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user: 3. 一些与黎曼zeta函数相关的数值级数 (1) 一些关于黎曼zeta函数 ζ ( 2 n ) 的数值级数 在(1)式，令 x = π 2 ， π 3 ， π 4 ，有关于 ζ ( 2 n ) 函数的数值级数 1) ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) 2 2 n − 1 π = 1 π ；2) ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) 3 2 n − 1 π = 3 2 π − 1 2 3 ；3) ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) 4 2 n − 1 π = 2 π − 1 2 。 在(2)式，令 x = π 2 ， π 3 ， π 4 ，有关于 ζ ( 2 n ) 函数的数值级数 1) ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) 2 2 n n = ln π 2 ；2) ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) 3 2 n n = ln π 3 − ln 3 2 ；3) ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) 4 2 n n = ln π 4 − ln 2 2 。 在(3)式令 x = π 2 ， π 4 ， π 6 ，有关于 ζ ( 2 n ) 函数的数值级数 1) ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) π 2 2 n + 1 n ( 2 n + 1 ) = − π 2 + π 2 ln 2 ；2) ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) π 4 2 n + 1 n ( 2 n + 1 ) = − π 4 + π 4 ln 2 + 1 2 G ； 3) ψ ′ ( 1 / 3 ) ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) π 6 2 n + 1 n ( 2 n + 1 ) = − π 6 + 3 12 ( ψ ′ ( 1 / 3 ) − 2 3 π 2 ) 。 这里 G = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k + 1 ) 2 = 0.915965947 ⋯ 是卡大兰常数。 为双伽马函数又称普西函数 ψ ′ ( z ) 是普西函数的导数。这里 ψ ′ ( 1 3 ) = ∑ k = 0 ∞ 1 ( k + 1 / 3 ) 2 在(4)式令 x = π 2 ， π 3 ， π 4 ， π 6 ，有关于 ζ ( 2 n ) 函数的数值级数 1) ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) π 2 2 2 n + 3 n ( n + 1 ) = 1 8 π 2 ln π 2 − π 2 16 − π 2 8 ln sin π 2 + π 2 4 ln 2 + π 4 C l 2 ( π ) + 1 4 C l 3 ( π ) − 1 4 ζ ( 3 ) = 1 8 π 2 ln π 2 − π 2 16 − 0 + π 2 4 ln 2 + 0 + 1 4 ( − 3 4 ζ ( 3 ) ) − 1 4 ζ ( 3 ) = 1 8 π 2 ln π 2 − π 2 16 + π 2 4 ln 2 − 7 16 ζ (3) 2) ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) π 2 3 2 n + 2 n ( 2 n + 2 ) = 1 18 π 2 ln π 3 − π 2 36 − π 2 18 ln 3 + π 6 C l 2 ( 2 π / 3 ) + 1 4 C l 3 ( 2 π / 3 ) − 1 4 ζ ( 3 ) = 1 18 π 2 ln π 3 − π 2 36 − π 2 36 ln 3 + π 6 3 9 [ ψ ′ ( 1 / 3 ) − 2 3 π 2 ] + 1 4 ( − 4 9 ζ ( 3 ) ) − 1 4 ζ ( 3 ) = 1 18 π 2 ln π 3 − π 2 36 − π 2 36 ln 3 + π 54 3 [ ψ ′ ( 1 / 3 ) − 2 3 π 2 ] − 13 36 ζ (3) 3) ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) π 2 4 2 n + 2 n ( 2 n + 2 ) = 1 36 π 2 ln π 4 − π 2 64 − π 2 32 ln 2 2 + π 2 16 ln 2 + π 8 C l 2 ( π / 2 ) + 1 4 C l 3 ( π / 2 ) − 1 4 ζ ( 3 ) = 1 36 π 2 ln π 4 − π 2 64 − 3 π 2 64 ln 2 + π 8 G + 1 4 ( − 3 32 ζ ( 3 ) ) − 1 4 ζ ( 3 ) = 1 36 π 2 ln π 4 − π 2 64 − 3 π 2 