DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 1. 引言 随着现代工业的迅猛发展，重金属离子对水体的污染越来越严重。被重金属污染的水体存在持久危害性，且随着污染物的迁移转化，重金属容易在人体中积累，并导致蛋白质代谢中断，对人类以及水中生物的生存构成严重的威胁 [ 1 ] [ 2 ]。因此，寻找经济有效去除废水中重金属离子的方法十分重要。目前，对于水中重金属离子的去除有以下方法：化学沉淀法 [ 2 ] [ 3 ]，离子交换法 [ 4 ]，吸附法 [ 5 ] [ 6 ]，膜过滤法 [ 7 ]，电化学处理技术 [ 8 ]，混凝和絮凝法 [ 9 ] [ 10 ] 等。其中吸附法操作简单且经济高效，是一种应用普遍的处理技术。 累托石因其特殊的层状硅酸盐结构 [ 11 ]，具有较大的表面积和高的阳离子交换容量，在去除重金属离子方面具有潜在的应用前景 [ 12 ] [ 13 ]。国内外专家对累托石的吸附已做了大量研究工作。李东等 [ 14 ] 研究了累托石对于Ni 2+ 的吸附，通过实验探讨了不同因素吸附效果的影响，且环境中pH有较大影响，并表明累托石可以作为良好的吸附材料。Wang等 [ 15 ] 在累托石表面制备碳层，再与三磷酸三钠反应后，再研究改性后的累托石对Pb(II)、Cu(II)等金属离子的吸附，发现在低痕量Pb(II)浓度下去除率能达到90%，且对Pb(II)的吸附效果优于其他重金属离子。 本文采用累托石做吸附剂，以Pb(II)为处理对象，通过单因素条件试验探究累托石对水中Pb(II)的吸附效果，以期为累托石去除水中重金属离子提供依据。
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user: 2. 材料及方法 2.1. 试剂及仪器 本试验所采用的累托石购于湖北名流累托石科技股份有限公司，化学组成及性质参见文献 [ 13 ] 其化学组成如表1所示： Table 1 The chemical compositions of rectorit 化学组成 SiO 2 TiO 2 Al 2 O 3 Fe 2 O 3 CaO MgO K 2 O Na 2 O L.O.I. 质量分数(%) 44.31 2.46 35.60 1.50 4.05 0.35 1.12 1.24 8.23 表1. 累托石的化学组成 含铅模拟废水由硝酸铅配制而成。 仪器：紫外可见分光光度计(UV290型，上海舜宇恒平科学仪器有限公司)；恒温振荡器(SHZ-C，上海跃进医疗器械厂)；高速离心机(TDL-5-A，上海安亭科学仪器厂)；超声波清洗机(SB-3200DT，宁波新芝生物科技股份有限公司)；电子天平(FA2004N，上海菁海仪器有限公司)。 2.2. 吸附实验 将0.5 g的累托石放入装有100 mL模拟废水(100 mg·L −1 )的平底烧瓶(250 mL)中。在25℃条件下恒温振荡，振荡速度为180 r·min −1 ，定时取样，用0.45 μm的滤膜过滤后，测定铅离子浓度。 2.3. 标准曲线的绘制 二甲酚橙分光光度法测铅 1) 二甲酚橙溶液(0.2 g·L −1 )：称取0.1 g二甲酚橙四钠盐加入100 mL容量瓶中(1 g·L −1 )，取10 mL稀释至50 mL。 2) 铅标准储备液(1 g·L −1 ):称取1.599 g硝酸铅溶液溶于(1 + 9)硝酸溶液中，再稀释至1000 mL。 3) HAc-NaAc溶液(pH = 6)：54.6 g醋酸钠加1 mol·L −1 醋酸溶液20 mL溶解，加水至500 mL。 测定：分别加入0、0.5、1、1.5、2、3 mL硝酸铅溶液于10 mL比色管中，再加入1 mL HAc-NaAc缓冲溶液，0.5 mL二甲酚橙溶液，稀释至刻度，在575 nm波长处测定。所得标准曲线如图1。 图1. 铅离子标准曲线 图2. 吸附时间对累托石吸附Pb(II)的影响
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user: 4. 结论 1) 累托石可有效去除水中的Pb(II)，对于硝酸铅溶液，最佳的吸附条件为：Pb(II)浓度为100 mg·L −1 ，累托石投加量5 g·L −1 ，反应温度25℃，吸附反应时间40 min达到平衡，去除率为62.12%。 2) 吸附等温线模型拟合表明累托石吸附Pb(II)符合Langmuir吸附等温线模型，累托石对Pb(II)的吸附主要为单分子层吸附。 3) 吸附动力学模型拟合表明累托石吸附Pb(II)更符合准二级动力学模型，表明累托石对Pb(II)的去除过程是化学吸附为主导。
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user: 摘 要 城市内涝灾害风险评价可以反映城市区域内发生内涝灾害风险的严重程度，为内涝灾害风险的防控与管理提供科学依据，从而减少灾害损失。本文以广东省汕尾市城区为研究区域，利用指标体系法选取关键指标，基于GIS空间分析技术和层次分析法构建内涝灾害风险评价模型，研究城区内涝灾害风险等级分布状况。结果表明，城区内涝灾害风险分布具有从中部高风险区域向四周逐渐下降的特点。风险等级较高的区域主要分布在凤山街道、香洲街道、东涌镇沿品清湖地区和红草镇东部。通过历史资料的验证，风险评价结果较好地反应城区内涝灾害实际情况，可为城区防洪排涝规划工作提供技术支撑。 关键词 :内涝灾害，风险评价，地理信息系统，汕尾市城区 Copyright © 2020 by author(s) and Wuhan University. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 近年来在以全球变暖为主要特征的气候变化环境下，城市暴雨的频次和强度不断上升，因强降雨引发的内涝灾害作为一种极易发生且破坏性大的自然灾害广泛存在于全国各地。城市化进程的加速导致城市绿地减少、河湖萎缩，原有的水系网络被切断，地表下渗率下降，径流汇流速度加快，严重削弱了城市的内涝调蓄能力 [ 1 ]。当城市的地下管网无法将暴雨产生的径流及时排出时，城市内涝灾害进一步加剧。因此，有必要对易发生内涝灾害的典型地区进行灾害风险评价，为城市防涝减灾工作提供重要的科学依据。 目前城市内涝灾害风险评价方法主要有历史灾情数理统计方法、指标体系法、水文水力学模型仿真模拟等 [ 2 ]。历史灾情数理统计方法是指利用历史灾害数据，包括受灾人口，房屋等具体数据进行统计分析，并对未来灾害进行预测评估。该方法计算简单，但对统计数据的真实性有一定要求，且没有考虑受灾城市的环境变化因素，一般适合大尺度的行政区划单元 [ 3 ]。模型仿真模拟方法是利用水文水力学模型模拟计算降雨产汇流和洪水推进过程，推算暴雨造成的淹没程度来进行内涝研究。仿真模拟方法能够通过物理分析模拟出内涝过程，但需要大量数据，也要具体分析模型参数的取值问题 [ 4 ]。指标体系法结合层次分析法进行内涝灾害风险评价，其基本原理是根据致灾因素和承灾体的特点选取合适的指标体系，通过数理方法对原始指标进行处理，进行区域内涝灾害风险评价 [ 5 ]。指标体系法在我国应用非常广泛，方法相对简单，对于指标数据的精度要求不高，且考虑了社会经济与空间自然属性，常常结合层次分析法计算指标权重，减少研究者经验的影响，合理分析当地的内涝特征。 本文选取内涝灾害频发的汕尾市城区为研究对象，结合城市内涝灾害的形成机理，采用指标体系法选取不同指标，通过层次分析法计算权重，构建内涝灾害风险评价模型。基于GIS空间分析技术进行内涝灾害风险评价分析，可为内涝灾害防治研究提供科学依据，对提高当地防洪排涝能力具有重要意义。
