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user: 2. 收得率预测评判标准 预测C、Mn两种元素的收得率并且使之预测准确率最大限度地提高 [ 2 ]。通过阅读文献知，需定义一个控制区间定理来评判预测准确率，最后通过仿真实验来检验预测模型的好坏。 规定控制区间定理是指已知某合金元素含量达标范围为 [ a % ， b % ] ，若预测出该合金元素含量在 [ a % + b % 2 − b % − a % 4 ， a % + b % 2 + b % − a % 4 ] 区间内，则该预测值准确率达到90%以上，若预测值接近于 a % + b % 2 ，则该预测值准确率趋于100%。 给出具体评判预测准确率方法后，通过建立BP神经网络和拟合两种模型分别预测某种合金元素i的收得率，根据如下公式求出某种合金元素i含量；再利用控制区间定理，来判定某种合金元素i含量是否达到国家标准要求。 合 金 元 素     i     量 = 目 标 出 钢 含 量     i − 吹 止 成 分     i 元 素     i     收 得 率 × ( 钢 水 净 重 − 合 金 总 质 量 ) 2.1. BP神经网络的C、Mn收得率预测模型建立 BP神经网络是一种非线性动力系统，包含输入层、隐含层、输出层三层单元。设输入向量为 X = ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ) T ，隐含层输出向量为 Y = ( y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y m ) T ，输出层输出向量为 G = ( g 1 ， g 2 ， ⋯ ， g k ) T ，则有期望输出向量为 D = ( d 1 ， d 2 ， ⋯ ， d l ) T ，输出层到隐含层之间的权值矩阵用V表示， V = ( v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v m ) ，其中列向量 v m 为隐含层第m个神经元对应的权向量，隐含层到输出层之间的权值矩阵用W表示， W = ( w 1 ， w 2 ， ⋯ ， w i ) ，其中列向量 w i 为输出层第i个神经元对应的权向量 [ 3 ]。 { G j = f ( n e t j ) ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ，   输 入 层 n e t j = ∑ i = 0 m ω i j g i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ，   隐 含 层 f ( x ) = 1 1 + e − x ，   转 移 函 数 f ′ ( x ) = f ( x ) [ 1 − f ( x ) ] 其中，转移函数 f ( x ) 均为单极性Sigmoid函数， f ( x ) 具有连续性可导性。 网络误差的定义与权值更新 [ 4 ]。当网络输出与期望输出不等时，存在输出误差E，给出定义如下： E = 1 2 ( D − G ) 2 = 1 2 ∑ i = 1 k ( d i − g i ) 2 (1) 将以上误差定义式展开至隐含层，有： E = 1 2 ∑ i = 1 k [ d i − f ( n e t i ) ] 2 = 1 2 ∑ i = 1 k [ d i − f ( n e t i = ∑ i = 0 m w i j g i ) ] 2 (2) 进一步展开至输入层，有： E = 1 2 ∑ i = 1 k { d i − f [ ∑ i = 0 m w i j f ( n e t i ) ] } 2 = 1 2 ∑ i = 1 k { d i − f [ ∑ i = 0 m w i j f ( ∑ i = 0 n v i j g i ) ] } 2 (3) 由上式可以得出，网络误差是各层权值 w i j ， v i m 的函数，因此调整权值可改变误差E。 显然，调整权值的原则是使误差不断地减小，因此应使权值的调整量与误差地梯度下降成正比，即： Δ w i j = − η ∂ E ∂ w i j ， i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n ; j = 1 ， 2 ， ⋯ ， k Δ v m i = − η ∂ E ∂ v m i ， m = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， l ; i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n (4) 式中，负号表示梯度下降，常数 η ∈ ( 0 ， 1 ) 表示比例系数，在训练中反映了学习速率 [ 5 ]。 2.2. BP神经网络的C、Mn收得率预测模型求解 由问题一求出C，Mn收得率的数据组，将数据组分成90%的训练集，构建出三层网络层 [ 6 ] ；输入向量为 X = ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ) T ，隐含层输出向量为 Y = ( y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y m ) T ，输出层输出向量为 G = ( g 1 ， g 2 ， ⋯ ， g k ) T 。 