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user: 2. 预备知识 2.1. 基本定义 2.1.1. Riemann zeta函数 A 上的Riemann zeta函数定义为 ζ A ( s ) = ∑ f ∈ M 1 ‖ f ‖ s ， Re ( s ) > 1 。 由 [ 8 ] 可知， ζ A ( s ) = 1 1 − q 1 − s ， Re ( s ) > 1 ， 其中q表示有限域 F q 的元素个数。 若令 q − s = u ，则我们可以将 ζ A ( s ) 定义为 Z ( u ) = 1 1 − q u = ∑ n = 0 ∞ q n u n ， | u | < q − 1 。 ζ A ( s ) 的欧拉乘积形式为 ζ A ( s ) = ∏ p ( 1 − 1 ‖ p ‖ s ) − 1 ， 其中乘积历遍所有首1的不可约多项式。 2.1.2. Dirichlet卷积和Dirichlet级数 设 λ 和 ρ 为两个算术函数，他们的Dirichlet卷积定义为 ( λ ∗ ρ ) ( f ) = ∑ h ， g ∈ M h g = f λ ( h ) ρ ( g ) ， f ∈ M 。 设 λ 为一个算术函数，定义其Dirichlet级数为 D λ ( s ) = ∑ f ∈ M λ ( f ) ‖ f ‖ s 。 设 λ 为算术函数，设 f ， g ∈ M 并且 ( f ， g ) = 1 ，若 λ ( f g ) = λ ( f ) λ ( g ) ，则称 λ 为可乘函数。显然有 λ ( f ) = ‖ f ‖ 为可乘函数，两个可乘函数的乘积以及Dirichlet卷积仍为可乘函数。 若设 λ ( f ) 为可乘函数，则我们有 D λ ( s ) = ∏ p ( ∑ k = 0 ∞ λ ( p k ) ‖ p ‖ k s ) ， 其中乘积历遍所有首1的不可约多项式。 设 D λ ( s ) ， D ρ ( s ) ， D λ ∗ ρ ( s ) 分别为函数 λ ， ρ 和 λ ∗ ρ 的Dirichlet级数，则我们有 D λ ( s ) D ρ ( s ) = D λ ∗ ρ ( s ) ， 2.2. 所需引理 引理2.2.1设d为一个多项式， ( f ， g ) b 为广义的gcd函数，则有下列结论成立： 1) d | ( f ， g ) b ⇔ d b | f 且 d b | g . 2) d = ( f ， g ) b ⇔ d b | f ， d b | g ， ( f d b ， g d b ) b = 1 . 设 b ≥ 2 为整数， f ∈ M − { 0 } 为非零的首1多项式，定义广义的欧拉函数 φ b ( f ) = # { h ∈ A : deg h < deg f ， ( h ， f ) b = 1 } 。 引理2.2.2 设 f ∈ M − { 0 } ， φ b ( f ) 表示广义的欧拉函数，则我们有以下结论成立： 1) φ b ( f ) 为可乘函数； 2) 设m为非负整数，则有 φ b ( p m ) = { ‖ p ‖ m ， 0 ≤ m ≤ b − 1 ‖ p ‖ m − ‖ p ‖ m − b ， m ≥ b 3) φ b ( f ) 的Dirichlet级数表示为 ∑ f ∈ M φ b ( f ) ‖ f ‖ s = ζ A ( s − 1 ) ζ A ( b s ) ， 并且在 Re ( s ) > 2 时该级数收敛。 证 1) 由 φ b ( f ) 的定义可知， φ b ( f ) = ∑ h ∈ A deg h < deg f ， ( h ， f ) b = 1 1 = ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ ( h ， f ) b = 1 1 ， 利用公式 ∑ g ∈ M g | f μ ( g ) = { 1 ， f = 1 0 ， 其 他 其中 μ ( g ) 为莫比乌斯函数，我们可得 φ b ( f ) = ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ ∑ g ∈ M g | ( h ， f ) b μ ( g ) = ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ ∑ g ∈ M g b | h ， g b | f μ ( g ) ， 交换求和顺序，我们有 φ b ( f ) = ∑ g ∈ M   g b | f μ ( g ) ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ g b | h 1 = ∑ g ∈ M   g b | f μ ( g ) ∑ ‖ l ‖ < ‖ f g b ‖ 1 = ∑ g ∈ M   g b | f μ ( g ) ‖ f g b ‖ 。 (2.1) 令 g b = t ，则有 φ b ( f ) = ∑ t ∈ M ，   t | f g b = t μ ( t 1 b ) ‖ f t ‖ = ∑ t ∈ M t | f μ ( t 1 b ) ‖ f t ‖ χ b ( t ) ， 其中 χ b ( f ) = { 1 ， 对 某 些   g   有   f = g b 0 ， 其 他 是一个可乘函数。 