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user: 3. 同伦分析方法的应用 本论文所研究的系统是三自由度耦合van der Pol方程，其一般表达式为 μ 1 x ¨ 1 + ε 1 ( x 1 2 − λ ) x ˙ 1 + η 1 x 1 = f 1 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ) μ 2 x ¨ 2 + ε 2 ( x 2 2 − λ ) x ˙ 2 + η 2 x 2 = f 2 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ) μ 3 x ¨ 3 + ε 3 ( x 3 2 − λ ) x ˙ 3 + η 3 x 3 = f 3 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ) (3-1) 其中 f 1 ， f 2 ， f 3 互为耦合项。对于上述所给的一般方程，我们不妨规定 μ 1 = μ 2 = μ 3 ， ε 1 = ε 2 = ε 3 ， η 1 = η 2 = η 3 ，而对于方程(3-1)中 f i ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 的取值，我们将根据振子运动模式分成四类来讨论 [ 28 ] ：第一，所有振子都同步运动；第二，两个振子同步运动，而第三个振子以一无关的方式运动(除它与第二个振子有相同周期的振动外)；第三，环上相邻的振子之间彼此都相位差1/3周期的运动；第四，两个振子相位差1/2周期，而第三个振子2倍于它们的频率振动。我们将针对上述的四种振子不同的运动状态研究系统的周期解问题。在文章最后，我们会采用数值模拟的形式对其进行验证，表明改进的同伦分析方法作用于此类系统是可取的，并希望该方法在其他科学领域能得到广泛应用。 要解决上述问题，我们先考虑如下的三自由度非线性耦合van der Pol振子： μ 1 x ¨ 1 + ε 1 ( x 1 2 − λ ) x ˙ 1 + η 1 x 1 = f 1 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ) μ 2 x ¨ 2 + ε 2 ( x 2 2 − λ ) x ˙ 2 + η 2 x 2 = f 2 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ) μ 3 x ¨ 3 + ε 3 ( x 3 2 − λ ) x ˙ 3 + η 3 x 3 = f 3 ( x 1 ， x 2 ， x 3 ) (3-2) 其中 x ¨ i ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 为关于变量t的二阶微分， x ˙ i ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 为关于变量t的一阶微分， x i ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 为关于变量t的未知实函数， f i ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 是耦合项 μ i ， ε i ， η i ， λ ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 为已知实参数。 我们设该系统的周期解频率为 ω ，然后引入一个新变量 τ = ω t ，将该新变量代入系统(3-2)，得到 μ 1 ω 2 u ¨ 1 + ε 1 ω ( u 1 2 − λ ) u ˙ 1 + η 1 u 1 = f 1 ( u 1 ， u 2 ， u 3 ) μ 2 ω 2 u ¨ 2 + ε 2 ω ( u 2 2 − λ ) u ˙ 2 + η 2 u 2 = f 2 ( u 1 ， u 2 ， u 3 ) μ 3 ω 2 u ¨ 3 + ε 3 ω ( u 3 2 − λ ) u ˙ 3 + η 3 u 3 = f 3 ( u 1 ， u 2 ， u 3 ) (3-3) 方程满足初始条件 u 1 ( 0 ) = a ， u ′ 1 ( 0 ) = b ， u 2 ( 0 ) = c ， u ′ 2 ( 0 ) = d ， u 3 ( 0 ) = e ， u ′ 3 ( 0 ) = 0 (3-4) 其中导数表示对变量 τ 微分。 