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user: 3. 主要结论 本节研究给定度序列树的覆盖成本，并且称该条件下覆盖成本最小的树是理想树。 在理想树中选一条路，移除这条路上的所有边之后，如果一些连通分支仍然存在，取一个点将其命 名为z，将点z右边的顶点依次命名为 x 1 ， x 2 ， ⋯ ，将点z左边的顶点依次命名为 y 1 ， y 2 ， ⋯ 。令 X i ， Y i ， Z ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ) 表示包含对应顶点的分支， X > k 和 Y > k 分别表示由 V ( X k + 1 ) ∪ V ( X k + 2 ) ∪ ⋯ 和 V ( Y k + 1 ) ∪ V ( Y k + 2 ) ∪ ⋯ 导出的子树，如图2。不失一般性，假设 | V ( X 1 ) | ≥ | V ( Y 1 ) | 。 图2. 带有顶点z的路产生的分支 定理3.1. 在如上描述的情形中，对于 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ，如果有 | V ( X i ) | ≥ | V ( Y i ) | ，则在理想树中满足 | V ( X > k ) | ≥ | V ( Y > k ) | 。 证明：假设在理想树中 | V ( X > k ) | ≥ | V ( Y > k ) | 不成立，下面证明交换 X > k 和 Y > k 的位置不增加覆盖成本。当路的末端顶点都在或都不在 V ( Y > k ) ∪ V ( X > k ) 中，交换 X > k 和 Y > k 的位置，这两点之间的距离不会改变。因此考虑只有一个末端顶点在 V ( Y > k ) ∪ V ( X > k ) 的情况。 先计算 W ( T ′ ) − W ( T ) ，分为下面四种情况： 1) 对于 V ( X i ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ) 中的任一顶点和 X > k 中的任一顶点，交换 X > k 和 Y > k 的位置，两点之间的距离增加2i，则总的Wiener指数增加 ∑ i = 1 k ( 2 i ) | V ( X i ) | | V ( X > k ) | ； 2) 对于 V ( Y i ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ) 中的任一顶点和 X > k 中的任一顶点，交换 X > k 和 Y > k 的位置，两点之间的距离减少2i，则总的Wiener指数减少 ∑ i = 1 k ( 2 i ) | V ( Y i ) | | V ( X > k ) | ； 3) 对于 V ( Y i ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ) 中的任一顶点和 中的任一顶点，交换 X > k 和 Y > k 的位置，两点之间的距离减少2i，则总的Wiener指数减少 ∑ i = 1 k ( 2 i ) | V ( Y i ) | | V ( Y > k ) | ； 4) 对于 V ( X i ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ) 中的任一顶点和 Y > k 中的任一顶点，交换 X > k 和 Y > k 的位置，两点之间的距离增加2i，则总的Wiener指数增加 ∑ i = 1 k ( 2 i ) | V ( X i ) | | V ( Y > k ) | ； 综上分析，交换 X > k 和 Y > k 的位置，得出 W ( T ′ ) − W ( T ) = ∑ i = 1 k 2 i ( | V ( X i ) | − | V ( Y i ) | ) ( | V ( X > k ) | − | V ( Y > k ) | ) 。 根据定理2.2，令 C C T ( x ) = min v ∈ V ( T ) C C T ( v ) ，则 x ∈ L ( T ) 。 