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user: 3. Prony算法 3.1. Prony算法在测温系统中的实现 Prony算法是使用多指数函数的一种线性组合来描述等间距采样数据的数学模型，可以根据采样值直接估算出信号频率、衰减、幅值和初相位的分析方法。 该算法针对等间距采样点，在荧光测温中，实际光谱的荧光寿命曲线可看做纯指数或一系列指数函数的叠加，形式为： I ( t ) = I 1 exp ( − t / τ 1 ) + I 2 exp ( − t / τ 2 ) + ⋯ + I n exp ( − t / τ n ) = ∑ j = 1 n I 0 j exp ( − t / τ j ) (7) 这样，当把采样值带入上式时，即可得到联立方程组： { I 0 = I 01 + I 02 + ⋯ + I 0 n I 1 = I 01 exp ( − Δ t / τ 1 ) + I 02 exp ( − Δ t / τ 2 ) + ⋯ + I 0 n exp ( − Δ t / τ n ) I 2 = I 01 exp ( − 2 Δ t / τ 1 ) + I 02 exp ( − 2 Δ t / τ 2 ) + ⋯ + I 0 n exp ( − 2 Δ t / τ n )                                                                                             ⋮ I 2 n − 1 = I 01 exp ( − ( 2 n − 1 ) Δ t / τ 1 ) + I 02 exp ( − ( 2 n − 1 ) Δ t / τ 2 ) + ⋯ + I 0 n exp ( − ( 2 n − 1 ) Δ t / τ n ) (8) 即： I i = I ( i Δ t ) = ∑ j = 1 n I 0 j exp ( − i Δ t / τ j ) (9) 其中，I i 为采样值，Δt为采样间隔，求解该非线性联立方程组，即可求得荧光寿命 τ 和幅值I 0j ，求解该方程组非常复杂，因此引入Prony算法， 设测量数据的估计模型为： I ^ n = ∑ i = 1 p b i z i n       ( n = 0 ， 1 ， ⋯ ， N − 1 ) (10) 其中更一般的表示模型有： b m = A m (11) z m = exp ( a m Δ t ) ，       a = − 1 / τ (12) 这里，A m 为振幅，a m 为衰减因子，Δt为采样间隔，prony算法采用平方误差最小原则来使模拟信号向真实信号进行逼近，即： min ( ε = ∑ n = 0 N − 1 | I ( n ) − I ^ ( n ) | 2 ) (13) 同时考虑到估计模型函数是一个常系数线性差分方程的齐次解，因此定义了多项式： φ ( z ) = ∏ t = 0 p ( z − z k ) = ∑ i = 0 p a i z p − 1 (14) 改造式(13)有： I ^ ( n − m ) = ∑ i = 1 p b i z n − m       ( 0 ≤ n − m ≤ N − 1 ) (15) 将该式乘a m 并对p + 1个乘积求和： ∑ m = 0 p a m I ^ ( n − m ) = ∑ l = 1 p b l ∑ m = 0 p a m z l n − m ，     p ≤ n ≤ N − 1 (16) 代入 z l n − m = z l n − p z l p − m ，有： ∑ m = 0 p a m I ^ ( n − m ) = ∑ l = 1 p b l z l n − p ∑ m = 0 p a m z l p − m = 0 (17) 该式等于零正是因为第二项求和恰好是 φ ( z ) = ∏ t = 0 p ( z − z k ) = ∑ i = 0 p a i z p − 1 位于根z i 处的多项式 ϕ ( z i ) ，而 ϕ ( z i ) = 0 。因此可知 I ^ ( n ) 满足递推的差分方程： I ^ ( n ) = − ∑ m = 1 p I ^ ( n − m )       ( p ≤ n ≤ N − 1 ) (18) 假设测量值 I ⌢ ( n ) 与真实值I(n)之间关系为： I ( n ) = I ⌢ ( n ) + e ( n ) ，其中为e(n)一个加性高斯白噪声，这样就有了： I ( n ) = − ∑ m = 1 p a m I ^ ( n − m ) + e ( n ) = ∑ m = 1 p a m I ( n − m ) + ∑ m = 0 p a m e ( n − m )       ( p ≤ n ≤ N − 1 ) (19) 其中 a 0 = 1 ，上式表明白噪声中的指数过程是一个ARMA(p，p)模型，它具有相同的AR和MA参数，且激 励噪声为原加性白噪声e(n)。参数的最小二乘估计使 ∑ n = p N − 1 | e ( n ) | 2 最小，这又将得到一组困难的非线性方程。 估计AR参数的线性方法定义： ε ( n ) = ∑ m = 0 p a m e ( n − m )       ( n = p ， ⋯ ， N − 1 ) (20) 这样式(19)变为： I ( n ) = − ∑ m = 1 p a m I ( n − m ) + ε ( n ) (21) 所以求使 ∑ n = p N − 1 | e ( n ) | 2 最小就转换成了求使 ∑ n = p N − 1 | ε ( n ) | 2 最小，这就是扩充的Prony算法，即扩充的Prony算法 就是求解下列矩阵方程： [ x ( p ) I ( p − 1 ) ⋯ I ( 0 ) x ( p + 1 ) I ( p ) ⋯ I ( 1 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x ( p ) I ( p ) ⋯ I ( p ) ] [ 1 a 1 ⋮ a p ] = [ ε ( 0 ) ε ( 1 ) ⋮ ε ( N − 1 ) ] 或 I a = ε (22) 为使 ε p = ∑ n = p N − 1 | ε ( n ) | 2 = ∑ n = p N − 1 | ∑ m = 0 p a m I ( n − m ) | 2 最小，求 ∂ ε p / ∂ a m 令其等于零，有 ∑ m = 0 p a m [ ∑ n = p N − 1 I ( n − m ) I ∗ ( n − i ) ] = 0 (23) 对应的最小误差能量： ε p = ∑ m = 0 p a m [ ∑ n = p N − 1 I ( n − m ) I ∗ ( n ) ] (24) 在这里定义： r ( i ， j ) = ∑ n = p N − 1 I ( n − j ) I ∗ ( n − i ) (25) 则上述偏导式可写为 [ r ( 0 ， 0 ) r ( 0 ， 1 ) ⋯ r ( 0 ， p ) r ( 1 ， 0 ) r ( 1 ， 1 ) ⋯ r ( 1 ， p ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ r ( p ， 0 ) r ( p ， 1 ) ⋯ r ( p ， p ) ] [ 1 a 1 ⋮ a p ] = [ ε p 0 ⋮ 0 ] (26) 求解这一方程即可得到AR参数 a 1 ， ⋯ ， a p 和最小误差能量 ε p 的估计值。进一步可以求解如下特征方程的根Z： 1 + a 1 z − 1 + ⋯ + a p z − p = 0 (27) 这样，上述联立方程组模型就可以简化为： [ 1 1 ⋯ 1 z 1 z 2 ⋯ z p ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ z 1 N − 1 z 2 N − 2 ⋯ z p N − 1 ] [ b 1 b 2 ⋮ b p ] = [ x ^ ( 1 ) x ^ ( 2 ) ⋮ x ^ ( p ) ] (28) 其中，幅值A i 为和衰减因子a i (即荧光寿命 τ )可表示为： { A i = | b i | a i = ln ( z i ) / Δ t (29) 由上推导，实现了Prony算法在荧光测温中的实现，现使用MATLAB软件分别对单指数模型和双指数模型进行分析。 3.2. Prony算法的单指数仿真 用MATLAB软件做一条单指数荧光曲线，设其模型为： y = A exp ( − i Δ t / τ ) + I d + I n ， 采样时间间隔 Δ t = 0.0 1   ms 。假设荧光寿命 τ = 0. 5   ms ，通过仿真反求 τ 值偏离 .5 ms的大小进行分析。 针对单指数模型，令 A = 1 ，噪声信号 I n = 0 ，采样长度选择120，改变直流分量I d 的幅度与荧光信号强度，结果如表5所示。可以看出，Prony算法同样会受到直流分量的背景干扰，在直流分量较小时，仿真结果较好。 Table 5 The τ value table of the DC component is 0.5% - 2.5% of the fluorescence intensity (sampling point 120 采样点120 直流幅度与荧光强度比 0.5% 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% 五次 τ 平均值 0.503418 0.499589 0.510936 0.518576 0.526724 表5. 直流分量为荧光强度的0.5%~2.5%时的 τ 值表(采样点120) 再令直流分量 I d = 0 ，采样长度选择120，改变噪声信号幅度与荧光信号幅度的比，结果如表6所示。可以看出，Prony算法对噪声很敏感，随着噪声的增加，仿真结果也越来越偏离理论值，在低噪环境下精度较好。 Table 6 The τ value table of the noise amplitude is 0.5% - 2.5% of the fluorescence intensity (sampling point 120 采样点120 噪声幅度与荧光强度比 0.5% 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% 五次 τ 平均值 0.500701 0.502971 0.515143 0.528520 0.550484 表6. 噪声幅度为荧光强度的0.5%~2.5%时的 τ 值表(采样点120) 3.3. Prony算法的双指数仿真 用MATLAB做一条双指数荧光曲线，设其模型： y = A   exp ( − i Δ t / τ 1 ) + A 2 exp ( − i Δ t / τ 2 ) + I d + I n 假设荧光寿命 τ 1 = 0. 5   ms ， τ 2 = 0. 3   ms ，探究噪声对其的干扰。设拟合数据120点，改变噪声幅度与荧光强度的比例，结果如表7所示。由此可知在低噪环境下，Prony算法表现较好，仿真时长在10 −3 s数量级，比起LM算法更适合于快速响应环境下；同时其受噪声干扰较大，当噪声干扰较大时，精度不如LM算法。 Table 7 The τ value table of the noise amplitude is 0.5% - 2.5% of the fluorescence intensity (sampling point 120 采样点120 噪声幅度与荧光强度比 0.5% 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% τ 1 0.501421 0.492034 0.471874 0.435542 0.395383 τ 2 0.300739 0.295392 0.283338 0.170857 0.127272 仿真时长(s) 0.002446 0.009617 0.009727 0.010992 0.018512 表7. 噪声幅度为荧光强度的0.5%~2.5%时的 τ 值表(采样点120)