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user: 2. 轮轨接触自激振动简化预测模型 轮轨接触自激振动简化预测模型可以由一个典型的质量–弹簧–带模型进行描述 [ 9 ]，如图1所示，以质量块、弹簧及阻尼等参数模拟车轮某阶轴向振动模态参数，以质量块的运动行为模拟车轮在某阶振动模态下的运行行为。质量–弹簧–带模型的运动方程及自激振动循环分别在2.1、2.2节中进行介绍。 2.1. 运动方程 如图1所示，质量为m 1 的质量块放置在以速度V b 滑动的皮带上，同时质量块受到弹簧刚度k 1 及阻尼c 1 的约束作用。质量块在y方向上位移为y tot ，其运动速度为 y ˙ t o t 。在y方向上，质量块与皮带间的滑动速度 v y t o t s 为 v y t o t s = y ˙ t o t − V b (1) 如果质量块与皮带间的法向接触力为N 0 ，则作用于质量块的滑动摩擦力为 f t o t = N 0 μ ( v y t o t s ) (2) 式中， μ ( v y t o t s ) 为质量块与皮带间滑动速度为 v y t o t s 时的摩擦系数，由于轮轨摩擦曲线存在下降特性，摩擦系数的取值与滑动速度相关。 若系统处于平衡状态，质量块跟随皮带一起运动，即质量块本身不存在运动，则 y ˙ t o t = 0 (3) 代入式(1)，则得到平衡状态下质量块与皮带间的滑动速度 v y 0 s 为 v y 0 s = − V b (4) 由式(2)、(4)，得到平衡状态下作用于质量块的滑动摩擦力如式(5)所示。 f y 0 = N 0 μ ( v y 0 s ) (5) 为维持力的平衡，弹簧k 1 在其自然长度基础上伸长所提供的力与摩擦力 f y 0 进行平衡，平衡状态时弹簧伸长量y 0 与质量块位移y tot 相等，因此平衡状态下作用于质量块的滑动摩擦力也满足式(6)。 f y 0 = k 1 y 0 (6) 如果一个瞬态的力使得质量块从上述平衡位置偏离，则质量块开始振荡。振荡状态下质量块的振动位移可以写成平衡状态下位移y 0 与动态状态位移y之和，即 y t o t = y 0 + y (7) 因此，质量块的速度、加速度分别为 y ˙ t o t = y ˙ (8) y ¨ t o t = y ¨ (9) 将式(8)带入式(1)，得到振荡状态下质量块的滑动速度为 v y t o t s = y ˙ − V b (10) 将式(4)替换式(10)中的 − V b ，可以得到质量块的滑动速度的通用表达式，如式(11)。 v y t o t s = v y 0 s + y ˙ (11) 由式(11)可以看出，质量块的滑动速度是平衡状态下滑动速度 v y 0 s 和动态滑动速度 y ˙ 之和，因此作用于质量块的滑动摩擦力 f t o t 也可以表示成平衡状态下滑动摩擦力 f y 0 和动态滑动摩擦力 f y 之和，即 f y t o t = f y 0 + f y (12) 在y方向上，质量块的运动平衡方程如下所示， m 1 y ¨ t o t + c 1 y ˙ t o t + k 1 y t o t = f y t o t (13) 将式(6)~(9)及式(12)代入上式，消除式(13)中关于平衡状态的部分，得到质量块的动态运动平衡方程如式(14)所示，该运动平衡方程与单自由度质量–弹簧–阻尼系统的运动平衡方程一致。 m 1 y ¨ + c 1 y ˙ + k 1 y = f y (14) 将式(1)、式(2)及式(5)代入式(12)，得到动态摩擦力如下 f y = f y t o t − f y 0 = N 0 ( μ ( y ˙ + v y 0 s ) − μ ( v y 0 s ) ) (15) 结合式(14)和式(15)，质量块的运动平衡方程如式(16)所示，该质量–弹簧–带系统是一个自激振动系统，它由系统本身运动所产生的动态摩擦力激励。 m 1 y ¨ + c 1 y ˙ + k 1 y = N 0 ( μ ( y ˙ + v y 0 s ) − μ ( v y 0 s ) ) (16) 2.2. 自激振动 上述系统中质量块的滑动速度与作用于质量块的摩擦力之间的相互作用可以描述为一个正反馈回路，如图2所示。回路的输入是一个瞬态的干扰，回路的输出是质量块的振动速度，回路前向路径中的方框表示一个线性质量–弹簧–阻尼系统，回路反馈路径中的方框可以看成是摩擦力的计算模块，该模块的输入参数为质量块与移动带之间的滑动速度，该模块的输出是作用于质量块的摩擦力。判断该反馈回路的稳定性，即给予该系统任何小扰动 f ′ y ，分析发生波动后质量块是否能重新回到平衡状态( y ˙ = 0 )。 图1. 质量–弹簧–带系统示意图 图2. 质量–弹簧–带系统自激振动反馈 为了在一个可能的平衡状态滑动速度 v y 0 s 下对质量–弹簧–阻尼系统反馈回路进行稳定性分析，近似认为在偏离平衡状态滑动速度 v y 0 s 的一个很小范围内非线性摩擦力与滑动速度成正比。