情形1： x ∈ V ( X i ) ( 1 ≤ i ≤ k ) 此时， D T ′ ( x ) − D T ( x ) = 2 i ( | V ( X > k ) | − | V ( Y > k ) | ) ，利用引理2.1可得 C C T ′ ( x ) − C C T ( x ) = 2 ( W ( T ′ ) − W ( T ) ) − ( D T ′ ( x ) − D T ( x ) ) = 2 ( | V ( X > k ) | − | V ( Y > k ) | ) ( ∑ i = 1 k 2 i ( | V ( X i ) | − | V ( Y i ) | ) − i ) ≤ 2 ( | V ( X > k ) | − | V ( Y > k ) | ) ∑ i = 1 k ( 2 i ( | V ( X i ) | − | V ( Y i ) | ) − 1 ) 当 | V ( X i ) | = | V ( Y i ) | ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ) 时，交换 X > k 和 Y > k 的位置，覆盖成本不增加。 存在i使得 | V ( X i ) | > | V ( Y i ) | ，则 ∑ i = 1 k ( 2 i ( | V ( X i ) | − | V ( Y i ) | ) − 1 ) > 0 ， 由假设 | V ( X > k ) | ≤ | V ( Y > k ) | ，可得出 C C T ′ ( x ) − C C T ( x ) ≤ 0 。 因为 min v ∈ V C C T ′ ( v ) ≤ C C T ′ ( x ) ≤ C C T ( x ) = min v ∈ V C C T ( v ) ，所以，交换 X > k 和 Y > k 的位置，最小覆盖成本不增加。 情形2： x ∈ V ( Y i ) ( 1 ≤ i ≤ k ) 与情形1类似。 情形3： x ∈ V ( X > k ) 这时， D T ′ ( x ) − D T ( x ) = ∑ i = 1 k 2 i ( | V ( X i ) | − | V ( Y i ) | ) ， 利用引理2.1化简可得 C C T ′ ( x ) − C C T ( x ) = ∑ i = 1 k 2 i ( | V ( X i ) | − | V ( Y i ) | ) ( 2 ( | V ( X > k ) | − | V ( Y > k ) | ) − 1 ) 。 由假设 | V ( X > k ) | ≤ | V ( Y > k ) | ，可得出 C C T ′ ( x ) − C C T ( x ) ≤ 0 。 因为 min v ∈ V C C T ′ ( v ) ≤ C C T ′ ( x ) ≤ C C T ( x ) = min v ∈ V C C T ( v ) ，所以，交换 X > k 和 Y > k 的位置，最小覆盖 成本不增加。 情形4： x ∈ V ( Y > k ) 与情形3类似。 情形5： x ∈ V ( Z ) ， D T ′ ( x ) = D T ( x ) ， C C T ′ ( x ) − C C T ( x ) ≤ 0 。 综上所述，在理想树中满足 | V ( X > k ) | ≥ | V ( Y > k ) | ，定理证明完毕。 定理3.2. 在如上描述的情形中，对于 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k − 1 ，有 | V ( X i ) | ≥ | V ( Y i ) | ， | V ( X > k ) | ≥ | V ( Y > k ) | ，则在理想树中满足 | V ( X k ) | ≥ | V ( Y k ) | 。 证明：假设在理想树中， | V ( X k ) | ≥ | V ( Y k ) | 不成立，下面证明交换 X k 和 Y k 的位置不会增加覆盖成本。 根据定理2.2，令 C C T ( x ) = min v ∈ V ( T ) C C T ( v ) ，则 x ∈ L ( T ) 。 经过计算得 W ( T ′ ) − W ( T ) = ∑ i = 1 k − 1 2 i ( | V ( X i ) | − | V ( Y i ) | ) ( | V ( X k ) | − | V ( Y k ) | )   + 2 k ( | V ( X > k ) | − | V ( Y > k ) | ) ( | V ( X k ) | − | V ( Y k ) | ) ≤ 0 情形1： x ∈ V ( X i ) ( 1 ≤ i ≤ k − 1 ) C C T ′ ( x ) − C C T ( x ) = ∑ i = 1 k − 1 4 i ( | V ( X i ) | − | V ( Y i ) | ) ( | V ( X k ) | − | V ( Y k ) | )   + 4 k ( | V ( X > k ) | − | V ( Y > k ) | ) ( | V ( X k ) | − | V ( Y k ) | )   − 2 i ( | V ( X k ) | − | V ( Y k ) | ) 由假设 | V ( X k ) | ≤ | V ( Y k ) | ，可得出 C C T ′ ( x ) − C C T ( x ) ≤ 0 。 