DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 3. 模型应用 将本模型运用到2016年全国大学生数学建模A题中，即可对一、二问静止水域的系泊系统进行求解，并得出对应系泊系统的钢桶、各节钢管的倾斜夹角、锚链的形状、浮标的吹水深度和游动区域。 3.1. 利用穷举法计算临界风速 为了确定不同风速下系泊系统是否已经被拖动，从而判断锚所受摩擦力为静摩擦力还是动摩擦力，首先确定临界风速的大小。临界风速是锚即将被拖动时所对应的风速，此时锚链末端与水兵方向的夹角 。 易知风速与锚链末端与水平方向夹角应为一一对应关系且单调，所以假设风速 从0 m/s开始增加，每次增加1 m/s，并求出每个速度下的锚链末端与水平方向夹角，判断是否大于16˚，初步找出临界风速存在的大致区间；然后在该区间内每次变化0.1 m/s，确定临界风速区间，经多次迭代后确定临界风速。 将已知条件带入力学模型中，通过MATLAB运算求解得到临界风速为24 m/s [ 6 ] [ 7 ] 。结果精度在小数点后7位，因此第一问只需在锚未拖动情况下讨论，第二问锚已经被拖动。 3.2. 问题一求解 3.2.1. 倾斜角度 当 ， 时，锚未被拖动，此时锚所受摩擦力为静摩擦力，经力学方程可以求解。其中由于系统整体并未运动，故海水流力 。将风速作为已知条件带入上述方程中，通过MATLAB求解出不同风速下的系泊系统各构件的相关参数(见表1)。 3.2.2. 游动区域 在此基础上，在风速、风向一定的情况下浮标的固定在海平面离锚最远的一个点，当风的方向发生改变，游标可在距最远点为半径的圆内进行游动，所以浮标的游动区域应该为一个圆域，半径 需满足下式。 (24) 运用MATLAB求解，得出 ， 下游动区域分别是半径为15.5099 m、18.3791 m的圆域。 3.2.3. 锚链形状 将 、 、 ，带入悬索链方程，利用MATLAB求解得出 与 之间的关系。 时 (25) 系泊系统锚链总长为22.05 m，共210节，通过方程可以的出锚链拖地6.195 m，即59节；拉起18.855 m，即151节。 时 (26) 同理，可以判断此时锚链全部拉起。 3.3. 问题二求解 3.3.1. 初步求解 当风速为36 m/s时，锚被拖动。根据动态系统下水平方向受力平衡方 ，求解出 数值，再由题目条件 ，倒推出水流相对物体运动速度。将风速v = 36 m/s带入上述方程中，通过MATLAB求解出不同风速下的系泊系统各构件的相关参数见表2。 运用MATLAB求解 对应的悬链线方程为： (28) 系统在风速不变情况下一直处于匀速运动状态，故它的游动区域为无穷大。 Table 1 The relevant parameter of each component at v = 12 m/s， v = 24 m/ 项目 v = 12 m/s v = 24 m/s 钢管1与竖直方向的夹角 1.32˚ 5.55˚ 钢管2与竖直方向的夹角 1.32˚ 5.55˚ 钢管3与竖直方向的夹角 1.32˚ 5.55˚ 钢管4与竖直方向的夹角 1.32˚ 5.55˚ 钢桶与竖直方向的夹角 1.23˚ 4.96˚ 浮标的吃水深度x 0.754 0.7316 1535.9 1907.2 1.74˚ 4.96˚ 0.57˚ 2.98˚ 表1. v = 12 m/s，v = 24 m/s下各构件的相关参数表 Table 2 The relevant parameter of each component at v = 36 m/ 项目 v = 36 m/s 钢管1与竖直方向的夹角 89.4˚ 钢管2与竖直方向的夹角 89.4˚ 钢管3与竖直方向的夹角 89.4˚ 钢管4与竖直方向的夹角 89.4˚ 钢桶与竖直方向的夹角 89.4˚ 浮标的吃水深度x 0.43 5954.2 13.98˚ 42.93˚ 表2. v = 36 m/s下各构件的相关参数表 3.3.2. 穷举法求解重物球质量改变范围 可知当 时，系统整体不满足原模型的假设，因此通过改变重物球的质量来改变吃水深度，以及相互间作用力，进而改变钢桶与竖直方向的夹角，锚链末端与水平方向的夹角来满足约束条件。在满足模型设定条件下，假设每次重物球的重量增加1 N，经多次迭代后可以得出满足约束的最小重物球重量。当重物球的重量超过最大承受值时，整个系统会由于重量太大，浮力不足难以满足平衡，系统发生沉落，此时对应的重物球重量为最大重物球重量，由此可以得出重物球的变化范围 [ 8 ] 。 通过MATLAB求解，解得重物球的的质量变化范围为(2100，5400) (单位：kg)。
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user: 4. 总结与展望 本文把建立的力学方程组进行递推，在不同的模型假设和约束条件下，设定变化量，运用软件通过多次迭代得到模型的最优解，进一步求解出所需变量。计算方程中穷举法，先确定大区间，然后不断缩小区间范围通过多次迭代来提高精度，最终确定最优解。由于精度的原因，使得计算结果会存在些许误差，但在实际过程中，误差可被忽略，因此该计算方法可以推广使用。 该模型适用于对于浮标系统的追踪与工作状态的判断。在风速和水速一定的情况下，一方面可以判断浮标的倾斜程度。另一方面根据钢桶的倾斜程度来判断系统能否正常工作，同时依据浮标的游动区域可实现对系统的追踪和对工作情况的判断，方便工作人员随时进行管理和控制。
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user: 摘 要 给出一类新的非奇异矩阵——p-范数双严格对角占优矩阵(简记为p-范数DSDD矩阵)，并由其得到一个新的矩阵特征值包含区域。文中算例表明在某些情况下本文的矩阵特征值包含区域含于著名的Brauer- Cassini卵形区域之中。 关键词 :p-范数DSDD矩阵，非奇异H-矩阵，特征值定位 Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 矩阵特征值的包含区域在动力系统的稳定性分析，控制系统的可控制性研究，线性方程组的解法等问题的研究中有着重要的作用，是矩阵应用与分析中的一个重要课题。国内外许多学者都致力于这一问题的研究，无论是理论还是实用的需要，人们都希望用尽可能少的关于矩阵的信息与计算得到尽可能小的矩阵特征值包含区域以便更精确地定位矩阵特征值。本文继续矩阵特征值包含区域的研究，通过引进一类新的非奇异矩阵——p-范数DSDD矩阵，并由此给出一个新的矩阵特征值包含区域，在某些情况下改进了著名的矩阵特征值包含区域——Brauer-Cassini卵形区域。 首先给出文中所用的符号和术语。设n为自然数，记 。q为正数或无穷大，记为 。设向量 ， ， 。记 ， ， 。 特别地，(1) 当 时， ；(2) 当 时， 。 下面我们回顾文 [ 1 ] 中双严格对角占优(DSDD)矩阵的定义及其由此得到的矩阵特征值包含集。 定义1 [ 1 ] 。设 ，如果对所有 ，且 ，都有 ， (1.1) 则称 为双严格对角占优矩阵，记为DSDD矩阵。 定理1 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] 。若 为双严格对角占优矩阵，则 为非奇异的。 文献 [ 5 ] [ 6 ] 中给出了与双严格对角占优矩阵相对应的特征值包含区域：Brauer-Cassini卵形区域。 定理2 [ 5 ] [ 6 ] 。(Brauer定理)。设 ，则 的所有特征值都包含在其 个Cassini卵形区域的并集之中，即 (1.2) 其中 为 的谱(即 的所有特征值所成之集)， ， 称为矩阵 的Cassini卵形区域。
