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user: 2. 一维六方准晶中带双裂纹椭圆孔口问题的塑性模拟 2.1. 一维六方准晶中的基本公式 一维六方准晶中的广义Hooke定律为 [ 8 ] { σ 11 = C 11 ε 11 + C 12 ε 22 + C 13 ε 33 + R 1 w 3 ， σ 22 = C 12 ε 11 + C 11 ε 22 + C 13 ε 33 + R 1 w 3 σ 33 = C 13 ε 11 + C 13 ε 22 + C 33 ε 33 + R 2 w 3 ， σ 23 = σ 32 = 2 C 44 ε 23 + R 3 w 2 σ 31 = σ 13 = 2 C 44 ε 31 + R 3 w 1 ， σ 12 = σ 21 = 2 C 66 ε 12 ， H 1 = 2 R 3 ε 31 + K 2 w 1 H 2 = 2 R 3 ε 23 + K 2 w 2 ， H 3 = R 1 ( ε 11 + ε 22 ) + R 2 ε 33 + K 1 w 3 (1) 其中， [ ε i j ， w i ] = [ ε 11 ， ε 22 ， ε 33 ， 2 ε 23 ， 2 ε 31 ， 2 ε 12 ， w 3 ， w 2 ， w 1 ] 是声子场和相位子场的应变分量， [ σ i j ， H j ] = [ σ 11 ， σ 22 ， σ 33 ， σ 23 ， σ 31 ， σ 12 ， H 3 ， H 2 ， H 1 ] 是这两个场的应力分量， R i 是耦合的弹性常数， C i j 、 K i 是声子场、相位子场的独立弹性常数，且有 C 66 = ( C 11 − C 12 ) / 2 。几何方程为 ε i j = ( ∂ j u i + ∂ i u j ) / 2 ， w j = ∂ j v (2) 其中 ∂ j u i = ∂ u i / ∂ x j ， i ， j = 1 ， 2 ， 3 ，这里 u i 是指声子场的各位移分量，v指相位子场的位移。 其平衡方程为(不计体力) { ∂ 1 σ 11 + ∂ 2 σ 12 + ∂ 3 σ 13 = 0 ， ∂ 1 σ 21 + ∂ 2 σ 22 + ∂ 3 σ 23 = 0 ∂ 1 σ 31 + ∂ 2 σ 32 + ∂ 3 σ 33 = 0 ， ∂ 1 H 1 + ∂ 2 H 2 + ∂ 3 H 3 = 0 (3) 上述的就是广义胡克定律、几何方程以及平衡方程构成了弹性理论中一维六方准晶的基本方程。 在这里，我们以图1模型中的坐标轴 x 3 为准晶的准周期方向，由于准晶的几何对称性，所以裂纹穿过 x 3 轴时，即横穿一维六方准晶中的准周期方向时，变形就不再随着 x 3 的变化而变化，故有 ∂ 3 u i = 0 ， ∂ 3 v = 0 ， ∂ 3 σ i j = 0 ， ∂ 3 H j = 0 ， i ， j = 1 ， 2 ， 3 (4) 把式(4)代入式(1)~(3)，上述问题就能被简化为两个问题来求解，其中一个问题可以依据文献 [ 9 ] 中介绍的经典弹性理论求解 [ 10 ]，接下来我们主要讨论第二个问题，即 σ 23 = σ 32 = 2 C 44 ε 23 + R 3 w 2 ， σ 31 = σ 13 = 2 C 44 ε 31 + R 3 w 1 (5) H 1 = 2 R 3 ε 31 + K 2 w 1 ， H 2 = 2 R 3 ε 23 + K 2 w 2 (6) ∂ 1 σ 31 + ∂ 2 σ 32 = 0 ， ∂ 1 H 1 + ∂ 2 H 2 = 0 (7) ε 3 j = ε j 3 = ∂ j u 3 / 2 ， w j = ∂ j v ， j = 1 ， 2 (8) 将上文的(8)式代入到(5)、(6)后，得到的结果再代入(7)，得到 C 44 ∇ 2 u 3 + R 3 ∇ 2 v = 0 ， R 3 ∇ 2 u 3 + K 2 ∇ 2 v = 0 ，其中， ∇ 2 = ∂ 2 / ∂ x 1 2 + ∂ 2 / ∂ x 2 2 。 