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user: 3. 受力分析 浮标受的力由下几部分组成：在吃水深度为h的情况下浮标受到的浮力为 f 浮 = 2 R h ρ 水 g ；浮标所受海风的应力为 f 海 = 0.625 v 2 2 R ( a − h ) ；浮标自身的重力为 m 1 g ，将浮标、钢管、钢桶、重物球看成一个整体，整体受力分析，以浮力 f 浮 方向向上看作y轴正向，海风应力 f 海 与浮力垂直，看作x轴正向，钢管对浮标的作用力 f 1 看作是外力，分解为x轴上的力 f 1 x 与y轴上的力 f 1 y ，系统整体受力平衡，因此有如下关系： f 1 x = f 海 (3.1) f 1 y = f 浮 − m 1 g (3.2) 其中 m 1 g 为浮标的重力，当浮标的吃水深度为h，浮标的半径R，浮标的体积v及浮标的重力已知时，通过上方程计算得到钢管对浮标的作用力 f 1 ，当系泊系统处于平衡状态时，系统节点之间受到作用力与反作用力大小相等方向相反。从而钢管对浮标的作用力 f 1 与浮标对钢管的拉力大小相等，方向相反。 3.1. 对钢桶受力情况进行分析 下面分析钢桶受力情况(如图2)，将各力直角系下的表示，钢桶受力有重物球的重力 G 球 = ( 0 ， − m 4 g ) ；钢桶的重力 G 桶 = ( 0 ， − m 3 g ) ；钢桶的浮力 f 桶 = ( 0 ， ρ 水 V 桶 g ) ； V 桶 是钢桶的体积，猫链的拉力 f 猫 = ( − f x ， − f y ) 。力 G 球 + f 猫 = ( − f x ， − m 4 g − f y ) 的作用点坐标为： B ( − l sin φ ， − l cos φ ) ，l是桶的长度， φ 是桶的倾斜角；力 G 桶 + f 桶 的作用点坐标为： A ( − l 2 sin φ ， − l 2 cos φ ) ；应用虚位移原理得： ( G 桶 + f 桶 ) ⋅ δ A + ( G 球 + f 猫 ) ⋅ δ B = 0 (3.3) 图2. 钢桶受力 δ A = ( − l 2 cos φ δ φ ， l 2 sin φ δ φ ) ； δ B = ( − l cos φ δ φ ， l sin φ δ φ ) 代入上方程(2.3)化简得： − l 2 m 3 g sin φ + l 2 ρ 水 V 桶 g sin φ + l f x cos φ − l m 4 g sin φ − l f y sin φ = 0 (3.4) 由此可解得 φ = arctan 2 f x m 3 g − ρ 水 V 桶 g + 2 m 4 g + 2 f y 。 3.2. 对钢管进行受力分析 与浮标链接的钢管必然存在一对作用力与反作用力，两力大小相等方向相反，钢管与钢管链接处必然存在一对作用力与反作用力，两力大小相等方向相反；我们这里主要考虑它的力的大小对系统影响；不妨假设钢管、浮标均在一个平面内。 第一节钢管受力情况讨论： 第一节钢管的受力有：钢管的重力 m 2 g ；钢管的浮力 ρ 水 V 管 g ；第二节对第一节钢管的拉力 f 21 = ( f 21 x ， f 21 y ) ；受力状况如图2所示： 钢管的重力与浮力可以看作集中在 A ( − k 2 sin θ 1 ， − k 2 cos θ 1 ) 点上，其中k为钢管的长度， φ 1 第一节钢管的倾斜角，A点受力 ( 0 ， − m 2 g + ρ 水 V 管 g ) ； B ( − k sin θ 1 ， − k cos θ 1 ) 是第二与第一节钢管的接点，B点受力 f 21 = ( f 21 x ， f 21 y ) ； V 管 是钢管的体积，应用虚位移原理得： ( 0 ， − m 2 g + ρ 水 V 管 g ) ⋅ δ A + ( f 21 x ， f 21 y ) ⋅ δ B = 0 (3.5) δ A = ( − k 2 cos