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user: 3. 模型求解与分析 考虑Stackelberg博弈，制造商A、B是领导者，零售商是跟随者。两个制造商采取两种不同的经营策略：一，制造商A、B同时决策批发价，使自身利润最大化；二，制造商A、B同时决策批发价，决策的目标是使相对利润最大化。在这两种策略下，两个制造商首先公布产品的批发价，零售商看到批发价之后再来设定产品的零售价。 3.1. 以自身利润为经营目标 本节考虑两制造商的经营目标是使自身利润最大化的策略。在Stackelberg博弈下，首先制造商A、B同时决策批发价 w 1 ， w 2 ，使自身利润 π m 1 ， π m 2 最大化，然后零售商决策零售价 p 1 ， p 2 。 π R 的Hessian矩阵为 H = [ ∂ 2 π R ∂ p 1 2 ∂ 2 π R ∂ p 1 ∂ p 2 ∂ 2 π R ∂ p 2 ∂ p 1 ∂ 2 π R ∂ p 2 2 ] = [ − 2 β 1 2 γ 1 2 γ 1 − 2 β 2 ] (6) 因为 − 2 β 1 < 0 ， | − 2 β 1 2 γ 1 2 γ 1 − 2 β 2 | = 4 β 1 β 2 − 4 γ 1 2 > 0 。所以Hessian矩阵负定。此时零售商的利润是凹的并且存在唯一的最优解。 π R 关于 p 1 ， p 2 的一阶偏导数 ∂ π R ∂ p 1 = A − 2 p 1 β 1 + 2 p 2 γ 1 + w 1 β 1 − w 2 γ 1 ∂ π R ∂ p 2 = B − 2 p 2 β 2 + 2 p 1 γ 1 + w 2 β 2 − w 1 γ 1 其中 A = a 1 + b 1 q 1 − b 0 q 2 ， B = a 2 − b 0 q 1 + b 2 q 2 。 由一阶导条件，可得 p 1 o = β 2 ( A + w 1 β 1 ) + γ 1 ( B − w 1 γ 1 ) 2 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) (7) p 2 o = β 1 ( B + w 2 β 2 ) + γ 1 ( A − w 2 γ 1 ) 2 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) (8) 将 p 1 o ， p 2 o 代入(3)，(4)，求解 { ∂ π m 1 ∂ w 1 = 1 2 ( A − 2 w 1 β 1 + w 2 γ 1 ) = 0 ∂ π m 2 ∂ w 2 = 1 2 ( B − 2 w 2 β 2 + w 1 γ 1 ) = 0 可得 w 1 o = 2 β 2 A + γ 1 B 4 β 1 β 2 − γ 1 2 (9) w 2 o = 2 β 1 B + γ 1 A 4 β 1 β 2 − γ 1 2 (10) 将(9)，(10)代入(7)，(8)得 p 1 o = ( 6 β 1 β 2 − 3 γ 1 2 ) β 2 A + ( 5 β 1 β 2 − 2 γ 1 2 ) γ 1 B 2 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) ( 4 β 1 β 2 − γ 1 2 ) p 2 o = ( 5 β 1 β 2 − 2 γ 1 2 ) γ 1 A + ( 6 β 1 β 2 − 3 γ 1 2 ) β 1 B 2 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) ( 4 β 1 β 2 − γ 1 2 ) 将 p 1 o ， p 2 o ， w 1 o ， w 2 o 代入(3)、(4)、(5)可得制造商最优利润、零售商最优利润： π m 1 o = β 1 ( γ 1 B + 2 β 2 A ) 2 − k 1 q 1 2 ( 4 β 1 β 2 − γ 1 2 ) 2 2 ( 4 β 1 β 2 − γ 1 2 ) 2 ， π m 2 o = β 2 ( γ 1 A + 2 β 1 B ) 2 − k 2 q 2 2 ( 4 β 1 β 2 − γ 1 2 ) 2 2 ( 4 β 1 β 2 − γ 1 2 ) 2 ， π R o = ( 4 β 1 β 2 + 5 γ 1 2 ) ( β 2 A 2 + β 1 B 2 ) β 1 β 2 + ( 16 β 1 β 2 + 2 γ 1 2 ) β 1 β 2 γ 1 A B 4 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) ( 4 β 1 β 2 − γ 1 2 ) 2 . 定理1. 质量水平 q i 对批发价 w i ，零售价 p i ( i = 1 ， 2 ) 的影响如下： 1) 批发价 w 1 o 、零售价 p 1 o 随质量水平 q 1 的增加而增加。 