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user: 2. 预备知识和问题描述 考虑由 个三阶智能体组成的多智能体系统，每个智能体的状态遵循如下动力学模型 ξ ˙ i ( t ) = ζ i ( t ) ， ζ ˙ i ( t ) = η i ( t ) ， η ˙ i ( t ) = u i ( t ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n + m (1) 其中 ξ i ( t ) ∈ ℝ 、 ζ i ( t ) ∈ ℝ 、 η i ( t ) ∈ ℝ 和 u i ( t ) ∈ ℝ 分别表示第i个智能体的位置、速度、加速度和控制输入。假定 n + m 个智能体分为 l 1 和 l 2 两组，其中 l 1 = { 1 ， 2 ， ⋯ ， n } ， l 2 = { n + 1 ， n + 2 ， ⋯ ， n + m } ， 并记 ξ 1 = [ ξ 1 ， ξ 2 ⋯ ， ξ n ] T ， ξ 2 = [ ξ n + 1 ， ξ n + 2 ⋯ ， ξ n + m ] T ， ζ 1 = [ ζ 1 ， ζ 2 ⋯ ， ζ n ] T ， ζ 2 = [ ζ n + 1 ， ζ n + 2 ⋯ ， ζ n + m ] T ， η 1 = [ η 1 ， η 2 ⋯ ， η n ] T ， η 2 = [ η n + 1 ， η n + 2 ⋯ ， η n + m ] T . 定义2.1：如果存在控制算法 u i ( t ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n + m ) ，使得对任意初始条件 ξ i ( 0 ) 、 ζ i ( 0 ) 和 η i ( 0 ) ，多智能体系统(1)的状态满足 lim t → ∞ ‖ ξ i ( t ) − ξ j ( t ) ‖ = 0 ，     lim t → ∞ ‖ ζ i ( t ) − ζ j ( t )   ‖   = 0 ，     lim t → ∞ ‖ η i ( t ) − η j ( t )   ‖ = 0 ，   ∀ i ， j ∈ l k ，     k = 1 ， 2 ， 则称多智能体系统(1)在控制算法 u i ( t ) 作用下渐近实现分组一致性。 我们用加权有向图 G = ( V ， E ， A ) 表示各智能体之间的通讯关系，其中 V = { v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v n + m } 为 的节点集， E ⊆ V × V 为 的边集， A = [ a i j ] ∈ ℝ ( n + m ) × ( n + m ) 为 的加权邻接矩阵。矩阵元素 a i j ≠ 0 当且仅当 ( v j ， v i ) ∈ E ，即第i个智能体能接收到来自第j个智能体的信息。 L = D − A 为 的拉普拉斯矩阵，其中 D = d i a g { d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d n + m } 为对角阵，并且对 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n + m ，对角线元素 d i = ∑ j = 1 ， j ≠ i n + m a i j . 本文约定 I n 表示n阶单位矩阵， 1 n 表示所有元素均为1的n维列向量， 0 n 表示所有元素均为0的n维列向量， O n × m 表示所有元素均为0的 n × m 矩阵。当维数已经明了或者不紧要时，可省略表示它们维数的下标。假定邻接矩阵 A = [ a i j ] 满足下列条件： 假设2.1： ( A 1 ) ∑ j = n + 1 n + m a i j = 0 ，     ∀ i ∈ l 1 ; ( A 2 ) ∑ j = 1 n a i j = 0 ，     ∀ i ∈ l 2 . 为解决多智能体系统(1)的分组一致性问题，在文献 [ 5 ] [ 6 ] [ 9 ] [ 11 ] 的基础上，我们提出下列一致性算法： u i ( t ) = { ∑ j = 1 n a i j [ α ( ξ j ( t ) − ξ i ( t ) ) + β ( ζ j ( t ) − ζ i ( t ) ) + γ ( η j ( t ) − η i ( t ) ) ]   + ∑ j = n + 1 n + m a i j [ α ξ j ( t ) + β ζ j ( t ) + γ η j ( t ) ] ， ∀ i ∈ l 1 ， ∑ j = 1 n a i j [ α ξ j ( t ) + β ζ j ( t ) + γ η j ( t ) ] + ∑ j = n + 1 n + m a i j [ α ( ξ j ( t ) − ξ i ( t ) ) + β ( ζ j ( t ) − ζ i ( t ) ) + γ ( η j ( t ) − η i ( t ) ) ] ， ∀ i ∈ l 2 ， (2) 其中 α > 0 ，   β > 0 ，   γ > 0 为控制参数。 在一致性算法(2)作用下，多智能体系统(1)可表示成下列矩阵形式 [ ξ ˙ ( t ) ζ ˙ ( t ) η ˙ ( t ) ] = Φ [ ξ ( t ) ζ ( t ) η ( t ) ] ， 其中 Φ = [ O ( n + m ) × ( n + m ) I n + m O ( n + m ) × ( n + m ) O ( n + m ) × ( n + m ) O ( n + m ) × ( n + m ) I n + m − α L − β L − γ L ] . (3) 根据矩阵理论， Φ 的特征多项式为 det ( λ I 3 ( n + m ) − Φ ) = det [ λ 3 I n + m + ( γ λ 2 + β λ + α ) L ] = ∏ i = 1 n + m [ λ 3 + ( γ λ 2 + β λ + α ) μ i ] ， (4) 其中 μ i 是L的第i个特征值。 引理2.1：( [ 9 ] ) 若假设2.1成立，则L有一个几何重数至少为2的零特征值，并且 q 1 = [ 1 n T ， 0 m T ] T 和 q 2 = [ 0 n T ， 1 m T ] T 是L对应于零特征值的两个线性无关的右特征向量。 给定n阶复系数方程 λ n + ( a 1 + b 1 j ) λ n − 1 + ( a 2 + b 2 j ) λ n − 2 + ⋯ + ( a n + b n j ) = 0 ， (5) 其中j为虚数单位， a k 和 b k 为实数， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。令 a 0 = 1 ， b 0 = 0 ，以及 { B i = a i − 2 ， 1 4 a i − 1 ， 1 ， L i = a i − 1 ， 1 2 a i − 2 ， 1 3 b i − 2 ， 2 − b i − 1 ， 2 B i ， (6) i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，其中 a − 1 ， l = a l − 1 ， b − 1 ， l = b l − 1 ， a 0 ， l = a l ， b 0 ， l = b l ， l = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，以及 { a i ， 2 m − 1 = a i − 1 ， 1 3 a i − 2 ， 1 3 a i − 2 ， 2 m + 1 − a i − 1 ， 1 a i − 1 ， 2 m + 1 B i + b i − 1 ， 2 m L i ， b i ， 2 m = a i − 1 ， 1 3 a i − 2 ， 1 3 b i − 2 ， 2 m + 2 − a i − 1 ， 1 b i − 1 ， 2 m + 2 B i − a i − 1 ， 2 m + 1 L i ， a i ， j = b i ， j = 0 ，     当 i + j > n ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1   ， m = 1 ， 2 ， ⋯ ， [ ( n + 1 − i ) / 2 ] . 引理2.2：( [ 13 ] )方程(5)的根全部都具有负实部的充要条件是(6)成立，并且对任意 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，有 。