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user: 2. 质点几何 2.1. 基础知识 在物理学中，当某物体不考虑其形状、大小等因素时，将它看成具有质量的点，称为质点。质点几何中“质点”与欧式几何中“点”不同。质点不仅表示空间中的一个位置而且具有一个质量。如果质点 α 所在的空间位置为P点，其质量为m时，通常将质点 α 记为 α = m P 。特别地，当 m = 1 时，称为单位质点，记为1P，一般简记成P。下面几个本文用到的质点几何的定义和定理。 定义1：设质点集 G = { m P | m ∈ R ， P ∈ V } ，实数域R，欧式空间V。在G上定义了加法运算+： G × G → G 和数乘运算 ⋅ ： R × G → G ，并且对G中任意的 α ， β ， γ ，任意的实数 k 1 和 k 2 ，满足如下的运算律： 1) α + β = β + α 2) ( α + β ) + γ = α + ( β + γ ) 3) α + 0 = α 4) α + ( − α ) = 0 5) 1 α = α 6) ( k 1 + k 2 ) α = k 1 α + k 2 α 7) k 1 ( α + β ) = k 1 α + k 1 β 8) k 1 ( k 2 α ) = ( k 1 k 2 ) α 称 ( G ， + ， ⋅ ) 为质点空间。 定义2：质点减法运算定义： α − β = α + ( − β ) 。 定义3：如果有不全为0的实数 k ， 1 k 2 ， ⋯ ， k n ，使 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k n α n = 0 ，则质点 α ， 1 α 2 ， ⋯ ， α n 是线性相关的。如果只有当 k = 1 k 2 = ⋯ = k n = 0 时才成立，则质点 α ， 1 α 2 ， ⋯ ， α n 是线性无关的。 公理1：对质点空间 ( G ， + ， ⋅ ) 任意四个质点 α 1 ， α 2 ， α 3 ， α 4 ，恒有四个不全为0的实数 k 1 ， k 2 ， k 3 ， k 4 ，使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 + k 4 α 4 ≠ 0 。 公理2：对质点空间 ( G ， + ， ⋅ ) 任意五个质点 α 1 ， α 2 ， α 3 ， α 4 ， α 5 ，恒有五个不全为0的实数 k 1 ， k 2 ， k 3 ， k 4 ， k 5 ，使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 + k 4 α 4 + k 5 α 5 = 0 。 下文将由公理1和公理2对定义的质点空间 ( G ， + ， ⋅ ) 称为一个质点平面。易知，质点平面上的任意一质点都可由平面上的三个线性无关的质点线性表示。可将质点平面上任意三个线性无关的质点看成是该平面的一组基点。欧式几何中的几何性质与质点几何中的质点关系式有一一对应关系(表1)。 Table 1 Correspondence between properties of Euclidean geometric objects and relational expressions of particle 欧式几何性质 质点关系式 点P在平面ABC上 ⇔ P = k 1 A + k 2 B + ( 1 − k 1 − k 2 ) C 点P在直线AB上 ⇔ P = k A + ( 1 − k ) B A，B，C三点共线 ⇔ k 1 A + k 2 B + ( 1 − k 1 − k 2 ) C = 0 直线AB平行直线CD ⇔ A − B = k ( C − D ) AB与CD相交于点P ⇔ k 1 A + ( k − k 1 ) B = k 2 C + ( k − k 2 ) D = k P P是线段AB定比分点 ⇔ P = 1 / ( 1 + k ) A + k / ( 1 + k ) B 表1. 质点关系式与欧式几何性质之间的对应关系 定义4：设G是质点空间，R是实数域。在其上定义二次容积运算d： G × G → R ，并满足如下条件：对所有的 α ， β ， γ ∈ G ， k 1 ， k 2 ∈ R ， 1) d ( α ， β ) = − d ( β ， α ) 2) d ( α ， α ) = 0 3) d ( k 1 α ， k 2 β ) = ( k 1 k 2 ) d ( α ， β ) 4) d ( α ， β + γ ) = d ( α ， β ) + d ( α ， γ ) 5) d ( α + β ， γ ) = d ( α ， γ ) + d ( β ， γ ) 定理1：两质点 α ， β 的二次容积计算决定唯一的 d ( α ， β ) 。 定义5：设G是质点空间，R是实数域。