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user: 2. 新混沌系统的构造和伪随机性分析 设 I = Z q = { 0 ， 1 ， ⋯ ， q − 1 } ，对任意 a ， b ∈ Z q ，记 a ⊕ b = ( a + b ) mod q ，则 f : N 0 × I 4 → I ， g : N 0 × I 4 → I ， h : N 0 × I 4 → I 定义如下 f ( m ， x 0 ， y 0 ， z 0 ， x 1 ) = a 0 ， m x 0 ⊕ a 1 ， m y 0 ⊕ a 2 ， m z 0 ⊕ a x 1 g ( m ， y 0 ， x 0 ， z 0 ， y 1 ) = b 0 ， m y 0 ⊕ b 1 ， m x 0 ⊕ b 2 ， m z 0 ⊕ b y 1 h ( m ， z 0 ， x 0 ， y 0 ， z 1 ) = c 0 ， m z 0 ⊕ c 1 ， m x 0 ⊕ c 2 ， m y 0 ⊕ c z 1 (6) 其中， ， { b i ， m } m = 0 ∞ 和 { c i ， m } m = 0 ∞ 为周期整数数列，即存在正整数p，使得 a i ， m = a i ， m + p ， b i ， m = b i ， m + p ， c i ， m = c i ， m + p ，对一切 i = 0 ， 1 ， 2 和 m ∈ N 0 成立， a ， b ， c 是三个与q互素的正整数。 不难发现，由式(6)定义的映射 ( f ， g ， h ) 可产生三维时变广义符号系统如下 { x m + 1 ， n = f ( m ， x m ， n ， y m ， n ， z m ， n ， x m ， n + 1 ) = a 0 ， m x m ， n ⊕ a 1 ， m y m ， n ⊕ a 2 ， m z m ， n ⊕ a x m ， n + 1 y m + 1 ， n = g ( m ， y m ， n ， x m ， n ， z m ， n ， y m ， n + 1 ) = b 0 ， m y m ， n ⊕ b 1 ， m x m ， n ⊕ b 2 ， m z m ， n ⊕ b y m ， n + 1 z m + 1 ， n = h ( m ， z m ， n ， x m ， n ， y m ， n ， z m ， n + 1 ) = c 0 ， m z m ， n ⊕ c 1 ， m x m ， n ⊕ c 2 ， m y m ， n ⊕ c z m ， n + 1 (7) 其中， x m ， n ， y m ， n ， z m ， n ∈ Z q ， m ， n ∈ N 0 。由于系统(7)是系统(1)的特定情形，故根据系统(1)和系统(5)的关系，系统(7)等价于如下系统(8) x m + 1 = F m + 1 ( x m ) ， x 0 ∈ I 3 ∞ ， m ∈ N 0 (8) 上式中， x m = { ( x m ， n ， y m ， n ， z m ， n ) } n = 0 ∞ ∈ I 3 ∞ ， F m + 1 : I 3 ∞ → I 3 ∞ 是由 ( f ， g ， h ) 所导出的映射，且对任意 α = { ( u n ， v n ， w n ) } n = 0 ∞ ∈ I 3 ∞ ，记 u ˜ m ， n = a 0 ， m u n ⊕ a 1 ， m v n ⊕ a 2 ， m w n ， v ˜ m ， n = b 0 ， m v n ⊕ b 1 ， m u n ⊕ b 2 ， m w n ， w ˜ m ， n = c 0 ， m w n ⊕ c 1 ， m u n ⊕ a 2 ， m v n ，则有 F m + 1 ( α ) = { ( u ˜ m ， n ⊕ a u n + 1 ， v ˜ m ， n ⊕ b v n + 1 ， w ˜ m ， n ⊕ c w n + 1 ) } n = 0 ∞ (9) 参照文献 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]，易得如下引理及推论。 引理1：对式(8)中的映射列 F = { F n } n = 1 ∞ ，存在正整数周期p，使得 F m = F m + p ， m ∈ N 1 。 推论1：设 F = { F n } n = 1 ∞ 是式(8)的系统映射，则对一切 m ， s ， t ∈ N 1 ，都有 F s + m p − 1 ∘ F s + m p − 2 ∘ ⋯ ∘ F s = F t + m p − 1 ∘ F t + m p − 2 ∘ ⋯ ∘ F t 记式(8)定义的映射列 F = { F n } n = 1 ∞ 所确定的复合映射为： G m = F m ∘ F m − 1 ∘ ⋯ ∘ F ， m ∈ N 1 (10) 引理2：对 m ∈ N 1 和 a ， b ， r ∈ I = Z q ，存在 s ∈ I ，使 a ⊕ r m s = b 成立。 