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user: 3. 主要结论 给定一个具有n个互异特征值的 n × n 矩阵 A ˜ 。若对某个 λ ¯ ∈ ℝ ，若 c o r a n k δ ( A ˜ − λ ¯ I n ) = q ，则本文的主要工作是计算给定矩阵 A ˜ 的微小摄动区间矩阵 A ¯ ，以及给定实数 λ ¯ 的微小摄动区间 Λ ^ ，使得在区间矩阵 A ¯ 中存在一个实矩阵 A ^ ，在区间 Λ ^ 中存在一个实数 λ ^ ，算法保证 λ ^ 为矩阵 A ^ 几何重数为q的亏损特征值。 3.1. 数值部分 记 A ˜ − λ ¯ I n 的奇异值分解为 A ˜ − λ ¯ I n = U ( λ ¯ ) Σ ( λ ¯ ) V ( λ ¯ ) T = ( u 1 u 2 ⋯ u n ) d i a g ( σ 1 ， σ 2 ， ⋯ ， σ n ) ( v 1 v 2 ⋯ v n ) T ， 其中 σ 1 ( A ) ≥ ⋯ ≥ σ n − q ( A ) > δ ≥ σ n − q + 1 ( A ) 。引入未定元矩阵 E = ( e 1 ， 1 e 1 ， 2 ⋯ e 1 ， n e 2 ， 1 e 2 ， 2 ⋯ e 2 ， n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ e n ， 1 e n ， 2 ⋯ e n ， n ) (1) 为了简便起见，用 e 表示向量 E ( : ) 。定义矩阵 C ( λ ， e ) = ( A ˜ − λ I n + E L ( λ ¯ ) R T ( λ ¯ ) O q ， q ) (2) 其中 L ( λ ¯ ) = ( u n − q + 1 u n − q + 2 ⋯ u n ) ， R ( λ ¯ ) = ( v n − q + 1 v n − q + 2 ⋯ v n ) 。易知， λ = λ ¯ ， e = 0 时，矩阵 C ( λ ¯ ， e ) 非奇异。 引理2：假设 c o r a n k δ ( A ˜ − λ ¯ I n ) = q ， | λ ˜ − λ ¯ | < ζ 1 且 ‖ e ˜ ‖ ∞ < ζ 2 。如果 ζ 1 + ζ 2 < 1 n + q ‖ C ( λ ¯ ， 0 ) − 1 ‖ ∞ (3) 成立，则当 λ = λ ˜ ， e = e ˜ 时，矩阵 C ( λ ， e ) 非奇异。 证明：由已知可得 ‖ I n + 1 − C ( λ ¯ ， 0 ) − 1 C ( λ ˜ ， e ˜ ) ‖ 2 ≤ n + q ‖ I n + 1 − C ( λ ¯ ， 0 ) − 1 C ( λ ˜ ， e ˜ ) ‖ ∞ ≤ n + q ‖ C ( λ ¯ ， 0 ) − 1 ‖ ∞ ‖ C ( λ ¯ ， 0 ) − C ( λ ˜ ， e ˜ ) ‖ ∞ < n + q ‖ C ( λ ¯ ， 0 ) − 1 ‖ ∞ ( | λ ˜ − λ ¯ | + ‖ e ˜ ‖ ∞ ) < 1. 则由引理1，可知 C ( λ ˜ ， e ˜ ) 非奇异。 □ 令 X ( λ ， e ) 和 Y ( λ ， e ) 分别是下列线性系统 ( A ˜ − λ I n + E L ( λ ¯ ) R T ( λ ¯ ) O q ， q ) ( X ( λ ， e ) Y ( λ ， e ) ) = ( O n ， q I q ) (4) 解的前n行和后q行。由引理2可知，存在以 ( λ ¯ ， 0 ) 为中心的邻域，使得对于该邻域内任意的 ( λ ˜ ， e ˜ ) ，矩阵 C ( λ ˜ ， e ˜ ) 非奇异。进一步，在该邻域内，系统(4)解向量的每个分量关于所有变量都充分可微。