DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 3. 天气形势和环境条件分析 3.1. 天气形势 这次强冰雹天气过程的影响系统有200 hPa高空急流、500 hPa高空槽、700 hPa西南急流和切变线、850 hPa切变线和地面低压及其辐合线。由综合天气图(图2)可见，强对流天气发生在200 hPa高空急流南侧。 对比5日08时，在20时：500 hPa高空槽东北移至山西南部–重庆东部–贵州西北部边缘，青藏高原南侧有短波槽东移影响贵州，−2℃显著变温区随之东移至省的中东部，−2 hPa变高区由贵州西部扩大至全省，干区由全省缩小至省的南部和东部；700 hPa川中切变东移并形成低涡，低涡切变位于重庆北部–川东南，西南急流在云南东部建立，迅速增强东南移至华东沿海，其西段南移出贵州，风速为12~20 m/s，温度脊基本维持于重庆–贵阳–广西，全省T75 ≥ 15℃，其中西部T75 ≥ 18℃，全省大部湿度较高；850 hPa人字形切变略有东移加深，温度脊维持，急流由广西西部–华东沿海减弱北抬至广西北部–湖南东部，风速为12~14 m/s，T85 ≥ 23℃区域扩大至全省，中西部和南部地区升高至T85 ≥ 25℃，湿区也随着强对流天气的发生而由全省缩小至省的北部和东部。 5日08时地面辐合线位于省的中北部，贵州受热低压影响；14时辐合线略有南移，低压发展，17~20时辐合线基本维持，湖北–重庆有弱冷平流入侵，低压略有减弱， 4 月 6 日 02时辐合线明显南移至贵州南部–西部。 环流形势分析可见此次降雹属于典型热低压辐合线型，也叫高空槽型，与“贵州大多数冰雹都发生在边界层辐合线附近及其南侧1~2个纬度，几乎所有降雹过程都有直径大于10 mm的冰雹出现，有52%的降雹过程出现了直径大于20 mm的大冰雹”吻合。 图2. 2017年4月5日08时(a)和20时(b)强对流中尺度综合分析 3.2. 环境条件 4 月 5 日 20时，贵阳Si指数由08时的0.3℃降至−1.6℃、K指数由08时的18℃升至39℃、CAPE由08时的10.9 J/kg飙升至526 J/kg (图3、图4)，表明贵阳附近处于层结不稳定状态。(T-Td)7为3℃，(T-Td)8为7℃，符合热低压辐合线型降雹的其一小于等于4℃的要求。风暴强度指数(SSI)可用于区分强雷暴与非强雷暴。在我国大陆一般取SSI > 60作为出现对流天气的指标，贵阳在08时SSI就达到258，20时上升至267.9，可见本次强天气的强度之大。分析5日20时探空可见(图5)，贵阳地面为东南风，850 hPa为西南风，500 hPa为西南偏西风，风速随高度增加，风向顺转，特别是地面至850 hPa之间的风向顺转幅度最大。贵阳深层垂直风切变为2.3 × 10 −3s−1 ，属于中等偏强垂直风切变，有利于对流不稳定能量的释放，从而形成对流天气。 当天0℃层高度位于4400米左右，即600 hPa以下，这样的高度使得对流云可向更高处发展，使底层的水汽通过强烈的上升运动能够达到该高度，为冰雹生成提供了丰沛的水汽条件，且当雹粒增长到足够大而下落时，不至于因暖层过厚而被融化。−20℃层高度位于7400米左右(400 hPa)，−30℃层高度位于9000米左右，0℃~−20℃层间的厚度为3 km，利于产生大冰雹。 图3. 2017年4月5日20时SI指数(左)和Ki指数(右)分布 图4. 2017年4月5日20时CAPE指数(左)和0℃层高度(右)分布 图5. 2017年4月5日20时−20℃层高度(左)和贵阳站探空图(右)
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user: 4. 雷达回波特征 05日17:00，在我省中部地面辐合线附近生成零星的对流回波，强回波中心为30 dBz；在18:10回波逐渐发展成一条线，辛店镇上空风暴中心达50 dBZ以上，有冰雹降落，直径为10 mm；20:40回波进一步增强，形成“弓”形回波，出现一系列降雹过程，其中，清镇市区上空风暴中心达75 dBz，有20 mm的大冰雹降落，并伴随着雷雨大风，短时强降水等强对流天气；21:20回波继续东移南压，贵阳市区上空风暴中心达55 dBz，有冰雹降落，直径为6 mm，伴有闪电和短时强降水天气；22:00以后，回波开始减弱，“弓”形回波开始断裂，此次降雹过程基本结束，后续主要为短时强降水和雷电天气；06日03时以后，回波减弱到35 dBz以下，短时强降水结束，仅有零星闪电；08时，回波移出我省(图6)。 图6. 5日18:10、20:40、21:20、06日03:00组合反射率 20时27分回波移到贵阳市区北部一线，清镇南部gr2analys系统识别到大冰雹，直径为1.42英寸，中心回波强度达70 dBz。强回波伸展高度很高，垂直方向出现悬垂形态和有界弱回波区，表明风暴云的倾斜和强烈的旋转，暖湿气团被倾斜气流抬升到高层(图7)。21时19分gr2analys系统在贵阳市区上空识别出0.59英寸小冰雹，回波中心强度为50 dBz以上，中心回波位于约12千英尺位置，有明显的三体散射和悬垂回波结构(图8)。 5日21:22，贵阳回波定高为31.5 kft，与降强冰雹的时间有较好的相关性；垂直液态水含量最大值为8.03 kg/m 2 。 图7. 5日20:27贵阳雷达1.6度仰角基本反射率(左)及其清镇上空回波垂直剖面(右) 图8. 5日21:19都匀雷达2.4度仰角基本反射率(左)及其贵阳上空回波垂直剖面(右) 最后将实况与EC模式预报进行对比，发现5日环流形势和环境条件有利于降水天气发生，模式给出了较好地预报结果，但是对于地面风场的预报明显低于实况，特别是安顺至贵阳北部的南风，模式预报6~8 m/s，实况5日11时南风增强到6~10 m/s，13时持续增强到8~12 m/s，因此模式预报强降水落区比实际偏南，实际应用时需要根据地面实际风场分析辐合线位置及辐合强度，对落区进行订正。 潜势预报时需要考虑对流发生的起始位置，再结合模式预报产品分析对流移动影响区域，以及移动过程中环境条件对对流发展的作用，并根据环境物理参数状况及演变判断强对流天气类型。
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user: 5. 结论 1) 此次强冰雹过程发生在高层有急流、高空槽、切变线和西南急流、地面有热低压和辐合线的环流形势下，属典型的贵州热低压辐合线型(或高空槽型)，降雹区位于地面辐合线南侧，冰雹直径在10 mm以上的站数占总站数的61%，其中最大直径20 mm。 2) CAPE、SSI、K、Si指数和垂直风切变等大气对流参数能够很好地预示强对流天气的发生。本次过程具备适宜冰雹生长的0℃和−20℃层高度的条件，两层之间厚度3 km。 3) 这次雹暴几乎具有强烈对流风暴的回波特征：反射率因子图上的弓形回波、悬垂结构、有界弱回波区、三体散射和中层径向辐合。贵阳回波定高为31.5 kft，强回波区高度扩展到−20℃层以上；垂直液态水含量最大值为8.03 kg/m 2 。 4) 5日EC模式给出了较好的预报结果，但是对于地面风场的预报明显低于实况，特别是安顺至贵阳北部的南风，模式预报6~8 m/s，实况13时持续增强到8~12 m/s，因此模式预报强降水落区比实际偏南，实际应用时需要根据地面实际风场分析辐合线位置及辐合强度，对落区进行订正。
