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user: 3. 新互连网络FQCC(n，k)及其性质 3.1. FQCC(n，k)及其基本性质 在这一节中师海忠设计出了新互连网络 F Q C C ( n ， k ) ：用三长的圈代替 F Q C C ( n ) 的每个顶点且圈中每个顶点恰位于折叠立方体连通圈网络 F Q C C ( n )   ( n ≥ 2 ) 中与该顶点关联的一条边上，得到新的网络 F Q C C ( n ， 1 ) ；再类似的用三长的圈代替 F Q C C ( n ， 1 ) 的每个顶点得 F Q C C ( n ， 2 ) ，循环执行上述方法 k 次得到的新网络称为 F Q C C ( n ， k )   ( n ≥ 2 ， k ≥ 0 ) ，注意 F Q C C ( n ， 0 ) 即为 F Q C C ( n ) 。新互连网络 F Q C C ( n ， k )   ( n ≥ 2 ， k ≥ 0 ) 有 ( n + 1 ) 2 n 3 k 个顶点， ( n + 1 ) 2 n − 1 3 k + 1 条边，且它的度为3。 F Q C C ( n ， k ) 比 F Q C C ( n ) 有更好的扩展性，即当固定 n 之后，规模( ( n + 1 ) 2 n 3 k )随着 k 的增大而增大。特别是 F Q C C ( 2 ， k ) 有较好的性质(见3.2节)。 3.2. FQCC(2，k)及其性质 在这一节中，赵媛讨论了 F Q C C ( 2 ， k ) 的平面性、Hamilton性、点可迁性。 定理1： F Q C C ( 2 ， k )   ( k ≥ 0 ) 是平面图。 证明：显然 F Q 2 是平面图，如图1。所以 F Q C C ( 2 ) 即 F Q C C ( 2 ， 0 ) 是平面图，如图2。那么 F Q C C ( 2 ， k ) 也是平面图，如图3。 定理2： F Q C C ( 2 ， k ) 是Hamilton图。 证明：当 k = 0 时，我们可以在 F Q C C ( 2 ， 0 ) (也就是 F Q C C ( 2 ) )中找到一个Hamilton圈：(00，0)-(00，2) -(11，2)-(11，0)-(11，1)-(10，1)-(10，0)-(10，2)-(01，2)-(01，0)-(01，1)-(00，1)-(00，0)。显然 F Q C C ( 2 ) 是Hamilton图。 当 k = 1 时， F Q C C ( 2 ， 0 ) 中的顶点 ( x ， l 1 ) 变成了 ( x ， l 1 l 1 ) 。我们可以找到路P 1 <(00，00)，(00，01)，(00，21)， (00，20)，(00，22)>来代替边((00，0)，(00，2))；路P 2 <(00，22)，(11，22)>来代替边((00，2)，(11，2))；路P 3 <(11，22)，(11，20)， (11，21)，(11，01)，(11，00)>来代替边((11，2)，(11，0))；路P4<(11，00)，(11，02)，(11，12)，(11，10)， (11，11)>来代替边((11，0)，(11，1))；路P 5 <(11，11)，(10，11)>来代替边((11，1)，(10，1))；路P6<(10，11)，(10，10)， (10，12)，(10，02)，(10，00)> 图1. 平面图FQ 2 图2. 平面图 F Q C C ( 2 ， 0 ) 图3. 平面图 F Q C C ( 2 ， 1 ) 来代替边((10，1)，(10，0))；路P 7 <(10，00)，(10，01)，(10，21)，(10，2)，(10，22)>来代替边((10，0)，(10，2))；路P 8 <(10，22)， (01，22)>来代替边((10，2)，(01，2))；路P 9 <(01，22)，(01，20)，(01，21)，(01，01)，(01，00)>来代替边((01，2)，(01，0))；路P 10 <(01，00)，(01，02)，(01，12)，(01，10)，(01，11)>来代替边((01，0)，(01，1))；路P 11 <(01，11)，(00，11)>来代替边((01，1)，(00，1))；路P 12 <(00，11)，(00，10)，(00，12)，(00， 02)，(00，00)>来代替边((00，1)，(00，0))。令 C = ∪ i = 1 12 P i ，则 C 是一个Hamilton圈，所以 F Q C C ( 2 ， 1 ) 是Hamilton图。并且路 P 2 ， P 5 ， P 8 ， P 11 的长为1，其余路的长为4。 