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user: 3. 验证公式(1)、公式(2) 根据上述坐标，用2点坐标的距离公式验证垂心球距离公式(1)如下： 3.1. 一维至四维垂心自身距离为零 | A A | 2 = ( a − a ) 2 + ( 0 − 0 ) 2 + ( 0 − 0 ) 2 = 0 (2点坐标距离公式) | A A | 2 = a 2 + a 2 − 2 ( a 2 ) − 1 a 2 a 2 = 0 (垂心球距离公式) | H A B H A B | 2 = ( a b 2 a 2 + b 2 − a b 2 a 2 + b 2 ) 2 + ( a 2 b a 2 + b 2 − a 2 b a 2 + b 2 ) 2 + ( 0 − 0 ) 2 = 0 (2点坐标距离公式) | H A B H A B | 2 = a 2 b 2 a 2 + b 2 + a 2 b 2 a 2 + b 2 − 2 ( a 2 b 2 a 2 + b 2 ) − 1 a 2 b 2 a 2 + b 2 a 2 b 2 a 2 + b 2 = 0 (垂心球距离公式) | H A B C H A B C | 2 = ( a b 2 c 2 s A B C 2 − a b 2 c 2 s A B C 2 ) 2 + ( a 2 b c 2 s A B C 2 − a 2 b c 2 s A B C 2 ) 2 + ( a 2 b 2 c s A B C 2 − a 2 b 2 c s A B C 2 ) 2 = 0 (2点坐标距离公式) | H A B C H A B C | 2 = a 2 b 2 c 2 s A B C 2 + a 2 b 2 c 2 s A B C 2 − 2 ( a 2 b 2 c 2 s A B C 2 ) − 1 a 2 b 2 c 2 s A B C 2 a 2 b 2 c 2 s A B C 2 = 0 (垂心球距离公式) | H H | 2 = ( − a b 2 c 2 t v − − a b 2 c 2 t v ) 2 + ( − a 2 b c 2 t v − − a 2 b c 2 t v ) 2 + ( − a 2 b 2 c t v − − a 2 b 2 c t v ) 2 = 0 (2点坐标距离公式) | H H | 2 = a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 + a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 − 2 ( a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 ) − 1 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 = 0 (垂心球距离公式) 3.2. 任意一维与对平面7点因无交集球，其倒数为零，距离的平方为2垂心球半径的平方和 以D点与对平面 A ， B ， C ， H A B ， H A C ， H B C ， H A B C 7点距离为例： 3.2.1. D点与对平面3个一维垂心间距平方 | A D | 2 = ( a − b c t ) 2 + ( 0 − a c t ) 2 + ( 0 − a b t ) 2 = a 2 + d 2 (2点坐标距离公式) | A D | 2 = a 2 + d 2 − 2 ( 0 ) a 2 d 2 = a 2 + d 2 (垂心球距离公式) | B D | 2 = ( 0 − b c t ) 2 + ( b − a c t ) 2 + ( 0 − a b t ) 2 = b 2 + d 2 (2点坐标距离公式) (垂心球距离公式) | C D | 2 = ( 0 − b c t ) 2 + ( 0 − a c t ) 2 + ( c − a b t ) 2 = c 2 + d 2 (2点坐标距离公式) | C D | 2 = c 2 + d 2 − 2 ( 0 ) c 2 d 2 = c 2 + d 2 (垂心球距离公式) 3.2.2. D点与对平面3个二维垂心间距平方 | D H A B | 2 = ( b c t − a b 2 a 2 + b 2 ) 2 + ( a c t − a 2 b a 2 + b 2 ) 2 + ( a b t − 0 ) 2 = s A B D 2 a 2 + b 2 (2点坐标距离公式) | D H A B | 2 = d 2 + a 2 b 2 a 2 + b 2 − 2 ( 0 ) d 2 a 2 b 2 a 2 + b 2 = s A B D 2 a 2 + b 2 (垂心球距离公式) | D H A C | 2 = ( b c t − a c 2 a 2 + c 2 ) 2 + ( a c t − 0 ) 2 + ( a b t − a 2 c a 2 + c 2 ) 2 = s A C D 2 a 2 + c 2 (2点坐标距离公式) | D H A C | 2 = d 2 + a 2 c 2 a 2 + c 2 − 2 ( 0 ) d 2 a 2 c 2 a 2 + c 2 = s A C D 2 a 2 + c 2 (垂心球距离公式) | D H B C | 2 = ( b c t − 0 ) 2 + ( a c t − b c 2 b 2 + c 2 ) 2 + ( a b t − b 2 c b 2 + c 2 ) 2 = s B C D 2 b 2 + c 2 (2点坐标距离公式) | D H B