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user: 4. 复杂网络同步控制的基本方法 在控制中控制方法是研究的主要问题，随着对复杂网络控制研究的深入产生了许多的控制方法。这些方法可以宏观的分为两大类：第一类是传统控制策略，主要包括PID控制、解耦控制；第二类是现代先进控制策略，这类控制策略相较传统的控制策略具有更好的适应性。因此随着网络的复杂程度以及人们对控制精度和性能要求的不断提高现代先进控制策略扮演着主要角色，传统的控制策略则包含在先进控制策略当中。针对不同网络结构和控制需要现代先进控制策略也多种多样主要有：线性控制、脉冲控制、间歇控制、采样控制、模型预测控制、模糊控制、牵制控制等。其中牵制控制是从网络结构的角度来看，其他几种控制策略是从设计方法和实现手段来划分，所以在实际应用当中牵制控制与其他几种控制策略相结合衍生出如脉冲牵制控制、间歇牵制控制等控制方法。 4.1. 牵制控制 牵制控制是一种控制方法，其主要目的是通过控制复杂网络系统中的少数节点来控制整个复杂网络，在说明这种控制方法的时候通常会引入线虫神经元和生物族群蜂拥现象等经典例子来进行解释。例如，线虫是生物界中一种具有相对简单神经系统的生物方便人类研究，因此在神经系统研究方面对线虫的认识研究也是比较清楚地，在对线虫神经系统进行研究时人们发现线虫共有约300个神经元和约2400条神经连接线，而通过刺激少数(平均49个)神经元就可达到控制全身神经的目的，这些神经元仅占线虫全身神经元的17%属于少数个体，但通过对这些少数个体的控制却可以达到控制整个系统的目的。生物学中的这一发现为控制复杂网络提供了一种新的思路。 随着复杂网络的结构复杂度提高网络的全局信息很难掌握对网络中每一个节点施加控制很难实现有的时候也不能满足经济的要求，这种可以通过局部控制来实现对复杂网络进行全局控制的控制方法成为了人们研究的热点。通过大量的研究证明选择适当的耦合强度和反馈增益是可以实现的。 Wang和Chen等人在2002年 [ 12 ] [ 13 ] 分析了无标度网络的幂律分布特性，并基于这一特性提出了局部施加反馈控制来对无标度复杂网络进行控制，不仅给出了局部控制的理论模型还给出了仿真试验的结果数据，从理论和数字上都严格的验证了局部控制的可行性，在国内首次提出了牵制控制。除此之外文章中还提到了控制器的放置方法，即在度数大的节点上放置控制器更有效。Chen和Fan等人在2005年 [ 14 ] 提出了牵制控制作用下的复杂动态网络的数学模型： { x ˙ i ( t ) = f ( x i ( t ) ) + c ∑ j = 1 N a i j ( t ) Γ x j ( t ) + u i ( t ) i = 1 ， 2 ， ⋯ l ， x ˙ i ( t ) = f ( x i ( t ) ) + c ∑ j = 1 N a i j ( t ) Γ x j ( t ) i = l + 1 ， l + 2 ， ⋯ ， N 其中 u i ( t ) 是施加的控制， l 表示受控节点个数。同时在这篇文章中提到了两种常见的控制策略，一种是特定牵制控制即按照节点度由高到低选取网络中的一些节点进行控制，另一种是随机牵制控制即随机选取一部分节点进行控制。在文献 [ 14 ] 中同时指出了特定牵制控制比随机牵制控制更有效。值得关注的是陈天平等人在2007年给出了只对一个节点进行控制就可以实现对整个网络进行控制的相关研究结果，但是具有一定的局限性这个结果是在内部耦合函数为单位矩阵条件下得到。同年占萌 [ 15 ] 等人给出了在不同内部耦合函数网络中控制一个节点使网络同步的参数条件。在文献 [ 4 ] 中Chen结合Lyapunov稳定性理论论述了网络系统的同步区域，并讨论了常见的几种同步区域(S)形式和耦合强度(c)与稳定区域的关系 [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] 。第一类是文献 [ 16 ] [ 17 ] 对应的同步域 ，具有这种类型的同步域的网络其Laplace矩阵的最小非零特征根越大说明网络同步能力越强所需要的耦合强度越小；第二类是文献 [ 18 ] 对应的同步区域 S = ( α 1 ， ∞ 2 ) ，具有这类同步区域的网络其同步能力往往通过非零特征根比率来描述，比值越大网络同步能力越强；第三类是文献 [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] 对应的同步区域为空集的一种情况，具有这种同步域的网络不能自我实现同步(需要人为对其进行控制)；第四类是文献 [ 19 ] [ 20 ] 对应的同步域是多个 S = ( α i ， α j ) ， i ≠ j 的并集构成的，这种情况相对比较复杂而且不常见。这个结论可以有效地反映出网络系统的同步能力与耦合强度之间的关系。