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user: 3. 混合型裂纹尖端场的复变函数解法 在解决弹性力学边值问题时，利用复变函数及其坐标变换法得到了一些经典的结果，若采用实函数求解就十分困难。为了解决复合材料中的应力边值问题，引入一个复变量w，并用直角坐标和极坐标表示为： w = x + i h y = r cos θ + i h r sin θ = r ( cos θ + i h sin θ ) w ¯ = x − i h y = r cos θ − i h r sin θ = r ( cos θ − i h sin θ ) } (14) 式中系数h取为实常数(且令： h > 0 )。由直角坐标求导法则可得偏导数公式： ∂ w ∂ x = ∂ w ¯ ∂ x = 1 ，     ∂ w ∂ y = − ∂ w ¯ ∂ y = i h (15) 实变函数 F ( x ， y ) 的偏导数可用含复变量的函数 F [ w ( x ， y ) ， w ¯ ( x ， y ) ] 表示为： ∂ F ∂ x = ∂ F ∂ w ∂ w ∂ x + ∂ F ∂ w ¯ ∂ w ¯ ∂ x = ∂ F ∂ w + ∂ F ∂ w ¯ ∂ F ∂ y = ∂ F ∂ w ∂ w ∂ y + ∂ F ∂ w ¯ ∂ w ¯ ∂ y = i h ( ∂ F ∂ w − ∂ F ∂ w ¯ ) } (16) 进一步可求得以下二阶偏导数关系： ∂ 2 F ∂ x 2 = ( ∂ ∂ w + ∂ ∂ w ¯ ) ( ∂ F ∂ w + ∂ F ∂ w ¯ ) = ∂ 2 F ∂ w 2 + 2 ∂ 2 F ∂ w ∂ w ¯ + ∂ 2 F ∂ w ¯ 2 ∂ 2 F ∂ x ∂ y = i h ( ∂ ∂ w + ∂ ∂ w ¯ ) ( ∂ F ∂ w − ∂ F ∂ w ¯ ) = i h ( ∂ 2 F ∂ w 2 − ∂ 2 F ∂ w ¯ 2 ) ∂ 2 F ∂ y 2 = − h 2 ( ∂ ∂ w − ∂ ∂ w ¯ ) ( ∂ F ∂ w − ∂ F ∂ w ¯ ) = − h 2 ( ∂ 2 F ∂ w 2 − 2 ∂ 2 F ∂ w ∂ w ¯ + ∂ 2 F ∂ w ¯ 2 ) } (17) 利用以上偏导数变换式可将偏微分方程(12)转化为： ( h 4 − 2 B 1 h 2 + B 2 ) ( ∂ 4 F 12 ∂ w 4 + ∂ 4 F 12 ∂ w ¯ 4 ) + 4 ( B 2 − h 4 ) ( ∂ 4 F 12 ∂ w 3 ∂ w ¯ + ∂ 4 F 12 ∂ w ∂ w ¯ 3 )   + 2 ( 3 h 4 + 2 B 1 h 2 + 3 B 2 ) ∂ 4 F 12 ∂ w 2 ∂ w ¯ 2 = 0 (18) ( B 3 − h 3 2 ) ( ∂ 2 F 3 ∂ w 3 ∂ w 3 + ∂ 2 F 3 ∂ w ¯ 3 ∂ w ¯ 3 ) + 2 ( B 3 + h 3 2 ) ∂ 2 F 3 ∂ w 3 ∂ w ¯ 3 = 0 (19) 式中， w 3 = x + i h 3 y ， w ¯ 3 = x − i h 3 y ， F 3 = F 3 ( x ， y ) = F 3 ( w 3 ， w ¯ 3 ) 。由于方程(18)比较复杂，放在后边详细讨论，首先对二阶偏微分方程(19)进行解答。 二阶偏微分方程(19)的前项系数可以等于零，而后项系数大于零。因此，可将微分方程转化为一个材料参数方程和一个特殊的偏微分方程： B 3 − h 3 2 = 0 ，       ∂ 2 F 3 ∂ w 3 ∂ w ¯ 3 = 0 再根据式(13)的常数定义，待定参数 h 3 可确定为： h 3 = B 3 = G 13 G 23 (20) 为满足偏微分方程，应力函数 F 3 可用复变函数表示为： F 3 = A 3 Φ 3 ( w 3 ) + A 3 Φ ¯ 3 ( w ¯ 3 ) = A 3 Φ 3 ( w 3 ) + A 3 Φ 3 ( w 3 ) ¯ = 2 A 3 Re Φ 3 (21) 式中 A 3 是待定实常数，再由偏导数法则可求得： ∂ F 3 ∂ x = ∂ F 3 ∂ w 3 + ∂ F 3 ∂ w ¯ 3 = A 3 ( Φ ′ 3 + Φ ¯ ′ 3 ) ，       ∂ F 3 ∂ y = i h 3 ( ∂ F 3 ∂ w 3 − ∂ F 3 ∂ w ¯ 3 ) = A 3 h 3 i ( Φ ′ 3 − Φ ¯ ′ 3 ) 将两个偏导数表达式代入到式(10)，可得两个应力分量的复变函数表达式： τ y z = A 3 ( Φ ′ 3 + Φ ¯ ′ 3 ) = 2 A 3 Re Φ ′ 3 τ x z = − A 3 h 3 i ( Φ ′ 3 − Φ ¯ ′ 3 ) = 2 A 3 h 3 Im Φ ′ 3 } (22) 下面对方程(18)进行解答。 