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user: 4. 模拟 本节通过蒙特卡洛模拟，比较本文方法与Xue提出方法的稳健性。模型设定为 y i j = x i j β + g ( t i j ) + ε i j ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ;   j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ， 其中 x i j ~ U n i f o r m ( − 1 ， 1 ) ， t i j ~ U n i f o r m ( 0 ， 1 ) ， g ( t ) = 3 sin ( π 2 t ) ， ( ε i 1 ， ⋯ ， ε i T ) T ~ N ( ( 0 ， ⋯ ， 0 ) T ， σ 2 R ( ρ ) ) ，令 σ 2 = 1 ， R ( ρ ) 分别取可交换结构(Exch)和一阶自相关结构(AR-1)，参数 ρ 选取0.3和0.7两个数值，取n = 50，100；m = 3，10。估计时所用的工作相关性矩阵分别选取独立结构(Ind)、可交换结构(Exch)和一阶自相关结构(AR-1)。令数据以概率 δ 受到来自分布 χ 2 ( 5 ) − 5 的污染，考虑 δ = 0.05 ， 0.1 和0.2三种不同的污染程度。由n、m、 ρ 和 δ 的不同取值以及真实相关矩阵的不同结构共得到24种不同的情形，每种情形分别进行1000次模拟，计算出对应的偏(Bias)、均方误差(MSE)、覆盖率(CP)以及置信区间宽度(Width)，结果列在下文的表格和图中。 表1所列为四种估计的偏(Bias)与均方误差(MSE)的计算数值，其中 β ^ ( Xue ) 表示用Xue的方法得到 Table 1 The bias and mean squared error of estimator δ β ^ Exch AR−1 ρ = 0.3 ρ = 0.7 ρ = 0.3 ρ = 0.7 Bias MSE Bias MSE Bias MSE Bias MSE n = 50， m = 3 0.05 β ^ ( Xue ) −0.0515 0.0439 −0.0596 0.0430 −0.0749 0.0554 −0.0391 0.0484 β ^ ( Exch ) −0.0422 0.0242 −0.0470 0.0215 −0.0680 0.0395 −0.0402 0.0250 β ^ ( AR-1 ) −0.0415 0.0244 −0.0448 0.0221 −0.0680 0.0395 −0.0372 0.0242 β ^ ( Ind ) −0.0443 0.0258 −0.0463 0.0290 −0.0681 0.0408 −0.0326 0.0311 0.1 β ^ ( Xue ) −0.0691 0.0596 −0.0559 0.0595 −0.0553 0.0574 −0.0458 0.0566 β ^ ( Exch ) −0.0566 0.0322 −0.0428 0.0296 −0.0427 0.0357 −0.0362 0.0225 β ^ ( AR-1 ) −0.0576 0.0323 −0.0415 0.0298 −0.0416 0.0352 −0.0339 0.0216 β ^ ( Ind ) −0.0575 0.0331 −0.0428 0.0360 −0.0478 0.0370 −0.0436 0.0291 0.2 β ^ ( Xue ) −0.1047 0.0820 −0.0329 0.0746 −0.0640 0.0759 −0.0655 0.0707 β ^ ( Exch ) −0.0694 0.0335 −0.0359 0.0314 −0.0457 0.0313 −0.0396 0.0225 β ^ ( AR-1 ) −0.0677 0.0328 −0.0396 0.0329 −0.0440 0.0296 −0.0362 0.0223 β ^ ( Ind ) −0.0697 0.0339 −0.0354 0.0396 −0.0490 0.0317 −0.0396 0.0276 n = 50， m = 10 0.05 β ^ ( Xue ) −0.0291 0.0103 −0.0239 0.0093 −0.0102 0.0103 −0.0197 0.0102 β ^ ( Exch ) −0.0203 0.0053 −0.0192 0.0029 −0.0095 0.0059 −0.0143 0.0046 β ^ ( AR-1 ) −0.0196 0.0057 −0.0191 0.0035 −0.0104 0.0056 −0.0189 0.0033 β ^ ( Ind ) −0.0209 0.0064 −0.0191 0.0057 −0.0102 0.0061 −0.0143 0.0060 0.1 β ^ ( Xue ) −0.0328 0.0149 −0.0173 0.0120 −0.0278 0.0127 −0.0196 0.0139 β ^ ( Exch ) −0.0255 0.0065 −0.0190 0.0044 −0.0180 0.0063 −0.0136 