DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 摘 要 令 φ e ( n ) 为广义欧拉函数，其中n与e都是正整数。利用初等方法，研究讨论了与广义欧拉函数有关的数论方程 φ 2 ( m ) = 2 x ⋅ 3 y ， 以及 的可解性。基于广义欧拉函数的性质，利用初等数论的一些结论以及分类、分段的讨论方式，获得以上方程的正整数解的相关结论。 关键词 :广义欧拉函数，欧拉函数，方程，正整数解 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言与主要结论 Euler函数φ(n)是数论中非常重要而有意义的一类函数，定义为 1 ， 2 ， ⋯ ， n 中与n互素的个数。为了将Lehmer同余式从模素数的平方推广到模任意整数的平方，蔡天新 [ 1 ] 等对广义Euler函数的作出了如下定义。 定义：广义欧拉函数φ e (n) φ e ( n ) = ∑ i = 1 ( i ， 1 ) = 1 [ n e ] 1 ， (1.1) 即序列 1 ， 2 ， ⋯ ， [ n e ] 中与n互素的数的个数。显然，当e = 1时，广义欧拉函数φ e (n)就是欧拉函数φ(n)。 当e = 2时，由广义欧拉函数定义，容易验证， φ 1 ( n ) = 0 ， φ 2 ( n ) = 1 ，对 n ≥ 3 ，有 φ 2 ( n ) = 1 2 φ ( n ) (1.2) 关于Euler函数φ(n)以及广义Euler函数φ e (n)的性质以及与广义Euler函数相关的数论方程的研究非常活跃。文献 [ 2 ] [ 3 ] 对广义Euler函数的性质有一定的研究。同时，对于包含广义Euler函数的方程也有所讨论，如文献 [ 4 ] - [ 14 ] 对包含广义Euler函数φ e (n)以及ω(n)和Ω(n)的方程的可解性；文献 [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] 讨论了形如 φ e ( n ) = n d 方程的可解性；文献 [ 19 ] [ 20 ] 对包含Euler函数和广义Euler函数的方程的正整数解进行了研究；文献 [ 21 ] - [ 28 ] 给出了形如 φ ( x y ) = k φ ( x ) φ ( y ) ， φ ( x y ) = k ( φ ( x ) + φ ( y ) ) 这种形式的方程的可解性。 本文将研究更一般的方程，即方程 φ 2 ( m ) = 2 x ⋅ 3 y (1.3) φ 2 ( m ) = p x ⋅ q y (1.4) 以及 φ 2 ( m ) = p 1 α 1 ⋅ p 2 α 2 ⋅ p 3 α 3 ⋅ ⋅ ⋅ p v α v (1.5) 的可解性，其中 p ， q ， p 1 ， p 2 ， ⋯ ， p v 是给定的素数。求出了一些方程的全部解，并获得了一些一般性的结论。本文的主要结论是： 定理1：方程(1.3)的所有非负整数解(m， x， y) (表1所示)为 Table 1 All nonnegative integer solutions of Equation (1.3) (m， x， y 序号 m x y 备注 1 m = ∏ i = 1 t q i q i = 2 s i 3 t i + 1 ∑ i = 1 t s i − 1 ∑ i = 1 t t i q i 为质数 ( ) 2 m = 2 a ∏ i = 2 t q i q i = 2 s i 3 t i + 1 ∑ i = 2 t s i + a − 2 ∑ i = 2 t t i q i 为质数 ( s i ≥ 1 ， t i ≥ 0 ) 3 m = 3 b ∏ i = 2 t q i q i = 2 s i 3 t i + 1 ∑ i = 2 t s i ∑ i = 2 t t i + b − 1 q i 为质数 ( s i ≥ 1 ， t i ≥ 0 ) s = 1 时， t ≠ 0 4 m = 2 a 3 b ∏ i = 3 t q i q i = 2 s i 3 t i + 1 ∑ i = 3 t s i + a − 2 ∑ i = 3 t t i + b − 1 q i 为质数 ( s i ≥ 1 ， t i ≥ 0 ) s = 1 时， t ≠ 0 表1. 方程(1.3)的所有非负整数解(m， x， y) 定理2：方程(1.4)的所有非负整数解(m， x， y) (表2和表3所示)为 1) 若 p = 2 时， q ≥ 5 ，有 Table 2 In the case of p = 2， q > 5， the nonnegative integer solutions of Equation (1.4) (m， x， y 序号 m x y 备注 1 ∑ i = 1 t q i q i = 2 s i q t i + 1 ∑ i = 1 t s i − 1 ∑ i = 1 t t i q i 为质数 ( s i ≥ 0 ， t i ≥ 0 ) 2 2 a ∏ i = 2 t q i q i = 2 s i q t i + 1 ∑ i = 2 t s i + a − 2 ∑ i = 2 t t i q i 为质数 ( s i ≥ 0 ， t i ≥ 0 ) 3 q b ∏ i = 2 t q i q i = 2 s i q t i + 1 ∑ i = 2 t s i − 1 ∑ i = 2 t t i + b − 1 q i 为质数 ( s i ≥ 0 ， t i ≥ 0 )，当 t = 0 时， s ≥ 2 4 2 a q b ∏ i = 3 t q i q i = 2 s i 3 t i + 1 ∑ i = 1 t s i + a − 2 ∑ i = 1 t t i + b − 1 q i 为质数 ( s i ≥ 0 ， t i ≥ 0 ) 表2. 在p = 2，q > 5的情况下，方程(1.4)的非负整数解(m， x， y) 2) 若 p ≠ 2 ， q ≠ 3 ，即 p ， q ≥ 5 ，有 Table 3 In the case of p， q ≥ 5， the nonnegative integer solutions of Equation (1.4) (m， x， y 序号 m x y 备注 1 q 1 s t q 1 为质数 ( s ≥ 1 ， t ≥ 0 ) 2 3 a p = 2 ⋅ p s 1 ⋅ q t 1 + 1 s 1 t 1 ( a = 2 ) ( s 1 = 0 ， t 1 = 0 ) 3 q b q = 2 ⋅ p s 1 ⋅ q t 1 + 1 s 1 t 1 + b − 1 ( s i ≥ 0 ， t i ≥ 0 ) 表3. 在p，q ≥ 5的情况下，方程(1.4)的非负整数解(m， x， y) 定理3：方程(1.5)的解(m， x， y)满足 1) t = v ，当 q t = p v ( v = t + 1 )时， α 1 = β 1 − 2 ， ， α i = β i ( i = [ 2 ， v ] )，且 q i = 2 a i + 1 ( a i ≥ 0 )。 2) t > v ，必有 q t > p v ， q j = p j ， j = [ 1 ， u ] ，其中 u < v ，则 β u + 1 ， β u + 2 ， ⋯ ， β v = 1 ，且 q i = 2 s i 1 ⋅ p 2 s i 1 ⋅ p 3 s i 1 ⋅ ⋅ ⋅ p v s i 1 + 1 ， i = [ u + 1 ， v ] 。
