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user: 3. Amitsur-Kurosh根性质的映射刻画 下面，对点态化完备代数类 A 中预根、拟根性质进行研究，以建立Amitsur-Kurosh根性质的另一种刻画。 定理3.1：P是代数类 A 中一个预根，则以下条件等价： 1) ∀ a ∈ A ， { i α } α ∈ Γ 是a的P-理想集，则 ∨ { i α | α ∈ Γ } 也是P-理想； 2) ∀ a ∈ A ， { i α } α ∈ Γ 是a的所有P-理想集，则 ∨ { i α | α ∈ Γ } 也是P-理想； 3) ∀ a ∈ A ， i ， j ⊲ a 是2个P-理想，则 i ∨ j 也是P-理想； { i α } α ∈ Γ 是a的P-理想升链，则 ∨ { i α | α ∈ Γ } 也是P-理想。 证明 1) Þ 2)，1) Þ 3)显然。 2) Þ 1) 设 { i α } α ∈ Γ 是a的P-理想集，考虑 k = ∨ { i α | α ∈ Γ } ⊲ a ，设 { j β } β ∈ Λ 是k的所有P-理想集，由(2)知 ∨ { j β | β ∈ Λ } 是k的P-理想。又因为 ∨ { j β | β ∈ Λ } ≥ ∨ { i α | α ∈ Γ } = k ，从而 k = ∨ { i α | α ∈ Γ } = ∨ { j β | β ∈ Λ } ， 即k是P-代数，即 k = ∨ { i α | α ∈ Γ } 是a的P-理想。 3) Þ 1) 设 { i α } α ∈ Γ 是a的所有P-理想集，由于 0 ∈ { i α } α ∈ Γ ， { i α } α ∈ Γ 非空，根据条件(3)，利用Zorn引理知 { i α } α ∈ Γ 中存在一个极大元m。如果有某个 i α ≤ m ，则 i α ∨ m ≥ m ( i α ≠ m )，由2)知 i α ∨ m 也是a的P-理想，与m是 { i α } α ∈ Γ 中的极大元矛盾，因此 ∀ α ，有 i α ≤ m ，即 ∨ { i α | α ∈ Γ } ≤ m ，所以也是P-理想 ∨ { i α | α ∈ Γ } = m 。证毕。 定理3.2：P是 A 上一个预根，则以下条件等价： 1) P是完备的遗传预根； 2) 2.1 ∀ a ∈ A ， { i α } α ∈ Γ 是a的所有P-理想集，则 ∨ { i α | α ∈ Γ } 也是P-理想； 2.2 ∀ a ∈ A ， P ( a ) = ∨ { ( x ) | x ∈ S a ， P ( ( x ) ) = ( x ) } ； 3) 3.1 ∀ a ∈ A ， i ， j ⊲ a 是2个P-理想，则 i ∨ j 也是P-理想； 3.2 ∀ a ∈ A ， { i α } α ∈ Γ 是a的P-理想升链，则 ∨ { i α | α ∈ Γ } 也是P-理想； 3.3 ∀ a ∈ A ， x ∈ S a ， ( x ) 是a的P-理想当且仅当 x ∈ S P ( a ) 。 证明 1) Þ 2) P是完备的遗传预根。 ∀ a ∈ A ， { i α } α ∈ Γ 是a的所有P-理想集，由P的完备性得 i α ≤ P ( a ) ， α ∈ Γ 。所以 ∨ { i α | α ∈ Γ } ≤ P ( a ) ， 由P的遗传性得 ∨ { i α | α ∈ Γ } 是P-理想，即2.1成立； ∀ a ∈ A ， ∀ x ∈ S a ， P ( ( x ) ) = ( x ) ，由P的完备性得 ( x ) ≤ P ( a ) ，所以 k = ∨ { ( x ) | x ∈ S a ， P ( ( x ) ) = ( x ) } ≤ P ( a ) ; ∀ x ∈ S P ( a ) ， ( x ) ≤ P ( a ) ，由P的遗传性得 ( x ) 是P-理想，所以 ∀ x ∈ S k ，进而有 P ( a ) ≤ k ，因此 P ( a ) = k = ∨ { ( x ) | x ∈ S a ， P ( ( x ) ) = ( x ) } ， 即2.2成立。 综上2)成立。 2) Þ 1) 2.1，2.2成立。 ∀ a ∈ A ， i ⊲ a ， i ≤ P ( a ) ， x ∈ S i ⊆ S P ( a ) ，由3.2得 P ( ( x ) ) = ( x ) ，而 i = ∨ { ( x ) | x ∈ S i } ，由2.1得i是P-理想，即P是遗传的。 ∀ a ∈ A ， i ⊲ a ， P ( i ) = i 。 ∀ x ∈ S i ， ( x ) ≤ i = P ( i ) ，由P的遗传性得 P ( x ) = ( x ) ，从而 ( x ) ≤ k = ∨ { ( x ) | x ∈ S a ， P ( ( x ) ) = ( x ) } ≤ P ( a ) ， 故 x ∈ S P ( a ) ，因此 i ≤ P ( a ) ，即P是完备的。 综上1)成立。 2) Û 3) 由定理3.1知2.1与3.1，3.2等价，而2.2与3.3等价，因此2)与3)等价。 证毕。 定理3.3：P是 A 上一个预根，则以下条件等价： 1) P是拟根； 2) ∀ 满同态： f : a → a / i ， i ≤ P ( a ) ，有 f ( P ( a ) ) = P ( f ( a ) ) 。 证明 1) Þ 2) P是拟根， f : a → a / i 是满同态，且 i ≤ P ( a ) ，由P是拟根有 f ( P ( a ) ) ≤ P ( f ( a ) ) ，即 P ( a ) / i ≤ P ( a / i ) 。 对代数 a / i ，考虑满同态 f : a / i → ( a / i ) / ( P ( a ) / i ) ，有 f ( P ( a / i ) ) = P ( a / i ) / ( P ( a ) / i ) ≤ P ( f ( a / i ) ) = P ( ( a / i ) / ( P ( a ) / i ) ) . ( a / i ) / ( P ( a ) / i ) ∼ a / P ( a ) ， P ( a / P ( a ) ) = 0 ， 故 P ( ( a / i ) / ( P ( a ) / i ) ) = 0 ， P ( a / i ) ≤ P ( a ) / i ，进而 P ( a ) / i = P ( a / i ) ，即 f ( P ( a ) ) = P ( f ( a ) ) ，2) 成立。 2) Þ 1)显然。证毕。 定理3.4：P是 A 上一个拟根。则P是完备的Û ∀ a ∈ A ， a / P ( a ) 没有非0P-理想。 证明 “Þ”P是拟根， ∀ a ∈ A ， k / P ( a ) ⊲ a / P ( a ) 是P-理想，其中 P ( a ) ≤ k ⊲ a 。由P是完备的拟根得 k / P ( a ) ⊲ P ( a / P ( a ) ) = 0 ，所以 k / P ( a ) = 0 ，即 a / P ( a ) 没有非0P-理想。 “Ü” ∀ a ∈ A ， a / P ( a ) 没有非0P-理想，设 i ⊲ a ， P ( i ) = i ，则 ( i ∨ P ( a ) ) / P ( a ) ∼ i / ( i ∧ P ( a ) ) 。 考虑 f : a → a / ( i ∧ P ( a ) ) ，则 i ∧ P ( a ) ≤ i ，由定理3.3知 i / ( i ∧ P ( a ) ) = P ( i ) / ( i ∧ P ( a ) ) = f ( P ( i ) ) = P ( f ( i ) ) = P ( i / ( i ∧ P ( a ) ) ) ， ( i ∨ P ( a ) ) / P ( a ) ∼ i / ( i ∧ P ( a ) ) ， 故 ( i ∨ P ( a ) ) / P ( a ) 是 a / P ( a ) 的P-理想，所以 ( i ∨ P ( a ) ) / P ( a ) = 0 ，因此 i ≤ P ( a ) ，即P是完备的。证毕。 