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user: 3. 定理及其证明 定理1三元变系数欧拉函数方程 φ ( a b c ) = φ ( a ) + 5 φ ( b ) + 7 φ ( c ) 的正整数解共25组，分别为 ( a ， b ， c ) = ( 3 ， 12 ， 3 ) ， ( 3 ， 11 ， 5 ) ， ( 3 ， 11 ， 8 ) ， ( 3 ， 32 ， 3 ) ， ( 3 ， 17 ， 3 ) ， ( 5 ， 7 ， 3 ) ， ( 5 ， 7 ， 4 ) ， ( 8 ， 7 ， 3 ) ， ( 5 ， 7 ， 6 ) ， ( 5 ， 9 ， 4 ) ， ( 5 ， 14 ， 3 ) ， ( 10 ， 7 ， 3 ) ， ( 8 ， 2 ， 2 ) ， ( 10 ， 2 ， 2 ) ， ( 12 ， 2 ， 2 ) ， ( 26 ， 1 ， 2 ) ， ( 26 ， 2 ， 1 ) ， ( 13 ， 2 ， 2 ) ， ( 28 ， 1 ， 2 ) ， ( 28 ， 2 ， 1 ) ， ( 36 ， 1 ， 2 ) ， ( 36 ， 2 ， 1 ) ， ( 42 ， 1 ， 2 ) ， ( 42 ， 2 ， 1 ) ， ( 21 ， 2 ， 2 ) 。 证 对于三元变系数欧拉函数方程 φ ( a b c ) = φ ( a ) + 5 φ ( b ) + 7 φ ( c ) (1) 由引理2可知 φ ( a b c ) = ( a ， b c ) φ ( a ) φ ( b c ) φ ( ( a ， b c ) ) = ( a ， b c ) ( b ， c ) φ ( ( a ， b c ) ) φ ( ( b ， c ) ) φ ( a ) φ ( b ) φ ( c ) 。 由引理3所以 φ ( a ) + 5 φ ( b ) + 7 φ ( c ) = φ ( a b c ) ≥ φ ( a ) φ ( b ) φ ( c ) ， φ ( a ) + 5 φ ( b ) = φ ( a b c ) − 7 φ ( c ) ≥ φ ( a ) φ ( b ) φ ( c ) − 7 φ ( c ) ， ( φ ( a ) φ ( b ) − 7 ) φ ( c ) ≥ φ ( a ) φ ( b ) − 7 ，即 ( φ ( a ) − 5 ) ( φ ( b ) − 1 ) ≤ 12 。 根据 φ ( a ) 和 φ ( b ) 的不同取值分14种情形分别讨论。 情形1当 ( φ ( a ) − 5 ) ( φ ( b ) − 1 ) < 0 时，有 φ ( a ) = 1 ， 2 ， 4 ， φ ( b ) > 1 。 1.1当 φ ( a ) = 1 ，情形 φ ( b ) > 1 时，有 1 + 5 φ ( b ) + 7 φ ( c ) = φ ( a b c ) ≥ φ ( b ) φ ( c ) ， 即 ( φ ( b ) − 7 ) ( φ ( c ) − 5 ) ≤ 36 。 1.1.1若 φ ( a ) = 1 ， φ ( b ) = 2 ， φ ( c ) 为任意值时，此时(1)式为 φ ( a b c ) = 11 + 7 φ ( c ) ，经检验，(1)无解。 1.1.2若 φ ( a ) = 1 ， φ ( b ) = 4 ，此时 φ ( a b c ) = 21 + 7 φ ( c ) ，经检验，(1)无解。 1.1.3若 φ ( a ) = 1 ， φ ( b ) = 6 ，此时 φ ( a b c ) = 31 + 7 φ ( c ) ，经检验，(1)无解。 1.1.4若 φ ( a ) = 1 ， φ ( b ) = 8 ，此时 φ ( c ) − 5 ≤ 36 ，即 φ ( c ) = 1 ， 2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10 ， 12 ， 14 ， 16 ， 18 ， 20 ， 22 ， 24 ， 26 ， 28 ， 30 ， 32 ， 34 ， 36 ， 40 。 