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user: 3. 正周期解的存在性与稳定性 情形 h ≤ y * 定理3.1 若满足条件 h ≤ y * ，系统(1)存在一个唯一的阶-1周期解且是轨道渐近稳定。 证明：若条件 h ≤ y * 成立，则可得到关系： ( 1 − p ) h ≤ y * 。从而得到直线 y = h 位于 y = y * 和 y = ( 1 − p ) h 。 等倾线 I − α x y β + x − q x = 0 与两直线 y = h 和 y = ( 1 − p ) h 分别交于 C 0 和 B 。从 C 0 作一条垂直于 y = ( 1 − p ) h 的直线，并交于 C 。 C 1 为 C 的后继点， B 1 为 B 的后继点。根据轨迹的趋势可知， C 1 必定位于 C 的右边， B 1 必定位于 B 的左边。固有 x C 1 > x C 和 x B 1 < x B ，后继函数表达式为： g ( C ) = x C 1 − x C > 0 ， g ( B ) = x B 1 − x B < 0 ，因此必定存在一点 H 满足 g ( H ) = 0 ，由引理2.1知：系统(1)存在一个位于 C 和 B 之间的阶-1周期解。 接下来证明阶-1周期解的唯一性和轨道渐近稳定性。 根据上面分析知：轨迹从点 C 1 出发，交脉冲集 M 于点 C 2 ，接着跳到后继点 C 3 。根据轨迹的趋势，点 C 3 必定会位于 C 1 的右方；因此有： x C 3 > x C 1 。 从 C 3 出发的轨迹交脉冲集 M 于点 C 4 ，接着跳到后继点 C 5 ，而 C 5 必定位于 C 3 的右边，因此有 x C 5 > x C 3 。因此可得两个序列： x C ′ ， x C 2 ， x C 4 ， ⋯ ， x C 2 n ， ⋯ ∈ M ， x C 1 ， x C 3 ， x C 5 ， ⋯ ， x C 2 n − 1 ， ⋯ ∈ N . 类似地，从 B 1 开始的轨迹，也可得到两个序列： x B ' ， x B 2 ， x B 4 ， ⋯ ， x B 2 n ， ⋯ ∈ M ， x B 1 ， x B 3 ， x B 5 ， ⋯ ， x B 2 n − 1 ， ⋯ ∈ N . 根据系统(1)的前两个方程知：线段 C B 映射到线段 C ′ B ′ 。由于脉冲效应，线段 C ′ B ′ 映射到线段 C 1 B 1 。因而知道 ( x C ， x B ) ⊃ ( x C 1 ， x B 1 ) ，   d ( C ， B ) ⊃ d ( C 1 ， B 1 ) . 根据以上分析过程可知： x C 1 < x C 3 < ⋅ ⋅ ⋅ < x C 2 n − 1 < ⋅ ⋅ ⋅ < x H < x B 2 n − 1 < ⋅ ⋅ ⋅ < x B 3 < x B 1 ， lim n → ∞   d ( C 2 n − 1 ， B 2 n − 1 ) = 0 利用数学分析中的闭区间套定理知，系统(1)存在唯一的阶-1周期解，且满足： lim n → ∞   x C 2 n − 1 = x H ，   lim n → ∞   x B 2 n − 1 = x H . 在 H 足够小的邻域内，选取任意一点 Q 0 (不同于 H )，不失一般性，假设 x C < x Q 0 < x H (否则 x H < x Q 0 < x B ，证明方法同理)。 根据序列 { x C 2 n − 1 } 的单调性，必存在整数 l 使得： x C 2 l + 1 < x Q 0 < x C 2 l + 3 < x H 。 开始于 Q 0 的轨迹与脉冲集 M 相遇后跳到点 Q 1 (相互独立的轨迹不会相交)，因此 Q 1 必定位于 C 2 l + 3 与 C 2 l + 5 之间，且有 x C 2 l + 3 < x Q 1 < x C 2 l + 5 。 Q 1 的后继点表示为 Q 2 ， Q 2 必定位于 C 2 l + 5 与 C 2 l + 7 之间，且满足 x C 2 l + 5 < x Q 2 < x C 2 l + 7 。根据以上分析过程，得到序列： { Q k } ∈ N ， k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ 满足以下条件： 1) Q k 位于 C 2 l + 2 k + 1 与 C 2 l + 2 k + 3 之间； 2) x C 2 l + 2 k + 1 < x Q k < x C 2 l + 2 k + 3 。 因此， lim k → ∞   x C k 1 = lim k → ∞ x C 2 l + 2 k + 1 = x H 。 