DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 摘 要 我们基于Floquet理论研究了外加圆偏振光对具有内禀自旋–轨道耦合的Lieb晶格拓扑性质的影响。首先，我们采用数值方法计算自旋陈数分析Lieb晶格的拓扑性质。给出了当模型中次近邻格点间跃迁强度取不同值时，自旋陈数随着圆偏振光振幅变化关系。接着，我们在高频极限下给出了体系有效哈密顿量，理论计算了不同高对称点处能隙随者圆偏振光振幅变化的关系。计算结果表明，在高频极限下的理论结果与直接数值计算结果定性一致。最后，基于Bott指数的计算，我们研究了无序对外加圆偏振光作用下的Lieb晶格拓扑性质的影响。 关键词 :Lieb晶格，内禀自旋–轨道耦合，Floquet理论，拓扑相变，无序 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 Lieb晶格也被称为线心正方晶格，其中每个元胞中包含了三个不等价格点 [ 1 ]。这种特殊的几何结构导致了一种具有零能平带的特殊能带结构。由于它独特的能带结构和拓扑性质，近年来Lieb晶格在理论上和实验上都吸引了广泛的研究兴趣。Lieb晶格可以被看作是研究量子多体物理的理想平台。在铜基高温超导体中CuO 2 平面内，原子正是按照Lieb晶格排列 [ 2 ] [ 3 ]。最近，文献报道在光晶格 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] 和光子晶体中 [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] 可以实现Lieb晶格。令人感兴趣的是，Qiu等人理论上提出可以在热铜表面形成Lieb晶格 [ 11 ] [ 12 ]，随后该理论设计得到了实验证实 [ 13 ] [ 14 ]，这为人们基于电子型Lieb晶格研究新奇的物理特性提供了实际可行方案。自量子自旋霍尔效应(即二维拓扑绝缘体)在理论上被提出 [ 15 ] [ 16 ] 及很快被实验所证实 [ 17 ] 后，拓扑物态的研究目前已成为凝聚态物理研究领域中一个热点方向 [ 18 ] [ 19 ]。有研究者提出在Lieb晶格中引入内禀自旋–轨道耦合效应将会出现量子自旋霍尔效应和量子反常霍尔效应 [ 6 ] [ 20 ] - [ 26 ]。最近，在Lieb晶格中由不同参数变化驱动的拓扑相变吸引了人们研究兴趣 [ 6 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]。例如，研究发现Lieb晶格中次近邻跃迁强度的变化可以引起伴随着更高陈数变化的拓扑相变 [ 21 ]。 在拓扑物态的理论与实验研究中，人们非常关注外加含时周期场和无序对在拓扑性质的影响。通过周期驱动的外场，如圆偏振光照射，可以调控材料的电子能带结构，甚至可以引起材料能带拓扑性质的改变 [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]。理论上有人提出Floquet拓扑绝缘体的概念 [ 31 ]，即在一个周期驱动外场的作用下，可以使得一个静态的拓扑平庸材料变为一个拓扑绝缘体。人们在理论与实验上对Floquet拓扑相变也开展了广泛的研究 [ 32 ] - [ 54 ]。最近，Du等人理论研究了在扩展的Kane-Mele模型中圆偏振光诱导的Floquet拓扑相变 [ 54 ]。在低维电子体系中，无序对电子输运性质有着重要的影响。一般情况下，拓扑非平庸相对弱无序有着很强的抗干扰性；而在强无序作用下，体系出现了安德森局域化，使得拓扑非平庸相转变为拓扑平庸相。在另一方面，Li等人研究发现无序也可以诱导拓扑平庸相转变为拓扑非平庸相，提出体系出现了拓扑安德森绝缘体相 [ 55 ]。随后，人们在不同体系中对拓扑安德森绝缘体开展了大量的理论研究[ 26 ] [ 56 ] - [ 65 ]。最近，拓扑安德森绝缘体在无序的一维冷原子链和光学体系中被实验观察到 [ 66 ] [ 67 ]。 本文我们将基于Floquet理论研究外加圆偏振光对具有内禀自旋–轨道耦合的Lieb晶格拓扑性质的影响。我们采用数值方法计算自旋陈数，给出自旋陈数随着模型中次近邻格点间跃迁强度与圆偏振光振幅的变化关系。在高频极限下给出了体系有效哈密顿量，理论计算不同高对称点处能隙随着圆偏振光振幅变化的关系。另外，我们也研究了无序对外加圆偏振光作用下的Lieb晶格拓扑性质的影响。
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user: 2. 模型与方法 本文我们研究二维Lieb晶格的拓扑性质。Lieb晶格又被称为线心正方晶格，其结构示意图由图1给出。图1中正方形虚线所围区域表示一个元胞，Lieb晶格中的每个元胞包含三种不等价原子(分别记为A、B和C)。在紧束缚近似下(取晶格常数 )，我们研究的Lieb模型的哈密顿量写为 [ 21 ] ： (1) 其中 (2) (3) (4) 这里，t为最近邻格点间跃迁强度， 为次近邻格点间跃迁强度， 为内禀自旋–轨道耦合强度。 为自旋指标， 表示在格点i上具有自旋 的粒子的产生(湮灭)算符。 代表格点间最近邻求和， 代表格点次近邻求和。单位向量 ， 为格点i指向格点k的矢量。 是泡利矩阵。 图1. (a) Lieb晶格几何结构。黑色虚线表示自旋–轨道耦合项，正方形虚线所围的是一个元胞；(b) Lieb晶格的第一布里渊区 通过傅里叶变换 ，其中 ，实空间的哈密顿量可以 转化成动量空间的形式。另一方面，我们选取的体系满足时间反演对称性，哈密顿量矩阵形式由自旋上和自旋下两个块对角项构成，其中 ， (5) 其中， ， ， ， ， 。 当我们考虑一束圆偏振光垂直照射Lieb晶格时，实空间含时的哈密顿量具体形式为： (6) 其中， ， 是矢势， 为圆偏振光的振幅， 为圆偏振光的频率， 是第i个格点的位置矢量。本文我们采用自然单位制，设普朗克常数 ，光速 ，电子电荷 ，以及使用标度势为零的库仑规范。光的效果相当于引入了含时的全空间均匀电场 ，忽略圆偏振光的磁场的微弱效应 [ 68 ]。单位能量设为最近邻跃迁的振幅t，取 。 对方程(6)进行傅里叶变换，我们可以得到动量空间中含时的哈密顿量，其中自旋向上部分写为： (7) 其中 (8) (9) (10) (11) 接下来，我们将介绍本文所用到的几种方法。对一个含时系统，我们可以运用Floquet理论 [ 54 ] [ 68 ] 将含时体系转化为不含时体系。下面我们将简要介绍这一理论。含时的薛定谔方程写为 (12) 含时哈密顿量 满足 ，其中 代表圆偏振光周期。其本征函数一般解的形式为 (13) 其中 是能带a对应的准能量， 为Floquet准模，通过傅里叶级数展开可写为 (14) 将公式(13)和(14)代入公式(12)，可得 (15) 其中Floquet哈密顿量的矩阵元为 (16) 这里，n和m取值为从负无穷到正无穷的整数。本文的计算中n，m取值从−4到+4，计算表明这是一个很好的截断近似取值。 在接下里的章节中，我们将采用数值方法计算自旋陈数 [ 69 ] 来讨论干净系统的拓扑性质。Lieb格子由于几何结构具有三条能带，我们将费米面放在下面两条能带的能隙中，布里渊区划分为 个网格， 为网格点 对应波函数，陈数表达式为 [ 69 ]。 (17) 当我们研究无序对Lieb晶格拓扑性质的影响时，我们将采用Bott指数表征体系的拓扑性质。能隙以下电子占据态的投影算符定义为： (18) 其中 为第i个态的波函数， 为能隙以下电子占据态的总数。投影位置算符定义为 (19) (20) 其中X，Y分别是粒子横坐标和纵坐标所组成的坐标矩阵。由此Bott指数的表达式为 [ 70 ] [ 71 ] (21)
