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user: 3. 一致q阶增长条件 下面的引理引自文献 [ 1 ] ，推论4.4，它在本文主要结果的证明中起着关键作用。 引理3.1 设 q ∈ ( 1 ， + ∞ ) ，设X是Banach空间， f : X → R ∪ { + ∞ } 是一个真的下半连续泛函， α ∈ ( 0 ， 1 ) ， ( x ¯ ， x ¯ ∗ ) ∈ g p h ( ∂ f ) 且 x ¯ ∈ A ⊂ ( ∂ f ) − 1 ( x ¯ ∗ ) ，并设 κ 0 ， δ ， r ∈ ( 0 ， + ∞ ) 及 ρ 0 ∈ [ 0 ， 1 q κ 0 ) 使得 d ( x ， A ) q − 1 ≤ κ 0 d ( x ¯ ∗ ， ∂ ( x ) ) ，   ∀ x ∈ B X ( x ¯ ， δ ) 且 f ( x ) ≥ f ( x ¯ ) + 〈 x ¯ ∗ ， x − x ¯ 〉 − ρ 0 d ( x ， A ) q ，   ∀ x ∈ B X [ x ¯ ， r ] . 令 ν : = max { n ∈ N : n ≤ 1 − log ( 1 + q ( 1 − α ) α q − 1 ) ( 1 − q ρ 0 κ 0 ) } ， (3.1) λ : = ( 1 q α q κ 0 − ρ 0 α q ) ( 1 + q ( 1 − α ) α q − 1 ) ν − 1 q α q κ 0 (3.2) 及 η n : = − ( 1 q α q κ 0 − λ ) ( 1 − q ( 1 − α ) α q − 1 ) n − 1 + 1 q α q κ 0 ， ∀ n ∈ N . (3.3) 则 a) ν ≥ 1 ， 1 q α q κ 0 > λ > 0 且 lim n → ∞ η n = 1 q α q κ 0 ； b) f ( x ) ≥ f ( x ¯ ) + 〈 x ¯ ∗ ， x − x ¯ 〉 + η n α q d ( x ， A ) q ， ∀ n ∈ N 及 x ∈ B X [ x ¯ ， min { r ， δ } ( 2 − α ) ν + n − 1 ] 。 下面的引理3.2对我们后面的叙述是有用的。 引理3.2. 设 q ∈ ( 1 ， + ∞ ) 且 α ∈ ( 0 ， 1 ) ，则 1 q > ( 1 − α ) α q − 1 。 证明：定义 ϕ ( t ) : = t q ， ∀ t ∈ ( 0 ， 1 ) . 容易知道 ϕ 是凸函数，从而 1 q = ϕ ( t ) t ϕ ′ ( t ) > ( 1 − α ) ϕ ( t ) − ϕ ( α t ) ( t − α t ) ϕ ′ ( t ) ≥ ( 1 − α ) ϕ ′ ( α t ) ϕ ′ ( t ) = ( 1 − α ) α q − 1 ， 证毕。 一个非减的函数 φ : R + → R + 是admissible函数(见参考文献 [ 1 ] )，若 φ ( 0 ) = 0 且 [ φ ( t ) → 0 ⇒ t → 0 ] 。Yao，Zheng和Zhu [ 1 ] 使用admissible函数研究了更一般的一致φ-增长条件，并证明了如下结果： 定理I. (参见文献 [ 1 ] ，定理5.1)设 α ∈ ( 0 ， 1 ) ， φ : R + → R + 是一个严格凸的可微admissible函数满足 φ ′ ( 0 ) = 0 ，X是Banach空间， f : X → R ∪ { + ∞ } 是一个真的下半连续泛函，且f在 ( x ¯ ， 0 ) ∈ g p h ( ∂ f ) 处是次微分连续。并设 κ ， δ 1 ， δ 2 ， τ ∈ ( 0 ， + ∞ ) 及 ρ ∈ [ 0 ， 1 μ α κ τ ) 使得下述条件成立： 1) 对于任意的 ( x ， u ∗ ) ∈ B X ( x ¯ ， δ 1 ) × B X ∗ ( 0 ， δ 1 ) 都有 φ ′ ( τ d ( x ， ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) ) ) ≤ κ d ( u ∗ ， ∂ f ( x ) ) ; 2) 对于任意的 x ∈ B X ( x ¯ ， δ 2 ) ， ( z ， f ( z ) ) ∈ B X ∗ ( ( x ¯ ， f ( x ¯ ) ) ， δ 2 ) 及 u ∗ ∈ ∂ f ( z ) ∩ B X ∗ ( 0 ， δ 2 ) 都有 〈 u ∗ ， x − z 〉 ≤ f ( x ) − f ( z ) + ρ φ ( α τ d ( x ， ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) ) ) . 