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user: 4. 风致响应 4.1. 平均风响应 任一方向上的平均风致响应可以通过平均风荷载和影响函数得到： r ¯ α ( z ) = ∫ 0 H F ¯ α ( h ) i α ( z ; h ) d h (3) 式中， r ¯ α ( z ) 表示在结构z高度处α方向上的某一响应均值； F ¯ α ( h ) 表示α方向上h高度处的平均风荷载； i α ( z ; h ) 表示在α方向上h高度处作用单位力在z高度处产生的某一响应值，如式(4)所示： i α ( z ; h ) = { ϕ α j ( z ) ϕ α j ( h ) K α j * 第   j   阶 位 移 1 或 0         剪 力 ( z i ≥ z ， 取 1 ; z i < z ， 取 0 ) h − z 或 0 弯 矩 ( z i ≥ z ， 取 z i − z ; z i < z ， 取 0 ) (4) 其中， ϕ α j ( z ) 和 ϕ α j ( h ) 分别表示α方向上z和h高度处的第j阶振型坐标， K α j * 表示α方向上第j阶广义刚度。需要说明的是：在竖向悬臂结构中，一般只考虑结构第一阶振型的影响。 4.2. 脉动风响应 工程中通常将高层建筑物抽象为一维悬臂的无限自由度体系。采用振型关于质量和刚度的正交特性，同时假定振型关于阻尼正交，高层建筑的运动微分方程可表示为： q ¨ j + 2 ς j ω j q ˙ j + ω j 2 q j = P j * ( t ) M j * (5) 式中， ω j ， ς j 分别为第j阶振型对应的无阻尼自振频率和阻尼比， ， M j * ， P j * ( t ) 分别为第j阶振型对应的广义质量和广义荷载。对于无限自由度体系： M j * = ∫ 0 l m ( x ) ϕ j 2 ( x ) d x (6) P j * ( t ) = ∫ 0 l p ( x ， t ) ϕ j ( x ) d x (7) 根据随机振动的振型分解法，任意高度z处的水平响应 (位移、剪力、弯矩等)可表示为： r ( z ; t ) = ∑ j = 1 ∞ A α j ( z ) q j ( t ) (8) A α j ( z ) 表示结构在α方向(顺、横风向和扭转方向)上第j阶振型对应的惯性力在z高度处的响应，采用式(2)的影响函数，则 A α j ( z ) 可写作如下统一表达式： A α j ( z ) = ∫ 0 H m α ( h ) ( 2 π n α j ) 2 ϕ α j ( h ) i α ( z ; h ) d h (9) 按振型分解随机振动理论，响应的功率谱密度函数 S r ( z ， w ) 为： S r ( z ， w ) = ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n A j α ( z ) A k α ( z ) H j ( − i ω ) H k ( i ω ) S F j F k ( ω ) (10) H j ( − i ω ) = 1 ω j 2 [ 1 − ( ω ω j ) 2 − i 2 ς j ω ω j ] (11) H k ( − i ω ) = 1 ω k 2 [ 1 − ( ω ω k ) 2 − i 2 ς k ω ω k ] (12) S F j F k ( ω ) 为广义力互谱密度函数， S F j F k ( ω ) = S P j * P k * ( ω ) M j * M k * (13) S P j * P k * ( ω ) 为广义脉动荷载互功率谱。 脉动风响应的方差为： σ B 2 ( z ) = ∫ 0 ∞ S r ( z ， w ) d ω = ∫ 0 ∞ ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n A j α ( z ) A k α ( z ) H j ( − i ω ) H k ( i ω ) S F j F k ( ω ) d ω (14) 背景响应相当于结构忽略了动力放大对脉动激励的响应。