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user: 2. 时标上带有谱参数边界条件的Sturm-Liouville问题的矩阵表示 定义2.1 时标上的S-L方程称为是Atkinson类型的，如果对于任意的正整数 m ≥ 1 ，   n ≥ 1 存在对时标 T 的分割： a = a 0 < a 1 < a 2 < ⋯ < a 2 m < a 2 m + 1 = b ， d = b 0 < b 1 < b 2 < ⋯ < b 2 n < b 2 n + 1 = e ， (6) 使得 r = 1 p = 0 ，       t ∈ ( a 2 k ， a 2 k + 1 ) ，       ∫ a 2 k a 2 k + 1 w ≠ 0 ，     k = 0 ， 1 ， ⋯ ， m ， r = 1 p = 0 ，       t ∈ ( b 2 i ， b 2 i + 1 ) ，       ∫ b 2 i b 2 i + 1 w ≠ 0 ，     i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n ， (7) 以及 q = 0 = w ，       t ∈ ( a 2 k + 1 ， a 2 k + 2 ) ，       ∫ a 2 k + 1 a 2 k + 2 r ≠ 0 ，   k = 0 ， 1 ， ⋯ ， m − 1 ， q = 0 = w ，       t ∈ ( b 2 i + 1 ， b 2 i + 2 ) ，       ∫ b 2 i + 1 b 2 i + 2 r ≠ 0 ，   i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n − 1. (8) 定义2.2 时标上带有谱参数边界条件的S-L问题(2)，(3)为Atkinson类型的，如果方程(2)是Atkinson类型的。一个Atkinson类型的含有谱参数边界条件的S-L问题称为与矩阵特征值问题是等价的，如果它们有相同的特征值。不妨设 p k = ( ∫ a 2 k − 1 a 2 k r ) − 1 ，     k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ;       q k = ∫ a 2 k a 2 k + 1 q ，       w k = ∫ a 2 k a 2 k + 1 w ，     k = 0 ， 1 ， ⋯ ， m ; p ˜ i = ( ∫ b 2 i − 1 b 2 i r ) − 1 ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ;       q ˜ i = ∫ b 2 i b 2 i + 1 q ，       w ˜ i = ∫ b 2 i b 2 i + 1 w ，     i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n . p m + 1 = p ( b ) ，       p ˜ n + 1 = p ( e ) ，       q m + 1 = q ( b ) ，       q ˜ n + 1 = q ( e ) ，       w m + 1 = w ( b ) ， w ˜ n + 1 = w ( e ) ，       p ^ = p ( c ) ，       q ^ = q ( c ) ，       w ^ = w ( c ) . (9) 由(7)，(8)可知对于(5)的任何解 u 和 v ， u 在 r 恒等于零的子区间上为常数，而 v 在 q 和 w 恒等于零的子区间上为常数。由此可令： u k = u ( t ) ，     t ∈ [ a 2 k ， a 2 k + 1 ] ，     k = 0 ， 1 ， ⋯ ， m − 1 ，     u m = u ( t ) ，     t ∈ [ a 2 m ， a 2 m + 1 ) ， u ^ = u ( c ) ，       u ˜ 0 = u ( t ) ，     t ∈ ( b 0 ， b 1 ] ，       u ˜ i = u ( t ) ，     t ∈ [ b 2 i ， b 2 i + 1 ] ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n . (10) v k = v ( t ) ，     t ∈ [ a 2 k − 1 ， a 2 k ] ，     k = 1 ， ⋯ ， m ，       v ˜ i = v ( t ) ，     t ∈ [ b 2 i − 1 ， b 2 i ] ，     i = 1 ， ⋯ ， n . 