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user: 3. 主要结果 在本节中引入一致模糊偏序集和一致模糊连续偏序集的概念。 定义3.1：设 ( X ， e ) 为模糊偏序集， A ∈ L X 为模糊子集，若 ∀ D ⊆ A ， ∀ x ， y ∈ X 满足： 1) ∨ x ∈ X A ( x ) = 1 ； 2) D ( x ) ∧ D ( y ) ≤ ∨ z ∈ X A ( z ) ∧ e ( x ， z ) ∧ e ( y ， z ) 。 则称A为一致模糊偏序集。 ( X ， e ) 上的一致模糊偏序集的全体记为 U F ( X ) ，若A还是一个模糊下集，则称A为一致模糊理想，全体一致模糊理想记为 U F I ( X ) 。 注3.1：在定义2.1中若令 D = A ，则此时A为模糊定向集。即模糊定向集为一致模糊集。 定义3.2：设 ( X ， e ) 为模糊偏序集，若 ∀ A ∈ U F ( X ) ， ∐ A 存在，则称 ( X ， e ) 为一致模糊完备偏序集。记为UFCPO。 注3.2：设 ( X ， e ) 是UFCPO， A ∈ U F ( X ) ， D ⊆ A 为模糊子集，则 ∐ D ≤ ∐ A ，等号成立当且仅当 D = A 。 定义3.3：设 ( X ， e ) 为UFCPO，定义其上的一致模糊way-below关系为， ∀ x ， y ∈ X ， ⇓ U F x ( y ) = ∧ I ∈ U F I ( X ) ( e ( x ， ∐ I ) → I ( y ) ) . 称 ⇓ U F : X × X → L 为 ( X ， e ) 上的一致模糊way-below关系，且 ⇓ U F x ( y ) =   ⇓ U F ( y ， x ) 。如果 ∀ x ∈ X ， ⇓ U F x ∈ U F ( X ) 且 x =   ⇓ U F ∐ x ，则称 ( X ， e ) 为一致模糊连续偏序集或一致模糊Domain。 定理3.1：设 ( X ， e ) 为UFCPO， ∀ x ∈ X ， A ∈ U F ( X ) ，若 x = ∐ A ，则 ⇓ U F x ≤   ↓ A 。 证明：设 ( X ， e ) 为UFCPO，故 ∀ A ∈ U F ( X ) ， ∐ A 存在，且 ↓ A 为一致模糊理想，故 x = ∐ A = ∐ ↓ A 。因此 ∀ y ∈ X ，有 ⇓ U F x ( y ) ≤ e ( x ， ∐ A ) →   ↓ A ( y ) = 1 → ↓ A ( y ) =   ↓ A ( y ) . 命题3.1：设 ( X ， e ) 为UFCPO， ∀ x ， y ∈ X ， ∀ I ∈ U F I ( X ) ，则以下条件成立： 1) ∧ y ∈ X e ( x ， y ) ≤ I ( x ) ； 2) ∧ z ∈ X e ( x ， y ) ≤   ⇓ U F y ( x ) ； 3) ⇓ U F x ≤   ↓ x ； 4) 对任意的 u ， v ∈ X ， e ( u ， x ) ∧ ⇓ U F y ( x ) ∧ e ( y ， v ) ≤   ⇓ U F v ( u ) 。 证明： 1) ∧ y ∈ X e ( x ， y ) = ( ∧ y ∈ X e ( x ， y ) ) ∧ ( ∨ z ∈ X I ( z ) ) = ∨ z ∈ X ( ∧ y ∈ X e ( x ， y ) ∧ I ( z ) ) ≤ ∨ z ∈ X ( e ( x ， z ) ∧ I ( z ) ) ≤ I ( x ) 。 2) ⇓ U F y ( x ) = ∧ I ∈ U F I ( X ) e ( y ， ∐ I ) → I ( x ) ≥ ∧ I ∈ U F I ( X ) I ( x ) ≥ ∧ z ∈ X e ( x ， z ) 。 3) ⇓ U F x ( y ) ≤ e ( x ， ∐ ↓ x ) →   ↓ x ( y ) = e ( x ， x ) → e ( y ， x ) = e ( y ， x ) =   ↓ x ( y ) 。 