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user: 4. 误差估计 为了之后证明的简单，介绍下面一些符号： e ^ u n + 1 : = R h u n + 1 − u h n + 1 ，   e ˜ u n + 1 : = u n + 1 − R h u n + 1 ， e ^ w n + 1 : = R h w n + 1 − w h n + 1 ，   e ˜ w n + 1 : = w n + 1 − R h w n + 1 ， e ^ φ n + 1 : = R h φ n + 1 − φ h n + 1 ，   e ˜ φ n + 1 : = φ n + 1 − R h φ n + 1 ， σ ( u n + 1 ) = δ τ R h u n + 1 − u t n + 1 . 对于 ( u ， w ， φ ) ，做如下正则性假设： u ∈ L ∞ ( 0 ， T ; W 1 ， 5 ( Ω ) ) ∩ L ∞ ( 0 ， T ; H r + 1 ( Ω ) ) ， w ∈ L ∞ ( 0 ， T ; H r + 1 ( Ω ) ) ， φ ∈ L ∞ ( 0 ， T ; H r + 1 ( Ω ) ) . 引理4.2 [ 10 ]：Ritz投影算子 R h 满足下面的估计： ‖ R h u ‖ 1 ≤ C ‖ u ‖ 1 ，   ∀ u ∈ H 1 ( Ω ) ， ‖ u − R h u ‖ + h ‖ u − R h u ‖ 1 ≤ C h r + 1 ‖ u ‖ r + 1 ， ∀ u ∈ H r + 1 ( Ω ) . 引理4.3 [ 11 ]：假设 ( u ， w ) 是(2)的解，则有下面估计： ‖ σ ( u n + 1 ) ‖ 2 ≤ C h 2 r + 2 + C τ 2 . 定理4.2：设初始问题(2)，全离散格式(4)的解分别是 ( u ， w ) 和 ( u h n + 1 ， w h n + 1 ) ，存在常数 C ， τ ， h ，则有估计式 ∑ i = 1 n C τ ‖ ∇ e ^ w i + 1 ‖ 2 + ε 2 ‖ ∇ e ^ u n + 1 ‖ 2 + β ‖ ∇ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h 2 ≤ C τ 2 + C h 2 r . (14) 证明：对于(3)式，令 q = q h ， v = v h ， ψ = ψ h ，利用 R h 的性质，在 t = t n + 1 ，有 { ( δ τ R h u n + 1 ， q h ) + ( m ( u n + 1 ) ∇ R h w n + 1 ， ∇ q h ) = ( σ ( u n + 1 ) ， q h ) ， ε 2 ( ∇ R h u n + 1 ， ∇ v h ) − ( R h w n + 1 ， v h ) + ( R h φ n + 1 ， v h )     = ( e ˜ w n + 1 ， v h ) − ( e ˜ φ n + 1 ， v h ) − ( ϕ 1 ( u n + 1 ) − ϕ 2 ( u n + 1 ) ， v h ) ， ( ∇ R h φ n + 1 ， ∇ ψ h ) − β ( R h u n + 1 − u ¯ 0 ， ψ h ) = β ( e ˜ u n + 1 ， ψ h ) . (15) (15)式减去(4)式得 { ( δ τ e ^ u n + 1 ， q h ) + ( m ( u n + 1 ) ∇ R h w n + 1 ， ∇ q h ) − ( m ( u h n ) ∇ w h n + 1 ， ∇ q h ) = ( σ ( u n + 1 ) ， q h ) ， ε 2 ( ∇ e ^ u n + 1 ， ∇ v h ) − ( e ^ w n + 1 ， v h ) + ( e ^ φ n + 1 ， v h )     = ( e ˜ w n + 1 ， v h ) − ( e ˜ φ n + 1 ， v h ) − ( ϕ 1 ( u n + 1 ) − ϕ 2 ( u n + 1 ) ， v h ) + ( ϕ 1 ( u h n + 1 ) − ϕ 2 ( u h n ) ， v h ) ， ( ∇ e ^ φ n + 1 ， ∇ ψ h ) − β ( e ^ u n + 1 ， ψ h ) = β ( e ˜ u n + 1 ， ψ h ) . (16) 在(16)式中，令 q h = e ^ w n + 1 ， v h = δ τ e ^ u n + 1 ， ψ h = − T h ( δ τ e ^ u n + 1 ) ，然后三式相加得 ( m ( u n + 1 ) ∇ R h w n + 1 ， ∇ e ^ w n + 1 ) − ( m ( u h n ) ∇ w h n + 1 ， ∇ e ^ w n + 1 ) + ε 2 2 τ ( ‖ ∇ e ^ u n + 1 ‖ 2 − ‖ ∇ e ^ u n ‖ 2 + ‖ ∇ e ^ u n + 1 − ∇ e ^ u n ‖ 2 ) + β 2 τ ( ‖ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h 2 − ‖ e ^ u n ‖ − 1 ， h 2 + ‖ e ^ u n + 1 − e ^ u n ‖ − 