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user: 3. 结果与讨论 3.1. 自旋陈数与Floquet能带结构 首先基于自旋陈数的数值计算，我们讨论外加圆偏振光诱导的Lieb晶格中的拓扑相变。图2给出了在次近邻格点间跃迁强度取不同值时( )，自旋陈数随着圆偏振光振幅变化的关系图，其中，最近邻格点间跃迁强度为 ，内禀自旋–轨道耦合强度为 和圆偏振光频率 。 当不考虑次近邻格点间跃迁时，由图2(a)可以发现，没有外加圆偏振光时，陈数为−1，对应拓扑相；随着圆偏振光振幅的增加，陈数保持为−1，直到圆偏振光振幅增加到4.0，陈数由−1改变为0，表明发生拓扑相变，由拓扑相转变为拓扑平庸相；而圆偏振光振幅增加到4.05，陈数由0改变为+1，拓扑平庸相转变为拓扑相；圆偏振光振幅继续增加，陈数为1的拓扑相继续保持；同时，发现在圆偏振光振幅为4.9附近时，出现陈数为+3的拓扑相。图2(b)给出了次近邻格点间跃迁强度为0.3时自旋陈数随着圆偏振光振幅变化情况。对比图2(b)与图2(a)，发现陈数为0拓扑平庸相出现的范围略有扩大。仔细分析发现，在次近邻格点间跃迁强度为0.3时，陈数为0的拓扑平庸相对应的圆偏振光振幅为4.0到4.17。 我们继续增大次近邻格点间跃迁强度时，发现对于较大的次近邻格点间跃迁强度(如0.6和0.9)，自旋陈数随着圆偏振光振幅变化的关系图有不同的性质(见图2(c)和图2(d))。以次近邻格点间跃迁强度取0.9为例，图2(d)给出没有外加圆偏振光时，陈数为+1；随着圆偏振光振幅的增加，直到圆偏振光振幅增加到2.5，陈数由+1改变为−1；而圆偏振光振幅为3.8时，陈数再次发生变化，由−1变为0(对应拓扑平庸相)；陈数为0的对应拓扑平庸相在圆偏振光振幅增至4.25时，转变为陈数为+1的拓扑相。同时，发现在圆偏振光振幅继续增加时，也会出现陈数为+3的拓扑相。 图2. 自旋陈数随着圆偏振光振幅变化的关系图。(a) ；(b) ；(c) ；(d) 。这里，最近邻格点间跃迁强度、自旋–轨道耦合强度和圆偏振光频率分别取为 ， 和 图2表明外加圆偏振光引起Lieb晶格能带自旋陈数较为复杂的变化，其对应拓扑相的变化，而这种变化可以通过分析Floquet能带结构来理解。实际上，拓扑相的变化对应能隙的打开和闭合，即在陈数发生突变时，相应的能隙发生闭合。我们将以次近邻格点间跃迁强度等于0.3为例，图3给出了与图2(b)对应的Floquet能带结构。在图3(a)~(c)中，圆偏振光振幅分别为0、2.0和3.0，可以发现，下面两个能带之间有明显的能隙，对应图2(b)中给出的陈数为−1，即体系为拓扑绝缘体；而且高对称点M处的能隙随着圆偏振光振幅增加而减小；注意到图3(d)给出了圆偏振光振幅为4.0的情况，我们发现这时下面两个能带在高对称点M处的能隙闭合，对应在图2(b)中陈数由−1变为0；圆偏振光振幅继续增大，能隙重新打开，如图3(d)给出的圆偏振光振幅为4.05的情况(这时，高对称点M处的能隙再次出现，而这个能隙为拓扑平庸的能隙，即体系为普通绝缘体)；圆偏振光振幅为4.17时(见图3(f))，高对称点M处的能隙再次闭合，对应在图2(b)中陈数由0变为+1；在图3(g)~(i)中，圆偏振光振幅分别为4.8、4.9和5.0。令人感兴趣的是，我们发现，圆偏振光振幅为4.9时，下面两个能带的能隙闭合点由之前的高对称点M处转变为在高对称点X处，对应图2(b)中陈数由+1变为+3。 图3. Lieb晶格模型的Floquet-Bloch能带结构。模型参数分别为 ， ， ，and 。(a) ；(b) ；(c) ；(d) ；(e) ；(f) ；(g) ；(h) ；(i) 3.2. 高频极限下的有效哈密顿量 由高频区的Magus展开式出发，有效哈密顿量可以写为 [ 35 ] [ 39 ] [ 54 ] (22) 其中当频率趋于无穷大时， 。在高对称点 处，有效哈密顿量形式可以写为 (23) 能量本征值为 (24) (25) 这里本征值仅取决于内禀自旋–轨道耦合强度 ，以及贝塞尔函数 。 在高对称点 ，有效哈密顿量写 (26) 能量本征值为 (27) (28) 这里本征值仅与最近邻跃迁系数t，以及贝塞尔函数 有关。 在中心对称点 ，有效哈密顿量为 (29) 能量本征值为 (30) (31) 可以看出在中心对称点Γ次近邻项对本征值有很大影响。为了与上一节的数值结果相比较，我们讨论下面两个能带之间的能隙。图4给出了在不同高对称点的能隙随着圆偏振光振幅变化的关系图，其中实线对应数值计算的结果，虚线表示在高频极限下由有效哈密顿量计算的结果。 图4给出了不同高对称点(Γ点，M点和X点)处能隙随着圆偏振光振幅变化的关系图。图4中的虚线和实线分别是在高频极限下的理论计算和直接数值计算得到的能隙。从图4中可以看出，在高频极限下的理论结果与直接数值计算结果定性一致。特别是，Γ点和X点处能隙随着圆偏振光振幅变化的关系用上述两种方法得到的结果吻合得较好；而M点处在高频极限下的理论计算得到的能隙与直接数值计算得到的能隙有些偏差，说明对于高对称点M处而言，有效哈密顿量的高阶修正需要进一步考虑。 3.3. 无序对拓扑性质的影响 为研究无序对Lieb晶格拓扑性质的影响，我们在体系紧束缚模型哈密顿量中引入在位能无序项如下： (32) 其中 随机分布在 范围内， 表示无序强度。我们数值计算无序体系的Bott指数，Bott指数为1时对应拓扑非平庸相，而Bott指数为0则对应拓扑平庸相。图5给出了次近邻格点间跃迁强度和圆偏振光振幅分别取不同值时，Bott指数随无序强度变化的关系图。在我们的数值计算中，样品取为 ，无序构型取500次平均。 图4. 不同高对称点处能隙随着圆偏振光振幅变化的关系图。(a) ；(b) ；(c) ；(d) 。这里，最近邻格点间跃迁强度、自旋–轨道耦合强度和圆偏振光频率分别取为 ， 和 。虚线表示在高频极限下的理论计算得到能隙，而实线是数值计算给出的能隙 由图5可以看到，选取适当的模型参数，弱无序并不会改变在外加圆偏振光作用下的拓扑非平庸相，即证实了拓扑非平庸相在弱无序条件下的稳定性。同时也发现，随着无序强度的增加，在强无序条件下，出现安德森局域化，体系变为拓扑平庸的绝缘体。我们首先具体分析圆偏振光振幅变化带来的影响。我们观察到，在一定范围内圆偏振光振幅的增强降低了拓扑非平庸相的稳定性。以图5(a)为例，这里不考虑次近邻格点间跃迁(即 )，当圆偏振光振幅 分别为0.5、1.0、1.5和2.0时，体系由拓扑非平庸相转变为拓扑平庸安德森局绝缘体相对应的无序强度 分别为：6.4、5.8、4.6和2.6。 接下来我们考虑次近邻格点间跃迁的影响。从图5中我们发现，次近邻格点间跃迁强度的增加有利于拓扑非平庸相的稳定性。我们以圆偏振光振幅 为例，当次近邻格点间跃迁强度分别为0、0.3、0.6和0.9时，体系由拓扑非平庸相转变为拓扑平庸安德森局绝缘体相对应的无序强度 分别为：2.6、3.4、4.0和4.8。 图5. Bott指数随着无序强度变化的关系图。(a) ；(b) ；(c) ；(d) 。这里，最近邻格点间跃迁强度、自旋–轨道耦合强度和圆偏振光频率分别取为 ， 和