当 φ ( c ) = 1 ， φ ( a b c ) = 48 时，即 a b c = 65 ， 104 ， 105 ， 112 ， 130 ， 140 ， 144 ， 156 ， 168 ， 180 ， 210 ，又 a = c = 1 ， 2 ， b = 15 ， 16 ， 20 ， 24 ， 30 ，经检验，(1)无解。 当 φ ( c ) = 2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10 ， 12 ， 14 ， 16 ， 18 ， 20 ， 22 ， 24 ， 26 ， 28 ， 30 ， 32 ， 34 ， 36 ， 38 ， 40 时 ， φ ( a b c ) = 41 + 7 φ ( c ) ，由引理3知(1)无解。 1.1.5若 φ ( a ) = 1 ， φ ( b ) = 10 ，此时 φ ( c ) − 5 ≤ 13 ，即 φ ( c ) = 1 ， 2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10 ， 12 ， 14 ， 16 ， 18 。 当 φ ( c ) = 1 ， φ ( a b c ) = 58 时，即 a b c = 59 ， 118 ，又 a = c = 1 ， 2 ， b = 11 ， 22 ，经检验，(1)无解。 当 φ ( c ) = 2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10 ， 12 ， 14 ， 16 ， 18 时， φ ( a b c ) = 51 + 7 φ ( c ) ，由引理3知(1)无解。 1.1.6若 φ ( a ) = 1 ， φ ( b ) = 12 ，此时 φ ( c ) − 5 ≤ 7 ，即 φ ( c ) = 1 ， 2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10 ， 12 。 当 φ ( c ) = 1 ， φ ( a b c ) = 68 时，不存在 a b c 使得 φ ( a b c ) = 68 ，(1)无解。 当 φ ( c ) = 2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10 ， 12 时， φ ( a b c ) = 61 + 7 φ ( c ) ，由引理3知(1)无解。 1.1.7若 φ ( a ) = 1 ， φ ( b ) = 14 ，不存在 b 使得 φ ( b ) = 14 ，(1)无解。 1.1.8若 φ ( a ) = 1 ， φ ( b ) = 16 ，此时 φ ( c ) − 5 ≤ 4 ，即 φ ( c ) = 1 ， 2 ， 4 ， 6 ， 8 。 当 φ ( c ) = 1 ， φ ( a b c ) = 88 时，即 a b c = 89 ， 115 ， 178 ， 184 ， 230 ， 276 ，又 a = c = 1 ， 2 ， b = 17 ， 32 ， 34 ， 40 ， 48 ， 60 ，经检验，(1)无解。 当 φ ( c ) = 2 ， 4 ， 6 ， 8 时， φ ( a b c ) = 81 + 7 φ ( c ) ，由引理3知(1)无解。 1.1.9若 φ ( a ) = 1 ， φ ( b ) ≥ 18 时，此时 φ ( c ) ≤ 8 。 当 φ ( c ) = 1 时，经检验，不存在 a ， b ， c 使(1)成立，(1)无解。 当 φ ( c ) 为偶数时， φ ( a b c ) 为奇数，由引理3知(1)无解。 1.2当 φ ( a ) = 2 ， φ ( b ) > 1 时，有 φ ( a b c ) = 2 + 5 φ ( b ) + 7 φ ( c ) 。 1.2.1若 φ ( a ) = 2 ， φ ( b ) = 2 时， φ ( a b c ) = 12 + 7 φ ( c ) ≥ 4 φ ( c ) ，不存在c使(1)成立。 1.2.2若 φ ( a ) = 2 ， φ ( b ) = 4 时， φ ( a b c ) = 22 + 7 φ ( c ) ≥ 8 φ ( c ) ，即 φ ( c ) ≤ 22 ，即 φ ( c ) = 1 ， 2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10 ， 12 ， 14 ， 16 ， 18 ， 20 ， 22 。 