system: [SYSTEM]

user: 2. 符号及定义 令 X = N 为一状态空间， ( Θ ， B ) 是任一抽象可测空间， X * = { X ( t ) ， t ∈ R + } ， ξ * = { ξ t ， t ∈ R + } 是概率空间 ( Ω ， F ， P ) 上分别取值于X和 Θ 的两个随机过程， Θ * 是从 R + 到 Θ 上的函数集，对每个 θ * ∈ Θ * ， s ≥ 0 ， t > 0 ， θ * [ s ， s + t ) 为 θ * 在 [ s ， s + t ) 上的局限， Θ * [ s ， s + t ) = { θ * [ s ， s + t ) : θ * ∈ Θ * } ，p为 Θ * 上的时齐的随机转移函数，参见 [ 6 ]，即 p ( θ * [ s ， s + t ) ; i ， j ) 不依赖于s (对每个 θ * ∈ Θ * ， t > 0 ， i ， j ∈ X )。 定义1 如果一排队系统满足： 1) 对 ∀ θ * ∈ Θ * ，记 N * = { N * ( t ) ， t ≥ 0 } 是顾客进入服务系统的过程，且 N * 服从强度参数为 λ ( θ * ) 的随机环境中的泊松过程(参见 [ 9 ] )，其中 N * ( t ) 表示在 ξ * = θ * 下，时刻t进入系统的人数。 2) 对任意固定的 θ * ∈ Θ * ，若记 J * = { J k * ， k ≥ 0 } 为顾客相继到达时间间隔序列，那么随机变量序列 { J k * ， k ≥ 0 } 为独立同分布随机变量序列，且 J 1 * ~ Γ ( 1 ， λ ( θ * ) ) 。 3) 对 ∀ θ * ∈ Θ * ，记 B * = { B k * ， k ≥ 0 } 为顾客的服务时间序列， B * = { B k * ， k ≥ 0 } 为独立同分布随机变量序列， B 1 * ~ Γ ( 1 ， μ ( θ * ) ) ，且满足 B * 与 J * 相互独立。 4) 该系统中有 n ( n ≥ 1 ) 个服务台。 则称该系统为随机环境 Θ * 中的M/M/n系统。 例1 考虑一随机环境中依时的马氏链 ( X → ， ξ → ) (参见 [ 12 ] )，其相应的状态空间 X = { 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ } 。A是由X生成的 σ 代数，环境集取 Θ = ( 0 ， 1 ) ，B是由 Θ 生成的 σ 代数。如下定义该马氏链的随机转移矩阵 P ( θ ) = ( p ( θ ; x ， y ) ， x ， y ∈ X ) ： p ( θ ; 0 ， x ) = p ( θ ; 1 ， x ) = k x θ         ( θ ∈ Θ ， x ≥ 1 ) ; p ( θ ; 0 ， 0 ) = p ( θ ; 1 ， 0 ) = 1 − ∑ x = 1 ∞ k x θ       ( θ ∈ Θ ) ; p ( θ ; n ， x ) = 0 ，       ( θ ∈ Θ ， n ≥ 2 ， x < n − 1 ) ; p ( θ ; n ， x ) = p ( θ ; ， 1 ， x − n + 1 )       ( θ ∈ Θ ， n ≥ 2 ， x ≥ n − 1 ) ， 其中 k 2 + k 3 + ⋯ > 0 ， k x ≥ 0 ， ∑ x = 1 ∞ k x < 1 ， ∑ x = 0 ∞ k x = 1 。则该随机环境中依时的马氏链为一随机环境中的排队过程。 接下来，令 X * = { X * ( t ) ， t ≥ 0 } 为系统的状态过程，其中 X * ( t ) 表示在 ∀ θ * ∈ Θ * 下，时刻t系统中的顾客数(包含正在接受服务的顾客数)。我们记事件 { t < X k * < t + Δ t } 表示系统中有k个服务台在时间间隔 ( t ， t + Δ t ) 中结束服务，易知 0 ≤ k ≤ n 。 下面着手推导随机环境 ∀ θ * ∈ Θ * 下的M/M/n排队系统的状态过程 X * 的转移概率。容易想到一个服务台在t时刻正在服务，经过 Δ t 时间后，它没有结束服务的概率为 P { B * > t + Δ t | B * > t ， ξ * [ t ， t + Δ t ) = θ * [ t ， t + Δ t ) } = e − μ ( θ * ) Δ t = 1 − μ ( θ * ) Δ t + o ( Δ t ) 那么其对立事件，该服务台结束服务的概率为 P { B * > t + Δ t | B * > t ， ξ * [ t ， t + Δ t ) = θ * [ t ， t + Δ t ) } = e − μ ( θ * ) Δ t = 1 − μ ( θ * ) Δ t + o ( Δ t ) 又因为事件 { N * ( t + Δ t ) − N * ( t ) = n | ξ * [ t ， t + Δ t ) = θ * [ t ， t + Δ t ) } 与事件 { X * ( t ) = i | ξ * [ t ， t + Δ t ) = θ * [ t ， t + Δ t ) } ( i ∈ X ) 独立，因此当 Δ t ↓ 0 时，系统中总人数增加一位的概率为： p i ， i + 1 ( Δ t ， θ * ) ≡ P { X * ( t + Δ t ) = i + 1 | X * ( t ) = i ， ξ * [ t ， t + Δ t ) = θ * [ t ， t + Δ t ) } = ∑ k = 0 min ( i ， n ) P { t < X k * < t + Δ t ， N * ( t + Δ t ) − N * ( t ) = k + 1 | X * ( t ) = i ， θ * [ t ， t + Δ t ) } = P { t < X 0 * < t + Δ t ， N * ( t + Δ t ) − N * ( t ) = 1 | X * ( t ) = i ， θ * [ t ， t + Δ t ) } + o ( Δ t ) = P { t < X 0 * < t + Δ t | X * ( t ) = i ， θ * [ t ， t + Δ t ) } P { N * ( t + Δ t ) − N * ( t ) = 1 | θ * [ t ， t + Δ t ) } + o ( Δ t ) = ( e − μ ( θ * ) Δ t ) min ( i ， n ) λ ( θ * ) Δ t e − λ ( θ * ) Δ t + o ( Δ t ) = λ ( θ * ) Δ t + o ( Δ t ) 系统中总人数减少一位的概率为： p i ， i − 1 ( Δ t ， θ * ) ≡ P { X * ( t + Δ t ) = i − 1 | X * ( t ) = i ， ξ * [ t ， t + Δ t ) = θ * [ t ， t + Δ t ) } = ∑ k = 0 min ( i ， n ) P { t < X k * < t + Δ t ， N * ( t + Δ t ) − N * ( t ) = k − 1 | X * ( t ) = i ， θ * [ t ， t + Δ t ) } = P { t < X 1 * < t + Δ t ， N * ( t + Δ t ) − N * ( t ) = 0 | X * ( t ) = i ， θ * [ t ， t + Δ t ) }     + P { t < X 2 * < t + Δ t ， N * ( t + Δ t ) − N * ( t ) = 1 | X * ( t ) = i ， θ * [ t ， t + Δ t ) } + o ( Δ t ) = C min ( i ， n ) 1 ( 1 − e − μ ( θ * ) Δ t ) ( e − μ ( θ * ) Δ t ) min ( i ， n ) − 1 e − λ ( θ * ) Δ t     + C min ( i ， n ) 2 ( 1 − e − μ ( θ * ) Δ t ) 2 ( e − μ ( θ * ) Δ t ) min ( i ， n ) − 2 λ ( θ * ) Δ t e − λ ( θ * ) Δ t + o ( Δ t ) = min ( i ， n ) μ ( θ * ) Δ t + o ( Δ t ) = { i μ ( θ * ) Δ t + o ( Δ t ) ，       i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 ， n μ ( θ * ) Δ t + o ( Δ t ) ，     i = n ， n + 1 ， n + 2 ， ⋯ . 同理可得，当 | j − i | ≥ 2 时： p i ， j ( Δ t ， θ * ) ≡ P { X * ( t + Δ t ) = j | X * ( t ) = i ， ξ * [ t ， t + Δ t ) = θ * [ t ， t + Δ t ) } = o ( Δ t ) 所以我们可以得到： p i ， i ( Δ t ， θ * ) ≡ P { X * ( t + Δ t ) = j | X * ( t ) = i ， ξ * [ t ， t + Δ t ) = θ * [ t ， t + Δ t ) } = 1 − λ ( θ * ) Δ t − μ i ( θ * ) Δ t + o ( Δ t ) 其中 μ i ( θ * ) = { i μ ( θ * ) ，       i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 ， n μ ( θ * ) ，     i = n ， n + 1 ， n + 2 ， ⋯ . (1) 根据随机环境中生灭过程 [ 7 ] 的定义知，随机环境中的M/M/n排队系统的状态过程 { X * ( t ) ， t ≥ 0 } 是一随机环境中的生灭过程。生率为 λ i ( θ * ) = λ ( θ * ) ，     i ， = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ . 灭率由(1)式给出。 由 [ 10 ] 可知，当满足 ∑ k = 1 ∞ λ 0 ( θ * ) λ 1 ( θ * ) ⋯ λ k − 1 ( θ * ) μ 1 ( θ * ) μ 2 ( θ * ) ⋯ μ k ( θ * ) < ∞ ， 时，随机环境中的生灭过程存在平稳分布。即 ∑ k = 1 n − 1 1 k ! ( λ ( θ ∗ ) μ ( θ ∗ ) ) k + ∑ k = n ∞ n n n ! ( λ ( θ ∗ ) n μ ( θ ∗ ) ) k < ∞ ， 记 ρ ( θ ∗ ) ≡ λ ( θ ∗ ) n μ ( θ ∗ ) ， 那么，当满足 P { θ ∗ ∈ Θ ∗ | ρ ( θ ∗ ) < 1 } = 1 时， { X * ( t ) ， t ≥ 0 } 有平稳分布，且平稳分布为 π k * = { ( n ρ ( θ * ) ) k π 0 * k ! ，     k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 n n ρ k ( θ * ) π 0 * n ! ，       k = n ， n + 1 ， ⋯ (2) π 0 * = [ ∑ k = 0 n − 1 ( n ρ ( θ ∗ ) ) k k ! + ( n ρ ( θ ∗ ) ) n n ! ( 1 − ρ ( θ ∗ ) ) ] − 1 (3) 其中， π k * 表示随机环境中的M/M/n排队系统处于平衡状态后，系统中有k个顾客的概率。