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user: 2. 模糊关系的分块合成运算 由于模糊关系可以由模糊矩阵来表示，因此在本文讨论中，直接用模糊矩阵来代替模糊关系。下面，首先引入模糊矩阵的合成运算。 定义1： [ 1 ] 设模糊矩阵 A = ( a i j ) m × s ， B = ( b i j ) s × n ，称模糊矩阵 A ∘ B = ( c i j ) m × n 为A与B的合成，其中 c i j = ∨ k = 1 s ( a i k ∧ b k j ) 。 可见，与普通矩阵乘法一样，只有当A的列数与B的行数相等时，模糊矩阵的合成运算 A ∘ B 才能成立。 性质1：对于 A = ( a i j ) m × s ， B = ( b i j ) s × n ，可以证明：模糊矩阵的合成运算的计算复杂度为 。 模糊关系合成运算的MATLAB程序代码(Max_Min)见附录1。 例1：设 A = [ 0.4 0.7 0 1 0.8 0.5 ] ， B = [ 1 0.7 0.4 0.6 0 0.3 ] ，计算 A ∘ B 。 解：通常的算法为： A ∘ B = [ ( 0.4 ∧ 1 ) ∨ ( 0.7 ∧ 0.4 ) ∨ ( 0 ∧ 0 ) ( 0.4 ∧ 0.7 ) ∨ ( 0.7 ∧ 0.6 ) ∨ ( 0 ∧ 0.3 ) ( 1 ∧ 1 ) ∨ ( 0.8 ∧ 0.4 ) ∨ ( 0.5 ∧ 0 ) ( 1 ∧ 0.7 ) ∨ ( 0.8 ∧ 0.6 ) ∨ ( 0.5 ∧ 0.3 ) ] = [ 0.4 0.6 1 0.7 ] % command window >> A=[0.4 0.7 0;1 0.8 0.5]; >> B=[1 0.7;0.4 0.6;0 0.3]; >> C=Max_Min(A，B) C= 0.4000 0.6000 1.0000 0.7000 定义2：一般地说，设模糊矩阵 A = ( a i k ) s n ， B = ( b k j ) n m ，把A，B分成一些小矩阵， n 1     n 2 ⋯     n l A = s 1 s 2 ⋮ s t [ A 11 A 12 ⋯ A 1 l A 21 A 22 ⋯ A 2 l ⋮ ⋮ ⋮ A t 1 A t 2 ⋯ A t l ] ，               m 1   m 2 ⋯   m r B = n 1 n 2 ⋮ n l [ B 11 B 12 ⋯ B 1 r B 21 B 22 ⋯ B 2 r ⋮ ⋮ ⋮ B l 1 B l 2 ⋯ B l r ] 其中，每个 A i j 是 s i × n j 小矩阵，每个 B i j 是 n i × m j 小矩阵，令 m 1   m 2 ⋯   m r C = A ∘ B = s 1 s 2 ⋮ s t [ C 11 C 12 ⋯ C 1 r C 21 C 22 ⋯ C 2 r ⋮ ⋮ ⋮ C t 1 C t 2 ⋯ C t r ] 其中， C p q = A p 1 ∘ B 1 q ∪ A p 2 ∘ B 2 q ∪ ⋯ ∪ A p l ∘ B l q ， ( p = 1 ， 2 ， ⋯ ， t ; q = 1 ， 2 ， ⋯ ， r ) 。 应注意在分块A，B中，矩阵A的列的分法必须与矩阵B的行的分法一致。 性质2：模糊关系的分块合成运算的计算复杂度为 m s n 。 证明：由性质1知， A p k ∘ B k q 的复杂度为 s p n k m q 。由于 C p q = A p 1 ∘ B 1 q ∪ A p 2 ∘ B 2 q ∪ ⋯ ∪ A p l ∘ B l q ， ( p = 1 ， 2 ， ⋯ ， t ; q = 1 ， 2 ， ⋯ ， r ) ， 因此，可以得到 C p q 的复杂度为： s p n 1 m q + s p n 2 m q + ⋯ + s p n l m q = s p m q n . 从而可以计算 A ∘ B 的第 s i 行的复杂度为： s i m 1 n + s i m 2 n + ⋯ + s i m r n = s i m n . 