若我们令 λ ( f ) = ‖ f ‖ ， η ( f ) = χ b ( f ) μ ( f 1 b ) ，由Dirichlet卷积可知， φ b ( f ) = ( λ ∗ η ) ( f ) ，又 λ ( f ) ， η ( f ) 为可乘函数，则 φ b ( f ) 为可乘函数。 2) 将 f = p m 带入到公式(2.1)可得结论成立。 3) 由 φ b ( f ) 为可乘函数，我们有 ∑ f ∈ M φ b ( f ) ‖ f ‖ = ∏ p ( ∑ k = 0 ∞ φ b ( p k ) ‖ p ‖ k s ) = ∏ p ( ∑ k = 0 b − 1 φ b ( p k ) ‖ p ‖ k s + ∑ k = b ∞ φ b ( p k ) ‖ p ‖ k s ) 。 由(2)，我们可得 ∑ f ∈ M φ b ( f ) ‖ f ‖ = ∏ p ( ∑ k = 0 b − 1 ‖ p ‖ k ‖ p ‖ k s + ∑ k = b ∞ ‖ p ‖ k − ‖ p ‖ k − b ‖ p ‖ k s ) = ∏ p ( ∑ k = 0 ∞ 1 ‖ p ‖ k ( s − 1 ) − ∑ k = b ∞ 1 ‖ p ‖ k ( s − 1 ) + b ) 。 计算可知 φ b ( f ) = ∏ p ( 1 − 1 ‖ p ‖ s − 1 ) − 1 ∏ p ( 1 − 1 ‖ p ‖ b s ) 。 由 ζ A ( s ) 的欧拉乘积以及收敛范围可知结论成立。 引理2.2.3设 f ∈ M − { 0 } ， α ( f ) 为广义gcd函数的和函数，则有 1) α ( f ) 为可乘函数并且 α ( f ) = ( φ b ∗ β ) ( f ) ， 其中 β ( f ) = χ b ( f ) ‖ f ‖ 1 b 为可乘函数。 2) α ( f ) 的Dirichlet级数为 ∑ f ∈ M α ( f ) ‖ f ‖ s = ζ A ( s − 1 ) ζ A ( b s − 1 ) ζ A ( b s ) ， 并且在 Re ( s ) > 2 时该级数收敛。 证 1) 由 α ( f ) 的定义可知 α ( f ) = ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ ‖ ( h ， f ) b ‖ ， 令 ( h ， f ) b = d ，则我们有 α ( f ) = ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ ( h ， f ) b = d ‖ d ‖ = ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ d b | h ， d b | f ， ( h d b ， f d b ) b = 1 ‖ d ‖ ， 交换求和次序，可得 α ( f ) = ∑ d ∈ M d b | f ‖ d ‖ ∑ ‖ h ‖ < ‖ f ‖ d b | h ， ( h d b ， f d b ) b = 1 1 。 令 h = d b ⋅ l 可得 α ( f ) = ∑ d ∈ M d b | f ‖ d ‖ ∑ ‖ l ‖ < ‖ f d b ‖ ( l ， f d b ) b = 1 1 = ∑ d ∈ M d b | f ‖ d ‖ φ b ( f d b ) ， 令 d b = t ，则有 α ( f ) = ∑ t ∈ M t | f ‖ t ‖ 1 b χ b ( t ) φ b ( f t ) 。 从而令 β ( f ) = χ b ( f ) ‖ f ‖ 1 b 以及Dirichlet卷积的定义可知结论成立。 2) 由(1)以及Dirichlet级数的性质可知，我们只需计算 ∑ f ∈ M φ b ( f ) ‖ f ‖ s 和 ∑ f ∈ M β ( f ) ‖ f ‖ s 。 由 β ( f ) 的定义以及可乘性可知 ∑ f ∈ M β ( f ) ‖ f ‖ s = ∏ p ( ∑ k = 0 ∞ χ b ( p k ) ‖ p ‖ k b ‖ p ‖ k s ) ， 由 χ b ( f ) 的定义，只有当 p k = p m b ， m = 0 ， 1 ， ⋯ 时才不为0，从而可得 ∑ f ∈ M β ( f ) ‖ f ‖ s = ∏ p ( ∑ m = 0 ∞ χ b ( p m b ) ‖ p ‖ m ‖ p ‖ m b s ) = ∏ p ( ∑ m = 0 ∞ 1 ‖ p ‖ m ( b s − 1 ) ) ， 计算可知 ∑ f ∈ M β ( f ) ‖ f ‖ s = ∏ p ( 1 − 1 ‖ p ‖ b s − 1 ) − 1 = ζ A ( b s − 1 ) 。 从而由 ∑ f ∈ M α ( f ) ‖ f ‖ s = ∑ f ∈ M φ b ( f ) ‖ f ‖ s ⋅ ∑ f ∈ M β ( f ) ‖ f ‖ s 以及 ζ A ( s ) 的收敛范围可知结论成立。