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user: 1. 引言和主要结论 本文假定读者熟悉Navanlinna的值分布理论及其符号，详见 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] 。另外还需要一些亚纯函数动力系统的基础知识，详见 [ 4 ] [ 5 ] ，设f为复平面上的一个亚纯函数，我们分别用 σ ( f ) 和 μ ( f ) 来表示函数的级和下级，其定义详见 [ 6 ] 。 设 f : C → C ¯ 为超越亚纯函数，其中C是复平面， C ¯ = C ∪ ∞ 。我们用 f n ( n ∈ N ) 来表示函数f的n次迭代。f的Fatou集 F ( f ) 是复平面上的一个子集，f的迭代 f n 在其上是正规的。 F ( f ) 在复平面上的补集称为f的Julia集 J ( f ) 。易见， F ( f ) 是开集， J ( f ) 是非空闭集。 我们记 Ω ( α ， β ) = { z : α < arg z < β } ，其中 0 ≤ α < β ≤ 2 π 。给定 θ ∈ [ 0 ， 2 π ) ，对于任意的 ε > 0 ，如果 是无界的，那么称射线 arg z = θ 为 J ( f ) 的径向分布。定义 Δ ( f ) = { θ ∈ [ 0 ， 2 π ) : arg z = θ 是 J ( f ) 的径向分布。显然， J ( f ) 是可测的闭集。我们用 m e s Δ ( f ) 来表示 J ( f ) 的线性测度。 关于超越亚纯函数Julia集的径向分布已经有很多重要的研究成果，详见 [ 7 ] - [ 12 ] 。1994年，乔建永在 [ 8 ] 中证明了若超越整函数f的下级 μ ( f ) < ∞ ，那么 m e s Δ ( f ) ≥ min { 2 π ， π / μ ( f ) } 。2014年，Z. G. Huang，J. Wang在 [ 13 ] 中考虑了下级为无穷的超越亚纯函数，并给出了相应的径向分布的估计。 定理A [ 13 ] 假设 A i ( z ) ， i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n − 1 是具有有限下级的整函数，其中 A 0 ( z ) 是超越的，如果 m ( r ， A i ) = ο ( m ( r ， A 0 ) ) ，那么对于方程 f ( n ) + A n − 1 ( z ) f ( n − 1 ) + ⋯ + A 0 ( z ) f = 0 (1.1) 的任意解 f ≠ 0 ，有 m e s Δ ( f ) ≥ min { 2 π ， π / μ ( A 0 ) } 。 对于整函数及其导数，他们的局部性质的差异是惊人的，因为对于一些给定的整函数，很小的参数扰动会导致动力学性质的巨大变化 [ 14 ] 。因此，整函数及其导数之间的动力学性质似乎没有紧密的联系。然而，乔建永证明了下级有限的超越整函数及其导数的Julia集的径向分布大部分是相同的且它们的分布密度相互影响。那么对于下级为无穷的整函数，它与它的导数之间的Julia集的径向分布会有什么样的关系呢？根据对数导数引理，我们可以很容易得到方程(1.1)的每一个非平凡整函数解的下级是无穷的，详细证明过程参见文献 [ 13 ] 。2014年，张国威，丁杰，杨连中在 [ 15 ] 中研究方程(1.1)的整函数解的导数的Julia集的径向分布，其中其他系数为 A 0 ( z ) 的小函数，从而部分地回答了上面提到的问题。 定理B [ 15 ] 设 A i ( z ) ， i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n − 1 是下级有限的整函数且 A 0 ( z ) 是超越的，满足当 r → ∞ 时， m ( r ， A i ) = ο ( m ( r ， A 0 ) ) ，那么，方程(1.1)的每一个非平凡解f满足 m e s ( Δ ( f ) ∩ Δ ( f ( k ) ) ) ≥ min { 2 π ， π / μ ( A 0 ) } ，其中k为正整数。 那么我们自然要问，当系数的级相同时，无穷下级的整函数的 J ( f ) 的径向分布测度有什么特点。2016年，J. Wang，Z. X. Chen在 [ 16 ] 中研究了方程 f ″ + ( A 1 ( z ) e P 1 ( z ) + B 1 ( z ) ) f ′ + ( A 2 ( z ) e P 2 ( z ) + B 2 ( z ) ) f = 0 (1.2) 并得出了如下结论。 定理C [ 16 ] 设 k 1 + k 2 ≠ 0 且 max { σ ( A j ) ， σ ( B j ) } < k j ( j = 1 ， 2 ) 对所有 k j > 0 。若 k j = 0 ，那么 A j 和 B j 是常数。