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user: 4. 特征根不同号 在这一节，我们研究方程(1.4)在特征根不同号情况下的反转解。 引理4.1 (定理4.1， [ 12 ]) 设 1 < − r 1 < r 2 < r 3 ( 1 < r 2 < − r 1 < r 3 ， 1 < r 2 < r 3 < − r 1 ， 0 < − r 1 < 1 < r 2 < r 3 )。 i) 若 是方程(1.4)的严格递增解，则f是引理3.1中给出的解。 ii) 若 f : ℝ → ℝ 是方程(1.4)的严格递减解，则 f ( x ) = r 1 x 。 定理4.1 设 1 < − r 1 < r 2 < r 3 ( 1 < r 2 < − r 1 < r 3 ， 1 < r 2 < r 3 < − r 1 ， 0 < − r 1 < 1 < r 2 < r 3 )，方程(1.4)无反转解。 证明 若 f : ℝ → ℝ 是方程(1.4)的严格递增解，根据引理3.1知f不是对称的，因此不是反转解。 若 f : ℝ → ℝ 是方程(1.4)的严格递减解，根据引理4.1有 f ( x ) = r 1 x 。注意到 f ( x ) = r 1 x 不是对合的，因而不是反转解。 例4.1 考虑迭代方程 f 3 ( x ) − 6 f 2 ( x ) − f ( x ) + 30 x = 0 ， (4.1) 特征方程 r 3 − 6 r 2 − r + 30 = 0 的特征根 r 1 : = − 2 ，   r 2 : = 3 ，   r 2 : = 3. 利用定理4.1，得到方程(4.1)无反转解。 注4.1 若 0 < − r 1 < r 2 < r 3 < 1 ( 0 < r 2 < r 1 < r 3 < 1 ， 0 < r 2 < r 3 < − r 1 < 1 ， 0 < r 2 < r 3 < 1 < − r 1 )，考虑方程(1.4)的对偶方程，由定理4.1得到方程(1.4)的每一个 C 0 解 f : ℝ → ℝ 都不是反转解。 引理4.2 (定理2， [ 13 ]；定理2， [ 4 ]) 设 0 < r 1 < 1 < r 2 。 i) 若 f : ℝ → ℝ 是方程(3.1)的 C 0 解，则f严格递增。若f有不动点，则 时， f ( x ) = r i x ；当 x < 0 时， f ( x ) = r j x ，其中 i ， j = 1 ， 2 。 ii) 方程(3.1)的每一个无不动点的 C 0 解 f : ℝ → ℝ 由任意的初始函数确定。 引理4.3 (定理4.2， [ 12 ]) 设 0 < − r 1 < r 2 < 1 < r 3 ( 0 < r 2 < − r 1 < 1 < r 3 )。 i) 若 是方程(1.4)的严格递增解，则f由引理4.2给出。 ii) 若 f : ℝ → ℝ 是方程(1.4)的严格递减解，则 f ( x ) = r 1 x 。 定理4.2 设 0 < − r 1 < r 2 < 1 < r 3 ( 0 < r 2 < − r 1 < 1 < r 3 )。 i) 方程(1.4)除 f ( x ) = r 1 x ，   i = 2 ， 3 之外的所有严格递增的解都是反转解，并且可以由引理4.2构造。 ii) 方程(1.4)的唯一严格递减解 f ( x ) = r 1 x 不是反转解。 证明 i) 根据引理4.3，方程(1.4)的严格递增的解f由引理4.2给出并构造。若f没有不动点，则f是对称的，因而是反转的。若f有唯一不动点0，则f属于下面的四种情况之一 f ( x ) : = { r 2 x ，       x ≥ 0 ， r 3 x ，       x < 0 ， (4.2) f ( x ) : = { r 2 x ，       x < 0 ， r 3 x ，       x ≥ 0 ， (4.3) f ( x ) = r 2 x 或 f ( x ) = r 3 x ，其中 x ∈ ℝ 。