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user: 3. 多粒度近似空间中的“逻辑或”双量化粗糙集模型 本节我们基于“逻辑或”算子将变精度粗糙集和程度粗糙集结合起来，在多粒度近似空间中建立“逻辑或”的双量化粗糙集模型。紧接着分从“逻辑或”双量化乐观多粒度粗糙集模型和悲观多粒度粗糙集模型入手，对所建立的双量化多粒度粗糙集模型的数学性质进行了系统性的讨论。 3.1. “逻辑或”双量化乐观多粒度粗糙集模型 定义3.1.1. 设 S 为一个信息系统，若 A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A m ⊆ A T ， β ∈ [ 0 ， 0.5 ) ， k 为非负常数，对任意的 X ⊆ U ，则 X 基于“逻辑或”算子的乐观双量化多粒度下近似算子和上近似算子定义如下： ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( X ) = { x ∈ U : ∨ j = 1 m ( c ( [ x ] A j ， X ) ≤ β ) ∨ ∨ l = 1 m ( | [ x ] A l | − | [ x ] A l ∩ X | ≤ k ) } ∑ i = 1 m A i β ∨ k O ¯ ( X ) = ~ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ (~X) 称序偶 ( ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( X ) ， ∑ i = 1 m A i β ∨ k O ¯ ( X ) ) 为集合 X 依精度为 β 且程度为 k 的乐观“逻辑或”双量化乐观多 粒度粗糙集，从下近似的定义我们知道，当某个对象 x 属于逻辑与乐观双量化多粒度下近似集时，要求 x 至少有一个粒度使得 c ( [ x ] A j ， X ) ≤ β ，或者存在一个粒度使得 | [ x ] A l | − | [ x ] A l ∩ X | ≤ k ，其中粒度 A j 和 A l 可以相同也可以不相同。根据定义3.1.1所定义的近似算子，我们可以给出“逻辑或”双量化乐观多粒度粗糙集的各个粗糙区域。由于程度粗糙集的下近似集并非一定包含于上近似集，因此我们分别定义正域、负域、上边界域、下边界域如下： 1) P o s ( X ) ∑ i = 1 m A i β ∨ k O = ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( X ) ∩ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O ¯ (X) 2) N e g ( X ) ∑ i = 1 m A i β ∨ k O = ∼ ( ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( X ) ∪ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O ¯ (X) ) 3) U b n ( X ) ∑ i = 1 m A i β ∨ k O = ∑ i = 1 m A i β ∨ k O ¯ ( X ) − ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ (X) 4) L b n ( X ) ∑ i = 1 m A i β ∨ k O = ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( X ) − ∑ i = 1 m A i β ∨ k O ¯ (X) 5) B n ( X ) ∑ i = 1 m A i β ∨ k O = ∑ i = 1 m A i β ∨ k O ¯ ( X )   Δ   ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ (X) 为了便于书写，我们一般将上述粗糙集区域进行简写，如正域简记为 P o s ( X ) β ∨ k O 。其中“ Δ ”表示集合的对称差运算，故 B n ( X ) β ∨ k O = L b n ( X ) β ∨ k O ∪ U b n ( X ) β ∨ k O ，接下来将对“逻辑或”双量化乐观多粒度粗糙集模型的性质进行研究。 定理3.1.1. 设 S 为一个信息系统，若 A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A m ⊆ A T ， β ∈ [ 0 ， 0.5 ) ， k 为非负常数，对任意的 X ⊆ U ，则关于 X 的“逻辑或”双量化乐观多粒度上近似集，有 ∑ i = 1 m A i β ∨ k O ¯ ( X ) = { x ∈ U : ∧ j = 1 m ( c ( [ x ] A j ， X ) < 1 − β ) ∧ ∧ l = 1 m ( | [ x ] A l ∩ X | > k ) } 证明：由定义3.1.1知 ∑ i = 1 m A i β ∨ k O ¯ ( X ) = ~ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( ~ X )                                     = ∼ { x ∈ U : ∨ l = 1 m ( | [ x ] A l | − | [ x ] A l ∩ ∼ X | ≤ k ) ∨ ∨ j = 1 m ( c ( [ x ] A j ， ∼ X ) ) ≤ β }                                     = { x ∈ U : ∧ j = 1 m ( c ( [ x ] A j ， ∼ X ) > β ) ∧ ∧ l = 1 m ( | [ x ] A l | − | [ x ] A l ∩ ∼ X | > k ) } = { x ∈ U : ∧ j = 1 m ( 1 − | [ x ] A j ∩ ∼ X | | [ x ] A j | > β ) ∧ ∧ l = 1 m ( | [ x ] A l | − | [ x ] A l ∩ ∼ X | > k ) } = { x ∈ U : ∧ j = 1 m ( | [ x ] A j ∩ X | | [ x ] A j | > β ) ∧ ( ∧ l = 1 m | [ x ] A l ∩ X | > k ) } = { x ∈ U : ∧ j = 1 m ( c ( [ x ] A j ， X ) < 1 − β ) ∧ ∧ l = 1 m ( | [ x ] A l ∩ X | > k ) } 由定理3.1.1可知，对象 x 属于“逻辑或”双量化乐观多粒度上近似集时，意味着关于所有粒度满足 c ( [ x ] A j ， X ) < 1 − β 且 | [ x ] A l ∩ X | > k 成立。 定理3.1.2. 设 S 为一个信息系统，若 A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A m ⊆ A T ， β ∈ [ 0 ， 0.5 ) ， k 为非负常数，对任意的 X ， Y ⊆ U ，则“逻辑或”双量化乐观多粒度近似算子有如下性质成立。 1) ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( U ) = U ； 2) ∑ i = 1 m A i β ∨ k O ¯ ( ϕ ) = ϕ ； 3) ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( X ∩ Y ) ⊆ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( X ) ∩ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( Y ) ； 4) ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( X ∪ Y ) ⊇ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( X ) ∪ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( Y ) ； 5) ∑ i = 1 m A i β ∨ k O ¯ ( X ∩ Y ) ⊆ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O ¯ ( X ) ∩ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O ¯ _ ( Y ) ； 6) ∑ i = 1 m A i β ∨ k O ¯ ( X ∪ Y ) ⊇ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O ¯ ( X ) ∪ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O ¯ _ ( Y ) ； 7) 若 k 1 ≤ k 2 ，则 ∑ i = 1 m A i β ∨ k 1 O _ ( X ) ⊆ ∑ i = 1 m A i β ∨ k 2 O _ ( X ) ， ∑ i = 1 m A i β ∧ k 2 O ¯ ( X ) ⊆ ∑ i = 1 m A i β ∧ k 1 O ¯ ( X ) ； 8) 若 β 1 ≤ β 2 ∈ [ 0 ， 0.5 ) ，则 ∑ i = 1 m A i β 1 ∨ k O _ ( X ) ⊆ ∑ i = 1 m A i β 2 ∨ k O _ ( X ) ， ∑ i = 1 m A i β 2 ∨ k O ¯ ( X ) ⊆ ∑ i = 1 m A i β 1 ∨ k O ¯ ( X ) 。 证明：(1)和(2)由定义3.1.1易证。 3) 对任意的 x ∈ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( X ∩ Y ) ，由定义3.1.1可知存在粒度 A j ， A l 使得 c ( [ x ] A j ， X ∩ Y ) ≤ β 或者 | [ x ] A l | − | [ x ] A l ∩ ( X ∩ Y ) | ≤ k ，其中 A j 与 A l 无关。又因为对任意的 X ， Y ⊆ U 有， c ( [ x ] A j ， X ) ≤ c ( [ x ] A j ， X ∩ Y ) ≤ β 或者 | [ x ] A l | − | [ x ] A l ∩ X | ≤ | [ x ] A l | − | [ x ] A l ∩ ( X ∩ Y ) | ≤ k ，也就是有 x ∈ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( X ) ，同理可得 x ∈ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( Y ) 。