w 2 o 在渠道参数满足 0 < b 1 γ 1 b 0 β 1 < 2 ( b 1 γ 1 b 0 β 1 > 2 )时随 q 1 的增加而降低(增加)。 p 2 o 在渠道参数满足 0 < b 1 γ 1 b 0 β 1 < 1 + β 1 β 2 − γ 1 2 5 β 1 β 2 − 2 γ 1 2 ( b 1 γ 1 b 0 β 1 > 1 + β 1 β 2 − γ 1 2 5 β 1 β 2 − 2 γ 1 2 )时随 q 1 的增加而降低(增加)。 2) 批发价 w 2 o 、零售价 p 2 o 随质量水平 q 2 的增加而增加。 w 1 o 在渠道参数满足 0 < b 2 γ 1 b 0 β 2 < 2 ( b 2 γ 1 b 0 β 2 > 2 )时随 q 2 的增加而降低(增加)。 p 1 o 在渠道参数满足 0 < b 2 γ 1 b 0 β 2 < 1 + β 1 β 2 − γ 1 2 5 β 1 β 2 − 2 γ 1 2 ( b 2 γ 1 b 0 β 2 > 1 + β 1 β 2 − γ 1 2 5 β 1 β 2 − 2 γ 1 2 )时随 q 2 的增加而降低(增加)。 证明： (1) ∵   ∂ w 1 o ∂ q 1 = ( β 2 b 1 − b 0 γ 1 ) + β 2 b 1 4 β 1 β 2 − γ 1 2 > 0 ; ∂ p 1 o ∂ q 1 = ( 5 β 1 β 2 − 2 γ 1 2 ) ( β 2 b 1 − b 0 γ 1 ) + b 1 β 2 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) 2 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) ( 4 β 1 β 2 − γ 1 2 ) > 0 ; 当 0 < b 1 γ 1 b 0 β 1 < 2 时， ∂ w 2 o ∂ q 1 = − 2 b 0 β 1 + b 1 γ 1 4 β 1 β 2 − γ 1 2 < 0 ， 当 b 1 γ 1 b 0 β 1 > 2 时， ∂ w 2 o ∂ q 1 = − 2 b 0 β 1 + b 1 γ 1 4 β 1 β 2 − γ 1 2 > 0 ; 当 0 < b 1 γ 1 b 0 β 1 < 1 + β 1 β 2 − γ 1 2 5 β 1 β 2 − 2 γ 1 2 时， ∂ p 2 o ∂ q 1 = ( 5 β 1 β 2 − 2 γ 1 2 ) ( b 1 γ 1 − b 0 β 1 ) − b 0 β 1 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) 2 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) ( 4 β 1 β 2 − γ 1 2 ) < 0 ， 当 b 1 γ 1 b 0 β 1 > 1 + β 1 β 2 − γ 1 2 5 β 1 β 2 − 2 γ 1 2 时， ∂ p 2 o ∂ q 1 = ( 5 β 1 β 2 − 2 γ 1 2 ) ( b 1 γ 1 − b 0 β 1 ) − b 0 β 1 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) 2 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) ( 4 β 1 β 2 − γ 1 2 ) > 0. 由此定理得证。 (2) ∵   ∂ w 2 o ∂ q 2 = ( b 2 β 1 − b 0 γ 1 ) + β 2 b 1 4 β 1 β 2 − γ 1 2 > 0 ; ∂ p 2 o ∂ q 2 = ( 5 β 1 β 2 − 2 γ 1 2 ) ( b 2 β 1 − b 0 γ 1 ) + b 2 β 1 4 β 1 β 2 − γ 1 2 > 0 ; 当 0 < b 2 γ 1 b 0 β 2 < 2 时， ∂ w 1 o ∂ q 2 = − 2 b 0 β 2 + b 2 γ 1 4 β 1 β 2 − γ 1 2 < 0 ， 当 b 2 γ 1 b 0 β 2 > 2 时， ∂ w 1 o ∂ q 2 = − 2 b 0 β 2 + b 2 γ 1 4 β 1 β 2 − γ 1 2 > 0 ; 当 0 < b 2 γ 1 b 0 β 2 < 1 + β 1 β 2 − γ 1 2 5 β 1 β 2 − 2 γ 1 2 时， ∂ p 1 o ∂ q 2 = ( 5 β 1 β 2 − 2 γ 1 2 ) ( b 2 γ 1 − b 0 β 2 ) − b 0 β 2 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) 2 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) ( 4 β 1 β 2 − γ 1 2 ) < 0 ， 当 b 2 γ 1 b 0 β 2 > 1 + β 1 β 2 − γ 1 2 5 β 1 β 2 − 2 γ 1 2 时， ∂ p 1 o ∂ q 2 = ( 5 β 1 β 2 − 2 γ 1 2 ) ( b 2 γ 1 − b 0 β 2 ) − b 0 β 2 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) 2 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) ( 4 β 1 β 2 − γ 1 2 ) > 0. 