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user: 3. 定理1.1的证明 在本章节中，我们先证明以下三个引理，以此来完成定理1.1的完整证明。 引理3.1 设T是一非交换的单群，满足 | T | | 2 12 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ p 2 且 5 p 2 | | T | ，其中p为奇素数，则满足情况的单群有 A 6 和 P S U ( 4 ， 2 ) 。 证明：因为 | T | | 2 12 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ p 2 ，所以 3 ≤ | π ( T ) | ≤ 4 ，因此单群T满足( [ 20 ]，定理1)。如果 | π ( T ) | = 3 ，则 p ∈ { 3 ， 5 } ，因此T是一个{2，3，5}群。若 p = 3 ，则有 | T | | 2 12 ⋅ 3 4 ⋅ 5 ，由( [ 20 ]，表1)可知，T同构于( [ 20 ]，表1)中的八个群之一，即 T ≅ A 5 ， A 6 或 P S U ( 4 ， 2 ) 。又 5 p 2 | | T | ，则 T ≅ P S U ( 4 ， 2 ) 或 T ≅ A 6 。当 p = 5 ，我们有 | T | | 2 12 ⋅ 3 2 ⋅ 5 3 ，并且由 5 p 2 | | T | 和( [ 20 ]，表1)可知，此时不存在群T。 如果 | π ( T ) | = 4 ，有 | T | | 2 12 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ p 2 ，且 p > 5 ，由此可知 2 13 ∤ | T | ，     3 3 ∤ | T | ，     5 2 ∤ | T | (1) 由( [ 20 ]，定理1)可知，T满足( [ 20 ]，表2)或者 T = P S L ( 2 ， q ) 是一个含有4个素因子的群，其中q是一个素数的方幂。现在考虑前一种情形，如果T满足( [ 20 ]，表2)，对于( [ 20 ]，表2)中的31个群，通过检查每个群的阶可得，群T不存在。 如果 T = P S L ( 2 ， q ) ，则 | T | = q ( q + 1 ) ( q − 1 ) 2 因此 q ( q − 1 ) ( q + 1 ) 2 | 2 12 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ p 2 如果 T ≅ P S L ( 2 ， q ) ，则由( [ 20 ]，定理3.2)可知：要么q是2，3，5或7的方幂，要么 q ≥ 11 是一个素数。对于后一种情形，有 | P S L ( 2 ， q ) | = q ( q + 1 ) ( q − 1 ) 2 此时， q = p 2 ，矛盾。所以现在我们只考虑第一种情形，根据( [ 20 ]，表2)中的群，通过检查每个群的阶可得，群T不存在。 下面我们开始定理1.1的证明，主要是从G在 V Γ 上是拟本原和二部拟本原两种情形来分析，从而来完成定理1.1的证明。 引理3.2 若G在 V Γ 上是拟本原的，存在一个72阶5度弧传递图图 ζ 72 1 ，且 A u t ( ζ 72 1 ) ≅ A 6 ⋅ ℤ 2 。 证明：设N是G的一个极小的正规子群，则N为同构单群的直积，即 N = T d = T 1 × T 2 × ⋅ ⋅ ⋅ × T d ，其中 T i ≅ T ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， d ) 是一个单群。因为G在 V Γ 上是拟本原，所以N在 V Γ 上传递。如果N是交换的，则N在 V Γ 半正则，从而 | T | d = | N | = 8 p 2 ，矛盾，故N非交换。我们假设 d ≥ 2 。由 Γ 的连通性以及 1 ≠ N α ⊲ G α ，我们可知 Γ 是N-弧传递的。此时，如果 T 1 在 V Γ 传递，由( [ 15 ]，定理4.2)可知， T 1 的中心化子 C N ( T 1 ) (即 T 2 )是半正则的，与 | T 2 | ∤ 8 p 2 矛盾。如果 T 1 在 V Γ 上至少有三条轨道，则由定理2.5可知 T 1 是半正则，矛盾。因此 T 1 在 V Γ 上恰好有两条轨道，分别为U和W。又因为 T 1 ⊲ G ，所以U和W则构成了一个N-不变划分，换句话说就是集合稳定子 N U 在N中的指数为2，进一步由 N = T d 中没有指数为2 的子群可知，矛盾，故 N = T 。 注意到 Γ 是T-弧传递，故 T α 满足定理2.4.于是我们可由T的传递性可知， | V Γ | ⋅ | T α | = | T | | 2 12 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ p 2 。又 Γ 是T-弧传递，故 5 p 2 | | T | ，即T满足引理3.1。由 3 ≤ | π ( T ) | ≤ 4 ，再由引理3.1可知，我们只需考虑 | π ( T ) | = 3 这种情形。 假设 | π ( T ) | = 3 ，则我们由引理3.1可知，满足T和p 2 的只有群 T ≅ P S U ( 4 ， 2 ) 或 A 6 。若 T ≅ P S U ( 4 ， 2 ) ，则 | T α | = | T | / | V Γ | = 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 = 360 ，即 T α ≅ A 6 ，利用Magma ( [ 21 ] )计算可得，图不存在。若 T ≅ A 6 ，则 | T α | = | T | / | V Γ | = 5 ，由引理2.4可知， T α ≅ ℤ 5 ，由Magma ( [ 21 ] )计算可得，存在图 ς 72 。 综上所述，G在 V Γ 上是拟本原时存在图 ζ 72 1 。 