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user: 2. 主要内容 为了定义的方便，我们先给出以下几个集合 S 1 = { i | i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 2 ) } S 2 = { a + i | i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 2 ) ， a ∈ Z } S 3 = { a i | a i = i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 2 ) ， a i ≠ a j ( i ≠ j ; i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 2 ) } S 4 = { δ i k i | k i = i ， δ i = 1   或 者 − 1 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 2 ) } 下文中出现的F是数域。 2.1. 和幻阵的规范定义 定义2.1.1设矩阵 A = ( a i j ) m × n ∈ F m × n ，如果 A ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) = S r ( ∑ i = 1 m E i ( m ， 1 ) ) ，则称矩阵A为F上的 m × n 阶行和幻阵，并称S r 为F上的 m × n 阶行和幻阵A的行幻和。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )，则称矩阵A为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和幻阵，并称S r 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和幻阵A的行幻和。 定义2.1.2设矩阵 A = ( a i j ) m × n ∈ F m × n ，如果 ( ∑ j = 1 m E j ( 1 ， m ) ) A = S c ( ∑ j = 1 n E j ( 1 ， n ) ) ，则称矩阵A为F上的 m × n 阶列和幻阵，并称S c 为F上的 m × n 阶列和幻阵A的列幻和。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )，则称矩阵A为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和幻阵，并称S c 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和幻阵A的列幻和。 定义2.1.3设矩阵 A = ( a i j ) m × n ∈ F m × n ，如果矩阵A满足下列条件 1) A ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) = S r ( ∑ i = 1 m E i ( m ， 1 ) ) ， 2) ( ∑ j = 1 m E j ( 1 ， m ) ) A = S c ( ∑ j = 1 n E j ( 1 ， n ) ) ， 则称矩阵A为F上的 m × n 阶行和列和幻阵，并称S r 为F上的 m × n 阶行和列和幻阵A的行幻和，S c 为F上的 m × n 阶行和列和幻阵A的列幻和。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )，则称矩阵A为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和列和幻阵，并称S r 为F上的 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和列和幻阵A的行幻和，S c 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和列和幻阵A的列幻和。 定义2.1.4设矩阵 A = ( a i j ) n × n ∈ F n × n ，如果矩阵A满足下列条件 1) A ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) = S ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) ， 2) ( ∑ j = 1 n E j ( 1 ， n ) ) A = S ( ∑ j = 1 n E j ( 1 ， n ) ) ， 则称矩阵A为F上的n阶弱和幻方，并称S为F上的n阶弱和幻方A的幻和。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )，则称矩阵A为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)弱和幻方，并称S为F上的n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)弱和幻方A的幻和。 定义2.1.5设矩阵 A = ( a i j ) n × n ∈ F n × n ，如果矩阵A满足下列条件 1) A ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) = S ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) ， 2) ( ∑ j = 1 n E j ( 1 ， n ) ) A = S ( ∑ j = 1 n E j ( 1 ， n ) ) ， 3) ( ∑ i = 1 n E i ( 1 ， n ) ) A ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) = S ， 4) ( ∑ i = 1 n E i ( 1 ， n ) ) A ( ∑ i = 1 n E n + 1 − i ( n ， 1 ) ) = S ， 则称矩阵A为F上的n阶和幻方，并称S为F上的n阶和幻方A的幻和。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )，则称矩阵A为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)和幻方，并称S为F上的n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)和幻方A的幻和。 定义2.1.6设矩阵 A = ( a i j ) n × n ∈ F n × n ，如果矩阵A满足下列条件 1) A ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) = S ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) ， 2) ( ∑ j = 1 n E j ( 1 ， n ) ) A = S ( ∑ j = 1 n E j ( 1 ， n ) ) ， 3) ( ∑ i = 1 n E i ( 1 ， n ) ) A ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) = S ， 4) ( ∑ i = 1 n E i ( 1 ， n ) ) A ( ∑ i = 1 n E n + 1 − i ( n ， 1 ) ) = S ， 5) ∀ k ∈ { 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 } ，都有 ( ∑ i = 1 n E i ( 1 ， n ) ) A ( ∑ i = 1 n E ( i + k ) ( mod n ) ( n ， 1 ) ) = S ， 6) ∀ k ∈ { 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 } ，都有 ( ∑ i = 1 n E i ( 1 ， n ) ) A ( ∑ i = 1 n E ( k − i + 1 ) ( mod n ) ( n ， 1 ) ) = S ， 则称矩阵A为F上的n阶完美和幻方，并称S为F上的n阶完美和幻方A的幻和。