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user: 3. 模型和方法 数据包络分析(Data Envelopment Analysis， DEA)由A.Charnes， W.W.Cooper (1978)等人提出的一种以凸分析和线性规划为工具测算相对效率的评价方法。Malmquist指数是基于DEA模型的方法而提出的，由瑞典经济学家和统计学家Sten Malmquist于1953年首度提出。之所以这种方法被越来越多的学者采用，有以下几点原因：1) 由于Malmquist指数法测算的是一个比值，所以就不用考虑生产要素的单价，在进行数据处理的时候也不需要考虑单位不同的问题，使用起来非常方便；2) 而且，它可以同时测算多投入和多产出的数据类型，范围更加广泛；3) 可以同时使用多个DMU的企业的面板数据；4) 测算时不用假设生产函数的具体形式，避免由此带来的误差。基于以上四个有点，以及本文实证研究的数据特点：面板数据、多企业、数据单位不一致等，本文选取其作为对互联网产业全要素生产率的测算模型。 Malmquist指数是距离函数的比值，通过相邻两年距离生产前沿面的距离的比值来衡量某一年的生产效率情况，具体设定过程如下： 假设 ( x t ， y t ) 为某一企业在年份 t = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n ，投入产出向量，处于生产可能集象限里的某一位置， S t 则表示该厂家生产可能性的集合： S t = { ( x t ， y t ) } (1) 我们定义企业在t时期内 ( x t ， y t ) 点的生产效率为 D 0 t ( x t ， y t ) ，取值范围为 [ 0 ， 1 ] ，当 D 0 t ( x t ， y t ) = 1 的时候，代表着该厂商在t年的投入产出向量在生产可能集的前沿面上，生产效率100%： D 0 t ( x t ， y t ) = inf { θ : ( x t ， y t θ ) ∈ S t } (2) 同样，我们定义以t年的生产前沿面测量的厂商在第t + 1年的投入产出向量 ( x t + 1 ， y t + 1 ) 的生产效率： D 0 t ( x t + 1 ， y t + 1 ) = inf { θ : ( x t + 1 ， y t + 1 θ ) ∈ S t } (3) 如果想要保持与t时期的生产效率一样，当t + 1期投入增加了 α 倍，那么产出将增加 θ ⋅ α 倍。接下来，(4)和(5)分别定义t期和t + 1期的malmquist指数： M t = D 0 t ( x t + 1 ， y t + 1 ) D 0 t ( x t ， y t ) (4) M t + 1 = D 0 t + 1 ( x t + 1 ， y t + 1 ) D 0 t + 1 ( x t ， y t ) (5) 用t年度和t + 1年度的生产效率的几何平均值定义全要素生产率的变化，也就是用以t年和t + 1年技术效率为基准衡量的厂商的生产效率的几何平均值： M 0 ( x t + 1 ， y t + 1 ， x t ， y t ) = [ ( D 0 t ( x t + 1 ， y t + 1 ) D 0 t ( x t ， y t ) ) ( D 0 t + 1 ( x t + 1 ， y t + 1 ) D 0 t + 1 ( x t ， y t ) ) ] 1 / 2 (6) 测量值 M > 1 说明t + 1期的全要素生产率比t期有了提升，意味着购买了更有效率的机器设备、员工的知识技能提升、有了新的技术创新或者优化了有利的产业结构以及更有效的管理制度等方面的技术进步； M = 1 说明生产率从整体上保持不变， M < 1 则意味着该企业的全要素生产效率没有提升反而在退步。根据Fare， Grosskopf， Norris把在规模报酬不变条件下Malmquist指数改写成(7)的形式： M 0 ( x t + 1 ， y t + 1 ， x t ， y t ) = D 0 t + 1 ( x t + 1 ， y t + 1 ) D 0 t ( x t ， y t ) × [ ( D 0 t ( x t + 1 ， y t + 1 ) D 0 t + 1 ( x t + 1 ， y t + 1 ) ) ( D 0 t ( x t ， y t ) D 0 t + 1 ( x t ， y t ) ) ] 1 / 2 (7) 分别令两个部分为： T E = D 0 t + 1 ( x t + 1 ， y t + 1 ) D 0 t ( x t ， y t ) (8) T P = [ ( D 0 t ( x t + 1 ， y t + 1 ) D 0 t + 1 ( x t + 1 ， y t + 1 ) ) ( D 0 t ( x t ， y t ) D 0 t + 1 ( x t ， y t ) ) ] 1 / 2 (9) TE是t + 1期和t期技术效率的比值，代表技术效率变动，衡量的是厂商在t + 1期投入产出向量到生产前沿面的距离与t期的投入产出向量到其生产前沿面的距离的差异。TE > 1说明厂商的投入产出向量在向着代表最优生产的方向移动，技术效率有了相对提升。当另(2)式中的投入保持不变的时候，计算得到的我们称作是纯技术效率变化，用PE表示，这样我们用技术效率变化与纯技术效率的比值来定义规模变化的效率，用SE标记，如(10)所示： S E = T E P E (10) 用 Δ S E 表示规模效率的变化， Δ P E 用来定义纯技术效率的变化值，其定义公式如(11)和(12)所列示： Δ S E = S E t + 1 S E t (11) Δ P E = P E t + 1 P E t (12) 定义TP来衡量生产前沿面变化的程度，TP > 1意味着生产函数中的生产要素出现了新的技术创新，更有效的管理方法或制度等新的发明。至此，全要素生产率可被分解为三个部分： M 0 ( x t + 1 ， y t + 1 ， x t ， y t ) = Δ P E × Δ S E × T P (13) 基于以上关于Malmquist指数的阐释可知，要想计算M指数需要计算四个距离函数： ( x t ， y t ) 和 ( x t + 1 ， y t + 1 ) 到t年生产前沿面的距离以及 ( x t ， y t ) 和 ( x t + 1 ， y t + 1 ) 到t + 1时期的生产前沿面的距离，用i来表示面板数据中的第i个样本企业即求解下列四个线性规划方程： [ D 0 t ( x t ， y t ) ] − 1 = max φ ， λ φ s . t .   − φ y i t + Y t λ ≥ 0 x i t − X t ≥ 0 λ ≥ 0 [ D 0 t ( x t + 1 ， y t + 1 ) ] − 1 = max φ ， λ φ s . t .   − φ y i ， t + 1 + Y t λ ≥ 0 x i ， t + 1 − X t λ ≥ 0 λ ≥ 0 [ D 0 t + 1 ( x t + 1 ， y t + 1 ) ] − 1 = max φ ， λ φ s . t .   − φ y i ， t + 1 + Y t + 1 λ ≥ 0 x i ， t + 1 − X t + 1 λ ≥ 0 λ ≥ 0 [ D 0 t + 1 ( x t ， y t ) ] − 1 = max φ ， λ φ s . t .   − φ y i ， t + Y t + 1 λ ≥ 0 x i ， t − X t + 1 λ ≥ 0 λ ≥ 0 本文数据主要来自于万德数据库和新浪财经，以及沪深证券官方网站的财务报告。其中，由于选取的样本中有的个别数据存在缺失，采用外推法将数据进行补齐，具体方法是根据其前几年的数据计算出平均增长率，然后计算得到该数据的估算值。使用学者Tim Colelli 编写的DEA模型专用程序DEAP Version 2.1，采用投入导向的方法，对2003~2013年A股上市的136家互联网企业和45家美国上市互联网概念公司的全要素生产率变化进行测算。