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user: 4. 振动方程的平衡解及其稳定性 根据某型飞机的参数 [ 10 ] ： m 1 = 16735   kg ， k 1 = 2400000   N / s ， 。 m 2 = 3145   kg ， k 2 = 4800000   N / s ， c 2 = 12000   N ⋅ s / m 。可得 ω 1 = 9.6732   rad / s ， ω 2 = 48.3652   rad / s ， ω 2 ≈ 5 ω 1 。 主系统和副系统的振动都是由于轨道不平顺或者飞机下降时的动载荷引起的。这里我们主要研究如何改善主系统的振动状态，根据线性系统的理论，最恶劣的情况应当主系统出现共振，此时外激励频率 ω = ω 1 ，在这种情况下时研究减振问题有重要的意义。对于弱非线性小阻尼小激励系统，非线性因素使振幅峰值有微小的偏差，但仍然可以在 ω 1 = 9.6732   rad / s 时研究分析。 在实际工程应用中，由于制造技术和控制误差的影响使共振比例的控制出现不可避免的偏差，因此引进解谐失调参数 σ 1 ， σ 2 用以表示减振带的大小，当 ω 2 接近 ω 1 的5倍，将发生1:5的内共振。当外激励频率 ω 接近一阶模态频率 ω 1 时，有： ω = ω 1 + ε σ 1 ， ω 2 = 5 ω 1 + ε σ 2 。将上式代入方程组(2)并观察方程组右端，含 e i ω 1 T 0 和 e i ω 2 T 0 的项分别使第一和第二个方程的解产生期久项，所以方程得可解条件并化简的： D 1 A = 1 2 ( m 1 + r 1 2 m 2 ) i ω 1 { − [ c 2 r 1 2 + c 1 ( r 1 − 1 ) 2 ] i ω 1 A − 10 A 3 ( r 1 − 1 ) 6 A ¯ 2 k n − 60 A 2 B ( r 1 − 1 ) 4 ( r 2 − 1 ) 2 A ¯ B ¯ k n     − 30 A B 2 ( r 1 − 1 ) 2 ( r 2 − 1 ) 4 B ¯ 2 k n − 5 B ( r 1 − 1 ) 5 ( r 2 − 1 ) A ¯ 4 k n e i σ 2 T 1 + ( r 1 − 1 ) i ω g A e − i ω 1 τ + 1 2 r 1 f e i σ 1 T 1 } (3a) D 1 B = 1 2 ( m 1 + r 2 2 m 2 ) i ω 2 { − [ c 2 r 2 2 + c 1 ( r 2 − 1 ) 2 ] i ω 2 B − 30 A 2 B ( r 1 − 1 ) 4 ( r 2 − 1 ) 2 A ¯ 2 k n − 60 A B 2 ( r 1 − 1 ) 2 ( r 2 − 1 ) 4 A ¯ B ¯ k n − 10 B 3 ( r 2 − 1 ) B ¯ 2 k n − A 5 ( r 1 − 1 ) 5 ( r 2 − 1 ) k n e − i σ 2 T 1 + ( r 2 − 1 ) i B ω 2 g e − i ω 2 τ } (3b) 上述方程组的解可以写成： A ( T 1 ) = a ( T 1 ) 2 e i θ 1 ( T 1 ) ， A ( T 1 ) = a ( T 1 ) 2 e − i θ 1 ( T 1 ) ，   B ( T 1 ) = b ( T 1 ) 2 e i θ 2 ( T 1 ) ， B ( T 1 ) = b ( T 1 ) 2 e − i θ 2 ( T 1 ) 代入方程组(3)并将上式分离实部虚部，令 ϕ 1 = θ 2 − 5 θ 1 + σ 2 T 1 ， ϕ 2 = σ 1 T 1 − θ 1 。同时为了确定对应的稳态运动的定常解振幅和相位以判断平衡解的稳定性。设： s 1 = a cos ϕ 2 ， d 1 = a sin ϕ 2 ， s 2 = b cos ( ϕ 1 − 5 ϕ 2 ) ， d 2 = b sin ( ϕ 1 − 5 ϕ 2 ) ，得到： s ′ 1 = a ′ cos ϕ 2 − a ϕ ′ 2 sin ϕ 2 = 1 ( m 1 + r 1 2 m 2 ) ω 1 { − [ c 2 r 1 2 + c 1 ( r 1 − 1 ) 2 ] s 1 ω 1 2 − ( m 1 + r 1 2 m 2 ) ω 1 σ 1 d 1     + 5 ( s 1 2 + d 1 2 ) 2 16 ( r 1 − 1 ) 6 d 1 k n + 15 ( s 1 2 + d 1 2 ) ( s 2 2 + d 2 2 ) 8 ( r 1 − 1 ) 4 ( r 2 − 1 ) 2 d 1 k n     + 15 ( s 2 2 + d 2 2 ) 2 16 ( r 1 − 1 ) 2 ( r 2 − 1 ) 4 d 1 k n − 5 32 ( r 1 − 1 ) 5 ( r 2 − 1 ) k n [ 4 d 1 s 1 ( s 1 2 − d 1 2 ) s 2 + ( s 1 2 − d 1 2 ) 2 d 2 − 4 s 1 2 d 1 2 d 2 ]     + 1 2 ( r 1 − 1 ) ω 1 g [ cos ( ω 1 τ ) s 1 − d 1 sin ( ω 1 τ ) ] } (4a) d ′ 1 = a ′ sin ϕ 2 + a ϕ ′ 2 cos ϕ 2 = 1 ( m 1 + r 1 2 m 2 ) ω 1 { − [ c 2 r 1 2 + c 1 ( r 1 − 1 ) 2 ] d 1 ω 1 2 + ( m 1 + r 1 2 m 2 ) ω 1 σ 1 s 1   − 5 ( s 1 2 + d 1 2 ) 2 16 ( r 1 − 1 ) 6 k n s 1 − 15 ( s 1 2 + d 1 2 ) ( s 2 2 + d 2 2 ) 8 ( r 1 − 1 ) 4 ( r 2 − 1 ) 2 k n s 1   − 15 ( s 2 2 + d 2 2 ) 2 16 ( r 1 − 1 ) 2 ( r 2 − 1 ) 4 k n s 1   − 5 32 ( r 1 − 1 ) 5 ( r 2 − 1 ) k n [ s 2 ( s 1 2 − d 1 2 ) 2 − 4 d 1 2 s 1 2 s 2 − 4 d 1 d 2 s 1 ( s 1 2 − d 1 2 ) ]   + 1 2 ( r 1 − 1 ) ω 1 g [ sin ( ω 1 τ ) s 1 + cos ( ω 1 τ ) d 1 ] + 1 2 r 1 f } (4b) s ′ 2 = b ′ cos ( ϕ 1 − 5 ϕ 2 ) − b ( ϕ ′ 1 − 5 ϕ ′ 2 ) sin ( ϕ 1 − 5 ϕ 2 ) = 1 ( m 1 + r 2 2 m 2 ) ω 2 { − [ c 2 r 2 2 + c 1 ( r 2 − 1 ) 2 ] s 2 ω 2 2 − ( m 1 + r 2 2 m 2 ) ω 2 d 2 ( σ 2 − 5 σ 1 )     − 15 ( s 1 2 + d 1 2 ) 2 16 ( r 1 − 1 ) 4 ( r 2 − 1 ) 2 k n d 2 − 15 ( s 1 2 + d 1 2 ) ( s 2 2 + d 2 2 ) 8 ( r 1 − 1 ) 2 ( r 2 − 1 ) 4 k n d 2     − 5 ( s 2 2 + d 2 2 ) 2 16 ( r 2 − 1 ) k n d 2 − 1 32 ( r 1 − 1 ) 5 ( r 2 − 1 ) k n [ 4 d 1 3 s 1 2 − 4 d 1 5 − 8 d 1 s 1 4 + 3 ( s 1 2 + d 1 2 ) 2 d 1 ]     + 1 2 ( r 2 − 1 ) ω 2 g [ sin ( ω 2 τ ) d 2 + cos ( ω 2 τ ) s 2 ] } (4c) d ′ 2 = b ′ sin ( ϕ 1 − 5 ϕ 2 ) + b ( ϕ ′ 1 − 5 ϕ ′ 2 ) cos ( ϕ 1 − 5 ϕ 2 ) = 1 ( m 1 + r 2 2 m 2 ) ω 2 { − [ c 2 r 2 2 + c 1 ( r 2 − 1 ) 2 ] d 2 ω 2 2 + ( m 1 + r 2 2 m 2 ) ω 2 ( σ 2 − 5 σ 1 ) s 2     + 15 ( s 1 2 + d 1 2 ) 2 16 ( r 1 − 1 ) 4 ( r 2 − 1 ) 2 k n s 2 + 15 ( s 1 2 + d 1 2 ) ( s 2 2 + d 2 2 ) 8 ( r 1 − 1 ) 2 ( r 2 − 1 ) 4 k n s 2       + 5 ( s 2 2 + d 2 2 ) 2 16 ( r 2 − 1 ) k n s 2 + 1 32 ( r 1 − 1 ) 5 ( r 2 − 1 ) k n [ 4 s 1 5 − 4 s 1 3 d 1 2 + 8 d 1 4 s 1 − 3 ( s 1 2 + d 1 2 ) 2 s 1 ]     − 1 2 ( r 2 − 1 ) ω 2 g [ sin ( ω 2 τ ) s 2 − cos ( ω 2 τ ) d 2 ] } (4d) 当 ε 很小时，主系统和副系统的位移可以表示成如下的形式： x 1 = q 1 + q 2 = q 11 + q 21 + ε ( q 12 + q 22 ) + ⋅ ⋅ ⋅ ≈ a cos [ ω 1 T 0 + θ 1 ( T 1 ) ] + b cos [ ω 2 T 0 + θ 2 ( T 1 ) ] (5a) #Math_104#(5b) 为了分析平衡解的稳定性，对方程组(4)进行摄动分析，摄动方程可以表示为： { △ s ′ 1 ， △ d ′ 1 ， △ s ′ 2 ， △ d ′ 2 } T = [ J ] { △ s 1 ， △ d 1 ， △ s 2 ， △ d 2 } T ，其中T代表转置矩阵， [ J ] 是Jacobin矩阵。对应的平衡点的特征方程可以表示为： λ 4 + μ 1 λ 3 + μ 2 λ 2 + μ 3 λ + μ 4 = 0 ，方程中 λ 代表矩阵 [ J ] 的特征值， μ 1 ， μ 2 ， μ 3 ， μ 4 为特征方程的系数。依据Routh-Hurwitz准则判断方程组的解的稳定性。系统稳定的充分必要条件是： μ 1 > 0 ，   μ 1 μ 2 − μ 3 > 0 ，   μ 3 ( μ 1 μ 2 − μ 3 ) − μ 1 2 μ 4 > 0 ，   μ 4 > 0 (6)