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user: 2. 一维Boussinesq方程反问题的不适定性实例构建 2.1. 实例一 考虑非线性一维Boussinesq方程初边值问题。作为参数辨识问题，在已知 φ 1 ( x ) G 1 ( t ) ， g 2 ( t ) 的条件下，为了确定未知的渗透系数函数 k ( x ) 及浓度的时空分布函数 h ( x ， t ) ，需要附加条件以确定解决问题的不适定性。文献 [ 4 ] 提出附加条件 ，从而认为对应的问题是适定的，并在数值算例中取未知函数的真值为 k ( x ) = 1 + 2 x + 3 x 2 ， h ( x ， t ) = ( x + t ) e ( − x − t ) 。将真值代入原方程我们可以得到相应反问题的已知条件实际设定为： { φ 1 ( x ) = x e − x g 1 ( t ) = t e − t g 2 ( t ) = ( 1 + t ) e ( − 1 − t ) φ 2 ( x ) = ( x + 1 ) e ( − x − 1 ) (2) 将式(2)中的已知条件代入式(1)，我们得到自由项的表达式如下 f ( x ， t ) = − e − 2 u ( 6 u 2 − 12 u + 3 ) x 2 + e − 2 u ( 2 u 2 + 2 u − 2 ) x + e − 2 u ( 2 u − 1 ) + e − u ( 1 − u ) 其中 u = x + t ，并根据这些条件采用摄动量法求得 k ( x ) 和 h ( x ， t ) 的数值解。 我们的疑问是：在增加附加条件 h ( x ， 1 ) = φ 2 ( x ) 后，这一参数辨识问题是否是适定的？通过演算，我们得到的答案是否定的。即使完全已知 h ( x ， t ) ，由于关于未知函数 k ( x ) 的一阶常微分方程为如下形式： ( h ∂ h ∂ x ) k ′ ( x ) + ( ∂ ∂ x ( h ∂ h ∂ x ) ) k ( x ) = ∂ h ∂ t − f ( x ， t ) (3) 在不给定定解条件时，其解函数 k ( x ) 也一定不会唯一的，因此问题求解的适定性也无从谈起。值得注意的是，在公开的文献中，这一问题并未受到关注，相应的反问题求解都是在增加同样的附加条件下进行的！有些文献中之所以得到比较好的结果，实际上是因为对 k ( x ) 的函数类型做了限制，也就相当于提供了定界条件，相应地，算法的适应性就受到了较大的限制。 毫无疑问，上面给出的未知函数真值确实是反问题的解，但是即使已知 h ( x ， t ) 为给定形式，未知函数 k ( x ) 仍是不确定的。事实上，将 h ( x ， t ) = ( x + t ) e ( − x − t ) 代入Boussinesq方程，化简后比较方程两边关于t的多项式系数，得到 k ( x ) 满足的三个等价的微分方程，其中二次项系数得到的方程最为简单，为如下形式： k ′ ( x ) − 2 k ( x ) = 2 x − 6 x 2 (4) 解得 k ( x ) = 1 + 2 x + 3 x 2 + C e 2 x ，其中C为任意实常数，显然，若想要唯一确定 k ( x ) ，必须给定上述常微分方程的定解条件，通常情况下，定解条件可以设为 k ( 0 ) = k 0 。 2.2. 实例二 在文献 [ 4 ] 中还给出了一个参数辨识实例，其初边值条件取值为： { φ 1 ( x ) = ( x − x 2 + 1 ) e − x g 1 ( t ) = e − 2 t g 2 ( t ) = e − 1 − 2 t φ 2 ( x ) = ( x − x 2 ) e − 1 − x + e − 2 − x (5) 未知渗透函数真值设定为 k ( x ) = e x 。 