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )，则称矩阵A为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)完美和幻方，并称S为F上的n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)完美和幻方A的幻和。 2.2. 积幻阵的规范定义 定义2.2.1设矩阵 A = ( a i j ) m × n ∈ F m × n ，如果 ∏ j = 1 n a i j = P r ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) ，则称矩阵A为F上的 m × n 阶行积幻阵，并称P r 为F上的 m × n 阶行积幻阵A的行幻积。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )，则称矩阵A为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行积幻阵，并称P r 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行积幻阵A的行幻积。 定义2.2.2设矩阵 A = ( a i j ) m × n ∈ F m × n ，如果 ∏ i = 1 m a i j = P c ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ，则称矩阵A为F上的 m × n 阶列积幻阵，并称P c 为F上的 m × n 阶列积幻阵A的列幻积。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )，则称矩阵A为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列积幻阵，并称P c 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列积幻阵A的列幻积。 定义2.2.3设矩阵 A = ( a i j ) m × n ∈ F m × n ，如果矩阵A满足下列条件 1) ∏ j = 1 n a i j = P r ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) ， 2) ∏ i = 1 m a i j = P c ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 则称矩阵A为F上的 m × n 阶行列积幻阵，并称P r 为F上的 m × n 阶行列积幻阵A的行幻积，P c 为F上的 m × n 阶行列积幻阵A的列幻积。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )，则称矩阵A为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列积幻阵，并称P r 为F上的 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列积幻阵A的行幻积，P c 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列积幻阵A的列幻积。 定义2.2.4设矩阵 A = ( a i j ) n × n ∈ F n × n ，如果矩阵A满足下列条件 1) ∏ j = 1 n a i j = P ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 2) ∏ i = 1 n a i j = P ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 则称矩阵A为F上的n阶弱积幻方，并称P为F上的n阶弱积幻方A的幻积。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )，则称矩阵A为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)弱积幻方，并称P为F上的n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)弱积幻方A的幻积。 定义2.2.5设矩阵 A = ( a i j ) n × n ∈ F n × n ，如果矩阵A满足下列条件 1) ∏ j = 1 n a i j = P ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 2) ∏ i = 1 n a i j = P ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 3) ∏ i = 1 n a i i = P ， 4) ∏ i = 1 n a i ， n + 1 − i = P ， 则称矩阵A为F上的n阶积幻方，并称P为F上的n阶积幻方A的幻积。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )，则称矩阵A为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)积幻方，并称P为F上的n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)积幻方A的幻积。 定义2.2.6设矩阵 A = ( a i j ) n × n ∈ F n × n ，如果矩阵A满足下列条件 1) ∏ j = 1 n a i j = P ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 2) ∏ i = 1 n a i j = P ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 3) ∏ i = 1 n a i i = P ， 4) ∏ i = 1 n a i ， n + 1 − i = P ， 5) ∀ k ∈ { 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 } ，都有 ∏ i = 1 n e i A e ( i + k ) ( mod n ) T = P ， 6) ∀ k ∈ { 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 } ，都有 ∏ i = 1 n e i A e ( k + 1 − i ) ( mod n ) T = P ， (注意：在(5)及(6)中规定 0 ( mod n ) = n ) 则称矩阵A为F上的n阶完美积幻方，并称P为F上的n阶完美积幻方A的幻积。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )，则称矩阵A为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)完美积幻方，并称P为F上的n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)完美积幻方A的幻积， 2.3. 和积幻阵的规范定义 定义2.3.1设矩阵 A = ( a i j ) m × n ∈ F m × n ，如果矩阵A满足下列条件 1) A ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) = s r ( ∑ i = 1 m E i ( m ， 1 ) ) ， 2) ∏ j = 1 n a i j = P r ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) ， 则称矩阵A为F上的 m × n 阶行和行积幻阵，并称S r 为F上的 m × n 阶行和行积幻阵A的行幻和，P r 为F上的 m × n 阶行和行积幻阵A的行幻积。