ( C ， v 1 ) + 1 。保证图G的直径不变，将图G变化为图 G ′ = G − v 1 v 2 + v 2 v 3 。当 d > k 时，有 W ( G ′ ) ≥ W ( G ) 。 图2. 引理1 证明：图 G 1 ， G 2 ， G 3 都是图G删去边 v 1 v 2 和 v 1 v 3 得到的部分，其中 v 1 ∈ G 1 ， v 2 ∈ G 2 ， v 3 ∈ G 3 并且 C ∈ G 1 。保证图G的直径不变，令 G ′ = G − v 1 v 2 + v 2 v 3 ，则有 Δ W = W ( G ′ ) − W ( G ) = n ( G 2 ) [ n ( G 1 ) − n ( G 3 ) ] 。 当 d > k 时，有 ，则 Δ W > 0 ，即 W ( G ′ ) ≥ W ( G ) 。 2.3. 引理3 令图G为一个阶为 2 d + 1 ，直径为d的单圈图，圈C是图G的一个阶为 2 d + 1 − k 的子图。如图3， H 0 是图 G − C 的子图，且扫帚树 B ( n i ， l i ) ， B ( n j ， l j ) 是图G的子图且链接于同一个顶点v。 l i = l j ， n i − n j > 0 且 v ∉ B ( n i ， l i ) ， v ∉ B ( n j ， l j ) 。令 G ′ = G − B ( n i ， l i ) − B ( n j ， l j ) + B ( n i − 1 ， l i ) + B ( n j + 1 ， l j ) ，当 d > k 时，有 W ( G ′ ) ≥ W ( G ) 。 图3. 引理3 证明：由条件可知： Δ W = W ( G ′ ) − W ( G ) = ( 2 l i − 2 ) ( n i − 1 − n j ) 。 明显当 n i − n j > 0 时， Δ W ≥ 0 ，即 W ( G ′ ) ≥ W ( G ) 。 2.4. 引理4 令图G为一个阶为 2 d + 1 ，直径为d的单圈图，圈C是图G的一个阶为 2 d + 1 − k 的子图。如图4， H 0 是图 G − C 的子图，且扫帚树 B ( n i ， l i ) ， B ( n j ， l j ) 是图G的子图且链接于同一个顶点v。 l i = l j ， n i − n j = 0 或1，且 v ∉ B ( n i ， l i ) ， B ( n j ， l j ) 。令 G ′ = G − B ( n i ， l i ) − B ( n j ， l j ) + B ( n i + n j ， l i ) ，当 d > ( k + 1 ) 2 4 时，有 W ( G ′ ) > W ( G ) 。 图4. 引理4 证明：令 Δ W = W ( G ′ ) − W ( G ) = [ W ( C ′ ) + ω G ( B ( n i + n j ， l i ) ) + ω G ( B ( n i + n j ， l i ) ， C ′ ) ]     − [ W ( C ′ ) + W ( B ( n i ， l i ) ) + W ( B ( n j ， l j ) ) + ω G ( B ( n i ， l i ) ， B ( n j ， l j ) )     + ω G ( B ( n i ， l i ) ， C ′ ) + ω G ( B ( n j ， l j ) ， C ′ ) ] = [ W ( C ′ ) + ω G ( B ( n i + n j ， l i ) ) + ω G ( B ( n i + n j ， l i ) ， C ′ ) ]     − [ W ( C ′ ) + W ( B ( n i ， l i ) ) + W ( B ( n j ， l j ) ) + ω G ( B ( n i ， l i ) ， B ( n j ， l j ) )     + ω G ( B ( n i ， l i ) ， C ′ ) + ω G ( B ( n j ， l j ) ， C ′ ) ] = [ W ( B ( n i + n j ， l i ) ) − W ( B ( n i ， l i ) ) − W ( B ( n j ， l j ) ) − ω G ( B ( n i ， l i ) ， B ( n j ， l j ) ) ]     + [ ω G ( B ( n i + n j ， l i ) ， C ′ ) − ω G ( B ( n i ， l i ) ， C ′ ) − ω G ( B ( n j ， l j ) ， C ′ ) ] = [ W ( B ( n i + n j ， l i ) ) − W ( B ( n i ， l i ) ) − W ( B ( n j ， l j ) ) − ( n i ω j + n j ω i ) ]     + n ( C ′ ) ∑ k = 1 l i − 1 k 其中 ω i = d B ( n i ， l i ) ( v ) = ∑ k = 1 l i k + l i ( n i − l i ) 。 当 l i = l j = l ， n i = n j = n 时， 2 n + n ( C ′ ) = 2 d + 1 ，则有 Δ W = 1 3 ( l − 1 ) ( 3 d l + l 2 − 2 l − 6 n 2 ) > 1 3 ( 6 d − 6 n 2 ) > 2 × ( k + 1 ) 2 4 − 2 × ( k 2 ) 2 = k + 1 2 > 0 。所以，当 d > ( k + 1 ) 2 4 时， W ( G ′ ) > W ( G ) 。 当 l i = l j = l ， n i = n j + 1 = n + 1 时， 2 n + 1 + n ( C ′ ) = 2 d + 1 时，则有 Δ W = ( l − 1 ) ( 1 3 l 2 − 1 6 l + d l − 2 n 2 − 2 n ) − 2 > 1 3 × 2 2 − 1 6 × 2 + 2 d − 2 n 2 − 2 n − 2 > − 2 × ( k − 1 2 ) 2 − 2 × k − 1 2 + 2 × ( k + 1 ) 2 4 − 1 = k > 0 。所以，当 d > ( k + 1 ) 2 4 时， W ( G ′ ) > W ( G ) 。 2.5. 结论1 (扫帚变换) 令图G为一个阶为 2 d + 1 ，直径为d的单圈图，圈C是图G的一个阶为 2 d + 1 − k 的子图。通过以下步骤可以将单圈图G中链接在圈C上的任意一支树 T i 变成扫帚树，使得Wiener指标增加。令 T i 与圈C链接于圈上的点 u i 。 第一步：当 d > k 时，反复进行引理2中的变换，直到 T i 的所有悬挂点都与顶点 u i 的距离相等，在此过程中G的Wiener指标不断增大。 第二步：由引理3可知，当 d > k 时，任意选取两个扫帚树 B ( n i ， l i ) ， B ( n j ， l j ) ⊂ T i 满足条件： l i = l j 和 n i − n j ≥ 0 ，通过反复进行将 B ( n i ， l i ) 和 B ( n j ， l j ) 变为 B ( n i − 1 ， l i ) 和 B ( n j + 1 ， l j ) 的变化，我们可以不断增加Wiener指标，直到 n ′ i = n ′ j 或者 n ′ i = n ′ j + 1 。再根据引理4，当 d > ( k + 1 ) 2 4 时，将 B ( n ′ i ， l i ) 和 B ( n ′ j ， l j ) 变为 B ( n ′ i + n ′ j ， l i ) ，此过程中G的Wiener指标不断增大，反复步骤二直至 T i 变成扫帚树。 2.6. 引理5 [ 8 ] 阶为m的圈C上的一个顶点u到圈上其他各点的距离和为： d C m ( u ) = { 1 4 m 2                     ( 当 m 是 偶 数 ) 1 4 ( m 2 − 1 )       ( 当 m 是 奇 数 ) 阶为m的圈C的Wiener指标为： W ( c m ) = { 1 8 m 3                             ( 当 m 是 偶 数 ) 1 8 m ( m 2 − 1 )         ( 当 m 是 奇 数 ) 2.7. 引理6 令图G是一个阶为 2 d + 1 ，直径为d的单圈图，圈C是图G的一个阶为 2 d + 1 − k 的子图。在单圈图G上有扫帚树 B ( n i ， l i ) 链接在圈C上的点 u i 上。