system: [SYSTEM]

user: 5. 主要结论及其证明 我们建立具有分布势函数的Atkinson类型的S-L问题(2)，(4)的逆谱问题的结论。下述定理是关于分离型边界条件(5)的逆谱问题的结论。 定理5.1：设 { λ i : i = 1 ， ⋯ ， k } 和 { μ i : i = 1 ， ⋯ ， k − 1 } 是两组严格交错的实数，形如(20)。令 m = k − 1 。则对于区间 I = [ a ， b ] ( − ∞ < a < b < + ∞ ) 上的任何划分(7)，任何函数 s ∈ L ( I ， ℝ ) 满足(8)以及任何函数 w ∈ L ( I ， ℝ ) 满足(10)，我们有以下结论： a) 存在函数 r ， q ∈ L ( I ， ℝ ) 满足(8)和(9)使得S-L问题(2)，(5)及其等价类的谱为 σ ( α ， β ) = { λ i : i = 1 ， ⋯ ， k } ，     σ ( 0 ， β ) = { μ i : i = 1 ， ⋯ ， k − 1 } . b) 存在函数 r ， q ∈ L ( I ， ℝ ) 满足(8)和(9)使得S-L问题(2)，(5)及其等价类的谱为 σ ( α ， β ) = { λ i : i = 1 ， ⋯ ， k } ，     σ ( α ， π ) = { μ i : i = 1 ， ⋯ ， k − 1 } . 此外，a)和b)中的结论在等价类意义下是唯一的。 证明：a) 对于区间 I = [ a ， b ] ( − ∞ < a < b < + ∞ ) 上的给定划分(7)，定义： s 2 i + 1 = ∫ a 2 i + 1 a 2 i + 2 s ( t ) d t ，     i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m − 1 ，       w 2 i = ∫ a 2 i a 2 i + 1 w ( t ) d t ，     i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m ， W α β = d i a g ( w 0 ， w 2 ， ⋯ ， w 2 m ) . 根据(8)，(10)， s 2 i + 1 ≠ 0 ，   i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m − 1 ， w 2 i > 0 ，   i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m 。因为 k = m + 1 ，根据引理4.1，存在唯一的负Jacobi矩阵 M ∈ M m + 1 使得： σ ( M ， W ) = { λ i : i = 1 ， ⋯ ， m + 1 } ，     σ ( M 1 ， W 1 ) = { μ i : i = 1 ， ⋯ ， m } . 设： r 2 i − 1 = − e s 2 i − 1 d i ，   i = 1 ， ⋯ ， m ;       q 0 = c 1 − 1 r 1 − cot α ， q 2 i = c i + 1 − e 2 s 2 i − 1 r 2 i − 1 − 1 r 2 i − 1 ，   i = 1 ， ⋯ ， m − 1 ，       q 2 m = c m + 1 − e 2 s 2 m − 1 r 2 m − 1 + cot β . 根据(13)，(14)和注3.1定义 P α β ， Q α β ， P 0 β 和 Q 0 β 。可知， r 2 i + 1 > 0 ，   i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m − 1 。容易推出： M = P α β + Q α β ， M 1 = P 0 β + Q 0 β 。根据注2.1，我们得到 ( W α β ) 1 = W 0 β 。因此， σ ( P α β + Q α β ， W α β ) = { λ i : i = 1 ， ⋯ ， m + 1 } ， σ ( P 0 β + Q 0 β ， W 0 β ) = { μ i : i = 1 ， ⋯ ， m } . 根据引理3.2和注3.1，我们得到S-L问题(2)，(5)的谱： σ ( α ， β ) = { λ i : i = 1 ， ⋯ ， m + 1 } ，     σ ( 0 ， β ) = { μ i : i = 1 ， ⋯ ， m } . 其中 r 2 i + 1 ， i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m − 1 ， q 2 i ， i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m 的选取是唯一的，而且对于这样的选取所确定的所有函数 r ， q ∈ L ( I ， ℝ ) 构成了S-L问题(2)，(5)的一个等价类。证毕。 b) 证明方法与a)相同，只需利用推论4.1，引理4.1，引理3.2和注3.1即可，故省略证明细节。 下述定理是关于耦合型边界条件(6)的逆谱问题的结论。 定理5.2：设 { λ i : i = 1 ， ⋯ ， k } 和 { μ i : i = 1 ， ⋯ ， k − 1 } 是两组交错的实数，满足引理4.2的条件i)~iii)。 令 m = k − 1 。