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user: 4. 从普朗克常数的角度看不确定性原理和物质波概念之间的矛盾 考察一下普朗克常数的量纲，可以看到 长 度 ( 的 量 纲 ) × 速 度 ( 的 量 纲 ) × 质 量 ( 的 量 纲 ) ≡ 普 朗 克 常 数 h ( 的 量 纲 ) (10) 或者简写为 长 度 × 速 度 × 质 量 ≡ h (11) 根据式(6)，即动量≡质量×速度，故式(11)还可以改写为 长 度 × 动 量 ≡ h (12) 普朗克常数h有一个特别的性质，即在基本物理常数中，它是一个最小的常数 [ 5 ]，这意味着h具有不可超越的极限意义，于是可以把式(11)和(12)中的恒等关系“≡”换成大于等于关系“≥”，即在量值关系上有 长 度 × 质 量 × 速 度 ≥ h (13) 以及 长 度 × 动 量 ≥ h (14) 式(14)的左端因为只有长度和动量这两个参数，所以在普朗克常数h的约束下，这两个参数之间构成反比关系，即一个参数的数值越大，则另外一个参数的数值越小。而式(14)左端是三个参数的连乘，此时再谈论它们之间的关系到底是正比关系还是反比关系已经没有多少意义。 由于对任何一个物理量进行测量都不可能得到一个绝对准确的数值，即使利用最好的测量技术，测量值和真实值之间也存在差异或误差。本文用符号Δ表示误差。 设x表示位置的确定量/真实值，每次测量的结果为(x ± Δx)；m表示质量的确定量/真实值，每次测量的结果为(m ± Δm)；p表示动量的确定量/真实值，每次测量的结果为(p ± Δp)。作为简单讨论，下面只考虑正误差的情况。 将位置测量值(x + Δx)与动量测量值(p + Δp)相乘并展开，有 ( x + Δ x ) ⋅ ( p + Δ p ) = x ⋅ p + x ⋅ Δ p + Δ x ⋅ p + Δ x ⋅ Δ p (15) 在式(15)中，最后一项Δx·Δp具有最小的数值，即 x ⋅ p > x ⋅ Δ p > Δ x ⋅ p > Δ x ⋅ Δ p 因为普朗克常数h是一个最小的常数，则必有 { x ⋅ p ≥ h x ⋅ Δ p ≥ h Δ x ⋅ p ≥ h Δ x ⋅ Δ p ≥ h Δ x ≠ 0 ， Δ p ≠ 0 (16) 其中最小项为 Δ x ⋅ Δ p ≥ h (17) 否则就意味着还存在一个量纲和h相同、同时量值比h还小的物理常数，而这样的物理常数在现有物理知识体系构架中是不存在的。 式(17)是海森堡1927年提出的不确定性原理 [ 6 ] (uncertainty principle，中文物理教科书以前译作“测不准原理 [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] ”，近年来改称为“不确定性原理 [ 6 ] ”)。关于式(17)，海森堡写道：“……，位置测定得越准确，动量的测定就越不准确，反之亦然 [ 10 ]。” 为了在记号上与光子频率v区分，本文将速度记为u。根据动量的定义， p + Δ p = ( m + Δ m ) ⋅ ( u + Δ u ) = m ⋅ u + m ⋅ Δ u + Δ m ⋅ u + Δ m ⋅ Δ u (18) 故式(15)还可以写为 ( x + Δ x ) ⋅ ( p + Δ p ) = ( x + Δ x ) ⋅ ( m + Δ m ) ⋅ ( u + Δ u ) = x ⋅ m ⋅ u + x ⋅ m ⋅ Δ u + x ⋅ Δ m ⋅ u + x ⋅ Δ m ⋅ Δ u     + Δ x ⋅ m ⋅ u + Δ x ⋅ m ⋅ Δ u + Δ x ⋅ Δ m ⋅ u + Δ x ⋅ Δ m ⋅ Δ u (19) 并有 { x ⋅ m ⋅ u ≥ h x ⋅ m ⋅ Δ u ≥ h x ⋅ Δ m ⋅ u ≥ h x ⋅ Δ m ⋅ Δ u ≥ h Δ x ⋅ m ⋅ u ≥ h Δ x ⋅ m ⋅ Δ u ≥ h Δ x ⋅ Δ m ⋅ u ≥ h Δ x ⋅ Δ m ⋅ Δ u ≥ h Δ x ≠ 0 ， Δ m ≠ 0 ， Δ u ≠ 0 (20) 其中最小项为 Δ x ⋅ Δ m ⋅ Δ u ≥ h (21) 如果质量是确定的，即 Δ m = 0 ，则有 { x ⋅ m ⋅ u ≥ h x ⋅ m ⋅ Δ u ≥ h Δ x ⋅ m ⋅ u ≥ h Δ x ⋅ m ⋅ Δ u ≥ h Δ x ≠ 0 ， Δ u ≠ 0 (22) 其中最小一项为 Δ x ⋅ m ⋅ Δ u ≥ h (23) 关于式(23)，“海森堡指出，粒子位置的不确定性乘上粒子质量再乘以速度的不确定性不能小于一个确定量——普朗克常数。