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user: 2.自适应差分方法及其误差估计 2.1.自适应简单迎风格式 为了离散求解拟线性两点边值问题(1.1)，设 A v = − ε v ′ ( x ) + b ( x ， v ( x ) ) ，     v ∈ C 2 [ 0 ， 1 ] (2.1) 则(1.1)可写成 ( A u ) ′ = − ε u ″ + b ( x ， u ( x ) ) ′ = f (2.2) 定义任意网格函数 { v i } 的离散算子 A N ，将(2.1)离散化，可以得到 A N v i = − ε D + v i + b ( x i ， v i ) (2.3) 其中 i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， N − 1 且 0 = x 0 < x 1 < ⋯ < x N = 1 将原方程(1.1)离散化可以得到 T N u i N : = D − ( A N u i N ) = f i ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N − 1 (2.4) u 0 N = u N N = 0 其中 { u i N } 是在网格 { x i } 上计算的数值解。 在自适应网格时，除了 x 0 和 x N 以外的N − 1个节点，每一个点处都可以列出两个式子： i) 此节点上的差分格式； ii) 此节点左右两个弧长相等的式子； 联立这 2 N − 2 个式子，就可以得到自适应的 x i 和 u i N 。 2.2. 线性守恒型两点边值问题的稳定性 考虑(1.1)的线性情况 L u = − ε u ″ ( x ) + ( p u ( x ) ) ′ = f ( x ) (2.5) u ( 0 ) = u ( 1 ) = 0 其中 (i) 0 < β ≤ p ( x ) ≤ β ¯ (2.6a) (ii) f ∈ C [ 0 ， 1 ] (2.6b) 引理2.1设(2.5)中的 f ( x ) = F ′ ( x ) ∈ C [ 0 ， 1 ] ，则方程中存在一个唯一解 u ∈ C 2 [ 0 ， 1 ] ，使得 ‖ u ‖ ∞ ≤ 2 β ‖ L u ‖ * 其中， ‖ v ‖ * 表示 ‖ v ‖ * = min V ′ = v ‖ V ‖ ∞ 。 证明 (2.5)两边同时对 积分可得 u ′ − p u ε = − F ( x ) + C 1 ε 可以解出 u ( x ) = C e ∫ x 1 p ( t ) ε d t + e − ∫ x 1 p ( t ) ε d t ∫ x 1 F ( s ) + C 1 ε e ∫ s 1 p ( t ) ε d t d s 由于 u ( 1 ) = 0 ，可以解出 C = 0 ，则有 u ( x ) = ∫ x 1 F ( s ) ε e − ∫ x s p ( t ) ε d t d s + C 1 ∫ x 1 1 ε e − ∫ x s p ( t ) ε d t d s (2.7) 设 W ( x ) = ∫ x 1 F ( s ) ε e − ∫ x s p ( t ) ε d t d s (2.8) V ( x ) = ∫ x 1 1 ε e − ∫ x s p ( t ) ε d t d s (2.9) 则有 u ( x ) = W ( x ) + C 1 V ( x ) 将 u ( 0 ) = 0 代入，可以解出 C 1 = − W ( 0 ) V ( 0 ) ，则有 u ( x ) = W ( x ) − W ( 0 ) V ( 0 ) V ( x ) 由(2.7)和(2.8)可得 | w ( x ) | ≤ ‖ F ( x ) ‖ ∞ V ( x ) (2.10) 0 ≤ V ( x ) ≤ ∫ x 1 1 ε e − ∫ x s β 2 d t d s ≤ ∫ x 1 1 β e − β ε ( s − x ) d ( s − x ) β ε ≤ 1 β 由(2.10)有 | W ( 0 ) | ≤ ‖ F ( x ) ‖ ∞ V ( 0 ) (2.11) 则有 | u ( x ) | ≤ | W ( x ) | + | W ( 0 ) | V ( 0 ) V ( x ) ≤ | W ( x ) | + ‖ F ( x ) ‖ ∞ V ( x ) ≤ 2 ‖ F ( x ) ‖ ∞ V ( x ) ≤ 2 β ‖ F ( x ) ‖ ∞ (2.12) 由(2.12)和(2.5)可得引理2.1，证毕。 2.3. 离散格林函数与弧长有界性 定义算子 T N 的标准线性化 T ˜ N ，其中 A ˜ N u i N = ε D − u i N + p i u i N ， p i = ∫ s = 0 1 b u ( x i ， s y i ) d s 。则对于 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N − 1 有 T ˜ N u i N = T ˜ N ( u i N − 0 → ) = T N u i N − T N 0 → = f i − ( T N 0 → ) i ，     u 0 N = u N N = 0 (2.13) 由(1.1)满足 0 < β < b u ( x ， u ) ≤ β ¯ 知 p i ≥ β ，容易验证 T ˜ N 的系数矩阵是一个M矩阵。 现在定义关于点 x j 的离散格林函数 G ( x i ， x j ) T ˜ N G ( x i ， x j ) = δ i j h i + 1 ，     G ( 0 ， x j ) = G ( 1 ， x j ) = 0 ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N − 1 (2.14) 其中 T ˜ N 作用于变量i，克罗内克函数 δ i j 的值当 i = j 时得1，当 i ≠ j 时得0。则对于每个i，我们都有 u i N = ∑ j = 1 N − 1 h j + 1 G ( x i ， x j ) [ f i − ( T N 0 → ) j ] (2.15) 现在引入格林函数的一些性质(见 [ 2 ] )： 引理2.2对于 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 且 j = 1 ， 2 ， ⋯ ， N − 1 有 0 ≤ G ( x i ， x j ) ≤ 1 β 引理2.3对于每个 j ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， N − 1 } ，有 ∑ i = 1 N − 1 | G ( x i ， x j ) − G ( x i − 1 ， x j ) | ≤ 2 β 引理2.4令 { u i N } 为任意网格 { x i } 上关于(2.4)的解， L N 为 { u i N } 函数曲线的总弧长，则有 1 ≤ L N ≤ C 2 其中， C 2 = 1 + 2 β ‖ f − T N 0 → ‖ ∞ 。 