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user: 3. 交错代数双模的无穷小形变 定义3.1 [ 2 ] 设 ( A ， ∘ ) 是交错代数并且V是向量空间， L ， R : A → E n d ( V ) 是两个线性映射。如果对任意的 x ， y ∈ A ，有 L ( x 2 ) = L ( x ) L ( x ) (3.1) R ( x 2 ) = R ( x ) R ( x ) (3.2) R ( y ) L ( x ) − L ( x ) R ( y ) = R ( x ∘ y ) − R ( y ) R ( x ) (3.3) L ( y ∘ x ) − L ( y ) L ( x ) = L ( y ) R ( x ) − R ( x ) L ( y ) (3.4) 则称V或 ( V ， L ， R ) 是A的双模，简称A-双模。 命题3.1 设 ( A ， ∘ ) 是交错代数， ( A ， ∘ t ) 是 ( A ， ∘ ) 的形变， ( V ， L ， R ) 是交错代数 ( A ， ∘ ) 的双模， σ : A → E n d ( V ) 和 τ : A → E n d ( V ) 是线性映射，利用 σ ， τ 定义两个线性映射 L t ， R t : A → E n d ( V ) ，其中 L t ( x ) = L ( x ) + t σ ( x ) ， R t ( x ) = R ( x ) + t τ ( x ) ， ∀ x ∈ A ，t为参数，则 ( V ， L t ， R t ) 是交错代数 ( A ， ∘ t ) 的双模当且仅当对 ∀ x ， y ∈ A ，有下列条件成立： L ( ω ( x ， x ) ) + σ ( x ∘ x ) − L ( x ) σ ( x ) − σ ( x ) L ( x ) = 0 (3.5) σ ( ω ( x ， x ) ) − σ ( x ) σ ( x ) = 0 (3.6) R ( ω ( x ， x ) ) + τ ( x ∘ x ) − R ( x ) τ ( x ) − τ ( x ) R ( x ) = 0 (3.7) τ ( ω ( x ， x ) ) − τ ( x ) τ ( x ) = 0 (3.8) R ( y ) σ ( x ) − σ ( x ) R ( y ) + τ ( y ) L ( x ) − L ( x ) τ ( y ) − R ( ω ( x ， y ) )   − τ ( x ∘ y ) + R ( y ) τ ( x ) + τ ( y ) R ( x ) = 0 (3.9) τ ( y ) σ ( x ) − σ ( x ) τ ( y ) − τ ( ω ( x ， y ) ) + τ ( y ) τ ( x ) = 0 (3.10) L ( y ) τ ( x ) − τ ( x ) L ( y ) + σ ( y ) R ( x ) − R ( x ) σ ( y ) − L ( ω ( y ， x ) )   − σ ( y ∘ x ) + L ( y ) σ ( x ) + σ ( y ) L ( x ) = 0 (3.11) σ ( y ) τ ( x ) − τ ( x ) σ ( y ) − σ ( ω ( y ， x ) ) + σ ( y ) σ ( x ) = 0 (3.12) 证明：由定义3.1， ( V ， L t ， R t ) 是交错代数 ( A ， ∘ t ) 的双模当且仅当 ∀ x ， y ∈ A 满足等式(3.1)~(3.4)。直接计算得 L t ( x ∘ t x ) − L t ( x ) L t ( x ) = t [ L ( ω ( x ， x ) ) + σ ( x ∘ x ) − L ( x ) σ ( x ) − σ ( x ) L ( x ) ] + t 2 [ σ ( ω ( x ， x ) ) − σ ( x ) σ ( x ) ] 由t的任意性， L t ， R t 满足(3.1)当且仅当(3.5)，(3.6)成立。