对系统(4)两端关于 λ 求导可得下列系统 ( A ˜ − λ I n + E L ( λ ¯ ) R T ( λ ¯ ) O q ， q ) ( ∂ ( l ) X ( λ ， e ) ∂ λ ( l ) ∂ ( l ) Y ( λ ， e ) ∂ λ ( l ) ) = ( l ∂ ( l − 1 ) X ( λ ， e ) ∂ λ ( l − 1 ) O q ， q ) ，     l = 1 ， 2 ， ⋯ (5) 对于 ( i ， j ) ，其中 1 ≤ i ≤ n ， ​   1 ≤ j ≤ n ，对系统(4)关于变量 e i ， j 求偏导，可得 ( A ˜ + E − λ I n L ( λ ¯ ) R T ( λ ¯ ) O q ， q ) ( ∂ X ( λ ， e ) ∂ e i ， j ∂ Y ( λ ， e ) ∂ e i ， j ) = − ( O i − 1 ， q X ( λ ， e ) j ， : O n + q − i ， q ) . (6) 对于 ( i 1 ， j 1 ) ， ( i 2 ， j 2 ) ，其中 1 ≤ i 1 ≤ n ， ​   1 ≤ j 1 ≤ n ，   1 ≤ i 2 ≤ n ， ​   1 ≤ j 2 ≤ n ，对系统(6)关于变量 e i 1 ， j 1 ，   e i 2 ， j 2 求偏导，有 ( A ˜ + E − λ I n L ( λ ¯ ) R T ( λ ¯ ) O q ， q ) ( ∂ ( 2 ) X ( λ ， e ) ∂ e i 1 ， j 1 ∂ e i 2 ， j 2 ∂ ( 2 ) Y ( λ ， e ) ∂ e i 1 ， j 1 ∂ e i 2 ， j 2 ) = − ( O i 1 − 1 ， q ( ∂ X ( λ ， e ) ∂ e i 2 ， j 2 ) j 1 ， : O n + q − i 1 ， q ) − ( O i 2 − 1 ， q ( ∂ X ( λ ， e ) ∂ e i 1 ， j 1 ) j 2 ， : O n + q − i 2 ， q ) . (7) 对于 ( l ， i ， j ) ，其中 l ≥ 1 ，   1 ≤ i ≤ n ， ​   1 ≤ j ≤ n ，系统(5)两端对 e i ， j 求偏导，可得 ( A ˜ − λ I n + E L ( λ ¯ ) R T ( λ ¯ ) O q ， q ) ( ∂ ( l +1 ) X ( λ ， e ) ∂ λ ( l ) e i ， j ∂ ( l +1 ) Y ( λ ， e ) ∂ λ ( l ) e i ， j ) = ( l ∂ ( l ) X ( λ ， e ) ∂ λ ( l − 1 ) e i ， j O q ， q ) − ( O i − 1 ， q ( ∂ ( l ) X ( λ ， e ) ∂ λ ( l ) ) j ， : O n + q − i ， q ) . (8) 对于 ( l ， i 1 ， j 1 ) ， ( l ， i 2 ， j 2 ) ，系统(5)关于变量 e i 1 ， j 1 和 e i 2 ， j 2 求偏导，可得 ( A ˜ + E − λ I n L ( λ ¯ ) R T ( λ ¯ ) O q ， q ) ( ∂ ( l + 2 ) X ( λ ， e ) ∂ λ ( l ) ∂ e i 1 ， j 1 ∂ e i 2 ， j 2 ∂ ( l + 2 ) Y ( λ ， e ) ∂ λ ( l ) ∂ e i 1 ， j 1 ∂ e i 2 ， j 2 ) = ( l ∂ ( l + 1 ) X ( λ ， e ) ∂ λ ( l − 1 ) ∂ e i 1 ， j 1 ∂ e i 2 ， j 2 O q ， q ) − ( O i 1 − 1 ， q ( ∂ ( l + 1 ) X ( λ ， e ) ∂ λ ( l ) ∂ e i 2 ， j 2 ) j 1 ， : O n + q − i 1 ， q ) − ( O i 2 − 1 ， q ( ∂ ( l + 1 ) X ( λ ， e ) ∂ λ ( l ) ∂ e i 1 ， j 1 ) j 2 ， : O n + q − i 2 ， q ) . (9) 注1：对于满足条件 c o r a n k δ ( A ˜ − λ ¯ I n ) = q 的矩阵 A ˜ 及实数 λ ¯ ，数值部分的主要工作是求解以下约束优化问题 min 1 2 ‖ e ‖ 2 2 s .t .   Y ( λ ， e ) = O q ， q ， (10) ∂ ( l ) Y ( λ ， e ) ∂ λ ( l − 1 ) = O q ， q ，   1 ≤ l ≤ k − 1 ， ∂ ( k ) Y ( λ ， e ) ∂ λ ( k ) ≠ O q ， q . (11) 利用牛顿迭代法来计算优化问题(10)的数值稳定点。