system: [SYSTEM]

user: 3. 连续值信息系统的不确定性度量 3.1. 连续值信息系统的粗糙度 Pawlak教授研究近似精度、近似质量时提出了粗糙度的概念。粗糙集的粗糙度通过集合的上、下近似来定义，它充分反映了由于集合边界域的存在所引起的不确定性。类似地，连续值信息系统中的粗糙度用来度量连续值信息系统中的不确定性。 定义1 给定的连续值信息系统 ，对任意的 ， ， ，集合 的粗糙近似精度为： 。 其中： 是集合 的上近似算子， 是集合 的下近似算子， 表示集合 的基数。 定义连续值信息系统中的粗糙度为： 。 其中， 。 粗糙度 有如下性质： 1) 值与连续值信息系统的不确定性成正比，即， 越大，不确定性越大；反之， 越小，不确定性越小； 2) 时， ，集合 是精确集，不确定度为0； 时，集合 是不确定集，不确定度的值 ； 时， ，集合 是完全不确定集，不确定性为最大值1。 3.2. 连续值信息系统中的知识粒度 为方便引入连续值信息系统中的知识粒度，先给出一些基本定义。 设连续值信息系统 ， ，有 ， 。 定义连续值信息系统中的二元关系“ ”，“ ”与“ ”如下： 若对于任意的 ，有 ，其中 ， 。简记为 。 若对于任意的 ，有 ，其中 ， 。简记为 ； 且 ，简记为 。 若 ，称属性集 对应的论域分类比属性集 对应的分类粗，或称属性集 对应的论域分类比属性集 对应的分类细；若 ，称属性集 对应的论域分类与属性集 对应的分类相等。 定理1 连续值信息系统 ，记 ，则 是一个偏序集。 证明 令 ，有 ， ， 。 1) 对任意的 ，有 成立，因此 。 2) 假设 和 。由上面的定义，可得： 对于任意的 ，使得 ，其中， ， ； 对于任意的 ，使得 ，其中， ， 。 因此，有 ，即 。所以，对于任意的 ，都有 ，即 。 3) 假设 和 。由上面的定义，可得： 对于任意的 ，使 ，其中 ， ； 对于任意的 ，使 ，其中 ， 。 因此，对于任意的 ，有 ，即 ，所以 。 考虑到上述三点， 是偏序集。 在本章中，将运用这种偏序关系对连续值信息系统中的不确定性进行研究。 Yao等在文献 [ 22 ] 中给出了信息系统中粒度的一般性定义，为构建和比较知识粒度提供了有利条件。 定义2 [ 22 ] 设信息系统为 ，对任意的 ，有 满足： 1) 非负性： ； 2) 恒等性：对于 ，若 时，有 ； 3) 单调性：对于 ，若 时，有 。 则称 为信息系统 上关于属性集 的知识粒度。算子“ ”与“ ”是信息系统 中的粒度偏序关系。在粗糙集理论中，不同的知识粒度实质上是对信息细化的不同层次的平均度量。 为度量完备信息系统中的知识不确定性，苗夺谦等在文献 [ 11 ] 中首先给出了完备信息系统中知识粒度的定义： 定义3 设 是一个完备信息系统， ，则 关于属性 的知识粒度(Knowledge Granularity)定义为 。 其中， 是由 决定的等价关系中元素数目。 定理2 [ 23 ] 完备信息系统中的知识粒度 是定义2意义下的一个知识粒度。 考虑定义3，设 是论域 中对象 的等价类，给出完备信息系统中知识粒度的另外一种表示为： 。 是关于对象 的等价类， 的基是论域 中与对象 满足等价关系的对象数目。 是论域中对象间全部的关系数，且 。 1) 当论域的等价类划分最细，即每个划分仅包含单个元素时，论域中对象最易分辨： 。 2) 当论域的等价类划分最粗，即论域的划分是整个论域，论域中对象完全不可分辨： 。 可看作论域划分产生的对象关系和与论域中所有对象总和 的比，所以， 易将完备信息系统中基于等价类的知识粒度扩展到连续值信息系统中的知识粒度为： 定义4 连续值信息系统 ，对任意的 ， 中属性集 的知识粒度定义为： 。 其中， ， 是 中所有元素并的基，且 。 