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user: 摘 要 本文首先利用CATIA进行单个涡轮叶片与整体涡轮的建模，其次根据涡轮叶片模型并结合实际工作环境施加载荷。然后利用ANSYS对单个涡轮叶片和整体涡轮进行应力分析的仿真，得到单个涡轮叶片和整体涡轮变形情况和应力分布情况。最后进行涡轮疲劳分析的仿真并得到疲劳分析仿真结果。 关键词 :航空发动机，涡轮叶片，应力分析仿真 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 航空发动机被称为飞机的心脏，是飞机的动力装置，同时航空发动机内部结构复杂，使用要求高，因而一直有“工业皇冠”的美誉，它的制造水平也是一个国家制造业发展水平的重要体现。现代航空发动机以燃气涡轮发动机为主，它的主要结构包括进气道、压气机、燃烧室、涡轮和尾喷管。其工作原理是：气流通过进气道进入发动机，在压气机进行压缩和减速，从而方便气体在燃烧室与雾化的燃料进行充分的燃烧，燃烧产生的高温高压气体推动涡轮做功，之后通过尾喷管喷出，通过与外界气体的相互作用力，为飞机提供推力 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]。 因此，涡轮的主要作用便是将高温高压气体的能量转化为涡轮转动的机械能，进而为飞机提供所需要的能量，它的主要工作部件便是涡轮叶片。涡轮叶片的工作环境极其恶劣，它不仅要在较高的转速下运行，同时还要承受高温高压气体的冲击，相当于它同时工作在高温、高压、高转速的环境中。这样的工作环境导致对于涡轮叶片的制造要求非常严苛，目前国内在涡轮叶片制造方面与国际先进水平相比仍有很大的差距，这也成为国产发动机技术发展的一个重要瓶颈。 因此本文进行有关涡轮叶片在实际工作环境中应力分布的分析计算，得到涡轮叶片在实际工作中应力分布的数据信息。在现代民航客机的维护工作中，航空发动机的维护是非常重要的环节，航空发动机一旦在工作中出现故障，那么便会对飞行安全产生极大的威胁，比如民航客机在飞行中出现发动机空中停车的危急情况。而不管是航空发动机维护中的检查、保养还是修理工作，涡轮叶片都是这些工作要针对的重点对象，为了能够圆满的完成相关的工作，就需要我们能够清晰地认识和分析涡轮叶片内部的应力状况以及可能产生的损耗，进而根据这些情况制定出合理的维护方案，从而在保证飞行安全性的同时也满足有关经济性的要求。
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user: 2. 涡轮叶片的结构分析与建模 本文通过CATIA进行相关的建模过程，得到模型以及有关的几何参数，为下一步进行涡轮叶片的应力分析提供基础。 CATIA建模过程中，先建立单个涡轮叶片三维模型，包括为叶身、叶冠、叶根部分。建好的单个涡轮叶片如图1所示。 图1. 单个涡轮叶片模型 进行整体涡轮叶片的建模，先建立涡轮盘部分，再组装上图1的单个涡轮叶片模型，然后利用阵列命令得到整个涡轮叶片三维模型如图2所示。 图2. 整体涡轮的所有涡轮叶片 三维模型建好以后，根据CATIA提供的相关命令就可以得到其几何特性，比如体积，表面积，质量等等，也可以改变相应的参数，比如材料等得到不同的结果。
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user: 3. 涡轮叶片应力与疲劳分析仿真 本文采用ANSYS软件进行涡轮叶片的应力与疲劳分析仿真 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]。 3.1. 单个涡轮叶片应力分析的仿真 进行单个涡轮叶片的应力分析主要包括以下步骤：将三维模型导入ANSYS软件；选用GH4033合金材料；进行划分网格操作，本文中单个涡轮叶片划分的网格中，节点数为3759，网格数为1895；确定涡轮叶片固定约束部分，选择叶根部分的几个面，即确定叶根部分是固定的；接着给涡轮叶片施加重力和离心力载荷，并确定环境温度；最后给涡轮叶片施加气体冲击力；根据之前施加的相关载荷，对单个涡轮叶片产生的变形、应力、应变情况进行分析。可添加涡轮叶片在载荷作用下的整体变形、正应力和正应变即可进行相关的分析，如图3所示。 图3. 单个涡轮叶片的载荷总况 单个涡轮叶片在上述载荷作用下的整体形变情况如图4所示。由整体变形的分析图可得到以下信息：① 叶根部分的变形几乎为0，虽然在之前的理论计算部分中，叶根部分承受的重力最大，但由于重力的作用效果并不大。而且叶根处属于固定部分，所以冲击力和离心力造成的力矩无法使其产生变形。② 叶身部分的整体变形则是基本随叶身高度的增加而不断增加的趋势，这说明随着旋转半径的增大，离心力造成的变形也越大，同时值得注意的是，涡轮叶片左侧面的气体冲击力是远大于涡轮叶片叶盆曲面和叶背曲面的，但在整体变形中却未体现出来，这说明气体冲击力大小是远小于离心力的，以至于无法在整体变形中显示出其作用效果。③ 叶冠部分的整体变形最大，达到了0.0023832，这主要是由于叶冠部分所受到的离心力最大，而且由于其尺寸较小，所以虽然不同高度上的离心力有差距，但产生的整体形变的差距并不大，所以在图上没有体现出来。 单个涡轮叶片在上述载荷作用时产生的正应力和正应变如图5所示。由正应力和正应变的分析图可以得到以下信息：① 与整体变形时不同，在涡轮叶片的正应力和正应变的分析图中可以发现，叶根部分的应力应变是比较大的，主要是由于在实际中叶身部分所受到气体冲击力和离心载力产生的力矩会加载在固定的叶根处，这也是为什么叶根与叶身接合处容易出现损伤的原因。② 就叶身部分而言，应力应变并未沿叶身高度而发生较大的变化，同时由于几何特性的区别，叶盆曲面和叶背曲面的应力分布存在较大的不同。③ 就叶冠部分而言，应力应变较为稳定，但应力在顶部的分布有一些不均匀。如图4所示。 图4. 单个涡轮叶片的变形情况和应力分布情况 3.2. 整体涡轮应力分析的仿真 进行整体涡轮的应力分析，包括以下步骤： 1) 与单个涡轮叶片的分析相同，将三维模型导入ANSYS软件；选用GH4033合金材料；进行划分网格操作。 2) 进入分析界面之后，与分析单个涡轮叶片相比，施加的载荷有所不同。首先在分析整体涡轮时没有必要施加重力，同时在固定约束部分和气动载荷上也有不同。固定约束部分选择整体涡轮的装配孔部分。整体涡轮在工作时承受的也是两种大小不同的气体冲击力，所以也是添加两个流体压力选项。在第一个流体压力选项中选择流体密度为0.36 kgm −3 ，加速度则选为在x方向上存在，大小为1400 ms −2 ，但承受部位为涡轮盘的左侧面和叶身30个左侧面；在第二个流体压力选项中选择流体密度为0.36 kgm −3 ，加速度则同时在两个方向存在，x方向的加速为936 ms −2 ，y方向的加速度为664 ms −2 ，承受部位为30个涡轮叶片的内型面和外型面。整体涡轮承受的相关载荷如图5所示。 图5. 整体涡轮的载荷总况 3) 进行整体涡轮在上述载荷作用下的整体变形、正应力和正应变的分析。执行之前类似的操作，得到整体涡轮的变形和应力应变图。整体涡轮的变形情况、应力情况、应变情况等见图8。 4) 由整体涡轮的变形图，可以得到相关信息：① 很明显可以看出，整体涡轮的变形情况与其和旋转轴线的距离有关，这说明整体涡轮的变形主要是由离心载荷造成的，而与气体冲击力的关系并不密切。② 涡轮叶片承受气体冲击力部分和未承受气体冲击力部分的变形情况基本相同，且涡轮叶片的最大变形产生在叶尖附近，这主要是由于此处的离心力最大，最大变形为0.00012691。这与之前有关的理论计算是吻合的。③ 在涡轮盘装配孔处，由于需要与轴进行装配，因而此处属于固定部分。即便此处可能存在较大应力，变形量也是最小的。 5) 由整体涡轮的应力和应变分析中，可得到以下结论：① 就涡轮盘而言，应力最大的部分位于装配孔附近。主要是由于在整体涡轮中，装配孔部分是处于固定的，因而无论是离心力所带来的偏心力矩，还是气体冲击力所施加的力矩，都主要由装配孔附近的部分来承担，所以此处的应力最大，最大值为279 MPa。② 就涡轮叶片而言，应力最大的部分位于叶根处。这主要是由于涡轮叶片形状是不规则的，因而在其旋转时，离心力部分会和轴线有偏差，从而产生力矩，其应力值大概为62 MPa。
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user: 4. 涡轮疲劳分析的仿真 在实际工作中，整体涡轮除了承受较大的载荷之外，还会受到疲劳损伤的困扰。因此，为了更好的了解涡轮叶片的工作环境，需要对整体涡轮进行相关的疲劳分析。 进行疲劳分析仍然利用ANSYS来完成。首先就是要定义材料的疲劳性能，常用S-N曲线来表达材料疲劳性能。在ANSYS中，通过编辑材料属性来实现将S-N曲线导入到ANSYS中，从而方便进行下一步的分析。有关材料的疲劳性能如图6所示。 图6. GH4033材料疲劳性能 定义完材料的疲劳性能之后，然后便要进行整体涡轮盘的疲劳分析。通过在整体涡轮应力的工作界面处添加疲劳工具来进行，在下方的面板中定义疲劳的详细情况。加载方式采用“Zero-Based”，即在加载周期内最小应力为0。平均应力采用Gerber模型，其他则采用默认设置。如图7所示。 图7. 疲劳的详细情况 最后进行疲劳分析，需要分析的内容为在疲劳状况工作下整体涡轮的交变应力。在疲劳工具中添加相关分析项目后进行分析。分析结果见图8所示。根据交变应力分析图可知，整体涡轮交变应力较大的部分主要分布在涡轮盘附近。其中涡轮叶片的最大的交变应力位于其叶根附近，其大小为27.966 MPa。而涡轮盘最大的交变应力位于装配孔附近，其大小为125.82 MPa。
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user: 5. 总结 在进行涡轮叶片的结构与应力分析之后，可以得出以下结论：① 涡轮叶片在实际工作环境中的变形主要是由离心力造成的，因此，涡轮的转速对涡轮叶片的使用性能具有非常大的影响。② 在涡轮叶片工作时，由于其固定端承担很大的力矩，所以固定端部分的应力最大。③ 综合分析实际环境对涡轮叶片的影响之后，可知涡轮叶片的叶根和叶尖部分最易发生失效，在实际维护工作中需要特别注意。 本文的分析局限性主要体现在以下几个方面：① 在进行涡轮叶片的建模时，缺乏较为准确的数据信息，因此在一些方面只能进行合理的推测，从而导致模型与实际涡轮叶片有一定的差距。② 在进行涡轮 图8. 疲劳分析结果 叶片应力分布的理论计算时，对涡轮叶片不规则的形状进行了一定的理想化处理，造成了计算结果和实际情况有偏差。③ 在进行涡轮叶片应力分析的仿真时，由于缺乏热耦合相关的知识，未对涡轮叶片中存在的热应力进行分析，而热应力对分析的结果具有一定的影响。 总之，本文对某型发动机涡轮叶片的结构与应力分析进行仿真，对机务维护人员掌握发动机涡轮叶片的工作原理及失效过程提供帮助，具有一定指导意义。
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user: 摘 要 本文讨论了一个根据Liu系统变化而来的非线性系统，分析其混沌现象并进行数值仿真。讨论了系统的对称性、耗散性、奇点及其局部稳定性，说明了系统的全局稳定性和吸引子的存在性。结合不同参数变化下的分岔图与最大李雅普诺夫指数分析了系统发生混沌的区间，根据不同参数下的吸引子、庞加莱截面、时间序列和返回映射等指标，描述系统的混沌特性。通过仿真的结果说明此非线性系统混沌行为的普适性。 关键词 :非线性动力系统，分岔，混沌，数值仿真，MATLAB Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 对非线性系统的探索和研究已持续一个多世纪的时间，但仍然方兴未艾。20世纪70年代初，科学家们利用计算机和非线性数学，发现了非线性系统中的混沌行为，这一发现极大地激起了人们对复杂问题探索的热情，对混沌的研究热潮也开始了。混沌现象的研究对现代科学的影响是广泛的，几乎涉及到了任何领域。 1963年，气象学家E.N. Lorenz在数值实验中发现了混沌现象，提出了Lorenz系统 [ 1 ]，自此，不管是国际上还是国内，人们不断地提出和构建新的混沌系统。很多的学术专家都曾展示了自己的研究成果，在国内有影响力的像Chen-系统 [ 2 ] [ 3 ]，Lv-系统 [ 4 ] 等等，在2004年，刘崇新教授等人又提出了Liu-系统 [ 5 ]。Liu-混沌系统属于广义Lorenz系统，Chen-系统与Lorenz系统互为对偶系统，而Lv-系统在Lorenz系统和Chen系统之间架起了桥梁，四者之间的联系十分紧密。本文在Liu-系统的基础上，研究了一个新的非线性系统 [ 6 ]，对其动力学行为进行了数值仿真，因而初步分析了其混沌行为 [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]。
