DreamBlooms/HansPub-15000-to-45000 huggingface dataset:
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user: 摘要 本文基于一个设计热功率为百兆瓦级客货两用商船的研究，提出了通过划分恰当的应急计划区消除公众担心、推动我国大型核动力船舶建造的建议。研究重点针对因大型核动力船舶船体大、船外范围广造成的受大船核或事故威胁的人群复杂的特性，提出了在船上划分预防行动计划区和紧急行动计划区，在我国管辖陆域和海域划分紧急行动计划区、扩展计划距离、摄入和商品计划距离，在公海划分应急警戒距离的建议。
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user: 1. 引言 目前世界上只有美国、德国、日本和俄罗斯这4个国家拥有或曾经拥有过核动力商船，但美国、德国和日本这3个国家各自在上个世纪70年代建造了一艘核动力商船后都因公众的担心而没有开展后续的建造计划，因此核动力商船核事故应急相关研究也都随之处于停滞状态，包括应急计划区(EPZ) [ 1 ]。 随着技术的进步，确保核动力装置核与辐射安全的技术和管理水平都有了很大的提高，消除公众担心、建造大型核动力船舶、充分发挥其近乎无限续航能力的强大优势是目前世界各国船舶建造行业的紧迫需求 [ 2 ]。另外，随着核与辐射安全宣传的普及和深入，公众逐渐认识到核动力装置与其他动力装置一样都存在着对人员安全的潜在威胁，针对其特有的核与辐射威胁建立充分而有效的应急准备能最大程度地减小甚至避免这种威胁。 在以往的公众认知中，被划入EPZ内的公众是受到威胁的，没被划入的是安全的，但人们逐渐认识到，无论是否被划入EPZ，公众离核设施的距离总是一定的，从这个角度考虑，那些被划入EPZ的公众由于在该区域建立了充分而有效的应急准备，特别是对确保公众安全和健康的防护行动才是安全的。EPZ是在应急准备阶段确定的、在应急响应期间对核设施场外公众采取恰当防护行动的区域。在核设施周围划分良好的EPZ不仅能实现避免或减小公众遭受来自核设施的核与辐射威胁的应急响应目标，还能获得良好的社会效益，因为实践表明针对群体的防护行动往往比针对个体的更容易被公众接受，在技术和管理上也更可行。另外，对于核动力船舶，只有设计热功率达到几百甚至上千兆瓦才能更好地体现其无限续航能力的强大优势。 因此，本文提出了适用于设计热功率为百兆瓦级客货两用商船(以下简称“大船”)，具有船体大、功能分区多、舱室多且分多层布置、人员承运量大且组成复杂这些特性的大船EPZ的划分建议，为消除公众担心、推动我国大型核动力商船的建造提供依据。
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user: 2. 大船EPZ划分的前期准备 IAEA于2015年印发的一般安全要求No.GSR Part7提出了5个应急准备类别并给出了适用核设施的示例，其中包括EPZ的建议 [ 3 ]：① 类别I，核电厂等；② 类别II，研究堆、核动力推进船舶或潜艇等；③ 类别III，工业辐照、医院等；④ 类别IV，核或放射性材料运输、移动危险源等；⑤ 类别V，受其他辖区类型I或II污染，因此有人据此提出了“大船是核动力推进船舶可以按照应急准备类别II开展应急准备，仅需在船外划分紧急防护行动计划区(UPZ)、扩展计划距离(EPD)、摄入和商品计划距离(ICPD)这3个EPZ”的观点，但应急准备类别II和类别I通常以100 MW设计热功率(Pth)为界，类别I又以1000 MW Pth为界分为Pth ≥ 1000 MW、100 MW ≤ Pth < 1000 MW 2种情况 [ 4 ]，因此又有人据此提出了“大船的应急准备至少要达到类别I第2种情况(100 MW ≤ Pth < 1000 MW核电厂)的水平，除了在船外划分UPZ、EPD、ICPD这3个EPZ以外，还应划分预防行动区(PAZ)”的观点，似乎这个观点看起来更加合理，但实际上这2个观点都没有从大船是否具有划分EPZ的需求以及具有划分怎样的EPZ需求出发。 