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user: 4. 数值解法 4.1. 有限差分法 4.1.1. 资产或无值看涨期权 根据第3.1节知期权价格满足的微分方程为： ∂ V ∂ t + r S ∂ V ∂ S + 1 2 [ σ 2 + 2 σ H 2 H t 2 H − 1 + λ k 2 ] S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 − r V = 0 (4) 利用隐式差分法，分别对时间(从现在0时刻到两值期权到期日T时刻)，股票价格进行等间隔的分割。即对两值看涨期权价格的求解区域 A = { 0 ≤ S ≤ S max ， 0 ≤ t ≤ T } 网格化。 S max 为股票可到达的最高价格，可执行价格 X ≤ S max 。假设 Δ t = T / N ，总共有 N + 1 个时间点 0 ， Δ t ， 2 Δ t ， ⋯ ， T 。同时定义 Δ S = S max / M ，考虑 M + 1 个股票价格： 0 ， Δ S ， 2 Δ S ， ⋯ ， S max 。这样就构造了一个共有 ( M + 1 ) ( N + 1 ) 个时间点的坐标方格。每一个节点 ( i ， j ) 和时刻 j Δ t 以及股票价格 i Δ S 相对应， ( i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， M ; j = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， N ) 。记 V A ( i ， j ) 为节点 ( i ， j ) 处资产或无价值看涨期权的价格，对于坐标方格内部的点，利用有限差分法，取： ∂ V ∂ t = V i ， j + 1 − V i ， j Δ t (5) ∂ V ∂ S = V i + 1 ， j − V i − 1 ， j 2 Δ S (6) ∂ 2 V ∂ S 2 = V i + 1 ， j + V i − 1 ， j − 2 V i ， j Δ S 2 (7) 把上式(5) (6) (7)带入上面的微分方程(4)中，注意到 S = i Δ S ，各项进行合，并考虑V的终值条件 即 S = 0 ， S = S max 和 t = T 时的资产或无价值看涨期权价值 ，得到 ( i Δ S ， j Δ t ) 网格点上的差分方程为： { a i V A ( i − 1 ， j ) + b i V A ( i ， j ) + c i V A ( i + 1 ， j ) = V A ( i + 1 ， j + 1 ) V A ( i ， N ) = N ( S T ， T ) V A ( 0 ， j ) = 0 V A ( M ， j ) = S max (8) a i = − Δ t L i + r i Δ S 2 Δ t 2 Δ S 2 ， b i = Δ t L i + Δ S 2 + r Δ S 2 Δ t Δ S 2 ， c i = − Δ t L i − r i Δ S 2 Δ t 2 Δ S 2 ， L i = ( σ 2 + λ k 2 + 2 σ H 2 H t 2 H − 1 ) ( i Δ S ) 2 首先求解与 T − Δ t 时刻相对应的点，利用式(8)和 j = N − 1 ，可以给出 M − 1 个同时成立的方程： J M − 1 T M − 1 = Z M (9) 令 J M − 1 = [ b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 ⋱ ⋱ ⋱ a M − 1 b M − 1 ] ， T M − 1 = [ V A 1 ， N − 1 V A 2 ， N − 1 ⋮ V A M − 1 ， N − 1 ] ， Z M = [ V A 1 ， N − a 1 V A 0 ， N V A 2 ， N ⋮ V A M − 1 ， N − c M − 1 V A M ， N − 1 ] 方程系数矩阵 J M − 1 为三对角矩阵，可以用追赶法来求解三对角矩阵，即可以求出方程(9)中的 M − 1 个未知数： V A 1 ， N − 1 ， V A 2 ， N − 1 ， ⋯ ， V A M − 1 ， N − 1 ，与 T − 2 Δ t 对应的结点也按同样方式处理，并以此类推，最后就会得到 V A 1 ， 0 ， V A 2 ， 0 ， ⋯ ， V A M − 1 ， 0 。 4.1.2. 现金或无值看涨期权 与资产或无价值看涨期权的差分过程一样，只是边界条件发生了变化，经过整理最终得到 ( i Δ S ， j Δ t ) 网格点上的差分方程为： { a i V C ( i − 1 ， j ) + b i V C ( i ， j ) + c i V C ( i + 1 ， j ) = V C ( i + 1 ， j + 1 ) V C ( i ， N ) = H ( S T ， T ) V C ( 0 ， j ) = 0 V C ( M ， j ) = Q 按照上面所述的方式处理，通过从后向前递推，直到当 t = 0 时，得到一组期权值： V C 1 ， 0 ， V C 2 ， 0 ， ⋯ ， V C M − 1 ， 0 。 4.2. 蒙特卡洛模拟 Boyle在1977年首次对欧式期权利用蒙特卡洛模拟的方法进行了定价，自此开始蒙特卡洛模拟方法在金融分析方面发挥了相当重要的作用，尤其在关于衍生产品定价和确定套期保值基本参数这些方面产生了重大作用，并且成为了一种有效的数值分析方法。 蒙特卡洛模拟方法的主要数学思想大致如下：建立一个与所求问题有关的概率模型，通过建立的概率模型使得所要求解的问题可以通过数学期望来表示，然后根据用样品估计整体的思想，对模型进行大量抽样观察，最后求解上面根据抽样得到的随机变量的平均值，并把得到的均值作为所求解的近似估计值。 用文献 [ 3 ] 中的方法进行蒙特卡洛模拟设计，文中设计的蒙特卡罗模拟数值方法首先从满足混合分数布朗运动下带跳模型假设下的资产价S的模拟开始，具体做法如下：首先对时间段 [ 0 ， T ] 进行划分，把它分成N个均等时间段(其中，0代表当前时刻T表示期权的到期日)： 0 = t ( 0 ) < t ( 1 ) < t ( 2 ) < ⋯ < t ( N ) = T ， Δ t = T N 对 i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， N ;   t ( i ) = i Δ t 。则得到如下的模拟路径： S t ( i ) = S t ( i − 1 ) e ( μ − λ k − H σ H 2 t 2 H − 1 − 1 2 σ 2 ) ( t ( i ) − t ( i − 1 ) ) + σ Δ B t + σ H Δ B t H + ∑ i = 0 N t ( i ) ln ( 1 + U i ) . (10) 以欧式两值看涨期权为例，蒙特卡罗模拟方法的实现步骤如下： 1) 模拟布朗运动：产生服从标准正态分布的随机序列。 2) 模拟分数布朗运动：将满足标准正态分布的随机序列转化为分数布朗运动序列。 3) 我们模拟一个强度为 λ Δ t 的Poisson过程的随机数N。 4) 如果 N = k ，我们模拟具有规则 ln ( 1 + U i ) ∼ N ( μ J ， σ J 2 ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 的N个独立随机变量。 5) 把上面模拟的随机序列带入式子(10)。 Table 1 Asset or valueless binary call option pricing under mixed fraction jump diffusion mode 初始价格(元) 90 100 110 跳扩散模型期权 价格(元) B-S公式 48.1154 76.4816 99.2822 级数公式 48.4341 74.2996 96.2902 蒙特卡洛模拟 47.4544 76.1946 97.6908 有限差分 47.9944 76.3841 98.6876 表1. 混合分数跳扩散模型下的资产或无价值两值看涨期权定价