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user: 2. 数学模型 2.1. 系统描述 根据文献 [ 6 ] 所提到的一类新的混沌系统： (1) 其中状态变量 均为时间t的函数， 为控制参数。 2.2. 对称性与不变性 对于系统(1)，通过变化 对系统(1)进行处理，发现系统的控制参数 不发生变动。对应的非线性系统(1)也保持它的原有属性，而且仍然以z轴为对称轴。系统(1)具有对称性和不变性。 2.3. 系统耗散性与吸引子不变性 对于系统(1)，作如下处理： (2) 则系统(1)的散度为： (3) 当 时，系统(1)是耗散的，故存在吸引子，即 是吸引子存在的条件。 2.4. 平衡点及局部稳定性 对于系统(1)中的各式，令其方程右边等于0，可以解得系统(1)的三个平衡点 [ 10 ]，分别为： ， 其中 和 对称的落在 轴的两侧，对于 ，系统(1)有唯一的平衡点 。下面讨论各平衡点的稳定性。 在平衡点 处通过线性变换处理后，得到Jacobian矩阵为： 其对应的特征方程为： (4) 解得上述Jacobian矩阵的三个特征值分别为： ， ， 当 时， ，故系统存在三个负实根，此时平衡点 稳定。为了直观地判 断平衡点稳定与否，我们不妨设 ， ， ，此时三个特征值分别为−3，6.95，−14.95，存在一个大于0的特征值，由Routh-Hurwitz原理可知，平衡点 是不稳定的。 对于平衡点 和 ，由于系统(1)通过变化 后，系统的控制参数 不发生变动。对应的非线性系统(1)也保持它的原有属性，而且P + 和P − 也关于 轴对称，所以二者性质相同，这里不妨只分析 。 对应的Jacobian矩阵为： 其特征方程为： (5) 根据Routh-Hurwitz原理以及参数 的取值范围，可知该特征方程仅有实部为负的根，故 为不稳定的平衡点，同理， 也为不稳定的平衡点。
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user: 3. 数值仿真 本节对系统(1)的动力学行为进行数值仿真。当固定两个系统参数时，随着参数a的增大，系统的动力学行为发生了一系列的变化。采用龙格–库塔方法编写MATLAB程序，画出仿真图，并揭示系统(1)的混沌学行为 [ 11 ]。 当固定参数 ， 时，图1和图2分别给出了 时的分岔图与最大Lyapunov指数，图3为当 时局部放大的分岔图，图4和图5分别为 ， ， 时的吸引子图和庞家莱截面图，图6为 ， ， 时的吸引子图。 系统经过一系列复杂演变过程，经Hopf分岔到达混沌态，当 时，系统彻底发生混沌，当 时，混沌现象已经出现，当 时，混沌结束，系统进入周期轨道。 图1. 0 ≤ a ≤ 30，b = 3，c = 13时的分岔图 图2. 0 ≤ a ≤ 30，b = 3，c = 13时的最大Lyapunov指数图 图3. 0 ≤ a ≤ 10，b = 3，c = 13时的分岔图 图4. a = 8，b = 3，c = 13时的吸引子图 图5. a = 8，b = 3，c = 13时的庞家莱截面图 图6. a = 28，b = 3，c = 13时的吸引子图 图7. 0 ≤ b ≤ 10，b = 3，c = 13时的分岔图 图8. 0 ≤ b ≤ 10，b = 3，c = 13时的最大Lyapunov指数图 当固定参数 ， 时，图7和图8分别给出了 时的分岔图和最大Lyapunov指数图。当 时混沌出现，当 时混沌逐渐消失，其中有一个较为明显的周期窗口。 当固定参数 ， 时，图9和图10分别给出当 时的分岔图和最大Lyapunov指数图。 时，系统处于混沌状态，其中存在一个明显的周期窗口。 图9. a = 8，b = 3，0 ≤ c ≤ 30时的分岔图 图10. a = 8，b = 3，0 ≤ c ≤ 30时的最大Lyapunov指数图 综合以上三个系统参数使系统发生混沌的范围，不妨取 ， ， 进行数值仿真。图11、图12和图13分别为该组参数下的返回映射、时间序列和功率谱，从中可以看出此时系统正处于混沌状态下。 图11. a = 8，b = 3，c = 13时的返回映射 图12. a = 8，b = 3，c = 13时的时间序列 图13. a = 8，b = 3，c = 13时的功率谱
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user: 4. 结论 本文首先对所研究的内容研究现状及近期发展进行简介；其次，说明系统的对称性与不变性，讨论系统的耗散性与吸引子的存在性，计算平衡点及证明其局部稳定性，说明系统确实存在混沌；最后对系统的三个参数 分别进行数值仿真，确定混沌产生的区间，并选取一组参数值： ， ， ，仿真出吸引子图、庞家莱映射图、时间序列、返回映射和功率谱，充分证明在此参数值下，系统正在发生混沌。
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user: 摘 要 本文主要研究的是带积分型源项二阶拋物型方程的参数识别问题，利用最优控制框架来建立控制泛函，并证明控制泛函极小元的存在性和必要条件，由于最优控制问题一般不存在唯一解，所以本文证明的是解的局部唯一性和稳定性。 关键词 :反问题，最优控制，参数识别，适定性 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 偏微分方程 [ 1 ] 是纯粹数学和应用数学的一个重要分支，它与化学、物理、金融、医药等自然科学和工程技术的很多领域都有联系，它可分为正问题和反问题，对于绝大多数正问题而言，它们都是Hadamard意义下的适定问题，而大多反问题具有不适定性 [ 2 ]。“问题适定性”的概念是著名数学家Hadamard在1923年提出来的，适定性在解决实际问题时具有重要意义，但是随着科学技术的发展，生活中出现了越来越多必须解决的不适定问题，比如，确定散射体的几何形状，医学成像中CT机的发明和应用等等，它们无论在理论上还是实际应用中都是非常重要的。偏微分方程反问题的内容相当丰富，按照数学模型可划分为拋物型方程反问题，双曲型方程反问题，椭圆型方程反问题等三种主要类型，其中抛物型偏微分方程的反问题是近年来研究比较活跃的主题之一，国内外许多学者对此类问题进行了研究并得到了一系列重要成果。例如文献 [ 3 ] 考虑了带有积分型源项反演源项 的反问题 (1.1) 利用最优控制方法证明了解的存在性、唯一性及稳定性。文献 [ 4 ] 考虑的一个二阶拋物型方程反演辐射系数的初边值问题： (1.2) 其中 是区间 上给定的一个光滑函数， 是所要反演的系数，假设给定如下附加条件： (1.3) 利用最优控制的方法确定满足(1.2)的函数u和q。从物理学上讲，模型(1.2)描述了在均匀介质Q中的热传导过程，所要反演的系数q表示的是热容等导热系数。文献 [ 5 ] 则用Tikhonov正则化方法确定了(1.2)的系数 。 本文中若无特殊说明，符号C表示各种场合下的不同常数。 本文我们主要研究的是已知终端观测值去反演抛物型方程辐射系数的一个反问题： 问题P：考虑如下二阶拋物型方程的初边值问题： (1.4) 这里的 是 上已知的光滑函数，确定满足(1.4)式的函数v和r， 表示在终端时刻 时的观测值， 是初始时刻的观测值。 我们主要从理论分析的角度来讨论问题P，在这里我们构造了一个新的控制泛函来代替原来的问题P。