EPZ的作用是为了组织那些受到类似事故、类似威胁、类似后果的人群采取类似的防护行动，与其他所有类型的核设施都相同，大船同样要在充分的威胁评定的基础上根据可能遭受大船事故威胁的人群以及这些人群是否具有采取防护行动的需求划分EPZ，国际上通用的EPZ划分方法同样适用于大船，也就是说，大船也可以通过以下2个步骤划分EPZ：① 步骤一：选择事故，计算事故所致裂变产物场外释放源项(以下简称“场外释放源项”)；② 步骤二：根据场外释放源项、场外环境参数 [ 5 ]，计算场外不同位置的个人预期剂量，并将这些预期剂量与应急照射防护准则(以下简称“防护准则”)中对应的剂量限值进行比较，预期剂量达到和超过剂量限值的位置即划为EPZ。其中，步骤一的作用是识别大船可能会发生的事故，并在这些事故中筛选出会对场外人群的安全或健康造成威胁的那些事故。步骤二的作用是识别可能会遭受大船事故威胁的场外人群，并在这些人群中筛选出具有采取防护行动需求的人群 [ 6 ]。然而，大船独有的设计特性和运行环境特性决定了它的“场区”和“场外人群”与核电厂等固定式陆上核设施有显著的不同。因此，在开展具体的场外释放源项和预期剂量计算以论证大船是否具有划分EPZ的需求以及具有划分怎样的EPZ需求之前，先要明确大船的“场区”和“场外人群”。 根据大船船体大、功能分区多、舱室多且分多层布置的特性，将维持大船核动力推进装置作业所必须的系统、设备、部件以及相关作业人员所处舱室的最外围实体边界以内的船上区域视为“场区”，并定义为“涉核区” [ 7 ]。大船的涉核区与核电厂的场区在功能和布置上具有非常大的相似性，但这也直接造成了大船的“涉核区外”与核电厂“场外”的不同。首先，大船的涉核区外既包括船上也包括船外，船外既包括陆域也包括海域，海域既包括我国管辖海域也包括公海。其次，大船的涉核区外是舱室，船外才是自然环境。由此可见，对于大船，涉核区外船上区域、我国管辖陆域和海域、公海都可能具有划分EPZ的需求，因此步骤一要给出大船的涉核区外释放源项(从大船涉核区最外围实体边界释放的FP源项)的计算结果 [ 8 ]。但由于大船的涉核区与核电厂的场区在功能和布置上具有非常大的相似性，这就使得大船的涉核区外释放源项计算与核电厂的场外释放源项计算不会有显著的差别。目前，国际上普遍认可通过概率安全分析(PSA)，基于堆芯损伤频率(CDF)和大量释放频率(LRF)选择计算场外释放源项的事故，研究中也使用了这样的方法，唯一的区别是大船的PSA额外考虑了摇摆、碰撞、触礁等海上特有的外部始发事件 [ 9 ]。因此，研究中并没有将步骤一作为大船EPZ划分的研究重点。 研究中根据大船人员承运量大且组成复杂的特性，将船上人员分为3类 [ 10 ] [ 11 ]：① 辐射工作人员，即受大船营运单位雇用并从中受益(如，薪资)的、涉核区外船上区域作业的工作人员，如，大船应急时正在反应堆舱、核辅舱、汽轮机舱、反应堆控制舱等舱室内作业的工作人员；② 一般工作人员，即受大船营运单位雇用并从中受益的、辐射工作人员以外的其他人员；③ 船上公众，即不受大船营运单位雇用且没有从中受益的人员。对于一般工作人员，考虑到他们在受雇用时并没有遭受额外辐射照射的计划，研究中假设一般工作人员使用与船上公众相同的防护准则。对于辐射工作人员，考虑到他们在大船应急时可能仍需继续坚守岗位，自动转为应急人员，研究中假设转为应急人员的那部分辐射工作人员使用应急人员的防护准则，其余的辐射工作人员也使用与船上公众相同的防护准则。