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user: 3. 主要结果 定理1 针对变时滞系统(1)，若假设1，2成立且存在对称正定矩阵 P > 0 ，正数 α i > 0 ( i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) ， β i > 0 ( i = 1 ， 2 ) ， β 3 ≥ 1 ，使得： ℵ 1 = − C T P − P C + α 1 P A A T P + u 1 2 α 1 I + α 2 P B B T P + α 4 I + β 1 P + 2 P K ≤ 0 ， (5) ℵ 2 = ( I − L ) T P ( I − L ) − β 3 P ≤ 0 ， (6) − ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) − β 2 β 3 > 0 ， (7) α 4 I − α 3 P K K T P > 0 ， (8) 则在下面的事件触发条件下： t k + 1 = inf { t ∈ ( t k ， ∞ ) | ‖ e ( t ) ‖ 2 ≥ α 3 x T ( t ) ( α 4 I − α 3 P K K T P ) x ( t ) } ， (9) 系统(1)不存在Zeno现象且指数稳定。 证明 首先，我们证明系统(1)不存在Zeno现象。 令 Γ ( t ) = e T ( t ) e ( t ) ，由于 e ( t ) = x ( t k ) − x ( t ) 则对 Γ ( t ) 求导得： Γ ˙ ( t ) = 2 e T ( t ) e ˙ ( t ) = − 2 e T ( t ) x ˙ ( t ) = − 2 e T ( t ) [ − C x ( t ) + A f ( x ( t ) ) + B g ( x ( t − τ ( t ) ) ) + K x ( t k ) ] ≤ 4 e T ( t ) e ( t ) + ( − C x ( t ) ) T ( − C x ( t ) ) + ( A f ( x ( t ) ) ) T ( A f ( x ( t ) ) )     + ( B g ( x ( t − τ ( t ) ) ) ) T ( B g ( x ( t − τ ( t ) ) ) ) + ( K x ( t k ) ) T ( K x ( t k ) ) ≤ 4 e T ( t ) e ( t ) + ( ‖ C ‖ 2 + u 1 2 ‖ A ‖ 2 ) x T ( t ) x ( t ) + u 2 2 ‖ B ‖ 2 ( x ( t − τ ( t ) ) ) T ( x ( t − τ ( t ) ) ) + ‖ K ‖ 2 x T ( t k ) x ( t k ) ≤ 2 ( 2 + ‖ C ‖ 2 + u 1 2 ‖ A ‖ 2 ) e T ( t ) e ( t ) + 2 ( ‖ C ‖ 2 + u 1 2 ‖ A ‖ 2 + 1 2 ‖ K ‖ 2 ) x T ( t k ) x ( t k ) + u 2 2 ‖ B ‖ 2 d 2 =2 ( 2 + ‖ C ‖ 2 + u 1 2 ‖ A ‖ 2 ) Γ ( t ) + M ˜ ， 其中 M ˜ = 2 ( ‖ C ‖ 2 + u 1 2 ‖ A ‖ 2 + 1 2 ‖ K ‖ 2 ) x T ( t k ) x ( t k ) + u 2 2 ‖ B ‖ 2 d 2 。 由于 e ( t k ) = 0 ，计算从 t k 到t的积分可得 0 ≤ ‖ e ( t ) ‖ 2 ≤ M ˜ 2 ( 2 + ‖ C ‖ 2 + u 1 2 ‖ A ‖ 2 ) ( e 2 ( 2 + ‖ C ‖ 2 + u 1 2 ‖ A ‖ 2 ) ( t − t k ) − 1 ) ， 由触发条件(9)可知 θ ( x ( t k + 1 ) ) ≤ M ˜ 2 ( 2 + ‖ C ‖ 2 + u 1 2 ‖ A ‖ 2 ) ( e 2 ( 2 + ‖ C ‖ 2 + u 1 2 ‖ A ‖ 2 ) ( t k + 1 − t k ) − 1 ) ， 其中 θ ( x ( t ) ) = α 3 x T ( t ) ( α 4 I − α 3 P K K T P ) x ( t ) 。若 θ ( x ( t k + 1 ) ) = 0 则 x ( t k + 1 ) = 0 。由于 f ( 0 ) = g ( 0 ) = 0 ，显然有 − C ⋅ 0 + A ⋅ f ( 0 ) + B ⋅ g ( 0 ) + K ⋅ x ( t k ) = 0 ，则 x ( t k ) = 0 ，这与 x ( t k ) ≠ 0 相矛盾，故 θ ( x ( t k + 1 ) ) > 0 。令 T k = t k + 1 − t k ，因而 T k ≥ ln ( 1 + 2 ( 2 + ‖ C ‖ 2 + u 1 2 ‖ A ‖ 2 ) θ ( x ( t k + 1 ) ) M ˜ ) 2 ( 2 + ‖ C ‖ 2 + u 1 2 ‖ A ‖ 2 ) > 0. 因此， ρ 1 = inf { t k + 1 − t k } = inf T k > 0 ，即系统不存在Zeno现象。 下面证明在控制输入(2)的作用下系统(1)指数稳定。