令 G ′ = G − v i ， l i − 1 v i ， l i − 2 + v i ， l i − 2 v i ， l i ，当 d > k 时，有 W ( G ′ ) ≥ W ( G ) 。 证明：令 G ′ = G − v i ， l i − 1 v i ， l i − 2 + v i ， l i − 2 v i ， l i ，有 Δ W = W ( G ′ ) − W ( G ) = ( n i − l i ) ( 2 d − n i + l i − 1 ) 。 当 d > k 时，有 Δ W > 0 ，即 W ( G ′ ) > W ( G ) 。 2.8. 引理7 在图 G = G d ， i ( 2 d + 1 ) = C u 0 u 1 ⋯ u 2 d − k ( B ( n 0 ， l 0 ) ， B ( n 1 ， l 1 ) ， ⋯ ， B ( n 2 d − k ， l 2 d − k ) ) 中，令集合 P = { P ⊂ G d ， i ( 2 d + 1 ) } ，图中必定存在一支中心扫帚树 B ( n i ， l i ) 有 B ( n i ， l i ) ∈ ∩ P ( i ， j ) 。若不存在，必定可以通过引理6获得一个存在中心扫帚树且Wiener指标更大的图 G ′ 。 证明：当 i = 1 时，令唯一的一支扫帚树为中心扫帚树。 当 i > 1 时，若集合 P = { P ∈ G d ， i ( 2 d + 1 ) } 中不存在 P ( i ， j ) ，反复通过引理6中的变化，我们必定可以得到一个有更大Wiener指标，且集合 P = { P ∈ G d ， i ( 2 d + 1 ) } 不为空的情况。 当集合 P 中只有一个 P ( i ， j ) ，则令 P ( i ， j ) 上两支扫帚树中直径较大的一支为中心扫帚树。 当集合 P 中有两个或以上 P ( i ， j ) ，如果不存在 B ( n i ， l i ) ∈ ∩ P ( i ， j ) ，我们将情况分为以下三种： 情况1：在图 G d ， 4 ( 2 d + 1 ) 中，将扫帚树任意标为 B ( n a ， l a ) ， B ( n b ， l b ) ， B ( n c ， l c ) 和 B ( n d ， l d ) ，若存在 P ( a ， c ) 和 P ( b ， d ) ，且 n a ≥ n c ， n b ≥ n d ，我们可以得出： l b + l d ≥ k − 1 2 ， l a + l c ≥ k − 1 2 ， l a + l b + l c + l d ≤ k 。因此，我们可以得到： l a + l c = k − 1 2 且 l b + l d = k + 1 2 ；或者 l a + l c = l b + l d = k − 1 2 。此时令 B ( n b ， l b ) 与 B ( n d ， l d ) 中直径较大的一支为中心扫帚树。 情况2：在图 G d ， 5 ( 2 d + 1 ) 中，将扫帚树顺时针标为 B ( n a ， l a ) ， B ( n b ， l b ) ， B ( n c ， l c ) ， B ( n d ， l d ) 和 B ( n e ， l e ) 。显然该图可以被刻画为： l a + l c = l b + l d = k − 1 2 ， l e = n e = 1 。假设 n a + n b ≥ n c + n d 。令 G ′ = G − B ( n e ， l e ) + B ( n e − 1 ， l e − 1 ) 且 n e = l e = n e − 1 = l e − 1 = 1 ，很明显Wiener指标会增长，有如下 Δ W = n d ( n a + n b − n c − n d ) > 0 。因此总存在一个有着更大Wiener指标的图 G d ， 4 ( 2 d + 1 ) 存在不为空的P。 情况3：在图 G d ， i ( 2 d + 1 ) ， i > 5 ，将扫帚树顺时针标为 B ( n a ， l a ) ， B ( n b ， l b ) ， B ( n c ， l c ) ， B ( n d ， l d ) 等，假设存在 P ( a ， c ) 和 P ( b ， d ) ，我们可以得到 l a + l c ≥ k − 1 2 且 l b + l d ≥ k − 1 2 ， l a + l b + l c + l d ≤ k − 2 ，条件相互矛盾，因此不可能存在不包含中心扫帚树的P，该情况不存在。 