system: [SYSTEM]

user: 2. 波动率模型及其估计方法 2.1. GARCH模型 GARCH模型是由Bollerslev [ 13 ] 基于ARCH模型提出的一个推广形式，广义ARCH模型。由于GARCH模型能够捕捉金融时间序列中一些重要的特征，例如，随时间变化的异方差性和波动率聚集性，使其成为波动率研究中一个标准方法。 一般的GARCH模型： r t = ϕ 0 + ∑ i = 1 p 1 ϕ i r t − i + a t − ∑ j = 1 q 1 φ j a t − j a t = σ t ε t σ t 2 = ω + ∑ i = 1 p 2 α i a t − i 2 + ∑ j = 1 q 2 β j σ t − j 2 (1) 其中 r t 表示金融时间序列， { ε t } 是均值为0、方差为1的独立同分布随机变量序列， σ t 2 是条件方差，即条件波动率。 ω > 0 ， α i ≥ 0 ， β j ≥ 0 ， ∑ i = 1 max ( p ， q ) ( α i + β i ) < 1 (这里对 i > p ， α i = 0 ，对 j > q ， β j = 0 )。对 α i + β i 的限制条件是保证 a t 的无条件方差是有限的，同时条件方差 σ t 2 是随时间变化的。通常假定 ε t 服从标准正态分布或标准化的学生-t分布或广义误差分布(GED)。 2.2. MRS-GARCH模型 由于GARCH模型在对波动率进行预测时，假设条件波动率在整个时期只有一个机制，没有考虑到突发事件和预期的改变等冲击可能会使影响金融资产价格的结构发生显著变化，前后往往表现出不同的特征，为了反映这种结构性变化，将马尔科夫状态转换方法引入波动率模型中，刻画了金融资产在不同状态下的特征及其转换行为。MRS-GARCH模型的形式为： r t = ϕ 0 + ∑ i = 1 p 1 ϕ i r t − i + a t − ∑ j = 1 q 1 φ j a t − j a t = ε t σ t 2 σ t 2 = ω s t + ∑ i = 1 p 2 α s t ， i a t − i 2 + ∑ j = 1 q 2 β s t ， j σ t − j 2 (2) s t 表示 r t 在 t 时刻的状态， ω s t ， α s t ， i ， β s t ， j 都是依赖于 t 时刻状态为 s t 的参数。 状态之间的转移服从一阶马尔科夫过程： p m n = P ( s t + 1 = n | s t = m ， s t − 1 = k ， ⋯ ， r t ， r t − 1 ， ⋯ ) = P ( s t + 1 = n | s t = m ) (3) p m n 表示状态 m 到状态 n 的一步转移概率。 k 表示状态的个数。本文只考虑两个状态。则转移概率矩阵为： P = ( p 11 p 21 p 12 p 22 ) 且有 ∑ n = 1 2 p m n = 1 ，   0 ≤ p m n ≤ 1 ，   ( m = 1 ， 2 ) 。 对于MRS-GARCH模型的估计一般使用极大似然估计，待估参数为 θ = ( μ ， ω 1 ， ω 2 ， α 1 ， α 2 ， β 1 ， β 2 ， p 11 ， p 22 ) 。为得到样本的对数似然函数，需要进行滤波过程。对数似然函数为 L ( θ | a ) = ∑ t = 2 T ln f ( a t | θ ， Ω t − 1 ) ，其中 a = ( a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a T ) ′ ， Ω t − 1 = ( a t − 1 ， a t − 2 ， ⋯ ， a 1 ) 表示 t − 1 时刻的信息集。通过计算可以得到极大似然估计 θ ^ 。 2.3. HMM-GARCH模型 2.3.1. 隐马尔科夫模型的理论知识 隐马尔科夫模型是由两个随机过程组成的一个双随机过程，用来描述一个含有未知参数的马尔科夫过程。主要从可观察到的变量中确定该过程的隐含参数，然后再用这些参数进行下一步分析。 隐马尔科夫模型可以由一个五元组 λ = ( M ， N ， A ， B ， Π ) 表示，其中： N 表示隐含状态数量。隐含状态之间满足马尔科夫性质，是马尔科夫模型中实际隐含的状态。 M 表示可观察状态数目。可观察状态在模型中与隐含状态相关联，可通过直接观察得到，可观察状态数目 M 不一定要和隐含状态数目 N 一致。 A 表示隐含状态转移概率矩阵。可以表示为 a i j ∈ A ， a i j 表示在 t 时刻从状态 i 转移到 j 的概率，其中 1 ≤ i ， j ≤ N 。 B 表示观察状态概率矩阵。 b j ( k ) ∈ B ， b j ( k ) 表示在 t 时刻从状态 j 中选择观察特征为 x k 的概率，其中， 1 ≤ j ≤ N ; 1 ≤ k ≤ M 。 Π ：表示初始状态的概率分布， Π = { π 1 ， π 2 ， ⋯ } ， π i = P { s t = i } ， π i 表示在 t 时刻选择状态 i 的概率，其中， s t 表示 t 时刻的状态， 1 ≤ i ≤ N 。 2.3.2. HMM-GARCH模型 由于HMM-GARCH模型与MRS-GARCH模型都是基于GARCH模型对市场结构突变发生前后不同状态的波动率进行估计，只是两者对状态的分类方法不同。