system: [SYSTEM]

user: 3. 鲁棒最优解集的刻画 (UFP)的伪Lagrange型函数 [ 16 ] 定义为： L p ( x ， y ， μ ， λ j ， u ， v ， w j ) = f ( x ， u ) + μ ( − g ) ( x ， v ) + ∑ j ∈ J ( y ) λ j h j x ∘ ( y ， w j ; x − y ) ，     x ∈ R n . 其中， μ = max u ∈ U f ( x ， u ) min v ∈ V g ( x ， v ) ， y ∈ R n ， λ j ≥ 0 ， u ∈ U ， v ∈ V ， w j ∈ W j ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 。 定理3.1设 x ¯ ∈ S 是(UFP)的鲁棒最优解，(RSCQ)在 x ¯ 处成立，设 μ ¯ = max u ∈ U f ( x ¯ ， u ) min v ∈ V g ( x ¯ ， v ) ，则 ∃ λ ¯ j ≥ 0 ， u ¯ ∈ U ， v ¯ ∈ V ， w ¯ j ∈ W j 和 j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 满足： λ ¯ j h j x ∘ ( x ¯ ， w ¯ j ; x − x ¯ ) = 0 ，     ∀ j ∈ J ( x ¯ ) ;     f ( x ， u ¯ ) g ( x ， v ¯ ) = max u ∈ U f ( x ， u ) min v ∈ V g ( x ， v ) ，     ∀ x ∈ S ; 且 L p ( ⋅ ， x ¯ ， μ ¯ ， λ ¯ j ， u ¯ ， v ¯ ， w ¯ j ) 在S上是常数。 证明： x ¯ ∈ S 是(UFP)的鲁棒最优解，则有 x ¯ 是(UFP)鲁棒最优解当且仅当 x ¯ 是如下问题的鲁棒最优解 [ 15 ]： min x ∈ R n { max u ∈ U ， v ∈ V { f ( x ， u ) + μ ¯ ( − g ) ( x ， v ) } : x ∈ C ; h j ( x ， w j ) ≤ 0 ， ∀ w j ∈ W j ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m } . 对 ∀ x ∈ R n ，令 ϕ ( x ) = max u ∈ U ， v ∈ V { f ( x ， u ) + μ ¯ ( − g ) ( x ， v ) } . 因 f ( ⋅ ， u ) 对 ∀ u ∈ U 是连续凸函数， g ( ⋅ ， v ) 对 ∀ v ∈ V 是连续凹函数，故 ϕ ( x ) 是连续凸函数。 由引理2.1知： 0 ∈ ∂ ( ϕ + δ F ) ( x ¯ ) = ∂ ϕ ( x ¯ ) + ∂ δ F ( x ¯ )                                                   = ∪ ( u ¯ ， v ¯ ) ∈ U ′ ( x ¯ ) × V ′ ( x ¯ ) { ∂ f ( ⋅ ， u ) ( x ¯ ) + μ ¯ ( − g ) ( ⋅ ， v ) ( x ¯ ) } + ∂ δ F ( x ¯ ) 其中 ( u ¯ ， v ¯ ) ∈ U ′ ( x ¯ ) × V ′ ( x ¯ ) : = { ( u ， v ) ∈ U × V : f ( x ¯ ， u ) + μ ¯ ( − g ) ( x ¯ ， v ) = ϕ ( x ¯ ) } 。 由(RSCQ)在 x ¯ 处成立得， ∃ λ ¯ j ≥ 0 ， u ¯ ∈ U ， v ¯ ∈ V ， w ¯ j ∈ W j 满足： 0 ∈ ∂ f ( ⋅ ， u ) ( x ¯ ) + μ ¯ ( − g ) ( ⋅ ， v ) ( x ¯ ) + ∂ δ C ( x ¯ ) + ∑ j ∈ J ( x ¯ ) λ ¯ j ∂ ∘ h j ( ⋅ ， w ¯ j ) ( x ¯ ) ∈ ∂ f ( ⋅ ， u ) ( x ¯ ) + μ ¯ ( − g ) ( ⋅ ， v ) ( x ¯ ) + ∂ δ C ( x ¯ ) + ∑ j ∈ J ( x ¯ ) λ ¯ j ∂ h j x ∘ ( x ¯ ， w ¯ j ; ⋅ − x ¯ ) ( x ¯ ) ⊆ ∂ L p ( ⋅ ， x ¯ ， μ ¯ ， λ ¯ j ， u ¯ ， v ¯ ， w ¯ j ) ( x ¯ ) . (1) f ( x ¯ ， u ¯ ) + μ ¯ ( − g ) ( x ¯ ， v ¯ ) = ϕ ( x ¯ ) = max u ∈ U ， v ∈ V { f ( x ¯ ， u ) + μ ¯ ( − g ) ( x ¯ ， v ) } . (2) λ ¯ j h j ( x ¯ ， w ¯ j ) = 0. (3) 由(2)式得 [ 15 ]： f ( x ¯ ， u ¯ ) g ( x ¯ ， v ¯ ) = max u ∈ U f ( x ¯ ， u ) min v ∈ V g ( x ¯ ， v ) = μ ¯ . (4) 由次微分定义和(1)，(2)式得： f ( x ¯ ， u ¯ ) + μ ¯ ( − g ) ( x ¯ ， v ¯ ) + ∑ j ∈ J ( x ¯ ) λ ¯ j h j x ∘ ( x ¯ ， w ¯ j ; x − x ¯ ) ≥ f ( x ¯ ， u ¯ ) + μ ¯ ( − g ) ( x ¯ ， v ¯ ) = max u ∈ U ， v ∈ V { f ( x ¯ ， u ) + μ ¯ ( − g ) ( x ¯ ， v ) } ，     ∀ x ∈ R n . (5) 对 ∀ x ， x ¯ ∈ S 有： max u ∈ U ， v ∈ V { f ( x ， u ) + μ ¯ ( − g ) ( x ， v ) } = max u ∈ U ， v ∈ V { f ( x ¯ ， u ) + μ ¯ ( − g ) ( x ¯ ， v ) } . (6) 由(5)，(6)式得： ∑ j ∈ J ( x ¯ ) λ ¯ j h j x ∘ ( x ¯ ， w ¯ j ， x − x ¯ ) ≥ 0 ，       ∀ x ¯ ∈ S . (7) 当 λ ¯ j > 0 时，由(3)式得： h j ( x ¯ ， w ¯ j ) = 0. 