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user: 2. 小世界网络模型的研究 2.1. 小世界网络概述 1967年，美国社会心理学家Stanley Milgram (斯坦利·米尔格兰姆，1933~1984)提出了小世界理论。这是一个数学领域的猜想，名为Six Degrees of Separation，中文翻译包括以下几种：六度分割理论或小世界理论等。这个理论可以通俗地阐述为：“任何两个陌生人之间所间隔的人不会超过六个，也就是说，最多通过六个人，就可以让任何两个陌生人认识 [ 2 ] ”。这就是六度分割理论，也叫小世界理论。 Stanley Milgram的实验结果由于设计和操作上的缺陷，受到了一些心理学家的质疑，但是其他的实验结果也表明世界的确不大。 1998年，Watts和Strogatz采用环形网随机化重连的方法，构建了新的网络，随着边数的增加网络具有较短的平均路径又具有较高的聚类系数。这个网络模型被称为WS小世界模型。 WS小世界模型构造算法中随机化重连过程有可能破坏网络的连通性，1999年，瓦茨又与英国物理学家提出了另一个稍有不同的模型，称为纽曼–瓦茨模型(NW模型)。 而后随着大量学者对复杂网络模型的研究，又提出无标度网络层次网络、确定型网络和自相似网络等一系列网络模型。 中国学者汪小帆提出可变聚类系数无标度网络舆论传播模型。 为了纪念美国心理学家斯坦利·米尔格兰姆的卓越贡献。笔者在本论文中围绕六度分割理论核心：度(层)分布，对10余个复杂网络数据集进行度分布和距离计算等分析。受英国剑桥大学布鲁巴斯关于随机图论证定理的启发，用六度关联模型分析了有限图单个结点对网络的所有结点的连通属性。在此基础上提出小世界网络模型的定义。 小世界网络定义：给定论域的随机图中，各结点相互可达，6层关联的结点包括几乎所有节点有向网络，称为米尔格兰姆小世界网络，简称SM小世界网络。复杂网络中满足小世界网络特性的子网，称为复杂网络的核心网。 米尔格兰姆小世界网络最重要的特性就是网络最大的直径几乎都不超过7。网络的平均度总是在4附近。 杨炳儒指出：“图论通过点和线的构型来构成模拟各类系统的数学模型，并根据图的性质进行分析，提供研究各种系统的科学的、巧妙的方法。任何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图论的方法分析，而且它往往具有形象直观的特点。”图论的研究具有十分广阔的客观原型，并在许多领域中有着极其广泛的应用( [ 3 ] ， p. 184)。 病毒的传播可以用个体接受感染，而后在感染别的个体。是典型的二元关系。可以用图论研究小世界理论与数学模型，为了和图论中结点的出度、入度的概念相区别。对小世界网络的度看作层，将六度关联与度分布中的“度”一律加括号中的“层”标明，以避免科技术语概念实质的混淆。 病毒传播的数学模型，目前研究最为彻底应用最为广泛的传染病模型是SI模型、SIS模型、SIR模型SIRS模型。这些模型的特点如下( [ 4 ] ， p. 100)。 SI模型：系统个体分为两类：易感个体S和感染个体I； SIS模型：在上面情况中出现被感染治愈又受到感染的微分方程分析； SIR模型：引入免疫个体：含个体R (不受感染获得免疫力)； SIRS模型：在移动状态获得免疫力的个体R以概率r失去免疫力的情况； SEIR模型：易感个体S在被感染后，以一定概率α变为潜伏状态E，再以一定概率β变为感染状态I。 笔者认为：这五个模型的重要区别在于把复杂网络图论中的结点个体，进行了属性分类。这种分类也造成了大范围传染病获得数据的统计难度。尤其后4个模型，具有重要的理论指导意义，但缺少宏观预测与定量分析的详实统计数据而增加工程实施的难度。而SI模型，实质就是逻辑斯蒂模型，稍加变换，就得出与本文一样的形式。 笔者认为复杂网络是各种网络链接生成的网络，每个网络都具有以小世界网络为核心。这个核心网络所具有的集合基数彼此相关的特性，构成了基于模型的宏观统计分析与预测的基础。根据这一集合的基数概率统计分析，预测模型理论中以及数学知识，对新型冠状病毒的统计资料进行短期与较长期的预测与分析成为可能。其预测超前，预测精度可以事后分析检验并随时间序列反映的系统状态调节参数，提高预测水平。 