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user: 2. 主要结果及应用 下面的定理1就是著名的孙子定理。 定理1 (孙子定理) 设 m 1 ， m 2 ， ⋯ ， m k 是k个两两互质的正整数， m = m 1 m 2 ⋯ m k ， m = m i M i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ， 则同余式组 x ≡ b 1 ( mod m 1 ) ， x ≡ b 2 ( mod m 2 ) ， ⋯ ， x ≡ b k ( mod m k ) . (1) 的解是 x ≡ M ′ 1 M 1 b 1 + M ′ 2 M 2 b 2 + ⋯ + M ′ k M k b k ( mod m ) ， (2) 其中 M ′ i M i ≡ 1 ( mod m i ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k . (3) 文 [ 1 ] 给出了该定理的三种证明方法。下面我们再给出一种证法。 证 因 m 1 ， m 2 ， ⋯ ， m k 是k个两两互质的正整数，故 ( M i ， m i ) = 1 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k 。于是，满足(3)式的整数 是存在的。 要证明同余式组(1)的解是(2)，只需证明(1)式和(2)式等价即可。 设整数x满足(1)式，则 x ≡ b i ( mod m i ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ，从而 M ′ i M i x ≡ M ′ i M i b i ( mod m i ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k . 因为当 i ≠ j 时， m i | M j ，故 ( M ′ 1 M 1 + ⋯ + M ′ k M k ) x ≡ M ′ 1 M 1 b 1 + ⋯ + M ′ k M k b k ( mod m i ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k . 从而 ( M ′ 1 M 1 + ⋯ + M ′ k M k ) x ≡ M ′ 1 M 1 b 1 + ⋯ + M ′ k M k b k ( mod m ) . (4) 因 M ′ i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ) 满足(3)式，故 M ′ 1 M 1 + M ′ 2 M 2 + ⋯ + M ′ k M k ≡ 1 ( mod m i ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k . (5) 因 m 1 ， m 2 ， ⋯ ， m k 两两互质，故由(5)式得 M ′ 1 M 1 + M ′ 2 M 2 + ⋯ + M ′ k M k ≡ 1 ( mod m ) (6) 由(4)和(6)两式即知，(2)式成立。 反之，设整数x满足(2)式，则由 m i | M j ( i ≠ j ) 和(3)式得 x ≡ M ′ 1 M 1 b 1 + M ′ 2 M 2 b 2 + ⋯ + M ′ k M k b k ≡ M ′ i M i b i ≡ b i ( mod m i ) ， i = 1 ， ⋯ ， k . 即整数x满足(1)式。 应用定理1求解孙子问题的例子参见文 [ 1 ] [ 2 ] 。下面给出一个更便于求解孙子问题的方法。 定理2 设 m 1 ， m 2 ， ⋯ ， m k 是k个两两互质的正整数，则同余式组(1)的解为 x ≡ c 1 + M 1 c 2 + M 2 c 3 + ⋯ + M k − 1 c k ( mod m ) ， (7) 其中， M i = m 1 m 2 ⋯ m i ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ， (8) 而 m = M k ， (9) M ′ i M i ≡ 1 ( mod m i + 1 ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k − 1 . (10) 证 因 m 1 ， m 2 ， ⋯ ， m k 两两互质，故满足(10)式的整数 M ′ i 是存在的。