对于 j ∈ J ( x ¯ ) 结合上式得： h j ( x ¯ ， w ¯ j ) = 0 = max w j ∈ W j h j ( x ¯ ， w j ) . 故， w ¯ j ∈ W ¯ j ( x ¯ ) 。 此时由引理2.2得，对于 ∀ j ∈ J ( x ¯ ) ， ∀ w ¯ j ∈ W ¯ j ( x ¯ ) ， ∀ x ∈ F 有： λ ¯ j h j x ∘ ( x ¯ ， w ¯ j ; x − x ¯ ) ≤ 0. 由上式和(7)式得： λ ¯ j h j x ∘ ( x ¯ ， w ¯ j ; x − x ¯ ) = 0 ，     ∀ j ∈ J ( x ¯ ) . (8) 下证： f ( x ， u ¯ ) g ( x ， v ¯ ) = max u ∈ U f ( x ， u ) min v ∈ V g ( x ， v ) ，     ∀ x ∈ S . (9) 对 ∀ x ， x ¯ ∈ S 得： f ( x ， u ¯ ) g ( x ， v ¯ ) ≤ max u ∈ U f ( x ， u ) min v ∈ V g ( x ， v ) = max u ∈ U f ( x ¯ ， u ) min v ∈ V g ( x ¯ ， v ) = μ ¯ . 由上式得： f ( x ， u ¯ ) + μ ¯ ( − g ) ( x ， v ¯ ) ≤ 0. (10) 对 ∀ x ∈ S ，结合(4)，(5)，(8)式得： f ( x ， u ¯ ) + μ ¯ ( − g ) ( x ， v ¯ ) ≥ 0. 由上式和(10)式得： f ( x ， u ¯ ) + μ ¯ ( − g ) ( x ， v ¯ ) = 0. (11) 故， f ( x ， u ¯ ) g ( x ， v ¯ ) = μ ¯ = max u ∈ U f ( x ¯ ， u ) min v ∈ V g ( x ¯ ， v ) = max u ∈ U f ( x ， u ) min v ∈ V g ( x ， v ) . 由上式可知，(9)式成立。 对 ∀ x ∈ S ，由(8)式和(11)式得： L p ( x ， x ¯ ， μ ¯ ， λ ¯ j ， u ¯ ， v ¯ ， w ¯ j ) = f ( x ， u ¯ ) + μ ¯ ( − g ) ( x ， v ¯ ) + ∑ j ∈ J ( x ¯ ) λ ¯ j h j x ∘ ( x ¯ ， w ¯ j ; x − x ¯ ) = f ( x ， u ¯ ) + μ ¯ ( − g ) ( x ， v ¯ ) = 0. 故 L p ( ⋅ ， x ¯ ， μ ¯ ， λ ¯ j ， u ¯ ， v ¯ ， w ¯ j ) 在S上是常数。 注1：若 h j ( ⋅ ， w j ) ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 对 ∀ w j ∈ W j 是凸函数，则对 ∀ j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ，由定理3.1可得： λ ¯ j h j ( x ， w ¯ j ) − λ ¯ j h j ( x ¯ ， w ¯ j ) ≥ λ ¯ h ′ j x ( x ¯ ， w ¯ j ; x − x ¯ ) = λ ¯ h j x ∘ ( x ¯ ， w ¯ j ; x − x ¯ ) = 0 ，     x ∈ S . 对 x ∈ F ，由上式和 λ ¯ j h j ( x ¯ ， w ¯ j ) = 0 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ，得： 且对 有： 这就说明伪Lagrange型函数 是文献 [ 15 ] 中Lagrange型函数。 注2：当 关于 是连续的凸–凹函数时，定理3.1推广了文献 [ 15 ] 中的命题2；当 ，定理3.1推广了文献 [ 16 ] 中命题2。 下面利用给定的(UFP)的一个鲁棒最优解对(UFP)的鲁棒最优解集进行刻画。 定理3.2 设 是(UFP)的鲁棒最优解，(RSCQ)在 处成立，设 ，则 满足 ，其中， 证明：首先证明 ，令 ，则 。由(1)式知 及 满足： (12) 由次微分和广义次微分定义得： (13) (14) (14)式两边同乘 ，联合(8)式得： (15) 由(12)，(13)，(15)式得： 令 ，则 ， 且 (16) 对 ，由(4)式和(11)式得： (17) 由(16)，(17)式得： 故， 。 下证： 。 事实上 有： 由(17)式得： 因此， ，从而： 故 得证。 下证 ，对 有 ，得： (18) 由(4)式和(18)式得： 由上式得： 故对 有： 此时由 ， ，得： 。 故 得证。 注3：当 关于 是连续的凸–凹函数时，定理3.2推广了文献 [ 15 ] 中定理3.6；当 ，定理3.2推广了文献 [ 16 ] 中定理4.1。