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user: 2. 模型与公式 2.1. 模型建立 如图1所示，半空间内有一个具有非理想界面的纳米圆柱芯–壳结构，其外半径为a，内半径为b，与半平面距离为h，一束稳态入射平面P波以与y轴正方向夹角为 θ α 的方向入射，图中基体与芯–壳结构各层材料的弹性常数、剪切模量和质量体密度分别为 λ ( j ) ， μ ( j ) 和 ρ ( j ) ( j = 1 ， 2 ， 3 ) 。 图1. 半空间中具有非理想界面的纳米芯–壳结构对入射P波的多重衍射 2.2. 波函数在不同坐标系下的基本方程 入射平面P波在坐标系 ( x ， y ) 下的波函数为： φ i ( x ， y ) = φ 0 exp [ I k α 1 ( x sin θ α + y cos θ α ) − I ω   t ] (1) 其中 φ 0 是入射P波的振幅，取 φ 0 = 1 ，I是虚数单位， k α 1 = ω / c p ( 1 ) 、 c p ( 1 ) = ( λ ( 1 ) + 2 μ ( 1 ) ) / ρ ( 1 ) 分别是P波在基体中的波数和波速，t是时间因子。 当入射波与半空间的界面碰撞时，会有反射的有P波 ( φ ) 和SV波 ( ψ ) 形成，由半空间处应力自由可以得到相应的反射波函数在坐标系 ( x ， y ) 下可表示为： φ r ( x ， y ) = K 1 exp [ I k α 1 ( x sin θ α − y cos θ α ) − I ω t ] (2) ψ r ( x ， y ) = K 1 exp [ I k β 1 ( x sin θ β − y cos θ β ) − I ω t ] (3) 其中 K 1 = sin 2 θ α sin 2 θ β − κ 2 cos 2 2 θ β sin 2 θ α sin 2 θ β + κ 2 cos 2 2 θ β ， K 2 = − 2 sin 2 θ α cos 2 θ β sin 2 θ α sin 2 θ β + κ 2 cos 2 2 θ β ， K 1 、 K 2 为反射波的系数， κ = k β 1 / k α 1 = c α 1 / c β 1 ， k β 1 = ω / c s ( 1 ) 、 c s ( 1 ) = μ ( 1 ) / ρ ( 1 ) 分别是SV波在基体中的波数和波速。 以下忽略时间因子，将式(1)~(3)利用波函数展开法在坐标系 ( r 1 ， θ 1 ) 下表示为： φ i ( r 1 ， θ 1 ) = ∑ n = − ∞ + ∞ J n ( k α 1 r 1 ) exp ( I n θ α + I n θ 1 − I k α 1 h cos θ α ) (4) φ r ( r 1 ， θ 1 ) = ∑ n = − ∞ + ∞ ( − 1 ) n K 1 J n ( k α 1 r 1 ) exp ( − I n θ α + I n θ 1 + I k α 1 h cos θ α ) (5) ψ r ( r 1 ， θ 1 ) = ∑ n = − ∞ + ∞ ( − 1 ) n K 2 J n ( k β 1 r 1 ) exp ( − I n θ β + I n θ 1 + I k β 1 h cos θ β ) (6) 其中 J n ( ⋅ ) 是n阶第一类Bessel函数。 当入射波、反射波与芯–壳结构碰撞时，会产生散射波，相应的波函数为： φ s ( r 1 ， θ 1 ) = ∑ n = − ∞ + ∞ A 1 n H n ( 1 ) ( k α 1 r 1 ) exp ( I n θ 1 ) (7) ψ s ( r 1 ， θ 1 ) = ∑ n = − ∞ + ∞ B 1 n H n ( 1 ) ( k β 1 r 1 ) exp ( I n θ 1 ) (8) 其中 A 1 n 和 B 1 n 是基体中散射波的未知系数， H n ( 1 ) ( ⋅ ) 是n阶第一类Hankel函数。 