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user: 6. Mallat算法 如果 Φ ( x ， y ) 和 Φ ˜ ( x ， y ) 是双正交二维四向多加细函数， Ψ h ， i ( x ， y ) 和 Ψ ˜ h ， i ( x ， y ) 是相应的双正交二维四向多小波函数，对于能量有限信号 f ( x ， y ) ∈ L ( R 2 ) 在分辨率 a j 下的近似函数 f j ( x ， y ) ∈ V j ，则 V j + 1 可分解为 V j + 1 = V j ⊕ W j = V j ⊕ h = 1 a − 1 { W j h ， 1 ⊕ W j h ， 2 ⊕ W j h ， 3 } ，则 ∀ f j + 1 ( x ， y ) ∈ V j + 1 ，记 c j ， k 1 ， k 2 = [ c j ， k 1 ， k 2 1 ， c j ， k 1 ， k 2 2 ， ⋯ ， c j ， k 1 ， k 2 r ] T ， d j ， k 1 ， k 2 = [ d j ， k 1 ， k 2 1 ， d j ， k 1 ， k 2 2 ， ⋯ ， d j ， k 1 ， k 2 r ] T 有 f j + 1 ( x ， y ) = ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， + Φ j + 1， k 1 ， k 2 + ， + + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， − Φ j + 1， k 1 ， k 2 + ， −     + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， + Φ j + 1， k 1 ， k 2 − ， + + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， − Φ j + 1， k 1 ， k 2 − ， − = ∑ k 1 ， k 2 c j ， k 1 ， k 2 + ， + Φ j ， k 1 ， k 2 + ， + + ∑ k 1 ， k 2 c j ， k 1 ， k 2 + ， − Φ j ， k 1 ， k 2 + ， − + ∑ k 1 ， k 2 c j ， k 1 ， k 2 − ， + Φ j ， k 1 ， k 2 − ， +     + ∑ k 1 ， k 2 c j ， k 1 ， k 2 − ， − Φ j ， k 1 ， k 2 − ， − + ∑ h = 1 a − 1 ∑ r = 1 3 [ ∑ k 1 ， k 2 d j ， k 1 ， k 2 h ， i ， + ， + Ψ j ， k 1 ， k 2 h ， i ， + ， + + ∑ k 1 ， k 2 d j ， k 1 ， k 2 h ， i ， + ， − Ψ j ， k 1 ， k 2 h ， i ， + ， −     + ∑ k 1 ， k 2 d j ， k 1 ， k 2 h ， i ， − ， + Ψ j ， k 1 ， k 2 h ， i ， − ， + + ∑ k 1 ， k 2 d j ， k 1 ， k 2 h ， i ， − ， − Ψ j ， k 1 ， k 2 h ， i ， − ， − ] 6.1. 分解算法 如果 f ( x ， y ) 在分辨率 a j + 1 下的近似函数为 f j + 1 ( x ， y ) ，那么它可以进一步分解为 f ( x ， y ) 在 a j 下的主要部分(通过低通滤波器得到)和细节部分(通过高通滤波器得到)。即分解算法要实现的目标就是：已知 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， + ， c j + 1， k 1 ， k 2 + ， − ， c j + 1， k 1 ， k 2 − ， + ， c j + 1， k 1 ， k 2 − ， − ，求 c j ， k 1 ， k 2 + ， + ， c j ， k 1 ， k 2 + ， − ， c j ， k 1 ， k 2 − ， + ， c j ， k 1 ， k 2 − ， − 和 d j ， k 1 ， k 2 + ， + ， d j ， k 1 ， k 2 + ， − ， d j ， k 1 ， k 2 − ， + ， d j ， k 1 ， k 2 − ， − 。 定理11：若 f j + 1 ( x ， y ) = ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， + Φ j + 1， k 1 ， k 2 + ， + + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， − Φ j + 1， k 1 ， k 2 + ， − + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， + Φ j + 1， k 1 ， k 2 − ， + + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， − Φ j + 1， k 1 ， k 2 − ， − 并且由(1)式和(17)式，我们可以得到下列分解公式 c j ， n 1 ， n 2 + ， + = 1 a 2 [ ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， + P k 1 − a n 1 ， k 2 − a n 2 + ， + ¯ + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， − P k 1 − a n 1 ， k 2 − a n 2 + ， − ¯     + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， + P k 1 − a n 1 ， k 2 − a n 2 − ， + ¯ + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， − P k 1 − a n 1 ， k 2 − a n 2 − ， − ¯ ] ; c j ， n 1 ， n 2 + ， − = 1 