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user: 3. 主要结果 3.1. 定义 首先给出奇数阶始元完美和幻方的定义。 定义6 若奇数阶矩阵 ， S 3 ∈ R (其中 a i j ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， m 2 } ( i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) )，满足： ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ 对于 ∀ k ( k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 ) ，有 ∑ i = 1 m E 1 i ( 1 ， m ) A E ( k − i + 1 ) ( m o d m ) ， 1 ( m ， 1 ) = S 3 ； ⑥ 对于 ∀ k ( k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 ) ，有 ∑ i = 1 m E 1 i ( 1 ， m ) A E ( i + k ) ( m o d m ) ， 1 ( m ， 1 ) = S 3 ； 当 i ≠ k 或 j ≠ l 时有 a i j ≠ a k l ( i ， j ， k ， l = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) ，则称矩阵A为m阶始元完美和幻方，并称S 3 为m阶始元完美和幻方A的幻和。 由于奇数阶始元完美和幻方是特殊的奇数阶连元完美和幻方，所以就有如下定义。 定义7 若奇数阶矩阵 ， S 4 ∈ R (其中 a i j ∈ { a + 1 ， a + 2 ， ⋯ ， a + m 2 } ( a ∈ Z ) ( i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) )，满足以下条件： ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ 对于 ∀ k ( k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 ) ，有 ∑ i = 1 m E 1 i ( 1 ， m ) A E ( k − i + 1 ) ( m o d m ) ， 1 ( m ， 1 ) = S 4 ； ⑥ 对于 ∀ k ( k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 ) ，有 ∑ i = 1 m E 1 i ( 1 ， m ) A E ( i + k ) ( m o d m ) ， 1 ( m ， 1 ) = S 4 ； 当 i ≠ k 或 j ≠ l 时有 a i j ≠ a k l ， ( i ， j ， k ， l = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) ，则称矩阵A为m阶连元完美和幻方，并称S 4 为m阶连元完美和幻方A的幻和。 又由于奇数阶连元完美和幻方是特殊的奇数阶异元完美和幻方，所以也就有如下定义。 定义8 若奇数阶矩阵 ， S 5 ∈ R ，(其中 a i j ∈ { a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a n 2 } ( i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) )且 ∀ i ， j ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， m 2 } 当 i ≠ j 时 a i ≠ a j ，满足： ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ 对于 ∀ k ( k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 ) ，有 ∑ i = 1 m E 1 i ( 1 ， m ) A E ( k − i + 1 ) ( m o d m ) ， 1 ( m ， 1 ) = S 5 ； ⑥ 对于 ∀ k ( k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 ) ，有 ∑ i = 1 m E 1 i ( 1 ， m ) A E ( i + k ) ( m o d m ) ， 1 ( m ， 1 ) = S 5 ； 当 i ≠ k 或 j ≠ l 时有 a i j ≠ a k l ， ( i ， j ， k ， l = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) ，则称矩阵A为m阶异元完美和幻方，并称S 5 为m阶异元完美和幻方A的幻和。 接下来，我们给出奇数阶始元臻美和幻方的定义。 