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user: 3. 吴特征列与不可约特征序列 本节主要介绍一些有关吴特征列和不可约特征列的基础知识，其详细内容可以阅读文献 [ 2 ] 和文献 [ 3 ] 的相关部分。 设 K 是一个数域，F是多项式环 K [ x 1 ， ⋯ ， x n ] (默认变元序为 x 1 < ⋯ < x n )中的一个多项式。我们定义，多项式F中所含的变元的最大下标 c l s ( F ) ∶ = max { k : deg ( F ， x k ) > 0 ， 1 ≤ k ≤ n } 为F的类，如果 F ∈ K 则规定 c l s ( F ) = 0 。当 c l s ( F ) > 0 时，把 l v ( F ) ∶ = x c l s ( F ) 称为是F的导元；把 l d e g ( F ) : = d e g ( F ， l v ( F ) ) 称为F的导次数；把 i n i ( F ) : = l c ( F ， l v ( F ) ) 称为F的初式。 定理3.1 设 F ， G 是多项式环 R [ x ] 中的任意两个多项式， x k 是一个变元，而且有 l = d e g ( G ， x k ) ， m = d e g ( F ， x k ) 。如果 l > 0 ，那么就存在多项式 Q ， R ∈ R [ x ] 和整数 0 ≤ s ≤ m − l + 1 使得 l c ( G ， x k ) s ⋅ F = Q ⋅ G + R ，而且有 d e g ( R ， x k ) < l 。如果s固定，那么 Q ， R 是唯一确定的。证明参见 [ 3 ] 。 定义3.2 如果定理3.1中的条件可以被满足，那么称表达式 l c ( G ， x k ) s ⋅ F = Q ⋅ G + R 为F关于G的伪余公式，称Q为F对G关于 x k 的伪商，记为 p q u o ( F ， G ， x k ) ，称R为F对G关于 x k 的伪余式，记为 p r e m ( F ， G ， x k ) 。 定义3.3 如果 K [ x ] 中的有限非空有序集合 T = [ T 1 ， ⋯ ， T r ] 满足条件 0 < c l s ( T 1 ) < ⋯ < c l s ( T r ) ，那么我们就将 [ T 1 ， ⋯ ， T r ] 称为是一个三角列，为了方便起见，我们也把空集合称为是一个三角列。 对于多项式集合 T ⊆ K [ x ] \ K ，记 l v ( T ) ∶ = { l v ( T ) : T ∈ T } ， i n i ( T ) ∶ = { i n i ( T ) : T ∈ T } 。对于 x i ∈ l v ( T ) ，记 T x i : = { T ∈ T : l v ( T ) = x i } ， T < x i : = { T ∈ T : l v ( T ) < x i } ，类似地定义 T > x i ， T ≤ x i ， T ≥ x i 。 设 P ， Q ∈ K [ x ] 是非零多项式。并且有 Q ∉ K 。如果 d e g ( P ， l v ( Q ) ) < l d e g ( Q ) 。那么就称P对Q是约化的。设多项式集合 T ⊆ K [ x ] 是一个三角列， P ∈ K [ x ] 是任意多项式，如果P对 T 中的每一个多项式T都是约化的，那么称P对 T 是约化的。 定义3.4 如果多项式集合 T ⊆ K [ x ] 只包含一个非零常数，则称 T 为平凡升列；否则，若 T = [ T 1 ， ⋯ ， T r ] 是三角列，且对于任意 1 ≤ j < i ≤ r ， T i 对于所有 T j 都是约化的，就称 T 为非平凡升列。 定义3.5 在三角列 T ⊆ K [ x ] 中，若对于任意 x i ∈ l v ( T ) 都有 p r e m ( i n i ( F ) ， T < x i ) ≠ 0 成立，其中 F ∈ T x i ，则称 T 是良好三角列。 定义3.6 设 P ⊆ K [ x ] 是非空多项式集合，任意包含于由 P 所生成的理想的升列都称为 P 的中间列。 定义3.7 设 P ⊆ K [ x ] 是非空多项式集合，如果存在升列 C 使得 C ⊆ 〈 P 〉 而且 p r e m ( P ， C ) = { 0 } ，那么就称 C 为 P 的特征列。 命题3.8 (特征列的零点关系) 设非平凡升列 C = [ C 1 ， ⋯ ， C r ] 是多项式集合 P ⊆ K [ x ] 的特征列，设 P i ∶ = P ∪ { i n i ( C i ) } ， ( i = 1 ， ⋯ ， r ) ， I : = i n i ( C ) 。有如下的零点关系： Z ( C / I ) ⊆ Z ( P ) ⊆ Z ( C ) ， Z ( C / I ) = Z ( P / I ) ， Z ( P ) = Z ( C / I ) ∪ ∪ i = 1 r Z ( P i ) 。 定义 K [ x ] 中多项式P的秩为 l v ( P ) l d e g ( P ) ，如果 c l s ( P ) > 0 ；否则的话定义P的秩为P，记为 r a n k ( P ) 。 