以此类推，当 k = n ( n ≥ 2 ) 时， F Q C C ( 2 ， 0 ) 中的顶点 ( x ， l 1 ) 变为 ( x ， l ( k + 1 ) ) 。其中 l = l 1 l 2 ⋯ l n + 1 ， l 1 = l 2 = ⋯ = l n + 1 。我们可以找到路 P i 〈 ( ( x ， l ) ， p i ， ( y ， l ′ ) ) 〉   ( 1 ≤ i ≤ 12 ) 来代替边 ( ( x ， l 1 ) ， ( y ， l ′ 1 ) ) 。令 C = ∪ i = 1 12 P i ，则 C 是 F Q C C ( 2 ， k ) 的一个Hamilton圈，所以 F Q C C ( 2 ， k ) 是Hamilton图。其中路 P 2 ， P 5 ， P 8 ， P 11 的长为1，其余路的长为 0.5 ( 3 k + 1 − 1 ) 。 由此，师海忠提出如下猜想： 猜想3： F Q C C ( n ， k ) 是Hamilton图。 定理4： F Q C C ( 2 ， 0 ) 是Hamilton连通图。 证明：由定义8可知，顶点(00，0)和(00，1)之间有一条Hamilton路 P 1 ：(00，0)-(00，2)-(11，2)-(11，0)-(11，1)-(10，1)-(10，0)-(10，2)-(01，2)-(01，0)-(01，1)-(00，1)。以此类推， P 2 {(00，0)，(00，2)}:(00，0)-(00，1)-(01，1)-(01，0)-(01，2)-(10，2)-(10，0)-(10，1)-(11，1)-(11，0)-(11，2)-(00，2). P 3 {(00，0)，(01，0)}:(00，0)-(00，1)-(00，2)-(11，2)-(11，0)-(11，1)-(10，1)-(10，0)-(10，2)-(01，2)-(01，1)-(01，0). P 4 {(00，0)，(01，1)}:(00，0)-(00，1)-(00，2)-(11，2)-(11，0)-(11，1)-(10，1)-(10，0)-(10，2)-(01，2)-(01，0)-(01，1). P 5 {(00，0)，(01，2)}:(00，0)-(10，0)-(10，2)-(10，1)-(11，1)-(11，0)-(11，2)-(00，2)-(00，1)-(01，1)-(01，0)-(01，2). P 6 {(00，0)，(10，0)}:(00，0)-(00，1)-(00，2)-(11，2)-(11，1)-(11，0)-(01，0)-(01，1)-(01，2)-(10，2)-(10，1)-(10，0). P 7 {(00，0)，(10，1)}:(00，0)-(00，1)-(00，2)-(11，2)-(11，1)-(11，0)-(01，0)-(01，1)-(01，2)-(10，2)-(10，0)-(10，1). P 8 {(00，0)，(10，2)}:(00，0)-(00，2)-(00，1)-(01，1)-(01，2)-(01，0)-(11，0)-(11，2)-(11，1)-(10，1)-(10，0)-(10，2). P 9 {(00，0)，(11，0)}:(00，0)-(00，2)-(00，1)-(01，1)-(01，0)-(01，2)-(10，2)-(10，0)-(10，1)-(11，1)-(11，2)-(11，0). P 10 {(00，0)，(11，1)}:(00，0)-(00，1)-(00，2)-(11，2)-(11，0)-(01，0)-(01，1)-(01，2)-(10，2)-(10，0)-(10，1)-(11，1). P 11 {(00，0)，(11，2)}:(00，0)-(00，2)-(00，1)-(01，1)-(01，0)-(01，2)-(10，2)-(10，0)-(10，1)-(11，1)-(11，0)-(11，2). P 12 {(00，1)，(00，2)}:(00，1)-(00，0)-(10，0)-(10，1)-(10，2)-(01，2)-(01，1)-(01，0)-(11，0)-(11，1)-(11，2)-(00，2). P 13 {(00，1)，(01，0)}:(00，1)-(00，0)-(00，2)-(11，2)-(11，0)-(11，1)-(10，1)-(10，0)-(10，2)-(01，2)-(01，1)-(01，0). P 14 {(00，1)，(01，1)}:(00，1)-(00，2)-(00，0)-(10，0)-(10，2)-(10，1)-(11，1)-(11，2)-(11，0)-(01，0)-(01，2)-(01，1). P 15 {(00，1)，(01，2)}:(00，1)-(00，2)-(00，0)-(10，0)-(10，2)-(10，1)-(11，1)-(11，2)-(11，0)-(01，0)-(01，1)-(01，2). P 16 {(00，1)，(10，0)}:(00，1)-(00，0)-(00，2)-(11，2)-(11，1)-(11，0)-(01，0)-(01，1)-(01，2)-(10，2)-(10，1)-(10，0). P 17 {(00，1)，(10，1)}:(00，1)-(00，0)-(00，2)-(11，2)-(11，1)-(11，0)-(01，0)-(01，1)-(01，2)-(10，2)-(10，0)-(10，1). P 18 {(00，1)，(10，2)}:(00，1)-(00，2)-(00，0)-(10，0)-(10，1)-(11，1)-(11，2)-(11，0)-(01，0)-(01，1)-(01，2)-(10，2). P 19 {(00，1)，(11，0)}:(00，1)-(00，0)-(00，2)-(11，2)-(11，1)-(10，1)-(10，0)-(10，2)-(01，2)-(01，1)-(01，0)-(11，0). P 20 {(00，1)，(11，1)}:(00，1)-(00，2)-(00，0)-(10，0)-(10，1)-(10，2)-(01，2)-(01，1)-(01，0)-(11，0)-(11，2)-(11，1). P 21 {(00，1)，(11，2)}:(00，1)-(00，2)-(00，0)-(10，0)-(10，1)-(10，2)-(01，2)-(01，1)-(01，0)-(11，0)-(11，1)-(11，2). P 22 {(00，2)，(01，0)}:(00，2)-(00，0)-(00，1)-(01，1)-(01，2)-(10，2)-(10，0)-(10，1)-(11，1)-(11，2)-(11，0)-(01，0). P 23 {(00，2)，(01，1)}:(00，2)-(00，1)-(00，0)-(10，0)-(10，2)-(10，1)-(11，1)-(11，2)-(11，0)-(01，0)-(01，2)-(01，1). P 24 {(00，2)，(01，2)}:(00，2)-(00，1)-(00，0)-(10，0)-(10，2)-(10，1)-(11，1)-(11，2)-(11，0)-(01，0)-(01，1)-(01，2). P 25 {(00，2)，(10，0)}:(00，2)-(00，0)-(00，1)-(01，1)-(01，2)-(01，0)-(11，0)-(11，2)-(11，1)-(10，1)-(10，2)-(10，0). P 26 {(00，0)，(10，1)}:(00，2)-(00，1)-(00，0)-(10，0)-(10，2)-(01，2)-(01，1)-(01，0)-(11，0)-(11，2)-(11，1)-(10，1). P 27 {(00，2)，(10，2)}:(00，2)-(00，0)-(00，1)-(01，1)-(01，2)-(01，0)-(11，0)-(11，2)-(11，1)-(10，1)-(10，0)-(10，2). P 28 {(00，2)，(11，0)}:(00，2)-(00，0)-(00，1)-(01，1)-(01，0)-(01，2)-(10，2)-(10，0)-(10，1)-(11，1)-(11，2)-(11，0). P 29 {(00，2)，(11，1)}:(00，2)-(00，1)-(00，0)-(10，0)-(10，1)-(10，2)-(01，2)-(01，1)-(01，0)-(11，0)-(11，2)-(11，1). P 30 {(00，2)，(11，2)}:(00，2)-(00，0)-(00，1)-(01，1)-(01，0)-(01，2)-(10，2)-(10，0)-(10，1)-(11，1)-(11，0)-(11，2). P 31 {(01，0)，(01，1)}:(01，0)-(01，2)-(10，2)-(10，0)-(10，1)-(11，1)-(11，0)-(11，2)-(00，2)-(00，0)-(00，1)-(01，1). P 32 {(01，0)，(01，2)}:(01，0)-(01，1)-(00，1)-(00，0)-(00，2)-(11，2)-(11，0)-(11，1)-(10，1)-(10，0)-(10，2)-(01，2). P 33 {(01，0)，(10，0)}:(01，0)-(01，2)-(01，1)-(00，1)-(00，0)-(00，2)-(11，2)-(11，0)-(11，1)-(10，1)-(10，2)-(10，0). P 34 {(01，0)，(10，1)}:(01，0)-(01，1)-(01，2)-(10，2)-(10，0)-(00，0)-(00，1)-(00，2)-(11，2)-(11，0)-(11，1)-(10，1). P 35 {(01，0)，(10，2)}:(01，0)-(01，2)-(01，1)-(00，1)-(00，0)-(00，2)-(11，2)-(11，0)-(11，1)-(10，1)-(10，0)-(10，2). P 36 {(01，0)，(11，0)}:(01，0)-(01，2)-(01，1)-(00，1)-(00，2)-(00，0)-(10，0)-(10，2)-(10，1)-(11，1)-(11，2)-(11，0). P 37 {(00，0)，(11，1)}:(01，0)-(01，1)-(01，2)-(10，2)-(10，1)-(10，0)-(00，0)-(00，1)-(00，2)-(11，2)-(11，0)-(11，1). P 38 {(01，0)，(11，2)}:(01，0)-(01，2)-(01，1)-(00，1)-(00，2)-(00，0)-(10，0)-(10，2)-(10，1)-(11，1)-(11，0)-(11，2). P 39 {(01，1)，(01，2)}:(01，1)-(01，0)-(11，0)-(11，1)-(11，2)-(00，2)-(00，1)-(00，0)-(10，0)-(10，1)-(10，2)-(01，2). P 40 {(01，1)，(10，0)}:(01，1)-(01，0)-(01，2)-(10，2)-(10，1)-(11，1)-(11，0)-(11，2)-(00，2)-(00，1)-(00，0)-(10，0). P 41 {(01，1)，(10，1)}:(01，1)-(01，0)-(01，2)-(10，2)-(10，0)-(00，0)-(00，1)-(00，2)-(11，2)-(11，0)-(11，1)-(10，1). P 42 {(01，1)，(10，2)}:(01，1)-(01，2)-(01，0)-(11，0)-(11，1)-(11，2)-(00，2)-(00，1)-(00，0)-(10，0)-(10，1)-(10，2). P 43 {(01，1)，(11，0)}:(01，1)-(01，0)-(01，2)-(10，2)-(10，1)-(10，0)-(00，0)-(00，1)-(00，2)-(11，2)-(11，1)-(11，0). P 44 {(01，1)，(11，1)}:(01，1)-(01，0)-(01，2)-(10，2)-(10，1)-(10，0)-(00，0)-(00，1)-(00，2)-(11，2)-(11，0)-(11，1). P 45 {(01，1)，(11，2)}:(01，1)-(01，2)-(01，0)-(11，0)-(11，1)-(10，1)-(10，2)-(10，0)-(00，0)-(00，1)-(00，2)-(11，2). P 46 {(01，2)，(10，0)}:(01，2)-(01，0)-(01，1)-(00，1)-(00，0)-(00，2)-(11，2)-(11，0)-(11，1)-(10，1)-(10，2)-(10，0). P 47 {(01，2)，(10，1)}:(01，2)-(01，1)-(01，0)-(11，0)-(11，1)-(11，2)-(00，2)-(00，1)-(00，0)-(10，0)-(10，2)-(10，1). P 48 {(01，2)，(10，2)}:(01，2)-(01，0)-(01，1)-(00，1)-(00，0)-(00，2)-(11，2)-(11，0)-(11，1)-(10，1)-(10，0)-(10，2). P 49 {(01，2)，(11，0)}:(01，2)-(01，0)-(01，1)-(00，1)-(00，2)-(00，0)-(10，0)-(10，2)-(10，1)-(11，1)-(11，2)-(11，0). P 50 {(01，2)，(11，1)}:(01，2)-(01，1)-(01，0)-(11，0)-(11，2)-(00，2)-(00，1)-(00，0)-(10，0)-(10，2)-(10，1)-(11，1). P 51 {(01，2)，(11，2)}:(01，2)-(01，1)-(01，0)-(11，0)-(11，1)-(10，1)-(10，2)-(10，0)-(00，0)-(00，1)-(00，2)-(11，2). P 52 {(10，0)，(10，1)}:(10，0)-(10，2)-(01，2)-(01，0)-(01，1)-(00，1)-(00，0)-(00，2)-(11，2)-(11，0)-(11，1)-(10，1). P 53 {(10，0)，(10，2)}:(10，0)-(10，1)-(11，1)-(11，0)-(11，2)-(00，2)-(00，0)-(00，1)-(01，1)-(01，0)-(01，2)-(10，2). P 54 {(10，0)，(11，0)}:(10，0)-(10，1)-(10，2)-(01，2)-(01，0)-(01，1)-(00，1)-(00，0)-(00，2)-(11，2)-(11，1)-(11，0). P 