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user: 4. 总结 在Lieb晶格中引入内禀自旋–轨道耦合，将使体系能带结构出现拓扑非平庸的能隙，从而出现量子自旋霍尔效应，即Lieb晶格成为二维拓扑绝缘体。本文中，我们基于Floquet理论研究了外加圆偏振光对具有内禀自旋–轨道耦合的Lieb晶格拓扑性质的影响。首先，我们采用数值方法计算自旋陈数，分析Lieb晶格能带结构中下面两条能带的能隙的拓扑性质。给出了当模型中次近邻格点间跃迁强度取不同值时，自旋陈数随着圆偏振光振幅变化关系。研究发现次近邻格点间跃迁强度和圆偏振光振幅的变化对Lieb晶格的拓扑性质有着明显的调制作用。外加圆偏振光引起Lieb晶格能带自旋陈数较为复杂的变化，其对应拓扑相的变化，拓扑相的变化对应能隙的打开和闭合，而这种变化通过具体计算Floquet能带结构得到证实。接着，我们在高频极限下给出了体系有效哈密顿量，理论计算了不同高对称点处能隙随着圆偏振光振幅变化的关系。计算结果表明，在高频极限下的理论结果与直接数值计算结果定性一致。最后，我们基于Bott指数的计算，研究了无序对外加圆偏振光作用下的Lieb晶格拓扑性质的影响。计算表明，选取适当的模型参数，弱无序并不会改变在外加圆偏振光作用下的拓扑非平庸相，而在强无序条件下，体系出现安德森局域化，由拓扑绝缘体转变为拓扑平庸的普通绝缘体。在一定参数范围内，圆偏振光振幅的增强会降低拓扑非平庸相的稳定性，而次近邻格点间跃迁强度的增加有利于拓扑非平庸相的稳定性。
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user: 摘 要 本文利用双色–光发射电子显微镜(Photoemission Electron Microscopy， PEEM)成像了电子束加工的金纳米环样品的等离激元近场分布。利用双色的实验方法有效地打开了双色量子通道，从而导致发射电子的非线性阶次从3.80降低到1.85，并且光辐射电子的产额显著增加。通过近场PEEM图像表明，由于存在缺陷激发的强烈干扰，掩盖了结构的场分布信息。进一步分析缺陷位置处电子非线性阶次，发现纳米环缺陷位置处电子的非线性阶次下降程度显著低于非缺陷处。双色PEEM成像的技术对于等离激元近场成像等相关研究的发展起到推动作用。 关键词 :等离激元，光发射电子显微镜，金纳米环，双色量子通道 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 等离激元是外界光和金属内自由电子相互作用的一种振荡模式，具有突破衍射极限和高近场增强等性质，使其在生物医学、光逻辑运算、以及拉曼散射增强等诸多领域得到广泛应用 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]。得益于光刻一系列技术的快速发展，支持产生等离激元的金属纳米结构精确设计并制造出来，例如石门结构、bowtie结构、和纳米环结构等等 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]。在上述结构中，纳米环结构由于其卓越的特性成为人们对等离激元研究的重点结构之一。纳米环结构对相比于相同直径的纳米盘结构，其对周围介质折射率的灵敏度更高 [ 7 ] ；纳米环在腔内可以容纳大量的分子并且可以形成稳定且均匀的电场，在传感领域得到广泛的应用 [ 8 ] ；纳米环等离激元共振频率根据纳米环的厚度和直径调谐，在等离激元波导器件领域得到应用 [ 9 ]。 为了优化乃至拓宽纳米环结构的应用，对金纳米环结构近场的准确表征是极为重要的。如今，许多实验手段被用来实现近场可视化，例如扫描近场光学显微镜、非线性荧光显微镜和泄漏波辐射显微镜等等 [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]。上述的实验手段中，近场光学显微镜由于成像过程中需要引入探针，易对光学近场和样品产生损坏；非线性荧光显微镜需要在样品结构表面涂上一层化学材料同样会对等离激元近场造成影响；泄漏波辐射显微镜由于衍射极限的限制，其分辨率相对较低。由于强近场增强，激发等离激元位置的电子发射量显著增加，因此利用纳米结构中等离激元诱导光电子可以成像等离激元的近场 [ 13 ]。而光发射电子显微镜(Photoemission Electron Microscopy， PEEM)是基于光电效应原理通过收集样品表面发射的光电子实现近场成像，具有高时空分辨率、原位成像、无探针和入射光干扰等优势，逐渐成为人们对纳米尺度近场成像的有力工具，被广泛应用于等离激元近场相干控制及动力学演化表征领域 [ 14 ] [ 5 ]。 现在绝大多数利用PEEM的实验中都是使用简并光子源，但是单色PEEM只能实现对强激发的等离激元表征。金纳米环是利用电子束方式制备出来，利用这种方式由于表面应力不可避免的引入一些缺陷，从而导致在这些位置处产生强度极高的局域等离激元 [ 15 ]。对于这种具有缺陷结构的样品，强激发的等离激元和较弱的等离激元共同存在于其中，会使得PEEM很难表征其等离激元近场分布。这是由于在PEEM图像中，通过弱激发等离激元诱导辐射的光电子信号比缺陷激发诱导的光电子信号更弱，因此只会显现强激发的等离激元场分布，而弱激发的等离激元近场分布通常会丢失 [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]。 解决上述问题的方法是利用双色方法降低发射电子的非线性阶次，增加光辐射电子产额，从而提升弱激发的等离激元的光辐射电子信号强度使其可视化。Alan G. Joly等人利用双色PEEM方法提升了表面等离激元的光辐射电子产额，比在单色激发下光电子的产额增加了至少有10倍，增强了表面等离激元的成像效果 [ 19 ] ；我们实验小组利用双色PEEM成像了金bowtie结构的场分布，发现原本被强激发的局域等离激元掩盖的弱激发等离激元信号也显现出来 [ 20 ]。 本文中，我们利用双色PEEM对金纳米环的四极共振模式近场分布进行原位高分辨成像，在光发射电子的过程中有效地打开双色量子通道，降低发射电子的非线性阶次，提升了光辐射电子产额。利用双色的方法，缺陷处强度依旧很强，掩盖了纳米环场分布信息。分析缺陷位置处电子非线性阶次，发现纳米环缺陷位置处电子的非线性阶次下降程度显著低于非缺陷处。双色PEEM成像技术对于等离激元近场成像的研究具有重要的意义。
