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user: 3. 有限单群共轭类长 根据单群分类定理，有限非交换单群为以下群之一：离散单群、交错群、李型单群以及Tits单群，详见 [ 8 ] 。 3.1. 离散单群与Tits单群 命题3.1：设S为离散单群或Tits单群，则S至少有两个长度相同的共轭类。 证明：根据GAP [ 9 ] 直接验证可得，具体如表1。 □ 3.2. 交错群共轭类长 命题3.2：对于任意的 n ≥ 5 ，交错群 A n 至少有两个长度相同的共轭类。 证明：当n为奇数时，令 σ = ( 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ，则 C A n ( σ ) = 〈 σ 〉 ，从而 C A n ( σ ) 中不含有奇置换。根据引理2.6， K σ 在 A n 中分裂为长度相同的两个共轭类；当n为偶数时，令 σ 1 = ( 1 ， ⋯ ， n − 2 ， n − 1 ) ， σ 2 = ( 1 ， ⋯ ， n − 2 ， n ) ， 则 | C A n ( σ 1 ) | = | C A n ( σ 2 ) | ，此时 A n 也有两个长度相同的共轭类 σ 1 A n 与 σ 2 A n 。命题得证。 □ Table 1 Conjugate class lengths of discrete singletons and Tits singletons with multiplicities of at least 离散单群 共轭类长 离散单群 共轭类长 离散单群 共轭类长 M 11 720 C o 1 106609661 706240000 R u 5031936000 M 12 8640 C o 2 1410180710400 S u z 21349785600 M 22 40320 C o 3 20656944000 O ′ N 14865016320 M 23 443520 F i 22 1345036492800 H N 6825772800000 M 24 10644480 F i 23 104858217 263923200 L y 772614612000000 J 1 9340 F i 24 116222750850 98719641600 T h 2326819074048000 J 2 40320 H S 2217600 B 9032133654840056 9373425664000000 J 3 3684840 M c L 29937600 M 67900623932312006377013437 39174039974838272000000000 J 4 1314781379486023680 H e 143942400 F 2 4 ( 2 ) ′ 1123200 表1. 离散单群与Tits单群重数至少为2的共轭类长 3.3. 李型单群的共轭类长 本节我们考察李型单群的共轭类长。李型单群共有16族，其中典型单群为 A l ( q ) 其中 l ≥ 1 且 ( l ， q ) ≠ ( 1 ， 2 ) ， ( 1 ， 3 ) ， A 2 l ( q 2 ) 其中 l ≥ 2 且 ( l ， q ) ≠ ( 2 ， 2 ) ， B l ( q ) 其中 l ≥ 2 、 C l ( q ) 其中 l > 2 、 D l ( q ) 其中 l ≥ 4 、 D 2 l ( q 2 ) 其中 l ≥ 3 ； 例外单群为 G 2 ( q ) 其中 q > 2 ， D 3 4 ( q 3 ) ， F 4 ( q ) ， E 6 ( q ) ， E 2 6 ( q 2 ) ， E 7 ( q ) ， E 8 ( q ) ， G 2 2 ( q 2 ) 其中 q 2 = 3 2 m + 1 > 3 ， B 2 2 ( q 2 ) 其中 q 2 = 2 2 m + 1 > 2 ， F 2 4 ( q 2 ) 其中 q 2 = 2 2 m + 1 > 2 。 