DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
system: [SYSTEM]

user: 1. 背景介绍 自然界中的每个物种都不可能单独存在，一定会和其他物种产生相互作用，可能是捕食与被捕食的关系，也可能是相互竞争或者互惠互利的关系。长期以来，研究种群之间的相互作用一直是生态系统的主题之一。19世纪20年代Lotka和Volterra提出了两物种竞争模型(Lotka-Volterra模型)，奠定了物种之间相互关系研究的理论基础 [ 1 ] [ 2 ] 。根据两个种群之间相互作用的形式，可以研究三种情形 [ 3 ] ：互利共生(两个种群的存在都对对方有利，互相促进增长)、捕食与被捕食(一个物种以另一个物种为食)以及相互竞争(两个种群相互残杀或者竞争同一食物资源的情况，相互抑制增长)。 然而在实际生物种群中，各个物种会随着食物、水分、空间等资源的变化而进行迁移。因此，基于传统的物种演化模型，考虑扩散导致的物种迁移会使得系统更贴近真正的生态系统。目前，国内外学者在考虑空间扩散的两种群相互作用系统中做了大量研究，发现扩散并不总是促进系统的稳定性 [ 4 ] [ 5 ] 而扩散也不会影响系统的稳定性 [ 6 ] [ 7 ] 。王茂香老师在研究中发现扩散虽然不影响系统稳定性，但是它改变了系统的演化过程 [ 8 ] [ 9 ] 。 本文基于文献 [ 8 ] [ 9 ] 的模型，在三物种食物链模型中考虑空间扩散，建立反应扩散型偏微分方程，通过数值求解偏微分方程，观察种群密度的时空演化，对食物链的保持和断裂进行深入探讨，加深对生态系统演化的理解。
system: [SYSTEM]

user: 2. 模型建立与分析 考虑具有三个物种的食物链结构，如草原中存在的野兔 → 狐 → 狼的食物链结构：狼以捕食狐为生，狐以野兔为生，狼和狐受食物的限制具有死亡率，而野兔有自己的内禀增长率但是同时也受到环境容纳量的制约。此模型具有十分复杂的动力学现象，包括循环、周期加倍和混沌等行为 [ 10 ] 。本文将重点关注物种迁移对系统演化的影响。首先建立反应扩散型偏微分方程： { ∂ N 1 ∂ t = D 1 ∂ 2 N 1 ∂ x 2 + N 1 ( a − c 1 f 1 N 2 − b N 1 ) ∂ N 2 ∂ t = D 2 ∂ 2 N 2 ∂ x 2 + N 2 ( c 2 f 1 N 1 − c 3 f 2 N 3 − d 1 ) ∂ N 3 ∂ t = D 3 ∂ 2 N 3 ∂ x 2 + N 3 ( c 4 f 2 N 2 − d 2 ) { f 1 = f 1 ( N 1 ， N 2 ) = 1 1 + N 1 f 2 = f 2 ( N 2 ， N 3 ) = 1 1 + N 2 其中： t代表时间，x代表空间位移，N 1 、N 2 、N 3 分别是三个物种的种群密度，N 1 是低级猎物如野兔，N 2 是中级捕食者如狐，N 3 是顶级食肉动物如狼。D 1 、D 2 、D 3 分别代表猎物与捕食者的扩散速度。a是猎物种群的内在增长率，b是种内竞争系数，c 1 是中级捕食者的捕食率，d 1 表示中级捕食者的死亡率，c 2 是被吃掉的猎物转化为捕食者的比率，c 3 是顶级食肉动物的人均捕食率，d 2 表示顶级食肉动物的死亡率，c 4 是被吃掉的猎物转化为捕食者的速率，这里的函数f 1 和f 2 代表物种间的功能反应函数(表示单位时间内食饵的消耗量)。对模型进行简化：将猎物种群的内在增长率a与种内竞争系数b取值为1，将中级捕食者与食肉动物的死亡率d 1 、d 2 都取值为1。 乍一看，扩散是一种随机运动，但由于物种间的相互作用相结合却会产生密度波的传播，即密度波从一个平衡点传播到另一个平衡点，如图1所示。科学家们在理论上研究确实发现对于有扩散的LV模型，通常存在行波解。因此从波传播的角度，可以直接观察系统的稳定性。 图1. 通过连接两个平衡态得到的传播波前：(a)波前剖面以速度c向前推进。(b)相平面中平衡点x到y的空间流动，从而在(a)中形成传播波面。 首先通过理论计算我们发现系统可能存在四个平衡点： P 1 ( 0 ， 0 ， 0 ) 、 P 2 ( 1 ， 0 ， 0 ) 、 P 3 ( 1 c 2 − 1 ， c 2 ( c 2 − 1 ) c 1 ( c 2 − 1 ) ， 0 ) 、 P 4 ( 1 − c 1 c 4 − 1 ， 1 c 4 − 1 ， ( 1 + N 2 ∗ ) ( c 2 N 1 ∗ 1 + N 1 ∗ − 1 ) c 3 ) .
system: [SYSTEM]