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user: 2. 最优控制问题 将确定抛物型方程系数的反问题P重新表述如下最优控制P'： 问题P'求 ，使得： (2.1) 这里 (2.2) (2.3) 是问题(1.4)的解， ，M是正则化系数， ， 是两个已知正常数。 引理2.1 [ 6 ]：假设 ，对 问题(1.4)存在唯一解 。 引理2.2：假设 ，对 ，存在一个仅T与有关的非负常数C满足下式 (2.4) 证明：根据问题(1.4)有 整理得： 则有 由于 且 ， 从而有 由Gronwall’s不等式得： 引理2.2即得证。 引理2.3：假设在 上 且 ， ， 则有 。 证明：详细证明可参考 [ 7 ] 由于证明过长在此处省略其详细证明过程。
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user: 3. 存在性 定理3.1：存在一个 ，使得 是 的最小元，即 。 证明：令 是一个极小化序列，即 ， 这里 是问题(1.4)的解， ，易知 是非负的，且 ，可推出： (3.1) 这里C与n无关，由 的有界性及(3.1)可得： (3.2) 取 的子序列仍记为 ，使得 ， 。 由Sobolev嵌入定理可得： (3.3) 因此 (3.4) (3.5) 由于 ，从而有 ，容易验证 满足问题(1.4)，再由Lebesgue’s 控制收敛定理和 范数的弱半连续性可得： 由于 从而有 因此有 定理3.1即得证。
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user: 4. 必要条件 定理4.1：令r为最优控制问题(2.1)的解，则存在一个三元函数 满足如下方程： (4.1) (4.2) (4.3) 证明： ， 有 ，则 (4.4) 在 时令 为(1.4)的解，由于r是最优解则有 (4.5) 令 计算得出如下方程： (4.6) 令 则 满足 (4.7) 由(4.5)可得： (4.8) 令 假设 是以下问题的解 (4.9) 是 的伴随算子，由(4.7)和(4.9)式可得： 由于 因此 (4.10) 再由(4.8)和(4.10)式可得： 定理4.1即得证。
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user: 5. 局部唯一性和稳定性 由于最优控制问题P'是非凸的，故不存在唯一的解，但是当 时可证明此解是局部唯一的，且具有稳定性。从而在某种意义下我们将一个不适定问题转化为一个适定的最优控制问题，为数值计算打下了坚实的理论基础。 引理5.1：对任意有界连续函数 ，有 (5.1) 这里 是 上的不动点。 证明：因为 所以有 引理5.1即得证。 引理5.2 [ 8 ]：设 是问题(1.4)的解，则对 有如下估计式： (5.2) 引理5.3：对方程(1.4) 4 有如下估计： (5.3) 证明过程与引理5.2类似，此处略。 本部分主要证明解得局唯一性和稳定性，假设 是给定的两个函数，且满足 ，令 是最优控制问题P'分别对应于 的解， 是 时方程(4.1)和(4.2)的解，其中令 。 则v和 满足 (5.4) (5.5) 引理5.4：由方程(5.4)可得如下估计： (5.6) 证明：由于 ， 则有 整理得： 从而有 由Gronwall’s不等式得： C是T与无关的常数。 引理5.4即得证。 引理5.5：由方程(5.5)可得如下估计： (5.7) 证明：由于 ，由方程(5.5)可得： 即 从而有 结合(5.6)式可得： 当 时由Gronwall’s不等式可得： 引理5.5即得证。 定理5.4：假设 是最优控制问题P'的两个最小值，如果存在 ，使 ，当 时有 ，对 ，这里C与 无关。 证明：在(4.3)式中，当 时取 ，当 时，取 ，则有 (5.8) (5.9) 当 时 分别是(4.1)，(4.2)的解 由(5.8) + (5.9)得： (5.10) 即 (5.11) 由定理5.4假设知存在 使 (5.12) 由引理5.1知 (5.13) 再由(5.10)，(5.13)及Young不等式可得： (5.14) 由引理5.2和引理5.3可知 (5.15) 从而根据(5.14)，(5.15)式知， (5.16) 当 使 (5.17) 由(5.16)和(5.17)式得： (5.18) 定理5.4即得证。 注：正则化参数的选取在反问题的研究中非常重要，尤其在数值计算中不同的正则化参数会对数值结果产生巨大影响。由定理5.4容易得到如果存在误差界 ，则当正则化参数M以下面方式依赖于误差界并趋于零时， 则最优控制解是局部唯一且稳定的。
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user: 摘 要 本文通过静电纺丝和水热法制备了多巴胺诱导MoS 2 负载碳纳米纤维复合材料(MoS 2 @CNF)，并用于锂电池的阳极。实验结果及分析结果表明，在MoS 2 @CNF中，互连的MoS 2 纳米片很好地垂直生长在碳纳米纤维上。多巴胺作为一种氮源以及粘合剂可以锚定和均匀分散MoS 2 纳米片，从而促进锂离子和电子在复合结构中的传输。用于锂电池阳极时，电化学性能测试结果显示：通过静电纺丝制备的碳纳米纤维可以提高复合材料的电导率，降低内阻。MoS 2 @CNF复合材料在0.1 A/g的电流密度下进行100次充放电循环后，其仍能保持826 mAh/g的容量，在1 A/g的电流密度下进行500次充放电循环后容量能稳定在524 mAh/g，体现出MoS 2 @CNF复合材料良好的电化学性能。 关键词 :MoS 2 ，锂离子电池，阳极，静电纺丝，多巴胺，碳纳米纤维 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 目前，由于大量化石燃料的使用对环境造成了严重的污染。为了应对日益严重的全球污染和避免快速消耗不可再生能源，科学家们在探索能量存储过程中提出了锂离子电池(LIBs)。由于能量密度高，重量轻，循环寿命长，锂离子电池(LIBs)被认为是最有前途和高效的能量存储装置之一，广泛应用于便携式电子设备。此外，LIBs还在电动汽车中发挥着关键作用。在LIBs组件中，电极材料被认为是影响电池性能的关键因素。因此，开发具有高性能的电极材料一直是LIBs研究的重点。目前，商用化LIBs主要采用石墨作为阳极材料，而石墨的理论容量低至372 mAh g −1 ，限制其进一步应用于具有高能量和功率密度的下一代电池。因此，探索具有更高容量和优异循环稳定性的新型阳极材料作为石墨基阳极的替代品对于高性能LIBs是至关重要的。二硫化钼(MoS 2 )由于其成本低，环境友好，天然丰富且易于合成而被认为是最具前景的二维材料之一。其理论容量为石墨的1.8倍(670 mAh g −1 )，且具有与石墨类似的层状结构 [ 1 ] [ 2 ]。然而，在循环过程中MoS 2 作为LIBs的阳极材料受到体积膨胀和离子传导性的影响，导致颗粒粉碎聚集。最终使得容量迅速衰减，电化学性能差。为了解决这一问题，我们采用静电纺丝和多巴胺诱导水热法构建了MoS 2 @CNF三维(3D)复合结构，这种结构能大大提高锂电阳极性能。原因如下：1) CNT的高表面积和高纵横比可以增大接触面积并有效地充当相邻MoS 2 纳米片之间的桥梁，提高了离子间的传输速率。2) CNT的高导电率可以提高阳极的倍率性能。3) 在多巴胺的诱导下，MoS 2 紧密的锚定在CNT上不易脱落可有效抑制在充放电过程中MoS 2 的体积变化。