在其上定义三次容积运算s： G × G × G → R ，并满足如下条件：对所有的 α ， β ， γ ， λ ∈ G ， k 1 ， k 2 ， k 3 ∈ R ， 1) s ( α ， β ， γ ) = s ( β ， γ ， α ) = s ( γ ， α ， β ) = − s ( α ， γ ， β ) = − s ( β ， α ， γ ) = − s ( γ ， β ， α ) 2) s ( α ， β ， α ) = s ( β ， α ， α ) = s ( α ， α ， β ) = 0 3) s ( k 1 α ， k 2 β ， k 3 γ ) = ( k 1 k 2 k 3 ) s ( α ， β ， γ ) 4) s ( α + λ ， β ， γ ) = s ( α ， β ， γ ) + s ( λ ， β ， γ ) 5) s ( α ， β + λ ， γ ) = s ( α ， β ， γ ) + s ( α ， λ ， γ ) 6) s ( α ， β ， γ + λ ) = s ( α ， β ， γ ) + s ( α ， β ， λ ) 从定义可见，质点几何中的二次容积和三次容积这两个质点几何量，分别与欧式几何中线段的长度比和三角形的面积比这两个欧式几何量相类似。二次容积比和三次容积比分别与线段的长度比和三角形的面积比具有一一对应关系(表2)。 Table 2 Correspondence between ratios of Euclidean geometric quantities and ratios of particle volum 欧式几何量比 质点容积比 AB/CD ⇔ d ( A ， B ) / ( C ， D ) S Δ A B C / S Δ D E F ⇔ s ( A ， B ， C ) / s ( D ， E ， F ) 表2. 质点容积比与欧式几何量比之间的对应关系 2.2. 构造型质点几何命题 将几何定理中的已知条件可以用一系列的构图语句序列表述，结论可以用质点表达式来表述的几何命题，称为构造型质点几何命题。 几何命题中至少会涉及一组基点，因此将表述基点的构图语句 BasePoints ( A ， B ， C ) 作为构图语句序列的第一条。构图序列中其余构图语句依据几何命题的已知条件依次表述其它新点，直到该命题中的全部点均表述出来为止。常用的质点几何图形的构图语句主要有： 1) BasePoints ( A ， B ， C ) ：在平面上任取不共线的三点A，B，C。 2) FreePoint ( P ) ：在平面上任作一点P。 3) PointOnline ( P ， A ， B ) ：在直线AB上任取一点P。 4) Midpoint ( P ， A ， B ) ：作线段AB的中点P。 5) DPDP ( P ， A ， B ， k ) ：作线段AB的定比分点P，使得 A P → : P B → = k 。 6) Translation ( P ， A ， B ， C ) ：将点 A 按向量 B C → 平移到点P。 7) Intersection ( P ， A ， B ， C ， D ) ：作两直线AB和 C D 的交点P。 构造型质点几何命题的结论通常是一个能用质点表达式表述的几何性质。例如，证P是AB的中点、A，B，C三点共线等。构图语句序列的结论语句一般分为三种形式：一是检验函数的形式，如 ifcolinear ( A ， B ， C ) ：检验A，B，C是否共线。二是线性质点关系式的形式，如 A = x B + ( 1 − x ) C ：表示A，B，C三点共线。若其中的x值存在，则证明成功，否则证明失败。三是容积型质点表达式的形式，如 s ( A ， B ， C ) ：表示A，B，C的三次容积计算。若三次容积为0，则三点共线，否则三点不共线。 例1：如图1所示，A、B、C、D是平面上的4个点，E是AB和CD的交点， 是AC和BD的交点，P、Q、R分别是AD、BC、EF的中点。求证：P、Q、R三点共线。 图1. 例1 这是一个典型的构造型质点几何命题，命题的前提可用如下的构图语句序列描述： BasePoints ( A ， B ， C ) F r e e P o i n t (D) I n t e r s e c t i o n ( E ， A ， B ， C ， D ) I n t e r s e c t i o n ( F ， A ， C ， B ， D ) M i d p o i n t ( P ， A ， D ) M i d p o i n t ( Q ， B ， C ) M i d p o i n t ( R ， E ， F ) 而命题的结论语句可分为三种表述形式：1) 检验函数： i f c o l i n e a r ( P ， Q ， R ) 。2) 线性质点关系式： P − x Q − ( 1 − x ) R 。3) 容积型质点表达式： s ( P ， Q ， R ) 。