在 C 44 K 2 − R 3 2 ≠ 0 时，有 ∇ 2 u 3 = 0 ， ∇ 2 v = 0 (9) 显然，该问题最后可以化为方程组(9)去求解。显然地，我们可以用两个解析函数的实部来表示 u 3 和v [ 11 ]，即 u 3 = Re ϕ 1 ( z ) ， v = Re ψ 1 ( z ) (10) 其中Re代表复变函数的实部， z = x 1 + i x 2 。 2.2. 一维六方准晶中带双裂纹椭圆孔口问题的塑性模拟 如图1模型所示，其中a为椭圆孔口的长半轴，b为椭圆孔口的短半轴，孔口每边的裂纹长为 c − a ，如2.1中所述， x 3 轴为准周期方向，裂纹穿透该方向。方程(9)为该二维弹性问题的控制方程 [ 12 ]，这种情形下，平衡方程为 ∂ 1 σ 11 + ∂ 2 σ 12 = 0 ， ∂ 1 σ 21 + ∂ 2 σ 22 = 0 ， ∂ 1 σ 31 + ∂ 2 σ 32 = 0 ， ∂ 1 H 1 + ∂ 2 H 2 = 0. (11) 根据Dugdale的观点，在裂纹的尖端附近存在“内聚力区域”，假设屈服应力是 σ Y ，其裂纹尖端附近的塑性区域长为R (如图1)，则边界条件为： { x 1 2 + x 2 2 → ∞ : σ 32 = τ ， H 3 = τ 0 ， σ 31 = H 1 = H 2 = 0 x 1 2 a 2 + x 2 2 b 2 = 1 : σ 32 = 0 ， H 2 = 0 a < | x 1 | < c ， x 2 = 0 : σ 32 = 0 ， H 2 = 0 c < | x 1 | < c + R ， x 2 = 0 : σ 32 = − σ Y ， H 2 = 0 (12) 这个边值问题可以归结为以下两个子问题的叠加： { x 1 2 + x 2 2 → ∞ : σ 32 = τ ， H 3 = τ 0 ， σ 31 = H 1 = H 2 = 0 x 1 2 a 2 + x 2 2 b 2 = 1 : σ 32 = 0 ， H 2 = 0 a < | x 1 | < c + R ， x 2 = 0 : σ 32 = 0 ， H 2 = 0 (13a) 与 { x 1 2 + x 2 2 → ∞ : σ 32 = σ 31 = H 1 = H 2 = 0 x 1 2 a 2 + x 2 2 b 2 = 1 : σ 32 = 0 ， H 2 = 0 a < | x 1 | < c ， x 2 = 0 : σ 32 = 0 ， H 2 = 0 c < | x 1 | < c + R ， x 2 = 0 : σ 32 = − σ Y ， H 2 = 0 (13b) 图1. 一维六方准晶中带双裂纹椭圆孔口问题的塑性模拟 对于问题(13a)，若准晶只在椭圆孔口以及双裂纹的表面受到了 σ 32 = − τ ， H 2 = − τ 0 的作用，而在无穷远处没有受到任何外应力的作用，那么，除去一个常数项外，这两个问题的解是等价的。现在，我们考虑只在椭圆孔口、所带双裂纹的表面受到 σ 32 = − τ ， H 2 = − τ 0 作用的问题，该问题的边界条件为 { x 1 2 + x 2 2 → ∞ : σ 32 = σ 31 = H 1 = H 2 = 0 x 1 2 a 2 + x 2 2 b 2 = 1 : σ 32 = − τ ， H 2 = − τ 0 a < | x 1 | < c + R ， x 2 = 0 : σ 32 = − τ ， H 2 = − τ 0 (14) 这里裂纹面的相位子场应力 τ 0 只是从物理角度的一个假设，其具体的测量值到目前还没有相关的报道，也可以简单假设为 τ 0 = 0 。