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user: 2. l p ， r 在 l q ( 1 ≤ q < p < ∞ ， r > 1 q − 1 p )中的Gel’fand宽度 定义1：设 ( X ， ‖   •   ‖ ) 为赋范线性空间，A为X中非空子集， n ∈ ℕ ∗ = { 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ } ，称 d n ( A ， X ) : = inf L n sup x ∈ A ∩ L n ‖ x ‖ 为A在X中的Gel’fand n-宽度。其中 L n 取遍X中余维数不超过n的所有线性子空间。本文用 codim L n 表示 L n 的余维数。 关于Gel’fand宽度的性质，可参阅Pinkus专著 [ 1 ]。 本文主要讨论 l p ， r 在 l q 中的Gel’fand宽度精确阶，其中 1 ≤ q < p < ∞ ， r > 1 q − 1 p ，这也是本文的主要结果。 定理1：设 1 ≤ q < p < ∞ ， r > 1 q − 1 p ， n ∈ ℕ ∗ ，则 d n ( B p ， r ， l q ) ≻ ≺ n − ( r − 1 q + 1 p ) ． 其中，“ ≻ ≺ ”定义如下： c ， c i ， i = 0 ， 1 ， ⋯ ，表示仅与参数p，q，r相关的正常数。若对于正函数 μ ( y ) 和 ν ( y ) ， y ∈ B (B是正函数 μ ( y ) 和 ν ( y ) 的定义域)，存在正常数 c 1 ， c 2 ，使得对任意的 y ∈ B ，有 μ ( y ) ≥ c 1 ν ( y ) 或者 μ ( y ) ≤ c 1 ν ( y ) ，则将其记为： μ ( y ) ≫ ν ( y ) 或者 μ ( y ) ≪ ν ( y ) 。若存在正常数 c 3 ， c 4 ，使得对任意的 y ∈ B ，有 c 3 ≤ μ ( y ) / ν ( y ) ≤ c 4 ，则记为： μ ( y ) ≻ ≺ ν ( y ) ，即对任意的 y ∈ B ，若 μ ( y ) ≫ ν ( y ) 和 μ ( y ) ≪ ν ( y ) 同时成立，则有 μ ( y ) ≻ ≺ ν ( y ) 。 本文采用将无穷维序列空间的Gel’fand宽度转化为有限维空间的Gel’fand宽度来证明定理1，首先介绍有限维空间的Gel’fand宽度。 1 ≤ p ≤ ∞ ，用 l p m 表示在 ℝ m 上赋予通常范数 ‖   •   ‖ l p m 的Banach空间，用 B p m 表示 l p m 中的单位球。易见， { e ′ k } k = 1 m 为 l p m 的基，其中 e k 表示 ℝ m 中第k个分量为1，其余分量为0的向量。有限维空间的Gel’fand宽度有如下结果： 命理2 [ 1 ]：设 1 ≤ q < p ≤ ∞ ， n ∈ ℕ ∗ ，则 d n ( B p m ， l q m ) = { ( m − n ) 1 q − 1 p ，                             0 ≤ n ≤ m ， 0 ，                                                                                                                     n > m     . 下面，建立估计定理1上界的引理。 对 k ∈ ℕ = { 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ } ，令 S k = { n ∈ ℕ | 2 n − 1 ≤ n < 2 k } . 易见 m k : = | S k | = 2 k − 1 。 引理3：设 1 ≤ q < p < ∞ ， r > 1 q − 1 p ， n ∈ ℕ ∗ ， { n k } 为非负整数序列，且 n k ≤ m k ， ∑ k = 1 ∞ n k ≤ n ，则 d n ( B p ， r ， l q ) ≪ ∑ k = 1 ∞ 2 − r k d n k ( B p m k ， l q m k )     . 证明：对 ∀ k ∈ ℕ ，令 F k = s p a n { e n | n ∈ S k } . 易见 dim F k = m k 。令 I k : F k → ℝ m k ， x = ∑ j ∈ S k x j e j ↦ ∑ j = 1 m k x 2 k − 1 + j − 1 e ′ j . 则 I k 为 F k 到 ℝ m k 上的线性同构映射。 