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user: 2. 一类Brunnian Link尖括号多项式的计算 定理2.1.1 〈 B ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) ︷ n 〉 = { ( 3 − 2 A 4 − 2 A − 4 + A 8 + A − 8 ) n − 1 〈 B ( 0 ) 〉 + ( A 10 + A − 10 − A 6 − A − 6 )   ⋅ ∑ i = 0 n − 2 ( 3 − 2 A 4 − 2 A − 4 + A 8 + A − 8 ) i ⋅ ( − A − 3 − A 5 + A − 7 ) 2 [ n − ( i + 1 ) ]                                 n ≥ 2 − A 2 − A − 2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           n = 1 证明 首先计算 〈 B ( 0 ) 〉 ， B ( 0 ) 如图5所示： 图5 首先选择图中最上面的两个交叉点，如图6所示： 图6 打开这两个交叉点有以下四种方式： 1) 同时打开两个交叉点的A通道，得到的投影图记为I，如图7所示。 2) 打开最上面左侧交叉点的A通道，打开最上面右侧交叉点的B通道，得到的投影图记为Q，如图8所示。 3) 打开最上面左侧交叉点的B通道，打开最上面右侧交叉点的A通道，得到的投影图记为M，如图9所示。 4) 同时打开两个交叉点的B通道，得到的投影图记为N，如图10所示。 图7 图8 图9 图10 根据尖括号多项式的计算法则可得： 〈 B ( 0 ) 〉 = A 2 〈 I 〉 + A B 〈 Q 〉 + B A 〈 M 〉 + B 2 〈 N 〉 下面计算 〈 I 〉 ， 〈 Q 〉 ， 〈 M 〉 ， 〈 N 〉 同理可求得 〈 Q 〉 ， 〈 M 〉 ， 〈 N 〉 〈 Q 〉 = ( − A 6 − A − 6 ) 〈 β 〉 + ( 2 − A 4 − A − 4 ) 〈 α 〉 . 〈 M 〉 = 〈 α 〉 . 〈 N 〉 = ( A − 6 − A − 2 ) 〈 α 〉 + A − 8 〈 β 〉 . 综上可得： 〈 B ( 0 ) 〉 = A 2 〈 I 〉 + A B 〈 Q 〉 + B A 〈 M 〉 + B 2 〈 N 〉 = ( A 10 + A − 10 − A 6 − A − 6 ) 〈 β 〉 + ( 3 − 2 A 4 − 2 A − 4 + A 8 + A − 8 ) 〈 α 〉 = − A 2 − A − 2 . 令 T = A 10 + A − 10 − A 6 − A − 6 ，   P = 3 − 2 A 4 − 2 A − 4 + A 8 + A − 8 则 〈 B ( 0 ) 〉 可简化表达为： 〈 B ( 0 ) 〉 = T 〈 β 〉 + P 〈 α 〉 。 其次计算 〈 B ( 0 ， 0 ) 〉 ， B ( 0 ， 0 ) 可以看成 B ( 0 ) 和 B ( 0 ) 沿着 a ， b 两段弧做特殊连通和得到的，如图11所示。 图11 由尖括号多项式运算法则，在计算 B ( 0 ， 0 ) 时可以先打开左侧 B ( 0 ) 中所有交叉点，会得到 α 和 β 两种投影图，再将这两种投影图分别与右侧 B ( 0 ) 沿着 a ， b 两段弧做特殊的连通和。其中 α 与 B ( 0 ) 沿着 a ， b 两段弧做特殊的连通和得到的投影图如图12所示，可知其仍为 B ( 0 ) ； β 与 B ( 0 ) 沿着 a ， b 两段弧做特殊的连通和得到的投影图如图13所示。 图12 图13 因此 〈 B ( 0 ， 0 ) 〉 = P 〈 α ∗ B ( 0 ) 〉 + T 〈 β ∗ B ( 0 ) 〉 。 先计算 ，它可以看作两个相同的 做连通和，接下来计算 综上， 〈 B ( 0 ， 0 ) 〉 = P 〈 B ( 0 ) 〉 + T R 2 。 同理求得 〈 B ( 0 ， 0 ， 0 ) 〉 = P 2 〈 B ( 0 ) 〉 + P T R 2 + T R 4 。 〈 B ( 0 ， 0 ， 0 ， 0 ) 〉 = P 〈 B ( 0 ， 0 ， 0 ) 〉 + T R 6 = P 3 〈 B ( 0 ) 〉 + P 2 T R 2 + P T R 4 + T R 6 。 〈 B ( 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ) 〉 = P 〈 B ( 0 ， 0 ， 0 ， 0 ) 〉 + T R 8 = P 4 〈 B ( 0 ) 〉 + P 3 T R 2 + P 2 T R 4 + P T R 6 + T R 8 。 ⋮ 由迭代法归纳得： 〈 B ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) ︷ n 〉 = { − A 2 − A − 2                                                                                                                                                                                                                       n = 1   P n − 1 〈 B ( 0 ) 〉 + T ⋅ ∑ i = 0 n − 2 P i R 2 [ n − ( i + 1 ) ]                                             n ≥ 2 将P、T、R代入上式，得： 〈 B ( 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ) ︷ n 〉 = { ( 3 − 2 A 4 − 2 A − 4 + A 8 + A − 8 ) n − 1 〈 B ( 0 ) 〉 + ( A 10 + A − 10 − A 6 − A − 6 )   ⋅ ∑ i = 0 n − 2 ( 3 − 2 A 4 − 2 A − 4 + A 8 + A − 8 ) i ⋅ ( − A − 3 − A 5 + A − 7 ) 2 [ n − ( i + 1 ) ]                                 n ≥ 2 − A 2 − A − 2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           n = 1