首先证明， c 1 + M 1 c 2 + M 2 c 3 + ⋯ + M k − 1 c k ≡ b i ( mod m i ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k . (11) 显然， c 1 + M 1 c 2 + M 2 c 3 + ⋯ + M k − 1 c k ≡ b i ( mod m i ) ， i = 1 ， 2 ．而当 3 ≤ i ≤ k 时，由(8)，(9)和(10)式得 c 1 + M 1 c 2 + M 2 c 3 + ⋯ + M k − 1 c k ≡ c 1 + M 1 c 2 + ⋯ + M i − 2 c i − 1 + M i − 1 c i ≡ c 1 + M 1 c 2 + ⋯ + M i − 2 c i − 1 + M i − 1 ⋅ M ′ i − 1 [ b i − ( c 1 + M 1 c 2 + ⋯ + M i − 2 c i − 1 ) ] ≡ c 1 + M 1 c 2 + ⋯ + M i − 2 c i − 1 + 1 ⋅ [ b i − ( c 1 + M 1 c 2 + ⋯ + M i − 2 c i − 1 ) ] = b i ( mod m i ) . 要证明同余式组(1)的解是(7)，只需证明(1)式和(7)式等价即可。设整数x满足(1)式，则 x ≡ b i ( mod m i ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k . (12) 由(11)和(12)式得 x ≡ c 1 + M 1 c 2 + M 2 c 3 + ⋯ + M k − 1 c k ( mod m i ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k . 但 m 1 ， m 2 ， ⋯ ， m k 两两互质，故(7)式成立。 反之，设整数x 满足(7)式，则 x ≡ c 1 + M 1 c 2 + M 2 c 3 + ⋯ + M k − 1 c k ( mod m i ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k . (13) 由(11)和(13)式得，(1)式成立。 推论 设 m 1 ， m 2 ， ⋯ ， m k 是k个两两互质的正整数， M i = m 1 m 2 ⋯ m i ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k ) ， m = M k ，整数 M ′ i 满足 M ′ i M i ≡ 1 ( mod m i + 1 ) ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k − 1 ， c 1 是 b 1 被 m 1 除所得的余数， c 2 是 M ′ 1 ( b 2 − c 1 ) 被 m 2 除所得的余数， c 3 是 M ′ 2 [ b 3 − ( c 1 + M 1 c 2 ) ] 被 m 3 除所得的余数， ⋯ ， 是 M ′ k − 1 [ b k − ( c 1 + M 1 c 2 + ⋯ + M k − 2 c k − 1 ) ] 被 m k 除所得的余数，则同余式组(1)的解为 x ≡ c 1 + M 1 c 2 + ⋯ + M k − 1 c k ( mod m ) ， (14) 其中 0 ≤ c 1 + M 1 c 2 + ⋯ + M k − 1 c k ≤ m − 1 。 证 根据定理2，(14)为同余式组(1)的解．下面证明 0 ≤ c 1 + M 1 c 2 + ⋯ + M k − 1 c k ≤ m − 1 . 易知， 0 ≤ c i ≤ m i − 1 ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， k 。故 0 ≤ c 1 + M 1 c 2 ≤ m 1 − 1 + M 1 ( m 2 − 1 ) = M 1 − 1 + M 1 ( m 2 − 1 ) = M 2 − 1 ， 0 ≤ c 1 + M 1 c 2 + M 2 c 3 ≤ M 2 − 1 + M 2 ( m 3 − 1 ) = M 3 − 1 ， ⋯ 0 ≤ c 1 + M 1 c 2 + ⋯ + M k − 1 c k ≤ M k − 1 − 1 + M k − 1 ( m k − 1 ) = M k − 1 = m − 1 . 例1 解同余式组 x ≡ 1 ( mod 3 ) ， x ≡ − 1 ( mod 5 ) ， x ≡ 2 ( mod 7 ) ， x ≡ − 2 ( mod 11 ) . 解 为了更便于应用定理2的推论求解，把这个同余式组改写为 x ≡ − 2 ( mod 11 ) ， x ≡ 2 ( mod 7 ) ， x ≡ − 1 ( mod 5 ) ， x ≡ 1 ( mod 3 ) . 