则对于任意 β ∈ ( 0 ， 1 μ α κ τ ) 存在 r ， δ ∈ ( 0 ， + ∞ ) 使得对于任意的 u ∗ ∈ B X ∗ ( 0 ， δ ) 都有 x u ∗ ∈ B X ( x ¯ ， r ) ，满足 x 0 = x ¯ 且 β φ ( α τ ‖ x − x u ∗ ‖ ) ≤ f ( x ) − f ( x u ∗ ) − 〈 u ∗ ， x − x u ∗ 〉 ， ∀ x ∈ B X ( x ¯ ， r ) ， (3.4) 这里 μ α : = sup t > 0 α φ ′ + ( α t ) φ ′ + ( t ) (3.5) 及 φ ′ + 表示 φ 的右方向导数，故f在 x ¯ 处满足一致φ-增长条件。 在 φ ( t ) = t q 的特殊情况下， μ α = t q (见(3.5))，由定理I和命题2.2可得以下推论。 推论I. 设 q ∈ ( 1 ， + ∞ ) ， α ∈ ( 0 ， 1 ) ，X是Banach空间， f : X → R ∪ { + ∞ } 是一个真的下半连续泛函且 ( x ¯ ， 0 ) ∈ g p h ( ∂ f ) 。并设 κ 0 ， δ 1 ， δ 2 ∈ ( 0 ， + ∞ ) 及 ρ 0 ∈ [ 0 ， 1 q κ 0 ) 使得下述条件成立： 1) 对于任意的 ( x ， u ∗ ) ∈ B X ( x ¯ ， δ 1 ) × B X ∗ ( 0 ， δ 1 ) 都有 d ( x ， ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) ) q − 1 ≤ κ 0 d ( u ∗ ， ∂ f ( x ) ) ; 2) 对于任意的 x ， z ∈ B X ( x ¯ ， δ 2 ) 及 u ∗ ∈ ∂ f ( z ) ∩ B X ∗ ( 0 ， δ 2 ) 都有 〈 u ∗ ， x − z 〉 ≤ f ( x ) − f ( z ) + ρ 0 d ( x ， ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) ) q . 则对于任意 β ∈ ( 0 ， 1 q α q κ 0 ) 存在 r ， δ ∈ ( 0 ， + ∞ ) 及映射 ϑ : B X ∗ ( 0 ， δ 1 ) → B X ( x ¯ ， δ 2 ) 使得对于任意的 ( x ， u ∗ ) ∈ B X ( x ¯ ， r ) × B X ∗ ( 0 ， δ ) 有 ϑ ( 0 ) = x ¯ 且 β α q ‖ x − ϑ ( u ∗ ) ‖ q ≤ f ( x ) − f ( ϑ ( u ∗ ) ) − 〈 u ∗ ， x − ϑ ( u ∗ ) 〉 ， (3.6) 故f在 x ¯ 处满足一致q阶增长条件。 定理I和推论I建立了对应一致增长条件的存在性，即存在半径r和δ分别使得定理I中的(3.4)和推论I中的(3.6)不等式成立。然而在算法的收敛性分析及稳定性分析中，只有存在性是不够的，需要知道相关性质成立的明确范围。本文主要改进了推论I中半径r和δ只有存在性的不足，我们将给出半径r和δ与条件中出现的 α ， q ， κ ， ρ 0 ， δ 1 和 δ 2 的确切数量关系。 定理3.1. 设 q ∈ ( 1 ， + ∞ ) ， α ∈ ( 0 ， 1 ) ，X是Banach空间， f : X → R ∪ { + ∞ } 是一个真的下半连续泛函且 ( x ¯ ， 0 ) ∈ g p h ( ∂ f ) 。并设 κ 0 ， δ 1 ， δ 2 ∈ ( 0 ， + ∞ ) 及 ρ 0 ∈ [ 0 ， 1 q κ 0 ) 使得下述条件成立： 1) 对于任意的 ( x ， u ∗ ) ∈ B X ( x ¯ ， δ 1 ) × B X ∗ ( 0 ， δ 1 ) 都有 d ( x ， ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) ) q − 1 ≤ κ 0 d ( u ∗ ， ∂ f ( x ) ) ; (3.7) 2) 对于任意的 x ， z ∈ B X ( x ¯ ， δ 2 ) 及 u ∗ ∈ ∂ f ( z ) ∩ B X ∗ ( 0 ， δ 2 ) 都有 〈 u ∗ ， x − z 〉 ≤ f ( x ) − f ( z ) + ρ 0 d ( x ， ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) ) q . (3.8) 对于任意的 β ∈ ( 0 ， 1 q α q κ 0 ) ，令 N β : = max { n ∈ N : log ( 1 − q ( 1 − α ) α q − 1 ) ( 1 − q ( 1 − α ) α q − 1 ) ( 1 − β q α q κ 0 ) 1 − λ q α q κ 0 ≤ n } ， γ ( β ) : = min { δ 1 ， δ 2 } 4 ( 2 − α ) ν + N β − 1 ， (3.9) r ( β ) : = min { δ 1 ， δ 2 ， β α q γ q − 1 ( β ) 