本预测的初始条件做如下限定：在论域内的个体只包含两类人群，被传染者和传染者以及随时间由被传染者转变为传染源。即网络的点做如下限定，网络中的任何点都具有接受病毒感染以及传出病毒的能力，即图论中结点的入度和出度都不为0，不考虑自环和重边。结点具有输入和输出的能力。以有向边表示传播途径与层次。 传染病小世界的度(层)分布，反映了群体之间的关系，研究度(层)分布的特性曲线对实际应用具有重要意义。由于传染过程统计以时间划分因此在直角坐标系的X轴表示度(degrees)或传染层次，Y轴表示被感染人群总数。 SM小世界网络的一个重要应用基础是研究复杂网络中的涌现现象。涌现现象的数学模型对于快速的物理与化学过程尤其重要。其关键是在极其短的时间内，产生的大量动力学现象，在时间切割为微秒、纳秒的时间段，物质分子的动力学特性都与网络的特性与数学参数相关。传染速率最大的时间结点是度(层)分布的峰值。计算表明，此时的感染人数是总人数的50%。 笔者在分析了多个复杂网络后，采用集合的集合。以子集合基数之间的关系为主线，分析了网络层关联现象，对集合的基数进行度(层)分布的相关分析。用于解决文献智能分类，概念群体之间的距离分析等实际问题。获得了一些进展。从而为本次预测分析提供验证的实际经验。 2.2. 六度关联模型预测新冠病毒传播的理论基础 2.2.1. 数学模型和方法 数学模型是“针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。” “数学模型方法”(mathematical modeling method)，它不仅是处理数学理论问题的一种经典方法，而且也是处理科技领域中各种实际问题的一般数学方法。特别，现代电子计算机的广泛应用和科学技术的数学化趋势，使得数学模型方法已经非常广泛地应用于自然科学、工程技术科学和社会科学的一切领域中( [ 5 ] ， p. 15)。 关系映射反演原则(简称为RMI)原则是指一种分析处理问题的普遍方法或准则( [ 5 ] ， p. 24)。 RMI原则实际可以理解为一种包罗万象的科学方法论原则。数学关系是在数学对象中可以确切定义的关系。映射(或变换)是在两类数学对象或两个数学集合元素之间建立了一种“对应关系”，就定义了一个映射。特别，如果是一一对应关系。则称为可逆映射( [ 5 ] ， p. 28)。 微分方程的求解就是把微分方程取拉普拉斯变换将微分方程变换为象函数的代数方程，求解代数方程，解后再把解出的象函数取拉普拉斯逆变换得到象原函数，即微分方程的解。 将被传染的各代群体的基数作为群体的特征参数，就可以分析网络涌现特征的数学表达式，计算爆发区的范围和爆发期的传染规模。这些都在SM小世界网络数学模型研究中得到体现。 2.2.2. 时间序列与预测 著名控制论专家维纳在《控制论》第三章“时间序列，信息和通讯”中关于时间序列预测问题时指出：时间序列“它的全部过去能够用可数个量的集来决定。例如，对于范围很广的一类函数 f ( t )   ( − ∞ < t < + ∞ ) ，当已知一组量 a n = ∫ − ∞ 0 e t t n f ( t ) d t     ( n = 0 ， 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ) 时，f就完全被决定。”特别，如果 a 0 ， ⋯ ， a n 全部给定，A的分布就可以决定。这里，我们要用到到尼克杜(Nikodym)关于条件几率的著名定理。由这个定理可知，在很普遍的情况下，这分布当 n → ∞ 时收敛到一极限，而这个极限分布将提供我们关于任一未来量分布的全部知识，同样，如果知道了过去，我们就可以决定任何一组未来量分布的全部知识，同样，如果知道了过去，我们就可以决定任何一组未来量的数值的同时分布，或任何一组决定于过去和未来两方面的量的数值的同时分布。因此，如果我们对任何统计参数或统计参数集的“最优值”都能做出适当的解释——多半是在平均值或中值或众值的意义上，我们就能由这个已知分布把他们计算出来，得到一个就其优良程度而言能够满足我们所要求的预测准则的预测( [ 6 ] ， p. 70~71)。 维纳又指出：“我们能够计算因固定过去而提供我们的关于任一统计参数或统计参数集的信息量。由关于过去的知识，我们甚至能计算某一瞬间以后全部未来的总信息量。