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user: 5. 应用实例 上述方法为我们求解布尔网络最优控制问题提供了一种思路清晰，行之有效的求解方法，下面将给出实例具体验证方法的可行性。 考虑如下布尔网络最优控制问题 { x 1 ( k + 1 ) = ¬ ( x 1 ( k ) ↔ x 2 ( k ) ) ， x 2 ( k + 1 ) = ¬ ( x 2 ( k ) ↔ x 3 ( k ) ) ， x 3 ( k + 1 ) = u ( k ) ∧ x 1 ( k ) ， (18) 其中 x i ( k ) ∈ D ， i = 1 ， 2 ， 3 为系统状态变量， u ( k ) ∈ D 为系统控制变量， f i : D 3+ 1 → D 为布尔函数。设初值 x 1 ( 0 ) = 1 ， x 2 ( 0 ) = 0 ， x 3 ( 0 ) = 1 ，终端 x 1 ( 4 ) = 0 ， x 2 ( 4 ) = 0 ， x 3 ( 4 ) = 0 ，目标泛函为 J = ( 0.9 ) 4 Φ f ( x ( 4 ) ) + ∑ k = 0 3 ( 0.9 ) k Φ ( u ( k ) ， x ( k ) ) (19) 其中 上的有界效用函数。 问题(Q)求使目标泛函(19)式达到最大的控制序列 { u * ( 0 ) ， u * ( 1 ) ， u * ( 2 ) ， u * ( 3 ) } 。 解：首先，将布尔网络系统的最优控制问题转化代数形式的最优控制问题； ①将上述布尔控制网络系统(18)转化为代数形式 令 x ^ ( k ) = x ^ 1 ( k ) ⋉ x ^ 2 ( k ) ⋉ x ^ 3 ( k ) ∈ Δ 为系统状态变量， u ^ ( k ) ∈ Δ 为系统控制变量 { x ^ 1 ( k + 1 ) = M m ⋉ x ^ 1 ( k ) ⋉ x ^ 2 ( k ) ， x ^ 2 ( k + 1 ) = M m ⋉ x ^ 2 ( k ) ⋉ x ^ 3 ( k ) ， x ^ 3 ( k + 1 ) = M c ⋉ u ^ ( k ) ⋉ x ^ 1 ( k ) ， (20) x ^ ( k + 1 ) = M m ⋉ x ^ 1 ( k ) ⋉ x ^ 2 ( k ) ⋉ M m ⋉ x ^ 2 ( k ) ⋉ x ^ 3 ( k ) ⋉ M c ⋉ u ^ ( k ) ⋉ x ^ 1 ( k )                       = M m ⋉ ( I 4 ⊗ M m ) ⋉ ( I 2 ⊗ M r ) ⋉ ( I 8 ⊗ M c ) ⋉ W [ 4 ， 8 ] ⋉ ( I 2 ⊗ M r ) ⋉ u ^ ( k ) ⋉ x ^ ( k )                       = L ⋉ u ^ ( k ) ⋉ x ^ (k) 此时，布尔控制网络系统的状态转移矩阵为 L = δ 8 [ 7   5   1   3   4   2   6   8   8   6   2   4   4   2   6   8 ] ∈ L 2 3 × 2 3 + 1 ②将目标泛函(19)式中的伪布尔函数转化为半张量形式 J = ( 0.9 ) 4 Φ f T ⋉ x ^ ( 4 ) + ∑ k = 0 3 ( 0.9 ) k Φ T ⋉ u ^ ( k ) ⋉ x ^ ( k ) (21) 其中 Φ f T = α T x ^ ( K )           = [ α T ⋉ δ 8 1     α T ⋉ δ 8 2   ⋯   α T ⋉ δ 8 8 ]           = [ 1   2   3   4   5   6   7   8 ] 其中 α ∈ ℝ 8 ， { a i ∈ α | a i = i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 8 } 。 Φ T = u ^ ( k ) T ⋉ A ⋉ x ^ ( k )           = [ Φ ( δ 2 1 ， δ 8 1 ) ⋯ Φ ( δ 2 1 ， δ 8 8 )       Φ ( δ 2 2 ， δ 8 1 ) ⋯ Φ ( δ 2 2 ， δ 8 8 ) ]           = [ Φ 1 T     Φ 2 T ]           = [ 2   3   4   5   6   7   8   9 3   4   5   6   7   8   9   10 ] 其中 A ∈ M 2 × 8 ， { a i j ∈ A | a i j = i + j ， i = 1 ， 2 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， 8 } 。 ③求解问题( Q ^ )给定初值状态 x ^ ( 0 ) = δ 8 3 ，终端状态 x ^ ( 4 ) = δ 8 8 ，求使受控系统在半张量形式下的目标泛函(21)式达到最大的最优控制序列 { u ^ * ( 0 ) ， u ^ * ( 1 ) ， u ^ * ( 2 ) ， u ^ * ( 3 ) } 。 其次，求解问题( Q ^ )； 应用4.1.中有限时域上布尔网络最优控制的求解方法。 ①将布尔控制系统转化为切换布尔系统 x ^ ( k + 1 ) = L u ^ ( k ) x ^ (k) x ^ ( k + 1 ) = L i x ^ ( k ) ， i ∈ [ 1 ， 2 ] L 1 = L ⋉ δ 2 1 = δ 8 [ 7   5   1   3   4   2   6   8 ] L 2 = L ⋉ δ 2 2 = δ 8 [ 8   6   2   4   4   2   6   8 ] ②根据递归算法，可得 ω ( 4 ) = 0 2 3 T = [ 0   0   0   0   0   0   0   0   0 ] − ω ( 3 ) = max i ∈ [ 1 ， 2 ] ， j ∈ [ 1 ， 8 ] ( λ 3 [ Φ i ] j − [ ω ( 4 ) T L i ] j ) = [ 2.19     2.92     3.65     4.37     5.10     5.83     6.56     7.29 ] ⇒ x ^ * ( 3 ) = δ 8 8 Η ( 3 ) = [ δ 2 i * ( 1 ， 3 )   δ 2 i * ( 2 ， 3 )   ⋯   δ 2 i * ( 8 ， 3 ) ] = [ δ 2 2   δ 2 2   δ 2 2   δ 2 2   δ 2 2   δ 2 2   δ 2 2   δ 2 2 ] ⇒ u ^ * ( 3 ) = δ 2 2 − ω ( 2 ) = max i ∈ [ 1 ， 2 ] ， j ∈ [ 1 ， 8 ] ( λ 2 [ Φ i ] j − [ ω ( 3 ) T L i ] j ) = [ 9.72     9.07     6.97     9.23     10.04   9.40     13.12     15.39 ] ⇒ x ^ * ( 2 ) = δ 8 8 Η ( 2 ) = [ δ 2 i * ( 1 ， 2 )   δ 2 i * ( 2 ， 2 )   ⋯   δ 2 i * ( 8 ， 2 ) ] = [ δ 2 2   δ 2 2   δ 2 2   δ 2 2   δ 2 2   δ 2 2   δ 2 2   δ 2 2 ] ⇒ u ^ * ( 2 ) = δ 2 2 − ω ( 1 ) = max i ∈ [ 1 ， 2 ] ， j ∈ [ 1 ， 8 ] ( λ [ Φ i ] j − [ ω ( 2 ) T L i ] j ) = [ 18.09     13.00     13.57     14.63     15.53     16.27     17.50     24.39 ] ⇒ x ^ * ( 1 ) = δ 8 8 Η ( 1 ) = [ δ 2 i * ( 1 ， 1 )   δ 2 i * ( 2 ， 1 )   ⋯   δ 2 i * ( 8 ， 1 ) ] = [ δ 2 2   δ 2 2   δ 2 2   δ 2 2   δ 2 2   δ 2 2   δ 2 2   δ 2 2 ] ⇒ u ^ * ( 1 ) = δ 2 2 − ω ( 0 ) = max i ∈ [ 1 ， 2 ] ， j ∈ [ 1 ， 8 ] ( [ Φ i ] j − [ ω ( 1 ) T L i ] j ) = [ 27.39     20.27     22.09     20.63     21.63     21.00     25.27     34.39 ] x ^ * ( 0 ) = δ 8 3 给定 Η ( 0 ) = [ δ 2 i * ( 1 ， 0 )   δ 2 i * ( 2 ， 0 )   ⋯   δ 2 i * ( 8 ， 0 ) ] = [ δ 2 2   δ 2 2   δ 2 1   δ 2 2   δ 2 2   δ 2 2   δ 2 2   δ 2 2 ] ⇒ u ^ * ( 0 ) = δ 2 1 J ( u ^ * ) = ( 0.9 ) 4 Φ f T ⋉ x ^ ( 4 ) + ∑ k = 0 3 ( 0.9 ) k Φ T ⋉ u ^ ( k ) ⋉ x ^ ( k ) = 0.66 × [ 1   2   3   4   5   6   7   8 ] ⋉ δ 8 8 + max u ^ * ( ⋅ ) J ( δ 8 3 ， u ^ ( ⋅ ) ) = 5.25 − ω ( 0 ) ⋉ δ 8 3 = 27.34 最优控制序列为 u ^ * ( 0 ) = δ 2 1 ， u ^ * ( 1 ) = u ^ * ( 2 ) = u ^ * ( 3 ) = δ 2 2 。 状态轨迹为 x ^ * ( 0 ) = x ^ * ( 1 ) = x ^ * ( 2 ) = x ^ * ( 3 ) = x ^ * ( 4 ) = δ 8 8 。 最后，将问题( Q ^ )代数形式的求解结果返回问题(Q)的逻辑形式，得到 最优控制序列为 { u * ( 0 ) → u * ( 1 ) → u * ( 2 ) → u * ( 3 ) } = { 1 → 0 → 0 → 0 } 。 状态轨迹为 { x * ( 0 ) → x * ( 1 ) → x * ( 2 ) → x * ( 3 ) → x * ( 4 ) } = { ( 1   0   1 ) T → ( 0   0   0 ) T → ( 0   0   0 ) T → ( 0   0   0 ) T → ( 0   0   0 ) T } 。