user: 3. 模拟结果与解释 下面我们将通过数值模拟来研究各个物种密度的演化。本文中常数分别取值为：c 1 = 3， c 2 = 4， c 3 = 3， c 4 = 5，得到平衡点的数值解为：P 1 (0， 0， 0)、P 2 (1， 0， 0)、P 3 (0.33， 0.89， 0)、P 4 (0.5， 0.25， 0.14)。我们发现这个食物链模型具有两个捕食结构，第一级结构是N 3 捕食N 2 ，第二级是N 2 捕食N 1 ，从食物链的级次来看，第一级高于第二级。我们将重点关注食物链结构的保持和断裂。 3.1. 食物链的维持 我们知道在传统LV模型中，猎物与捕食者在同一环境下生存，二者的数量随时间周期性的变化。对于考虑扩散的三物种系统，也存在这种常见的情况：即使捕食者比猎物跑得快，它们也只能在同一时空共存，因为物种N 3 、N 2 作为捕食者不能在没有猎物的空间里单独生存，如图2所示，此时对应理论上平衡点流向：P 4 → P 1 。 图2. 各个物种密度随时空的演化。黑色线表示最早记录的种群数量随空间的演变，而绿色的表示最晚记录的种群数量随空间的演变，红色线介于绿色与黑色两时刻之间。参数选择：c 1 = 3， c 2 = 4， c 3 = 3， c 4 = 5; D 1 = 1， D 2 = 3， D 3 = 6 3.2. 食物链的断裂  低级捕食结构断裂 食物链上的各个物种相互影响，相互制约，一环扣一环。如果某一环节发生“故障”，生态系统就会发生变化。当猎物N 1 比中间捕食者N 2 快时第二级捕食结构被打破，猎物可以跑到没有捕食者的空间去，如图3所示平衡点流向P 4 → P 2 出现；此时一级捕食结构仍被保存下来，物种N 2 与物种N 3 仍在同一空间中共存。整个食物链系统的平衡点流向为：P 4 → P 2 → P 1 。 图3. 各个物种密度随时空的演化，曲线标注同图2。参数选择：c 1 = 3， c 2 = 4， c 3 = 3， c 4 = 5; D 1 = 3， D 2 = 1， D 3 = 6 高级捕食结构断裂 与相比，两个捕食结构的状态正好相反，此时中间物种N 2 比它的捕食者物种N 3 快，猎物N 2 跑到没有捕食者N 3 的空间中，此时食物链第一级结构被打破，中间平衡点P 3 出现；但是二级捕食结构仍被保存下来，物种N 1 与物种N 2 在新的空间中共存，只留下高级捕食者N 1 在原地，由于长期没有食物，最终趋于灭亡，如图4所示。此时整个食物链的平衡点流向为：P 4 → P 3 → P 1 。 图4. 各个物种密度随时空的演化，曲线标注同图2。参数选择：c 1 = 3， c 2 = 4， c 3 = 3， c 4 = 5; D 1 = 1， D 2 = 6， D 3 = 3 食物链完全断裂 传统LV模型中，有猎物就有捕食者，二者共存于一个空间中。但是当考虑物种扩散的时候，猎物可以跑到没有捕食者的空间去，所以当猎物N 1 比中间捕食者N 2 跑得快，此时食物链二级结构被打破，猎物N 1 跑到没有N 2 的新空间中生存；而顶级捕食者比他俩跑得都慢的时候，物种N 2 作为一级捕食结构的猎物，高级捕食结构也被打破，如图5所示，此时理论上对应食物链的平衡点流向为P 4 → P 3 → P 2 → P 1 。 图5. 各个物种密度随时空的演化，曲线标注同图2。参数选择：c 1 = 3， c 2 = 4， c 3 = 3， c 4 = 5; D 1 = 6， D 2 = 3， D 3 = 1
system: [SYSTEM]

user: 4. 总结与展望 本文建立了三物种食物链模型，考虑了各个物种的空间扩散，并通过数值模拟研究了食物链的各种行为：包括食物链的维持以及断裂。在不考虑扩散的传统LV模型中，猎物与捕食者在同一空间中生存，二者的数量随时间周期性变化。而当考虑扩散的时候，猎物和捕食者的迁移能力对食物链系统的演化将产生重要的影响。当捕食者跑得快的时候，捕食者的速度不能无限提升，它会受到猎物速度的限制，保持食物链的运行。但当猎物跑得快的时候，他将可以在没有捕食者的新空间中生存，此时食物链被打破。由于中间物种既是低级捕食结构中的捕食者，又是高级捕食结构中的猎物，它的迁移速度将对食物链的维持和断裂起着关键作用。 通过数值模拟，我们可以直接观察食物链中各物种数量的演化，在理论上找到对应平衡点的流向。但是食物链各种情形变换的临界点在哪里？决定因素有哪些，本文还没有给出解析结果，这些将留待后期进行深入研究。另外对于三物种系统，还有两个捕食者一个食饵，以及两个食饵一个捕食者这两个系统，我们也将作进一步探讨。
system: [SYSTEM]

user: 摘 要 参考MUSCL格式的构造思想，我们给出了一种高阶数值通量的构造方法。将高阶数值通量应用于有限体积(差分)ENO，WENO和DG等格式得到单步高阶Semi-Lagrangian格式。针对一维Euler方程组，本文在特征空间给出了一种新的特征线的处理方案，解决了Semi-Lagrangian方法难以推广到多维的难点。数值实验表明，新格式比原格式误差更小，效率更高，对激波的模拟效果也有较大提升。 关键词 :MUSCL，Semi-Lagrangian，高阶数值通量，单步高阶Semi-Lagrangian格式，Euler方程组， Sod激波管问题 Copyright © 2019 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
system: [SYSTEM]

user: 1. 引言 1959年，Godunov首次提出以Riemann问题解为基础来构造网格物理量均值的Godunov格式，它有效地解决了所有内部状态变量的局部黎曼问题 [ 1 ] [ 2 ]。随后，Van Leer首次讨论了二阶Godunov格式的构造得到了MUSCL (Monotone Upwind Scheme for Conservation Laws)格式，这个格式包括了保单调性的插值和利用Riemann解得到的迎风通量，提高了数值精度和分辨率 [ 2 ]。MUSCL格式已经被许多人研究 [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]，并被广泛用于科学和工程问题的模拟 [ 5 ]。 1959年，Wiin-Nielsen提出了一种修正轨迹方法 [ 6 ]，随后Sawyer将其发展为Semi-Lagrangian方法 [ 7 ]。该方法具有固定的(欧拉)数值网格，根据Riemann不变量沿特征线不变的性质，从而推进每个时间步，使得时间步长不受CFL条件的限制，减少计算工作量和数值扩散 [ 8 ]。Semi-Lagrangian方法成功地推广到了有限差分，有限元和谱方法，并广泛应用于天气预报，海洋学模型的数值模拟和线性对流的建模 [ 9 ] [ 10 ]。1982年，Robert将半隐式(SI)和半拉格朗日(SL)这两种方法相结合，在NWP模型中实现了显著的效率增益，为许多环境应用产生了许多有效的SISL模型 [ 11 ]。1999年，Strain将水平集方法和半拉格朗日方法相结合，能有效、自适应和模块化求解几何运动界面问题 [ 10 ] [ 12 ]。2006年，Bonaventura和Restelli等人将DG方法与半拉格朗日方法相结合为SLDG，能有效地融合了两种方法优点，又避免了缺点 [ 13 ]，对于shallow water方程模拟，SLDG具有较高的精度和有效性，并可自动选择局部逼近程度 [ 11 ]。2010年，Qiu等人将Strang时间分裂与空间高阶WENO重构相结合，应用于Semi-Lagrangian方法来求解Vlasov方程，比使用显式时间步长的Vlasov-Poisson系统的欧拉公式计算更高效，更灵活 [ 14 ]。 然而，对于一维或高维Euler方程组，求解特征线方程仍然是Semi-Lagrangian方法的难点。2011年，Lentine等人基于文 [ 15 ] 提出的分裂方法，用保守Semi-Lagrangian对流代替Meno对流格式求解方程组的对流项，但局部产生虚假振荡 [ 16 ]。目前尚未在现有文献中发现更好的处理方案。2015年，吴浪根据文 [ 17 ] 提出的方法，针对守恒律方程给出了几种高阶Semi-Lagrangian格式，通过数值模拟验证了该方法的高阶精度和无振荡性质 [ 18 ]。处理过程用到了一维Euler方程组的Riemann不变量，并反解出原物理量。这个过程增加了计算量，针对不同维数Euler方程组需要给出不同的Riemann不变量，不方便推广到多维问题，即便是通过交替方向法也不行。 本文给出了一种高阶数值通量的构造方法，将其应用于有限体积(差分) ENO，WENO和DG，即相应的Semi-Lagrangian方法。针对于一维Euler方程组，在特征空间上给出了一种新的处理特征线的方法。数值实验表明：高阶数值通量能应用于有限体积(差分) ENO，WENO和DG等格式，针对Euler方程组的特征线处理方法能保持空间离散格式本身的本质无震荡性，能获得更高的分辨率且具备更高的计算效率。
system: [SYSTEM]

