DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 2. 预备知识 本节简略介绍所涉及的逻辑代数和规则集的主要概念、记号和结论。详细深入的内容，请参阅 [ 12 ] [ 13 ] 。 2.1. 逻辑代数 逻辑代数用字母代表变量，逻辑变量及逻辑代数的运算结果只有0和1两个取值。0和1不表示数量的大小，只表示对立的两种逻辑状态。 逻辑代数中基本运算类型有三种：与、或、非(也称“反”)。 变量A，B之间的“与”运算表示为 ，即“积”的形式。多个变量的“与”构成一个与项，如 。 变量A，B之间的“或”运算表示为 ，即“和”的形式。多个变量的“或”构成一个或项，如 。 “非”是单目运算，变量A的“非”运算表示为 。 若逻辑变量 的取值确定以后，变量 的值也唯一地确定了，那么就称 是 的逻辑函数，记作 。 对于 个变量的逻辑函数，如果 是一个含有 个变量的与项，每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，则称 是 个变量的一个最小项，也称标准积。因为每个变量都以原变量和反变量两种可能的形式出现，所以 个变量可构成 个最小项。 两个相同变量的逻辑函数，如果对于各种不同的变量取值组合，它们的结果都相同，则称这两个逻辑函数等价。 每个逻辑函数都可化为等价的与或式，即“积之和”的形式。每个逻辑函数有且仅有一个等价的由最小项之和构成的与或式，即“标准积之和”，因此等价的逻辑函数有相同的“标准积之和”。如设有三个变量 ，与逻辑函数 等价的“标准积之和”为： (1) 利用等价式 ，可以化简逻辑函数。在逻辑函数的“标准积之和”中，每个最小项以及所有化简过程中得到的与项都称为该函数的蕴含项。不能再简化的蕴含项称为质蕴含项，如(1)式中 为质蕴含项。 化简与或式形式的逻辑函数得到等价的最简与或式，所谓最简指式中没有冗余的与项且每个与项都是质蕴含项。与某个特定逻辑函数等价的最简与或式可能有多个。 2.2. 规则集 将规则看作命题逻辑中的条件命题，则基于一个规则集的推理等同于命题逻辑中给定一组命题公式及利用推理规则进行的推理。特别之处在于这组命题公式即规则集中的每条规则有统一的形式 上式含义是若X，则Y。其中X是条件，称为规则左部，Y是结论，称为右部。单个条件和结论统称为单个命题，一般用字母表中起始的大写字母表示。复合命题由单个命题用逻辑联结词联结而成，一般用字母表中结尾的大写字母表示。逻辑联结词主要有否定( )，析取( )，合取( )。 用析取符号将单个命题或单个命题的否定联结起来的式子称作析取式。 一个规则集中，只出现于规则左部，不出现于任何规则右部的字母代表初始条件。 若由一组命题公式F推导出命题公式S，则称F蕴含S。 运用等价关系 及其它运算法则，每个规则可以等价转化为若干个析取式的合取形式。每个析取式可等价还原为被原规则蕴含的规则，称为原子规则，如： 分解为两条原子规则 和 。一个析取式还原后的原子规则可以不同，但都是等价的，如 。若不重复计数等价的规则，一个析取式与一个原子规则一一对应。 一条规则等价于若干原子规则的集合，任意规则集皆可等价转化为由原子规则组成的集合，这样的集合称为原子规则集。由一个规则集推导出的任何一个原子规则称作规则集的蕴含规则。 一个原子规则集满足下列两个条件称为最简规则集。 (1) 每条规则没有多余的条件和结论。 (2) 不存在冗余规则。即可由规则集中其它规则导出的规则。 如规则集 中，由第一条规则，可知第二，三条规则中的条件 是多余的，其中结论 和 也多余，故可简化为 。规则集 中， 可由 ， 导出，故是冗余规则。
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user: 3. 等价关系 命题逻辑主要讨论命题公式的构造和推理，逻辑代数侧重研究逻辑函数的构造和化简。虽然符号表示有所不同，但命题逻辑理论与逻辑代数理论在基本定义，定理，运算法则上是等价或同构的。 命题逻辑中的“合取”，“析取”，“否定”分别对应于逻辑代数中的“与”、“或”、“非”。 命题逻辑中有等价关系 对应于逻辑代数中用于化简的等价式 。 根据这种等价对应，容易写出一个原子规则集对应的逻辑函数：即每个原子规则对应一个或式，各或式由与运算联结而成的或与式。 为便于书写和处理，以下采用或与式的对偶式与或式形式，此时每个原子规则集对应的逻辑函数是一个与或式，称作规则集的对应与或式，每个原子规则对应式中的一个与式。如规则 对应 。 由命题逻辑与逻辑代数的等价对应关系，可得到以下重要结论： 对应定理：一个规则集的对应与或式中任意一个蕴含项必对应此规则集的一个蕴含规则，反之，规则集的一个蕴含规则必对应此规则集对应与或式中的一个蕴含项，蕴含规则与蕴含项之间存在一一对应。
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user: 4. 最简规则集 本节研究最简规则集的构造，进而讨论规则集的独立性、完备性和矛盾性的检测判定方法。 4.1. 构造最简规则集 给定一个原子规则集，确定其等价最简规则集显然是一个化简问题，可在逻辑代数领域中求解。 首先由规则集写出对应与或式。运用逻辑代数的方法化简对应与或式。化简过程中存储保留所有最小项和质蕴含。将结果与或式中的每个与项还原为对应的规则便得到最简规则集。 关于化简与或式的实际步骤，因篇幅较长，此不赘述，具体可参阅 [ 12 ] 。依据上节最后的结论，有以下推论。 对应与或式化简前后等价，故对应的前后两个规则集必等价。 化简后的与或式中每个与项都是质蕴含，不可能再简化，故对应的原子规则也不可能再简化，即不可能存在多余的条件或结论。如前例规则集： 对应与或式为 ，化简得 ，还原得 ，为最简规则集。 4.2. 规则集的独立性 化简结果的每个与项都不可能从其它与项中导出，故对应的原子规则也不可能从其它规则中导出，是非冗余的。因此，此过程得到的是最简规则集中的每条规则都是独立的。 4.3. 规则集的完整性 规则集的不完整指当存在应该推出某结论的条件时，却推不出这一结论，或者推出错误的结论。 利用化简过程求得并保留的所有质蕴含，可简单判定规则集是否完整。 设有前提条件X，X不含多余条件，应该推出结论Y。不妨假设 构成一个与项，否则可分解为若干与项再分别处理。若能由X推出Y，则 是规则集的蕴含规则，依据对应定理和假设， 是规则集对应与或式的一个蕴含项且是质蕴含，因此只要在所有质蕴含中查看是否存在质蕴含 即可判定X能否推出Y。 如有规则集 ，判断由条件Ａ是否可推出结论Ｃ和Ｄ。对应与或式为 ，所有质蕴含为 ，故由条件Ａ可推出结论Ｃ和Ｄ。 4.4. 规则集的矛盾性 两条规则或规则链在相同的条件下得到互斥的结论，则称它们是矛盾的。 设条件X既能推出Y，也能推出 ，结论矛盾。若规则集不存在循环推理链，那么由某些初始条件S出发一定可推导出X，因此从S便也能推出同样矛盾的结论，故 和 是规则集对应与或式的蕴含项， 也是蕴含项，若不是质蕴含，则存在质蕴含 ，由此若在保留的所有质蕴含中存在仅由初始条件构成的质蕴含，则可断定规则集中存在矛盾。 如有规则集 ，其对应与或式为 ，所有质蕴含为 ，初始条件Ａ构成了一个质蕴含，故规则集存在矛盾。
