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user: 4. 主要结果 定理3.1设具有不等式约束的优化问题(1.1)的解集 Ω * 是非空的， ∇ f 是单调的且Lipschitz连续的，Lipschitz常数为 | ∇ f | ；g是凸可微的且Lipschitz连续的，Lipschitz常数为 | g | 。设对任意 t → ∞ 满足 ‖ u ( t ) ‖ ≤ C 0 ， ∇ g 是Lipschitz连续的，Lipschitz常数为 | ∇ g | ， Q ⊆ R n 是闭凸集合。则当 α 2 ( | ∇ f | + C 0 | ∇ g | ) 2 + | g | 2 < 1 2 时，微分方程系统(3.1)的轨迹 x ( t ) 的聚点是具有约束不等式约束的优化问题(1.1)的解。 证明：在变分不等式(3.2)中令 y = x * ∈ Ω * ，有 〈 x ˙ + α ( ∇ f ( x ¯ ) + ∇ g ( x ¯ ) u ¯ ) ， x * − x − x ˙ 〉 ≥ 0. (3.8) 在变分不等式(3.4)中令 y = x + x ˙ ，可得 〈 x ¯ − x ， x + x ˙ − x ¯ 〉 + α 〈 ∇ f ( x ¯ ) ， x + x ˙ − x ¯ 〉 − α 〈 ∇ f ( x ¯ ) − ∇ f ( x ) ， x + x ˙ − x ¯ 〉   + α 〈 ∇ g ( x ¯ ) u ¯ ， x + x ˙ − x ¯ 〉 − α 〈 ∇ g ( x ¯ ) u ¯ − ∇ g ( x ) u ¯ ， x + x ˙ − x ¯ 〉 ≥ 0 ， 通过不等式(3.7)，上述不等式变为 〈 x ¯ − x ， x + x ˙ − x ¯ 〉 + α 〈 ∇ f ( x ¯ ) ， x + x ˙ − x ¯ 〉 + α 〈 ∇ g ( x ¯ ) u ¯ ， x + x ˙ − x ¯ 〉 + ( α C 2 ) ‖ x − x ‖ 2 ≥ 0. (3.9) 其中， C = | ∇ f | + C 0 | ∇ g | 。将不等式(3.8)与(3.9)相加可得 〈 x ˙ ， x * − x − x ˙ 〉 + 〈 x ¯ − x ， x + x ˙ − x ¯ 〉 + α 〈 ∇ f ( x ¯ ) ， x * − x ¯ 〉   + α 〈 ∇ g ( x ¯ ) u ¯ ， x * − x ¯ 〉 + ( α C ) 2 ‖ x ¯ − x ‖ 2 ≥ 0. (3.10) 由于g是凸的，有 〈 ∇ g ( x ¯ ) u ¯ ， x * − x ¯ 〉 = 〈 u ¯ ， J g ( x ¯ ) ( x * − x ¯ ) 〉 ≤ 〈 u ¯ ， g ( x * ) − g ( x ¯ ) 〉 . (3.11) 因此。由(3.10)和(3.11)可得 〈 x ˙ ， x * − x − x ˙ 〉 + 〈 x ¯ − x ， x + x ˙ − x ¯ 〉 + α 〈 ∇ f ( x ¯ ) ， x * − x ¯ 〉   + α 〈 u ¯ ， g ( x * ) − g ( x ¯ ) 〉 + ( α C ) 2 ‖ x ¯ − x ‖ 2 ≥ 0. (3.12) 由于g是凸的，则由(2.11)式可得 〈 ∇ f ( x * ) ， x − x * 〉 + 〈 u * ， g ( x ) − g ( x * ) 〉 ≥ 0 ， ∀ x ∈ Q . 