C | 2 = d 2 + b 2 c 2 b 2 + c 2 − 2 ( 0 ) d 2 b 2 c 2 b 2 + c 2 = s B C D 2 b 2 + c 2 (垂心球距离公式) 3.2.3. D点与对平面1个三维垂心间距平方 | D H A B C | 2 = ( b c t − a b 2 c 2 s A B C 2 ) 2 + ( a c t − a 2 b c 2 s A B C 2 ) 2 + ( a b t − a 2 b 2 c s A B C 2 ) 2 = v 2 s A B C 2 (2点坐标距离公式) | D H A B C | 2 = d 2 + a 2 b 2 c 2 s A B C 2 − 2 ( 0 ) d 2 a 2 b 2 c 2 s A B C 2 = v 2 s A B C 2 (垂心球距离公式) 3.3. 任意一维与除了对平面7点外其它7点垂心距离的平方 以D点与除对平面其它7点 G A D ， G B D ， G C D ， G A B D ， G A C D ， G B C D ， G 间距平方为： 3.3.1. D点与除对平面外，另3个二维垂心间距平方 | D H A D | 2 = ( b c t − − a v t a 2 + d 2 ) 2 + ( a c t − a 3 c t a 2 + d 2 ) 2 + ( a b t − a 3 b t a 2 + d 2 ) 2 = d 4 a 2 + d 2 (2点坐标距离公式) | D H A D | 2 = d 2 + a 2 d 2 a 2 + d 2 − 2 ( d 2 ) − 1 d 2 a 2 d 2 a 2 + d 2 = d 4 a 2 + d 2 (垂心球距离公式) | D H B D | 2 = ( b c t − b 3 c t b 2 + d 2 ) 2 + ( a c t − − b v t b 2 + d 2 ) 2 + ( a b t − a b 3 t b 2 + d 2 ) 2 = d 4 b 2 + d 2 (2点坐标距离公式) | D H B D | 2 = d 2 + b 2 d 2 b 2 + d 2 − 2 ( d 2 ) − 1 d 2 b 2 d 2 b 2 + d 2 = d 4 b 2 + d 2 (垂心球距离公式) | D H C D | 2 = ( b c t − b c 3 t c 2 + d 2 ) 2 + ( a c t − a c 3 t c 2 + d 2 ) 2 + ( a b t − − c v t c 2 + d 2 ) 2 = d 4 c 2 + d 2 (2点坐标距离公式) | D H C D | 2 = d 2 + c 2 d 2 c 2 + d 2 − 2 ( d 2 ) − 1 d 2 c 2 d 2 c 2 + d 2 = d 4 c 2 + d 2 (垂心球距离公式) 3.3.2. D点与除对平面外，另3个三维垂心间距平方 | D H A B D | 2 = ( b c t − − a b 2 v t s A B D 2 ) 2 + ( a c t − − a 2 b v t s A B D 2 ) 2 + ( a b t − a 3 b 3 t s A B D 2 ) 2 = ( a 2 + b 2 ) d 4 s A B D 2 (2点坐标距离公式) | D H A B D | 2 = d 2 + a 2 b 2 d 2 s A B D 2 − 2 ( d 2 ) − 1 d 2 a 2 b 2 d 2 s A B D 2 = ( a 2 + b 2 ) d 4 s A B D 2 (垂心球距离公式) (2点坐标距离公式) | D H A C D | 2 = d 2 + a 2 c 2 d 2 s A C D 2 − 2 ( d 2 ) − 1 d 2 a 2 c 2 d 2 s A C D 2 = ( a 2 + c 2 ) d 4 s A C D 2 (垂心球距离公式) | D H B C D | 2 = ( b c t − b 3 c 3 t s B C D 2 ) 2 + ( a c t − − b c 2 v t s B C D 2 ) 2 + ( a b t − − b 2 c v t s B C D 2 ) 2 = ( b 2 + c 2 ) d 4 s B C D 2 (2点坐标距离公式) | D H B C D | 2 = d 2 + b 2 c 2 d 2 s B C D 2 − 2 ( d 2 ) − 1 d 2 b 2 c 2 d 2 s B C D 2 = ( b 2 + c 2 ) d 4 s B C D 2 (垂心球距离公式) 3.3.3. D点与除对平面1个四维垂心间距平方 | D H | 2 = ( b c t − − a b 2 c 2 t v ) 2 + ( a c t − − a 2 b c 2 t v ) 2 + ( a b t − − a 2 b 2 c t v ) 2 = s A B C 2 d 4 v 2 (2点坐标距离公式) | D H | 2 = d 2 + a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 − 2 ( d 2 ) − 1 d 2 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 = s A B C 2 d 4 v 2 (垂心球距离公式) 同理可得：A点、B点、C点与其它14点距离(略)。 3.4. 