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user: 4. 自适应控制器设计 本文采用反步法设计控制器，首先定义如下坐标变换 { e 1 = x 1 − y d e 2 = x 2 − α 1 其中， α 1 是虚拟控制器，将在第一步设计中给出。 第一步：考虑 e 1 = x 1 − y d ，根据式(3)，可得其导数为 e ˙ 1 = x ˙ 1 − y ˙ d = x 2 − y ˙ d (5) 又因为 e 2 = x 2 − α 1 ，所以 e ˙ 1 可重写为 e ˙ 1 = e 2 + α 1 − y ˙ d (6) 考虑如下障碍李雅普诺夫函数 V 1 = 1 2 log k e 1 2 k e 1 2 − e 1 2 (7) 其中， k e 1 = k 1 − Y 。则 V 1 沿着时间的导数为 V ˙ 1 = e 1 e ˙ 1 k e 1 2 − e 1 2 (8) 将式(6)代入式(8)，可得 V ˙ 1 = e 1 ( e 2 + α 1 − y ˙ d ) k e 1 2 − e 1 2 设计如下虚拟控制器 α 1 = − β 1 e 1 + y ˙ d (9) 其中， β 1 是正常数。进一步可得 V ˙ 1 为 V ˙ 1 = − β 1 e 1 2 k e 1 2 − e 1 2 + e 1 e 2 k e 1 2 − e 1 2 (10) 第二步：考虑 e 2 = x 2 − α 1 和 x ˙ 2 = h ( x ， t ) + ρ F a ，可得 e 2 的导数为 e ˙ 2 = x ˙ 2 − α ˙ 1 = h ( x ， t ) + ρ F a − α ˙ 1 (11) 为了消除饱和带来的影响，构造如下辅助系统 ξ ˙ = { − λ ξ − 1 ξ ( | e 2 Δ τ | k e 2 2 − e 2 2 + 1 2 Δ τ 2 ) + Δ τ ， | ξ | ≥ σ 0 ， | ξ | < σ (12) 其中， ξ 是辅助系统的状态， λ > 0 ， Δ τ = F a − F c ， σ 是一个小的正常数。 选择如下李雅普诺夫函数 V 2 = V 1 + 1 2 ρ log k e 2 2 k e 2 2 − e 2 2 + 1 2 ξ 2 + 1 2 θ ˜ T Γ − 1 θ ˜ (13) 其中， θ ˜ 是估计误差，且 θ ^ 是 θ * 的估计，并定义 θ ˜ = θ * − θ ^ (14) 于是，可得 V 2 沿着时间的导数为 V ˙ 2 = V ˙ 1 + 1 ρ e 2 e ˙ 2 k e 2 2 − e 2 2 + ξ ξ ˙ + θ ˜ T Γ − 1 θ ˜ ˙ = − β 1 e 1 2 k e 1 2 − e 1 2 + e 1 e 2 k e 1 2 − e 1 2 + ξ ξ ˙ + θ ˜ T Γ − 1 θ ˜ ˙ + e 2 ( ρ − 1 h ( x ， t ) − ρ − 1 α ˙ 1 + F a ) k e 2 2 − e 2 2 (15) 由于 h ( x ， t ) 和 ρ 是未知的，因此本文采用RBFNN来逼近未知项 ρ − 1 h ( x ， t ) − ρ − 1 α ˙ 1 ，从而有 ρ − 1 h ( x ， t ) − ρ − 1 α ˙ 1 = θ * T S ( Z ) + ε ( Z ) (16) 其中， θ * 是神经网络权重， S ( Z ) 是径向基函数向量， ε ( Z ) 是逼近误差， Z = [ x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ， y d ， y ˙ d ， y ¨ d ] T 是神经网络输入。 将式(16)代入式(15)，可得 V ˙ 2 = − β 1 e 1 2 k e 1 2 − e 1 2 + e 1 e 2 k e 1 2 − e 1 2 + ξ ξ ˙ + θ ˜ T Γ − 1 θ ˜ ˙ + e 2 ( θ * T S ( Z ) + ε ( Z ) + F a ) k e 2 2 − e 2 2 (17) 根据杨氏不等式，有下式成立 e 2 ε ( Z ) k e 2 2 − e 2 2 ≤ e 2 2 2 ( k e 2 2 − e 2 2 ) 2 + ε ¯ 2 2 (18) 综合式(12)，式(17)和式(18)，我们有 V ˙ 2 ≤ − β 1 e 1 2 k e 1 2 − e 1 2 + e 1 e 2 k e 1 2 − e 1 2 − θ ˜ T Γ − 1 θ ^ ˙ + ε ¯ 2 2 + e 2 ( F a + θ * T S ( Z ) + e 2 2 ( k e 2 2 − e 2 2 ) ) k e 2 2 − e 2 2 − λ ξ 