32 q − 1 ， γ q − 1 ( β ) 4 q − 1 κ 0 ， β α q γ q − 1 ( β ) 16 q } ， δ ( β ) : = min { δ 1 ， δ 2 } 64 ( 2 − α ) ν + N β − 1 及 ψ ( u ∗ ) : = arg min u ∈ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] ( f − u ∗ ) ， ∀ u ∗ ∈ X ∗ ， 而其中 ν 和 λ 分别由(3.1)和(3.2)定义，则 ψ 在 B X ∗ ( 0 ， r ( β ) ) 上是单值的且对于任意的 ( x ， u ∗ ) ∈ B X ( x ¯ ， δ ( β ) ) × B X ∗ ( 0 ， r ( β ) ) 有 ϑ ( 0 ) = x ¯ 且 β α q ‖ x − ψ ( u ∗ ) ‖ q ≤ f ( x ) − f ( ψ ( u ∗ ) ) − 〈 u ∗ ， x − ψ ( u ∗ ) 〉 ， (3.10) 故f在 x ¯ 处满足一致q阶增长条件。 证明：由(3.7))及 0 ∈ ∂ f ( x ¯ ) 可知 d ( x ¯ ， ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) ) q − 1 ≤ κ 0 d ( u ∗ ， ∂ f ( x ¯ ) ) ≤ κ 0 ‖ u ∗ ‖ ， ∀ u ∗ ∈ B X ∗ ( 0 ， δ 1 ) . (3.11) 对于任意的 β ∈ ( 0 ， 1 q α q κ 0 ) ，由 N β 的定义可知 N β ≥ log ( 1 − q ( 1 − α ) α q − 1 ) ( 1 − q ( 1 − α ) α q − 1 ) ( 1 − β q α q κ 0 ) 1 − λ q α q κ 0 ， 由于 0 < 1 − q ( 1 − α ) α q − 1 < 1 (见引理3.2)，可得 ( 1 − q ( 1 − α ) α q − 1 ) N β ≤ ( 1 − q ( 1 − α ) α q − 1 ) ( 1 − β q α q κ 0 ) 1 − λ q α q κ 0 ， 又由于 0 < 1 − λ q α q κ 0 (见引理3.1(a))，从而 ( 1 − λ q α q κ 0 ) ( 1 − q ( 1 − α ) α q − 1 ) N β − 1 ≤ 1 − β q α q κ 0 ， 由此及 η n 的定义(见3.3)，即得 η N β : = − ( 1 q α q κ 0 − λ ) ( 1 − q ( 1 − α ) α q − 1 ) N β − 1 + 1 q α q κ 0 ≥ β . (3.12) 令 δ : = min { δ 1 ， δ 2 } 及 r 1 ( β ) : = min { δ ， γ q − 1 ( β ) κ 0 } ，其中 γ ( β ) 是由定义(3.9)定义。由(3.11)， δ 及 r 1 ( β ) 的定义可知对于任意的 u ∗ ∈ B X ∗ ( 0 ， r 1 ( β ) ) 都存在 z ∈ ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) 使得 ‖ x ¯ − z ‖ q − 1 < κ 0 r 1 ( β ) ≤ γ q − 1 ( β ) ，于是 ‖ x ¯ − z ‖ < γ ( β ) ，故 ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) ∩ B X ( x ¯ ， γ ( β ) ) ≠ ∅ . 设 u ∗ ∈ B X ∗ ( 0 ， r 1 ( β ) ) 及 z ∈ ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) ∩ B X ( x ¯ ， γ ( β ) ) ，由(3.9)可得 B X ( z ， 3 δ 4 ) ⊂ B X ( x ¯ ， ‖ x ¯ − z ‖ + 3 δ 4 ) ⊂ B X ( x ¯ ， γ ( β ) + 3 δ 4 ) ⊂ B X ( x ¯ ， δ ) ， 这样，由(3.7)，(3.8)及 δ 的定义可得 d ( x ， ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) ) q − 1 ≤ κ 0 d ( u ∗ ， ∂ f ( x ) ) ， ∀ x ∈ B X ( z ， 3 δ 4 ) 且 〈 u ∗ ， x − z 〉 ≤ f ( x ) − f ( z ) + ρ 0 d ( x ， ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) ) q ， ∀ x ∈ B X [ z ， 3 δ 4 ] ， 由引理3.1(将 ( x ¯ ， x ¯ ∗ ) 和A分别替换成 ( z ， u ∗ ) 和 ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) ，可得 f ( x ) ≥ f ( z ) + 〈 u ∗ ， x − z 〉 + η N β α q d ( x ， ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) ) q ， ∀ x ∈ B X [ z ， 3 δ 4 ( 2 − α ) ν + N β + 1 ] . 