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user: 2. 基本方程 研究一个半径为b，厚度为h的FGM圆板，设板承受均布径向压力p或受可沿板厚度方向变化的热场作用。假设材料组分只沿厚度方向变化，并且材料性质P(弹性模量E、热膨胀系数α及热传导率K等)可表示为： P ( z ) = ( P c − P m ) ( h + 2 z 2 h ) n + P m (1) 这里，下标c和m分别表示陶瓷和金属材料，上标n是梯度指数。 具有温度依赖的材料性质P写为： P = P 0 ( P − 1 T − 1 + 1 + P 1 T + P 2 T 2 + P 3 T 3 ) (2) 考虑以下一个稳态温度场，设该温度场仅沿板的厚度方向变化： − d d z ( K ( z ) d T ( z ) d z ) = 0 (3) 式中， T ( h / 2 ) = T c ， T ( − h / 2 ) = T m ，积分上式得到温度场： T ( z ) = T m + ( T c − T m ) ∫ − h / 2 z d z K ( z ) / ∫ − h / 2 h / 2 d z K ( z ) (4) 经典板理论下的位移场： U r ( r ， z ) = U ( r ) − z W ， r ， U z ( r ， z ) = W ( r ) (5) 这里，U和W分别是板中面的径向位移和横向位移。 板的应变与位移关系： ε r = U ， r + ( W ， r ) 2 2 − z W ， r r = ε r 0 + z k r ， ε θ = U r − z W ， r r = ε θ 0 + z k θ (6) 内力位移关系为： N r = A 11 ( ∂ U ∂ r + ν U r + 1 2 ( ∂ W ∂ r ) 2 ) − B 11 ( ∂ 2 W ∂ r 2 + ν r ∂ W ∂ r ) − N T (7a) N θ = A 11 ( ν ∂ U ∂ r + U r + ν 2 ( ∂ W ∂ r ) 2 ) − B 11 ( ν ∂ 2 W ∂ r 2 + 1 r ∂ W ∂ r ) − N T (7b) M r = B 11 ( ∂ U ∂ r + ν U r + 1 2 ( ∂ W ∂ r ) 2 ) − D 11 ( ∂ 2 W ∂ r 2 + ν r ∂ W ∂ r ) − M T (7c) M θ = B 11 ( ν ∂ U ∂ r + U r + ν 2 ( ∂ W ∂ r ) 2 ) − D 11 ( ν ∂ 2 W ∂ r 2 + 1 r ∂ W ∂ r ) − M T (7d) 其中， A 11 ， B 11 和 D 11 分别是拉压刚度、耦合刚度和抗弯刚度， N T 和 M T 分别是热薄膜力和热弯矩： ( A 11 ， B 11 ， D 11 ) = ∫ − h / 2 h / 2 Q 11 ( 1 ， z ， z 2 ) d z ， Q 11 = E ( z ) 1 − ν 2 (8a) ( N T ， M T ) = ∫ − h / 2 h / 2 E ( z ) 1 − ν α ( z ) T ( z ) ( 1 ， z ) d z (8b) 根据能量原理，可以推出FGM圆板的平衡方程与边界条件，其无量纲形式如下： d d x [ 1 x d d x ( x u ) ] + [ d w d x d 2 w d x 2 + 1 − ν 2 x ( d w d x ) 2 ] − F 1 d d x ∇ 2 w = 0 (9a) ∇ 4 w − F 2 [ ν d u d x + u x + ν 2 ( d w d x ) 2 ] 1 x d w d x − F 2 [ d u d x + ν u x + 1 2 ( d w d x ) 2 ] d 2 w d x 2 + F 3 [ ( d 2 w d x 2 ) 2 + 2 ν x d w d x d 2 w d x 2 + 1 x 2 ( d w d x ) 2 ] + N ¯ ∇ 2 w = 0 (9b) 这里， ∇ 2 = 1 x d d x ( x d d x ) ， ∇ 4 = 1 x d d x [ x d d x ( 1 x d d x ( x d d x ) ) ] 。 板中心处条件： u = d w d x = 0 ， lim x → 0 ( d 3 w d x 3 + 1 x d 2 w d x 2 ) = 0 (10) 周边简支边界条件： u = w = 0 ， F 4 [ d u d x + 1 2 ( d w d x ) 2 ] − ( d 2 w d x 2 + ν x d w d x ) − M ¯ = 0 (11) 无量纲量如下： x = r b ， w = W h ， u = U b h 2 ， F 1 = F 3 F 2 ， F 2 = A 11 h 2 Ω ， F 3 = B 11 h Ω ， F 4 = B 11 h D 11 ， N ¯ = N T b 2 Ω ， M ¯ = M T b 2 D 11 h ， Ω = D 11 − B 11 2 A 11 ， F p = p b 2 A 11 h 2 求解上述问题，可以得到FGM简支圆板的载荷–挠度曲线(图1，图3，图5)。从这些图中可以发现，在某些情况下(如图5)，横向挠度随着热载荷的增加而增大，不出现“平台”。从图1和图3均可以看到，对于任一条载荷–挠度曲线，在某个载荷数值附近，只要载荷数值小幅增加，挠度数值就会大幅增大。即外载荷的微小增加导致了圆板横向挠度的迅速增大，这意味着相应FGM圆板的抗弯刚度急剧降低，近乎于丧失对变形的抵抗能力。因此，当这样一个“平台”出现时，可以认为圆板发生了屈曲 [ 17 ] [ 18 ]。 下面分析前屈曲耦合变形对FGM简支圆板屈曲的影响。 设在外因素F作用下，FGM圆板的位移为 ( u ¯ ， w ¯ ) ，当外因素增加∆F后，位移变为： u = u ¯ + Δ u ， w = w ¯ + Δ w (12) 将式(12)代入式(9)，并忽略掉高阶小量后，得到关于∆u，∆w的线性方程： ∇ 4 Δ w − F 2 [ ν d Δ u d x + Δ u x + ν d Δ w d x d w ¯ d x ] 1 x d w ¯ d x − F 2 [ ν d u ¯ d x + u ¯ x + ν 2 ( d w ¯ d x ) 2 ] 1 x d Δ w d x − F 2 [ d Δ u d x + ν x Δ u + d w ¯ d x d Δ w d x ] d 2 w ¯ d x 2 − F 2 [ d u ¯ d x + ν x u ¯ + 1 2 ( d w ¯ d x ) 2 ] d 2 Δ w d x 2 + F 3 [ ( 2 d 2 w ¯ d x 2 d 2 Δ w d x 2 ) + 2 ν x ( d Δ w d x d 2 w ¯ d x 2 + d w ¯ d x d 2 Δ w d x 2 ) + 2 x 2 d w ¯ d x d Δ w d x ] + N ¯ ∇ 2 Δ w = 0 (13a) d d x [ 1 x d d x ( x Δ u ) ] + [ d 2 w ¯ d x 2 d Δ w d x + d w ¯ d x d 2 Δ w d x 2 + 1 − ν 2 x d w ¯ d x d Δ w d x ] − F 1 d d x ∇ 2 Δ w = 0 (13b) 结合具体的边界条件，求出前屈曲耦合变形 u ¯ 和 u ¯ (其中含有待定的外载荷)。然后将其代入式(13)，并在关于∆u和∆w的齐次边界条件下，利用∆u和∆w有非零解这一条件来确定临界屈曲载荷。显然，所求出的临界屈曲载荷包含了满足式(9)的前屈曲耦合变形的影响。如果不存在非零解，则说明该问题并无屈曲现象发生。 当仅考虑均匀径向压力时，上式中令 N ¯ = 0 即可。