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user: 3. 向量值Hardy空间上的2阶复对称块Toeplitz算子 本部分通过构造2阶复共轭算子来研究2阶复对称块Toeplitz算子。首先我们找出2阶共轭矩阵，考虑下述问题： 若 A = ( a b c d ) ∈ M 2 。 A 2 = ( 1 0 0 1 ) ，那么有以下三种情况： A = ( 0 b c 0 ) ， b 2 + c 2 = 1 ; A = ( a 0 0 d ) ， a 2 = 1 ， d 2 = 1 ， a ≠ d ; A = ( a b c − a ) ， a 2 + b c = 1. 在文献 [ 2 ] 中，作者基于上面的第三种情况，构造了向量值Hardy空间上2阶共轭算子 C : = 1 2 ( C 1 ， λ C 1 ， λ C 1 ， λ − C 1 ， λ ) ，研究了向量值Hardy空间上的关于C复对称的块Toeplitz算子问题。基于上述论文，本文将进一步研究向量值Hardy空间上关于共轭算子 C 0 : = 1 2 ( C q C q C q − C q ) 复对称的块Toeplitz算子。 在本文中 C 0 一直代表上述共轭算子。 下证 C 0 是共轭算子。由 C q 是Hardy空间上的共轭算子和上面的讨论，只需证 〈 C 0 f ， C 0 g 〉 2 = 〈 g ， f 〉 2 ， f = ( f 1 ， f 2 ) T ， g = ( g 1 ， g 2 ) T ∈ H 2 ( T ) ⊗ ℂ 2 ， 〈 1 2 ( C q C q C q − C q ) ( f 1 f 2 ) ， 1 2 ( C q C q C q − C q ) ( g 1 g 2 ) 〉 2 = 〈 1 2 ( C q f 1 + C q f 2 C q f 1 − C q f 2 ) ， 1 2 ( C q g 1 + C q g 2 C q g 1 − C q g 2 ) 〉 2 = 1 2 〈 C q f 1 + C q f 2 ， C q g 1 + C q g 2 〉 + 1 2 〈 C q f 1 − C q f 2 ， C q g 1 − C q g 2 〉 = 1 2 × 2 〈 C q f 1 ， C q g 1 〉 + 1 2 × 2 〈 C q f 2 ， C q g 2 〉 = 〈 g 1 ， f 1 〉 + 〈 g 2 ， f 2 〉 = 〈 ( g 1 g 2 ) ， ( f 1 f 2 ) 〉 2 . 故 C 0 是共轭算子得证。 还可以验证形如 1 2 ( C 1 ， λ C q C q − C 1 ， λ ) ， 1 2 ( C q C 1 ， λ C 1 ， λ − C q ) ， ( C 1 ， λ C q 0 0 ) 的算子不是共轭算子。而 ( C 1 ， λ C q ) 是共轭算子。事实上 C 1 ， λ ， C q 可以用任意的共轭算子替换仍得共轭算子。 定理3.1 假设 Φ = ( φ 1 φ 2 φ 3 φ 4 ) ∈ L ∞ ( T ) ⊗ M 2 ， T Φ = ( T φ 1 T φ 2 T φ 3 T φ 4 ) 是关于共轭算子 C 0 的复对称算子当且仅当 ( φ ^ 1 ( n ) φ ^ 2 ( n ) φ ^ 3 ( n ) φ ^ 4 ( n ) ) = q n 2 q 0 ( ( φ 1 + φ 2 + φ 3 + φ 4 ) ^ ( − n ) ( φ 1 + φ 2 − φ 3 − φ 4 ) ^ ( − n ) ( φ 1 − φ 2 + φ 3 − φ 4 ) ^ ( − n ) ( φ 1 − φ 2 − φ 3 + φ 4 ) ^ ( − n ) ) ， 其中 φ j ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ φ ^ ( n ) z n ， z ∈ T ， j = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ; n ∈ ℤ 。 证明 因为 T Φ 是关于 C 0 的复对称算子，所以 T Φ C 0 = C 0 T Φ * 。