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user: 3. 主要结果证明 3.1. 正解存在性证明 首先，我们证明以下Dirichlet问题非负解的存在性： { − d i v ( | x | − 2 a ∇ u ) = μ u | x | 2 ( 1 + a ) + u 2 * ( a ， s ) − 1 − ε | x | s ， x ∈ Ω ， u = 0 ， x ∈ ∂ Ω ， (3.1) 其中 Ω 是 ℝ N ( N ≥ 3 ) 中的球 B R ( 0 ) ，且 0 ≤ a < μ ¯ ， μ ¯ = ( N − 2 2 ) 2 ， 2 * ( a ， s ) = 2 ( N − s ) N − 2 ( 1 + a ) ， 2 N a N − 2 ≤ s < 2 ( 1 + a ) ， 0 < ε < 2 * ( a ， s ) − 1 ， 0 ≤ μ < ( μ ¯ − a ) 2 。 问题(3.1)对应能量泛函为： J ( u ) = 1 2 ‖ u ‖ 2 − 1 2 * ( a ， s ) − ε ∫ Ω | x | − s | u | 2 * ( a ， s ) − ε ， u ∈ H 0 1 ( Ω ， | x | − 2 a ) 。 引理3.1：对任意 c ∈ ℝ ，泛函J都满足 ( P S ) c 条件。 证明：取 c ∈ ℝ 并假设 { u n } 是水平c上的PS序列，即 J ( u n ) → c 和在 ( H 0 1 ( Ω ， | x | − 2 a ) ) * 内有 J ′ ( u n ) → 0 。这意味着存在一个常数 M > 0 ，使得 | J ( u n ) | ≤ M . (3.2) 根据 J ′ ( u n ) → 0 ，可得 o ( 1 ) ‖ u n ‖ = 〈 J ′ ( u n ) ， u n 〉 = ‖ u n ‖ 2 − ∫ Ω | x | − s | u n | 2 * ( a ， s ) − ε . (3.3) 计算(3.2) − 1 2 * ( a ， s ) − ε (3.3)得， M + o ( 1 ) ‖ u n ‖ ≥ 1 2 ‖ u n ‖ 2 − 1 2 * ( a ， s ) − ε ∫ Ω | x | − s | u | 2 * ( a ， s ) − ε     − 1 2 * ( a ， s ) − ε ‖ u n ‖ 2 + 1 2 * ( a ， s ) − ε ∫ Ω | x | − s | u | 2 * ( a ， s ) − ε = ( 1 2 − 1 2 * ( a ， s ) − ε ) ‖ u n ‖ 2 这意味着 { u n } 有界。通过通常论证，存在一个子序列仍然记为 { u n } 且存在 u ∈ H 0 1 ( Ω ， | x | − 2 a ) 使得 · 在 H 0 1 ( Ω ， | x | − 2 a ) 中， u n ⇀ u ； · 在 L 2 * ( a ， s ) − ε ( Ω ) 中， | x | − s 2 * ( a ， s ) − ε u n → | x | − s 2 * ( a ， s ) − ε u ； · u n 在 Ω 上几乎处处收敛到u。 接下来，我们证明 u n 到u是强收敛。首先，根据以上分析，可得当 n → ∞ 时， ‖ u n | x | − s 2 * ( a ， s ) − ε − u | x | − s 2 * ( a ， s ) − ε ‖ L 2 * ( a ， s ) − ε ( Ω ) → 0 . 因为 J ′ ( u n ) → 0 和 u n ⇀ u ，所以 〈 J ′ ( u n ) ， u n − u 〉 → 0 且显然有 〈 J ′ ( u ) ， u n − u 〉 → 0 。 因此，当 n → ∞ 时，一方面有 〈 J ′ ( u n ) − J ′ ( u ) ， u n − u 〉 ≤ | 〈 J ′ ( u n ) ， u n − u 〉 | + | 〈 J ′ ( u ) ， u n − u 〉 | = o ( 1 ) ， 另一方面有， 〈 J ′ ( u n ) − J ′ ( u ) ， u n − u 〉 = ‖ u n − u ‖ 2 − ∫ Ω | x | − s ( | u n | 2 * ( a ， s ) − 2 − ε u n − | u | 2 * ( a ， s ) − 2 − ε u ) ( u n − u ) . 