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user: 3. CPI与PPI相关性的实例分析 3.1. 边缘分布的确定 采用2011年1月至2016年12月全国月度同比 CPI ( x i ) 与 PPI ( y i ) 数据。令 X ， Y 分别表示CPI与PPI，为了确定 X ， Y 的分布类型，首先分别做出CPI与PPI的频率直方图，如图1所示。 图1. CPI与PPI的频率直方图 表1给出了CPI与PPI的描述性统计量的值。通过图1和表1可以看出，CPI与PPI均呈现出非正态分布的特征，初步可以判断这两个变量不服从正态分布。 Table 1 Descriptive statistics of CPI and PP 变量 最大值 最小值 均值 标准差 偏度 峰度 CPI 106.5 100.8 102.7 1.40 1.3329 3.7722 PPI 107.5 94.1 99.0 3.81 1.0351 3.1263 表1. CPI与PPI的描述性统计量 下面用jbtest、kstest和lillietest函数分别对 X ， Y 进行正态性检验，结果由表2给出。 Table 2 Test results of CPI and PPI normalit Jarque-Bera检验 Kolmogorov-Smirnov检验 Lilliefors检验 CPI 0.0025 0.0015 1.0000e−03 PPI 0.0095 0.0039 1.0000e−03 表2.CPI与PPI的正态性检验结果 对 X ， Y 进行检验的结果为： p ≤ 0.01 ，说明 X ， Y 的分布非正态，在已知的分布族中也难以找到适合者。因此，在估计 X ， Y 的分布时，采用核密度估计的方法。图2给出了CPI与PPI的核分布估计图。 3.2. Copula函数的选取及参数估计 在确定了 X 的边缘分布 F ( x ) 和 Y 的边缘分布 G ( y ) 之后，根据 u i = F ( x i ) ，   v i = G ( y i ) 的直方图选取Copula函数。图3给出了CPI与PPI的二维频率直方图，即Copula密度函数的估计。 图2. CPI与PPI的核分布估计图 图3. CPI与PPI的边缘分布的二元直方图 在选择Copula函数形式时，我们考虑选择用椭圆Copula函数族中的Gaussian Copula函数和t-Copula函数，或者选择Archimedean Copula函数族中的Frank Copula函数来刻画变量呈现对称尾部的特质；用Archimedean Copula函数族中的Gumble Copula和Glayton Copula，或者选择混合Copula函数来刻画非对称的尾部特质。图3可以看出， c ( u ， v ) 的尾部较为对称，所以初次尝试选用椭圆族中的Gaussian Copula函数或t-Copula函数来拟合CPI与PPI的相关关系。随后再选取Archimedean Copula族中的Gumble Copula、Glayton Copula或Frank Copula来拟合CPI与PPI的相关关系。Copula模型中参数的估计值由极大似然估计得到。 估计的 ρ ^ G a = 0.7958 代入(2)式，得到Gaussian Copula函数为： C ^ G a ( u ， v ) = ∫ − ∞ Φ − 1 ( u ) ∫ − ∞ Φ − 1 ( v ) 1 2 π 1 − 0.7958 2 exp [ − s 2 + t 2 − 2 × 0.7958 s t 2 × ( 1 − 0.7958 2 ) ] d s d t . 估计的 ρ ^ t = 0.8373 ， k ^ = 8.3252 ≈ 8 代入(3)式，得到t-Copula函数为： C ^ t ( u ， v ) = ∫ − ∞ t 4 − 1 ( u ) ∫ − ∞ t 4 − 1 ( v ) 1 2 π 1 − 0.8373 2 [ 1 + s 2 + t 2 − 2 × 0.8373 s t 4 × ( 1 − 0.8373 2 ) ] − 8 + 2 2 d s d t . 估计的 α ^ G u = 2.7146 、 α ^ C l = 1.9037 、 α ^ F = 8.2744 代入(4)式，得到Gumbel Copula、Clayton Copula、Frank Copula函数分别为： C ^ G u ( u ， v ) = exp { − [ ( − ln u ) 2.7146 + ( − ln v ) 2.7146 ] 1 2.7146 } ; C ^ C l ( u ， v ) = [ u − 1.9037 + v − 1.9037 − 1 ] − 1 1.9037 ; C ^ F ( u ， v ) = − 1 8.2744 ln [ 1 + ( 1 − e − 8.2744 u ) ( 1 − e − 8.2744 v ) 1 − e − 8.2744 ] . 计算CPI与PPI原始观测数据的 τ ， ρ S 。同时，分别计算出Gaussian Copula、t-Copula、Gumble Copula、Glayton Copula、Frank Copula对应的 τ ， ρ S ，对比结果如表3所示。 Table 3 Kendall’s rank correlation coefficient， Spearman’s rank correlation coefficient and tail correlation coefficien τ ρ S λ U λ L 原始数据 0.5996 0.7644 Gaussian Copula 0.5859 0.7816 0 0 t-Copula 0.6318 0.8250 0.3952 0.3952 Gumble Copula 0.6795 0.8595 0.7076 0 Glayton Copula 0.6311 0.8157 0 0.6944 Frank Copula 0.6992 0.8866 0 0 表3. Kendall’s秩相关系数、Spearman’s秩相关系数、尾部相关系数 原始数据求得的 τ ， ρ S 与五种常用Copula求得的 τ ， ρ S 对比发现，在反映CPI和PPI的秩相关性上，Gaussian Copula的 τ ， ρ S 与原始观测数据的 τ ， ρ S 接近程度会更好些，说明Gaussian Copula能较好地刻画CPI与PPI之间的秩相关性。 在刻画尾部相关性时，Gumbel Copula在分布上尾处的相关系数 λ U = 0.7076 ，Clayton Copula在分布下尾处的相关系数 λ L = 0.6944 ，效果要优于t-Copula的尾部相关系数 λ ^ U = λ ^ L = 0.3952 。 3.3. Copula函数模型的评价 在建立好模型之后，要对Copula函数模型进行拟合优度的评价，所用的方法是基于欧式平方距离准则，选择与经验Copula之间距离最小的Copula函数作为最优。以Gaussian Copula为例： d G a 2 = ∑ i = 1 n | C ^ n ( u i ， v i ) − C ^ G a ( u i ， v i ) | 2 ， 其中， C ^ n ( u ， v ) 为经验Copula函数。 表4给出了不同Copula函数在基于平方欧式距离下与经验Copula函数的距离。 Table 4 Fitting evaluation of Copula function of CPI and PP Copula函数 参数估计 d 2 C G a ( u ， v ) ρ = 0.7958 0.0220 C t ( u ， v ) ρ = 0.8373 ， k = 8 0.0221 C G u ( u ， v ) 0.0147 C C l ( u ， v ) α = 1.9037 0.0925 C F ( u ， v ) α = 8.2744 0.0293 表4. CPI与PPI的Copula函数的拟合评价 基于距离评判准则给出了最优Copula是与经验Copula之间距离最短的。因为 d G u 2 < d G a 2 < d t 2 < d F 2 < d C l 2 ，所以Gumble Copula更能拟合CPI与PPI的原始观测数据间的关系。