另外，研究中根据大船具有移动性的特性，将船外公众分为2类：① 大船停靠港周围我国管辖陆域和海域(以下简称“我国管辖陆域和海域”)公众，其中，停靠港涉及建造港、试验港、母港、寄泊港、事故地就近港等，我国管辖海域指我国领海基线200海里以内的海域，包括内海、领海、毗邻区、专属经济区；② 公海公众，即我国领海基线200海里以外海域的公众。考虑到我国管辖陆域和海域与公海相比，人口数量更多且分布更密集，渔业和娱乐等资源利用更丰富，出现在大船周围的船只、海洋工程、航空器等数量更多、组成更多样且出现的随机性更小，研究中要对我国管辖陆域和海域、公海使用不同的EPZ划分方法。由此可见，对于大船，步骤二要分别对涉核区外船上各舱室、我国管辖陆域和海域不同位置、公海不同位置的预期剂量都进行计算才能论证哪些区域具有划分EPZ的需求以及具有划分怎样的EPZ需求。因此，研究中将步骤二作为了大船EPZ划分的研究重点。
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user: 3. 用于大船EPZ划分的剂量准则 我国现行的用于核设施场外EPZ划分的剂量准则是国家标准GB 18871-2002《电离辐射防护与辐射源安全基本安全标准》中的“急性照射的剂量行动水平”和“应急照射情况下的通用优化干预水平和行动水平” [ 12 ]，但考虑到该准则与目前国际上最先进的准则相比存在着使用可防止剂量作为测定量不利于使用、没有明确测定量计算的照射途径和照射时间、剂量限值没有充分体现事故进展与防护行动关系等问题 [ 13 ]，研究中确定了用于大船EPZ划分的剂量准则，见如表1。 表1的剂量准则参照IAEA一般安全要求No.GSR Part7中的“适用于短期内所受剂量并预期在应急中任何情况下为避免或最大限度减少严重确定性效应采取防护行动和其他响应行动的一般准则”和“在应急中为降低随机性效应风险所采取的防护行动和其他响应行动的一般准则”确定，差别是没有将AD 胎儿 、AD 组织 、H 胎儿 作为测定量。 Table 1 Dose criterion used in the partition of large ship EP 防护目标 剂量准则 防护行动 ② EPZ 测定量 ① 剂量限值 照射途径 避免或减小严重 确定性健康效应 AD 红骨髓 1/Gy (<10 h) 外照射 预防性紧急防护行动 撤离(掩蔽/控制误摄入) PAZ AD 皮肤 10/Gy (<10 h) 去污(控制误摄入) 避免或减小随机 性健康效应风险 H 甲状腺 50/mSv (前7 d) 内照射 紧急防护行动 服碘(控制误摄入) UPZ E 紧急 100/mSv (前7 d) 外照射/内照射 撤离(掩蔽/控制误摄入) E 早期 100/mSv (前1 a) 外照射/内照射 早期防护行动 临时避迁(控制误摄入) EPD E 食物链 10/mSv (前1 a) 内照射 ∕ 防止食品/水/商品被污染/摄入/使用 ICPD 表1. 用于大船EPZ划分的剂量准则 注：① 测定量中，AD为平均相对生物效应(RBE)加权吸收剂量，H为甲状腺当量剂量，E 紧急 、E 早期 、E 食物链 为有效剂量；② 防护行动中，括号外的行动是测定量达到相应剂量限值时要立即采取的防护行动，括号内的行动是在采取括号外的行动时还要同时采取的行动。
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user: 4. 用于大船EPZ划分的假想事故序列 研究中选择了一个以大破口失水事故(LOCA)为始发事件、造成CDF ≥ 10 −5 /(堆·年)但“涉核区外”LRF ≤ 10 −6 /(堆·年) [ 14 ] 的假想事故序列，参照美国先进轻水反应堆(ALWR)用户要求文件(URD)中用于美国ALWR应急计划的补充概率安全分析方法，计算了大船的涉核区外释放源项，并依此源项分别计算了涉核区外船上各舱室、某一假想停靠港周围我国管辖陆域和海域不同位置表1中的6个测定量，确定了大船的涉核区外船上EPZ、我国管辖陆域和海域EPZ。