system: [SYSTEM]

user: 2. 连续结构体拓扑优化设计 经典拓扑优化基本思路是以结构柔度最小化(即刚度最大小)为目标函数，以体积比为约束条件，找出满足给定载荷和边界条件下材料的最佳布局，其数学模型可表示为 [ 14 ] ： find                   x = ( x 1 ， x 2 ， ⋯ ， x n ) T ∈ R n ， min : c ( x ) = F T U = U T K U = ∑ i = 1 N E ( x i ) u i T k 0 u i s .t . :                                   V ( x ) = ∑ i = 1 n x i v i ≤ f ⋅ V 0                                                                 F = K U                                                                 0 ≤ x min ≤ x ≤ 1 (1) 式(1)中：X为设计变量(本文为单元伪密度)，其值在0~1范围内，为了防止计算时产生奇异矩阵， x min 一般可设置为0.001； c ( x ) 为结构的柔顺度(目标函数)；U为结构总位移矩阵；K为结构总刚度矩阵；F为结构所受力向量； u i 为单元位移向量； k 0 为归一化杨氏模量所对应的单元刚度矩阵；f为预设的体积比系数； V ( x ) 为优化后的材料体积； V 0 为材料初始体积。 2.1. 经典SIMP材料插值模型 经典的变密度法的SIMP材料插值模型，将材料伪单元密度与杨氏模量间的关系由标准幂函数表示，其数学模型为： E ( x i ) = x i p E 0 ，                 x i ∈ [ 0 ， 1 ] (2) 上式中， x i 为伪单元密度； E 0 为材料的弹性模量； E ( x i ) 为惩罚后材料的弹性模量；p为惩罚因子，对中间密度单元的惩罚，使其尽量逼近于0或1，获得0/1的材料布局。 SIMP插值函数取不同惩罚因子时的函数曲线如图1所示。 由图1可知，随着惩罚因子的增大，曲线斜率不断越大，中间密度值趋向于0或1的效果越明显。然而，当惩罚因子过大时，中间大部分相对密度都趋近于0，导致大部分中间密度单元在迭代过程中被提早删除，其作用被弱化，不利于搜索到最有的拓扑结构。当惩罚因子过小时，则会导致过多的中间密度单元，则不利于最终结果的辨识。 2.2. 改进的材料插值模型 为了克服经典SIMP插值函数存在的问题，充分考虑引入新的材料插值模型，使相对密度位于0~0.5间时，杨氏模量趋近于0；相对密度值位于0.5~1.0间时，则使其趋向于1；而相对密度值为0.5时，则使其等概率地趋向0或1。这样就可以很好保证位于0.5~1间的大部分单元被误删，同时还可强化相对密度较大的单元，弱化相对密度较小的单元，最终保证拓扑结构寻优迭代过程的顺利进行，保证生成最优化的拓扑结构。 图1. 不同惩罚因子时SIMP插值曲线 基于上述思路，本文提出了一种改进的材料插值模型，其插值函数如式(3)： E ( x i ) = e p x i 1 + e p ( x i − t ) E 0 ，                 x i ∈ [ 0 ， 1 ] (3) 式(3)中，p为惩罚因子，其作用旨在通过改变曲线的斜率，控制中间密度单元快速趋近0或1；t为中间密度单元的惩罚，使其尽量逼近于0或1，获得0/1的材料布局。 图2所示为 t = 0.5 时，p分别取不同只是改进后的插值函数的变化曲线。从图2可看出，当t保持恒定，随着惩罚因子p的增加，曲线斜率不断增大，这极大提高了中间密度的趋向0或1的速度。针对不同的工程应用问题，可通过设置合理的p和t值，以便得到更加符合设计要求的拓扑优化结果。 图2. 不同惩罚因子时改进的插值函数曲线 2.3. 灵敏度分析 通常，拓扑优化设计变量的数量都非常多，为了能准确快速地获的局部最小优化结果，需要求解每个变量的灵敏度。通过灵敏度分析，不仅可有效抑制拓扑优化过程中产生的棋盘格现象，而且还有利于加快拓扑优化的收敛速度，提高拓扑优化的求解效率。若以目标函数c为柔顺度，归一化后的单元伪密度为 x i ，则目标函数对单元伪密度的偏导数即为灵敏度，可由式(4)进行求解 [ 14 ] ： ∂ c ∂ x i = ∂ ( F T U ) ∂ x i = ∂ ( U T K U ) ∂ x i = p e p x ( 1 + e p ( x − t ) ) 2 u i T k 0 u i (4) 其中：c是柔顺度，K是整体刚度矩阵， u i 为第i个单元位移矢量， k i 是第i个单元的刚度矩阵。 2.4. 混合式过滤策略及设计变量优化 为了在拓扑优化过程中对大量的设计变量进行快速更新，目前广泛采用的方法主要有：优化准则法(Optimality Criteria， OC)、序列线性规划法(Sequential Linear Programming， SLP)和移动渐近线法(Method of Moving Asymptotes， MMA)。由于SIMP法中优化变量只有单元的相对密度，为了提高求解效率，本文采用改进OC法进行设计变量的更新 [ 7 ]。 虽然SIMP方法应用非常广泛，但如果处理不当，极易出现棋盘格现象和网格依赖性问题，目前通常采用灵敏度的过滤方法来进行处理，但在求解过程中，采用单纯的灵敏度过滤往往效果不太明显。因此，为了能有效抑制拓扑优化过程中间密度单元(即灰度单元)的产生，提高优化结构的轮廓可识别性及其可制造性，本文采用了一种将灵敏度过滤与灰度过滤相结合的混合式过滤机制，同时对传统的启发式更新策略进行了修正，引进了灰度抑制因子q，可有效抑制中间密度单元，其更新策略如式(5)所示 [ 14 ] ： x i n e w = { max ( 0 ， x i − m ) ，                                   ( x i B i η ) q ≤ max ( 0 ， x i − m ) max ( 1 ， x i + m ) ，                                         ( x i B i η ) q ≥ max ( 1 ， x i + m ) ( x i B i η ) q                                                                                                                                                                       其 它 (5) 式中： m   ( 0 < m < 1 ) 为正向移动极限； η   ( 0 < η < 1 ) 为阻尼因子，为了避免出现震荡现在保证稳定性与收敛些，本文选取0.5； x i B i η 为单纯的灵敏度过滤；q为灰度抑制因子，控制中间灰度单元的产生； B i 可由最优化条件式(6)求解： B i = − ∂ c ∂ x i / λ ∂ V ∂ x i (6) 式中： λ 为拉格朗日乘子，可通过二分法求得。 由于叠加了灰度过滤策略，其原理与经典SIMP材料插值模型求解原理一致，通过构建拓扑优化变量间的非线性关系，对灵敏度过滤后位于0~1间的灰度单元继续进行惩罚，加快中间密度值趋向于0或1的速度，使得过滤效果更为明显。 具体的改进变密度拓扑优化求解流程图如图3所示。主要包括如下步骤：构建待求解问题的拓扑优化模型，并初始化设计变量；对结构设计域有限元分析，计算结构的应变能；计算目标函数，并对其求偏导，获取目标函数的灵敏度；采用灵敏度与灰度相结合的混合式过滤方法对设计变量更新迭代，抑制灰度单元生成；判断是否满足终止条件，若满足则停止，否则继续下一步迭代。 图3. 改进的变密度拓扑优化求解流程图