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user: 3. VAR模型的建立 如图1所示，本文给出了VAR模型的建立过程。 图1. 建立VAR模型的步骤 3.1. 平稳性检验原理 如果 { X t } 满足条件： 1) 均值 E ( X t ) = μ 是与时间t无关的常数； 2) 方差 Var ( X t ) = σ 2 是与时间t无关的常数； 3) 协方差 Cov ( X t ， X t + k ) = γ k 是只与时间间隔k有关，与时间t无关的常数； 则称 { X t } 为平稳的。 该模型要求每个变量是平稳的 [ 9 ]，所以该模型建立前需要检验数据的平稳性，检验数据是否平稳的方法有多种，其中，时间序列图可以大致检验数据的平稳性，求取一组数据的平均值，观察数据序列曲线是否在均值线附近小幅变化，围绕均值线变化的数据是平稳的。另外，求解一组数据的自相关系数，当阶数越大，自相关系数越来越接近于零时，数据是平稳的。 虽然上述的两种方法可以判断序列是不是平稳的，但是对于一组非平稳数据来说，无法判断其不平稳性表现为随机性趋势，还是确定性趋势。 所谓的随机性趋势就是，不随时间改变的时间序列 X t = α + X t − 1 + μ t ， α 为正时， X t 表现出明显的上升趋势， α 为负时， X t 表现出明显的下降趋势，这种趋势就是随机性趋势。 所谓的确定性趋势就是，随时间改变的时间序列 X t = α + β t + μ t ，且 β ≠ 0 ， β 大于零时， X t 是明显上升的， β 小于零时， X t 是明显下降的，这种趋势就是确定性趋势。若 X t = α + β t + X t − 1 + μ t ，且 β ≠ 0 ，则 X t 包含上述两种趋势。 一组数据无论具有哪一种不平稳性特点，都可以采用一定的方法去除其不平稳性 [ 10 ]。 图示法和自相关分析图不能区分待检验数据包含随机性趋势还是确定性趋势，而单位根检验法可以区分时间序列存在随机性趋势还是确定性趋势。单位根检验法主要有Dickey-Fuller检验(DF检验)和ADF检验(Augmented Dickey-Fuller)。 3.1.1. DF检验原理 1) 通常情况下，如果待检验数据的平均数不等于0，并且平均数不根据时间变化，则采用模型： Δ y t = c + γ t + φ y t − 1 + ε t (5) 该模型对应的是既包含常数项又包含随时间变化的确定性趋势的随机游走过程。若随机过程 { y t ， t = 1 ， 2 ， ⋯ ， n } 满足 y t = y t − 1 + ε t ，其中 ε t 是独立的，且来自同一分布， ε t 的平均数值为零， ε t 的方差是有限值，则称 y t 为随机游走过程 [ 11 ]。 该检验过程中作出的假设是，原假设 H 0 : φ = 0 (假设 y t 为随机游走过程)；备择假设 H A : φ < 0 (假设 y t 为趋势平稳过程)。 比较显著性水平与计算所得的假设概率值，判断是否可以接受原假设。 2) 若待考察数据不包含时间趋势，则采用模型： Δ y t = c + φ y t − 1 + ε t (6) 该模型对应的是含有常数项的随机游走过程。 检验时作出的假设是，原假设 H 0 : φ = 0 (假设 y t 为随机游走过程)；备择假设 H A : φ < 0 (假设 y t 为平稳时间序列)。 在检验过程中，计算得出的假设概率值与确定的显著性水平进行比较，从而推断接受还是拒绝H 0 。 3) 如果待检验序列的均值为零时，采用模型： Δ y t = φ y t − 1 + ε t (7) 该检验过程中作出的假设是， H 0 : φ = 0 ( y t 为随机游走过程)； H A : φ < 0 ( y t 为平稳时间序列)。