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user: 2. BiHom-Jordan代数的表示 本文所说的线性空间都指域F上的线性空间。 定义1.1 [ 6 ] 设J是线性空间， α ， β ∈ E n d ( J ) ，J中定义双线性代数运算 ( x ， y ) → x ∗ y ，若满足下面的条件 α β = β α ， (1.1) β ( x ) ∗ α ( y ) = β ( y ) ∗ α ( x ) ， (1.2) { ( β 2 ( x ) ∗ α β ( x ) ) ∗ α 2 β ( y ) } ∗ β α 3 ( x ) = α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( x ) ) ∗ ( α 2 β ( y ) ∗ α 3 ( x ) ) ， (1.3) 其中 ∀ x ， y ∈ J ，则称 ( J ， ∗ ， α ， β ) 是BiHom-Jordan代数。 注记1.1 等式(1.3)有以下等价形式 { ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) ∗ α 2 β ( u ) } ∗ β α 3 ( z ) + { ( β 2 ( x ) ∗ α β ( z ) ) ∗ α 2 β ( u ) } ∗ β α 3 ( y )   + { ( β 2 ( y ) ∗ α β ( z ) ) ∗ α 2 β ( u ) } ∗ β α 3 ( x ) = α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) ∗ ( α 2 β ( u ) ∗ α 3 ( z ) ) + α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( z ) ) ∗ ( α 2 β ( u ) ∗ α 3 ( y ) )     + α ( β 2 ( y ) ∗ α β ( z ) ) ∗ ( α 2 β ( u ) ∗ α 3 ( x ) ) ， (1.4) 其中 ∀ x ， y ， z ， u ∈ J 。 证明：设 ( J ， ∗ ， α ， β ) 是BiHom-Jordan代数， ∀ x ， y ， z ， u ∈ J ，由(1.3)得 { ( β 2 ( x + y + z ) ∗ α β ( x + y + z ) ) ∗ α 2 β ( u ) } ∗ β α 3 ( x + y + z )   − α ( β 2 ( x + y + z ) ∗ α β ( x + y + z ) ) ∗ ( α 2 β ( u ) ∗ α 3 ( x + y + z ) ) = { ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) ∗ α 2 β ( u ) } ∗ β α 3 ( z ) + { ( β 2 ( x ) ∗ α β ( z ) ) ∗ α 2 β ( u ) } ∗ β α 3 ( y )       + { ( β 2 ( y ) ∗ α β ( z ) ) ∗ α 2 β ( u ) } ∗ β α 3 ( x ) − α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) ∗ ( α 2 β ( u ) ∗ α 3 ( z ) )       − α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( z ) ) ∗ ( α 2 β ( u ) ∗ α 3 ( y ) ) − α ( β 2 ( y ) ∗ α β ( z ) ) ∗ ( α 2 β ( u ) ∗ α 3 ( x ) ) = 0 ， 故有(1.4)成立。反之，在(1.4)中，令 x = y = z 即可得(1.3)。 定义1.2 设 ( J ， ∗ ， α ， β ) 是BiHom-Jordan代数，V是一个线性空间， ϕ ， φ ∈ E n d ( V ) 且 均可逆， ρ : J → E n d ( V ) 为线性映射，若满足 ϕ φ = φ ϕ ， (1.5) ρ ( ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) ∗ α 2 β ( z ) ) φ ϕ 2 + ρ ( α 2 β 2 ( y ) ) ϕ φ − 1 ρ ( α β 2 ( z ) ) ϕ φ − 1 ρ ( β 2 ( x ) ) φ + ρ ( α 2 β 2 ( x ) ) ϕ φ − 1 ρ ( α β 2 ( z ) ) ϕ φ − 1 ρ ( β 2 ( y ) ) φ   − ρ ( α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) ) ρ ( α 2 β ( z ) ) ϕ 2 − ρ ( α − 1 β ( α 2 β ( z ) ∗ α 3 ( y ) ) ) ϕ 2 φ − 1 ρ ( β 2 ( x ) ) φ − ρ ( α − 1 β ( α 2 β ( z ) ∗ α 3 ( x ) ) ) ϕ 2 φ − 1 ρ ( β 2 ( y ) ) φ = 0 ， (1.6) ρ ( α 2 β 2 ( z ) ) ϕ φ − 1 ρ ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) φ + ρ ( α 2 β 2 ( y ) ) ϕ φ − 1 ρ ( β 2 ( x ) ∗ α β ( z ) ) φ   + ρ ( α 2 β 2 ( x ) ) ϕ φ − 1 ρ ( β 2 ( y ) ∗ α β ( z ) ) φ − ρ ( α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) ) ρ ( α 2 β ( z ) ) ϕ   − ρ ( α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( z ) ) ) ρ ( α 2 β ( y ) ) ϕ − ρ ( α ( β 2 ( y ) ∗ α β ( z ) ) ) ρ ( α 2 β ( x ) ) ϕ = 0 ， (1.7) 其中 ∀ x ， y ， z ∈ J ，则称 ( V ， ρ ， ϕ ， φ ) 为 ( J ， ∗ ， α ， β ) 的表示。 例1.3 设 ( J ， ∗ ， α ， β ) 是BiHom-Jordan代数且 α ， β 均可逆，定义 r g : J → E n d ( J ) ，其中 r g ( x ) y = x ∗ y ， ∀ x ， y ∈ J ，则 ( J ， r g ， α ， β ) 为 ( J ， ∗ ， α ， β ) 的表示，称为伴随表示。 证明：由 ( J ， ∗ ， α ， β ) 是BiHom-Jordan代数可知 α β = β α 。由(1.4)和 r g 的定义知 r g ( ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) ∗ α 2 β ( z ) ) β α 2 ( u ) + r g ( α 2 β 2 ( y ) ) α β − 1 r g ( α β 2 ( z ) ) α β − 1 r g ( β 2 ( x ) ) β ( u ) + r g ( α 2 β 2 ( x ) ) α β − 1 r g ( α β 2 ( z ) ) α β − 1 r g ( β 2 ( y ) ) β ( u )   − r g ( α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) ) r g ( α 2 β ( z ) ) α 2 ( u ) − r g ( α − 1 β ( α 2 β ( z ) ∗ α 3 ( y ) ) ) α 2 β − 1 r g ( β 2 ( x ) ) β ( u ) − r g ( α − 1 β ( α 2 β ( z ) ∗ α 3 ( x ) ) ) α 2 β − 1 r g ( β 2 ( y ) ) β (u) = { ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) ∗ α 2 β ( z ) } ∗ β α 3 ( u ) + { ( β 2 ( x ) ∗ α β ( u ) ) ∗ α 2 β ( z ) } ∗ β α 3 ( y )       + { ( β 2 ( y ) ∗ α β ( u ) ) ∗ α 2 β ( z ) } ∗ β α 3 ( x ) − α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) ∗ ( α 2 β ( z ) ∗ α 3 ( u ) )       − α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( u ) ) ∗ ( α 2 β ( z ) ∗ α 3 ( y ) ) − α ( β 2 ( y ) ∗ α β ( u ) ) ∗ ( α 2 β ( z ) ∗ α 3 ( x ) ) = 0 ， 同理可得， r g ( α 2 β 2 ( z ) ) α β − 1 r g ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) β ( u ) + r g ( α 2 β 2 ( y ) ) α β − 1 r g ( β 2 ( x ) ∗ α β ( z ) ) β ( u ) + r g ( α 2 β 2 ( x ) ) α β − 1 r g ( β 2 ( y ) ∗ α β ( z ) ) β ( u )   − r g ( α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) ) r g ( α 2 β ( z ) ) α ( u ) − r g ( α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( z ) ) ) r g ( α 