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user: 3. 课程思政与教学实践 3.1. 挑选经典数学模型 在社会经济活动中多个实体，例如个人、公司、社团、国家等，相互合作形成联盟，通常能够得到比单独行动时更大的利益。而促成合作的前提就是，合作各方能够在联盟中得到应有的利益，即合理分配效益。对于合理分配效益问题，可以用合作博弈模型进行分析。合作博弈模型有很多种解，例如协商解、均衡解、最小距离解、满意解、Raiffa解等。这里选择Shapley值，它背后的价值观是公平。 3.2. 挖掘经典数学模型背后的价值观 党的十八大提出“倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平等、公正、法治，倡导爱国、敬业、诚信、友善，积极培育和践行社会主义核心价值观”。其中，公正即公平和正义。因此，公平是社会主义核心价值观的一部分。公平概念比较抽象，其准确内涵难于把握。可以借助于数学方法，利用数学语言的准确性帮助理解。1953年，Shapley从人们对公平的共识中挑选出三点设为公理，基于这三个公理，推导出唯一符合公平原则的分配方案 [ 13 ]。因此，可以认为这三个公理就是公平的准确内涵。下面简单介绍一下Shapley的研究 [ 14 ]。 首先给出合作博弈模型。记 I = { 1 ， 2 ， ⋯ ， n } 为 人集合。若对于 的任一子集 s ⊆ I 都对应着一个实数函数 v ( s ) ，且满足下列条件：1) v ( ϕ ) = 0 ；2) 对于任意两个子集 s 1 ， s 2 ⊆ I 且 s 1 ∩ s 2 = ∅ ，都有 v ( s 1 ∪ s 2 ) ≥ v ( s 1 ) + v ( s 2 ) ，则称 [ I ， v ] 为合作博弈，v为博弈的特征函数。在实际问题中，s是联盟， v ( s ) 是联盟 的获利，而条件2)表明全员合作总比单干或者小团体合作有利。合作博弈就是要确定每个人的获利 φ i ( v ) ，而对全体成员来讲就是分配方案 φ ( v ) = ( φ 1 ( v ) ， φ 2 ( v ) ， ⋯ ， φ n ( v ) ) 。显然，若要达成全员合作，分配方案需要满足 ∑ i ∈ s φ i ( v ) ≥ v ( s ) ，当 s = I 时等号成立。合作博弈的限制较少，可以找到多个解。Shapley希望从众多解中找出最公平的解。他从人们对公平的共识中挑选出三点设为公理，要求合作博弈满足这些公理。通过证明发现在这些公理的限制下合作博弈只余下唯一一个解，即Shapley值 φ i ( v ) = ∑ s ∈ S i w ( | s | ) ( v ( s ) − v ( s \ i ) ) 。其中 S i 是I中包含成员i的所有子集构成的集合， | s | 表示联盟s中元素的个数， w ( | s | ) 是加权因子，其表达式为 w ( | s | ) = ( | s | − 1 ) ! ( n − | s | ) ! / n ! ， v ( s ) − v ( s \ i ) 是成员i对联盟s的边际贡献。三个公理如下： 公理1 (对称性)若两个成员i和j对各个联盟的边际贡献总是相等，则有 φ i ( v ) = φ j ( v ) 。直观地说就是同工同酬。 公理2 (有效性)合作各方获利总和等于合作获利，即利益属于工作者： ∑ i ∈ I φ i ( v ) = v ( I ) 。 公理3 (可加性)若有两个合作博弈 [ I ， v 1 ] 和 [ I ， v 2 ] ，则 φ i ( v 1 + v 2 ) = φ i ( v 1 ) + φ i ( v 2 ) 对于所有i均成立。这意味着多种合作存在时，每种合作的利益分配与其他合作结果无关，即多劳多得。 三个公理的直观解释分别是同工同酬，利益属于工作者，多劳多得。这三点共同构成了公平完整、准确的内涵。 3.3. 课堂上逐步引导学生理解公平的内涵 首先给出经典的三人经商分配问题：甲乙丙三人合作经商。若每人单干各获利2万元，若甲乙合作总共获利14万元，甲丙合作总共获利10万元，乙丙合作总共获利8万元，三人合作总共获利20万元，问三人合作时如何分配利益？