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user: 2. 主要结论 很容易验证 S z e * ( F m ) = { m 3 − 32 4 ，     m 是 偶 数 m 3 − 40 4 ，     m 是 奇 数 即 F m 满足定理1.1的等式。 因此，对于任何大小为m的连通三圈图 G m ，除了 F m 之外， S z e * ( G m ) < S z e * ( F m ) 。使用 m u ( e ) + m v ( e ) + m 0 ( e ) = m 这个式子，我们有 S z e * ( G ) = ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) + m 0 ( e ) 2 ) ( m v ( e ) + m 0 ( e ) 2 ) = ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m + m u ( e ) − m v ( e ) 2 ) ( m + m v ( e ) − m u ( e ) 2 ) = ∑ e = u v ∈ E ( G ) m 2 − ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 4 则可以得到 S z e * ( G ) = m 3 4 − 1 4 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 (1) 我们分三种情况来证明定理1.1。首先，我们考虑至少有一条悬挂边的连通三圈图，然后考虑没有悬挂边但是有一个割点的连通三圈图，最后考虑2-连通的三圈图。 2.1. 至少有一条悬挂边的三圈图 引理2.1 设 G m 是一个至少有一条悬挂边的 m ≥ 10 条边的三圈图。则 S z e * ( G m ) < S z e * ( F m ) . 证明 设 e ′ = x y 是图G的一条悬挂边并且 d ( y ) = 1 。当 m ≥ 10 时，有 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ ( m x ( e ′ ) − m y ( e ′ ) ) 2 = ( m − 1 ) 2 > 40 . 联立等式(1)，证毕。 2.2. 没有悬挂边但是有一个割点的三圈图 引理2.2 设 G m 是一个没有悬挂边但是有一个割点的 m ≥ 10 条边的三圈图。则 S z e * ( G m ) < S z e * ( F m ) . 证明 假设u是一个割点。G是由一个双圈图B和一个圈C组成的且 V ( B ) ∪ V ( C ) = { u } 。显然 | E ( B ) | ≥ 5 。 如果C是偶圈，对于C中的每条边e，则有 | m u ( e ) − m v ( e ) | = m − | E ( C ) | = | E ( B ) | 。因此 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ ∑ e = u v ∈ E ( C ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ | E ( C ) | ⋅ | E ( B ) | 2 ≥ 4 × 5 2 > 40 . 如果C是奇圈，对于C中除了xy使得 d ( u ， x ) = d ( u ， y ) 的每条边e，则有 | m u ( e ) − m v ( e ) | = m − | E ( C ) | = | E ( B ) | 。因此 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ ∑ e = u v ∈ E ( C ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ | E ( C ) − 1 | ⋅ | E ( B ) | 2 > 2 × 5 2 > 40 . 联立等式(1)，证毕。 2.3. 2-连通的三圈图 在本节中 κ ( G ) ≥ 2 ，它必须是(图2)中描述的图形之一。字母 a ， b ， ⋯ ， f 表示度大于2的顶点之间对应路的长度。为了简单起见，我们将这些路径分别称为 P ( a ) ， P ( b ) ， ⋯ ， P ( f ) 。在下面的引语中，我们将图2中的这四个图分别称为 Θ 1 、 Θ 2 、 Θ 3 和 Θ 4 。 图2. 2-连通三圈图的四种情况 引理2.3 设 G m 是由路 P ( 1 ) ， P ( 2 ) ， P ( 3 ) ， P ( 4 ) 组成的 Θ 1 图，且 e = u v ∈ E ( G ) 。则有 | m u ( e ) − m v ( e ) | ≤ 1 ，当且仅当e是 P ( 1 ) ， P ( 2 ) ， P ( 3 ) ， P ( 4 ) 四条路中奇长路上最中间的那条边。 证明 假设 e = u v ∈ P ( i ) ( 1 ≤ i ≤ 4 ) ，则关于 N u ( e ) 和 N v ( e ) 有以下三种讨论。 情形1 x， y属于不同的集合。我们得到 | m u ( e ) − m v ( e ) | = 2 | b i − a i | ， 其中 a i (或 b i )是x(或y)到边e的距离。 假设 x ∈ N u ( e ) ， y ∈ N v ( e ) 。则在 P ( i ) 上 M u ( e ) 中的边比 M v ( e ) 上的边多 a i − b i 条，但在 P ( j ) ( j ≠ i ) 上 M u ( e ) 中的边比 M v ( e ) 上的边多 b i − a i 条，因此 | m u ( e ) − m v ( e ) | = | 3 ( b i − a i ) + ( a i − b i ) | = 2 | b i − a i | 。 