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user: 3. Nash博弈情形下的最优策略 在Nash博弈情形下，博弈双方没有主动权，地位均等，同时行动，此时，双方将会以各自利益最大化为原则进行决策，理性的创业企业和CVC都将不会向对方提供激励因子，因此 η = 0 。 1、公司创业投资的决策 由(一)中的基本假设条件可得， ∏ C V C ( t ) = w π s f ( t ) + π C V C s ( t ) − C C V C ( t ) (7) 则CVC的目标函数为： T ∏ C V C ( e C V C ( t ) ) = ∫ 0 + ∞ ( w π s f ( t ) + π C V C ( t ) − C C V C ( t ) ) e − δ t d t (8) 在Nash博弈下，双方的期望是为了使自己的利益最大化，故可得CVC的决策问题为： max e C V C ( t ) T ∏ C V C ( e C V C ( t ) ) = ∫ 0 + ∞ ( w π s f ( t ) + π C V C s ( t ) − C C V C ( t ) ) e − δ t d t (9) 2、创业企业的决策 同理： ∏ E n ( t ) = ( 1 − w ( t ) ) π s f ( t ) + π E n s ( t ) − C E n ( t ) (10) 则创业企业的目标函数为： T ∏ E n ( e E n ( t ) ) = ∫ 0 + ∞ ( ( 1 − w ( t ) ) π s f ( t ) + π E n s ( t ) − C E n ( t ) ) e − δ t d t (11) 即可得创业企业的决策问题为： max e E n ( t ) T ∏ E n ( e E n ( t ) ) = ∫ 0 + ∞ ( ( 1 − w ( t ) ) π s f ( t ) + π E n s ( t ) − C E n ( t ) ) e − δ t d t (12) 考虑到环境变量 u ( t ) 、 ρ ( t ) 、 φ ( t ) 、 w ( t ) 等随时间的变化而变化对上述的微分对策造成解析解的求解困难。为了简化问题，假设一下各个环境变量均为常数： u C V C ( t ) ≡ u c v c 、 u E n ( t ) ≡ u E n 、 ρ C V C ( t ) ≡ ρ c v c 、 ρ E n ( t ) ≡ ρ E n 、 φ C V C ( t ) ≡ φ c v c 、 φ E n ( t ) ≡ φ E n 、 w ( t ) ≡ w 。 记： e C V C * ( t ) 、 e E n * ( t ) 分别为CVC决策问题和创业企业决策问题的解。 则上述方程的解为： e c v c ∗ = ρ c v c φ c v c + α w ( δ + ε ) ( δ + ε ) u c v c e E n ∗ = ρ E n φ E n + β ( 1 − w ) ( δ + ε ) ( δ + ε ) u E n 证明： 假设存在连续有界的微分收益函数 H i ( G ) ， i ∈ ( C V C ， E n ) 对所有的 G ≥ 0 都满足HJB方程。 根据5.2.1模型的构建得到： CVC的收益函数如下： T ∏ C V C ( e C V C ( t ) ) = ∫ 0 + ∞ ( w π s f ( t ) + π C V C s ( t ) − C C V C ( t ) ) e − δ t d t (13) CVC的收益HJB方程为 δ H c v c ( G ) = max e C V C ≥ 0 { w ∗ ( α ∗ e c v c + β * e E n ) + φ c v c ∗ G − 1 2 u c v c e c v c 2 + H ′ c v c ( G ) ( ρ c v c ∗ e c v c + ρ E n ∗ e E n − ε G ) ∗ } (14) 同理，创业企业收益的HJB方程如下： δ H E n ( G ) = max e E n ≥ 0 { ( 1 − w ∗ ) ( α ∗ e c v c + β * e E n ) + φ c v c ∗ G − 1 2 u E n e E n 2 + H ′ E n ( G ) ( ρ c v c ∗ e c v c + ρ E n ∗ e E n − ε G ) ∗ } (15) 对(14)式右边部分对 e C V C 求一阶偏导得， α w − u c v c e c v c + ρ c v c H ′ c v c = 0 (16) 对(15)式右边部分对 e E n 求一阶偏导得： β ( 1 − w ) − u E n e E n + ρ E n H E n = 0 (17) 得CVC和创业企业的最优努力水平分别为： e c v c ∗ = ρ c v c H ′ c v c + α w u c v c (18) e c v c ∗ = ρ E n H ′ E n + β ( 1 − w ) u E n (19) 将 e C V C ∗ 、 e E N ∗ 代入(14)式，(15)式得 δ H c v c ( G ) = ( φ c v c − ε H ′ c v c ) G + ( α w + ρ c v c H ′ c v c ) 2 2 u c v c + ( β w + ρ E n H ′ E n ) [ β ( 1 − w ) + ρ E n H ′ E n ] u E n (20) δ H E n ( G ) = ( φ E n − ε H ′ E n ) G + [ α ( 1 − w ) + ρ E n H ′ E n ] 2 2 u E n + ( α w + ρ c v c H ′ c v c ) [ α ( 1 − w ) + ρ c v c H ′ E n ] u C V C (21) 由(16)式与(17)式可知，关于G的线性最优收益函数是HJB方程的解，令 H C V C ( G ) = λ 1 G + λ 2 (22) H E n ( G ) = ϕ 1 G + ϕ 2 (23) 其中， λ 1 、 λ 2 、 ϕ 1 、 ϕ 2 是常数，将(22)式、(23)式及其对G的导数代入(20)式和(21)式中，求得最优努力函数的参数值为： ϕ 1 = φ E n δ + ε λ 2 = ( α w + ρ c v c φ c v c δ + ε ) 2 2 u c v c + ( β w + ρ E n φ E n δ + ε ) [ β ( 1 − w ) + ρ E n φ E n δ + ε ] u E n ϕ 2 = ( α w + ρ c v c φ c v c δ + ε ) [ α ( 1 − w ) + ρ c v c φ E n δ + ε ] u c v c + [ β ( 1 − w ) + ρ E n φ E n δ + ε ] 2 2 u E n 将 λ 1 、 λ 2 、 ϕ 1 、 ϕ 2 代入(22)式和(23)式得CVC和创业企业的最优利润分别为 Π c v c ( G ) = φ c v c δ + ε G + ( α w + ρ c v c φ c v c δ + ε ) 2 2 u c v c + ( β w + ρ E n φ E n δ + ε ) [ β ( 1 − w ) + ρ E n φ E n δ + ε ] u E n (24) Π E n ( G ) = φ E n δ + ε G + ( α w + ρ c v c φ c v c δ + ε ) [ α ( 1 − w ) + ρ c v c φ E n δ + ε ] u c v c + [ β ( 1 − w ) + ρ E n φ E n δ + ε ] 2 2 u c v c (25) 将(24)式和(25)式分别对G求一阶导数后代入(18)式和(19)式得CVC、创业企业的最优努力水平如下： e E n ∗ = ρ E n φ E n + β ( 1 − w ) ( δ + ε ) ( δ + ε ) u E n