由(3.9)，即得 f ( x ) ≥ f ( z ) + 〈 u ∗ ， x − z 〉 + η N β α q d ( x ， ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) ) q ， ∀ x ∈ B X [ z ， 3 γ ( β ) ] . (3.13) 设 f u ∗ : = f − u ∗ ，则由(3.12)和(3.13)，有 f u ∗ ( x ) ≥ f u ∗ ( z ) + β α q d ( x ， ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) ) q ， ∀ x ∈ B X [ z ， 3 γ ( β ) ] . 由于 B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] ⊂ B X [ z ， γ ( β ) + ‖ x ¯ − z ‖ ] ⊂ B X [ z ， 2 γ ( β ) ] ， 所以 f u ∗ ( x ) ≥ f u ∗ ( z ) + β α q d ( x ， ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) ) q ， ∀ x ∈ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] . (3.14) 这表明 z ∈ arg min u ∈ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] f u ∗ ( u ) 。由z在 ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) ∩ B X ( x ¯ ， γ ( β ) ) 上的任意性，则对于任意的 u ∗ ∈ B X ∗ ( 0 ， r 1 ( β ) ) 都有 arg min u ∈ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] f u ∗ ( u ) ⊃ ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) ∩ B X ( x ¯ ， γ ( β ) ) . (3.15) 令 r 2 ( β ) : = min { r 1 ( β ) ， γ q − 1 ( β ) 4 q − 1 κ 0 } ，则由(3.11)可知对于任意的 u ∗ ∈ B X ∗ ( 0 ， r 2 ( β ) ) ⊂ B X ∗ ( 0 ， δ 1 ) ，都存在 x u ∗ ∈ ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) 使得 ‖ x u ∗ − x ¯ ‖ q − 1 < κ 0 r 2 ( β ) ≤ γ q − 1 ( β ) 4 q − 1 ， 故 ‖ x u ∗ − x ¯ ‖ < γ ( β ) 4 。因此，对于任意的 ( x ， u ∗ ) ∈ B X ( x ¯ ， γ ( β ) 4 ) × B X ∗ ( 0 ， r 2 ( β ) ) 都有 d ( x ， ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) ) ∩ B X ( x ¯ ， γ ( β ) ) ≤ ‖ x − x u ∗ ‖ ≤ ‖ x − x ¯ ‖ + ‖ x ¯ − x u ∗ ‖ ≤ γ ( β ) 2 且 d ( x ， ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) \ B X ( x ¯ ， γ ( β ) ) ) ≥ d ( x ¯ ， ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) \ B X ( x ¯ ， γ ( β ) ) ) − ‖ x − x ¯ ‖ ≥ 3 γ ( β ) 4 . 