证明 首先， L N ≥ ∑ i = 1 N h i = 1 . 其次，由(2.15)和引理2.3有 L N = ∑ i = 1 N h i 1 + ( D − u i N ) 2 ≤ ∑ i = 1 N h i [ 1 + | D − u i N | ] = 1 + ∑ i = 1 N | u i N − u i − 1 N | (2.16) 因此可得 L N ≤ 1 + ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N − 1 h j + 1 | f j − ( T N 0 → ) j | ⋅ | G ( x i ， x j ) − G ( x i − 1 ， x j ) | ≤ 1 + ‖ f − ( T N 0 → ) ‖ ∞ ∑ j = 1 N − 1 h j + 1 ∑ i = 1 N | G ( x i ， x j ) − G ( x i − 1 ， x j ) | ≤ 1 + 2 β ‖ f − T N 0 → ‖ ∞ (2.17) 证毕。 2.4. 后验误差估计和等分布弧长及误差估计 定理2.5 (后验误差估计)设 f ( x ) ∈ C 1 [ 0 ， 1 ] ，则存在一个常数C，使后验界满足 ‖ u N − u ‖ ∞ ≤ 2 β max i { β ¯ | u i N − u i N − 1 | + C h i } 证明 因为 T u N − T u = L ( u N − u ) ，故由引理2.1可知 ‖ u N − u ‖ ∞ ≤ 2 β ‖ T u N − T u ‖ * (2.18) 因此，只需证 2 β ‖ T u N − T u ‖ * ≤ 2 β max i { β ¯ | u i N − u i N − 1 | + C h i } (2.19) 即可。 又因为 ‖ T u N − T u ‖ * = ‖ T u N − f ‖ * = ‖ ( A u N − F − a ) ′ ‖ * (2.20) 其中a为常数。 令 F i N = ∑ j = 1 i h j f j = ∑ j = 1 i ( A N u j N − A N u j − 1 N ) = A N u i N − A N u 0 N (2.21) a = A N u 0 N = A N u i N − F i N 则有 ‖ T u N − T u ‖ * = ‖ A u N − A N u i N + F i N − F ‖ * ≤ ‖ A u N − A N u i N + F i N − F ‖ ∞ 令 η ¯ = A u N − A N u i N ， η ˜ = F i N − F ， η = η ¯ + η ˜ ，对于 x ∈ ( x i − 1 ， x i ) ，有 | η ˜ | ≤ C 1 h i (2.22) 还有 sup x i − 1 ≤ x ≤ x i | η ¯ | = sup x i − 1 ≤ x ≤ x i | ( − ε D + u i + b ( x ， u i N ) ) − ( − ε D + u i + b ( x i ， u i N ) ) | = sup x i − 1 ≤ x ≤ x i | b ( x ， u i N ) − b ( x i ， u i N ) | = sup x i − 1 ≤ x ≤ x i | ∫ x x i d [ b ( x ， u N ( x ) ) ] d x d x | ≤ sup x i − 1 ≤ x ≤ x i ∫ x x i ( | b x ( x ， u N ( x ) ) | + | b u ( x ， u ( x ) N ) | | D − u i | ) d x ≤ h i sup x i − 1 ≤ x ≤ x i | b x ( x ， u N ( x ) ) | + β ¯ | u i N − u i − 1 N | ≤ C 2 h i + β ¯ | u i N − u i − 1 N | (2.23) 由(2.22)和(2.23)就有 ‖ η ‖ ∞ ≤ max i { β ¯ | u i N − u i − 1 N | + C h i } 则 2 β ‖ T u N − T u ‖ * ≤ 2 β max i { β ¯ | u i N − u i − 1 N | + C h i } 证毕。 又因为 2 β max i { β ¯ | u i N − u i − 1 N | + C h i } ≤ C max i ( u i N − u i − 1 N ) 2 + h i 2 = C max i h i 1 + ( D − u i N ) 2 (2.24) 故由引理2.5和(2.24)有 ‖ u N − u ‖ ∞ ≤ C max i h i 1 + ( D − u i N ) 2 (2.25) 其中不等式右侧为分段线性函数曲线从 ( x i − 1 ， u i − 1 N ) 到 ( x i ， u i N ) 的最长线段长度，为了得到更精确的近似解，应使其值尽可能小。由此引入分段线性插值 u N 的等分布弧长控制函数 M N ( x ) : = 1 + ( ( u N ) ′ ( x ) ) 2 (2.26) 令 M i = 1 + ( D − u i N ) 2 ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N (2.27) 用等分布控制函数来自适应生成网格，设 h i 为网格的宽度， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ，则有 h i M i = 1 N ∑ j = 1 N h j M j ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N (2.28) 定理2.6 (误差估计)设 { u i N } 是在满足(2.28)的自适应网格上通过方程(1.1)的离散化形式(2.4)计算而得的解，则对某常数C，有 ‖ u − u N ‖ ∞ ≤ C N − 1 证明 由 l i = L N N ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ，其中局部弧长 l i = ( x i − x i − 1 ) 2 + ( u i N − u i − 1 N ) 2 ，总弧长 L N = ∑ i = 1 N l i 。又由引理2.4，有 l i = L N N ≤ C 2 N ，再结合(2.25)，就有 ‖ u − u N ‖ ∞ ≤ C N − 1 成立。证毕。