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user: 3. 子群的乘积是子群的判定条件 我们以例题形式给出上面提到的习题(文献 [ 1 ] ，P75第4题)的证明过程： 例2：设G是一个群，假定H是G的子群，N是G的不变子群。证明：子群H与N的乘积HN是G的子群。 证明： 1) 因为 H ≤ G ， N ⊲ G ，所以 e ∈ H 且 e ∈ N (e为G的单位元)， 则 e = e ⋅ e ∈ H N ，所以 H N ≠ ∅ 。 2) 设 a ∈ H N ， b ∈ H N ，那么 a = h 1 n 1 ， b = h 2 n 2 其中存在h 1 ，h 2 属于H，n 1 ，n 2 属于N。 故 a b = ( h 1 n 1 ) ( h 2 n 2 ) = h 1 ( n 1 h 2 ) n 2 ，又 N ⊲ G ，则 h 2 N = N h 2 从而 h 2 n ′ 1 = n 1 h 2 ( n ′ 1 ∈ N )，从而 a b = h 1 ( h 2 n ′ 1 ) n 2 = ( h 1 h 2 ) ( n ′ 1 n 2 ) 因为 H ≤ G ， N ⊲ G ，所以 h 1 h 2 ∈ H ， n ′ 1 n 2 ∈ N ，所以 a b ∈ H N 。 3) 任意 a ∈ H N ，存在 h ∈ H ， n ∈ N ，使得 ， a − 1 = ( h n ) − 1 = h − 1 n − 1 ， 由 N ⊲ G ，所以 h − 1 N = N h − 1 ， ( n 3 ∈ N ) 所以 a − 1 = h − 1 n − 1 = n 3 h − 1 ∈ H N ，所以由引理1.7可得 H N ≤ G 。 于是，我们得到了判定两个子群乘积是子群的一个充分条件： 定理2.1 [ 4 ] ：设G是一个群，假定H是群G的子群，N是G的不变子群，那么子群H与N的乘积HN是G的子群。 例3：在三次对称群群 S 3 中，设 H = { ( 1 ) ， ( 12 ) } ， N = { ( 1 ) ， ( 123 ) ， ( 123 ) } 为 S 3 的子群，则HN是 S 3 的子群。这是因为N是 S 3 的不变子群，由定理2.1知结论成立。 推论2.2：设G是一个群，假定H，N都是群G的不变子群，那么子群H与N的乘积HN是G的不变子群。 证明： 1) 因为 H ⊲ G ， N ⊲ G ，由定理2.1可推得 H N ≤ G 。 2) 设任意 m ∈ G ， k ∈ H N ，则 k = h n ， 其中存在h属于H，n属于N。则 m k m − 1 = m h n m − 1 。 因为N是群G的不变子群，H是群G的不变子群， 所以 N m − 1 = m − 1 N ， n m − 1 = m − 1 n ′ ，其中存在 n ′ 属于N。 m k m − 1 = m h m − 1 n ，其中存在mhm −1 属于H。 m k m − 1 ∈ H N ，从而 H N ⊲ G 。 一般情况下，一个群的子群与子群的乘积不一定是该群的子群，但是在一定的前提条件下，子群与子群的乘积可以是群的子群。引理1.8中，条件 H K = K H 是两个子群的乘积是子群的充分必要条件，那么三个子群的乘积是子群的判断条件是什么呢？ 定理2.3 设G是一个群，假定H，K，是群G的不变子群，L是群G的子群，则子群H、K和L的乘积HKL是G的子群。 证明： 1) 因为H、K、L是G 的子群，所以 e = e ⋅ e ⋅ e ∈ H K L ，所以 H K L ≠ ∅ 。 2) 因为 H ⊲ G ， K ⊲ G ，记 H K = N ，则任意 x ∈ N L ， y ∈ N L ， 则 x = n 1 l 1 ， y = n 2 l 2 ，其中存在n 1 ，n 2 属于N，l 1 ，l 2 属于L。 