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user: 3. Q γ 1 γ 2 ( ℝ n ) 的前对偶空间 定义5 令 ϕ 为满足引理4的一个函数，且 γ 1 ≥ 0 ， γ 2 ≥ 0 ，满足如下条件： ‖ f ‖ H H γ 1 ， γ 2 1 ( ℝ n ) : = ‖ f * ϕ t ( ⋅ ) ‖ T γ 1 ， γ 2 1 < ∞ 的全体分布类 f ∈ L − n 2 2 ˙ ( ℝ n ) ，我们称之为Hardy-Hausdorff空间，记作 H H γ 1 ， γ 2 1 ( ℝ n ) 。 定理2 ‖ ⋅ ‖ H H − γ 1 ， γ 2 1 是一个准范数，更确切来讲在这个范数下 H H γ 1 ， γ 2 1 是完备的。 证明 根据 ‖ ⋅ ‖ T γ 1 ， γ 2 1 的相应性质和 ρ ϕ ( t ， x ) = f * ϕ t ( x ) 的线性，我们可得 ‖ ⋅ ‖ H H − γ 1 ， γ 2 1 是一个准范数。 设 { f j } 是一个Cauchy列，由引理3和Calderon再生公式 [ 13 ] 可得 L − n 2 2 ˙ ( ℝ n ) ↪ Q γ 1 γ 2 ( ℝ n ) 。对任意 ψ ∈ S ( ℝ n ) ， | f j − f k ， ψ | ≤ C ‖ ρ ϕ ( f j − f k ) ‖ T γ 1 ， γ 2 1 ‖ ϕ t * ψ ‖ T γ 1 ， γ 2 ∞ ≤ C ‖ ρ ϕ ( f j − f k ) ‖ T γ 1 ， γ 2 1 ‖ ψ ‖ L n 2 2 ˙ ( ℝ n ) 所以 { f j } 在 L ˙ − n 2 + γ 1 2 ( ℝ n ) 上是一个Cauchy列。由完备性可知，在 L ˙ − n 2 + γ 1 2 ( ℝ n ) 空间中， f = lim f n 。故存在一个子列使得在 S ′ ( ℝ n ) 中， f = f 1 + ∑ j ≥ 1 ( f j + 1 − f j ) 且满足 ∑ ​ ‖ f j + 1 − f j ‖ H H − γ 1 ， γ 2 1 ( ℝ n ) < ∞ ，那么 | ρ ϕ ( f ) | T γ 1 ， γ 2 1 ≤ C ( | ρ ϕ ( f 1 ) | T γ 1 ， γ 2 1 + ∑ ​ | ρ ϕ ( f j + 1 − f j ) | T γ 1 ， γ 2 1 ) < ∞ 且 f ∈ H H − γ 1 ， γ 2 1 ( R n ) 。 定义6 令 γ 1 ≥ 0 且 γ 2 ≥ 0 ，存在一缓增分布 a 支于方体 I ，且满足如下两个条件： 1) 对任意 ψ ∈ S ( R n ) ，有 | a ， ψ | ≤ d i a m ( I ) − n 2 + γ 1 ( ∫ I ∫ I | ψ ( x ) − ψ ( y ) | 2 | x − y | n + γ 1 d x d y ) 1 / 2 ； 2) 对任意 ψ ∈ S ( R n ) ，有 〈 a ， ψ 〉 = 0 。 则称分布 a 为一个 H H − γ 1 ， γ 2 1 ( ℝ n ) 原子。 定理3 令 γ 1 ≥ 0 且 γ 2 ≥ 0 ， ℝ n 上的缓增分布 f ∈ H H − γ 1 ， γ 2 1 ( ℝ n ) 当且仅当存在 H H − γ 1 ， γ 2 1 ( ℝ n ) 原子 { a j } 和 l 1 序列 { λ j } ，使得 f = ∑ j λ j a j 在分布意义下成立。更确切地说， ‖ f ‖ H H − γ 1 ， γ 2 1 ( ℝ n ) ≈ inf { ∑ j | λ j | : f = ∑ j λ j a j } 证明 1) 充分性。对任意 ε ∈ ( 0 ， 2 ) ，令 ω ( t ， x ) = κ ( l ( I ) ) − n + γ 1 min { 1 ， ( l ( I ) ( x − x I ) 2 + t 2 ) n − γ 1 + ε } ，其中 κ 为常数， I 为 a 的支集， x I 为 I 的中心。 