设f为方程(1.2)的非平凡解，定义 E ( f ) : = ∩ n ∈ Z Δ f ( n ) ， 那么 1) 若 k 1 < k 2 ，那么 μ ( f ) = ∞ ， m e s E ( f ) ≥ π ； 2) 若 k 1 = k 2 ， a 1 / a 2 = b < 1 ，那么 μ ( f ) = ∞ ， m e s E ( f ) ≥ π ； 3) 若 k 1 = k 2 ， a 1 / a 2 = b ∉ R ，那么 ( f ) = ∞ ， m e s E ( f ) ≥ min { arg b ， 2 π − arg b } 。 接下来，我们介绍角域内的Nevanlinna理论，详见 [ 13 ] [ 16 ] 。 定义1设 0 ≤ α < β ≤ 2 π ，引入记号： Ω ( α ， β ， r ) = { z : α < arg z < β ， | z | < r } ; Ω ¯ ( α ， β ， r ) = { z : α ≤ arg z ≤ β ， | z | < r } ; Ω * ( α ， β ， r ) = { z : α < arg z < β ， | z | ≥ r } . 定义2假设 f ( z ) 是角域 Ω ¯ ( α ， β ) 上的亚纯函数，其中 0 < β − α < 2 π ， ω = π / β − α ，定义： A α ， β = ω π ∫ 1 r ( 1 t ω − t ω / r 2 ω ) { log + | f ( t r i α ) | + log + | f ( t r i β ) | } d t t ， B α ， β = 2 ω π r ω ∫ α β log + | f ( r e i θ ) | sin ω ( θ − α ) d θ ， ， S α ， β ( r ， f ) = A α ， β ( r ， f ) + B α ， β ( r ， f ) + C α ， β ( r ， f ) ， 其中 b n = | b n | e i β n 是 f ( z ) 在 Ω ¯ ( α ， β ) 上的极点，记其重数。 S α ， β ( r ， f ) 表示 f ( z ) 在角域 Ω ¯ ( α ， β ) 上的特征函数， C α ， β 称为 f ( z ) 在角域 Ω ¯ ( α ， β ) 上的计数函数。 定义3假设 f ( z ) 是角域 Ω ¯ ( α ， β ) 上的亚纯函数，定义其在角域上的级为： σ α ， β ( g ) = lim r → ∞ ¯ S α ， β ( r ， g ) log r . 定义4如果U是 F ( f ) 的一个分支，那么对于每个 n > 1 ，都存在 F ( f ) 的一个分支 U n ⊇ f n ( U ) ，其中 f n ( n ∈ N ) 表示函数f的n次迭代。如果存在整数 n ≥ 0 ， m > 0 ，使得 U n + U n + m 不等于空集，我们就说 U n 是一个周期域。如果对于所有满足 n ， m ≥ 0 ， n ≠ m 的整数，有 U n + U m 等于空集，我们就称U是一个游荡域。 定理1设 P j ( z ) = ∑ i = 0 n a i j z i ( j = 0 ， 1 ， 2 ) 是次数 n ≥ 1 的多项式，其中 a i j 是复数。令 A j ( z ) ， F ( z ) 是级小于n的整函数。设 a n 0 / a n 1 = b ， a n 0 / a n 2 = c ，其中复数 a n j = a j + i b j ( j = 0 ， 1 ， 2 ) ，满足当 a 0 b 1 < 0 ， a 2 b 0 < 0 时，有 a 0 b 0 > 0 成立。若f为方程 f ‴ + A 2 ( z ) e P 2 ( z ) f ″ + A 1 ( z ) e P 1 ( z ) f ′ + A 0 ( z ) e P 0 ( z ) f = F ( z ) (1.3) 的非平凡解，定义： I ( f ) : = ∩ n ∈ Z Δ f ( n ) ， 1) 若 b ， c > 1 ，那么 μ ( f ) = ∞ ， m e s I ( f ) ≥ π ； 2) 若 b ， c ∉ R ，那么 μ ( f ) = ∞ ， m e s I ( f ) ≥ min { arg b ， arg c ， 2 π − arg b ， π − arg b / c } 。 定理2若 P j ( z ) ， A j ( z ) ， F ( z ) 是满足定理1的多项式，若 b ， c > 1 或 b ， c ∉ R ，那么 f n ( n ∈ N ) 没有Baker游荡域，即只有单连通Fatou分支。 定理3定义： I ( f ) : = ∩ n ∈ Z Δ f ( n ) ， 若f是方程 f ( k ) + e a z f ″ + e b z f = 0 ， k = 2 ， 3 ， ⋯ ， n (1.4) 的解，其中 a ， b 为常数且满足 b > a ，那么 。