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user: 5. 结论 本文研究规则集的化简，通过将规则集转化为对应的逻辑函数，此问题等价于对应逻辑函数的化简。专家系统中所有规则的集合可作为一个公理系统，应该具备完备性，无矛盾性和独立性，通过检查特定的质蕴含，无需利用规则作烦琐的推理，即可以直接判定一个规则集是否满足这些性质。 本文提出的方法还可以运用于检测规则库的其它问题，如冗余，循环规则链等，后续文章中将对此进一步研究。虽然此法避免了大量的推理，但需要利用各种质蕴含和最小项，实际应用中，质蕴含和最小项的数量可能很庞大，因此如何组织存储所有质蕴含和最小项，以便于查找，也是一个有重要研究价值的问题。
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user: 摘 要 推理是人工智能领域研究的重点。推理过程一般是非确定的，会产生许多冗余的推理分支。本文针对专家系统中常用的产生式规则，提出了一种确定性构造推理链的方法。方法运用逻辑代数理论，首先确立了规则集与逻辑函数的对应关系，证明推理规则链中的所有规则对应构成逻辑函数质蕴含集中的一个特定最小子集，给出了确定该子集的基本算法。子集中质蕴含对应的规则按逻辑顺序排列即构成了一条合理的推理规则链。 关键词 :专家系统，推理，规则，逻辑代数，质蕴含
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user: 1. 引言 推理是人工智能领域的一个研究重点。无论是建立在经典逻辑基础上的结论确定的推理，如自然演绎推理，归结演绎推理 [ 1 ] ，还是基于模糊性的知识导致结论不确定的推理 [ 2 ] ，如近似推理 [ 3 ] ，模糊推理 [ 4 ] [ 5 ] ，正向推理 [ 6 ] ，反向推理 [ 7 ] ，推理过程都是非确定性的，需要试探前行，难免会产生各种多余的推理分支，影响推理效率。 本文提出的基于逻辑代数理论构建推理链的方法，构建过程不必模拟实际的推理过程，不会产生冗余的推理分支，因此能确定性地构建从初始条件到最终结论的所有推理链。本文仅在理论上针对产生式规则集做了初步探讨，且采用产生式规则(以下简称规则)最简单直观的一种类型或形式，记为 ，意思是“若P则Q”。 此方法首先建立规则集与逻辑函数的对应。运用逻辑代数方法化简对应逻辑函数，最简逻辑函数对应最简规则集。化简过程中，构造两个集合P1和P2，P1是构成最简逻辑函数的所有质蕴含，对应最简规则集，P2是所有包含初始条件和最终结论的质蕴含，对应从初始条件出发运用最简规则集中的规则可推导出的最终结论。给定初始条件，在P2中找出仅包含给定初始条件和最终结论的质蕴含p，再在P1中确定一个覆盖p的最简子集，一个最简子集对应的规则即是一条最简推理链上使用的所有规则，最后将这些规则按逻辑顺序排列便得到了一条合理的最简推理规则链，最简子集可能有多个，对应多条最简推理规则链。
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user: 2. 预备知识 2.1节简略列出了涉及到的逻辑代数的有关基本知识，详细内容可参考有关教材 [ 8 ] 。2.2讨论了规则集与逻辑函数的关系。 2.1. 逻辑代数 逻辑代数用字母代表变量，逻辑变量及逻辑代数的运算结果只有0和1两个取值。0和1不表示数量的大小，只表示对立的两种逻辑状态，如真与假、对与错。 定义1逻辑代数中基本运算类型有三种：与(.)、或(+)、非(−)，定义见表1。其他的运算皆可等价地转化为这三种运算。 变量x，y之间的“与”运算表示为 ， 通常省略，简写为 ，即“积”的形式。多个变量的“与”构成一个与项，如 。 变量x，y之间的“或”运算表示为 ，即“和”的形式。多个变量的“或”构成一个或项，如 。 “非”是单目运算，变量x的“非”运算表示为 。称x与 为互反的。 定义2若逻辑变量 的取值确定以后，变量 的值也唯一地确定了，那么就称 是 的逻辑函数，记作 。 Table 1 Definition of and， or， no x y xy x+y 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 表1. 与，或，非定义 定义3对于 个变量的逻辑函数，如果 是一个含有 个变量的与项，每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，则称 是 个变量的一个最小项，也称标准积。因为每个变量都以原变量和反变量两种可能的形式出现，所以n个变量可构成 个最小项。 定义4两个相同变量的逻辑函数 ，如果对于各种不同的变量取值组合，它们的结果都相同，则称这两个逻辑函数等价，记作啊 。 定理1常用等价式有： (1) (2) (3) (4) (5) 依据等价式(1) (4) (5)每个逻辑函数都可化为等价的与或式，即“积之和”的形式。以下讨论默认逻辑函数具有此种形式。由(3)，每个与项可化为等价的最小项之和，这些最小项被与项和逻辑函数所包含或覆盖，因此“积之和”可化为等价的最小项之和，即“标准积之和”。 定理2每个逻辑函数的“标准积之和”有且仅有一个。等价的逻辑函数有相同的“标准积之和”。 如设有三个变量 ，与逻辑函数 等价的“标准积之和”为： 反之，由(3)两个仅有一个变量互反，其余变量相同的与项可消去互反变量，合并为一个与项。 定义5逻辑函数的“标准积之和”中，每个最小项以及所有运用(3)合并化简得到的与项都称为该函数的蕴含项。不能再合并化简的蕴含项称为质蕴含项，如上式的质蕴含项为 。 定理3两个包含互反变量的蕴含项没有共同的最小项。两个蕴含项共同包含的蕴含项是这两个蕴含项相与并消去重复。如： ，其共同蕴含项为 。 定理4一个蕴含项 除去其覆盖的一个蕴含项 后，剩余部分写成最简逻辑函数为 上面每个 表示不同变量或变量的反。 定义6最简逻辑函数指函数式中没有冗余的与项且每个与项都是质蕴含项。 化简给定逻辑函数可得到等价的最简逻辑函数，等价的最简逻辑函数可能有多个。 定义7一个最简逻辑函数的蕴含项包含的所有最小项若只被最简逻辑函数中的一个质蕴含覆盖，称此蕴含项为单属蕴含项。 定理5若逻辑函数的一个最小项是单属蕴含项，则包含它的质蕴含必出现在最简逻辑函数中。 定义8将逻辑函数 中的+换成 ， 换成+， 换成 ， 换成 得到的式子 称为 的对偶，显然 与 互为对偶。 由等价式(4) (5)，对偶函数之间存在等价关系 。因此一个逻辑函数可方便地转换成其对偶函数来处理。 2.2. 规则与规则集 形如 的规则，左部x为条件，右部y为结论。其运算定义等价于 ，见表2，为了书写和处理方便，以下讨论采用 的对偶项 。 定义9类似 的规则，因有等价关系 ，可以将其等价分解为几条规则，使得每条规则的左部是一个与项，右部是一个或项。这种形式的规则称为原子规则。 原子规则和与项之间存在一一对应。若非特别声明，以下出现的规则皆是原子规则。 一条规则可等价地写成不同形式，但它们都对应同一个与项。如 与 ， ， ， ， ，等相互等价，都对应与项 。 定义10一个推理系统如果基于一个规则集，则集中不出现在任何规则右部的条件称为初始条件，不出现在任何规则左部的结论称为最终结论。 定义11给定一个规则集，将其中每条规则对应的与项用或运算连接得到的式子称为规则集的逻辑函数。 定理6规则集A的逻辑函数的任一蕴含项皆对应一条被A蕴含的规则，即能够由A推导出的规则。 