情形2 x， y属于相同的集合。我们得到 | m u ( e ) − m v ( e ) | = | E ( G ) | − g ， 其中g是包含边e的最短圈G的长度。 假设 x ， y ∈ N u ( e ) 。因此所有 P j ( j ≠ i ) 上的边都属于 M u ( e ) 。由此 M v ( e ) = ⌊ g − 1 2 ⌋ ，且 M u ( e ) = ⌊ g − 1 2 ⌋ + | E ( G ) | − g ，所以 | m u ( e ) − m v ( e ) | = | E ( G ) | − g 。 情形3 x， y其中一个在 N 0 ( e ) 中。我们得到 | m u ( e ) − m v ( e ) | ≥ 2 a ， 当且仅当有三条路 P i ( 1 ≤ i ≤ 4 ) 的长为a时等号成立，其中a是四条路 P i ( 1 ≤ i ≤ 4 ) 中的最短路。 注意到，假设 x ∈ N u ( e ) ， y ∈ N 0 ( e ) 。则包含e的最短圈C是奇圈。设 z j ∈ P j ( P j ⊄ C ) 是离e最远的点使得 z j ∈ N 0 ( e ) 。所以 | m u ( e ) − m v ( e ) | = ∑ j d ( x ， z j ) ≥ ∑ j ( a + d ( y ， z j ) ) ≥ 2 a . 由上可知，在case 2中 | m u ( e ) − m v ( e ) | ≥ 4 ，在case3中 | m u ( e ) − m v ( e ) | ≥ 2 。因此当且仅当 x ， y 在不同的集合中时 | m u ( e ) − m v ( e ) | ≤ 1 ，并且当e在奇长路 P i ( 1 ≤ i ≤ 4 ) 的最中间时， | b i − a i | = 0 。 引理2.4 若 G m 是 m ≥ 12 条边的 Θ 1 图(见图2)，则有 S z e * ( G m ) < S z e * ( F m ) . 证明 不失一般性，假设 a ≤ b ≤ c ≤ d 。 如果 a = b = c = d ，则 a ≥ 3 。先考虑x和y的八条邻边，令 e = x z 是它们其中一条，由引理2.3的情 形1，有 | m x ( e ) − m z ( e ) | ≥ 4 。所以 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 8 × 4 2 > 40 。否则，考虑边 x x 1 ∈ P ( d ) ，令C是包含 x x 1 的最短圈。若 y ∈ N x ( x x 1 ) ，则由引理2.3情形2，有 | m x ( e ) − m x 1 ( e ) | ≥ m − | C | 。相同的，对 y y 1 ∈ P ( d ) ，有 | m y ( e ) − m y 1 ( e ) | ≥ m − | C | 。 若 m − | C | ≥ 5 ，有 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 5 2 > 40 。 若 m − | C | ≥ 4 ， b + c = 4 ， a ≤ 2 。因为 m ≥ 12 ， d ≥ 6 ，所以考虑在 P ( d ) 上 x ， y 到 e i 的距离不超过1的 四条边 e i ( 1 ≤ i ≤ 4 ) ，则有 | m u ( e ) − m v ( e ) | = 4 ，所以 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 4 × 4 2 > 40 。 若 m − | C | ≤ 3 ，不成立。 若 y ∈ N x 0 ( x x 1 ) ，则 d = a + 1 。由 m ≥ 12 ， a ≥ 3 ，则由引理2.3情形3， | m x ( e ) − m x 1 ( e ) | = | m y ( e ) − m y 1 ( e ) | ≥ 2 a ≥ 6 。同样的，当 y y 1 ∈ P ( d ) 时， | m y ( e ) − m y 1 ( e ) | ≥ 6 ，所以 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 6 2 > 40 。 联立等式(1)，证毕。 引理2.5 若 G m 是 m ≥ 12 条边的 Θ 2 图(见图2)，则有 S z e * ( G m ) < S z e * ( F m ) . 证明 不失一般性，假设 d ≥ b ， e ≥ c 。为了完成接下来的证明，我们考虑下面四种情况。 情形1 d ≥ b + 2 。 先考虑 x x 1 ， y y 1 ∈ P ( d ) 这两条边，有 | m x ( e ) − m x 1 ( e ) | = | m y ( e ) − m y 1 ( e ) | = { a + c + e ，     b ≤ a + c ， b + e ，     b ≥ a + c . 由此可得 | m x ( e ) − m x 1 ( e ) | = | m y ( e ) − m y 1 ( e ) | ≥ a + c + e 。由于 c + e ≥ 3 ， a + c + e ≥ 4 。若 a + c + e ≥ 5 。则 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 5 2 > 40 。 若 a + c + e = 4 ，则 a = 1 ， c = 1 ， e = 2 。若 b ≥ 3 ，有 b ≥ a + c ，则有 | m x ( e ) − m x 1 ( e ) | = | m y ( e ) − m y 1 ( e ) | ≥ 5 ， 所以 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 5 2 > 40 。 若 b = 2 ，有 d ≥ 6 .