system: [SYSTEM]

user: 3. 定理的证明 3.1. 定理1证明 设 μ ， β 是两个常数，满足 0 < μ < β < μ ( A 0 ) ， f ( z ) 是方程(1.1)的非平凡解，根据假设集合 E μ ⊂ [ 1 ， + ∞ ) 且   l o g d e n s _ E μ = 1 使得对任意的 r ∈ E μ ，有 min | z | = r | A j ( z ) | ≤ exp ( r μ ) ，           ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， k − 1 ) 令 E 1 = { | z | : | z | = r ∈ E μ ， | A j ( z ) | = min | z | = r | A j ( z ) | ≤ exp ( r μ ) ， ( j ≠ 0 ) } ，则 l o g d e n s _ ( { | z | : | z | ∈ E 1 } ) = 1 ，对任意的z有 | A j ( z ) | ≤ exp ( | z | μ ) ( j ≠ 0 ) . (3.1) 在 A 0 ( z ) 中应用引理8，对任意给定的 α ∈ ( μ ( A 0 ) ， 1 ) ，存在集合 E 2 ⊂ [ 1 ， + ∞ ) ，使 l o g d e n s ¯ ( E 2 ) ≥ 1 − μ ( A 0 ) α ，对任意的z满足 | z | = r ∈ E 2 \ [ 0 ， r 0 ] ， r 0 是常数且 r 0 > 1 ，有 | A 0 ( z ) | ≥ exp ( r β ) . (3.2) 应用引理1，存在对数测度有限的集合 E 3 ⊂ [ 1 ， + ∞ ) ，使得对任意的z，满足 | z | = r ∉ E 3 ∪ [ 0 ， 1 ] ，有 | f ( j ) ( z ) f ( z ) | ≤ B T ( 2 r ， f ) 2 j ，               j = 1 ， 2 ， ⋯ ， k − 1 ， (3.3) 其中，B为常数且 B > 0 。 令 E 4 = { | z | : z ∈ E 1 } ∩ { E 2 \ ( [ 0 ， r 0 ] ∪ E 3 ) } ，显然 l o g d e n s ¯ ( E 4 ) > 0 ，故在 E 4 中存在序列 { r j } ，当 j → ∞ 时 r j → ∞ ，当 | z | = r = r j 时，(3.1) (3.2) (3.3)都成立，故 exp ( r j β ) ≤ ( 1 + exp ( r j μ ) ) B ⋅ T ( 2 r j ， f ) 2 ( k − 1 ) exp ( ( 1 − ο ( 1 ) ) r j β ) ≤ B ⋅ T ( 2 r j ， f ) 2 ( k − 1 ) (3.4) 由(3.4)当 j → ∞ 时，有 l i m r → ∞ log log T ( r ， f ) log r ≥ β 由 β < μ ( A 0 ) 的任意性，有 ρ 2 ( f ) ≥ μ ( A 0 ) . 3.2. 定理2证明 根据定理B和引理5，方程(1.1)的任意非平凡解 f ( z ) 满足 ρ 2 ( f ) = max { ρ ( A j ) ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， k − 1 } ，又由引理6方程(1.1)的任意非平凡解 f ( z ) 满足 μ 2 ( f ) ≤ max { μ ( A j ) ， ρ ( A 0 ) ， j ≠ 0 } ，     μ 2 ( f ) ≤ max { ρ ( A j ) ， μ ( A 0 ) ， j ≠ 0 } . 由 max { μ ( A j ) ， j ≠ 0 } < μ ( A 0 ) ≤ ρ ( A 0 ) < max { ρ ( A j ) ， j ≠ 0 } < 1 2 得 μ 2 ( f ) ≤ max { μ ( A j ) ， j ≠ 0 } < ρ ( A 0 ) < max { ρ ( A j ) ， j ≠ 0 } = ρ 2 ( f ) . 结论得证。 3.3. 定理3证明 设 f ( z ) 是方程(1.1)的非平凡解，由引理6有 μ 2 ( f ) ≤ max { μ ( A j ) ， j ≠ 0 } . 不妨设 max { ρ ( A j ) ， j ≠ 0 } = ρ ( A s ) ，方程(1.1)可变形为 A S ( z ) = − f ( k ) f ( s ) − A k − 1 ( z ) f ( k − 1 ) f ( s ) − ⋯ − A s + 1 ( z ) f ( s + 1 ) f ( s ) − A s − 1 ( z ) f ( s − 1 ) f ( s ) − ⋯ − A 1 ( z ) f ′ f ( s ) − A 0 ( z ) f f ( s ) ， 于是 | A S ( z ) | ≤ | f ( k ) f ( s ) | + | A k − 1 ( z ) | | f ( k − 1 ) f ( s ) | + ...... + | A s + 1 ( z ) | | f ( s + 1 ) f ( s ) |     + | A s − 1 ( z ) | | f ( s − 1 ) f ( s ) | + ⋯ + | A 1 ( z ) | | f ′ f ( s ) | + | A 0 ( z ) | | f f ( s ) | ≤ | f ( k ) f ( s ) | + | A ( z ) k − 1 | | f ( k − 1 ) f ( s ) | + ⋯ + | A s + 1 ( z ) | | f ( s + 1 ) f ( s ) |     + | f f ( s ) | ( | A s − 1 ( z ) | | f ( s − 1 ) f |             + | A s − 2 ( z ) | | f ( s − 2 ) f | + ⋯ + | A 1 ( z ) | | f ′ f | + | A 0 ( z ) | ) . (3.5) 由引理1，存在对数测度有限的集合 E 0 ⊂ [ 1 ， + ∞ ) ，对任意的z满足 | z | = r ∉ E 0 ，有 | f ( k ) f ( s ) | ≤ M ⋅ T ( 2 r ， f ) 2 k . (3.6) M为常数且 M > 0 ，由 ρ ( A 0 ) < max { μ ( A j ) ， j ≠ 0 } < 1 2 ≤ max { ρ ( A j ) ， j ≠ 0 } ， 对任意的 δ > 0 ，若 max { μ ( A j ) ， j ≠ 0 } ≤ δ < 1 2 ，取 ε > 0 ，满足 ρ ( A 0 ) + ε < max { μ ( A j ) ， j ≠ 0 } ≤ δ < 1 2 . (3.7) 应用引理9，存在对数测度无穷的集合 E 1 ⊂ [ 1 ， + ∞ ) ，使得对任意的z满足 | z | = r ∈ E 1 ，有 | A S ( z ) | ≥ exp { r δ } . (3.8) 由引理11，存在对数测度有限的集合 E 2 ⊂ [ 1 ， + ∞ ) ，使得对任意的z满足 | z | = r ∉ E 2 ，有 | f f ( s ) | ≤ 2 r s . (3.9) 由(3.6)~(3.9)，对 | z | = r ∈ E 1 \ ( E 0 ∪ E 2 ) ，有 exp { r δ } ≤ M ⋅ [ T ( 2 r ， f ) 2 k + 2 r s ⋅ exp ( r ρ ( A 0 ) + ε ) ⋅ T ( 2 r ， f ) s ] (3.10) 令 δ → 1 2 ，由(3.10)知 ρ 2 ( f ) ≥ 1 2 . 另外，由引理12知 ρ 2 ( f ) ≤ m a x { ρ ( A j ) ， j ≠ 0 } ，故有 μ 2 ( f ) ≤ max { μ ( A j ) ， j ≠ 0 } < 1 2 ≤ ρ 2 ( f ) ≤ max { ρ ( A j ) ， j ≠ 0 } .