任意100炉次中Mn收得率的真实值与预测值见图1： 图1. Mn的真实值与预测值对比图 该模型对100炉终点成分Mn的预测值均达到85%以上，部分预测值超过了95%，甚至趋于100%；同时，可得出Mn的100组误差值，部分误差值趋于零，95%以上的误差值不超过区间 [ − 0.1 ， 0.1 ] ，但有个别误差点小于−0.1，因此，仍可通过仿真预测进一步优化预测值。 任意100炉次中C收得率的真实值与预测值见图2： 图2. C的真实值与预测值对比图 该模型对100炉的终点成分C的预测值大部分达到85%以上，少数预测值超过了87%，另外，可得出C的100组误差值，大部分误差值趋于零，所有误差值均不超过区间 [ − 0.1 ， 0.1 ] 。 2.3. 拟合的C、Mn收得率预测模型求解 从历史收得率中随机抽取10组数据进行拟合分析，见表1： Table 1 10 group year (year) and yield (% 1678 1640 1651 1656 1661 1668 1693 1651 1672 1647 0.865 0.951 0.945 0.876 0.941 0.917 0.937 0.926 0.930 0971 表1. 10组年份(年)与收得率(%) 设曲线拟合函数为： y = a 1 + a 2 x + ⋯ + a n x n − 1 (5) 若使残差的平方和最小，在近似值贴近于真实值，故有： ∑ i n δ i 2 = min 可先选定一组函数 r 1 ( x ) ， r 2 ( x ) ， ⋯ ， r m ( x ) ， m < n ，特别地，取 { r 1 ( x ) ， r 2 ( x ) ， ⋯ ， r m ( x ) } = { 1 ， x ， x 2 ， ⋯ ， x m − 1 } (6) 令 φ ( x ) = a 1 r 1 ( x ) + a 2 r 2 ( x ) + ⋯ + a m r m (x) 确定 a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a m ，使得 J ( a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a m ) = ∑ i n δ i 2 = ∑ i n [ φ ( x i ) − y i ] 2 = ∑ i n [ ∑ k = 1 m a k r k ( x i ) − y i ] 2 (7) 要使 J ( a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a m ) 最小，即对它求偏导数： ∂ J ∂ a k = 0 ( k = 1 ， ⋯ ， m ) (8) 矩阵形式为： ( ( r 1 ， r 1 ) ( r 1 ， r 2 ) ⋯ ( r 1 ， r m ) ( r 2 ， r 1 ) ( r 2 ， r 2 ) ⋯ ( r 2 ， r m ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ( r m ， r 1 ) ( r m ， r 2 ) ⋯ ( r m ， r m ) ) ( a 1 a 2 ⋮ a m ) = ( ( y ， r 1 ) ( y ， r 2 ) ⋮ ( y ， r m ) ) 若记 Q = [ r 1 ( x 1 ) ⋯ r m ( x 1 ) ⋮ ⋱ ⋮ r 1 ( x n ) ⋯ r m ( x n ) ] ， a = [ a 1 ⋮ a 2 ] ， y = [ y 1 ⋮ y n ] 此时正则方程组为： ( Q T Q ) a = Q T y 。 图3. 两影响因子与C收得率的三维关系示意图 从而有两影响因子与C收得率的三维关系，见图3，因此可得出预测收得率，取出任意十组C的预测值分析，给出如下表格，见表2： Table 2 C element fitting predicted value and true value analysi 温度(℃) 1678 1640 1651 1656 1661 1667 1693 1681 1672 1647 预测值(%) 0.829 0.951 0.946 0.876 0.941 0.917 0.937 0.926 0.930 0.971 表2. C元素拟合预测值与真实值分析 结论：十组预测数据中碳的收得率最低值为0.829377，最高值为0.971045，预测率在82%以上，所以拟合的预测效果比BP神经网络预测更差 [ 7 ]。 根据影响Mn收得率的两大因子转炉终点温度和转炉终点C，以温度为x轴，转炉终点C为y轴，收得率为z轴，得出三维空间关系图如下，见图4： 图4. 两因素与Mn收得率的三维关系示意图 因此可得出预测收得率，取出任意十组Mn收得率分析，给出如下表格，见表3： Table 3 Mn element fitting prediction value and true value analysi 温度(℃) 1684 1663 1705 1639 1571 1710 1692 1645 1668 1655 预测值(%) 0.937 0.943 0.950 0.894 0.846 0.912 0.920 0.931 0.941 0.951 表3. Mn元素拟合预测值与真实值分析 结论：十组预测数据中锰的收得率最低值为0.845525，最高值为0.951274，预测率在82%以上，所以拟合的预测效果比BP神经网络预测更差。