构造Lyapunov函数 V ( t ) = x T ( t ) P x ( t ) ，当 t ≠ t k 时，沿着系统(3)的轨线对函数 V ( t ) 求导得： V ˙ ( t ) = 2 x T ( t ) P x ˙ ( t ) = 2 x T ( t ) P ( − C x ( t ) + A f ( x ( t ) ) + B g ( x ( t − τ ( t ) ) ) + K x ( t k ) ) = 2 x T ( t ) P ( − C x ( t ) + A f ( x ( t ) ) + B g ( x ( t − τ ( t ) ) ) + K e ( t ) + K x ( t ) ) ， 由假设1及引理1得： 2 x T ( t ) P A f ( x ( t ) ) ≤ α 1 x T ( t ) P A A T P x ( t ) + 1 α 1 f T ( x ( t ) ) f ( x ( t ) ) ≤ α 1 x T ( t ) P A A T P x ( t ) + u 1 2 α 1 x T ( t ) x ( t ) ， 2 x T ( t ) P B g ( x ( t − τ ( t ) ) ) ≤ α 2 x T ( t ) P B B T P x ( t ) + 1 α 2 g T ( x ( t − τ ( t ) ) ) g ( x ( t − τ ( t ) ) ) ≤ α 2 x T ( t ) P B B T P x ( t ) + u 2 2 α 2 x T ( t − τ ( t ) ) x ( t − τ ( t ) ) ， 2 x T ( t ) P K e ( t ) ≤ α 3 x T ( t ) P K K T P x ( t ) + 1 α 3 e T ( t ) e ( t ) . 由事件触发条件(9)可知，当 t ∈ ( t k ， t k + 1 ) 时， ‖ e ( t ) ‖ 2 < α 3 x T ( t ) ( α 4 I − α 3 P K K T P ) x ( t ) ， 因此， t ∈ ( t k ， t k + 1 ) 时， V ˙ ( t ) < x T ( t ) [ − P C − C T P + α 1 P A A T P + u 1 2 α 1 2 I + α 2 P B B T P + 2 P K ] x ( t )     + u 2 2 α 2 2 x T ( t − τ ( t ) ) x ( t − τ ( t ) )     + α 3 x T ( t ) P K K T P x ( t ) + x T ( t ) ( α 4 I − α 3 P K K T P ) x ( t ) = x T ( t ) ℵ 1 x ( t ) − β 1 x T ( t ) P x ( t ) + u 2 2 α 2 2 x T ( t − τ ( t ) ) x ( t − τ ( t ) )     ≤   −       β 1 V ( t ) + β 2 V ( t − τ ( t ) ) ， 其中 β 2 = u 2 2 α 2 2 λ max ( P − 1 ) 。 当 t = t k 时，由 x ( t k + ) = ( I − L ) x ( t k ) 及 ℵ 2 ≤ 0 可得 V ( t k + ) = x T ( t k + ) P x ( t k + ) = x T ( t k ) ( I − L ) T P ( I − L ) x ( t k ) = x T ( t k ) [ ( I − L ) T P ( I − L ) − β 3 P ] x ( t k ) + x T ( t k ) β 3 P x ( t k ) = x T ( t k ) ℵ 2 x ( t k ) + β 3 V ( t k ) ≤ β 3 V ( t k ) . 对任意 ε > 0 ，设 v ( t ) 是下列时滞方程的唯一解： { v ˙ ( t ) = − β 1 v ( t ) + β 2 v ( t − τ ( t ) ) + ε ，         t ≥ 0 ，       t ≠ t k v ( t k + ) = β 3 v ( t k ) ，         t = t k v ( t ) = λ max ( P ) ‖ ψ ( t ) ‖ 2 ，           − τ ≤ t ≤ 0 式中 λ max ( P ) 为矩阵P的最大特征值。当 − τ ≤ t ≤ 0 时 V ( t ) ≤ λ max ( P ) ‖ ψ ( t ) ‖ 2 = v ( t ) ，由引理2得，当 t ≥ 0 时 v ( t ) ≥ V ( t ) ≥ 0 。设 W ( t ， s ) ， t ， s ≥ 0 是线性方程组 { v ˙ ( t ) = − β 1 v ( t ) ，                 t ≠ t k v ( t k + ) = β 3 v ( t k ) ，         t = t k 的Cauchy矩阵，则 W ( t ， s ) = e − β 1 ( t − s ) ( ∏ s ≤ t k ≤ t β 3 ) . 因为 β 3 ≥ 1 ， ρ 1 = inf { t k + 1 − t k } > 0 ，所以 W ( t ， s ) = e − β 1 ( t − s ) ( ∏ s ≤ t k ≤ t β 3 ) ≤ e − β 1 ( t − s ) β 3 t − s ρ 1 + 1 = β 3 e ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) ( t − s ) ， (10) 由参数变分公式得， t ≥ 0 时 ν ( t ) = W ( t ， 0 ) ν ( 0 ) + ∫ 0 t W ( t ， s ) × [ β 2 ν ( s − τ ( s ) ) + ε ] d s ， (11) 因此， t ≥ 0 时 ν ( t ) = W ( t ， 0 ) ν ( 0 ) + ∫ 0 t W ( t ， s ) × [ β 2 ν ( s − τ ( s ) ) + ε ] d s ≤ β 3 e ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) t λ max ( P ) ‖ ψ ( 0 ) ‖ 2 + ∫ 0 t β 3 e ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) ( t − s ) × [ β 2 ν ( s − τ ( s ) ) + ε ] d s ≤ σ e ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) t + ∫ 0 t e ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) ( t − s ) × [ β 2 β 3 ν ( s − τ ( s ) ) + ε β 3 ] d s ， (12) 其中 σ = β 3 λ max ( P ) sup − τ ≤ t ≤ 0 { ‖ ψ ( t ) ‖ 2 } 。 