验证任意二维与除了4点一维外的10点距离的平方 以 对 H C D ， H A C ， H A D ， H B C ， H B D ， H A B C ， H A B D ， H A C D ， H B C D ， H 3.4.1. H AB 点与对棱1个二维垂心H CD 间距平方，因交集球倒数为零，距离的平方为两球半径的平方 H A B 与 H C D 因对棱无交集球，其距离的平方为2垂心球半径的平方和 | H A B H C D | 2 = ( a b 2 a 2 + b 2 − b c 3 t c 2 + d 2 ) 2 + ( a 2 b a 2 + b 2 − a c 3 t c 2 + d 2 ) 2 + ( 0 − − c v t c 2 + d 2 ) 2 = v 2 ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) (2点坐标距离公式) | H A B H C D | 2 = a 2 b 2 a 2 + b 2 + c 2 d 2 c 2 + d 2 − 2 ( 0 ) a 2 b 2 a 2 + b 2 c 2 d 2 c 2 + d 2 = v 2 ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) (垂心球距离公式) 3.4.2. H AB 点与其它4个旁棱二维垂心间距平方 | H A B H A C | 2 = ( a b 2 a 2 + b 2 − a c 2 a 2 + c 2 ) 2 + ( a 2 b a 2 + b 2 − 0 ) 2 + ( 0 − a 2 c a 2 + c 2 ) 2 = a 4 ( b 2 + c 2 ) ( a 2 + b 2 ) ( a 2 + c 2 ) (2点坐标距离公式) (垂心球距离公式) | H A B H A D | 2 = ( a b 2 a 2 + b 2 − − a v t a 2 + d 2 ) 2 + ( a 2 b a 2 + b 2 − a 3 c t a 2 + d 2 ) 2 + ( 0 − a 3 b t a 2 + d 2 ) 2 = a 4 ( b 2 + d 2 ) ( a 2 + b 2 ) ( a 2 + d 2 ) (2点坐标距离公式) | H A B H A D | 2 = a 2 b 2 a 2 + b 2 + a 2 d 2 a 2 + d 2 − 2 ( a 2 ) − 1 a 2 b 2 a 2 + b 2 a 2 d 2 a 2 + d 2 = a 4 ( b 2 + d 2 ) ( a 2 + b 2 ) ( a 2 + d 2 ) (垂心球距离公式) | H A B H B C | 2 = ( a b 2 a 2 + b 2 − 0 ) 2 + ( a 2 b a 2 + b 2 − b c 2 b 2 + c 2 ) 2 + ( 0 − b 2 c b 2 + c 2 ) 2 = b 4 ( a 2 + c 2 ) ( a 2 + b 2 ) ( b 2 + c 2 ) (2点坐标距离公式) | H A B H B C | 2 = a 2 b 2 a 2 + b 2 + b 2 c 2 b 2 + c 2 − 2 ( b 2 ) − 1 a 2 b 2 a 2 + b 2 b 2 c 2 b 2 + c 2 = b 4 ( a 2 + c 2 ) ( a 2 + b 2 ) ( b 2 + c 2 ) (垂心球距离公式) (2点坐标距离公式) | H A B H B D | 2 = a 2 b 2 a 2 + b 2 + b 2 d 2 b 2 + d 2 − 2 ( b 2 ) − 1 a 2 b 2 a 2 + b 2 b 2 d 2 b 2 + d 2 = b 4 ( a 2 + d 2 ) ( a 2 + b 2 ) ( b 2 + d 2 ) (垂心球距离公式) 3.4.3. H AB 点与4个三维垂心间距平方 | H A B H A B C | 2 = ( a b 2 a 2 + b 2 − a b 2 c 2 s A B C 2 ) 2 + ( a 2 b a 2 + b 2 − a 2 b c 2 s A B C 2 ) 2 + ( 0 − a 2 b 2 c s A B C 2 ) 2 = a 4 b 4 ( a 2 + b 2 ) s A B C 2 (2点坐标距离公式) | H A B H A B C | 2 = a 2 b 2 a 2 + b 2 + a 2 b 2 c 2 s A B C 2 − 2 ( a 2 b 2 a 2 + b 2 ) − 1 a 2 b 2 a 2 + b 2 a 2 b 2 c 2 s A B C 2 = a 4 b 4 ( a 2 + b 2 ) s A B C 2 (垂心球距离公式) | H A B H A B D | 2 = ( a b 2 a 2 + b 2 − − a b 2 v t s A B D 2 ) 2 + ( a 2 b a 2 + b 2 − − a 2 b v t s A B D 2 ) 2 + ( 0 − a 3 b 3 t s A B D 2 ) 2 = a 4 b 4 ( a 2 + b 2 ) s A B D 2 (2点坐标距离公式) | H A B H A B D | 2 = a 2 b 2 a 2 + b 2 + a 2 b 2 d 2 s A B D 2 − 2 ( a 2 b 2 a 2 + b 2 ) − 1 a 2 b 2 a 2 + b 2 a 2 b 2 d 2 s A B D 2 = a 4 b 4 ( a 2 + b 2 ) s A B D 2 (垂心球距离公式) | H A B H A C D | 2 = ( a b 2 a 