DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 2. Fenton催化氧化机理及影响因素 2.1. 经典Fenton试剂及作用机理 1894年，法国科学家H. J. Fenton [ 1 ] 发现在酸性溶液中(pH 2~5)，Fe 2+ 和H 2 O 2 同时存在时，可以有效氧化降解酒石酸。为了纪念他，后人将亚铁盐和H 2 O 2 的组合称为“芬顿试剂”，Fe 2+ 和H 2 O 2 的反应就是经典芬顿反应。 Fenton试剂在水处理中的作用主要包括对有机物的催化氧化和混凝两种作用 [ 2 ]。对有机物的氧化作用是指Fe 2+ 催化H 2 O 2 分解产生具有极强氧化能力的羟基自由基，进而将有机物矿化降解的反应。同时，在反应过程会生成具有絮凝和吸附功能的铁水配合物，可以去除水中的部分有机物和杂质颗粒。 2.2. 有机废水降解效果的影响因素 1) 催化剂种类 催化剂是Fenton催化氧化技术的核心，不同催化剂催化分解过氧化氢生成羟基自由基的速率不同，从而对有机物的降解效果也不同。目前Fenton催化剂主要分为两大类，其一为Fe 2+ ，即经典的芬顿试剂；其二为除Fe 2+ 以外的其他过渡金属离子如Cu 2+ 、Mn 2+ 、Ni 2+ 等、含铁矿物及过渡金属如Co、Cd、Cu、Ag、Mn、Ni等可以加速或替代Fe 2+ 而对H 2 O 2 起催化作用催化剂，即类Fenton试剂。 2) pH 溶液pH对Fenton试剂的影响较大，pH过高或过低均不利于∙OH的生成。研究表明，当pH < 3时，二价铁物种主要以自由的Fe 2+ 形式存在，随着pH的升高，溶液中自由的Fe 2+ 含量急剧降低，二价铁物种主要以Fe(OH) + 和Fe(OH) 2 形式存在。Fe(OH) 2 的反应活性接近Fe 2+ 的十倍，因而，随着pHs的升高，Fe(OH) 2 含量增加，∙OH的产生速率增加，在pH = 4时达到平衡。然而，当pH > 3时，溶液中的三价铁物种开始大量形成铁泥沉淀，导致反应活性急剧下降。基于两种价态铁物种的平衡关系，均相芬顿反应通常控制在pH = 3左右速率最快 [ 3 ]。 3) H 2 O 2 投加量 采用Fenton试剂处理废水的有效性和经济性主要取决于过氧化氢的投加量。一般随着过氧化氢投加量的增加，废水COD去除率先增大，而后出现下降。 此外，催化剂的投加量、反应时间、反应温度等也会综合影响Fenton反应的效果。在以上诸多影响因素中，催化剂作为Fenton催化氧化技术的核心，已成为有机工业废水处理的研究热点。
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user: 3. Fenton催化剂研究概况 3.1. 全球期刊发表量时间分布 图1为以Goolge学术搜索引擎为检索工具，获得的期刊发表量时间分布。从图1可以看出，在2004年之前，Fenton催化剂的期刊发表量一直较少，截止到2004年，期刊发表总量累计297件，并且，近三分之二是在2000年之后发表。到2014年，期刊发表量达2690件，相比前40年的总量增长近10倍。到2019年，期刊发表总量已达3920件。这表明，自二十一世纪中叶，Fenton催化技术得到了世界各国研究者的广泛关注，其在污染物降解处理方面具有极为广阔的发展前景。 图1. 全球期刊发表量的时间分布 3.2. 全球专利申请时间分布 图2为Fenton催化剂的全球专利申请时间分布图。其中，蓝色柱、红色柱和绿色柱分别表示全球总申请量、在中国申请量及在国外申请量随时间的分布趋势。如图所示，自1977~1998年，国外开始出现少量Fenton催化氧化技术专利申请，直到1999年，Fenton催化氧化技术进入中国进行专利布局。自2007年起，中国的专利申请量与国外专利申请量持平，并且在随后的12年里，中国的专利申请量快速增长，成为影响全球专利申请量趋势的主导因素。上述中国专利申请量的迅速增长实质上反映了国家对环境保护的重视以及废水排放标准的不断提高。 图2. 全球专利申请的地区分布 3.3. 全球专利申请分类号分布 图3. 全球专利申请的重点研究领域分布 图3为Fenton催化氧化技术的重点研究领域，其中，蓝色表示全球的主要研发领域，绿色表示中国重点研发领域，红色表示国外重点研发领域。其中，C02F1为水、废水或污水的处理；C02F9为水、废水或污水的多级处理；B01J23为不包含在B01J21/00 (包含镁、硼、铝、碳、硅、钛、锆或铪的元素，其氧化物或氢氧化物的催化剂)组中的，包含金属或金属氧化物或氢氧化物的催化剂；C02F101为污水的性质；B01J27为包含卤素、硫、硒、碲、磷或氮的元素或化合物的催化剂；包含碳化合物的催化剂；B01J35一般以其形态或物理性质为特征的催化剂；B01J31为包含氢化物，配位配合物或有机化合物的催化剂；B01J37为制备催化剂之一般方法，催化剂活化的一般方法；C02F103待处理水、废水、污水或污泥的性质；B01J29为包含分子筛的催化剂。 从图中可以看出，绝大多数专利申请均分入大组C02F1下，这表明Fenton催化氧化技术主要应用于水处理领域，这也是由其反应机理决定的。其次，无论是中国还是国外，申请人均以处理工艺、催化剂组成及形貌结构为研发重点。此外，中国专利申请对污水中具体污染物种类及性质也极为关注。
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user: 5. 结论 Fenton催化氧化技术采用的Fenton催化剂种类多种多样，从降低催化剂成本的角度，由化学原料制备发展到了直接采用废铁屑、含铁矿物及软锰矿等天然存在的过渡金属氧化物材料；从催化剂重复利用的角度，Fenton体系首先从均相金属离子发展到了负载及非负载的非均相及磁性催化剂；从pH适应性的角度，Fenton体系从Fe发展到了Cu，并进而扩展到其它过渡金属及其配合物；从催化反应速率的角度，复合金属催化剂和电子促进型催化剂受到越来越多的关注。而以上各方面是实际工业生产和废水处理中最关心的几个问题。因此，研究同时具备低成本、易回收、pH适用范围广和高催化活性的Fenton催化剂，是促进Fenton催化氧化技术大规模工业应用和有效实现废水中有机污染物降解的关键。
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user: 摘要 当今中国已进入老龄化社会，根据国际上对于人口老龄化的定义，当一个国家或地区的60岁以上人口超过10%，意味着这个国家进入严重老龄化。而作为老年人未来生活起居重要保障的养老服务设施却没有跟上人口老龄化的速度，从而解决养老服务问题也越来越突出。本文以养老服务床位数量预测的问题进行研究，以题目所给的数据为基础，选择适合的科学原理和预测方法，对数据进行处理、挖掘，建立预测模型，然后再对模型处理和分析，研究并作出养老床位预测模型，并给出合理化建议，为企业和政府提供便利条件和可持续发展的商业模式。本文采用最小二乘支持向量机的方法，以机器学习理论与统计理论为基础，运用支持向量机的方法进行了完整的建模工作。