2 β ( y ) ) α ( u ) − r g ( α ( β 2 ( y ) ∗ α β ( z ) ) ) r g ( α 2 β ( x ) ) α (u) = { ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) ∗ β ( u ) } ∗ β α 3 ( z ) + { ( β 2 ( x ) ∗ α β ( z ) ) ∗ β ( u ) } ∗ β α 3 ( y )         + { ( β 2 ( y ) ∗ α β ( z ) ) ∗ β ( u ) } ∗ β α 3 ( x ) − α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) ∗ ( β ( u ) ∗ α 3 ( z ) )         − α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( z ) ) ∗ ( β ( u ) ∗ α 3 ( y ) ) − α ( β 2 ( y ) ∗ α β ( z ) ) ∗ ( β ( u ) ∗ α 3 ( x ) ) = 0 ， 因此， ( J ， r g ， α ， β ) 为 ( J ， ∗ ， α ， β ) 的表示。 命题1.4 设 ( J ， ∗ ， α ， β ) 是BiHom-Jordan代数，V是一个线性空间， ϕ ， φ ∈ E n d ( V ) 且 ϕ ， φ 均可逆， ρ : J → E n d ( V ) 为线性映射，在 J ⊕ V 上定义 ( x + a ) ∗ ( y + b ) = x ∗ y + ρ ( x ) b + ρ ( α − 1 β ( y ) ) ϕ φ − 1 ( a ) ， (1.8) ( α + ϕ ) ( x + a ) = α ( x ) + ϕ ( a ) ， ( β + φ ) ( y + b ) = β ( y ) + φ ( b ) ， (1.9) 其中 ∀ x ， y ∈ J ， a ， b ∈ V ，则 ( J ⊕ V ， ∗ ， α + ϕ ， β + φ ) 为BiHom-Jordan代数的充分必要条件是 为 ( J ， ∗ ， α ， β ) 的表示。 证明： ∀ x + a ， y + b ， z + c ， u + d ∈ J ⊕ V ，则 ( J ⊕ V ， ∗ ， α + ϕ ， β + φ ) 为BiHom-Jordan代数当且仅当在 ( J ⊕ V ， ∗ ， α + ϕ ， β + φ ) 上(1.1)~(1.3)成立。 由于在J上(1.2)成立，所以有 ( β + φ ) ( x + a ) ∗ ( α + ϕ ) ( y + b ) − ( β + φ ) ( y + b ) ∗ ( α + ϕ ) ( x + a ) = ρ ( β ( x ) ) ϕ ( b ) + ρ ( β ( y ) ) ϕ ( a ) − ρ ( β ( y ) ) ϕ ( a ) − ρ ( β ( x ) ) ϕ ( b ) ， (1.10) 因此在 J ⊕ V 上(1.2)成立。 又由于 ( α + ϕ ) ( β + φ ) ( x + a ) − ( β + φ ) ( α + ϕ ) ( x + a ) = α β ( x ) + ϕ φ ( a ) − β α ( x ) − φ ϕ ( a ) ， (1.11) { ( ( β + φ ) 2 ( x + a ) ∗ ( α + ϕ ) ( β + φ ) ( y + b ) ) ∗ ( α + ϕ ) 2 ( β + φ ) ( u + d ) } ∗ ( β + φ ) ( α + ϕ ) 3 ( z + c ) + { ( ( β + φ ) 2 ( x + a ) ∗ ( α + ϕ ) ( β + φ ) ( z + c ) ) ∗ ( α + ϕ ) 2 ( β + φ ) ( u + d ) } ∗ ( β + φ ) ( α + ϕ ) 3 ( y + b ) + { ( ( β + φ ) 2 ( y + b ) ∗ ( α + ϕ ) ( β + φ ) ( z + c ) ) ∗ ( α + ϕ ) 2 ( β + φ ) ( u + d ) } ∗ ( β + φ ) ( α + ϕ ) 3 ( x + a ) − ( α + ϕ ) ( ( β + φ ) 2 ( x + a ) ∗ ( α + ϕ ) ( β + φ ) ( y + b ) ) ∗ ( ( α + ϕ ) 2 ( β + φ ) ( u + d ) ∗ ( α + ϕ ) 3 ( z + c ) ) − ( α + ϕ ) ( ( β + φ ) 2 ( x + a ) ∗ ( α + ϕ ) ( β + φ ) ( z + c ) ) ∗ ( ( α + ϕ ) 2 ( β + φ ) ( u + d ) ∗ ( α + ϕ ) 3 ( y + b ) ) − ( α + ϕ ) ( ( β + φ ) 2 ( y + b ) ∗ ( α + ϕ ) ( β + φ ) ( z + c ) ) ∗ ( ( α + ϕ ) 2 ( β + φ ) ( u + d ) ∗ ( α + ϕ ) 3 ( x + a ) ) = ρ ( ( β 2 ( y ) ∗ α β ( z ) ) ∗ α 2 β ( u ) ) φ ϕ 2 ( a ) + ρ ( α 2 β 2 ( y ) ) ϕ φ − 1 ρ ( α β 2 ( u ) )     ϕ φ − 1 ρ ( β 2 ( z ) ) φ ( a ) + ρ ( α 2 β 2 ( z ) ) ϕ φ − 1 ρ ( α β 2 ( u ) ) ϕ φ − 1 ρ ( β 2 ( y ) ) φ (a) − ρ ( α ( β 2 ( y ) ∗ α β ( z ) ) ) ρ ( α 2 β ( u ) ) ϕ 2 ( a ) − ρ ( α − 1 β ( α 2 β ( u ) ∗ α 3 ( y ) ) ) ϕ 2 φ − 1 ρ ( β 2 ( z ) ) φ ( a ) − ρ ( α − 1 β ( α 2 β ( u ) ∗ α 3 ( z ) ) ) ϕ 2 φ − 1 ρ ( β 2 ( y ) ) φ ( a ) + ρ ( ( β 2 ( x ) ∗ α β ( z ) ) ∗ α 2 β ( u ) ) φ ϕ 2 ( b ) + ρ ( α 2 β 2 ( x ) ) ϕ φ − 1 ρ ( α β 2 ( u ) ) ϕ φ − 1 ρ ( β 2 ( z ) ) φ ( b ) + ρ ( α 2 β 2 ( z ) ) ϕ φ − 1 ρ ( α β 2 ( u ) ) ϕ φ − 1 ρ ( β 2 ( x ) ) φ ( b ) − ρ ( α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( z ) ) ) ρ ( α 2 β ( u ) ) ϕ 2 ( b ) − ρ ( α − 1 β ( α 2 β ( u ) ∗ α 3 ( x ) ) ) ϕ 2 φ − 1 ρ ( β 2 ( z ) ) φ ( b ) − ρ ( α − 1 β ( α 2 β ( u ) ∗ α 3 ( z ) ) ) ϕ 2 φ − 1 ρ ( β 2 ( x ) ) φ ( b ) + ρ ( ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) ∗ α 2 β ( u ) ) φ ϕ 2 ( c ) + ρ ( α 2 β 2 ( y ) ) ϕ φ − 1 ρ ( α β 2 ( u ) ) ϕ φ − 1 ρ ( β 2 ( x ) ) φ ( c ) + ρ ( α 2 β 2 ( x ) ) ϕ φ − 1 ρ ( α β 2 ( u ) ) ϕ φ − 1 ρ ( β 2 ( y ) ) φ ( c ) − ρ ( α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) ) ρ ( α 2 β ( u ) ) ϕ 2 ( c ) − ρ ( α − 1 β ( α 2 β ( u ) ∗ α 3 ( y ) ) ) ϕ 2 φ − 1 ρ ( β 2 ( x ) ) φ ( c ) − ρ ( α − 1 β ( α 2 β ( u ) ∗ α 3 ( x ) ) ) ϕ 2 φ − 1 ρ ( β 2 ( y ) ) φ (c) + ρ ( α 2 β 2 ( z ) ) ϕ φ − 1 ρ ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) φ ( d ) + ρ ( α 2 β 2 ( y ) ) ϕ φ − 1 ρ ( β 2 ( x ) ∗ α β ( z ) ) φ ( d ) + ρ ( α 2 β 2 ( x ) ) ϕ φ − 1 ρ ( β 2 ( y ) ∗ α β ( z ) ) φ ( d ) − ρ ( α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) ) ρ ( α 2 β ( z ) ) ϕ ( d ) − ρ ( α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( z ) ) ) ρ ( α 2 β ( y ) ) ϕ ( d ) − ρ ( α ( β 2 ( y ) ∗ α β ( z ) ) ) ρ ( α 2 β ( x ) ) ϕ ( d ) ， (1.12) 因此，在 J ⊕ V 上(1.1)成立当且仅当(1.5)成立，(1.3)成立当且仅当(1.6)和(1.7)成立。因此，命题成立。 设 ρ : J → E n d ( V ) ， ϕ ∈ E n d ( V ) ，定义线性映射 ρ ∗ : J → E n d ( V ∗ ) ， ϕ ∗ ∈ E n d ( V ∗ ) ，其中 〈 ρ ∗ ( x ) f ， v 〉 = 〈 f ， ρ ( x ) v 〉     ( ∀ x ∈ J ， v ∈ V ， f ∈ V ∗ ) ， 〈 ϕ ∗ ( f ) ， v 〉 = 〈 f ， ϕ ( v ) 〉     ( ∀ v ∈ V ， f ∈ V ∗ ) . 