然后考虑一下边 x x ′ ∈ P ( e ) ， | m x ( e ) − m x ′ ( e ) | ≥ 6 ，则有 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 4 2 + 6 2 > 40 . 情形2 d = b + 1 ， e = c + 1 。 情形2.1 a + c − 1 ≥ b 。 先考虑 x x 1 ∈ P ( c ) ， x x 2 ∈ P ( e ) 。 | m x ( e ) − m x 1 ( e ) | ≥ d − 1 + e − 2 。 | m x ( e ) − m x 2 ( e ) | = { c + d ，     c ≥ a + b ， b + d ，     c ≤ a + d . 由此可得 | m x ( e ) − m x 2 ( e ) | ≥ d + b = 2 b + 1 ，所以 ( m x ( e ) − m x 1 ( e ) ) 2 + ( m x ( e ) − m x 2 ( e ) ) 2 > 5 b 2 + ( e − 2 ) 2 + 2 b e + 1 . 若 b ≥ 3 或 e ≥ 7 ， ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 > 40 。 若 b ≤ 2 ， e ≤ 6 ，则考虑 x x ′ ∈ P ( d ) 。 若 b = 1 ， | m x ( e ) − m x ′ ( e ) | ≥ 6 ，则 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 10 + 6 2 > 40 。 若 b = 2 ， | m x ( e ) − m x ′ ( e ) | ≥ 5 ，则 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 29 + 5 2 > 40 。 情形2.2 b ≥ a + c + 1 。 先考虑 x x 1 ∈ P ( b ) ， x x 2 ∈ P ( d ) 。由 b ≥ a + c + 1 ，则 | m x ( e ) − m x 1 ( e ) | = b + e − 1 ， | m x ( e ) − m x 2 ( e ) | = b + e ，所以 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 = ( b + e − 1 ) 2 + ( b + e ) 2 。 若 b ≥ 3 或 e ≥ 4 ， ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 > 40 。 若 b ≤ 2 ， e ≤ 3 ，不成立，因为 b ≥ a + c + 1 。 情形2.3 b = a + c 。 考虑 x x 1 ∈ P ( e ) ，有 | m x ( e ) − m x 1 ( e ) | = d − 1 + b = 2 b 。 若 b ≥ 4 ，则有 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ ( m x ( e ) − m x 1 ( e ) ) 2 ≥ 8 2 > 40 。 若 b = 3 ，则考虑边 x x ′ ∈ P ( d ) ，可以得到 | m x ( e ) − m x ′ ( e ) | = a + c + e ≥ 5 ，则有 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 6 2 + 5 2 > 40 。 若 b = 2 ，则有 a − c − 1 ， e = 2 ， d = 3 ，由于 m ≥ 12 ，所以不成立。 情形3 d = b + 1 ， e = c ≥ 2 。 情形3.1 a + c − 1 ≥ b 。 先考虑 x x 1 ∈ P ( c ) 和 x x 2 ∈ P ( e ) ，有 | m x ( e ) − m x 1 ( e ) | = | m x ( e ) − m x 2 ( e ) | ≥ d − 1 + c − 1 . 由于 d ≥ 2 ， c ≥ 2 ， d + c ≥ 4 ，若 d + c ≥ 7 ，有 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 5 2 > 40 . 当 4 ≤ d + c ≤ 6 时，考虑边 x x ′ ∈ P ( d ) 。 若 d = 3 ， c = 3 ，则 b = 2 ， e = 3 ， a ≥ 1 ， | m x ( e ) − m x ′ ( e ) | ≥ 6 ，所以 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 4 2 + 6 2 > 40 . 若 d = 4 ， c = 2 ，则 b = 3 ， e = 2 ， a ≥ 2 ， | m x ( e ) − m x ′ ( e ) | ≥ 5 ，所以 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 4 2 + 5 2 > 40 . 若 d = 2 ， c = 4 ，则 b = 1 ， e = 4 ， a ≥ 1 ， | m x ( e ) − m x ′ ( e ) | ≥ 6 ，所以 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 4 2 + 6 2 > 40 . 若 d = 3 ， c = 2 ，则 b = e = 2 ， a ≥ 3 ， | m x ( e ) − m x ′ ( e ) | ≥ 5 ，所以 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 3 2 + 5 2 > 40 . 