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user: 2. 实验装置 实验装置如图1所示。我们使用PEEM对金纳米环结构中的局域等离激元的空间近场进行成像，其空间分辨率超过40 nm。实验中使用的是钛蓝宝石激光振荡器(Mira 900， Coherent Inc.)，脉宽200 fs，输出中心波长800 nm，重复频率是76 MHz，单脉冲能量13 nJ。我们首先利用激光器产生中心波长为800 nm的基频脉冲，然后再利用BBO产生中心波长为400 nm二次谐波。两束脉冲的强度可以通过衰减片来调控，偏振方向通过半波片进行调节。激光脉冲以结构法线65˚的方向斜入射到样品表面。实验使用Mach-Zehnder干涉系统控制两束激光脉冲时间延迟。金纳米环结纳是利用电子束光刻技术刻蚀而成的。金纳米环外直径240 nm，厚度45 nm，高度40 nm。结构下方存在40 nm厚的ITO层和厚度为1 mm的玻璃层作为金纳米环结构的基底。 图1. 金纳米环结构等离激元近场分布的PEEM示意图
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user: 3. 结果与讨论 图2(a)是通过时域有限差分软件(FDTD Solutions)模拟得到的带有基底的金纳米环结构的消光谱图。如图所示，在800 nm和1220 nm处存在两个共振峰，这归因于波长为800 nm和1220 nm的激光与金纳米环中的等离激元发生了共振。其中前一个共振峰波长800 nm对应的是实验所用激光器的中心波长，且金纳米环的电荷分布呈现四极模式，如图2(b)所示。 图2. (a) 通过FDTD模拟得到的金纳米环的消光谱图，模拟所使用的参数与实验参数一致；(b) 波长800 nm S偏振激光照射金纳米环得到的电荷分布 图3是金纳米环结构在双色激光脉冲条件下光辐射电子产额的时间分辨图。如图所示，金纳米环结构的光辐射电子产额都是呈现出先增加至一个峰值，然后再逐渐下降的趋势。这归因于在双色脉冲照射条件下多光子发射过程中双色量子通道有效地打开，从而导致的电子产额显著增加。如金纳米环结构的光辐射电子产额图所示，光辐射电子产额大约增加了2倍，这归因于双色量子通道的高效开启。在零延迟时，光辐射电子产额最大，因此选择这一时间点作为双色脉冲的相对零点。 图3. 金纳米环结构在双色脉冲条件下光辐射电子产额随两束光相对延迟的变化 图4. 单色和双色实验条件下光辐射电子产额随激光功率的变化；(a)、(b)光辐射电子产额随400 nm和800 nm激光功率的变化线性关系；(c)和(d)光辐射电子产额随双色激光功率的变化线性关系；斜率n代表的是发射电子的非线性阶次 为了进一步揭示双色实验条件中量子通道的开启机制，我们分别探究了金纳米结构在波长为800 nm单色、400 nm单色以及800 nm + 400 nm双色激光脉冲条件下光辐射电子产额随脉冲强度的变化，如图4所示。金纳米结构在P偏振波长为400 nm单色和P偏振波长为800 nm单色激光脉冲照射下测得的斜率n分别为2.09和3.80，表示光电子的产生主要通过2光子及4光子过程实现 [ 21 ]。金纳米结构在P偏振波长为800 nm + 400 nm双色激光脉冲照射条件下，保持400 nm激光脉冲光功率不变，测得的斜率n为1.85；保持800 nm激光脉冲光功率不变，测得的斜率n为1.22，光电子主要通过3光子过程出射。结果表明金纳米结构在波长为800 nm单色激光脉冲照射下，基态电子需要吸收4个800 nm激光脉冲的光子通过中间态激发出表面，光辐射电子产额∝I 4 ，其中I是激光脉冲强度；而在双色激光脉冲条件下，基态电子可以通过800 nm激光脉冲、400 nm激光脉冲或800 nm + 400 nm双色激光脉冲这三个量子通道激发出表面。其中双色量子通道是多光子辐射过程中400 nm光子和800 nm光子同时被吸收和激发的一种量子通道 [ 21 ]。在这种情况下，光辐射电子产额对于波长为800 nm激光脉冲的光子依赖性下降到∝I 2 。对于金纳米环而言，其四极模式共振波长是800 nm，从而波长为800 nm的激光脉冲对金纳米环结构的等离激元近场分布的影响占主导，因此800 nm激光脉冲诱导辐射光电子的非线性阶次变化对对等离激元PEEM图像的可视化效果影响巨大。如图4所示，随着斜率n从3.80下降到1.85，光辐射电子的产额显著增加，这归因于2光子光辐射电子过程中光辐射电子几率比4光子的更高 [ 22 ]。 图5. 在800 nm激光不同偏振角度照射下金纳米环的近场分布图；(a)、(b) 800 nm单色和800 nm + 400 nm双色照射下的金纳米环PEEM图像；(c) 金纳米环等离激元场分布的FDTD模拟结果，入射光波长为800 nm；蓝色箭头代表激光偏振角度0˚到150˚，间隔为30˚；800 nm光功率为352 mW，400 nm光功率为48 mW 图5所示为金纳米环结构近场分布图。图5(c)所示为FDTD模拟得到的不同偏振方向800 nm光辐照下，纳米圆环结构的近场分布图像。从图中可以看到，随着入射光偏振方向的改变，纳米圆环近场分布出现显著变化。在0˚入射下，热点主要集中在圆环结构左侧，在偏振角度变为30˚时，热点分布在圆环左下端。当偏振角度变为90˚时，圆环出现4个热点，并且左侧热点强度显著高于右侧。图5(a)所示为单800 nm激光辐照下，纳米圆环结构近场PEEM图像。可以看到单800 nm激光脉冲照射金纳米环时，在纳米圆环左下角和上端出现了3个光电子产额显著增强的热点。在改变800 nm激光脉冲的偏振方向时，发现其位置不随偏振角度的改变而变化，并且注意到，在偏振方向改变的过程中，纳米环上方两个热点的强度随着入射光偏振方向的改变而显著变化，但左下方热点的强度变化相对较小。通过图5(a)和图5(c)的比较可以看出，纳米圆环结构中的热点分布与模拟获得的等离激元近场分布并不吻合，我们推断在单800 nm光辐照下纳米圆环结构近场PEEM图像中的激发热点来自于样品加工过程中的引入的缺陷激发。 缺陷主要分为间隙缺陷、尖端缺陷和能带缺陷 [ 15 ] [ 23 ]。间隙缺陷因为间隙两端受到正负电荷库伦力，从而在间隙缺陷处电场增强；尖端缺陷因为电荷聚集于尖端位置，从而该缺陷处的近场强度提升。能带缺陷因为打破了结构的晶体周期性，电子有更大的几率电离出表面，从而产生更多的光电子。这其中，间隙缺陷和尖端缺陷对于入射光偏振方向非常敏感，而能带缺陷对于入射光偏振方向的敏感性相对较弱。从图5(a)可以到，纳米环上方两个热点的强度随着入射光偏振方向的改变而显著变化，因此我们推断该热点主要是间隙缺陷或尖端缺陷。而纳米环左下方的热点强度受偏振影响较小，因此我们认为该热点是能带缺陷。 图5(b)所示为双色激发条件下，纳米圆环结构近场PEEM分布图。可以看到在双色条件下，纳米结构非缺陷位置处也可见明显的光电子发射，表明在双色条件下，结构的光电子发射产额提升，并且结构不同位置处电子发射阶次降低。然而，由于金纳米环结构本身不存在尖端，从而不存在避雷针效应增强等离激元近场强度，并且缺陷位置处光发射电子强度远高于非缺陷位置。因此，对于我们研究的纳米圆环结构，其中的缺陷对结构近场PEEM图像影响程度依然很大。虽然，利用双色的方法一定程度上优化了等离激元场分布可视化程度，但缺陷处光电子发射强度极高，掩盖了金纳米环上等离激元场分布信息。 图6. 缺陷位置处单色和双色多光子光辐射随800 nm激光功率变化 进一步，我们测量了纳米环缺陷处单色和双色多光子光辐射电子产额随脉冲强度变化。从图6中可以发现，缺陷在单800 nm光照射下测得的斜率为3.72；在双色800 nm + 400 nm光照射下测得的斜率为2.52。因此，缺陷处发射电子的非线性阶次从3.72下降到2.52，下降了1.2。据计算非缺陷处的发射电子非线性阶次与整体结构电子的非线性阶次一致，从3.80下降到1.85，下降了1.95。可以发现缺陷在双色光照射下发射电子非线性阶次下降程度明显低于非缺陷处。所以，在图5中，金纳米结构在双色光照射下缺陷处强度依旧很强的原因是金纳米环在单800 nm激光脉冲照射下，缺陷处电子产额与非缺陷处的相差较大；而利用双色光照射金纳米环时，缺陷处发射电子非线性阶次降低程度较低，从而需要持续增加400 nm光功率降低缺陷处和非缺陷处的光辐射电子产额差异，但一直增加400 nm光功率会使得400 nm诱导的光电子发射强度增强，从而掩盖非缺陷处等离激元分布图像或影响等离激元PEEM图像的可视化效果 [ 20 ]。
