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user: 3. 主要结果及证明过程 设V是域F上的向量空间，定义V上的算子向量空间 g l f ( V ) = { a ( x ) = ∑ n ∈ Z a n x − n − 1 | a n ∈ E n d V ; ∀ v ∈ V ， a n v = 0 ， n > > 0 } ， 其加法和数乘运算都是自然定义的。称 g l f ( V ) 是向量空间V上的场空间，其中的元素 a ( x ) 为V上的场或算子。定义 g l f ( V ) 上的双线性n-运算如下： n : g l f ( V ) × g l f ( V ) → g l f ( V ) ( a ( x ) ， b ( x ) ) → a ( x ) n b (x) a ( x ) n b ( x ) = Re s x 1 { ( x 1 − x ) n a ( x 1 ) b ( x ) − ( − x + x 1 ) n b ( x ) a ( x 1 ) } 此时， g l f ( V ) 是F上的非结合代数，其中的算子也称为是下方截断的，见文献 [ 1 ]。 引理3.1：定义算子 a ( z ) ∈ E n d V 〚 z ， z − 1 〛 ，使得 a ( z ) 的系数 a 0 ， a 1 ， ⋯ ， a N 与 b ( z ) 的任何系数可交换，则有 Re s ( z − w ) N [ a ( z ) ， b ( w ) ] = 0 。此时，算子 ( a ( z ) ， b ( z ) ) 是N-弱局部的。 进一步，若还有 a N + j = 0 ， j ≥ 1 ，则算子 ( a ( z ) ， b ( z ) ) 是弱局部的。 证明：设 a ( z ) = ∑ n ∈ Z a n z − n − 1 ， b ( z ) = ∑ m ∈ Z b m z − m − 1 ，其中 a n ， b m ∈ E n d V ， ∀ n ， m ∈ Z 。根据引理的条件，有下列等式： Re s z ( z − w ) N [ a ( z ) ， b ( w ) ] = Re s z [ ∑ i = 0 N ( − 1 ) i z N − i w i ∑ n ， m ∈ Z [ a n ， b m ] z − n − 1 w − m − 1 ] = Re s z [ ∑ i = 0 N ( − 1 ) i ∑ n ， m ∈ Z [ a n ， b m ] z N − i − n − 1 w i − m − 1 ] = Re s z [ ∑ i = 0 N ( − 1 ) i ∑ n ， m ∈ Z [ a N + n − i ， b m + i ] z − n − 1 w − m − 1 ] = ∑ i = 0 N ( − 1 ) i ∑ m ∈ Z [ a N − i ， b m + i ] w − m − 1 = 0 即，等式 Re s z ( z − w ) N [ a ( z ) ， b ( w ) ] = 0 成立，算子 ( a ( z ) ， b ( z ) ) 是N-弱局部的。 定理3.2：设算子 a ( z ) ， b ( z ) 如上，且 b ( z ) 是下方截断的。若有正整数 N 1 使得 b N 1 ≠ 0 ， b N 1 + j = 0 ， ∀ j = 1 ， 2 ， ⋯ ，且算子 a ( z ) 满足条件：对任意的正整数 N 2 ，存在非负整数n，使得系数 a N 2 + n 与 b N 1 不可交换，则 ( a ( z ) ， b ( z ) ) 不是局部的。 证明：对任意正整数 N 2 ，要证明 ( z − w ) N 2 [ a ( z ) ， b ( w ) ] ≠ 0 。根据前面的计算式，只要证明 ∑ i = 0 N 2 ( − 1 ) i [ a N 2 + n − i ， b m + i ] ≠ 0 ， ∃ n ， m ∈ Z 选取 m = N 1 ，上述不等式化简为 [ a N 2 + n ， b N 1 ] ≠ 0 。再根据定理条件： a N 2 + n 与 b N 1 不可交换，前面的不等式确实成立，从而算子 ( a ( z ) ， b ( z ) ) 不是局部的。 注记：上述定理中的 a ( z ) 不具有下方截断性。若要求 a ( z ) 满足下方截断性，可选取正整数 K > N 1 ，使得 a K ≠ 0 ，且 a K + j = 0 ， j ≥ 1 。此时，对任意的正整数 N 2 及整数k，满足： 0 ≤ k ≤ N 2 ，使得 a N 2 + n − k ≠ 0 ，且 a N 2 + n − k + j = 0 ， j ≥ 1 ，这里 n = k − N 2 + K 。