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user: 3. 多层次模糊综合评价法 层次分析法(Analytic Hierarchy Process，简称AHP)是一种解决多个比较结果和拥有较多影响因素的方法措施，主要是通过建立各层次的判别矩阵，而不思考人工判断的不确定性。AHP的缺点是该方法反映了人的思维过程，人的定性判断对结果起决定性作用，因此其权重的确定过分依赖人的判断，特别是专家的判断，从而大大降低了其客观性。本文采纳模糊层次分析法(Fuzzy Analytic Hierarchy Process，简称FAHP)，即对AHP的缺点改正优化，加入了模糊数学，并将其用于多比较结果的选择排序 [ 14 ]。 而FAHP则改进了AHP的不足之处，提高了处理问题的可行性。FAHP有两种解决问题的方法，基于模糊数或者基于模糊一致性矩阵。下面我将用这两种方法对开放式小区、半封闭式小区、封闭式小区的交通情况进行比较。 3.1. 基于模糊一致性矩阵的模糊层次分析法 3.1.1. 理论知识 1) 模糊互补判断矩阵的建立 经过指标间的两两相比判别，使用一个指标比另一个指标的重要水平定量表现，则构造出模糊判断 矩阵 A = ( a i j ) n × n ，假设具备如下性质： ① a i j = 0.5 ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ；② a i j + a j i = 1 ，   i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n 则这样的判别矩阵称为模糊互补判断矩阵。并采用一定标度(常用0.1~0.9标度，如表所示)进行衡量。 Table 5 The expert marks the scal 0.1~0.9标度 含义 说明 0.5 同等重要 元素j同等重要于元素i 0.6 稍微重要 元素j稍微重要于元素i 0.7 明显重要 元素j明显重要于元素i 0.8 重要的多 元素j于元素i重要的多 0.9 极端重要 元素j极端重要于元素i 0.1， 0.2， 0.3， 0.4 反比较 若元素 a i 与元素 a j 相比较得到判断 r i j ，则元素 a j 与 a i 相比较得到判断 r j i = 1 − r i j 表5. 专家打分标度 则模糊互补判断矩阵为 A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) 。 2) 模糊互补判断矩阵的权重计算 该公式 [ 15 ] 是用来计算模糊互补判别矩阵的权重，充分包括模糊一致性判断矩阵的优点之处并减少信息损失，如下： W i = ∑ j = 1 n a i j + n 2 − 1 n ( n − 1 ) ， ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) (3-1) 3) 模糊互补判断矩阵的一致性检验方法 由式(3-1)算出的权重值不一定合适，需要判断，即一致性检验。当计算结果偏差过大时，意味着权重向量的计算结果不可靠，不能作为决策的依据。用模糊判别矩阵的相容性来检验其一致性准则 [ 16 ]。 定义1：设矩阵 A = ( a i j ) n × n 和 B = ( b i j ) n × n 均为模糊判别矩阵，称 I ( A ， B ) = 1 n 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n | a i j + b i j − 1 | 为A和B的相容性指标。 (3-2) 定义2：设 W = ( W 1 ， W 2 ， ⋯ ， W n ) T 是模糊判断矩阵A的权重向量，其中 ∑ i = 1 n W i = 1 ， W i ≥ 0 ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ，令 W i j = W i W i + W j ， ( ∀ i ， j = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n ) (3-3) 则称n阶矩阵 W * = ( W i j ) n × n 为判别矩阵A的特征矩阵。 假设决策者的要求为 α ，而当相容性指标 I ( A ， W ) ≤ α 时，则可以得出判断矩阵为满意一致性的结果。 α 越小表示决策者对模糊判别矩阵的一致性要求越严格，基本上默认 α = 0.1 。 3.1.2. 实验过程 1) 层次结构模型 根据以上主成分分析结果得到的指标，构建指标体系图，如图2所示： 图2. 指标体系 2) 权重矩阵的确定 设道路状况为 X 1 ，网络敏捷性为 X 2 ，道路服务水平为 X 3 ，对于这三个指标，设由一位专家按照表5打分，需要对图2中每两个因素都进行相比，从而建立权重模糊互补判别矩阵A。 A = ( 0.5 0.6 0.5 0.4 0.5 0.7 0.5 0.3 0.5 ) 依据式(3-1)，计算权重向量为 W = ( 0.35 ， 0.35 ， 0.3 ) ，根据式(3-3)，A的特征矩阵计算得出 W * = ( 0.5 0.5 0.538 0.5 0.5 0.538 0.462 0.462 0.5 ) ，根据式(3-2)，A和 W * 的相容性指标为： I ( A ， W * ) = 0.084 < 0.1 ，故能够得 出模糊判断矩阵A是满意一致的，因而其权重W也是恰当的。 3) 指标矩阵的确定 顺次按照 X 1 ， X 2 ， X 3 对方案层构建模糊判别矩阵，再由专家进行打分，并进行一致性检验等。 X 1 的模糊判断矩阵 R 1 = ( 0.5 0.4 0.6 0.6 0.5 0.3 0.7 0.3 0.5 ) X 2 的模糊判断矩阵 R 2 = ( 0.5 0.3 0.5 0.7 0.5 0.4 0.5 0.6 0.5 ) X 3 的模糊判断矩阵 R 3 = ( 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.4 0.5 0.6 0.5 ) 根据公式，计算方案层在单个指标上的排序向量： X 1 = ( 0.33 ， 0.32 ， 0.33 ) ， X 2 = ( 0.3 ， 0.35 ， 0.35 ) ， X 3 = ( 0.3 ， 0.32 ， 0.35 ) 因此最终得到的判断矩阵为 R = ( 0.33 0.32 0.33 0.3 0.35 0.35 0.3 0.32 0.35 ) 。 