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user: 3. 静态相耦合的GP方程组 为了寻求(2.9)式的一种静态解(它们通常被用来描述旋转中的双原子–玻色爱因斯坦凝聚体的平衡态现象)，为此，我们引入 ψ j ( x ， t ) = e − i μ t ϕ j ( x ) ， j = 1 ， 2 (3.1) 这里 μ 是这两种粒子之间的化学势能， ϕ j 是与时间无关的函数。函数 ϕ j ( x )   ( j = 1 ， 2 ) 被用来描述旋转中的双原子–玻色爱因斯坦凝聚体的平衡态现象。 将(3.1)带入(2.9)式得到以下只与 ϕ j ( x ) 有关且与时间无关的GP方程组 μ ϕ 1 ( x ) = ( − 1 2 ∇ 2 + V d ， 1 ( x ) + ∑ l = 1 ` 2 β d ， 1 l | ϕ l | 2 − Ω L z ) ϕ 1 ( x ) − λ ϕ 2 ( x ) (3.2) μ ϕ 2 ( x ) = ( − 1 2 ∇ 2 + V d ， 2 ( x ) + ∑ l = 1 ` 2 β d ， 2 l | ϕ l | 2 − Ω L z ) ϕ 2 ( x ) − λ ϕ 1 ( x ) (3.3) 当对这两部分进行标准化时，我们需要总模量 ∑ j = 1 2 ∫ R d | ϕ j ( x ) | 2 d x = 1 (3.4) 我们知道化学势能 μ = E β d ( ϕ 1 ， ϕ 2 ) + 1 2 ∫ R d ∑ j ， l = 1 2 β d ， j l | ϕ j ( x ) | 2 | ϕ l ( x ) | 2 d x (3.5) 并且，双原子–玻色爱因斯坦凝聚体的能量可以表示为： E β d ( ϕ 1 ， ϕ 2 ) = ∑ j = 1 2 E β d ， j ( ϕ 1 ， ϕ 2 ) − λ ∫ ( ϕ ¯ 1 ϕ 2 + ϕ ¯ 2 ϕ 1 ) d x (3.6) 函数 ϕ j ( x )   ( j = 1 ， 2 ) 所满足的静态相耦合的GP方程组(3.2)~(3.4)实际是一个带有约束条件的非线性特征函数与特征值问题。静态相耦合的GP方程组(3.2)~(3.4)有许多解， 人们最关心的是下面的基态解。 3.1. 基态解的定义 旋转中的双原子玻色爱因斯坦凝聚体的基态解 Φ g ( x ) = ( ϕ g ， 1 ( x ) ， ϕ g ， 2 ( x ) ) 实际上是能量函数 E β d ( ϕ 1 ， ϕ 2 ) 在限制条件(3.4)下的取得最小值时对应的函数，也就是 (A)找到 ( μ g ， Φ g = ( ϕ g ， 1 ， ϕ g ， 2 ) ∈ U ) 使得 E β d ( Φ g ) = min Φ ∈ U E β d ( ϕ 1 ， ϕ 2 ) ， μ g = E β d ( ϕ g ， 1 ， ϕ g ， 2 ) + 1 2 ∫ R d ∑ j ， l = 1 2 β d ， j l | ϕ g ， j ( x ) | 2 | ϕ g ， l ( x ) | 2 d x ， 这里的 U 定义为： U = { Φ = ( ϕ 1 ， ϕ 2 ) | E β d ( ϕ 1 ， ϕ 2 ) < ∞ ， ∫ R d | ϕ j ( x ) | 2 d x = 1 ， j = 1 ， 2 } 。 