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user: 3. 广义复连分数的共形迭代函数系统 这个部分主要是证明广义复连分数的共形迭代函数系统的一些性质 [ 3 ] [ 4 ]。在不致混淆的情况下可简记下面的记号。设 π τ : = π S τ ， θ τ : = θ S τ ， ψ τ n ( t ) : = ψ S τ n ( t ) ( t ≥ 0 ， n ∈ ℕ ) 和 P τ ( t ) : = P S τ ( t ) ( t ≥ 0 ) ， ℜ 表示复数的实部， ℑ 表示复数的虚部。 性质3.1 ∀ τ ∈ H ， S τ 是一个共形迭代函数系统。 证明：设 τ ∈ H ，首先证明 ∀ b ∈ I τ ， ϕ b ( X ) ⊂ X 。设 Y : = { z ∈ ℂ | ℜ ≥ 1 } ，并且设 f : = ℂ → ℂ 为莫比 乌斯变换，定义为 f ( z ) : = 1 z 。因为 f ( 0 ) = ∞ ， f ( 1 ) = 1 ， f ( 1 2 + i 2 ) = 2 1 + i = 1 − i ，可知 f ( ∂ X ) = ∂ Y ∪ { ∞ } ，又因为 f ( 1 2 ) = 2 ，所以 f ( X ) = Y ∪ { ∞ } 。因此 f : = X → Y ∪ { ∞ } 是同胚的。设 g b : = X → Y ， g b ( z ) : = z + b 。 可推得 ϕ b : = f − 1 ∘ g b ，并且 ϕ b ( X ) ⊂ f − 1 ( Y ) ⊂ X ，因此证明了 ϕ b ( X ) ⊂ X 。 接下来要证对每个 τ ∈ H ， S τ 满足定义2.1中的条件。 1. 单射 因为每个 ϕ b 都是莫比乌斯变换，所以每个 ϕ b 是单射。 2. 一致压缩性 设 I τ k : = { m + n τ ∈ ℂ | m ， n ∈ ℕ ， τ ∈ H k } ， k = 1 ， 2 ， 3 ，则 I τ = I τ 1 ∪ I τ 2 ∪ I τ 3 。 (i) 设 b = m + n τ ( = m + n u + i n v ) 是 I τ 1 中的元素，设 z = x + i y 、 z ′ = x ′ + i y ′ ∈ X ，有 | z + b | 2 = | x + m + n u + i ( y + n v ) | 2 = ( x + m + n u ) 2 + ( y + n v ) 2 ≥ ( 0 + 1 + ε ) 2 + ( − 1 2 + 1 ) 2 ≥ 5 4 可得 | z + b | ≥ 5 4 。同理可得 | z ′ + b | ≥ 5 4 ，则 | ϕ b ( z ) − ϕ b ( z ′ ) | = | 1 z + b − 1 z ′ + b | = | z − z ′ | | z + b | | z + b ′ | ≤ 4 5 | z − z ′ | 因此 S τ 1 在X上一致压缩。由对称性可知 S τ 2 在X上一致压缩。 (ii) 设 b = m + n τ ( = m + n u + i n v ) 是 I τ 3 中的元素，设 z = x + i y ， z ′ = x ′ + i y ′ ∈ X ，有 | z + b | 2 = | x + m + n u + i ( y + n v ) | 2 = ( x + m + n u ) 2 + ( y + n v ) 2 ≥ ( 1 2 + 1 + 1 2 ) 2 + ( − 1 2 + 3 2 ) 2 ≥ 10 − 3 2 > 4 可得 | z + b | ≥ 2 ，同理可得 | z ′ + b | ≥ 2 ，则 | ϕ b ( z ) − ϕ b ( z ′ ) | = | 1 z + b − 1 z ′ + b | = | z − z ′ | | z + b | | z + b ′ | < 1 4 | z − z ′ | 因此 S τ 3 在X上一致压缩。综上， S τ 在X上一致压缩。 3. 共形性 设 τ ∈ H ， b ∈ I τ 。因为 ϕ b 在 ℂ \ { − b } 上是全纯的， ϕ b 是 C 2 的并且在V上共形。 4. 开集条件 记 Int ( X ) = { z ∈ ℂ | | z − 1 2 | < 1 2 } 。