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user: 2. 求解过程 2.1. 化简方程 作变换 u ( x ， t ) = f ( ξ ) e i η ， ξ = c x + k t ， η = w x + c 2 k t 。其中 c ， k ， w 为实常数。将上式带入(1)式中，并 分离实部和虚部，整理可得到一个常微分方程组 { ( c 2 4 k 2 − w ) f = k 2 f ″ + ( 2 − α c 2 k ) f 3 + γ f 5 ， ( 3 α + 2 β ) k f 2 f ′ = 0. (2) 为了求解方程(1)的非平凡解，我们需假设 3 α + 2 β = 0 且 k ≠ 0 ，于是，可以得到 f ″ = − r k 2 f 5 + α c − 4 k 2 k 3 f 3 + ( c 2 4 k 4 − w k 2 ) f . (3) 为了计算简便，我们令 − r k 2 = A ( A ≠ 0 ) ， α c − 4 k 2 k 3 = B ， c 2 4 k 4 − w k 2 = C ，可以得到 f ″ = A f 5 + B f 3 + C f . (4) 2.2. 求解方程 下面引入新的变量 X = f ( ξ ) ， Y = f ′ ( ξ ) ，则(4)式转化为 { X ′ = Y ， Y ′ = A X 5 + B X 3 + C X . (5) 为了使用首次积分法，我们设 P ( X ， Y ) = ∑ i = 0 m a i ( X ) Y i = 0. (6) 其中 a i ( X ) ， i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， m 是关于X的多项式。 由多项式的整除原理知，存在多项式 T ( X ， Y ) = g ( X ) + h ( X ) Y ，使得 d P d ξ = ∂ P ∂ X ⋅ ∂ X ∂ ξ + ∂ P ∂ Y ⋅ ∂ Y ∂ ξ = ( g ( X ) + h ( X ) Y ) ( ∑ i = 0 m a i ( X ) Y i = 0 ) . (7) 2.2.1. 情况一 当 m = 1 时，将(5)和(6)式带入到(7)，并且由 Y i ( i = 0 ， 1 ， 2 ) 的系数相等，对应 Y 2 ， Y 1 ， Y 0 的系数，分别得到 a ′ 1 ( X ) = a 1 ( X ) h ( X ) ， (8) a ′ 0 ( X ) = a 1 ( X ) g ( X ) + a 0 ( X ) h ( X ) ， (9) a 1 ( X ) ( A X 5 + B X 3 + C X ) = a 0 ( X ) g ( X ) . (10) 由(8)式可知， a 1 ( X ) 是常数， h ( X ) = 0 。为方便起见，不妨设 a 1 ( X ) = 1 。而由(9)式得 d e g [ a 0 ( X ) ] = d e g [ g ( X ) ] + 1 。又根据(10)式知 d e g [ g ( X ) ] = 2 ， d e g [ a 0 ( x ) ] = 3 。设 g ( X ) = A 2 X 2 + A 1 X + A 0 ， (11) 由(9)式得 a 0 ( X ) = 1 3 A 2 X 3 + 1 2 A 1 X 2 + A 0 X + B 0 ， (12) 其中， B 0 为积分常数。将 a 0 ( X ) ， a 1 ( X ) ， g ( X ) 代入(10)式，由待定系数法，可得当 A ， C > 0 ，且 A = 3 B 2 16 C 时， A 2 = ± 3 A ，   A 1 = 0 ，   A 0 = ± C ，   B 0 = 0. (13) 将上式代入到(6)式中得 ± 1 3 3 A X 3 ± C X + Y = 0. (14) 由(14)和(5)得 X ′ = ± 1 3 3 A X 3 ± C X . (15) 解常微分方程(15)得到 X = ± C e 2 C ( ξ + ξ 01 ) ( 3 − 3 3 A e 2 C ( ξ + ξ 01 ) ) − 1 + 3 A e 2 C ( ξ + ξ 01 ) ， (16) X = ± 3 C e 2 C ( ξ + ξ 01 ) − 3 3 A C 3 A − e 2 C ( ξ + ξ 01 ) ， (17) 其中 ξ 01 为任意常数。 