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user: 4. 无限滞后测度泛函微分方程Φ有界变差解的存在性 本文主要研究无限滞后测度泛函微分方程满足初值条件 x ¯ ( t 0 ) = φ 的Φ有界变差解的局部存在性定理。在本节中 Φ ( u ) 满足(C1)和(C2)，假定 h : [ t 0 ， t 0 + σ ] → R 1 是单调增加的左连续函数，而 ω : [ 0 ， + ∞ ) → R 1 是单调连续函数，且满足 ω ( 0 ) = 0 。定义一个辅助函数 x ¯ ∈ B V Φ − ( ( − ∞ ， t 0 + σ ] ， R n ) ： x ¯ ( t ) = { x ( t ) ， t ∈ [ t 0 ， t 0 + σ ] φ ( t − t 0 ) ， t ∈ ( − ∞ ， t 0 ] 以上定义确保在 ( − ∞ ， 0 ] 上满足初值条件 x ¯ ( t 0 ) = φ 。 定理1 设 f ∈ F Φ ( Ω ， h ， ω ) ，且对 θ 1 ， θ 2 ∈ ( − ∞ ， 0 ] ，有 sup θ 1 ， θ 2 ∈ ( − ∞ ， 0 ] ‖ φ ( θ 1 ) − φ ( θ 2 ) ‖ ≤ V Φ ( h ; [ t ， t 0 ] ) (11) 则对每个 ( t 0 ， φ ) ∈ Ω ，存在 Δ > 0 ，使得方程(2)在区间 ( − ∞ ， t 0 + Δ ] ⊂ ( − ∞ ， t 0 + σ ] 上存在一个Φ有界变差解 x ¯ ∈ B V Φ − ( ( − ∞ ， t 0 + Δ ] ， R n ) 满足初值条件 x ¯ ( t 0 ) = φ 。 证明因为O为开集，则存在 Δ > 0 ，如果 t ∈ [ t 0 ， t 0 + σ ] 及 x ∈ R n ，使得 ‖ x − φ ‖ ≤ V Φ ( h ; [ t ， t 0 ] ) ，则 ( x ， t ) ∈ Ω ，定义 Q = { x ¯ ∈ B V Φ − ( ( − ∞ ， t 0 + σ ] ， R n ) : ‖ x − φ ‖ ≤ V Φ ( h ; [ t ， t 0 ] ) } . 令 Q ⊂ B V Φ − ( ( − ∞ ， t 0 + σ ] ， R n ) ，其中 B V Φ − ( ( − ∞ ， t 0 + σ ] ， R n ) 表示 ( − ∞ ， t 0 + σ ] 上所有Φ有界变差左连续函数。 如果 x ， y ∈ Q ， α ∈ [ 0 ， 1 ] 则 α x + ( 1 − α ) y ∈ Q ，所以 Q ⊂ B V Φ − ( ( − ∞ ， t 0 + Δ ] ， R n ) 是凸的。 其次，证明Q是 B V Φ − ( ( − ∞ ， t 0 + Δ ] ， R n ) 中的闭集。设 x k ∈ Q ， k ∈ N 是 B V Φ − ( ( − ∞ ， t 0 + Δ ] ， R n ) 中收敛于函数x的序列，即 lim k → ∞ ‖ x k − x ‖ Φ = 0 ，则由文献 [ 7 ] 定理3.11，有 V Φ ( x k − x ; ( − ∞ ， t 0 + Δ ] ) → 0 ， ( k → ∞ ) ， 从而， x k ( t ) 在 ( − ∞ ， t 0 + Δ ] 中一致收敛于 x ( t ) (见文 [ 7 ] 定理3.21)。所以对任意的 t ∈ [ t 0 ， t 0 + σ ] ，从而对任意的 ε > 0 ，当 k ∈ N 充分大时，有 ‖ x ( t ) − φ ‖ ≤ ‖ x k ( t ) − x ( t ) ‖ + ‖ x k ( t ) − φ ‖ < ε + V Φ ( h ; [ t ， t 0 ] ) ， t ∈ [ t 0 ， t 0 + Δ ] ， 从而 ‖ x ( t ) − φ ‖ ≤ V Φ ( h ; [ t ， t 0 ] ) ，     t ∈ [ t 0 ， t 0 + Δ ] ， 所以 x ∈ Q ，即Q闭。对 x ∈ Q ，定义映射 T x ¯ ( t ) = { φ ( 0 ) + ∫ t 0 t f ( x s ， s ) d g ( s ) ， t ∈ [ t 0 ， t 0 + σ ] φ ( t − t 0 ) ， t ∈ ( − ∞ ， t 0 ] 对 t ∈ [ t 0 ， t 0 + Δ ] ，积分 ∫ t 0 t f ( x s ， s ) d g ( s ) 存在，所以映射T是有意义的。 当 t ∈ [ t 0 ， t 0 + Δ ] 时，有 ‖ T x ¯ − φ ( 0 ) ‖ = ∫ t 0 t f ( x s ， s ) d g ( s ) ≤ V Φ ( h ; [ t ， t 0 ] ) . 