因为 min v ∈ V C C T ′ ( v ) ≤ C C T ′ ( x ) ≤ C C T ( x ) = min v ∈ V C C T ( v ) ，所以交换 X k 和 Y k 的位置，最小覆盖成本 不增加。 情形2： x ∈ V ( Y i ) ( 1 ≤ i ≤ k − 1 ) 与情形1类似。 情形3： x ∈ V ( X > k ) C C T ′ ( x ) − C C T ( x ) = ( ∑ i = 1 k − 1 4 i ( | V ( X i ) | − | V ( Y i ) | ) + 4 k ( | V ( X > k ) | − | V ( Y > k ) | ) − 2 k ) ( | V ( X k ) | − | V ( Y k ) | ) 由假设 | V ( X k ) | ≤ | V ( Y k ) | ，可得出 C C T ′ ( x ) − C C T ( x ) ≤ 0 。 又因为 min v ∈ V C C T ′ ( v ) ≤ C C T ′ ( x ) ≤ C C T ( x ) = min v ∈ V C C T ( v ) ，所以交换 X k 和 Y k 的位置，最小覆盖成 本不增加。 情形4： x ∈ V ( Y > k ) 与情形3类似。 情形5： x ∈ V ( X k ) C C T ′ ( x ) − C C T ( x ) = ∑ i = 1 k − 1 ( | V ( X i ) | − | V ( Y i ) | ) ( 4 i ( | V ( X k ) | − | V ( Y k ) | ) − 1 )   + ( | V ( X > k ) | − | V ( Y > k ) | ) ( 4 k ( | V ( X k ) | − | V ( Y k ) | ) − 1 ) 由假设 | V ( X k ) | ≤ | V ( Y k ) | ，可得出 C C T ′ ( x ) − C C T ( x ) ≤ 0 。 又因为 min v ∈ V C C T ′ ( v ) ≤ C C T ′ ( x ) ≤ C C T ( x ) = min v ∈ V C C T ( v ) ，所以交换 X k 和 Y k 的位置，最小覆盖成 本不增加。 情形6： x ∈ V ( Y k ) 与情形5类似。 情形7： x ∈ V ( Z ) ， D T ′ ( x ) = D T ( x ) ， C C T ′ ( x ) − C C T ( x ) ≤ 0 。 综上所述，在理想树中满足 | V ( X k ) | ≥ | V ( Y k ) | ，定理证明完毕。 定理3.3. 在如上描述的情形中，对于 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k − 1 ，如果有 | V ( X i ) | ≥ | V ( Y i ) | 和 | V ( X > k − 1 ) | ≥ | V ( Y > k − 1 ) | 成立，则在理想树中满足 d ( x k ) ≥ d ( y k ) 。 证明：假设在理想树中 d ( x k ) ≥ d ( y k ) 不成立，设 a = d ( x k ) < d ( y k ) = a + b ，从 X k ( Y k ) 中移除顶点 x k ( y k ) 会产生 a ( a + b ) 个分支。从 Y k 中任取b个分支(令B为b个分支)，将这些分支与顶点 x k 连接。经过此操作有 d ( x k ) ≥ d ( y k ) ，且度序列不改变。 根据定理2.2令 C C T ( x ) = min v ∈ V ( T ) C C T ( v ) ， x ∈ L ( T ) 。 计算得 W ( T ′ ) − W ( T ) = ∑ i = 1 k − 1 2 i ( | V ( Y i ) | − | V ( X i ) | ) | B | + 2 k ( | V ( Y > k − 1 ) | − | B | − | V ( X > k − 1 ) | ) | B | 情形1： x ∈ V ( X i ) ( 1 ≤ i ≤ k − 1 ) C C T ′ ( x ) − C C T ( x ) = ∑ i = 1 k − 1 4 i ( | V ( Y i ) | − | V ( X i ) | ) | B | + 4 k ( | V ( Y > k − 1 ) | − | B | − | V ( X > k − 1 ) | ) | B | + 2 i | B | 由已知可以得出 C C T ′ ( x ) − C C T ( x ) ≤ 0 。 