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user: 4. Hopf分叉 4.1. Hopf分叉的存在性和周期轨的稳定性 当 k 1 2 + k 2 2 + k 3 2 + k 5 2 = 0 ， k 7 ≠ 0 并且 g − k 4 > 0 时，系统(1)有两个平衡点 O ± ( ± x 0 ， ± x 0 ， 1 ， 0 ) ，其中 x 0 = ( g − k 4 ) / g 。 定理2 令 S = { ( r ， m ， g ， k 1 ， k 2 ， k 3 ， k 4 ， k 5 ， k 7 ) | k 1 2 + k 2 2 + k 3 2 + k 5 2 = 0 ， r ， m ， g > 0 ， k 7 < 0 ， ( 1 + m + r + 4 k 7 ) ( 1 + m ) − 4 r ≥ 0 ， k 4 = k 4 0 } ， 其中 k 4 0 = g − 2 r k 7 ( 1 + m + r ) 2 A [ A − ( 1 + m ) ( 1 + m + r ) ] ， A = 2 r − k 7 ( 1 + m ) . 当 p → ∈ S ∩ S 0 时，系统(1)有两个平衡点 E ± ，并且它们都在 k 4 = k 4 0 处经历了Hopf分叉。 证明 设 p → ∈ S ∩ S 0 。首先有 A − ( 1 + m ) ( 1 + m + r ) = 2 r − ( 1 + m + r + k 7 ) ( 1 + m ) < 4 r − ( 1 + m + r + 4 k 7 ) ( 1 + m ) ≤ 0 以及 A = 2 r − k 7 ( 1 + m ) > 0. 于是 g − k 4 = 2 r k 7 ( 1 + m + r ) 2 A [ A − ( 1 + m ) ( 1 + m + r ) ] > 0. 所以系统(1)有两个平衡点 O ± ( ± x 0 ， ± x 0 ， 1 ， 0 ) ，其中 x 0 = ( g − k 4 ) / g 。 O ± 的特征方程为 f ( λ ) = λ 4 + ( 1 + m + r ) λ 3 + C λ 2 + ( D − k 7 C ) λ − k 7 D ， (6) 其中 D − k 7 C = A ( g − k 4 ) > 0 。 为了证明 f ( λ ) = 0 有一对共轭纯虚根，将 λ = ± i ω 代入 f ( λ ) = 0 可以得到需要满足的条件为 ω 2 = D − k 7 C 1 + m + r > 0 (7) 以及 ( D − k 7 C ) 2 − C ( D − k 7 C ) ( 1 + m + r ) − k 7 D ( 1 + m + r ) 2 = 0. 其中第一个不等式条件显然成立，而第二个条件等价为 A ( g − k 4 ) [ A − ( 1 + m ) ( 1 + m + r ) ] = 2 r k 7 ( 1 + m + r ) 2 ， 即 g − k 4 = 2 r k 7 ( 1 + m + r ) 2 A [ A − ( 1 + m ) ( 1 + m + r ) ] ， 由于 p → ∈ S ，这个条件也是成立的。 接着我们来证明 f ( λ ) = 0 的另外两个根都是负实根。根据 f ( λ ) = 0 有着共轭虚根 λ = ± i ω ， f ( λ ) 可以做如下分解 f ( λ ) = ( λ 2 + ω 2 ) ( λ 2 + E λ + F ) = λ 4 + E λ 3 + ( F + ω 2 ) λ 2 + ω 2 E λ + ω 2 F ， (8) 对照式(6)和式(8)的系数可得， E = 1 + m + r > 0 ， (9) 并且 F = C − ω 2 = C − D − k 7 C 1 + m + r = g − k 4 1 + m + r [ ( 1 + m ) ( 1 + m + r ) − A ] = − 2 r k 7 ( 1 + m + r ) A > 0. 