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user: 3. 分子动力学模拟计算 3.1. 分子动力学模拟概述 如果把分子对接比喻为一幅图片，那么分子动力学模拟就像是一帧桢画面组成的动态电影，丰富多彩，饶有情趣，让人情不自禁！ 分子动力学(Molecular Dynamics， MD)模拟是指利用理论方法与计算技术，模拟或仿真分子运动的微观行为。分子动力学总是假定原子的运动服从某种确定的方程，这种方程可以是牛顿方程、拉格朗日方程或哈密顿方程，也就是说原子的运动和确定的轨迹联系在一起。在忽略核子的量子效应和Born-Oppenheimer绝热近似下，分子动力学的这一种假设是可行的。 分子动力学模拟广泛应用于材料科学、生物物理和药物设计等。小至单个化学分子，大到复杂生物体系或材料体系都可以用动力学模拟来研究 [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] 。经典MD模拟，其系统规模在一般的计算机上也可达到数万个原子，模拟时间为纳秒量级。 分子动力学方法能将分子的动态行为显示到计算机屏幕上，便于直观了解体系在一定条件下的演变过程。分子动力学方法含温度与时间，因此还可得到如材料的玻璃化转变温度、热容、晶体结晶过程、输送过程、膨胀过程、动态弛豫(relax)以及体系在外场作用下的变化过程等。 当实验研究方法不能满足研究工作的需求时，用计算机模拟却可以提供实验上尚无法得到或很难获得的重要信息；虽然计算机模拟不能完全代替实验，但为科研工作者们提供了重要的参考并且指导实验和验证某些理论假设，从而促进理论和实验的发展 [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] 。 3.2. 分子动力学模拟的基本原理 用牛顿经典力学计算许多分子在相空间中的轨迹，求解系统中的分子或原子间作用势能和系统外加约束共同作用的分子或原子的牛顿方程；模拟系统随时间推进的微观过程，通过统计方法得到系统的平衡参数或输运性质。 分子动力学的算法是有限差分方法(一种求偏微分或常微分方程和方程组定解问题的数值解的方法)。最常用的数值求解算法有Verlet算法，leap-frog算法，Beeman算法及Gear所提出的校正预测法。 1) Verlet算法 Verlet提出的Verlet算法在分子动力学中运用最为广泛，也是最简单的。它运用原子在 t 时刻的位置 r ( t ) 和加速度 a ( t ) 及 t − δ t 时刻的位置，计算出 t + δ t 时刻的位置。将粒子的位置以Taylor公式展开，即 r ( t + δ t ) = r ( t ) + d d t r ( t ) δ t + 1 2 ! d 2 d t 2 r ( t ) ( δ t ) 2 + ⋯ 将式中的 δ t 换为 − δ t ，得 r ( t − δ t ) = r ( t ) − d d t r ( t ) δ t + 1 2 ! d 2 d t 2 r ( t ) ( δ t ) 2 + ⋯ 两式相减得速度式 v ( t ) = d r d t = 1 2 δ t [ r ( t + δ t ) − r ( t − δ t ) ] 两式相加得 r ( t + δ t ) = − r ( t − δ t ) + 2 r ( t ) + d 2 d t 2 r ( t ) ( δ t ) 2 因 d 2 d t 2 r ( t ) = a ( t ) ，故依据上式可由 t 及 t − δ t 的位置预测 t + δ t 时的位置。 Verlet算法执行简明，需要的内存小，但其缺点在于速度式中含有 1 δ t 项，而实际计算中通常选取很 小的 δ t 值，且位置 r ( t + δ t ) 要通过小项与非常大的两项 2 r ( t ) 与 r ( t − δ t ) 的差的相加得到，容易造成精度损失。另外，它不是一个自启动算法，新位置必须由 t 时刻与前一时刻 t − δ t 的位置得到。