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user: 3. 不动点集含二维不动分支的情形 3.1. 主要工具 Edmonds [ 1 ] 描述了不动点集 M G 的结构与 Z p 作用诱导的二阶上同调上的表示之间的关系。特别的，对于2.1节中阐述的直和分解 H 2 ( M ) = Z [ Z p ] r ⊕ Z [ μ p ] c ⊕ Z t ，有以下式子成立： 1) β 1 ( M G ) = c ； 2) β 0 ( M G ) + β 2 ( M G ) = t + 2 ； 3) χ ( M G ) = t − c + 2 ； 4) 若 c = 0 ，则 M G 中所有的2-维分支皆为2-球面； 5) 若 M G 不是纯2-维的，那么 M G 中的2-维分支代表 H 2 ( M ; Z p ) 上的无关元。若 M G 是纯2-维的，且有k个2-维分支，则2-维分支可以张成 H 2 ( M ; Z p ) 一个维数不低于k − 1的子空间，其中任意k − 1个分支都代表无关元。 由上5)可知，本节考虑的情形中，不动点集中的所有的2-维分支都代表非零的同调类，使得它们都有偶的非负的标准欧拉类。 主要工具有G-符号差公式和Lefchetz不动点定理。 G-符号差公式 [ 1 ] sign ( T ， ( V ， Φ ) ) = trace [ T ∗ : H 2 ( M ) → H 2 ( M ) ] = ∑ i ( μ a i + 1 ) ( μ b i + 1 ) ( μ a i − 1 ) ( μ b i − 1 ) − ∑ j 4 η i μ e j ( μ e j − 1 ) 2 三角形式为： sign ( T ， ( V ， Φ ) ) = ∑ i − cot ( a i π p ) cot ( b i π p ) + ∑ Y csc 2 ( c Y π p ) ( Y ⋅ Y ) 一个较弱版本的G-符号差公式 [ 7 ] | G | ⋅ sign ( M / G ) = sign ( M ) + ∑ m ∈ M G def m + ∑ Y ∈ M G def Y 这里，符号差的亏值def m 和def Y 为： def m = ∑ i ( 1 + μ p a i ) ( 1 + μ p b i ) ( 1 − μ p a i ) ( 1 − μ p b i ) ，     def Y = p 2 − 1 3 ( Y ⋅ Y ) 其中， ( a i ， b i ) 为m处的不动点类型， ( Y ⋅ Y ) 为二维不动分支Y的自相交数。 定理3.1：(Lefschetz不动点定理 [ 8 ] )若 T : M → M 生成一个 Z p 在单连通的闭四维流形M上的群作用，有 L ( T ; M ) = χ ( M G ) ，这里 χ ( M G ) 为不动点集 M G 的Eule示性数， L ( T ; M ) 为映射T的Lefschetz数： L ( T ; M ) = ∑ 0 4 ( − 1 ) k tr ( g ) | H k ( M ; Z ) 3.2. 不可实现为局部线性作用的整表示 以下我们对相交形式为 E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 的四维流形上周期为3的自同构作用的整表示类型进行讨论。 定理3.2： M 4 ( E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ) 上没有周期为3的自同构，整表示为 Z [ Z 3 ] 7 ⊕ Z [ μ 3 ] 4 ⊕ Z 3 ， Z [ Z 3 ] 8 ⊕ Z [ μ 3 ] 4 ， Z [ Z 3 ] 4 ⊕ Z [ μ 3 ] 6 ⊕ Z 8 ， Z [ Z 3 ] 5 ⊕ Z [ μ 3 ] 6 ⊕ Z 5 ， Z [ Z 3 ] 6 ⊕ Z [ μ 3 ] 6 ⊕ Z 2 ， Z [ Z 3 ] 3 ⊕ Z [ μ 3 ] 8 ⊕ Z 7 ， Z [ Z 3 ] 4 ⊕ Z [ μ 3 ] 8 ⊕ Z 4 ， Z [ Z 3 ] 5 ⊕ Z [ μ 3 ] 8 ⊕ Z ， Z [ Z 3 ] ⊕ Z [ μ 3 ] 10 ⊕ Z 9 ， Z [ Z 3 ] 2 ⊕ Z [ μ 3 ] 10 ⊕ Z 6 ， Z [ Z 3 ] 3 ⊕ Z [ μ 3 ] 10 ⊕ Z 3 ， Z [ μ 3 ] 12 ⊕ Z 8 ， Z [ Z 3 ] ⊕ Z [ μ 3 ] 12 ⊕ Z 5 ， Z [ Z 3 ] 2 ⊕ Z [ μ 3 ] 12 ⊕ Z 2 ， Z [ μ 3 ] 14 ⊕ Z 4 ， Z [ Z 3 ] ⊕ Z [ μ 3 ] 14 ⊕ Z 。 证明： ，选择适当的生成元，记符号差为 σ ， χ 为欧拉数。设(1，1)型的不动点有 x 个，每个贡献亏值为−1/3；(1，2)型的不动点有 y 个，每个贡献亏值为1/3；2维不动分支的欧拉数总和为 e ，个数为 k 。 