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user: 3. 模型建立与分析 3.1. 单变量灰色时间序列预测模型GM(1，1) 本节先建立进出口总额单变量灰色时间序列预测模型GM(1，1)，运用原始时间序列进行数据处理生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的动态微分方程模型，进而建立微分方程形式的模型，建模的实质是建立微分方程的系数。用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间[ 9 ] 。 单变量灰色时间序列预测模型GM(1，1)建立的步骤： (1) 设时间序列 有 个观察值， ，通过累加生成新序列 ，则GM(1，1)模型相应的微分方程为： (1) 其中： 称为发展灰数； 称为内生控制灰数。 (2) 为了得到模型参数的估计值，需要将上述微分方程(1)得到参数的估计值，先进行转化，设待估 参数向量为 ，则记为 ，可利用最小二乘法求解，可得： (2) 其中 为已知数据矩阵， 。 求解微分方程，即可得预测模型： (3) (3) 模型检验 灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验。 3.2. 多变量灰色时间序列预测模型GM(1，N)理论 进一步探讨进出口总额和广东三大产业生产总值的影响关系，建立多变量灰色时间序列预测模型GM(1，N)，其步骤如下； (1) 设有 个数列 ， 对 做累加生成，得到生成数列 (2) 我们将数列 的时刻 看作连续的变量 ，而将数列 转而看成时间 的函数 。如果数列 对 的变化率产生影响，则可建立白化式一阶微分方程 (4) 这个微分方程模型记为GM(1，N)。 方程(1)的参数向量 。 (3) 再设 ，将方程(1)按差分法离散，即为了得到模型参数的估计 值，需要将上述微分方程(4)转化为离散形式，从而可得到参数的估计值可得到线性方程组， 为协调系数，形如 (5) 按照最小二乘法，有 (6) 其中，利用两点滑动平均的思想，最终可得矩阵 求出 后，微分方程(4)便确定了。 (4) 从而求解微分方程，得GM(1，N)时间响应函数，即可得动态灰色时间预测模型： (7) 其还原模型： ， (5) 对其进行误差分析，绝对残差和相对残差计算如下： (8) 本研究所用的数据集是2006~2013年度《广东统计年鉴》(2013)的相关原始数据，整理后的数据如表1。 3.3. 基本结果 3.3.1. 单变量灰色时间序列预测模型GM(1，1) 根据以上的模型理论，分析广东进出口总额的数据，建立GM(1，1)模型，运用MATLAB2009软件求解步骤如下 (1) 初始进出口总额数列 (2) 对原始数据 做一次累加后，构造数据矩阵 及数据向量 ； (3) 通过MATLAB2009编程可以计算出方程(2)的值 和 。 (4) 从而建立GM(1，1)灰色时间序列的模型，代入a、b的值到方程(3)有： (9) 进出口总额单变量的情况下，灰色时间序列预测模型GM(1，1)得出其动态灰色时间序列模型的表达式如上方程(9)，根据该单变量灰色时间序列模型可以初步了解广东进出口总额的变化趋势。 Table 1 Data of total import-export volume and three major industries in Guangdong Provinc 年份 GDP 第1产业 第2产业 第3产业 进出口总额 2006 26587.76 1532.17 13469.77 11585.82 5272.07 2007 31777.01 1695.57 16004.61 14076.83 6340.35 2008 36796.71 1973.05 18502.2 16321.46 6834.92 2009 39482.56 2010.27 19419.7 18052.59 6111.18 2010 46013.06 2286.98 23014.53 20711.55 7848.96 2011 53210.28 2665.2 26447.38 24097.7 9133.34 2012 57067.92 2847.26 27700.97 26519.69 9839.47 2013 62163.97 3047.51 29427.49 29688.97 10915.7 表1. 广东省进出口总额与三大产业的相关数据(单位：万元) 数据来源：《广东统计年鉴》(2013)。 (5) 进行模型检验 通过运用MATLAB2009编程计算其绝对残差与相对残差，结果如表2。 由表2的计算结果可以看出，由于2008年的经济危机影响，对进出口产生巨大的影响，从数据也可以看出前后，2007和2009波动比较大，之后其相对残差都比较小，平均相对残差小于5%，其预测效果非常好，所以该模型的准确性是比较好，可信度比较高。 