所以， N ω ( x ) ≤ κ ( l ( I ) ) − n + γ 1 min { 1 ， ( 2 l ( I ) | x − x I | ) n − γ 1 + ε } 令 B I = B ( x I ， d i a m ( I ) ) ， E I = ( 0 ， d i a m ( I ) ) × B I 且 E I c = ℝ + n + 1 \ E I 。 假设 S a 为 ℝ + n + 1 上 a * ϕ t ( x ) 的支集，所以 ∫ R + 1 + n | a * ϕ t ( x ) | 2 ω − 1 ( t ， x ) d t d x t 1 − γ 2 = ( ∫ E I + ∫ E I c ∩ S a ) | a * ϕ t ( x ) | 2 ω − 1 ( t ， x ) d t d x t 1 − γ 2 因此，存在一个中心为 ( 0 ， x I ) 的半球覆盖 E I ，由此可得 ω − 1 ≤ C ( l ( I ) ) n − γ 1 。 所以， ∫ E I | a * ϕ t ( x ) | 2 ω − 1 ( t ， x ) d t d x t 1 − γ 2 ≤ ( l ( I ) ) n − γ 1 ∫ 0 ∞ ∫ ℝ n | a ^ ( ξ ) | 2 | ϕ ^ ( t ξ ) | 2 d ξ d t t 1 − γ 2 ≤ ( l ( I ) ) n − γ 1 ‖ a ‖ L ˙ − γ 2 ∕ 2 2 ( ℝ n ) ≤ 1 对 E I c ∩ S a 上的积分，有 | x − z | ≥ | x − x I | − d i a m ( I ) / 2 ≥ t 且 a * ϕ t ( x ) = ∫ ​ a ( z ) ϕ t ( x − z ) d z = 0 。 因此， | a * ϕ t ( x ) | ≤ ‖ a ‖ L ˙ − n 2 − γ 2 − γ 1 2 − 1 2 ( ℝ n ) ‖ ϕ t x ‖ L ˙ n 2 + γ 2 − γ 1 2 + 1 2 ( ℝ n ) ≤ d i a m ( I ) t − ( n + γ 2 − γ 1 2 + 1 ) 易知 t ≈ | x − x I | 2 + t 2 : = r ( t ， x ) > d i a m ( I ) ，所以 ω − 1 ( t ， x ) ≈ κ − 1 ( l ( I ) ) n + γ 1 t n − γ 1 + ε ( l ( I ) ) n − γ 1 + 2 + ε ≤ C ( l ( I ) ) − ε t n − γ 1 + ε 综上所述， ∫ E I c ∩ S a | a * ϕ t ( x ) | 2 ω − 1 ( t ， x ) d t d x t 1 − γ 2 ≤ C ( l ( I ) ) 2 − ε ∫ E I c ∩ S a t ε − n − 3 d t d x ≤ C ( l ( I ) ) 2 − ε ∫ r ( t ， x ) ≥ d i a m ( I ) r ( t ， x ) ε − n − 3 d t ≤ C ( l ( I ) ) 2 − ε + ε − 2 ≤ 1 2) 必要性。假设 f ∈ H H − γ 1 ， γ 2 1 ( ℝ n ) ，则 f ε ， N ( x ) = ∫ S ε ， N F ( t ， y ) ϕ t ( x − y ) d t d y t ，其中 S ε ， N 定义为： { ( t ， x ) ∈ ℝ n : ε ≤ t ≤ N } 。 存在一个 ω ≥ 0 ，使得 ∫ ℝ n N ω   d Λ n − γ 1 ( ∞ ) ≤ 1 且 ∫ ℝ + n + 1 | F ( t ， x ) | 2 ω − 1 ( t ， x ) d t d x t 1 − γ 2 ≤ 2 ‖ F ‖ T γ 1 ， γ 2 1 其中 F = ∑ ​ F χ T j ， k 在 ℝ + n + 1 几乎处处成立。 