下面求解边值问题(9)与(14)。 令 z = x 1 + i x 2 ， i = − 1 ，若 f ( z ) 为解析函数，则有 ∂ f ∂ x 1 = d f d z ， ∂ f ∂ x 2 = i d f d z (15) 若 f ( z ) = P ( x 1 ， x 2 ) + i Q ( x 1 ， x 2 ) = Re f ( z ) + i Im f ( z ) (16) 则依Cauchy-Riemann关系，有 ∂ P ∂ x 1 = ∂ Q ∂ x 2 ， ∂ P ∂ x 2 = − ∂ Q ∂ x 1 (17) 结合(5)、(6)、(8)、(10)、(15)，有 { σ 23 = σ 32 = C 44 ∂ ∂ x 2 Re ϕ 1 + R 3 ∂ ∂ x 2 Re ψ 1 σ 13 = σ 31 = C 44 ∂ ∂ x 1 Re ϕ 1 + R 3 ∂ ∂ x 1 Re ψ 1 H 1 = K 2 ∂ ∂ x 1 Re ψ 1 + R 3 ∂ ∂ x 1 Re ϕ 1 ， H 2 = K 2 ∂ ∂ x 2 Re ψ 1 + R 3 ∂ ∂ x 2 Re ϕ 1 (18) 利用式(17)，上式可写为 σ 31 − i σ 32 = C 44 ϕ ′ 1 + R 3 ψ ′ 1 ， H 1 − i H 2 = K 2 ψ ′ 1 + R 3 ϕ ′ 1 (19) 其中 ϕ ′ 1 = d ϕ 1 / d z ， ψ ′ 1 = d ψ 1 / d z 。由(19)可知， σ 23 = σ 32 = − Im ( C 44 ϕ ′ 1 + R 3 ψ ′ 1 ) ， H 2 = − Im ( K 2 ψ ′ 1 + R 3 ϕ ′ 1 ) ，任一个函数 f ( z ) ，都满足 Im f ( z ) = ( f − f ¯ ) / 2 i ，从而有 { σ 32 = σ 23 = − 1 2 i [ C 44 ( ϕ ′ 1 − ϕ ′ 1 ¯ ) + R 3 ( ψ ′ 1 − ψ ′ 1 ¯ ) ] + τ H 2 = − 1 2 i [ K 2 ( ψ ′ 1 − ψ ′ 1 ¯ ) + R 3 ( ϕ ′ 1 − ϕ ′ 1 ¯ ) ] + τ 0 (20) 若L是带有双裂纹的椭圆孔口，则式(14)就变为 { C 44 ( ϕ ′ 1 − ϕ ′ 1 ¯ ) + R 3 ( ψ 1 − ψ ′ 1 ¯ ) = 2 τ i K 2 ( ψ ′ 1 − ψ ′ 1 ¯ ) + R 3 ( ϕ ′ 1 − ϕ ′ 1 ¯ ) = 2 τ 0 i z ∈ L (21) 作保角映射 z = ω ( ζ ) = a + b 2 2 ( d 2 + 1 ) ( 1 + ζ 2 ) + ( d 2 − 1 ) ( 1 + ζ ) 4 + 2 k ( 1 − ζ 2 ) 2 + ( 1 − ζ ) 4 8 d ζ                                 + a − b 2 8 d ζ 2 ( d 2 + 1 ) ( 1 + ζ 2 ) + ( d 2 − 1 ) ( 1 + ζ ) 4 + 2 k ( 1 − ζ 2 ) 2 + ( 1 − ζ ) 4 (22) 其中 d = ( c + R ) + ( c + R ) 2 − a 2 + b 2 a + b ， k = d 4 + 6 d 2 + 1 ( d 2 − 1 ) 2 (23) 单位圆周 τ 被映射为带双裂纹的椭圆孔L， ζ 平面上的单位圆也被保角映射到z平面上带有双裂纹椭圆孔的外部，且有 ω − 1 ( c + R ) → 1 ， ω − 1 ( b i ) → − i ， ω − 1 ( − c − R ) → − 1 ， ω − 1 ( − b i ) → i 。 