所以 x ∈ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( X ) ∩ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( Y ) ，即 ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( X ∩ Y ) ⊆ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( X ) ∩ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( Y ) 。 4) 任取 x ∈ ( ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( X ) ∪ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( Y ) ) ，若 x ∈ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( X ) 有 c ( [ x ] A j ， X ) ≤ β 或者 | [ x ] A l | − | [ x ] A l ∩ X | ≤ k ，任 Y ⊆ U ， c ( [ x ] A j ， X ∪ Y ) ≤ c ( [ x ] A j ， X ) ≤ β ，或者 | [ x ] A l | − | [ x ] A l ∩ ( X ∪ Y ) | ≤ | [ x ] A l | − | [ x ] A l ∩ X | ≤ k ，则有 x ∈ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( X ∪ Y ) 当 x ∈ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( Y ) 有 x ∈ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( X ∪ Y ) ，则 ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( X ∪ Y ) ⊇ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( X ) ∪ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O _ ( Y ) 。 5) 任取 x ∈ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O ¯ ( X ∩ Y ) ，由定理3.1.1知对任意的粒度 A j ， A l ，有 c ( [ x ] A j ， X ∩ Y ) < 1 − β 且 | [ x ] A l ∩ ( X ∩ Y ) | > k ，又 c ( [ x ] A j ， X ) ≤ c ( [ x ] A j ， X ∩ Y ) < 1 − β ，同时 | [ x ] A l ∩ X | ≥ | [ x ] A l ∩ ( X ∩ Y ) | > k ，所以有 x ∈ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O ¯ ( X ) ，同理可得 x ∈ ∑ i = 1 m A i β ∨ k O ¯ ( Y ) 也同时成立，因此(5)得证。 6) 由定义3.1.1可知，上下近似算子之间存在对偶性，因此由(5)的证明可知(6)也成立。 7) 不妨任取 x ∈ ∑ i = 1 m A i β ∨ k 1 O _ ( X ) ，由定义知存在粒度 A j 和 A l ，使得 c ( [ x ] A j ， X ) ≤ β 或者 | [ x ] A l | − | [ x ] A l ∩ X | ≤ k 1 ，又因 k 1 ≤ k 2 ，故 | [ x ] A l | − | [ x ] A l ∩ X | ≤ k 2 ，则 x ∈ ∑ i = 1 m A i β ∨ k 2 O _ ( X ) ，也即是 ∑ i = 1 m A i β ∨ k 1 O _ ( X ) ⊆ ∑ i = 1 m A i β ∨ k 2 O _ ( X ) 。那么可以得 ∑ i = 1 m A i β ∨ k 1 O _ ( ∼ X ) ⊆ ∑ i = 1 m A i β ∨ k 2 O _ ( ∼ X ) ，那么 ∼ ∑ i = 1 m A i β ∨ k 1 O _ ( ∼ X ) ⊇ ∼ ∑ i = 1 m A i β ∨ k 2 O _ ( ∼ X ) ，由定义可知 ∑ i = 1 m A i β ∨ k 2 O ¯ ( X ) ⊆ ∑ i = 1 m A i β ∨ k 1 O ¯ ( X ) 。 