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user: 3. 数据来源及研究方法 3.1. 数据来源 海洋生产总值是国民经济中全部涉海经济活动的最终反映，它是海洋经济发展的总指标，最能反映海洋经济发展情况，因此本研究选取环渤海经济区海洋生产总值为指标进行预测和分析。首先选取2003~2018年的环渤海经济区海洋生产总值的时间序列作为预测的基础，该数据来源于历年《中国海洋经济统计公报》，获取的数据如表1所示；然后基于灰色预测模型对环渤海经济区未来12年的海洋生产总值进行预测，以了解环渤海经济区海洋经济发展的前景。 Table 1 Total marine product of circum-Bohai Sea Region from 2003 to 201 年份 海洋生产总值 (亿元) 年份 海洋生产总值 (亿元) 2003 2778.5300 2011 16，442.0000 2004 4116.0000 2012 18，078.0000 2005 5510.0000 2013 19，734.0000 2006 6906.0000 2014 22，152.0000 2007 9542.0000 2015 23，437.0000 2008 10，706.0000 2016 24，323.0000 2009 12，015.0000 2017 24，638.9900 2010 13，271.0000 2018 26，219.0000 表1. 2003~2018年环渤海经济区海洋生产总值 3.2. 理论基础 灰色预测法就是对既含有已知信息又含有未知信息的系统进行预测，尽管这些信息表面上可能是杂乱无章、毫无规矩的，但却是有序的，具备潜在规律性的，通过分析系统信息之间的潜在规律性来判定其中的发展趋势，进而对原始数据序列进行生成处理，利用原始数据体现的规律建立微分方程模型，从而预测未来发展趋势。灰色预测法比较适合小样本数据的分析，对于数据的要求小，对于中长期的经济发展预测有很好效果 [ 10 ]。 3.2.1. 直接求解参数的GM(1，1)模型 假设有一个变量 x ( t ) 是时间变量t的函数，它满足一阶常微分方程条件，如(1)式，从该微分方程所展示的函数关系来看，该经济变量的规律中既考虑到原始数据的变化又考虑到数据增长的变化： d x ( t ) d t + a x ( t ) = b (1) 这里，参数a和b是两个常系数，a代表经济变量的发展灰数，b代表经济变量的内生控制系数。假设参数C是任意常数，那么，该微分方程的解析解或者通解为： x ( t ) = b + e a ( C − t ) a (2) 如果 x ( t ) 有一个初值，在 t = 0 时，初值为 x ( 0 ) ，那么， x ( 0 ) 也满足这个解，代入微分方程的通解，就有： x ( t ) = b a + ( x ( 0 ) − b a ) e − a t (3) 该函数具有指数函数的特征，由于其对于参数a和b的依赖性很强，而参数a和b又是未知的，且在正常情况下不易估计，因此，该模型也被称为灰色系统。由于只有一个变量 x ( t ) ，且是一阶微分，所以记为GM(1，1)。 3.2.2. 邓聚龙参数估计模型 根据邓聚龙文献“Introduction to Grey System Theory (Deng Julong， The Journal of Grey System 1， 1989， 1-24)”，灰色系统GM(1，1)参数可以通过一个近似矩阵求解的方式来估计。 假设变量 x ( t ) 的原始离散序列为 X ( 0 ) ，是一个非负序列，具有形式： X ( 0 ) = { X 0 ( 0 ) ， ⋯ ， X n − 1 ( 0 ) }     ( n ≥ 3 ; X i ( 0 ) ≥ 0 ; i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 ) (4) 假设离散序列 X ( 1 ) 为序列 X ( 0 ) 的一次累加序列(Accumulating Generation Operation， AGO)，具有如下形式： X i ( 1 ) = X 0 ( 0 ) + X 1 ( 0 ) + X 2 ( 0 ) + ⋯ + X i ( 0 ) = ∑ l = 0 