DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 摘 要 本文主要研究具有混合切换的随机丙型肝炎病毒感染模型(HCV模型)的灭绝性和持久性。首先，证明了随机HCV模型解的存在性唯一性。其次，利用费勒性质、不变控制集和Krylov-Bogoliubov定理等理论，证明了随机HCV模型的不变概率测度的存在唯一性。最后，运用强遍历性定理、波莱尔康特立引理和迭代对数定律等理论，获得了随机HCV模型的灭绝性和持久性的条件。 关键词 :随机HCV模型，灭绝性，持久性，不变概率测度，马尔科夫链 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 近年来，全世界持续感染丙型肝炎病毒(HCV)，并有罹患慢性肝病，肝硬化和肝细胞癌风险的人口数量逐步增加。由此，丙型肝炎病毒感染已成为一个严重的全球公共卫生问题，备受关注 [ 1 ] - [ 8 ]。 最早的丙型肝炎病毒感染模型(HCV模型)是由诺伊曼等人提出 [ 1 ]，具体模型如下 { d W t d t = S + a W t ( 1 − W t + I t W max ) − b W t − ( 1 − η ) β V t W t + q I t d I t d t = ν I t ( 1 − W t + I t W max ) + ( 1 − η ) β V t W t − ω I t − q I t d V t d t = ( 1 − ϵ ) p I t − c V t ， (1.1) 其中 W t ， I t ， V t 分别为t时刻的未感染肝细胞数量，感染肝细胞量和病毒载量，且 N t = W t + I t + V t 表示细胞总数。S表示未感染的肝细胞可能通过移行或分化成肝细胞前体细胞，以S的构成率增加数量；a表示感染细胞的最大增值速率；b表示未感染细胞的死亡率； η 表示使用抗病毒药物治疗所降低的感染率；q表示通过非细胞溶解过程自发治愈感染的肝细胞的治愈率； ν 表示未感染细胞的最大增值速率； β 表示肝细胞游离病毒感染率； ω 表示感染病毒细胞死亡率； ϵ 表示病毒生产率；p表示细胞产生游离病毒的速率；c表示清除游离病毒的速率。 本文考虑以下三个具有混合切换的随机丙型肝炎病毒感染模型的动力学性质。 模型一：与状态无关的马尔科夫状态切换HCV模型 { d W t d t = S α t + a α t W t ( 1 − W t + I t W max ) − b α t W t − ( 1 − η α t ) β α t V t W t + q α t I t ， d I t d t = ν α t I t ( 1 − W t + I t W max ) + ( 1 − η α t ) β α t V t W t − ω α t I t − q α t I t ， d V t d t = ( 1 − ϵ α t ) p α t I t − c α t V t ， (1.2) 其初始值 ( W t ， I t ， V t ) = ( w 0 ， i 0 ， v 0 ) ∈ ℝ + 3 : = ( x ， y ， z ) ∈ ℝ 3 : x > 0 ， y > 0 ， z > 0 ，对于实数 M < ∞ ，有 α 0 = a 0 ∈ M = { 1，2， ⋯ ， M } 。因此， ( α t ) t ≥ 0 是一个具有状态空间 M 的连续时间马尔科夫链，且其具有如下转移概率 ℙ ( α t + Δ = j | α t = i ) = { q i j Δ + o ( Δ ) ， i ≠ j ， 1 + q i i Δ + o ( Δ ) ， i = j ， (1.3) 其中 Δ ↓ 0 ，且Q-矩阵 Q = ( q i j ) i ， j ∈ M ； a i ， b i ， η i ， β i ， q i ， ν i ， ε i ， p i ， c i > 0， i ∈ M 。 模型二：仍然是模型(1.2)，但此时 ( α t ) t ≥ 0 是一个具有状态空间 M 的跳跃过程，对任意 i ， j ∈ M 和 x ∈ ℝ + 3 ，其过渡内核如下所示 ℙ ( α t + Δ = j | α t = i ， X t = x ) = { q i j ( x ) Δ + o ( Δ ) ， i ≠ j ， 1 + q i i ( x ) Δ + o ( Δ ) ， i = j ， (1.4) 无论何时，都有 Δ ↓ 0 ，其中 X t = ( W t ， I t ， V t ) ∈ ℝ + 3 。 模型三：考虑到依赖于状态的随机环境和随机扰动的影响，随机HCV模型如下 { d W t = { S α t + a α t W t ( 1 − W t + I t W max ) − b α t W t − ( 1 − η α t ) β α t V t W t + q α t I t } d t ，                     − ( b α t e − a α t e ) W t d B t ( 1 ) − a α t e I t W max W t d B t ( 2 ) − ( 1 − η α t e ) β α t e V t W t d B t ( 3 ) ， d I t = { ν α t I t ( 1 − W t + I t W max ) + ( 1 − η α t ) β α t V t W t − ω α t I t − q α t I t } d t ，                 − ( ω α t e + q α t e − ν α t e ) I t d B t ( 1 ) − ν α t e W t W max I t d B t ( 2 ) ， d V t = { ( 1 − ϵ α t ) p α t I t − c α t V t } d t − c α t e V t d B t ( 1 ) (1.5)
