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user: 3. 一类星形树的主特征值数目 定理3.1 星形树 S ( 1 ， 1 ， m ) ( m ≥ 1 ) 的主特征值数目有以下情况：当m为偶数时， S ( 1 ， 1 ， m ) 的主特征值数大于等于 m 2 + 1 ，其中0是单根且为非主特征值；当m为奇数时，非零特征值 ± λ 同为主特征值或同为非主特征值，且0是二重根，进一步当 m = 4 k − 3 时，0为非主特征值；当 m = 4 k − 1 时，0为主特征值 ( k ≥ 1 ) 。 证明：首先分析图 S ( 1 ， 1 ， m ) 根的情况，因为 λ = { 0 } ∪ { 2 cos ( 2 k + 1 2 m + 4 π ) ， k = 0 ， 1 ， ⋯ ， m + 1 } ，而 2 k + 1 2 m + 4 = 1 2 当且仅当 k = m + 1 2 ，说明只有m为奇数即 | V ( S ( 1 ， 1 ， m ) ) | = m + 3 为偶数时，0是 S ( 1 ， 1 ， m ) 的二重根，m为偶数时0为单根。因为余弦值 cos θ 在区间 [ 0 ， π ] 上单调递减，故图 S ( 1 ， 1 ， m ) 的非零特征值均为单根，且关于原点对称。 设图 S ( 1 ， 1 ， m ) 的邻接矩阵为 A = ( 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 1 1 0 1 ⋯ 0 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 0 ⋯ 1 0 ) n × n ，易见 n = m + 3 。对其特征值 λ 及对应特征向量x有 A x = λ x ，令 x = ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ) T ，展开方程得到： { x 3 = λ x 1 x 3 = λ x 2 x 1 + x 2 + x 4 = λ x 3 x 3 + x 5 = λ x 4 x 4 + x 6 = λ x 5 ⋯ x n − 2 + x n = λ x n − 1 x n − 1 = λ x n (1) 由(1)式可知，A的每一个特征向量x都可以由最后一个分量 x n ( ≠ 0 ) 表示，不妨设 x n = 1 。 若 x n = 0 ，则代入(1)式可得： { x 1 + x 2 = 0 x n = x n − 1 = x n − 2 = x n − 3 = ⋯ = x 5 = x 4 = x 3 = 0 故易见向量 x ′ = ( 1 ， − 1 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) T 是对应特征值0的特征向量，即满足 A x ′ = 0 ⋅ x ′ ，由 e T x ′ = 0 知0是非主特征值，且该0特征值不由 2 cos ( 2 k + 1 2 m + 4 π ) 贡献。 将(1)式左右两端相加得： 2 ∑ i = 1 n x i − x 1 − x 2 + x 3 − x n = λ ∑ i = 1 n x i 化简得： ( 2 − λ ) ∑ i = 1 n x i = x 1 + x 2 − x 3 + x n 因为 λ ∈ ( − 2 ， 2 ) ， 2 − λ > 0 ，故 ∑ i = 1 n x i = 0 即 λ 为非主特征值当且仅当 x 1 + x 2 − x 3 + x n = 0 (2) 下面讨论 λ ≠ 0 的情况。 此时显然 x 1 ≠ 0 ，否则有 x n = x n − 1 = x n − 2 = x n − 3 = ⋯ = x 5 = x 4 = x 3 = x 2 = x 1 = 0 ，向量x无意义。 由(1)式知 x n ≠ 0 时，有 x 1 = x 2 ，故(2)式可表示为： ( 2 − λ ) x 1 + 1 = 0 (3) 因为 2 − λ > 0 ，故当 x 1 > 0 时(3)式左端恒大于零，等式矛盾，说明 x 1 > 0 时 ∑ i = 1 n x i ≠ 0 ，对应特征值 λ 为主特征值。 1) 当 m 为偶数时， n = m + 3 为奇数，对于特征值 ± λ ，若对应 λ 的特征向量为 x = ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n − 1 ， 1 ) T ，因为 S ( 1 ， 1 ， m ) 为二部图，连接在中心点 v 的两个一度点和 P m 中与 v 的距离为奇数的顶点可划分为一个顶点集，则由推论2.8可得对应 − λ 的特征向量为 y = ( − x 1 ， − x 2 ， x 3 ， − x 4 ， x 5 ， ⋯ ， x n − 2 ， − x n − 1 ， 1 ) T ， x 和 y 的第一个分量异号且不等于0，则 ± λ 至少有一个为主特征值，这就说明对于奇数个顶点的图 S ( 1 ， 1 ， m ) ，其至少有 m + 3 − 1 2 个主特征值。 