a 2 [ ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， + P k 1 − a n 1 ， a n 2 − k 2 + ， − ¯ + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， − P k 1 − a n 1 ， a n 2 − k 2 + ， + ¯     + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， + P k 1 − a n 1 ， a n 2 − k 2 − ， − ¯ + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， − P k 1 − a n 1 ， a n 2 − k 2 − ， + ¯ ] ; c j ， n 1 ， n 2 − ， + = 1 a 2 [ ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， + P a n 1 − k 1 ， k 2 − a n 2 − ， + ¯ + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， − P a n 1 − k 1 ， k 2 − a n 2 − ， − ¯     + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， + P a n 1 − k 1 ， k 2 − a n 2 + ， + ¯ + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， − P a n 1 − k 1 ， k 2 − a n 2 + ， − ¯ ] ; c j ， n 1 ， n 2 − ， − = 1 a 2 [ ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， + P a n 1 − k 1 ， a n 2 − k 2 − ， − ¯ + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， − P a n 1 − k 1 ， a n 2 − k 2 − ， + ¯     + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， + P a n 1 − k 1 ， a n 2 − k 2 − ， + ¯ + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， − P a n 1 − k 1 ， a n 2 − k 2 + ， + ¯ ] ; d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， + ， + = 1 a 2 [ ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， + Q k 1 − a n 1 ， k 2 − a n 2 h ， i ， + ， + ¯ + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， − Q k 1 − a n 1 ， k 2 − a n 2 h ， i ， + ， − ¯     + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， + Q k 1 − a n 1 ， k 2 − a n 2 h ， i ， − ， + ¯ + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， − Q k 1 − a n 1 ， k 2 − a n 2 h ， i ， − ， − ¯ ] ; d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， + ， − = 1 a 2 [ ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， + Q k 1 − a n 1 ， a n 2 − k 2 h ， i ， + ， − ¯ + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， − Q k 1 − a n 1 ， a n 2 − k 2 h ， i ， + ， + ¯     + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， + Q k 1 − a n 1 ， a n 2 − k 2 h ， i ， − ， − ¯ + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， − Q k 1 − a n 1 ， a n 2 − k 2 h ， i ， − ， + ¯ ] ; d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， − ， + = 1 a 2 [ ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， + Q a n 1 − k 1 ， k 2 − a n 2 h ， i ， − ， + ¯ + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， − Q a n 1 − k 1 ， k 2 − a n 2 h ， i ， − ， − ¯     + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， + Q a n 1 − k 1 ， k 2 − a n 2 h ， i ， + ， + ¯ + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， − Q a n 1 − k 1 ， k 2 − a n 2 h ， i ， + ， − ¯ ] ; d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， − ， − = 1 a 2 [ ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， + Q a n 1 − k 1 ， a n 2 − k 2 h ， i ， − ， − ¯ + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， − Q a n 1 − k 1 ， a n 2 − k 2 h ， i ， − ， + ¯     + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， + Q a n 1 − k 1 ， a n 2 − k 2 h ， i ， + ， − ¯ + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， − Q a n 1 − k 1 ， a n 2 − k 2 h ， i ， + ， + ¯ ] ; 其中： h = 1 ， 2 ， ⋯ ， a − 1 ;   i = 1 ， 2 ， 3 。 证明：因为 { Φ ( x − k ， y − l ) ， Φ ( x − k ， l − y ) ， Φ ( k − x ， y − l ) ， Φ ( k − x ， l − y ) : k ， l ∈ Z } 是 V 0 的标准正交基，所以就有 c j ， n 1 ， n 2 + ， + = 〈 f j + 1 ， Φ j ， n 1 ， n 2 + ， + 〉 = ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， + 〈 Φ j + 1， n 1 ， n 2 + ， + ， Φ j ， n 1 ， n 2 + ， + 〉   + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， − 〈 Φ j + 1， n 1 ， n 2 + ， − ， Φ j ， n 1 ， n 2 + ， + 〉   + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， + 〈 Φ j + 1， n 1 ， n 2 − ， + ， Φ j ， n 1 ， n 2 + ， + 〉   + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， − 〈 Φ j + 1， n 1 ， n 2 − ， − ， Φ j ， n 1 ， n 2 + ， + 〉 ， 则根据(1)式和(20)式可以知道， 〈 Φ j + 1， n 1 ， n 2 + ， + ， Φ j ， n 1 ， n 2 + ， + 〉 = 1 a 2 P k 1 − a n 1 ， k 2 − a n 2 + ， + ¯ 。同理可以证得： 〈 Φ j + 1， n 1 ， n 2 + ， − ， Φ j ， n 1 ， n 2 + ， + 〉 = 1 a 2 P k 1 − a n 1 ， k 2 − a n 2 + ， − ¯ ; 〈 Φ j + 1， n 1 ， n 2 − ， + ， Φ j ， n 1 ， n 2 + ， + 〉 = 1 a 2 P k 1 − a n 1 ， k 2 − a n 2 − ， + ¯ ; 〈 Φ j + 1， n 1 ， n 2 − ， − ， Φ j ， n 1 ， n 2 + ， + 〉 = 1 a 2 P k 1 − a n 1 ， k 2 − a n 2 − ， − ¯ ， 故我们就可以得到 c j ， n 1 ， n 2 + ， + = 1 a 2 [ ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， + P k 1 − a n 1 ， k 2 − a n 2 + ， + ¯ + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， − P k 1 − a n 1 ， k 2 − a n 2 + ， − ¯     + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， + P k 1 − a n 1 ， k 2 − a n 2 − ， + ¯ + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， − P k 1 − a n 1 ， k 2 − a n 2 − ， − ¯ ] ， 其它等式同理可证。 6.2. 重构算法 通过 f ( x ， y ) 在分辨率 a j 下的主要部分和细节部分，来重构 f ( x ， y ) 在分辨率 a j + 1 下的主要部分，也即重构算法是分解算法的逆过程，那么要实现的目标就是：已知 c j ， k 1 ， k 2 + ， + ， c j ， k 1 ， k 2 + ， − ， c j ， k 1 ， k 2 − ， + ， c j ， k 1 ， k 2 − ， − 和 d j ， k 1 ， k 2 + ， + ， d j ， k 1 ， k 2 + ， − ， d j ， k 1 ， k 2 − ， + ， d j ， k 1 ， k 2 − ， − 求 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， + ， c j + 1， k 1 ， k 2 + ， − ， c j + 1， k 1 ， k 2 − ， + ， c j + 1， k 1 ， k 2 − ， − 。 