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user: 2. M 4 ( E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ) 上素自同构的表示 2.1. 整表示的直和分解 定理2.1：(Curtis and Reiner [ 3 ] )设M为紧致定向闭单连通拓扑流形，G为p阶循环群。G在M上的作用 ρ : G → Aut ( H 2 ( M ) ， ∪ ) 对应 H 2 ( M ) 上的整 Z p -表示，且可以直和分解为三个不可分表示块： 1) 平凡部分(1维)：Z，G作用平凡； 2) 割圆部分( p − 1 维)： Z [ μ p ] ，G在 Z [ μ p ] 任意非零理想J上的作用为 μ p 的乘法； 3) 正则部分( p 维)： Z [ Z p ] ，G作用为对基向量的置换，即 Z [ μ p ] 中非零理想J的原像， Z [ G ] 的 J ˜ 上作用为 Z [ G ] → Z [ μ p ] 自然映射 g → μ p 。 这里 μ p ≡ exp ( 2 π i / p ) 为 p 重单位根。 定理2.1源于Curtis 和Reiner 的论述(见 [ 3 ] 729页)。特别地，当 p = 2 时，有一个漂亮的初等证明。如果定理2.1中2)和3)的理想J正好是主理想，那么对应的不可分解的表示是标准的，即等价于对 Z [ μ p ] 或 Z [ G ] 是一个 Z [ G ] -模。必须含有一个非主理想的J的不可分表示则是伪的。Reiner的工作指出，G的一个整表示可以如定理2.1中直和分解，且至多有一个伪的直和部分。注意到，由G-模恒等式 J 1 ⊕ J 2 ≈ J 1 J 2 ⊕ Z [ μ p ] 以及含有扭扩张的类似等式可知这样的分解并不是唯一的。在这种情形下，理想J其实决定了 Z [ μ p ] 理想类群中表示的理想类不变量。事实上，理想类不变量可以由所有出现的理想J的乘积给出。Swan [ 4 ] 指出，紧致多面体上分段线性作用不可能出现非平凡的理想类不变量(亦可参见Weintraub [ 5 ] )。值得注意的是，Ruberman和Weinberger 发现了如何构造四维流形上有伪理想类的拓扑作用的例子。于是自然的有一个问题：四维流形上局部线性作用可不可能出现伪理想类；可不可以精确描述出在四维流形上的一个一般拓扑作用可能出现的理想类。已经知道，当p < 23时，理想类群 Z [ μ p ] 消失，没有伪类出现。当第二Betti数 b 2 ( M ) < 22 时，也没有伪类出现。以及当系数群取有理数时，也没有伪类存在。事实上， J ⊗ Q ≈ Q [ μ p ] ， J ˜ ⊗ Q ≈ Q [ G ] 。特别的，由 Q [ Z p ] ≈ Q [ μ p ] ⊕ Q ，有理系数表示可以表述成若干个Q与 Q [ μ p ] 的和。 简言之，G在M上的作用对应的二阶上同调整表示可以直和分解为： H 2 ( M ) = Z [ Z p ] r ⊕ Z [ μ p ] c ⊕ Z t ( r ， c ， t 为非负整数)。 2.2. M 4 ( E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ) 上周期为3的整表示 定理2.2：当 p = 3 时， M 4 ( E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ) 上所有可能的素自同构的表示为： Z [ Z 3 ] ⊕ Z 29 ， Z [ Z 3 ] 2 ⊕ Z 26 ， Z [ Z 3 ] 3 ⊕ Z 23 ， Z [ Z 3 ] 4 ⊕ Z 20 ， Z [ Z 3 ] 5 ⊕ Z 17 ， Z [ Z 3 ] 6 ⊕ Z 14 ， Z [ Z 3 ] 7 ⊕ Z 11 ， Z [ Z 3 ] 8 ⊕ Z 8 ； Z [ μ 3 ] 2 ⊕ Z 28 ， Z [ Z 3 ] ⊕ Z [ μ 3 ] 2 ⊕ Z 25 ， Z [ Z 3 ] 2 ⊕ Z [ μ 3 ] 2 ⊕ Z 22 ， Z [ Z 3 ] 3 ⊕ Z [ μ 3 ] 2 ⊕ Z 19 ， Z [ Z 