当 φ ( c ) = 1 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10 ， 12 ， 14 ， 16 ， 18 ， 20 ， 22 时，不存在 a ， b ， c 使(1)成立。 当 φ ( c ) = 2 时，经检验， ( a ， b ， c ) = ( 3 ， 12 ， 3 ) 。 1.2.3若 φ ( a ) = 2 ， φ ( b ) = 6 时， φ ( a b c ) = 32 + 7 φ ( c ) ≥ 12 φ ( c ) ，即 φ ( c ) ≤ 6 ，即 φ ( c ) = 1 ， 2 ， 4 ， 6 。 当 φ ( c ) = 1 时， φ ( a b c ) = 39 ，由引理3知(1)无解。 当 φ ( c ) = 2 时， φ ( a b c ) = 46 ， a b c = 47 ， 94 ，经检验，(1)无解。 当 φ ( c ) = 4 时， φ ( a b c ) = 60 ， a b c = 61 ， 77 ， 93 ， 99 ， 122 ， 124 ， 198 ， 154 ， 186 ，经检验，(1)无解。 当 φ ( c ) = 6 时， φ ( a b c ) = 74 ，不存在 a ， b ， c 使得 φ ( a b c ) = 74 ，所以(1)无解。 1.2.4若 φ ( a ) = 2 ， φ ( b ) = 8 时， φ ( a b c ) = 42 + 7 φ ( c ) ≥ 16 φ ( c ) ，即 φ ( c ) ≤ 4 ，即 φ ( c ) = 1 ， 2 ， 4 。 当 φ ( c ) = 1 时， φ ( a b c ) = 49 ，由引理3知(1)无解。 当 φ ( c ) = 2 时， φ ( a b c ) = 56 ， a b c = 87 ， 116 ， 174 ，经检验，(1)无解。 当 φ ( c ) = 4 时， φ ( a b c ) = 70 ， a b c = 71 ， 142 ，经检验，(1)无解。 1.2.5若 φ ( a ) = 2 ， φ ( b ) = 10 时， φ ( a b c ) = 52 + 7 φ ( c ) ≥ 20 φ ( c ) ，即 φ ( c ) ≤ 4 ，即 φ ( c ) = 1 ， 2 ， 4 。 当 φ ( c ) = 1 时， φ ( a b c ) = 59 ，由引理3知(1)无解。 当 φ ( c ) = 2 时， φ ( a b c ) = 66 ， a b c = 67 ， 134 ，经检验，(1)无解。 当 φ ( c ) = 4 时， φ ( a b c ) = 80 ， a b c = 123 ， 164 ， 165 ， 176 ， 200 ， 246 ， 264 ， 300 ，经检验， ( a ， b ， c ) = ( 3 ， 11 ， 5 ) ， ( 3 ， 11 ， 8 ) 。 1.2.6若 φ ( a ) = 2 ， φ ( b ) = 12 时， φ ( a b c ) = 62 + 7 φ ( c ) ≥ 24 φ ( c ) ，即 φ ( c ) ≤ 3 ，即 φ ( c ) = 1 ， 2 。 当 φ ( c ) = 1 时， φ ( a b c ) = 69 ，由引理3知(1)无解。 当 φ ( c ) = 2 时， φ ( a b c ) = 76 ，不存在 a ， b ， c 使得 φ ( a b c ) = 76 ，所以(1)无解。 1.2.7若 φ ( a ) = 2 ， φ ( b ) = 14 时，不存在b使得 φ ( b ) = 14 ，所以(1)无解。 1.2.8若 φ ( a ) = 2 ， φ ( b ) = 16 时， φ ( a b c ) = 82 + 7 φ ( c ) ≥ 32 φ ( c ) ，即 φ ( c ) ≤ 3 ，即 φ ( c ) = 1 ， 2 。 当 φ ( c ) = 1 时， φ ( a b c ) = 89 ，由引理3知(1)无解。 当 φ ( c ) = 2 时， φ ( a b c ) = 96 ， a b c = 97 ， 119 ， 153 ， 194 ， 195 ， 208 ， 218 ， 224 ， 238 ， 260 ， 280 ， 288 ，经检验， ( a ， b ， c ) = ( 3 ， 32 ， 3 ) ， ( 3 ， 17 ， 3 ) 。 