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user: 3. 主要结果 定理1 假设(H1)~(H3)成立。若下列条件之一成立： i) λ 1 ( a ， b ) < r < λ 1 ( c ， d ) ； ii) λ 1 ( c ， d ) < r < λ 1 ( a ， b ) ， 则问题(1)至少存在一个正解。 定义算子 L : D ( L ) → C [ 0 ， 1 ] 为 L u = u ( 4 ) ， u ∈ D ( L ) 其中 D ( L ) = { u ∈ C 4 [ 0 ， 1 ] | u ( 0 ) = u ′ ( 0 ) = u ″ ( 1 ) = u ‴ ( 1 ) = 0 } 。结合引理5知，算子 L − 1 : C [ 0 ， 1 ] → D ( L ) 是紧的。 令 ζ ， ξ ∈ C ( [ 0 ， 1 ] × [ 0 ， ∞ ) × [ 0 ， ∞ ) ) 使得 f ( t ， u ， p ) = a u + b p + ζ ( t ， u ， p ) ， f ( t ， u ， p ) = c u + d p + ξ ( t ， u ， p ) 显然，由(H1)知 lim | ( u ， p ) | → 0 ζ ( t ， u ， p ) | ( u ， p ) | = 0 ，对 t ∈ [ 0 ， 1 ] 一致成立， lim | ( u ， p ) | → ∞ ξ ( t ， u ， p ) | ( u ， p ) | = 0 ，对 t ∈ [ 0 ， 1 ] 一致成立。 令 ξ ˜ ( r ) = max { | ξ ( t ， u ， p ) | : 0 ≤ | ( u ， p ) | ≤ r } ， 则 ξ ˜ ( r ) 非减且 lim r → ∞ ξ ˜ ( r ) r = 0 。 考虑分歧问题 L u = λ r ( a u + b u ′ ) + λ r ζ ( t ， u ， u ′ ) (6) 从平凡解 u ≡ 0 处产生的分歧。由引理3，问题(6)等价于 u ( t ) = λ [ ∫ 0 1 G 1 ( t ， s ) r a u ( s ) d s + ∫ 0 1 G 2 ( t ， s ) r b u ( s ) d s ] + λ ∫ 0 1 G 1 ( t ， s ) r ζ ( s ， u ( s ) ， u ′ ( s ) ) d s : = A ( λ ， u ) ( t ) . 定义 B : X → X 为 B u ( t ) : = ∫ 0 1 G 1 ( t ， s ) r a u ( s ) d s + ∫ 0 1 G 2 ( t ， s ) r b u ( s ) d s . 由引理4，B是X上的强正算子，又根据引理5， B : X → X 全连续。故由文献 [ 10 ] (定理3.2)知， r ( B ) = [ λ 1 ( a ， b ) ] − 1 . 定义 F : [ 0 ， ∞ ) × P → X 为 F ( λ ， u ) ( t ) : = λ ∫ 0 1 G 1 ( t ， s ) r ζ ( s ， u ( s ) ， u ′ ( s ) ) d s . 则对任意有界的 λ ， ‖ F ( λ ， u ) ‖ X = max 0 ≤ t ≤ 1 { | λ ∫ 0 1 G 1 ( t ， s ) r ζ ( s ， u ( s ) ， u ′ ( s ) ) d s | ， | λ ∫ 0 1 G 2 ( t ， s ) r ζ ( s ， u ( s ) ， u ′ ( s ) ) d s |         | λ ∫ 0 1 ∂ G 2 ( t ， s ) ∂ t r ζ ( s ， u ( s ) ， u ′ ( s ) ) d s | ， | λ ∫ 0 1 ∂ 2 G 2 ( t ， s ) ∂ t 2 r ζ ( s ， u ( s ) ， u ′ ( s ) ) d s | } ≤ C 1 ‖ ζ ( t ， u ( t ) ， u ′ ( t ) ) ‖ C 则 lim ‖ u ‖ X → 0 ‖ F ( λ ， u ) ‖ X ‖ u ‖ X ≤ lim ‖ u ‖ X → 0 C 1 ‖ ζ ( t ， u ， u ′ ) ‖ C ‖ u ‖ X ≤ lim ‖ u ‖ C → 0 C 1 ‖ ζ ( t ， u ， u ′ ) ‖ C ‖ u ‖ C = 0 ， 即 ‖ F ( λ ， u ) ‖ X = o ( ‖ u ‖ X ) 关于 λ 局部一致。 结合条件(H2)，引理1和引理4，若 λ > 0 且 ( λ ， u ) 是(6)的一个非平凡解，则 u ∈ int P 且存在集合 { ( λ ， u ) ∈ ( 0 ， ∞ ) × P : u = A ( λ ， u ) ，   u ∈ int P } ∪ { ( λ 1 ( a ， b ) ， 0 ) } 的一个无界连通分支 C 使得 ( λ 1 ( a ， b ) ， 0 ) ∈ C 。 定理1的证明 显然，问题(6)的任意一个形如 ( r ， u ) 的解均是问题(1)的解u。