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user: 3. 稳定性分析和误差估计 引理：设 { a n } ， { b n } 是两个非负数列，并且 { c n } 为单调数列，如果满足： a n + b n ≤ c n + λ ∑ i = 0 n − 1 a i ( λ > 0 ) ; a 0 + b 0 ≤ c 0 ， 那么就有： a n + b n ≤ c n exp ( n λ ) ， n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， N 。 定理：非平稳双扩散自然对流方程的有限差分格式(13)~(17)式在 4 Δ t ( | u | + | v | ) ≤ min ( P r ， 1 ， 1 L e ) 和 4 Δ t max { P r ， 1 ， 1 L e } ≤ min { Δ x 2 ， Δ y 2 } 的条件下是局部稳定的。并且有如下的误差估计： | u ( x j + 1 2 ， y k ， t n ) − u j + 1 2 ， k n | + | v ( x j ， y k + 1 2 ， t n ) − v j ， k + 1 2 n | + | θ ( x j ， y k ， t n ) − θ j ， k n | + | S ( x j ， y k ， t n ) − S j ， k n | + | p ( x j ， y k ， t n ) − p j ， k n | = O ( Δ t ， ( Δ x ) 2 ， ( Δ y ) 2 ) (19) 证明：如果满足 P r Δ t / Δ x 2 ≤ 1 4 ， P r Δ t / Δ y 2 ≤ 1 4 ，并且 4 Δ t ( | u | + | v | ) ≤ min ( P r ， 1 ， 1 L e ) ，即 4 Δ t ( ‖ u ‖ ∞ + ‖ v ‖ ∞ ) ≤ min ( P r ， 1 ， 1 L e ) ，对于(13)式有 | u j + 1 2 ， k n + 1 | ≤ Δ t Δ x ( | p j + 1 ， k n | + | p j ， k n | ) + ( 1 − 2 P r Δ t Δ x 2 − 2 P r Δ t Δ y 2 ) | u j + 1 2 ， k n | + P r Δ t Δ x 2 | u j + 3 2 ， k n |     + P r Δ t Δ y 2 ( | u j + 3 2 ， k + 1 n | + | u j + 1 2 ， k - 1 n | ) + Δ t ε ( | u j + 1 ， k n | 2 + | u j ， k n | 2 Δ x + | ( u v ) j + 1 2 ， k + 1 2 n | + | ( u v ) j + 1 2 ， k − 1 2 n | Δ y )     + P r ε Δ t D a | u j + 1 2 ， k n | + 1.75 Δ t | u j + 1 2 ， k n | 2 + | v j + 1 2 ， k n | 2 150 D a ε | u j + 1 2 ， k n | + | u j + 1 2 ， k n | ≤ 2 Δ t Δ x ‖ p n ‖ ∞ + ( 1 + P r ε Δ t D a + P r 2 ε Δ x + P r 2 ε Δ y + 1.75 P r 4 150 D a ε ) ‖ u n ‖ ∞ 这里 ‖     ⋅     ‖ ∞ 是无穷范数，则可推得 ‖ u n + 1 ‖ ∞ ≤ 2 Δ t Δ x ‖ p n ‖ ∞ + ( 1 + P r ε Δ t D a + P r 2 ε Δ x + P r 2 ε Δ y + 1.75 P r 4 150 D a ε ) ‖ u n ‖ ∞ ， ( n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ) (20) 因为是p泊松方程，所以 ‖ p n ‖ ∞ 是有界的 [ 9 ] 。不妨设 ‖ p n ‖ ∞ ≤ β 1 。 