模型不包含常数项， y t 时序数据的平均数为0，此种情况较少，在实际应用中较少使用该情况。 3.1.2. ADF检验原理 DF检验把一组数据当做是由包含不相关关系的随机变量的一阶自回归过程 X t = a 1 X t − 1 + ε t 生成的，但是实际检验中，一组数据可能由高阶的自回归过程生成，所以，为满足所有数据的检验，为此提出ADF检验。 ADF检验模型包含三个： Δ X t = δ X t − 1 + ∑ i = 1 m β i Δ X t − i + ε t (8) Δ X t = α + δ X t − 1 + ∑ i = 1 m β i Δ X t − i + ε t (9) Δ X t = α + β t + δ X t − 1 + ∑ i = 1 m β i Δ X t − i + ε t (10) 三个模型做出的假设是， H 0 : δ = 0 ( X t 不是平稳的时序数据)， H 1 : δ < 0 ( X t 是平稳的时序数据)。 在检验过程中，检验先从模型(8)开始，对零假设 H 0 : δ = 0 进行检验，计算样本的t统计量，然后查询t临界值表，判断统计量与临界值的关系，如果统计量小于临界值，说明无法拒绝零假设，如果无法拒绝零假设，则继续检验模型(9)，若仍无法拒绝零假设，最后检验模型(10)。当其中一个模型的检验拒绝零假设时，就可以认为序列是平稳序列，此时可以停止检验。 3.2. 差分运算原理 3.2.1. 一阶差分过程 时序数据分析过程中，差分运算是经常被使用的方法。对于时间序列 { X t } ，差分运算可以表示为： Δ X t = X t − X t − 1 = ( 1 − L ) X t (11) 其中， Δ 为差分算子。 3.2.2. 高阶差分过程 差分后的序列仍然可以再次进行差分，即 { Δ Δ X t } ，这相对于原序列来说做了二次差分，方便起见差分后再差分记作 Δ 2 ，并称之为二阶差分。二阶差分序列 { Δ 2 X t } 与原序列 { X t } 之间的关系可以表示为： Δ 2 X t = Δ Δ X t = Δ ( X t − X t − 1 ) = ( X t − X t − 1 ) − ( X t − 1 − X t − 2 ) = X t − 2 X t − 1 + X t − 2 = ( 1 − 2 L + L 2 ) X t (12) 或 Δ 2 X t = Δ X t − Δ X t − 1 = ( X t − X t − 1 ) − ( X t − 1 − X t − 2 ) = X t − 2 X t − 1 + X t − 2 = ( 1 − 2 L + L 2 ) X t (13) 因此，可以认为差分运算无顺序，所以更高阶的p阶差分： Δ p = Δ Δ p − 1 = Δ Δ Δ p − 2 = ⋯ = Δ ⋯ Δ = ⋯ = Δ p − 2 Δ Δ = Δ p − 1 Δ (14) 3.3. 最小信息准则(A-Information Criterion， AIC)定阶 [ 12 ] VAR [ 13 ] 模型中的变量，有p阶滞后的阶数，因此被称为VAR(P)模型。在实际运用过程中通常希望滞后期p足够大，从而能够完整反映模型动态变化的特征，但是滞后期越长，模型中待估计的参数就越多，自由度越少，在估计模型中所包含的参数时，估计的有效性就会下降；如果滞后的阶数p过小，与其他变量无相关性的变量的自相关性会很大，这样会影响参数估计的一致性。因此需要寻求一种保证滞后的阶数和模型包含的参数都处于一个合理状态的模型定阶方法。 AIC准则——一种判断模型阶数的严谨方式 [ 14 ]。 AIC = log ( | Σ ^ p p | ) + 2 d 2 p / n (15) 式中，d是向量的维度，n是样本大小，p是滞后阶数， Σ ^ p p 是当滞后阶数为p时，残差向量协方差矩阵的估计。选择p的原则是在不断增加p值时，使上式值达到最小的p值。