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user: 3. Hopf分支的方向与稳定性 这一节我们将研究在条件 m = m ¯ 下，模型(1)在 E * 处发生Hopf分支的方向及由分支产生的周期解的稳定性。 作变换 x ¯ = x − x ∗ ， y ¯ = y − y ∗ ，则平衡点 E * = ( x ∗ ， y ∗ ) 平移到原点，为了方便起见，变换后仍用x和y表示 x ¯ 和 y ¯ ，则模型变为 { d x d t = r ( x + x * ) ( 1 − ( x + x * ) k ) − a ( 1 − m ) ( x + x * ) ( y + y * ) ， d y d t = b ( 1 − m ) ( x + x * ) ( y + y * ) − d ( y + y * ) . (2) 对于模型(2)用Taylor展式可化简为 ( d x d t d y d t ) = J ( E * ) ( x y ) + ( f ( x ， y ， m ) g ( x ， y ， m ) ) ， 其中 f ( x ， y ， m ) = p 1 x 2 + p 2 x y + p 3 x 2 + p 4 x 2 y + ⋯ g ( x ， y ， m ) = q 1 x 2 + q 2 x y + q 3 x 2 + q 4 x 2 y + ⋯ 以及 p 1 = − r k + 1 8 a ( 1 − m ) y * x 3 2 ， p 2 = − 1 2 a ( 1 − m ) x 1 2 = − q 2 ， p 3 = − 1 16 a ( 1 − m ) y x 5 2 = − q 3 ， p 4 = 1 8 a ( 1 − m ) x 3 2 = − q 4 ， q 1 = − 1 8 b ( 1 − m ) y x 3 2 。 定义矩阵 T = ( N 1 M 0 ) ， 其中， M = − a 21 ω ( m ) ， N = − β ( m ) − a 22 ω ( m ) ，容易得到 T − 1 J ( E * ) T = ϕ ( m ) = ( β ( m ) − ω ( m ) ω ( m ) β ( m ) ) ， 那么 T − 1 = ( 0 1 M 1 − N M ) ， 当 m = m ¯ 时，有 N 0 = N | m = m ¯ = β ( m ¯ ) − a 21 − ω ( m ¯ ) = a 21 ω ( m ¯ ) ， M 0 = M | m = m ¯ = − a 21 ω ( m ¯ ) ， ω ( m ¯ ) = ω ( m ) | m = m ¯ 通过变换 ( x ， y ) T = T ( u ， v ) T ，模型可重写为 ( d u d t d v d t ) = ϕ ( m ) ( u v ) + ( f 1 ( u ， v ， m ) g 1 ( u ， v ， m ) ) ， 其中 f 1 ( u ， v ， m ) = 1 M g ( N u + v ， M u ， m ) = ( N 2 M q 1 + N q 2 ) u 2 + ( 2 N M q 1 + q 2 ) u v + q 1 M v 2 + ( N 3 M q 3 + N 2 q 4 ) u 3   + ( 3 N 2 M q 3 + 2 N q 4 ) u 2 v + ( 3 N M q 3 + q 4 ) u v 2 + q 3 M v 3 g 1 ( u ， v ， m ) = f ( N u + v ， M u ， m ) − N M g ( N u + v ， M u ， m ) = [ N p 1 − N M q 1 − ( M + N ) q 2 ] N u 2 + [ ( 2 p 1 − 2 N M q 1 ) − ( M + 1 ) q 2 ] N u v + ( p 1 − N M q 1 ) v 2   − [ ( N + N 2 M ) q 1 + ( M + N ) q 2 ] N 2 u 3 − [ ( N + N 2 M ) 3 q 3 + ( M + N ) 2 q 4 ] N u 2 v   − [ ( 1 + N M ) 3 N q 3 + ( M + N ) q 4 ] u 2 v − ( 1 + N M ) q 3 v 3 再用极坐标 