user: 2. 二阶数值通量的推导 为了推导双曲型方程数值计算格式中的二阶数值通量，我们考察如下方程 u t + f ( u ) x = 0 ，     ( x ， t ) ∈ [ a ， b ] × [ 0 ， T ] ， (1) u ( x ， 0 ) = u 0 ( x ) . (2) 已知 u ( x ， t n ) 在第j个单元( I j : = [ x j − 1 / 2 ， x j + 1 / 2 ] )端点的单侧极限分别为 u j + 1 / 2 − ( t n ) 和 u j − 1 / 2 + ( t n ) ，容易给出它在 I j 内的插值多项式 p j ( x ) = u ( x ， t n ) = u j + 1 / 2 − ( t n ) + u j + 1 / 2 − ( t n ) − u j − 1 / 2 + ( t n ) h j ( x − x j + 1 / 2 ) ， (3) 其中 h j = x j + 1 / 2 − x j − 1 / 2 。 过点 ( x j + 1 / 2 ， t n + 1 ) 的特征线与直线 t = t n 相交于一点X d d s X ( x ， t ; t + s ) = ∂ ∂ u f ( u ( X ( x ， t ; t + s ) ， t + s ) ) = h ( X ( x ， t ; t + s ) ， t + s ) ， (4) 其中 X ( x ， t ; t ) = x 。利用一阶Runge-Kutta方法，可得 X = x j + 1 / 2 − Δ s h ( X ( x j + 1 / 2 ， t n ; t n + s ) ， t n + s ) ， (5) 将X代入 u ( x ， t n ) ，得 u ( X ， t n ) = u j + 1 / 2 − ( t n ) + u j + 1 / 2 − ( t n ) − u j − 1 / 2 + ( t n ) h j Δ s h ( X ( x j + 1 / 2 ， t n ; t n + s ) ， t n + s ) . (6) 其中 u ( X ， t n ) 是近似代替 u ( x j + 1 / 2 ， t n + 1 ) 。 最后，利用梯形公式可计算出 [ t n ， t n + 1 ] 内 x j + 1 / 2 处的二阶数值通量 f ^ j + 1 / 2 = f ( u ( X ， t n ) ) + f ( u ( x j + 1 / 2 ， t n ) ) 2 . (7)
system: [SYSTEM]

user: 3. 二阶数值通量在DG格式的应用 为了将二阶数值通量应用于DG格式，我们将方程(1)两边同时乘 φ ( x ) ，并在时空单元 Ω j 上求积分， ∬ Ω j ( ∂ t u h + ∂ x f ( u h ) ) φ ( x ) d x d t = 0 ， (8) 其中 φ ( x ) 为区间 I j 上的光滑函数。由格林公式，可得 ∫ x j − 1 / 2 x j + 1 / 2 ( u h ( x ， t n + 1 ) − u h ( x ， t n ) ) φ ( x ) d x + ∫ t n t n + 1 f ( u h ( x j + 1 / 2 ， t ) ) φ ( x j + 1 / 2 ) d t   − ∫ t n t n + 1 f ( u h ( x j − 1 / 2 ， t ) ) φ ( x j − 1 / 2 ) d t − ∬ Ω j f ( u h ) ∂ x φ ( x ) d x d t = 0 ， (9) 我们再将方程(2)两边同乘 φ ( x ) 并在单元 I j 上积分得 ∫ I j u h ( x ， 0 ) φ ( x ) d x = ∫ I j u 0 ( x ) φ ( x ) d x . (10) 这样就得到了方程(1-2)的弱形式(9-10)。 参照经典二阶DG格式，取Legendre多项式 P l ( x ) 为局部基函数，并设 u h ( x ， t ) = ∑ l = 0 k u j l ( t ) φ l ( x ) ，其中 φ l ( x ) = P l ( ξ ) = P l ( x − x j Δ x / 2 ) 。将方程(9)中的 φ ( x ) 替换成 φ l ( x ) ，则有 当l = 0时，(9)式简写为 u j 0 ( t n + 1 ) = u j 0 ( t n ) − Δ t Δ x ( f ^ j + 1 / 2 − f ^ j − 1 / 2 ) ， (11) 当l = 1时，(9)式简写为 u j 1 ( t n + 1 ) = u j 1 ( t n ) − 3 Δ t Δ x ( f ^ j + 1 / 2 + f ^ j − 1 / 2 ) + 3 Δ x ∬ Ω j f ( u h ) ∂ x φ 1 ( x ) d x d t . (12) 将(12)式中的二重积分项简记为K，利用如下梯形公式计算 K = Δ t Δ x ( ∫ I j f ( u h ( x ， t n + 1 ) ) d x + ∫ I j f ( u h ( x ， t n ) ) d x ) ， (13) 其中 ∫ I j f ( u h ( x ， t n ) ) d x 继续利用梯形公式(或其他积分公式)， u h ( x ， t n + 1 ) 由方程(7，11)得到的单元均值 u j 0 ( t n + 1 ) 来近似代替，得 K = Δ t [ f ( u j 0 ( t n + 1 ) ) + 1 2 ( f ( u h ( x j + 1 / 2 ， t n ) ) + f ( u h ( x j − 1 / 2 ， t n ) ) ) ] . (14) 再利用上一节所介绍的二阶数值通量的推导方法，可求解(12)式中的 f ^ j + 1 / 2 这样，我们得到相应的单步二阶DG格式(10)~(12)。
system: [SYSTEM]