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user: 2. p-范数DSDD矩阵 本节，我们引入一类新的非奇异矩阵：p-范数DSDD矩阵。为此先介绍p-范数SDD矩阵的定义 [ 7 ] 。 定义2 [ 7 ] 。设 ， . 若存在满足 的正向量 ，使得 。 (2.1) 则称 为p-范数SDD矩阵，其中 为 的Hölder补，即 。 定理3 [ 7 ] 。若 为p-范数SDD矩阵，则 为非奇异的。 下面定理给出p-范数SDD矩阵的一个充分必要条件。 定理4 [ 7 ] 。设 ， ，则 为p-范数SDD矩阵当且仅当 ，(2.2) 其中， ， ， ， 为 的Hölder补，即 。 受定义1、定义2及定理1和定理3的启发，我们提出如下问题。设 ， 。若 满足 ， 。 (2.3) 那么 是否为非奇异的呢？很显然，当 时， 为双严格对角占优矩阵，则从定理1知，是非奇异的。那么，在一般情况下，即 时，条件(2.3)式能保证 的非奇异性吗？我们先看如下例子。 例1。设 。 当 时，恒有 ，则 满足 ， 。 但是，由于 ，其中 ，则 ，故 为奇异的。 此例说明，一般来讲条件(2.3)式并不能保证矩阵 的非奇异性。因此要保证 的非奇异性，仍需要添加一些条件。 定理5。设 ， 。若存在满足 的正向量 ，使得 ， 。(2.4) 则 为非奇异的，其中 为 的Hölder补，即 。 证明：设 ，由(2.4)知 。令 。 将它们从小到大排列为 ， 则条件(2.4)等价于 。 特别地，由 知 。若 ，则 。因此， 。 故 。若 ，记 ，则 。令 。 由于矩阵 表示 乘上矩阵 的第 行，第 列后得到的矩阵，则 。因此，要证 ，只需证 即可。对于矩阵 ，约定采用与 类似的记号，但都标以“ ' ”以示区别。此时，有 ， 。 于是， 。 对于 ， 。 于是矩阵 满足定义2中的条件(2.1)，故 为p-范数SDD矩阵，再由定理3知 非奇异，即 。 因此， ，则 为非奇异的。 由定理5，我们可以给出p-范数DSDD矩阵的定义。 定义3。设 ， 。若存在满足 的正向量 使得(2.4)式成立，即 。 则称 为p-范数DSDD矩阵，其中 为 的Hölder补，因此 。 由定义3和定理5可直接得到如下定理。 定理6。设 为p-范数DSDD矩阵，则 非奇异。 下面我们给出p-范数DSDD矩阵的一个充分必要条件。 定理7。设 ， ，则 为p-范数DSDD矩阵当且仅当 。 (2.5) 证明：记 ， 为其的按行拉直向量，即 ， ， 。 这里 为向量 的q-范数， 为 的Hölder补，即 。 必要性，若 为p-范数DSDD矩阵，由定义3知，存在满足 的正向量 使得(2.4)式成立，即 ， 因此 充分性，设 且 ，即 。 则存在充分小的 ，使得 。 取 其中 满足对所有 ， ，则 且 。 故 且 。 即正向量 满足 且能保证(2.4)式成立，故矩阵 为p-范数DSDD矩阵。定理得证。 注 1：(1) 当 时，由定义1知， 为1-范数DSDD矩阵(即为DSDD矩阵)当且仅当 ， (2.6) (2) 当 时， 为¥-范数DSDD矩阵当且仅当 ， (2.7) (3) 当 时， 为2-范数DSDD矩阵当且仅当 ， (2.8) (4) 由定理6可知，1-范数DSDD矩阵(即为DSDD矩阵)，¥-范数DSDD矩阵，2-范数DSDD矩阵都为非奇异矩阵。
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user: 3. p-范数DSDD矩阵与非奇异H-矩阵的关系 非奇异H-矩阵是一类具有重要应用的特殊矩阵。众所周知，双严格对角占优(DSDD)矩阵是非奇异H-矩阵，即p=1时的p-范数DSDD矩阵是非奇异H-矩阵。那么当 时的p-范数DSDD矩阵是否也为非奇异H-矩阵呢？本节我们讨论这个问题。为此首先回忆非奇异H-矩阵的定义。 定义4 [ 2 ] 。设 可表示为 ， (3.1) 其中 。若 ，则称 为M-矩阵；若 ，则称 为非奇异M-矩阵。 定义5 [ 8 ] 。设 ，如果它的比较矩阵 ，其中 (3.2) 为非奇异M-矩阵，则称 为非奇异H-矩阵。 引理1 [ 8 ] 。设 ，则 为非奇异H-矩阵当且仅当对于所有 ， 且 ， (3.3) 其中， 。 由引理1，我们可以得到p-范数DSDD矩阵与非奇异H-矩阵的关系。 定理8。设 ，如果 是p-范数DSDD矩阵，则 为非奇异的H-矩阵。 证明：设 是p-范数DSDD矩阵，由定义3知 可逆。再由引理1知，只需证明 。假若此不等式不成立，即存在 ，使得 ，则 。 由于 ， 故 。 (3.4) 由于 是p-范数DSDD矩阵，故存在满足 的正向量 使得(2.4)式成立，即 。 于是对任意的 有 。 因为 ，则对任意的 有 ， ， 所以对任意的 有 。 此式表明 为p-范数DSDD矩阵。由定理6知 是非奇异的，因此 ，这与(3.4)式矛盾。定理得证。
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user: 4. 矩阵的特征值包含集 我们知道，每一类非奇异矩阵都对应一类矩阵的特征值包含集。由第2节的定理6知p-范数DSDD矩阵是非奇异的。本节就来讨论p-范数DSDD矩阵对应的矩阵特征值包含集。 定理9。设 ， ，则对任意满足 的正向量 ，有 ， (4.1) 其中 ； 为 的Hölder补，即 ， 证明：用反证法。假若有 ，但 ，则存在满足 的正向量 ，使得对任意 有 ， 即矩阵 为p-范数DSDD矩阵。由定理6知， ，这与 矛盾。故对所有的 ，都有 ，即 。 由定理7可以得到如下特征值包含区域。 定理10。设 ， ，则 ， 其中 。 (4.3) 证明：设 ， .假若存在 ，使得 ，则 。 (4.3) 设 ，由 知， ，故 为奇异矩阵。由 ， 易得到 ， ， ， 。 于是由(4.3)式可得 。 于是由定理7知矩阵 为p-范数DSDD矩阵。再由定理8知矩阵 为非奇异的，这与矩阵 是奇异的相矛盾，故定理得证。 图1. 例2中矩阵A的特征值包含区域
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user: 5. 数值例子 本节我们给出一个数值例子。该例表明在某些情况下定理10所给的矩阵特征值包含区域含于定理2给出的Brauer-Cassini卵形区域。 例2。设 。 由Matlab可计算出矩阵 的全部特征值为−1.8444，4.5470，1.2974。图1中的绿色部分表示定理2中Brauer-Cassini卵形区域 ，蓝色部分表示：当 时，定理10中的矩阵特征包含区域 。由图1知，对此例而言定理10给出的特征值包含区域 比定理2中的Brauer-Cassini卵形区域 要小。