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user: 2. 研究区概况与资料 2.1. 研究区概况 汕尾市城区地处广东省东南沿海，位于汕尾市东南部(115˚10′E~115˚37′E， 22˚36′N~22˚54′N)，北部与海丰县接壤，西部与海丰县联安镇、梅陇镇隔河相对，南濒南海的红海湾，东临碣石湾与陆丰市金厢相望 [ 6 ]。全区面积401.05 km 2 ，地势北高南低，背山面海，地形变化复杂，为山地、台地、丘陵、平原、河流、滩涂和海洋兼有的复杂地貌。境内无大江河注入，河溪多发源于小山区，源近流短，流域面积大于10 km 2 的溪流共12条，经湾、港、湖等注入南海 [ 6 ]。研究区域行政区划如图1所示。 图1. 汕尾市城区行政区划 汕尾市属亚热带季风气候区，是广东省三大暴雨中心之一，降雨特点为雨量多、雨强大、暴雨频繁，局部性暴雨占比高，年平均降雨量1924.7 mm，最大年降雨量为2953.9 mm (1983年)，最小年降雨量为894.7 mm (1963年) [ 7 ]。汕尾市降雨的时间分布极不均匀，主要集中在汛期4月到9月。由于汕尾市北部莲花山脉的影响，城区容易发生特大暴雨，极端降水量较高 [ 8 ]。2010年以来汕尾市每年均遭遇台风暴雨袭击，其中2013年台风“天兔”在汕尾市登陆，形成局部特大暴雨，导致城区严重积涝受灾，对汕尾交通、农业等造成严重影响，带来了极大的社会经济财产损失 [ 9 ]。 2.2. 数据来源 城市内涝灾害是一个较为复杂的灾害系统，前期工作中针对城区自然环境和社会经济条件展开调查，收集大量基础数据并进行标准化处理。城区行政区划数据来自于广东省水利电力勘测设计研究院；气象数据与河网数据来自于“广东省内涝灾害调查评价”项目的雨量站、水文站数据及项目调查资料；地形数据来自于地理空间数据云(http://www.gscloud.cn/)；土地利用数据来自于中国科学院资源环境科学数据中心；历史内涝灾害资料来自于汕尾市气象局；社会人口与经济数据来自于汕尾市2016年统计年鉴。
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user: 3. 研究方法 Maskrey [ 10 ] 认为洪水灾害风险评价是致灾因子危险性，社会经济易损性综合作用的结果，灾害风险表达式为：风险性 = 危险性 + 易损性。由于短历时暴雨主导的内涝灾害不但受到致灾因子的影响，与受灾城市的发展程度也密切相关，主要体现在两方面。一方面，城市生产要素聚集，自然灾害对社会经济影响极大。另一方面，随着城市化进程及城市防洪排涝系统的完善，城市的防灾减灾能力也越来越强，防灾减灾能力体现了一个地区受灾后恢复正常社会运作及经济生产的能力，或是受灾时应急救援的能力。因此，在搭建风险评价模型时有必要将城市防灾减灾能力指标纳入考虑，而这在之前的研究中往往被忽略。综上，本文将从三个角度即致灾因子的危险性，区域的易损性及防灾减灾能力出发，搭建更为完善的内涝灾害风险评估体系，采用灾害风险表达式：风险性 = 危险性 + 易损性 + 防灾减灾能力，进行区域风险分析。 3.1. 评价指标选取与等级划分 根据区域的水文条件和下垫面情况，结合其沿海地区的气候特征，本文综合前人的灾害风险研究成果 [ 8 ] [ 9 ]，分析城区内涝灾害的致灾原因，从致灾因子危险性，地区的易损性及防灾减灾能力三方面选择内涝灾害风险评价指标。其中选取暴雨综合指标(多年平均最大1 h、3 h、6 h、24 h降雨量按0.41、0.30、0.18和0.11权重叠加 [ 11 ])、河网密度、地表不透水率、高程作为危险性指标；选取地均GDP、人口密度、城镇化率、交通路网密度作为易损性指标；选取水利设施分布、人均GDP、医疗点分布作为防灾减灾能力指标，构建内涝灾害风险评价指标体系见表1。通过GIS将各图层进行30 m × 30 m栅格化处理，采用自然间断法 [ 12 ] 将各指标划分为5个等级(微、低、中、高、极高)，获得各指标等级划分图层，等级划分结果见表2。 Table 1 Index system of water-logging disaster risk assessmen 危险性 易损性 排防灾减灾能力 暴雨综合指标；河网密度 地均GDP；人口密度 水利设施分布 地表不透水率；高程 城镇化率；交通路网密度 人均GDP；医疗点分布 表1. 内涝灾害风险评价指标体系 Table 2 Grade classification of water-logging disaster risk assessment indexe 评价指标 等级划分 微 低 中 高 极高 暴雨综合指标/mm 96.73~97.28 97.28~97.88 97.88~98.38 98.38~98.85 98.85~99.51 河网密度/(km·km −2 ) 0.00~1.24 1.24~2.44 2.44~3.68 3.68~5.38 5.38~9.87 地表不透水率/% 0~3 3~7 7~10 10~60 60~90 高程/m −16~32 32~86 86~154 154~247 247~513 地均GDP/(亿元·km −2 ) 0.08~0.14 0.14~0.21 0.21~0.51 0.51~1.11 1.11~1.79 城镇化率/% 2~3 3~15 15~22 22~53 53~96 人口密度/(万人·km −2 ) 0.060~0.065 0.065~0.098 0.098~0.129 0.129~0.273 0.273~0.432 交通路网密度/(km·km −2 ) 0.00~2.34 2.34~3.88 3.88~5.42 5.42~7.07 7.07~9.79 水利设施分布/(个·km −2 ) 0~0.01 0.01~0.29 0.29~0.59 0.59~0.88 0.88~1.17 人均GDP/(万元/人) 1.41~1.46 1.46~1.90 1.90~3.40 3.40~5.25 5.25~7.31 医疗点分布/(个·km −2 ) 0~0.01 0~0.29 0.29~0.59 0.59~0.88 0.88~1.17 表2. 