证明：设集中有规则R： ，其对应的与项为 ，此与项包含的每个最小项必含有 ，设 是其中任意一个最小项，解释为规则 ： ，显然由规则R可以导出规则 ，故A的逻辑函数包含的所有最小项皆对应一条被A蕴含的规则。 逻辑函数的一个蕴含项是从最小项开始，逐次利用等价式(3)合并两个与项得到的。由 ，解释为规则 和 等价于规则 ，此显然成立。故A的逻辑函数的任意蕴含项皆对应一条被A蕴含的规则。 定义12一个规则集中若不存在冗余规则且每条规则最简(没有多余的条件和结论)，则称其为最简规则集。 定理7最简规则集的逻辑函数是最简逻辑函数。 证明：设最简规则集 的逻辑函数f不是最简的，则或者： 1) f中有冗余与项p，f除去p后，p仍然是f的蕴含项，由定理6， 中除去p对应的规则 后， 仍可由规则集推导出来。故 不是最简规则集。 2) f中有非质蕴含项q，q对应规则r，q化简为质蕴含 ，由定理6， 对应的规则 可由 导出。 Table 2 Definition of → & equivalent for x y 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 表2. →的定义及等价式 中除去r，加入 ，得到规则集 ，显然 可推出r，因此 与 等价，但 中的r不是最简规则，故 不是最简规则集。 综上，f是最简逻辑函数。 规则集的化简对应规则集逻辑函数f的化简。逻辑函数的化简常运用Quine-McCluskey方法。该方法先求出f所有的质蕴含，再从其中确定构成最简逻辑函数的质蕴含。在化简过程求出的所有质蕴含中，设确定构成最简逻辑函数的质蕴含集合记为 ，仅包含初始条件和最终结论的质蕴含集合记为 。
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user: 3. 构建推理链 有最简规则集 ，若初始条件 恰好可推出最终结论 ，则规则集的逻辑函数包含质蕴含 ，简写为 ， 属于 。若初始条件不充分，则可从 中找出初始条件与 相近的质蕴含，并判断能否补充缺失的初始条件。在实际应用中，就此可以有针对性地提问，补充实事和条件。 如何构造从 到 的推理链？由定理6，推理链上的规则对应的质蕴含一定覆盖了 ，据此在 中先确定这些质蕴含，再将质蕴含对应的规则按逻辑顺序先后排列便构成了推理规则链。下面给出基本算法。 1) 确定 中每个质蕴含包含的所有最小项。 2) 构造两张表格：单属蕴含项表，记录 中每个质蕴含包含的所有单属蕴含项。质蕴含表，记录规则集的逻辑函数的每个非单属最小项及 中包含它的所有质蕴含。 3) 初始化， 是已确定的质蕴含的集合，初始为空。 是 包含的尚未被 中质蕴含所覆盖的蕴含项集合，初始为 。 4) 扫描单属蕴含项表，确定所有这样的质蕴含，其单属蕴含项与 包含有相同的最小项。这些质蕴含对应的规则必出现在推理规则链中。因此将这些质蕴含加入 中。修改 ，从 删去被 中质蕴含包含的蕴含项。 5) 经过步骤4， 中的蕴含项包含的所有最小项都被 中的两个或两个以上质蕴含所覆盖。查询质蕴含表，对 中每个最小项将包含它的所有质蕴含相或，最后将每个或项相与，构成一个或与式，然后展开化简得到与或式，对与或式中每个与项，其代表的质蕴含加入 即构成一个最终结果，因此与或式中的与项数就决定了 的最终结果数。 6) 将最终结果 中的所有质蕴含对应的规则按逻辑顺序排列即构成了一条合理的推理规则链。 的最终结果数就是最终推理链的数目。 显然，算法中单属蕴含项表和质蕴含表可事先构造完成。因算法中的运算操作较繁琐复杂，限于篇幅，下面只给出一个简单的实例 例：最简规则集为 ， 是初始条件， 是最终结论。 ， 。 给出初始条件 ，在 中确定符合初始条件的质蕴含有 ，因此，可推导两个结论 。仅以 为例。 确定 中每个质蕴含包含的所有最小项如下： 构造单属蕴含项表，质蕴含表分别见表3，表4。 初始化： ， Table 3 Implications contained by only one prime implicatio 质蕴含 单属蕴含项 表3. 单属蕴含项 Table 4 Prime implication 最小项 质蕴含 表4. 质蕴含 扫描表3， 的单属蕴含项 与 有相同的最小项 ， 将 加入 ，得 ， 修改为 ， 的单属蕴含项 与 有相同的最小项 ，将 加入 ，得 ， 修改为 。 因 为空， 已得到最后结果，不必继续判断表3中的 ，即使先考察 ，会发现 的单属蕴含项与 没有共同的最小项。 将 中质蕴含对应的规则按逻辑先后顺序排列即有规则链 。
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user: 4. 结论 本文针对简单形式的产生式规则集提出了一种非试探性的确定性地构造推理规则链的方法。该方法将规则集转化为逻辑函数，利用规则集蕴含的规则与逻辑函数的蕴含项之间的等价对应，从构成最简逻辑函数的质蕴含集中确定一个特定的最简子集，其中的元素对应规则链中的规则，这些对应规则依逻辑顺序排列即构成了一条合理的最简推理规则链。 本文仅是理论上的初步探讨，所述方法只适用于规则为命题逻辑中条件命题这一简单形式的规则集，难以推广到一般情形。限于篇幅，文中许多细节未深入讨论，如表格的构造，查询的方法和效率，逻辑表达式的快速展开和化简等。
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user: 摘 要 传统的k-means算法采用的是随机数初始化聚类中心的方法，这种方法的主要优点是能够快速的产生初始化的聚类中心，其主要缺点是初始化的聚类中心可能会同时出现在同一个类别中，导致迭代次数过多，甚至陷入局部最优出现错误的聚类结果。针对传统的k-means算法初始聚类中心的缺点，本文提出了p-K-means算法，该算法采用了数学几何距离的方法改进k-means算法中初始聚类中心分布不均匀的现象多个聚类中心出现在同一类簇中的现象，这种方法能避免k-means聚类算法聚类过程中陷入局部最优，另一方面降低了聚类过程中的反复迭代次数。本文通过实验的方式来对两个算法进行分析比较后发现改进的算法在收敛速度上优于传统k-means算法，也不容易陷入局部最优。 关键词 :机器学习，聚类分析，K-Means算法，p-K-means算法
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user: 1. 引言 随着当今社会的经济发展，计算机技术也逐渐进入了一个新兴的时代。数据的大量增加，信息量的急剧膨胀，云计算和大数据时代就在这样的环境中应运而生。云计算是一种以互联网为基础的计算方式，并且以这样的方式将软硬件资源和信息提供给有需求的计算机或其他设备。大数据是在云计算的基础平台上进行数据的存储和数据中潜在知识的挖掘处理 [ 1 ] 。 大数据已经渗透到了人们生活中的各个方面，包括金融行业，医学行业，管理行业，其中以信息IT行业最为明显，数据的聚类分析是大的数据分析工具最常用的分析方法，聚类分析：是通过数据对象的某一属性或多个属性将其进行分类。或根据各个样品(individuals， objects or subjects)将其分类来表征，使得相同类别中的各个具有最高可能的同质性(homogeneity)，和类别之间应具有尽可能高的异质性(heterogeneity)。为了获得更合理的分类，首先使用的适当指标来定量描述研究对象(样品或变量，常用样品)的程度之间的密切联系。常用“距离”和“相似性因子”的指标来衡量。在聚类分析，一般的规则是在同一类别的“距离”更小点或“相似系数”较大的点划归为一个簇，“距离”较大点或“相似系数”的小点返回了不同来的类簇 [ 2 ] 。 本文主要研究的是k-means算法的研究分析及改进，首先简介了k-means算法理论及缺点，并提出了p-K-means算法，该算法采用了数学几何距离的方法改进k-means算法中初始聚类中心分布不均匀的现象多个聚类中心出现在同一类簇中的现象，这种方法能避免k-means聚类算法聚类过程中陷入局部最优，另一方面降低了聚类过程中的反复迭代次数。通过实验验证了改进算法的有效性。