2) 当 m 为奇数时， n = m + 3 为偶数，对于特征值 ± λ ，若对应 λ 的特征向量为 x = ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n − 1 ， 1 ) T ，同理可得对应 − λ 的特征向量为 y = ( x 1 ， x 2 ， − x 3 ， x 4 ， − x 5 ， ⋯ ， − x n − 2 ， x n − 1 ， 1 ) T ， x 和 y 的第一个分量同号且不等于0，说明对于偶数个顶点的图 S ( 1 ， 1 ， m ) ，其特征值 ± λ 同为主特征值(或非主特征值)。 最后讨论0作为二重根出现的情况。 由上面分析可知当 m 为奇数，0是二重根，且其中一个0对应特征向量 x ′ = ( 1 ， − 1 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) T 。 将 x n = 1 代入(1)式并化简得： { x 3 = λ x 4 − x 5 x 4 = λ x 5 − x 6 ⋯ x n − 2 = λ x n − 1 − x n x n − 1 = λ x n = 1 观察可得向量 x = ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ) T 的分量满足递推关系 x t = λ x t + 1 − x t + 2 ( t = 3 ， 4 ， ⋯ ， n − 2 ) ，且初始值 x n = 1 ， x n − 1 = λ 。则对比路 P n 的特征多项式可得： { φ n − 3 ( λ ) = x 3 φ n − 4 ( λ ) = x 4 ⋯ φ 2 ( λ ) = x n − 2 φ 1 ( λ ) = x n − 1 φ 0 ( λ ) = x n 故由 x 1 + x 2 + x 4 = λ x 3 可得： x 1 + x 2 = λ x 3 − x 4 ⇒ x 1 + x 2 = λ φ n − 3 ( λ ) − φ n − 4 ( λ ) = φ n − 2 ( λ ) 代入(2)式有 φ n − 2 ( λ ) + 1 = 0 (此时 x 3 = λ x 1 = 0 )。 由 φ n ( x ) 的奇偶性可得， φ 0 ( 0 ) = 1 ， φ 1 ( 0 ) = 0 ， φ 2 ( 0 ) = − 1 ， φ 3 ( 0 ) = 0 ， φ 4 ( 0 ) = 1 ， ⋯ ， φ 4 t ( 0 ) = 1 ， φ 4 t + 2 ( 0 ) = − 1 ， ( t = 0 ， 1 ， ⋯ ) 故当 n = 4 k + 2 时， φ 4 k + 2 − 2 ( 0 ) + 1 = 2 > 0 ， 0 为主特征值；当 n = 4 k 时， φ 4 k − 2 ( 0 ) + 1 = − 1 + 1 = 0 ， 0 为非主特征值，其中 k ≥ 1 。 定义3.2 [ 1 ] 对于一个图 G ，若其顶点集可划分为 V ( G ) = V 1 ∪ V 2 ∪ ⋯ ∪ V k ， V i ∩ V i 为空集，其中 V i 中的每个顶点在 V j 中的邻点个数相同，记为 b i j ， i ， j ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， k } ，则称该划分为图G的一个公平划分，记为 Π 。以 V 1 ， V 2 ， ⋯ ， V k 为顶点集， V i 到 V j 有 b i j 条弧的有向多重图称为图G的商图，矩阵 B = ( b i j ) k × k 称为商矩阵。 定理3.3 [ 1 ] 对于图G的任意商图H，H的谱包含G的全部主特征值。 对于任意图G的一个公平划分 Π 来说，因为每个划分 V i 内的顶点处于G自同构群中的同一轨道，故由定理3.3可知，对于恰有k个主特征值的图，其自同构群至少有k条轨道。 推论3.4 星形树 S ( m 1 ， ⋯ ， m 1 ， m 2 ， ⋯ ， m 2 ， ⋯ ， m s ， ⋯ ， m s ) 至多有 m 1 + m 2 + ⋯ + m s + 1 个主特征值，其中 m 1 ， ⋯ ， m s 的个数分别为 t 1 ， ⋯ ， t s ( t i ≥ 1 ) 。 证明：显然星形树 S ( m 1 ， ⋯ ， m 1 ， m 2 ， ⋯ ， m 2 ， ⋯ ， m s ， ⋯ ， m s ) 的顶点数为 t 1 m 1 + t 2 m 2 + ⋯ + t s m s + 1 ，我们可以找到其阶数最小的商图H，点集划分如下：首先将长度相同的 P m i 分为一组，其中每条路 P m i 中与中心点 v 距离相同的点处于同一轨道，故可将同一轨道中的 t i 个顶点划分为一个顶点集，因此对每组 P m i 来说，其可划分为因子图H中的 m i 个顶点。同理每组 P m i 均可划分为H中的 m i 个顶点，又中心点 v 自处一个轨道，故H的阶为 m 1 + m 2 + ⋯ + m s + 1 。由定理3.3知，任意商图的谱包含原图的全部主特征值，故星形树 S ( m 1 ， ⋯ ， m 1 ， m 2 ， ⋯ ， m 2 ， ⋯ ， m s ， ⋯ ， m s ) 至多有 m 1 + m 2 + ⋯ + m s + 1 个主特征值。