user: 4. 一维Euler方程组上的二阶数值通量的推导 一维Euler方程组可以表示为 u t + [ F ( u ) ] x = 0 ， (15) u = ( ρ ， ρ u ， ρ E ) T ，     F ( u ) = ( ρ u ， ρ u 2 + p ， ( ρ E + p ) u ) T 其中压力 p = ( γ − 1 ) ( ρ E + 1 2 ρ u 2 ) ，比热比 γ = 1.4 。Jacobian矩阵 A = ∂ F ( u ) ∂ u → ，A的特征值为 λ 1 = u − c ， λ 2 = u ， λ 3 = u + c ， 方程组(15)化成特征空间形式 u t + ( R Λ R − 1 u ) x = 0 ， 其中R为右特征矩阵， R − 1 为左特征矩阵， Λ = d i a g ( u − c ， u ， u + c ) 。 已知 u ( x ， t n ) 在第j个单元( I j = [ x j − 1 / 2 ， x j + 1 / 2 ] )端点的单侧极限分别为 u j + 1 / 2 − ( t n ) 和 u j − 1 / 2 + ( t n ) 可以给出它在 I j 内的插值多项式 p j ( x ， t n ) = u ( x ， t n ) = u j + 1 / 2 − ( t n ) + u j + 1 / 2 − ( t n ) − u j − 1 / 2 + ( t n ) h j ( x − x j + 1 / 2 ) ， 特征线方程 d X d t = − λ 与直线 t n 相交，有 d d s X k ( x ， t ; t + s ) = − λ k ( X k ( x ， t ; t + s ) ， t + s ) ， k = 1 ， 2 ， 3 (16) 利用二阶Runge-Kutta法求解常微分方程(16)，再将 X k 代入 u ( x ， t n ) 得到 u k ( X k ， t n ) 。令 W k ( X k ， t n ) = R − 1 u k ( X k ， t n ) = ( W k 1 ， W k 2 ， W k 3 ) T ，则 W ( x j + 1 / 2 ， t n + 1 ) = ( W 11 ， W 22 ， W 33 ) T 。 最后，利用梯形公式可计算出 [ t n ， t n + 1 ] 内 x j + 1 / 2 处的二阶数值通量 F ^ j + 1 / 2 = F ( u ( x j + 1 / 2 ， t n ) ) + F ( u ( x j + 1 / 2 ， t n + 1 ) ) 2 = R Λ ( W ( x j + 1 / 2 ， t n ) + W ( x j + 1 / 2 ， t n + 1 ) ) 2 . (17)
system: [SYSTEM]

user: 5. 数值算例 求解方程(1)的守恒型有限体积(差分)格式通常可以写成 u j n + 1 = u j n − Δ t Δ x ( f ^ j + 1 / 2 − f ^ j − 1 / 2 ) ， (18) 我们将由公式(7)或(17))计算所得的通量替代(18)式中的 f ^ ，这样就得到单步二阶格式. 算例1：一维Burger方程 考虑方程(1-2)，其中 f ( u ) = u 2 / 2 ， ( x ， t ) ∈ [ 0 ， 2 π ] × [ 0 ， 2 ] ， u 0 ( x ) = sin x + 0.5 ，采用周期边界条件。为了考 Table 1 Numerical error table for single-step second-order ENO， DG format and original format at t = 0. FV-ENO2-HNF ‖ u h − u ‖ l 1 FV-ENO2 ‖ u h − u ‖ l 1 N 误差 阶数 CPU(ms) 误差比 误差 阶数 CPU(ms) 误差比 100 6.33e-004 — 0.00e+000 1.00 1.14e-003 — 0.00e+000 1.80 200 1.65e-004 1.93 1.00e+000 1.00 3.20e-004 1.84 1.00e+000 1.94 400 4.34e-005 1.93 4.00e+000 1.00 8.66e-005 1.89 7.00e+000 1.99 FD-ENO2-HNF ‖ u h − u ‖ l 1 FD-ENO2 ‖ u h − u ‖ l 1 100 5.04e-004 — 0.00e+000 1.00 1.04e-003 — 0.00e+000 2.06 200 1.33e-004 1.92 1.00e+000 1.00 2.87e-004 1.87 3.00e+000 2.15 400 3.50e-005 1.93 5.00e+000 1.00 7.71e-005 1.90 1.10e+001 2.20 DG2-HNF ‖ u h − u ‖ l 1 RKDG2 ‖ u h − u ‖ l 1 100 1.59e-004 — 1.00e+000 1.00 6.14e-004 — 4.00e+000 3.86 200 4.01e-005 1.99 2.00e+000 1.00 1.47e-004 2.06 1.90e+001 3.66 400 1.02e-005 1.98 9.00e+000 1.00 3.37e-005 2.09 7.30e+001 3.30 表1. 单步二阶ENO，DG格式与原格式在t = 0.5时刻的数值误差表 Table 2 Numerical error meter of third order WENO scheme in = 0.5 FVWENO3-HN FV-WENO3-HNF l 1 FV-WENO3 l 1 FD-WENO3-HNF l 1 FD-WENO3 l 1 N 误差 阶数 误差 阶数 误差 阶数 误差 阶数 100 5.54e-004 — 9.06e-004 - 4.58e-004 — 8.70e-004 - 200 1.42e-004 1.96 2.11e-004 2.09 1.22e-004 1.91 2.06e-004 2.07 400 3.63e-005 1.97 3.49e-005 2.59 3.16e-005 1.94 3.61e-005 2.51 800 9.04e-006 2.01 3.28e-006 3.41 7.87e-006 2.01 3.62e-006 3.32 表2. t = 0.5时三阶WENO格式的误差表 察格式的截断误差阶，我们给出 t = 0.5 (尚未产生间断)的误差表，见表1~表2。其中后缀“HNF”表示使用公式(7)的单步二阶格式，另一个表示使用相应的二阶SSP Runge-Kutta时间离散格式。 由表1~表2可以看出：1) 本文给出的二阶数值通量能应用于ENO，WENO和DG等格式，得到相应的单步二阶格式。2) 单步二阶格式的计算误差比相应原格式更小(三阶WENO格式当网格充分细密时出现超收敛，误差更小)。3) 单步二阶格式所耗CPU时间更少，当N = 6400时，FV-ENO2-HNF格式比原格式节约了48%，FD-ENO2-HNF格式比原格式节约了56%，DG2-HNF格式比原格式节省了88%。 图1. t = 1.5真解与数值解的局部对比 当t = 1.5时，该问题已产生激波，见图1。由图可知：单步二阶格式在处理激波间断时具有更高的分辨率，模拟效果更好。 算例2：Sod激波管问题 考虑方程(15)，其中 x ∈ [ 0 ， 1 ] 。采用紧支边界，初始条件：t=0时刻， ( ρ ， u ， p ) = { ( 1 ， 0 ， 1 ) ，                         x ≤ 0.5 ( 0.125 ， 0 ， 0.1 ) ，       x > 0.5 真解N=1600，数值解N=100时，使用二阶数值通量单步ENO格式与标准二阶FD-ENO2格式的对比(见图2~图3)。 图2. t = 0.15时真解与数值解的整体对比 由图2~图3可以看出：使用二阶数值通量的单步格式比原格式具有更高的分辨率。当N = 1000时， 图3. t = 0.15时真解与数值解的局部对比 FD-ENO2-HNF格式所消耗的CPU时间为282毫秒(ms)，标准FD-ENO2格式所消耗的CPU时间为400毫秒(ms)，FD-ENO-HNF格式比标准FD-ENO2格式节约了29.5%左右。
system: [SYSTEM]