1.2.9若 φ ( a ) = 2 ， φ ( b ) ≥ 18 时， φ ( c ) ≤ 2 。 当 φ ( c ) = 1 时， φ ( a b c ) 为奇数，由引理3知(1)无解。 当 φ ( c ) = 2 时，经检验不存在 a ， b ， c 使得(1)成立，所以(1)无解。 1.3当 φ ( a ) = 4 ， φ ( b ) > 1 时，有 φ ( a b c ) = 4 + 5 φ ( b ) + 7 φ ( c ) 。 1.3.1若 φ ( a ) = 4 ， φ ( b ) = 2 时， φ ( a b c ) = 14 + 7 φ ( c ) ≥ 8 φ ( c ) ，即 φ ( c ) ≤ 14 ，即 φ ( c ) = 1 ， 2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10 ， 12 ， 14 。 当 φ ( c ) = 1 时， φ ( a b c ) = 21 ，由引理3知(1)无解。 当 φ ( c ) = 2 时， φ ( a b c ) = 28 ， a b c = 29 ， 58 ，经检验，(1)无解。 当 φ ( c ) = 4 时， φ ( a b c ) = 42 ， a b c = 43 ， 49 ， 86 ， 98 ，经检验，(1)无解。 当 φ ( c ) = 6 时， φ ( a b c ) = 56 ， a b c = 87 ， 116 ， 174 ，经检验，(1)无解。 当 φ ( c ) = 8 时， φ ( a b c ) = 70 ， a b c = 71 ， 142 ，经检验，(1)无解。 当 φ ( c ) = 10 时， φ ( a b c ) = 84 ， a b c = 129 ， 147 ， 172 ， 196 ， 258 ， 294 ，经检验，(1)无解。 当 φ ( c ) = 12 时， φ ( a b c ) = 98 ，不存在 a ， b ， c 使得 φ ( a b c ) = 98 ，所以(1)无解。 当 φ ( c ) = 14 时，不存在c使得 φ ( c ) = 14 ，所以(1)无解。 1.3.2若 φ ( a ) = 4 ， φ ( b ) = 4 时， φ ( a b c ) = 24 + 7 φ ( c ) ≥ 16 φ ( c ) ，即 φ ( c ) ≤ 2 ，即 φ ( c ) = 1 ， 2 。 当 φ ( c ) = 1 时， φ ( a b c ) = 31 ，由引理3知(1)无解。 当 φ ( c ) = 2 时， φ ( a b c ) = 38 ，不存在 a ， b ， c 使得 φ ( a b c ) = 38 ，所以(1)无解。 1.3.3若 φ ( a ) = 4 ， φ ( b ) = 6 时， φ ( a b c ) = 34 + 7 φ ( c ) ≥ 24 φ ( c ) ，即 φ ( c ) ≤ 2 ，即 φ ( c ) = 1 ， 2 。 当 φ ( c ) = 1 时， φ ( a b c ) = 41 ，由引理3知(1)无解。 当 φ ( c ) = 2 时， φ ( a b c ) = 48 ， a b c = 65 ， 104 ， 105 ， 112 ， 130 ， 140 ， 144 ， 156 ， 168 ， 180 ， 210 ，经检验， ( a ， b ， c ) = ( 5 ， 7 ， 3 ) ， ( 5 ， 7 ， 4 ) ， ( 8 ， 7 ， 3 ) ， ( 5 ， 7 ， 6 ) ， ( 5 ， 9 ， 4 ) ， ( 5 ， 14 ， 3 ) ， ( 10 ， 7 ， 3 ) 。 1.3.4若 φ ( a ) = 4 ， φ ( b ) ≥ 8 时， φ ( c ) ≤ 1 ，即 φ ( c ) = 1 。 当 φ ( c ) = 1 时， φ ( a b c ) 是奇数，由引理3知(1)无解。 情形2当 ( φ ( a ) − 5 ) ( φ ( b ) − 1 ) = 0 时，有 φ ( b ) = 1 ， φ ( a ) 为任意数； φ ( a ) = 5 ， φ ( b ) 为任意数。 