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user: 3. 基本再生数及平衡点的稳定性 模型(2)总是存在无病平衡点 P 0 = ( S 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ) T 。由文献 [ 7 ] 可知染病仓室为E， I， Q， R，故可得 F = ( β 2 S 0 β 1 S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) V = ( μ + k 0 0 0 − k ω + r 1 + μ + d 0 − α 0 − ω μ + d + r 2 0 0 − r 1 − r 2 μ + α ) 利用文献 [ 8 ] 中再生矩阵的方法可以计算系统(2)的基本再生数 R 0 ，即得 R 0 = ρ ( F V − 1 ) ，其中 ρ ( M ) 为矩阵 M 的谱半径，所以求得基本再生数为： R 0 = 1 μ + k [ β 2 S 0 + β 1 S 0 k ( μ + d + r 2 ) ( μ + α ) ( ω + r 1 + μ + d ) ( μ + d + r 2 ) ( μ + α ) − α ω r 2 − α r 1 ( μ + d + r 2 ) ] (3) 接下来说明地方病平衡点的存在性。 定理1 如果基本再生数大于1，微分方程组(2)仅有一个地方病平衡点 P * = ( S * ， E * ， I * ， Q * ， R * ) T ， S ∗ = S 0 R 0 ， E ∗ = μ S 0 μ + k ( 1 − 1 R 0 ) ， I ∗ = [ ( μ + k ) R 0 − β 2 S 0 ] E ∗ β 1 S 0 ， Q ∗ = ω μ + d + r 2 I * ， R ∗ = r 1 I * + r 2 Q * μ + α 。 证明：显然系统(2)的地方病平衡点满足以下的代数方程组 { A 1 = β 1 S * I * + β 2 S * E * + μ S * β 1 S * I * + β 2 S * E * = ( μ + k ) E * ( ω + r 1 + μ + d ) I * − α R * = k E * ( μ + d + r 2 ) Q * = ω I * r 1 I * + r 2 Q * = ( μ + α ) R * A 1 = ( 1 − p ) A + A 0 (4) 由(4)的第四式可得 Q * = ω μ + d + r 2 I * (5) 将(5)式代入(4)的第五式得 R * = [ r 1 μ + α + r 2 ω ( r 2 + d + μ ) ( μ + α ) ] I * (6) 将(6)式代入(4)的第三式，整理得 E * = 1 k [ ( ω + r 1 + μ + d ) − α r 1 μ + α − α r 2 ω ( r 2 + d + μ ) ( μ + α ) ] I * (7) 将(7)式代入(4)的第二式，经过简单计算得 S * = S 0 R 0 (8) 将(8)代入(4)式可得 E ∗ = μ S 0 μ + k ( 1 − 1 R 0 ) ， I ∗ = [ ( μ + k ) R 0 − β 2 S 0 ] E ∗ β 1 S 0 ， R ∗ = r 1 I * + r 2 Q * μ + α ， Q ∗ = ω μ + d + r 2 I * ，因为 R 0 > 1 ，所以可以判断 E * > 0 ， I * > 0 ， R * > 0 ， Q * > 0 ，所以系统(2)仅有一个地方病平衡点。 接下来通过李雅普诺夫第二方法说明平衡点的稳定性。 定理2 如果基本再生数小于1，系统(2)的无病平衡点是全局渐近稳定的，且吸引从 Φ 中出发的所有解并且水痘病毒将从人群中消失。 证明：当基本再生数 R 0 < 1 时，构造如下的李雅普诺夫函数 V 1 = E + B I + C Q + D R 其中 B = μ + k − β 2 S k ， C = r 2 μ + d + r 2 D ， D = α μ + α B 。 