由波的叠加原理可以得到基体中的总波场为： φ ( 1 ) ( r 1 ， θ 1 ) = φ i ( r 1 ， θ 1 ) + φ r ( r 1 ， θ 1 ) + φ s ( r 1 ， θ 1 ) = ∑ n = − ∞ + ∞ [ A 0 n J n ( k α 1 r 1 ) + A 1 n H n ( 1 ) ( k α 1 r 1 ) ] exp ( I n θ 1 ) (9) ψ ( 1 ) ( r 1 ， θ 1 ) = ψ r ( r 1 ， θ 1 ) + ψ s ( r 1 ， θ 1 ) = ∑ n = − ∞ + ∞ [ B 0 n J n ( k β 1 r 1 ) + B 1 n H n ( 1 ) ( k β 1 r 1 ) ] exp ( I n θ 1 ) (10) 其中 A 0 n = exp ( I n θ α − I k α 1 h cos θ α ) + ( − 1 ) n K 1 exp ( − I n θ α + I k α 1 h cos θ α ) ， B 0 n = ( − 1 ) n K 2 exp ( − I n θ β + I k β 1 h cos θ β ) 涂层中的总波场为： φ ( 2 ) ( r 1 ， θ 1 ) = ∑ n = − ∞ + ∞ [ A 2 n J n ( k α 2 r 1 ) + C 2 n H n ( 2 ) ( k α 2 r 1 ) ] exp ( I n θ 1 ) (11) ψ ( 2 ) ( r 1 ， θ 1 ) = ∑ n = − ∞ + ∞ [ B 2 n J n ( k β 2 r 1 ) + D 2 n H n ( 2 ) ( k β 2 r 1 ) ] exp ( I n θ 1 ) (12) 其中 A 2 n ， B 2 n ， C 2 n 和 D 2 n 是涂层中的未知系数， k α 2 、 k β 2 、 c p ( 2 ) 、 c s ( 2 ) 分别是涂层中P波和SV波的波数和波速， H n ( 2 ) ( ⋅ ) 是n阶第二类Hankel函数。 芯体中的总波场为： φ ( 3 ) ( r 1 ， θ 1 ) = ∑ n = − ∞ + ∞ A 3 n J n ( k α 3 r 1 ) exp ( I n θ 1 ) (13) ψ ( 3 ) ( r 1 ， θ 1 ) = ∑ n = − ∞ + ∞ B 3 n J n ( k β 3 r 1 ) exp ( I n θ 1 ) (14) 其中 A 3 n 和 B 3 n 是芯体中的未知系数， k α 3 、 k β 3 、 c p ( 3 ) 、 c s ( 3 ) 以及 k β 3 和 c s ( 3 ) 分别是芯体中P波和SV波的波数和波速。 由圆柱坐标系中，位移与位移势的关系为： u r = ∂ φ ∂ r + 1 r ∂ ψ ∂ θ (15) u θ = 1 r ∂ φ ∂ θ − ∂ ψ ∂ r (16) 以及相应的应力与位移势的关系为： σ r r = λ ( ∂ 2 φ ∂ r 2 + 1 r ∂ φ ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 φ ∂ θ 2 ) + 2 μ ( ∂ 2 φ ∂ r 2 − 1 r 2 ∂ ψ ∂ θ + 1 r ∂ 2 ψ ∂ r ∂ θ ) (17) σ θ θ = λ ( ∂ 2 φ ∂ r 2 + 1 r ∂ φ ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 φ ∂ θ 2 ) + 2 μ ( 1 r 2 ∂ 2 φ ∂ θ 2 + 1 r ∂ φ ∂ r − 1 r ∂ 2 ψ ∂ r ∂ θ + 1 