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user: 2. 传统K-means算法概述 2.1. 聚类分析 聚类分析(Cluster Analysis)，也被称为集群分析，基于生活中“物以类聚”的道理，是对于某个样品或指标进行分类多元统计分析方法，它需要一组单独的属性或特性的代表变量，称为聚类变量。根据个人的样品或松紧之间的联系进行分类。一般分类变量的组合是由研究者指定的，不是这样的估计推断其他多元分析方法 [ 3 ] 。 聚类方法要求 [ 4 ] ： (1) 聚类分析需要简单，便于人直观理解。 (2) 聚类分析主要是对未知事物的类别相似性探索，可能会有多个分析结果。 (3) 聚类分析一般情况必需是收敛的，无论现实中是否存在都能得出客观的解。 (4) 聚类分析的聚类属性选择是客观的，可以选择其中几个属性，也可以选择多个属性。 (5) 聚类分析的解完全依赖于研究者所选择的聚类变量，增加或删除一些变量对最终的解都可能产生实质性的影响。 2.2. K-means算法 K-means聚类(K-均值聚类)算法是要确定类的数目k为聚类数据集的一个先决条件，通常是簇的数目被事先确定，K-means聚类算法是算法的最广泛使用的算法之一，对于大型数据处理效率比较高，特别是当样本分布呈现更明显的团聚现象时效果会更好 [ 5 ] 。 K均值算法的基本思想是给定的随机初始k个簇中心，按照训练数据的最近点的原则进行分类分配给每个群集。然后根据平均的方法来计算每个群集的质心，从而确定新的集群簇心。一直迭代，直到簇心的移动距离小于某个给定的值后结束算法 [ 6 ] 。 2.3. K-means算法思想 K-means算法的基本思想是：首先指定需要划分簇的k值的大小;然后采用随机数生成随机选择K个初始数据对象来初始化聚类中；然后计算集合中其他数据对象到各个聚类中心的几何距离(不一定是欧氏距离)，将各个数据对象计算的距离后将其划归为距离该对象最近的聚类中心点，采用物理上计算重心的方法调整聚类中心(将聚类中心移动至中心位置)，计算完成后看算法是否收敛，如果没有收敛，反复迭代执行，迭代后需要比较两次聚类中心移动的位置，如果移动位置小于某个值或者未移动表明算法收敛。当所有聚类中心都收敛表示算法以及结束 [ 7 ] 。 经典K-means算法的基本工作流程：首先随机选取K个数据作为的聚类的聚类中心，计算各个数据对象到所选出来的各个中心的距离，将数据对象指派到最近的簇中；然后计算每个簇的均值，循环往复执行，直到满足聚类的收敛条件为止。图1显示了k-means算法的执行步骤 [ 8 ] 。 具体的执行步骤如下： 输入：用户需要输入分类簇的数目K以及包含n个数据对象的数据集合。 输出：k个聚类完成的簇 步骤1：在输入的数据对象集合中随机初始化k个点作为k-means算法样本； 步骤2：计算给定的数据集合分别到初始化聚类中心的几何距离 步骤3：按照距离最短原则将没一点数据分配到最邻近的簇中 步骤4：使用每个簇中的样本数据几何中心作为新分类的聚类中心； 步骤5：反复迭代算法中步骤2、步骤3和步骤4直到算法收敛为止 步骤6：算法结束，得到输出结果。 2.4. K-means算法的分析 K-means算法是一种基于划分的聚类算法，在给定的数据集中找出一种划分方案使得规定的误差达到最小的k个分类，当簇与簇之间的特征比较明显时，并且结果簇比较密集时，K-means算法的效果比较好。K-means聚类算法的优点主要集中在：算法快速、简单；对大数据集有较高的运行效率并且是可 图1. K-means算法步骤 伸缩性的；时间复杂度接近于O(n)，适合比较大规模的数据聚类。但是另一方面K-means算法也存在很多缺点： (1) K-means聚类算法用户需要对其进行聚类数目的指定，即k值的指定。 (2) K-means算法对初始的聚类中心依赖性很大，容易陷入局部最优。 (3) 噪声数据对K-means算法的影响比较大。
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user: 3. K-means算法改进(p-K-means) 3.1. K-means算法改进综述 K-means算法是比较经典的算法，也是应用比较广泛的数据挖掘算法之一，其拥有比较强的局部搜索能力，能适应大数据集的聚类要求，容易理解和实现。但是K-means聚类算法存在一定的局部性：首先k值需要用户事先指定，用户对k值的估计比较困难；其次K-means最大的缺点是对初始化的聚类中心位置依赖性比较大，容易造成算法迭代次数增加和陷入局部最优的情景。因此如果能初始化比较好的聚类中心能使K-means算法快速收敛和找到全局最优。本文针对K-means中初始聚类中心缺陷提出了p-K-means算法，该算法基于角度的计算来实现初始化聚类中心。 3.2. 相关定义 经过对传统k-means算法的缺点的分析后本文提出了p-K-means算法，为了更好的描述p-K-means算法，本文做了如下定义： 定义3：令 和 分别是两个不同的数据对象，它们的维度都是p维，则定义它们的几何距离为： 定义4：令数据对象 (i的维度为p维)到集合U(U为样本点的集合)几何距离为： 定义5：对于集合中的数据对象 和数据对象 ，假设数据对象m到两个数据对象i和j的聚类同时达到最远则满足如下条件： 定义6：集合U中的算术平均数计算方式如下所示： 3.3. p-K-means算法思想 本文在针对K-means算法初始化聚类中心不正确而出现了聚类陷入了局部最优甚至是错误的聚类结果的现象，前人提出的最大距离的选择聚类中心的思想，该算法主要的目的是避免初始化的聚类中心出现在同一簇的点集中。 本文参考了“最大距离选择聚类中心”的算法思想，提出了p-K-means聚类算法。该算法基于数学上的角度的变化和最大距离的方法来实现，p-K-means算法具体步骤为(图2)： 步骤1：输入聚类数据data和数据和聚类数目K 步骤2：计算两两数据对象之间的距离，找到最大的距离d和两个几何距离最大的连个点C1和C2。 步骤3：将所有点从集合中虚拟删除(不参与下一次的查找增加标志位)。 步骤4：以C1和C1为初始的基础聚类中心，从集合中搜索C3使得C3到C1和C2距离同时最大(即C3满足定义3中的条件)。 步骤5：比较判断聚类中心的数目是否等于输入的k值，如果小于K则重复步骤3和步骤4 (直到聚类中心的数目等于k值为止)，当聚类中心的数目等于K值时，进行下面步骤计算。 步骤6：计算所有点到聚类中心距离，找到点的最近的聚类簇。 步骤7：计算每一个聚类簇的重心，移动聚类中心。 步骤8：如果算法不收敛则重复计算步骤5和步骤6，如果算法收敛则结束算法。 