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user: 3. 模型的建立与求解 3.1. 模型的假设 1) 假设车道之间的转换系数 β 只与转换车道之间的实际通行能力有关。 2) 假设观察路段不发生交通事故。 3.2. 符号说明 为准确表达本文模型的数学意义，特引入本文常用的数学符号，其含义说明如下： 3.3. 部分概念说明 1) 每个车道都有自身的实际通行能力，本文对实际通行能力 φ i ( t ) 的解析是，观察时刻内的车道存有的车流量的值与流出该车道的车流量的值之间的差值。在t时刻时，车道中的车流量为 ，流出的车流量为 τ i ( t ) ，车道的实际通行能力 φ i ( t ) 为两者的差值，即 φ i ( t ) = τ i ( t ) − ( Q i ( t − 1 ) + γ i ( t ) ) 。 2) 各道之间的转换变道存在一个转换系数 β i j 。当转换车道速度快时，其通行能力较好，驾驶员可以考虑变道。本文通过比较通行能力来衡量转换系数。当在A道通行能力优于B道时，有 φ A > φ B ，即假定 β A B = 1 − φ B / φ A ，则此时A道的车速快于B道，这时B道的驾驶员考虑向A道变道；当在A道通行能力差于B道时，有 φ A < φ B ，即假定 β A B = 1 − φ A / φ B ，这时A道的驾驶员考虑向B道变道。 3) 各个车道的流出车流量 τ i ( t ) 。当此刻车道A的车流量少于18辆时，即 Q A ( t − 1 ) + γ A ( t ) < 18 时， τ A ( t ) = Q A ( t − 1 ) + γ A ( t ) ；当此刻车道A的车流量不小于18辆时，即 Q A ( t − 1 ) + γ A ( t ) ≥ 18 时， τ A ( t ) = 18 。B道同理。当此刻车道C的车流量少于19辆时， τ C ( t ) = Q C ( t − 1 ) + γ C ( t ) ；当此刻车道C的车流量不小于19辆时， τ C ( t ) = 19 。D道、E道同理。 3.4. 主道与辅道模型建立 分析主道与辅道之间车流相互交互作用下，两道车道的车流量变化。主道与辅道的车流量变换过程见图2。 图2. 辅道与主道之间车流变化示意图 t时刻，辅道车道的车流量由上一刻的车流量 Q F ( t − 1 ) ，在t时刻流入辅道车道的车流量 γ F ( t ) ，流出观察路段辅道车道的车流量 τ F ( t − 1 ) ，以及A车道与B车道之间的转换车辆 β F Z φ F Z ( t − 1 ) 构成。则辅道车道在t时刻的车流量数量关系式如下： Q F ( t ) = Q F ( t − 1 ) + γ F ( t ) − τ F ( t − 1 ) + β F Z ∗ φ F Z ( t − 1 ) (1) 其中， β i j = β i j ( t − 1 ) ， φ i j ( t − 1 ) = φ i ( t − 1 ) − φ j ( t − 1 ) 。 对于主道车道在t时刻的车流量数量关系式如下： Q Z ( t ) = Q Z ( t − 1 ) + γ Z ( t ) − τ Z ( t − 1 ) + β F Z ∗ φ Z F ( t − 1 ) (2) 则辅道车流量与主道车流量函数模型的关系式所下： { Q F ( t ) = Q F ( t − 1 ) + γ F ( t ) − τ F ( t − 1 ) + β F Z ∗ φ F Z ( t − 1 ) Q Z ( t ) = Q Z ( t − 1 ) + γ Z ( t ) − τ Z ( t − 1 ) + β F Z ∗ φ Z F ( t − 1 ) (3) 进入车道的车流量数据与时间存在一个函数关系，在拥堵时刻车流量会逐渐增多，随着时间的变化，车流量会开始慢慢减少。通过调查研究，进行分析处理，对于辅道流入的车流量变化见图3。 图3. 辅道流入车流量数据示意图 观察数据，发现在1~6时刻，即在观察的12分钟内，流入辅道的车流量差值不大，所以在1~6时刻的 γ F 取均值，此时 γ F = 44 。在7~17时刻，即观察的20分钟内，流入辅道的车流量可以用一个二次函数表示， γ F = − 0.038 x 2 − 0.81 x + 43 。在18~30时刻，即观察的24分钟内，流入辅道的车流量之间的差值较平均，将 γ F 取均值，即 γ F = 19 。得到一个关于 γ F 的函数关系式： 图4. 