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user: 2. 方程φ 2 (m) = 2 x 3 y 的解 本节讨论方程(1.3)的解，由于 φ 2 ( m ) = 1 2 φ ( m ) ， φ 2 ( m ) = 2 x ⋅ 3 y 故令 其中 且均为质数，则 q 1 β 1 − 1 ⋅ q 2 β 2 − 1 ⋯ q t β t − 1 ⋅ ( q 1 − 1 ) ⋅ ( q 2 − 1 ) ⋯ ( q t − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ 3 y (2.1) 2.1. 情况1：t = 1 当 t = 1 时，有 q 1 β 1 − 1 ⋅ ( q 1 − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ 3 y (2.2) 情况1.1：当 β 1 = 1 时，可得 m = q 1 ， q 1 = 2 s 3 t + 1 ( s ≥ 0 ， t ≥ 0 )，故 x = s − 1 ， y = t 。 情况1.2：当 时， 。 情况1.2.1：当 q 1 = 2 时， 2 β 1 − 1 = 2 x + 1 ⋅ 3 y ，可得 m = 2 a ( a ≥ 2 )， q 1 = 2 s 3 t + 1 ( s = 0 ， t = 0 )，故 x = s + a − 2 ， y = t 。 情况1.2.2：当 q 1 = 3 时， 2 ⋅ 3 β 1 − 1 = 2 x + 1 ⋅ 3 y ，可得 ( b ≥ 2 )， q 1 = 2 s 3 t + 1 ( s = 1 ， t = 0 )，故 x = s − 1 ， y = t + b − 1 。 2.2. 情况2：t = 2 当 t = 2 时，有 q 1 β 1 − 1 ⋅ ( q 1 − 1 ) ⋅ q 2 β 2 − 1 ⋅ ( q 2 − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ 3 y . (2.3) 情况2.1：当 β 1 = β 2 = 1 时，有 ( q 1 − 1 ) ⋅ ( q 2 − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ 3 y ，可得 m = q 1 q 2 ， q 1 = 2 s 1 3 t 1 + 1 ， q 2 = 2 s 2 3 t 2 + 1 ( s 1 ≥ 0 ， t 1 ≥ 0 ； s 2 ≥ 1 ， t 2 ≥ 0 )。故 x = s 1 + s 2 − 1 ， y = t 1 + t 2 。 情况2.2：当 β 1 ≥ 2 ， β 2 = 1 时，有 q 1 β 1 − 1 ⋅ ( q 1 − 1 ) ⋅ ( q 2 − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ 3 y 。 情况2.2.1：当 q 1 = 2 ， q 2 = q ( q ≥ 3 ，且为质数)时， 2 β 1 − 1 ⋅ ( q − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ 3 y ，可得 m = 2 a q ( a ≥ 2 )， q 1 = 2 s 1 ⋅ 3 t 1 + 1 ( s 1 = 0 ， t 1 = 0 )， q 2 = 2 s 2 ⋅ 3 t 2 + 1 ( s 2 ≥ 1 ， t 2 ≥ 0 )，故 x = s 1 + s 2 + a − 2 ， y = t 1 + t 2 。 情况2.2.2：当 ， q 2 = q ( q ≥ 5 ，且为质数)时， 3 β 1 − 1 ⋅ 2 ⋅ ( q − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ 3 y ，可得 m = 3 b q ( b ≥ 2 )， q 1 = 2 s 1 ⋅ 3 t 1 + 1 ( s 1 = 1 ， t 1 = 0 )， q 2 = 2 s 2 ⋅ 3 t 2 + 1 ( s 2 ≥ 2 ， t 2 ≥ 0 )，故 ， y = t 1 + t 2 + b − 1 。 情况2.3：当 ， β 2 ≥ 2 时，有 q 1 β 1 − 1 ⋅ q 2 β 2 − 1 ⋅ ( q 1 − 1 ) ⋅ ( q 2 − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ 3 y 。 当 q 1 = 2 ， q 2 = 3 时， 2 β 1 − 1 ⋅ 3 β 2 − 1 ⋅ 2 = 2 x + 1 ⋅ 3 y ，可得 m = 2 a 3 b ( a ≥ 2 ， b ≥ 2 )， q 1 = 2 s 1 ⋅ 3 t 1 + 1 ( s 1 = 0 ， t 1 = 0 )， q 2 = 2 s 2 ⋅ 3 t 2 + 1 ( s 2 = 1 ， t 2 = 0 )。故 x = s 1 + s 2 + a − 2 ， y = t 1 + t 2 + b − 1 。 2.3. 情况3：当t ≥ 3时，有 ∏ i = 1 t q i β i − 1 ⋅ ( q i − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ 3 y . (2.4) 情况3.1：当 β i = 1 ( i ∈ N + )时，有 ∏ i = 1 t ( q i − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ 3 y 可得， m = ∑ i = 1 t q i ， q i = 2 s i 3 t i + 1 ( s i ≥ 0 ， t i ≥ 0 )，故 x = ∑ i = 1 t s i − 1 ， y = ∑ i = 1 t t i 。 情况3.2：当 β 1 ≥ 2 ， β i = 1 ( i ≥ 2 ， i ∈ N + )时，有 q 1 β 1 − 1 ⋅ ∏ i = 2 t ( q i − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ 3 y 。 情况3.2.1：当 q 1 = 2 ， q i = q i ( q i ≥ 3 且为质数， i ≥ 2 )时 2 β 1 − 1 ⋅ ∏ i = 2 t ( q i − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ 3 y ，则可得 m = 2 a ∏ i = 2 t q i ， q i = 2 s i 3 t i + 1 ( s i ≥ 1 ， t i ≥ 0 )，故 x = ∑ i = 2 t s i + a − 2 ， y = ∑ i = 2 t t i 。 