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user: 3. 主要结果和定理 引理2.1 [ 3 ] 令 f ∈ C 0 ( T ) ， f 是拓扑传递的，则 P ( f ) ¯ = R ( f ) ¯ = T 。 引理2.2 [ 4 ] 令 f ∈ C 0 ( T ) ，下列几个条件是等价的。 (1) f 是拓扑传递的。 (2) 存在点 x ∈ T ，使得 ω ( x ， f ) = T 。 (3) 对每个非空开集 U ⊂ T ，有 ∪ n = 0 ∞ f n ( U ) ¯ = T 。 定理2.3令 f ∈ C 0 ( T ) ， y 是不动点， T − { y } 含有 l 个连通分支，下列几个条件是等价的： (1) f l 是拓扑传递的。 (2) f 是强混合的。 (3) T 中任一非退化的开的连通集 J 以及 int T 内任一闭连通集 H ，存在一个 N > 0 使得当 n > N 时 f n ( J ) ⊃ H 。 证明： (1)Þ(3)：因为 f l 是拓扑传递的，所以 f 是拓扑传递的。由引理2.1可知， P ( f ) ¯ = T ，则 T 中任一非退化的开连通集 J 中有一个周期点 z ，设 T − H 的连通分支为 C 1 ， C 2 ， ⋯ ， C m 。对每个 i ∈ N m ，设 x i ∈ C i 是 T 的内部的周期点，并设 α 是周期点 x i 和 z 的周期的最小公倍数。设 g = f α ， π i 为 x i 在 f 作用下的轨道，则 ∪ i = 1 m π i 和 { z } 内的点都是 g = f α 的不动点。由引理2.2可知 ∪ n = 0 ∞ g n ( J ) 是一个连通开集且在 T 中稠密。所以每个 u ∈ ∪ i = 1 m π i ，存在非负整数 k u ，使得 u ∈ g k u ( J ) 。记 β = max { k u : u ∈ ∪ i = 1 m π i } 。则 H ⊂ ∪ i = 1 m π i ⊂ g β ( J ) 。所以对一切 n > α β ，有 f n ( J ) ⊃ H 。 (3)Þ(2)：任意 T 中的两个开子集 U ， V 。取任一非退化的开连通集 J ⊂ U ，任一闭连通集 H ⊂ V 。存在 N > 0 使得 k > N 时 f k ( J ) ⊃ H ，所以 f k ( U ) ⊃ f k ( J ) ⊃ H ，所以 f k ( U ) ∩ V ≠ ∅ ，即 f 是强混合的。 (2)Þ(1)：因为 f 是强混合的，由定义对任意 T 中的两个开子集 U ， V ，存在 N ≥ 0 对任意 n ≥ N 使得 f n U ∩ V ≠ ∅ 。取 n = l N ，当然 n ≥ N 且 ( f l ) N ( U ) ∩ V ≠ ∅ 。所以 f l 是拓扑传递的。 即证定理2.3。 定理2.4令 f ∈ C 0 ( T ) ，如果 f 是拓扑传递的，则下列其中的一个结论当且仅有一个成立。 (1) f 是强混合的。 (2) 存在一个不动点 y 和 k > 1 ，并且 T − { y } 有 k 个连通分支，存在非退化的闭子树 T 1 ¯ ， ⋯ ， T k ¯ ，使得 T = ∪ i = 1 k T i ¯ ， T i ¯ ∩ T j ¯ = { y } 对 i ≠ j ，有 f ( T i ¯ ) = T i + 1 ¯ 对 i = 1 ， ⋯ ， k − 1 ，并且 f ( T k ¯ ) = T 1 ¯ 。 证明：由引理2.2，因为 f 是拓扑传递的，所以存在 x ∈ T ，使得 ω ( x ， f ) = T 。取一个任意正整数 s ，设 B i = ω ( f i ( x ) ， f s ) 对 0 ≤ i < s ，因为 B 0 ∪ ⋯ ∪ B s − 1 = T ，所以至少有一个 B i 有非空内部，又因为 f ( B i ) = B i + 1 对于 0 ≤ i ≤ s − 2 ， f ( B s − 1 ) = B 0 ，所以每个 B i 都有非空的内部。 