根据Hölder不等式，有 ∫ Ω | x | − s | u n | 2 * ( a ， s ) − 2 − ε u ( u n − u ) ≤ ∫ Ω | x | − s | u n | 2 * ( a ， s ) − 1 − ε | u n − u | = ∫ Ω | x | − s ⋅ 2 * ( a ， s ) − 1 − ε 2 * ( a ， s ) − ε | u n | 2 * ( a ， s ) − 1 − ε | x | − s ⋅ 1 2 * ( a ， s ) − ε | u n − u | ≤ ( ∫ Ω | x | − s | u n | 2 * ( a ， s ) − ε ) 2 * ( a ， s ) − 1 − ε 2 * ( a ， s ) − ε ‖ | x | − s 2 * ( a ， s ) − ε | u n − u | ‖ L 2 * ( a ， s ) − ε ( Ω ) ≤ C ‖ u n ‖ 2 * ( a ， s ) − 1 − ε ‖ u n | x | − s 2 * ( a ， s ) − ε − u | x | − s 2 * ( a ， s ) − ε ‖ L 2 * ( a ， s ) − ε ( Ω ) = o ( 1 ) 同理可得， ∫ Ω | x | − s | u | 2 * ( a ， s ) − 2 − ε u ( u n − u ) = o ( 1 ) 。因此， o ( 1 ) = 〈 J ′ ( u n ) − J ′ ( u ) ， u n − u 〉 = ‖ u n − u ‖ 2 + o ( 1 ) ， 即在 H 0 1 ( Ω ， | x | − 2 a ) 中 u n → u 且对任意 c ∈ ℝ ，泛函J都满足 ( P S ) c 条件。 引理3.2：泛函J允许在非负函数集内存在 ( P S ) c 序列，其中 c = inf g ∈ Γ max t ∈ [ 0 ， 1 ] J ( g ( t ) ) ， Γ = { g ∈ C ( [ 0 ， 1 ] ， H 0 1 ( Ω ) ) : g ( 0 ) = 0 ， J ( g ( 1 ) ) < 0 } . 证明：接下来我们证明J满足山路引理的所有假设。显然， J ( 0 ) = 0 。 由加权Hardy-Sobolev不等式可得 J ( u ) = 1 2 ‖ u ‖ 2 − 1 2 * ( a ， s ) − ε ∫ Ω | x | − s | u | 2 * ( a ， s ) − 1 − ε u ≥ 1 2 ‖ u ‖ 2 − C 1 ‖ u ‖ 2 * ( a ， s ) − ε . 对任意 a ， s ，我们选择足够小的 ε 使得 2 * ( a ， s ) − ε > 2 。根据以上分析，存在 ρ ， e > 0 ，使得对任意 u ∈ { u ∈ H 0 1 ( Ω ， | x | − 2 a ) : ‖ u ‖ = e } 有 J ( u ) ≥ ρ 。此外，对任意 u ∈ H 0 1 ( Ω ， | x | − 2 a ) ，有 J ( t u ) = t 2 2 ‖ u ‖ 2 − t 2 * ( a ， s ) − ε 2 * ( a ， s ) − ε ∫ Ω | x | − s | u | 2 * ( a ， s ) − 1 − ε u . 因此，当 t → + ∞ 有 J ( t u ) → − ∞ 。因此，我们可以选择合适的 t 0 > 0 ，使得 J ( t 0 u ) < 0 。根据山路引理，可知J允许存在 ( P S ) c 序列，并且由于对任意的 u ∈ H 0 1 ( Ω ， | x | − 2 a ) ，都有 J ( | u | ) ≤ J ( u ) ，故这个序列可以在非负函数集合中被选择。证毕！ 通过引理3.1、3.2和山路引理，我们得到了问题(1.1)的一个非负解 u ∈ H 0 1 ( Ω ， | x | − 2 a ) ，再通过极大值原理，该解是正解。 3.2. 径向对称性证明 接下来，记问题(1.1)中的 2 * ( a ， s ) − 1 − ε = p > 0 ，并研究解 u ε ∈ H 0 1 ( Ω ， | x | − 2 a ) 的奇异性和径向对称性。根据标准椭圆的正则性理论得， u ε ( x ) ∈ C 2 ( Ω \ { 0 } ) ∩ C 1 ( Ω ¯ \ { 0 } ) 。