2.9. 引理8 在图 G = G d ， i ( 2 d + 1 ) 中， i ≥ 1 ， k ≥ 1 ，则存在一个图 G ′ = G d ， i − 1 ( 2 d + 1 ) ，其中 n ( B ( n i ， l i ) ) ≥ 0 ，当 d ≥ 9 k 2 ，有 W ( G ′ ) ≥ W ( G ) 。 证明：任意选取一支扫帚树记为 B ( n 0 ， l 0 ) 。如图5， B ( n 0 ， l 0 ) 链接于圈C上顶点 u 0 ，从 u 0 开始将圈上的顶点顺时针(或逆时针)记为 u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u 2 d − k 。 v 0 ， 1 和 v 0 ， 2 是在 B ( n 0 ， l 0 ) 上的两个顶点，令 G ′ d ， i ( 2 d + 1 ) = G d ， i ( 2 d + 1 ) − u 0 u 1 − u 0 u 2 d − k − v 0 ， 1 v 0 ， 2 − u 0 v 0 ， 1 − v 0 ， 2 v 0 ， 3 + v 0 ， 1 u 0 + v 0 ， 1 u 1 + v 0 ， 2 u 0 + v 0 ， 2 u 2 d − k + u 0 v 0 ， 3 时，该图的Wiener指标会增加。 当k是奇数时， 2 d − k 为奇数，设 2 m + 1 = 2 d − k 。 图5. 引理8 B ( n j ， l j ) ( 1 ≤ j ≤ m − 1 ) 和 B ( n i ， l i ) ( 1 ≤ i ≤ 2 m + 1 ， i ≠ j ) 之间Wiener指标的变化为： Δ W G G ′ ( B ( n j ， l j ) ， ∩ i = 1 ， i ≠ j 2 m + 1 B ( n i ， l i ) ) = 2 n j ∑ i = m + j + 2 2 m + 1 n i B ( n 0 ， l 0 ) 和 B ( n i ， l i ) ( 1 ≤ i ≤ 2 m + 1 ) 之间Wiener指标的变化为： Δ W G G ′ ( B ( n 0 ， l 0 ) ， B ( n i ， l i ) ) = − [ ∑ i = 1 2 m + 1 n i ( n 0 − 1 ) + 2 n m + 1 ] B ( n 0 ， l 0 ) 自身Wiener指标的变化为： Δ W G G ′ ( B ( n 0 ， l 0 ) ) = n 0 − 1 B ( n i ， l i ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 2 m ， 2 m + 1 ) 和圈之间Wiener指标的变化为： Δ W G G ′ ( B ( n i ， l i ) ， C ) = ∑ i = 1 m [ 2 ( m − i ) + 1 ] ( n i + n 2 m + 2 − i ) + n m + 1 B ( n 0 ， l 0 ) 和圈之间Wiener指标的变化为： Δ W G G ′ ( B ( n 0 ， l 0 ) ， C ) = W ( C 2 d + 3 − k ) − W ( C 2 d + 1 − k ) + d C 2 d + 1 − k ( u ) + 3 ( 2 d + 1 − k ) − ( n 0 − 2 ) ( 2 d − k + 2 ) 由此，图的Wiener指标变化为： Δ W ( G ) = Δ W ( B ( n 1 ， l 1 ) ， B ( n 2 ， l 2 ) ， ⋯ ， B ( n m ， l m ) ， B ( n m + 1 ， l m + 1 ) ， ⋯ ，                   B ( n 2 m ， l 2 m ) ， B ( n 2 m + 1 ， l 2 m + 1 ) ， B ( n 0 ， l 0 ) ， C ) = 2 ∑ j = 1 m − 1 n j ∑ i = m + j + 2 2 m + 1 n i − [ ∑ i = 1 2 m + 1 n i ( n 0 − 1 ) + 2 n m + 1 ] + ( n 0 − 1 )     + ∑ i = 1 m [ 2 ( m − i ) + 1 ] ( n i + n 2 m + 2 − i ) + n m + 1 + { ( 2 d + 3 − k ) 3 8 − ( 2 d + 1 − k ) 3 8     + 2 × ( 2 d + 1 − k ) 2 4 + 3 ( 2 d + 1 − k ) − ( n 0 − 2 ) ( 2 d − k + 2 ) } = 2 ∑ j = 1 m − 1 n j ∑ i = m + j + 2 2 m + 1 n i − [ ( k − n 0 ) ( n 0 − 1 ) + 2 n m + 1 ] + ( n 0 − 1 )       + ∑ i = 1 m [ 2 ( m − i ) + 1 ] ( n i + n 2 m + 2 − i ) + n m + 1 + ( 2 m + 4 ) 3 8 − ( 2 m + 2 ) 3 8       − 2 × ( 2 m + 2 ) 2 4 − ( n 0 + 1 ) ( 2 d + 1 − k ) − ( n 0 − 2 ) = 2 ∑ j = 1 m − 1 n j ∑ i = m + j + 2 2 m + 1 n i + ∑ i = 1 m [ 2 ( m − i ) + 1 ] ( n i + n 2 m + 2 − i ) − ( k − n 0 ) ( n 0 − 1 ) ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​         + m 2 + 5 m + 5 + [ ( n 0 − 1 ) − ( 2 n 0 ) ] ( 2 d + 1 − k ) − n m + 1 + 1 > ( n 0 − 1 ) ( 2 d + n 0 − 2 k + 1 ) + m 2 + 5 m + 6 − 2 k × ( 2 m + 2 ) − k > ( m + 1 ) ( m − 4 k + 2 ) + 2 m − k + 4 当 d ≥ 9 k 2 ， m − 4 k + 2 = d − 9 k 2 + 3 2 > 0 ，有 Δ W ( G ) > 0 。 当 l 0 ≥ 3 时，该图的Wiener指标会不断增加。 当k是偶数时， 2 d − k 为偶数，设 2 m = 2 d − k 。 就如同奇数情况下，图的Wiener指标变化为： Δ W ( G ) = Δ W ( B ( n 1 ， l 1 ) ， B ( n 2 ， l 2 ) ， ⋯ ， B ( n m ， l m ) ， B ( n m + 1 ， l m + 1 ) ， ⋯ ，                                             B ( n 2 m ， l 2 m ) ， B ( n 0 ， l 0 ) − v 0 ， l 0 − v 0 ， l 0 + 1 ， v 0 ， l 0 ， v 0 ， l 0 + 1 ， C ) = ∑ j = 1 m − 1 n j ( 2 ∑ i = m + 1 + j 2 m n i + n m + 1 + j ) − ∑ i = 1 2 m n i ( n 0 − 1 ) + ( n 0 − 1 ) + ∑ i = 1 m ( 2 m − 2 i ) ( n i + n 2 m + 1 − i )     + { ( 2 d + 3 − k ) 3 − ( 2 d + 3 − k ) 8 − [ ( 2 d + 1 − k ) 3 − ( 2 d + 1 − k ) 8     + 2 × ( 2 d + 1 − k ) 2 − 1 4 + 3 ( 2 d + 1 − k ) ] − ( n 0 − 2 ) ( 2 d − k + 2 ) } > ∑ j = 1 m − 1 n j ( 2 ∑ i = m + 1 + j 2 m n i + n m + 1 + j ) + ∑ i = 1 m ( 2 m − 2 i ) ( n i + n 2 m + 1 − i )     + ( 2 d − 2 k + n 0 + 1 ) ( n 0 − 1 ) + m 2 + 4 m + 4 − 2 k × ( 2 m + 1 ) > ( m + 1 ) ( m − 4 k + 3 ) + 1 当 d ≥ 9 k 2 ， m − 4 k + 3 = d − 9 k 2 + 3 > 0 ，有 Δ W ( G ) > 0 。 