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user: 4. 对S 4 子群的求解 S 4 = { ( 1 ) ， ( 12 ) ， ( 13 ) ， ( 14 ) ， ( 23 ) ， ( 24 ) ， ( 34 ) ， ( 12 ) ( 34 ) ， ( 13 ) ( 24 ) ， ( 14 ) ( 23 ) ， ( 123 ) ， ( 132 ) ， ( 234 ) ，                 ( 243 ) ， ( 124 ) ， ( 142 ) ， ( 134 ) ， ( 143 ) ， ( 1234 ) ， ( 1432 ) ， ( 1324 ) ， ( 1243 ) ， ( 1342 ) ， ( 1423 ) } ，其中有1个 1阶元，9个2阶元，4对互逆的3阶元，3对互逆的4阶元，共24个元素，即S 4 的阶数为24。S 4 有两个平凡子群{(1)}和S 4 ，由Lagrange定理可知S 4 的非平凡子群可能的阶数为2， 3， 4， 6， 8， 12。为了讨论方便不妨将S 4 中由所有i阶子群组成的j个元素的集合记为 { N i 1 ， N i 2 ， ⋯ ， N i j } ，其中i，j均为正整数。 命题2S 4 有且仅有9个2阶子群，4个3阶子群，3个4阶循环群和4个与Klein四元数群同构的4阶群，4个与S 3 同构的6阶群，3个8阶群，这些都是非平凡子群。 证明：有 | S 4 | = 24 = 2 3 ∗ 3 ，且 ( 2 ， 3 ) = 1 ，由Sylow定理可知S 4 必有2阶，3阶，4阶，8阶子群。与S 3 相同的分析的方法可知S 4 有9个2阶子群，即 N 21 = { ( 1 ) ， ( 12 ) } ， N 22 = { ( 1 ) ， ( 13 ) } ， N 23 = { ( 1 ) ， ( 14 ) } ， N 24 = { ( 1 ) ， ( 23 ) } ， N 25 = { ( 1 ) ， ( 24 ) } ， N 26 = { ( 1 ) ， ( 34 ) } ， N 27 = { ( 1 ) ， ( 12 ) ( 34 ) } ， N 28 = { ( 1 ) ， ( 13 ) ( 24 ) } ， N 29 = { ( 1 ) ， ( 14 ) ( 23 ) } 。以及4个3阶子群，分别为 N 31 = { ( 1 ) ， ( 123 ) ， ( 132 ) } ， N 32 = { ( 1 ) ， ( 234 ) ， ( 243 ) } ， N 33 = { ( 1 ) ， ( 134 ) ， ( 143 ) } ， N 34 = { ( 1 ) ， ( 124 ) ， ( 142 ) } 。 S 4 的4阶子群据推论2可知只有两种结构即4阶群中有4阶元时，则该4阶群与4阶循环群同构；4阶群中没有4阶元时，该4阶群与Klein四元数群同构。经过检验，S 4 中共有3个4阶循 N 41 = 〈 ( 1234 ) 〉 = { ( 1 ) ， ( 13 ) ( 24 ) ， ( 1234 ) ， ( 1432 ) } ， N 42 = 〈 ( 1324 ) 〉 = { ( 1 ) ， ( 12 ) ( 34 ) ， ( 1324 ) ， ( 1423 ) } ， N 43 = 〈 ( 1342 ) 〉 = { ( 1 ) ， ( 14 ) ( 23 ) ， ( 1243 ) ， ( 1342 ) } ；考虑与Klein四元数群同构的4阶群，由Lagrange定理可知，这种4阶群中的元素由幺元与S 4 中的2阶元构成，经过检验共有4个分别为 N 44 = { ( 1 ) ， ( 12 ) ， ( 34 ) ， ( 12 ) ( 34 ) } ， N 45 = { ( 1 ) ， ( 13 ) ， ( 24 ) ， ( 13 ) ( 24 ) } ， N 46 = { ( 1 ) ， ( 14 ) ， ( 23 ) ， ( 14 ) ( 23 ) } ， N 47 = { ( 1 ) ， ( 12 ) ( 34 ) ， ( 13 ) ( 24 ) ， ( 14 ) ( 23 ) } 。 