system: [SYSTEM]

user: 2. 预备知识和引理 现对文中将用到的定义、引理和记号做一些说明。记函数空间 L 2 ( Ω ) 的范数通常表示为 ‖   ⋅   ‖ ，其标量积由 〈 ⋅ ， ⋅ 〉 表示， L p ( Ω ) 的范数记为 ‖ ⋅ ‖ L p ( Ω ) ，C表示一个正常数，该常数可能在各行之间变化。 定义1：范数 L p ( 0 ， T ; X ) 表示实函数 f : [ 0 ， T ] → X 的Banach空间，使得 ‖ f ‖ L p ( 0 ， T ; X ) = ( ∫ 0 T ‖ f ‖ X p d t ) 1 p < ∞ ， 1 ≤ p < ∞ ， 且 ‖ f ‖ L ∞ ( 0 ， T ; X ) = esssup 0 ≤ t ≤ T ‖ f ‖ X ， p = ∞ . 引理1：令 σ 和 μ 均是 R → R 上映射并且属于C，那么 ‖ μ ( ∇ v ) ‖ L ∞ ( Ω ) < C ， (8) ‖ σ ( ∇ v ) ‖ L ∞ ( Ω ) < C ， (9) 其中 v ∈ H α + 1 ( Ω ) 且常数C依赖于v。 证明：利用Gagliardo-Nirenberg不等式，有 ‖ ∇ v ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ c 2 ‖ v ‖ H α ( Ω ) η ‖ v ‖ 1 − η < C . (10) 其中 η = n 2 α + 1 α 。应用这个不等式，易知 ‖ μ ( ∇ v ) ‖ L ∞ ( Ω ) < C ， (11) ‖ σ ( ∇ v ) ‖ L ∞ ( Ω ) < C . (12) 引理2：对于 α ≥ 1 2 ，令初值满足 u ˜ 0 ( x ) ∈ H α ( Ω ) ，且 μ ∈ C ( R ; R ) ， μ ( 0 ) = 0 ， μ ( z ) > 0 ( ∀ z ∈ R ， z ≠ 0 ) ， (13) σ ∈ C 1 ( R ; R ) ， σ ( 0 ) = 0 ， σ ( z ) > 0 ( ∀ z ∈ R ， z ≠ 0 ) ， (14) f ∈ L 2 ( Ω ) ， (15) 那么问题(1)-(3)有一个弱解u，满足 ‖ u ( t ) ‖ H α ( Ω ) 2 ≤ C . (16) 证明：将(1)乘以 u ( t ) ，并关于空间变量x在 Ω 上进行积分，我们很容易就得出了等式 1 2 d d t ‖ u ( t ) ‖ H α ( Ω ) 2 + ‖ u ( t ) ‖ H α ( Ω ) 2 + I 1 + I 2 = 〈 f ( t ) ， u ( t ) 〉 ， (17) 其中 I 1 = − 〈 μ ( ∇ u ( t ) ) Δ u ( t ) ， u ( t ) 〉 ， I 2 = 〈 σ ( ∇ u ( t ) ) u ( t ) ， u ( t ) 〉 。 估计 I 1 。易知 I 1 = − 〈 μ ( ∇ u ( t ) ) Δ u ( t ) ， u ( t ) 〉 = − ∫ Ω ∇ ( ∫ 0 ∇ u ( t ) μ ( z ) d z ) u ( t ) d x = ∫ Ω ( ∫ 0 ∇ u ( t ) μ ( z ) d z ) ∇ u ( t ) d x ≥ 0. (18) 估计 I 2 。考虑(14)，易得 I 2 = 〈 σ ( ∇ u ( t ) ) u ( t ) ， u ( t ) 〉 ≥ 0. (19) 回顾(17)，从(18)-(19)可得 d d t ‖ u ( t ) ‖ H α ( Ω ) 2 + ‖ u ( t ) ‖ H α ( Ω ) 2 ≤ C ， (20) 其中C依赖f。