system: [SYSTEM]

user: 3. 最优再保险和投资策略 为了解决问题(11)，需要在 Q 下考虑财富过程，即将式(10)代入式(9)，有 d R ( a ， π ) ( t ) = [ r R ( a ， π ) ( t ) + π t ( α − r ) + μ ( a t ) + β 1 − ρ 2 π t m ( t ) ] d t + [ σ ( a t ) + β ρ π t ] d B 1 ( t ) + β 1 − ρ 2 π t d B 3 Q ( t ) ， R ( a ， π ) ( 0 ) = x . (12) 对于可控策略 ( a ， π ) 和任意函数 f ( t ， x ) ∈ C 1 ， 2 ，定义无穷小微分算子 A ( a ， π ) 为 A ( a ， π ) f ( t ， x ) = f t ( t ， x ) + [ r x + π t ( α − r ) + μ ( a t ) + β 1 − ρ 2 π t m ( t ) ] f x ( t ， x )               + 1 2 [ σ 2 ( a t ) + 2 σ ( a t ) β ρ π t + β 2 π t 2 ] f x x ( t ， x ) . (13) 其中 f x ( t ， x ) 、 f x x ( t ， x ) 分别表示关于 x 的一、二阶导数。 由动态规划原理和文献 [ 12 ]，可得到若 V ( t ， x ) ∈ C 1 ， 2 ，则值函数满足的HJB方程为 sup ( a ， π ) ∈ Ω inf m { A ( a ， π ) V ( t ， x ) + 1 2 ξ m 2 ϕ ( V ( t ， x ) ) } = 0 ， (14) 并且有边界条件 V ( T ， x ) = U ( x ) 。 假设 V ( t ， x ) < 0 ，选择合适的 ϕ ( x ) 来标准化惩罚的量级，有 ϕ ( − V ( t ， x ) ) = − V ( t ， x ) > 0. (15) 将式(13)和(15)代入式(14)，有 sup ( a ， π ) ∈ Ω inf m { V t ( t ， x ) + [ r x + π t ( α − r ) + μ ( a t ) + β 1 − ρ 2 π t m ] V x ( t ， x ) + 1 2 [ σ 2 ( a t ) + 2 σ ( a t ) β ρ π t + β 2 π t 2 ] V x x ( t ， x ) − 1 2 ξ m 2 V ( t ， x ) } = 0. (16) 因为 − 1 2 ξ V ( t ， x ) > 0 ，由一阶条件，为满足式(16)的最小化，则 m * 有 m * = β 1 − ρ 2 π t ξ V ( t ， x ) V x ( t ， x ) . (17) 将式(17)代入式(16)，有 sup ( a ， π ) ∈ Ω { V t ( t ， x ) + [ r x + π t ( α − r ) + μ ( a t ) + β 2 ( 1 − ρ 2 ) π t 2 2 ξ V ( t ， x ) V x ( t ， x ) ] V x ( t ， x ) + 1 2 [ σ 2 ( a t ) + 2 σ ( a t ) β ρ π t + β 2 π t 2 ] V x x ( t ， x ) } = 0. (18) 接下来，通过求解式(18)得到最优策略与值函数的表达式。 定理1 如果保险人采用指数效用函数(6)，对于任何 0 ≤ t ≤ T ，最优再保险和投资策略满足如下关系 a t * = F ¯ ( a * ) ( ξ + 1 − ρ 2 ) β − ρ ξ σ ′ ( a * ) [ ( α − r ) − σ ( a * ) β ρ θ K ( t ) ] F ¯ ( a * ) ( ξ + 1 − ρ 2 ) β θ K ( t ) ， π t * = [ ( α − r ) − σ ( a * ) β ρ θ K ( t ) ] ξ ( ξ + 1 − ρ 2 ) β 2 θ K ( t ) ， 值函数的形式为 V ( t ， x ) = − 1 θ exp ( − θ K ( t ) x + H ( t ) ) ， 其中 K ( t ) = exp ( r ( T − t ) ) ，函数 H ( t ) 的表达式为式(27)。 证明：首先，由式(6)和边界条件猜测值函数的形式为 V ( t ， x ) = − 1 θ exp ( − θ K ( t ) x + H ( t ) ) ， 其中 K ( t ) = exp ( r ( T − t ) ) 。