定义 ℏ ( ρ ) = 2 ρ + ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) + β 2 β 3 e 2 ρ τ ，则对于连续函数 ℏ ( ρ ) 由(7)式可得 ℏ ( 0 ) = ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) + β 2 β 3 < 0 ， ℏ ( ∞ ) > 0 且 ℏ ˙ ( ρ ) = 2 + 2 τ β 2 β 3 e 2 ρ τ > 0 ，故 ℏ ( ρ ) = 0 存在唯一解 ρ > 0 。那么当 − τ ≤ t ≤ 0 ， ρ > 0 且 β 3 ≥ 1 时， v ( t ) = λ max ( P ) ‖ ψ ( t ) ‖ 2 ≤ β 3 λ max ( P ) ‖ ψ ( t ) ‖ 2 e − 2 ρ t                 < σ e − 2 ρ t + β 3 ε − ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) − β 2 β 3 ， (13) 下面证明，当 t > 0 时 v ( t ) < σ e − 2 ρ t + β 3 ε − ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) − β 2 β 3 . (14) 若不等式(14)在 t > 0 时不成立，则存在 t * > 0 使得 v ( t * ) ≥ σ e − 2 ρ t * + β 3 ε − ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) − β 2 β 3 ， (15) 当 t < t * 时， v ( t ) < σ e − 2 ρ t + β 3 ε − ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) − β 2 β 3 . (16) 由 ℏ ( ρ ) = 0 及不等式(12)、(16)得： v ( t * ) ≤ σ e ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) t * + ∫ 0 t e ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) ( t * − s ) × [ β 2 β 3 v ( s − τ ( s ) ) + β 3 ε ] d s < e ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) t * { σ + β 3 ε − ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) − β 2 β 3 + ∫ 0 t * e − ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) s × [ β 2 β 3 v ( s − τ ( s ) ) + β 3 ε ] d s } < e ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) t * { σ + β 3 ε − ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) − β 2 β 3 + ∫ 0 t * e − ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) s × [ β 2 β 3 ( σ e − 2 ρ ( s − τ ( s ) ) + β 3 ε − ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) − β 2 β 3 ) + β 3 ε ] d s } < e ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) t * { σ + β 3 ε − ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) − β 2 β 3 + β 2 β 3 σ − ( ln β 3 ρ 1 − β 1 + 2 ρ ) e 2 ρ τ [ e − ( ln β 3 ρ 1 − β 1 + 2 ρ ) t * − 1 ]       + β 3 ε − ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) − β 2 β 3 [ e − ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) t * − 1 ] } = σ e − 2 ρ t * + β 3 ε − ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) − β 2 β 3 ， 这与(15)矛盾，故当 t > 0 时， ν ( t ) < σ e − 2 ρ t + β 3 ε − ( ln β 3 ρ 1 − β 1 ) − β 2 β 3 。因此，当 ε → 0 时， ‖ x ( t ) ‖ ≤ β 3 λ max ( P ) λ min ( P ) ‖ ψ ‖ e − ρ t ，其中 ρ 为 ℏ ( ρ ) = 0 的解，即系统(1)在事件触发脉冲控制(2)的作用下指数稳定。定理得证。