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user: 3. 无向拓扑图下的一阶离散系统的二部一致性 考虑一个一阶离散系统 x i ( k + 1 ) = x i ( k ) + u i ( k ) (1) 设计控制协议 u i ( k ) = − ε ∑ j ∈ N i | a i j | ( x i ( k ) − sgn ( a i j ) x j ( k ) ) (2) 其中 ε > 0 表示步长， sgn ( ⋅ ) 表示符号函数， a i j > 0 表示第i个智能体与第j个智能体相互之间存在合作关系， a i j < 0 表示第i个智能体与第j个智能体相互之间存在竞争关系， a i j = 0 表示第i个智能体与第j个智能体之间不存在信息交流。 对于一个给定的带符号(对称)邻接矩阵A， L = [ l i h ] n × n 表示与通信拓扑图 G ( A ) 相对应的Laplacian矩 阵，定义如下： L = C − A ，其中 l i h = { ∑ j ∈ N i | a i j | ， h = i − a i h ， h ≠ i ， C = d i a g { ∑ j ∈ N 1 | a 1 j | ， ∑ j ∈ N 2 | a 2 j | ， ⋯ ， ∑ j ∈ N n | a n j | } 。 与一般的一致问题不同，本文中邻接矩阵A中的元素 a i j 可正可负可为0，拉普拉斯矩阵L也不再是行和为零的对角占优矩阵。与非负邻接矩阵的一般理论的主要区别在于此时的L可以是正定的。 为了解决矩阵A不是非负矩阵这一问题，我们引入了规范变换。 定义1 [ 9 ] ：规范变换(Gauge Transformation)：规范变换是n维实数空间 R n 中的一种正序变换，通过矩阵 D = d i a g { σ 1 ， σ 2 ， ⋯ ， σ n } ， σ i ∈ { ± 1 } ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 改变 R n 中矩阵的数值符号，用 D * = { D = d i a g { σ 1 ， σ 2 ， ⋯ ， σ n } ， σ i ∈ { ± 1 } } 表示 R n 中所有规范变换的集合。 设 x ( k + 1 ) = [ x 1 ( k + 1 ) x 2 ( k + 1 ) ⋯ x n ( k + 1 ) ] T ，则 x ( k + 1 ) = x ( k ) − ε L x ( k ) = ( I − ε L ) x ( k ) = P ^ x ( k ) (3) 其中 P ^ = I − ε L ，I是单位矩阵。 对系统(4)，令 z ( k ) = D x ( k ) ， D ∈ D * (4) 因为 D − 1 = D ，所以 x ( k ) = D z ( k ) ，由(3) (4)可得 z ( k + 1 ) = D x ( k + 1 ) = D P ^ x ( k ) = D P ^ D − 1 z ( k ) = D ( I − ε L ) D − 1 z ( k ) = ( I − ε D L D − 1 ) z ( k ) = ( I − ε L D ) z ( k ) = P d z ( k ) (5) 其中 P d = I − ε L D ，我们把带有参数 ε 的矩阵 P d 称为Perron阵。 L D = D L D − 1 = D L D 是矩阵L在规范变换下对应的新的Laplacian矩阵， L D 中的元素 l D ， i h 可表示为： l D ， i h = { ∑ j ∈ N i | a i j | ， h = i σ i σ h a i h ， h ≠ i (6) 下面给出了结构平衡的定义及其相关等价条件。 定义2 [ 9 ] ：对于符号图 G ( A ) ，如果存在两个集合 V 1 与 V 2 ，使得 V 1 ∩ V 2 = ∅ ， V 1 ∪ V 2 = V ，并且对任意 v i ， v j ∈ V q ， q ∈ { 1 ， 2 } ，有 a i j ≥ 0 ；对任意 v i ∈ V q ， v j ∈ V r ， q ≠ r ， q ， r ∈ { 1 ， 2 } ，有 a i j ≤ 0 ，则 G ( A ) 是结构平衡的。 