55 {(10，0)，(11，1)}:(10，0)-(10，1)-(10，2)-(01，2)-(01，0)-(01，1)-(00，1)-(00，0)-(00，2)-(11，2)-(11，0)-(11，1). P 56 {(10，0)，(11，2)}:(10，0)-(10，2)-(10，1)-(11，1)-(11，0)-(01，0)-(01，2)-(01，1)-(00，1)-(00，0)-(00，2)-(11，2). P 57 {(10，1)，(10，2)}:(10，1)-(10，0)-(00，0)-(00，1)-(00，2)-(11，2)-(11，1)-(11，0)-(01，0)-(01，1)-(01，2)-(10，2). P 58 {(10，1)，(11，0)}:(10，1)-(10，0)-(10，2)-(01，2)-(01，0)-(01，1)-(00，1)-(00，0)-(00，2)-(11，2)-(11，1)-(11，0). P 59 {(10，1)，(11，1)}:(10，1)-(10，0)-(10，2)-(01，2)-(01，0)-(01，1)-(00，1)-(00，0)-(00，2)-(11，2)-(11，0)-(11，1). P 60 {(10，1)，(11，2)}:(10，1)-(10，2)-(10，0)-(00，0)-(00，2)-(00，1)-(01，1)-(01，2)-(01，0)-(11，0)-(11，1)-(11，2). P 61 {(10，2)，(11，0)}:(10，2)-(10，0)-(10，1)-(11，1)-(11，2)-(00，2)-(00，0)-(00，1)-(01，1)-(01，2)-(01，0)-(11，0). P 62 {(10，2)，(11，1)}:(10，2)-(10，1)-(10，0)-(00，0)-(00，2)-(00，1)-(01，1)-(01，2)-(01，0)-(11，0)-(11，2)-(11，1). P 63 {(10，2)，(11，2)}:(10，2)-(10，1)-(10，0)-(00，0)-(00，2)-(00，1)-(01，1)-(01，2)-(01，0)-(11，0)-(11，1)-(11，2). P 64 {(11，0)，(11，1)}:(11，0)-(11，2)-(00，2)-(00，0)-(00，1)-(01，1)-(01，0)-(01，2)-(10，2)-(10，0)-(10，1)-(11，1). P 65 {(11，0)，(11，2)}:(11，0)-(11，1)-(10，1)-(10，0)-(10，2)-(01，2)-(01，0)-(01，1)-(00，1)-(00，0)-(00，2)-(11，2). P 66 {(11，1)，(11，2)}:(11，1)-(11，0)-(01，0)-(01，1)-(01，2)-(10，2)-(10，1)-(10，0)-(00，0)-(00，1)-(00，2)-(11，2). 引理5 [ 1 ] ：令G是n阶点可迁图，则G的所有n-1阶子图都同构。 定理6： F Q C C ( 2 ， 1 ) 不是点可迁的。 证明：为了方便书写，我们将图4中的各顶点简记为1~36。不失一般性，我们在图4中删去顶点1 (记为 G b ，如图5)，在图4中删去顶点2 (记为 G c ，如图6)。由图5可知图中除了顶点2，3，23为2度点外，其余均为3度点。由图6可知图中除了顶点1，3，8为2度点外，其余均为3度点。 图4. F Q C C ( 2 ， 1 ) 图5. F Q C C ( 2 ， 1 ) 的子图1 图6. F Q C C ( 2 ， 1 ) 的子图2 假设 G b 与 G c 同构，即 ϕ ( b i ) = c i   ( ∀ b i ∈ V ( G b ) ， ∀ c i ∈ V ( G c ) ) 情形1：若 ϕ ( 3 ) = 3 ， ϕ ( 2 ) = 1 ， ϕ ( 23 ) = 8 。则 ϕ ( 4 ) = 4 ， ϕ ( 6 ) = 5 或6， ϕ ( 8 ) = 23 ， ϕ ( 7 ) = 22 或24。顶点6和7在 G b 中相连，由同构定义得 ϕ ( 6 ) 和 ϕ ( 7 ) 相连，但在 G c 中5和22，24不相连，6和22，24不相连。所以此种情况不成立。 情形2：若 ϕ ( 3 ) = 1 ， ϕ ( 2 ) = 3 ， ϕ ( 23 ) = 8 。则 ϕ ( 4 ) = 23 ， ϕ ( 6 ) = 22 或24， ϕ ( 8 ) = 4 ， ϕ ( 7 ) = 5 或6。顶点6和7在 G b 中相连，由同构定义得 ϕ ( 6 ) 和 ϕ ( 7 ) 相连，但在 G c 中5和22，24不相连，6和22，24不相连。所以此种情况不成立。 