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user: 3. 局域化的证明 在这部分我们通过改进的局域化方法证明本文的主要结论。 定义3.1：固定 E ∈ ℝ ，如果存在一个区间 I = [ n 1 ， n 2 ] ，满足： 1. k = n 2 − n 1 + 1 2. y ∈ I 3. | y − n i | ≥ k 12 ， i = 1 ， 2 ， 4. | G I ( y ， n ) | < e − m k 12 ，则称点y是 ( m ， k ) 正则，否则称 ( m ， k ) 奇异。 下面指出利用 ( m ， k ) 奇异点可以构造一串共振相位 θ ，使 | P k ( θ ) | 非常小。 引理3.2： x ∈ ℤ 是 ( L ( E ) − ε ， k ) 奇异点， 0 < ε < L ( E ) 2 ， k > max { 10 ， k 3 ( ε 16 ， E ， ω ) ， k 4 ( ε ) } 则对满足 x − [ 9 10 k ] ≤ y ≤ x − [ 9 10 k ] + [ 4 5 k ] 的y有： | P k ( θ + ( y − 1 ) 2 ω ) | ≤ e k L ( E ) + ( k − 1 ) a ¯ ( λ ) − k 16 ε . (3.1) 证明：由行列式Cramer法则： | G I ( x ， n 1 ) | = | P n 2 − x ( θ + x ω ) P k ( θ + ( n 1 − 1 ) ω ) | ∏ i = n 1 x − 1 | a ( i ) | ， (3.2) | G I ( x ， n 2 ) | = | P x − n 1 ( θ + ( n 1 − 1 ) ω ) P k ( θ + ( n 1 − 1 ) ω ) | ∏ i = x n 2 − 1 | a ( i ) | . (3.3) 因为 k > 12 k 3 ( ε 16 ， E ， ω ) ， x − n 1 ， n 2 − x > k 3 ( ε 16 ， E ， ω ) ，根据引理2.3得到： | P n 2 − y ( θ ， E ) | ≤ e ( n 2 − x ) ( L ( E ) + a ¯ ( λ ) + ε 16 ) ≤ e 9 10 k L ( E ) + ( n 2 − x ) ( a ¯ ( λ ) + ε 16 ) ， | P x − n 1 ( θ ， E ) | ≤ e 9 10 k L ( E ) + ( x − n 1 ) ( a ¯ ( λ ) + ε 16 ) . 因为 x − n 1 ， n 2 − x > 12 k 4 ，且满足： x − n 1 ， n 2 − x > 12 k 4 我们有 ∏ i = n 1 x − 1 | a ( i ) | ≤ e ( x − n 1 ) ( a ¯ ( λ ) + ε 16 ) ， ∏ i = x n 2 − 1 | a ( i ) | ≤ e ( n 2 − x ) ( a ¯ ( λ ) + ε 16 ) . (3.4) 将(3.2)和(3.3)代入下式有： | P k ( θ + ( n 1 − 1 ) ω ) | ≤ | P n 2 − x ( θ + x ω ) | e − k L ( E ) − ε 12 ∏ i = n 1 x − 1 | a ( i ) | ≤ e 9 10 k L ( E ) + ( n 2 − x ) ( a ¯ ( λ ) + ε 16 ) − L ( E ) − ε 12 k + ( x − n 1 ) ( a ¯ ( λ ) + ε 16 ) ≤ e k L ( E ) + ( k − 1 ) a ¯ ( λ ) − k 16 ε . 构造： θ j = { θ + ( ξ 1 + [ 4 5 k ] − [ 1 3 k ] + k − 1 2 + j ) ω j = 0 ， ⋯ ， [ 1 3 k ] θ + ( ξ 2 + [ 4 5 k ] − k − 1 2 + j ) ω j = [ 1 3 k ] + 1 ， ⋯ ， k (3.5) 得到： | Q k ( cos 2 π θ j ) | = | P k ( θ j − k + 1 2 ω ) | < e k L ( E ) + ( k − 1 ) a ¯ ( λ ) − k 16 ε . (3.6) 使用拉格朗日插值得到： | Q k ( z ) | = | ∑ j = 0 k Q k ( cos 2 π θ j ) ∏ i ≠ j | z − cos 2 π θ i | ∏ i ≠ j | cos 2 π θ j − cos 2 π θ i | | . (3.7) 定义3.3：如果 { θ 1 ， ⋯ ， θ k } 满足： max x ∈ [ − 1 ， 1 ] max 0 ≤ j ≤ k ∏ i ≠ j | z − cos 2 π θ i | ∏ i ≠ j | cos 2 π θ j − cos 2 π θ i | ≤ e k ε 则称 { θ 1 ， ⋯ ， θ k } 是 ε − 一致分布的。 