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user: 2. 预备知识和主要引理 首先引进一些基本记号： 我们定义下列范数： ‖   ⋅   ‖ ν ≡ ‖ ν 1 / 2 ⋅ ‖ 2 = ‖ ν 1 / 2 ⋅ ‖ L 2 ( Ω × ℝ 3 ) ； | f | p ， ± = | f 1 γ ± | p = ( ∫ γ | f ( x ， v ) 1 ± | p d γ ) 1 p ， d γ = | n ( x ) ⋅ v ¯ | d S ( x ) d v ； ‖   ⋅   ‖ ∞ 表示 L ∞ ( Ω × ℝ 3 ) 范数或者 L ∞ ( Ω ) 范数； |   ⋅   | ∞ 表示 L ∞ ( ∂ Ω × ℝ 3 ) 范数或者 L ∞ ( ∂ Ω ) 范数。 X < ˜ Y 等价于 | X | < ˜ C Y ，C是与 X ， Y 无关的常数；定义 P f = a μ + v ⋅ b μ + c | v | 2 − 3 2 μ 。 定义2.1：记 Ω × ℝ 3 的边界为 γ = ∂ Ω × ℝ 3 ，我们将 γ 分为以下三种情况： γ + = { ( x ， v ) ∈ ∂ Ω × ℝ 3 : n ( x ) ⋅ v > 0 } ， γ − = { ( x ， v ) ∈ ∂ Ω × ℝ 3 : n ( x ) ⋅ v < 0 } ， γ 0 = { ( x ， v ) ∈ ∂ Ω × ℝ 3 : n ( x ) ⋅ v = 0 } . 定义2.2：设 ( t ， x ， v ) 是任意一点，且 ( x ， v ) ∉ γ 0 ，令 ( t 0 ， x 0 ， v ¯ 0 ) = ( t ， x ， v ¯ ) ，我们有如下定义： ( t k + 1 ， x k + 1 ， v ¯ k + 1 ) = ( t k − t b ( x k ， v k ) ， x b ( x k ， v ¯ k ) ， v ¯ k + 1 ) ， X c l ( s ; t ， x ， v ¯ ) = ∑ k 1 [ t k + 1 ， t k ) ( s ) { x k + ( s − t k ) v ¯ k } ， 其中，对于 ( x ， v ) ∈ Ω ¯ × ℝ 3 ， t b ( x ， v ) = inf { t > 0 : x − t v ¯ ∉ Ω } ， x b ( x ， v ) = x − t b ( x ， v ) v ¯ ∉ Ω 。 引理2.3：假设 Φ ∈ L ∞ ( Ω × ℝ 3 ) ，存在 g ∈ L 2 ( Ω × ℝ 3 ) 使得 ∬ Ω × ℝ 3 g ( x ， v ) μ d x d v = 0 ， (2) 且f是下述方程在分布意义下的解： [ λ + ( 1 − τ ) ε − 1 ν − 1 2 ε 2 Φ ⋅ v ] f + v ¯ ⋅ ∇ x f + ε 2 Φ ⋅ ∇ v f + ε − 1 τ L f = g ，在 Ω × ℝ 3 上，(3) f − = P γ f ，在 γ − 上， 则对足够小的 λ ≥ 0 以及趋于1的 τ ∈ [ 0 ， 1 ] ， ‖ P f ∘ ‖ 2 < ˜ ε − 1 ‖ ( I − P ) f ‖ ν + | ( 1 − P γ ) f | 2 ， + + ‖ g ν ‖ 2 + o ( 1 ) | 〈 f 〉 | ，(4) 且 λ | 〈 f 〉 | < ∼ ( 1 − τ ) ε − 1 ‖ f ‖ 2 ， (5) ‖ P f ∘ ‖ 4 < ˜ ε − 1 ‖ ( I − P ) f ‖ ν + | ( 1 − P γ ) f | 2 ， + + ‖ g ν ‖ 2 + o ( 1 ) ( | 〈 f 〉 | + ε 1 2 ‖ w f ‖ ∞ ) ， (6) 其中 f ∘ = f − 〈 f 〉 μ ， 〈 f 〉 = ( ∬ Ω × ℝ 3 f μ d x d v ) / ( ∬ Ω × ℝ 3 μ d x d v ) 。 