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user: 3. 具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的矩阵表示 为了得到所研究问题的矩阵表示，需要引入下面的引理来确保每个Atkinson类型的S-L问题等价于一个具有分段常值系数函数的S-L问题。 引理3.1 [ 7 ] ：设 r ， q ， w ， s ∈ L ( I ， ℝ ) 满足(8)~(10)。令 r 2 i + 1 = ∫ a 2 i + 1 a 2 i + 2 e 2 ∫ a 2 i + 1 t s ( u ) d u r ( t ) d t > 0 ，     s 2 i + 1 = ∫ a 2 i + 1 a 2 i + 2 s ( t ) d t ≠ 0 ，     i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m − 1 ， q 2 i = ∫ a 2 i a 2 i + 1 q ( t ) d t ，     w 2 i = ∫ a 2 i a 2 i + 1 w ( t ) d t ，     i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m . (11) 定义在区间I上的分段常值系数函数 p ¯ ， s ¯ ， q ¯ 和 w ¯ 为 p ¯ ( t ) = { a 2 i + 2 − a 2 i + 1 r 2 i + 1 s 2 i + 1 ，     t ∈ [ a 2 i + 1 ， a 2 i + 2 ] ，     i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m − 1 ; ∞ ，     t ∈ [ a 2 i ， a 2 i + 1 ] ，     i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m ，   ( s 2 i + 1 ≠ 0 ) ， p ¯ ( t ) = { a 2 i + 2 − a 2 i + 1 r 2 i + 1 ，     t ∈ [ a 2 i + 1 ， a 2 i + 2 ] ，     i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m − 1 ; ∞ ，     t ∈ [ a 2 i ， a 2 i + 1 ] ，     i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m ，   ( s 2 i + 1 = 0 ) ， s ¯ ( t ) = { s 2 i + 1 a 2 i + 2 − a 2 i + 1 ，     t ∈ [ a 2 i + 1 ， a 2 i + 2 ] ，     i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m − 1 ; 0 ，     t ∈ [ a 2 i ， a 2 i + 1 ] ，     i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m ， q ¯ ( t ) = { q 2 i a 2 i + 1 − a 2 i ，     t ∈ [ a 2 i ， a 2 i + 1 ] ，     i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m ; 0 ，     t ∈ [ a 2 i + 1 ， a 2 i + 2 ] ，     i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m − 1 ， w ¯ ( t ) = { w 2 i a 2 i + 1 − a 2 i ，     t ∈ [ a 2 i ， a 2 i + 1 ] ，     i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m ; 0 ，     t ∈ [ a 2 i + 1 ， a 2 i + 2 ] ，     i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m − 1. 其中 p ¯ ( t ) = ∞ ， t ∈ [ a 2 i + 1 ， a 2 i + 2 ] 等价于 r ( t ) = 0 ， t ∈ [ a 2 i + 1 ， a 2 i + 2 ] ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 。则具有分布势函数的S-L问题(2)，(4)与下述具有分段常值函数的方程 − ( p ¯ [ y ′ + s ¯ y ] ) ′ + s ¯ p ¯ [ y ′ + s ¯ y ] + q ¯ y = λ w ¯ y ，     I = ( a ， b ) ， (12) 以及同一边界条件(4)所构成的S-L问题(12)，(4)具有相同的特征值。 根据引理3.1，我们可知当给定边界条件(4)和区间I上的一个划分，存在一类Atkinson类型的S-L问题与具有分布势函数的S-L问题(12)，(4)具有相同的特征值。这样的一类问题我们称之为具有分布势函数的S-L问题(12)，(4)的一个等价类，它们具有相同的参数 r 2 i + 1 ， s 2 i + 1 ， q 2 i 和 w 2 i 。 