需要注意的是，条件(11)中出现的正整数k是根据阈值 δ 计算出来的。初始k值应满足以下条件 ‖ ∂ ( k − 1 ) Y ( λ ¯ ， 0 ) ∂ λ ( k − 1 ) ‖ ∞ < δ ，   ‖ ∂ ( k ) Y ( λ ¯ ， 0 ) ∂ λ ( k ) ‖ ∞ ≥ δ . 对于更新的 ( λ ˜ ， e ˜ ) ，如果 ‖ ∂ ( k − 1 ) Y ( λ ¯ ， 0 ) ∂ λ ( k − 1 ) ‖ ∞ < δ 不成立，则需要更新k，使得条件 ‖ ∂ ( k − 1 ) Y ( λ ¯ ， 0 ) ∂ λ ( k − 1 ) ‖ ∞ < δ ，   ‖ ∂ ( k ) Y ( λ ¯ ， 0 ) ∂ λ ( k ) ‖ ∞ ≥ δ . 成立。 □ 注2：令 H e s s ( ∂ ( i ) Y ( λ ， e ) ∂ λ ( i ) ) 为 ∂ ( i ) Y ( λ ， e ) ∂ λ ( i ) 的Hession矩阵，其中 0 ≤ i ≤ k − 1 ，定义非线性系统 F ( λ ， e ) = ( Y ( λ ， e ) ( : ) ∂ Y ( λ ， e ) ∂ λ ( : ) ⋮ ∂ ( k − 1 ) Y ( λ ， e ) ∂ λ ( k − 1 ) ( : ) ) = 0 ， (12) 则优化问题(10)相应的拉格朗日函数为 L ( λ ， e ， ω ) = 1 2 ‖ e ‖ 2 2 + ω T F ( λ ， e ) ， (13) 其中 ω = ( ω 0 ， ω 1 ， ⋯ ， ω k q 2 − 1 ) T 为拉格朗日乘子，函数 L ( λ ， e ， ω ) 的梯度和Hession矩阵分别为 L ′ ( λ ， e ， ω ) = ( 0 e O k q 2 ， 1 ) + ( F ′ ( λ ， e ) T ω F ( λ ， e ) ) ， (14) L ″ ( λ ， e ， ω ) = ( 0 O 1 ， n 2 O 1 ， k q 2 O n 2 ， 1 I n 2 O n 2 ， k q 2 O k q 2 ， 1 O k q 2 ， n 2 O k q 2 ， k q 2 ) + ( Hess ( F ( λ ， e ) ) F ′ ( λ ， e ) T F ′ ( λ ， e ) O k q 2 ， k q 2 ) . (15) 注3：数值部分采用牛顿数值迭代法 ( λ ˜ e ˜ ω ˜ ) T ← ( λ ˜ e ˜ ω ˜ ) T − L ″ ( λ ˜ ， e ˜ ， ω ˜ ) − 1 L ′ ( λ ˜ ， e ˜ ， ω ˜ ) (16) 来更新 ( λ ˜ ， e ˜ ， ω ˜ ) ，使得 L ′ ( λ ˜ ， e ˜ ， ω ˜ ) 接近零向量。 □ 3.2. 验证部分 引理3：若向量 ( λ ^ ， e ^ ) 满足条件 Y ( λ ^ ， e ^ ) = O q ， q ，且 | λ ^ − λ ¯ | + ‖ e ^ ‖ ∞ < 1 n + q ‖ C ( λ ¯ ， 0 ) − 1 ‖ ∞ 成立，则 c o r a n k ( A ˜ + E − λ ^ I n ) = q . (17) 证明：根据引理2可知， C ( λ ^ ， e ^ ) 非奇异。若 Y ( λ ^ ， e ^ ) = O q ， q ，则有 ( A ˜ + E ^ − λ ^ I n ) X ( λ ^ ， e ^ ) = O n ， q ，   R T ( λ ^ ) X ( λ ^ ， e ^ ) = I q . 显然， X ( λ ^ ， e ^ ) 是线性无关的。假设 c o r a n k ( A ˜ + E ^ − λ ^ I n ) > q ，对于某非零向量 β ∈ ker ( A ˜ + E ^ − λ ^ I n ) 有 ( W ( λ ^ ， e ^ )   β ) 满秩，则对于非零实向量 γ ，有 ( A ˜ + E ^ − λ ^ I n R T ( λ ^ ) ) ( W ( λ ^ ， e ^ )   β ) γ = 0 . 