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user: 2.3. 基于复化Simpson公式改进的GM(1，1)模型 由于在使用复化Simpson积分公式时需要知道在每一个小区间内的插入分点所对应的值，所以在此引入1-AGO动态序列预测模型 [ 7 ] ，从其他学者的研究成果可知，1-AGO序列成非齐次指数形式，这条曲线只是一条近似曲线。故可以使用这条曲线构造小区间端点值的一个动态序列模型。由此，记 [ k ， k + 1 ] = [ a ， b ] ，则可以求出每个区间 [ k ， k + 1 ] 上n等分点处的函数值(即 f ( a + k ) 的值)，然后利用复化Simpson求积公式计算出优化的背景值。设非负原始数据序列为 X ( 0 ) = { x ( 0 ) ( 1 ) ， x ( 0 ) ( 2 ) ， x ( 0 ) ( 3 ) ， ⋯ ， x ( 0 ) ( n ) } ，   x ( 0 ) ( k ) > 0 令其1-AGO累加序列为： x ( 1 ) ( k ) = A e α ( k − 1 ) + B ，则有： α = ln x ( 0 ) ( k ) x ( 0 ) ( k − 1 ) (11) A = x ( 0 ) ( k ) ( x ( 0 ) ( k ) x ( 0 ) ( k − 1 ) ) k − 1 − ( 1 − x ( 0 ) ( k − 1 ) x ( 0 ) ( k ) ) (12) B = x ( 0 ) ( k 1 ) − A = x ( 0 ) ( k 1 ) − x ( 0 ) ( k ) ( x ( 0 ) ( k ) x ( 0 ) ( k − 1 ) ) k − 1 − ( 1 − x ( 0 ) ( k − 1 ) x ( 0 ) ( k ) ) (13) 称 x ( 1 ) ( t ) = A e α ( t − 1 ) + B ，   t ≥ 1 为其1-AGO动态序列预测模型。 记积分区间为 [ k − 1 ， k ] ，将区间等分成 2 m = p 份，各节点为 x i k − 1 ( 1 ) = x ( 1 ) ( k − 1 + i k − 1 h ) ， ( i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， 2 m ) ，     h = 1 p ，   m = p 2 ，   m = 1 ， 2 ， ⋯ ， p 2 (14) 则考虑(15)式在 [ k − 1 ， k ] 上的积分，有 I = ∫ k − 1 k d x ( 1 ) ( t ) + a ∫ k − 1 k x ( 1 ) ( t ) d t = b ∫ k − 1 k d t ，     k = 2 ， 3 ， ⋯ ， n (15) 式(15)可进一步表示为： I = x ( 1 ) ( k ) − x ( 1 ) ( k − 1 ) + a ∫ k − 1 k x ( 1 ) ( t ) d t = b ，     k = 2 ， 3 ， ⋯ ， n (16) 结合1-AGO动态序列预测模型，运用数值积分方法中的复化Simpson积分公式，计算 ∫ k − 1 k x ( 1 ) ( t ) d t 在 [ k − 1 ， k ] 上的积分，有： I 1 = ∫ k − 1 k x ( 1 ) ( t ) d t = 1 3 [ x ( 1 ) ( k ) − x ( 1 ) ( k − 1 ) + 2 ∑ i k − 1 m − 1 x 2 i k − 1 + 4 ∑ i k − 1 m x 2 i k − 1 − 1 ] ，     k = 2 ， 3 ， ⋯ ， n (17) 则(15)式可表示为： I = x ( 1 ) ( k ) − x ( 1 ) ( k − 1 ) + a ∫ k − 1 k x ( 1 ) ( t ) d t = x ( 0 ) ( k ) + a 3 [ x ( 1 ) ( k ) − x ( 1 ) ( k − 1 ) + 2 ∑ i k − 1 m − 1 x 2 i k − 1 + 4 ∑ i k − 1 m x 2 i k − 1 − 1 ] = b ，     k = 2 ， 3 ， ⋯ ， n (18) 对比(16)式得背景值 z ( 1 ) ( k ) 为： z ( 1 ) ( k ) = a 3 [ x ( 1 ) ( k ) − x ( 1 ) ( k − 1 ) + 2 ∑ i k − 1 m − 1 x 2 i k − 1 + 4 ∑ i k − 1 m x 2 i k − 1 − 1 ] ，     k = 2 ， 3 ， ⋯ ， n (19) 进一步化简(18)式有： 3 x ( 0 ) ( k ) + a [ x ( 1 ) ( k ) − x ( 1 ) ( k − 1 ) + 2 ∑ i k − 1 m − 1 x 2 i k − 1 + 4 ∑ i k − 1 m x 2 i k − 1 − 1 ] − 3 b = 0 ，     k = 2 ， 3 ， ⋯ ， n (20) 记 u = [ a ， b ] T 