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user: 2. 分数阶Swift-Hohenberg方程的算子分裂法 2.1. Laplace变换 Laplace变换 [ 11 ] 是工程数学中常用的一种积分变化，在科学研究领域有广泛的应用。 F ( s ) = L [ f ( t ) ] = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t (6) 运用分部积分法和Laplace变换公式可以得到以下微分性质： L [ f 1 ( t ) ] = s L [ f ( t ) ] − f ( 0 ) = s F ( s ) − f ( 0 ) (7) 将该微分性质推广到一般情况，可以得到： L [ f n ( t ) ] = s n F ( s ) − s n − 1 f ( 0 ) − s n − 2 f 1 ( 0 ) − ⋯ − s f n − 2 ( 0 ) − f n − 1 ( 0 ) (8) Laplace逆变换就是实现以上过程的逆向变换。 f ( t ) = L − 1 [ F ( s ) ] (9) 研究发现 [ 12 ] [ 13 ]，利用Laplace变换可以很好地将分数阶方程转化为整数阶方程，进而降低求解难度。现利用Laplace变换逼近Caputo型分数阶导数： L [ D 0 c t α u ( x ， t ) ] = s α L [ u ( x ， t ) ] − s α − 1 u ( x ， 0 ) (10) 利用Lagrange插值实现 s α 线性化，得到： s α ≈ α s 1 + ( 1 − α ) s 0 = α s + ( 1 − α ) (11) 将式(11)代入式(10)，得到： L [ D 0 c t α u ( x ， t ) ] ≈ [ α s + ( 1 − α ) ] [ L [ u ( x ， t ) ] − s − 1 u ( x ， 0 ) ] (12) 对上式进行Laplace逆变换，整理后得到： D 0 c t α u ( x ， t ) ≈ ( 1 − α ) [ u ( x ， t ) − u ( x ， 0 ) ] + α ∂ u ( x ， t ) ∂ t (13) 于是，时间分数阶Swift-Hohenberg方程可以转化为如下的整数阶方程： ∂ u ( x ， t ) ∂ t = − ( 1 + Δ ) 2 u α + α − 1 α [ u ( x ， t ) − u ( x ， 0 ) ] − f ( u ) α (14) 2.2. 算子分裂法 算子分裂法 [ 14 ] 是一种偏微分方程数值解法，可以把复杂的算子分裂成几个可分别求解的简单子算子之积，实现复杂问题的简单化处理。 运用算子分裂法分解成两个子问题时，算子的顺序不影响计算结果，具体求解过程如下： (1) 计算前半步长的算子 S 1 ，其中 t ∈ [ t k ， t k + 1 / 2 ] ； (2) 令 u t k = u t k + 1 / 2 ，计算一个步长的算子 S 2 ，其中 t ∈ [ t k ， t k + 1 ] ； (3) 令 u t k + 1 / 2 = u t k + 1 ，计算后半步长的算子 S 1 ，其中 t ∈ [ t k + 1 / 2 ， t k + 1 ] 。 取空间节点数为M，则空间步长 h = ( b − a ) / M ；取时间节点数为N，则时间步长 τ = T / N 。 空间方向的节点： x i = a + i h ，   i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， M 时间方向的节点： t k = k τ ，   k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， N 利用算子分裂法将转化后的整数阶方程进行如下分解： { ∂ u ∂ t = − 1 α f ( u ) = − 1 α ( u 3 − η u 2 − ε u )                                                                                                                 ( 15 ) ∂ u ∂ t = − ( 1 + ∂ 2 ∂ x 2 ) 2 u α + α − 1 α [ u ( x ， t ) − u ( x ， 0 ) ]                                                                                         ( 16 ) 对于非线性方程式(15)，方程两边同除以u，然后两边同时积分，可得： u k + 1 = u k exp [ − τ α ( ( u k ) 2 − η u k − ε ) ] (17) 对于线性方程式(16)，利用Crank-Nicolson格式在时间方向的(k+1/2)层处逼近，可得： u k + 1 2 = u k + u k + 1 2 (18) u k + 1 − u k τ = − 1 α ( u x 4 k + u x 4 k + 1 2 + u x 2 k + u x 2 k + 1 + u k + u k + 1 2 ) + α − 1 α ( u k + u k + 1 2 − u 0 ) (19) 注意， u − 1 和 u N + 1 利用线性插值给出，即： { u − 1 = 2 u 0 − u 1 u N + 1 = 2 u N − u N − 1 (20) 两端边值条件均为零。 将已知的k 层和待求的k + 1层分别整理到等式的两边，得到矩阵： [ c − a b a ⋯ b c b a ⋱ ⋱ ⋱ a b c b ⋯ a b c − a ] [ u 1 k + 1 u 2 k + 1 ⋮ u M − 2 k + 1 u M − 1 k + 1 ] = [ d + a − b − a ⋯ − b − d b − a ⋱ ⋱ ⋱ − a − b d − b ⋯ − a − b d + a ] [ u 1 k u 2 k ⋮ ⋮ u M − 1 k ] + ( 1 − α ) τ α [ u 1 0 u 2 0 ⋮ ⋮ u M − 1 0 ] (21) 其中 a = τ 2 α h 4 ， b = a ( 2 h 2 − 4 ) ， c = 1 + τ 2 α + ( 1 − α ) τ 2 α + a ( 6 − 4 h 2 ) ， d = 1 − τ 2 α − ( 1 − α ) τ 2 α − a ( 6 − 4 h 2 ) 。 记左右两边矩阵分别为A和B，则待求的 k + 1 层表示如下： u i k + 1 = A − 1 [ B u i k + ( 1 − α ) τ α u i 0 ] (22) 将式(17)和式(22)代入式(5)，得到原方程的数值解： { [ t k ， t k + 1 2 ] ( u i k ) ( 1 ) = u i k + 1 2 = u i k exp [ − τ 2 α ( ( u i k ) 2 − η u i k − ε ) ] [ t k ， t k + 1 ] ( u i k + 1 ) ( 1 ) = A − 1 [ B ( u i k ) ( 1 ) + ( 1 − α ) τ α u i 0 ] [ t k + 1 2 ， t k + 1 ] u i k + 1 = ( u i k + 1 ) ( 1 ) exp [ − τ 2 α ( ( ( u i k + 1 ) ( 1 ) ) 2 − η ( u i k + 1 ) ( 1 ) − ε ) ] (23)