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user: 4. 在S-型效用函数下的最优投资再保险策略 在本节中，我们的目的是找到使得保险公司和再保险公司共同利益最大化的最优策略。我们运用鞅方法将动态决策问题(6)转化成一个静态优化问题，然后运用拉格朗日乘子来求解最优问题。首先我们定义随机折扣因子 G ( t ) (参考文献 [ 12 ])， G ( t ) = exp { − r t − ∑ j = 0 2 ∫ 0 t θ j ( s ) d W j ( s ) − 1 2 ∫ 0 t ∑ j = 0 2 θ j 2 ( s ) d s − ∑ j = 1 2 θ ˜ j ( s ) d B j ( s )     − 1 2 ∫ 0 t ∑ j = 1 2 θ ˜ j 2 ( s ) d s + ∫ 0 t ln [ 1 + θ 3 ( s ) ] d N ( s ) − λ N ∫ 0 t θ 3 ( s ) d s } . 其中 θ j ( t ) ， j = 0 ， 1 ， 2 和 θ ˜ j ( t ) ， j = 1 ， 2 满足下面的方程组 根据Itô公式， G ( t ) 有如下微分形式 d G ( t ) = G ( t ) [ − r d t − ∑ j = 0 2 θ j ( t ) d W j ( t ) − ∑ j = 1 2 θ ˜ j ( t ) d B j ( t ) + θ 3 ( t ) d N ˜ ( t ) ] . 接下来我们引入一个新的随机变量 Z ( t ) ， Z ( t ) = Y ( t ) − g ( t ) ， (7) g ( t ) 的经济含义表示保险公司即不考虑投资也不考虑再保险。故在数值上， g ( t ) = e α 1 r t [ C ∫ 0 t e − α 1 r s d s − B ∫ 0 t e − α 1 r s d W 0 ( s ) − α 1 γ ∫ 0 t e − α 1 r s d N ˜ ( s ) ] (8) 其中 C = μ λ K μ Y 。 根据(4)，(7)和(8)， Z ( t ) 的微分形式如下 d Z ( t ) = { r Z π ( t ) − ( α 1 − α 2 ) λ K μ Y π q ( t ) − ( α 1 − α 2 ) θ λ K μ Y π q ( t ) + ( α 1 − α 2 ) π q ( t ) A           + ∑ j = 1 2 α j π j ( t ) ( α j ( t ) + λ j μ j − r ) + ( α 1 − α 2 ) λ N γ π q ( t ) } d t + ( α 1 − α 2 ) π q ( t ) B d W 0 ( t )     + ∑ j = 1 2 α j π j ( t ) b j d W j ( t ) − ∑ j = 1 2 α j π j ( t ) λ j σ j ( t ) d B j ( t ) + ( α 1 − α 2 ) π q ( t ) γ d N ˜ ( t ) . 其中 Z ( 0 ) = y 。 为了最大化保险公司和再保险公司终端财富权重和 Y π ( t ) 的S-型效应函数期望，我们引入下面两个引理是有必要的。 引理4.1 ∀ t ∈ [ 0 ， T ] ， G ( t ) Z ( t ) 是P-鞅。 证 由Levy过程的Itô公式可知 d G ( t ) Z ( t ) = G ( t ) [ ( α 1 − α 2 ) π q ( t ) B − Z ( t ) θ 0 ( t ) ] d W 0 ( t )     + G ( t ) ∑ j = 1 2 [ α j π j ( t ) b j ( t ) − θ j ( t ) Z ( t ) ] d W j ( t )     − G ( t ) ∑ j = 1 2 [ α j π j ( t ) λ j σ j ( t ) + θ ˜ j ( t ) Z ( t ) ] d B j ( t )     + G ( t ) [ Z ( t ) θ 3 ( t ) + ( α 1 − α 2 ) π q ( t ) ( 1 + θ 3 ( t ) ) γ ] d N ˜ ( t ) ， (9) 显然， G ( t ) Z ( t ) 可以表示成布朗运动积分的形式。故 G ( t ) Z ( t ) 是一个P-鞅。由鞅的性质( G ( t ) Z (t) 是鞅，则 G ( t ) Z ( t ) 一定是上鞅)，因此有 E [ G ( T ) Z ( T ) ] ≤ y 。 引理4.2(见文献Guo [ 9 ])设随机变量 δ 是可测的，那么对于任意给定的初始财富 y > 0 满足 E [ G ( t ) δ ] = y ， 则存在策略 π ( t ) = ( π q ( t ) ， π 1 ( t ) ， π 2 ( t ) ) ∈ Π 使得 Z π ( T ) = δ 。 