system: [SYSTEM]

user: 3. 定理1的证明 令 F ( z ) = − f 5 ( z ) ( f ( z ) + 1 ) ， G ( z ) = − g 5 ( z ) ( g ( z ) + 1 ) . (1) 则 F ( z ) 与 G ( z ) 也为开平面 C 上的非常数亚纯函数，且以1为CM分担值。于是由引理1、定理条件及(1)式可得： T ( r ， F ) = 6 T ( r ， f ) + S * ( r ， f ) ， (2) T ( r ， G ) = 6 T ( r ， g ) + S * ( r ， g ) ， (3) N 2 ( r ， 1 F ) ≤ 2 N ¯ ( r ， 1 f ) + N ( r ， 1 f + 1 ) ≤ N ¯ ( r ， 1 f ) + m ( r ， 1 f ) + N ( r ， 1 f + 1 ) + S * ( r ， f ) ≤ 2 T ( r ， f ) + Ο ( 1 ) ， (4) N 2 ( r ， F ) = 2 N ¯ ( r ， f ) ， (5) N 2 ( r ， 1 G ) ≤ 2 N ¯ ( r ， 1 g ) + N ( r ， 1 g + 1 ) ≤ 3 T ( r ， g ) + Ο ( 1 ) ， (6) N 2 ( r ， G ) = 2 N ¯ ( r ， g ) . (7) 由(2)~(7)诸式得： N 2 ( r ， 1 F ) + N 2 ( r ， 1 G ) + N 2 ( r ， F ) + N 2 ( r ， G ) ≤ 2 T ( r ， f ) + 3 T ( r ， g ) + 2 λ ( T ( r ， f ) + T ( r ， g ) ) + S * ( r ， f ) + S * ( r ， g ) ≤ ( 2 + 2 λ ) T ( r ， f ) + ( 3 + 2 λ ) T ( r ， g ) + S * ( r ， f ) + S * ( r ， g ) = ( 2 + 2 λ ) 6 T ( r ， F ) + ( 3 + 2 λ ) 6 T ( r ， G ) + S * ( r ， F ) + S * ( r ， G ) ≤ ( 5 + 4 λ 6 + ο ( 1 ) ) T ( r ) ( r ∉ E ) ， (8) 其中 T ( r ) = max { T ( r ， F ) ， T ( r ， G ) } 。由于 λ < 1 4 ，所以 5 + 4 λ 6 < 1 。于是由(8)式和引理2得 F ⋅ G ≡ 1 或 F ≡ G 若 F ⋅ G ≡ 1 ，则有 f 5 g 5 ( f + 1 ) ( g + 1 ) ≡ 1 . (9) 由(9)式可知f的零点必为g的极点， f + 1 的零点也必为g的极点。设 z 0 为f的p重零点为g的q重极点，结合(9)式有 5 p = 6 q ， (10) 注意到5和6互质，故由(10)式知6是p的因子，从而 p ≥ 6 ，于是 N ¯ ( r ， 1 f ) ≤ 1 p N ( r ， 1 f ) ≤ 1 6 N ( r ， 1 f ) ≤ 1 6 T ( r ， f ) + Ο ( 1 ) ， (11) 设 z 1 为 f + 1 的零点，则由(9)式知 z 1 至少为 f + 1 的6重零点，从而有 N ¯ ( r ， 1 f + 1 ) ≤ 1 6 N ( r ， 1 f + 1 ) ≤ 1 6 T ( r ， f ) + Ο ( 1 ) ， (12) 同理可得： N ¯ ( r ， 1 g ) ≤ 1 p N ( r ， 1 g ) ≤ 1 6 N ( r ， 1 g ) ≤ 1 6 T ( r ， g ) + Ο ( 1 ) ， (13) N ¯ ( r ， 1 g + 1 ) ≤ 1 6 N ( r ， 1 g + 1 ) ≤ 1 6 T ( r ， g ) + Ο ( 1 ) ，(14) 再由Nevanlinna第二基本定理、(11)~(14)诸式及定理条件得： T ( r ， f ) + T ( r ， g ) < N ¯ ( r ， f ) + N ¯ ( r ， g ) + N ¯ ( r ， 1 f ) + N ¯ ( r ， 1 f + 1 )     + N ¯ ( r ， 1 g ) + N ¯ ( r ， 1 g + 1 ) + S * ( r ， f ) + S * ( r ， g ) ≤ λ ( T ( r ， f ) + T ( r ， g ) ) + 1 3 ( T ( r ， f ) + T ( r ， g ) ) + S * ( r ， f ) + S * ( r ， g ) = ( λ + 1 3 ) ( T ( r ， f ) + T ( r ， g ) ) + S * ( r ， f ) + S * ( r ， g ) < 7 12 ( T ( r ， f ) + T ( r ， g ) ) + S * ( r ， f ) + S * ( r ， g ) ， 这是一个矛盾。 若 F ≡ G ，则有 f 6 + f 5 = g 6 + g 5 ， (15) 令 h = f g ，则(15)式可变形为 ( h 6 − 1 ) g + ( h 5 − 1 ) ≡ 0 ， (16) 如果 h ≡ c o n s t ≠ 1 ，则 g ≡ c o n s t ，这与g为非常数亚纯函数矛盾。从而 h ≡ 1 ，即 f ≡ g 。 若h不为常数函数，则由(16)式得： g ≡ − h 5 − 1 h 6 − 1 = − ( h − u ) ( h − u 2 ) ( h − u 3 ) ( h − u 4 ) ( h − v ) ( h − v 2 ) ( h − v 3 ) ( h − v 4 ) ( h − v 5 ) ， (17) 同理可得： f ≡ − 1 h 5 − 1 1 h 6 − 1 = − ( 1 h − u ) ( 1 h − u 2 ) ( 1 h − u 3 ) ( 1 h − u 4 ) ( 1 h − v ) ( 1 h − v 2 ) ( 1 h − v 3 ) ( 1 h − v 4 ) ( 1 h − v 5 ) ， (18) 其中(17)、(18)式中 u = exp ( 2 π i 5 ) ， v = exp ( 2 π i 6 ) 。由(17)、(18)式和引理3可得： T ( r ， g ) = 5 T ( r ， h ) + S * ( r ， h ) ， (19) N ¯ ( r ， g ) = ∑ j = 1 5 N ¯ ( r ， 1 h − v j ) ， (20) T ( r ， f ) = 5 T ( r ， 1 h ) + S * ( r ， h ) = 5 T ( r ， h ) + S * ( r ， h ) ，(21) N ¯ ( r ， f ) = ∑ j = 1 5 N ¯ ( r ， 1 1 h − v j ) ， (22) 由Nevanlinna第二基本定理结合(19)~(22)式得： 3 T ( r ， h ) < ∑ j = 1 5 N ¯ ( r ， 1 h − v j ) + S * ( r ， h ) = N ¯ ( r ， g ) + S * ( r ， h ) ， (23) 3 T ( r ， 1 h ) < ∑ j = 1 5 N ¯ ( r ， 1 1 h − v j ) + S * ( r ， h ) = N ¯ ( r ， f ) + S * ( r ， h ) ， (24) 又由Nevanlinna第一基本定理得： T ( r ， 1 h ) = T ( r ， h ) + Ο ( 1 ) ，(25) 于是由(23)~(25)式及定理条件得： 6 T ( r ， h ) < N ¯ ( r ， f ) + N ¯ ( r ， g ) + S * ( r ， h ) ≤ λ ( T ( r ， f ) + T ( r ， g ) ) + S ∗ ( r ， h ) < 10 λ T ( r ， h ) + S ∗ ( r ， h ) < 5 2 T ( r ， h ) + S ∗ ( r ， h ) ， 这是一个矛盾。 故综上所述，可得 f ( z ) ≡ g ( z ) 。定理1证毕。 定理2的证明类似定理1。