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user: 3. 周期解的存在性 方便起见，记 f ¯ = 1 ω ∫ 0 ω f ( t ) d t ，其中 f ( t ) 是 ω -周期连续函数。 定理3.1 如果条件 γ 1 + c 1 ¯ > α 1 ¯ e β 2 + ( f d 2 ) ¯     e β 1 成立，那么系统(1)至少存在一个 ω -周期正解。 证明 令 H ( t ) = e x 1 ( t ) ， P ( t ) = e x 2 ( t ) ，则系统(1)变为 { x ′ 1 ( t ) = γ 1 ( t ) + c 1 ( t ) − α 1 ( t ) e x 2 ( t − τ 1 ( t ) ) − b 1 ( t ) e x 1 ( t ) − f ( t ) e x 1 ( t − σ ( t ) ) d 2 ( t ) + e 2 x 1 ( t − σ ( t ) ) ， x ′ 2 ( t ) = γ 2 ( t ) − α 2 ( t ) e x 2 ( t − τ 2 ( t ) ) e x 1 ( t − τ 2 ( t ) ) ， (2) 从上可知系统(2)具有一个以 ω 为周期的解 ( x 1 ∗ ( t ) ， x 2 ∗ ( t ) ) T ，则 ( H ∗ ( t ) ， P ∗ ( t ) ) T = ( e x 1 ∗ ( t ) ， e x 2 ∗ ( t ) ) T 是系统(1)的一个以 ω 为周期的周期正解。所以，在这里只要证明系统(2)至少有一个 ω -周期解即可。 令 X = Z = { x ( t ) = ( x 1 ( t ) ， x 2 ( t ) ) T ∈ C ( R ， R 2 ) : x ( t + ω ) = x ( t ) } ，且 ‖ x ‖ = max s ∈ [ 0 ， ω ] { | x 1 ( t ) + x 2 ( t ) | } ，那么在 ‖ ⋅ ‖ 范数下， X 和 Z 为Banach空间。 定义映射 L ， P ， Q 分别为 L : Dom     L ∩ X → Z ，     L x = x ′ ; P ( x ) = 1 ω ∫ 0 ω x ( t ) d t ，     x ∈ X ; Q ( x ) = 1 ω ∫ 0 ω z ( t ) d t ，     z ∈ Z . 其中 D o m L = { x ∈ X : x ( t ) ∈ c 1 ( R ， R 2 ) } 。 定义变换 N : X → Z N x = [ γ 1 ( t ) + c 1 ( t ) − α 1 ( t ) e x 2 ( t − τ 1 ( t ) ) − b 1 ( t ) e x 1 ( t ) − f ( t ) e x 1 ( t − σ ( t ) ) d 2 ( t ) + e 2 x 1 ( t − σ ( t ) ) γ 2 ( t ) − α 2 ( t ) e x 2 ( t − τ 2 ( t ) ) e x 1 ( t − τ 2 ( t ) ) ] ， 显然， Ker     L = R 2 ， Im L = { z | z ∈ Z ， ∫ 0 ω z ( t ) d t = 0 } 为 Z 中的闭集， Ker     L = codimIm     I = 2 ， P ， Q 是满足 Im P = Ker     L ， Ker     Q = Im L = Im ( I − Q ) 的连续映射，故L是指标为零的Fredholm算子，而且 K P 为 K P ( z ) = ∫ 0 t z ( s ) d s − 1 ω ∫ 0 ω ∫ 0 t z ( s ) d s d t ，于是 Q N x = [ 1 ω ∫ 0 ω [ γ 1 ( t ) + c 1 ( t ) − α 1 ( t ) e x 2 ( t − τ 1 ( t ) ) − b 1 ( t ) e x 1 ( t ) − f ( t ) e x 1 ( t − σ ( t ) ) d 2 ( t ) + e 2 x 1 ( t − σ ( t ) ) ] 1 ω ∫ 0 ω [ γ 2 ( t ) − α 2 ( t ) e x 2 ( t − τ 2 ( t ) ) e x 1 ( t − τ 2 ( t ) ) ] ] ， K P ( I − Q ) N x = ( ∫ 0 t [ γ 1 ( t ) + c 1 ( t ) − α 1 ( t ) e x 2 ( t − τ 1 ( t ) ) − b 1 ( t ) e x 1 ( t ) − f ( t ) e x 1 ( t − σ ( t ) ) d 2 ( t ) + e 2 x 1 ( t − σ ( t ) ) ] ∫ 0 t [ γ 2 ( t ) − α 2 ( t ) e x 2 ( t − τ 2 ( t ) ) e x 1 ( t − τ 2 ( t ) ) ] )     − ( 1 ω ∫ 0 ω ∫ 0 t [ γ 1 ( t ) + c 1 ( t ) − α 1 ( t ) e x 2 ( t − τ 1 ( t ) ) − b 1 ( t ) e x 1 ( t ) − f ( t ) e x 1 ( t − σ ( t ) ) d 2 ( t ) + e 2 x 1 ( t − σ ( t ) ) ] 1 ω ∫ 0 ω ∫ 0 t [ γ 2 ( t ) − α 2 ( t ) e x 2 ( t − τ 2 ( t ) ) e x 1 ( t − τ 2 ( t ) ) ] )     − ( ( t ω − 1 2 ) ∫ 0 ω [ γ 1 ( t ) + c 1 ( t ) − α 1 ( t ) e x 2 ( t − τ 1 ( t ) ) − b 1 ( t ) e x 1 ( t ) − f ( t ) e x 1 ( t − σ ( t ) ) d 2 ( t ) + e 2 x 1 ( t − σ ( t ) ) ] ( t ω − 1 2 ) ∫ 0 ω [ γ 2 ( t ) − α 2 ( t ) e x 2 ( t − τ 2 ( t ) ) e x 1 ( t − τ 2 ( t ) ) ] ) . 易证， Q N 和 K P ( I − Q ) N 都是连续的。对于任意的有界开集 Ω ⊂ X ， Q N ( Ω ¯ ) ， K P ( I − Q ) N ( Ω ¯ ) 紧，所以有 N 在 Ω ¯ 上是L-紧的。 对应方程 L x = λ N x ， λ ∈ ( 0 ， 1 ) ，有 { x ′ 1 ( t ) = λ [ γ 1 ( t ) + c 1 ( t ) − α 1 ( t ) e x 2 ( t − τ 1 ( t ) ) − b 1 ( t ) e x 1 ( t ) − f ( t ) e x 1 ( t − σ ( t ) ) d 2 ( t ) + e 2 x 1 ( t − σ ( t ) ) ] ， x ′ 2 ( t ) = λ [ γ 2 ( t ) − α 2 ( t ) e x 2 ( t − τ 2 ( t ) ) e x 1 ( t − τ 2 ( t ) ) ] ， (3) 将(3)式从 [ 0 ， ω ] 积分有 { ∫ 0 ω [ γ 1 ( t ) + c 1 ( t ) − α 1 ( t ) e x 2 ( t − τ 1 ( t ) ) − b 1 ( t ) e x 1 ( t ) − f ( t ) e x 1 ( t − σ ( t ) ) d 2 ( t ) + e 2 x 1 ( t − σ ( t ) ) ] d t = 0 ， ∫ 0 ω [ γ 2 ( t ) − α 2 ( t ) e x 2 ( t − τ 2 ( t ) ) e x 1 ( t − τ 2 ( t ) ) ] d t = 0 ， (4) 由(4)得 ∫ 0 ω [ α 1 ( t ) e x 2 ( t − τ 1 ( t ) ) + b 1 ( t ) e x 1 ( t ) + f ( t ) e x 1 ( t − σ ( t ) ) d 2 ( t ) + e 2 x 1 ( t − σ ( t ) ) ] d t = γ 1 + c 1 ¯ ω ， (5) ∫ 0 ω [ α 2 ( t ) e x 2 ( t − τ 2 ( t ) ) e x 1 ( t − τ 2 ( t ) ) ] d t = γ 2 ¯ ω ， (6) (3)结合(5)有 ∫ 0 ω | x 1 ( t ) | d t = λ ∫ 0 ω | γ 1 ( t ) + c 1 ( t ) − α 1 ( t ) e x 2 ( t − τ 1 ( t ) ) − b 1 ( t ) e x 1 ( t ) − f ( t ) e x 1 ( t − σ ( t ) ) d 2 ( t ) + e 2 x 1 ( t − σ ( t ) ) | d t ≤ ( | γ １ + c 1 | ¯ + γ １ + c 1 ¯ ) ω . (7) 存在 ξ i ， η i ， i = 1 ， 2 满足 x i ( ξ i ) = sup s ∈ [ 0 ， ω ] x i ( t ) ， x i ( η i ) = inf s ∈ [ 0 ， ω ] x i ( t ) ， (8) 由(5)和(8)得 γ 1 + c 1 ¯ ω ≥ ∫ 0 ω b 1 ( t ) e x 1 ( t ) d t ≥ ω b 1 ¯ e x 1 ( η 1 ) ， (9) 化简有 x 1 ( η 1 ) ≤ ln γ 1 + c 1 ¯ b 1 ¯ . (10) 结合(7)，(10)和引理2.2得 x 1 ( t ) ≤ x 1 ( η 1 ) + 1 2 ∫ 0 ω | x 1 ( t ) | d t ≤ ln γ 1 + c 1 ¯ b 1 ¯ + 1 2 ( | γ １ + c 1 | ¯ + γ １ + c 1 ¯ ) ω = : β 1 . ​ (11) 根据(3)和(6)有 ∫ 0 ω | x 2 ( t ) | d t = λ ∫ 0 ω | γ 2 ( t ) − α 2 ( t ) e x 2 ( t − τ 2 ( t ) ) e x 1 ( t − τ 2 ( t ) ) | d t ≤ ( | γ 2 | ¯ + γ 2 ¯ ) ω ， (12) 由(6)，(8)和(11)得 ω α 2 ¯ e x 2 ( η 2 ) e β 1 ≤ ∫ 0 ω [ α 2 ( t ) e x 2 ( t − τ 2 ( t ) ) e x 1 ( t − τ 2 ( t ) ) ] d t = γ 2 ¯ ω ， (13) 化简得 x 2 ( η 2 ) ≤ ln γ 2 ¯ e β 1 α 2 ¯ = ln γ 2 ¯ α 2 ¯ + β 1 ， (14) 结合(12)，(14)和引理2.2得 x 2 ( t ) ≤ x 2 ( η 2 ) + 1 2 ∫ 0 ω | x 2 ( t ) | d t ≤ ln γ 2 ¯ α 2 ¯ + β 1 + 1 2 ( | γ 2 | ¯ + γ 2 ¯ ) ω = : β 2 . (15) 由(4)和(8)得 ω b 1 ¯ e x 1 ( ξ 1 ) ≥ γ 1 + c 1 ¯ ω − ∫ 0 ω α 1 ( t ) e x 2 ( t − τ 1 ( t ) ) d t − ∫ 0 ω f ( t ) e x 1 ( t − σ ( t ) ) d 2 ( t ) + e 2 x 1 ( t − σ ( t ) ) d t ≥ γ 1 + c 1 ¯ ω − α 1 ¯ ω e β 2 − ( f d 2 ) ¯   ω e β １ ， (16) 即 x １ ( ξ １ ) ≥ ln γ 1 + c 1 ¯ − α 1 ¯ e β 2 − ( f d 2 ) ¯   e β 1 b 1 ¯ . (17) 由(7)，(17)和引理2.2得 x 1 ( t ) ≥ x 1 ( ξ 1 ) − 1 2 ∫ 0 ω | x 1 ( t ) | d t ≥ ln γ 1 + c 1 ¯ − α 1 ¯ e β 2 − ( f d 2 ) ¯   e β 1 b 1 ¯ − 1 2 ( | γ １ + c 1 | ¯ + γ １ + c 1 ¯ ) ω = : β 3 . (18) 结合(6)，(8)和(18)得 α 2 ¯ ω e x 2 ( ξ 2 ) e β 3 ≥ ∫ 0 ω [ α 2 ( t ) e x 2 ( t − τ 2 ( t ) ) e x 1 ( t − τ 2 ( t ) ) ] d t = γ 2 ¯ ω ， (19) 化简有 x 2 ( ξ 2 ) ≥ ln γ 2 ¯ e β 3 α 2 ¯ = ln γ 2 ¯ α 2 ¯ + β 3 . (20) 根据(12)，(20)和引理2.2得 x 2 ( t ) ≥ x 2 ( ξ 2 ) − 1 2 ∫ 0 ω | x 2 ( t ) | d t ≥ ln γ 2 ¯ α 2 ¯ + β 3 − 1 2 ( | γ 2 | ¯ + γ 2 ¯ ) ω = : β 4 . (21) 结合(11)，(15)，(18)，(21)有 ‖ x ‖ ≤ | β 1 | + | β 2 | + | β 3 | + | β 4 | = : β 0 ( β 0 与 λ 无关)。 考虑下面方程组 { γ 1 + c 1 ¯ − α 1 ¯ e x 2 − b 1 ¯ e x 1 − 1 ω ∫ 0 ω f ( t ) e x 1 d 2 ( t ) + e 2 x 1 d t = 0 ， γ 2 ¯ − 1 ω ∫ 0 ω α 2 e x 2 e x 1 d t = 0 ， (22) 若(22)有解 x ∗ = ( x 1 ∗ ， x 2 ∗ ) T ，则满足 ‖ ( x 1 ∗ ， x 2 ∗ ) T ‖ = max { | x 1 ∗ | + | x 2 ∗ | } < β 0 。当 x ∈ ∂ Ω ，且 λ ∈ ( 0 ， 1 ) ，满足引理2.1 (i)。假设当 x ∈ ∂ Ω ∩ Ker     L 且 ‖ x ‖ = β 0 ， Q N x ≠ 0 ，满足引理2.1 (ii)。定义 J : Im Q → ker L ， ( x 1 ， x 2 ) T = ( x 1 ， x 2 ) T ，可直接算得 deg { J Q N ， Ω ∩ Ker     L ， 0 } ≠ 0 ，满足引理2.1 (iii)。因此，(2)至少一个 ω -周期解。所以，系统(1)至少有一个 ω -周期正解。即可证定理3.1。