由于文献 [ 4 ] 未提供浓度时空分布函数 h ( x ， t ) ，这里根据初边值条件与 h ( x ， t ) 的相容性，猜测(不完全确定) h ( x ， t ) 的真值设定为： h ( x ， t ) = ( x − x 2 ) e − x − t + e − x − 2 t 据此可推得 { ∂ h ∂ t = x ( x − 1 ) e ( − x − t ) − 2 e ( − x − 2 t ) h ∂ h ∂ x = − e − 2 x − 2 t ( e − t − x 2 + x ) ( e − t − x 2 + 3 x − 1 ) ∂ h ∂ x ( h ∂ h ∂ x ) = e − 2 x − 2 t ( e − t − x 2 + 3 x − 1 ) 2 + e − 2 x − 2 t ( e − t + x − x 2 ) ( e − t − x 2 + 5 x − 4 ) (6) 由式(3)和式(6)我们可推得 f ( x ， t ) = e − x − t ( ( x 2 − x ) + e − t ( − 3 + 9 x − 16 x 2 + 8 x 3 − x 4 ) + e − 2 t ( 5 − 8 x + 2 x 2 ) − e − 3 t ) 将上述表达式代入Boussinesq方程，化简后比较方程两边关于 e − 2 t 的系数，得到 k ( x ) 满足的微分方程为如下形式为 k ′ ( x ) − 2 k ( x ) = − e x ，从而可得 k ( x ) = e x + C e 2 x ，其中C为任意实常数。 2.3. 实例三 除了考虑浓度时空分布函数 h ( x ， t ) 为稳态情形，即 h ( x ， t ) 与时间变量t无关，则Boussinesq方程可化为常微分方程 d d x ( k ( x ) h ( x ) d h d x ) + f ( x ) = 0 (7) 从而问题变为常微分方程下的参数辨识问题。 为验证偏微分方程反问题算法的有效性，可取 k ( x ) = 1 + 2 x + 3 x 2 ， h ( x ， t ) = e − x ，则相应反问题的已知条件实际设定为 { φ 1 ( x ) = e − x g 1 ( t ) = 1 g 2 ( t ) = e − 1 φ 2 ( x ) = e − x f ( x ， t ) = e − 2 x ( − 6 x 2 + 2 x ) (8) 根据 k ( x ) 满足的微分方程可解得 k ( x ) = 1 + 2 x + 3 x 2 + C e 2 x (9) 其中C为任意实常数。 2.4. 实例四 对于考虑 h ( x ， t ) 可分离变量的函数，记为 h ( x ， t ) = h 1 ( x ) h 2 ( t ) ，将其代入Boussinesq方程，则有 h 1 h ′ 2 = ( h 1 h ′ 1 h 2 2 ) k ′ + ( h 1 h ′ 1 ) ′ h 2 2 k + f ( x ， t ) (10) 在此基础上，我们构造实例四：在方程中，若取 h 1 ≡ 1 ，即浓度时空分布函数与空间位置无关，则必有 h ′ 2 ( t ) = f ( x ， t ) ，从而我们可以知道， f ( x ， t ) 也与空间位置无关，只与时间有关，所以这里将其记为 f ( t ) ，则有 h 2 ( t ) = ∫ f ( t ) d t (11) 显然这里渗透系数函数 可取任意的函数，反问题的解存在但不唯一，具有严重的不确定性，所以再对其进行数值求解救没有任何意义。 在方程中，为简单记，若取 h 1 ( t ) = c 1 ( x + 1 ) 即简单的线性函数，取 h 2 ( t ) = c 2 t ，则方程变为 c 1 c 2 ( x + 1 ) = ( c 1 c 2 ) 2 ( x + 1 ) t 2 k ′ + ( c 1 c 2 ) 2 t 2 k + f ( x ， t ) ，进一步地，假定 c 1 c 2 = 1 ，则可得方程 x + 1 = ( x + 1 ) t 2 k ′ + t 2 k + f ( x ， t ) 。 此时若记 ( x + 1 ) k ′ + k = K ( x ) ，则有 k ( x ) = 1 x + 1 ∫ K ( x ) d x (12) 从而 ， f ( x ， t ) = x + 1 − K ( x ) ，据此不难设定数值计算实例，设定 k ( x ) = ( 1 + x ) 2 ，则 f ( x ， t ) = x + 1 − 3 ( x + 1 ) 2 t 2 。