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user: 3. H 0 1 中的指数吸引子 引理3.1 设 Ω ⊂ R n 是具有光滑边界的有界区域，f是 C 1 函数， f ( 0 ) = 0 ，且满足式(2)和(3)， h i ， h ∈ L 2 ( Ω ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ； h i 仅依赖于 x i )， D i = ∂ ∂ x i 是弱导数。则对于任意初始值 u 0 ∈ H 和 T > 0 ，系 统(1)都存在唯一的弱解 u ( x ， t ) 满足 u ∈ C ( [ 0 ， T ] ， H ) ; u ∈ L 2 ( [ 0 ， T ] ; V ) ∩ L p ( ( 0 ， T ) ; Ω ) 并且 u ( t ) 关于初值 u 0 在H中是连续的。 证明 利用标准的Fatou-Galerkin方法可证明方程(1)的弱解的存在唯一性。具体可参考文献 [ 12 ] - [ 17 ] 等。 根据引理3.1可得，系统(1)的解可表示为： S ( t ) u 0 = u ( t ) ， ∀ t ≥ 0 其中 S ( t ) : H → H 单参数族算子 { S ( t ) } t ≥ 0 满足性质： S ( t ) ⋅ S ( τ ) = S ( t + τ ) ， ∀ t ， τ ≥ 0 ； S ( 0 ) = I (恒等算子)我们称 S ( t ) 为系统(1)对应的半群。进一步，若 S ( t ) : H → H ( t ≥ 0 ) 连续，则 S ( t ) 为连续半群。 引理3.2 设 Ω ⊂ R n 是具有光滑边界的有界区域，f是 C 1 函数， f ( 0 ) = 0 ，且满足式(2)和(3)， h i ， h ∈ L 2 ( Ω ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ； h i 仅依赖于 x i )， D i = ∂ ∂ x i 是弱导数。则由问题(1)生成的连续半群 { S ( t ) } t ≥ 0 在H中存在有界吸收集 B 0 和全局吸引子A。 因此 B = ∪ 0 ≤ t ≤ T S ( t ) B 0 ¯ 是H中正的紧不变集。 引理3.3 [ 11 ] 存在 M > 0 和 T = T ( B ) ，对于任意有界集 B ⊂ H ，有： | S ( t ) u 0 | p 2 ≤ M ， ∀ t ≥ T ， u 0 ∈ B 由引理3.3我们可以得到以下引理： 引理3.4 存在 L > 0 ，有： sup u 0 ∈ B ‖ u t ( t ) ‖ 2 ≤ L ， ∀ t ≥ 0 证明 对系统(1)关于时间t求导，且令 v = u t 有： v t − Δ v t − Δ v + f ′ ( u ) v = 0 (4) 对上式用 − Δ v 作用，结合结构性条件(2)可得： 1 2 d d t ( ‖ ∇ v ‖ 2 + ‖ Δ v ‖ 2 ) + ‖ Δ v ‖ 2 + η ‖ ∇ v ‖ 2 ≤ l ‖ ∇ v ‖ 2 (5) 结合Gronwall引理，引理得证。 引理3.5 设 Ω ⊂ R n 是具有光滑边界的有界区域，f是 C 1 函数， f ( 0 ) = 0 ，且满足式(2)和(3)， h i ， h ∈ L 2 ( Ω ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ； h i 仅依赖于 x i )， D i = ∂ ∂ x i 是弱导数。 