计算可得 T Φ C 0 = 1 2 ( T φ 1 C q T φ 2 C q T φ 3 C q T φ 4 C q ) ( 1 1 1 − 1 ) = 1 2 ( T φ 1 C q + T φ 2 C q T φ 1 C q − T φ 2 C q T φ 3 C q + T φ 4 C q T φ 3 C q − T φ 4 C q ) = 1 2 ( ( T φ 1 + T φ 2 ) C q ( T φ 1 − T φ 2 ) C q ( T φ 3 + T φ 4 ) C q ( T φ 3 − T φ 4 ) C q ) ， C 0 T Φ * = 1 2 ( 1 1 1 − 1 ) ( C q T φ 1 * C q T φ 3 * C q T φ 2 * C q T φ 4 * ) = 1 2 ( C q T φ 1 * + C q T φ 2 * C q T φ 3 * + C q T φ 4 * C q T φ 1 * − C q T φ 2 * C q T φ 3 * − C q T φ 4 * ) = 1 2 ( C q ( T φ 1 * + T φ 2 * ) C q ( T φ 3 * + T φ 4 * ) C q ( T φ 1 * − T φ 2 * ) C q ( T φ 3 * − T φ 4 * ) ) . 对比可得 { T φ 1 + φ 2 C q = C q T φ 1 + φ 2 * T φ 1 − φ 2 C q = C q T φ 3 + φ 4 * T φ 3 + φ 4 C q = C q T φ 1 − φ 2 * T φ 3 − φ 4 C q = C q T φ 3 − φ 4 * 由定理2.8可得 { ( φ 1 + φ 2 ) ^ ( m − n ) = q m q ¯ n ( φ 1 + φ 2 ) ^ ( n − m ) ( φ 1 − φ 2 ) ^ ( m − n ) = q m q ¯ n ( φ 3 + φ 4 ) ^ ( n − m ) ( φ 3 + φ 4 ) ^ ( m − n ) = q m q ¯ n ( φ 1 − φ 2 ) ^ ( n − m ) ( φ 3 − φ 4 ) ^ ( m − n ) = q m q ¯ n ( φ 3 − φ 4 ) ^ ( n − m ) 由定义2.6可知 q k q 0 = q n + k q n ，所以 { q 0 [ φ ^ 1 ( n ) + φ ^ 2 ( n ) ] = q n [ φ ^ 1 ( − n ) + φ ^ 2 ( − n ) ] q 0 [ φ ^ 1 ( n ) − φ ^ 2 ( n ) ] = q n [ φ ^ 3 ( − n ) + φ ^ 4 ( − n ) ] q 0 [ φ ^ 3 ( n ) + φ ^ 4 ( n ) ] = q n [ φ ^ 1 ( − n ) − φ ^ 2 ( − n ) ] q 0 [ φ ^ 3 ( n ) − φ ^ 4 ( n ) ] = q n [ φ ^ 3 ( − n ) − φ ^ 4 ( − n ) ] 解得 { φ ^ 1 ( n ) = 1 2 q n q 0 [ φ ^ 1 ( − n ) + φ ^ 2 ( − n ) + φ ^ 3 ( − n ) + φ ^ 4 ( − n ) ] = 1 2 q n q 0 ∑ j = 1 4 φ ^ j ( − n ) φ ^ 2 ( n ) = 1 2 q n q 0 [ φ ^ 1 ( − n ) + φ ^ 2 ( − n ) − φ ^ 3 ( − n ) − φ ^ 4 ( − n ) ] = 1 2 q n q 0 ∑ j = 1 2 [ φ ^ j ( − n ) − φ ^ j + 2 ( − n ) ] φ ^ 3 ( n ) = 1 2 q n q 0 [ φ ^ 1 ( − n ) − φ ^ 2 ( − n ) + φ ^ 3 ( − n ) − φ ^ 4 ( − n ) ] = 1 2 q n q 0 ∑ j = 1 2 ( − 1 ) j + 1 [ φ ^ j ( − n ) + φ ^ j + 2 ( − n ) ] φ ^ 4 ( n ) = 1 2 