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user: 4. 结论 我们通过双色PEEM揭示了金纳米环结构的等离激元近场分布，获得了可视化效果更好的场分布PEEM图像。这归因于双色激光脉冲照射下，光发射电子产额极大增强，量子通道的开启有效地降低了光电子出射过程的非线性阶次。由于存在缺陷激发的强烈干扰，掩盖了PEEM图像中金纳米环的场分布信息。这归因于纳米环缺陷位置处电子的非线性阶次下降程度显著低于非缺陷处。故双色PEEM技术仍具有局限性，当强激发与弱激发等离激元强度差异太大时，无法对其准确表征。利用双色光激发等离激元进行PEEM成像过程中，可以实现对等离激元诱导光发射电子辐射阶次的灵活控制，这对于基于等离激元的超快电子源和光电子器件的发展具有重要意义。
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user: 摘 要 目前，可调谐半导体激光器吸收光谱(TDLAS)技术应用于痕量气体检测，成为一个研究热点，该技术中的半导体激光器温度控制是检测精度的关键环节。本文研究可调谐半导体激光器的温控电流源模块，采用单片机作为逻辑控制电路、D/A芯片作为数模转换电路、运算放大器构建反向放大器电路、霍尔元件搭建反馈电流监测电路，形成了一种闭环反馈控制机制，使输出电流波动在±1%以内。该模块达到了该类型激光器波长调节的稳定的需求，为TDLAS技术应用于外场环境中痕量气体检测奠定了基础。 关键词 :单片机，恒流源设计，半导体激光器 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 开关电源是一种高效节能的电源，要求有较大的输出电流范围和较精确的步进要求以及较小的纹波电流 [ 1 ]。其中，电源步进可调，实时显示功能是现在主流电源设计的方向之一。在开关电源出现前，基本采用线性稳压电源作为系统供电模块，但其具有体积大，发热量大，效率低的特点 [ 2 ]，在半导体激光器温度控制方面不具有良好的应用前景，因此开关电源替代线性电源是技术的发展方向。半导体激光器是非线性器件，受温度的影响较大，工作温度的改变会影响其输出中心波长和功率值 [ 3 ]。特别是在外场工作中，温度过低和过高都会引起激光器的损坏。因而，半导体激光器的温度控制环节一直是激光器研究的重要组成部分。 开关电源一般是利用工作在较高频率的晶体管，以通断的方式对输入的直流电压进行斩波，然后利用储能元件释放能量、滤波电路将其转换为直流电压的方式来工作的 [ 4 ]。而在斩波过程中，则可以通过控制波形的脉冲宽度或频率来获得不同的输出电压，前者称之为脉冲宽度调制(PWM)，后者称为脉冲频率调制(PFM)，此外也有利用两种方式混合进行调制的方式。实验中选取PWM方式调制，这种方式重度负载时的效率较高，且后续的滤波电路相对简单，输出电压的纹波相对小，同时简化了设计。在本实验中，应用其输出电流平稳、控制精度到的特点，与激光器温控系统相结合，能够增强激光器输出功率的稳定性，提高激光器光束质量，探索高精度控制激光器实验方案。
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user: 2. 系统总体设计 系统中，控制器采用了ATMEGA328PU型8位RISC高效率单片机，利用DAC0832芯片作为数模转换器，将控制器输出的数字信号转换为模拟电流信号；采用运算放大器来构建反向放大器，从而将模拟电流信号转换为电压信号，通过电阻构成的局部反馈网络输入供电输出模组，产生输出电压；霍尔元件作为电流传感器，将采样电流反馈给控制器，程序将其与设定值进行比较，控制器根据比较结果调整输出电压，使输出电流在一定范围内稳定。系统采用字符型液晶屏作为显示当前电流值和设定值的界面，可以通过旋转编码器开关进行设定值输入，操作方便，调整迅速。 采用LM2596-ADJ芯片作为开关稳压芯片，基于对电路原理的研究和计算，搭建了Buck型DC-DC降压电路，通过改变其对应引脚上的反馈电压，便能产生所需的输出电压。该器件内部集成频率补偿和固定频率发生器，且内置开关晶体管，频率为150 KHz，其开关周期恒定，改变脉冲宽度即可改变占空比，即以PWM方式来改变输出电压 [ 5 ]。与低频开关调节器相比较，该芯片可以使用更小规格的滤波元件和标准电感，只需极少的外接元件，便可以构成完整电路，这简化了整个系统电路的设计。整体设计如图1所示。 图1. 系统总体设计
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user: 3. 硬件设计 3.1. 控制电路与人机交互设计 采用AVR单片机作为设计的控制系统。本次设计使用的ATmega328P-PU单片机，软件程序可在ArduinoIDE下创建和编译，通过USB接口上传至328芯片中，实现对单片机的编程 [ 6 ]。 图2. ATmega328P-PU最小系统 ATmega328PU单片机的外围电路如图2所示，使用16 MHz的晶体振荡器和两枚22pF的瓷片电容构成外部时钟，复位电路使用10 KΩ上拉电阻，系统供电和基准电压均由采用5 V直流电源提供。 在设计中，主要采用液晶显示模块或数码管作为显示解决方案，两者都可以满足设计要求。但在实际应用中，数码管占用的资源较多，且体积较大，不适合便携的设计，因此选择LCD1602作为显示界面。液晶屏采用并行口与单片机的数字IO口连接，电位器用于调节液晶屏的显示清晰度，在保证系统稳定同时满足电源模块的简洁 [ 7 ]。输入方案采用旋转编码器设置和调节电流大小，采用此种方案能够较为迅速的设定电流参数，同时调整过程中稳定可靠。 3.2. 数模转换电路设计 该电路将单片机输出的数字指令信号转换成为模拟电信号。采用的DAC型号为DAC0832，这是是一款8bit并行输入集成式数模转换芯片，基本原理是输入8位二进制数字量，输出模拟量与数字量呈比例关系。这款芯片由8位输入锁存器、8位DAC寄存器、8位D/A转换电路及转换控制电路构成 [ 8 ]。但其输出的模拟信号为电流信号，且幅值较小，因此本设计中在其输出端接入了一个反相放大器，将其转化为控制开关电源的电压信号。实验中选择μA741运算放大器，完整的电路连接如图3所示。 