r 2 ∂ ψ ∂ θ ) (18) σ r θ = μ r ( 2 ∂ 2 φ ∂ r ∂ θ − 2 r ∂ φ ∂ θ + 1 r ∂ 2 ψ ∂ θ 2 − r ∂ 2 ψ ∂ r 2 + ∂ ψ ∂ r ) (19) 将式(9)~(14)代入式(15)~(19)中，可以得到基体、涂层及芯体中的位移场与应力场分别为： u r 1 ( 1 ) = 1 r 1 ∑ n = − ∞ ∞ [ A 0 n M 71 ( 1 ) ( k α 1 r 1 ) + A 1 n M 71 ( 3 ) ( k α 1 r 1 ) + I B 0 n M 72 ( 1 ) ( k β 1 r 1 ) + I B 1 n M 72 ( 3 ) ( k β 1 r 1 ) ] exp ( I n θ 1 ) (20) u θ 1 ( 1 ) = 1 r 1 ∑ n = − ∞ ∞ [ I A 0 n M 81 ( 1 ) ( k α 1 r 1 ) + I A 1 n M 81 ( 3 ) ( k α 1 r 1 ) + B 0 n M 82 ( 1 ) ( k β 1 r 1 ) + B 1 n M 82 ( 3 ) ( k β 1 r 1 ) ] exp ( I n θ 1 ) (21) σ r 1 r 1 ( 1 ) = 2 μ ( 1 ) r 1 2 ∑ n = − ∞ ∞ [ A 0 n E 11 ( 1 ) ( k α 1 r 1 ) + A 1 n E 11 ( 3 ) ( k α 1 r 1 ) + I B 0 n E 12 ( 1 ) ( k β 1 r 1 ) + I B 1 n E 12 ( 3 ) ( k β 1 r 1 ) ] exp ( I n θ 1 ) (22) σ θ 1 θ 1 ( 1 ) = 2 μ ( 1 ) r 1 2 ∑ n = − ∞ ∞ [ A 0 n E 21 ( 1 ) ( k α 1 r 1 ) + A 1 n E 21 ( 3 ) ( k α 1 r 1 ) + I B 0 n E 22 ( 1 ) ( k β 1 r 1 ) + I B 1 n E 22 ( 3 ) ( k β 1 r 1 ) ] exp ( I n θ 1 ) (23) σ r 1 θ 1 ( 1 ) = 2 μ ( 1 ) r 1 2 ∑ n = − ∞ ∞ [ I A 0 n E 41 ( 1 ) ( k α 1 r 1 ) + I A 1 n E 41 ( 3 ) ( k α 1 r 1 ) + B 0 n E 42 ( 1 ) ( k β 1 r 1 ) + B 1 n E 42 ( 3 ) ( k β 1 r 1 ) ] exp ( I n θ 1 ) (24) u r 1 ( 2 ) = 1 r 1 ∑ n = − ∞ ∞ [ A 2 n M 71 ( 1 ) ( k α 2 r 1 ) + C 2 n M 71 ( 4 ) ( k α 2 r 1 ) + I B 2 n M 72 ( 1 ) ( k β 2 r 1 ) + I D 2 n M 72 ( 4 ) ( k β 2 r 1 ) ] exp ( I n θ 1 ) (25) u θ 1 ( 2 ) = 1 r 1 ∑ n = − ∞ ∞ [ I A 2 n M 81 ( 1 ) ( k α 2 r 1 ) + I C 2 n M 81 ( 4 ) ( k α 2 r 1 ) + B 2 n M 82 ( 1 ) ( k β 2 r 1 ) + D 2 n M 82 ( 4 ) ( k β 2 r 1 ) ] exp ( I n θ 1 ) (26) σ r 1 r 1 ( 2 ) = 2 μ ( 2 ) r 1 2 ∑ n = − ∞ ∞ [ A 2 n E 11 ( 1 ) ( k α 2 r 1 ) + C 2 n E 11 ( 4 ) ( k α 2 r 1 ) + I B 2 n E 12 ( 1 ) ( k β 2 r 1 ) + I D 2 n E 12 ( 4 ) ( k β 2 r 1 ) ] exp ( I n θ 1 ) (27) σ θ 1 θ 1 ( 2 ) = 2 μ ( 2 ) r 1 2 ∑ n = − ∞ ∞ [ A 2 n E 21 ( 1 ) ( k α 2 r 1 ) + C 2 n E 21 ( 4 ) ( k α 2 r 1 ) + I B 2 n E 22 ( 1 ) ( k β 2 r 1 ) + I D 2 n E 22 ( 4 ) ( k β 2 r 1 ) ] exp ( I n θ 1 ) (28) σ r 1 θ 1 ( 2 ) = 2 μ ( 2 ) r 1 2 ∑ n = − ∞ ∞ [ I A 2 n E 41 ( 1 ) ( k α 2 r 1 ) + I C 2 n E 41 ( 4 ) ( k α 2 r 1 ) + B 2 n E 42 ( 1 ) ( k β 2 r 1 ) + D 2 n E 42 ( 4 ) ( k β 2 r 1 ) ] exp ( I n θ 1 ) (29) u r 1 ( 3 ) = 1 r 1 ∑ n = − ∞ ∞ [ A 3 n M 71 ( 1 ) ( k α 3 r 1 ) + I B 3 n M 72 ( 1 ) ( k β 3 r 1 ) ] exp ( I n θ 1 ) (30) u θ 1 ( 3 ) = 1 r 1 ∑ n = − ∞ ∞ [ I A 3 n M 81 ( 1 ) ( k α 3 r 1 ) + B 3 n M 82 ( 1 ) ( k β 3 r 1 ) ] exp ( I n θ 1 ) (31) σ r 1 r 1 ( 3 ) = 2 μ ( 3 ) r 1 2 ∑ n = − ∞ ∞ [ A 3 n E 11 ( 1 ) ( k α 3 r 1 ) + I B 3 n E 12 ( 1 ) ( k β 3 r 1 ) ] exp ( I n θ 1 ) (32) σ θ 1 θ 1 ( 3 ) = 2 μ ( 3 ) r 1 2 ∑ n = − ∞ ∞ [ A 3 n E 21 ( 1 ) ( k α 3 r 1 ) + I B 3 n E 22 ( 1 ) ( k β 3 r 1 ) ] exp ( I n θ 1 ) (33) σ r 1 θ 1 ( 3 ) = 2 μ ( 3 ) r 1 2 ∑ n = − ∞ ∞ [ I A 3 n E 41 ( 1 ) ( k α 3 r 1 ) + B 3 n E 42 ( 1 ) ( k β 3 r 1 ) ] exp ( I n θ 1 ) (34) 其中 M i j ( k ) ， E i j ( k ) 是波的变化函数(见附录)。 2.3. 边界条件 2.3.1. 位移边界条件 在界面 r 1 = a 与 r 1 = b 处，对于位移边界条件，本研究采用的线性弹簧模型对不完美界面进行模拟。该模型假设牵引力是连续的，而界面上的位移可能是不连续的。更精确地说，界面的不连续点的位移分量与它们各自的界面牵引力分量成比例。利用上述概念，位移边界条件为 u r 1 ( 1 ) − u r 1 ( 2 ) = σ r 1 r 1 ( 1 ) k r 1 ( 1 ) ， u θ 1 ( 1 ) − u θ 1 ( 2 ) = σ r 1 θ 1 ( 1 ) k θ 1 ( 1 ) ， r 1 = a (35) u r 1 ( 3 ) − u r 1 ( 2 ) = σ r 1 r 1 ( 3 ) k r 1 ( 3 ) ， u θ 1 ( 3 ) − u θ 1 ( 2 ) = σ r 1 θ 1 ( 3 ) k θ 1 ( 3 ) ， r 1 = b (36) 2.3.2. 