当 φ ( a ) = 5 ， φ ( b ) 为任意数时，由引理3知 φ ( a ) = 5 不存在，所以(1)无解。 当 φ ( b ) = 1 ， φ ( a ) 为任意数时，此时(1)式为 φ ( a b c ) = φ ( a ) + 5 + 7 φ ( c ) ≥ φ ( a ) φ ( c ) ，即 ( φ ( a ) − 7 ) ( φ ( c ) − 1 ) ≤ 12 。 2.1当 φ ( c ) = 1 且 φ ( a ) 为任意时， φ ( a b c ) = 12 + φ ( a ) ，由引理4知， φ ( b c ) = 1 ， 2 < 12 + 1 + 1 ，所以方程有正整数解。 2.1.1当 φ ( a ) = 1 时， φ ( a b c ) 是奇数，由引理3知(1)无解。 2.1.2当 φ ( a ) = 2 时， φ ( a b c ) = 14 ，不存在 a ， b ， c 使得 φ ( a b c ) = 14 ，所以(1)无解。 2.1.3当 φ ( a ) = 4 时， φ ( a b c ) = 16 ， a = 5 ， 8 ， 10 ， 12 ，有 ( a ， b ， c ) = ( 8 ， 2 ， 2 ) ， ( 10 ， 2 ， 2 ) ， ( 12 ， 2 ， 2 ) 。 2.1.4当 φ ( a ) = 12 时， φ ( a b c ) = 24 ， a = 13 ， 21 ， 26 ， 28 ， 36 ， 42 ，有 ( a ， b ， c ) = ( 26 ， 1 ， 2 ) ， ( 26 ， 2 ， 1 ) ， ( 13 ， 2 ， 2 ) ， ( 21 ， 2 ， 2 ) ， ( 28 ， 2 ， 1 ) ， ( 28 ， 1 ， 2 ) ， ( 36 ， 2 ， 1 ) ， ( 36 ， 1 ， 2 ) ， ( 42 ， 2 ， 1 ) ， ( 42 ， 1 ， 2 ) 。 2.2当 φ ( c ) = 2 时， φ ( a ) − 7 ≤ 12 ，即 φ ( a ) = 1 ， 2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10 ， 12 ， 14 ， 16 ， 18 。 若 φ ( a ) = 1 ， φ ( a b c ) = 20 ， a b c = 25 ， 33 ， 44 ， 50 ， 66 ，经检验，(1)无解。 若 φ ( a ) = 2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10 ， 12 ， 14 ， 16 ， 18 ， φ ( a b c ) = 19 + φ ( a ) ，由引理3知(1)无解。 2.3当 φ ( c ) = 4 时， φ ( a ) − 7 ≤ 4 ，即 φ ( a ) = 1 ， 2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10 。 若 φ ( a ) = 1 ， φ ( a b c ) = 34 ，不存在 a ， b ， c 使得 φ ( a b c ) = 34 ，所以(1)无解。 若 φ ( a ) = 2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10 ， φ ( a b c ) = 33 + φ ( a ) ，由引理3知(1)无解。 2.4当 φ ( c ) = 6 时， φ ( a ) − 7 ≤ 2 ，即 φ ( a ) = 1 ， 2 ， 4 ， 6 ， 8 。 若 φ ( a ) = 1 ， φ ( a b c ) = 48 ， a b c = 65 ， 104 ， 105 ， 112 ， 130 ， 140 ， 144 ， 156 ， 168 ， 180 ， 210 ，经检验，(1)无解。 若 φ ( a ) = 2 ， 4 ， 6 ， 8 ， φ ( a b c ) = 47 + φ ( a ) ，由引理3知(1)无解。 2.5当 φ ( c ) = 8 ， 10 ， 12 时， φ ( a ) − 7 ≤ 1 ，即 φ ( a ) = 1 ， 2 ， 4 ， 6 ， 8 。 若 φ ( a ) = 1 ，不存在 a ， b ， c 使得 φ ( a b c ) 成立，所以(1)无解。 