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user: 1. 背景介绍 随着国内人口老龄化程度不断加深，老年人的养老问题已经成为人们广泛关注的一个社会热点问题。从2009年到2018年，无论是老年人口的数量，还是老年人口所占的比例都有了明显的增长，老年人养老服务需求缺口也越来越突出，那么如何配置养老服务资源成为了解决养老服务问题的重中之重，对养老服务床位需求的预测以及对养老服务设施配置的优化，具有非常高的理论意义与实际意义。 本文以预测养老床位研究目标，首先，以现有数据为基础，利用支持向量机最小二乘法模型，预测了2019~2028全国城镇和乡村60~65岁和65岁以上人口数。其次，以测算的人口数据为基础，根据国外发达国家养老服务领域经验，找出人口数量和养老服务床位需求量之间的关系，建立数学模型，预测出2011~2028年全国养老服务床位需求量情况。根据预测结果，从企业和政府角度出发，进一步分析养老服务中商机和可持续发展的方向。最后，根据上述研究所得结果提出建议。 家家都有老人，人人都会变老。随着时间的推移，我国老龄人口逐渐增多，老龄化的社会问题越来越突出。由于我国人口基数大，养老需求的层次也不相同，解决养老服务问题已是迫在眉睫。解决这个社会问题的一个有效途径是通过政府和各方面的努力，来尽可能地不断满足老年人的养老服务需求。我国目前的养老模式主要以家庭养老、社区养老、机构养老为主，其中机构养老的类型有公办养老院、民办养老院、公建民营老院等，都对养老服务事业做出了不同的贡献。但是现有的养老服务床位供给还远远不能满足社会的需求，增加养老服务床位是一个急待解决的现实问题。从政府角度来说，合理估计养老服务中床位的需求，制定合理的养老服务床位发展规划，是构建和谐社会、幸福社会的重要组成部分。从企业角度出发，养老服务床位的增加也为企业提供了一个商机。
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user: 2. 问题重述及分析 针对问题一，根据我国的人口数量、结构和消费水平等多种因素，预测养老服务床位数量的市场需求规模及其分类。首先对我国的人口数量、结构和消费水平的因素进行分析，通过现有数据的预处理，选择最小二乘支持向量机模型进行分析预测及完成对模型的调试。应用MATLAB软件对现有2008~2019年的老龄人口的数据及预测数据进行拟合，达到了很好的拟合精度，验证了最小二乘支持向量机的正确性，采取支持向量机分类方法(SVM)模型，以历史数据为基础，预测未来10年60~65岁和65岁以上老人数量，以测算的人口数据为基础利用模型二预测养老床位数量，并依据城镇和乡村消费水平和养老院意愿不同进行分类。 针对问题二，从企业角度出发，结合现有养老服务床位的数量和结构，分析、建立合适的模型，来发现并分析养老服务床位增加中的“商机”。 针对问题三，建立一个合适的数学模型，从政府的角度出发，设计一个既能基本满足社会需求，又能持续发展养老服务事业，同时还能促进社会就业的养老服务床位运营的商业模式。 针对问题四，试用精炼的数学语言归纳总结本题中最关键的数学建模问题及其算法。以你们的模型及其结论为科学依据，对政府管理部门针对养老床位规划问题提出合理的建议。
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user: 3. 模型假设与符号说明 3.1. 模型假设 1) 假设现有数据完全真实可靠。 2) 假设在已知数据时间段和预测时间段内，政府的养老服务床位数量的市场需求规模的政策没有发生大的改变。 3) 假设在已知数据时间段和预测时间段内，现有养老服务床位的结构和数量没有发生大的改变。 4) 忽略家庭养老模式对所需养老服务床位的影响。 3.2. 符号说明 在整篇文章中，我们主要采用了以下符号见表1： Table 1 Symbol descriptio 符号 说明 ‖ w ‖ 2 VC维数 床位需求影响因素 y i 床位需求量 a i Lagrange乘子 L Lagrange函数 M 训练样本集 N 测试样本集 求和符号 Q i j X q 第i年60~65岁以及65岁以上城市或乡村老人的预测人口数 P i j X q 第i年60~65岁以及65岁以上城市或乡村老人的抚养率 j = 1 ， 2 分别代表城镇和乡村 X q = 1 ， 2 代表老人年龄在60~65岁和65岁以上的年龄段 相对应的各年龄段人口数 Ε j X q 代表城镇乡村两个年龄段的平均住院年限 ω 床位使用率 D 年均床位开放日 η 人口流动需求比例 κ 潜在需求弹性系数 表1. 符号说明
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user: 摘要 考虑Cahn-Hilliard-Oono方程在三维空间中的柯西问题。通过对经典方程添加 β u 项( β > 0 )，更好的分析系统的长程相互作用，首先证明了方程在 H 1 ( R 3 ) 上是局部可解的，进一步得到解的整体适定性和解半群的耗散性。
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user: 1. 引言 我们将研究以下方程在 R 3 上的整体适定性： { u t + β u = ( − Δ + ε I ) ( Δ u − f ( u ) ) u ( 0 ， x ) = u 0 ( x ) (1) 其中 x ∈ R 3 ， β ≥ 0 ， t > 0 ， ε > 0 充分小。后面再给出关于f的假设。 当 β 和 ε 都为零时，(1)为经典Cahn-Hilliard方程 [ 1 ] (简称CH方程)。特别的，当 β > 0 ， ε = 0 时，我们称(1)为Cahn-Hilliard-Oono方程(简称CHO方程)，用于描述二元合金诱导反应中超导体的生成。通过引入耗散项，可以简化方程动力行为分析的复杂度。短程作用使系统同质化，另一方面长程作用阻碍了系统形成过大的结构，这种竞争形成了I型超导体(参见 [ 2 ] 和 [ 3 ] )。 对CH方程的研究结果很多，Cholewa和Dlotko [ 4 ] 证明方程在 H = [ H 2 ( Ω ) ] m 上有耗散半群，同时在其子集上存在全局吸引子。Elliott和郑 [ 5 ] 研究了方程局部解的存在性问题。Cholewa和Rodriguezbernal [ 6 ] 在全空间H 1 上找到全局吸引子。还有关于CH方程及其变形的研究 [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]。 然而对CHO方程的研究相对较少，Miranville [ 10 ] 对CHO方程的初边值问题进行了研究，并讨论了在有限维中其吸引子的渐进行为。Giorgini，Grasselli和Miranville [ 11 ] 研究了CHO方程在Neumann边界上的情况，证明了方程在二维和三维空间中全局吸引子的存在性。Porta和Grasselli [ 12 ] 引入自由能函数，得到了CHO方程在无通量边界条件下的适定性，以及有界吸收集和全局吸引子的存在性。