4) e ( v ， ∐ I ) ∧ e ( u ， x ) ∧ e ( y ， u ) ∧ ( e ( y ， ∐ I ) → I ( x ) ) ≤ e ( y ， ∐ I ) ∧ ( e ( y ， ∐ I ) → I ( x ) ) ∧ e ( u ， x )                                                                                                                                     ≤ e ( u ， x ) ∧ I ( x ) ≤ I ( u ) 。 且 e ( u ， x ) ∧ e ( y ， u ) ∧ ( e ( y ， ∐ I ) → I ( x ) ) ≤ e ( v ， ∐ I ) → I ( u ) 。 进而 e ( u ， x ) ∧ ⇓ U F y ( x ) ∧ e ( y ， v ) = e ( u ， x ) ∧ e ( y ， u ) ∧ ( ∧ I ∈ U F I ( X ) e ( y ， ∐ I ) → I ( x ) ) ≤ ∧ I ∈ U F I ( X ) e ( u ， x ) ∧ e ( y ， u ) ∧ ( e ( y ， ∐ I ) → I ( x ) ) ≤ ∧ I ∈ U F I ( X ) e ( v ， ∐ I ) → I ( u ) = ⇓ U F v ( u ) 。 定理3.2：设 ( X ， e ) 为一致模糊Domain，则 ∀ x ， y ∈ X ， ⇓ U F y ( x ) = ∨ z ∈ X ⇓ U F z ( x ) ∧ ⇓ U F y ( z ) 。 证明：由命题3.1可知 ∨ z ∈ X ⇓ U F z ( x ) ∧ ⇓ U F y ( z ) ≤   ⇓ U F y ( x ) 。下证 ⇓ U F y ( x ) ≤ ∨ z ∈ X ⇓ U F z ( x ) ∧ ⇓ U F y ( z ) . ∀ a ∈ X ，令 A ( a ) = ∨ z ∈ X ⇓ U F z ( x ) ∧ ⇓ U F y ( z ) 。故只需证 ⇓ U F y ( a ) ≤ A ( x ) 。 首先证A是一致模糊理想。 1) ∨ a ∈ X A ( a ) = ∨ a ∈ X ∨ z ∈ X ⇓ U F z ( a ) ∧ ⇓ U F y ( z ) = ∨ z ∈ X ∨ a ∈ X ⇓ U F z ( a ) ∧ ⇓ U F y ( z ) = ∨ z ∈ X ( ⇓ U F y ( z ) ∧ ( ∨ a ∈ X ⇓ U F z ( a ) ) ) = ∨ z ∈ X ⇓ U F y ( z ) = 1 2) ∀ a ， b ∈ X ， A ( a ) ∧ e ( b ， a ) = ∨ z ∈ X ⇓ U F z ( a ) ∧ ⇓ U F y ( z ) ∧ e ( b ， a ) ≤ ∨ z ∈ X ⇓ U F z ( b ) ∧ ⇓ U F y ( z ) = A ( b ) . 因此A是模糊下集。 3) ∀ a ， b ∈ X ， ∀ D ⊆ A ，由命题3.1 (4)， D ( a ) ∧ D ( b ) = ∨ a 1 ， b 1 ∈ X ⇓ U F a 1 ( a ) ∧ ⇓ U F b 1 ( b ) ∧ ⇓ U F y ( a 1 ) ∧ ⇓ U F y ( b 1 ) ≤ ∨ a 1 ， b 1 ∈ X ∨ c ∈ X ⇓ U F a 1 ( a ) ∧ ⇓ U F b 1 ( b ) ∧ ⇓ U F y ( c ) ∧ e ( a ， c ) ∧ e ( b ， c ) = ∨ a 1 ， b 1 ∈ X ∨ c ∈ X ( ⇓ U F a 1 ( a ) ∧ e ( a ， c ) ) ∧ ( ⇓ U F b 1 ( b ) ∧ e ( b ， c ) ) ∧ ⇓ U F y ( c ) ≤ ∨ a 1 ， b 1 ∈ X ∨ c ∈ X ⇓ U F c ( a ) ∧ ⇓ U F c ( b ) ∧ ⇓ U F y (c) = ∨ c ∈ X ⇓ U F c ( a ) ∧ ⇓ U F c ( b ) ∧ ⇓ U F y ( c ) ≤ ∨ c ∈ X ∨ d ∈ X ⇓ U F c ( d ) ∧ e ( a ， d ) ∧ e ( b ， d ) ∧ ⇓ U F y ( c ) = ∨ d ∈ X ( e ( a ， d ) ∧ e ( b ， d ) ∧ ( ∨ c ∈ X ⇓ U F c ( d ) ∧ ⇓ U F y ( c ) ) ) = ∨ d ∈ X e ( a ， d ) ∧ e ( b ， d ) ∧ A (d) 其次， y = ∐ A 。