1 ， h 2 ) = ( σ ( u n + 1 ) ， e ^ w n + 1 ) + ( e ˜ w n + 1 ， δ τ e ^ u n + 1 ) − ( e ˜ φ n + 1 ， δ τ e ^ u n + 1 ) − β ( e ˜ u n + 1 ， T h ( δ τ e ^ u n + 1 ) )   − ( ϕ 1 ( u n + 1 ) − ϕ 2 ( u n + 1 ) ， δ τ e ^ u n + 1 ) + ( ϕ 1 ( u h n + 1 ) − ϕ 2 ( u h n ) ， δ τ e ^ u n + 1 ) . (17) 其中 ( m ( u n + 1 ) ∇ R h w n + 1 ， ∇ e ^ w n + 1 ) − ( m ( u h n ) ∇ w h n + 1 ， ∇ e ^ w n + 1 ) = ( ( m ( u h n ) + m ′ ( ξ 3 ) ( u n + 1 − u h n ) ) ∇ R h w n + 1 ， ∇ e ^ w n + 1 ) − ( m ( u h n ) ∇ w h n + 1 ， ∇ e ^ w n + 1 ) = ‖ m ( u h n ) ∇ e ^ w n + 1 ‖ 2 + ( m ′ ( ξ 3 ) ( u n + 1 − u h n ) ∇ R h w n + 1 ， ∇ e ^ w n + 1 ) . (18) 则(17)式变为 ‖ m ( u h n ) ∇ e ^ w n + 1 ‖ 2 + ε 2 2 τ ( ‖ ∇ e ^ u n + 1 ‖ 2 − ‖ ∇ e ^ u n ‖ 2 + ‖ ∇ e ^ u n + 1 − ∇ e ^ u n ‖ 2 ) + β 2 τ ( ‖ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h 2 − ‖ e ^ u n ‖ − 1 ， h 2 + ‖ e ^ u n + 1 − e ^ u n ‖ − 1 ， h 2 ) = ( σ ( u n + 1 ) ， e ^ w n + 1 ) + ( e ˜ w n + 1 ， δ τ e ^ u n + 1 ) − ( e ˜ φ n + 1 ， δ τ e ^ u n + 1 ) − β ( e ˜ u n + 1 ， T h ( δ τ e ^ u n + 1 ) )   − ( ϕ 1 ( u n + 1 ) − ϕ 2 ( u n + 1 ) ， δ τ e ^ u n + 1 ) + ( ϕ 1 ( u h n + 1 ) − ϕ 2 ( u h n ) ， δ τ e ^ u n + 1 )   − ( m ′ ( ξ 3 ) ( u n + 1 − u h n ) ∇ R h w n + 1 ， ∇ e ^ w n + 1 ) = ∑ i = 1 6 G i . (19) 接下来，根据 Cauchy-Schwarz不等式，庞加莱不等式和Young不等式估计 G i ： G 1 = ( σ ( u n + 1 ) ， e ^ w n + 1 ) ≤ | ( σ ( u n + 1 ) ， e ^ w n + 1 ) | ≤ C ‖ σ ( u n + 1 ) ‖ ‖ ∇ e ^ w n + 1 ‖ ≤ C 2 m 1 ‖ σ ( u n + 1 ) ‖ 2 + m 1 4 ‖ ∇ e ^ w n + 1 ‖ 2 ≤ C τ 2 + C h 2 r + 2 + m 1 4 ‖ ∇ e ^ w n + 1 ‖ 2 . (20) G 2 = ( e ˜ w n + 1 ， δ τ e ^ u n + 1 ) ≤ | ( e ˜ w n + 1 ， δ τ e ^ u n + 1 ) | ≤ C ‖ ∇ e ˜ w n + 1 ‖ ‖ δ τ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h ≤ 4 C 2 α ‖ ∇ e ˜ w n + 1 ‖ 2 + α 16 ‖ δ τ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h 2 ≤ C h 2 r + α 16 ‖ δ τ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h 2 . (21) G 3 = − ( e ˜ φ n + 1 ， δ τ e ^ u n + 1 ) ≤ | ( e ˜ φ n + 1 ， δ τ e ^ u n + 1 ) | ≤ C ‖ ∇ e ˜ φ n + 1 ‖ ‖ δ τ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h ≤ 4 C 2 α ‖ ∇ e ˜ φ n + 1 ‖ 2 + α 16 ‖ δ τ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h 2 ≤ C h 2 r + α 16 ‖ δ τ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h 2 . (22) G 4 = − β ( e ˜ u n + 1 ， T h ( δ τ e ^ u n + 1 ) ) ≤ β | ( e ˜ u n + 1 ， T h ( δ τ e ^ u n + 1 ) ) | ≤ C β ‖ e ˜ u n + 1 ‖ ‖ T h ( δ τ e ^ u n + 1 ) ‖ ≤ C β ‖ ∇ e ˜ u n + 1 ‖ ‖ δ τ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h ≤ 4 C 2 β 2 α ‖ ∇ e ˜ u n + 1 ‖ 2 + α 16 ‖ δ τ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h 2 ≤ C h 2 r + α 16 ‖ δ τ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h 2 . (23) 运用泰勒展开，有 ‖ ∇ τ δ τ u ( t ) ‖ = ‖ ∫ t − τ t ∇ u s ( s ) d s ‖ 2 ≤ ( ∫ t − τ t ‖ ∇ u s ( s ) ‖ d s ) 2 ≤ ( ∫ t − τ t ‖ ∇ u s ( s ) ‖ 3 d s ) 2 3 ( ∫ t − τ t 1 3 2 d s ) 4 3 ≤ τ 4 3 ( ∫ t − τ t ‖ ∇ u s ( s ) ‖ 3 d s ) 2 3 ≤ C τ 2 . (24) 因此 G 5 = − ( ϕ 1 ( u n + 1 ) − ϕ 2 ( u n + 1 ) ， δ τ e ^ u n + 1 ) + ( ϕ 1 ( u h n + 1 ) − ϕ 2 ( u h n ) ， δ τ e ^ u n + 1 ) = ( ϕ 1 ( u h n + 1 ) − ϕ 1 ( u n + 1 ) ， δ τ e ^ u n + 1 ) + ( ϕ 2 ( u n + 1 ) − ϕ 2 ( u h n ) ， δ τ e ^ u n + 1 ) = − ( ϕ ′ 1 ( ξ 3 ) ( u n + 1 − u h n + 1 ) ， δ τ e ^ u n + 1 ) + ( u n + 1 − u h n ， δ τ e ^ u n + 1 ) ≤ L | ( u n + 1 − u h n + 1 ， δ τ e ^ u n + 1 ) | + τ ( δ τ u n + 1 ， δ τ e ^ u n + 1 ) + ( u n − u h n ， δ τ e ^ u n + 1 ) ≤ 4 L 2 α ‖ ∇ ( u n + 1 − u h n + 1 ) ‖ 2 + α 16 ‖ δ τ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h 2   + ‖ ∇ τ δ τ u n + 1 ‖ ‖ δ τ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h + ‖ ∇ ( u n − u h n ) ‖ ‖ δ τ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h ≤ C h 2 r + C ‖ ∇ e ^ u n + 1 ‖ 2 + α 16 ‖ δ τ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h 2 + 4 α ‖ ∇ τ δ τ u n + 1 ‖ 2 + α 16 ‖ δ τ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h 2   + C h 2 r + C ‖ ∇ e ^ u n ‖ 2 + α 16 ‖ δ τ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h 2 ≤ C τ 2 + C h 2 r + C ‖ ∇ e ^ u n + 1 ‖ 2 + C ‖ ∇ e ^ u n ‖ 2 + 3 α 16 ‖ δ τ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h 2 . (25) G 6 = − ( m ′ ( ξ 3 ) ( u n + 1 − u h n ) ∇ R h w n + 1 ， ∇ e ^ w n + 1 ) ≤ ‖ m ′ ( ξ 3 ) ( u n + 1 − u h n ) ∇ R h w n + 1 ‖ ‖ ∇ e ^ w n + 1 ‖ ≤ 1 m 1 ‖ m ′ ( ξ 3 ) ( u n + 1 − u h n ) ∇ R h w n + 1 ‖ 2 + m 1 4 ‖ ∇ e ^ w n + 1 ‖ 2 ≤ C M 2 m 1 ‖ ∇ ( u n + 1 − u h n ) ‖ 2 ‖ ∇ w n + 1 ‖ − 1 ， h 2 + m 1 4 ‖ ∇ e ^ w n + 1 ‖ 2 ≤ C τ 2 + C h 2 r + C ‖ ∇ e ^ u n + 1 ‖ 2 + m 1 4 ‖ ∇ e ^ w n + 1 ‖ 2 . (26) 则(19)式变为 ‖ m ( u h n ) ∇ e ^ w n + 1 ‖ 2 + ε 2 2 τ ( ‖ ∇ e ^ u n + 1 ‖ 2 − ‖ ∇ e ^ u n ‖ 2 + ‖ ∇ e ^ u n + 1 − ∇ e ^ u n ‖ 2 ) + β 2 τ ( ‖ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h 2 − ‖ e ^ u n ‖ − 1 ， h 2 + ‖ e ^ u n + 1 − e ^ u n ‖ − 1 ， h 2 ) ≤ C τ 2 + C h 2 r + C ‖ ∇ e ^ u n + 1 ‖ 2 + C ‖ ∇ e ^ u n ‖ 2 + m 1 2 ‖ ∇ e ^ w n + 1 ‖ 2 + 3 α 8 ‖ δ τ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h 2 . (27) 在(16)式的第一式中令 q h = T h ( δ τ e ^ u n + 1 ) ，有 ‖ δ τ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h 2 = ( σ ( u n + 1 ) ， T h ( δ τ e ^ u n + 1 ) ) − ( m ( u n + 1 ) ∇ R h w n + 1 ， T h ( δ τ e ^ u n + 1 ) )     + ( m ( u h n ) ∇ w h n + 1 ， T h ( δ τ e ^ u n + 1 ) ) = ( σ ( u n + 1 ) ， T h ( δ τ e ^ u n + 1 ) ) − ( ( m ( u h n ) + m ′ ( ξ 3 ) ( u n + 1 − u h n ) ) ∇ R h w n + 1 ， T h ( δ τ e ^ u n + 1 ) )     + ( m ( u h n ) ∇ w h n + 1 ， T h ( δ τ e ^ u n + 1 ) ) = ( σ ( u n + 1 ) ， T h ( δ τ e ^ u n + 1 ) ) − ( m ( u h n ) ∇ e ^ w n + 1 ， T h ( δ τ e ^ u n + 1 ) ) − ( m ′ ( ξ 3 ) ( u n + 1 − u h n ) ∇ R h w n + 1 ， T h ( δ τ e ^ u n + 1 ) ) ≤ ‖ σ ( u n + 1 ) ‖ ‖ T h ( δ τ e ^ u n + 1 ) ‖ + ‖ m ( u h n ) ‖ L ∞ ‖ ∇ e ^ w n + 1 ‖ ‖ ∇ T h ( δ τ e ^ u n + 1 ) ‖     + ‖ m ′ ( ξ 3 ) ( u n + 1 − u h n ) ∇ R h w n + 1 ‖ ‖ ∇ T h ( δ τ e ^ u n + 1 ) ‖ ≤ 3 2 ‖ σ ( u n + 1 ) ‖ 2 + 1 2 ‖ δ τ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h 2 + 3 m 1 2 2 ‖ ∇ e ^ w n + 1 ‖ 2 + 3 2 ‖ m ′ ( ξ 3 ) ( u n + 1 − u h n ) ∇ R h w n + 1 ‖ 2 ≤ C τ 2 + C h 2 r + C h 2 r + 2 + 3 m 1 2 2 ‖ ∇ e ^ w n + 1 ‖ 2 + C ‖ ∇ e ^ u n + 1 ‖ 2 + 1 2 ‖ δ τ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h 2 . (28) 则 ‖ δ τ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h 2 ≤ C τ 2 + C h 2 r + 3 m 1 2 ‖ ∇ e ^ w n + 1 ‖ 2 + C ‖ ∇ e ^ u n + 1 ‖ 2 . (29) 将(29)式代入(27)式得 ‖ m ( u h n ) ∇ e ^ w n + 1 ‖ 2 + ε 2 2 τ ( ‖ ∇ e ^ u n + 1 ‖ 2 − ‖ ∇ e ^ u n ‖ 2 ) + β 2 τ ( ‖ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h 2 − ‖ e ^ u n ‖ − 1 ， h 2 ) ≤ C τ 2 + C h 2 r + C ‖ ∇ e ^ u n + 1 ‖ 2 + C ‖ ∇ e ^ u n ‖ 2 + ( m 1 2 + 9 m 1 2 α 8 ) ‖ ∇ e ^ w n + 1 ‖ 2 . (30) 在(30)式中取适当的 α ( 0 < α < 4 ( 2 m 2 − m 1 ) 9 m 1 2 ) ，并乘以 2 τ 得： C τ ‖ ∇ e ^ w n + 1 ‖ 2 + ε 2 ( ‖ ∇ e ^ u n + 1 ‖ 2 − ‖ ∇ e ^ u n ‖ 2 ) + β ( ‖ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h 2 − ‖ e ^ u n ‖ − 1 ， h 2 ) ≤ C τ τ 2 + C τ h 2 r + C ‖ ∇ e ^ u n + 1 ‖ 2 + C ‖ ∇ e ^ u n ‖ 2 . (31) 上式从1到n求和，根据离散的Gronwall不等式，有： ∑ i = 1 n C τ ‖ ∇ e ^ w i + 1 ‖ 2 + ε 2 ‖ ∇ e ^ u n + 1 ‖ 2 + β ‖ ∇ e ^ u n + 1 ‖ − 1 ， h 2 ≤ C τ 2 + C h 2 r . (32)