图3. 驱动信号发生电路 3.3. 电流反馈电路设计 采用ACS712电流传感器模块可实时监测当前电流值，该模块连接方便，选用5 A量程即可满足设计要求，将该模块串联在负载端，输出端与单片机I/O通信即可反馈至单片机控制端，构成闭环反馈电路 [ 9 ]，其外围电路设计与布线如图4所示。 图4. ACS712电流传感器 3.4. 控制程序设计 系统的控制程序如图5所示：当系统开机后，首先进行系统初始化，将输出电流调整至最小值，以保护设备及用电器安全，初始化完毕后扫描旋转编码器并获取设定电流值，控制器读取电路传感器反馈的电流值并与设定值比较，如果数值相等，则保持输出电流不变，同时扫描旋转编码器动作；若读数与设定值不等，则控制器发出指令，调整开关电源输出电压，读取传感器数据并与设定值比较，直到设定值与检测值相等。 图5. 控制程序图 程序中的运算均给予十进制数值，而单片机对DAC的输出命令为十六进制数值，故需要在输出前进行转化。采用查表法设计思想，即预先建立的数制对应表来转换数据，生成对应0~255共计256个不同的十六进制数值，利用程序预先计算出0~255所对应的每一个十六进制数值，并将其写入一个固定的数组，在使用时，只要将欲转换的十进制数赋值给地址变量便能方便地得到对应的十六进制数据。 3.5. 供电模块设计 系统中，需要多种电压为不同器件供电，参考元器件的数据手册，系统中各部分对供电电压的需求如表1所示。 Table 1 Power supply of each modul 元器件 电源需求 单片机 DC5 V 液晶屏 DC5 V DAC芯片 DC5~15 V 运算放大器 DC ± 9 V LM2596-ADJ DC12 V 表1. 各部分模块电源 经过分析研究，本设计决定采用DC12V电源供电，该电源可提供DC ± 12 V电源，并不完全满足设计要求，因此，需要使用三端稳压器LM7805芯片将+12 V电压稳压在+5 V，并为AVR单片机和LCD1602供电。由于μA741芯片作为反相放大器使用，需要负电源供电，采用三端稳压器LM7909芯片将−12 V电压稳压在−9 V，作为反相放大器参考电压，同时使用LM7809将+12 V稳压至9 V，和−9 V一起构成运放的双电源供电。由于采用反相放大器输出控制电压，为实现正电压输出，故运放的输入电压，即DAC芯片的参考电压应为负电压。文中，采用LM7909输出的−9 V作为负电压来源，利用高精度基准电压芯片LM336来实现−5 V的参考电压 [ 10 ]，电源的设计以及布线结构如图6所示。 图6. 各相供电电路设计 3.6. 受控直流变换电路 选用LM2596开关电压调节器模块作为受控端，该模块是一款降压型电源管理芯片集成电路，其中LM2596-ADJ是可调版本，可以输出小于37 V的各种电压 [ 11 ]。由于该器件只需极少量外接原件，通用标准电感，简化了电路的设计，图7为LM2596外围电路，其中控制电压输入端为V-DAC，程控电压输出端为V-OUT，采用DC12V电源供电。 图7中，LM-2596芯片基准电压V ref = 1.23 V，D2的肖特基二极管压降为0.2 V，根据基尔霍夫电压定律设计系统的控制电压和输出电压，其调节范围主要由R 6 、R 7 、R 8 控制 [ 12 ]。计算公式如下： V o u t = V r e f ( 1 + R 8 R 7 ) (1) V r e f R 7 = V D A C − V D 2 − V r e f R 6 + V O U T − V r e f R 8 (2) 图7. 测试电路及其布线方案 整理后得： V O U T = ( 1 + R 8 R 7 ) V r e f − R 8 R 6 ( V D A C − V r e f − V D 2 ) (3) 芯片的反馈端电压恒为1.23 V，只需改变控制端电压，输出电压随之改变。经过计算，在控制端给予0~5 V电压，R 6 、R 7 、R 8 分别选取3 KΩ、1 KΩ、8.2 KΩ，理论控制电压范围在11.316 V~1.566 V之间，同时为保证系统安全稳定运行，留出了一定的调整冗余量，调整范围在2~10 V间即可满足设计要求。
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user: 4. 实验与测试 4.1. 系统的制备 在实验机制备中，将主要元件焊接在电路板上。制备完成的实验机系统如图8所示。 图8. 完整的实验机 4.2. 电压输出测试 测试中，将LM2596-ADJ输出端接入大功率滑线变阻器作为负载，并在两端并入示波器，编制程序令电压逐级自动循环变化，在示波器上观察控制信号电压和输出电压值的相互变化关系，信号如图9所示。 图9. 控制信号与输出电压周期性变化图 上图9(a)中黄色折线为控制信号，蓝色折线为输出电压，可见当控制信号电压逐渐升高，输出电压逐渐下降，二者呈现一一映射的反比例关系，说明控制命令和模拟电压之间的精确对应。通过数据分析，输出电压在1.76~10.30 V之间，计算后步进值为0.03375 V，实现较高精度控制调节。图9(b)中为控制信号周期性变化，曲线有拐点，尚未查明原因，但不影响系统的正常工作。 4.3. 系统电流输出测试 该部分实验主要测试系统的输出电流稳定性，具体方案如下：使用TEC制冷片作为负载，连接在系统的输出端；设定输出电流为100 mA，然后改变电位器阻值来模拟实际应用中负载等效电阻的变化；通过外接的电流表和电压表测量输出端的电流电压，数据记录如表2所示。 Table 2 Output voltage and current value of the syste 输出预设电流/mA 负载电阻/Ω 实际输出电流/mA 误差值/mA 100.0 50 100.5 0.5 200.0 25 200.7 0.7 500.0 15 499.1 0.9 1000.0 10 1002.6 2.6 1500.0 5 1508.9 8.9 1800.0 5 1810.4 10.4 表2. 系统的输出电压与电流值 从表中可以看出，负载电阻由于人为操作呈现不断减小的趋势，而系统的输出电流并未随负载的变化而呈现较大变化，基本稳定在一定值附近，只在负载很小时波动稍大，很快又恢复稳定，结合具体数值计算分析，最大的电流波动在±3%以内，电流输出稳定。 模拟实验后将负载接入TEC并控制激光器的输出，实验中采用DFB激光器，输出的中心波长分别为1392 nm和1410 nm。采用功率计接收激光器工作稳定的出光功率。如图10所示，在实际检测过程中，采用激光功率计连续监测2400秒DFB激光器的输出功率，仅有0.5 mW的波动，说明温控后的激光器输出光功率稳定。 图10. 激光器功率稳定性测量
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user: 5. 结语 半导体激光器温控电流源模块的设计集成了单片机、D/A芯片和放大器等零件，在保证了激光器的稳定正常工作同时进一步缩小了电源模块的体积，同时本文确定了各项模块的选择以及电路的布局和构造，验证了开关电源技术在激光器稳定性应用的可行性。实际测试结果显示，每一部分模块性能都满足了设计要求，当负载的电阻发生变化时，输出电流能够在一定范围内稳定不变，波动范围在±1%以内，满足电源模块的目标，能够解决半导体激光器恒温冷却系统的使用要求，为半导体激光器温控系统的控制提供了工程参考。
