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user: 3. 二阶Crank-Nicolson/Adams-Bashforth格式 将时间区间 [ 0 ， T ] 剖为： 0 = t 0 < t 1 < ⋯ < t n = T ， t n + 1 − t n = τ = T / N ，N是一个正整数。全离散格式逼近问题(2.1)可以表述为下述方程，给定 u h n − 1 ， u h n ∈ S h ，求 u h n + 1 ， w h n + 1 2 ∈ S h ，有 { ( δ t u h n + 1 ， v h ) + ( ∇ w h n + 1 2 ， ∇ v h ) = 0 ，     ∀ v h ∈ S h (3 .1) ( w h n + 1 2 ， ϕ h ) = ε 2 ( ∇ u h n + 1 2 ， ∇ ϕ h ) + S ( u h n + 1 − 2 u h n + u h n − 1 ， ϕ h ) + ( 3 2 f ( u h n ) − 1 2 f ( u h n − 1 ) ， ϕ h ) + β ( δ t u h n + 1 ， ϕ h ) ，     ∀ ϕ h ∈ S h (3 .2) 其中 δ t u h n + 1 : = u h n + 1 − u h n τ ， u h n + 1 2 : = u h n + 1 + u h n 2 ， τ 是时间步长。 定理3.1 设 ( u h n + 1 ， w h n + 1 2 ) 是格式(3.1)-(3.2)的解，在 τ ≤ β / L   ( β ， L ≥ 0 ) 条件下，该格式是稳定的并且满足下面的能量法则： E ( u h n + 1 ) + ( β τ − 3 L 4 ) ‖ u h n + 1 − u h n ‖ 2 ≤ E ( u h n ) + L 4 ‖ u h n − u h n − 1 ‖ 2 . 证明 在(3.1)中取 v h = w h n + 1 2 ，有 ( u h n + 1 − u h n ， w h n + 1 2 ) + τ ‖ ∇ w h n + 1 2 ‖ 2 = 0 (3.3) 在(3.2)中取 ϕ h = u h n + 1 − u h n ，有 ( w h n + 1 2 ， u h n + 1 − u h n ) = ε 2 ( ∇ u h n + 1 2 ， ∇ ( u h n + 1 − u h n ) ) + S ( u h n + 1 − 2 u h n + u h n − 1 ， u h n + 1 − u h n )     + ( 3 2 f ( u h n ) − 1 2 f ( u h n − 1 ) ， u h n + 1 − u h n ) + β ( δ t u h n + 1 ， u h n + 1 − u h n ) : = ∏ 1 + ∏ 2 + ∏ 3 + ∏ 4 接下来我们对 ∏ 1 ~ ∏ 4 进行估计， ∏ 1 = ε 2 2 ( ∇ ( u h n + 1 + u h n ) ， ∇ ( u h n + 1 − u h n ) ) = ε 2 2 ‖ ∇ u h n + 1 ‖ 2 + ε 2 2 ‖ ∇ u h n ‖ 2 利用公式 2 a ( a − b ) = a 2 − b 2 + ( a − b ) 2 ，则 ∏ 2 = ( ( u h n + 1 − u h n ) − ( u h n − u h n − 1 ) ， u h n + 1 − u h n ) = 1 2 ( ‖ u h n + 1 − u h n ‖ 2 − ‖ u h n − u h n − 1 ‖ 2 + ‖ u h n + 1 − 2 u h n + 1 + u h n − 1 ‖ 2 ) 利用泰勒公式，则 ∏ 3 = 1 2 ( f ( u h n ) − f ( u h n − 1 ) ， u h n + 1 − u h n ) + ( f ( u h n ) ， u h n + 1 − u h n )     + ( 1 2 f ′ ( ξ ) ( u h n + 1 − u h n ) 2 ， 1 ) − ( 1 2 f ′ ( ξ ) ( u h n + 1 − u h n ) 2 ， 1 ) = ( 1 2 f ′ ( ξ ) ( u h n − u h n − 1 ) ， u h n + 1 − u h n ) + ( F ( u h n + 1 ) − F ( u h n ) ， 1 )     − ( 1 2 f ′ ( ξ ) ( u h n + 1 − u h n ) 2 ， 1 ) ∏ 4 = β τ ( u h n + 1 − u h n ， u h n + 1 − u h n )                 = β τ ‖ u h n + 1 ‖ 2 − β τ ‖ u h n ‖ 2 结合(3.3)和以及对的估计，有 ε 2 2 ( ‖ ∇ u h n + 1 ‖ 2 − ‖ ∇ u h n ‖ 2 ) + ( F ( u h n + 1 ) − F ( u h n ) ， 1 )   + S 2 ( ‖ u h n + 1 − u h n ‖ 2 − ‖ u h n − u h n − 1 ‖ 2 + ‖ u h n + 1 − 2 u h n + u h n − 1 ‖ 2 )   + ( F ( u h n + 1 ) − F ( u h n ) ， 1 ) − ( w h n + 1 2 ， u h n + 1 − u h n ) + β τ ‖ u h n + 1 − u h n ‖ 2 = − ( 1 2 f ′ ( ξ ) ( u h n − u h n − 1 ) ， u h n + 1 − u h n ) + ( 1 2 f ′ ( ξ ) ( u h n + 1 − u h n ) 2 ， 1 ) (3.4) 利用Cauchy-Schwarz不等式和(1.2)，即等式(3.4)的右边项有： ( f ′ ( ξ ) 2 ( u h n + 1 − u h n ) 2 ， 1 ) − ( f ′ ( ξ ) 2 ( u h n − u h n − 1 ) ， ( u h n + 1 − u h n ) ) ≤ L 2 ‖ u h n + 1 − u h n ‖ 2 + L 2 ‖ u h n − u h n − 1 ‖ ‖ u h n + 1 − u h n ‖ ≤ 3 L 4 ‖ u h n + 1 − u h n ‖ 2 + L 4 ‖ u h n − u h n − 1 ‖ 2 (3.5) 根据能量函数(1.3)的定义，结合(3.4)和(3.5)，该定理得证。 定理3.2 设 ( u ( t n ) ， w ( t n ) ) 和 ( u h n ， w h n + 1 2 ) 分别是方程(2.1)和方程(3.1)，(3.2)的解。且假设 u ， w ∈ C ( 0 ， T ; H 1 ( Ω ) ) ， u t ∈ L 2 ( 0 ， T ; H 1 ( Ω ) ∩ L 2 ( Ω ) ) ， u t t ∈ L 2 ( 0 ， T ; H 2 ( Ω ) ) ， u t t t ∈ L 2 ( 0 ， T ; H − 1 ( Ω ) ∩ L 2 ( Ω ) ) ，则满足下述估计式 ‖ u ( t n ) − u h n ‖ ≤ C ( τ 2 + h 2 ) . 证明：首先给一些符号 e ¯ n = u ( t n ) − R h u ( t n ) ，     e n = u h n − R h u ( t n ) η ¯ n = w ( t n ) − R h w ( t n ) ，     η n = w h n − R h w ( t n ) η ¯ n + 1 2 = w ( t n + 1 2 ) − R h w ( t n + 1 2 ) ，     η n = w h n + 1 2 − R h w ( t n + 1 2 ) 然后全离散格式利用上面的关系可以写成下面的等价式： ( e n + 1 − e n τ ， v h ) + ( ∇ η n + 1 2 ， ∇ v h ) = ( e ¯ n + 1 − e ¯ n τ ， v h ) − ( R 1 n + 1 2 ， v h ) + ( ∇ η ¯ n + 1 2 ， ∇ v h ) (3.6) ε 2 ( ∇ e n + 1 2 ， ∇ ϕ h ) + ε 2 ( R 2 n + 1 2 ， ϕ h ) + S ( e n + 1 − 2 e n + e n − 1 ， ϕ h )   − S ( u ( t n + 1 ) − 2 u ( t n ) + u ( t n − 1 ) ， ϕ h ) + S ( ( I − R h ) ( u ( t n + 1 ) − 2 u ( t n ) + u ( t n − 1 ) ) ， ϕ h )   + β ( e n + 1 − e n − ( e ¯ n + 1 − e ¯ n ) ， ϕ h ) + β ( R 1 n + 1 2 ， ϕ h ) = ( f ( u ( t n + 1 2 ) ) − 3 2 f ( u h n ) + 1 2 f ( u h n − 1 ) ， ϕ h ) + ( η n + 1 2 − η ¯ n + 1 2 ， ϕ h ) (3.7) 在(3.6)中分别取 v h = 2 τ e n + 1 2 ， 2 β τ ε 2 η n + 1 2 以及在(3.7)中取 ϕ h = − 2 τ η n + 1 2 ε 2 得到三个等式，对其求和有， ‖ e n + 1 ‖ 2 − ‖ e n ‖ 2 + 2 τ ε 2 ‖ η n + 1 2 ‖ 2 + 2 β τ ε 2 ‖ ∇ η n + 1 2 ‖ 2 = ( e ¯ n + 1 − e ¯ n τ ， 2 τ e n + 1 2 ) + ( η ¯ n + 1 2 ， 2 τ ε 2 η n + 1 2 ) + S ( e n + 1 − 2 e n + e n − 1 ， 2 τ ε 2 η n + 1 2 ) − ( f ( u ( t n + 1 2 ) ) − 3 2 f ( u h n ) + 1 2 f ( u h n − 1 ) ， 2 τ ε 2 η n + 1 2 ) − ( R 1 n + 1 2 ， τ e n + 1 2 ) + ( R 2 n + 1 2 ， 2 τ η n + 1 2 ) − S ( u ( t n + 1 ) − 2 u ( t n ) + u ( t n − 1 ) ， 2 τ ε 2 η n + 1 2 ) + S ( ( I − R h ) ( u ( t n + 1 ) − 2 u ( t n ) + u ( t n − 1 ) ， 2 τ ε 2 η n + 1 2 ) ) : = ∑ i 8 ∏ i (3.8) 接下来，我们对 ∏ 1 ~ ∏ 9 进行估计，其中 ∏ 1 ~ ∏ 4 利用Cauchy-Schwarz不等式，Young不等式有， ∏ 1 ≤ | ( e ¯ n + 1 − e ¯ n τ ， 2 τ e n + 1 2 ) | ≤ 2 τ ‖ δ t e ¯ n + 1 2 ‖ ‖ e n + 1 2 ‖ ≤ 2 τ ‖ δ t e ¯ n + 1 2 ‖ 2 + τ 2 ‖ e n + 1 2 ‖ 2 ∏ 2 ≤ | ( η ¯ n + 1 2 ， 2 τ ε 2 η n + 1 2 ) | ≤ 2 τ ε 2 ‖ η ¯ n + 1 2 ‖ ‖ η n + 1 2 ‖ ≤ 8 τ ε 2 ‖ η ¯ n + 1 2 ‖ 2 + τ 8 ε 2 ‖ η n + 1 2 ‖ 2 ∏ 3 ≤ | S ( e n + 1 − 2 e n + e n − 1 ， 2 τ ε 2 η n + 1 2 ) | ≤ | S ( e n + 1 − e n ， 2 τ ε 2 η n + 1 2 ) | + | S ( e n − 1 − e n ， 2 τ ε 2 η n + 1 2 ) | ≤ 2 S τ ε 2 ‖ e n + 1 − e n ‖ ‖ η n + 1 2 ‖ + 2 S τ ε 2 ‖ e n − 1 − e n ‖ ‖ η n + 1 2 ‖ ≤ 8 S 2 τ ε 2 ‖ e n + 1 − e n ‖ 