由于我们能由一般的过去推知未来，所以，即使上述的瞬间就是现在，我们关于现在的知识也会包含无限大的信息量( [ 6 ] ， p. 71)。” 维纳还指出：“离散时间序列的理论在许多方面都比连续时间序列理论更简单( [ 6 ] ， p. 91)。” 这一系列的预测理论与公式，为建立仿真模型和预测提供了有力的理论根据。 2.3. 新型冠状病毒传播模型的仿真 2.3.1. 仿真方法的应用 仿真是通过有所研究的经济系统估计的模型计算值来确定系统的行为和性质。如果模型充分地说明了各种经济关系，那么就可以用计算机进行数值研究，根据不同的假设可以确定系统的数值状态。在仿真预算中，内生变量的数值是利用所有的政策变量及其他外生变量、模型参数的估计值、随机扰动项及模型参数的估计值等数据由模型方程计算出来的 [ 7 ]。 仿真运算有多种形式，预测仿真是根据历史数据，计算现在时点以后的数值，用于预测未来。 新冠病毒传播的预测，就是根据已有数据预测未来近期和远期的数据。而根据每日发布的各省市数据，实时加入新数据，在与时俱进的状态下，微调系统预测模型的参数，逐渐滤除扰动项而逼近系统变化的真实状态，从而提高预测的实用价值。在笔者的大量预测图表中，分析，比较精度误差和真实数据的状态。因此。误差数据也是财富，具有洞察复杂网络系统中病毒传播现象的规律趋势的参考意义。最求过高的精度带来宏观预测的难度和计算数据缺失困惑，而实时更新统计数据的原始资料才是科学预测前提的意义所在。这里，时间序列系统数据的增加提高了系统的测度，给予系统更多的信息熵，因此，如同天气预报，在动态跟踪下，产生依据客观规律的预测报告。 由于仿真是模拟客观真实物状态发展的规律。很多现象，例如：病毒在生物种群的传播，有的是人类所不能控制的，因此，必须慎重考虑人为数据变量与增加项。基本预测算法可以多样，但数据事实和规律不变。 笔者按以上原则，进行了几种传播速率的仿真计算，以用于仿真比较。 2.3.2. 新冠病毒传播的仿真计算 新型冠状病毒网络传播的模拟采用以下假设与计算进行。 1) 区域易感人群总数为K，设定为1万人每个人接触传播的人数为3~5人。采用随机关系的任意3~5个成员为传染对象则平均传染系数R = 4，即一人随机传染4人。 可使用计算机模拟生成各个点的传染数据(3人，4人，或5人)的传染过程，从而形成有向网络。类似于朋友圈，每一层是新增感染人数，则构成1~n个不相交的集合。各顺序集合的基数构成 Y ( X 1 ， X 2 ， X 3 ， ⋯ ， X n ) 的分布列，对这一分布列按皮尔曲线模型进行非线性回归分析，就获得参数a，b。 2) 模拟计算第1代传播数据集，第2代传播数据集，……，直到第n代，不再有增量为止。 当n达到一定正整数时系统全部人员被感染。这里传播感染的代，也就是SM小世界的网络直径。 3) 统计计算数据集集合的基数。 4) 以集合基数为Y，以集合层数为X，进行数学模型的计算，根据以前的研究，采用皮尔曲线模型非线性回归计算获得属性参数a与b。仿真使用的SM小世界模型用皮尔曲线描述。 皮尔曲线是1938年比利时数学家哈尔斯特(P. F. Verhulst)首先提出的一种特殊曲线。后来，近代生物学家皮尔(R. Pearl)和L. J.·Reed两人把此曲线应用于研究人口生长规律。所以这种特殊的曲线也称之为皮尔增长曲线，简称皮尔曲线。其时间序列倒数的一阶差分的环比为一个常数，可以用皮尔曲线来描述。皮尔曲线又称为logistic(中文译为逻辑斯蒂克)曲线，其数学表达式又称为Logisitic数学模型。其曲线如图1所示。 图1. Logistic数学模型曲线 皮尔曲线广泛用于各种自然科学与社会科学的研究中，笔者发现：皮尔曲线与六度关联模型具有高度的类比性，皮尔曲线用于描述小世界网络模型是一种很好的数学方法。当经济变量的发展变化表现为初期增长速度缓慢，随后增长速度逐渐加快，达到一定程度后又逐渐减慢，最后达到饱和状态的趋势，可以用皮尔曲线来描述。因此，皮尔曲线的预测法是根据预测对象具有皮尔曲线变动趋势的历史数据，拟合成一条皮尔曲线，通过建立皮尔曲线模型进行预测的方法。皮尔曲线在水平轴为互连网络有向图的距离和关系时使用的整数。六度关联模型使用的可就是7个分布在横轴的整数点划分形成6个段3个区间。几乎所有的集合结点，都在这六度(层)区间内(99.74%)。