0.0052 β ^ ( AR-1 ) −0.0242 0.0068 −0.0177 0.0053 −0.0180 0.0056 −0.0160 0.0041 β ^ ( Ind ) −0.0236 0.0074 −0.0160 0.0068 −0.0189 0.0064 −0.0132 0.0062 0.2 β ^ ( Xue ) −0.0237 0.0175 −0.0243 0.0190 −0.0195 0.0184 −0.0203 0.0188 β ^ ( Exch ) −0.0188 0.0063 −0.0189 0.0042 −0.0145 0.0075 −0.0144 0.0061 β ^ ( AR-1 ) −0.0187 0.0068 −0.0164 0.0049 −0.0140 0.0074 −0.0142 0.0051 β ^ ( Ind ) −0.0183 0.0073 −0.0200 0.0060 −0.0134 0.0074 −0.0165 0.0070 n = 100， m = 3 0.05 β ^ ( Xue ) −0.0388 0.0162 −0.0425 0.0188 −0.0271 0.0170 −0.0395 0.0196 β ^ ( Exch ) −0.0294 0.0101 −0.0265 0.0071 −0.0225 0.0098 −0.0300 0.0073 β ^ ( AR-1 ) −0.0319 0.0103 −0.0269 0.0076 −0.0241 0.0098 −0.0279 0.0070 β ^ ( Ind ) −0.0318 0.0110 −0.0279 0.0106 −0.0242 0.0107 −0.0311 0.0114 0.1 β ^ ( Xue ) −0.0378 0.0224 −0.0326 0.0199 −0.0240 0.0221 −0.0408 0.0267 β ^ ( Exch ) −0.0238 0.0112 −0.0202 0.0064 −0.0250 0.0117 −0.0313 0.0120 β ^ ( AR-1 ) −0.0221 0.0111 −0.0213 0.0062 −0.0243 0.0115 −0.0328 0.0117 β ^ ( Ind ) −0.0230 0.0115 −0.0260 0.0093 −0.0255 0.0118 −0.0296 0.0151 0.2 β ^ ( Xue ) −0.0572 0.0356 −0.0358 0.0274 −0.0198 0.0290 −0.0323 0.0345 β ^ ( Exch ) −0.0244 0.0121 −0.0243 0.0100 −0.0197 0.0109 −0.0261 0.0121 β ^ ( AR-1 ) −0.0249 0.0122 −0.0219 0.0099 −0.0198 0.0108 −0.0240 0.0123 β ^ ( Ind ) −0.0261 0.0128 −0.0261 0.0137 −0.0208 0.0111 −0.0228 0.0143 n = 100， m = 10 0.05 β ^ ( Xue ) −0.0138 0.0050 −0.0143 0.0054 −0.0167 0.0050 −0.0055 0.0053 β ^ ( Exch ) −0.0108 0.0022 −0.0074 0.0012 −0.0140 0.0028 −0.0116 0.0024 β ^ ( AR-1 ) −0.0105 0.0026 −0.0067 0.0014 −0.0148 0.0027 −0.0099 0.0017 β ^ ( Ind ) −0.0106 0.0029 −0.0100 0.0027 −0.0136 0.0029 −0.0080 0.0032 0.1 β ^ ( Xue ) −0.0177 0.0068 −0.0148 0.0063 −0.0136 0.0058 −0.0173 0.0059 β ^ ( Exch ) −0.0096 0.0026 −0.0112 0.0014 −0.0111 0.0026 −0.0118 0.0024 β ^ ( AR-1 ) −0.0101 0.0027 −0.0114 0.0017 −0.0119 0.0025 −0.0100 0.0018 β ^ ( Ind ) −0.0110 0.0030 −0.0145 0.0028 −0.0114 0.0027 −0.0130 0.0030 0.2 β ^ ( Xue ) −0.0145 0.0092 −0.0131 0.0111 −0.0168 0.0098 −0.0142 0.0087 β ^ ( Exch ) −0.0095 0.0025 −0.0103 0.0027 −0.0135 0.0041 −0.0092 0.0025 β ^ ( AR-1 ) −0.0094 0.0026 −0.0104 0.0035 −0.0130 0.0037 −0.0072 0.0022 β ^ ( Ind ) −0.0096 0.0029 −0.0091 0.0042 −0.0127 0.0041 −0.0109 0.0031 表1. 