64 ln 2 + π 8 G − 35 128 ζ (3) 4) ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) π 2 6 2 n + 2 n ( 2 n + 2 ) = 1 72 π 2 ln π 6 − π 2 144 − π 2 72 ln 1 2 + π 2 36 ln ( 2 ⋅ 1 2 ) + π 12 C l 2 ( π / 3 ) + 1 4 C l 3 ( π / 3 ) − 1 4 ζ ( 3 ) = 1 72 π 2 ln π 6 − π 2 144 + π 2 72 ln 2 + π 12 3 6 [ ψ ′ ( 1 / 3 ) − 2 3 π 2 ] + 1 4 ( 1 3 ζ ( 3 ) ) − 1 4 ζ ( 3 ) = 1 72 π 2 ln π 6 − π 2 144 + π 2 72 ln 2 + π 72 3 [ ψ ′ ( 1 / 3 ) − 2 3 π 2 ] − 1 6 ζ (3) 在(5)式，令 x = π 6 ， π 4 ， π 3 ，关于 ζ ( 2 n ) 函数的数值级数如下 1) ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) π 3 6 2 n + 3 n ( 2 n + 3 ) = 1 648 π 3 ln π 6 − π 3 1944 − π 3 648 ln 1 2 + 1 2 π 2 36 C l 2 ( π / 3 ) − 1 4 C l 4 ( π / 3 )     + π 3 648 ln 1 + 1 2 C l 3 ( π / 3 ) = 1 648 π 3 ln π 6 − π 3 1944 + π 3 648 ln 2 + π 2 72 3 6 [ ψ ′ ( 1 / 3 ) − 2 3 π 2 ]         − 3 4 { − 40 81 ζ ( 4 ) − 1 6 4 [ ζ ( 4 ， 1 6 ) + ζ ( 4 ， 1 3 ) ] } + 1 2 [ 1 2 ( 1 − 2 − 2 ) ( 1 − 3 − 2 ) ζ ( 3 ) ] = 1 648 π 3 ln π 6 − π 3 1944 + π 3 648 ln 2 + π 2 432 3 [ ψ ′ ( 1 / 3 ) − 2 3 π 2 ]         − 3 4 { 3 − 4 − 1 2 ζ ( 4 ) − 1 6 4 [ ζ ( 4 ， 1 6 ) + ζ ( 4 ， 1 3 ) ] } + 1 6 ζ (3) 2) ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) π 3 4 2 n + 3 n ( 2 n + 3 ) = 1 192 π 3 ln π 4 − π 3 576 − π 3 192 ln 1 2 + π 2 32 C l 2 ( π / 2 ) − 1 4 C l 4 ( π / 2 )     + π 3 192 ln 2 + 1 2 C l 3 ( π / 2 ) = 1 192 π 3 ln π 4 − π 3 576 + π 3 192 ln 2 + π 2 32 G − 3 4 [ ( 2 − 4 − 1 ) ζ ( 4 ) + 2 1 − 8 ζ ( 4 ， 1 4 ) ]         + 1 2 [ − 2 − 3 ( 1 − 2 − 2 ) ζ ( 3 ) ] = 1 192 π 3 ln π 4 − π 3 576 + π 3 192 ln 2 + π 2 32 G     − 3 4 [ − 15 16 ζ ( 4 ) + 1 2 7 ζ ( 4 ， 1 4 ) ] − 3 64 ζ (3) 3) ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) π 3 3 2 n + 3 n ( 2 n + 3 ) = 1 81 π 3 ln π 3 − π 3 243 − π 3 81 ln 3 2 + π 2 18 C l 2 ( 2 π / 3 )         − 1 4 C l 4 ( 2 π / 3 ) + π 3 81 ln 3 + 1 2 C l 3 ( 2 π / 3 ) = 1 81 π 3 ln π 3 − π 3 243 + π 3 81 ln 2 + π 2 18 3 9 [ ψ ′ ( 1 / 3 ) − 2 3 π 2 ]         − 3 4 [ 3 − 4 − 1 2 ζ ( 4 ) + 3 − 4 ζ ( 4 ， 1 3 ) ] + 1 2 1 2 ( 3 1 − 3 − 1 ) ζ ( 3 ) = 1 81 π 3 ln π 3 − π 3 243 + π 3 81 ln 2 + π 2 162 3 [ ψ ′ ( 1 / 3 ) − 2 3 π 2 ]         − 3 4 [ − 40 81 ζ ( 4 ) + 1 81 ζ ( 4 ， 1 3 ) ] − 2 9 ζ (3) 在(6)，(7)式令 x = π 2 ， π 3 ，含有黎曼 ζ ( 2 n ) 的交错级数封闭型和式 1) ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 2 ζ ( 2 n ) 2 2 n π = − 1 π + 1 2 coth π 2 ； 2) ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 3 ζ ( 2 n ) 3 2 n π = − 3 2 π + 1 2 coth π 3 ； 3) ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 ζ ( 2 n ) 2 2 n n = ln π 2 + ln ( sinh π 2 ) ； 4) ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 ζ ( 2 n ) 3 2 n n = ln π 3 + ln ( sinh π 3 ) ； (2) 一些含有升阶乘 的黎曼zeta函数数值级数 在(13)式，令 a = 1 ， t = 1 2 ， 1 3 ， 1 4 ， 1 6 ，给出如下含有升阶乘 ( s ) 2 k 黎曼zeta函数数值级数 1) ∑ k = 0 ∞ ( s ) 2 k ζ ( s + 2 k ) 2 2 k ( 2 k ) ! = ( 2 s − 1 ) ζ ( s ) − 2 s − 1 2) ∑ k = 0 ∞ ( s ) 2 k ζ ( s + 2 k ) 3 2 k ( 2 k ) ! = 1 2 [ ( 3 s − 1 ) ζ ( s ) − 3 s ] 3) 4) ∑ k = 0 ∞ ( s ) 2 k ζ ( s + 2 k ) 6 2 k ( 2 k ) ! = 1 2 [ ( 6 s − 3 s − 2 s + 1 ) ζ ( s ) − 6 s ] 证明 利用赫尔维茨函数与黎曼zeta 函数关系 ζ ( a ， 1 ) = ζ ( s ) 以及 ζ ( s ) = 1 m s − 1 ∑ j = 1 m − 1 ζ ( s ， i m ) 1) 令 a = 1 ， m = 2 ， ∑ k = 0 ∞ ( s ) 2 k ζ ( s + 2 k ) 2 2 k ( 2 k ) ! = 1 2 [ ζ ( s ， 1 − 1 2 ) + ζ ( s ， 1 + 1 2 ) ] = 1 2 [ ζ ( s ， 1 2 ) + ζ ( s ， 3 2 ) ] = 1 2 [ ζ ( s ， 1 2 ) + 1 2 s + ζ ( s ， 3 2 ) − 1 2 s ] = 1 2 [ ζ ( s ， 1 2 ) + ζ ( s ， 1 2 ) − 1 2 s ] = 1 2 [ 2 ζ ( s ， 1 2 ) − 1 2 s ] = 1 2 [ 2 ( 2 s − 1 ) ζ ( s ) − 1 2 s ] = ( 2 s − 1 ) ζ ( s ) − 2 s − 1 2) 令 a = 1 ， m = 3 ∑ k = 0 ∞ ( s ) 2 k ζ ( s + 2 k ) 3 2 k ( 2 k ) ! = 1 2 [ ζ ( s ， 2 3 ) + ζ ( s ， 4 3 ) ] = 1 2 [ ζ ( s ， 2 3 ) + 1 3 s + ζ ( s ， 4 3 ) − 1 3 s ] = 1 2 [ ζ ( s ， 2 3 ) + ζ ( s ， 1 3 ) − 1 3 s ] = 1 2 [ ( 3 s − 1 ) ζ ( s ) − 3 s ] 3) 令 a = 1 ， m = 4 ∑ k = 0 ∞ ( s ) 2 k ζ ( s + 2 k ) 4 2 k ( 2 k ) ! = 1 2 [ ζ ( s ， 3 4 ) + ζ ( s ， 5 4 ) ] = 1 2 [ ζ ( s ， 3 4 ) + 1 4 s + ζ ( s ， 5 4 ) − 1 4 s ] = 1 2 [ ζ ( s ， 3 4 ) + ζ ( s ， 1 4 ) − 1 4 s ] = 1 2 [ ζ ( s ， 3 4 ) + ζ ( s ， 2 4 ) + ζ ( s ， 1 4 ) − ζ ( s ， 1 2 ) − 1 4 s ] = 1 2 [ ( 4 s − 1 ) ζ ( s ) − ζ ( s ， 1 2 ) − 1 4 s ] = 1 2 [ ( 4 s − 1 ) ζ ( s ) − ( 2 s − 1 ) ζ ( s ) − 1 4 s ] = 1 2 [ ( 4 s − 2 s ) ζ ( s ) − 4 s ] 4) 令 a = 1 ， m = 6 ∑ k = 0 ∞ ( s ) 2 k ζ ( s + 2 k ) 6 2 k ( 2 k ) ! = 1 2 [ ζ ( s ， 5 6 ) + ζ ( s ， 7 6 ) ] = 1 2 [ ζ ( s ， 5 6 ) + 1 6 s + ζ ( s ， 7 6 ) − 1 6 s ] = 1 2 [ ζ ( s ， 5 6 ) + ζ ( s ， 1 6 ) − 1 6 s ] = 1 2 [ ζ ( s ， 5 6 ) + ζ ( s ， 1 6 ) − 1 6 s ] = 1 2 [ ζ ( s ， 5 6 ) + ζ ( s ， 4 6 ) + ζ ( s ， 3 6 ) + ζ ( s ， 2 6 ) + ζ ( s ， 1 6 )         − ζ ( s ， 2 3 ) − ζ ( s ， 1 2 ) − ζ ( s ， 1 3 ) − 1 6 s ] = 1 2 [ ( 6 s − 1 ) ζ ( s ) − ζ ( s ， 1 3 ) − ζ ( s ， 2 3 ) − ζ ( s ， 1 2 ) − 6 s ] = 1 2 [ ( 6 s − 1 ) ζ ( s ) − ( 3 s − 1 ) ζ ( s ) − ( 2 s − 1 ) ζ ( s ) − 6 s ] = 1 2 [ ( 6 s − 3 s − 2 s + 1 ) ζ ( s ) − 6 s ]