设 T j ， k = S * ( I j ， k ) ∪ m > k ∪ l S * ( I l ， m ) ，令 T j ， k 覆盖 E k = { N ω > 2 k } ，其中 S * ( I j ， k ) = { ( t ， y ) ∈ ℝ + n + 1 : y ∈ I j ， k ， t < 2 d i a m ( I j ， k ) } ， T j ， k 有至多个不相交的内部。 令 g j ， k ε ， N ( x ) = ∫ S ε ， N ∩ T j ， k F ( t ， y ) ϕ t ( x − y ) d t d y t ，我们需证分布 g j ， k 使得当 ε → 0 时， g j ， k ε ， N → g j ， k ，当 N → ∞ 时， f = ∑ j ， k g j ， k 。 因此， | g j ， k ε ， N ， ψ | = | ∫ ℝ n ( ∫ S ε ， N ∩ T j ， k F ( t ， y ) ϕ t ( t − y ) d t d y t ) ψ ( x ) d x | ≤ 2 ( k + 1 ) / 2 ( ∫ S ε ， N ∩ T j ， k | F ( t ， y ) | 2 ω − 1 ( t ， y ) d t d y t 1 − γ 2 ) 1 / 2 × ( ∫ 3 I j ， k * ∫ 3 I j ， k * | ψ ( x ) − ϕ ( y ) | 2 | x − y | n + γ 2 d t d y ) 1 / 2 同样地，对于 ε 1 < ε 2 和 N 1 > N 2 ，可得 | g j ， k ε 1 ， N 1 − g j ， k ε 2 ， N 2 ， ψ | ≤ C k ( ∫ ( S ε 1 ， N 1 \ S ε 2 ， N 2 ) ∩ T j ， k | F ( t ， y ) | 2 ω − 1 ( t ， y ) d t d y t 1 − γ 2 ) 1 / 2 ‖ ψ ‖ L ˙ γ 2 ∕ 2 2 ( ℝ n ) 综上所述，当 ε 1 ， ε 2 → 0 且 N 1 ， N 2 → ∞ 时， ‖ g j ， k ε 1 ， N 1 − g j ， k ε 2 ， N 2 ‖ L ˙ γ 2 ∕ 2 2 ( ℝ n ) → 0 。 所以，在分布意义下 g j ， k ε ， N → g j ， k ∈ L ˙ γ 2 ∕ 2 2 ( ℝ n ) ， g j ， k 支于 I j ， k * = 5 n I j ， k 且满足 ‖ g j ， k ‖ L ˙ γ 2 ∕ 2 2 ̇ ( 3 I j ， k * ) ≤ C 2 ( k + 1 ) / 2 ( ∫ T j ， k | F ( t ， y ) | 2 ω − 1 ( t ， y ) d t d y t 1 − γ 2 ) 1 / 2 令 a j ， k = g j ， k ‖ g j ， k ‖ L ˙ − γ 2 ∕ 2 2 ( 3 I j ， k * ) − 1 ( l ( 3 I j ， k * ) ) γ 1 − n 2 ， λ j ， k = ‖ g j ， k ‖ L ˙ − γ 2 ∕ 2 2 ( 3 I j ， k * ) × ( l ( 3 I j ， k * ) ) γ 1 − n 2 ( l ( 3 I j ， k * ) ) n − γ 1 2 ， 则 | a j ， k ， ψ | ≤ C 1 ‖ g j ， k ‖ L ˙ − γ 2 / 2 2 ( 3 I j ， k * ) ( l ( 3 I j ， k * ) ) γ 1 − n 2 × ( ∫ S ε ， N ∩ T j ， k | F ( t ， y ) | 2 ω − 1 ( t ， y ) d t d y t 1 − γ 2 ) 1 / 2     × ( ∫ 3 I j ， k * ∫ 3 I j ， k * | ψ ( x ) − ϕ ( y ) | 2 | x − y | n + γ 2 d x d y ) 1 / 2 所以 a j ， k 为 H H − γ 1 ， γ 2 1 ( ℝ n ) 原子。 