由于摩擦力对滑动速度的导数与黏滞阻尼(阻尼力对相对速度的导数)的定义类似，因此可以定义一个关于滑动速度 v y 0 s 的等效阻尼系数如下， c e ( v y 0 s ) = − ∂ f y ∂ v y s | v y 0 s (17) 黏滞阻尼总是正值且耗散结构的振动能量，而关于滑动速度 v y 0 s 的等效阻尼系数c e 与黏滞阻尼不同，c e 可能为正值也可能为负值，若c e 为负值，则表示摩擦力将增加结构的振动能量。 与平衡状态滑动速度 v y 0 s 相比，如果动态振动速度 y ˙ 的振荡非常小，则式(15)中的动摩擦力 f y 可以用等效的摩擦阻尼c e 来估算，如下： f y = y ˙ lim y ˙ → 0 N 0 ( μ ( y ˙ + v y 0 s ) − μ ( v y 0 s ) ) y ˙ = y ˙ N 0 ∂ μ ∂ y ˙ | v y 0 s = − c e y ˙ (18) 将式(18)代入式(14)，则 m 1 y ¨ + c 1 y ˙ + k 1 y = − c e y ˙ (19) 假设该方程的解表示为频率为 ω 1 、幅值为A 1 的简谐振动，如下： y = A 1 cos ( ω 1 t ) (20) 则在一个振动周期T内，通过动态摩擦力 f y 输入到系统的平均功率为 P i n = 1 T ∫ T f y y ˙ d t = − c e T ∫ T y ˙ 2 d t = − c e A 1 2 ω 1 2 2 (21) 将方程(19)中的结构阻尼c 1 从等式左边移到等式右边，得到 m 1 y ¨ + k 1 y = − c e y ˙ − c 1 y ˙ = ( − c e − c 1 ) y ˙ (22) 其中结构阻尼系数c 1 总是大于零。考虑结构阻尼c 1 后，系统在谐波振动中的平均功率增量为 P s = 1 T ∫ T ( ( − c e − c 1 ) y ˙ ) y ˙ d t = ( − c e − c 1 ) A 1 2 ω 1 2 2 (23) 从功率增量的角度来看，系统稳定的判定标准是 P s < 0 (24) 结合式(23)与式(24)，质量–弹簧–带系统的稳定性判定标准如下， c 1 ≥ 0 ， c e > 0 或 c 1 > | c e | ， c e ≤ 0 (25) 由上式可知，如果摩擦力引起的等效阻尼系数c e 大于零，或者摩擦力引起的等效阻尼系数c e 小于零，且同时满足等效阻尼c e 的绝对值小于结构阻尼c 1 ，则系统结构阻尼可以保持系统稳定。 2.3. 单个车轮模态下的自激振动 车轮具有多个振动模态，但是各阶振动模态发展形成车轮自激振动的机理是类似的，以质量–弹簧–带系统模型模拟车轮通过曲线轨道时单个车轮模态引起的车轮在某一方向上的自激振动，以分析自激振动形成机理及特性。 利用图2的反馈回路模拟轮轨间横向方向的自激振动激励，而具有单个车轮模态的车轮可以由图1中的质量–弹簧–阻尼系统表示，图1中移动带可以视为钢轨的刚性表面，移动带的滑动速度V b 可视为轮轨间平衡状态下的横向滑动速度。在循环反馈的每一步中，前一步的输出反馈的滑动速度将更新摩擦力。上述模型中钢轨被认为是刚性的，因此忽略了钢轨的响应，回路中仅考虑车轮的动态响应。 由于假设钢轨是静止的，平衡状态下轮轨间横向滑动速度 v y 0 s 即为车轮的滚动速度在横向方向的分量，其是由蠕滑率进行评价的。横向蠕滑率 γ 2 定义为式(5)中横向滑动速度 v y s 与车辆滚动速度V 0 之比，因此考虑平衡状态和动态总体的横向蠕滑率定义如下， γ 2 t o t = v y t o t s V 0 (26) 由于曲线通过中稳态(平衡状态)下轮轨横向蠕滑率是准静态的 [ 4 ]，稳态下横向蠕滑率在啸叫模型中表示为 γ 20 。因此，稳态的轮轨间横向滑动速度 v y 0 s 可以用稳态横向蠕滑率来表示，如式(27)所示。 v y 0 s = γ 20 V 0 (27) 将式(27)代入式(18)，得到 f y = y ˙ N 0 d μ d y ˙ | v y 0 s = y ˙ N 0 V 0 d μ d ( y ˙ / V 0 ) | v y 0 s / V 0 = y ˙ N 0 V 0 d μ d γ | γ 20 = y ˙ N 0 V 0 μ ′ ( γ 20 ) (28) 式中， μ ′ ( γ 20 ) 为摩擦曲线在稳态的横向蠕滑率 γ 20 处的导数。将式(28)代入式(17)，则稳态的系统等效阻尼系数c e 可以表示为 c e ( γ 20 ) = − f y y ˙ = − N 0 V 0 μ ′ ( γ 20 ) (29) 由式(19)给出的系统稳定性判定标准可知，如果在不稳定系统中加入足够的结构阻尼，就可能使系统稳定。轮轨摩擦曲线是非线性的，如图3所示，使不稳定车轮进入稳定状态所需的系统结构阻尼最小值取决于轮轨稳态蠕滑率和轮轨摩擦曲线。为了确保车轮的稳定性，给定系统结构阻尼系数c c ，如式(30)所示，其值等于摩擦力的等效阻尼系数绝对值的最大值。 c c = N 0 V 0 | μ ′ ( γ p ) | (30) 式中， γ p 为摩擦系数导数的绝对值取最大值时的蠕滑率。那么系统的阻尼比在满足式(31)时，可以确保车轮的稳定性。 ζ ≥ ζ c = c c 2 m 1 k 1 = N 0 | μ ′ ( γ p ) | 2 V 0 m 1 k 1 (31)