在t = 0时刻，只有一组位置，所以必须通过其他方法得到 t − δ t 的位置。获得 t − δ t 时刻的位置的方法之一时应用近似式 r ( − δ t ) = r ( 0 ) − δ t * v ( 0 ) 。 2) 跳蛙法(leap-frog method) 鉴于Verlet算法的一些缺点，Hockney提出了跳蛙法。跳蛙法是从Verlet法推导出来的。它在半个积分时间步长的速度，并利用这一速度计算新的位置。位置和速度表达式为 { v → i ( t + 1 2 δ t ) = v → i ( t − 1 2 δ t ) + a → i ( t ) δ t r → i ( t + δ t ) = r → i ( t ) + v → i ( t + 1 2 δ t ) 计算时假设已知 v → i ( t + 1 2 δ t ) 与 r → i ( t ) ，由 t 时的位置 r → i ( t ) 计算质点所受的力与加速度 a → i ( t ) ，再预测时间为 t + 1 2 δ t 时的速度 v → i ( t + 1 2 δ t ) ，以此类推。 根据 v → i ( t + 1 2 δ t ) 与 v → i ( t − 1 2 δ t ) ，可得时间为 t 时的速度为 v → i ( t ) = 1 2 [ v → i ( t + 1 2 δ t ) + v → i ( t − 1 2 δ t ) ] 利用跳蛙法计算仅需储存 v → i ( t − 1 2 δ t ) 与 r → i ( t ) 两类信息，既节约储存空间，而且准确性及稳定性较高。 跳蛙法不需要计算下一步位置就可以得出速度，但需要注意的是速度并未与位置在同一时间定义，结果是动能和势能也未同时定义。所以不能直接计算总能量。 3) Beeman法 Beeman法是除Verlet跳蛙法外，另一种较为常见的方法。其积分公式如下 { r → i ( t + δ t ) = r → i ( t ) + v → i ( t ) δ t + 1 6 [ 4 a → i ( t ) − a → i ( t − δ t ) ] δ t 2 v → i ( t + δ t ) = v → i ( t ) + 1 6 [ 2 a → i ( t + δ t ) + 5 a → i ( t ) − a → i ( t − δ t ) ] δ t 此方法需储存 r → i ( t ) 、 v → i ( t ) 与 a → i ( t − δ t ) ，储存量大于Verlet的跳蛙法。但优点在于可以引用较长的积分间隔 δ t 。Beeman方法所引用的积分步长 δ t 可为Verlet方法的3~4倍，而具有相同的准确性。 4) 校正预测法(predictor-corrector method) Gear提出了基于预测–校正积分方法的校正预测法。因为经典运动粒子的轨迹为连续的，故于时间 t + δ t 时的位置、速度等可由时间 t 的Taylor展开式预测得 { r → p ( t + δ t ) = r → ( t ) + v → ( t ) δ t + 1 2 a → ( t ) δ t 2 + 1 6 b → ( t ) δ t 3 + ⋯ v → p ( t + δ t ) = v → ( t ) + a → ( t ) δ t + 1 2 b → ( t ) δ t 2 + ⋯ a → p ( t + δ t ) = a → ( t ) + b → ( t ) δ t + ⋯ b → p ( t + δ t ) = b → ( t ) + ⋯ 由于这些物理量来自Taylor展开式，并非由解Newton运动方程式而来，所以式中所产生的速度、加速度等并非完全正确。为了解决这个问题，用所预测的位置 r → p ( t + δ t ) 计算所受的力及正确的加速度 a → p ( t + δ t ) 。