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user: 3. 变截面波形钢腹板箱梁变形计算的等效惯性矩方法 与等截面梁不同，波形钢腹板变截面梁的惯性矩沿长度方向变化，等截面变形曲线公式不再适用，本文基于辛普森公式，建立适用于变截面梁的等效惯性矩方法，在此基础上分别研究集中荷载和自重荷载作用下的悬臂梁弯曲和剪切变形的等效计算方法。 3.1. 变截面波形钢腹板弯曲变形计算 3.1.1. 等效惯性矩的推导 根据材料力学的卡氏第二定理，集中荷载作用下悬臂梁自由端的端部位移的计算公式为： y = ∫ 0 l P ξ 2 E I c e d ξ = P l 3 3 E I c e (3) 式中：I ce 为等效梁的等效惯性矩。 为求出等效惯性矩I ce ，采用辛普森积分公式计算最大悬臂的变形值： 图1. 波形钢腹板截面 图2. 等效截面示意图 图3. 等效惯性矩法计算简图 ∫ 0 l f ( ξ ) d ξ = l − 0 3 n × [ f ( 0 ) + 4 ( f ( 1 ) + f ( 3 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + f ( n + 1 ) )     + 2 ( f ( 2 ) + f ( 4 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + f ( n − 2 ) ) + f ( n ) ] (4) 式中： f ( ζ ) 为被积分函数由(3)式得到： f ( ξ ) = P ξ 2 E I j (5) 将变截面悬臂波形钢腹板箱梁等分成四个节段， I j ( j = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 表示各截面相对于中性轴的惯性矩，如图3所示。 弯矩作用下的位移可以写成： y = P l 3 3 E I c e = P l 3 12 E = 1 4 I 1 + 1 2 I 2 + 1 4 I 3 + 1 I 4 (6) 简化上式后可得等效惯性矩I ce 为： I c e = 16 1 / I 1 + 2 / I 2 + 9 / I 3 + 4 / I 4 (7) 3.1.2. 集中荷载作用下的弯曲变形公式 根据材料力学，承受弯矩、剪力共同作用的直梁，除了弯矩作用下产生弯曲变形外，剪力作用亦会产生剪切变形，即相邻截面间的竖直相互滑动 [ 17 ] 。设弯矩引起的弯曲变形为 y 1 ，并取位移向下为正，x轴向右为正： d 2 y 1 d x 2 = M ( x ) E I (8) 集中荷载作用下悬臂梁自由端梁截面弯矩为 M ( x ) = P ( l − x ) ，l为梁长度，P为集中荷载。对式(16)积分得： d y 1 d x = P 2 E I ( l − x ) 2 + C 1 (9) 根据边界条件 y ′ 1 ( 0 ) = 0 ，可得 C 1 = P l 2 / 2 E I ，代入式(9)即： d y 1 d x = P E I ( l x − x 2 2 ) (10) 对式(10)积分可得： y 1 = P E I ( l 2 x 2 − x 3 6 ) + C 2 (11) 将边界条件 y 1 ( 0 ) = 0 ，代入式(11)式得到 C 2 = 0 。故集中荷载作用下的弯曲变形公式为： y 1 = P E c I c e ( l 2 x 2 − x 3 6 ) (12) 只考虑顶底板混凝土的抵抗弯矩作用，因此抗弯刚度为 E c I c e ，其中 E c 为混凝土弹性模量， I c e 为上下混凝土板对中性轴的等效惯性矩。 3.1.3. 自重荷载作用下的弯曲变形计算 变截面箱梁的自重荷载可简化为梯形形式，如图4所示。梯形的上下底长度根据梁的实际重量选定，d为上底与下底的长度的比值。 