情况3.2.2：当 q 1 = 3 ， q i = q i ( q i ≥ 5 且为质数， i ≥ 2 )时， 2 ⋅ 3 β 1 − 1 ⋅ ∏ i = 2 t ( q i − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ 3 y ，可得 m = 3 b ∏ i = 2 t q i ， q i = 2 s i 3 t i + 1 ( s i ≥ 1 ， t i ≥ 0 )，故 x = ∑ i = 2 t s i ， y = ∑ i = 2 t t i + b − 1 ， s = 1 ， t = 0 。 情况3.3：当 β 1 ≥ 2 ， β 2 ≥ 2 ， β i = 1 ( i ≥ 3 ， i ∈ N + )时，有 q 1 β 1 − 1 ⋅ q 2 β 2 − 1 ⋅ ∏ i = 1 t ( q i − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ 3 y 。 情况3.3.1：当 q 1 = 2 ， q 2 = 3 ， q i = q i ( q i ≥ 5 且为质数， i ≥ 3 )时， 2 β 1 ⋅ 3 β 2 − 1 ⋅ ∏ i = 3 t ( q i − 1 ) = 2 x + 1 ⋅ 3 y ，可得 m = 2 a 3 b ∏ i = 3 t q i ， q i = 2 s i 3 t i + 1 ( s i ≥ 1 ， t i ≥ 0 )，故 x = ∑ i = 3 t s i + a − 1 ， y = ∑ i = 3 t t i + b − 1 ，当 s = 1 时， t ≠ 0 。 于是定理1得证。
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user: 摘 要 自动子空间划分(ASP)和最佳指数法(OIF)广泛应用于高光谱数据降维。在ASP和OIF算法的基础上引入信息熵和巴氏系数，提出BSEF算法。该方法首先通过ASP对高光谱波段进行波段划分；以信息熵衡量波段信息量，以巴氏系数衡量波段之间的相关性，选出信息量大且相关性小的波段；在BSEF算法基础上，提出BERF数据降维算法运用于有监督目标检测。实验证明：BSEF可降低算法运行时间至原来的四分之一，BERF可降低算法运行时间至原来的三分之一，两种降维方法均可以保证算法的检测效率。 关键词 :信息熵，巴氏系数，OIF算法，数据降维 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 高光谱数据量庞大、计算复杂 [ 1 ] [ 2 ] ，数据降维不仅能提高算法的实时性，且能解决维度灾难问题 [ 3 ] ，提高目标检测的检出率 [ 4 ] ，是一种有效的高光谱处理手段。目前常用的数据降维方法有两种：特征提取法 [ 5 ] 和波段选择法 [ 6 ] 。特征提取法按照一定的准则，把原数据变换、投影到另一个特征空间中，大部分信息集中在变换后空间的低维度，但是在该变换中高光谱数据已经丢失了原有的物理意义 [ 7 ] 。波段选择法则按照一定的原则，选取最优的便于后续目标检测和物质分类的波段组合 [ 8 ] 。经典数据降维算法有自动子空间划分、最佳指数法、波段指数法，自适应波段选择法(adaptive band selection) [ 9 ] 等。本文基于信息熵和巴氏系数，在OIF和ASP算法基础上提出BSEF和BERF算法。
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user: 2. 基本算法 2.1. 自动子空间划分(Automatic Subspace Partition， ASP) 准确来说，ASP并不是一种数据降维方法，而是一种波段分块的辅助手段。高光谱数据中波段越接近，波段之间相关性越强，反之，波段间相关性越弱，根据波段的这一性质，可以对高光谱波段进行区块划分。设一高光谱数据集S大小为 r × c × n ，r为行数，c为列数，n为波段数。列向量b i 表示第i波段 的图像数据，则S可写成 S = [ b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b n ] T 。则第i和第j波段间的相关系数可由下式得到： r i ， j = ∑ k = 1 r × c ( b i k − b ¯ i ) ( b j k − b ¯ j ) ∑ k = 1 r × c ( b i k − b ¯ i ) 2 ∑ k = 1 r × c ( b j k − b ¯ j ) 2 (1) 根据上式可得到一个 n × n 的相关系数矩阵R： R = ( r 11 … r 1 n ⋮ ⋱ ⋮ r n 1 ⋯ r n n ) (2) 根据相邻波段之间相关性的强弱，设定阈值，可以对高光谱波段进行自动子空间划分。相邻波段相关性为： R a d j ( i ) = f i ， j + 1 = ∑ j = 1 r × c ( b j i − b i ¯ ) ( b j i + 1 − b i + 1 ¯ ) ∑ j = 1 r × c ( b j i − b i ¯ ) 2 ∑ j = 1 r × c ( b j i + 1 − b i + 1 ¯ ) 2 (3) 2.2. 最佳指数法(Optimum Index Factor， OIF) 1982年，Chaces等提出了最佳指数法。该方法完全遵守波段选择的原则，平衡信息量和相关性，原理简单，容易理解。OIF算法如公式(4)所示： O I F = ∑ i = 1 p I i ∑ i = 1 p ∑ j = i + 1 p | R i ， j | (4) 其中，I i 为第i个波段的标准差，如公式(5)所示；R i ，j 表示两光谱波段之间的相关系数，如公式(6)所示。p值为降维后波段数，在实际的应用中，p值一般为3~5，在该论文中我们取p = 3。 I ( i ) = 1 r c ∑ x = 1 r ∑ y = 1 c ( f i ( x ， y ) − f ¯ i ) 2 (5) (6) 公式(5)中，r表示高光谱数据行数，c表示列数； f i ( x ， y ) 表示第i个波段的反射率， f ¯ i 表示第i个波段的反射率均值，计算公式如(7)所示。 f ¯ i = 1 r c ∑ x = 1 r ∑ y = 1 c f i ( x ， y ) (7) 2.3. 信息熵 香农把熵的概念引入信息论提出信息熵，才第一次可以用数学语言定量分析信息的多少。信息熵的计算公式如下： H = − ∑ i = 1 n p ( i ) * log 10 p ( i ) (8) ∑ i = 1 n p ( i ) = 1 (9) i代表某个事件，p(i)代表事件i出现的概率。其中，对数的底一般为2或10，在该论文中，我们以10为底。信息熵是为表示信息量的多少而产生的，相较于特征值更具有说服力，且信息熵已形成一个完整的体系，便于算法的进一步完善、改进。 2.4. 巴氏系数 巴氏系数常用来测量两离散数据概率分布，也可用来计算两组数据之间的相关性。巴氏系数公式如(10)所示： ρ B = ∑ i = 1 n p ( i ) q ( i ) (10) ∑ i = 1 n q ( i ) = 1 (11) ∑ i = 1 n p ( i ) = 1 (12) 两个数组被分成相同的n块，p(i)和q(i)分别表示在两个数组中第i块数据中数据个数占总数据量的概率。分成的数据块不重叠，且包含数据中所有数据。
