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user: 3. 实验分析 以某市2017年度个人外汇涉外支出业务量作为原数据(2017.01~2017.12)，建立GM(1，1)模型： x ( 0 ) = ( x ( 1 ) ( 0 ) ， x ( 2 ) ( 0 ) ， ⋯ ， x ( n ) ( 0 ) ) = ( 1875 ， 1651 ， 1653 ， 1444 ， 1417 ， 1621 ， 1405 ， 1602 ， 1362 ， 1168 ， 1053 ， 1129 ) 对数据进行检验，按式(2.1)计算级比： λ ( k ) = x ( k − 1 ) ( 0 ) x ( k ) ( 0 ) ，     k = 2 ， 3 ， 4 ， ⋯ ， 12 λ = ( λ ( 2 ) ， λ ( 3 ) ， ⋯ ， λ ( 12 ) ) = ( 1.14 ， 1.0 ， 1.15 ， 1.02 ， 0.87 ， 1.15 ， 0.88 ， 1.18 ， 1.17 ， 1.11 ， 0.93 ) 计算级比检验区间范围为： x = ( e − 2 n + 1 ， e 2 n + 1 ) = ( 0.857 ， 1.166 ) 发现级比 λ 的值不完全落在检验区间范围内，需要对原数据进行相应的变换，如平移变换，方根变换，对数变换，这里我们选择平移变换，平移量C = 150，平移后的数据为： x 1 = ( 2025 ， 1801 ， 1803 ， 1594 ， 1567 ， 1771 ， 1555 ， 1752 ， 1512 ， 1318 ， 1203 ， 1279 ) 从而再次得到级比： λ 1 = ( 1.12 ， 1.0 ， 1.13 ， 1.02 ， 0.89 ， 1.14 ， 0.89 ， 1.16 ， 1.15 ， 1.1 ， 0.94 ) 发现新的级比 λ 1 往前落在检验区间(0.857， 1.166)。 根据式(2.3)生成一次累加数据： x ′ = ( 2025 ， 3826 ， 5629 ， 7223 ， 8790 ， 10561 ， 12116 ， 13868 ， 15380 ， 16698 ， 17901 ， 19180 ) 根据式(2.6)和式(2.7)，构造数据向量Y和矩阵B，计算参数a和b的值 a = 0.034 ，     b = 1936.55 得到式(2.4)对应的微分方程 d x d t + 0.034 x = 1936.55 对应式(2.8)的预测模型为： x ⌢ ( 1 ) ( k + 1 ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) − b a ) e − a k + b a = − 54892.35 e − 0.034 k + 56957.35 由式(2.9)我们可以还原数据，在还原数据之前，由于我们对原始数据做了平移，所以要减去平移量C = 150，所以最终的还原数据见表1所示。 Table 1 Comparison between GM(1，1) model and Grey-Markov mode 时间(月) 原始值 GM预测值 误差 相对残差% 灰色马尔科夫 误差 相对残差% 2017.01 1875 1875 - - - - - 2017.02 1651 1624 −27 −1.6 1640 −11 −0.67 2017.03 1653 1564 −89 −5.4 1627 −26 −1.57 2017.04 1444 1507 63 4.4 1447 3 0.21 2017.05 1417 1451 34 2.4 1429 12 0.85 2017.06 1621 1398 −223 −13.8 1580 −41 −2.53 2017.07 1405 1346 −59 −4.2 1400 −5 −0.36 2017.08 1602 1296 −306 −19.1 1464 −138 −8.61 2017.09 1362 1248 −114 −8.4 1410 48 3.52 2017.10 1168 1201 33 2.8 1183 15 1.28 2017.11 1053 1156 103 9.8 1069 16 1.52 2017.12 1129 1112 −17 −1.5 1123 −6 −0.53 表1. GM(1，1)模型与灰色–马尔科夫模型预测值对比 通过GM(1，1) 预测模型得到2018.1和2018.2的外汇支出业务量的预测值分别为：1070和1029。 由表1可知，GM(1，1) 预测模型的相对残差范围为(−19.1， 9.8)，所以我们根据相对残差范围进行状态区间的划分，划分的状态区间分别为：E1(−20， −6]，E2(−6， −2]，E3(−2， 0)，E4[0， 3]，E5(3， 5]，E6(5， 10]。最终划分结果见表2所示。 