内涝灾害风险评价指标等级划分 3.2. 评价指标权重分析 根据各评价指标对当地内涝灾害形成和发展的影响程度，采用层次分析法确定各评价指标权重值。层次分析法是一种定性与定量分析相结合的决策分析方法 [ 13 ]，分析指标所包含的因素及各指标之间的关系，对各指标的相对重要程度进行判断，构建各个层次的判断矩阵，得到通过一致性检验的各个指标的权重。 根据层次分析法将层次结构分为目标层、准则层、指标层，算得各个评价指标的权重(表3)。由表可得，暴雨综合指标为最重要的危险性指标，其次是地表不透水率与高程，河网密度影响最小；易损性指标中，人口密度权重最高，次高指标为地均GDP；对于各个防灾减灾能力指标，水利设施分布指标赋值最高 [ 14 ]。 Table 3 Weights of risk assessment indexes for water-logging disaste 目标层A 准则层B 指标层C A层对B层的相对权重 B层对C层的相对权重 C层指标的相对权重 城区内涝灾害 风险评价 危险性 暴雨综合指标 0.615 0.409 0.251 河网密度 0.137 0.084 地表不透水率 0.227 0.140 高程 0.227 0.140 易损性 地均GDP 0.231 0.286 0.066 人口密度 0.357 0.083 城镇化率 0.214 0.049 交通路网密度 0.143 0.033 防灾减灾能力 水利设施分布 0.154 0.500 0.077 人均GDP 0.300 0.046 医疗点分布 0.200 0.031 表3. 内涝灾害风险评价指标权重 3.3. 内涝灾害风险评价模型构建 由于评价指标各不相同，每个指标具有不同量纲，因此需要对指标进行风险值标准化处理。其中，对危险性和易损性指标进行归一化处理，对防灾减灾能力的指标进行负归一化处理。标准化处理后各指标依照层次分析法获取的权重进行GIS空间分析。综合危险性、易损性和防灾减灾能力等级的计算结果，得到内涝灾害风险等级分布图层，并采用自然间断法对图层风险值进行分级和分析。其中风险值计算公式为： R = ∑ 1 n ω i d i (1) 式中，R为风险值；ω i 为评价指标 的权重；d i 为评价指标 的栅格单元归一化处理后的取值；n为评价指标个数。 根据表3的各层次指标的权重，可得城区内涝灾害危险性、易损性、防灾减灾能力及风险指数计算公式： 危 险 性 ( H ) = 0. 4 0 9CH 1 + 0. 137CH 2 + 0. 227CH 3 + 0. 227CH 4 (2) 易 损 性 ( V ) = 0. 286CV 5 + 0. 357CV 6 + 0. 214CV 7 + 0. 143CV 8 (3) 防 灾 减 灾 能 力 ( F ) = 0. 5 00 CF 9 + 0. 3 00 CF 1 0 + 0. 2 00 CF 11 (4) 风 险 指 数 ( R ) = 0. 615H + 0. 231V + 0. 154F (5) 式中，CH 1 、CH 2 、CH 3 、CH 4 、CV 5 、CV 6 、CV 7 、CV 8 、CF 9 、CF 10 、CF 11 分别为每个栅格单元经过标准化处理后的降雨、河网密度、地表不透水率、高程、地均GDP、人口密度、城镇化率、交通路网密度、水利设施分布、人均GDP、医疗点分布取值。
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user: 4. 研究结果与讨论 内涝灾害风险是致灾因子危险性、区域易损性和防灾减灾能力的结合体，通过自然间断法分别将危险性、易损性、防灾减灾能力和风险等级划分为微、低、中、高、极高五个等级，获得内涝灾害风险等级分布图层。风险等级分布图层的风险指数范围为0.06~0.68，指数越高风险等级越大。表4统计了各级风险指数及各区域面积，各级风险区面积从大到小依次为：中风险区 > 低风险区 > 高风险区 > 微风险区 > 极高风险区，其中中风险区比例为43.59%。 图2. 致灾因子危险性等级分布 Table 4 Water-logging disaster risk index and area distributio 风险级别 风险指数 所占面积/km 2 比例/% 微风险区 0.06~0.26 46.68 11.64 低风险区 0.26~0.35 112.48 28.04 中风险区 0.35~0.44 174.8 43.59 高风险区 0.44~0.55 56.44 14.07 极高风险区 0.55~0.68 10.65 2.66 表4. 内涝灾害风险指数及面积分布 图3. 区域易损性等级分布 图4. 防灾减灾能力等级分布 图5. 内涝灾害风险等级分布 4.1. 内涝灾害风险评价与分析 从风险分布结果(图5)可以看出，城区内涝灾害风险等级从中部区域向四周逐步下降。风险等级整体走势与城区内涝灾害危险性基本一致，主要与降雨量及地表不透水率两个指标密切相关。 极高风险区主要集中在城区的香洲街道及凤山街道。该地区为汕尾市的政治、经济和文化中心，人口与建筑密集，交通路网发达，土地的开发利用造成下垫面硬质化程度非常高，地区易损性非常高(图3)。当该地区发生局部暴雨时极易形成内涝灾害，会对当地的经济造成较大损失。 高风险区主要分布在东涌镇沿品清湖地区和红草镇东部。东涌镇台风暴雨入侵次数较多，降雨量较大。沿湖地区地形平坦，形成狭长的低洼区域，导致洪水汇集加快，发生内涝灾害的风险较高。红草镇东部降雨量较大，河网密集，工业园区及周边区域高程较低，交通路网密集，内涝灾害风险等级高于镇内其他地区。 中等风险区主要包括新港街道、捷胜镇和田墘街道。其内涝灾害指标的影响程度比较均衡，降雨量较高，但土地利用类型大部分为水田及林地，雨水下渗率较高，因此内涝灾害风险等级为中级。 低风险区主要分布在马宫街道、东洲街道和遮浪街道。马官街道人均GDP较高，且水利设施分布密集，防灾减灾能力较高(图4)，能有效抵御内涝灾害造成的损害。东洲街道距离城区中心较远，人口密度不高，地均GDP较低，土地利用类型多为林地，森林覆盖度较高，区域下垫面能够有效渗透雨水抵御内涝灾害。遮浪街道降雨量相对较少，河网密度不高，即危险性等级较低(图2)。这些区域下垫面的透水率普遍较高，且降雨量较小，危险性及易损性的指标指数较低，因此内涝灾害风险等级较低。 4.2. 结果验证 易涝点分布一定意义上表征了区域内涝风险分布情况，根据住建部公布的全国城市重要易涝点位置(建城函[ 2017 ] 99号、建城函[ 2018 ] 40号、建城函[ 2019 ] 37号)，将近3年汕尾市城区的易涝点位置及收集的当地历史洪涝灾害的出现区域 [ 9 ] [ 11 ] 整理得到46个易涝点，将收集的易涝点与城区内涝灾害风险等级分布图进行比对验证(图6)。结果表明，80.43%的易涝点分布在高及以上风险区域范围内，97.82%的易涝点分布在中级及以上风险区域范围内。根据历史内涝灾害的位置进行统计分析，汕尾市城区的主要实际易涝点均分布在中高风险区域，主要集中在香洲街道及凤山街道，表明本文构建的内涝风险评价模型的精度较好，能较好地反应该地区的内涝风险分布状况。 图6. 内涝灾害风险等级分布验证
