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user: 3. 一类参数式李氏卵形曲线方程 定理1：设参数式方程 { x = c cos t y = 1 2 [ ( a + b ) − ( a − b ) sin t ] sin t ， t ∈ [ − π 2 ， 3 π 2 ] (3.1) (i) 若 a ， b ， c > 0 且 a > b (3.2) 则方程(3.1)是以 a ， b ， c 为长、短、对称半径的李氏卵形曲线方程。 (ii) 若 a ， b ， c > 0 且 b < a ≤ 3 b (3.3) 则方程(3.1)是以 a ， b ， c 为长、短、对称半径的李氏卵圆方程。 (iii) 若 a ， b ， c > 0 且 a > 3 b (3.4) 则方程(3.1)是以 a ， b ， c 为长、短、对称半径的李氏心脏线方程。 为了证明上述定理，我们先给出如下引理： 引理1：设(3.2)成立，(3.1)的图形为曲线L (i) 若 x 0 ≥ 0 ，点 ( x 0 ， y 0 ) ∈ L ，则点 ( − x 0 ， y 0 ) ∈ L ； (ii) 设l为平行于y轴的直线，若l与y轴的距离小于c，则L与l有且仅有两个交点；若l与y轴的距离等于c，则L与l有且仅有一个交点；若l与y轴的距离大于c，则L与l没有交点。 证明：(i) 由点 ( x 0 ， y 0 ) ∈ L ，则必存在 t 0 ∈ [ − π 2 ， 3 π 2 ] 满足(3.1)： { x 0 = c cos t 0 y 0 = 1 2 [ ( a + b ) − ( a − b ) sin t 0 ] sin t 0 由 x 0 ≥ 0 及 c > 0 得 x 0 c ≥ 0 ，故满足上式的第一式的 t 0 = arccos x 0 c ∈ [ 0 ， π 2 ] ∪ [ − π 2 ， 0 ] 若 t 0 ∈ [ 0 ， π 2 ] ，则取 t ˜ 0 = π − t 0 ∈ [ π 2 ， π ] 。设 t ˜ 0 对应于L上的点为 ( x ˜ 0 ， y ˜ 0 ) ，将 t = t ˜ 0 代入(3.1)得点 ( x ˜ 0 ， y ˜ 0 ) ∈ L ，则 x ˜ 0 = c cos t ˜ 0 = c cos ( π − t 0 ) = − c cos t 0 = − x 0 y ˜ 0 = 1 2 [ ( a + b ) − ( a − b ) sin t ˜ 0 ] sin t ˜ 0 = 1 2 [ ( a + b ) − ( a − b ) sin ( π − t 0 ) ] sin ( π − t 0 ) = 1 2 [ ( a + b ) − ( a − b ) sin t 0 ] sin t 0 = y 0 故点 ( − x 0 ， y 0 ) = ( x ˜ 0 ， y ˜ 0 ) ∈ L 。 若 t 0 ∈ [ − π 2 ， 0 ] ，则取 t ˜ 0 = π − t 0 ∈ [ π ， 3 π 2 ] ，同理可证 ( − x 0 ， y 0 ) = ( x ˜ 0 ， y ˜ 0 ) ∈ L 。 (ii) 设直线l到y轴的距离为k，则l的方程为 x = k ( 0 ≤ k < c ) ，或 x = − k ( 0 ≤ k < c ) 将上式第一式代入L的方程，即(3.1)的第一式，得 k = c cos t 即 cos t = k c 当 0 ≤ k < c 时，有 0 ≤ k c < 1 ，故满足上式的t有且仅有两个解 t 1 ， t 2 满足 t 1 = arccos k c ∈ ( 0 ， π 2 ] ， t 2 = − t 1 ∈ [ − π 2 ， 0 ) 设L上对应于 t 1 ， t 2 的点分别为 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ，则 x 2 = c c o s t 2 = c c o s ( − t 1 ) = c c o s t 1 = x 1 = k 由(3.2)及 t 1 ∈ ( 0 ， π 2 ] 得 y 1 = 1 2 [ ( a + b ) − ( a − b ) sin t 1 ] sin t 1 > 0 y 2 = 1 2 [ ( a + b ) − ( a − b ) sin ( − t 1 ) ] sin ( − t 1 ) = − 1 2 [ ( a + b ) + ( a − b ) sin t 1 ] sin t 1 < 0 故 y 1 ≠ y 2 ，从而 ( x 1 ， y 1 ) ≠ ( x 2 ， y 2 ) ，即L与l有且仅有两个交点 ( k ， y 1 ) ， ( k ， y 2 ) 。 