8) 对任意的 x ∈ ∑ i = 1 m A i β 1 ∨ k O _ ( X ) ，有 c ( [ x ] A j ， X ) ≤ β 1 或者 | [ x ] A l | − | [ x ] A l ∩ X | ≤ k ，而 β 1 ≤ β 2 ，则 c ( [ x ] A j ， X ) ≤ β 1 ≤ β 2 ，所以有 x ∈ ∑ i = 1 m A i β 2 ∨ k O _ ( X ) ，即 ∑ i = 1 m A i β 1 ∨ k O _ ( X ) ⊆ ∑ i = 1 m A i β 2 ∨ k O _ ( X ) 。与(7)类似，利用上下近似算子间的对偶性可直接得到 ∑ i = 1 m A i β 2 ∨ k O ¯ ( X ) ⊆ ∑ i = 1 m A i β 1 ∨ k O ¯ ( X ) 。 3.2. “逻辑或”双量化悲观多粒度粗糙集模型 接下来，我们将用类似于上一节的方法，对“逻辑或”双量化悲观多粒度粗糙集模型进行研究。 定义3.2.1. 设 S 为一个信息系统，若 A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A m ⊆ A T ， β ∈ [ 0 ， 0.5 ) 为非负常数，对任意的 X ⊆ U ，则 X 基于“逻辑或”算子的悲观双量化多粒度下近似算子和上近似算子分别定义如下： ∑ i = 1 m A i β ∨ k P _ ( X ) = { x ∈ U : ∧ j = 1 m ( c ( [ x ] A j ， X ) ≤ β ) ∨ ∧ l = 1 m ( | [ x ] A l | − | [ x ] A l ∩ X | ≤ k ) } ∑ i = 1 m A i β ∨ k P ¯ ( X ) = ~ ∑ i = 1 m A i β ∨ k P _ (~X) 称序偶 ( ∑ i = 1 m A i β ∨ k P _ ( X ) ， ∑ i = 1 m A i β ∨ k P ¯ ( X ) ) 为集合 X 依精度为 β 、程度为 k 的“逻辑或”双量化悲观多粒度 粗糙集，从下近似的定义我们知道，当某个对象 x 属于“逻辑或”双量化悲观多粒度下近似集时，要求 x 对所有的粒度有 c ( [ x ] A j ， X ) ≤ β ，或者 | [ x ] A l | − | [ x ] A l ∩ X | ≤ k ，即对任意的 A j ， A l ⊆ A T ， j ， l = 1 ， 2 ， ⋯ ， m 满足条件。“逻辑或”双量化悲观多粒度粗糙集模型中对于粗糙集区域的定义方法与3.1节中类似。 定理3.2.1. 设 S 为一个信息系统，若 A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A m ⊆ A T ， β ∈ [ 0 ， 0.5 ) ， k 为非负常数，对任意的 X ⊆ U ，则关于 X 的悲观逻辑与双量化上近似集，有 ∑ i = 1 m A i β ∨ k P ¯ ( X ) = { x ∈ U : ∨ j = 1 m ( c ( [ x ] A j ， X ) < 1 − β ) ∧ ∨ l = 1 m ( | [ x ] A l ∩ X | > k ) } 证明：由定义3.2.1并结合定理3.1.1的证明过程易证。 由定理3.2.1可知，对象 x 属于“逻辑或”双量化悲观多粒度上近似集时，意味着至少存在一个粒度 A j 使得 c ( [ x ] A j ， X ) < 1 − β ，且至少存在一个粒度 A l 使得 | [ x ] A l ∩ X | > k 成立，其中粒度 A j 和 A l 无关。 定理3.2.2. 设 S 为一个信息系统，若 A 1 ， A 2 ， ⋯ ， A m ⊆ A T ， β ∈ [ 0 ， 0.5 ) ， k 为非负常数，对任意的 X ， Y ⊆ U ，则关于“逻辑或”双量化悲观多粒度近似算子有如下性质成立。 1) ∑ i = 1 m A i β ∨ k P _ ( U ) = U 2) ∑ i = 1 m A i β ∨ k P ¯ ( ϕ ) = ϕ 3) ∑ i = 1 m A i β ∨ k P _ ( X ∩ Y ) ⊆ ∑ i = 1 m A i β ∨ k P _ ( X ) ∩ ∑ i = 1 m A i β ∨ k P _ (Y) 4) ∑ i = 1 m A i β ∨ k P _ ( X ∪ Y ) ⊇ ∑ i = 1 m A i β ∨ k P _ ( X ) ∪ ∑ i = 1 m A i β ∨ k P _ (Y) 5) ∑ i = 1 m A i β ∨ k P ¯ ( X ∩ Y ) ⊆ ∑ i = 1 m A i β ∨ k P ¯ ( X ) ∩ ∑ i = 1 m A i β ∨ k P ¯ _ (Y) 6) ∑ i = 1 m A i β ∨ k P ¯ ( X ∪ Y ) ⊇ ∑ i = 1 m A i β ∨ k P ¯ ( X ) ∪ ∑ i = 1 m A i β ∨ k P ¯ _ (Y) 7) 若 k 1 ≤ k 2 ，则 ∑ i = 1 m A i β ∨ k 1 P _ ( X ) ⊆ ∑ i = 1 m A i β ∨ k 2 P _ ( X ) ， ∑ i = 1 m A i β ∨ k 2 P ¯ ( X ) ⊆ ∑ i = 1 m A i β ∨ k 1 P ¯ (X) 8) 若 β 1 ≤ β 2 ，则 ∑ i = 1 m A i β 1 ∨ k P _ ( X ) ⊆ ∑ i = 1 m A i β 2 ∨ k P _ ( X ) ， ∑ i = 1 m A i β 2 ∨ k P ¯ ( X ) ⊆ ∑ i = 1 m A i β 1 ∨ k P ¯ (X) 证明：可参照定理3.1.2的证明过程。