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user: 2. 一种新的精确罚函数 在这一部分，我们介绍一种新的精确罚函数 f σ ( x ， ε ) 如下： f σ ( x ， ε ) = { f ( x ) ，     ε = 0 ， g j ( x ， ω ) ≤ 0 ( ω ∈ Ω ) ， f ( x ) + ε − α ϕ ( Δ ( x ， ε ) ) + σ ε β ， ε > 0 ， Δ ( x ， ε ) < 1 ， + ∞ ，     otherwise . 其中 σ > 0 为罚参数， α > 0 ， β > 2 。 Δ ( x ， ε ) 是一个违反约束估计， 即 Δ ( x ， ε ) = ∑ j = 1 m ∫ Ω [ max { 0 ， g j ( x ， ω ) − ( ε ) γ } ] 2 d ω 其中 γ > 0 ，光滑函数 ϕ : [ 0 ， a ) → [ 0 ， + ∞ ) 满足下列性质： 1) ϕ 在 [ 0 ， a ) 上是凸函数，连续可微的，且 ϕ ( 0 ) = 0 。 2) ϕ ′ ( t ) > 0 ， ∀ t ∈ [ 0 ， a ) 。 许多函数满足上述两条性质，例如： ϕ 1 ( t ) = t ( 1 − q t ) α ( a = q − 1 ， α ≥ 1 ) ϕ 2 ( t ) = tan ( t )   ( a = π 2 ) ϕ 3 ( t ) = − log ( 1 − t α )     ( a = 1 ， α ≥ 1 ) ϕ 4 ( t ) = t ( a = + ∞ ) ϕ 5 ( t ) = e t − 1       ( a = + ∞ ) ϕ 6 ( t ) = 1 2 ( t 2 + 4 + t ) − 1 ( a = + ∞ ) 值得注意的是，当光滑函数取 ϕ 3 时，我们得到的是文献 [ 16 ] 中的建立的精确罚函数。当光滑函数取 ϕ 4 时，得到的是文献 [ 14 ] 和 [ 15 ] 中的建立的精确罚函数。 根据上面介绍的精确罚函数，我们得到相应的带简单约束的子问题，记为问题 ( P σ ) 如下： ( P σ ) min f σ ( x ， ε ) s .t . ( x ， ε ) ∈ R n × [ 0 ， + ∞ ) 下面我们将给出在这类精确罚函数下的局部收敛性分析。设集合 S ε = { ( x ， ε ) ∈ R n × R + : g j ( x ， ω ) ≤ ε γ ， ∀ ω ∈ Ω ， j = 1 ， ⋯ ， m } (2.1) 其中 R + = { α ∈ R : α ≥ 0 } 。 定理1. 设 ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) 为问题 ( P σ k ) 的一局部最优解。假设 f σ k ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) 是有限的， ε k ， ∗ > 0 ，则 ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ∉ S ε k ， ∗ 证明：由 ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) 为问题 ( P σ k ) 的局部最优解，我们有 ∂ f σ k ( x ∗ ， ε ∗ ) ∂ ε = 0 相反的，我们假设结论不成立，则有 g j ( x k ， ∗ ， ω ) ≤ ( ε k ， ∗ ) γ ， ∀ ω ∈ Ω ， j = 1 ， ⋯ ， m 由 ∂ f σ k ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ∂ ε = − α ( ε k ， ∗ ) − α − 1 ϕ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ) − 2 γ ⋅ ( ε k ， ∗ ) − α ϕ ′ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) )         ⋅ ∑ j = 1 m ∫ Ω max { 0 ， g j ( x k ， ∗ ， ω ) − ( ε k ， ∗ ) γ } ⋅ ( ε k ， ∗ ) γ − 1 d ω + β σ ( ε k ， ∗ ) β − 1 (2.2) 则有 0 = ∂ f σ k ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ∂ ε = β σ ( ε k ， ∗ ) β − 1 > 0 矛盾，所以 ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ∉ S ε k ， ∗ 。 下面，我们证明子问题 ( P σ k ) 的局部最优解序列的聚点一定是原问题 ( P σ ) 的可行解。 定义1. 称问题(P)的连续不等式约束在 x = x ¯ 处满足约束规格， 如果对任意满足 ∫ Ω ∑ j = 1 m φ j ( ω ) ∂ g j ( x ¯ ， ω ) ∂ x = 0 的式子都有 φ j ( ω ) = 0 ， ∀ ω ∈ Ω ， j = 1 ， ⋯ ， m 。 定理2. 假设 ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) 为问题 ( P σ k ) 的局部最优解， f σ k ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) 是有限的， ε k ， ∗ > 0 。