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user: 摘 要 利用双a-型特征值包含定理及修正矩阵理论，给出随机矩阵两个新的非1特征值包含集，并由此得到随机矩阵非奇异的两个新的充分条件。数值算例表明，所得结果优于几个现有结果。 关键词 :随机矩阵，双a 1 -矩阵，特征值包含集 Copyright © 2017 by author and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 随机矩阵及其特征值定位在人口流动模型、计算机辅助设计等领域都有着重要应用 [ 1 ] [ 2 ] ，其定义如下： 定义1：设 为非负矩阵。若它的所有行和都为1，即 则称 为(行)随机矩阵。 由非负矩阵的Perron-Frobenius定理知，1是随机矩阵模的最大特征值，称为占优特征值，且 是其对应的一个特征向量。故对于随机矩阵特征值的定位问题，只需对其所有非1特征值定位即可。为研究该问题，L. J. Cvetković等在 [ 3 ] 中引入修正矩阵的概念，并将Gersgorin圆盘定理 [ 4 ] 应用于修正矩阵，得到如下结果： 定理2 [ 3 ] ：设 为随机矩阵， 表示 的谱， 为 的迹， ， ，若 ，则 Shen等在 [ 5 ] 中通过给出随机矩阵非奇异的三个充分条件，得到了随机矩阵非1实特征值的三个包含集。Li等在 [ 6 ] 中推广了Shen的结果，又得到了如下定理： 定理3 [ 6 ] ：设 为随机矩阵，若 ，则 其中 对于随机矩阵的特征值定位问题，人们总是力求用尽可能少的计算量得到尽可能精确的特征值包含区域，但现有的结果还远远未达到人们的期望。因此有必要对其继续进行研究。本文利用修正矩阵及双a-型特征值包含定理得到随机矩阵非1特征值的两个新包含集，且由此得到随机矩阵非奇异的两个充分条件。
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user: 2. 随机矩阵非1特征值包含集 为下文讨论方便，首先给出如下定义、引理、定理： 定义4 [ 7 ] ：设 ，若存在 使得 其中 则称 为双a 1 -型矩阵。 定理5 [ 8 ] ：若 为双a 1 -矩阵，则 是非奇异的。 定理6 [ 8 ] ：(双a-型特征值包含定理) 设 ，则 其中 引理7 [ 3 ] ：设 为随机矩阵，对任意的 ，若 ，则 是修正矩阵 的特征值。 下面给出随机矩阵非1特征值的两个新包含集。 定理8：设 为随机矩阵，若 ，则 其中 证明：令 ，其中 ，则 设 ，由引理7知 ，再由定理6得 其中 又由于 故 故结论成立。 定理9：设 为随机矩阵，若 ，则 其中 证明：令 ，其中 ，则 设 ，由引理7知 ，再由定理6得 其中 又由于 故 故结论成立。
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user: 3. 随机矩阵非奇异的两个新充分条件 本节利用定理8和定理9给出随机矩阵非奇异的两个新的充分条件。 定理10：设 为随机矩阵，若存在 使 则 是非奇异的。 证明：(反证法)假设 是奇异的，则 ，由定理8得 ，故对任意的 ，存在 使得 即 这与条件矛盾，故 是非奇异的。 Table 1 The comparisons of an 与 包含关系 矩阵个数 46 0 4 表1. 与 比较表 Table 2 The comparisons of an 与 包含关系 矩阵个数 50 0 0 表2. 与 比较表 定理11：设 为随机矩阵，若存在 ，使得 则 是非奇异的。 证明：(反证法)假设 是奇异的，则 ，由定理9得 ，故对任意的 ，存在 使得 即 这与条件矛盾，故 是非奇异的。
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user: 4. 数值算例 本节应用数值算例对本文所得结果与 [ 6 ] 中结果进行比较，下例中统一取 。 首先比较定理7和定理8。 例1：利用MATLAB代码 生成50个随机矩阵，并对 和 作图，得到两者的包含关系(见表1)，表1表明绝大部分情况下定理8比定理9得到的特征值包含集更精确。 下面比较定理8所给的特征值包含集 与 [ 6 ] 中 的包含关系。 例2：利用MATLAB代码 产生50个随机矩阵，并对 和 作图，得到两者的包含关系(见表2)，表2表明定理8比 [ 6 ] 中所给的特征值包含集更精确。
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user: 摘 要 图G的一个用了颜色 的边着色称为区间t-着色，如果所有t种颜色都被用到，并且关联于G的同一个顶点的边上的颜色是各不相同的且这些颜色构成了一个连续的整数区间。图G称为是可区间着色的，如果对某个正整数t，G有一个区间t-着色。所有可区间着色的图构成的集合记作 。对图 ，使得G有一个区间t-着色的t的最小值和最大值分别记作 和 。本文中，我们证明了对于无穷双圈图 ，有 。 关键词 :区间着色，下界，无穷双圈图 Copyright © 2017 by author and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 本文中讨论的图都是有限的，无向的，没有自环和重边的图。 和 分别表示图 的顶点集和边集， 和 分别表示顶点 在图 中的度和邻点集， 表示图 的最大度。 图 的一个顶点称为悬挂点，如果它的度等于1， 表示 个顶点的圈。设 是一个连通图， 称为 的圈数。当 时， 是双圈图。图 的一个真边着色是图 的一个边着色使得没有两条相邻边着相同的颜色。图 的边色数 是图 的所有真边着色中所用颜色的最小数目。如果 是图 的一个真边着色，那么顶点 的谱，记作 ，是与 关联的边上的颜色构成的集合。我们用 和 分别表示 的谱的最小颜色和最大颜色。 图 的一个用了颜色 的真边着色称为区间t-着色，如果所有t种颜色都被用到，并且对于任意的 ，与顶点 关联的边所着颜色的色值构成一个连续整数区间，即 是一个连续整数区间。图 称为是可区间着色的，如果对某个正整数t， 有一个区间t-着色。所有可区间着色的图构成的集合记作 。对图 ，使得 有一个区间t-着色的t的最小值和最大值分别记作 和 。显然， 。 区间着色的概念是由Asratian和Kamalian在 [ 1 ] 中提出来的。在 [ 1 ] [ 2 ] 中，他们证明了如果 ，那么 。对正则图来说，这个结论的逆也是成立的。此外，如果 是一个正则图，那么 ，且对任意的 ， 有一个区间t-着色。在 [ 3 ] 中，Kamalian进一步证明了如果 是一个连通图，那么 。这个上界被Giaro，Kubale和Malafiejski在 [ 4 ] 中改进了，他们证明了如果 并且是一个至少有3个顶点的连通图，那么 。对某些图类来说， 的上界还得到了进一步的改进。其中包括可平面图 [ 5 ] 和至少有 个顶点的r-正则图 [ 6 ] 。 图的亏度，记作 ，是指粘在 上使得它可区间着色的悬挂边的最小数目。显然， 当且仅当 。在 [ 7 ] 中张维娟完全确定了单圈图和双圈图的亏度。参数 和 的确切数值对少数几类可区间着色的图来说已经完全确定了，其中包括偶圈，树 [ 8 ] 。本文中，我们完全确定了无穷双圈图 的下界，并且证明了 。 本文的框架如下。第二部分，给出了无穷双圈图的下界。第三部分，结论。第四部分，致谢。