引理3.3.1：设 S = A l ( q ) ，其中 ( l ， q ) ≠ ( 1 ， 2 ) ， ( 1 ， 3 ) ， q > 1 是素数p的方幂，则S至少有两个长度相同的共轭类。 证明：注意到 S = A l ( q ) ≅ P S L l + 1 ( q ) 。根据( [ 6 ] ，引理17)，令 q = p f ，其中f为正整数。记 F q a 是有 q a 个元素的有限域， F q a * 为 F q a 的乘法群。由有限域的乘法群为循环群，记 σ 为 F q l + 1 * 的生成元，则 F q l + 1 * = 〈 σ 〉 ， o ( σ ) = q l + 1 − 1 。令 F p ¯ 为 F p 的代数闭包。令G为域 F p ¯ 上的 A l 型单的单连通代数群，F为G中Frobenius自同态，并记 G ^ : = G F 为F作用下的有限不动点群， G ^ : = G F = S L l + 1 ( q ) 。记 ( G * ， F * ) 为 ( G ， F ) 的对偶，则 G ^ * = G * F * = P G L l + 1 ( q ) 。 令 M ∈ G ^ * ， M = d i a g ( τ ， τ q ， ⋯ ， τ q l ) ，其中 τ = σ q − 1 ，则 o ( τ ) = o ( σ q − 1 ) = o ( σ ) ( o ( σ ) ， q − 1 ) = q l + 1 − 1 q − 1 。 令 Z = Z ( G L ) 且 ¯ : G L l + 1 ( F p ¯ ) → G * 为自然同态，即 ¯ : G L l + 1 ( F p ¯ ) → G L l + 1 ( F p ¯ ) Z ( G L l + 1 ( F p ¯ ) ) = P G L l + 1 ( F p ¯ ) = G * ， 则 M ¯ = M Z ， 〈 M ¯ 〉 = 〈 M Z 〉 = 〈 M 〉 Z Z ≅ 〈 M 〉 〈 M 〉 ∩ Z 。已知 | 〈 M 〉 ∩ Z | = gcd ( l + 1 ， q − 1 ) ，则 ， 即得 o ( M ¯ ) = q l + 1 − 1 ( q − 1 ) gcd ( l + 1 ， q − 1 ) 。 又 ，那么 M ¯ 在 G * 及 G ^ * 共轭类相交非空。在它们交集中选取半单元素s， s ∈ ( M ¯ G * ) F * 且 o ( s ) = o ( M ¯ ) ，则s最多共轭于 l + 1 个在 G * 的s的幂，因此对于在 G ^ * 中s的本原方幂至少有 ϕ ( q l + 1 − 1 ( q − 1 ) gcd ( l + 1 ， q − 1 ) ) / ( l + 1 ) 个共轭类，又 | M | = 1 ，则 s ∈ S = P S L l + 1 ( q ) 。而 P S L l + 1 ( q ) ⊲ G ^ * ，故 s G ^ * ⊆ P S L l + 1 ( q ) 。 要证S至少有两个长度相同的共轭类，即要证 ϕ ( q l + 1 − 1 ( q − 1 ) gcd ( l + 1 ， q − 1 ) ) / ( l + 1 ) ≥ 2 ， 而这等价于证明 ϕ ( q l + 1 − 1 ( q − 1 ) gcd ( l + 1 ， q − 1 ) ) ≥ 2 ( l + 1 ) . 记 n = q l + 1 − 1 ( q − 1 ) gcd ( l + 1 ， q − 1 ) ，由引理2.1，2.2可知 ϕ ( n ) 2 > 2 n > 4 ( l + 1 ) 2 。