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user: 3. 主要结论 定理3.1：设E是一个q-一致凸且一致光滑的Banach空间，其中光滑系数为K。 M i : E → 2 E 是一个极大单调映射， A i : E → E 是一个 μ i -逆强增生映射，并且 T ρ i ( A i ， M i ) = J ρ i M i ( I − ρ i A i ) ，这里 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， l 。设 Q = T ρ 1 ( A 1 ， M 1 ) ∘ T ρ 2 ( A 2 ， M 2 ) ∘ ⋯ ∘ T ρ l ( A l ， M l ) ， T : E → E 是一个不动点非空的的 λ -严格伪压缩映射，定义如下一个映射S如下： S x = ( 1 − α ) x + α T x ， ∀ x ∈ E 假设 ϕ = F ( T ) ∩ F ( Q ) ，对于任意给定初始点 u ∈ E 且序列 { x n } 是由下列形式定义的序列： { y n = T ρ 1 ( A 1 ， M 1 ) ∘ T ρ 2 ( A 2 ， M 2 ) ∘ ⋯ ∘ T ρ l ( A l ， M l ) x n x n + 1 = α n u + β n x n + ( 1 − α n − β n ) ( v S x n + ( 1 − v ) y n ) ， n ≥ 0 (3.1) 其中 v ∈ ( 0 ， 1 ) ， ρ i ∈ ( 0 ， ( q μ i K q ) 1 q − 1 ) ， ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， l ) ， α ∈ ( 0 ， k ) ， k = min ( 1 ， ( q λ k q ) 1 q − 1 ) ，当序列 { α n } ， { β n } 满足下列条件： 1) { α n } ⊂ ( 0 ， 1 ) ， lim n → ∞ α n = 0 同时 ∑ n = 1 ∞ α n = + ∞ 2) { β n } ⊂ ( 0 ， 1 ) ， 0 < lim inf n → ∞ β n ≤ lim sup n → ∞ β n < 1 那么序列 { x n } 强收敛到 u 1 * = p ϕ u ，其中 p ϕ 是 E → ϕ 的阳光非扩张收缩，同时 ( u 1 * ， u 2 * ， ⋯ ， u l * ) ∈ E l ，这里 { u 1 * = T ρ 1 ( A 1 ， M 1 ) u 2 * ， u 2 * = T ρ 2 ( A 2 ， M 2 ) u 3 * ，                     ⋮ u l − 1 * = T ρ l − 1 ( A l − 1 ， M l − 1 ) u l − 1 * ， u l * = T ρ l ( A l ， M l ) u 1 * 是问题(1.3)的解。 完成定理(3.1)的证明主要分为以下几步。 证明：第一步，我们需证明映射 T ρ i ( A i ， M i ) = J ρ i M i ( I − ρ i A i ) 对于所有的 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， l 是都是非扩张的。事实上，对于任意的 x ， y ∈ E ，通过式子(2.3)，引理2.4和条件 ρ i ∈ ( 0 ， ( q μ i K q ) 1 q − 1 ) ，我们得到 ‖ ( I − ρ i A i ) x − ( I − ρ i A i ) y ‖ q = ‖ ( x − y ) + ρ i A i ( y − x ) ‖ q ≤ ‖ x − y ‖ q + q 〈 ρ i A i ( y − x ) ， j q ( x − y ) 〉 + K q ‖ ρ i A i x − ρ i A i y ‖ q ≤ ‖ x − y ‖ q + q 〈 ρ i A i ( y − x ) ， j q ( x − y ) 〉 + K q ρ i q ‖ A i x − A i y ‖ q ≤ ‖ x − y ‖ q − q ρ i μ i ‖ A i x − A i y ‖ q + K q ρ i q ‖ A i x − A i y ‖ q = ‖ x − y ‖ q − ( q ρ i μ i − K q ρ i q ) ‖ A i x − A i y ‖ q ≤ ‖ x − y ‖ q 由上可知映射 I − ρ i A i 对于所有的 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， l 都是非扩张映射，其次结合注2.1，显然可知映射 T ρ i ( A i ， M i ) = J ρ i M i ( I − ρ i A i ) 对于所有的 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， l 都是非扩张映射。 