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user: 2. 基于参数关系面板数据聚类 2.1. 基于线性关系面板数据相似性度量 设面板数据模型数据生成过程为 [ 3 ] [ 4 ]： y i t ( 1 ) = f ( y i t ( 2 ) ， y i t ( 3 ) ， ⋯ ， y i t ( m ) ) + ε i t ， (2) 其中 y i t ( 2 ) ， y i t ( 3 ) ， ⋯ ， y i t ( m ) 为影响变量， y i t ( 1 ) 为响应变量。 计算第i个截面个体中各个影响变量与响应变量之间的相关系数，记为 r i l ( 1 ) ， r i l ( 1 ) = cov ( y i t ( 1 ) ， y i t ( l ) ) var ( y i t ( 1 ) ) var ( y i t ( l ) ) ， l = 2 ， ⋯ ， m 其中 y i t ( 2 ) ， y i t ( 3 ) ， ⋯ ， y i t ( m ) 为影响变量， y i t ( 1 ) 为响应变量，有： cov ( y i t ( 1 ) ， y i t ( l ) ) = 1 T ∑ t = 1 T ( y i t ( 1 ) − y ¯ i ( 1 ) ) ( y i t ( l ) − y ¯ i ( l ) ) ， y ¯ i ( 1 ) = 1 T ∑ t = 1 T y i t ( 1 ) ，   y ¯ i ( l ) = 1 T ∑ t = 1 T y i t ( l ) . 将第i个截面个体中各影响变量与响应变量构成的相关系数向量矩阵记为 r i ( 1 ) = ( r i 2 ( 1 ) ， r i 3 ( 1 ) ， ⋯ ， r i m ( 1 ) ) 。 设定每个截面个体为一个类 G i ，其中， G i = ( ( y i 1 ) ′ ， ( y i 2 ) ′ ， ⋯ ， ( y i m ) ′ ) ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ， y i k = ( y i 1 k ， ⋯ ， y i T k ) ，   t = 1 ， 2 ， ⋯ ， T . 现在构造反映结构关系的相似性度量指标为结构关系距离。 定义1 线性结构关系距离：截面个体i和截面个体j之间的结构关系距离定义为： d i j = ( r i ( 1 ) − r j ( 1 ) ) ( r i ( 1 ) − r j ( 1 ) ) ′ ， (3) 其中， r i ( 1 ) = ( r i 2 ( 1 ) ， r i 3 ( 1 ) ， ⋯ ， r i m ( 1 ) ) ， r j ( 1 ) = ( r j 2 ( 1 ) ， r j 3 ( 1 ) ， ⋯ ， r j m ( 1 ) ) ， i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 。 上面定义的结构关系距离，满足距离的性质，若两个截面之间的结构关系完全相同，则结构关系距离为零，反之，自变量与因变量之间的关系差距越显著，则结构关系距离越大。 2.2. 非线性结构关系相似性度量 在面板数据模型数据生成过程为： y i t ( 1 ) = f ( y i t ( 2 ) ， y i t ( 3 ) ， ⋯ ， y i t ( m ) ) + ε i t ， (4) 其中 y i t ( 2 ) ， y i t ( 3 ) ， ⋯ ， y i t ( m ) 为影响变量， y i t ( 1 ) 为响应变量。3.5节中，所刻画的数据生成过程中存在某种影响与响应关系是线性的，但是，自变量对因变量的影响关系可能是线性的，也可能是非线性的；可能是参数结构不变的，也可能存在跳跃性的机制转换也就是说，自变量的变化会引起因变量的变化是复杂的，本节探讨存在非线性结构关系的面板数据聚类问题。 在(4)中，若存在不同的截面个体 i ， j ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ， i ≠ j ， 假定 f ( y i t ( 2 ) ， y i t ( 3 ) ， ⋯ ， y i t ( m ) ) 为连续且处处可导、可微，有以下关系成立 d y i t ( 1 ) d t = ∂ y i t ( 1 ) ∂ y i t − l ( 2 ) d y i t ( 2 ) d t + ∂ y i t ( 1 ) ∂ y i t − l ( 3 ) d y i t ( 3 ) d t + ⋯ + ∂ y i t ( 1 ) ∂ y i t − l ( m ) d y i t ( m ) d t ， 其中 d y i t ( i ) d t ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 为变量关于时间的导数， ∂ y i t ( 1 ) ∂ y i t − l ( i ) ， i = 2 ， ⋯ ， m 为因变量关于各自变量的偏导数。 