由于 R t ( x ∘ t x ) − R t ( x ) R t ( x ) = t [ R ( ω ( x ， x ) ) + τ ( x ∘ x ) − R ( x ) τ ( x ) − τ ( x ) R ( x ) ] + t 2 [ τ ( ω ( x ， x ) ) − τ ( x ) τ ( x ) ] 由t的任意性， L t ， R t 满足(3.2)当且仅当(3.7)，(3.8)成立。由于 R t ( y ) L t ( x ) − L t ( x ) R t ( y ) − R t ( x ∘ t y ) + R t ( y ) R t ( x ) = t [ R ( y ) σ ( x ) − σ ( x ) R ( y ) + τ ( y ) L ( x ) − L ( x ) τ ( y )     − R ( ω ( x ， y ) ) − τ ( x ∘ y ) + R ( y ) τ ( x ) + τ ( y ) R ( x ) ]     + t 2 [ τ ( y ) σ ( x ) − σ ( x ) τ ( y ) − τ ( ω ( x ， y ) ) + τ ( y ) τ ( x ) ] 由t的任意性， L t ， R t 满足(3.3)当且仅当(3.9)，(3.10)成立。由于 L t ( y ∘ t x ) − L t ( y ) L t ( x ) − L t ( y ) R t ( x ) + R t ( x ) L t ( y ) = − t [ L ( y ) τ ( x ) − τ ( x ) L ( y ) + σ ( y ) R ( x ) − R ( x ) σ ( y )     − L ( ω ( y ， x ) ) − σ ( y ∘ x ) + L ( y ) σ ( x ) + σ ( y ) L ( x ) ]     − t 2 [ σ ( y ) τ ( x ) − τ ( x ) σ ( y ) − σ ( ω ( y ， x ) ) + σ ( y ) σ ( x ) ] 由t的任意性， L t ， R t 满足(3.4)当且仅当(3.11)，(3.12)成立。综上，结论成立。 定义3.2 设 ( A ， ∘ ) 是交错代数， ( V ， L ， R ) 是 ( A ， ∘ ) 的双模。如果 ( A ， ∘ t ) 是 ( A ， ∘ ) 的形变并且 ( V ， L t ， R t ) 是 ( A ， ∘ t ) 的双模，则称 ( ω ， σ ， τ ) 生成A-双模V的一个无穷小形变。 由命题2.2和命题3.1知，交错代数 ( A ， ∘ t ) 的双模 ( V ， L t ， R t ) 是A-双模V的无穷小形变当且仅当 ω ， σ ， τ 满足等式(2.7)~(2.10)和(3.5)~(3.12)。 定义3.3 设 ( V ， L ， R ) 和 ( V ′ ， L ′ ， R ′ ) 分别是交错代数 ( A ， ∘ ) 和 ( A ′ ， ∘ ′ ) 的双模，如果存在交错代数的同态映射 φ A ′ : A ′ → A 和线性映射 φ V ′ : V ′ → V ，且它们满足 φ V ′ L ′ ( x ) = L ( φ A ′ ( x ) ) φ V ′ ， φ V ′ R ′ ( x ) = R ( φ A ′ ( x ) ) φ V ′ ， ∀ x ∈ A ′ 则称( φ A ′ ， φ V ′ )为从双模 ( V ′ ， L ′ ， R ′ ) 到双模 ( V ， L ， R ) 的同态。 定义3.4 设 ( A ， ∘ ) 是交错代数， ( V ， L ， R ) 是A的双模，交错代数 ( A ， ∘ t ) 的双模 ( V ， L t ， R t ) 和交错代数 ( A ， ∘ ′ t ) 的双模 ( V ， L ′ t ， R ′ t ) 分别是A-双模V的两个无穷小形变。