若系统(3-3)的周期解可以用基函数 { cos ( k τ ) ， sin ( k τ ) | k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ } 表示，则有 u 1 ( τ ) = ∑ k = 0 + ∞ ( a 1 ， k cos k τ + b 1 ， k sin k τ ) u 2 ( τ ) = ∑ k = 0 + ∞ ( a 2 ， k cos k τ + b 2 ， k sin k τ ) u 3 ( τ ) = ∑ k = 0 + ∞ ( a 3 ， k cos k τ + b 3 ， k sin k τ ) (3-5) 我们可以假定初始猜测解可表示为以下形式 u 1 ， 0 ( τ ) = a 0 cos τ + b 0 sin τ ， u 2 ， 0 ( τ ) = c 0 cos τ + d 0 sin τ ， u 3 ， 0 ( τ ) = e 0 cos τ . (3-6) 之后，我们还需要引入辅助线性算子 L ( Φ 1 ( τ ， p ) Φ 2 ( τ ， p ) Φ 3 ( τ ， p ) ) = ω 0 2 ( ∂ 2 Φ 1 ( τ ， p ) ∂ τ 2 + Φ 1 ( τ ， p ) ∂ 2 Φ 2 ( τ ， p ) ∂ τ 2 + Φ 2 ( τ ， p ) ∂ 2 Φ 3 ( τ ， p ) ∂ τ 2 + Φ 3 ( τ ， p ) ) ， (3-7) 线性算子L满足下列性质 L ( C 1 sin τ + C 2 cos τ C 3 sin τ + C 4 cos τ C 5 sin τ + C 6 cos τ ) = 0. (3-8) 对于系统(3-2)，我们再定义非线性算子 N ( Φ 1 ( τ ， p ) Φ 2 ( τ ， p ) Φ 3 ( τ ， p ) ) = ( μ 1 Ω 2 ( p ) ∂ 2 Φ 1 ( τ ， p ) ∂ τ 2 + ε 1 Ω ( p ) [ Φ 1 2 ( τ ， p ) − λ ] ∂ Φ 1 ( τ ， p ) ∂ τ + η 1 Φ 1 ( τ ， p ) − f 1 ( Φ 1 ( τ ， p ) ， Φ 2 ( τ ， p ) ， Φ 3 ( τ ， p ) ) μ 2 Ω 2 ( p ) ∂ 2 Φ 2 ( τ ， p ) ∂ τ 2 + ε 2 Ω ( p ) [ Φ 2 2 ( τ ， p ) − λ ] ∂ Φ 2 ( τ ， p ) ∂ τ + η 2 Φ 2 ( τ ， p ) − f 2 ( Φ 1 ( τ ， p ) ， Φ 2 ( τ ， p ) ， Φ 3 ( τ ， p ) ) μ 3 Ω 2 ( p ) ∂ 2 Φ 3 ( τ ， p ) ∂ τ 2 + ε 3 Ω ( p ) [ Φ 3 2 ( τ ， p ) − λ ] ∂ Φ 3 ( τ ， p ) ∂ τ + η 3 Φ 3 ( τ ， p ) − f 3 ( Φ 1 ( τ ， p ) ， Φ 2 ( τ ， p ) ， Φ 3 ( τ ， p ) ) ) 不妨令 H ( t ) = 1 ，则可得零阶形变方程为 ( 1 − p ) L ( Φ 1 ( τ ， p ) − u 1 ， 0 ( τ ) Φ 2 ( τ ， p ) − u 2 ， 0 ( τ ) Φ 3 ( τ ， p ) − u 3 ， 0 ( τ ) ) = p h N ( Φ 1 ( τ ， p ) Φ 2 ( τ ， p ) Φ 3 ( τ ， p ) ) ， (3-9) 上式满足初始条件 Φ 1 ( 0 ， p ) = a ( p ) ，     ∂ Φ 1 ( τ ， p ) ∂ τ | τ = 0 = b ( p ) ， Φ 2 ( 0 ， p ) = c ( p ) ，     ∂ Φ 2 ( τ ， p ) ∂ τ | τ = 0 = d ( p ) ， Φ 3 ( 0 ， p ) = e ( p ) ，     ∂ Φ 3 ( τ ， p ) ∂ τ | τ = 0 = 