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user: 3. 基于GM (1， 1)模型的湖南省人口老龄化趋势预测 3.1. 构造GM (1， 1)模型 3.1.1. GM (1， 1)模型的基本概念 GM (1， 1)模型又称灰色预测模型 [ 13 ] 。灰色系统是黑箱概念的一种推广，把信息完全确定的系统定义为白色系统，把信息完全不确定的系统定义为黑色系统，显然灰色系统就是介于这两者之间的，既含有确定的信息又含有不确定的信息。灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法，其中心思想是通过对原始数列进行累加生成新的序列，以削弱原始数据的随机性，从而呈现出比较明显的规律；灰色预测模型是利用少量的、不完全的信息建立数学模型进行预测。它的优点是预测所需数据较少、计算方便、结果精度较高、预测成本少，因此在各个领域的预测中都有着广泛的应用。 3.1.2. GM (1， 1)模型的构造步骤 灰色理论认为系统的行为尽管是不完全确定的的、数据是复杂的，但它一定是有序的、有整体功能的。灰数的生成，就是从杂乱中寻找规律。同时，灰色理论建立的不是原始数据模型，而是生成数据模型。因此，灰色预测的数据是通过生成数据的GM (1， 1)模型所得到预测值的逆处理结果。 第一步，设非负原始序列。 X ( 0 ) = { x ( 0 ) ( 1 ) ， x ( 0 ) ( 2 ) ， ⋯ x ( 0 ) ( n ) } 第二步，建立一阶线性微分方程，即GM (1， 1)模型。 对 X ( 0 ) 作一次累加： X ( 1 ) ( k ) = ∑ i = 1 k x ( 0 ) ( i ) ; k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 得到生成数列为： X ( 1 ) = { x ( 1 ) ( 1 ) ， x ( 1 ) ( 2 ) ， ⋯ x ( 1 ) ( n ) } 于是 x ( 0 ) ( k ) 的GM(1， 1)白化微分方程为 d x ( 1 ) / d t + a x ( 1 ) = u ，其中 a ， u 为待定参数，分别称为发展系数和灰色作用量。 第三步，对累加生成数据做均值生成B与常数项向量 Y n ，即 B = ( − 1 2 ( x ( 1 ) ( 1 ) + x ( 1 ) ( 2 ) ) 1 − 1 2 ( x ( 1 ) ( 2 ) + x ( 1 ) ( 3 ) ) 1 ⋯ ⋯ − 1 2 ( x ( 1 ) ( n − 1 ) + x ( 1 ) ( n ) ) )     Y n = ( x ( 0 ) ( 2 ) x ( 0 ) ( 3 ) ⋯ x ( 0 ) (n) ) 第四步，用最小二乘法求解参数 a ^ ， u ，则 a ^ = ( B T B ) − 1 B Y n ，   u = d x ( 1 ) d t + a x (1) 第五步，求解预测方程 X ^ ( t + 1 ) ( 1 ) = ( X ( 0 ) ( 1 ) − u a ) e − u a + u a Table 1 Young workers in the outflow population in Hunan Provinc 年份 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 流动人口 6.28 −140.36 −131.89 −119.21 −102.59 年份 2010年 2011年 2012年 2013年 2014年 流动人口 2.00 −33.53 −26.94 −26.64 −27.11 年份 2015年 流动人口 −30.80 表1. 湖南省流出人口中青年劳动力人口占比 由于 a ^ 是通过最小二乘法求出的近似值，所以该预测方程是一个近似表达式。为了与原序列 X ( 1 ) ( t + 1 ) 区分开来，故记为 X ^ ( 1 ) ( t + 1 ) 。 3.1.3. GM (1， 1)模型的检验 1) 残差检验 按照预测模型计算 X ^ ( 1 ) ( i ) ，并将 X ^ ( 1 ) ( i ) 累减生成 X ^ ( 0 ) ( i ) ，然后计算原始序列 X ( 0 ) ( i ) 与 X ^ ( 0 ) ( i ) 的绝对误差及相对误差序列。 Δ ( 0 ) ( i ) = | X ( 0 ) ( i ) − X ^ ( 0 ) ( i ) | ， Δ ¯ = 1 n ∑ i = 1 n Δ i   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n Φ ( i ) = Δ ( 0 ) ( i ) X ( 0 ) ( i ) × 100 % ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 2) 关联度检验，设： X ^ ( 0 ) ( k ) = { X ^ ( 0 ) ( 1 ) ， X ^ ( 0 ) ( 2 ) ， ⋯ ， X ^ ( 0 ) ( n ) }     X ( 0 ) ( k ) = { X ( 0 ) ( 1 ) ， X ( 0 ) ( 2 ) ， ⋯ ， X ( 0 ) ( n ) } 关联系数定义为： η ( i ) ( k ) = min min | X ^ ( 0 ) ( k ) − X ( 0 ) ( k ) | + ρ max max | X ^ ( 0 ) ( k ) − X ( 0 ) ( k ) | | X ^ ( 0 ) ( k ) − X ( 0 ) ( k ) | + ρ max max | X ^ ( 0 ) ( k ) − X ( 0 ) ( k ) | r = 1 n ∑ i = 1 n η ( i ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 其中， ρ 称为分辨率， 0 < ρ < 1 ，一般取 ρ = 0.5 ； r 称为 X 0 与 X i   的灰色关联度。