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user: 3. BSEF算法 3.1. BSEF算法的提出 基于波段选择的高光谱数据降维基于两个重要准则：1) 选择波段的信息量大；2) 所选波段之间相关性弱。最佳指数法综合考虑上述两个原则，既能选出信息量大的波段，同时避免波段之间信息量的重复性，综合了基于信息量和基于相关性波段选择方法的优势；但是，OIF算法使用穷举法，计算量大，不符合实时性的要求。因此为了得到一种有效的实时性波段选择方法，本文在OIF算法的基础上引入信息熵和巴氏系数，提出了一种基于子空间和信息熵因子(Based on Subspace and Entropy Factor， BSEF)的方法，BSEF算法波段选择步骤如下： 第(1)步：高光谱影像波段子空间划分；使用ASP方法对原始数据进行波段子空间划分，将具有相似光谱特征的波段归到同一子空间。 第(2)步：计算各个波段的信息熵并求出ASP各个波段区间内最优波段；对光谱进行归一化处理，使折射率在[0-1]之间，然后把[0-1]分成m等分，例如10等份，从0开始，依次为[0-0.1]， [0.1-0.2]， …[0.9-1]，计算各个波段在10等分区间内像元的个数，从而计算出各个区间出现的概率，根据信息熵公式，求出各个波段的信息熵。并在各个ASP区间内找出信息熵最大的波段。 第(3)步：求出最优波段之间的相似性。根据公式(13)计算步骤(2)中所选波段之间的相关性。 X i j = ∑ d = 1 m p i ( d ) * p j ( d ) (13) 第(4)步：利用改进后的最佳波段指数OIF选取最佳的3个波段。改进的OIF算法如下： O I F = ∑ i = 1 p H ( i ) / ∑ i = 1 p ∑ j = i + 1 p X i ， j (14) H(i)代表选取波段的信息熵，p代表选取波段的个数。在实际的数据降维中，一般选取3-5个波段，在本文中，我们选取3个波段。与OIF降维方法相比，对波段块中信息量最大的波段进行组合，大大降低了组合的可能性，从而降低了数据降维时间。算法流程图如图1所示。 3.2. 试验及结果分析 美国圣迭戈海军机场的高光谱图像数据是标准的AVIRIS数据，该高光谱数据大小为 400 × 400 × 224 ，波长从370 nm延伸至2510 nm，空间分辨率达20 m，光谱分辨率达10 nm。美国圣迭戈海军机场彩色图像如图2所示。 我们感兴趣的3个飞机A1、A2、A3在图2的白框中，故截取图2所示的白框中部分做为实验数据。截取部分图像数据大小为 100 × 60 × 224 。其中存在被损坏波段，损坏波段为：107-113，153-166，224，实验时要剔除上述波段，修正后数据大小为 100 × 60 × 202 。截取部分图像和3个飞机所在位置如图3所示。 图1. BSEF算法流程图 图2. 美国圣迭戈海军机场 图3. 包含目标的区域图像 对于图3所示图像，使用不同降维方法进行数据降维：基于信息熵的波段选择、基于特征值的波段选择、OIF算法、PCA变换和BSEF算法。分别记录选取波段和运行时间。因为PCA变换改变了数据原有物理意义，故只给出运行时间。波段间相关性依次为第一波段和第二波段、第一波段和第三波段、第二波段和第三波段之间的相关系数。不同降维方法的相关信息如表1所示。 Table 1 Selection results of different band selection method 数据降维方法 选择波段 运行耗时/s 波段间相关性 基于信息熵的波段选择 148， 149， 150 0.1937 0.9991， 0.9956， 0.9935 基于方差的波段选择 117， 119， 120 0.1279 0.998， 0.999， 0.998 OIF 16， 17， 181 1003.33 0.9995， 0.8798， 0.8870 PCA - 0.1681 - BSEF 146， 177， 202 0.2007 0.9599， 0.9359， 0.9850 表1. 不同波段选择方法选择结果 基于信息熵和基于方差的波段选择方法是基于信息量的波段选择方法，分别使用方差和信息熵来衡量信息量的多少。因为只考虑信息量的多少，并不考虑波段之间的相关性，故选择出的波段相近，分别为[148， 149， 150]、[117， 119， 120]，波段之间相关性太强，出现信息冗余。OIF算法选择出的波段中，第16和181波段、第17和181波段之间相关性非常低，但是穷举法计算量太大，耗时太长，大大超过其它算法的运行时间。在本文中，数据降维的目的之一是提高算法的实时性，故OIF算法不再出现在后续的讨论中。本文提出的BSEF算法选出波段之间的相关性较弱，且运行时间相比其它算法可以接受。 波段选择的目的是为了目标检测，降维不仅要提高算法的实时性，还要保证算法的检测效果。排除OIF算法，使用其余四种降维方法的结果进行异常目标检测，并与直接RX检测做对比。此处，设阈值为0.25，对检测结果进行阈值分割。五种方法的检测结果如图4所示。 图4. 不同方法的检测结果 分析上图检测结果，BSEF-RX的检测结果对机场有很好的抑制作用，RX算法和PCA-RX对机场也有一定的抑制作用，基于信息熵和方差的波段选择方法选出的波段不仅不能有效抑制机场背景，反而弱化了飞机目标，尤其是图4(a)的检测结果，目标A2和A3完全隐藏在背景中；图4(b)的检测结果对机场轮廓线有很强的增强作用，目标飞机只有主体部分得到增强，飞机翅膀被抑制不可见；图4(c)对飞机有增强作用，但出现三个异常斑块和少量异常点；图4(d)对飞机目标A3有很好的检测作用，其它算法均不能检测出完整的机体，这是该算法的优异之处，但目标A3的右翅膀不能被检出，相比于图4(c)，图4(d)中没有异常点，但是多了一个斑块；图4(e)对目标A2有最好的检出效果，对于A1，则丢失两个翅膀，A3检出效果只弱于图4(d)，从图中可以看出，该算法对背景有很的抑制效果。总体来说BSEF-RX的检出率最高、虚警率最低。 为定性、定量分析上述5种算法，根据图5检测结果画出ROC曲线，并计算AUC值。ROC曲线如图5所示，AUC值如表2所示。 AUC值表示ROC曲线下的面积，AUC值越大，表示算法检测效率越高。表2中不同算法AUC值与图4检测结果、图5中ROC曲线一致；四种算法的检测效果由好到坏依次为：BSEF-RX算法、PCA-RX算法、RX算法、XinxiShang-RX算法和FangCha-RX算法。 图5. 不同算法检测结果ROC曲线 Table 2 Performance parameters of different algorithm 算法 BSEF-RX PCA-RX RX XinxiShang-RX FangCha-RX AUC值 0.9789 0.9763 0.9671 0.8603 0.8157 运行时间 0.2845 0.2890 0.9673 0.2326 0.1754 表2. 不同算法性能参数 根据不同算法的检测结果可知，BSEF算法选择的波段组合可以有效提高算法实时性，可降低运行时间至直接RX检测的1/4，同时提高算法的检出率，降低虚警率。
