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user: 3. 理论模型 3.1. 内生转换模型 一般情形下，农户的收入决定方程由式(1)给出： L n I i = α i X i + β i D i + μ i (1) 其中，i为建档立卡贫困户的家庭人均可支配收入； D i 是该贫困户家庭是否申请了扶贫小额信贷的虚拟变量， D i = 1 表示贫困户申请了扶贫小额信贷， D i = 0 表示贫困户没有申请扶贫小额信贷，X表示影响农户家庭人均可支配收入的其他因素，分别为户主性别、户主民族、户主受教育年限、家庭人数、外出务工人数占比， α 、 β 为待估参数， μ i 为服从均值为0，方差为 σ μ 2 的随机误差项。 由于贫困户是否借贷是基于一系列因素考量后的理性选择，因此，贫困户借贷的决策方程可进一步由式(2)表示： D i * = γ i Z i + ε i (2) D i = 1 ，如果 D i * > 0 D i = 1 ，如果 D i * ≤ 0 (2)式中， D i * 是虚拟变量 D i 的潜变量， Z i 是影响农户借贷决策的一系列变量，其所选取的变量可以与 X i 中所选取的变量相同，但为了识别出决策方程， Z i 中至少需要存在一个不同于收入决定方程中 X i 所包含的变量，并且要求该变量直接影响农户的决策，而不直接影响其收入水平，即该识别变量必须是外生变量。 ε 为均值为0，方差为 σ 2 的随机误差项，包括测量误差和不可观测的影响因素。 则此时申请扶贫小额信贷和未申请扶贫小额信贷的建档立卡贫困户的收入方程分别为： L n I 1 i = β 1 i X 1 i + μ 1 i 当 D i * > 0 (3) L n I 0 i = β 0 i X 0 i + μ 0 i 当 D i * ≤ 0 (4) 其中 I 1 i 和 I 0 i 分别为申请扶贫小额信贷和未申请扶贫小额信贷建档立卡贫困户家庭i的人均可支配收入， μ 1 i 和 μ 0 i 为服从均值为零，方差分别为 σ μ 1 2 和 σ μ 0 2 的随机误差项。 且由上述三个随机误差项组成的非奇异协方差矩阵为： C o v ( μ 1 ， μ 0 ， ε ) = ( σ μ 1 2 σ μ 1 μ 0 σ μ 1 ε σ μ 0 μ 1 σ μ 0 2 σ μ 0 ε σ ε μ 1 σ ε μ 0 σ ε 2 ) (5) 然而事实上并不能同时得到贫困户在申请扶贫小额信贷和未申请扶贫小额信贷两种情形下的家庭人均可支配收入，另外， σ μ 1 ε ≠ 0 ， σ μ 0 ε ≠ 0 ，在此状况下，为了使得估计的结果无偏，就需要借助(2)式对模型进行修正。将 σ ε 2 标准化为1，此时随机误差项 μ 1 i 和 μ 0 i 的条件期望为： E ( μ 1 i | D i = 1 ) = E ( μ 1 i | γ 1 i Z 1 i + ε i > 0 ) = σ μ 1 ε [ ϕ ( γ 1 i Z 1 i ) / Φ ( γ 1 i Z 1 i ) ] = ρ μ 1 ε σ μ 1 [ ϕ ( γ 1 i Z 1 i ) / Φ ( γ 1 i Z 1 i ) ] ≡ ρ μ 1 ε σ μ 1 λ 1 i (6) E ( μ 0 i | D i = 0 ) = E ( μ 0 i | γ 0 i Z 0 i + ε i ≤ 0 ) = σ μ 0 ε [ ϕ ( γ 0 i Z 0 i ) / 1 − Φ ( γ 0 i Z 0 i   ) ] = ρ μ 0 ε σ μ 0 [ ϕ ( γ 0 i Z 0 i ) / 1 − Φ ( γ 0 i Z 0 i ) ] ≡ ρ μ 0 ε σ μ 0 λ 0 i (7) 因此，申请扶贫小额信贷和未申请扶贫小额信贷两种情形下对数人均可支配收入的条件期望分别为： E ( L n I 1 i | D i = 1 ) = β 1 i X 1 i + ρ μ 1 ε σ μ 1 [ ϕ ( γ 1 i Z 1 i ) / Φ ( γ 1 i Z 1 i ) ] ≡ β 1 i X 1 i + ρ μ 1 ε σ μ 1 λ 1 i (8) E ( L n I 0 i | D i = 0 ) = β 0 i X 0 i + ρ μ 0 ε σ μ 0 [ ϕ ( γ 0 i Z 0 i ) / Φ ( γ 0 i Z 0 i ) ] ≡ β 0 i X 0 i + ρ μ 0 ε σ μ 0 λ 0 i (9) 在上述申请扶贫小额信贷和未申请扶贫小额信贷的建档立卡贫困户的实际收入方程的基础上，估算其反事实条件期望收入，如式(10)和式(11)所示： E ( L n I 0 i | D i = 1 ) = β 0 i X 1 i + ρ μ 0 ε σ μ 0 [ ϕ ( γ 1 i Z 1 i ) / Φ ( γ 1 i Z 1 i ) ] ≡ β 0 i X 1 i + ρ μ 0 ε σ μ 0 λ 1 i (10) E ( L n I 1 i | D i = 0 ) = β 1 i X 0 i + ρ μ 1 ε σ μ 1 [ − ϕ ( γ 0 i Z 0 i ) / 1 − Φ ( γ 0 i Z 0 i ) ] ≡ β 1 i X 0 i + ρ μ 1 ε σ μ 1 λ 0 i (11) 式中， ϕ ( γ i Z i ) 和 Φ ( γ i Z i ) 分别表示变量 γ i Z i 服从标准正态分布时的概率密度函数和累积密度函数， λ 1 i 和 λ 0 i 称为逆米尔斯比率(inverse Mill’s ratio)，反映的是申请小额信贷家庭和未申请小额信贷家庭由不可观测变量引起的样本选择，而选择的偏差则分别由 μ 1 、 μ 0 和 ε 的相关系数 ρ μ 1 ε 和 ρ μ 0 ε 来体现，如果 ρ μ 1 ε 与 ρ μ 0 ε 其中任一相关系数在统计意义上显著不为零，在这种情况下必须解决由不可观测变量引起的选择偏差问题，否则将会得到有偏的估计结果和错误的结论。 此外，相关系数为正，意味着选择偏差为负，即家庭人均可支配收入低于平均水平的农户更可能申请小额信贷，相关系数为负，意味着选择偏差为正，即家庭人均可支配收入高于平均水平的农户更可能申请小额信贷。 3.2. 平均处理效应和选择偏差的测算 在准确估计方程后，可进一步计算申请扶贫小额信贷和未申请扶贫小额信贷贫困户的平均处理效应和选择偏差以及任一随机贫困户的平均处理效应。 申请小额信贷贫困户的平均处理效应(ATT)为： ATT = E ( L n I 1 i | D i = 1 ) − E ( L n I 0 i | D i = 1 ) = E [ L n ( I 1 i / I 0 i ) | D i = 1 ] (12) 未申请小额信贷贫困户的平均处理效应(ATU)为： ATT = E ( L n I 1 i | D i = 0 ) − E ( L n I 0 i | D i = 0 ) = E [ L n ( I 1 i / I 0 i ) | D i = 0 ] (13) 申请小额信贷贫困户的异质性效应为： E ( L n I 0 i | D i = 1 ) − E ( L n I 0 i | D i = 0 ) (14) 未申请小额信贷贫困户的异质性效应为： E ( L n I 1 i | D i = 1 ) − E ( L n I 1 i | D i = 0 ) (15) 而任一随机贫困户申请小额信贷的平均处理效应(ATE)由式(16)给出，它为ATT和ATU的加权平均值： ATE = E ( I 1 i ) − E ( I 0 i ) = [ ω E ( L n I 1 i | D i = 1 ) + ( 1 − ω ) E ( L n I 1 i | D i = 0 ) ] − [ ω E ( L n I 0 i = 1 ) + ( 1 − ω ) E ( L n I 0 i | D i = 0 ) ] = ω [ E ( L n I 1 i | D i = 1 ) − E ( L n I 0 i | D i = 1 ) ] + ( 1 − ω ) [ E ( L n I 1 i | D i = 0 ) − E ( L n I 0 i | D i = 0 ) ] = ω [ E ( L n ( I 1 i / I 0 i ) | D i = 1 ) ] + ( 1 − ω ) [ E ( L n ( I 1 i / I 0 i ) | D i = 0 ) ] = ω ATT + ( 1 − ω ) ATU (16) 其中， ω 为申请小额信贷的样本占比， 1 − ω 为未申请小额信贷的样本占比。 3.3. 扶贫小额信贷对农户收入差距贡献测度 由于本文的被解释变量为对数人均可支配收入，因此考虑利用基于对数收入方程进行不平等分解的Fields法来测度扶贫小额信贷对农户收入差距的贡献程度。 农户对数收入差距方程由式(17)给出： L n I i = η i D i (17) 上式中， D i 是该贫困户家庭i是否申请了小额信贷的虚拟变量， α i 表示申请小额信贷发展产业对贫困户家庭收入水平的影响效应系数， D i = 1 表示贫困户i申请了小额信贷，此时 η i 等于上文中计算得出的ATT； D i = 1 表示贫困户i没有申请小额信贷，此时 等于上文中计算得出的ATU。 对上式两侧取协方差： var ( L n I i ) = cov ( η i D ， L n I i ) (18) 此时，申请小额信贷对贫困户家庭收入差距的贡献度可表示为： var ( L n I i ) = cov ( η i D ， L n I i ) (19)