system: [SYSTEM]

user: 5. 屈曲问题中框架模型的受力形式 5.1. 杆的应力与微元体应力关系 基于宏观杆件屈曲分析，对单个框架的受力进行分析，考察框架的受力形式，建立相应的框架模型失效和实际杆件失效的等效关系，通过对比分析得到的框架模型的失效判据，即各个构件的失效临界载荷。 首先，假设框架模型中某一个或数个构件的应力达到其失效的条件，即认为整个构件失效。其次，设棱边杆和面内杆为同种材料，在此情况下有 E e = 1 − 3 μ ( 1 − 2 μ ) ( 1 + μ ) E l 2 A e = E d = μ ( 1 − 2 μ ) ( 1 + μ ) 2 E l 2 A d = E l 2 A ( 1 − 2 μ ) ( 1 + μ ) (5.1) 此时 A d A e = 2 μ 1 − 3 μ ，故令 A e = ( 1 − 3 μ ) A ， A d = 2 μ A 。 根据前文桁架各元件应力与微元体应力关系(2.8)有： σ x x = 1 l 2 [ 1 4 ( N 12 + N 34 + N 56 + N 78 ) + 2 8 ( N 13 + N 24 + N 16 + N 25 + N 57 + N 68 + N 47 + N 38 ) ] σ y y = 1 l 2 [ 1 4 ( N 14 + N 23 + N 58 + N 67 ) + 2 8 ( N 13 + N 24 + N 57 + N 68 + N 18 + N 45 + N 27 + N 36 ) ] σ z z = 1 l 2 [ 1 4 ( N 15 + N 26 + N 37 + N 48 ) + 2 8 ( N 16 + N 25 + N 47 + N 38 + N 18 + N 45 + N 27 + N 36 ) ] σ y z = 1 l 2 2 8 ( N 18 − N 45 + N 27 − N 36 ) σ z x = 1 l 2 2 8 ( N 16 − N 25 + N 47 − N 38 ) σ x y = 1 l 2 2 8 ( N 13 − N 24 + N 57 − N 68 ) (5.2) 其中 N i j 代表以i，j两点为节点的杆的压(拉)力。 对于各项同性材料，根据胡克定律，微元体应力与构件力之间的关系(5.2)可以简化为 σ e x x = l 2 A 1 ( 1 − 2 μ ) ( 1 + μ ) [ σ x x − μ ( σ y y + σ z z ) ] σ e y y = l 2 A 1 ( 1 − 2 μ ) ( 1 + μ ) [ σ y y − μ ( σ x x + σ z z ) ] σ e z z = l 2 A 1 ( 1 − 2 μ ) ( 1 + μ ) [ σ z z − μ ( σ y y + σ x x ) ] σ 13 = σ 57 = l 2 A 1 ( 1 − 2 μ ) ( 1 + μ ) [ ( 1 − μ ) ( σ x x + σ y y ) − 2 μ σ z z + 2 ( 1 + μ ) σ x y ] σ 24 = σ 68 = l 2 A 1 ( 1 − 2 μ ) ( 1 + μ ) [ ( 1 − μ ) ( σ x x + σ y y ) − 2 μ σ z z − 2 ( 1 + μ ) σ x y ] σ 18 = σ 27 = l 2 A 1 ( 1 − 2 μ ) ( 1 + μ ) [ ( 1 − μ ) ( σ z z + σ y y ) − 2 μ σ x x + 2 ( 1 + μ ) σ y z ] σ 45 = σ 36 = l 2 A 1 ( 1 − 2 μ ) ( 1 + μ ) [ ( 1 − μ ) ( σ z z + σ y y ) − 2 μ σ x x − 2 ( 1 + μ ) σ y z ] σ 16 = σ 47 = l 2 A 1 ( 1 − 2 μ ) ( 1 + μ ) [ ( 1 − μ ) ( σ z z + σ x x ) − 2 μ σ y y + 2 ( 1 + μ ) σ x z ] σ 25 = σ 38 = l 2 A 1 ( 1 − 2 μ ) ( 1 + μ ) [ ( 1 − μ ) ( σ z z + σ x x ) − 2 μ σ y y − 2 ( 1 + μ ) σ x z ] (5.3) 其中 σ e x x ， σ e y y ， σ e z z 分别代表沿x，y，z轴棱边杆的应力， μ 为被模拟材料的泊松比， σ i j 代表以i，j两点为节点的杆截面的压(拉)应力。 5.2. 宏观单向压应力情况下框架模型受力形式 在此引入杆屈曲的宏观受力状态，即载荷方向正压应力 σ x x ≠ 0 ， σ y y = σ z z = σ y z = σ x y = σ x z = 0 ，则各个杆的应力状态可简化(5.3)为： σ e x x = l 2 A 1 ( 1 − 2 μ ) ( 1 + μ ) σ x x σ e y y = l 2 A 1 ( 1 − 2 μ ) ( 1 + μ ) ( − μ σ x x ) σ e z z = l 2 A 1 ( 1 − 2 μ ) ( 1 + μ ) ( − μ σ x x ) σ 13 = σ 57 = l 2 A 1 ( 1 − 2 μ ) ( 1 + μ ) ( 1 − μ ) σ x x σ 24 = σ 68 = l 2 A 1 ( 1 − 2 μ ) ( 1 + μ ) ( 1 − μ ) σ x x σ 18 = σ 27 = l 2 A 1 ( 1 − 2 μ ) ( 1 + μ ) ( − 2 μ σ x x ) σ 45 = σ 36 = l 2 A 1 ( 1 − 2 μ ) ( 1 + μ ) ( − 2 μ σ x x ) σ 16 = σ 47 = l 2 A 1 ( 1 − 2 μ ) ( 1 + μ ) ( 1 − μ ) σ x x σ 25 = σ 38 = l 2 A 1 ( 1 − 2 μ ) ( 1 + μ ) ( 1 − μ ) σ x x (5.4) 从上述表达式中我们可以总结如下几点： 1) 当某点处于单向应力状态时，各杆的受力状态与被模拟材料的参数有关，也与构件的具体尺寸有关。