易知 ϕ ( n ) l + 1 > 2 ，故S至少有两个长度相同的共轭类，除了下列情况： n ≤ 19 及 ( l ， q ) 为下列形式： ( 2 ， 4 ) ， ( 2 ， 5 ) ， ( 2 ， 7 ) ， ( 2 ， 9 ) ， ( 2 ， 11 ) ， ( 2 ， 13 ) ， ( 3 ， 2 ) ， ( 3 ， 3 ) ， ( 3 ， 4 ) ， ( 4 ， 2 ) ， ( 4 ， 3 ) ， ( 5 ， 2 ) ， ( 6 ， 2 ) . 对于这些例外情形，可以直接用GAP验证 ϕ ( n ) l + 1 ≥ 2 ，从而引理得证。 □ 引理3.3.2：设 S = A 2 l ( q ) ，其中 l > 1 ， q > 1 是素数p的方幂且 ( l ， q ) ≠ ( 2 ， 2 ) ，则S至少有两个长度相同的共轭类。 证明：注意到 又称 A 2 l ( q 2 ) ， P S U l + 1 ( q ) ， P S U ( l + 1 ， q ) ， U l + 1 ( q ) ， A 2 l ( q ， q 2 ) ，那么算 A 2 l ( q ) 的共轭类及其长度，即算 U l + 1 ( q ) 的共轭类及其长度。若 为奇数，令 ω 为 F q 2 ( l + 1 ) * 的生成元。 F q 2 ( l + 1 ) * = 〈 ω 〉 ， o ( ω ) = q 2 ( l + 1 ) − 1 ，定义 τ = { σ q + 1         若 l 为 奇 ω ( q l + 1 − 1 ) ( q + 1 ) 若 l 为 偶 ，则当l为奇数时， o ( τ ) = o ( σ q + 1 ) = o ( σ ) ( 0 ( σ ) ， q + 1 ) = q l + 1 − 1 q + 1 ; 当l为偶数时， o ( τ ) = o ( ω ( q l + 1 − 1 ) ( q + 1 ) ) = o ( ω ) ( o ( ω ) ， ( q l + 1 − 1 ) ( q + 1 ) ) = q 2 ( l + 1 ) − 1 ( q l + 1 − 1 ) ( q + 1 ) = q l + 1 + 1 q + 1 . 即 o ( τ ) = q l + 1 − ( − 1 ) l + 1 q + 1 。令 N = d i a g ( τ ( − q ) 0 ， τ ( − q ) 1 ， ⋯ ， τ ( − q ) l ) ，则 | N | = 1 ，从而 N ∈ U l + 1 ( q ) 。 令 n = q l + 1 − ( − 1 ) l + 1 ( q + 1 ) ( l + 1 ， q + 1 ) ，由引理2.3可知， ϕ ( n ) 2 > ( l + 1 ) 2 ，从而 ϕ ( n ) l + 1 > 2 。因此S至少有2个长度相同的共轭类，除非 ( l + 1 ， q ) 为下列形式： ( 3 ， 2 ) ， ( 4 ， 2 ) ， ( 5 ， 2 ) ， ( 6 ， 2 ) ， ( 7 ， 2 ) ， ( 8 ， 2 ) ， ( 9 ， 2 ) ， ( 3 ， 3 ) ， ( 4 ， 3 ) ， ( 3 ， 4 ) ， ( 5 ， 4 ) ， ( 3 ， 5 ) 。而对于这些例外情形，利用GAP直接验证可得当 ( l + 1 ， q ) 为 ( 5 ， 2 ) ， ( 7 ， 2 ) ， ( 8 ， 2 ) ， ( 9 ， 2 ) ， ( 3 ， 3 ) ， ( 3 ， 4 ) ， ( 5 ， 4 ) ， ( 3 ， 5 ) 时 ϕ ( n ) l + 1 ≥ 2 。