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user: 3. 模型分析 本节主要讨论系统(4.1)的可行域以及在可行域内其平衡点的存在唯一性，再根据无病平衡点并结合下一代矩阵思想 [ 9 ] 定义了系统的基本再生数。 Table 1 Model (1) Parameters and their interpretatio 参数 描述 A 人类常数输入率 B 蚊虫单位时间内平均叮咬人群的次数 β m h 蚊虫叮咬导致病毒从蚊虫传播到人类的概率 μ h 人类死亡率 γ 潜伏者类到患病者类的转移率 δ 患病者类到移除者类的移除率 C 蚊虫常数输入率 η 幼虫成熟率 μ A 幼虫死亡率 μ m 成虫死亡率 β h m 蚊虫叮咬导致病毒从人类传播到蚊虫的概率 表1. 模型(1)参数及其解释 3.1. 正不变性和解的有界性 定理1 R + 7 是系统(4.1)的正不变集。 证明：根据文献 [ 2 ]，将系统(4.1)写成如下形式 X ′ = M ( X ) X + F 上式中 X = ( S h ， E h ， I h ， R h ， A m ， S m ， I m ) T ， M ( X ) = [ m 11 0 0 0 0 0 0 m 21 − γ − μ h 0 0 0 0 0 0 γ − μ h − δ 0 0 0 0 0 0 δ − μ h 0 0 0 0 0 0 0 − η − μ A 0 0 0 0 0 0 η m 66 0 0 0 m 73 0 0 0 − μ m ] 其中 m 11 = − B β m h I m N h − μ h ，   m 21 = B β m h I m N h ，   m 66 = − B β h m I h N h − μ m ，   m 73 = B β h m S m N h 以及 F = ( A ， 0 ， 0 ， 0 ， C ， 0 ， 0 ) T 显然，矩阵 M ( X ) 的非对角线元素均为非负，为一个Metzler矩阵 [ 10 ]，由于 F ≥ 0 ，故系统(4.1)在 R + 7 中是正不变的，即从 R + 7 的正象限中某个初值出发的任意轨线永远停留在 R + 7 中，即证。 定理2若 ( S h ( 0 ) ， E h ( 0 ) ， I h ( 0 ) ， R h ( 0 ) ， A m ( 0 ) ， S m ( 0 ) ， I m ( 0 ) ) ∈ R + 7 ，则系统(4.1)的解最终一致有界。 证明：首先，设 ( S h ( t ) ， E h ( t ) ， I h ( t ) ， R h ( t ) ， A m ( t ) ， S m ( t ) ， I m ( t ) ) 为系统(4.1)的解，进一步，定义 L 1 ( t ) = S h ( t ) + E h ( t ) + I h ( t ) + R h ( t ) ，由系统(4.1)前4个方程相加可得 L ′ 1 ( t ) = A − μ h L 1 ( t ) 易证 lim sup t → ∞ L ( t ) = lim t → ∞ L ( t ) = A μ h : = M 1 此时，存在 t 1 > 0 ，使得当 t > t 1 时， S h ( t ) ≤ M 1 ， E h ( t ) ≤ M 1 ， I h ( t ) ≤ M 1 ， R h ( t ) ≤ M 1 。 再由系统 第5个方程和比较定理可得 lim sup t → ∞ A m ( t ) ≤ C η + μ A : = M 2 此时，存在 t 2 > 0 ，使得当 t > t 2 时， A m ( t ) ≤ M 2 。 同理定义 L 2 ( t ) = S m ( t ) + E m ( t ) + I m ( t ) ，将系统(4.1)后2个方程相加可得 lim sup t → ∞ L 2 ( t ) ≤ C η ( η + μ A ) μ m : = M 3 此时，存在 t 3 > 0 ，使得当 t > t 3 时， S m ( t ) ≤ M 3 ，   I m ( t ) ≤ M 3 。 综上，令 T = max { t 1 ， t 2 ， t 3 } 及 M = max { M 1 ， M 2 ， M 3 } ，在 t > T 时，有 ( S h ( t ) ， E h ( t ) ， I h ( t ) ， R h ( t ) ， A m ( t ) ， S m ( t ) ， I m ( t ) ) ≤ ( M ， M ， M ， M ， M ， M ， M ) 从而系统(4.1)最终一致有界，即证。 定义 ∑ = { ( S h ， E h ， I h ， R h ， A m ， S m ， I m ) ∈ R + 7 | S h + E h + I h + R h ≤ A μ h ， A m ≤ C η + μ A ， S m + I m ≤ C η ( η + μ A ) μ m } 则由定理1和2知 ∑ 关于系统(4.1)是正不变的。 为证明地方病平衡点的存在性，需要引入基本再生数的概念。 3.2. 基本再生数 基本再生数是疾病动力学系统中一个重要的阈值参数，它表示向一个完全为易感者的群体中引入一个患病个体之后在其平均患病期内导致易感者受到感染的数量，该参数反映了这种疾病的传播能力，对我们进行疾病防治控制有着很大的参考意义。关于系统(4.1)的基本再生数，我们得到如下结果 定理3系统(4.1)的基本再生数为 R 0 = C β h m β m h η A μ h γ B 2 A ( γ + μ h ) ( δ + μ h ) ( η A + μ A ) μ m 2 。 证明：根据文献 [ 9 ] 中的下一代生成矩阵的方法，基本再生数为 ρ ( F V − 1 ) ，其中 F V − 1 为下一代生成矩阵， ρ ( M ) 表示矩阵M的谱半径。因此，我们可以构造系统的下一代生成矩阵。