第二步，我们需证明序列 { x n } 是有界序列。 首先，设 p ∈ ϕ 即 p ∈ F ( Q ) ，可得到 p = T ρ 1 ( A 1 ， M 1 ) ∘ T ρ 2 ( A 2 ， M 2 ) ∘ ⋯ ∘ T ρ l ( A l ， M l ) p 因为 y n = T ρ 1 ( A 1 ， M 1 ) ∘ T ρ 2 ( A 2 ， M 2 ) ∘ ⋯ ∘ T ρ l ( A l ， M l ) x n ，代入可得 ‖ y n − p ‖ = ‖ T ρ 1 ( A 1 ， M 1 ) ∘ T ρ 2 ( A 2 ， M 2 ) ∘ ⋯ ∘ T ρ l ( A l ， M l ) x n − T ρ 1 ( A 1 ， M 1 ) ∘ T ρ 2 ( A 2 ， M 2 ) ∘ ⋯ ∘ T ρ l ( A l ， M l ) p ‖ ≤ ‖ T ρ 2 ( A 2 ， M 2 ) ∘ ⋯ ∘ T ρ l ( A l ， M l ) x n − T ρ 2 ( A 2 ， M 2 ) ∘ ⋯ ∘ T ρ l ( A l ， M l ) p ‖ ≤ ⋯ ≤ ‖ T ρ l ( A l ， M l ) x n − T ρ l ( A l ， M l ) p ‖ ≤ ‖ x n − p ‖ (3.2) 设 z n = v S x n + ( 1 − v ) y n ，根据引理2.8可知S是一个非扩张映射， p ∈ F ( T ) ∩ F ( S ) ，从式子(3.2)，可得 ‖ z n − p ‖ = ‖ v S x n + ( 1 − v ) y n − p ‖ = ‖ v ( S x n − S p ) + ( 1 − v ) ( y n − p ) ‖ ≤ v ‖ S x n − S p ‖ + ( 1 − v ) ‖ y n − p ‖ ≤ v ‖ x n − p ‖ + ( 1 − v ) ‖ x n − p ‖ = ‖ x n − p ‖ (3.3) 根据式子(3.1)和(3.3)，可知 ‖ x n + 1 − p ‖ = ‖ α n u + β n x n + ( 1 − α n − β n ) ( v S x n + ( 1 − v ) y n ) − p ‖ ≤ α n ‖ u − p ‖ + β n ‖ x n − p ‖ + ( 1 − α n − β n ) ‖ z n − p ‖ ≤ max { ‖ u − p ‖ ， ‖ x 1 − p ‖ } 由此可得，序列 { x n } 是一个有界序列，同理可以证明 { y n } ， { z n } 都是有界序列 第三步，我们证明 lim n → ∞ ‖ x n + 1 − x n ‖ = 0 事实上，由第一步我们已知映射 T ρ i ( A i ， M i ) = J ρ i M i ( I − ρ i A i ) 对所有的 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， l 都是非扩张的，根据式子(3.1)，进一步可以可得 ‖ y n + 1 − y n ‖ = ‖ T ρ 1 ( A 1 ， M 1 ) ∘ T ρ 2 ( A 2 ， M 2 ) ∘ ⋯ ∘ T ρ l ( A l ， M l ) x n + 1 − T ρ 1 ( A 1 ， M 1 ) ∘ T ρ 2 ( A 2 ， M 2 ) ∘ ⋯ ∘ T ρ l ( A l ， M l ) x n ‖ ≤ ‖ T ρ 2 ( A 2 ， M 2 ) ∘ ⋯ ∘ T ρ l ( A l ， M l ) x n + 1 − T ρ 2 ( A 2 ， M 2 ) ∘ ⋯ ∘ T ρ l ( A l ， M l ) x n ‖ ≤ ⋯ ≤ ‖ T ρ l ( A l ， M l ) x n + 