定理12：若 f j + 1 ( x ， y ) = ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， + Φ j + 1， k 1 ， k 2 + ， + + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 + ， − Φ j + 1， k 1 ， k 2 + ， − + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， + Φ j + 1， k 1 ， k 2 − ， + + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， − Φ j + 1， k 1 ， k 2 − ， − 并且由(1)式和(17)式，我们可以得到下列重构公式 c j + 1， n 1 ， n 2 + ， + = 1 a 2 [ ∑ k 1 ， k 2 c j ， n 1 ， n 2 + ， + P n 1 − a k 1 ， n 2 − a k 2 + ， + + ∑ k 1 ， k 2 c j ， n 1 ， n 2 + ， − P n 1 − a k 1 ， n 2 − a k 2 + ， −     + ∑ k 1 ， k 2 c j ， n 1 ， n 2 − ， + P n 1 − a k 1 ， n 2 − a k 2 − ， + + ∑ k 1 ， k 2 c j ， n 1 ， n 2 − ， − P n 1 − a k 1 ， n 2 − a k 2 − ， −     + ∑ h = 1 a − 1 ∑ r = 1 3 ( ∑ k 1 ， k 2 d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， + ， + Q n 1 − a k 1 ， n 2 − a k 2 h ， i ， + ， + + ∑ k 1 ， k 2 d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， + ， − Q n 1 − a k 1 ， n 2 − a k 2 h ， i ， + ， −     + ∑ k 1 ， k 2 d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， − ， + Q n 1 − a k 1 ， n 2 − a k 2 h ， i ， + − ， + + ∑ k 1 ， k 2 d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， − ， − Q n 1 − a k 1 ， n 2 − a k 2 h ， i ， − ， − ) ] ; c j + 1， n 1 ， n 2 + ， − = 1 a 2 [ ∑ k 1 ， k 2 c j ， n 1 ， n 2 + ， + P n 1 − a k 1 ， a k 2 − n 2 + ， − + ∑ k 1 ， k 2 c j ， n 1 ， n 2 + ， − P n 1 − a k 1 ， a k 2 − n 2 + ， +     + ∑ k 1 ， k 2 c j ， n 1 ， n 2 − ， + P n 1 − a k 1 ， a k 2 − n 2 − ， − + ∑ k 1 ， k 2 c j ， n 1 ， n 2 − ， − P n 1 − a k 1 ， a k 2 − n 2 − ， +     + ∑ h = 1 a − 1 ∑ r = 1 3 ( ∑ k 1 ， k 2 d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， + ， + Q n 1 − a k 1 ， a k 2 − n 2 h ， i ， + ， − + ∑ k 1 ， k 2 d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， + ， − Q n 1 − a k 1 ， a k 2 − n 2 h ， i ， + ， +     + ∑ k 1 ， k 2 d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， − ， + Q n 1 − a k 1 ， a k 2 − n 2 h ， i ， − ， − + ∑ k 1 ， k 2 d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， − ， − Q n 1 − a k 1 ， a k 2 − n 2 h ， i ， − ， + ) ] ; c j + 1， n 1 ， n 2 − ， + = 1 a 2 [ ∑ k 1 ， k 2 c j ， n 1 ， n 2 + ， + P a k 1 − n 1 ， n 2 − a k 2 − ， + + ∑ k 1 ， k 2 c j ， n 1 ， n 2 + ， − P a k 1 − n 1 ， n 2 − a k 2 − ， −     + ∑ k 1 ， k 2 c j ， n 1 ， n 2 − ， + P a k 1 − n 1 ， n 2 − a k 2 + ， + + ∑ k 1 ， k 2 c j ， n 1 ， n 2 − ， − P a k 1 − n 1 ， n 2 − a k 2 + ， −     + ∑ h = 1 a − 1 ∑ r = 1 3 ( ∑ k 1 ， k 2 d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， + ， + Q a k 1 − n 1 ， n 2 − a k 2 h ， i ， − ， + + ∑ k 1 ， k 2 d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， + ， − Q a k 1 − n 1 ， n 2 − a k 2 h ， i ， − ， −     + ∑ k 1 ， k 2 d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， − ， + Q a k 1 − n 1 ， n 2 − a k 2 h ， i ， + ， + + ∑ k 1 ， k 2 d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， − ， − Q a k 1 − n 1 ， n 2 − a k 2 h ， i ， + ， − ) ] ; c j + 1， n 1 ， n 2 − ， − = 1 a 2 [ ∑ k 1 ， k 2 c j ， n 1 ， n 2 + ， + P a k 1 − n 1 ， a k 2 − n 2 − ， − + ∑ k 1 ， k 2 c j ， n 1 ， n 2 + ， − P a k 1 − n 1 ， a k 2 − n 2 − ， +     + ∑ k 1 ， k 2 c j ， n 1 ， n 2 − ， + P a k 1 − n 1 ， a k 2 − n 2 + ， − + ∑ k 1 ， k 2 c j ， n 1 ， n 2 − ， − P a k 