对于剩余情形，即 ( l + 1 ， q ) = ( 3 ， 2 ) ， ( 4 ， 2 ) ， ( 6 ， 2 ) 或 ( 4 ， 3 ) ， 运行GAP程序可知 A 2 3 ( 2 2 ) = U 4 ( 2 ) 有两个长度为40的共轭类； A 2 3 ( 3 2 ) = U 4 ( 3 ) 有两个长度为3360的共轭类； A 2 5 ( 2 2 ) = U 6 ( 2 ) 有两个长度为1774080的共轭类。又由于 A 2 2 ( 2 2 ) 可解无需考虑，故引理得证。 □ 引理 3.3.3. 设 S = B l ( q ) ，其中 l > 1 ， q > 1 是素数p的方幂且 ( l ， q ) ≠ ( 2 ， 2 ) ，则S至少有两个长度相同的共轭类。 证明： B l ( q ) 又称 O 2 l + 1 ( q ) 或 P S O 2 l + 1 ( q ) ，求 B l ( q ) 共轭类及其长度即求 P S O 2 l + 1 ( q ) 共轭类及其长度。令 G = P S O 2 l + 1 ( q ) ，根据( [ 7 ] ，推论3.4)在G中包含一个半单元素s，且 o ( s ) = q l − 1 2 ，对于 〈 s 〉 ，有 o ( 〈 s 〉 ) = ϕ ( q l − 1 2 ) 个生成元，则s至多共轭于 2 l + 1 个s的方幂。则s的本原方幂至少有 ϕ ( q l − 1 2 ) 2 l + 1 个共轭类，即 ϕ ( q l − 1 ) 2 ( 2 l + 1 ) 个共轭类，下证 ϕ ( q l − 1 ) 2 ( 2 l + 1 ) ≥ 2 。 由( [ 6 ] ，引理6)易知， ϕ ( q l − 1 ) 2 ( 2 l + 1 ) ≥ 24 ( l + 1 ) 2 ( 2 l + 1 ) > 6 ≥ 2 ，除非 为下列形式： 1) l = 2 ， q ∈ { 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 7 ， 8 ， 9 ， 11 ， 13 } ； 2) l = 3 ， q ∈ { 2 ， 3 ， 4 ， 5 } ； 3) l ∈ { 4 ， 5 } ， q ∈ { 2 ， 3 } ； 4) l ∈ { 6 ， 7 ， 8 } ， q = 2 ，若 ϕ ( q l − 1 ) 2 ( 2 l + 1 ) > 1 ，则结论成立；对于 ϕ ( q l − 1 ) 2 ( 2 l + 1 ) ≤ 1 的情况，即 ( l ， q ) = ( 2 ， 2 ) ， ( 2 ， 3 ) ， ( 2 ， 4 ) ， ( 2 ， 5 ) ， ( 3 ， 2 ) ， ( 3 ， 3 ) 或 ( 4 ， 2 ) 。 运行GAP程序可知 P S O 5 ( 2 ) 有2个长度为40的共轭类、 P S O 5 ( 3 ) 共轭类长度为40的重数大于2、 P S O 5 ( 4 ) 共轭类长度为255的重数大于2、 P S O 5 ( 5 ) 共轭类长度为13，000的重数大于2、 P S O 7 ( 2 ) 共轭类长度为13，000的重数大于2、 P S O 7 ( 3 ) 共轭类长度为262，080的重数大于2、 P S O 9 ( 2 ) 共轭类长度为13，000的重数大于2，即 B l ( q ) 至少有两个长度相同的共轭类。故引理得证。□ 引理3.3.4：设 S = C l ( q ) ，其中 l > 2 ， q > 1 是素数p的方幂，则S至少有两个长度相同的共轭类。 证明： C l ( q ) 又称 P S P 2 l ( q ) 、 S 2 l ( q ) ，求 C l ( q ) 共轭类及其长度即求 P S P 2 l ( q ) 共轭类及其长度。令 G = P S P 2 l ( q ) ，根据( [ 7 ] ，推论3.4)，在G中包含一个半单元素s，且 o ( s ) = q l − 1 2 ，对于 〈 s 〉 有 ϕ ( 〈 s 〉 ) = ϕ ( q l − 1 2 ) 个生成元，则s至多共轭于 2 l 个s的方幂。