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user: 2. 预备知识 在本节中，我们将给出一些关于凸体的术语和记号。对于凸几何分析来说，Gardner [ 16 ]，Gruber [ 17 ] 以及Schneider [ 2 ] 的书都可以作为极好的参考。 对于 x ， y ∈ ℝ n ，我们将其内积记为 〈 x ， y 〉 。将x的模长记为 | x | = 〈 x ， x 〉 。单位球面 { x ∈ ℝ n : | x | = 1 } 用 S n − 1 表示。以原点为中心的单位球 { x ∈ ℝ n : | x | ≤ 1 } 记为B， ω n 是B的体积， n ω n 是B的表面积。V是n维勒贝格测度。 μ 是一个测度， | μ | = μ ( S n − 1 ) 。 凸体是 ℝ n 中内部非空的紧凸集。对于 K ∈ K o n ，它的支撑函数 h K 是 h K ( u ) = max { 〈 x ， u 〉 : x ∈ K } . α > 0 ， x ∈ ℝ n { 0 } ，凸体K的径向函数 ρ K 的定义为 ρ K ( x ) = max { α : α x ∈ K } . 设K是 ℝ n 中的凸体，对于 v ∈ ℝ n { 0 } ，K的以v为外法向量的支撑平面按如下方式定义 H K ( v ) = { x ∈ ℝ n : 〈 x ， v 〉 = h K ( v ) } . 设 K ∈ K o n ， K ≠ ∅ ，若对于任意的 x ∈ K ，线段 [ 0 ， x ] ⊂ K ，则称K是关于原点o的星集。当一个星集的径向函数为正的且连续时，称该星集为星体。 ℝ n 中所有包含原点的星体组成一个星体类，记为 S o n 。 设 C + ( S n − 1 ) 是定义在 S n − 1 上的正向函数类。对每一个 f ∈ C + ( S n − 1 ) ，由f生成的Wulff形记为 [ f ] ，其定义为 [ f ] = { x ∈ ℝ n : 〈 x ， v 〉 ≤ f ( v ) ， ∀ v ∈ S n − 1 } . 对于任意的 K ∈ K o n ，易证 h [ f ] ≤ f 以及 [ h K ] = K 。 设 Ω ⊂ S n − 1 是一个不包含 S n − 1 上任意闭半球面的闭集。若 h : Ω → ( 0 ， ∞ ) 且 f : Ω → ℝ 是连续的， δ > 0 以及 log h t ( v ) = log h ( v ) + t f ( v ) + o ( t ， v ) ， 其中，对每一个 t ∈ ( − δ ， δ ) ，函数 o ( t ， ⋅ ) : Ω → ℝ 是连续的，且 lim t → 0 o ( t ， ⋅ ) / t = 0 在 Ω 上是一致。 对于函数 h t 生成的wulff形 [ h t ] ，我们也称 [ h t ] 是由 ( K ， f ) 生成的Wulff 形。当h是某个凸体K的支撑函数时，我们也将 [ h t ] 写为 [ K ， f ] 或 [ K ， f ， t ] 。 设 g : Ω → ℝ 是连续的， δ > 0 ，对每一个 t ∈ ( − δ ， δ ) ， ρ t : Ω → ( 0 ， ∞ ) 是连续的，以及 log ρ t ( u ) = log ρ ( u ) + t g ( u ) + o ( t ， u ) ， 其中，函数 o ( t ， ⋅ ) : Ω → ℝ 是连续的，且 lim t → 0 o ( t ， ⋅ ) / t = 0 在 Ω 上是一致。 将由函数 ρ t 生成的凸包定义为 〈 ρ t 〉 = c o n v { ρ t ( u ) u : u ∈ S n − 1 } ， 称 〈 ρ t 〉 是由 ( ρ ， g ) 生成的对数族的凸包。如果 ρ 恰好是某个凸体的径向函数，就将 〈 ρ t 〉 记为 〈 K ， g 〉 ，并称 〈 K ， g 〉 是由 ( K ， g ) 生成的对数族的凸包。 α ∈ ( 0 ， 1 ) ，星体的 L p 对偶组合 ( 1 − α ) ⋅ K + ˜ p α ⋅ L (参见 [ 14 ] )按如下方式定义 ( 1 − α ) ⋅ K + ˜ p α ⋅ L = { t u : 0 ≤ t ≤ ( ( 1 − α ) ρ K p ( u ) + α ρ L p ( u ) ) 1 p ， u ∈ S n − 1 } ， p ≠ 0 在上式中，对括号中的不等式的最右边取极限就得到了 p = 0 的情形，此时上式函数变为 ρ K 1 − α ρ L α 。 