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user: 2. 术语与网络模型 假设无线传感器网络具有 n 个点 v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v n ，随机分布在 m 维欧几里得立方体中。对于任意节点 v i ，定义 v i 的通信范围，记为 D i ，是一个以 v i 为中心，半径为 r 的 m 维球。如果 v j 在通信范围 D i 内，则 v j 是 v i 的邻居， v i 可以选择 v j 作为它的下一跳节点。同时， v i 也在通信范围 D j 中。 网络可以用无向图 G = ( V ( G ) ， E ( G ) ) 表示。 V ( G ) = { v 1 ， v 2 ， ⋯ ， v n } 是节点集， E ( G ) 是称为边的不同节点的无序对的集合。对于任意两个节点 v i ， v j ∈ V ( G ) ，边 v i v j ∈ E ( G ) ，当且仅当这两个节点之间的距离不大于 r 。对于任意点 v ∈ V ( G ) ，设 N G ( v ) = { u : v u ∈ E ( G ) } 。如果网络为DC-WSN，则每个节点 v i ∈ V ( G ) 都有自己的工作调度 ( v i 1 ， v i 2 ， ⋯ ， v i T ) ，其中， v i t ∈ { 0 ， 1 } 为 v i 在时间 t 期间的状态，T为工作周期。 定义2.1. ( [ 11 ] )图 G 中的路径是一个序列 〈 u 0 ， u 1 ， ⋯ ， u m 〉 ，使得 u i u i + 1 ∈ E ( G ) 是相邻节点并且 u i ≠ u j 对于任意不相同的 i ， j ∈ { 0 ， 1 ， ⋯ ， m } 。 定义2.2. 在占空比图中，给定序列 W =   〈 u 0 ， u 1 ， ⋯ ， u m 〉 ，设 t i 为转发节点 u i 的数据接收时间， i = 0 ， 1 ， ⋯ ， m 。那么 W 是可行漫步当且仅当以下两个条件成立时。 1) u i 和 u i + 1 是相邻节点； 2) 对于 W 中的每个边 u i u i + 1 ，数据包可以在 t i 时间之前成功地从 u i 传送到 t i + 1 ，在 t i + 1 时间被 u i + 1 接收。 而且，如果 u i ≠ u j 对于任意不同的 i ， j ∈ { 0 ， 1 ， ⋯ ， m } ，则 W 称为可行路径。 为了便于描述，我们考虑了 G :   w i : E ( G ) → R 0 + 的3个边权函数， i = 1 ， 2 ， 3 ，其中 w 1 ( v i v j ) 是数据包在 G 中通过边 v i v j 时所经历的延迟。如果 〈 v i ， v j 〉 是可行路径， v i 和 v j 接收数据的次数分别为 α 和 β ，则 β − α ≥ w 1 ( v i v j ) 。给定一个数据传输可行路径 P = 〈 u 0 ， u 1 ， ⋯ ， u k 〉 ，设每个节点 u i 的接收时间为 t i 。设 w i ( P ) = ∑ j = 0 k − 1 w i ( u j u j + 1 ) ， i = 1 ， 2 ， 3 ，并且 W 1 ( P ) = t k − t 0 。 DC-WSN中的多约束路径问题(WSN)表示为DC-MCP ( G ， s ， t ， w 1 ， w 2 ， w 3 ， c 1 ， c 2 ， c 3 ) (MCP ( G ， s ， t ， w 1 ， w 2 ， w 3 ， c 1 ， c 2 ， c 3 ) )，为求出一条从 s 到 t 的可行路径 P ，使得 W 1 ( P ) ≤ c 1 (即 w 1 ≤ c 1 )， w 2 ( P ) ≤ c 2 ， w 3 ( P ) ≤ c 3 。如果存在这样的路径，则该路径是DC-MCP ( G ， s ， t ， w 1 ， w 2 ， w 3 ， c 1 ， c 2 ， c 3 ) (MCP ( G ， s ， t ， w 1 ， w 2 ， w 3 ， c 1 ， c 2 ， c 3 ) )。然后，本文的主要问题是找到DC-MCP ( G ， s ， t ， w 1 ， w 2 ， w 3 ， c 1 ， c 2 ， c 3 ) 的解。接下来，我们将分两步提出一个针对这个问题的多项式时间算法。 2.1. 具有三个权值函数的时间扩展图 设两个节点 s 和 t 分别为源点和汇点。在 [ 11 ] 中，Gu等人将图 G 建模为时间扩展图。结合上面的三个权值函数 w 1 ， w 2 和 w 3 ，按以下步骤得到一个时间扩展有向图 G 1 ： 1) 设 d = ⌈ c 1 ⌉ 。 G 1 的点集为 V ( G 1 ) = { v i [ t ] :   v i ∈ V ，   1 ≤ t ≤ d } ∪ { t 0 [ 0 ] } 。 2) G 1 的有向边集为 E ( G 1 ) = { ( t [ i ] ， t 0 [ 0 ] ) :   1 ≤ i ≤ d }   ∪ { ( v i [ x ] ， v j [ y ] ) :   v i v j ∈ E ( G ) ，   1 ≤ x < y ≤ d ， y − x ≥ ⌈ w 1 ( v i v j ) ⌉ ，   v j y = 1 并 且 对 于 任 意 的 z ∈ [ x + 1 ， y − 1 ] ， v j z = 0 或 者 z − x < ⌈ w 1 ( v i v j ) ⌉ } . 