情形3：若 ϕ ( 2 ) = 8 ， ϕ ( 3 ) = 3 ， ϕ ( 23 ) = 1 。在 G b 中顶点23和22，24相连。在 G c 中顶点1和3，23相连。则 { ϕ ( 22 ) = 23 ϕ ( 44 ) = 3 或 { ϕ ( 22 ) = 3 ϕ ( 44 ) = 23 ，则在 G b 中顶点22和24之间有一条1长的路，而在 G c 中顶点3和23之间没有1长的路。所以此种情形不成立。 情形4：若 ϕ ( 2 ) = 3 ， ϕ ( 3 ) = 8 ， ϕ ( 23 ) = 1 。与情形3类似，所以此种情形不成立。 情形5：若 ϕ ( 2 ) = 1 ， ϕ ( 3 ) = 8 ，相连。在 G c 中顶点3和4，1相连。则 { ϕ ( 22 ) = 1 ϕ ( 44 ) = 4 或 { ϕ ( 22 ) = 4 ϕ ( 44 ) = 1 ，则在 G b 中24和22之间有一条1长的路，而在 G c 中4和1之间没有一条1长的路。所以此种情形不成立。 情形6：若 ϕ ( 2 ) = 8 ， ϕ ( 3 ) = 1 ， ϕ ( 23 ) = 3 。与情形5类似，所以此种情形不成立。 综上所述：上述情形均不成立。 G b 和 G c 不同构。所以 F Q C C ( 2 ， 1 ) 不是点可迁的。 3.3. FQCC(n，k)的点可迁性 在这一节中，赵媛讨论了 F Q C C ( 3 ， 1 ) ， F Q C C ( 4 ， 1 ) ， F Q C C ( 5 ， 1 ) 以及 F Q C C ( n ， k ) ( k > 1 ) 的点可迁性。 定理7： F Q C C ( 3 ， 1 ) 不是点可迁的。 证明：为了方便书写，我们将图7 (图7是 F Q C C ( 3 ， 1 ) 的部分子图)中的各顶点简记为1~15。不失一般性，我们在图7中删去顶点1 (记为 G h ，如图8)，在图7中删去顶点2 (记为 G m ，如图9)。由图8可知图中除了顶点2，3，13为2度点外，其余均为3度点。由图9可知图中除了顶点1，3，11为2度点外，其余均为3度点。 假设 G h 和 G m 同构，则 ϕ ( h i ) = m i   ( ∀ h i ∈ V ( G h ) ， ∀ m i ∈ V ( G m ) ) 。 情形1：若 ϕ ( 2 ) = 1 ， ϕ ( 3 ) = 3 ， ϕ ( 13 ) = 11 。则 ϕ ( 4 ) = 4 ， ϕ ( 6 ) = 5 或6， ϕ ( 11 ) = 13 ， ϕ ( 10 ) = 14 或15。在 G h 中6和10之间有一条3长的路，而在 G m 中5和14，15之间没有一条3长的路，所以此种情形不成立。 情形2：若 ϕ ( 2 ) = 3 ， ϕ ( 3 ) = 1 ， ϕ ( 13 ) = 11 。则 ϕ ( 4 ) = 13 ， ϕ ( 6 ) = 14 或15， ϕ ( 11 ) = 4 ， ϕ ( 10 ) = 5 或6。 图7. F Q C C ( 3 ， 1 ) 的部分子图 图8. F Q C C ( 3 ， 1 ) 的部分子图1 图9. F Q C C ( 3 ， 1 ) 的部分子图2 则在 G h 中6和10之间有一条3长的路，而在 G m 中14和5，6之间没有一条3长的路，15和5，6之间没有一条3长的路。所以此种情形不成立。 情形3：若 ϕ ( 2 ) = 1 ， ϕ ( 3 ) = 11 ， ϕ ( 13 ) = 3 。在 G h 中顶点3和2，4相连。在 G m 中顶点11和10，12相连。则 { ϕ ( 2 ) = 10 ϕ ( 4 ) = 12 或 { ϕ ( 2 ) = 12 ϕ ( 4 ) = 10 ，则在 G h 中2和4之间没有一条1长的路，而在 G m 中10和12之间有一条1长的路。所以此种情形不成立。 情形4：若 ϕ ( 2 ) = 3 ， ϕ ( 3 ) = 11 ， ϕ ( 13 ) = 1 。与情形3类似，所以此种情形不成立。 情形5：若 ϕ ( 2 ) = 11 ， ϕ ( 3 ) = 1 ， ϕ ( 13 ) = 3 。在 G h 中顶点2和3，11相连。在 G m 中顶点11和10，12相连。则 { ϕ ( 3 ) = 10 ϕ ( 11 ) = 12 或 { ϕ ( 3 ) = 12 ϕ ( 11 ) = 10 ，则在 G h 中3和11之间没有一条1长的路，在 G m 中10和12之间有一条1长的路。所以此种情形不成立。 情形6：若 ϕ ( 2 ) = 11 ， ϕ ( 3 ) = 3 ， ϕ ( 13 ) = 1 。与情形5类似，所以此种情形不成立。 综上所述，上述情况均不成立。 G h 和 G m 不同构。所以 F Q C C ( 3 ， 1 ) 不是点可迁的。 定理8： F Q C C ( 4 ， 1 ) 不是点可迁的。 