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user: 2. 带有奇性的二阶线性奇摄动边值问题 Mark H. Holmes曾在文献 [ 6 ] 中讨论了如下的带有奇性的奇摄动边值问题： ε 3 y ″ + x 3 y ′ − ε y = x 3 ，     x ∈ ( 0 ， 1 ) (2.1) y ( 0 ) = α ，     y ( 1 ) = β Holmes研究发现，此奇摄动问题在左边界 x = 0 处存在重边界层现象，显然这种现象是由于次高阶导数前具有奇性而产生的。由于上述问题是一个变系数问题，没有一般的求解公式，因而寻找其渐近近似解便显得有必要。在此基础上，我们将讨论上述方程的内层现象。即如下的边值问题： ε 3 y ″ + x 3 y ′ − ε y = x 3 ，     x ∈ ( − 1 ， 1 ) (2.2) y ( − 1 ) = α (2.3) y ( 1 ) = β (2.4) 此奇摄动边值问题与Holmes的问题相同之处在于都是具有奇性的奇摄动边值问题。不同之处是Holmes的问题的奇性位于区间的端点 x = 0 处，而问题(2.2)-(2.4)的奇性位于区间内部的 x = 0 处，此时方程中 y ′ 前的系数具有变号的现象，故而是一个转向点问题，因而其解的性态可能更复杂。 2.1. 外部解展开式 因为 y ′ 的系数在(0，1)上为正，在(−1，0)为负。根据经典的奇异摄动研究结果，可以假设此奇摄动边值问题在 x = 0 处有内部层，可分别考虑其左内部层和右内部层。 问题(2.2)~(2.4)的左退化问题为： x 3 y 0 − ′ = x 3 y 0 − ( − 1 ) = α (2.5) 右退化问题为： x 3 y 0 + ′ = x 3 y 0 + ( 1 ) = β (2.6) 记外部解为 y ( x ， ε ) ，设其关于 ε 的幂级数的形式展式如下： y ( x ， ε ) = ∑ i = 0 + ∞ ε i y i ( x ) (2.7) 将(2.7)式代入(2.2)式，合并y的同次幂项，并令对应项的系数为零，便逐次得到外部解满足的方程。特别地，若分别运用左边界条件和右边界条件，可分别得到左首次外展式： y 0 − ( x ) = x + α + 1 (2.8) 这里， − 1 ≤ x < 0 。 和右首次外展式： y 0 + ( x ) = x + β − 1 (2.9) 这里， 0 < x ≤ 1 。 2.2. 内部解展开式 下面寻找问题的内部解。为了研究解在 x = 0 处的性态，我们在 x = 0 处引入伸展变量： x ^ = x ε λ (2.10) 即 x = ε λ x ^ ， ( λ > 0 ) ，将(2.10)式代入(2.2)式，我们得到： ε 3 − 2 λ d 2 Y ^ d x ^ 2 + ε 2 λ x ^ 3 d Y ^ d x ^ − ε Y ^ = ε 3 λ x ^ 3 (2.11) 由于 λ > 0 ，当 ε → 0 时， O ( ε 3 λ ) 项与 O ( ε 2 λ ) 项相比为小量，因此在对式子(2.11)进行平衡时，这两项只保留 O ( ε 2 λ ) 项。 特异极限可以通过平衡(2.11)中的任意两项确定。 若平衡式子(2.11)中的第一，二两项，有 3 − 2 λ = 2 λ ，解得 λ = 3 4 ，则(2.11)式变为： ε 3 2 d 2 Y ⌣ d x ⌣ 2 + ε 3 2 x ⌣ 3 d Y ⌣ d x ⌣ − ε Y ⌣ = ε 9 2 x ⌣ 3 (2.12) 因为 1 < 3 2 ，所以(2.12)式左右不能平衡，因此这种情况舍去。 