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user: 3. 非惯性系下质点运动定理的数学表达式 设在一般非惯性参考系下观察质点的运动，质点m受到真实力 F 和惯性力 F t 、 F c 共同的作用。在同一时间微元dt内， F 、 F t 和 F c 表示在该时间里的某个瞬间值，用(11)式乘上dt，可得： F * d t = F d t + F t d t + F c d t (12) 在上等式左边有： F * d t = m d * v r d t d t = d ( m v r ) 若对(11)式左右两边积分，则可得 ∫ v 1 r v 2 r d ( m v r ) = ∫ t 1 t 2 F d t + ∫ t 1 t 2 F t d t + ∫ t 1 t 2 F c d t (13) 若用 p ′ = m v r 表示质点在非惯性系的相对动量，同时用冲量的形式表示作用于质点的各个力在同个时间段的元冲量的矢量和，则分别可得： ∫ v 1 r v 2 r d ( m v r ) = p ′ 2 − p ′ 1 ， I = ∫ t 1 t 2 F d t ， I t = ∫ t 1 t 2 F t d t ， I c = ∫ t 1 t 2 F c d t 则(13)式可表示为： p ′ 2 − p ′ 1 = I + I t + I c (14) (14)式表明：质点在“一般非惯性系”下的相对动量增量等于作用于质点上的真实力 F 和惯性力 F t 、 F c 在相同时间段内的冲量和，称为“一般非惯性系”下质点的动量定理。 用(11)式点乘 d r ′ ，得： F * ⋅ d r ′ = F ⋅ d r ′ + F t ⋅ d r ′ + F c ⋅ d r ′ (15) 由于 d r ′ d t = v r + ω × r ′ ，则在(15)式左边得 F * ⋅ d r ′ = m d * v r d t ⋅ [ ( v r + ω × r ′ ) d t ] = d ( 1 2 m v r 2 ) + m ( ω × r ′ ) ⋅ d * v r 质点m在非惯性运动时， v r 和 ω × r ′ 合成了质点m在一般非惯性系的速度 v ′ ，质点m除了相对于 k ′ 运行的相对速度 v r 外，还有因为 k ′ 系转动时和质点m固定在 k ′ 系的位矢 r ′ 处所形成的速度 ω × r ′ 。在题设中一说明，质点m相对 k ′ 系的位矢 d r ′ 运动，则质点相对 k ′ 系的位矢 r ′ 是变量，而在 ( ω × r ′ ) ⋅ d v r 项中的 r ′ 是定值和题设相矛盾，则该项为零。 这时有 F * ⋅ d r ′ = d ( 1 2 m v r 2 ) 。 在(15)式等式右边分别为： F ⋅ d r ′ = m a ⋅ d r ′ F t ⋅ d r ′ = − [ m a 0 + m ω ˙ × r ′ + m ω × ( ω × r ′ ) ] ⋅ d r ′ 由于科里奥利力的方向始终和质点相对于 k ′ 系的位矢 r ′ 垂直， F c ⋅ d r ′ = − 2 m ω × v r ⋅ d r ′ = 0 。 根据以上所得，则有 d ( 1 2 m v r 2 ) = m a ⋅ d r ′ − [ m a 0 + m ω ˙ × r ′ + m ω × ( ω × r ′ ) ] ⋅ d r ′ = F ⋅ d r ′ + F t ⋅ d r ′ (16) 表明：质点在一般非惯性系的相对动能的微分等于作用于质点的真实力和牵连惯性力在质点相对与非惯性系中的相对位矢的运动中的元功之和。 对(16)式两边积分，可得： 1 2 m v r 2 2 − 1 2 m v r 1 2 = A + A t (17) 其中 ∫ F ⋅ d r ′ = A ， ∫ F t ⋅ d r ′ = A t 。 (17)式表明：质点在非惯性系的相对动能的变量等于作用于该质点的真实力和牵连惯性力在相对运动上的路程所做功之和。该结论为“一般非惯性系”下质点的动能定理。而在上讨论过科里奥利力的方向总是与质点运动的位矢垂直，所以在讨论质点在非惯性系的相对动能不用考虑科里奥利力所做的功，实际上，科里奥利力会改变质点的运动方向。 用自参考点 O ′ 指向质点的位置矢量 r ′ 对(11)式方程两侧做矢积，可得： r ′ × F * = r ′ × ( F + F t + F c ) (18) 在上式中， F * = m a r = m d v r d t = d p ′ d t ，则(18)式中的左边等于 r ′ × F * = r ′ × d p ′ d t ，若令 r ′ × p ′ = L ′ ，仿照惯性系下的角动量， L ′ 可称为质点相对非惯性系的角动量。根据质点在惯性系下对参考点的角动量定理( M = d d t L )，令 r ′ × F = M 表示作用于质点的真实力对参考点的力矩； r ′ × F t = M ′ t 表示作用于质点的牵连惯性力对参考点的力矩； r ′ × F c = M ′ c 表示作用于质点的科里奥利力对参考点的力矩。 (18)式左侧可进一步表示为： r ′ × F * = d * ( r ′ × p ′ ) d t = d * r ′ d t × m v r + r ′ × m d * v r d t = r ′ × d * p d t = d * d t L ′ (18)式可简写成： d * d t L ′ = M + M ′ t + M ′ c (19) (19)式表明：在“一般非惯性系”下，质点对参考点的角动量对时间的变化率等于作用于质点的真实力 F 、惯性力 F t 和科里奥利力 F c 对该参考点的位矢的力矩，该定理称为“一般非惯性系”下质点的角动量定理。 非惯性系中，质点在非惯性下所受的惯性力做功与路径无关，称为保守惯性力 F ′ 保 ；若是质点在非惯性下所受的惯性力做功与路径有关，称为惯性非保守惯性力 F ′ 非 。 在保守力场中的势能表明：一定保守力相对应的势能的增量等于保守力所做功的负值。根据保守力引进势能的概念，可得非惯性系下保守惯性力的惯性势能的概念：一定保守惯性力相对应的惯性势能的增量等于保守惯性力所做功的负值，其用数学表达式可表示为 F ′ 保 ⋅ d r ′ = − d U ′ (20) 上式中的 U ′ 为保守惯性力的势能。 若质点所受的真实力 F 和惯性力 F t 、 F c 都是保守力，(18)式左右两端的各个物理量可分别表示为： F * ⋅ d r ′ = d ( 1 2 m v r 2 ) F ⋅ d r ′ = − d U = − m a ⋅ d r ′ F t ⋅ d r ′ = − d U ′ t = [ m a 0 + m ω ˙ × r ′ + m ω × ( ω × r ′ ) ] ⋅ d r ′ F c ⋅ d r ′ = − 2 m ω × v r ⋅ d r ′ = 0 将上式代入(18)式中，则可得： d ( 1 2 m v r 2 ) = − d U − d U ′ t (21) 在上式中，U为作用于质点的真实力的势能， U ′ t 为作用于质点的牵连惯性力的势能。 若令 1 2 m v r 2 = T ′ ， T ′ 表示质点相对非惯性系的相对动能。 (21)式可写成： d ( T ′ ) = − d U − d U ′ t (22) 对上式积分，则可 T ′ + U + U ′ t = c (23) (23)式表明：若“一般非惯性系”下的质点所受的真实力 F 和惯性力 F t 都是保守力的情况下，质点相对一般非惯性的相对动能和保守力 F 对应的势能与保守惯性力 F t 所对应的惯性势能之和是一个定值。该表达式称为“一般非惯性系”下的机械能守恒定理。