DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 4. 扩展k元n立方体 在MM*模型下的1-好邻诊断度 定理4.1 [ 7 ] 一个系统 在MM*模型下是 好邻t-可诊断的当且仅当对于 中任意两个不同的g-好邻故障集 ， 及其 和 ，满足以下其中一个条件(如图4)： 1) 存在 和 满足 。 2) 存在 和 满足 。 3) 存在 和 满足 。 引理4.2 当 时，扩展k元n立方体 在MM*模型下的1-好邻诊断度 。 证明 令 ， ， 由引理3.4定义(如图3)。由引理3.4可知： ， ， ， 。因此， 和 都是 的1-好邻故障集。由 和 的定义可知： ，由于 ， 和 ，因此 不满足定理4.1中的(1)~(3)。所以， 不是1-好邻条件 可诊断的。故 。 图4. 在MM*模型下 可区分 引理4.3 当 时，扩展k元n立方体 在MM*模型下的1-好邻诊断度 。 证明 根据1-好邻诊断度的定义，只需要证明是 是1-好邻条件 可诊断的。用反证法证明。根据定理4.1，假设 中存在两个不同的g-好邻故障集 ， 及其 和 ，但不满足定理4.1中的(1)~(3)。不失一般性，假设 。类似于在引理3.6对 讨论可知： 断言1 没有孤立点。 反证法。假设 至少有一个孤立点 。因为 是一个1-好邻故障集，所以至少存在一点 使得 。因为 不满足定理4.1中的(1)~(3)，所以至多存在一点 使得 。因此仅有一点 使得 。同理，如果 ，那么 。因为 是一个1-好邻故障集，所以有 ，这与 是一个孤立点矛盾。因此，我们可以得到点 。同理可知，仅有一点 使得 。设 是 中的孤立点集， 。因此，对任意的 ，存在 个邻点在 中。由于 ，故 。因为 ，所以 。假设 ，由于 因此， 。显然，当 时，这是矛盾的。因此 。因为顶点对 不满足定理4.1中的(1)~(3)且 中任意一点都不是孤立点，所以我们可以得到 与 之间没有边。因此， 是 的点割。由于 和 是 的1-好邻故障集，因此 ，和 是 的一个1-好邻割。根据引理3.4， 。因为 和 ，且 和 ，所以 。于是，不妨设 和 。故对于任意的 满足 。根据性质4，当 时， 中任意一对顶点至多有四个公共邻点。因此， 至多有四个孤立点，即为 。 情形1 。 设 ，则 。因为 包含三圈，所以需要进一步讨论 是否相邻。 情形1.1 相邻。 ， ， 。根据性质4，当 时， 中任意一对顶点至多有四个公共邻点。因此， ， ， ，则 于是 ，与 矛盾。 情形1.2 不相邻。 ， ， 。根据性质4，当 时， 中任意一对顶点至多有四个公共邻点。因此， ， ， ，则 于是 ，与 矛盾。 情形2 。 设 ，则 。因为 包含三圈，所以需要进一步讨论 是否相邻。 情形2.1 相邻。 ， ， ， 。根据性质4，当 时， 中任意一对顶点至多有四个公共邻点。因此， ， ， ， ， ， ， 则 于是 ，与 矛盾。 情形2.2 不相邻。 ， ， ， 。根据性质4，当 时， 中任意一对顶点至多有四个公共邻点。因此， ， ， ， ， ， ， 则 于是 ，与 矛盾。 情形3 。 设 ，则 。 ， ， 。根据性质4，当 时， 中任意一对顶点至多有四个公共邻点。因此， ， ， ，则 。 于是 ，与 矛盾。 情形4 。 设 ，则 。 ， ， ， 。根据性质4，当 时， 中任意一对顶点至多有四个公共邻点。因此， ， ， ， ， ， ， 则 于是 ，与 矛盾。 若 ，则 。因为 是一个1-好邻故障集，所以 没有孤立点。断言1证明完毕。 设 。根据断言1， 在 中至少有一个邻点。因为顶点对 不满足定理4.1的任何一个条件，根据定理4.1(1)，所以对于任意一对相邻的点 ，不存在 使得 和 。因此， 在 中没有邻点。根据 的任意性， 与 中间没有边。由于 ， 是一个1-好邻故障集，所以 。根据引理3.2， 。因为 和 都是1-好邻故障集且 与 之间没有边，所以 是 的一个1-好邻割。根据引理3.3， 。因此， 。这与 矛盾。于是， 是一个1-好邻 -可诊断的。故 。 由引理4.2和引理4.3可得以下定理： 定理4.4 当 时，扩展k元n立方体 在MM*模型下的1-好邻诊断度 。
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user: 5. 结束语 诊断度是互联网络容错的重要指标，本文研究了扩展k元n立方体在PMC模型下和MM*模型下的1好邻诊断度 ，这项工作将帮助工程师可根据应用环境、网络拓扑结构、网络的可靠性和故障模式的相关统计开发更多不同的测量1-好邻诊断度的措施。
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user: 摘 要 多靶点酪氨酸激酶抑制剂的研究已经成为近年来抗肿瘤药物研究的新趋势。本文整合国内外相关文献，综述了近年来各课题组对不同结构的酪氨酸激酶抑制剂及抗肿瘤活性的研究进展，以期为酪氨酸激酶抑制剂的研究与开发提供参考。 关键词 :多靶点，酪氨酸激酶抑制剂，抗肿瘤
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user: 1. 引言 目前癌症和心脑血管疾病已经占据全世界主要死因的前两位，虽然近年来对于癌症的相关研究已经取得了很大的进步，但是现有的抗肿瘤药物存在高毒性、易产生耐药性等缺点 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] 。因此研究新型靶向药物和满足全新治疗手段所需求的药物，已成为全球药业公司和各国政府的关注重点和未来研究发展的方向 [ 5 ] 。 人类基因组的数据表明，目前已知的蛋白激酶家族有518个成员 [ 6 ] [ 7 ] ，它们主要通过传递细胞内外的信号来调控细胞重要的生理过程。蛋白酪氨酸激酶(Protein tyrosine kinases (PTKs))作为蛋白激酶家族中非常重要的一员，PTKs将三磷酸腺苷(Adenosine Triphosphate， ATP)上的γ-磷酸基转移到底物的蛋白酪氨酸残基上，通过将酚羟基磷酸化来完成细胞间的信息传递，在细胞发育、调节和肿瘤细胞的分化、迁移、凋亡等过程中起着至关重要的作用 [ 8 ] [ 9 ] ，若PTKs在调节过程中失控将会影响其下游信号通路的正确激活，进而引起细胞增殖调节功能紊乱而引发许多疾病，如酪氨酸激酶活性过高使受体磷酸化进而激活下游信号，导致细胞过度转化、增殖、对抗细胞凋亡、促进细胞生存进而形成恶性肿瘤 [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] ，因此，将酪氨酸激酶作为新型靶点研制该类激酶抑制剂来抑制酪氨酸激酶的过度表达，恢复其生理平衡，已经成为一种新的抗肿瘤药物研究方向 [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] 。本文简要将蛋白酪氨酸激酶分为四大类，在此基础上分别介绍了近年来各课题组对多靶点酪氨酸激酶抑制剂的研究进展。希望能够以此为多靶点酪氨酸激酶抑制剂的相关研究与抗肿瘤药物开发提供参考。