则s的本原方幂至少有 ϕ ( q l − 1 2 ) 2 l 个共轭类，即 ϕ ( q l − 1 ) 4 l 个共轭类，下证 ϕ ( q l − 1 ) 4 l ≥ 2 。 根据( [ 6 ] ，引理6)易知， ϕ ( q l − 1 ) 4 l ≥ 24 ( l + 1 ) 4 l > 6 > 1 ，除非 ( l ， q ) 为下列形式： 1) l = 2 ， q ∈ { 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 7 ， 8 ， 9 ， 11 ， 13 } ； 2) l = 3 ， q ∈ { 2 ， 3 ， 4 ， 5 } ； 3) l ∈ { 4 ， 5 } ， q ∈ { 2 ， 3 } ； 4) l ∈ { 6 ， 7 ， 8 } ， q = 2 ，若 ϕ ( q l − 1 ) 2 ( 2 l + 1 ) > 1 则结论成立；对于 ϕ ( q l − 1 ) 2 ( 2 l + 1 ) ≤ 1 的情况，即 ( l ， q ) = ( 3 ， 2 ) ， ( 3 ， 3 ) 或 ( 4 ， 2 ) 。 运行GAP程序可知 P S P 6 ( 2 ) 共轭类长度为7560的重数至少为2； P S P 6 ( 3 ) 共轭类长度为364的重数至少为2； P S P 8 ( 2 ) 共轭类长度为514，080的重数至少为2。即 C l ( q ) 有两个不同的共轭类长度相同。故引理得证。 □ 引理3.3.5：设 S = D l ( q ) ，其中 l > 3 ， q > 1 是素数p的方幂，则S至少有两个长度相同的共轭类。 证明： D l ( q ) 又称 P S O 2 l + ( q ) 、 O 2 l + ( q ) ，求 D l ( q ) 共轭类及其长度即求 P S O 2 l + ( q ) 共轭类及其长度。令 G = P S O 2 l + ( q ) ，根据( [ 7 ] ，推论3.4)，在G中包含一个半单元素s，且 o ( s ) = q l − 1 2 ，对于 〈 s 〉 ，有 ϕ ( 〈 s 〉 ) = ϕ ( q l − 1 2 ) 个生成元，则s至多共轭于 2 l 个s的方幂。则s的本原方幂至少有 ϕ ( q l − 1 2 ) 2 l 个共轭类，即 ϕ ( q l − 1 ) 4 l 个共轭类，下证 ϕ ( q l − 1 ) 4 l ≥ 2 。 根据( [ 6 ] ，引理6)易知， ϕ ( q l − 1 ) 4 l ≥ 24 ( l + 1 ) 4 l > 6 > 1 ，除非 ( l ， q ) 为下列形式： 1) l = 2 ， q ∈ { 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 7 ， 8 ， 9 ， 11 ， 13 } ； 2) l = 3 ， q ∈ { 2 ， 3 ， 4 ， 5 } ； 3) l ∈ { 4 ， 5 } ， q ∈ { 2 ， 3 } ； 4) l ∈ { 6 ， 7 ， 8 } ， q = 2 ，若 ϕ ( q l − 1 ) 2 ( 2 l + 1 ) > 1 则结论成立；对于 ϕ ( q l − 1 ) 2 ( 2 l + 1 ) ≤ 1 的情况，即 ( l ， q ) = ( 4 ， 2 ) ， 运行GAP程序可知在 P S O 8 + ( 2 ) 共轭类长度为3780的重数至少为2。即 D l ( q ) 有两个不同的共轭类长度相同，引理得证。 □ 引理3.3.6：设 S= D 2 l ( q 2 ) ，其中 l > 3 ， q > 1 是素数p的方幂，则S至少有两个长度相同的共轭类。 证明： 又称 P S O 2 l − ( q ) ，求 D 2 l ( q 2 ) 共轭类及其长度即求 P S O 2 l − ( q ) 共轭类及其长度。