3) 定义两个权值函数： w j : E → R + ， j = 2 ， 3 ，如下所示： w 2 ( ( t [ i ] ， t 0 [ 0 ] ) ) = w 3 ( ( t [ i ] ， t 0 [ 0 ] ) ) = 0 。对于任何的 ( v i [ t ] ， v j [ t ′ ] ) ∈ E ( G 1 − t 0 [ 0 ] ) ， w j ( ( v i [ t ] ， v j [ t ′ ] ) ) = w j ( v i v j ) 对于 j = 2 ， 3 。 设 G ′ 1 = G 1 − t 0 [ 0 ] ， N G ′ + ( v ) = { u : ( v ， u ) ∈ E ( G ′ ) } ，其中 v ∈ V ( G ′ ) 。那么以下两个观察结果是显而易见的。 观察2.3. 对于任意点 v i [ t ] ∈ V ( G ′ 1 ) ， | N G ′ 1 + ( v i [ t ] ) | ≤ | N G ( v i ) | 。 观察2.4. 对于图中任意的 v i [ t ] v j [ t ′ ] -路 P ， t ′ − t ≤ d − 1 = ⌈ c 1 ⌉ − 1 < c 1 。 给定图 G 1 中的路 P = 〈 v a 1 [ t a 1 ] ， v a 2 [ t a 2 ] ， ⋯ ， v a k [ t a k ] 〉 ， P [ v a i [ t a i ] ， v a j [ t a j ] ] ( i < j ) 表示 〈 v a i [ t a i ] ， v a i + 1 [ t a i + 1 ] ， ⋯ ， v a j [ t a j ] 〉 的子路。如果 t 0 [ 0 ] ∈ V ( P ) ，则 t 0 = v a k ， 0 = t a k 。设 P ˜ = 〈 v a 1 ， v a 2 ， ⋯ ， v a k 〉 − t 0 ， P ˜ 中 v a i 的数据接收时间是 t a i 。 观察2.5. P ˜ 是图 G 中的一条可行路。 证明：通过图 G 1 的构造，对每一个 ( v a i [ t a i ] ， v a i + 1 [ t a i + 1 ] ) ∈ E ( P ) ，我们有 v a i v a i + 1 ∈ E ( G ) ， t a i + 1 − t a i ≥ ⌈ w 1 ( v a i v a i + 1 ) ⌉ 并且 v a i + 1 在 t a i + 1 时刻唤醒。所以对任意 v a i v a i + 1 ∈ E ( P ˜ ) ，转发点 v a i 能够在 t a i + 1 时刻之前把数据包传递到点 v a i + 1 ，并且 v a i + 1 能够在 t a i + 1 时刻成功接收该数据包。 观察2.5表明 P ˜ 是可行的漫步，因此 W 1 ( P ˜ ) = t a k − t a 1 。另外，如果我们假设存在两个整数 x ， y ∈ { 1 ， 2 ， ⋯ ， k } 满足 a x = a y ，那么定义2.2表明了 P ˜ 不是G的可行路径。将 G 1 的定义与观察2.4和2.5结合起来，可以立即得到以下结果。 引理2.6. 给定MCP ( G 1 ， s [ 1 ] ， t 0 [ 0 ] ， w 2 ， w 3 ， c 2 ， c 3 ) 的一个解 P ，如果 P ˜ 是图G中的一条可行路，则 P ˜ 是DC-MCP ( G ， s ， t ， w 1 ， w 2 ， w 3 ， c 1 ， c 2 ， c 3 ) 的一个解。 2.2. 创建一个新的权值函数 根据引理2.6，它足以找到MCP ( G 1 ， s [ 1 ] ， t 0 [ 0 ] ， w 2 ， w 3 ， c 2 ， c 3 ) 的一个解 P 使得 P ˜ 是图 G 中的一条可行路，则 P ˜ 是原问题所需路径。现在，我们需要使用Chen [ 9 ] 等人提出的一个新的边权函数，用 w 表示这个函数，定义为 w :   E ( G 1 ) → N + ，其中 N + 是正整数集。给定一个正整数 x ，对每一个 ( u ， v ) ∈ E ( G 1 ) ， w ( ( u ， v ) ) = ⌈ w 3 ( ( u ， v ) ) ⋅ x c 3 ⌉ 。 在下文中，根据如下定理我们将考虑MCP ( G 1 ， s [ 1 ] ， t 0 [ 0 ] ， w 2 ， w ， c 2 ， x ) 。 定理2.7. [ 9 ] MCP ( G 1 ， s [ 1 ] ， t 0 [ 0 ] ， w 2 ， w ， c 2 ， x ) 的解也一定是MCP ( G 1 ， s [ 1 ] ， t 0 [ 0 ] ， w 2 ， w 3 ， c 2 ， c 3 ) 的解。 根据定理2.7，只要求解MCP ( G 1 ， s [ 1 ] ， t 0 [ 0 ] ， w 2 ， w ， c ， x ) ，就可以得到一个解 P ，使 P ˜ 是可行路径。进一步地，我们也希望 W 1 ( P ˜ ) 在 w 2 ( P ) ≤ c 2 和 w ( P ) ≤ x 的约束下尽可能小。这个问题的算法将在第三节讨论。