i X l ( 0 ) (5) 假设离散序列 Z ( 1 ) 为一个均值序列： Z ( 1 ) = { Z 1 ( 1 ) ， ⋯ ， Z n − 1 ( 1 ) }     ( n ≥ 3 ;   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 ) (6) Z i ( 1 ) = 1 2 ( X i − 1 ( 1 ) + X i ( 1 ) ) (7) 那么，对于一阶微分方程： d x ( 0 ) ( t ) d t + a x ( 0 ) ( t ) = b (8) 其参数(a，b)可以根据最小二乘法来估计， y N 为原始变量： a ^ = ( a b ) = ( B T B ) − 1 B T y N (9) B = ( − Z 1 ( 1 ) 1 ⋮ ⋮ − Z n − 1 ( 1 ) 1 ) ， y N = ( X 1 ( 0 ) ⋮ X n − 1 ( 0 ) ) (10) 相应于等价微分方程，离散序列 X ( 1 ) 的估计值解可以由下式定义： X ^ k + 1 ( 1 ) = ( X 1 ( 0 ) − b a ) e − a k + b a (11) 由于 X ^ i ( 1 ) 是原始数据的累加序列，因此如果知道 X ^ i ( 1 ) 的数值就可以通过累减的方式得到原始数据序列 X ^ i ( 0 ) ： X ^ k + 1 ( 0 ) = X ^ k + 1 ( 1 ) − K ^ k ( 1 ) (12) 3.2.3. GM(2，1)模型 假设变量 x ( t ) 是关于时间t的二阶常微分方程的解，二阶导数代表增长的加速度，一阶导数代表增长速度，因此该模型既考虑到经济变量的增长加速度又考虑到变量的增长速度： d 2 x ( t ) d t 2 + a d x ( t ) d t + b x ( t ) = 0 (13) 则该微分方程的通解为： x ( t ) = C 1 e ( − a − a 2 − 4 b ) t 2 + C 2 e ( − a + a 2 − 4 b ) t 2 (14) 为了编程方便，我们对该关系式予以简化： x ( t ) = C 1 e m t + C 2 e n t (15) 这里，存在关系式： m = − a − a 2 − 4 b 2 (16) n = − a + a 2 − 4 b 2 (17) 令 t = 0 ， t = 1 可以得到一个关于 C 1 ， C 2 的方程组，从而求得 C 1 ， C 2 的表达式： C 1 = x ( 0 ) e n − x ( 1 ) e n − e m (18) C 2 = x ( 1 ) − x ( 0 ) e m e n − e m (19) 3.3. 模型拟合结果 对环渤海经济区2003~2018年的海洋生产总值分别应用三种灰色预测方法得出的参数指标如表2所示，直接求解参数的GM(1，1)模型和邓聚龙参数估计模型是利用一阶常微分方程的解对环渤海经济区海洋生产总值进行拟合得到的，GM(2，1)则是利用二阶常微分方程的解对获取的数据进行拟合得到的。首先根据相关系数(R 2 )和均方根误差(RMSE)可以看出一阶常微分方程的解更适合对环渤海经济区海洋生产总值进行拟合；然后根据附录中所显示的2003~2018年真实值与预测值的比较可以看出直接求解参数的一阶灰色预测模型预测效果更好。 Table 2 The fitting results of three types of model 指标 直接求解参数的GM(1，1) 邓聚龙参数估计模型 GM(2，1)模型 a 0.0046 −0.0990 14，760.7278 b 1694.0544 6876.2657 −2159.8732 C 1 -- -- −777.1901 C 2 -- -- 3555.7201 R 2 0.9491 0.9307 0.6897 RMSE 730.4144 1989.8675 3377.6188 2018年真实值 26，219.0000 26，219.0000 26，219.0000 2018年预测值 27，145.6492 27，727.4201 31，925.7531 表2. 三种模型的拟合结果 a：代表发展灰数；b：代表内生控制灰数；C 1 ：代表GM(2，1)模型的第一个系数；C 2 ：代表GM(2，1)模型的第二个系数；R 2 ：相关系数；RMSE：均方根误差，代表实际值与预测值之间的偏差。 