令 G = P S O 2 l − ( q ) ，根据( [ 7 ] ，推论3.4)，在G中包含一个半单元素s，且 o ( s ) = q l − 1 − 1 2 ，对于 〈 s 〉 ，有 ϕ ( 〈 s 〉 ) = ϕ ( q l − 1 − 1 2 ) 个生成元，则s至多共轭于 2 l 个s的方幂。则s的本原方幂至少有 ϕ ( q l − 1 − 1 2 ) 2 l 个共轭类，即 ϕ ( q l − 1 − 1 ) 4 l 个共轭类，下证 ϕ ( q l − 1 − 1 ) 4 l ≥ 2 。 根据( [ 6 ] ，引理6)易知， ϕ ( q l − 1 − 1 ) 4 l ≥ 24 l 4 l > 6 > 1 ，除非 ( l ， q ) 为下列形式 1) l = 2 ， q ∈ { 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 7 ， 8 ， 9 ， 11 ， 13 } ； 2) l = 3 ， q ∈ { 2 ， 3 ， 4 ， 5 } ； 3) l ∈ { 4 ， 5 } ， q ∈ { 2 ， 3 } ； 4) l ∈ { 6 ， 7 ， 8 } ， q = 2 ，若 ϕ ( q l − 1 ) 2 ( 2 l + 1 ) > 1 则结论成立；对于 ϕ ( q l − 1 ) 2 ( 2 l + 1 ) ≤ 1 的情况，即 ( l ， q ) = ( 4 ， 2 ) ， ( 4 ， 3 ) 或 ( 5 ， 2 ) ， 运行GAP程序可知在 P S O 8 − ( 2 ) 共轭类长度为9，400，320的重数至少为2、 P S O 8 − ( 3 ) 共轭类长度为268，632的重数至少为2、 P S O 10 − ( 2 ) 共轭类长度为609，280的重数至少为2。即 D 2 l ( q 2 ) 有两个不同的共轭类长度相同，引理得证。 □ 引理3.3.7：设 S = G 2 ( q ) ，其中 q > 2 是素数p的方幂，则S至少有两个长度相同的共轭类。 证明：当 p > 3 ，则由( [ 11 ] ， p. 409)， G 2 ( q ) 有两个不同的共轭类 K 3 ， 3 ， i ，其长度为 q 6 ( q 6 − 1 ) ( q 2 − 1 ) 3 q 2 ； 当 p = 3 ，则由( [ 12 ] ，p. 239，表VII-1)， G 2 ( q ) 有 q ( q + 1 ) 6 个不同的共轭类，其中 q ( q + 1 ) 6 ≥ 2 ，则有至少两个不同的共轭类 h i ( i ， q i ， q 2 i ) ，长度为 q 6 ( q 6 − 1 ) ( q 2 − 1 ) / 1 6 q ( q + 1 ) ； 当 p = 2 ， G 2 ( q ) 非单，无需考虑，当 q > 2 时，由( [ 13 ] ，p. 364，表IV-1)， G 2 ( q ) 有 q 2 ≥ 2 个不同的共轭类 h η ( i ， − i ， 0 ) ，长度为 q 6 ( q 6 − 1 ) ( q 2 − 1 ) / q ( q + 1 ) ( q 2 − 1 ) ，引理得证。 □ 引理3.3.8：群 F 4 ( q ) 至少有两个长度相同的共轭类，其中 q > 1 是素数p的方幂。 证明：根据 [ 14 ] 可知，当 q ≡ 1 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11 ( mod 12 ) 时，群 F 4 ( q ) 有 1 2 ( q + 1 ) ≥ 2 个不同的共轭类，它们的长度相同；当时 q ≡ 4 ， 8 ( mod 12 ) 时，群 F 4 ( q ) 有 1 2 q ≥ 2 个不同的共轭类，它们的长度相同。