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user: 2. 教学设计 在开始这节课之前，我们先给出以下现时大家最关心的话题：新冠病毒感染问题。 案例1：2019年末新出现的新冠病毒，现正肆虐全球。据某部门统计分析，某市人们不戴口罩出门被感染新冠病毒的概率为80%，而戴口罩出门不被感染新冠病毒的概率为99%，据调查，该市有80%的人在疫情期间是经常戴口罩出门的。 问题1：随机抽选一位该市市民，其被感染新冠病毒的概率有多大？ 问题2：若某位市民没有感染新冠病毒，其有多大可能是戴口罩出门的？ 该问题涉及到我们本次课要讲的内容：条件概率公式，乘法公式，以及全概率公式。我们先来学习相关内容，再回头来看这两个问题该怎么解决。 2.1. 条件概率公式 笔者认为，一个好的例子，除了需要突出本节课课堂知识点之外，还需要有承上启下的作用，承上即回顾前一节主要知识点，启下即为下个知识点埋下伏笔，留给学生自我思考的空间。 众所周知，条件概率是全概率公式与贝叶斯公式的前提与基础，是本课程一个非常重要且比较难学的知识点，它建立在古典概型的基础上。许多教科书叙述该公式时，一开始就直接给出公式，然后就直接利用该公式进行相关问题的求解，这就让许多学生对公式一头雾水。其实，开始条件概率的教学之前，可以从最基本的古典概型公式出发，先来看看下面这个简单的例子。 例1 [ 1 ]：将一枚硬币抛两次，观察其正面反面出现的情况。设事件A为“至少有一次出现正面H”，事件B为“两次抛出同一面”。 依次考虑以下问题： 问题1：事件A，B发生的概率是多少？ 问题2：已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率 P ( B | A ) 是多少？ 对于问题1，自然是用古典概型公式，可让学生自行思考后再给出相关过程： 知识点回顾： 古典概型公式： P ( A ) = n ( A ) n ( S ) = A     包 含 的 基 本 事 件 数 S     中 基 本 事 件 总 数 。 因此，只需要计算出事件A，B的基本事件数，及样本空间S的基本事件数即可。易得 S = { H H ， H T ， T H ， T T } ，   A = { H H ， H T ， T H } ，   B = { H H ， T T } . 因此不难得出： P ( A ) = n ( A ) n ( S ) = 3 4 ，   P ( B ) = n ( B ) n ( S ) = 2 4 = 1 2 . 至此，古典概型知识点回顾结束。可以问学生，这问题是不是很简单，那么对于问题2又该如何解答呢？这就是本次课要学习的内容，条件概率公式，从而轻松过渡到本节知识点。 可先让同学们对比下问题2与问题1的区别，并让同学们结合古典概型公式思考：在事件A发生的条件下，此时的样本空间S * 是什么？让同学们观察下面两个文氏图，并发表自己的看法与思路。 图1. 文氏图(事情A、B发生的概率) 图2. 文氏图(已知事情A发生，事情B发生的概率) 再分析：问题1的样本空间即图1的S，这很容易得到；而问题2是在事件A发生的条件下，此时事件A以外的事件已经变成不可能事件，即样本空间S*就变成了图2中的事件A，而此时事件B发生的可能性只有“ { H H } = A B ”这种情形。 结合以上分析，可得： P ( B | A ) = P ( A B ) P ( A ) = 1 4 . 这就引出条件概率公式，也可看出：条件概率公式是古典概型的特殊情形，只需将相应的样本空间修改成相应已经发生的事件A，并在事件A中寻找可能发生的事件B，即事件AB。 接着可让学生自己思考对应平行的问题，以达到巩固知识点的目的。 问题3：已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率 P ( A | B ) 是多少？ 对应的分析如下：在事件B发生的条件下，此时事件B以外的事件已经变成不可能事件，即样本空间S * 就变成了事件B，而此时事件A发生的可能性只有“ { H H } = A B ”这种情形。 结合以上分析，可得： P ( A | B ) = P ( A B ) P ( B ) = 1 2 . 2.2. 乘法公式 去掉例1出的现实意义，即抽象出条件概率公式 P ( B | A ) = P ( A B ) P ( A ) 。该公式即给出，若已知 P ( A B ) ， P ( A ) ，即可通过条件概率公式求出 P ( B | A ) 。但如果已知 P ( B | A ) ， P ( A ) 又可以得到什么呢？ 分析：若已知 P ( B | A ) ， P ( A ) ，通过条件概率公式，可得 P ( A B ) = P ( A ) P ( B | A ) ，这即是乘法公式。再引出三个事件的乘法公式：将事件AB看成一个整事件，则 P ( A B C ) = P ( C | A B ) P ( A B ) = P ( C | A B ) P ( B | A ) P ( A ) . 通过归纳法可推得n个事件的乘法公式： P ( A 1 A 2 ⋯ A n ) = P ( A n | A 1 A 2 ⋯ A n − 1 ) P ( A 1 A 2 ⋯ A n − 1 ) = P ( A n | A 1 A 2 ⋯ A n − 1 ) P ( A n − 1 | A 1 A 2 ⋯ A n − 2 ) P ( A 1 A 2 ⋯ A n − 2 ) = ⋯ = P ( A n | A 1 A 2 ⋯ A n − 1 ) P ( A n − 1 | A 1 A 2 ⋯ A n − 2 ) ⋯ P ( A 2 | A 1 ) P ( A 1 ) . 