u ( t ) ， v ( t ) 是满足初始条件 u ( 0 ) ， v ( 0 ) ∈ B 的系统(1)的两个解，故下式成立： ‖ u ( t ) − v ( t ) ‖ ≤ e c 2 t ‖ u ( 0 ) − v ( 0 ) ‖ (6) 证明 令 ω ( t ) = u ( t ) − v ( t ) ，则 ω ( 0 ) = u ( 0 ) − v ( 0 ) 满足： ω t − Δ ω t − Δ ω + η ω = f ( v ) − f ( u ) (7) 用 − Δ ω 与式(7)在H中作内积 ( − Δ ω ， ω t ) + ( Δ ω ， Δ ω t ) + ( Δ ω ， Δ ω ) − ( Δ ω ， η ω ) = ( f ( v ) − f ( u ) ， − Δ ω ) (8) 即： 1 2 d d t ( ‖ ∇ ω ‖ 2 + ‖ Δ ω ‖ 2 ) + ‖ Δ ω ‖ 2 + η ‖ ∇ ω ‖ 2 = ( f ( v ) − f ( u ) ， − Δ ω ) (9) 由结构性条件(2)： | ∫ Ω ( f ( v ) − f ( u ) ) ( − Δ ω ) d x | ≤ ∫ Ω | f ′ ( θ v + ( 1 − θ u ) ) | | Δ ω | 2 d x   ( 0 < θ < 1 ) ≤ c ∫ Ω l | Δ ω | 2 d x ≤ c 1 | Δ ω | 2 (10) 故有： d d t ( ‖ ∇ ω ‖ 2 + ‖ Δ ω ‖ 2 ) ≤ c 2 ( ‖ ∇ ω ‖ 2 + ‖ Δ ω ‖ 2 ) (11) 根据Gronwall引理可得： ‖ ∇ ω ( t ) ‖ 2 + ‖ Δ ω ( t ) ‖ 2 ≤ e c 2 t ( ‖ ∇ ω ( 0 ) ‖ 2 + ‖ Δ ω ( 0 ) ‖ 2 ) (12) 引理3.6 假设引理2.5的条件满足，则对任意的 T > 0 ，映射 ( t ， u ) ↦ S ( t ) u 在 [ 0 ， T ] × B 上是Lipschitz连续的。 证明 对任意的 u 1 ， u 2 ∈ B ， t 1 ， t 2 ∈ [ 0 ， T ] ，我们有： ‖ S ( t 1 ) u 1 − S ( t 2 ) u 2 ‖ 2 ≤ ‖ S ( t 1 ) u 1 − S ( t 1 ) u 2 ‖ 2 + ‖ S ( t 1 ) u 2 − S ( t 2 ) u 2 ‖ 2 (13) 上述不等式的第一项可用引理2.5估计。再由引理2.4，我们可以得到如下估计： ‖ u ( t 1 ) − u ( t 2 ) ‖ 2 ≤ | ∫ t 1 t 2 ‖ u t ( y ) ‖ 2 d y | ≤ L | t 1 − t 2 | (14) 因此 ‖ S ( t 1 ) u 1 − S ( t 2 ) u 2 ‖ 2 ≤ L [ | t 1 − t 2 | + ‖ u 1 − u 2 ‖ 2 ] (15) 其中 L = L ( T ) ≥ 0 。 引理3.7 假设f满足结构性条件(2)和(3)， u ( t ) ， v ( t ) 是系统(1)关于初值 u ( 0 ) ， v ( 0 ) ∈ B 的两个解，则系统(1)生成的半群 S ( t ) 满足离散的挤压性，即：存在 t ∗ ( > 0 ) 和 N = N 0 = N ( t ∗ ) ( > 0 ) 使得当： ‖ ( 1 − P ) ( S ( t ∗ ) u 0 − S ( t ∗ ) v 0 ) ‖ 2 > ‖ P ( S ( t ∗ ) u 0 − S ( t ∗ ) v 0 ) ‖ 2 则有 ‖ S ( t ∗ ) u 0 − S ( t ∗ ) v 0 ‖ 2 ≤ 1 8 ‖ u 0 − v 0 ‖ 2 证明 由于算子 A = − Δ 是自伴的有紧逆的正算子，由经典的谱理论，存在一列特征值 λ 1 ， λ 2 ， λ 3 ， ⋯ ，使得当 N → ∞ 时 0 < λ 1 ≤ λ 2 ≤ λ 3 ≤ ⋯ ≤ λ N ≤ ⋯ ， λ N → ∞ 在H中存在特征向量 { ω i } i = 1 ∞ 组成的一完全集，使得对应的特征值满足： A ω i = λ i ω i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ (16) 令 H N = S p a n { ω 1 ， ω 2 ， ⋯ ， ω N } 则 P N : H → H N 是正交投影，记 Q N = 1 − P N 是在 H N 上正交完备化的正交投影， ω = P N ω + Q N ω ≜ p + q 。假设 | P N ω ( t ) | ≤ | Q N ω ( t ) | 。 