3.3.1. 直接求解参数的GM(1，1)模型 该模型是利用一阶常微分方程的解析解来对环渤海经济区海洋生产总值进行拟合，在这个模型下，我们利用Python语言直接对解析解进行拟合，本文所构建的模型在[1，1000]之间选取两个随机数，分别赋予a、b，随后进行5次拟合，在不断地迭代优化后找到误差最小的参数a、b，如表2所示。再利用寻找到的参数预测未来12年环渤海经济区海洋生产总值的发展，预测值如附表1所示，2018年环渤海经济区海洋生产总值的实际值为26，219亿元左右，预测值为27，145亿元左右。该模型为： X ( t ) = − 365494.1657 e − 0.0046 t + 368272.6957 从表2可以看出，经过五次拟合后的相关系数(R 2 )为0.9491，相关性非常好，拟合度非常高；均方根误差(RMSE)为730.4144，相对于以亿元为单位的海洋经济生产总值来说，实际值与预测值的误差已经非常小了，并且在五次的拟合过程中，已经对参数进行适当的修正，因此得到的模型与该经济区海洋生产总值的适用性非常好，比较适合这类数据的分析，拟合效果如图1所示，从图中可以看出，曲线呈上升趋势，但是曲线斜率有所减小，说明未来12年环渤海经济区海洋生产总值虽然呈增长态势，但是增长速度有所下降。 图1. 直接求解参数的GM(1，1)模型的拟合曲线 3.3.2. 邓聚龙参数估计模型 邓聚龙参数估计模型是利用最小二乘法求解发展灰数a和内生控制灰数b，首先我们假设环渤海经济区海洋生产总值的原始离散序列为 X i ( 0 ) ，它是一个非负序列，然后我们对该非负序列做一次累加，形成序列 X i ( 1 ) ，再对 X i ( 0 ) 的相邻值做均值，得到均值序列 Z i ( 1 ) ，利用该均值序列与原始离散序列通过最小二乘法估算出参数a、b，知道a、b后就可以求出一次累加序列的值，在经过一次累减的变化从而求解出原始离散序列的数据，这样我们就可以通过类似的过程来对环渤海经济区未来12年的海洋生产总值进行预测，该模型的预测值如附表2所示，2018年环渤海海洋生产总值为26，219亿元，预测值为27，727亿元左右。从表2可以看出，我们利用Python语言计算出的发展灰数为−0.0990，内生控制灰数为6876.2657，因此模型为： X ^ k + 1 ( 1 ) = 72235.7593 e 0.0990 k − 69457.2293 X ^ k + 1 ( 0 ) = X ^ k + 1 ( 1 ) − K ^ k ( 1 ) 从表2可知，该模型的相关系数(R 2 )为0.9307，该模型的相关性比较高，拟合度较好；均方根误差(RMSE)为1989.8675，相对于以亿元为单位的海洋生产总值来说，误差值较小，拟合效果如图2所示，从图中可以看出，拟合曲线呈上升趋势，且曲线斜率逐渐变大，说明未来12年环渤海经济区海洋生产总值呈现快速增长态势。但是，因参数a、b是由最小二乘法得出的，其本身便存在误差，再利用一个有误差的参数进行预测时，会使得预测出的数值误差更大，相对于直接利用Python语言进行参数求解的灰色模型来说，该模型的的误差相对比较大。 图2. 邓聚龙参数估计模型拟合曲线 3.3.3. GM(2，1)模型 该模型是利用二阶常微分方程的解析解来对环渤海经济区海洋生产总值进行拟合，该模型既考虑到增长的加速度，又考虑了增长速度。运用Python程序在五次模拟的过程中直接求解出参数a、b的值，C 1 、C 2 又是关于a、b的表达式，这样就可以得到GM(2，1)模型，拟合结果如表2所示，该模型为： X ( t ) = − 777.1901 e − 14760.8741 t + 3555.7201 e 0.1463 t 该模型的相关系数(R 2 )值为0.6897，相关性较好，拟合度较高；均方根误差(RMSE)为3377.6188，相对于以亿元为单位的海洋经济总值来说误差相对较小，拟合效果如图3所示，拟合曲线呈明显上升趋势，斜率增加明显，说明未来12年间环渤海海洋生产总值呈高速增长态势。预测值如附表3所示，2018年环渤海海洋生产总值为26，219亿元，预测值为31，925亿元左右。但是该模型与前述两种模型相比，相关性更差一些，误差也更大一些。 图3. GM(2，1)模型的拟合曲线