由Cauchy-Schwarz不等式，可得 ∑ j ， k | λ j ， k | ≤ C ( ∑ j ， k 2 k + 1 ( l ( 3 I j ， k * ) ) n − γ 1 ) 1 / 2 ( ∑ j ， k ∫ T j ， k | F ( t ， y ) | 2 ω − 1 ( t ， y ) d t d y t 1 − γ 2 ) 1 / 2 ≤ C ( ∑ j ， k 2 k + 1 Λ n − γ 1 ( ∞ ) ( 3 I j ， k * ) ) 1 / 2 ( ∑ j ， k ∫ ℝ + n + 1 | F ( t ， y ) | 2 ω − 1 ( t ， y ) d t d y t 1 − γ 2 ) 1 / 2 ≤ C ( ∑ k ∫ E k N ω ( x ) d Λ n − γ 1 ( ∞ ) ) 1 / 2 ‖ f ‖ H H − γ 1 ， γ 2 1 ( ℝ n ) ≲ ‖ f ‖ H H − γ 1 ， γ 2 1 ( ℝ n ) 所以 ∑ ​   g j ， k = ∑ ​   λ j ， k a j ， k 。 任意 0 < ε < N ， ψ ∈ S ( ℝ n ) ， | 〈 g j ， k ε ， N 〉 | ≤ C 2 ( k + 1 ) / 2 ( ∫ T j ， k | F ( t ， y ) | 2 ω − 1 ( t ， y ) d t d y t 1 − γ 2 ) 1 / 2 ( ∫ 3 I j ， k * ∫ 3 I j ， k * | ψ ( x ) − ϕ ( y ) | 2 | x − y | n + γ 2 d t d y ) 1 / 2 ≤ C 2 ( k + 1 ) / 2 ( l ( 3 I j ， k * ) ) n − γ 1 2 ( ∫ T j ， k | F ( t ， y ) | 2 ω − 1 ( t ， y ) d t d y t 1 − γ 2 ) 1 / 2 ‖ ψ ‖ Q γ 1 ， γ 2 ( ℝ n ) ≤ C ‖ f ‖ H H − γ 1 ， γ 2 1 ‖ ψ ‖ Q γ 1 ， γ 2 ( ℝ n ) 所以 g = f ， lim ε → 0 ， N → ∞ ∑ j ， k g ε ， N = ∑ j ， k g j ， k = g 。 另外， ∑ j ， k ∫ ℝ + n + 1 1 S ε ， N ∩ ​ T j ， k F ( t ， y ) ϕ t ∗ ψ ( y ) d t d y t ∫ S ε ， N F ( t ， y ) ϕ t ∗ ψ ( y ) d t d y t = 〈 f ε ， N ， ψ 〉 所以在 S ' ( ℝ n ) 上， ∑ j ， k g j ， k ε ， N = f ε ， N 且 g = f 。这就完成了定理3的证明。 定理4 1) ℝ + n + 1 上的一个非负可测函数 ω ，满足条件 ∫ ℝ n N ω   d Λ n − γ 1 ( ∞ ) ≤ 1 ，若 σ δ ( a ， ω ) = sup | y | ≤ δ ( ∫ ℝ + n + 1 | a ∗ ψ t ( x − y ) − a ∗ ψ t ( x ) | 2 ω − 1 ( t ， x ) d t d x t 1 − γ 2 ) 1 / 2 → 0 成立，则称 a 是一个 H H − γ 1 ， γ 2 1 ( ℝ n ) 原子。 2) H H − γ 1 ， γ 2 1 ( ℝ n ) ∩ C 0 ∞ 在 H H − γ 1 ， γ 2 1 ( ℝ n ) 中是稠密的。 