θ 1 δ θ 1 ， k 2 sin θ 1 δ θ 1 ) ； δ B = ( − k cos θ 1 δ θ 1 ， k sin θ 1 δ θ 1 ) 代入上方程化简得： − k 2 m 2 g sin θ 1 δ θ 1 + k 2 ρ 水 V 管 g sin θ 1 δ θ 1 − k f 21 x cos θ 1 δ θ 1 + k f 21 y sin θ 1 δ θ 1 = 0 (3.6) 由此可解得 θ 1 = arctan 2 k f 21 x − k m 2 g + k ρ 水 V 管 g + 2 k f 21 y 。 第二节钢管受力情况讨论： 第二节钢管的受力有，钢管的重力 m 2 g ；钢管的浮力 ρ 水 V 管 g ；第三节对第二节钢管的拉力 f 32 = ( f 32 x ， f 32 y ) 受力状况，钢管的重力与浮力可以看作集中在 A ( − k 2 sin θ 2 ， − k 2 cos θ 2 ) 点上，其中k为钢管的长度， φ 2 第二节钢管的倾斜角，A点受力 ( 0 ， − m 2 g + ρ 水 V 管 g ) ； B ( − k sin θ 2 ， − k cos θ 2 ) 是第三与第二节钢管的接点，B点受力 f 32 = ( f 32 x ， f 32 y ) ；受力状况类似如图2所示，应用虚位移原理得： ( 0 ， − m 2 g + ρ 水 V 管 g ) ⋅ δ A + ( f 32 x ， f 32 y ) ⋅ δ B = 0 (3.7) δ A = ( − k 2 cos θ 2 δ θ 2 ， k 2 sin θ 2 δ θ 2 ) ； δ B = ( − k cos θ 2 δ θ 2 ， k sin θ 2 δ θ 2 ) 代入上方程化简得： − k 2 m 2 g sin θ 2 δ θ 2 + k 2 ρ 水 V 管 g sin θ 2 δ θ 2 − k f 32 x cos θ 2 δ θ 2 + k f 32 y sin θ 2 δ θ 2 = 0 (3.8) 由此方程可解得 θ 2 = arctan 2 k f 32 x − k m 2 g + k ρ 水 V 管 g + 2 k f 32 y 第三节钢管受力情况讨论： 第三节钢管的受力有，钢管的重力 m 2 g ；钢管的浮力 ρ 水 V 管 g ；第四节对第三节钢管的拉力 f 43 = ( f 43 x ， f 43 y ) ，第三节受力：钢管的重力与浮力可以看作集中在 A ( − k 2 sin θ 3 ， − k 2 cos θ 3 ) 点上，其中k为钢管的长度， φ 3 第三节钢管的倾斜角，A点受力 ( 0 ， − m 3 g + ρ 水 V 管 g ) ； B ( − k sin θ 3 ， − k cos θ 3 ) 是第四与第三节钢管的接点，B点受力 f 43 = ( f 43 x ， f 43 y ) ；受力状况类似如图2所示，应用虚位移原理得： ( 0 ， − m 2 g + ρ 水 V 管 g ) ⋅ δ A + ( f 43 x ， f 43 y ) ⋅ δ B = 0 (3.9) δ A = ( − k 2 cos θ 3 δ θ 3 ， k 2 sin θ 3 δ θ 3 ) ； δ B = ( − k cos θ 3 δ θ 3 ， k sin θ 3 δ θ 3 ) 代入上方程化简得： − k 2 m 2 g sin θ 3 δ θ 3 + k 2 ρ 水 V 管 g sin θ 3 δ θ 3 − k f 43 x cos θ 3 δ θ 3 + k f 43 y sin θ 3 δ θ 3 = 0 (3.10) 由此方程可解得： θ 3 = arctan 2 k f 43 x − k m 2 g + k ρ 水 V 管 g + 2 k f 43 y 第四节钢管受力情况讨论： 第四节钢管的受力有，钢管的重力 m 2 g ；钢管的浮力 ρ 水 V 管 g ；钢桶对第四节钢管的拉力 f 4 = ( f 4 x ， f 4 y ) ，第四节受力：钢管的重力与浮力可以看作集中在 A ( − k 2 sin θ 4 ， − k 2 cos θ 4 ) 点上，其中k为钢管的长度， φ 4 第四节钢管的倾斜角，A点受力 ( 0 ， − m 3 g + ρ 水 V 管 g ) ； B ( − k sin θ 4 ， − k cos θ 4 ) 是钢桶与第三节钢管的接点，B点受力 f 4 = ( f 4 x ， f 4 y ) ；受力状况类似如图2所示，应用虚位移原理得： ( 0 ， − m 2 g + ρ 水 V 管 g ) ⋅ δ A + ( f 4 x ， f 4 y ) ⋅ δ B = 0 (3.11) δ A = ( − k 2 cos θ 4 δ θ 4 ， k 2 sin θ 4 δ θ 4 ) ； δ B = ( − k cos θ 4 δ θ 4 ， k sin θ 4 δ θ 4 ) 代入上方程化简得： − k 2 m 2 g sin θ 4 δ θ 4 + k 2 ρ 水 V 管 g sin θ 4 δ θ 4 − k f 4 x cos θ 4 δ θ 4 + k f 4 y sin θ 4 δ θ 4 = 0 (3.12) 由此方程可解得 θ 4 = arctan 2 k f 4 x − k m 2 g + k ρ 水 V 管 g + 2 k f 4 y 3.3. 对锚链进行受力分析 锚链在水中必然是呈弯曲状态，在平衡状态下锚链的形状为一悬链线，是双曲余弦函数，最低点处受水平向左的拉力H，右悬挂点处受一个斜向上的拉力T，设T和水平方向夹角为 θ ，锚链的质量为 m 5 ，锚链的线密度为 ρ l ，s为锚链的长度，则猫链的重力为 G = ρ l s ，设猫链上任意一点上的切线的切角为 θ ， 根据力学原理可知，H、G和T三力平衡，可知 tan θ = G H ，假设水平张力在猫链上处处相等，对于任意一段猫链 l s ，该平衡均成立， tan θ = ρ l l s H ，而 tan θ = d y d x ，对该式 tan θ = ρ l l s H 取微分，则有 d ( tan θ ) = ρ l H d ( l s ) = ρ l H ( d x ) 2 + ( d y ) 2 = ρ l H 1 + ( tan θ ) 2 d x (3.13) 对方程(2.13)两边积分得 ∫ d ( tan θ ) 1 + ( t a n θ ) 2 = ∫ ρ l H d x (3.14) 解此方程得悬链线的一般方程为 y = ρ l H c h ( ρ l H x + c 1 ) + c 2 (3.15) 由初始条件：猫链拖地，并设拖地点为原点，则对于拖地点有 x = 0 ， y = 0 ， tan θ = 0 代入悬链线的一般方程得 c 1 = 0 ， c 2 = ρ l H ，则猫链的方程 y = ρ l H c h ( ρ l H x + 1 ) (3.16) 根据题中给出的参考图，我们不妨把他们看成在一个平面内，以猫为坐标原点，海底为x轴，与海底垂直向上为y轴，我们假设浮标吃水深度为h，第i根钢管的倾斜角为 θ i ( i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) ， θ 4 为钢桶的倾斜角， θ 5 为猫链与钢桶连接处悬链线的切线的夹角， f i + 1   i ( i = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ) 为第 i + 1 根钢管对i根钢管的拉力，为了表达方便把浮标、钢桶、猫也看成钢管， i = 0 对应浮标。当系泊系统处于平衡状态是，水平方向与垂直方向的合力为零，我们把浮标、钢管、钢桶、重力球、猫链、猫所受力分解为水平方向与垂直方向得到平衡方程，求解方程得到系泊系统各个参数，得到问题的解。 