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user: 3. 定理及其证明 本节我们考察下述方程 φ ( m n ) = a φ ( m ) + b φ ( n ) + c (1) 的解数及解数有限时解的范围。 引理3.1 若不存在正整数d，满足 φ ( d ) | c ，且 c d φ ( d ) + a b = 0 ，则方程(1)的解数有限。 证明：设正整数对 ( m ， n ) 是方程(1)的任一组解(若方程无解，则结论显然成立)。此时记 d = g c d ( m ， n ) ，则由引理2.1知，必存在 m 1 ， n 1 ∈ Z + ，使 φ ( m ) = m 1 φ ( d ) ， φ ( n ) = n 1 φ ( d ) 。再由引理2.2，方程(1)可化为 φ ( d ) ( d m 1 n 1 − a m 1 − b n 1 ) = c ， 从而有 φ ( d ) | c 且 ( d m 1 n 1 − a m 1 − b n 1 ) | c 。设 c 1 = c φ ( d ) ，则上述方程可继续化简为 d m 1 n 1 − a m 1 − b n 1 = c 1 ， (2) 方程两边同时乘以d后再加上ab，方程进一步可化为 ( d m 1 − b ) ( d n 1 − a ) = c 1 d + a b . (3) 此时必有 d m 1 − b | c 1 d + a d ，   d n 1 − a | c 1 d + a d 。再由题设知 c 1 d + a b = c φ ( d ) d + a b ≠ 0 ，则其因子对必有限，故满足条件的正整数对 ( m 1 ， n 1 ) ——方程(3)的解数——必有限(因对于给定的因子对得到的 m 1 ， n 1 可能不是正整数，故数量可能会更少)。又当 c ≠ 0 时， φ ( d ) | c ，而当 c = 0 时方程(2)化简得 d = a n 1 + b m 1 ≤ | a | + | b | ，因而可能的 φ ( d ) 的取值只有有限个。因此正整数对 ( φ ( m ) ， φ ( n ) ) = ( m 1 ， n 1 ) φ ( d ) 必是有限的。最后由定理2.8知，方程(1)的解组 ( m ， n ) (满足 ( φ ( m ) ， φ ( n ) ) = ( m 1 ， n 1 ) φ ( d ) )必是有限的(可能无解)。■ 引理3.2 方程(1)的解数无限当且仅当存在正整数d，使得 φ ( d ) | c ，   c d φ ( d ) + a b = 0 ，且方程 φ ( m ) = b φ ( d ) d   ( d | m ) 或 φ ( n ) = a φ ( d ) d   ( d | n ) 有正整数解。 证明：必要性。设方程(1)有无穷多解，并任取其一解 ( m ， n ) 。在与引理3.1的证明完全相同的记号和讨论下知，此时必有 c 1 d + a b = c φ ( d ) d + a b = 0 。从而方程(3)化为 ( d m 1 − b ) ( d n 1 − a ) = 0. (4) 因而 d m 1 − b = 0 或 d n 1 − a = 0 。故 m 1 = b d 为正整数或 n 1 = a d 为正整数。因此有 φ ( m ) = m 1 φ ( d ) = b φ ( d ) d 或 φ ( n ) = n 1 φ ( d ) = a φ ( d ) d 。结论成立。 充分性。设存在正整数d，使得 φ ( d ) | c ，   c d φ ( d ) + a b = 0 ，且不妨设正整数m满足条件 φ ( m ) = b φ ( d ) d ， d | m 。则易知对任意满足条件 gcd ( m ， n ) = d 的正整数n (显然有无穷多个)，正整数对 ( m 1 ， n 1 ) = ( φ ( m ) φ ( d ) ， φ ( n ) φ ( d ) ) 是方程(4)的解，从而正整数对 ( m ， n ) 都是方程(1)的解(无穷多个)。 由引理3.1和引理3.2，我们可得到本节第一个主要结论。 定理3.3 方程(1)的解数有限当且仅当不存在正整数d，使得 φ ( d ) | c ，   c d φ ( d ) + a b = 0 ，且方程 φ ( m ) = b φ ( d ) d   ( d | m ) 或 φ ( n ) = a φ ( d ) d   ( d | n ) 有正整数解。■ 下面我们进一步讨论当方程(1)的解数有限时，其解的范围。 定理3.4 当方程(1)解数有限时，其解的范围为： m ∈ [ 1 ， ( | c | + | a b | + | b | ) 3 / 2 + 8 ] ，     n ∈ [ 1 ， ( | c | + | a b | + | a | ) 3 / 2 + 8 ] . 