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user: 3. 主要结果 引理3.1：假设(H1)~(H5)成立，则 i) y ( t ) 为模型(2.3)与(2.4)的解，则 为模型(2.1)与(2.2)在 [ t 0 − τ ， + ∞ ) 上的解； ii) x ( t ) 为模型(2.1)与(2.2)的解，则 y ( t ) = ∏ t 0 < t k < t ( 1 + p k ) − 1 x ( t ) 为模型(2.3)与(2.4)在 [ t 0 − τ ， + ∞ ) 上的解。 证明：i) 设 y ( t ) 为模型(2.3)与(2.4)的解，易知 x ( t ) = ∏ t 0 < t k < t p k y ( t ) 在 ( t 0 ， t 1 ] 及 ( t k ， t k + 1 ] ， k = 1 ， 2 ， ⋯ 上绝对连续，且对 ∀ t ≠ t k ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ，有 x ′ ( t ) = [ ∏ t 0 < t k < t ( 1 + p k ) y ( t ) ] ′     = ∏ t 0 < t k < t ( 1 + p k ) { − α ( t ) y ( t ) + ∏ t 0 < t k < t ( 1 + p k ) γ − 1 β ( t ) y γ ( t − τ ( t ) ) e − ∏ t 0 < t k < t p k δ ( t ) y ( t − τ ( t ) ) }     = − α ( t ) x ( t ) + β ( t ) x γ ( t − τ ( t ) ) e − δ ( t ) x ( t − τ ( t ) ) ，     t ≥ t 0 > 0 。 所以， x ( t ) 在 [ t 0 ， ∞ ) \ t k 上几乎处处满足方程(2.1)。 对每个 t = t k ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ，有 x ( t k + ) = lim t → t k + ∏ t 0 < t j < t ( 1 + p j ) y ( t ) = ∏ t 0 < t j ≤ t k ( 1 + p j ) y ( t ) ，   x ( t k ) = ∏ t 0 < t j < t k ( 1 + p j ) y ( t ) ， 因此，对于每个 t = t k ， k = 1 ， 2 ， ⋯ 有 x ( t k + ) = ( 1 + p k ) x ( t k ) 。 且在 [ t 0 − τ ， t 0 ] 上，有 x ( t ) = ∏ t 0 < t k < t ( 1 + p k ) y ( t ) = y ( t ) = ϕ ( t ) 。因此 x ( t ) 为模型(2.1)与(2.2)在 [ t 0 − τ ， + ∞ ) 上的解。 ii)设 x ( t ) 是模型(2.1)与(2.2)的解，所以 x ( t ) 在 ( t 0 ， t 1 ] 与 ( t k ， t k + 1 ] ， k = 1 ， 2 ， ⋯ 上是绝对连续的。因此， y ( t ) = ∏ t 0 < t k < t ( 1 + p k ) − 1 x ( t ) 在 ( t 0 ， t 1 ] 与 ( t k ， t k + 1 ] ， k = 1 ， 2 ， ⋯ 上也是绝对连续的。 