因此， u ε ( x ) 的奇点是原点。 假设 u ε ∈ H 0 1 ( Ω ， | x | − 2 a ) 满足问题(1.1)。令 υ ( x ) = | x | ν u ( x ) ， ν = ( μ ¯ − a ) − ( μ ¯ − a ) 2 − μ ，可得 { − d i v ( | x | − 2 a − 2 ν ∇ υ ) = | x | − ( 2 * ( a ， s ) − ε ) ν − s υ 2 * ( a ， s ) − 1 − ε ， υ > 0 x ∈ Ω ， υ = 0 x ∈ ∂ Ω . (3.4) 根据标准椭圆的正则性理论得， υ ε ( x ) ∈ C 2 ( Ω \ { 0 } ) ∩ C 1 ( Ω ¯ \ { 0 } ) 。 引理3.3：(1) υ ( x ) ∈ H 0 1 ( Ω ， | x | − 2 a − 2 v ) ；(2) υ ( x ) 在 Ω 上有界。 证明：(1)对任意满足(1.1)的 u ( x ) ∈ H 0 1 ( Ω ， | x | − 2 a ) ，根据加权Hardy不等式，我们有 ∫ Ω | x | − 2 a − 2 ν | ∇ υ | 2 = ∫ Ω | x | − 2 a − 2 ν | | x | ν ∇ u + ν | x | ν − 2 u x | 2 ≤ 2 ( ∫ Ω | x | − 2 a | ∇ u | 2 + ν 2 ∫ Ω u 2 | x | 2 ( 1 + a ) ) ≤ C 因此， υ ( x ) = | x | ν u ( x ) ∈ H 0 1 ( Ω ， | x | − 2 a − 2 v ) 。 (2)根据引理2.2提到的Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式，得对任意 u ( x ) ∈ H 0 1 ( Ω ， | x | − 2 a − 2 ν ) 有 ( ∫ Ω | x | m | ∇ u | 2 ) 1 2 ≥ C m ， n ( ∫ Ω | x | n | u | p ( m ， n ) ) 1 p ( m ， n ) ， (3.5) 其中 m = − 2 a − 2 ν ， n = − ( 2 * ( a ， s ) − ε ) ν − s ， p ( m ， n ) = 2 * ( a ， s ) + ε ν ( μ ¯ − a ) 2 − μ 。 注意到 υ ( x ) 满足 ∫ Ω | x | m ∇ υ ⋅ ∇ φ = ∫ Ω | x | n υ p φ ， ∀ φ ∈ H 0 1 ( Ω ， | x | m ) . 定义 υ l = min { υ ( x ) ， l } ， l > 1 。设 t > 1 ，取上式中 φ = υ ⋅ υ l 2 ( t − 1 ) ∈ H 0 1 ( Ω ， | x | m ) 得 ∫ Ω | x | m | ∇ υ | 2 υ l 2 ( t − 1 ) + 2 ( t − 1 ) ∫ Ω | x | m | ∇ υ l | 2 υ l 2 ( t − 1 ) = ∫ Ω | x | n υ p + 1 υ l 2 ( t − 1 ) 。 因此， ( ∫ Ω | x | n ( υ ⋅ υ l t − 1 ) p ( m ， n ) ) 2 p ( m ， n ) ≤ C m ， n − 2 ∫ Ω | x | m | ∇ ( υ ⋅ υ l t − 1 ) | 2 ≤ 2 C m ， n − 2 ( ( t − 1 ) 2 ∫ Ω | x | m | ∇ υ l | 2 υ l 2 ( t − 1 ) + ∫ Ω | x | m | ∇ υ | 2 υ l 2 ( t − 1 ) ) ≤ 2 C m ， n − 2 t ∫ Ω | x | n υ p + 2 t − 1 (3.6) 根据(3.6)和Levi’s定理，由 υ ∈ L p + 2 t − 1 ( Ω ， | x | n ) 可知 υ ∈ L t p ( m ， n ) ( Ω ， | x | n ) 。 接下来定义 { p − 1 + 2 t 0 = p ( m ， n ) ， p − 1 + 2 t j + 1 = p ( m ， n ) t j ， (3.7) { M 0 = ( C ⋅ C m ， n − 2 ) p ( m ， n ) 2 ， M j + 1 = ( 2 C m ， n − 2 t j M j ) p ( m ， n ) 2 ， (3.8) 其中 j = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ，C是满足 ∫ Ω | x | m | ∇ υ | 2 ≤ C 的固定常数。 