定义3.9 设 P ， Q ∈ K [ x ] 是非零多项式，如果满足下列三个条件之一，则称P的秩低于Q的秩，记为 P ≺ Q ：1) P ∈ K ，但是 Q ∉ K ；2) P ， Q ∉ K ，而且 c l s ( P ) < c l s ( Q ) ；3) P ， Q ∉ K ， c l s ( P ) = c l s ( Q ) ，而且 l d e g ( P ) < l d e g ( Q ) 。如果 Q ≺ P ，则称P的秩高于Q的秩，记为 P ≻ Q 。如果 P ≺ Q 和 P ≻ Q 都不成立，那么称P和Q具有相同的秩，记为 P ~ Q 。把 P ≺ Q 或 P ~ Q 简记为 P ≾ Q 。 定义3.10 设 T = [ T 1 ， ⋯ ， T r ] 和 S = [ S 1 ， ⋯ ， S t ] 是多项式环 K [ x ] 中的两个非平凡升列，称 T 的秩低于 S 的秩，记为 T ≺ S ，如果满足下列条件之一：1) 存在 i ≤ min ( r ， t ) ，使得对于每个 j < i 都有 T j ~ S j ，但是 T i ≺ S i ； 2) r > t ，而且对于每个 j ≤ t 都有 T j ~ S j 成立。如果 S ≺ T ，那么称 T 的秩高于 S 的秩，记为 T ≻ S 。如果 T ≻ S 和 T ≺ S 都不成立，那么称 T 和 S 具有相同的秩，记为 T ~ S 。将 T ≺ S 或者 T ~ S 简记为 T ≾ S 。并规定平凡升列的秩总是低于非平凡升列的秩。 引理3.11 设 T = [ T 1 ， ⋯ ， T r ] 和 S = [ S 1 ， ⋯ ， S t ] 是多项式环 K [ x ] 中的两个升列，那么我们有下列结论成立：(1) T ~ S 当且仅当 r = t 而且对于所有 j ≤ t ，都有 T j ~ S j 成立；(2)设 P ∈ K [ x ] \ K ，并记 v = l v ( P ) ，如果 T 是非平凡升列，并且P对于 T 是约化的，那么 ( T < v ∪ { P } ) ≺ T 。 定义3.12 对于多项式环 K [ x ] 中任意非空有限的多项式集合 P ，设 Φ 是由所有含于 P 的升列组成的集合。因为一个非零多项式可以构成一个升列，所以 Φ 非空。我们将 Φ 的任意极小升列(关于 ≺ 秩最低的升列)称为是 P 的基列。 P 的基列可以通过如下步骤找出：设 F 1 : = P ，令 B 1 是 F 1 中秩最低的多项式。如果 B 1 是非零常数，那么 [ B 1 ] 就是 P 的一个基列。否则，令 F 2 : = { F ∈ F 1 \ B 1 : F 对 B 1 是 约 化 的 } 。如果 F 2 = ∅ ，那么 [ B 1 ] 就是 P 的一个基列。否则，设 B 2 是 F 2 中秩最低的多项式。易知 B 1 ≺ B 2 。可以类似地依次构造 F 3 ， F 4 ， ⋯ ，因为 P 是非空有限的多项式集合，而基列或是一个非零常数，或是作为一个三角列最多含有n个多项式，所以上述构造过程必定会在有限步之后终止，最后我们就可以得到 P 的一个基列。 P 的吴特征列的算法如下：1) 设 F : = P ， R : = P ；2) 如果集合 R 非空，则求取 R 的一个基列 C ；3) 若 C 中含有 K 中的元素，则另 R ∶ = ∅ ，否则另 R : = { p r e m ( F ， C ) : F ∈ F \ C } \ { 0 } ；4) 另 F : = P ∪ C ∪ R ，并返回第2)步，直到集合 R 为空集为止。最后一次求出的基列 C 即为多项式组 P 的吴特征列。该算法的终止性及正确性可参见 [ 3 ] 。 设非平凡升列 C = [ C 1 ， ⋯ ， C r ] 是多项式集合 P ⊆ K [ x ] 的特征列，现在回到特征列的零点关系，即 Z ( P ) = Z ( C / I ) ∪ ∪ i = 1 r Z ( P i ) ，显然有 Z ( P i ∪ C ) = Z ( P i ) ，于是，计算每一个 P i ∪ C 的特征列，并如此进行下去，由于 P i ∪ C 的基列的秩低于 C 的秩，所以经过有限多步之后可以得到如下的零点分解 Z ( P ) = ∪ i = 1 e Z ( C i / I i ) ，其中 C i 都是升列， I i = i n i ( C i ) 。 定义3.15 设 Ψ 为 K [ x ] 中由升列 C 1 ， ⋯ ， C e 构成的有限集合， P 为 K [ x ] 中的多项式集合，如果有零点分解 Z ( P ) = ∪ i = 1 e Z ( C i / I i ) 成立，且 p r e m ( P ， C i ) = { 0 } 对于所有的i成立，则称 Ψ 为 P 的特征序列。 Ψ = ∅ 即 e = 0 也即 Z ( P ) = ∅ 。 