证明 1) 对任意 ε ∈ ( 0 ， 2 ) ， ω 的定义与定理3相同， y ∈ B ( 0 ， δ ) ， x ∈ ℝ n ，可得 a ∗ ϕ t ( x − y ) − a ∗ ϕ t ( x ) = 〈 a ， ϕ t x − y − ϕ t x 〉 ，且 | ( ϕ t x − y ^ − ϕ t x ^ ) ( ξ ) | = | 1 − e 2 π i y ⋅ ξ | | ϕ t ^ ( ξ ) | ≤ C min 〈 2 ， δ | ξ | 〉 | ϕ t ^ ( ξ ) | (1) 另外， sup | y | < δ ( ∫ ℝ + n + 1 | a ∗ ϕ t ( x − y ) − a ∗ ϕ t ( x ) | 2 ω − 1 ( t ， x ) d t d x t 1 − γ 2 ) 1 / 2 ≤ ( ( sup | y | < δ ∫ E I + sup | y | < δ ∫ E I c ∩ ​ S a ， δ ) | a ∗ ϕ t ( x − y ) − a ∗ ϕ t ( x ) | 2 ω − 1 ( t ， x ) d t d x t 1 − γ 2 ) 1 / 2 其中， B I = B ( x I ， 2 d i a m I ) ， E I = ( 0 ， 2 d i a m ( I ) ) × B I 。 由Fourier变换，当 δ → 0 时，第一部分积分可得 sup | y | < δ ∫ E I | a ∗ ϕ t ( x − y ) − a ∗ ϕ t ( x ) | 2 ω − 1 ( t ， x ) d t d x t 1 − γ 2 ≤ C ( l ( I ) ) n − γ 1 sup | y | < δ ∫ 0 ∞ ∫ ℝ n | a ∗ ( ϕ t y − ϕ t ) ( x ) | 2 d t d x t 1 − γ 2 ≤ C ( l ( I ) ) n − γ 1 sup | y | < δ ∫ ℝ n | a ^ ( ξ ) | 2 δ 2 | ξ | 2 | ξ | − γ 2 ∫ 0 ∞ | ψ ^ ( t ) | 2 d t d ξ t 1 − γ 2 → 0 当 x ∉ B I ， t ≤ | x − x I | / 4 时， | y | < d i a m ( I ) < 1 2 | x − x I | ， 因此， | x − y − z | ≥ 3 4 | x − x I | ≥ t 所以， | x − z | ≥ 3 4 | x − x I | > t ，且 a * [ ϕ t ( x − y ) − ϕ t ( x ) ] = 0 。 另外， | a ∗ ϕ t ( x − y ) − a ∗ ϕ t ( x ) | ≤ C ‖ a ‖ L ˙ − n 2 − γ 2 − γ 1 2 − 1 2 ( ℝ n ) ‖ ϕ t x − y − ϕ t x ‖ L ˙ n 2 + γ 2 − γ 1 2 + 1 2 ( ℝ n ) ≤ C d i a m ( I ) ( ∫ ℝ n | ϕ t ^ ( ξ ) | 2 | ξ | n + γ 2 − γ 1 + 4 d ξ ) 1 / 2 ≤ C d i a m ( I ) δ t − ( n + γ 2 − γ 1 2 + 2 ) 由上式和 ω − 1 ≲ t n − γ 1 + ε 可得，当 δ → 0 时 ∫ E I c ∩ ​ S a ， δ | a ∗ ϕ t ( x − y ) − a ∗ ϕ t ( x ) | 2 ω − 1 ( t ， x ) d t d x t 1 − γ 2 ≤ C δ 2 ( l ( I ) ) 2 − ε ∫ E I c ∩ ​ S a ， δ t − n − 5 + ε d t d x ≤ C δ 2 ( l ( I ) ) 2 − ε ∫ l ( I ) ∞ λ ε − 5 d λ → 0 所以，当 δ → 0 时， σ δ ( a ， ω ) → 0 。 2) 任取 η ∈ C ∞ ( R n ) ，支集在球 B ( 0 ， 1 ) 上，且满足 ∫ ​ η = 1 。可知在 S ′ ( ℝ n ) 中，当 j → ∞ 时， a ∗ η j → a 。对 ℝ + n + 1 上的任意非负可测函数 ω ，其满足条件 ∫ ( ℝ n ) N ω   dΛ n − γ 1 ( ∞ ) ≤ 1 ，可得 ( ∫ ℝ + n + 1 | a ∗ η j ∗ ϕ t ( x ) − a ∗ ϕ t ( x ) | 2 ω − 1 ( t ， x ) d t d x t 1 − γ 2 ) 1 / 2 ≤ C ∫ ℝ n | η j ( y ) | ( ∫ ℝ + n + 1 | a ∗ ϕ t ( x − y ) − a ∗ ϕ t ( x ) | 2 ω − 1 ( t ， x ) d t d x t 1 − γ 2 ) 1 / 2 ≤ C σ 1 j ( a ， ω ) 由1)可知当 j 足够大时，对任意 ε > 0 ，存在一个 ω ，使得 σ 1 j ( a ， ω ) < ε 。 