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user: 5. 从向量分析的角度推导麦克斯韦方程组 数学理论中，将某种计算工具或方法称为算子。为了阅读和叙述上的顺畅，这里重写一下本文将要用到的几个算子。 两个向量A和C的点积记为 A ⋅ C ，定义为两个向量A与C的大小同它们之间夹角θ余弦的乘积即 A ⋅ C = A ⋅ C ⋅ cos θ ，     0 ≤ θ ≤ π (17) 其中A、C为纯量(实数)，分别表示向量A、C的大小。如果A、C不是零向量且 A ⋅ C = 0 ，则有 θ = 90 ∘ ，即向量A与C垂直。两个向量点积的结果是纯量。 两个向量A和C的叉积记为 A × C ，定义为两个向量A与C的大小同它们之间夹角θ正弦的乘积，即 A × C = u ⋅ A ⋅ C ⋅ sin θ ，     0 ≤ θ ≤ π (18) 其中u为表示 A × C 方向的单位向量。单位向量是具有单位长度的向量。两个向量叉积的结果是向量。 不同算子可以组合在一起。例如，将对空间位置的偏微分与向量函数结合在一起，则构成 ∇ 算子 [ 17 ] ， ∇ = i ∂ ∂ x + j ∂ ∂ y + k ∂ ∂ z (19) 其中i、j、k为直角单位向量。 ∇ 算子的运算结果仍然是一个向量。 ∇ 算子与向量的点积称为该向量的散度 [ 17 ] 。例如， ∇ ⋅ A 称为向量A的散度， ∇ ⋅ C 称为向量C的散度。 ∇ 算子与向量的叉积称为该向量的旋度 [ 17 ] 。例如， ∇ × A 称为向量A的旋度， ∇ × C 称为向量C的旋度。 除了 ∇ 算子、点积/叉积、散度/旋度以外，在微积分理论中并没有提供太多的与向量相关的算子，换言之，假如让两个向量配对现有各种算子，组合出来的配对形式是非常有限的。 5.1. 数学意义上的麦克斯韦方程组 设有两个共起点的向量E和H互相垂直，则有 E ⋅ H = 0 (20) 引入 ∇ 算子与向量E和H的散度，并且使 ∇ ⋅ E = 0 (21) ∇ ⋅ H = 0 (22) 式(21)表明，向量 ∇ 算子与向量E垂直；式(22)表明，向量 ∇ 算子与向量H垂直；由于向量E和H共起点(即相交)，于是 ∇ 算子垂直于向量E和H构成的平面。 如图2(a)所示，向量E与H构成的平面相当于在某一个特定时间点所截取的一个剖面，这是从静态的角度来看。如果要描述这些沿着时间轴平行排列的剖面，就要引入一个时间变量t，于是向量E与H不仅是空间位置 ( x ， y ， z ) 的函数，也是时间t的函数，即可以写为 E ( x ， y ， z ， t ) 和 H ( x ， y ， z ， t ) ，这是从动态变化的角度来看。指出这一点，是因为下面要用到对时间的偏微分，相应的前提就是它们必须可以写为时间的函数。 图2. (a) 向量E与H构成的平面相当于在某一个特定时间点所截取的一个剖面；(b) 让这些剖面间距变小，向量E与H的量值大小呈现起伏性，类似于对信号进行离散采样 假设要构造某种等量关系，其中等号左边为与向量 E ( x ， y ， z ， t ) 相关的量，等号右边为与向量 H ( x ， y ， z ， t ) 相关的量；或者反之。由于空间和时间是两个基本量，而前面的式(21)和(22)已经对空间位置 ( x ， y ， z ) 求过一次偏导数，所以这里很自然的一种想法就是看一看能否对时间t求偏导数。以向量 E ( x ， y ， z ， t ) 为例，由于时间t是标量，向量 E ( x ， y ， z ， t ) 对时间t求偏导数的结果还是向量，所以必须构造某种对向量 H ( x ， y ， z ， t ) 的计算、并且计算结果仍为向量，这样才有可能实现概念上的一致性。 鉴于在式(21)和(22)中已经用了 ∇ 算子与向量E和H的散度，明显地这里的可用选项只剩下 ∇ 算子与向量E和H的旋度，于是有 ∇ × E = κ 1 ∂ H ∂ t (23) 式中的 κ 1 是满足某种关系或条件的系数或者系数函数。 