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user: 2. 预备知识 本节我们给出一些基本定义和引理。 2.1. 基本定义 2.1.1. 线性互补问题 线性互补问题 L C P ( q ， A ) 描述如下：求解满足 r : = A z + q ≥ 0 ，     z ≥ 0 ，     z T ( A z + q ) = 0 (1) 的向量 z ， r 。其中 z ， r ∈ R n ， A ∈ R n × n 是实矩阵， q ∈ R n 是实向量， z T 表示向量z的转置矩阵。 2.1.2. Z-矩阵，M-矩阵，H-矩阵 给定方阵 A = ( a ( i j ) ) ∈ R ( n × n ) ，其比较矩阵 〈 A 〉 = ( 〈 a i j 〉 ) ∈ R n × n 定义为 〈 a ( i j ) 〉 = { | a i j | ， i = j ， − | a i j | ， i ≠ j ，     i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 如果方阵A对于所有的 i ≠ j 都有 a ( i j ) ≤ 0 ，则称其为Z-矩阵，给定非奇异方阵A，如果A是Z-矩阵且 A ( − 1 ) ≥ 0 ，则称其为M-矩阵；如果它的比较矩阵 是M-矩阵；则称其为H-矩阵；特别地，如果一个H-矩阵的对角元素都是正的，则记为 H + -矩阵。设 A = M − N ，如果M是非奇异的，则称其为A的一个分裂，对于 A = M − N ，如果 〈 A 〉 = 〈 M 〉 − | N | ，则称其为H-相容分裂。若A为 H + -矩阵或者正定矩阵，则对任意的向量q， L C P ( q ， A ) 都存在唯一解。 2.1.3. 多分裂迭代法 设 l 是一个正向量， l ≤ n ， A = M k − N k ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， l 是系数矩阵A的一个多分裂， E k ∈ R n × n ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 是非负对角矩阵满足 ∑ k = 1 l E k = I (单位矩阵)，那么三元组集 ( M k ， N k ， E k ) ， ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， l ) 就称为矩阵A的一个多分裂，矩阵 E k ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ) 称为权重矩阵，给定正对角矩阵为 Ω ，正常量为 γ ，由引理2.3，我们能直接得到： 如果x满足隐式不动点方程 ( Ω + M k ) x = N k x + ( Ω − A ) | x | − γ q ，   k = 1 ， 2 ， ⋯ ， l (2) 有 z = γ − 1 ( | x | + x ) ， r = γ − 1 Ω ( | x | − x ) (3) 是线性互补问题 L C P ( q ， A ) 的一个解。 2.1.4. 模系矩阵同步多分裂迭代方法 L c p ( q ， A ) 的MSM迭代方法(线性互补问题的模系同步多分裂迭代方法)： 定义：设 A ∈ R n × n ， l ( l ≤ n ) 是正整数，如果对于 k = 1 ， 2 ， ⋯ ， l ， A = M K − N K 是矩阵A的分裂矩阵， E K ∈ R n × n 是非负对角矩阵且满足 ∑ k = 1 l E k = I (单位矩阵)，则称 ( M K ， N K ， E K ) ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， l ) 是矩阵A的一个多分裂，其中，非对角矩阵 E K 称为权重矩阵。 设 ( M K ， N K ， E K ) ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， l ) 是矩阵A的一个多分裂，对于给定正定矩阵 Ω 和正定常数 γ ，由模系 矩阵的收敛性定理可知，如果x满足每一个不动点方程组 ( Ω + M K ) x = N x x + ( Ω − A ) | x | − γ q ，     k = 1 ， 2 ， ⋯ ， l (4) 那么 z = 1 γ ( | x | + x ) ，     r = 1 γ Ω ( | x | − x ) 是 L C P ( q ， A ) 的一个解。 根据 L C P ( q ， A ) 的等价形式，我们称这个为模系同步多分裂迭代方法，简称为MSM迭代方法。 2.1.5. 矩阵奇异值 矩阵A的奇异值记为 σ ( A ) ， σ ( A ) = λ ( A ′ A ) ， λ ( A ′ A ) 为 A ′ A 的特征值， A ′ 为矩阵A的共轭转置矩阵。 σ min ( A ) 为矩阵A的最小奇异值。 2.1.6. 2-范数 矩阵A的2范数就是A的转置矩阵与矩阵A的积的最大特征根的平方根值，是指空间上两个向量矩阵的直线距离。类似于求棋盘上两点间的直线距离。 ‖ A ‖ 2 = A的最大奇异值 = ( max { λ i ( A ′ A ) } ) 1 2 (欧几里德范数，谱范数，即 A ′ A 特征值 λ i 中最大者 λ 1 的平方根，其中 A ′ 为A的转置共轭矩阵)。 2.2. 