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user: 4. 实验设置和结果分析 为了比较分析SAEFA的性能，本文将SAEFA算法、FWA算法和EFWA算法用于10个典型的Benchmark函数 [ 15 ] [ 16 ] 上进行测试，并对实验结果进行对比。Benchmark函数如表1所示。由于一些函数的名称太长，这里用符号表示。其中 F 1 ( x ) 表示Six-Hump-Camel-back函数， F 2 ( x ) 表示Axis parallel-hyper-ellipsoid函数， F 3 ( x ) 表示Rotated-hyper-ellipsoid函数。*代表此函数有好几个最优点。 4.1. 实验设置 由于选取的Benchmark函数中的许多函数的全局最优点在原点附近，烟花算法由于高斯变异在原点附近有很强的搜索能力。SAEFA因此为测试函数集使用了位置偏移，不同优化问题的搜索区域位置偏移也不同，如表2所示，其中 M a x 与 M i n 是优化问题的搜索范围。 仿真实验使用的平台是MATLAB2014a，为了使对比实验更加有效，三种算法采用相同的参数设置：初始时生成5个烟花，种群规模为50，变异个数为5，函数的评估次数最大设置为300，000，在同一条件下独立运行50次。 Table 1 Benchmark function 函数名 维数 搜索范围 最优点 最优值 Sphere 30 [−100，100] (0，...，0) 0 Schwefel 30 [−100，100] (0，...，0) 0 Ackley 30 [−32，32] (0，...，0) 0 Griewank 30 [−600，600] (0，...，0) 0 Penalized 30 [−50，50] (1，...，1) 0 F 1 ( x ) 2 [−5，5] * −1.0316285 Goldstein-Price 2 [−2，2] (0，−1) 3 Schaffer 2 [−100，100] (0，0) 0 F 2 ( x ) 30 [−5.12，5.12] (0，...，0) 0 F 3 ( x ) 30 [−65.535，65.536] (0，...，0) 0 表1. Benchmark函数 Table 2 The position of the Benchmark function SI (偏移索引) SV (偏移值大小) 0 0 1 0.05 × M a x − M i n 2 2 0.1 × M a x − M i n 2 3 0.2 × M a x − M i n 2 4 0.3 × M a x − M i n 2 5 0.5 × M a x − M i n 2 6 0.7 × M a x − M i n 2 表2. Benchmark函数的位置偏移 4.2. 实验结果分析 为了分析SAEFA的效果，在同一条件下，三个算法对表1中的10个Benchmark函数进行实验仿真，对每个位置偏移索引，下面给出函数平均最优值的表格，如表3到表12所示。 由表3至表7，表11，表12可知，FWA在无位置偏移的时候均能取得最优值，但是随着位置发生偏移，函数的仿真值越来越偏离最优值。而SAEFA和EFWA在所有测试函数中随着位置的偏移而不会发生太大影响，均能保持稳定。而在表4，表6和表12中，EFWA没有找到测试函数的最优解，进入局部最优。表8和表9显示SAEFA、EFWA和FWA三个算法均能够随着位置的偏移保持非常好的性能，都寻找到 F 1 ( x ) 函数和Goldstein Price函数的全局最优值。 Table 3 Comparison of global optimal mean of Sphere function (SI is offset index 算法 SI = 0 SI = 1 SI = 2 SI = 3 SI = 4 SI = 5 SI = 6 FWA 0 0.259016 1.896952 18.041002 43.875453 121.01039 198.58711 EFWA 0.080583 0.078879 0.07936 0.079119 0.0771 0.081641 0.077676 SAEFA 0 0 0 0 0 0 0 表3. Sphere函数全局最优平均值的对比(SI为偏移索引) Table 4 Comparison of global optimal mean of Schwefel function (SI is offset index 算法 SI = 0 SI = 1 SI = 2 SI = 3 SI = 4 SI = 5 SI = 6 FWA 0 567.41627 1954.4070 4273.8175 5040.0143 5515.6789 4823.1137 EFWA 0.327639 0.303336 0.318864 0.32688 0.313821 0.316406 0.309674 SAEFA 0.014518 0.013493 0.012076 0.012857 0.012698 0.015377 0.027172 表4. Schwefel函数全局最优平均值的对比(SI为偏移索引) Table 5 Comparison of global optimal mean of Ackley function (SI is offset index 算法 SI = 0 SI = 1 SI = 2 SI = 3 SI = 4 SI = 5 SI = 6 FWA 0 3.667334 3.919792 3.510247 3.815807 16.435764 19.608222 EFWA 10.209394 14.788456 17.501181 19.537629 19.976466 20.00438 20.010942 SAEFA 16.995873 19.043891 18.904865 19.86018 19.95723 19.988987 19.997008 表5. Ackley函数全局最优平均值的对比(SI为偏移索引) Table 6 Comparison of global optimal mean of Griewank function (SI is offset index 算法 SI = 0 SI = 1 SI = 2 SI = 3 SI = 