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user: 4. D ˜ n-宽度 我们选择 E N 上一个合适的距离d来建立 ‖ x − y ‖ p 和 d ( u ， v ) ， x ， y ∈ l p N ， u ， v ∈ E N ，之间的关系。 E N 中集合之间的距离可以通过 ‖ x − y ‖ p 来估计。 令 κ ( R N ) 是 l p N 中的非空紧集全体构成的空间，如果 A ， B ∈ κ ( R N )   ， 1 ≤ p < ∞ 则A与B的Hausdorf距离定义为 d H p ( A ， B ) = max { sup a ∈ A inf b ∈ B ‖ a − b ‖ p ， sup b ∈ B inf a ∈ A ‖ a − b ‖ p } 对 u ， v ∈ E N ， 1 ≤ p < ∞ ， 1 ≤ s < ∞ ， α ∈ [ 0 ， 1 ] ，我们定义 1 ≤ p < ∞ ， 1 ≤ s < ∞ d s p ( u ， v ) = ( ∫ 0 1 d H p ( [ u ] α ， [ v ] α ) s d α ) 1 / s . 令 L s ， p N = ( E N ， d s ， p ) ， d s ， p 为 E N 上的 L s ， p N 度量。 d ∞ ， p ( u ， v ) = sup α ∈ [ 0 ， 1 ] d H p ( [ u ] α ， [ v ] α ) ，为模糊数空间 E N 上的上确界度量(或一致Hausdorf度量) [ 14 ]。 令 L ∞ ， p N = ( E N ， d ∞ ， p ) ， d ∞ ， p 为 E N 上的 L ∞ ， p N 度量。 引理2令 u ∈ E N ， k ∈ R ， α ∈ [ 0 ， 1 ] ， D = d i a g { D 1 ， ⋯ ， D N } ， D 1 ≥ D 2 ≥ ⋯ ≥ D N > 0 是一个 N × N 阶的对角矩阵， D ˜ 是 D 的Zadeh扩张。则 d ∞ ， p ( D ˜ ( k u ) ， 0 ^ ) = | k | d ∞ ， p ( D ˜ ( u ) ， 0 ^ ) 。 证明：因为 supp   0 ^ = { 0 } ，所以 d ∞ ， p ( D ˜ [ u ] α ， k [ 0 ^ ] α ) = sup α ∈ [ 0 ， 1 ] d H p ( D [ u ] α ， k [ 0 ^ ] α ) = sup α ∈ [ 0 ， 1 ] max { sup a ∈ [ u ] α inf b ∈ k [ 0 ^ ] α ‖ D a − b ‖ p ， sup b ∈ k [ 0 ^ ] α inf a ∈ [ u ] α ‖ D a − b ‖ p } = sup α ∈ [ 0 ， 1 ] sup a ∈ [ u ] α ‖ D a ‖ p 若 0 ≤ r 1 ≤ r 2 ≤ 1 ， [ u ] r 2 ⊂ [ u ] r 1 ，于是 d ∞ ， p ( D ˜ u ， k 0 ^ ) = sup a ∈ [ u ] 0 ‖ D a ‖ p 。 类似的我们可以证得： d ∞ ， p ( D ˜ ( k u ) ， 0 ^ ) = | k | d ∞ ， p ( D ˜ ( u ) ， 0 ^ ) 。 在本文中，我们关注的是n-宽度的估计： D ˜ P = { D ˜ u : u ∈ E N ， d ∞ ， p ( u ， 0 ^ ) ≤ 1 } 和 D ˜ p − 1 = { D ˜ − 1 u : u ∈ E N ， d ∞ ， p ( u ， 0 ^ ) ≤ 1 } 通常情况下，使用 [ 9 ] b n ( A ; X ) = sup X n + 1 inf x ∈ ∂ ( A ∩ X n + 1 ) ‖ x ‖ 的一个简化形式。为便于计算我们引入了 b n ( D ˜ P ; L ∞ ) 的相似定义。 