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user: 3. 主要结果 下节将用到如下假设 (H1) f : [ 0 ， 1 ] × [ 0 ， + ∞ ) × R → [ 0 ， + ∞ ) 为连续函数，假设存在非负连续函数 j ( t ) ， l ( t ) ， w ( t ) 使得 | f ( t ， u ， v ) | ≤ j ( t ) ϕ p ( | u | ) + l ( t ) ϕ p ( | v | ) + w ( t ) ， t ∈ [ 0 ， 1 ] . 设 X = { u ( t ) ∈ C [ 0 ， 1 ] | D 0 + α u ( t ) ∈ C [ 0 ， 1 ] } ，定义范数 ‖ u ‖ = max t ∈ [ 0 ， 1 ] | u ( t ) | + max t ∈ [ 0 ， 1 ] | D 0 + α u ( t ) | ，容易证明X是Banach空间。定义算子 T u ( t ) = ∫ 0 1 G ( t ， s ) ϕ q ( ∫ 0 s f ( τ ， u ( τ ) ， D 0 + α u ( τ ) ) d τ ) d s ， t ∈ [ 0 ， 1 ] . 定理1假设(H1)成立。若(H1)中的函数 j ， l ， w 满足存在常数 ρ > 0 使得 2 2 ( α − 1 ) Γ ( α ) ρ [ ρ p − 1 ( ∫ 0 1 j ( τ ) d τ + ∫ 0 1 l ( τ ) d τ ) + ∫ 0 1 w ( τ ) d τ ] q − 1 ≤ 1 ， (2.1) 则边值问题(1)存在解 u = u ( t ) 且满足 0 < ‖ u ‖ < ρ 。 证明 首先证明 T : X → X 为全连续算子。由函数f的连续性容易证明T是连续算子。 以下证明T为紧的。设 Ω 是X中的有界子集，于是存在正数 M > 0 使得 u ∈ Ω ， ‖ u ‖ ≤ M 。从而对于任意的 u ∈ Ω 有 | T u ( t ) | = | ∫ 0 1 G ( t ， s ) ϕ q ( ∫ 0 s f ( τ ， u ( τ ) ， D 0 + α u ( τ ) ) d τ ) d s | ≤ ∫ 0 1 G ( t ， s ) ϕ q ( | ∫ 0 s f ( τ ， u ( τ ) ， D 0 + α u ( τ ) ) d τ | ) d s ≤ ∫ 0 1 G ( t ， s ) ϕ q ( ∫ 0 s | f ( τ ， u ( τ ) ， D 0 + α u ( τ ) ) | d τ ) d s ≤ ∫ 0 1 G ( t ， s ) ϕ q ( ∫ 0 1 ( j ( τ ) ϕ p ( | u ( τ ) | ) + l ( τ ) ϕ p ( | D 0 + α u ( τ ) | ) + w ( τ ) ) d τ ) d s ≤ ∫ 0 1 G ( t ， s ) ϕ q ( ∫ 0 1 ( j ( τ ) ϕ p ( ‖ u ‖ ) + l ( τ ) ϕ p ( ‖ u ‖ ) + w ( τ ) ) d τ ) d s ≤ 1 2 2 ( α − 1 ) Γ ( α ) [ M p − 1 ( ∫ 0 1 j ( τ ) d τ + ∫ 0 1 l ( τ ) d τ ) + ∫ 0 1 w ( τ ) d τ ] q − 1 ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ， | D 0 + α T u ( t ) | = | − ϕ q ( ∫ 0 t f ( s ， u ( s ) ， D 0 + α u ( s ) ) d s ) | ≤ ϕ q ( ∫ 0 t | f ( s ， u ( s ) ， D 0 + α u ( s ) ) | d s ) ≤ ϕ q ( ∫ 0 1 ( j ( s ) ϕ p ( | u ( s ) | ) + l ( s ) ϕ p ( | D 0 + α u ( s ) | ) + w ( s ) ) d s ) ≤ [ ϕ q ( ϕ p ( ‖ u ‖ ) ∫ 0 1 j ( s ) d s + ϕ p ( ‖ u ‖ ) ∫ 0 1 l ( s ) d s + ∫ 0 1 w ( s ) d s ) ] ≤ [ M p − 1 ( ∫ 0 1 j ( s ) d s + ∫ 0 1 l ( s ) d s ) + ∫ 0 1 w ( s ) d s ] q − 1 ， t ∈ [ 0 ， 1 ] . 因此 T ( Ω ) 和 { D 0 + α T u | u ∈ Ω } 皆为一致有界的子集合。 再证 T ( Ω ) 和 { D 0 + α T u | u ∈ Ω } 皆是等度连续的。对任意的 0 ≤ t 1 < t 2 ≤ 1 ， u ∈ Ω 有 | T u ( t 2 ) − T u ( t 1 ) | = | ∫ 0 1 G ( t 2 ， s ) ϕ q ( ∫ 0 s f ( τ ， u ( τ ) ， D 0 + α u ( τ ) ) d τ ) d s − ∫ 0 1 G ( t 1 ， s ) ϕ q ( ∫ 0 s f ( τ ， u ( τ ) ， D 0 + α u ( τ ) ) d τ ) d s | = | ∫ 0 1 [ G ( t 2 ， s ) − G ( t 1 ， s ) ] ϕ q ( ∫ 0 s f ( τ ， u ( τ ) ， D 0 + α u ( τ ) ) d τ ) d s | ≤ [ M p − 1 ( ∫ 0 1 j ( τ ) d τ + ∫ 0 1 l ( τ ) d τ ) + ∫ 0 1 w ( τ ) d τ ] q − 1 ∫ 0 1 | G ( t 2 ， s ) − G ( t 1 ， s ) | d s . 注意到 G ( t ， s ) 在 [ 0 ， 1 ] × [ 0 ， 1 ] 上的一致连续性可知， T ( Ω ) 是等度连续的。此外 | D 0 + α T u ( t 2 ) − D 0 + α T u ( t 1 ) | = | − [ ϕ q ( ∫ 0 t 2 f ( s ， u ( s ) ， D 0 + α u ( s ) ) d s ) − ϕ q ( ∫ 0 t 1 f ( s ， u ( s ) ， D 0 + α u ( s ) ) d s ) ] | = | ( ∫ 0 t 2 f ( s ， u ( s ) ， D 0 + α u ( s ) ) d s ) q − 1 − ( ∫ 0 t 1 f ( s ， u ( s ) ， D 0 + α u ( s ) ) d s ) q − 1 | ， 当 0 < q − 1 < 1 时，根据不等式 b m + c m ≥ ( b + c ) m ， b ≥ 0 ， c ≥ 0 ， 0 < m < 1 可得 0 ≤ ( ∫ 0 t 2 f ( s ， u ( s ) ， D 0 + α u ( s ) ) d s ) q − 1 − ( ∫ 0 t 1 f ( s ， u ( s ) ， D 0 + α u ( s ) ) d s ) q − 1 ≤ ( ∫ t 1 t 2 f ( s ， u ( s ) ， D 0 + α u ( s ) ) d s ) q − 1 ≤ ( ∫ t 1 t 2 ( j ( s ) ϕ p ( | u ( s ) | ) + l ( s ) ϕ p ( | D 0 + α u ( s ) | ) + w ( s ) ) d s ) q − 1 ≤ ( ϕ p ( ‖ u ‖ ) ∫ t 1 t 2 j ( s ) d s + ϕ p ( ‖ u ‖ ) ∫ t 1 t 2 l ( s ) d s + ∫ t 1 t 2 w ( s ) d s ) q − 1 ≤ ( M p − 1 ( ∫ t 1 t 2 j ( s ) d s + ∫ t 1 t 2 l ( s ) d s ) + ∫ t 1 t 2 w ( s ) d s ) q − 1 ， 再根据积分第一中值定理，因 j ( s ) ， l ( s ) ， w ( s ) 在 [ t 1 ， t 2 ] 上连续，则至少存在三点 μ ， η ， κ ∈ [ t 1 ， t 2 ] ，使得 ∫ t 1 t 2 j ( s ) d s = j ( μ ) ( t 2 − t 1 ) ， ∫ t 1 t 2 l ( s ) d s = l ( η ) ( t 2 − t 1 ) ， ∫ t 1 t 2 w ( s ) d s = w ( κ ) ( t 2 − t 1 ) ， 于是 | D 0 + α T u ( t 2 ) − D 0 + α T u ( t 1 ) | ≤ [ M p − 1 ( j ( μ ) + l ( η ) ) + w ( κ ) ] q − 1 ( t 2 − t 1 ) q − 1 ， 当 q − 1 ≥ 1 时，由拉格朗日中值定理有 0 ≤ ( ∫ 0 t 2 f ( s ， u ( s ) ， D 0 + α u ( s ) ) d s ) q − 1 − ( ∫ 0 t 1 f ( s ， u ( s ) ， D 0 + α u ( s ) ) d s ) q − 1 = ( q − 1 ) ( ∫ 0 ξ f ( s ， u ( s ) ， D 0 + α u ( s ) ) d s ) q − 2 f ( ξ ， u ( ξ ) ， D 0 + α u ( ξ ) ) ( t 2 − t 1 ) ≤ ( q − 1 ) [ M p − 1 ( ∫ 0 ξ j ( s ) d s + ∫ 0 ξ l ( s ) d s ) + ∫ 0 ξ w ( s ) d s ] q − 2 ( M p − 1 ( j ( ξ ) + l ( ξ ) ) + w ( ξ ) ) ( t 2 − t 1 ) ， 其中 ξ 是 ( t 1 ， t 2 ) 之间某个确定的值。故 | D 0 + α T u ( t 2 ) − D 0 + α T u ( t 1 ) | ≤ ( q − 1 ) [ M p − 1 ( ∫ 0 ξ j ( s ) d s + ∫ 0 ξ l ( s ) d s ) + ∫ 0 ξ w ( s ) d s ] q − 2 ( M p − 1 ( j ( ξ ) + l ( ξ ) ) + w ( ξ ) ) ( t 2 − t 1 ) . 由此可得 { D 0 + α T u | u ∈ Ω } 是等度连续的。 既然集合 T ( Ω ) 和 { D 0 + α T u | u ∈ Ω } 都是一致有界且等度连续的，根据Arzela-Ascoli定理可知 T ( Ω ) 和 { D 0 + α T u | u ∈ Ω } 皆为 C [ 0 ， 1 ] 中的相对紧集，进而可知T是全连续算子。 令 U = { u ∈ X | ‖ u ‖ ≤ ρ } ，有 U ⊂ X ，由上述证明可知 T : U ¯ → X 是全连续的。我们断言当 u ∈ ∂ U ， λ ∈ ( 0，1 ) 时 u ≠ λ T u 。如若不然存在 u 0 ∈ ∂ U ， λ 0 ∈ ( 0，1 ) 使 u 0 = λ 0 T u 0 。于是有 ρ = ‖ u 0 ‖ = ‖ λ 0 T u 0 ‖ ≤ 1 2 2 ( α − 1 ) Γ ( α ) [ ρ p − 1 ( ∫ 0 1 j ( τ ) d τ + ∫ 0 1 l ( τ ) d τ ) + ∫ 0 1 w ( τ ) d τ ] q − 1 ， 进而有 2 2 ( α − 1 ) Γ ( α ) ρ [ ρ p − 1 ( ∫ 0 1 j ( τ ) d τ + ∫ 0 1 l ( τ ) d τ ) + ∫ 0 1 w ( τ ) d τ ] q − 1 ≤ 1 ， 此与(2.1)式矛盾。由引理5可知边值问题(1)存在解 u ( t ) 使得 0 ≤ ‖ u ‖ ≤ ρ 。证毕。