若 d = 2 ， c = 3 ，则 b = 1 ， e = 3 ， a ≥ 3 ， | m x ( e ) − m x ′ ( e ) | ≥ 6 ，所以 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 3 2 + 6 2 > 40 . 若 d = 2 ， c = 2 ，则 b = 1 ， e = 2 ， a ≥ 5 ， | m x ( e ) − m x ′ ( e ) | ≥ 6 ，所以 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 2 2 + 6 2 > 40 . 情形3.2 b ≥ a + c − 1 。 考虑 x x 1 ∈ P ( c ) ，由 b ≥ a + c − 1 ，有 y ∈ N x 1 ( x x 1 ) 。令u是 P ( d ) 上最远的点使得 u ∈ N x ( x x 1 ) ， u ′ 是u的邻点但是它不在集合 N x ( x x 1 ) 中，如果圈 P ( d ) ∪ P ( c ) ∪ P ( a ) 是偶圈，则有 d ( u ， x ) = d ( u ′ ， y ) + a + c − 1 ，即 d ( u ， x ) − d ( u ′ ， y ) = a + c − 1 。如果圈 P ( d ) ∪ P ( c ) ∪ P ( a ) 是奇圈，则有 d ( u ， x ) + 1 = d ( u ′ ， y ) + a + c − 1 ，即 d ( u ， x ) + 1 − d ( u ′ ， y ) = a + c − 1 。所以 | m x ( e ) − m x 1 ( e ) | = e − 1 + a + c − 1 = a + 2 c − 2 。相同的，对于边 x x 2 ∈ P ( e ) 有 | m x ( e ) − m x 2 ( e ) | = a + 2 c − 2 。 由于 c ≥ 2 ， a + 2 c ≥ 5 。如果 a + 2 c ≥ 7 ，则 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 5 2 > 40 . 若 a + 2 c = 6 ，即 a = c = e = 2 ，有 b ≥ 3 。然后考虑 x x ′ ∈ P ( d ) ， | m x ( e ) − m x ′ ( e ) | = b + e ≥ 5 ，所以 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 4 2 + 5 2 > 40 . 若 a + 2 c = 5 ，即 a = 1 ， c = e = 2 ，有 b ≥ 3 。然后考虑 x x ′ ∈ P ( d ) ， | m x ( e ) − m x ′ ( e ) | = b + e ≥ 5 ，所以 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 3 2 + 5 2 > 40 . 情形4 d = b ， e = c 。 情形4.1 d = b = e = c ≥ 2 。 考虑边 x x 1 ∈ P ( e ) ，有 | m x ( e ) − m x 1 ( e ) | = c − 1 + d = 2 e − 1 。对于x的其他三条邻边也是一样的。 如果 e ≥ 3 ，则 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 4 × 5 2 > 40 。 如果 e = 2 ，然后考虑 P ( a ) 上的边 y y ′ ， z z ′ ， | m y ( e ) − m y ′ ( e ) | = | m z ( e ) − m z ′ ( e ) | ≥ d + 1 ≥ 3 。 所以 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 6 × 3 2 > 40 。 情形4.2 d = b > e = c ≥ 2 。 考虑边 x x 1 ∈ P ( b ) ， | m x ( e ) − m x 1 ( e ) | = d − 1 + e 。同样对于 x x 2 ∈ P ( d ) ， | m x ( e ) − m x 2 ( e ) | = d − 1 + e 。 若 d + e ≥ 6 ，则有 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 5 2 > 40 。 若 d + e = 5 ，即 d = 3 ， e = 2 。然后考虑 x x ′ ∈ P ( c ) ， | m x ( e ) − m x ′ ( e ) | ≥ e − 1 + d = 4 。则有 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 4 2 + 4 2 > 40 。 联立等式(1)，证毕。 引理2.6 若 G m 是 m ≥ 12 条边的 Θ 3 图(见图2)，则有， S z e * ( G m ) < S z e * ( F m ) . 证明 不失一般性，假设 f ≥ d ， e ≥ c ，为了完成证明，我们考虑以下四种情况。 情形1 e ≥ c + 2 。 考虑边 w w 1 ， y y 1 ∈ P ( e ) ， | m w ( e ) − m w 1 ( e ) | = | m y ( e ) − m y 1 ( e ) | = { a + b + d + f ，     c ≤ a + b + d ， c + f ，     c ≥ a + b + d . 由此可得 | m w ( e ) − m w 1 ( e ) | = | m y ( e ) − m y 1 ( e ) | ≥ a + b + d + f 。因为 d + f ≥ 3 ，所以 a + b + d + f ≥ 5 ，则有 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 5 2 > 40 。 