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user: 4. 一类带白噪声态的纠缠判断的优化 最简单的一种情况(均分参数)： λ 1 = λ 2 = ⋯ = λ n = 1 n 。 容易计算得到： g { 1 : 23 ⋯ n } = g { 2 : 134 ⋯ n } = ⋯ = g { n : 12 ⋯ n − 1 } = n − 1 n g { k 1 k 2 : k 3 k 4 ⋯ k n } = g { k 1 k 3 : k 2 k 4 ⋯ k n } = ⋯ = g { k n − 1 k n : k 1 k 2 ⋯ k n − 2 } = n − 2 n ⋮ g { 12 ⋯ i ; i + 1 ⋯ n } = g { k 1 k 2 ⋯ k i : k i + 1 k k + 2 ⋯ k n } = n − i n ， 1 ≤ i ≤ ⌊ n 2 ⌋ 若 ∀ i ∈ Z ， 1 ≤ i ≤ ⌊ n 2 ⌋ ， f ( λ 1 ， λ 2 ， ⋯ ， λ n ) i > 0 都有解，则被检测态 ρ 是真纠缠态。若部分有解，说明存 在对应的k-二体纠缠。 针对某一类特殊形式的量子态： ρ = p | ψ w 〉 〈 ψ w | + 1 − p 2 n I d ∈ C 2 ⊗ C 2 ⊗ ⋯ ⊗ C 2 ⊗ C 2 ，其中 | ψ w 〉 = 1 n ( | 10 ⋯ 0 〉 + | 010 ⋯ 0 〉 + ⋯ + | 0 ⋯ 01 〉 ) ，讨论如何选取 { λ 1 ， λ 2 ， ⋯ ， λ n } 这一组参数使得所构造的纠缠目击在何时会比均分参数情况下的纠缠目击判断的纠缠范围更大，这意味着p的取值范围更大。 在均分参数下我们所能判断的相应k-二体纠缠态需满足： p > 2 n ⋅ g k − 1 2 n − 1 (1) 其中 g k 是均值参数下k-二体划分 P k 下的上确界。 在参数不定的情况下我们能判断的纠缠态需满足： p > 2 n ⋅ g ′ k − 1 2 n ⋅ F − 1 (2) 其中 F = F ( | ψ 〉 ， | ψ w 〉 ) = | 〈 ψ | ψ w 〉 | 2 ，是 | ψ 〉 和 | ψ w 〉 的保真度， g ′ k 是参数 λ 1 ， λ 2 ， ⋯ ， λ n 确定下k-二体划分 P k 的上确界。 为使p尽量小以检测到更多纠缠态，我们希望F尽量接近于1，而 g ′ k 尽量小。 F = ( λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n ) 2 n g k = max { ∑ i = 1 k | λ k i | 2 ， 1 − ∑ i = 1 k | λ k i | 2 } ，令 x = ∑ i = 1 k | λ k i | 2 ，则 g k = { x ， 1 − x } ，为使得F尽量大， λ k i 都应为实数。 ( λ k 1 + λ k 2 + ⋯ + λ k n ) 2 = 1 + 2 ∑ k i < k i λ k i λ k i ≤ 1 + ∑ k i < k i ( λ k i 2 + λ k j 2 ) = 1 + 1 2 ∑ k i ≠ k j ( λ k i 2 + λ k j 2 ) = n ， 当且仅当 λ k 1 = λ k 2 = ⋯ = λ k n = n n 取等号，因此在 x = ∑ i = 1 k λ k i 2 的情况下，当 λ k 1 = λ k 2 = ⋯ = λ k k = x k ， λ ( k + 1 ) k + 1 = λ ( k + 2 ) k + 2 = ⋯ = λ n n = 1 − x n − k ，使得F达到最大值。因此p关于x的函数： p ( x ) = { 1 − x − 1 2 n ( 2 k − n ) x + 2 k ( n − k ) x ( 1 − x ) + n − k n − 1 2 n ， 0 < x ≤ 1 2 x − 1 2 n ( 2 k − n ) x + 2 k ( n − k ) x ( 1 − x ) + n − k n − 1 2 n ， 1 2 ≤ x < 1 经分析得该分段函数在 x = 1 2 处取得最小值。 λ k 1 = λ k 2 = ⋯ = λ k k = 1 2 k ， λ ( k + 1 ) k + 1 = λ ( k + 2 ) k + 2 = ⋯ = λ n n = 1 2 ( n − k ) ，这样选取的纠缠目击 W = 1 2 I d − | φ 〉 〈 φ | ， | φ 〉 = 1 2 k ( | 10 ⋯ 0 〉 + | 010 ⋯ 0 〉 ⋯ + | 0 ⋯ 0 ︸ k − 1 10 ⋯ 0 〉 ) + 1 2 ( n − k ) ( | 0 ⋯ 0 ︸ k 10 ⋯ 0 〉 + | 0 ⋯ 0 ︸ k + 1 10 ⋯ 0 〉 + | 0 ⋯ 0 ︸ k + 2 10 ⋯ 0 〉 + ⋯ + | 0 ⋯ 0 ︸ n − 1 1 〉 ) 能检测到最多的形如 ρ = p | ψ w 〉 〈 ψ w | + 1 − p 2 n I d ∈ C 2 ⊗ C 2 ⊗ ⋯ ⊗ C 2 ⊗ C 2 的量子态。其中能检测到相应二体纠缠的范围是 p 1 = 1 2 − 1 2 n 1 2 + k ( n − k ) n 2 − 1 2 n 。