由G-符号差公式和Lefschetz不动点定理，有 { σ = − 1 3 x + 1 3 y + 4 3 e χ = x + y + 2 k σ ， χ 在每组整表示中对应的情形不同，则可能的不动点集的情形也不同，以 σ ， χ 为变量，得到导出组的基础解系为 ( − 1 ， − 1 ， 0 ， 1 ) T ， ( 2 − 2 ， 1 ， 0 ) T ，特解为 ( − 2 σ + χ 2 ， 2 σ + χ 2 ， 0 ， 0 ) T 在通解为 k 1 ( − 1 − 1 0 1 ) + k 2 ( 2 − 2 1 0 ) + ( − 2 σ + χ 2 2 σ + χ 2 0 0 ) 整表示中 e 正定，且 e ≥ 2 k ，考察定理2.2的所有整表示类型，得到所有无解的情形，如定理3.2所述。故以上整表示不可实现 M 4 ( E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ) 上周期为3的局部线性作用。 3.3. 同调平凡的情形 特别的，我们给出同调平凡的例子。 当作用是同调平凡的时候， M 4 ( E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ) 上的周期为3的自同构的情形下，适当选取生成元，由符号差定理和不动点公式，有： { 32 = − 1 3 x + 1 3 y + 4 3 e 34 = x + y + 2 k 寻找 e ≥ 2 k > 0 ，且 e ， k 为整数解， e 为偶数，得到所有的整数解对 { e ， k } 如下： 可以看出，这并不是一个同调平凡作用刚性的例子。 3.4. 其他例子 以 Z [ μ 3 ] 10 ⊕ Z 12 和 Z [ Z 3 ] 8 ⊕ Z [ μ 3 ] 2 ⊕ Z 4 为例，给出不动点类型。 命题3.3：当表示为 Z [ μ 3 ] 10 ⊕ Z 12 时， M 4 ( E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ) 上的周期为3的自同构的不动点可能为： 1) 一个欧拉数为2的环面，5个(1，1)型不动点，7个(1，2)型不动点； 2) 一个欧拉数为4的环面，11个(1，1)型不动点，1个(1，2)型不动点； 3) 一个环面和一个球面，欧拉数之和为4，10个(1，1)型不动点。 证明：适当选择生成元，符号差为2，设(1，1)型的不动点有 x 个，每个贡献亏值为−1/3；(1，2)型的不动点有 y 个，每个贡献亏值为1/3；2维不动分支的欧拉数总和为 e ，个数为 k 。由不动点定理， x + y + 2 k = 14 。由G-符号差定理，有 2 = − 1 3 x + 1 3 y + 4 3 e 考察 e ≥ 2 k > 0 ，且 e ， k 为整数的所有解，如下 { e = 2 ， k = 1 } ， { e = 3 ， k = 1 } ， { e = 4 ， k = 1 } ， { e = 4 ， k = 2 } ， { e = 5 ， k = 1 } 注意到 e 为偶数，去掉 e = 3，5 的情形，得到所有的整数解为 e = 2 ， k = 1 ， x = 5 ， y = 7 ； e = 4 ， k = 1 ， x = 11 ， y = 1 ； e = 4 ， k = 2 ， x = 10 ， y = 0 即当表示为 Z [ μ 3 ] 10 ⊕ Z 12 的情形时， M 4 ( E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ) 上的周期为3的自同构的所有不动点可能为： 1) 一个欧拉数为2的环面，5个(1，1)型不动点，7个(1，2)型不动点； 2) 一个欧拉数为4的环面，11个(1，1)型不动点，1个(1，2)型不动点； 3) 一个环面和一个球面，欧拉数之和为4，10个(1，1)型不动点。 命题3.4：当表示为 Z [ Z 3 ] 8 ⊕ Z [ μ 3 ] 2 ⊕ Z 4 时， M 4 ( E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ) 上的周期为3的自同构的所有不动点可能为： 一个欧拉数为2的环面，亏格为1，以及3个(1，1)型不动点，1个(1，2)型不动点。 证明：适当选择生成元，有符号差为2，由设(1，1)型的不动点有 x 个，每个贡献亏值为−1/3；(1，2)型的不动点有 y 个，每个贡献亏值为1/3；2维不动分支的欧拉数总和为 e ，个数为 k 。且由不动点定理， x + y + 2 k = 6 。由G-符号差定理，有 2 = − 1 3 x + 1 3 y + 4 3 e 得到 e ≥ 2 k > 0 ，且 e ， k 为整数的所有解，如下 { e = 2 ， k = 1 } ， { e = 3 ， k = 1 } 注意到 e 为偶数，去掉 e = 3 的情形，得到所有的整数解为 e = 2 ， k = 1 ， x = 3 ， y = 1 ，即当表示为 Z [ Z 3 ] 8 ⊕ Z [ μ 3 ] 2 ⊕ Z 4 的情形时， M 4 ( E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ) 上的周期为3的自同构的所有不动点可能为： 一个欧拉数为2的环面，亏格为1，以及3个(1，1)型不动点，1个(1，2)型不动点。 其他表示的不动点集情形亦可类似给出。