因此两者的波动率模型相同，具有相同的表达式： r t = ϕ 0 + ∑ i = 1 p 1 ϕ i r t − i + a t − ∑ j = 1 q 1 φ j a t − j a t = ε t σ t 2 σ t 2 = ω s t + ∑ i = 1 p 2 α s t ， i a t − i 2 + ∑ j = 1 q 2 β s t ， j σ t − j 2 (4) s t 表示 r t 在 t 时刻的状态， ω s t ， α s t ， i ， β s t ， j 都是依赖于 t 时刻状态为 s t 的参数。并且状态之间的转移服从马尔科夫状态转移概率矩阵 P 。 2.3.3. HMM-GARCH模型 HMM模型的参数估计通常使用Baum-Welch算法。具体思想是：首先给定一个观察序列，调整模型参数 λ ，使其产生观察序列的概率 P ( O | λ ) 最大，再利用迭代过程确定模型的参数。实际中，在给定的观察序列有限时，不存在一个最佳的方法来估计 λ ，只可能找到某些方法，让参数 λ 在特定的几个性能上有较强的优势。在这种情况下，Baum-Welch算法利用递推的思想，使得条件概率局部最大，最后得到模型参数的最终估计值。具体步骤如下： 首先在给出模型参数和观察序列的前提下，定义 ξ t ( i ， j ) 表示t时刻的状态为 s i ， t + 1 时刻的状态为 s j 的概率， q t 表示t时刻的状态值，即 ξ t ( i ， j ) = P ( q t = s i ， q t + 1 = s j | O ， λ ) (5) 根据向前和向后变量的定义，可以将 ξ t ( i ， j ) 写成下面的形式： ξ t ( i ， j ) = P ( q t = s i ， q t + 1 = s j ， O | λ ) P ( O | λ ) = α t ( i ) a i j b j ( o t + 1 ) β t + 1 ( j ) ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N α t ( i ) a i j b j ( o t + 1 ) β t + 1 ( j ) (6) 其中，分子为 P ( q t = s i ， q t + 1 = s j ， O | λ ) 。定义 γ t ( i ) 为t时刻状态为 s i 的概率，则 γ t ( i ) = ∑ j = 1 N ξ t ( i ， j ) (7) 将 γ t ( i ) 关于t求和，得到 ∑ t = 1 T − 1 γ t ( i ) ，为从状态 s i 转移出去的期望次数，将 ξ t ( i ， j ) 关于t求和，得到 ∑ t = 1 T − 1 ξ t ( i ， j ) ，为从 s i 转移到 s j 的期望次数。 模型的参数 Π ， A ， B 也可表示为： π ˜ i = γ 1 ( i ) ，   a ˜ i j = ∑ t = 1 T − 1 ξ t ( i ， j ) ∑ t = 1 T − 1 γ t ( i ) ，   b ˜ j ( k ) = ∑ t = 1 o t = v k T − 1 γ t ( j ) ∑ t = 1 T − 1 γ t ( j ) (8) 其中， π ˜ i 表示 t = 1 时刻状态 s i 出现的概率。即把原来的参数 λ = ( A ， B ， Π ) 更新为 λ ˜ = ( A ˜ ， B ˜ ， Π ˜ ) ，Baum [ 14 ] 证明了一般情况下 P ( O | λ ˜ ) > P ( O | λ ) ，即 λ ˜ 更接近于优化目标，因此经反复迭代就可以得到 λ 的极大似然值，而且满足 ∑ i = 1 N π ˜ i = 1 ，   ∑ j = 1 N a ˜ i j = 1 ，   ∑ k = 1 N b ˜ j ( k ) = 1 。 在实际应用中，常常假设观察序列服从连续分布，建立连续HMM模型，参数 B 为观测概率密度函数，可近似的表示为多个混合正态分布的组合。连续概率密度函数为： b j ( O t ) = ∑ k = 1 M w j k b j k ( O t ) ， j = 1 ， ⋯ ， N (9) M 是混合分布的个数， w j k 是在隐状态 j 时第 k 个混合分布的权重，且 ∑ k = 1 M w j k = 1 ， j = 1 ， ⋯ ， N ， k = 1 ， ⋯ ， M 。 其中使用最多的是高斯分布，且均值是 μ j k ，协方差是 Σ j k ，那么 b j k ( O t ) = N ( O t ， μ j k ， Σ j k ) 。 当隐状态为 j 时，第 k 个正态分布产生的显状态的均值和协方差为 μ j k = E [ O ( t ) | Q ( t ) = j ， M ( t ) = k ] Σ j k = cov [ O ( t ) | Q ( t ) = j ， M ( t ) = k ] (10) 多个混合正态分布的函数可表示为 b j k ( O t ) = N ( O t ， μ j k ， Σ j k ) = 1 ( 2 π ) U / 2 | Σ j k | 1 / 2 exp { − 1 2 ( O t − μ j k ) T Σ j k − 1 ( O t − μ j k ) } k = 1 时， b j k ( O t ) = N ( O t ， μ j k ， Σ j k ) = 1 2 π σ exp { − ( x − μ ) 2 2 σ 2 } (11) 首先随机产生几组数值，包括初始状态的概率分布 Π 、状态转移矩阵 A 、可近似表示为混合正态分布的观测概率密度函数 B ，运用Baum-Welch算法对数据集进行训练，经过多次迭代后，当达到设定的阈值时，停止计算，参数逐渐趋于最优值。 通过这些计算可以得到波动率状态的划分结果，为建立结构突变前后不同状态的波动率模型提供基础。