介绍并建立合作博弈模型：甲乙丙三人记为 I = { 1 ， 2 ， 3 } ，经商获利定义为 上的特征函数，即 v ( ϕ ) = 0 ， v ( 1 ) = v ( 2 ) = v ( 3 ) = 2 ， v ( 1 ， 2 ) = 14 ， v ( 1 ， 3 ) = 10 ， v ( 2 ， 3 ) = 8 ， v ( I ) = 20 。这个合作博弈有无穷多个解，例如 ( φ 1 ( v ) ， φ 2 ( v ) ， φ 3 ( v ) ) = ( 8 ， 6 ， 6 ) ， ( 12 ， 4 ， 4 ) ， ( 6 ， 10 ， 4 ) 等。在这些解中，哪一个是最合理的解呢？引导学生通过讨论得出结论，最合理的解应该是公平的分配方案。之后组织学生讨论公平的含义。然后给出Shapley的三个公理和唯一解Shapley值的公式，引导学生理解隐含在三个公理背后的公平含义。最后，使用Shapley值的公式求解三人经商分配问题。为计算甲的获利 φ 1 ( v ) ，先找出I中包含 的所有子集，得到集合 S 1 = { { 1 } ， { 1 ， 2 } ， { 1 ， 3 } ， I } ，再令s遍历 S 1 ，将计算结果记入表1。将表1末行相加得 φ 1 ( v ) = 8 。同法可得 φ 2 ( v ) = 7 ， φ 3 ( v ) = 5 。这些就是Shapley值给出的甲乙丙三人应得的利益。直觉上，和甲合作可以获得最大的利益，和乙合作获得的利益次之，和丙合作获得的利益最小，因此可以推知甲在他所参与的合作中贡献最大，乙次之，丙贡献最小。Shapley值给出的分配方案与直觉一致。鼓励学生将数学结果与直觉对照，进一步加深学生对公平含义的理解。 Table 1 Calculation of the payoff φ1(v) of Party A in the three-person business cooperatio s {1} {1，2} {1，3} v ( s ) 2 14 10 20 v ( s \ 1 ) 0 2 2 8 v ( s ) − v ( s \ 1 ) 2 12 8 12 | s | 1 2 2 3 w ( | s | ) 1/3 1/6 1/6 1/3 w ( | s | ) [ v ( s ) − v ( s \ 1 ) ] 2/3 2 4/3 4 表1. 三人经商中甲的利益φ 1 (v)的计算 3.4. 课程思政教学效果评价 对价值引领的效果评价一直都是教育学界的难题。单一的评价方法无法全面的评价课程思政教学效果。因此，需要使用多种评价方法从不同角度进行评价。第一种评价方法是将思政元素融入作业或试题，通过回答直接了解学生对思政元素的理解和接受程度。第二种评价方法是同行评价。邀请课程组的其他教师考查思政元素和教学方法。如果正确地提取了思政元素，并且采用了恰当的教学方法，则间接说明课程思政会产生效果。第三种评价方法是学生评教。如果学生喜欢这门课，则可以推知学生会接受课程中融入的思政元素。三种评价方法相结合，在一定程度上能够反映出课程思政的教学效果。2019~2020学年第二学期的课程考核显示学生很好地理解了融入在教学内容中的思政元素；同行和督导认可思政元素和教学方法；78名学生参加了对课程的评价，其中有效评价人数70名，总评分为90.35，详细评价结果见表2；这些或直接地或间接地说明学生接受了思政元素对于价值观的正面引导。 Table 2 Student evaluation result 评价指标 单项均值 满意度 权重 优秀 良好 一般 较差 教师对教学工作认真负责，按时上课、下课 93.50 93.500 0.1 64 5 1 教师讲课思路清晰，语言流畅，概念准确 91.36 91.357 0.2 53 17 教学内容充实，重点突出，能理论联系实际 90.93 90.929 0.2 51 19 善于启发学生思考，培养学生分析问题、解决问题的能力 90.50 90.500 0.2 50 19 1 教师有良好的课堂组织能力，注重交流沟通，合理布置作业，批改认真 89.64 89.643 0.2 46 23 1 该教学有效促进了我对该课程学习的兴趣和知识的掌握 85.14 85.143 0.1 26 42 2 表2. 学生评价结果