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user: 3. 生鲜超市水果库存控制模型构建 3.1. 问题描述 本文研究具有一定销售周期的季节性水果，生鲜水果不同于其他一般商品，货架期最长的为十几天，最短的为2天，腐烂速率非常快。在超市进行销售时有具体的货架期标准，货架期为。水果超出货架期后失去销售价值，立马下架报损。根据生鲜超市水果的易腐性和销售特点，分别描述水果在需求、定价等方面的特殊性，并以此作为模型建立的基础。 生鲜水果的需求受价格和新鲜度变化，因此假设需求是价格和新鲜度的函数。 实际生活中，生鲜超市并不像便利店一样24小时营业，分为营业时间段和非营业时间段。超市营业时间为t 1 ，一个销售日是一天。在[0， t 1 ]时间段内超市不营业，[t 1 ， 1]在时间段内超市营业。在非营业时间段内，消费者的需求为0，但是变质一直在发生，因此消费者的需求是一个分段函数，库存水平表达式也是一个分段函数。 频繁变价是大多数生鲜超市销售的主要特点。一般情况下超市会采用周期性定价的方式，定价周期为1~2天。本文考虑价格为决策变量，考虑天天定价的库存控制模型，使得生鲜超市销售利润最大化。 3.2. 模型假设 1) 水果的订货周期为n，在第n天通过调价或者扔掉使得当日结束时库存为0。 2) 假设不允许缺货，即当库存量将为0时，生鲜水果采销负责人在该天销售结束时立即发出订单通知，发出订货请求后供应商凌晨送货到门店。 3) 水果在超市进行销售时变质速率为常数θ。 4) 一个订货周期内的各项采购成本、单次订购的固定成本、单位库存持有成本不发生变化且为常数。 3.3. 参数说明 1) 决策变量 n：订货周期； p w ：第w个销售日的销售价格； 2) 主要参数 L：水果的销售时间长度； n：订货周期； m：水果的货架期； Q：订购批量； t：一个销售日的销售时刻； t 1 ：超市开始营业时间点； θ：水果的变质率； β：水果最初到达超市的新鲜度； w：第w个销售日； q w :第w个销售日的初始库存量； I w (t)：第w个销售日t时刻的库存量； D w (t):第w个销售日t时刻的需求量； H w (n)：第w个销售日的库存持有成本； H(n)：总库存持有成本； R w (n)：第w个销售日的销售收入； R(n)：总销售收入； π ( n ， p 1 ， p 2 ， p 3 ， ⋯ ， p n ) ：总销售利润； p 0 ：水果的平均市场销售价格； C b ：单位水果的采购价格； C h ：单位水果的库存持有成本； C d ：每次订货的固定成本； C r :线下渠道运营成本； C o ：线上渠道运营成本； η：客流量限制因子。 3.4. 模型构建 参考Ghare的经典易变质品库存控制模型，库存水平函数与变质率和需求率之间的关系可以表示为： d I ( t ) d t = − θ ( t ) I ( t ) − D ( t ) (1) 第w个销售日的需求函数表达式为： D w ( t ) = { ( a − b p w ) β ( w − 1 ) + t       t 1 ≤ t ≤ 1 0                                                 0 ≤ t ≤ t 1 (2) 则第w个销售日t时刻的的库存水平表达式为： d I ( t ) d t = { − θ I w ( t ) − ( a − b p w ) β ( w − 1 ) + t       t 1 ≤ t ≤ 1 − θ I w ( t )                                                           0 ≤ t ≤ t 1 (3) 对上式进行积分得： I w ( t ) = { ( b p w − a ) β ( w − 1 ) + t ln β + θ + c 1 e − θ t                     t 1 ≤ t ≤ 1 c 2 e − θ t                                                                             0 ≤ t ≤ t 1 (4) 根据模型假设可以得出来，第w个销售日 t = 0 时刻的库存水平就是该天的初始库存量，即有 I w ( 0 ) = q w ，代入公式(4)求得： c 2 = q w ( b p w − a ) β ( w − 1 ) + t 1 ln β + θ + c 1 e − θ t 1 = q w e − θ t 1 (5) c 1 = 1 ln β + θ ( a e θ t 1 β ( w − 1 ) + t 1 − b p w e θ t 1 β ( w − 1 ) + t 1 + ln β q w θ q w )       = e θ t 1 ( a − b p w ) β ( w − 1 ) + t 1 ln β + θ + q w (6) 将c 1 和c 2 代入（4）式后整理得到： I w ( t ) = { q w e − θ t + ( b p w − a ) ln β + θ β ( w − 1 ) [ β t − β t 1 e − θ ( t − t 1 ) ]                       t 1 ≤ t ≤ 1 q w e − θ t                                                                                                                   0 ≤ t ≤ t 1 (7) 注意到 β = e ln β 