定理3.5：P是 A 上一个预根，则以下条件等价： 1) P是遗传预根且 ∀ a ∈ A ， a / P ( a ) 没有非0P-理想； 2) P是完备的遗传拟根； 3) ∀ a ∈ A ，以下条件成立： 3.1 如果 k ≤ i 是a的2个理想且 i / k 是 a / i 的P-理想，k是a的P-理想，则i是a的P-理想； 3.2 { i α } α ∈ Γ 是a的P-理想升链，则 ∨ { i α | α ∈ Γ } 也是P-理想； 3.3 x ∈ S a ， ( x ) ≤ P ( a ) ，则 P ( ( x ) ) = ( x ) ； 3.4 0是 a / P ( a ) 唯一的P-理想； 4) ∀ a ∈ A ， { i α } α ∈ Γ 是a的所有P-理想集，则 ∨ { i α | α ∈ Γ } 也是P-理想。且： 4.1 ∀ a ∈ A ， f : a → a / i ， i ⊲ a ， i ≤ P ( a ) ，则 f ( P ( a ) ) = P ( f ( a ) ) ； 4.2 ∀ a ∈ A ， P ( a ) = ∨ { ( x ) | x ∈ S a ， P ( ( x ) ) = ( x ) } ； 证明 1) Þ 2) ∀ a ∈ A ， P ( a / P ( a ) ) ≤ P ( a / P ( a ) ) ，P是遗传预根，从而 P ( a / P ( a ) ) 是 a / P ( a ) 的P-理想。又因为 a / P ( a ) 没有非0P-理想，因此 P ( a / P ( a ) ) = 0 ，从而P是遗传拟根。又因为 ∀ a ∈ A ， a / P ( a ) 没有非0 P-理想，由定理3.4知P是完备的，从而2)成立。 2) Þ 1) P是完备的遗传拟根，由定理3.4知 ∀ a ∈ A ， a / P ( a ) 没有非0 P-理想，从而1)成立。 2) Þ 3) P是完备的遗传拟根。 ∀ a ∈ A ， x ∈ S a ， ( x ) ≤ P ( a ) ，P是遗传拟根，故 P ( ( x ) ) = ( x ) ，即3.3成立； P是完备的遗传拟根，由1)与2)等价， a / P ( a ) 没有非0P-理想，而 0 ≤ a / P ( a ) ，由P是遗传拟根得0是 a / P ( a ) 的P-理想，因此0是 a / P ( a ) 唯一的P-理想，即3.4成立； 由定理3.2中3.2知 ∀ a ∈ A ， { i α } α ∈ Γ 是a的P-理想升链，则 ∨ { i α | α ∈ Γ } 也是P-理想，即3.2成立； 设 k ≤ i 是a的2个理想且 i / k 是 a / i 的P-理想，k是a的P-理想，由P的完备性知 i ≤ P ( a ) ， i / k ≤ P ( a / i ) 。由定理3.3中(2)得 i / k ≤ P ( a / k ) = P ( a ) / k ，所以 i ≤ P ( a ) ，再由P的遗传性知，i是P-理想，即3.1成立。 综上，3)成立。 3) Þ 4)条件3)成立。 ∀ a ∈ A ， i ， j ⊲ a 是2个P-理想， ( i ∨ j ) / j ∼ i / ( i ∧ j ) = P ( i ) / ( i ∧ j ) . 考虑满同态 f : a → a / ( i ∧ j ) ，则有 P ( i ) / ( i ∧ j ) = f ( P ( i ) ) ≤ P ( f ( i ) ) = P ( i / ( i ∧ j ) ) ⊲ i / ( i ∧ j ) ， 从而 P ( i / ( i ∧ j ) ) = i / ( i ∧ j ) ，即 i / ( i ∧ j ) 是P-代数，进而 ( i ∨ j ) / j 是 a / j 的P-理想，j是a的P-理想，由3.1成立得 i ∨ j 是a的P-理想。再综合3.2成立，根据定理3.1知 ∀ a ∈ A ， { i α } α ∈ Γ 是a的所有P-理想集，则 ∨ { i α | α ∈ Γ } 也是P-理想。 ∀ a ∈ A ， f : a → a / i ， i ⊲ a ， i ≤ P ( a ) ， P ( a ) = ∨ { ( x ) | x ∈ S a } 。由3.3成立， ∀ x ∈ S a ， ( x ) ≤ P ( a ) ，有 P ( ( x ) ) = ( x ) ，从而 P ( a ) = ∨ { ( x ) | x ∈ S a ， P ( ( x ) ) = ( x ) } ，即4.2成立。根据定理3.2，P是完备的遗传预根，由3.4成立，知 P ( a / P ( a ) ) = 0 ，从而P是拟根。