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user: 3. 色散水波方程的解 在文献 [ 8 ] 和文献 [ 9 ] 中，Guha和Zeng分别考虑了色散水波方程 { u t = v x x x + 2 ( u v ) x = 0 v t = u x + 2 v v x = 0 (13) 这里 u ( x ， t ) ， v ( x ， t ) 分别指底面到水平面的高度和水平速度场，文献 [ 8 ] 中Guha对色散水波方程进行了初步研究，文献 [ 9 ] 中Zeng则通过探讨对色散水波方程的相类似形式构造得到了一些精确解。 通过齐次平衡法平衡方程(13)中的 v x x x 和 ( u v ) x ， u x 和 v v x ，有 n + 3 = n + m + 1 ， m + 1 = 2 n + 1 ，从而得到 m = 2 ， n = 1 ，则方程(2)变为： { u ( x ， t ) = a 0 ( t ) + a 1 ( t ) ϕ ( ξ ) + a 2 ( t ) G ′ ( θ ) G ( θ ) + a 3 ( t ) ϕ ( ξ ) G ′ ( θ ) G ( θ ) v ( x ， t ) = b 0 ( t ) + b 1 ( t ) ϕ ( ξ ) + b 2 ( t ) G ′ ( θ ) G ( θ ) (14) 其中 A ， B ， λ ， μ 为任意常数， C ≠ 0 ， ξ = k 1 x + ϖ 1 t ， θ = k 2 x + ϖ 2 t 。 借助辅助微分方程(3)和(4)，将方程(14)代入到方程(13)中，此时，通过计算便可以得到一个关于 ϕ i ( ξ ) ( G ′ ( θ ) G ( θ ) ) j ( i ， j = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ) 的多项式，令每一项幂系数为零，得到一个关于 a 0 ( t ) ， a 1 ( t ) ， a 2 ( t ) ， b 0 ( t ) ， b 1 ( t ) ， b 2 ( t ) ， k 1 ， k 2 ， ϖ 1 和 ϖ 2 的线性方程组，借助Maple求解此方程组，可得到： k 1 = k 1 ， k 2 = k 1 B λ ϖ 1 = 1 ， ϖ 2 = B λ a 0 ( t ) = 1 4 k 2 2 λ ( 1 + 5 μ ) μ ， a 1 ( t ) = − b 2 k 2 3 λ μ ( 1 + 5 μ ) 4 μ b 0 k 1 A (15) a 2 ( t ) = − 1 4 b 2 k 2 2 λ ( 1 + 5 μ ) μ b 0 ， a 3 ( t ) = b 2 k 2 3 λ 2 ( 1 + 5 μ ) 4 μ b 0 k 1 A b 0 ( t ) = b 0 ( t ) ， b 1 ( t ) = b 1 ( t ) ， b 2 ( t ) = b 2 (t) 将式(15)代入到(14)中，借助(5)~(12)，可得到色散水波方程(13)有如下形式的解： 情形1：当 Δ > 0 且 Δ 1 > 0 时，方程(13)有如下形式的解： u 1 ( x ， t ) = 1 4 k 2 2 λ ( 1 + 5 μ ) μ − b 2 k 2 3 λ μ ( 1 + 5 μ ) 4 μ b 0 k 1 A B + Δ 2 C coth ( Δ 2 ξ )     + 1 4 b 2 k 2 2 λ ( 1 + 5 μ ) μ b 0 ( λ 2 − Δ 1 2 c 1 sinh ( Δ 1 2 θ ) + c 2 cosh ( Δ 1 2 θ ) c 1 cosh ( Δ 1 2 θ ) + c 2 sinh ( Δ 1 2 θ ) )     + b 2 k 2 3 λ 2 ( 1 + 5 μ ) 4 μ b 0 k 1 A B + Δ 2 C coth ( Δ 2 ξ ) ( λ 2 − Δ 1 2 c 1 sinh ( Δ 1 2 θ ) + c 2 cosh ( Δ 1 2 θ ) c 1 cosh ( Δ 1 2 θ ) + c 2 sinh ( Δ 1 2 θ ) ) (16) v 1 ( x ， t ) = b 0 ( t ) − b 1 ( t ) B + Δ 2 C coth ( Δ 2 ξ )     − b 2 ( t ) ( λ 2 − Δ 1 2 c 1 sinh ( Δ 1 2 θ ) + c 2 cosh ( Δ 1 2 θ ) c 1 cosh ( Δ 1 2 θ ) + c 2 sinh ( Δ 1 2 θ ) ) (17) (16)与(17)为色散水波方程的双曲函数形式解。 