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user: 2. 一些引理的介绍和证明 在这一部分中，将给出证明定理1.1所需要的一些引理。 引理2.1 (van Dam和Haemers [ 7 ] )图G的下列性质可以从邻接谱推导出来： 1) 顶点的数量； 2) 边的数量； 3) 固定长度的闭途径数量。 引理2.2 (Mao，Cioabǎ和Wang [ 11 ] )设 N G ( H ) 为在图G中与图H同构的子图(不一定是诱导)的数目， N G ( i ) 为图G中长为i的闭途径数目。设 N ′ H ( i ) 为经过图H所有边且长为i的闭途径数目， S i ( G ) 为图G中所有连通子图H的集合，其中 N ′ H ( i ) ≠ 0 。这可以得出 N G ( i ) 为 N G ( i ) = ∑ H ∈ S i ( G ) N G ( H ) N ′ H ( i ) 。 引理2.3 (Omidi [ 11 ] )以下给出的是图G中长为2、3、4、5的闭途径的数目： 1) N G ( 2 ) = 2 m ， N G ( 3 ) = 6 N G ( K 3 ) 。 2) N G ( 4 ) = 2 m + 4 N G ( P 3 ) + 8 N G ( C 4 ) ； N G ( 5 ) = 30 N G ( K 3 ) + 10 N G ( C 5 ) + 10 N G ( G a ) 。 其中m为G的边数，图 G a 为圈图 C 3 上任一个顶点加上一条边得到的图(见图2(a))。 引理2.4 (Cvetković，Doob和Sachs [ 1 ] )设图G中k-闭途径的数量为c，那么该数量可以由其邻接谱决定，即 c = ∑ λ i k 。 设n阶图G的邻接谱为 λ 1 ≥ λ 2 ≥ ⋯ ≥ λ n ，n阶图 G ′ 的邻接谱为 λ ′ 1 ≥ λ ′ 2 ≥ ⋯ ≥ λ ′ n 。众所周知，若 λ i = λ ′ i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，那么有 ∑ i = 1 n λ i k = ∑ i = 1 n λ ′ i k 。 也就是两个图的邻接谱相同，那么它们的各特征值的k次方和也相等，所以可以得到当 ∑ i = 1 n λ i k ≠ ∑ i = 1 n λ ′ i k ， 则有 λ i 与 λ ′ i 不全相等， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 。因此结合引理2.4，可以得到这么一个结论：当两个阶数相同的图的k-闭途径数量(k为正整数)不相同时，则它们的邻接谱不相同，即这两个图不同谱。引理2.5~2.7分别给出了当 k = 3 ， 4 ， 5 时，图G补图中k-闭途径数量的计算方法。 引理2.5 (Doob和Haemers [ 6 ] )设图G有n个顶点，m条边，t个子图 C 3 和其度序列为 d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d n 。设 t ¯ 为图G补图的子图 C 3 数量。则有 t ¯ = ( n 3 ) − ( n − 1 ) m + 1 2 ∑ i = 1 n d i 2 − t 。 引理2.6 (Cámara和Haemers [ 9 ] )设图G有n个顶点，m条边，其补图4-闭途径的数量由图G的顶点和边的数量以及图G中同构于 P 3 ， K 2 ∪ K 2 ， P 4 和 C 4 的子图(不一定是诱导)数量所决定，分别用 m 1 ， m 2 ， m 3 和 m 4 表示，以及将图 K n 中4-闭途径的数量表示为 W n = ( n − 1 ) 4 + n − 1 ，则图G补图中的4-闭途径数量等于 W n − ( 8 n 2 − 32 n + 34 ) m + ( 8 n − 20 ) m 1 + 16 m 2 − 8 m 3 + 8 m 4 ， 其中 n : = | V ( G ) | ， m : = | E ( G ) | ， m 1 : = N G ( P 3 ) ， m 2 : = N G ( K 2 ∪ K 2 ) ， m 3 : = N G ( P 4 ) ， m 4 : = N G ( C 4 ) . 研究长为5的闭途径的情况会更加的困难，将由以下引理提出。 引理2.7 (Mao，Cioabǎ和Wang [ 10 ] )设图G有n个顶点、m条边，其补图5-闭途径的数量由图G的顶点和边的数量，以及图G中同构于 s 3 ， K 2 ∪ K 2 ， P 4 ， K 3 ， P 3 ∪ K 2 ， K 1 ， 3 ， P 5 ， G a 和 C 5 的子图(不一定是诱导)数量所决定，分别用 m 1 ， m 2 ， m 3 ， s 1 ， s 2 ， s 3 ， s 4 ， s 5 和 s 6 表示，以及将图 K n 中5-闭途径的数量表示为 W n = 30 ( n 3 ) + 120 ( n 5 ) + 30 ( n − 3 ) ( n 3 ) ，则图G补图中的5-闭途径数量等于 W n − ( 10 n 3 − 50 n 2 + 90 n − 60 ) m + ( 10 n 2 − 20 n ) m 1 + ( 40 n − 120 ) m 2 − ( 10 n − 20 ) m 3 − ( 30 n − 60 ) s 1 − 20 s 2 − 30 s 3 + 10 s 4 + 10 s 5 − 10 s 6 。 