上式与假设条件矛盾，故(17)成立。 □ 假设1：雅可比矩阵 F ′ ( 0 ) 满秩。 命题1：假设 ( λ ^ ， e ^ ) 是系统(12)的解，且满足条件 | λ ^ − λ ¯ | + ‖ e ^ ‖ ∞ < 1 n + q ‖ C ( λ ¯ ， 0 ) − 1 ‖ ∞ ， 则对每一个正整数l，其中 1 ≤ l ≤ k ，下列向量的序列 ∂ ( t ) X ( λ ^ ， e ^ ) : ， s ∂ λ ( t )   1 ≤ s ≤ q ，   0 ≤ t ≤ l − 1 (18) 构成 ker ( A ˜ + E ^ − λ ^ I n ) l 的基。 证明：设实矩阵 E ^ ∈ ℝ n × n 满足条件 E ^ ( : ) = e ^ 。当 l = 1 时，根据引理3知， W ( λ ^ ， e ^ ) 是 ker ( A ˜ + E ^ − λ ^ I n ) 的一个基。假设正整数 1 ≤ l ≤ k − 1 ，向量组(18)是 ker ( A ˜ + E ^ − λ ^ I n ) l 的一组基。下面考虑 l + 1 时的情况。显然 ker ( ( A ˜ + E ^ − λ ^ I n ) l +1 ) ⊇ span { ∂ ( t ) W ( λ ^ ， e ^ ) : ， s ∂ λ ( t )   1 ≤ s ≤ q ，   0 ≤ t ≤ l } . (19) 接下来证明向量组 ∂ ( t ) X ( λ ^ ， e ^ ) : ， s ∂ λ ( t )   1 ≤ s ≤ q ，   0 ≤ t ≤ l (20) 线性无关。然而，如果存在一个q维非零实向量序列 α ( 0 ) ， α ( 1 ) ， ⋯ ， α ( l ) ，使得 ∑ t = 0 l ∂ ( t ) W ( λ ^ ， e ^ ) ∂ λ ( t ) α ( t ) = 0 ， 则 ∑ t = 1 l ∂ ( t − 1 ) W ( λ ^ ， e ^ ) ∂ λ ( t − 1 ) α ( t ) = 0 ， 由数学归纳法可知向量组 α ( t ) ， t = 1 ， ⋯ ， l 全是零向量。因此 W ( λ ^ ， e ^ ) α ( 0 ) = 0 ，而 W ( λ ^ ， e ^ ) 列向量线性无关，故 α ( 0 ) = 0 成立。综上可得矛盾，所以(20)线性无关。 最后假设存在非零实向量 z 满足条件 z ∈ ker ( A ˜ + E ^ − λ ^ I n ) l +1 \ span { ∂ ( t ) W ( λ ^ ， e ^ ) : ， s ∂ λ ( t )   1 ≤ s ≤ q ，   0 ≤ t ≤ l } ， (21) 则存在不全为零的向量组 β ( t ) ∈ ℝ q ， t = 1 ， ⋯ ， l ，使得 ( A ˜ + E ^ − λ ^ I n ) z = ∑ t = 0 l − 1 ∂ ( t ) W ( λ ^ ， e ^ ) ∂ λ ( t ) β ( t + 1 ) 成立。因此，存在一个q维向量 β ( 0 ) ，使得 z = W ( λ ^ ， e ^ ) β ( 0 ) + ∑ t = 0 l − 1 1 t + 1 ∂ ( t + 1 ) W ( λ ^ ， e ^ ) ∂ λ ( t + 1 ) β ( t + 1 ) ， 这与(21)式矛盾。 □ 注4：利用命题1和verifylss函数可知，验证算法计算包含实向量 ( λ ˜ ， e ˜ ， ω ˜ ) 的区间向量 ( Λ ^ ， E ^ ， W ^ ) ，使得区间向量 ( Λ ^ ， E ^ ， W ^ ) 中包含实向量 ( λ ^ ， e ^ ， ω ^ ) ，其满足条件 L ′ ( λ ^ ， e ^ ， ω ^ ) = 0 。对于包含实向量 ( λ ˜ ， e ˜ ， ω ˜ ) 的任意区间向量 ( Λ ˜ ， E ˜ ， W ˜ ) ，利用定理1和verifylss函数，求解当 λ = Λ ˜ ，   e = Ε ˜ ，   ω = W ˜ 时的线性系统(6) (7) (8) (9)，可得到区间梯度向量 L ′ ( Λ ˜ ， E ˜ ， W ˜ ) 和区间雅可比矩阵 L ″ ( Λ ˜ ， E ˜ ， W ˜ ) 。 □