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user: 4. 非线性分析和孤立波 本节将导出临界点 ( a c ， h c ) 附近的交通传播规律的非线性方程，并给出孤立波。 依据文献 [ 17 ] 的区域划分方法，由前面第3节中导出的稳定性条件，在车头间距与敏感度系数的图中依据临界曲线，将交通流的状态分为稳定区域、不稳定区域。运用约化摄动法导出相对应的Burgers方程，mKdV方程，分析交通流在不同区域密度波的传播规律。 将方程改写为： d 2 ( Δ x n ( t ) ) d t 2 = a { ∑ l = 1 m p l ( V ( Δ x n + l ( t ) ) − V ( Δ x n + l − 1 ( t ) ) ) − d ( Δ x n ( t ) ) d t } + λ [ ∑ l = 1 m q l ( d ( Δ x n + l ( t + t 0 ) ) d t − d ( Δ x n + l ( t ) ) d t ) ] (13) 4.1. 导出Burgers方程(在稳定区域) 在临界点附近定义慢变量 X 和 T 如下： X = ε ( n + b t ) ， T = ε 2 t (14) 其中 b 为待定参数， ε = a c / ( a − 1 ) ， 0 < ε ≤ 1 设车头间距如下： X = h + ε R ( X ， T ) (15) 将(14)和(15)代入(13)，通过泰勒展式至 ε 3 量级，得到如下非线性偏微分方程： ε 2 [ a ∑ l = 1 m p l V ′ ( h ) ∂ X R − a b ∂ X R ] + ε 3 [ ( a ∑ l = 1 m p l V ′ ( h ) 1 2 ( 2 l − 1 ) + λ ∑ l = 1 m q l t 0 b 2 − b 2 ) ⋅ ∂ X 2 R − a ∂ T R ] = 0 (16) 其中， V ′ ( h ) = d V ( Δ x n ( t ) ) d ( Δ x n ( t ) ) | Δ x n = h ， V ″ ( h ) = d 2 V ( Δ x n ( t ) ) d ( Δ x n ( t ) ) 2 | Δ x n = h ， ∂ T R = ∂ R ∂ T ， ∂ X 2 R = ∂ 2 R ∂ X 2 ， ∂ X k R = ∂ k R ∂ X k 令 b = V ′ ( h ) ，消去 ε 的二次项后，将(15)式化简为： ( V ′ ( h ) 2 ∑ l = 1 m p l ( 2 l − 1 ) + ( λ t 0 − 1 ) ( V ′ ( h ) ) 2 a ) ∂ X 2 R − ∂ T R = 0 (17) 由线性稳定性条件： a < ( 2 ( 1 − λ t 0 ) V ′ ( h ) ) / ∑ l = 1 m p l ⋅ ( 2 l − 1 ) (18) 可知，在稳定区域内： V ′ ( h ) 2 ∑ l = 1 m p l ( 2 l − 1 ) + ( λ t 0 − 1 ) ( V ′ ( h ) ) 2 a > 0 (19) 在这里，(16)是一个Burgers方程，它的一个解为： R ( X ， T ) = 1 | V ″ ( h ) | T [ X − 1 2 ( η n + η n + 1 ) ] − 1 2 | V ″ ( h ) | T ( η n + 1 − η n ) × tanh [ 1 4 | V ″ ( h ) | T ( V ′ ( h ) 2 ∑ l = 1 m p l ( 2 l − 1 ) + ( λ t 0 − 1 ) ( V ′ ( h ) ) 2 a ) ( η n + 1 − η n ) ( X − ζ n ) ] (20) 其中， η n 表示沿着 x 轴的斜率， ζ n 表示激波波前的坐标。 b = V ′ ( h ) 是三角激波的传播速度。三角激波相对交通流中的车辆行进方向是向后传播，当平均车间距增加时，传播速度逐渐减小。当 m = 1 ， t 0 = 0 时，模型(6)退化为OVM模型，此时 R 1 ( X ， T ) = 1 | V ″ ( h ) | T [ X − 1 2 ( η n + η n + 1 ) ] − 1 2 | V ″ ( h ) | T ( η n + 1 − η n ) × tanh [ 1 4 | V ″ ( h ) | T ( V ′ ( h ) 2 − ( V ′ ( h ) ) 2 a ) ( η n + 1 − η n ) ( X − ζ n ) ] . 令 y = V ′ ( h ) 2 − ( V ′ ( h ) ) 2 a ，易得：当 V ′ ( h ) = a 4 时， y 有最大值为 a 16 。 