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user: 3. 主要结果 我们从Null–范数在不同区间上可能的取值入手，分别讨论每个区间的具体取值，得出了下面的定理。 定理：令 ( L ， ≤ ， 0 ， 1 ) 是一个有界格， a ∈ L \ { 0 ， 1 } ， S ( x ， y ) 是 [ 0 ， a ] 上的三角对偶范数， T ( x ， y ) 是 [ a ， 1 ] 上的三角范数。那么在有界格L上有零元a的Null–范数 V ( x ， y ) 有且仅有三种。 证明：首先我们来讨论一下在一般的有界格上Null–范数在不同区间上的取值，根据Null–范数的定义我们把有界格上的元素与零元a的关系划分为9个区域如图1： 图1. 区间划分图 这里讨论的是一般有界格，在格区间上Null–范数可能出现的取值可能是下面情况中的某一种： 1) T ( x ， y ) 或者 S ( x ， y ) 。 2) T ( x ∨ a ， y ∨ a ) 或者 S ( x ∧ a ， y ∧ a ) 。 3) 0，1，a，x或y。 4) 常数值 c ∈ L 。 下面来做简单分析，分情况讨论9个区域的具体取值，由定义可得： ( x ， y ) ∈ [ 0 ， a ] 2 ， ； ( x ， y ) ∈ [ a ， 1 ] 2 ， V ( x ， y ) = T ( x ， y ) ； 当 ( x ， y ) ∈ [ 0 ， a ) × ( a ， 1 ] ∪ ( a ， 1 ] × [ 0 ， a ) 时： 当 0 ≤ x < a ， a < y ≤ 1 时， a = V ( x ， a ) ≤ V ( x ， y ) ≤ V ( a ， y ) = a ，因此， V ( x ， y ) = a ； 当 0 ≤ x < a ， a < x ≤ 1 时， a = V ( a ， y ) ≤ V ( x ， y ) ≤ V ( x ， a ) = a ，因此， V ( x ， y ) = a 。 当 ( x ， y ) ∈ [ 0 ， a ] × I a ， x = V ( x ， 0 ) ≤ V ( x ， y ) ≤ V ( a ， y ) = a ，所以区间 ( x ， y ) ∈ [ 0 ， a ] × I a 上可能的取值为 ； 当 ( x ， y ) ∈ [ a ， 1 ] × I a ， a = V ( a ， y ) ≤ V ( x ， y ) ≤ V ( x ， 1 ) = x ，所以区间 ( x ， y ) ∈ [ 0 ， a ] × I a 上可能的取值为 x ， a ， T ( x ∨ a ， y ∨ a ) ； 当 ( x ， y ) ∈ I a × I a 时，可能的取值为： 0 ， 1 ， a ， c ， S ( x ∧ a ， y ∧ a ) ， T ( x ∨ a ， y ∨ a ) 。 1) 当 ( x ， y ) ∈ [ 0 ， a ] × I a ， V ( x ， y ) = x 时， 若 x ∈ [ 0 ， a ] ， y ∈ [ 0 ， a ] ， z ∈ I a ， y ≤ z 时， V ( x ， y ) = S ( x ， y ) ， V ( x ， z ) = x ，不满足单调性。 2) 当 ( x ， y ) ∈ [ 0 ， a ] × I a ， V ( x ， y ) = a 时， 2.1) 当 ( x ， y ) ∈ [ a ， 1 ] × I a ， V ( x ， y ) = a 时， 2.1.1) 当 ( x ， y ) ∈ I a × I a ， V ( x ， y ) = 0 时， 若 x ∈ I a ， y ∈ [ 0 ， a ] ， z ∈ I a ， y ≤ z 时， V ( x ， y ) = a ， V ( x ， z ) = 0 ，不满足单调性。 2.1.2) 当 ( x ， y ) ∈ I a × I a ， V ( x ， y ) = 1 时， 若 x ∈ I a ， y ∈ I a ， z ∈ [ a ， 1 ] ， y ≤ z 时， V ( x ， y ) = 1 ， V ( x ， z ) = a ，不满足单调性。 2.1.3) 当 ( x ， y ) ∈ I a × I a ， V ( x ， y ) = a 时， 此时我们得到了一个Null–范数的构造： 2.1.4) 当 ( x ， y ) ∈ I a × I a ， V ( x ， y ) = c 时， 若 c < a ， x ∈ I a ， y ∈ [ 0 ， a ] ， z ∈ I a ， V ( x ， y ) = a ， V ( x ， z ) = c ，不满足单调性； 若 c > a ， x ∈ I a ， y ∈ I a ， z ∈ [ a ， 1 ] ， V ( x ， y ) = c ， V ( x ， z ) = a ，不满足单调性。 