但是，研究中并没有对公海EPZ进行计算。 用于划分大船EPZ的假想事故序列基于唯一获得美国核管理委员会(NRC)设计认证证书的Gen III+型核电机组AP1000的以下概率安全分析结果 [ 15 ]： 1) AP1000三级PSA显示：剂量风险的主导裂变产物释放组是安全壳旁通(BP)和安全壳早期失效(CFE)，分别占总剂量风险的78.6%和17.3%。 2) AP1000二级PSA显示：LRF的主导裂变产物释放组是BP和CFE，分别占总LRF的54%和38%，其中，BP的主导堆芯损伤事故序列是“反应堆冷却剂系统高压(未能紧急停堆的预期瞬态或安全壳内的主蒸汽管道破裂)”和“蒸汽发生器传热管破裂或界面LOCA造成的安全壳旁通)，分别占总LRF的20.9%和19.4%；CFE的主导堆芯损伤事故序列是“反应堆冷却剂系统完全降压”和“反应堆冷却剂系统部分降压(不包括大破口LOCA的LOCA)”，分别占总LRF的13.7%和10.5%。 3) AP1000一级PSA显示：CDF的主导堆芯损伤事故序列是“反应堆冷却剂系统完全降压”和“反应堆冷却剂系统部分降压(不包括大破口LOCA的LOCA)”，分别占总CDF的33.4%和24.8%；CDF的主导始发事件是安注管破裂和大破口LOCA，分别占CDF的39.43%和18.66%。 可见，以大破口LOCA为始发事件、造成堆芯损伤和安全壳早期失效的事故序列同时是CDF、LRF、剂量风险的主导贡献。实际上，将以大破口LOCA为始发事件的堆芯损伤事故系列用于划分EPZ也是我国核电厂普遍使用的方法。 用于大船EPZ划分的假想事故序列与AP1000基本相同，计算时使用了大船的参数。另外，研究中还计算了这个假想事故序列的CDF和“涉核区外”LRF，以验证是否满足CDF ≥ 10 −5 /(堆·年)但“涉核区外”LRF ≤ 10 −6 /(堆·年)的要求。
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user: 5. 大船EPZ的划分结果 研究中对大船的各EPZ重新进行了的定义，以说明各EPZ的防护目标、防护行动的启动条件、与事故进展的关系等。因此，大船的各EPZ定义与IAEA一般安全要求No.GSR Part7中的对应定义有所不同，但这样更符合大船的工程实际。 5.1. 涉核区外船上EPZ 涉核区外船上EPZ，见图1。 图1. 涉核区外船上EPZ示意图 从图1可以看出，要在大船的涉核区外船上区域划分船上PAZ、船上UPZ这2个EPZ，这由以下的计算结果确定： 1) 大船涉核区外的一部分舱室(图1中黄色区域)或AD 红骨髓 ≥ 1 Gy或AD 皮肤 ≥ 10 Gy，也就是说，这些舱室内的人员可能受到来自大船事故所致的死亡或功能丧失这样的确定性健康效应的威胁，这一群人具有采取预防性的撤离或去污这样的紧急防护行动的需求，因此要将这些舱室确定为PAZ。 2) 大船PAZ外的所有舱室(图1中绿色区域)或H 甲状腺 ≥ 50 mSv或E 紧急 ≥ 100 mSv，也就是说，这些舱室内的人员可能受到来自大船事故所致的癌症或遗传疾病这样的随机性健康效应的威胁，这一群人具有采取服碘或撤离这样的紧急防护行动的需求，因此要将这些舱室确定为UPZ。 研究中将船上PAZ、船上UPZ分别定义为： 1) 船上PAZ，即船上预防行动计划区，是为避免或减小涉核区外船上人员遭受严重确定性健康效应，基于核动力推进装置及其相关设施状态，在放射性物质向船上涉核区外区域释放前或释放后的短期内，采取紧急防护行动的预防性计划区。这里的“预防性”是指对船上PAZ内的人员采取防护行动的决策是基于大船的应急状态分级，而不是实际的预期或已经发生的剂量达到或超过了防护准则中的剂量限值。 