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user: 8. 本专题的衍伸意义 上面已经提到，使用Gao等人的么正变换方法，新的哈密顿量变为 H ^ V ( t ) = V ^ + H ^ ( t ) V ^ − i ℏ V ^ + ∂ ∂ t V ^ [ 26 ]，其中 − i ℏ V ^ + ∂ ∂ t V ^ 具有联络(规范势)的特征。在基本相互作用中，我们所熟悉的联络只有两个：规范势(联 络) A μ (包括四维电磁势和Yang-Mills规范势)和引力理论中的Levi-Civita联络。此外，还有自旋仿射联络(即Lorentz联络，包括其矢量表示和旋量表示)，它与引力理论中的Levi-Civita联络有一些联系，将在第二篇中涉及。论及联络，就不得不提一下度规(或标架场vierbein)。在四维时空中“标架场”的德语写法为vierbein (four legs)，在大于四维的时空中，标架场写为vielbein (many legs)。实际上，根据与自旋联 络 ω μ a b = i e a N ∂ μ ϑ N b 的类比，我们可以知道 − i ℏ V ^ + ∂ ∂ t V ^ 中的么正变换 V ^ 就是一种“标架场”。引力理论中 的标架场 e p ν 与四维时空度规 g μ ν 的关系是： e p μ e p ν = g μ ν 。标架场 e p ν 所起的作用，是从局域平直Minkowski时空到弯曲的Einstein时空之间的变换。上面的么正变换 V ^ ，所起的作用也是从不含时的物理 量到含时的物理量之间的变换。两者具有类似功能。自然，类似几何相联络 − i ℏ V ^ + ∂ ∂ t V ^ ，普通的Yang-Mills 规范势自然也可以用所谓的Yang-Mills vielbein类似地写出来。而在引力理论的Levi-Civita联络中，代替标架场vierbein的是度规(标架场其实是度规这个矩阵的“平方根”)，这一点非常特殊。如Levi-Civita 联络为 Γ λ μ ν = 1 2 g λ σ ( ∂ ν g σ μ + ∂ μ g ν σ − ∂ σ g μ ν ) [ 62 ]，按照类似几何相位联络 − i ℏ V ^ + ∂ ∂ t V ^ 的形式，Levi-Civita联络只需要包含 1 2 g λ σ ∂ μ g ν σ 这一项即可。但是由于 Γ λ μ ν 内指标 μ 与 λ 、 ν 之间具平等关系(处于同一空间)，不像几何相位联络 − i ℏ V ^ + ∂ ∂ t V ^ 中 V ^ 的内空间指标(或某种“同位旋”空间指标)与时间指标(外时空指标)那 样并不处于同一空间，因而Levi-Civita联络与几何相位联络在数学结构上相差较大。但是值得一提的是，在广义坐标变换下，Levi-Civita联络也满足与规范变换具有一样数学结构的变换 [ 62 ]。它们虽然不是在形式上相似，但是在更加基本层面上享有同一精神。值得顺便提及的是，与Yang-Mills规范势更接近的引力理论中的对应客体是自旋仿射联络。在引力-规范统一理论中，高维自旋仿射联络 ω μ a b = i e a N ∂ μ ϑ N b 就是Yang-Mills规范势。 联络(规范势)导致曲率。在电磁理论中，这就是场强(尤其是磁场)。在非阿贝尔规范理论中，这就是Yang-Mills场强(规范场张量)；在引力理论中，这是黎曼曲率张量。在引力-规范统一理论中，与高维自旋仿射联络对应的曲率 Ω μ ν a b = ∂ μ ω ν a b − ∂ ν ω μ a b − i [ ω μ ， ω ν ] a b 就是Yang-Mills曲率(规范场张量、场强)。 自旋联络规范场张量 Ω μ ν p q 与黎曼曲率张量之间有关系。