1 − T ρ l ( A l ， M l ) x n ‖ ≤ ‖ x n + 1 − x n ‖ (3.4) 运用(3.4)同样的处理方法，可得 ‖ z n + 1 − z n ‖ = ‖ v S x n + 1 + ( 1 − v ) y n + 1 − v S x n + ( 1 − v ) y n ‖ ≤ v ‖ S x n + 1 − S x n ‖ + ( 1 − v ) ‖ y n + 1 − y n ‖ ≤ v ‖ x n + 1 − x n ‖ + ( 1 − v ) ‖ x n + 1 − x n ‖ = ‖ x n + 1 − x n ‖ (3.5) 因为 x n + 1 = α n u + β n x n + ( 1 − α n − β n ) ( v S x n + ( 1 − v ) y n ) ，可得 x n + 1 = ( 1 − β n ) w n + β n x n (3.6) 此时这里的 w n = α n u + ( 1 − α n − β n ) z n 1 − β n ，结合(3.5)的结果，可知 ‖ w n + 1 − w n ‖ = ‖ α n + 1 u + ( 1 − α n + 1 − β n + 1 ) z n + 1 1 − β n + 1 − α n u + ( 1 − α n − β n ) z n 1 − β n ‖ = ‖ α n + 1 1 − β n + 1 ( u − z n + 1 ) − α n 1 − β n ( u − z n ) + z n + 1 − z n ‖ ≤ α n + 1 1 − β n + 1 ‖ u − z n + 1 ‖ + α n 1 − β n ‖ u − z n ‖ + ‖ z n + 1 − z n ‖ ≤ α n + 1 1 − β n + 1 ‖ u − z n + 1 ‖ + α n 1 − β n ‖ u − z n ‖ + ‖ x n + 1 − x n ‖ 综上可以得到下面的不等式关系： ‖ w n + 1 − w n ‖ − ‖ x n + 1 − x n ‖ ≤ α n + 1 1 − β n + 1 ‖ u − z n + 1 ‖ + α n 1 − β n ‖ u − z n ‖ 根据条件(1)，条件(2)的假设和第二步得到的结果，可知： lim sup n → ∞ ( ‖ w n + 1 − w n ‖ − ‖ x n + 1 − x n ‖ ) ≤ 0 根据引理2.7，可以得出 lim n → ∞ ‖ w n − x n ‖ = 0 (3.7) 从 w n 的定义(3.6)出发，可得 ‖ x n + 1 − x n ‖ = ( 1 − β n ) ‖ w n − x n ‖ (3.8) 结合条件(1)的假设，最后得出如下结论： lim n → ∞ ‖ x n + 1 − x n ‖ = 0 (3.9) 至此，我们完成了 lim n → ∞ ‖ x n + 1 − x n ‖ = 0 的完整的证明过程。 第四步我们需证明 lim sup n → ∞ 〈 u − u 1 * ， J ( x n − u 1 * ) 〉 ≤ 0 ，此时这里的 u 1 * ∈ p ϕ ， p ϕ 是一个E到 ϕ 的阳光非扩张收缩。 首先，根据式子(3.1)，可得 x n + 1 − x n = α n u + β n x n + ( 1 − α n − β n ) z n − x n = α n ( u − z n ) + ( 1 − β n ) ( z n − x n ) 由上式，不难得出 ‖ z n − x n ‖ ≤ ‖ x n + 1 − x n ‖ + α n ‖ u − z n ‖ 1 − β n 根据条件(1)，(2)和式子(3.9)，可以得到 lim n → ∞ ‖ z n − x n ‖ = 0 (3.10) 紧接着，定义如下一个映射W： W x = v S x + ( 1 − v ) T ρ 1 ( A 1 ， M 1 ) ∘ T ρ 2 ( A 2 ， M 2 ) ∘ ⋯ ∘ T ρ l ( A l ， M l ) x ， ∀ x ∈ E (3.11) 再根据引理2.8，可以知晓映射W是一个非扩张映射，并且 F ( W ) = F ( S ) ∩ F ( T ρ 1 ( A 1 ， M 1 ) ∘ T ρ 2 ( A 2 ， M 2 ) ∘ ⋯ ∘ T ρ l ( A l ， M l ) ) 由式子(3.11)，可得 