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user: 3. Möbius梯状图的反强迫谱 设M是 M L n 中含有p条竖直匹配边的完美匹配，设 a 1 b 1 ∈ M 。如果边 b n a 1 ， a 1 b 1 ， b 1 b 2 或 a n b 1 ， b 1 a 1 ， a 1 a 2 在M-交错圈C中同时存在，则称M-交错圈C跨过 a 1 b 1 。 引理5 [ 5 ] 在 M L n 中，如果边 b n a 1 ， a 1 b 1 ， b 1 b 2 或 a n b 1 ， b 1 a 1 ， a 1 a 2 在M-交错圈C中同时存在。则当n为奇数时，M-交错圈必然会跨过p条竖直边，从而有且仅有两个 n + p 长的M-交错圈；而当n是偶数时，不存在M-交错圈。 我们在边 a 1 b 1 处把 M L n 分裂成了 L n + 1 ，如图4 [ 6 ] 所示。在 L n + 1 中，假设 a i b i ， a j b j ∈ M 是两条相继竖直边，则由 a i b i ， a j b j 以及它们中间的全部水平边构成的子图被称为 M L n 的片段。 图4. M L n 在边 a 1 b 1 处分裂为 L n + 1 同理于 L n 的分解定理，对于 M L n 我们有 定理2 设M是 M L n 的完美匹配，而且M含有 p ( p ≥ 2 ) 条竖直匹配边，则 a f ( M L n ， M ) = a f ( L ( 1 ) ， M 1 ) + a f ( L ( 2 ) ， M 2 ) + ⋯ + a f ( L ( p ) ， M p ) ， M j = M ∩ E ( L ( j ) ) ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， p ， L ( 1 ) ， L ( 2 ) ， ⋯ ， L ( p ) 是 M L n 的p个片段。 引理6 设 n ≥ 2 ，M是 M L n 的完美匹配，且 p = 0 ，则有 a f ( M L n ， M ) = { n + 2 2 ， n 为 偶 数 3 ， n 为 奇 数 。 证明 当 p = 0 时，n可以是偶数，也可以是奇数，从而分情况讨论。设 a 1 a 2 ∈ M 。 情形1：n是偶数时， M = { a 1 a 2 ， a 3 a 4 ， ⋯ ， a n − 1 a n ， b 1 b 2 ， ⋯ ， b n − 1 b n } 。(此时 a i a i + 1 ∈ M ⇔ b i b i + 1 ∈ M ，如下图5 [ 6 ] )。相容M-交错集 A 是由 n 2 个M-交错4圈及M-交错圈C构成的，从而 | A | = n 2 + 1 = n + 2 2 ，所以有 a f ( M L n ， M ) ≥ | A | = n + 2 2 。在 M L n 中取M的反强迫集 S = { a 1 b n ， a 1 b 1 ， a 3 b 3 ， ⋯ ， a n − 1 b n − 1 } ，且 | S | = n + 2 2 。所以 a f ( M L n ， M ) ≤ | S | = n + 2 2 。 综上所述，当n是偶数且 p = 0 时， a f ( M L n ， M ) = n + 2 2 。 情形2：n为奇数时， M = { a 1 a 2 ， a 3 a 4 ， ⋯ ， a n − 2 a n − 1 ， a n b 1 ， b 2 b 3 ， ⋯ ， b n − 1 b n } (此时M中水平匹配边不成对出现，如下图6 [ 6 ] )。取M-交错圈 C 1 = b 1 b 2 ⋯ b n a n b 1 ， C 2 = b 1 a 1 a 2 ⋯ a n b 1 ， C 3 = a 1 a 2 b 2 b 3 a 3 a 4 ⋯ b n − 1 b n a 1 ，得到相容M-交错集 A ，此时 | A | = 3 ，所以有 a f ( M L n ， M ) ≥ | A | = 3 。