当 k = c 时， cos t = 1 ，显然t只有一个解 t = 0 ，故此时L与l只有一个交点 ( c ， 0 ) 。 当 k > c 时， cos t = k c 无解，故此时L与l无交点。 对 x = − k 的情形可同理证之。 引理2：设由参数式方程(3.1)所确定的y为x的函数的一阶和二阶导数分别记为 y ′ x ( t ) 和 y ″ x ( t ) ，则 y ′ x ( t ) = − 1 2 c [ ( a + b ) − 2 ( a − b ) sin t ] cot t ， t ∈ [ − π 2 ， 3 π 2 ] (3.5) y ″ x ( t ) = − 1 2 c 2 sin 3 t [ ( a + b ) − 2 ( a − b ) sin 3 t ] ， t ∈ [ − π 2 ， 3 π 2 ] (3.6) 且(i) 若(3.2)成立，则 y ″ x ( t ) > 0 ， t ∈ ( − π 2 ， 0 ) ∪ ( π ， 3 π 2 ) (3.7) (ii) 若(3.3)成立，则 y ″ x ( t ) ≤ 0 ， t ∈ ( 0 ， π ) (3.8) (iii) 若(3.4)成立，则在 ( 0 ， π 2 ) 上必存在唯一的 t 0 = arcsin a + b 2 ( a − b ) ∈ ( 0 ， π 2 ) (3.9) 使 y ′ x ( t 0 ) = 0 (3.10) 且在 ( t 0 ， π 2 ) 上存在唯一的 t 1 = arcsin a + b 2 ( a − b ) 3 ∈ ( t 0 ， π 2 ) (3.11) 使 y ″ x ( t 1 ) = 0 (3.12) y ″ x ( t ) < 0 ， t ∈ ( 0 ， t 1 ) (3.13) y ″ x ( t ) > 0 ， t ∈ ( t 1 ， π 2 ) (3.14) 证明：由(3.1)得 y ′ x ( t ) = d y d x = d y d t d x d t = { 1 2 [ ( a + b ) − ( a − b ) sin t ] sin t } ′ ( c cos t ) ′ ， t ∈ [ − π 2 ， 3 π 2 ] 将上式化简即得(3.5)，又由(3.5)得 y ″ x ( t ) = d ( y ′ x ( t ) ) d x = { − 1 2 c [ ( a + b ) − 2 ( a − b ) sin t ] cot t } ′ ( c cos t ) ′ ， t ∈ [ − π 2 ， 3 π 2 ] 将上式化简即得(3.6)。 (i) 因为当 t ∈ ( − π 2 ， 0 ) ∪ ( π ， 3 π 2 ) 时，恒有 sin 3 t < 0 ，由此式及(3.2)和(3.6)即得(3.7)。 (ii) 因为当 t ∈ ( 0 ， π ) 时，恒有 sin 3 t ≤ 1 ，由此式及(3.3)，知 ( a + b ) − 2 ( a − b ) sin 3 t ≥ ( a + b ) − 2 ( a − b ) = − a + 3 b ≥ 0 (3.15) 又显然有 sin 3 t > 0 ， t ∈ ( 0 ， π ) (3.16) 于是由(3.6)和(3.15)和(3.16)即得(3.8)。 (iii) 由(3.4)得 0 < a + b 2 ( a − b ) < 1 (3.17) 由正弦函数 sin t 在 [ 0 ， π 2 ] 上严格单调递增及(3.17)知，存在唯一的 t 0 ∈ ( 0 ， π 2 ) 使 sin t 0 = a + b 2 ( a − b ) (3.18) 将(3.18)代入(3.5)，并注意到 c > 0 ，即得 y ′ x ( t 0 ) = 0 ，即(3.9)和(3.10)成立。 