若平衡式子(2.11)中的第一，三两项，有 3 − 2 λ = 1 ，即 λ = 1 ，所以(2.11)式变为： ε d 2 Y ˜ d x ˜ 2 + ε 2 x ˜ 3 d Y ˜ d x ˜ − ε Y ˜ = ε 3 x ˜ 3 (2.13) 此时， 2 ， 3 > 1 ，所以(2.13)式能平衡，因此这种情况需要考虑在内。 若平衡式子(2.11)中的第二，三两项，有 2 λ = 1 ，整理得 λ = 1 2 ，所以(2.11)式变为： ε 2 d 2 Y ¯ d x ¯ 2 + ε x ¯ 3 d Y ¯ d x ¯ − ε Y ¯ = ε 3 2 x ¯ 3 (2.14) 因为 2 ， 3 2 > 1 ，(2.14)式能平衡，因此这种情况也需要考虑。 当 λ = 1 时的伸展变量为 x ˜ = x ε ，刻画了一个接近 x = 0 的层，我们称之为内–内层；当 λ = 1 2 时，伸展变量为 x ¯ = x ε 1 2 ，刻画了一个介于外部展开式和内–内层之间的一层，我们称之为内层，因而该问题在 x = 0 处呈现重边界层现象。 将(2.13)中的 Y ˜ ( x ˜ ， ε ) 展开成关于 ε 的幂级数的形式如下： Y ˜ ( x ˜ ， ε ) = ∑ i = 0 + ∞     ε i Y ˜ i ( x ˜ ) 代入(2.13)式，可以得到首项 Y ˜ 0 的方程： d 2 Y ˜ 0 d x ˜ 2 − Y ˜ 0 = 0 (2.15) 等式(2.15)两边进行积分，从而有 Y ˜ 0 ( x ˜ ) = c 1 e − x ˜ + c 2 e x ˜ (2.16) 当 0 < x < 1 时，我们取(2.16)式中的 c 2 = 0 ，因为若 c 2 ≠ 0 ， Y ˜ 0 ( x ˜ ) 会呈现指数增长，使它无法与内层匹配起来。则(2.16)式变为： Y ˜ 0 ( x ˜ ) = c 1 e − x ˜ (2.17) 同理，当 − 1 < x < 0 时，我们取 c 1 = 0 ，所以(2.16)式变为： Y ˜ 0 ( x ˜ ) = c 2 e x ˜ (2.18) 同理将(2.14)式中的 Y ¯ ( x ¯ ， ε ) 展开成关于 ε 的幂级数的形式： Y ¯ ( x ¯ ， ε ) = ∑ j = 0 + ∞ ε j Y ¯ j ( x ¯ ) (2.19) 代入(2.14)式，得到首项 Y ¯ 0 的方程： x ¯ 3 d Y ¯ 0 d x ¯ − Y ¯ 0 = 0 (2.20) 对等式(2.20)进行积分，有： Y ¯ 0 ( x ¯ ) = c 3 e − 1 2 x ¯ 2 (2.21) (2.17)，(2.18)和(2.21)式中的未知常数将在匹配过程中确定。 2.3. 匹配内外部解 因为在 x = 0 处存在内–内层，所以除了外部解与内层匹配之外，还要将内层与内内层进行匹配。我们先在区域 0 < x < 1 中进行解的匹配。 首先匹配内层解与外部解： 将内层解 Y ¯ ( x ¯ ) 中的 x ¯ 用x替换，得出 ( Y ¯ 0 + ( x ¯ ) ) 0 = ( c 3 e − 1 2 x ¯ 2 ) 0 = c 3 e − ε 2 x 2 (2.22) 同样，将外部解 y 0 + ( x ) 中的x用 x ¯ 替换，得到 ( y 0 + ( x ) ) i = ε 1 2 x ¯ + β − 1 (2.23) 根据匹配原理，当 ε → 0 时，(2.22)式和(2.23)式相等，即得 c 3 = β − 1 (2.24) 再匹配内层与内–内层： ( Y ˜ 0 + ( x ˜ ) ) i = ( c 1 e − x ˜ ) i = c 1 e − x ˜ ε 1 2 (2.25) ( Y ¯ 0 + ( x ¯ ) ) i i = ( c 3 e − 1 2 x ¯ 2 ) i i = c 3 e − 1 ε 2 x ˜ 2 (2.26) 当(2.25)式中的 x ¯ 和(2.26)式中的 