由边界条件 V ( T ， x ) = U ( x ) ，可得 H ( T ) = 0 。然后，对 V ( t ， x ) 关于 t 和 x 分别 求偏导，有 V t ( t ， x ) = ( θ r K ( t ) x + H ′ ( t ) ) V ( t ， x ) ， (19) V x ( t ， x ) = − θ K ( t ) V ( t ， x ) ， (20) V x x ( t ， x ) = θ 2 K 2 ( t ) V ( t ， x ) ， (21) 将式(19)、(20)和(21)代入式(18)，化简后可得到 inf ( a ， π ) ∈ Ω { H ′ ( t ) − [ π t ( α − r ) + μ ( a t ) ] θ K ( t ) + 1 2 [ σ 2 ( a t ) + 2 σ ( a t ) β ρ π t + β 2 π t 2 + β 2 ( 1 − ρ 2 ) π t 2 ξ ] θ 2 K 2 ( t ) } = 0. (22) 由一阶条件、式(3)和(4)，可以得到 a t * = F ¯ ( a * ) − σ ′ ( a * ) β ρ θ K ( t ) π t * F ¯ ( a * ) θ K ( t ) ， (23) π t * = [ ( α − r ) − σ ( a * ) β ρ θ K ( t ) ] ξ ( ξ + 1 − ρ 2 ) β 2 θ K ( t ) ， (24) 将式(24)代入式(23)，有 a t * = F ¯ ( a * ) ( ξ + 1 − ρ 2 ) β − ρ ξ σ ′ ( a * ) [ ( α − r ) − σ ( a * ) β ρ θ K ( t ) ] F ¯ ( a * ) ( ξ + 1 − ρ 2 ) β θ K ( t ) . (25) 将式(24)代入式(22)，整理有 H ′ ( t ) − μ ( a * ) θ K ( t ) − ( α − r ) [ ( α − r ) − σ ( a * ) β ρ θ K ( t ) ] ξ ( ξ + 1 − ρ 2 ) β 2 + σ 2 ( a * ) θ 2 K 2 ( t ) + σ ( a * ) ρ [ ( α − r ) − σ ( a * ) β ρ θ K ( t ) ] ξ 2 ( ξ + 1 − ρ 2 ) β θ K ( t ) + ( 1 + 1 − ρ 2 ξ ) [ ( α − r ) − σ ( a * ) β ρ θ K ( t ) ] 2 ξ 2 2 ( ξ + 1 − ρ 2 ) 2 β 2 = 0. (26) 结合由边界条件得到的 H ( T ) = 0 ，有 H ( t ) = ∫ t T − μ ( a * ) θ K ( s ) − ( α − r ) [ ( α − r ) − σ ( a * ) β ρ θ K ( s ) ] ξ ( ξ + 1 − ρ 2 ) β 2 + σ 2 ( a * ) θ 2 K 2 ( s ) + σ ( a * ) ρ [ ( α − r ) − σ ( a * ) β ρ θ K ( s ) ] ξ 2 ( ξ + 1 − ρ 2 ) β θ K ( s ) + ( 1 + 1 − ρ 2 ξ ) [ ( α − r ) − σ ( a * ) β ρ θ K ( s ) ] 2 ξ 2 2 ( ξ + 1 − ρ 2 ) 2 β 2 d s . (27) 综上，式(24)、(25)和(27)为所求，即定理得证。 注3 定理1最优策略中的 a t * 简写为 a * 。由于再保险方式为超额损失再保险，分布函数未知，所以最优策略中都含有 a * 。 注4 由值函数 V ( t ， x ) 的表达式可以很容易的验证 V ( t ， x ) < 0 。此外，由于 E P [ exp ( 1 2 ∫ 0 T m ∗ ( s ) 2 ds ) ] = E P [ exp ( 1 2 ∫ 0 T [ β 1 − ρ 2 π t * ξ V ( t ， x ) V x ( t ， x ) ] 2 ds ) ] = E P [ exp ( 1 2 ∫ 0 T [ β 1 − ρ 2 π t * ξ V ( t ， x ) V x ( t ， x ) ] 2 ds ) ] = E P [ exp ( 1 2 ∫ 0 T [ β 1 − ρ 2 π t * ξ θ K ( t ) ] 2 ds ) ] < ∞ ， 所以 Λ ( t ) 满足Novikov条件。