从p-K-means聚类算法的基本8个计算步骤中可以看出：p-K-means聚类算法的聚类中心并不是跟传统K-means算法一样随机选取，是通过数学几何计算计算之后产生的聚类中心，一方面使得初始的聚类中心尽可能分散在距离各个聚类簇更近，另一方面尽可能的选择初始聚类中心尽可能分散开，与原来的K-means算法比起来，初始化聚类算法聚类中心更能体现数据样本的分布，这样就使得K-means算法不至于陷入局部最小。图3是p-K-means算法中选取的聚类中心的主要步骤： p-K-means选取初始聚类中心主要步骤： 步骤1：从集合U中选取两两数据对象，分别计算两两数据对象之间的距离，将其距离存储到领阶矩阵D中和两个点C1和C2； 步骤2：从矩阵D中找出距离最大的两个点C1和C2，其最大距离记为max inD，将两个最大的点C1和C2作为初始的两个聚类中心。 步骤3：利用p-K-means选取初始聚类中心的思想选取聚类中心：将步骤2中求出的C1和C2加入初始聚类中心集合center中最为初始聚类中心；在集合U中虚拟删除(加上标志位)找到的两个聚类中心 图2. P-K-means算法流程 图3. P-K-means聚类中心选取主要步骤 C1和C2。以center集合中的点为参照点，在U查找，找到C3点，使得C3点到C1和C2点的几何距离同时满足最大，即满足条件 { }； 判断center集合的聚类中心的个数是否等于k，如果不等于，继续寻找k个初始的聚类中心。 3.4. p-K-means算法实现 通过对K-means算法的分析后可以看出K-means算法存在很多缺点，本文提出的p-K-means主要从聚类中心的选取方面来对K-means算法进行优化：采用数学上的几何距离和集合的思想对K-means算法进行改进。 算法p-K-means 输入：聚类数据D，聚类簇个数k。 输出：k个聚类簇。 具体代码如下所示(此处仅包含p-K-means算法聚类中心选取步骤的主要代码)： 该算法通过优化k-means中的初始聚类中心的选取办法，采用数学上的几何距离和集合的思想对K-means算法进行改进使得初级聚类中心尽可能的分散。 3.5. p-K-means算法实例 为了能更好的说明p-K-means算法中关于聚类中心的初始化过程，下面将具体举例说明，如图4所示，为了方便数据的可视化，本节将采用二维平面的数据，列举了10个样本点为示例集合： (假设数据已经经过清洗，噪声数据已经没有了) p-K-means的具体步骤为： 假设我们需要将这10个点分成3个簇，即我们需要输入的k = 3； (1) 计算样本点集合data中的这10个点之间的欧式距离，找出距离最远的两个点分别是x1和x10，将x1和x10从整个集合中虚拟删除，不参与下一次的聚类中心的查找。 (2) 计算 到点x1和x10的集合距离，分别存储于邻接矩阵X1和X10中。 (3) 从X1和X10中找到一个点满足定义5 (即找到一个点到两点x1和x10的几何距离同时最大)。该实例中找到点X9。 (4) 重复步骤(2)和步骤(3)。 (5) 判断聚类中心数目是否满足等于k。 图4. P-K-means聚类中心选择举例 3.6. p-K-means算法缺陷 虽然p-K-means算法解决了K-means对初始化聚类中心的依赖缺点，使得聚类算法聚类迭代次数得到了降低，另一方面p-K-means使得聚类不会有陷入局部最优的情况出现，但是p-K-means需要首先在聚类之前找到距离最远的两个聚类中心，这个算法的时间复杂度是O(n^2)，使得算法的时间复杂度有所提高，也是p-K-means的一个最大的缺点。此外p-K-means算法容易受到噪声点的影响。
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user: 4. 实验分析 4.1. 实验环境说明 本文首先通过对传统K-means和改进后的p-K-means进行理论分析，显然在理论上改进后的p-K-means算法更不容易陷入局部最优，理论上也能减少数据的迭代次数。下面将通过具体实验来验证算法在改进前后的结果比较。 本文实验过程采用python语言分别来实现K-means算法和改进前后的p-K-means算法。在相同的试验环境下对两种算法的运行效率和运行结果进行了分析和对比。具体的实验环境如表1所示。 为了能直观的展示数据聚类的整个过程，本次试验中采用了100个二维平面点来进行实验分析(该数据由网上下载)，数据具有随机性(为了不失一般性)，具体的数据分布如图5所示。 4.2. K-means算法实验分析 K-means算法初始化聚类中心采用的是随机选取数据中的点，因为K-means算法对初始化聚类中心依赖性比较大，很可能陷入局部最优的情况，另一方面这种方式使得迭代次数增加。 如图6所示，实验中K-means算法的整个聚类过程，图中每一种颜色表示一个聚类簇，圆点表示聚类样本，红色正方形表示聚类中心。 从图中可以看出，初始化导致第一次聚类的过程中两个类别的初始聚类中心初始化在了同一个类别中，导致迭代次数过多，甚至有时候会出现局部最优导致错误的聚类，这也是k-means算法中比较大的缺点。 4.3. p-K-means算法实验分析 p-K-means是本文通过对K-means算法进行研究和分析后发现K-means算法存在对初始聚类依赖性较大的缺点，采用数学上的方法将聚类中心尽可能的分散在整个数据集合上，避免了K-means陷入局部最小，另一方面也是降低了k-means算法的迭代次数。收敛速度也得到了提升。图7是p-K-means算法的聚类过程。 Table1. Lab environment 表1. 实验环境 图5. 测试数据分布图 图6. K-means算法聚类过程 通过p-K-means的初始化合理的聚类中心发现只经过3次迭代就已经收敛，另一方面可看出p-K-means算法能有效的避免K-means算法陷入局部最优的情况。 4.4. p-K-means算法与K-means算法比较 p-K-means算法是本文提出的对K-means的一种改进方案，p-K-means算法初始化聚类中心时使聚类 图7. P-K-means算法聚类过程 图8. P-K-means与K-means算法收敛过程的比较 中心尽可能的保持远距离，避免多个聚类中心出现在同一个类中，该思想也是参考了前人的“最大距离思想”，但是p-K-means算法能保证所有初始化聚类中心均匀的分散在这个数据集中，避免了聚类中出现局部最优的情况。收敛次数也相应的减少，如图8是p-K-means与K-means算法的收敛过程： 如图8所示，红色曲线表示K-means算法的收敛过程，蓝色曲线表示平p-K-means算法的收敛情况，同样的数据p-K-means算法仅仅用了5次就收敛，而K-means算法用了18次才收敛。
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user: 5. 总结与展望 本文的主要成果是对机器学习主要思想进行了阐述，进一步分析了聚类算法中比较有代表性的k-means算法，分析后发现k-means算法存在对初始聚类中心依赖较大的缺陷，因为传统的k-means算法采用的是随机初始化聚类中心的方法，导致聚类过程中会出现局部最优的现象，有可能导致聚类结果错误。 本文经过理论分析和实验分析后提出了一种对传统k-means算法改进的方案提出了p-K-means算法，通过合理的方式初始化K-means算法聚类中心，本文还通过实验对比了传统的K-means算法和改进后的p-K-means算法做了对比。分析了改进算法p-K-means存在的缺陷。 本文虽然对经典算法有了一定效率上的改进，但是仍然存在很多课改进的问题，例如，本文阐述的算法是在单线程的中完成的，实际上该算法相互之间的耦合度不太高，相信在以后会通过相应的算法将其数据集进行解耦之后运行在多线程环境中，并且在理论上是可以实现分布式计算模式的，所以分布式k-means算法相信会有更高的效率。