当 k → + ∞ 时， σ k → + ∞ ， ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) → ( x ∗ ， ε ∗ ) ，且问题(P)的连续不等式约束在 x = x ∗ 处满足约束规格，则 ε ∗ = 0 ， x ∗ 为原问题(P)的可行解。 证明：由 ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) 为问题 ( P σ k ) 的局部最优解知 ∂ f σ k ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ∂ x = ∂ f ( x k ， ∗ ) ∂ x + 2 ( ε k ， ∗ ) − α ϕ ′ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ) ∑ j = 1 m ∫ Ω max { 0 ， g j ( x k ， ∗ ， ω ) − ( ε k ， ∗ ) γ } ∂ g j ( x k ， ∗ ， ω ) ∂ x d ω = 0 (2.3) ∂ f σ k ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ∂ ε = − α ( ε k ， ∗ ) − α − 1 ϕ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ) − 2 γ ( ε k ， ∗ ) − α ϕ ′ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) )         ⋅ ∑ j = 1 m ∫ Ω max { 0 ， g j ( x k ， ∗ ， ω ) − ( ε k ， ∗ ) γ } ⋅ ( ε k ， ∗ ) γ − 1 d ω + β σ k ( ε k ， ∗ ) β − 1 = 0 (2.4) 假设 ε k ， ∗ → ε ∗ ≠ 0 ，由(2.4)式我们得 − α ( ε k ， ∗ ) − α − 1 ϕ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ) − 2 γ ( ε k ， ∗ ) − α ϕ ′ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ) ∑ j = 1 m ∫ Ω max { 0 ， g j ( x k ， ∗ ， ω ) − ( ε k ， ∗ ) γ } ⋅ ( ε k ， ∗ ) γ − 1 d ω = − ( ε k ， ∗ ) − α − 1 { α ϕ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ) + 2 γ ϕ ′ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ) ∑ j = 1 m ∫ Ω max { 0 ， g j ( x k ， ∗ ， ω ) − ( ε k ， ∗ ) γ } ( ε k ， ∗ ) γ d ω } 是趋向于一个有限值，然而当 k → + ∞ ， σ k → + ∞ 时， σ k ( ε k ， ∗ ) β − 1 → + ∞ ，与(2.4)式矛盾，则有 ε ∗ = 0 。 由等式(2.3)有 ( ε k ， ∗ ) α ϕ ′ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ) ⋅ ∂ f ( x k ， ∗ ) ∂ x + 2 ∑ j = 1 m ∫ Ω max { 0 ， g j ( x k ， ∗ ， ω ) − ( ε k ， ∗ ) γ } ∂ g j ( x k ， ∗ ， ω ) ∂ x d ω = 0 等式两边取极限得 2 ∑ j = 1 m ∫ Ω max { 0 ， g j ( x ∗ ， ω ) } ∂ g j ( x ∗ ， ω ) ∂ x = 0 由约束规格知对 ∀ j = 1 ， ⋯ ， m ， ω ∈ Ω ， max { 0 ， g j ( x ∗ ， ω ) } = 0 即 g j ( x ∗ ， ω ) ≤ 0 ， ∀ ω ∈ Ω ， j = 1 ， ⋯ ， m ，所以 x ∗ 为问题(P)的可行解。 根据约束函数的连续性，我们很容易得到如下推论： 推论1. 若 x k ， ∗ → x ∗ ， ε k ， ∗ → ε ∗ ， ( x ∗ ， ε ∗ ) ∈ S 0 ，则有 Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) → Δ ( x ∗ ， ε ∗ ) = 0 定理3. 假设 g j ( x k ， ∗ ， ω ) = ο ( ( ε k ， ∗ ) δ ) ， δ > 0 ， j = 1 ， ⋯ ， m 。若 γ > α ， δ > α ， − α − 1 + 2 δ > 0 ， 2 γ − α − 1 > 0 ，则当 x k ， ∗ → x ∗ ， ε k ， ∗ → ε ∗ ， ( x ∗ ， ε ∗ ) ∈ S 0 ，有 f σ k ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) → f σ k ( x ∗ ， 0 ) = f (x∗) ∇ ( x ， ε ) f σ k ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) → ∇ ( x ， ε ) f σ k ( x ∗ ， 0 ) = ( ∇ f ( x ∗ ) ， 0 ) 证明： lim e k ， ∗ → ε ∗ = 0 f σ k ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) = lim e k ， ∗ → ε ∗ = 0 { f ( x k ， ∗ ) + ( ε k ， ∗ ) − α ϕ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ) + σ k ( ε k ， ∗ ) β − 1 } = f (x∗) 由于 lim e k ， ∗ → ε ∗ = 0 ϕ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ) ( ε k ， ∗ ) α = lim e k ， ∗ → ε ∗ = 0 ϕ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ) Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ⋅ Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ( ε k ， ∗ ) α = lim e k ， ∗ → ε ∗ = 0 ϕ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ) Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ⋅ ∑ j = 1 m ∫ Ω [ max { 0 ， g j ( x k ， ∗ ， ω ) − ( ε k ， ∗ ) γ } ] 2 d ω ( ε k ， ∗ ) α = lim e k ， ∗ → ε ∗ = 0 ϕ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ) Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ⋅ ∑ j = 1 m ∫ Ω [ max { 0 ， g j ( x k ， ∗ ， ω ) ( ε k ， ∗ ) δ ⋅ ( ε k ， ∗ ) δ − α 2 − ( ε k ， ∗ ) γ ( ε k ， ∗ ) α 2 } ] 2 d ω = 0 lim e k ， ∗ → ε ∗ = 0 ∇ ( x ， ε ) f σ k ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) = lim e k ， ∗ → ε ∗ = 0 [ ∇ x f σ k ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ )   ∇ ε f σ k ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ] T 其中 而 lim e k ， ∗ → ε ∗ = 0 ∇ ε f σ k ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) = lim e k ， ∗ → ε ∗ = 0 { − α ( ε k ， ∗ ) − α − 1 ϕ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ) − 2 γ ( ε k ， ∗ ) − α ϕ ′ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) )       ⋅ ∑ j = 1 m ∫ Ω max { 0 ， g j ( x k ， ∗ ， ω ) − ( ε k ， ∗ ) γ } ( ε k ， ∗ ) γ − 1 d ω + β σ k ( ε k ， ∗ ) β − 1 } = lim e k ， ∗ → ε ∗ = 0 { ( − α ) ϕ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ) ( ε k ， ∗ ) α + 1 − 2 γ ϕ ′ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ) ∑ j = 1 m ∫ Ω { g j ( x k ， ∗ ， ω ) − ( ε k ， ∗ ) γ } ( ε k ， ∗ ) γ − 1 d ω ( ε k ， ∗ ) α } = lim e k ， ∗ → ε ∗ = 0 ( − α ) ϕ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ) ( ε k ， ∗ ) α + 1 = lim e k ， ∗ → ε ∗ = 0 ( − α ) ϕ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ) Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) . ∑ j = 1 m ∫ Ω [ g j ( x k ， ∗ ， ω ) − ( ε k ， ∗ ) γ ] 2 d ω ( ε k ， ∗ ) α + 1 = 0 则定理成立。 定理4. 令 − α − β + 2 δ > 0 ， − α − β + 2 γ > 0 ，设 ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) 是子问题 ( P σ k ) 的局部最优解， f σ k ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) 是有限值，则存在 k 0 > 0 ，对所有 k > k 0 ，局部最优解 ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) 都具有 ( x ∗ ， 0 ) 的形式， x ∗ 为原问题(P)的局部最优解。 证明：反证法。假设该结论不成立，则在序列 { ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) } 中，对任意的 k 0 > 0 ，总存在 k ′ > k 0 ，使得 ε k ′ ， ∗ ≠ 0 ，这样就构成了 { ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) } 的一个子序列。