对任意 K ∈ K o n ， K * 是K的极体，其定义为 K * = { x ∈ ℝ n : 〈 x ， y 〉 ≤ 1 ， ∀ y ∈ K } ， 注意到 K * ∈ K o n ，由 K * 的定义，我们有 ρ K = 1 h K * ， h K = 1 ρ K * (2.1) 由此易得 K * * = K 对于 K ， L ∈ K o n ，如果存在 c > 0 使得 K = c L 则称K和L是膨胀的。 σ ⊂ ∂ K 的球面像的定义为 υ K ( σ ) = { v ∈ S n − 1 : x ∈ H K ( v ) ， ∃ x ∈ σ } ⊂ S n − 1 对于 K ∈ K o n ， u ∈ S n − 1 ，将K的径向映射(radial map)定义为 r K : S n − 1 → ∂ K ， r K ( u ) = ρ K ( u ) u ∈ ∂ K ， 其中 ∂ K 表示K的边界集。 对于 ω ⊂ S n − 1 ，定义 ω 的径向高斯像为 α K ( ω ) = υ K ( r K ( ω ) ) ⊂ S n − 1 . 类似地，对于 η ⊂ S n − 1 ， α K * ( η ) 表示逆径向高斯像，它是所有径向方向 u ∈ S n − 1 的集合，对于边界点 ρ K ( u ) u 可以在 η 中至少找到一个元素v，作为边界点 ρ K ( u ) u 的外法向量，即 α K * ( η ) = { u ∈ S n − 1 : α K ( u ) ∩ η ≠ ∅ } . 设 λ 是定义在 S n − 1 的Lebesgue可测子集的子测度， K ∈ K o n 。对任意的Borel集 ω ⊂ S n − 1 ， λ 关于K的高斯像测度 λ ( K ， ⋅ ) 可以定义为 λ ( K ， ω ) = λ ( α K ( ω ) ) . 对于每一个Borel集 ω ⊂ S n − 1 ， λ * ( K ， ω ) 表示逆高斯像测度，其定义为 λ * ( K ， ω ) = λ ( α K * ( ω ) ) = λ ( α K * ( ω ) ) . 对于任意的 c > 0 ， λ ( K ， ⋅ ) 和 λ * ( K ， ⋅ ) 都是膨胀不变的，即 λ ( c K ， ⋅ ) = λ ( K ， ⋅ ) ， λ * ( c K ， ⋅ ) = λ * ( K ， ⋅ ) 此外，关于 λ ( K ， ⋅ ) 和 λ * ( K ， ⋅ ) 的关系， λ * ( K ， ⋅ ) = λ ( K * ， ⋅ ) (2.2) K ∈ K o n ， [ 14 ] 还给出了关于测度 λ 的K的对数体积 λ 0 ( K ) ， λ 0 ( K ) = exp { 1 | λ | ∫ S n − 1 log ρ K ( u ) d λ ( u ) } . 由对数体积 λ 0 ( K ) 和关于 λ 的对偶Entropy的定义，有下式成立 E ˜ λ ( K ) = | λ | log λ 0 ( K ) (2.3) 引理2.1 ( [ 14 ]，引理4.2) 设 λ 是 S n − 1 上绝对连续的Borel测度， K ∈ K o n ， f ， g : S n − 1 → ℝ 是连续的，若 〈 K ， g 〉 是一个由 ( K ， g ) 生成的对数族的凸包，则 d d t log λ 0 ( 〈 K ， f ， t 〉 * ) | t = 0 = 1 | λ | ∫ S n − 1 g ( u ) d λ ( K ， u ) 若 [ K ， f ] 是由 ( K ， f ) 生成的Walff形，则 d d t log λ 0 ( [ K ， f ， t ] ) | t = 0 = 1 | λ | ∫ S n − 1 f ( u ) d λ * ( K ， u ) 引理2.2 设 λ 是 S n − 1 上绝对连续的Borel测度， K ， L ∈ K o n ，则 lim t → 0 E ˜ λ ( ( 1 − t ) ⋅ K + 0 t ⋅ L ) − E ˜ λ ( K ) t = ∫ S n − 1 log h L ( u ) h K ( u ) d λ ( K * ， v ) 证明. 对充分小的 δ > 0 ， t ∈ ( − δ ， δ ) ，令 h t = h K 1 − t h L t ，所以 log h t = log h K + t ( log h L − log h K ) ，则 f = log h L − log h K ，由关于函数 h t 的Wulff形的定义可知， [ K ， f ， t ] = ( 1 − t ) ⋅ K + 0 t ⋅ L ， f是连续的，结合引理2.1，(2.2)式以及(2.3)式，立即得证。