取下确界可得 ‖ a ∗ η j − a ‖ H H − γ 1 ， γ 2 ( ℝ n ) < ε ，也就是在 H H − γ 1 ， γ 2 ( ℝ n ) 中， a * η j → a 。 因此，对任意 f ∈ H H − γ 1 ， γ 2 ( ℝ n ) ，可以用原子的有限和来近似。这就完成了定理4的证明。 定理5 将算子 π ψ 定义为 π ψ ( F ) = ∫ 0 ∞ F ( t ， ⋅ ) ∗ ψ t d t t (2) 1) 算子 π ψ 是从 T γ 1 ， γ 2 ∞ 到 Q γ 1 γ 2 的有界且满射算子。更确切地，若 F ∈ T γ 1 ， γ 2 ∞ ，则(2)式右边积分收敛于一个函数 f ∈ Q γ 1 γ 2 ( ℝ n ) 且 ‖ f ‖ Q γ 1 γ 2 ≲ ‖ F ‖ T γ 1 ， γ 2 ∞ ，任意 f 都可以这样表示。 2) 算子 π ψ 最初定义为一个函数 F ∈ T γ 1 ， γ 2 1 ，从 T γ 1 ， γ 2 1 到 H H γ 1 ， γ 2 1 延拓为一个有界且满射算子。 F 在 ℝ + n + 1 上具有紧支集。 证明 1) 令 f = π ψ ( F ) ，定义 D f ， γ 1 ， γ 2 ( I ) = [ l ( I ) ] γ 1 − n ∫ | y | < l ( I ) ∫ I | f ( x + y ) − f ( y ) | 2 d x d y | y | n + γ 2 下证 sup D I f ， γ 1 ， γ 2 ( I ) < ∞ 。 令 f y = x → f ( x + y ) ，可得 f y − f = ∫ 0 ∞ [ ( F ( t ， ⋅ ) ∗ ψ t ) y − ( F ( t ， ⋅ ) ∗ ψ t ) ] d t t 在 S ′ ( ℝ n ) 上成立。 取方体 I ， y ∈ B ( 0 ， l ( I ) ) ，对 g ∈ C ∞ 0 ( I ) ，可得 | 〈 f y − f ， g 〉 | ≤ ∫ 0 | y | ∫ ℝ n | F ( t ， x ) | | ψ t ∗ ( g − y − g ) ( x ) | d t d x t = ∫ | y | l ( I ) ∫ ℝ n | ( F ( t ， ⋅ ) ∗ ψ t ) ( x + y ) − ( F ( t ， ⋅ ) * ψ t ) ( x ) | | g ( x ) | d t d x t     + ∫ l ( I ) ∞ ∫ ℝ n | F ( t ， x ) | | ψ t ( g − y − g ) ( x ) | d t d x t : = A 1 ( g ， y ) + A 2 ( g ， y ) + A 3 ( g ， y ) 所以，对于 A 1 ，若 | y | < l ( I ) A 1 ( g ， y ) = ∫ 0 | y | ∫ 5 I | F ( t ， x ) | | ψ t ∗ ( g − y − g ) ( x ) | d t d x t ≤ ‖ ψ ‖ L 1 ( ℝ n ) ‖ g ‖ L 2 ( I ) ∫ 0 | y | ( ∫ J | F ( t ， x ) | 2 d x ) 1 / 2 d t t 对于 A 2 ，若 | y | < t ，由变量替换可得 | ( F ( t ， ⋅ ) ∗ ψ t ) ( x + y ) − ( F ( t ， ⋅ ) ∗ ψ t ) ( x ) | ≤ ∫ ℝ n | ψ t ( y + z ) − ψ t ( z ) | | F ( t ， x − t z ) | d z ≤ t − 1 | y | sup | ξ | ≤ 1 | ∇ ψ ( ξ ) | ∫ | z | ≤ 2 | F ( t ， x − t z ) | d z ≤ C ψ t − 1 | y | ∫ | z | ≤ 2 | F ( t ， x − t z ) | d z 其中， C ψ = sup | ∇ ψ | < ∞ 。 