命题1.5 设 ( J ， ∗ ， α ， β ) 是BiHom-Jordan代数， ( V ， ρ ， ϕ ， φ ) 为 ( J ， ∗ ， α ， β ) 的表示，则 ( V ∗ ， ρ ∗ ， ϕ ∗ ， φ ∗ ) 为 ( J ， ∗ ， α ， β ) 的表示当且仅当 ( V ， ρ ， ϕ ， φ ) 满足下列条件 ϕ 2 φ ρ ( ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) ∗ α 2 β ( z ) ) + φ ρ ( β 2 ( x ) ) φ − 1 ϕ ρ ( α β 2 ( z ) ) φ − 1 ϕ ρ ( α 2 β 2 ( y ) )   + φ ρ ( β 2 ( y ) ) φ − 1 ϕ ρ ( α β 2 ( z ) ) φ − 1 ϕ ρ ( α 2 β 2 ( x ) ) − ϕ 2 ρ ( α 2 β ( z ) ) ρ ( α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) )   − φ ρ ( β 2 ( x ) ) φ − 1 ϕ 2 ρ ( α − 1 β ( α 2 β ( z ) ∗ α 3 ( y ) ) ) − φ ρ ( β 2 ( y ) ) φ − 1 ϕ 2 ρ ( α − 1 β ( α 2 β ( z ) ∗ α 3 ( x ) ) ) = 0 ， (1.13) φ ρ ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) φ − 1 ϕ ρ ( α 2 β 2 ( z ) ) + φ ρ ( β 2 ( x ) ∗ α β ( z ) ) φ − 1 ϕ ρ ( α 2 β 2 ( y ) )   + φ ρ ( β 2 ( y ) ∗ α β ( z ) ) φ − 1 ϕ ρ ( α 2 β 2 ( x ) ) − ϕ ρ ( α 2 β ( z ) ) ρ ( α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) )   − ϕ ρ ( α 2 β ( y ) ) ρ ( α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( z ) ) ) − ϕ ρ ( α 2 β ( x ) ) ρ ( α ( β 2 ( y ) ∗ α β ( z ) ) ) = 0 ， (1.14) 其中 ∀ x ， y ， z ∈ J 。 证明： ( V ∗ ， ρ ∗ ， ϕ ∗ ， φ ∗ ) 为 ( J ， ∗ ， α ， β ) 的表示当且仅当对于 ( V ∗ ， ρ ∗ ， ϕ ∗ ， φ ∗ ) 有(1.5)~(1.7)成立。 ∀ x ， y ， z ∈ J ， v ∈ V ， f ∈ V ∗ ，因为 〈 ( ϕ ∗ φ ∗ − φ ∗ ϕ ∗ ) f ， v 〉 = 〈 f ， ( φ ϕ − ϕ φ ) v 〉 ， 〈 ( ρ ∗ ( ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) ∗ α 2 β ( z ) ) φ ∗ ϕ ∗ 2 + ρ ∗ ( α 2 β 2 ( y ) ) ϕ ∗ ( φ − 1 ) ∗ ρ ∗ ( α β 2 ( z ) ) ϕ ∗ ( φ − 1 ) ∗ ρ ∗ ( β 2 ( x ) ) φ ∗ + ρ ∗ ( α 2 β 2 ( x ) ) ϕ ∗ ( φ − 1 ) ∗ ρ ∗ ( α β 2 ( z ) ) ϕ ∗ ( φ − 1 ) ∗ ρ ∗ ( β 2 ( y ) ) φ ∗   − ρ ∗ ( α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) ) ρ ∗ ( α 2 β ( z ) ) ϕ ∗ 2 − ρ ∗ ( α − 1 β ( α 2 β ( z ) ∗ α 3 ( y ) ) ) ϕ ∗ 2 ( φ − 1 ) ρ ∗ ∗ ( β 2 ( x ) ) φ ∗ − ρ ∗ ( α − 1 β ( α 2 β ( z ) ∗ α 3 ( x ) ) ) ϕ ∗ 2 ( φ − 1 ) ∗ ρ ∗ ( β 2 ( y ) ) φ ∗ ) f ， v 〉 = 〈 f ， ( ϕ 2 φ ρ ( ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) ∗ α 2 β ( z ) ) + φ ρ ( β 2 ( x ) ) ( φ − 1 ) ϕ ρ ( α β 2 ( z ) ) φ − 1 ϕ ρ ( α 2     β 2 ( y ) ) + φ ρ ( β 2 ( y ) ) φ − 1 ϕ ρ ( α β 2 ( z ) ) φ − 1 ϕ ρ ( α 2 β 2 ( x ) ) − ϕ 2 ρ ( α 2 β ( z ) ) ρ ( α ( β 2 ( x )     ∗ α β ( y ) ) ) − φ ρ ( β 2 ( x ) ) φ − 1 ϕ 2 ρ ( α − 1 β ( α 2 β ( z ) ∗ α 3 ( y ) ) ) − φ ρ ( β 2 ( y ) ) φ − 1 ϕ 2     ρ ( α − 1 β ( α 2 β ( z ) ∗ α 3 ( x ) ) ) ) v 〉 ， 〈 ( ρ ∗ ( α 2 β 2 ( z ) ) ϕ ∗ ( φ − 1 ) ∗ ρ ∗ ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) φ ∗ + ρ ∗ ( α 2 β 2 ( y ) ) ϕ ∗ ( φ − 1 ) ∗ ρ ∗ ( β 2 ( x ) ∗ α β ( z ) ) φ ∗ + ρ ∗ ( α 2 β 2 ( x ) ) ϕ ∗ ( φ − 1 ) ∗ ρ ∗ ( β 2 ( y ) ∗ α β ( z ) ) φ ∗ − ρ ∗ ( α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) ) ρ ∗ ( α 2 β ( z ) ) ϕ ∗ − ρ ∗ ( α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( z ) ) ) ρ ∗ ( α 2 β ( y ) ) ϕ ∗ − ρ ∗ ( α ( β 2 ( y ) ∗ α β ( z ) ) ) ρ ∗ ( α 2 β ( x ) ) ϕ ∗ ) f ， v 〉 = 〈 f ， ( φ ρ ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) φ − 1 ϕ ρ ( α 2 β 2 ( z ) ) + φ ρ ( β 2 ( x ) ∗ α β ( z ) ) φ − 1 ϕ ρ ( α 2 β 2 ( y ) )       + φ ρ ( β 2 ( y ) ∗ α β ( z ) ) φ − 1 ϕ ρ ( α 2 β 2 ( x ) ) − ϕ ρ ( α 2 β ( z ) ) ρ ( α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) )       − ϕ ρ ( α 2 β ( y ) ) ρ ( α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( z ) ) ) − ϕ ρ ( α 2 β ( x ) ) ρ ( α ( β 2 ( y ) ∗ α β ( z ) ) ) ) v 〉 ， 由此可知(1.6)成立当且仅当(1.13)成立，(1.7)成立当且仅当(1.14)成立。因此，命题成立。 推论1.6 设 ( J ， ∗ ， α ， β ) 是BiHom-Jordan代数且 α ， β 均可逆，则 ( r g ∗ ， J ∗ ， α ∗ ， β ∗ ) 是 ( J ， ∗ ， α ， β ) 的表示当且仅当下面的等式成立 α 2 β ( ( ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) ∗ α 2 β ( z ) ) ∗ u ) + β ( β 2 ( x ) ∗ β − 1 α ( α β 2 ( z ) ∗ β − 1 α ( α 2 β 2 ( y ) ∗ u ) ) )   + β ( β 2 ( y ) ∗ β − 1 α ( α β 2 ( z ) ∗ β − 1 α ( α 2 β 2 ( x ) ∗ u ) ) ) − α 2 ( α 2 β ( z ) ∗ ( α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) ∗ u ) )   − β ( β 2 ( x ) ∗ β − 1 α 2 ( α − 1 β ( α 2 β ( z ) ∗ α 3 ( y ) ) ∗ u ) ) − β ( β 2 ( y ) ∗ β − 1 α 2 ( α − 1 β ( α 2 β ( z ) ∗ α 3 ( x ) ) ∗ u ) ) = 0 ， (1.15) β ( ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) ∗ β − 1 α ( α 2 β 2 ( z ) ∗ u ) ) + β ( ( β 2 ( x ) ∗ α β ( z ) ) ∗ β − 1 α ( α 2 β 2 ( y ) ∗ u ) )   + β ( ( β 2 ( y ) ∗ α β ( z ) ) ∗ β − 1 α ( α 2 β 2 ( x ) ∗ u ) ) − α ( α 2 β ( z ) ∗ ( α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( y ) ) ∗ u ) )   − α ( α 2 β ( y ) ∗ ( α ( β 2 ( x ) ∗ α β ( z ) ) ∗ u ) ) − α ( α 2 β ( x ) ∗ ( α ( β 2 ( y ) ∗ α β ( z ) ) ∗ u ) ) = 0 ， (1.16) 其中 ∀ x ， y ， z ， u ∈ J 。 证明：由命题1.5，取 ρ = r g ，利用 r g 的定义可直接通过计算得出。