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user: 摘 要 定本文提出了一种基于Lorenz混沌系统的比特级彩色数字图像加密算法，针对彩色数字图像的三个分量R、B、G，用Lorenz混沌系统产生的x、y、z三个维度的混沌序列分别进行加密，最后再合而为一。加密时，把每一个十进制的像素值看成是八位二进制数，利用混沌序列的升序排列位置索引进行置乱，达到像素融合的目的，实现图像的加密。加解密数值实验和算法的有效性安全性分析，说明该算法安全有效，具有较高的抗攻击能力。 关键词 :混沌，比特级，加密算法
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user: 1. 引言 数字图像信息作为一种最直观的信息形式，在互联网的传播中发挥着非常重要的作用，数字图像的安全传递引起了越来越多的人关注 [ 1 ] 。 传统的加密技术在只能针对文本信息等数据量不大的情况，而数字图像数据呈二维分布，冗余量大，数据量复杂，传统的加密方式针对数字图像信息加解密效率一直不理想。近半个世纪以来，混沌系统的研究是非线性领域一个重要的课题 [ 2 ] ，鉴于混沌系统的特征和加密算法要求的特征有诸多的共性 [ 3 ] ，学者们开始将混沌运用到加密算法中。本文选用了较高维度的Lorenz系统，提出了一种基于Lorenz混沌系统的比特级加密方式。
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user: 2. Lorenz混沌系统 Lorenz混沌系统是一个经典的三维混沌系统，相对于其他低维系统而言，Lorenz混沌系统具有显著优势 [ 4 ] 。其动力学方程为： (1) 其中， 为系统参数， 为状态变量，一般取 ，r作为系统控制参数，在保持 不变时r > 24.47时Lorenz系统进入混沌状态 [ 5 ] 。 对Lorenz系统进行数值求解时，典型算法有两种 [ 6 ] ，一种是一阶欧拉法，另一种是四阶–五阶龙格库克(Ruuge-Kutta)法。四阶–五阶龙格库克(Ruuge-Kutta)法的计算精度远高于一阶欧拉法，但是计算时间也就相对来说比较长，而本算法对求解结果的精确值并没有太高的要求，所以我们采用了耗时较短的一阶欧拉法。
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user: 3. 加密解密算法 加密过程一般包括像素融合和像素置乱，两者紧密结合才能使加密效果更加完善 [ 7 ] 。本文采用比特级的加密方式，对比特级数值进行位置索引置乱，效果上可以达到像素融合的目的。算法如下： Step 1，将原始彩色图像，分成三个关于R，G，B的灰度图，然后对每一个灰度图做如下处理：将图像的像素值二维矩阵由L行R列转换成L × R行一列的形式，每一行有一个十进制数，表示一个像素值。 Step 2，把三个灰度图的每一位像素值由十进制化成二进制形式，像素值在区间(0，255)上，所以每个十进制像素值由八位二进制数表示，不足八位的高位由0补齐。具体换算公式为： (2) 其中 ， 表示二进制数的第i位(第一位为最低位)， 是原始像素值， 表示除以2再取整。 我们把每一位二进制数看成是一个数，换算过后由十进制数表示的L´R行一列的矩阵就变成了L´R行八列的形式。 Step 3，将L × R行八列的矩阵继续整形成 行一列的形式。 Step 4，代入初始值，用一阶欧拉法解Lorenz方程生成混沌序列，在做下式变化 [ 8 ] ： (3) 即序列每一个数乘以100，再取小数部分，舍弃前面一部分结果，避免初值造成的影响，最终得到的序列记作 ，其中L × R是需要加密的图像的大小，三个灰度图对应的序列分别如上记为 。 Step 5，对混沌序列 分别进行排序，得到位置索引，根据位置索引对上述三个 行一列形式的矩阵进行置乱。 Step 6，对置乱后的三个 行一列形式的矩阵做第一步到第三步的逆操作。即先由 行一列形式整形成L × R行八列的形式；再把L × R行八列矩阵每一行的八个数看成是二进制的每一位合并成一个二进制数，将这个二进制数换算成一个十进制数，L × R行八列的矩阵变成L × R行一列；然后将L × R行一列的矩阵还原成L行R列的形式，最后将三幅图合成一副彩色图，即为最终的加密图像。 解密过程是加密过程的逆运算。
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user: 4. 数值模拟 选取彩色图像lena作为测试图像，在MATLAB2012环境下编程实现算法。密钥选择x 0 = 0.11，y 0 = 1.02，z 0 = 0.1，r = 28，步长h = 0.01，lorenz方程迭代次数 次，舍弃前1000次迭代结果，避免初值产生的影响，得到如图1所示，其中图(a)表示原图像，(b)表示加密图像，(c)表示解密图像。从图像中我们可以看出，加密图像完全掩盖了原图像的信息，加密效果良好，解密图像与原图像基本一致，解密不失真。
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user: 5. 算法的有效性和安全性分析 5.1. 灰度直方图分析 一个好的加密系统必须要具备抗统计攻击的能力，灰度直方图是衡量图像统计性能的一个重要指标 [ 9 ] 。如图2所示，加密后的图像直方图(b)趋于平坦，像素值分布比较均匀，完全掩盖了原图像素值的统计特征，可以一定程度上抵抗统计攻击。 5.2. 相邻像素相关性分析 相邻像素相关性强是数字图像的重要统计特征之一，加密系统应该具有破坏相邻像素相关性强的能力。 图1. 加密解密图像 图2. 加密前后图像灰度值直方图 在测试图像中，随机选取1000对相邻的像素点对，记为 ，其中 分别代表第 对像素的两个像素值。按如下定义的相关系数，计算这1000对像素灰度值之间的线性相关系数。 (3) (4) 式中，x，y表示两个相邻的像素灰度值。在实际测试中用如下离散化的计算公式 [ 10 ] ： (5) (6) (7) 以相邻两像素灰度值为x，y坐标，得到加密前后相邻两点的相关性分析结果如图3 (水平方向)、图4 (垂直方向)、图5 (对角方向)所示。可以看出，加密前的图像像素之间具有较强的相关性，经过加密过后，这种相关性已经基本被破坏了。 5.3. 密钥空间分析 密钥主要是由Lorenz混沌系统三个分量的初始值x 0 、y 0 、z 0 和计算步长h组成。由Lorenz映射的特点可知， 保持不变，r > 24.47时，系统进入混沌状态。密钥的四个参量均按照浮点数的最高精度10 −16 计算，忽略参数的整数部分区分度，密钥的取值种类可达(10 15 ) 4 ，相当于二进制密钥的60位，可见密钥空间相当大，足以抵抗穷举攻击 [ 11 ] 。 5.4. 