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user: 2. 预备知识 本文所考虑的所有图均为有限的、非空的、无向的、连通的、以及没有圈和重边的正则图。关于本文所使用的群论和图论的符号和基本概念都是标准的，可以参看学者们的著作( [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] )等。例如： Table 1 3 degree G-based symmetry diagram of order 2 p m q Γ Aut   Γ ( G ， G α ) Γ Aut   Γ ( G ， G α ) G 20 1 S 5 ( A 5 ， ℤ 3 ) G 20 2 S 5 × ℤ 2 ( S 5 ， S 3 ) N C 30 S 6 . ℤ 2 ( S 6 . ℤ 2 ， S 4 × S 2 ) G 28 1 PGL ( 2 ， 7 ) ( PSL ( 2 ， 7 ) ， S 3 ) G 28 2 PGL ( 2 ， 7 ) ( PGL ( 2 ， 7 ) ， S 3 × S 2 ) G 56 1 PGL ( 2 ， 7 ) ( PSL ( 2 ， 7 ) ， ℤ 3 ) G 56 2 PGL ( 2 ， 7 ) ( PGL ( 2 ， 7 ) ， S 3 ) G 56 3 PGL ( 2 ， 7 ) × ℤ 2 ( PGL ( 2 ， 7 ) ， S 3 ) C 110 PGL ( 2 ， 11 ) ( PGL ( 2 ， 11 ) ， S 3 × S 2 ) N C 182 1 PSL ( 2 ， 13 ) ( PSL ( 2 ， 13 ) ， S 3 ) N C 182 2 PGL ( 2 ， 13 ) ( PGL ( 2 ， 13 ) ， S 3 × S 2 ) N C 102 PSL ( 2 ， 17 ) ( PSL ( 2 ， 17 ) ， S 4 ) N C 506 PGL ( 2 ， 23 ) ( PSL ( 2 ， 23 ) ， S 3 × S 2 ) C 506 PGL ( 2 ， 23 ) ( PGL ( 2 ， 23 ) ， S 4 ) Aut ( PSL ( 2 ， 25 ) ) ( PGL ( 2 ， 25 ) ， S 4 ) G 650 2 Aut ( PSL ( 2 ， 25 ) ) ( Aut ( PSL ( 2 ， 25 ) ) ， S 4 × S 2 ) N C 2162 PSL ( 2 ， 47 ) ( PSL ( 2 ， 47 ) ， S 4 ) G 234 1 Aut ( PSL ( 3 ， 3 ) ) ( PSL ( 3 ， 3 ) ， S 4 ) G 234 2 Aut ( PSL ( 3 ， 3 ) ) ( Aut ( PSL ( 3 ， 3 ) ) ， S 4 × S 2 ) 表1. 阶为 2 p m q n 的3度G-基对称图 我们用 ℤ n 表示n阶循环群， A n 和 S n 分别表示交错群和对称群。 本节的主要内容是给出一些重要的结论和例子。首先我们给出由Tutte于1947年确定的3度对称图的点稳定子群的结构，它为我们研究3度对称图奠定了基础。 引理2.1 ( [ 7 ] )：设 Γ 是一个连通的3度 ( G ， s ) -弧传递图。则 s ≤ 5 ，并且 ( G α ， | G α | ， s ) 满足表2，其中α∈VΓ。 Table 2 Point-stabilized subgroups of 3-degree symmetry map s 1 2 3 4 5 G α ℤ 3 S 3 S 3 × S 2 S 4 S 4 × S 2 | G α | 3 2 2 × 3 2 3 × 3 2 4 × 3 表2. 3度对称图的点稳定子群 设G是一个有限群，H是G的子群。