从而得到方程(1)的下列形式的精确解 u ( x ， t ) = ± ( C e 2 C ( ξ + ξ 01 ) ( 3 − 3 3 A e 2 C ( ξ + ξ 01 ) ) − 1 + 3 A e 2 C ( ξ + ξ 01 ) ) e i η ， (18) u ( x ， t ) = ± ( 3 C e 2 C ( ξ + ξ 01 ) − 3 3 A C 3 A − e 2 C ( ξ + ξ 01 ) ) e i η . (19) 2.2.2. 情况二 当 m = 2 时，即 P ( X ， Y ) = a 0 ( X ) + a 1 ( X ) Y + a 2 ( X ) Y 2 . (20) 将(5)和(20)式代入(7)式，通过比较 Y i ( i = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ) 的系数，对应 Y 3 ， Y 2 ， Y 1 ， Y 0 的系数，分别得到 a ′ 2 ( X ) = a 2 ( X ) h ( X ) ， (21) a ′ 1 ( X ) = a 2 ( X ) g ( X ) + a 1 ( X ) h ( X ) ， (22) a ′ 0 ( X ) + 2 a 2 ( X ) Y ′ = a 1 ( X ) g ( X ) + a 0 ( X ) h ( X ) ， (23) a 1 ( X ) Y ′ = a 0 ( X ) g ( X ) = a 1 ( X ) ( A X 5 + B X 3 + C X ) . (24) 因为 a i ( X ) ( i = 0 ， 1 ， 2 ) ， h ( X ) ， g ( X ) 均是关于X的多项式，于是由(21)~(24)得： d e g [ a 2 ( X ) ] = 0 ， h ( X ) = 0 ， d e g [ a 0 ( X ) ] = 6 。为方便起见，这里不妨设 a 2 ( X ) = 1 。 下面分两种情况讨论 a 1 ( X ) 和 g ( X ) 。 1) 当 a 1 ( X ) = 0 ， g ( X ) = 0 时，由(22)和(24)知，满足条件。又由(23)知， a 0 ( X ) = − 1 3 A X 6 − 1 2 B X 4 − C X 2 + A 0 ， A 0 为任意常数。 将 a 0 ( X ) ， a 1 ( X ) ， a 2 ( X ) 代入(6)式得 Y 2 = 1 3 A X 6 + 1 2 B X 4 + C X 2 − A 0 。即 X ′ = ± 1 3 A X 6 + 1 2 B X 4 + C X 2 − A 0 . (25) 为计算方便，我们只讨论正号的情况，且设 Φ = X 2 ，则 X ′ = 1 2 Φ Φ ′ ，那么上式变为 Φ ′ = 2 Φ ( 1 3 A Φ 3 + 1 2 B Φ 2 + C Φ − A 0 ) . (26) 设 f ( Φ ) = 1 3 A Φ 3 + 1 2 B Φ 2 + C Φ − A 0 ，于是根据三次方程的判别式D及盛金公式，有以下几种情况： a) 当 B 2 = 4 A C ， A 0 = − B C 6 A 时，方程有一个三重根 B 2 A ，则 f ( Φ ) = 1 3 A ( Φ − B 2 A ) 3 ， Φ ′ = 2 A 3 Φ ( Φ − B 2 A ) 3 。那么此时， Φ = − B 3 ( ξ + ξ 02 ) 24 A 2 − 2 A B 2 ( ξ + ξ 02 ) ，其中 ξ 02 为任意常数。