同理，令 y 1 = V ′ ( h ) 2 ∑ l = 1 m p l ( 2 l − 1 ) + λ t 0 − 1 a ( V ′ ( h ) ) 2 ，有如下结论： i) 当 λ t 0 − 1 > 0 时，令 y 1 = 0 ，得 V ′ ( h ) = − 1 2 ( ∑ l = 1 m p l ( 2 l − 1 ) ) ⋅ a λ t 0 − 1 < 0 ，但因为 V ′ ( Δ x ) = v max 2 ⋅ [ ( 1 cosh ( Δ x − h c ) ) 2 + ( 1 cosh ( h c ) ) 2 ] > 0 恒成立。因为 λ t 0 − 1 > 0 ，所以当取 t 0 = 0.1 时， λ > 10 ，这显然不符合实际。 ii) 当 λ t 0 − 1 < 0 时，即 λ t 0 < 1 ，令 y 1 = 0 ，得到 V ′ ( h ) = 1 2 ( ∑ l = 1 m p l ( 2 l − 1 ) ) ⋅ a 1 − λ t 0 > 0 。当 V ′ ( h ) = 1 4 ( ∑ l = 1 m p l ( 2 l − 1 ) ) ⋅ a 1 − λ t 0 时， y 1 有最大值 1 16 ( ∑ l = 1 m p l ( 2 l − 1 ) ) 2 ⋅ a 1 − λ t 0 ，由权重参数 p l 的性质可知，当 m 变大时， ∑ l = 1 m p l ( 2 l − 1 ) 变大且 ∑ l = 1 m p l ( 2 l − 1 ) ≥ 1 ，从而有 ( ∑ l = 1 m p l ( 2 l − 1 ) ) 2 ≥ 1 ，容易证明，当 0 < λ t 0 < 1 ， 1 ≤ ( ∑ l = 1 m p l ( 2 l − 1 ) ) 2 时， ( ∑ l = 1 m p l ( 2 l − 1 ) ) 2 / ( 1 − λ t 0 ) ≥ 1 恒成立，从而 1 16 ( ∑ l = 1 m p l ( 2 l − 1 ) ) 2 ⋅ a 1 − λ t 0 ≥ a 16 在 λ t 0 − 1 < 0 时成立，于是 R ( X ， T ) ≤ R 1 ( X ， T ) ，这说明模型(6)相比较于OVM模型更容易演化为稳定的交通流。 4.2. 导出mKdv方程(在不稳定区域) 在临界点 ( a c ， h c ) (其中 a c 为临界敏感度， h c 为临界车头间距)附近，定义两个慢变量 X 和 T 如下： X = ε ( n + b t ) ， T = ε 3 t ， (21) 其中 b 为待定参数， ε = a c / ( a − 1 ) ， 0 < ε ≤ 1 设车头间距如下： X = h c + ε R ( X ， T ) (22) 将(21)式和(22)式代入(13)，利用泰勒展开式至 ε 5 量级，得到如下非线性偏微分方程： ε 2 [ ∑ l = 1 m p l V ′ ( h c ) − b ] a ∂ X R + ε 3 [ a ∑ l = 1 m p l V ′ ( h c ) 1 2 ( 2 l − 1 ) + ( λ t 0 − 1 ) b 2 ] ∂ X 2 R + ε 4 [ ( a ∑ l = 1 m p l V ′ ( h c ) 1 6 ( 3 l 2 − 3 l + 1 ) + λ t 0 l b 2 + λ t 0 2 2 b 3 ) ∂ X 3 R + a V ‴ ( h c ) 2 ( ∂ X R ) 3 − a ∂ T R ] + ε 5 [ ( a ∑ l = 1 m p l V ′ ( h c ) 1 24 ( 4 l 3 − 6 l 2 + 4 l − 1 ) + t 0 2 2 λ l b 3 + t 0 3 6 λ b 4 ) ∂ X 4 R ] + ε 5 [ a V ‴ ( h c ) 4 ∑ l = 1 m p l ( 2 l − 1 ) ( ∂ X 2 R ) 3 + 2 b ( λ t 0 − 1 ) ∂ X ∂ T R ] = 0 (23) 其中， V ′ ( h c ) = d V ( Δ x n ( t ) ) d Δ x n ( t ) | Δ x n ( t ) = h c ， V ‴ ( h c ) = d 3 V ( Δ x n ( t ) ) d ( Δ x n ( t ) ) 3 | Δ x n ( t ) = h c 在临界点 ( a c ， h c ) 附近，条件(12)成立，此时，取 b = ∑ l = 1 m p l V ′ ( h c ) ， a c = ( 1 + ε 2 ) a ， a c = ( 2 ( 1 − λ t 0 ) V ′ ( h c ) ) / ∑ l = 1 m p l ⋅ ( 2 l − 1 ) 。