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user: 3. 闭区间上的两个微分算子乘积的自伴性 3.1. 基础知识 定义1 [ 7 ] 若图G中的顶点集 V = { v i } 与边集 E = { e i } 有限，则称图G为有限图。 集合E中的元素是无序二元组，可用 ( v i ， v j ) 表示，其中 v i ， v j ∈ V 。 定义2若给有限图G每条边定义一个长度 l e k ，即： l e k ∈ ( 0 ， + ∞ ] ，则称图G为有限度量图。 定义3 [ 8 ] 若有限度量图G的边长度都为有限时，则称图G为紧致图。 在本文中所涉及的度量图都是有向紧致图。顶点v的度是指与v相连的边的条数，记作 δ ( v ) 。对于有向紧致图来说，顶点的度可分为入度和出度。入度是指以该顶点为终点的边数，出度是指以该顶点为起点的边数。设顶点v的入度为s，将以v为终点的边记为 e 1 ， ⋯ ， e s ，那么顶点v的出度为 δ ( v ) − s ，将以v为起点的边记为 e s + 1 ， ⋯ ， e δ ( v ) 。 定义4 [ 2 ] 任取度量图G上的一条边 e k ，令 [ a k ， b k ] 表示 e k 对应的区间，空间 L 2 ( G ) 表示 ⊕ k L 2 [ a k ， b k ] ， L 2 ( G ) 上定义内积和范数： ( f ， g ) L 2 ( G ) = ∑ k ∫ a k b k f ( x ) g ( x ) ¯   d x ， ‖ f ‖ L 2 ( G ) = ∑ k ‖ f ‖ L 2 [ a k ， b k ] = ∑ k ( ∫ a k b k | f ( x ) | 2 d x ) 1 2 . 在边 e k 上定义n阶对称微分算式 t ( f ) = ∑ j = 0 n p j ( x ) f ( j ) ( x ) ，系数 p j ( x ) 为实值函数且 p j ( x ) ∈ C n [ a k ， b k ] 。用 C [ a k ， b k ] 表示在区间 [ a k ， b k ] 上连续函数的全体所组成的集合，度量图G上最大算子 T m a x 定义如下： { T m a x ( f ) = t ( f ) ， f ∈ D m a x ( t ) ， D m a x ( t ) = { f ∈ L 2 ( G ) : ∀ k ∈ N ， f k ， f ′ k ， ⋯ ， f k ( n − 1 ) ∈ C [ a k ， b k ] ， f k ( n − 1 ) ∈ A C [ a k ， b k ] ， t ( f ) ∈ L 2 ( G ) } 下面给出局部算子的定义，用 C c o m p ∞ ( G ) 表示在度量图G上具有紧支集且无限次可微实值函数的全体所组成的集合，首先定义度量图上的函数集合M： M : = { φ ∈ C c o m p ∞ ( G ) : ∀ v ∈ V ，   ∃ 领 域 U v ，   使 得 φ 在 U v 中 为 常 值 函 数 } . 定义5 [ 9 ] 任取集合M中的函数 φ ，如果 D ( t ) 中的函数f都满足 φ f ∈ D ( t ) ，则称算子T为局部算子。 假设， f ， g 为 D m a x ( t ) 中支集仅包含一个顶点v的函数，使用分部积分法可得， ( t ( f ) ， g ) L 2 ( G ) − ( f ， t ( g ) ) L 2 ( G ) = [ f ， g ] v ， 其中 [ f ， g ] v 是一个由f和g在顶点v处的边值构成的非退化多项式 [ 9 ]。顶点v在于其相连的 δ ( v ) 条边上的取值分别为 α i ， i = 1 ， ⋯ ， δ ( v ) ，并且将 α i 与顶点v的关系记为 α i ~ v 。 引理1任取 D m a x ( t ) 中的函数f，定义f在顶点v处的边值为空间 C n δ ( v ) 中向量 f ^ ，其中 f ^ 的第 n i + j − ( n − 1 ) 个元素 f ^ n i + j − ( n − 1 ) 为 f ^ n i + j − ( n − 1 ) = f ( j ) ( α i ) ， j = 0 ， ⋯ ， n − 1 ， i = 1 ， ⋯ ， δ ( v ) . 