x y = ( n 1 l 1 ) ( n 2 l 2 ) = n 1 ( l 1 n 2 ) l 2 ，因为 H ⊲ G ， K ⊲ G ， 所以 x y = n 1 ( l 1 n 2 ) l 2 = n 1 ( n ′ 2 l ′ 1 ) l 2 = ( n 1 n ′ 2 ) ( l ′ 1 l 2 ) ∈ N L 其中存在 n ′ 1 属于N， l ′ 1 属于L。所以 x y ∈ N L 。 又 x − 1 = ( n 1 l 1 ) − 1 = l 1 − 1 n 1 − 1 = ( n 1 − 1 ) ′ ( l 1 − 1 ) ′ ∈ N L ，即 x − 1 ∈ N L ， 所以NL是G的子群，又因为 H K = N ，所以 H K L ≤ G 。 所以我们从定理2.3中可以得到一个推论 推论2.4设G是一个群，假定H，K，L是群G的三个不变子群，则子群H.K.N的乘积HKL是G的不变子群。 从上述定理2.3，推论2.4中，我们得出当群G中的三个子群之中存在两个或三个子群为不变子群时，它们的乘积是子群。那么，如果群G中的三个子群之中不存在不变子群时，它们的乘积可能是G的子群吗？ 例4：在三次对称群 S 3 中，设 H = { ( 1 ) ， ( 12 ) } ， K = { ( 1 ) ， ( 13 ) } ， L = { ( 1 ) ， ( 23 ) } ，则H、K、L都是 S 3 的子群，证明：子群 H与K、L的乘积HKL是 S 3 的子群。 解：因为 H K = { ( 1 ) ， ( 12 ) ， ( 13 ) ， ( 123 ) } ， H K L = { ( 1 ) ， ( 12 ) ， ( 13 ) ， ( 23 ) ， ( 123 ) ， ( 132 ) } = S 3 所以子群H与K、L的乘积HKL是的 S 3 子群。 例5：在四次对称群 中，设 H = { ( 1 ) ， ( 12 ) } ， K = { ( 1 ) ， ( 13 ) } ， L = { ( 1 ) ， ( 12 ) ( 34 ) ， ( 13 ) ( 24 ) ， ( 14 ) ( 23 ) } ，则H、K、L都是S4的子群，试问子群H与K、L的乘积HKL不是 S 4 的子群。 解：1) H K = { ( 1 ) ， ( 12 ) ， ( 13 ) ， ( 123 ) } ， H K L = { ( 1 ) ， ( 12 ) ， ( 13 ) ， ( 123 ) ， ( 12 ) ( 34 ) ， ( 13 ) ( 24 ) ， ( 34 ) ， ( 1432 ) ( 243 ) ，                       ( 1423 ) ， ( 24 ) ， ( 142 ) } ， 可以验证子群 H与K、L的乘积HKL不是 S 4 的子群。 我们从例4，例5中可知当群G中的三个子群之中不存在不变子群时，它们的乘积可能是G的子群也可能不是G的子群，那么当群G中的三个子群之中不存在不变子群时，它们的乘积是G的子群存在什么条件呢？ 定理2.5：设G是一个群，假定K，L都是群G的子群，H是群G的不变子群，且 K H = H K ，则子群H.K.L的乘积HKL是G的子群的充分必要条件是 H K L = L K H 。 证明： 1) 充分性 若 H K L = L K H ，于K、H是G的子群，且 K H = H K ， 由引理1.8知KH是G的子群，记 K H = N ，则由 H K L = L K H ， 知 N L = L N ，由引理1.8知NL是G的群，但 N L = K H L = H K L ， 故HKL是G的子群。 2) 必要性 若HKL是G的子群，记 H K = N ，由已知有 N ≤ G ， H ≤ G ， K H = H K ， 由引理1.8知，HK是G的子群，即N是G的子群， 于是N与L的乘积NL是G的子群，再由引理1.8知 N L = L N ， 从而 ( H K ) L = L ( H K ) ，即 H K L = L K H 。