根据几何计算可得梁重ω： ω = ( 1 + δ ) q l 2 (13) 式中 q = 2 ω / ( 1 + δ ) l 为定值，则悬臂梁在自重荷载作用下： d 2 y 1 d x 2 = q ( 1 + δ ) ( l + x ) 3 6 E c I c e l + δ q ( l − x ) 2 2 E c I c e (14) 对式(14)积分得： d y 1 d x = q ( 1 + δ ) ( l + x ) 4 − 4 δ q l ( l − x ) 3 24 E c I c e l + D 1 (15) 带入边界条件 y ′ 1 ( 0 ) = 0 ，可以得到： D 1 = ( 3 δ − 1 ) q l 3 24 E I (16) 故式(16)可以写成： d y 1 d x = q ( l + δ ) ( l + x ) 4 24 E c I c e l − δ q l ( l − x ) 3 6 E c I c e l + ( 3 δ − 1 ) q l 3 24 E c I c e (17) 对式(17)积分得： y 1 = q ( 1 + δ ) ( l + x ) 5 120 E c I c e l + δ q l ( l − x ) 4 24 E c I c e l + ( 3 δ − 1 ) q l 3 24 E c I c e + D 2 (18) 把边界条件 y 1 ( 0 ) = 0 ，带入式(18)可以计算得到： D 2 = − ( 1 + 6 δ ) q l 4 120 E c I c e (19) 故集中荷载作用下的弯曲变形计算公式为： 图4. 自重荷载等效示意图 y 1 = q ( 1 + δ ) ( l + x ) 5 120 E c I c e l + δ q l ( l − x ) 4 24 E c I c e l + ( 3 δ − 1 ) q l 3 24 E c I c e − ( 1 + 6 δ ) q l 4 120 E c I c e (20) 3.2. 变截面波形钢腹板剪切变形计算 3.2.1. 变截面波形钢腹板截面等效 变截面波形钢腹板组合箱梁的钢腹板截面面积随着梁的长度变化，利用辛普森积分公式将其等效为等截面波形钢腹板，等效截面面积 A e ： A e = 2 t / l ∫ 0 l f ( ξ ) d ξ (21) 式中 f ( ξ ) 为钢腹板沿梁长度方向的截面高度曲线，t为钢腹板厚度。将式(21)代入辛普森积分公式，得到波形钢腹板的等效截面面积： A e = t ∫ 0 l 2 f ( ξ ) d ξ l = t 6 [ f ( 0 ) + 4 ( f ( 1 ) + f ( 3 ) ) + 2 f ( 2 ) + f ( 4 ) ] (22) 同理可以计算出等效截面顶板和底板厚度。 3.2.2. 变截面波形钢腹板箱梁剪应力计算公式 由于波形钢腹板箱梁特殊的受力方式，计算时一般仅考虑钢腹板的抗剪作用，偏保守与实际不符。因此，本文通过计算截面的剪应力分布，推算混凝土顶底板和波形钢腹板的剪力承担比例，从而考虑混凝土顶底板的抗剪作用。 变截面梁的等效剪应力计算公式： τ = Q S b I (23) τ为截面计算点的剪应力，Q为截面所受剪力，S为横截面上过所求切应力点的横线以外部分的面积对中性轴的面积矩，b为截面计算点的宽度，I为截面惯性矩。由于是组合箱梁，须考虑剪应力计算点分别位于顶板、腹板及底板三种情况。 1) 当剪应力计算点在顶板内时： S = b t y ( y c − y 2 ) (24) 2) 当剪应力计算点在腹板内时： S = b t t t ( y c − t t 2 ) (25) 3) 当剪应力计算点在底板内时： S = b t t t ( y c − t t 2 ) − b b ( y + t b − h ) × ( y + h − t b − 2 y c 2 ) (26) b t 、 t t 分别为顶板的宽度和高度， b b 、 t b 分别为底板的宽度和高度， y c 为截面形心，h为截面高度。波纹钢腹板的剪力承担比例： ρ w = ∫ τ w d A Q (27) 式中： ρ w 波形钢腹板剪力承担比例， τ w 波形钢腹板的剪应力。 剪切变形引起的剪切变形 y 2 ： y 2 = K ρ w P ( x ) x G e A e (28) 式中的波形钢腹板有效剪切模量可由式(2)得到， G e = 0.9 G 。由于梁截面剪应力分布并非均匀，引入应力非均匀系数K。对于波形钢腹板组合箱梁来说，剪应力沿腹板高度接近于等值分布，K取1.0。