引理1 [ 9 ] ：连通的符号图 G ( A ) 是结构平衡的当且仅当下列任意一个等价条件成立： (1) G ( A ) 的所有环是正环； (2) 存在 D ∈ D * ，使得 D A D 是非负矩阵，且在规范变换下得到的新的Laplacian矩阵 L D = [ ∑ j ∈ N 1 | a 1 j | − | a 12 | ⋯ − | a 1 n | − | a 21 | ∑ j ∈ N 2 | a 2 j | ⋯ − | a 2 n | ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ − | a n 1 | − | a n 2 | ⋯ ∑ j ∈ N n | a n j | ] 是行和为零的对角占优矩阵。 (3) 0是L的特征值。 由引理1知，对连通的结构平衡图 G ( A ) 来说，若 ε ∈ ( 0 ， 1 / Δ ) ，则系统(3)的二部一致性就等价于系统(5)的一致性。 由结构平衡的等价条件，我们有： 推论1 [ 9 ] ：当且仅当下列任一条件成立时，连通的符号图 G ( A ) 不是结构平衡的： (1) G ( A ) 有一个或多个环是负的； (2) 不存在 D ∈ D * ，使得 D A D 是非负的； (3) L的所有特征值大于零，即 ϕ ( x ) > 0 。 在结构平衡的情形下，经过规范变换后的新的Laplacian矩阵有什么样的性质呢？ 定义3 [ 13 ] ：若有向图 G ( A ) 对应的邻接矩阵A中的元素 a i j 满足对任意 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， ∑ j ≠ i a i j = ∑ j ≠ i a j i ，则 G ( A ) 是一个平衡图。 定义4 [ 14 ] ：设 A = [ a i j ] n × n ，记 R i = | a i 1 | + | a i 2 | + ⋯ + | a i ， i − 1 | + | a i ， i + 1 | + ⋯ + | a i n | ，称圆域 G i = { s | | s − a i i | ≤ R i ， s ∈ C } ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 为矩阵A的第i个Gershgorin圆，并称 R i 为Gershgorin圆 的半径。 引理2：设 是(强)连通的结构平衡图， 表示图的最大入度，如果 Perron矩阵 的参数 ，则矩阵 具有如下性质： (1) 是一个非负行随机矩阵，并且有一个平凡特征值1； (2) 的所有特征值均在一个单位圆内； (3) 若 是平衡的，则 是一个双随机矩阵； (4) 若 ，则 是一个本原矩阵。 证明：(1) 因为 是(强)连通的结构平衡图，又由引理1可得， 是行和为零的对角占优矩阵，且非对角元素均为非正元素，所以 为 的0特征值对应的特征向量， ，可得 的行和为1且有一个特征值为1，另外： (7) 由引理1可知， 是非负矩阵，又有 ，因此 是非负矩阵。当 时， 的对角元为 ，此时 是非负的。而两个非负矩阵的和还是非负矩阵，因此 是一个非负行随机矩阵。 (2) 令 是 的第j个特征值，则 的第j个特征值为 。由Gershgorin定理， 的所有特征值在圆 内，令 ，则有 ，即 的所有特征值均在一个单位圆内。 (3) 若 是一个平衡图，则 是 的左特征向量，即 ，可得 ，这说明 的列和为1。又由(1)知， 是一个非负行随机矩阵，所以 是一个双随机矩阵。 (4) 若 是强连通的，则 是一个不可约矩阵。对任意 ，令 ，将圆 映射到严格位于单位圆内的圆，其中 ，这说明在 时只有一个模长为1的单特征值，可得 是一个本原矩阵。 引理3 [ 13 ] ：令 是一个本原矩阵，其左、右特征向量分别为 和 ， 满足 ，则 。 定义5 [ 9 ] ：若 ， ，系统(1)可取得二部一致。 定理1：若连通的符号图 是结构平衡的，则系统(1)在协议(2)下可以获得二部一致的解。此外， 若 是规范变换中使得 非负的矩阵，则系统(1)的二部一致的解为 。若 不是结构平衡的，则对 ， 。 证明：若 是结构平衡的，则由引理1，存在 使得 非负且 是行和为零的对角占优矩阵。由于符号图 是无向连通图，可得 与 分别是 的0特征值对应的左特征向量与右特征向量，即 ， ，因而 ， 。由引理2 (4)可知， 是一个本原矩阵，令 ，则由引理3，有： (8) 则 (9) 由 ，得： (10) 若 不是结构平衡的，则 为严格对角占优矩阵。由引理1 (2)知，此时 的所有特征值均在一 个单位圆内，则 ，可得 ， 。