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user: 3. 一个强收敛算法 受算法(1.4)和(1.5)的启发，下面我们构造一个求解SFP的强收敛算法，并在较弱的条件下证明了算法的收敛性。 算法3.1 设 u ∈ H 1 是固定的， x 0 ∈ H 1 是任意的。给定 x k ，构造 x k + 1 如下： x k + 1 = P C ( α k u + ( 1 − α k ) ( x k − τ k A * ( I − P Q ) A x k ) ) ， (3.1) 其中 { α k } ⊆ ( 0 ， 1 ) ， τ k 由(1.3)给出。 定理3.1假设SFP的解集 S ≠ ∅ ， { α k } 满足条件(C1)，且 inf k ρ k ( 2 − ρ k ) > 0 。则由算法(3.1)生成的序列 { x k } 强收敛到问题(1.1)的一个解v，这里 v = P S ( u ) 。 证明 令 u k = x k − τ k A * ( I − P Q ) A x k ， y k = α k u + ( 1 − α k ) u k 。由于 v ∈ S ，再利用引理2.1，我们有 ‖ u k − v ‖ 2 = ‖ x k − v − τ k A * ( I − P Q ) A x k ‖ 2 = ‖ x k − v ‖ 2 − 2 τ k 〈 ( I − P Q ) A x k − ( I − P Q ) A v ， A x k − A v 〉     + τ k 2 ‖ A * ( I − P Q ) A x k ‖ 2 ≤ ‖ x k − v ‖ 2 − 2 τ k ‖ ( I − P Q ) A x k ‖ 2 + τ k 2 ‖ A * ( I − P Q ) A x k ‖ 2 ≤ ‖ x k − v ‖ 2 − ρ k ( 2 − ρ k ) ‖ ( I − P Q ) A x k ‖ 4 ‖ A * ( I − P Q ) A x k ‖ 2 。(3.2) 以下我们将证明分成5步。 第1步，证明 { x k } ， { u k } 和 { y k } 是有界的。由引理2.1和(3.2)式，我们有 ‖ x k + 1 − v ‖ ≤ ‖ α k ( u − v ) + ( 1 − α k ) ( u k − v ) ‖ ≤ α k ‖ u − v ‖ + ( 1 − α k ) ‖ x k − v ‖ ≤ α k ‖ u − v ‖ + ( 1 − α k ) ‖ x k − v ‖ ≤ max { ‖ u − v ‖ ， ‖ x k − v ‖ } 。 由数学归纳法可得，对所有的 k ≥ 0 ， ‖ x k + 1 − v ‖ ≤ max { ‖ u − v ‖ ， ‖ x 0 − v ‖ } 。 由此可知 { x k } 是有界的。再由(3.2)式可得， { u k } 也是有界的。又因为 ‖ y k − u k ‖ = α k ‖ u − u k ‖ → 0 ， 所以 { y k } 也是有界的。 第2步，证明下面的不等式成立： s k + 1 ≤ ( 1 − α k ) s k + α k β k ， (3.3) 其中 s k = ‖ x k − v ‖ 2 ， β k = 2 〈 u − v ， y k − v 〉 − 1 α k ( ‖ ( I − P C ) y k ‖ 2 + ( 1 − α k ) ρ k ( 2 − ρ k ) ‖ ( I − P Q ) A x k ‖ 4 ‖ A * ( I − P Q ) A x k ‖ 2 ) 。 事实上，利用引理2.2和(3.2)，我们有 ‖ y k − v ‖ 2 = ‖ α k ( u − v ) + ( 1 − α k ) ( u k − v ) ‖ 2 ≤ ( 1 − α k ) ‖ u k − v ‖ 2 + 2 α k 〈 u − v ， y k − v 〉 ≤ ( 1 − α k ) ‖ x k − v ‖ 2 + 2 α k 〈 u − v ， y k − v 〉     − ( 1 − α k ) ρ k ( 2 − ρ k ) ‖ ( I − P Q ) A x k ‖ 4 ‖ A * ( I − P Q ) A x k ‖ 2 。 再由引理2.1可得 ‖ x k + 1 − v ‖ 2 = ‖ P C ( y k ) − P C ( v ) ‖ 2 ≤ ‖ y k − v ‖ 2 − ‖ ( I − P C ) y k ‖ 2 ≤ ( 1 − α k ) ‖ x k − v ‖ 2 + α k [ 2 〈 u − v ， y k − v 〉 − 1 α k ( ‖ ( I − P C ) y k ‖ 2     + ( 1 − α k ) ρ k ( 2 − ρ k ) ‖ ( I − P Q ) A x k ‖ 4 ‖ A * ( I − P Q ) A x k ‖ 2 ) ] 。 所以不等式(3.3)成立。 第3步，证明 lim sup k → ∞ β k 是有限的。由于 { y k } 是有界的，所以我们有 β k ≤ 2 〈 u − v ， y k − v 〉 ≤ 2 ‖ u − v ‖ ⋅ ‖ y k − v ‖ < + ∞ 。 于是 lim sup k → ∞ β k < + ∞ 。下面我们用反证法证明 lim sup k → ∞ β k ≥ − 1 。假设 lim sup k → ∞ β k < − 1 ，则存在 k 0 使得对任意 k ≥ k 0 ，有 β k ≤ − 1 。由不等式(3.3)可知，对所有 k ≥ k 0 ，不等式 s k + 1 ≤ ( 1 − α k ) s k + α k β k ≤ ( 1 − α k ) s k − α k = s k − α k ( s k + 1 ) ≤ s k − α k 成立。