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user: 2. 主要内容 2.1. 预备知识 在文献 [ 5 ] 中Chartrand等人给出了下面的结果。 定理2.1.1 [ 5 ] 如果 J ( G ) 是连通的，则 d i a m ( J ( G ) ) ≤ 4 。 在文献 [ 2 ] 中吴和郭根据上面的结果给出了下面的定理。 定理2.1.2 [ 2 ] 对于一个边数不小于1的图G，如果 J ( G ) 是连通的，则： 1) d i a m ( J ( G ) ) = 1 当且仅当 Δ ( J ( G ) ) = 1 ； 2) d i a m ( J ( G ) ) = 4 当且仅当： a) G包含一个子图 C 4 + ， C 4 + 是由给 C 4 ( V ( C 4 ) = { u ， v ， w ， x } ) 中的点u加一个新的邻点， b) 如果G中存在一条边关联v或x，则这条边必须是vx。此外，如果 u ， w ∈ E ( G ) ，则 v x ∈ E ( G ) ， c) G中任意一条除 C 4 以外的边都与u关联； 3) d i a m ( J ( G ) ) = 3 当且仅当： a) G包含 P 5 ， b) 对于G中任意一条不在 P 5 上的边必有一个端点在 P 5 的2度顶点上， c) 同时G不满足(2)中的情况； 4) d i a m ( J ( G ) ) = 2 ，其他。 在本文，我们主要根据上面对线图的补图的刻画来计算线图的补图的Wiener指标。 2.2. 直径小于等于2 引理2.2.1 如果 d i a m ( J ( G ) ) ≤ 2 ， e ( G ) = m ， v ( G ) = n ，则 W ( G ) = n ( n − 1 ) − m 。 证明：因为 d i a m ( J ( G ) ) ≤ 2 ，所以对于任意的点 u ， v ∈ V ( G ) ，u和v之间的距离为1或2。因此 W ( G ) = m + 2 ( ( n 2 ) − m ) = n ( n − 1 ) − m . 定理2.2.2对于一个边数为m的图G，如果 d i a m ( J ( G ) ) ≤ 2 ，则 W ( J ( G ) ) = 1 2 m ( m − 3 ) + 1 2 ∑ v ∈ V ( G ) d G 2 (v) 证明：因为 e ( J ( G ) ) + e ( L ( G ) ) = ( m 2 ) ，所以 e ( J ( G ) ) = ( m 2 ) − e ( L ( G ) ) = 1 2 m ( m − 1 ) − e ( L ( G ) ) ， 其中 e ( L ( G ) ) = ∑ v ∈ V ( G ) ( d G ( v ) 2 ) = 1 2 ∑ v ∈ V ( G ) ( d G 2 ( v ) − d G ( v ) ) = 1 2 ∑ v ∈ V ( G ) d G 2 ( v ) − m 。 所以由引理2.2.1知： W ( J ( G ) ) = m ( m − 1 ) − e ( J ( G ) ) = 1 2 m ( m − 1 ) + e ( L ( G ) ) = 1 2 m ( m − 3 ) + 1 2 ∑ v ∈ V ( G ) d G 2 ( v ) . 2.3. 直径等于3 由定理2.1.2知：当 d i a m ( J ( G ) ) = 3 ，则图G的结构如图1所示。 令 V ′ 和 E ′ 分别作为 P 5 的顶点集和边集，且 V ′ = { v 1 ， v 2 ， v 3 ， v 4 ， v 5 } ， E ′ = { e 1 ， e 2 ， e 3 ， e 4 } 。假设 d G ( v 2 ) = d 2 + 2 ， d G ( v 3 ) = d 3 + 2 ， d G ( v 4 ) = d 4 + 2 并且 | N G ( v 2 ) n ∩ N G ( v 3 ) | = n 1 ， | N G ( v 3 ) n ∩ N G ( v 4 ) | = n 2 ， | N G ( v 2 ) n ∩ N G ( v 4 ) | = n 3 ，显然 n 1 ≤ min { d 2 ， d 3 } ， n 2 ≤ min { d 3 ， d 4 } ， n 3 ≤ min { d 2 ， d 4 } 。 