2 + b 2 − − a c 2 v t s A C D 2 ) 2 + ( a 2 b a 2 + b 2 − a 3 c 3 t s A C D 2 ) 2 + ( 0 − − a 2 c v t s A C D 2 ) 2 = a 4 s B C D 2 ( a 2 + b 2 ) s A C D 2 (2点坐标距离公式) | H A B H A C D | 2 = a 2 b 2 a 2 + b 2 + a 2 c 2 d 2 s A C D 2 − 2 ( a 2 ) − 1 a 2 b 2 a 2 + b 2 a 2 c 2 d 2 s A C D 2 = a 4 s B C D 2 ( a 2 + b 2 ) s A C D 2 (垂心球距离公式) | H A B H B C D | 2 = ( a b 2 a 2 + b 2 − b 3 c 3 t s B C D 2 ) 2 + ( a 2 b a 2 + b 2 − − b c 2 v t s B C D 2 ) 2 + ( 0 − − b 2 c v t s B C D 2 ) 2 = b 4 s A C D 2 ( a 2 + b 2 ) s B C D 2 (2点坐标距离公式) | H A B H B C D | 2 = a 2 b 2 a 2 + b 2 + b 2 c 2 d 2 s B C D 2 − 2 ( b 2 ) − 1 a 2 b 2 a 2 + b 2 b 2 c 2 d 2 s B C D 2 = b 4 s A C D 2 ( a 2 + b 2 ) s B C D 2 (垂心球距离公式) 3.4.4. H AB 点与1个四维垂心间距平方(任意二维与四维垂心间距均相同) (2点坐标距离公式) | H A B H | 2 = a 2 b 2 a 2 + b 2 + a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 − 2 ( a 2 b 2 a 2 + b 2 ) − 1 a 2 b 2 a 2 + b 2 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 = a 4 b 4 ( c 2 + d 2 ) ( a 2 + b 2 ) v 2 (垂心球距离公式) 同理可得： H A C ， H B C ， H A D ， H B D ， H C D 点与其它点距离(略)。 3.5. 验证任意三维与四维垂心距离的平方 (2点坐标距离公式) | H H A B C | 2 = a 2 b 2 c 2 s A B C 2 + a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 − 2 ( a 2 b 2 c 2 s A B C 2 ) − 1 a 2 b 2 c 2 s A B C 2 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 = a 4 b 4 c 4 v 2 s A B C 2 (垂心球距离公式) 同理可得： H A B D ， H A C D ， H B C D 点与H点的距离(略)。 3.6. 论4球面均为原点，以及勾股4态的15个垂心球构成的证明， 同时验证8原点垂心球为零公式 正交4球存在4组3球面8交点即为8原点，8原点的垂心球半径均为零，一至四维15个垂心至每组凹凸2原点距离的乘积等于该组垂心球半径的平方； 3.6.1. 一维垂心球：(正交4球面，每球面均处处为原点) 4球心除了对平面外，与相邻3组3球面6交点每组凹凸2点的乘积相同为一维垂心球半径的平方。 例： | D − A | | A D + | = | C − A | | A C + | = | B − A | | A B + | = a 2 (7) 验算：用2点坐标计算距离： | D − A | 2 | A D + | 2 = [ ( 0 − a ) 2 + ( 0 − 0 ) 2 + ( 0 − 0 ) 2 ]                                             × [ ( − 2 a b 2 c 2 t v − a b c − a ) 2 + ( − 2 a 2 b c 2 t v − a b c − 0 ) 2 + ( − 2 a 2 b 2 c t v − a b c − 0 ) 2 ] = a 4 | C − A | 2 | A C + | 2 = [ ( − a b 2 c 2 t v + a b d − a ) 2 + ( − a 2 b c 2 t v + a b d − 0 ) 2 + ( − a b c ( a b c + a b d + v ) t d ( v + a b d ) − 0 ) 2 ]                                           × [ ( − a b 2 c 2 t v − a b d − a ) 2 + ( − a 2 b c 2 t v − a b d − 0 ) 2 + ( a b c ( a b c − a b d + v ) t d ( v − a b d ) − 0 ) 2 ] = a 4 | B − A | 2 | A B + | 2 = [ ( − a b 2 c 2 t v + a c d − a ) 2 + ( − a b c ( a b c + a c d + v ) t d ( v + a c d ) − 0 ) 2 + ( − a 2 b 2 c t v + a c d − 0 ) 2 ]                                           × [ ( − a b 2 c 2 t v − a c d − a ) 2 + ( a b c ( a b c − a c d + v ) t d ( v − a c d ) − 0 ) 2 + ( − a 2 b 2 c t v − a c d − 0 ) 2 ] = a 4 验算：用垂心球公式计算距离：A与原点无交集球 | D − A | 2 | A D + | 2 = ( a 2 + 0 2 − 2 ( 0 ) a 2 0 2 ) ( a 2 + 0 2 − 2 ( 0 ) a 2 0 2 ) = a 4 | C − A | 2 | A C + | 2 = ( a 2 + 0 2 − 2 ( 0 ) a 2 0 2 ) ( a 2 + 0 2 − 2 ( 0 ) a 2 0 2 ) = a 4 上述验算两边开方，即得公式(7)。 同理可得其余3组一维垂心球等式为： | D − B | | B D + | = | C − B | | B C + | = | A − B | | B A + | = b 2 | D − C | | C D + | = | B − C | | C B + | = | A − C | | C A + | = c 2 | C − D | | D C + | = | B − D | | D B + | = | A − D | | D A + | = d 2 3.6.2. 二维垂心球：(正交两球形成2正交圆环，圆环处处为原点) 6个二维垂心球，每个垂心各有3组两端的乘积相同为二维垂心球半径的平方。 例： | D − H A B | | H A B D + | = | C − H A B | | H A B C + | = | A H A B | | H A B B | = a 2 b 2 a 2 + b 2 (8) 验算：用2点坐标计算距离： | D − H A B | 2 | H A B D + | 2 = [ ( 0 − a b 2 a 2 + b 2 ) 2 + ( 0 − a 2 b a 2 + b 2 ) 2 + ( 0 − 0 ) 2 ]         × [ ( − 2 a b 2 c 2 t v − a b c − a b 2 a 2 + b 2 ) 2 + ( − 2 a 2 b c 2 t v − a b c − a 2 b a 2 + b 2 ) 2 + ( − 2 a 2 b 2 c t v − a b c − 0 ) 2 ] = ( a 2 b 2 a 2 + b 2 ) 2 | C − H A B | 2 | H A B C + | 2 = [ ( − a b 2 c 2 t v + a b d − a b 2 a 2 + b 2 ) 2 + ( − a 2 b c 2 t v + a b d − a 2 b a 2 + b 2 ) 2 + ( 0 − − a b c ( a b c + a b d + v ) t d ( v + a b d ) ) 2 ]         × [ ( − a b 2 c 2 t v − a b d − a b 2 a 2 + b 2 ) 2 + ( − a 2 b c 2 t v − a b d − a 2 b a 2 + b 2 ) 2 + ( a b c ( a b c − a b d + v ) t d ( v − a b d ) − 0 ) 2 ] = ( a 2 b 2 a 2 + b 2 ) 2 | A H A B | 2 | H A B B | 2 = [ ( a − a b 2 a 2 + b 2 ) 2 + ( 0 − a 2 b a 2 + b 2 ) 2 + ( 0 − 0 ) 2 ]         × [ ( 0 − a b 2 a 2 + b 2 ) 2 + ( b − a 2 b a 2 + b 2 ) 2 + ( 0 − 0 ) 2 ] = ( a 2 b 2 a 2 + b 2 ) 2 验算：用垂心球公式计算距离： H A B 与原点无交集球 | D − H A B | 2 | H A B D + | 2 = ( a 2 b 2 a 2 + b 2 + 0 2 − 2 ( 0 ) a 2 b 2 a 2 + b 2 0 2 ) ( a 2 b 2 a 2 + b 2 + 0 2 − 2 ( 0 ) a 2 b 2 a 2 + b 2 0 2 ) = ( a 2 b 2 a 2 + b 2 ) 2 | C − H A B | 2 | H A B C + | 2 = ( a 2 b 2 a 2 + b 2 + 0 2 − 2 ( 0 ) a 2 b 2 a 2 + b 2 0 2 ) ( a 2 b 2 a 2 + b 2 + 0 2 − 2 ( 0 ) a 2 b 2 a 2 + b 2 0 2 ) = ( a 2 b 2 a 2 + b 2 ) 2 上述验算两边开方，即得公式(8)。 同理可得其余5组二维垂心球等式为： | D − H A C | | H A C D + | = | B − H A C | | H A C B + | = | A H A C | | H A C C | = a 2 c 2 a 2 + c 2 | D − H B C | | H B C D + | = | A − H B C | | H B C A + | = | B H B C | | H B C C | = b 2 c 2 c 2 + c 2 | B − H A D | | H A D B + | = | C − H A D | | H A D C + | = | A H A D | | H A D D | = a 2 d 2 a 2 + d 2 | A − H B D | | H B D A + | = | C − H B D | | H B D C + | = | B H B D | | H B D D | = b 2 d 2 b 2 + d 2 | A − H C D | | H C D A + | = | B − H C D | | H C D B + | | C H C D | | H C D D | = c 2 d 2 c 2 + d 2 3.6.3. 