1 − n 1 ， a k 2 − n 2 + ， +     + ∑ h = 1 a − 1 ∑ r = 1 3 ( ∑ k 1 ， k 2 d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， + ， + Q a k 1 − n 1 ， a k 2 − n 2 h ， i ， − ， − + ∑ k 1 ， k 2 d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， + ， − Q a k 1 − n 1 ， a k 2 − n 2 h ， i ， − ， +     + ∑ k 1 ， k 2 d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， − ， + Q a k 1 − n 1 ， a k 2 − n 2 h ， i ， + ， − + ∑ k 1 ， k 2 d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， − ， − Q a k 1 − n 1 ， a k 2 − n 2 h ， i ， + ， + ) ] . 证明：由于 c j + 1， n 1 ， n 2 + ， + = 〈 f j + 1 ， Φ j + 1， n 1 ， n 2 + ， + 〉 = ∑ k 1 ， k 2 c j ， k 1 ， k 2 + ， + 〈 Φ j ， n 1 ， n 2 + ， + ， Φ j + 1， n 1 ， n 2 + ， + 〉 + ∑ k 1 ， k 2 c j ， k 1 ， k 2 + ， − 〈 Φ j ， n 1 ， n 2 + ， − ， Φ j + 1， n 1 ， n 2 + ， + 〉     + ∑ k 1 ， k 2 c j ， k 1 ， k 2 − ， + 〈 Φ j ， n 1 ， n 2 − ， + ， Φ j + 1， n 1 ， n 2 + ， + 〉 + ∑ k 1 ， k 2 c j + 1， k 1 ， k 2 − ， − 〈 Φ j ， n 1 ， n 2 − ， − ， Φ j + 1， n 1 ， n 2 + ， + 〉     + ∑ h = 1 a − 1 ∑ r = 1 3 [ ∑ k 1 ， k 2 d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， + ， + 〈 Ψ j ， k 1 ， k 2 h ， i ， + ， + ， Φ j + 1， n 1 ， n 2 + ， + 〉 + ∑ k 1 ， k 2 d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， + ， − 〈 Ψ j ， k 1 ， k 2 h ， i ， + ， − ， Φ j + 1， n 1 ， n 2 + ， + 〉     + ∑ k 1 ， k 2 d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， − ， + 〈 Ψ j ， k 1 ， k 2 h ， i ， − ， + ， Φ j + 1， n 1 ， n 2 + ， + 〉 + ∑ k 1 ， k 2 d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， − ， − 〈 Ψ j ， k 1 ， k 2 h ， i ， − ， − ， Φ j + 1， n 1 ， n 2 + ， + 〉 ] ， 而且 〈 Φ j ， n 1 ， n 2 + ， + ， Φ j + 1， n 1 ， n 2 + ， + 〉 = 1 a 2 P n 1 − a k 1 ， n 2 − a k 2 + ， + ，类似可得 〈 Φ j ， n 1 ， n 2 + ， − ， Φ j + 1， n 1 ， n 2 + ， + 〉 = 1 a 2 P n 1 − a k 1 ， n 2 − a k 2 + ， − ; 〈 Φ j ， n 1 ， n 2 − ， + ， Φ j + 1， n 1 ， n 2 + ， + 〉 = 1 a 2 P n 1 − a k 1 ， n 2 − a k 2 − ， + ; 〈 Φ j ， n 1 ， n 2 − ， − ， Φ j + 1， n 1 ， n 2 + ， + 〉 = 1 a 2 P n 1 − a k 1 ， n 2 − a k 2 − ， − . 故我们可以证得 c j + 1， n 1 ， n 2 + ， + = 1 a 2 [ ∑ k 1 ， k 2 c j ， n 1 ， n 2 + ， + P n 1 − a k 1 ， n 2 − a k 2 + ， + + ∑ k 1 ， k 2 c j ， n 1 ， n 2 + ， − P n 1 − a k 1 ， n 2 − a k 2 + ， −     + ∑ k 1 ， k 2 c j ， n 1 ， n 2 − ， + P n 1 − a k 1 ， n 2 − a k 2 − ， + + ∑ k 1 ， k 2 c j ， n 1 ， n 2 − ， − P n 1 − a k 1 ， n 2 − a k 2 − ， −     + ∑ h = 1 a − 1 ∑ r = 1 3 ( ∑ k 1 ， k 2 d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， + ， + Q n 1 − a k 1 ， n 2 − a k 2 h ， i ， + ， + + ∑ k 1 ， k 2 d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， + ， − Q n 1 − a k 1 ， n 2 − a k 2 h ， i ， + ， −     + ∑ k 1 ， k 2 d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， − ， + Q n 1 − a k 1 ， n 2 − a k 2 h ， i ， + − ， + + ∑ k 1 ， k 2 d j ， n 1 ， n 2 h ， i ， − ， − Q n 1 − a k 1 ， n 2 − a k 2 h ， i ， − ， − ) ] ; 其它等式同理可证。