因为 min v ∈ V C C T ′ ( v ) ≤ C C T ′ ( x ) ≤ C C T ( x ) = min v ∈ V C C T ( v ) ，经过上面操作，最小覆盖成本不增加。 情形2： x ∈ V ( Y i ) ( 1 ≤ i ≤ k − 1 ) 与情形1类似。 情形3： x ∈ V ( Y > k − 1 − B ) C C T ′ ( x ) − C C T ( x ) = ∑ i = 1 k − 1 4 i ( | V ( Y i ) | − | V ( X i ) | ) | B | + 4 k ( | V ( Y > k − 1 ) | − | B | − | V ( X > k − 1 ) | ) | B | − 2 k | B | 由已知可以得出 C C T ′ ( x ) − C C T ( x ) ≤ 0 。 因为 min v ∈ V C C T ′ ( v ) ≤ C C T ′ ( x ) ≤ C C T ( x ) = min v ∈ V C C T ( v ) ，所以经过上面操作，最小覆盖成本不增加。 情形4： x ∈ V ( X > k − 1 ) 与情形3类似。 情形5： x ∈ V ( B ) C C T ′ ( x ) − C C T ( x ) = ∑ i = 1 k − 1 4 i ( | V ( Y i ) | − | V ( X i ) | ) | B | + 4 k ( | V ( Y > k − 1 ) | − | B | − | V ( X > k − 1 ) | ) | B |   − ∑ i = 1 k − 1 ( 2 i ) ( | V ( Y i ) | − | V ( X i ) | ) − 2 k ( | V ( Y > k − 1 ) | − | B | − | V ( X > k − 1 ) | ) 由已知可以得出 C C T ′ ( x ) − C C T ( x ) ≤ 0 。 因为 min v ∈ V C C T ′ ( v ) ≤ C C T ′ ( x ) ≤ C C T ( x ) = min v ∈ V C C T ( v ) ，所以经过上面操作，最小覆盖成本不增加。 情形6： x ∈ V ( Z ) ， D T ′ ( x ) = D T ( x ) ， C C T ′ ( x ) − C C T ( x ) ≤ 0 。 综上所述，在理想树中满足 d ( x k ) ≥ d ( y k ) ，定理证明完毕。 在理想树中选一条最长路，将各个顶点依次命名为 w 1 ， w 2 ， ⋯ 和 u 1 ， u 2 ， ⋯ ，将各个点所在的分支依次命名为 W i 和 U i ， U 1 是拥有点数最多的分支。如图3所示。 图3. 在路上的分支 定理3.4. 如上面所述，在理想树中，如果路长是奇数 2 m − 1 ，则有 | V ( U 1 ) | ≥ | V ( W 1 ) | ≥ | V ( U 2 ) | ≥ | V ( W 2 ) | ≥ ⋯ ≥ | V ( U m ) | = | V ( W m ) | = 1 ; 如果路长是偶数2m，则有 | V ( U 1 ) | ≥ | V ( W 1 ) | ≥ | V ( U 2 ) | ≥ | V ( W 2 ) | ≥ ⋯ ≥ | V ( W m ) | = | V ( U m + 1 ) | = 1 ； 证明：本定理只证明路长为奇数，路长为偶数可类似证明。我们假设 | V ( U 1 ) | ≥ | V ( W 1 ) | ≥ | V ( U 2 ) | 。对 于某个k，我们可得 | V ( U 1 ) | ≥ | V ( W 1 ) | ≥ | V ( U 2 ) | ≥ | V ( W 2 ) | ≥ ⋯ ≥ | V ( W k − 1 ) | ≥ | V ( U k ) | (1) 如果(1)中除了 | V ( U k ) | ≥ | V ( W k ) | 其余都成立。我们可以交换 W i 和 U i 的命名去保证 | V ( U k ) | ≥ | V ( W k ) | (如果有必要)。否则，根据定理3.1可得 | V ( U > k − 1 ) | ≥ | V ( W > k − 1 ) | 。 