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user: 4. 确定应力场 各向异性材料中心裂纹板承受拉伸加载(图1所示)，在距离裂纹面较远区域的应力边界条件是： σ x = 0 ， σ y = σ ˜ ， τ x y = 0 ( w → ∞ )。 则在 w → ∞ 时，应力函数变为： Φ 1 = Φ ¯ 1 = Φ 2 = Φ ¯ 2 = 1 。由式(19)可得： R e ( q 1 2 B 1 + q 2 2 B 2 ) + c 0 = 0 ， 2 Re ( B 1 + B 2 ) = σ ˜ ， Re ( q 1 B 1 + q 2 B 2 ) = 0 在裂纹面处( − a < x < a ， y = 0 ， w 1 2 = w 2 2 = x 2 < a 2 )，应力边界条件是： σ y = 0 ， τ x y = 0 ，代入式(19)可得： Im ( B 1 + B 2 ) = 0 ， Im ( q 1 B 1 + q 2 B 2 ) = 0 联合两组边界条件所得的五个方程，可求解出常数为： c 0 = − R e ( q 1 2 B 1 + q 2 2 B 2 ) ， q 1 B 1 + q 2 B 2 = 0 B 1 = σ ˜ 2 [ g 2 ( g 2 − g 1 ) − h 2 ( h 1 − h 2 ) ( g 1 − g 2 ) 2 + ( h 1 − h 2 ) 2 + i g 2 h 1 − g 1 h 2 ( g 1 − g 2 ) 2 + ( h 1 − h 2 ) 2 ] B 2 = σ ˜ 2 [ g 1 ( g 1 − g 2 ) + h 1 ( h 1 − h 2 ) ( g 1 − g 2 ) 2 + ( h 1 − h 2 ) 2 − i g 2 h 1 − g 1 h 2 ( g 1 − g 2 ) 2 + ( h 1 − h 2 ) 2 ] 再将求得的常数代入应力表达式(19)，可将应力场表达为： σ x = σ ˜ b 12 Re [ q 1 2 ( b 1 + i b 3 ) ( Φ 1 − 1 ) + q 2 2 ( b 2 − i b 3 ) ( Φ 2 − 1 ) ] σ y = σ ˜ b 12 Re [ ( b 1 + i b 3 ) Φ 1 + ( b 2 − i b 3 ) Φ 2 ] τ x y = − σ ˜ b 12 Re [ q 1 ( b 1 + i b 3 ) Φ 1 + q 2 ( b 2 − i b 3 ) Φ 2 ] } (20) 式中 b 1 ， b 2 ， b 12 ， b 3 为实常数，计算公式如下： b 1 = g 2 ( g 2 − g 1 ) − h 2 ( h 1 − h 2 ) ，     b 2 = g 1 ( g 1 − g 2 ) + h 1 ( h 1 − h 2 ) b 12 = b 1 + b 2 = ( g 1 − g 2 ) 2 + ( h 1 − h 2 ) 2 ，     b 3 = g 2 h 1 − g 1 h 2 } (21) 在裂纹尖端附近区域，应力具有奇异性，为简化应力表达式先对复变量和复变函数做简化处理。考虑裂纹右端点(如图1所示)的局部区域( r ≪ a )，为了便于表达裂纹尖端应力，采用极坐标将变量及函数简化如下： α ≈ 0 ， ω ≈ 0 ， r ω ≈ a ， r α ≈ 2 a ， w + a ≈ 2 a 再根据式(3)和式(4)的表达式，可得： w 2 w 2 − a 2 ≈ a 2 ( w − a ) = a 2 r 1 cos θ + g sin θ + i h sin θ = a 2 r 1 J e i β Φ = w 2 w 2 − a 2 ≈ a 2 r 1 J e − i β / 2 = a 2 r 1 J ( c o s β 2 − i sin β 2 ) 因此，可将 Φ 1 ， Φ 2 表达为： Φ 1 = w 1 2 w 1 2 − a 2 = a 2 r 1 J 1 ( c o s β 1 2 − i sin β 1 2 ) Φ 2 = w 2 2 w 2 2 − a 2 = a 2 r 1 J 2 ( c o s β 2 2 − i sin β 2 2 ) } (22) 式中： β 1 = arctan h 1 sin θ cos θ + g 1 sin θ ， J 1 = ( c o s θ + g 1 s i n θ ) 2 + ( h 1 sin θ ) 2 β 2 = arctan h 2 sin θ cos θ + g 2 sin θ ， J 2 = ( c o s θ + g 