事实上， ∀ a ∈ X ， ∧ z ∈ X A ( z ) → e ( z ， a ) = ∧ z ∈ X ∧ a 1 ∈ X ( ⇓ U F a 1 ( z ) ∧ ⇓ U F y ( a 1 ) → e ( z ， a ) )                                                       = ∧ a 1 ∈ X ( ⇓ U F y ( a 1 ) → ∧ z ∈ X ( ⇓ U F a 1 ( z ) → e ( z ， a ) ) )                                                       = ∧ a 1 ∈ X ⇓ U F y ( a 1 ) → e ( ∐ ⇓ U F a 1 ， a )                                                       = ∧ a 1 ∈ X ⇓ U F y ( a 1 ) → e ( a 1 ， a ) = e ( y ， a ) . 最后， ⇓ U F y ( x ) = ∧ I ∈ U F I ( X ) e ( y ， ∐ I ) → I ( x ) ≤ e ( y ， ∐ A ) → A ( x ) = 1 → A ( x ) = A ( x ) 。 定理3.3： ( X ， e ) 是一致模糊Domain当且仅当 ( ⇓ U F ， ∐ ) 是 ( X ， e ) 和 ( U F I ( X ) ， s u b X ) 之间的一个模糊Galois伴随。 证明： 1) 必要性。 ∀ x ， y ∈ X ， s u b ( ⇓ U F x ， ⇓ U F y ) = ∧ z ∈ X ( ∧ I ∈ U F I ( X ) e ( x ， ∐ I ) → I ( z ) ) → ( ∧ J ∈ U F I ( X ) e ( y ， ∐ J ) → J ( z ) ) ≥ ∧ z ∈ X ( ∧ J ∈ U F I ( X ) e ( y ， ∐ I ) → J ( z ) ) → ( e ( y ， ∐ J ) → J ( z ) ) ≥ ∧ J ∈ U F I ( X ) e ( y ， ∐ J ) → e ( x ， ∐ J ) ≥ e ( x ， y ) . 则 ⇓ U F 是保模糊序的。 ∀ I ， J ∈ U F I ( X ) ， e ( ∐ I ， ∐ J ) = ∧ x ∈ X I ( x ) → e ( x ， ∐ J ) ≥ ∧ x ∈ X I ( x ) → J ( x ) = s u b X ( I ， J ) ，故 ∐ 也是保模糊序的。 ∀ x ∈ X ， I ∈ U F I ( X ) ， s u b X ( ⇓ U F x ， I ) = ∧ y ∈ X ⇓ U F x ( y ) → I ( y ) ≥ ∧ y ∈ I ( e ( x ， ∐ I ) → I ( y ) ) → I ( y ) ≥ e ( x ， ∐ I ) . 并且， e ( x ， ∐ I ) = ∧ y ∈ X ⇓ U F x ( y ) → e ( y ， ∐ I ) ≥ ∧ y ∈ X ⇓ U F x ( y ) → I ( y ) = s u b X ( ⇓ U F x ， I ) 。 因此， ( ⇓ U F ， ∐ ) 是 ( X ， e ) 和 ( U F I ( X ) ， s u b X ) 之间的一个模糊Galois伴随。 2) 充分性。因 ( ⇓ U F ， ∐ ) 是 ( X ， e ) 和 ( U F I ( X ) ， s u b X ) 之间的一个模糊Galois伴随，故 ∀ x ∈ X ， ⇓ U F x ∈ U F I ( X ) 且 e ( x ， ∐ ⇓ U F x ) = 1 ，进而 x ≤ ∐ ⇓ U F x ≤ ∐ ↓ x = x ，故 x = ∐ ⇓ U F x 。所以 ( X ， e ) 是一致模糊Domain。