若 φ ( a ) = 2 ， 4 ， 6 ， 8 ， φ ( a b c ) 是奇数，由引理3知(1)无解。 2.6当 φ ( c ) ≥ 14 时， φ ( a ) − 7 ≤ 0 ，即 φ ( a ) = 1 ， 2 ， 4 ， 6 。 若 φ ( a ) = 1 ，不存在 a ， b ， c 使得 φ ( a b c ) 成立，所以(1)无解。 若 φ ( a ) = 2 ， 4 ， 6 ， φ ( a b c ) 是奇数，由引理3知(1)无解。 情形3当 ( φ ( a ) − 5 ) ( φ ( b ) − 1 ) = 1 时，有 φ ( a ) = 6 ， φ ( b ) = 2 ，则 φ ( a b c ) = 16 + 7 φ ( c ) ≥ 12 φ ( c ) ，即 φ ( c ) ≤ 3 ，即 φ ( c ) = 1 ， 2 。 当 φ ( c ) = 1 时， φ ( a b c ) = 23 ，由引理3知(1)无解。 当 φ ( c ) = 2 时， φ ( a b c ) = 30 ， a b c = 31 ， 62 ，经检验，(1)无解。 情形4当 ( φ ( a ) − 5 ) ( φ ( b ) − 1 ) = 2 时，有 φ ( a ) = 6 ， φ ( b ) = 3 或 φ ( a ) = 7 ， φ ( b ) = 2 ，由引理3知(1)无解。 情形5当 ( φ ( a ) − 5 ) ( φ ( b ) − 1 ) = 3 时，有 φ ( a ) = 6 ， φ ( b ) = 4 或 φ ( a ) = 8 ， φ ( b ) = 2 。 5.1 若 φ ( a ) = 6 ， φ ( b ) = 4 ，则 φ ( a b c ) = 26 + 7 φ ( c ) ≥ 24 φ ( c ) ， φ ( c ) ≤ 1 。 当 φ ( c ) = 1 时， φ ( a b c ) = 33 ，由引理3知(1)无解。 5.2 若 φ ( a ) = 8 ， φ ( b ) = 2 ，则 φ ( a b c ) = 18 + 7 φ ( c ) ≥ 16 φ ( c ) ， φ ( c ) ≤ 2 。 当 φ ( c ) = 1 时， φ ( a b c ) = 25 ，由引理3知(1)无解。 当 φ ( c ) = 2 时， φ ( a b c ) = 32 ， a b c = 51 ， 64 ， 68 ， 80 ， 96 ， 102 ， 120 ，经检验，(1)无解。 情形6当 ( φ ( a ) − 5 ) ( φ ( b ) − 1 ) = 4 时，有 φ ( a ) = 6 ， φ ( b ) = 5 或 φ ( a ) = 9 ， φ ( b ) = 2 或 φ ( a ) = 7 ， φ ( b ) = 3 ，由引理3知(1)无解。 情形7当 ( φ ( a ) − 5 ) ( φ ( b ) − 1 ) = 5 时，有 φ ( a ) = 6 ， φ ( b ) = 6 或 φ ( a ) = 10 ， φ ( b ) = 2 。 7.1若 φ ( a ) = 6 ， φ ( b ) = 6 ，则 φ ( a b c ) = 36 + 7 φ ( c ) ≥ 36 φ ( c ) ， φ ( c ) ≤ 1 。 当 φ ( c ) = 1 时， φ ( a b c ) = 43 ，由引理3知(1)无解。 7.2若 φ ( a ) = 10 ， φ ( b ) = 2 ，则 φ ( a b c ) = 20 + 7 φ ( c ) ≥ 20 φ ( c ) ， φ ( c ) ≤ 1 。 当 φ ( c ) = 1 时， φ ( a b c ) = 27 ，由引理3知(1)无解。 情形8当 ( φ ( a ) − 5 ) ( φ ( b ) − 1 ) = 6 时，有 φ ( a ) = 6 ， φ ( b ) = 7 或 φ ( a ) = 11 ， φ ( b ) = 2 或 φ ( a ) = 7 ， φ ( b ) = 4 或 φ ( a ) = 8 ， φ ( b ) = 3 ，由引理3知(1)无解。 情形9当 ( φ ( a ) − 5 ) ( φ ( b ) − 1 ) = 7 时，有 φ ( a ) = 6 ， φ ( b ) = 8 或 φ ( a ) = 12 ， φ ( b ) = 2 。 