忽略 ε 2 ， ε 3 量级时，方程(23)简化为如下形式： ∂ T R − c 1 ∂ X 3 R + c 2 ∂ X R 3 + ε ( c 3 ∂ X 2 R + c 4 ∂ X 4 R + c 5 ∂ X 2 R 3 ) = 0 (24) 其中： ∂ X R 3 = ( ∂ X R ) 3 ， ∂ X 2 R 3 = ( ∂ X 2 R ) 3 ； c 1 = ∑ l = 1 m p l V ′ ( h c ) 1 6 ( 3 l 2 − 3 l + 1 ) + λ t 0 l ( V ′ ( h c ) ) 2 a c + λ t 0 2 ( V ′ ( h c ) ) 3 2 a c c 2 = − V ‴ ( h c ) 2 c 3 = − ∑ l = 1 m p l V ′ ( h c ) 1 2 ( 2 l − 1 ) c 4 = 2 V ′ ( h c ) ( λ t c − 1 ) [ ∑ l = 1 m p l V ′ ( h c ) 1 6 ( 3 l 2 − 3 l + 1 ) + λ t 0 l ( V ′ ( h c ) ) 2 a c + λ t 0 2 ( V ′ ( h c ) ) 3 2 a c ] + [ − V ′ ( h c ) 24 ∑ l = 1 m p l ( 4 l 3 − 6 l 2 + 4 l − 1 ) − t 0 2 2 a c λ l ( V ′ ( h c ) ) 3 − t 0 3 6 a c λ ( V ′ ( h c ) ) 4 ] c 5 = V ‴ ( h c ) 2 [ 2 V ′ ( h c ) ( λ t 0 − 1 ) − 1 2 ∑ l = 1 m p l ( 2 l − 1 ) ] 为了得到修正后的mKdV方程，做如下线性变换： T ′ = c 1 T ， R = c 1 c 2 R ′ (25) 得到含有 O ( ε ) 校正项的方程如下： ∂ T R ′ + ∂ X R ′ 3 − ∂ X 3 R ′ + ε M [ R ′ ] = 0 (26) 其中， M [ R ′ ] = 1 c 1 [ c 3 ∂ X 2 R ′ + c 4 ∂ X 4 R ′ + c 1 c 5 c 2 ∂ X 2 R ′ 3 ] (27) 在(26)中忽略校正项 O ( ε ) ，就是mKdV方程，它有扭结—反扭结波解为： R ′ 0 ( X ， T ′ ) = c tanh c 2 ( X − c T ′ ) (28) 这里 c 是表示传播速度，为了得到 c ， R ′ 0 ( X ， T ′ ) 需要满足可解性条件 [ 11 ] 如下： ( R ′ 0 ， M [ R ′ 0 ] ) = ∫ − ∞ + ∞ d X R ′ 0 ( X ， T ′ ) M [ R ′ 0 ( X ， T ′ ) ] = 0 (29) 通过文献 [ 24 ]，我们得到扭结—反扭结波的传播速度为： c = 5 c 2 c 3 2 c 2 c 4 − 3 c 1 c 5 (30) 于是，方程(26)的解为 R ( X ， T ) = [ ∑ l = 1 m p l V ′ ( h c ) 1 3 ( 3 l 2 − 3 l + 1 ) + 2 λ t 0 l ( V ′ ( h c ) ) 2 a c + λ t 0 2 ( V ′ ( h c ) ) 3 a c ] c − V ‴ × tanh c 2 [ X − c T ( ∑ l = 1 m p l V ′ ( h c ) 1 6 ( 3 l 2 − 3 l + 1 ) + λ t 0 l ( V ′ ( h c ) ) 2 a c + λ t 0 2 ( V ′ ( h c ) ) 3 2 a c ) ] (31) 因此，车头间距的扭结–反扭结密度波的解 [ 23 ] 为 Δ x n ( t ) = h c + c 1 c c 2 ( a c a − 1 ) tanh ⋅ c 2 ( a c a − 1 ) [ n + ( − c c 1 ( a c a − 1 ) ) t ] (32) 从而，扭结–反扭结解的振幅 A 写为： A = c 1 c c 2 ( a c a − 1 ) (33) 其中， a c = ( 2 ( 1 − λ t 0 ) V ′ ( h c ) ) / ∑ l = 1 m p l ⋅ ( 2 l − 1 ) 我们上式中的 c 1 ， c 2 代入，得到 A = ( ∑ l = 1 m p l V ′ ( h c ) 1 6 ( 3 l 2 − 3 l + 1 ) + λ t 0 l ( V ′ ( h c ) ) 2 a c + λ t 0 2 ( V ′ ( h c ) ) 3 2 a c ) c ( a c a − 1 ) ⋅ ( 2 V ‴ ( h c ) ) (34) 此时，在临界点附近的扭结–反扭结解，可以表示交通流会发生交通阻塞和交通流稳定的临界情况，该过程通过mKdV方程描述，具体包括交通流稳定时的自由流相和交通阻塞时的阻塞相，由 Δ x n ( t ) = h c + A 和 Δ x n ( t ) = h c − A 分别给出了自由流相和阻塞相的车头间距。从(34)可知，当 m 和 t 0 增大时，振幅 A 越小。交通堵塞现象越弱。