估计的偏(Bias)与均方误差(MSE) 的估计， β ^ ( Exch ) 、 β ^ ( AR-1 ) 和 β ^ ( Ind ) 表示本文方法利用不同工作相关性矩阵结构得到的估计，第一行的Exch和AR-1表示真实的相关性矩阵的结构。通过比较可以发现，在多数情形下，本文估计量(不论利用何种工作相关矩阵结构)的偏差要更加接近于0；而在所有情形下，本文估计量的均方误差要远远小于Xue的估计，大多不到其一半，这表明本文构建的估计量有较强的稳健性。当污染率增加时，四种估计的均方误差也随之增加，这是由于污染数据的比例增加导致估计结果的波动增大，而相对于Xue的方法本文估计量的均方误差仍处于较低的水平。当n或m增大时，四种估计的均方误差都减小，这是由于样本量增大导致估计的方差减小。 图1表示真实的相关性矩阵结构为Exch时的不同情形下四种估计的均方误差，其中圆圈符号代表Xue的估计，三角形代表本文提出的估计，显然在所有情形下本文方法的均方误差都远小于Xue的方法。图1中的前3个三角表示在n = 50，m = 3， ρ = 0.3 ，污染率为0.05时分别利用Exch、AR-1和Ind三种工作矩阵结构得到的估计，可以发现工作矩阵用Exch结构得到的估计的均方误差最小，用AR-1结构得到的结果与之相近，用Ind结构(即不考虑组内相关性)得到的估计的均方误差最大。前3个圆圈表示对应情形下Xue的估计，由于Xue的估计没有用到工作相关矩阵，因此得到的估计相同，于是这三个圆圈处 于相同的高度。从圆圈的分布可以看出3个圆圈为一个阶梯，第1~3个阶梯所处情形的区别在于污染率分别为0.05、0.1和0.2，于是均方误差呈现上升的趋势；前3个阶梯与随后的3个阶梯所处情形的区别在于相关性参数的不同，因此这两段阶梯形状和高度相似；前6个阶梯与随后的6个阶梯所处情形的区别在于m分别取3和10，m取10时样本量增加了大约两倍，估计的均方误差更小，于是第7~12个阶梯要明显低于前6个阶梯。对三角形的走势进行同样的分析也能得出类似的结果，而且在每个三角形的阶梯中，总是第1个三角形最低，第3个三角形最高，这表明当模型中存在组内相关性而在估计时忽略相关性(用Ind工作矩阵)得到的估计效率最低，而选取的工作矩阵结构为真实的结构时估计的效率最高。 表2列出的是n = 50，m = 3时不同情形下四种方法求出的置信水平为95%的置信区间的覆盖率(CP) 图1. 不同情形下四种估计的均方误差 Table 2 Coverage probabilities and width of the confidence interva δ β ^ Exch AR-1 ρ = 0.3 ρ = 0.7 ρ = 0.3 ρ = 0.7 CP Width CP Width CP Width CP Width 0.05 β ^ ( Xue ) 91.6% 0.6858 89.5% 0.7033 90.7% 0.6940 90.9% 0.6895 β ^ ( Exch ) 91.8% 0.6086 90.0% 0.5140 92.2% 0.6280 91.0% 0.5294 β ^ ( AR-1 ) 92.1% 0.6157 89.1% 0.5372 92.3% 0.6232 91.2% 0.5217 β ^ ( Ind ) 91.9% 0.6279 91.1% 0.6438 91.6% 0.6413 92.4% 0.6361 0.1 β ^ ( Xue ) 90.9% 0.7808 89.4% 0.7872 88.6% 0.7810 91.0% 0.7944 β ^ ( Exch ) 91.9% 0.6524 91.7% 0.5729 88.7% 0.6553 91.1% 0.5949 β ^ ( AR-1 ) 91.3% 0.6586 91.3% 0.5929 89.2% 0.6527 91.8% 0.5919 β ^ ( Ind ) 91.5% 0.6710 90.4% 0.6727 89.3% 0.6649 91.7% 0.6704 0.2 β ^ ( Xue ) 90.7% 0.9642 89.7% 0.9621 91.3% 0.9636 90.8% 0.9579 β ^ ( Exch ) 91.9% 0.7466 91.9% 0.6930 91.5% 0.7878 90.4% 0.7080 β ^ ( AR-1 ) 91.5% 0.7517 91.8% 0.7100 91.4% 0.7871 90.9% 0.7106 β ^ ( Ind ) 92.0% 0.7577 92.0% 0.7565 91.3% 0.7861 90.5% 0.7578 表2. 置信区间的覆盖率(CP)和宽度(Width) 和宽度(Width)，第一行的Exch和AR-1表示真实的相关性矩阵的结构。通过比较可以发现，在几乎所有情形下，与用Xue的方法求出的置信区间相比，本文方法(不论用何种工作相关矩阵结构)得到的置信区间的覆盖率更加接近真实的置信水平95%，而且宽度更小，这表明用本文方法进行统计推断能够得到更加稳健的结果。通过比较利用三种不同的工作相关结构得到的结果发现，当模型中存在组内相关性而在统计推断时忽略相关性(用Ind工作矩阵)得到的结果最差，而选取的工作矩阵结构为真实的结构时统计推断的结果最好。从表2中还可以看出，污染率由0.05增大到0.2时，置信区间的宽度也相应增加，这是由于数据污染越严重，估计量的波动越大，达到相同的置信率所需要的置信区间也随之扩大。