函数(4.2)和(4.3)是对称的，然而 f ( x ) = r i x ，   i = 2 ， 3 是不对称的，因此(4.2)和(4.3)是反转解，而 f ( x ) = r i x ，   i = 2 ， 3 不是反转解。 ii) 如果f是方程(1.4)的 C 0 严格递减解，引理4.3说明 f ( x ) = r 1 x 。因为 f ( x ) = r 1 x 不是对合的，所以 f ( x ) = r 1 x 不是反转解。 注4.2 若 0 < r 2 < 1 < r 3 < − r 1 ( 0 < r 2 < − r 1 < 1 < r 3 )，考虑方程(1.4)的对偶方程，得到与定理4.2相似的结果。 引理4.4 (定理3，定理4， [ 13 ]；定理3，定理5， [ 4 ]) 设 r 1 < r 2 < − 1 (或 − 1 < r 1 < r 2 < 0 ，或 r 1 < − 1 < r 2 < 0 )。若 f : ℝ → ℝ 是方程(3.1)的 C 0 解，则f严格递减，且有唯一不动点0，并且满足双边Lipschitz条件 r 1 ≤ f ( x ) − f ( x ′ ) ( x − x ′ ) ≤ r 2 ， r 1 ， r 2 ∈ ℝ 且 r 1 ≠ r 2 . 引理4.5 (定理4.3， [ 12 ]) 设 1 < − r 1 < − r 2 < r 3 ( 1 < − r 1 < r 3 < − r 2 ， 1 < r 3 < − r 1 < − r 2 ， 0 < r 3 < 1 < − r 1 < − r 2 )。 i) 若 f : ℝ → ℝ 是方程(1.4)的严格递增解，则 f ( x ) = c 。 ii) 如果 f : ℝ → ℝ 是方程(1.4)的严格减解，则f由引理4.4给出。 定理4.3 设 1 < − r 1 < − r 2 < r 3 ( 1 < − r 1 < r 3 < − r 2 ， 1 < r 3 < − r 1 < − r 2 ， 0 < r 3 < 1 < − r 1 < − r 2 )，则方程(1.4)无反转解。 证明：由引理4.5可知，方程(1.4)存在唯一的 C 0 严格递增解 f ( x ) = r 3 x ，注意到 f ( x ) = r 3 x 不是对称的，引理2.4说明其不是反转解。若f是方程(1.4)的严格递减解，则由引理4.4-4.5可以构造f。注意到 f ≠ − i d ，根据引理2.3和引理2.5说明f不是反转的。 注4.3 若 1 < − r 1 < − r 2 < r 3 ( 1 < − r 1 < r 3 < − r 2 ， 1 < r 3 < − r 1 < − r 2 ， 0 < r 3 < 1 < − r 1 < − r 2 )，考虑方程(1.4)的对偶方程，可知方程(1.4)无反转解。 引理4.6 (定理4.4， [ 12 ]) 设 0 < − r 1 < 1 < − r 2 < r 3 ( 0 < − r 1 < 1 < r 3 < − r 2 )。 i) 若 f : ℝ → ℝ 是方程(1.4)的严格递增解，则 f ( x ) = r 3 x 。 ii) 若 f : ℝ → ℝ 是方程(1.4)的严格递减解，则 f ( x ) = r 1 x 或 f ( x ) = r 2 x 。 定理4.4 设 0 < − r 1 < 1 < − r 2 < r 3 ( 0 < − r 1 < 1 < r 3 < − r 2 )，则方程(1.4)无反转解。 证明 根据引理4.6，方程(1.4)有唯一的严格递增解 f ( x ) = r 3 x ，此解是非对称的，因而不是反转的。 若f是方程(1.4)的严格递减解，引理4.6说明 f ( x ) = r 1 x 或 f ( x ) = r 2 x 。注意到 f ( x ) = r 1 x 或 f ( x ) = r 2 x 都不等于−id，由引理2.5知f不是反转的。 注4.4 若 0 < r 3 < − r 1 < 1 < − r 2 ( 0 < − r 1 < r 3 < 1 < − r 2 )，考虑方程(1.4)的对偶方程，因此方程(1.4)无反转解。