然而在无界区域上的研究很少，Savostianov和Zelik [ 13 ] 证明了在三维全空间中，双曲形式CHO方程的能量空间是耗散的，以及方程存在光滑的全局吸引子。 我们对CHO方程进行小范围扰动，使得 ( − Δ + ε I ) 成为可逆算子，利用Cholewa和Dlotko [ 14 ] 的扇算子理论，讨论CHO方程的柯西问题。 本文假设：f是 2 p − 1 次多项式， a 2 p − 1 > 0 为其首项系数： f ( u ) = ∑ i = 1 2 p − 1 a i u i ，     p ∈ ℕ (2) 其中 F ′ = f ， b 2 p 为F首项系数，有 a 2 p − 1 = 2 p b 2 p ， p ∈ [ 2 ， 6 ) 且 p ≠ 3 ， f ( u ) u ≥ 0 。 现给出两个主要结果： 定理1. 在满足本文假设条件下，方程(1)在 H 1 ( R 3 ) 中有局部解，即任取初值 u 0 ∈ H 1 ( R 3 ) ， t ∈ ( 0 ， τ 0 ) ，都存在唯一的解 u ( t ) ∈ H 1 ( R 3 ) ，同时满足： u ( t ) ∈ C ( [ 0 ， τ 0 ) ， H 1 ) ∩ C ( ( 0 ， τ 0 ) ， D ( − Δ 2 + ε I ) ) u t ∈ C ( ( 0 ， τ 0 ) ， H κ ) 其中 κ ∈ [ 0 ， 1 ) 。 定理2. 在满足定理1的条件下，方程(1)在 H 1 ( R 3 ) 中全局可解，任取 u 0 ∈ H 1 ( R 3 ) ，都存在唯一的解 u ( t ) ，定义与方程(1)对应的半群 { T ( t ) } ： T ( t ) u 0 = u ( t ) ，     t ∈ [ 0 ， + ∞ ) 本文在第二章利用扇形算子理论证明了方程(1)在 H 1 中有局部解，第三章先给出能量泛函和 H 1 上的先验估计，再证明了方程的整体适定性以及解半群的耗散性。 我们将 ‖ u ‖ H q ( ℝ 3 ) 简记为 ‖ u ‖ H q ( q > 1 ) ，文中的常数C值，按具体需要取值。
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user: 2. 预备知识和解的存在性 X 1 为Banach空间，A是扇形算子，且 R e ( δ ( A ) ) > 0 ，算子 A − α : X 1 → X 1 ，若满足： A − α v = 1 Γ ( α ) ∫ 0 + ∞ t α − 1 e − A t v d t ，     α ∈ ( 0 ， + ∞ ) 则称 A − α 为分数幂算子 [ 14 ]。 回顾柯西问题： { u ˙ + A u = F 1 ( u ) u ( 0 ) = u 0 (3) 在 X 1 α 中，对于任意取定的 α ∈ [ 0 ， 1 ) ，存在非增函数 L : [ 0 ， + ∞ ) → [ 0 ， + ∞ ) ，使得 F 1 为局部Lipschitz连续的。 定义1. 设 X 1 是Banach空间， A : D ( A ) → X 1 是 X 1 中的扇形正算子， F 1 : X 1 α → X 1 是局部Lipschitz连续的， u 0 ∈ X 1 α ，对任意时刻 t ∈ ( 0 ， τ ) ，方程(3)都成立，同时有： u ∈ C 1 ( ( 0 ， τ ) ， X 1 ) ∩ C ( ( 0 ， τ ) ， D ( A ) ) ，则称u是局部 X 1 α 解，更进一步，若 τ 趋于正无穷，则是全局解。 定理3. [ 14 ] 在定义1的条件下，若方程(3)在 X 1 α 上局部可解，同时 F 1 满足次线性增长条件： ‖ F 1 ( u ) ‖ X 1 ≤ C ( 1 + ‖ u ‖ X 1 α ) ，     u ∈ X 1 α 则方程(3)在 X 1 α 上是全局可解的，且可定义解半群： S ( t ) u 0 = u ( t ， u 0 ) ，     t ≥ 0. 下面给出定理1的证明，由假设条件易得，对任意 u ∈ ℝ ： | f ( u ) | ≤ C + C | u | 2 p − 1 | f ′ ( u ) | ≤ C + C | u | 2 p − 2 (4) 同理有： p b 2 p u 2 p − C ≤ f ( u ) u (5) b 2 p u 2 p − C ≤ 2 F ( u ) ≤ 3 b 2 p u 2 p + C (6) 我们希望相空间等价于 H 1 ，记 X = H σ − 3 ， X α = H 1 ( α = 4 − σ 4 ， 0 < σ ≪ 1 )，从而 ( − Δ ) 2 + ε I 是X中的扇形正算子，方程(1)变成以下形式： { u t + β u = ( − Δ 2 + ε Δ ) u − ( − Δ + ε I ) f ( u ) u ( 0 ， x ) = u 0 ( x ) (7) 由局部解定义可知，还需验证非线性项 ( Δ − ε I ) f ( u ) − β u 在 X α 上的局部Lipschitz连续性。任取有界集 B ⊂ H 1 ，同时取 ϕ ， ψ ∈ B ，因算子 ( Δ − ε I ) : L 2 → X 是线性同构的，可以推出： ‖ ( Δ − ε I ) f ( ϕ ) − β ϕ − ( Δ − ε I ) f ( ψ ) + β ψ ‖ H σ − 3 ≤ ‖ ( Δ − ε I ) ( f ( ϕ ) − f ( ψ ) ) ‖ H σ − 3 + β ‖ ϕ − ψ ‖ H σ − 3 ≤ C ‖ ( f ( ϕ ) − f ( ψ ) ) ‖ L 2 + C β ‖ ϕ − ψ ‖ L 2 (8) 对不等号右边进行估计，存在常数λ： f ( ϕ ) − f ( ψ ) = ( ϕ − ψ ) f ′ ( λ ϕ + ( 1 − λ ) ψ ) ， ( 0 < λ < 1 ) 容易看到： ‖ 1 + [ λ ϕ + ( 1 − λ ) ψ ] 2 p − 2 ‖ L 2 ≤ 1 + C ‖ λ ϕ ‖ L 2 2 p − 2 + C ‖ ( 1 − λ ) ψ ‖ L 2 2 p − 2 ≤ C 再利用Hölder不等式： ‖ ( Δ − ε I ) f ( ϕ ) − β ϕ − ( Δ − ε I ) f ( ψ ) + β ψ ‖ H σ − 3 ≤ C ‖ ϕ − ψ ‖ L 2 ‖ f ′ ( λ ϕ + ( 1 − λ ) ψ ) ‖ L 2 + C β ‖ ϕ − ψ ‖ L 2 ≤ C ‖ ϕ − ψ ‖ L 2 ‖ 1 + [ λ ϕ + ( 1 − λ ) ψ ] 2 p − 2 ‖ L 2 + C β ‖ ϕ − ψ ‖ L 2 ≤ C B ‖ ϕ − ψ ‖ H 1 (9) 其中 H 1 ⊂ L p ( p ∈ [ 2 ， 6 ) ) 。 由以上结果，定理1证明完毕，同时可以得到柯西积分法则： u ( t ) = e − ( − Δ 2 + ε Δ ) t u 0 + ∫ 0 t e − ( − Δ 2 + ε Δ ) ( t − s ) [ ( Δ − ε I ) f ( u ) − β u ] d s ，     t ∈ ( 0 ， τ 0 )
