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user: 3. 点态化完备代数正规类中的遗传幂等根、补根、对偶根、子幂等根 A是一个完备代数正规类。 定义3.1：1) 设R，S为A中的2个根类。如果 ∀ a ∈ A ，满足下列条件： i) R ( a ) ∧ S ( a ) = 0 ； ii) 对任意A中的根类T，若 ∀ a ∈ A 都有 R ( a ) ∧ T ( a ) = 0 ，则 T ≤ S ； 则称根S是R的补根，记为 S = R ′ 。 2) 设R，S为A中的2个根类。如果根S是R的补根，且根R也是S的补根，则称R与S互为双补根或互为对偶根。此时有 S = R ′ ， R = S ′ ， S = S ″ ， R = R ″ 。 定义3.2：设R为A中的一个根类。 ∀ a ∈ A ，如果a的商都是R-半单代数，则称代数a为强R-半单代数。 引理3.3：设R，S为A中的2个根类，S是R的补根，即 S = R ′ 。则： 1) 每个R-半单代数的理想是R-半单代数 [ 14 ] ； 2) 每个S根代数都是强R-半单代数；每个R根代数都是强S-半单代数。 证明：2) ∀ a ∈ R ⊆ A ， i ⊲ a ，由根的定义( [ 24 ] )及定义3.1， R ( a / i ) = a / i ，且 R ( a / i ) ∧ S ( a / i ) = S ( a / i ) = 0 ，即 a / i 是R-半单代数。再由定义3.2，a是强S-半单代数，即每个R根代数都是强S-半单代数。 同理，每个S根代数都是强R-半单代数。证毕。 引理3.4：设R为A中的一个根类， a ∈ A ， { a α | α ∈ Γ } 是一个代数集， ∀ α ∈ Γ ， a α 是R-半单代数， a = ∑ s { a α | α ∈ Γ } ，则a是R-半单代数。 证明：因为 a = ∑ s { a α | α ∈ Γ } ，故存在a的一个理想集 { i α | α ∈ Γ } 满足 ∧ { i α | α ∈ Γ } = 0 ，且 ∀ α ∈ Γ ， a α ∼ a / i α 。因为 ∀ α ∈ Γ ， a α 是R-半单代数，所以 R ( a ) ≤ i α ，因此 R ( a ) ≤ ∧ { i α } = 0 ，即a是R-半单代数。证毕。 设R为A中的一个根类，所有R根心的亚直既约代数类确定的上根记为S R 。 引理3.5：设 a = ∑ s { a / i α | α ∈ Γ } ， { i α | α ∈ Γ } 是a的满足 ∧ { i α | α ∈ Γ } = 0 理想集， ∀ α ∈ Γ ， a / i α 是心为 h α 的亚直既约代数，i是a的理想。则 i = ∑ s { i / ( i ∧ i α ) | α ∈ Γ } ，其中 i / ( i ∧ i α ) ≠ 0 时是心为 h ′ α ∼ h α 的亚直既约代数。 证明：因为 a = ∑ s { a / i α | α ∈ Γ } ，i是a的理想，故对于i的理想集 { i ∧ i α | α ∈ Γ } 有 ∧ { i ∧ i α | α ∈ Γ } = i ∧ ( ∧ { i α | α ∈ Γ } ) = 0 ，所以 i = ∑ s { i / ( i ∧ i α ) | α ∈ Γ } 。又因为 ∀ α ∈ Γ ， i / ( i ∧ i α ) ∼ ( i ∨ i α ) / i α ⊲ a / i α ，当 ( i ∨ i α ) / i α ≠ 0 时，由引理2.7知 ( i ∨ i α ) / i α 是心为 h α 的亚直既约代数，从而 i / ( i ∧ i α ) ≠ 0 是心为 h ′ α ∼ h α 的亚直既约代数。