system: [SYSTEM]

user: 2. 基本定义和基本定理 本文主要研究三维欧式空间 R 3 中的椭圆抛物面 F = { ( x ， y ， z ) ∈ R 3 | x 2 a 2 + y 2 b 2 − 2 z = 0 } 上进行多元Lagrange插值问题。 首先引入若干基本概念 设n为非负整数，令 P n ( 3 ) 表示所有全次数为n的三元代数多项式构成的集合，即 dim P n ( 3 ) = ( n + 3 3 ) 定义1 ( P n ( 3 ) 的插值唯一正解结点组) 设 m = ( n + 3 3 ) ，令 Α = { Q i } i = 1 m 为 R 3 中m个互异点构成的点集，如果对于任意给定的数组 { f i ∈ R | i = 1 ， ⋯ ， m } ，恒存在唯一多项式 p ( x ， y ， z ) ∈ P n ( 3 ) ，使之满足： p ( Q i ) = f i ， i = 1 ， ⋯ ， m ，则称A为 P n ( 3 ) 的一个唯一正解结点组 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] 。 定义2 (F上的插值唯一正解结点组) 设F为如上所定义的锥面， P n ( 3 ) ( F ) 为 在F上的限制， m = dim P n ( 3 ) ( F ) ，称 Α = { Q i } i = 1 m ⊂ F 为定义于F上的一个n次插值唯一正解结点组，如果对于任意给定的数组 ，恒存在多项式 p ( x ， y ， z ) ∈ P n ( 3 ) ，满足 p ( Q i ) = f i ， i = 1 ， ⋯ ， m ， dim P n ( 3 ) ( F ) = ( n + 3 3 ) − ( n + 3 − 2 3 ) 。 定理1 (构造 P n ( 3 ) 插值唯一正解结点组的添加锥面法) 设m为如上所定义， r = ( n + 5 3 ) ，结点组 Α = { Q i } i = 1 m ∉ F 关于 P n ( 3 ) 的一个唯一正解结点组，而 Β = { Q i } i = m + 1 r 是定义于锥面F的一个 n + 2 次唯一正解结点组，则 { Q i } i = 1 r = Α ∪ Β 必定构成 P n + 2 ( 3 ) 的唯一正解结点组。 证明：设 Q i = ( x i ， y i ， z i ) ， i = 1 ， ⋯ ， r 。因为B为定义于F上的 n + 2 次唯一正解结点组，由定义2，对任意给定数组 { f i | i = m + 1 ， ⋯ ， r } 恒存在多项式 p 1 ( x ， y ， z ) ∈ P n + 2 ( 3 ) 使得 p 1 ( Q i ) = f i ， i = m + 1 ， ⋯ ， r 。 又因为 Α = { Q i } i = 1 m ∉ F 关于 P n ( 3 ) 的一个唯一正解结点组，由定义1对任意的数组 { f i | i = 1 ， ⋯ ， m } 恒存在多项式 p 2 ( x ， y ， z ) ∈ P n ( 3 ) 使得 p 2 ( Q i ) = f i − p 1 ( Q i ) x i 2 a 2 + y i 2 b 2 − 2 z ， i = 1 ， ⋯ ， m ，其中 ( x i ， y i ， z i ) 为 Q i ， i = 1 ， ⋯ ， m 的三维坐标，构造一个多项式 p ( x ， y ， z ) = p 1 ( x ， y ， z ) + ( x 2 a 2 + y 2 b 2 − 2 z ) p 2 ( x ， y ， z ) 显然有 p ( x ， y ， z ) ∈ P n + 2 ( 3 ) 且满足 p ( Q i ) = p 1 ( Q i ) + ( x i 2 a 2 + y i 2 b 2 − 2 z ) p 2 ( Q i ) = f i ， i = 1 ， ⋯ ， r 则由定义1知， Α ∪ Β 为 P n + 2 ( 3 ) 的唯一正解结点组。 定理2 (构造 F 上插值唯一正解结点组添加圆锥曲线法) [ 4 ] [ 5 ] 设 Α = { Q i } i = 1 ( n + 1 ) 2 为锥面F上的n次插值唯一正解结点组，平面 p ( x ， y ， z ) ∩ A = ϕ 与锥面F横截相交于 圆周曲线 C ( x ， y ， z ) ，B是定义于C上的一个 n + 1 次唯一正解结点组，则 Α ∪ Β 必定构成定义于锥面F上的一个 n + 1 次唯一正解结点组。 定理3 (判定定理) F上的 m = ( n + 1 ) 2 个互异点 { Q i } i = 1 m 能够做成定义于锥面F上的n次插值唯一正解结点组的充分必要条件是，若存在 p ( x ， y ， z ) ∈ p n ( 3 ) ，满足 p ( Q i ) = 0 ， i = 1 ， ⋯ ， m ，蕴含如此的 p ( x ， y ， z ) 在锥面F上恒为零。 证明：充分性：设 p ( x ， y ， z ) ∈ p n ( 3 ) ，满足 p ( Q i ) = 0 ， ∀ Q i ∈ Α ∪ Β 由条件可知， p ( Q i ) = 0 ， ∀ Q i ∈ F 。从而，对于定义于锥面F的一个n次插值唯一正解结点组 Α ˜ ⊂ F ，亦有 p ( Q i ) = 0 ， ∀ Q i ∈ Α ˜ ，即 p ( Q i ) = 0 ， ∀ Q i ∈ Α ˜ ∪ Β 。