假定 int B i ∩ int B j ≠ ∅ ，则存在正整数 n ，使得 f s n + i ( x ) ∈ int B i ∩ int B j 。因为 B i = ω ( f s n + i ( x ) ， f s ) ， B j 是 f s -不变的。所以 B i ⊆ B j ，同样地 i ， j 可以交换，所以我们有 B i = B j 。即如果 B i 和 B j 的内部相交，则 B i = B j 。 令 S 表示 T 的所有子树 T i 的集合，且 T i 是 B i 内部的分支对于 i ∈ { 0 ， ⋯ ， s − 1 } 。因此 T i 是一个互不相交的子树，它的并在 T 中稠密。因为 x 的轨道是稠密的，则对于任意 T 2 ∈ T ，存在一个正整数 k 使得 f k ( T 1 ¯ ) ⊆ T 2 ¯ 。所以 S 是有限的，称 S = { T 1 ， ⋯ ， T k } ， T i ¯ ( i = 1 ， ⋯ ， k ) 被 f 周期性排队。如果 h = 1 ，则 B i = T 对 i = 1 ， ⋯ ， s − 1 ，所以 f 是强混合的。如果 k > 1 ，不妨假设 k = 2 ，令 y 是 f 的一个不动点，如果 y ∈ T i ，则 f ( T i ¯ ) = T i ¯ ，这与 f ( T i ¯ ) ⊆ T i + 1 ¯ 且 T i 互不相交矛盾。类似地 y 也不可能 T 的端点。故 y 只能是 T i ¯ 和 T j ¯ 的公共端点，则 f ( T i ¯ ) = T j ¯ ， f ( T j ¯ ) = T i ¯ 。因此我们有(2)中的情况且 f 2 不是拓扑传递的。 因为 s 是任意的，则证明了(1)成立如果 f k 是拓扑传递的。(2)成立如果 f k 不是拓扑传递的。由定理2.3， f 的全拓扑传递与 f 强混合等价，即证明了定理2.4。 引理2.5 [ 5 ] 令 ( X ， f ) 是一个拓扑动力系统，如果 C ( U ) > 2 对任意开覆盖 U ， U 包含两个非稠密的开集，则 f 是拓扑传递的。其中 C ( U ) = lim n → ∞ N ( V i = 1 n f − i ( U ) ) 。 定理2.6 令 f 是3-星映射，则下列条件是等价的： (1) f 是强混合的； (2) 拓扑复杂性函数 C ( U ) > 3 对任意开覆盖 U ， U 包含两个非稠密的开集，其中 C ( U ) = lim n → ∞ N ( V i = 1 n f − i ( U ) ) ； (3) f 是一致正熵； (4) f 是拓扑K系统。 证明：(4)Þ(3)： 因为 f 是拓扑K系统，所以对于每个基本对的多元组 〈 x 1 ， ⋯ ， x k 〉 ∈ X k 是一个IE-多元组对所有 k ≥ 2 。当 k = 2 时每个基本对 〈 x 1 ， x 2 〉 ∈ X 2 是一个IE-多元组，所以 f 是一致正熵的。 (3)Þ(2)： 令 U = { U 1 ， U 2 } ，因为 U 1 ， U 2 非稠密，所以 U 1 ∪ U 2 = X ， U 1 ¯ ≠ X ， U 2 ¯ ≠ X ，且 C ( U ) 不可能等于1。 用反证法，加假设存在一个 U ，使得 C ( U ) ≤ 3 。不妨先设 C ( U ) = 3 。即存在 N 0 使得 n ≥ N 0 时 N ( V i = 1 n f − i ( U ) ) = 3 。所以有 ( ∩ i = 1 n f − i ( U a i n ) ) ∪ ( ∩ i = 1 n f − i ( U b i n ) ) ∪ ( ∩ i = 1 n f − i ( U c i n ) ) = X 其中 a i n ， b i n ， c i n ∈ { 1 ， 2 } ， ∑ i = 1 ( a i n − b i n ) 2 ≠ 0 ， ∑ i = 1 ( b i n − c i n ) 2 ≠ 0 ， ∑ i = 1 ( a i n − c i n ) 2 ≠ 0 。