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user: 摘 要 本文从理论层面上基于大股东行为角度分析了股权质押对股价崩盘的影响；并以我国2009~2019年A股上市公司为研究对象，考察了大股东股权质押行为对股价崩盘的影响以及大股东持股比例在股权质押与股价崩盘关系中扮演着的角色。研究结果表明，在其他条件不变的情况下，大股东股权质押比例越高，股价崩盘风险越大；而较高的大股东持股比例可弱化大股东股权质押与股价崩盘风险之间的正向关系。 关键词 :股权质押，股价崩盘，大股东持股比例，控制权转移 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 在资本市场发展历程中，股价崩盘可谓是最令人畏惧的灾难。近年来关于股价崩盘的事件在全国范围内层出不穷，其中出现股价崩盘现象的股票普遍存在股权质押率高的特点。因此，尽管股权质押作为如今市场中备受关注的重要融资手段之一，在为上市公司解决融资问题的同时也会造成一些巨大麻烦，同时由于监管机构对于股权质押的监督不到位，其所造成的潜在风险也将不得而知。因此本文研究股权质押对股价崩盘风险的关系以及大股东持股比例对股权质押与股价崩盘风险关系具有怎样的调节作用，对股票市场及相关市场主体具有非常充分的理论与现实意义。 关于股价崩盘的研究，Jin and Myers (2006) [ 1 ]、Hutton等(2009) [ 2 ] 认为管理层为了私人利益将隐瞒公司经营的不利情况、防止坏消息传播是导致股价崩盘的根本原因。关于股价崩盘影响因素的研究，部分学者从企业内部因素方面进行了分析，如公司盈余管理(Francis等，2016 [ 3 ])、公司战略(佟孟华等，2017 [ 4 ])、内控质量(黄政等，2017 [ 5 ])、内部控制信息披露(蒋红芸，2018 [ 6 ])、高管减持(尹涛、张涛，2018 [ 7 ])等，还有一些学者在企业外部因素方面进行了分析，如机构投资者(许年行等，2013 [ 8 ])、融资融券制度(褚剑等，2016 [ 9 ])、政府补贴(王超恩，2016 [ 10 ])、分析师(许年行等，2012 [ 11 ])、沪港通政策(郭阳生等，2018 [ 12 ])、审计人员(耀友福、胡宁等，2017 [ 13 ])等。 如今股权质押在资本市场中备受股东青睐，在学术界也逐渐受到了学者的广泛关注。尉静(2019) [ 14 ] 和李秉祥、简冠群(2017) [ 15 ] 的研究均表明投资者情绪对股权质押与股价崩盘的关系具有一定的中介作用；胡念佳(2018) [ 16 ] 分析了股价崩盘的作用机理，发现较低的大股东持股比例和较低的投资者情绪会使股权质押与股价崩盘风险之间的正向关系更明显。 已有相关文献证明，大股东持股比例较高时，大股东通常会更自发性地管理监督公司运营。王化成等(2015) [ 17 ] 研究发现当大股东持股比例较高时，将倾向于积极参与公司的相关管理与监督，从而避免坏消息的产生与隐瞒，降低股价崩盘的风险。也有学者研究了大股东持股比例与股价崩盘的关系。张志明(2018) [ 18 ] 实证分析了大股东持股比例与股价崩盘风险之间存在反向关系，且在上市公司治理方面大股东的作用主要表现为利益协同效应。马璐(2019) [ 19 ] 发现大股东持股比例与股价崩盘风险之间存在负相关性，而内部控制质量可降低信息不对称和抑制大股东的掏空动机，从而增强大股东持股比例与股价崩盘风险之间的负相关性。 综上所述，信息不对称是股价崩盘的内在传导机制。在企业内部方面，分析管理层行为对股价崩盘风险影响的文献较多，而对于大股东行为研究较少；企业外部影响因素也逐渐获得了学者们的更多关注。此外，近年来一些学者发现随着股东股权质押率的提高，股价崩盘风险也将提升。并且在关于大股东持股比例的文献中，大多数结果表明大股东持股比例的提高会有效抑制股价崩盘风险。但鲜有学者研究大股东持股比例对股权质押与股价崩盘风险关系的调节效应。本文将从大股东进行股权质押的这一行为出发，探究股权质押对股价崩盘风险的影响，并且进一步地将大股东引入研究中，分析其持股比例的高低对股权质押与股价崩盘风险所起的调节作用。
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user: 2. 股价崩盘的概念及其与股权质押的关系分析 2.1. 股价崩盘的概念及其度量 股价崩盘，又称股价崩溃，指大量证券涌入卖方市场，导致价格无止境下跌。而在实际中，股价崩盘现象通常是指个股股价或资本市场指数突然大幅下跌的异象。 借鉴已有研究(Jin and Myers， 2006 [ 1 ]；许年行等，2013 [ 8 ]；王化成等，2015 [ 17 ])，本文用负收益偏态系数(NCSKEW)作为股价崩盘指标。 关于负收益偏态系数(NCSKEW)的计算，首先应计算股票周收益率 R i ， t ： R i ， t = α i + β 1 ， i R m ， t − 2 + β 2 ， i R m ， t − 1 + β 3 ， i R m ， t + β 4 ， i R m ， t + 1 + β 5 ， i R m ， t + 2 + ε i ， t (1) 公式(1)中的第i支股票的周收益率是经过市场修正后的收益率，残差表示周收益率中市场无法解释的部分。其中， R i ， t 为第i家公司股票在第t周的收益率(考虑现金红利再投资)， R m ， t 为第t周的流通市值加权后的市场周收益率。考虑到股票交易通常是不同步的，公式(1)还加入了市场组合收益的超前、滞后项以减少偏差；然后，通过 W i ， t = ln ( 1 + ε i ， t ) 计算得出股票周特定收益率；最后，利用股票周特定收益率 构建股价崩盘风险指标，具体的计算公式如下： NCSKEW i ， t = − [ n ( n − 1 ) 3 2 ∑ W i ， t 3 ] / [ ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( ∑ W i ， t 2 ) 3 2 ] (2) 其中，n为各公司股票年交易周数。NCSKEW表示收益的偏态系数为负偏态。其绝对值越大，股价崩盘的可能性越高。 2.2. 股权质押与股价崩盘的关系分析及其研究假设 2.2.1. 大股东股权质押与股价崩盘风险关系及其假设 股权质押将会从以下两个方面影响着股价崩盘风险：一方面，股权质押易造成大股东“两权分离”(控制权与现金流权)，激化代理问题；加之目前监管机构对股权质押监督力度较为宽松，大股东将更为容易地凭借其控制权掏空上市公司；此外大股东与质权方、投资者之间的信息不对称也会促使大股东更加轻而易举地隐瞒自身侵占行为，提高公司信息不透明度，但任何公司承载坏消息的能力都有一定的限度，一旦公司隐瞒的坏消息达到极限难以负担，将会在短时间内向市场集中披露，引起市场恐慌，中小投资者将大量抛售手中股票，从而提升股价崩盘风险。 另一方面，对于资金短缺的股东来说，尽管股权质押可以在较大程度上保留股东权益，但实质上会给大股东带来较大风险。在股权质押过程中，一旦作为质押标的物的股票出现股价下跌至警戒线的情况，质权方将有权要求股东追加担保，若作为出资人的大股东无法追加更多担保物，则质权方可提前处理质押股票，此时大股东将会面临控制权转移风险，并造成严重的个人损失。此外，作为出资人的大股东若不能在股权质押截止日及时归还资金，其质押的股票同样会被质权方处理。质权人在处理质押股票的过程中，会有大量股票在卖方市场出现，极易造成股价下跌；公司控制权存在转移风险，对于中小投资者来说这是一种利空信号，易引起投资者恐慌，从而进一步提高股价崩盘风险。 根据以上分析，本文将提出如下假设一： H1：在其他条件不变的情况下，大股东的股权质押比例越高，股价崩盘的可能性越高。 2.2.2. 大股东持股比例对股权质押与股价崩盘正向关系的调节效应及假设 从大股东控制权角度来看，若大股东持股比例较高，即使股票质押率较高，其面临的控制权转移风险也相对较低，反之同理。