证明：为了方便书写，我们将图10 (图10是 F Q C C ( 4 ， 1 ) 的部分子图)中的各顶点简记为1~18。不失一般性，我们在图10中删去顶点1 (记为 G n ，如图11)，在图10中删去顶点2 (记为 G q ，如图12)。由图11可知图中除了顶点2，3，16为2度点外，其余均为3度点。由图12可知图中除了顶点1，3，14为2度点外，其余均为3度点。 假设 G n 和 G q 同构，则 ϕ ( n i ) = q i   ( ∀ n i ∈ V ( G n ) ， ∀ q i ∈ V ( G q ) ) 图10. F Q C C ( 4 ， 1 ) 的部分子图 图11. F Q C C ( 4 ， 1 ) 的部分子图1 图12. F Q C C ( 4 ， 1 ) 的部分子图2 情形1：若 ϕ ( 2 ) = 1 ， ϕ ( 3 ) = 3 ， ϕ ( 16 ) = 14 。则 ϕ ( 4 ) = 4 ， ϕ ( 6 ) = 5 或6， ϕ ( 14 ) = 16 ， ϕ ( 13 ) = 17 或18。在 G n 中6和13之间有两条5长的路，而在 G q 中5和17，18之间只有一条5长的路，6和17，18之间只有一条5长的路。所以此种情形不成立。 情形2：若 ϕ ( 2 ) = 3 ， ϕ ( 3 ) = 1 ， ϕ ( 16 ) = 14 。则 ϕ ( 4 ) = 16 ， ϕ ( 6 ) = 17 或18， ϕ ( 14 ) = 4 ， ϕ ( 13 ) = 5 或6。则在 G n 中6和13之间有两条5长的路，而在 G q 中5和17，18之间只有一条5长的路，6和17，18之间只有一条5长的路。所以此种情形不成立。 情形3：若 ϕ ( 2 ) = 1 ， ϕ ( 3 ) = 14 ， ϕ ( 16 ) = 3 。则在 G n 中16和17，18相连。在 G q 中3和1，4相连。则 { ϕ ( 17 ) = 1 ϕ ( 18 ) = 4 或 { ϕ ( 17 ) = 4 ϕ ( 18 ) = 1 ，则在 G n 中17和18之间有一条1长的路，而在 G q 中1和4之间没有一条1长的路。所以此种情形不成立。 情形4：若 ϕ ( 2 ) = 14 ， ϕ ( 3 ) = 1 ， ϕ ( 16 ) = 3 。与情形3类似，所以此种情形不成立。 情形5：若 ϕ ( 2 ) = 3 ， ϕ ( 3 ) = 14 ， ϕ ( 16 ) = 1 。在 G n 中顶点16和17，18相连。在 G q 中1和3，16相连。则 { ϕ ( 17 ) = 3 ϕ ( 18 ) = 16 或 { ϕ ( 17 ) = 16 ϕ ( 18 ) = 3 ，则在 G n 中17和18之间有一条1长的路，而在 G q 中3和16之间没有一条1长的路。所以此种情形不成立。 情形6：若 ϕ ( 2 ) = 14 ， ϕ ( 3 ) = 3 ， ϕ ( 16 ) = 1 。与情形5类似，所以此种情形不成立。 综上所述，上述情况均不成立。 G n 和 G q 不同构。所以 F Q C C ( 4 ， 1 ) 不是点可迁的。 定理9： F Q C C ( 5 ， 1 ) 不是点可迁的。 证明：为了方便书写，我们将图13 (图10是 F Q C C ( 5 ， 1 ) 的部分子图)中的各顶点简记为1~21。不失一般性，我们在图13中删去顶点1 (记为 G r ，如图14)，在图13中删去顶点2 (记为 G s ，如图15)。由图14 图13. F Q C C ( 5 ， 1 ) 的部分子图 图14. F Q C C ( 5 ， 1 ) 的部分子图1 图15. F Q C C ( 5 ， 1 ) 的部分子图2 可知图中除了顶点2，3，19为2度点外，其余均为3度点。由图15可知图中除了顶点1，3，17为2度点外，其余均为3度点。 假设 G r 和 G s 同构，则 ϕ ( r i ) = s i   ( ∀ r i ∈ V ( G r ) ， ∀ s i ∈ V ( G s ) ) 情形1：若 ϕ ( 2 ) = 1 ， ϕ ( 3 ) = 3 ， ϕ ( 19 ) = 17 。则 ϕ ( 4 ) = 4 ， ϕ ( 6 ) = 5 或6， ϕ ( 17 ) = 19 ， ϕ ( 16 ) = 20 或21。则在 G r 中6和16之间有两条7长的路，而在 G s 中5和20，21之间只有一条7长的路，6和20，21之间只有一条7长的路。所以此种情形不成立。 情形2：若 ϕ ( 2 ) = 3 ， ϕ ( 3 ) = 1 ， ϕ ( 19 ) = 17 。则 ϕ ( 4 ) = 19 ， ϕ ( 6 ) = 20 或21， ϕ ( 17 ) = 4 ， ϕ ( 16 ) = 5 或6。则在中6和16之间有两条7长的路，而在 G s 中5和20，21之间只有一条7长的路，6和20，21之间只有一条7长的路。