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user: 2. 预备知识和引理 本文中，我们作如下假设： (H 1 ) a > 0 ， b > 0 ； (H 2 ) f ∈ C ( [ 0 ， 1 ] × [ 0 ， ∞ ) ， R ) ， f ( t ， 0 ) > 0 ， ∀ t ∈ [ 0 ， 1 ] ； (H 3 ) A ( t ) ， B ( t ) 是有界变差函数，且 ∫ 0 1 d A ( t ) ≜ α [ 1 ^ ] > 0 ， ∫ 0 1 d B ( t ) ≜ β [ 1 ^ ] > 0 。 对于问题(1.1)，我们将其转化为对以下相应Hammerstein积分方程解的存在性： 其中 G ( t ， s ) 为以下问题的Green函数： { u ″ ( t ) = 0 ， t ∈ ( 0 ， 1 ) ， a u ( 0 ) − b u ′ ( 0 ) = 0 ， u ′ ( 1 ) = 0. 即 G ( t ， s ) = { 1 a ( a s + b ) ， s ≤ t ， 1 a ( a t + b ) ， t ≤ s . 则 G t ( t ， s ) = { 0 ， s ≤ t ， 1 ， t ≤ s ， 且 b a + b G ( s ， s ) ≤ G ( t ， s ) ≤ G ( s ， s ) ， ∀ t ， s ∈ [ 0 ， 1 ] . 令 X = C [ 0 ， 1 ] = { u : u 为 [ 0 ， 1 ] 上 的 连 续 函 数 } 。对 u ∈ X ，定义 ‖ u ‖ = max t ∈ [ 0 ， 1 ] | u ( t ) | ， 则 ( X ， ‖ ⋅ ‖ ) 为一Banach空间。 K = { u∈ X : u (t ) ≥ 0 } ， 考虑 K ′ = { u ∈ X : u ( t ) ≥ b a + b ‖ u ‖ } ， 显然， K ， K ′ ⊆ X 为X中的两个锥，且 K ′ ⊆ K 。对 ∀ u ∈ K ′ ，定义 θ ( u ) = min t ∈ [ 0 ， 1 ] | u ( t ) | . 令 ( ⋅ ) + = max { ⋅ ， 0 } ，我们定义算子 T ， A ， T * 如下： T : K → K ， A : K → X ， T * : K ′ → K ′ ， 使 ( T u ) ( t ) = [ 1 a α [ u ] + ( b a + t ) β [ u ] + ∫ 0 1 G ( t ， s ) q ( s ) f ( s ， u ( s ) ) d s ] + ， t ∈ [ 0 ， 1 ] ， ( T * u ) ( t ) = 1 a α [ u ] + ( b a + t ) β [ u ] + ∫ 0 1 G ( t ， s ) q ( s ) f + ( s ， u ( s ) ) d s ， t ∈ [ 0 ， 1 ] . 注1：若 Φ : X → X 为一泛函， ，则 T = Φ ∘ A 。 引理2.1： T * : K ′ → K ′ 为全连续算子。 证明：首先我们证明 T * : K ′ → K ′ 。 对 ∀ u ∈ K ′ ，有 T * u ∈ C [ 0 ， 1 ] ，且 ( T * u ) ( t ) = 1 a α [ u ] + ( b a + t ) β [ u ] + ∫ 0 1 G ( t ， s ) q ( s ) f + ( s ， u ( s ) ) d s ≥ 1 a α [ u ] + ( b a + t ) β [ u ] + b a + b ∫ 0 1 G ( s ， s ) q ( s ) f + ( s ， u ( s ) ) d s ≥ b a + b ( 1 a α [ u ] + ( b a + t ) β [ u ] + b a + b ∫ 0 1 G ( s ， s ) q ( s ) f + ( s ， u ( s ) ) d s ) ≥ b a + b ‖ T * u ‖ . 所以， T * : K ′ → K ′ 。 再由f的连续性及 f + 的定义，通过Arzela-Ascoli定理，我们知 为全连续算子。 引理2.2：函数 u ( t ) 是三点边值问题(1.1)的正解，当且仅当 u ( t ) 是算子A在锥中的不动点。 引理2.3：如果算子 A : K → X 是全连续的，那么算子 T = Φ ∘ A : K → K 是全连续的。 注2：根据f的连续性， A : K → X 是全连续的，因此由引理2.2知，算 T : K → K 也是全连续的。 引理2.4：如果u是T的不动点，那么u也是A的不动点。 证明：假设u是T的不动点，则对 ∀ t ∈ [ 0 ， 1 ] ， A u ( t ) ≥ 0 ，u也是A的不动点。 