我们可以证明 Φ g ( x ) = ( ϕ g ， 1 ( x ) ， ϕ g ， 2 ( x ) ) 满足： μ ϕ g ， 1 ( x ) = ( − 1 2 ∇ 2 + V d ， 1 ( x ) + ∑ l = 1 2 β d ， 1 l | ϕ g ， l | 2 − Ω L z ) ϕ g ， 1 ( x ) − λ ϕ g ， 2 ( x ) μ ϕ g ， 2 ( x ) = ( − 1 2 ∇ 2 + V d ， 2 ( x ) + ∑ l = 1 2 β d ， 2 l | ϕ g ， l | 2 − Ω L z ) ϕ g ， 2 ( x ) − λ ϕ g ， 1 ( x ) 且 ∑ j = 1 2 ∫ R d | ϕ g ， j ( x ) | 2 d x = 1 。 很明显，静态相耦合的GP方程组(3.2)~(3.4)有许多解，基态解只是其中一类我们最关心的解。在物理学上，通常把GP方程组(3.2)~(3.4)除基态解以外的其它解称为激发态解，这是因为这些解所对应的能量比基态解所对应的能量 E β d ( ϕ g ， 1 ， ϕ g ， 2 ) 高。 3.2. 求基态解的数值方法 我们首先构建连续的梯度流 ∂ ϕ 1 ∂ t = 1 2 ∇ 2 ϕ 1 − V d ， 1 ϕ 1 − ∑ l = 1 2 β d ， 1 l | ϕ l | 2 ϕ 1 + Ω L z ϕ 1 + λ ϕ 2 + μ Φ ϕ 1 (3.7) ∂ ϕ 2 ∂ t = 1 2 ∇ 2 ϕ 2 − V d ， 2 ϕ 2 − ∑ l = 1 2 β d ， 2 l | ϕ l | 2 ϕ 2 + Ω L z ϕ 2 + λ ϕ 1 + μ Φ ϕ 2 (3.8) ϕ j = ϕ j ( x ， t ) = 0 ，   x ∈ Γ ，   j = 1 ， 2 (3.9) ϕ j ( x ， 0 ) = ϕ j ， 0 ( x ) ，   x ∈ Ω x ，   ∑ j = 1 2 ∫ Ω x | ϕ j ， 0 ( x ) | 2 d x = 1 (3.10) 这里 μ Φ = E β d ( ϕ 1 ， ϕ 2 ) + 1 2 ∫ R d ∑ j ， l = 1 2 β d ， j l | ϕ j ( x ) | 2 | ϕ l ( x ) | 2 d x (3.11) 并且 Ω x 是 R d 中的一个有界区域。 Γ = ∂ Ω x 。 对于连续的梯度流(3.7)~(3.10)，我们有下面的定理， 定理3.1：在临界条件(3.9)和初始条件(3.10)下，连续的梯度流(3.7)~(3.8)满足 (1) ∑ j = 1 2 ∫ Ω x | ϕ j ( x ， t ) | 2 d x = ∑ j = 1 2 ∫ Ω x | ϕ j ( x ， 0 ) | 2 d x = 1 (3.12) (2) ∂ ∂ t E β d ( ϕ 1 ( x ， t ) ， ϕ 2 ( x ， t ) ) ≤ 0 (3.13) 这个定理的证明虽然很长但证法很简单，这里我们将省略，不再陈述。 从定理3.1我们可以知道连续的梯度流(3.7)~(3.10)可保持总模量守恒和能量递减的性质。并且，当 t → ∞ 时，我们可得到 ϕ 1 和 ϕ 2 接近于稳定状态时的解，这时的能量函数 E β d ( ϕ 1 ( x ， t ) ， ϕ 2 ( x ， t ) ) 在U空间上处于能量最低的状态。如果我们能为方程(3.9)引入一个合适的初始条件 ( ϕ 1 ， 0 ( x ) ， ϕ 2 ， 0 ( x ) ) ，就可以找到方程组(3.7)~(3.10)的稳态解，也就找到了问题(A)的基态解： ϕ j ( x ， t ) → ϕ g ， j ( x ) ，     t → ∞ ，   ( j = 1 ， 2 ) 。 