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user: 3. 模型建立 3.1. 符号说明 各符号说明如下表1。 Table 1 Parameter 标号 意义 C 站点容量，即有C个车桩。 λ 记取车人数服从参数为 λ 的泊松分布。 μ 记还车人数服从参数为 μ 的泊松分布。 j 在站点中投放j辆单车，并以j点为初始状态点。 j ∈ ( 0 ， C ) q 站点车辆减1的概率，在图中状态点向左移动。 q = λ / ( λ + μ ) p 站点车辆加1的概率，在图中状态点向右移动。 p = μ / ( λ + μ ) p i 为站点有i辆单车的概率，即经过状态转移后处于状态点i的概率。 p j k 为车辆数从状态点j转移至状态点k的概率。 n 总的取车和还车事件发生次数为n p j k ( n ) 为在经过n步转移之后由状态点j转移到状态点k的概率。 η w 在一段时间内，取车失败的比例。 η r 在一段时间内，还车失败的比例。 T 表示将整段时间分为T长度相同的子区间。 T ∈ ( 1 ， t ) SL 表示一段时间内未得到服务的人数。 表1. 参数 针对一个公共自行车站点，车桩数为C，站点的一个事件指的是一个租车需求或还车需求的产生。设在一段时间段内租车需求服从概率分布f，还车需求服从概率分布g。那么该站点有一个租车需求时，如果站点车辆大于0，则站点车辆数量减1；如果站点车辆为0，则该租车需求未被满足，站点车辆数量仍为0。站点有一个还车需求时，如果站点车辆小于C，则站点车辆数量加1；如果站点车辆为C，则该还车需求未被满足，站点车辆数量仍为C。由此，该站点在站的车辆数量构成了一个特殊的马尔科夫模型，即带有两个反射壁的随机游走模型，0和C是两个反射态。则有从高状态到低状态转移的概率为q，从低状态到高状态的概率为1 − q。如图1所示。 图1. 带有两个反射壁的随机游动 该随机游动的状态空间为 I = { 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， c } ，0，c两状态为反射态。其一步转移概率为： p 0 ， 0 = q ;     p 0 ， 1 = p ;     p 0 ， j = 0     ( j ≠ 0 ， 1 ) p a ， a = p ;     p a ， a − 1 = q ;     p a ， j = 0     ( j ≠ c − 1 ， c ) 该马尔科夫模型的转移概率矩阵为 P = ( p 00 p 01 p 02 ⋯ p 0 C p 10 p 11 p 12 ⋯ p 1 C p 20 p 21 p 22 ⋯ p 2 C ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ p C ， 0 p C ， 1 p C ， 2 ⋯ p C ， C ) = ( q p 0 ⋯ 0 0 q 0 p ⋯ 0 0 0 q 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 p 0 0 0 ⋯ q p ) 目标是在一段时间(设为T，如一个工作日)开始前，为站点配置车辆数j，显然 j ∈ [ 0 ， C ] ，使得该站点在T时间段内租车、还车需求未被满足的概率最低。 为此，本文设计了以下算法： 3.2. 服务质量损失模型的建立 共享单车系统由一组站点组成，在经注册后的用户可以在任何时间任何站点取走一辆单车，在经过一段时间的使用之后将其返回到另一个站点。而服务质量可以通过一个站点无法满足客户需求的概率来衡量，要么无法满足取车需求，要么是无法满足还车需求。所以本研究所考虑的共享单车系统服务质量的度量，是结合两种可能的需求不被满足情况下的服务质量度量：1) 想要取车的用户发现车站已空的概率；2) 想要还车的用户发现车站已满的概率。 首先我们把在一段时间内的取车失败的量与还车失败的量分别记为 η w ， η r 。所以在这段时间内的服务质量定义为 M = η w + α η r 。在此 α 是用来加权平衡两种因素的重要性，在下文中 α = 1 即默认两种服务中产生的损失同样重要。 1) 时齐单周期条件下的计算 步骤一：根据租车和还车的概率分布，计算如一个事件发生，这个事件是租车事件的概率 q = λ / ( λ + μ ) ，显然，还车事件的概率为 1 − q = μ / ( λ + μ ) ； 步骤二：根据带有两个反射壁的随机游走模型，以及步骤二计算的租车还车事件概率，得到该转移概率矩阵P，计算矩阵n次幂 P n ， P n 矩阵的元素 p j k ( n ) 就是经过n步租还车事件后，在站车辆数为k的概率； 步骤三：计算在时间段T结束后，在站车辆数量为 k ∈ [ 0 ， C ] 的概率 p j k ，公式为 p j k = ∑ n = 0 ∞ p j k ( n ) ⋅ p ( x = n ) = ∑ n = 0 ∞ λ n n ! e − λ p j k ( n ) ，由于 p j k ( n ) 在n比较大时，趋向于极限概率，所以计算该无限 序列时，只要 p n 值小于一个设定的值即可终止。 由于该模型是不可约遍历马尔科夫链，其极限概率就是长程比例，所以 p j k 为在时间段T间，站点处于状态k(即有k辆车)时间所占比例的期望值； 步骤四：计算期初在站点部署j辆车的情况下，租车未满足率(概率)为 λ λ + μ p j 0 ，还车未满足率(概率)为 μ λ + μ p j C ，所以，总未满足率为 λ λ + μ p j 0 + μ λ + μ p j C ； 步骤五：确定站点部署车辆最佳数量 j * ，使总未满足率最小，即 j * = min ( λ λ + μ p j 0 + μ λ + μ p j C ) 。 2) 多周期条件下的计算 步骤一：将时间窗口离散化，把一段较长的时间分隔成t个长度相同的子区间，且每一个子区间的取车与还车分别服从参数为 λ t ， μ t 的泊松分布。 步骤二：计算单个子区间内有j辆车情况下的服务损失量 p ( x = n ) = λ n n ! e − λ (3.1) E ( S L t w | j ) = λ t ∗ ∑ n = 0 ∞     p ( x = n ) q j 0 ( n )       ( j = 0 ， 1 ， ⋯ ， m ) ，   t ∈ ( 1 ， T ) (3.2) E ( S L t r | j ) = μ t ∗ ∑ n = 0 ∞     p ( x = n ) q j m ( n )       ( j = 0 ， 1 ， ⋯ ， m ) ，   t ∈ ( 1 ， T ) (3.3) p 1 ( i ， l ) = ∑ n = 0 ∞     p ( x = n ) q i l ( n )       ( i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m )     ( l = 0 ， 1 ， ⋯ ， m ) (3.4) 由于服务质量的损失只会在状态的边界点产生，所以边界点的概率乘以取车或是还车的概率即可得到服务质量的损失值。 p 1 ( i ， l ) 为期初在投放i辆车的情况下，时间段末有l辆车的概率 步骤三：计算下一段内的服务损失量 E ( S L t w ) = ∑ i = 0 m     E ( S L t w | i ) p t − 1 ( i )       t ∈ ( 2 ， T ) (3.5) E ( S L t r ) = ∑ i = 0 m     E ( S L t r | i ) p t − 1 ( i )       t ∈ ( 2 ， T ) (3.6) p t ( l ) = ∑ i = 0 m   ∑ n = 0 ∞     p ( x = n ) q i l ( n ) p t − 1 ( i )       ( l = 0 ， 1 ， ⋯ ， m ) ，     t ∈ ( 2 ， T ) (3.7) 步骤四：计算一段时间内总的服务质量损失 S L ^ w = ∑ t = 1 T     E ( S L t w ) (3.8) S L ^ r = ∑ t = 1 T     E ( S L t r ) (3.9)