根据背景响应的物理意义 ( ω = 0 ) ，可得到背景响应的方差为 [ 17 ] ： σ B 2 ( z ) = ∫ 0 ∞ S r ( z ， w ) d ω = ∫ 0 ∞ ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n A j α ( z ) A k α ( z ) S P j * P k * ( ω ) M j * M k * ω j 2 ω k 2 d ω (15) 高层建筑发生侧向振动时，结构各自振频率间比较稀疏，阻尼比相对较小，第j阶振型的响应与第k阶振型响应的耦合性很小。因此，可忽略式中响应的交叉项，则有： S r ( z ， w ) = ∑ j = 1 n A j α 2 ( z ) | H j ( i ω ) | 2 S F j F k ( ω ) (16) 高层建筑风致响应谱在结构自振频率处具有与结构传递函数类似的峰值。因此，在计算共振响应的方差时，可将自振频率附近的响应谱值按白噪声假定简化计算。忽略交叉项后结构任一阶振型对应的共振响应的方差可简化为： σ α R j 2 ( z ) = 1 8 M α j 2 ω α j 3 ς α j A α j 2 ( z ) S P α j ( n α j ) (17) 其中， S P α j ( n α j ) 为广义脉动荷载功率谱。 需要说明的是：一般高层建筑的风致共振响应主要以第一阶响应为主，第二阶以上的共振响应可以忽略。 4.3. 总的风致响应 结构总的风致响应由平均风响应和峰值脉动风响应叠加而成，一般采用平方和再开方方法(SRSS)计算： r ( z ) = r ¯ ( z ) + [ g B σ B ( z ) ] 2 + [ g R σ R ( z ) ] 2 (18) r ¯ ( z ) 为平均风响应，按式(3)计算， σ B ( z ) 和 则按式(14)和式(17)计算。 g B 、 g R 分别为背景峰值因子和共振峰值因子。背景峰值因子只与脉动风本身的统计特性有关，通常可取为3.5；共振峰值因子与共振响应的动态特性有关，按Davenport给出的公式计算： g R = 2 ln ( n 1 T ) + 0.5772 2 ln ( n 1 T ) (19) 其中， n 1 为结构一阶自振频率，T为脉动风时距，一般取600秒。 4.4 结果分析 4.4.1. 基底弯矩 图7(a)~7(d)分别给出了主体建筑模型在单体情况、干扰情况下的基底弯矩响应随风向角的变化曲线。 图7. 基底弯矩随风向角的变化 从图7(a)可以看出，单体情况下，结构相对于y轴对称，Mx的平均分量相对于225˚风向角呈对称分布，My呈反对称分布，这说明本次试验的结果是可靠的。当风向角为45˚或225˚左右时，Mx为顺风向作用，My为横风向作用，此时可以看出，顺风向平均分量的绝对值接近于极大值，横风向平均分量则基本接近于零；反之亦然，当风向角为135˚和315˚左右时，Mx平均分量接近于零，My平均分量接近于极值。干扰情况下，结构顺风向和横风向的基底弯矩平均分量的绝对值大多都比单体情况下要小，这主要是由于周边建筑物产生了“遮挡”效应。最显著的“遮挡”效应发生在135˚和180˚，Mx的平均分量减小了0.53，My的平均分量减小了0.64。但是，在120˚风向角时，干扰情况下的Mx与单体情况相比出现了受力方向相反的情况，这可能与上游的J2-5与主体建筑距离太近有关，气流流经两栋建筑物之间的“走廊”时，发生空气压缩膨胀，导致主体建筑受到与单体建筑相反的横向力作用。45˚风向角时，Mx的平均分量减小了0.04，My的平均分量增大了1.53。此时，东塔正好位于主体建筑的下风向位置，主体建筑的尾流受到东塔的干扰，导致主体建筑的横风向作用增大。225˚风向角时，Mx的平均分量减小了0.06，My的平均分量增大了1.88。此时，东塔正好位于主体建筑的上风向位置，气流流经东塔后发生漩涡脱落，主体建筑正好位于漩涡脱落区，横风向作用明显增大，这点正好与上文中的脉动风压增大的现象吻合。