并设 v 0 = v ( a 0 ) = v ( a ) ，       v m + 1 = v ( a 2 m + 1 ) = v ( b ) ， v ^ = v ( c ) ，       v ˜ 0 = v ( b 0 ) = v ( d ) ，       v ˜ n + 1 = v ( b 2 n + 1 ) = v ( e ) . (11) 引理2.3 对方程(5)的任何一组解 u ， v 有 p k ( u k − u k − 1 ) = v k ，     k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ， (12) v k + 1 − v k = u k ( q k − λ w k ) ，     k = 0 ， 1 ， ⋯ ， m ， (13) v ˜ 0 − v ^ = u ˜ 0 ( q ^ − λ w ^ ) ( d − c ) ， (14) p ˜ i ( u ˜ i − u ˜ i − 1 ) = v ˜ i ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， (15) v ˜ i + 1 − v ˜ i = u ˜ i ( q ˜ i − λ w ˜ i ) ，     i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n . (16) 反之，对于系统(12)~(16)的任一组解 u k ，   k = 0 ， 1 ， ⋯ ， m ， v k ，   k = 0 ， 1 ， ⋯ ， m + 1 和 u ˜ i ，   i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n ， v ˜ i ，   i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n + 1 ， u ^ ， v ^ ，存在方程组(5)的唯一解 u ( t ) 和 v ( t ) 满足(10)和(11)。 证明 证明可参考 [ 5 ] 。■ 下面讨论时标上带有耦合型谱参数边界条件(4)的S-L方程的矩阵表示。 定理2.4 设S-L方程(2)满足带有耦合型谱参数的边界条件(4)，定义 ( m + n + 5 ) × ( m + n + 5 ) 矩阵 和对角矩阵 Q = d i a g ( 0 ， q 0 ， q 1 ， ⋯ ， q m ， ( c − b ) q m + 1 ， ( d − c ) q ^ + q ˜ 0 ， q ˜ 1 ， ⋯ ， q ˜ n ， 0 ) (18) 以及矩阵 W = ( α ′ 2 α ′ 1 α ′ 3 α ′ 4 w 0 ⋱ w m ( c − b ) w m + 1 ( d − c ) w ^ + w ˜ 0 w ˜ 1 ⋱ w ˜ n β ′ 2 β ′ 1 β ′ 3 β ′ 4 ) . (19) 则带有谱参数边界条件的S-L问题(2)~(4)与矩阵特征值问题 ( P + Q ) U = λ W U (20) 等价，其中 U = [ v 0 ， u 0 ， u 1 ， ⋯ ， u m ， u ^ ， u ˜ 0 ， ⋯ ， u ˜ n ， v ˜ n + 1 ] T 。此外，同一特征值的带有谱参数边界条件的S-L问题的特征函数 u ( t ) 与矩阵特征值问题(20)的特征向量 U 之间存在关系式： u ( t ) = u k ，     t ∈ [ a 2 k ， a 2 k + 1 ] ，     k = 0 ， ⋯ ， m − 1 ， u ( t ) = u m ，     t ∈ [ a 2 m ， a 2 m + 1 ) ，       u ( t ) = u ˜ 0 ，     t ∈ ( b 0 ， b 1 ] ， u ( t ) = u ˜ i ，     t ∈ [ b 2 i ， b 2 i + 1 ] ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，     u ( c ) = u ^ . 证明 首先，系统(12)~(16)与以下系统等价： p 1 ( u 1 − u 0 ) − v 0 = u 0 ( q 0 − λ w 0 ) ， (21) p k + 1 ( u k + 1 − u k ) − p k ( u k − u k − 1 ) = u k ( q k − λ w k ) ，     k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m − 1 ， (22) v m + 1 − p m ( u m − u m − 1 ) = u m ( q m − λ w m ) ， (23) p ^ ( u ˜ 0 − u ^ ) − p m + 1 ( u ^ − u m ) = ( c − b ) 2 ( d − c ) u ^ ( q m + 1 − λ w m + 1 ) ， (24) p ˜ 1 ( u ˜ 1 − u ˜ 0 ) − v ˜ 0 = u ˜ 0 ( q ˜ 0 − λ w ˜ 0 ) ， (25) p ˜ i + 1 ( u ˜ i + 1 + u ˜ i ) − p ˜ i ( u ˜ i − u ˜ i − 1 ) = u ˜ i ( q ˜ i − λ w ˜ i ) ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n − 1 ， (26) v ˜ n + 1 − p ˜ n ( u ˜ n − u ˜ n − 1 ) = u ˜ n ( q ˜ n − λ w ˜ n ) . (27) 事实上，若假设 u k ，   k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， m 和 v k ，   k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， m + 1 是系统(12)，(13)的解。