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user: 3. 函数的一些性质的水平集刻画 这一部分我们主要从函数的水平集的角度给出函数的一些基本性质的刻画。 3.1. 函数本身的刻画 我们可以利用函数的水平集的直接构造出函数本身。 性质3.1.1 (层饼表示定理)设 f ( x ) 是任意的非负可测函数，则有 f ( x ) = ∫ 0 ∞ χ { f > t } ( x ) d t . 证明：这是显然的，实际上 ∫ 0 ∞ χ { f > t } ( x ) d t = ∫ 0 f ( x ) 1 d t + ∫ f ( x ) ∞ 0 d t = f ( x ) . 这个性质在实际应用中极其有用，因为它允许我们在很多情况下把处理一个普通函数的积分简化为处理特征函数的积分(利用Fubini定理)。 3.2. 函数的凸性 我们首先给出凸集和凸函数的定义。 定义3.2.1. 我们称集合 A 为凸集，若对任意的 x ， y ∈ A ， θ ∈ [ 0 ， 1 ] ，有 θ x + ( 1 − θ ) y ∈ A . 定义3.2.2. 若 f 的定义域为凸集，我们称 f 是凸函数，若其满足 f ( θ x + ( 1 − θ ) y ) ≤ θ f ( x ) + ( 1 − θ ) f ( y ) ，               其 中       x ， y ∈ d o m   f ，     θ ∈ [ 0 ， 1 ] . 这里 d o m     f 表示函数的定义域。 由函数凸性的定义，我们马上得到凸函数的必要条件： 性质3.2.1.凸函数的下水平集是凸集，但是反之不一定成立。 证明：设任意的的 t ， x ， y ∈ L f ( t ) ，我们有 f ( θ x + ( 1 − θ ) y ) ≤ θ   f ( x ) + ( 1 − θ ) f ( y ) ≤ θ   t + ( 1 − θ ) t ≤ t . 因此 θ   x + ( 1 − θ ) y ∈ L f ( t ) . 另一方面，我们很容易验证函数 f ( x ) = − e x 的任意下水平集是凸的，但是这个函数不是凸的。然而，这个性质的可以判断一个集合是否是凸集：若某个集合可以描述为一个凸函数的下水平集，那么这个集合为凸集。 这个结论虽然不能从函数的水平集的凸性直接得到函数的凸性，但是我们可以从函数的图像(Epigraph)的角度上看，可以得到函数凸性的一个充分必要条件。 定义3.2.3. 设 f : R n → R 。我们定义 f 的图像(Epigraph)为 E p i   f = { ( x ， t ) ∈ R n + 1 | x ∈ d o m   f ， f ( x ) ≤ t } . 由这个定义，我们可以得到函数的凸性的一个充要条件： 性质3.2.2. 函数 f 为凸函数当且仅当其图像为凸集。 证明：根据定义，这是显然的。 注：对于凹函数，相关的性质也可以用水平集刻画，只要把下水平集改为上水平集即可。 3.3. 函数的连续性 因为 { ( − ∞ ， b ) : b ∈ R } ∪ { ( a ， + ∞ ) : a ∈ R } 为 R 上的一组拓扑子基，我们很容易验证： 性质3.3.1. 对应任意的 t ，若函数的水平集 S f ( t ) = { x ∈ Ω :           f ( x ) > t } 是开的，则函数 f ( x ) 是下半连续的。 类似的，我们可以得到函数的上半连续的刻画： 性质3.3.2. 对应任意的 t ，若函数的水平集 L ˜ f ( t ) = { x ∈ Ω :           f ( x ) < t } 是开的，则函数 f ( x ) 是上半连续的。 性质3.3.3. 如果一个函数既是上半连续，也是下半连续，那么它一定连续。 3.4. 函数的可测性 我们可以直接根据函数的水平集给出可测函数的定义： 定义3.4.1.对应任意的 t ，若函数的上水平集 S f ( t ) = { x ∈ Ω :           f ( x ) > t } 是可测集，则称函数 f ( x ) 是可测的。