注意到 d ( x ， ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) ) = min { d ( x ， ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) ∩ B X ( x ¯ ， γ ( β ) ) ) ， d ( x ， ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) \ B X ( x ¯ ， γ ( β ) ) ) } ， 这表明 d ( x ， ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) ) = d ( x ， ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) ∩ B X ( x ¯ ， γ ( β ) ) ) . (3.16) 由此及(3.15)可知对于任意的 ( x ， u ∗ ) ∈ B X ( x ¯ ， γ ( β ) 4 ) × B X ∗ ( 0 ， r 2 ( β ) ) 都有 d ( x ， ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) ) = d ( x ， arg min u ∈ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] f u ∗ ( u ) ) . 设 u ∗ ∈ B X ∗ ( 0 ， r 2 ( β ) ) 及 z ∈ ( ∂ f ) − 1 ( u ∗ ) ∩ B X ( x ¯ ， γ ( β ) ) ，则由(3.14)和(3.16))可得 f u ∗ ( x ) ≥ f u ∗ ( z ) + β α q d ( x ， arg min u ∈ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] f u ∗ ( u ) ) q ， ∀ x ∈ B X ( x ¯ ， γ ( β ) 4 ) . 即，对于任意的 ( x ， u ∗ ) ∈ B X ( x ¯ ， γ ( β ) 4 ) × B X ∗ ( 0 ， r 2 ( β ) ) 都有 β α q d ( x ， arg min u ∈ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] f u ∗ ( u ) ) q ≤ f u ∗ ( x ) − f u ∗ ( z ) ≤ f u ∗ ( x ) − min y ∈ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] f u ∗ ( y ) . (3.17) 由(3.13) (将 ( z ， u ∗ ) 替换成 ( x ¯ ， 0 ) )，可得 min y ∈ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] f u ∗ ( y ) = f ( x ¯ ) . (3.18) 注意到 δ ( β ) < γ ( β ) 4 ， r ( β ) ≤ r 2 ( β ) 及 ψ 的定义，由(3.17)，(3.18)及 ϑ 的定义，为了证明(3.10)，我们只需要证明 ψ 在 B X ∗ ( 0 ， r ( β ) ) 上是单值的且 ψ ( B X ∗ ( 0 ， r ( β ) ) ) ⊂ B X ( x ¯ ， δ ( β ) ) . (3.19) 令 r 3 ( β ) : = min { r 2 ( β ) ， β α q γ q − 1 ( β ) 16 q } ，则由(3.17)和(3.18)可知对于任意的 u ∗ ∈ B X ∗ ( 0 ， r 3 ( β ) ) 都有 β α q d ( x ¯ ， ψ ( u ∗ ) ) q ≤ f u ∗ ( x ¯ ) − min y ∈ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] f u ∗ ( y ) = min y ∈ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] f ( y ) − min y ∈ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] ( f ( y ) − 〈 u ∗ ， y − x ¯ 〉 ) ≤ min y ∈ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] f ( y ) − min y ∈ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] ( f ( y ) − γ ( β ) ‖ u ∗ ‖ ) = γ ( β ) ‖ u ∗ ‖ < γ ( β ) r 3 ( β ) . 