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user: 摘要 紫外–可见吸收光谱在化学检测、化合物表征方面起到非常重要的作用。然而近期在实验中发现，在坐标图纵轴的负坐标区域发现有零线以下的吸收图谱，被称为紫外–可见光负吸收图谱。该现象少有发现和报道，在常规思维与科学理论下非常难以理解，从而被忽略。本文以树枝分子吡啶基PAMAM和碘基苯分支化合物的紫外光区负吸收图谱为基础，分析了负吸收的相关的因素及特征，试图解开负吸收的相关机理，为找到特征的负吸收材料提供基础数据。化学材料在紫外–可见光区域内的负吸收现象具有潜在的科学价值和广阔的研究前景。
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user: 1. 引言 紫外–可见(UV-Vis)吸收光谱显示了样品如何吸收紫外线或可见光区域的光，并测量从基态到激发态的跃迁 [ 1 ]。紫外–可见分光光度计测量紫外–可见吸光度。通过样品池的测量光的强度为(IT)，并比较这种强度光通过样品前的强度(I 0 )。I T /I 0 的比值称为透射率(T)，吸光度(A)。透射率与吸光度关系式为公式(1) [ 2 ]： A = − log ( T ) (1) 朗伯比尔定律(公式(2))描述了浓度、样品池和吸光度之间的关系 [ 3 ]： A = ε b c (2) A是测量的吸光度，用吸光度单位表示(a.u.)，b为通过样本的路径长度(cm)，c为吸收物质的浓度。为每一个物种的固定吸收波长对应ε (L∙mol −1 ∙cm −1 )，是一个已知的常数，叫做摩尔吸收系数或消光系数，用它来表示样品的吸收能力 [ 4 ]。 紫外–可见吸收光谱在化学检测、化合物表征方面起到非常重要的作用。日常紫外–可见吸收光谱图谱的测量范围在200 nm至800 nm左右，样品吸收遵循朗伯比尔定律，吸光系数大于零。然而近期在实验中发现，在坐标图纵轴的负坐标区域发现有零线以下的吸收图谱，被称为紫外–可见光负吸收图谱。在前期对水等溶剂的研究，发现了紫外–可见负吸收现象 [ 5 ]。该现象少有发现和报道 [ 6 ]，在常规思维与科学理论下非常难以理解，从而很容易被忽略。 本文以树枝分子吡啶基PAMAM和碘基苯分支化合物(图1)的紫外光区负吸收图谱为基础，分析了紫外–可见光谱负吸收的相关的因素及特征。
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user: 2. 结果与讨论 2.1. 实验观测 测试了树枝分子2PTPS-G0和苯分支化合物8I的紫外–可见吸收光谱，实验图谱(图2)发现在紫外区200 nm至300 nm存在零线下的负吸收。2PTPS-G0的乙醇溶液测得紫外–可见吸收光谱在230 nm和270 nm左右存在两个零线以下的负吸收峰，最大负吸光度−0.3，即紫外区的负吸收现象。在8I的紫外–可见吸收光谱(图3)发现在220 nm和280 nm左右有负吸收现象，测试溶液是四氢呋喃(THF)与水的混合溶剂，在含THF 70%，80%，90%时，存在紫外区负吸收，最大负吸光度−0.6。在随后的一周(图4)和两周(图5)后，重复紫外–可见吸收光谱实验，显示结果没有出现负吸收。而在纯THF溶剂中，在第一次测试与两周后测试，并未发现负吸收现象。 图1. 树枝分子吡啶基聚酰胺-胺(PAMAM)衍生物2PTPS-G0和碘基苯分支化合物8I的分子结构 在红外吸收光谱内，偶而存在有负的震动频率，称为虚频。而在紫外–可见光区的负吸收也偶有报道：在银纳米粒子溶液与葡萄单宁溶液混合的紫外–可见吸收光谱，发现紫外区 [ 7 ] 存在负吸收峰；在前期工作对水、乙醇、氯仿等溶剂的紫外–可见吸收光谱研究中，发现在300 nm到800 nm左右的看可见光区 [ 5 ] 存在微弱的负吸收带；在某些化合物的紫外–可见吸收光谱水平线 [ 8 ]，部分处于零线以下的负吸收区。这些报道显示，某些物质的紫外–可见吸收光谱是存在零线以下的负吸收现象。 普通紫外–可见吸收的吸光度A > 0，没有吸收A = 0。而A < 0的情况是一种负吸收现象。负吸收图谱峰在零线或基线以下。负吸收的出射光强度要大于入射光强度(I T > I 0 )，即透过率T = I T /I 0 > 100%。紫外–可见光区的负吸收现象少有报道，由于该现象出现几率较小，很难解释清楚，在理论和机理上目前还缺乏解释，从而很容易被忽略。 2.2. 树枝分子结构 2PTPS-G0与8I都应该属于树枝分子结构，有着向树枝分叉一样的分支结构。既有分散分支接收光谱的作用，又有分子分支发射天线的作用。树枝分子包括核心结构，分支结构，和端基结构。这些不同的部位有着不同的化学官能团，对化学属性、物理属性都有着不同的微观特征和属性。2PTPS-G0中心是聚酰胺–胺G0，含有氨基和酰胺等基团，分支采用三苯胺空穴传输材料，端基接入吡啶，调节树枝分子末端微观属性。8I中心为苯基，分支为四个三苯胺，端基用碘修饰。碘基具有较强的亲核性，同时具备重原子效应。这样的树枝分子组合使得2PTPS-G0和8I就产生了丰富而复杂的化学与物理属性。树枝分子展开后，表面积大，有利于对光子捕捉和吸收；末端基团又有发射天线作用，对荧光发射等光谱具有增强和调节作用。树枝分子在溶液里形成特殊的微球，从而影响和改变分子的光谱特性。从而使得2PTPS-G0和8I产生了特殊的紫外–可见光谱负吸收现象。 图2. 树枝分子2PTPS-G0的紫外–可见吸收光谱，在紫外区230 nm，270 nm附近有在零线以下的负吸收峰。溶剂乙醇95% 2.3. 溶剂 2PTPS-G0在乙醇中测试得到的负吸收图谱(图2)，乙醇含有3%~5%的水，也部分近似属于混合溶剂。8I苯分支结构在THF和水的混合溶剂中测得的负吸收(图3)，在THF/水百分比为70%，80%，和90%混合溶剂的溶液中，8I显示出很强的紫外区负吸收。在纯溶剂THF中第一次测试紫外–可见光谱吸收和两周后重复测试都没有发现负吸收现象(图6)。这说明溶剂对紫外–可见光谱的负吸收现象起着一定的作用，而且混合溶剂存在比较复杂溶液环境，使得2PTPS-G0和8I等化合物更容易产生负吸收现象。 图3. 苯分支化合物8I的紫外–可见吸收光谱，在紫外区220 nm，280 nm附近有在零线以下的负吸收峰。溶剂为THF与水的混合溶剂，插入图为不同混合溶剂百分比下的紫外–可见吸收峰。其中THF/水在70%，80%，90%时存在负吸收现象 图4. 苯分支化合物8I的紫外–可见吸收光谱，在图2一周以后测量，在紫外区没有负吸收峰。溶剂为THF与水的混合溶剂 图5. 苯分支化合物8I的紫外–可见吸收光谱，在图2二周以后测量，在紫外区没有负吸收峰。溶剂为THF与水的混合溶剂 2.4. 制备与测量时间 刚制备出的新的溶液溶解产生这类负吸收现象。图3为8I新配制的溶液，测试出紫外区负吸收现象，一周后再测试时负吸收现象消失(图4)，两周后重复测试依然没有再出现负吸收现象(图5)。