考虑 A ∘ B 的所有行，可计算 A ∘ B 复杂度为： s 1 m n + s 2 m n + ⋯ + s t m n = s m n ，因此，可以得到 A ∘ B 的复杂度为 s m n 。 下面分别从模糊矩阵的列分块、行分块和行列分块对分块运算做出具体的讨论，给出了模糊矩阵的分块合成运算的算法，并给出了相应的MATLAB的程序代码，分析分块合成运算的复杂度。 2.1. 列分块合成运算 在模糊矩阵 A ∘ B 的合成计算当中，可以把模糊矩阵A按照列分块，而矩阵B保持不变，即： A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] = ( α 1 ， α 2 ， ⋯ ， α n ) ， B = [ b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n n ] ， 其中 α i 为A的第i列 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ，因此可以得到： A ∘ B = ( α 1 ， α 2 ， ⋯ ， α n ) ∘ [ b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n n ] = ( α 1 ∘ b 11 ∪ α 2 ∘ b 21 ∪ ⋯ ∪ α n ∘ b n 1 ， α 1 ∘ b 12 ∪ α 2 ∘ b 22 ∪ ⋯ ∪ α n ∘ b n 2 ，       ⋯ ， α 1 ∘ b 1 n ∪ α 2 ∘ b 2 n ∪ ⋯ ∪ α n ∘ b n n ) = ( β 1 ， β 2 ， ⋯ ， β n ) 其中， β j = α 1 ∘ b 1 j ∪ α 2 ∘ b 2 j ∪ ⋯ ∪ α n ∘ b n j 。 续例1：用列分块方法计算 A ∘ B 。 解：记 α 1 = [ 0.4 1 ] ， α 2 = [ 0.7 0.8 ] ， α 3 = [ 0 0.5 ] 则有： A ∘ B = ( α 1 ， α 2 ， α 3 ) ∘ [ 1 0.7 0.4 0.6 0 0.3 ] = ( α 1 ∘ 1 ∪ α 2 ∘ 0.4 ∪ α 3 ∘ 0 ， α 1 ∘ 0.7 ∪ α 2 ∘ 0.6 ∪ α 3 ∘ 0.3 ) = [ [ 0.4 1 ] ∘ [ 1 ] ∪ [ 0.7 0.8 ] ∘ [ 0.4 ] ∪ [ 0 0.5 ] ∘ [ 0 ] ， [ 0.4 1 ] ∘ [ 0.7 ] ∪ [ 0.7 0.8 ] ∘ [ 0.6 ] ∪ [ 0 0.5 ] ∘ [ 0.3 ] ] = [ [ 0.4 1 ] ∪ [ 0.4 0.4 ] ∪ [ 0 0 ] ， [ 0.4 0.7 ] ∪ [ 0.6 0.6 ] ∪ [ 0 0.3 ] ] = [ 0.4 0.6 1 0.7 ] 列分块合成运算的MATLAB程序代码(left right block)见附录2。 %command window >> A=[0.4 0.7 0;1 0.8 0.5]; >> B=[1 0.7;0.4 0.6;0 0.3]; >> C=leftrightblock(A，B) C= 0.4000 0.6000 1.0000 0.7000 2.2. 行分块合成运算 在模糊矩阵 的合成计算当中，可以保持A不变，模糊矩阵B按照行分块，即： A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] ， B = [ b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n n ] = [ β 1 β 2 ⋮ β n ] ， 其中， β i 为B的第i行 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 。