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user: 2. 实验部分 2.1. 实验材料 N，N-二甲基甲酰胺(DMF)、N-甲基吡咯烷酮(NMP)、六氟磷酸锂/碳酸乙烯酯(LiPF 6 /EC)和碳酸二甲酯(DMC)按质量比为1:1混合的电解质溶液、聚丙烯腈(PAN)、钼酸钠(Na 2 MoO4·2H 2 O)、硫脲(CH 4 N 2 S)、多巴胺、盐酸、乙醇、锂片、2300型微孔聚丙烯膜、2032型电池壳。以上试剂均为分析纯无需进一步纯化。 2.2. 实验仪器 扫描电子显微镜(SIGMA 300)、X射线衍射仪(AL-Y3000)、拉曼光谱分析仪(Finder Insight Pro)、管式炉(SKGL-1200-II)、电化学工作站(CHI760E)、蓝电测试仪(CT2001A)、真空干燥箱(DZF-6020)、超声波清洗机(KMH1-1100U8101) 2.3. 实验方法 2.3.1. 碳纳米纤维(CNT)的制备 取2 g聚丙烯腈粉末(PAN)溶于8 ml N，N-二甲基甲酰胺(DMF)中，超声30 min后得到均相溶液后连续搅拌10小时得到纺丝溶液。将纺丝溶液收集至10 ml规格注射器中并且固定在注射泵上，在电压为20 KV，流速0.6 ml/h，滚筒转速150 r/min，收集距离18 cm的条件下进行静电纺丝。将聚丙烯腈纤维置于真空干燥箱中60℃下干燥10 h，干燥好后置于管式炉中以1℃/min的升温速度到280℃，保温2 h进行预氧化处理。将预氧化后的聚丙烯腈纤维放置管式炉中央，氩气氛围中从室温以5℃/min的升温速率到850℃，保温1 h。最后等管式炉冷却至室温得到碳纳米纤维。 2.3.2. MoS 2 负载碳纳米纤维复合材料(MoS 2 @CNF)的制备 取0.5 g碳纳米纤维和90 mg多巴胺加入60 ml配好的Tris-HCL缓冲溶液中震荡30 min。再加入0.2 g硫脲(CH 4 N 2 S)和0.1 g钼酸钠(Na 2 MoO 4 ·2H 2 O)搅拌15 min后一并倒入100 ml水热反应釜中，在220℃下反应24 h。将反应后的混合物倒入砂芯漏斗中抽滤并用乙醇和去离子水洗涤数次后放入真空干燥箱中80℃下干燥过夜。 2.4. 物理表征与电化学测试 2.4.1. 表面形貌观察 采用JSM-6700F场发射扫描电镜(SEM)通过调节不同的放大倍数，来观察处理前和处理后样品的表面形貌。 2.4.2. 晶型结构测试 对所得样品粉末试样用X射线粉末衍射仪(Rigaku-D/MAX-2200VPC)进行晶型结构测试。扫描速度8˚/min，扫描范围为5˚到80˚。 2.4.3. 分子结构分析 采用英国Renishaw公司的拉曼光谱仪(Raman spectroscopy)对样品中所含物质成分进行测试，激发波长785 nm，激发能量3 mW，光斑尺寸 ≤ 1.2 um。 2.4.4. 电化学性能测试 在充满氩气的手套箱中组装CR2032型纽扣电。按照活性材料:炭黑:聚偏二氟乙烯(PVDF) = 8:1:1的质量比混合在N-甲基吡咯烷酮(NMP)溶液中打浆涂覆到面积为1.36 cm 2 的圆形铜片上并在真空烘箱中60℃下干燥10小时作为工作电极。在电化学工作站上进行电化学测试。使用蓝电电池测试系统测试电池的充放电性能，循环电压为0.001~3 V。
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user: 3. 结果与讨论 3.1. CNF以及MoS 2 @CNF纳米纤维结构形貌分析 图1(a)和(b)分别是CNT在280℃预氧化和850℃碳化后的扫描电镜图，从图中可以看出CNT形貌表面光滑且相互交错形成网状结构，形状大小均匀，比表面积大，孔隙率高直径约为400 nm。高温碳化后CNT仍能保持网状纤维结构。(d)~(f)是通过水热法制备的MoS 2 @CNF复合材料在扫描电镜下不同放大倍数的SEM图，从(d)~(e)图中可以看出合成MoS 2 的两种前驱体在水热和多巴胺的诱导条件下生成的片状MoS 2 纳米片均匀包覆在CNT的表面。为了进一步验证MoS2@CNF复合材料的晶体结构，使用了X射线衍射仪(XRD)对样品进行了测试，如图(c)所示。衍射图显示了具有六方结晶结构的MoS 2 的相纯度(JCPDS No.37-1492)。衍射图上没有观察到硫化物或钼的其他衍射峰，证实通过Na 2 MoO 4 和CH 4 N 2 S之间的水热反应生成纯的MoS2。对于MoS 2 @CNF，位于33.8˚和58.2˚的显著衍射峰分别对应MoS 2 的(100)和(110)晶面，表明MoS 2 成功生长在CNT的表面上 [ 3 ] [ 4 ]。 图1. 碳纳米管在不同温度处理下、水热负载MoS 2 后的SEM图及XRD图：(a) 280℃预氧化后的CNT；(b) 850℃碳化后的CNT；(c) MoS 2 @CNF X射线衍射图；(d)~(f) MoS 2 @CNF在不同放大倍数下的图像 3.2. MoS 2 @CNF纳米纤维电化学性能分析 图2(a)是MoS 2 @CNF复合材料电极以0.1 A/g充放电时分别提供高的初始放电容量1230 mAh g −1 和820 mAh g −1 的充电容量，首圈库仑效率为66.67%。首圈库仑效率低归因于Mo/Li 2 S脱锂过程中SEI膜的形成和Li 2 S的不完全转化。随着充放电循环次数的增加，库仑效率增加至高达99&并且未观察到明显的容量损失。此外，在100次循环充放电后容量仍能保持在826 mAh g −1 ，表明MoS 2 @CNF电极的高可逆 图2. MoS 2 @CNF复合材料的电化学性能测试图(a) 0.1 A/g电流密度下100次循环充放电；(b) 0.1，0.2，0.5，1.0，1.5 A/g电流密度下的倍率循环；(c) 1 A/g电流密度下500次循环充放电；(d) 0.5 mVs −1 扫速下前三个CV循环 性，其由MoS 2 纳米片与CNT良好复合组成。图(b)为MoS 2 @CNF复合材料电极在0.1，0.2，0.5，1.0，1.5 A/g不同电流密度下的倍率循环。从图中可以看出，即使在1.5 A/g最大电流密度下，MoS 2 @CNF电极仍然保持590 mAh g −1 高容量。