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user: 4. BERF算法 4.1. BERF算法的提出 上面提出的BSEF的算法，在异常目标检测中证明了其价值，需要注意的是，可以进行异常目标检测的高光谱图像中的背景都比较单一，背景与目标的光谱差距较大，3~5个光谱可以提取重要的信息；但是在有监督目标检测中，3~5个光谱并不能很好地提取给定目标的特征波段，因此BSEF算法在有监督目标检测中的结果有时是不可靠的。 为了适用于有监督目标检测，我们提出另一种基于信息熵和相关系数因子的数据降维方法(Based Entropy and Relevance Factor， BERF)。该方法在BSEF方法的基础上改善而成。因为BSEF方法是基于OIF算法，因此BSEF方法可以选择的波段数有限，为了突破BSEF方法对波段数的限制我们放弃OIF模型。 在波段块划分的过程中，会出现光谱波段分隔波段点，这些波段点之间的相关系数比较低，可看作基于相关性的波段选择结果；在每个波段块之间选出信息熵最大的波段，这些波段既保证相对丰裕的信息量，又保证了波段之间的弱相关性，可看作基于信息量大小的波段选择结果；把上述两个步骤选取的结果合并起来，即为最终波段选择结果。 BERF算法的步骤如下： 波段分隔点。计算相邻波段之间的相关系数，得到一条曲线，找到曲线中的极小值点，记录下对应的波段，此即为波段分隔点。 计算各个波段的信息熵。对于每个波段，光谱数据值划分成8等分：[0-0.125]、[0.125-0.250]、[0.250-0.375]、[0.375-0.500]、[0.500-0.625]、[0.625-0.750]、[0.750-0.875]、[0.875-1.000]，分别计算各个波段在每个区间内的概率。根据信息熵公式，求出各个波段的信息熵。 寻找波段块中信息量最大的波段。在每相邻两个波段分隔点之间找到信息熵最大的波段。注意，两个波段分隔点不计入比较。 把步骤(1)、(3)选择的波段汇集在一起，由小到大排列，即为最终波段选择的结果，注意，此处需要加入第一波段和最后的波段。 根据上述步骤，可得如图6所示流程图。 图6. BERF算法流程图 4.2. BERF降维实验 实验中所用高光谱数据来自美国RIT (Rochester Institute of Technology， RIT)大学的高光谱目标检测项目。高光谱图像数据大小为 280 × 800 × 126 ，波长范围为453~2496 nm。高光谱图像全景如图7所示。 图7. 高光谱全景图 其中存在感兴趣目标的区域如图8(a)所示，目标图像如图8(b)所示。目标为一红色纺织品。 图8. 目标和感兴趣区域图像 分别使用ACE算法、CEM算法、BSEF-CEM算法和BERF-CEM对目标进行检测，检测结果如图9所示。 图9. 不同算法的检测结果 由图9(c)可知，BSEF算法只提取3个波段，不能很好地提取完整的特征波段，不但不能检测出目标，反而把背景误认为目标；图9(a)表明ACE算法对背景的抑制效果最好，但是对目标四周的背景增强效果太大，导致检测出的目标像元多于实际目标像元；图9(b)表明CEM对背景有较好的抑制效果，检测效果最好；图9(d)表明经BERF选择的波段可以较好地检测出目标，但是仔细看三维结果图可知，检测结果对背景的抑制效果弱于ACE算法和CEM算法，在图像边缘处输出值较高；需要注意的是图9(d)中目标旁边的异常点受到抑制，其输出值明显小于ACE和CEM算法的输出值。对于上述算法，计算AUC值和算法运行时间，定量分析算法的优劣性。AUC值及运行时间如表3所示。 Table 3 Performance value of different algorithm 算法名称 CEM BERF-CEM ACE BSEF-CEM AUC值 0.999843554 0.999823998 0.999784887 0.8788 运行时间/s 0.3673 0.1288 0.4406 0.0987 表3. 不同算法性能值 由表3中的AUC值一项可知，除了BSEF降维后的CEM算法效果不佳外，其余三种算法检测效果由好到差依次为：CEM算法、经BERF降维后的CEM算法、ACE算法，但是三种算法的检测效果基本没有差异；至于运行时间，ACE算法耗时最长，BSEF降维后的CEM算法用时最短，但因其检测效果太差，仅仅降低运行时间无意义；经BERF降维后的CEM算法的运行时间约为直接CEM算法的三分之一。实验证明，本文提出的BERF算法可以有效提取特征波段，降低有监督目标检测时间至直接检测运行时间的三分之一。
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user: 5. 结论 由于高光谱图像波段多、数据量大、冗余量大，给目标检测及其它后续操作带来了不便。本文提出的方法利用ASP方法，实现了子空间的自动划分，然后利用信息熵在每个子空间内选择信息量最大的波段，使用巴氏系数评估波段之间的相关性，在波段间相似性小的基础上对波段进行组合选择，最终提出BSEF算法提高无监督目标检测的效率；在BSEF基础上，提出BERF算法用于提高有监督目标检测效率。BSEF可降低算法运行时间至原来的四分之一，BERF可降低算法运行时间至原来的三分之一，这两种方法在高光谱遥感图像波段选择及目标快速检测方面具有研究意义和应用价值。
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user: 摘 要 三阴性乳腺癌(TNBC)的复发风险高，预后差。超过三分之一的TNBC患者在发病过程中会出现远处转移。尽管长久以来化疗为主要治疗转移TNBC方案，然而，随着用于携带BRCA基因突变(BRCAmut)的患者的聚腺苷二磷酸核糖聚合酶抑制剂(PARPis)的问世，以及PD-L1阳性肿瘤患者的免疫治疗结果，这种情况发生了变化。本文在现有相关文献的基础上，综述了一种针对转移性TNBC患者的治疗方法。对于BRCAmut患者和能够耐受化疗的患者，我们建议使用铂(卡铂/顺铂)开始治疗，并在疾病进展时开始使用PARPis。对于PD-L1阳性肿瘤患者(PD-L1在肿瘤浸润免疫细胞上的表达≥1%)，我们建议在可行的情况下，采用紫杉醇钠和阿特珠单抗一线治疗。对于无BRCA突变和PD-L1阴性肿瘤的患者，我们建议单用紫杉醇(紫杉醇或多西他赛)作为一线治疗。在疾病负担高或症状严重的患者中，联合使用蒽环类药物加环磷酰胺或铂类药物与紫杉烷类药物是有效的选择。化疗应持续到疾病进展或限制毒性的发生。对于一线化疗后进展的患者，蒽环类药物是接受紫杉烷类药物治疗后的患者的一种选择，反之亦然。对于进展到紫杉醇和蒽环类药物的患者，或对上述药物有禁忌症的患者，氟尿嘧啶/卡培他滨、艾里布林、吉西他滨、顺铂/卡铂、长春瑞滨和伊沙哌酮是替代药物。TNBC的治疗正在不断发展，应鼓励患者纳入正在进行的评估新的靶向药物、免疫治疗和预测生物标志物的试验，以改善转移性TNBC治疗的结果。 关键词 :化疗，免疫治疗，BRCA突变，三阴性乳腺癌 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 前言 目前，大约15%的乳腺癌被归为三阴性乳腺癌(TNBC)，这一亚型与临床侵袭性和预后不良有关。超过三分之一的TNBC患者会出现远处转移，包括复发性或新生转移性疾病 [ 1 ] 。长期以来，化疗是转移性TNBC唯一有效的治疗方法。然而，随着用于携带BRCA基因突变(BRCAmut)的患者的聚腺苷二磷酸核糖聚合酶抑制剂(PARPis)的问世，以及PD-L1阳性肿瘤患者的免疫治疗结果，这种情况发生了变化。在本文中，考虑到PARPis和免疫疗法的出现，我们将在现有的大多数文献的基础上，总结一种用于转移性TNBC患者一线治疗的方案(图1) [ 1 ] [ 2 ] 。