证明：根据常数c是否为0，我们分两种情形讨论。 情形1： c = 0 。由定理3.3知，必有 a b ≠ 0 。 此时记 d = g c d ( m ， n ) ，则方程(1)化为 d m 1 n 1 − a m 1 − b n 1 = 0. (5) 两边同时乘以d化简为： ( d m 1 − b ) ( d n 1 − a ) = a b . (6) 当 a < 0 ， b < 0 时，由欧拉函数的定义可知方程(1)无解。 当 a > 0 ， b < 0 或 a < 0 ， b > 0 时。由方程(6)可知，当 d n 1 − a = − 1 时， m 1 = − a b + b d ，由 φ ( m ) = m 1 φ ( d ) ， 得 φ ( m ) = φ ( d ) ( − a b + b ) d ≤ | a b | + | b | ，由推论2.7得 m ∈ [ 1 ， ( | a b | + | b | ) 3 / 2 + 8 ] 。同理可得 n ∈ [ 1 ， ( | a b | + | b | ) 3 / 2 + 8 ] 当 a > 0 ， b > 0 时。在方程(6)中，当 d n 1 − a = 1 时， m 1 = a b + b d ，由 φ ( m ) = a b + b d φ ( d ) ≤ | a b | + | b | ，得 φ ( m ) ∈ [ 1 ， | a b | + | b | ] ，由推论2.7得 m ∈ [ 1 ， ( | a b | + | b | ) 3 / 2 + 8 ] 。同理可得 n ∈ [ 1 ， ( | a b | + | a | ) 3 / 2 + 8 ] 。 情形2 c ≠ 0 。此时方程(1)化为方程(3)，且由定理2.3知， c 1 d + a b ≠ 0 。 当 c 1 d + a b > 0 时。由方程(3)得 d m 1 − b = c 1 d + a b d n 1 − a 。可知当 d n 1 − a = 1 时， m 1 取得最大值 c 1 d + a b + b d ，故 φ ( m ) = m 1 φ ( d ) 取得最大值 c + φ ( d ) ( a b + b ) d ≤ | c | + | a b | + | b | ，所以 φ ( m ) ∈ [ 1 ， ( | c | + | a b | + | b | ) ] ，由推论2.7得 m ∈ [ 1 ， ( | c | + | a b | + | b | ) 3 / 2 + 8 ] 。同理可得 n ∈ [ 1 ， ( | c | + | a b | + | a | ) 3 / 2 + 8 ] 。 c 1 d + a b < 0 ( c ≤ 0 ， c + a b < 0 时，方程(1)有有限个解)，当 d n 1 − a = − 1 时， m 1 = − c 1 d − a b + b d ，故 φ ( m ) = m 1 φ ( d ) = − c − φ ( d ) ( a b − b ) d ≤ | c | + | a b | + | b | ，所以 φ ( m ) ∈ [ 1 ， | c | + | a b | + | b | ] ，由推论2.7得 m ∈ [ 1 ， ( | c | + | a b | + | b | ) 3 / 2 + 8 ] 。同理可得 n ∈ [ 1 ， ( | c | + | a b | + | a | ) 3 / 2 + 8 ] 。证毕。 注释：由定理3.4的证明过程我们可得以下特殊情形(表1)： 1.为了简化证明过程和统一结果，定理3.4中给出的解的范围有些偏大，对于具体给定的系数 ( a ， b ， c ) ，该范围可适当缩小。如 ( a ， b ， c ) = ( − 2 ， − 6 ， 20 ) 时，具体讨论后解的范围为 m ∈ [ 1 ， 140 ] ， n ∈ [ 1 ， 172 ] (实际上，其全部解 ( 3 ， 4 ) ， ( 4 ， 3 ) )，而定理中给出的解的范围是 m ∈ [ 1 ， 242 ] ， n ∈ [ 1 ， 206 ] 。 2.以下情况方程(1)的解数有限(不包括无解)： 1) c = 0 ， a b ≠ 0 ； 2) c ≥ 0 ， c + a b > 0 ，特别当 c = 0 ， a = b > 0 时，易知此时 ( 2 a ， 2 a ) 为方程(1)的一个解； 3) 当 c ≤ 0 ， c + a b < 0 。 3.以下情况方程(1)无正整数解 1) c ≤ 0 ， a ≤ 0 ， b ≤ 0 ； 2) a ， b 都为偶数，c为奇数； 3) ( a ， b ， c ) 为本原勾股数，即 gcd ( a ， b ) = 1 ，且满足 a 2 + b 2 = c 2 。 