此外，当电流密度恢复到0.1 A/g时，MoS 2 @CNF电极保持有830 mAh g −1 的更高容量，体现了MoS 2 @CNT复合材料电极的优异倍率性能。图(c)为MoS 2 @CNF复合材料电极在1 A/g电流密度下的充放电曲线，如图所示，MoS 2 @CNF电极在经过500次循环充放电之后容量保持在524 mAh g −1 几乎没有衰减。体现了MoS 2 @CNF复合材料稳定的循环电化学性能。图(d)为扫描速率为0.5 mVs −1 时MoS 2 @CNF复合材料的前三个循环CV曲线。在第一次阴极扫描中，在0.63 V左右出现峰值归因于锂离子嵌入MoS 2 晶格中，在后面的阴极扫描中，有两个新的峰值在1.2 V和1.8 V左右，这表明可能存在多步锂插入机制(2Li + + S + 2e → Li 2 S， MoS 2 + xLi + + xe → Li x MoS 2 ) [ 5 ] [ 6 ]。在阳极扫描中，有两个峰在1.61 V和2.25 V左右，前者主要是由于Mo的部分氧化形成MoS 2 ，而后者通常表明硫的形成(Li 2 S − 2e → 2Li + + S)。
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user: 4. 结论 首先，我们通过静电纺丝制备了碳纳米纤维。再采用一锅水热法合成了MoS 2 @CNF复合材料。在复合材料中，互连的MoS 2 纳米片在多巴胺的诱导下垂直包覆在碳纳米纤维上，形成具有高比表面积和孔隙率的网状结构。MoS 2 纳米片通过强相互作用力耦合在碳纳米纤维上保证了复合材料结构的稳定性。这种稳定的结构可以有效防止MoS 2 纳米片团聚在充放电过程中结构坍塌。MoS 2 @CNF复合材料用作锂电池阳极时表现出高的可逆容量：在0.1 A/g的电流密度下进行100次充放电循环后，仍能保持826 mAh/g的容量，在1 A/g的电流密度下进行500次充放电循环后容量能稳定在524 mAh/g。复合材料也表现出优异的循环稳定性和良好的倍率性能，此制备方法为开辟下一代锂电阳极复合材料提供了新的思路。
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user: 摘 要 本文研究具有Beddington-DeAngelis功能反应和密度制约的非自治捕食–食饵系统，利用比较定理和微分不等式及Logistic方程的动力学行为，得到边界周期解的全局渐近稳定性。我们的主要结论表明，即使没有种内竞争，但如果在一个周期区间上捕食者种群的平均收益小于平均死亡数，就会导致该种群的灭绝。另外，给出了数值模拟验证所得理论结果是正确的。 关键词 :Beddington-DeAngelis功能反应，非自治捕食–食饵系统，全局渐近稳定性，边界周期解，灭绝 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 捕食–食饵系统的动力学分析是生物数学研究中的热点问题。在捕食–食饵系统中，捕食者的功能反应对系统的动力学行为有着重要影响。常见的功能反应类型有：Holling I-IV型，比率依赖型，Michaelis-Menten型，Beddington-DeAngelis型以及Hassell-Varley型等(参见文 [ 1 ] - [ 7 ] )。Skalski [ 8 ] 等学者从大量捕食–食饵系统中得到的统计数据表明，在某些条件下Beddington-DeAngelis型功能反应 能更好地体现捕食者与捕食–食饵系统中各个生物参量之间的关系。这类模型不仅 具有Holling-II型( 时)功能反应的特点，而且具有比率依赖型( 时)功能反应的特性。Beddington [ 9 ] 和DeAngelis等 [ 10 ] 最早分别独立提出具有Beddington-DeAngelis型功能反应的捕食–食饵模型 其中， 分别表示在t时刻食饵和捕食种群的密度，所有的参数都是正常数，a是食饵种群的内禀增长率， 表示食饵种群的环境容纳量，捕食种群以Beddington-DeAngelis型 的功能反应捕食食饵，并且以 的速率促进其自身的繁殖或者生长。近年来具有Beddington-DeAngelis型 功能反应的生物模型得到了许多学者广泛的研究，例如，文献 [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] 研究了这类系统的平衡点、全局吸引子和极限环等动力学性质，但这些理论结果都是在常数环境下得到的。在实际的生态环境下，出生率、死亡率和其它生物参数都会随时间变化，因此非常有必要研究相应的非自治系统。 Fan和Kuang [ 5 ] 研究了具有Beddington-DeAngelis型功能反应的非自治捕食–食饵系统 (1) 文 [ 5 ] 研究了系统(1)的持久性、灭绝性和全局渐近稳定性，在周期参数情形下，得到了正周期解存在性条件及边界周期解全局渐近稳定的充分条件。文 [ 14 ] 进一步研究了系统(1)的持久性，给出了新的正周期解存在性条件，改进了文献 [ 5 ] 中的理论结果。文 [ 6 ] 利用波动引理，证明了系统(1)边界解的全局渐近稳定性，得到积分形式的充分条件，推广了文 [ 5 ] 的结果。我们注意到，在文 [ 5 ] 中除了允许参数 是非负连续函数外，其余参数均要求有正的下界，而在文 [ 6 ] 中要求所有的参数有正的下界。在文 [ 14 ] 中，要求参数 均是正值连续函数。然而在实际的自然环境中，生物参数的下确界可能为零，甚至于允许变号。比如，捕食者可能在某些时刻捕获不到食物，从而在该时刻参数 。考虑到在实际的生态环境中，种群在某些时刻的自然出生率可能小于死亡率，那么在该时刻的内禀增长率 可能为负，在这种情况下，文 [ 6 ] 采用的方法将不能适用。 由于捕食者之间存在着内部竞争，那么有必要考虑捕食种群内部具有密度制约项的模型。Li和Takeuchi [ 7 ] 研究了捕食种群具有密度制约和Beddington-DeAngelis功能反应的非自治捕食–食饵系统 (2) 周期情形下，文 [ 7 ] 得到如下灭绝性条件 (3) 此外，利用Lyapunov函数，得到如下边界周期解的全局渐近稳定性条件 (4) 其中 ， 是充分小实数。其中， 和 分别表示定义在 上有界连续函数 的下、上确界。 文 [ 7 ] 中要求所有的参数有正的下界。条件(3)事实上是文 [ 6 ] 得到的边界周期解全局稳定性条件，而文 [ 7 ] 得到的全局稳定性条件(4)很难给出恰当的生物解释。 本文在周期参数情形下，利用比较定理和微分不等式以及Logistic方程解的性质，研究系统(2)边界周期解的全局渐近稳定性，推广文 [ 7 ] 中的相应结论。当 时，也推广了文 [ 6 ] 中的结果。另外，我们将利用数值模拟验证所得到的理论结果。 考虑到生物意义，本文只考虑系统(2)过正初始值 的解 。