在上式中令 x = x ¯ ，对 α > 0 有 α 〈 ∇ f ( x * ) ， x ¯ − x * 〉 + α 〈 u * ， g ( x ¯ ) − g ( x * ) 〉 ≥ 0. (3.13) 将(3.12)和(3.13)相加，得 〈 x ˙ ， x * − x − x ˙ 〉 + 〈 x ¯ − x ， x + x ˙ − x ¯ 〉 + α 〈 ∇ f ( x ¯ ) − ∇ f ( x ∗ ) ， x * − x ¯ 〉   + α 〈 u ¯ − u * ， g ( x * ) − g ( x ¯ ) 〉 + ( α C ) 2 ‖ x ¯ − x ‖ 2 ≥ 0. (3.14) 接下来，令(3.3)中 v = u * ，令(3.5)中 v = u + u ˙ ，分别得到 〈 u ˙ ， u * − u − u ˙ 〉 − α 〈 g ( x ¯ ) ， u * − u − u ˙ 〉 ≥ 0 (3.15) 和 〈 u ¯ − u ， u + u ˙ − u ¯ 〉 − α 〈 g ( x ¯ ) ， u + u ˙ − u ¯ 〉 + α 〈 g ( x ¯ ) − g ( x ) ， u + u ˙ − u ¯ 〉 ≥ 0 (3.16) 将不等式(3.15)和(3.16)相加，利用不等式(3.6)得 〈 u ˙ ， u * − u − u ˙ 〉 + 〈 u ¯ − u ， u + u ˙ − u ¯ 〉 − α 〈 g ( x ¯ ) ， u * − u ¯ 〉 + ( α | g | ) 2 ‖ x ¯ − x ‖ 2 ≥ 0. 由于 〈 u ¯ ， g ( x * ) 〉 ≤ 0 和 〈 u * ， g ( x * ) 〉 = 0 ，将上述不等式写成 〈 u ˙ ， u * − u − u ˙ 〉 + 〈 u ¯ − u ， u + u ˙ − u ¯ 〉 + α 〈 g ( x * ) − g ( x ¯ ) ， u * − u ¯ 〉 + ( α | g | ) 2 ‖ x ¯ − x ‖ 2 ≥ 0 (3.17) 将(3.14)和(3.17)相加，考虑到映射 ∇ f 的单调性，有 〈 x ˙ ， x * − x − x ˙ 〉 + 〈 u ˙ ， u * − u − u ˙ 〉 + 〈 x ¯ − x ， x + x ˙ − x ¯ 〉   + 〈 u ¯ − u ， u + u ˙ − u ¯ 〉 + α 2 ( C 2 + | g | 2 ) ‖ x ¯ − x ‖ 2 ≥ 0. 得到 〈 x ˙ ， x * − x 〉 − ‖ x ˙ ‖ 2 + 〈 u ˙ ， u * − u 〉 − ‖ u ˙ ‖ 2 + α 2 ( C 2 + | g | 2 ) ‖ x ¯ − x ‖ 2   + 〈 x ¯ − x ， x + x ˙ − x ¯ 〉 + 〈 u ¯ − u ， u + u ˙ − u ¯ 〉 ≥ 0. (3.18) 通过下面的范数和内积等式 1 2 d d t ‖ x − x * ‖ 2 = 〈 x ˙ ， x − x * 〉 ， 1 2 d d t ‖ u − u * ‖ 2 = 〈 u ˙ ， u − u * 〉 ， 〈 x ¯ − x ， x + x ˙ − x ¯ 〉 = 1 2 ‖ x ˙ ‖ 2 − 1 2 ‖ x ¯ − x ‖ 2 − 1 2 ‖ x + x ˙ − x ¯ ‖ 2 ， 和 〈 u ¯ − u ， u + u ˙ − u ¯ 〉 = 1 2 ‖ u ˙ ‖ 2 − 1 2 ‖ u ¯ − u ‖ 2 − 1 2 ‖ u + u ˙ − u ¯ ‖ 2 ， 不等式(3.18)变为 1 2 d d t ‖ x − x * ‖ 2 + 1 2 d d t ‖ u − u * ‖ 2 + 1 2 ‖ x ˙ ‖ 2 + 1 2 ‖ u ˙ ‖ 2 + ( 1 2 − α 2 ( C 2 + | g | 2 ) ) ‖ x ¯ − x ‖ 2   + 1 2 ‖ x + x ˙ − x ¯ ‖ 2 + 1 2 ‖ u ¯ − u ‖ 2 + 1 2 ‖ u + u ˙ − u ¯ ‖ 2 ≤ 0. 