三维垂心球：(正交3球面交2点为原点) 4个三维垂心球，每个垂心各有4组两端的乘积相同为三维垂心球半径的平方。 | D − H A B C | | H A B C D + | = | A H A B C | | H A B C H B C | = | B H A B C | | H A B C H A C | = | C H A B C | | H A B C H A B | = a 2 b 2 c 2 s A B C 2 (9) | C − H A B D | | H A B D C + | = | A H A B D | | H A B D H B D | = | B H A B D | | H A B D H A D | = | D H A B D | | H A B D H A B | = a 2 b 2 d 2 s A B D 2 | B − H A C D | | H A C D B + | = | A H A C D | | H A C D H C D | | C H A C D | | H A C D H A D | = | D H A C D | | H A C D H A C | = a 2 c 2 d 2 s A C D 2 | A − H B C D | | H B C D A + | = | B H B C D | | H B C D H C D | = | C H B C D | | H B C D H B D | = | D H B C D | | H B C D H B C | = b 2 c 2 d 2 s B C D 2 验算公式(9)： 用2点坐标式 | D − H A B C | 2 | H A B C D + | 2 = [ ( 0 − a b 2 c 2 s A B C 2 ) 2 + ( 0 − a 2 b c 2 s A B C 2 ) 2 + ( 0 − a 2 b 2 c s A B C 2 ) 2 ]         × [ ( − 2 a b 2 c 2 t v − a b c − a b 2 c 2 s A B C 2 ) 2 + ( − 2 a 2 b c 2 t v − a b c − a 2 b c 2 s A B C 2 ) 2 + ( − 2 a 2 b 2 c t v − a b c − a 2 b 2 c s A B C 2 ) 2 ] = ( a 2 b 2 c 2 s A B C 2 ) 2 | A H A B C | 2 | H A B C H B C | 2 = [ ( a − a b 2 c 2 s A B C 2 ) 2 + ( 0 − a 2 b c 2 s A B C 2 ) 2 + ( 0 − a 2 b 2 c s A B C 2 ) 2 ]         × [ ( 0 − a b 2 c 2 s A B C 2 ) 2 + ( b c 2 b 2 + c 2 − a 2 b c 2 s A B C 2 ) 2 + ( b 2 c b 2 + c 2 − a 2 b 2 c s A B C 2 ) 2 ] = ( a 2 b 2 c 2 s A B C 2 ) 2 | C H A B C | 2 | H A B C H A B | 2 = [ ( 0 − a b 2 c 2 s A B C 2 ) 2 + ( 0 − a 2 b c 2 s A B C 2 ) 2 + ( c − a 2 b 2 c s A B C 2 ) 2 ]         × [ ( a b 2 a 2 + b 2 − a b 2 c 2 s A B C 2 ) 2 + ( a 2 b a 2 + b 2 − a 2 b c 2 s A B C 2 ) 2 + ( 0 − a 2 b 2 c s A B C 2 ) 2 ] = ( a 2 b 2 c 2 s A B C 2 ) 2 用垂心球距离公式： | D − H A B C | 2 | H A B C D + | 2 = [ a 2 b 2 c 2 s A B C 2 + 0 − 2 ( 0 ) 0 a 2 b 2 c 2 s A B C 2 ] [ a 2 b 2 c 2 s A B C 2 + 0 − 2 ( 0 ) 0 a 2 b 2 c 2 s A B C 2 ] = ( a 2 b 2 c 2 s A B C 2 ) 2 | A H A B C | 2 | H A B C H B C | 2 = [ a 2 b 2 c 2 s A B C 2 + a 2 − 2 ( a 2 ) − 1 a 2 a 2 b 2 c 2 s A B C 2 ] [ a 2 b 2 c 2 s A B C 2 + b 2 c 2 b 2 + c 2 − 2 ( b 2 c 2 b 2 + c 2 ) − 1 b 2 c 2 b 2 + c 2 a 2 b 2 c 2 s A B C 2 ] = ( a 2 b 2 c 2 s A B C 2 ) 2 | B H A B C | 2 | H A B C H A C | 2 = [ a 2 b 2 c 2 s A B C 2 + b 2 − 2 ( b 2 ) − 1 b 2 a 2 b 2 