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user: 3. 数字阀流量控制模型及仿真分析 数字阀的输入信号为步进电机的控制脉冲，输出为阀的出口流量，为此建立控制系统各环节的模型如下： 3.1. 步进电机数学模型 步进电机选用两相混合式电机，在不计定子极间和端部的漏磁、不计永磁体回路的漏磁、忽略磁滞和涡流的影响、忽略饱和的影响、忽略定子线圈自感的谐波分量。 不失步时，步进电机每接受一个脉冲信号转过一个步距角，即： θ 1 = θ b ，而转子实际转过的角度 θ 2 围绕一个新的平衡点振荡，根据小振荡理论，可推导出传递函数为： G 1 ( s ) = θ 2 ( s ) θ 1 ( s ) (1) 两相混合式步进电机的电压平衡方程为： u a = R i a + L d i a / d t − K m ω sin ( N r θ ) (2) u b = R i b + L d i b / d t + K m ω cos ( N r θ ) (3) 式中：R：绕组电阻； L d ：电感系数； K m ：电枢绕组的反电动势系数； N r ：电动机的齿数； θ ：电动机转子角位移； ω ：电机转速； i a 、 i b ：绕组A、B的电流； u a 、 u b ：绕组A、B的电压。 步进电动机的力矩平衡方程为： T e = J d 2 θ / d t 2 + B d θ / d t + T L = − K m i a ( sin N r θ ) + K m i b cos ( N r θ ) (4) 式中：T e ：电磁转矩；J：转动惯量；B：粘滞摩擦系数；T L ：负载转矩。 按单相励磁方式，由式4可得步进电机运动方程为 [ 8 ] ： J d 2 θ d t 2 + B d θ d t − N r L d i a 2 sin ( N r θ ) 2 = 0 (5) 设 t = 0 ， d θ / d t = 0 ，转子达到平衡位置。此时仅有一相电源接通，无其他电流通路，振荡过程中 i a 不变，则增量运动方程为： J d 2 ( δ θ ) d t 2 + B d ( δ θ ) d t − N r L d i a 2 sin ( N r δ θ ) 2 = 0 (6) 因 很小，方程线性化为： J d 2 θ 2 d t 2 + B d θ 2 d t + N r L d i a 2 θ 2 2 = N r L d i a 2 θ 1 2 (7) 对式(7)进行拉氏变换，将初值0代入可得： ( s 2 J + s B + N r L d i a 2 2 ) θ 2 ( s ) = N r L d i a 2 2 θ 1 ( s ) (8) 则步进电机的模型为： G 1 ( s ) = N r L d i a 2 / 2 J s 2 + s B / J + N r L d i a 2 / 2 J (9) 3.2. 传动机构模型 数字阀传动机构由齿轮副和螺纹传动副构成(图2)，推导出所需的传递函数为： G 2 ( s ) = x ( s ) θ 2 ( s ) (10) 式中：x：阀芯位移。 对于数字阀而言，螺杆螺母机构的功能是将旋转运动转变成直线运动，忽略齿轮啮合齿隙、螺纹间隙则： x ( s ) θ 2 ( s ) = z 1 z 2 P (11) 式中： z 1 ：主动轮齿数； z 2 ：从动轮齿数；P：螺距。 3.3. 换向阀的数学模型 数字阀阀芯位移和流经数字阀的流量的数学模型为： Q = { C d W x 2 ( P s − P c ) ρ                               0 < x < 0.008 0                                                                       0.008 < x < 0.0105 C d W ( x − 0.0105 ) 2 P c ρ                   x > 0.0105 (12) G 3 ( s ) = Q ( s ) x ( s ) = C d W x 2 ( P s − P c ) ρ           0 < x < 0.008 (13) 图2. 数字阀传动原理图 式中 C d ：流量系数；W：面积梯度； P s ：数字阀出油口压力； P c ：数字阀进油口压力； ρ ：液压的密度。 因此，数字阀流量控制系统传递函数为： G ( s ) = G 1 ( s ) G 2 ( s ) G 3 ( s ) = Q ( s ) θ 1 ( s ) = N r L d i a 2 / 2 J s 2 + s B / J + N r L d i a 2 / 2 J z 1 z 2 P C d W 2 ( P s − P c ) ρ (14) 3.4. 流量控制特性仿真结果分析 将式(14)化成二阶系统的标准形式： G ( s ) = K ω n 2 s 2 + 2 ε s ω n + ω n 2 = z 1 z 2 P C d W 2 ( P s − P c ) ρ N r L d i a 2 / 2 J s 2 + 2 B s N r L d i a 2 / 2 J / 2 N r L d i a 2 J + N r L d i a 2 / 2 J (15) 由上式可知：二阶系统的阻尼比 ε = B / 2 N r L d i a 2 J 二阶系统的固有频率 ω n = N r L d i a 2 / 2 J 二阶系统的增益 K = z 1 z 2 P C d W 2 ( P s − P c ) ρ 通过研究二阶系统性能指标来研究步进电机不同结构参数、面积梯度变化、传动比变化以及负载压力变化对流量控制特性的影响。 3.5. 步进电机参数对流量控制特性的影响 步进电机是数字阀最重要的组成部分之一，其内部系数影响数字阀的流量控制特性，在本模型中步进电机的内部参数包括电机转动惯量J、电机阻尼系数B、电感 L d 、相电流 i a 。 图3(a)为了获得很好的流量控制特性，则需保证超调量小、响应时间短、振荡次数少。由于超调量只与二阶系统的阻尼比有关，阻尼比越大超调越小，即B越大超调越小，一般选择在0.4~0.8之间。然后调整固有频率 ω n 。当阻尼比一定时固有频率越大，系统响应的快速性越好。 从图3(a)~图3(d)仿真图形中不难看出，在0.3s时间后，无论步进电机参数取何值，流量都趋于稳定，即响应时间在0.3s左右，当电机转动惯量越小或电机阻尼系数越大时，其超调量越小，响应速度越快；电机相电流或电感越小时，超调量越小，但其响应时间长。因此合理选用电机结构参数可以改善流量的控制特性。 3.6. 结构参数与压力对流量控制特性的影响 图4(a)所设计的新型数字阀为孔口全周边的圆周滑阀，对于孔口为全周边的圆周滑阀， W = π d ，其中d为阀芯直径。可以改变阀芯直径来改变面积梯度间接地改变数字阀的流量控制特性，阀芯直径分别取6 mm，8 mm，10 mm进行流量控制特性仿真分析。从图中可以看出面积梯度越大，输出的流量越大。 图3. 步进电机参数对对流量控制特性的影响 图4. 结构参数与压力对对流量控制特性的影响 图4(b)研究不同传动比对流量特性的影响，分别取传动比为0.5、0.6、0.7。从图中可以看出传动比越大，输出的流量越大。 图4(c)负载压力分别取5 MPa、15 MPa、25 MPa，研究不同负载压力对流量控制特性的影响，从图中可以看出负载压力越大，输出的流量越小。 从图4(a)~图4(d)仿真图形中不难看出，在0.3 s时间后，无论结构参数取何值，流量都趋于稳定，即响应时间在0.3 s左右。