密钥雪崩效应分析 密钥的雪崩效应是指加密算法对密钥变化的敏感性，即密钥的任意参数发生微小变化，都将导致解密错误。我们分布改变x 0 、y 0 、z 0 和h的值，观察解密图像，考察算法对密钥的敏感度。 当参数x 0 、y 0 、z 0 、步长h分别改变10 −15 的情况下，解密图像为图6、图7、图8、图9所示，均不能正确解密，可见算法对密钥非常敏感。 图3. 明文图像和密文图像相邻两点的相关性分析结果(水平方向) 图4. 明文图像和密文图像相邻两点的相关性分析结果(垂直方向) 图5. 明文图像和密文图像相邻两点的相关性分析结果(对角方向) 图6. 密文对密钥x 0 的敏感度 图7. 密文对密钥y 0 的敏感度 图8. 密文对密钥z 0 的敏感度 图9. 密文对密钥h的敏感度 正确密钥K = (0.11，1.02，0.1，0.1) 错误密钥K 1 = (0.11 + 10 −15 ，1.02，0.1，0.01)，如图6所示，考察算法对密钥x 0 的敏感度 错误密钥K 2 = (0.11，1.02 + 10 −15 ，0.1，0.01)，如图6所示，考察算法对密钥y 0 的敏感度 错误密钥K 3 = (0.11，1.02，0.1 + 10 −15 ，0.01)，如图6所示，考察算法对密钥z 0 的敏感度 错误密钥K 4 = (0.11，1.02，0.1，0.01 + 10 −15 )，如图6所示，考察算法对密钥h的敏感度
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user: 6. 总结 本文提出了一种基于Lorenz混沌系统的比特级彩色数字图像加密算法，对彩色数字图像的三个分量R、G、B，分别用Lorenz混沌系统生产的三个状态分量x、y、z序列进行加密。将每一位十进制的像素值换算成八位二进制数，用混沌序列的升序排列位置索引对二进制数进行置乱，可以达到像素融合的效果。数值模拟结果表明该算法加密效果良好，不能从加密图像中提取任何原图像的有效信息，解密图像与原图像基本一致，无失真。算法的有效性和安全性分析表明，加密图像破坏了相邻像素的强相关性，均衡了原图像像素值的分布，有较强的抗统计攻击能力。密钥空间足够大，密钥对明文有明显的雪崩效应，微小的密钥差距也难以还原原图像，足以抵抗穷举攻击。
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user: 摘 要 立方连通圈网络是超立方体的有界度变形，它具有超立方体几乎所有的优良性质，而且克服了超立方体顶点度随网络规模增大而增大的缺点，是代替超立方体的一个具有强大竞争力的网络结构。但立方连通圈网络的结构是简单还是复杂呢？这是一个悬而未决的问题。带弦环网络是一类经典的互连网络，该网络具有结构简单等优点。在这篇文章中利用师海忠提出的正则图连通圈网络模型设计出了包含立方连通圈网络的一类网络——推广立方连通圈网络GCCC(n) (n > 2)，证明了GCCC(n) (n > 2)可分解为边不交的一个Hamilton圈和一个完美对集的并，即GCCC(n) (n > 2)是带弦环网络。并给出推广立方连通圈网络分解为边不交的一个Hamilton圈和一个完美对集的并的算法。 关键词 :互连网络，推广立方连通圈，Hamilton圈，完美对集，带弦环网络
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user: 1. 引言 互连网络是超级计算机的重要组成部分，互连网络通常模型化为一个图，图的顶点对应处理机，图的边对应通信全过程。各种已有互连网络参见 [ 1 ] - [ 18 ] 。立方连通圈网络是由Preparate和Vailemin [ 19 ] 首先提出并研究的，它具有超立方体几乎所有的优良性质，而且克服了超立方体大顶点度的缺点。它是三连通三正则图，而且是Hamilton图(详细参见 [ 20 ] - [ 25 ] )。 推广立方连通圈网络GCCC(n) (n > 2) (见定义3)是含有立方连通圈网络的一簇网络，它是三正则的，有 个顶点和 条边，这篇文章中提出了推广立方连通圈网络的概念，并证明了推广立方连通圈网络可分解为边不交的Hamilton圈和一个完美对集的并，即GCCC(n) (n > 2)是带弦环网络。并给出了推广立方连通圈网络分解为边不交的Hamilton圈和一个完美对集的并的算法。本文的其它结构为：2基本概念，3推广立方连通圈网络的Hamilton分解的算法，4案例举证，5结束语。
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user: 2. 基本概念 2.1. 推广立方连通圈网络的定义 定义1 [ 5 ] ：n-立方体 定义如下无向图 定义2 [ 5 ] ：CCC(n)定义如下 顶点集 ，两顶点 和 由一条无向边相连当且仅当，或者 (i) 且 ，或者 (ii) 且 和 恰有第 个指标不同。 定义3：用一个圈代替立方体 中的每个顶点，且每个圈中顶点恰位于立方体 中与该顶点关联的一条边上，得到的新的网络叫做推广立体连通圈网络，记作GCCC(n)。 2.2. 正则图G的Hamilton分解 定义4 [ 26 ] ：设 是正则图， 是 的边集．我们称 是Hamilton可分解的。如果 要么 (i) 且 能被划分成 个Hamilton圈； 要么 (ii) 且 能被划分成 个Hamilton圈和一个完美对集； 这里 表示 的顶点度。 2.3. 推广立方连通圈网络的Hamilton分解 定义5 [ 27 ] ：设 是一个图， 的Euler回是指经过每条边恰好一次的回。 定义6 [ 27 ] ：一个图若包含Euler回，则称这个图为Euler图。 定理1： 有Euler回路。 引理1 [ 27 ] ：一个非空连通图是Euler图当且仅当该图的每个顶点度均为偶数。 给定 的完美对集 我们有 定理2： 是连通的。 证明：当 时 ，此时 是 中的圈，故 连通。 假设当 时， 连通，即对 有 路，则 当 时， 由 有 路知 对 有 路； 对 有 路； 对 有 路； 对 有 路。 综上所述 对 有 路，即 连通。 由数学归纳法知 连通。 定理3：当 为奇数时， ( )是Euler图。 定理4 [ 28 ] ：2r-正则图连通圈网络是Hamilton可分解的。 定理5：(1) GCCC(2r)是Hamilton可分解的；(2) GCCC(2r)是带弦环网络。 由定理2~5得： 推论1：(1) GCCC(2r + 1)可分解为边不交的一个Hamilton圈和一个完美对集的并，即GCCC(2r + 1)是Hamilton可分解的；(2) GCCC(n) (2r + 1)是带弦环网络。
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user: 3. 推广立方连通圈网络的Hamilton分解的算法 算法： 输入 ( ) If 为偶数 Then { 1) let 2) 运用Fleury算法 [ 26 ] 找到 的一个Euler回路 3) 对顶点 ，找到其关联的 条边在Euler回路中配成的相邻的 对，记为 ， ，且 ，用标号为 的圈 代替 ，其中 与 ( )关联。 中嵌入 后得到GCCC(n) ，Euler回路中嵌入 后得到GCCC(n)的一个Hamilton圈，其于边构成GCCC(n) 的一个完美对集。转7 } Else { 4) let 5) 运用Fleury算法找到 的一个Euler回路 6) 对顶点 ，找到其关联的 条边在Euler回路中配成的相邻的 对，记为 ， ，且 ，用标号为 的圈 代替 ，其中 与 ( )关联， 与 中的边关联。 中嵌入 后得到GCCC(n)，Euler回路中嵌入 及 后得到GCCC(n)的一个Hamilton圈，其于边构成GCCC(n)的一个完美对集。转7 } 7) 输出GCCC(n)及它的Hamilton圈和完美对集，结束。