Table 1 Some example 解 ( a ， b ， c ) 的取值 解的上界 解数 m n 无穷解 ( 0 ， 6 ， 0 ) ∞ ∞ ∞ 注 1 ( 5 ， 0 ， 0 ) ∞ ∞ ∞ 注 2 ( 5 ， 6 ， − 30 ) ∞ ∞ ∞ 注 3 有限解 0 ( 0 ， − 6 ， 0 ) 22 8 0 ( − 2 ， − 2 ， − 1 ) 26 26 0 ( 0 ， 3 ， 0 ) 13 8 0 ≥1 ( 4 ， 7 ， 8 ) 289 260 46 注 4 ( 3 ， 5 ， − 13 ) 197 180 4 注 5 ( 5 ， 6 ， 16 ) 382 372 20 注 6 ( 11 ， 11 ， 0 ) 1524 1524 27 注 7 ( 7 ， 7 ， 0 ) 427 427 15 注 8 ( 4 ， 4 ， 0 ) 97 97 33 注 9 ( 7 ， 9 ， 0 ) 618 593 67 注 10 表1. 一些算例 注1：全部解为： { ( m ， n ) | m = 7 ， 9 ， 14 ， 18 ，   gcd ( m ， n ) = 1 } ，或 { ( m ， n ) | m = 12 ，   gcd ( m ， n ) = 3 } ，或 { ( m ， n ) | m = 6 ，   gcd ( m ， n ) = 6 } ； 注2：全部解为： { ( m ， n ) | n = 5 ， 10 ，   g c d ( m ， n ) = 5 } ； 注3：全部解为： { ( m ， n ) | m = 7 ， 9 ， 14 ， 18 ，   gcd ( m ， n ) = 1 } ， { ( 4 ， 22 ) ， ( 6 ， 22 ) ， ( 20 ， 2 ) ， ( 24 ， 2 ) ， ( 30 ， 2 ) ， ( 38 ， 4 ) ， ( 38 ， 6 ) ， ( 54 ， 4 ) } ； 注4：方程 φ ( m n ) = 4 φ ( m ) + 7 φ ( n ) + 8 的所有整数解为： ( x ， y ) = ( 15 ， 41 ) ， ( 16 ， 41 ) ， ( 20 ， 41 ) ， ( 24 ， 41 ) ， ( 30 ， 41 ) ， ( 16 ， 55 ) ， ( 24 ， 55 ) ， ( 16 ， 75 ) ， ( 15 ， 82 ) ， ( 15 ， 88 ) ，                       ( 11 ， 17 ) ， ( 11 ， 32 ) ， ( 11 ， 34 ) ， ( 11 ， 40 ) ， ( 11 ， 48 ) ， ( 11 ， 60 ) ， ( 22 ， 17 ) ， ( 17 ， 15 ) ， ( 17 ， 16 ) ， ( 17 ， 20 ) ，                       ( 17 ， 24 ) ， ( 17 ， 30 ) ， ( 32 ， 15 ) ( 34 ， 15 ) ， ( 8 ， 70 ) ， ( 8 ， 78 ) ， ( 8 ， 90 ) ， ( 10 ， 52 ) ， ( 10 ， 56 ) ， ( 10 ， 72 ) ，                       ( 10 ， 78 ) ， ( 10 ， 84 ) ， ( 12 ， 70 ) ， ( 9 ， 48 ) ， ( 9 ， 60 ) ， ( 15 ， 24 ) ， ( 24 ， 15 ) ， ( 27 ， 12 ) ， ( 8 ， 52 ) ， ( 8 ， 84 ) ，                       ( 12 ， 52 ) ， ( 12 ， 56 ) ， ( 8 ， 56 ) ， ( 8 ， 72 ) ， ( 10 ， 20 ) ， ( 10 ， 30 ) . 注5：方程 φ ( m n ) = 3 φ ( m ) + 5 φ ( n ) − 13 的所有整数解为： ( x ， y ) = ( 16 ， 2 ) ， ( 20 ， 2 ) ， ( 24 ， 2 ) ， ( 30 ， 2 ) . 注6：方程 φ ( m n ) = 5 φ ( m ) + 6 φ ( n ) + 16 的所有整数解为： ( x ， y ) = ( 8 ， 38 ) ， ( 8 ， 54 ) ， ( 10 ， 38 ) ， ( 10 ， 54 ) ， ( 12 ， 38 ) ， ( 15 ， 29 ) ， ( 15 ， 58 ) ， ( 16 ， 29 ) ， ( 20 ， 10 ) ， ( 20 ， 29 ) ，                       ( 24 ， 29 ) ， ( 30 ， 10 ) ， ( 30 ， 29 ) ， ( 48 ， 138 ) ， ( 53 ， 7 ) ， ( 53 ， 9 ) ， ( 53 ， 14 ) ， ( 53 ， 18 ) ， ( 60 ， 138 ) ， ( 75 ， 12 ) . 注7：方程 φ ( m n ) = 11 φ ( m ) + 11 φ ( n ) 的全部整数解是： ( x ， y ) = ( 13 ， 161 ) ， ( 13 ， 201 ) ， ( 13 ， 207 ) ， ( 13 ， 268 ) ， ( 13 ， 322 ) ， ( 13 ， 402 ) ， ( 13 ， 414 ) ， ( 21 ， 268 ) ， ( 26 ， 161 ) ，                       ( 26 ， 201 ) ， ( 26 ， 207 ) ， ( 36 ， 161 ) ， ( 161 ， 13 ) ， ( 201 ， 13 ) ， ( 207 ， 13 ) ， ( 268 ， 13 ) ， ( 322 ， 13 ) ， ( 402 ， 13 ) ，                       ( 414 ， 13 ) ， ( 268 ， 21 ) ， ( 161 ， 26 ) ， ( 201 ， 26 ) ， ( 207 ， 26 ) ， ( 161 ， 36 ) ， ( 22 ， 22 ) ， ( 33 ， 44 ) ， ( 44 ， 33 ) . 注8：方程 φ ( m n ) = 7 φ ( m ) + 7 φ ( n ) 的所有整数解为： ( x ， y ) = ( 87 ， 16 ) ， ( 87 ， 20 ) ， ( 116 ， 15 ) ， ( 16 ， 87 ) ， ( 20 ， 87 ) ， ( 15 ， 116 ) ， ( 8 ， 58 ) ， ( 10 ， 58 ) ，                       ( 12 ， 58 ) ， ( 58 ， 8 ) ， ( 58 ， 10 ) ， ( 58 ， 12 ) ， ( 21 ， 28 ) ， ( 28 ， 21 ) ， ( 14 ， 14 ) . 注9：方程 φ ( m n ) = 4 φ ( m ) + 4 φ ( n ) 的所有整数解为： 注10：方程 φ ( m n ) = 7 φ ( m ) + 9 φ ( n ) 的所有整数解为： ( x ， y ) = ( 73 ， 15 ) ， ( 73 ， 16 ) ， ( 73 ， 20 ) ， ( 73 ， 24 ) ， ( 73 ， 30 ) ， ( 91 ， 15 ) ， ( 91 ， 16 ) ， ( 91 ， 20 ) ， ( 91 ， 24 ) ， ( 91 ， 30 ) ，                     ( 95 ， 16 ) ， ( 95 ， 24 ) ， ( 111 ， 16 ) ， ( 111 ， 20 ) ， ( 117 ， 16 ) ， ( 117 ， 20 ) ， ( 135 ， 16 ) ， ( 135 ， 20 ) ， ( 146 ， 15 ) ，                     ( 148 ， 15 ) ， ( 152 ， 15 ) ， ( 182 ， 15 ) ， ( 31 ， 11 ) ， ( 31 ， 22 ) ， ( 31 ， 11 ) ， ( 62 ， 11 ) ， ( 17 ， 32 ) ， ( 17 ， 40 ) ，                     ( 17 ， 48 ) ， ( 17 ， 60 ) ， ( 32 ， 17 ) ， ( 40 ， 17 ) ， ( 48 ， 17 ) ， ( 60 ， 17 ) ， ( 13 ， 29 ) ， ( 13 ， 58 ) ， ( 21 ， 29 ) ， ( 21 ， 58 ) ，                     ( 26 ， 29 ) ， ( 28 ， 29 ) ， ( 36 ， 29 ) ， ( 42 ， 29 ) ， ( 11 ， 71 ) ， ( 11 ， 142 ) ， ( 22 ， 71 ) ， ( 74 ， 8 ) ， ( 74 ， 10 ) ， ( 74 ， 12 ) ，                     ( 76 ， 10 ) ， ( 114 ， 8 ) ， ( 114 ， 10 ) ， ( 126 ， 8 ) ， ( 126 ， 10 ) ， ( 16 ， 30 ) ， ( 30 ， 16 ) ， ( 76 ， 8 ) ， ( 108 ， 8 ) ， ( 76 ， 12 ) ，                     ( 16 ， 20 ) ， ( 20 ， 16 ) ， ( 20 ， 24 ) ， ( 24 ， 20 ) ， ( 35 ， 15 ) ， ( 35 ， 20 ) ， ( 35 ， 30 ) ， ( 45 ， 20 ) ， ( 70 ， 15 ) ， ( 16 ， 16 ) .