令D为H在G中的若干个形如 H x H ( x ∉ H ) 的双陪集之并。定义群G上关于H和D的陪集(有向)图 Γ = Cos ( G ， H ， D ) 如下：顶点集 V Γ = [ G : H ] ，即H在G中的所有右陪集之并，边集 E Γ = { { H a ， H d a } | a ∈ G ， d ∈ D } 。陪集图有如下的性质。 引理2.2 ( [ 14 ] )：设 Γ = Cos ( G ， H ， D ) 是群G关于H和D的陪集有向图，则 1) Γ 是点传递图，并且 val ( Γ ) = | D | / | H | ； 2) Γ 是连通图当且仅当 G = 〈 D 〉 ； 3) Γ 是无向图当且仅当 D = D − 1 ； 4) Γ 是G-弧传递的当且仅当 D = H x i H ( x i ∉ H ) 是一个单个的双陪集。 陪集图通常用于构造一些图例，下面的4个例子是根据3度图的点稳定子群的结构以及陪集图的性质构造而成，可参看文献( [ 1 ] )和( [ 10 ] )。 例2.3：1) 设 G = PSL ( 2 ， 13 ) ，则G有一个子群 H ≅ S 3 ，且存在一个对合x使得 | H x H | / | H | = 3 ， 〈 H ， x 〉 = G 。于是由引理2.2知陪集图 Cos ( G ， H ， H x H ) 是一个阶为182的3度对称图，记为 N C 182 1 ，且 Aut ( N C 182 1 ) ≅ PSL ( 2 ， 13 ) 。 2) 设 G = PGL ( 2 ， 13 ) ，则G有一个子群 H ≅ S 3 × S 2 ，且存在一个对合x使得 | H x H | / | H | = 3 ， 〈 H ， x 〉 = G 。于是由引理2.2知陪集图 Cos ( G ， H ， H x H ) 是一个阶为182的3度对称图，记为 N C 182 2 ，且 。 例2.4：1) 设 G = PSL ( 2 ， 23 ) ，则G有一个子群 H ≅ S 3 × S 2 ，且存在和一个对合x使得 | H x H | / | H | = 3 ， 〈 H ， x 〉 = G 。于是由引理2.2知陪集图 Cos ( G ， H ， H x H ) 是一个阶为506的3度对称图，记为 N C 506 ，且 Aut ( N C 506 ) ≅ PSL ( 2 ， 23 ) 。 2) 设 G = PGL ( 2 ， 23 ) ，则G有一个子群 H ≅ S 4 ，且存在和一个对合x使得 | H x H | / | H | = 3 且 〈 H ， x 〉 = G 。于是由引理2.2知陪集图 Cos ( G ， H ， H x H ) 是一个阶为506的3度对称图，记为 C 506 ，且 Aut ( C 506 ) ≅ PGL ( 2 ， 23 ) 。 例2.5：设 G = PSL ( 2 ， 47 ) ，则G有一个子群 H ≅ S 4 和一个对合x使得 | H x H | / | H | = 3 且 〈 H ， x 〉 = G 。于是由引理2.2知陪集图 Cos ( G ， H ， H x H ) 是一个阶为2162的3度对称图，记为 N C 2162 ，且其全自同构群为 PSL ( 2 ， 23 ) 。 例2.6：1) Levi图 N C 30 是唯一的一个阶为30的3度对称图，它是5-正则的二部图且 Aut ( N C 30 ) ≅ S 6 . ℤ 2 。 2) Smith-Biggs图 N C 102 是唯一的一个阶为102的3度对称图，且 Aut ( N C 102 ) ≅ PSL ( 2 ， 17 ) 。 3) Coxter-Frucht图 C 110 是唯一的一个阶为110的3度对称图，且 Aut ( C 110 ) ≅ PGL ( 2 ， 11 ) 。 对于给定的较小群G，利用Magma ( [ 15 ] )软件计算包可以确定所有同构意义下的G-弧传递图。