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user: 2. 天体磁场起源新解 在阐述作者观点之前，我们先复习一下磁偶极子的概念。磁偶极子模型就是一个很小的平面载流线圈，其磁矩定义为 μ = I S ，其中I为电流强度，S为线圈回路面积， S 的方向与电流方向成右手螺旋关系。磁偶极子产生的矢势为 A ( r ) = μ 0 4 π r 2 ( μ × r ) ，       ( μ 0 = 4 π × 10 − 7 ( N / A 2 ) ) ， (2) 这里 μ 0 是真空磁导率， r 为线圈中心到测量点的矢径。由此可得磁偶极子的磁场强度为 B = ∇ × A = μ 0 4 π r 2 ( 3 ( μ ⋅ r ^ ) r ^ − μ ) + 2 μ 0 μ 3 δ 3 ( r ) ， (3) 其中， δ 3 ( r ) 是狄拉克-δ函数。由于狄拉克-δ函数在 r ≠ 0 时大小都是0，故在求远处场强时略去右边一项。但在原子尺度下的量子力学中，这一项会作出重要贡献，偶极磁场的狄拉克-δ函数项造成了原子能级分裂，因而形成了超精细结构。在天文学里，氢原子的超精细结构给出了21厘米谱线，在电磁辐射的无线电波范围，是除了3K背景辐射以外，宇宙弥漫最广阔的电磁辐射。在球坐标系中`，(3)式的磁力线方程为 d r d s = B ⇒ d r d θ = 2 r cos θ sin θ ⇔ r = R sin 2 θ . (4) 在有多个磁偶极子时，则按照叠加原理，其总磁场是每一个磁偶极子的磁场的总矢量和。要计算星球磁矩和磁场，则可以根据星球结构，选用圆环或球面作为磁偶极子微元，再用积分求出星球的整体磁矩和磁场 [ 15 ] 。星球外的磁场分布和单个磁偶极子产生的磁场很接近。 我们知道电子和质子的微观性质都是由量子力学来描述的，因此严格考察Dirac旋量与引力场的相互作用可能才是解开天体磁场秘密的关键。设时空微元为 d x = γ μ d x μ = γ μ d x μ = γ a δ X a = γ a δ X a . (5) 其中标架满足Clifford代数Cl(1，3) γ a γ b + γ b γ a = 2 η a b ，     γ μ γ ν + γ ν γ μ = 2 g μ ν ， (6) 这里 η a b = diag ( 1 ， − 1 ， − 1 ， − 1 ) 是Lorentz度规。标架系数与度规的关系式为 γ μ = h a μ γ a ，     γ μ = l μ a γ a ，     l μ a h b μ = δ b a ，     l μ a h a ν = δ μ ν ， (7) h a μ h b μ η a b = g μ ν ，     l μ a l ν b η a b = g μ ν . (8) 在 [ 16 ] 中，我们详细推导了弯曲时空中的Dirac方程，在自然单位制下我们有 α μ p ^ μ ϕ + s μ Ω μ ϕ = m γ 0 ϕ ， (9) 其中 α μ 为流算符， p ^ μ 为动量算符， s μ 为自旋算符，它们分别定义为 α μ = diag ( ρ μ ， ρ ˜ μ ) ，     p ^ μ = i ( ∂ μ + ϒ μ ) − e A μ ，     s μ = 1 2 diag ( ρ μ ， − ρ ˜ μ ) ， (10) 其中 ρ μ = h a μ σ a ， ρ ˜ μ = h a μ σ ˜ a 是弯曲时空中的Pauli矩阵。 ϒ μ 叫做Keller联络，Jaime Keller教授是已故的《Advances in Applied Clifford Algebras》原主编，创立这个期刊为推动Clifford代数的研究和应用做出了卓越的贡献。 Ω μ 是一个新的贋矢量，反映旋量自旋与引力的相互作用，其计算公式为 ϒ μ = 1 2 h a ν ( ∂ μ l ν a − ∂ ν l μ a ) ，     Ω α = 1 4 ϵ d a b c h d α h a β S b c μ ν ∂ β g μ ν ，     S a b μ ν ≡ − h [ a { μ h b ] ν } . (11) 在存在引力场时，我们得到了一个自旋-引力耦合势能项 s μ Ω μ 。在度规能够对角化的空间中，我们有 Ω μ ≡ 0 ，这时自旋与引力没有耦合作用。如果引力场由旋转的球体产生，则对应的度规和Kerr度规一样，是不可对角化的。此时自旋与引力具有非零的耦合作用，和带电粒子在磁场中的情况一样，旋量的自旋会自动沿着 Ω μ 的力线排列。如果众多带电粒子的自旋都沿着力线规则排列，就会产生宏观磁场。为了弄清楚这个磁场是否与天体磁场有关，我们来考察旋转星球的这个 Ω μ 场的力线。 旋转球体产生的度规场和Kerr度规接近，在渐近平坦空间的拟球坐标系中我们有距离公式 [ 17 ] d x 2 = U ( d t + W d φ ) 2 − V ( d r 2 + r 2 d θ 2 ) − U − 1 r 2 sin 2 θ d φ 2 ， (12) 其中 ( U ， V ， W ) 只是 ( r ， θ ) 的函数。当 r → ∞ 时有 U = 1 − 2 m r ，     W → 4 L r sin 2 θ ，     V → 1 + 2 m r ， (13) 其中m是星球的质量，L是星球的角动量。对普通星球总有 r ≫ m ≫ L ，例如对太阳而言m约为3 km。(12)对应的非零标架系数为 { l t 0 = U ，     l r 1 = V ，     l θ 2 = r V ，     l φ 3 = r sin θ U ，     l φ 0 = U W ， h 0 t = 1 U ，     h 1 r = 1 V ，     h 2 θ = 1 r V ，     h 3 φ = U r sin θ ，     h 3 t = − U W r sin θ . (14) 代入(11)式计算得 Ω α = h 0 t h 1 r h 2 θ h 3 φ ( 0 ， ∂ θ g t φ ， − ∂ r g t φ ， 0 ) = ( V r 2 sin θ ) − 1 ( 0 ， ∂ θ ( U W ) ， − ∂ r ( U W ) ， 0 ) → 4 L r 4 ( 0 ， 2 r cos θ ， sin θ ， 0 ) . (15) 由(15)可知，贋矢量 Ω α 的场强正比于星球的角动量L，也就是说带电粒子的自旋–引力耦合势能绝对值正比于星球角动量。我们再来看 Ω α 的力线分布情况，由(15)有 d x μ d s = Ω μ ⇒ d r d θ = 2 r cos θ sin θ ⇔ r = R sin 2 θ . (16) (16)表明 Ω α 的力线分布和磁偶极子(3)的磁力线(4)竟然是一样的。根据以上结论我们得知，带电粒子的自旋-引力耦合势能一定会诱导出星球的宏观偶极矩磁场，并且应该近似符合Schuster-Wilson-Blackett关系。 至此，关于星球磁场我们还有两个问题需要说明：一是怎么理解星球的磁偶极子方向与角动量方向总是有所偏离？二是怎么理解同类型热星球的磁偶极矩与角动量成负相关的关系( [ 5 ] 中的图6、7、8)。我们上面的分析，实际上只考虑了集中参数的简化模型，也就是只考虑了星球的总质量m和总角动量L，而没有考虑星球内密度、温度和速度等参量的分布情况。这些因素显然会对星球的磁场强度和分布造成重大影响，例如温度反映粒子的运动剧烈程度，高温必然会减低自旋排列的有序性，从而降低星球的磁偶极矩强度，所以星球磁场随温度升高会相对减弱。更为细致的研究显然应该包含星球内密度、速度、温度和压力等物理参数，考虑这些参数的分布情况后，我们有望得到更准确符合观察数据的星球磁场模型。此外旋转天体的度规场是非对角的，这会产生一定的动力学效应，星球磁偶极子相对自转轴的进动应该也是一个相对论效应，这一点也需要进行更细致的动力学分析才能明确。综合考虑这些因素后，应该是可以澄清上述两个问题的。