下设 q = 2 ， 3 。当 q = 2 时，运行GAP可知，此时群 F 4 ( 2 ) 至少有两个不同的共轭类，它们的长度相同，为69615。当 q = 3 时，同样根据 [ 14 ] 可知，群 F 4 ( 3 ) 至少有 1 6 q ( q + 1 ) ≥ 2 个不同的共轭类，它们的长度相同。引理得证。 □ 引理3.3.9：设 S = E 6 ( q ) ，其中 q > 1 是素数p的方幂，则S至少有两个长度相同的共轭类。 证明：根据 [ 14 ] 可知，当 q ≡ 1 ， 3 ， 5 ( mod 6 ) 时，群 E 6 ( q ) 有 1 2 ( q − 1 ) ≥ 2 个不同的共轭类，它们的长度相同；当 q ≡ 2 ， 4 ( mod 6 ) 时，群 E 6 ( q ) 有 1 2 q ≥ 2 个不同的共轭类，它们的长度相同。下设 q = 2 ，由 [ 14 ] 另一数据可知，此时群 E 6 ( 2 ) 至少有 1 6 q 2 ϕ ( 1 ) ϕ ( 2 ) ≥ 2 不同的共轭类，它们的长度相同，GAP运行得为共轭类长度为136592595114393600。当 q = 3 时，同样根据 [ 14 ] 可知，群 E 6 ( 3 ) 至少有 1 6 q 2 ϕ ( 1 ) ϕ ( 2 ) ≥ 2 个不同的共轭类，它们的长度相同。由此引理得证。 □ 引理3.3.10：设 S = E 2 6 ( q 2 ) ，其中 q > 1 是素数p的方幂，则S至少有两个长度相同的共轭类。 证明：根据 [ 14 ] 可知，当 q ≡ 1 ， 3 ， 5 ( mod 6 ) 时，群 E 2 6 ( q 2 ) 有 1 2 ( q − 1 ) ≥ 2 个不同的共轭类，它们的长度相同；当 q ≡ 2 ， 4 ( mod 6 ) 时，群 E 2 6 ( q 2 ) 有 1 2 q ≥ 2 个不同的共轭类，它们的长度相同。下设 q = 2 ，由 [ 14 ] 另一数据可知，此时群 E 2 6 ( q 2 ) 至少有 q ≥ 2 不同的共轭类，它们的长度相同，运行GAP程序得共轭类长度为96543730483200；当 q = 3 ，由 [ 14 ] 另一数据可知，此时群 E 2 6 ( q 2 ) 至少有 q ≥ 2 不同的共轭类，它们的长度相同。故引理得证。 □ 引理3.3.11：群 E 7 ( q ) 至少有两个长度相同的共轭类，其中 q > 1 是素数p的方幂。 证明：对于 E 7 ( q ) ，根据 [ 14 ] 可知，当 q ≡ 1 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11 ( mod 12 ) 时，群 E 7 ( q ) 有 1 2 ( q − 1 ) ≥ 2 个不同的共轭类，它们的长度相同。当 q ≡ 4 ， 8 ( mod 12 ) 时，群 E 7 ( q ) 有 1 2 q ≥ 2 个不同的共轭类。下面考虑 q = 2 ， 3 ，当 q = 3 时，根据 [ 14 ] 另一张表格可知，群 E 7 ( 3 ) 有 1 6 q ( q + 1 ) ≥ 2 个不同的共轭类，它们的长度相同。当 q = 2 时，根据 [ 14 ] 可知有531个共轭类，有两个元素中心化子的阶为 2 26 ⋅ 3 4 ⋅ 5 ⋅ 7 ，则 E 7 ( 2 ) 至少有两个不同的共轭类，它们的长度相同。故引理得证。□ 引理3.3.12：群 E 8 ( q ) 至少有两个长度相同的共轭类，其中 q > 1 是素数p的方幂。 证明：对于 E 8 ( q ) ，根据文献 [ 14 ] 可知， 当 q ≡ 1 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11 ， 13 ， 17 ， 19 ， 21 ， 23 ， 25 ， 27 ， 29 ， 31 ， 37 ， 41 ， 43 ， 47 ， 49 ， 53 ， 59 ( mod 60 ) 时，群 E 8 ( q ) 有 1 2 ( q − 1 ) ≥ 2 个不同的共轭类，它们的长度相同。