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user: 5. 结论 本文结合城市内涝灾害的形成机理，基于内涝风险理论和内涝灾害成因机制，加入城市内涝灾害防灾减灾能力指标参与风险评价，采用层次分析法确定指标权重，建立内涝灾害风险评价模型，提高了风险评价的精度。本次风险评价得出以下结论： 1) 城区内涝灾害风险分布呈现出由中部高风险区向周边地区逐渐下降的特点。城区内涝灾害风险等级整体走势与城区内涝灾害危险性基本一致，内涝灾害风险等级与降雨量和下垫面条件密切相关。风险等级较高的区域主要分布在凤山街道、香洲街道、东涌镇沿品清湖地区和红草镇东部。 2) 通过对不同风险区的自然和经济条件的分析，结合历史资料的验证，风险分布与实际情况较为吻合。表明城区内涝风险评价模型精度较好，评价结果可为城区防洪排涝规划工作提供技术支撑。 内涝灾害的形成与发展过程非常复杂，受到自然要素和人类活动及社会经济要素共同影响，目前要完全量化地分析地区内涝灾害风险仍然有一定难度。在今后工作中，在工程措施上加强防洪排涝设施的建设及日常维护，同时在管理层面上健全城市内涝预警机制，可将气象学、水文学和城市规划等多学科交叉联合开展灾害预报研究，建立城市灾害数据库，逐步形成完整的城市内涝灾害风险评估系统。
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user: 摘 要 长江源区降水对发挥区域的水源涵养功能，维护三江源区生态具有重要的作用。利用长江源区1966~2017年的站点实测与空间再分析两套降水数据，综合线性趋势、滑动平均、Mann-Kendall检验、箱形图法和相关性检验等对源区降水的时空分布变化进行了分析。结果表明：从时间分布来看，长江源区的年际降水量表现为稳定的缓慢增加趋势，且在0.05检验水平下，2009年之后呈现出显著性增长，其增长量为多年平均增长量的2.3倍；年内降水分布不均的趋势加大，突变点2002年之后，出现极端降水月的概率增加了近3倍，6~9月降水量在全年中的占比增加了11%。从空间分布上看，源头区降水偏小，变化趋势与面平均降水基本一致；下游出口处降水丰富，发生极端降水月的频率也更高，各站点表现出不稳定的变化趋势。气候变化背景下，长江源区的降水在时空分布上都存在较大的异质性，降水量的增加主要集中在了下游出口区域的汛期，这可能使源区的水生态面临更加不利的环境。 关键词 :长江源区，降水变化，M-K检验，时空分布，异质性 Copyright © 2020 by author(s) and Wuhan University. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 联合国政府间气候变化专门委员会(IPCC， Intergovernmental Panel on Climate Change)第五次评估报告指出：气候变化背景下极端降水事件在降水量与发生频率上都呈现出明显的增加趋势 [ 1 ]，这种趋势对我国的水资源情势产生了不同程度的影响 [ 2 ]。长江源区作为国家三江源保护区的重要组成部分，在整个保护区乃至长江中上游流域具有重要的水资源涵养功能，对维系生物多样性、流域生态安全等发挥着重要作用 [ 3 ]。气候变化背景下，长江源区降水变化导致的水资源系统改变，不仅关系到区域内的生态环境发展，同时也将对整个中下流域的水资源利用产生影响 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]。近年来，不少学者在长江源区开展了相关的研究，也取得了一系列的认识。梁川等 [ 7 ] 进行了长江源高寒地区的气候变化对水文环境的影响研究，指出长江源区的水文要素和水文环境在气候变化大背景下已受到较大影响；Rong等 [ 8 ] 的研究发现长江源过去40年的降水增加明显，极端降水事件增多；裴超重等 [ 9 ] 基于NOAA的遥感数据，对长江源区近50年来降水量、年平均气温进行了分析，认为两者在源区的大部分范围内都存在增加的趋势。时光训等 [ 10 ] 分析了长江流域极端降水的时空变化特征，指出主要强降水指数变化均呈现增加趋势，弱降水变化不显著；李林等 [ 11 ] 分析长江源区流量演变规律，并指出降水量显著增加是径流出现明显增多趋势的主要原因之一。 长江源区站点稀缺，以往的分析研究多仅以一套数据进行分析，基于站点与空间数据的对比分析更有助于了解源区降水变化的时空分布差异，本文以1966~2017年来的实测站点数据，以及再分析的空间栅格数据为依据，从年际以及年内两种尺度，分析气候变化背景下长江源区最近52年降水变化的空间差异，为区域的水资源与生态建设提供参考。
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user: 2. 研究区概况 长江源区位于青藏高原腹地昆仑山脉和唐古拉山脉之间，以直门达作为控制水文站，地理坐标大致位于E90˚43'~96˚45'，N32˚30'~35˚35'之间，流域面积13.7万km 2 ，占青海省总面积的19.5%，占全流域面积的7.8%。本文选取的研究区及其河网、气候站点分布如图1所示。 图1. 长江源区和气象站点示意图 青藏高原腹地的唐古拉山是长江发源地，是西南季风进入我国大陆内部的第二道屏障，也是一条重要的气候分界线 [ 12 ]。源区地貌以高原丘陵为主，地势高亢，平均海拔近5000米，区内常年平均气温一般在−5.5℃~4℃，属于典型且独特的高寒生态系统。研究区下垫面构建以冻土为主，占总面积的97.38%，其中多年冻土77.19%，季节性冻土20.19%；源区范围及邻近区域共发育1153条冰川，总面积1779.56 km 2 ，冰川总储量136.19 km 3 ；源区河网水系发达，分布大小河流有100余，同时也是青藏高原上高原湿地的主要分布地区之一 [ 13 ]。降水主导下源区内多元的水资源组成形式对区域内生态系统发挥着重要的水源涵养功能，同时也影响着整个中下地区水资源的可持续利用 [ 14 ]。