对 ∀ t = t k ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ，有 y ( t k + ) = lim t → t k + ∏ t 0 < t j < t ( 1 + p j ) − 1 x ( t ) = ∏ 0 < t j ≤ t k ( 1 + p j ) − 1 x ( t k + ) = ∏ 0 < t j < t k ( 1 + p j ) − 1 x ( t k ) = y ( t k ) ， 且 y ( t k − 1 ) = lim t → t k − 1 ∏ t 0 < t j < t ( 1 + p j ) − 1 x ( t ) = ∏ t 0 < t j < t k ( 1 + p j ) − 1 x ( t k − ) = y ( t k ) ，则 y ( t ) 是连续的且易知在 [ t 0 ， + ∞ ) 上绝对连续，由(i)类似可证 y ( t ) 为(2.3)在 [ t 0 − τ ， + ∞ ) 上满足初值条件(2.4)的解。 推论3.1：假设条件(H1)~(H5)成立，则 i) y ( t ) 为(2.3)与(2.4)的 ω -周期解，则 x ( t ) = ∏ t 0 < t k < t ( 1 + p k ) y ( t ) 为(2.1)与(2.2)在 [ t 0 − τ ， + ∞ ) 上的正 ω -周期解； ii) x ( t ) 为(2.1)与(2.2)的 ω -周期解，则 y ( t ) = ∏ t 0 < t k < t ( 1 + p k ) − 1 x ( t ) 为(2.3)与(2.4)在 [ t 0 − τ ， + ∞ ) 上的正 ω -周期解。 证明：由引理3.1以及假设条件(H1)，(H4)即可得证。 注3.1：由推论3.1可知，讨论具有脉冲影响的时滞新古典增长模型(2.1)的 ω -正周期解，只需要转化为讨论不具有脉冲的时滞新古典增长模型(2.3)的 ω -正周期解。 为应用引理2.1，令 X = { x ( t ) ∈ C ( R ， R ) ， x ( t ) = x ( t + ω ) ， ∀ t ∈ R } ，赋予范数 ‖ x ‖ = sup t ∈ [ 0 ， ω ] | x ( t ) | ，则 X 为Banach空间。 令 P = { x ( t ) ∈ X | x ( t ) ≥ 0 ， x ( t ) ≥ σ ‖ x ‖ ， t ∈ R } ，其中 σ ∈ ( 0 ， 1 ) 为后面所定义的正常数，则 P 为 X 中的锥。定义算子 ( Γ x ) ( t ) = ∫ t t + ω G ( t ， s ) β ^ ( s ) x γ ( s − τ ( s ) ) e − δ ^ ( s ) x ( s − τ ( s ) ) d s (3.1) 其中 β ^ ( t ) = ∏ t 0 < t k < t ( 1 + p k ) γ − 1 β ( t ) ， δ ^ ( t ) = ∏ t 0 < t k < t ( 1 + p k ) δ ( t ) ， G ( t ， s ) = e ∫ t s α ( r ) d r e ∫ 0 ω α ( r ) d r − 1 。记 0 < A = min { G ( t ， s ) : 0 ≤ t ， s ≤ ω } < max { G ( t ， s ) : 0 ≤ t ， s ≤ ω } = B ，   σ = A B ∈ ( 0 ， 1 ) 以下为方便计，对于 ω -周期函数 f ( x ) ，采用如下符号 f m = min t ∈ [ 0 ， ω ] { f ( t ) } ， f M = max t ∈ [ 0 ， ω ] { f ( t ) } 。 注3.2：由引理2.1知，对于 x ∈ X ， Γ 是 X 上的全连续算子，且易证模型(2.3)的正 ω -周期解的存在性等价于求 Γ 在 X 上的不动点。 注3.3：引入函数 g ( x ) = x γ e − δ ^ M x ，则易知 g ( x ) 在 [ 0 ， γ δ ^ M ] 上严格单调递增，在 [ γ δ ^ M ， + ∞ ] 上严格单调递减，则知 g ( x ) 在点 取得最大值，且存在唯一的 r 0 ∈ ( γ δ ^ M ， + ∞ ) ，使得 g ( σ γ δ ^ M ) = g ( r 0 ) 。 引理3.2：假设条件(H1)~(H5)成立，则 Γ : P → P 为全连续算子。 证明：由假设， α ( t ) 为连续的 ω -周期函数。