user: 6. 总结 本文以二阶数值通量为例，给出了一种高阶数值通量的构造方法，能应用于有限体积(差分) ENO，WENO和DG格式得到单步高阶Semi-Lagrangian格式。格式天然具备守恒性、紧致性、并行性，且并行效率比时间离散应用SSP Runge-Kutta方法的相应格式更高。本文还给出了一种在特征空间处理特征线的方法，能应用于Euler方程组，比原格式具备更好的模拟效果和更高的效率。同时，这种方法能利用交替方向法推广到多维问题，并无需推导其Riemann不变量，也为Semi-Lagrangian方法在多维Euler方程组中的研究与应用提供了一种有效的途径。
system: [SYSTEM]

user: 摘 要 基于分形分析应用需要，本文讨论了Riemann-Liouville分数阶积分的Grüss型不等式，得到了一个改进的结果。文章最后还证明了 [ 1 ] 中的定理2和 [ 2 ] 中的定理9是本文所得结论的特殊形式。 关键词 :Grüss不等式，Riemann-Liouville分数阶积分，分数阶积分 Copyright © 2019 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
system: [SYSTEM]

user: 2. 定义和引理 定义2.1 [ 1 ] ：设 f ( t ) ∈ L 1 ( 0 ， ∞ ) ，则 f ( t ) 的 α ≥ 0 阶Riemann-Liouville分数阶积分是 J α f ( t ) = 1 Γ ( α ) ∫ 0 t ( t − s ) α − 1 f ( s ) d s ， t > 0 ， (2.1) 这里 Γ ( α ) = ∫ 0 ∞ u α − 1 e − u d u 。 定义2.2 [ 1 ] ：设 h ( t ) : [ 0 ， ∞ ) → ( 0 ， ∞ ) 是 [ 0 ， ∞ ) 上的单调增函数并在 [ 0 ， ∞ ) 上有连续导函数 h ′ ( t ) 。若 f ( t ) 是 [ 0 ， ∞ ) 上可积函数，则 f ( t ) 的 α ≥ 0 阶推广的Riemann-Liouville分数阶积分是 J h α f ( t ) = 1 Γ ( α ) ∫ 0 t h ′ ( s ) ( h ( t ) − h ( s ) ) 1 − α f ( s ) d s ， t > 0 ， (2.2) 这里 Γ ( α ) = ∫ 0 ∞ u α − 1 e − u d u 。 下面给出一个基本引理，以便后面的应用。 引理2.3：设 h ( t ) : [ 0 ， ∞ ) → ( 0 ， ∞ ) 是 [ 0 ， ∞ ) 上的单调增函数并在 ( 0 ， ∞ ) 上有连续导函数 h ′ ( t ) 。若 f ( t ) 是 [ 0 ， ∞ ) 上可积函数并满足条件(C 1 )。那么当 t > 0 ， α > 0 时，有 ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α f 2 ( t ) − ( J h α f ( t ) ) 2 = ( J h α φ 2 ( t ) − J h α f ( t ) ) ( J h α f ( t ) − J h α φ 1 ( t ) )         − ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( φ 2 ( t ) − f ( t ) ) ( f ( t ) − φ 1 ( t ) )         + ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( φ 1 ( t ) f ( t ) ) − J h α φ 1 ( t ) J h α f ( t )         + ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( φ 2 ( t ) f ( t ) ) − J h α φ 2 ( t ) J h α f ( t )         − ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) J h α ( φ 1 ( t ) φ 2 ( t ) ) + J h α φ 1 ( t ) J h α φ 2 ( t ) (2.3) 证：当 x > 0 ， y > 0 时，有 ( φ 2 ( y ) − f ( y ) ) ( f ( x ) − φ 1 ( x ) ) + ( φ 2 ( x ) − f ( x ) ) ( f ( y ) − φ 1 ( y ) )   − ( φ 2 ( x ) − f ( x ) ) ( f ( x ) − φ 1 ( x ) ) − ( φ 2 ( y ) − f ( y ) ) ( f ( y ) − φ 1 ( y ) ) = f 2 ( x ) + f 2 ( y ) − 2 f ( x ) f ( y ) + f ( x ) φ 2 ( y ) + φ 1 ( x ) f ( y ) − φ 1 ( x ) φ 2 ( y )       + φ 2 ( x ) f ( y ) + f ( x ) φ 1 ( y ) − φ 2 ( x ) φ 1 ( y ) − φ 2 ( x ) f ( x ) + φ 1 ( x ) φ 2 ( x )         − φ 1 ( x ) f ( x ) − φ 2 ( y ) f ( y ) − φ 1 ( y ) f ( y ) + φ 1 ( y ) φ 2 (y) 上式两边同乘以 h ′ ( x ) Γ ( α ) ( h ( t ) − h ( x ) ) 1 − α ， x ∈ ( 0 ， t ) ， t > 0 并对等式两边关于x在 ( 0 ， t ) 上积分，得到 ( φ 2 ( y ) − f ( y ) ) ( J h α f ( t ) − J h α φ 1 ( t ) ) + ( J h α φ 2 ( t ) − J h α f ( t ) ) ( f ( y ) − φ 1 ( y ) )   − ( J h α φ 2 ( t ) − f ( t ) ) ( f ( t ) − φ 1 ( t ) ) − ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) ( φ 2 ( y ) − f ( y ) ) ( f ( y ) − φ 1 ( y ) ) = J h α f 2 ( t ) + ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) f 2 ( y ) − 2 f ( y ) J h α f ( t ) + φ 2 ( y ) J h α f ( t ) − φ 2 ( y ) J h α φ 1 ( t )     + f ( y ) J h α φ 2 ( t ) + f ( y ) J h α φ 1 ( t ) + φ 1 ( y ) J h α f ( t ) − φ 1 ( y ) J h α φ 2 ( t ) − J h α ( φ 2 ( t ) f ( t ) )     + J h α ( φ 1 ( t ) φ 2 ( t ) ) − J h α ( φ 1 ( t ) f ( t ) ) − ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) φ 2 ( y ) f ( y )     + ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) φ 1 ( y ) φ 2 ( y ) − ( h ( t ) − h ( 0 ) ) α Γ ( α + 1 ) φ 1 ( y ) f (y) 再对上式两边同乘上 h ′ ( y ) / ( Γ ( α ) ( h ( t ) − h ( y ) ) 1 − α ) ， y ∈ ( 0 ， t ) ， t > 0 ，并对y在 ( 0 ， t ) 上积分就可以得到(2.3)。
system: [SYSTEM]