4) 层次总排序及优选结果 采用模糊数学中的加权平均运算，计算结果如下： B = W ⊕ R = ( 0.35 ， 0.35 ， 0.3 ) ( 0.33 0.32 0.33 0.3 0.35 0.35 0.3 0.32 0.35 ) = ( 0.3105 ， 0.3305 ， 0.343 ) 按照最大隶属原则，即开放式小区的交通能力优于半开放式小区，优于封闭式小区，说明小区开放会缓解交通拥挤情况。 3.2. 基于模糊数的模糊层次分析法 3.2.1. 理论知识 1) 模糊判断矩阵的生成 记 c i j 表达指标i相对应j的重要水平，其中 c i i = 1 且 c i j = 1 c j i ，即模糊判断矩阵 C M = ( C 11 ⋯ C 1 n ⋮ ⋱ ⋮ C n 1 ⋯ C n n ) 。第i个指标的相对重要性计算采用几何均值法。即直接将判别矩阵 C M 的每一行数字求乘积，即 G M i = { ∏ j = 1 n C i j } 1 / n ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，之后进行标准化步骤，公式为 F W i = G M i ∑ i = 1 n G M i 。 该方法加入了三角模糊数，将模糊层次分析法中判别矩阵的精确数字用三个数字来描述，使其具有模糊化。三角模糊数由三个点集合而成，很好解决了两个指标比较过程中不能准确测量的矛盾。根据表6进行打分 [ 17 ]。 Table 6 The expert marks the scal 标度 含义 1 u i 和 u j 具有相同的重要性 3 u i 比 u j 稍微重要 5 u i 比 u j 重要 7 u i 比 u j 强烈重要 9 u i 比 u j 极端重要 2， 4， 6， 8 u i 与 u j 重要性介于以上两者之间 倒数 以上意义相反 表6. 专家打分标度 2) 去模糊化 去模糊化可以用 D j = I j + 2 m j + u j 4 ， j = 1 ， 2 ， 3 ，其中 I i ， m j ， u j 是三角模糊数中低中高三个数字，标准化后的权重计算用 F W = D j ∑ D j 。 3) 模糊矩阵合成 评价人员需要根据三种小区具体情况进行评价给出确定的隶属度值，即在评语集V = (极好，较好，一般，较差，极差)中针对每一个要素做出相应主观评价，R是最终综合评判变换矩阵， Q i = F W i ∘ R = ( W 1 ， W 2 ， W 3 ) ⋅ ( r 11 ⋯ r 15 r 21 ⋯ r 25 r 31 ⋯ r 35 ) . 3.2.2. 实验过程 实验大致过程为将指标道路状况、网络敏捷性、道路服务水平两两比较。利用模糊数评价比较的结果，再通过计算模糊数的几何均值、将其去模糊化，最后模糊计算权重，即表7。根据三种类型小区所得分数及最大隶属度原则得出三种小区所属评价类别，即表8。 Table 7 Fuzzy judgment matrix and fuzzy weigh 指标 道路状况 网络敏捷性 道路服务水平 几何均值 去模糊化 模糊权重 道路状况 (1， 1， 1) (3， 4， 4) (2， 3， 4) (1.82， 2.29， 2.52) 2.23 0.60 网络敏捷性 (1/3， 1/4， 1/4) (1， 1， 1) (4， 5， 5) (1.1， 1.08， 1.08) 1.085 0.29 道路服务水平 (1/2， 1/3， 1/4) (1/4， 1/5， 1/5) (1， 1， 1) (0.5， 0.41， 0.37) 0.415 0.11 表7. 模糊判断矩阵及模糊权重 Table 8 Comprehensive judgment transformation matri 方案 指标 极好 较好 一般 较差 极差 开放式小区 道路状况 0.30 0.60 0.10 0 0 网络敏捷性 0.25 0.55 0.20 0 0 道路服务水平 0.10 0.43 0.37 0.10 0 半封闭式小区 道路状况 0.10 0.20 0.50 0.20 0 网络敏捷性 0.16 0.39 0.21 0.24 0 道路服务水平 0.11 0.30 0.29 0.30 0 封闭式小区 道路状况 0.10 0.20 0.20 0.50 0 网络敏捷性 0 0.20 0.30 0.50 0 道路服务水平 0.05 0.10 0.15 0.70 0 表8. 综合判断变换矩阵 由上表计算 F W ∘ R 1 = ( 0.6 ， 0.29 ， 0.11 ) ⋅ ( 0.30 0.60 0.10 0 0 0.25 0.55 0.20 0 0 0.10 0.43 0.37 0.10 0 ) = ( 0.26 ， 0.57 ， 0.16 ， 0.011 ， 0 ) F W ∘ R 2 = ( 0.6 ， 0.29 ， 0.11 ) ⋅ ( 0.10 0.20 0.50 0.20 0 0.16 0.39 0.21 0.24 0 0.11 0.30 0.29 0.30 0 ) = ( 0.12 ， 0.12 ， 0.46 ， 0.22 ， 0 ) F W ∘ R 3 = ( 0.6 ， 0.29 ， 0.11 ) ⋅ ( 0.10 0.20 0.20 0.50 0 0 0.20 0.30 0.50 0 0.05 0.10 0.15 0.70 0 ) = ( 0.07 ， 0.189 ， 0.22 ， 0.522 ， 0 ) 计算结果表明，开放式小区隶属于较好的隶属度为57%，半封闭式小区隶属于一般的隶属度为46%，封闭式小区隶属于较差的隶属度为57%，按照最大隶属原则，即开放式小区的交通能力优于半开放式小区，优于封闭式小区，两种方法所得结论一致。