由(20)式可得 ‖ u n + 1 ‖ ≤ 2 Δ t Δ x β 1 + ( 1 + P r ε Δ t D a + P r 2 ε Δ x + P r 2 ε Δ y + 1.75 P r 4 150 D a ε ) ‖ u n ‖ ∞ ， ( n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ) (21) (21)式中从1到n相加，可得 ‖ u n ‖ ∞ ≤ 2 n Δ t Δ x β 1 + ‖ u 0 ‖ ∞ + ( 1 + P r ε Δ t D a + P r 2 ε Δ x + P r 2 ε Δ y + 1.75 P r 4 150 D a ε ) ∑ j = 0 n − 1 ‖ u j ‖ ∞ ， ( n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ) (22) 由引理1得 ‖ u n ‖ ∞ ≤ ( 2 n Δ t Δ x β 1 + ‖ u 0 ‖ ∞ ) exp ( n + n P r ε Δ t D a + n P r 2 ε Δ x + n P r 2 ε Δ y + 1.75 n P r 4 150 D a ε ) ， ( n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ) (23) 即当时间T是有限时，数列 { u n } 是局部稳定的，由有限差分稳定定理 [ 9 ] 可得数列 { u n } 是收敛的。 同理，差分格式(15)~(17)式按照上述方法可得 ‖ v n + 1 ‖ ∞ ≤ 2 Δ t Δ y β 1 + ( 1 + P r ε Δ t D a + P r 2 ε Δ y + P r 2 ε Δ x + 1.75 P r 4 150 D a ε ) ‖ v n ‖ ∞                           + P r R a ‖ θ n ‖ ∞ + P r R a M ‖ S n ‖ ∞ ， ( n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ) (24) ‖ θ n + 1 ‖ ∞ ≤ ( 1 + 1 2 Δ x + 1 2 Δ y ) ‖ θ n ‖ ∞ ，               ( n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ) (25) ‖ S n + 1 ‖ ∞ ≤ ( 1 + 1 2 L e Δ x + 1 2 L e Δ y ) ‖ S n ‖ ∞     ，                     ( n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ) (26) 设 ϖ = max { P r ε Δ t D a + P r 2 ε Δ y + P r 2 ε Δ x + 1.75 P r 4 150 D a ε ， P r R a + 1 2 Δ x + 1 2 Δ y ， P r R a M + 1 2 L e Δ x + 1 2 L e Δ y } 。 由(23)~(25)式可得 ‖ v n ‖ ∞ + ‖ θ n ‖ ∞ + ‖ S n ‖ ∞ ≤ ( 1 + ϖ ) ( ‖ v n − 1 ‖ ∞ + ‖ θ n − 1 ‖ ∞ + ‖ S n − 1 ‖ ∞ ) + 2 Δ t Δ y β 1 (27) (26)式由1加到n，即 ‖ v n ‖ ∞ + ‖ θ n ‖ ∞ + ‖ S n ‖ ∞ ≤ ( ‖ v 0 ‖ ∞ + ‖ θ 0 ‖ ∞ + ‖ S 0 ‖ ) exp ( n ϖ ) + 2 n Δ t Δ y β 1 (28) 当时间T是有限时，(26)式不等号右部分是有界的，由有限差分稳定定理 [ 10 ] 可得差分格式(23)~(25)是收敛的。 综上所述，非平稳双扩散自然对流问题的交错网格的有限差分格式是局部稳定的。 下证交错网格有限差分格式的截断误差是(19)式。 对于方程(1)，使用泰勒公式在点 ( x j ， y k ， t n + 1 ) 处展开，可得 u j + 1 2 ， k n + 1 − u j − 1 2 ， k n + 1 = u j + 1 2 ， k n + 1 − u j ， k n + 1 + u j ， k n + 1 − u j − 1 2 ， k n + 1 = Δ x 2 ( ∂ u ∂ x ) j ， k n + 1 + 1 2 ！ ( Δ x 2 ) 2 ( ∂ 2 u ∂ x 2 ) j ， k n + 1 + 1 3 ！ ( Δ x 2 ) 3 ( ∂ 3 u ∂ x 3 ) j ， k n + 1 + ⋯     + Δ x 2 ( ∂ u ∂ x ) j ， k n + 1 − 1 2 ！ ( Δ x 2 ) 2 ( ∂ 2 u ∂ x 2 ) j ， k n + 1 + 1 3 ！ ( Δ x 2 ) 3 ( ∂ 3 u ∂ x 3 ) j ， k n + 1 − ⋯ = Δ x ( ∂ u ∂ x ) j ， k n + 1 + ( Δ x ) 3 24 ( ∂ 3 u ∂ x 3 ) j ， k n + 1 + ⋯ (29) v j ， k + 1 2 n + 1 − v j ， k − 1 2 n + 1 = v j ， k + 1 2 n + 1 − v j ， k n + 1 + v j ， k n + 1 − v j ， k − 1 2 n + 1 = Δ y 2 ( ∂ v ∂ y ) j ， k n + 1 + 1 2 ！ ( Δ y 2 ) 2 ( ∂ 2 v ∂ y 2 ) j ， k n + 1 + 1 3 ！ ( Δ y 2 ) 3 ( ∂ 3 v ∂ y 3 ) j ， k n + 1 + ⋯     + Δ y 2 ( ∂ v ∂ y ) j ， k n + 1 − 1 2 ！ ( Δ y 2 ) 2 ( ∂ 2 v ∂ y 2 ) j ， k n + 1 = Δ y ( ∂ v ∂ y ) j ， k n + 1 + ( Δ y ) 3 24 ( ∂ 3 v ∂ y 3 ) j ， k n + 1 + ⋯ (30) 将上式插入方程(1)中，可得 [ ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y ] j ， k n + 1 = − ( Δ x ) 2 24 ( ∂ 3 u ∂ x 3 ) j ， k n + 1 − ( Δ y ) 2 24 ( ∂ 3 v ∂ y 3 ) j ， k n + 1 + ⋯ 即方程(1)的截断误差为： O ( ( Δ x ) 2 ， ( Δ y ) 2 ) 。 对于方程(2)，使用泰勒公式在点 ( x i + 1 2 ， y k ， t n ) 处展开，可得 u j + 1 2 ， k n + 1 − u j + 1 2 ， k n = Δ t ( ∂ u ∂ t ) j + 1 2 ， k n + 1 2 ! ( Δ t ) 2 ( ∂ 2 u ∂ t 2 ) j + 1 2 ， k n + ⋯ (31) p j + 1 ， k n − p j ， k n = ( p j + 1 ， k n − p j + 1 2 ， k n ) + ( p j + 1 2 ， k n − p j ， k n ) = Δ x 2 ( ∂ p ∂ x ) j + 1 2 ， k n + 1 2 ! ( Δ x 2 ) 2 ( ∂ 2 p ∂ x 2 ) j + 1 2 ， k n + 1 3 ! ( Δ x 2 ) 3 ( ∂ 3 p ∂ x 3 ) j + 1 2 ， k n + ⋯     + Δ x 2 ( ∂ p ∂ x ) j + 1 2 ， k n − 1 2 ! ( Δ x 2 ) 2 ( ∂ 2 p ∂ x 2 ) j + 1 2 ， k n + 1 3 ! ( Δ x 2 ) 3 ( ∂ 3 p ∂ x 3 ) j + 1 2 ， k n − ⋯ = Δ x ( ∂ p ∂ x ) j + 1 2 ， k n + ( Δ x ) 3 24 ( ∂ 3 p ∂ x 3 ) j + 1 2 ， k n + ⋯ (32) u j + 3 2 ， k n − 2 u j + 1 2 ， k n + u j − 1 2 ， k n = ( u j + 3 2 ， k n − u j + 1 2 ， k n ) + ( u j − 1 2 ， k n − u j + 1 2 ， k n ) = Δ x ( ∂ u ∂ x ) j + 1 2 ， k n + ( Δ x ) 2 2 ! ( ∂ 2 u ∂ x 2 ) j + 1 2 ， k n + ( Δ x ) 3 3 ! ( ∂ 3 u ∂ x 3 ) j + 1 2 ， k n + ( Δ x ) 4 4 ! ( ∂ 4 u ∂ x 4 ) j + 1 2 ， k n + ⋯       − Δ x ( ∂ u ∂ x ) j + 1 2 ， k n + ( Δ x ) 2 2 ! ( ∂ 2 u ∂ x 2 ) j + 1 2 ， k n − ( Δ x ) 3 3 ! ( ∂ 3 u ∂ x 3 ) j + 1 2 ， k n + ( Δ x ) 4 4 ! ( ∂ 4 u ∂ x 4 ) j + 1 2 ， k n − ⋯ = ( Δ x ) 2 ( ∂ 2 u ∂ x 2 ) j + 1 2 ， k n + ( Δ x ) 4 12 ( ∂ 4 u ∂ x 4 ) j + 1 2 ， k n + ⋯ (33) u j + 1 2 ， k + 1 n − 2 u j + 1 2 ， k n + u j + 1 2 ， k − 1 n = ( u j + 1 2 ， k + 1 n − u j + 1 2 ， k n ) + ( u j + 1 2 ， k n − u j + 1 2 ， k − 1 n ) = Δ y ( ∂ u ∂ y ) j + 1 2 ， k n + ( Δ y ) 2 2 ! ( ∂ 2 u ∂ y 2 ) j + 1 2 ， k n + ( Δ y ) 3 3 ! ( ∂ 3 u ∂ y 3 ) j + 1 2 ， k n + ( Δ y ) 4 4 ! ( ∂ 4 u ∂ y 4 ) j + 1 2 ， k n + ⋯       − Δ y ( ∂ u ∂ y ) j + 1 2 ， k n + ( Δ y ) 2 2 ! ( ∂ 2 u ∂ y 2 ) j + 1 2 ， k n − ( Δ y ) 3 3 ! ( ∂ 3 u ∂ y 3 ) j + 1 2 ， k n + ( Δ y ) 4 4 ! ( ∂ 4 u ∂ y 4 ) j + 1 2 ， k n − ⋯ = ( Δ y ) 2 ( ∂ 2 u ∂ y 2 ) j + 1 2 ， k n + ( Δ y ) 4 12 ( ∂ 4 u ∂ y 4 ) j + 1 2 ， k n + ⋯ (34) ( u 2 ) j + 1 ， k n = ( u 2 ) j + 1 2 ， k n + Δ x 2 ( 2 u j + 1 2 ， k n ) + 1 2 ! ( Δ x 2 ) 2 [ 2 ( ∂ u ∂ x ) j + 1 2 ， k n ] + 1 3 ! ( Δ x 2 ) 3 [ 2 ( ∂ 2 u ∂ x 2 ) j + 1 2 ， k n ] + ⋯ ( u 2 ) j − 1 ， k n = ( u 2 ) j + 1 2 ， k n − Δ x 2 ( 2 u j + 1 2 ， k n ) + 1 2 ! ( Δ x 2 ) 2 [ 2 ( ∂ u ∂ x ) j + 1 2 ， k n ] − 1 3 ! ( Δ x 2 ) 3 [ 2 ( ∂ 2 u ∂ x 2 ) j + 1 2 ， k n ] + ⋯ ( u 2 ) j + 1 ， k n − ( u 2 ) j ， k n = 2 Δ x ( u ) j + 1 2 ， k n + ( Δ x ) 3 12 ( ∂ 2 u ∂ x 2 ) j + 1 2 ， k n + ⋯ (35) ( u v ) j + 1 2 ， k + 1 2 n = ( u v ) j + 1 2 ， k n + Δ y 2 [ v j + 1 2 ， k n ( ∂ u ∂ y ) j + 1 2 ， k n + u j + 1 2 ， k n ( ∂ v ∂ y ) j + 1 2 ， k n ]     + 1 2 ! ( Δ y 2 ) 2 [ 2 ( ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ) j + 1 2 ， k n + v j + 1 2 ， k n ( ∂ 2 u ∂ y 2 ) j + 1 2 ， k n + u j + 1 2 ， k n ( ∂ 2 v ∂ y 2 ) j + 1 2 ， k n ]     + 1 3 ! ( Δ y 2 ) 3 [ 3 ( ∂ 2 v ∂ y 2 ∂ u ∂ y ) j + 1 2 ， k n + 3 ( ∂ v ∂ y ∂ 3 u ∂ y 3 ) j + 1 2 ， k n + v j + 1 2 ， k