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user: 3. 收敛性和稳定性 由于不能得到线性化有限差分格式(6)~(8)数值解的无穷范数先验估计，以下综合运用离散能量分析方法和数学归纳法来证明其收敛性和稳定性。 我们将线性有限差分数值格式(6)~(8)的截断误差定义为： r j n = ( u j n ) t − ( u j n ) x x ¯ t + ( u j n ) x x x ¯ x ¯ t + ( u j n + 1 2 ) x ^ + ( 3 2 u j n − 1 2 u j n − 1 ) ( u j n + 1 2 ) x ^ = 0 (13) 且由Taylor展开公式可知， | r j n | = O ( τ 2 + h 2 ) . (14) 引理2 [ 9 ] 假设 u 0 ∈ H 2 ，初边值问题(3)~(5)的连续解满足如下估计式： ‖ u ‖ L 2 ≤ C ， ‖ u x x ‖ L 2 ≤ C ， ‖ u ‖ L ∞ ≤ C ， ‖ u x ‖ L ∞ ≤ C 定理2 假设 u 0 ∈ H 2 ，若时间步长 τ 和空间步长h足够小，则线性有限差分格式(6)~(8)的数值解解 U n 以范数 ‖   ⋅   ‖ ∞ 收敛到初边值问题(3)~(5)的连续解，且收敛阶为 O ( τ 2 + h 2 ) 。 证明 记 e j n = u j n − U j n ，用(13)式减去(6)式，可得 r j n = ( e j n ) t − ( e j n ) x x ¯ t + ( e j n ) x x x ¯ x ¯ t + ( e j n + 1 2 ) x ^   + ( 3 2 u j n − 1 2 u j n − 1 ) ( u j n + 1 2 ) x ^ − ( 3 2 U j n − 1 2 U j n − 1 ) ( U j n + 1 2 ) x ^ (15) 由引理2以及截断误差(14)式可知，存在与空间步长h和时间步长 τ 都无关的常数 C u 和 C r ，满足 ‖ u n ‖ ∞ ≤ C u ， ‖ r n ‖ ∞ ≤ C r ( τ 2 + h 2 ) ， n = 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， N (16) 由初始值条件(7)式，可得 ‖ e 0 ‖ = 0 ， ‖ U 0 ‖ ∞ ≤ C u (17) 利用其他二阶方法(如两层有限差分格式 [ 10 ] )计算出具有二阶精度的 U 1 ，即有 ‖ e 1 ‖ + ‖ e x 1 ‖ + ‖ e x x 1 ‖ ≤ C 1 ( τ 2 + h 2 ) ， (18) C 1 为与空间步长h和时间步长 τ 都无关的常数。 现在假设 ‖ e l ‖ + ‖ e x l ‖ + ‖ e x x l ‖ ≤ C l ( τ 2 + h 2 ) ， l = 2 ， 3 ， ⋯ ， n ( n ≤ N − 1 ) (19) 其中 C l 为与空间步长h和时间步长 τ 都无关的常数。利用Cauchy-Schwarz不等式，于是由离散Sobolev嵌入不等式 [ 15 ] 有 ‖ e l ‖ ∞ ≤ C 0 ‖ e l ‖ ‖ e x l ‖ + ‖ e l ‖ ≤ 1 2 C 0 ( 2 ‖ e l ‖ + ‖ e x l ‖ ) ≤ 3 2 C 0 C l ( τ 2 + h 2 ) ， l = 1 ， 2 ， ⋯ ， n (20) ‖ U l ‖ ∞ ≤ ‖ u l ‖ ∞ + ‖ e l ‖ ∞ ≤ C u + 3 2 C 0 C l ( τ 2 + h 2 ) ， l = 1 ， 2 ， ⋯ ， n (21) 以向量 e n + 1 2 对(15)式两端取内积，注意到 〈 e x ^ n + 1 2 ， e n + 1 2 〉 = 0 ， 并由离散分部和公式 [ 15 ]，整理得 1 2 ‖ e n ‖ t 2 + 1 2 ‖ e x n ‖ t 2 + 1 2 ‖ e x x n ‖ t 2 = 〈 r n ， e n + 1 2 〉 − h ∑ j = 1 J − 1 ( 3 2 e j n − 1 2 e j n − 1 ) ( u j n + 1 2 ) x ^ e j n + 1 2 − h ∑ j = 1 J − 1 ( 3 2 U j n − 1 2 U j n − 1 ) ( e j n + 1 2 ) x ^ e j n + 1 2 (22) 利用微分中值定理，由引理2有 ( u j n + 1 2 ) x ^ = u ( x j + 1 ， t n + t n + 1 2 ) − u ( x j − 1 ， t n + t n + 1 2 ) 2 h = ∂ ∂ x u ( x ξ j ， t n + t n + 1 2 ) ， ( x j − 1 ≤ ξ j ≤ x j + 1 ) 即 ‖ u x ^ n + 1 2 ‖ ∞ ≤ C u ， (23) 再取空间步长 τ 和时间步长h足够小，以满足 τ < 1 18 ( 1 + C u ) ， (24) 且 3 2 C 0 ( max 0 ≤ l ≤ n C l ) ( τ 2 + h 2 ) ≤ 1 ， (25) 于是，由引理1和(21)式、(23)式、(25)式，利用Cauchy-Schwarz不等式有 − h ∑ j = 1 J − 1 ( 