在此基础之上Chen还在文章中论述了网络的结构在解决牵制控制器设计与放置等问题上的关键作用。 4.2. 脉冲控制 在很多时候复杂动态网络的节点受到瞬时扰动或其他原因引起的突发性噪声影响会使节点的状态发生变化，为了应对这类问题人们研究了脉冲控制。脉冲控制能使不稳定系统变得稳定；也可以使原本稳定的系统变得不稳定等。 [ 21 ] 如在经济方面我国的宏观调控中就存在着这种控制方法。 [ 22 ] 脉冲控制是指在离散的时间点对系统施加脉冲控制量使系统状态发生改变的一种非连续的控制手段。脉冲控制的研究从1960年Millman和Myshkis首次提出脉冲控制系统作为开端 [ 23 ] 。1989年V. Lakshmikantham等人 [ 24 ] 首次提出脉冲微分系统。Yan和Shen于1998年基于Soliman利用“Lyapunov直接法”得到的脉冲系统稳定规则进一步提出了稳定判定方法 [ 25 ] 。在此之后又越来越多的学者开始关注脉冲控制相关的理论也越来越完善，文献 [ 21 ] [ 22 ] [ 21 ] [ 24 ] 对此有详细的论述。2016年Liu等人 [ 26 ] 在其文章中介绍了一种将脉冲控制与牵制控制相结合的一种控制方法，文中同时介绍了一种建模框架这种框架是许多现有连续时间和离散时间CDN模型的统一和推广，针对这一模型在不同的离散脉冲点对不同的节点施加牵制控制，得到了连续和离散复杂动力系统同步的稳定条件，即利用脉冲牵制控制对网络进行控制的同步条件。 4.3. 自适应控制 自适应控制是指控制器可以通过调整自身的参数来适应受控网络本身或受控网络受到所处的环境扰动影响的一种控制手段，早期的自适应控制只是在对具体问题设计解决方案时的一种手段并未形成相关的理论体系。随着对复杂网络系统控制的发展以及许多学者对这一方法的控制结构、稳定性等方面进行深入研究并取得了突破使得自适应控制理论的研究进入到了系统化的阶段。自适应控制可以分为四种：变增益自适应控制、模型参考自适应系统(MRAS)、自校正调节器和直接优化指标函数的自适应控制。 [ 27 ] 变增益自适应控制的原理比较简单，调节器按照系统的状态(通过对获取的某些变量进行计算)对控制器施加的增益等参数进行调整具有反应迅速等优点，但由于控制器获取系统数据的局限性导致这种控制方式在某种程度上不能对参数进行最优的调整。模型参考知识性系统则是对变增益自适应控制的一个改进，在原有的自适应回路(内环)基础上加入另一个自适应回路(外环)来调节控制器的参数来减小输出的误差使内环的特性与受控模型基本一致。这种自适应控制手段比之前的具有更好的性能，但由于存在零极点对消的问题这种控制器的适用范围具有一定的局限性。自校正调节器是将在变增益自适应控制与在线受控系统参数估计相结合，由独立的参数估计部分对受控系统进行参数估计并将数据传输给调节器称为显式自校正调节器，由调节器参数表示受控系统参数进行估算则可以省去独立的参数估计部分使系统得到一定程度上的简化称为隐式自校正系统。这种自适应控制方式较多的应用于离散系统控制当中。直接优化指标函数的自适应控制与模型参考自适应系统和自校正调节系统有着相似的模型结构，选定某个特定的指标函数，是一种基于系统输出、参数变量、控制信号等数据进行计算得出优化自适应控制的算法。 4.4. 间歇控制 复杂网络同步控制的方法多种多样其中间歇控制是一种更容易实现并且能量消耗更小的一种同步控制方法，最初间歇控制被应用于经济学领域，随着其逐步的发展与成熟间歇控制在诸如管理系统、医疗系统中都有所应用。如下： u i ( t ) = { − k i ( t ) e i ( t ) ， t ∈ [ k T ， k T + h ] 0 ， t ∈ [ k T + h ， ( k + 1 ) T ] 是一种间歇控制器的模型，从模型可以直观地看出间歇控制与之前介绍的牵制控制、自适应控制这两种控制方法不同，之前提到的这两种控制方法都是连续的。间歇控制与脉冲控制类似，是非连续的在固定周期内施加控制，在其他时间控制器对受控网络不施加控制，而脉冲控制与间歇控制的不同在于脉冲控制是在特定时间点施加控制，间歇控制是在特定时间段内施加控制 [ 28 ] ，间歇控制也由此被认为是一种介于脉冲控制和连续控制方法之间的过渡 [ 29 ] 。间歇控制在某些情况下比连续控制方法更加经济高效。但在降低成本和能耗的同时也带来了控制性能降低的问题使控制系统稳定所需要的时间消耗相对提高。 2000年，Zochowski在其文章中首次运用间歇控制方法对非线性动力系统进行控制。在《复杂动力网络的同步分析与控制》 [ 30 ] 书中也提到Zochowski在文中采用的控制器均为线性反馈控制，所的增益系数比实际需求要大。针对这一问题书中介绍了运用Lyapunov稳定系定理，结合自适应控制、牵制控制的方法得到了可以应用在无时滞或单边的系统中的控制方法。并且去掉了传统间歇控制中控制宽度和时延上需要满足的条件，使得应用范围更广，并且书中还通过仿真证明了控制器的有效性。