对 ∀ x = ∑ j ∈ S k x j e j ∈ F k ， ∀ y = ∑ j ∈ S k y j e j ，则 ‖ x ‖ p ， r = ( ∑ j = 2 k − 1 2 k − 1 | j r x j | p ) 1 p ≻ ≺ 2 k r ( ∑ j = 2 k − 1 2 k − 1 | x j | p ) 1 p = 2 k r ‖ I k x ‖ l p m k ， (1) ‖ y ‖ q = ‖ I k y ‖ l q m k . (2) 令 Δ k : l p → F k ∩ l p ， x = ∑ j = 1 ∞ x j e j ↦ ∑ j = 2 k − 1 2 k − 1 x j e j . 为 l p 到 F k ∩ l p 上的投影。 由Gel’fand宽度的定义，存在 l q m k 中余维数为 n k 的线性子空间 L n k ，使得 d n k ( B p m k ， l q m k ) = sup x ∈ B p m k ∩ L n k ‖ x ‖ l q m k . (3) 易见， T n k : = I k − 1 L n k 为 l q 中余维数为 n k 的线性子空间，由(1) (2) (3)式可得 sup x ∈ B p ， r Δ k x ∈ T n k ‖ x ‖ l q ≪ 2 − r k sup x ∈ B p m k ∩ L n k ‖ x ‖ l q m k = 2 − r k d n k ( B p m k ， l q m k ) . (4) 令 T n : = ∑ k = 1 ∞ T n k ，其和为直和。易见 codim R n ≤ ∑ k = 1 ∞ codim T n k ≤ ∑ k = 1 ∞ n k ≤ n     . 从而 d n ( B p ， r ， l q ) ≤ sup x ∈ B p ， r ∩ T n ‖ x ‖ l q ≤ ∑ k = 1 ∞ sup Δ k x ∈ T n k ‖ x ‖ l q ≤ ∑ k = 1 ∞ 2 − k r d n k ( B p m k ， l q m k ) ． 下面，建立估计定理1下界的引理。 引理4：设 1 ≤ q < p < ∞ ， r > 1 q − 1 p ， n ∈ ℕ ∗ ， k ′ = [ log 2 n ] + 1 ， k = k ′ + 2 ，则 d n ( B p ， r ， l q ) ≫ 2 − r k ′ d n ( B p m k ， l q m k ) . 证明：易见 m k ≥ n ，且 d n ( B p ， r ， l q ) ≥ d n ( B p ， r ∩ F k ， l q ) . 由Gel’fand宽度的定义，存在 l q ∩ F k 的余维数为n的线性子空间 T n ，使得 d n ( B p ， r ∩ F k ， l q ) = sup x ∈ B p ， r ∩ F k ∩ T n ‖ x ‖ l q ． 令 L n = I k T n ，则 L n 为 l q m k 中余维数为n的线性子空间，由Gel’fand宽度的定义及(1) (2)有 d n ( B p m k ， l q m k ) ≤ sup x ∈ B p m k ∩ L n ‖ x ‖ l q m k ≪ 2 k r sup x ∈ B p ， r ∩ F n ∩ T n ‖ x ‖ l q = 2 k r d n ( B p ， r ， l q ) 即 d n ( B p ， r ， l q ) ≫ 2 − k r d n ( V p m k ， l q m k ) . 定理1的证明 1. 定理1上界的证明： 令 k ′ = [ log 2 n ] + 1 。对 k ∈ ℕ ，令 n k = { m k ，                                                             1 ≤ k ≤ k ′ [ n 2 k ′ − k ] ，                             k > k ′ 则 ∑ k = 1 ∞ n k ≤ n ，由引理3及命理2知 d n ( B p ， r ， l q ) ≪ ∑ k = 1 ∞ 2 − r k d n k ( B p m k ， l q m k ) = ∑ k = k ′ ∞ 2 − r k d n k ( B p m k ， l q m k ) ≤ ∑ k = k ′ ∞ 2 − r k m k 1 q − 1 p ≤ ∑ k = k ′ ∞ 2 − r k 2 ( 1 q − 1 p ) k = ∑ k = k ′ 2 − ( r − 1 q + 1 p ) k ≪ 2 − ( r − 1 q + 1 p ) k ′ ≪ n − ( r − 1 q + 1 p ) 2. 定理1下界的证明： 令 k ′ 与k为满足引理4的 k ′ 与k，则由引理4和命题1知 d n ( B p ， r ， l q ) ≫ 2 − r k d n k ( B p m k ， l q m k ) ≫ 2 − r k ′ ( m k ， n ) 1 q − 1 p ≫ 2 − r k ( 2 k − 1 ， 2 k ′ ) 1 q − 1 p ≫ 2 − r k ′ 2 ( 1 q − 1 p ) k ′ = 2 − ( r − 1 q + 1 p ) k ′ ≫ n − ( r − 1 q + 1 p ) 综上所述，定理1得证。