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user: 2. 化疗 一线化疗药物中最活跃的是蒽环类药物和紫杉烷类药物，它们既可以作为单一药物使用，也可以作为联合治疗方案的一部分。虽然化疗药物的联合用药提高了客观反应率，但也会增加毒性反应，在某些情况下，与单一药物相比，联合用药无任何生存优势 [ 2 ] 。因此，在选择单药或联合用药时，必须考虑患者的病情、不良事件风险、既往化疗方案、疾病负担和患者偏好等变量。根据国际准则，对于大多数患者，我们推荐紫杉类作为一线治疗(紫杉醇或多西他赛) [ 3 ] 。然而，对于疾病负担高或症状严重的患者，联合使用蒽环类药物联合环磷酰胺或铂类药物联合紫杉烷类药物是较为有效的选择。化疗应维持到病情进展或者出现毒性反应，也可以根据患者的喜好进行选择，并可根据具体情况暂停治疗 [ 3 ] 。 图1. [ 1 ] [ 2 ] PARPis与免疫治疗联合治疗转移性TNBC患者的方案。*定义为肿瘤浸润免疫细胞上PD-L1表达≥肿瘤面积的1%。BRCAmut BRCA突变；野生型；聚腺苷二磷酸核糖聚合抑制剂；PD-L1，程序性死亡受体配体1；TNBC，三阴性乳腺癌 在一线化疗进展后，如果以前没有使用过蒽环类药物，那么对于患者接受紫杉烷类药物也是一种选择，反之亦然 [ 2 ] 。在TNBC中还有其他几种活性药物，如氟尿嘧啶/卡培他滨、艾里布林、吉西他滨、顺铂/卡铂、长春瑞滨和伊沙比酮。这些药物可以作为在使用蒽环类药物和/或紫杉烷治疗期间进展，或在一线治疗中对蒽环类药物和/或紫杉烷有禁忌症的患者的首选治疗。同时，应考虑每种药物的特异性和安全性，为每位患者选择最佳治疗方案。由于卡培他滨是口服药物，所以对于那些希望避免频繁到医院就诊并能够坚持自我治疗的患者来说，卡培他滨是一种较为合适的治疗药物 [ 2 ] 。
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user: 3. BRCA突变的患者 目前，多达20%的TNBC患者存在BRCA基因突变(BRCA1和BRCA2) [ 4 ] 。BRCA编码的蛋白参与DNA双链断裂修复，是同源重组途径的一部分 [ 5 ] 。因此，具有BRCA突变的细胞具有受损的DNA修复系统。铂是一种烷基化试剂，通过与DNA结合，诱导多个单链断裂而发挥作用，导致细胞凋亡和死亡。两种能导致DNA损伤的不同机制(铂导致单链断裂和BRCAmut无法有效修复双链断裂)的协同作用被称为合成致死性，这是铂对BRCAmut患者潜在益处的理论基础。一项20例BRCA1mut转移性乳腺癌患者的单臂II期临床研究支持这一理论，此研究使用单药顺铂(75 mg/m 2 /3周，6个周期)的总有效率为80%，中位进展时间为12个月 [ 6 ] 。在一项乳腺癌BRCA1/BRCA2突变和三阴性乳腺癌BRCAness亚组-TNT卡铂治疗III期试验中，376例转移性TNBC患者1:1随机接受卡铂(曲线下面积(AUC) 6/3周)或多西紫杉醇(100 mg/m 2 /3周)治疗。卡铂与多西紫杉醇的客观有效率(本研究的主要终点)相似(31.4% vs 34.0%；p = 0.66)。然而，在BRCAmut患者亚组中(n = 43)，与接受多西他赛的患者相比，接受卡铂治疗的患者反应率更高(68% vs 33%；中位无进展生存期(PFS)更长(6.8个月vs 4.4个月；p = 0.002) [ 7 ] 。 聚腺苷二磷酸核糖聚合酶(PARP)是一类在DNA单链断裂修复中起重要作用的蛋白质。通过与PARP结合并阻断其功能，parpi干扰单链DNA断裂的修复；因此，合成致死性的概念也适用于使用parpi的BRCAmut患者 [ 8 ] 。在两项不同的III期试验中，与研究者选择的化疗方案相比，PARPis改善了转移性BRCAmut和人表皮生长因子受体2 (HER2)阴性患者的中位PFS：在OLYMPIAD研究中(N = 302)，中位PFS为7.0个月的奥拉帕尼(300毫克每日两次) vs 4.2个月的化疗(HR 0.58；95% CI 0.43 to 0.80；p < 0.001)；在EMBRACA研究中(N = 431)，中位PFS为8.6个月的塔拉唑帕尼(每天1毫克)与5.6个月的化疗(HR 0.54；95% CI 0.41~0.71；p < 0.001) [ 9 ] [ 10 ] 。在这两项研究中，≥3级的血液学毒性在PARPis中更常见，而非血液学毒性在化疗中更常见 [ 11 ] 。值得注意的是，这些试验中没有将PARPi与铂基化疗相比，尽管，在上述两项研究中的奥拉帕尼和塔拉唑帕尼在铂基的患者中都是有效的(在OLYMPIAD中，以前使用过[neo]铂基药物的患者，如果自上次使用以后至少间隔12个月，是可以使用PARPi的；而如果在使用铂类药物治疗转移性疾病期间没有发生疾病进展，则允许使用PARPi治疗；在EMBRACA研究中，如果患者在最后一次[neo]辅助性铂类给药后至少有6个月的无病间隔，则允许使用PARPi；而如果在之前使用铂治疗转移性疾病期间没有发生疾病进展，则允许使用PARPi [ 9 ] [ 10 ] 。 对于转移性BRCAmut TNBC患者，铂类和PARPi均是合适的治疗方案。铂类药物成本较低，尽管它们存在静脉注射的不便和潜在的不良事件，如神经病、恶心、耳毒性和血液学毒性。另一方面，PARPi具有口服的优势，尽管必须考虑到较高的成本和血液学毒性的风险。对于表现良好、无不可控的合并症且被认为对化疗耐受的BRCAmut TNBC患者，考虑到PARPi在铂基治疗的患者中是有效的，我们推荐使用铂类药物一线治疗(卡铂或顺铂单药)。然而，因为没有有力的数据来指导这些药物的序贯使用，开始治疗就选择PARPis也是一个有效的选择。随着PARPis等新型药物的出现，BRCAmut TNBC患者的理想治疗方案还需要在未来的临床试验中进一步探索。