应力边界条件 由广义Young-Laplace方程(推导过程参考文献 [ 16 ])可以得到应力边界条件为 { σ r 1 r 1 ( 1 ) − σ r 1 r 1 ( 2 ) = s 1 ( 1 − ν ( 1 ) ) σ θ 1 θ 1 ( 1 ) − s 1 ν ( 1 ) σ r 1 r 1 ( 1 ) σ r 1 θ 1 ( 1 ) − σ r 1 θ 1 ( 2 ) = − s 1 ( 1 − ν ( 1 ) ) ∂ σ θ 1 θ 1 ( 1 ) ∂ θ 1 + s 1 ν ( 1 ) ∂ σ r 1 r 1 ( 1 ) ∂ θ 1 ， r 1 = a (37) { σ r 1 r 1 ( 3 ) − σ r 1 r 1 ( 2 ) = s 2 ( 1 − ν ( 3 ) ) σ θ 1 θ 1 ( 3 ) − s 2 ν ( 3 ) σ r 1 r 1 ( 3 ) σ r 1 θ 1 ( 3 ) − σ r 1 θ 1 ( 2 ) = − s 2 ( 1 − ν ( 3 ) ) ∂ σ θ 1 θ 1 ( 3 ) ∂ θ 1 + s 2 ν ( 3 ) ∂ σ r 1 r 1 ( 3 ) ∂ θ 1 ， r 1 = b (38) s 1 = 2 μ s + λ s 2 μ ( 2 ) a ， s 2 = 2 μ s + λ s 2 μ ( 2 ) b = η s 1 ， η = a b (39) 其中， s 1 ， s 2 为纳米尺度下衡量表面效应的无量纲参数。 将式(20)~(34)代入边界条件(35)~(39)中，利用三角函数的正交性，在等式两端同乘 exp ( I m θ 1 ) 并在 [ − π ， π ] 上积分得到线性方程组 A 0 n M 71 ( 1 ) ( k α 1 a ) + A 1 n M 71 ( 3 ) ( k α 1 a ) + I B 0 n M 72 ( 1 ) ( k β 1 a ) + I B 1 n M 72 ( 3 ) ( k β 1 a ) − ( A 2 n M 71 ( 1 ) ( k α 2 a ) + C 2 n M 71 ( 4 ) ( k α 2 a ) + I B 2 n M 72 ( 1 ) ( k β 2 a ) + I D 2 n M 72 ( 4 ) ( k β 2 a ) ) = 2 μ ( 1 ) k r 1 ( 1 ) a ( A 0 n E 11 ( 1 ) ( k α 1 a ) + A 1 n E 11 ( 3 ) ( k α 1 a ) + I B 0 n E 12 ( 1 ) ( k β 1 a ) + I B 1 n E 12 ( 3 ) ( k β 1 a ) ) (40) I A 0 n M 81 ( 1 ) ( k α 1 a ) + I A 1 n M 81 ( 3 ) ( k α 1 a ) + B 0 n M 82 ( 1 ) ( k β 1 a ) + B 1 n M 82 ( 3 ) ( k β 1 a ) − ( I A 2 n M 81 ( 1 ) ( k α 2 a ) + I C 2 n M 81 ( 4 ) ( k α 2 a ) + B 2 n M 82 ( 1 ) ( k β 2 a ) + D 2 n M 82 ( 4 ) ( k β 2 a ) ) = 2 μ ( 1 ) k θ 1 ( 1 ) a ( I A 0 n E 41 ( 1 ) ( k α 1 a ) + I A 1 n E 41 ( 3 ) ( k α 1 a ) + B 0 n E 42 ( 1 ) ( k β 1 a ) + B 1 n E 42 ( 3 ) ( k β 1 a ) ) (41) I A 3 n M 81 ( 1 ) ( k α 3 b ) + B 3 n M 82 ( 1 ) ( k β 3 b ) − ( I A 2 n M 81 ( 1 ) ( k α 2 b ) + I C 2 n M 81 ( 4 ) ( k α 2 b ) + B 2 n M 82 ( 1 ) ( k β 2 b ) + D 