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user: 3. 体积增长估计 测地球的体积增长是研究微分流形及Ricci孤立子重要的几何性质，体积增长率是流形极为重要的几何不变量。具有非负Ricci曲率的完备非紧致黎曼流形 M n 上，有两个关于测地球体积增长估计的重要定理：经典的Bishop体积比较定理表明测地球有至多欧氏体积增长(即存在常数 C 使得当 r > 0 充分大时，有 V ( B x 0 ( r ) ) ≤ C r n )；另一个定理表明测地球有至少线性体积增长(即存在正常数 C ，使得 V ( B x 0 ( r ) ) ≥ C r )。对于Ricci孤立子，利用势函数的上下界估计及势函数水平集重要的几何性质，曹怀东和周德堂证明了收缩Ricci孤立子测地球至多欧式体积增长，而有关测地球体积的最少增长目前最好的结果为对数函数形式的增长。对比一般的黎曼流形，大家猜测Ricci孤立子体积最少增长的最佳结果也可能为线性增长形式。本节，我们将概括总结关于Ricci孤立子的渐近体积比及体积增长的上下界估计结果。 Hamilton [ 10 ] 系统地开发了Ricci流降低维数的研究方法。由Hamilton对2维Ricci流古典解的分类可知任意具有有界曲率的2维完备古典解都不能达到最大体积增长。在此基础上应用降维方法，Perelman [ 2 ] 证明了： 定理3.1：令 M 为一个 n 维完备非紧致的黎曼流形，假设 g i j ( x ， t ) ， x ∈ M 且 t ∈ ( − ∞ ， T ) ， T > 0 ， g i j ( x ， t ) 为具有非负曲率算子及有界曲率的Ricci流的一个非平坦古典解，则其度量的渐近体积比满足： lim r → + ∞ V o l t ( B t ( x 0 ， r ) ) r n = 0. 推论3.2：(Carrillo-Ni [ 28 ] )任意具有非负Ricci曲率 R i c ≥ 0 的非平坦梯度收缩Ricci孤立子其渐近体积比为零，即： lim r → ∞ V o l ( B x 0 ( r ) ) r n = 0. 具体到体积增长的上下界估计时也有很多重要的结果。在没有曲率假设条件的情况下，利用势函数的上下界估计，曹怀东和周德堂 [ 29 ] 得到了一个经典的体积增长的上界估计： 定理3.3：令 ( M n ， g i j ， f ) 为一个完备非紧致的梯度收缩Ricci孤立子，存在常数 C > 0 使得当 r > 0 且充分大时有： V o l ( B x 0 ( r ) ) ≤ C r n . 对于Gaussian孤立子，上述估计结果估计形式为其最优估计。在没有任何需要曲率假设条件的情形下，Munteanu [ 30 ] 证明了满足 ρ = 1 2 的标准化条件的完备非紧致梯度收缩Ricci孤立子，存在常数 C > 0 及 δ > 0 使得对于任意 r ≥ δ ，有 V o l ( B x 0 ( r ) ) ≤ C r n 。 基于 [ 28 ] 中命题2.1的证明，Zhang [ 31 ] 也得到了一个体积增长的上界估计： 推论3.4：令 ( M n ， g i j ， f ) 为一个完备非紧致的梯度收缩Ricci孤立子，设 R ≥ δ > 0 ，则对任意 η > 0 ，存在仅取决于 η 的常数 C < ∞ 使得对于任意 r ≥ 0 ，体积上界增长满足： V o l ( B x 0 ( r ) ) ≤ C ( r + 1 ) n − ( 2 − η ) δ . 同上述推论假设条件，完备非紧致的梯度收缩Ricci孤立子，给定 x 0 ∈ M ，存在取决于 δ 及 x 0 的常数 C < ∞ 使得对于任意 r ≥ 0 ，有 V o l ( B x 0 ( r ) ≤ C ( r + 1 ) n − 2 δ 。进一步，对任意 η > 0 ，存在取决于 η 及 δ 的常数 c 0 ， C 1 ，当 c ≥ c 0 时有 V ( c ) ≤ C 1 c n − ( 2 − η ) δ 2 。 若势函数在球面方向上满足一定的均匀条件，则梯度稳定Ricci孤立子有至多欧氏体积增长 [ 32 ]： 推论3.5：令 ( M n ， g i j ， f ) 为一个完备梯度收缩Ricci孤立子，且 R + | ∇ f | 2 = 1 。设存在常数 C 1 ， C 2 ≥ 0 使得 max θ ∈ S n − 1 ∫ 0 r φ ( r ， θ ) − φ ( t ， θ ) d t ≤ C 1 min θ ∈ S n − 1 ∫ 0 r φ ( r ， θ ) ) − φ ( t ， θ ) d t + C 2 r ， r 充分大，则对任意 x ∈ M ，存在 r 0 > 0 ，任意 r ≥ r 0 ，有： − r ≤ f ( y ) − f ( x ) ≤ − r + C ln r . 此外该孤立子有至多欧式体积增长，即对任意 x ∈ M ，存在 r 0 > 0 ，任意 r ≥ r 0 ，有： V o l ( B ( x ， r ) ) ≤ C r n . 若对于充分大的 r 有 φ ( r ) ≥ δ ln r ，则有 V o l ( B ( x ， r ) ) ≤ C r n − δ . 