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user: 2. 提出估计的性质 接下来我们将在均方误差矩阵(MSEM)准则下，对新提出的新估计SRTPE与TPE，LTE，LE，SRE，SRLE和SRLTE进行比较。其中参数 β 的估计 β ^ 的MSEM为： M S E M ( β ^ ) = E [ ( β ^ − β ) ( β ^ − β ) ′ ] = C o v ( β ^ ) + B i a s ( β ^ ) B i a s ′ ( β ^ ) (11) 这里 C o v ( β ^ ) 是方差矩阵， B i a s ( β ^ ) 是估计 β ^ 的偏差。一般的，当 Δ = M S E M ( β ^ 1 ) − M S E M ( β ^ 2 ) ≥ 0 时，我们称估计 β ^ 2 在MSEM准则下优于 β ^ 1 。 现在，我们将根据以下三个引理来证明我们所得的定理。引理如下： 引理1. (Rao和Toutenburg [ 9 ])设矩阵A和B是 n × n 阶矩阵，且 A > 0 ， B ≥ 0 。则 A + B > 0 。 引理2. (Rao [ 10 ])设M和N都为 n × n 阶正定矩阵，则 M > N 当且仅当 λ max ( N M − 1 ) < 1 。 引理3. (Trenkler和Toutenburg [ 11 ])令参数向量 β 的两个估计 β ^ j = A j y ， j = 1 ， 2 。设 Δ = C o v ( β ^ 1 ) − C o v ( β ^ 2 ) > 0 。则 M S E M ( β ^ 1 ) − M S E M ( β ^ 2 ) > 0 当且仅当 u ′ 2 ( Δ + u 1 u ′ 1 ) − 1 u 2 ≤ 1 。其中， u j 为 β ^ j 的偏差。 定理1. SRTPE在MSEM准则下总是优于TPE。 证明：由公式(11)可得TPE和SRTPE的MSEM如下， M S E M ( β ^ T P E ) = F k − d C − 1 F k − d + m 1 m ′ 1 M S E M ( β ^ S R T P E ) = F k − d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k − d + m 1 m ′ 1 其中 m 1 = k ( d − 1 ) ( C + k I ) − 1 β 。现在我们考虑它们的差，令 Δ 1 = M S E M ( β ^ T P E ) − M S E M ( β ^ S R T P E ) = F k − d C − 1 F k − d + m 1 m ′ 1 − F k − d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k − d − m 1 m ′ 1 = F k − d { C − 1 − ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 } F k − d 由于： ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 = C − 1 − C − 1 H ′ ( Ψ + H C − 1 H ′ ) − 1 H C − 1 则 C − 1 H ′ ( Ψ + H C − 1 H ′ ) − 1 H C − 1 = C − 1 − ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 ≥ 0 又因为矩阵 F k − d = ( C + k I ) − 1 ( C + k d I ) > 0 ，因此 Δ 1 = F k − d { C − 1 − ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 } F k − d = F k − d { C − 1 H ′ ( Ψ + H C − 1 H ′ ) − 1 H C − 1 } F k − d = M S E M ( β ^ T P E ) − M S E M ( β ^ S R T P E ) ≥ 0 证明完成。 定理2. 当 λ max { F k − d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k − d ( F k d C − 1 F k d ) − 1 } < 1 时，新估计SRTPE在MSEM准则下优于 LTE当且仅当 m ′ 1 ( D 2 + m 2 m ′ 2 ) − 1 m 1 ≤ 1 。其中 D 2 = F k d C − 1 F k d − F k − d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k − d ， m 2 = ( d + k ) ( C + k I ) − 1 β 。 证明：由公式(11)可得LTE的MSEM为 M S E M ( β ^ L T E ) = F k d C − 1 F k d + m 2 m ′ 2 接下来我们考虑LTE与SRTPE的MSEM的差 Δ 2 = M S E M ( β ^ L T E ) − M S E M ( β ^ S R T P E ) = F k d C − 1 F k d + m 2 m ′ 2 − F k − d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k − d − m 1 m ′ 1 = D 2 + m 2 m ′ 2 − m 1 m ′ 1 因为 F k d C − 1 F k d > 0 ， F k − d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k − d > 0 ，根据引理2， 当 λ max { F k − d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k − d ( F k d C − 1 F k d ) − 1 } < 1 时， D 2 > 0 。再根据引理3，当 m ′ 1 ( D 2 + m 2 m ′ 2 ) − 1 m 1 ≤ 1 时， Δ 2 ≥ 0 。定理得证。 定理3. 当 λ max { F k − d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k − d ( F d C − 1 F d ) − 1 } < 1 时，新估计SRTPE在MSEM准则下优于 LE当且仅当 m ′ 1 ( D 3 + m 3 m ′ 3 ) − 1 m 1 ≤ 1 。其中 D 3 = F d C − 1 F d − F k − d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k − d ， m 3 = ( d − 1 ) ( C + I ) − 1 β 。 