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user: 2. 理论模型 2.1. 动量方程、能量方程及其边界条件 图1和图2分别将湍流速度和温度边界层划分为层流底层和湍流核心区，划出一固定控制容积1-4-5-8如图3，其中区域3′-4-5-6′ (3-4-5-6)为速度(温度)边界层中的层流底层，区域2′-3′-6′-7′ (2-3-6-7)为速度(温度)边界层中的湍流核心区，这里l为流体层厚度， δ ( Δ )为湍流速度(温度)边界层总厚度， δ 1 ( Δ 1 )为速度(温度)边界层中层流底层厚度， u ∞ 和 T ∞ 分别为主流区流速和温度， u 1 和 T 1 、 u 2 和 T 2 分别为层流底层、湍流核心区的流速和温度。理论模型中速度和温度均采用时均值，湍流速度(温度)边界层的总厚度在临界位置处与层流速度(温度)边界层厚度相等，并假设：流体不可压缩且物性参数均为常数，主流区流速 u ∞ 和壁面温度 T s 保持恒定，忽略粘性耗散热，忽略速度和温度在层流底层外缘处的速度差异，不考虑转捩区，设湍流从层流末端开始，取临界雷诺数 [ 14 ] [ 15 ] [ 17 ]，湍流初始处( x = 0 )速度(温度)边界层中的层流底层厚度 δ 0 极薄，参考Khademi [ 14 ] [ 15 ] 的零厚度假设，这里认为 δ 0 是一个无限接近于零的正数，理论和数值计算结果表明这种处理对模型预测精度几乎没有影响。 图1. 外掠平板湍流速度边界层示意图 图2. 外掠平板湍流温度边界示意图 图3. 外掠平板湍流控制容积 采用与外掠平板层流边界层完全类似的积分方法 [ 18 ] [ 19 ]，分别得到动量方程和能量方程如下： { ρ d d x ∫ 0 δ 1 u 1 ( u 1 − u L ) d y + ρ d u L d x ∫ 0 δ 1 u 1 d y + μ ∂ u 1 ∂ y | y = 0 − μ ∂ u 1 ∂ y | y = δ 1 = 0                                                                     ( 层 流 底 层 ) ρ d d x ∫ δ 1 δ u 2 ( u 2 − u ∞ ) d y + ρ d d x ∫ 0 δ 1 u 1 ( u L − u ∞ ) d y − ρ d u L d x ∫ 0 δ 1 u 1 d y + μ ∂ u 1 ∂ y | y = δ 1 = 0                             ( 湍 流 核 心 区 ) (1) { ρ c p d d x ∫ 0 Δ 1 u 1 ( T 1 − T L ) d y + ρ c p d T L d x ∫ 0 Δ 1 u 1 d y + λ ∂ T 1 ∂ y | y = 0 − λ ∂ T 1 ∂ y | y = Δ 1 = 0                                                                     ( 层 流 底 层 ) ρ c p d d x ∫ Δ 1 Δ u 2 ( T 2 − T ∞ ) d y + ρ c p d d x ∫ 0 Δ 1 u 1 ( T L − T ∞ ) d y − ρ c p d T L d x ∫ 0 Δ 1 u 1 d y + λ ∂ T 1 ∂ y | y = Δ 1 = 0      ( 湍 流 核 心 区 ) (2) 式中 u L 和 T L 分别是速度和温度边界层中层流底层外缘处的速度和温度， ρ 、 μ 、 c p 、 λ 分别为流体的密度、动力粘度、定压比热容和导热系数。考虑到多数情况下流体普朗特数 P r < 1 ，故设 δ 1 < Δ 1 ，在控制容积 d x 范围内 δ 1 、 Δ 1 沿x保持不变。 动量和能量方程应当满足如下边界条件： u 1 | y = 0 = ∂ 2 u 1 ∂ y 2 | y = 0 = 0 ， u 1 | y = δ 1 = u 2 | y = δ 1 = u L ， u 2 | y = δ = u ∞ ， μ ∂ u 1 ∂ y | y = δ 1 = ( μ + μ t ) ∂ u 2 ∂ y | y = δ 1 ， T 1 | y = 0 = T s ， ∂ 2 T 1 ∂ y 2 | y = 0 = 0 ， ， T 1 | y = Δ 1 = T 2 | y = Δ 1 = T L ， T 2 | y = Δ = T ∞ 。