所以，六度关联是一个自然科学与社会科学的普遍规律。 皮尔生长曲线的一般模型为： y = k 1 + e f (x) 式中，K为常数， f ( x ) = a + b x + c x 2 + ⋯ 在应用中略去平方项以后数据，则 f ( x ) = a + b x 。这就是SM小世界网络数学模型，即有限集合群与群体关系变化的规律。模型参数解释如下： K：论域中元素总数； x：关系层次(度)(或时间)， y：被感染总数相当于有向网可达点； a：水平偏移量，数据初始属性； b：曲线飞升速率与感染速率相关。 这个模型前面已经定义为SM小世界网络模型。所以曲线称为小世界模型曲线。SM小世界模型函数的曲线也是皮尔曲线的水平右移后的区间应用，使用，定义X变量从1开始，表示1度(层)传染数，按平均传染系数R传播到第2层、第3层。 因此，SM小世界网络模型。本质上是皮尔模型在一定条件下的特例。 SM小世界网络模型就是根据皮尔曲线进行网络的度(层)及其分布计算的。 这也就是把皮尔模型曲线和六度关联模型曲线以及高斯分布函数曲线等一起类比分析的初步研究。用高斯正态分布函数曲线的7个离散整数数据列，以六度相关模型类比的而生成的图形曲线是网络六度关联属性。见图2——复杂网络结点六度关系图。 图2. 复杂网络正态分布小世界六度关系图 SM小世界网络模拟生成方法，以结点出度为3~5的概率随机联系其他随机点所构成。 算法如下：从1到1000，每次加1，按概率选用出自己(感染输出点)以外的9999点中的点作为感染输入点，选择以3至5的传染系数进行，这时的边成为有向边予以存储备算，被感染点的选择随机，传染个数的选择随机。生成SM小世界网络模拟数据集。图3和图4两图是模拟传染模型一个人传染3~5人的总量曲线图和增量度(层)分布图。用以模拟真实网络随机传染病毒流动的过程。从图中可以明显看出传染病爆发涌现段的数据以及变化过程。图3是传染系数为2.5时病毒传播模拟感染病例总人数趋势图，模型函数参数为： 系数K = 10000； 系数a = 9.7117265； 系数b = −1.6775001； 回归系数r = −0.9953854； 方差：14583.395054708。 图3. 病毒传播模拟感染病例总人数趋势图 病毒传播模型的增量模型如图4所示，实质是总量函数的微分曲线。 图4. 病毒传播新增被感染人数趋势图 在本文的新型冠状病毒的统计预测分析中，就使用了与以上的网络的数学模型。 网络模型用于新型冠状病毒的重要参数： K：最终感染人群； A：曲线传布的初始区偏移； B：曲线斜率是与传播速率有关的参数，绝对值越大传染能力越强； X：传播层次与传播时间； Y：各时间段被感染的人总数。 由于最终感染人数需要根据各个时间节点的数据移动建模分析，根据已有数据和小世界网络特性曲线数据进行拟合计算，由于目前被感染人数已经达到6000例，因此根据小世界网络特性曲线规律，可以预测总人数将超过1万2千人。笔者计算出乐观、一般和较悲观的3种情况的预测结果。可供随着新数据的出现而随时递推计算获取更新数据后的最新预测结果。 对于不同感染系数R0在传播过程各代的传播模型预测数据见表1所示。 易感人数占总人口的百分比，各地区有所不同，本表只对易感人群中病毒传播的状态，按论域总数为1万人测算。可以看出，不加控制的感染结局是全体被感染。这里暂不研究治愈率和病死率的问题。 Table 1 Total number of new coronavirus infections in SM small world model (unit: person 感染系数 第一代 第二代 第三代 第四代 第五代 第六代 第七代 第八代 R0 = 2 2 6 14 30 61 123 246 486 R0 = 3 3 12 397 120 358 1042 1042 2776 R0 = 5 5 30 154 752 3222 8455 9996 9996 R0 = 7 7 56 392 2519 8623 / / / R0 = 9 9 90 788 5267 9980 / / / R0 = 11 11 132 1365 7984 / / / / 表1. SM小世界模型新冠病毒万人感染总数测算表(单位：人) 注：“/”符号表示所有人(9999人)被感染，开始病毒带入者人数1。