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user: 3. 资料数据和方法 3.1. 资料数据 本文采用国家气象数据共享网提供的1966~2017年长江源区及周边7个气象站点的逐日降水数据进行站点分析，其中伍道梁只有1986年~2017年共计22年数据资料；采用国家气象中心基于地面2472个台站降水资料，利用薄盘样条法(TPS， Thin Plate Spline)进行插值，生成的0.5˚*0.5˚分辨率的空间再分析数据，获取研究区的面平均降水。 3.2. 分析方法 本文主要利用线性趋势、滑动平均、箱形图以及相关分析与Mann-Kendall (M-K)检验法 [ 15 ]，M-K检验法是世界气象组织(World Meteorological Organization， WMO)推荐并广泛使用的非参数检验方法，其不需要样本遵从一定的分布，也不会受少数异常值的干扰，计算简便。本文利用M-K对降水时间序列做趋势与突变检验。对于具有n个样本量的时间序列x，构造一秩序列： S K = ∑ i = 1 k r i ( k = 2 ， 3 ， ⋯ ， n ) (1) 当 x i > x j ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， i ) 时，r i = 1，否则，r i = 0。 称秩序列S k 是第i时刻数值大于j时刻数值个数的累计数，在时间序列上随机独立的假定下，定义统计量： U F k = [ S k − E ( S k ) ] V a r ( S k ) (2) 其中 U F 1 = 0 ，   E ( S k ) 是累计数S k 的均值，Var(S k )是累积数S k 的方差，在 x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n 相互独立，且有相同连续分布时，可由下式算出： E ( S k ) = n × ( n + 1 ) 4 (3) V a r ( S k ) = n × ( n − 1 ) × ( 2 n + 5 ) 72 (4) UF k 曲线是标准正态分布且按时间序列x的顺序 x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n 计算出来的统计量序列。给定一个显著性水平α，查正态分布表，若|UF i | > U α (本文中取置信区间为95%，显著水平为0.05，对应的U α = 1.96)则表明序列存在明显的趋势变化。再按照时间序列x的逆顺序 x n ， x n − 1 ， ⋯ ， x 1 ，重复上述过程，同时使 U B k = − U F k ，   k = n ，   n − 1 ， ⋯ ， 1 ，   U B = 0 。分析绘出的UF k 和UB k 曲线图，若UF k 或UB k 的值大于0，则表明序列呈上升趋势，反之若小于0则表明呈下降趋势；当它们超过临界直线时，表明上升或下降的趋势显著。超过临界线的范围确定为出现突变的时间区域，如果UF k 和UB k 两条曲线出现交点，且交点在临界线之间，那么交点对应的时刻便可能是突变开始的时间。
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user: 4. 结果分析 4.1. 年际变化 通过对插值的空间降水数据分析，得到长江源区52年的面平均年降水量(如图2所示)。长江源区52年来的年平均降水量约为412 mm，年际变化存在较大的波动性，最大的波动出现在2014年与2015年之间，相差约为199 mm。而无论从三年滑动平均还是五年滑动平均来看(如图2所示)，源区降水的变化都表现为缓慢的上升趋势，年均增长量约为1.5 mm/a。 图2. 长江源区1966~2017年均降水量曲线图 对长江源区内的年降水量进行M-K检验的结果也表明(如图3所示)，源区的年降水量基本处于上升趋势，且在0.05 (α = 1.96)的显著性水平下，2009年之后的增长趋势变得显著，年均增长量为3.5 mm/a，约为总体平均增长水平的2.3倍。由UF和UB曲线的交点可以判断，研究区的降水量在2002年发生突变，突变点以后的年增长量为1.61 mm/a，与总体增长率相差不大。 图3. 长江源1966~2017年均降水量M-K检验曲线图 选取源区内伍道梁、沱沱河、曲麻莱和玉树四个气象站点，从空间分布上对降水变化的分析表明(如图4所示)，源区的空间降水分布存在较大差异，分布极度不均。对于源头区的伍道梁和沱沱河气象站点，基本与源区的年均降水变化保持一致，即总体上呈增长趋势，2009年左右在0.05检验水平下的增长趋势变得显著；同时在2002年左右降水出现突增点。而在源区中下游的曲麻莱和玉树两个气象站的降水与平均降水变化趋势不同，中下游地区虽然UF曲线整体在坐标轴的第一象限，呈增加趋势，但超过显著水平线(α = 1.96)的部分较少，增加趋势不显著，也没有明显的突变点出现。这可能主要是由于源区的面平均降水数据采用的TPS插值法以站点的影响面积为权重，而长江源区上游的伍道梁和沱沱河控制面积更大，从而导致面平均降水更多呈现出上游站点的变化趋势。 图4. 长江源区各站1966~2017年降水量值M-K检验曲线图 各站点与均值年降水量的箱型图如图5所示，可以看出：源区平均降水的年际分布较均匀，主要集中在360~450 mm之间，无极端降水年(即异常值点)出现。各空间分布的站点中，从上游到下游地区降水逐渐增多，站点源头沱沱河与出口玉树站的年降水量相差270.3 mm；结合周边站点，索县站的年降水最多，与沱沱河站相差377 mm。从各站箱形图的中位数和上下四位数的间距可以看出除了伍道梁站与杂多站年际降水分布呈现左偏分布与右偏分布外，其余各站降水相对分布较均匀，年际降水波动也相对平稳，除沱沱河在2009年的降水以外，也无极端异常值出现。 图5. 标准试验系统结果曲线 表1给出95%置信区间内各站点与面平均年降水量的相关性检验与相对偏差值，虽然各站点实测降水与再分析的面平均降水量之间都均具有良好的显著相关性，但相关系数差异较大，因源头区站点的降水与面平均降水的变化趋势基本一致，所以源头区站点也具有更高的相关系数。从之前的分析来看，源头区域的降水量偏小，造成其与面平均降水的相对偏差较大，如沱沱河达到38%。而源区出口区域的降水更加丰富，对面平均降水量的影响也更大，得到的相对偏差也较小，如曲麻莱仅为2%。 Table 1 Significant correlation and relative deviation of the gauged data and reanalyzed mean annual precipitation at each sit 站 相关性系数 显著相关性 相对偏差 伍道梁 0.77 显著 27% 沱沱河 0.88 显著 38% 安多 0.55 显著 8% 索县 0.40 显著 30% 杂多 0.63 显著 23% 曲麻莱 0.74 显著 2% 玉树 0.53 显著 16% 表1. 