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user: 3. 非均匀留数及留数定理 3.1. 非均匀留数的定义 设非均匀复变函数 g ( z ) 在一周线l围成的区域内只有一个非均匀孤立奇点 z 0 ， g ( z ) 在以 z 0 为圆心而半径趋于零的圆环域上展开的非均匀洛朗级数表示 g ( z ) = ∑ k = − ∞ ∞ a k ( z − z 0 ) k . 在非均匀洛朗级数的周线l内任取一个足够小的包含 z 0 的回路 l 0 ，由非均匀柯西积分定理，则有 ∫ l g ( z ) d z = ∫ l 0 g ( z ) d z 于是有， ∫ l g ( z ) d z = ∑ k = − ∞ ∞ a k ∫ l 0 ( z − z 0 ) k d z 因此， ∫ l g ( z ) d z = 2 π j a − 1 当l包围着 g ( z ) 的n个非均匀孤立奇点时，作回路 l 1 ， l 2 ， ⋯ ， l n 分别包围这n个非均匀孤立奇点，由柯西积分定理 ∫ l g ( z ) d z = ∫ l 1 g ( z ) d z + ∫ l 2 g ( z ) d z + ⋯ + ∫ l n g ( z ) d z . 于是，可以得到非均匀复变函数的留数的定义。 定义3.1 设非均匀复变函数 g ( z ) 以有限点a为孤立奇点，即 g ( z ) 在点a的某去心邻域 0 < | z − a | k < R 内非均匀解析，则称积分 k 2 π j ∫ Γ     g ( z ) d z ( Γ : | z − a | k = ρ ， 0 < ρ < R ) 为 g ( z ) 在点a的非均匀留数，记为 R e s z = a g ( z ) 。其中， j 2 = − k ， k > 0 。 由非均匀柯西积分定理知道，当 0 < ρ < R 时，非均匀留数的值与 ρ 无关，利用非均匀洛朗系数公式，有 R e s z = a g ( z ) = c − 1 ， 这里 c − 1 是 g ( z ) 在 z = a 处的非均匀洛朗展式中1/z这一项的系数。 定理3.2 若非均匀复变函数 g ( z ) 在复周线C所围的区域D内有限个非均匀孤立奇点 a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a n ，且在复周线围成的闭域 D ¯ = D + C 上除 a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a n 外连续，则 k 2 π j ∫ C     g ( z ) d z = ∑ k = 1 n R e s z = a k g ( z ) 证：以 a k 为心，充分小的正数 ρ k 为半径作圆周 Γ k : | z − a k | k = ρ k ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ) ，使这些圆周及其内部均含于D，并且彼此相交。由复周线的非均匀柯西积分定理有 ∫ C     g ( z ) d z = ∑ k = 1 n   ∫ Γ k     g ( z ) d z 由非均匀留数的定义，有 k 2 π j ∫ Γ k     g ( z ) d z = R e s z = a k g ( z ) 对任意 z = a k 都满足上式，使复周线C包围的n个小周线恰好包围n个非均匀孤立奇点，对其求和即得所求 k 2 π j ∫ C     g ( z ) d z = ∑ k = 1 n R e s z = a k g ( z ) . 3.2. 函数在无穷远点的非均匀留数 定义3.3 设 ∞ 为非均匀复变函数 g ( z ) 的一个非均匀孤立奇点，即 g ( z ) 是整函数，则称 k 2 π j ∫ Γ −     g ( z ) d z ( Γ : | z | k = ρ > r ) 为 g ( z ) 在点 ∞ 的非均匀留数，记为 R e s z = ∞ g ( z ) ，这里 Γ − 是指顺时针方向。 