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user: 3. 水力梯度的Logistic模型 3.1. Logistic模型 根据水力梯度的变化规律，S型的成长曲线Logistic函数分别拟合上升和下降阶段的变化曲线效果最好，可用下式描述： i = − A 1 − A 2 1 + ( t / t 0 ) δ + A 2 (4) 式中： A 1 、 A 2 为与曲线的最高点和最低点相关的参数； t 0 、 δ 为待定参数。 Logistic函数和水力梯度两阶段曲线具备有界性、单调递增性及存在反弯点等共性。公式(4)对t进行 图1. 水力梯度随时间变化图 一阶、二阶求导，可得曲线极值和拐点。 i ′ = − ( A 1 − A 2 ) δ ( t / t 0 ) δ − 1 [ 1 + ( t / t 0 ) δ ] 2 t 0 (5) i ″ = ( A 1 − A 2 ) δ ( t / t 0 ) δ − 2 [ 1 + ( t / t 0 ) δ ] 3 t 0 2 [ 1 − δ + ( 1 + δ ) ( t t 0 ) δ ] (6) 式(5)、式(6)分别作图2和图3，由于一阶导数只能无限趋近于零，难以确定极值点，即水力梯度最大值 i max 的坐标。故修正极值的求解，取 max [ A 1 ， A 2 ] = λ i max ，使 为曲线峰值，则在上升段可求极值点见式(7)，上升段和下降段的拐点见式(8)。 t 1 = [ 1 / ( λ − 1 ) − 1 ] 1 / δ t 0 (7) t 2 ， 3 = [ ( δ − 1 ) / ( δ + 1 ) ] 1 / δ t 0 (8) 式中： 为水力梯度曲线取极值的时间，d； t 2 和 分别为水力梯度曲线上升和下降段拐点的时间，d； λ 图2. Logistic函数一阶导数随时间变化图 图3. Logistic函数二阶导数随时间变化图 为修正系数，此算例中取1.03。 3.2. 算例分析 固结压力为 p = 200   kPa ，瞬时加载，超孔隙水压力如图4，渗透系数 k = 5.48 × 10 − 10   m / s ，压缩模量 ，初始孔隙比 ，分别取土体厚度H为1.0 m、5.0m、10.0m，顶面排水，底面不排水，不考虑土体自重，如图4所示。 由式(1)可知，固结过程中水力梯度与固结压力、土体厚度、土层深度、固结系数有关。 图5为不同土体厚度和土层深度的水力梯度变化图。结合式(1)和图5可知：上升段曲线形态主要与土层深度z、固结系数c v 相关，下降段曲线形态与z、c v 和土体厚度H均相关；可见，水力梯度变化主要由固结系数c v 控制。曲线的峰值则主要与土层深度z负相关，与固结压力p成正比。 计算不同土层深度的水力梯度最大值i max ，作图6。根据量纲法和图6推导 i max 公式如下： i max = α p γ w z (9) 式中： i max 为水力梯度最大值； α 为无量纲参数，算例中 α = 4.835 。 表1和表2分别列出了算例中水力梯度上升和下降两阶段Logistic函数计算公式以及各参数取值。 上升阶段令 t 0 = ψ ( z ， c v ) ， δ = 2.84 ， A 1 = 0 ， A 2 = 1.03 i max 。对表1中参数结合量纲法分析，拟合可得式(10)。 图4. 物理模型示意图 图5. 水力梯度随时间的变化 图6. i max 随z的变化图 Table 1 Logistic model and parameters upwar 深度z(m) A 1 A 2 t 0 (d) δ 极值点(d) 拐点(d) 0.5 0 19.92 5 2.84 18 10 1.0 9.96 20 69 40 1.5 6.64 45 158 90 2.0 4.99 81 281 161 2.5 3.98 126 437 251 3.0 3.31 181 629 360 4.0 2.49 323 1123 644 5.0 1.98 503 1746 1001 表1. 上升阶段Logistic模型及各参数取值 Table 2 Logistic model and parameters downwar 土体厚度H(m) 深度z(m) A 1 A 2 t 0 (d) δ 拐点(d) 1 0.1 99.61 0 8 1.00 - 0.2 49.81 26 1.29 19 0.3 33.21 44 1.74 67 0.4 24.91 56 2.07 99 0.5 19.92 61 2.27 115 5 0.5 19.92 0 197 0.98 - 1.0 9.96 638 1.38 594 1.5 6.64 1054 1.78 1629 2.0 4.99 1359 2.14 2465 2.5 3.98 1524 2.34 2891 10 1.0 9.96 0 757 1.00 - 2.0 4.99 2596 1.29 1890 3.0 3.31 4450 1.74 6680 4.0 2.49 5593 2.07 9935 5.0 1.98 6189 2.29 11636 表2. 