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user: 4. 免疫治疗 TNBC在所有乳腺癌亚型中是具有最高突变可能的类型 [ 12 ] 。更多的突变可能导致合成更多的异常蛋白，这些蛋白可能作为“新抗原”，被抗原呈递细胞识别，最终启动抗肿瘤免疫反应 [ 12 ] 。支持这一假设的是，肿瘤浸润淋巴细胞(TILs)经常出现在TNBC样本中，TILs水平的升高与预后良好有关 [ 13 ] 。因此，TNBC被认为是免疫治疗发展的一个有前景的类型。在一项III期研究130中，902例转移性TNBC未接受过治疗的转移性疾病患者随机按1:1接受白蛋白结合紫杉醇(100 mg/m 2 每天d1、8、15每28天)联合阿特珠单抗(840毫克每28天，静脉注射，d1、15)及白蛋白结合紫杉醇联合安慰剂，直到疾病进展或出现不可耐受的毒性。在总体人群中，在白蛋白结合紫杉醇中联合阿特珠单抗可增加中位PFS (7.2月vs 5.5月；HR 0.80；95% CI 0.69 to 0.92；p = 0.002)，但总生存率(OS)没有显著提高：阿特珠单抗–白蛋白紫杉醇组21.3个月，安慰剂–白蛋白紫杉醇组17.6个月(HR 0.84；95% CI 0.69~1.02；p = 0.08)。然而，PD-L1阳性患者(定义为PD-L1阳性肿瘤浸润免疫细胞上表达 ≥ 1%)，阿特珠单抗–白蛋白紫杉醇组中位PFS (7.5个月vs 5.0个月；HR 0.62；95% CI 0.49 to 0.78；p < 0.001)和OS(25个月vs 15.5个月；HR 0.62；95% CI 0.45 to 0.86)与安慰剂–白蛋白紫杉醇组均显著提高 [ 14 ] 。阿特珠单抗–白蛋白紫杉醇组3级不良事件发生率为48.7%，安慰剂–白蛋白紫杉醇组为42.2%，两组最常见的不良事件均为中性粒细胞减少、周围神经病变、疲劳和贫血。阿特珠单抗–白蛋白紫杉醇组有7.5%的患者发生了3级潜在免疫相关毒性，安慰剂–白蛋白紫杉醇组有4.3%的患者发生了3级潜在免疫相关毒性 [ 14 ] 。 虽然白蛋白紫杉醇联合阿特唑利珠单抗还没有在临床应用，但它作为一种有前景的治疗策略被考虑用于PD-L1阳性的转移性TNBC患者。正在进行的研究正在进一步评估新的免疫治疗药物和潜在的生物标志物，以预测转移性TNBC患者的免疫治疗反应 [ 15 ] 。
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user: 5. 结论与展望 多年来，化疗一直是转移性TNBC患者治疗的基础。然而，更低毒性和更有效的策略，如PARPis和免疫疗法，正在改变这种模式。然而，随着PARPis等新型药物的出现，BRCAmut TNBC患者的理想治疗方案还需要在未来的临床试验中进一步探索。虽然白蛋白紫杉醇联合阿特唑利珠单抗还没有在临床应用，但它作为一种有前景的治疗策略被考虑用于PD-L1阳性的转移性TNBC患者。目前，新的靶向药物、免疫治疗和预测生物标志物的开发正在进行中，有望在未来几年优化转移性TNBC患者的治疗。
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user: 摘 要 针对标准蜻蜓算法中存在的收敛速度慢，易于局部解的缺点，提出一种改进的蜻蜓算法(IDA)。该算法提出两种非线性函数，分别动态调节列队权重和聚集权重的收敛因子，提高算法平衡全局搜索和局部开发的能力；灰狼机制有较强的局部开发能力和收敛速度，融合灰狼机制以提高蜻蜓算法的收敛精度和速度；算法迭代后期种群多样性下降，引入末位淘汰策略来提高种群的多样性，使算法跳出局部解。通过6个复杂的测试函数对改进算法进行仿真，并和其他三个算法进行对比。结果表明，IDA算法的收敛精度、收敛速度和稳定性都优于其他三个算法。 关键词 :蜻蜓算法，非线性函数，灰狼机制，末位淘汰 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 蜻蜓算法(Dragonfly Algorithm)是由Seyedali Mirjalili在2015年提出的一种新兴群智能算法 [ 1 ] 。在自然界中，蜻蜓有种独特而罕见的群集行为，蜻蜓聚集只有两个目的：捕猎和迁徙。作者以此为出发点提出两个新的概念：静态和动态。静态(狩猎)，群指蜻蜓群体分成多个小群体分布在不同区域进行来回飞行，类似于全局搜索；动态(迁徙)，是指蜻蜓形成亚群，并向一个方向长距离迁徙，有利于局部开发。DA算法自提出，因良好的性能引来众多学者的广泛关注。Lang Xu等 [ 2 ] 提出用差分进化改进蜻蜓算法并且应用于多级彩色图像分割；Mohamed Abdel-Basset等 [ 3 ] 把二进制版的蜻蜓算法(BDA)来解决0~1背包问题， Suresh V等 [ 4 ] 利用DA算法求解太阳能静态经济调度问题的方法。Babayigit等 [ 5 ] 提出用DA算法实现低旁瓣的CCAAs设计方法。Jafari，Mohammad等 [ 6 ] 利用DA算法对具有准三角剖分的正交各向异性无限板进行优化。Mohammed Amroune等 [ 7 ] 用蜻蜓算法对电力系统电压稳定进行评估。Gururaghav Raman等 [ 8 ] 将蜻蜓算法(DA)应用于光伏系统全局最大功率点(GMPP)跟踪。 虽然该算法有一定的优势，但存在易陷入局部解和收敛速度慢的缺点，针对这些缺点，Sree R. K. S.等 [ 9 ] 提出融合粒子群优化算法中的记忆功能，加强蜻蜓个体间的信息交流，以提高算法的收敛精度；Hossam M. Zawbaa等人 [ 10 ] 提出基于极值学习机(ELM)的混合蜻蜓算法；Sayed Gehad Ismail [ 11 ] 等人提出将混沌映射嵌入到搜索迭代蜻蜓算法中；吴伟民等 [ 12 ] 提出加强个体信息交流的算法，增强个体之间的信息交流。 为改善蜻蜓算法容易陷入局部解，收敛速度慢的缺点，本文提两种非线性函数分别动态调节列队和聚集权重的收敛因子，以提高算法的稳定性。将灰狼机制和末位淘汰策略融入到算法当中，改善易于局部解和收敛速度慢的缺点。提出一种有着较强的全局搜索能力和局部开发能力，且能较好的调节全局搜索和局部开发的改进蜻蜓算法(IDA)。
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user: 2. 蜻蜓基本算法 Reynoldz [ 13 ] 在文章中指出三个关于蜂群体行为准则：分离度、对齐度与聚合度。分离度是指相邻个体间保持适当距离，以免碰撞；对齐度是指速度和方向与相邻个体对齐；聚合度是指个体飞向相邻区域中心。蜻蜓主要目标都是生存，作者Seyedali Mirjalili提出五个因素影响蜻蜓算法的位置更新：分离，列队，聚集，捕食，逃离。数学模型如下： 1) 分离，由公式得： S i = − ∑ j = 1 N X − X j (1) X为蜻蜓当前所在位置，Xj表示与X蜻蜓相邻的第j个蜻蜓的位置，N表示与X蜻蜓相邻的个体总数。 2) 列队，由公式得： A i = ∑ j = 1 N V j N (2) Vj指第j个相邻个体的速度 3) 聚集，由公式得： C i = ∑ j = 1 N X j N − X (3) X是当前个体位置。 4) 捕食，指蜻蜓向猎物靠拢，由公式得： F i = X + − X (4) X + 指食物的位置。 5) 逃离，指蜻蜓逃离天敌，由公式得： E i = X − + X (5) X − 指天敌的位置，食物源位置是算法当前最优位置，天敌位置是当前最差的位置。通过以上五种纠正方式的组合形成了蜻蜓的行为，作者通过模仿PSO算法提出步长向量、位置向量来描述蜻蜓的位置。 6) 步长向量更新由公式得： Δ X t + 1 = ( s S i + a A i + c C i + f F i + e E i ) + ω Δ X t (6) S i ，A i ，C i ，F i ，E i 指上文的5中纠正方式， ω 为惯性权重，而s，a，c，f，e分别指的是分离权重，列队权重，聚集权重，捕食权重，天敌权重，t表示当前迭代次数。 7) 位置向量更新由公式得： 当N > 0时 X t + 1 = X t + Δ X t + 1 (7) 当N = 0时，利用随机游走(Levy flight)在搜索空间中飞行。 X t + 1 = X t + L e ′ v y ( d ) × X t (8)