则在顶点v处存在一个可逆的 n δ ( v ) × n δ ( v ) 边值矩阵 S v ，使得 [ f ， g ] v = g ^ * S v f ^ . 在顶点v处，局部算子定义域中的函数所满足的单个条件为 ∑ j ， i b j ， i f ^ n i + j − ( n − 1 ) = 0 ， j = 0 ， ⋯ ， n − 1 ， i = 1 ， ⋯ ， δ ( v ) . 局部算子定义域中的函数在顶点v处所满足的条件构成的最大线性无关集为 B v f ^ = 0 ，其中 B v 是一个 K ( v ) × n δ ( v ) 矩阵。 定理2 [ 2 ] 设在度量图上由微分形式 t ( f ) 生成的n阶局部微分算子T为自伴算子，算子T在顶点v所满足的顶点条件为 B v f ^ = 0 ，其中 B v 是一个 K ( v ) × n δ ( v ) 的行线性无关矩阵， ( K ( v ) ≤ n δ ( v ) ) ，经过计算 B v 是一个 n 2 δ ( v ) × n δ ( v ) ，并且满足 B v ( S v * ) − 1 ( B v * ) = 0 . (6) 定义6令 B v f ^ = 0 是局部微分算子T在顶点v处的顶点条件，若 B v 是满足等式(6)的 n 2 δ ( v ) × n δ ( v ) 的行线性无关矩阵，则称该顶点条件为T在顶点v处的自伴顶点条件。 3.2. 闭区间上两个一阶算子乘积的自伴性 度量图G上任取一条边，令 [ a k ， b k ] 表示 e k 对应的区间。设微分算式为 t ( f ) = i f ′ . 记 Q 1 表示关于 t ( f ) 的Lagrange双线性矩阵， S 1 表示由 t ( f ) 生成的局部算子的边值矩阵。计算可得 Q 1 ( x ) = [ i ] ，则 S 1 = [ i ⋱ i − i ⋱ − i ] δ ( v ) × δ ( v ) 度量图G上由 t ( f ) 生成的两个个二阶局部微分算子 T 1 、 T 2 定义如下： { T 1 ( f ) = t ( f ) = i f ′ ， B 1 f ^ = 0 ， (7) { T 2 ( f ) = t ( f ) = i f ′ ， B 2 f ^ = 0 ， (8) 其中 B 1 、 B 2 分别为 K 1 ( v ) × 2 δ ( v ) 和 K 2 ( v ) × 2 δ ( v ) 矩阵。 微分算式的幂为 t 2 ( f ) = t ( t ( f ) ) = − f ″ . 计算可得 Q 2 ( x ) = [ 0 − 1 1 0 ] . 向量 [ f ( x ) ， f ′ ( x ) ] ⊤ 与 [ i f ′ ( x ) ] ⊤ 关系如下， [ i f ′ ( x ) ] = [ 0 i ] [ f ( x ) f ′ ( x ) ] ， 后文中 H ( x ) = [ H 1 ( x )   H 2 ( x ) ] = [ 0 i ] 表示过渡矩阵，其中 H 1 ( x ) = [ 0 ] ， H 2 ( x ) = [ i ] . 引理2经计算，有如下关系， i ∗ ( − 1 ) = − i ， 1 ∗ ( − i ) = − i ， 0 = − 1 ∗ 0 + 0 ∗ ( − 1 ) . 在度量图G上的顶点v有 [ i f ′ ( α 1 ) i f ′ ( α 2 ) ⋮ i f ′ ( α δ ( v ) ) ] = [ H ( α 1 ) ⋱ H ( α δ ( v ) − s ) ⋱ H ( α δ ( v ) ) ] δ ( v ) × 2 δ ( v ) [ f ( α 1 ) f ′ ( α 1 ) f ( α 2 ) f ′ ( α 2 ) ⋮ f ( α δ ( v ) ) f ′ ( α δ ( v ) ) ] 定理3度量图上两个局部微分算子的积算子还是局部微分算子。 