system: [SYSTEM]

user: 3. 拓扑相变 对于HgTe量子阱(G E = G H = 0)，不考虑自旋轨道耦合效应( )时，哈密顿量(1)为块对角形式。在该情况下，HgTe量子阱的拓扑性质由材料参数 决定。当 时，系统为受到时间反演不变性保护的拓扑非平庸的量子自旋霍尔态，即拓扑绝缘体。然而当 时，HgTe量子阱则为普通绝缘体。 然而对于HgMnTe量子阱(G E ， G H ≠ 0)，不考虑自旋轨道耦合效应( )时，通过自旋陈数的解析计算，对应的自旋陈数为 (7) 当G E G H < 0并且 时，HgMnTe量子阱发生了从量子自旋霍尔效应到量子反常霍尔效应的拓扑相变[ 13 ] [ 14 ] 。 下面我们将会讨论HgMnTe量子阱中自旋轨道耦合诱导的拓扑相变。我们首先讨论G E = G H = 0的情况。通过解析计算，我们发现随着自旋轨道耦合强度的增加，能带反转的HgTe量子阱中将会发生从拓扑绝缘体到普通绝缘体的拓扑相变。对于G E ， G H ≠ 0，我们分别讨论两种情况，G E G H < 0和G E G H > 0，并且画出对应的拓扑相图。 3.1. G E = G H = 0 我们首先考虑一个比较简单的情况，在HgTe量子阱中(G E = G H = 0)，引入自旋轨道耦合后，我们可以得到体态的能谱为 (8) 其中 和 对应的是导带和价带的能谱。接下来我们给出两个价带的波函数，在这里，我们采用了极坐标的方式来表达波函数 (9) 其中 对应的是两个价带的归一化因子以及 ，并且 (10) 我们发现，在HgTe量子阱中考虑到自旋轨道耦合后，价带的波函数和在三维拓扑绝缘体Bi 2 Se 3 薄膜的两个表面施加一个门电压后的哈密顿量的波函数具有类似的形式 [ 21 ] 。所以，在通过解析地计算自旋陈数后，我们发现，对于HgTe量子阱处于拓扑绝缘体态 的时候，当 ，材料由拓扑绝缘体变成了普通绝缘体。然而对于拓扑平庸的HgTe量子阱，自旋轨道耦合强度 对于材料的拓扑性质没有影响。 3.2. G E ， G H ≠ 0 对于HgMnTe量子阱来说，我们将通过数值计算的方法讨论自旋轨道耦合对于材料拓扑性质的影响。在下面的数值计算中，我们选取的参数为 。 首先我们考虑几种特殊的情况。在图1(a)和图1(b)中，我们画出了HgMnTe量子阱在自旋轨道耦合强度∆ = 0时的能谱，通过数值计算得到自旋陈数，我们发现和解析的结果一致(见公式(7))。在这种情况下，自旋上和自旋下部分的能谱发生了劈裂，并且出现了能带的交叉。但是在当G E = 0.3，G H = −0.2，∆ = 0时(图1(a))，这个交叉只发生于自旋上和自旋下部分的导带和导带之间或者价带与价带之间。由于总的陈数不为零，因此，在这种情况下，系统对应于量子反常霍尔效应。当G E = −0.3，G H = −0.2，∆ = 0时(图1(b))，这个交叉却发生于自旋上部分的导带和自旋下部分的价带之间。尽管总的陈数为零，但是由于能隙闭合，我们将这种情况称之为能隙闭合区域。 图1. (a)，(b)，(d)和(e)体态能谱在k y = 0随着k x 变化的关系图。在括号里的前一个数和后一个数分别对应于自旋上和自旋下部分的自旋陈数。(c)和(f)体态能谱在k x = k y = 0随着G H 变化的关系图。实线和虚线分别对应于导带和价带。红线和蓝线分别对应于自旋上部分和自旋下部分。图中的参数分别为(a) G E = 0.3，G H = −0.2，∆ = 0；(b) G E = −0.3，G H = −0.2，∆ = 0；(c) G E = 0.3，∆ = 0；(d) G E = 0.3，G H = −0.2，∆ = 0.1；(e) G E = −0.3，G H = −0.2，∆ = 0.1；(f) G E = −0.3，∆ = 0 在引入自旋轨道耦合后，我们发现，能带不再交叉(图1(d)和图1(e))。通过计算对应的波函数，我们发现自旋上部分的波函数和自旋下部分的波函数发生了耦合。对于图1(e)，我们发现，虽然自旋轨道耦合没有改变系统的自旋陈数，然而能隙闭合的区域却打开了一个能隙，价带由抛物线形变成了马鞍形。 