u = r cos θ ， v = r sin θ 变换，系统等价于 { τ ˙ = β ( m ) + h ( m ) τ 3 + ⋯ θ ˙ = w ( m ) + s ( m ) τ 3 + ⋯ 对于模型在 m = m ¯ 处作Taylor展式有 { τ ˙ = β ′ ( m ¯ ) ( m − m ¯ ) + h ( m ¯ ) τ 3 + o ( ( m − m ¯ ) 2 τ ， ( m − m ¯ ) 2 τ ， τ 5 ) θ ˙ = w ( m ) τ + w ′ ( m ¯ ) ( m − m ¯ ) + s ( m ¯ ) + o ( ( m − m ¯ ) 2 ， ( m − m ¯ ) 2 τ 2 ， τ 4 ) 为了确定Hopf分支方向和分支周期解的稳定性，需要计算下面系数的符号， h ( m ¯ ) = 1 16 ( f ′ u u u + f ′ u v v + g ′ v v v + g ′ u u v ) + 1 16 w ( m ¯ ) [ f ′ u v ( f ′ u u + f ′ u v ) − g ′ u v ( g ′ u u + g ′ v v ) − f ′ u u g ′ u u + f ′ v v g ′ v v ] 其中所有的偏导数都取值于分支点 ( u ， v ， c ) = ( 0 ， 0 ， m ¯ ) ，并且 f ′ u u u ( 0 ， 0 ， m ¯ ) = 6 ( N 0 3 M 0 q 3 + N 0 2 q 4 ) f ′ v v v ( 0 ， 0 ， m ¯ ) = 2 ( 3 N 0 M 0 q 3 + N 0 2 q 4 ) g ′ u u v ( 0 ， 0 ， m ¯ ) = − 2 N 0 [ 3 q 3 ( N 0 2 M 0 + N 0 ) + 2 q 4 ( M 0 + N 0 ) ] g ′ v v v ( 0 ， 0 ， m ¯ ) = − 6 q 3 ( N 0 M 0 + 1 ) f ′ u u ( 0 ， 0 ， m ¯ ) = 2 ( N 0 2 M 0 q 1 + N 0 q 2 ) f ′ u v ( 0 ， 0 ， m ¯ ) = ( 2 N 0 M 0 q 1 + q 2 ) f ′ v v ( 0 ， 0 ， m ¯ ) = 2 q 1 M 0 g ′ u u ( 0 ， 0 ， m ¯ ) = 2 N 0 [ N 0 p 1 − N 0 M 0 q 1 − q 2 ( M 0 + N 0 ) ] g ′ u v ( 0 ， 0 ， m ¯ ) = N 0 [ 2 p 1 − 2 N 0 M 0 q 1 − q 2 ( M 0 + 1 ) ] g ′ v v ( 0 ， 0 ， m ¯ ) = 2 ( p 1 − N 0 M 0 q 1 ) 故 h ( m ¯ ) = 1 8 [ ( q 4 − 3 q 3 ) − N 0 ( 3 q 3 + 2 M 0 q 4 ) + 3 q 3 N 0 M 0 ( N 0 − 1 ) ]       + 1 8 w ( m ¯ ) [ 2 p 1 + q 2 M 0 ( q 1 + M 0 N 0 2 q 2 − M 0 N 0 3 p 1 + N 0 3 q 1 + 2 N 0 2 q 1 ) + N 0 3 q 1 ( 2 q 2 − p 1 − q 1 ) + N 0 q 2 ( M 0 p 1 − N 0 q 1 + p 1 + q 2 ) − 2 N 0 p 1 2 − M 0 2 N 0 2 q 2 ] 定义一阶Lyapunov系数为 μ 2 = − h ( m ¯ ) β ′ ( m ¯ ) 。 由Poincaré-Andronov-Hopf分支定理 [ 8 ]， β ′ ( m ¯ ) > 0 以及上面的计算可得如下定理。 定理2假设 k b 2 ( 1 − m ) 2 > d 2 成立，当 m = m ¯ 时，系统(1)在 E * 处发生Hopf分支， (i) 若 h ( m ¯ ) < 0 ，则在 E * 处产生Hopf分支的分支周期解是稳定的，分支方向为超临界。 (ii) 若 h ( m ¯ ) > 0 ，则在 E * 处产生Hopf分支的分支周期解是不稳定的，分支方向为亚临界。 图1. 当 m = 0.4 > m ¯ 时，E*是渐近稳定的 图2. 当 m = 0.34 < m ¯ 时，E*是不稳定的