情形2 e = c + 1 ， f = d + 1 。 情形2.1 a + c − 1 ≥ b + d 。 先考虑 y y 1 ∈ P ( c ) ， y y 2 ∈ P ( e ) 。 | m y ( e ) − m y 1 ( e ) | ≥ e − 2 + f − 1 = c + d − 1 。 | m y ( e ) − m y 2 ( e ) | = { b + d + f ，     c ≤ a + b + d ， c + f ，     c ≥ a + b + d . 由此可得 | m y ( e ) − m y 2 ( e ) | ≥ d + b + f = b + 2 d + 1 ，所以 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ ( c + d − 1 ) 2 + ( b + 2 d + 1 ) 2 . 若 b ≥ 4 或 c ≥ 5 或 d ≥ 3 ，则 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 > 40 。 若 b ≤ 3 ， c ≤ 4 ， d ≤ 2 ，则考虑 w w ′ ∈ P ( e ) ， z z ′ ∈ P ( f ) 。 若 d = 2 ，有 | m w ( e ) − m w ′ ( e ) | ≥ 4 ， | m z ( e ) − m z ′ ( e ) | ≥ 4 则 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 3 2 + 2 + 3 2 + 5 2 > 40 . 若 d = 1 ，有 | m w ( e ) − m w ′ ( e ) | ≥ 3 ， | m z ( e ) − m z ′ ( e ) | ≥ 5 则 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 2 2 + 2 + 3 2 + 5 2 > 40 . 情形2.2 a + c ≤ b + d − 1 。 这部分的证明和Subcase 2.1的过程类似的。 情形2.3 a + c = b + d 。 先考虑 y y 1 ∈ P ( e ) ， x x 1 ∈ P ( f ) 。 | m y ( e ) − m y 1 ( e ) | ≥ b + d + f − 1 。 | m x ( e ) − m x 1 ( e ) | = a + c + e − 1 。 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ ( a + c + d ) 2 + ( a + 2 c ) 2 。 若 a ≥ 3 或 c ≥ 2 或 d ≥ 3 ， ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 > 40 。 若 a ≤ 2 ， c ≤ 1 ， d ≤ 3 ，不成立，因为 m ≥ 12 。 情形3 a + d − 1 ≥ b + c 。 情形3.1 a + d − 1 ≥ b + c 。 先考虑 z z 1 ∈ P ( d ) ， | m z ( e ) − m z 1 ( e ) | ≥ e − 1 + f − 1 = c + d − 1 。同样的，对于 z z 2 ∈ P ( f ) ，有 | m z ( e ) − m z 2 ( e ) | = c + d − 1 。 因为 d ≥ 2 ，否则G就不说简单图，所以 c + d ≥ 3 。 若 c + d ≥ 6 ，则 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 5 2 > 40 。 若 c + d = 5 ，有 | m z ( e ) − m z 1 ( e ) | = | m z ( e ) − m z 2 ( e ) | ≥ 4 ，然后考虑边 w w ′ ∈ P ( e ) 。 若 c = 1 ， d = 4 ，有 | m w ( e ) − m w ′ ( e ) | ≥ 5 ，则 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 4 2 + 5 2 > 40 . 若 c = 2 ， d = 3 ，有 | m w ( e ) − m w ′ ( e ) | ≥ 5 ，则 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 4 2 + 5 2 > 40 . 若 c = 3 ， d = 2 ，有 | m w ( e ) − m w ′ ( e ) | ≥ 5 ，则 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 4 2 + 5 2 > 40 . 若 c + d = 4 ，有 | m z ( e ) − m z 1 ( e ) | = | m z ( e ) − m z 2 ( e ) | ≥ 3 ，则考虑边 w w ′ ， y y ′ ∈ P ( e ) . 若 c = 1 ， d = 3 ，有 | m w ( e ) − m w ′ ( e ) | ≥ 4 ， | m y ( e ) − m y ′ ( e ) | ≥ 4 则 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 3 2 + 2 × 4 2 > 40 . 若 c = 2 ， d = 2 ，有 | m w ( e ) − m w ′ ( e ) | ≥ 4 ， | m y ( e ) − m y ′ ( e ) | ≥ 5 则 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 3 2 + 4 2 + 5 2 > 40 . 