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user: 2. 无穷双圈图的区间边着色的下界 图 称作是无穷双圈无悬挂图，如果它恰有一个4度点其它顶点都是2度点，见图1所示。在无穷 图1. 无穷双圈无悬挂图 双圈无悬挂图 的顶点上不断添加悬挂边得到的图称作无穷双圈有悬挂图。用符号 表示所有无穷双圈无悬挂图的集合，用符号 表示所有无穷双圈有悬挂图的集合。用 表示所有无穷双圈图的集合，显然有 。 引理2.1 [ 7 ] 如果图 ，则有 引理2.2。如果 并且 ，则 。 证明：设 的两个圈为 ， ，公共顶点为 ，即 。由引理2.1知道 是偶数。又因为 ，所以 和 有相同的奇偶性。 情况1。 和 都是奇数。 下面我们给出图 的一个区间4-着色 。我们给 的边集： 分别着色： ，同时给 的边集: 分别着色： ，就得到 的一个区间4-着色 。 情况2。 和 都是偶数。 下面我们给出图 的一个区间4-着色 。我们给 的边集： 分别着色： ，同时给 的边集: 分别着色： ，就得到 的一个区间4-着色 。 由以上讨论我们知道， 总有区间4-着色，因此， 。另一方面， 。所以得到 成立。 用符号 表示图 通过添加一条悬挂边 得到的图。 引理2.3。如果 并且 ，则 并且 。 证明：设 的两个圈为 ， ，公共顶点为 ，即 。由 ，由引理2.1知道 是奇数。又因为 ，所以 和 有不同的奇偶性。不失一般性，令 为奇数，， 为偶数。当添加一条悬挂边 ， 是悬挂点。由亏度的定义，得到 成立。 下面我们证明 。 情况1。 ，此时， 。我们给出图 的一个区间5-着色 。我们给 的边集： 分别着色： ，同时给 的边集： 分别着色： ，给边 着颜色2，就得到 的一个区间5-着色 。 情况2。 ，此时， 。我们给出图 的一个区间4-着色 。如果 ，我们给 的边集： 分别着色： ，同时给 的边集： 分别着色： ，给 的边集： 分别着色： ，给边 着颜色2，就得到 的一个区间4-着色 。如果 ，我们给 的边集： 分别着色： ，同时给 的边集： 分别着色： ，给 的边集：如果 ，我们给 的边集： 分别着色： ，同时给 的边集： 分别着色： ，给 的边集： 分别着色： ，给边 着颜色2，就得到 的一个区间4-着色 。分别着色： ，给边 着颜色2，就得到 的一个区间4-着色 。 情况3。 ，此时， 。我们给出图 的一个区间4-着色 。如果 ，我们给 的边集: 分别着色： ，给 的边集: 分别着色： ，同时给 的边集: 分别着色： ，给边 着颜色3，就得到 的一个区间4-着色 。如果 ，我们给 的边集： 分别着色： ，给 的边集 分别着色： ，同时给 的边集： 分别着色： ，给边 着颜色2，就得到 的一个区间4-着色 。 由以上讨论我们知道， 总有区间 -着色，因此， 。另一方面， 。我们得到： 成立。 引理2.4。设 ，则 。 证明：首先 是由某个 通过不断加悬挂边得到的图。其中 的两个圈为 ， ，公共顶点为 。因此 有悬挂边 ，其中 为悬挂点。由引理2.2知道如果 ，则 有区间 -着色 ，由引理2.3知道如果 ，则 并且 也存在区间 -着色。 以下我们利用归纳法给 一个区间着色 。设 ，分别讨论以下几种情形。 如果 和 都是奇数， 当 时，令 此时， 是一个区间5-着色。 当 时，令 此时， 是一个区间4-着色。 当 时，令 此时， 是一个区间4-着色。总之， 是 的一个区间 -着色。 如果 和 都是偶数，用类似的方法也可以得到 的一个区间 -着色，不妨也记作 。 如果 和 的奇偶性不同，则由引理2.3，图 也存在区间 -着色，不妨也记作 。 现在假设无穷双圈图 含有真子图 ，按归纳假设 有区间着色 ，且它的区间边色数为 。以下要利用 构造 的一个区间 -着色 。我们考虑以下情形： 如果 的端点 是 的最大度点，即 。此时， 于是可取 如下： 此时， 显然是 的一个区间 -着色。 如果 的端点 不是 的最大度点，即 。此时 ，则我们可取 如下： 由于 ， 是一个 -连续着色，故 也是。由以上讨论， 。另一方面，总有 。于是结论成立，证毕。 由引理2.2，2.3，2.4直接得到下面的结果。
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user: 3. 结论 设 ， (i) 如果 且 为奇数，那么 且 。 (ii)否则 且 。
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user: 摘 要 本文采用多重尺度法研究了基本气流具有弱切变的非线性正压Rossby波，得到了偶极子阻塞形成的一个理论及其影响。在f平面下求得它的波包满足非线性Schrödinger方程。指出：当Rossby波的波数满足 (k为纬向波数，m为经向波数)时，大气中周期Rossby波可以产生调制不稳定，形成包络Rossby孤立波。 关键词 :大气阻塞，Rossby孤立波，非线性 Schrödinger方程 Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 大气中的阻塞可以分为两类：一类是单个非偶极子阻塞，另一类是偶极子阻塞。有关它的研究已有30年了，最早进行研究的是叶笃正 [ 1 ] 等人。80年代初期，人们对阻塞形成理论已经做出很大贡献。Egger [ 2 ] 认为缓慢移动自由波与地形强迫之间的非线性作用可以产生阻塞。Charney和Devore [ 3 ] 提出了阻塞形成的理论，Tung和Lindzen [ 4 ] 认为阻塞高压是自由波和地形强迫波发生共振形成。Mcwilliams [ 5 ] 提出了 Equivalent Modon理论解释偶极子阻塞，之后Malguzzi和Malanotte-Rizzoli [ 6 ] [ 7 ] (1984， 1985)提出了用Rossby孤立波来解释大气中偶极子在阻塞中的形成过程。罗德海和纪立人 [ 8 ] [ 9 ] 用Algebraic Rossby理论解释大气中定常偶极子阻塞，论证了旋转正压大气中的非线性 Schrödinger方程和大气阻塞理论。并且，Federiskn [ 10 ] 和Schillings [ 11 ] 发现了大气中通过斜压不稳定，可以形成偶极子阻塞。本文在f平面下探讨偶极子阻塞，运用多重尺度法，得出了非线性Schrödinger型的包络Rossby孤立波理论，大致反映出偶极子阻塞的孤立波特点，体现偶极子阻塞的衰减机制。