则对于区间 I = [ a ， b ] ( − ∞ < a < b < + ∞ ) 上的任何划分(7)，任何函数 s ∈ L ( I ， ℝ ) 满足(8)以及任何函数 w ∈ L ( I ， ℝ ) 满足(10)，我们有以下结论： a) 对于 ∀ β ∈ ( 0 ， π ) ， ∃ K = ( k i j ) ∈ S L 2 ( ℝ ) 满足 k 12 < 0 ， cot β = k 22 / k 12 ，并且存在函数 r ， q ∈ L ( I ， ℝ ) 满足(8)和(9)，使得S-L问题(2)，(6)及其等价类的谱为 σ ( K ) = { λ i : i = 1 ， ⋯ ， k } ，     σ ( 0 ， β ) = { μ i : i = 1 ， ⋯ ， k − 1 } . b) 对于 ∀ α ∈ ( 0 ， π ) ， ∃ K = ( k i j ) ∈ S L 2 ( ℝ ) 满足 k 12 < 0 ， cot α = − k 11 / k 12 ，并且存在函数 r ， q ∈ L ( I ， ℝ ) 满足(8)和(9)，使得S-L问题(2)，(6)及其等价类的谱为 σ ( K ) = { λ i : i = 1 ， ⋯ ， k } ，     σ ( α ， π ) = { μ i : i = 1 ， ⋯ ， k − 1 } . 证明：对于区间 I = [ a ， b ] ( − ∞ < a < b < + ∞ ) 上的给定划分(7)，定义： s 2 i + 1 = ∫ a 2 i + 1 a 2 i + 2 s ( t ) d t ，   i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m − 1 ，       w 2 i = ∫ a 2 i a 2 i + 1 w ( t ) d t ，   i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m ， W I = d i a g ( w 0 ， w 2 ， ⋯ ， w 2 m ) . 根据(8)，(10)， s 2 i + 1 ≠ 0 ，   i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m − 1 ， w 2 i > 0 ，   i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m 。因为 k = m + 1 ，根据引理4.2，存在唯一的负循环Jacobi矩阵 N ∈ M m + 1 使得： σ ( N ， W ) = { λ i : i = 1 ， ⋯ ， m + 1 } ，     σ ( N 1 ， W 1 ) = { μ i : i = 1 ， ⋯ ， m } . 设： r 2 i − 1 = − e s 2 i − 1 d i ，   i = 1 ， ⋯ ， m ；则 r 2 i + 1 > 0 ，   i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m − 1 。令 k 12 = 1 d m + 1 ，则 k 12 < 0 。对于 β ∈ ( 0 ， π ) ，选取 K ∈ S L 2 ( R ) 使得 cot β = k 22 k 12 ，   k 12 = 1 d m + 1 。由K定义一个耦合型边界条件(6)，则： q 0 = c 1 − 1 r 1 + k 11 k 12 ，   q 2 i = c i + 1 − e 2 s 2 i − 1 r 2 i − 1 − 1 r 2 i − 1 ，   i = 1 ， ⋯ ， m − 1 ， q 2 m = c m + 1 − e 2 s 2 m − 1 r 2 m − 1 + k 22 k 12 . 根据(13)，(14)，(15)，(16)和注3.1定义 P I ， Q I ， P 0 β 和 Q 0 β 。容易推出： M = P I + Q I ，   M 1 = P 0 β + Q 0 β 。 由注3.1，可得 ( W I ) 1 = W 0 β 。因此， σ ( P I + Q I ， W I ) = { λ i : i = 1 ， ⋯ ， m + 1 } ， σ ( P 0 β + Q 0 β ， W 0 β ) = { μ i : i = 1 ， ⋯ ， m } . 根据引理3.2和注3.1，我们得到S-L问题(2)，(6)的谱为 σ ( K ) = { λ i : i = 1 ， ⋯ ， m + 1 } ，     σ ( 0 ， β ) = { μ i : i = 1 ， ⋯ ， m } . 而且得到的所有函数 r ， q ∈ L ( I ， ℝ ) 构成了S-L问题(2)，(6)的一个等价类。证毕。 b) 证明方法与a)相同，利用推论4.3，引理4.2，3.2，3.3和注3.1即可。证明细节略。 定理5.3：设 K = ( k i j ) ∈ S L 2 ( ℝ ) ， k 12 = 0 ， k 11 > 0 。设 { λ i : i = 1 ， ⋯ ， k } 和 { μ i : i = 1 ， ⋯ ， k − 1 } 是两组交错的实数，满足引理4.2的条件i)~iii)。令 m = k 。则对于区间 I = [ a ， b ] ( − ∞ < a < b < + ∞ ) 上的任何划分(7)，任何函数 s ∈ L ( I ， ℝ ) 满足(8)以及任何函数 w ∈ L ( I ， ℝ ) 满足(10)，存在函数 r ， q ∈ L ( I ， ℝ ) 满足(8)和(9)使得，S-L问题(2)，(6)及其等价类的谱为 σ ( K ) = { λ i : i = 1 ， ⋯ ， k } ，     σ ( 0 ， π ) = { μ i : i = 1 ， ⋯ ， k − 1 } . 证明：证明方法与定理5.2相似，利用推论4.3，引理4.2，3.2，3.4和注3.1即可。证明细节略。