证明：由公式(11)可得LE的MSEM为 M S E M ( β ^ L E ) = F d C − 1 F d + m 3 m ′ 3 考虑LE与SRTPE的MSEM的差 Δ 3 = M S E M ( β ^ L E ) − M S E M ( β ^ S R T P E ) = F d C − 1 F d + m 3 m ′ 3 − F k − d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k − d − m 1 m ′ 1 = D 3 + m 3 m ′ 3 − m 1 m ′ 1 因为 F d C − 1 F d > 0 ， F k − d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k − d > 0 ，根据引理2， 当 λ max { F k − d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k − d ( F d C − 1 F d ) − 1 } < 1 时， D 3 > 0 。再根据引理3有，当 m ′ 1 ( D 3 + m 3 m ′ 3 ) − 1 m 1 ≤ 1 时， Δ 3 ≥ 0 。得证。 定理4. SRTPE在MSEM准则下优于SRE当且仅当 λ max ( M 1 D 4 − 1 ) < 1 。其中 D 4 = ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 ， M 1 = F k − d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k − d + m 1 m ′ 1 。 证明：由公式(11)可得SRE的MSEM为 M S E M ( β ^ S R E ) = ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 考虑SRE与SRTPE的MSEM的差 Δ 4 = M S E M ( β ^ S R E ) − M S E M ( β ^ S R T P E ) = ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 − { F k − d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k − d + m 1 m ′ 1 } = D 4 − M 1 由于 M 1 = F k − d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k − d + m 1 m ′ 1 ，因为 F k − d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k − d > 0 ， m 1 m ′ 1 ≥ 0 ，所以根据引理1可知 M 1 > 0 。又因为 D 4 > 0 ，根据引理2有当 λ max ( M 1 D 4 − 1 ) < 1 时， D 4 > M 1 即 Δ 4 = D 4 − M 1 > 0 。定理4得证。 定理5. 当 时，SRTPE在MSEM准则下优于SRLE当且仅当 m ′ 1 ( D 5 + m 3 m ′ 3 ) − 1 m 1 ≤ 1 。其中， D 5 = F d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F d − F k − d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k − d 。 证明：由公式(11)可得SRLE的MSEM为 M S E M ( β ^ S R L E ) = F d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F d + m 3 m ′ 3 考虑SRLE与SRTPE的MSEM的差 Δ 5 = M S E M ( β ^ S R L E ) − M S E M ( β ^ S R T P E ) = F d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F d + m 3 m ′ 3 − F k − d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k − d − m 1 m ′ 1 = D 5 + m 3 m ′ 3 − m 1 m ′ 1 因为 F d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F d > 0 ， F k − d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k − d > 0 ，通过引理2，当 λ max { F k − d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k − d ( F d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F d ) − 1 } < 1 时， D 5 > 0 。再根据引理3，当 m ′ 1 ( D 5 + m 3 m ′ 3 ) − 1 m 1 ≤ 1 时， Δ 5 ≥ 0 。定理得证。 定理6. 当 λ max { F k − d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k − d ( F k d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k d ) − 1 } < 1 时，SRTPE在MSEM准则下优于SRLTE当且仅当 m ′ 1 ( D 6 + m 2 m ′ 2 ) − 1 m 1 ≤ 1 。 其中 D 6 = F k d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k d − F k − d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k − d 。 证明：由公式(11)可得SRLTE的MSEM如下 M S E M ( β ^ S R L T E ) = F k d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k d + m 2 m ′ 2 考虑SRLTE与SRTPE的MSEM的差 Δ 6 = M S E M ( β ^ S R L T E ) − M S E M ( β ^ S R T P E ) = F k d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k d + m 2 m ′ 2 − F k − d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k − d − m 1 m ′ 1 = D 6 + m 2 m ′ 2 − m 1 m ′ 1 因为 F k d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k d > 0 ， F k − d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k − d > 0 ，通过引理2有，当 λ max { F k − d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k − d ( F k d ( C + H ′ Ψ − 1 H ) − 1 F k d ) − 1 } < 1 时， D 6 > 0 。根据引理3，当 m ′ 1 ( D 6 + m 2 m ′ 2 ) − 1 m 1 ≤ 1 时， Δ 6 ≥ 0 。定理得证。