下面证明(3.5)中构造的 { θ j } ε -一致分布。 引理3.4：设 ω 满足Diophantine条件， d < k α ， 1 < α < 2 ， θ ∈ Θ c ( x 1 ， ω ， α ) ， 对任意的 ε > 0 ，存在 k 6 ( ε ， ω ， α ) 当 k > k 6 ( ε ， ω ， α ) 有 { θ j } ε -一致分布。 证明：令 I 1 = ∏ i ≠ j | z − cos 2 π θ i | ， I 2 = ∏ i ≠ j | cos 2 π θ j − cos 2 π θ i | ， 结合(3.5)和根据文献 [ 8 ] ，当 k > N ( ε 3 ) ，有 ln | I 1 | = ln | ∏ i ≠ j ( z − cos 2 π θ i ) | ≤ ( k + 1 ) ( ∫ 0 1 ln | z − cos 2 π θ | d θ + ε 3 ) = ( k + 1 ) ( − ln 2 + ε 3 ) ， (3.8) ln | I 2 | = ln | ∏ i ≠ j ( cos 2 π θ j − cos 2 π θ i ) | = ∑ i ≠ j ln | cos 2 π θ j − cos 2 π θ i | ≥ ( k + 1 ) ( ∫ 0 1 ln | cos 2 π θ j − cos 2 π θ | d θ − ε 3 )     + 2 D ( ω ) ( k + 1 ) 1 − 1 τ ( ω ) ln { ( k + 1 ) min i ≠ j | cos 2 π θ j − cos 2 π θ i | } = ( k + 1 ) ( − ln 2 + ε 3 ) + 2 D ( ω ) ( k + 1 ) 1 − 1 τ ( ω ) ln { ( k + 1 ) min i ≠ j | cos 2 π θ j − cos 2 π θ i | } . (3.9) 下面对 min i ≠ j | cos 2 π θ j − cos 2 π θ i | = 2 min i ≠ j | sin π ( θ j + θ i ) | | sin π ( θ j − θ i ) | 进行估计： 对 | sin π ( θ j + θ i ) | ： 1) 当 j ， i ∈ { 0 ， ⋯ ， [ k 3 ] } ，有 θ j + θ i = 2 ( θ + ( x 1 + [ 4 5 k ] − [ 1 3 k ] − [ 9 10 k ] + i + j + k − 1 2 ) ω ) 。 2) 当 j ， i ∈ { [ k 3 ] + 1 ， ⋯ ， k } ，有 θ j + θ i = 2 ( θ + ( x 1 + [ 4 5 k ] − [ 9 10 k ] + d + i + j + k − 1 2 ) ω ) 。 综上， ω 的系数分子 < 2 d + 4 5 k + 1 所以 ∀ j ， i ∈ { 0 ， 1 ， ⋯ ， k } ，有 | sin π ( θ i + θ j ) | > e ( 2 d + 4 5 k + 1 ) 1 2 τ ( ω ) 。 对 | sin π ( θ i − θ j ) | ： 1) 当 j ， i ∈ { 0 ， ⋯ ， [ k 3 ] } ，有 θ j − θ i = ( j − i ) ω 。 2) 当 j ∈ { 0 ， ⋯ ， [ k 3 ] } ， i ∈ { [ k 3 ] + 1 ， ⋯ ， k } 有 θ j − θ i = ( − d − [ k / 3 ] + k − 1 + j − i ) ω 。 综上，都有 | θ j − θ i | < d + k 3 + 1 所以 | sin π ( θ i − θ j ) | > c ( ω ) ( d + k 3 + 1 ) − τ ( ω ) 。 从而得到： min i ≠ j | cos 2 π θ j − cos 2 π θ i | ≥ 2 c ( ω ) ( d + k 3 + 1 ) − τ ( ω ) e − ( 2 d + 4 5 k + 1 ) 1 2 τ ( ω ) . (3.10) 将(3.8)和(3.9)代入得到： ln | I 1 | | I 2 | ≤ 2 3 ( k + 1 ) ε + 2 D ( ω ) ( k + 1 ) 1 − 1 τ ( ω ) ln ( k + 1 )     + ( 2 d + 3 4 k + 1 ) 1 2 τ ( ω ) − ln ( 2 c ( ω ) ( d + k 3 + 1 ) − τ ( ω ) ) = 2 3 ( k + 1 ) ε + o ( k ) ≤ k ε . 