定义2当 s = ∞ ， 1 ≤ p ≤ ∞ 时， b n ( D ˜ P ; L ∞ ， P N ) = sup X ˜ n + 1 inf u ∈ X ˜ n + 1 d ∞ p ( u ， 0 ^ ) = 1 d ( D ˜ u ， 0 ^ ) 现在我们陈述主要结果： 定理1 当 s = ∞ ， δ n ( D ˜ p ; L ∞ ， p N ) = d n ( D ˜ p ; L ∞ ， p N ) = d n ( D ˜ p ; L ∞ ， p N ) = b n ( D ˜ p ; L ∞ ， p N ) = D n + 1 定理2 当 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞ ， s = ∞ ，令 1 r = 1 q − 1 p ，则有 δ n ( D ˜ P ; L ∞ ， q N ) = d n ( D ˜ P ; L ∞ ， q N ) = d n ( D ˜ P ; L ∞ ， q N ) = ( ∑ k = n + 1 N D k r ) 1 r 注：当 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞ 时，定理1与定理2显然定理A与B的一般化。 证明这两个定理前我们需要一些引理 引理3 当 1 ≤ p ≤ ∞ 1) δ n ( D ˜ P ; L ∞ ， P N ) ≥ d n ( D ˜ P ; L ∞ ， P N ) ≥ b n ( D ˜ P ; L ∞ ， P N ) 。 2) δ n ( D ˜ P ; L ∞ ， p N ) ≥ d n ( D ˜ P ; L ∞ ， p N ) ≥ b n ( D ˜ P ; L ∞ ， p N ) 。 证明方法类似于 [ 13 ]，此处我们省略其证明。 引理4 对 p = ∞ ， n < N ，时 b n ( D ˜ P ; L ∞ ， p N ) d N − n − 1 ( D ˜ p ; L ∞ ， p N ) = 1 证明方法类似于 [ 13 ] 此处我们省略其证明。 定理1的证明：令 p n = d i a g ( D 1 ， ⋯ ， D n ， 0 ， ⋯ ， 0 ) ，对任意的 u ∈ E N ，有 d H p ( [ D ˜ u ] α ， [ P ˜ n u ] α ) = d H p ( D [ u ] α ， P n [ u ] α ) = max { sup a ∈ [ u ] α inf b ∈ [ u ] α ‖ D a − P n b ‖ p ， sup b ∈ [ u ] α inf a ∈ [ u ] α ‖ D a − P n b ‖ p } = max a ∈ [ u ] α ‖ ( D − P n ) a ‖ p (1) 因此 δ n ( D ˜ p ; L ∞ ， p N ) = inf P ˜ n sup u ∈ E N ‖ D ˜ u − P ˜ n u ‖ p ≤ max d ∞ p ( u ， 0 ^ ) ≤ 1 d ∞ ， p ( D ˜ u ， P ˜ n u ) = max u ≠ 0 ^ d ∞ ， p ( D ˜ u ， P ˜ n u ) d ∞ ， p ( u ， 0 ^ ) = max u ≠ 0 ^ sup α ∈ [ 0 ， 1 ] d H p ( [ D ˜ u ] α ， [ P ˜ n u ] α ) sup α ∈ [ 0 ， 1 ] d H p ( [ u ] α ， [ 0 ^ ] α ) = max u ≠ 0 ^ max a ∈ [ u ] 0 ‖ D ˜ − P ˜ n ( a ) ‖ p max a ∈ [ u ] 0 ‖ a ‖ p = max u ≠ 0 ^ max a ∈ [ u ] 0 ( ∑ i = n + 1 N | D ˜ i a i | p ) 1 p max a ∈ [ u ] 0 ‖ a ‖ p ≤ max u ≠ 0 ^ D n + 1 ( max a ∈ [ u ] 0 ( ∑ i = n + 1 N | a i | p ) 1 p ) max a ∈ [ u ] 0 ‖ a ‖ p ≤ D n + 1 同理 δ n ( D ˜ p ; L ∞ ， p N ) ≤ 1 / D n + 1 。 由引理4知： b n ( D ˜ p ， L ∞ ， p N ) = ( d M − n − 1 ( D ˜ p − 1 ， L ∞ ， p N ) ) − 1 ≥ ( δ n ( D ˜ p − 1 ， L ∞ ， p N ) ) − 1 ，因此 b n ( D ˜ p ， L ∞ ， p N ) = D n + 1 通过引理3，我们证明了这四个n-宽等于 D n + 1 。 引理5令 1 ≤ p ， q < ∞ ，且 1 p + 1 p ′ = 1 q + 1 q ′ = 1 。