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user: 3. 带时滞系统的演化博弈模型 3.1. 模型的构建 本节将引入时滞对第2节的模型进行适当改进。根据第2节的分析我们知道，在当前的社会状态下，当 r < n 且 m > s 时， x 3 ∗ = s − m r − m − n + s 是唯一的演化稳定状态。本节将重点分析该平衡点在时滞系统中的稳定性。当一个决策者在时间t使用一个策略时，他将在随机延迟 τ 之后也就是时间为 t + τ 时刻收到他的回报。自然地，该策略的预期收益仅在该时刻确定，即 F ( x ( t + τ ) ) 。等价地说，一个策略在当前时间的预期收益是之前某个随机时刻的总体状态的函数 [ 5 ]。如果延迟等于 τ ，则在时间t时选择策略1和策略2的参与人期望收益函数 F 1 ( x ( t − τ ) ) 、 F 2 ( x ( t − τ ) ) 及平均得益 F ¯ ( x ( t − τ ) ) 分别由以下公式确定： F 1 ( x ( t − τ ) ) = x ( t − τ ) r + ( 1 − x ( t − τ ) ) m ， (6) F 2 ( x ( t − τ ) ) = x ( t − τ ) n + ( 1 − x ( t − τ ) ) s ， (7) F ¯ ( x ( t − τ ) ) = x ( t ) F 1 ( x ( t − τ ) ) + ( 1 − x ( t ) ) F 2 ( x ( t − τ ) ) . (8) 根据复制动力学的相关定义，相应的时滞动力学可以表示为 [ 6 ]： x ˙ = x ( t ) [ F 1 ( x ( t − τ ) ) − F ¯ ( x ( t − τ ) ) ] = − ( n − r + m − s ) x ( t ) ( 1 − x ( t ) ) [ x ( t − τ ) − x 3 * ] . (9) 令 δ = n − r + m − s ，则(9)可改写为： x ˙ = − δ x ( t ) ( 1 − x ( t ) ) [ x ( t − τ ) − x 3 * ] ， (10) 式(10)为时滞微分方程，下节将讨论该模型的动力学性质。 3.2. 带时滞系统的演化博弈模型稳定性分析 稳定性问题是系统分析研究的核心，本节将讨论模型(10)的稳定性。 令 y ( t ) = x ( t ) − x 3 * ，则模型(10)转化为： y ˙ ( t ) = − δ x 3 * ( 1 − x 3 * ) y ( t − τ ) + δ y ( t − τ ) y ( t ) [ y ( t ) − ( 1 − 2 x 3 * ) ] = − δ ( y ( t ) + x 3 * ) ( 1 − y ( t ) − x 3 * ) y ( t − τ ) . (11) 从而，可通过研究模型(11)在 y = 0 的稳定性来研究模型(10)在 x = x 3 * 的稳定性 [ 7 ]。为了讨论模型(11)在 y = 0 的稳定性，我们可以将式(11)在 y = 0 线性化，于是有： y ˙ ( t ) = − δ x 3 * ( 1 − x 3 * ) y ( t − τ ) = − α y ( t − τ ) ， (12) 其中 α = δ x 3 * ( 1 − x 3 * ) > 0 。由时滞微分方程的理论可知，式(12)的特征方程为： λ + α e − λ τ = 0. (13) 如果式(13)的所有解的实部都是负的(这意味着 Re λ j < 0 ， ∀ j = 1 ， 2 ， ⋯ )，那么式(10)对应于式(11)的均衡点 y = 0 的内部平衡点 x 3 * 是稳定的。相反，如果在式(13)中存在 Re λ > 0 的解，则 x 3 * 是不稳定的 [ 8 ]。 关于方程(12)在 y = 0 渐进稳定的充分必要条件我们有： 0 < τ < π 2 α . (14) 证明：根据上面的结论，我们只需证明式(14) ⇔ 式(13)的所有根 λ 满足 Re λ < 0 即可。 充分性当 τ = 0 时，方程(13)化为 λ + α = 0 ，即 λ = − α 根的分布见图1(a)。由于 Re λ = − α < 0 ，所以方程(12)在 y = 0 是渐进稳定的。当 τ 从大于0的方向微小地增加时，同样方程(13)的所有特征根显然满足 Re λ < 0 ，即方程(12)在 y = 0 仍是渐进稳定的。 设当 τ 进一步增加时，方程(12)在 y = 0 不再渐进稳定，这时，对于使得方程(12)在 y = 0 不再渐进稳定的最小的 τ = τ * > 0 ，方程(13)的根 λ 必将横截穿过虚轴，如图1(b)。这里需要注意到，由于 α ≠ 0 ，方程(13)不存在零根 λ = 0 。 图1. 