我们定义前者如下： [ D μ ， D ν ] ϕ p = − i Ω μ ν p q ϕ q ，其中 D μ ϕ p = ∂ μ ϕ p − i ω μ p q ϕ q ，最终得到自旋联络规范场张量 Ω μ ν p q = ∂ μ ω ν p q − ∂ ν ω μ p q − i [ ω μ ， ω ν ] p q 。另一方面，使用标架场的协变导数为零( D μ e p λ = 0 )这一要求，上面的定义可以变为 e p λ ( [ D μ ， D ν ] ϕ p ) = − i e p λ Ω μ ν p q ϕ q ，其中左边为 e p λ ( [ D μ ， D ν ] ϕ p ) = [ ∇ μ ， ∇ ν ] ϕ λ = R λ σ μ ν ϕ σ ( R λ σ μ ν 为黎曼曲率张量)。将以上两式右边作比较，我们就得到了自旋联络规范场张量 Ω μ ν p q 与黎曼曲率张量 R λ σ μ ν 之间的关系： − i e p λ Ω μ ν p q e q σ = R λ σ μ ν 。这一关系颇让人有所启发：由 D μ e p λ = ∇ μ e p λ − i ω μ p q e q λ = 0 ，我们可以得到自旋联络 ω μ p q = i e p τ ∇ μ e q τ ，但这里要注意： ∇ μ 是Levi-Civita联络协变导数算符。如果假设Levi-Civita联络为零(要么是全局为零，即恒为零；要么局域为零，即只在局域惯性系内为零)，那么上面自旋联络将退化为 ω μ p q = i e p τ ∂ μ e q τ 以及 D μ e p λ = ∂ μ e p λ − i ω μ p q e q λ = 0 。但是，这样一来，由 [ D μ ， D ν ] ϕ p = − i Ω μ ν p q ϕ q 仍旧可以得到正确的自旋联络规范场张量 Ω μ ν p q = ∂ μ ω ν p q − ∂ ν ω μ p q − i [ ω μ ， ω ν ] p q ，似乎当我们假设Levi-Civita联络为零，并不导致麻烦。其实不然，如果Levi-Civita联络全局为零，那么黎曼曲率张量 R λ σ μ ν 恒为零，这样一来上面的关系 − i e p λ Ω μ ν p q e q σ = R λ σ μ ν 就不再成立(左边非零，右边为零)，导致矛盾。那么问题出在哪里呢？原来只要存在自旋联络规范场张量 Ω μ ν p q ，黎曼曲率张量也必须存在。虽然可以假设Levi-Civita联络局域为零，即只在局域惯性系内为零，但是Levi-Civita联络的导数必不为零(对应于潮汐力即引力落差必然存在)。例如，在 Ω μ ν p q 内，有 ∂ μ ω ν p q − ∂ ν ω μ p q ，在它里面，自旋联络携带有Levi-Civita联络，即使它局域为零，但是其导数却不为零，最终要求黎曼曲率张量也必须存在。如此说来，一旦存在自旋联络或者Yang-Mills场(Yang-Mills场是高维Lorentz转动群规范场)，其内黎曼曲率张量就为非零，如高维空间(也即Yang-Mills规范群空间)必须是弯曲的。所以，最终要求自旋联络(Lorentz转动对称性联 络) ω μ p q = i e p τ ∇ μ e q τ 才是正确的，而 ω μ p q = i e p τ ∂ μ e q τ 是错误的。但是在几何相联络 − V + i ∂ ∂ t V 中，关于时 间的导数，为何这里出现的是普通导数算符，而非协变导数算符 D t 呢？原因在于这里复数Levi-Civita联 络 Γ 被隐去了，其实它是可以显示出来的。证明如下：我们从Schrödinger方程 H ^ | Ψ 〉 = i ℏ ∂ ∂ t | Ψ 〉 出发，将其化为 V + H ^ ( V V + | Ψ 〉 ) = V + i ℏ ∂ ∂ t ( V V + | Ψ 〉 ) 。