四阶偏微分方程(18)由三大项组成，前两项系数可以等于零，而第三项系数大于零。因此，可将微分方程转化为不同的材料参数方程和特殊的偏微分方程，下面主要按两种情形分别讨论应力函数的复变函数表达式。 情形1：令 h 4 − 2 B 1 h 2 + B 2 = 0 ， B 2 − h 4 = 0 ， ∂ 4 F 12 ∂ w 2 ∂ w ¯ 2 = 0 显然参数h具有限定解答为： h 4 = B 2 = B 1 2 。因前面已设定 h > 0 ，并由式(13)确定的弹性常数，可将h用工程弹性常数表示为： h = E 1 2 G 12 − μ 12 = E 1 E 2 4 (23) 再由 ∂ 4 F 12 ∂ w 2 ∂ w ¯ 2 = 0 确定出应力函数 F 12 用复变函数表示的一般公式为： F 12 = ( C 1 + i C 2 ) Ψ + ( C 1 − i C 2 ) Ψ ¯ + ( C 3 + i C 4 ) w ¯ Φ + ( C 3 − i C 4 ) w Φ ¯ = 2 C 1 Re Ψ − 2 C 2 Im Ψ + 2 C 3 Re ( w ¯ Φ ) − 2 C 4 Im ( w ¯ Φ ) (24) 式中，复变函数记为： Ψ = Ψ ( w ) ， Ψ ¯ = Ψ ¯ ( w ¯ ) ， Φ = Φ ( w ) ， Φ ¯ = Φ ¯ ( w ¯ ) 。根据具体问题可适当选取复变函数类型，复变量 w ， w ¯ 由式(14)给定。 由偏导数法则可求出应力函数 F 12 的各个偏导数为： ∂ F 12 ∂ w = ( C 1 + i C 2 ) Ψ ′ + ( C 3 + i C 4 ) w ¯ Φ ′ + ( C 3 − i C 4 ) Φ ¯ ∂ F 12 ∂ w ¯ = ( C 1 − i C 2 ) Ψ ¯ ′ + ( C 3 + i C 4 ) Φ + ( C 3 − i C 4 ) w Φ ¯ ′ ∂ 2 F 12 ∂ w 2 = ( C 1 + i C 2 ) Ψ ″ + ( C 3 + i C 4 ) w ¯ Φ ″ ∂ 2 F 12 ∂ w ¯ 2 = ( C 1 − i C 2 ) Ψ ¯ ″ + ( C 3 − i C 4 ) w Φ ¯ ″ ∂ 2 F 12 ∂ w ∂ w ¯ = ( C 3 + i C 4 ) Φ ′ + ( C 3 − i C 4 ) Φ ¯ ′ 将二阶偏导数表达式代入式(17)，并按照式(10)确定出应力分量为： σ x = − h 2 [ C 1 ( Ψ ″ + Ψ ¯ ″ ) + i C 2 ( Ψ ″ − Ψ ¯ ″ ) − 2 C 3 ( Φ ′ + Φ ¯ ′ ) − 2 i C 4 ( Φ ′ − Φ ¯ ′ )               + C 3 ( w ¯ Φ ″ + w Φ ¯ ″ ) + i C 4 ( w ¯ Φ ″ − w Φ ¯ ″ ) ] σ y = C 1 ( Ψ ″ + Ψ ¯ ″ ) + i C 2 ( Ψ ″ − Ψ ¯ ″ ) + 2 C 3 ( Φ ′ + Φ ¯ ′ ) + 2 i C 4 ( Φ ′ − Φ ¯ ′ )                 + C 3 ( w ¯ Φ ″ + w Φ ¯ ″ ) + i C 4 ( w ¯ Φ ″ − w Φ ¯ ″ ) τ x y = h [ − i C 1 ( Ψ ″ − Ψ ¯ ″ ) + C 2 ( Ψ ″ + Ψ ¯ ″ ) − i C 3 ( w ¯ Φ ″ − w Φ ¯ ″ ) + C 4 ( w ¯ Φ ″ + w Φ ¯ ″ ) ] } (25) 情形2：令 h 4 − 2 B 1 h 2 + B 2 = 0 ， ∂ 2 F 12 ∂ w ∂ w ¯ = 0 假设 B 1 2 > B 2 ，则得： h 2 = B 1 ± B 1 2 − B 2 ，即h有两个根，用 h 1 ， h 2 表示，且设 h 1 > h 2 。