各实测站点与再分析均值年降水量的显著相关性与相对偏差 4.2. 年内变化 近52年来，源区的降水主要集中在6~9月，对比突变点2002年前后(如图6(a)所示)，即1966~2001年与2002~2017年的年内分布来看，年内降水分布不均的趋势进一步加强，6~9月降水量在全年总降水量中的占比由75.15%增加到了86.03%。对突变点前后两个时段的月平均降水历时曲线如图6(b)所示，结果表明：气候变化背景下，更多的降水集中在发生概率小于45%的降水事件中，其中发生概率小于20%的强降水事件(主要集中在5~9月)的降水量增长尤为明显，而对于发生概率大于55%的常规降水事件(主要集中10月到次年4月)的降水量基本没有变化。 图6. 长江源区不同时段年内各月降水分布曲线(a)与突变前后月平均降水历时曲线图(b) 进一步对各站点发生极端降水月(即各月降水分布的异常值)的事件进行统计后发现：6~9月为发生极端降水事件的主要月份，突变后的16年间(2002~2017年)共出现9次，而突变前的36年间(1966~2001年)共出现了7次，突变点2002年前后发生极端降水月的频率增长了近3倍。从站点分布来看，降水更加丰富的出口区域比源头区域更容易发生极端降水，其年内降水分布也更加不均。
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user: 5. 结论 本文主要采用相关性与M-K检验等统计分析方法，结合站点实测与再分析空间数据对长江源区1966年~2017年降水变化的空间分布差异进行了分析讨论，得出主要结论如下： 1) 从年际降水过程的变化趋势来看，受站点空间分布差异影响，源头控制面积更大的站点对源区平均降水变化具有主导作用，因此源头区站点与面平均降水量呈现出基本一致的变化趋势，即：整体上为稳定的缓慢增加趋势，2002年左右发生突变，2009年左右呈现显著性增长趋势后的年均增长量为多年平均的2.3倍。 2) 从降水量的分布来看，空间各站点与源区平均降水过程都具有良好的相关性，但是降水丰富的出口处区域对源区平均降水量的影响更大，相对偏差最小近2%；而降水相对稀少的源头地区，相对偏差均在30%左右。 3) 从降水的年内变化来看，源区年内降水分布不均的趋势更加明显，更多的降水集中在发生概率小于20%的强降水事件中。2002年突变点前后6~9月降水量在全年的占比增加了11%，发生极端降水月事件的概率增加了近3倍。而源区内降水较多的出口区域，这种趋势更加明显，更容易发生极端降水事件，其年内降水分布也更加不均。 气候变化背景下，长江源区近52年的降水总体表现为缓慢的增长趋势，源头区降水变化趋势与面平均降水基本一致，而下游区域降水与面平均降水的相对偏差更小。长江源区的降水增长主要都集中在了下游地区6~9月的汛期，这使得年内的降水分布更加不均，在此变化趋势下，源区的水资源利用可能面临更加不利的局面。
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user: 摘 要 本文研究带有变号权函数的p(x)-Kirchhoff类型方程，主要运用变分方法与Nehari流形的分解证明其正解的存在性与多重性。 关键词 :正解，Nehari流形，变分法，p(x)-Kirchhoff方程 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 本文考虑一类带有p(x)-Laplacian算子的Kirchhoff方程 { − M ( ∫ Ω 1 p ( x ) | ∇ u | p ( x ) d x ) Δ p ( x ) u = λ f ( x ) | u | q ( x ) − 2 u + g ( x ) | u | h ( x ) − 2 u ，     x ∈ Ω ， u = 0 ，                                                             x ∈ ∂ Ω (1) 正解的存在性与多重性，其中 Ω ⊂ ℝ N ， N ≥ 3 是光滑有界区域， Δ p ( x ) = d i v ( | ∇ u | p ( x ) − 2 ∇ u ) 是p(x)- Laplacian算子，参数 λ > 0 ， p ( x ) ， q ( x ) ， h ( x ) ， s 1 ( x ) ， s 2 ( x ) ∈ C ( Ω ¯ ) 。 本文的方程满足如下条件： (H 1 ) 对于 k ≥ 0 ， M ( t ) = a + b t k ， t ∈ [ 0 ， ∞ ) 。 (H 2 ) f ( x ) ∈ L s 1 ( x ) ( Ω ) ， f ( x ) ≡ 0 。 (H 3 ) g ( x ) ∈ L s 2 ( x ) ( Ω ) ， g ( x ) ≡ 0 。 (H 4 ) 1 < q ( x ) < p ( x ) < h ( x ) ≤ N < min ( s 1 ( x ) ， s 2 ( x ) ) ，其中 x ∈ Ω ¯ ， 1 < p − : = inf x ∈ Ω p ( x ) ≤ p ( x ) ≤ p + : = sup x ∈ Ω p ( x ) ， 1 < q − ≤ q + < p − ≤ p + < p + ( k + 1 ) < h − ≤ h + 。 对于Kirchhoff类型方程的研究一直是偏微分方程中的重要课题。Huang等在 [ 1 ] 中利用山路引理讨论了方程(1)在p(x)=p和权函数非负的情况下正解的存在性。当权函数f(x)，g(x)变号时， [ 2 ] [ 3 ] 中利用Nehari流形分解的方法得到了正解的存在性与多重性。对于带有变号权函数的p(x)-Laplacian方程正解的存在性与多重性结果可参见 [ 4 ] [ 5 ]。 本文的主要结果如下： 定理1.1：若假设(H 1 )~(H 4 )成立，则存在 λ 1 > 0 ，使得当 λ ∈ ( 0 ， λ 1 ) 时方程(1)存在至少两个正解。