将证明在 R × X 中，连通分支 C 穿过超平面 { 1 } × X 。为此只需证 C 连接 ( λ 1 ( a ， b ) ， 0 ) 到 ( λ 1 ( c ， d ) ， ∞ ) 。令 ( μ n ， y n ) ∈ C 满足 μ n + ‖ y n ‖ X → ∞ . 注意到，对于任意的 n ∈ N ， μ n > 0 。 因为当 λ = 0 时，问题(6)仅有平凡解，且 C ∩ ( { 0 } × X ) = ∅ 。 情形1 λ 1 ( c ， d ) < r < λ 1 ( a ， b ) 。 在这种情况下，证明 ( λ 1 ( c ， d ) ， λ 1 ( a ， b ) ) ⊆ { λ ∈ R   | ∃ ( λ ， u ) ∈ C } . 第一步。证明若存在一个常数 M > 0 使得 μ n ⊂ ( 0 ， M ] ， (7) 则 C 连接 ( λ 1 ( a ， b ) ， 0 ) 到 ( λ 1 ( c ， d ) ， ∞ ) 。 由式(7)知， ‖ y n ‖ X → ∞ 。下面考虑问题 L y n = μ n ( r c y n + r d y ′ n ) + μ n r ξ ( t ， y n ， y ′ n ) ， 令 y ¯ n = y n ‖ y n ‖ X ，因为在X中是有界的，所以对于 y ¯ ∈ X ，存在 y ¯ n → y ¯ (这里仍用 y ¯ n → y ¯ 代表它的收敛子列)且 ‖ y ¯ ‖ X = 1 。进一步，由于 ξ ˜ 是非减的，于是 lim n → ∞ | ξ ( y n ( t ) ) | ‖ y n ‖ X = 0 ， 注意到 | ξ ( y n ( t ) ) | ‖ y n ‖ X ≤ ξ ˜ ( | y n ( t ) | ) ‖ y n ‖ X ≤ ξ ˜ ( ‖ y n ‖ C ) ‖ y n ‖ X ≤ ξ ˜ ( ‖ y n ‖ X ) ‖ y n ‖ X ， 因此 y ¯ ( t ) : = μ ¯ ∫ 0 1 G 1 ( t ， s ) r c y ¯ ( s ) d s + μ ¯ ∫ 0 1 G 2 ( t ， s ) r d y ¯ ( s ) d s ， 这里 μ ¯ : = lim n → ∞ μ n (这里仍用 μ ¯ n 代表它的收敛子列)。因此 L y ¯ = μ ¯ ( c y ¯ + d y ¯ ′ ) ， 而 μ ¯ = λ 1 ( c ， d ) ，因此 C 连接 ( λ 1 ( a ， b ) ， 0 ) 和 ( λ 1 ( c ， d ) ， ∞ ) 。 第二步。将证明确实存在一个常数M，使得对于任意的 n ∈ ℕ 有 μ n ∈ ( 0 ， M ] 。由引理1，仅需要证明A有一个线性弱函数V且存在 ( μ ， y ) ∈ ( 0 ， ∞ ) × P ，使得 ‖ y ‖ X = 1 且 μ V y ≥ y 。 由(H3)，存在常数 a 0 ， b 0 ∈ [ 0 ， ∞ ) 满足 a 0 + b 0 > 0 ，使得 f ( t ， u ， p ) ≥ a 0 u + b 0 p ， ( t ， u ， p ) ∈ [ 0 ， 1 ] × [ 0 ， ∞ ) × [ 0 ， ∞ ) 对于 u ∈ X 。令 V u ( t ) : = ∫ 0 1 G 1 ( t ， s ) r a 0 u ( s ) d s + ∫ 0 1 G 2 ( t ， s ) r b 0 u ( s ) d s . 则V是A的一个线性弱函数。进一步，存在 ( λ 1 ( a 0 ， b 0 ) ， ψ 1 ( t ) ) ∈ ( 0 ， ∞ ) × P 使得 ‖ ψ 1 ( t ) ‖ X = 1 且 λ 1 ( a 0 ， b 0 ) V ψ 1 ( t ) = ψ 1 ( t ) 。事实上， λ 1 ( a 0 ， b 0 ) V ψ 1 ( t ) = λ 1 ( a 0 ， b 0 ) ∫ 0 1 G 1 ( t ， s ) r a 0 ψ 1 ( s ) d s + λ 1 ( a 0 ， b 0 ) ∫ 0 1 G 2 ( t ， s ) r b 0 ψ 1 ( s ) d s = ψ 1 ( t ) . 因此，由引理1， | μ n | ≤ λ 1 ( a 0 ， b 0 ) . 情形2 λ 1 ( a ， b ) < r < λ 1 ( c ， d ) 。 在这种情况下，若存在 ( μ n ， y n ) ∈ C 使得 lim n → ∞ ( μ n + ‖ y n ‖ X ) = ∞ ， 且 lim n → ∞ μ n = ∞ ， 则 ( λ 1 ( a ， b ) ， λ 1 ( c ， d ) ) ⊆ { λ ∈ ( 0 ， ∞ ) | ∃ ( λ ， u ) ∈ C } ， 且 ( { 1 } × X ) ∩ C ≠ ∅ . 假设存在 M > 0 ，使得对任意 n ∈ N ，有 μ n ∈ ( 0 ， M ] . 类似于情形1的第一步的证明过程，有 ( μ n ， y n ) → ( λ 1 ( c ， d ) ， ∞ ) ， n → ∞ 因此 C 连接 ( λ 1 ( a ， b ) ， 0 ) 和 ( λ 1 ( c ， d ) ， ∞ ) 。