引理 设 A ∈ R n × n 是 H + -矩阵， D = d i a g ( A ) ， B = D − A ， ( M k ， N k ， E k ) ， ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， l ) ， ( D − L k ， U k ， E k ) ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， l ) 是矩阵A的一个多分裂和三角分裂，明显地，假设 γ > 0 且正对角矩阵 Ω 满足 Ω > D 设 A = M k − N k ( k = 1 ， 2 ， ⋯ l ) 是H-的一个相容分裂，有MSM的迭代序列 { z ( m ) } m = 0 ∞ 对线性互补问题 L C P ( q ， A ) 有唯一解， z * 对任意的初始化向量 z ( 0 ) ∈ R + n 成立。 证明：对于MSM迭代法有： ( Ω + M k ) x * = N k x * + ( Ω − A ) | x * | − γ q ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， l (5) (4)，(5)推出 x ( m ， k ) − x * = ( Ω + M k ) − 1 [ N k ( x ( m ) − x * ) + ( Ω − A ) ( | x ( m ) | − | x * | ) ] 得出关于MSM迭代法的误差如下 (6) 我们证明(1)的有效性。设 A = M k − N k ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， l ) 是矩阵A的H+矩阵的H-相容矩阵 Ω 是一个正对角矩阵， M k ，因此， Ω + M k ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， l 是 H + -有 | ( Ω + M k ) − 1 | ≤ 〈 Ω + M k 〉 − 1 = ( Ω + 〈 M k 〉 ) − 1 ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， l ， (7) (6)两边取绝对值，利用(10)估计不等式 | | x ( m ) | − | x * | | ≤ | x ( m ) − x * | ，相似地，我们可以得到 | x ( m + 1 ) − x * | ≤ ∑ k = 1 l E k ( Ω + 〈 M k 〉 ) − 1 ( | N k | + | Ω − A | ) | x ( m ) − x * | : = L M S M | x ( m ) − x * | ， (8) 其中 L M S M = ∑ k = 1 l E k ( Ω + 〈 M k 〉 ) − 1 ( | N k | + | Ω − A | ) . (9) 又设 A = M k − N k ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， l ) 是H-相容分裂也即 〈 A 〉 = 〈 M k 〉 − | N k | ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， l ，又 k = 1 ， 2 ， ⋯ ， l 有 | N k | = 〈 M k 〉 − 〈 A 〉 = 〈 M k 〉 − D − | B | . (10) 由(9)，(10)得出 L M S M = ∑ k = 1 l E k ( Ω + 〈 M k 〉 ) − 1 ( | N k | + ( Ω − D ) + | B | ) = ∑ k = 1 l E k ( Ω + 〈 M k 〉 ) − 1 [ ( Ω + 〈 M k 〉 ) ( | N k | + ( Ω − D ) + | B | ) ] = I − 2 ∑ k = 1 l E k ( Ω + 〈 M k 〉 ) − 1 D ( I − J ) ≤ I − 2 ∑ k = 1 l E k ( Ω + 〈 M k 〉 ) − 1 D ( I − J ε ) 则 L M S M V ε ≤ V ε − 2 ∑ k = 1 l E k ( Ω + 〈 M k 〉 ) − 1 D ( I − J ε ) V ε = V ε − 2 ( 1 − ρ ε ) ∑ k = 1 l E k ( Ω + 〈 M k 〉 ) − 1 D V ε (11) 设 D k = d i a g ( M k ) ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， l ，因为 D k ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， l ) 且 Ω 是一个正对角矩阵，有 ( Ω + 〈 M k 〉 ) − 1 ≥ ( Ω + D k ) ， k = 1 ， 2 ， ⋯ ， l (12) 且 ∑ k = 1 l E k ( Ω + D k ) − 1 > 0 . (13) 当 ρ ε < 1 时，(11)-((12)+(13))得 L M S M V ε ≤ V ε − 2 ( 1 − ρ ε ) ∑ k = 1 l E k ( Ω + 〈 M k 〉 ) − 1 D V ε < V ε . 因此， ρ ( L M S M ) < 1 由(9) (11)我们能立即得到MSM迭代法得到的序列 { z ( m ) } m = 0 ∞ ，对任意的初始向量 z ( 0 ) ∈ R + n 线性互补问题 L C P ( q ， A ) 有唯一解。 A ∈ R n × n 是一个H-矩阵， D = d i a g ( A ) 是A的一个对角矩阵， B = D − A ，那么可以得到 (i) A是非奇异的， (ii) | A − 1 | ≤ 〈 A 〉 − 1 ， (iii) | D | 是非奇异， ρ ( | D | − 1 | B | ) < 1 。 如果系数矩阵 A ∈ R n × n 是 H + -矩阵，线性互补问题 L C P ( q ， A ) 有唯一解，