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user: 2. 数学基础简介 2.1. 信号模型 本文主要讨论MPSK信号的识别，假设接收到的信号为 x ( t ) ，其复数形式为： x ( t ) = s ( t ) n m ( t ) δ ( t − T ) + n e ( t ) = x ˜ ( t ) e j ( w c t + θ c ) n m ( t ) + n e ( t ) (1) 其中 s ( t ) 为已调复信号， x ˜ ( t ) 为相位基带信号， n m ( t ) 为乘性干扰，服从广义瑞利分布， δ ( t − T ) 为延时函数， n e ( t ) 为加性高斯白噪声， w c 为调制载波角频率， θ c 为载波初始相位。对于MPSK信号： x ˜ ( t ) = E ∑ t e j φ i u T ( t − i T ) φ i ∈ { 2 π M ( m − 1 ) } m = 1 M (2) 其中E为信号功率， u T ( t ) 为矩形函数，T为符号周期， ϕ i 为各码元初始相位，我们的算法主要是检测确定M的取值。 2.2. 高阶累积量的定义及性质 高阶统计量，通常指高于2阶的统计量，一般包括高阶矩、高阶累积量及其谱(此外，还有倒谱和循环累积量)。由于高阶累积量在理论上可以完全抑制高斯噪声的影响 [ 1 ] 以及其它的一些特性(而高阶矩却不具备这一性质)，因此人们通常更多地利用高阶累积量及其谱作为主要的分析工具。 对于一个零均值的平稳复随机序列 { x ( k ) } ，我们有如下定义的四阶累积量 [ 2 ] [ 3 ] ： C 40 ( l 1 ， l 2 ， l 3 ) = cum [ x ( k ) ， x ( k + l 1 ) ， x ( k + l 2 ) ， x ( k + l 3 ) ] (3) C 41 ( l 1 ， l 2 ， l 3 ) = cum [ x ( k ) ， x ( k + l 1 ) ， x ( k + l 2 ) ， x * ( k + l 3 ) ] (4) C 42 ( l 1 ， l 2 ， l 3 ) = cum [ x ( k ) ， x ( k + l 1 ) ， x * ( k + l 2 ) ， x * ( k + l 3 ) ] (5) 由其定义我们可以得出高阶累积量的两条性质： cum [ a 1 x 1 ， a 2 x 2 ， ⋯ ， a n x n ] = ∏ i = 1 n a i cum [ x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ] (6) 若 x 1 ， x 2 相关，则 cum [ a 1 x 1 ， a 2 x 2 ， ⋯ ， a n x n ] = 0 (7) 若 x 1 ， y 1 相互独立，则 cum [ x 1 + y 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ] = cum [ x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ] + cum [ y 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ] (8) 关于高阶累积量的详细定义和性质详见文献 [ 3 ] 。而文献 [ 2 ] [ 4 ] 较详细的讨论了高阶累计量在信号识别中的应用。由于阶数大于2的高斯累积量的值恒等于0，故用它可以完全抑制加性高斯白噪声，而且利用累积量谱的相移不变性，通过公式(3) (4) (5)对(2)中的信号结果简单的计算，我们得到表1。 Table 1 Cumulative amount of MPSK signa 累积量信号 C 42 ( 0，0，0 ) C 40 ( 0，0，0 ) C 41 ( 0，0，0 ) 2 PSK − 2 E 2 − 2 E 2 e j 4 θ − 2 E 2 e j 2 θ 4 PSK − E 2 E 2 e j 4 θ 0 ≥ 8 PSK − E 2 0 0 表1. MPSK信号的累量 为了识别2/4/8 PSK信号，我们构造如下定义的分类特征向量： f x 1 = | C 40 ( 0 ， 0 ， 0 ) | | C 42 ( 0 ， 0 ， 0 ) | ， f x 2 = | C 41 ( 0 ， 0 ， 0 ) | | C 42 ( 0 ， 0 ， 0 ) | ， F x = [ f x 1 ， f x 2 ] (9) F x 就是对MPSK信号星座图的平移、尺度和相位旋转具有不变性的分类特征向量，且对不同阶数的MPSK信号具有如下的形式： F PSK ， x = { [ 1 ， 1 ] M = 2 ， BPSK [ 1 ， 0 ] M = 4 ， QPSK [ 0 ， 0 ] M ≥ 8 ， 8   PSK 以 上 利用特征向量 F PSK ， x 和模式识别中的欧氏距离分类方法，对MPSK信号进行分类。 2.3. 