3 2 e j n − 1 2 e j n − 1 ) ( u j n + 1 2 ) x ^ e j n + 1 2 ≤ 1 2 C u h ∑ j = 1 J − 1 ( 3 | e j n | + | e j n − 1 | ) ⋅ | e j n + 1 2 | ≤ 1 4 C u ( ‖ e n ‖ 2 + 4 ‖ e n + 1 2 ‖ 2 + ‖ e n − 1 ‖ 2 ) ≤ 1 4 C u ( 2 ‖ e n + 1 ‖ 2 + 3 ‖ e n ‖ 2 + ‖ e n − 1 ‖ 2 ) (26) − h ∑ j = 1 J − 1 ( 3 2 U j n − U j n − 1 ) ( e j n + 1 2 ) x ^ e j n + 1 2 ≤ 1 2 h ∑ j = 1 J − 1 ( 3 | U j n | + | U j n − 1 | ) ⋅ | ( e j n + 1 2 ) x ^ | ⋅ | e j n + 1 2 | ≤ 2 h [ C u + 3 2 C 0 ⋅ max ( C n − 1 ， C n ) ( τ 2 + h 2 ) ] ∑ j = 1 J − 1 | ( e j n + 1 2 ) x ^ | ⋅ | e j n + 1 2 | ≤ ( 1 + C u ) ( ‖ e x n + 1 2 ‖ 2 + ‖ e n + 1 2 ‖ 2 ) ≤ 1 2 ( 1 + C u ) ( ‖ e x n + 1 ‖ 2 + ‖ e x n ‖ 2 + ‖ e n + 1 ‖ 2 + ‖ e n ‖ 2 ) (27) 〈 r n ， e n + 1 2 〉 ≤ 1 2 ‖ r n ‖ 2 + 1 4 ( ‖ e n + 1 ‖ 2 + ‖ e n ‖ 2 ) (28) 将(26)~(28)式一起代入(22)式，然后化简整理可得 ( ‖ e n + 1 ‖ 2 − ‖ e n ‖ 2 ) + ( ‖ e x n + 1 ‖ 2 − ‖ e x n ‖ 2 ) + ( ‖ e x x n + 1 ‖ 2 − ‖ e x x n ‖ 2 ) ≤ τ ‖ r n ‖ 2 + 3 τ ( 1 + C u ) ( ‖ e n + 1 ‖ 2 + ‖ e n ‖ 2 + ‖ e n − 1 ‖ 2 + ‖ e x n + 1 ‖ 2 + ‖ e x n ‖ 2 ) (29) 将式(29)从1到n进行递推并求和，化简整理有 ‖ e n + 1 ‖ 2 + ‖ e x n + 1 ‖ 2 + ‖ e x x n + 1 ‖ 2 ≤ ‖ e 1 ‖ 2 + ‖ e x 1 ‖ 2 + ‖ e x x 1 ‖ 2 + τ ∑ k = 1 n ‖ r k ‖ 2 + τ ∑ k = 0 n + 1 9 ( 1 + C u ) ( ‖ e k ‖ 2 + ‖ e x k ‖ 2 + ‖ e x x k ‖ 2 ) (30) 又 τ ∑ k = 1 n ‖ r k ‖ 2 ≤ n τ max 1 ≤ k ≤ n ‖ r k ‖ 2 ≤ T ( C r ) 2 ( τ 2 + h 2 ) 2 (31) 再取时间步长 τ 充分小，使之满足： τ < 1 18 ( 1 + C u ) ， 将(18)式和(31)式一起代入(30)式，整理后利用(24)式和离散Gronwall不等式 [ 15 ]，于是有 ‖ e n + 1 ‖ 2 + ‖ e x n + 1 ‖ 2 + ‖ e x x n + 1 ‖ 2 ≤ ( T ( C r ) 2 + C 1 2 ) ( τ 2 + h 2 ) 2 e 2 T [ 9 ( 1 + C u ) ] ≤ ( C n + 1 ) 2 ( τ 2 + h 2 ) 2 ( n = 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， N − 1 ) 其中 C n + 1 = ( T C r + C 1 ) e 9 T ( 1 + C u ) 为与时间层n无关的常数。从而由归纳假设可以得到 ‖ e n ‖ ≤ O ( τ 2 + h 2 ) ， ‖ e x n ‖ ≤ O ( τ 2 + h 2 ) ， ‖ e x x n ‖ ≤ O ( τ 2 + h 2 ) ， ( n = 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， N ) 最后在根据离散Sobolev不等式 [ 15 ]，即得 ‖ e n ‖ ∞ ≤ O ( τ 2 + h 2 ) ， ( n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N ) 定理3 假设 u 0 ∈ H 2 ，如果时间步长 τ 和空间步长h充分小，那么线性有限差分格式(6)~(8)的数值解满足如下估计式： ‖ U n ‖ ∞ ≤ C ˜ 0 ， n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N 这里 C ˜ 0 是与时间步长 τ 和空间步长h都无关的常数。 证明 由定理2的结论，当时间步长 τ 和空间步长h足够小时，有 ‖ U n ‖ ∞ ≤ ‖ u n ‖ ∞ + ‖ e n ‖ ∞ ≤ C ˜ 0 . 由定理3可知，如果时间步长 τ 和空间步长h充分小，线性有限差分格式(6)~(8)的数值解 U n 以范数 ‖   ⋅   ‖ ∞ 关于初始值绝对稳定。