定义1：若式(1)的系统函数 ( f ， g ， h ) 所确定的映射列 F = { F n } n = 1 ∞ 或系统(5)在度量空间 ( I 3 ∞ ， d 1 ) 上具有传递性、周期点的稠密性和初值敏感依赖性，则称 F = { F n } n = 1 ∞ 或系统(5)是Devaney混沌的，也称与系统(5)相应等价的系统(1)在 ( I 3 ∞ ， d 1 ) 上是Devaney混沌的。 定理1：在上述条件下，系统(7)在度量空间 ( I 3 ∞ ， d 1 ) 上是Devaney混沌的。 证明：由定义1，只需证明系统(8)在 ( I 3 ∞ ， d 1 ) 上是Devaney混沌的。 设 U ， V ⊆ I 3 ∞ 且 U ， V ≠ ∅ ，对 χ = { ( r n ， s n ， t n ) } n = 0 ∞ ∈ U 和 β = { ( u n ， v n ， w n ) } n = 0 ∞ ∈ V ，存在 θ > 0 ，使得 B θ ( χ ) = { x = { ( x n ， y n ， z n ) } n = 0 ∞ | d ( x ， χ ) < θ } ⊆ U 和 B θ ( β ) ⊆ V 。根据 d 1 的定义知，存在 M ∈ N 1 ，满足 { x = { ( x n ， y n ， z n ) } n = 0 ∞ | x i = r i ， y i = s i ， z i = t i ， i ∈ Z M ; x j ， y j ， z j ∈ I ， j ∉ Z M } ⊆ B θ ( χ ) { y = { ( o n ， p n ， q n ) } n = 0 ∞ | o i = u i ， p i = v i ， q i = w i ， i ∈ Z M ; o j ， p j ， q j ∈ I ， j ∉ Z M } ⊆ B θ ( β ) (11) 对 x = { ( x n ， y n ， z n ) } n = 0 ∞ ∈ I 3 ∞ ，记 G 1 ( x ) = { ( f 0 ⊕ a x n + 1 ， g 0 ⊕ b y n + 1 ， h 0 ⊕ c z n + 1 ) } n = 0 ∞ = { ( x n ( 1 ) ， y n ( 1 ) ， z n ( 1 ) ) } n = 0 ∞ = x ( 1 ) ， 其中 f 0 ， g 0 ， h 0 分别满足： f 0 ( x n ， y n ， z n ) = a 0 ， 0 x n ⊕ a 1 ， 0 y n ⊕ a 2 ， 0 z n ， g 0 ( x n ， y n ， z n ) = b 0 ， 0 y n ⊕ b 1 ， 0 x n ⊕ b 2 ， 0 z n ， h 0 ( x n ， y n ， z n ) = c 0 ， 0 z n ⊕ c 1 ， 0 x n ⊕ c 2 ， 0 y n . 由递推法可知，对 m ∈ N 1 ， x = { ( x n ， y n ， z n ) } n = 0 ∞ ∈ I 3 ∞ ，有 G m ( x ) = F m ( x ( m − 1 ) ) = F m ( ⋯ ( F 1 ( x ) ⋯ ) ) = { ( x n ( m ) ， y n ( m ) ， z n ( m ) ) } n = 0 ∞ = x ( m ) ， x ( 0 ) = x ， 其中 G m 定义由式(10)给出，且有 x ( m ) = { ( f m − 1 ( ρ n ) ⊕ a m x n + m ， g m − 1 ( ρ n ) ⊕ b m y n + m ， h m − 1 ( ρ n ) ⊕ c m z n + m ) } n = 0 ∞ = { x n ( m ) } n = 0 ∞ (12) 上式中 m ， n ∈ N 0 ， ρ n = ( x n ， ⋯ ， x n + m − 1 ， y n ， ⋯ ， y n + m − 1 ， z n ， ⋯ ， z n + m − 1 ) = { ( x n ， y n ， z n ) } n n + m − 1 ，G决定了映射列 f m − 1 : I 3 m → I 、 g m − 1 : I 3 m → I 和 h m − 1 : I 3 m → I 。 