(1) 所表示的 p 2 = 1 − k n − 1 2 n 1 − 1 2 n ，下图1为 p 1 − p 2 的平面示意图： 图1. 优化区域(n， k)整数点 图中有颜色的区域就是所有优化区域点，颜色代表值在右侧颜色栏中已经给出，颜色代表值即为优化概率P的范围缩小值，颜色越偏蓝色说明优化效果越好。 下面给出一些含参变量的多体量子态ρ，讨论存在相应纠缠的参数范围，从而得到了这些量子态纠缠的充分条件。 例1： 对于 ρ = p | ψ w 〉 〈 ψ w | + ( 1 − p ) | G H Z 〉 〈 G H Z | ∈ C 2 ⊗ C 2 ⊗ C 2 ，其中 | ψ w 〉 = 1 3 ( | 100 〉 + | 010 〉 + | 001 〉 ) ， | G H Z 〉 = 1 2 ( | 000 〉 + | 111 〉 ) ，若使用 W 0 = 2 3 I d − | ψ w 〉 〈 ψ w | 检测，则当 p > 2 3 时，能判定 ρ 存在 { 1 } ， { 2 ， 3 } ， { 2 } ， { 1 ， 3 } ， { 3 } ， { 1 ， 2 } 的部分纠缠且是真纠缠。而使用本文构造的 W 1 = 1 2 I d − | ψ 〉 1 〈 ψ | 1 ， | ψ 〉 1 = 1 2 | 100 〉 + 1 2 | 010 〉 + 1 2 | 001 〉 。其中 { λ 1 ， λ 2 ， λ 3 } = { 1 2 ， 1 2 ， 1 2 } ，则当 p > 0.5148 即能被检测出 ρ 有 { 1 } ， { 2 ， 3 } 之间纠缠，同理，构造 W 2 ， W 3 最终得到 p > 0.5148 时， ρ 存在相应的部分纠缠，则当 p > 0.5148 时能判定 ρ 是真纠缠，改进了其纠缠判定范围。 例2： ρ = P | ψ w 〉 〈 ψ w | + 1 − p 8 I d ∈ C 2 ⊗ C 2 ⊗ C 2 ，若使用 W 0 = 2 3 I d − | ψ w 〉 〈 ψ w | 检测，能判定 p > 13 21 ≈ 0.6191 时， ρ 存在 { 1 } ， { 2 ， 3 } ， { 2 } ， { 1 ， 3 } ， { 3 } ， { 1 ， 2 } 的部分纠缠且真纠缠。使用本文构造的 W 1 = 1 2 I d − | ψ 〉 1 〈 ψ | 1 ， | ψ 〉 1 = 1 2 | 100 〉 + 1 2 | 010 〉 + 1 2 | 001 〉 ，当 p > 0.4431 即可判定 ρ 存在构造 { 1 } ， { 2 ， 3 } 部分纠缠。同理构造 W 2 ， W 3 最终得到 p > 0.4431 时存在相应的部分纠缠。则 p > 0.4431 时能判定 ρ 是真纠缠，因此本文方法改进了这一类态的纠缠判定范围。 例3： ρ = P | ψ w 〉 〈 ψ w | + 1 − p 16 I d ∈ C 2 ⊗ C 2 ⊗ C 2 ⊗ C 2 ， | ψ w 〉 = 1 4 ( | 1000 〉 + | 0100 〉 + | 0010 〉 + | 0001 〉 ，使用 W 0 = 3 4 I d − | ψ w 〉 〈 ψ w | 检测，能判定 ρ > 11 15 ≈ 0.7334 时， ρ 存在 { 1 } ， { 2 ， 3 ， 4 } ， { 2 } ， { 1 ， 3 ， 4 } ， { 3 } ， { 1 ， 2 ， 4 } 的部分纠缠。使用本文构造的 W 1 = 1 2 I d − | ψ 〉 1 〈 ψ | 1 ， { λ 1 ， λ 2 ， λ 3 ， λ 4 } = { 1 2 ， 1 6 ， 1 6 ， 1 6 } ，则当 p > 0.5026 时存 在 { 1 } ， { 2 ， 3 ， 4 } 的部分纠缠。同理构造 W 2 ， W 3 最终得到 p > 0.5026 时存在相应的部分纠缠，改进了其部分纠缠判定范围。 例4： ρ = 1 2 n ( I 2 n + ∑ i = 1 n t σ x i ⊗ I 2 n − 1 + ∑ i = 1 n t i y σ y i ⊗ I 2 n − 1 + ∑ i = 1 n t i z σ z i ⊗ I 2 n − 1 ) ， σ x i ， σ y i ， σ z i 分别表示在N体系统中第i个 位置放置 σ x ， σ y ， σ z 的pauli算子，且满足 t i σ x = t r ( ρ σ x i ⊗ I 2 n − 2 ) 。 〈 ψ | ρ | ψ 〉 = λ 1 * 〈 10 ⋯ 0 | + λ 2 * 〈 010 ⋯ 0 | + ⋯ + λ n * 〈 00 ⋯ 01 | ρ | λ 1 | 10 ⋯ 0 〉   + λ 2 | 010 ⋯ 0 〉 + ⋯ + λ n | 0 ⋯ 01 〉 = 1 2 n + ∑ i = 1 n ( 1 − 2 | λ i | 2 ) t i σ z 1 2 n + ∑ i = 1 n ( 1 − 2 | λ i | 2 ) t i σ z > g k m ，其中 g k m = max { ∑ i = 1 m | λ k i | 2 ， ∑ i = m + 1 n | λ k i | 2 } 。 运用我们构造的一系列纠缠目击只需验证上述不等式是否有解，若某些不等式有解，则即可说明给定的这个目标态是纠缠的以及存在相应的纠缠分布。