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user: 摘 要 在欧氏3D坐标系中，通过正交4球空间的6平面及其旋转，证明正交4球空间即为四维相互垂直的四维空间。 关键词 :体积勾股定理，垂心四面体，4球正交，四维空间，超对称，证明，算法 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 四维空间 [ 1 ] 的四维垂直，一直被认为生活在3D空间是无法可视的超平面 [ 2 ]。是否能通过对4球正交的空间 [ 3 ] 的旋转，证明其即为4维相互垂直的四维空间的呢？
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user: 3. 总结 通过上述固定2球心位于2轴的棱，旋转与其垂直的平面，使得另2球心可达另一正负轴线上的同时，其3球面交点同时到达欧氏3D坐标的原点，证明了正交4球的4维a，b，c，d相互垂直；证明了正交4球即为超对称的4维空间。 而更简洁的是不用旋转，从8点球面交点为8原点，8原点均是3球面交点与3球心连线构成截角(直角四面体)，分别组成4组不同的三维正交的垂直关系，从哲学关系上： ∵ A ⊥ B ⊥ C ， A ⊥ B ⊥ D ， A ⊥ C ⊥ D ， B ⊥ C ⊥ D ∴ A ⊥ B ⊥ C ⊥ D 直接证明了4球正交空间即四维相互垂直的空间。 以此也可以推广证明任意有限正交球为有限高维的正交垂直关系。
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user: 摘 要 针对雷达目标微动特征提取提出一种递归分解快速傅里叶变换算法，并使用C语言编程实现。算法可对任意非素数点数序列实现快速离散傅里叶变换。以复数乘法和加法次数为指标对算法进行性能分析，结果表明对序列点数为2的整次幂，算法效率与传统基–2快速傅里叶变换算法相同；对其它序列点数为非素数情况，算法效率优于直接计算离散傅里叶变换且简化了对输入序列重排过程。目前该算法已应用于雷达信号处理的微动目标特征提取中。 关键词 :递归分解，快速傅里叶变换算法，研究及应用，雷达信号处理，微动特征 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 绪论 一般将目标或目标部件除质心平动以外的振动、转动和锥旋等微小运动称为微动。微动在自然界普遍存在，如人行走时四肢的摆动、桥梁的振动、天线的转动、电动机的转动、直升机旋翼的转动和弹头的进动等。微动通常由目标的质量分布特性和动力学特性等物理属性决定，是目标固有的运动形式。微动的存在为提取与目标物理属性相关的特征量提供了可能，为雷达非合作目标探测和识别提供了新的途径。雷达目标微动特征刻画了目标的运动状态和特点，是近年来雷达目标探测与识别的热点研究领域 [ 1 ]。离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform， DFT)在雷达目标微动特征提取中起着非常重要的作用，其原因之一是计算DFT有著名的快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform， FFT)算法。概括来讲，作为DFT的一种快速算法，FFT在雷达信号处理、语音信号处理、图像处理、功率谱估计、系统的分析、仿真等各个领域都得到了极为广泛的应用。在FFT的具体计算上，传统做法是采用时域抽取或频域抽取的基-2算法，这种算法执行效率较高，应用方便，但要求序列点数N是2的整数次幂( N = 2 M )，这里M为整数。如果N不是2的整数次幂，根据DFT的性质，有限长序列补“0”后不影响其频谱，只是使频谱采样点数增加，可对序列样本补充适当数量的零值，使得( N = 2 M )，然后采用基-2算法计算DFT。对雷达目标微动特征提取来说，这种方法有时要补上太多的零点，很不经济，且FFT的计算时间也较长。例如某雷达目标微动特征提取过程中需要处理的序列点数N = 2988，要使N增加到邻近的且等于2之整数幂的数，必增加4096 – 2988 = 1108个零值，显然计算量对时间响应要求较高的探测与识别目标而言增加得太多了 [ 2 ]。针对这种情况，有文献提出了素因子分解算法，但这种算法需要对输入序列进行复杂的变换，在实际中应用不多 [ 1 ] - [ 11 ]。 本文以素因子算法为基础，针对雷达目标微动特征提取需要，研究序列点数N为任意非素数时的FFT算法，避免对序列进行复杂的变换。下面按照这一思路分两步进行研究：首先研究任意因子单次分解FFT算法，在此基础上进一步利用递归方法得到最终FFT结果，用C语言实现FFT，最后以复数乘法和加法次数评估递归分解FFT算法的性能。需要说明的是，基于离散傅里叶变换对的性质 [ 2 ]，本文提出的递归分解FFT算法显然适用于离散傅里叶逆变换(Inverse Fast Fourier Transform， IFFT)算法。
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user: 2. 任意因子单次分解FFT算法 这里的“任意”指对N的因子没有特殊要求，即一般情形。为叙述方便，不妨设序列点数N = MB，这里M、B均为任意整数。考虑时域离散序列 x [ n ] ，     n = 0 ， 1 ， ⋯ ， N − 1 (1) 其中n为时间变量。为计算x[n]的DFT，引入 W N = e − j 2 π N ，则对频域 k = 0 ， 1 ， ⋯ ， N − 1 有 X [ k ] = DFT { x [ n ] } = ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] W N k n = ∑ n = 0 M − 1 x [ B n ] W N k B n + ∑ n = 0 M − 1 x [ B n + 1 ] W N k ( B n + 1 ) + ∑ n = 0 M − 1 x [ B n + 2 ] W N k ( B n + 2 ) + ⋯ + ∑ n = 0 M − 1 x [ B n + B − 1 ] W N k ( B n + B − 1 ) = ∑ n = 0 M − 1 x [ B n ] W M B k B n + ∑ n = 0 M − 1 x [ B n + 1 ] W M B k ( B n + 1 ) + ∑ n = 0 M − 1 x [ B n + 2 ] W M B k ( B n + 2 ) + ⋯ + ∑ n = 0 M − 1 x [ B n + B − 1 ] W M B k ( B n + B − 1 ) = ∑ n = 0 M − 1 x [ B n ] W M k n + W N k ∑ n = 0 M − 1 x [ B n + 1 ] W M k n + W N 2 k ∑ n = 0 M − 1 x [ B n + 2 ] W M k n + ⋯ + W N ( B − 1 ) k ∑ n = 0 M − 1 x [ B n + B − 1 ] W M k n (2) 可以看出，如果令 X b [ k ] = ∑ n = 0 M − 1 x [ B n + b ] W M k n ，   b = 0 ， 1 ， ⋯ ， B − 1 ;     k = 0 ， 1 ， ⋯ ， M − 1 (3) 则 X b [ k ] 是 x [ B n + b ] 的M点DFT，即 X b [ k ] = DFT { x [ B n + b ] } ，利用离散傅里叶级数的周期性，式(2)可表示为 X [ k ] = ∑ b = 0 B − 1 W N b k X b [ k mod M ] ，   k = 0 ， 1 ， ⋯ ， N − 1 (4) 其中k mod M表示k以M为模取余。 