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user: 2. 定理1的证明 2.1. 可能的参数 首先，由引理5可知，当 ( v − 1 ， k − 1 ) ≤ 2 时， G 是点本原的，且是2-传递或者是3/2-传递的。又由引理3知Mathieu群不可能3/2-传递地作用在2-设计上，所以我们只需考虑2-传递的群的情况即可。 设 G = M i ( i = 11 ， 12 ， 22 ， 23 ， 24 ) ，为使得设计是非完全的，那么必有 k ≥ 5 。需要知道的是， M 11 作用在12个点上是3-传递的， M 12 作用在12个点上是5-传递的， M 22 作用在22个点上是3-传递的， M 23 作用在23个点上是4-传递的， M 24 作用在24个点上是一个5-传递的， M 22 : 2 作用在22个点上是3-传递的。 因此，由引理1和引理4，我们知道，设计的参数必须满足下列4个条件： 1) r | | G α | 且 ( v − 1 ， k − 1 ) ≤ 2 ； 2) b = v r / k 是一个整数； 3) r ≥ k 且 C v k > b ； 4) λ = r ( k − 1 ) / ( v − 1 ) 是一个整数。 根据这四个条件，利用计算机软件GAP [ 13 ] 及下面的程序可以算出2104组可能的参数。 算法程序1： design:=function (v，G) local lambda，r，b，k，results; results:=[ ]; for k in [5..v-2] do if not IsInt(G/k) or Gcd(v-1，k-1)>2then continue;fi; for r inDivisorsInt(G/v)do b=v*r/k; ifr < k or not IsInt(b) or Binomial(v，k)<=b then continue;fi; lambda:=r*(k-1)/(v-1)； if not IsInt(lambda) then continue;fi; Add(results，[G/b，v，b，r，k，lambda]);od;od; return results; end; 2.2. 参数的分析 接下来，我们对找出来的2104个参数进行分析。设 G 和 D 满足定理1的假设条件，由引理2可知， G 是区传递的。由此，对于任意的 α ∈ B ， B ∈ B ，我们有 | G : G α | = | α G | = v ， | G α : G α β | = | B G α | = r ， | G : G B | = b ， 即 G 有指数为 b 的子群。又因为 G B 在 B 上是点传递的，所以 B 是 G B 作用在 P 上的一个长为 k 的轨道，并且至少存在上述轨道使得 G 作用在其上的轨道长度为 b 。综上所述，如果 G 是一个旗传递2-设计 D 的自同构群，则下列四个条件依次成立： 1) G 中至少存在一个指数为 b 的子群； 2) 符合1)的子群中至少存在一个长为 k 的轨道 O ； 3) G 作用在符合2)的轨道中， 至少有一个长度 | O G | = b ； 4) 设计 D 的区组必定是3)中某一个 O G 。 通过在Magma [ 14 ] 命令 S u b g r o u p ( G : O r d e r E q u a l : = n ) ，这里 n = | G | / b ，即可得到 G 的指数为 b 的所有子群共轭类。由此可知，有1451个参数组对应的设计的自同构群不存在与之对应的指数为 b 的子群，剩下653个参数。根据条件2) 3)并通过命令 O r i b i t s ( H ) 和 # ( O G ) ，我们剔除591个不满足条件的参数组，剩下62个参数。最后，我们利用命令 D e s i g n 〈 2 ， v | G 〉 检验剩余参数组是否是相应的2-设计。 由此，我们得到了62个设计如表1和表2，分别是当 ( v − 1 ， k − 1 ) = 1 和 ( v − 1 ， k − 1 ) = 2 时的情形。 2.3. 示例 以搜索 M 11 作用在11个点上的设计为例，因为它是一个4-传递群，所以 k ≥ 5 ，由于设计必须满足 前文中的四个条件，因此由算法程序1可以找到14个设计参数组 ( | G | / b ， v ， b ， r ， k ， λ ) ： ( 60 ， 11 ， 132 ， 60 ， 5 ， 24 ) ， ( 240 ， 11 ， 33 ， 15 ， 5 ， 6 ) ， ( 20 ， 11 ， 396 ， 180 ， 5 ， 72 ) ， ( 45 ， 11 ， 176 ， 80 ， 5 ， 32 ) ， ( 80 ， 11 ， 99 ， 45 ， 5 ， 18 ) ， ( 30 ， 11 ， 264 ， 120 ， 5 ， 48 ) ， ( 40 ， 11 ， 198 ， 90 ， 5 ， 36 ) ， ( 90 ， 11 ， 88 ， 40 ， 5 ， 16 ) ， ( 120 ， 11 ， 66 ， 30 ， 5 ， 12 ) ， ( 144 ， 11 ， 55 ， 40 ， 8 ， 28 ) ， ( 180 ， 11 ， 44 ， 20 ， 5 ， 8 ) ， ( 720 ， 11 ， 11 ， 5 ， 5 ， 2 ) ， ( 72 ， 11 ， 110 ， 80 ， 8 ， 56 ) ， ( 360 ， 11 ， 22 ， 10 ， 5 ， 4 ) . 显然，区稳定子群 G B 的阶只能是下面情形之一： 20 ， 30 ， 40 ， 45 ， 60 ， 72 ， 80 ， 90 ， 120 ， 144 ， 180 ， 240 ， 360 ， 720. 利用其中至少存在一个指数为 b 的子群 S u b g r o u p s ( G : O r d e r E q u a l : = r ) ，可以知道符合的 | G | / b 的值有7种可能:20，60，72，120，144，360或720，它们对应的七个参数组 ( | G | / b ， v ， b ， r ， k ， λ ) 分别是： ( 20 ， 11 ， 396 ， 180 ， 5 ， 72 ) ， ( 60 ， 11 ， 132 ， 60 ， 5 ， 24 ) ， ( 360 ， 11 ， 22 ， 10 ， 5 ， 4 ) ， ( 120 ， 11 ， 66 ， 30 ， 5 ， 12 ) ， ( 144 ， 11 ， 55 ， 40 ， 8 ， 28 ) ， ( 720 ， 11 ， 11 ， 5 ， 5 ， 2 ) ， ( 72 ， 11 ， 110 ， 80 ， 8 ， 56 ) . 在此基础上，以参数组(20， 11， 396， 180， 5， 72)为例来讨论设计的存在性。指数为396的 M 11 的子群共轭类轨道有三个：其长度为1，5和5。由于 G 在 B 上传递，故应存在一个指数为 b 的子群 G B ，又由于 G B 在 B 上传递，故 G B 应存在一个长为 | B | = k 的轨道，选取 G B 轨道中长度为5的轨道 O 2 = { 2 ， 4 ， 6 ， 7 ， 11 } ， O 3 = { 3 ， 5 ， 8 ， 9 ， 10 } . 计算发现 | O 3 G | = 66 ≠ 396 ，矛盾。 | O 2 G | = 396 ，利用Magma命令 D e s i g n 〈 2 ， 11 | O 2 G 〉 计算发现，此时 D 为一个2-(11， 5， 72)设计，所以参数组(20， 11， 396， 180， 5， 72)确实是我们要找的符合条件的参数，对应于表一的 D 1 。