这里， m 1 = 11 ， m 2 = 7 ， m 3 = 5 ， m 4 = 3 ， b 1 = − 2 ， b 2 = 2 ， b 3 = − 1 ， b 4 = 1 。 M 1 = m 1 = 11 ， M 2 = m 1 m 2 = 11 × 7 = 77 ， M 3 = m 1 m 2 m 3 = 77 × 5 = 385 ， M 4 = m 1 m 2 m 3 m 4 = 385 × 3 = 1155 = m . 取满足 M ′ 1 M 1 ≡ 1 ( mod m 2 ) 即 11 M ′ 1 ≡ 1 ( mod 7 ) 的一个整数 M ′ 1 = 2 。 取满足 M ′ 2 M 2 ≡ 1 ( mod m 3 ) 即 77 M ′ 2 ≡ 1 ( mod 5 ) 的一个整数 M ′ 2 = − 2 。 取满足 M ′ 3 M 3 ≡ 1 ( mod m 4 ) 即 385 M ′ 3 ≡ 1 ( mod 3 ) 的一个整数 M ′ 3 = 1 。 b 1 = − 2 ≡ 9 ( mod 11 ) ， c 1 = 9. M ′ 1 ( b 2 − c 1 ) = 2 ( 2 − 9 ) ≡ 0 ( mod 7 ) ， c 2 = 0 ，则 c 1 + M 1 c 2 = 9 + 11 × 0 = 9 . M ′ 2 [ b 3 − ( c 1 + M 1 c 2 ) ] = 2 ( − 1 − 9 ) ≡ 0 ( mod 5 ) ， c 3 = 0 ，则 c 1 + M 1 c 2 + M 2 c 3 = 9 + 77 × 0 = 9 . M ′ 3 [ b 4 − ( c 1 + M 1 c 2 + M 2 c 3 ) ] = 1 × ( 1 − 9 ) = − 8 ≡ 1 ( mod 3 ) ， c 4 = 1 ，则 c 1 + M 1 c 2 + M 2 c 3 + M 3 c 4 = 9 + 385 × 1 = 394 . 故由定理2的推论得，该同余式组的解为 x ≡ 394 ( mod 1155 ) . 例2 解同余式组 x ≡ b 1 ( mod 11 ) ， x ≡ b 2 ( mod 7 ) ， x ≡ b 3 ( mod 6 ) ， x ≡ b 4 ( mod 5 ) . 解 这里 m 1 = 11 ， m 2 = 7 ， m 3 = 6 ， m 4 = 5 ， M 1 = m 1 = 11 ， M 2 = m 1 m 2 = 77 ， M 3 = 462 ， M 4 = 2310 = m . 由 11 M ′ 1 ≡ 1 ( mod 7 ) 取 M ′ 1 = 2 。 由 77 M ′ 2 ≡ 1 ( mod 6 ) 取 M ′ 2 = − 1 。 由 462 M ′ 3 ≡ 1 ( mod 5 ) 取 M ′ 3 = − 2 。 由 c 1 ≡ b 1 ( mod mod 11 ) 取 c 1 = b 1 。 由 c 2 ≡ M ′ 1 ( b 2 − c 1 ) = 2 b 2 − 2 b 1 ( mod 7 ) 取 c 2 = 2 b 2 − 2 b 1 ，则 c 1 + M 1 c 2 = b 1 + 11 ( 2 b 2 − 2 b 1 ) = 22 b 2 − 21 b 1 . 由 c 3 ≡ M ′ 2 [ b 3 − ( c 1 + M 1 c 2 ) ] = − [ b 3 − ( 22 b 2 − 21 b 1 ) ] ≡ − b 3 − 2 b 2 + 3 b 1 ( mod 6 ) 取 c 3 = − b 3 − 2 b 2 + 3 b 1 ，则 c 1 + M 1 c 2 + M 2 c 3 = 22 b 2 − 21 b 1 + 77 ( − b 3 − 2 b 2 + 3 b 1 ) = − 77 b 3 − 132 b 2 + 210 b 1 . 由 c 4 ≡ M ′ 3 [ b 4 − ( c 1 + M 1 c 2 + M 2 c 3 ) ] = − 2 [ b 4 − ( − 77 b 3 − 132 b 2 + 210 b 1 ) ] ≡ − 2 b 4 + b 3 + b 2 ( mod 5 ) ， 取 c 4 = − 2 b 4 + b 3 + b 2 ，则 c 1 + M 1 c 2 + M 2 c 3 + M 3 c 4 = − 77 b 3 − 132 b 2 + 210 b 1 + 462 ( − 2 b 4 + b 3 + b 2 ) = − 924 b 4 + 385 b 3 + 330 b 2 + 210 b 1 . 故由定理2得，同余式组的解为 x ≡ − 924 b 4 + 385 b 3 + 330 b 2 + 210 b 1 ( mod 2310 ) ， 即 x ≡ 1386 b 4 + 385 b 3 + 330 b 2 + 210 b 1 ( mod 2310 ) .