其中 s 1 : = N G ( K 3 ) ， s 2 : = N G ( P 3 ∪ K 2 ) ， s 3 : = N G ( K 1 ， 3 ) ， s 4 : = N G ( P 5 ) ， s 5 : = N ( G a ) G ， s 6 : = N G ( C 5 ) . 设H为有 l − 1 条边的简单图，下文将用 m 1 ， m 2 ， m 3 ， s 1 ， s 2 ， s 3 ， s 4 ， s 5 和 s 6 表示图 P l 中同构于 P 3 ， K 2 ∪ K 2 ， P 4 ， C 4 ， K 3 ， P 3 ∪ K 2 ， K 1 ， 3 ， P 5 ， G a 和 C 5 的子图数量，用 m ′ 1 ， m ′ 2 ， m ′ 3 ， s ′ 1 ， s ′ 2 ， s ′ 3 ， s ′ 4 ， s ′ 5 和 s ′ 6 表示图H中同构于 K 2 ∪ K 2 ， P 4 ， C 4 ， K 3 ， P 3 ∪ K 2 ， K 1 ， 3 ， P 5 ， G a 和 C 5 的子图数量。 在给出和证明以下引理之前，先对几类特殊图进行符号的规定。符号 T a ， b ， c 表示为图1(a)所示的图例，其中a，b，c代表三条支路对应边的数量，且满足 c ≥ b ≥ a ≥ 1 ，如图1(d)表示为 T 1 ， 2 ， 2 。符号 T a ， b ， c ， d 表示为图1(b)所示的图例，其中a，b，c，d代表四条支路对应边的数量，且满足 d ≥ c ≥ b ≥ a ≥ 1 ，如图1(e)表示为 T 1 ， 2 ， 2 ， 3 。符号 Y a ， b ， c ， d 表示为图1(c)所示图例，其中a，b，c，d代表四个位置对应边的数量，且满足 b ≥ a ≥ 1 ， d ≥ c ≥ 1 ，如图1(f)表示为 Y 1 ， 2 ， 2 ， 3 。 图1. 几类特殊图 引理2.8 (Mao，Cioabǎ和Wang [ 10 ] )以下的三类图均与图 K n \ P l 不同谱 1) 对于任意的整数 l ≥ 7 时，图 K n \ P l 和 K n \ ( C 4 ∪ P l − 4 ) 不同谱。 2) 对于任意的整数 a ≥ 1 ， b ≥ 2 且满足 3 a + b = l 时，图 K n \ P l 和 K n \ ( a K 3 ∪ P b ) 不同谱。 3) 对于任意的整数 a ≥ 2 ， b ≥ 1 ， c ≥ 1 ， d ≥ 1 且满足 a + b + c + d = l ( l ≥ 6 ) 时，两类图 K n \ P l 和 K n \ ( P a ∪ T b ， c ， d ) 不同谱。 引理2.9 对于任意的整数 a ≥ 2 ， b ≥ 1 ， c ≥ 1 ， d ≥ 1 且满足 a + b + c + d = l − 3 ( l ≥ 10 ) 时，两类图 K n \ P l 和 K n \ ( P a ∪ T b ， c ， d ∪ K 1 ， 3 ) 不同谱。 证明：图 P l 可以直接计算得出 m 1 = l − 2 ， m 2 = ( l − 2 ) ( l − 3 ) 2 ， m 3 = l − 3 ， m 4 = 0. 对于图 P a ∪ T b ， c ， d ∪ K 1 ， 3 ，有 m ′ 1 = l − 2 ， m ′ 2 = ( l − 2 ) ( l − 3 ) 2 . 由 a + b + c + d = l − 3 可得 b + c + d < l − 3 ，又因为 m ′ 3 ≤ b + c + d ，则 m ′ 3 < l − 3 ， m ′ 4 = 0. 利用引理2.6，可以直接得出，图 K n \ P l 和图 K n \ ( P a ∪ T b ， c ， d ∪ K 1 ， 3 ) 可以通过4-闭途径的数量来区分。£ 引理2.10 对于任意的整数 a ≥ 1 ， 4 ≤ b ≤ 7 且满足 2 a + b = l − 2 ( l ≥ 9 ) 时，两类图 K n \ P l 和 K n \ ( a P 3 ∪ T b ∪ P 2 ) 不同谱，其中图 T b 表示为含有b条边的树。 证明：图 P l 可以直接计算得出 m 1 = l − 2 ， m 2 = ( l − 2 ) ( l − 3 ) 2 ， m 3 = l − 3 ， m 4 = 0. 对于图 a P 3 ∪ T 4 ∪ P 2 ， a P 3 ∪ T 5 ∪ P 2 ， a P 3 ∪ T 6 ∪ P 2 和 a P 3 ∪ T 7 ∪ P 2 ，有 m ′ 1 = l − 2 ， m ′ 2 = ( l − 2 ) ( l − 3 ) 2 ， m ′ 3 ≠ l − 3 ， m ′ 4 = 0. 图 P l 和图 a P 3 ∪ T b ∪ P 2 在n个顶点下的补图分别为图 K n \ P l 和图 K n \ ( a P 3 ∪ T b ∪ P 2 ) ，由引理2.6可知，这两类图可以通过4-闭途径的数量来区分，则不同谱。 £ 引理2.11 (Mao，Cioabǎ和Wang [ 10 ] )设图 K n \ H 与图 K n \ P l 同谱，则图H中子图 C 3 数量 t ′ 为偶数。 引理2.12 (Mao，Cioabǎ和Wang [ 10 ] )设图 K n \ H 与图 K n \ P l 同谱。那么图H有以下三个性质。 1) 除了 C 3 和 C 4 ，图H的任何部分都不是圈。 2) 图H不包含两个不相交的圈 C k ∪ C s 。 3) 除了 P 3 之外，图H包含两条长度不相等的路径。