当 l 0 ≥ 3 时，该图的Wiener指标会不断增加。 根据引理7，存在一支中心扫帚树 B ( n i ， l i ) ，我们将它标为 B ( n 0 ， l 0 ) ，从它开始将图上扫帚树顺时针依次标为 B ( n 1 ， l 1 ) ， ⋯ ， B ( n 2 d − k ， l 2 d − k ) ，可以找到一支顶点数不为0的 B ( n i ， l i ) 满足： d G ( u i ， u 0 ) = max d G ( u j ， u 0 ) ， ( 1 ≤ j ≤ 2 d − k ) ，我们将图上扫帚树和圈上的点重新标记，将 B ( n i ， l i ) 记为 B ( n 0 ， l 0 ) (特别地，当 i = 1 时，将中心扫帚树记为 B ( n 0 ， l 0 ) )， B ( n 0 ， l 0 ) 链接在圈C上的顶点为 u 0 ，从 u 0 开始将圈上的顶点顺时针(或逆时针)记为 u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u 2 d − k ，将中心扫帚树记为 B ( n c ， l c ) ，保证 d − k 2 ≤ c ≤ 2 d − k 。 当 B ( n c ， l c ) 中 l c < d − d ( C ) 时，根据 B ( n 0 ， l 0 ) 中 l 0 的大小，分类讨论： 情况1：当 i > 1 ，且 B ( n 0 ， l 0 ) 中 l 0 ≥ 3 或 n 0 = l 0 = 2 时，对 B ( n 0 ， l 0 ) 反复上述变化。 情况2：当 i > 1 ，且 B ( n 0 ， l 0 ) 中 n 0 > l 0 = 2 时，有： 如果 l c + l 0 + d G ( u c ， u 0 ) = d ，对中心扫帚树 B ( n c ， l c ) 作一次上述变化，此时可以得到图 G ′ = G d − 1 ， i ( 2 d + 1 ) = C u 0 u 1 ⋯ u 2 d − k + 2 ( B ( n 0 ， l 0 ) ， B ( n 1 ， l 1 ) ， ⋯ ， B ( n 2 d − k + 2 ， l 2 d − k + 2 ) ) ，且 W ( G ′ ) > W ( G ) 。 再根据引理6，令 B ( n 0 ， l 0 ) 删去边 v 0 ， l 0 − 1 v 0 ， l 0 − 2 ，加上边 v 0 ， l 0 − 2 v 0 ， l 0 ，可以得到 G ″ = G d ， i ( 2 d + 1 ) = C u 0 u 1 ⋯ u 2 d − k + 2 ( B ( n 0 ， l 0 ) ， B ( n 1 ， l 1 ) ， ⋯ ， B ( n 2 d − k + 2 ， l 2 d − k + 2 ) ) ，且 W ( G ″ ) > W ( G ′ ) 。根据不等式的传递性， W ( G ″ ) > W ( G ′ ) ，此时 l 0 = 3 ，回到情况1。 如果 l c + l 0 + d G ( u c ， u 0 ) < d ，根据引理6，令 B ( n 0 ， l 0 ) 删去边 v 0 ， l 0 − 1 v 0 ， l 0 − 2 ，加上边 v 0 ， l 0 − 2 v 0 ， l 0 ，此时 l 0 = 3 ，回到情况1。 情况3：当 i = 1 且 B ( n 0 ， l 0 ) 中 l 0 > 1 时，对 B ( n 0 ， l 0 ) 作一次上述变化，可以得到图 G ′ = G d − 1 ， i ( 2 d + 1 ) = C u 0 u 1 ⋯ u 2 d − k + 2 ( B ( n 0 ， l 0 ) ， B ( n 1 ， l 1 ) ， ⋯ ， B ( n 2 d − k + 2 ， l 2 d − k + 2 ) ) ，且 W ( G ′ ) > W ( G ) 。 