1) 浮标受力情况 浮标受到的浮力为： f 浮 = 2 R h ρ 水 g 。 浮标所受海风的应力为： f 海 = 0.625 v 2 2 R ( a − h ) 。 浮标自身的重力为： m 1 g 。 与钢管连接处钢管的拉力 f 10 = ( f 10 x ， f 10 y ) 。 系泊系统处于平衡状态时，水平与垂直方向上合力为零。 即得平衡方程 { f 浮 − m 1 g − f 10 y = 0 f 海 − f 10 x = 0 。 2) 钢管受力情况 当系泊系统处于平衡状态时，根据物理力学知识，每个节点上作用力与反作用力大小相等，方向相反，每个节点上力矩总和为零。 第一节钢管受力分析，把第一节钢管与浮标连接处看成相对转动点，浮标对第一节钢管的拉力 − f 10 = ( − f 10 x ， − f 10 y ) ；钢管自身的重力为 m 2 g ；钢管的浮力为 ρ 水 V 管 g ；第二节钢管对第一节钢管的拉力 f 2 ， 1 = ( f 2 ， 1 x ， f 2 ， 1 y ) ；则这点受力方程式及力矩平衡方程 { − f 10 x − f 21 x = 0 − f 10 y − f 21 y − m 2 g + ρ 水 V 管 g = 0 f 21 sin ( θ 2 − θ 1 ) + ( ρ 水 V 管 g − m 2 g ) sin θ 1 = 0 。 第二节钢管受力情况类似 { − f 21 x − f 32 x = 0 − f 21 y − f 32 y − m 2 g + ρ 水 V 管 g = 0 f 32 sin ( θ 3 − θ 2 ) + ( ρ 水 V 管 g − m 2 g ) sin θ 2 = 0 第三节钢管受力情况类似 { − f 32 x − f 43 x = 0 − f 32 y − f 43 y − m 2 g + ρ 水 V 管 g = 0 f 43 sin ( θ 4 − θ 3 ) + ( ρ 水 V 管 g − m 2 g ) sin θ 3 = 0 第四节钢管受力情况类似 { − f 43 x − f 54 x = 0 − f 43 y − f 54 y − m 2 g + ρ 水 V 管 g = 0 f 54 sin ( θ 5 − θ 4 ) + ( ρ 水 V 管 g − m 2 g ) sin θ 4 = 0 钢桶受力情况类似 { − f 54 x − f 65 x = 0 − f 54 y − f 65 y − m 3 g − m 4 g + ρ 水 V 桶 g = 0 浮标的吃水深度为h，则当系泊系统处于平衡状态时，系泊系统位于水下部分的深度为 L = h + l ( cos θ 1 + cos θ 2 + cos θ 3 + cos θ 4 ) + l t cos θ 5 + s y (3.17) 其中 s y 锚链在水中的深度；当系泊系统处于平衡状态时，根据前面受力分析，利用每个节点之间作用力与反作用力之间的关系，从浮标出发考虑问题，当浮标的吃水深度为h等参数确定时，利用力学原理及平衡状态下课计算确定上述参数 θ i ( i = 1 ， ⋯ ， 5 ) ；因此我们下面只要确定锚链在水中的深度 s y 即可，而猫链在水中 的方程是 y = ρ l H c h ( ρ l H x + 1 ) ，只要确定猫链与钢桶的连接点坐标， s y 的大小即可确定。因此只要确定海水 的深度，根据我们给出的模型，就可计算、模拟出系泊系统各项部件的参数要求，从而设计一套系泊系统。 本文着重分析了浮标、钢管、钢桶、重物球、猫链之间的受力关系及相互之间的影响，建立了它们之间受力方程。建立了猫链的曲线方程，得到只要确定海水深度，就可确定各部件在给定的条件下的参数，但各根钢管、猫链的张力分配问题没有考虑，需后续进一步讨论，其特点在工程设计中，类似的问题根据给出的设备情况可以参考该模型，其优势具有一定的通用参考价值，可以引用模型分析具体问题。特别是对每个部件的受力分析及部件之间的衔接分析对类似问题可引用。