c 2 s A B C 2 ] [ a 2 b 2 c 2 s A B C 2 + a 2 c 2 a 2 + c 2 − 2 ( a 2 c 2 a 2 + c 2 ) − 1 a 2 c 2 a 2 + c 2 a 2 b 2 c 2 s A B C 2 ] = ( a 2 b 2 c 2 s A B C 2 ) 2 | C H A B C | 2 | H A B C H A B | 2 = [ a 2 b 2 c 2 s A B C 2 + c 2 − 2 ( c 2 ) − 1 c 2 a 2 b 2 c 2 s A B C 2 ] [ a 2 b 2 c 2 s A B C 2 + a 2 b 2 a 2 + b 2 − 2 ( a 2 b 2 a 2 + b 2 ) − 1 a 2 b 2 a 2 + b 2 a 2 b 2 c 2 s A B C 2 ] = ( a 2 b 2 c 2 s A B C 2 ) 2 上述验算两边开方，得公式(9) 同理可得其余3组三维垂心球等式为： | C − H A B D | | H A B D C + | = | A H A B D | | H A B D H B D | | B H A B D | | H A B D H A D | = | D H A B D | | H A B D H A B | = a 2 b 2 d 2 s A B D 2 | B − H A C D | | H A C D B + | = | A H A C D | | H A C D H C D | | C H A C D | | H A C D H A D | = | D H A C D | | H A C D H A C | = a 2 c 2 d 2 s A C D 2 | A − H B C D | | H B C D A + | = | B H B C D | | H B C D H C D | = | C H B C D | | H B C D H B D | = | D H B C D | | H B C D H B C | = b 2 c 2 d 2 s B C D 2 3.6.4. 四维垂心球：(4组8点正交3球面点为8原点) | A − H | | H A + | = | B − H | | H B + | = | C − H | | H C + | = | D − H | | H D + | = | A H | | H H B C D | = | B H | | H H A C D | = | C H | | H H A B D | = | D H | | H H A B C | = a 2 b 2 c 2 d 2 V 2 (10) 验算1：H至3球面2交点距离的乘积： 用2点距离公式： | D − H | 2 | H D + | 2 = [ ( 0 − − a b 2 c 2 t v ) 2 + ( 0 − − a 2 b c 2 t v ) 2 + ( 0 − − a 2 b 2 c t v ) 2 ]         × [ ( − 2 a b 2 c 2 t v − a b c − − a b 2 c 2 t v ) 2 + ( − 2 a 2 b c 2 t v − a b c − − a 2 b c 2 t v ) 2 + ( − 2 a 2 b 2 c t v − a b c − − a 2 b 2 c t v ) 2 ] = ( a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 ) 2 用垂心球距离公式： 因8原点均系3球正交原点，8原点垂心球为零适用3维以下，一般四维垂心点不可直接使用。分析 | D − H | | H D + | 2点间距，因 D ， D − ， H ， H A B C ， D + 5点均在过顶点D的垂线上。且： | D − H | = | D − H A B C | − | H H A B C | ； | D + H | = | D + H A B C | + | H H A B C | 而 | D − H A B C | 2 = a 2 b 2 c 2 s A B C 2 + 0 − 2 ( 0 ) 0 a 2 b 2 c 2 s A B C 2 = a 2 b 2 c 2 s A B C 2 | D + H A B C | 2 = a 2 b 2 c 2 s A B C 2 + 0 − 2 ( 0 ) 0 a 2 b 2 c 2 s A B C 2 = a 2 b 2 c 2 s A B C 2 两边开方 | D − H A B C | = a b c s A B C ， | D + H A B C | = a b c s A B C 另： | H H A B C | 2 = a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 + a 2 b 2 c 2 s A B C 2 − 2 ( a 2 b 2 c 2 s A B C 2 ) − 1 a 2 b 2 c 2 s A B C 2 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 = a 4 b 4 c 4 v 2 s A B C 2 两边开方 | H H A B C | = a 2 b 2 c 2 v s A B C 这样： | D − H | | H D + | = ( | D − H A B C | − | H H A B C | ) ( | D + H A B C | + | H H A B C | ) = ( a b c s A B C − a 2 