4 SI = 5 SI = 6 FWA 0 0.034059 0.054588 0.205115 0.683953 0.9717 1.021696 EFWA 0.134513 0.131399 0.13835 0.135506 0.135921 0.132523 0.133103 SAEFA 0.009604 0.007967 0.011242 0.013357 0.012885 0.012676 0.012015 表6. Griewank函数全局最优平均值的对比(SI为偏移索引) Table 7 Comparison of global optimal mean of Penalized function (SI is offset index 算法 SI = 0 SI = 1 SI = 2 SI = 3 SI = 4 SI = 5 SI = 6 FWA 0.018924 0.029145 5.502877 157.05845 130.89703 1756.6532 25977.161 EFWA 0.003541 0.002475 0.003581 0.00263 0.002854 0.002545 0.002874 SAEFA 0.007463 0.008789 0.010211 0.008468 0.011909 0.008992 0.009087 表7. Penalized函数全局最优平均值的对比(SI为偏移索引) Table 8 Comparison of global optimal mean of F 1 ( x ) function (SI is offset index 算法 SI = 0 SI = 1 SI = 2 SI = 3 SI = 4 SI = 5 SI = 6 FWA −1.031628 −1.031628 −1.031628 −1.031628 −1.031628 −1.031628 −1.031628 EFWA −1.031628 −1.031628 −1.031628 −1.031628 −1.031628 −1.031628 −1.031628 SAEFA −1.031628 −1.031628 −1.031628 −1.031628 −1.031628 −1.031628 −1.031628 表8. F 1 ( x ) 函数全局最优平均值的对比(SI为偏移索引) Table 9 Comparison of global optimal mean of Goldstein-Price function (SI is offset index 算法 SI = 0 SI = 1 SI = 2 SI = 3 SI = 4 SI = 5 SI = 6 FWA 3 3 3 3 3 3 30.000037 EFWA 3 3 3 3 3 3 30 SAEFA 3 3 3 3 3 3 31.058824 表9. Goldstein-Price函数全局最优平均值的对比(SI为偏移索引) Table 1 0 Comparison of global optimal mean of Schaffer function (SI is offset index 算法 SI = 0 SI = 1 SI = 2 SI = 3 SI = 4 SI = 5 SI = 6 FWA 0 0.000762 0.002286 0.001906 0.00248 0.001905 0.003049 EFWA 0 0 0 0 0 0 0 SAEFA 0.001905 0.001905 0.001524 0.001334 0.001524 0.000572 0.001715 表10. Schaffer函数全局最优平均值的对比(SI为偏移索引) Table 1 1 Comparison of global optimal mean of F 2 ( x ) function (SI is offset index 算法 SI = 0 SI = 1 SI = 2 SI = 3 SI = 4 SI = 5 SI = 6 FWA 0 0.078245 0.308127 1.532319 4.571801 15.182234 55.750759 EFWA 0.003003 0.002899 0.003049 0.002853 0.003034 0.002859 0.002851 SAEFA 0.000002 0.000001 0.000002 0.000002 0.000002 0.000003 0.000004 表11. F 2 ( x ) 函数全局最优平均值的对比(SI为偏移索引) Table 1 2 Comparison of global optimal mean of F 3 ( x ) function (SI is offset index 算法 SI = 0 SI = 1 SI = 2 SI = 3 SI = 4 SI = 5 SI = 6 FWA 0 48.232453 316.91266 1260.4623 2487.7016 5142.8280 6808.9586 EFWA 0.477472 0.47585 0.487051 0.479914 0.492438 0.48436 0.486137 SAEFA 0.00026 0.000354 0.000333 0.000292 0.00038 0.000585 0.000574 表12. F 3 ( x ) 函数全局最优平均值的对比(SI为偏移索引) 上图的10个小图分别给出了3个算法对于10个Benchmark函数的进化曲线。为了更加清晰地展示各种算法的性能差异，图像纵坐标为函数适应值差取以10为底的对数值。如图1所示，SAEFA在Sphere函数中快速找到最优值，而在Schwefel函数中取得比EFWA和FWA较精确的值；如图2所示，SAEFA在Generalized Griewank函数中取得比EFWA和FWA较精确的值，在Ackley函数中虽然寻找的最优值与函数实际最优值有些差距，但是从迭代趋势来看，如果给出足够的迭代次数，最终还是可以找到最优值；如图3、图4和图5所示，SAEFA在 F 1 ( x ) 和Goldstein函数中均能够快速找到最优值，而在penalized、 F 2 ( x ) 和 F 3 ( x ) 函数取得比EFWA和FWA较精确的值。总体来看，SAEFA在10个测试函数中均表现出不错的效果。