对于模型(4)，若满足第 i ， j 个截面的数据关系结构相同或者相似，则： y i t ( 1 ) = f ( y i t ( 2 ) ， y i t ( 3 ) ， ⋯ ， y i t ( m ) ) + ε i t ，   i = 1 ， 2 ⋯ ， N ， y j t ( 1 ) = f ( y j t ( 2 ) ， y j t ( 3 ) ， ⋯ ， y j t ( m ) ) + ε j t ，   j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ， 所刻画的两条曲线或者曲面是平行关系或者接近平行关系。即满足： ∂ y i t ( 1 ) ∂ y i t − l ( k ) ≈ ∂ y j t ( 1 ) ∂ y j t − l ( k ) ，   k = 2 ， 3 ， ⋯ ， m . (5) 在实证研究中，建模分析前，模型的数据生成过程符合什么样的模型形式往往是未知的，因此，需要用样本信息特征来判定模型的初步特征，如，对于一个只含一个解释变量的二元面板模型，若第 i ， j 个截面的数据关系结构相同或者相似，则有 Δ y i t ( 1 ) Δ y i t − l ( 2 ) ≈ Δ y j t ( 1 ) Δ y j t − l ( 2 ) . (6) 相应的，对于含有m个解释变量的面板数据模型，设定模型之间存在影响与响应的某种直曲线关系，若第 i ， j 个截面的数据关系结构相同或者相似，则有 Δ y i t ( 1 ) Δ y i t − l ( 2 ) ≈ Δ y j t ( 1 ) Δ y j t − l ( 2 ) ， Δ y i t ( 1 ) Δ y i t − l ( 3 ) ≈ Δ y j t ( 1 ) Δ y j t − l ( 3 ) ， ⋯ ， Δ y i t ( 1 ) Δ y i t − l ( m ) ≈ Δ y j t ( 1 ) Δ y j t − l ( m ) . (7) 定义2 非线性关系距离：将截面个体i和截面个体j之间的非线性关系距离定义为： d i j = 1 T ∑ t = 1 T ( Δ y i t ( 1 ) Δ y i t − l ( 2 ) − Δ y j t ( 1 ) Δ y j t − l ( 2 ) ) 2 + ( Δ y i t ( 1 ) Δ y i t − l ( 3 ) − Δ y j t ( 1 ) Δ y j t − l ( 3 ) ) 2 + ( Δ y i t ( 1 ) Δ y i t − l ( m ) − Δ y j t ( 1 ) Δ y j t − l ( m ) ) 2 ， (8) 公式(8)所刻画的距离，当两条曲线或者两个曲面之间是完全平行关系时，距离为零，当接近平行关系时，距离接近于零。 非线性关系距离满足以下两条性质： 性质一：对称性，即有 d i j = d j i 。 性质二：不同的截面个体之间结构关系越接近，关系结构距离 d i j 越小，二者之间关系结构关系差异越大，关系结构距离越大。当截面个体i和截面个体j之间为完全平行的关系时， d i j → 0 。 2.3. 结构关系数据聚类 1) 初始聚类点确定 定义每一个截面个体为单独的一类，计算N个类之间的关系结构距离，构成初始关系结构距离矩阵，记为 D ( 0 ) ， D ( 0 ) = [ 0 d 12 d 13 ⋯ d 1 N 0 0 d 23 ⋯ d 2 N ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ d ( N − 1 ) N 0 0 0 ⋯ 0 ] ， 其中， d i j 为公式(3)或者(8)定义的线性或者非线性关系距离。 存在足够小的阈值 δ ，当 d i j ≤ δ 时，将类i和类j合并成新的一类，依次判定规则，将满足此规则构成的新的类集记为： { G r ， r = 1 ， 2 ， ⋯ ， K } ，此K个类构成了所有分类的初始分类聚合点。 2) 聚合规则 计算其余元素和 { G r ， r = 1 ， 2 ， ⋯ ， K } 中每个类的距离，将距离最小值对应的样本归并到相对应的类中，即 d r l 2 = min { d i ， j 2 ， i ∈ G i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， K ， j ∉ G i ， j = 1 ， 2 ， N − K } . (9) 将j对应的样本归并到类 G r 中，重复判断，直到所有的元素按此规则被划分到相应的类中。