刚制备出的溶液一是化合物保留着某些样品特性；二是溶液初期的溶剂效应作用刚刚开始，溶液会出现溶质与溶剂的溶解反应，而会产生许多动态的物理化学变化，影响和产生复杂溶液动力学过程，其中有可能产生对紫外–可见光谱的负吸收现象。因此在早期的溶液溶解期溶液观测到负吸收现象。 某些特殊的不确定性未知因素，如测试环境的温度、湿度对光谱影响。使用的光谱测量样品池，如比色皿对光线的通过影响，包括不同材质(石英，或玻璃)的比色皿对光谱的吸光度、反射率、以及折射、散射都会对紫外–可见光谱的细节产生影响。甚至室内的照明荧光灯照射等因素对负吸收的影响目前也是未知的。 图6. 苯分支化合物8I的紫外–可见吸收光谱，蓝线与图2同时测量图谱，红线在图2二周以后测量图谱。在紫外区没有负吸收峰。溶剂为THF 图7. 苯分支化合物8I的荧光发射光谱。溶剂为THF与水的混合溶剂 图8. 苯分支化合物8I的溶液荧光灯照片。荧光灯光365 nm波长。溶剂为THF与水的不同百分比混合溶剂 2.5. 荧光 图7为8I的荧光发射图谱。图8苯分支化合物8I的溶液荧光灯照片，随着THF比例增加8I的荧光强度随之增加。荧光是在激发波长的光下激发样品产生发射光，在可见区的附近的光发射可以被看见或捕捉探测，称为荧光。负吸收同样是在一定波长的光照射下，激发产生的吸收，正常的情况是正吸收。如果出现出射光光强大于入射光光强，这时就会产生负吸收。荧光与负吸收的区别是，荧光的发射光的能量是小于照射激发的入射光的能量。负吸收则是发射光的能量是大于照射激发的入射光的能量，也就是出射光光增强，是携带了样品多余的能量。从能量守恒定律判断，出射光强大于入射光强，必定携带了样品本身的多余能量，即负吸收结果会使样品总能量有微量的减少。这样负吸收的过程可以看作：低能量进入，高能量出射的能量泵辅。 2.6. 实验 材料合成：2PTPS-G0树枝分子的合成步骤参见文献 [ 9 ]；8I苯分支化合物的实验合成步骤参见文献 [ 10 ]。 紫外–可见吸收光谱在日本岛津Shimadu UV-3600型紫外–可见分光光度计上测得，石英比色皿，测量范围从200到800 nm。 荧光测量使用FluoroMax-4荧光仪，四透光石英比色皿，室温(20摄氏度)。设定激发波长在400 nm，测量范围从410到800 nm。
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user: 3. 结论 本文以树枝分子吡啶基PAMAM和碘基苯分支化合物的实验观测紫外光区负吸收图谱为基础，分析了负吸收的相关的因素及特征，试图解开负吸收的相关机理，为找到特征的负吸收材料提供基础数据。负吸收现象对光谱化学是一项重要发现，化学物质与材料在紫外–可见光区域内的负吸收现象对化学、物理、光学等学科具有潜在的科学前景与巨大的研究价值。
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user: 摘要 本文研究了分裂可行问题的条件梯度算法，该算法将求解迭代方向转化成求解一线性子问题，并以线搜索得到的步长作为凸因子，当前方向与上一步迭代点的凸组合作为新的迭代点。算法在迭代的更新步中不使用投影，并且得到的解有较好的稀疏性和低秩性。我们获得了算法的收敛性并给出数值实验对比分析了本文的算法与相关算法在同一算例下的表现情况，得到了良好的结果。
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user: 1. 引言 本文主要研究欧几里得空间中的单集分裂可行问题(Nonlinear Split Feasibility Problem)，即找一个 x * ∈ R n 使其满足 x * ∈ C 并且 A x * ∈ Q (1.1) 其中 C ⊆ R n 与 Q ⊆ R m 都为非空闭凸集，A代表矩阵或者线性变换。该问题由Censor等人 [ 1 ] 提出，它在放射治疗(IMRT)计划领域有着重要的作用 [ 2 ] [ 3 ]，在工程技术领域，例如信号和图像恢复，基因调控网络推论以及用于处理高维稀疏数据的LASSO和Dantzig Selector方法 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] 中也有广泛应用。 循环投影法是最先被提出用于求解分裂可行问题的一种迭代算法，其迭代公式为： x k + 1 = A − 1 ( I + A A T ) − 1 ( A P C ( x k ) + A A T P Q ( A x k ) ) (1.2) 这里， P C 和 P Q 分别表示向非空闭凸集C和Q上的正交投影。该方法显然不是很理想，因为在每次迭代中都需要计算矩阵的逆。当将该方法应用于大规模的实际问题时，求解逆矩阵非常困难，这也可能导致算法花费太长时间。因此，Byrne给出了著名的CQ算法 [ 7 ]。在之后的分裂可行问题算法的发展中，CQ算法得到更多的关注。假设C和Q分别是欧几里得或希尔伯特空间 H 1 和 H 2 上的闭合凸子集，并且A是有界线性算子。CQ算法的迭代格式如下 x k + 1 = P C ( x k − θ A * ( I − P Q ) A x k ) (1.3) 学者们还提出了一些其他的方法 [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]，将分裂可行问题等价于不动点问题或变分不等式问题进行求解，因此应用于其等效问题的算法可以作适应性调整并应用于分裂可行问题，例如Krasnosel’skii-Mann (KM)算法 [ 12 ] [ 13 ] 在解决分裂可行问题方面取得了重大突破。Zhao将KM迭代形式应用于扰动CQ算法。由于KM迭代算法具有较弱的收敛性，因此作为一种特殊形式，CQ算法也具有较弱的收敛性。Xu [ 14 ] 改进了上述算法，并很好地解决了这一缺点，改进算法具有较强的收敛性。 考虑对分裂可行问题的一种情况：在欧式空间中存在集合 C i ⊆ R n ， Q j ⊆ R m 其中 i = 1 ， 2 ， ⋯ ， p ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， r 并满足(1.1)式条件，这个问题称为多集分裂可行性问题(MSSFP)，更进一步，我们设矢量值函数或非线性函数 F : R n → R m 代替A。本文中我们考虑双集合非线性分裂可行性问题，即 x * ∈ C       and       F ( x * ) ∈ Q (1.4) 在2005年，Censor等人 [ 2 ] 提出了一种投影梯度算法，最小化一个使用最大最小法(Majorize-Minimize Method)构建的目标函数如下 f ( x ) = 1 2 ∑ i v i d i s t ( x ， C i ) 2 + 1 2 ∑ j w j d i s t [ H ( x ) ， Q j ] 2 (1.5) 其中 d i s t ( x ， y ) 表示向量x和y之间的欧氏距离。权重系数或者凸系数 v i 和 w j 为正数且满足 ∑ v i + ∑ w j = 1 。