2) 船上UPZ，即船上紧急行动计划区，是为避免或减小涉核区外船上人员遭受随机性健康效应风险，基于船上涉核区外区域环境监测或酌情考虑核动力推进装置及其相关设施状态，在放射性物质向船上涉核区外区域释放期间，采取紧急防护行动的条件性实际计划区。这里的“条件性实际”是指对船上UPZ内的人员采取防护行动的决策是基于实际的预期或已经发生的剂量达到或超过了防护准则中的剂量限值。 5.2. 我国管辖陆域和海域EPZ 在大船的停靠港周围划分船外UPZ、船外EPD、船外ICPD这3个EPZ，这由以下的计算结果确定： 1) 停靠港周围一定范围内或H 甲状腺 ≥ 50 mSv或E 紧急 ≥ 100 mSv，也就是说，这一范围内的公众可能受到来自大船事故所致的癌症或遗传疾病这样的随机性健康效应的威胁，这一群公众具有采取服碘或撤离这样的紧急防护行动的需求，因此要将这一范围确定为UPZ。 2) 停靠港周围一定范围内E 早期 ≥ 100 mSv，也就是说，这一范围内的公众可能受到来自大船事故所致的癌症或遗传疾病这样的随机性健康效应的威胁，这一群公众具有采取临时避迁这样的早期防护行动的需求，因此要将这一范围确定为EPD。 3) 停靠港周围一定范围内E 食物链 ≥ 10 mSv，也就是说，这一范围内的公众可能受到来自大船事故的癌症或遗传疾病这样的随机性健康效应的威胁，具有对这一范围内的农业、渔业、食品、商品生产和消费等进行限制的需求，因此要将这一范围确定为ICPD。 另外，需要说明的是，在确定我国管辖海域EPZ时将步骤一得到的涉核区外释放源沿着假想的大船航行轨迹视作了“线源”，这是由大船的移动性决定的，且整个轨迹覆盖了具有不同海洋气象条件的内海、领海、毗邻区、专属经济区4个海域，但由于没有获取到全面的海洋气象数据，因此在步骤二的计算中每个海域都只使用了一套海洋气象数据。 研究中将船外UPZ、船外EPD、船外ICPD分别定义为： 1) 船外UPZ，即我国管辖陆域和海域紧急行动计划区，是为避免或减小停靠港周围我国管辖陆域和海域公众遭受随机性健康效应风险，基于船外陆域或海域环境监测，在放射性物质向船外释放期间，采取紧急防护行动的条件性实际计划区。 2) 船外EPD，即我国管辖陆域和海域扩展计划距离，是为避免或减小停靠港周围我国管辖陆域和海域公众遭受随机性健康效应风险，在应急准备阶段仅对陆域或海域环境监测做出有限安排，在放射性物质向船外释放期间才被识别，并采取早期防护行动的条件性实际计划区。 3) 船外ICPD，即我国管辖陆域和海域摄入和商品计划距离，是为避免或减小停靠港周围我国管辖陆域和海域公众遭受随机性健康效应风险并减轻因分发、销售、消费被污染食品和其他商品引起的非放射性后果，基于陆域或海域环境监测，在放射性物质向船外释放期间或释放结束后的一段时间内才被识别，并采取防护行动的条件性实际计划区。 5.3. 公海EPZ 大船在公海航行时海域不确定、海洋气象条件不同，受来自大船的放射性物质释放直接影响的船只、海洋工程、航空器等又存在较大随机性，预先确定像我国管辖海域那样的EPZ显然不现实，因此研究中同时借鉴了环境影响评价中使用的“大气环境防护距离”、海上交通安全中使用的“船舶最近会遇距离”的概念，提出了在公海仅设置一个应急警戒距离(ECD)的建议，并将其定义为“公海ECD”。 公海ECD，即公海应急警戒距离，是为避免或减小公海公众健康威胁，即严重确定性健康效应和随机性健康效应风险，基于核动力推进装置及其相关设施状态、船上舱室辐射监测，特别是放射性流出物监测，或酌情考虑海洋气象环境，在放射性物质向船外释放前或释放后的短期内，采取紧急防护行动的预防性计划区。 另外，需要说明的是，公海ECD虽是船外EPZ，但考虑到大船在我国管辖海域和公海放射性物质向船外的释放方式不同，仍将其定义为预防性计划区。在我国管辖海域，救援难度小、船上人员可随时弃船撤离，为了尽可能保护船外公众，一般不会主动向船外排放放射性物质，放射性物质向船外的释放主要是密封性失效的泄漏释放。在公海，救援难度大、大船附近船只等可随时撤离、大船也可避让，为了尽可能减小船上污染范围、尽可能保护船上人员，一般会主动、可控地向船外排放放射性物质，大船附近船只的防护行动最好在放射性物质向船外释放前或释放后的短期内实施，因此将公海ECD定义为预防性计划区，且可直接将我国管辖海域UPZ的最大范围作为公海ECD的范围。