又由(3.17)得 0 < a + b 2 ( a − b ) < a + b 2 ( a − b ) 3 < 1 (3.19) 同样由正弦函数 sin t 在 [ 0 ， π 2 ] 上严格单调递增及(3.19)知，存在唯一的 t 1 ∈ ( t 0 ， π 2 ) 使 sin t 1 = a + b 2 ( a + b ) 3 (3.20) sin t < a + b 2 ( a + b ) 3 ， t ∈ ( 0 ， t 1 ) (3.21) sin t > a + b 2 ( a + b ) 3 ， t ∈ ( t 1 ， π 2 ) (3.22) 分别将(3.20)和(3.21)和(3.22)代入(3.6)，即得(3.12)和(3.13)和(3.14)。 定理1的证明：设(3.1)的曲线为L。 (i) 由(3.2)及引理1知，L关于y轴对称且是闭合的，故L满足定义1的条件①。 由(3.1)的第一式知， t = 0 是函数 x = c cos t 在 t ∈ [ − π 2 ， 3 π 2 ] 上唯一最大值点，且最大值为c，将 t = 0 代 入式(3.1)的第二式得 y = 0 ，故L上存在唯一一对对称点 S ( c ， 0 ) ， T ( − c ， 0 ) ，它们到L的对称轴y轴的距离最大，故L满足定义1的条件②。 令 x = 0 ，则由(3.1)的第一式得 t = π 2 或 t = 3 2 π ，将它们代入(3.1)的第二式分别 y = b 或 y = − a ，故L 与其对称轴y轴有且仅有两个交点 O ( 0 ， b ) ， O ( 0 ， − a ) ，显然PQ与ST相交于坐标系原点 O ( 0 ， 0 ) 且 O P = a > b = O Q ，故L满足定义1的条件③。 由引理2之(3.5)知，导数 y ′ x ( t ) 在 t = 0 或 t = π 时为 ∞ ，而在 [ − π 2 ， 3 π 2 ] 的其它点均为有限存在，故曲 线L处处存在切线，从而处处光滑，所以L满足定义1的条件④。 因此曲线L是满足定义1的李氏卵形曲线，参数方程(3.1)为李氏卵形曲线方程。 (ii) 当(3.3)成立即 0 < b < a ≤ 3 b 时，必有(3.2)成立，从而由引理2之(i)即(3.7)知曲线L的下半部为下凸的，而由(3.3)及引理2之(ii)即(3.8)知曲线L的上半部为上凸的 [ 2 ]，故曲线L为凸的，又由(3.3)成立，则(3.2)必成立，从而由(i)知，L为李氏卵形曲线，又上面已证L处处光滑，所以曲线L为李氏卵圆。参数方程(3.1)为李氏卵圆方程。 (iii)当(3.4)成立即 a > 3 b 时，由引理2之(iii)知(3.9)~(3.14)均成立，且(3.2)亦成立，从而(3.7)成立。 设曲线L上对应于 t 1 的点为 H 1 ，则由(3.12)~(3.14)知点 H 1 为曲线L的拐点 [ 2 ]；由对称性知， t 2 = π − t 1 所对应的点 H 2 也是曲线L的拐点，且曲线L在 t ∈ ( 0 ， t 1 ) 上为上凸的，在 t ∈ ( t 1 ， t 2 ) 上为下凸的，在 t ∈ ( t 2 ， π ) 上为上凸的。所以曲线L的上半部仅在近端点处是向里凹的。 而当 t ∈ ( − π 2 ， 0 ) ∪ ( π ， 3 π 2 ) 时，由(3.7)知，曲线L在 t ∈ ( − π 2 ， 0 ) ∪ ( π ， 3 π 2 ) 上(即L的下半部)是下凸的。 这就证明了当(3.4)成立时，曲线L仅在近端点处向里凹；又由(3.4)成立，则(3.2)必成立，从而由(i)知，L为李氏卵形曲线。所以曲线L为李氏心脏线(参见图2)，参数方程(3.1)为李氏心脏线方程。 图2. 李氏心脏线示意图 注1：在(3.1)中令 b = a ， a > c ，则得 { x = c cos t y = a sin t ， t ∈ ( − π 2 ， 3 π 2 ) ，此式正是长、短半轴为a，c的椭圆的 参数式方程。故李氏卵形曲线(3.1)是椭圆的推广。