具体而言，对于持股比例较高的大股东来说，当质押的股权价值下跌需要追加质押品时，由于大股东持股比例较高能够及时补充质押股权，从而在一定程度上控制权转移风险降低了；其次即便最后大股东无法及时补充质押股份而导致持有的部分股权被质权方强行平仓，其所持剩余股份也将会减小大股东控制权转移风险。反之，若大股东持股比例较低，面对强行平仓时，哪怕持有的股权比例变动很小，都将会较大地增加其控制权转移风险，给投资者带来恐慌，从而加大股价崩盘风险。 此外，当大股东持股比例较高时，其利益将与公司利益趋于一致，这将会使大股东更主动地参与公司治理并监督管理层行为，减少坏消息的产生和隐瞒以避免股价的下跌，减小了因股价下跌所造成的追加质押物可能性，进而减小股价崩盘的风险。 根据以上分析，本文将提出如下假设二： H2：在其他条件不变的情况下，较高的大股东持股比例会缓解股权质押与股价崩盘之间的正向关系。 2.3. 股价崩盘的其他影响因素 股价崩盘不仅与企业内部因素和外部环境、市场因素有关，还与时间和所处的行业发展有关，因此股价崩盘的其它影响因素分为： 1) 企业内部因素：企业的经营状况不佳、业绩不理想通常是造成股价崩盘现象发生的直接原因之一，而企业财务指标可以较好地体现企业财务状况与经营成果。一般来说，公司规模越大，企业抵御风险能力越强；资产负债率高，则企业产生财务问题的可能性大，股价崩盘的可能性就大；资产收益率和公司市值账面比与公司业绩息息相关，其值越高，说明公司具有较高盈利能力，股价崩盘的可能性就越小。 2) 市场因素：股票所处的市场情况也影响股价崩盘的可能性，行情处于牛市，股价崩盘的可能性就小，反之则反是。具体而言，股票收益率的年均值(Ret)体现了一定时间内股票收益的集中性，与股票整体收益情况密切相关，在一定程度上将影响着股价崩盘风险的大小。股票收益率年标准差体现了股票收益的波动情况，标准差越大，股价波动越大，其股价崩盘的风险也将随之变化。超额股票换手率是指市场中股票买卖转手频率的差额，超额股票换手率越大，股票买卖换手的次数就越多，将在一定程度上影响股价的波动与流动性，进而影响着股价崩盘风险的大小。因此，应合理控制上述市场因素，以减小本文回归分析的误差性。 3) 时间与行业因素：由于不同年份的股票及其价格之间存在着差异，因此会对股价崩盘产生影响。此外，不同行业的股票发生股价崩盘的可能性也存在差异，并且大股东持股比例的设定阈值在不同行业也有所差别，从而股价崩盘的风险也不同。因此本文对时间、行业进行划分并将其设置为虚拟变量，以避免其对本文回归分析造成不必要的干扰。
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user: 3. 股价崩盘风险现状分析 由于我国证券市场仍在发展完善，较易产生股价崩盘现象，而近几年闪崩股的情况更是频繁出现。在股权质押对股价崩盘风险影响的事件中，最为著名的是2018年乐视网第一大股东贾跃亭质押了其手中近99.54%的股份，而乐视网恢复交易后的连续跌停使贾跃亭面临着严重爆仓危机。由此可知，股权质押与股价崩盘风险之间具有一定的联系，而股权质押对股价崩盘风险的影响也随着近年个股普遍下跌现象频繁的发生，受到了各界高度关注，因此对其进行相关研究具有充分的理论与现实意义。 本文将股价崩盘的度量指标设置为股票收益负偏态系数(NCSKEW)，其绝对值越大，股价崩盘风险越高。将近十年我国A股上市公司的股价崩盘风险与其股权质押比例变化趋势相比较，如图1所示，走势图表明股价崩盘风险与股权质押比例走势存在着较明显的相关关系，即股权质押比例较高时，股价崩盘风险也较高。 图1. 2010~2019年股权质押比例与股价崩盘风险走势图 图2则反映了近十年我国A股上市公司的股价崩盘风险与其大股东持股比例变化趋势，大股东持股比例与股价崩盘风险走势具有一定程度的相关性，即大股东持股比例越低，股价崩盘风险越高。 图2. 2010~2019年大股东持股比例与股价崩盘风险走势图
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user: 4. 研究设计 4.1. 变量选择 本文被解释变量为股价崩盘风险指标股票收益负偏态系数(NCSKEW)。同时将股权质押比例、大股东持股比例与股权质押比例的交互项分别作为解释变量进行不同的回归分析。 由第二部分的分析，选择以下变量作为控制变量：公司规模(Size)、资产负债率(Lev)、资产回报率(Roa)、市账比(BTM)、超额换手率(Rdtvr)、特定周收益率的年标准差(Sigma)和年均值(Ret)，并将年度(Year)、行业(Industry)设置为哑变量。具体变量的定义及相关说明如表1。 Table 1 Variable definition and descriptio 变量符号 变量定义及说明 NCSKEW 收益负偏态系数 Pledge 股权质押比例，等于年末大股东股权累计质押数/持股数 First 第一大股东持股比例 Size 公司规模，等于年末总资产的自然对数 Lev 资产负债率，等于年末总负债/总资产 Roa 资产回报率，等于净利润/总资产 BTM 市值账面比，等于期末总资产/总市值 Rdtvr 月均超额换手率，等于当年月均换手率-上年月均换手率 Sigma 周特定收益率的年标准差 Ret 周特定收益率的年均值 Year 年度哑变量 Industry 行业哑变量 表1. 变量定义及说明 4.2. 模型设计 本文采用如下公式(3)检验假设一： NCSKEW t + 1 = α + β Pledge t + γ Controls t + Year + Industry + ε t (3) 在公式(3)中，NCSKEW t 衡量第t年股价崩盘风险；Pledge t 衡量第t年大股东股权质押程度；Controls t 为控制变量第t年数值；Year和Industry为控制年度和行业的哑变量。在公式(3)中，Pledge的系数β的正负是检验假设一的关键。 本文将采取引入交互式和分组回归两种方法来检验假设二。交互式回归的模型如(4)： NCSKEW t + 1 = α + β 1 Pledge t + β 2 First ⋅ Pledge t + γ Controls t + Year + Industry + ε t (4) 注意(4)中引入交互项First·Pledge，First与Pledge t 的交互项度量了大股东持股比例对股权质押与股价崩盘关系的交互效应。若 β 2 显著为负，即大股东持股比例的增加会抑制股权质押对股价崩盘风险的影响，则假设二成立。 为了进一步验证假设二是否成立，本文还采用分组回归的方法进行了检验：将同年度同行业的第一大股东持股比例样本均值作为基准，大股东持股比例高于均值的组为大股东持股比例较高的组，反之为大股东持股比例较低的组，并使用公式(3)分别进行回归。若与大股东持股比例较高的组相比，在大股东持股比例较低的组中Pledge的系数较大且显著，则说明大股东持股比例较低时将增强股权质押对股价崩盘风险的影响，即假设二成立。