算法的迭代公式为： x k + 1 = P Ω { x k + s ( ∑ i = 1 t α i ( P C i ( x k ) − x k ) + ∑ j = 1 r β j A T ( P Q j ( A x k ) − A x k ) ) } (1.6) 所以问题转化为最小化问题 min f ( x ) 。我们的目标是找到一个解 x * ，使在此点的目标函数的梯度满足 ∇ f ( x * ) < ε 。根据上面的替代函数，我们可以推导出非线性分裂可行问题的目标函数和梯度函数分别为 f ( x ) = 1 2 ‖ x − P C ( x ) ‖ 2 + 1 2 ‖ F ( x ) − P Q ( F ( x ) ) ‖ 2 (1.7) ∇ f ( x ) = ( x − P C x ) + ∇ F ( x ) T ( F ( x ) − P Q ( F ( x ) ) ) (1.8) 其中 ∇ F ( x ) : R m → R n 是映射F在x点处的雅可比矩阵。 李志宝 [ 15 ] 提出了一种自适应投影类型方法，其文章算法基于投影梯度法加上自适应的技术求解非线性分裂可行问题。作者基于一阶信息使用了新的步长搜索，迭代公式为 x k + 1 = P Ω [ x k − β k + 1 ∇ p ( x k ) ] ，其中步长 β k + 1 满足 β k + 1 ‖ ∇ f ( x k ) − ∇ f ( x k + 1 ) ‖ 2 ≤ ( 2 − δ ) ( x k − x k + 1 ) T ( ∇ f ( x k ) − ∇ f ( x k + 1 ) ) 2014年A. Gibali [ 16 ] 提出了一种求解非线性分裂可行问题的信赖域方法也展现出了良好的收敛性与数值实验结果。 本文，我们给出非线性分裂可行问题的一个条件梯度算法，我们考虑等价的无约束优化问题 min f ( x ) = 1 2 ‖ x − P C ( x ) ‖ 2 + 1 2 ‖ F ( x ) − P Q ( F ( x ) ) ‖ 2 该算法将求解迭代方向转化成求解一线性子问题，并以线搜索得到的步长作为凸因子，当前方向与上一步迭代点的凸组合作为新的迭代点。算法在迭代的更新步中不使用投影，并且得到的解有较好的稀疏性和低秩性。我们获得了算法的收敛性并给出数值实验对比分析x了本文的算法与相关算法在同一算例下的表现情况，得到了良好的结果。
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user: 3. 算法 以下是条件梯度法解决非线性分裂可行问题的算法步骤： 引理3.1 对于 ∀ x ， x i ∈ C ， 〈 ∇ f ( x i ) ， x * 〉 ≤ 〈 ∇ f ( x i ) ， x 〉 。 证明：目标函数 f ( x ) 在 x * 处与任意 x r ∈ C 的泰勒展开式为 f ( x * ) = f ( x i ) + ∇ f ( x i ) ( x * − x i ) + O ( x ) = 0 与 f ( x r ) = f ( x i ) + ∇ f ( x i ) ( x r − x i ) + O ( x ) = ϵ r 其中 ϵ r > 0 ，因此我们有 ∇ f ( x i ) ( x * − x i ) < ∇ f ( x i ) ( x r − x i ) 所以 〈 ∇ f ( x i ) ， x * 〉 ≤ 〈 ∇ f ( x i ) ， x r 〉 ，     ∀ x r ， x i ∈ C 证毕。我们自然推导出以下引理 引理3.2 f ( x k ) − f ( x k − 1 ) < 0 证明 f ( x k ) − f ( x k − 1 ) = f ( x i ) + ∇ f ( x i ) ( x k − x i ) − [ f ( x i ) + ∇ f ( x i ) ( x k − 1 − x i ) ] = ∇ f ( x i ) ( x k − x i ) − ∇ f ( x i ) ( x k − 1 − x i ) = 〈 ∇ f ( x i ) ， x k 〉 − 〈 ∇ f ( x i ) ， x k − 1 〉 = ∇ f ( x i ) ( x k − x k − 1 ) = λ k − 1 ∇ f ( x i ) d k − 1 F W ≤ 0 其中 λ k − 1 ∈ ( 0 ， 1 ) 。当且仅当 x i 是最优解时，等号成立。
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user: 4. 数值实验 4.1. 数值结果 论文应采在本节中我们将通过如下的例子对算法2进行数值实验，并与其他的算法进行对比。 考虑非线性分裂可行问题： F ( x ) : = [ x 1 ， x 2 ， 2 x 1 2 + 2 x 2 2 + 1 ] 非空闭凸集 C N L ， C S 与 Q N L 分别是： (问题1) C N L : = { x ∈ R 2 | | x | 2 ≤ 1 } ，   Q N L : = { y ∈ R 3 | | y − d | 2 ≤ 1 } (问题2) C S : = { x ∈ R 2 | | x | 0 ≤ 1 } ，   Q N L : = { y ∈ R 3 | | y − d | 2 ≤ 1 } 其中 d = [ 0 ， 1.8 ， 3 ] T 。 本文的数值实验是使用MATLAB2018a在同一台计算机上进行的。图3是针对上述问题，三种算法的迭代路径示意图。对于问题1，本文比较了最大值最小值法(MM)，传统投影梯度算法(Projected Gradient Method)和本文提出的算法2在不同初始点的迭代次数与计算时间的差异。从表1可以看出，与其他两种算法相比，MM法需要更多的迭代才能到达求解区域。与算法2相比，PGM的迭代路径明显更“曲折”。图4中迭代次数与目标函数值的比较图。可以看出，算法2，PGM和MM方法可以使目标函数值在先前的迭代中迅速减小到较小的值，但是MM需要更多的迭代次数，PGM在迭代的上一步中，函数值将反弹，算法2迅速收敛到0，从而获得良好的结果。表1列出了一些特殊的初 图3. 不同初始点下三种算法的迭代路径比较图 始点对三种算法的迭代次数，迭代时间和最终目标函数值的影响。可以看出，不同的初始点对MM方法有很大的影响，PGM也显示出一定的波动性。在这种情况下，本文提出的算法2具有良好的性能，影响最小。 Table 1 Comparison table of solving efficiency of three methods for more special initial point 问题 初始点 MM PGM CGM 迭代数 时间 ‖ f ( x ) ‖ 迭代数 时间 ‖ f ( x ) ‖ 迭代数 时间 ‖ f ( x ) ‖ 1 ( π ， − log 6 ) 8 0.020s 0 30 0.020s 0 4 0.080s 0 ( 10 8 ， 10 9 ) >500 NaN NaN 5 0.020s 0 10 0.050s 0 ( 0 ， 0 ) 80 0.110s 0 1 0.000s 0 1 0.020s 0 2 ( π ， − log 6 ) Inf Inf NaN 4 0.050s 0 2 0.100s 0 ( 10 8 ， 10 9 ) Inf Inf NaN 6 0.020s 0 2 0.070s 0 ( 0 ， 0 ) 116 0.110s 9.1e-06 2 0.010s 0 1 0.050s 0 表1. 