那么运用~Gronwall~引理，可推断出 ‖ u ( t ) ‖ H α ( Ω ) 2 ≤ C . (21) 引理2：假设 α ≥ 1 2 ， u ˜ 0 ( x ) ∈ H α + 1 ( Ω ) ，且 μ ∈ C ( R ; R ) ，   μ ( 0 ) = 0 ，   μ ( z ) > 0 ( ∀ z ∈ R ， z ≠ 0 ) ， (22) σ ∈ C 1 ( R ; R ) ，   σ ( 0 ) = 0 ，   σ ( z ) > 0 ( ∀ z ∈ R ， z ≠ 0 ) ， (23) f ∈ L 2 ( 0 ， ∞ ; H 1 ( Ω ) ) . (24) 那么问题(1)-(3)有一个弱解u满足 ‖ ∇ u ( t ) ‖ H α ( Ω ) 2 ≤ C . (25) 证明：将(1)乘以 ( − Δ ) u ，关于空间变量x在 Ω 上进行积分，我们有 ‖ ∇ u ( t ) ‖ H α ( Ω ) 2 + 〈 μ ( ∇ u ( t ) ) Δ u ( t ) ， Δ u ( t ) 〉 + 1 2 d d t ‖ ∇ u ( t ) ‖ H α ( Ω ) 2 + 〈 σ ( ∇ u ( t ) ) u ( t ) ， ( − Δ ) u ( t ) 〉 = 〈 f ( t ) ， ( − Δ ) u ( t ) 〉 . (26) 类似(18)，我们推断 〈 σ ( ∇ u ( t ) ) u ( t ) ， ( − Δ ) u ( t ) 〉 ≥ 0. (27) 考虑(22)，我们可以获得 2 〈 μ ( ∇ u ( t ) ) Δ u ( t ) ， Δ u ( t ) 〉 ≥ 0. (28) 另一方面，有 〈 f ( t ) ， ( − Δ ) u ( t ) 〉 ≤ ‖ ∇ f ( t ) ‖ ‖ ∇ u ( t ) ‖ ≤ 1 2 ε ‖ ∇ f ( t ) ‖ 2 + ε 2 ‖ ∇ u ( t ) ‖ 2 ， (29) 其中 ε 是一个正常数并且充分小。根据(26)-(29)有 d d t ‖ ∇ u ( t ) ‖ H α ( Ω ) 2 + ‖ ∇ u ( t ) ‖ H α ( Ω ) 2 ≤ C ， (30) 其中C依赖f。利用Gronwall引理，我们可以推断出 ‖ ∇ u ( t ) ‖ H α ( Ω ) 2 ≤ C . (31) 引理3：令 α ≥ 1 2 ， u ˜ 0 ( x ) ∈ H α + 1 ( Ω ) ，u是(1)-(3)有一个弱解，且 μ ∈ C ( R ; R ) ，   μ ( 0 ) = 0 ，   μ ( z ) > 0 ( ∀ z ∈ R ， z ≠ 0 ) ， (32) σ ∈ C 1 ( R ; R ) ，   σ ( 0 ) = 0 ，   σ ( z ) > 0 ( ∀ z ∈ R ， z ≠ 0 ) ， (33) f ∈ L 2 ( 0 ， ∞ ; H 1 ( Ω ) ) . (34) 满足 ∫ 0 t ‖ u t ( s ) ‖ H α ( Ω ) 2 d s < C . (35) 证明：将(1)乘以 u t 并关于时间变量t和空间变量x在 ( 0 ， t ) × Ω 上进行积分，整理可得 ‖ u ( t ) ‖ H α ( Ω ) 2 + 2 ∫ 0 t 〈 σ ( ∇ u ( s ) ) u ( s ) ， u t ( s ) 〉 d s   + 2 ∫ 0 t ‖ u t ( s ) ‖ H α ( Ω ) 2 d s − 2 ∫ 0 t 〈 μ ( ∇ u ( s ) ) Δ u ( s ) ， u t ( s ) 〉 d s = ‖ u 0 ‖ H α ( Ω ) 2 + 2 ∫ 0 t 〈 f ( s ) ， u t ( s ) 〉 d s . (36) 从(32)，我们可以得到 − 2 ∫ 0 t 〈 μ ( ∇ u ( s ) ) Δ u ( s ) ， u t ( s ) 〉 d s = 2 ∫ Ω ∫ 0 ∇ u ( t ) ∫ 0 y μ ( z ) d z d y d x ≥ 0. (37) 考虑(25)和引理1，可以获得 2 | ∫ 0 t 〈 σ ( ∇ u ( s ) ) u ( s ) ， u t ( s ) 〉 d s | ≤ 2 ‖ σ ( ∇ u ( s ) ) ‖ L ∞ ( Ω ) ∫ 0 t ∫ Ω | u ( s ) u t ( s ) | d x d s ≤ C + δ ∫ 0 t ‖ u t ( s ) ‖ 2 d s ， (38) 其中 δ 是一个正常数。 因此，选择 δ 充分小，根据(36)-(38)有 ∫ 0 t ‖ u t ( s ) ‖ H α ( Ω ) 2 d s < C ， (39) 其中C依赖f。