由(3.7)可得 t j = ( 2 − 1 p ( m ， n ) ) j + 1 ( p ( m ， n ) − p − 1 ) + p − 1 p ( m ， n ) − 2 。 结合(3.8)和 [ 9 ] 中类似计算可得 ∃ d > 0 (d与j无关)使得 M j ≤ e d t j − 1 。 又因为 2 < p + 1 < p ( m ， n ) ，故对所有 j ≥ 0 都有 t j > 1 且当 j → + ∞ 时 t j → + ∞ 。 结合(3.6)、(3.7)和(3.8)，得 ∫ Ω | x | n υ p + 2 t 1 − 1 ≤ ( 2 C m ， n − 2 t 0 ) p ( m ， n ) 2 ( ∫ Ω | x | n υ p + 2 s 0 − 1 ) p ( m ， n ) 2 ≤ ( 2 C m ， n − 2 t 0 ) p ( m ， n ) 2 ( C p ( m ， n ) 2 C m ， n − p ( m ， n ) ) p ( m ， n ) 2 ≤ ( 2 C m ， n − 2 t 0 M 0 ) p ( m ， n ) 2 ≤ M 1 类似地我们有， ∫ Ω | x | n υ p + 2 t j − 1 ≤ M j 。 记 C ( Ω ， n ) = max x ∈ Ω | x | − n ，并根据 p − 1 + 2 t j + 1 = p ( m ， n ) t j 可得 | υ | L p ( m ， n ) t j ( Ω ) ≤ ( ∫ Ω | υ | p ( m ， n ) t j | x | n ⋅ | x | − n ) 1 p ( m ， n ) t j ≤ C ( Ω ， n ) 1 p ( m ， n ) t j | υ | L p ( m ， n ) t j ( Ω ， | x | n ) 1 p ( m ， n ) t j ≤ C ( Ω ， n ) 1 p ( m ， n ) t j M j + 1 1 p ( m ， n ) t j ≤ C ( Ω ， n ) 1 p ( m ， n ) t j e d p ( m ， n ) t j 对上述不等式两边取极限并利用当 j → + ∞ 时 t j → + ∞ ，得 | υ | L ∞ ( Ω ) ≤ e d p ( m ， n ) 。证毕！ 根据引理3.3，可知 υ ( x ) = | x | ν u ( x ) 在 Ω 内有上界。对于 υ ( x ) = | x | ν u ( x ) 的下界我们有 引理3.4:假设 u ( x ) ∈ H 0 1 ( Ω ， | x | − 2 a − 2 v ) 满足问题(1.1)，则对任意 B ρ ⊂ ⊂ Ω ，都存在一个 C ( ρ ) > 0 使得对 ∀ x ∈ B ρ ⊂ ⊂ Ω 都有 u ( x ) ≥ C ( ρ ) | x | − ν 。 证明：令 f ( x ) = min { | x | − s u 2 * ( a ， s ) − 1 − ε ( x ) ， l } ， l > 0 ，则 f ∈ L ∞ ( Ω ) 。 假设 u 1 ≥ 0 且 u 1 ∈ H 0 1 ( Ω ， | x | − 2 a ) 是下面线性方程的解； { − d i v ( | x | − 2 a ∇ u 1 ) = μ u 1 | x | 2 ( 1 + a ) + f ， x ∈ Ω ， u 1 = 0 ， x ∈ ∂ Ω . (3.9) 记 U = u − u 1 ，则 U ∈ H 0 1 ( Ω ， | x | − 2 a ) 且U满足 { − d i v ( | x | − 2 a ∇ U ) = μ U | x | 2 ( 1 + a ) + g ， x ∈ Ω ， U = 0 ， x ∈ ∂ Ω ， (3.10) 其中 g ≥ 0 且 0 ≤ μ < ( μ ¯ − a ) 2 。 由引理2.3可知，问题(3.9)和(3.10)有解。再根据加权Hardy不等式和比较原理 [ 10 ]，可知u是问题(3.9)的一个上解且 0 ≤ u 1 ≤ u 。