定义9 若奇数阶矩阵 ， S 6 ∈ R ，(其中 a i j ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， m 2 } ( i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) )，满足： ① a 11 ， a 12 ， ⋯ ， a 1 m ， a 21 ， ⋯ ， a 2 m ， ⋯ ， a m 1 ， ⋯ ， a m m 是 1 ， 2 ， ⋯ ， m 2 的一个全排列； ② ； ③ ∑ i = 1 m     a i ， ( i + k ) ( mod m ) = ∑ i = 1 m     a i ， ( k − i + 1 ) ( mod m ) = S 6 ，其中 ( k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 ) ； ④ A = B + m C (B、C都是m阶完美拉丁幻方)； 则称A为m阶始元臻美和幻方，并称S 6 为m阶始元臻美和幻方A的幻和。 定义10 若奇数阶矩阵 ， S 7 ∈ R (其中 a i j ∈ { a + 1 ， a + 2 ， ⋯ ， a + m 2 } ( a ∈ Z ) ( i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) )，满足： ① a 11 ， a 12 ， ⋯ ， a 1 m ， a 21 ， ⋯ ， a 2 m ， ⋯ ， a m 1 ， ⋯ ， a m m 是 a + 1 ， a + 2 ， ⋯ ， a + m 2 的一个全排列； ② ； ③ ∑ i = 1 m     a i ， ( i + k ) ( mod m ) = ∑ i = 1 m     a i ， ( k − i + 1 ) ( mod m ) = S 7 ，其中 ( k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 ) ； ④ A = B + m C (B、C都是m阶完美拉丁幻方)； 则称A为m阶连元臻美和幻方，并称S 7 为m阶连元臻美和幻方A的幻和。 定义11 若奇数阶矩阵 ， S 8 ∈ R (其中 a i j ∈ { a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a n 2 } ( i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) )且 ∀ i ， j ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， m 2 } 当 i ≠ j 时 a i ≠ a j ，满足： ① a 11 ， a 12 ， ⋯ ， a 1 m ， a 21 ， ⋯ ， a 2 m ， ⋯ ， a m 1 ， ⋯ ， a m m 是 a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a n 2 的一个全排列； ② ； ③ ∑ i = 1 m     a i ， ( i + k ) ( mod m ) = ∑ i = 1 m     a i ， ( k − i + 1 ) ( mod m ) = S 8 ，其中 ( k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 ) ； ④ A = B + m C (B，C都是m阶完美拉丁幻方)； 则称A为m阶异元臻美和幻方，并称S 8 为m阶异元臻美和幻方A的幻和。 为了证明奇数阶臻美和幻方的构造定理，下面我们给出具有和幻性矩阵的定义。 定义12 设奇数阶矩阵 A = ( a i j ) m × m ，如果 ，则称A是具有和幻性的m阶矩阵，S 9 为m阶矩阵A的幻和。 3.2. 性质 根据臻美和幻方的定义可知，有以下结论成立。 性质1. 设奇数阶矩阵 A = ( a i j ) n × n 是异元臻美和幻方，并且规定 n ( mod n ) = n ，则 ∀ k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 有 ( a ( i + k ) ( mod n ) ， j ) n × n 及 ( a i ， ( j + k ) ( mod n ) ) n × n 也是异元臻美和幻方。 由于连元臻美和幻方是特殊的异元臻美和幻方，始元臻美和幻方是特殊的连元臻美和幻方，所以有以下推论成立。 推论1. 设奇数阶矩阵 A = ( a i j ) n × n 是连元臻美和幻方，并且规定 n ( mod n ) = n ，则 ∀ k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 有 ( a ( i + k ) ( mod n ) ， j ) n × n 及 ( a i ， ( j + k ) ( mod n ) ) n × n 也是连元臻美和幻方。 推论2. 