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user: 2. 理论模型的选取 2.1. 灰色关联度模型 大千世界里的客观事物现象复杂，影响粮食种植面积的因素繁多。我们需要系统进行因素分析，以确定这些因素中哪些对系统来讲是主要的，哪些是次要的，哪些需要发展，哪些需要抑制，哪些是潜在的，哪些是明显的。这对我们简化和优化模型是必要的。本节采用灰色关联度分析 [ 1 ] 的方法来对系统进行关联性分析。 作为一个发展变化的系统，关联分析实际上是动态过程发展态势的量化比较分析。所谓发展态势比较，也就是系统各时期有关统计数据的几何关系的比较。 选取参考数列 x 0 = { x 0 ( t ) ， t = 1 ， 2 ， ⋯ ， n } = ( x 0 ( 1 ) ， x 0 ( 2 ) ， ⋯ ， x 0 (n)) 其中t表示时刻，假设有m个比较数列 x i = { x i ( t ) ， t = 1 ， 2 ， ⋯ ， n } = ( x i ( 1 ) ， x i ( 2 ) ， ⋯ ， x i ( n ) ) ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 则称 ξ i ( k ) = min s min t | x 0 ( t ) − x s ( t ) | + ρ max s max t | x 0 ( t ) − x s ( t ) | | x 0 ( k ) − x s ( k ) | + ρ max s max t | x 0 ( t ) − x s ( t ) | 为比较数列 { x i } 对参考数列 x 0 在k时刻的关联系数，其中r为分辨系数，称上式中 min s min t | x 0 ( t ) − x s ( t ) | 与 ρ max s max t | x 0 ( t ) − x s ( t ) | 分别为两级最小差及两级最大差。则 r i = 1 n ∑ k = 1 n ξ i ( k ) (1) 关联度，是把各个时刻的关联系数集中为一个平均值，把过于分散的信息集中处理。经过关联度的分析，我们可以选择合理的因素研究粮食的最低收购价。 2.2. 回归模型 回归模型(regression model) [ 2 ] 对统计关系进行定量描述的一种数学模型。要研究粮食的最低收购价就要先研究影响粮食种植面积与影响因素的关系，最直接的关系就是对粮食种植面积起促进作用还是制止作用，因此我们先选线性回归模型进行研究。 线性回归模型是回归模型中的一种，假设y是一个可观测的随机变量，非随机因数 x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x m 和随机误差e对y有影响，并且它们之间存在线性关系 y = β 0 + β 1 x 1 + ⋯ + β m x m (2) 其中 β i 为未知参数。e是均值为零，方差为 σ 2 的误差项，它表示除 x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x m 之外的其他因数对y的综合影响，以及试验或测量误差。经过数据处理后，误差可以假定为 ε ~ N ( 0 ， 1 ) 。 经分析和观察，对线性回归模型进行了修正，得到下面的模型 y = β 0 + β 1 ln x 1 + β 2 ln x 2 + ⋯ + β m ln x m + ε 2.3. 预测模型 由前面的模型，得到了种植面积，下面跟据种植面积对粮食的最低收购价进行预测。一般用指数模型进行预测。但利用指数曲线外推来进行预测时，存在着预测值随着时间的推移会无限增大的情况。这是不符合客观规律的。因为任何事物的发展都是有一定限度的。例如某种畅销产品，在其占有市场的初期是呈指数曲线增长的，但随着产品销售量的增加，产品总量接近于社会饱和量时。这时的预测模型应改用修正指数曲线。 y ^ = K + a b t (3) 在此数学模型中有三个参数a，b和K要用历史数据来确定。 修正指数曲线用于描述这样一类现象。 1) 初期增长速，随后增长率逐渐降低。 2) 当 K > 0 ， a < 0 ， 0 < b < 1 时， t → ∞ ， a b t → 0 ，即 y ^ t → K 。 