综上，由于连续脉冲效应，相点的后继点都被吸引到 H 周围，而由 Q 0 的任意性可知，系统(1)的阶-1周期解为轨道渐近稳定。 完证。 情形2 h ≥ y * 考虑到系统相空间的几何构建，有一个轨道 τ 交 N 于 D 1 ， D 2 ( x 1 < x 2 ) ，并与 M 交于 D 3 ，其中 D 1 ( x 1 ， ( 1 − q ) h ) ， D 2 ( x 2 ， ( 1 − q ) h ) 。所以对于系统(1)始于 E 1 ( x ， ( 1 − p ) h ) 的轨道不会与 M 相交。 假若系统(1)有一个轨道从 E ( x ˜ ， ( 1 − q ) ) ( x ˜ ∈ ( 0 ， x ˜ 2 ) ∪ { x ˜ 1 } ) 由于脉冲效应会与 Σ h 相交无数次，其中 h ≥ y * 。假设 O + ( E ， t 0 ) 与 Σ h 交于 ( x 0 ， h ) ( x 0 ∈ ( 0 ， x * ) ) 。由于脉冲效应可知： x 1 = F ( q ， x 0 ) ， x 2 = F ( q ， x 0 ) 。重复以上的过程得到， x n + 1 = F ( q ， x n )   ( n = 1 ， 2 ， ⋯ ) 。另一方面，对于 Σ h 上的任意两点 A i ( x i ， h ) 和 A j ( x j ， h ) ， x i 和 x j 满足： x i ， x j ∈ ( 0 ， x * ) 且 x i < x j 。由于脉冲效应，点 A i + ( ( 1 + p ) x i ， ( 1 − q ) h ) ， A j + ( ( 1 + p ) x j ， ( 1 − q ) h ) 均在 D 2 的右侧。因此，可得 0 < x j + 1 < x i + 1 < x * (2) 假设轨道始于 E 1 ( x ， ( 1 − p ) h ) ，与 Σ h 第一次相交于 E 2 ( x 0 ， h ) ， x 0 ∈ ( 0 ， x * ] ，若 x 0 = x * 和 x = ( 1 + q ) x 0 ，则系统(1)有正阶-1周期解。且对于任意从 O + ( E 1 ， t 0 ) 出发的轨道都不会与 Σ h 相交。因此，从 Σ h 的庞加莱映射，得出 x 1 = F ( q ， x 0 ) ， x 2 = F ( q ， x 0 ) 。重复上面的过程，得到： x n + 1 = F ( q ， x n )   ( n = 3 ， 4 ， ⋯ ) 。特别地，若 x 0 = x 1 ，则系统(1)有正阶-1周期解；若 x 0 ≠ x 1 ，且 x 0 = x 2 ，则系统(1)有阶-2周期解。 (a) 若 x 0 < x 1 ，由(2)得 x 1 > x 2 ，在这种情形下， x 0 ， x 1 ， x 2 的关系有如下两种情况： (i) x 2 < x 0 < x 1 若 x 2 < x 0 < x 1 ，则有 x 3 > x 1 > x 2 。由(2)重复以上的过程得到： 0 < ⋯ < x 2 n < ⋯ < x 2 < x 0 < x 1 < ⋯ < x 2 n + 1 < ⋯ < x * . (ii) x 0 < x 2 < x 1 若 x 0 < x 2 < x 1 ，类比(i)，得到： x 0 < x 2 < ⋯ < x 2 n < ⋯ < x 2 n + 1 < ⋯ < x 3 < x 1 < x * . (b) 若 x 0 > x 1 ，由(2)可得 x 1 < x 2 ，这种情形下， x 0 ， x 1 ， x 2 的关系有如下两种： (i) x 1 < x 0 < x 2 若 x 1 < x 0 < x 2 ，则有 x 2 > x 1 > x 3 ，由(2)，并重复以上过程得到： 0 < ⋯ < x 2 n + 1 < ⋯ < x 1 < x 0 < x 2 < ⋯ < x 2 n < ⋯ < x * . (ii) x 1 < x 2 < x 0 若 x 1 < x 2 < x 0 ，类比(i)得到： 0 < x 1 < ⋯ < x 2 n + 1 < ⋯ < x 2 n < ⋯ < x 2 < x 0 < x * . 因此，当出现情形(a)中的(i)时可知： lim n → ∞ x 2 n = ρ 2 ， lim n → ∞ x 2 n + 1 = ρ 1 ，且满足： 0 < ρ 2 < ρ 1 < x * 。因此， 可得 ρ 1 = F ( q ， ρ 2 ) 和 ρ 2 = F ( q ， ρ 1 ) ，也易得到，系统(1)有一个阶-2轨道渐近稳定的正周期解。类似地，当出现(a)中的(ii)和(b)中的(ii)这两种情形时，系统(1)有一个阶-1轨道渐近稳定周期解；当出现(b)中的(i)时，系统(1)有一个阶-2轨道渐近稳定周期解。