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user: 2. 模型构建 2.1. 模型介绍 2.1.1. 自回归移动平均模型 自回归移动平均(ARMA)模型是一类比较常用的时间序列模型，由伯克斯(Box)和詹金斯(Jenkins)创立，由于其应用方便、分析结果预测准确的特性，提出以来广泛应用于社会科学和自然科学的各个领域。其基本思想是：依据时间序列本身的变化规律建立相应的数学模型来近似描述 [ 2 ] 。 自回归(AR)模型反应的是解释变量当期值与其滞后值之间的关系，一个p阶自回归模型AR(p)可以表示为： Y t = ϕ 1 Y t − 1 + ϕ 2 Y t − 2 + ⋯ + ϕ p Y t − p + u t 移动平均(MA)模型反应的是解释变量当期值与其预测误差滞后值之间的关系，一个q阶移动平均模型MA(q)可以表示为： Y t = u t + θ 1 u t − 1 + θ 2 u t − 2 + ⋯ + θ q u t − q 自回归移动平均(ARMA)模型包括自回归和移动平均两个部分，ARMA(p，q)表示为： Y t = ϕ 1 Y t − 1 + ϕ 2 Y t − 2 + ⋯ + ϕ p Y t − p + u t + θ 1 u t − 1 + θ 2 u t − 2 + ⋯ + θ q u t − q 2.1.2. ARCH族模型 本文采用ARCH族模型的分析方法，考察碳排放权价格收益率波动情况。自回归条件异方差(ARCH)模型是特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的。ARCH模型是1982年由恩格尔(Engle， R.)提出，其主要思想是时刻t的 u t 的方差( = σ t 2 )依赖于时刻(t − 1)的残差平方的大小，即依赖于 u t − 1 2 。ARCH(p)模型定义如下： y t = ∑ i = 1 n β i x i t + u t σ t 2 = α 0 + α 1 u t − 1 2 + α 2 u t − 2 2 + ⋯ + α p u t − p 2 其中 α i ≥ 0 ( i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， p ) ， ∑ i = 1 p α i < 1 。 ARCH模型可以解决时间序列中的异方差，但在实际应用中常出现 u t 依赖于很多时刻之前的变化量，即拟合模型需要高阶的ARCH，而这很难精确做到。考虑到ARCH模型中的方差方程是 σ t 2 的一个分布滞后模型，就可以用一个或多个 σ t 2 的滞后值代替许多 u t 2 的滞后值，Bollerslev (1986)提出广义自回归条件异方差模型，即GARCH模型。GARCH(p，q)模型定义如下： y t = ∑ i = 1 n β i x i t + u t σ t 2 = ω + ∑ j = 1 q β j u t − j 2 + ∑ i = 1 p α i u t − i 2 其中 ω > 0 ， β j ≥ 0 ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， q ) ， α i ≥ 0 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， p ) ， ∑ j = 1 q β j + ∑ i = 1 p α i < 1 。 2.2. 参数回归 2.2.1. 数据平稳化处理 本文选取深圳碳市场SZA-2013、SZA-2014、SZA-2015、SZA-2016成交价格为研究对象，选择2015年4月2日至2017年4月19日四种产品每日成交均价的均值，其中有31个交易日成交量为零，故剔除31个数据，共得到470个有效数据。P表示成交均价，LP表示成交均价的对数，DLP表示碳排放权价格收益率，本文所有原始数据(由于篇幅限制没有在本文中一并给出，如有需要可以与作者联系)来自深圳排放权交易所。 2015年4月2日至2017年4月19日，我国深圳排放权交易所的碳排放权成交均价序列的均值为35.35155，极大值为49.06000，极小值为17.59000，其标准差为6.634856，成交均价序列(P)时序图见图1，相关图和偏相关图见图2。 图1. 成交均价(P)序列 图2. 成交均价(P)相关图、偏相关图 从图1和图2可以看出，P为非平稳序列，对原序列进行对数差分处理，即得到收益率序列。碳排放权价格收益率以相邻两个交易日成交均价的对数一阶差分来计算，其计算公式为：DLP t = LnP t − LnP t−1 ，其中，P t 表示t日的碳排放权成交均价，P t−1 表示t − 1日的碳排放权成交均价。图3为碳排放权价格收益率DLP的时序图，从图3可看出，碳排放权价格收益率呈现明显的波动集群性特征，即碳排放权价格收益率大的波动会倾向于紧接着另一个大的波动，一个小的波动会倾向于紧接着一个小的波动。对DLP做单位根检验，输出结果见图4。ADF = −37.8，表明其为平稳序列。 2.2.2. 特征数求解 对碳排放权价格收益率DLP进行统计分析，得到其特征数(表1)。 2.2.3. 自回归检验 然后通过收益率的相关图和偏相关图(图5)发现，滞后项存在明显的序列相关，因此可以用ARMA(p，q) 模型进行分析。 2.2.4. 自回归修正 实际中对于非季节性的时间序列，ARMA(p，q)过程的最高阶数一般都不会超过2，另外在我国碳排放 图3. 