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user: 3. 主要定理及其证明 定理1 若复合Riccati-Bessel方程的边值问题(1)的解唯一，那么其左区解( a < x < c )为 y 1 = Q 1 E + 1 F + Φ ( a ) 1 F + Φ ( a ) Φ ( x ) ， (8) 其右区解( c < x < d )为 y 2 = Q 1 E + 1 F + Φ ( a ) 1 F + Φ ( a ) φ 0 ， 1 1 ( c ， c ) α Φ ∗ ( c ) φ 1 ， 1 1 ( a ， c ) − β φ 1 ， 0 1 ( a ， c ) Φ ∗ ( x ) . (9) 其中 Φ ∗ ( x ) 是右相似核函数且 Φ ∗ ( x ) = G φ 0 ， 0 2 ( x ， b ) + H φ 0 ， 1 2 ( x ， b ) G φ 1 ， 0 2 ( c ， b ) + H φ 1 ， 1 2 ( c ， b ) ， c < x < d ， (10) Φ ( x ) 是左相似核函数且 Φ ( x ) = α Φ ∗ ( c ) φ 0 ， 1 1 ( x ， c ) − β φ 0 ， 0 1 ( x ， c ) α Φ ∗ ( c ) φ 1 ， 1 1 ( a ， c ) − β φ 1 ， 0 1 ( a ， c ) ， a < x < c . (11) 证明：由预备知识可得边值问题(1)的左、右区通解分别是 y 1 = π x 2 [ C 1 Y l 1 + 1 2 ( μ n 1 a 1 x ) + C 2 J l 1 + 1 2 ( μ n 1 a 1 x ) ] ， y 2 = π x 2 [ C 3 Y l 2 + 1 2 ( μ n 2 a 2 x ) + C 4 J l 2 + 1 2 ( μ n 2 a 2 x ) ] . (4) 其中 C 1 ， C 2 ， C 3 ， C 4 是常数， Y l i + 1 2 ( · ) ， J l i + 1 2 ( · ) ， ( i = 1 ， 2 ) 分别为第一、第二类 l i + 1 2 ( i = 1 ， 2 ) 阶Bessel函数，且 y ′ 1 = C 1 π 2 [ ( l 1 + 1 ) x − 1 2 Y l 1 + 1 2 ( μ n 1 a 1 x ) − x 1 2 μ n 1 a 1 Y l 1 + 3 2 ( μ n 1 a 1 x ) ]             + C 2 π 2 [ ( l 1 + 1 ) x − 1 2 J l 1 + 1 2 ( μ n 1 a 1 x ) − x 1 2 μ n 1 a 1 J l 1 + 3 2 ( μ n 1 a 1 x ) ] ， y ′ 2 = C 3 π 2 [ ( l 2 + 1 ) x − 1 2 Y l 2 + 1 2 ( μ n 2 a 2 x ) − x 1 2 μ n 2 a 2 Y l 2 + 3 2 ( μ n 2 a 2 x ) ]     + C 4 π 2 [ ( l 2 + 1 ) x − 1 2 J l 2 + 1 2 ( μ n 2 a 2 x ) − x 1 2 μ n 2 a 2 J l 2 + 3 2 ( μ n 2 a 2 x ) ] . 根据边值问题(1)的左边界条件、交界点 x = c 处两个衔接条件和右边界条件有 C 1 π 2 { [ E a 1 2 + ( 1 + E F ) ( l 1 + 1 ) a − 1 2 ] Y l 1 + 1 2 ( μ n 1 a 1 a ) − ( 1 + E F ) a 1 2 μ n 1 a 1 Y l 1 + 3 2 ( μ n 1 a 1 a ) }   + C 2 π 2 { [ E a 1 2 + ( 1 + E F ) ( l 1 + 1 ) a − 1 2 ] J l 1 + 1 2 ( μ n 1 a 1 a ) − ( 1 + E F ) a 1 2 μ n 1 a 1 J l 1 + 3 2 ( μ n 1 a 1 a ) } = Q ， (12) C 1 Y l 1 + 1 2 ( μ n 1 a 1 c ) + C 2 J l 1 + 1 2 ( μ n 1 a 1 c ) − C 3 α Y l 2 + 1 2 ( μ n 2 a 2 c ) − C 4 α J l 2 + 1 2 ( μ n 2 a 2 c ) = 0 ， (13) C 1 [ ( l 1 + 1 ) c − 1 2 Y l 1 + 1 2 ( μ n 1 a 1 c ) − c 1 2 μ n 1 a 1 Y l 1 + 3 2 ( μ n 1 a 1 c ) ]   + C 2 [ ( l 1 + 1 ) c − 1 2 J l 1 + 1 2 ( μ n 1 a 1 c ) − c 1 2 μ n 1 a 1 J l 1 + 3 2 ( μ n 1 a 1 c ) ]   − C 3 β [ ( l 2 + 