再根据引理6，令 B ( n 0 ， l 0 ) 删去边 v 0 ， l 0 − 1 v 0 ， l 0 − 2 ，加上边 v 0 ， l 0 − 2 v 0 ， l 0 ，可以得到 G ″ = G d ， i ( 2 d + 1 ) = C u 0 u 1 ⋯ u 2 d − k + 2 ( B ( n 0 ， l 0 ) ， B ( n 1 ， l 1 ) ， ⋯ ， B ( n 2 d − k + 2 ， l 2 d − k + 2 ) ) ，且 W ( G ″ ) > W ( G ′ ) 。根据不等式的传递性， W ( G ″ ) > W ( G ) ，反复进行该变化。 情况4：当 B ( n 0 ， l 0 ) 中 l 0 = 1 时，见引理9，引理8得证。 当 B ( n c ， l c ) 中 l c = d − d ( C ) 时，对中心扫帚树 B ( n c ， l c ) 作一次上述变化，此时可以得到图 G ′ = G d − 1 ， i ( 2 d + 1 ) = C u 0 u 1 ⋯ u 2 d − k + 2 ( B ( n 0 ， l 0 ) ， B ( n 1 ， l 1 ) ， ⋯ ， B ( n 2 d − k + 2 ， l 2 d − k + 2 ) ) ，且 W ( G ′ ) > W ( G ) ，此时回到 l c < d − d ( C ) 的情况。 2.10. 引理9 如图6，在引理8中，当 n 0 ≥ 1 且 l 0 = 1 ， B ( n 0 ， l 0 ) 上的悬挂点标记为 v 0 ， 1 ， ⋯ ， v 0 ， n 0 ，令 G ′ d ， i ( 2 d + 1 ) = G d ， i ( 2 d + 1 ) − u 0 u 1 + v 0 ， 1 u 1 ，该图Wiener指标增大。 证明：根据引理7，存在一支中心扫帚树 B ( n i ， l i ) ，我们将它标为 B ( n 0 ， l 0 ) ，从它开始将图上扫帚树顺时针依次标为 B ( n 1 ， l 1 ) ， ⋯ ， B ( n 2 d − k ， l 2 d − k ) ，可以找到一支顶点数不为0的 B ( n i ， l i ) 满足： d G ( u i ， u 0 ) = max d G ( u j ， u 0 ) ， ( 1 ≤ j ≤ 2 d − k ) ，我们将图上扫帚树和圈上的点重新标记，将 B ( n i ， l i ) 记为 B ( n 0 ， l 0 ) (特别地，当 i = 1 时，将中心扫帚树记为 B ( n 0 ， l 0 ) )， B ( n 0 ， l 0 ) 链接在圈C上的顶点为 u 0 ，从 u 0 开始将圈上的点顺时针(或逆时针)记为 u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u 2 d − k ，将中心扫帚树记为 B ( n c ， l c ) ，保证 d − k 2 ≤ c ≤ 2 d − k 。 图6. 引理9 情况1：当k是奇数时， 2 d − k 为奇数，设 2 m + 1 = 2 d − k 。 很明显， B ( n 0 ， l 0 ) 和 B ( n i ， l i ) ， i = 1 ， ⋯ ， 2 m + 1 之间Wiener指标变化为： Δ W G G ′ ( B ( n 0 ， l 0 ) ， ∩ i = 1 2 m + 1 B ( n i ， l i ) ) = ∑ i = 1 m n i ( n 0 − 2 ) − n m + 1 B ( n j ， l j ) ( 1 ≤ j ≤ m − 1 ) 和 B ( n i ， l i ) ( 1 ≤ i ≤ 2 m + 1 ， i ≠ j ) 之间Wiener指标的变化为： Δ W G G ′ ( B ( n j ， l j ) ， ∩ i = 1 ， i ≠ j 2 m + 1 B ( n i ， l i ) ) = n j ∑ i = m + j + 2 2 m + 1 n i B ( n i ， l i ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 2 m ) 和圈之间Wiener指标变化为： Δ W G G ′ ( B ( n i ， l i ) ， C ) = ∑ i = 1 m [ ( m − i + 1 ) n i + n 2 m + 2 − i ( m − i ) ] B ( n 0 ， l 0 ) 和圈之间Wiener指标变化为： Δ W G G ′ ( C ， B ( n 0 ， l 0 ) ) = W ( C 2 d + 2 − k ) − [ W ( C 2 d + 1 − k ) + d C 2 d + 1 − k ( u ) + ( 2 d + 1 − k ) ] + m ( n 0 − 1 ) 由此，该图的Wiener指标变化有： Δ W ( G ) = Δ W ( B ( n 1 ， l 1 ) ， B ( n 2 ， l 2 ) ， ⋯ ， B ( n m ， l m ) ， B ( n m + 1 ， l m + 1 ) ， ⋯ ，                   B ( n 2 m ， l 2 m ) ， B ( n 2 m + 1 ， l 2 m + 1 ) ， B ( n 0 ， l 0 ) ， C ) = ∑ j = 1 m − 1 n j ∑ i = m + j + 2 2 m + 1 n i + ( n 0 − 2 ) ∑ i = 1 m n i − n m + 1 + ∑ i = 1 m [ ( m − i + 1 ) n i + ( m − i ) n 2 m + 2 − i ]     + { ( 2 d + 2 − k ) 3 − ( 2 d + 2 − k ) 8 − [ ( 2 d + 1 − k ) 3 8     + ( 2 d + 1 − k ) 2 4 + ( 2 d + 1 − k ) ] } + ( n 0 − 1 ) m > ∑ j = 1 m − 1 n j ∑ i = m + j + 2 2 m + 1 n i − ( k − 1 ) + ∑ i = 1 m ( m − i + 1 ) n i + ∑ i = m + 1 2 m + 1 ( m − i ) n 2 m + 2 − i     + { ( 2 m + 3 ) 3 − ( 2 m + 3 ) 8 − [ ( 2 m + 2 ) 3 8 + ( 2 m + 2 ) 2 4 + ( 2 m + 2 ) ] } > − ( k − 1 ) + m 2 − m − 2 2 = m 2 − m 2 − k 当 d ≥ 9 k 2 ， m 2 − m 2 − k > 0 ，有 Δ W ( G ) > 0 。 情况2：当k是偶数时， 2 d − k 为偶数，设 2 m = 2 d − k 。 与奇数情况类似，该图的Wiener指标变化有： Δ W ( G ) = Δ W ( B ( n 1 ， l 1 ) ， B ( n 2 ， l 2 ) ， ⋯ ， B ( n m ， l m ) ， B ( n m + 1 ， l m + 1 ) ， ⋯ ，                   B ( n 2 m ， l 2 m ) ， B ( n 2 m ， l 2 m ) ， B ( n 0 ， l 0 ) ， C ) = ∑ j = 1 m − 1 n j ∑ i = m + 1 + j 2 m n i + ( n 0 − 2 ) ∑ i = 1 m n i + ∑ i = 1 m [ ( m − i + 1 ) n i + ( m − i ) n 2 m + 1 − i ]     + ( n 0 − 1 ) m + { ( 2 d + 2 − k ) 3 8 − [ ( 2 d + 1 − k ) 3 − ( 2 d + 1 − k ) 8     + ( 2 d + 1 − k ) 2 4 + ( 2 d + 1 − k ) ] } > ∑ j = 1 m − 1 n j ∑ i = m + 1 + j 2 m n i − ∑ i = 1 m n i + ∑ i = 1 m ( m − i + 1 ) n i + ∑ i = 1 m ( m − i ) n 2 m + 1 − i     + { ( 2 d + 2 − k ) 3 8 − [ ( 2 d + 1 − k ) 3 − ( 2 d + 1 − k ) 8     + ( 2 d + 1 − k ) 2 4 + ( 2 d + 1 − k ) ] } > m 2 − m − 1 2 − k 当 d ≥ 9 k 2 时， m 2 − m − 1 2 − k > 0 ，有 Δ W ( G ) > 0 。