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user: 3. 灰狼算法 灰狼优化算法(GWO) [ 14 ] 是一种群智能算法，通过模拟灰狼群的社会等级制度和捕食方式达到优化的目的。灰狼群体社会的统治阶层比较严格，可以分为四个等级： α 、 β 、 δ 、 ω 。灰狼小组的领导者被称为 α ，为最优解；灰狼等级体系中的第二级是 β ，为次有解； ω 可以满足整个群体，为普通狼，保持群体的主导架构，为第四层。第三层是 δ ，第三优解。以 α 、 β 、 为引导，对目标物进行搜寻。设 灰狼种群个数为M，则第i只灰狼在d维度的位置记为 X i = ( X i 1 ， X i 2 ， X i 3 ， ⋯ ， X i d ) 。 在狩猎时，灰狼的位置更新公式如下： X i ( t + 1 ) = X p ( t ) − A ⋅ | C ⋅ X p ( t ) − X i ( t ) | (9) A = 2 a ⋅ r 1 − a (10) C = 2 r 2 (11) a = 2 − t / t max (12) 式中，t为当前迭代次数，A和C为协同系数向量，X p 为猎物的位置，X为灰狼个体的位置。a为A系数的收敛因子， r 1 ， r 2 表示[0， 1]间的随机数，t max 为最大迭代次数 由于猎物的具体位置未知，可根据灰狼算法中的等级制度，以 α 、 β 、 δ 进行引导使狼群接近猎物，灰狼群体可依据 α 、 β 、 δ 进行位置更新，公式如下： X 1 = X α − A ⋅ | C ⋅ X α − X | (13) X 2 = X β − A ⋅ | C ⋅ X β − X | (14) X 3 = X δ − A ⋅ | C ⋅ X δ − X | (15) X ( t + 1 ) = X 1 + X 2 + X 3 3 (16) 根据(16)对灰狼个体进行更新。
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user: 4. 蜻蜓算法的改进 4.1. 非线性调节收敛因子 在前文提到作者把蜻蜓群体运动分为两种状态：静态和动态。静态类似于全局搜索，动态类似于局部探索。为了保证DA算法的收敛性，蜻蜓算法通过调节惯性权重和其他五种权重，使得算法从全局搜索过渡到局部开发。并且，在静态群体中蜻蜓以捕食小型飞行猎物，有较高的聚集权重和较低的列队权重。而在动态群体中，有较低的聚集权重和较高的列队权重 [ 1 ] 。标准算法中聚集、列队权重更新方式的数学表达式如下： a = c = 2 ⋅ r 3 ⋅ m y _ q (17) m y _ q = 0.1 − ( f max − f min ) ⋅ t T max / 2 (18) my_q为列队权重和聚集权重的收敛因子，呈线性变化，当my_q < 0时，my_q = 0， r 3 为为[0， 1]之间的随机数。为了提高算法平衡全局搜索和局部开发的能力，当处于静态群体时赋予高列队权重和较低的聚集权重；在动态群体时应赋予低列队权重和较高的聚集权重。因此提出两种非线性函数动态控制列队和聚集权重的收敛因子，数学表达式如下： m y _ q a = ( f max − f min ) ⋅ b ⋅ ( cos ( t ⋅ π T max ) − q ⋅ ( t T max ) 2 + 1 ) (19) m y _ q c = 2 π ⋅ ( f max − f min ) ⋅ ( arccos ( 2 ⋅ t T max − 1 ) − π 2 ) (20) T max 为最大迭代次数，常数b，q为非线性调节系数，t为当前迭代，f max ，f min 分别为a，c取值的上限和下限。当my_qa < 0，my_qc < 0时，则my_qa = 0，my_qc = 0。 用my_qa调节列队权重的收敛因子和用my_qc调节聚集权重的收敛因子。通过两种不同的非线性函数分别调节列队权重和聚集权重的收敛因子，使得算法平衡全局搜索和局部开发的能力得到提高。 4.2. 融合灰狼机制 灰狼算法中的灰狼机制具有结构简单、需要调节的参数少、容易实现的特点，使灰狼机制在局部开发和收敛速度有着良好的性能 [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] 。为提高DA算法的收敛精度和收敛速度，将灰狼机制和蜻蜓算法相结合，即公式(16)。对位置向量更新公式(7)提出改进，公式如下： X t + 1 = X 1 + X 2 + X 3 3 + Δ X t + 1 (21) 在改进的位置向量更新公式中，包含了个体当前的位置和群体历史最优位置，也包括了蜻蜓算法的步长向量，使得改进后的算法不但融合灰狼机制较强的局部开发能力又能保留了标准DA算法较强的全局搜索能力，并且提高算法的收敛速度。 4.3. 末位淘汰策略 在自然界中适者生存不适者淘汰，鲍义东 [ 18 ] 等提出，为了增强狼群的竞争力，引入新的狼，淘汰生存能力较弱的一些狼，以此提高狼群的生存能力。由此受到启发，提出末位淘汰策略来提高算法的多样性。 随着迭代的进行，蜻蜓之间的差异性较小，容易使算法陷入局部解。为了提高算法的多样性，避免陷入局部解，本文引入末位淘汰策略。末位淘汰策略是以蜻蜓个体的适应度值为衡量标准，以适应度值按升序排列，淘汰排在末位的k个蜻蜓个体，同时随机产生k个新的蜻蜓个体，以保持蜻蜓群体数量的稳定。淘汰蜻蜓的个数影响种群的多样性，k值较大时，种群的多样性较大，有利于全局搜索，但不利于算法收敛。k值较小，有利于局部开发。通过对k值大小的控制来保证算法的收敛性。k的值变化如下公式。 k = k max − ( k max − k min ) * ( t T max ) (22) k值为整数，k max 为淘汰的最大值，k min 为淘汰的最小值。 4.4. 算法实现 IMDA具体步骤如下： 步骤1：初始化参数，包括种群大小N、维度d、最大迭代次数Max，五种行为权重和惯性权重，邻域半径； 步骤2：随机初始化位置向量X和步长向量 Δ X ； 步骤3：t > 1，更新s， a， c， f， e权重和惯性权重，其中列队权重的收敛因子和聚集权重收敛因子分别由4.1章提出的公式(19) (20)进行更新； 步骤4：计算个体适应度值，更新食物和天敌的位置； 步骤5：利用公式(1)~(5)更新S， A， C， F， E； 步骤6：若存在至少一个相邻个体，则通过(6)公式更新步长向量，用4.2章提出的融合灰狼机制策略更新位置向量，即公式(21)。若不存在相邻个体，则以公式(8)更新位置向量； 步骤7：计算种群个体的适应度值，适应度值以升序排列； 步骤8：用4.3章提出的末位淘汰策略对种群进行淘汰和随机生成。淘汰排在后k位的蜻蜓个体，同时随机生成k个蜻蜓个体； 步骤9：t = t + 1，如果t < Max，返回步骤3。