对每个 t ∈ [ t 0 ， t 0 + σ ] ， θ ∈ ( − ∞ ， 0 ] ，令 s = t + θ ∈ ( − ∞ ， t 0 + σ ] ， y ( t ) = T x ¯ ( t ) ， 则由(11)式有 ‖ y ( t ) − φ ‖ = ‖ T x ¯ ( t ) − φ ‖ = ‖ φ ( s − t 0 ) − φ ( θ ) ‖ = ‖ φ ( θ 1 ) − φ ( θ 2 ) ‖ ≤ sup θ 1 ， θ 2 ∈ ( − ∞ ， 0 ] ‖ φ ( θ 1 ) − φ ( θ 2 ) ‖ ≤ V Φ ( h ; [ t ， t 0 ] ) . 其中 θ 1 = s − t 0 ，   θ = θ 2 。因此对于 x ∈ Q ，有 T x ⊂ Q ，即有映射 T : Q → Q 。 以下说明映射 T : Q → Q 连续。设 x ， x k ∈ Q ， k ∈ N ，且 lim k → ∞ ‖ x k − x ‖ Φ = 0 ，则 x k ( t ) 在 t ∈ [ t 0 ， t 0 + Δ ] 上 一致收敛于函数 x ( t ) 。对 t 1 ， t 2 ∈ [ t 0 ， t 0 + Δ ] ，有 ‖ T x k ( t 2 ) − T x ( t 2 ) − T x k ( t 1 ) + T x ( t 1 ) ‖ = ‖ ∫ t 1 t 2 [ f ( ( x k ) t ， t ) − f ( x t ， t ) ] d g ( t ) ‖ . 则对任意的 ε > 0 ，存在正值函数 δ ( τ ) ，使得对 [ t 1 ， t 2 ] 的任何 δ -精细分划 D = { ( τ i ， [ α i − 1 ， α i ] ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m } ，满足 τ i − δ ( τ i ) < α i − 1 ≤ τ i ≤ α i < τ i + δ ( τ i ) ，有 ‖ T x k ( t 2 ) − T x ( t 2 ) − T x k ( t 1 ) + T x ( t 1 ) ‖ = ‖ ∫ t 1 t 2 [ f ( ( x k ) t ， t ) − f ( x k ， t ) ] d g ( t ) ‖ < ε + ‖ ∑ i = 1 m [ f ( ( x k ) τ i ， α i ) − f ( x τ i ， α i ) − f ( ( x k ) τ i ， α i − 1 ) + f ( x τ i ， α i − 1 ) ] ‖ (12) 由(4)和(12)式，有 ‖ T x k ( t 2 ) − T x ( t 2 ) − T x k ( t 1 ) + T x ( t 1 ) ‖ < ε + ∑ i = 1 m ω ( ‖ x k ( τ i ) − x ( τ i ) ‖ ) Φ ( h ( α i ) − h ( α i − 1 ) ) < ε + max 1 ≤ i ≤ m ω ( ‖ x k ( τ i ) − x ( τ i ) ‖ ) ∑ i = 1 m Φ ( h ( α i ) − h ( α i − 1 ) ) . 由 ε > 0 的任意性，则 ‖ T x k ( t 2 ) − T x ( t 2 ) − T x k ( t 1 ) + T x ( t 1 ) ‖ < max 1 ≤ i ≤ m ω ( ‖ x k ( τ i ) − x ( τ i ) ‖ ) ∑ i = 1 m V Φ ( h ; [ t 1 ， t 2 ] ) . 其中 t 1 ， t 2 ∈ [ t 0 ， t 0 + Δ ] ，所以对 [ t 0 ， t 0 + Δ ] 的任何分划 t 0 = β 0 < β 1 < ⋯ < β n = t 0 + Δ ，有 ∑ j = 1 n Φ ( ‖ T x k ( β j ) − T x ( β j ) − T x k ( β j − 1 ) + T x ( β j − 1 ) ‖ ) < ∑ j = 1 n Φ ( max 1 ≤ i ≤ m ω ( ‖ x k ( τ i j ) − x ( τ i j ) ‖ ) V Φ ( h ; [ β j − 1 ， β j ] ) )     ， (13) 其中 τ i j ∈ [ α i − 1 j ， α i j ] ⊂ ( τ i j − δ ( τ i j ) ， τ i j + δ ( τ i j ) ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， δ ( τ i j ) > 0 ， β j − 1 = β 0 j < β 1 j < ⋯ < β m j j = β j ， 因此对 t ∈ [ t 0 ， t 0 + Δ ] ， lim k → ∞ x k ( t ) = x ( t ) 一致成立，且函数 ω 在0点连续且 ω ( 0 ) = 0 ，则对任意的 0 < ε < 1 ， 存在 K ∈ N ，使得对 k ≥ K ，有 max 1 ≤ i ≤ m ω ( ‖ x k ( τ i j ) − x ( τ i j ) ‖ ) < ε 所以，由(13)式，有 ∑ j = 1 n Φ ( ‖ T x k ( β j ) − T x ( β j ) − T x k ( β j − 1 ) + T x ( β j − 1 ) ‖ ) < Φ ( ε ) ∑ j = 1 n Φ ( V Φ ( h ; [ β j − 1 ， β j ] ) ) . (14) 因为 Φ ( u ) 满足(C2)则 Φ ( u ) u 不减，见文献 [ 7 ] 定理1.03，于是有 ∑ j = 1 n Φ ( V Φ ( h ; [ β j − 1 ， β j ] ) ) = ∑ j = 1 n Φ ( V Φ ( h ; [ β j − 1 ， β j ] ) ) V Φ ( h ; [ β j − 1 ， β j ] ) V Φ ( h ; [ β j − 1 ， β j ] ) ≤ Φ ( V Φ ( h ; [ t 0 ， t 0 + Δ ] ) ) V Φ ( h ; [ t 0 ， t 0 + Δ ] ) ∑ j = 1 n V Φ ( h ( β j ) − h ( β j − 1 ) ) ≤ Φ ( V Φ ( h ; [ t 0 ， t 0 + Δ ] ) ) 由(14)式，有 ∑ j = 1 n Φ ( ‖ T x k ( β j ) − T x ( β j ) − T x k ( β j − 1 ) + T x ( β j − 1 ) ‖ ) ≤ Φ ( ε ) ∑ j = 1 n Φ ( V Φ ( h ; [ β j − 1 ， β j ] ) ) ≤ Φ ( ε ) Φ ( V Φ ( h ; [ t 0 ， t 0 + Δ ] ) ) . 所以 lim k → ∞ V Φ ( T x k − T x ， [ t 0 ， t 0 + Δ ] ) = 0 ， 由文献 [ 7 ] 定理3.11， lim k → ∞ ‖ T x k − T x ‖ Φ = 0 ，即T是连续映射。 下面证明 T : Q → Q 是紧的。设 x k ∈ Q ， k ∈ N 在变差意义下 { x k } k = 1 ∞ 有界，由文献 [ 7 ] Helly’extracting 定理存在子序列，逐点收敛于 x ¯ ( t ) ∈ B V Φ − ( ( − ∞ ， t 0 + Δ ] ， R n ) 。令 y ( t ) = T x ¯ ( t ) = { φ ( 0 ) + ∫ t 0 t f ( x s ， s ) d g ( s ) ，   t ∈ [ t 0 ， t 0 + Δ ] φ ( t − t 0 ) ， t ∈ ( − ∞ ， t 0 ] 则 y ∈ B V Φ − ( ( − ∞ ， t 0 + Δ ] ， R n ) ， y ( t ) = T x ¯ ( t ) ，且 lim k → ∞ ‖ T x k − y ‖ Φ = lim k → ∞ ‖ T x k − T x ¯ ‖ Φ = 0 ， 从而T是紧的。由Schauder不动点定理，至少存在一个 x ¯ ∈ Q ，使得 x ¯ = T x ¯ ，也就是说 x ¯ 是无限滞后测度泛函微分方程在 ( − ∞ ， t 0 + Δ ] 上满足初始条件 x ¯ ( t 0 ) = φ 的一个Φ有界变差解。 注1 对于函数 Φ ( u ) ，如果 0 < Φ ( u ) u < + ∞ ，则由文献 [ 7 ] 定理1.15有 B V Φ ( − ∞ ， t 0 + Δ ] = B V ( − ∞ ， t 0 + Δ ] ， 其中 B V ( − ∞ ， t 0 + Δ ] 表示通常意义下 ( − ∞ ， t 0 + Δ ] 上Φ有界变差函数的全体。 注2 对于函数 Φ ( u ) 如果 lim u → 0 + Φ ( u ) u = 0 ，则由文献 [ 7 ] 定理1.15有 B V Φ ( − ∞ ， t 0 + Δ ] ⊂ B V ( − ∞ ， t 0 + Δ ] ，例如 Φ ( u ) = u p ， 1 < p < + ∞ ，则 lim u → 0 + Φ ( u ) u = 0 。