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user: 2. 蛋白酪氨酸激酶的分类 人类基因组目前已发现约2000个激酶，其中蛋白酪氨酸激酶已超过90个。蛋白酪氨酸激酶家族主要以跨膜受体或胞质形式参与细胞信号转导过程，按照其结构、功能和在细胞内存在的位置大致可分为两类：受体酪氨酸激酶(receptor tyrosine kinase， RTK)和非受体酪氨酸激酶(nonreceptor tyrosine kinase， NRTK) [ 8 ] 。RTK均为单次跨膜运输，NRTK又可细分为：① 核内酪氨酸激酶，如Abl家族和Wee家族；② 胞质酪氨酸激酶，如Src家族、Tec家族、ZAP70家族、JAK家族 [ 16 ] 等。 2.1. 受体酪氨酸激酶 受体酪氨酸激酶(RTK)是一类可以使酪氨酸激酶磷酸化的穿膜受体蛋白 [ 17 ] ，通常具有以下结构：可以与配体相结合的胞外结构域、单次跨膜的疏水α螺旋区及含有RTK活性的细胞内结构域 [ 18 ] 。其配体一般为蛋白类激素以及膜结合或可溶性的多肽。含有RTK活性的细胞内结构区域即酪氨酸激酶的作用部位，该处具有自磷酸化位点，当其内在的催化活性被激活时，受体可以通过二聚化或寡糖化使这两个催化区域相结合，并转移活化口袋中的共生残基的磷酸，受体本身激酶活性将被激活进而自动磷酸化酪氨酸残基。若激酶过度表达，将有可能导致恶性肿瘤的形成 [ 19 ] 。 目前已知的58种受体酪氨酸激酶，根据细胞内外区域结构即受体/配体的不同可以被划分为20多个亚家族 [ 20 ] ，包括：表皮生长因子受体(epidermal growth factor receptor， EGFR)、血小板源生长因子受体(platelet-derived growth factor receptor， PDGF)、成纤维细胞生长因子受体(fibroblast growth factor receptor， FGFR)、血管内皮生长抑制因子受体(vascular endothelial growth factor receptor， VEGFR)、神经生长因子受体(nerve groeth factor receptor， NGFR)、原肌球蛋白受体激酶(Tropomyosin-related kinase， TRK)、肝细胞生长因子受体(hepatocyte growth factor receptor， HGFR)、红细胞生成素产生肝细胞受体(erythropoietin- producing hepatocellular receptor， EPHR)、血管生成素受体(TIE)、白细胞酪氨酸激酶(LTK)家族 [ 21 ] 等，它们在不同的细胞活动中发挥着非常重要的作用。 2.2. 非受体酪氨酸激酶 非受体酪氨酸激酶(NRTK)的调节机制差异较大，一般通过与细胞因子、生长因子或激素等跨膜受体发生物理作用进行胞外信号响应。经过长时间的研究发现，该类受体在某一条件下与胞外配体或黏着成分结合会使其活化。例如，在PDGFR激活Src的同时，与Src结构相似的酪氨酸激酶可与T细胞中T细胞抗原受体复合物、CD 4 或CD 8 抗原等相结合。HER-1在Src帮助下激活STAT因子；同理，JAK激酶(Janus kinase)家族在配体与细胞因子受体结合时被活化，进而磷酸化STAT因子，信号最终传导至细胞核内激活转录；IFN-γ也可通过与受体相结合发生磷酸化，进而与STAT相结合。在JAK的催化作用下，依照同样的活化机理，STAT二聚体转移到核内结合到DNA启动子的活化序列上，诱导靶基因表达从而促进合成多种蛋白质，提高了细胞抗病毒活性 [ 22 ] 。
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user: 4. 展望 酪氨酸激酶在肿瘤细胞的生长和增殖中起着非常重要的作用，在过去的几年里出现了数个以蛋白酪氨酸激酶抑制剂为靶向的抗肿瘤药物，这些药物克服了传统药物选择性差、副作用大等缺点，具有高选择性、低毒性的治疗效果。由于肿瘤增殖分化作用机制十分复杂，因此单一靶点药物难以在肿瘤治疗方面取得较好的效果，因此设计合成低毒、高选择性、高效的多靶点的酪氨酸激酶抑制剂也是抗肿瘤新药研发的主要方向。虽然酪氨酸激酶小分子抑制剂的开发取得了上述的很多进展， 但也面临着很多挑战：① 肿瘤细胞基因突变所造成的激酶抑制剂耐药问题日益严重；② 如何在多靶点酪氨酸激酶抑制剂和提高激酶选择性的问题上寻找到一个平衡点；③ 如何在进入临床前对化合物毒性、药动学性质等做出比较准确的预测，以提高新药开发的速率和避免重复浪费。因此，全面有效地开发抗肿瘤药物需要各领域的学者通力协作，可以预见，设计合成酪氨酸激酶小分子抑制剂治疗肿瘤疾病必将走入一个新的时代。相信在不久的将来，小分子酪氨酸激酶抑制剂将克服肿瘤多药耐药性，实现多靶点抑制的开发，实现小分子TKI安全性评价和个体化给药，在癌症治疗领域发挥更重要的作用。
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user: 摘 要 本文对一类离散时间的控制问题，提出了存在唯一解的Lipschitz条件，并进一步地，引进控制参数化方法定义控制变量转化函数，将最优控制问题等价转化为非线性可微规划问题，得到了此类最优控制问题的一阶最优性条件。最后，给出两个算例用以验证如上提出的一阶最优性条件。 关键词 :压缩不动点定理，控制参数化方法，最优性条件
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user: 1. 引言 对于离散时间最优控制问题，应用控制变量参数化方法 [ 1 ] [ 2 ] 将最优控制问题转化为非线性规划问题进而求解是目前比较有效的途径。很多学者对如何运用优化算法求解转化后的非线性规划问题进行了广泛研究 [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] ，然而对于如何应用非线性规划的最优性条件来给出最优控制问题的最优性条件的研究相对较少。 对于控制系统方程解的存在唯一性问题 [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] ，在 [ 10 ] 中针对一阶微分、差分方程组给出了使解存在唯一的Lipschitz条件，并证明了解关于参数的连续依赖性。在控制参数化方法的相关研究中，Teo等在 [ 1 ] [ 2 ] 中详细介绍了控制参数化方法并给出了严格的数学证明，并基于非线性优化算法 [ 11 ] 设计了最优控制软件MISER [ 12 ] 。在 [ 1 ] [ 4 ] 中给出了离散时间最优控制问题的连续可微条件，保证了目标函数以及约束条件关于控制向量的梯度是存在的，并且基于伴随方程法 [ 1 ] 给出了梯度的具体计算公式。此外，Fritz John定理和Kuhn-Tucker定理是最优化理论里两个重要的定理。 [ 13 ] 讨论了使Fritz John点满足Kuhn-Tucker条件的MFCQ。针对一类离散时间最优控制问题。首先，本文给出精确的控制变量转化函数，将离散时间最优控制问题等价转化为非线性可微规划问题。其次，给出具体的Lipschitz条件，使该系统在满足这类Lipschitz条件下存在唯一解。然后给出更弱的I-MFCQ，同时给出该问题的一阶最优性条件。最后，给出两个算例应用最优性条件来求解最优控制问题。
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user: 2. 离散时间最优控制问题 基于一阶非线性差分方程给出离散时间最优控制问题标准型如下： (1) 其中， 为离散时间节点构成的集合， 为状态变量， 为控制变量， 为初始状态， 为边界控制量， 为实值函数，且 有 关于 是连续可微的。满足(1)的状态变量称为容许状态，满足(1)的控制变量称为容许控制，并且用 表示容许控制集。 注1在满足一定Lipschitz条件下，上述系统(1)存在唯一解，具体的Lipschitz条件将在下一节中给出.故对于任意 ，状态变量 可以表示为 。 记约束条件如下： (2) (3) 其中， 为连续可微的实值函数； ， 为实值函数，且 有 在 上连续可微。 (4) 其中， 为连续可微实值函数; 为实值函数，并且 有 在 上连续可微。称满足(2)-(3)的容许控制为可行控制，用 表示可行控制集。 问题1 对于离散时间最优控制系统(1)，求解最优控制 使之满足约束条件(2)~(3)，并且使性能指标(4)达到最优。