设 τ ∈ H ， b ∈ I τ ，因为 f ( ∂ X ) = ∂ Y ∪ { ∞ } ，可以推得 ∀ b ∈ I τ ， g b ( Int ( X ) ) ⊂ { z = x + i y ∈ ℂ | x > 1 } = f ( Int ( X ) ) 设 b = m + n τ ∈ I τ ， b ′ = m ′ + n ′ τ ∈ I τ 为两个不同的元素时， 当 n = n ′ 时， | g b ( 1 2 ) − g b ′ ( 1 2 ) | = | ( m − m ′ ) + ( n − n ′ ) u + i ( n − n ′ ) v | = | m − m ′ | ≥ 1 当 n ≠ n ′ 时，因为 | m − m ′ | ≥ 1 ， | n − n ′ | ≥ 1 ， | g b ( 1 2 ) − g b ′ ( 1 2 ) | = [ ( m − m ′ ) + ( n − n ′ ) u ] 2 + [ ( n − n ′ ) v ] 2 (1) 若 | n − n ′ | ≥ 2 ，因为 | v | ≥ 3 2 故(1)式大于1；当 | n − n ′ | = 1 ，此时 | g b ( 1 2 ) − g b ′ ( 1 2 ) | = [ ( m − m ′ ) + u ] 2 + v 2 由条件知 ( u − i ) 2 + v 2 ≥ 1 ， i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， ∀ k = m − m ′ ， ∃ i 使得 i = | k | ，又 ( u + i ) 2 + v 2 ≥ ( u − i ) 2 + v 2 ≥ 1 ，知 | g b ( 1 2 ) − g b ′ ( 1 2 ) | = [ ( m − m ′ ) + u ] 2 + v 2 ≥ 1 ，故当 b ， b ′ 为两个不同的 元素时， g b ( Int ( X ) ) 和 g b ′ ( Int ( X ) ) 不相交。则对所有的 b ∈ I τ ， ϕ b ( Int ( X ) ) = f − 1 ∘ g b ( Int ( X ) ) ⊂ f − 1 ∘ f ( Int ( X ) ) = Int ( X ) ϕ b ( Int ( X ) ) ∩ ϕ ′ b ( Int ( X ) ) = f − 1 ( g b ( X ) ∩ g ′ b ( X ) ) = ∅ 故 S τ 满足开集条件。 5. 有界偏差性 取足够小的 ε ，且 ε ≥ 0 。设 B ( 1 2 ， 1 2 + ε ) 是以 1 2 为中心， 1 2 + ε 为半径的开球，记 V ′ : = B ( 1 2 ， 1 2 + ε ) ， 并设 τ : = u + i v ， ( m ， n ) ∈ ℕ 2 ， z = x + i y ∈ V ′ 有 (i) 当 τ ∈ H 1 时 | ϕ ′ m + n τ ( z ) | = 1 | z + m + n τ | 2 = 1 ( x + m + n u ) 2 + ( y + n v ) 2 ≤ 1 ( ( 1 2 + m ) 2 + n 2 − ( 1 2 + ε ) ) 2 ≤ 1 ( 9 4 + 1 − ( 1 2 + ε ) ) 2 = 1 ( 13 − 1 2 − ε ) 2 < 1 (ii) 由对称性知当 τ ∈ H 2 时，同样有 | ϕ ′ m + n τ ( z ) | < 1 。 (iii) 当 τ ∈ H 3 时 | ϕ ′ m + n τ ( z ) | = 1 | z + m + n τ | 2 = 1 ( x + m + n u ) 2 + ( y + n v ) 2 ≤ 1 ( ( 1 2 + m ) 2 + ( 3 2 n ) 2 − ( 1 2 + ε ) ) 2 ≤ 1 ( 9 4 + 3 4 − ( 1 2 + ε ) ) 2 = 1 ( 2 3 − 1 2 − ε ) 2 < 1 故 ∀ τ ∈ H ，有 | ϕ ′ m + n τ ( z ) | < 1 。 对每个 z ∈ V ′ ，设 z ′ : = { ( | z − 1 2 | − ε ) z − 1 2 | z − 1 2 | + 1 2       ( z ∉ X ) z                                                                 ( z ∈ X ) 则有 | z − z ′ | ≤ ε ， | z ′ − 1 2 | ≤ 1 2 可以推出 z ′ ∈ X 。