首先得到系统(4.1)的只包含患病仓室的子系统为： { E ′ h = B β m h I m N h S h − γ E h − μ h E h I ′ h = γ E h − μ h I h − δ I h I ′ m = B β h m I h N h S m − μ m I m (2) 系统(4.2)可写为： ，其中 x = ( E h ， I h ， I m ) T ， F i ( x ) 表示染病仓室i的新患病感染率， 表示染病仓室i中剩余的其它转移项(如出生率、死亡率、治愈率等)，于是，有 F ( x ) = ( B β m h I m N h S h               0 B β h m I h N h S m ) ， V ( x ) = (           γ E h + μ h E h δ I h + μ h I h − γ E h                     μ m I m ) 易知系统(4.1)总有唯一无病平衡点 E 1 0 = ( A μ h ， 0 ， 0 ， 0 ， C η + μ A ， C η μ m ( η + μ A ) ， 0 ) 。因此，根据文献 [ 9 ]，我 们可以分别计算出矩阵F与V F = [ 0 0 B β m h 0 0 0 0 C B β h m η A μ h A μ m ( η A + μ A ) 0 ] ， V = [ γ + μ h 0 0 − γ δ + μ h 0 0 0 μ m ] 得到 V − 1 = [ 1 γ + μ h 0 0 γ ( γ + μ h ) ( δ + μ h ) 1 δ + μ h 0 0 0 1 μ m ] 因此 F V − 1 = [ 0 0 B β m h μ m 0 0 0 C B β h m η A μ h γ A μ m ( η A + μ A ) ( γ + μ h ) ( δ + μ h ) C B β h m η A μ h A μ m ( η A + μ A ) ( δ + μ h ) 0 ] 矩阵 F V − 1 的所有特征值中模长最大的特征值的模就是它的谱半径 ρ ( F V − 1 ) ，也是我们所求的基本再生数 R 0 ，易得 R 0 = C β h m β m h η A μ h γ B 2 A ( γ + μ h ) ( δ + μ h ) ( η A + μ A ) μ m 2 3.3. 平衡点的存在唯一性 令系统(4.1)中所有等式右边等于0，可解得系统存在两个平衡点，一个无病平衡点 E 1 0 和一个地方病平衡点 E 2 * ，它们都是存在且唯一。 定理4系统(4.1)在 Σ 中有唯一无病平衡点 E 1 0 = ( A μ h ， 0 ， 0 ， 0 ， C η + μ A ， C η μ m ( η + μ A ) ， 0 ) 和1个地方病平衡 点 E 2 * = ( S h * ， E h * ， I h * ， R h * ， A m * ， S m * ， I m * ) 。 借助于前面定义的基本再生数，接下来，我们给出定理4的证明过程如下。 证明：无病平衡点的存在唯一性是显然的，下面证明地方病平衡点的存在唯一性。令系统(4.1)的等式右边等于0，可得到如下结果： S h * = ( ( γ + μ h ) ( δ + μ h ) μ m + B μ h γ β h m ) μ m A 2 ( η + μ A ) B γ β h m μ h 2 ( A ( η + μ A ) μ m + η C B β m h ) E h * = − A ( μ m 2 ( γ + μ h ) ( δ + μ h ) ( η + μ A ) A − B 2 C β h m β m h η γ μ h ) β h m B γ ( γ + μ h ) μ h ( A ( η + μ A ) μ m + η C B β m h ) I h * = − A ( μ m 2 ( γ + μ h ) ( δ + μ h ) ( η + μ A ) A − B 2 C β h m β m h η γ μ h ) B ( δ + μ h ) β h m ( γ + μ h ) μ h   ( A ( η + μ A ) μ m + η C B β m h ) R h * = − δ   A ( μ m 2 ( γ + μ h ) ( δ + μ h ) ( η + μ A ) A − B 2 C β h m β m h η γ μ h ) B ( δ + μ h ) β h m ( γ + μ h ) μ h 2 ( A ( η + μ A ) μ m + η C B β m h ) A m * = C η + μ A S m * = ( δ + μ h ) ( γ + μ h ) ( A ( η + μ A ) μ m + η C B β m h ) B ( μ h 2 μ m + ( ( δ + γ ) μ m + β h m B γ ) μ h + γ δ μ m ) β m h ( η + μ A ) I m * = − μ m 2 ( γ + μ h ) ( δ + μ h ) ( η + μ A ) A + B 2 C β h m   β m h   η γ μ h B ( ( γ + μ h ) ( δ + μ h ) μ m + B μ h γ β h m ) β m h μ m ( η + μ A ) 显然， S h * ，   A m * ，   S m * 的值恒为正，只需证明 E h * ，   I h * ， R h * ，   I m * 的值也为正数即可。结合基本再生数，上述结果可化简为如下形式： E h * = ( γ + μ h ) ( δ + μ h ) ( η + μ A ) A 2 μ m 2 ( R 0 2 − 1 ) β h m B γ ( γ + μ h ) μ h   ( A ( η + μ A ) μ m + η   C B β m h ) I h * = ( γ + μ h ) ( δ + μ h ) ( η + μ A ) A 2 μ m 2 ( R 0 2 − 1 ) B ( δ + μ h ) β h m ( γ + μ h ) μ h   ( A ( η + μ A ) μ m + η   C B β m h ) R h * = δ ( γ + μ h ) ( δ + μ h ) ( η + μ A ) A 2 μ m 2 ( R 0 2 − 1 ) B ( δ + μ h ) β h m ( γ + μ h ) μ h   ( A ( η + μ A ) μ m + η   C B β m h ) I m * = ( γ + μ h ) ( δ + μ h ) ( η + μ A ) A 2 μ m 2 ( R 0 2 − 1 ) A B ( ( γ + μ h ) ( δ + μ h ) μ m + B μ h   γ   β h m ) β m h μ m ( η + μ A ) 因此，当且仅当 R 0 > 1 时，地方病平衡点存在且唯一。