又因为 Α ˜ ∪ Β 为 P n ( 3 ) 的插值唯一正解结点组，故 p ( x ， y ， z ) ≡ 0 [ 6 ] [ 7 ] 。 必要性：令 r = ( n + 3 3 ) ，取 Β = { Q i } i = m + 1 r ∉ F 为关于 P n − 2 ( 3 ) 的唯一正解结点组，可以断言： { Q i } i = 1 r 构成 P n ( 3 ) 的唯一正解结点组。事实上，对任给 { f i } i = 1 r ，由于 A = { Q i } i = 1 m 为定义F上的n次唯一正解结点组，故存在多项式 p 1 ( x ， y ， z ) ∈ P n ( 3 ) 满足 p 1 ( Q i ) = f i ， i = 1 ， ， m 。 又因为 B ∉ F 且为关于的 P n − 2 ( 3 ) 的唯一正解结点组，则存在多项式 p 2 ( x ， y ， z ) ∈ P n − 2 ( 3 ) 满足 p 2 ( Q i ) = f i − p 1 ( Q i ) x i 2 a 2 + y i 2 b 2 − z i 2 c 2 i = m + 1 ， ⋯ ， r ，则多项式 满足 p ˜ ( Q i ) = f i ， i = 1 ， ⋯ ， r ，由定义知 { Q i } i = 1 r 是 P n ( 3 ) 的唯一正解结点组，同时，在上述过程中取 ，则(*)式中的 p 1 ( x ， y ， z ) ≡ 0 ，此时 满足定理中的插值条件的多项式，故由 P n ( 3 ) 空间中满足相同插值条件的多项式的唯一存在性有 p ( x ， y ， z ) = p ˜ ( x ， y ， z ) = ( x 2 a 2 + y 2 b 2 − 2 z ) p 2 ( x ， y ， z ) ∈ p n (3) 即 p ( x ， y ， z ) 在锥面F上恒为零值。 结论的例子 设被插值函数为 f ( x ， y ， z ) = x 2 + y 2 + z 2 ，椭圆抛物面方程为 x 2 + y 2 − 2 z = 0 ，取锥面外的一点 Q 0 ( 1 ， 1 ， − 1 ) 并且在锥面上取互异的9个点 Q 1 ( − 3 ， − 3 ， 9 ) ， Q 2 ( − 2 ， 2 ， 4 ) ， Q 3 ( − 2 ， − 2 ， 4 ) ， Q 4 ( − 1 ， − 1 ， 1 ) ， Q 5 ( − 3 ， 3 ， 9 ) ， Q 6 ( − 2 ， − 3 ， 6.5 ) ， Q 7 ( − 3 ， − 2 ， 6.5 ) ， Q 8 ( − 1 ， − 3 ， 5 ) ， Q 9 ( 3 ， 2 ， 6.5 ) ， Q 10 ( − 2 ， − 1 ， 2.5 ) 则由本文定理1知：点组 { Q 0 ， ⋯ ， Q 10 } 构成 P 2 ( 3 ) 的唯一正解结点组，如图1，设函数在这些点上的二次插值多项式为 p ( x ， y ， z ) = a 1 x 2 + a 2 y 2 + a 3 z 2 + a 4 x y + a 5 x z + a 6 y z + a 7 x + a 8 y + a 9 z + a 10 将适定结点带入 p ( Q i ) = f ( Q i ) ， i = 0 ， 1 ， ⋯ ， 9 得到方程组为 A * X = B 其中 A = [ 9 9 81 9 − 27 − 27 − 3 − 3 9 1 4 4 16 − 4 − 8 8 − 2 2 4 1 4 4 16 4 − 8 − 8 − 2 − 2 4 1 1 1 1 1 − 1 − 1 − 1 − 1 1 1 9 9 81 − 9 − 27 27 − 3 3 9 1 4 9 42.25 6 − 13 − 19.5 − 2 − 3 6.5 1 9 4 42.25 6 − 19.5 − 13 − 3 − 2 6.5 1 1 9 25 3 − 5 − 15 − 1 − 3 5 1 9 4 42.25 6 19.5 13 3 2 6.5 1 4 1 6.25 2 − 5 − 2.5 − 2 − 1 2.5 1 ] ， X = [ a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 ] ， B = [ 9.95 4.90 4.90 1.73 9.95 7.43 5.92 7.43 3.35 ] 解方程组得到 { a 1 = 0.2322 a 2 = 0.3054 a 3 = 0.0261 a 4 = 0.0033 a 5 = 1.1122 a 6 = 0.1000 a 7 = 0.1160 a 8 = 0.0778 a 9 = 1.5252 a 10 = 0.0252 代入得到 f ( x ， y ， z ) = 0.2322 x 2 + 0.3054 y 2 + 0.0261 z 2 + 0.0033 x y + 1.1122 x z     + 0.1000 y z + 0.1160 x + 0.0778 y + 1.5252 z + 0.0252 图1. 椭圆抛物面取点效果图 如图1所示，我们用插值多项式在(1，1，0)，(0，2，1)的插值结果分别为0.5580，−0.7045，而精确值分别为 2 ， 5 ，那么误差分别为 t 1 = | 2 − 0.5580 | ≈ 0.8562 ， t 2 = | 5 − ( − 0.7045 ) | ≈ 2.9406 。