若 c + d = 3 ，即 c = 1 ， d = 2 有 | m z ( e ) − m z 1 ( e ) | = | m z ( e ) − m z 2 ( e ) | ≥ 2 ，则考虑边 w w ′ ， y y ′ ∈ P ( e ) 。有 | m w ( e ) − m w ′ ( e ) | ≥ 5 ， | m y ( e ) − m y ′ ( e ) | ≥ 5 ，于是 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 2 2 + 2 × 5 2 > 40 . 情形3.2 a + d ≤ b + c 。 先考虑边 w w 1 ∈ P ( e ) ，有 | m w ( e ) − m w 1 ( e ) | = { a + d + f ，     c ≤ a + b + d ， c + f ，     c ≥ a + b + d . 于是， | m w ( e ) − m w 1 ( e ) | ≥ a + d + f = a + 2 d ≥ 5 。 若 a + 2 d ≥ 7 ，则 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 7 2 > 40 。 若 a + 2 d = 6 ，即 a = 2 ， d = 2 。然后考虑边 y y ′ ∈ P ( e ) 。有 | m y ( e ) − m y ′ ( e ) | ≥ 4 ，则 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 6 2 + 4 2 > 40 。 若 a + 2 d = 5 ，即 a = 1 ， d = 2 。然后考虑边 y y ′ ∈ P ( e ) 。有 | m y ( e ) − m y ′ ( e ) | ≥ 4 ，则 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 5 2 + 4 2 > 40 。 情形4 d = f ， e = c 。 先设 a ≤ b 。 情形4.1 c = e > d = f ≥ 2 。 先考虑 w w 1 ∈ P ( e ) ， | m w ( e ) − m w 1 ( e ) | ≥ f + c − 1 。同样的，对于 w w 2 ∈ P ( c ) 有 | m w ( e ) − m w 2 ( e ) | = f + c − 1 。 由 c ≥ 3 且 f ≥ 2 ，有 c + f ≥ 5 。若 c + f ≥ 6 ，有 | m w ( e ) − m w 1 ( e ) | = | m w ( e ) − m w 2 ( e ) | ≥ 5 ，则 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 5 2 > 40 . 若 c + f = 5 ，即 c = 3 ， f = 2 。有 | m w ( e ) − m w 1 ( e ) | = | m w ( e ) − m w 2 ( e ) | = 4 。 若 b > a ，则考虑边 x x 1 ∈ P ( d ) ， x x 2 ∈ P ( f ) ， | m x ( e ) − m x 1 ( e ) | = | m x ( e ) − m x 2 ( e ) | ≥ 3 。则 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 4 2 + 2 × 3 2 > 40 . 若 b = a ，则考虑路 P ( d ) 和 P ( f ) 上的四条边， | m x ( e ) − m x i ( e ) | = | m z ( e ) − m x i ( e ) | = 2   ( 1 ≤ i ≤ 2 ) 。则 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 4 2 + 4 × 2 2 > 40 . 情形4.2 c = e = d = f ≥ 3 。 先考虑 w w 1 ∈ P ( e ) ， w w 2 ∈ P ( c ) ， x x 1 ∈ P ( d ) ， x x 2 ∈ P ( f ) 这四条边。 | m w ( e ) − m w i ( e ) | = | m x ( e ) − m x i ( e ) | ≥ f − 1 + c − 1 = 2 ( c − 1 ) ≥ 4   ( 1 ≤ i ≤ 2 ) ， 则 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 4 × 4 2 > 40 . 情形4.3 c = e = d = f = 2 。 若 b ≥ a + 3 ，考虑 w w 1 ∈ P ( e ) ， w w 2 ∈ P ( c ) ， x x 1 ∈ P ( d ) ， x x 2 ∈ P ( f ) 这四条边。 | m w ( e ) − m w i ( e ) | = | m x ( e ) − m x i ( e ) | ≥ f + c − 1 = 3   ( 1 ≤ i ≤ 2 ) 。然后考虑 P ( b ) 上的两条边 y y 1 ， z z 1 ，有 | m w ( e ) − m w i ( e ) | = | m x ( e ) − m x i ( e ) | ≥ f + c − 1 = 3   ( 1 ≤ i ≤ 2 ) 。 则 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 4 × 3 2 + 2 × 2 2 > 40 。 若 b = a + 2 ，则m是偶数，我们只需证明 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 > 32 。