q n q 0 [ φ ^ 1 ( − n ) − φ ^ 2 ( − n ) − φ ^ 3 ( − n ) + φ ^ 4 ( − n ) ] = 1 2 q n q 0 ∑ j = 1 2 ( − 1 ) j + 1 [ φ ^ j ( − n ) − φ ^ j + 2 ( − n ) ] 整理得，对 n ∈ ℤ ， ( φ ^ 1 ( n ) φ ^ 2 ( n ) φ ^ 3 ( n ) φ ^ 4 ( n ) ) = q n 2 q 0 ( ( φ 1 + φ 2 + φ 3 + φ 4 ) ^ ( − n ) ( φ 1 + φ 2 − φ 3 − φ 4 ) ^ ( − n ) ( φ 1 − φ 2 + φ 3 − φ 4 ) ^ ( − n ) ( φ 1 − φ 2 − φ 3 + φ 4 ) ^ ( − n ) ) . 注3.2 记 E 11 = ( 1 1 1 1 ) ， E 12 = ( 1 1 − 1 − 1 ) ， E 21 = ( 1 − 1 1 − 1 ) ， E 22 = ( 1 − 1 − 1 1 ) . 定理3.1 * 假设 Φ = ( φ 1 φ 2 φ 3 φ 4 ) ∈ L ∞ ( T ) ⊗ M 2 ， T Φ = ( T φ 1 T φ 2 T φ 3 T φ 4 ) 是关于共轭算子 C 0 = 1 2 ( C q C q C q − C q ) 的复对称算子当且仅当 ( φ ^ 1 ( n ) φ ^ 2 ( n ) φ ^ 3 ( n ) φ ^ 4 ( n ) ) = q n 2 q 0 [ φ ^ 1 ( − n ) E 11 + φ ^ 2 ( − n ) E 12 + φ ^ 3 ( − n ) E 21 + φ ^ 4 ( − n ) E 22 ] ， n ∈ ℤ . 其中 φ j ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ φ ^ ( n ) z n ，且 z ∈ T ， j = 1 ， 2 ， 3 ， 4 。 推论3.2 假设 Φ = ( φ 1 φ 2 0 φ 4 ) ∈ L ∞ ( T ) ⊗ M 2 ， T Φ = ( T φ 1 T φ 2 0 T φ 4 ) 是关于共轭算子 C 0 = 1 2 ( C q C q C q − C q ) 的复对称算子当且仅当 ( φ ^ 1 ( n ) φ ^ 2 ( n ) 0 φ ^ 4 ( n ) ) = q n q 0 ( φ ^ 1 ( − n ) φ ^ 2 ( − n ) 0 φ ^ 4 ( − n ) ) ， 其中 φ j ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ φ ^ ( n ) z n ， z ∈ T ， j = 1 ， 2 ， 4 ; n ∈ ℤ 。 下面研究关于另一类共轭算子的2阶复对称块Toeplitz算子。 本文以下记 C 00 : = ( 0 C q C q 0 ) ， 显然其为共轭算子。 定理3.3 T Φ = ( T φ 1 T φ 2 T φ 3 T φ 4 ) 是关于共轭算子 C 00 的复对称算子当且仅当 φ ^ 2 ( n ) = q n q 0 φ ^ 2 ( − n ) ， φ ^ 3 ( n ) = q n q 0 φ ^ 3 ( − n ) ， φ ^ 4 ( n ) = q n q 0 φ ^ 1 ( − n ) . 其中 φ j ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ φ ^ ( n ) z n ， z ∈ T ， j = 1 ， 2 ， 4 ; n ∈ ℤ 。 证明 由 T Φ 是关于共轭算子 C 00 的复对称算子当且仅当 T φ 2 ， T φ 3 关于 C q 是复对称的，且 T φ 4 = C q T φ 1 ∗ C q 。又由定理2.8可得 { φ ^ 2 ( n ) = q n q 0 φ ^ 2 ( − n ) φ ^ 3 ( n ) = q n q 0 φ ^ 3 ( − n ) φ ^ 4 ( n ) = q n q 0 φ ^ 1 ( − n )         n ∈ ℤ .