则(21)~(23)可由(12)，(13)得到。同理，(25)~(27)可由(15)，(16)通过假设 u ˜ i ，   i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n 和 v ˜ i ，   i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n + 1 为系统(15)，(16)的一组解而得到。(24)可由(14)通过假设 u ^ ， v ^ 为系统(14)的解以及文献 [ 11 ] 而得到。另一方面，若设 u k ，   k = 0 ， 1 ， ⋯ ， m 是系统(21)~(23)的一组解。则 v 0 和 v m + 1 可分别由(21)和(23)得出。再令 v k ，   k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 是由(12)所定义。则利用(21)并反复利用(22)进行逐步推导可得到(13)，同理可得(15)，(16)。因此由引理2.3，方程(5)的任何解，从而也是方程(2)的解，被系统(21)~(27)的解唯一决定。由边界条件(4)，有 ( λ α ′ 1 + α 1 ) u 0 + ( λ α ′ 2 + α 2 ) v 0 + ( λ α ′ 3 + α 3 ) u ˜ n + ( λ α ′ 4 + α 4 ) v ˜ n + 1 = 0 ， ( λ β ′ 1 + β 1 ) u 0 + ( λ β ′ 2 + β 2 ) v 0 + ( λ β ′ 3 + β 3 ) u ˜ n + ( λ β ′ 4 + β 4 ) v ˜ n + 1 = 0. (28) 由文献 [ 11 ] 又有 v m + 1 = − p m + 1 c − b u m + p m + 1 c − b u ^ ， v ˜ 0 = − p ^ d − c u ^ + [ p ^ d − c + ( d − c ) ( q ^ − λ w ^ ) ] u ˜ 0 ， 通过选取向量 U = [ v 0 ， u 0 ， u 1 ， ⋯ ， u m ， u ^ ， u ˜ 0 ， ⋯ ， u ˜ n ， v ˜ n + 1 ] T ，并由(21)~(28)即可得到两类问题之间的等价性。■ 将带有谱参数的耦合型边界条件(4)变形即可得到带有分离型谱参数的边界条件 A λ Y ( a ) + B λ Y ( b ) = 0 ，     Y = ( y p y Δ ) ， (29) 其中 A λ = ( λ α ′ 1 + α 1 λ α ′ 2 + α 2 0 0 ) ，       B λ = ( 0 0 λ β ′ 1 + β 1 λ β ′ 2 + β 2 ) ， α i ， α ′ i ， β i ， β ′ i ∈ R ，   i = 1 ， 2 ，满足 θ 1 = | α 1 α 2 α ′ 1 α ′ 2 | ≠ 0 ， θ 2 = | β 1 β 2 β ′ 1 β ′ 2 | ≠ 0 ， λ 为谱参数，则可得到以下推论。 推论2.5 设S-L方程(2)满足带有分离型谱参数边界条件(29)，定义 ( m + n + 5 ) × ( m + n + 5 ) 三对角矩阵 和对角矩阵 Q 1 = d i a g ( 0 ， q 0 ， q 1 ， ⋯ ， q m ， ( c − b ) q m + 1 ， ( d − c ) q ^ + q ˜ 0 ， q ˜ 1 ， ⋯ ， q ˜ n ， 0 ) (31) 以及“几乎对角”(除了(1，2)和(m+n+5，m+n+4)位置上有非零元素外为对角矩阵)矩阵 W 1 = ( − α ′ 2 − α ′ 1 w 0 ⋱ w m ( c − b ) w m + 1 ( d − c ) w ^ + w ˜ 0 w ˜ 1 ⋱ w ˜ n − β ′ 1 − β ′ 2 ) . (32) 则带有分离型谱参数边界条件(29)的S-L问题(2)，(3)与矩阵特征值问题 ( P 1 + Q 1 ) U 1 = λ W 1 U 1 (33) 等价，其中 U 1 = [ v 0 ， u 0 ， u 1 ， ⋯ ， u m ， u ^ ， u ˜ 0 ， ⋯ ， u ˜ n ， v ˜ n + 1 ] T 。此外，所有特征值为几何单重的，同一特征值的含有谱参数边界条件的S-L问题的特征函数 u ( t ) 与矩阵特征值问题(33)的特征向量 U 之间存在关系式： u ( t ) = u k ，     t ∈ [ a 2 k ， a 2 k + 1 ] ，     k = 0 ， ⋯ ， m − 1 ，       u ( t ) = u m ，     t ∈ [ a 2 m ， a 2 m + 1 ) ， u ( t ) = u ˜ 0 ，     t ∈ ( b 0 ， b 1 ] ，       u ( t ) = u ˜ i ，     t ∈ [ b 2 i ， b 2 i + 1 ] ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，     u ( c ) = u ^ . 