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user: 2. 预备知识与变分框架 对 p ( x ) ∈ C + ( Ω ¯ ) ，变指数Lebesgue空间 L p ( ⋅ ) ( Ω ) 定义为： L p ( ⋅ ) ( Ω ) = { u | u 是 一 个 可 测 实 函 数 ，   ∫ Ω | u | p ( x ) d x < ∞ } ， 其范数定义为： | u | p ( x ) = inf { λ > 0 : ∫ Ω | u ( x ) λ | p ( x ) d x ≤ 1 } . 记E为Sobolev空间 W 0 1 ， p ( x ) ( Ω ) ，其范数 ‖ u ‖ E = | ∇ u | p ( ⋅ ) ，空间E是自反可分的Banach空间。 命题2.1 [ 6 ] 设 p ( x ) 和 q ( x ) 是可测函数使得对a.e. x ∈ Ω 有 p ( x ) ∈ L ∞ ( Ω ) 以及 1 ≤ p ( x ) q ( x ) ≤ ∞ ，设 u ∈ L q ( x ) ( Ω ) ，则有 | u | p ( x ) q ( x ) ≤ 1 ⇒ | u | p ( x ) q ( x ) p + ≤ | | u | p ( x ) | q ( x ) ≤ | u | p ( x ) q ( x ) p − ， | u | p ( x ) q ( x ) ≥ 1 ⇒ | u | p ( x ) q ( x ) p − ≤ | | u | p ( x ) | q ( x ) ≤ | u | p ( x ) q ( x ) p + . 命题2.2 [ 6 ] 若 q ( x ) ∈ C + ( Ω ¯ ) ，且 q ( x ) < p ∗ ( x ) ， ∀ x ∈ Ω ¯ ，则 W 0 1 ， p ( x ) ( Ω ) → L q ( x ) ( Ω ) 是紧嵌入且连续的。 根据假设条件(H 4 )，易知对 ∀ x ∈ Ω ¯ 有 s ′ 1 ( x ) q ( x ) < p ∗ ( x ) 以及 s ′ 2 ( x ) h ( x ) < p ∗ ( x ) 其中 s ′ 1 与 s ′ 2 分别是 s 1 与 s 2 的共轭指数。因此 E → L s ′ 1 ( x ) q ( x ) ( Ω ) 和 E → L s ′ 2 ( x ) h ( x ) ( Ω ) 是紧嵌入且连续的。 由Hölder不等式及Sobolev嵌入可以得到，当 u ∈ E 时下列不等式成立： ∫ Ω f ( x ) | u | q ( x ) d x ≤ 2 | f | s 1 ( x ) | | u | q ( x ) | s ′ 1 ( x ) ≤ max { C 1 ‖ u ‖ q + ， C 2 ‖ u ‖ q − } ， (2.1) ∫ Ω g ( x ) | u | h ( x ) d x ≤ 2 | g | s 2 ( x ) | | u | h ( x ) | s ′ 2 ( x ) ≤ max { C 3 ‖ u ‖ h + ， C 4 ‖ u ‖ h − } . (2.2) 定义2.3若对任意 φ ∈ E ，下列积分恒等式成立，则称 u ∈ E 是方程(1)的弱解 a ∫ Ω | ∇ u | p ( x ) − 2 ∇ u ∇ φ d x + b ( ∫ Ω 1 p ( x ) | ∇ u | p ( x ) d x ) k ∫ Ω | ∇ u | p ( x ) − 2 ∇ u ∇ φ d x = λ ∫ Ω f ( x ) | u | q ( x ) − 2 u φ d x + ∫ Ω g ( x ) | u | h ( x ) − 2 u φ d x . 方程(1)的能量泛函 J λ : E → ℝ N 表示为 J λ ( u ) = a ∫ Ω 1 p ( x ) | ∇ u | p ( x ) d x + b k + 1 ( ∫ Ω 1 p ( x ) | ∇ u | p ( x ) d x ) k + 1           − λ ∫ Ω f ( x ) q ( x ) | u | q ( x ) d x − ∫ Ω g ( x ) h ( x ) | u | h ( x ) d x ， (2.3) 当 ‖ u ‖ > 1 时，有 J λ ( u ) ≥ a p + ∫ Ω | ∇ u | p ( x ) d x + b ( p + ) k + 1 ( k + 1 ) ( ∫ Ω | ∇ u | p ( x ) d x ) k + 1           − λ q − ∫ Ω f ( x ) | u | q ( x ) d x − 1 h − ∫ Ω g ( x ) | u | h ( x ) d x           ≥ a p + ‖ u ‖ p − + b ( p + ) k + 1 ( k + 1 ) ‖ u ‖ p − ( k + 1 ) − λ q − C 1 ‖ u ‖ q + − 1 h − C 3 ‖ u ‖ h + . 根据假设(H 4 )有 q + < p − < p − ( k + 1 ) < h + ，由此可知 J λ 在空间E中不是下方有界的。因此，我们在下面的Nehari流形中考虑问题，其定义为 N λ = { u ∈ E \ { 0 } : 〈 J ′ λ ( u ) ， u 〉 = 0 } . 显然，其中的点为 J λ 的临界点。若 u ∈ N λ 当且仅当 I λ ( u ) = 〈 J ′ λ ( u ) ， u 〉 = a ∫ Ω | ∇ u | p ( x ) d x + b ( ∫ Ω 1 p ( x ) | ∇ u | p ( x ) d x ) k ∫ Ω | ∇ u | p ( x ) d x                   − λ ∫ Ω f ( x ) | u | q ( x ) d x − ∫ Ω g ( x ) | u | h ( x ) d x = 0 (2.4) 对 u ∈ N λ ，有 〈 I ′ λ ( u ) ， u 〉 = a ∫ Ω p ( x ) | ∇ u | p ( x ) d x + k b ( ∫ Ω 1 p ( x ) | ∇ u | p ( x ) d x ) k − 1 ( ∫ Ω | ∇ u | p ( x ) d x ) 2               + b ( ∫ Ω 1 p ( x ) | ∇ u | p ( x ) d x ) k ∫ Ω p ( x ) | ∇ u | p ( x ) d x − λ ∫ Ω f ( x ) q ( x ) | u | q ( x ) d x               − ∫ Ω g ( x ) h ( x ) | u | h ( x ) d x . (2.5) 将 N λ 分解为 N λ + ( Ω ) = { u ∈ N λ ( Ω ) : 〈 I ′ λ ( u ) ， u 〉 > 0 } ， N λ − ( Ω ) = { u ∈ N λ ( Ω ) : 〈 I ′ λ ( u ) ， u 〉 < 0 } ， N λ 0 ( Ω ) = { u ∈ N λ ( Ω ) : 〈 I ′ λ ( u ) ， u 〉 = 0 } .