并且，这个极限既不依赖于测量粒子位置和速度的方法，也不依赖于粒子的种类 [ 10 ] ”，这表明海森堡不认为三个量之间有逻辑上的相互关联。 Δm = 0实际上引入了质量不变或者质量守恒的概念。但是不能因为质量守恒就认为质量没有不确定性，因为毕竟质量具体有多少也是测量出来的。所以广义的不确定性原理应该采用式(21)。 至此可以看到，同一个普朗克常数h可以与三个表达式相对应，即式(17)、(21)和(23)，其中除了式(21)，另外两个表达式海森堡都给出了解释。从数学角度来看两种解释都没错，但是要把相应的数学意义延伸到物理层面可能就有问题。例如对于式(17)，表面上看，因为h是一个常数，所以Δx和Δp两者之间构成一种反比关系，但是这种反比关系在逻辑上并不等价于“一个参数测得越准，另外一个参数测得就越不准”。 物理规律具有唯一性。普朗克常数h与其他参数之间的关系本质上是同一个问题，海森堡因式而异给出了两种不一样的解释，这一点本身就不满足物理规律的唯一性。这很可能意味着普朗克常数h与其他参数之间的关系没有物理意义。 式(23)是质量没有确定性即 Δ m = 0 时的结果。按照同样的逻辑，既然有 Δ m = 0 ，当然也可以有 Δ x = 0 、 Δ p = 0 ，此时有 ( x + Δ x ) ⋅ ( p + Δ p ) = x ⋅ p = h (24) 也就是说，此时不确定性被确定性所替代。由此可以写出 x = h p (25) 或者 p = h x (26) 换言之，不确定性原理实际上可以从不确定性过渡到确定性，但是这种过渡不应该伴随有物理意义具体属性的改变。 波长的量纲为长度。如果将长度理解为波长λ，则有 [ 5 ] [ 8 ] λ = h p (27) 或者 [ 7 ] [ 11 ] p = h λ (28) 这就是德布罗意提出的物质波概念：“物体若以大小为p的动量运动时，则伴随有波长为λ的波 [ 8 ] ”。 由式(27)、(28)可以写出 λ p = h (29) 反过来看，既然对任何一个物理量进行测量都不可能得到一个绝对准确的数值，波长是物理量，所以对波长也不可能得到一个绝对准确的数值λ、而是(λ ± Δλ)，式(29)中没有出现Δλ项，说明波长的不确定性为零；同理，式(29)中没有出现Δp项，说明动量的不确定性为零；这两点综合在一起，说明物质波对应的是确定性，物质波的不确定性等于零；不确定性原理讲的是不确定性不等于零，这就产生了一个问题：一个理论体系是否可以同时存在两个相互矛盾的概念？ 位置和波长虽然都是长度量纲，但是它们的物理含义是不同的。事实上，如式(24)所示，只要令 Δ x = 0 、 Δ p = 0 ，同样可以在不确定性原理中引入确定性，即有 x ⋅ p = h ，同时做到长度量纲在实质意义上的一致性。从逻辑上说，如果可以存在 λ ⋅ p = h ，那么同样可以存在 x ⋅ p = h ，由此产生另外一个问题：是否成立 x = λ ？上述分析过程可以归纳为图1所示。 图1. 普朗克常数h对应的两种关系 另外可以注意到，对于一个质量为M的质量体，当它以光速c运动时，其动量为 p = M c (30) 代入式(28)可以得到 M = h λ c (31) 该结果与式(5)相同。根据式(2)，有 M = E c 2 (32) 将式(32)代入式(31)，可以写出 E = h c λ = h v (33) 该结果与式(3)相同，这说明从数学角度看，爱因斯坦的光(量)子模型只是物质波概念的一种特例，但是在物理意义上，前者是粒子，后者是波，这本身就是一个矛盾；本文第3节已经论证了光子的波长是没有物理意义的辅助变量，由此倒推回去，结论就是：物质波的波长也是没有物理意义的辅助变量，物质波是一个不需要的概念。