取 b N 1 ，使它与 a K 不可交换。再令 m = N 1 − k ，则有下列式子： [ a N 2 + n − k ， b m + k ] = [ a N 2 + n − k ， b N 1 ] ≠ 0 ， 从而有 ∑ i = 0 N 2 ( − 1 ) i [ a N 2 + n − i ， b m + i ] = [ a N 2 + n − k ， b m + k ] ≠ 0. 因此，算子 ( a ( z ) ， b ( z ) ) 不是局部的。 下面我们以二阶矩阵为例，给出一个具体的例子。 例3.3：1) 构造算子 a ( z ) ：当 s < 0 时， a s 为任意矩阵。当 0 ≤ s ≤ N 1 时，令 a s = ( b s 0 0 b s ) ， b s ∈ F 。当 N 1 + 1 ≤ s ≤ K ，令 a s = ( s s 0 s ) 。当 s ≥ K + 1 ，令 a s = 0 。2) 构造算子 b ( z ) ：当 s < N 1 时， b s 为任意矩阵。当 s = N 1 时， b N 1 = ( b 11 b 12 b 21 b 22 ) ， b 21 ≠ 0 或者 b 12 ≠ b 22 。当 s > N 1 时， b N 1 + j = 0 ， j ≥ 1 。此时， ( s s 0 s ) ( b 11 b 12 b 21 b 22 ) ≠ ( b 11 b 12 b 21 b 22 ) ( s s 0 s ) 。因此， ( a ( z ) ， b ( z ) ) 是 N 1 -弱局部的，但是它们不是局部的。 讨论算子的弱局部性是为了构造场代数，而局部性的研究是顶点代数要面临的问题。下面的例子给出了一些说明，其详细讨论见文献 [ 1 ] 和文献 [ 8 ]。 例3.4：设子空间W是向量空间 g l f ( V ) 的一个弱局部子空间，它包含恒等变换 I ( x ) = I d V ，且对n运算封闭，则 ( W ， Y ， I ( x ) ) 是一个态场对应。这里线性映射 Y : W → E n d W 〚 z ， z − 1 〛 定义如下： Y ( a ( x ) ， z ) = ∑ n ∈ Z a ( x ) n z − n − 1 ， 其中 a ( x ) n b ( x ) 定义如上。若 ( W ， Y ， I ( x ) ) 满足结合性公理，则它是场代数。若还满足弱局部性，则它是强场代数。 引理3.5：设 ( V ， | 0 〉 ， Y ) 是场代数，I是V的T不变的双边真理想，则 ( V / I ， [ | 0 〉 ] ， Y ˜ ) 也是一个场代数。相应的线性映射可以如下给出： Y ˜ : V / I → E n d ( V / I ) 〚 z ， z − 1 〛 [ u ] → Y ( [ u ] ， z ) = ∑ n ∈ Ζ [ u ] n z − n − 1 ， n ∈ Z ， u ∈ V 证明：1) 合理性：商空间 V / I 中的n运算定义为： [ u ] n [ v ] = [ u n v ] ， ∀ u ， v ∈ V 。若 [ a ] = [ b ] ， [ u ] = [ w ] ，则 a − b ∈ I ， u − w ∈ I ，I是V的双边理想，必有 ( a − b ) n u ∈ I ， b n ( u − w ) ∈ I 。 a n u − b n w = a n u − b n u + b n u − b n w = ( a − b ) n u + b n ( u − w ) ∈ I ， 于是， [ a n u ] = [ b n w ] ，运算的定义是合理的。 2) 真空性： Y ( [ | 0 〉 ] ， z ) = I V / I ， Y ( [ a ] ， z ) | 0 〉 = [ a ] + T ( [ a ] ) z + ⋯ ∈ V / I 〚 z 〛 ，其中 I v ∈ E n d V 是恒等变换。 3) 平移不变性： [ T ， Y ( [ a ] ， z ) ] = Y ( T [ a ] ， z ) = ∂ z Y ( [ a ] ， z ) ，T是 V / I 上的平移算子。 4) 因为 ( V ， | 0 〉 ， Y ) 是场代数，对所有的 a ， b ， c ∈ V ，有下列结合性等式： ( z − w ) N Y ( Y ( a ， z ) b ， − w ) c = ( z − w ) N i z ， w Y ( a ， z − w ) Y ( b ， − w ) c ， N ≫ 0 ( z − w ) N Y ( ∑ n ∈ Z a n b z − n − 1 ， − w ) c = ( z − w ) N i z ， w ∑ m ∈ Z a m ( z − w ) − m − 1 ∑ k ∈ Z b k c ( − w ) − k − 1 将上式变形，得到下列等式： ( z − w ) N ∑ s ， n ∈ Z ( a n b ) s c z − n − 1 ( − w ) − s − 1 = ( z − w ) N i z ， w ∑ m ， k ∈ Z a m ( b k c ) ( z − w ) − m − 1 ( − w ) − k − 1 . 