再展开为 V + H ^ V ( V + | Ψ 〉 ) = i ℏ ∂ ∂ t ( V + | Ψ 〉 ) + V + i ℏ ∂ V ∂ t ( V + | Ψ 〉 ) ， 它也就被化为Schrödinger方程的新形式 ( V + H ^ V − V + i ℏ ∂ V ∂ t ) ( V + | Ψ 〉 ) = i ℏ ∂ ∂ t ( V + | Ψ 〉 ) 。 于是新的哈密顿量为 H ^ V = V + H ^ V − V + i ℏ ∂ V ∂ t 。此推导无错，但是不协变。其实，我们可以在导数上添加一 个复数Levi-Civita联络 Γ ，让其具有Levi-Civita联络下的协变性。注意上面我们使用了 ∂ ∂ t ( V V + | Ψ 〉 ) = ∂ V ∂ t ( V + | Ψ 〉 ) + V ∂ ∂ t ( V + | Ψ 〉 ) ，但是实际上此式也可以写为 ∂ ∂ t ( V V + | Ψ 〉 ) = ( ∂ ∂ t V + Γ V ) ( V + | Ψ 〉 ) + V [ ∂ ∂ t ( V + | Ψ 〉 ) − V + Γ | Ψ 〉 ] = ( D t V ) ( V + | Ψ 〉 ) + V D t ( V + | Ψ 〉 ) 。 于是我们就可以得到Schrödinger方程的新形式 ( V + H ^ V − V + i ℏ D t V ) ( V + | Ψ 〉 ) = i ℏ D t ( V + | Ψ 〉 ) 。 新的哈密顿量为 H ^ V = V + H ^ V − V + i ℏ D t V 。这样，真正的几何相联络应当是 − V + i ℏ D t V (它含有复数Levi-Civita联络 Γ )。外时空中可以取平直(总存在一个局域惯性系)，那么复数Levi-Civita联络 Γ 可以被设置为零(但是由于“潮汐力”的存在，其普通时空导数不一定为零)。同时，我们关心的是内空间规范群(在引力-规范统一理论中，内空间就是高维空间)，外部空间的曲率不会被涉及，所以，复数Levi-Civita联络 Γ 可以一直被设置为零而不出矛盾。如此，几何相联络 − V + i ∂ ∂ t V 也是正确的。 上面已经提到，度规或标架场具有上面么正变换 V ^ 的功能，而Levi-Civita联络才是规范势。但是，不得不顺便提及的是，由于Einstein-Hilbert广义相对论引力理论的微妙性，出现了一种“撞车”现象。度规在广义坐标变换下，却有类似电磁规范势(四维电磁势)的特性(磁矢量势 A 的规范变换是 A ′ = A − ∇ α ，即 δ A = − ∇ α ，而度规的变换是 δ g μ ν = ∂ μ α ν + ∂ ν α μ 。两者在数学形式上很相似)，而Levi-Civita联络(本是联络)却在弱场近似下具有引力电场、引力磁场的特点 [ 62 ]。与此有关联的是，Einstein-Hilbert引力作用量密度仅仅是一个Ricci曲率标量(而非Ricci曲率标量的平方)，而电磁(以及Yang-Mills)规范场的Lagrange作用量密度却是曲率(电磁场强或电磁场张量)的平方。在以联络为宗的前提下，这导致Maxwell电磁理论、Yang-Mills规范理论与广义相对论在数学结构上大不相同。但是，以度规为宗，广义相对论方程在弱场近似下又具有Maxwell方程的结构。所以关于引力场–规范场的统一理论，这就导致两派方案：以联络为宗的引力-规范理论和以度规为宗的Kaluza-Klein理论 [ 63 ]。前者的引力作用量密度具有Maxwell-Yang-Mills曲率平方结构(极其推广)，要用该结构把Einstein广义相对论引力理论囊括进去；后者的引力作用量密度仍旧具有Einstein-Hilbert曲率标量结构，要把Maxwell-Yang-Mills规范场方程囊括进去。可以说，这是两条相反的路线。两条路线的共同点是：都要引入高维内空间，在引力场框架内将引力场与规范场统一起来，也即Maxwell-Yang-Mills规范场只是高维引力在普通的四维时空内的投影。