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user: 6. 结论 大型核动力船舶是一种集百兆瓦级反应堆、移动式辐射源、海上交通工具于一体的核设施，但无论是那一类只具上述单一特性的核设施，目前的EPZ划分都没有达成普遍的一致，这使得大船的EPZ划分更加困难。本文参照目前被国际上普遍认可的、较为先进和成熟的EPZ划分方法，重点针对因大船船体大、船外范围广造成的受大船事故威胁的人群复杂的特性，分别提出了船上、我国管辖陆域和海域、公海EPZ的划分建议，为后续的工程实践奠定了基础。
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user: 摘要 为了揭示水泥基粉土泡沫轻质土耐久性能，通过调整轻质土湿密度、粉土掺量等指标，研究了50次干湿循环过程中泡沫轻质土无侧限抗压强度的变化规律。结果表明，随着干湿循环次数的增多，泡沫轻质土的基本力学性能仅略有衰减，对于整体强度未产生显著影响，显示了良好的抗干湿循环特性。依据试验结果，建立了适用于不同配比的水泥基粉土泡沫轻质土无侧限抗压强度随干湿循环次数的数学预测公式。研究成果可为该材料的工程应用提供科学依据。
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user: 1. 引言 泡沫轻质土在实际使用过程中，受气候条件、地下水位变动等因素影响，泡沫轻质土不可避免处于干湿循环状态。为了研究泡沫轻质土抗干湿循环特性，国内外学者开展了一定的研究，如顾欢达 [ 1 ] 等指出发泡颗粒轻质土在干湿循环环境下其抗压强度能够保持稳定而不会出现明显的劣化。刘楷等 [ 2 ] 对普通泡沫轻质土和地聚合物轻质土进行的干湿循环和硫酸钠溶液浸泡试表明，前者的干湿循环性能较好，而后者硫酸钠溶液浸泡的耐久性更好。阳卫平 [ 3 ] 通过改变集料与胶凝材料比例(S/C)研究了泡沫轻质土的干湿循环性能，提出随着S/C的增大，泡沫轻质土在10次干湿循环后的抗压强度损失率会越来越小。为了揭示干湿循环对水泥基材料性能的影响，周贤良等 [ 4 ] 指出“干”过程会使材料内部发生炭化反应导致强度降低，“湿”过程会使材料再胶结强度恢复但能力有限，长期干湿循环作用会造成材料发生不可逆影响。 以上研究大多基于普通水泥基泡沫轻质土，为了降低泡沫轻质土造价，研究提出可通过参加外掺料替代部分水泥制备泡沫轻质土，如掺加粉煤灰 [ 5 ]、尾矿粉 [ 6 ]、橡胶粉 [ 7 ]、黏土 [ 8 ]、粉土 [ 9 ] [ 10 ] 等，取得了良好的应用效果和经济效益。为了探讨该类泡沫轻质土的抗干湿循环特性，梁朋涛等 [ 11 ] 气泡掺入量在25%左右或者原料土掺入量在35%左右时，抗压强度衰减较小。贾兴文等 [ 12 ] 通过试验发现干湿循环会使粉煤灰加气混凝土的抗压强度减小，并且冻融性能随着含水率的增加而变差。结合山东省广泛分布的黄河冲淤积粉土，张宏博等 [ 9 ] [ 10 ] 研究了其作为泡沫轻质土外掺料的可行性，并在实体工程中进行了应用。而黄河冲积平原区水网密布、地下水位普遍介于0.5~2 m、毛细现象严重，对泡沫轻质土具有显著的干湿循环效应 [ 13 ]。因此，为了更好地对其进行推广应用，有必要开展干湿循环试验研究。 由上，本文通过调整湿密度、粉土掺量，研究了水泥基粉土泡沫轻质土50次干湿循环对无侧限抗压强度的影响规律，并结合试验数据分析，提出了无侧限抗压强度与干湿循环次数的预测模型。研究成果可为该类型泡沫轻质土的推广应用奠定良好的试验基础。