于是有 Δ = E 2 − 4 F = ( 1 + m + r ) A [ A ( 1 + m + r ) + 8 r k 7 ] ≥ 2 r ( 1 + m + r ) A ( 1 + m + r + 4 k 7 ) > 0. (10) 因此， f ( λ ) = 0 的根为 λ 1 ， 2 = ± i ω 以及 λ 3 ， 4 = 1 2 ( − E ± Δ ) < 0 。 最后，我们考虑横截性条件。将 f ( λ ) = 0 关于 k 4 进行求导得 d λ d k 4 = ( 1 + m ) λ 2 + [ 2 r − k 7 ( 1 + m ) ] λ 4 λ 3 + 3 ( 1 + m + r ) λ 2 + 2 C λ + ( D − k 7 C ) . 令 λ = i ω 并且观察到式(7)，于是 d λ d k 4 | k 4 = k 4 0 = − ( 1 + m ) ω 2 + [ 2 r − k 7 ( 1 + m ) ] i ω − 4 i ω 3 − 3 ( 1 + m + r ) ω 2 + 2 C i ω + ( 1 + m + r ) ω 2 = ( 1 + m ) ω − [ 2 r − k 7 ( 1 + m ) ] i 4 i ω 2 + 2 ( 1 + m + r ) ω − 2 C i . 由此， sgn [ Re ( d λ d k 4 | k 4 = k 4 0 ) ] = sgn [ ( 1 + m ) ( 1 + m + r ) ω 2 − [ 2 r − k 7 ( 1 + m ) ] ( 2 ω 2 − C ) ] = sgn { [ ( 1 + m + r + 2 k 7 ) ( 1 + m ) − 4 r ] ω 2 + [ 2 r − k 7 ( 1 + m ) ] C } = 1 ， 即 Re ( d λ d k 4 | k 4 = k 4 0 ) > 0. (11) 定理3 当参数组 p → ∈ S ∩ S 0 时，平衡点 O ± ( ± x 0 ， ± x 0 ， 1 ， 0 ) 的第一李雅普诺夫系数皆由下式给出 l 1 = g r 3 ω 3 { 2 M 2 ω 4 [ 2 M ω 2 + 5 k 7 ( M k 7 + 2 r ) ] + r k 7 b } ( g − k 4 ) [ ( M ω 2 + 4 r k 7 ) 2 + A 2 ω 2 ] [ ( 5 r k 7 + 2 M ω 2 ) 2 + A 2 ω 2 ] ， 其中 A = 2 r − M k 7 ， b = ( 64 M 2 k 7 2 + 5 r M k 7 − 4 r 2 ) ω 2 + 35 r k 7 2 ( 3 M k 7 − 2 r ) ， M = m + 1. (I) 如果 l 1 ≠ 0 ，则系统(1)将同时在平衡点 O ± 处发生Hopf分叉，并且在 k 4 = k 4 0 附近产生的两个分叉周期轨道在 l 1 < 0 时是稳定的，在 l 1 > 0 时是不稳定的。 证明 记 ( X ， X ， 1 ， 0 ) 为系统(1)的一个平衡点(X可取 ± x 0 )。于是 X 2 = x 0 2 = g − k 4 g . (12) 作变换 { x 1 = x − X ， y 1 = y − X ， z 1 = z − 1 ， u 1 = u ， 并且令 M = m + 1 ，则系统(1)变换为了如下系统(变量仍记为 x ， y ， z ， u )： { x ˙ = r ( y − x ) ， y ˙ = M ( x − y ) + ( x + X ) z − k 7 u ， z ˙ = g [ ( M − 1 ) x 2 + 1 − M x y + ( M − 2 ) X x − M X y − X 2 ] − k 4 ， u ˙ = ( x + X ) z . 此时平衡点 ( X ， X ， 1 ， 0 ) 被平移到了原点 O ( 0 ， 0 ， 0 ， 0 ) 。 根据式(11)，横截性条件是满足的。现在来计算第一李雅普诺夫系数，它可以表明平衡点和出现的周期轨的稳定性。当参数组 p → ∈ S ∩ S 0 时，平衡点的特征根为 λ 1 ， 2 = ± i ω 和 λ 3 ， 4 = ( − E ± Δ ) / 2 ，其中E和 Δ 可以由式(9)和式(10)计算得出。