取 S = { a 1 b n ， a 1 b 1 ， b 1 b 2 } 是 M L n 的一个反强迫集，并且 | S | = 3 ，所以 a f ( M L n ， M ) ≤ 3 。 图5. M L n 的完美匹配M 图6. M L n 的完美匹配M 综上所述，当n是奇数且 p = 0 时， a f ( M L n ， M ) = 3 。 根据引理6，我们有下面的引理。 引理7 设M是 M L n 的一个含有p条竖直边的完美匹配。当 p = 0 ，n可以是偶数，也可以是奇数；只有n是偶数时，水平匹配边才成对出现。而当 p ≥ 1 时，一定有 n ≡ p ( mod 2 ) ，且 a i a i + 1 ∈ M ⇔ b i b i + 1 ∈ M 。 引理8 设 n ≥ 2 ，M是 M L n 的完美匹配，且 p = 1 ，则有 a f ( M L n ， M ) = n + 3 2 。 证明 当 p = 1 时，n必为奇数。在 M L n 中取M-交错圈 C 1 = a 1 a 2 ⋯ a n b 1 a 1 ， C 2 = b 1 b 2 ⋯ b n a 1 b 1 和 n − 1 2 个与 C 1 ， C 2 M-相容的M-交错4圈，得到相容M-交错集 A ，所以 | A | = 2 + n − 1 2 = n + 3 2 ，所以有 a f ( M L n ， M ) ≥ c ′ ( M ) ≥ | A | = n + 3 2 。 M L n 在中取M的反强迫集 S = { a 1 b n ， a 1 a 2 ， a 2 b 2 ， a 4 b 4 ， ⋯ ， a n − 1 b n − 1 } ，且 | S | = n + 3 2 。所以 a f ( M L n ， M ) ≤ | S | = n + 3 2 。 综上所述，当 n ≥ 3 是奇数且 p = 1 时， a f ( M L n ， M ) = n + 3 2 。 引理9 设 n ≥ 2 ，M是 M L n 的一个含p条竖直边的完美匹配， 2 ≤ p ≤ n ，则M的反强迫数为 a f ( M L n ， M ) = n + p 2 。 证明 当 2 ≤ p ≤ n 时，在 M L n 中，相容M-交错集 A 中包含 n − p 2 个M-交错4圈和p个M-交错圈，此时 | A | = p + n − p 2 = n + p 2 ，所以有 a f ( M L n ， M ) ≥ c ′ ( M ) ≥ | A | = n + p 2 。 在M的p条竖直边处把 M L n 分裂成p个片段 { d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d p } ，然后从第一个片段里取出反强迫集 S 1 = { a 1 a 2 ， a 2 b 2 ， a 4 b 4 ， ⋯ ， a 2 i − 2 b 2 i − 2 } ，从而 d i ( 1 ≤ i ≤ p ) 的反强迫集的并S就是 M L n 的一个反强迫集，并且 | S | = n + p 2 ，因此有 a f ( M L n ， M ) ≤ | S | = n + p 2 。 综上所述，可得当 2 ≤ p ≤ n 时，有 a f ( M L n ， M ) = n + p 2 。 在引理6，引理8，引理9的证明过程中，我们需要借助 [ 9 ] 中引理5，从而我们得到了下面的定理。 定理3 S p e c a f ( M L n ) = { { 3 } ， n = 3 { 3 ， n + 3 2 ， n + 5 2 ， ⋯ ， n } ， n ≥ 5 是 奇 数 { n + 2 2 ， n + 4 2 ， ⋯ ， n } ， n ≥ 2 是 偶 数 从而当 n ≥ 7 为奇数时 S p e c a f ( M L n ) 是不连续的；当 n ≥ 2 为偶数或 n = 3 ， 5 时 S p e c a f ( M L n ) 是连续的。 我们根据定理3，容易得出下面的推论。 推论1 1) a f ( M L n ) = { 3 ，       若 n ≥ 3 是 奇 数 n + 2 2 ，     若 n ≥ 2 是 偶 数 2) A f ( M L n ) = n 。