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user: 3. 一类Liénard系统的阿贝尔积分零点个数上限 多项式Liénard系统 x ˙ = y ， y ˙ = − g ( x ) + ε f ( x ) y ， (1) 其中 deg ( g ( x ) ) = m 和 deg ( f ( x ) ) = n ，上述系统成为系统 ( m ， n ) 的Liénard系统。 本论文研究类型为(4，3)的Liénard系统 x ˙ = y ， y ˙ = x ( x + 3 ) 2 ( x − 1 2 ) + ε ( a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + x 3 ) y ， (2) 其中 0 < ε ≪ 1 ， a 0 ， a 1 ，和 a 2 是有界实参数，对应的Hamiltonian函数是 H ( x ， y ) = 1 2 y 2 − 1 5 x 5 − 11 8 x 4 − 2 x 3 + 9 4 x 2 = 1 2 y 2 + A ( x ) ， (3) Hamiltonian函数(1.3)的水平集 H ( x ， y ) (即 H ( x ， y ) = h )在图 H ( x ， y ) 进行了概述。 H ( x ， y ) = h 定义系统(2) | ε = 0 的闭合轨道族，用 { L h } 表示。 L 0 是 h s = 0 的对应轨道， L 1 是 h 1 = H ( 1 ， 0 ) 的对应轨道， L 2 是 h 2 ∈ ( h s ， h 1 ) 的对应轨道。它陈述了一个基本中心(0，0)， L 0 定义了一个同宿轨道，该轨道包含一个通过 双曲线鞍点(0.5，0)，其中间有一族围绕中心点(0，0)的周期轨道，见图1。由于 L 1 与 L 2 平行讨论， L h 上的Melnikov函数为 I ( h ， δ ) = ∮ L h ( a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + x 3 ) d x ≡ a 0 I 0 ( h ) + a 1 I 1 ( h ) + a 2 I 2 ( h ) + I 3 ( h ) ， (4) 对于 h ∈ ( h 1 ， 0 ) ，其中 δ = ( a 0 ， a 1 ， a 2 ， 1 ) 和 I i ( h ) = ∮ L h x i y d x ， i = 0 ， 1 ， 2 ， 3 。我们旨在提供整个平面内受扰 动系统极限环环数的完整描述。 图1. 系统(8)中当ε = 0时的相图 引理2.1设 F ( x ) 是关于x的一元函数，并且满足 F ( x ) A ′ ( x ) 在 x = 0 处解析，对于任意 k ∈ N ，沿着 1 2 y 2 + A ( x ) = h 的每条轨线 L h ，如下等式成立 ∮ L h F ( x ) y k − 2 d x = ∮ L h G ( x ) y k d x ， (5) 其中 G ( x ) = 1 k ( F ( x ) A ′ ( x ) ) ′ ( x ) 。 阿贝尔积分零点个数的切比雪夫性质的代数判定方法最初的思想来源于文献 [ 5 ]，后来在文献 [ 8 ] 中得到推广和发展。 I ( h ， δ ) 的零点最小上限计算如下： 在每条轨道 L h 上有 2 A ( x ) + y 2 2 h = 1 成立，即 I i ( h ) = 1 2 h ∮ L h ( 2 A ( x ) + y 2 ) x i y d x = 1 2 h ( ∮ L h 2 x i A ( x ) y d x + ∮ L h x i y 3 d x ) ， i = 0 ， 1 ， 2 ， 3 (6) 令 k = 3 和 F ( x ) = 2 x i A ( x ) ，根据引理2.1，可得 ∮ L h 2 x i A ( x ) y d x = ∮ L h G i ( x ) y 3 d x ， (7) 其中， G i ( x ) = 1 3 ( 2 x i A ( x ) A ( x ) ) ′ ( x ) = 1 30 ( 16 i x 5 + 150 i x 4 + 16 x 5 + 411 i x 3 + 128 x 4 + 55 i x 2 + 349 x 3 − 690 i x + 345 x 2 + 270 i − 570 x + 270 ) x i ( x + 3 ) 3 ( 2 x − 1 ) 2 ， 根据(6)式和(7)式，以及在每条轨道 L h 上有 ( 2 A ( x ) + y 2 ) / 2 h = 1 成立，可得 I i ( h ) = 1 2 h ∮ L h ( x i + G i ( x ) ) y 3 d x = 1 4 h 2 ∮ L h ( 2 A ( x ) + y 2 ) ( x i + G i ( x ) ) y 3 d x = 1 4 h 2 ∮ L h 2 A ( x ) ( x i + G i ( x ) ) y 3 d x + 1 4 h 2 ∮ L h ( x i + G i ( x ) ) y 5 d x ， (8) 取 k = 5 和 F ( x ) = 2 x i A ( x ) ( x i + G