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user: 2. 试验 2.1. 水泥 本试验采用淄博山水集团生产采用P.O 42.5水泥。其基本物理性能见表1。 Table 1 Physical properties of cemen 比表面积 (kg/m 3 ) 标准稠度 (%) 凝结时间(min) 3d抗压强度 (MPa) 3d抗折强度 (MPa) 初凝 终凝 358 28.5 230 294 5.5 2.72 表1. 水泥的物理性能 2.2. 发泡剂 发泡剂采用烟台龙驰公司生产的复合型发泡剂，其主要性能指标如表2所示。 Table 2 Main performance index of foaming agen 检测项目 品种 稀释倍数 发泡倍数 标准泡沫密度 (kg/m 3 ) 30 min泌水率 (%) 试验值 复合型 50 800~1000 40~50 15.93 表2. 发泡剂主要性能指标 2.3. 原料土 选用山东省境内广泛分布的黄河流域粉土作为原料土，颗粒的级配曲线见图1所示。 图1. 粒径分布曲线 由图1可知，原料土粒径d 10 为0.066，d 30 为0.073，d 60 为0.25，C c 为0.32，C u 为3.79，可判别为砂质粉土，属均粒土。 2.4. 水泥基粉土泡沫轻质土试验级配设计 本试验所采用的泡沫轻质土级配如表3所示。 Table 3 Mix ratio of silt-based foamed concret 湿密度(kg/m 3 ) 粉土掺量(%) 用水量(kg/m 3 ) 水泥用量(kg/m 3 ) 粉土用量(kg/m 3 ) 泡沫用量(kg/m 3 ) 水固比 600 0 201 365 0 34 0.55 600 20 182 295 74 31 0.49 600 30 171 261 112 29 0.45 600 40 158 227 151 27 0.41 700 0 237 432 0 31 0.55 700 20 215 351 88 27 0.49 700 30 203 311 133 26 0.45 700 40 188 271 180 24 0.41 800 0 274 498 0 28 0.55 800 20 249 406 101 25 0.49 800 30 234 360 154 23 0.45 800 40 219 314 209 22 0.41 表3. 水泥基粉土泡沫轻质土配合比 2.5. 干湿循环试验方法与步骤 参考《蒸压加气混凝土性能试验方法》(GB//T 11969-2008)进行，试件尺寸为100 mm × 100 mm × 100 mm，详细步骤如下： 1) 首先将养护28天的试件放入电热鼓风干燥箱内(60 ± 5)℃烘至恒重。 2) 然后在室内冷却20 min，冷却完成后将其放入(20 ± 5)℃的水箱中5 min。试件顶面与水面距离要求至少大于20 mm，到时间后再将试件放入室内30 min。 3) 将试件在(20 ± 5)℃的室内冷却20 min，然后放入钢丝网箱(恒温水槽或水箱)内，并浸入水温为(20 ± 5)℃的水中。水高出试件上表面30 mm，保持5 min后取出，放在室内晾干30 min，放入电热鼓风干燥箱内，在(60 ± 5)℃下烘7 h，在室内冷却20 min，作为1次干湿循环。 根据规范要求，15次即可结束试验。为了更好的验证水泥基粉土泡沫轻质土抗干湿循环特性，以及干湿循环过程中泡沫轻质土无侧限抗压强度的衰变规律，本试验设计干湿循环次数为50次，其中每5次循环选择3个平行试件进行无侧限抗压强度试验。