W x n − x n = z n − x n 结合上面式子和式子(3.7)，可知 lim n → ∞ ‖ W x n − x n ‖ = 0 (3.12) 设 z t 是 z ↦ t u + ( 1 − t ) W z 的一个不动点，这里 t ∈ ( 0 ， 1 ) ，换言之即 z t = t u + ( 1 − t ) W z t ，由此我们得到下面式子 ‖ z t − x n ‖ = ‖ ( 1 − t ) ( W z t − x n ) + t ( u − x n ) ‖ 由此，一方面我们得到 ‖ z t − x n ‖ q = ‖ ( 1 − t ) ( W z t − x n ) + t ( u − x n ) ‖ q ≤ ( 1 − t ) q ‖ W z t − x n ‖ q + q t 〈 u − x n ， j q ( z t − x n ) 〉 = ( 1 − t ) q ‖ W z t − x n ‖ q + q t 〈 u − z t ， j q ( z t − x n ) 〉 + q t 〈 z t − x n ， j q ( z t − x n ) 〉 ≤ ( 1 − t ) q ( ‖ W z t − W x n ‖ q + ‖ W x n − x n ‖ q ) + q t ‖ z t − x n ‖ q + q t 〈 u − z t ， j q ( z t − x n ) 〉 ≤ ( 1 − t ) q ( ‖ z t − x n ‖ q + ‖ W x n − x n ‖ q ) + q t 〈 u − z t ， j q ( z t − x n ) 〉 + q t ‖ z t − x n ‖ q 经过化简上式，可以得到 〈 z t − u ， J ( z t − x n ) 〉 ≤ ( 1 − t ) q q t ( ‖ z t − x n ‖ 2 + ‖ W x n − x n ‖ q ) + q t − 1 q t ‖ ‖ z t − x n ‖ 2 ‖ q 利用式子(3.12)的结果，可以得出 lim sup n → ∞ 〈 z t − u ， j q ( z t − x n ) 〉 ≤ ( 1 − t ) q q t M q + q t − 1 q t M q = ( ( 1 − t ) q q t + q t − 1 q t ) M q (3.13) 其中 M = lim sup n → ∞ ‖ z t − x n ‖ ， t ∈ ( 0 ， 1 ) 不难看出当 t → 0 的时候， ( 1 − t ) q q t + q t − 1 q t → 0 ，进一步可得： lim sup n → ∞ 〈 z t − u ， j q ( z t − x n ) 〉 ≤ 0 对于任意的 ε > 0 都存在一个正数 δ 1 > 0 ，并且 t ∈ ( 0 ， δ 1 ) 使得 lim sup n → ∞ 〈 z t − u ， j q ( z t − x n ) 〉 ≤ ε 2 (3.14) 另一方面，我们可以已知的是 p F ( W ) u = lim t → 0 z t 和 F ( W ) = ϕ ，由此可得 lim t → 0 z t = u 1 * = p ϕ ，即存在一个正数 δ 2 > 0 并且 t ∈ ( 0 ， δ 2 ) 使得： | 〈 u − u 1 * ， j q ( x n − u 1 * ) 〉 − 〈 z t − u ， j q ( z t − x n ) 〉 | ≤ | 〈 u − u 1 * ， j q ( x n − u 1 * ) 〉 − 〈 u − u 1 * ， j q ( x n − z t ) 〉 |       + | 〈 u − u 1 * ， j q ( x n − z t ) 〉 − 〈 z t − u ， j q ( z t − x n ) 〉 | = | 〈 u − u 1 * ， j q ( x n − u 1 * ) − j q ( x n − z t ) 〉 | + | 〈 z t − u 1 * ， j q ( x n − z t ) 〉 | ≤ ‖ u − u 1 * ‖ ‖ j q ( x n − u 1 * ) − j q ( x n − z t ) ‖ + ‖ z t − u 1 * ‖ ‖ j q ( x n − z t ) ‖ ≤ ε 2 (3.15) 结合式子(3.15)，选择 δ ∈ ( δ 1 ， δ 2 ) 从而对于任给的 t ∈ ( 0 ， δ ) 有 〈 u − u 1 * ， j q ( x n − u 1 * ) 〉 ≤ 〈 z t − u ， j q ( z t − x n ) 〉 + ε 2 从上面这个式子可得 lim sup n → ∞ 〈 u − u 1 * ， j q ( x n − u 1 * ) 〉 ≤ lim sup n → ∞ 〈 z t − u ， j q ( z t − x n ) 〉 + ε 2 最后结合(3.14)，可知 lim sup n → ∞ 〈 u − u 1 * ， j q ( x n − u 1 * ) 〉 ≤ 0 (3.16) 第五步，最后一步我们需要证明 lim n → ∞ x n = u 1 * ，实际上从式子(2.1)，式子(3.3)和引理(2.12)可得： ‖ x n + 1 − u 1 * ‖ q = 〈 x n + 1 − u 1 * ， j q ( x n + 1 − u 1 * ) 〉 = 〈 α n u + β n x n + ( 1 − α n − β n ) z n − u 1 * ， j q ( x n + 1 − u 1 * ) 〉 = α n 〈 u − u 1 * ， j q ( x n + 1 − u 1 * ) 〉 + β n 〈 x n − u 1 * ， j q ( x n + 1 − u 1 * ) 〉     + ( 1 − α n − β n ) 〈 z n − u 1 * ， j q ( x n + 1 − u 1 * ) 〉 ≤ α n 〈 u − u 1 * ， j q ( x n + 1 − u 1 * ) 〉 + β n ‖ x n − u 1 * ‖ ‖ j q ( x n + 1 − u 1 * ) ‖     + ( 1 − α n − β n ) ‖ z n − u 1 * ‖ ‖ j q ( x n + 1 − u 1 * ) ‖ ≤ α n 〈 u − u 1 * ， j q ( x n + 1 − u 1 * ) 〉 + β n ‖ x n − u 1 * ‖ ‖ x n + 1 − u 1 * ‖ q − 1     + ( 1 − α n − β n ) ‖ z n − u 1 * ‖ ‖ x n + 1 − u 1 * ‖ q − 1 = α n 〈 u − u 1 * ， j q ( x n + 1 − u 1 * ) 〉 + ( 1 − α n ) ‖ x n − u 1 * ‖ ‖ x n + 1 − u 1 * ‖ q − 1 ≤ α n 〈 u − u 1 * ， j q ( x n + 1 − u 1 * ) 〉 + ( 1 − α n ) ( 1 q ‖ x n − u 1 * ‖ q + q − 1 q ( ‖ x n + 1 − u 1 * ‖ q − 1 ) q q − 1 ) = α n 〈 u − u 1 * ， j q ( x n + 1 − u 1 * ) 〉 + ( 1 − α n ) ( 1 q ‖ x n − u 1 * ‖ q + q − 1 q ‖ x n + 1 − u 1 * ‖ q ) ≤ α n 〈 u − u 1 * ， j q ( x n + 1 − u 1 * ) 〉 + ( 1 − α n ) 1 q ‖ x n − u 1 * ‖ q + q − 1 q ‖ x n + 1 − u 1 * ‖ q 由上述式子可知 ‖ x n + 1 − u 1 * ‖ ≤ ( 1 − α n ) ‖ x n − u 1 * ‖ + q α n 〈 u − u 1 * ， j q ( x n + 1 − u 1 * ) 〉 因此，结合条件(1)，式子(3.16)和引理2.11，可以得出 lim n → ∞ x n = u 1 * 这里 F ϕ 是 E → F ϕ 的阳光非扩张映射，并且 ( u 1 * ， u 2 * ， ⋯ ， u l * ) ∈ E l ，其中 { u 1 * = T ρ 1 ( A 1 ， M 1 ) u 2 * ， u 2 * = T ρ 2 ( A 2 ， M 2 ) u 3 * ，                   ⋮ u l − 1 * = T ρ l − 1 ( A l − 1 ， M l − 1 ) u l − 1 * ， u l * = T ρ l ( A l ， M l ) u 1 * 是问题(1.4)的解。综上所述，定理3.1得以完全证明。