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user: 4. 系统的指数稳定性 定理6 { r ∈ C | Re r > 0 或 r = i a ， a ∈ R \ { 0 } } 包含于系统算子A + B的预解集 ρ ( A + B ) 中。 证明 对任意 G = { g 0 ， g 1 ( x ) ， g 2 ( x ) ， g 3 ( y ) ， g 4 ( x ) ， g 5 ( y ) } ，考虑算子方程 [ r I − ( A + B ) ] P = G ，有以下的方程组 { ( r + η + λ + β ) P 0 = g 0 + ∫ 0 ∞ P 3 ( y ) μ ( y ) d y d P 1 ( x ) d x + ( r + λ + β + α ( x ) ) P 1 ( x ) = g 1 ( x ) d P 2 ( x ) d x + ( r + λ + α ( x ) ) P 2 ( x ) = g 2 ( x ) + β P 1 ( x ) d P 3 ( y ) d y + ( r + λ + μ ( y ) ) P 3 ( y ) = g 3 ( y ) d P 4 ( x ) d x + ( r + α ( x ) ) P 4 ( x ) = g 4 ( x ) + λ P 2 ( x ) d P 5 ( y ) d y + ( r + μ ( y ) ) P 5 ( y ) = g 5 ( y ) + λ P 3 ( y ) (5) 边界条件为 { P 1 ( 0 ) = η P 0 P 2 ( 0 ) = P 4 ( 0 ) = 0 P 3 ( 0 ) = λ P 0 + β P 0 + ∫ 0 ∞ λ P 1 ( x ) d x + ∫ 0 ∞ P 1 ( x ) α ( x ) d x + ∫ 0 ∞ P 2 ( x ) α ( x ) d x + ∫ 0 ∞ P 5 ( y ) μ ( y ) d y P 5 ( 0 ) = ∫ 0 ∞ P 4 ( x ) α ( x ) d x (6) 解方程组(5)可得 { P 1 ( x ) = P 1 ( 0 ) e − ∫ 0 x ( r + λ + β + α ( σ ) ) d σ + G 1 ( x ) P 2 ( x ) = β x P 1 ( 0 ) e − ∫ 0 x ( r + λ + α ( σ ) ) d σ + G 2 ( x ) P 3 ( y ) = P 3 ( 0 ) e − ∫ 0 y ( r + λ + μ ( σ ) ) d σ + G 3 ( y ) P 4 ( x ) = ( 1 − e − λ x − λ x e − λ x ) P 1 ( 0 ) e − ∫ 0 x ( r + α ( σ ) ) d σ + G 4 ( x ) P 5 ( y ) = P 5 ( 0 ) e − ∫ 0 y ( r + μ ( σ ) ) d σ + ( 1 − e − λ y ) P 3 ( 0 ) e − ∫ 0 y ( r + μ ( σ ) ) d σ + G 5 ( y ) (7) 其中 G 1 ( x ) = ∫ 0 x g 1 ( τ ) e − ∫ τ x ( r + λ + β + α ( σ ) ) d σ d τ ，     G 2 ( x ) = ∫ 0 x ( g 2 ( τ ) + β G 1 ( τ ) ) e − ∫ τ x ( r + λ + α ( σ ) ) d σ d τ G 3 ( y ) = ∫ 0 y g 3 ( τ ) e − ∫ τ y ( r + λ + μ ( σ ) ) d σ d τ ，     G 4 ( x ) = ∫ 0 x ( g 4 ( τ ) + λ G 2 ( τ ) ) e − ∫ τ x ( r + α ( σ ) ) d σ d τ G 5 ( y ) = ∫ 0 y ( g 5 ( τ ) + λ G 3 ( τ ) ) e − ∫ τ y ( r + μ ( σ ) ) d σ d τ 令 F 1 = ∫ 0 ∞ e − ∫ 0 x ( r + α ( σ ) ) d σ d x ，     F 2 = ∫ 0 ∞ e − ∫ 0 y ( r + μ ( σ ) ) d σ d y ，     F 3 = ∫ 0 ∞ μ ( y ) e − ∫ 0 y ( r + λ + μ ( σ ) ) d σ d y F 4 = λ ∫ 0 ∞ α ( x ) e − ∫ 0 x ( r + λ + α ( σ ) ) d σ d x ，     F 5 = ∫ 0 ∞ α ( x ) e − ∫ 0 x ( r + λ + α ( σ ) ) d σ d x W 0 = g 0 + ∫ 0 ∞ μ ( y ) G 3 ( y ) d y ，   W 1 = 0 ，   W 2 = ∫ 0 ∞ α ( x ) G 2 ( x ) d x ，   W 3 = ∫ 0 ∞ α ( x ) G 4 ( x ) d x 将(7)代入 ( r + η + λ + β ) P 0 = g 0 + ∫ 0 ∞ P 3 ( y ) μ ( y ) d y 及边界条件(6)中，得到矩阵方程： [ r + η + λ + β 0 − F 3 0 − η 1 0 0 − λ − β F 5 − F 4 r F 2 + F 3 r F 2 − 1 0 r F 1 + F 4 + F 5 − 1 0 1 ] [ P 0 P 1 ( 0 ) P 3 ( 0 ) P 5 ( 0 ) ] = [ W 0 W 1 W 2 W 3 ] ， 令 T = [ r + η + λ + β 0 − F 3 0 − η 1 0 0 − λ − β F 5 − F 4 r F 2 + F 3 r F 2 − 1 0 r F 1 + F 4 + F 5 − 1 0 1 ] 根据T的表达式知道矩阵T是不可约的，而且是按列对角占优的， det T ≠ 0 。所以方程组 [ r I − ( A + B ) ] P = G 有唯一解，即 r I − ( A + B ) 是满射。由 r I − ( A + B ) 是闭的，而且 D ( A + B ) 在X中稠密，所以由逆算子定理可知 [ r I − ( A + B ) ] − 1 存在并且是线性有界的。因此当 { r ∈ C | Re r > 0 或 r = i a ， a ∈ R \ { 0 } } 时，有 r ∈ ρ ( A + B ) 。 定理7 r = 0 是算子A + B的几何重数为1的本征值的充要条件是 D ( r ) = 0 。 证明 设 r ∈ C 是A + B的一个本征值，P是一个本征向量，即 [ r I − ( A + B ) ] P = 0 。从而这个问题相当于讨论以下方程组非零解的存在性 { ( r + η + λ + β ) P 0 − ∫ 0 ∞ P 3 ( y ) μ ( y ) d y = 0 d P 1 ( x ) d x + ( r + λ + β ) P 1 ( x ) = 0 d P 2 ( x ) d x + ( r + λ + α ( x ) ) P 2 ( x ) − β P 1 ( x ) = 0 d P 3 ( y ) d y + ( r + λ + μ ( y ) ) P 3 ( y ) = 0 d P 4 ( x ) d x + ( r + α ( x ) ) P 4 ( x ) − λ P 2 ( x ) = 0 d P 5 ( y ) d y + ( r + μ ( y ) ) P 5 ( y ) − λ P 3 ( y ) = 0 P 1 ( 0 ) = η P 0 P 3 ( 0 ) = λ P 0 + ∫ 0 ∞ P 2 ( 0 ) α ( x ) d x P 5 ( 0 ) = ∫ 0 ∞ P 4 ( 0 ) α ( x ) d x P 2 ( 0 ) = P 4 ( 0 ) = 0 (8) 解微分方程组得到 P 1 ( x ) = P 1 ( 0 ) e − ( r + λ + β ) x P 2 ( x ) = β P 1 ( 0 ) ∫ 0 x e − ∫ 0 τ ( r + λ + β ) d ξ ⋅ e − ∫ τ x ( r + λ + α ( ξ ) ) d ξ d τ P 3 ( y ) = P 3 ( 0 ) e − ∫ 0 y ( r + λ + μ ( ξ ) ) d ξ P 5 ( y ) = P 5 ( 0 ) e − ∫ 0 y ( r + μ ( ξ ) ) d ξ + ( 1 − e − λ y ) P 3 ( 0 ) e − ∫ 0 y ( r + μ ( ξ ) ) d ξ (9) 于是得到如下代数方程组 { ( r + η + λ + β ) P 0 − ∫ 0 ∞ e − ∫ 0 y ( r + λ + μ ( ξ ) ) d ξ d y P 3 ( 0 ) = 0 η P 0 − P 1 ( 0 ) = 0 P 2 ( 0 ) = 0 λ P 0 + ∫ 0 ∞ α ( x ) d x P 2 ( 0 ) − P 3 ( 0 ) = 0 P 4 ( 0 ) = 0 ∫ 0 ∞ α ( x ) d x P 4 ( 0 ) − P 5 ( 0 ) = 0 (10) 故(10)有非零解的充分必要条件是系数行列式为零。