设 T ⊆ K [ x ] 是一个三角列，则 T 可以写成如下形式： T = [ T 1 ( x 1 ， ⋯ ， x p 1 ) ， T 2 ( x 1 ， ⋯ ， x p 1 ， ⋯ ， x p 2 ) ， ⋯ ， T r ( x 1 ， ⋯ ， x p 1 ， ⋯ ， x p 2 ， ⋯ ， x p r ) ] ， 其中 p i = c l s ( T i ) ， x p i = l v ( T i ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， r ， 0 < p 1 < p 2 < ⋯ < p r ≤ p n 。进一步地，将导元 x p 1 ， x p 2 ， ⋯ ， x p r 重新命名为 y 1 ， ⋯ ， y r ，其它变元记为 u 1 ， ⋯ ， u d 或简记为 u ，则 T 就可以写作 T = [ T 1 ( u ， y 1 ) ， T 2 ( u ， y 1 ， y 2 ) ， ⋯ ， T r ( u ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y r ) ] 。设 K 0 是 K 添加 u 1 ， ⋯ ， u d 后得到的超越扩域 K ( u ) = K ( u 1 ， ⋯ ， u d ) ，如下对三角列 T 的不可约性和一般零点作归纳定义。 定义3.16 设 T ⊆ K [ x ] 是良好三角列，若 T 只含一个多项式 T 1 ( u ， y 1 ) ，且 T 1 是 K 0 [ y 1 ] 中的不可约多项式，则称 T 是不可约的。此时，设 η 1 为 T 1 在 K 0 的某一代数扩域中的零点，则称 ( u ， η 1 ) 为 T 的一个一般零点。假设含任意 k ( k < r ) 个多项式的良好三角列之不可约性和一般零点已经定义，那么称良好三角列 T = [ T 1 ( u ， y 1 ) ， T 2 ( u ， y 1 ， y 2 ) ， ⋯ ， T r ( u ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y r ) ] 是不可约的，如果 [ T 1 ( u ， y 1 ) ， T 2 ( u ， y 1 ， y 2 ) ， ⋯ ， T r − 1 ( u ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y r − 1 ) ] 是不可约的，且以 ( u ， η 1 ， ⋯ ， η r − 1 ) 为一般零点，且多项式 T r ( u ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y r ) 在 K r − 1 [ y r ] 中不可约。其中 K r − 1 = K 0 ( η 1 ， ⋯ ， η r − 1 ) 是将 η 1 ， ⋯ ， η r − 1 添入 K 0 得到的代数扩域。此时设 η r 为 T r ( u ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y r ) 在 K r − 1 的某个代数扩域中的零点，称 ( u ， η 1 ， ⋯ ， η r ) 为 T 的一个一般零点。 定理3.17零点分解定理 设多项式组 P ⊆ K [ x ] 有中间列 T = [ T 1 ， T 2 ， ⋯ ， T r ] ，其中 c l s ( T 1 ) > 0 ， I i = i n i ( T i ) ， 1 ≤ i ≤ r 。如果 T 可约，则存在k，使得 T k 可以分解为不可约多项式 F 1 ， F 2 ， ⋯ ， F t ——即存在非负整数 s 1 ， s 2 ， ⋯ ， s k − 1 和 K [ u ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y k ] 中的多项式 Q 1 ， Q 2 ， ⋯ ， Q k − 1 以及 K [ u ， y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y k − 1 ] 中的多项式D，使得 I 1 s 1 ⋯ I k − 1 s k − 1 ( F 1 ⋯ F t − D ⋅ T k ) = ∑ i = 1 k − 1 Q i ⋅ T i 成立——于是有下面的零点分解成立： Z ( P ) = ∪ i = 1 k − 1 Z ( P i ) ∪ ∪ j = 1 t Z ( Q j ) ，其中 P i = P ∪ { I i } ( 1 ≤ i ≤ k − 1 ) ， Q j = P ∪ { F j } ( 1 ≤ j ≤ t ) 。 仿照求解特征序列的过程，可以对每个 P ∪ { I i } 以及 P ∪ { F j } 进一步求其零点分解，最终会得到形如 Z ( P ) = ∪ i = 1 e Z ( C i / I i ) 的零点分解，其中 I i = i n i ( C i ) 且每个 C i 都不可约。设 Ψ 是一个特征序列或三角 序列，若 Ψ 中的升列都不可约，则称 Ψ 是不可约的。求解任意非空多项式方程组的不可约特征序列主要是在求解吴特征列算法的基础上用因子分解方法将吴特征列中可约的多项式在相应的代数扩域上进行因式分解，从而得到不可约特征序列。详细算法以及相应的因子分解算法详见文献 [ 2 ] 的4.4节及9.4节。