由Fubinis定理可得 A 2 ( g ， y ) ≤ C ψ | y | ∫ | y | l ( I ) ∫ | z | ≤ 2 ∫ I | F ( t ， x − t z ) | | g ( x ) | d x d z d t t 2 ≤ C C ψ | g | L 2 ( ℝ n ) | y | ∫ | y | l ( I ) ∫ | z | ≤ 2 ( ∫ I | F ( t ， x − t z ) | 2 d x ) 1 / 2 d z d t t 2 = C C ψ | g | L 2 ( ℝ n ) | y | ∫ | y | l ( I ) ( ∫ I | F ( t ， x − t z t ) | 2 d x ) 1 / 2 d t t 2 其中 | z t | ≤ 2 ， C = V o l ( B ( 0 ， 2 ) ) 。 对于 A 3 ，令 G y ( t ， x ) = ψ t ∗ ( g − y − g ) ( x ) 1 ( t ， x ) : t ≥ | y | ，根据( [ 4 ]， Theorem5.4) A 3 = ∫ ℝ + n + 1 | F ( t ， x ) G y ( t ， x ) | d t d x t ≤ ‖ F ‖ T γ 1 ， γ 2 ∞ ‖ G y ‖ T γ 1 ， γ 2 1 下证 G y ∈ T γ 1 ， γ 2 1 ，参见( [ 9 ] Lemma3.17)。 对任意 ε ∈ ( 0 ， 2 ) ，令 ω ( t ， x ) = κ ( l ( I ) ) − n + γ 1 min { 1 ， ( l ( I ) ( x − x I ) 2 + t 2 ) n − γ 1 + ε } 其中 0 < γ 1 < ε < 2 ， κ 是常数。 若 S y : = sup p ( G y ) ，则 ω − 1 ( x ) ≈ l ( I ) − ε t n − γ 1 + ε 。 由此可得， ∫ ℝ + n + 1 | G y ( t ， x ) | 2 ω − 1 ( t ， x ) d x d t t 1 − γ 2 = ∫ l ( I ) ∞ ∫ S y | ψ t ∗ ( g − y − g ) ( x ) | 2 ω − 1 ( t ， x ) d x d t t 1 − γ 2 ≤ l ( I ) − ε ∫ l ( I ) ∞ ∫ ℝ n | ψ t ∗ ( g − y − g ) ( x ) | 2 d x t n − γ 1 + ε d t t 1 − γ 2 ≤ l ( I ) n − ε ‖ g ‖ L 2 ( ℝ n ) 2 ∫ ℝ n | 1 − e 2 π i y ⋅ ξ | 2 | ξ | n − γ 1 + γ 2 + ε d ξ ∫ 0 ∞ | ψ ( t ) ^ | 2 t n − γ 1 + γ 2 + ε d t t ≤ C ψ l ( I ) n − ε ‖ g ‖ L 2 ( ℝ n ) 2 | y | − γ 1 + γ 2 + ε 所以 ‖ G y ‖ T γ 1 ， γ 2 1 ≤ ‖ g ‖ L 2 ( I ) l ( I ) n − ε | y | − γ 1 + γ 2 + ε ，则 ‖ f y − f ‖ L 2 ( I ) ≤ sup g ∈ C 0 ∞ ( I ) ， | | g | | 2 ≤ 1 | 〈 f y − f ， g 〉 | ≤ ∫ 0 | y | ( | F ( t ， x ) | 2 d x ) 1 / 2 d t t + | y | ∫ | y | l ( I ) ( ∫ I | F ( t ， x − t z t ) | 2 d x ) 1 / 2 d t t 2 + | F | T γ 1 ， γ 