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )，则称矩阵A为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和行积幻阵，并称S r 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和行积幻阵A的行幻和，P r 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和行积幻阵A的行幻积。 定义2.3.2设矩阵 A = ( a i j ) m × n ∈ F m × n ，如果矩阵A满足下列条件 1) A ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) = S r ( ∑ i = 1 m E i ( m ， 1 ) ) ， 2) ∏ i = 1 m a i j = P c ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 则称矩阵A为F上的 m × n 阶行和列积幻阵，并称S r 为F上的 m × n 阶行和列积幻阵A的行幻和，P c 为F上的 m × n 阶行和列积幻阵A的列幻积。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )，则称矩阵A为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和列积幻阵，并称S r 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和列积幻阵A的行幻和，P c 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和列积幻阵A的列幻积。 定义2.3.3设矩阵 A = ( a i j ) m × n ∈ F m × n ，如果矩阵A满足下列条件 1) A ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) = S r ( ∑ i = 1 m E i ( m ， 1 ) ) ， 2) ∏ j = 1 n a i j = P r ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) ， 3) ∏ i = 1 m a i j = P c ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 则称矩阵A为F上的 m × n 阶行和行列积幻阵，并称S r 为F上的 m × n 阶行和行列积幻阵A的行幻和，P r 为F上的 m × n 阶行和行列积幻阵A的行幻积，P c 为 m × n 阶行和行列积幻阵A的列幻积。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )，则称矩阵A为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和行列积幻阵，并称S r 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和行列积幻阵A的行幻和，P r 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和行列积幻阵A的行幻积，P c 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和行列积幻阵A的列幻积。 定义2.3.4设矩阵 A = ( a i j ) m × n ∈ F m × n ，如果矩阵A满足下列条件 1) ( ∑ j = 1 m E j ( 1 ， m ) ) A = S c ( ∑ j = 1 n E j ( 1 ， n ) ) ， 2) ∏ j = 1 n a i j = P r ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) ， 则称矩阵A为F上的 m × n 阶列和行积幻阵，并称S c 为F上的 m × n 阶列和行积幻阵A的列幻和，P r 为F上的 m × n 阶行和行积幻阵A的行幻积。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )，则称矩阵A为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和行积幻阵，并称S c 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和行积幻阵A的列幻和，P r 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和行积幻阵A的行幻积。 定义2.3.5设矩阵 A = ( a i j ) m × n ∈ F m × n ，如果矩阵A满足下列条件 1) ( ∑ j = 1 m E j ( 1 ， m ) ) A = S c ( ∑ j = 1 n E j ( 1 ， n ) ) ， 2) ∏ i = 1 m a i j = P c ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 则称矩阵A为F上的 m × n 阶列和列积幻阵，并称S c 为F上的 m × n 阶列和列积幻阵A的列幻和，P c 为F上的 m × n 阶列和列积幻阵A的列幻积。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )，则称矩阵A为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和列积幻阵，并称S c 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和列积幻阵A的列幻和P c 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和列积幻阵A的列幻积。 定义2.3.6设矩阵 A = ( a i j ) m × n ∈ F m × n ，如果矩阵A满足下列条件 1) ( ∑ j = 1 m E j ( 1 ， m ) ) A = S c ( ∑ j = 1 n E j ( 1 ， n ) ) ， 2) ∏ j = 1 n a i j = P r ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) ， 3) ∏ i = 1 m a i j = P c ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 则称矩阵A为F上的 m × n 阶列和行列积幻阵，并称S c 为F上的 m × n 阶列和行列积幻阵A的列幻和，P r 为F上的 m × n 阶列和行列积幻阵A的行幻积，P c 为 m × n 阶列和行列积幻阵A的列幻积。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )则称矩阵A为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和行列积幻阵，并称S c 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和行列积幻阵A的列幻和，P r 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和行列积幻阵A的行幻积，P c 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和行列积幻阵A的列幻积。 定义2.3.7设矩阵 A = ( a i j ) m × n ∈ F m × n ，如果矩阵A满足下列条件 1) A ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) = S r ( ∑ i = 1 m E i ( m ， 1 ) ) ， 2) ( ∑ j = 1 m E j ( 1 ， m ) ) A = S c ( ∑ j = 1 n E j ( 1 ， n ) ) ， 3) ∏ j = 1 n a i j = P r ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) ， 则称矩阵A为F上的 m × n 阶行列和行积幻阵，并称S r 为F上的 m × n 阶行列和行积幻阵A的行幻和，S c 为F上的 m × n 阶行列和行积幻阵A的列幻和，P r 为F上的 m × n 阶行列和行积幻阵A的行幻积。