而 X = ± Φ ， 于是得到方程(1)下列形式的精确解 u ( x ， t ) = ± ( − B 3 ( ξ + ξ 02 ) 24 A 2 − 2 A B 2 ( ξ + ξ 02 ) ) 1 2 e i η . (27) b) 当 Δ < 0 时，方程有三个不相等的实根 Φ 1 ， Φ 2 ， Φ 3 ，于是 f ( Φ ) = 1 3 A ( Φ − Φ 1 ) ( Φ − Φ 2 ) ( Φ − Φ 3 ) ，而 Φ ′ = 2 A 3 Φ ( Φ − Φ 1 ) ( Φ − Φ 2 ) ( Φ − Φ 3 ) ，那么此时， Φ = Φ 2 Φ 3 s n 2 ( ω 1 ( ξ + ξ 03 ) ， k 1 ) ( Φ 2 − Φ 3 ) + Φ 3 s n 2 ( ω 1 ( ξ + ξ 03 ) ， k 1 ) ，其中 ξ 03 为任意常数， ω 1 2 = A 3 Φ 1 ( Φ 3 − Φ 2 ) ， k 1 2 = ( Φ 1 − Φ 2 ) Φ 3 ( Φ 3 − Φ 2 ) Φ 1 。 于是得到方程(1)下列椭圆函数形式的精确解 u ( x ， t ) = ± ( Φ 2 Φ 3 s n 2 ( ω 1 ( ξ + ξ 03 ) ， k 1 ) ( Φ 2 − Φ 3 ) + Φ 3 s n 2 ( ω 1 ( ξ + ξ 03 ) ， k 1 ) ) 1 2 e i η . (28) c) 当 Δ = 0 时，方程有三个实根，其中有一个两重根，分别为 Φ 4 ， Φ 5 (为两重根)。于是 f ( Φ ) = 1 3 A ( Φ − Φ 4 ) ( Φ − Φ 5 ) 2 ， Φ ′ = 2 ( Φ − Φ 5 ) A 3 Φ ( Φ − Φ 4 ) ，此时， Φ = − Φ 5 ( e ρ ( ξ + ξ 04 ) − A Φ 4 ) 2 4 Φ 5 e ρ ( ξ + ξ 04 ) − ( e ρ ( ξ + ξ 04 ) + A Φ 4 ) 2 ，其中 ξ 04 为任意常数， ρ = − 2 3 3 A Φ 5 ( Φ 5 − Φ 4 ) 。 于是得到方程(1)以下指数函数形式的精确解 u ( x ， t ) = ± ( − Φ 5 ( e ρ ( ξ + ξ 04 ) − A Φ 4 ) 2 4 Φ 5 e ρ ( ξ + ξ 04 ) − ( e ρ ( ξ + ξ 04 ) + A Φ 4 ) 2 ) 1 2 e i η . (29) d) 当 Δ > 0 时，方程有一个实根 Φ 6 和一对共轭虚根 Φ = b ± a i 。于是 f ( Φ ) = 1 3 A ( Φ − Φ 6 ) [ ( Φ − b ) 2 + a 2 ] ， Φ ′ = 2 A 3 Φ ( Φ − Φ 6 ) [ ( Φ − b ) 2 + a 2 ] ，此时， Φ = Φ 6 N ( 1 − c n ( ω 2 ( ξ + ξ 05 ) ， k ) ) ( M + N ) − ( M + N ) c n ( ω 2 ( ξ + ξ 05 ) ， k ) ，其中 ξ 05 为任意常数， M 2 = ( Φ 6 − b ) 2 + a 2 ， N 2 = a 2 + b 2 ， ， 。 于是得到方程(1)下列椭圆函数形式的精确解 (30) 2) 当 时，只有当 时不会产生矛盾。不 妨设 ，那么 ，将其代入到(23)式得到 ，其中 为积分常数。 再将 代入(24)式，通过比较 的系数，借助Maple软件，可得 a) ，且 。 可以得出 ， ，代入(20)式得 ，即 ，解常微分方程可得 ，其中 为任意常数。从而得到方程(1)的以下形式的行波解 (31) b) ，且 。 可以得出 ， ，代入(20)式得 ，即 ，解常微分方程可得 ，其中 为任意常数。从而得到方程(1)的以下指数函数形式的行波解 (32) c) ，且 。 可以得出 ， ，代入(20)式得 ，即 ，解常微分方程可得 ，其中 为任意常数。从而得到方程(1)的以下指数函数形式的行波解 (33)