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user: 2. f平面近似下正压模式与非线性Schrödinger方程 在不考虑地形作用的情况下，正压无辐散的正压自由大气涡度方程为： (1) 其中 为流函数，U是简单的纬向基本流，f是科氏参数， 为二维的Laplace算子， 为Jacobian行列式，参数F为内旋转Foude数，是水平尺度与罗斯贝变形半径 之比的平方，关系式分别为： 在 处，与罗德海 [ 8 ] 相比较，没有考虑 作用，只考虑了f平面，在地球大气中，行星大气的运动的时间和空间尺度是多种多样的，为此可引入缓变坐标： ， ， ， ， (2) 其中 ， ， ， 为缓变量，且 。于是可作如下变换： (3) 因此可以把方程(1)改写为： (4) 将 按WKB方法展开， (5) 其中 为基本流函数，且满足 。再将(5)式带入方程(4)，有 (6) (7) (8) 其边界条件为： 时， (9) 在方程(6)中，设其谐波解为： (10) 其中c.c.表示它前项的共轭，A为复振幅，k为纬向波数，将(10)式代入方程(6)，并结合边界条件，则 (11) 在这方程中，郭晓岚 [ 12 ] 曾指出，当基本气流满足条件 (12) 其中 时，大气中的扰动是不稳定的，这时c为复数。在本文中，假定在区域 内条件(12)不成立，这时c为实数。对于c为复数的情况，将在以后进一步讨论。在大气中，大尺度Rossby波一般有 ，对阻塞系统有 ，因而有 。将(10)式带入方程(7)，这时有 (13) 对以上方程消除长期项，并利用方程(11)有 (14) 其中 这时方程(13)可变为： (15) 其中 ，且 设方程(15)的解为： (16) 将上式代入方程(15)式，则有 (17) 其中 其边界条件为： (18) 在方程(17)中，由于A，B均为 ， ， ， 的函数，并且 与 成比例，显然可将 取成如下形式 . (19) 于是可得方程 (20) 将(10)和(16)式带入方程(8)，有 (21) 以上方程消除长期项，并利用(14)和(19)式，可得方程 (22) 将方程两边同时乘 ，并在区间 上进行积分，可得 (23) 其中 再把方程(23)改写为： (24) 上式就是著名的非线性Schrödinger方程，它反映了行星大气中Rossby波的非线性特点。从方程(24)式的系数表达式可以看出，当基本气流不存在切变时， ， (24’) 这时 ，非线性Schrödinger方程就不存在，在实际大气中基本西风的分布是多种多样的。只要大气中基本气流的切变存在，这时的大尺度扰动均可以由非线性Schrödinger方程来描述。
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user: 3. 本征值问题 在大气中，为了不致于使(12)式满足，这里假定大气中的西风存在弱切变，这时可设其中 (25) 其中 ，并且 Q 仅为 y 的函数，在方程(11)中，取 ，将(25)式代入方程(11)，有 (26) 将 ，c按下列级数展开，即 (27) 把上式代入方程(26)，可得方程的本征值和本征函数的近似值为： (28) 其中 利用边界条件 (29) 其中 对上式的平方模进行归一化， (30) 于是可近似的求得 的值为 (31) 将(30)式和 代入方程(20)，近似地有 (32) 其中 在方程(32)的左端，系数的微小变化已被省略，从而可求得方程(32)的解。显然，可设解为： (33) 再将(33)式代入方程(32)，可得方程(32)的解为： (34) 把 ，G， 代入方程(23)中的系数，便可确定 的值： (35) 从上式可以看出，当大气中基本西风气流的切变不存在时，即 ，这时 ，结论与罗德海 [ 9 ] 基本一致，描述大尺度Rossby波的非线性Schrödinger方程不存在。当 时，大尺度Rossby波的非线性Schrödinger方程存在，此时 既受内旋转Foude数的影响，又受 的影响。本文考虑了f平面Rossby波与基本气流切变的相互作用，用多重尺度法也得到了非线性Schrödinger方程。在方程(24)中，为了获得方程的系数，采用了一种近似方法，用来处理基本气流有弱切变的情况是有效的。
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user: 4. 非线性Schrdinger方程的稳定解及计算结果 方程(24)是描述行星大气中非线性Rossby波包的演变过程，这种方程反映了非线性作用对Rossby波包的影响。利用(2)式将方程(24)变为： (36) 其中 。再令 ，并设 ，于是方程(37)可变为： (37) 当 时， ，这时在 的情况下方程(37)有包络孤立解，于是方程(37)的包络孤立解为： (38) 设M在 处的值为 ，这时(38)式可变为： (39) 将(39)式带入(5)式，可得Rossby调制波的扰动流函数解为： (40) 其中 ，c.c.表示它前项的共轭。显然，从上式可得Rossby调制波的相速为： (41) 从上式可以看出，f平面下Rossby波的振幅和基本气流的切变影响着Rossby调制波的传插速度，当不考虑基本气流的水平切变时，Rossby调制波的针副作用消失。从(31)和(35)式可以看出，当 时， ，因而大气中包络Rossby孤立波才存在。这是非线性和基本气 流的水平切变作用可使Rossby波的传播速度减慢，基本气流的水平切变越强，Rossby调制波的传播速度越慢，当Rossby调制波的振幅满足 (42) 时，Rossby调制波趋于定常。
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user: 5. Rossby波的调制不稳定 对于方程(38)，作变换 (43) 将上述方程代入(38)式有 (44) 在大气中，设叠加在定常振幅和位相上的扰动为周期波，这时可令 (45) 其中 均为常数。将上式方程代入(44)式可得 (46) 从上式可以看出，当 时，Rossby调制波是稳定的，当 时，Rossby调制波的周期扰动是不稳定的，这这种不稳定称为调制不稳定。从方程(38)的系数可知，当 时， ，这时，在大气中周期Rossby波会产生调制不稳定，也就是说在 即波长 和 满足 的情况下，大气中的总周期扰动不能维持，它要产生不稳定，并形成包络Rossby孤立波。
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user: 6. 结论 从上述分析中，可以得到结论： 1) 在f平面上，基本气流具有弱切变的情况下，得到了非线性Rossby波的波包满足非线性 Schrödinger方程。 2) 当Rossby波的波数满足 时，即波数受内旋转Foude数的影响，大气中的 周期Rossby波会产生调制不稳定，最终形成包络Rossby孤立波。 3) 本文所得到的偶极子阻塞是通过Rossby调制不稳定发展而形成的，使f平面的大气观测理论更加准确。