计算(10)的系数行列式 D ( r ) = | r + η + λ + β 0 0 ∫ 0 ∞ e − ∫ 0 y ( r + λ + μ ( ξ ) ) d ξ d y 0 0 η − 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 λ 0 ∫ 0 ∞ α ( x ) d x − 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ∫ 0 ∞ α ( x ) d x − 1 | 当 D ( r ) = 0 时， r = 0 是A + B的本征值。反过来若 r = 0 使得 D ( r ) = 0 ，则方程(10)有非零解 ( p 0 ， p 1 ( 0 ) ， p 2 ( 0 ) ， p 3 ( 0 ) ， p 4 ( 0 ) ， p 5 ( 0 ) ) : { P 1 ( 0 ) = η P 0 P 2 ( 0 ) = 0 P 3 ( 0 ) = λ P 0 P 4 ( 0 ) = 0 P 5 ( 0 ) = 0 (11) 所以 ( p 0 ， p 1 ( 0 ) ， p 2 ( 0 ) ， p 3 ( 0 ) ， p 4 ( 0 ) ， p 5 ( 0 ) ) ∈ D ( A + B ) 是方程(1)的一个解，从而(10)给出相应于r的A + B的本征函数。令 P ^ = P ‖ P ‖ ， P ^ = ( P ^ 1 ( x ) ， P ^ 2 ( x ) ， P ^ 3 ( y ) ， P ^ 4 ( x ) ， P ^ 5 ( y ) ) 是A + B的非负本征向量，即非负稳定解。其中这个向量是本征值0所对应的。因此0在X中的几何重数是1。 定理8 ( A + B ) * 的代数重数为1的本征值是0，且 ( 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ) T 为0的对应的特征向量。 证明 考虑方程 ( A + B ) * Q = 0 。由定理3有 { ( η + λ + β ) Q 0 = η Q 1 ( 0 ) + β Q 3 ( 0 ) d d x Q 1 ( x ) = ( λ + β ) Q 1 ( x ) − β Q 2 ( x ) d d x Q 2 ( x ) = ( λ + α ( x ) ) Q 2 ( x ) − α ( x ) Q 3 ( 0 ) − λ Q 4 ( x ) d d y Q 3 ( y ) = ( λ + μ ( y ) ) Q 3 ( y ) − μ ( y ) Q 0 − λ Q 5 ( y ) d d x Q 4 ( x ) = α ( x ) Q 4 ( x ) − α ( x ) Q 5 ( 0 ) d d y Q 5 ( y ) = μ ( y ) Q 5 ( y ) − μ ( y ) Q 3 ( 0 ) (12) 解上述方程组有 Q 0 = Q 1 ( x ) = Q 2 ( x ) = Q 3 ( y ) = Q 4 ( x ) = Q 5 ( y ) 。 显然 Q ∈ D ( ( A + B ) * ) ，所以0是 ( A + B ) * 的本征值，而且几何重数是1，把 Q = ( 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ) 代入方程组(12)成立，因此 Q = ( 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ) 是0的对应特征向量。 定理9 系统(1)的时间依赖解是强收敛于稳定解的，即 lim t → ∞ P ( t ， ⋅ ) = P ^ ，并且有 ‖ P ( t ， ⋅ ) − P ^ ‖ ≤ M e − λ t ，这里的M是某一个合适的常数。