设奇数阶矩阵 A = ( a i j ) n × n 是始元臻美和幻方，并且规定 n ( mod n ) = n ，则 ∀ k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 有 ( a ( i + k ) ( mod n ) ， j ) n × n 及 ( a i ， ( j + k ) ( mod n ) ) n × n 也是始元臻美和幻方。 性质2. 如果奇数阶矩阵 A = ( a i j ) n × n 是异元臻美和幻方，且幻和为 Δ ( Δ is u-digit number，即 Δ 是一个u位数)，规定 n ( mod n ) = n ，将 a i j 变为 c i j a i j = d i j (其中 a i j is k i j -digit number (即 a i j 是一个 k i j 位数)， c i j is u − k i j -digit number (即 c i j 是一个 u − k i j 位数) ( i ， j = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) )，则有 ∑ i = 1 n d i 1 d i 2 ⋯ d i n = ∑ j = 1 n d 1 j d 2 j ⋯ d n j = ∑ j = 1 n d 1 ， ( 1 + j ) ( m o d n ) d 2 ， ( 2 + j ) ( m o d n ) ⋯ d n ， ( n + j ) ( m o d n ) = ∑ j = 1 n d n ， ( 1 + j ) ( m o d n ) d n − 1 ， ( 2 + j ) ( m o d n ) ⋯ d 1 ， ( n + j ) ( m o d n ) 3.3. 奇数阶臻美和幻方的构造方法 定理1 设 α = ( 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， 2 n ) T ， β = α + ( 1 ， 1 ， ⋯ ， 1 ) T ，对 ∀ x = ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x 2 n + 1 ) T 规定： f ( x ) = ( x n + 1 ， x n + 2 ， ⋯ ， x 2 n + 1 ， x 1 ， ⋯ ， x n ) g ( x ) = ( x n + 2 ， x n +3 ， ⋯ ， x 2 n + 1 ， x 1 ， ⋯ ， x n + 1 ) ; 利用 f ( x ) 及 g ( x ) 构造 2 n + 1 阶矩阵B及C如下： B = ( β ， f ( β ) ， f 2 ( β ) ， f 3 ( β ) ， ⋯ ， f 2 n ( β ) ) C = ( α ， g ( α ) ， g 2 ( α ) ， g 3 ( α ) ， ⋯ ， g 2 n ( α ) ) ; 如果 2 n + 1 阶矩阵B，C为 2 n + 1 阶完美拉丁幻方，则称矩阵 A = B + ( 2 n + 1 ) C 是 2 n + 1 阶始元臻美和幻方。 证明：要证明矩阵A是 2 n + 1 阶始元臻美和幻方，就需要完成以下四步： ① A是具有和幻性的矩阵； ② A中的元素两两互不相等； ③ A中的元素取自集合 { 1 ， 2 ， ⋯ ， ( 2 n + 1 ) 2 } ； ④ B，C是完美拉丁幻方。 第一步： 由于B，C是完美拉丁幻方，则B，C是具有和幻性的矩阵。又由于 A = B + ( 2 n + 1 ) C 且具有和幻性矩阵的线性组合仍然是具有和幻性的矩阵。则矩阵A就是具有和幻性的矩阵。 第二步： 由于B是关于 1 ， 2 ， ⋯ ， 2 n + 1 的拉丁幻方，而C是关于 0 ， 1 ， ⋯ ， 2 n 的拉丁幻方，且 A = B + ( 2 n + 1 ) C ，则B与C正交。则 a i j = b i j + ( 2 n + 1 ) c i j ，对 ∀ i ， j ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， 2 n + 1 } 两两互不相等，则 a i j ( i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， 2 n + 1 ) 两两互不相等，也即A是 2 n + 1 阶异元臻美和幻方。 第三步： 由于 1 ≤ b i j ≤ 2 n + 1 ， 1 ≤ c i j ≤ 2 n ，则 1 ≤ b i j + ( 2 n + 1 ) c i j ≤ ( 2 n + 1 ) 2 ，则 a i j ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， ( 2 n + 1 ) 2 } ( i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， 2 n + 1 ) ，也即A是 2 n + 1 阶始元臻美和幻方。 第四步： 由已知可知B，C是完美拉丁幻方。 综合以上可知，矩阵A即为 2 n + 1 阶始元臻美和幻方。 注： 奇数阶始元臻美和幻方的构造方法也是奇数阶始元完美和幻方的构造方法，同样也是奇数阶始元和幻方的构造方法。但奇数阶始元和幻方的构造方法不一定能构造出奇数阶始元完美和幻方，同时奇数阶始元完美和幻方的构造方法不一定能构造出奇数阶始元臻美和幻方。 (由于奇数阶始元臻美和幻方是特殊的奇数阶始元完美和幻方，也是特殊的奇数阶始元和幻方，故这两类和幻方是存在的且对应的奇数阶定义是有意义的。) 推论3 设 α = ( 0 + a ， 1 + a ， 2 + a ， ⋯ ， 2 n + a ) T ( a ∈ Z ) ， β = α + ( 1 ， 1 ， ⋯ ， 1 ) T ，对 ∀ x = ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x 2 n + 1 ) T 规定 f ( x ) = ( x n + 1 ， x n + 2 ， ⋯ ， x 2 n + 1 ， x 1 ， ⋯ ， x n ) g ( x ) = ( x n + 2 ， x n +3 ， ⋯ ， x 2 n + 1 ， x 1 ， ⋯ ， x n + 1 ) ; 利用 f ( x ) 及 g ( x ) 构造 2 n + 1 阶矩阵B及C如下： B = ( β ， f ( β ) ， f 2 ( β ) ， f 3 ( β ) ， ⋯ ， f 2 n ( β ) ) C = ( α ， g ( α ) ， g 2 ( α ) ， g 3 ( α ) ， ⋯ ， g 2 n ( α ) ) ; 如果 2 n + 1 阶矩阵B、C为 2 n + 1 阶完美拉丁幻方，则称矩阵 A = B + ( 2 n + 1 ) C 是 2 n + 1 阶连元臻美和幻方。 由于定理及推论中涉及到的这 2 n + 1 个元素都是两两互不相等的，所以始元臻美和幻方的构造方法也是异元臻美和幻方的构造方法。 接下来通过例子验证定义9及定理1的正确性。 例1. 给出一个11阶始元臻美和幻方。 解：由奇数阶臻美和幻方的构造定理1知，n阶完美拉丁幻方B，C分别为： B = ( 1 6 11 5 10 4 9 3 8 2 7 2 7 1 6 11 5 10 4 9 3 8 3 8 2 7 1 6 11 5 10 4 9 4 9 3 8 2 7 1 6 11 5 10 5 10 4 9 3 8 2 7 1 6 11 6 11 5 10 4 9 3 8 2 7 1 7 1 6 11 5 10 4 9 3 8 2 8 2 7 1 6 11 5 10 4 9 3 9 3 8 2 7 1 6 11 5 10 4 10 4 9 3 8 2 7 1 6 11 5 11 5 10 4 9 3 8 2 7 1 6 ) 11 × 11 C = ( 0 6 1 7 2 8 3 9 4 10 5 1 7 2 8 3 9 4 10 5 0 6 2 8 3 9 4 10 5 0 6 1 7 3 9 4 10 5 0 6 1 7 2 8 4 10 5 0 6 1 7 2 8 3 9 5 0 6 1 7 2 8 3 9 4 10 6 1 7 2 8 3 9 4 10 5 0 7 2 8 3 9 4 10 5 0 6 1 8 3 9 4 10 5 0 6 1 7 2 9 4 10 5 0 6 1 7 2 8 3 10 5 0 6 1 7 2 8 3 9 4 ) 11 × 11 则矩阵 A = ( 1 72 22 82 32 92 42 102 52 112 62 13 84 23 94 44 104 54 114 64 3 74 25 96 35 106 45 116 66 5 76 15 86 37 108 47 118 57 7 67 17 88 27 98 49 120 59 9 69 19 79 29 89 39 110 61 11 71 21 81 31 91 41 101 51 111 73 12 83 33 93 43 103 53 113 63 2 85 24 95 34 105 55 115 65 4 75 14 97 36 107 46 117 56 6 77 16 87 26 109 48 119 58 8 68 18 78 28 99 38 121 60 10 70 20 80 30 90 40 100 50 ) 11 × 11 对于矩阵A中的任意元素 a i j ，都有 a i j ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， 11 2 } ( i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， 11 ) )，满足： ① a 11 ， a 12 ， ⋯ ， a 1 ， 11 ， a 21 ， ⋯ ， a 2 ， 11 ， ⋯ ， a 11 ， 1 ， ⋯ ， a 11 ， 11 是 1 ， 2 ， ⋯ ， 11 2 的一个全排列； ② ； ③ ∑ i = 1 11     a i ， ( i + k ) ( mod 11 ) = ∑ i = 1 11     a i ， ( k − i + 1 ) ( mod 11 ) = S ，其中 ( k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， 11 − 1 ) ； ④ A = B + 11 C (B、C都是m阶完美拉丁幻方)； 因此，矩阵 A = ( a i j ) 11 × 11 满足定义9的条件。 所以，矩阵A为11阶始元臻美和幻方。