当 q ≡ 4 ， 8 ， 16 ， 32 ( mod 60 ) 时，群 E 8 ( q ) 有 1 2 q ≥ 2 个不同的共轭类。当 q = 3 时，根据文献 [ 14 ] 另一张表格可知，群 E 8 ( q ) 有 1 6 q ( q + 1 ) ≥ 2 个不同的共轭类，它们的长度相同。当 q = 2 时，根据文献 [ 14 ] 可知， E 8 ( q ) 至少有两个不同的共轭类，它们的长度相同。引理得证。 □ 引理3.3.13：群 D 3 4 ( q 3 ) 至少有两个长度相同的共轭类，其中 q > 1 是素数p的方幂。 证明：对于 D 3 4 ( q 3 ) ，根据( [ 18 ] ，p. 53，表4.4)可知，其中心化子的阶为 ( q 3 + 1 ) ( q 2 − q + 1 ) ( q 4 − q 2 + 1 ) ， 当q为偶数时，重数为 1 2 ( q 2 + q ) ≥ 1 2 ( 2 2 + 2 ) = 3 ; 当q为奇数时，重数为 1 2 ( q 2 + q ) ≥ 1 2 ( 3 2 + 3 ) = 6 ; 那么它们至少有2个共轭类长度相同。引理得证。 □ 引理3.3.14：设 S = G 2 2 ( q ) ，其中 q = 3 2 m + 1 > 3 ，则S至少有两个长度相同的共轭类。 证明：对于任意群G中的元素x及其逆元素 x − 1 有 C G ( x ) = C G ( x − 1 ) 且 x G = ( x − 1 ) G ， 根据( [ 16 ] ， p. 87)可知，群 G 2 2 ( q ) 有非实元素 T ， T − 1 有 C G ( T ) = C G ( T − 1 ) ，但 T ， T − 1 位于不同的共轭类，它们所在的共轭类长度相同，即 G 2 2 ( q ) 至少有两个共轭类长度相同，由此引理得证。 □ 引理3.3.15：设 S = B 2 2 ( q 2 ) ，其中 q 2 = 2 2 m + 1 > 2 ，则S至少有两个长度相同的共轭类。 证明：同 的做法，根据( [ 17 ] ， p. 143， 定理13)，群 B 2 2 ( q 2 ) 有元素 ρ ， ρ − 1 ，位于不同的共轭类，它们所在的共轭类长度相同。引理得证。 □ 引理3.3.16：设 S = F 2 4 ( q 2 ) ，其中 q 2 = 2 2 m + 1 > 2 ，则S至少有两个长度相同的共轭类。 证明：根据( [ 15 ] ，p. 7，表2)，在 F 2 4 ( q 2 ) 中有元素 u 15 = α 1 ( 1 ) α 3 ( 1 ) ， u 16 = α 1 ( 1 ) α 2 ( 1 ) α 3 ( 1 ) ， u 17 = α 1 ( 1 ) α 3 ( 1 ) α 5 ( 1 ) ， u 18 = α 1 ( 1 ) α 2 ( 1 ) α 3 ( 1 ) α 5 ( 1 ) ，它们中心化子的阶相同均为 4 q 4 。 由群 F 2 4 ( q 2 ) 阶为 q 12 ( q 6 + 1 ) ( q 4 − 1 ) ( q 3 + 1 ) ( q − 1 ) 可知，其共轭类长度相同为 q 8 ( q 6 + 1 ) ( q 4 − 1 ) ( q 3 + 1 ) ( q − 1 ) 4 ， 即 F 2 4 ( q 2 ) 至少有两个共轭类长度相同，从而引理得证。 □ 命题3.3：任意李型单群至少有两个长度相同的共轭类。 证明：由引理2.3.1.~2.3.16即得。 □ 定理1的证明：根据有限单群分类定理以及命题3.1~3.3即得。 □