对商空间 V / I 中的任意元素 [ a ] ， [ b ] ， [ c ] ，必有 ( z − w ) N ∑ s ， n ∈ Z ( [ a ] n [ b ] ) s [ c ] z − n − 1 ( − w ) − s − 1 = ( z − w ) N i z ， w ∑ m ， k ∈ Z [ a ] m ( [ b ] k [ c ] ) ( z − w ) − m − 1 ( − w ) − k − 1 ( z − w ) N Y ( Y ( [ a ] ， z ) [ b ] ， − w ) [ c ] = ( z − w ) N i z ， w Y ( [ a ] ， z − w ) Y ( [ b ] ， − w ) [ c ] ， N ≫ 0 故 ( V / I ， [ | 0 〉 ] ， Y ) 也是一个场代数。 可以按照通常的方式定义场代数的同态，并且同态的核是理想，同态的像是场代数。 引理3.6：场代数的同态基本定理：设 f : V → W 是场代数 V ， W 之间的同态，I是V的一个理想，并且 I ⊂ ker f ，则有唯一的场代数同态 f ˜ : V / I → W ，使得 f ˜ π = f 。这里 π : V → V / I ， a → [ a ] 是典范同态，而 f ˜ ( [ a ] ) = f ˜ π ( a ) = f ( a ) ， ∀ a ∈ V 。 特别，若 I = ker f ，则 f ˜ 是单射，此时 f ˜ : V / I → Im f 是同构。 证明： 1) 令 f ˜ ( [ x ] ) = f ( x ) ， ∀ x ∈ V 。映射 f ˜ 定义合理：若 [ a 1 ] = [ a 2 ] ，即 a 1 ~ a 2 ， a 1 − a 2 ∈ I ⊂ ker f ，有 f ( a 1 − a 2 ) = 0 。 f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ， f ˜ ( [ a 1 ] ) = f ˜ ( [ a 2 ] ) 。 2) f ˜ 是同态： V / I → W 。首先，它是向量空间的线性映。另外，它保持n运算： f ˜ ( [ | 0 〉 ] ) = | 0 〉 ， f ˜ ( [ a ] n [ b ] ) = f ( a n b ) = f ( a ) n f ( b ) = f ˜ ( [ a ] ) n f ˜ ( [ b ] ) . 3) 由 f ˜ 的定义直接看出： f ˜ π = f 。 4) 唯一性：若还有另外一个同态 g : V / I → W ，使得 g π = f 。则 ( g π ) ( x ) = f ( x ) ， ∀ x ∈ V 。即 g ( [ x ] ) = f ( x ) ， ∀ [ x ] ∈ V / I 。由此可知， g = f ˜ 。 5) f ˜ : V / I → Im f 是双射：由定义直接看出。因此， f ˜ : V / I → Im f 是场代数的同构映射。 引理3.7：设 ( V ， | 0 〉 ， Y ) 是场代数，I是V的真理想，则商代数 V / I 的理想构成的集合B与V包含I的理想构成的集合A之间有一一对应。特别地， V / I 的理想形如 L / I ，这里L是V的包含I的理想。 证明：考虑典范态场对应同态 π : V → V / I ， a → [ a ] ，由此定义集合之间的映射 σ : A → B ， L → π ( L ) = L / I . 1) σ 是单射：设理想 L 1 ， L 2 ∈ A ，且 L 1 / I = L 2 / I 。 ∀ a ∈ L 1 ，必有 。故存在 ，使得 。于是 ，从而 ，同理可得 ，则 。 2) 是满射：设 ，令 ，现证 。 ， 。从而 。 ，则 ，同理可证 。因此，L是V的理想。另外，L是V的包含I的理想，即 。最后由于典范映射 是满射，必有 ，即 是满射。 因此， 是双射，引理结论成立。 引理3.8：设 是场代数，其中I，J为场代数 的两个双边真理想，且有理想的包含关系： ，则有场代数之间的同构映射： 。 证明：由双边理想的定义可以验证 是 的双边理想，利用同态基本定理可以验证引理的结论成立。