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user: 3. 一类五维李代数的交叉模 从本小节开始，我们将讨论一类五维李代数L的交叉模，这里 L = s l 2 ⊕ C c 1 ⊕ C c 2 ，并满足 [ x i ， x j ] L = [ x i ， x j ] s l 2 ， ∀ x i ， x j ∈ s l 2 ，其中 c 1 ， c 2 是L的中心。以下均假设P是单李代数 s l 2 ，向量空间V是一个一维的P-模。 引理1. 假设 ( R ， L ， ∂ ) 是一个带有核V和余核P的交叉模，那么 dim R = 3 。 证明：由于 ( R ， L ， ∂ ) 是一个带有核V和余核P的交叉模，那么自然存在一个正合列 0 → V → R → ∂ L → P → 0 . 由此我们知道 dim R = dim ker ∂ + dim Im ∂ = dim V + dim L / P = 3 .， 因为 dim V = 1 ， dim R = 3 ，以下均固定向量空间V的一组基为 { r 0 } ，向量空间R的一组基为 { r 0 ， r 1 ， r 2 } 。 引理2. ∂ ≠ 0 ， ∂ ( r 0 ) = 0 。另外， [ r 0 ， r 1 ] = [ r 0 ， r 2 ] = 0 。 证明：如果 ∂ = 0 ，那么 V = ker ∂ = R ，这是矛盾的。根据正合列 0 → V → R → ∂ L → P → 0 ，显然， ∂ ( r 0 ) = 0 。根据(4)式，有 [ r 0 ， r 1 ] = ∂ ( r 0 )   .   r 1 = 0 ； [ r 0 ， r 2 ] = ∂ ( r 0 )   .   r 2 = 0 ，即 [ r 0 ， r 1 ] = [ r 0 ， r 2 ] = 0 。， 引理3. P在R上的作用是平凡的，即 P   .   R = 0 。 证明：因为R是L的一个交叉模，那么R也是一个P-模。由于 P = s l 2 是一个单李代数，根据Weyl定理可知R是完全可约的，因此我们讨论下面三种情形。 情形1：令 R = V ⊕ V 1 ⊕ V 2 ，这里 V = s p a n C { r 0 } ， V 1 = s p a n C { r 1 } ， V 2 = s p a n C { r 2 } 是 s l 2 的一维子模。 已知 s l 2 的每一个一维子模都是平凡的，那么 P   .   V = 0 ， P   .   V 1 = 0 ， P   .   V 2 = 0 ，即 P   .   R = 0 。 情形2：令 R = V ⊕ V 1 ，这里 V = s p a n C { r 0 } ， V 1 = s p a n C { r 1 ， r 2 } 是 s l 2 的不可约子模。 因为V是 s l 2 的一维子模，那么 P   .   V = 0 。 已知 s l 2 的二维子模 V 1 在同构意义下是唯一存在的。不失一般性，选取 r 1 作为 V 1 中的极大向量，那么P在R上的作用如下： x   .   r 0 = 0 ; x   .   r 1 = 0 ; x   .   r 2 = r 1 ; y   .   r 0 = 0 ; y   .   r 1 = r 2 ; y   .   r 2 = 0 ; h   .   r 0 = 0 ; h   .   r 1 = r 1 ; x   .   r 2 = − r 2 . 由于 ∂ ( r 2 ) ∈ C c 1 ⊕ C c 2 ，所以 ∂ ( r 1 ) = ∂ ( x   .   r 2 ) = [ x ， ∂ ( r 2 ) ] = 0 。类似地，由于 ∂ ( r 1 ) ∈ C c 1 ⊕ C c 2 ，故 ∂ ( r 2 ) = ∂ ( y   .   r 1 ) = [ y ， ∂ ( r 1 ) ] = 0 ，因此 ∂ = 0 ，这与引理2矛盾。 情形3： R = { r 0 ， r 1 ， r 2 } 是不可约的，那么R在同构意义下是唯一的，其模作用如下： x   .   r 0 = 0 ; x   .   r 1 = 2 r 0 ; x   .   r 2 = r 1 ; y   .   r 0 = r 1 ; y   .   r 1 = 2 r 2 ; y   .   r 2 = 0 ; h   .   r 0 = 2 r 0 ; h   .   r 1 = 0 ; h   .   r 2 = − 2 r 2 . 据此 ∂ ( r 1 ) = ∂ ( x   .   