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user: 3. 主定理的证明 本文运用反证法来完成主定理的证明。 假设 F : D → ℂ m 不是常映射，不失一般性，设 D 是单连通的，并且 0 ∈ D ， F ( 0 ) = 0 。由(1)式得： ∂ ∂ ¯ ( ∑ j = 1 m | f j ( z ) | 2 − log K B * ( G ( z ) ， G ( z ) ) ) = 0 ， z ∈ D (2) 由(2)可得： ∑ j = 1 m | f j ( z ) | 2 − log K B * ( G ( z ) ， G ( z ) ) 是关于 z ( ∈ D ⊂ ℂ ) 的调和函数，所以存在 D 上的全纯函数 φ ( z ) ，使得 ∑ j = 1 m | f j ( z ) | 2 − log K B * ( G ( z ) ， G ( z ) ) = φ ( z ) + φ ( z ) ¯ (3) 由 F ( 0 ) = 0 可知： 2 Re ( φ ( 0 ) ) = − log K B * ( G ( 0 ) ， G ( 0 ) ) 。将(3)式中的一个 z 变为 w 得： ∑ j = 1 m f j ( z ) f j ( w ) ¯ − log K B * ( G ( z ) ， G ( w ) ) = φ ( z ) + φ ( w ) ¯ ， ( z ， w ) ∈ D × D (4) 上式中，令 w = 0 ，则有 φ ( z ) = − log K B * ( G ( z ) ， G ( 0 ) ) − φ ( 0 ) ¯ (5) 根据引理2.3知，域 B * 上的Bergman核函数为： K B * ( ξ ， η ) = 1 n ( n + 1 ) V ( B * ) ∑ j = 0 [ n 2 ] C n + 1 2 j + 1 X n − 1 − 2 j Y j ( 2 n X − ( n − 2 j ) [ X 2 − Y ] ) ( X 2 − Y ) n + 1 (6) 这里 X = 1 − 〈 ξ ， η 〉 ， Y = ( ξ ⋅ ξ ) η ⋅ η ¯ 。 令 K B * ( ξ ， η ) : = P 1 ( ξ ， η ¯ ) P 2 ( ξ ， η ¯ ) ， 这里 P 1 ( ξ ， η ¯ ) = ∑ j = 0 [ n 2 ] C n + 1 2 j + 1 X n − 1 − 2 j Y j ( 2 n X − ( n − 2 j ) ) [ X 2 − Y ] ， P 2 ( ξ ， η ¯ ) = ( X 2 − Y ) n + 1 。 则从(4)式可以看出： P 1 ( ξ ， η ¯ ) ， P 2 ( ξ ， η ¯ ) 都是 ξ ， η ¯ 的多项式，并且都是关于 ξ 全纯，关于 η 反全纯的。 注意到 { f i ( z ) } i = 1 m 可以被写为 g 1 ( z ) ， ⋯ ， g n ( z ) 的全纯有理函数。因为 K B * ( ⋅ ， ⋅ ) 是 B * × B * 上的实解析函数，并且有 K B * ( ξ ， ξ ) ≠ 0 。故假设存在两个包含原点的邻域 U 1 ， U 2 ，使得： K B * ( G ( z ) ， G ( w ) ) ≠ 0 ， P 1 ( G ( z ) ， G ( w ) ¯ ) ≠ 0 ， ( z ， w ) ∈ U 1 × U 2 我们引入符号 D α ( F ¯ ( z ) ) ，定义如下： D α ( F ¯ ( z ) ) = ( ∂ α ∂ w ¯ α f ¯ 1 ( w ) ， ⋯ ， ∂ α ∂ w ¯ α f ¯ n ( w ) ) ， ∀ α ∈ ℕ (7) 对于固定原点附近的 z ，对(4)式关于 w ¯ 求导再令 w ¯ → 0 ，则有 F ( z ) ⋅ D 1 ( F ( 0 ) ¯ ) = 1 K B * ( G ( z ) ， G ( 0 ) ) { ∑ k = 1 n ∂ K B * ∂ η ¯ k ( G ( z ) ， G ( 0 ) ) ∂ g k ( w ) ¯ ∂ w ¯ } + φ ′ ( 0 ) ¯ (8) 令 K B * ( G ( z ) ， G ( w ) ) = H 1 ( G ( z ) ， G ( w ) ¯ ) H 2 ( G ( z ) ， G ( w ) ¯ ) ，化简(8)式可得 F ( z ) ⋅ D 1 ( F ( 0 ) ¯ ) = ∑ k = 1 n ∂ H 1 ∂ η k ¯ ( G ( z ) ， G ( 0 ) ) ∂ g k ( 0 ) ¯ ∂ w ¯ H 1 ( G ( z ) ， G ( 0 ) ¯ ) − ∑ k = 1 n ∂ H 2 ∂ η k ¯ ( G ( z ) ， G ( 0 ) ) ∂ g k ( 0 ) ¯ ∂ w ¯ H 2 ( G ( z ) ， G ( 0 ) ¯ ) + φ ′ ( 0 ) ¯ (9) 注意到：上式右边是关于 g 1 ( z ) ， ⋯ ， g n ( z ) 的全纯有理函数。