user: 4. 结论 本文主要是命题1.3和命题1.4的推广。从积分形式上看，本文是将命题1.4中的Riemann-Liouville分数阶积分 J α 推广为Riemann-Liouville型分数阶积分 J h α 。而从被积函数的限制条件上看，本文是将命题1.3中被积函数的常数边界推广到函数边界的情形。
system: [SYSTEM]

user: 摘 要 本文结合现有光学透视头戴显示设备，提出了基于视线进行交互的方法。受到Resnet网络思想的启发，提出了一种异构嵌套的卷积神经网络(Heterogeneous nested neural， HNN)，通过12层卷积和3层全连接层得到一个眼睛的55个特征点，在此基础上分别得出视线向量和瞳孔中心，进而得到了用户视线。在近眼部位采用两个非红外光源相机分别追踪双眼的运动，角膜中心误差降到了0.66 mm，角度误差降到了0.89˚。最后本文在HNN中做了不同通道数的对比以及HNN和Resnet网络的对比。实验结果表明，相比于传统方法和普通的卷积神经网络，本文提出的HNN网络对眼睛追踪效果有明显提升。 关键词 :视线追踪，深度学习，增强现实 Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
system: [SYSTEM]

user: 1. 引言 增强现实是一项将虚拟与现实相结合的技术，它可以应用于医疗、生产生活、工业设计和娱乐等各个行业 [ 1 ] 。随着计算能力的提高和5G技术的发展，增强现实有望成为未来通用的计算平台。光学透视头戴式显示器(Optical See Through-Head Mounted Display，OST-HMD)作为增强现实系统的主要载体，近几年国内外发布的面向消费者的产品日益增多 [ 2 ] ，在扩大普及度的同时，如何在OST-HMD上更好地进行人机交互成为目前增强现实领域需要解决的问题。目前增强现实的人机交互(Human-Computer Interaction，HCI)在手势和语音构建得较为完善，微软在2016年推出的HoloLens已经支持了语音交互和手势识别 [ 3 ] ，同年德国的pupil labs开发出可装置在HoloLens上的眼追踪相机。2018年magic leap公司发布的混合现实(MR)头显在眼镜内测装置了眼追踪摄像头，但交互方式仍以手势操作和手柄控制为主。 视线追踪技术的不断改善在于提高准确率和帧率的同时降低侵入性和减少数据带宽，从而优化设备的穿戴体验和交互体验。移动技术的发展使视线追踪从桌面端的研究和应用转移到移动端，从而发展普适的视线追踪方法，将视线追踪用于OST-HMD的交互，可以弥补手势识别和语音识别的不足。一方面，佩戴在人眼前的增强现实眼镜与眼动交互具有很高的契合度，通过视线追踪进行交互也将大大提高自由度；另一方面，在手势和语音的操作受到限制的情况下，譬如在一些特殊的应用场景：医生在为病人做手术时，通过眼睛控制OST-HMD的手术导航系统来完成更多必要的操作。此外，视线追踪可以帮助佩戴增强现实眼镜的残障人士(渐冻症患者只有眼球可以运动)完成一些必要的操作，作为提高生活质量的媒介。近几年随着硬件计算能力的提高，增强现实眼镜以及头戴式增强现实设备体积在逐步缩小，增强现实有望成为未来通用的计算平台。眼镜的后置相机捕捉用户视线位置，前置相机捕捉注视环境，进而得到用户在环境中的注视点。用户可以通过佩戴增强现实眼镜进行操作来即时获取所需要的信息，跳过了用户手动查找信息这一步骤，将使人们的工作和生活效率发生质的变化。 本文提出视线追踪方案是通过异构嵌套的神经网络模型解决了上述两个缺点，用普通近焦相机在眼前2 cm的位置拍照，避免了头部运动的干扰的同时，减少了眼部区域的外部图像参数的评定，无需在进行标定，可以直接进行追踪。本文的方法结合了深度学习与神经网络，取得了较好的效果，为增强现实系统的眼动交互奠定了基础。
system: [SYSTEM]

user: 2. 研究背景 视线追踪的方法可分为侵入式和非侵入式，最早的眼追踪是用巩膜搜索线圈嵌入到眼部区域 [ 4 ] 这种方法具有高侵入性，对使用者的干扰较大。在过去的几十年中，随着图像处理算法的发展和计算能力的提高，非侵入式的视线追踪在注释分析、情感分析、认知研究等领域和固定于桌面系统的视线追踪方法已经取得了一系列的成果 [ 5 ] 。基于数字视频分析的视线追踪(Video Oculographic， VOG) [ 5 ] ，仅通过摄像机追踪视线的变化逐渐成为非侵入式的热点研究方法，此后衍生出一系列眼球追踪的图像学方法。其中，使用瞳孔跟踪或角膜反射跟踪(PCCR)已被广泛应用，而扭转分量的测量通常被认为是计算上更为困难的任务，解决该问题的方法包括极坐标互相关方法和虹膜的匹配和跟踪 [ 6 ] 。典型非侵入式的视线追踪包括基于外观的方法和基于形状的方法 [ 5 ] ，以及近些年受到关注的基于深度学习的方法。 2.1. 基于外观的方法 基于外观的方法与眼睛的实际几何特征无关，这种方法通过眼睛区域的光度特性进行检测保留眼睛图像像素的空间和强度信息。依赖于直接建立在眼睛区域外观上的模型，在概念上涉及通过构建图像块模型，通过使用相似性度量的模型匹配来执行眼睛检测来进行模板匹配 [ 7 ] 。基于外观的方法可以进一步分为基于强度和子空间的方法。基于强度的方法直接使用强度或滤波强度图像作为模型，而子空间方法假设眼睛图像的重要信息在较低维度子空间中定义。 2.2. 基于形状的方法 基于形状的方法的分类取决于先验模型是简单的椭圆还是更复杂的性质。一般的边缘检测技术用于提取角膜缘或瞳孔边界 [ 8 ] 。图像中的若干区域可具有与虹膜和瞳孔区域类似的强度分布，因此阈值仅适用于约束设置。通过明确的特征提取后，霍夫变换在一些静态图像中可以有效地检测虹膜和瞳孔边界，但在视频流中产生的效果却不佳，因为视线的变化会导致眼睛的形状产生明显的改变，另一方面，光照强度的变化也会对检测效果产生很大的影响 [ 9 ] 。现有的二维视线追踪系统都存在两个共同的缺点：1) 用户在使用前都需要进行个体标定，以确定视线落点与用户依赖参数的关系；2) 同时由于头部运动和眼球运动的随机性，以及瞳孔运动的非线性，用户需要保持头部静止，没有明显的头部运动 [ 8 ] 。 2.3. 基于深度学习的方法 近年来深度学习与神经网络的发展得较为迅速，以卷积神经网络为代表的面向图像的深度学习算法得到了广泛的应用和优化。因此，基于深度学习的视线追踪方法开始受到人们的关注。台湾大学的Chih-Fan Hsu等人 [ 10 ] 通过CNN对眼动视频进行了分析和研究，剑桥大学Erroll Wood等人 [ 11 ] 开发的UnityEyes为训练神经网络提供了完备的数据集。
system: [SYSTEM]