当K值可预先确定时，采用最小二乘法确定模型中的参数。而当K值不能预先确定时，应采用三和法。 把时间序列的n个观察值等分为三部分，每部分有m期，即 n = 3 m 。 第一部分： y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y n ； 第二部分： y n + 1 ， y n + 2 ， ⋯ ， y 2 n ； 第三部分： y 2 n + 1 ， y 2 n + 2 ， ⋯ ， y 3 n 令每部分的趋势值之和等于相应的观察值之和，由此给出参数估计值。三和法步骤如下： 记观察值的各部分之和 s 1 = ∑ i = 1 n y i ， s 2 = ∑ i = n + 1 2 n y i ， s 3 = ∑ i = 2 n + 1 3 n y i { s 1 = ∑ i = 1 n ( K + a b t ) = m K + a b ( 1 + b + b 2 + ⋯ + b n − 1 ) s 2 = ∑ i = n + 1 2 n ( K + a b t ) = m K + a b n + 1 ( 1 + b + b 2 + ⋯ + b n − 1 ) s 3 = ∑ i = 2 n + 1 3 n ( K + a b t ) = m K + a b 2 n + 1 ( 1 + b + b 2 + ⋯ + b n − 1 ) 由于 ( 1 + b + b 2 + ⋯ + b n − 1 ) ( b − 1 ) = b n − 1 得 { s 1 = m K + a b b n − 1 b − 1 s 2 = m K + a b n + 1 b n − 1 b − 1 s 3 = m K + a b 2 n + 1 b n − 1 b − 1 由上面的式子，解得 { b = ( s 3 − s 2 s 2 − s 1 ) 1 / n a = ( s 2 − s 1 ) b − 1 b ( b n − 1 ) 2 K = 1 m [ s 1 − a b ( b n − 1 ) b − 1 ] 至此三个参数全部确定了，于是就可以用(3)式进行预测。 值得注意的是，并不是任何一组数据都可以用修正指数曲线拟合。采用前数据进行检验，检验方法是给定数据的逐期增长量的比率是否接近某一常数b。 y t + 1 − y t y t − y t − 1 ≈ b 2.4. Logistic模型 为了使预测更加准确，本文做了进一步的模型预测。Logistic曲线(生长曲线) [ 3 ] 模型：生物的生长过程经历发生、发展到成熟三个阶段，在三个阶段生物的生长速度是不一样的，例如南瓜的重量增长速度，在第一阶段增长的较慢，在发展时期则突然加快，而到了成熟期又趋减慢，形成一条s型曲线，这就是有名的Logistic曲线(生长曲线)，很多事物，如技术和产品发展进程都有类似的发展过程，因此Logistic曲线在预测中有相当广泛的应用。 Logistic曲线的一般数学模型是 d y d t = r y ( 1 − y L ) 其中y为预测值，L为y的极限值，r为增长率常数， r > 0 。解此微分方程得 y = L 1 + c e − r t 其中c为常数。 下面我们记Logistic曲线的一般形式为 y t = 1 K + a b t ，   K > 0 ，   a > 0 ，   0 < b ≠ 1 (4) 检验能否使用Logistic曲线的方法，是看给定数据倒数的逐期增长量的比率，是否接近某一常数b。即 1 / y t + 1 − 1 / y t 1 / y t − 1 / y t − 1 ≈ b Logistic曲线中参数估计方法如下： 作变换 y ′ t = 1 y t 得 y ′ t = K + a b t 令每部分的趋势值之和等于相应的观察值之和，由此给出参数估计值。三和法步骤如下：记观察值的各部分之和 s 1 = ∑ i = 1 n y i ， s 2 = ∑ i = n + 1 2 n y i ， s 3 = ∑ i = 2 n + 1 3 n y i 类似的得到 { b = ( s 3 − s 2 s 2 − s 1 ) 1 / n a = ( s 2 − s 1 ) b − 1 b ( b n − 1 ) 2 K = 1 m [ s 1 − a b ( b n − 1 ) b − 1 ] (5)