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user: 3. 最优控制问题的转换及相关性质 令 ，且对 有 。所有 构成的集合用 表示。基于控制变量参数化方法 [ 1 ] [ 2 ] 构建精确控制变量转化函数如下： (5) 其中 为 到 上的实值函数， 为特征函数，表示如下： (6) 考虑如下系统： (7) 其中， 及 为上一节中给出的实值函数。 考虑约束条件如下： (8) (9) 考虑性能指标如下： (10) 其中， 以及 为上节定义的实值函数。可知新定义的 均为 到 上的实值函数。 问题2 对于离散时间最优控制系统(7)，求解最优容许控制向量 使之满足约束条件(8)~(9)，并且使性能指标(10)达到最优。 定理1 若 ，则问题1与问题2等价。 证明 不妨假设性能指标最小即为最优。先用归纳法证明 。由初始条件有 。当 时，有 成立。现假设 时成立，即 。当 时，有 成立。综上 。 假设 为问题2的最优解，取 。下证 为问题1的最优解。由 定义，易证 。 (反证法)若 不是问题1的最优解，即存在 ，使得 ，则有 取 ，令 ，有 ，且可知 。同理有 。故 有 不是问题2的最优解，与假设矛盾。即有 为问题1的最优解。 同理可证若 为问题1的最优解，则存在相应 为问题2的最优解。综上问题1与问题2等价。 下面的定理2证明了系统方程解的存在唯一性，命题1~3给出了问题2的连续可微性。 令 ，则有 (11) 易证系统(11)等价于系统(1)，于是若系统(11)存在唯一解 ，则 也为系统(1)唯一解。定义范数 为 ，其中 且 为欧氏距离。易知由如上范数定义的状态函数所构成的空间为完备的Banach空间，用 表示。 假设1 有 1) 对任意 ，存在 使得 ； 2) 对任意 ，存在 使得 。 定理2若系统(11)满足假设1条件，并且 ，则对任意取定 存在唯一解 。 证明 记 为 维向量空间，构造数列 使得 。构造函数列 ， ，其中 ，使得 。定义映射 如下 由假设1)易知 是有意义的并且 下证 是连续的。由假设2)及 [ 10 ] 有 。 由 关于 连续可微可知 也是连续可微的。当 ，有 ，可知 有 ，故 。又由 ，有 ，即 连续。 下证 是压缩的。对任意 由 [ 10 ] 有 由 有 关于 是压缩的。由不动点定理 [ 14 ] 可知 存在唯一不动点，即对任意 存在唯一的 使得 。即(11)存在唯一解 。 定理3 若系统(7)满足假设1条件，并且 ，则对任意取定 ，存在唯一解 。 通过系统方程得出状态变量与控制变量的唯一关系，代入性能指标以及约束条件(8)~(10)中，原最优控制问题即转化为了标准的非线性规划问题。 命题1 对 ，有 在 上连续可微。 证明 先证 的连续可微性。已知对 有 其中， ，可见 在 处连续可微，又由 的任意性可知 在 上连续可微。 取 为 的第 个分量，下证 有 在 上连续可微。 当 时，由 为定值，有 在 上连续可微。当 时，有 ，故 由 在 上连续可微，可知 也连续可微，即 ， 在 上存在且连续，再由 ，有 在 上存在且连续；由 时，有 在 上连续可微，即 在 上连续可微;由 在 上连续可微，有 在 上存在且连续。综上，可知 在 上存在且连续。 现假设 时成立，于是有 在 上连续可微。同上易证 在 上存在且连续，即 在 上连续可微，得证 在 上连续可微。 同理亦有 在 上连续可微。 由定理1及命题1易证下面两命题成立。 命题2 对于问题2，当取 时有： 1) 对 ， 关于 在 上连续可微； 2) 对 ， ， 关于 在 上连续可微。 命题3 对于问题2，当取 时，有 在 上连续可微。 注2 由命题3可知，在问题2中 关于 维矩阵 的梯度存在。 下面基于伴随方程法 [ 1 ] 给出具体的梯度计算公式。首先定义哈密顿函数如下： 其中， 由如下伴随方程给出： 。 (12) 求解(12)并设解为 ，可得各函数梯度如下：
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user: 4. 一阶最优性条件 对 记： 命题4 当 时，有 。 证明 对任意 ，由定理1有 。故 即有 。同理可证 。 定理4 若 为问题1的局部最优控制，则存在 ，使得 (13) (14) (15) 其中， ， 证明 已知 为问题1的局部最优控制，取 ，令 ，有 ，由定理1知 为问题2的最优控制.取 ，易证当 时， ，有 。由文献 [ 13 ] 中定理8.11可知，若 为问题2的最优控制，则存在 以及 ，使得 由命题4，有 。代入上式即有定理4成立。 定义1 [ 15 ] 在问题1中，若 满足如下条件： 1) 有解 ，其中 为r维零向量； 2) 线性无关。 则称 符合 。 定义2 在问题1中，若 满足如下条件： 1) 有解 ，其中 为r维零向量； 2) 线性无关。 则称 符合 。 命题5 若 符合 ，则必然符合 。 证明 假设 符合 ，则存在 ，使 ， ； 。当取 ， ，令 ，于是有 ， 成立，即有 符合 。 注3 由命题5可知 是基于矩阵给出的，其条件相对于 更弱。 定理5若 为问题1的局部最优控制，并且满足 ，则存在 使得 (16) (17) (18) 证明 因 是问题1的局部最优控制，故由定理4知(13)~(15)成立。若 ，则由(13)有 (19) 其中 ，且 不全为零。以满足 的 与上式相乘有 其中， 为 维零矩阵。故 其中， 为 维零向量。若存在某 ，则上式不成立，故必有 ， 。于是(19)式即为 ，且 不全为零，这与 线性无关矛盾。故有 ，将 除遍(13)~(15)，再将 视为新的 ，即有定理成立。 在此，称(13)~(15)为Fritz John条件，(16)~(18)为 条件，并且称满足 条件的点为 点。易证下面三个定理成立。 定理6 若 为问题1的局部最优控制，且 线性无关，则 满足 条件。 定理7 (充分条件)假设 是 上的凸函数， 是线性函数。若 是问题2的 点，且 ，则 是问题1的全局最优控制。 定理8 (充分条件)假设 为凸集， 为 上的凸函数。若 是问题2的 点，且 ，则 是问题1的全局最优控制。
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user: 5. 算例 例1 考虑离散时间控制系统： 性能指标为： ， 约束条件为： ， 取 ，求使得性能指标 达到最小的最优控制 。 解 由系统方程有 ，故性能指标转化为 ；约束条件转化为 。 由 半正定，故 是凸函数。由定理7，若存在 使上述问题满足 条件，并取 ，则有 为原最优控制问题的全局最优控制。于是，由 条件可列方程如下： 解之得唯一解 。故原最优控制问题有唯一的全局最优控制 。 例2 考虑离散时间控制系统： 性能指标为： ， 约束条件为： 取 ，求使得性能指标 达到最小的最优控制 。 解 取 ，对 两边取负，即有求解 使 最小。由系统方程有 ， ， ，故性能指标转化为 ；约束条件转化为 。 ，并且 为半正定矩阵，故 是凸函数。由定理7，若存在 使上述问题满足 条件，并取 ，则有 为最优控制问题的全局最优控制。于是由 条件可列方程如下： 解之得唯一解 。故原最优控制问题有唯一的全局最优控制 。