考虑到 α 2 ( | ∇ f | + C 0 | ∇ g | ) 2 + | g | 2 < 1 2 ，将上述不等式从 t 0 到t积分 1 2 ‖ x − x * ‖ 2 + 1 2 ‖ u − u * ‖ 2 + 1 2 ∫ t 0 t ‖ x ˙ ‖ 2 d τ + 1 2 ∫ t 0 t ‖ u ˙ ‖ 2 d τ + α 0 ∫ t 0 t ‖ x ¯ − x ‖ 2 d τ + 1 2 ∫ t 0 t ‖ u ¯ − u ‖ 2 d τ   + 1 2 ∫ t 0 t ‖ x ¯ − x − x ˙ ‖ 2 d τ + 1 2 ∫ t 0 t ‖ u ¯ − u − u ˙ ‖ 2 d τ ≤ 1 2 ‖ x 0 − x * ‖ 2 + 1 2 ‖ u 0 − u * ‖ 2 ， 其中 α 0 = 1 2 − α 2 ( C 2 + | g | 2 ) 。 很容易看出 x ( t ) 和 u ( t ) 都是收敛的轨迹，而且，下面的积分当 t → ∞ 时是收敛的 ∫ t 0 t ‖ x ˙ ‖ 2 d τ < ∞ ， ∫ t 0 t ‖ u ˙ ‖ 2 d τ < ∞ ， ∫ t 0 t ‖ x ¯ − x ‖ 2 d τ < ∞ ， ∫ t 0 t ‖ u ¯ − u ‖ 2 d τ < ∞ . 假设对所有的 t ≥ t 0 ，存在 ε > 0 使得 ‖ x ˙ ( t ) ‖ ≥ ε ， ‖ u ˙ ( t ) ‖ ≥ ε ， ‖ x − x ¯ ‖ ≥ ε 和 ‖ u − u ¯ ‖ ≥ ε 。则这与积分当 t → ∞ 时是收敛的相矛盾。所以，存在子列 { t i } ，当 t i → ∞ 时有 ‖ x ˙ ( t i ) ‖ → 0 ， ‖ u ˙ ( t i ) ‖ → 0 ， ‖ x ( t i ) − x ¯ ( t i ) ‖ → 0 和 ‖ u ( t i ) − u ¯ ( t i ) ‖ → 0 。由于 x ( t ) 和 u ( t ) 都是有界的，所以 x ( t i ) 和 u ( t i ) 也是有界的。选择 x ( t i ) 和 u ( t i ) 的子列 x ( t i j ) 和 u ( t i j ) ，则存在 x ′ 和 u ′ 使得 x ( t i j ) → x ′ ， u ( t i j ) → u ′ ， ‖ x ( t i j ) − x ¯ ( t i j ) ‖ → 0 ， ‖ u ( t i j ) − u ¯ ( t i j ) ‖ → 0 ， ‖ x ˙ ( t i j ) ‖ → 0 和 ‖ u ˙ ( t i j ) ‖ → 0 。 在(3.1)中取 t i j ，令 j → ∞ 取极限得 x ′ = Π Q ( x ′ − α ( ∇ f ( x ′ ) + ∇ g ( x ′ ) u ′ ) ) ， u ′ = Π + ( u ′ + α g ( x ′ ) ) ， 根据命题2.2，上式表明 x ′ ∈ Ω * 是具有不等式约束的凸优化问题(1.1)的解。证毕。 □