由推论3知6阶群只有6阶循环群和S 3 这两种结构，由于S 4 中没有6阶元，故S 4 中的6阶群都与已知结构的S 3 同构，经过验算，S 4 中共有4个6阶群，分别是 N 61 = { ( 1 ) ， ( 12 ) ， ( 13 ) ， ( 23 ) ， ( 123 ) ， ( 132 ) } ， N 62 = { ( 1 ) ， ( 12 ) ， ( 14 ) ， ( 24 ) ， ( 124 ) ， ( 142 ) } ， N 63 = { ( 1 ) ， ( 13 ) ， ( 14 ) ， ( 34 ) ， ( 134 ) ， ( 143 ) } ， N 64 = { ( 1 ) ， ( 23 ) ， ( 24 ) ， ( 34 ) ， ( 234 ) ， ( 243 ) } 。 由Sylow定理可以知道8阶子群中至少有一个4阶子群，可利用已经求得的S 4 的每个4阶子群中添加合适的4个S 4 中的2阶元，这样的8个元素才有可能构成S 4 的8阶子群；经过检验S 4 中共有3个8阶子群，分别是 N 81 = { ( 1 ) ， ( 13 ) ， ( 24 ) ， ( 13 ) ( 24 ) ， ( 12 ) ( 34 ) ， ( 14 ) ( 23 ) ， ( 1234 ) ， ( 1432 ) } ， N 82 = { ( 1 ) ， ( 12 ) ， ( 34 ) ， ( 12 ) ( 34 ) ， ( 13 ) ( 24 ) ， ( 14 ) ( 23 ) ， ( 1324 ) ， ( 1423 ) } ， N 83 = { ( 1 ) ， ( 14 ) ， ( 23 ) ， ( 14 ) ( 23 ) ， ( 12 ) ( 34 ) ， ( 13 ) ( 24 ) ， ( 1234 ) ， ( 1342 ) } 。证毕 命题3S 4 中有且仅有1个12阶群。 证明：经过验算得S 4 中的全体偶置换 A 4 = { ( 1 ) ， ( 12 ) ( 34 ) ， ( 13 ) ( 24 ) ， ( 14 ) ( 23 ) ， ( 123 ) ， ( 132 ) ， ( 134 ) ， ( 143 ) ， ( 124 ) ， ( 142 ) ， ( 234 ) ， ( 243 ) } 是S 4 的一个12阶子群。下面再证唯一性；不妨假设S 4 中存在1个12阶子群M( M ≠ A 4 )，于是有定理4知A 4 和M满足下述关系： | A 4 M | = ( | A 4 | | M | ) / | A 4 ∩ M | ，且 | A 4 M | ≥ 12 根据假设得A 4 和M为S 4 中的12阶子群，故它们在S 4 中的指数都是2，根据定理5得A 4 和M皆是S 4 的不变子群，有定理6得 A 4 ∩ M 也是S 4 的不变子群，又定理7知A 4 和M之积是S 4 的不变子群，根据推论4以及Lagrange定理得 | A 4 M | = 12 或24。若 | A 4 M | = 12 ，即可得到 | A 4 ∩ M | = 12 ，即有 A 4 = M ，矛盾；若 | A 4 M | = 24 ，则 | A 4 ∩ M | = 6 ，故由假设可推出 A 4 ∩ M 是A 4 的6阶子群，同时也是S 4 的6阶子群，然而S 4 中所有的6阶子群共有4个，而且 | A 4 ∩ N 61 | = | { ( 1 ) ， ( 123 ) ， ( 132 ) } | ， | A 4 ∩ N 62 | = | { ( 1 ) ， ( 124 ) ， ( 142 ) } | ， | A 4 ∩ N 63 | = | { ( 1 ) ， ( 134 ) ， ( 143 ) } | ， | A 4 ∩ N 64 | = | { ( 1 ) ， ( 234 ) ， ( 243 ) } | ，即 | A 4 ∩ N 61 | = | A 4 ∩ N 62 | = | A 4 ∩ N 63 | = | A 4 ∩ N 64 | = 3 ≠ 6 ，可推出A 4 中不存在6阶子群，矛盾；故假设矛盾。证毕