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )则称矩阵A为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列和行积幻阵，并称S r 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列和行积幻阵A的行幻和，S c 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列和行积幻阵A的列幻和，P r 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列和行积幻阵A的行幻积。 定义2.3.8设矩阵 A = ( a i j ) m × n ∈ F m × n ，如果矩阵A满足下列条件 1) A ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) = S r ( ∑ i = 1 m E i ( m ， 1 ) ) ， 2) ( ∑ j = 1 m E j ( 1 ， m ) ) A = S c ( ∑ j = 1 n E j ( 1 ， n ) ) ， 3) ∏ i = 1 m a i j = P c ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 则称矩阵A为F上的 m × n 阶行列和列积幻阵，并称S r 为F上的 m × n 阶行列和列积幻阵A的行幻和，S c 为F上的 m × n 阶行列和列积幻阵A的列幻和，P c 为 m × n 阶行列和列积幻阵A的列幻积。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )，则称矩阵A为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列和列积幻阵，并称S r 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列和列积幻阵A的行幻和，S c 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列和列积幻阵A的列幻和，P c 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列和列积幻阵A的列幻积。 定义2.3.9设矩阵 A = ( a i j ) m × n ∈ F m × n ，如果矩阵A满足下列条件 1) A ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) = S r ( ∑ i = 1 m E i ( m ， 1 ) ) ， 2) ( ∑ j = 1 m E j ( 1 ， m ) ) A = S c ( ∑ j = 1 n E j ( 1 ， n ) ) ， 3) ∏ j = 1 n a i j = P r ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ) ， 4) ∏ i = 1 m a i j = P c ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 则称矩阵A为F上的 m × n 阶行列和行列积幻阵，并称S r 为F上的 m × n 阶行列和行列积幻阵A的行幻和，S c 为F上的 m × n 阶行列和行列积幻阵A的列幻和，P r 为 m × n 阶行列和行列积幻阵A的行幻积，P c 为 m × n 阶行列和行列积幻阵A的列幻积。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )，则称矩阵A为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列和行列积幻阵，并称S r 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列和行列积幻阵A的行幻和，S c 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列和行列积幻阵A的列幻和，P r 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列和行列积幻阵A的行幻积，P c 为 m × n 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列和行列积幻阵A的列幻积。 定义2.3.10设矩阵 A = ( a i j ) n × n ∈ F n × n ，如果矩阵A满足下列条件 1) A ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) = S r ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) ， 2) ∏ j = 1 n a i j = P ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 3) ∏ i = 1 n a i j = P ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 则称矩阵A为F上的n阶行和弱积幻阵。并称S r 为F上的n阶行和弱积幻阵A的行幻和。P为F上的n阶行和弱积幻阵A的弱幻积。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )，则称矩阵A为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和弱积幻阵，并称S r 为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和弱积幻阵A的行幻和，P为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和弱积幻阵A的弱幻积。 定义2.3.11设矩阵 A = ( a i j ) n × n ∈ F n × n ，如果矩阵A满足下列条件 1) ( ∑ j = 1 n E j ( 1 ， n ) ) A = S c ( ∑ j = 1 n E j ( 1 ， n ) ) ， 2) ∏ j = 1 n a i j = P ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 3) ∏ i = 1 n a i j = P ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 则称矩阵A为F上的n阶列和弱积幻阵。并称S c 为F上的n阶列和弱积幻阵A的列幻和。P为F上的n阶列和弱积幻阵A的弱幻积。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )，则称矩阵A为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和弱积幻阵，并称S c 为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和弱积幻阵A的列幻和，P为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和弱积幻阵A的弱幻积。 定义2.3.12设矩阵 A = ( a i j ) n × n ∈ F n × n ，如果矩阵A满足下列条件 1) A ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) = S ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) ， 2) ( ∑ j = 1 n E j ( 1 ， n ) ) A = S ( ∑ j = 1 n E j ( 1 ， n ) ) ， 3) ∏ j = 1 n a i j = P ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 4) ∏ i = 1 n a i j = P ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 则称矩阵A为F上的n阶弱和弱积幻阵。