r 2 ) = [ x ， ∂ ( r 2 ) ] = 0 ；类似地， ∂ ( 2 r 2 ) = ∂ ( y   .   r 1 ) = [ y ， ∂ ( r 1 ) ] = 0 ，那么 ∂ ( r 2 ) = 0 ，因此 ∂ = 0 ，这与引理2矛盾。 综上所述，P在R上的作用是平凡的。， 沿用上面的记号，设 c 1   .   ( r 0 ， r 1 ， r 2 ) = ( r 0 ， r 1 ， r 2 ) M ; c 2   .   ( r 0 ， r 1 ， r 2 ) = ( r 0 ， r 1 ， r 2 ) N ; ∂ ( r 0 ， r 1 ， r 2 ) = ( 0 ， c 1 ， c 2 ) A ， 这里 ， N = ( m i j ) 3 × 3 ， N = ( n i j ) 3 × 3 ， A = ( a i j ) 3 × 3 均为 3×3 的矩阵。由于V可看作R的一个L子模，所以可把M、N、A写成分块矩阵的形式 M = ( m 11 M 1 0 M 2 ) ， N = ( n 11 N 1 0 N 2 ) ， A = ( 0 0 0 A 1 ) ， 其中 M 1 ， N 1 是 1 × 2 的矩阵， M 2 ， N 2 ， A 1 均为 2 × 2 的矩阵。 因为 ∂ ≠ 0 ，所以A不为零矩阵，故 A 1 中至少有一个非零元。不失一般性，以下不妨设 a 22 ≠ 0 。 定理1. 假设 P = s l 2 ，V是一个一维P-模，那么带有核V和余核P的交叉模 ( R ， L ， ∂ ) 模作用为如下两种情况： 当 det A 1 ≠ 0 时， P   .   R = 0 ， M = − n 12 a 22 ( 0 a 32 a 33 0 0 0 0 0 0 ) ， ， 当 det A 1 = 0 时， P   .   R = 0 ， M = − a 32 a 22 N ， N = ( n 11 n 12 n 13 0 − a 23 a 22 n 32 − a 23 a 22 n 33 0 n 32 n 33 ) ， 这里M，N， A 1 均为上述定义的矩阵。 证明：根据交叉模定义中的(3)式，我们有 0 = ∂ ( c 1   .   ( r 0 ， r 1 ， r 2 ) ) = ∂ ( r 0 ， r 1 ， r 2 ) M = ( 0 ， c 1 ， c 2 ) A M ， 从而可知 A M = 0 。同理， 0 = ∂ ( c 2   .   ( r 0 ， r 1 ， r 2 ) ) = ∂ ( r 0 ， r 1 ， r 2 ) N = ( 0 ， c 1 ， c 2 ) A N ， 可以推知 A N = 0 。另外，根据(4)式可推知， ( 0，0， [ r 1 ， r 2 ] ) = ∂ ( r 1 )   .   ( r 0 ， r 1 ， r 2 ) = ( a 2 2 c 1 + a 3 2 c 2 )   .   ( r 0 ， r 1 ， r 2 ) = ( r 0 ， r 1 ， r 2 ) ( a 22 M + a 32 N ) ， 所以 ( r 0 ， r 1 ， r 2 ) ( a 22 M + a 32 N ) = ( 0 ， 0 ， [ r 1 ， r 2 ] ) 。类似地， ( 0 ， − [ r 1 ， r 2 ] ， 0 ) = ∂ ( r 2 )   .   ( r 0 ， r 1 ， r 2 ) = ( a 2 3 c 1 + a 3 3 c 2 ) ⋅ ( r 0 ， r 1 ， r 2 ) = ( r 0 ， r 1 ， r 2 ) ( a 2 3 M + a 3 3 N ) ， 故而 ( r 0 ， r 1 ， r 2 ) ( a 2 3 M + a 3 3 N ) = ( 0 ， − [ r 1 ， r 2 ] ， 0 ) 。此外，由(1)式可知， 0 = [ c 1 ， c 2 ] ( r 0 ， r 1 ， r 2 ) = ( r 0 ， r 1 ， r 2 ) ( M N − N M ) ， 由此可知， M N = N M 。 若 det A 1 ≠ 0 ，由分块矩阵的运算，则 M 2 = 0 ， N 2 = 0 。经计算可得， M = − n 12 a 22 ( 0 a 32 a 33 0 0 0 0 0 0 ) ， N = − n 12 a 22 ( 0 a 2 2 a 2 3 0 0 0 0 0 0 ) ， 此外，由于 ∂ ( r 1 )   .   r 2 = [ r 1 ， r 2 ] 。故 [ r 1 ， r 2 ] = − n 12 a 22 ( det A 1 ) r 0 。 