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user: 6. 结论与建议 本文以我国2009~2019年沪深A股上市公司为样本，通过理论与实证分析，探究了股权质押对股价崩盘的影响以及大股东持股比例对二者关系的调节作用。研究结果表明：大股东股权质押与股价崩盘风险之间存在显著的正向关系；而较高的大股东持股比例会降低二者之间的正相关性。 为了防止股价崩盘对中小投资者带来的不利影响，本文结合实证研究的结论对大股东、上市公司及监管机构提出了以下几点对策建议： 第一，上市公司大股东应注意其股权质押行为可能会带来潜在的股价崩盘风险，谨慎选择股权质押的比例；在进行股权质押之后规范自身行为，时刻关注质押股票在市场中波动状况，做好风险防范措施。注意减少股价下跌时无法追加质押物、被强行平仓的可能性，进而减少股价崩盘的风险。 第二，上市公司应在发布大股东股权质押公告的内容时，要及时披露大股东股权质押比例、资金数及用途等细节。增加大股东信息透明度，减小与中小投资者之间存在的信息不对称程度。增强中小投资者对公司发展的信心，避免其由于对公司发展的不确定性产生恐慌，从而大量抛售持有股票，造成股价剧烈波动，招致股价崩盘。 第三，上市公司应意识到大股东持股比例的增加可能会减弱股权质押对股价崩盘风险的影响。通过适当提高企业大股东持股比例，不仅可以提高其对公司监督治理的积极性，同时可以降低大股东的股权质押引起的控制权转移风险，从而减少股权质押所造成的股价崩盘风险。 第四，监管机构应完善股权质押等信息披露制度，加强对股东股权质押行为的监管；同时限制股权质押比例，确定具体的股权质押操作评判标准；规范股权质押行为，防止大股东滥用股权质押资金或实行其他可能提高股价崩盘风险的行为；加大股东不正当行为的处罚力度，对相关公司法人、大股东的违法行为要保留追诉权。
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user: 摘 要 本文从两个方面推广了余德民等人在2013年构造的秩为8的Virasoro代数。通过重新定义李运算和将秩推广至2n，分别构造了两类新的Virasoro代数，并分别研究了它们的自同构群、中心、理想、子代数等相关性质。 关键词 :Virasoro代数，自同构群，理想，子代数 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 Virasoro代数是一类复数域上重要的无限维李代数，其表示理论在共形场论和弦论中有十分重要的应用，其研究方法和结果也促进了大量与之相关的无限维分次李代数的研究，其中对李代数进行形变与推广是产生新代数的一种重要手段。文献 [ 1 ] 定义了Virasoro-like李代数 g 4 。文献 [ 2 ] - [ 8 ] 对 g 4 进行推广，分别得到了一些相关的Virasoro李代数。余德民等人在文献 [ 7 ] 中构造了一类秩为8的Virasoro代数，并对其相关性质进行研究。本文将文献 [ 7 ] 从两方面进行推广。一是重新定义李运算构造秩为8的Virasoro代数，二是将其推广至秩为2n的情形，并分别研究两类代数的自同构群及其子群、子代数、单性等相关性质。
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user: 摘 要 农业高度工业化对社会经济和生物多样性所带来的负面影响日渐增高，也间接加快了新型态农业规范的发展脚步。此现象也在全球催生了新的环境社会行动和农业操作模式。低投入可持续农业(Low Input Sustainable Agriculture， LISA)也逐渐导向为全球所关注。可持续发展课题需要政府与民间合力推广。全球多个国家致力于LISA在农业上的推广，透过出台各种法案，来减少肥料与农化学品的应用，恢复农业生态，实施农业信息化(IOT)，农业教育推广以及农业机械化等。可持续棕榈油圆桌倡议组织(RSPO)是世界棕榈油产业中重要的组织之一，实施LISA以降低环境风险，并且维持棕榈油生产的可持续性。此外，RSPO的指导框架也努力提升种植者的收入， 改善了种植者的生活水平。在中国，过量化肥和农药导致土壤退化，也造成了环境污染。近年来，LISA理念的进入也恰逢国家推展的双减政策，可持续农法降低不必要的生产成本，以增加农民的收入。作者以为，LISA在中国落地，需要满足几点，首先是技术先行，解决农户问题仍回归技术本质。二者，劳动力减负为下个爆发痛点，需仰赖更有效率的营养管理方案来实现。第三，农业科普教育推广懂田间实战的技术专家更能贴近市场。最后，中国式LISA需要走进农业农村单位，长期工作目标则是设定LISA田间作业规范，把影响力发挥到农产产业链下游。 关键词 :农业，生态，环境，利益，可持续发展 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 前言：发展的缘由 从人类的生活史考究，可追溯到刀耕火种的原始农业，逐渐迈入铁犁牛耕的传统农业，到农业工业化的阶段 [ 1 ] [ 2 ]。然而，高度工业化，从而促使农业中大规模应用化肥，农药，除草剂和农业机械，导致环境资源与能源的过度消耗，造成一系列的经济和社会后果，影响了人类赖以生存的地球环境 [ 3 ]，人类也逐渐意识到迄今为止的发展模式不可持续 [ 4 ]。1962年一名美国记者，蕾切尔·卡逊的著作《寂静的春天》(Silent Spring)作为环境关怀议题的滥觞。本书唤醒人们对不当使用农化产品对环境造成的危害，引起了重大关注，也造成了美国的绿色运动起源 [ 5 ] [ 6 ]。直到1988年，美国率先提倡“低投入持续农业”(LISA)。到了1991年，联合国粮食组织随即发表了“登博斯发宣言”，定调“可持续农业于农村发展”政策。随之，可持续农业也逐渐成为全球关注的一种农业发展的新趋势。低投入可持续农业是指减少化肥，农药等外部合成品投入，围绕农业自然生产特性，利用和管理农业内部资源，保护和改善生态环境，降低成本，以获得理想的收益 [ 3 ]。在马来西亚，低投入可持续农业联盟­­兴起与2016年，迅速在东南亚区域迅速传播，目标是让更多农业人加入低投入可持续农业 [ 7 ]，中国在2015年开展农药化肥减量的同时，也是LISA理念开始进入中国的时期，并于2019年正式在中国成立LISA联盟联络处 [ 8 ]。