更一般地，如果 f : Ω → C 是复函数，那么当它的实部 Re f 和虚部 Im f 都是可测函数时，称 f 可测。 从水平集的角度去定义函数的连续和可测性，我们可以得到可测函数与连续函数的某些关系。例如，如果 Σ 取 R n 上的Borel- σ 代数B，则显然每个连续函数都是Borel可测的，此时函数的水平集 S f ( t ) = { x ∈ Ω :           f ( x ) > t } 是开集。实际上，上半连续或下半连续函数都是Borel可测的。下半连续函数的可测性是显然的，关于上半连续函数的可测性，因为集合 { x | f ( x ) < t + 1 i } 是可测的，同时 { x ∈ Ω | f ( x ) ≤ t } = ∩ i = 1 ∞ { x | f ( x ) < t + 1 i } ， 所以 { x ∈ Ω | f ( x ) ≤ t } 是可测的，从而可以得到上半连续的函数的可测性。 通过上面的分析，我们如果从水平集的角度研究函数的连续性与可测性之间的关系，实际上建立一种 σ 代数和拓扑之间的关系的。从这个角度看，这是有意思的。 3.5. 函数的可积性 为了简单起见，本部分都假设 f 是非负的可测函数，且直接讨论一般测度 μ 上的积分。函数的可积性只取决于函数大的值的集合究竟有多大，而以这些大的值在哪里取到没有什么关系。因此，我们很自然可以考虑对应大的 t ，水平集的测度究竟多大。由此直接引出可测函数的分布函数的定义。我们记： F f ( t ) = μ ( S f ( t ) ) 也就是说 F f ( t ) 是使得 f > t 的集合的测度。我们把这个函数称为 f 的分布函数 [ 7 ]。显然， F f ( t ) 关 t 是单调不增的。因此我们可以用Riemann积分 ∫ 0 ∞ F f ( t ) d t 来定义 f 在 Ω 上的积分： . 利用这个定义，我们把层饼表示定理推广为： 性质3.5.1. [ 8 ] 设 v 为正实半轴上Borel集上的测度，使得 φ ( t ) = v ( [ 0 ， t ) ) 对每个 t > 0 均有限。再设 ( Ω ， Σ ， μ ) 为一个测度空间且 f ( x ) 是任意的非负可测函数，那么有 证明：为了读者的方便，我们把文献 [ 8 ] 中关于此定理的证明摘录于此。根据定义，我们有 ∫ 0 ∞ μ ( S f ( t ) )     v     ( d t ) = ∫ 0 ∞ ∫ Ω χ f > t ( x ) μ ( d x )     v     ( d t ) . 利用Fubini定理，(3.5)的右端等于 ∫ Ω ( ∫ 0 ∞ χ { f > t } ( x )   v     ( d t ) ) μ ( d x ) . 注意到 ∫ 0 ∞ χ { f > t} ( x )       v     ( d t ) = ∫ 0 f ( x ) v   ( d t ) = φ ( f ( x ) ) ， 结论成立。 上述的结论说明函数的可积性完全由其分布函数决定。因此，通过研究函数的水平集，我们完全可以弄清楚可测函数的可积性，而且相对比较自然和直观。 与分布函数密切相关的一个概念：函数的重排。直观上看，分布函数与函数的重排是一对“互逆”函数。函数的可积性完全可以由他们决定。有意思的是，通过对函数重排，得到一些非常有用的积分不等式。例如，根据重排不等式，我们可以得到著名的等周不等式。为了定义函数的重排，我们首先给出特征函数的重排的定义，即： χ A ∗ = χ A ∗ 现在假设 f 是一个无穷远处趋于零的Borel可测函数，定义 f 的重排函数为 f ∗ ( x ) = ∫ 0 ∞       χ { | f | > t } ∗ ( x ) d t . 函数的重排一个重要的性质就是重排函数 f ∗ 与函数 f 就有相同的分布函数，因此，函数的可积性完全由他们决定，这些概念都是从函数的水平集的基础上给出，而且具有很好的性质。从这个方面看，用水平集研究函数的性质具有一定的优越性。