x ˜ 固定， ε → 0 时，(2.25)式和(2.26)式都趋于零，满足 ( Y ˜ 0 + ( x ˜ ) ) i = ( Y ¯ 0 + ( x ¯ ) ) i i 综合上述，就得到了奇摄动问题(2.2)~(2.4)在 0 < x ≤ 1 区域内的渐近展开式如下： y + ( x ， ε ) ~ Y ˜ 0 + ( x ˜ ) + Y ¯ 0 + ( x ¯ ) + y 0 + ( x ) − ( Y ¯ 0 + ( x ¯ ) ) 0 = c 1 e − x ε + ( β − 1 ) e − ε 2 x 2 + x (2.27) 用同样的方法，可以推出奇摄动问题(2.2)~(2.4)在 − 1 ≤ x < 0 区域内的渐近展开式如下： y − ( x ， ε ) ~ Y ˜ 0 − ( x ˜ ) + Y ¯ 0 − ( x ¯ ) + y 0 − ( x ) − ( Y ¯ 0 − ( x ¯ ) ) 0 = c 2 e x ε + ( α + 1 ) e − ε 2 x 2 + x (2.28) 为了使 y ( x ， ε ) 光滑，我们需要设置如下的衔接条件： { y + ( 0 ， ε ) = y − ( 0 ， ε ) y ′ + ( 0 ， ε ) = y ′ − ( 0 ， ε ) (2.29) 将(2.27)式和(2.28)式代入(2.29)式，能够得到： { c 1 = c 2 c 1 = − c 2 即： c 1 = c 2 = 0 (2.30) 结合(2.27)，(2.28)和(2.30)，就得到了奇摄动边值问题(2.2)~(2.4)的形式渐近展开式如下： y ~ { ( α + 1 ) e − ε 2 x 2 + x ，         x ∈ [ − 1 ， 0 ) 0 ，                                                 x = 0 ( β − 1 ) e − ε 2 x 2 + x ，       x ∈ ( 0 ， 1 ] (2.31) 2.4. 形式渐近解的一致有效性 通过以上的构造，得到了奇摄动边值问题(2.2)~(2.4)的形式渐近解(2.31)。为讨论其一致有效性，给出如下定理。 定理1 奇摄动边值问题(2.2)~(2.4)存在重边界层解，且形式渐近解(2.31)是一致有效的，其中 ε > 0 。 证明：首先构造两个辅助函数 y _ 和 y ¯ ： y _ = Z ( x ， ε ) − γ ε (2.32) y ¯ = Z ( x ， ε ) + γ ε (2.33) 其中， γ 为一个足够大的正常数，其中函数 Z ( x ， ε ) ~ { ( α + 1 ) e − ε 2 x 2 + x ，       x ∈ [ − 1 ， 0 ) 0 ，                                                 x = 0 ( β − 1 ) e − ε 2 x 2 + x ，       x ∈ ( 0 ， 1 ] 现在证明 y _ 和 y ¯ 为奇异摄动边值问题(2.2)~(2.4)当 − 1 < x < 1 时的下，上解。 因为 γ 为足够大的正数，显然有 y _ ≤ y ¯ ，且由(2.31)，(2.32)式和(2.33)式，成立： y _ ( − 1 ， ε ) ≤ α ≤ y ¯ ( − 1 ， ε ) y _ ( 1 ， ε ) ≤ β ≤ y ¯ ( 1 ， ε ) 还需证明： ε 3 y _ ″ + x 3 y _ ′ − ε y _ − x 3 ≥ 0 ，     − 1 < x < 0 (2.34) ε 3 y _ ″ + x 3 y _ ′ − ε y _ − x 3 ≥ 0 ，     0 < x < 1 (2.35) 下面只对(2.34)式进行证明，(2.35)式同理可证。