所以此种情形不成立。 情形3：若 ϕ ( 2 ) = 1 ， ϕ ( 3 ) = 17 ， ϕ ( 19 ) = 3 。在 G r 中顶点19和20，21相连。在 G s 中顶点3和1，4相连。则 { ϕ ( 20 ) = 1 ϕ ( 21 ) = 4 或 { ϕ ( 20 ) = 4 ϕ ( 21 ) = 1 ，则在 G r 中20和21之间有一条1长的路，而在 G s 中1和4之间没有一条1长的路。所以此种情形不成立。 情形4：若 ϕ ( 2 ) = 17 ， ϕ ( 3 ) = 1 ， ϕ ( 19 ) = 3 。与情形3类似，所以此种情形不成立。 情形5：若 ϕ ( 2 ) = 3 ， ϕ ( 3 ) = 17 ， ϕ ( 19 ) = 1 。在 G r 中顶点19和20，21相连。在 G s 中顶点1和3，19相连。则 { ϕ ( 20 ) = 3 ϕ ( 21 ) = 19 或 { ϕ ( 20 ) = 19 ϕ ( 21 ) = 3 ，则在 G r 中20和21之间有一条1长的路，而在 G s 中3和19之间没有1长的路。所以此种情形不成立。 情形6：若 ϕ ( 2 ) = 17 ， ϕ ( 3 ) = 3 ， ϕ ( 19 ) = 1 。与情形5类似，所以此种情形不成立。 综上所述，上述情况均不成立。 G r 和 G s 不同构。所以 F Q C C ( 5 ， 1 ) 不是点可迁的。 定理10： F Q C C ( n ， k ) ( k ≥ 2 ) 不是点可迁的。 证明：为了方便书写，我们将图16中的各顶点简记为1~12。当 n = 2 且 k = 1 时结论显然成立。当 n ≥ 3 ， k ≥ 2 时，一定有 F Q C C ( n ， k ) 的子图。不失一般性，我们在图16中删去顶点1 (记为 G t ，如图17)，在图16中删去顶点2 (记为 G w ，如图18)。由图17可知图中除了顶点2，3，11为2度点外，其余均为3度点。由图18可知图中除了顶点1，3，8为2度点外，其余均为3度点。 假设 G t 和 G w 同构，则 ϕ ( t i ) = w i   ( ∀ t i ∈ V ( G t ) ， ∀ w i ∈ V ( G w ) ) 。 图16. F Q C C ( n ， k ) 的部分子图 图17. F Q C C ( n ， k ) 的部分子图1 图18. F Q C C ( n ， k ) 的部分子图2 情形1：若 ϕ ( 3 ) = 3 ， ϕ ( 2 ) = 8 ， ϕ ( 11 ) = 1 。在 G t 中顶点11和10，12相连。在 G w 中顶点1和3，11相连。则 { ϕ ( 12 ) = 3 ϕ ( 10 ) = 11 或 { ϕ ( 12 ) = 11 ϕ ( 10 ) = 3 ，则在 G t 中10和12之间有一条1长的路，而在 G w 中3和11之间没有一条1长的路。所以此种情形不成立。 情形2：若 ϕ ( 3 ) = 8 ， ϕ ( 2 ) = 3 ， ϕ ( 11 ) = 1 。与情形1类似，所以此种情形不成立。 情形3：若 ϕ ( 3 ) = 3 ， ϕ ( 2 ) = 1 ， ϕ ( 11 ) = 8 。则 ϕ ( 4 ) = 4 ， ϕ ( 6 ) = 5 或6， ϕ ( 8 ) = 11 ， ϕ ( 7 ) = 10 或12。在 G t 中顶点6和7相连，由同构定义得 ϕ ( 6 ) 和 ϕ ( 7 ) 相连。但在 G w 中顶点5和10，12不相连，6和10，12不相连。所以此种情形不成立。 情形4：若 ϕ ( 3 ) = 8 ， ϕ ( 2 ) = 1 ， ϕ ( 11 ) = 3 。在 G t 中顶点11和10，12相连。在 G w 中顶点3和4，1相连。则 { ϕ ( 12 ) = 4 ϕ ( 10 ) = 1 或 { ϕ ( 12 ) = 1 ϕ ( 10 ) = 4 ，则在 G t 中10和12之间有一条1长的路，而在 G w 中4和1之间没有一条1长的路。所以此种情形不成立。 情形5：若 ϕ ( 3 ) = 1 ， ϕ ( 2 ) = 8 ， ϕ ( 11 ) = 3 。与情形4类似，所以此种情形不成立。 情形6：若 ϕ ( 3 ) = 1 ， ϕ ( 2 ) = 3 ， ϕ ( 11 ) = 8 。则 ϕ ( 8 ) = 4 ， ϕ ( 7 ) = 5 或6， ϕ ( 4 ) = 11 ， ϕ ( 6 ) = 10 或12。在 G t 中顶点6和7相连，由同构定义得 ϕ ( 6 ) 和 ϕ ( 7 ) 相连，但在 G w 中顶点5和10，12不相连，6和10，12不相连。所以此种情形不成立。 综上所述，上述情况均不成立。 G t 和 G w 不同构。所以 F Q C C ( n ， k )   ( k ≥ 2 ) 不是点可迁的。