用 − Δ q 与式(7)在H中作内积， ( − Δ q ， ω t ) + ( Δ q ， Δ ω t ) + ( Δ q ， Δ ω ) − ( Δ q ， η ω ) = ( f ( v ) − f ( u ) ， − Δ q ) (17) 即： 1 2 d d t ( ‖ ∇ q ‖ 2 + ‖ Δ q ‖ 2 ) + ‖ Δ q ‖ 2 + η ‖ ∇ q ‖ 2 = ( f ( v ) − f ( u ) ， − Δ q ) (18) 由结构性条件(2)： | ∫ Ω ( f ( v ) − f ( u ) ) ( − Δ q ) d x | ≤ c 3 ∫ Ω | ω | | Δ q | d x ≤ ‖ Δ q ‖ 2 2 + c 3 2 ‖ ω ‖ 2 (19) 由(18) (19)式可得： d d t ( ‖ ∇ q ‖ 2 + ‖ Δ q ‖ 2 ) + ‖ Δ q ‖ 2 ≤ c 3 ‖ ω ‖ 2 (20) 根据引理3.5和Poincare不等式可得： d d t ( ‖ ∇ q ‖ 2 + ‖ Δ q ‖ 2 ) + ‖ Δ q ‖ 2 2 + λ N + 1 2 ‖ ∇ q ‖ 2 ≤ c 3 ‖ ω ‖ 2 ≤ c 3 ‖ p + q ‖ 2 ≤ 2 c 3 ‖ q ‖ 2 ≤ 2 c 3 λ N + 1 − 1 ‖ ∇ q ‖ 2 ≤ c 4 λ N + 1 − 1 ‖ Δ ω ‖ 2 ≤ c 4 λ N + 1 − 1 e c 2 t ‖ Δ ω ( 0 ) ‖ 2 (21) 又因为 λ 1 ≤ λ N + 1 ，我们可以得到： d d t ( ‖ ∇ q ‖ 2 + ‖ Δ q ‖ 2 ) + ‖ Δ q ‖ 2 2 + λ 1 2 ‖ ∇ q ‖ 2 ≤ c 4 λ N + 1 − 1 e c 2 t ‖ Δ ω ( 0 ) ‖ 2 (22) 记 c 5 = min { 1 2 ， λ 1 2 } ，有： d d t ( ‖ ∇ q ‖ 2 + ‖ Δ q ‖ 2 ) + c 5 ( ‖ ∇ q ‖ 2 + ‖ Δ q ‖ 2 ) ≤ c 4 λ N + 1 − 1 e c 2 t ‖ Δ ω ( 0 ) ‖ 2 (23) 由Gronwall引理可得： ‖ ∇ q ( t ) ‖ 2 + ‖ Δ q ( t ) ‖ 2 ≤ e − c 5 t ( ‖ ∇ q ( 0 ) ‖ 2 + ‖ Δ q ( 0 ) ‖ 2 ) + c 6 λ N + 1 − 1 e c 2 t ‖ Δ ω ( 0 ) ‖ 2 ≤ c 7 ( e − c 5 t + c 8 λ N + 1 − 1 e c 2 t ) ‖ Δ ω ( 0 ) ‖ 2 (24) 故： ‖ Δ ω ( t ) ‖ 2 ≤ 2 ‖ Δ q ( t ) ‖ 2 ≤ c 9 ( e − c 5 t + c 10 λ N + 1 − 1 e c 2 t ) ‖ Δ ω ( 0 ) ‖ 2 (25) 设 t ∗ > 0 ，使得 c 9 e − c 5 t ∗ ≤ 1 128 ，固定 t ∗ ，且N足够大，使得 c 9 c 10 λ N + 1 − 1 e c 2 t ∗ ≤ 1 128 。有： ‖ Δ ω ( t ∗ ) ‖ ≤ 1 8 ‖ Δ ω ( 0 ) ‖ (26) 定理3.8 设 Ω ⊂ R n 是具有光滑边界的有界区域，f是 C 1 函数， f ( 0 ) = 0 ，且满足式(2)和(3)， h i ， h ∈ L 2 ( Ω ) ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ； h i 仅依赖于 x i )， D i = ∂ ∂ x i 是弱导数。则系统(1)生成的半群 { S ( t ) } t ≥ 0 在V中存在指数吸引子M。 证明 由引理3.7可得，存在 t ∗ > 0 使得 S ( t ∗ ) 满足离散的挤压性，由文献 [ 11 ] 中定理1.1可知，存在指数吸引子 M ∗ ，设： M = ∪ 0 ≤ t ≤ t ∗ S ( t ) M ∗ 又由引理3.6可得： ( t ， u ) ↦ S ( t ) u 从 [ 0 ， T ] × B 到B是Lipschitz连续的，由文献 [ 11 ] 中定理2.1可知，M为 ( { S ( t ) } t ≥ 0 ， B ) 相应的指数吸引子。