证明：(4)，(5)的证明见参考文献 [ 6 ]，下面证明(6)。 令 ω ¯ τ = λ + ( 1 − τ ) ε − 1 ν − 1 2 ε 2 Φ ⋅ v ，根据格林公式(见参考文献 [ 6 ])，得 ∬ Ω × ℝ 3 { v ¯ ⋅ ∇ x f + ε 2 Φ ⋅ ∇ v f } ψ + { v ¯ ⋅ ∇ x ψ + ε 2 Φ ⋅ ∇ v ψ } f = ∫ γ + f ψ − ∫ γ − f ψ . 结合上式以及 L P f = 0 ，由(3)得到 ∬ Ω × ℝ 3 ω ¯ τ f ψ − v ¯ ⋅ f ∇ x ψ − ε 2 f Φ ⋅ ∇ v ψ + ∫ γ + f ψ − ∫ γ − f ψ = − ε − 1 τ ∬ Ω × ℝ 3 ψ L ( I − P ) f + ∬ Ω × ℝ 3 ψ g . (7) 令 a − 〈 f 〉 = a ∘ ，则 P f ∘ = ( a ∘   + v ⋅ b + c | v | 2 − 3 2 ) μ ，分以下三步证明。 第一步 估计c，对于足够小的 ε > 0 ，我们将证明如下结论： ‖ c ‖ 4 < ˜ o ( 1 ) ‖ P f ‖ 4 + ε − 1 ‖ ( I − P ) f ‖ ν + ‖ ( 1 − P ) f ‖ 4 + | ( 1 − P γ ) f | 2 ， + + ‖ g ν ‖ 2 . (8) 这里择测试函数 ψ = ψ c ， 4 ≡ ( | v | − β c ) μ v ¯ ⋅ ∇ x φ c ， 4 ( x ) ，其中 − Δ x φ c ， 4 ( x ) = c 3 ( x ) ， φ c ， 4 | ∂ Ω = 0 ， β c 是一待定常数。 估计(7)的右边需要下列Sobolev-Gagliardo-Nirenberg不等式： 对于 1 ≤ p ≤ N 和有界 ℂ 1 区域 Ω ⊂ ℝ N ，若 u ∈ W 1 ， p ( Ω ) ，则对任意的 p ≤ p * = N p N − p ，有 ( ∫ Ω | u | p * ) 1 p * ≤ C ( N ， P ， Ω ) ‖ u ‖ W 1 ， p ( Ω ) ， 并且 W 1 ， p ( Ω ) 连续嵌入 L p * ( Ω ) (见文献 [ 7 ])。 当 N = 2 时，我们想要 p * = 2 ，所以由 1 p − 1 2 ≤ 1 2 ，得 p ≥ 1 ，这里我们取 p = 4 3 ，则对于任意的 q ∈ [ 4 3 ， 2 ] ， ‖ ∇ φ c ， 4 ‖ q < ˜ ‖ ∇ φ c ， 4 ‖ W 2 ， 4 3 ， 因此由标准椭圆估计(见参考文献 [ 8 ])，得到 ‖ ∇ φ c ， 4 ‖ 2 < ˜ ‖ φ c ， 4 ‖ W 2 ， 4 3 < ˜ ‖ c 3 ‖ 4 3 = ‖ c ‖ 4 3 ，(9) 那么 (7)的右边 < ˜ ‖ c ‖ 4 3 ( ε − 1 ‖ ( I − P ) f ‖ ν + ‖ g ν ‖ 2 ) 。 (10) 将 ψ = ψ c ， 4 = ( | v | 2 − β c ) u v ¯ ⋅ ∇ x φ c ， 4 代入(7)，则(7)的左边可以写成如下形式： ∬ ∂ Ω × ℝ 3 ( n ( x ) ⋅ v ¯ ) ( | v | 2 − β c ) μ ∑ i = 1 2 v i ∂ i φ c ， 4 ( x )   f d S x d v (11) + ∫ Ω × ℝ 3 [ λ + ( 1 − τ ) ε − 1 ν ] f ( | v | 2 − β c ) μ ∑ i = 1 2 v i ∂ φ c ， 4 ( x )   d x d v (12) − ∬ Ω × ℝ 3 ( | v | 2 − β c ) μ { ∑ i ， j = 1 2 v i v j ∂ i j φ c ， 4 ( x ) } f d x d v (13) − ε 2 ∑ i ， j ∬ Ω × ℝ 3 μ Φ i { v i v j ( | v | 2 − β c ) ∂ j φ c ， 4 ( x ) + [ δ i ， j ( | v | 2 − β c ) + 2 v i v j ] ∂ j φ c ， 4 ( x ) } f . (14) 我们对每一项进行估计。 对f进行分解得到： f = ( a + v ⋅ b + c | v | 2 − 3 2 ) μ + ( I − P ) f ，在 Ω × ℝ 3 上， (15) f γ = P γ f + 1 γ + ( 1 − P γ ) f ，在 γ 上。 (16) 取 β c = 5 使得 ∫ ℝ 3 ( | v | 2 − β c ) v i 2 u ( v ) d v = 0 ， i = 1 ， 2 ，则由奇函数性质，(13)表达式变成如下形式： ( 13 ) = − ∑ i = 1 2 ∫ ℝ 3 ( | v | 2 − 5 ) v i 2 | v | 2 − 3 2 μ ( v ) d v ∫ Ω ∂ i i φ c ， 4 ( x ) c ( x ) d x (17) − ∑ i = 1 2 ∬ Ω × ℝ 3 ( | v | 2 − 5 ) v i μ ( v ¯ ⋅ ∇ x ) ∂ i φ c ， 4 ( I − P ) f . (18) 计算可得 ∫ ℝ 3 ( | v | 2 − β c ) v i 2 | v | 2 − 3 2 μ ( v ) d v = 5 ，则由 − Δ x φ c ， 4 = c 3 得 ( 17 ) = − 5 ∫ Ω Δ x φ c ， 4 c = 5 ‖ c ‖ 4 4 . (19) ( 18 ) ≤ ‖ ∇ 2 φ c ， 2 ‖ 4 3 ‖ ( I − P ) f ‖ 4 ≤ ‖ c ‖ 4 3 ‖ ( I − P ) f ‖ 4 . (20) 当 β c = 5 时，由( v i v j ( i ≠ j ) 的奇性可得 ∬ ∂ Ω × ℝ 3 ( n ( x ) ⋅ v ¯ ) ( | v | 2 − β c ) μ ∑ i = 1 2 v i ∂ i φ c ， 4 ( x ) P γ f d S x d v = 0 . 且当 Ω 是 ℝ N 上的 C 1 区域时，我们有下述估计 ( ∫ ∂ Ω d S ( x ) | u | p ( N − 1 ) N − p ) N − p p ( N − 1 ) ≤ C ( N ， p ) ( ∫ Ω d x | u | p + ∫ Ω d x | ∇ u | p ) 1 p . 当 p = 4 3 且 N = 2 时， p ( N − 1 ) N − p = 2 。 令 u = ∇ φ c ， 4 ，由(9)得 ‖ ∇ x φ c ， 4 ‖ L 2 3 ( ∂ Ω ) < ˜ ‖ ∇ x φ c ， 4 ‖ W 1 ， 4 3 ( Ω ) < ˜ ‖ c ‖ 4 3 ，所以 ( 11 ) < ˜ μ 1 2 | ( 1 − P γ ) f | 2 ， + | ∇ x φ c ， 4 | 2 ， + < ˜ | ( 1 − P γ ) f | 2 ， + ‖ c ‖ 4 3 . (21) 由(9)以及Holder不等式可得 ( 12 ) < ˜ ( λ + o ( 1 ) ) × { ‖ P f ‖ 4 + ‖ ( I − P ) f ‖ 4 } ‖ c ‖ 4 3 ， (22) 其中，我们令 τ = 1 + o ( 1 ) ε 。 