根据式(13)确定的弹性常数，可将 h 1 ， h 2 用工程弹性常数表示为： h 1 = E 1 2 G 12 − μ 12 + ( E 1 2 G 12 − μ 12 ) 2 − E 1 E 2 h 1 = E 1 2 G 12 − μ 12 − ( E 1 2 G 12 − μ 12 ) 2 − E 1 E 2 } (26) 再由 ∂ 2 F 12 ∂ w ∂ w ¯ = 0 确定出应力函数 F 12 用复变函数表示的一般公式为： F 12 = F 1 ( w 1 ， w ¯ 1 ) + F 2 ( w 2 ， w ¯ 2 ) = ( C 1 + i C 2 ) Ψ 1 + ( C 1 − i C 2 ) Ψ ¯ + 1 ( C 3 + i C 4 ) Ψ 2 + ( C 3 − i C 4 ) Ψ ¯ 2 (27) 式中复变函数记为： Ψ 1 = Ψ 1 ( w 1 ) ， Ψ ¯ 1 = Ψ ¯ 1 ( w ¯ 1 ) ， Ψ 2 = Ψ 2 ( w 2 ) ， Ψ ¯ 2 = Ψ ¯ 2 ( w ¯ 2 ) 。复变量为： w 1 = x + i h 1 y = r ( cos θ + i h 1 sin θ ) ， w 2 = x + i h 2 y = r ( cos θ + i h 2 sin θ ) 。根据偏导数法则可求出应力函数 F 12 的偏导数为： ∂ 2 F 12 ∂ x 2 = ( ∂ ∂ w 1 + ∂ ∂ w ¯ 1 ) ( ∂ F 1 ∂ w 1 + ∂ F 1 ∂ w ¯ 1 ) + ( ∂ ∂ w 2 + ∂ ∂ w ¯ 2 ) ( ∂ F 2 ∂ w 2 + ∂ F 2 ∂ w ¯ 2 ) = C 1 ( Ψ ″ 1 + Ψ ¯ ″ 1 ) + i C 2 ( Ψ ″ 1 − Ψ ¯ ″ 1 ) + C 3 ( Ψ ″ 2 + Ψ ¯ ″ 2 ) + i C 4 ( Ψ ″ 2 − Ψ ¯ ″ 2 ) ∂ 2 F 12 ∂ x ∂ y = i h 1 ( ∂ ∂ w 1 + ∂ ∂ w ¯ 1 ) ( ∂ F 1 ∂ w 1 − ∂ F 1 ∂ w ¯ 1 ) + i h 2 ( ∂ ∂ w 2 + ∂ ∂ w ¯ 2 ) ( ∂ F 2 ∂ w 2 − ∂ F 2 ∂ w ¯ 2 ) = i h 1 C 1 ( Ψ ″ 1 − Ψ ¯ ″ 1 ) − h 1 C 2 ( Ψ ″ 1 + Ψ ¯ ″ 1 ) + i h 2 C 3 ( Ψ ″ 2 − Ψ ¯ ″ 2 ) − h 2 C 4 ( Ψ ″ 2 + Ψ ¯ ″ 2 ) ∂ 2 F 12 ∂ y 2 = − h 1 2 ( ∂ ∂ w 1 − ∂ ∂ w ¯ 1 ) ( ∂ F 1 ∂ w 1 − ∂ F 1 ∂ w ¯ 1 ) − h 2 2 ( ∂ ∂ w 2 − ∂ ∂ w ¯ 2 ) ( ∂ F 2 ∂ w 2 − ∂ F 2 ∂ w ¯ 2 ) = − h 1 2 [ C 1 ( Ψ ″ 1 + Ψ ¯ ″ 1 ) + i C 2 ( Ψ ″ 1 − Ψ ¯ ″ 1 ) ] − h 2 2 [ C 3 ( Ψ ″ 2 + Ψ ¯ ″ 2 ) + i C 4 ( Ψ ″ 2 − Ψ ¯ ″ 2 ) ] 再按照式(10)确定出应力分量为： σ x = − h 1 2 [ C 1 ( Ψ ″ 1 + Ψ ¯ ″ 1 ) + i C 2 ( Ψ ″ 1 − Ψ ¯ ″ 1 ) ] − h 2 2 [ C 3 ( Ψ ″ 2 + Ψ ¯ ″ 2 ) + i C 4 ( Ψ ″ 2 − Ψ ¯ ″ 2 ) ] σ y = C 1 ( Ψ ″ 1 + Ψ ¯ ″ 1 ) + i C 2 ( Ψ ″ 1 − Ψ ¯ ″ 1 ) + C 3 ( Ψ ″ 2 + Ψ ¯ ″ 2 ) + i C 4 ( Ψ ″ 2 − Ψ ¯ ″ 2 ) τ x y = − i h 1 C 1 ( Ψ ″ 1 − Ψ ¯ ″ 1 ) + h 1 C 2 ( Ψ ″ 1 + Ψ ¯ ″ 1 ) − i h 2 C 3 ( Ψ ″ 2 − Ψ ¯ ″ 2 ) + h 2 C 4 ( Ψ ″ 2 + Ψ ¯ ″ 2 ) } (28) 以上各公式中的待定常数需要根据边界条件来确定。