令 ϕ ( ζ ) = ϕ 1 ( z ) = ϕ 1 ( ω ( ζ ) ) ， ψ ( ζ ) = ψ 1 ( z ) = ψ 1 ( ω ( ζ ) ) ，则有 ϕ ′ 1 ( z ) = ϕ ′ ( ζ ) / ω ′ ( ζ ) ， ψ ′ 1 ( z ) = ψ ′ ( ζ ) / ω ′ ( ζ ) (24) 把该结果代入(21)中，再把单位圆上的点 ζ ≡ σ = e i θ 代入后，得 ϕ ′ ( σ ) − ω ′ ( σ ) ω ′ ( σ ) ¯ ϕ ′ ( σ ) ¯ + R 3 C 44 [ ψ ′ ( σ ) − ω ′ ( σ ) ω ′ ( σ ) ¯ ψ ′ ( σ ) ¯ ] = 2 τ i C 44 ω ′ ( σ ) ， ψ ′ ( σ ) − ω ′ ( σ ) ω ′ ( σ ) ¯ ψ ′ ( σ ) ¯ + R 3 K 2 [ ϕ ′ ( σ ) − ω ′ ( σ ) ω ′ ( σ ) ¯ ϕ ′ ( σ ) ¯ ] = 2 τ 0 i K 2 ω ′ ( σ ) 给上述两式的等号两端各乘以 ，再沿着单位圆周 τ 进行积分，得 1 2 π i ∫ τ ϕ ′ ( σ ) σ − ζ d σ − 1 2 π i ∫ τ ω ′ ( σ ) ω ′ ( σ ) ¯ ϕ ′ ( σ ) ¯ σ − ζ d σ + R 3 C 44 1 2 π i ∫ τ ψ ′ ( σ ) σ − ζ d σ − R 3 C 44 1 2 π i ∫ τ ω ′ ( σ ) ω ′ ( σ ) ¯ ψ ′ ( σ ) ¯ σ − ζ d σ = 2 τ i C 44 1 2 π i ∫ τ ω ′ ( σ ) σ − ζ d σ (25) 1 2 π i ∫ τ ψ ′ ( σ ) σ − ζ d σ − 1 2 π i ∫ τ ω ′ ( σ ) ω ′ ( σ ) ¯ ψ ′ ( σ ) ¯ σ − ζ d σ + R 3 K 2 1 2 π i ∫ τ ϕ ′ ( σ ) σ − ζ d σ − R 3 K 2 1 2 π i ∫ τ ω ′ ( σ ) ω ′ ( σ ) ¯ ϕ ′ ( σ ) ¯ σ − ζ d σ = 2 τ 0 i K 2 1 2 π i ∫ τ ω ′ ( σ ) σ − ζ d σ (26) 因为在单位圆 τ 内， ϕ ′ ( ζ ) 和 ψ ′ ( ζ ) 是解析函数，那么根据Cauchy积分定理，有 1 2 π i ∫ τ ϕ ′ ( σ ) σ − ζ d σ = ϕ ′ ( ζ ) ， 1 2 π i ∫ τ ψ ′ ( σ ) σ − ζ d σ = ψ ′ ( ζ ) ， | ζ | < 1 (27) 由式(22)，得 ω ′ ( ζ ) = ( 1 − ζ 2 ) [ ( d 2 + 1 ) + ( d 2 − 1 ) ( 1 + k ) ( 1 + ζ 2 ) ( 1 + ζ ) 4 + 2 k ( 1 − ζ 2 ) 2 + ( 1 − ζ ) 4 ]     × { − a + b 8 d ζ 2 + 8 d ( a − b ) / { [ 2 ( d 2 + 1 ) ( 1 + ζ 2 ) + ( d 2 − 1 ) ( 1 + ζ ) 4 + 2 k ( 1 − ζ 2 ) 2 + ( 1 − ζ ) 4 ] 2 } } (28) 由式(28)，以及 σ ¯ = 1 / σ ，有 ω ′ ( σ ) / ω ′ ( σ ) ¯ = − 1 / σ 2 。 