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user: 摘 要 本文主要研究异质群体中SIR型传染病的爆发流行规模对于传播速率的标度律。这里的标度律计算是基于键逾渗的方法，它是通过一个自组织方程得到的。在爆发阈值附近，如果底层结构(用度分布来刻画)不是非常异质的话，不同底层结构下的标度律系数是等于1的。但是，对于无标度的网络，在 时，此时的标度律系数也是1；但当 和 时，标度律系数是大于1的且依赖于参数 的取值，即 。 关键词 :SIR型传染病，键逾渗，概率母函数，标度律
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user: 1. 引言 寄主型传染病受到多种异质性因素的影响，如遗传、年龄、空间等等 [ 1 ] [ 2 ] 。对于像性传播疾病这样的直接性的传染病来讲，寄主群体的性活跃度(性伴侣的个数)是影响其传播的主要的异质因素 [ 1 ] [ 3 ] 。 从Lajmanovich和Yorke的一篇会议论文开始 [ 4 ] ，学者们建立了许多数学模型来研究性活跃度的异质性对于传染病传播的影响 [ 5 ] 。近来，用网络的拓扑结构描述传染病传播的数学方法很是流行，具体来说就是用网络中的节点表示个体，用边来表示个体之间的接触。有趣的是，许多刻画性传播疾病的社交网络都是服从幂律分布： [ 6 ] 。按照网络表示论，不同个体性活跃度的异质性可以用寄主群体的度分布来刻画 [ 7 ] 。 众所周知，包括HIV在内的一些性传播疾病属于易感–感染–移除(SIR)型传染病，以往大家关注的焦点是该型传染病的阈值现象 [ 8 ] 。但逐渐地有人认识到SIR型传染病可以映射到无穷维的键逾渗问题上来研究 [ 9 ] [ 10 ] 。相应的，传染病模型中的一些量可以用逾渗理论中的量来代替，如传播强度 可以用键占据率 来替换，用逾渗阈值 来代替爆发阈值 。 另外，Newman等人利用概率母函数的重整化方法 [ 11 ] ，得到了含有传播率 的自组织方程。这一方法是求解Golton-Waterson分支树阈值问题的著名方法。正如Durrett [ 12 ] 所指出的，该方法用在随机图中并不是严格的，其中的问题是当传染病速率在阈值之上时，传染病的传播就会产生回路，即：被传染的个体会再次被传染。此时再用分支树模型会有误差，但他指出这种误差是很小的，所以经过一个小的变动，该自组织方程仍然适用 [ 12 ] 。 基于上述结果，本文研究当 时，即： 时的标度律问题。并发现在不同的底层结构下，如同质结构、泊松分布、几何分布等，SIR型传染病爆发流行的标度律系数都是1，而对于无标度网络，它的标度律系数是依赖于参数 的。 本文的框架如下：第二节我们介绍SIR型传染病的键逾渗理论；第三部分给出不同情形下的爆发流行的标度律。
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user: 2. 具有任意度分布的随机图的键逾渗理论 在文献 [ 11 ] 中，Newman把概率母函数与键逾渗理论相结合，来研究具有任意度分布的随机图上的SIR型传染病模型。首先，从节点出发，节点的度分布 (任选一个节点度 为的概率)的概率母函数定义如下： (2.1) 如果从边出发，即：从网络中任选一条边并沿着该边到达的节点，此时该节点除了原始入边之外，剩余边的总数叫做该节点的超出度，其相应度分布的母函数为： (2.2) 当传染病在网络上传播时，它并不是通过所有的边进行传播而是以平均传播速率 在某些边上进行传播，显然 。在流行病中边被传染了又叫做被占领，正如Newman所说，网络中一旦有某些边被占领，那么原来网络的结构就会发生变化。此时要想得到传染病的爆发流行(流行病中感染人数的比例)，就必须考虑节点的被占领的边的分布，并且他用 表示该分布的母函数，另外还给出了 与 之间的关系： (2.3) 类似的，定义 为节点的超出度中被占领边的分布(任选一条边所到达的节点的剩余边中被占领的边数的分布)的母函数，它与 之间的关系如下： (2.4) 设 表示的是从节点出发(随机选择一个顶点)得到的小规模爆发的传染病中个体的数目，并令 为爆发规模分布的母函数，它可以表示为： (2.5) 其中 表示的是由单个感染个体以平均传播速率 引发的爆发规模为 的传染病的概率。令 为任选一条边，并沿着它到达的节点与规模为 的簇连接的概率的母函数，或者按照分支过程的观点，它表示的是第0代的一个感染个体，经过几轮感染之后所有的感染个体的总数目的母函数。关于 的Dyson方程的自组织形式如下 [ 11 ] ： (2.6) 该方程可以简单粗略的解释为：随机选择一条边 所得到的大集团的规模等于，沿着边 到达节点 所引发的通过被占领的边连接的所有簇(小集团)规模之后再加上节点 本身 [ 10 ] 。类似的，随机选择一个节点得到的大集团规模母函数的重整化形式为： (2.7) 在文献 [ 11 ] 中，Newman等人得到了传播速率的临界值 ，并给出它的表达式： (2.8) 称 为流行病的阈值 [ 10 ] 。 当 时，一场流行病或者用逾渗理论里的“大集团”就会出现，此时用 来表示大集团里感染的人数占总人数的比例，并且它等于： (2.9) 此时 的意义发生变化，它不再是所有的簇的规模分布的母函数，而是除了大集团以外所有小规模的簇的母函数。利用方程(2.7)我们又可以得到流行病规模 的另一个表达式： (2.10) 其中 是自组织方程(2.6)的解，即： (2.11) 上面所提到的 表示的是随机选择一条边，并沿着它到达的某个节点仍然是健康的易感节点的概率，且它的范围是在0到1之间。 基于上述结论，我们可以研究关于 的爆发流行的标度律 ，即： (2.12) 其中 表示不同结构下的传染病爆发流行的标度律系数。
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user: 3. 标度律 把式(2.4)和式(2.11)结合起来得到： (3.1) 这时令 ，而 ， ；它的导数 、 都是恒大于0的，也就是说，函数 在区间 上是单调递增且是凸的。并且 (3.2) 而式(2.11)可以变形为 。当 ( )时，该方程只有唯一的正解 ；而当 ( )时，方程除了1以外还有一个 之间的解 。从图1也可以直观地看出函数 的性质以及解 的存在。 既然方程 的存在性已经得到了证明了，那么很自然地下一步就想解出该方程并得到解的具体形式。接下来将考虑在阈值附近的解的具体形式。 度分布的异质性将会导致不同的疾病传播模式。为了研究传染病的爆发流行对于传染速率的敏感度，我们必须得到自组织方程(2.11)的解。事实上，当 ( 在 的附近)时，利用泰勒展开式，可以得到几种具体度分布下的方程的解 的具体形式。下面以泊松分布为例给出该情形下的具体推导过程。 当节点的度分布 为泊松分布时， ，相应的母函数 以及传播阈值 。此时方程(2.11)就变形为： (3.3) 显然 是方程(3.3)的一个根，另外利用泰勒展式得到单位根以外的解： (3.4) 图1. 两种情形下的非平凡解的存在唯一性 其中 ，并且当 时， 是一个无穷小量。此时方程(2.12)的左边 (3.5) 容易得到泊松分布的标度律系数近似为1。同质情形、两种节点和几何分布 [ 13 ] 标度律系数如表1所示( )。 我们得到以上几种情形下的标度律系数都是1。 这里再考虑无标度网络的情形，即网络的底层结构服从幂律分布： ( 是归一化常数)，文献 [ 14 ] 中对此情形作了分析计算。此时： (3.6) 令 和 ，再利用近似： (3.7) 可以得到： ， (3.8) 当 时， ，并得到标度律系数 Table 1 The values of the scaling law coefficient corresponding to different degree distribution 底层结构 标度律系数 同质 1 泊松分布 1 两种节点 1 几何分布 1 表1. 不同度分布下的标度律值 ， (3.9) 但当 时， ，得到当 时标度律系数为 。 总之，当网络的度分布服从幂律分布时，此时SIR型传染病爆发流行的标度律系数是依赖于参数 的取值的，当 时，标度律系数和上述几种结构情形一样是为1的，此时也符合无穷维键逾渗的标度律情形。但当 和 时，标度律系数是大于1的且等于 。