从而 d ( x ¯ ， ψ ( u ∗ ) ) < γ ( β ) 16 ， ∀ u ∗ ∈ B X ∗ ( 0 ， r 3 ( β ) ) ， 于是对于任意的 u ∗ ∈ B X ∗ ( 0 ， r 3 ( β ) ) 都存在 x u ∗ ∈ ψ ( u ∗ ) 使得 ‖ x u ∗ − x ¯ ‖ < γ ( β ) 16 . (3.20) 设 u ∗ ， v ∗ ∈ B X ∗ ( 0 ， r 3 ( β ) ) 及 u ∈ ψ ( u ∗ ) ∩ B X ( x ¯ ， γ ( β ) 16 ) ，取 { v n } ⊂ ψ ( v ∗ ) 使得 lim n → ∞ ‖ u − v n ‖ = d ( u ， ψ ( v ∗ ) ) . (3.21) 由(3.20)，我们有 d ( u ， ψ ( v ∗ ) ) ≤ ‖ u − x v ∗ ‖ ≤ ‖ u − x ¯ ‖ + ‖ x ¯ − x v ∗ ‖ < γ ( β ) 8 . 不失一般性，我们假设对于任意的 n ∈ N 都有 ‖ u − v n ‖ < γ ( β ) 8 。于是 ‖ x ¯ − v n ‖ ≤ ‖ u − v n ‖ + ‖ x ¯ − u ‖ < 3 γ ( β ) 16 < γ ( β ) 4 ， ∀ n ∈ N . 由(3.17)及 ψ 的定义可知对于任意的 n ∈ N 都有 β α q d ( u ， ψ ( v ∗ ) ) q ≤ f v ∗ ( u ) − min y ∈ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] f v ∗ ( y ) = f v ∗ ( u ) − f v ∗ (vn) 且 β α q d ( v n ， ψ ( u ∗ ) ) q ≤ f u ∗ ( v n ) − min y ∈ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] f u ∗ ( y ) = f u ∗ ( v n ) − f u ∗ ( u ) . 因此，对于任意的 n ∈ N 都有 β α q d ( u ， ψ ( v ∗ ) ) q ≤ β α q d ( u ， ψ ( v ∗ ) ) q + β α q d ( v n ， ψ ( u ∗ ) ) q ≤ f v ∗ ( u ) − f v ∗ ( v n ) + f u ∗ ( v n ) − f u ∗ ( u ) = 〈 u ∗ − v ∗ ， u − v n 〉 ≤ ‖ u ∗ − v ∗ ‖ ‖ u − v n ‖ . 由此及(3.21)，令 n → ∞ ，可得 β α q d ( u ， ψ ( ν ∗ ) ) q ≤ ‖ u ∗ − ν ∗ ‖ d ( u ， ψ ( ν ∗ ) ) ， 即 d ( u ， ψ ( ν ∗ ) ) ≤ 1 α q q − 1 β 1 q − 1 ( ‖ u ∗ − ν ∗ ‖ ) 1 q − 1 ， 这表明 u ∈ ψ ( ν ∗ ) + 2 1 α q q − 1 β 1 q − 1 ( ‖ u ∗ − ν ∗ ‖ ) 1 q − 1 B X . 由u在 ψ ( u ∗ ) ∩ B X ( x ¯ ， γ ( β ) 16 ) 上的任意性，可知对于任意的 u ∗ ， v ∗ ∈ B X ∗ ( 0 ， r 3 ( β ) ) 都有 ψ ( u ∗ ) ∩ B X ( x ¯ ， γ ( β ) 16 ) ⊂ ψ ( v ∗ ) + L ( ‖ u ∗ − v ∗ ‖ ) 1 q − 1 B X ， (3.22) 这里 L : = 2 1 α q q − 1 β 1 q − 1 ，设 u ∗ ∈ B X ∗ ( 0 ， r 3 ( β ) ) 及 u ∈ ψ ( u ∗ ) ，则有 ( f + δ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] ) ∗ ( u ∗ ) = 〈 u ∗ ， u 〉 − f ( u ) . (3.23) 于是 u ∈ ∂ ( f + δ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] ) ∗ ( u ∗ ) (参见文献 [ 26 ] ，命题5.3.1)。因此 ψ ( u ∗ ) ⊂ ∂ ( f + δ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] ) ∗ ( u ∗ ) ， ∀ u ∗ ∈ B X ∗ ( 0 ， r 3 ( β ) ) . (3.24) 由于 x ¯ ∈ ψ ( 0 ) ∩ B X ( x ¯ ， γ ( β ) 16 ) ，结合(3.22)，则有 x ¯ ∈ ψ ( u ∗ ) + L ( ‖ u ∗ ‖ ) 1 q − 1 B X ⊂ ψ ( u ∗ ) + L r 3 1 q − 1 ( β ) B X ， ∀ u ∗ ∈ B X ( 0 ， r 3 ( β ) ) . 