2 − | e 2 Δ τ | k e 2 2 − e 2 2 − 1 2 Δ τ 2 + Δ τ ξ ≤ − β 1 e 1 2 k e 1 2 − e 1 2 + e 1 e 2 k e 1 2 − e 1 2 − θ ˜ T Γ − 1 θ ^ ˙ + ε ¯ 2 2 + e 2 ( F a + θ * T S ( Z ) + e 2 2 ( k e 2 2 − e 2 2 ) ) k e 2 2 − e 2 2 − λ ξ 2 − | e 2 Δ τ | k e 2 2 − e 2 2 + 1 2 ξ 2 由于 Δ τ = F a − F c ，故 V ˙ 2 可重写为 V ˙ 2 ≤ − β 1 e 1 2 k e 1 2 − e 1 2 + e 1 e 2 k e 1 2 − e 1 2 − θ ˜ T Γ − 1 θ ^ ˙ + ε ¯ 2 2 + e 2 ( F c + θ * T S ( Z ) + e 2 2 ( k e 2 2 − e 2 2 ) ) k e 2 2 − e 2 2 − ( λ − 1 2 ) ξ 2 + e 2 Δ τ k e 2 2 − e 2 2 − | e 2 Δ τ | k e 2 2 − e 2 2 ≤ − β 1 e 1 2 k e 1 2 − e 1 2 + e 1 e 2 k e 1 2 − e 1 2 − θ ˜ T Γ − 1 θ ^ ˙ + ε ¯ 2 2 + e 2 ( F c + θ * T S ( Z ) + e 2 2 ( k e 2 2 − e 2 2 ) ) k e 2 2 − e 2 2 − ( λ − 1 2 ) ξ 2 根据式(14)，可得 θ * = θ ^ + θ ˜ ，从而有 V ˙ 2 ≤ − β 1 e 1 2 k e 1 2 − e 1 2 − ( λ − 1 2 ) ξ 2 − θ ˜ T Γ − 1 θ ^ ˙ + ε ¯ 2 2 + e 2 k e 2 2 − e 2 2 ( F c + θ ^ T S ( Z ) + e 2 2 ( k e 2 2 − e 2 2 ) + e 1 ( k e 2 2 − e 2 2 ) k e 1 2 − e 1 2 + θ ˜ T S ( Z ) ) (19) 设计实际控制律为 F c = − β 2 ( e 2 + ξ ) − θ ^ T S ( Z ) − e 2 2 ( k e 2 2 − e 2 2 ) − e 1 ( k e 2 2 − e 2 2 ) k e 1 2 − e 1 2 (20) 其中， β 2 > 0.5 是常数。于是， V ˙ 2 可进一步表示为 V ˙ 2 ≤ − β 1 e 1 2 k e 1 2 − e 1 2 − β 2 e 2 2 k e 2 2 − e 2 2 − ( λ − 1 2 ) ξ 2 + ε ¯ 2 2 − β 2 e 2 ξ k e 2 2 − e 2 2 + e 2 k e 2 2 − e 2 2 θ ˜ T S ( Z ) − θ ˜ T Γ − 1 θ ^ ˙ (21) 再次利用杨氏不等式，可得 − β 2 e 2 ξ k e 2 2 − e 2 2 ≤ e 2 2 2 ( k e 2 2 − e 2 2 ) 2 + 1 2 β 2 2 ξ 2 (22) 将式(22)代入到式(21)，有 V ˙ 2 ≤ − β 1 e 1 2 k e 1 2 − e 1 2 − ( β 2 − 0.5 ) e 2 2 k e 2 2 − e 2 2 − ( λ − 1 2 − 1 2 β 2 2 ) ξ 2 + ε ¯ 2 2 + θ ˜ T ( e 2 k e 2 2 − e 2 2 S ( Z ) − Γ − 1 θ ^ ˙ ) (23) 设计如下自适应律 θ ^ ˙ = Γ ( e 2 k e 2 2 − e 2 2 S ( Z ) − δ θ ^ ) (24) 基于式(23)和式(24)，我们有 V ˙ 2 ≤ − β 1 e 1 2 k e 1 2 − e 1 2 − ( β 2 − 0.5 ) e 2 2 k e 2 2 − e 2 2 + ε ¯ 2 2 − ( λ − 1 2 − 1 2 β 2 2 ) ξ 2 + δ θ ˜ T θ ^ (25) 考虑如下不等式 δ θ ˜ T θ ^ = δ θ ˜ T θ * − δ θ ˜ T θ ˜ ≤ − 1 2 δ ‖ θ ˜ ‖ 2 + 1 2 δ ‖ θ * ‖ 2 从而可得 V ˙ 2 ≤ − β 1 e 1 2 k e 1 2 − e 1 2 − ( β 2 − 0.5 ) e 2 2 k e 2 2 − e 2 2 − 1 2 δ ‖ θ ˜ ‖ 2 − ( λ − 1 2 − 1 2 β 2 2 ) ξ 2 + 1 2 δ ‖ θ * ‖ 2 + ε ¯ 2 2 (26) 于是，可得如下主要结果。