2 n M 82 ( 4 ) ( k β 2 b ) ) = 2 μ ( 3 ) k θ 1 ( 3 ) b ( I A 3 n E 41 ( 1 ) ( k α 3 b ) + B 3 n E 42 ( 1 ) ( k β 3 b ) ) (42) I A 3 n M 81 ( 1 ) ( k α 3 b ) + B 3 n M 82 ( 1 ) ( k β 3 b ) − ( I A 2 n M 81 ( 1 ) ( k α 2 b ) + I C 2 n M 81 ( 4 ) ( k α 2 b ) + B 2 n M 82 ( 1 ) ( k β 2 b ) + D 2 n M 82 ( 4 ) ( k β 2 b ) ) = 2 μ ( 3 ) k θ 1 ( 3 ) b ( I A 3 n E 41 ( 1 ) ( k α 3 b ) + B 3 n E 42 ( 1 ) ( k β 3 b ) ) (43) ( A 0 n E 11 ( 1 ) ( k α 1 a ) + A 1 n E 11 ( 3 ) ( k α 1 a ) + I B 0 n E 12 ( 1 ) ( k β 1 a ) + I B 1 n E 12 ( 3 ) ( k β 1 a ) ) − μ ( 2 ) μ ( 1 ) ( A 2 n E 11 ( 1 ) ( k α 2 a ) + C 2 n E 11 ( 4 ) ( k α 2 a ) + I B 2 n E 12 ( 1 ) ( k β 2 a ) + I D 2 n E 12 ( 4 ) ( k β 2 a ) ) = s 1 ( 1 − ν ( 1 ) ) ( A 0 n E 21 ( 1 ) ( k α 1 a ) + A 1 n E 21 ( 3 ) ( k α 1 a ) + I B 0 n E 22 ( 1 ) ( k β 1 a ) + I B 1 n E 22 ( 3 ) ( k β 1 a ) )                 − s 1 ν ( 1 ) ( A 0 n E 11 ( 1 ) ( k α 1 a ) + A 1 n E 11 ( 3 ) ( k α 1 a ) + I B 0 n E 12 ( 1 ) ( k β 1 a ) + I B 1 n E 12 ( 3 ) ( k β 1 a ) ) (44) ( I A 0 n E 41 ( 1 ) ( k α 1 a ) + I A 1 n E 41 ( 3 ) ( k α 1 a ) + B 0 n E 42 ( 1 ) ( k β 1 a ) + B 1 n E 42 ( 3 ) ( k β 1 a ) ) − μ ( 2 ) μ ( 1 ) ( I A 2 n E 41 ( 1 ) ( k α 2 a ) + I C 2 n E 41 ( 4 ) ( k α 2 a ) + B 2 n E 42 ( 1 ) ( k β 2 a ) + D 2 n E 42 ( 4 ) ( k β 2 a ) ) = − I n s 1 ( 1 − ν ( 1 ) ) ( I A 0 n E 21 ( 1 ) ( k α 1 a ) + I A 1 n E 21 ( 3 ) ( k α 1 a ) + B 0 n E 22 ( 1 ) ( k β 1 a ) + B 1 n E 22 ( 3 ) ( k β 1 a ) )                   + I n s 1 ν ( 1 ) ( I A 0 n E 11 ( 1 ) ( k α 1 a ) + I A 1 n E 11 ( 3 ) ( k α 1 a ) + B 0 n E 12 ( 1 ) ( k β 1 a ) + B 1 n E 12 ( 3 ) ( k β 1 a ) ) (45) ( A 3 n E 11 ( 1 ) ( k α 3 b ) + I B 3 n E 12 ( 1 ) ( k