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user: 2. 主要结果 我们假设所有的参数是定义在 上连续的 -周期函数，其中， 有正的下界， 非负，讨论系统(2)边界周期解的全局渐近稳定性。 定义2.1：设 是系统(2)的一个有界非负解，若系统(2)过正初始值的任意解 满足 则称 是全局渐近稳定(全局吸引)的。 下面的结论是显然的。 定理2.2： 是系统(2)的正不变集。 对连续的 -周期函数 ，用 表示函数 在一个周期区间上的平均值。考虑Logistic方程 (5) 引理2.3： [ 15 ] 设 且 ，则方程(5)有唯一非负的 -周期解 全局渐近稳定，即方程(5)满足正初始值的任意解 ，都有 。进一步，若 ，则 ；若 ，则 。 注 可以写成如下形式(参见文 [ 16 ] ) (6) 由引理2.3，若 ， ，则系统(2)存在边界 -周期解 。为方便起见，定义 下面，我们给出本文的主要结果。 定理2.4：设 ， 。若 ，则系统(2)的边界周期解 是全局渐近稳定的。 证明：由 成立，则可选取 充分小，使得 (7) 设 是系统(2)的任一正解， 是方程(5)满足初始条件 的解。由系统(2)的第一个方程及比较定理我们有 。由引理2.3，有 。则对上述 ，存在 ，当 时，有 (8) 因此，当 时，由系统(2)的第二个方程，有 则当 时， 所以，由(7)，得 。 下证 。由 ，可选取充分小 ，使得 (9) 考虑方程 (10) 由(9)及 ，根据引理2.3知方程(10)存在全局渐近稳定的正解 。设 是方程(10)满足 的解，则 。那么，存在 ，使得当 时， 由解对参数的连续依赖性定理， 对 一致成立。则存在 ，使得 于是， 由于 ， 都是 周期函数，得 选取常数 ，满足 且 ，则 (11) 由 可知，存在 ，使得当 时， 。由系统(2)的第一个方程，有 由比较定理知 ，其中， 是方程(10)满足 的解。由于 全局稳定，则存在 ，使得当 时， 。于是 (12) 所以，由(11)和(12)，得 (13) 这样，由(13)和(8)，得 。因此，边界周期解 全局渐近稳定。 注： 1) 如果 ，定理2.4仍然成立，条件 与文 [ 6 ] 给出的一致，但文 [ 6 ] 要求 都有正的下界，而本文定理2.4允许 ，且 允许改变符号。在本文的假设条件下无法应用文 [ 6 ] 采用的方法来证明边界周期解的全局稳定性。 2) 生物解释：定理2.4表明，即使没有种内竞争(即 )，但如果在一个周期区间上捕食者种群的平均收益小于平均死亡数(即 )，就会导致该种群灭绝。
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user: 3. 数值模拟 本节通过数值模拟对上述得到的理论结果进行验证。 例3.1：取参数 则 。显然，除了 ，其余参数均非负， 。容易计算 根据定理2.4，边界周期解 全局渐近稳定(见图1)。在图1中，初值取 。 图1. 系统(2)的边界周期解 全局渐近稳定 例3.2：取参数 则 。显然， 是变号的周期函数，但 。因此，系统(2)存在边界周期解 。由于 有下面形式 我们无法得到边界周期解的具体解析表达式。对 做估计，由 我们得到 的估计式 ，所以 图2. 系统(2)的边界周期解 全局渐近稳定 因此，根据定理2.4，系统(2)的边界周期解 全局渐近稳定(见图2)。在图2中，初值取 。
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user: 摘 要 利用矩阵理论和原子势能，给出了低维材料稳定存在的准则，将其用于直单元素一维材料和平单元素二维材料稳定存在条件的计算中，推导出单原子碳链能稳定存在，碳的平蜂窝状结构能稳定存在，硅和锗的平蜂窝状结构不能稳定存在，这与已有结论一致。 关键词 :低维材料，正定矩阵，原子势能 Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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user: 1. 引言 低维材料作为一类新型材料，由于其奇异的电学、力学、光学等物理特征，以及化学特性，具有非常好的应用前景，如：超高频电子器件，超导场效应管，高响应光电探测器等，所以目前已有许多学者研究了低维材料的性质、制备以及应用前景 [ 1 ] - [ 6 ]。但是对于低维材料的研究只能算刚刚起步，对于最基本的问题，低维材料的存在性和稳定性判据尚不明确，哪些因素决定低维材料的存在？哪些结构的低维材料是稳定的？我们急需发展一套理论来阐明低维材料的稳定存在的判据，为低维材料的制备提供理论依据。 Peierls [ 7 ] 和Landau [ 8 ] 分别于1935年和1937年给出了低维晶体存在性的经典理论(PLM理论)，文章指出严格的低维材料在热力学极限下，不能在有限温度下稳定存在，后来Mermin和Wangner也利用Bogoliubor不等式证实晶序不能在低维材料中维持 [ 9 ]。而事实上，不断有低维材料的成功制备并得到了广泛的应用，上述理论预测与实验结果之间的矛盾给低维材料的研究造成了一定的困扰，2017年王彪等从材料所处空间的维度和尺寸对此困扰给出了解释 [ 10 ]。 近几年低维材料的存在性和稳定性的研究也有了一定的进展，2016年U Güngördü，Utkan et al. [ 11 ] 研究了Skyrmion晶格的稳定性和准二维手性磁体的对称性，2016年Song， T et al. [ 12 ] 研究了氧化铝单层的稳定性及其与二维材料的界面，2019年Chen， J. & Wang， B [ 13 ] 研究了类石墨烯材料平板模型的存在准则和有效性，2014年孟繁臣 [ 14 ] 基于第一性原理研究了低维碳材料结构和稳定性，2008年欧阳玉等 [ 15 ] 研究了碳纳米管的稳定性，2005年张晓宇 [ 16 ] 研究了碳纳米管稳定性，弹性性质及接触问题，给出了最小碳纳米管直径为0.32。Born等 [ 17 ] 于1940年研究了三维材料的存在性准则，利用形变原子势二次型的正定性推导出来力学存在性准则，并利用原子势能不等式的形式表达，一旦原子势的细节被了解，我们就能确定原子是否能形成稳定的三维结构。2017年王彪等 [ 10 ] 借鉴 [ 17 ] 研究三维材料存在性的方法研究了低维材料的存在性准则，文章基于原子势能的能量法则建立了低维材料的存在性准则，利用此准则推导出单/平单元素低维材料稳定存在的具体条件，用两种典型的原子势描述了低维材料的存在性准则，最后讨论了二维屈曲蜂窝状结构的稳定性。 本文在 [ 10 ] 的基础上，充分利用矩阵理论来探讨低维材料的稳定存在性，由矩阵的正定性推导低维材料可以稳定存在的条件，从而建立低维材料的稳定存在性准则，然后具体讨论直单元素一维材料和平单元素二维材料的稳定存在性条件。