引理3.3若G在 V Γ 上是二部拟本原的，存在两个72阶的5度弧传递图 ζ 72 2 和 ζ 72 3 ，且 A u t ( ζ 72 2 ) ≅ A u t ( ζ 72 3 ) ≅ A u t ( S 6 ) × ℤ 2 。 证明：因为G在 V Γ 上是二部拟本原的，所以G存在极小正规子群 N = T d ，且在 V Γ 上恰好有2个轨道，分别记作 W 1 和 W 2 。那么 W 1 和 W 2 是图 Γ 的两个部，因此 Γ 就是一个二部图。令 G + = G w 1 = G w 2 从而有 N ≤ G + ，且 | G : G + | = 2 ， G α = G α + 。 若N交换，则N在 W 1 上正则的，从而 | T | d = | N | = 4 p 2 ，不可能。因此N是非交换的。假设 G + 作用在 W 1 和 W 2 上是不忠实的，根据( [ 22 ]，引理5.2)可知， Γ 是一个完全二部图。又 Γ 是5度图，则 Γ ≅ K 5 ， 5 ，即 | V Γ | = 10 ，与 | V Γ | = 8 p 2 矛盾，从而 G + 作用在 W 1 和 W 2 上是忠实的。由( [ 23 ]，定理1.5)可知 G + 在 W i 上是拟本原的或者 G + 有两个正规子群 V 1 和 V 2 ，使得 V 1 ≅ V 2 ，且在 V Γ 上半正则。进一步地， V 1 × V 2 在 W i 上是正则的。 对于后一种情形，我们有 | V 1 | 2 = | W i | = 4 p 2 |，矛盾。 下面我们考虑前一种情形，由定理2.3可知， G + 是几乎单或乘积作用型。设 N = s o c ( G + ) = | T | d 是 G + 的基柱，其中T是非交换单群，且 d ≥ 1 。 若 G + 是几乎单，则 s o c ( G + ) = T 。进一步，如果T不是G的唯一的极小正规子群，由于 G = G + . ℤ 2 ，那么我们就很容易的得到 G = G + × ℤ 2 ，于是G有正规子群 ℤ 2 在 V Γ 上有4p 2 个轨道，这与G在 V Γ 上是二部拟本原的相矛盾。故T是G的唯一极小正规子群，即G是几乎单的，且其基柱 s o c ( G ) = T 。令 G = T . o ， G + = T . o ′ ，其中 ℤ 2 ≤ o ≤ O u t ( T ) ，且 | o : o ′ | = 2 。 由于 T α ⊲ G α ，于是由定理2.4可知， | T α | | 2 9 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ，因此 | T | = | W 1 | ⋅ | T α | 整除 2 12 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ p 2 。另一方面，由于 T α ≠ 1 ，我们有 5 p 2 | | T | ，即T满足引理3.1.由 3 ≤ | π ( T ) | ≤ 4 ，再由引理3.1可知，我们只需考虑 | π ( T ) | = 3 这种情形。 若 | π ( T ) | = 3 时，由引理3.1可知，满足T和p 2 条件的群只有 T ≅ P S U ( 4 ， 2 ) 或 T ≅ A 6 。若 T ≅ P S U ( 4 ， 2 ) ，则 | T α | = | T | / | W i | = 2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 。由Atlas ( [ 14 ] )可知， O u t ( P S U ( 4 ， 2 ) ) = ℤ 2 ，所以有 o = ℤ 2 ， o ′ = 1 ，且 G + = T ，因此 G + = T = P S U ( 4 ， 2 ) 。于是 | G α | = | G α + | = | T α | = | T | / | W 1 | = 2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ，此外，再由定理2.4可得 G α ≅ A 4 × A 5 。进一步，有 G ≅ T . O = P S U ( 4 ， 2 ) . ℤ 2 = P S U ( 4 ， 2 ) 。于是我们利用Magma ( [ 21 ] )计算可知，此时不存在图 Γ 。若 T ≅ A 6 ，则 | T α | = | T | / | W i | = 2 ⋅ 5 。由Atlas ( [ 14 ] )可知， O u t ( A 6 ) = ℤ 2 2 ，所以 o = ℤ 2 ， o ′ = 1 或 o = ℤ 2 2 ， o ′ = ℤ 2 ，故 G = A 6 ⋅ ℤ 2 或 A 6 ⋅ ℤ 2 2 ，于是 | G α | = | G α + | = | T α | = | T | / | W 1 | = 2 ⋅ 5 或 2 2 ⋅ 5 。由定理2.4可知， G α ≅ D 10 或 G α ≅ D 20 。分别由Magma ( [ 21 ] )计算可知，存在两个72阶的5度弧传递图 ζ 72 2 和 ζ 72 3 ，且 A u t ( ζ 72 2 ) ≅ A u t ( ζ 72 3 ) ≅ A u t ( S 6 ) × ℤ 2 。 假设 G + 是乘积作用型的，则有 N = T d = T 1 × T 2 × ⋯ × T d ，其中 d ≥ 2 ， T i ≅ T ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， d ) 是一个单群。如果 T 1 在 W i 上是传递的，我们由( [ 15 ] 定理4.2)可知， T 2 是半正则的，因此 | T | | 4 p 2 ，矛盾。从而 T 1 在 W 1 和 W 2 上不传递，同样由( [ 24 ] 引理3.2)可知， T 1 是半正则的，矛盾。 综上所述，G在 V Γ 上是二部拟本原时，存在两个72阶的5度弧传递图 ζ 72 2 和 ζ 72 3 。 定理1.1的证明证毕。