将(2.31)式中的第一式和(2.32)式代入(2.34)式的左端得 ε e − ε 2 x 2 [ ( 1 + α ) ε 4 − 3 ( 1 + α ) ε 3 x 2 + ε e ε 2 x 2 γ x 6 − e ε 2 x 2 x 7 ] x 6 (2.36) 由于 − 1 < x < 0 ，所以 x 6 为正，又因为 ε e − ε 2 x 2 为正，故只要证明 ( 1 + α ) ε 4 − 3 ( 1 + α ) ε 3 x 2 + ε e ε 2 x 2 γ x 6 − e ε 2 x 2 x 7 (2.37) 为正的即可。因此将上式进行整理： ( 1 + α ) ε 4 − 3 ( 1 + α ) ε 3 x 2 + ε e ε 2 x 2 γ x 6 − e ε 2 x 2 x 7 = ( 1 + α ) ε 3 ( ε − 3 x 2 ) + x 6 ( ε γ − x ) e ε 2 x 2 (2.38) (2.38)式中， x 6 ( ε γ − x ) e ε 2 x 2 > 0 ，由量级的比较，只要 ε − 3 x 2 > 0 即 − ε 3 < x < 0 时，上式大于零。下面分析 − 1 < x < − ε 3 。我们取极值来进行比较，当x越靠近 − ε 3 时，第一部分的量级是 o ( ε 4 ) ，第二部分为 o ( ε 7 2 ) ，因此(2.38)式的主项为第二部分，其大小由第二部分决定，所以，当x越靠近 − ε 3 时，(2.38)式为正，由此有(2.36)式也为正。用同样的方法也可以分析出当x越靠近−1时，(2.38)式为正。至此，不管x取何值，(2.36)式恒为非负的，因此(2.34)式得证。 我们从(2.36)式中的函数图像(见图1)，也验证了上面的结论。 图1. 函数(2.36)的图像 同理，也可以证明 y ¯ 满足下面的不等式 ε 3 y ¯ ″ + x 3 y ¯ ′ − ε y ¯ − x 3 ≤ 0 ，     − 1 < x < 0 (2.39) ε 3 y ¯ ″ + x 3 y ¯ ′ − ε y ¯ − x 3 ≤ 0 ，     0 < x < 1 (2.40) 根据Nagumo [ 7 ] 定理，奇摄动边值问题(2.2)~(2.4)存在一个解，且满足： y _ ( x ， ε ) ≤ y ( x ， ε ) ≤ y ¯ ( x ， ε ) ， − 1 < x < 1 ， ε > 0 ，再根据(2.32)式和(2.33)式，就得证(2.31)式是问题(2.2)~(2.4)的一致有效的渐近展开式。 2.5. 实例仿真 下面给出实例，通过 画出微分方程的函数图形，来验证所探讨的问题存在重边界层解。 考虑如下奇摄动问题： ε 3 y ″ + x 3 y ′ − ε y = x 3 ，     x ∈ ( − 1 ， 1 ) y ( − 1 ) = − 4 ，     y ( 1 ) = 9 有如下的解的图像(见图2)： 综合以上的分析可以发现奇摄动问题(2.2)~(2.4)的解具有以下特性： 1) 奇摄动问题(2.2)~(2.4)的解在 x = 0 处呈现重边界层现象。 2) 虽然奇摄动问题((2.2)~(2.4)的渐近解(2.31)中未显示多层变量，但有内-内层隐含其中，事实上其内–内层解渐近式为0，正如图2，图3中，在 x = 0 附近，解呈现平坦状态。这表明了所得渐近解的正确性。 3) 无论奇摄动问题(2.2)~(2.4)的边值如何给定，它的解在 x = 0 处都会靠近 ( 0 ， 0 ) 点，即当两端边值同号时，解会出现钩形(Hook)现象(见图3)，这也是Holmes曾经得到过的现象。 图2. (2.2)~(2.4)的matlab解(取 α = − 4 ， β = 9 ) 图3. (2.2)~(2.4)的matlab解(取 α = 4 ， β = 9 )