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user: 摘 要 本文将层次分析法与模糊综合评价方法相结合，选取了七个评价指标，将评价结果划分为“大、较大、一般、较小、小”五个等级，建立了青岛市“地铁效应”的综合评价模型。利用该模型分别对李沧区、市北区、市南区2016年的“地铁效应”做出了评价，得出李沧区“地铁效应较小”，市北区“地铁效应一般”，市南区“地铁效应大”的结论。将灰色预测模型和最小二乘拟合相结合，对各指标在2017年的取值进行预测，进而对三个区市2017年“地铁效应”进行预测，得出三个区市2017年“地铁效应大”的预测结果。 关键词 :层次分析法，模糊综合评价，灰色预测，“地铁效应” Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 地铁在城市发展中体现出巨大的“地铁效应”。一方面，地铁能够推进城市经济的发展，带动沿线商圈联动发展，增加政府的财政收入；另一方面，地铁为民众出行提供了便利，改善民众的生活环境，提高民众的生活质量。青岛地铁3号线自2015年12月16日起开始通车运营，成为青岛市首条通车运营的地铁线路，连通了青岛站与青岛北站两大交通枢纽，促进了沿线几大商圈的融合与发展，在改善民生的同时也为沿线区域带来了巨大的政治效益和经济效益。由于目前青岛市只开通了地铁3号线，其对沿线三个区市(李沧区、市北区、市南区)的“地铁效应”较整个青岛市来说更为明显。为了研究地铁3号线的开通给沿线三个区市(李沧区、市北区、市南区)带来的影响，本文建立了青岛市“地铁效应”综合评价模型，综合分析了2016年的“地铁效应”，并对2017年“地铁效应”的评价结果做出了预测。
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user: 2. 模型准备 2.1. 青岛市“地铁效应”的具体体现 本文将青岛市“地铁效应”总结为以下三个方面： 1) 政治效应 地铁作为城市重大基础设施之一，其修建过程离不开政府的大力支持，地铁建设在一定程度上影响了政府发布的政策、规定的数量。 2) 经济效应 “美国经济学家研究表明，公共产品投资中每投资1美元，国民生产总值就会增加4美元。轨道交通建设投资对国民生产总值的直接贡献率为2.63倍，即每投资1亿元，可新增2.63亿元GDP，并提供8466个就业岗位” [ 1 ] 。与此同时，经济的发展带动沿线房价的上涨，推动商圈的联动发展。 3) 民生效应 地铁的开通在为沿线带来巨大经济效益的同时，也为政府增加了税收等财政收入。与此同时，地铁的开通使得城市基础实施更加完善、经济发展更加迅速，在一定程度上促进了沿线区域常住人口的增长。 2.2. 青岛市“地铁效应”评价体系的建立 要建立青岛市“地铁效应”评价体系，首先要从众多复杂因素中筛选出关键性的评价指标，并根据评价指标之间的制约关系为指标划分层次。通过分析，本文选取了政治效应、经济效应、环境效应三个一级评价指标。为了最大程度对各指标进行定量分析，选取了政府发布政策总数、GDP增速、沿线二手房平均价格增长率、社会消费品零售总额增长率等七个可定量的二级评价指标。具体的层次结构如下图1所示。 2.3. 模型假设 1) 本文搜集的所有数据均真实可靠； 2) 假设所有数据的变化均由地铁效应引起； 3) 不考虑其他重大突发事件对“地铁效应”影响力的干扰。
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user: 3. 层次分析法确定指标权重 3.1. 层次分析法的基本原理 层次分析法是一种简单、灵活的多准则决策方法，在解决一些难以完全定量的问题上占据优势。在利用层次分析法解决问题时，首先要将问题条理化、层次化，一般将问题划分为目标层、准则层、方案层，其中准则层可包含若干子准则。在确定不同评价因素的权重时，通常采用两两比较的方法确定判断矩阵。若判断矩阵能够通过一致性检验，即一致性比例 ；若判断矩阵未能通过一致性检验，则需对判断矩阵进行调整。对于符合条件的判断矩阵，求其最大特征值对应的特征向量，并进行归一化处理，即得评价因素的权重。 3.2. 评价指标权重的确定 从“地铁效应”综合评价体系的层次结构出发，利用专家打分法，得到判断矩阵如下： ， ， ， ， 对判断矩阵进行一致性检验，结果如表1示： 对判断矩阵 和 进行修正，得到新的判断矩阵 ， 。由此得到各层级评判指标的权向量 ， ， ， 。
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user: 4. 青岛市“地铁效应”模糊综合评价模型 4.1. 多层次模糊综合评价法的基本步骤 多层次模糊综合评价法主要有以下七个步骤： 1) 确定被评价对象集合 ； 2) 确定被评价对象的因素论域 ，可以根据 中元素的特点将其划分为 个子集 ； 3) 确定评语等级论域 ； 图1. “地铁效应”综合评价体系 Table 1 Results of consistency chec 判断矩阵 0.1169 0 0.2541 0 表1. 一致性检验结果 4) 对每个因素集 ，确定模糊评价矩阵 ； 5) 确定 中各因素的权重，给出权向量 ，得到一级评价矩阵 ； 6) 将每个 视为一个因素，则 为单因素集，确定其模糊评价矩阵并记为 ，则有 ，根据各因素的重要程度为其分配权重，记权向量为 ； 7) 得到二级模糊综合评价矩阵 ，根据最大隶属度原则确定评价对象的评语等级。 4.2. 青岛市“地铁效应”综合评价模型的建立 [ 2 ] 4.2.1. 因素集和评语集的确定 根据上文给出的青岛市“地铁效应”综合评价体系，得到如下图所示的二级模糊综合评价模型， 由图2可知，因素论域 ，其中 ， ， 。本文将对“地铁效应”评价划分为“小”、“较小”、“一般”、“较大”、“大”五个等级，故有评语等级论域 。为了研究青岛市“地铁效应”对沿线不同区域的影响，取评价对象集合 。 4.2.2. 各评价指标隶属度的确定 本文采用构造隶属函数的方法确定隶属度，为方便起见，隶属函数均为梯形型 [ 3 ] 。设某一评价指标的取值为 ，五个临界点从小到大分别为 ，隶属函数为 ，则有 ， 首先对各个评价指标的取值进行分段，给出不同取值对应的“地铁效应”评价等价，具体分段方法见下表2。通过查询青岛统计信息网和青岛市统计年鉴，得到三个区市(李沧区、市北区、市南区)各评价指标在2016年的取值如下表3。 图2. 模糊综合评价模型 Table 2 Subsection value of evaluation indexe 评价指标 评价等级 小 较小 一般 较大 大 (条) 15 30 45 60 75 (条) 5 10 15 20 25 (%) 6.50 7.00 7.50 8.00 8.50 (%) 5.90 6.90 7.90 8.90 9.90 (%) 8.00 9.00 10.00 11.00 12.00 (%) 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 (%) 0 0.50 1.00 1.50 2.00 表2. 各评价指标取值分段 Table 3 Value of evaluation indexes in 201 评价指标 评价对象 李沧区 市北区 市南区 (条) 43 60 31 (条) 13 130 20 (%) 10.10 9.10 7.70 (%) 7.09 7.98 10.15 (%) 12.74 7.07 9.45 (%) 8.26 2.23 -9.40 (%) 1.75 1.03 1.52 表3. 2016年各评价指标取值 当评判对象为 时，模糊矩阵为 当评判对象为 时，模糊矩阵为 当评判对象为 时，模糊矩阵为 4.2.3. 青岛市“地铁效应”综合评价结果 评判对象 的二级模糊综合评价矩阵分别为 ， ， ，根据最大隶属度原则，得到李沧区、市北区、市南区的2016年“地铁效应”综合评价结果如下表4。 即李沧区“地铁效应”一般，市北区“地铁效应”一般，市北区“地铁效应”较大。