证毕。 定义3.6：1) a ∈ A ，如果 ∀ i ⊲ a ，都有 i 2 = i ，则称代数a是遗传幂等的； 2) a ∈ A ，如果 ∀ t ∈ S a ，都有 t ∈ ϕ a ( ( t ) 2 ) ，则称代数a是f-正则的。 定理3.7：设S是反单根， a ∈ A ，则以下7个条件等价。 1) a是遗传幂等的； 2) a是f-正则的； 3) ∀ i ， j ⊲ a ，都有 i ∧ j = i j ； 4) 不存在a的非0商b是有幂0心的亚直既约代数； 5) a的非0商b都是有幂等心的亚直既约代数的亚直和； 6) a是强S-半单代数； 7) ∀ i ⊲ a ，都有 i = ∧ { p ⊲ a | i ≤ p ，p是素理想且 i ≤ p 和 a / p 有极小理想}。 证明：1) Þ 2)如果a是遗传幂等代数，则 ∀ i ⊲ a ， t ∈ ϕ a ( i ) ，有 ( t ) 2 = ( t ) ，故 t ∈ ϕ a ( t ) = ϕ a ( ( t ) 2 ) ，从而a是f-正则的； 2) Þ 1)如果a是f-正则的， ∀ i ⊲ a ， t ∈ ϕ a ( i ) ，则 t ∈ ϕ a ( ( t ) 2 ) 及 ( t ) ≤ ( t ) 2 ，从而 ( t ) = ( t ) 2 ， i = ∨ { ( t ) | t ∈ ϕ a ( i ) } = ∨ { ( t ) 2 | t ∈ ϕ a ( i ) } = i 2 ，所以 i 2 = i ，即a是遗传幂等的； 1) Þ 3)如果a是遗传幂等代数，则 ∀ i ， j ⊲ a ，有 i ∧ j = ( i ∧ j ) 2 ≤ i j ；又因为 i j ≤ i ∧ j ，故 i ∧ j = i j ； 3) Þ 1)如果 ∀ i ， j ⊲ a ， i ∧ j = i j ，则 i = i ∧ i = i 2 ，即a是遗传幂等代数； 1) Þ 4)如果a是遗传幂等代数，b是a的非0商，如果b是有幂0心的亚直既约代数 { b α | α ∈ Γ } 的亚直和，则每个项 b α ∼ a / i α 也有幂0心 0 ≠ h α ∼ h / i α ( h ⊲ b ) ，因此 0 = h α 2 = ( h / i α ) 2 = ( h 2 ∨ i α ) / i α = ( h ∨ i α ) / i α = h / i α ≠ 0 ，矛盾，故4)成立； 4) Þ 5)对a的非0商b，则b是有心 { 0 ≠ h α | α ∈ Γ } 的亚直既约代数 { b α | α ∈ Γ } 的亚直和，如果有 b α 有幂0心 h α ，则 b α 也是a的有幂0心 h α 的非0商，矛盾，故5)成立； 5) Þ 6) a ∈ A ， b = a / i 是a的非0商，则由5)知b都是有幂等心 { h α | α ∈ Γ } 的亚直既约代数 { b α | α ∈ Γ } 的亚直和。因此 b α 是S-半单代数，从而b也是S-半单代数，因此a是强S-半单代数，即6)成立； 6) Þ 5)设a是强S-半单代数，b是a的非0商 b = a / i ，则b也是S-半单代数，从而b也是有幂等心 { h α | α ∈ Γ } 的亚直既约代数 { b α | α ∈ Γ } 的亚直和，即5)成立； 5) Þ 7) a的非0商都是有幂等心的亚直既约代数的亚直和， i ⊲ a ，则 b = a / i 是有幂等心 { h α | α ∈ Γ } 的亚直既约代数 { b α = a / i α | α ∈ Γ } 的亚直和，因此 i = ∧ { i α | α ∈ Γ } 。