2 ∞ l ( I ) ( n − ε ) / 2 | y | − γ 1 + γ 2 + ε 2 由Hardy不等式可得 ∫ | y | < l ( I ) ∫ I | f ( x + y ) − f ( x ) | 2 d x d y | y | n + γ 2 ≤ ∫ 0 l ( I ) ∫ 5 I | F ( t ， x ) | 2 t − 1 − γ 2 d x d t + ∫ 0 ∞ ∫ I | F ( t ， x − t z t ) | 2 t − 1 − γ 2 d t d x + ‖ F ‖ T γ 1 ， γ 2 ∞ 2 l ( I ) n − ε l ( I ) ε − γ 1 ≤ l ( I ) n − γ 1 ‖ F ‖ T γ 1 ， γ 2 ∞ 2 所以对每一 t ≤ l ( I ) ， | z t | ≤ 2 说明 I − t z t ⊂ 5 I ，则 sup I D f ， γ 1 ， γ 2 ( I ) ≤ ‖ F ‖ T γ 1 ， γ 2 ∞ 2 < ∞ ，即 f ∈ Q γ 1 γ 2 ( ℝ n ) ， ‖ f ‖ Q γ 1 γ 2 ( ℝ n ) ≤ ‖ F ‖ T γ 1 ， γ 2 ∞ 2 。 2) 设 a ( x ， t ) 支于 T ( B ) ，任意 ε > 0 ，令 π ψ ε ( a ) = ∫ 0 ∞ a ( t ， ⋅ ) ∗ ψ t ( x ) d x d t t . T ε ( B ) 为 T ( B ) ∩ { ( t ， x ) : t > ε } 。 由Cauchy-Schwarz不等式和( [ 9 ] Lemma3.18)可得，对任意 ϕ ∈ S ( ℝ n ) | 〈 π ψ ε ( a ) ， ϕ 〉 | ≤ ( ∫ T ε ( B ) | a ( t ， x ) | 2 d x d t t − γ 2 ) 1 / 2 ( ∫ T ε ( B ) | ϕ * ψ t ( x ) | 2 d x d t t 1 − γ 2 ) 1 / 2 ≤ ( l ( B ˜ ) γ 1 − n ∫ B ˜ ∫ B ˜ | ϕ ( x ) − ϕ ( y ) | 2 t n + γ 2 d x d y ) 1 / 2 其中 B ˜ 是球 B 的固定扩张。 因此， ‖ ϕ ‖ Q γ 1 γ 2 ( ℝ n ) ≤ ‖ ϕ ‖ L ˙ n ∕ 2 2 ( ℝ n ) 。 另外，对 0 < ε 1 < ε 2 ，有 | 〈 π ψ ε 1 ( a ) − π ψ ε 2 ( a ) ， ϕ 〉 | ≤ ( ∫ T ε 1 ( B ) \ T ε 2 ( B ) | a ( t ， x ) | 2 d x d t t 1 − γ 2 ) 1 / 2 ‖ ϕ ‖ L ˙ n ∕ 2 2 ( ℝ n ) 因此 π ψ ( a ) = lim ε → 0 π ψ ε ( a ) 在 L ˙ n / 2 2 ( ℝ n ) 上成立。 这一分布支于 B ˜ 且 ψ 满足条件( [ 9 ] Definition3.13)中相同条件，所以 π ψ ( a ) 是一个 H H γ 1 ， γ 2 1 ( ℝ n ) 原子。 由( [ 9 ] Theorem3.9(ii))知在 T γ 1 ， γ 2 1 中函数 F = ∑ j λ j a j 和测试函数 ϕ ∈ S ′ ( ℝ n ) ，可得 ∫ ℝ n ( F ( t ， ⋅ ) ∗ ψ t ) ( x ) ϕ ( x ) d x d t t = ∑ j λ j 〈 π ψ a j ， ϕ 〉 = 〈 ∑ j λ j π ψ a j ， ϕ 〉 因此 ρ ψ ( ϕ ) ( t ， x ) = ( ψ t ∗ ϕ ) ( x ) 为 T γ 1 ， γ 2 ∞ 中的函数。 所以 π ψ ( F ) = ∑ j π ψ a j ∈ S ′ ( ℝ n ) 且 ‖ π ψ ( F ) ‖ H H γ 1 ， γ 2 − 1 ( ℝ n ) ≤ inf ∑ j | λ j | ≈ ‖ F ‖ T γ 1 ， γ 2 1 。 这就完成了定理5的证明。