由 r ( β ) 的定义，可知 r ( β ) ≤ r 3 ( β ) ≤ β α q r q − 1 ( β ) 16 q ，结合 r ( β ) 以及L的定义可得 L r 1 q − 1 ( β ) = 2 1 α q q − 1 β 1 q − 1 r 1 q − 1 ( β ) ≤ r ( β ) 16 ，从而 ψ ( u ∗ ) ∩ B X ( x ¯ ， r ( β ) 16 ) ⊃ ψ ( u ∗ ) + B X ( x ¯ ， L γ 1 q − 1 ( β ) ) ≠ ∅ ， ∀ u ∗ ∈ B X ( 0 ， r ( β ) ) . 设 u ∗ ∈ B X ∗ ( 0 ， r ( β ) ) 及 x u ∗ ∈ ψ ( u ∗ ) ∩ B X ( x ¯ ， r ( β ) 16 ) ，则由(3.22)可知对于任意的 v ∗ ∈ B X ∗ ( 0 ， r ( β ) ) 及 z v ∗ ∈ ψ ( v ∗ ) 使得 ‖ x u ∗ − z v ∗ ‖ ≤ L ‖ u ∗ − v ∗ ‖ 1 q − 1 ， (3.25) 注意到(3.24)，则我们有 x u ∗ ∈ ∂ ( f + δ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] ) ∗ ( u ∗ ) 且 z v ∗ ∈ ∂ ( f + δ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] ) ∗ (v∗) 由于 ( f + δ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] ) ∗ 是凸函数，可得 〈 z v ∗ ， u ∗ − v ∗ 〉 ≤ ( f + δ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] ) ∗ ( u ∗ ) − ( f + δ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] ) ∗ (v∗) 且 〈 x u ∗ ， v ∗ − u ∗ 〉 ≤ ( f + δ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] ) ∗ ( v ∗ ) − ( f + δ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] ) ∗ ( u ∗ ) . 由此及(3.25)，我们有 0 ≤ ( f + δ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] ) ∗ ( v ∗ ) − ( f + δ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] ) ∗ ( u ∗ ) − 〈 x u ∗ ， v ∗ − u ∗ 〉 ≤ 〈 z v ∗ − x u ∗ ， v ∗ − u ∗ 〉 ≤ L ‖ v ∗ − u ∗ ‖ 1 + 1 q + 1 ， 这和 v ∗ 在 B X ∗ ( 0 ， r ( β ) ) 上的任意性表明 ( f + δ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] ) ∗ 在 u ∗ 处的可微且有 ∂ ( f + δ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] ) ∗ ( u ∗ ) = { ∇ ( f + δ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] ) ∗ ( u ∗ ) } = { x u ∗ } ， ∀ u ∗ ∈ B X ∗ ( 0 ， r ( β ) ) . 由(3.24)，即得 ψ ( u ∗ ) = { ∇ ( f + δ B X [ x ¯ ， γ ( β ) ] ) ∗ ( u ∗ ) } = { x u ∗ } ⊂ B X ( x ¯ ， r ( β ) 16 ) ， ∀ u ∗ ∈ B X ∗ ( 0 ， r ( β ) ) ， 所以 ψ 在 B X ∗ ( 0 ， r ( β ) ) 上是单值的且有 ψ ( B X ∗ ( 0 ， r 3 ( β ) ) ) ⊂ B X ( x ¯ ， r ( β ) 16 ) . (3.26) 由 δ ( β ) 的定义可知 δ ( β ) = r ( β ) 16 ，结合(3.17)，(3.26)及 ψ 的定义，可得 β α q ‖ x − ϑ ( u ∗ ) ‖ q ≤ f ( x ) − f ( x u ∗ ) − 〈 u ∗ ， x − x u ∗ 〉 ， ∀ x ∈ B X ( x ¯ ， δ ( β ) ) ， 由此及 ϑ 的定义可得(3.10)，证毕。 注3.1定理3.1中的条件(1)即为 ∂ f 在 ( x ¯ ， 0 ) 处是 q − 1 阶度量正则的，条件(2)即为f在 ( x ¯ ， 0 ) 处是q阶S-正则性且f在 ( x ¯ ， 0 ) 处是次微分连续的。