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user: 2. 低投入可持续农业的重要性 传统农业已经能满足当下的粮食需求，伴随而来的却是因为农业投入带来的环境污染和经济风险的问题 [ 9 ] [ 10 ]。农业生产为满足人口的增长，不得不依赖科技和系统管理，来提高粮食产量和安全，同时，还需要兼顾环境友善 [ 11 ] [ 12 ]。低投入可持续农业(LISA)的理念和做法，不但减少农化产品的成本、保护环境资源质量及人类健康和食品安全的可持续性，同时也将农业所需成本降到最低 [ 13 ] [ 10 ]。 2.1. 减少农化产品的成本 石化燃料价格上涨，它不仅影响了运输到肥料等费用的农业成本，也直接导致农药价成本不断攀升，带给农业的财务压力十分巨大 [ 11 ] [ 13 ]。在美国，由于生产成本高、农产品价格低，有20%的农户面对破产危机 [ 14 ]。LISA以减药、减肥的模式，不但直接降低农户的成本，同时保持作物的产量和环境的可持续性。报告显示在130公顷的农场进行了五年的LISA研究(1978~1982)结果表明于传统农法对比时，LISA农场的农作物产量增加了10%，土壤保肥力保持良好，土壤侵蚀问题明显减少和生产成本也降低了10% [ 15 ]。 2.2. 保护环境资源质量 过量的农药化学用量导致水质下降，造成病虫抗性，减少农作产量以及危害人类健康 [ 16 ]。2017年美国环保署对全国水质总体评估的结果报告显示，美国有超过61万英里的河水和溪流，因农业活动而受到污染和损坏 [ 17 ]。此外，大量使用化学农药品的集约种植，给带来环境污染、害虫抗性、减产，并危害动物栖息地 [ 13 ] [ 10 ]。化学品减量，能减少河川污染的风险，能直观的降低农业投入成本 [ 14 ]。研究显示，可持续农场提高了土壤里可吸收的磷和钾的含量，同时也降低了农业生产成本 [ 15 ]。此外，综合农法管理如中国采用的垄栽农法改进土壤水分和养分，提高农作物产量，并减少农药的使用量 [ 18 ]。综合害虫管理技术(IPM)、生物防控、农药物品的相互辅佐，有助于控制田间害虫，并减少单一使用农药的依赖 [ 12 ] [ 10 ]。害虫天敌、作物轮作、田间卫生是防治害虫的一些控制措施。据报告，田间轮作法的玉米产量比连续种植玉米产量提高了10%左右，同时有效地控制杂草的生长 [ 14 ]。研究显示，免耕高粱叶片害虫比常规耕作高粱相比已减少了2倍，这可能是由于免耕高粱天敌增加所致 [ 19 ]。所以，农场组合策略能够降低投入成本，维持高产且生态友好的农业生产。 2.3. 人类健康和食品安全 人类处于食物链的顶端，根据联合国估计，每年约有200万人因农药中毒和1万人因而死亡，75%都来自于发展中国家 [ 20 ]。联合国粮农组织在《2030年可持续发展议程》会议中已明确的订定了“消除饥饿，实现粮食安全，改善营养状况和促进可持续农业”的可持续发展目标。在这个大框架的零饥饿目标，确保人们能够获得足够的食物，维持环境资源和生物多样性，并提高农民的盈利能力和生产力 [ 21 ]。不少国家都出台化学农药的使用政策和指导准则，限制或限量了特定农作物的使用，以确保公众健康和环境的可持续性 [ 22 ]。
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user: 3. 国际间LISA运作 可持续发展课题从政策拟定、监督、执行，需要政府民间合力推广。在化肥农药领域，各国也大力提倡减肥增效、精确施肥。欧盟的丹麦，从80年代起已立法制定，规范氮，磷，钾肥依据不同土质与作物条件，不允许超过所制定的标准用量 [ 23 ]。丹麦的三大类化肥总体施肥量，从80年代的224公斤下降到2014年的120公斤 [ 24 ]，目前依旧维持这个用量水平上下。德国也出台现代农业法规，农业种植需遵守七项法律法规，其中包括肥料使用法。《2030议程》，拟定从2028年至2032年将农用氮盈余总量降至每公顷年均70千克。面对可持续农业发展，德国也是其中一个大力推广生态农业的国家，大多数农场属于农牧结合型，推广合理轮作。德国成立了生态农业促进联合会，生态农业在农业用地中所占的比例提高至20% [ 25 ]。德国也采用少耕，免耕法，主要保护土壤结构，安排休耕计划，以缓解生产过剩和自然环境破坏问题。 在亚洲的日本经历“石油农业”(化学农业)的事件后，也加快了生态农业的步伐。政府实施提高生态农业产品价格，减免部分税收制度，鼓励农民改变传统农法 [ 26 ] [ 27 ]。农业信息化也是扶助农业可持续发展的动力，在农业生产，销售链上，经由大数据的分析，智能化做出合理的决策，可充分利用资源，获得更理想的收益。日本政府建的信息化服务网络，能对全国农产品的生产数量，价格行情统计与预测，整合市场销售信息，也给予购买电脑系统的农户一定的补助，并提供培训课程，应因老年人还特别设计的简单系统操作界面，让农户更容易使用。美国在建构农业信息化服务网络方面，已经建成世界上覆盖范围最广的农业信息化服务。大型农业企业也致力于农业信息化建设，如FarmSight，Myjohndeere.com和Cropi系统等。这些系统除了可以收集农业大数据，农民还能透过系统，直接和专业人士咨询。透过农业信息化有效的利用，不仅能提高农产效率，增加产量，也能依照情况做出适时的决策，进而提高农名的整体收入 [ 28 ]。 从教育传递可持续农业发展的重要性，也是各国所拟定的政策之一。美国在农业部的农作系统信息中心(AFSIC)，收集全球可持续农业的一切相关资讯，供相关研究者使用。美国农业图书馆，俗称世界上最大的农业图书馆 [ 29 ] [ 30 ]。在丹麦，全国共拥有25所农业学院，同时也在95个地方建设质询服务中心，有专家为质询人员，让在地的农业知识与研究普及化 [ 31 ]。在大洋洲的新西兰与澳大利亚自19世纪以来，两国农业人口幅度持续下降，反之农场规模则逐年增长，农业生产力不减反增 [ 32 ]。农业机械化、减免税收、新型设备农场补贴是其发展的诱因 [ 33 ]。透过农业机械化可提高农业生产，减低生成成本，用机械化辅助大部分人工农活，也为实践农业可持续发展的一环。较大型的农场也具有更多的资金，投入及应用在现有的新科技，更有效提高生产率，稳固两国在农业市场上的竞争力 [ 34 ] [ 35 ]。
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user: 4. 棕榈种植持续性农业发展 可持续棕榈油圆桌倡议组织(RSPO)是一个多方参与的非营利机构，专注在可持续棕榈油产品的生产、采购、资金运作和产品使用。据报道，与2018年相比，2019年的RSPO认证的种植园(16个国家)总占地面积增加了22%。印度尼西亚和马来西亚仍是最大的棕榈油生产国，占RSPO认证总面积的81%。RSPO的目标与LISA一致，以改善棕榈种植者的生活品质，增加棕榈油产业的经济效益，保护环境资源，从而实现可持续的棕榈产业。棕榈可持续性发展监测和评估的指导框架都以RSPO变革理论(ToC)为基础，并且参考了国际可持续标准联盟(ISEAL)的共同核心指标和联合国可持续发展目标 [ 36 ] [ 37 ]。自2018年以来，马来西亚RSPO认证的总面积从955，233公顷增加到1，118，115公顷，上涨24%。显示马来西亚的棕榈种植者和小规模种植者了解可持续发展在棕榈工业中的重要性。除马来西亚外，印度尼西亚、拉丁美洲和非洲等国家的RSPO认证总面积分别增长27%、5%和56%。从2016年至2019年，全球RSPO认证可持续棕榈油(CSPO)和认证可持续棕榈仁油(CSPK)的产量有明显的增长，分别为32%和31% [ 38 ] [ 39 ]。 