i ( x ) ) ，然后由引理2.1，可得 ∮ L h 2 A ( x ) ( x i + G i ( x ) ) y 3 d x = ∮ L h H i ( x ) y 5 d x ， (9) 其中， H i ( x ) = 1 5 ( 2 A ( x ) ( x i + G i ( x ) ) A ( x ) ) ′ ( x ) = x i h i ( x ) 1500 ( x + 3 ) 6 ( 2 x − 1 ) 4 ， h i ( x ) = 256 i 2 x 10 + 4800 i 2 x 9 + 2432 i x 10 + 35652 i 2 x 8 + 41904 i x 9 + 2176 x 10 + 125060 i 2 x 7 + 286788 i x 8 + 34816 x 9 + 163341 i 2 x 6 + 942994 i x 7 + 225528 x 8 − 153150 i 2 x 5 + 1254576 i x 6 + 736828 x 7 − 483155 i 2 x 4 − 609540 i x 5 + 1127383 x 6 + 146040 i 2 x 3 − 2774260 i x 4 + 117090 x 5 + 505800 i 2 x 2 + 265620 i x 3 − 1715565 x 4 − 372600 i 2 x + 2792250 i x 2 − 720660 x 3 + 72900 i 2 − 1863000 i x + 2415150 x 2 + 364500 i − 1360800 x + 291600. 根据(8)式和(9)式，以及在每条轨道 L h 上有 2 A ( x ) + y 2 2 h = 1 成立，于是可得到 I i ( h ) = 1 4 h 2 ∮ L h ( x i + G i ( x ) + H i ( x ) ) y 5 d x = 1 8 h 3 ∮ L h ( 2 A ( x ) + y 2 ) ( x i + G i ( x ) + H i ( x ) ) y 5 d x = 1 8 h 3 ∮ L h 2 A ( x ) ( x i + G i ( x ) + H i ( x ) ) y 5 d x + 1 8 h 3 ∮ L h ( x i + G i ( x ) + H i ( x ) ) y 7 d x 令 k = 7 和 F ( x ) = 2 A ( x ) ( x i + G i ( x ) + H i ( x ) ) ，然后由引理2.1，可知 ∮ L h 2 A ( x ) ( x i + G i ( x ) + H i ( x ) ) y 5 d x = ∮ L h J i ( x ) y 7 d x ， 其中， J i ( x ) = 1 7 ( 2 A ( x ) ( x i + G i ( x ) + H i ( x ) ) A ( x ) ) ′ ( x ) = x i ρ i ( x ) 105000 ( x + 3 ) 9 ( 2 x − 1 ) 6 ， ρ i ( x ) = ( 4096 i 3 x 15 + 15200 i 3 x 15 + 94208 i 2 x 15 + 1395648 i 3 x 13 + 2503168 i 2 x 14 + 560128 i x 15 + 9335640 i 3 x 12 + 28649792 i 2 x 13 + 14089344 i x 14 + 470016 x 15 + 36112788 i 3 x 11 + 181465336 i 2 x 12 + 152768320 i x 13 + 11280384 x 14 + 72168390 i 3 x 10 + 669531740 i 2 x 11 + 919613680 i x 12 + 117359040 x 13 + 20004591 i 3 x 9 + 1308526078 i 2 x 10 + 3251024160 i x 11 + 685126464 x 12 − 200762865 i 3 x 8 + 539364641 i 2 x 9 + 62398910061 i x 10 + 2396865384 x 11 − 255940245 i 3 x 7 − 2807598755 i 2 x 8 + 3302667053 i x 9 + 4782729240 x 10 + 253132885 i 3 x 6 − 3940734715 i 2 x 7 − 10133912955 i x 8 + 3661451745 x 9 + 453218850 i 3 x 5 + 2713195035 i 2 x 6 − 15842479175 i x 7 − 4771724985 x 8 − 345604050 i 3 x 4 + 6055453350 i 2 x 5 + 7112061455 i x 6 − 10993992825 x 7 − 300102300 i 3 x 3 − 3537724950 i 2 x 4 + 21557692050 i 1 x 5 + 430104825 x 6 + 397669500 i 3 x 2 − 4016247300 i 2 x 3 − 8867903850 i x 4 + 13819922550 x 5 − 150903000 i 3 x + 4611046500 i 2 x 2 − 15141276000 i x 3 − 258636150 x 4 + 19683000 i 3 − 1677429000 i 2 x + 14933808000 i x 2 − 13565264400 x 3 + 216513000 i 2 − 5183190000 i x + 10574874000 x 2 + 669222000 i − 3446712000 x + 472392000 ) . 