从图7(b)中可以看出，单体情况下，基底弯矩Mx的背景分量在135˚和315˚风向角下出现最大值，基底弯矩My的背景分量在45˚和225˚出现最大值。图7(c)中的共振分量在单体情况下随风向角的变化规律不明显，但是在干扰情况下共振分量则表现出明显的横风向受扰特性。Mx的共振分量在135˚和315˚风向角附近增大，这主要是由于对应风向角的上游建筑的阻塞导致主体建筑周围的脉动风能量加强而致。My的共振分量则在45˚和225˚风向角也出现峰值(45˚风向角增大1.07倍，225˚风向角增大0.24倍)，这与上文中提到的主体建筑受东塔干扰是一致的。另外，总体来看，共振分量明显比背景分量大，相差较大时共振分量约为背景分量的3.16倍。这个结果再结合式(18)可知，最终是共振分量在总响应中占主要作用。图7(d)中的基底峰值弯矩Mx、My在单体情况下的变化规律与平均分量基本一致(除240˚风向角外)，这说明在单体情况下，平均分量对基底峰值弯矩的贡献较大。在240˚风向角，基底峰值弯矩My出现突变，这主要是由于该风向角下的风致响应是由横风向控制的。值得注意的是，由于该风向角下突变的基底峰值弯矩并未超过全风向角下的基底峰值弯矩最值，所以在结构设计时容易被忽略。干扰情况下，基底峰值弯矩Mx 在120˚和330˚风向角附近出现两个最大值，均表现为横风向风振效应，这点正好与共振分量的变化规律一致，也间接证明了共振分量在总响应中所占比例较大。其中，120˚风向角下的基底峰值弯矩Mx的绝对值为单体情况下对应风向角下基底峰值弯矩的1.83倍，这点在结构设计时应引起重视。基底峰值弯矩My的变化规律与共振分量My也较为一致，但总体而言，相互干扰主要表现为“遮挡”效应。 4.4.2. 基底峰值弯矩与模态阻尼比的关系 根据式(17)可知，模态阻尼比对基底弯矩响应的影响主要体现在共振分量上。图8给出了单体情况下阻尼比为0.035以及干扰情况下阻尼比分别为0.035、0.04、0.05的基底峰值弯矩随风向角的变化曲线。可以看出：随着阻尼比的增加，基底峰值弯矩Mx、My均逐渐减小，这与式(17)、式(18)所表达的物理意义是一致的。但是，峰值响应随模态阻尼比的变化并没有直接的物理公式，这主要是由于峰值响应不仅取决于平均分量、背景分量和共振分量的大小，而且与这三者在峰值响应中所占比例有关。 4.4.3. 峰值加速度 高层建筑在风荷载作用下的人体舒适度，不仅与结构的加速度响应有关，还与结构的自振频率有关 [ 18 ] 。但是，对于以弯曲型振动为主的高层建筑，起决定作用的是结构顶部峰值加速度。各种工况下结构顶部峰值加速度的结果如表1所示。从表中可以看出：单体情况下和干扰情况下，结构顶部峰值加速度均由横风向控制。有干扰时，结构顶部最大峰值加速度a y，max 为0.348 m/s 2 ，是单体情况下的1.62倍，产生 图8. 不同阻尼比下基底弯矩随风向角变化 Table 1 Maximum of peak acceleration at the top of structur 工况 a x，max a y，max 峰值/m/s 2 风向角/˚ 峰值/m/s 2 风向角/˚ 单体情况(规范) 0.225 225 0.215 135 干扰情况(规范) 0.294 240 0.348 120 干扰情况(风玫瑰) 0.198 240 0.234 120 表1. 结构顶部最大峰值加速度 该最大值的风向角为120˚，和图7(d)所显示Mx产生的干扰效应所对应的风向角一致。我国《高层建筑混凝土结构技术规程》(JGJ3-2010)规定重现期为10年的结构顶点最大加速度限值为：0.15 m/s 2 (住宅、公寓)和0.25 m/s 2 (办公、旅馆)。因此，在有干扰情况下，按规范规定的10年重现期的基本风压(0.30 kN/m 2 )计算的结构顶部峰值加速度超过了人体舒适度的要求。但根据广东省气候中心提供的气象观测结果(风玫瑰)显示，10年重现期不同风向的最大风速并不相同。如果考虑到这个因素，按有干扰情况重新计算结构顶部x向最大加速度为0.198 m/s 2 ，y向最大加速度为0.234 m/s 2 ，均能满足规范限值要求。