先考虑 w w 1 ∈ P ( e ) ， w w 2 ∈ P ( c ) ， x x 1 ∈ P ( d ) ， x x 2 ∈ P ( f ) 这四条边。 | m w ( e ) − m w i ( e ) | = | m x ( e ) − m x i ( e ) | ≥ f + c − 1 = 3   ( 1 ≤ i ≤ 2 ) 。则 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 > 32 。 若 b = a + 1 ，则我们得到的图是m是奇数时的 F m 。如果 b = a ，则我们得到的图是m是偶数时的 F m 联立等式(1)，证毕。 引理2.7 若 G m 是 m ≥ 37 条边的 Θ 4 图(见图2)，则有， S z e * ( G m ) < S z e * ( F m ) . 证明 不失一般性，假设 a = max { a ， b ， c ， d ， e ， f } 。因为 m ≥ 37 ，所以 a ≥ 7 .考虑边 w w 1 ∈ P ( a ) 。由a的选择可知 d ( z ， w ) ≤ d ( z ， w 1 ) ，所以 z ∈ N w ( w w 1 ) 或 z ∈ N 0 ( w w 1 ) 。当且仅当 a = c ≤ b + d 且 e = 1 时 z ∈ N 0 ( w w 1 ) 。对于y我们可以得到同样的结果.。下面，令C是包含 w w 1 的最短圈。当 a > | C | + 1 2 时， x ∈ N w ( w w 1 ) ；当 a = | C | + 1 2 时， x ∈ N 0 ( w w 1 ) ；当 a < | C | + 1 2 时， x ∈ N w 1 ( w w 1 ) 。 情形1 a > | C | + 1 2 。 因为 x ∈ N w ( w w 1 ) ，可以得到 y ， z ∈ N w ( w w 1 ) 。则有 | m w ( e ) − m w 1 ( e ) | = m − | C | 。同样的，对于 x x 1 ∈ P ( a ) ，有 | m x ( e ) − m x 1 ( e ) | = m − | C | 。 若 m − | C | ≥ 5 ，有 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 2 × 5 2 > 40 。 若 m − | C | = 4 ，且C是由 P ( a ) ， P ( f ) 和 P ( b ) 组成， e + c + d = 4 ， f + b ≤ 3 。由 m ≥ 37 ，有 a ≥ 30 。下面考虑 P ( a ) 上的四条边 e i ( 1 ≤ i ≤ 4 ) 使得 e i 到x或w的距离不超过1，则有 | m u ( e i ) − m v ( e i ) | = 4 ，所以 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 4 × 4 2 > 40 . 若 m − | C | = 4 ，且C是由 P ( a ) ， P ( f ) ， P ( d ) 和 P ( c ) 组成，若 b ≥ 3 ，则 P ( a ) ∪ P ( c ) ∪ P ( e ) 是包含边 w w 1 的最短圈，矛盾。因此 b = 2 ，这种情况和C由 P ( a ) ， P ( f ) ， P ( b ) 组成的证明是一样的。 若 m − | C | = 3 ，且C是由 P ( a ) ， P ( f ) ，和 P ( b ) 组成， e + c + d = 3 ， f + b = 2 。由 m ≥ 37 ，有 a ≥ 32 。下面考虑 P ( a ) 上的六条边 e i ( 1 ≤ i ≤ 6 ) 使得 e i 到x或w的距离不超过2，则有 | m u ( e i ) − m v ( e i ) | = 3 ，所以 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 6 × 3 2 > 40 . 若 m − | C | = 3 ，且C是由 P ( a ) ， P ( f ) ， P ( d ) 和 P ( c ) 组成，若 b = 2 ， e = 1 ，则 P ( a ) ∪ P ( c ) ∪ P ( e ) 是包含边 w w 1 的最短圈，若 b = 1 ， e = 2 ，则圈 P ( a ) ∪ P ( b ) ∪ P ( f ) 比圈 P ( a ) ∪ P ( f ) ∪ P ( d ) ∪ P ( c ) 的长度更短，矛盾。 若 m − | C | = 2 ，不成立。 情形2 a = | C | + 1 2 。 情形2.1 C由 P ( a ) ， P ( f ) ， P ( d ) 和 P ( c ) 组成。 在这种情况下 y ， z ∈ N w ( w w 1 ) 且 b ≥ d + c 。令u是 P ( e ) 上最远的点使得 u ∈ N w ( w w 1 ) ， u ′ 是u的邻点但是它不在集合 N w ( w w 1 ) 中，如果圈 P ( a ) ∪ P ( c ) ∪ P ( e ) 是偶圈，则有 d ( u ， z ) + c = d ( u ′ ， x ) + a − 1 ，即 d ( u ， z ) = d ( u ′ ， x ) + a − c − 1 。如果圈 P ( a ) ∪ P ( c ) ∪ P ( e ) 是奇圈，则有 d ( u ， z ) + 1 + c = d ( u ′ ， x ) + a − 1 ，即 d ( u ， z ) + 1 = d ( u ′ ， x ) + a − c − 1 。所以 | m w ( e ) − m w 1 ( e ) | = d ( u ， z ) + b ≥ d ( u ′ ， x ) + a − c − 1 + b ≥ a ≥ 7 。所以 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 7 2 > 40 . 