定理2.3.1对于一个边数为m的图G，如果 d i a m ( J ( G ) ) = 3 ，则 W ( J ( G ) ) = d 2 2 + d 3 2 + d 4 2 + d 2 d 3 + d 3 d 4 + d 2 d 4 + 5 ( m − 4 )     − ( n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 ) + 2 ( n 1 + n 2 ) + 2 n 3 + 10 ， 其中 m − 4 = d 2 + d 3 + d 4 且 n 1 + n 2 + n 3 ≤ m − 4 。 图1. P 5 + 证明：首先 W ( J ( P 5 ) ) = W ( P 4 ) = 10 。 如果 G ≠ P 5 ，对于任意边 v i x ∈ E ( G ) ( i = 2 ， 3 ， 4 ) 且 x ∉ V ′ ，则在 J ( G ) 中 v i x 到 v 1 v 2 ， v 2 v 3 ， v 3 v 4 ， v 4 v 5 的距离之和为6。令 S = V ( G ) \ V ′ 且 M = E ( G ) \ E ′ 。有 W ( J ( G ) ) = W ( J ( P 5 ) ) + 6 ( m − 4 ) + W ( M ) ， 其中 W ( M ) = ∑ i ， j ∈ { 2 ， 3 ， 4 } ， x ， y ∈ S d J ( G ) ( v i x ， v j y ) 。 现在我们来计算 W ( M ) ： 对于任意边 v 2 x ， v 3 x ∈ E ( G ) 和 v 3 y ， v 4 y ∈ E ( G ) 其中 x ， y ∈ S ，则 d J ( G ) ( v 2 x ， v 3 x ) = d J ( G ) ( v 3 y ， v 4 y ) = 2 。因此 W 11 = ∑ x ∈ S d J ( G ) ( v 2 x ， v 3 x ) + ∑ y ∈ S d J ( G ) ( v 3 y ， v 4 y ) = 2 ( n 1 + n 2 ) . 对于任意边 v 2 x ， v 4 x ∈ E ( G ) ( x ∈ S ) ，则 d J ( G ) ( v 2 x ， v 4 x ) = 3 。因此 W 12 = ∑ x ∈ S d J ( G ) ( v 2 x ， v 4 x ) = 3 n 3 . 对于任意边 v i x ， v j y ∈ E ( G ) ( x ， y ∈ S ， i ， j ∈ { 2 ， 3 ， 4 } 且 i ≠ j ) ，则 d J ( G ) ( v i x ， v j y ) = 1 。因此 W 13 = ∑ i ， j ∈ { 2 ， 3 ， 4 } ， i ≠ j x ， y ∈ S ， x ≠ y d J ( G ) ( v i x ， v j y ) = d 2 d 3 + d 2 d 4 + d 3 d 4 − ( n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 ) . 对于任意边 v i x ， v i y ∈ E ( G ) ( x ， y ∈ S ， i ∈ ( 2 ， 3 ， 4 ) ) ，则 d J ( G ) ( v i x ， v i y ) = 2 。因此 W 14 = ∑ i ∈ { 2 ， 3 ， 4 } ， x ， y ∈ S d J ( G ) ( v 2 x ， v 4 y ) = d 2 2 + d 3 2 + d 4 2 − ( d 2 + d 3 + d 4 ) . 综上所述： W ( M ) = W 11 + W 12 + W 13 + W 14 = d 2 2 + d 3 2 + d 4 2 + d 2 d 3 + d 2 d 4 + d 3 d 4 − ( m − 4 )     − ( n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 ) + 2 ( n 1 + n 2 ) + 3 n 3 . 因此 W ( J ( G ) ) = d 2 2 + d 3 2 + d 4 2 + d 2 d 3 + d 2 d 4 + d 3 d 4 + 5 ( m − 4 )     − ( n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 ) + 2 ( n 1 + n 2 ) + 3 n 3 + 10 . 2.4. 直径等于4 由定理2.1.2知：当 d i a m ( J ( G ) ) = 4 ，G有三种结构形式 G n ， H n 和 F n ，如图2所示。 