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user: 3. 集合K的几何性质 对偶锥、切锥、极锥与临界锥在研究投影算子的方向导数以及在求最优化问题的临界锥时应用十分广泛。下面，主要从集合K的表达式以及对偶锥、切锥、极锥与临界锥定义出发，分别推导K的对偶锥、切锥、极锥与临界锥。 3.1. 集合K的对偶锥 取 ( x ， t ) ∈ K * ，对 ∀ ( y ， τ ) ∈ K ，有 〈 x ， y 〉 + t τ ≥ 0 (2.1) 则 t ≥ 0 。 由(2.1)可知， x T y + t τ ≥ 0 ，进而可得 − t ≤ x T ( y τ ) 。 令 z = y τ ，则 z ∈ Ω ， Ω = { z ∈ R n ， 0 ≤ z ≤ e } ，则 − t ≤ x T z ，对 ∀ z ∈ Ω ，则只需 − t ≤ min z ∈ Ω x T z 即可。 引理1：对 ∀ x ∈ R n ， ∀ z ∈ Ω ， z ∗ 为 min z ∈ Ω x T z 的最优解。则 { z i * = 0 ，                 x i > 0 z i * = 1 ，               x i < 0 0 ≤ z i * ≤ 1 ，     x i = 0 记当 I < = { i : x i < 0 } ， I > = { i : x i > 0 } ， I = = { i : x i = 0 } 时， − t ≤ x T z * = ∑ i ∈ I > x i z i * + ∑ i ∈ I = x i z i * + ∑ i ∈ I < x i z i * = 0 + 0 + ∑ i ∈ I < x i ， 即 ∑ i ∈ I < x i + t ≥ 0 ， t ≥ 0 。 引理2：对 ∀ x ∈ R n ， ∀ z ∈ Ω ， z * 为 max z ∈ Ω x T z 的最优解。则 { z i * = 0 ，                   x i > 0 z i * = 1 ，                 x i < 0 0 ≤ z i * ≤ 1 ，       x i = 0 记 I < = { i : x i > 0 } ， I > = { i : x i < 0 } ， I = = { i : x i = 0 } 。 我们有如下定理。 定理1：集合K的对偶锥为 K * = { ( x ， t ) ∈ R n × R : t + ∑ i ∈ I < x i ≥ 0 } 证明：令 B = { ( x ， t ) ∈ R n × R : t ≥ − ∑ i ∈ I < x i ， t ≥ 0 } ，要证 B = K * ；首先要证 ( x ， t ) ∈ K * 对任意的 ( x ， t ) ∈ B ，由对偶锥的定义，对任意的 ( y ， τ ) ∈ K ，都有下式成立 〈 x ， y 〉 + t τ = x T y + t τ (2.2) 若 τ > 0 ，则(2.2)变为 〈 x ， y 〉 + t τ = x T y + t τ = τ ( x T y τ + t ) = τ ( x T z + t ) ≥ τ ( min z ∈ Ω ( x T z ) + t ) = τ ( x T z * + t ) = τ ( min i ∈ I < x i + t ) ≥ 0 (2.3) 若 τ = 0 ，则 y = 0 ，则 〈 x ， y 〉 + t τ ≥ 0 显然成立。 因此 B ⊂ K * 。 反过来，对 ∀ ( x ， t ) ∈ K * ，则对 ∀ ( y ， τ ) 有 x T y + t τ ≥ 0 ，若 τ > 0 ，则 τ ( t + x T z ) ≥ τ ( t + min z ∈ Ω x T z ) = τ ( t + ∑ i ∈ I < x i ) ≥ 0 ， 由于 τ ( t + ∑ i ∈ I < x i ) ≥ 0 且 t ≥ 0 则 ( x ， t ) ∈ B ，即 K * ⊂ B 。 由于对任意的 ( x ， t ) ∈ K * ， K 0 ⊆ K * ，反过来对任意的 ( x ， t ) ∈ K * ，要证 ( x ， t ) ∈ K 0 。 3.2. 集合K的切锥 定理2：集合K的切锥为 K 0 = { ( x ， t ) ∈ R n × R : t + ∑ i ∈ I < x i ≤ 0 } 证明：由于 K 0 = − K * ，则该结论显然。 3.3. 集合K的极锥 定理3：集合K的极锥为 T K ( x ¯ ， t ¯ ) = { R n × R ;                                                                   ( x ， t ) ∈ int K K ;                                                                                 ( x ， t ) ∈ K 0 { ( d ， η ) : f ′ ( ( x ¯ ， t ¯ ) ， ( d ， η ) ) ≤ 0 } ;             其 他 。 