3 ] 4 ⊕ Z [ μ 3 ] 2 ⊕ Z 16 ， Z [ Z 3 ] 5 ⊕ Z [ μ 3 ] 2 ⊕ Z 13 ， Z [ Z 3 ] 6 ⊕ Z [ μ 3 ] 2 ⊕ Z 10 ， Z [ Z 3 ] 7 ⊕ Z [ μ 3 ] 2 ⊕ Z 7 ， Z [ Z 3 ] 8 ⊕ Z [ μ 3 ] 2 ⊕ Z 4 ； Z [ μ 3 ] 4 ⊕ Z 24 ， Z [ Z 3 ] ⊕ Z [ μ 3 ] 4 ⊕ Z 21 ， Z [ Z 3 ] 2 ⊕ Z [ μ 3 ] 4 ⊕ Z 18 ， Z [ Z 3 ] 3 ⊕ Z [ μ 3 ] 4 ⊕ Z 15 ， Z [ Z 3 ] 4 ⊕ Z [ μ 3 ] 4 ⊕ Z 12 ， Z [ Z 3 ] 5 ⊕ Z [ μ 3 ] 4 ⊕ Z 9 ， Z [ Z 3 ] 6 ⊕ Z [ μ 3 ] 4 ⊕ Z 6 ， Z [ Z 3 ] 7 ⊕ Z [ μ 3 ] 4 ⊕ Z 3 ， Z [ Z 3 ] 8 ⊕ Z [ μ 3 ] 4 ； Z [ μ 3 ] 6 ⊕ Z 20 ， Z [ Z 3 ] ⊕ Z [ μ 3 ] 6 ⊕ Z 17 ， Z [ Z 3 ] 2 ⊕ Z [ μ 3 ] 6 ⊕ Z 14 ， Z [ Z 3 ] 3 ⊕ Z [ μ 3 ] 6 ⊕ Z 11 ， Z [ Z 3 ] 4 ⊕ Z [ μ 3 ] 6 ⊕ Z 8 ， Z [ Z 3 ] 5 ⊕ Z [ μ 3 ] 6 ⊕ Z 5 ， Z [ Z 3 ] 6 ⊕ Z [ μ 3 ] 6 ⊕ Z 2 ； Z [ μ 3 ] 8 ⊕ Z 16 ， Z [ Z 3 ] ⊕ Z [ μ 3 ] 8 ⊕ Z 13 ， Z [ Z 3 ] 2 ⊕ Z [ μ 3 ] 8 ⊕ Z 10 ， Z [ Z 3 ] 3 ⊕ Z [ μ 3 ] 8 ⊕ Z 7 ， Z [ Z 3 ] 4 ⊕ Z [ μ 3 ] 8 ⊕ Z 4 ， Z [ Z 3 ] 5 ⊕ Z [ μ 3 ] 8 ⊕ Z ； Z [ μ 3 ] 10 ⊕ Z 12 ， Z [ Z 3 ] ⊕ Z [ μ 3 ] 10 ⊕ Z 9 ， Z [ Z 3 ] 2 ⊕ Z [ μ 3 ] 10 ⊕ Z 6 ， Z [ Z 3 ] 3 ⊕ Z [ μ 3 ] 10 ⊕ Z 3 ， Z [ Z 3 ] 4 ⊕ Z [ μ 3 ] 10 ； Z [ μ 3 ] 12 ⊕ Z 8 ， Z [ Z 3 ] ⊕ Z [ μ 3 ] 12 ⊕ Z 5 ， Z [ Z 3 ] 2 ⊕ Z [ μ 3 ] 12 ⊕ Z 2 ； Z [ μ 3 ] 14 ⊕ Z 4 ， Z [ Z 3 ] ⊕ Z [ μ 3 ] 14 ⊕ Z ； Z [ μ 3 ] 16 。 证明：由整表示的直和分解，设 H 2 ( E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ) = Z [ Z 3 ] r ⊕ Z [ μ 3 ] c ⊕ Z t ，有 3 r + 2 c + t = 32 。又由 E 8 不可分，排除 Z [ Z 3 ] 9 ⊕ Z 5 ， Z [ Z 3 ] 10 ⊕ Z 2 ， Z [ Z 3 ] 9 ⊕ Z [ μ 3 ] 2 ⊕ Z 的情形即证。 2.3. 伪自由情形 定理2.3：(Edmonds 和Ewing) [ 6 ] 令 Φ 为 Z [ Z 3 ] -模 V = Z [ Z p ] r ⊕ Z t 上 Z 3 -不变的正定对称幺模双线性型，则当且仅当 t ≤ 1 时 Φ 可以实现为一个其上有局部线性的伪自由 Z 3 作用的单连通的闭四维流形的相交形式。 由定理2.2，观察 E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 的素自同构，整表示为 Z [ Z 3 ] r ⊕ Z t 型的情形皆不满足上述定理的条件。由此， E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 ⊕ E 8 上 Z [ Z 3 ] r ⊕ Z t 型的整表示不可以由局部线性伪自由的周期为 p = 3 的同构实现。以下重点考虑不动点集 M G 含二维不动分支的整表示的情形。