小波变换 设 φ ( t ) 为尺度函数， ψ ( t ) 为母小波，经伸缩平移后得到尺度函数序列 φ j ， k ( t ) 小波函数序列 ψ l ， j ， k ( t ) ，j和k分别为尺度因子和平移因子，对于任意函数 f ( t ) ∈ V j 都可以写成如下形式： x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ < f ( t ) ， φ j ， k ( t ) > φ j ， k ， l ( t ) + ∑ k = − ∞ + ∞ < f ( t ) ， ψ j ， k ( t ) > ψ j ， k ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ c j ， k ( n ) φ j ， k ( t ) + ∑ k = − ∞ + ∞ d j ， k ( n ) ψ j ， k ( t ) (10) 由双尺度方程： φ ( t ) = 2 ∑ n h ( n ) φ ( 2 t − n ) ， ψ l ( t ) = 2 ∑ n g ( n ) φ ( 2 t − n ) 则可得到M带小波系数的分解公式： c j + 1 ， k ( n ) = 〈 x ( t ) ， φ j + 1 ， k ( t ) 〉 = 1 2 ∑ n h ( k − 2 n ) c j ， k ( n ) (11) d j + 1 ， k ( n ) = 〈 x ( t ) ， ψ j + 1 ， k ( t ) 〉 = 1 2 ∑ n g ( k − 2 n ) c j ， k ( n ) (12) 2.4. 基于小波的高阶累积量 在实际应用中，必须使给定的离散函数信号与一个尺度空间相联系，完成对数据的初始化处理，这是基于小波方法的信号处理中的一个基本问题。给定一个信号 x ( x ) ∈ V j 和它的初始近似，系数就可以由式(11)、(12)计算，在标量小波情况下，通常取近似： c j ， k ( n ) = x ( n ) ，就可以得到满意的结果。 类似于前面高阶累积量的定义，定义小波累积量 [ 5 ] 为： W 40 ( l 1 ， l 2 ， l 3 ) = cum [ c j ( k ) ， c j ( k + l 1 ) ， c j ( k + l 2 ) ， c j ( k + l 3 ) ] (13) W 41 ( l 1 ， l 2 ， l 3 ) = cum [ c j ( k ) ， c j ( k + l 1 ) ， c j ( k + l 2 ) ， c j * ( k + l 3 ) ] (14) W 42 ( l 1 ， l 2 ， l 3 ) = cum [ c j ( k ) ， c j ( k + l 1 ) ， c j * ( k + l 2 ) ， c j * ( k + l 3 ) ] (15) 对信号做小波分解，然后由累积量的性质式(6)，式(7)及式(8)不难得到： W 40 ( 0 ， 0 ， 0 ) = ( 1 2 ) n C 40 ( 0 ， 0 ， 0 ) ∏ i = 0 n h i ( n ) (16) W 41 ( 0 ， 0 ， 0 ) = ( 1 2 ) n C 41 ( 0 ， 0 ， 0 ) ∏ i = 0 n h i ( n ) (17) W 42 ( 0 ， 0 ， 0 ) = ( 1 2 ) n C 42 ( 0 ， 0 ， 0 ) ∏ i = 0 n h i ( n ) (18) 由于 h ( n ) 为常数，则在小波变换后信号的分类特征向量为： F W = [ f W 1 ， f W 2 ] = [ f x 1 ， f x 2 ] (19) 这样我们就得到了信号在小波变换后的特征不变量。 由于累积量方法可以有效的消除加性高斯白噪声的影响，所以我们在这里只考虑乘性干扰的影响。在一般情况下乘性干扰是个很复杂的时间函数，它可能包括各种线性畸变，非线性畸变，交调畸变，衰落畸变等，而且因为信道参数随时间作随机变化的原因，乘性干扰往往只能用随机过程描述。对于信号的乘性噪声，由于其频率位于高频段，而信号的特征(相位跳变点)同样位于高频段，两者的区别在于特征比噪声占用更高的频带。我们采用小波方法，把信号在不同的尺度空间展开，对各个分辨级上的小波系数使用不同的阈值进行阈值化处理，这样就有望在抑制噪声的同时，较好地保留特征信息，从而更好的对信号进行识别。 我们假设信号的小波系数 d j ， k ~ N ( 0 ， σ i 2 ) ，那么我们在以i为中心，长度为n (n为奇数)的窗里的 σ ^ j ， k 2 = ∑ j ′ = − ⌊ n / 2 ⌋ ⌊ n / 2 ⌋ ∑ k ′ = − ⌊ n / 2 ⌋ ⌊ n / 2 ⌋ d j − j ′ ， k − k ′ 2 ，那么 σ ^ j ， k 2 ~ χ 2 ( n ) ，我们按照如下规则进行 χ 2 -检验。文章中我们选用文献 [ 6 ] 中提出的方法，用 χ 2 -检验的方法进行阈值化滤波。具体数学表达如下： d j ， k = α d j ， k ； α = { 1 R ≤ χ γ 1 2 β R ≥ χ γ 2 2 f ( χ γ 1 2 ， χ γ 2 2 ) 其 他 (20) 这里 f ( χ γ 1 2 ， χ γ 2 2 ) = β + ( 1 − β ) ( 1 − e ( R − χ γ 1 2 ) / ( χ γ 2 2 − χ γ 1 2 ) ) 。 (21) 最后，我们给出具体的算法步骤： 1) 对采集信号进行M带小波分解； 2) 对高频和低频部分进行阈值处理； 3) 计算高阶累积量； 4) 利用特征函数进行分类。