情形2.2 C由 P ( a ) ， P ( f ) 和 P ( b ) 组成。 在这种情况下 y ∈ N w ( w w 1 ) 且 b ≤ d + c 。 若 z ∈ N 0 ( w w 1 ) ，则有 a = c ≤ b + d 且 e = 1 。因为 x z ∈ M 0 ( w w 1 ) ，所以 | m w ( e ) − m w 1 ( e ) | ≥ c ≥ 7 ，因此 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 7 2 > 40 . 若 z ∈ N w ( w w 1 ) ，与Subcase 2.1相类似的，令u是 P ( e ) 上最远的点使得 u ∈ N w ( w w 1 ) ， u ′ 是u的邻点但是它不在集合 N w ( w w 1 ) 中，则有 d ( u ， z ) ≥ { a − c − 1 ，     c ≤ b + d ， a − ( b + d ) − 1 ，     c ≥ b + d . 于是有 | m w ( e ) − m w 1 ( e ) | ≥ d + c + a − 1 ≥ a ≥ 7 ，因此 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 7 2 > 40 . 情形3 a < | C | + 1 2 。 情形3.1 y ， z ∈ N 0 ( w w 1 ) 。 在这种情况下， a = b = c ， e = f = 1 ，则 | m w ( e ) − m w 1 ( e ) | = c − e ≥ a − 1 ≥ 6 。然后考虑边 x x ′ ∈ P ( a ) ，则 y ∈ N x ( x x ′ ) ， z ∈ N x ( x x ′ ) ， w ∈ N x ′ ( x x ′ ) ，在圈C上只有一条边在集合 M x ′ ( x x ′ ) 中，其它边都在集合 M x ( x x ′ ) 中，所以 | m x ( e ) − m x ′ ( e ) | = c − 1 − 1 + e ≥ 6 ，因此 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 6 2 + 6 2 > 40 . 情形3.2 y ， z 其中有一个在集合 N w ( w w 1 ) 中。 在这种情况下，我们可以得到 | m w ( e ) − m w 1 ( e ) | ≥ { a + d − 1 ，     b ≤ c + d ， a − c − 1 + b ，     b ≥ c + d . 则有 | m w ( e ) − m w 1 ( e ) | ≥ a + d − 1 ≥ a ≥ 7 。因此 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 7 2 > 40 . 情形3.3 y ， z 其中有一个在集合 N 0 ( w w 1 ) 中。 首先假设 z ∈ N 0 ( w w 1 ) ，则 a = c ≤ b + d ， e = 1 。 若 z ∉ V ( C ) ， C = P ( a ) ∪ P ( f ) ∪ P ( b ) 。则有 | m w ( e ) − m w 1 ( e ) | ≥ a − 1 ≥ 6 ， | m x ( e ) − m x 1 ( e ) | ≥ a − 1 ≥ 6 ，因此 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 6 2 + 6 2 > 40 . 若 z ∈ V ( C ) ， C = P ( a ) ∪ P ( e ) ∪ P ( c ) 。否则 C = P ( a ) ∪ P ( f ) ∪ P ( d ) ∪ P ( c ) ，因为 z ∈ N 0 ( w w 1 ) ，所以 y ∈ N w 1 ( w w 1 ) ，矛盾。令u是 P ( f ) 上最远的点使得 u ∈ N w ( w w 1 ) ， u ′ 是u的邻点但是它不在集合 N w ( w w 1 ) 中，如果圈 P ( a ) ∪ P ( f ) ∪ P ( b ) 是偶圈，则有 d ( u ， y ) + b = d ( u ′ ， x ) + a − 1 ，即 d ( u ， y ) − d ( u ′ ， x ) + a − b − 1 。如果圈 P ( a ) ∪ P ( f ) ∪ P ( b ) 是奇圈，则有 d ( u ， y ) + 1 + b = d ( u ′ ， x ) + a − 1 ，即 d ( u ， y ) + 1 − d ( u ′ ， x ) = a − b − 1 。 | m w ( e ) − m w 1 ( e ) | ≥ b + a − b − 1 ≥ a − 1 ≥ 6 。然后考虑 P ( a ) 上的边 x x ′ 。在这种情况下我们可以得到 w ∈ N x ′ ( x x ′ ) ， z ∈ N x ( x x ′ ) 。如果 y ∈ N x ( x x ′ ) ，则有 | m x ( e ) − m x ′ ( e ) | ≥ a − f − 1 + f + d ≥ a ≥ 7 。所以 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 6 2 + 7 2 > 40 。如果 y ∈ N 0 ( x x ′ ) ，即 f = a ， b = 1 。则有 | m x ( e ) − m x ′ ( e ) | ≥ a − 1 ≥ 6 ，所以 ∑ e = u v ∈ E ( G ) ( m u ( e ) − m v ( e ) ) 2 ≥ 6 2 + 6 2 > 40 . 联立等式(1)，证毕。 从引理2.1，2.2，2.4，2.5，2.6，2.7，我们证明了定理1.1。 注：事实上，当 m ≥ 25 时，定理1.1也可以被证明，不过这需要更多的一些细节。