主道流入车流量数据示意图 γ F = { 44     1 ≤ t ≤ 6 − 0.038 x 2 − 0.81 x + 43   7 ≤ t ≤ 17 19 18 ≤ t ≤ 30 (4) 对于主道流入的车流量变化见图4。 观察数据，发现在1~8时刻，即观察的16分钟内，流入辅道的车流量之间的差值较小，所以在1~8时刻的 γ Z 取均值，此时 γ Z = 82 。在9~24时刻，即观察的30分钟内，流入辅道的车流量可以用一个二次函数表示， γ Z = − 0.065 x 2 − 0.38 x + 82 。在25~30时刻，即观察的10分钟内，流入辅道的车流量之间的差值较平均，将 γ Z 取均值，即 γ Z = 31 。得到一个关于 γ Z 的函数关系式： γ Z = { 82     1 ≤ t ≤ 8 − 0.065 x 2 − 0.38 x + 82   9 ≤ t ≤ 24 31 25 ≤ t ≤ 30 (5) 3.5. 主道与辅道模型的求解与验证 将 Q F ( 0 ) = 27 ， Q Z ( 0 ) = 40 ， γ Z (式(4))、 γ F (式(5))代入式(3)中，得到的数据结果见表1。 Table 1 True value， fitted value and relative error of main road and auxiliary road traffi 时间 t/时刻 辅道车流量 主道车流量 观测数据 拟合数据 相对误差(%) 观测数据 拟合数据 相对误差(%) 1 27 27 0.00% 40 40 0.00% 2 49 49 0.00% 53 51 3.77% 3 63 62 1.59% 72 71 1.39% 4 77 77 0.00% 89 89 0.00% 5 92 92 0.00% 105 107 1.91% 6 104 108 3.85% 123 124 0.81% 7 119 115 3.36% 139 142 2.16% 8 127 130 2.36% 153 150 1.96% 9 138 139 0.73% 163 162 0.61% 10 148 148 0.00% 167 158 5.39% 11 152 145 4.61% 172 162 5.81% 12 153 143 6.54% 176 162 7.96% 13 154 139 9.74% 176 159 9.66% 14 152 134 11.84% 176 153 13.07% 15 148 127 14.19% 171 144 15.79% 16 143 117 18.18% 165 133 19.39% 17 137 105 23.36% 158 120 24.05% 18 129 91 29.46% 149 103 30.87% 19 122 79 35.25% 136 84 38.24% 20 110 63 42.73% 125 66 47.20% 21 101 46 54.46% 109 45 58.72% 22 87 28 67.82% 95 21 77.90% 表1. 主道辅道车流量真实值、拟合值及相对误差 通过表1可以观察到，拟合的车流量数据与真实值之间的相对误差较小，说明拟合程度较好。在 时刻到 t = 13 时刻时，车道的车流量逐渐增多，车道的实际通行能力减弱，车道拥堵状态逐渐增强。在 t = 14 时刻以后，车道的车流量在缓慢减少，车道实际通行能力逐渐增加，车道的拥堵状态逐渐缓和。从表可以观察到在 t = 13 时车道车流量最多，此时最为拥堵。 3.6. 各道车流量模型建立 对各个车道进行分析，五个车道的车流变化过程见图1。 由于A车道相较于其它四道，都受到了调头车辆 d ( t ) 的影响，因此对于任意t时刻的各道的车流量方程如下： Q A ( t ) = Q A ( t − 1 ) + d ( t ) + γ A ( t ) − τ A ( t − 1 ) + β A B ∗ φ A B ( t − 1 ) Q B ( t ) = Q B ( t − 1 ) + γ B ( t ) − τ B ( t − 1 ) + β A B ∗ φ B A ( t − 1 ) + β B C ∗ φ B C ( t − 1 ) Q C ( t ) = Q C ( t − 1 ) + γ C ( t ) − τ C ( t − 1 ) + β B C ∗ φ C B ( t − 1 ) + β C D ∗ φ C D ( t − 1 ) Q D ( t ) = Q D ( t − 1 ) + γ D ( t ) − τ D ( t − 1 ) + β C D ∗ φ D C ( t − 1 ) + β D E ∗ φ D E ( t − 1 ) Q E ( t ) = Q E ( t − 1 ) + γ E ( t ) − τ E ( t − 1 ) + β D E ∗ φ E D ( t − 1 ) (6) 对辅道车道，A车道与B车道流入的车流量的变化进行分析，变化过程见图5。 