system: [SYSTEM]

user: 3. 电力系统三阶模型的稳定性分析 3.1. 参数同步角速度和负阻尼系数对系统的稳定性分析 现在我们将研究参数 ω 0 ( d ) 的变化对系统稳定性的影响(不失一般性令 b = 0.5 ， c = 1 )。以前的文献为了计算简便，一般只考虑 ω 0 = 1 的情况，本文分别给出了 ω 0 = 0.5 ， 1 ， 2 三种情况下的分岔图和最大Lyapunov指数图。 1) 固定参数 b = 0.5 ， c = 1 ， d = 0.5 ，改变参数a。 当 a ∈ ( − 0.1 ， 0 ) 时，系统的分岔图和最大Lyapunov指数图如图2所示。由图可知，当 a ∈ ( − 0.1 ， − 0.06 ) 时，系统的最大Lyapunov指数大于0，系统处于混沌状态；当 a ∈ ( − 0.06 ， 0 ) 时，系统的最大Lyapunov指数小于0，系统处于稳定状态。 2) 固定参数 b = 0.5 ， c = 1 ， d = 1 ，改变参数a。 当 a ∈ ( − 0.17 ， 0 ) 时，系统的分岔图和最大Lyapunov指数图如图3所示。同理得到，当 a ∈ ( − 0.17 ， − 0.1 ) 时，系统处于混沌状态；当 a ∈ ( − 0.1 ， 0 ) 时，系统处于稳定状态。 3) 固定参数 b = 0.5 ， c = 1 ， d = 2 ，改变参数a。 当 a ∈ ( − 0.22 ， 0 ) 时，系统的分岔图和最大Lyapunov指数图如图4所示。同理得到，当 a ∈ ( − 0.22 ， − 0.14 ) 时，系统处于混沌状态；当 a ∈ ( − 0.14 ， 0 ) 时，系统处于稳定状态。 因此，观察分岔图和相应的最大Lyapunov指数图，可以得到：从定性上来看，同步角速度 ω 0 并不影响系统的动力学行为，即不同的 ω 0 均可以产生混沌、稳定的不动点等丰富的动力学行为，但从定量上来看，不同的 ω 0 混沌产生的具体区域不同。 接下来分析阻尼系数 a   ( γ ) 对系统动力学行为的影响。不失一般性，我们取参数 b = 0.5 ， c = 1 ， d = 0.5 ，改变 a   ( γ ) 的取值。对于不同a的典型动力学行为被展示在图5中，从a到d， a = − 0.01 ， − 0.0592 ， − 0.08 ， − 0.1 。在图5(b)中周期运动是非常小的。 图2. ω 0 = 0.5 时系统的分岔图和最大Lyapunov指数图 图3. ω 0 = 1 时系统的分岔图和最大Lyapunov指数图 图4. ω 0 = 2 时系统的分岔图和最大Lyapunov指数图 图5. 参数a变化时不同的动力学行为 从图5中可以观察到，如果 a = − 0.01 ，系统处于稳定的平衡点状态；如果 a = − 0.0592 ，系统是周期运动；如果 a = − 0.08 ，系统是混沌的；如果 a = − 0.1 ，系统是不稳定的。 以 ω 0 = 0.5 的情形为例，从图2(a)和图5的图像中，这个系统出现了一些丰富的动力学行为。从右到左，随着a的减少，系统出现了稳定的不动点、周期运动、混沌以及系统的崩溃。我们的分析表明不动点由稳定到不稳定经过了Hopf分岔，在本节的后面会进行具体的介绍。从图2(b)，可以确定混沌区域的出现，不同的阻尼系数影响混沌区域的大小和位置。 相同的方法可以用于分析 P m 和H对系统稳定性的影响，在这里主要介绍了参数 ω 0 和 γ 对系统稳定性的影响。 3.2. 系统的基本性质分析 从以上的分析可以看到，当参数 a = − 0.14 ， b = 0.5 ， c = 1 ， d = 1 ，系统处于混沌状态。相应的 x − y 相图和时序图被展示在图6中。 图6. 系统的相图和时序图 3.2.1. 耗散性和吸引子的存在性 依赖MATLAB仿真，根据wolf算法，可以得到系统(3)的最大Lyapunov指数分别为： λ 1 = 0.1599 ， λ 2 = − 0.0264 ， λ 3 = − 0.9935 ，根据最大Lyapunov指数 λ 1 > 0 ，因此系统处于混沌状态。 