定理得证。 3.2. 以相对利润为经营目标 本节考虑以相对利润为经营目标的策略。一个行业的公司不仅追求提高自己的业绩，而且还希望超越竞争对手的公司，这种行为的例子非常普遍，例如：电视观众评级竞争和啤酒厂、汽车制造商、便利店连锁店和手机运营商的市场份额竞争等等 [ 12 ] 。因此，相对利润最优是一些企业追求的目标 [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] ，参与者的相对利润可定义为其绝对利润与其他剩余参与者平均利润的差 [ 3 ] 。制造商A的相对利润记为 Π 1 ，制造商B的相对利润记为 Π 2 ，两制造商的相对利润分别为： Π 1 = π m 1 − π m 2 (11) Π 2 = π m 2 − π m 1 (12) 两制造商通过选取适当的 w 1 ， w 2 使相对利润最大，之后零售商决策最优零售价 p 1 ， p 2 。由(6)式可知，零售商存在唯一最优解(7)，(8)。将(7)，(8)代入(11)，(12)，求解： { ∂ Π 1 ∂ w 1 = 1 2 ( A − 2 w 1 β 1 ) = 0 ∂ Π 2 ∂ w 2 = 1 2 ( B − 2 w 2 β 2 ) = 0 可得 w 1 r = A 2 β 1 (13) w 2 r = B 2 β 2 (14) 其中 A = a 1 + b 1 q 1 − b 0 q 2 > 0 ， B = a 2 − b 0 q 1 + b 2 q 2 > 0 ，保证 w 1 r ， w 2 r 有意义。 相应的，可得零售价的最优解： p 1 r = ( 3 β 1 β 2 − γ 1 2 ) A + 2 β 1 γ 1 B 4 β 1 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) p 2 r = ( 3 β 1 β 2 − γ 1 2 ) B + 2 β 2 γ 1 A 4 β 2 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) 将 p 1 r ， p 2 r ， w 1 r ， w 2 r 代入(3)、(4)、(5)及(11)、(12)，可得制造商利润、零售商最优利润及制造商最优相对利润： π m 1 r = β 2 A 2 + γ 1 A B − 4 k 1 q 1 2 β 1 β 2 8 β 1 β 2 ， π m 2 r = β 1 B 2 + γ 1 A B − 4 k 2 q 2 2 β 1 β 2 8 β 1 β 2 ， π R r = ( β 1 β 2 + 3 γ 1 2 ) ( β 2 A 2 + β 1 B 2 ) + 2 γ 1 ( 3 β 1 β 2 + γ 1 2 ) A B 16 β 1 β 2 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) ， Π 1 r = β 2 A 2 − β 1 B 2 − 4 β 1 β 2 ( k 1 q 1 2 − k 2 q 2 2 ) 8 β 1 β 2 ， Π 2 r = β 1 B 2 − β 2 A 2 − 4 β 1 β 2 ( k 2 q 2 2 − k 1 q 1 2 ) 8 β 1 β 2 . 定理2. 批发价 w i r 、零售价 p i r 均随着质量水平 q i 的增加而增加，而批发价 w i r 随着 q j 的增加而降低。零售价 p i r 在渠道参数满足 b j γ 1 b 0 β j > 1 + β 1 β 2 − γ 1 2 2 β 1 β 2 ( 0 < b j γ 1 b 0 β j < 1 + β 1 β 2 − γ 1 2 2 β 1 β 2 )时随着 q j 的增加而增加(降低) ( i ， j = 1 ， 2 ; i ≠ j ) 。 