其次，从时间 t n = n Δ t 到 t n + 1 = ( n + 1 ) Δ t ，我们希望求得方程组(3.7)~(3.10)的数值解，为了避免每步计算化学势能，我们取而代之考虑下面的离散梯度流： ∂ ϕ 1 ∂ t = [ 1 2 ∇ 2 − V d ， 1 − ∑ j = 1 2 β d ， 1 l | ϕ l | 2 + Ω L z ] ϕ 1 ( x ， t ) + λ ϕ 2 ，   t n ≤ t ≤ t n + 1 (3.14) ∂ ϕ 21 ∂ t = [ 1 2 ∇ 2 − V d ， 2 − ∑ j = 1 2 β d ， 2 l | ϕ l | 2 + Ω L z ] ϕ 2 ( x ， t ) + λ ϕ 1 ，   t n ≤ t ≤ t n + 1 (3.15) ϕ j ( x ， t n + 1 ) = ϕ j ( x ， t n + 1 + ) = ϕ j ( x ， t n + 1 − ) ‖ ϕ 1 ( x ， t n + 1 − ) ‖ 2 + ‖ ϕ 2 ( x ， t n + 1 − ) ‖ 2 (3.16) ϕ j ( x ， t n + 1 ) = 0 ，   x ∈ Γ ，   j = 1 ， 2 (3.17) ϕ j ( x ， 0 ) = ϕ j ， 0 ( x ) ，   x ∈ Ω x (3.18) 从离散梯度流(3.14)~(3.16)，我们发现他们在能量减少时的某种条件下的性质。 我们令 ϕ ˜ j ( x ， t ) = ϕ j ( x ， t ) ‖ ϕ j ( x ， t ) ‖ 2 ，   t n ≤ t ≤ t n + 1 ，   n ≥ 0 ，   j = 1 ， 2 (3.19) 代入到梯度流(3.14)~(3.16)，很容易建立以下基本事实： 引理3.1：假设 V d ， j ≥ 0 ， β d ， i j ≥ 0   ( i ， j = 1 ， 2 ) ，且 ‖ ϕ j ， 0 ‖ 2 = 1 ，那么 (i) 对于所有的 t ′ 和 t 有 t n ≤ t ′ ≤ t ≤ t n + 1 ，我们有： E β d ( ϕ 1 ( x ， t ) ， ϕ 2 ( x ， t ) ) ≤ E β d ( ϕ 1 ( x ， t ′ ) ， ϕ 2 ( x ， t ′ ) ) 。 (ii) 如果 β d ， i j = 0 ( i ， j = 1 ， 2 ) ，那么 E β d ( ϕ ˜ 1 ( x ， t ) ， ϕ ˜ 2 ( x ， t ) ) ≤ E β d ( ϕ ˜ 1 ( x ， t n ) ， ϕ ˜ 2 ( x ， t n ) ) (3.20) 证明： (i) ∂ ∂ t E β d ( ϕ 1 ( x ， t ) ， ϕ 2 ( x ， t ) ) = − 2 ∫ R d ∑ j = 1 ， 2 | ∂ ∂ t ϕ j ( x ， t ) | 2 d x ≤ 0 这就证明了(i)中的结果。 (ii) 这个证明可以仿照 [ 24 ] 中的相关证明。这里，具体证明省略 从引理3.1，我们可直接得到： 定理3.2：设 ∑ j = 1 2 ‖ ϕ j ‖ 2 = 1 ，如果 β d ， i j = 0   ( i ， j = 1 ， 2 ) ，梯度流(3.14)~(3.16)满足 (1) ∑ j = 1 2 ‖ ϕ j ‖ 2 = 1 ； (2) E β d ( ϕ 1 ( x ， t n + 1 ) ， ϕ 2 ( x ， t n + 1 ) ) ≤ E β d ( ϕ 1 ( x ， t n ) ， ϕ 2 ( x ， t n ) ) ≤ ⋯ ≤ E β d ( ϕ 1 ( x ， 0 ) ， ϕ 2 ( x ， 0 ) ) = E β d ( ϕ 1 ， 0 ， ϕ 2 ， 0 ) ，   n ≥ 0 (3.21) 事实上，方程中的标准化步骤(3.16)等同于准确地求解下面普通的常微分方程组 ∂ ϕ j ∂ t ( x ， t ) = μ Φ ( t ， k ) ϕ j ( x ， t ) ，   x ∈ R d ，   t n < t < t n + 1 ，   n ≥ 0 。 (3.22) ϕ j ( x ， t n + ) = ϕ j ( x ， t n + 1 − ) ，   x ∈ R d ，   j = 1 ， 2 (3.23) 这里 k = Δ t n 并且 μ Φ ( t ， k ) ≡ μ Φ ( t n + 1 ， Δ t n ) = − 1 2 Δ t n ln ( ∑ j = 1 2 ‖ ϕ j ( x ， t n + 1 − ) ‖ 2 ) ，   t n < t < t n + 1 (3.24) 因此，梯度流(3.14)~(3.16)可以看作作为下面离散带有间断系数的梯度流的一种一阶分裂法 ∂ ϕ 1 ∂ t = 1 2 ∇ 2 ϕ 1 − V d ， 1 ( x ) ϕ 1 − ∑ l = 1 2 β d ， 1 l | ϕ l | 2 ϕ 1 + Ω L z ϕ 1 + λ ϕ 2 + μ Φ ( t ， k ) ϕ 1 (3.25) ∂ ϕ 2 ∂ t = 1 2 ∇ 2 ϕ 2 − V d ， 2 ( x ) ϕ 1 − ∑ l = 1 2 β d ， 2 l | ϕ l | 2 ϕ 2 + Ω L z ϕ 2 + λ ϕ 1 + μ Φ ( t ， k ) ϕ 2 (3.26) 对于上面的梯度流(3.25)，让 k → 0 并且注意到 ϕ j ( x ， t n + 1 − ) (方程(3.23)的右边)在 t n + 1 = t n + Δ t n 时是方程(3.23)的求解，我们得到 lim k → 0 + μ Φ ( t ， k ) = lim Δ t n → 0 + 1 − 2 Δ t n ln ( ∑ i = 1 2 ‖ ϕ j ( x ， t n + 1 − ) ‖ 2 ) = lim Δ t n → 0 + = d d τ ( ∑ j = 1 2 ‖ ϕ j ( x ， t + τ ) ‖ 2 ) | τ = Δ t n − 2 ∑ j = 1 2 ‖ ϕ j ( x ， t + Δ t n ) ‖ 2 = lim Δ t n → 0 + = μ Φ j ( ϕ 1 ( x ， t + Δ t n ) ， ϕ 2 ( x ， t + Δ t n ) ) ‖ ϕ j ( x ， t + Δ t n ) ‖ 2 = μ ( ϕ 1 ， ϕ 2 ) ∑ j = 1 2 ‖ ϕ j ( x ， t ) ‖ 2 (3.27) 这里 μ ( ϕ 1 ， ϕ 2 ) = E β d ( ϕ 1 ， ϕ 2 ) + 1 2 ∫ R d ∑ j ， l = 1 2 β d ， j l | ϕ j ( x ) | 2 | ϕ l ( x ) | 2 d x (3.28) 在下一小节里，我们给出离散梯度流(3.14)~(3.16)的一种差分格式。 离散梯度流(3.14)~(3.16)的一种差分格式 我们这里仅仅只考虑二维情形，三维情形的差分格式是类似的。假设我们计算的区域为 [ a ， b ] × [ c ， d ] 。我们选择时间步长 k > 0 以及空间步长 h x > 0 和 h y > 0 。并且 h x = ( b − a ) / M 和 h y = ( d − c ) / N (这里M和N均是偶的正整数)。