通过引理4.1和引理4.2知，动态最优问题(6)等价与下面的静态优化问题 { max π ∈ Π E [ U ( δ ) ] E [ G ( T ) δ ] ≤ y (10) 与Guo [ 14 ] 有相似的结论，最优静态问题(10)的最优解 δ * = { ξ + [ y − E [ G ( T ) ξ ] ] G ( T ) 1 γ 1 − 1 E [ G ( T ) γ 1 γ 1 − 1 ] ，                   ξ ≤ Z e r T ， 0 ，                                                                                                                                                                                                                                                                                                       ξ > Z e r T ， (11) 因此我们可以推导出对应的动态优化问题(6)的最优策略 π * ， Z * ( T ) = Z π * ( T ) = δ * 。乘以随机折现因子 G ( T ) 后，取条件期望有 E [ G ( T ) Z * ( T ) | F t ] = E [ G ( T ) δ | F t ] . (12) 根据引理4.2，(11)和(12)，我们有 G ( t ) Z * ( t ) = { G ( T ) ξ + [ y − E [ G ( T ) ξ ] ] G ( T ) 1 γ 1 − 1 E [ G ( T ) γ 1 γ 1 − 1 ] ，                                   ξ ≤ Z e r T 0 ，                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       ξ > Z e r T (13) 接下来为了简化(13)，定义指数鞅 M ( t ) ， M ( t ) = exp { − ∑ j = 0 2 1 2 ( γ 1 γ 1 − 1 ) 2 ∫ 0 t θ j 2 ( s ) d s − ∑ j = 0 2 ( γ 1 γ 1 − 1 ) ∫ 0 t θ j ( s ) d W j ( s )     − ∑ j = 1 2 1 2 ( γ 1 γ 1 − 1 ) 2 ∫ 0 t θ ˜ j 2 ( s ) d s − ∑ j = 1 2 γ 1 γ 1 − 1 ∫ 0 t θ ˜ j ( s ) d B j ( s )     − ∫ 0 t ( ( 1 + θ 3 ( s ) ) γ 1 γ 1 − 1 ) λ N d s + γ 1 γ 1 − 1 ∫ 0 t ln ( 1 + θ 3 ( s ) ) d N ( s )     . 因此 G ( t ) γ 1 γ 1 − 1 = M ( t ) f ( t ) = M ( t ) [ exp { − γ 1 γ 1 − 1 r t + ∑ j = 1 2 1 2 γ 1 ( γ 1 − 1 ) 2 ∫ 0 t θ j 2 ( t ) d s + ∑ j = 1 2 1 2 γ 1 ( γ 1 − 1 ) 2     × ∫ 0 t θ ˜ j 2 ( s ) d s + ∫ 0 t ( ( 1 + θ 3 ( s ) ) γ 1 γ 1 − 1 − θ 3 ( s ) − 1 ) λ N d s } ] 故 E [ G ( T ) γ 1 γ 1 − 1 | F t ] E [ G ( T ) γ 1 γ 1 − 1 ] = E [ M ( T ) f ( T ) | F t ] f ( T ) E [ M ( T ) ] = M ( t ) M ( 0 ) = M ( t ) . 注意到， E [ G ( t ) ] = e − r t ，则我们有 d G ( t ) Z * ( t ) = ξ d G ( t ) + [ y − ξ e − r T ] d M ( t ) = ξ { G ( t ) [ − r d t − ∑ j = 0 2 θ j ( t ) d W j ( t ) − ∑ j = 1 2 θ ˜ j ( t ) d B j ( t ) + θ 3 ( t ) d N ˜ ( t ) ] }     + [ y − ξ e − r T ] M ( t ) [ − ∑ j = 0 2 γ 1 γ 1 − 1 θ j d W j ( t ) − ∑ j = 1 2 γ 1 γ 1 − 1 θ ˜ j d B j ( t ) ]     − ( ( 1 + θ 3 ( t ) ) γ 1 γ 1 − 1 − 1 ) d N ˜ (t) = − r ξ G ( t ) + G ( t ) ∑ j = 0 2 [ γ 