设正确的加速度与预测的加速度之间的误差为 Δ a → ( t + δ t ) = c → c ( t + δ t ) − a → p ( t + δ t ) 得各量之校正式为 { r → c ( t + δ t ) = r → p ( ( t + δ t ) + c 0 Δ a → ( t + δ t ) v → c ( t + δ t ) = v → p ( t + δ t ) + c 1 Δ a → ( t + δ t ) a → c ( t + δ t ) = a → p ( t + δ t ) + c 2 Δ a → ( t + δ t ) b → c ( t + δ t ) = b → p ( t + δ t ) + c 3 Δ a → ( t + δ t ) 式中，c 0 、c 1 、c 2 、c 3 均为常数。这仅为Gear的一次预测校正法，也可以推展至更高次的校正法。对于大多数MD应用来说，Verlet型的算法就可以满足基本的要求了。但有时采用高阶算法更方便。一般来说Gear算法中的Taylor展开阶数越高，精度越好。但占用内存比较大，这对于大量分子系统的模拟不如Verlet算法方便。当 δ t 减小时，Gear的高次预测校正法误差较小，但 δ t 增大时，Verlet方法较佳。 3.3. 分子动力学模拟中的重要概念 1) 周期性边界条件：只模拟实际物质中很小一部分，使模拟体系成为无限的具有相同性质的分子体系的，该部分在三维空间中周期性的存在，代表整个体系。 2) 势函数：势函数是描述原子(分子)间相互作用的函数。原子间的相互作用控制着原子间的相互作用行为，从根本上决定材料的所有性质，这种作用具体由势函数来描述，在分子动力学模拟中，势函数的选取对模拟的结果起着决定性的作用。 3) 系综：在一定的宏观条件下，大量性质和结构完全相同的、处于各种运动状态的、各自独立的系统的集合。系综是用统计方法描述热力学系统的统计规律性时引入的一个基本概念。 正则系综是组成系综的系统是由N个粒子组成的，同温度为T的很大的热源相接触并达到热平衡。也可以这样设想:取大数M个体积为V、粒子数为N的相同的系统构成系综，其中任意一个系统均可作为被研究的系统，其余 M − 1 个系统起着恒温槽的作用，系统间有能量交换，并共同处于热平衡。 微正则系综是指系统原子数N、体积V、能量E保持不变，又称为NVE系综。 等温等压系综是正则系综的推广，是统计力学系综的一种。这个系综是具有恒定温度和压强的体系。每个系综内的体系可以和其他体系进行能量和体积交换。但系综内各体系的能量总和以及体积总和是固定的，而且各体系有相同的粒子数。 4) 积分步长：分子动力学计算的基本思想是赋予分子体系初始运动状态之后利用分子的自然运动在相空间中抽取样本进行统计计算，积分步长就是抽样的间隔。选取合适的积分步长的原则是积分步长小于系统中最快运动周期的十分之一。在节省时间的同时也保证计算的精确性。 3.4. 分子动力学模拟的应用 近年来，分子动力学模拟的应用范围越来越广泛。例如:我们采用分子对接和分子动力学(MD)模拟方法研究了芬太尼类化合物与阿片μ受体的相互作用机制。先用AutoDock4.0程序将芬太尼类化合物对接到同源模建的阿片μ受体结构中，再用GROMACS程序包在水溶液体系中分别对12个芬太尼激动剂和阿片μ受体蛋白复合物进行了MD模拟研究，优化对接复合物的结构，最后利用MM-PBSA方法，在APBS程序中计算芬太尼类衍生物与阿片μ受体的结合自由能，计算出的受体配合物结合常数(Ki)与其实验值吻合较好，并预测了化合物的活性排序 [ 17 ] 。 陈莹等运用分子动力学方法模拟了小尺寸金属团簇的熔化过程 [ 18 ] 。汪志刚等采用分子动力学结合嵌入原子多体势，模拟了不同半径的Ni纳米团簇的升温熔化过程 [ 19 ] 。郑燕升等利用分子动力学模拟和量子化学计算方法对不同离子液体进行研究，获得离子液体的结构性质、光谱性质( 红外光谱、拉曼光谱)及离子液体催化反应机理 [ 20 ] 。王丽等采用常温、常压分子动力学模拟技术，研究了在周期性边界条件下，由864个Cu原子构成的模型系统的熔化、结晶过程 [ 21 ] 。