棕榈油拓展种植生产，一直为欧盟所诟病，传统棕榈油生产导致生态系统退化和生物多样性丧失，砍伐森林变成是首要和最紧迫的论点。RSPO致力于解决这些环境面临的风险。在2000年至2015年，非认证区的原始森林和开伐森林的总损失，比RSPO认证区高出25倍， RSPO的认证园的树林砍伐率也从9.8%减少到6.6% [ 38 ]。 在RSPO的指导原则，新型种植流程(NPP)确保新棕榈种植是环境友善及可持续性的。在2019年6月的数字，全球一共有1，63万公顷棕榈种植面积实行NPP流程，较去年增长了6% [ 39 ]。 由于种植在泥炭土地的棕榈增加了总温室气体排放量，RSPO也实施非泥炭土的种植政策。在2015年至2017年的研究显示，含泥炭种植区的年全平均二氧化碳排放比矿质土壤种植区高出250% [ 38 ]。此外，RSPO也定制计算棕榈温室气体(Palm GHG)计算方式作为评价工具，计算棕榈油生产到新开发阶段的温室气体排放量。研究显示，马来西亚、印度尼西亚、巴布亚新几内亚、南美洲和非洲在减少温室提起排放计划中放映积极的影响，净温室气体排放预计减少约200万吨二氧化碳 [ 40 ]。与非认证区对比，RSPO认证的棕榈种植区对全球暖化影响较小，分别为35% [ 41 ]。此外，经认证的小规模种植者的盈利能力，比非认证计划小规模种植者高与35%，使棕榈产量增长32%，和降低运营成本(9%)。产量提升增加了棕榈油的销售，增加了农民的收入，主要体现在减少了农化产品和肥料的投入成本 [ 42 ] [ 43 ]。泰国的Patum Oil和壳牌国际(Shell Global)也在和泰国开展“增强泰国棕榈油合作伙伴在可持续棕榈产业”项目中说明可持续性棕榈种植提高产量、降低生产成本和健康风险，使棕榈种植者受益 [ 44 ]。
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user: 5. 中国低投入可持续农业发展和经验 走过了喂饱百姓的“增肥增产”的农业发展模式，也意识到各种低效农药化学品、地力退化、产和质量提不上等问题，中国也迎来了发展可持续农业的时代。中国耕地面积的化肥平均使用量超越安全标准用量1.93倍，效率最高只达到40%；高毒农药在农药使用量占据70%，有60~70%残留在土壤中 [ 45 ]。随着中国耕地面积的减少、水资源短缺、加上气候变化与经济实力逐渐增长等问题，中国农业政策需从过去主要依靠化学农业支撑产量的走向，转变为科技化可持续性绿色农业、提高质量和效益 [ 46 ] [ 47 ]。中国地大物博，气候带辽阔，作物品种丰富，可持续农业政策的实践需要符合中国农业发展特点及国情所定制。然而在如何变化依旧离不开科学化的技术和经营管理，实践具体模式包括使用高科技资材、合理轮作模式、种养综合、生物防控等，并合理适量应用化学农药，来实践“农业增效、农民增收、农村增绿”的三农政策 [ 27 ]。最早在1994年实施了50个生态农业试点县建设，示范在不同类型地区和经济技术水平的生态农业模式，包括了农林牧立体结构，南方水田生物物种共生等生态经济模型，呈现出整体优化、可持续性农业的基本特征 [ 27 ] [ 48 ]。以稻虾共养为例，在2017年全国适宜稻虾共生的稻田面积占现有稻田总面积的15%，从2010年到2017年的稻虾共作面积也增加45倍 [ 49 ]，这也表明农民从稻虾共作体会了改善稻米品质，降低肥料农药成本及提升农户收入 [ 21 ]。于是，各种细化的农业发展百花齐放，如低碳农业，不仅关注在农业经济能力，更重要的是在于生态和社会功能。这农业转型不但要实现农作物的高产增收，减少农业面源污染 [ 45 ]。为保障国内粮食安全、提高农户收入，并实践农业可持续发展的目标，中国在2006年废除农业税之外，也开始走向补贴农业政策以支持和保护农业的可持续性发展，形成“种粮直补、农资同和补贴、良种补贴及农机具购置补贴”等四大补贴、价格政策和环境保护为主要农业核心政策 [ 50 ]。中国农业科技人员通过农业技术示范中心和承包种植计划来宣传新的粮食品种和种植技术，指导合适肥料和农药等，并籍此提高农业生产效率，从而维持农业可持续性发展。 LISA联盟在中国以2018为启动元年，2018全国性会议中也把减肥增效、提质增收的主轴定下 [ 51 ]。是年底，LISA联盟进一步邀请中国践行者到马来西亚访问，2019年由西北农大的教授群率领和联盟主席的见证之下，LISA联盟和陕西洛川果业也签订了战略合作协议 [ 52 ] [ 53 ]。针对南方经济林，LISA联盟2019年会针对广西桉树等经济林，LISA联盟在中国分会单位–艾格鲁国际，也共同针对LISA联盟在中国的发展工作总结与未来战略规划进行了商讨。论坛会议总结了自2017年的工作报告，进一步确认了透过LISA管理，肥料的使用量减少85%以上，山区施肥的施肥成本减少60%以上，且对树体生长的增幅是较常规高出约70% [ 54 ] [ 55 ]。马来西亚LISA联盟于2019年底，与长江大学农学院合作研究新型沸石肥料在江汉平原稻虾互作模式下进行一次性施肥，探究新型沸石肥料在稻虾互作模式下对水稻产量、食味品质的影响。结果表明，LISA特种营养管理的水稻的叶片SPAD (叶绿素)，分蘖数和LAI (叶面积)都较常规高。处理组在产量、千粒重、出米率、精米率均较常规组处理高。抽穗后15日实验处理叶片干物质含量较高，说明在灌浆期拥有较高的光合能力 [ 56 ]。 政策的执行落地，通常需要政府和民间的相互配合，尤其是具有前瞻性的政策，更需要由政府带头并制定方向。中国因长期以来施肥不当带来农地衰败的现状，让政府出台的诸如水肥一体化、测土配方、有机加无机(肥)等政策，给中国农民制定了指引的方针。农业从生产到销售，链条上游涉及的环节多为不可抗的因素，诸如倒春寒、旱季、蝗灾、台风等等，决定政策的成败，已不再是群体或个人的意愿，还多了这些外部因素。此外，还有社会因素，中国农民劳动力年龄层，按2017第三次全国农业普查报告数据，全国各地农业生产经营人员在55岁以上，按各地区不同占了29.5~37.9%， 也就是说守住老百姓饭碗的第一线工作者都面临劳动力减退的危机。因此，对LISA在中国安家落户的几点建议： 1) 技术先行 农业资财占了农业支出的比例极高，传统农化产品对病虫草害的控制，更直接带来30%的减产。肥培管理的支出不合理化，更直接是土壤恶化的元凶。因此，适用于地方作物或风土的资财，同时还得兼顾生态的发展。不少地方政府已把化肥减量当作是施政政绩指标，有者更出台购买化肥实名制度，旨在减少其对土壤盐碱化、酸化的问题 [ 57 ]。技术上必须满足作物需求，又要求对生态无顾虑。因此，缓控释肥、生物刺激素、土壤增效剂等名目产品的出现，在近2年来中国农资市场概念漫天飞，名目层出不穷，正常发展的市场应该减少鼓吹产品新概念，回归技术本质和作物效用原理。 2) 劳动力减负为下个爆发痛点 年轻劳动力出走，隔代教养不只是社会问题，也是农民劳动力年龄层日渐走高的农业问题。不完全统计，中国南方有上千万亩的山区林木，必须兼顾砍伐和造林的需求，但缺乏同时能供肥和劳动力减负的有利工具来满足南方经济林的市场需求。