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user: 4. 两模型下向量函数 ϕ 的BLUP/BLUE的等价条件 根据第三节中得到的两模型未知参数向量函数 ϕ 的BLUP的解析表达式，并通过第二节中矩阵秩方法，我们推导出两模型未知参数向量函数 ϕ 的BLUP相等的各种等价条件。假设(7)中向量 ϕ 在(2)下可预测，因此，由(13)和(21)中的BLUP B L U P M 1 ( ϕ ) = L 1 y 和 B L U P M 2 ( ϕ ) = L 2 y (30) 其中 L 1 ， L 2 如下所示 L 1 = [ A ， N X ^ ⊥ ] [ X ^ ， V X ^ ⊥ ] + + U 1 [ X ^ ， V X ^ ⊥ ] ⊥ (31) L 2 = [ A * ， N W ⊥ ] [ W ， V W ⊥ ] + + U 2 [ W ， V W ⊥ ] ⊥ (32) 这里 U 1 ， U 2 ∈ ℝ k × n 是任意的。因为(30)中的 L 1 ， L 2 分别是方程(13)和(21)的解，这里存在 B L U P M 1 ( ϕ ) ， B L U P M 2 ( ϕ ) 满足 B L U P M 1 ( ϕ ) = B L U P M 2 ( ϕ ) ，当且仅当两个矩阵方程有共同的解等式成立。 定理2：向量 ϕ 分别在模型(1)和模型(2)下可预测，且(22)成立， B L U P M 1 ( ϕ ) ， B L U P M 2 ( ϕ ) 分别如(13)、(21)所示，下面结论等价。 (a) B L U P M 1 ( ϕ ) = B L U P M 2 ( ϕ ) ； (b) r [ V X ^ F X ^ ′ 0 0 N A 0 ] = r [ V X ^ F X ^ ′ 0 0 ] ； (c) r [ F ⊥ V X ^ ⊥ F ⊥ X ^ N X ^ ⊥ A ] = r [ F ⊥ V X ^ ⊥ ， F ⊥ X ^ ] ； (d) R ( [ N A 0 ] ′ ) ⊆ R ( [ V X ^ F X ^ ′ 0 0 ] ′ ) ； (e) R ( [ N X ^ ⊥ ， A ] ′ ) ⊆ R ( [ F ⊥ V X ^ ⊥ ， F ⊥ X ^ ] ′ ) 。 证明：定理2：合并(13)和(21)得到一个新的方程如下 L 0 [ X ^ ， V X ^ ⊥ ， W ， V W ⊥ ] = [ A ， N X ^ ⊥ ， A * ， N W ⊥ ] 根据引理3，该方程有一个解的 L 0 当且仅当 r [ X ^ V X ^ ⊥ W V W ⊥ A N X ^ ⊥ A * N W ⊥ ] = r [ X ^ ， V X ^ ⊥ ， W ， V W ⊥ ] r [ X ^ V X ^ ⊥ W V W ⊥ A N X ^ ⊥ A * N W ⊥ ] = r [ X ^ V X ^ ⊥ X ^ F V W ⊥ A N X ^ ⊥ A 0 N W ⊥ ] = r [ X ^ V X ^ ⊥ F A N X ^ ⊥ 0 ] = r [ V X ^ F X ^ 0 0 N A 0 ] − r ( X ^ )     ( by   ( 11 )   and   X ⊥ = F X ′ ) = r [ F ⊥ V X ^ ⊥ F ⊥ X ^ N X ^ ⊥ A ] + r ( F )     ( by   (12) ) r [ X ^ ， V X ^ ⊥ ， W ， V W ⊥ ] = r [ X ^ ， V X ^ ⊥ ， X ^ ， 0 ， V W ⊥ ] = r [ V X ^ F X ^ 0 0 ] − r ( X ^ ) = r [ F ⊥ V X ^ ⊥ ， F ⊥ X ^ ] + r (D) 当向量 ϕ 的表达式不同时，所得到的相关未知参数BLUP的解析表达以也不同，因此我们得到以下相关推论。 推论1：向量 A α 分别在模型(1)和模型(2)下可预测，并且 B L U P M 1 ( A α ) ， B L U P M 2 ( A α ) 分别如(14)，(22)所示，下面结论等价。 (a) B L U E M 1 ( A α ) = B L U E M 2 ( A α ) ； (b) r [ V X ^ F X ^ ′ 0 0 0 A 0 ] = r [ V X ^ F X ^ ′ 0 0 ] ； (c) r [ F ⊥ V X ^ ⊥ F ⊥ X ^ 0 A ] = r [ F ⊥ V X ^ ⊥ ， F ⊥ X ^ ] ； (d) R ( [ 0 A 0 ] ′ ) ⊆ R ( [ V X ^ F X ^ ′ 0 0 ] ′ ) ； (e) R ( [ 0 ， A ] ′ ) ⊆ R ( [ F ⊥ V X ^ ⊥ ， F ⊥ X ^ ] ′ ) 。 (f) 特别地，下面结论等价。 (I) 这里存在 B L U E M 1 ( X Z α ) ， 满足 B L U E M 1 ( X Z α ) = B L U E M 2 ( X Z α ) ； (II) r [ V X ^ F X ^ ′ 0 0 0 X ^ 0 ] = r [ V X ^ F X ^ ′ 0 0 ] ； (III) r [ F ⊥ V X ^ ⊥ F ⊥ X ^ 0 X ^ ] = r [ F ⊥ V X ^ ⊥ ， F ⊥ X ^ ] ； (IV) R ( [ 0 ， X ^ ， 0 ] ′ ) ⊆ R ( [ V X ^ F X ^ ′ 0 0 ] ′ ) ； (V) R ( [ 0 ， X ^ ] ′ ) ⊆ R ( [ F ⊥ V X ^ ⊥ ， F ⊥ X ^ ] ′ ) 。 推论2：向量 X β 分别在模型(1)和模型(2)下可预测，并且 B L U P M 1 ( X β ) ， B L U P M 2 ( X β ) 分别由(13)，(21)所给出，下面结论等价。 (a) B L U P M 1 ( X β ) = B L U P M 2 ( X β ) ； (b) r [ V X ^ F X ^ ′ 0 0 X Σ X ˜ ′ X ^ 0 ] = r [ V X ^ F X ^ ′ 0 0 ] ； (c) r [ F ⊥ V X ^ ⊥ F ⊥ X ^ X Σ X ˜ ′ X ^ ⊥ X ^ ] = r [ F ⊥ V X ^ ⊥ ， F ⊥ X ^ ] ； (d) R ( [ X Σ X ˜ ′ ， X ^ ， 0 ] ′ ) ⊆ R ( [ V X ^ F X ^ ′ 0 0 ] ′ ) ； (e) R ( [ X Σ X ˜ ′ X ^ ⊥ ， X ^ ] ′ ) ⊆ R ( [ F ⊥ V X ^ ⊥ ， F ⊥ X ^ ] ′ ) 。 推论3：向量 ε 分别在模型(1)和模型(2)下可预测，并且 B L U P M 1 ( ε ) ， B L U P M 2 ( ε ) 分别由(13)，(21)所给出，下面结论等价。 (a) B L U P M 1 ( ε ) = B L U P M 2 ( ε ) ； (b) r [ V X ^ F X ^ ′ 0 0 S Σ X ^ ′ 0 0 ] = r [ V X ^ F X ^ ′ 0 0 ] ； (c) r [ F ⊥ V X ^ ⊥ F ⊥ X ^ S Σ X ^ ′ X ^ ⊥ 0 ] = r [ F ⊥ V X ^ ⊥ ， F ⊥ X ^ ] ； (d) R ( [ S Σ X ^ ′ ， 0 ， 0 ] ′ ) ⊆ R ( [ V X ^ F X ^ ′ 0 0 ] ′ ) ； (e) R ( [ S Σ X ^ ′ X ^ ⊥ ， 0 ] ′ ) ⊆ R ( [ F ⊥ V X ^ ⊥ ， F ⊥ X ^ ] ′ ) 。