推论3.6：令 ( M n ， g i j ， f ) 为一个完备非紧致的梯度收缩Ricci孤立子，且满足标准化条件 R i j + ∇ i ∇ j f = 1 2 g i j 。则存在常数 k = k ( μ 0 ) > 0 ，使得当 r ≤ 1 ， R ≤ C r 2 时有： V o l ( B r ) ≥ k r n . 推论3.7：令 ( M n ， g i j ， f ) 为一个完备非紧致的梯度收缩Ricci孤立子，平均曲率满足 1 V ( r ) ∫ D ( r ) R d V ≤ δ ，其中常数 0 < δ < n / 2 且 r 充分大。则存在常数 C > 0 ，使得： V o l ( B x 0 ( r ) ) ≥ C r n − 2 δ . 利用Carillo-Ni [ 28 ] 对数形式的Sobolev不等式及Perelman的非坍塌理论，Cao [ 33 ] 还得到了一个体积增长对数形式的下界估计。 定理3.8：令 ( M n ， g i j ， f ) 为一个完备非紧致的梯度收缩Ricci孤立子，则 ( M n ， g i j ) 有无穷大的体积。准确地说，即存在常数 C > 0 ，使得 r 充分大时有： V o l ( B x 0 ( r ) ) ≥ C ln ln r . 基于Perelman [ 2 ] 的方法及对数形式的Sobolev不等式，在不需要额外的曲率条件假设时，Munteanu-Wang [ 34 ] 证明了一个体积增长的下界的线性估计结果： 推论3.9：令 ( M n ， g i j ， f ) 为一个完备非紧致的梯度收缩Ricci孤立子，则存在仅取决于维数 n 及Perelman不变量 μ 0 的常数 C > 0 ，使得任意时 r ≥ r 0 ，有： V o l ( B x 0 ( r ) ) ≥ C r . 其中 x 0 为 f 的最小值点且 r 0 仅取决于维数 n 。 由对数形式的Sobolev不等式，显然任意具有有界Ricci曲率的完备非紧致梯度收缩Ricci孤立子有至少线性体积增长 [ 35 ]： 定理3.10：令 ( M n ， g i j ， f ) 为一个完备非紧致的梯度收缩Ricci孤立子 R i j + ∇ i ∇ j f = g i j ，若存在 O ∈ M 使得 1 V o l ( B s ) ∫ B s R ≤ C s a ，其中 a 为一个非零常数， s 表示距离函数 s ( x ) = d i s t ( O ， x ) ， C 为一个非负常数。则当 s 充分大时，有： V o l ( B s ) s n ≤ C ⋅ e − 1 a s a . 特别地， 1 V o l ( B s ) ∫ B s R ≤ δ 1 < n 时，有 V o l ( B s ) ≥ C s n − δ 1 ； 1 V o l ( B s ) ∫ B s R ≥ δ 2 ≥ n 时，有 V o l ( B s ) ≤ C s n − δ 2 。 对于梯度扩张Ricci孤立子，Chen [ 36 ] 也得到了类似的上界估计： 推论3.11：令 ( M n ， g i j ， f ) 为一个数量曲率为 R 的完备非紧致梯度扩张Ricci孤立子，若存在 O ∈ M 使得 1 V o l ( B s ) ∫ B s R ≥ − C s − ε ，常数 ε > 0 ，则对 s ≥ A ，常数 A 充分大，有： lim s → ∞ V o l ( B s ) s n ≥ η . 此外， R i c ≥ − C s − ε g 且 1 V o l ( B s ) ∫ B s R ≤ − C s − ε 时， C − 1 s n ≤ V o l ( B s ) ≤ C s n 。 定理3.12：令 ( M n ， g i j ， f ) 为完备非紧致的梯度扩张Ricci孤立子，若 lim s → ∞ s 2 | S e c t | = 0 ，( s = d i s t ( O ， x ) )。则对任意 r > 0 及 x ∈ M ，有： V o l ( B r ( x ) ) ≥ C r n . 且对任意 r ≤ s 2 及 x ≠ O ，有： 此外，若其渐近体积比存在，则对任意 r > 0 及 x ∈ M ，有 C − 1 r n ≤ V o l ( B r ( x ) ) ≤ C r n 。 对于稳定Ricci孤立子，Menteanu-Sesum [ 26 ] 也证明了类似于收缩孤立子(推论3.10)的线性增长结果： 定理3.13：令 ( M n ， g i j ， f ) 为任意梯度稳定Ricci孤立子，则存在常数 a ， c ， r 0 > 0 ，对任意 r > r 0 ，其体积增长满足： c ⋅ r ≤ V o l ( B x 0 ( r ) ) ≤ c e a r . 由于Bakry-Emery Ricci张量 R i c f = R i c + H e s s f 及其他曲率条件的引进，势函数的估计出现许多新的证明方法及更精确的结果，结合势函数估计结果及势函数水平集的几何性质，Ricci孤立子的体积估计将会有更完善的结果。