根据以上的计算，可以得到以下结论： 8 h 3 I i ( h ) = ∮ L h f i ( x ) y 7 d x = I ˜ i ( h ) ， 其中 f i ( x ) = x i + G i ( x ) + H i ( x ) + J i ( x ) ，显然如果 { I 0 ， I 1 ， I 2 ， I 3 } 是精度为k的切比雪夫系统，当且 { I ˜ 0 ， I ˜ 1 ， I ˜ 2 ， I ˜ 3 } 也是精度为k的切比雪夫系统。 下面证明 { I ˜ 0 ， I ˜ 1 ， I ˜ 2 ， I ˜ 3 } 也是精度为k的切比雪夫系统，讨论以下： L i ( x ) = ( f i A ′ ( x ) ) ( x ) − ( f i A ′ ( x ) ) ( z ( x ) ) ， 这里的 z ( x ) 是满足 A ( x ) = A ( z ( x ) ) 得到： A ( x ) − A ( z ) = − 1 40 ( x − z ) q ( x ， z ) ， 其中 q ( x ， z ) = 8 x 4 + 8 x 3 z + 8 x 2 z 2 + 8 x z 3 + 8 z 4 + 55 x 3 + 55 x 2 z + 55 x z 2 + 55 z 3 + 80 x 2 + 80 x z + 80 z 2 − 90 x − 90 z ， 它在 ( 0 ， 1 2 ) 上定义了 z ( x ) ，因此， d d x l i ( x ) = d d x ( f i A ′ ( x ) ) ( x ) − d d x [ ( f i A ′ ( x ) ) ( z ( x ) ) ] × d z d x ， (10) 并且 d z d x = − ∂ q ( x ， z ) ∂ x / ∂ q ( x ， z ) ∂ z ，取 x ∈ ( 0 ， 1 2 ) ，那么 x r < z < 0 < x < 1 2 。 借助符号计算系统Maple.18，存在以下引理： 引理2.2如下结论成立 1) W [ L 1 ( x ) ] ≠ 0 ， x ∈ ( 0 ， 1 2 ) ； 2) W [ L 1 ( x ) ， L 2 ( x ) ] ≠ 0 ， x ∈ ( 0 ， 1 2 ) ； 3) W [ L 1 ( x ) ， L 2 ( x ) ， L 0 ( x ) ] ≠ 0 ， x ∈ ( 0 ， 1 2 ) ； 4) W [ L 1 ( x ) ， L 2 ( x ) ， L 0 ( x ) ， L 3 ( x ) ] ≠ 0 ， x ∈ ( 0 ， 1 2 ) 。 上面四个朗斯基行列式皆为关于 ( x ， z ) 的二元函数，并且 ( x ， z ) 满足 q ( x ， z ) = 0 ，此时 x ∈ ( 0 ， 1 2 ) ， x r < z ( x ) < 0 。 x r ≈ − 0.28479822167 .因此，想要知道上述朗斯基行列式在 ( 0 ， 1 2 ) 上是否存在零点，我们只用去研究以上的朗斯基行列式和 q ( x ， z ) 是否满足不等式 x r < z < 0 < x < 1 2 ， (11) 的公共根 ( x ， z ) 。 证明：考虑(10)，结合Maple18的帮助，可知 W [ L 1 ( x ) ] = ( x − z ) w 1 ( x ， z ) 375 ( x + 3 ) 8 ( 2 x − 1 ) 5 ( z + 3 ) 8 ( 2 z − 1 ) 5 ， W [ L 1 ( x ) ， L 2 ( x ) ] = 7 ( x − z ) 3 w 2 ( x ， z ) 93750 ( x + 3 ) 16 ( 2 x − 1 ) 9 ( 2 z − 1 ) 9 ( z + 3 ) 16 p ( x ， z ) ， W [ L 1 ( x ) ， L 2 ( x ) ， L 0 ( x ) ] = − 7 w 3 ( x ， z ) ( x − z ) 6 11718750 x 3 z 3 ( z + 3 ) 23 ( 2 x − 1 ) 12 ( x + 3 ) 23 ( 2 z − 1 ) 12 p 3 ( x ， z ) ， W [ L 1 ( x ) ， L 2 ( x ) ， L 0 ( x ) ， L 3 ( x ) ] = 7 w 3 ( x ， z ) ( x − z ) 10 244140625 x 4 z 4 ( 2 x − 1 ) 15 ( x + 3 ) 30 ( 2 z − 1 ) 15 ( z + 3 ) 30 p 6 ( x ， z ) ， 其中： p ( x ， z ) = 8 x 3 + 16 x 2 z + 24 x z 2 + 32 z 3 + 55 x 2 + 110 x z + 165 z 2 + 80 x + 160 z − 90 ， 并且 w 1 ( x ， z ) ， w 2 ( x ， z ) ， w 3 ( x ， z ) ， w 4 ( x ， z ) 是次数分别为22，44，67和90的多项式。