并称S为F上的n阶弱和弱积幻阵A的弱幻和。P为F上的n阶弱和弱积幻阵A的弱幻积。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )，则称矩阵A为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)弱和弱积幻阵，并称S为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)弱和弱积幻阵A的弱幻和，P为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)弱和弱积幻阵A的弱幻积。 定义2.3.13设矩阵 A = ( a i j ) n × n ∈ F n × n ，如果矩阵A满足下列条件 1) A ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) = S ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) ， 2) ( ∑ j = 1 n E j ( 1 ， n ) ) A = S ( ∑ j = 1 n E j ( 1 ， n ) ) ， 3) ( ∑ i = 1 n E i ( 1 ， n ) ) A ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) = S ， 4) ( ∑ i = 1 n E i ( 1 ， n ) ) A ( ∑ i = 1 n E n + 1 − i ( n ， 1 ) ) = S ， 5) ∏ j = 1 n a i j = P ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 6) ∏ i = 1 n a i j = P ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 则称矩阵A为F上的n阶和弱积幻阵。并称S为F上的n阶和弱积幻阵A的幻和。P为F上的n阶和弱积幻阵A的弱幻积。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )，则称矩阵A为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)和弱积幻阵，并称S为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)和弱积幻阵A的幻和，P为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)和弱积幻阵A的弱幻积。 定义2.3.14设矩阵 A = ( a i j ) n × n ∈ F n × n ，如果矩阵A满足下列条件 1) A ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) = S ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) ， 2) ( ∑ j = 1 n E j ( 1 ， n ) ) A = S ( ∑ j = 1 n E j ( 1 ， n ) ) ， 3) ( ∑ i = 1 n E i ( 1 ， n ) ) A ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) = S ， 4) ( ∑ i = 1 n E i ( 1 ， n ) ) A ( ∑ i = 1 n E n + 1 − i ( n ， 1 ) ) = S ， 5) ∏ j = 1 n a i j = P ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 6) ∏ i = 1 n a i j = P ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 7) ∏ i = 1 n a i i = P ， 8) ∏ i = 1 n a i ， n + 1 − i = P ， 则称矩阵A为F上的n阶和积幻方或者双重幻方。并称S为F上的n阶和积幻方或者双重幻方A的幻和。P为F上的n阶和积幻方或者双重幻方A的幻积。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )，则称矩阵A为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)双重幻方，并称S为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)双重幻方A的幻和，P为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)双重幻方A的幻积。 定义2.3.15设矩阵 A = ( a i j ) n × n ∈ F n × n ，如果矩阵A满足下列条件 1) A ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) = S ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) ， 2) ( ∑ j = 1 n E j ( 1 ， n ) ) A = S ( ∑ j = 1 n E j ( 1 ， n ) ) ， 3) ( ∑ i = 1 n E i ( 1 ， n ) ) A ( ∑ i = 1 n E i ( n ， 1 ) ) = S ， 4) ( ∑ i = 1 n E i ( 1 ， n ) ) A ( ∑ i = 1 n E n + 1 − i ( n ， 1 ) ) = S ， 5) ∀ k ∈ { 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 } ，都有 ( ∑ i = 1 n E i ( 1 ， n ) ) A ( ∑ i = 1 n E ( i + k ) ( mod n ) ( n ， 1 ) ) = S ， 6) ∀ k ∈ { 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 } ，都有 ( ∑ i = 1 n E i ( 1 ， n ) ) A ( ∑ i = 1 n E ( k − i + 1 ) ( mod n ) ( n ， 1 ) ) = S ， 7) ∏ j = 1 n a i j = P ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 8) ∏ i = 1 n a i j = P ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ， 9) ∏ i = 1 n a i i = P ， 10) ∏ i = 1 n a i ， n + 1 − i = P ， 11) ∀ k ∈ { 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 } ，都有 ∏ i = 1 n e i A e ( i + k ) ( mod n ) T = P ， 12) ∀ k ∈ { 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 } ，都有 ∏ i = 1 n e i A e ( k + 1 − i ) ( mod n ) T = P ， (注意：在(11)及(12)中规定 0 ( mod n ) = n ) 则称矩阵A为F上的n阶完美和积幻方或者完美双重幻方。并称S为F上的n阶完美和积幻方或者完美双重幻方A的幻和。P为F上的n阶完美和积幻方或者完美双重幻方A的幻积。若把F换为S 1 (S 2 ， S 3 ， C， R， Q， Z， N， S 4 )，则称矩阵A为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)完美双重幻方，并称S为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)完美双重幻方A的幻和，P为n阶始元完美双重幻方A的幻积。 在新的幻方种类出现后会继续添加新类的规范性定义。