如果 | V ( W k ) | ≥ | V ( U k ) | ，则可以得出 | V ( U > k ) | = | V ( U > k − 1 ) | − | V ( U k ) | > | V ( W > k − 1 ) | − | V ( W k ) | = | V ( W > k ) | 应用定理3.2 (令 x i = u i ， y i = w i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ )，由 | V ( U > k ) | ≥ | V ( W > k ) | ，会得出 | V ( U k ) | ≥ | V ( W k ) | ，与前面假设 | V ( W k ) | ≥ | V ( U k ) | 矛盾。因此，可以得出 | V ( U 1 ) | ≥ | V ( W 1 ) | ≥ | V ( U 2 ) | ≥ | V ( W 2 ) | ≥ ⋯ ≥ | V ( U k ) | ≥ | V ( W k ) | . 如果所有的不等式成立，可以交换 U i + 1 ， W i 去保证 | V ( W k ) | ≥ | V ( U k + 1 ) | (如果有必要)。否则，对 U > k 和 W > k − 1 应用定理3.1，令 Z = U 1 ， Y i = U i + 1 ， X i = W i ， z = u 1 ， y i = u i + 1 ， x i = w i ，有 | V ( X i ) | ≥ | V ( Y i ) | ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k − 1 ) ，由定理3.1可得 | V ( W > k − 1 ) | = | V ( X > k − 1 ) | ≥ | V ( Y > k − 1 ) | = | V ( U > k ) | 如果 | V ( Y k ) | = | V ( U k + 1 ) | > | V ( W k ) | = | V ( X k ) | ，则有 | V ( Y > k ) | = | V ( Y > k − 1 ) | − | V ( Y k ) | < | V ( X > k − 1 ) | − | V ( X k ) | = | V ( X > k ) | ， 对 Y k = U k + 1 ， X k = W k 应用定理3.2，可得 | V ( X k ) | > | V ( Y k ) | ，与前面假设 | V ( Y k ) | > | V ( X k ) | 矛盾，因此，有 | V ( U 1 ) | ≥ | V ( W 1 ) | ≥ | V ( U 2 ) | ≥ | V ( W 2 ) | ≥ ⋯ ≥ | V ( U k ) | ≥ | V ( W k ) | ≥ | V ( U k + 1 ) | . 定理3.5. 如上面所述，在理想树中，如果路长是奇数 2 m − 1 ，则有 d ( u 1 ) ≥ d ( w 1 ) ≥ d ( u 2 ) ≥ d ( w 2 ) ≥ ⋯ ≥ d ( u m ) = d ( w m ) = 1 ; 如果路长是偶数2m，则有 d ( u 1 ) ≥ d ( w 1 ) ≥ d ( u 2 ) ≥ d ( w 2 ) ≥ ⋯ ≥ d ( w m ) = d ( u m + 1 ) = 1 ; 证明：本定理只证明路长为奇数，路长为偶数时可类似证明。对 u i ， u i + 1 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 ) 应用定理3.3，令 y 1 = u i + 1 ， y 2 = u i + 2 ， ⋯ ; x 1 = u i ， x 2 = u i − 1 ， ⋯ ， x i = u 1 ， x i + 1 = w 1 。则 | V ( X > 1 ) | = ∑ k = 1 m | V ( W k ) | + ∑ k = 1 i − 1 | V ( U k ) | > ∑ k = i + 2 m | V ( U k ) | = V ( Y > 1 ) ， 推出 d ( u i ) = d ( x 1 ) ≥ d ( y 1 ) = d ( u i + 1 ) 。因此，可以得出 d ( u 1 ) ≥ d ( u 2 ) ≥ ⋯ ≥ d ( u m ) . 同理，对 w i ， w i + 1 应用定理3.3，得出 d ( w 1 ) ≥ d ( w 2 ) ≥ ⋯ ≥ d ( w m ) 。 对于 u i ， w i ，如果定理3.4中的不等式处处成立，可得 d ( u i ) ≥ d ( w i ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 。