是等价的，因此 I w ( t ) = { q w e − θ t + ( b p w − a ) ln β + θ [ e [ ( w − 1 ) + t ] ln β − e ( w − 1 ) ln β + ( ln β + θ ) t 1 − θ t ]                       t 1 ≤ t ≤ 1 q w e − θ t                                                                                                                                             0 ≤ t ≤ t 1 (8) 由于第w个销售日 t = 1 时刻等于第 w + 1 个销售日 t = 0 时刻的库存水平，可以得到： q w + 1 = e − θ ln β + θ ( q w ( ln β + θ ) − ( a − b p w ) ( e w ln β + θ − e θ t 1 + ln β [ ( w − 1 ) + t 1 ] ) )             = e − θ ln β + θ ( q w ( ln β + θ ) − ( a − b p w ) e w ln β ( e θ − e θ t 1 + ln β [ − 1 + t 1 ] ) )             = q w e − θ − ( 1 − e ( − ln β ) ( 1 − t 1 ) − θ ( 1 − t 1 ) ) ( ( a − b p w ) e w ln β ) i n β + θ (9) 利用变换 X = e − ( 1 − t 1 ) ln β ; Y = e − θ ( 1 − t 1 ) ; Z = 1 − X Y ln β + θ 得出 q w + 1 = q w e − θ − Z ( a − b p w ) e w ln β 根据数学归纳法可以得出： q 1 = Q ； q 2 = Q e − θ − Z ( a − b p 1 ) e ln β q 3 = ( Q e − θ − Z ( a − b p 1 ) e ln β ) e − θ − Z ( a − b p 2 ) e 2 ln β         = Q e − 2 θ − Z ( a − b p 1 ) e ln β − θ − Z ( a − b p 2 ) e 2 ln β q 4 = ( Q e − 2 θ − Z ( a − b p 1 ) e ( ln β − θ ) − Z ( a − b p 2 ) e 2 ln β ) e − θ − Z ( a − b p 3 ) e 3 ln β         = Q e − 3 θ − Z ( a − b p 1 ) e ( ln β − 2 θ ) − Z ( a − b p 2 ) e ( 2 ln β − θ ) − Z ( a − b p 3 ) e 3 ln β         = Q e − 3 θ − Z [ ( a − b p 1 ) e ( ln β − 2 θ ) − ( a − b p 2 ) e ( 2 ln β − θ ) − ] ( a − b p 3 ) e 3 ln β 从而得到第w个销售日的初始库存水平表达式为： q w = { Q e − ( w − 1 ) θ − Z ∑ i = 2 w ( a − b p i − 1 ) e ( i − 1 ) ln β − ( w − i ) θ w = { 2 ， 3 ， 4 ， ⋯ ， n } Q w = 1 (10) 由每个订货周期末的库存量为0可以得出： I n ( 1 ) = 0 ，分别带入公式(7)和公式(10)得出： Q = Z ∑ w = 1 n ( a − b p w ) e w ( ln β + θ ) ，       1 ≤ n ≤ m (11) q w = Z e − ( w − 1 ) θ ∑ i = w n ( a − b p w ) e i ( ln β + θ ) ，       { w = 1 ， 2 ， ⋯ ， n } (12) 第w个销售日的库存持有成本如下： H w ( n ) = C h ( ∫ 0 1 q w e − θ d t + ∫ t 1 1 a − b p w ln β + θ [ e ( w − 1 ) ln β + ( ln β + θ ) t 1 − θ t − e ( w − 1 ) ln β + t ] d t )                     = C h [ q w ( 1 − e − θ ) θ − ( a − b p w ) e w ln β ln β + θ ( 1 − X ln β − X ( 1 − Y ) θ ) ] 总库存持有成本如下： H ( n ) = ∑ w = 1 n H w ( n ) = C h [ ∑ w = 1 n q w ( 1 − e − θ ) θ − ∑ w = 1 n ( a − b p w ) e w ln β ln β + θ ( 1 − X ln β − X ( 1 − Y ) θ ) ] (13) 第w个销售日的销售收入如下： R w ( n ) = ∫ 0 1 p w D ( p w ， t ) d t = ∫ t 1 1 p w ( a − b p w ) β ( w − 1 ) + t d t = 1 − X ln β p w ( a − b p w ) e w ln β 总销售收入如下： R ( n ) = ∑ w = 1 n R w ( n ) = 1 − X ln β ∑ w = 1 n p w ( a − b p w ) e w ln β (14) 总销售利润如下： π ( n ， p 1 ， p 2 ， p 3 ， ⋯ ， p n ) = R ( n ) − H ( n ) − C b Q − C d − C o − C r (15) 则整个销售周期内的总销售利润如下： π L ( n ， p 1 ， p 2 ， p 3 ， ⋯ ， p n ) = L n [ R ( n ) − H ( n ) − C b Q − C d − C o − C r ] (16) 针对生鲜超市来说，由于不能出现亏本的情况，所以每日的销售价格不能低于采购成本，另一方面超市水果销售具有提升客流量的作用。