再由数学归纳法可得 s k + 1 ≤ s k 0 − ∑ i = k 0 k α i 。 由于 ∑ i = k 0 ∞ α i = ∞ ，故存在 K ≥ k 0 满足 ∑ i = k 0 K α i > s k 0 。于是我们有 s K + 1 ≤ s k 0 − ∑ i = k 0 K α i < 0 。 这显然与 { s k } 是非负实数列相矛盾。因此 lim sup k → ∞ β k ≥ − 1 。从而 lim sup k → ∞ β k 是有限的。 第4步，证明 lim sup k → ∞ β k ≤ 0 。既然 lim sup k → ∞ β k 是有限的，我们能取子序列 { k i } 满足 lim sup k → ∞ β k = lim i → ∞ β k i = lim i → ∞ [ 2 〈 u − v ， y k i − v 〉 − 1 α k i ( ‖ ( I − P C ) y k i ‖ 2                               + ( 1 − α k i ) ρ k i ( 2 − ρ k i ) ‖ ( I − P Q ) A x k i ‖ 4 ‖ A * ( I − P Q ) A x k i ‖ 2 ) ] 。 (3.4) 由于序列 { 〈 u − v ， y k i − v 〉 } 是有界的，不失一般性，我们假设极限 lim i → ∞ 〈 u − v ， y k i − v 〉 存在。所以下面的极限 lim i → ∞ 1 α k i ( ‖ ( I − P C ) y k i ‖ 2 + ( 1 − α k i ) ρ k i ( 2 − ρ k i ) ‖ ( I − P Q ) A x k i ‖ 4 ‖ A * ( I − P Q ) A x k i ‖ 2 ) 也存在。由此及条件 α k i → 0 可得 lim i → ∞ ‖ ( I − P C ) y k i ‖ = 0 (3.5) 和 lim i → ∞ ‖ ( I − P Q ) A x k i ‖ 4 ‖ A * ( I − P Q ) A x k i ‖ 2 = 0 。 (3.6) 由(3.6)容易得到 ‖ u k i − x k i ‖ = τ k i ‖ A * ( I − P Q ) A x k i ‖ = ρ k i ‖ ( I − P Q ) A x k i ‖ 2 ‖ A * ( I − P Q ) A x k i ‖ → 0 。 于是，我们有 ‖ y k i − x k i ‖ = ‖ α k i ( u − x k i ) + ( 1 − α k i ) ( u k i − x k i ) ‖ ≤ α k i ‖ x k i − u ‖ + ( 1 − α k i ) ‖ u k i − x k i ‖ → 0 。 (3.7) 又由于 ‖ ( I − P Q ) A x k i ‖ 4 ‖ A * ( I − P Q ) A x k i ‖ 2 ≥ ‖ ( I − P Q ) A x k i ‖ 4 ‖ A ‖ 2 ‖ ( I − P Q ) A x k i ‖ 2 = ‖ ( I − P Q ) A x k i ‖ 2 ‖ A ‖ 2 。 所以由(3.6)可得 lim i → ∞ ‖ ( I − P Q ) A x k i ‖ = 0 。 (3.8) 下面我们证明 { x k i } 的任意弱聚点都属于S，即 ω w ( x k i ) ⊆ S 。设 x ¯ ∈ ω w ( x k i ) ，不失一般性，我们假设 x k i ⇀ x ¯ 。由 f ( x ) = 1 2 ‖ ( I − P Q ) A x ‖ 2 的弱下半连续性和(3.8)可得， 0 ≤ f ( x ¯ ) ≤ lim inf i → ∞ f ( x k i ) = lim i → ∞ f ( x k i ) = 0 。 所以 f ( x ¯ ) = 0 ，i.e. A x ¯ ∈ Q 。令 g ( x ) = 1 2 ‖ ( I − P C ) x ‖ 2 ，同样由 g ( x ) 的弱下半连续性和(3.5)可得， 0 ≤ g ( x ¯ ) ≤ lim inf i → ∞ g ( x k i ) = lim i → ∞ g ( x k i ) = 0 。 所以 g ( x ¯ ) = 0 ，i.e. x ¯ ∈ C 。于是我们证明了 ω w ( x k i ) ⊆ S 。 再由(3.7)可知 { y k i } 的任意弱聚点也都属于S。不失一般性，我们设 { y k i } 弱收敛于 y ¯ ∈ S 。因为 v = P S ( u ) ，所以由引理2.1可得 lim i → ∞ 〈 u − v ， y k i − v 〉 = 〈 u − v ， y ¯ − v 〉 ≤ 0 。 由(3.4)，我们有 lim sup k → ∞ β k ≤ lim i → ∞ 2 〈 u − v ， y k i − v 〉 ≤ 0 。 第5步，证明 { x k } 强收敛到v。事实上，容易验证引理2.3的条件都满足。应用引理2.3到(3.3)，我们就得到 ‖ x k − v ‖ → 0 。证毕。 注3.1 (i)在算法(3.1)中，参数 α k 可选取如下： α k = 1 ( k + 1 ) p ， 0 < p ≤ 1 。 (ii)在算法(1.5)中，要求 u ∈ C ，然而在算法(3.1)中，并没有这一限制，实际上，对任意 u ∈ H 1 ，算法(3.1)均是强收敛的。特别地，若令 u = 0 ，则算法(3.1)强收敛到问题(1.1)的最小2-范数解。 (iii)在算法(3.1)中，我们并不要求条件(C2)成立。另外，和算法(1.4)相比，算法(3.1)的迭代方法也不相同。