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user: 5. 青岛市“地铁效应”预测模型 5.1. 灰色预测模型的基本原理 灰色预测模型以GM(1，1)模型为基础，将随机过程当做灰色过程，随机变量当做灰色变量，适用于解决历史数据较少的时间序列预测问题。灰色预测的具体步骤如下： 1) 对原始数据 进行累加运算，得到累加数列 ； Table 4 Results of comprehensive evaluation on subway effec 评价对象 李沧区 市北区 市南区 评价结果 一般 一般 较大 表4. “地铁效应”综合评价结果 2) 计算级比 ，检验其是否落在可容覆盖区间内； 3) 建立白化微分方程 并求解，得到预测值； 4) 残差检验，设残差为 ，如果 ，可认为达到一般要求，如果 ，可认为达到较高要求； 5) 级比偏差检验，定义级比偏差 ，如果 ，可认为达到一般要求，如果 ，可认为达到较高要求。 5.2. 最小二乘拟合的基本原理 最小二乘拟合法是最常用的曲线拟合法。设 为平面上的 个点， 互不相同， ，其中 是一组线性无关的函数， 是待定系数，采用最小二乘准则进行拟合，即使 与 距离的平方和最小。 记 与 距离的平方和为 ，利用极值的必要条件便可求得使 达到最小值的 。 5.3. 评价指标的预测结果 由于文中指标的历史数据较少，导致样本容量较小，不满足常用的预测方法(如时间序列法、神经网络预测法等)大容量样本的要求。因此，本文将采用灰色预测方法对上述七个评价因素2017年的取值进行预测，要求预测相对误差小于0.2。当灰色预测的相对误差不能满足要求时，则采用最小二乘拟合的方法进行预测，同样要求预测的相对误差小于0.2。最后根据各指标的预测值预测李沧区、市北区、市南区在2017年的“地铁效应”。(各评价指标的历史数据见附录) 各评价指标的预测结果(精确到小数点后四位)如下表5所示。 5.4. 青岛市2017年“地铁效应”预测结果 预测时，保持各评价指标的权重分配不变，将各评价指标的预测值代入对应的隶属函数，得到新的模糊矩阵。将权向量与新的模糊矩阵合成，根据最大隶属度原则，即可得到三个区市2017年“地铁效应”的综合评价结果，如表6所示。
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user: 6. 模型总结 由青岛市“地铁效应”综合评价模型可知，李沧区、市北区、市南区2016年“地铁效应”综合评价等级分别为“小”、“一般”、“大”，即“地铁效应”对市南区的影响最大，这与市南区作为青岛市的政治、经济、金融中心，经济发达、城市基础设施完善、民生保障措施全面有着密切的关系。 由预测模型可知，李沧区、市北区、市南区2017年“地铁效应”评价等级的预测结果分别为“大”、“大”、“大”，这说明地铁对区域发展的影响力与时间成正相关关系，时间越长，“地铁效应”越明 Table 5 Prediction value of evaluation indexe 区市 评价指标预测值 李沧区 市北区 市南区 (条) 34.1764 120.5088 52.5017 (条) 14.0743 26.4851 52.0000 (%) 10.1971 8.9034 7.8409 (%) 12.5500 10.3077 12.0263 (%) 12.2144 5.3610 29.8000 (%) 11.0800 6.1000 -2.6300 (%) 0.8800 0.5800 1.0100 表5. 各评级指标预测值 Table 6 Prediction results of comprehensive evaluation on subway effect in 201 评价对象 李沧区 市北区 市南区 评价结果 大 大 大 表6. 2017年“地铁效应”综合评价预测结果 显。李沧区虽然在三个区市中政治、经济基础相对薄弱，但其政治、经济发展的上升空间也相对较大，地铁开通给其区域发展带来的长期效应更明显。市南区自身基础较好，在各方面都处于领先地位，导致“地铁效应”对其发展的促进作用长期停留在某一水平，上升空间较小。 总之，地铁的开通对沿线区域的政治、经济、民生产生巨大的积极影响。政府应该加大对地铁项目建设的支持力度，积极推进城市基础设施建设，继续改善和保障民生。
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user: 摘 要 本文构建了一个求解反应扩散方程的格子Runge-Kutta-Boltzmann模型。通过使用经典的Runge-Kutta公式，得到了四阶截断误差。通过Chapmann-Enskog展开和多尺度展开技术，获得了不同时间尺度的系列偏微分方程和修正的反应扩散方程。数值结果表明，本文的模型可以用来求解反应扩散方程。 关键词 :格子Boltzmann模型，Runge-Kutta公式，反应扩散方程 Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 格子Boltzmann方法(LBM)起源于格子气自动机(LGA) [ 1 ] ，并逐渐发展成为计算流体力学的重要数值模拟方法 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] 。目前，LBM已广泛用于模拟单组分水动力学问题 [ 2 ] ，多相和多组分流动，包括悬浮粒子流 [ 5 ] ，磁流体 [ 6 ] ，多孔介质流 [ 7 ] 以及反应扩散系统 [ 8 ] 等。此外，LBM在求解非线性物理方程领域也有出色的表现，如波动方程 [ 9 ] 、KDV方程 [ 10 ] 、Burgers方程 [ 11 ] [ 12 ] 、非线性Schrödinger方程 [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] 和Poisson方程 [ 16 ] [ 17 ] 等。本文使用经典的Runge-Kutta公式 [ 18 ] 构建了具有高阶精度的格子Runge-Kutta-Boltzmann模型。通过Chapmann-Enskog展开和多尺度展开技术，获得了不同时间尺度的系列偏微分方程和修正的反应扩散方程。数值结果表明，本文所提出的模型可以用来模拟反应扩散方程。