下降段Logistic模型及各参数取值 t 0 = β z 2 c v (10) 式中： β 为无量纲参数，算例中 β = 1.6 × 10 − 6 。 将 A 1 、 A 2 、 t 0 、 δ 参数值代入式(4)可得上升阶段水力梯度i的Logistic公式，见式(11)。 i = α p γ w z − α p γ w z 1 + ( c v t β z 2 ) δ (11) 同理，下降阶段令 t 0 = ψ ( H ， z ， c v ) ， δ = ϕ ( z ， H ) ， A 2 = 0 ， A 1 = 1.03 i max ，且极值点以上升阶段极值 i max 为主。联系表2中数据 t 0 、 δ 和土体固结参数，结合量纲分析可得式(12)~式(14)。 (12) δ = A + B z H (13) i = α p γ w z 1 + ( c v t β ′ z H ) A + B z H (14) 式中： β ′ 、A、B为无量纲参数(算例中 β ′ = 1.05 × 10 − 5 ， ， B = 3.32 )。 综上，结合算例，一维固结水力梯度的Logistic模型可表示如下： 上升阶段： i = α p γ w z − α p γ w z 1 + ( c v t β z 2 ) δ ，           t < [ 1 / ( λ − 1 ) − 1 ] 1 / δ t 0 (15) 下降阶段： i = α p γ w z 1 + ( c v t β ′ z H ) A + B z H ，           t ≥ [ 1 / ( λ − 1 ) − 1 ] 1 / δ t 0 (16) 3.3. 数值模拟 采用有限元软件ABAQUS对渗流固结的模型进行模拟，土体的性质参数与算例一致，土体厚度5 m，以Terzaghi一维固结理论为基础进行有限元计算。边界条件：模型底部固定两个方向的约束，不排水；两侧仅能容许竖向位移，同样不排水；表面位移自由，且是自由排水面。施加荷载后根据土体各个时刻孔隙水压力沿深度的切线值求得水力梯度和时间的关系。模型中土体采用CPE4P单元，初始孔隙比为1.0，设置时间总长为10，000天。固结压力的施加分为瞬时加载和线性加载两种工况。 3.3.1. 瞬时加载结果分析 瞬时加载200 kPa，得到数值结果如下。图7表明距离排水面越远的位置孔压越大，即孔压消散的速度越慢。图8反映了最终的地表沉降值为68.5 cm，与理论计算值一致。图9和图10分别为水力梯度和沉降速率随时间的变化图。 图9曲线走势与解析解一致，并且与图10沉降速率变化曲线很接近。经计算沉降速率与水力梯度比值，结果表明渗流稳定后排水速率与水力梯度关系符合Darcy定律，则水力梯度的变化能预测固结过程中的沉降速率。 按照上文方法，由式(11)、(14)可求得 处水力梯度变化曲线的Logistic模型如下： 图7. 孔压分布云图(t = 10，000 d) 图8. 沉降分布云图(t = 10，000 d) 图9. 沉降分布云图(t = 10，000 d) 图10. 沉降分布云图(t = 10，000 d) i = { 6.6 − 6.64 1 + ( t / 45 ) 2.84 ，             t ≤ 153   d 6.64 1 + ( t / 984.375 ) 1.696 ，           t > 153   d (17) 图11为Logistic模型与数值计算结果拟合图，最大误差在下降段2000 d左右，但在合理考虑范围。 通过数值模拟结果可证实文中所提出的水力梯度Logistic模型可行。 3.3.2. 线性加载结果分析 假定荷载在前30 d线性加载至200 kPa后保持不变，见图12。其余与瞬时加载模拟相同，计算结果见图13和图14。 比较图7和图13可知两种不同加载方式孔压终值几乎相等。图14中线性加载水力梯度变化趋势与瞬时加载一致，图15为同一深度的水力梯度值对比，发现在一定时间内线性加载水力梯度值小于瞬时加载水 力梯度值，且其差值随深度和时间的增加而减小。这主要是由于水力梯度与荷载、固结时间和深度均相关，本实例线性加载30 d内荷载小于200 kPa，故前期孔压大小及消散速率均不一致，而不同深度水力梯度变化有一定滞后性，所以距离排水面越近的土体加载初期受荷载影响较大，两种不同加载方式下的差值越大。随时间增长，两种工况下相同荷载作用时间较长，初期荷载影响变小，后期水力梯度变化比较接近。在线性加载工况下，水力梯度变化规律仍符合Logistic模型。 同理，非线性拟合后可求得 z = 1.5   m 水力梯度的Logistic模型如下： i = { 6.51 − 6.51 1 + ( t / 62 ) 3.49 ，         t ≤ 189   d 6.51 1 + ( t / 1160 ) 1.75 ，                     t > 189   d (18) 图11. 数值计算与式(15)拟合对比图 图12. 线性加载荷载随时间变化图