接下来，计算关于 q ( x ， z ) 和 w i ( x ， z ) 之间关于的z的结式，得出： R ( q ， p ， z ) = 262144000 x 12 + 4325376000 x 11 + 26173440000 x 10 + 59611136000 x 9 − 18085824000 x 8 − 165144768000 x 7 + 373417648000 x 6 + 928754880000 x 5 − 1082386752000 x 4 − 868739712000 x 3 + 3067576560000 x 2 − 938856960000 x − 528107040000. 根据Sturm定理，我们知道在条件(11)下 R ( q ， p ， z ) 没有共同的根。 因此，我们将检查条件(11)下 w i ( x ， z ) 和 q ( x ， z ) 是否具有共同根。其中i = 1，2，3，4。 1) 计算关于 q ( x ， z ) 和 w 1 ( x ， z ) 之间的z的结果，即从 q ( x ， z ) = 0 和 w 1 ( x ， z ) = 0 中消除得出 R ( q ， w 1 ， z ) = 32 r 1 ( x ) ( 2 x − 1 ) 4 ( x + 3 ) 14 ，其中 r 1 ( x ) 是关于x的次数为70的多项式。应用Sturm定理可知，当 x ∈ ( 0 ， 1 2 ) 时， r 1 ( x ) ≠ 0 ( x ) ，所以 q ( x ， z ) 和 w 1 ( x ， z ) 没有满足(11)的公共跟。因此，当 x ∈ ( 0 ， 1 2 ) 时， W [ L 1 ( x ) ] ≠ 0 。 2) 同样，要检查 q ( x ， z ) 和 w 2 ( x ， z ) 之间是否存在公共根，我们用 w 2 ( x ， z ) 代替程序中的 w 1 ( x ， z ) ，我们得到 R ( q ， w 2 ， z ) = 15735193600 ( 2 x − 1 ) 6 ( x + 3 ) 28 r 2 ( x ) ，其中 r 2 ( x ) 是关于x的次数为142的多项式。将Sturm定理应用于 r 2 ( x ) ，存在一个根，用 x 1 表示，使得 r 2 ( x ) ，即 x 1 ≈ 0.3721618858 。 因此，借助Maple 18的程序来找出所有可能的区间对，我们将检查 q ( x ， z ) 和 w 2 ( x ， z ) 是否在 ( 0 ， 1 2 ) 上 具有任何公共根： > with ( regularchains ) ; > with ( ChainTools ) ; > with ( SemiAlgebraicSetTools ) ; > sys : = [ w [ 2 ] ， q ] ; > R : = PolynomialRing ( [ x ， z ] ) ; > dec : = Triangularize ( sys ， R ) ; [ regular_chain ， regular_chain ， regular_chain ， regular_chain ， regular_chain ] ; > L : = m a p ( Equations ， dec ， R ) ; 三个正则链如下： [ [ 2 x − 1 ， 2 x − 1 ] ， [ x + 3 ， x + 3 ] ， [ w ˙ 3 ( x ， z ) ] ， [ w ˙ 4 ( z ) ] ] 其中 w ˙ 3 ( x ， z ) = w ˙ 31 ( z ) x + w ˙ 32 ( z ) ， w ˙ 31 ( x ) ， w ˙ 32 ( z ) 和 w ˙ 4 ( z ) 是关于z的次数分别为116、117和142的项 数较多的多项式。显而易见，在前两个正则链之间不能找到共同的根满足式子(11)。隔离第三条正则链： C : = Chain ( [ L [ 1 ] [ 2 ] ， L [ 1 ] [ 1 ] ] ， Empty ( R ) ， R ) ; C : = regular_chain ; RL : = RealRootIsolate ( C ， R ， 'abserr' = 1 / 10 ^ 5 ) ; RL : = [ box ， box ， box ， box ， box ， box ] ; map ( BoxValues ， RL ， R ) ; [ x = [ 92801 131072 ， 46401 65536 ] ， z = [ − 256281 2097152 ， − 32035 262144 ] ] ， [ x = [ 70433 131072 ， 35217 65536 ] ， z = [ − 606009689 2147483648 ， − 2424038755 8589934592 ] ] ， [ x = [ − 8009 65536 ， − 16017 131072 ] ， z = [ 