同理，对于任意的正整数 α 以及零点附近的 z ，我们有： F ( z ) ⋅ D α ( F ( 0 ) ) ¯ = Q α ( g 1 ( z ) ， ⋯ ， g n ( z ) ) ， α = 1 ， 2 ， ⋯ (10) 这里 Q α ( g 1 ( z ) ， ⋯ ， g n ( z ) ) 是关于 g 1 ( z ) ， ⋯ ， g n ( z ) 的全纯有理函数。 定义 V : = S p a n C { D α ( F ¯ ( w ) ) | w = 0 } α ≥ 1 是 ℂ n 中的向量空间。 前面我们假设 F 不是常映射，所以 V 不是零空间。设 V 中的一组基为 { D α j ( F ¯ ( w ) ) | w = 0 } j = 1 d 。 因为 F ( w ) 在 D 中是反全纯的，并且 F ( 0 ) = 0 ，对零点附近的 w ，运用Taylor展开式，我们有 F ¯ ( w ) = ∑ α ≥ 1 D α ( F ¯ ( 0 ) ) α ! w ¯ α ∈ V 这里 D α 是由(6)式所定义的。对于零点附近的小邻域 U 0 ，我们有 F ¯ ( U 0 ) ⊆ V 。 另一方面，取向量空间 V ⊥ 的一组基 { v j } j = 1 n − d ，则有： F ( z ) ⋅ v j = 0 ， j = 1 ， ⋯ ， n − d 结合(7)式，可以得到一个非退化的线性方程组： ( f 1 ， f 2 ， ⋯ ， f n ) ( D α 1 ( F ( w ) | w = 0 ) ¯ ⋯ D α d ( F ( w ) | w = 0 ) ¯ v 1 ⋯ v n − d ) T = ( Q α 1 ⋯ Q α d 0 ⋯ 0 ) (11) 由Gramer法则可知： F 中的分量 f j 都可被 { Q α j } j = 1 d 线性表出，即可将 f j 写为如下形式： f j = Q ˜ { g 1 ， g 2 ， ⋯ ， g n } ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 这里 Q ˜ { g 1 ， g 2 ， ⋯ ， g n } j = 1 n 是 g 1 ， g 2 ， ⋯ ， g n 的全纯有理函数。从而， { f j } j = 1 n 是 g 1 ， g 2 ， ⋯ ， g n 的全纯纳什代数函数。 下面，我们分两种情形讨论。 设 R 是 z ∈ D 上的有理函数域。考虑域扩张： R ˜ = R ( g 1 ， g 2 ， ⋯ ， g n ) ，也就是 D 上的亚纯函数的最小子域，其中包含有理函数和 g 1 ， g 2 ， ⋯ ， g n 。定义 t r d g e ( R ˜ / R ) ，表示域扩张 R ˜ / R 的超越次数。最后，我们通过分析超越次数来完成定理证明。 首先：如果 t r d g e ( R ˜ / R ) = 0 ，即 g 1 ， g 2 ， ⋯ ， g n 都是 z 的全纯纳什代数函数。结合上面的讨论，我们会得到： f j 仍是 z 的全纯纳什代数函数。 由引理2.4及 exp ( ∑ i = 1 n f i ( z ) f i ( w ) ¯ ) = exp { φ ( z ) + φ ( w ) ¯ } K B * ( G ( z ) ， G ( w ) ) = exp { − ( φ ( 0 ) + φ ( 0 ) ¯ ) } K B * ( G ( z ) ， G ( w ) ) K B * ( G ( z ) ， G ( 0 ) ) K B * ( G ( 0 ) ， G ( w ) ) 我们可知： F 是常映射。 其次：如果 t r d g e ( R ˜ / R ) : = l > 0 ，即 g 1 ， g 2 ， ⋯ ， g n 不全是 z 的全纯纳什代数函数。 不失一般性，设存在 g 1 ， g 2 ， ⋯ ， g l ( l ≤ n ) 是 R ˜ 子域的最大的代数子集，则 t r d g e ( R ˜ / R ( g 1 ， g 2 ， ⋯ ， g l ) ) = 0 因此， { g l + 1 ， ⋯ ， g n } 中的元素都是 z ， g 1 ， g 2 ， ⋯ ， g l 的全纯纳什代数函数。也就是说，对 { g i } i = l + 1 n ，存在包含零点的小邻域 V ，在 { ( z ， g 1 ， g 2 ， ⋯ ， g l ) | z ∈ V } ⊆ C × C l 的邻域 V ^ 上能找到全纯纳什代数函数 { g ^ ( z ， X ) } i = l + 1 n 使得 g i ( z ) = g ^ i ( z ， g 1 ， g 2 ， ⋯ ， g l ) ， i = 1 ， ⋯ ， n ， ∀ z ∈ V 这里， X = ( X 1 ， ⋯ ， X l ) 。 