图5. A车道、B车道流入车流量变化示意图 观察数据，得到一个关于 γ A 的函数关系式： γ A = { 19     1 ≤ t ≤ 5 0.05 x 2 − 2 x + 26   6 ≤ t ≤ 17 6 18 ≤ t ≤ 30 (7) 对B车道的流入车流量数据进行分析，即得到一个关于 γ B 的函数如下所示： γ B = { 22     1 ≤ t ≤ 7 0.023 x 2 − 0.044 x + 19   8 ≤ t ≤ 17 11 18 ≤ t ≤ 30 (8) 对于主道的流入车流量，C车道与D车道、E车道流入的车流量的变化进行分析，变化过程见图6。 图6. C车道、D车道、E车道流入车流量变化示意图 观察数据，对C车道流入车流量进行分析，得到的关于 γ C 的函数如下所示： γ C = { 27     1 ≤ t ≤ 9 − 0.017 x 2 − 0.13 x + 24 10 ≤ t ≤ 24 9 25 ≤ t ≤ 30 (9) 对D车道的流入车流量数据进行分析，即得到一个关于 γ D 的函数如下所示： γ D = { 27     1 ≤ t ≤ 9 − 0.053 x 2 + 0.88 x + 19 10 ≤ t ≤ 23 11 24 ≤ t ≤ 30 (10) 对E车道的流入车流量数据进行分析，即得到一个关于 γ E 的函数如下所示： γ E = { 29                                                           1 ≤ t ≤ 12 − 0.051 x 2 + 1.1 x + 21         13 ≤ t ≤ 25 13                                                         26 ≤ t ≤ 30 (11) 3.7. 各道车流量模型的求解 将 Q A ( 0 ) = 13 ， Q B ( 0 ) = 14 ， Q C ( 0 ) = 14 ， Q D ( 0 ) = 13 ， Q E ( 0 ) = 13 ， γ A 、 γ B 、 γ C 、 γ D 、 γ E ，以及收集的调头车辆 d ( t ) 代入式(6)中，得到的拟合数据结果见表2。 Table 2 Fitting data of traffic flow in each lane on weekday 时间 t/时刻 辅道车流量拟合数据 主道车流量拟合数据 A道 B道 C道 D道 E道 1 13 14 14 13 13 2 18 19 21 21 23 3 22 24 28 29 33 4 25 30 34 38 42 5 33 34 41 46 51 6 35 41 47 54 60 7 37 45 54 62 69 8 37 44 60 70 78 9 36 50 60 78 87 10 39 49 60 79 96 11 37 48 63 82 101 12 35 47 64 86 105 13 34 45 64 88 107 14 31 44 63 88 109 15 30 40 62 87 110 16 24 40 58 86 109 17 26 29 58 83 108 18 19 39 44 82 105 19 28 18 58 68 102 20 14 15 21 78 90 21 41 0 77 32 89 22 16 0 27 99 45 23 0 0 69 13 68 24 0 0 2 115 9 25 0 0 0 10 98 26 0 0 0 84 0 27 0 0 0 60 0 28 0 0 0 36 0 29 0 0 0 12 0 30 0 0 0 0 0 表2. 工作日各车道车流量拟合数据 通过表2数据可以观察，A车道在 t = 23 时，拥堵了46分钟后，车道交通状态从拥堵转换为良好。B车道在 t = 21 时， ，此时车道交通状态良好。C车道，D车道，E车道，分别在 t = 25 时， t = 30 时， t = 26 时，交通状态良好。在观察的路段中，经过了一个小时的拥堵，车道的交通状态由拥堵转变为流畅的状态。要改善复杂交通节点的交通状态，减少其拥堵的时间，就是要对各道车流量进行控制优化，尽可能的减少道路拥堵的时间。