考虑系统(3)的向量场散度 div V ，由散度的定义 [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] ，得到 ∇ V = ∂ x ˙ ∂ x + ∂ y ˙ ∂ y + ∂ z ˙ ∂ z = 0 − a − 1 = − a − 1. Liouville定理指出了Lyapunov指数和系统Jacobin矩阵(即散度)之间的关系，即 ∑ i = 1 3 λ i = T r ( J ) = d i v V ， 由此我们可以得到： d i v V = ∇ V = ∂ x ˙ ∂ x + ∂ y ˙ ∂ y + ∂ z ˙ ∂ z = T r ( J ) = − a − 1 = ∑ i = 1 3 λ i = λ 1 + λ 2 + λ 3 = − 0.86 ， 即 d V d t = e − ( a + 1 ) = e − 0.86 ， 即 V ( t ) = V 0 e − 0.86 t . 这里 V 0 表示初始时刻系统的体积，因此，只要 a + 1 > 0 ，系统(3)即为一个耗散系统，系统将以指数−0.86收敛到零，并且随着 t → ∞ ， V ( t ) → 0 ，表明系统(3)的所有轨线将被限制在一个零体积的空间上，表明了吸引子的存在性。 由Kaplan-Yorke猜测，可以得到系统(3)的分维数 D = j + 1 | λ j + 1 | ∑ i = 1 j λ j = 2 + λ 1 + λ 2 | λ 3 | = 2 + 0.1599 − 0.0264 0.9935 = 2.134. (4) 由于分维数不是整数，也表明系统(3)出现了混沌，存在吸引子。 3.2.2. 稳定性分析和分岔理论 基于方程(2)系统的雅可比矩阵可以写成如下形式： J = ( 0 ω 0 0 − B V s E 0 cos δ 0 H − γ H − B V s sin δ 0 H − X B V s sin δ 0 α 0 − 1 + X B α ) ， 此处 ( δ 0 ， 0 ， E 0 ) 表示方程(2)的平衡点。 | λ E − J | = | λ − ω 0 0 B V s E 0 cos δ 0 H λ + γ H B V s sin δ 0 H X B V s sin δ 0 α 0 λ + 1 + X B α | = 0 ， 解上式代数方程，我们可以得到 λ 3 + ( H ( 1 + X B ) + γ α H α ) λ 2 + γ ( 1 + X B ) + α ω 0 B V s E 0 cos δ 0 H α λ   + ω 0 B V s ( ( 1 + X B ) E 0 cos δ 0 − X B V s sin 2 δ 0 ) H α = 0 假设特征值方程有以下形式： ( λ + p ) ( λ 2 + q 2 ) = 0 ， 其中 λ 1 = − p ， γ 2 ， 3 = ± q i 。我们可以得到 λ 3 + ( H ( 1 + X B ) + γ α H α ) λ 2 + γ ( 1 + X B ) + α ω 0 B V s E 0 cos δ 0 H α λ + ω 0 B V s ( ( 1 + X B ) E 0 cos δ 0 − X B V s sin 2 δ 0 ) H α = λ 3 + p λ 2 + q 2 λ + p q 2 进一步，我们得到以下等式： p = H ( 1 + X B ) + γ α H α ， q 2 = γ ( 1 + X B ) + α ω 0 B V s E 0 cos δ 0 H α ， p q 2 = ω 0 B V s ( ( 1 + X B ) E 0 cos δ 0 − X B V s sin 2 δ 0 ) H α ， ∴ p q 2 = H ( 1 + X B ) + γ α H α ⋅ γ ( 1 + X B ) + α ω 0 B V s E 0 cos δ 0 H α = ω 0 B V s ( ( 1 + X B ) E 0 cos δ 0 − X B V s sin 2 δ 0 ) H α 将上式进行整理化简，即得： ( 1 + X B ) H γ 2 + ( α H ω 0 B V s E 0 cos δ 0 + H 2 ( 1 + X B ) 2 α ) γ + ω 0 X B 2 V s 2 sin 2 δ 0 = 0. (5) ∴ H o p f 分岔曲线的方程由以下方程组成： { P m = B V s E 0 sin δ 0 ， ( 1 + X B ) E 0 = E f + X B V s cos δ 0 ， ( 1 + X B ) H γ 2 + ( α H ω 0 B V s E 0 cos δ 0 + H 2 ( 1 + X B ) 2 α ) γ + ω 0 X B 2 V s 2 sin 2 δ 0 = 0. (6)