证明 同定理2.4。■ 以下定理说明每一个Atkinson类型的方程与一个以分段常值函数为系数的方程是等价的。 定理2.6 设方程(2)，(3)是Atkinson类型的，并设 p k ，   k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ， p ˜ i ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，以及 q k ， w k ，   k = 0 ， 1 ， ⋯ ， m ， q ˜ i ， w ˜ i ，   i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n 由(9)给出，定义时标 T 上的分段函数 p ¯ ， q ¯ ， w ¯ 如下： p ¯ ( t ) = { p k ( a 2 k − a 2 k − 1 ) ，     t ∈ [ a 2 k − 1 ， a 2 k ] ，     k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ， ∞ ，     t ∈ [ a 2 k ， a 2 k + 1 ) ，     k = 0 ， 1 ， ⋯ ， m ， p ( b ) ≠ ∞ ，     t = a 2 m + 1 ， p ^ ，     t = c ， p ˜ i ( b 2 i − b 2 i − 1 ) ，     t ∈ [ b 2 i − 1 ， b 2 i ] ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， ∞ ，     t ∈ [ b 2 i ， b 2 i + 1 ) ，     i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， p ( e ) ≠ ∞ ，     t = b 2 n + 1 ， q ¯ ( t ) = { q k a 2 k + 1 − a 2 k ，     t ∈ [ a 2 k ， a 2 k + 1 ) ，     k = 0 ， 1 ， ⋯ ， m ， 0 ，     t ∈ [ a 2 k − 1 ， a 2 k ] ，     k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ， q ^ ，     t = c ， q ˜ i b 2 i + 1 − b 2 i ，     t ∈ ( b 2 i ， b 2 i + 1 ] ，     i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n ， 0 ，     t ∈ [ b 2 i − 1 ， b 2 i ] ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， w ¯ ( t ) = { w k a 2 k + 1 − a 2 k ，     t ∈ [ a 2 k ， a 2 k + 1 ) ，     k = 0 ， 1 ， ⋯ ， m ， 0 ，     t ∈ [ a 2 k − 1 ， a 2 k ] ，     k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ， w ^ ，     t = c ， w ˜ i b 2 i + 1 − b 2 i ，     t ∈ ( b 2 i ， b 2 i + 1 ] ，     i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n ， 0 ，     t ∈ [ b 2 i − 1 ， b 2 i ] ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n . (34) 设谱参数边界条件(4)满足。则时标上边界条件含有谱参数的S-L问题(2)，(3)与分段常值函数为系数的方程 − ( p ¯ y Δ ) Δ + q ¯ y σ = λ w ¯ y σ ，     t ∈ T = [ a ， b ] ∪ { c } ∪ [ d ， e ] ， (35) 以及同样的谱参数边界条件(4)所构成的S-L问题有相同的特征值。 证明 显然，两个不同的S-L问题(2)~(4)和(35)，(3)，(4)，决定相同的 p k ，   k = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ， p ^ ， p ˜ i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ，以及 q k ， w k ，   k = 0 ， 1 ， ⋯ ， m ，   q ^ ，   w ^ ， q ˜ i ， w ˜ i ，   i = 0 ， 1 ， ⋯ ， n 。因此由定理2.4及推论2.5可知，在包含谱参数边界条件(4)的情况下，两个不同的S-L问题与矩阵特征值问题等价，所以它们有相同的特征值。 ■