因为 ∀ α ∈ Γ ， b α = b / i α 是有幂等心的亚直既约代数，所以 b α = a / i α 是素代数， i α 是a的素理想，且 h α 是 a / i α 的极小理想，即7)成立； 7) Þ 1) ∀ i ⊲ a ，则 i 2 = ∧ { p α ⊲ a | i 2 ≤ p α ， p α 是素理想且 a / p α 有极小理想}。 ∀ α ∈ Γ ， i 2 ≤ p α ， p α 是素理想，故 i ≤ p α ，所以 i ≤ ∧ { p α ⊲ a | α ∈ Γ } = i 2 ≤ i ，即 i 2 = i ，即a是遗传幂等的。证毕。 定义3.8：设R为A中的根类。如果1) R是遗传根；2) R根代数都是幂等的；则称R是一个子幂等根。 由具有定理3.7性质的代数类是根类，它的补根是反单根。 R为A中的根类，设S R 是所有具有R-根心的亚直既约代数类 K ′ 确定的上根 U K ′ 。 定理3.9：设R为A中的一个遗传根类， a ∈ A ，则以下4个条件等价。 1) a是S R -根代数； 2) a的非0商b都是有R-半单心的亚直既约代数的亚直和； 3) a是强S-半单代数； 4) ∀ i ⊲ a ，都有 i = ∧ { i α ⊲ a | i ≤ i α ， a / i α 是有R-半单心的亚直既约代数的亚直和}。 证明：1) Þ 2)如果a是S R -根代数，对a的非0商b，则b是有心 { 0 ≠ h α | α ∈ Γ } 的亚直既约代数 { b α | α ∈ Γ } 的亚直和。 ∀ α ∈ Γ ，如果 h α 不是R-半单，则 h α 是R-根代数，从而a有非0商 b α 是有R-根心的亚直既约代数的亚直和，因此a不是S R -根代数，矛盾，故2)成立； 2) Þ 1)如果a不是S R -根代数，则存在a的非0商b是有R-根心的亚直既约代数的亚直和，与2)矛盾，故(1)成立； 2) Þ 3) 对a的非0商b，则a的非0商b是有心 { 0 ≠ h α | α ∈ Γ } 的亚直既约代数 { b α | α ∈ Γ } 的亚直和，所以 { b α | α ∈ Γ } 都是R-半单的，从而b是R-半单的，即3)成立； 3) Þ 2)设a是强S-半单代数，b是a的非0商，则b是有心 { 0 ≠ h α | α ∈ Γ } 的亚直既约代数 { b α | α ∈ Γ } 的亚直和。 ∀ α ∈ Γ ， b α 也是a的非0商，由条件3)知 b α 是R-半单的，所以 h α 是R-半单的，即2)成立； 2) Þ 4) ∀ i ⊲ a ，则 i = ∧ { i α ⊲ a | i ≤ i α ， a / i α 是有R-半单心的亚直既约代数的亚直和}，即 ∀ i ⊲ a ，有 b = a / i 是有R-半单心的 { 0 ≠ h α | α ∈ Γ } 亚直既约代数 { b α ∼ a / i α | α ∈ Γ } 的亚直和，且 i = ∧ { i α | α ∈ Γ } 。所以 ∀ α ∈ Γ ，则每个项 b α ∼ a / i α 也是有半单心的亚直既约代数的亚直和，故4)成立； 4) Þ 2)对a的非0商b，则有 i ⊲ a ， b ∼ a / i ，由4)知 i = ∧ { i α ⊲ a | i ≤ i α ， a / i α 是有R-半单心的亚直既约代数的亚直和}，从而 b ∼ a / i 是有R-半单心的亚直既约代数 { b α ∼ a / i α | α ∈ Γ } 的亚直和，即2)成立。证毕。 定理3.10：设R为A中的一个遗传根类，则存在R的补根 R ′ = S R = {a|a是强R-半单代数}。 