根据引理2，对任意 m ∈ N 1 和 ξ ∈ I ，存在整数 r ， s ， t ∈ I ，满足： f m − 1 ( ρ n ) ⊕ a m r = ξ ， g m − 1 ( ρ n ) ⊕ b m s = ξ ， h m − 1 ( ρ n ) ⊕ c m t = ξ (13) 已知 χ = { ( r n ， s n ， t n ) } n = 0 ∞ ∈ U ， β = { ( u n ， v n ， w n ) } n = 0 ∞ ∈ V ，由式(11)、(12)、(13)知，存在 η = { ( τ n ， σ n ， ς n ) } n = 0 ∞ ∈ I 3 ∞ ，使 τ n = r n ， σ n = s n ， ς n = t n ，其中 n ∈ Z M ，且 τ M ， σ M ， ς M ， ⋯ 依次满足： f M − 1 ( ζ n ) ⊕ a M τ n + M = u n ， g M − 1 ( ζ n ) ⊕ b M σ n + M = v n ， h M − 1 ( ζ n ) ⊕ c M ς n + M = w n ， n ∈ N 0 其中 ζ n = { ( τ n ， σ n ， ς n ) } n n + M − 1 。故 G M ( η ) = F M ∘ ⋯ ∘ F 1 ( η ) = β ∈ V ，且 η ∈ U 。由此可见系统(8)在 ( I 3 ∞ ， d 1 ) 上是传递的。同理，可以类似方法证明系统(8)在 ( I 3 ∞ ， d 1 ) 上具有周期点的稠密性和初值敏感依赖性，因而系统(8)在 ( I 3 ∞ ， d 1 ) 上是Devaney混沌的。证毕。 例1：设 q = 16 和时变离散时空系统为 x m + 1 ， n = a 0 ， m x m ， n ⊕ a 2 ， m z m ， n ⊕ x m ， n + 1 y m + 1 ， n = b 0 ， m y m ， n ⊕ b 1 ， m x m ， n ⊕ 3 y m ， n + 1 z m + 1 ， n = c 0 ， m z m ， n ⊕ c 1 ， m x m ， n ⊕ c 2 ， m y m ， n + 1 ⊕ 7 z m ， n + 1 (14) 其中， x 0 ， n ∈ I = { 0 ， 1 } ， a 0 ， m = 1 + ( − 1 ) m mod 3 ， a 2 ， m = 3 + 2 × ( − 1 ) m ， b 0 ， m = 1 + ( − 1 ) ( m + 1 ) mod 3 ， b 1 ， m = ( m + 1 ) mod 2 ， c 0 ， m = 1 + ( − 1 ) ( m + 2 ) mod 3 ， c 1 ， m = ( 2 m ) mod 3 ， c 2 ， m = 5 + 2 × ( 1 + ( − 1 ) mod ( m ， 3 ) ) ，对任意 m ， n ∈ N 0 。 根据现有文献无法判断系统(14)是否具有Devaney混沌性。但由于系统(14)是(7)的特殊情形，根据定理1，系统(14)是 ( I 3 ∞ ， d 1 ) 上的Devaney混沌系统。 现对系统(14)的混沌解序列进行混乱性和自相关性仿真，图1(A)~(C)分别显示了解序列 X ， Y ， Z 在三维空间上的混乱程度，图1(D)~(F)分别显示解序列 X ， Y ， Z 的自相关程度。通过图1，不难发现，系统(14)的解序列都具有复杂的混乱性和良好的自相关性。同时，使用NIST推出的SP800-22软件检测包来测试解序列的伪随机性，从表1可知，均通过检测。由此可得，新系统的解序列具有良好伪随机性，可将其用于密钥流序列和流密码算法的设计之中。 Table 1 NIST pseudo-random sequence detection result 检测方法 本符号系统X序列P值 本符号系统Y序列P值 本符号系统Z序列P值 检测结果 Monobit test 0.8969 0.1339 0.7609 通过 Frequency within block test 0.8868 0.0719 0.5109 通过 Runs test 0.3645 0.6961 0.0930 通过 Longest run ones in a block test 0.8729 0.7641 0.6173 通过 Binary matrix rank test 0.1412 0.0799 0.3188 通过 Dft test 0.9810 0.2139 0.7165 通过 Non overlapping template matching test 1.0000 1.0000 0.9999 通过 Maurers universal test 0.9997 0.9991 0.9996 通过 Linear complexity test 0.0114 0.0230 0.0354 通过 Serial test 0.5830 0.3818 0.7361 通过 Approximate entropy test 0.7293 0.3830 0.7341 通过 Cumulative sums test 0.8050 0.1354 0.8199 通过 Random excursion test 0.3876 0.3643 0.1665 通过 Random excursion variant test 0.0725 0.0252 0.2185 通过 表1. NIST伪随机序列检测结果 图1. 解的混乱性和自相关性