system: [SYSTEM]

user: 2. Poincaré映射及其预备知识 在系统(2)不具有脉冲效应下，它的动态行为可以解释如下：该系统有三个边界平衡和一个正平衡 E * = ( x * ， y * ) ，并且 x * = d / e ， y * = ( 1 − x * ) ( m x * − 1 ) 。通过计算，知道 E 1 ( 1 m ， 0 ) 和 E 2 ( 1 ， 0 ) 均为系统(2)的鞍点，而当 − 2 m d 2 + m e d + e d e 2 < 0 时 ( d e ， ( e − d ) ( m d − e ) e 2 ) 是一个稳定的正结点，同时 E 0 ( 0 ， 0 ) 也是一个稳定的正结点。 在这篇论文中，假设 h < d e 和 − 2 m d 2 + m e d + e d e 2 < 0 总是成立的。基于系统(2)的生物学背景，那么只含有非负分量的解，并且在区域 D = { ( x ， y ) ， x ≥ 0 ， y ≥ 0 } 内是连续可微的。 设 R = ( − ∞ ， + ∞ ) ，令 z ( t ) = ( x ( t ) ， y ( t ) ) 为系统(2)的任意解。当 t ≥ t 0 ≥ 0 时，通过点 z 0 ∈ R + 2 = { ( x ， y ) : x ≥ 0 ， y ≥ 0 } 的正向轨道定义为 O + ( z 0 ， t 0 ) = { z ∈ R + 2 : z = z ( t ) ， t ≥ t 0 ， z ( t 0 ) = z 0 } (3) 定义2.1 (见 [ 25 ] )：如果存在一个正整数 k ≥ 1 使得k是满足 x 0 = x k 的最小正整数，那么系统(3)的轨线 O + ( z 0 ， t 0 ) 被称为阶-k周期。 下一步是构造Poincaré映射。为了讨论系统(3)的动力学行为，首先考虑它的向量场。定义 N = { ( x ， y ) x = ( 1 − α ) h ， y ≥ 0 } 为相集和 M = { ( x ， y ) x = h ， y ≥ 0 } 为脉冲集，假设 1 m < ( 1 − α ) h < h < 1 ，选取相集N和脉冲集M作为Poincaré截面，那么垂直等倾线 y = ( 1 − x ) ( m x − 1 ) 与相集N和脉冲集M分别相交于点 A ( ( 1 − α ) h ， ( 1 − ( 1 − α ) h ) ( m h ( 1 − α ) − 1 ) ) 和点 B ( h ， ( 1 − h ) ( m h − 1 ) ) ，与直线 y = 0 相交于点 C ( ( 1 − α ) h ， 0 ) 与点 D ( h ， 0 ) 。令 Ω = { ( x ， y ) | ( 1 − α ) h < x < h ， 0 < y < ( 1 − x ) ( m x − 1 ) } ， Ω 1 = Ω ∪ C D ¯ 。显然，对任意点 ( x ， y ) ∈ A B ∩ ，都有 d x / d t = 0 ， d y / d t < 0 ，而当 ( x ， y ) ∈ Ω ，有 d x / d t > 0 。另外，在 x = x * 处，有 d y / d t = 0 ，在 x = x * 的左侧， d y / d t < 0 ，并且在 x = x * 的右侧 d y / d t > 0 ，对任意点 ( x 0 ， 0 ) ∈ C D ¯ ⊂ Ω 1 作为初始点的轨线都将有 y ( t ) = 0 成立。 首先把截面N作为Poincaré截面。假设点 A k − 1 + ( ( 1 − α ) h ， y k − 1 + ) 位于截面N上。由系统(2)的向量场性质可知，以点 A k − 1 + 为初始点的轨线与截面M交于点 A k ( h ， y k ) ，其中 y k 的值取决于 y k − 1 + 的值。