user: 3. 基于异构嵌套神经网络的视线交互 本文提出了一个异构嵌套的卷积神经网络模型(HNN)。该网络采用Resnet网络的思想，基于tensorflow 1.8的GPU版本进行构建，网络的详细结构如3.2所述。数据集来源上文提到的UnityEyes，根据相机位置和角度调节生成器的参数，共生成70，000张眼睛图片。 3.1. 图像预处理 训练前首先进行图像的预处理，两个普通光学相机分别采集左右眼部的原始红绿蓝三通道图像，对图像中的红色通道进行直方图均衡化，增强大多数场景下的图像细节。再在RGB空间利用公变换式 g ( I ， j ) = a × f ( I ， j ) + b (1) 式(1)中a > 1时图像对比度增强，从而突出皮肤与眼球以及眼白与虹膜的色彩差别。最后经过锐化处理，突出边缘特征，以便于网络的学习，同时调节图像尺寸为256 × 256像素值。 3.2. 异构嵌套神经网络 步骤一：输入图像先经过一层Batch Normalization(BN)层，一层7 × 7卷积核的卷积(CONV)层，一层修正线形单元(relu)层，再进入由4个模块组成的卷积网络中。每个模块都由若干个小网络组成，除了第一个模块的第一个网络外，其余网络的输入皆为上个模块的输出与输入的和。 步骤二：模块中的各个网络由一层BN层，一层3 × 3CONV层与一层relu层依次连接而成的结构组成。最后一个模块的输出，一方面经过降维并通过全连接(Fully Connected， FC)层得出22个特征点中的虹膜边缘轮廓特征点，另一方面通过一层BN层，一层3 × 3CONV层与一层relu层，降维后经过全连接层，得出余下33个眼睛轮廓特征点。在得到特征点后再以这55个点坐标作为输入，经过3个FC层得出视线向量。 步骤三：根据22个虹膜边缘轮廓的特征点可以得出瞳孔中心，据所述的眼睛33个眼睛轮廓特征点识别眼部动作;以全部的55个特征点作为输入，经过3个FC层得出2个视线向量；以两视线向量交点确定为空间上人眼的视线焦点的位置。输入到训练好的卷积神经网络中得到各个眼睛的55个眼部特征点，瞳孔中心以及视线向量。HNN网络结构、相应的瞳孔特征点以及输出的视线结果如图1所示。 图1. 异构嵌套神经网络及视线追踪效果
system: [SYSTEM]

user: 4. 实验环境及结果 4.1. 硬件环境 视线追踪相机为5 mm微型USB接口摄像头，Sensor感光面积为0.2英寸，像素尺寸是1.75 μm × 1.75 μm，视场角60˚，分辨率为1280 × 780，焦距范围在2 cm到5 cm之间。我们选用Nvidia Jetson TX2作为嵌入式开发平台，增强现实模块选用灵犀微光的光波导光机，并以此设计出3D打印的眼镜模型，光机装置在镜架两侧，通过驱动板连接TX2的HDMI接口，如图2所示。 图2. 光学头戴式显示器和TX2的硬件设备 4.2. 实验结果 我们把训练好的网络在Nvdia Jetson TX2进行了测试，速度达到了71 fps，训练过程中的损失函数和特征如图3所示。 图3. 损失函数和训练特征
system: [SYSTEM]

user: 5. 精度测量和对比分析 5.1. 精度测量 对精确眼动追踪系统的需求也提高了对可靠精确测量方法的需求，精度测量对于眼动追踪系统的开发以及设备的性能规范至关重要。我们根据 [ 12 ] 提出的眼追踪精度测量方法进行了一系列的实验来评估所训练不同层数的神经网络的精度误差，选用大恒GCM-1101M系列旋转台搭建光学测试平台来进行精度的测量工作，具体流程如图4所示，实物如图5所示。 图4. 误差测量流程图 测试者在距屏幕前Z的距离进行测试，首先在屏幕上生成两条相交的直线，在直线上随机取n个不等间隔的点作为实际注视点 a = { a 0 ， a 1 ， a 2 ， a 3 ， ⋯ } ，再通过模型的检测输出计算的注视 b = { b 0 ， b 1 ， b 2 ， b 3 ， ⋯ } ，将实际注视点与检测注视点相连接，计算各组点之间的欧式距离 L = { L 0 ， L 1 ， L 2 ， L 3 ， ⋯ } ，这样得出的相对位移就避免了测量中注视点改变而产生的二次误差。然后测试者扫过各组的连线，并测量屏幕上瞳孔中心的位移 x = { x 0 ， x 1 ， x 2 ， x 3 ， ⋯ } 。采集测试者的眼球半径r和相机捕捉到的图像中眼球半径R，比例尺的计算公式为 γ = r x R L (2) 眼睛实际的运动距离 y = { y 0 ， y 1 ， y 2 ， y 3 ， ⋯ } y = r x R (3) 角膜的中心误差α α = 1 n ∑ i = 1 n y i (4) 角度误差β β = 1 2 ( arctan ∑ i = 1 n   L i n z + arctan α γ z ) (5) 测得相机捕捉到的眼球平均半径 R ¯ = 4.5   cm ，测试者眼球平均半径 r ¯ = 0.5   cm ，再将表1中的数据带入(2)式、(4)式和(5)式，计算出角度误差为0.89˚，角膜中心误差为0.66 mm，明显优于现有的视线追踪方法。 5.2. 对比分析 我们按照最优网络生成的方法进行了参照和对比，分别具有相同模型不同通道数的对比和不同模型之间的对比。其中，异构嵌套网络(HNN)分为16通道，32通道和64通道进行对比，Resnet网络分为18通道和34通道，五个模型的对比显示，32通道为最优解，如图4所示。检测方法参照 [ 12 ] ，注释点距屏幕的距离为55 cm，模拟人眼位于平台中心点，即在平面坐标轴的原点处，通过测量模拟眼球分别对准检测位置和注视位置的水平和竖直旋转角度计算眼球实际的移动距离，对比结果显示32通道数的HNN网络具有最优效果，平均误差降到10%以下，如图6所示。 图5. 误差测量实物图 Table 1 Corneal center error assessmen 标记距离L (cm) 测量距离X (cm) 实际距离Y (cm) 3.04 0.9 0.1 3.05 0.81 0.09 1.72 0.51 0.5667 1.58 0.48 0.5333 0.81 0.3 0.2556 1.65 0.51 0.0567 2.23 0.66 0.0733 2.21 0.65 0.0722 2.71 0.83 0.0922 1.89 0.56 0.0622 1.92 0.53 0.0589 2.88 0.87 0.0967 0.46 0.132 0.0147 2.53 0.75 0.0833 1.84 0.55 0.0617 表1. 角膜中心误差评价 图6. 对比实验和准确率结果
system: [SYSTEM]