为参数列，由最小二乘法原理知，参数列需满足： u ^ = ( B 2 T B 2 ) − 1 B 2 T Y 2 (21) 其中： B 2 = ( − 1 3 [ x ( 1 ) ( 2 ) + x ( 1 ) ( 1 ) + 2 ∑ i 1 m − 1 x 2 i 1 + 4 ∑ i 1 m x 2 i 1 − 1 ] 1 − 1 3 [ x ( 1 ) ( 3 ) + x ( 1 ) ( 2 ) + 2 ∑ i 2 m − 1 x 2 i 2 + 4 ∑ i 2 m x 2 i 2 − 1 ] 1 ⋮ ⋮ − 1 3 [ x ( 1 ) ( n − 1 ) + x ( 1 ) ( n − 2 ) + 2 ∑ i n − 2 m − 1 x 2 i n − 2 + 4 ∑ i n − 2 m x 2 i n − 2 − 1 ] 1 − 1 3 [ x ( 1 ) ( n ) + x ( 1 ) ( n − 1 ) + 2 ∑ i n − 1 m − 1 x 2 i n − 1 + 4 ∑ i n − 1 m x 2 i n − 1 − 1 ] 1 ) ， Y 2 = ( x ( 0 ) ( 2 ) x ( 0 ) ( 3 ) ⋮ x ( 0 ) ( n − 1 ) x ( 0 ) ( n ) ) (22) 2.4. BP神经网络 BP (back-propagation)神经网络是由Rumelhard等科学家于20世纪80年代提出的，BP神经网络是一种按误差反向传播算法训练的多层前馈网络，也是目前应用最广泛的神经网络模型之一。BP神经网络具有很强的非线性映射能力，并且网络的隐含层数、各层的处理单元数及网络的学习系数等参数可根据问题的具体情况而设定，具有很高的灵活性，因此被应用到很多领域。图3展示了BP神经网络的简单结构拓扑图： 图3. BP网络结构拓扑图 2.4.1. 神经元模型 一个基本的BP神经元模型具有R个输入，每个输入对应一个权值w，加权后与下一层连接。网络输出可表示为： Y = f ( w p + b ) (23) 其中为f为输入层与输出层的传递函数，w代表权值，b为隐含层神经元的偏置值。 2.4.2. 激励函数 BP神经网络的功能的不同主要取决于激励函数的不同，激励函数选择的多样性使得神经网络有了不同的信息处理能力。神经元输入层与输出层之间的关系由激励函数f决定。神经网络的激励函数有多种，本文使用的激励函数为S型函数，其表达式为： f ( x ) = 1 1 + e − c x (24) 2.4.3. BP神经网络的学习算法 网络的学习算法分成正向传播和反向传播两部分。在正向传播过程中，每一层神经元只影响下一层神经元。首先输入样本数据作为训练数据，将输入数据传送至各个神经元，经隐含层计算处理后，输出层输出对应的预测值。如果预测值与实际值的误差较大，则进入学习算法的第二部分，输出层进行反向传播该误差，沿原路返回并逐层调整各层权值，不断降低误差，直至误差精度满足我们的要求。学习算法的核心思想是梯度下降法。设一样本 ( X ， Y ) ， X = [ x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x m ] T ， Y = [ y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y m ] T ，隐含层神经元为 O = [ o 1 ， o 2 ， ⋯ ， o m ] T 。输出层与隐含层神经元间的权值矩阵 W 1 和隐含层与输出层神经元之间的网络权值 W 2 分别为： W 1 = ( w i j 1 ) l × m ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， l ;   j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m (25) W 2 = ( w i j 2 ) n × l ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n ;   j = 1 ， 2 ， ⋯ ， l (26) 则隐含层神经元的输出为： O j = f ( ∑ i = 1 m w j i 2 x i − θ l 1 ) = f ( n e t j ) ，     j = 1 ， 2 ， ⋯ ， l (27) 其中： n e t j = ∑ i = 1 m w j i x i − θ l 1 (28) f ( · ) 为隐含层传递函数。 输出神经元的输出为： z k = g ( ∑ j = 1 l w k j 2 O j − θ k 2 ) = g ( n e t k ) ，     k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n (29) 其中： n e t k = ∑ j = 1 l w k j O j − θ k 2 ，     k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n (30) g ( · ) 为输出层传递函数。 