最后，将(15)代入(14)，通过计算以及奇函数性质可得 ( 14 ) ≤ ε 2 [ ‖ c ‖ 4 4 + ‖ c ‖ 4 3 ‖ ( I − P ) f ‖ 4 ] ‖ Φ ‖ ∞ . (23) 由(10)，(19)，(20)，(21)，(22)，(23)得 ‖ c ‖ 4 < ˜ o ( 1 ) ‖ P f ‖ 4 + | ( I − P γ ) f | 2 ， + + ε − 1 ‖ ( I − P ) f ‖ ν + ‖ ( I − P ) f ‖ 4 + ‖ g ν ‖ 2 . 第三步 估计b。我们将得到，对足够小的 ε > 0 ，有 ‖ b ‖ 4 < ˜ o ( 1 ) ‖ P f ‖ 4 + | ( I − P γ ) f | 2 ， + + ε − 1 ‖ ( I − P ) f ‖ ν + ‖ ( I − P ) f ‖ 4 + ‖ g ν ‖ 2 . (24) 我们通过估计 ( ∂ i ∂ j Δ − 1 b j 3 ) b i ( i ， j = 1 ， 2 ) 和 ( ∂ j ∂ j Δ − 1 b i 3 ) b i ( i ≠ j ) 来估计b。 对固定 i ， j ，为了估计 ( ∂ i ∂ j Δ − 1 b j 3 ) b i ，我们选择测试函数 ψ = ψ b ， 4 i ， j ≡ ( v i 2 − β b ) μ ∂ j φ b ， 4 j ，   i ， j = 1 ， 2 ， (25) 其中 β b 是一个待定常数且 − Δ x φ b ， 4 j ( x ) = b j 3 ( x ) ， φ b ， 4 j | ∂ Ω = 0 。 与前面类似，将测试函数(25)代入(7)右边得 (7)右边 ≤ ‖ b ‖ 4 3 ( ε − 1 ‖ ( I − P ) ‖ ν + ‖ g ν ‖ 2 ) 。 (26) 下面我们将(15)和(16)代入(7)左边，通过计算化简得到 ∬ ∂ Ω × ℝ 3 ( n ( x ) ⋅ v ¯ ) ( v i 2 − β b ) μ ∂ j φ b ， 4 j [ ( 1 − P γ ) f ] 1 γ + (27) + ∬ Ω × ℝ 3 [ λ + ( 1 − τ ) ε − 1 v ]   f ( v i 2 − β b ) μ ∂ j φ b ， 4 j (28) + ∬ Ω × ℝ 3 ( v i 2 − β b ) μ { ∑ l v l ∂ l j φ b ， 4 j } f (29) − ∬ Ω × ℝ 3 ε 2 μ f [ Φ ⋅ v ( v i 2 − β b ) ∂ j φ b ， 4 j + 2 Φ i v i ] ∂ j φ b ， 4 j (30) 与前面类似， ( 27 ) < ˜ | ( I − P γ ) f | 2 ， + | ∇ x φ b ， 4 | 2 ， + ≤ | ( I − P γ ) f | 2 ， + ‖ b ‖ 4 3 . (31) ( 28 ) < ˜ ( λ + o ( 1 ) ) ( ‖ P f ‖ 4 + ‖ ( I − P ) f ‖ 4 ) ‖ b ‖ 4 3 . (32) 将(15)代入(29)，由函数的奇性得 ( 29 ) = − ∑ i = 1 ， 2 [ ∬ Ω × ℝ 3 ( v i 2 − β b ) v l 2 μ ∂ l j φ b ， 4 j ( x ) b l + ∬ Ω × ℝ 3 ( v i 2 − β b ) v l μ ∂ l j φ b ， 4 j ( x ) ( I − P ) f ] . (33) 选择 β b > 0 使得对 i = 1 ， 2 ， ∫ ℝ 3 ( v i 2 − β b ) μ ( v ) d v = 1 ( 2 π ) 1 / 2 ∫ ℝ ( v 1 2 − β b ) e − | v 1 | 2 2 d v 1 = 0 ，计算得 (33)中第一项 = 2 ∫ Ω ( ∂ i ∂ j Δ − 1 b j 3 ( x ) ) b i ， (34) (33)中第二项 < ˜ ‖ ∇ 2 φ b ， 4 ‖ 4 3 ⋅ ‖ ( I − P ) f ‖ 4 ≤ ‖ b ‖ 4 3 ⋅ ‖ ( I − P ) f ‖ 4 。 (35) ( 3 0 ) < ˜ ε 2 ‖ Φ ‖ ∞ ( ‖ b ‖ 4 4 + ‖ b ‖ 4 3 ⋅ ‖ ( I − P ) f ‖ 4 4 ) . (36) 由(26)，(31)，(32)，(34)，(35)，(36)得，对足够小的ε， | ∫ Ω ( ∂ i ∂ j Δ − 1 b j 3 ) b i | < ˜ ‖ b ‖ 4 3 ( ε − 1 ‖ ( I − P ) f ‖ ν + ‖ g ν ‖ 2 + | ( I − P γ ) f | 2 ， + + o ( 1 ) ‖ P f ‖ 4 ) . (37) 下面估计 ∂ j ( ∂ j Δ − 1 b i 3 ) b i ， ( i ≠ j ) ，选择 ψ = | v | 2 v i v j μ ∂ j φ b ， 4 j ( x ) ， i ≠ j 。与(26)类似， (7)右边 < ˜ ‖ b ‖ 4 3 ( ε − 1 ‖ ( I − P ) f ‖ ν + ‖ g ν ‖ 2 ) 。 同样地，将(15)，(16)代入(7)左边，由奇函数性质可知 − ∬ Ω × ℝ 3 v ¯ ⋅ ∇ x ψ f = − ∬ Ω × ℝ 3 | v | 2 v i v j μ { ∑ l = 1 2 v l ∂ l j φ b ， 4 i } f = − ∬ Ω × ℝ 3 | v | 2 v i 2 v j 2 μ [ ∂ i j φ b ， 4 i b j + ∂ j j φ b ， 4 i b j ]       − ∑ l = 1 2 ∬ Ω × ℝ 3 | v | 2 v i v j v l μ ∂ l j φ b ， 4 i ( x ) ( I − P ) f . (38) (38)中第一项 = − 4 [ ∫ Ω ( ∂ i ∂ j Δ − 1 b i 3 ) b j + ( ∂ j ∂ j Δ − 1 b i 3 ) b i ] 。 其余项估计与前面类似，所以我们得到 ( ∂ j ∂ j Δ − 1 b i 3 ) b i 的估计，结合(37)得到(24)。 第四步 估计a，我们将证明对于足够小的 ε ， ‖ a ∘ ‖ 4 < ˜ o ( 1 ) ‖ P f ‖ 4 + ‖ ( I − P ) f ‖ 4 + ε − 1 ‖ ( I − P ) f ‖ 2     + | ( I − P γ ) f | 2 ， + 2 + ‖ g ν ‖ 2 + o ( 1 ) | 〈 f 〉 | . (39) 这里选择测试函数 ， 其中 ， 。 选择 ，使得 ，则将 代入(7)右边得 (7)右边 。 将(15)，(16)代入(7)左边，包含 的项积分为0。对a的估计，处理方法同 ，只需验证： . 因为 ， 所以 ， 从而(6)成立。证毕。 引理2.4：令f满足 ， ， 其中 ， 。对于 ， ， . 如果 ， ，那么，对于 ， ， . (40) 证明：要证明引理2.4，只需要证明 . (41) 二维区域上的变量替换 ，对于 ， . 由计算可得 . 由下界 ，得 。 对于二维区域，由参考文献 [ 6 ] 可知，要证明(41)只需证明下面两个不等式，其他计算同三维。 ， . 结论成立。证毕。 引理2.5：假设(2)仍然成立，则对于充分小的 ，下式存在唯一的解， ，在 上， ， 并且 ， (42) . (43) 证明：(42)的证明见参考文献 [ 6 ]。 ，所以(43)可由引理2.3的(6)得到。