如果用式子 y k = f ( y k − 1 + ) 来表示，那么在脉冲作用下点 A k 映射到截面N上的一点 A k + ( ( 1 − α ) h ， ( 1 + β ) y k + τ ) ，可以得到以下的Poincaré映射P： y k + = ( 1 + β ) f ( y k − 1 + ) + τ . (4) 接下来也介绍了另一种类型的Poincaré映射。选取截面M作为另一个Poincaré截面。假设点 A k ( h ， y k ) 位于截面M上，在脉冲作用下点 A k ( h ， y k ) 映射到截面N上的一点 A k + ( ( 1 − α ) h ， ( 1 + β ) y k + τ ) ，以点 A k + 为初始点的轨线与截面M交于点 A k + 1 ( h ， y k + 1 ) ，其中 y k + 1 的值取决于 y k 以及参数 β 和 τ 的值。就可以得到另一个的Poincaré映射 P 1 ： y k + 1 = f ( ( 1 + β ) y k + τ ) ≡ F ( β ， τ ， y k ) . (5) 接下来，将考虑具有脉冲效应的自治系统： d x d t = P ( x ， y ) ， d y d t = Q ( x ， y ) ， φ ( x ， y ) ≠ 0 Δ x = α ( x ， y ) ， Δ y = β ( x ， y ) ， φ ( x ， y ) = 0 (6) 其中 P ( x ， y ) 和 Q ( x ， y ) 是连续微分方程， φ ( x ， y ) 是足够光滑并且梯度不等于零的函数，令 ( ξ ( t ) ， η ( t ) ) 为系统(6)的一个正T周期解。接下来将介绍引理2.2。 引理2.2 (见 [ 26 ] )：如果Floquet乘子 μ 满足条件 | μ | < 1 ，且 μ = ∏ k = 1 n Δ k exp [ ∫ 0 T ( ∂ P ∂ x ( ξ ( t ) ， η ( t ) ) + ∂ Q ∂ y ( ξ ( t ) ， η ( t ) ) ) d t ] ， (7) 其中： Δ k = P + ( ( ∂ β / ∂ y ) ( ∂ ϕ / ∂ x ) − ( ∂ β / ∂ x ) ( ∂ ϕ / ∂ y ) + ∂ ϕ / ∂ x ) P ( ∂ ϕ / ∂ x ) + Q ( ∂ ϕ / ∂ y ) ，     + Q + ( ( ∂ α / ∂ x ) ( ∂ ϕ / ∂ y ) − ( ∂ α / ∂ y ) ( ∂ ϕ / ∂ x ) + ∂ ϕ / ∂ y ) P ( ∂ ϕ / ∂ x ) + Q ( ∂ ϕ / ∂ y ) (8) P，Q， ∂ α / ∂ x ， ∂ α / ∂ y ， ∂ β / ∂ x ， ∂ β / ∂ y ， ∂ ϕ / ∂ x ， ∂ ϕ / ∂ y 均表示函数在点 ( ξ ( t k ) ， η ( t k ) ) 处的函数值，且 P + = P ( ξ ( t k + ) ， η ( t k + ) ) 和 Q + = Q ( ξ ( t k + ) ， η ( t k + ) ) ， t k ( k ∈ N ) 代表第k次发生脉冲作用的时间，那么 ( ξ ( t ) ， η ( t ) ) 是轨道渐进稳定的。 引理2.3 (见 [ 27 ] )：设 F : R × R → R 是 C 2 上的单参数族映射，并且满足下面的条件： 1) F ( 0 ， μ ) = 0 ， 2) ( ∂ F / ∂ x ) ( 0 ， 0 ) = 1 ， 3) ( ∂ 2 F / ∂ x ∂ μ ) ( 0 ， 0 ) > 0 ， 4) ( ∂ 2 F / ∂ x 2 ) ( 0 ， 0 ) < 0. 则映射F在 μ = 0 附近发生跨临界分岔，对所有的 μ 来说，第一个分支为 x 1 ( μ ) = 0 。第二个分叉分支 x 2 ( μ ) 的值随着 μ 的增加而由负变正。当 μ > 0 时，第一个分支的不动点是稳定的；当 μ < 0 时，它是不稳定的，而分叉分支具有相反的稳定性。