2.1.5) 当 ( x ， y ) ∈ I a × I a ， V ( x ， y ) = S ( x ∧ a ， y ∧ a ) 时， 若 x ∈ I a ， y ∈ [ 0 ， a ] ， z ∈ I a ， V ( x ， y ) = a ， V ( x ， z ) = S ( x ∧ a ， y ∧ a ) ，不满足单调性。 2.1.6) 当 ( x ， y ) ∈ I a × I a ， V ( x ， y ) = T ( x ∨ a ， y ∨ a ) 时， 若 x ∈ I a ， y ∈ I a ， z ∈ [ a ， 1 ] ， V ( x ， y ) = T ( x ∨ a ， y ∨ a ) ， V ( x ， z ) = a 不满足单调性。 2.2) 当 ( x ， y ) ∈ [ a ， 1 ] × I a ， V ( x ， y ) = T ( x ∨ a ， y ∨ a ) 时， 2.2.1) 当 ( x ， y ) ∈ I a × I a ， V ( x ， y ) = 0 时， 若 x ∈ I a ， y ∈ [ 0 ， a ] ， z ∈ I a ， y ≤ z 时， V ( x ， y ) = a ， V ( x ， z ) = 0 ，不满足单调性。 2.2.2) 当 ( x ， y ) ∈ I a × I a ， V ( x ， y ) = 1 时， 若 x ∈ I a ， y ∈ I a ， z ∈ [ a ， 1 ] ， y ≤ z 时， V ( x ， y ) = 1 ， V ( x ， z ) = T ( x ∨ a ， z ) ，不满足单调性。 2.2.3) 当 ( x ， y ) ∈ I a × I a ， V ( x ， y ) = a 时， 若 x ∈ I a ， y ∈ I a ， z ∈ [ a ， 1 ] ， y ≤ z 时， V ( V ( x ， y ) ， z ) = V ( a ， z ) = a ， V ( x ， V ( y ， z ) ) = V ( x ， T ( y ∨ a ， z ) ) = T ( x ∨ a ， T ( y ∨ a ， z ) ) ，不满足结合律。 2.2.4) 当 ( x ， y ) ∈ I a × I a ， V ( x ， y ) = c 时， 若 c < a ， x ∈ I a ， y ∈ [ 0 ， a ] ， z ∈ I a ， V ( x ， y ) = a ， V ( x ， z ) = c ，不满足单调性； 若 c > a ， x ∈ I a ， y ∈ I a ， z ∈ [ a ， 1 ] ， V ( x ， y ) = c ， V ( x ， z ) = T ( x ∨ a ， y ∨ a ) ，不满足单调性。 2.2.5) 当 ( x ， y ) ∈ I a × I a ， V ( x ， y ) = S ( x ∧ a ， y ∧ a ) 时， 若 x ∈ [ 0 ， a ] ， y ∈ I a ， z ∈ I a ， V ( V ( x ， y ) ， z ) = V ( a ， z ) = a ， V ( x ， V ( y ， z ) ) = V ( x ， S ( y ∧ a ， z ∧ a ) ) = S ( x ， S ( y ∧ a ， z ∧ a ) ) ，不满足结合律。 2.2.6) 当 ( x ， y ) ∈ I a × I a ， V ( x ， y ) = T ( x ∨ a ， y ∨ a ) 时， 此时我们得到了一种Null–范数的构造方法，它的表达式为： V S T ( x ， y ) = { S ( x ， y )                                                         ( x ， y ) ∈ [ 0 ， a ] 2 T ( x ， y )                                                         ( x ， y ) ∈ [ a ， 1 ] 2 T ( x ∨ a ， y ∨ a )               ( x ， y ) ∈ [ a ， 1 ] × I a ∪ I a × [ a ， 1 ] ∪ I a × I a a                                                                           otherwise 2.3) 当 ( x ， y ) ∈ [ a ， 1 ] × I a ， V ( x ， y ) = x 时， 若 x ∈ [ a ， 1 ] ， y ∈ I a ， z ∈ [ a ， 1 ] ， V ( x ， y ) = a ， V ( x ， z ) = T ( x ， z ) ，不满足单调性。 