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user: 摘 要 本文提出了一种基于人工神经网络(ANN)的WENO重构方法，用ANN来近似WENO-JS中的非线性权重，其中ANN的输入为用于五阶WENO求解的模板中的五点函数值，输出为三个子模板的光滑性指标，光滑性指标可直接转化为对应的非线性权重，用于WENO重构。数值实验表明，与WENO-JS相比，WENO-ANN能保持精度，且数值色散耗散较低。 关键词 :人工神经网络，WENO格式，非线性权重 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 对于流体力学中的某些初边界值问题(IBVP)，在求解过程中，它们的数值解可能会在有限时间内形成不连续性，即冲击波。为了更好的处理这些不连续性，必须专门研究用于求解这类偏微分方程(PDE)的数值方法 [ 1 ]。 1987年，Harten等人 [ 2 ] 提出了一类称为本质无振荡(ENO)格式的高分辨率方法，该方法衡量了数值解在多个子模板上的光滑度，然后根据最光滑的子模板计算通量，以此来避免通过不连续性进行插值。1996年，Jiang和Shu等人 [ 3 ] 对ENO进行了改进，提出了加权本质无振荡方法(WENO-JS)，该方法再次在多个子模板上计算光滑度。但是，WENO-JS不是仅采用最光滑的模板，而是采用每个模板上预测的通量的加权平均值来强调较平滑的模板。 之后的许多工作都是建立在原始的WENO-JS方法上，如修改光滑指示因子 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]，修改非线性权重 [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] 等。但是通过这类WENO-JS方法得到的数值解都会依赖于光滑指示因子和灵敏度参数，尽管现在已经有比较精确的光滑指示因子计算方法，但并没有研究表明，它们就是最优的选择。并且根据传统的光滑指示因子 [ 3 ] 得出的权重，在通量函数的一阶或高阶倒数消失的点上，无法恢复解的最高阶数 [ 7 ]。 在过去的几十年中，机器学习已在数据分析中变得无处不在，并且在求解PDE的数值解方面也得到了很多的重视。Lagaris等人 [ 10 ] 将微分方程解的形式参数化，用神经网络进行训练，并优化权重以减小解的残差。Yu等人 [ 11 ] 训练了一个神经网络来对局部光滑度进行分类，并根据此分类计算了人工粘度。Bar-Sinai等人 [ 12 ] 使用模拟数据将粗粒度模型嵌入到涉及神经网络的有限差分格式中，从而使它们可以在相对粗网格上实现低误差。Pfau等人 [ 13 ] 将特征值问题的特征函数参数化为神经网络，并将训练转化为双级优化问题以减少偏差，从而显著降低了内存需求。Hsieh等人 [ 14 ] 通过学习如何使用深度神经网络迭代地改进数值解，得到了特定领域的快速PDE求解器，与最先进的求解器 [ 15 ] 相比，其速度提高了2~3倍 [ 16 ]。 在本文中，我们构造了利用人工神经网络(ANN)求非线性权重的WENO方法(记为WENO-ANN)。其中ANN的输入为用于WENO求解的模板中的五点函数值，输出为三个子模板的光滑性指标， 光滑性指标可直接转化为对应的非线性权重，用于WENO重构。因此WENO-ANN在求解过程中不需要人工参数，提高了算法的稳定性。数值实验表明与WENO-JS相比，WENO-ANN能保持精度，且数值色散耗散较低。在高分辨率情况下，能有效提高计算效率。
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user: 2. 加权本质无振荡WENO-JS格式 满足双曲守恒律的可压缩流数值模型为 ∂ u ∂ t + ∇ ⋅ F ( u ) = 0 ， (1) 考虑均匀网格点 x i = i Δ x ，   i = 0 ， ⋯ ， N ，公式(1)的离散格式可表示为 d u i ( t ) d t = − ∂ f ∂ x | x = x i ，   i = 0 ， ⋯ ， N ， (2) 其中 u i ( t ) 是点值 u ( x i ， t ) 的数值近似。用于双曲守恒律的守恒有限差分公式要求在单元边界 x i + 1 / 2 = x i + Δ x 2 处具有高阶一致的数值通量，以便在均匀分布的单元上形成通量差。可以通过隐式地定义 数值通量函数 f ( x ) = 1 Δ x ∫ x − Δ x 2 x + Δ x 2 h ( ξ ) d ξ ， 来达到空间离散的守恒性质，从而使得(2)式中的空间导数可以在单元边界处通过守恒有限差分公式得到精确近似， d u i ( t ) d t = − 1 Δ x ( h i + 1 / 2 − h i − 1 / 2 ) ， 其中 h i ± 1 / 2 = h ( x i ± 1 / 2 ) 。 h i ± 1 / 2 处的高阶多项式插值可以通过已知网格点处的值 f i = f ( x i ) 来计算。经典的五阶WENO格式如图1所示， 图1. 五阶WENO示意图 它把包含五个点的大模板 S 5 分成了三个子模板 { S 0 ， S 1 ， S 2 } ，其中每个子模板包含三个点。通过插值点值 f ( k ) ( x i ± 1 / 2 ) 的凸组合建立五阶多项式逼近 f i ± 1 / 2 = h i ± 1 / 2 + O ( Δ x 5 ) ，这里 f ( k ) ( x ) 是定义在每个子模板 S k 上的三阶多项式，即单元边界 x i + 1 / 2 处的五阶WENO重构可表示为： f i + 1 / 2 = ∑ k = 0 2 ω k f i + 1 / 2 ( k ) ， 其中 f i + 1 / 2 ( k ) ，   k = 0 ， 1 ， 2 为三个子模板上二次多项式 p k ( x ) 在 x i + 1 / 2 处的函数值： { f i + 1 / 2 ( 0 ) = 1 3 f i − 2 − 7 6 f i − 1 + 11 6 f i ， f i + 1 / 2 ( 1 ) = − 1 6 f i − 1 + 5 6 f i + 1 3 f i + 1 ， f i + 1 / 2 ( 2 ) = 1 3 f i + 5 6 f i + 1 − 1 6 f i + 2 . 五阶WENO-JS格式的非线性权重 ω k ，   k = 0 ， 1 ， 2 为 ω k = α k ∑ l = 0 2 α l ，     α k = c k ( ε + β k ) 2 ， 其中灵敏度参数为 ε = 10 − 12 ， c k 为理想权重且取值为 c 0 = 1 10 ，   c 1 = 3 5 ，   c 2 = 3 10 。 β k 为光滑指示因子，用来 衡量子模板上的光滑性，可显式地写为 { β 0 = 13 12 ( f i − 2 − 2 f i − 1 + f i ) 2 + 1 4 ( f i − 2 − 4 f i − 1 + 3 f i ) 2 ， β 1 = 13 12 ( f i − 1 − 2 f i + f i + 1 ) 2 + 1 4 ( f i − 1 − f i + 1 ) 2 ， β 2 = 13 12 ( f i − 2 f i + 1 + f i + 2 ) 2 + 1 4 ( 3 f i − 4 f i + 1 + f i + 2 ) 2 .
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user: 4. WENO-ANN格式 应用第二节中构造的人工神经网络，通过五个点的大模板 S 5 上的函数值计算非线性权重 ω k ( k = 0 ， 1 ， 2 ) ，并应用于WENO重构。算法如下： 算法1 WENO-ANN方法 1) 构建并训练神经网络，得出由五点函数值 ( f i − 2 ， f i − 1 ， f i ， f i + 1 ， f i + 2 ) ∈ ℝ 5 计算三个子模板的光滑性指标Index的网络N。 2) 在计算过程中，对某一点 x i ，其左右两点处的函数值 ( f i − 2 ， f i − 1 ， f i ， f i + 1 ， f i + 2 ) 作为网络输入，计算得出三个子模板的光滑性指标Index。 3) 根据表1，将神经网络输出的光滑性指标Index转化为非线性权重 ω k ( k = 0 ， 1 ， 2 ) ； 4) WENO重构： f i + 1 / 2 = ∑ k = 0 2 ω k f i + 1 / 2 ( k ) 。