不失一般性，我们将该序列仍然用原序列 { ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) } 表示，根据定理2，我们知道当 k → + ∞ 时， ε k ， ∗ → ε ∗ = 0 ， x k ， ∗ → x ∗ ， ( x ∗ ， ε ∗ ) ∈ S 0 由于 ε k ， ∗ ≠ 0 ，等式(2.4)除以 ( ε k ， ∗ ) β − 1 得 ( ε k ， ∗ ) 1 − β [ ( − α ) ( ε k ， ∗ ) − α − 1 ϕ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ) − 2 γ ( ε k ， ∗ ) − α ϕ ′ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ) ⋅   ∑ j = 1 m ∫ Ω max { 0 ， g j ( x k ， ∗ ， ω ) − ( ε k ， ∗ ) γ } ( ε k ， ∗ ) γ − 1 d ω + β σ k ( ε k ， ∗ ) β − 1 ] = 0 即 ( ε k ， ∗ ) − α − β { α ϕ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ) + 2 γ ϕ ′ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ) ⋅     ∑ j = 1 m ∫ Ω max { 0 ， g j ( x k ， ∗ ， ω ) − ( ε k ， ∗ ) γ } ( ε k ， ∗ ) γ d ω } = β σ k 上式等价于： α ϕ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ) Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ∑ j = 1 m ∫ Ω [ max { 0 ， g j ( x k ， ∗ ， ω ) − ( ε k ， ∗ ) γ } ] 2 d ω ( ε k ， ∗ ) α + β +   2 γ ϕ ′ ( Δ ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ) ∑ j = 1 m ∫ Ω max { 0 ， g j ( x k ， ∗ ， ω ) − ( ε k ， ∗ ) γ } ( ε k ， ∗ ) γ d ω ( ε k ， ∗ ) α + β = β σ k (2.5) 又由于 − α − β + 2 δ > 0 ， − α − β + 2 γ > 0 ，当 k → + ∞ 时，等式左边趋向于零，等式右边趋向于一个无限值，矛盾。故对充分大的 k ，罚问题的任意局部最优解 ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) 都有 ( x ∗ ， 0 ) 的形式。 由定理2知 x ∗ 为问题(P)的可行解，则表明存在 x ∗ 的某一邻域 U ( x ∗ ) ，对问题(P)的任意可行解 x ∈ U ( x ∗ ) ，有 f ( x ) = f σ k ( x ， 0 ) ≥ f σ k ( x ∗ ， 0 ) = f (x∗) 所以， x ∗ 为问题(P)的局部最优解。 定理5. 假设 { σ k } 为递增的罚参数序列，满足 k → + ∞ 时， σ k → + ∞ 。若 ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) 为问题 ( P σ k ) 的全局最优解，则 { x k ， ∗ } k = 1 ∞ 的任一聚点为原问题(P)的全局最优解。 证明：不失一般性，假设当 k → + ∞ 时， x k ， ∗ → x ¯ 。设 x ∗ 为原问题(P)的一个全局最优解，由于 ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) 为 ( P σ k ) 的全局最优解，故 f σ k ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ≤ f σ k ( x ∗ ， 0 ) = f ( x ∗ ) ，   ∀ k ≥ 1 (2.6) 则序列 { f σ k ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) } k = 1 ∞ 是有界的，又由于 σ k < σ k + 1 ，得 f σ k ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ≤ f σ k ( x k + 1 ， ∗ ， ε k + 1 ， ∗ ) ≤ f σ k + 1 ( x k + 1 ， ∗ ， ε k + 1 ， ∗ ) 因此序列 { f σ k ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) } k = 1 ∞ 是非减的，因此该序列是收敛的。由(2.6)式可得 lim k → + ∞ f σ k ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ≤ f (x∗) 另一方面，由定理2知， x ¯ 为原问题(P)的可行解。 lim k → + ∞ f σ k ( x k ， ∗ ， ε k ， ∗ ) ≥ lim k → + ∞ f ( x k ， ∗ ) = f ( x ¯ ) ≥ f (x∗) 则 f ( x ¯ ) = f ( x ∗ ) ，这表明聚点 x ¯ 为原问题(P)的全局最优解。