证明：设a是 R ′ -根代数， i ⊲ a ，则a是R-半单的，从而i也是R-半单的，所以i是有R-半单心的亚直既约代数的亚直和，即i也是 R ′ -根代数，故 R ′ 是遗传根； ∀ a ∈ A ，设 d = R( a ) ∧ R ′ ( a ) ，则d是R-根代数也是R-半单代数，所以 d = 0 。 设T是一个根类，T-根代数a， ∀ i ⊲ a ，有 0 = R( a / i ) ∧ T( a / i ) ，则 0 = R( a / i ) ∧ T( a / i ) = R( a / i ) ∧ ( a / i ) = R( a / i ) ，即a的非0商 a / i 是R-半单代数，所以a是强R-半单代数，因此a是 R ′ -根代数，即 T ≤ R ′ ， R ′ 是R的补根。证毕。 引理3.11：设S为A中的一个超幂0根类，则： 1) 强S-半单代数的理想是强S-半单代数； 2) 强S-半单代数是子幂等根代数。 证明：设S为A中的一个遗传超幂0根类， a ∈ A ， b ⊲ a ， c ⊲ b ， c ¯ 是c在a中生成的理想，则 c ¯ 3 ≤ c ≤ c ¯ 。 1) 因为 c ¯ / c ¯ 3 ≤ a / c ¯ 3 及 a / c ¯ 3 是S-半单代数，所以 c ¯ 3 = c ¯ 及 c = c ¯ ，从而 c ⊲ a ， b / c 是 a / c 的S-半单理想，所以 b / c 也是S-半单代数，从而b是强S-半单代数。 2) 因为 b / b 2 是S-半单代数，所以 b 2 = b 。证毕。 引理3.12：设S为A中的超幂0根或者子幂等根， a ∈ A ，则a的S-半单极小理想是强S-半单代数。 证明：设S为A中的超幂0根， a ∈ A ，m是a的S-半单极小理想，则 m 2 = m 。设 0 ≠ i ⊲ m ， i ¯ 是i在a中生成的理想，有 i ¯ 3 ≤ i ≤ i ¯ ，从而 i ¯ ≠ 0 及 ，由m的极小性知 i = i ¯ = m ，因此m是单代数，故m是S-半单代数，所以m是强S-半单代数。 设S为A中的子幂等根， a ∈ A ，m是a的S-半单极小理想。如果 m 2 = m ，与前面证明类似有m是单代数，由m的单性及S-半单性即得m是强S-半单代数。如果 m 2 = 0 ，则m的非0商都是0，因此得m也是强S-半单代数。证毕。 定理3.13：设S为A中的一个超幂0根类，则S的补根 S ′ 及 S ′ 的补根 S ″ 都存在，且 S ′ 与 S ″ 形成一对对偶根。 S ′ = S ‴ ， S ≤ S ″ 及 S ′ 都是子幂等根。更多地有， S = S ″ 当且仅当S为是由全部有S-半单心的亚直既约代数类确定的上根。从而当 S = S ″ 时S是特殊根。 证明：因为S是遗传根，由定理3.10及定理3.9有 S ′ 存在并a是 S ′ 根代数当且仅当a是强S-半单代数。由定理3.10， S ′ 是遗传根。因为S是超幂0根，从而 S ′ 是强S-半单代数，进而 S ′ 是子幂等根。进一步有 S ″ 存在并且 S ″ 是由全部有 S ′ -根心的亚直既约代数类确定的上根，亦即由全部有S-半单心的亚直既约代数类确定的上根。故有 S ≤ S ″ ，由于 S ″ 是遗传根，故 S ″ 也是超幂0根。设T是一个根类，如果 ∀ a ∈ A ，有 T( a ) ∧ S ″ (a) = 0 ，则 T( a ) ∧ S( a ) = 0 。因为 T ≤ S ′ ，故 S ‴ ≤ S ′ ，因此 S ‴ = S ′ 。类似可证 S ″ = S 。由于 S ″ = ( S ′ ) ′ 且 S ′ = ( S ″ ) ′ ，因此 S ′ 与 S ″ 是一对对偶根。因为S是超幂0根， S ″ 是特殊根，超幂0根故亚直既约代数的S-半单心是幂等的，因此当 S = S ″ 时，S是特殊根。证毕。