0. (3-10) 显然，我们很容易得到当 p = 0 时，方程(3-9)满足初始条件(3-10)的解为 Φ 1 ( τ ， 0 ) = u 1 ， 0 ( τ ) ，     Φ 2 ( τ ， 0 ) = u 2 ， 0 ( τ ) ，     Φ 3 ( τ ， 0 ) = u 3 ， 0 ( τ ) ，     Ω ( 0 ) = ω 0 . (3-11) 而当 p = 1 时，满足初始条件(3-10)的零阶形变方程(3-9)与满足初始条件(3-4)的系统(3-3)是等价的，因而有 Φ 1 ( τ ， 1 ) = u 1 ( τ ) ，     Φ 2 ( τ ， 1 ) = u 2 ( τ ) ，     Φ 3 ( τ ， 1 ) = u 3 ( τ ) ，     Ω ( 1 ) = ω . (3-12) 由此可见当嵌入变量p从0变化到1时， Φ i ( τ ， p ) 从初始猜测解 u i ， 0 ( τ ) 变化到未知的精确解 u i ( τ ) ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 。类似地，我们也可以得出 Ω ( p ) 从初始猜测频率 ω 0 往物理变化频率 ω 变化的结论。 我们把 Φ 1 ( τ ， p ) ， Φ 2 ( τ ， p ) ， Φ 3 ( τ ， p ) 与 Ω ( p ) 都展开成关于p的麦克劳林级数，可得到 Φ 1 ( τ ， p ) = u 1 ， 0 ( τ ) + ∑ m = 1 ∞ u 1 ， m ( τ ) p m ， Φ 2 ( τ ， p ) = u 2 ， 0 ( τ ) + ∑ m = 1 ∞ u 2 ， m ( τ ) p m ， Φ 3 ( τ ， p ) = u 3 ， 0 ( τ ) + ∑ m = 1 ∞ u 3 ， m ( τ ) p m ， Ω ( p ) = ω 0 + ∑ m = 1 ∞ ω m p m (3-13) 其中 u 1 ， m ( τ ) = 1 m ! ∂ m Φ 1 ( τ ， p ) ∂ p m | p = 0 ， u 2 ， m ( τ ) = 1 m ! ∂ m Φ 2 ( τ ， p ) ∂ p m | p = 0 ， u 3 ， m ( τ ) = 1 m ! ∂ m Φ 3 ( τ ， p ) ∂ p m | p = 0 ， ω m = 1 m ! ∂ m Ω ( p ) ∂ p m | p = 0 . (3-14) 通过选取适当的h，我们可以使(3-13)式中的幂级数在 p = 1 时收敛。那么，结合(3-12)式与(3-13)式，我们可以得到方程的级数解为 u 1 ( τ ) = u 1 ， 0 ( τ ) + ∑ m = 1 ∞ u 1 ， m ( τ ) ， u 2 ( τ ) = u 2 ， 0 ( τ ) + ∑ m = 1 ∞ u 2 ， m ( τ ) ， u 3 ( τ ) = u 3 ， 0 ( τ ) + ∑ m = 1 ∞ u 3 ， m ( τ ) ， ω = ω 0 + ∑ m = 1 ∞ ω m . (3-15) 记 u 1 ， n = { u 1 ， 0 ( τ ) ， u 1 ， 1 ( τ ) ， ⋯ ， u 1 ， n ( τ ) } ， u 2 ， n = { u 2 ， 0 ( τ ) ， u 2 ， 1 ( τ ) ， ⋯ ， u 2 ， n ( τ ) } ， u 3 ， n = { u 3 ， 0 ( τ ) ， u 3 ， 1 ( τ ) ， ⋯ ， u 3 ， n ( τ ) } ， ω n = { ω 0 ， ω 1 ， ⋯ ， ω n } . (3-16) 同样地，我们对零阶形变方程(3-9)关于嵌入变量p求m次导数，再将求导得到的式子左右两边同除以 m ! ，并令 p = 0 ，则我们就可得到m阶形变方程 L ( u 1 ， m ( τ ) − χ m u 1 ， m − 1 ( τ ) u 2 ， m ( τ ) − χ m u 2 ， m − 1 ( τ ) u 3 ， m ( τ ) − χ m u 3 ， m − 1 ( τ ) ) = h ( R 1 ， m ( u 1 ， m − 1 ， ω m − 1 ) R 2 ， m ( u 2 ， m − 1 ， ω m − 1 ) R 3 ， m ( u 3 ， m − 1 ， ω m − 1 ) ) ， (3-17) 其中 ( R 1 ， m ( u 1 ， m − 1 ， ω m − 1 ) R 2 ， m ( u 2 ， m − 1 ， ω m − 1 ) R 3 ， m ( u 3 ， m − 1 ， ω m − 1 ) ) = 1 ( m − 1 ) ! ∂ m − 1 N ( Φ 1 ( τ ， p ) Φ 2 ( τ ， p ) Φ 3 ( τ ， p ) ) ∂ p m − 1 | p = 0 ， (3-18) 此m阶形变方程满足以下初始条件 u 1 ， m ( 0 ) = a m ，     u ′ 1 ， m ( 0 ) = b m ，     u 2 ， m ( 0 ) = c m ， u ′ 2 ， m ( 0 ) = d m ，     u 3 ， m ( 0 ) = e m ，     u ′ 3 ， m ( 0 ) = 0 ， ( m ≥ 1 ) (3-19) 由线性算子L的定义与解的表达原则可知，方程(3-17)的等式右边项里不能含有 cos τ 与 sin τ ，也不能含有久期项 τ cos τ 与 τ sin τ 。 我们把这些项都找出来，且令这些项的系数都为0，则可得 1 π ∫ 0 2 π R 1 ， m ( u 1 ， m − 1 ， ω m − 1 ) cos τ d τ = 0 ， 1 π ∫ 0 2 π R 1 ， m ( u 1 ， m − 1 ， ω m − 1 ) sin τ d τ = 0 ， 1 π ∫ 0 2 π R 2 ， m ( u 2 ， m − 1 ， ω m − 1 ) cos τ d τ = 0 ， 1 π ∫ 0 2 π R 2 ， m ( u 2 ， m − 1 ， ω m − 1 ) sin τ d τ = 0 ， 1 π ∫ 0 2 π R 3 ， m ( u 3 ， m − 1 ， ω m − 1 ) cos τ d τ = 0 ， 1 π ∫ 0 2 π R 3 ， m ( u 3 ， m − 1 ， ω m − 1 ) sin τ d τ = 0 ， (3-20) 其中 R 1 ， m ( u 1 ， m − 1 ， ω m − 1 ) = ∑ n = 1 φ 1 ( m ) [ a m ， n 1 cos n τ + b m ， n 1 sin n τ ]     ， R 2 ， m ( u 2 ， m − 1 ， ω m − 1 ) = ∑ n = 1 φ 2 ( m ) [ a m ， n 2 cos n τ + b m ， n 2 sin n τ ]     ， R 3 ， m ( u 3 ， m − 1 ， ω m − 1 ) = ∑ n = 1 φ 2 ( m ) [ a m ， n 3 cos n τ + b m ， n 3 sin n τ ]     . (3-21) 且 a m ， n 1 = 1 π ∫ 0 2 π R 1 ， m ( u 1 ， m − 1 ， ω m − 1 ) sin ( n τ ) d τ ， b m ， n 1 = 1 π ∫ 0 2 π R 1 ， m ( u 1 ， m − 1 ， ω m − 1 ) sin ( n τ ) d τ ， a m ， n 2 = 1 π ∫ 0 2 π R 2 ， m ( u 2 ， m − 1 ， ω m − 1 ) cos ( n τ ) d τ ， b m ， n 2 = 1 π ∫ 0 2 π R 2 ， m ( u 2 ， m − 1 ， ω m − 1 ) sin ( n τ ) d τ ， a m ， n 3 = 1 π ∫ 0 2 π R 3 ， m ( u 3 ， m − 1 ， ω m − 1 ) cos ( n τ ) d τ ， b m ， n 3 = 1 π ∫ 0 2 π R 3 ， m ( u 3 ， m − 1 ， ω m − 1 ) sin ( n τ ) d τ ， (3-22) 根据(3-17)和(3-20)式，我们可以求出 ω k ， a k ， b k ， c k ， d k ， e k ( k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ) 的值。为使解的精度更高，我们需要对w进行一定程度的修正 ω − = ω + v . 其中v为小参数。