ϕ ′ ( ζ ) 、 ψ ′ ( ζ ) 可以展成下面的Taylor级数，因为它们都是 | ζ | < 1 内的解析函数， ϕ ′ ( ζ ) = ∑ n = 0 ∞ a n ζ n ， ψ ′ ( ζ ) = ∑ n = 0 ∞ b n ζ n ， | ζ | < 1 而 ϕ ′ ( σ ) ¯ 与 ψ ′ ( σ ) ¯ 可看作 ϕ ′ ¯ ( 1 ζ ) = ∑ n = 0 ∞ a n ¯ ( 1 ζ ) n ， ψ ′ ¯ ( 1 ζ ) = ∑ n = 0 ∞ b n ¯ ( 1 ζ ) n 在单位圆周 τ 上的边值，所以(25)与(26)中的 ω ′ ( σ ) ω ′ ( σ ) ¯ ϕ ′ ( σ ) ¯ 与 ω ′ ( σ ) ω ′ ( σ ) ¯ ψ ′ ( σ ) ¯ 是 | ζ | > 1 内的函数 − 1 ζ 2 ϕ ′ ¯ ( 1 ζ ) 、 − 1 ζ 2 ψ ′ ¯ ( 1 ζ ) 的边值。利用文献 [ 7 ] 中所提到的无穷远处的Cauchy积分公式，即， | ζ | < 1 ，有 1 2 π i ∫ τ ω ′ ( σ ) ω ′ ( σ ) ¯ ϕ ′ ( σ ) ¯ σ − ζ d σ = 1 2 π i ∫ τ ω ′ ( σ ) ω ′ ( σ ) ¯ ψ ′ ( σ ) ¯ σ − ζ d σ = 0 (29) 把式(29)和式(28)代入式(25)以及(26)，可得 { ϕ ′ ( ζ ) + R 3 C 44 ψ ′ ( ζ ) = 2 τ i C 44 1 2 π i ∫ τ ω ′ ( σ ) σ − ζ d σ ψ ′ ( ζ ) + R 3 K 2 ϕ ′ ( ζ ) = 2 τ 0 i K 2 1 2 π i ∫ τ ω ′ ( σ ) σ − ζ d σ (30) 由式(28)知， ω ′ ( ζ ) 在单位圆外 | ζ | > 1 是解析的，在 | ζ | ≥ 1 上是连续的，利用无穷远处的Cauchy积分公式，并令其结果为 F ( ζ ) 1 2 π i ∫ τ ω ′ ( σ ) σ − ζ d σ = ω ′ ( ∞ ) = ( d 2 + 1 ) ( a + b ) 4 d = F ( ζ ) (31) 将式(31)代入式(30)得 ϕ ′ ( ζ ) + R 3 C 44 ψ ′ ( ζ ) = 2 τ i C 44 F ( ζ ) ， ψ ′ ( ζ ) + R 3 K 2 ϕ ′ ( ζ ) = 2 τ 0 i K 2 F ( ζ ) (32) 由上式可得 ϕ ′ ( ζ ) = 2 i τ K 2 − τ 0 R 3 C 44 K 2 − R 3 2 F ( ζ ) ， ψ ′ ( ζ ) = 2 i τ 0 C 44 − τ R 3 C 44 K 2 − R 3 2 F ( ζ ) (33) 利用式(24)，有 { ϕ ′ 1 ( z ) = ϕ ′ ( ζ ) ω ′ ( ζ ) = 2 i ( τ K 2 − τ 0 R 3 ) C 44 K 2 − R 3 2 F ( ζ ) ω ′ ( ζ ) ψ ′ 1 ( z ) = ψ ′ ( ζ ) ω ′ ( ζ ) = 2 i ( τ 0 C 44 − τ R 3 ) C 44 K 2 − R 3 2 F ( ζ ) ω ′ ( ζ ) (34) 将上式代入式(19)，得 σ 31 − i σ 32 = 2 τ i F ( ζ ) ω ′ ( ζ ) ， H 1 − i H 2 = 2 τ 0 i F ( ζ ) ω ′ ( ζ ) (35) 对于问题(13b)，边界条件(13b)可以写为 { C 44 ( ϕ ′ 1 − ϕ ′ 1 ¯ ) + R 3 ( ψ ′ 1 − ψ ′ 1 ¯ ) = − 2 σ Y i ， K 2 ( ψ ′ 1 − ψ ′ 1 ¯ ) + R 3 ( ϕ ′ 1 − ϕ ′ 1 ¯ ) = 0. (36) 做相同的保角变换(22)，并把式(24)代入式(36)，整理后得： { ϕ ′ ( σ ) − ω ′ ( σ ) ω ′ ( σ ) ¯ ϕ ′ ( σ ) ¯ + R 3 C 44 [ ψ ′ ( σ ) − ω ′ ( σ ) ω ′ ( σ ) ¯ ψ ′ ( σ ) ¯ ] = − 2 σ Y i C 44 ω ′ ( σ ) ， ψ ′ ( σ ) − ω ′ ( σ ) ω ′ ( σ ) ¯ ψ ′ ( σ ) ¯ + R 3 K 2 [ ϕ ′ ( σ ) − ω ′ ( σ ) ω ′ ( σ ) ¯ ϕ ′ ( σ ) ¯ ] = 0. 同上一个问题类似，得： 1 2 π i ∫ τ ϕ ′ ( σ ) σ − ζ d σ − 1 2 π i ∫ τ ω ′ ( σ ) ω ′ ( σ ) ¯ ϕ ′ ( σ ) ¯ σ − ζ d σ + R 3 C 44 1 2 π i ∫ τ ψ ′ ( σ ) σ − ζ d σ − R 3 C 44 1 2 π i ∫ τ ω ′ ( σ ) ω ′ ( σ ) ¯ ψ ′ ( σ ) ¯ σ − ζ d σ = − 2 σ Y i C 44 1 2 π i ∫ τ ω ′ ( σ ) σ − ζ d σ 1 2 π i ∫ τ ψ ′ ( σ ) σ − ζ d σ − 1 2 π i ∫ τ ω ′ ( σ ) ω ′ ( σ ) ¯ ψ ′ ( σ ) ¯ σ − ζ d σ + R 3 K 2 1 2 π i ∫ τ ϕ ′ ( σ ) σ − ζ d σ − R 3 K 2 1 2 π i ∫ τ ω ′ ( σ ) ω ′ ( σ ) ¯ ϕ ′ ( σ ) ¯ σ − ζ d σ = 0 由Cauchy积分定理有： 1 2 π i ∫ τ ϕ ′ ( σ ) σ − ζ d σ = ϕ ′ ( ζ ) ， 1 2 π i ∫ τ ψ ′ ( σ ) σ − ζ d σ = ψ ′ ( ζ ) ， | ζ | < 1 结合式(28)，(29)，(31)得到： ϕ ′ ( ζ ) + R 3 C 44 ψ ′ ( ζ ) = − 2 σ Y i C 44 F ( ζ ) ， ψ ′ ( ζ ) + R 3 K 2 ϕ ′ ( ζ ) = 0 求解上式，可得： ϕ ′ ( ζ ) = 2 i K 2 σ Y R 3 2 − K 2 C 44 F ( ζ ) ， ψ ′ ( ζ ) = 2 i R 3 σ Y K 2 C 44 − R 3 2 F ( ζ ) (37) 利用式(24)，有 { ϕ ′ 1 ( z ) = ϕ ′ ( ζ ) ω ′ ( ζ ) = 2 i K 2 σ Y R 3 2 − C 44 K 2 F ( ζ ) ω ′ ( ζ ) ψ ′ 1 ( z ) = ψ ′ ( ζ ) ω ′ ( ζ ) = 2 i R 3 σ Y C 44 K 2 − R 3 2 F ( ζ ) ω ′ ( ζ ) (38) 将上式代入式(19)，得 σ 31 − i σ 32 = − 2 σ Y i F ( ζ ) ω ′ ( ζ ) ， H 1 − i H 2 = 0 上式说明材料常数和应力的分布是不相关的，这个结论和经典弹性理论是吻合的。解上述方程组以及(35)，可得到应力 σ 31 、 σ 32 、 H 1 、 H 2 。