对进出口总额的灰色时间序列预测GM(1，1)模型分析，其模拟预测值与真实值的对比如图1。 通过对广东省进口总额的单变量灰色时间序列预测模型GM(1，1)，然后建立相应的动态微分方程模型的表达式即方程(9)，由以表2和图1可以看出该模型的精度比较高，拟合效果比较好，从而可以得出其预测值(如图1 2014、2015年)，分析其变化趋势。 3.3.2. 进出口总额与三大产业的灰色时间序列预测模型GM(1，4) 有以上已经探讨过进出口总额单变量的情况下，灰色时间序列预测模型GM(1，1)比较准确，可信度比较高，并得出其动态灰色时间序列模型的表达式即方程(9)。 根据该单变量灰色时间序列模型可以初步了解广东进出口总额的变化趋势，在这基础上，进一步考虑进出口总额与三大产业之间的联系与未来的变化趋势。由于有4个变量(进出口总额、第一、二、三产业)包含多个相关的变量，其时间序列的一阶差分都大于零，具有明显的上升趋势，可以利用多变量灰色预测模型 GM(1，4)来建模分析。 (1) 本文把进出口总额 为系统特征数据序列，其他第一、二、三产业 ， 为相关因素数据序列。 (2) 同理可以按照以上单变量的灰色时间序列预测模型GM(1，1)，通过用MATLAB2009计算，得到a和b的值分别为 图1. 广东进出口总额的真实值与模拟预测值 (4) 进行模型检验 其进行相对残差分析，结果如下： 由表4，可以初步判断，灰色时间序列预测模型GM(1，4)的拟合情况2012年之前，除了2008和2009不理想，出现了波动，分析各产业可以看出其特点 ，第三产业(服务业)的预测最理想，不管2008年的全球经济危机如何，影响不大；影响最大的是第二产业(工业)，其次是第一产业(农业)，这预测结果与现实情况比较贴近，因为进出口影响最大的是工业，我国的产品远销世界，因价廉物美，广东的工业制作闻名世界，当经济危机来临，受影响最大的当然是工业，由此分析，2008前后与2012年前后预测的不准确，不能简单用各个产业的预测分别衡量预测好坏，因此需要整体来考虑预测模型的好坏。 因此下面进一步分析，考虑整体的预测模型的绝对相对误差来衡量预测效果，通过计算其平均相对残差分析，其中总相对残差计算可由 得到，平均相对残差计算可由 计算，其中 年，计算的结果如表5。 由表5的计算结果的平均相对残差分析可以看出，其预测效果比较好，所以该模型的准确性和 Table 3 The simulation value and prediction value using grey model of time series GM(1，4 年份 进出口总额 第一产业 第二产业 第三产业 2006 5272.07 1532.17 13469.77 11585.82 2007 6502.37 1733.94 16248.21 14182.25 2008 6344.42 1913.79 18005.91 16137.64 2009 6630.21 2060.21 20238.24 18239.78 2010 7753.66 2325.36 23271.10 20888.01 2011 9243.85 2698.88 26816.83 24084.38 2012 10670.72 3103.95 30512.40 27661.85 2013 11967.81 3486.50 34085.37 31486.83 2014 13177.12 3807.16 37057.29 35408.93 2015 14098.49 3969.66 38195.37 39021.85 表3. 灰色时间序列预测模型GM(1，4)计算的模拟值以及预测值 Table 4 The relative residual using grey model of time series GM(1，4 年份 进出口总额 第一产业 第二产业 第三产业 2006 0% 0% 0% 0% 2007 2.56% 2.26% 1.52% 0.75% 2008 −7.18% −3.00% −2.68% −1.13% 2009 8.49% 2.48% 4.21% 1.04% 2010 −1.21% 1.68% 1.11% 0.85% 2011 1.21% 1.26% 1.40% −0.06% 2012 8.45% 9.02% 10.15% 4.31% 2013 9.64% 14.40% 15.83% 6.06% 表4. 灰色时间序列预测模型GM(1，4)的相对残差分析 Table 5 The average relative residua 进出口总额 第一产业 第二产业 第三产业 总相对残差 38.74% 34.11% 36.91% 14.18% 平均相对残差 4.84% 4.26% 4.61% 1.77% 表5. 平均相对残差分析 可信度比较高。