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user: 2. 第三方物流服务决策模型 2.1. 模型描述与假设 考虑由一个零售商和一个第三方物流企业组成的两级供应链，零售商和第三方物流服务商都为风险中性且信息完全共享。供应链中，对市场需求d具有部分信息的零售商销售某一商品。第三方物流企业为其提供物流服务，包括仓储、配送。当零售商将商品物流外包给第三方物流企业管理时，需向第三方物流企业支付一定的服务费用l。 在销售之前，零售商先根据对市场需求的估计以及对第三方物流企业所给的服务配送时间t外包q单位的商品。当向第三方物流企业外包的产品过多时，根据零售商的损失总额，第三方物流企业按照比例 θ ( 0 < θ < 1 ) 进行赔偿；当零售商外包的产品过少时，第三方物流企业的收益也将减少，此时电商平台对于零售商的损失不给予赔偿。由于市场的稳定性，零售商收到产品后按照单位价格p销售产品。 由于市场需求d是时间敏感的，即需求是配送时间t的函数。在本文中假设配送时间与需求成反比关系，并且这种关系呈线性的 [ 4 ] 。本文借鉴这种处理方法，需求函数满足下面的表达式： d = a − b t + ε ，其中 b ( b > 0 ) 是需求对配送时间的敏感因子。在决策过程中需满足的条件 d = a − b t + ε > 0 。Guowei Hua在研究中指出物流成本与物流时间成反方向变动关系，且当物流成本时间很短时，物流成本会急速增加，当物流时间较长时，物流成本增加会相对缓慢 [ 10 ] 。本文也采用同样的处理方法，第三方物流企业提供物 流服务的成本设为如下函数： n = α + β t ，其中 α ( α > 0 ) 是配送时间很长时的仓储与配送物流成本。 β ( β > 0 ) 是配送时间对物流成本影响的敏感因子。符号说明如下： d：商品的需求量 q：商品的物流服务订购量，决策变量 w：商品的单位批发价格 t：商品的配送时间，决策变量 l：商品的物流服务价格 θ ：商品积压时，第三方物流企业赔偿损失的比例 p：商品的单位销售价格 首先第三方物流服务商根据需求的估计给出商品配送时间t，零售商根据时间和需求确定服务订购量q。双方均以各自的利润最大化为目标。 2.2. 零售商的利润模型 ① 当需求量小于订购量，即 d ≤ q 时，由于需求量不足，商品滞销出现积压。在不考虑其他费用且积压产品残值为0的情况下，企业共损失 ( q − d ) ( w + l ) 。此时，第三方物流服务商按照双方商定的赔偿比例 θ 进行赔偿，赔偿总额为 θ ( q − d ) ( w + l ) 。 零售商的利润为： π R = d p − q ( w + l ) + θ ( q − d ) ( w + l ) ② 当需求量大于订购量，即 d > q 时，产品订购不足。但是订购量过少也使得第三方物流服务商失去了一部分收入，此时，第三方物流企业不赔偿损失。 零售商的利润为： π R = q p − q ( w + l ) 综合① ②可得： π R = { d p − q ( w + l ) + θ ( q − d ) ( w + l )                   d ≤ q q p − q ( w + l ) − s                                                             d > q (1) 根据 d = a − b t + ε 化简得到： π R = { q [ p − ( w + l ) ] − ( q − d ) [ p − θ ( w + l ) ]               ε ≤ q − ( a − b t ) q p − q ( w + l )                                                                                 ε > q − ( a − b t ) (2) 则零售商的期望利润为： E π R = q [ p − ( w + l ) ] − [ p − θ ( w + l ) ] ∫ − ∞ q − ( a − b t ) ( q − d ) f ( ε ) d ε (3) 2.3. 第三方物流企业的利润模型 考虑到第三方物流服务商同时也面临着赔偿零售商损失的风险，而不是一味的提高服务订购量和服务价格使利润更高，同时因此第三方物流企业的利润同样和零售商面临的需求有关。 ① 当需求量小于订购量，即 d ≤ q 时，由于需求量不足，商品滞销出现积压。在不考虑其他费用且积压产品残值为0的情况下，第三方物流服务商赔偿总额为 θ ( q − d ) ( w + l ) 第三方物流服务商的利润为： π S = ( l − α − β t ) q − θ ( q − d ) ( w + l ) ② 当需求量大于订购量，即 d > q 时，产品订购不足。第三方物流企业不赔偿损失。 第三方物流服务商业利润为： π S = ( l − α − β t ) q 综合① ②可得： π S = { ( l − α − β t ) q − θ ( q − d ) ( w + l )         d ≤ q ( l − α − β t ) q                                                         d > q (4) 化简得： π S = { ( l − α − β t ) q − θ ( q − d ) ( w + l )           ε ≤ q − ( a − b t ) ( l − α − β t ) q                                                           ε > q − ( a − b t ) (5) 电商平台的期望利润为： E π S = ( l − α − β t ) q − θ ( w + l ) ∫ − ∞ q − ( a − b t ) ( q − d ) f ( ε ) d ε (6) 2.4. 