这里 μ t 为湍流动力粘度； a t 为湍流热扩散率；根据普朗特混合长度理论， μ t = ρ l 2 | ∂ u 2 ∂ y | ， l = 0.41 y ， a t = μ t ρ P r t ，取湍流普朗特数 P r t = 0.82 [ 18 ]。 2.2. 速度和温度分布函数 认为外掠平板湍流边界层沿x具有相似的速度和温度分布，分别采用三次多项式和幂函数描述层流底层和湍流核心区速度和温度分布： { u 1 = a 1 + a 2 y + a 3 y 2 + a 4 y 3                                     ( 0 ≤ y < δ 1 ) u 2 = a 5 y 1 / n                                                                                                                                                                 ( δ 1 ≤ y ≤ δ ) (3a) { θ 1 θ ∞ = b 1 + b 2 y + b 3 y 2 + b 4 y 3                                   ( 0 ≤ y < Δ 1 ) θ 2 θ ∞ = b 5 y 1 / n                                                                                                                                                           ( Δ 1 ≤ y < Δ ) (4a) 式中 θ 1 = T 1 − T s ， θ 2 = T 2 − T s ， θ ∞ = T ∞ − T s 。当 n = 5 时，可得速度和温度分布函数的各系数： a 1 = a 3 = b 1 = b 3 = 0 ， a 2 = u ∞ ( 7 5 − μ t 10 μ ) δ 1 − 4 / 5 δ − 1 / 5 ， a 4 = u ∞ ( − 2 5 + μ t 10 μ ) δ 1 − 14 / 5 δ − 1 / 5 ， a 5 = u ∞ δ − 1 / 5 ， b 5 = Δ − 1 / 5 ， ， b 4 = ( − 2 5 + ρ c p a t 10 λ ) Δ 1 − 14 / 5 Δ − 1 / 5 。 代入式(3a)、(4a)，即得外掠平板湍流边界层的速度和温度的显式表达式如下： { u 1 u ∞ = 1 10 ( δ 1 δ ) 1 / 5 [ ( 14 − μ t μ ) y δ 1 − ( 4 − μ t μ ) ( y δ 1 ) 3 ]           ( 0 ≤ y < δ 1 ) u 2 u ∞ = ( y δ ) 1 / 5               ( δ 1 ≤ y ≤ δ ) (3b) { θ 1 θ ∞ = 1 10 ( Δ 1 Δ ) 1 / 5 [ ( 14 − ρ c p a t λ ) y Δ 1 − ( 4 − ρ c p a t λ ) ( y Δ 1 ) 3 ]             ( 0 ≤ y < Δ 1 )   θ 2 θ ∞ = ( y Δ ) 1 / 5           ( Δ 1 ≤ y < Δ ) (4b) 2.3. 数学求解 将速度和温度分布式(3)和(4)代入动量和能量积分方程组(1)和(2)的相应部分，整理成下述四个微分方程 d δ 1 d x = f 1 ( δ 1 ， δ ) 、 d δ d x = f 2 ( δ 1 ， δ ) 、 d Δ 1 d x = f t 1 ( δ 1 ， δ ， Δ 1 ， Δ ) 和 d Δ d x = f t 2 ( δ 1 ， δ ， Δ 1 ， Δ ) 的形式，采用四阶龙格 –库塔法在MATLAB软件中求解，得到 δ 1 、 δ 、 Δ 1 和 Δ 数值后分别代入速度和温度分布函数(3)和(4)，即得到速度场和温度场的理论分布。