f ′ ( ( x ¯ ， t ¯ ) ， ( d ， η ) ) ≤ 0 ，则 f ′ ( ( x ¯ ， t ¯ ) ， ( d ， η ) ) = lim l ↓ 0 f ( x ¯ + l d ， t ¯ + l η ) − f ( x ¯ ， t ¯ ) l ，此时 f ( x ¯ ， t ¯ ) = 0 则 f ′ ( ( x ¯ ， t ¯ ) ， ( d ， η ) ) = lim l ↓ 0 f ( x ¯ + l d ， t ¯ + l η ) l = lim l ↓ 0 max { − x ¯ + l d ， x ¯ + l d − t ¯ e + l η e } l = lim l ↓ 0 max { − l d α ， l d γ − l η e } l = max { − d α ， d γ − η e } 即 T K ( x ¯ ， t ¯ ) = { R n × R ;                                                             ( x ， t ) ∈ int K 0 ;                                                                             ( x ， t ) ∈ K 0 { ( d ， η ) : − d α ≤ 0 ， d γ ≤ η e } ;                   其 他 。 3.4. 集合K的临界锥 定理4：满足 min 1 2 ‖ y − x ‖ 2 + 1 2 ( τ − t ) 2 ，使得 0 ≤ y ≤ τ e 的临界锥为 K ¯ ( x ， t ) = T K ( x ¯ ， t ¯ ) ∩ ( ( x ， t ) − ( x ¯ ， t ¯ ) ) ⊥ 。 证明：i) 当 ( x ， t ) ∈ K 时， ( x ¯ ， t ¯ ) = ( x ， t ) ，则 K ¯ = T K 即 { R n × R ;                                                       ( x ， t ) ∈ int K K ;                                                                   ( x ， t ) = ( 0 ， 0 ) { ( d ， η ) : d α ≥ 0 ， d γ ≤ η e } ;       ( x ， t ) ∈ b d ( K ) ； ii) 当 ( x ， t ) ∈ int K 0 时， ( x ¯ ， t ¯ ) = ( 0 ， 0 ) ，则 T K = K ，则 K ¯ = K ∩ ( x ， t ) ⊥ ，而 ∑ i ∈ I > x i + t < 0 且 ∀ ( d ， η ) ∈ K ∩ ( x ， t ) ⊥ ，则 0 ≤ d ≤ η e ， x T d + t η = 0 ，而 x T d + t η = η ( t + ( d η ) T x ) ≤ η ( t + max z ∈ Ω z T x ) = η ( t + z * T x ) = η ( t + ∑ i ∈ I > x i ) ≤ 0 则 η = 0 ，即 K ¯ = { ( 0 ， 0 ) } ； iii) 当 ( x ， t ) ∈ b d ( K 0 ) \ { ( 0 ， 0 ) } ， ( x ¯ ， t ¯ ) = ( 0 ， 0 ) 时， K ¯ = K ∩ ( x ， t ) ⊥ ，当 ∑ i ∈ I > x i + t = 0 时，对 ∀ ( d ， η ) ∈ K ∩ ( x ， t ) ⊥ ，有 0 ≤ d ≤ η e ， 0 = x T d + t η = η ( x T ( d η ) + t ) ≤ η ( max z ∈ Ω x T z + t ) = 0 ，这说明 d η = arg max z ∈ Ω x T z ，即 ( d η ) i = { 1 ，                     x i > 0 0 ，                     x i < 0 [ 0 ， 1 ] ，             x i = 0 ， K ¯ = { ( d ， η ) : η ≥ 0 ， ( d η ) T > = e ， ( d η ) T < = 0 ， 0 ≤ ( d η ) T = ≤ e } ， 其中 I > = γ ≠ ， I < = α ≠ ， I = = γ = = α = ； iv) 其他情况， T K ( x ¯ ， t ¯ ) = { ( d ， η ) : − d α ≤ 0 ， d γ ≤ η e } 下面求 ( x ， t ) − ( x ¯ ， t ¯ ) ， t ¯ > 0 ， L ( y ， τ ， υ ， λ ) = 1 2 ‖ y − x ‖ 2 + 1 2 ( τ − t ) 2 − ∓ 〈 y ， λ 〉 − 〈 τ e − y ， υ 〉 { y − x − λ + υ = 0                                                                                                           ( 1 ) τ − t − e T υ = 0                                                                                                                 ( 2 ) 0 ≤ y ⊥ λ ≥ 0                                                                                                                 ( 3 ) 0 ≤ ( τ e − y ) ⊥ υ ≥ 0                                                                                               (4) 令 ( y ， τ ) = ( x ¯ ， t ¯ ) 代入，由于 x ¯ α = 0 ， x ¯ β = x β ， x ¯ γ = t ¯ e ，则由(3)(4)得 λ β = λ γ = υ α = υ β = 0 ， λ α ≥ 0 ， υ γ ≥ 0 ； 由(1)得 { x ¯ α − x α − λ α + υ α = 0 ⇒ λ α = − x α                                                     ( 5 ) x ¯ γ − x γ − λ γ + υ γ = 0 ⇒ υ γ = x γ − t ¯ e                                                 ( 6 ) ； 由(2)得 t − t ¯ = − e T υ = − e T υ γ 。 下面求 K ¯ ，对 ∀ ( d ， η ) ∈ T K ( x ¯ ， t ¯ ) ∩ ( x − x ¯ ， t − t ¯ ) ，有 0 = 〈 d ， x − x ¯ 〉 + η ( t − t ¯ ) = 〈 d α ， x α − x ¯ α 〉 + 〈 d β ， x β − x ¯ β 〉 + 〈 d γ ， x γ − x ¯ γ 〉 + η ( t − t ¯ ) = 〈 d α ， − λ α 〉 + 〈 d γ ， υ γ 〉 − ± 〈 η e ， υ γ 〉 = − 〈 d α ， − λ α 〉 − 〈 η e − d γ ， υ γ 〉 ≤ 0 其中 ( d ， η ) ∈ T K ( x ¯ ， t ¯ ) ，由此可知 〈 d α ， λ α 〉 = 0 ， 〈 η e − d γ ， υ γ 〉 = 0 由(5)得 λ α = 0 ， λ α ≠ > 0 ⇒ d α = ≥ 0 ， d α ≠ = 0 ，由(6)得 υ γ = = 0 ， υ γ ≠ > 0 ，由此可知 η e − d γ = ≥ 0 ， η e − d γ ≠ = 0 ，即 d γ = ≤ η e ， d γ ≠ = η e 。 则 K ¯ = { K ;                                                                                                                                                               ( x ， t ) ∈ K { ( 0 ， 0 ) } ;                                                                                                                                               ( x ， t ) ∈ int K 0 { ( d ， η ) : η ≥ 0 ， ( d η ) T > = e ， ( d η ) T < = 0 ， 0 ≤ ( d η ) T = ≤ e } ;       ( x ， t ) ∈ b d ( K 0 ) \ { ( 0 ， 0 ) } { ( d ， η ) : d α = ≥ 0 ， d α ≠ = 0 ， d γ = ≤ η e ， d λ ≠ = η e } ;                                               其 他 。