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user: 4. 案例举证 4.1. n = 3时的情形 当n = 3时，输入 (如图1所示) 由Fleury算法得到的Euler回路为： 输出的GCCC(3)如图2所示 输出的Hamilton圈 为： 图1. Q 3 图2. GCCC(3) 输出的完美对集 为： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 。 此时由 和 得到的图如图3所示 把上述Hamilton圈 记为： 得到相应的完美对集 为： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 。 得到的图如图4所示，显然图4为带弦环网络。 4.2. n = 4时的情形 当n = 4时，输入 (如图5所示) 由Fleury算法得到的Euler回路为： 图3. 由H 24 和M 24 构成的图 图4. GCCC(3)对应的带弦环网络 图5. Q 4 输出的GCCC(4)如图6所示 输出的Hamilton圈 为： 输出的完美对集 为： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 。 把上述Hamilton圈 记为： 得到的相应的完美对集 为： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 。 得到的图如图7所示，显然图7为带弦环网络。 图6. GCCC(4) 图7. GCCC(4)对应的带弦环网络
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user: 5. 结束语 推广立方连通圈网络GCCC(n) (n > 2)是包含立方连通圈的一类网络，文章中证明了GCCC(n) (n > 2)可分解为边不交的一个Hamilton圈和一个完美对集的并，即GCCC(n) (n > 2)是带弦环网络。并给出了推广立方连通圈网络分解为边不交的一个Hamilton圈和一个完美对集的并的算法。但对一般的CCC(n) (n > 2)由Fleury算法构造恰当的Euler回路，以便设计构造CCC(n) (n > 2)的Hamilton分解的算法有待进一步的研究。
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user: 摘 要 42CrMo钢是典型高强度的中碳合金结构钢，广泛应用于截面大强度要求高的构件中，但在铣削过程中因切削力过大、切削温度过高、切屑不易折断和刀具磨损剧烈等严重影响零部件的加工质量和使用寿命。本文采用正交实验方法对高强度42CrMo钢进行铣削实验，研究了高强度42CrMo钢铣削过程中切削力的基本特征，分析了径向切深、轴向切深、每齿进给量等铣削参数对切削力的影响。并利用最小二乘法回归分析，得到铣削力经验公式，为铣削42CrMo钢刀具设计和切削参数选择提供了参考依据。 关键词 :高强度42CrMo钢，铣削力，铣削参数，铣削力建模
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user: 1. 引言 42CrMo钢是典型的中碳合金结构钢，具有优越的抗疲劳性、抗冲击性，较好的低温韧性和回火脆性，广泛应用于强度要求高，断面尺寸较大的构件，如大型工程机械牵引用的齿轮、轴、连杆等受载荷极大的零件、石油深井钻机接头和打捞工具等 [ 1 ] 。但是从切削加工性能上看，42CrMo高强度钢在切削过程中常表现出切削力大、切削温度高、切屑不易折断和刀具磨损剧烈等现象，导致严重的加工硬化和较大的残余应力，影响加工精度 [ 2 ] 。因此，研究高强度42CrMo切削加工过程中影响切削力的有关因素、分析切削力的变化规律，对切削过程中切削力的预测及控制、保证加工质量具有重要意义。 1232近年来，国内外众多的学者对难加工材料切削力实验和建模做了大量的研究。张滢、胡志明等人 [ 3 ] [ 4 ] 利用切削刃微元思想建立铣削力模型，通过正交实验确定铣削力系数得到铣削力预测模型。李炳林等人 [ 5 ] 建立了基于斜角切削的切削力预报模型。王启东等人 [ 6 ] 根据切削过程中的犁切效应和剪切效应建立了切削力预报模型。谭光宇等人 [ 7 ] 建立了考虑侧刃铣削和横刃铣削切削力预报模型。富宏亚等人 [ 8 ] 建立考虑尺度效应、单齿切削及主轴径向跳动的曲面铣削切削力预报模型。王素玉等人 [ 9 ] 设计了多因素正交试验，根据回归分析原理和最小二乘法建立了高速铣削力预报模型。刘鹏等人 [ 10 ] 以TA15为高速切削加工对象，建立了以轴向切深、每齿进给量、轴向切深为参数的回归线性分析预报模型。但对于高强度42CrMo钢材料加工，缺少可以借鉴的数据。 本文选择常见立式顺铣加工方式，采用单因素实验方法在加工中心上进行铣削加工实验。分析高强度42CrMo钢铣削过程中切削力的基本特征，研究径向切深、轴向切深、每齿进给量等铣削参数对切削力的影响。通过得到的各方向的铣削力数值运用多元线性回归方法，建立了立铣切削力的数学模型。从而为铣削42CrMo钢刀具设计和切削参数选择提供了参考依据。
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user: 2. 实验 2.1. 实验方案的确定 实验选用TiAlN涂层硬质合金立铣刀，4刃，刀具直径Ø 6 mm，螺旋角为45˚，长50 mm，前角为5˚，后角为8˚，刃长为16 mm。工件材料为42CrMo，其硬度为37HRC，大小为150 × 140 × 120，化学成分为：C：0.38~0.45，Si：0.17~0.37，Mn：0.50~0.80，S：≤0.035，P：≤0.035，Cr：0.90~1.20，Ni：≤0.30，Cu：≤0.30，Mo：0.15~0.25。铣削方式为顺铣，干切削，空气冷却。实验在MICKON UCP1000高速立式加工中心上进行，加工时，刀具旋转和Z向运动，工作台带动工件产生偏置和进给运动。刀具顺时针转动，采用KISTLER9265B三向动态测力仪、KISTLER5019A电荷放大器和TDS210示波器进行铣削测力实验，见图1所示。 2.2. 切削参数设置 影响铣削力的因素主要有切削速度(m/min)、进给量f(mm/z)、径向切深A e (mm)、轴向切深A d (mm)和刀具直径(mm)。为了不考虑刀具直径和刀具材质的影响，更好地反应出42CrMo高强度钢铣削加工中切削力的变化，实验采用TiAlN涂层硬质合金立铣刀进行铣削加工实验。实验选取对铣削力有重要影响的三个铣削参数(进给量、径向切深、轴向切深)作为因素，设计出3因素3水平的9点正交实验。铣削速度为120 m/min，得到了不同铣削参数下X、Y、Z三向铣削平均力，见表1。