再根据定理3.3知 f ( P ( a ) ) = P ( f ( a ) ) ，即4.1成立。 综上，(4)成立。 4)Þ 2) 由 ∀ a ∈ A ， { i α } α ∈ Γ 是a的所有P-理想集，则 ∨ { i α | α ∈ Γ } 也是P-理想及4.2成立，根据定理3.2知，P是完备的遗传预根。由4.1成立再根据定理3.3知P是完备的遗传拟根，即2)成立。 证毕。 定理3.6： A 是一个代数类， A 中一个Amitsur-Kurosh根R可确定一个 A 到 A 的一个满足条件i)~iv)的映射P。 证明 R是一个Amitsur-Kurosh根，设 P : a → R ( a ) ，即 P : P ( a ) = R ( a ) ⊲ a ，则P是 A 到 A 的一个映射， ∀ a ∈ A ， P ( a ) ⊲ a 。 对任意满同态： f : a → a / i ， f ( P ( a ) ) = f ( R ( a ) ) = ( R ( a ) ∨ i ) / i ∼ R ( a ) / ( i ∧ R ( a ) ) ∈ R， 所以 f ( P ( a ) ) ≤ R ( a / i ) = P ( f ( a ) ) ，即映射P满足条件(i)； ∀ a ∈ A ， P ( a / P ( a ) ) = R ( a / P ( a ) ) = R ( a / R ( a ) ) = 0 ，即映射P满足条件(ii)； ∀ a ∈ A ， i ⊲ a ， P ( i ) = i ，即 R ( i ) = i ，则 i ≤ R ( a ) = P ( a ) ，即P满足完备性条件(iii)； ∀ a ∈ A ，则 P ( P ( a ) ) = P ( R ( a ) ) = R ( R ( a ) ) = R ( a ) = P ( a ) ，即P满足幂等性条件(iv)。 证毕。 定理3.7： A 是一个代数类，P是一个 A 到 A 的一个满足条件i)~iv)的映射， R = { a | P ( a ) = a } ，则R是一个Amitsur-Kurosh根类。 证明 ∀ a ∈ A ， i ⊲ a ，如果 a ∈ R ， P ( a ) = a ， f : a → a / i 是一个同态，则 a / i = f ( a ) = f ( P ( a ) ) ≤ P ( f ( a ) ) = P ( a / i ) ， 从而 P ( a / i ) = a / i ，即 a / i ∈ R ，(a)成立； ∀ a ∈ A ，考虑 R ( a ) = ∨ { i ⊲ a | i ∈ R } = ∨ { i ⊲ a | P ( i ) = i } ⊲ a . ∀ i ⊲ a ， P ( i ) = i ，则 i ≤ R ( a ) ，且 i ⊲ R ( a ) ，从而由(iii)有 i ≤ P ( R ( a ) ) 。因此 R ( a ) ≤ P ( R ( a ) ) ，所以 P ( R ( a ) ) = R ( a ) ，故 R ( a ) ∈ R ，即R(a)是a的一个最大R-理想，(b)成立； ∀ a ∈ A ，R(a)是a的一个最大R-理想，有 P ( R ( a ) ) = R ( a ) ，由(iii)有 R ( a ) ≤ P ( a ) 。由(iv)有 P ( P ( a ) ) = P ( a ) ，从而 P ( a ) ∈ R ，所以 P ( a ) ≤ R ( a ) ，故 ∀ a ∈ A ，有 R ( a ) = P ( a ) 。由(ii)有 R ( a / R ( a ) ) = R ( a / P ( a ) ) = P ( a / P ( a ) ) = 0 ， 即(c)成立。 综上，R是一个Amitsur-Kurosh根类。证毕。 定理3.6、定理3.7说明一个Amitsur-Kurosh根类可以确定一个 A 到 A 的一个满足条件i)~iv)的映射P，即一个Amitsur-Kurosh根类可以确定一个 A 上的幂等拟根；反之，一个 A 到 A 的一个满足条件i)~iv)的映射P可以确定一个Amitsur-Kurosh根类，即一个 A 上的幂等拟根可以确定一个Amitsur-Kurosh根类。总之， A 上的幂等拟根P是Amitsur-Kurosh根类的基于映射刻画。