考虑 的取值情况，给出如下三个定理： 定理3 (极小值)连续值信息系统 ， 是相似关系。连续值信息系统 中相对于属性集 的粒度最小值是 ，当且仅当 ，其中 为恒等相似关系，有 。 证略。 定理4 (极大值)连续值信息系统 ， 是相似关系。连续值信息系统 中相对于属性集 的粒度最大值是1，当且仅当 ，其中 为全域相似关系，有 。 证略。 定理5 (边界性)连续值信息系统 ， 是相似关系。连续值信息系统 中相对于属性 的粒度存在边界为： ， 其中： ，当且仅当 ； ，当且仅当 。 证略。 定理6 连续值信息系统 中的知识粒度 是定义2意义下的信息粒度。 证明： 1) 显然， 。 2) 令 ，则连续值信息系统 下的论域分类可表示为 ， 。 若 ，则对于任意的 ，都有 ，即 。因此，有 。 3) 令 ，且 ，则对于任意的对象 ，有 。所以 。 由此可得， 是定义2意义下的一个知识粒度。 连续值信息系统中的知识粒度可以表示知识分辨能力， 越小，分辨能力越强； 越大，分辨能力越小。为更符合认知与方便计算，提出分辨度的定义为： 定义5 连续值信息系统 ，对任意的 ，连续值信息系统 的分辨度(Discernibility)定义为： 。 其中， ， 是 中所有元素并的基，且 。 定理7 (极小值)连续值信息系统 ， 是相似关系。连续值信息系统 中相对于属性集 的分辨度最小值是0，当且仅当 ，其中 为全域相似关系，有 。 定理8 (极大值)连续值信息系统 ， 是相似关系。连续值信息系统 中相对于属性集 的分辨度最大值是 ，当且仅当 ，其中 为恒等相似关系，有 。 定理9 (边界性)连续值信息系统 ， 是相似关系。连续值信息系统 中相对于属性 的分辨度存在边界为： ， 其中， ，当且仅当 ； ，当且仅当 。 连续值信息系统中的分辨度可以更加直观的表示知识的分辨能力： 越大，分辨能力越强； 越小，分辨能力越小。这符合人们的直观理解也便于计算。 3.3. 连续值信息系统的知识熵 粗糙集理论研究中，论域 上的一个等价关系(即划分)可以看作是定义在 的子集组成的s-代数上的一个随机变量。其概率分布可通过如下方法来确定。 定义6 [ 9 ] 设 为论域， 为 上的等价关系， 在 上导出的划分为 ，其中 ，则 在 的子集组成的s-代数上定义的概率分布为 其中， ， 。 有了知识概率分布的定义后，根据信息论就可以定义知识熵的概念 [ 9 ] 。 定义7 [ 9 ] 设 是知识库 中的知识， ， ，定义知识 的熵 为 。 对于 取值范围，有 1) 当等价关系是恒等关系时， 。 2) 当等价关系是全域关系时， 。 故， 。 等价关系下，若将每一个对象 单独看待，它所在的等价类 看作邻域，那么对象 所在等价类的基即为论域中与对象 满足等价关系的对象数目。等价类 的基越大，粒度越大， 中与对象 满足等价关系的对象数目就越多，分辨能力就越弱；反之亦然。通过将邻域从等价类扩展到相似类，将相似类 中的元素个数看作与对象 满足相似关系的对象集合。 的基越大，与对象 满足相似相容关系的对象数目越多，分辨能力越弱 [ 24 ] 。基于这种考虑，同时保持熵的良好性质(易计算性，单调性)，给出一种连续值信息系统的不确定性度量如下： 定义8 连续值信息系统 ， 是相似关系。 ，给出连续值信息系统 的知识熵 为： 。 定理10 (极小值)连续值信息系统 ， 是相似关系。连续值信息系统 中 的最小值是0，当且仅当 ，其中 为恒等相似关系，有 。 定理11 (极大值)连续值信息系统 ， 是相似关系。连续值信息系统 中 的最大值是 ，当且仅当 ，其中 为全域相似关系，有 。 定理12 (边界性)连续值信息系统 ， 是相似关系。连续值信息系统 中 的边界为： ， 其中， ，当且仅当 ； ，当且仅当 。 定义8给出的 保持了熵良好的单调性与计算的方便性。所以，可把 作为一种连续值信息系统中的不确定性度量。