情形2：当 Δ < 0 且 Δ 1 > 0 时，方程(13)有如下形式的解： u 2 ( x ， t ) = 1 4 k 2 2 λ ( 1 + 5 μ ) μ + b 2 k 2 3 λ μ ( 1 + 5 μ ) 4 μ b 0 k 1 A B − − Δ 2 C tan ( − Δ 2 ξ )     + 1 4 b 2 k 2 2 λ ( 1 + 5 μ ) μ b 0 ( λ 2 − Δ 1 2 c 1 sinh ( Δ 1 2 θ ) + c 2 cosh ( Δ 1 2 θ ) c 1 cosh ( Δ 1 2 θ ) + c 2 sinh ( Δ 1 2 θ ) )     + b 2 k 2 3 λ 2 ( 1 + 5 μ ) 4 μ b 0 k 1 A B − − Δ 2 C tan ( − Δ 2 ξ ) ( λ 2 − Δ 1 2 c 1 sinh ( Δ 1 2 θ ) + c 2 cosh ( Δ 1 2 θ ) c 1 cosh ( Δ 1 2 θ ) + c 2 sinh ( Δ 1 2 θ ) ) (18) v 2 ( x ， t ) = b 0 ( t ) − b 1 ( t ) B − − Δ 2 C tan ( − Δ 2 ξ )     − b 2 ( t ) ( λ 2 − Δ 1 2 c 1 sinh ( Δ 1 2 θ ) + c 2 cosh ( Δ 1 2 θ ) c 1 cosh ( Δ 1 2 θ ) + c 2 sinh ( Δ 1 2 θ ) ) (19) (18)与(19)为色散水波方程的双曲函数与三角函数混合作用解。 情形3：当 A = B = 0 ， C ≠ 0 且 Δ 1 < 0 时，方程(13)有如下形式的解： u 3 ( x ， t ) = 1 4 k 2 2 λ ( 1 + 5 μ ) μ + b 2 k 2 3 λ μ ( 1 + 5 μ ) 4 μ b 0 k 1 A 1 C ξ + H 1     + 1 4 b 2 k 2 2 λ ( 1 + 5 μ ) μ b 0 ( λ 2 − − Δ 1 2 − c 1 sin ( − Δ 1 2 θ ) + c 2 cos ( − Δ 1 2 θ ) c 1 cos ( − Δ 1 2 θ ) + c 2 sin ( − Δ 1 2 θ ) )     + b 2 k 2 3 λ 2 ( 1 + 5 μ ) 4 μ b 0 k 1 A 1 C ξ + H 1 ( λ 2 − − Δ 1 2 − c 1 sin ( − Δ 1 2 θ ) + c 2 cos ( − Δ 1 2 θ ) c 1 cos ( − Δ 1 2 θ ) + c 2 sin ( − Δ 1 2 θ ) ) (20) v 3 ( x ， t ) = b 0 ( t ) − b 1 ( t ) 1 C ξ + H 1 + b 2 ( t ) ( − λ 2 + − Δ 1 2 − c 1 sin ( − Δ 1 2 θ ) + c 2 cos ( − Δ 1 2 θ ) c 1 cos ( − Δ 1 2 θ ) + c 2 sin ( − Δ 1 2 θ ) ) (21) (20)与(21)为色散水波方程的三角函数与有理函数混合作用解。 情形4：当 A = B = 0 ， C ≠ 0 且 Δ 1 = 0 时，方程(13)有如下形式的解： u 4 ( x ， t ) = 1 4 k 2 2 λ ( 1 + 5 μ ) μ + b 2 k 2 3 λ μ ( 1 + 5 μ ) 4 μ b 0 k 1 A 1 C ξ + H 1     − 1 4 b 2 k 2 2 λ ( 1 + 5 μ ) μ b 0 ( − λ 2 + c 2 c 1 + c 2 θ )     − b 2 k 2 3 λ 2 ( 1 + 5 μ ) 4 μ b 0 k 1 A 1 C ξ + H 1 ( − λ 2 + c 2 c 1 + c 2 θ ) (22) v 4 ( x ， t ) = b 0 ( t ) − b 1 ( t ) 1 C ξ + H 1 + b 2 ( t ) ( − λ 2 + c 2 c 1 + c 2 θ ) (23) (22)与(23)为色散水波方程的有理函数解。 其中 ξ = k 1 x + t ， θ = k 1 B λ x + B λ t ， c 1 ， c 2 为任意常数， Δ = B 2 − 4 A C ， Δ 1 = λ 2 − 4 μ 。 根据式(5)~(12)还可以得到更多关于色散水波方程的解，这里就不再一一列出。