如果存在 N ∈ E n d ( A ) 和 S ∈ E n d ( V ) ，使得 ( I d A + t N ， I d V + t S ) 是从双模 ( V ， L ′ t ， R ′ t ) 到双模 ( V ， L t ， R t ) 的同态，即对任意的 x ， y ∈ A ，有下列条件成立： ( I d A + t N ) ( x ∘ ′ t y ) = ( I d A + t N ) ( x ) ∘ t ( I d A + t N ) ( y ) (3.13) ( I d V + t S ) L ′ t ( x ) = L t ( ( I d A + t N ) ( x ) ) ( I d V + t S ) (3.14) ( I d V + t S ) R ′ t ( x ) = R t ( ( I d A + t N ) ( x ) ) ( I d V + t S ) (3.15) 则称这两个无穷小形变是等价的。如果A-双模V的一个无穷小形变和A-双模V是等价的，则称该形变是平凡的。 命题3.2 设 ( A ， ∘ ) 是交错代数， ( V ， L ， R ) 是A的双模， N ∈ E n d ( A ) ， S ∈ E n d ( V ) ， ( A ， ∘ t ) 是 ( A ， ∘ ) 的形变，则 ( A ， ∘ t ) 的双模 ( V ， L t ， R t ) 是平凡的无穷小形变当且仅当对任意的 x ， y ∈ A ，有下列条件成立： ω ( x ， y ) = N ( x ) ∘ y + x ∘ N ( y ) − N ( x ∘ y ) (3.16) N ( ω ( x ， y ) ) = N ( x ) ∘ N ( y ) (3.17) σ ( x ) = L ( N ( x ) ) + L ( x ) S − S L ( x ) (3.18) L ( N ( x ) ) S = S σ ( x ) (3.19) τ ( x ) = R ( N ( x ) ) + R ( x ) S − S R ( x ) (3.20) R ( N ( x ) ) S = S τ ( x ) (3.21) 证明：由平凡无穷小形变的定义知，交错代数 ( A ， ∘ t ) 的双模 ( V ， L t ， R t ) 是平凡的无穷小形变当且仅当对任意的 x ， y ∈ A ，有 ( I d A + t N ) ( x ∘ t y ) = ( I d A + t N ) ( x ) ∘ ( I d A + t N ) ( y ) (3.22) ( I d V + t S ) L t ( x ) = L ( ( I d A + t N ) ( x ) ) ( I d V + t S ) (3.23) ( I d V + t S ) R t ( x ) = R ( ( I d A + t N ) ( x ) ) ( I d V + t S ) (3.24) 考虑等式(3.22)，由于 ( I d A + t N ) ( x ∘ t y ) − ( I d A + t N ) ( x ) ∘ ( I d A + t N ) ( y ) = ( x ∘ y + t ω ( x ， y ) ) + t N ( x ∘ y + t ω ( x ， y ) ) − ( x + t N ( x ) ) ∘ ( y + t N ( y ) ) = t [ ω ( x ， y ) − N ( x ) ∘ y − x ∘ N ( y ) + N ( x ∘ y ) ] + t 2 [ N ( ω ( x ， y ) ) − N ( x ) ∘ N ( y ) ] 则由t的任意性，(3.22)成立当且仅当(3.16)，(3.17)成立。考虑等式(3.23)，由于 ( I d V + t S ) R t ( x ) − R ( ( I d A + t N ) ( x ) ) ( I d V + t S ) = R ( x ) + t τ ( x ) + t S ( R ( x ) + t τ ( x ) ) − R ( x + t N ( x ) ) − t R ( x + t N ( x ) ) S = t [ τ ( x ) − R ( N ( x ) ) − R ( x ) S + S R ( x ) ] + t 2 [ − R ( N ( x ) ) S + S τ ( x ) ] 则由t的任意性，(3.23)成立当且仅当(3.18)，(3.19)成立。