user: 6. 总结 本文针对头戴式增强现实系统的交互需求和现有的不足，将视线引入OST-HMD的交互设计。本文对比了现有的一些视线追踪的方法，采用深度学习中残差网络Restnet网络的思想，提出了可高效识别瞳孔中心和视线的异构嵌套神经网络，省去了添加红外光源、标定等步骤的同时将角度误差降到了0.89˚。我们计划设计20种以上眼球运动轨迹交互指令，同时实现OST-HMD系统的自动标定，并FPGA上设计出高集成度的嵌入式增强现实人机交互系统。未来我们会将视线注视点及其所在的场景相结合，并进一步研究SLAM算法和CBIR算法，将所看到的事物的相关信息展示在用户眼前。
system: [SYSTEM]

user: 摘 要 该文研究了具有连续分布时滞的Nicholson飞蝇模型，证明了具有连续分布时滞的Nicholson飞蝇模型存在唯一的正周期解以及该正周期解的全局指数稳定性，我们改变了相关文献的模型，改进了相关文献的条件。 关键词 :Nicholson飞蝇模型，连续分布时滞，周期解，全局指数稳定性 Copyright © 2019 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
system: [SYSTEM]

user: 2. 周期解及全局指数稳定性 定理2.1：在引理1.2的条件假设下，系统(1.1)存在唯一的正T-周期解，且该正周期解是全局指数稳定的。 证明：令 x ( t ) = x ( t ; t 0 ， φ ) ，由引理1.1可知，存在 t φ > t 0 ，使得 k ≤ x ( t ; t 0 ， φ ) ≤ K ， ∀ t ≥ t φ 。由(1.1)的系数和时滞的周期性，对任意的自然数q，有 [ x ( t + ( q + 1 ) T ) ] ′ = ∑ j = 1 m β j ( t ) ∫ 0 σ j ( t ) K j ( s ) x ( t + ( q + 1 ) T − s ) e − x ( t + ( q + 1 ) T − s ) d s                                                       − a ( t ) x ( t + ( q + 1 ) T ) b ( t ) + x ( t + ( q + 1 ) T ) ，       t + ( q + 1 ) T ∈ [ t 0 ， + ∞ ) 这表明 x ( t + ( q + 1 ) T ) 在 t ≥ t 0 − r − ( q + 1 ) T 时为系统(1.1)的解。 x ( t + T )   ( t ∈ [ t 0 − r ， + ∞ ) ) 是系统(1.1)在初值 ψ ( s ) = x ( s + t 0 + T ) ， s ∈ [ − r ， 0 ] 下的解。 由引理1.2知，对任意的非负整数h，存在正常数 Q > t 0 ，使得当 t + q T > Q 时，有 | x ( t + ( q + 1 ) T ; t 0 ， φ ) − x ( t + q T ; t 0 ， φ ) | = | x ( t + q T ; t 0 ， ψ ) − x ( t + q T ; t 0 ， φ ) | ≤ L φ ， ψ e − λ ( t + q T ) 其中 L φ ， ψ = e λ Q ( max t ∈ [ t 0 − r ， Q ] | x ( t ) − x ∗ ( t ) | + 1 ) 。 令 [ a ， b ] ⊂ R 是R中的任意区间，选择非负整数 p 0 ，使得当 t ∈ [ a ， b ] 时，有 t + p 0 T ≥ Q ，则对 ∀ t ∈ [ a ， b ] 和 p > p 0 ，有 x ( t + p T ) = x ( t + p 0 T ) + ∑ q = p 0 p − 1 [ x ( t + ( q + 1 ) T ) − x ( t + q T ) ] 。 由 [ a ， b ] 的任意性可知， { x ( t + p T ) } p 在R上内闭一致收敛到 x ∗ ( t ) ，且 k ≤ x ∗ ( t ) ≤ K ， ∀ t ∈ R 。取极限有 x ∗ ( t + T ) = lim p → + ∞ x ( ( t + T ) + p T ) = lim p + 1 → + ∞ x ( t + ( p + 1 ) T ) = x ∗ (t) 所以， x ∗ ( t ) 是T-周期解。 x ( t + p T ) − x ( t 0 + p T ) = ∫ t 0 t [ − a ( s ) x ( s + p T ) b ( s ) + x ( s + p T ) + ∑ j = 1 m β j ( s ) ∫ 0 σ j ( s ) K j ( u ) x ( s + p T − u ) e − x ( s + p T − u ) d u ] d s 令 p → + ∞ ，有 x ∗ ( t ) − x ∗ ( t 0 ) = ∫ t 0 t [ − a ( s ) x ∗ ( s ) b ( s ) + x ∗ ( s ) + ∑ j = 1 m β j ( s ) ∫ 0 σ j ( s ) K j ( u ) x ∗ ( s − u ) e − x ∗ ( s − u ) d u ] d s 所以， x ∗ ( t ) 是系统(1.1)在 [ t 0 − r ， + ∞ ) 上的解。类似于引理2.1的证明，可证正周期解 x ∗ ( t ) 是全局指数稳定的。