碳排放权价格收益率(DLP)序列 图4. DLP单位根检验 Table 1 Descriptive statistics of DL 均值 中值 最大值 最小值 标准差 偏度 峰度 JB检验 P值 −0.000607 −0.000247 0.575939 −0.597737 0.130176 −0.052068 6.933703 302.6000 0.000000 表1. DLP的特征数 图5. DLP相关图、偏相关图 权属于新兴商品，没有足够经验表明如何对ARMA(p，q)模型的滞后阶数进行取值，故本文分别对p = 0，1，2和q = 0，1，2的ARMA(p，q)模型估计，得到结果整理如表2所示。 ARMA模型估计对参数t检验显著性水平要求并不严格，更多的是考虑模型的整体拟合效果。根据AIC准则和SC准则，AIC和SC的值都越小越好，因此综合可决系数、AIC和SC准则，本文认为ARMA(02，1)模型是较优选择 [ 3 ] 。说明碳排放权交易价格收益率与其二阶滞后变量有一定的相关性，且存在较为明显的一阶移动平均过程，这说明碳排放权收益率存在一定的时滞性。 Eviews8.0输出结果为图6。 故该ARMA(02，1)过程可以表示为： D L P t = 0.065 D L P t − 2 − 0.732 u t − 1 + u t ，         R 2 = 0.354064 2.2.5. 条件异方差检验和修正 根据以上分析，碳排放权价格收益率呈现明显的波动集群性特征，故本文在ARMA(02，1)的基础上进行自回归条件异方差分析 [ 4 ] 。对回归结果的残差项进行ARCH-LM检验，发现存在高阶的ARCH效应，因此本文构建GARCH(1，2)模型，该模型可表示为： D L P t = ε D L P t − 2 + η u t − 1 + u t σ t 2 = ω + α 1 u t − 1 2 + α 2 u t − 2 2 + β σ t − 1 2 具体输出结果如图7。 具体估计结果如下公式： 均值方程为： Table 2 Estimation results in model ARMA(p，q ARMA(1，0) ARMA(1，1) ARMA(1，2) ARMA(2，0) ARMA(2，1) ARMA(2，2) ARMA(1，02) ARMA(02，1) AR(1) −0.50874 −0.05557 0.29933 −0.64463 −0.01228 0.57645 −0.73376 t −12.77415 −0.85427 0.45947 −14.45381 −0.14956 1.68284 −18.84584 AR(2) −0.26895 0.05811 0.09442 0.06469 t −6.03118 0.8608 1.4445 1.20387 MA(1) −0.68065 −1.02404 −0.72371 −1.3133 −0.7325 t −14.28484 −1.58035 −10.94085 −3.85247 −19.87107 MA(2) 0.23591 0.39894 −0.48636 t 0.51588 1.58018 −9.71852 AIC −1.53572 −1.66764 −1.66409 −1.60739 −1.66567 −1.66164 −1.66712 −1.66991 SC −1.52686 −1.64991 −1.6375 −1.58963 −1.63903 −1.62612 −1.64939 −1.65216 R-squared 0.25893 0.35328 0.35376 0.31239 0.35409 0.35425 0.35295 0.35406 表2. ARMA(p，q)模型估计结果 注：ARMA(02，1)不同于ARMA(2，1)，因为ARMA(02，1)模型中只包含了收益率的二阶滞后项，并不包含其一阶滞后项。 图6. ARMA(02，1)模型估计结果 D L P t = 0.067 D L P t − 2 − 0.680 u t − 1 + u t 其次，GARCH(1，2)的方程为： σ t 2 = 0.001 + 0.420 u t − 1 2 − 0.296 u t − 2 2 + 0.842 σ t − 1 2               ( 2.61 )         ( 6.74 )               ( − 3.50 )             ( 15.74 ) 进一步考察是否有必要把s t 项加入到均值方程中，即是否有必要建立GARCH-M模型 [ 5 ] ，实证结果如下： D L P t = 0.068 D L P t − 2 − 0.680 u t − 1 + u t − 0.008 σ t 2 ，       R 2 = 0.350134 GARCH(1，2)的方程为: 图7. GARCH(1，2)模型估计结果 σ t 2 = 0.001 + 0.423 u t − 1 2 − 0.298 u t − 2 2 + 0.839 σ t − 1 2 由于整体可决系数下降了，因此本文放弃建立GARCH-M(1，2)模型。 对比图8和图9可以发现，原始序列拟合ARMA(02，1)模型对应的残差平方序列的滞后10期的Q统计量的值是27.572，对应的概率值为0.002，而GARCH(1，2)模型对应的残差平方序列的滞后10期的Q统计量的值是2.1007，相应概率为0.996，说明均值方程在配有GARCH(1，2)模型后，已消除了残差序列中的自回归条件异方差成分。 GARCH(1，2)模型拟合结果表明：碳排放权价格收益率波动会受到误差项二阶滞后和波动的一阶滞后的影响，a值表示市场外部环境因素对收益率的影响，b值表示收益率波动对其自身的影响，b值越大表明收益率波动对其自身的影响越长远，即具有长期记忆性 [ 6 ] 。b = 0.842，说明冲击的84.2%会持续到下期，且影响系数加总求和得到0.966 < 1，说明碳排放权价格收益率序列具有有限方差，而且波动最终会衰减。