V 1 沿着系统(2)的解求全导数得 d V 1 d t = d E d t + B d I d t + C d Q d t + D d R d t 将模型(2)各分量代入上式并整理可得 d V 1 d t = β 1 S I + β 2 S E − ( μ + k ) E + B [ k E − ( ω + r 1 + μ + d ) I + α R ]     + C [ ω I − ( μ + d + r 2 ) Q ] + D [ r 1 I + r 2 Q − ( μ + α ) R ] = [ β 1 S − B ( ω + r 1 + μ + d ) + C ω + D r 1 ] I     + [ β 2 S + B k − ( μ + k ) ] E + [ D r 2 − C ( μ + d + r 2 ) ] Q     + [ B α − D ( μ + α ) ] R 将B，C，D代入上面的式子可求得 d V 1 d t = [ β 1 S + B ω r 2 α ( μ + α ) ( μ + d + r 2 ) + B α r 1 μ + α − B ( ω + r 1 + μ + d ) ] I = β 1 S I + ( μ + k ) − β 2 S k [ − α ω r 2 + α r 1 ( μ + d + r 2 ) ( μ + α ) ( μ + d + r 2 ) + ( ω + r 1 + μ + d ) ] I ≤ [ β 1 S 0 + ( μ + k ) − β 2 S 0 k − β 1 S 0 k ( μ + k ) R 0 − β 2 S 0 ] I = β 1 S 0 [ 1 + − ( μ + k ) + β 2 S 0 ( μ + k ) R 0 − β 2 S 0 ] I = β 1 S 0 ( R 0 − 1 ) ( μ + k ) ( μ + k ) R 0 − β 2 S 0 I ≤ 0 当且仅当 I = 0 ，等号才成立。文献 [ 9 ] 表明：系统(2)的每个解的极限集都包含在集合 { ( S ， E ， I ， Q ， R ) T ∈ R + 5 : I = 0 } 的最大不变集中，此时最大不变集是 P 0 ，从而 P 0 是全局渐近稳定的，吸引从 Φ 中出发的所有解，并且经过时间的流逝水痘病毒会从人群中根除。 定理3 如果基本再生数大于1，无病平衡点 P 0 = ( S 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ) T 是不稳定的。 证明：令 h = S − S 0 代入(2)的前两式可求得 d h d t = d S d t = ( 1 − p ) A + A 0 − β 1 ( S 0 + h ) I − β 2 ( h + S 0 ) E − μ ( h + S 0 ) = ( 1 − p ) A + A 0 − μ S 0 − μ h − β 1 S 0 I − β 2 S 0 E − β 1 h I − β 2 h E = − μ h − β 1 S 0 I − β 2 S 0 E − β 1 h I − β 2 h E (9) d E d t = β 1 ( S 0 + h ) I + β 2 ( h + S 0 ) E − ( μ + k ) E = β 1 S 0 I + [ β 2 S 0 − ( μ + k ) ] E + β 1 h I + β 2 h E (10) 模型(2)在无病平衡点 P 0 = ( S 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ) T 处的线性化系统 [ 10 ] 为 { d h d t = − μ h − β 1 S 0 E − β 1 S 0 I d E d t = β 1 S 0 I + [ β 2 S 0 − ( μ + k ) ] E d I d t = − ( ω + r 1 + μ + d ) I + k E + α R d Q d t = ω I − ( μ + d + r 2 ) Q d R d t = r 1 I − ( μ + α ) R + r 2 Q (11) 由(10)式的微分方程组可得其系数矩阵为 A = ( − μ − β 2 S 0 − β 1 S 0 0 0 0 β 2 S 0 − ( μ + k ) β 1 S 0 0 0 0 k − ( ω + r 1 + μ + d ) 0 α 0 0 ω − ( μ + d + r 2 ) 0 0 0 r 1 r 2 − ( μ + α ) ) 系数矩阵A对应的特征多项式为 φ ( λ ) = | λ + μ β 2 S 0 β 1 S 0 0 0 0 λ − β 2 S 0 + ( μ + k ) − β 1 S 0 0 0 0 − k λ + ( ω + r 1 + μ + d ) 0 − α 0 0 − ω λ + ( μ + d + r 2 ) 0 0 0 − r 1 − r 2 λ + ( μ + α ) | 现令 λ = 0 ，代入特征多项式 φ ( λ ) 可得 φ ( 0 ) = | μ β 2 S 0 β 1 S 0 0 0 0 − β 2 S 0 + ( μ + k ) − β 1 S 0 0 0 0 − k ( ω + r 1 + μ + d ) 0 − α 0 0 − ω ( μ + d + r 2 ) 0 0 0 − r 1 − r 2 ( μ + α ) | = μ [ ( ω + r 1 + μ + d ) ( μ + d + r 2 ) ( μ + α ) − α ω r 2 − α r 1 ( μ + d + r 2 ) ] ( μ + k ) ( 1 − R 0 ) < 0 显然当 λ → + ∞ ， φ ( λ ) → + ∞ ，因为特征多项式 φ ( λ ) 关于 λ 是连续函数。因为 φ ( 0 ) < 0 ，由介值定理可知至少存在一个 λ 0 > 0 ，使得 φ ( λ 0 ) = 0 ，所以 φ ( λ ) = 0 至少存在一个正根 λ 0 ，故当 R 0 > 1 时， P 0 是不稳定的。 定理4 如果基本再生数大于1，系统(2)的地方病平衡点是全局渐近稳定的，水痘病毒不能从人群中消失从而形成地方病。 证明：给出以下形式的李雅普诺夫函数 V 2 = S − S * ln S + E − E * ln E + b 2 ( I − I * ln I ) + b 3 ( Q − Q * ln Q ) + b 4 ( R − R * ln R ) 其中 b 2 = β 1 S ∗ I ∗ k E ∗ ， b 3 = r 2 Q ∗ ω I ∗ b 4 ， b 4 = α R ∗ r 1 I ∗ + r 2 Q ∗ b 2 。 V 2 沿着(2)的解求全导数，整理可得 d V 2 d t = ( d S d t − S ∗ S d S d t ) + ( d E d t − E ∗ E d E d t ) + b 2 ( d I d t − I ∗ I d I d t ) + b 3 ( d Q d t − Q ∗ Q d Q d t ) + b 4 ( d R d t − R ∗ R d R d t ) = ( 1 − S ∗ S ) d S d t + ( 1 − E ∗ E ) d E d t + b 2 ( 1 − I ∗ I ) d I d t + b 3 ( 1 − Q ∗ Q ) d Q d t + b 4 ( 1 − R ∗ R ) d R d t = ( 1 − S ∗ S ) [ ( 1 − p ) A + A 0 − β 1 S I − β 2 S E − μ S ] + ( 1 − E ∗ E ) [ β 1 S I + β 2 S E − ( μ + k ) E ]     + b 2 ( 1 − I ∗ I ) [ k E − ( ω + r 1 + μ + d ) + α R ] + b 3 ( 1 − Q ∗ Q ) [ ω I − ( μ + d + r 2 ) Q ]     + b 4 ( 1 − R ∗ R ) [ r 1 I + r 2 Q − ( μ + α ) R ] (12) 在地方病平衡点 P ∗ 处有 { ( 1 − p ) A + A 0 = β 1 S ∗ I ∗ + β 2 S ∗ E ∗ + μ S ∗ ( μ + k ) = β 1 S ∗ I ∗ + β 2 S ∗ E ∗ E ∗ ( ω + r 1 + μ + d ) = k E ∗ + α R ∗ I ∗ ( μ + d + r 2 ) = ω I ∗ Q ∗ ( μ + α ) = r 1 I ∗ + r 2 Q ∗ R ∗ (13) 将(13)式代入(12)式，整理可得 d V 2 d t = ( 1 − S * S ) [ β 1 S * I * ( 1 − S I S * I * ) + β 2 S * E * ( 1 − S E S * E * ) + μ S * ( 1 − S S * ) ]     + ( 1 − E * E ) [ β 1 S * I * ( S I S * I * − E E * ) + β 2 S * E * ( S E S * E * − E E * ) ]     + b 2 ( 1 − I * I ) [ k E * ( E E * − I I * ) + α R * ( R R * − I I * ) ]     + b 3 ( 1 − Q * Q ) [ ω I * ( I I * − Q Q * ) ]     + b 4 ( 1 − R * R ) [ r 1 I * ( I I * − R R * ) + r 2 Q * ( Q Q * − R R * ) ] (14) 令 x = S S * ， y = E E * ， z = I I * ， m = Q Q * ， n = R R * 代入(14)可得 d V 2 d t = ( 1 − 1 x ) [ β 1 S ∗ I ∗ ( 1 − x z ) + β 2 S ∗ E ∗ ( 1 − x y ) + μ S ∗ ( 1 − x ) ]     + ( 1 − 1 y ) [ β 1 S ∗ I ∗ ( x z − y ) + β 2 S ∗ E ∗ ( x y − y ) ]     + b 2 ( 1 − 1 z ) [ k E ∗ ( y − z ) + α R ∗ ( n − z ) ] + b 3 ( 1 − 1 m ) [ ω I ∗ ( z − m ) ]     + b 4 ( 1 − 1 n ) [ r 1 I ∗ ( z − n ) + r 2 Q ∗ ( m − n ) ] = β 1 S ∗ I ∗ ( 1 − 1 x − x z + z ) + β 2 S ∗ E ∗ ( 1 − x y − 1 x + y ) + μ S ∗ ( 1 − 1 x − x + 1 )     + β 1 S ∗ I ∗ ( x z − y − x z y + 1 ) + β 2 S ∗ E ∗ ( x y − y − x + 1 ) + b 2 k E ∗ ( y − z − y z + 1 )     + b 2 α R ∗ ( n − z − n z + 1 ) + b 3 ω I ∗ ( z − m − z m + 1 ) + b 4 r 1 I ∗ ( z − n − z n + 1 )     + b 4 r 2 Q ∗ ( m − n − m n + 1 ) (15) 设 T = ( − β 1 S ∗ I ∗ + β 1 S ∗ I ∗ ) x z + ( − β 2 S ∗ I ∗ + β 2 S ∗ I ∗ ) x y + ( β 1 S ∗ I ∗ − b 2 k E ∗ − b 2 α R ∗ + b 3 ω I ∗ + b 4 r 1 I ∗ ) z     + ( β 2 S ∗ E ∗ − β 1 S ∗ I ∗ − β 2 S ∗ E ∗ + b 2 k E ∗ ) y + ( − b 3 ω I ∗ + b 4 r 2 Q ∗ ) m + ( b 2 α R ∗ − b 4 r 1 I ∗ − b 4 r 2 Q ∗ ) n 由 b 2 ， b 3 ， b 4 的值可知 T = 0 ，(15)式等于(16)式与T之和，故 d V 2 d t = β 1 S ∗ I ∗ ( 1 − 1 x ) + β 2 S ∗ E ∗ ( 1 − 1 x ) + μ S ∗ ( 1 − 1 x − x + 1 )     + β 1 S ∗ I ∗ ( 1 − x z y ) + β 2 S ∗ E ∗ ( 1 − x ) + b 2 k E ∗ ( 1 − y z )     + b 2 α R ∗ ( 1 − n z ) + b 3 ω I ∗ ( 1 − z m ) + b 4 r 1 I ∗ ( 1 − z n ) + b 4 r 2 Q ∗ ( 1 − m n ) (16) 将 b 2 ， b 3 ， b 4 代入(16)式整理可得 d V 2 d t = b 4 r 1 I ∗ ( 2 − n z − z n ) + b 4 r 2 Q ∗ ( 3 − n z − z m − m n )     + β 1 S ∗ I ∗ ( 3 − 1 x − x z y − y z ) + ( β 2 S ∗ E ∗ + μ S ∗ ) ( 2 − x − 1 x ) 利用算术–几何平均值不等式知 d V 2 d t ≤ b 4 r 1 I ∗ ( 2 − 2 n z z n ) + b 4 r 2 Q ∗ ( 3 − 3 n z z m m n 3 )     + β 1 S ∗ I ∗ ( 3 − 3 1 x x z y y z 3 ) + ( β 2 S ∗ E ∗ + μ S ∗ ) ( 2 − 2 x 1 x ) ≤ 0 只有当 x = 1 x = x z y = y z 与 z n = n z = z m = m n 时，等号才成立，也即当 S = S ∗ ， y = z = m = n 时，有 d V 2 d t ≤ 0 。 [ 9 ] 表明与 Φ 的内部相交的系统(2)的解的极限集都包含在集合 { ( S ， E ， I ， Q ， R ) T ∈ R + 5 : S = S ∗ } 的最大不变集中，此最大不变集是 P ∗ ，所以此时 P ∗ 是全局渐近稳定的，吸引从 Φ 中出发的所有解，水痘病毒不能在人群中消失，同时形成地方病。