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user: 2. 格子Runge-Kutta-Boltzmann模型 2.1. 不同时间尺度的系列偏微分方程 将一个 维空间离散成网格，网格中心与相邻的 个格点连线作为速度矢量，加上网格中心的静止速度，这样就得到一个 速度模型。定义 时刻， 位置的分布函数为 ，用来表示粒子的密度；定义该时刻该位置的速度为 。则标准格子Boltzmann模型演化方程为 ， (1) 在方程(1)中， 表示组分数； 为附加项。为得到可以应用于稳态的宏观量，假设存在平衡态分布函数 ，并且满足守恒条件 。 粒子状态的演化可以分为两步：流动，粒子沿速度方向运动到相邻格点；碰撞，不同速度的粒子发生碰撞并改变速度。所以，方程(1)也可以表示为 ， ( 2a ) 。 (2b) 引入Knudsen数 ，选择 ， 为时间步长 [ 9 ] ，将四阶Runge-Kutta公式 [ 18 ] 带入方程( 2a )，得到格子Runge-Kutta-Boltzmann方程 ， ( 3a ) ，(3b) ， ( 3c ) ， (3d) ， (3e) 。 ( 3f ) 其中， 。 对( 3a )式进行Taylor展开，并保留到 ，得 ， (4) 其中，偏微分算子 。 在小Knudsen数假设下，对 进行Chapman-Enskog展开 [ 19 ] ， (5) 其中 。 引入不同的时间尺度 ，其中 ， 并且满足 。 假设反应和扩散的影响为 ，即 ，求得不同时间尺度的格子Runge-Kutta-Boltzmann模型的系列方程为 ， (6) ， (7) ， (8) ， (9) ， (10) 。(11) 方程(6)~(11)中， 是Chapmann多项式，用来表示修正的反应扩散方程中耗散项和色散项系数， ， (12) ， (13) ， (14) ， (15) ， (16) ， (17) 。 (18) 2.2. 反应扩散方程 含源项的一维反应扩散方程为 ， (19) 定义宏观量 。根据守恒条件有 。对于反应扩散方程，选取平衡态分布函数的矩为 ，(20) ， (21) ， (22) ， (23) 。 (24) 其中 为扩散系数，且 ， 。 2.3. 误差分析 将 式两端对 求和，得 。 (25) 如取方程(19)的源项为 ，则修正后的一维反应扩散方程为 ， (26) 其中， ， (27) ， (28) ， (29) 。 (30) 方程(28)的主要项为 。根据Hirt启发式稳定性理论，格子Boltzmann模型正耗散条件为 。
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user: 3. 数值算例 下面应用本文所提出的格子Runge-Kutta-Boltzmann模型求解反应扩散方程。 例1：考虑方程 ， ， 。 (31) 边界条件为 ， 。 (32) 该方程的解析解为 ， 。 (33) 图1和图2给出了数值计算结果。其中图1(a)和图1(b)分别为u-t和v-t的Runge-Kutta算法计算结果、本文的格子Runge-Kutta-Boltzmann模型(在图中表示为LRKB模型)计算结果与解析解的比较；图2(a)和图2(b)分别为u和v的绝对误差曲线，图2(c)为绝对误差E对Knudsen数 的无穷范数曲线。其中 ， 为本文的格子Runge-Kutta-Boltzmann模型计算结果， 为解析解。其它参数为： 、 、 、 、格子数为51、时间步长为 。从图1和图2 图1. Runge-Kutta模拟结果、格子Runge-Kutta-Boltzmann模拟结果与解析解的比较：(a) u对t图；(b) v对t图 图2. (a) u的绝对误差曲线；(b) v的绝对误差曲线；(c) 绝对误差E对Knudsen数e的无穷范数曲线 中可以看出，格子Runge-Kutta-Boltzmann模型模拟结果与解析解有较好的一致性。 例2：考虑反应扩散方程 ， (34) ， (35) 。 (36) 其中， 、 、 为参数。当 ， ，方程(34)~(36)简化为Rössler方程 [ 20 ] ， (37) ， (38) 。 (39) 在数值模拟中，令方程(26)中附加项为 。 (40) 。 (41) 取计算域为 ；初始条件为 ， ；边界条件为 。 图3至图5给出了 ， 时通过Runge-Kutta算法、文献 [ 20 ] 中的格子Boltzmann模型和本文的格子Runge-Kutta-Boltzmann模型绘制的相图。其中图3(a)、图4(a)和图5(a)为使用Runge-Kutta算法得到的v-u、w-u、w-v相图；图3(b)、图4(b)和图5(b)是通过文献 [ 20 ] 中的模型计算的v-u、w-u、w-v相图；图3(c)、图4(c)和图5(c)给出了使用本文格子Runge-Kutta-Boltzmann模型绘制的v-u、w-u、w-v相图。其它参数为： ， ， ， ， ， ， ，格子数为 。从图中可以得出，本文模型所得结果与经典四阶Runge-Kutta算法吻合较好，并且比文献 [ 20 ] 的结果更精细。 图3. v对u的相图：(a) Runge-Kutta计算结果；(b) 文献 [ 20 ] 模拟结果；(c) 本文格子Runge-Kutta-Boltzmann模拟结果 图4. w对u的相图：(a) Runge-Kutta计算结果；(b) 文献 [ 20 ] 模拟结果；(c) 本文格子Runge-Kutta-Boltzmann模拟结果 图5. w对v的相图：(a) Runge-Kutta计算结果；(b) 文献 [ 20 ] 模拟结果；(c) 本文格子Runge-Kutta-Boltzmann模拟结果
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user: 4. 结论 本文使用经典Runge-Kutta算法构建了用于反应扩散方程的格子Runge-Kutta-Boltzmann模型，获得了具有高阶精度的截断误差。数值结果表明，该模型的计算结果与经典Runge-Kutta模型吻合的较好。本文的主要思路，包括不同时间尺度的系列偏微分方程以及平衡态分布函数的形式，可以用来求解其它非线性偏微分方程。
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user: 摘 要 急性心肌梗塞常合并有急性心功能不全和(或)左室功能下降，对于心肌梗死后期的心功能不全发生率，短期及长期的致死率有显著影响。研究发现及时开通急性心肌梗死患者罪犯血管(溶栓或急诊PCI或溶栓后PCI，搭桥治疗)，急性心肌梗死合并心功能不全发生率明显下降，仍有一部分急性心肌梗死患者合并有急性心功能不全及(或)左室功能不全，且这两种并发症常并存，互相影响，导致急性心肌梗死后“存活”患者的心功能不全的发生率增加。如何预防心肌梗死后急性心功能不全的发生，目前仍是临床关注的问题。下面就急性心肌梗塞合并心功能不全的流行病学，分型，机制等方面进行综述。 关键词 :综述，急性心肌梗死，心功能不全 Copyright © 2017 by author and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/