通过Magma ( [ 15 ] )直接计算，我们可得以下的5个例子。值得注意的是，在例子中所出现图，它们在同构意义下都是唯一的。 例2.7：1) 设 G = A 5 ，则G有一个子群 H ≅ ℤ 3 ，由Magma ( [ 15 ] )可知，存在一个阶为20的3度对称图，记为 G 20 1 ，且 Aut ( G 20 1 ) ≅ S 5 。 2) 设 G = S 5 ，则G有一个子群 ，于是通过Magma ( [ 15 ] )计算，存在一个阶为20的3度对称图，记为 G 20 2 ，且 Aut ( G 20 2 ) ≅ S 5 × ℤ 2 。 例2.8：设 G = PSL ( 2 ， 7 ) ，则G有一个子群 H ≅ S 3 或 ℤ 3 ，于是存在两个3度对称图，分别记为 G 28 1 和 G 56 1 ，它们的阶分别为28和56，且 Aut ( G 28 1 ) ≅ PGL ( 2 ， 7 ) ， Aut ( G 56 1 ) ≅ PGL ( 2 ， 7 ) 。 例2.9：设 G = PGL ( 2 ， 7 ) ，则G有一个子群 H ≅ S 3 × S 2 或 S 3 。通过Magma ( [ 15 ] )计算可得： 1) 如果 H ≅ S 3 × S 2 ，则存在一个阶为28的3度对称图，记为 G 28 2 ，且 Aut ( G 28 2 ) ≅ PGL ( 2 ， 7 ) 。 2) 如果 H ≅ S 3 ，则存在两个阶为56的3度对称图，分别记为 G 56 2 和 G 56 3 ，且 Aut ( G 56 2 ) ≅ PGL ( 2 ， 7 ) ， Aut ( G 56 3 ) ≅ PGL ( 2 ， 7 ) × ℤ 2 。 例2.10：1) 设 G = PGL ( 2 ， 25 ) ，则G有一个子群 H ≅ S 4 ，通过Magma ( [ 15 ] )计算，存在一个阶为650的3度对称图，记为 G 650 1 ，且 Aut ( G 650 1 ) ≅ Aut ( PSL ( 2 ， 25 ) ) 。 2) 设 G = Aut ( PSL ( 2 ， 25 ) ) ，则G有一个子群 H ≅ S 4 × S 2 ，由Magma ( [ 15 ] )可知，存在一个阶为650的3度对称图，记为 G 650 2 ，且 Aut ( G 650 2 ) ≅ Aut ( PSL ( 2 ， 25 ) ) 。 例2.11：1) 设 G = PSL ( 3 ， 3 ) ，则G有一个子群 H ≅ S 4 ，存在一个阶为234的3度对称图，记为 G 234 1 ，且 Aut ( G 234 1 ) ≅ Aut ( PSL ( 3 ， 3 ) ) 。 2) 设 G = Aut ( PSL ( 3 ， 3 ) ) ，则G有一个子群 H ≅ S 4 × S 2 ，故由Magma ( [ 15 ] )计算，存在一个阶为234的3度对称图，记为 G 234 2 ，且 Aut ( G 234 2 ) ≅ Aut ( PSL ( 3 ， 3 ) ) 。 下面的引理是( [ 16 ]，引理2.5])的一个特例，它略微改进了Praeger的结论( [ 17 ]，定理4.1])。 引理2.12 ( [ 16 ] )：设 Γ 是一个连通的奇素数度的G-弧传递图， G ≤ Aut   Γ 有一个非传递的正规子群N在 上至少有两个轨道。则下面的陈述成立： 1) N在 V Γ 上半正则， G / N ≤ Aut ( Γ N ) ， Γ N 是G/N-弧传递的，并且 Γ 是 Γ N 的正规N-覆盖。 2) Γ 是 ( G ， s ) -弧传递的当且仅当 Γ N 是 ( G / N ， s ) -弧传递的，其中 1 ≤ s ≤ 5 或 s = 7 。 3) G α ≅ ( G / N ) δ ，其中 α ∈ V Γ ， δ ∈ V Γ N 。