由狄默根律 [ ( ∩ i = 1 n f − i ( U a i n ) ) ∪ ( ∩ i = 1 n f − i ( U b i n ) ) ] c ∩ ( ∩ i = 1 n f − i ( U c i n ) ) c = ∅ 再次用狄默根律整理得： ( ∪ i = 1 n f − i ( U a i n c ) ) ∩ ( ∪ i = 1 n f − i ( U b i n c ) ) ∩ ( ∪ i = 1 n f − i ( U c i n c ) ) = ∅ 那么对于任意 j 1 ， j 2 ， j 3 ≤ n ， f − j 1 ( U a j 1 n c ) ⊂ ( ∪ i = 1 n f − i ( U a i n c ) ) ， f − j 2 ( U a j 2 n c ) ⊂ ( ∪ i = 1 n f − i ( U b i n c ) ) ， f − j 3 ( U a j 3 n c ) ⊂ ( ∪ i = 1 n f − i ( U c i n c ) ) 。所以 f − j 1 ( U a j 1 n c ) ∩ f − j 2 ( U a j 2 n c ) ∩ f − j 3 ( U a j 3 n c ) = ∅ 。取 x 1 ∈ X − U 1 ¯ ， x 2 ∈ X − U 2 ¯ ， V 1 = X − U 1 ¯ ， V 2 = X − U 2 ¯ 。则 x 1 ∈ V 1 ⊂ U 1 c ， x 2 ∈ V 2 ⊂ U 2 c 。所以 f − j 1 ( V a j 1 n ) ∩ f − j 2 ( V b j 2 n ) ∩ f − j 3 ( V c j 3 n ) = ∅ 因为 f 是一致正熵，所以 〈 x 1 ， x 2 〉 的邻域 ( V 1 ， V 2 ) 有一个正密度的独立集 J ，因为 J 是有正密度的，所以 J 无限。对于任意非空有限子集 I ⊂ J 我们有 ∩ i ∈ I f − i A s ( i ) ≠ ∅ 对所有 s ∈ { 1 ， 2 } I 。取 I ⊂ J 使得 I ∩ { 1 ， 2 ， ⋯ ， N 0 } = ∅ 。且 | I | ≥ 3 ， j ′ 1 ， j ′ 2 ， j ′ 3 ≥ N 0 。取 n > max { j ′ 1 ， j ′ 2 ， j ′ 3 } 那么有 f − j ′ 1 ( V s ( j ′ 1 ) ) ∩ f − j ′ 2 ( V s ( j ′ 2 ) ) ∩ f − j ′ 3 ( V s ( j ′ 3 ) ) ≠ ∅ 所以得出矛盾，同理 C ( U ) = 2 时也与 f 是一致正熵矛盾。所以假设不成立，对任意开覆盖 U ， U 包含两个非稠密的开集，拓扑复杂性函数 C ( U ) > 3 。 (2)Þ(1)： 由引理2.5，因为 C ( U ) > 3 > 2 ，所以 f 是拓扑传递的，下证 f 是强混合的。 反证法：假设 f 不是强混合的，由定理2.4，则存在一个不动点 y 和 k > 1 ，并且 T − { y } 有 k 个连通分支，存在非退化的闭子树 T 1 ¯ ， ⋯ ， T k ¯ ，使得 T = ∪ i = 1 k T i ¯ ， T i ¯ ∩ T j ¯ = { y } 对 i ≠ j ，有 f ( T i ¯ ) = T i + 1 ¯ 对 i = 1 ， ⋯ ， k − 1 ，并且 f ( T k ¯ ) = T 1 ¯ 。因为 f 是3-星映射，所以有两种情况。令 y 为不动点， T 的三个端点分别为 e 1 ， e 2 ， e 3 ，分支点为 O 。 情况1. y 为分支点 O ，那么 k = 3 ， T − { y } 有3个连通分支，存在非退化的闭子树 T 1 ¯ ， T 2 ¯ ， T 3 ¯ 使得 T = ∪ i = 1 3 T i ¯ 。 T i ¯ ∩ T j ¯ = { y } 对于 i ≠ j ，有 f ( T 1 ¯ ) = T 2 ¯ ， f ( T 2 ¯ ) = T 3 ¯ ， f ( T 3 ¯ ) = T 1 ¯ 成立。 