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user: 2. 预备知识 令 w i = l i ( u ) u x ，       ( i = 1 ， ⋯ ， n ) . (2.1) 由(1.2)易知 u x = ∑ k = 1 n w k r k ( u )     . (2.2) 令 d d i t = ∂ ∂ t + λ i ( u ) ∂ ∂ x 表示沿第i特征关于t的方向导数，有(参见 [ 6 ] ) d u d i t = ∑ k = 1 n ( λ i ( u ) − λ k ( u ) ) w k r k + F ( u )       ( i = 1 ， ⋯ ， n ) ， 然后，在广义的标准坐标下，易得 d u i d i t = ∑ j ， k = 1 n ( ρ i j k ( u ) u j w k + f i j k ( u ) u j u k )         ( i = 1 ， ⋯ ， n ) ， (2.3) 其中 ρ i j k ( u ) = ( λ k ( u ) − λ i ( u ) ) ( 1 − δ j k ) ∫ 0 1 ∂ r k i ∂ u j ( τ u 1 ， ⋯ ， τ u k − 1 ， u k ， τ u k + 1 ， ⋯ ， τ u n ) d τ ， f i j k ( u ) = ( 1 − δ i j ) ∫ 0 1 θ k ( τ ) ∫ 0 1 ∂ 2 F i ( σ τ u 1 ， ⋯ ， σ τ u i − 1 ， σ u i ， σ τ u i + 1 ， ⋯ ， σ τ u n ) ∂ u j ∂ u k d σ d τ ， θ k ( τ ) = { τ ，         k ≠ i ， 1 ，             k = i . 显然 ρ i j j ( u ) ≡ 0 ，       ∀ i ， j ， (2.4) ρ i j k ( u ) ≡ 0 ，       ∀ i ， k ∈ { 1 ， ⋯ ， p } ， ∀ j ， (2.5) f i i k ( u ) ≡ 0 ，       ∀ i ， k . (2.6) 而且，由(2.2)和(2.3)，有 d [ u i ( d x − λ i ( u ) d t ) ] = ∑ j ， k = 1 n ( F i j k ( u ) u j w k + f i j k ( u ) u j u k ) d t ∧ d x ， 其中 F i j k ( u ) = ρ i j k ( u ) + ∇ λ j ( u ) r k ( u ) δ i j . (2.7) 另一方面，有 d w i d i t = ∑ j ， k = 1 n ( Q i j k ( u ) u k w j + γ i j k ( u ) w j w k )       ( i = 1 ， ⋯ ， n ) ， (2.8) 其中 Q i j k ( u ) = ( 1 − δ j k ) ∫ 0 1 ∂ v ˜ i j ∂ u k ( τ u 1 ， ⋯ ， τ u j − 1 ， u j ， τ u j + 1 ， ⋯ ， τ u n ) d τ ， γ i j k ( u ) = 1 2 { ( λ j ( u ) − λ k ( u ) ) l i ( u ) ∇ r k ( u ) r j ( u ) − ∇ λ k ( u ) r j ( u ) δ i k + ( j | k ) } ， 其中 ( j | k ) 表示在前面各项中交换j与k后所得的项。 v ˜ i j ( u ) = ∑ k = 1 n ( − l i ( u ) ∇ r j ( u ) F ( u ) ) + l i ( u ) ∇ F ( u ) r j ( u ) . (2.9) 因此， Q i j j ( u ) ≡ 0 ，       ∀ i ， j ， (2.10) γ i j j ( u ) ≡ 0 ，       ∀ j ≠ i       ( i ， j = 1 ， ⋯ ， n ) ， (2.11) γ i j k ( u ) ≡ 0 ，       ∀ j ， k ∈ { 1 ， ⋯ ， p } ，   i ∈ { p + 1 ， ⋯ ， n } ， (2.12) γ i i i ( u ) = − ∇ λ i ( u ) r i ( u )         ( i = 1 ， ⋯ ， n ) . (2.13) 而且，由(2.2)和(2.8)，有 d [ w i ( d x − λ i ( u ) d t ) ] = ∑ j ， k = 1 n ( Q i j k ( u ) u k w j + Γ i j k ( u ) w j w k ) d t ∧ d x ，       ( i = 1 ， ⋯ ， n ) ， 其中 Γ i j k ( u ) = γ i j k ( u ) + ∇ λ i ( u ) r k ( u ) δ i j . 再由(1.3)有 Γ i j k ( u ) ≡ 0 ，       ∀ j ， k ∈ { 1 ， ⋯ ， p } ， i ∈ { p + 1 ， ⋯ ， n } . 在标准坐标下，初始条件(1.4)可以写作(参见 [ 2 ] ) u ( 0 ， x ) = ε Ψ ( x ， ε ) ， (2.14) 其中 Ψ ( x ， ε ) = L ( 0 ) ψ ( x ) + O ( ε ) ， (2.15) ∂ Ψ ( x ， ε ) ∂ x = L ( 0 ) ψ ′ ( x ) + O ( ε ) . (2.16) 而且，根据 [ 7 ] 中的注2.4.1可以选取一个适当的标准坐标，使得 r i ( u i e i ) ≡ e i ，         ∀ | u i | 小           ( i = 1 ， ⋯ ， n ) . 因此，有 R ( 0 ) = L ( 0 ) = I . 接下来，将给出本文所要用到的两个重要引理(证明见 [ 8 ] 或 [ 9 ] )。 引理2.1：假设 w = w ( t ) 是常微分方程 d w d t = a 0 ( t ) w 2 + a 1 ( t ) w + a 2 ( t ) ， (2.17) 在区间 [ 0 ， T ] 上的 C 1 解，其中T是给定的正数， a i ( i = 0 ， 1 ， 2 ) 是 [ 0 ， T ] 上的连续函数，且 a 0 ( t ) ≥ 0 ，       ∀ t ∈ [ 0 ， T ] ， 令 K = ∫ 0 T | a 2 ( t ) | exp ( − ∫ 0 t a 1 ( s ) d s ) d t . (2.18) 如果 w 0 > K ， 那么 ∫ 0 T a 0 ( t ) exp ( ∫ 0 t a 1 ( s ) d s ) d t < ( w 0 − K ) − 1 . 引理2.2：假设 a i ( i = 0 ， 1 ， 2 ) 是 [ 0 ， T ] 上的连续函数，令 a 0 ± ( t ) = max { ± a 0 ( t ) ， 0 } ， 且K如(2.18)所定义。如果 w 0 ≥ 0 ， 且有 ∫ 0 T a 0 + ( t ) exp ( ∫ 0 t a 1 ( s ) d s ) d t < ( w 0 + K ) − 1 ， ∫ 0 T a 0 − ( t ) exp ( ∫ 0 t a 1 ( s ) d s ) d t < K − 1 ， 那么(2.17)连同初值 w ( 0 ) = w 0 在 [ 0 ， T ] 上有唯一的解 w = w ( t ) 。 且如果 w ( T ) > 0 ，则 ( w ( T ) ) − 1 ≥ ( w 0 + K ) − 1 − ∫ 0 T a 0 + ( t ) exp ( ∫ 0 t a 1 ( s ) d s ) d t . 如果 w ( T ) < 0 ，则 | w ( T ) | − 1 ≥ K − 1 − ∫ 0 T a 0 − ( t ) exp ( ∫ 0 t a 1 ( s ) d s ) d t .