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user: 3. 控制图下的谐振抑制 控制图作为一种带有控制界限的图，在实际生产中常用分析和判断生产进程是否处于受控状态 [ 12 ]。控制图在设计过程中主要需确定两个量：控制上限 U C L 和控制下限 L C L 。确定出这两个量，就可以根据实际问题具体分析，利用各时刻观测到的数据进行监控 [ 13 ]，构造统计量T，当统计量T的取值在控制上限 U C L 和控制下限 L C L 之间时系统处于控制状态 [ 14 ]。 在现有的文献中，大部分都是在谐振点固定不变的情况下研究谐振抑制问题的。然而，在实际应用中，谐振点会出现随机扰动，对于随机扰动的谐振点，本节提出一种基于控制图谐振抑制的方法：确定控制图的控制限，使随机扰动的谐振峰值处于控制状态 [ 15 ] [ 16 ]，设计一个陷波滤波器对随机扰动的谐振点进行抑制。 3.1. 控制限的确定 由式(6)可知，二质量系统在任意点处的幅值为： H ( ω ) = | G r ( j ω ) | = ( j ω ) 2 + 2 p ξ r ω n ( j ω ) + p ω n 2 ( j ω ) 2 + 2 ξ r ω n ( j ω ) + ω n 2 (7) 本文考虑惯量比 R = J l J m 、谐振反谐振比系数 p 、传动部分的粘滞阻尼系数 K W 和传动刚度 K s 都保持 不变，只考虑谐振点在由二质量系统参数已知时计算出的谐振频率 ω n 的 ε 邻域范围内随机扰动，其中 ε ∼ N ( 0 ， σ 2 ) 。于是根据控制图原理，可将二质量系统在计算出的谐振频率 ω n 的 ε 邻域范围内的最大幅值的数学期望作为控制上限 U C L ，最小幅值的数学期望作为控制下限 L C L 。 在实际中，由于 U C L 和 L C L 的确定与随机扰动项 ε 有关，且 ε 是未知的，于是可以利用正态分布的 3 σ 原则， 3 σ 原则的原理是运用概率统计知识，根据随机变量的正态分布规律，在多次试验中，测量值落在区间 ( X − 3 σ ， X + 3 σ ) 的概率为99.73%，落到 ( X − 3 σ ， X + 3 σ ) 范围之外的概率仅有0.27% [ 17 ]。于是根据正态分布 3 σ 原则，可以保证在控制状态内同一个陷波滤波器抑制随机扰动的谐振点成功的概率为99.73%。 在 [ − 3 σ ， 3 σ ] 区间内生成n个随机数，将这些数作为 ε 的取值，则随机扰动的谐振频率记为 ω = ω n + ε ，代入(7)式中可以得到n个幅值，筛选出其中的最大值和最小值，重复进行m次试验，将得到m个最大值和m个最小值，再将得到的最大值和最小值取数学期望，得到的数学期望值作为最终的控制图的控制上限和控制下限，即 U C L = E { [ H ( ω ) ] max } (8) L C L = E { [ H ( ω ) ] min } (9) 确定出了控制上限和控制下限，就可以针对随机扰动谐振点进行谐振抑制。 3.2. 最优谐振抑制 陷波滤波器作为一种带阻滤波器，目前是应用最为广泛的抑制谐振的方法。本文考虑谐振点随机扰动下结合控制图原理利用陷波滤波器进行谐振抑制。要保证二质量系统的谐振点在其 ε 邻域范围内随机扰动时的幅值均降到阈值以下，只需要将谐振点在 ε 邻域范围内的最大幅值降到阈值以下，从而使其 ε 邻域范围内的所有幅值都能够降到阈值以下。 3.2.1. 陷波滤波器原理 典型的陷波滤波器的传递函数为： G N ( s ) = s 2 + 2 π ξ k s + ω 0 2 s 2 + 2 π k s + ω 0 2 (10) 其中， ω 0 是陷波滤波器的陷波中心频率， ξ 是陷波滤波器的深度参数， k 是陷波滤波器的宽度参数。图2是陷波滤波器的Bode图。 图2. 陷波滤波器的Bode图 将陷波滤波器与二质量系统级联 [ 18 ] [ 19 ]，并根据确定出的谐振频率对陷波滤波器的参数进行调节，可以达到抑制谐振的目的。