9.1若 φ ( a ) = 6 ， φ ( b ) = 8 ，则 φ ( a b c ) = 46 + 7 φ ( c ) ≥ 48 φ ( c ) ， φ ( c ) ≤ 1 。 当 φ ( c ) = 1 时， φ ( a b c ) = 53 ，由引理3知(1)无解。 9.2若 φ ( a ) = 12 ， φ ( b ) = 2 ，则 φ ( a b c ) = 22 + 7 φ ( c ) ≥ 24 φ ( c ) ， φ ( c ) ≤ 1 。 当 φ ( c ) = 1 时， φ ( a b c ) = 29 ，由引理3知(1)无解。 情形10当 ( φ ( a ) − 5 ) ( φ ( b ) − 1 ) = 8 时，有 φ ( a ) = 6 ， φ ( b ) = 9 或 φ ( a ) = 13 ， φ ( b ) = 2 或 φ ( a ) = 7 ， φ ( b ) = 5 或 φ ( a ) = 9 ， φ ( b ) = 3 ，由引理3知(1)无解。 情形11当 ( φ ( a ) − 5 ) ( φ ( b ) − 1 ) = 9 时，有 φ ( a ) = 6 ， φ ( b ) = 10 或 φ ( a ) = 14 ， φ ( b ) = 2 或 φ ( a ) = 8 ， φ ( b ) = 4 。 11.1 若 φ ( a ) = 6 ， φ ( b ) = 10 ，则 φ ( a b c ) = 56 + 7 φ ( c ) ≥ 60 φ ( c ) ， φ ( c ) ≤ 1 。 当 φ ( c ) = 1 时， φ ( a b c ) = 63 ，由引理3知(1)无解。 11.2若 φ ( a ) = 14 ， φ ( b ) = 2 ，则 φ ( a b c ) = 24 + 7 φ ( c ) ≥ 28 φ ( c ) ， φ ( c ) ≤ 1 。 当 φ ( c ) = 1 时， φ ( a b c ) = 31 ，由引理3知(1)无解。 11.3若 φ ( a ) = 8 ， φ ( b ) = 4 ，则 φ ( a b c ) = 28 + 7 φ ( c ) ≥ 32 φ ( c ) ， φ ( c ) ≤ 1 。 当 φ ( c ) = 1 时， φ ( a b c ) = 35 ，由引理3知(1)无解。 情形12当 ( φ ( a ) − 5 ) ( φ ( b ) − 1 ) = 10 时，有 φ ( a ) = 6 ， φ ( b ) = 11 或 φ ( a ) = 15 ， φ ( b ) = 2 或 φ ( a ) = 7 ， φ ( b ) = 6 或 φ ( a ) = 10 ， φ ( b ) = 3 ，由引理3知(1)无解。 情形13当 ( φ ( a ) − 5 ) ( φ ( b ) − 1 ) = 11 时，有 φ ( a ) = 6 ， φ ( b ) = 12 或 φ ( a ) = 16 ， φ ( b ) = 2 。 13.1若 φ ( a ) = 6 ， φ ( b ) = 12 ，则 φ ( a b c ) = 66 + 7 φ ( c ) ≥ 72 φ ( c ) ， φ ( c ) ≤ 1 。 当 φ ( c ) = 1 时， φ ( a b c ) = 73 ，由引理3知(1)无解。 13.2若 φ ( a ) = 16 ， φ ( b ) = 2 ，则 φ ( a b c ) = 26 + 7 φ ( c ) ≥ 32 φ ( c ) ， φ ( c ) ≤ 1 。 当 φ ( c ) = 1 时， φ ( a b c ) = 33 ，由引理3知(1)无解。 情形14当 ( φ ( a ) − 5 ) ( φ ( b ) − 1 ) = 12 时，有 φ ( a ) = 6 ， φ ( b ) = 13 或 φ ( a ) = 17 ， φ ( b ) = 2 或 φ ( a ) = 7 ， φ ( b ) = 7 或 φ ( a ) = 11 ， φ ( b ) = 3 或 φ ( a ) = 8 ， φ ( b ) = 5 或 φ ( a ) = 9 ， φ ( b ) = 4 ，由引理3知(1)无解。 综合上述结论可知(1)式共有18组正整数解，证毕。