417939600990505029819 590295810358705651712 ， 104484900247626257455 147573952589676412928 ] ] ， [ x = [ 97559 262144 ， 195121 524288 ] ， z = [ 356772144666988627257 1180591620717411303424 ， 713544289333977254515 1180591620717411303424 ] ] ， [ x = [ − 9247 32768 ， − 147949 524288 ] ， z = [ 681188174134222673703000557111 1267650600228229401496703205376 ， 85148521766777834212875069639 158456325028528675187087900672 ] ] ， [ x = [ 79219 131072 ， 19805 32768 ] ， z = [ 26817090081239929 72057594037927936 ， 13408545040619965 36028797018963968 ] ] . 这意味着在列出的区间对中分别有6对 w 2 ( x ， z ) 和 q ( x ， z ) 的公共根。 但是，没有一对满足条件(11)。 可以说，当 x ∈ ( 0 ， 1 2 ) 时， W [ L 1 ( x ) ， L 2 ( x ) ] ≠ 0 。 3) 接下来，要检查 q ( x ， z ) 和 w 3 ( x ， z ) 之间是否存在公共根，我们在程序中采用 w 3 ( x ， z ) 代替 w 1 ( x ， z ) ，我们可知 R ( q ， w 2 ， z ) = 644513529856000000 ( 2 x − 1 ) 6 ( x + 3 ) 40 r 3 ( x ) ， 其中 r 3 ( x ) 是关于x的次数为221的多项式。将Sturm定理应用于 r 3 ( x ) ，即存在一个根 x 2 且 x 2 ≈ 0.4557503925 ，使得 r 3 ( x ) = 0 。 因此，通过借助Maple 18来找出所有可能的区间对，我们将检查 q ( x ， z ) 和 w 3 ( x ， z ) 是否在 ( 0 ， 1 2 ) 上 具有任何公共根： > with ( regularchains ) ; > with ( ChainTools ) ; > with ( SemiAlgebraicSetTools ) ; > sys : = [ w [ 3 ] ， q ] ; > R : = PolynomialRing ( [ x ， z ] ) ; > dec : = Triangularize ( sys ， R ) ; [ regular_chain ， regular_chain ， regular_chain ， regular_chain ， regular_chain ] ; > L : = m a p ( Equations ， dec ， R ) ; 三个正则链条如下： [ [ 2 x − 1 ， 2 x − 1 ] ， [ x + 3 ， x + 3 ] ， [ w ˙ 5 ( x ， z ) ] ， [ w ˙ 6 ( z ) ] ] 其中 w ˙ 5 ( x ， z ) = w ˙ 51 ( z ) x + w ˙ 52 ( z ) ， w ˙ 51 ( z ) ， w ˙ 52 ( z ) 和 w ˙ 6 ( z ) 是关于z的次数分别为179、180和222的项 数较多的多项式。很明显，前两个正则链之间没有共同的根满足式子(11)。 接着隔离第三条正则链： [ x = [ 1504285 2097152 ， 12034281 16777216 ] ， z = [ − 11454629 134217728 ， − 2863657 33554432 ] ] ， [ x = [ 10290531 16777216 ， 2572633 4194304 ] ， z = [ − 273153939 1073741824 ， − 546307877 2147483648 ] ] ， [ x = [ 8399297 16777216 ， 4199649 8388608 ] ， z = [ − 626657967153 2199023255552 ， − 39166122947 137438953472 ] ] ， [ x = [ − 1431829 16777216 ， − 357957 4194304 ] ， z = [ 867161277385653054168961 1208925819614629174706176 ， 433580638692826527084481 604462909807314587353088 ] ] ， [ x = [ − 4268031 16777216 ， − 2134015 8388608 ] ， z = [ 194382644416992988769472957787 316912650057057350374175801344 ， 3110122310671887820311567324593 