积算子T定义如下： { T 1 ( f ) = t 2 ( f ) = − f ″ ， B 1 ( f ( α 1 ) ， f ( α 2 ) ， ⋯ ， f ( α δ ( v ) ) ) ⊤ = 0 ， B 2 ( i f ′ ( α 1 ) ， i f ′ ( α 2 ) ， ⋯ ， i f ′ ( α δ ( v ) ) ) ⊤ = 0 ， (9) 若积算子等价于 { T ( f ) = t 2 ( f ) = − f ″ ， B ( f ( α 1 ) ， f ′ ( α 1 ) ， f ( α 2 ) ， f ′ ( α 2 ) ， ⋯ ， f ( α δ ( v ) ) ， f ′ ( α δ ( v ) ) ) ⊤ = 0 ， (10) 则 B = [ H 3 0 H 4 ⋯ H δ ( v ) + 2 0 0 B 2 H 2 ( α 1 ) ˜ 0 ⋯ 0 B 2 H 2 ( α δ ( v ) ) ˜ ] ( K 1 ( v ) + K 2 ( v ) ) × 2 δ ( v ) B 1 是 ( K 1 ( v ) + K 2 ( v ) ) × 2 δ ( v ) 矩阵，其中 H 3 ， H 4 ， ⋯ ， H δ ( v ) + 2 都是 K 1 ( v ) × 1 矩阵，并且 B 1 = [ H 3 H 4 ⋯ H δ ( v ) + 2 ] 。 H 2 ( α j ) ˜ 表示 δ ( v ) × 1 矩阵。该矩阵中的第j行元素为i，其余元素为零， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， δ ( v ) 。矩阵 B 的共轭转置为 B * = [ H 3 * 0 0 H 2 * ( α 1 ) ˜ B 2 * H 4 * 0 ⋮ ⋮ H δ ( v ) + 2 * 0 0 H 2 * ( α δ ( v ) ) ˜ B 2 * ] 2 δ ( v ) × ( K 1 ( v ) + K 2 ( v ) ) 根据引理在顶点v有 [ f ， g ] v ( x ) = f ^ ⊤ S 2 g ^ ， 积算子在顶点v处的边值矩阵 S 2 为 S 2 = [ Q 2 ( α 1 ) ⋱ Q 2 ( α s ) − Q 2 ( α s + 1 ) ⋱ − Q 2 ( α δ ( v ) ) ] 2 δ ( v ) × 2 δ ( v ) 定理3积算子 T = T 2 T 1 为自伴算子的充要条件为 B 1 ( S 2 * ) − 1 B 2 * = 0 ， B 2 ( S 2 * ) − 1 B 1 * = 0 且 K 1 ( v ) + K 2 ( v ) = δ ( v ) . 证积算子 T 1 = T 2 T 1 为(10)的形式，根据定理2，要证明积算子为自伴的，等价于证明 B 1 的秩为 2 δ ( v ) 且 B 1 ( S 2 * ) − 1 B 1 * = 0 。 B 1 的秩为 K 1 ( v ) + K 2 ( v ) = δ ( v ) ，由上面求得的矩阵 B 1 ， B 1 * 和 S 2 * ，并运用引理2得 B 1 ( S 2 * ) − 1 B 1 * = [ H 3 0 H 4 ⋯ H δ ( v ) + 2 0 0 B 2 H 2 ( α 1 ) ˜ 0 ⋯ 0 B 2 H 2 ( α δ ( v ) ) ˜ ]     ⋅ [ ( Q 2 * ) − 1 ( α 1 ) ⋱ ( Q 2 * ) − 1 ( α s ) ( − Q 2 * ) − 1 ( α s + 1 ) ⋱ ( − Q 2 * ) − 1 ( α δ ( v ) ) ] ⋅ [ H 3 * 0 0 H 2 * ( α 1 ) ˜ B 2 * H 4 * 0 ⋮ ⋮ H δ ( v ) + 2 * 0 0 H 2 * ( α δ ( v ) ) ˜ B 2 * ] = [ 0 B 1 ( S 1 * ) − 1 B 2 * B 2 ( S 1 * ) − 1 B 1 * 0 ] ( K 1 ( v ) + K 2 ( v ) ) × ( K 1 ( v ) + K 2 ( v ) ) 由此可得 B ( S 2 * ) − 1 B * = 0 当且仅当 B 1 ( S 1 * ) − 1 B 2 * = 0 ， B 2 ( S 1 * ) − 1 B 1 * = 0 ，证毕。