北方如西北山区苹果，也缺乏同时能解决供肥、缺水、上山多重障碍的有力工具。劳动力减负必须以技术研发为依归，仰赖更有效率的营养管理方案来实现。 3) 农业科普教育推广 科普兴农，在德国、丹麦，取得农民经营资格需要考取证照，农民也以身为农夫而自豪。在美国，农场的管理员必须具备农艺师资格，能从配方施肥到病虫害独当一面管理上千公顷的小麦田。中国作物相丰富多元，地方农业农村单位或推广中心，无法针对特定作物执行过于细化的管理建议，科普教育工作多由民间企业进行植入性的推动。然而，这就和从社群媒体接受的信息一样，较为碎片化和缺乏系统化，事实上，农户面临的都是田间地头的难题，能解决他们的问题才是好方案。针对有学习能力和需求的技术型农民，中国社群媒体都流行网上讲课和直播教学，尤其在过去新冠疫情期间，网路提供许多农业知识的学习机会，也造就了不少农民讲师。然而，理论必须结合实践，懂田间实战的技术专家更能贴近市场。 4) 中国式LISA需要走进农业农村单位 LISA起源于国外政府，发扬于国际组织，进入中国后由民企发挥影响力。表面上LISA内涵和中国减肥增效政策雷同，实质上，LISA更强调的是提供田间技术、方案来达到兼顾生产和生态的需求。为此，LISA在中国下一步的工作目标，是借由农业农村单位的力量，由上而下宣而广之，长期工作目标则是设定LISA田间作业规范，增加果园和果品认证，增进产品价格的竞争力，把影响力发挥到农产产业链下游，都是需要各级政府一起配合努力。
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user: 6. 总结 全球农业形态从生产面到消费面，因应人口、天候、地力退化的问题，产生量和质的变化，也直接促使了新型态农业规范的发展脚步。低投入可持续农业(Low Input Sustainable Agriculture， LISA)是全球化运作过程中的新型农业形态，从全球的发展脚步，到世界上最重要的油料作物之一，都以LISA模式运作，以降低环境风险，并且维持棕榈油生产的可持续性。在中国，LISA理念的进入也恰逢国家推展的双减政策，在中国成立LISA联盟联络处，并成功践行了山区减肥增效、果园提质增收等工作，让中国式LISA进一步发展成为全球农业新形态的推广典范。
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user: 摘 要 本文讨论了无穷维序列空间的线性n-宽度，并估计其精确渐近阶。 关键词 :无穷维序列空间，线性n-宽度，渐近阶 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言及主要结果 自1936年，A.N. Kolmogorov提出宽度以来，重要的函数类空间的n-宽度都得到比较深入的研究 [ 1 ] - [ 7 ]。而其方法基本都是将函数空间的n-宽度问题，转化为序列空间的宽度问题。因此，研究序列空间的宽度问题，有比较重要的意义。本文研究无穷维序列空间的宽度问题。 用 l p ( 1 ≤ p ≤ ∞ ) 表示赋予范数 ‖   •   ‖ p 的经典无序维实序列空间，其中 x = { x k } k = 1 ∞ ， ‖ x ‖ p = { ( ∑ k = 1 ∞ | x k | p ) 1 p ，               1 ≤ p < ∞ sup k ≥ 1 | x k | ，                                     p = ∞ 众所周知， l p 空间界有以下性质： 1) 对 1 ≤ p < q ≤ ∞ ，有 l p ⊂ l q ，而 l q ⊄ l p ； 2) 对 1 ≤ p < ∞ ， { e k } k = 1 ∞ 为 l p 的Schauder基。其中， 表示第k个分量为1，其余分量为0的实序列。 对 ， x = { x k } ∈ l p ， r ∈ ℝ ，令 x ( r ) = { k r x k } k = 1 ∞ ， l p ， r : = { x ∈ l p | x ( r ) ∈ l p } . 对 x ∈ l p ， r ，记 ‖ x ‖ p ， r = ‖ x ( r ) ‖ p 易见， ‖   •   ‖ p ， r 为 l p ， r 上的范数， ( l p ， r ， ‖   •   ‖ p ， r ) 为赋范线性空间，以下总把 ( l p ， r ， ‖   •   ‖ p ， r ) 简记为 l p ， r ，用 B p ， r 表示 l p ， r 中的单位球。 对 1 ≤ q < p < ∞ ，由Hȍlder不等式知，当 r > 1 q − 1 p 时， l p ， r ⊂ l q 。本文讨论 l p ， r 在 中的线性n-宽度，为此介绍线性n-宽度的定义。 定义1 设 ( X ， ‖   •   ‖ ) 为赋范线性空间，A为X中非空子集， n ∈ ℕ ∗ = { 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ } ，称 λ n ( A ， X ) : = inf T n sup x ∈ A ‖ x − T n x ‖ 为A在X中的线性n-宽度，其中 T n 取遍从X到X上的秩不超过n的所有有界线性算子。 关于线性n-宽度的性质，可参阅Pinkus专著 [ 8 ]。 本文主要讨论 l p ， r 在 l q ( 1 ≤ q < p < ∞ ， r > 1 q − 1 p ) 中的线性n-宽度，并估计其精确阶，这也是本文的主要结果。 定理1 设 1 ≤ q < p < ∞ ， r > 1 q − 1 p ， ，则 λ n ( B p ， r ， l q ) ≻ ≺ n − ( r − 1 q + 1 p ) . 其中，“ ≻ ≺ ”定义如下： c ， c i ， i = 0 ， 1 ， ⋯ ，表示仅与参数p，q，r相关的正常数。若对于正函数 μ ( y ) 和 ν ( y ) ， y ∈ B (B是正函数 μ ( y ) 和 ν ( y ) 的定义域)，存在正常数 c 1 ， c 2 ，使得对任意的 ，有 μ ( y ) ≥ c 1 ν ( y ) 或者 μ ( y ) ≤ c 1 ν ( y ) ，则将其记为： μ ( y ) ≫ ν ( y ) 或者 μ ( y ) ≪ ν ( y ) 。若存在正常数 c 3 ， c 4 ，使得对任意的 y ∈ B ，有 c 3 ≤ μ ( y ) / ν ( y ) ≤ c 4 ，则记为： μ ( y ) ≻ ≺ ν ( y ) ，即对任意的 y ∈ B ，若 μ ( y ) ≫ ν ( y ) 和 μ ( y ) ≪ ν ( y ) 同时成立，则有 μ ( y ) ≻ ≺ ν ( y ) 。