网络输出与期望输出的误差为： E = 1 2 ∑ k = 1 n ( y k − z k ) 2 (31) 网络的训练误差是各层 w k i 1 和 w k j 2 权值的调整值，调整权值可改变误差E，调整的数学表达式如下： Δ w j i 1 = − η ∂ E ∂ w j i 1 (32) Δ w j i 2 = − η ∂ E ∂ w k j 2 (33) 式(32)、(33)中负号表明梯度下降， η ∈ ( 0 ， 1 ) 是常数，反应了学习过程中的学习梯度。 2.5. 复化Simpson神经网络组合预测模型 预测精度是评价一个预测模型好坏的核心指标。在实际预测中，由于系统复杂，随机或不确定因素较多，单一预测模型对系统的考虑较少，往往不能很好的反映系统的发展过程，预测存在一定的缺陷。但不同的单一预测模型考虑了系统不同的因素，把它们设法进行优化组合，综合考虑单一预测模型有用的信息，能从各个方面提现系统的发展变化。在将单一预测模型进行组合时，由不同的方法推导加权系数，能得到多种不同的组合预测模型。本文采用最优线性组合方式，其基本思想就是根据某种准则构造相应的目标函数，在有关约束条件下求得目标函数的最值，从而得到最优的组合加权系数，最终得到优化组合预测模型。 本文建立的GM(1，1)模型只适用于中短期的预测，而且数据要求呈指数增长规律。BP神经网络则需要大量的数据样本进行训练，而且学习时间长。本文综合考虑了单一预测模型的不足，将CSGM(1，1)模型和BP神经网络模型通过线性最优加权组合的方式，以误差平方和最小为目标函数，使用智能算法—遗传算法来求解确定最优组合的权系数，进行优化组合以达到提高预测精度的目的。组合结构如图4所示： 图4. BP网络结构拓扑图 令 x ^ 1 ( 0 ) ( t ) ， x ^ 2 ( 0 ) ( t ) ， y ^ ( t ) 分别表示BP神经网络模型、复化Simpson公式改进的GM(1，1)模型和组合预测模型在t时刻的预测输出值， w 1 ， w 2 为BP神经网络模型、复化Simpson公式改进的GM(1，1)模型的组合权系数，则： y ^ ( t ) = w 1 x ^ 1 ( 0 ) ( t ) + w 2 x ^ 2 ( 0 ) ( t ) (34) 且 w 1 ， w 2 满足 { w 1 + w 2 = 1 0 ≤ w 1 ， w 2 ≤ 1 (35) 令 e 1 ( t ) ， e 2 ( t ) ， e ( t ) 分别为BP神经网络模型、CSGM(1，1)模型、组合预测模型在t时刻的误差，则： { x ^ 1 ( 0 ) ( t ) − x ( 0 ) ( t ) = e 1 ( t ) x ^ 2 ( 0 ) ( t ) − x ( 0 ) ( t ) = e 2 ( t ) w 1 x ^ 1 ( 0 ) ( t ) + w 2 x ^ 2 ( 0 ) ( t ) = e ( t ) (36) 令 e = ∑ t = 1 n | e ( t ) | 2 ，即误差绝对值平方和，进一步表示为： min e = ∑ t = 1 n | e ( t ) | 2 = ∑ t = 1 n | w 1 e 1 ( t ) + w 2 e 2 ( t ) | 2 (37) 由最小二乘法的思想，对 e = ∑ t = 1 n | e ( t ) | 2 中的 w 1 ， w 2 分别求偏导数有： { ∂ e ∂ w 1 = ∑ t = 1 n 2 ( w 1 e 1 ( t ) + w 2 e 2 ( t ) ) e 1 ( t ) = 0 ∂ e ∂ w 2 = ∑ t = 1 n 2 ( w 1 e 1 ( t ) + w 2 e 2 ( t ) ) e 2 ( t ) = 0 (38) 令： E = [ e 1 ( 1 ) e 1 ( 2 ) ⋯ e 1 ( n ) e 2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e 2 ( n ) ] (39) W = [ w 1 e 1 ( 1 ) + w 2 e 2 ( 1 ) w 1 e 1 ( 2 ) + w 2 e 2 ( 2 ) ⋮ w 1 e 1 ( n ) + w 2 e 2 ( n ) ] (40) 则上式方程组表示成矩阵形式有： E W = 0 (41) 由于为非线性最小二乘问题，若用经典的求解非线性问题的算法，此处求解非常复杂。故本文使用智能算法—遗传算法来求解(38)式，以此来求得最终的组合预测模型的权系数 w 1 ， w 2 。 遗传算法(Genetic Algorithm)是Holland在1975年提出的一种借鉴生物界的进化规律演化而来的有效解决最优化问题的自适应全局优化搜索算法。遗传算法能有效的解决多峰函数优化、多目标问题以及非线性问题等。遗传算法将问题求解转化成“染色体”，即用编码表示字符串。遗传算法从一群染色体出发，不断的交叉变异，产生新的子代，同时算法将更优的个体保留下来，随着算法的不断进行从而产生更好的个体。与传统的优化算法相比，遗传算法可以有效避免许多求解障碍，直接以目标函数值作为搜索信息。具有自组织、自适应和自学习性等特点。本文以(38)式为目标函数，运用遗传算法进行寻优求解，以得到最优权系数，以此来构建最优组合预测模型。