5070602400912917605986812821504 ] ] ， [ x = [ 3823111 8388608 ， 7646223 16777216 ] ， z = [ 5233394876667813628159763 9671406556917033397649408 ， 334937272106740072202224833 618970019642690137449562112 ] ] ， [ x = [ − 4781021 16777216 ， − 1195255 4194304 ] ， z = [ 46827645818074949140561758967949358884538457399699 93536104789177786765035829293842113257979682750464 ， 11706911454518737285140439741987339721134614349925 23384026197294446691258957323460528314494920687616 ] ] ， [ x = [ 2269623 4194304 ， 9078493 16777216 ] ， z = [ 282095829405875360480275459 618970019642690137449562112 ， 1128383317623501441921101837 2475880078570760549798248448 ] ] . 从以上计算可知，在列出的区间对中分别有8对 w 3 ( x ， z ) 和 q ( x ， z ) 的公共根。但是，没有一对满足条件(11)。可以说，当 x ∈ ( 0 ， 1 2 ) 时， W [ L 1 ( x ) ， L 2 ( x ) ， L 0 ( x ) ] ≠ 0 。 4) 同样，我们使用相同的程序来查找所有可能的区间对，这些区间对中可能持有 w 4 ( x ， z ) 和 q ( x ， z ) 的共同根，然后获得以下正则链，这三个正则链如下： [ [ 2 x − 1 ， 2 x − 1 ] ， [ x + 3 ， x + 3 ] ， [ w ˙ 7 ( x ， z ) ] ， [ w ˙ 8 ( z ) ] ] ， 其中 w ˙ 7 ( x ， z ) = w ˙ 71 ( z ) x + w ˙ 72 ( z ) ， w ˙ 71 ( z ) ， w ˙ 72 ( z ) 和 w ˙ 8 ( z ) 是关于z的次数分别为242、242和302的多 项式。可以清楚看到，前四个正则链之间没有共同的根满足式子(11)。隔离第三条正则链： [ x = [ 13241 131072 ， 6621 65536 ] ， z = [ − 6359444295 68719476736 ， − 3179722147 34359738368 ] ] ， [ x = [ 60815 131072 ， 3801 8192 ] ， z = [ − 2428370505 8589934592 ， − 303546313 1073741824 ] ] ， [ x = [ 20811 65536 ， 41623 131072 ] ， z = [ 807980145392121389417409854365 1267650600228229401496703205376 ， 403990072696060694708704927183 633825300114114700748351602688 ] ] ， [ x = [ − 18527 65536 ， − 37053 131072 ] ， z = [ 315773800563960317213913658034152382665 680564733841876926926749214863536422912 ， 157886900281980158606956829017076191333 340282366920938463463374607431768211456 ] ] ， [ x = [ 83543 131072 ， 10443 16384 ] ， z = [ 374901605277749525043 1180591620717411303424 ， 93725401319437381261 295147905179352825856 ] ] ， [ x = [ − 6065 65536 ， − 12129 131072 ] ， z = [ 55536975725 549755813888 ， 222147902901 2199023255552 ] ] . 我们可以知道在列出的区间对中分别有6对 w 4 ( x ， z ) 和 q ( x ， z ) 的公共根。但是，没有一对满足条件(11)。可以说，当 x ∈ ( 0 ， 1 2 ) 时，可以得到结论 W [ L 1 ( x ) ， L 2 ( x ) ， L 0 ( x ) ， L 3 ( x ) ] ≠ 0 。 { I ˜ 0 ， I ˜ 1 ， I ˜ 2 ， I ˜ 3 } 在 ( 0 ， h s ) 是扩充的完成的精度为0的切比雪夫系统，并且 { I 0 ， I 1 ， I 2 ， I 3 } 也是这样。因此，当 h 属于 ( 0 ， h s ) 时， I ( h ， δ ) 最多有3个零点。