众所周知，对复数乘法和加法而言，直接计算DFT时的运算量大致与N 2 成正比，现式(4)把一个N点DFT分解为B个M点DFT，降低了运算量。为进一步用X b [k]表示X[k]，作下列变量替换 k = k ′ + b ′ M ，   k ′ = 0 ， 1 ， ⋯ ， M − 1 ;     b ′ = 0 ， 1 ， ⋯ ， B − 1 (5) 可得 X [ k ] = X [ k ′ + b ′ M ] = X 0 [ k ′ ] + W N k ′ W B b ′ X 1 [ k ′ ] + W N 2 k ′ W B 2 b ′ X 2 [ k ′ ] + ⋯ + W N ( B − 1 ) k ′ W B ( B − 1 ) b ′ X B − 1 [ k ′ ] = ∑ b = 0 B − 1 { W N b k ′ W B b b ′ X b [ k ′ ] } (6) 根据式(6)得到任意因子单次分解FFT算法流图，如图1所示，图中B取2，这时 W 2 1 = − 1 。从图1可以看出，B因子单次分解FFT算法共包含M个蝶形运算单元。
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user: 3. 递归分解FFT算法 在数学和计算机科学中，递归是指一个函数直接或间接调用自身的现象。作为一种算法，递归在程序设计语言中得到了广泛的应用，它通常把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题相似但规模较小的问题来求解。使用递归，只需少量程序代码就可以描述解决问题所需的多次重复操作，因此大大减少了代码量，提高了程序设计效率。在上述任意因子单次分解FFT算法基础上，不难得到递归分解FFT算法，如图2所示。 图1. 任意因子单次分解FFT算法流图，B = 2 图2中，流程开始对DFT点数N是否为素数进行判断：若N为素数，FFT算法将失效，此时只能直接计算DFT。对N为非素数的情况，当N为2的整次幂时，为提高效率采用传统基-2 FFT算法执行DFT。当N为其它非素数时，将N进行分解，并使分解后各因子按从大到小的顺序排列，进入递归处理过程：对N的每个因子，都按照式(2)构建 x [ B n + b ] ，利用上述单次分解FFT算法计算其DFT，得到 X b [ k ] = DFT { x [ B n + b ] } ，最后利用式(6)得到X[k]。因此这里“递归”的含义体现在对N的每个因子计算DFT的过程中。容易看出，在构建 x [ B n + b ] 的过程中流程执行的是赋值操作，而不是像基-2FFT算法中那样对序列进行变址运算，也不像素因子算法那样对序列进行复杂的变址运算，因此简化了输入序列重排过程，也提高了处理速度。 考虑到篇幅，这里只给出递归分解FFT算法实现中的部分C函数代码： void RDFFT(int N， double *xr， double *xi， double *XR， double *XI， double *COS， double *SIN， const int& N0， int C) { …… double **ppR = new double *[B]; double **ppI = new double *[B]; for (int b = 0; b < B; ++b) { ppR[b] = new double[N1]; ppI[b] = new double[N1]; for (int i = 0; i < N1; ++i) { ppR[b][i] = xr[i * B + b]; ppI[b][i] = xi[i * B + b]; } } // recursively working for (int b = 0; b < B; ++b) RDFFT(N1， ppR[b]， ppI[b]， xr + b * N1， xi + b * N1， COS， SIN， N0， C * B); …… } 图2. 递归分解FFT算法流程图
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user: 4. 性能评估 现在基于递归分解FFT算法中所需乘法和加法运算次数对算法性能作出评估，因为当算法应用在通用计算机或专用处理器上时，乘法和加法的次数直接决定着计算速度。令 μ ( N ) 、 λ ( N ) 分别表示递归分解FFT算法完成N点DFT所需的乘法和加法次数，根据式(6)不难得到 μ ( B M ) = { B μ ( M ) + ( B − 1 ) ( M − 1 ) ，         B = 2 B μ ( M ) + ( B − 1 ) M ，                     B ≠ 2 λ ( B M ) = B λ ( M ) + ( B − 1 ) B M (7) 在此基础上定义 α ( N ) = μ ( N ) N 2 ，   β ( N ) = λ ( N ) N ( N − 1 ) (8) 显然 α ( N ) 、 β ( N ) 分别为采用递归分解FFT与直接计算DFT这两种情况下复数乘法和加法次数的比， α ( N ) 、 β ( N ) 越大于1，表明递归分解FFT算法的性能越好。图3为根据式(8)得到的 α = α ( N ) 、 β = β ( N ) 随N的变化情况，其中N为2到3000间的所有非素数。从图3可以看出几乎在所有N的情况下 α 、 β 远远大于1，表明递归分解FFT算法性能远远超过直接计算DFT，且随着N的增大，这种优异性越来越明显。 图3. 递归分解FFT算法性能评估 图4是使用本文提出的递归分解FFT算法对某雷达目标提取微动特征时的运行界面，从图中不难计算出进动周期大约为2.3秒。 图4. 使用递归分解FFT算法提取雷达目标微动特征
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user: 5. 结束语 为提高雷达目标微动特征提取处理速度，本文提出了一种递归分解FFT算法。算法适用范围广，即只要求N为非素数。进一步如果N是2的整数次幂，算法采用基-2 FFT算法，否则以单次分解为基础进行递归处理得到频域序列。在工程实践中的应用结果表明，本算法提高了雷达目标探测与识别中数据处理效率。