否则，给 u i ， w i 应用定理3.3(令 x i = u i ， y i = w i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ )得出 d ( u i ) ≥ d ( w i ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) 。 相似的，给 w i ， u i + 1 应用定理3.3，得出 d ( w i ) ≥ d ( u i + 1 ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 ) 。 定理3.6. 具有最小覆盖成本的树是贪婪树。 证明：在任意一条路中， D T ( v ) 只在一个顶点或者两个相邻的顶点取到最小值，称这些点为重心。在定理3.4，3.5的理想树中的任意一条路上， D T ( v ) 在 u 1 处取到最小值， d ( u 1 ) 和 | V ( U 1 ) | 在这条路上都是最大的。 下面有两种情况： 1) 如果重心为一个点，则命名为v。 2) 如果重心为两个点，则两个分支(移除两个顶点之间的边)有相同的顶点数。选择其中一个顶点命名为v，另一个命名为 v 1 ， 本文只证明第一种情况，第二种情况证明类似。 在以顶点v为根的理想树 ( T ， v ) 中，很容易得出v是具有最大度的顶点。(引理2.3中(1)满足) 考虑任意一条以叶子点u开始，经过顶点v，以叶子点w结束(w和u有唯一相同的前序点v)的路，在这条路上应用定理3.5，使 u 1 = v ，可以得出 | d T ( u ， v ) − d T ( w ， v ) | ≤ 1 ，即任意两个叶子点的高度差至多是1。(引理2.3中(2)满足) 并且，可以推出对于任意两个顶点 x ， y (y是x的后序点)，都有 d ( x ) ≥ d ( y ) 。 对于高度为i的顶点x和高度为j的顶点y ( i < j )，考虑下面两种情况： a) 如果y是x的后序点，可直接由上面得出 d ( x ) ≥ d ( y ) b) 否则，令u为 x ， y 共同的前序点，且顶点u在 P T ( x ， y ) 上。在通过顶点 y ′ ， y ， u ， x ， x ′ 的路上应用定理3.5 ( y ′ ， x ′ 分别为 y ， x 的后序点，且为叶子点)，有 u 1 = u ，由定理3.4可知 x = u k + 1 ， y = w l 或者 x = w k ， y = u l + 1 ， ( k = i − h T ( u ) ， l = j − h T ( u ) ， k + 1 ≤ l ) ， 根据定理3.5可推出 d ( x ) ≥ d ( y ) 。(引理2.3中(3)满足) 对于两个相同高度的非叶子点 x ， y ，满足 d ( x ) ≥ d ( y ) 。 y ′ ， x ′ 分别为 y ， x 的后序点，在通过顶点 y ′ ， y ， u ， x ， x ′ 的最长路上应用定理3.5 (u为 x ， y 共同的前序点，且顶点u在 P T ( x ， y ) 上)，有 u 1 = u ，根据定理3.4有， x = w k ， x ′ = w l ， y = u k + 1 ， y ′ = u l + 1 ， ( k = i − h T ( u ) ， l = j − h T ( u ) ) ， 因此可以推出 d ( x ′ ) ≥ d ( y ′ ) 。(引理2.3中(4)满足) 令 x 0 ( x ′ ) ， y 0 ( y ′ ) 分别为 x ， y 的parents (siblings)，令 y ″ ， x ″ (高度为j)分别为 y ′ ， x ′ 的后序点，由结论(4)可推出 | V ( T ( x 0 ) / T ( x ′ ) ) | > | V ( T ( y 0 ) / T ( y ′ ) ) | 。现在考虑经过顶点 y ″ ， y ′ ， u ， x ′ ， x ″ 的最长路，u为 x ， y 共同的前序点且顶点u在 P T ( x ， y ) 上，应用定理3.5则有 u 1 = u ，由定理3.5有 x ′ = w k ， x ″ = w l ， y ′ = u k + 1 ， y ″ = u l + 1 ， ( k = i − h T ( u ) ， l = j − h T ( u ) ) ， 因此可以推出 d ( x ′ ) ≥ d ( y ′ ) ， d ( x ″ ) ≥ d ( y ″ ) 。(引理2.3中(5)满足) 从而覆盖成本最小的树是贪婪树，即理想树是贪婪树，定理证明完毕。 例2．度序列为 ( 4 ， 4 ， 3 ， 3 ， 3 ， 3 ， 2 ， 2 ， 1 ， ⋯ ， 1 ) (1的重数为10)时，覆盖成本最小的树即贪婪树，如图4所示。 图4. 度序列为(4，4，3，3，3，3，2，2，1，…，1)的贪婪树