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user: 2. 主要结果的证明 为证定理1，首先介绍有限维空间的线性n-宽度的相关结论。 1 ≤ p ≤ ∞ ，用 l p m 表示在 ℝ m 上赋予通常范数 ‖   •   ‖ l p m 的Banach空间，其中 ‖ x ‖ l p m = { ( ∑ k = 1 ∞ | x n | p ) 1 p ，                       1 ≤ p < ∞ max 1 ≤ k ≤ m | x k | ，                                                                 p = ∞ ，                                                 x = ( x 1 ， ⋯ ， x m ) ∈ ℝ m . 用 B p m 表示 l p m 中的单位球。 易见， { e ′ k } k = 1 m 为 l p m 的基，其中 e ′ k ∈ ℝ m 表示第k个分量为1，其余分量为0的向量。 有限维空间 l p m 的线性n-宽度有如下结果： 命理2 [ 8 ] 设 1 ≤ q < p ≤ ∞ ， n ∈ ℕ ∗ ，则 λ n ( B p m ， l q m ) = { ( m − n ) 1 q − 1 p   ，                         0 ≤ n ≤ m ， 0   ，                                                                                                               n > m . 下面，分别建立估计定理1上、下界的离散化空间。 对 k ∈ ℕ = { 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ } ，令 S k = { n ∈ ℕ | 2 n − 1 ≤ n < 2 k } . 则 m k : = | S k | = 2 k − 1 。 引理3 设 1 ≤ q < p < ∞ ， r > 1 q − 1 p ， n ∈ ℕ ∗ ， { n k } k = 1 ∞ 为非负整数序列，且 n k ≤ m k ， ∑ k = 1 ∞ n k ≤ n ，则 λ n ( B p ， r ， l q ) ≪ ∑ k = 1 ∞ 2 − r k λ n k ( B p m k ， l q m k )     . 证明：对 ∀ k ∈ ℕ ，令 F k = s p a n { e n | n ∈ S k } . 易见 F k 为线性空间，且 dim F k = m k 。令 I k : F k → ℝ m k x = ∑ j ∈ S k x j e j ↦ ∑ j = 1 m k x 2 k − 1 + j − 1 e ′ j 则 I k 为 F k 到 ℝ m k 上的同构映射。 对 ∀ x = ∑ j ∈ S k x j e j ∈ F k ， ∀ y = ∑ j ∈ S k y j e j ∈ F k ，则 ‖ x ‖ p ， r = ( ∑ j = 2 k − 1 2 k − 1 | j r x j | p ) 1 p ≻ ≺ 2 k r ( ∑ j = 2 k − 1 2 k − 1 | x j | p ) 1 p = 2 k r ‖ I k x ‖ l p m k ， (1) ‖ y ‖ q = ‖ I k y ‖ l q m k . (2) 从而 λ n k ( B p ， r ∩ F k ， l q ∩ F k ) ≪ 2 − r k λ n k ( B p m k ， l q m k ) 因此 λ n ( B p ， r ， l q ) ≤ ∑ k = 1 ∞ λ n k ( B p ， r ∩ F k ， l q ∩ F k ) ≪ ∑ k = 1 ∞ 2 − r k λ n k ( B p m k ， l q m k )       ． 引理3得证。 引理4 设 1 ≤ q < p < ∞ ， r > 1 q − 1 p ， n ∈ ℕ ∗ ，记 。令 k = k ′ + 2 ，则 λ n ( B p ， r ， l q ) ≫ 2 − r k ′ λ n ( B p m k ， l q m k ) 证明：易见 m k ≥ n ，且由(1)、(2)可知 λ n ( B p ， r ， l q ) ≥ λ n ( B p ， r ∩ F k ， l q ∩ F k ) ≥ 2 − r k λ n ( B p m k ， l q m k ) .
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user: 3. 定理1的证明 3.1. 定理1上界的证明 令 k ′ = [ log 2 n ] + 1 。对 k ∈ ℕ ，令 n k = { m k   ，                                                             1 ≤ k ≤ k ′ [ n 2 k ′ − k ]   ，                             k > k ′ 则 ∑ k = 1 ∞ n k ≤ n ，由引理3及命理2知 λ n ( B p ， r ， l q ) ≪ ∑ k = 1 ∞ 2 − r k λ n k ( B p m k ， l q m k ) = ∑ k = k ′ ∞ 2 − r k λ n k ( B p m k ， l q m k ) ≤ ∑ k = k ′ ∞ 2 − r k m k 1 q − 1 p ≤ ∑ k = k ′ ∞ 2 − r k 2 ( 1 q − 1 p ) k = ∑ k = k ′ 2 − ( r − 1 q + 1 p ) k ≪ 2 − ( r − 1 q + 1 p ) k ′ ≪ n − ( r − 1 q + 1 p ) 3.2. 定理1下界的证明 令 k ′ 与k为满足引理4的 k ′ 与k，则由引理4和命题1知 λ n ( B p ， r ， l q ) ≫ 2 − r k λ n ( B p m k ， l q m k ) ≫ 2 − r k ′ ( m k ， n ) 1 q − 1 p ≫ 2 − r k ( 2 k − 1 ， 2 k ′ ) 1 q − 1 p ≫ 2 − r k ′ 2 ( 1 q − 1 p ) k ′ = 2 − ( r − 1 q + 1 p ) k ′ ≫ n − ( r − 1 q + 1 p ) 综上所述，定理1得证。
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user: 摘 要 文章通过采用BICOMB和SPSS20软件，对从CNKI中查询到的有关数学文化在数学教学中的渗透研究的339篇有效文献，进行了研究热点的可视化知识图谱绘制，分析了此领域的研究现状及未来发展趋势。 关键词 :数学文化，渗透，研究，热点 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/