证明： ∵   ∂ w 1 r ∂ q 1 = b 1 2 β 1 > 0 ; ∂ p 1 r ∂ q 1 = 2 β 1 ( β 2 b 1 − γ 1 b 0 ) + b 1 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) 4 β 1 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) > 0 ; ∂ w 2 r ∂ q 2 = b 2 2 β 2 > 0 ; ∂ p 2 r ∂ q 2 = 2 β 2 ( β 1 b 2 − γ 1 b 0 ) + b 2 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) 4 β 2 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) > 0 ; ∂ w 1 r ∂ q 2 = − b 0 2 β 1 < 0 ; ∂ w 2 r ∂ q 1 = − b 0 2 β 2 < 0 ; 当 b 1 γ 1 b 0 β 1 > 1 + β 1 β 2 − γ 1 2 2 β 1 β 2 时， ∂ p 2 r ∂ q 1 = 2 β 2 ( γ 1 b 1 − β 1 b 0 ) − b 0 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) 4 β 2 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) > 0 ， 当 0 < b 1 γ 1 b 0 β 1 < 1 + β 1 β 2 − γ 1 2 2 β 1 β 2 时， ∂ p 2 r ∂ q 1 = 2 β 2 ( γ 1 b 1 − β 1 b 0 ) − b 0 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) 4 β 2 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) < 0 ; 当 b 2 γ 1 b 0 β 2 > 1 + β 1 β 2 − γ 1 2 2 β 1 β 2 时， ∂ p 1 r ∂ q 2 = 2 β 1 ( γ 1 b 2 − β 2 b 0 ) − b 0 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) 4 β 1 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) > 0 ， 当 0 < b 2 γ 1 b 0 β 2 < 1 + β 1 β 2 − γ 1 2 2 β 1 β 2 时， ∂ p 1 r ∂ q 2 = 2 β 1 ( γ 1 b 2 − β 2 b 0 ) − b 0 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) 4 β 1 ( β 1 β 2 − γ 1 2 ) < 0. 定理得证。 比较两种经营策略，可得以下定理： 定理3. 以自身利润为经营目标策略下的批发价 w i o 、零售价 p i o 高于以相对利润为经营目标策略下的批发价 w i r 、零售价 p i r ( i = 1 ， 2 ) 。 证明： w 1 o − w 1 r = 2 β 1 γ 1 B + γ 1 2 A 2 β 1 ( 4 β 1 β 2 − γ 1 2 ) > 0 ， w 2 o − w 2 r = 2 β 2 γ 1 A + γ 1 2 B 2 β 2 ( 4 β 1 β 2 − γ 1 2 ) > 0 ， p 1 o − p 1 r = 2 β 1 γ 1 B + γ 1 2 A 4 β 1 ( 4 β 1 β 2 − γ 1 2 ) > 0 ， p 2 o − p 2 r = 2 β 2 γ 1 A + γ 1 2 B 4 β 2 ( 4 β 1 β 2 − γ 1 2 ) > 0. ∴   w i o > w i r ， p i o > p i r ( i = 1 ， 2 ) 定理得证。 定理4. 以自身利润为经营目标策略下的制造商的最优利润 π m i o 高于以相对利润为经营目标策略下的制造商的最优利润 π m i r 。零售商的最优利润则相反，即 π R o < π R r ( i = 1 ， 2 ) 。 证明： π m 1 o − π m 1 r = 4 β 1 2 β 2 B 2 γ 1 2 + ( β 2 A 2 + γ 1 A B ) ( 8 β 1 β 2 − γ 1 2 ) γ 1 2 8 β 1 β 2 ( 4 β 1 β 2 − γ 1 2 ) 2 > 0 ; π m 2 o − π m 2 r = 4 β 1 β 2 2 A 2 γ 1 2 + ( β 1 B 2 + γ 1 A B ) ( 8 β 1 β 2 − γ 1 2 ) γ 1 2 8 β 1 β 2 ( 4 β 1 β 2 − γ 1 2 ) 2 > 0 ; π R o − π R r = − [ 32 β 1 2 β 2 2 + 2 γ 1 2 ( 4 β 1 β 2 − γ 1 2 ) ] A B γ 1 2 + ( 20 β 1 β 2 + 3 γ 1 2 ) ( β 2 γ 1 A 2 + β 1 γ 1 B 2 ) γ 1 2 16 β 1 β 2 ( 4 β 1 β 2 − γ 1 2 ) 2 < 0 ; 定理得证。