1 ) c − 1 2 Y l 2 + 1 2 ( μ n 2 a 2 c ) − c 1 2 μ n 2 a 2 Y l 2 + 3 2 ( μ n 2 a 2 c ) ]   − C 4 β [ ( l 2 + 1 ) c − 1 2 J l 2 + 1 2 ( μ n 2 a 2 c ) − c 1 2 μ n 2 a 2 J l 2 + 3 2 ( μ n 2 a 2 c ) ] = 0 ， (14) C 3 { [ G b 1 2 + H ( l 2 + 1 ) b − 1 2 ] Y l 2 + 1 2 ( μ n 2 a 2 b ) − H b 1 2 μ n 2 a 2 Y l 2 + 3 2 ( μ n 2 a 2 b ) }   + C 4 { [ G b 1 2 + H ( l 2 + 1 ) b − 1 2 ] J l 2 + 1 2 ( μ n 2 a 2 b ) − H b 1 2 μ n 2 a 2 J l 2 + 3 2 ( μ n 2 a 2 b ) } = 0. (15) 联立方程(12) (13) (14) (15)可以求解得到 C 1 ， C 2 ， C 3 ， C 4 。因为边值问题(1)的解唯一，所以 D ≠ 0 ，结合引理3计算可得 D = ( π 2 ) − 3 2 c − 1 2 { β [ E φ 0 ， 0 1 ( a ， c ) + ( 1 + E F ) φ 1 ， 0 1 ( a ， c ) ] [ G φ 0 ， 1 2 ( b ， c ) + H φ 1 ， 1 2 ( b ， c ) ]               − α [ E φ 0 ， 1 1 ( a ， c ) + ( 1 + E F ) φ 1 ， 1 1 ( a ， c ) ] [ G φ 0 ， 0 2 ( b ， c ) + H φ 1 ， 0 2 ( b ， c ) ] } ， D 1 = Q ( π 2 ) − 1 { β J l 1 + 1 2 ( μ n 1 a 1 c ) [ G φ 0 ， 1 2 ( b ， c ) + H φ 1 ， 1 2 ( b ， c ) ] − c − 1 2 α [ ( l 1 + 1 ) c − 1 2 J l 1 + 1 2 ( μ n 1 a 1 c )     − c 1 2 μ n 1 a 1 J l 1 + 3 2 ( μ n 1 a 1 c ) ] [ G φ 0 ， 0 2 ( b ， c ) + H φ 1 ， 0 2 ( b ， c ) ] } ， D 2 = Q ( π 2 ) − 1 { α c − 1 2 [ ( l 1 + 1 ) c − 1 2 Y l 1 + 1 2 ( μ n 1 a 1 c ) − c 1 2 μ n 1 a 1 Y l 1 + 3 2 ( μ n 1 a 1 c ) ] [ G φ 0 ， 0 2 ( b ， c ) + H φ 1 ， 0 2 ( b ， c ) ]     − β Y l 1 + 1 2 ( μ n 1 a 1 c ) [ G φ 0 ， 1 2 ( b ， c ) + H φ 1 ， 1 2 ( b ， c ) ] } ， D 3 = Q ( π 2 ) − 1 c − 1 2 { G b 1 2 J l 2 + 1 2 ( μ n 2 a 2 b ) + H [ ( l 2 + 1 ) b − 1 2 J l 2 + 1 2 ( μ n 2 a 2 b ) − b 1 2 μ n 2 a 2 J l 2 + 3 2 ( μ n 2 a 2 b ) ] } φ 0 ， 1 1 ( c ， c ) ， D 4 = − Q ( π 2 ) − 1 c − 1 2 { G b 1 2 Y l 2 + 1 2 ( μ n 2 a 2 b ) + H [ ( l 2 + 1 ) b − 1 2 Y l 2 + 1 2 ( μ n 2 a 2 b ) − b 1 2 μ n 2 a 2 Y l 2 + 3 2 ( μ n 2 a 2 b ) ] } φ 0 ， 1 1 ( c ， c ) . 根据Cramer法则可求出 C 1 = D 1 D ， C 2 = D 2 D ， C 3 = D 3 D ， C 4 = D 4 D ，然后整理计算可以得出定解问题(1)左、 右区解式(8)和(9)。根据定理1，容易得出以下几个推论。 推论1 在复合Riccati-Bessel方程边值问题(1)中，如果右边界条件是 y 2 ( b ) = 0 ， ( H = 0 ， G ≠ 0 ) ，那么右相似核函数为 Φ ∗ ( x ) = φ 0 ， 0 2 ( x ， b ) φ 1 ， 0 2 ( c ， b ) . (16) 推论2 在复合Riccati-Bessel方程边值问题(1)中，如果右边界条件是 y ′ 2 ( b ) = 0 ， ( G = 0 ， H ≠ 0 ) ，那么右相似核函数为 Φ ∗ ( x ) = φ 0 ， 1 2 ( x ， b ) φ 1 ， 1 2 ( c ， b ) . (17)