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user: 4. 结论 数学模型有助于我们更好地理解底层接触模式是如何影响传染病传播的，除此之外，理论分析的结果也有利于我们设计统计方案来收集和分析数据资料。与其它研究SIR传染病模型相比，本文的方法有下面两个优点：一是把随机图理论和无穷维的逾渗理论结合起来，这就使得对SIR型传染病模型的研究变得更简单；另一方面，用标度律来刻画对于传播速率爆发流行的影响，这就从宏观角度更好的说明了R. May所提到的现象 [ 1 ] 。 不同于Newman，我们给出了当 时，自组织方程(2.11)的解析解。利用那个不等于1的 ，我们得到了包括同质、泊松分布和几何分布情形下SIR型传染病爆发流行的标度律系数，它们的值都是1。这个结果证实了逾渗理论中的结论，即：无穷维的逾渗模型的标度律都是一样的。另外我们发现当底层的网络结构是幂律分布时，此时爆发流行的标度律系数是与参数 相关的。
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user: 摘 要 量子计算机是一类遵循量子力学规律进行高速数学和逻辑运算、存储及处理量子信息的物理装置，量子测量是量子信息和量子计算中的一类重要研究课题，但是在PT-对称量子系统中还没有相关的研究。本文给出PT-对称量子系统中一般量子测量的概念，并运用矩阵和算子论的方法，对这个问题进行了详细的讨论，得到了PT-对称量子系统中关于量子测量的两个结果。 关键词 :PT-框架，PT-对称，CPT-框架，态，测量
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user: 1. 引言 量子力学的四个假设把物理世界与量子力学的数学描述联系了起来，其中假设3为描述量子系统的测量提供了一条途径 [ 1 ] 。假设3说：量子测量由一组测量算子 描述，这些算子作用在被测量系统状态空间上，指标 表示实验中可能的测量结果。若在测量前，量子系统的最新状态是 ，则结果 发生的可能性由 给出，且测量后系统的状态为： 测量算子满足完备性方程： 假设3的一个重要应用就是区分量子状态。经典世界里，研究对象的不同状态至少原则上常常是可以区分的。例如文献 [ 1 ] 中所述：我们至少可以在理想情况下知道硬币是正面还是反面向上，而在量子力学中，情况就比较复杂。 华盛顿大学的C. M. Bender教授在1998年创立了PT-对称量子力学。PT-对称量子力学是将薛定谔方程中的哈密尔顿量H的“自伴性”条件用“H具有PT-对称性”来替代而产生的量子力学。其中算子H具有PT-对称性是指它与算子PT可交换。该理论是经典量子理论的复化，特别是该理论将H的自伴性这一数学条件物理化。PT-对称理论在光学实验中得到了验证。PT-对称理论极大拓广了经典量子力学的应用范围，它具有真实的物理意义与背景 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] ，得到了国外学者的广泛关注 [ 5 ] - [ 13 ] 。PT-对称量子理论研究的是量子系统在空间对称变换和时间反演变换下的对称性 [ 11 ] 。 与经典量子力学相比，在PT-对称量子理论中，哈密顿量H的自伴性不再是必须要求。许多专家学者已给出了PT-对称量子系统中在有限维Hilbert空间上非自伴的Hamiltonian H的形式，也已经定义出了 和 这两种时间反演下的PT内积、CPT内积，但是关于PT-对称量子系统中的量子测量还没有给出，这正是本文要研究的内容。
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user: 2. PT-对称性 经典量子力学的动力学性质通过以下的薛定谔方程描述： ， 。 其中 表示系统的状态，称为波函数， 为复Hilbert空间 中的稠定自伴算子(称为哈密尔顿量算符)， 为实数域或复数域。 PT对称理论研究的是量子系统关于“空间对称变换”与“时间反演变换”的对称性。这两种变换是状态空间 上的两个算子 与 ，它们的定义是 显然，它们都连续的，空间对称变换 是线性的、时间反演变换 是共轭线性的(或称反线性的)。同时， 。 定义2.1 [ 11 ] 如果量子系统(2.1)的哈密尔顿量算符 与算子 可交换，即 ， 则 称为是 -对称的。此时，也称系统(2.1)是 -对称的。 定义2.2 [ 11 ] 设 是Hilbert空间 上的线性算子满足 (恒等算子)， 是 上的反线性(又称共轭线性)算子，满足 且 。空间 中的线性算子 称是PT-对称的(或称 具有 -对称性)，如果 且与 可交换： (在 上成立)，等价地， 。如果记 ，那么 是PT-对称的当且仅当 。 定义2.3 [ 11 ] 设 上复Hilbert空间 上的算子，满足以下条件： (1) 是恒等的线性算子， 是共轭线性算子； (2) (K上的恒等算子)； (3) ； 则称算子组 为 上的一个 -结构。又若 (4) 为线性算子， ， ； (5) 关于 上的原来内积是正定的：即 ，且 ， 则称算子组 为空间 上的一个 结构。又若 为线性算子，且 (6) ，即 ，有 ，则称算子组 为算子 的一个 -框架。
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user: 3. PT-对称量子系统中的量子测量 在经典量子系统中的量子测量在假设3中已经给出，那么在PT-对称量子系统中量子态的测量又是什么样的呢？在本节中我们将讨论这个问题。 在PT-对称量子系统中，设量子测量由一组测量 描述，若在测量前，量子系统的最新状态是 ，则结果 发生的可能性由： 给出，且测量后系统的状态为： 测量算子满足方程： 。 定理1设 ， ， ， ， 。 ， 。则 是 的一个CPT-框架，而且 为这个PT-对称量子系统的一组测量算子。 证明 (1) ， 。即 。 。 ， ，即 。 。 。 即 。设 ，则 。 且 所以 是 的一个CPT-框架。 (2) 因为 ， 。 所以 ， 。 从而 ， 。 而且 。 因此 ， 从而 为这个PT-对称量子系统的一组测量算子。 注 对于上面的测量算子 ，设被测量状态是 则获得测量结果0的概率为 获得测量结果1的概率为 测量后的状态分别为： ， 。 定理2设 ， ， ， ， ， ， ， ， ，则 是 的一个CPT-框架，而且 为这个PT-对称量子系统的一组测量算子。 证明 (1) ， ，即 。 。 ， 。 即 。 。 。 即 。设 ，则 。 且 所以 是 的一个CPT-框架。 (2) 则 ， ， ， 且 得 从而 为这个PT-对称量子系统的一组测量算子。
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user: 4. 结论 本文得出了在PT-对称量子系统中的量子测量，即量子测量由一组测量 描述，测量后系统的状态为： 。并且通过两组测量算子 ， 和 ， ， ， 得到了PT-对称量子系统中关于量子测量的两个结果。
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user: 摘 要 本文给出了Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和为Nekrasov矩阵的充分条件，并用数值例子对所给结论进行了说明。 关键词 :Nekrasov矩阵，子直和，严格对角占优