Table 2 Division of Markov interval state 状态 月份 状态 月份 E1 2017.6， 2017.8， 2017.9 E4 2017.1， 2017.5， 2017.10 E2 2017.3， 2017.7 E5 2017.4 E3 2017.2， 2017.12 E6 2017.11 表2. 马尔科夫区间状态划分 得到的灰色马尔科夫预测结果见表1所示。根据状态划分进行状态矩阵的构建，得到一步转移概率矩阵和两步转移概率矩阵。 p ( 1 ) = [ 1 / 3 1 / 3 0 1 / 3 0 0 1 / 2 0 0 0 1 / 2 0 0 1 0 0 0 0 1 / 3 0 1 / 3 0 0 1 / 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 ] ， p ( 2 ) = [ 7 / 18 1 / 9 1 / 9 1 / 9 1 / 6 1 / 9 1 / 6 1 / 6 0 2 / 3 0 0 1 / 2 0 0 0 1 / 2 0 1 / 9 4 / 9 0 4 / 9 0 0 1 / 3 0 1 / 3 0 0 1 / 3 1 / 3 0 1 / 3 0 0 1 / 3 ] 由于12月份所处的状态为E3，所以初始状态向量为(0， 0， 1， 0， 0， 0)，根据初始向量状态和一步转移概率矩阵、两步转移概率矩阵得到2018年1月和2月的概率预测见表3所示。 Table 3 2018.1-2018.2 Probabilit 时间|状态 E1 E2 E3 E4 E5 E6 2018.01 0 1 0 0 0 0 2018.02 1/2 0 0 0 1/2 0 表3. 2018.1~2018.2概率 于是得到2018年1月和2月的灰色马尔科夫预测结果分别为1113和1162。 预测结果对比见图2所示： 图2. GM(1，1)与GM(1，1)——马尔科夫模型对比 下面通过粒子群算法对灰色马尔科夫模型中的参数进行优化，计算灰色马尔科夫模型中区间的白化系数。设白化系数为 λ 。选取m个粒子构成粒子群，粒子的长度为d，即粒子为d维向量，这个向量代表白化系数 λ 。白化系数初始值为随机生成，区间范围为[0， 1]。进行初始化后，粒子的位置根据飞行速度的变换而变换，本文用均方差衡量粒子的适应度函数值。 f i t = M A S = 1 n ∑ i = 1 n e 2 (i) 根据马尔科夫的状态区间 E i = [ L i ， H i ] ，我们在灰色马尔科夫模型中的白化系数取值 λ = 0.5 ，即 0.5 ( L i + H i ) 。在实际情况中取值不一定是中间值，所以我们通过粒子群算法计算出最优的白化系数值。 z = λ ∗ L i + ( 1 − λ ) H i 在粒子群算法中，我们根据一步概率转移矩阵和已经划分好的6个状态区间，我们选择粒子的长度为6，粒子数为1000，学习因子 c 1 = c 2 = 2 ，惯性权重为1，迭代次数1000，粒子更新位置最大为1，最小为0，粒子更新速度最大为0.01，最小速度为−0.01。从而得到白化系数。 λ 1 = 0.62 ， λ 2 = 0.3 ， λ 3 = 0.38 ， λ 4 = 0.17 ， λ 5 = 0.43 ， λ 6 = 0.32 进而得到粒子群灰色马尔科夫模型对外汇支出的预测值，见表4所示，预测结果对比图见图3所示，误差对比见表5所示。 Table 4 Prediction value of Grey Markov model based on PS 时间(月) 原始值 粒子群 误差 相对误差% 2017.01 1875 - - - 2017.02 1651 1636 −15 −0.91 2017.03 1653 1614 −39 −2.36 2017.04 1444 1445 1 0.07 2017.05 1417 1415 −2 −0.14 2017.06 1621 1603 −18 −1.1 2017.07 1405 1389 −16 −1.14 2017.08 1602 1486 −116 −7.24 2017.09 1362 1431 69 5.07 2017.10 1168 1171 3 0.26 2017.11 1053 1059 6 0.57 2017.12 1129 1120 −9 −0.8 表4. 粒子群优化灰色马尔科夫模型预测值 图3. 灰色马尔科夫预测模型和粒子群优化的灰色马尔科预测模型 Table 5 Comparison of prediction model erro 预测方法\误差类型 MAE MAEP 灰色马尔科夫模型 29.18182 1.97% 粒子群优化的灰色马尔科夫模型 26.72727 1.79% 表5. 预测模型误差对比 从上表可以看成，粒子优化的灰色马尔科夫预测模型在一定程度上优于灰色马尔科夫模型，我们通过粒子群优化的灰色马尔科夫预测模型得到2018.1和2018.2的外汇支出业务量的预测值分别为：1104和1180。