复平面上 λ + α e − λ τ = 0 的根的分布 于是当 τ = τ * 时，必存在 ω > 0 使得下列条件至少其中一个成立： 1) i ω + α e − i ω τ * = 0 ； 2) − i ω + α e i ω τ * = 0 。 由于这两个方程是等价的，由此可见，两个条件同时成立。 现考虑情形(1)，由于 i ω + α e − i ω τ * = α cos ( ω τ * ) + i ( ω − α sin ( ω τ * ) ) ， (15) 且 α > 0 ，则式(15)等价于 cos ( ω τ * ) = 0 ， (16) 且 sin ( ω τ * ) = ω α > 0. (17) 由于 ω τ * > 0 ，于是由(16)，(17)可得： ω τ * = π 2 + 2 n π ， n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， (18) 且 ω α = 1. (19) 于是由(18)，(19)可得： τ * = 1 α ( π 2 + 2 n π ) ， n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ . (20) 设 τ = τ ∗ 时，式(13)的根在 λ = i ω 处首次横穿过虚轴，在式(20)中，当 n = 0 时，对应的 τ = τ ∗ = π 2 α ，当 n > 0 时，有下列的式子成立： 0 < τ < τ * = π 2 α . 即若式(14)成立，式(13)的根不可能横穿过虚轴。因此，此时式(13)所有的根都满足 Re λ < 0 ，方程(12)在 y = 0 是渐进稳定的。 必要性事实上，我们只需证明 τ ≥ π 2 α ⇒ 方程(12)在 y = 0 不是渐进稳定的即可。 由充分性的证明和式(20)可知： τ = π 2 α ⇒ ∃ ω > 0 使得 i ω + α e − i ω τ = 0 或者 − i ω + α e i ω τ = 0 。 由式(18)可知， ω 具有形式 ω τ = π 2 + 2 n π   ( n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ) ，且 λ = ± i ω 时， Re λ = 0 。 以下讨论当 τ 由 π 2 α 开始微小地增加时，式(13)的根 λ = ± i ω 在复平面上的变化。为此，讨论 Re d λ d τ | λ = ± i ω 的符号。方程(13)的等式两边关于 τ 求微分可得： d λ d τ − α τ e − λ τ d λ d τ − α λ e − λ τ = 0. 由于 − α e − λ τ = λ ，因此上式可改写为： d λ d τ + λ τ d λ d τ + λ 2 = 0. 进而 d λ d τ = − λ 2 1 + λ τ . 于是 Re d λ d τ | λ = ± i ω = Re ω 2 1 ± i ω τ = ω 2 1 + ω 2 τ 2 > 0. 这表明当 τ 由 π 2 α 开始微小地增加时，虚轴上的根将进入右半平面，这时候方程(12)在 y = 0 不是渐进稳定的。 进一步，设 τ 继续增大，当增大到 τ = τ ˜ 时，根 λ 又回到虚轴上。现设对应的重虚根为 λ = i ω ˜ ( ω ˜ ≠ 0 ) ，同上述推导类似，我们有： Re d λ d τ | λ = i ω ˜ = ω ˜ 2 1 + ω ˜ 2 τ ˜ 2 > 0. 这表明当 τ 的值由 τ ˜ 继续微小地增加时，虚轴上的根 λ = i ω ˜ ( ω ˜ ≠ 0 ) 一样地会进入右半平面，所以有： τ ≥ π 2 α ⇒ 方程(13)的根存在 λ 满足 Re λ ≥ 0 。 这时候方程(12)在 y = 0 不是渐进稳定的。证毕。 3.3. 数值仿真 为了研究分析时滞对博弈参与者决策的影响，以下将通过MATLAB进行数值模拟，取r = 3，n = 6，m = 7，s = 5，时间长度为10，初始状态为 x ( 0 ) = 0.1 。分别取时滞τ = 0.1，τ = 0.3。在MATLAB中分别调用函数ode45和dde23，得到不同情况下x的演化过程如图2所示。 图2. 不同情况下x的演化过程 通过图2，我们可以知道，在博弈过程中，无论博弈参与者是否存在时滞行为，并不影响决策最终的稳定状态，即经过足够的时间，博弈参与者不断地进行策略调整，最后x都渐进稳定于 x 3 * ，这与前面的分析完全吻合。然而，仔细观察图2的(a) (b)可知，存在时滞作用的情况下演化图像的点较为稀疏，说明时滞作用导致博弈参与者在博弈过程中学习调整策略的次数减少。这充分说明了博弈过程中参与者因考虑对方先前的决策情况从而进行决策时会慎重考虑。仔细观察图2(b)，图2(c)可知，当博弈参与者均处于时滞作用时，时滞时间越长，则x会越快演化到稳定状态。这充分说明了由于博弈参与者决策时考虑稳重，从而到达稳定策略的耗时会缩短。即谨慎行事或者计划行事在很大程度上可以避免或减少因决策失误带来的损失。