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user: 2. 空间谱插值配点方法的描述 在本文中，我们使用空间谱插值配点方法来解决Brusselator模型(1)。 从参考文献 [ 9 ] [ 10 ] 中，我们可以得到离散序列 u 1 ， u 2 ， ⋯ ， u N 的插值函数 I N u ( x ) 可以写成： u ( x ) ∼ I N u ( x ) = ∑ m = 1 N u m S N ( x − x m ) (2) 其中 S N ( x ) = sin ( π x / h ) ( 2 π / h ) tan ( x / 2 ) ， I N 对于任何函数，都是这样的插值算子， u ( x ) 在区间 [ 0 ， 2 π ] 定义为 u j = u ( j h ) ， j = 1 ， ⋯ ， N ， x j − x m = ( j − m ) h ，插值空间为 s p a n { S N ( x − j h ) ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N } 。由此推导出n阶导数的简单表达式并不难 I N u ( x ) 在 x j = j h 处的n阶导数的简单表达式并不难，为： I N u ( n ) ( x j ) = ∑ m = 1 N u m S N ( n ) ( x j − x m ) (3) 其中 D N ( n ) = [ S N ( n ) ( x j − x m ) ] i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 被称为第n个谱微分矩阵 [ 9 ]。 这里我们考虑有限空间域 Ω = [ 0 ， 2 π ] × [ 0 ， 2 π ] 。我们定义 N 2 个等间距的网格点在区域 Ω 上，因此 ( x i ， y j ) = ( i h ， j h ) ， i ， j = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， N . 其中 h = 2 π N 对于给定的有限自然数 N ∈ ℕ 。使用(2)则配点函数 I N u ( x ， y ， t ) 和 I N v ( x ， y ， t ) 关于函数 u ( x ， y ， t ) 和 v ( x ， y ， t ) 可以被写为： u ( x ， y ， t ) ∼ I N u ( x ， y ， t ) = ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N S N ( x − x i ) S N ( y − y i ) u ( x i ， y j ， t ) v ( x ， y ， t ) ∼ I N v ( x ， y ， t ) = ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N S N ( x − x i ) S N ( y − y i ) v ( x i ， y j ， t ) (4) 其中 u i ， j = u ( x i ， y j ， t ) ， v i ， j = v ( x i ， y j ， t ) ， i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 。因此，下列关系在搭配点 ( x p ， y q ) 处成立： u ( x p ， y q ， t ) ∼ I N u ( x p ， y q ， t ) = ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N S N ( x p − x i ) S N ( y q − y i ) u ( x i ， y j ， t ) v ( x p ， y q ， t ) ∼ I N v ( x p ， y q ， t ) = ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N S N ( x p − x i ) S N ( y q − y i ) v ( x i ， y j ， t ) (5) u ( 2 ， 0 ) ( x p ， y q ， t ) ∼ I N u ( 2 ， 0 ) ( x p ， y q ， t ) = ∂ 2 u ( x p ， y q ， t ) ∂ x 2 = ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N S N ( 2 ) ( x p − x i ) S N ( y q − y i ) u ( x i ， y j ， t ) u ( 0 ， 2 ) ( x p ， y q ， t ) ∼ I N u ( 0 ， 2 ) ( x p ， y q ， t ) = ∂ 2 u ( x p ， y q ， t ) ∂ y 2 = ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N S N ( x p − x i ) S N ( 2 ) ( y q − y i ) u ( x i ， y j ， t ) v ( 2 ， 0 ) ( x p ， y q ， t ) ∼ I N v ( 2 ， 0 ) ( x p ， y q ， t ) = ∂ 2 v ( x p ， y q ， t ) ∂ x 2 = ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N S N ( 2 ) ( x p − x i ) S N ( y q − y i ) v ( x i ， y j ， t ) v ( 0 ， 2 ) ( x p ， y q ， t ) ∼ I N v ( 0 ， 2 ) ( x p ， y q ， t ) = ∂ 2 v ( x p ， y q ， t ) ∂ y 2 = ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N S N ( x p − x i ) S N ( 2 ) ( y q − y i ) v ( x i ， y j ， t ) 注意的是 u = [ u 11 ， u 21 ， ⋯ ， u N 1 ， u 12 ， u 22 ， ⋯ ， u N 2 ， u 1 N ， ⋯ ， u N N ] T ， v = [ v 11 ， v 21 ， ⋯ ， v N 1 ， v 12 ， v 22 ， ⋯ ， v N 2 ， v 1 N ， ⋯ ， v N N ] T ， (6) 因此，公式(5)可以被写成一下矩阵形式： u ( 2 ， 0 ) = D N ( 2 ， 0 ) u ， u ( 0 ， 2 ) = D N ( 0 ， 2 ) u ， v ( 2 ， 0 ) = D N ( 2 ， 0 ) v ， v ( 0 ， 2 ) = D N ( 0 ， 2 ) v . (7) D N ( 2 ， 0 ) u = D N ( 2 ) ⊗ E N ， D N ( 0 ， 2 ) = E N ⊗ D N ( 2 ) ， D N ( 0 ， 0 ) = E N ⊗ E N ， 其中 E N 是N阶单位矩阵， ⊗ 是矩阵的克罗内克积，相反地。二阶谱微分矩阵为： D N ( 2 ) = ( − π 2 3 h 2 − 1 6 ⋱ ⋮ ⋱ 1 2 csc 2 ( 1 h 2 ) 1 2 csc 2 ( 1 h 2 ) ⋱ − 1 2 csc 2 ( 2 h 2 ) ⋱ 1 2 csc 2 ( 2 h 2 ) 1 2 csc 2 ( 2 h 2 ) ⋱ 1 2 csc 2 ( 1 h 2 ) ⋱ 1 2 csc 2 ( 3 h 2 ) ⋮ ⋱ − π 2 3 h 2 − 1 6 ⋱ ⋮ 1 2 csc 2 ( 3 h 2 ) ⋱ 1 2 csc 2 ( 1 h 2 ) ⋱ 1 2 csc 2 ( 2 h 2 ) 1 2 csc 2 ( 2 h 2 ) ⋱ 1 2 csc 2 ( 1 h 2 ) ⋱ 1 2 csc 2 ( 1 h 2 ) 1 2 csc 2 ( 1 h 2 ) ⋱ ⋮ ⋱ − π 2 3 h 2 − 1 6 ) (8) 结合等式(6)和等式(7)，Equation (1)可以写成以下系统： ∂ ∂ t [ u v ] = [ u 11 D u 12 D u 21 D u 22 D ] [ u v ] = [ f 1 ( u ， v ) f 2 ( u ， v ) ] (9) 这里 [ u ， v ] = [ u 11 ， ⋯ ， u N 1 ， u 12 ， ⋯ ， u N 2 ， u 1 N ， ⋯ ， u N N ， v 11 ， ⋯ ， v N 1 ， v 12 ， ⋯ ， v N 2 ， v 1 N ， ⋯ ， v N N ] ， D = D N ( 2 ， 0 ) + D N ( 0 ， 2 ) = D N ( 2 ) ⊗ E N + E N ⊗ D N ( 2 ) ， [ f 1 ( u ， v ) ， f 2 ( u ， v ) ] = [ f 1 ( u 11 ， v 11 ) ， ⋯ ， f 1 ( u N N ， v N N ) ， f 2 ( u 11 ， v 11 ) ， ⋯ ， f 2 ( u N N ， v N N ) ， f 3 ( u 11 ， v 11 ) ， ⋯ ， f 3 ( u N N ， v N N ) ] 利用Matlab中的ode45求解器求解系统(9)，得到系统(1)的数值解。