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user: 1. 引言 矩阵在诸如概率统计，微分方程，最优化，控制论与系统理论，计算数学等数学分支都有着重要应用。1999年Fallat和Johonson引入方阵的k-子直和的概念 [ 1 ] 。由于矩阵的子直和在很多领域具有重要应用 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] ，之后对矩阵的子直和的研究相继取得许多重要结果。2005年Pedroche和Szyld等给出两个非奇异M矩阵的子直和是非奇异M矩阵的一些充分条件 [ 2 ] ，2006年他们再次给出S严格对角占优矩阵的k-子直和是S严格对角占优阵的充分条件 [ 5 ] 。2007年朱燕，黄廷祝研究了双对角占优矩阵的子直和 [ 6 ] ，2010年Bru，Cvetkovic，Kostic，Pedroche对S-严格对角占优矩阵的子直和进行了研究 [ 7 ] ，2015年李朝迁，李耀堂等对Nekrasov矩阵的子直和进行了研究 [ 8 ] 。2016年赵晶，李耀堂等对严格对角占优矩阵与Nekrasov矩阵的子直和进行了研究 [ 9 ] 。 本文我们继续研究Nekrasov矩阵的子直和，期望找到Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和仍为Nekrasov矩阵的条件。下面先给出本文中要用到的基本知识。 定义1.1 [ 1 ] ：设A为 阶方阵，B为 阶方阵， 为正整数且 ，A和B有如下 分块形式： (1) 其中 和 是 阶方阵。令 ， 称C为A和B的 ( )阶k-子直和，记为 。 注1 [ 5 ] ：设 ， ， ，则由定义1.1易得： 其中 。(2) 。 故C有可表示如下： 定义1.2 [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] ：设矩阵 是 阶矩阵，若对任意一个 ， 成立，其中 ，则称A为严格对角占优矩阵。 定义 1.3 [ 13 ] [ 14 ] ：设矩阵 是 阶矩阵，令 若对任意一个 ， 成立，则A称是Nekrasov矩阵。 注2 [ 13 ] ：由严格对角占优矩阵与Nekrasov矩阵的定义得严格对角占优矩阵是Nekrasov矩阵的一个子类。
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user: 2. Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和 首先我们用一个例子说明Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和不一定是Nekrasov矩阵。 例2.1：设 ， 。 容易验证A是Nekrasov矩阵，B是Nekrasov矩阵。由定义得A与B的3-子直和 为 。 直接计算得 ， ， ， ， 。显然， ，因此 不是Nekrasov矩阵。 注3：例2.1表明任意给出的Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和不一定是Nekrasov矩阵。下面我们来寻找Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和是Nekrasov矩阵的条件。为此先给出下面引理。 引理2.1：设 是 阶Nekrasov矩阵， 是 阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若 ， 如(2)所示，其中 ，且 ， 的主对角线元素全正(或全负)，则对于k-子直和 有：对任意的 ， 。 证明：该引理的结论可由注1直接得到。 引理2.2 [ 9 ] ：设 是 阶严格对角占优矩阵， 是 阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若 ， 分布如(2)所示，其中 ， ， 的主对角线元素全正(或全负)，则对于k-子直和 和 有： 1) ； 2) 当 时： ； 3) 。 引理2.3 [ 9 ] ：设 是 阶严格对角占优矩阵， 是 阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若 ， 如(2)所示，其中 ， 和 的主对角线元素全正(或全负)，且 ， 则在A与B的k-子直和 中，对任意的 ， 成立。 首先说明文献 [ 9 ] 中引理2.2，即本文引理2.2 [ 9 ] 不完整。在此，我们先将结论进行更正。其证明方法同本文引理2.4。 引理2.2 [ 9 ] 更正：设 是 阶严格对角占优矩阵， 是 阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若 ， 分布如(2)所示，其中 ， ， ，的主对角线元素全正(或全负)，则对于k-子直和 ， 分三种情形讨论： 1) 当 时： 。 2) 当 时：分下面2种情形讨论： ； 。 3) 当 时：分下面3种情形讨论： ； 当 时： ； 。 引理2.4：设 是 阶Nekrasov矩阵， 是 阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若 ， 分布如(2)所示，其中 ， ， 的主对角线元素全正(或全负)，则对于k-子直和 ， 分三种情形讨论： 1) 当 时： 。 2) 当 时：分下面2种情形讨论： ； 。 3) 当 时：分下面3种情形讨论： ； 当 时： ； 。 证明：设 是 阶Nekrasov矩阵， 是 阶的Nekrasov矩阵。下面分三种情形讨论： 情形一：当 时： 。 情形二：当 时： 。 。 情形三：当 时：分下面3种情形讨论： 情形1：当 时： 。 情形2：当 时： 。 当 时： 。 现假设 ，其中( )， 成立。 则 。 情形3：当 时： 。 类似引理2.3 [ 9 ] 证明下证引理2.5。 引理2.5：设 是 阶Nekrasov矩阵， 是 阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若 ， 如(2)所示，其中 ， 和 的主对角线元素全正(或全负)，且 ， 则在A与B的k-子直和 中，对任意的 ， 成立。 证明：我们用数学归纳法证明。设A是 阶Nekrasov矩阵，B是 阶的Nekrasov矩阵。任取 ，当 时： 。 (3) 由 。 (4) 和条件 ， 得 。 (5) 当 时： 。 (6) 由 。 (7) 和条件 及(5)得 。 (8) 现假设任取 ， 成立，下证 成立，其中 。 当 时： 。 (9) 由 。 (10) 和条件 及假设条件当 时 得 。 由此得 中任取 ， 成立。 下面我们给出Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和是Nekrasov矩阵的一个充分条件。 定理2.6：设 是 阶Nekrasov矩阵， 是 阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若 ， 如(2)所示，其中 ， ， 的主对角线元素全正(或全负)，且 ， 则A与B的k-子直和 是Nekrasov矩阵。 证明：设 是 阶Nekrasov矩阵， 是 阶的Nekrasov矩阵，下面分三种情形讨论。 情形1：当 时： 。 情形2：当 时：分2种情形讨论： (1) 当 时， ： 。 (2) 当 时， 时： 。 现假设 时， 成立，则当 时： 由条件 ， 得 。 (11) 。 (12) 于是由条件 ， 及(11)、(12)得 。 因此对任意的 成立。 情形3：当 时： 。 (13) 。 (14) 由条件 ， 及(13)、(14)得 。 现设对任意 ， 成立，则当 时： 。 由引理2.5知对任意的 ， 。由此得 。 因此对任意 成立，从而 是Nekrasov矩阵。 例2.2：设 ， 。 容易验证A是Nekrasov矩阵，B是Nekrasov矩阵，于是 。 通过计算可得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 。 于是由定理2.6知 是Nekrasov矩阵。事实上，直接计算得： ， ， ， ， 。 显然，当 时成立，因此 是Nekrasov矩阵。 在定理2.6中，当k分别取1和2时得如下两个推论。 推论2.7：设 是 阶Nekrasov矩阵， 是 阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若 ， ， ， ，其中 ，且 ， 的主对角线元素全正(或全负)， ，则 是Nekrasov矩阵。 推论2.8：设 是 阶Nekrasov矩阵， 是 阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若 ， ， ， ，其中 ，且 ， 的主对角线元素全正(或全负)， ， 。 则 是Nekrasov矩阵。
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user: 3. 结论 本文给出的定理能够判定在满足定理的条件下Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和仍为Nekrasov矩阵，且只用到矩阵自身元素，便于计算。
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user: 摘 要 本文给出一个求解非线性方程组问题的LS算法，该方法具有如下特点：1) 搜索方向自动满足充分下降性；2) 方向具有信赖域的特征；3) 算法拥有全局收敛性；4) 数值结果表明新方法是有效的。 关键词 :方程组，共轭梯度，收敛性
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user: 1. 引言 考虑如下问题： (1.1) 其中 是一个连续函数，上述问题是一个非线性方程组，一个求解该问题的一个方法时将它化为如下的最优化问题模型： (1.2) 其中定义 是欧式范数，不难看出(1.1)和(1.2)的解是等价的。从中可见(1.1)就转化为 了一个最小值的优化问题(1.2)，本文将针对(1.2)提出其求解方法。下面的数值迭代方法经常被使用，公式为： (1.3) 其中 代表搜索方向， 是步长， 是当前迭代点或第 次迭代点，根据 和 就产生下一个迭代点 ，依次下去便会产生一个点列 ，分析此点列收敛到某一聚点 或得到 。 共轭梯度算法是一类非常有效的数值优化方法，它的方向定义如下： 根据 的选取不同，便称为相应的共轭梯度法，目前已有很多公式 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] 等。目前已有很多学者将共轭梯度法应用于非线性方程组问题(见文献 [ 5 ] [ 6 ] 等)，我们给出一个修正的LS共轭梯度算法，该方法具有显著的优点。下一部分，我们给出修正的LS方法和具体算法步骤，第三部分证明算法的全局收敛性，最后给出数值检验结果。
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user: 2. 公式和算法 下面给出修正的LS公式，表达式为： (2.1) 其中 ， 是常数。此公式设计的部分思想是基于文章 [ 6 ] 。在此公式的基础上，我们给出一个修正的LS共轭梯度算法，步骤如下： 算法1 (修正的LS算法) 步0：给定初始点 ，常数 。令 。 步1：若 ，则停止；否则进行步2。 步2：通过式(2.1)计算搜索方向 。 步3：选出满足下面的线搜索条件的步长 ： (2.2) 步4：令迭代公式为 。 步5：若 ，停止并令 ；否则令 (2.3) 步：令 ，转步1。 注：线搜索(2.2)是由文献 [ 5 ] 给出，(2.3)的思想来源于文献 [ 7 ] 。
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user: 3. 下降性、信赖域性质和收敛性分析 首先分析算法1的充分下降性和信赖域的性质，通过下面的引理实现。 引理3.1. 若搜索方向 由式(2.1)产生，有 (3.1) 和 (3.2) 成立，其中 是常数。 证明：根据(2.1)式，当 时，(3.1)和(3.2)显然成立。当 时，由(2.1)得到 (3.1)式成立。下证(3.2)式。根据(3.1)式，可推出 从上式可得(3.1)式的左边，其中取 。对于(3.2)的右边，通过(2.1)式获得下式 其中最后一个不等式根据 得到，取 便得到(3.2)的右边。综上，(3.1)和(3.2)均成立。证毕！ 上述引理中的(3.1)是充分下降性，(3.2)是信赖域性质，这两个性质对算法的全局收敛性起着非常重要的作用。从中也可看出，所建议的搜索方向不需要任何附加条件，自动满足这两个性质。为获得算法1的全局收敛性，我们需要下面的假设条件。 假设1：(A) 所研究的问题(1.1)有解； (B) 在 上满足下面的Lipschitz性质，即 ， 其中 是个常数。 在假设1和引理3.1结论的基础上，我们可以建立算法的全局收敛性。因为全局收敛性的证明与文献 [ 6 ] 的证明过程基本相同，此处不再详述，只给出定理。 定理3.1. 假如序列 由算法1产生，同时假设1成立，则有 成立。 此定理被称为算法1的全局收敛性定理。
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user: 4. 数值结果 为了验证算法的有效性，我们将对下面的问题进行检验(表1)，这些问题同文献 [ 5 ] 一样。 利用Matlab R2009a编写程序，在Windows 7系统，6.00GB内存，64位操作系统，CPU为Intel (R) Xeon (R)， E5507 2.27 GHz上运行。参数选取是： 。表二中参数含义：NI表示迭代次数，NF表示函数值次数，Dim表示问题的维数，Time表示运行的CPU时间，Fval表示程序终止时的范数值。 Table 1 Equations proble No. 名称 1 Exponential function 2 2 Trigonometric function 3 Logarithmic function 4 Broyden Tridiagonal function 5 Trigexp function 6 Strictly convex function 1 7 Extended Freudentein and Roth function 8 Discrete boundary value problem 9 Troesch problem 表1. 方程组问题 从上面表格中的数值结果可以看出，算法1对上述问题的求解非常有效，最终的范数值很接近零，表明对非线性方程组的精确解逼近程度很高，个别问题可以求到精确解(如问题7和问题9)；随着问题维数的增加，CPU时间和迭代次数以及函数值次数改变不是很大，说明算法1的有效性；个别问题的CUP时间是零，说明其求解几乎没有占用系统的CPU时间，就得出了结果。