β 3 b ) ) − μ ( 2 ) μ ( 3 ) ( A 2 n E 11 ( 1 ) ( k α 2 b ) + C 2 n E 11 ( 4 ) ( k α 2 b ) + I B 2 n E 12 ( 1 ) ( k β 2 b ) + I D 2 n E 12 ( 4 ) ( k β 2 b ) ) = s 2 ( 1 − ν ( 3 ) ) ( A 3 n E 21 ( 1 ) ( k α 3 b ) + I B 3 n E 22 ( 1 ) ( k β 3 b ) ) − s 2 ν ( 3 ) ( A 3 n E 11 ( 1 ) ( k α 3 b ) + I B 3 n E 12 ( 1 ) ( k β 3 b ) ) (46) ( I A 3 n E 41 ( 1 ) ( k α 3 b ) + B 3 n E 42 ( 1 ) ( k β 3 b ) ) − μ ( 2 ) μ ( 3 ) ( I A 2 n E 41 ( 1 ) ( k α 2 b ) + I C 2 n E 41 ( 4 ) ( k α 2 b ) + B 2 n E 42 ( 1 ) ( k β 2 b ) + D 2 n E 42 ( 4 ) ( k β 2 b ) ) = − I n s 2 ( 1 − ν ( 3 ) ) ( I A 3 n E 21 ( 1 ) ( k α 3 b ) + B 3 n E 22 ( 1 ) ( k β 3 b ) ) + I n s 2 ν ( 3 ) ( I A 3 n E 11 ( 1 ) ( k α 3 b ) + B 3 n E 12 ( 1 ) ( k β 3 b ) ) (47) 2.4. 数值结果与分析 应力集中因子指的是在一个不连续区域里的最大应力与标准局部应力的比值，是一个局部区域中应力集中严重程度的度量标准。半空间中具有非理想界面的纳米圆柱芯–壳结构涂层界面处的动应力集中因子DSCF定义为： DSCF = | σ θ 1 θ 1 ( 1 ) σ 0 | (48) 其中 σ 0 = − μ ( 1 ) k β 1 2 表示入射波产生的最大静应力值。 以下通过取不同材料参数来研究入射波的入射角，入射波的频率，弹簧系数对动应力集中因子的影响。在考虑表面效应和弹簧模型之后，DSCF不仅与入射波波数有关，而且与表面参数和弹簧系数有关。 在图2中，取 k = ∞ ，此时不考虑界面的不完美性，由圣维南原理取 h = 8 ，结果Ou等人的结果一致，验证了本文结论的可行性。从而再考虑弹簧模型因素，取低频 k α 1 a = 0.2 时，观察表面效应参数 s 1 的变化对动应力集中因子的影响。随着 s 1 的增大，最大DSCF也在增大。 在图3中，考虑以低频 k α 1 a = 0.2 ，入射角为 θ α = 1.5 时入射，弹簧系数k的变化对动应力集中因子的影响。从图中可以看到，随着k的增大，DSCF趋于稳定，说明界面与理想界面越接近。 在图4中，考虑以低频 k α 1 a = 0.2 ，入射角为 θ α = 0.1 时入射，弹簧系数k的变化对动应力集中因子的影响。从图中可以看到，随着k的增大，DSCF趋于稳定。与图3比较可得，当入射角的不同时，不仅同一位置的DSCF有明显变化，而且最大DSCF也明显增大。 图2. 波数 k α 1 a = 0.2 ， θ α = 0.1 时，表面参数 s 1 对DSCF的影响 图3. 波数 k α 1 a = 0.2 ， θ α = 1.5 时，弹簧系数k对DSCF的影响 图4. 波数 k α 1 a = 0.2 ， θ α = 0.1 时，弹簧系数k对DSCF的影响 在图5中，考虑高频 k α 1 a = π 下，弹簧系数k的变化对动应力集中因子的影响。从图中可以看到，高频下由于波数增大，动应力集中因子相对低频比较敏感，所以DSCF会出现多个峰值，图像也更为复杂，而且高频下的动应力集中强度低于低频入射。