空间上以及时间上的网格点分别为 x p ， y q 以及 t n ： x p : = a + p h x ，   p = 0 ， 1 ， ⋯ ， M ，     y q = c + q h y ， q = 0 ， 1 ， ⋯ ， N ，     t n = n k ，   n = 0 ， 1 ， ⋯ 设 ϕ j ， p q n 表示函数 ϕ j ( x ， y ， t ) 在点 ( x p ， y q ， t n ) 处的近似值( j = 1 ， 2 )。利用有限差分法，我们可得到下面的一种离散梯度流(3.14)~(3.16)的差分格式： ϕ ˜ 1 ， p q − ϕ 1 ， p q n k = 1 2 h x 2 [ ϕ ˜ 1 ， ( p + 1 ) q − 2 ϕ ˜ 1 ， p q + ϕ ˜ 1 ， ( p − 1 ) q ] + 1 2 h y 2 [ ϕ ˜ 1 ， p ( q + 1 ) − 2 ϕ ˜ 1 ， p q + ϕ ˜ 1 ， p ( q − 1 ) ]     − V 2 ， 1 ( x p ， y q ) ϕ ˜ 1 ， p q − ( β 2 ， 11 | ϕ 1 ， p q n | 2 + β 2 ， 12 | ϕ 2 ， p q n | 2 ) ϕ ˜ 2 ， p q     + i Ω y q ϕ ˜ 1 ， ( p + 1 ) q − ϕ ˜ 1 ， ( p − 1 ) q 2 h x − i Ω x p ϕ ˜ 1 ， p ( q + 1 ) − ϕ ˜ 1 ， p ( q − 1 ) 2 h y + λ ϕ 2 ， p q n (3.29) ϕ ˜ 2 ， p q − ϕ 2 ， p q n k = 1 2 h x 2 [ ϕ ˜ 2 ， ( p + 1 ) q − 2 ϕ ˜ 2 ， p q + ϕ ˜ 2 ， ( p − 1 ) q ] + 1 2 h y 2 [ ϕ ˜ 2 ， p ( q + 1 ) − 2 ϕ ˜ 2 ， p q + ϕ ˜ 2 ， p ( q − 1 ) ]     − V 2 ， 2 ( x p ， y q ) ϕ ˜ 2 ， p q − ( β 2 ， 21 | λ ϕ 1 ， p q n | 2 + β 2 ， 22 | λ ϕ 2 ， p q n | 2 ) ϕ ˜ 2 ， p q     + i Ω y q ϕ ˜ 2 ， ( p + 1 ) q − ϕ ˜ 2 ， ( p − 1 ) q 2 h x − i Ω x p ϕ ˜ 2 ， p ( q + 1 ) − ϕ ˜ 2 ， p ( q − 1 ) 2 h y + λ ϕ 1 ， p q n (3.30) 上述方程组(3.29)~(3.30)对所有的 p = 1 ， ⋯ ， M − 1 ，   q = 1 ， ⋯ ， N − 1 ，都成立。 并且 ϕ ˜ j ， 0 q = ϕ ˜ j ， M q = ϕ ˜ j ， p 0 = ϕ ˜ j ， p N = 0 ，   p = 0 ， ⋯ ， M ，   q = 0 ， ⋯ ， N ， ϕ j ， p q n + 1 = ϕ ˜ j ， p q ‖ ϕ ˜ 1 ‖ 2 + ‖ ϕ ˜ 2 ‖ 2 ，     p = 0 ， 1 ， ⋯ ， M ;   q = 0 ， 1 ， ⋯ ， N ，   n = 0 ， 1 ， ⋯ ， ϕ j ， p q 0 = ϕ j ， 0 ( x p ， y q ) ，     p = 0 ， 1 ， ⋯ ， M ;   q = 0 ， ⋯ ， N ， 这里的 ‖ ϕ ˜ j ‖ 2 ( j = 1 ， 2 ) 的定义为 ‖ ϕ ˜ j ‖ 2 = h x h y ∑ p = 1 M − 1 ∑ q = 1 N − 1 | ϕ j ， p q | 2 。