最优化分析 令 G ( q ， t ) = ∫ − ∞ q − ( a − b t ) ( q − d ) f ( ε ) d ε ， G ( q ， t ) 表示需求量小于订购量时商品需求的期望值。显然 G ( q ， t ) ≥ 0 ，进一步， G ( q ， t ) = ∫ − ∞ q − ( a − b t ) ( q − d ) f ( ε ) d ε = [ q − ( a − b t ) ] F [ q − ( a − b t ) ] − ∫ − ∞ q − ( a − b t ) ε f ( ε ) d ε (7) 将 G ( q ， t ) 代入公式(3) (6)中，得到式(8)和(9)： E π R = q [ p − ( w + l ) ] − [ p − θ ( w + l ) ] G ( q ， t ) (8) E π S = ( l − α − β t ) q − θ ( w + l ) G ( q ， t ) (9) 令 S = E π R + E π S 代表零售商和第三方物流服务商的利润总和。 假设零售商和第三方物流服务商都是理性的，双方均已自身利益最大化为目标。在二者的合作中，首先第三方物流服务商根据零售商的需求状况决定最优的配送时间使自己利润最大化，然后由零售商确定最优的订购量。此时，二者的博弈符合完全信息下的动态博弈，可以采用逆向归纳法求解。 根据 f ( ε ) = { 1 2 λ           − λ ≤ ε ≤ λ 0                     其 他 ，可得： F ( q − a + b t ) = q − a + b t + λ 2 λ (10) G ( q ， t ) = ( q − a + b t + λ ) 2 4 λ (11) G ′ q ( q ， t ) = F ( q − a + b t ) = q − a + b t + λ 2 λ (12) G ′ t ( q ， t ) = b F ( q − a + b t + λ ) = b ( q − a + b t + λ ) 2 λ (13) 定理1：在随机变量 ε ∈ [ − λ ， λ ] 且t一定的情况下，零售商的最优订购量满足： q * = 2 λ [ p − ( w + l ) ] [ p − θ ( w + l ) ] + ( a − b t − λ ) 证明：在第三方物流企业给定的配送时间条件下，对(8)式中的q分别求一阶导和二阶可得： ∂ E π R ∂ q = [ p − ( w + l ) ] − [ p − θ ( w + l ) ] G ′ q ( q ， t ) = [ p − ( w + l ) ] − [ p − θ ( w + l ) ] ( q − a + b t + λ ) 2 λ ∂ 2 E π R ∂ q 2 = − ( p − θ ( w + l ) ) 2 λ < 0 由上式可知，对于给定的t，零售商的收益函数 π R 是关于q的凹函数；因此，令 ∂ E π R ∂ q = 0 得最佳服务订购量 q * = 2 λ [ p − ( w + l ) ] [ p − θ ( w + l ) ] + ( a − b t − λ ) 。 定理2：在随机变量 ε ∈ [ − λ ， λ ] 且q一定的情况下，第三方物流服务商的最优配送时间t满足： t * = 2 β λ ( p − w − l ) + β ( a − λ ) b ( l − α ) 证明：假设二级供应链内部信息是完全共享的，第三方物流企业能够预先知道零售商会根据自身配 送时间选择合适采购量，结合自身的期望利润函数。将 q * = 2 λ [ p − ( w + l ) ] [ p − θ ( w + l ) ] + ( a − b t − λ ) 代入到式(9)中得： E π S = ( l − α − β t ) q * − θ ( w + l ) G ( q * ， t ) = ( l − α − β t ) { 2 λ [ p − ( w + l ) ] [ p − θ ( w + l ) ] + ( a − b t − λ ) } − θ ( w + l ) [ p − ( w + l ) p − θ ( w + l ) ] 2 (14) 对式(14)求取配送时间t的一阶导数和二阶导数得： ∂ E π S ∂ t = β t 2 { 2 λ [ p − ( w + l ) ] [ p − θ ( w + l ) ] + ( a − b t − λ ) } − b ( l − α − β t ) ∂ E 2 π S ∂ t 2 = − 2 β t 3 { 2 λ [ p − ( w + l ) ] [ p − θ ( w + l ) ] + ( a − b t − λ ) } − 2 b β t 2 < 0 由以上可知，在服务订购量固定的情况下，第三方物流服务商的利润是关于配送时间t的凹函数， 有最优的配送时间使第三方物流服务商的利润取得最大值。令 ∂ π S ∂ t = 0 求得： t * = 2 β λ ( p − w − l ) + β ( a − λ ) b ( l − α ) 将 t * 代入到 q * 中得： q * = 2 λ ( p − w − l ) p − θ ( w + l ) + ( a − λ ) − 2 β b λ ( p − w − l ) + β b ( a − λ ) l − α 综上，可得零售商与第三方物流服务商的最优决策解 ( q * ， t * ) 。