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user: 4. 量子霍尔效应的α-对偶子诠释 凝态二维电子气体系统中所显现的诸多量子霍尔电导率的量子化现象是当代凝态物理的最重要研究成果之一，尤其是以拓朴流型(manifold)的多元曲率和拓朴陈数等来解释这种量子化的根源，为凝态物理理论开启了一个以拓朴学为根基的全新视野。前述表征基本粒子之生命时空的广义相空间，正是一种具有深刻物理意涵之拓朴流型的参数空间。 4.1. 量子霍尔效应中的宇宙阶梯密码 量子霍尔效应(QHE)家族成员(诸如IQHE、FQHE、QSHE、QAHE、FQSHE、拓朴HE、skyrmion HE、能阱HE、复合准粒子HE等等)之所以获得特别的关注，不只是因为这些实验数据无法以旧有的Landau理论来解释、或引进了新的量子化机制、或开展了拓朴材料及拓朴相变的新领域、或突显了【物与几何(拓朴、形数)同一】的自然哲学指引等等，还在于它们都有极高的精确度和极强的普适性。无论材料的种类、形状的几何参数、杂质含量、甚至是传导量子的浓度，只要这些因素的量值不超过某个临界值，那么霍尔电导之量子化的阶梯印记都能精准地显现出来。它们似乎包藏着源自宇宙演化过程所内化的遗传密码(参下)，而可作为凝态物理新拓朴典范的一个稳固的始基和生长点。图1a是单层石墨烯之量子霍尔电导率随磁场变化的阶梯图 [ 11 ] ，图中显示台阶高度是4α，依据前述α-对偶子整体传导的设想，此表示石墨烯单位晶格内有四个稳定的量子阱，足以局域化(localized) -对偶子，只有在磁场强度达到一定的量值时，它们才沿着Landau能阶的扩展态(extended states)在全局中传输(图1b)。 石墨烯是量子元器件的热门材料，也是量子计算器的潜在候选者，而其中的α-对偶子则是量子位(qubit)的原型。这种材料是否能发挥它所应有的上述功能，关键在于如何操控α-对偶子，以及能操控到甚么程度。另外，石墨烯和组成生命体的有机巨分子(含DNA)又有演化上的深层联系，因为所有的有机巨分子都以碳为骨架，且很多生命有机分子的碳骨架和石墨烯一样都是六边形(例如醣类、脂肪、DNA碱基及神经网络等)。做为表1所示之宇宙演化第四和第五阶层的中介，石墨烯在对偶空间(拓朴参数空间、广义相空间、也是量子位的Bloch球面和旋量空间)上的动态演化路径，是一个涉及宇宙演化的神秘(未知)过程，也是量子计算的设计和操作平台。 前述量子霍尔效应的拓朴诠释已经获奖，但这只是建构理论的开始，远远不是终结。以 -对偶子作 图1. 石墨烯量子霍尔效应及Landau能阶示意图 [ 11 ] 为传导量子来解释这种量子化现象就是一种新诠释。这种新诠释的历史脉络至少可溯及Dirac的磁单极假说，由此所推衍的结论可与表1中所述之理论脉络相联系。 4.2. Dirac磁单极的量子化定则 1931年P.A.M.Dirac在其<<电磁场中的量子化异点>> [ 12 ] 一文中，尝试解释电荷量子化的物理成因，这是经典物理和当时的量子力学都无法解释的大问题。在经典物理中电荷是唯一量子化的物理量，量子力学建立后，任何物理量都可在算符化之后，作用在相应的量子态，求其特征值而量子化，但却无法从既有的有物理根源的量子化定则中，解释电荷量子化的成因。 Dirac发现，若假设磁单极 q m 存在，则它在空间中所建立的位势是一种向量势(vector potential)，此与电荷所建立的标量势不同，也是Maxwell原初方程中所无的一种新位势。在此向量势A的等位势球面上运动的电子将受到 B = ∇ × A ± 之磁场的作用。其中 A ± = g r sin θ ( ± 1 − cos θ ) ，是 ∇ ⋅ B = q m 、 B = ∇ × A ± 两联立方程的解，但在磁单极所在的位置(r = 0处) A ± 发散，是Dirac论文标题所称的电磁场中的量子化异点(Quantized singularities in the electromagnetic fields)。当 θ = 0 (正z轴)和 θ = π (负z轴)时， A + ， A − 分别代表 A ± 的两极(N极及S极)，后称Dirac弦极(Dirac string singularities)以与量子场论中的弦论相联系。 已知电磁场中的异点可经由规范转换(gauge transformation)来消除，在本例中此对应于 A + (上半球)与 A − (下半球)所对应的电子波函数 Ψ ± 在赤道面( θ = π 2 )相匹配。即若 A + = A − + ∇ χ (gauge transformation)，则对应的电子波数 Ψ + = e i e χ / ℏ c Ψ − 。