此处强调要将多个复杂的事件看成一个整体事件，从而达到化难为易的效果。比如，上述公式第一个等式，其实就是将事件 A 1 A 2 ⋯ A n − 1 看成一个整体事件；第二个等式是将 A 1 A 2 ⋯ A n − 2 看成一个整体事件，并依此类推。 再之可结合课本的例子，加强学生的印象。 例2 [ 1 ]：设箱子中装有r只红球，t只白球。每次在箱子中任取一只，观察其颜色然后放回，并再放入a只与所取出的那只球同色的球。若连续取球3次，试求第一、二次取到红球且第三次取到白球的概率。 分析：以 A i ( i = 1 ， 2 ， 3 ) 表示事件“第i次取到红球”，则 A ¯ 3 表示第三次取到白球。则第一、二次取到红球且第三次取到白球的概率为 P ( A 1 A 2 A ¯ 3 ) = P ( A ¯ 3 | A 1 A 2 ) P ( A 2 | A 1 ) P ( A 1 ) = t r + t + 2 a ⋅ r + a r + t + a ⋅ r r + t . 2.3. 全概率公式 通过条件概率公式可知，若在事件B发生的情况下，求事件A发生的概率，则样本空间则变成事件B，其概率计算也会相应简单一些。在一个复杂事件的概率计算问题中，如果可以把复杂事件划分成若干个简单事件的概率计算问题，则会简单得多。 样本空间的划分：设S为试验E的样本空间， B 1 ， B 2 ， ⋯ ， B n 为E的一组事件。如果满足： 1) B i B j = ∅ ， i ≠ j ， i ， j = 1 ， ⋯ ， n ； 2) B 1 ∪ B 2 ∪ ⋯ ∪ B n = S ， 则称 B 1 ， B 2 ， ⋯ ， B n 为样本空间S的一个划分 [ 1 ]。 比如在最开始中给出的案例，该市中的市民S可简单的划分为“A：经常戴口罩出门的市民； A ¯ ：不经常戴口罩出门的市民”，或“B：感染新冠病毒的市民； B ¯ ：没感染新冠病毒的市民”。 有了划分的概念，结合前面的乘法公式，就可以得出全概率公式。 定理(全概率公式) [ 1 ]：设实验E的样本空间为S，A为E的事件， B 1 ， B 2 ， ⋯ ， B n 为样本空间S的一个划分，且 P ( B i ) > 0 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ，则 P ( A ) = P ( A | B 1 ) P ( B 1 ) + P ( A | B 2 ) P ( B 2 ) + ⋯ + P ( A | B n ) P ( B n ) . 证明：因为 A = A S = A ( B 1 ∪ B 2 ∪ ⋯ ∪ B n ) = A B 1 ∪ A B 2 ∪ ⋯ ∪ A B n ， 由假设 P ( B i ) > 0 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ，且 ( A B i ) ( A B j ) ≠ ∅ ， i ≠ j ， i ， j = 1 ， ⋯ ， n ，可得 P ( A ) = P ( A B 1 ) + P ( A B 2 ) + ⋯ + P ( A B n ) = P ( A | B 1 ) P ( B 1 ) + P ( A | B 2 ) P ( B 2 ) + ⋯ + P ( A | B n ) P ( B n ) . 图3. 全概率公式划分示意图 全概率公式思想：化整为零，将复杂事件划分成若干简单事件，再各个击破(如图3)。 现在我们就可以来解决最开始提出的那个案例了。 案例1的分析：设A表示经常戴口罩出门的市民； A ¯ 表示不经常戴口罩出门的市民，B表示感染新冠病毒的市民； B ¯ 表示没感染新冠病毒的市民。依题意有： P ( B | A ¯ ) = 0.8 ，   P ( B ¯ | A ) = 0.99 ，   P ( A ) = 0.8. 则案例1中的问题1则变成求 P ( B ) 。为求 P ( B ) ，根据全概率“化整为零，各个击破”的思想，自然会想到将该市市民划分为两类，即：A表示经常戴口罩出门的市民； A ¯ 表示不经常戴口罩出门的市民。再分别计算这两种情况下感染新冠病毒的概率，即全概率公式： P ( B ) = P ( B | A ) P ( A ) + P ( B | A ¯ ) P ( A ¯ ) = 0.01 × 0.8 + 0.8 × 0.2 = 0.168 ， 因为， P ( B | A ) = 1 − P ( B ¯ | A ) = 0.01 ， P ( A ¯ ) = 1 − P ( A ) = 0.2 。 问题2则变成求 P ( A | B ¯ ) 。根据条件概率公式、乘法公式，以及全概率公式可得 P ( A | B ¯ ) = P ( A B ¯ ) P ( B ¯ ) = P ( B ¯ | A ) P ( A ) P ( B ¯ | A ) P ( A ) + P ( B ¯ | A ¯ ) P ( A ¯ ) = 0.99 × 0.8 0.832 ≈ 0.9519. 此案例也警示我们，疫情期间务必做好防护措施，做好防护措施能大大降低被感染的风险。