考虑等式(3.24)，由于 ( I d V + t S ) R t ( x ) − R ( ( I d A + t N ) ( x ) ) ( I d V + t S ) = R ( x ) + t τ ( x ) + t S ( R ( x ) + t τ ( x ) ) − R ( x + t N ( x ) ) − t R ( x + t N ( x ) ) S = t [ τ ( x ) − R ( N ( x ) ) − R ( x ) S + S R ( x ) ] + t 2 [ − R ( N ( x ) ) S + S τ ( x ) ] 则由t的任意性，(3.24)成立当且仅当(3.20)，(3.21)成立。 综上，交错代数 ( A ， ∘ t ) 的双模 ( V ， L t ， R t ) 是平凡的无穷小形变当且仅当对任意的 x ， y ∈ A ，有(3.16)~(3.21)成立。 定义3.5 如果交错代数 ( A ， ∘ ) 上的线性变换 N : A → A 满足 N ( x ) ∘ N ( y ) = N ( N ( x ) ∘ y + x ∘ N ( y ) − N ( x ∘ y ) ) (3.25) ∀ x ， y ∈ A ，则称N是交错代数 ( A ， ∘ ) 的Nijenhuis算子。 命题3.3 设 ( A ， ∘ ) 是交错代数， ( V ， L ， R ) 是 ( A ， ∘ ) 的双模， N ∈ E n d ( A ) ， S ∈ E n d ( V ) ， σ ， τ : A → E n d ( V ) 是线性映射，如果 N ， S ， σ ， τ 满足(3.16)~(3.21)，则N是交错代数 ( A ， ∘ ) 的Nijenhuis算子，且满足下面两个等式： L ( N ( x ) ) S ( v ) = S ( L ( N ( x ) ) v + L ( x ) S ( v ) − S ( L ( x ) v ) ) ， ∀ x ∈ A ， v ∈ V (3.26) R ( N ( x ) ) S ( v ) = S ( R ( N ( x ) ) v + R ( x ) S ( v ) − S ( R ( x ) v ) ) ， ∀ x ∈ A ， v ∈ V (3.27) 证明： ∀ x ， y ∈ A ，将(3.16)代入(3.17)中，有 N ( x ) ∘ N ( y ) = N ( N ( x ) ∘ y + x ∘ N ( y ) − N ( x ∘ y ) ) 即N是Nijenhuis算子。将(3.18)代入(3.19)中，有(3.26)成立。将(3.20)代入(3.21)中，有(3.27)成立。 命题3.4 设 ( V ， L ， R ) 是交错代数 ( A ， ∘ ) 的双模， N ∈ E n d ( A ) ， S ∈ E n d ( V ) 。如果N是交错代数 ( A ， ∘ ) 的Nijenhuis算子，且S满足(3.26)和(3.27)，定义映射 ω : A ⊗ A → A ， σ ， τ ∈ E n d ( V ) 且 ω ， σ ， τ 满足下列条件： ω ( x ， y ) = N ( x ) ∘ y + x ∘ N ( y ) − N ( x ∘ y ) (3.28) σ ( x ) = L ( N ( x ) ) + L ( x ) S − S L ( x ) (3.29) τ ( x ) = R ( N ( x ) ) + R ( x ) S − S R ( x ) (3.30) 其中 x ， y ∈ A ，则 ( ω ， σ ， τ ) 生成A-双模V的一个平凡的无穷小形变。 证明：要证 ( ω ， σ ， τ ) 生成A-双模V的一个无穷小形变，须证 ( A ， ∘ t ) 是交错代数并且 ( V ， L t ， R t ) 是 ( A ， ∘ t ) 的双模，即证所设 ω ， σ ， τ 满足等式(2.7)~(2.10)和(3.5)~(3.12)。 ∀ x 1 ， x 2 ， y ∈ A ，由于 ω ( k 1 x 1 + k 2 x 2 ， y ) − k 1 ω ( x 1 ， y ) − k 2 ω ( x 2 ， y ) = N ( k 1 x 1 + k 2 x 2 ) ∘ y + ( k 1 x 1 + k 2 x 2 ) ∘ N ( y ) − N ( ( k 1 x 1 + k 2 x 2 ) ∘ y )     − k 1 N ( x 1 ) ∘ y − k 1 x 1 ∘ N ( y ) + k 1 N ( x 1 ∘ y ) − k 2 N ( x 2 ) ∘ y − k 2 x 2 ∘ N ( y ) + k 2 N ( x 2 ∘ y ) = k 1 ( N ( x 1 ) ∘ y + x 1 ∘ N ( y ) − N ( x 1 ∘ y ) − N ( x 1 ) ∘ y − x 1 ∘ N ( y ) + N ( x 1 ∘ y ) )     + k 2 ( N ( x 2 ) ∘ y + x 2 ∘ N ( y ) − N ( x 2 ∘ y ) − N ( x 2 ) ∘ y − x 2 ∘ N ( y ) + N ( x 2 ∘ y ) ) = 0 所以 ω 是双线性映射，又因为 ω ( x 1 ， x 2 ) ∘ y − x 1 ∘ ω ( x 2 ， y ) + ω ( x 1 ∘ x 2 ， y ) − ω ( x 1 ， x 2 ∘ y )   + ω ( x 2 ， x 1 ) ∘ y − x 2 ∘ ω ( x 1 ， y ) + ω ( x 2 ∘ x 1 ， y ) − ω ( x 2 ， x 1 ∘ y ) = ( N ( x 1 ) ∘ x 2 ) ∘ y + ( x 1 ∘ N ( x 2 ) ) ∘ y − N ( x 1 ∘ x 2 ) ∘ y − x 1 ∘ ( N ( x 2 ) ∘ y )     − x 1 ∘ ( x 2 ∘ N ( y ) ) + x 1 ∘ N ( x 2 ∘ y ) + N ( x 1 ∘ x 2 ) ∘ y + ( x 1 ∘ x 2 ) ∘ N ( y ) − N ( ( x 1 ∘ x 2 ) ∘ y ) − N ( x 1 ) ∘ ( x 2 ∘ y ) − x 1 ∘ N ( x 2 ∘ y ) + N ( x 1 ∘ ( x 2 ∘ y ) )     + ( N ( x 2 ) ∘ x 1 ) ∘ y + ( x 2 ∘ N ( x 1 ) ) ∘ y − N ( x 2 ∘ x 1 ) ∘ y − x 2 ∘ ( N ( x 1 ) ∘ y )     − x 2 ∘ ( x 1 ∘ N ( y ) ) + x 2 ∘ N ( x 1 ∘ y ) + N ( x 2 ∘ x 1 ) ∘ y + ( x 2 ∘ x 1 ) ∘ N ( y )     − N ( ( x 2 ∘ x 1 ) ∘ y ) − N ( x 2 ) ∘ ( x 1 ∘ y ) − x 2 ∘ N ( x 1 ∘ y ) + N ( x 2 ∘ ( x 1 ∘ y ) ) = [ ( N ( x 1 ) ∘ x 2 ) ∘ y − N ( x 1 ) ∘ ( x 2 ∘ y ) + ( x 2 ∘ N ( x 1 ) ) ∘ y − x 2 ∘ ( N ( x 1 ) ∘ y ) ]     + [ ( x 1 ∘ N ( x 2 ) ) ∘ y − x 1 ∘ ( N ( x 2 ) ∘ y ) + ( N ( x 2 ) ∘ x 1 ) ∘ y − N ( x 2 ) ∘ ( x 1 ∘ y ) ]     + [ ( x 1 ∘ x 2 ) ∘ N ( y ) − x 1 ∘ ( x 2 ∘ N ( y ) ) + ( x 2 ∘ x 1 ) ∘ N ( y ) − x 2 ∘ ( x 1 ∘ N ( y ) ) ]     + N ( x 1 ∘ ( x 2 ∘ y ) − ( x 1 ∘ x 2 ) ∘ y + x 2 ∘ ( x 1 ∘ y ) − ( x 2 ∘ x 1 ) ∘ y ) = 0 故 ω 满足等式(2.7)。 用同样的方法将 ω ， σ ， τ 代入等式(2.8)~(2.10)和(3.5)~(3.12)，利用已知条件，得以上等式均成立。故 ( ω ， σ ， τ ) 生成A-双模V的一个无穷小形变。由N是交错代数 ( A ， ∘ ) 的Nijenhuis算子及(3.28)知(3.16)和(3.17)成立，由S满足(3.26)且等式(3.29)成立知(3.18)和(3.19)成立，由S满足(3.27)且等式(3.30)成立知(3.20)和(3.21)成立，故此无穷小形变也满足条件(3.16)~(3.21)，也就是说，这个形变是平凡的。综上，此命题得证。