类似地，对于向量H可以写出 ∇ × H = κ 2 ∂ E ∂ t (24) 式中的 κ 2 是满足某种关系或条件的系数或者系数函数。 将式(21)~(24)合并到一起，可以写为 { ∇ ⋅ E = 0 ∇ ⋅ H = 0 ∇ × E = κ 1 ∂ H ∂ t ∇ × H = κ 2 ∂ E ∂ t (25) 式(25)是一个不含物理意义的方程组，仅具有数学上的意义。该方程组如果是文献中没有出现过的，不妨称之为数学意义上的麦克斯韦方程组，或者称为广义的麦克斯韦方程组，其中 κ 1 和 κ 2 可能存在、也可能不存在，需要根据不同情况具体分析。 5.2. 物理意义上的麦克斯韦方程组 下面从物理意义的层面来分析式(25)，为此需要引入量纲。 电流(A)、时间(s)和长度(m)是三个基本量纲。电流与时间的乘积为电量的量纲库仑(C)，即 1   C = 1   A ⋅ s ；能量除以电量就是电压的量纲(V)，即 1   V = 1   J / C ；电压除以长度就是电场(强度)的量纲(V/m)，并有 V m = J / C m = N ⋅ m / C m = N C 事实上，N/C (牛顿/库仑)是电场的量纲之一。磁场(强度)的量纲也是N/C，因此电场与磁场的量纲可以均为V/m。 设电场向量E和磁场向量H的量纲取为V/m。以式(25)中的第三个方程为例。如式(19)所示， ∇ 算 子本质上是对空间位置的微分，故 ∇ × E 相当于电场量纲除以长度量纲， ∂ H ∂ t 相当于磁场量纲除以时间量 纲。故从量纲角度来看， (26) 因此只要在式(26)右边引入一个具有速度量纲的参数、并取其倒数，就有可能实现两个量的相等，即 κ 1 ( 的 量 纲 ) ≡ 1 速 度 (27) 如前所述，这里恒等号“≡”表示量纲上的等价关系。 对式(25)中的第四个方程做类似的分析，可得 κ 2 ( 的 量 纲 ) ≡ 1 速 度 (28) 将式(27)的左右两端分别与式(28)的左右两端相乘，有 κ 1 × κ 2 ≡ 1 速 度 × 1 速 度 = 1 ( 速 度 ) 2 (29) 式(29)可以视为求解式(25)的一个约束条件。 反过来看，式(29)所描述的约束条件可以放得宽泛一些，也就是说只要满足参数 κ 1 和 κ 2 的乘积为速度量纲倒数的平方即可，而不局限于两个参数 κ 1 和 κ 2 分别为速度量纲的倒数。于是在满足该约束的前提下，参数 κ 1 和 κ 2 的具体选取可有不同的组合，从而构成不同形式的麦克斯韦方程组。例如取 κ 1 = − 1 c ， κ 2 = 1 c (30) 这时参数 κ 1 和 κ 2 的乘积满足式(29)，则有 { ∇ ⋅ E = 0 ∇ ⋅ H = 0 ∇ × E = − 1 c ∂ H ∂ t ∇ × H = 1 c ∂ E ∂ t (31) 式(31)是麦克斯韦方程组的特殊情况 [ 17 ] 。可以证明，E和H满足下列方程 ∇ 2 Ψ = 1 c 2 ∂ 2 Ψ ∂ t 2 (32) 其中 ∇ 2 称为拉普拉斯算子，其定义为 ∇ 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 (33) 式(32)为波动方程的一种形式，该式“引导麦克斯韦尔作出光是电磁现象的论断” [ 17 ] 。满足波动方程的解称为波(动)函数。波动是波函数的主要特点之一，它是波函数周期性或者重复性的反映。光的波动性最初可能就是这样引入的。 如果取 κ 1 = − 1 ， κ 2 = μ 0 ε 0 (34) 式中， μ 0 为真空磁导率， ε 0 为真空介电常数(或电导率)。 κ 1 无量纲， κ 2 在数值上刚好有 κ 2 = μ 0 ε 0 = 1 c 2 ， c = 1 μ 0 ε 0 (35) 即 κ 2 的量纲为速度量纲平方的倒数，于是 κ 1 和 κ 2 的量纲乘积满足式(29)，从而有 { ∇ ⋅ E = 0 ∇ ⋅ H = 0 ∇ × E = − ∂ H ∂ t ∇ × H = 1 μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t (36) 式(36)的解仍然满足波动方程。