较特殊初始点的三种方法求解效率比较表 图4. 不同算法在迭代过程中目标函数值的变化情况 4.2. 不同步长选取策略 算法中步长的选取方式有所不同 [ 25 ]，本文主要考虑如下求解步长的方法 1) 经典条件梯度法步长： λ ω = 2 / k + 2 2) 简单平均步长： λ α = 1 / k + 1 3) 常数步长： λ c = λ ^ 4) 线搜索步长(算法2)： λ L S 5) 最小步长选取法： λ min = { 1 ， ( x k − s k ) T ∇ f ( x k ) 2 ‖ x k − s k ‖ 2 } 我们分析了五种步长选择策略在非线性分裂可行问题中的表现情况，不同步长下的迭代次数比较表如表2所示，图5则对比了迭代过程中目标函数的变化过程情况。 Table 2 Comparison table of various algorithm values under different step lengt 步长 初始点 x 0 = r a n d ( 2 ， 1 ) 迭代数 时间 ‖ f ( x ) ‖ & ‖ ∇ f ( x ) ‖ λ ω 6 0.1400s 0/0 λ α 18 1.2400s 0/0 λ c 4 0.1100s 0/0 λ L S 2 0.0060s 0/0 λ min 5 0.1500s 0/0 表2. 不同步长下算法各项数值的比较表 图5. 不同步长下迭代过程示意图
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user: 5. 结论 本文主要研究利用带线搜索的条件梯度法求解非线性分裂可行问题，根据理论和数值实验的结果，算法在迭代次数、运算时间和实现的可行性方面，优于其他投影类算法，并且灵活性更强。本文仅使用MATLAB中的优化工具箱，没有针对本算例使用特定的方法求解，在求解迭代方向时，可以运用不同的方法，以实现对不同问题的更有效解决方案。对于步长的线搜索，本文使用Armijo线搜索。在以后的研究中，对于更复杂的高纬度问题，可尝试使用非单调线搜索来避免迭代向量非常接近集合的交点时出现的折线步太多的情况。
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user: 摘要 本文提出了基于链分解的多标签属性约简方法。通过考虑标签之间的相关性，将标签进行排序，根据排序方法，多标签问题被分解成单标签链的形式，对于链中每一个子问题通过粗糙集方法重新定义下近似、正域、依赖度，并进行属性约简。实验结果表明，该方法能在不降低分类精度的情况下去除大部分冗余属性。
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user: 1. 引言 在传统监督学习中一个样本只与一个标签相关，这类问题被称为单标签问题。但是在现实生活中往往并非如此，一个样本也可以与多个标签相关联，比如一篇文章可能存在多个关键词，一幅图像可以拥有多个主题，我们把这类问题称为多标签问题。与单标签分类不同，多标签分类问题会更加复杂。 问题转换是处理多标签问题的方法之一。其主要思想是将多标签问题转化为一个或多个单标签问题进行处理。BR (binary relevance)是最常见的问题转换方法，实现方法简单，容易理解。但在考虑标签之间的相关性时，最终构建模型的泛化能力会比较弱。而Read等 [ 1 ] 在2009年提出的分类器链算法，在一定程度上克服了这个问题。分类器链同样是将多标签问题转化为单标签问题 [ 2 ]，但与传统二分类方法不同的是，分类器链算法把标签当作额外信息添加到属性集中，即每个已知标签都可以看作是属性空间的子集。实际上就是样本属性在不断的扩充。在这一过程中考虑了标签之间的相关性，特别是在训练样本很少的情况，缺少有用的信息时，考虑标签之间的相关性就显得尤为重要。 粗糙集是一种新的软计算方法，近年来受到越来越多的关注。它的有效性已经在许多科学和工程领域的成功应用中得到了证明。最早由波兰科学家Pawlak在1982年 [ 3 ] 提出。此后，粗糙集理论逐渐应用于单标签数据的属性约简中 [ 4 ]，并取得了令人满意的效果。近年来，粗糙集被广泛地应用于多标签数据属性约简中 [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]。然而，在约简过程中考虑标签之间的相关性，降低计算复杂度是需要解决的主要问题。本文主要根据多标签链分解的特点，将其与粗糙集方法相结合，在考虑标签间相关性的基础上进行属性约简。 本文剩余部分结构如下：在第二节中，提出了两种标签排序方法，并将多标签分解成链的形式。在第三节中，对于每个分解之后的子问题给出了新的相似类、正域、依赖度的定义，并设计了一种新的属性约简算法。在第四节中，在给定的五个数据集上进行了数值实验，并对于实验结果进行了分析。在第五节中，对本文所得的结论和实验结果进行总结。
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user: 2. 多标签链分解 基于链分解的多标签问题本质上是将多标签问题转化为链的形式。在分解过程中，已知标签依次作为额外的属性为样本提供分类信息，所以标签的排序非常重要。本节主要提出两种标签排序方法，建立了链式分解。在此之前给出多标签分类问题的基本框架。 令 X = { x 1 ， x 2 ， x 3 ， ⋯ ， x n } 为样本集， Y = { y ′ 1 ， y ′ 2 ， y ′ 3 ， ⋯ ， y ′ m } 为标签集， A = { a 1 ， a 2 ， a 3 ， ⋯ ， a d } 代表属性集合。我们可以将多标签数据集表示为 ( X ， A ， Y ) 。对每一个属性 a ∈ A ，样本 x i 在属性a上的取值记为 a ( x i ) 。对每个标签 y ′ j ∈ Y ，样本 x i 的标签值为 y ′ j ( x i ) ，如果 x i 具有标签 y ′ j ， y ′ j ( x i ) = 1 否则为0。下面我们给出两种标签排序的方法。 方法一：邻域法 该方法主要是利用邻域的概念，找出每个样本邻域内各个标签的出现次数，对于所有样本邻域内同一类标签出现次数相加并求其平均值，根据平均值确定标签排列顺序。接下来我们将给出邻域法的相关定义。 给定标签数据集 ( X ， A ， Y ) ，对于任意 ε > 0 ，样本 x i 的相似类定义如下： [ x i ] A ε = { x ∈ X : | a ( x i ) − a ( x ) | ≤ ε ， a ∈ A } 对于任意 y ′ j ∈ Y ，令 T j ( x i ) = ∑ x ∈ [ x i ] A ε y ′ j ( x ) ，     j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m ，     i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n . 