超市在进行订货时，从采购者的角度分析，预估水果有一个最低需求量来进行订货，以市场平均价格下的一般需求量为参照，可以得出，第w天的销售量大于一般需求量，参照杨文艺 [ 12 ] 对于客流量限制因子的描述，得出如下约束条件： Q w ≥ η Q 0 Q w = ∫ t 1 1 ( a − b p w ) β ( w − 1 ) + t d t = 1 − X ln β ( a − b p w ) e w ln β (17) Q 0 = ∫ t 1 1 ( a − b p 0 ) β ( w − 1 ) + t d t = 1 − X ln β ( a − b p 0 ) e ln β (18) 综上可以得到约束条件为： C b ≤ P w ≤ a b − η b ( a − b p 0 ) β − ( w − 1 ) (19) 由超市实际运作情况可知，订货周期 n ≤ 货架期m 最终总的利润函数和约束条件为： max π L ( n ， p 1 ， p 2 ， p 3 ， ⋯ ， p n ) = L n [ 1 − X ln β ∑ w = 1 n p w ( a − b p w ) e w ln β + C h Z ( 1 − e − θ ) θ ∑ w = 1 n ∑ i = w n ( a − b p w ) e i ( ln β + θ ) e − w θ + C h ( 1 − X ln β − X ( 1 − Y ) θ ) ∑ w = 1 n ( a − b p w ) e w ln β ln β + θ + C h ( 1 − X ln β − X ( 1 − Y ) θ ) ∑ w = 1 n ( a − b p w ) e w ln β ln β + θ ] 为了简化目标函数，记 α 1 = L n ( 1 − X ln β )         α 2 = L n C h Z ( 1 − e − θ ) θ       α 3 = L n C h ( 1 − X ln β − X ( 1 − Y ) θ ) α 4 = L n C b Z                   α 5 = C d + C o + C r 则最终利润函数表达式为 max π L ( n ， p 1 ， p 2 ， p 3 ， ⋯ ， p n ) = α 1 ∑ w = 1 n p w ( a − b p w ) e w ln β + α 2 ∑ w = 1 n ∑ i = w n ( a − b p w ) e i ( ln β + θ ) e − w θ + α 3 ∑ w = 1 n ( a − b p w ) e w ln β ln β + θ − α 4 ∑ w = 1 n ( a − b p w ) e w ( ln β + θ ) − α 5 (20) 约束条件为： { C b ≤ P w ≤ a b − η b ( a − b p 0 ) β − ( w − 1 ) n ≤ m ， 且 为 整 数 (21) 3.5. 遗传算法求解 在库存控制策略中，建立的总利润最大化模型应该考虑的是全局最优化，现在全局最优化的算法有遗传算法与模拟退火算法等。在这些算法中，近年来研究最成熟发展最快的是遗传算法 [ 13 ] 。该方法是启发式算法中的一种，也是一种随机搜索算法。因此本文在对水果库存控制模型进行求解时采用遗传算法。 1) 遗传编码 本文处理的是生鲜超市水果库存管理问题，涉及到的订货周期和价格向量取值有限，由于二进制编码的效果较好，而本文涉及到的变量处理中有小数的存在，选择二进制编码的效果会由于其他编码方式，如实数编码等。因此本文在对模型进行求解时选取二进制编码的方式来进行处理。 2) 产生初始群体 初始群体一般通过随机方法产生，初始群体的规模依经验决定，另外还需要保持群体的多样性。 3) 构建适应函数 适应函数构成了个体的生存环境，比较每个个体的适应值，判断其生存能力。适应函数值越高，表示染色体越符合目标。对于函数优化问题，可以将目标函数定义为适应度评价函数，将函数优化中的目标函数映射成求最大值形式的函数。由于本文目标函数是求最大值的函数，所以可以建立如下适应函数 g ( x ) = f ( x ) 。本文中的适应度函数为最大利润的模型函数，其中适应度函数的目标为最大化利润，优化的变量为订货周期n和价格p。以目标的最优化即利润最大化为优化方向，对目标进行优化。 4) 遗传算子 遗传操作包括选择、交叉和变异三个遗传算子 [ 13 ] 。这三种形式构成了遗传算法强大搜索能力的核心。选择是指从群体中选择优胜的个体，淘汰劣质个体。选择的目的是把优化的个体(或解)直接遗传到下一代或通过配对交叉产生新的个体再遗传到下一代。交叉是指把两个父代个体的部分结构加以替换重组而生成新个体的操作。交叉算子使得遗传算法的搜索能力得到了很大程度的提高。一般建议交叉概率 P c 取值范围为0.4~0.99。变异是交叉后子代发生的变异，是子代基因发生的小概率变化，其算法包括：实值变异和二进制变异，一般建议取值范围为0.0001~0.1。 相应的遗传算法流程如下图1所示： 图1. 遗传算法基本操作流程