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user: 摘 要 本文研究了带有非线性项的粘性Cahn-Hilliard方程 的整体吸引子。首先验证了该方程有界吸收集的存在性，进而利用紧性方法得到整体吸引子的存在性。 关键词 :粘性Cahn-Hilliard方程，整体吸引子，吸收集
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user: 1. 引言 考虑下面的带非线性的粘性Cahn-Hilliard方程 (1) (2) (3) 的长时间行为，其中非线性 ，对于几乎处处 ， 是局部有界可测函数。 1958年，Novick Cohen等人为了描述带粘性物质的相互扩散运动，首次提出了粘性Cahn-Hilliard方程。这类方程在非牛顿流体力学理论中有着广泛的应用。董超雨等在 [ 1 ] 中采用了一种新的验证紧性的方法讨论了粘性Cahn-Hilliard方程全局吸引子的存在性。带有可加白噪音的Cahn-Hilliard方程的吸引子在 [ 2 ] 中给出了严密的论证。近几年来，许多学者对于Cahn-Hilliard方程产生了浓厚的兴趣，详见 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] 。但是，对于较高正则性的研究还没有任何结果。本文在较高的正则性空间中，采用 [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] 中提到的新的紧性方法，研究了具有非线性项的问题(1)~(3)整体吸引子的存在性。 我们假设非线性项 满足下面的条件。 (H1) (H2) ， (H3) ， 其中 满足： ，当 ； ，当 。 此外，对于非线性项 ，我们假设下列条件成立。 (G1) ， (G2) ， (G3) ， (G4) 其中 为正常数， ，且 。 本文的主要结果是。 定理1.1 假设 满足(H1)~(H3)， 满足(G1)~(G4)，则问题(1)~(3)对应的解半群在 中存在吸引子。 全文结构如下：第二部分是文章的预备知识；在第三部分中，我们证明了相应于解半群的吸引子的存在性。
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user: 2. 预备知识 下面介绍本文将要用到的一些概念和结论。 让 和 分别表示 和 中的范数。对于空间 ，我们定义 。 引理2.1 假设 满足(H1)~(H3)， 满足(G1)~(G4)。则对于任意的 和 问题(1)~(3)存在唯一解 该引理利用Faedo-Galerkin方法可证，参见 [ 5 ] ，进而由定理1.1定义了一个连续的算子半群 ，即： 。 引理2.2 集合 ， 其中 是 中以0为中心以 为半径的球，是 在 中的有界吸收集。即对于任意的 均成立，且对于任意的有界集 ，存在 ，使得对于每一个 ，有 。 证明：将 与(1)式做内积，可得： (4) 用(H1)~(H3)及Poincare不等式，可得： 再由(G1)~(G4)， (5) 整理得： (6) 根据Gronwall不等式，可得： (7) 故而，存在 ，使得对于一切的 ，有 。 本文运用参考文献 [ 9 ] 中新的验证紧性的方法，证明了半群 的整体吸引子是一个紧的不变集 。 定义2.1 [ 9 ] Banach空间 中的连续半群 满足条件C，是指对于任意 及 中任何的有界集 ，存在 和一个有限维的子空间 ，使得 是有界的，并且 ， ， 是一个规范投影。 定理2.1 [ 9 ] 设 是Hilbert空间 中的连续半群，如果下面条件成立， 1) 在 中存在有界吸收集 ； 2) 满足条件C。 那么 在 中存在整体吸引子 ，且 吸引 中的一切有界集。
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user: 3. 整体吸引子的存在性 3.1. 中有界吸收集的存在性 将 和(1)式做内积，得： (8) 由于 可得： (9) 其中： 用(H1)~(H3)，可得： 再由(G1)~(G4)， 整理得： (10) 取适当的 ，使得 ，根据Gronwall不等式，可得： (11) 所以，对于任意的 存在 ，使得对于一切的 ，有 。 定理3.1 假设 满足(H1)~(H3)， 满足(G1)~(G4)。以 为半径的球 是问题(1)~(3)生成的解半群 在 中的有界吸收集，即对于任意的有界集 ，存在 ，使得当 时， 。 3.2. H 2 中整体吸引子的存在性 本节，记 为 的特征值， 为对应于 的特征向量，当 时， ，且 构成了 的正交基，令 ， ，记 为标准投影。 将 和(1)式做内积，得： (12) 易知 是紧嵌入 和 中的，所以对于任意的 ，存在 ，使得： 因此，有 同理可得： 综上， (13) 取适当的 ，使得 ，根据Gronwall不等式，可得： (14) 所以存在 ，使得对于一切的 ，有 定理3.2 假设 满足(H1)~(H3)， 满足(G1)~(G4)。对于 ，问题(1)~(3)在 中存在整体吸引子 。这里 在 的范数下吸引了 中的一切有界集。
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user: 摘 要 本文研究了具有周期系数和时变传输时滞的高阶Cohen-Grossberg型BAM神经网络，利用拓扑度中的Mawhin延拓定理，讨论了系统周期解的存在性，并通过构造适当的Lyapunov泛函，给出了周期解全局稳定的充分条件。 关键词 :时变传输时滞，周期系数，周期解，全局稳定
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user: 1. 引言 近年来，随着神经网络研究的不断深入，为提高网络的逼近能力和收敛速度，许多学者通过研究高阶神经网络动力学模型以提高网络性能 [ 1 ] [ 2 ] 。文献 [ 1 ] 研究了一类具有时滞的高阶Cohen-Grossberg神经网络。通过构造Lyapunov泛函并利用LMI方法给出了保证系统平衡点全局指数稳定的充分条件。文献 [ 2 ] 研究了一类高阶Cohen-Grossberg型BAM神经网络，并通过构造Lyapunov泛函并结合微积分中值定理以及Poincaré映射，分别得到了系统存在唯一全局指数稳定的周期解的充分条件。值得注意的是，文献 [ 1 ] 和 [ 2 ] 均假定神经元之间的连接权系数为常数，但事实上，考虑系统的长时间动力行为以及环境的季节性变化时，网络的连接权常会随时间的变化而变化。因此，研究具有周期系数的高阶神经网络更具实际意义。在文 [ 3 ] 中，Ren和Cao研究了一类具有周期系数和常时滞的高阶BAM神经网络的周期解的存在性和全局稳定性，但在递归神经网络的实际应用中，受放大器转换速度的限制和电子回路发生故障的影响，时滞常会随时间的变化而变化 [ 4 ] [ 5 ] 。 基于文献 [ 2 ] 和 [ 3 ] 的建模思想，本文将研究如下具有周期系数和时变传输时滞的高阶Cohen-Grossberg型BAM神经网络 (1.1) 其中 ， 和 为网络中第 层和第 层中神经元的个数， 和 分别表示第 层和第 层中第 个神经元和第 个神经元在 时刻的状态变量， 和 均为连续的 -周期函数，其中 和 表示正的连续有界的放大函数， 和 为行为函数， 和 分别为第 个和第 个神经元在 时刻的激励函数， 和 为网络的一阶连接权， 和 为网络的二阶连接权， 和 为轴突信号的传输时滞。在系统(1.1)中，我们作如下假设： (A1.1) 存在 和 使得 (A1.2) 存在 和 使得 (A1.3) 存在常数 和 使得 (A1.4) 和 是非负连续可导的 -周期函数且满足 和 . 记 系统(1.1)满足的初始条件为 (1.2) 这里 和 是有界的连续函数。