其中x是 x i 邻域内的任意一个样本， T j ( x i ) 表示样本 x i 邻域内标签 y ′ j 出现次数。基于以上公式，将所有样本的邻域内标签 y ′ j 出现的次数相加并求其平均值： r a n k ( y ′ j ) = ∑ i = 1 n T j ( x i ) n 根据平均数的大小，按照降序将标签进行排列。不妨设排序后的标签列为 ( y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y m ) 。 方法二：计数法 计数法就是找到所有与标签 y ′ j 相关的样本，根据相关样本集基数的大小进行标签排序。接下来我们将给出相关定义。 给定标签数据集 ( X ， A ， Y ) ，令 X j = { x i | y ′ j ( x i ) = 1 ， 1 ≤ i ≤ n } ，     j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m . 这里， X j ⊂ X 是与标签 y ′ j 相关的样本集，根据 X j 基数将标签降序排列，排序后的标签列仍然记为 ( y 1 ， y 2 ， ⋯ ， y m ) 。 根据以上两种标签排序方法，对m个标签进行排序。将标签依次视为新的属性加入到原属性集中，令 A 1 = A ∪ { y 1 } 对于序列中的第j个标签新的属性集可以表示为： A j = A j − 1 ∪ { y j } ，   j = 2 ， 3 ， ⋯ ， m . 则有 A ⊂ A 1 ⊂ A 2 ⊂ ⋯ ⊂ A j − 1 ⊂ A m 。 以上是将多标签问题分解为链式子问题的过程，其主要优势是考虑了标签之间的相关性，标签被当做属性添加到原始属性集A中用来为样本提供有效信息。此时，子问题的数据集记为 ( X ， A j ， y j ) ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 。
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user: 3. 属性约简 在本节中根据以上多标签链分解的特点，对于每个子问题将重新定义下近似、正域并提出新的约简方法，在此之前我们将先给出标签信息集的定义。对于任意 y j ∈ Y ，标签信息集定义如下： E j = { x ∈ X : y j ( x ) = 1 } ，   ​     j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m . 由所有标签信息集组成的集合族可以表示为： E = { E j | j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m } . 对于任意属性子集 B ⊂ A ，根据属性集 A j 的特点，扩充后的属性集可以表示成如下形式： B 1 = B ∪ { y 1 } B j = B j − 1 ∪ { y j } ，     j = 1 ， 2 ， ⋯ ， m . 定义2.1：对于多标签数据集 ( X ， A j ， Y ) ，样本 x i 的相似类可以被重新定义为。 [ x i ] B j ε = { x ∈ X : | a ( x i ) − a ( x ) | ≤ ε ， | y j ( x i ) − y j ( x ) | ≤ ε ， a ， y j ∈ B j } . 定义2.2：给定多标签数据集 ( X ， A j ， Y ) ，对于属性子集 B j ⊂ A j ，关于标签信息集 E j 的下近似定义如下： R _ B j ε ( E j ) = { x i ∈ X : [ x i ] B j ε ⊆ E j } . 定义2.3：给定原始多标签数据集 ( X ， A ， Y ) ，对于属性子集 B ⊂ A ，其正域定义为： P O S B ε ( E ) = ∪ E j ∈ E R _ B j ε ( E j ) . 引理2.1：对于任意的属性子集 B ⊂ A ， B ′ ⊂ A ，如果 B ′ ⊂ B ，则有 P O S B ′ ε ( E ) ⊆ P O S B ε ( E ) 证明：对于任意 x ∈ P O S B ′ ε ( E ) 从定义2.3可知 x ∈ ∪ E j ∈ E R _ B 1 ε ( E j ) 。故存在 E j ∈ E ，使得 x ∈ R _ B ′ ε ( E j ) 根据下近似定义 [ x ] B ′ ε ⊆ E j ，由 B ′ ⊂ B 可以得到 [ x ] B ε ⊆ [ x ] B ′ ε ⊆ E j ，因此 x ∈ R _ B ε ( E j ) ，则有 x ∈ ∪ E j ∈ E R _ B ε ( E j ) ，即 x ∈ P O S B ε ( E ) ，所以 P O S B ′ ε ( E ) ⊆ P O S B ε ( E ) 成立。 定义2.4：对于多标签数据 ( X ， A ， Y ) ，当且仅当 B ⊆ A 满足以下条件 1) P O S B ε ( E ) = P O S A ε ( E ) ， 2) P O S B ′ ε ( E ) ≠ P O S A ε ( E ) 其中 B ′ ⊂ B ， 则称集合B是多标签数据集的链式正域约简。 接下来，我们将介绍链式依赖性约简。在此之前，将依赖函数定义为： γ B ε ( E ) = 1 m ∑ j = 1 m | R _ B ε ( E j ) | | X | 其中 |   ⋅   | 表示相应集合的基数。由引理2.1可以直接得到依赖度的单调性引理。 引理2.2：对于任意的 B ′ ⊂ B ⊂ A ，有 γ B ′ ε ( E ) ≤ γ B ε ( E ) 定义2.4：对于多标签数据 ( X ， A ， Y ) ，对于任意的 B ′ ⊂ B 如果属性子集 B ⊆ A 满足以下条件： 1) γ B ε ( E ) = γ A ε ( E ) ， 2) 对于任意的 B ′ ⊂ B ， γ B ′ ε ( E ) ≠ γ A ε ( E ) ， 则称集合B是多标签数据集的链式依赖度约简。 在样本空间中，每个样本包含多个属性，而且每个属性的重要度不同。接下来，我们将使用上面定义的依赖函数来评估每个属性的重要性。 定义2.5：给定多标签数据 ( X ， A ， Y ) ，令属性子集 B ⊆ A ，则属性 a i ∈ B 关于属性子集B的重要性度定义为： S i g i n ( a i ， B ) = γ B ε ( E ) − γ ( B − a i ) ε ( E ) . 这里我们使用重要性的概念来给出算法的伪代码。 参数 φ 用来构造终止准则，当待选属性的重要度小于 φ 时，算法停止运行并输出约简属性。 第2步到第6步是计算属性集B中各属性的重要度，根据定义2.5，将值最大的属性添加到集合Red。第7步到第11步，判断算法的终止条件，当待选属性的重要度小于 φ 时输出约简，否则返回第2步。