故存在 k 6 ( ε ， ω ， α ) 当 k > k 6 ( ε ， ω ， α ) 就有 | I 1 | | I 2 | ≤ e k ε 。 我们将利用下面的引理完成定理1的证明： 引理3.5：当 ω ∈ D C ( c ， τ ) ， 0 ≤ λ 1 < 1 ， 0 ≤ λ 2 < 1 ， θ ∈ Θ c ( x ， ω ， α ) ， 0 < ε < L ( E ) 2 ， 1 < α < 2 则 ∃ k 2 ( θ ， x ， α ) ，对 ∀ k > k 2 ( θ ， x ， α ) ，如果 x ， y 同时 ( L ( E ) − ε ， k ) 奇异，并且 | x − y | > 4 5 k 那么有 | x − y | > ( k − 2 ) α 。 证明：取 θ ∈ Θ c ( x ， ω ， α ) 令 k = max { 12 k 3 ( ε 16 ， E ， ω ) ， 12 k 4 ( ε ) ， k 5 ( x ， θ ， ω ) ， k 6 ( ε 32 ， ω ， α ) ， 120 } 选 k ∈ K 且 k > k ¯ 取 θ ¯ ，满足 | P k ( θ ¯ ) | ≥ e k L ( E ) + ( k + 2 ) a ¯ ( λ ) 10 2 令 z ¯ = cos 2 π ( θ ¯ + ( k + 1 ) ω 2 ) 。则 P k ( θ ¯ ) = Q k ( z ¯ ) 。 假设 d > k α ，根据引理3.2和(3.6)，得到： e k L ( E ) + ( k + 2 ) a ¯ ( λ ) 10 2 ≤ | P k ( θ ¯ ) | ≤ ( k + 1 ) e k L ( E ) + ( k − 1 ) a ¯ ( λ ) − ε 32 ， 显然 ∃ k 7 ( ε ) ，当 k > k 7 ( ε ) 不等式不成立，矛盾，从而与假设 d > k α 不成立。 对 k > max { k 7 ， k ¯ } 且 k ∈ K 如果 x ， y 都是 ( L ( E ) − ε ， k ) 奇异点，并且 | x − y | > 4 5 k 则 | x − y | > k α 由于 { k ， k − 1 ， k − 2 } ∈ K ，设 k > max { k 7 ， k ¯ } + 2 则 k − 2 ， k − 1 ， k > max { k 7 ， k ¯ } 那么 | x − y | > 4 5 k > 4 5 ( k − 1 ) > 4 5 ( k − 2 ) 从而完成了重要引理3.4的证明。 最后我们完成定理1的证明。 取 E ( θ ) ， u E ( x ) 是算子 H θ ， λ ， ω 的广义特征值和对应的广义特征向量。不失一般性，可设 u E ( 0 ) ≠ 0 (因为广义特征向量非零，总可取到非零的分量)。根据引理3.2，可以取 ε ，使当 0 < ε < L ( E ) 2 ， | x | > max { k 1 ( L ( E ) − ε ， 0 ) ， k 2 ( θ ， 0 ， ε ， 3 2 ) } + 2 ， k = | x | 有0是 ( L ( E ) − ε ， k ) 奇异点，由于 4 5 k < | x | < k 3 2 根据引理3.2，x一定是 ( L ( E ) − ε ， k ) 正则的，则存在区间 I = [ n 1 ， n 2 ] ，格林函数满足： | G I ( x ， n 1 ) | < e − L ( E ) − ε 12 k ， | G I ( x ， n 2 ) | < e − L ( E ) − ε 12 k . 其中 x − n 1 > k 12 ， n 2 − x > k 12 。 由于特征向量表示得到： | u ( x ) | ≤ | a ( n 1 − 1 ) | | u ( n 1 − 1 ) | | G I ( x ， n 1 ) | + | a ( n 2 ) | | u ( n 2 ) | | G I ( x ， n 2 ) | ≤ C ( | n 1 | + | n 2 | ) e − 1 12 ( L ( E ) − ε ) k ≤ C e − 1 16 ( L ( E ) − ε ) | x | . 显然只要x充分大，不等式成立，得到了指数衰减性，从而定理1得证。