令 U = { U 1 ， U 2 } ， U 1 = T 1 ¯ ∪ B ( y ， ε ) ， U 2 = T 2 ¯ ∪ T 3 ¯ ∪ B ( y ， ε ) ，其中 ε = min 1 ≤ i ≤ 3 1 / 2 d ( y ， e i ) ， A 1 = f − 1 U 1 ∩ f − 2 U 2 ∩ f − 3 U 2 ⊇ T 3 ¯ ， A 2 = f − 1 U 2 ∩ f − 2 U 1 ∩ f − 3 U 2 ⊇ T 2 ¯ ， A 3 = f − 1 U 2 ∩ f − 2 U 2 ∩ f − 3 U 1 ⊇ T 1 ¯ ， A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 = T 。 当 n → ∞ 时， A 1 n = ∩ j = 1 n f − j ( U s ( j ) ) ⊇ T 3 ¯ 。其中 s ( j ) = 1 当 j − 1 ≡ 0 ( mod 3 ) ， s ( j ) = 2 当 j 为其他值。 A 2 n = ∩ j = 1 n f − j ( U s ( j ) ) ⊇ T 2 ¯ 。其中 s ( j ) = 1 当 j − 2 ≡ 0 ( mod 3 ) ， s ( j ) = 2 当 j 为其他值。 A 3 n = ∩ j = 1 n f − j ( U s ( j ) ) ⊇ T 1 ¯ 。其中 s ( j ) = 1 当 j − 3 ≡ 0 ( mod 3 ) ， s ( j ) = 2 当 j 为其他值。 所以 A 1 n ∪ A 2 n ∪ A 3 n = T 。所以当 n → ∞ 时， C ( U ) = 3 ，这与 C ( U ) > 3 矛盾。所以 f 是强混合的。 情况2. y 不为分支点 O ，不妨设 y 在 ( O ， e 1 ) 上，那么 k = 2 ， T − { y } 有2个连通分支，存在非退化的闭子树 T 1 ¯ ， T 2 ¯ 使得 T = T 1 ¯ ∪ T 2 ¯ 。 T 1 ¯ ∩ T 2 ¯ = { y } 。有 f ( T 1 ¯ ) = T 2 ¯ ， f ( T 2 ¯ ) = T 1 ¯ 成立。 令 U = { U 1 ， U 2 } ， U 1 = T 1 ¯ ∪ B ( y ， ε ) ， U 2 = T 2 ¯ ∪ B ( y ， ε ) ，其中 ε = min 1 ≤ i ≤ 3 1 / 2 d ( y ， e i ) ，那么 A 1 = f − 1 U 1 ∩ f − 2 U 2 ⊇ T 2 ¯ ， A 2 = f − 1 U 2 ∩ f − 2 U 1 ⊇ T 1 ¯ ， A 1 ∪ A 2 = T 。 当 n → ∞ 时， A 1 n = ∩ j = 1 n f − j ( U s ( j ) ) ⊇ T 2 ¯ ，其中 s ( j ) = 1 当 j − 1 ≡ 0 ( mod 2 ) ， s ( j ) = 2 当 j 为其他值。 A 2 n = ∩ j = 1 n f − j ( U s ( j ) ) ⊇ T 1 ¯ ，其中 s ( j ) = 1 当 j − 2 ≡ 0 ( mod 2 ) ， s ( j ) = 2 当 j 为其他值。 所以 A 1 n ∪ A 2 n = T ，当 n → ∞ 时， C ( U ) = 2 ，这与 C ( U ) > 3 矛盾。所以 f 是强混合的。 综合这两种情况，即证 f 是强混合的。 (1)Þ(4)： 因为 f 是强混合的。由定理2.3的(3)，存在 n ≥ 1 和非空开子集 V i ⊂ U i 对 1 ≤ i ≤ k 。使得 ∩ i = 1 n f n ( U i ) ⊃ ∪ i = 1 k V i 。因为 f − n U s ( 1 ) ∩ f − 2 n U s ( 2 ) ∩ ⋯ ∩ f − m n U s ( m ) ≠ ∅ 对所有的 m ≥ 1 ， s ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， k } m 。则 n N = { n ， 2 n ， 3 n ， ⋯ } 是 ( U 1 ， ⋯ ， U k ) 的一个独立集。 所以每个非空开子集 ( U 1 ， ⋯ ， U k ) 的k-多元组有一个正密度的独立集，即 f 是拓扑K系统。 即证定理2.6。