则 d n ( D ˜ p ; L ∞ ， q N ) ≥ d n ( D ˜ q ′ ; L ∞ ， p N ) 。 证明方法类似于 [ 13 ] 此处我们省略其证明。 定理2的证明，首先证明： δ n ( D ˜ p ; L ∞ ， q N ) ≤ ( ∑ k = n + 1 N D k r ) 1 / r 。 令 p n = d i a g ( D 1 ， ⋯ ， D n ， 0 ， ⋯ ， 0 ) ，对任意的 u ∈ E N ，如定理1中(1)的证明 d H q ( [ D ˜ u ] α ， [ P ˜ n u ] α ) = sup a ∈ [ u ] α ‖ ( D − P n ) a ‖ q = sup a ∈ [ u ] α ( ∑ k = n + 1 N | D k a k | q ) 1 / q ， 又由 1 r = 1 q − 1 p 和Holder不等式有 ( ∑ k = n + 1 N | D k a k | q ) 1 / q ≤ ( ∑ k = n + 1 N | D k | r ) 1 / r ( ∑ k = n + 1 N | a k | p ) 1 / p ， 所以有 d H q ( [ D ˜ u ] α ， [ P ˜ n u ] α ) ≤ sup a ∈ [ u ] α ( ∑ k = n + 1 N | D k | r ) 1 / r ( ∑ k = n + 1 N | a k | p ) 1 / p ≤ ( ∑ k = n + 1 N | D k | r ) 1 / r sup a ∈ [ u ] α ( ∑ k = 1 N | a k | p ) 1 / p ≤ ( ∑ k = n + 1 N | D k | r ) 1 / r d H p ( [ u ] α ， [ 0 ^ ] α ) 所以 δ n ( D ˜ p ; L ∞ ， q N ) = inf P n sup u ∈ E N ‖ D ˜ u − P ˜ n u ‖ p ≤ max d ∞ p ( u ， 0 ^ ) ≤ 1 d ∞ ， p N ( [ D u ] α ， [ P n u ] α ) ≤ max d ∞ p ( u ， 0 ^ ) ≤ 1 sup α ∈ [ 0 ， 1 ] d H q ( D ( [ u ] α ) ， P n ( [ u ] α ) ) ≤ max d p ( u ， 0 ^ ) ( ∑ k = n + 1 N | D k | r ) 1 / r d ∞ ， p N ( u ， 0 ^ ) ≤ ( ∑ k = n + 1 N | D k | r ) 1 / r (2) 现证明： d n ( D ˜ p ， L ∞ ， q N ) ≥ ( ∑ k = n + 1 N | D k | r ) 1 / r ， 由引理1得： d H q ( [ D ˜ u ] α ， [ 0 ^ ] α ) = d H q ( D ( [ u ] α ) ， [ 0 ^ ] α ) = max a ∈ [ u ] α ‖ D a ‖ q = max a ∈ [ u ] α ( ∑ k = 1 N | D k a k | q ) 1 / q 且 d H p ( [ u ] α ， [ 0 ^ ] α ) = max a ∈ [ u ] α ( ∑ k = 1 N | a k | p ) 1 / p 又由 d n ( D ˜ p ， L ∞ ， q N ) 的定义和定理B得 d n ( D ˜ P ， L ∞ ， q N ) ≥ d n ( D P ， L ∞ ， q N ) = d n ( D P ， l q N ) = ( ∑ k = n + 1 N D k r ) 1 / r (3) 结合式子(2)，(3)和引理1的(2) 有 δ n ( D ˜ p ， L ∞ ， q N ) = d n ( D ˜ p ， L ∞ ， q N ) = ( ∑ k = n + 1 N D k r ) 1 / r 类似的有 δ n ( D ˜ q ′ ， L ∞ ， p N ) = ( ∑ k = n + 1 N D k r ) 1 / r 和 d n ( D ˜ q ′ ， L ∞ ， p ′ N ) ≥ ( ∑ k = n + 1 N D k r ) 1 / r 又由引理1(1)和引理5得 d n ( D ˜ P ; L ∞ ， q N ) ≥ ( ∑ k = n + 1 N D k r ) 1 / r 。