当 ρ = 0.5 时，关联度 r 大于0.6就满意了。 3) 后验差检验 i) 计算原始序列的标准差 S 1 = ∑ [ X ( 0 ) ( i ) - X ¯ ( 0 ) ( i ) ] 2 n - 1 ii) 计算绝对误差序列的标准差 S 2 = ∑ [ Δ ( 0 ) ( i ) − Δ ¯ ( 0 ) ] 2 n − 1 iii) 计算方差比 c = S 2 S 1 计算小误差概率 P = p { | Δ ( 0 ) ( i ) − Δ ¯ ( 0 ) | } < 0.6745 S 1 令 e i = | Δ ( 0 ) ( i ) − Δ ¯ ( 0 ) | ， S 0 = 0.6745 S 1 ，则 P = p { e i < S 0 } 后验差检验有4个精度等级，如表2所示。 若残差检验、关联度检验、后验差检验都能通过，则可以用所建模型进行预测；否则，应该进行残差修正。 3.2 数据的处理及模型的检验 3.2.1. 关于数据的处理 本文利用2008~2015年湖南省65岁及以上人口数，建立GM (1， 1)模型。 1) 设原始序列为： X ( 0 ) = { 6701.01 ， 6830.90 ， 6948.24 ， 7101.00 ， 7274.91 ， 7354.02 ， 7403.13 ， 7647.40 } 2) 对 X ( 0 ) 作1-AGO，得到 X ( 1 ) = { 6701.0 ， 13531.9 ， 20480.1 ， 27581.1 ， 34856.0 ， 42210.0 ， 49613.2 ， 57260.6 } 3) 构造矩阵B和数据向量Y n ，得到： B = ( − 1011.65 1 − 1700.60 1 − 2403.06 1 − 3121.86 1 − 3853.30 1 − 4591.16 1 − 5343.69 1 ) ，   Y n = ( 683.09 694.82 710.10 727.50 735.40 740.31 764.74 ) 计算 ，得到： B T B = ( 83917877.16 − 22025.32 − 22025.32 7 ) ( B T B ) − 1 = ( 6.84192 E − 08 0.000215279 0.000215279 0.820228066 ) B T Y n = ( − 16169325.7 5055.95 ) a ^ = ( B T B ) − 1 B T Y n = ( − 0.017851195 666.1102456 ) 即： a = − 0.01785 u = 666.1102 Table 2 4 accuracy levels for the difference tes 等级 P C 好 >0.95 <0.35 合格 >0.80 <0.50 勉强合格 >0.70 <0.65 不合格 ≤0.70 ≥0.65 表2. 验差检验的4个精度等级 得出预测模型 X ( 1 ) ( k + 1 ) = 37987.20 e 0.01785 k − 37317.10 3.2.2 预测模型的检验 1) 残差检验 X ^ ( 0 ) = { 6701.0 ， 6841.6 ， 6964.8 ， 7090.3 ， 7217.9 ， 7347.9 ， 7480.3 ， 7615.0 } Δ ( 0 ) = { 0 ， 1.0695 ， 1.6614 ， 1.0748 ， 5.7051 ， 0.6054 ， 7.7185 ， 3.2393 } Φ = { 0 ， 0.1565 % ， 0.2391 % ， 0.1514 % ， 0.7842 % ， 0.0823 % ， 1.0426 % ， 0.4236 % } 模型预测精度较高。 2) 关联度检验 由于只有两个序列，故不再寻找第二级最小差及最大差： η ( i ) = { 1 ， 0.7830 ， 0.6990 ， 0.7822 ， 0.4035 ， 0.8644 ， 0.3333 ， 0.5437 } r = 1 n ∑ i = 1 n η ( i ) = 0.6761 满足 ρ = 0.5时， r > 0.60 3) 后验差检验 S ( 1 ) = ∑ [ X ( 0 ) ( i ) − X ¯ ( 0 ) ] 2 n − 1 = 31.70 ，   S ( 2 ) = ∑ [ Δ ( 0 ) ( i ) − Δ ¯ ( 0 ) ] 2 n − 1 = 4.8201 C = S 2 S 1 = 0.1521   ​   S 0 = 21.3792 e i = | Δ ( 0 ) ( i ) − Δ ( 0 ) ¯ | = { 2.6342 ， 1.5647 ， 0.9728 ， 1.5594 ， 3.0709 ， 2.0288 ， 5.0843 ， 0.6051 } 所有的e都小于21.3792，故P = 1，C < 0.35。 经过检验后模型可用于预测，预测公式为： X ( 1 ) ( k + 1 ) = 37987.20 e 0.01785 k − 37317.10 3.3. 利用GM (1， 1)模型进行预测 利用通过检验的模型对湖南省未来20年65岁及以上人口数量进行预测，预测结果如表3所示。 通过预测结果可知，湖南省老龄人口的数量到2031年将突破1000万人，并且老龄人口数量以1.71%的年增长率扩张，虽然较2005~2010年的年增长率2.60%少了0.89个百分点，但是老龄人口的数量是在逐年递增的，未来20年内平均每年增加15.65万老龄人口，如图3所示，老年人口数持续走高，老年人口基数持续扩大，情况不容乐观，人口老龄化趋势持续发展。