2 + 8 S 2 τ ε 2 ‖ e n − 1 − e n ‖ 2 + 2 τ 8 ε 2 ‖ η n + 1 2 ‖ 2 ∏ 4 ≤ | ( f ( u ( t n + 1 2 ) ) − 3 2 f ( u h n ) + 1 2 f ( u h n − 1 ) ， 2 τ ε 2 η n + 1 2 ) | ≤ 8 τ ε 2 ‖ f ( u ( t n + 1 2 ) ) − 3 2 f ( u h n ) + 1 2 f ( u h n − 1 ) ‖ 2 + τ 8 ε 2 ‖ η n + 1 2 ‖ 2 = 8 τ ε 2 ∏ 9 + τ 8 ε 2 ‖ η n + 1 2 ‖ 2 ∏ 5 ， ∏ 6 利用截断误差(2.6)和(2.7)，Cauchy-Schwarz不等式，Young不等式有， ∏ 5 ≤ | − ( R 1 n + 1 2 ， τ e n + 1 2 ) | ≤ τ ‖ R 1 n + 1 2 ‖ ‖ e n + 1 2 ‖ ≤ τ 2 ‖ R 1 n + 1 2 ‖ 2 + τ 2 ‖ e n + 1 2 ‖ 2 ≤ τ 4 2 ∫ t n t n + 1 ‖ u t t t ( s ) ‖ 2 d s + τ 2 ‖ e n + 1 2 ‖ 2 ∏ 6 ≤ | ( R 2 n + 1 2 ， 2 τ η n + 1 2 ) | ≤ 2 τ ‖ R 2 n + 1 2 ‖ ‖ η n + 1 2 ‖ ≤ 8 ε 2 τ ‖ R 2 n + 1 2 ‖ 2 + τ 8 ε 2 ‖ η n + 1 2 ‖ 2 ≤ 8 ε 2 τ 4 ∫ t n t n + 1 ‖ u t t ( s ) ‖ 2 2 d s + τ 8 ε 2 ‖ η n + 1 2 ‖ 2 对于 ∏ 7 ， ∏ 8 ， ∏ 9 的估计，利用泰勒展示，Young不等式有，Cauchy-Schwarz不等式，有 ∏ 7 ≤ | − S ( u ( t n + 1 ) − 2 u ( t n ) + u ( t n − 1 ) ， 2 τ ε 2 η n + 1 2 ) | ≤ C S 2 τ ε 2 ‖ ∫ t n t n + 1 u t t ( s ) ( t n + 1 − s ) d s ‖ 2 + C S 2 τ ε 2 ‖ ∫ t n − 1 t n u t t ( s ) ( s − t n ) d s ‖ 2 + 2 τ 8 ε 2 ‖ η n + 1 2 ‖ 2 ≤ C S 2 τ 3 ε 2 ‖ ∫ t n − 1 t n u t t ( s ) d s ‖ 2 + C S 2 τ 3 ε 2 ‖ ∫ t n − 1 t n u t t ( s ) d s ‖ 2 + 2 τ 8 ε 2 ‖ η n + 1 2 ‖ 2 ≤ C S 2 τ 4 ε 2 ∫ t n − 1 t n + 1 ‖ u t t ( s ) ‖ 2 d s + 2 τ 8 ε 2 ‖ η n + 1 2 ‖ 2 ∏ 8 ≤ | S ( ( I − R h ) ( u ( t n + 1 ) − 2 u ( t n ) + u ( t n − 1 ) ) ， 2 τ ε 2 η n + 1 2 ) | ≤ C S 2 τ 4 ε 2 ∫ t n − 1 t n + 1 ‖ ( I − R h ) u t t ( s ) ‖ 2 d s + τ 8 ε 2 ‖ η n + 1 2 ‖ 2 ∏ 9 ≤ 2 ( ‖ f ( u ( t n + 1 2 ) ) − 3 2 f ( u ( t n ) ) + 1 2 f ( u ( t n − 1 ) ) ‖ 2     + ‖ 3 2 f ( u ( t n ) ) − 3 2 f ( u h n ) − 1 2 f ( u ( t n − 1 ) ) + 1 2 f ( u h n − 1 ) ‖ 2 ) ≤ C ‖ f ( u ( t n + 1 2 ) ) − 1 2 ( f ( u ( t n + 1 ) ) + f ( u ( t n ) ) ) ‖ 2     + C ‖ 1 2 ( f ( u ( t n + 1 ) ) + f ( u ( t n ) ) ) − 3 2 f ( u ( t n ) ) + 1 2 f ( u ( t n − 1 ) ) ‖ 2     + C L 2 ( ‖ u ( t n ) − u h n ‖ 2 + ‖ u ( t n − 1 ) − u h n − 1 ‖ 2 ) ≤ C L τ 3 ∫ t n − 1 t n + 1 ‖ u t t ( s ) ‖ 2 d s + C L 2 ( ‖ e n ‖ 2 + ‖ e ¯ n ‖ 2 + ‖ e n − 1 ‖ 2 + ‖ e ¯ n − 1 ‖ 2 ) 综上，将 ∏ 1 ~ ∏ 9 不等式带入(3.8)可以得到， ‖ e n + 1 ‖ 2 − ‖ e n ‖ 2 ≤ 2 τ ‖ δ t e ¯ n + 1 ‖ 2 + τ ‖ e n + 1 2 ‖ 2 + τ 4 2 ∫ t n t n + 1 ‖ u t t t ( s ) ‖ 2 d s + 8 τ 4 ε 2 ∫ t n t n + 1 ‖ u t t ( s ) ‖ 2 2 d s + 8 S 2 τ ε 2 ‖ e n + 1 − e n ‖ 2 + 16 S 2 τ 4 ε 2 ∫ t n − 1 t n + 1 ‖ u t t ( s ) ‖ 2 d s + 8 S 2 τ ε 2 ‖ e n − 1 − e n ‖ 2 + 16 S 2 τ 4 ε 2 ∫ t n − 1 t n + 1 ‖ ( I − R h ) u t t ( s ) ‖ 2 d s + 8 τ 4 ε 2 ‖ η ¯ n + 1 2 ‖ + C L τ 4 ε 2 ∫ t n − 1 t n + 1 ‖ u t t ( s ) ‖ 2 d s + C L 2 τ ε 2 ( ‖ e n ‖ 2 + ‖ e ¯ n ‖ 2 + ‖ e n − 1 ‖ 2 + ‖ e ¯ n − 1 ‖ 2 ) (3.9) 将(3.9)式两端n从0到 n − 1 求和，可得 ‖ e n ‖ 2 − ‖ e 0 ‖ 2 ≤ τ ∑ n = 0 n − 1 ‖ e n ‖ + C τ ∑ n = 0 n − 1 ( ‖ δ t e ¯ n + 1 ‖ 2 + ‖ η ¯ n + 1 2 ‖ 2 ) + C τ 4 ( ‖ u t t t ( s ) ‖ L 2 ( 0 ， T ; L 2 ) 2 + ‖ u t t ( s ) ‖ L 2 ( 0 ， T ; H 2 ) 2 + ‖ u t t ( s ) ‖ L 2 ( 0 ， T ; L 2 ) 2 + ‖ ( I − R h ) u t t ( s ) ‖ L 2 ( 0 ， T ; L 2 ) 2 ) + τ 2 ‖ e n ‖ 2 + C L 2 τ ∑ n = 0 n − 1 ‖ e ¯ n ‖ 2 限制 τ ≤ min { 1 ， L β } ，利用离散Gronwall引理和 e 0 定义，可得 ‖ e n ‖ ≤ C τ ∑ n = 0 n − 1 ( ‖ δ t e ¯ n + 1 ‖ 2 + ‖ η ¯ n + 1 2 ‖ 2 + ‖ e ¯ n ‖ 2 ) + C τ 4 ( ‖ u t t t ( s ) ‖ L 2 ( 0 ， T ; L 2 ) 2 + ‖ u t t ( s ) ‖ L 2 ( 0 ， T ; H 2 ) 2 + ‖ u t t ( s ) ‖ L 2 ( 0 ， T ; L 2 ) 2 + ‖ ( I − R h ) u t t ( s ) ‖ L 2 ( 0 ， T ; L 2 ) 2 ) 利用三角不等式和Ritze投影算子(2.3)，有 ‖ u ( t n ) − R h u ( t n ) ‖ ≤ C h 2 ， ‖ w ( t n ) − R h w ( t n ) ‖ ≤ C h 2 ， ‖ δ t ( u ( t n ) − R h u ( t n ) ) ‖ ≤ C h 2 ， 最终，则可得 ‖ u ( t n ) − u h n ‖ 2 ≤ C ( τ 4 + h 4 ) ，即 ‖ u ( t n ) − u h n ‖ ≤ C ( τ 2 + h 2 ) ，定理得证。