n ( ∂ 3 u ∂ y 3 ) j + 1 2 ， k n     + u j + 1 2 ， k n ( ∂ 3 v ∂ y 3 ) j + 1 2 ， k n ] + ⋯ ( u v ) j + 1 2 ， k − 1 2 n = ( u v ) j + 1 2 ， k n − Δ y 2 [ v ( ∂ u ∂ y ) j + 1 2 ， k n + u ( ∂ v ∂ y ) j + 1 2 ， k n ]     + 1 2 ! ( Δ y 2 ) 2 [ 2 ( ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ) j + 1 2 ， k n + v j + 1 2 ， k n ( ∂ 2 u ∂ y 2 ) j + 1 2 ， k n + u j + 1 2 ， k n ( ∂ 2 v ∂ y 2 ) j + 1 2 ， k n ]     − 1 3 ! ( Δ y 2 ) 3 [ 3 ( ∂ 2 v ∂ y 2 ∂ u ∂ y ) j + 1 2 ， k n + 3 ( ∂ v ∂ y ∂ 3 u ∂ y 3 ) j + 1 2 ， k n v j + 1 2 ， k n ( ∂ 3 u ∂ y 3 ) j + 1 2 ， k n     + u j + 1 2 ， k n ( ∂ 3 v ∂ y 3 ) j + 1 2 ， k n ] + ⋯ ( u v ) j + 1 2 ， k + 1 2 n − ( u v ) j + 1 2 ， k − 1 2 n = Δ y [ v ( ∂ u ∂ y ) j + 1 2 ， k n + u ( ∂ v ∂ y ) j + 1 2 ， k n ] + ( Δ y ) 3 24 ! [ 3 ( ∂ 2 v ∂ y 2 ∂ u ∂ y ) j + 1 2 ， k n       + 3 ( ∂ v ∂ y ∂ 2 u ∂ y 2 ) j + 1 2 ， k n + v j + 1 2 ， k n ( ∂ 3 u ∂ y 3 ) j + 1 2 ， k n + u j + 1 2 ， k n ( ∂ 3 v ∂ y 3 ) j + 1 2 ， k n ] + ⋯ (36) 将(31)~(36)式代入到方程(2)中，可得 ∂ u ∂ t + ∂ p ∂ x − P r ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 ) + 1 ε ( ∂ ( u 2 ) ∂ x + ∂ ( u v ) ∂ y ) + P r ε D a u + 1.75 u u 2 + v 2 150 D a ε = − 1 4 ( Δ t ) ( ∂ 2 u ∂ t 2 ) j + 1 2 ， k n − ( Δ x ) 2 24 ( ∂ 3 p ∂ x 3 ) j + 1 2 ， k n + P r [ ( Δ x ) 2 12 ( ∂ 4 u ∂ x 4 ) j + 1 2 ， k n + ( Δ y ) 2 12 ( ∂ 4 u ∂ y 4 ) j + 1 2 ， k n ]       − 1 ε [ ( Δ x ) 3 12 ( ∂ 2 u ∂ x 2 ) j + 1 2 ， k n ] − P r ε D a u j + 1 2 ， k n − 1.75 u j + 1 2 ， k n ( u 2 ) j + 1 2 ， k n + ( v 2 ) j + 1 2 ， k n Δ x 150 D a ε       − 1 ε [ ( Δ y ) 2 24 ( 3 ( ∂ 2 v ∂ y 2 ∂ u ∂ y ) j + 1 2 ， k n + 3 ( ∂ v ∂ y ∂ 2 u ∂ y 2 ) j + 1 2 ， k n + v j + 1 2 ， k n ( ∂ 3 u ∂ y 3 ) j + 1 2 ， k n + u j + 1 2 ， k n ( ∂ 3 v ∂ y 3 ) j + 1 2 ， k n ) ] + ⋯ 即方程(2)的截断误差为： O ( Δ t ， ( Δ x ) 2 ， ( Δ y ) 2 ) 。 同理可得，方程(3)~方程(5)的截断误差为： O ( Δ t ， ( Δ x ) 2 ， ( Δ y ) 2 ) 。 即非平稳双扩散自然对流方程的交错网格有限差分格式的截断误差为(19)式得证。