若 det A 1 = 0 ，经计算可得， ， M = − a 32 a 22 ( n 11 n 12 n 13 0 − a 23 a 22 n 32 − a 23 a 22 n 33 0 n 32 n 33 ) = − a 32 a 22 N ， 此时， [ r 1 ， r 2 ] = 0 ，即R是一个交换的交叉模。， 接下来，我们将讨论上述交叉模的等价类。 假设存在L的另一个交叉模 ( R ′ ， L ， ∂ ′ ) ，不妨设， c 1   .   ( r 0 ， r ′ 1 ， r ′ 2 ) = ( r 0 ， r ′ 1 ， r ′ 2 ) M ′ ; c 2   .   ( r 0 ， r ′ 1 ， r ′ 2 ) = ( r 0 ， r ′ 1 ， r ′ 2 ) N ′ ; ∂ ′ ( r 0 ， r ′ 1 ， r ′ 2 ) = ( 0 ， c 1 ， c 2 ) A ′ ， 这里 M ′ = ( m ′ i j ) 3 × 3 ， N ′ = ( n ′ i j ) 3 × 3 ， A ′ = ( a ′ i j ) 3 × 3 均为 3 × 3 的矩阵，可把他们写成分块矩阵的形式 M ′ = ( m ′ 11 M ′ 1 0 M ′ 2 ) ， N ′ = ( n ′ 11 N ′ 1 0 N ′ 2 ) ， A ′ = ( 0 0 0 A ′ 1 ) ， 其中 M ′ 1 ， N ′ 1 是 1 × 2 的矩阵， M ′ 2 ， N ′ 2 ， A ′ 1 均为 2×2 的矩阵。 如果两个交叉模 ( R ， L ， ∂ ) 和 ( R ′ ， L ， ∂ ′ ) 是等价的，那么存在一个李代数同态 f : R → R ′ 满足 ∂ ′ f = ∂ 且 f | V = i d V 。 以下均假设B是一个 3 × 3 的矩阵，使得 f ( r 0 ， r 1 ， r 2 ) = ( r 0 ， r ′ 1 ， r ′ 2 ) B 。将B写成分块矩阵的形式为 B = ( 1 B 1 0 B 2 ) ， 其中 B 1 是 1 × 2 的矩阵， B 2 是 2 × 2 的矩阵。 一方面， ∂ ′ f ( r 0 ， r 1 ， r 2 ) = ∂ ′ ( r 0 ， r ′ 1 ， r ′ 2 ) B = ( 0 ， c 1 ， c 2 ) A ′ B ；另一方面， ∂ ( r 0 ， r 1 ， r 2 ) = ( 0 ， c 1 ， c 2 ) A 。由于 ∂ ′ f = ∂ ，故而 A = A ′ B 。 此外， c 2   .   f ( r 0 ， r 1 ， r 2 ) = c 2   .   ( r 0 ， r ′ 1 ， r ′ 2 ) B = ( r 0 ， r ′ 1 ， r ′ 2 ) N ′ B ，而 f ( c 2   .   ( r 0 ， r 1 ， r 2 ) ) = ( r 0 ， r ′ 1 ， r ′ 2 ) B N 。根据f的相容性可知， c 2   .   f ( r 0 ， r 1 ， r 2 ) = f ( c 2   .   ( r 0 ， r 1 ， r 2 ) ) ，所以 N ′ B = B N 。同理可知， M ′ B = B M 。 考虑到f是一个李代数同态，因此 f ( [ r 1 ， r 2 ] ) = [ f ( r 1 ) ， f ( r 2 ) ] 。 综上所述，我们得到如下结论。 定理2. 两个交叉模 ( R ， L ， ∂ ) 和 ( R ′ ， L ， ∂ ′ ) 是等价的当且仅当 A = A ′ B ， N ′ B = B N ， M ′ B = B M ， f ( [ r 1 ， r 2 ] ) = [ f ( r 1 ) ， f ( r 2 ) ] ， 这里A， A ′ ，B，N， N ′ ，M， M ′ 均为上述定义的 3 × 3 矩阵。 对于前面定义的李代数的满同态 ν : L → P 和P-模V，可以通过下面正合列定义复形 C ( P ， L ; V ) 0 → C ( P ， V ) → ν * C ( L ， V ) → k * C ( P ， L ; V ) → 0 . 记复形 C ( P ， L ; V ) 的相对上同调群为 H n + 1 ( P ， L ; V ) = ker δ n / Im δ n − 1 。 由定理1可知， C M L ( P ， L ; V ) 是非平凡的，根据李代数的交叉模的等价类集与三阶相对上同调群之间是一一对应的 [ 4 ] ，从而有如下定理。 定理3. 复形 C ( P ， L ; V ) 的三阶相对上同调群 H 3 ( P ， L ; V ) ≠ 0 。