2 s i n θ ) 2 + ( h 2 sin θ ) 2 将上列函数 Φ 1 ， Φ 2 代入到式(20)，再化简后可得应力分量为： σ x = σ ˜ b 12 a 2 r [ ( g 1 2 − h 1 2 ) b 1 − 2 g 1 h 1 b 3 J 1 c o s β 1 2 + ( g 2 2 − h 2 2 ) b 2 + 2 g 2 h 2 b 3 J 2 c o s β 2 2 + ( g 1 2 − h 1 2 ) b 3 + 2 g 1 h 1 b 1 J 1 sin β 1 2 − ( g 2 2 − h 2 2 ) b 3 − 2 g 2 h 2 b 2 J 2 sin β 2 2 ] − σ ˜ D b 12 σ y = σ ˜ b 12 a 2 r ( b 1 J 1 c o s β 1 2 + b 2 J 2 c o s β 2 2 + b 3 J 1 sin β 1 2 − b 3 J 2 sin β 2 2 ) τ x y = σ ˜ b 12 a 2 r [ ( g 2 b 2 + h 2 b 3 ) ( 1 J 1 c o s β 1 2 − 1 J 2 c o s β 2 2 ) + ( h 1 b 1 + g 1 b 3 ) ( 1 J 2 sin β 2 2 − 1 J 1 sin β 1 2 ) ] } (23) 式中： D = ( g 1 2 − h 1 2 ) b 1 + ( g 2 2 − h 2 2 ) b 2 + 2 g 2 h 2 b 3 − 2 g 1 h 1 b 3 。式(23)就是各向异性材料中心裂纹板I型加载裂纹尖端的应力场通解，完全由实函数组成，式中的 β 和J与图1中裂纹端极坐标变量 θ 相关。 《计算举例》选取各向异性板的柔度系数为： a 11 = a 22 = 80 ( T P a ) − 1 ， a 66 = 140 ( T P a ) − 1 a 12 = − 20 ( T P a ) − 1 ， a 16 = a 26 = − 60 ( T P a ) − 1 则可求得： A 1 = − 2 a 16 a 11 = 3 2 ， A 2 = a 66 + 2 a 12 a 11 = 5 4 ， A 3 = − 2 a 26 a 11 = 3 2 ， A 4 = a 22 a 11 = 1 代入式(17)可得： q 4 + A 1 q 3 + A 2 q 2 + A 3 q + A 4 = q 4 + 1.5 q 3 + 1.25 q 2 + 1.5 q + 1 = 0 对四次方程求解，可得四个根为： q 1 = 0.197822 + 0.98024 i ， q 2 = − 0.947822 + 0.3188 i q 3 = q ¯ 1 = 0.197822 − 0.98024 i ， q 4 = q ¯ 2 = − 0.947822 − 0.3188 i 由此可得： g 1 = 0.197822 ， h 1 = 0.98024 ， g 2 = − 0.947822 ， h 2 = 0.3188 。 将四个数据代入计算公式(21)可求得： b 1 = b 2 = 0.875 ， b 12 = 1.75 ， b 3 = − 0.992 再将这些数据代入式(23)，确定出应力表达式如下： σ x σ ˜ = a 2 r [ − 0.261 J 1 c o s β 1 2 + 0.741 J 2 c o s β 2 2 + 0.716 J 1 sin β 1 2 + 0.515 J 2 sin β 2 2 ] − 0.481 σ y σ ˜ = a 2 r ( 0.5 J 1 c o s β 1 2 + 0.5 J 2 c o s β 2 2 − 0.567 J 1 sin β 1 2 + 0.567 J 2 sin β 2 2 ) τ x y σ ˜ = a 2 r ( 0.655 J 2 c o s β 2 2 − 0.655 J 1 c o s β 1 2 + 0.378 J 2 sin β 2 2 − 0.378 J 1 sin β 1 2 ) 式中： β 1 = arctan 0.98 sin θ cos θ + 0.198 sin θ ， J 1 = ( c o s θ + 0.198 s i n θ ) 2 + ( 0.98 sin θ ) 2 β 2 = arctan 0.319 sin θ cos θ − 0.948 sin θ ， J 2 = ( c o s θ − 0.948 s i n θ ) 2 + ( 0.319 sin θ ) 2 以上说明了裂纹端部应力在极坐标系 ( r ， θ ) 的表达式及其参数计算。