证明如下，将(3.10)的两边同时乘以 U − : = max { 0 ， − U ( x ) } 并分部积分可得 − ∫ Ω | x | − 2 a | ∇ U − | 2 = − ∫ Ω μ ( U − ) 2 | x | 2 ( 1 + a ) + ∫ Ω g U − . 这意味着 U − = 0 ，即 U ≥ 0 。 根据引理3.3得，存在一个常数 C 1 > 0 使得 0 ≤ u 1 ≤ u ≤ C 1 | x | − ν ，因此我们只需证明 u 1 有下界即可。 因为在 Ω 中 u 1 ≡ 0 ， u 1 ≥ 0 且 − d i v ( | x | − 2 a ∇ u 1 ) ≥ 0 ，所以存在 δ > 0 和充分小的 ρ > 0 使得对任意 x ∈ B 2 ρ 都有 u 1 ≥ δ 。选择合适的 C ( ρ ) > 0 且 C ( ρ ) 满足当 | x | ≥ ρ 时 C ( ρ ) | x | − ν ≤ δ ，并取 ω = ( u 1 − C | x | − ν ) − 。因为 ∫ B ρ | ∇ | x | − ν | 2 < ∞ 和 u 1 ∈ H 0 1 ( B ρ ) ，所以 ω ∈ H 0 1 ( B ρ ) 。 结合(3.9)和 | x | − ν 是 − d i v ( | x | − 2 a ∇ u ) − μ u | x | 2 ( 1 + a ) = 0 的弱解的事实，可知 u 1 和 | x | − ν 的线性组合是 − d i v ( | x | − 2 a ∇ u 1 ) = μ u 1 | x | 2 ( 1 + a ) + f 的弱解。因此 − d i v ( | x | − 2 a ∇ ( u 1 − C | x | − ν ) ) = μ u 1 − C | x | − ν | x | 2 ( 1 + a ) + f . 对上式两边同时乘以 ω 并分部积分得 − ∫ B ρ | x | − 2 a | ∇ ω | 2 + ∫ Ω μ ω 2 | x | 2 ( 1 + a ) = ∫ Ω f ω ≥ 0 . 又因为 0 ≤ μ < ( μ ¯ − a ) 2 ，所以 ω ≡ 0 。 ω ≡ 0 还有第二种证法：只需证明 − ∫ B ρ | x | − 2 a | ∇ ω | 2 + ∫ B ρ μ ω 2 | x | 2 ( 1 + a ) ≥ 0 即可。显然 0 > − ∫ B ρ | x | − 2 a | ∇ ω | 2 + ∫ B ρ μ ω 2 | x | 2 ( 1 + a ) = ∫ B ρ | x | − 2 a ∇ ( u 1 − C | x | − ν ) ⋅ ∇ ω − ∫ B ρ μ | x | 2 ( 1 + a ) ( u 1 − C | x | − ν ) ω = ∫ B ρ f ω − C ( ∫ B ρ | x | − 2 a ∇ | x | − ν ⋅ ∇ ω − ∫ B ρ μ | x | 2 ( 1 + a ) | x | − ν ω ) = ∫ B ρ f ω + C ν ρ 2 a + ν + 1 ∫ ∂ B ρ ω > C ν ρ 2 a + ν + 1 ∫ ∂ B ρ ω ≥ 0 显然矛盾，证毕！ 结合引理3.3和引理3.4，我们得到 命题3.5:假设 u ( x ) ∈ H 0 1 ( Ω ， | x | − 2 a − 2 v ) 满足问题(1.1)且 0 ≤ μ < ( μ ¯ − a ) 2 ，则对任意 Ω ′ ⊂ ⊂ Ω ，都存在两个正常数 C 1 和 C 2 ，使得 { u ( x ) | x | ν ≥ C 1 ， ∀ x ∈ Ω ′ ∈ Ω ， u ( x ) | x | ν ≤ C 2 ， ∀ x ∈ Ω . 最后我们给出定理1.1的证明。 定理1.1的证明：根据以上分析，我们只需证明 υ ( x ) 在 Ω 中是径向对称的。根据标准椭圆的正则性理论，我们有 υ ( x ) ∈ C 2 ( Ω \ { 0 } ) ∩ C 1 ( Ω ¯ \ { 0 } ) 。由(2.4)可知， ∂ i ( | x | − 2 a − 2 ν ∂ i υ ) + | x | − ( 2 * ( a ， s ) − ε ) ν − s υ 2 * ( a ， s ) − 1 − ε = 0 . (3.11) 当 β = − 2 a − 2 ν ， α = − ( 2 * ( a ， s ) − ε ) ν − s ， q = 2 * ( a ， s ) − 1 − ε 和 K = 1 时，(3.11)显然满足引理2.4中的条件。证毕！