级联陷波器的传递函数为： G 0 ( s ) = G r ( s ) G N ( s ) (11) 根据3.1节，当谐振点在由二质量系统参数已知时计算出的谐振频率的 ε 邻域范围内随机扰动时，将 ε 邻域范围内的最大幅值的数学期望控制在阈值以下，就可以达到对随机扰动的谐振点进行有效抑制的目的。 3.2.2. 陷波滤波器的参数确定 利用陷波滤波器进行谐振抑制需要确定如下参数：陷波滤波器的中心频率 ω 0 、宽度参数k以及深度参数 ξ ，其中中心频率 ω 0 就等于谐振频率。利用(7)式可以确定出最大幅值对应的频率 ω ′ ，即 H ( ω ′ ) = U C L ，则 ω 0 = ω ′ 。本节将重点分析陷波滤波器的宽度参数k和深度参数 ξ 对机械谐振的影响以及参数确定方法 [ 20 ]。 对式(10)选用不同的深度参数和宽度参数 [ 21 ]，陷波器的幅频特性曲线如图3、图4所示。 图3. 不同深度下陷波器的幅频特性曲线 图4. 不同宽度下陷波器的幅频特性曲线 由图3可知，当宽度参数固定时，深度参数逐渐增大，幅频特性曲线的凹口的范围逐渐减小，陷波中心频率处的幅值衰减逐渐增大；由图4可知，当深度参数固定时，宽度参数逐渐增大，幅频特性曲线的凹口的范围也逐渐增大，陷波中心频率处的幅值衰减逐渐增大。因此，如果深度参数和宽度参数选取过大，会导致系统不稳定。在设计陷波滤波器时应选择适当的宽度和深度参数，保证在抑制谐振的同时还能维持系统的稳定性。 设定一个阈值 H t h ，当中心频率 ω 0 处的幅值在阈值 H t h 以下时认为不发生谐振。如图5所示，二质量系统的幅频特性曲线与阈值 H t h 有两个交点，交点横坐标记为 ω 1 和 ω 2 。利用陷波滤波器对二质量系统进行谐振抑制，使其幅值衰减到阈值 H t h 以下，即需要使得级联陷波器在频率 ω 1 和 ω 2 之间所有的频率点以及中心频率 ω 0 处的幅值全都低于阈值 H t h 。 图5. 给定参考阈值下二质量系统的伯德图 由(11)式，级联陷波器的传递函数为： G o ( s ) = G r ( s ) G N ( s ) = s 2 + 2 p ξ r ω n s + p ω n 2 s 2 + 2 ξ r ω n s + ω n 2 ⋅ s 2 + 2 π ξ k s + ω 0 2 s 2 + 2 π k s + ω 0 2 (12) 令 s = j ω ，则级联陷波器在任一频率点处的幅值为： H 0 ( ω ) = | G 0 ( j ω ) | = ( j ω ) 2 + 2 p ξ r ω n ( j ω ) + p ω n 2 ( j ω ) 2 + 2 ξ r ω n ( j ω ) + ω n 2 ⋅ ( j ω ) 2 + 2 π ξ k ( j ω ) + ω 0 2 ( j ω ) 2 + 2 π k ( j ω ) + ω 0 2 (13) 由(10)式可以算出级联陷波器在中心频率 ω 0 处的幅值 H max ，可得到一个不等式组： { H max ≤ H t h H 0 ( ω i ) ω i ∈ [ ω 1 ， ω 2 ] ≤ H t h (14) 解不等式组(14)，可以得到关于陷波的宽度k和陷波的深度 ξ 的不等式。 要达到最优谐振抑制的目的，考虑一个新的指标——相角损失 [ 22 ]，使其达到最小，则此时就会得到陷波滤波器的最优参数。加入的陷波滤波器引起系统剪切频率 ω c [ 23 ] 处的相角损失为： ϕ = arctan 2 π ( ξ − 1 ) k ω c ( ω 0 2 − ω c 2 ) 4 π 2 ξ k ω c 2 + ( ω 0 2 − ω c 2 ) 2 (15) 将不等式组(14)作为约束条件，式(15)作为目标函数，利用最优化方法可以确定出陷波滤波器的最优参数。确定出陷波滤波器的参数后，就可以对计算求解出的谐振频率点进行谐振抑制，这样可以保证谐振点在其 ε 邻域范围内随机扰动时，即幅值在控制图的上限和下限之间时该陷波滤波器都可以进行谐振抑制。