设 g ( z ) 在 0 ≤ r < | z | k < + ∞ 内的洛朗展式为 g ( z ) = ⋯ + c − n z n + ⋯ + c − 1 z + c 0 + c 1 z + ⋯ + c n z n + ⋯ ， 逐项积分 R e s z = ∞ g ( z ) = k 2 π j ∫ Γ −     g ( z ) d z = − c − 1 ， 因此，可以通过求解 g ( z ) 在零点的非均匀留数计算其在 ∞ 点的非均匀留数。 定理3.4 若非均匀复变函数 g ( z ) 在扩充复平面上存在有限个孤立奇点，则 g ( z ) 在扩充复平面各点的非均匀留数和为零。 证：取复周线 Γ 使其包围复平面上的有限个孤立奇点 k 2 π j ∫ Γ     g ( z ) d z = ∑ k = 1 n R e s z = a k g ( z ) 两边除以 2 π j / k ，复周线 Γ 反向就有 ∑ k = 1 n R e s z = a k g ( z ) + R e s z = ∞ g ( z ) = 0 3.3. 非均匀留数的求法 定理3.5 设a为 g ( z ) 的n阶非均匀极点， g ( z ) = φ ( z ) / ( z − a ) n ，其中 φ ( z ) 在点a非均匀解析， φ ( z ) ≠ 0 ，则 R e s z = a g ( z ) = φ ( n − 1 ) ( a ) ( n − 1 ) ! . 这里符号 φ ( 0 ) ( a ) 代表 φ ( a ) ，且有 φ ( n − 1 ) ( a ) = lim z → a φ ( n − 1 ) ( z ) 。 证：由非均匀留数的定义，有 R e s z = a g ( z ) = k 2 π j ∫ Γ φ ( z ) ( z − a ) n d z = φ ( n − 1 ) ( a ) ( n − 1 ) ! . 推论3.6 设a为 g ( z ) 的一阶非均匀极点， φ ( z ) = ( z − a ) g ( z ) 则 R e s z = a g ( z ) = φ ( a ) . 推论3.7 设a为 g ( z ) 的二阶非均匀极点， φ ( z ) = ( z − a ) 2 g ( z ) 则 R e s z = a g ( z ) = φ ′ ( a ) 定理3.8 设a为 g ( z ) = φ ( z ) ϕ ( z ) 的一阶非均匀极点(只要 φ ( z ) 及 ϕ ( z ) 在点a解析，且 φ ( a ) ≠ 0 ， ϕ ( a ) = 0 ， ϕ ′ ( a ) ≠ 0 )，则 R e s z = a g ( z ) = φ ( a ) / ϕ ′ ( a ) 。 证：因a为 g ( z ) = φ ( z ) / ϕ ′ ( z ) 的一阶极点，故 R e s z = a g ( z ) = lim z → a φ ( a ) ϕ ( a ) ( z − a ) = lim z → a φ ( z ) ϕ ( z ) − ϕ ( a ) z − a = φ ( a ) ϕ ′ ( a ) 例3. 1计算非均匀积分 ∫ | z | = 2 1 z 2 ( z − 1 ) d z 解：被积函数 f ( z ) = 1 / z 2 ( z − 1 ) 在圆周 | z | = 2 的内部只有两阶极点 z = 0 及一阶极点 z = 1 。 由推论3.6 R e s z = 1 f ( z ) = 1 z 2 | z = 1 = 1 ; 由推论3.7 R e s z = 0 f ( z ) = ( 1 z − 1 ) ′ | z = 0 = − 1 ( z − 1 ) 2 | z = 0 = − 1 ; 故由非均匀留数定理得 ∫ | z | = 2 1 z 2 ( z − 1 ) d z = 2 π j k ( − 1 + 1 ) = 0 例3. 2计算非均匀积分 ∫ | z | = n +1 z n ( n + 1 ) 2 − 1 ( 1 + z ) ( 1 + z 2 ) ⋯ ( 1 + z n ) d z ， n ≥ 1 解：被积函数 g ( z ) 有 n ( n + 1 ) / 2 个极点在积分区域的内部，由第二留数定理， ∫ | z | = n +1 z n ( n + 1 ) 2 − 1 ( 1 + z ) ( 1 + z 2 ) ⋯ ( 1 + z n ) d z = − 2 π j k R e s z = ∞ g ( z ) 利用在无穷远处洛朗展开，可以知道，无穷远远处的留数为-1，因此积分为 2 π j / k 。