V ( G n ) = { u ， v ， w ， x ， y 1 ， ⋯ ， y n − 4 } ， E ( G n ) = { u v ， u w ， w x ， x u } ∪ { u y i | 1 ≤ i ≤ n − 4 } . V ( H n ) = { u ， v ， w ， x ， y 1 ， ⋯ ， y n − 4 } ， E ( H n ) = { u v ， u w ， w x ， x u ， v x } ∪ { u y i | 1 ≤ i ≤ n − 4 } . V ( F n ) = { u ， v ， w ， x ， y 1 ， ⋯ ， y n − 4 } ， E ( F n ) = { u v ， u w ， w x ， x u ， v x ， u w } ∪ { u y i | 1 ≤ i ≤ n − 4 } . 图2. G n ， H n 和 F n 定理2.4.1 对于一个点数为n的图G，如果 d i a m ( J ( G ) ) = 3 ，则 W ( J ( G ) ) = { n 2 − 3 n + 10 ，     若 G ≅ G n ; n 2 − 2 n + 11 ，     若 G ≅ H n ; n 2 + 23 ，                 若 G ≅ F n . 证明：对于任意图G，如果 G ≅ G n ，则对于任意边 ，有 d J ( G ) ( u y i ， u y j ) = 2 。因此 W 21 = ∑ i ， j ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 4 } d J ( G ) ( u y i ， u y j ) = 2 ( n − 4 2 ) = n 2 − 9 n + 20 . 对于任意边 u y i ， u v ， u x ∈ E ( G ) ( i ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 4 } ) ，则 d J ( G ) ( u y i ， u v ) = d J ( G ) ( u y i ， u x ) = 2 。因此 W 22 = ∑ i ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 4 } d J ( G ) ( u y i ， u v ) + ∑ i ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 4 } d J ( G ) ( u y i ， u x ) = 2 × 2 ( n − 4 ) = 4 n − 16 . 对于任意边 u y i ， w v ， w x ∈ E ( G ) ( i ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 4 } ) ，显然 d J ( G ) ( u y i ， w v ) = d J ( G ) ( u y i ， w x ) = 1 。因此 W 23 = ∑ i ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 4 } d J ( G ) ( u y i ， w v ) + ∑ i ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 4 } d J ( G ) ( u y i ， w x ) = 2 × ( n − 4 ) = 2 n − 8 . 同理， d J ( G ) ( u x ， x w ) = d J ( G ) ( u v ， v w ) = 3 ， d J ( G ) ( u x ， u v ) = 4 ， d J ( G ) ( w v ， w x ) = 2 ， d J ( G ) ( w x ， u v ) = d J ( G ) ( u x ， v w ) = 1 。 综上所述： W ( M ) = W 21 + W 22 + W 23 + d J ( G ) ( u x ， x w ) + d J ( G ) ( u v ， v w ) + d J ( G ) ( u x ， u v )     + d J ( G ) ( w v ， w x ) + d J ( G ) ( w x ， u v ) + d J ( G ) ( u x ， v w ) = n 2 − n + 20 + 4 n − 16 + 2 n − 8 + 2 × 3 + 4 + 2 + 2 × 1 = n 2 − 3 n + 10 . 根据上面的方法我们得到，若 G ≅ H n 或 G ≅ F n ，有 W ( J ( G ) ) = { n 2 − 2 n + 11 ，       若 G ≅ H n ; n 2 + 23 ，                   若 G ≅ F n .