1 γ 1 − 1 Z π * ( t ) − 1 1 − γ 1 ξ ] θ j ( t ) d W j ( t )     + G ( t ) ∑ j = 1 2 [ γ 1 γ 1 − 1 Z π * ( t ) − 1 1 − γ 1 ξ ] θ ˜ j ( t ) d B j ( t )     + G ( t ) [ ( ( 1 + θ 3 ( t ) ) γ 1 γ 1 − 1 − 1 ) × ( Z π * ( t ) − ξ ) + ξ θ 3 ( t ) ] d N ˜ ( t ) . (14) 同时 G ( t ) Z π * ( t ) 也满足(9) d G ( t ) Z π * ( t ) = G ( t ) [ ( α 1 − α 2 ) π q ( t ) B − Z π * ( t ) θ 0 ( t ) ] d W 0 ( t )     + G ( t ) ∑ j = 1 2 [ α j π j ( t ) b j ( t ) − θ j ( t ) Z π * ( t ) ] d W j ( t )     − G ( t ) ∑ j = 1 2 [ α j π j ( t ) λ j σ j + θ ˜ j ( t ) Z π * ( t ) ] d B j ( t )     + G ( t ) [ Z π * ( t ) θ 3 ( t ) + ( α 1 − α 2 ) π q ( t ) ( 1 + θ 3 ( t ) ) γ ] d N ˜ ( t ) . (15) 比较(14)和(15)我们有 { π 1 * ( t ) = [ a j ( t ) + λ j μ j − r a j ( b j 2 ( t ) + λ j σ j 2 ) + γ 1 1 − γ 1 b j ( t ) − λ j σ j a j ( b j 2 ( t ) + λ j σ j 2 ) ] Z π * ( t ) − 1 1 − γ 1 b j ( t ) + λ j σ j a j ( b j 2 ( t ) + λ j σ j 2 ) ξ ， j = 1 ， 2， π q * ( t ) = 1 α 2 − α 1 ω * ( Z π * ( t ) − ξ ) . 其中 满足下面的方程 (16) 与Guo [ 14 ] 有类似的讨论，方程(16)的解是存在且唯一的。 定理4.1 在时间 0 ≤ t ≤ T ，，基于损失规避行为的保险公司和再保险公司的财富权重和 和相应的最优投资再保险策略是 Y π * ( t ) = Z π * ( t ) + g ( t ) = { ξ + g ( t ) + ( y − ξ e − r T ) exp { r t − ∑ j = 0 2 1 1 − γ 1 ∫ 0 t θ j ( s ) d W j ( s ) − ∑ j = 0 2 2 γ 1 − 1 2 ( γ 1 − 1 ) 2 ∫ 0 t θ j 2 ( s ) d s − ∑ j = 1 2 ∫ 0 t θ ˜ j ( s ) d B j ( s ) − ∑ j = 0 2 2 γ 1 − 1 2 ( γ 1 − 1 ) 2 ∫ 0 t θ ˜ j 2 ( s ) d s − ∫ 0 t [ ( θ 3 ( s ) + 1 ) γ 1 γ 1 − 1 − θ 3 ( s ) − 1 ] λ N d s + 1 γ 1 − 1 ∫ 0 t ln ( 1 + θ 3 ( s ) ) d N ( s ) ，                                       ξ ≤ y e r T ， g ( t ) ，                                                                                                                                                                                                                                           ξ > y e r T . 和 { π 1 * ( t ) = [ a j ( t ) + λ j μ j − r a j ( b j 2 ( t ) + λ j σ j 2 ) + γ 1 1 − γ 1 b j ( t ) − λ j σ j a j ( b j 2 ( t ) + λ j σ j 2 ) ] Z π * ( t ) − 1 1 − γ 1 b j ( t ) + λ j σ j a j ( b j 2 ( t ) + λ j σ j 2 ) ξ ， π q * ( t ) = 1 α 2 − α 1 ω * ( Z π * ( t ) − ξ ) . 其中 ω * 满足下面的方程 γ λ N ( 1 − γ ω ) γ 1 − 1 + ( 1 − γ 1 ) B 2 ω − ( 1 + η ) λ K μ Y + A = 0.