我们画出了体态能谱 (导带)和 (价带)在k x = k y = 0随着G H 变化的图像(图1(c)和图1(f))，其中的正负号对应于自旋上和自旋下部分的能谱。我们发现，在G E G H < 0时，导带和价带不会交叉，交叉只会发生在导带和价带之间。然而在G E G H > 0时，交叉则会发生在导带和价带之间。在随后的部分中，我们将分别考虑两种情况，即G E G H < 0和G E G H > 0。 3.2.1. G E G H < 0 在这一小节中，我们将讨论G E G H < 0的情况。由于拓扑相变总是伴随着能隙的打开或者闭合。由前面的分析我们知道，当G E G H < 0时，能隙的打开或者闭合只可能发生于具有较小能量值的导带和较大能量值的价带之间。所以，我们画出了这个能隙值的相图(图2)。并且通过自旋陈数的数值计算，我们发现，在随着能隙的打开或者闭合，系统发生了拓扑相变。 我们首先考虑一个比较简单的情况(图2(a))，令G H = −G E 。其中的白线对应为拓扑相变点或者能隙闭合点。我们发现，在这种情况下，出现了三个具有不同拓扑相的区域。当自旋轨道耦合强度和交换场强度较弱时，系统保持拓扑绝缘体态。在自旋轨道耦合较弱时，随着交换场强度的增大，系统发生了拓扑相变，从拓扑绝缘体到量子反常霍尔态。然而在交换场较弱时，随着自旋轨道耦合强度的增大，系统 图2. 能隙值随着G E ， G H 和∆变化的相图。白色虚线对应于能隙闭合。图中的参数分别为(a) G H = −G E ；(b) ∆ = 0；(c) ∆ = 0.2；(d) ∆ = 0.4 从拓扑绝缘体相变至普通绝缘体。根据解析的计算，自旋轨道耦合强度∆ = 0时，从拓扑绝缘体到量子反常霍尔效应的拓扑相变发生在G E = 0.1。在G E = 0时，从拓扑绝缘体到普通绝缘体的拓扑相变发生在∆ = 0.316。我们发现，数值得到的结果和解析的结果保持一致。 随后我们画出了能隙值的大小关于G E 和G H 变化的相图(图2(b)~(d))。我们发现，自旋轨道耦合强度∆ = 0时，系统的相变线为一条直线，和解析的结果一致 。在引入自旋轨道耦合后，相变线由直线变成了一条曲线(∆ = 0.2)。随着自旋轨道耦合强度的增加(∆ = 0.4)，我们发现又多出了一个新的普通绝缘体相。原因是不考虑交换场时，较大的自旋轨道耦合会使得拓扑绝缘体发生相变到普通绝缘体。 3.2.2. G E G H > 0 当G E G H > 0时，由于能隙的闭合，会出现导带和价带的能带交叉。对于能带交叉的部分，数值的方法并不能很好的计算自旋陈数，我们只能通过解析的方法得到系统的拓扑性质。当引入一个较小的自旋轨道耦合后，能带交叉点会打开一个能隙，打开的能隙使得我们能够通过数值的办法计算自旋陈数。我们发现，一个较小的自旋轨道耦合虽然打开了能隙，但是拓扑数保持不变。 首先我们考虑一个比较简单的情况(图3(a))，令G H = G E 。我们发现，在自旋轨道耦合强度为零时(∆ = 0)，当G E > 0.1时，出现了导带和价带的交叉，体态的能隙闭合，和解析得到的结果一致。随着自旋轨道耦合强度的增加，这个区域的宽度将会减小，并且发生了从拓扑绝缘体到普通绝缘体的拓扑相变。 在图3(b)~(d)中，我们给出了能隙关于G H 和G E 的相图，并且计算了对应的自旋陈数。我们发现，当自旋轨道耦合强度为零时(图3(b))，能隙闭合的曲线为一条直线，和解析的结果一致 。在能隙打开的区域，通过数值计算自旋陈数，我们发现这块区对应的是拓扑绝缘体。当考虑一个较小的自旋轨道耦合强度(∆ = 0.2)时(图3(c))，能隙闭合的区域有很大一部分区域打开了能隙，通过数值计算对应的自旋陈数，我们发现分别出现了拓扑绝缘体相和普通绝缘体相。在这两个相之间，仍然有一部分能隙保持闭合。当自旋轨道耦合强度∆ = 0.4时，整个区域都变成了普通绝缘体(图3(d))。 图3. 能隙值随着G E ，G H 和∆变化的相图。在(a)和(c)中，白色虚线包围的区域是能隙闭合的。图中的参数分别为(a) G H = G E ；(b) ∆ = 0；(c) ∆ = 0.2；(d) ∆ = 0.4