3) 当 ( x ， y ) ∈ [ 0 ， a ] × I a ， V ( x ， y ) = S ( x ∧ a ， y ∧ a ) 时， 3.1) 当 ( x ， y ) ∈ [ a ， 1 ] × I a ， V ( x ， y ) = a 时， 3.1.1) 当 ( x ， y ) ∈ I a × I a ， V ( x ， y ) = 0 时， 若 x ∈ I a ， y ∈ [ 0 ， a ] ， z ∈ I a ， y ≤ z 时， V ( x ， y ) = S ( x ∧ a ， y ∧ a ) ， V ( x ， z ) = 0 ，不满足单调性。 3.1.2) 当 ( x ， y ) ∈ I a × I a ， V ( x ， y ) = 1 时， 若 x ∈ I a ， y ∈ I a ， z ∈ [ a ， 1 ] ， y ≤ z 时， V ( x ， y ) = 1 ， V ( x ， z ) = a ，不满足单调性。 3.1.3) 当 ( x ， y ) ∈ I a × I a ， V ( x ， y ) = a 时， 若 x ∈ [ 0 ， a ] ， y ∈ I a ， z ∈ I a 时， V ( V ( x ， y ) ， z ) = V ( S ( x ∧ a ， y ∧ a ) ， z ) = S ( S ( x ∧ a ， y ∧ a ) ， z ∧ a ) ， V ( x ， V ( y ， z ) ) = V ( x ， a ) = a ，不满足结合律。 3.1.4) 当 ( x ， y ) ∈ I a × I a ， V ( x ， y ) = c 时， 若 c < a ， x ∈ [ 0 ， a ] ， y ∈ I a ， z ∈ I a ， V ( V ( x ， y ) ， z ) = V ( S ( x ∧ a ， y ∧ a ) ， z ) = S ( S ( x ∧ a ， y ∧ a ) ， z ∧ a ) ， V ( x ， V ( y ， z ) ) = V ( x ， c ) = S ( x ， c ) ，不满足结合律。 若 c > a ， x ∈ [ 0 ， a ] ， y ∈ I a ， z ∈ I a ， V ( V ( x ， y ) ， z ) = V ( S ( x ∧ a ， y ∧ a ) ， z ) = S ( S ( x ∧ a ， y ∧ a ) ， z ∧ a ) ， V ( x ， V ( y ， z ) ) = V ( x ， c ) = a ，不满足结合律。 3.1.5) 当 ( x ， y ) ∈ I a × I a ， V ( x ， y ) = S ( x ∧ a ， y ∧ a ) 时， 此时我们得到了一种Null–范数的构造方法，它的表达式为： V T S ( x ， y ) = { S ( x ， y )                                                         ( x ， y ) ∈ [ 0 ， a ] 2 T ( x ， y )                                                         ( x ， y ) ∈ [ a ， 1 ] 2 S ( x ∧ a ， y ∧ a )               ( x ， y ) ∈ [ 0 ， a ] × I a ∪ I a × [ 0 ， a ] ∪ I a × I a a                                                                           otherwise 3.1.6) 当 ( x ， y ) ∈ I a × I a ， V ( x ， y ) = T ( x ∨ a ， y ∨ a ) 时 若 x ∈ [ 0 ， a ] ， y ∈ I a ， z ∈ I a ， V ( V ( x ， y ) ， z ) = V ( S ( x ∧ a ， y ∧ a ) ， z ) = S ( S ( x ∧ a ， y ∧ a ) ， z ∧ a ) ， V ( x ， V ( y ， z ) ) = V ( x ， T ( y ∨ a ， z ∨ a ) ) = a ，不满足结合律。 