由上面的分析可知：存在 V ^ 上的纳什代数函数 { f ^ i ( z ， X ) } i = 1 n 使得 f i ( z ) = f ^ i ( z ， g 1 ， g 2 ， ⋯ ， g l ) ， i = 1 ， ⋯ ， n 定义 G ( z ， X ) = ( g ^ l + 1 ( z ， X ) ， ⋯ ， g ^ n ( z ， X ) ) 。由(4)及(5)，我们可定义 V ^ × V 上的一个函数： ϕ ( z ， X ， w ) = ∑ i = 1 m f ^ i ( z ， X ) f ^ i ( w ) − log K B * ( X ， G ^ ( z ， X ) ， G ( w ) ) + log K B * ( X ， G ^ ( z ， X ) ， G ( 0 ) ) + φ ( 0 ) ¯ − φ ( w ) ¯ 显然，在V上，有 ϕ ( z ， g 1 ， ⋯ ， g l ， w ) ≡ 0 。现在我们要证明 ϕ ( z ， g 1 ， ⋯ ， g l ， w ) ≡ 0 在 V ^ × V 上成立。这里利用苏–唐–涂 [ 11 ] 的方法是可以得到的，但为了叙述完整，我们还是写出详细证明。 定义 ρ ( z ， X ， w ) = ∂ ϕ ∂ ω ¯ ( z ， X ， w ) 。我们只需证 ρ ( z ， X ， w ) ≡ 0 在 V ^ × V 上成立。 如果 ρ ( z ， X ， w ) ≡ 0 不成立，则必存在 0 ( ∈ V ) 的一个小邻域 V 0 ，使得 ρ ( z ， X ， w ) ≠ 0 。 对于固定的 w 0 ∈ V 0 ， ρ ( z ， X ， w 0 ) 是 ( z ， X ) 的全纯多项式。假设它的湮灭函数如下： P ( z ， X ， t ) = a d ( z ， X ) t d + ⋯ + a 0 ( z ， X ) 这里，在 V ^ 中， a 0 ( z ， X ) ≠ 0 ， { a i ( z ， X ) } i = 0 d 是 z ， X 的全纯纳什代数函数。容易看出，在V上有 ρ ( z ， g 1 ， ⋯ ， g l ， w ) = 0 进而有，在V上， ρ ( z ， X ， w ) ≡ 0 。从而可得： P ( z ， g 1 ， ⋯ ， g l ， ϕ ( z ， g 1 ， ⋯ ， g l ， w 0 ) ) = P ( z ， g 1 ， ⋯ ， g l ， 0 ) = a 0 ( z ， g 1 ， ⋯ ， g l ) = 0 。 于是我们可得到如下结论： { g 1 ， ⋯ ， g l } 是 R 上的代数。这与之前的假设是矛盾的。 故对所有的 ( z ， X ) ∈ V ^ ， w ∈ V 0 ，有 ρ ( z ， X ， w ) ≡ 0 。 从而，对 ( z ， X ， w ) ∈ V ^ × V ，我们考虑如下等式： ∑ i = 1 m f ^ i ( z ， X ) f ^ i ( w ) = log K B * ( X ， G ^ ( z ， X ) ， G ( w ) − log K B * ( X ， G ^ ( z ， X ) ， G ( 0 ) ) − φ ( 0 ) ¯ + φ ( w ) ¯ ) 这里， ( z ， X ， w ) ∈ V ^ × V 。 特别地，对于固定的 z ， w ，上述等式的右边在 V ^ × V 上不恒等于0。 如若不然，假设 ∑ i = 1 n f ^ i ( z ， X ) f ^ i ( w ) ≡ 0 ，令 w = z ，我们有： ∑ i = 1 m | f i ( z ) | 2 = ∑ i = 1 m f ^ i ( z ， g 1 ， ⋯ ， g l ) f ¯ ( z ) ≡ 0 。 从上式可以看出： { f i ( z ) } i = 1 m 是常映射。这与假设矛盾。 接下来，我们考虑如下等式： exp ( ∑ i = 1 n f ^ i ( z ， X ) f ¯ i ( w ) ) = exp { − ( φ ( 0 ) + φ ( 0 ) ¯ ) } K B * ( ( X ， G ^ ( z ， X ) ) ， G ( w ) ) K B * ( ( X ， G ^ ( z ， X ) ) ， G ( 0 ) ) K B * ( G ( 0 ) ， G ( w ) ) 注意到，对固定的 z ， w ， ∑ i = 1 n f ^ i ( z ， X ) f ¯ i ( w ) 是X上的非常数全纯纳什代数函数，并且等式右 边仍然是X的全纯纳什代数函数，这与引理2.7是矛盾的。因此，F必须是常数。 这就完成了定理的证明。