为了保证 Ψ 为单值函数(即电子在同一处不能有两个不同机率密度)， e i e χ / ℏ c 只能为1，此表示 e χ ℏ c = 2 n π ，其中n = 整数。因为 q m = ∬ B d S = ∮ A + d l − ∮ A − d l = ∫ 0 2π ∇ χ = χ ( 2π ) − χ ( 0 ) ，代入上式得 e c q m = n h (1) 这就是著名的Dirac量子化定则。 后来的研究显示式(1)包含巨大的信息量，例如： 1) 宇宙中只要存在一个磁单极则电荷必然量子化，这是电荷量子化的最原初成因，解决了上述电荷量子化的历史问题。 2) 由式(1)知 q m = n h c e ≈ n e α ，其最小值(n = 1)为 q m = 137 e 。此表示最小磁单极所携带的电量为氢原子核(质子)的137倍，其对周围电子的吸引力也是质子的137倍，因此其1s电子轨道半径只有氢原子波尔半径 a 0 的1/137，也就是 α a 0 = 0.00386   A ，故最小α-对偶子(最小磁单极子与电子的复合粒子，有如氢原子是质子与电子的复合粒子)之1s电子的 λ p = 2 π × 0.00386   A = 0.0243   A 。前述任何物理量都必须有限不能无穷，所以最小磁单极也应该有个最小值，已知最小长度量子l u 是长度的极限，也是宇宙超常数，所以磁单极不能小于l u ，而l u 又正好是0.0243A的α倍(表1)。 3) 任一基本粒子只要带有电荷，它潜在的就能与一个磁单极(或磁通量子)结合在一起，成为一个复合准粒子(例如Dirac Composite Fermion or Boson)，只要条件适合这个复合准粒子就会显现出来。在上述量子霍尔效应的实验中，这个从潜在到显在的条件已经明确，就是低维度(2D以下)、深低温、强磁场的低能态。这个复合准粒子尚未被命名，本文称之为α-对偶子，原因如前述。这是对量子霍尔效应的一种可能诠释，因为它直接解释了量子霍尔电导率的α阶梯效应，固亦可模拟原子能阶间跳渡的光量子，称之为α量子。 4) 式(1)不但适用于本例中的电磁场，也适用于弱场、强场、大统一场、以及量子真空场 [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] ，这只要将量子电动力学的U(1)规范群嵌入到(embedded)一个更大的统一规范群中即可。在这些理论中，磁单极子表现为受拓朴保护的平滑非线性场的场量子(topological solitons拓朴孤子)，且它的存在是大统一场论(GUTs)的必然。因此广义磁单极可以是【所有场量子的共有属性】，包括凝态的晶格场、拓朴场(Berry曲率)等。同理，α量子也可以是【所有带电基本粒子的共有属性】。 5) 式(1)突出的显示了【对偶性是物理学的一种原初本性】。它不但包含经典电磁学之电荷与磁荷、电流与磁流、电场与磁场的对偶性，也包含了量子场论中强场与弱场的对偶性，以及超对称中费米子与波色子同一的对偶性，甚至是任何量子位(qubit)的极性对偶性(例如手性(chirality)、旋性(helicity)、涡性(voticity))，以及描述基本粒子或量子位之Wigner函数(quasi-probability distribution) [ 5 ] [ 6 ] 所需的对偶相空间(表1第一平台的广义作用量空间)等。它不但适用于高能高维的弦论 [ 15 ] ，也适用于低能低维的凝态物理，这个事实或可解释为何TKNN的理论模型中 [ 1 ] ，把强磁场和弱磁场视为无法言说的对偶场，却能成功解释量子霍尔效应的原因。TKNN模型中的另两个不可言说的【准电子波函数的Z 2 对称性】，以及【填充因子只能是有理数】(源自Harper模型 [ 17 ] )，正是α-对偶子的本性。 6) 式(1)中的整数n与拓朴陈数(cheng number)在本质上相同。这个结论是1975年，T.T. Wu和C.N. Yang [ 18 ] 所提出的，他们发现若令式(1)中的 h = e = 1 ，则 A ∅ ± = n 2 n ( ± 1 − cos θ ) d ∅ ，这是量子规范场之场方程的一组解，具有Abelian规范群U(1)转换不变性。所以Dirac的磁单极可被视为是Abelian规范场的一种场量子。 综合以上结果得知，上述的广义Dirac量子化定则确实是一种更深刻的新量子化定则，不但不同于数学传统的特征值问题和最新的拓朴量子化(陈数)，也不同于哥本哈根传统的广义坐标空间的量子化定则，它或可称为【参数空间之路径积分的量子化定则】。在此之参数空间包括Dirac的位势空间(动量空间)，也包含拓朴流形空间(manifold)，以及任何数学空间或有明确物理意义的任何物理空间，例如描述量子位的Bloch空间、旋量(spinor)空间以及本文所特别强调的广义相(作用量)空间(表1第一平台)。