为此，我们只需要证如果 ( T u ) ( t ) = u ( t ) ， ∀ t ∈ [ 0 ， 1 ] ，那么 ( A u ) ( t ) ≥ 0 ， ∀ t ∈ [ 0 ， 1 ] . 反之，如果 ∃ t 0 ∈ [ 0 ， 1 ] ，使得 。令 ( t 1 ， t 2 ) 为包含 t 0 点且使得 的最大区间，则 u ( t ) = 0 ， t ∈ [ t 1 ， t 2 ] ，从而 ( A u ) ′ ​ ′ ( t ) = − q ( t ) f ( t ， 0 ) < 0 ， t ∈ ( t 1 ， t 2 ) . 1) t 1 = 0 。 若 t 2 < 1 ，则 ( A u ) ( t 2 ) = 0 ，且 ( A u ) ( t ) < 0 ， t ∈ ( t 1 ， t 2 ) ，而 时， ( A u ) ′ ​ ′ ( t ) < 0 ，即 A u 在 [ t 1 ， t 2 ] 上为凹函数，所以 ( A u ) ′ ( t ) > 0 。但又 α ( A u ) ( 0 ) − b ( A u ) ′ ( 0 ) = α [ u ] ， 可知 ( A u ) ( 0 ) = b ( A u ) ′ ( 0 ) + α [ u ] b > 0. 由此得出矛盾。 若 t 2 = 1 ，此时 ，且 ，故 ( A u ) ( t ) = 1 a α [ 0 ] + ( b a + t ) β [ 0 ] + ∫ 0 1 G ( t ， s ) q ( s ) f ( s ， 0 ) d s ， t ∈ [ 0 ， 1 ] . 由此也得出矛盾。 2) t 1 > 0 。 若 t 2 < 1 ，则 ( A u ) ( t 1 ) = 0 ， ( A u ) ( t 2 ) = 0 ，且 ( A u ) ( t ) < 0 ， t ∈ ( t 1 ， t 2 ) 于是 ， ( A u ) ′ ​ ′ ( t ) = − q ( t ) f ( t ， 0 ) < 0 ， t ∈ ( t 1 ， t 2 ) 。 所以， ( A u ) ( t ) > ( A u ) ( t 1 ) = ( A u ) ( t 2 ) = 0. 矛盾。 若 t 2 = 1 ，则 ( A u ) ( t 1 ) = 0 ， ( A u ) ( t ) < 0 ， t ∈ ( t 1 ， t 2 ) ，于是 u ( t ) = 0 ， t ∈ [ t 1 ， t 2 ] ，   ( A u ) ′ ​ ′ ( t ) = − q ( t ) f ( t ， 0 ) < 0 ， t ∈ ( t 1 ， t 2 ) . 从而 ( A u ) ′ ( t ) 单调递减，而我们知 ( A u ) ′ ( t 1 ) ≤ 0 ，从而 ( A u ) ′ ( t ) < 0 ， t ∈ ( t 1 ， 1 ] 。这与 ( A u ) ′ ( 1 ) = β [ u ] ≥ 0 矛盾。 引理2.5 [ 5 ] (Leggett-Williams三解定理)：设 是全连续的， a 是P上的一个非负连续凹泛函，满足当 u ∈ P ¯ c 时， α ( u ) ≤ ‖ u ‖ ，假设存在 0 < a < b < d ≤ c ，使得 (C 1 ) 当 { u ∈ P ( a ， b ， d ) : α ( u ) > b } ≠ ∅ ，且 u ∈ P ( a ， b ， d ) 时，恒有 α ( A u ) > b ； (C 2 ) 当 u ∈ P ¯ a 时，恒有 ‖ A u ‖ < a ； (C 3 ) 当 u ∈ P ( a ， b ， c ) 且 ‖ A u ‖ > d 时，恒有 α ( A u ) > b ， 则A至少有三个不动点 u 1 ， u 2 ， u 3 ，满足： 引理2.6 [ 6 ] ：令X为一实Banach空间，其上的范数为 ‖   ⋅   ‖ ， K ， K ′ ⊂ X 为两个锥，且 K ⊂ K ′ 。假设 T : K → K ， T * : K ′ → K ′ 为两个全连续算子，且 θ : K ′ → R + 为一连续泛函，满足对任意 X ∈ K ′ ，有 θ ( x ) ≤ ‖ x ‖ ≤ M θ ( x ) ，其中 M > 1 是一个常数。若存在常数 b > a > 0 ，使得 (M 1 ) ‖ T x ‖ < a ， x ∈ ∂ K a ； (M 2 ) ‖ T * x ‖ < a ， x ∈ ∂ K ′ a ，且 θ ( T * x ) > b ， x ∈ ∂ K ′ ( b ) ； (M 3 ) T x = T * x ， x ∈ K ′ a ( b ) ∩ { x : T * x = x } ， 则T在K中至少有两个不动点 x 1 ， x 2 ，满足 0 ≤ ‖ x 1 ‖ < a < ‖ x 2 ‖ ， θ ( x 2 ) < b .