对具有分离型边界条件的S-L问题(2)和(5)与矩阵特征值问题之间的等价关系，我们给出下述引理。 引理3.2 [ 7 ] ：若分离型边界条件(5)中 α ， β ∈ ( 0 ， π ) 。定义 ( m + 1 ) × ( m + 1 ) 的Jacobi矩阵 P α β = [ 1 r 1 + cot α − e s 1 r 1 − e s 1 r 1 e 2 s 1 r 1 + 1 r 3 − e s 3 r 3 ⋯ ⋯ ⋯ − e s 2 m − 3 r 2 m − 3 e 2 s 2 m − 3 r 2 m − 3 + 1 r 2 m − 1 − e s 2 m − 1 r 2 m − 1 − e s 2 m − 1 r 2 m − 1 e 2 s 2 m − 1 r 2 m − 1 − cot β ] ， (13) 以及对角矩阵 Q α β = d i a g ( q 0 ， q 2 ， ⋯ ， q 2 m − 2 ， q 2 m ) ， W α β = d i a g ( w 0 ， w 2 ， ⋯ ， w 2 m − 2 ， w 2 m ) . (14) 则具有分离型边界条件的S-L问题(2)，(5)的谱 σ ( α ， β ) 与矩阵对 ( P α β + Q α β ， W α β ) 的谱 σ ( P α β + Q α β ， W α β ) 相同。 注3.1：引理3.2的论述对于分离型边界条件 α = 0 ， β ∈ ( 0 ， π ) ， α ∈ ( 0 ， π ) ， β = π 和 α = 0 ， β = π 的情况同样成立，即： P 0 β = ( P α β ) 1 ， P α π = ( P α β ) 1 ， P 0 π = ( P α π ) 1 = ( P 0 β ) 1 ， Q 0 β = ( Q α β ) 1 ， Q α π = ( Q α β ) 1 ， Q 0 π = ( Q α π ) 1 = ( Q 0 β ) 1 ， W 0 β = ( W α β ) 1 ， W α π = ( W α β ) 1 ， W 0 π = ( W α π ) 1 = ( W 0 β ) 1 。我们可得到与引理3.2相同的结论，具体引理内容可参见文献 [ 7 ] 。根据引理3.2的矩阵表示形式，可以得到 ( P α β + Q α β ) 1 = P 0 β + Q 0 β ，     ( P α β + Q α β ) 1 = P α π + Q α π ， ( P α π + Q α π ) 1 = P 0 π + Q 0 π ，     ( P 0 β + Q 0 β ) 1 = P 0 π + Q 0 π . 对具有耦合型边界条件的S-L问题(2)和(6)与矩阵特征值问题之间的等价关系，我们给出下述引理。 引理3.3 [ 7 ] ：若耦合型边界条件(6)中 k 12 ≠ 0 。定义 ( m + 1 ) × ( m + 1 ) 阶循环Jacobi矩阵 P I = [ 1 r 1 − k 11 k 12 − e s 1 r 1 1 k 12 − e s 1 r 1 e 2 s 1 r 1 + 1 r 3 − e s 3 r 3 ⋯ ⋯ ⋯ − e s 2 m − 3 r 2 m − 3 e 2 s 2 m − 3 r 2 m − 3 + 1 r 2 m − 1 − e s 2 m − 1 r 2 m − 1 1 k 12 − e s 2 m − 1 r 2 m − 1 e 2 s 2 m − 1 r 2 m − 1 − k 22 k 12 ] ， (15) 以及对角矩阵 Q I = d i a g ( q 0 ， q 2 ， ⋯ ， q 2 m − 2 ， q 2 m ) ， W I = d i a g ( w 0 ， w 2 ， ⋯ ， w 2 m − 2 ， w 2 m ) . (16) 则具有耦合型边界条件的S-L问题(2)，(6)的谱 σ ( K ) 与矩阵对 ( P I + Q I ， W I ) 的谱 σ ( P I + Q I ， W I ) 相同。 引理3.4 [ 7 ] ：若耦合型边界条件(6)中 k 12 = 0 。定义 m × m 阶循环Jacobi矩阵 P θ = [ − k 11 k 21 + 1 r 1 + k 11 2 e s 2 m − 1 r 2 m − 1 − e s 1 r 1 − k 11 e s 2 m − 1 r 2 m − 1 − e s 1 r 1 e 2 s 1 r 1 + 1 r 3 − e s 3 r 3 ⋯ ⋯ ⋯ − e s 2 m − 5 r 2 m − 5 e 2 s 2 m − 5 r 2 m − 5 + 1 r 2 m − 3 − e s 2 m − 3 r 2 m − 3 − k 11 e s 2 m − 1 r 2 m − 1 − e s 2 m − 3 r 2 m − 3 e 2 s 2 m − 3 r 2 m − 3 + 1 r 2 m − 1 ] ， (17) 以及对角矩阵 Q θ = d i a g ( q 0 + k 11 2 q 2 m ， q 2 ， ⋯ ， q 2 m − 2 ) ， W θ = d i a g ( w 0 + k 11 2 w 2 m ， w 2 ， ⋯ ， w 2 m − 2 ) . (18) 则具有耦合型边界条件的S-L问题(2)，(6)的谱 σ ( K ) 与矩阵对 ( P θ + Q θ ， W θ ) 的谱 σ ( P θ + Q θ ， W θ ) 相同。