3.2) 当 ( x ， y ) ∈ [ a ， 1 ] × I a ， V ( x ， y ) = T ( x ∨ a ， y ∨ a ) 时， 3.2.1) 当 ( x ， y ) ∈ I a × I a ， V ( x ， y ) = 0 时， 若 x ∈ I a ， y ∈ [ 0 ， a ] ， z ∈ I a ， y ≤ z 时， V ( x ， y ) = S ( x ∧ a ， y ) ， ，不满足单调性。 3.2.2) 当 ( x ， y ) ∈ I a × I a ， V ( x ， y ) = 1 时， 若 x ∈ I a ， y ∈ I a ， z ∈ [ a ， 1 ] ， y ≤ z 时， V ( x ， y ) = 1 ， V ( x ， z ) = T ( x ∨ a ， z ) ，不满足单调性。 3.2.3) 当 ( x ， y ) ∈ I a × I a ， V ( x ， y ) = a 时， 若 x ∈ [ 0 ， a ] ， y ∈ I a ， z ∈ I a ， y ≤ z 时， V ( V ( x ， y ) ， z ) = V ( S ( x ， y ∧ a ) ， z ) = S ( S ( x ， y ∧ a ) ， z ∧ a ) ， V ( x ， V ( y ， z ) ) = V ( x ， a ) = a ，不满足结合律。 3.2.4) 当 ( x ， y ) ∈ I a × I a ， V ( x ， y ) = c 时， 若 c < a ， x ∈ [ 0 ， a ] ， y ∈ I a ， z ∈ I a ， V ( V ( x ， y ) ， z ) = V ( S ( x ， y ∧ a ) ， z ) = S ( S ( x ， y ∧ a ) ， z ∧ a ) ， V ( x ， V ( y ， z ) ) = V ( x ， c ) = S ( x ， c ) ，不满足结合律。 若 c > a ， x ∈ [ 0 ， a ] ， y ∈ I a ， z ∈ I a ， V ( V ( x ， y ) ， z ) = V ( S ( x ， y ∧ a ) ， z ) = S ( S ( x ， y ∧ a ) ， z ∧ a ) ， V ( x ， V ( y ， z ) ) = V ( x ， c ) = a ，不满足结合律。 3.2.5) 当 ( x ， y ) ∈ I a × I a ， V ( x ， y ) = S ( x ∧ a ， y ∧ a ) 时， 若 x ∈ [ a ， 1 ] ， y ∈ I a ， z ∈ I a ， V ( V ( x ， y ) ， z ) = V ( T ( x ， y ∨ a ) ， z ) = T ( T ( x ， y ∨ a ) ， z ∨ a ) ， V ( x ， V ( y ， z ) ) = V ( x ， S ( y ∧ a ， z ∧ a ) ) = a ，不满足结合律。 3.2.6) 当 ( x ， y ) ∈ I a × I a ， V ( x ， y ) = T ( x ∨ a ， y ∨ a ) 时， 若 x ∈ [ 0 ， a ] ， y ∈ I a ， z ∈ I a ， V ( V ( x ， y ) ， z ) = V ( S ( x ， y ∧ a ) ， z ) = S ( S ( x ， y ∧ a ) ， z ∧ a ) ， V ( x ， V ( y ， z ) ) = V ( x ， T ( y ∨ a ， z ∨ a ) ) = a ，不满足结合律。 因此，综上所述，有界格上的Null–范数只有三种。 证毕。 通过对定理的证明我们发现当 V T S 中 T = T W 时， V T S = V a ( S ) ；当 V S T 中 时， V S T = V a ( T ) 。也就是说， V a ( S ) 和 V a ( T ) 是 V T S 和 V S T 的特殊情况，因此我们只需要对三种Null–范数进行比较。 命题：令 ( L ， ≤ ， 0 ， 1 ) 是一个有界格， a ∈ L \ { 0 ， 1 } ， S ( x ， y ) 是 [ 0 ， a ] 上的三角对偶范数， T ( x ， y ) 是 [ a ， 1 ] 上的三角范数。那么 V T S ≤ V a ( T ， S ) ≤ V S T 。 显然成立。