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user: 3. 使用自旋链模型对二级相变中的熵情况进行模拟分析 3.1. 一维自旋链模型的哈密顿量 一维XXZ海森堡自旋开链模型的哈密顿量 [ 9 ] 为 H ^ x x z = J x ∑ i − 1 N − 1 ( S ^ x i S ^ x i + 1 + S ^ y i S ^ y i + 1 ) + J z ∑ i = 1 N − 1 S ^ z i S ^ z i + 1 ，式中N为 自旋链模型的格点数， J x 、 J y 、 J z 为x、y、z方向格点自旋之间的相互作用参数，这里 J x = J y ，令 H ^ x x x = ∑ i − 1 N − 1 ( S ^ x i S ^ x i + 1 + S ^ y i S ^ y i + 1 + S ^ z i S ^ z i + 1 ) ， H ^ z z = ∑ i = 1 N − 1 S ^ z i S ^ z i + 1 ， J x = J ( 1 − x ) ， J z = J x ，J为耦合作用参数，参数x的取值为0到1，则模型的哈密顿量有顺磁情形 H ^ x x z J = ( 1 − x ) H ^ x x x + ( 2 x − 1 ) H ^ z z ，可见一维XXZ海森堡自旋链模型的哈密顿量由XXX和ZZ模型的哈密顿量组合而成。 3.2. N格点自旋链模型的von Neumann熵 定义 S = 1 N ∑ i = 1 N S i ，S i 为自旋链中第i格点的von Neumann熵，S为自旋链中von Neumann熵的平均 值，N为自旋链格点数。当S为零时，自旋链对应的态为纠缠态，当S不为零时为非纠缠态，在一定程度上，von Neumann熵体现体系的关联度。自旋链模型von Neumann熵值的获得方法是一维自旋开链中位型[N， k]，在半填满情况下，利用N粒子中第k粒子的约化密度矩阵规律和 S = − 1 N ∑ i = 1 N [ C i 2 log 2 ( C i 2 ) + ( 1 − C i 2 ) log 2 ( 1 − C i 2 ) ] (这里i的取值从1到N，其中 C i 原本的意义为基态波函 数按乘积态完备基展开的系数)得到体系的von Neumann熵(下文中用sumc表示)。 3.3. 计算结果 由自旋链模型中位型[11， 5]基态的von Neumann熵(sumc)随参数x的变化情况表(表1)可看出，顺磁情况下，参数x在 0 ≤ x ≤ 0.5 时，系统的von Neumann熵sumc值从0.9935、0.9937......0.9940呈增加趋势，参数x在 0.5 ≤ x ≤ 1.0 时，系统的von Neumann熵sumc值从0.9940、 0.9938......0.0呈减小趋势，参数 x = 0.5 是系统von Neumann熵(sumc)随参数x变化的拐点，当参数 x = 1.0 时von Neumann熵值sumc = 0；一维自旋链XXZ海森堡模型的基态纠缠度(sumc)随参数x的变化如图2所示，图2中纵坐标sumc是系统的von Neumann熵值，横坐标x是模型参数，由图2更可直观地看出，在顺磁情况下，系统的von Neumann熵值sumc先随模型参数x( 0 ≤ x ≤ 0.5 )增加而增加，当 x = 0.5 时，出现拐点，接着von Neumann熵值sumc随x的增加( 0.5 < x ≤ 1.0 )而减小，在 x = 1.0 时von Neumann熵值sumc减至0。由自旋链模型中位型[11， 5]基态的von Neumann熵(sumc)随参数x的变化情况表和图2均准确地反映了顺磁情况下，自旋链模型中位型[11， 5]基态的von Neumann熵值sumc随模型参数x的变化情况，参数 x = 0.5 作为系统von Neumann熵(sumc)随参数x变化的拐点，验证了3.1中自旋链系统从XXZ模型变化到了XXX模型的切实转变(因为参数 x = 0.5 时，自旋链系统的哈密顿量从XXZ模型变化到了XXX模型的哈密顿量)；参数 x = 1.0 时von Neumann熵值sumc = 0，根据自旋链系统此时关联度变化找到系统的相变点。自旋链系统模型、von Neumann熵的引入及计算结果很好地反映了系统的关联及相变情况。 Table 1 The table of the change of the von Neumann entropy (sumc) of the ground state along with the change of the parameter x of [11， 5] in the spin chain mode 参数x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 sumc 0.9935 0.9937 0.9938 0.9939 0.99399 0.9940 0.9938 0.9936 0.110 0.099415 0.0 表1. 自旋链模型中位型[11， 5]基态的von Neumann熵(sumc)随参数x的变化情况表 图2. 一维自旋链XXZ海森堡模型的基态纠缠度(sumc)随参数x的变化图 3.4. 分析与结论 综合3.3中自旋链模型中位型[11， 5]基态的von Neumann熵(sumc)随参数x的变化情况表和图2分析：由自旋链模型中位型[11， 5]基态的von Neumann熵(sumc)随参数x的变化情况表和图2均准确地反映了顺磁情况下，自旋链模型中位型[11， 5]基态的von Neumann熵(sumc)随参数x的变化情况。参数 x = 0.5 是系统von Neumann熵(sumc)随参数x变化的拐点，验证了3.1中自旋链系统的哈密顿量从XXZ模型变化到了XXX模型的切实转变，很好地体现了自旋链系统从XXZ模型的关联度转换到了XXX模型的关联度，朗道理论中高对称性相的所有对称操作下不变，这涉及序参量问题，根据热力学统计，序参量在相变附近是连续变化的，但是其一阶导数却是不连续的。朗道理论中二级相变指的是序参量在临界点连续变化的相变，对于任意一个二级相变，都有一个序参量在相变点处连续变化，序参量与关联度有关，本文模拟中当模型控制参量 0 ≤ x < 1.0 时系统处于过渡的临界区，在该区顺磁系统的von Neumann熵值sumc随模型控制参量x先增加后减少，没有量子相变的发生，此时系统通过自旋交换作用从无序自旋态转化为无序自旋态，而在模型控制参量 x = 1.0 时von Neumann熵值sumc = 0，附近系统内部的关联度发生变化，此时系统通过自旋交换作用从无序自旋态转化为有序自旋态，本文利用自旋链模型的von Neumann熵值sumc随模型参数x变化情况很好地描述了系统的序变、关联度及相变情况，可充分预测在模型控制参量 x = 1.0 附近系统内部的关联度发生了变化，此时系统的关联度为0，是系统的相变点，体系有相变。因为超导相变是更加有序的状态，由于正常超导与超导体直接转变是一个二级相变的过程，在此过程中熵的热力学行为发生变化，本文介绍正常超导与超导体直接转变的熵情况，使用自旋链模型模拟系统的von Neumann熵情况，讨论二级相变中的熵情况，揭示相变的机理，通过自旋链模型von Neumann熵的计算所体现的关联度、系统序变进行模拟，找到了相变点及发生相变的内在机制，很好的反映了二级相变时如热容、体膨胀系数、等温压缩系数等物理量随温度有变化且不连续的原因。相变普遍存在于自然界中，相变有相同之处，相变理论的主要任务是“求同存异”，在不同中找相似点，在相同中寻找不同之处，进而概括相变最普遍最本质的规律。本文使用自旋链模型的von Neumann熵对二级相变的特征及内在原因做解释，揭示相变的机理，对深入理解二级相变临界的根源和物质二级相变的特征具有重要意义。