因此可以得到： A ∘ B = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] ∘ [ β 1 β 2 ⋮ β n ] = [ a 11 ∘ β 1 ∪ a 12 ∘ β 2 ∪ ⋯ ∪ a 1 n ∘ β n a 21 ∘ β 1 ∪ a 22 ∘ β 2 ∪ ⋯ ∪ a 2 n ∘ β n ⋮ a n 1 ∘ β 1 ∪ a n 2 ∘ β 2 ∪ ⋯ ∪ a n n ∘ β n ] . 续例2：用行分块方法计算例1。 解：记 β 1 = [ 1 0.7 ] ， β 2 = [ 0.4 0.6 ] ， β 3 = [ 0 0.3 ] A ∘ B = [ 0.4 0.7 0 1 0.8 0.5 ] ∘ [ β 1 β 2 β 3 ] = [ 0.4 ∘ β 1 ∪ 0.7 ∘ β 2 ∪ 0 ∘ β 3 1 ∘ β 1 ∪ 0.8 ∘ β 2 ∪ 0.5 ∘ β 3 ] = [ [ 0.4 ] ∘ [ 1 0.7 ] ∪ [ 0.7 ] ∘ [ 0.4 0.6 ] ∪ [ 0 ] ∘ [ 0 0.3 ] [ 1 ] ∘ [ 1 0.7 ] ∪ [ 0.8 ] ∘ [ 0.4 0.6 ] ∪ [ 0.5 ] ∘ [ 0 0.3 ] ] = [ [ 0.4 0.4 ] ∪ [ 0.4 0.6 ] ∪ [ 0 0 ] [ 1 0.7 ] ∪ [ 0.4 0.6 ] ∪ [ 0 0.3 ] ] = [ 0.4 0.6 1 0.7 ] 合成运算的MATLAB程序代码(right block)见附录3。 %command window >> A=[0.4 0.7 0;1 0.8 0.5]; >> B=[1 0.7;0.4 0.6;0 0.3]; >> C=rightblock(A，B) C= 0.4000 0.6000 1.0000 0.7000 2.3. 行列分块合成运算 在模糊矩阵 A ∘ B 的合成计算当中，可以把模糊矩阵A按照列分块，模糊矩阵B按照行分块，即： A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] = ( α 1 ， α 2 ， ⋯ ， α n ) ， B = [ b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n n ] = [ β 1 β 2 ⋮ β n ] ， 其中 α i 为A的第i列 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， β i 为B的第i行 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) 。 因此可以得到： A ∘ B = [ α 1 α 2 ⋯ α n ] ∘ [ β 1 β 2 ⋮ β n ] = α 1 ∘ β 1 ∪ α 2 ∘ β 2 ∪ ⋯ ∪ α n ∘ β n . 续例3：用行列分块方法计算例1。 解：记： α 1 = [ 0.4 1 ] ， α 2 = [ 0.7 0.8 ] ， α 3 = [ 0 0.5 ] ， β 1 = [ 1 0.7 ] ， β 2 = [ 0.4 0.6 ] ， β 3 = [ 0 0.3 ] 。则 A ∘ B = [ α 1 α 2 α 3 ] ∘ [ β 1 β 2 β n ] = α 1 ∘ β 1 ∪ α 2 ∘ β 2 ∪ α 3 ∘ β 3 = [ 0.4 1 ] ∘ [ 1 0.7 ] ∪ [ 0.7 0.8 ] ∘ [ 0.4 0.6 ] ∪ [ 0 0.5 ] ∘ [ 0 0.3 ] = [ 0.4 0.4 1 0.7 ] ∪ [ 0.4 0.6 0.4 0.6 ] ∪ [ 0 0 0 0.3 ] = [ 0.4 0.6 1 0.7 ] 行列合成运算的MATLAB程序代码(left right)见附录4。 %command window >> A=[0.4 0.7 0;1 0.8 0.5]; >> B=[1 0.7;0.4 0.6;0 0.3]; >> C=leftright(A，B) C= 0.4000 0.6000 1.0000 0.7000