依据 [ 18 ]， A = ( − r r 0 0 M − M X − k 7 g ( M − 2 ) X − g M X 0 0 0 0 X 0 ) ， p = 1 P ( − M ( g X k 7 + ω 2 ) + ( ω 2 − g X M ) ω i − r ω 2 − r X ( ω i + k 7 ) k 7 r ω i ) ， q = ( r ω i r ω i − ω 2 − g X ( 2 r + M ω i ) [ ( M + r ) ω 2 − 2 r g X 2 ] + ( ω 2 − g X 2 M ) ω i k 7 ) ， B ( x ， y ) = ( 0 x 1 y 3 + x 3 y 1 g [ 2 ( M − 1 ) x 1 y 1 − M ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) ] x 1 y 3 + x 3 y 1 ) ， C ( x ， y ， z ) = ( 0 0 0 0 ) ， 其中 P = 2 r g X 2 [ ( M ω 2 + 4 r k 7 ) + ( 2 r − k 7 M ) ω i ] . 接着可以计算出下列值： A − 1 B ( q ， q ¯ ) = r 2 ω 2 X ( 1 1 − 2 g X M r 0 ) ， ( 2 ω i E − A ) − 1 B ( q ， q ) = − 2 r g X ω i R ( r ( 2 ω i − k 7 ) ( 2 ω i − k 7 ) ( 2 ω i + r ) 1 X [ − 4 ω 2 ( M + 2 ω i + r ) − H R ] 2 ω i ( M + 2 ω i + r ) ) ， 其中 H = 2 r + ( m + 1 ) ω i ， R = 5 r ω i − 3 M ω 2 6 g X 2 [ ( 5 r k 7 + 2 M ω 2 ) − ( 2 r − k 7 M ) ω i ] . 从而 l 1 = r 3 ω 3 { 2 M 2 ω 4 [ 2 M ω 2 + 5 k 7 ( M k 7 + 2 r ) ] + r k 7 b } X 2 [ ( M ω 2 + 4 r k 7 ) 2 + a 2 ω 2 ] [ ( 5 r k 7 + 2 M ω 2 ) 2 + a 2 ω 2 ] ， 其中 a = 2 r − M k 7 ， b = ( 64 M 2 k 7 2 + 5 r M k 7 − 4 r 2 ) ω 2 + 35 r k 7 2 ( 3 M k 7 − 2 r ) ， M = m + 1. 注意到式(12)，则可得到最终结果 l 1 = g r 3 ω 3 { 2 M 2 ω 4 [ 2 M ω 2 + 5 k 7 ( M k 7 + 2 r ) ] + r k 7 b } ( g − k 4 ) [ ( M ω 2 + 4 r k 7 ) 2 + a 2 ω 2 ] [ ( 5 r k 7 + 2 M ω 2 ) 2 + a 2 ω 2 ] . 4.2. 数值模拟 本小节对4.1小节所证明的Hopf分支进行数值模拟。 取参数 ( r ， m ， g ， k 1 ， k 2 ， k 3 ， k 5 ， k 7 ) = ( 0.1 ， 1 ， 0.01 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， − 0.1 ) ， 根据定理2， l 1 = 2.9654 × 10 − 6 。当 k 4 = − 0.0480 时，选取初始条件 ( ± 2.4099 ， ± 2.4099 ， 1.0010 ， 0.0010 ) ，得到了两个不稳定的极限环，如图8所示。 图8. 参数组为 p → = ( 0.1 ， 1 ， 0.01 ， 0 ， 0 ， 0 ， − 0.0480 ， 0 ， − 0.1 ) ，选取初始条件 ( ± 2.4099 ， ± 2.4099 ， 1.0010 ， 0.0010 ) ，系统(1)存在两个不稳定的极限环