公式中的 l 2 / A 项中 代表了框架模型边长的1/2，故各个杆件的应力数值受杆件的尺寸比例取值影响。 2) 由于被模拟材料的宏观失效形式是杆件屈曲，故在微观上我们亦考察与宏观失效形式相一致的框架模型杆件受压失效形式，而不考虑杆件受拉应力的失效形式。根据式(5.1)，棱边杆的弹性模量为 E e = 1 − 3 μ ( 1 − 2 μ ) ( 1 + μ ) E l 2 A e (5.5) 故知： a) 在 0 < μ < 1 / 3 时，棱边杆的弹性模量为正数，与宏观杆屈曲的受力失效形式一致； b) 在 1 / 3 < μ < 1 / 2 时，棱边杆的弹性模量为负数，与客观材料情况不一致，不做失效考虑。 3) 应该明确的是，由于构件的材料参数相同，故判别构件失效的依据为压应力较大的构件首先失效，进而建立框架模型的失效判据。故 a) 当 0 < μ < 1 / 3 时，最大的受力杆是与受力方向平行的棱边杆，应力为 σ e x x ，即被模拟材料发生屈曲时，首先发生失效的是的棱边杆； b) 当 1 / 3 < μ < 1 / 2 时，与受力方向相平行的面中的面内杆压应力最大，应力为 l 2 A 1 ( 1 − 2 μ ) ( 1 + μ ) ( 1 − μ ) σ x x 即被模拟材料发生屈曲时，首先发生失效的是与受力方向相平行的面中的面内杆。 5.3. 宏观三向压应力情况下框架模型受力形式 根据微元体应力与构件力之间的关系(5.3)和(5.4)，若微元体受到三向压应力，即 σ x x = σ y y = σ z z ( ≠ 0 ) ，     σ y z = σ x y = σ x z = 0 各个杆的应力大小相同，应力数值可简化为： l 2 A 1 ( 1 − 2 μ ) ( 1 + μ ) ( 1 − μ ) σ x x σ 13 = σ 57 = σ 24 = σ 68 = σ 18 = σ 27 = σ 45 = σ 36 = σ 16 = σ 47 = σ 25 = σ 38 = l 2 A 2 1 + μ σ x x (5.6) 可以看出当框架模型对应的微元体介质单元处于三向压应力状态时，尽管各杆的受力状态与被模拟材料的参数有关，但棱边杆与面内杆的应力比值是固定的，即 σ e / σ d = 1 / 2 ，所以面内杆的压应力一直大于棱边杆。故在三向压力状态下，若介质单元发生失效，对应框架模型中首先失效的是面内杆。 5.4. 宏观杆件屈曲时截面受力形式 根据弹性力学理论，杆件受到单向载荷作用，在其垂直于载荷的横截面上，边缘部分受力形式接近单项应力状态，中心部分接近三向应力受力状态。若要分析该截面上各个微元体的失效，应对不同受力状况进行具体分析，即比较上述5.2和5.3两小节中处于这两种受力状况下各框架模型的失效形式，比较结果如下： 处于单向应力状态时 1) 若 0 < μ < 1 / 3 ，首先发生失效的是的棱边杆，根据式(5.4)，其应力为 l 2 A 1 ( 1 − 2 μ ) ( 1 + μ ) σ x x ； 2) 若 1 / 3 < μ < 1 / 2 ，首先发生失效的是与受力方向相平行的面中的面内杆，根据式(5.4)，应力为 l 2 A 1 ( 1 − 2 μ ) ( 1 + μ ) ( 1 − μ ) σ x x 。 处于三向应力状态时 所以对弹性模量和尺寸(截面形状和杆长度)不变的框架杆件，即 σ x x 不变的杆件，在其失效截面上，有如下推论： 1) 0 < μ < 1 / 4 时，在宏观材料杆件横截面中心部分所对应的框架模型中，与受力方向相平行的面中的面内杆应力最大首先失效，即宏观材料杆件横截面中心部分先于边缘部分失效。 2) 1 / 4 < μ < 1 / 3 时，在宏观材料杆件横截面边缘部分所对应的框架模型中，与受力方向相平行棱边杆应力最大首先失效，即宏观材料杆件横截面边缘部分先于中心部分失效。 3) 1 / 3 < μ < 1 / 2 时，在宏观材料杆件横截面边缘部分所对应的框架模型中，与受力方向相平行的面中的面内杆应力最大首先失效，即宏观材料杆件横截面边缘部分先于中心部分失效。 5.5. 本章小结 综上所述，以宏观杆理论分析的屈曲载荷为参照，通过对应的框架模型研究，建立了框架模型的相应的失效判据，即在宏观杆屈曲的应力状态下，首先失效的是相应框架模型压应力大的杆，亦即框架模型失效。 从上述模型失效研究中我们看到，对于宏观杆材料的不同泊松比，框架模型的失效形式是不同的，由此可以反映出该宏观杆材料屈曲特性的不同。我们认为框架模型棱边杆失效时，宏观杆屈曲是由压应力主导的；框架模型与受力方向相平行的面中的面内杆失效时，宏观杆屈曲是由相应的剪切应力主导的。上述分析和认识基于本文的模型研究，与宏观杆屈曲的理论分析相一致，尚缺乏相应的细观材料实验研究。因此，上述结论属于假说性质，但对宏观杆及材料的屈曲机制和行为具有一定的揭示和借鉴意义。