system: [SYSTEM]

user: 3. 振动引起的位移函数 3.1. 直角域内的入射波位移函数和反射波位移函数 在复平面 ( z h ， z ¯ h ) ，其中 z h = z − i h ，直角域内的入射波位移函数 W ( i ) 表示为： W ( i ) = W 0 exp { i k 2 [ z h e − i ( π − α 0 ) + z ¯ h e i ( π − α 0 ) ] } (4) 利用镜像法，将该直角平面区域镜像为半无限空间，如图2所示，并以边界 Γ 1 为对称界线加入与入射波位移函数 W ( i ) 对称的位移函数 W ( i ′ ) 。 由此可以得到在半无限空间中入射波位移函数 W ( i ， e ) 和反射波位移函数 W ( r ， e ) ： W ( i ， e ) = W 0 { exp [ i k 2 ( z h e − i β 0 + z ¯ h e i β 0 ) ] + exp [ i k 2 ( z ′ h e − i α 0 + z ′ ¯ h e i α 0 ) ] } (5) W ( r ， e ) = W 0 { exp { i k 2 [ z h e i β 0 + z ¯ h e − i β 0 ] } + exp { i k 2 [ z ′ h e i α 0 + z ′ ¯ h e − i α 0 ] } } (6) 图2. 镜像模型 式中： β 0 = π − α 0 ， z ′ h = z h + 2 d 。 3.2. 直角域内的散射波位移函数 在复平面 ( z ， z ¯ ) 上，方程(1)的解析解为： W ( s ) ( z ， z ¯ ) = ∑ n = − ∞ ∞ A n H n ( 1 ) ( k | z | ) ⋅ [ z / | z | ] n (7) 式中， H n ( 1 ) ( ∗ ) 为n阶第一类Hankel函数。 在该问题中，利用移动坐标方法及叠加原理将该问题构造为全空间的散射波位移函数为： W ( s ， e ) ( z ， z ¯ ) = ∑ n = − ∞ ∞ A n ∑ j = 1 4 S n ( j ) (8) 其中： { S n ( 1 ) = H n ( 1 ) ( k | z | ) [ z / | z | ] n S n ( 2 ) = H n ( 1 ) ( k | z − 2 i h | ) [ ( z − 2 i h ) / | z − 2 i h | ] − n S n ( 3 ) = ( − 1 ) n H n ( 1 ) ( k | z ′ | ) [ ( z ′ ) / | z ′ | ] − n S n ( 4 ) = ( − 1 ) n H n ( 1 ) ( k | z ′ − 2 i h | ) [ ( z ′ − 2 i h ) / | z ′ − 2 i h | ] n 式中： z ′ = z + 2 d ， A n 为待定的数，可通过边界条件来确定。 3.3. 衬砌内的散射波位移函数 圆形衬砌外边界圆和内边界圆所激发的散射波位移函数记为 W ( S ) | r = b 和 W ( S ) | r = a 。 在复平面 ( z ， z ¯ ) 上，位移函数方程分别为： W ( s ) | r = b = ∑ n = − ∞ ∞ B n H n ( 2 ) ( k 2 | z | ) ⋅ [ z / | z | ] n (9) W ( s ) | r = a = ∑ n = − ∞ ∞ C n H n ( 1 ) ( k 2 | z | ) ⋅ [ z / | z | ] n (10) 3.4. 内含的圆形衬砌平面直角域模型的边界条件 总波场能满足直角域自由表面上应力自由边界条件。控制方程(1)的边界条件可写为： { Γ 3 : τ r z ( i ， e ) + τ r z ( r ， e ) + τ r z ( s ) = τ r z ( s ) | r = b + τ r z ( s ) | r = a W ( i ， e ) + W ( r ， e ) + W ( s ) = W ( s ) r = b + W ( s ) | r = a W r z Ι Γ 4 : τ r z ( s ) | r = b + τ r z ( s ) | r = a = 0 (11) 表示在公共边界应力和位移连续，自由表面应力为零。 结合式(1)~(10)： { ∑ n = − ∞ ∞ A n ξ 1 n ( 1 ) + B n ξ 2 n ( 1 ) + C n ξ 3 n ( 1 ) = η 1 ∑ n = − ∞ ∞ A n ξ 1 n ( 2 ) + B n ξ 2 n ( 2 ) + C n ξ 3 n ( 2 ) = η 2 ∑ n = − ∞ ∞ B n ξ 2 n ( 3 ) + C n ξ 3 n ( 3 ) = 0 ( n = 0 ， ± 1 ， ⋯ ) (12) 式中： { ξ 1 n ( 1 ) = k μ 2 { ∑ j = 1 4 ϕ n ( j ) ⋅ e i θ + ∑ j = 1 4 ϕ n ( j ) ⋅ e − i θ } ξ 2 n ( 1 ) = ξ 2 n ( 3 ) = k 1 μ 2 { H n − 1 ( 2 ) ( k 1 | z | ) ⋅ [ z | z | ] n − 1 e i θ − H n + 1 ( 2 ) ( k 1 | z | ) ⋅ [ z | z | ] n + 1 e − i θ } ξ 3 n ( 1 ) = ξ 3 n ( 3 ) = k 1 μ 2 { H n − 1 ( 1 ) ( k 1 | z | ) ⋅ [ z | z | ] n − 1 e i θ − H n + 1 ( 1 ) ( k 1 | z | ) ⋅ [ z | z | ] n + 1 e − i θ } { ξ 1 n ( 2 ) = ∑ j = 1 4 S n ( j ) ξ 2 n ( 2 ) = H n ( 2 ) ( k 1 | z | ) ⋅ [ z / | z | ] n ξ 3 n ( 2 ) = H n ( 1 ) ( k 1 | z | ) ⋅ [ z / | z | ] n { η 1 = − i τ 0 cos ( θ − β 0 ) exp { i k 2 ( z h e − i β 0 + z h e i β 0 ) } − i τ 0 cos ( θ − α 0 ) exp { i k 2 ( z ′ h e − i α 0 + z ′ ¯ h e i α 0 ) }     − i τ 0 cos ( θ + β 0 ) exp { i k 2 ( z h e i β 0 + z h e − i β 0 ) } − i τ 0 cos ( θ + α 0 ) exp { i k 2 ( z ′ h e i α 0 + z ′ ¯ h e − i α 0 ) } η 2 = w 0 { exp [ i k 2 ( z h e − i β 0 + z ¯ h e i β 0 ) ] + exp [ i k 2 ( z ′ h e − i α 0 + z ′ ¯ h e i α 0 ) ] }   + w 0 { exp { i k 2 [ z h e i β 0 + z ¯ h e − i β 0 ] } + exp { i k 2 [ z ′ h e i α 0 + z ′ ¯ h e − i α 0 ] } } 其中： A n ， B n ， C n 为待定系数，可通过计算简化为一组无穷代数方程组。