且易验证 G ( t + ω ， s + ω ) = G ( t ， s ) ， s ∈ [ t ， t + ω ] ， ∀ x ∈ P ， t ∈ R ，有 ( Γ x ) ( t + ω ) = ∫ t + ω t + 2 ω G ( t + ω ， s ) β ^ ( s ) x γ ( s − τ ( s ) ) e − δ ^ ( s ) x ( s − τ ( s ) ) d s             = 令 s = u + ω ∫ t t + ω G ( t + ω ， u + ω ) β ^ ( u + ω ) x γ ( u + ω − τ ) e − δ ^ ( u + ω ) x ( u + ω − τ ( u + ω ) ) d u             = ∫ t t + ω G ( t ， u ) β ^ ( u ) x γ ( u − τ ( u ) ) e − δ ^ ( u ) x ( u − τ ( u ) ) d u             = ( Γ x ) ( t ) ， ( Γ x ) ( t ) ≥ A ∫ 0 ω β ^ ( s ) x γ ( s − τ ( s ) ) e − δ ^ ( s ) x ( s − τ ( s ) ) d s ≥ A B ‖ Γ x ‖ = σ ‖ Γ x ‖ ， 所以， Γ x ∈ P ， ∀ x ∈ P 。因此 Γ : P → P 。 下证 Γ 为全连续的。显然 Γ : P → P 是连续的。又，可得 ( Γ x ) ( t ) ≤ B ∫ 0 ω β ^ ( s ) x γ ( s − τ ( s ) ) e − δ ^ ( s ) x ( s − τ ( s ) ) d s ≤ B ω β ^ M g ( γ δ ^ M ) ≤ B ω β ^ M e − 1 ( γ δ ^ M ) γ ， 以及， ( Γ x ) ′ ( t ) = [ ∫ t t + ω G ( t ， s ) β ^ ( s ) x γ ( s − τ ( s ) ) e − δ ^ ( s ) x ( s − τ ( s ) ) d s ] ′ = ∫ t t + ω G ′ ( t ， s ) β ^ ( s ) x γ ( s − τ ( s ) ) e − δ ^ ( s ) x ( s − τ ( s ) ) d s     + G ( t ， t + ω ) β ^ ( t + ω ) x γ ( t + ω − τ ( t + ω ) ) e − δ ^ ( t + ω ) x ( t + ω − τ ( t + ω ) )     − G ( t ， t ) β ^ ( t ) x γ ( t − τ ( t ) ) e − δ ^ ( t ) x ( t − τ ( t ) ) = ∫ t t + ω G ′ ( t ， s ) β ^ ( s ) x γ ( s − τ ( s ) ) e − δ ^ ( s ) x ( s − τ ( s ) ) d s ≤ α ( t ) ( Γ x ) ( t ) + β ^ ( t ) e − δ ^ ( s ) x ( s − τ ( s ) ) ≤ α M B ω β ^ M e − 1 ( γ δ M ) γ + β ^ M e − δ ^ M ， 因此 Γ : P → P 是紧的，从而 Γ : P → P 为全连续的。 定理3.1：假设条件(H1)~(H5)成立，再假设条件(H6) A ω β ^ m r 0 γ − 1 > e δ ^ M r 0 成立，则方程(2.3)在初值条件(2.4)下存在两个正周期解。 证明：因为 lim x → 0 β ^ ( t ) x γ e − δ ^ ( t ) x = lim x → + ∞ β ^ ( t ) x γ e − δ ^ ( t ) x = 0 ， ∀ t ∈ [ 0 ， ω ] ，则存在两个正常数 r 1 ， r 2 ， Math_190#，以及存在一个充分小满足 B ω ε < 1 的 ε ，使得 β ^ ( t ) x γ e − δ ^ ( t ) x ≤ ε r 1 ，   t ∈ [ 0 ， ω ] ，   x ∈ [ 0 ， r 1 ] ; (3.2) β ^ ( t ) x γ e − δ ^ ( t ) x ≤ ε r 2 ，   t ∈ [ 0 ， ω ] ，   x ∈ [ r 2 ， + ∞ ) 。 (3.3) 定义 Ω 1 = { x | x ∈ X ， ‖ x ‖ < r 1 } ，当 x ∈ P ∩ ∂ Ω 1 时，有 ‖ x ‖ = r 1 且 x ( t ) ≥ σ r 1 ，由(3.1)和(3.2)，得 ( Γ x ) ( t ) ≤ B ∫ t t + ω β ^ ( s ) x γ ( s − τ ( s ) ) e − δ ^ ( s ) x ( s − τ ( s ) ) d s ≤ B ω ε r 1 < r 1 ， 因此， ‖ Γ x ‖ < ‖ x ‖ ， ∀ x ∈ P ∩ ∂ Ω 1 。 定义 Ω 2 = { x | x ∈ X ， ‖ x ‖ < r 0 } ，当 x ∈ P ∩ ∂ Ω 2 时，有 ‖ x ‖ = r 0 ， x ( t ) ≥ σ r 0 > σ γ δ ^ M ，因为 min x ∈ [ σ r 0 ， r 0 ] g ( x ) = g ( σ γ δ ^ M ) = g ( r 0 ) ，从而由条件(H6)，有 ( Γ x ) ( t ) ≥ A ∫ t t + ω β ^ ( s ) x γ ( s − τ ( s ) ) e − δ ^ ( s ) x ( s − τ ( s ) ) d s ≥ A ω β ^ m r 0 γ e − δ ^ M r 0 > r 0 e − δ ^ M r 0 e − δ ^ M r 0 = r 0 ， 因此， ‖ Γ x ‖ > ‖ x ‖ ， ∀ x ∈ P ∩ ∂ Ω 2 。 定义 Ω 3 = { x ∈ X | ‖ x ‖ < r 2 } ，其中 ， M = max t ∈ [ 0 ， ω ] max x ∈ [ 0 ， r 2 ] { β ^ ( t ) x γ e − δ ^ ( t ) x } ，当 x ∈ P ∩ ∂ Ω 3 时，有 ‖ x ‖ = r 2 ， x ( t ) ≥ σ r 2 。则由(3.1)和(3.3)，得 ( Γ x ) ( t ) ≤ B ∫ t t + ω β ^ ( s ) x γ ( s − τ ( s ) ) e − δ ^ ( s ) x ( s − τ ( s ) ) d s ≤ B ( ∫ E 1 β ^ ( s ) x γ ( s − τ ( s ) ) e − δ ^ ( s ) x ( s − τ ( s ) ) d s + ∫ E 2 β ^ ( s ) x γ ( s − τ ( s ) ) e − δ ^ ( s ) x ( s − τ ( s ) ) d s ) ≤ B M ω + B ω ε r 2 < r 2 ， 因此， ‖ Γ x ‖ < ‖ x ‖ ， ∀ x ∈ P ∩ ∂ Ω 3 ，其中 E 1 = { s | s ∈ [ t ， t + ω ] ， 0 ≤ x ( s − τ ( s ) ) ≤ r 0 } ， E 2 = { s | s ∈ [ t ， t + ω ] ， r 0 ≤ x ( s − τ ( s ) ) ≤ r 2 } 。 因为 Ω ¯ 1 ⊂ Ω 2 ， Ω ¯ 2 ⊂ Ω 3 ，且由引理3.2知， Γ : P ∩ ( Ω ¯ 2 \ Ω 1 ) → P ， Γ : P ∩ ( Ω ¯ 3 \ Ω 2 ) → P 是全连续的，因此，由引理2.1，得到 Γ 在 P ∩ ( Ω ¯ 2 \ Ω 1 ) 上存在不动点 ，在 P ∩ ( Ω ¯ 3 \ Ω 2 ) 上存在另一个不动点 x 2 ( t ) 。又因为 x 1 ( t ) ≥ σ r 1 > 0 ， x 2 ( t ) ≥ σ r 0 > 0 ，因此 x 1 ( t ) 与 x 2 ( t ) 为模型(2.3)在初值条件(2.4)下的两个不同的正周期解。 由引理3.1，可知模型(2.1)在初值条件(2.2)下存在两个不同的正周期解。