b 2 c 2 v s A B C ) ( a b c s A B C + a 2 b 2 c 2 v s A B C ) = ( a 2 b 2 c 2 s A B C 2 − a 4 b 4 c 4 v 2 s A B C 2 ) = a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 同理：可得 (略) 验算2：H至球心及其对平面垂心距离的乘积： | D H | 2 | H H A B C | 2 = [ d 2 + a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 − 2 ( d 2 ) − 1 d 2 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 ]         × [ a 2 b 2 c 2 s A B C 2 + a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 − 2 ( a 2 b 2 c 2 s A B C 2 ) − 1 a 2 b 2 c 2 s A B C 2 a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 ] = ( a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 ) 2 两边开方 | D H | | H H A B C | = a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 同理：可得 | A H | | H H B C D | = | B H | | H H A C D | = | C H | | H H A B D | = a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 (略) 通过上述验算：证明了公式(1)成立，同时佐证了勾股四态垂心球的构成。 3.7. 验证公式(2) 用垂心球球心坐标和重心球球心坐标 [ 3 ]，用2点坐标的距离公式验证同态重心与垂心距离公式(2)即：论勾股四态15个重心球球心与同态的15个垂心球球心间距的平方，为重心球半径的平方与垂心球半径的平方差。 验证如下： 3.7.1. 4组同态一维重心与垂心共点，间距为零 | G A H A | 2 = r G A 2 − r H A 2 = a 2 − a 2 = 0 同理可得其余： | G B H B | 2 = 0 ， | G C H C | 2 = 0 ， | G D H D | 2 = 0 。 3.7.2. 6组同态二维重心与垂心间距 | G A B H A B | 2 = ( a 2 − a b 2 a 2 + b 2 ) 2 + ( b 2 − a 2 b a 2 + b 2 ) 2 + ( 0 − 0 ) 2 = ( a 2 − b 2 ) 2 4 ( a 2 + b 2 ) (2点坐标距离公式) | G A B H A B | 2 = 1 2 2 ( a 2 + b 2 ) − a 2 b 2 a 2 + b 2 = ( a 2 − b 2 ) 2 4 ( a 2 + b 2 ) (2球半径的平方差距离公式) 同理可得其余 | G A C H A C | 2 ， | G B C H B C | 2 ， | G A D H A D | 2 ， | G B D H B D | 2 ， | G C D H C D | 2 二维重心与垂心距离的平方。 3.7.3. 4组同态三维重心与垂心间距 | G A B C H A B C | 2 = ( a 3 − a b 2 c 2 s A B C 2 ) 2 + ( b 3 − a 2 b c 2 s A B C 2 ) 2 + ( c 3 − a 2 b 2 c s A B C 2 ) 2 = 1 3 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) − a 2 b 2 c 2 s A B C 2 (2点坐标距离公式) | G A B C H A B C | 2 = 1 3 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) − a 2 b 2 c 2 s A B C 2 (2球半径的平方差距离公式) 同理可得其余3组 | G A B D H A B D | 2 ， | G A C D H A C D | 2 ， | G B C D H B C D | 2 三维重心与垂心距离的平(略) 3.7.4. 1组同态四维重心与垂心间距 | G H | 2 = ( a + b c t 4 − − a b 2 c 2 t v ) 2 + ( b + a c t 4 − − a 2 b c 2 t v ) 2 + ( c + a b t 4 − − a 2 b 2 c t v ) 2 = 1 4 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) − a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 (2点距离公式) | G H | 2 = 1 4 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) − a 2 b 2 c 2 d 2 v 2 (2球半径的平方差距离公式) 通过上述验算：公式(2)成立。 同时也佐证了重心球 [ 5 ] 和垂心球半径公式(3)的确立。