因此 | ϕ b ( z ) − ϕ b ( z ′ ) | ≤ | z − z ′ | ≤ ε ，并且 | ϕ b ( z ) − 1 2 | ≤ | ϕ b ( z ) − ϕ b ( z ′ ) | + | ϕ b ( z ′ ) − 1 2 | ≤ 1 2 + ε 说明对所有的 b ∈ I τ ， ϕ b ( V ′ ) ⊂ V ′ 。因为 ϕ b 是 V ′ 上的单射， ϕ b 在 ℂ \ { − b } 上是全纯的，所以 ϕ b 在 V ′ : = B ( 1 2 ， 1 2 + ε ) 上是全纯的。 设b是 I τ 中的一个元素， r 0 : = 1 2 + ε ，设 f b 为 f b ( z ) : = ϕ b ( r 0 z + 1 2 ) − ϕ b ( 1 2 ) r 0 ϕ ′ b ( 1 2 ) ( z ∈ D : = { z ∈ ℂ | | z | < 1 } ) 因为 f b 在D上是全纯的，且 f b ( 0 ) = 0 ， f ′ b ( 0 ) = 1 。用克贝偏差定理，可推知对所有的 z ∈ D ， 1 − | z | ( 1 + | z | ) 3 ≤ | f ′ b ( z ) | ≤ 1 + | z | ( 1 − | z | ) 3 设 r 1 : = r 0 + 1 2 2 = 1 2 + ε 2 ，可推知存在 C 1 ≥ 1 和 C 2 ≤ 1 使得对任意的 z ∈ B ( 0 ， r 1 r 0 ) ( ⊂ D ) ， C 2 ≤ 1 − | z | ( 1 + | z | ) 3 ，   1 + | z | ( 1 − | z | ) 3 ≤ C 1 设 C : = C 1 C 2 ， ∀ z ， z ′ ∈ B ( 0 ， r 1 r 0 ) | ϕ ′ b ( r 0 z + 1 2 ) | | ϕ ′ b ( 1 2 ) | = | f ′ b ( z ) | ≤ 1 + | z | ( 1 − | z | ) 3 ≤ C 1 = C C 2 ≤ C 1 − | z ′ | ( 1 + | z ′ | ) 3 ≤ C | f ′ b ( z ′ ) | ≤ C | ϕ ′ b ( r 0 z ′ + 1 2 ) | | ϕ ′ b ( 1 2 ) | 即证对任意的 z ， z ′ ∈ B ( 0 ， r 1 r 0 ) ， | ϕ ′ b ( r 0 z ′ + 1 2 ) | ≤ C | ϕ ′ b ( r 0 z ′ + 1 2 ) | 。 最后设 V : = B ( 1 2 ， r 1 ) 为 1 2 为中心， r 1 为半径的开球，则V是 ℂ 的开连通子集，且有 X ⊂ V ， ∀ z ，   z ′ ∈ V ， | ϕ ′ b ( z ) | ≤ C | ϕ ′ b ( z ′ ) | 因此 S τ 满足有界偏差条件。 6. 锥条件 因为X是闭圆盘，所以满足锥条件。 引理3.2设 τ ∈ H ，则存在 C ≥ 1 使得对所有的 z ∈ B ( 1 2 ， r 1 ) ， b ∈ I τ ，有 C − 1 | b | − 2 ≤ | ϕ ′ b ( z ) | ≤ C | b | − 2 . 证明：因为 | ϕ ′ b ( 0 ) | = | b | − 2 ，由有界偏差条件知存在 使得对任意的 ， ，有 。因此有 。 引理3.3对任意的 ， 是继承正则的共形迭代函数系统，且有 。 证明：设 ，对任意的正整数 ，定义 ， 及 。 由几何性质知 ， 可以推出 ，且有 。 设 ，考虑下面两种情况 (i) 若 (ii) 若 对任意的 ， 因此推出 (2) 另外，由不等式 及不等式 ，知对任意的 ， (3) 又由不等式 ，有 因此可以推知 (4) 结合引理3.2及不等式 (2)，(4)可知 ，若 ，则 ，因此可知 。并且由定理2.6可得对所有的 ， 是继承正则的。 引理3.4 。即对 ， ，使得对所有的 且 时， 成立。 证明：设 ， ，设H中的序列 使得 时， 。注意到对任意的 ， 时，有 。通过不等式(2)和不等式(3)可推出 主要是由整函数控制的，即 ，由勒贝格控制收敛定理可知 。 由引理3.2得 ，即 使得对任意的 ， 有 。 再由性质2.3知 。根据定义可知 ，故对任意的 ，存在 使得对所有的 ， ， 。由定理2.6，对任意的 ，有 ，证毕。 定理3.5设 ，有 。 证明：由定理2.6知 ，接下来只需证 。 (i) 时 设 为一开球，且 ，因为 ，可以推得 。 设 ，因为 ，所以 ，即有 。 (ii) 时，由对称性可知存在 使得 。 (iii) 时 设 为一开球，且 ，因为 ，可以推得 。设 ，因为 ，所以 ，即有 。 综上， ，设 ，都能找到 使得 。因此 ，这里 表示2维勒贝克测度。由定理2.7得 。