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user: 3. 试验结果与分析 3.1. 干湿循环试验结果 如图2所示，为50次干湿循环后不同配合比下水泥基粉土泡沫轻质土试件无侧限抗压强度变化规律。由图可知，对于三种不同湿密度的泡沫轻质土，在经过50次干湿循环后，均呈现波动下降趋势，其中，波动是因为发泡的不均匀性造成，各配比条件下的无侧限抗压强度降低幅度普遍小于10%。 相比较，湿密度为800 kg/m 3 的泡沫轻质土受干湿循环影响略偏大，分析原因，可能是湿密度越大，泡沫体积越小，但水泥量及用土量也越大，这使得干燥状态下泡沫轻质土无侧限抗压强度提高。但随着干湿循环次数的增加，水分逐渐渗透到泡沫轻质土内部，使得已固化的粉土土颗粒湿化膨胀，影响了无侧限抗压强度的发挥。这种现象也可由不同的粉土掺量试验曲线得以印证。 然而，需要进一步说明的是，尽管泡沫轻质土无侧限抗压强度略有降低，但并未影响其整体强度，表明水分的侵入仅表现在表面，对于泡沫轻质土内部并未产生影响。因此，泡沫轻质土在实际使用过程中，其干湿循环性能可保持稳定状态。该结论可由3.2部分的表观现象分析予以验证。 图2. 不同湿密度无侧限抗压强度与干湿循环次数关系曲线 3.2. 干湿循环过程中泡沫轻质土表观现象分析 如图3所示，为干湿循环50次后泡沫轻质土表观现象，可发现试块表面产生了一些微小的裂缝。分析原因，受浸湿和干燥的反复作用，水分子将在其表面一定深度内发生迁移，使得颗粒间膨胀力逐渐增大，导致其内部颗粒间的间距发生微小变化。当超过颗粒间的结合力时，泡沫轻质土会产生细微裂纹。 为了揭示这些微小裂缝对泡沫轻质土无侧限抗压强度的影响，首先将同密度同掺量和相同循环次数的试块烘到恒质后，进行无侧限抗压强度测试。试验时，将试样分为组进行对比：1) 裂缝平行于受压面，如图3(a)所示；2) 裂缝垂直于受压面，如图3(b)所示。 图3. 不同受压状态气泡混合轻质土试件 试验结果如表4所示，由表可知，两种加载模式对于泡沫轻质土试样的无侧限抗压强度无明显影响，验证了表观微裂缝并没有向试件内部延伸，干湿循环未对泡沫轻质土内部产生影响。 Table 4 Unconfined compressive strength results of the specime 湿密度(kg/m 3 ) 粉砂土掺量(%) 循环次数 (次) 抗压强度(MPa) 与裂缝平行 与裂缝垂直 600 30 50 1.01 0.97 700 30 50 1.82 1.75 800 30 50 2.23 2.12 600 40 50 0.91 0.82 700 40 50 1.24 1.29 800 40 50 1.54 1.68 表4. 试件无侧限抗压强度结果 3.3. 不同配比条件下水泥基粉土泡沫轻质土无侧限抗压强度随干湿循环次数的预测公式 为了建立公式，首先定义水泥基粉土泡沫轻质土无侧限抗压强干湿循环系数 K 干 湿 如式(1)所示。 K 干 湿 = q u d q u ， 规 定 (1) 式中： q u d 为定干湿循环后测定的无侧限抗压强度， q u ， 规 定 为规范要求路基最小无侧限抗压强度0.8 MPa。 K 干 湿 大于1表示强度符合要求。 为了反映浆体相对密度、粉砂土掺量对无侧限抗压强度的影响，浆体相对密度定义为新拌浆体的表观密度与假定绝对密实状态时相应固体颗粒的密度之比，新拌浆体表观密度采用1 L标准量筒量得，绝对密实状态时相应固体颗粒的密度及浆体相对密度由式(2)和(3)计算得到 φ = ρ 0 ρ (2) ρ = m c + m f m c ρ c + m f ρ f (3) 式中： φ 为浆体相对密度， ρ 0 ， ρ 分别为新拌浆体的表观密度和假定绝对密实状态时相应固体颗粒的密度， m c ， m f 分别为水泥和粉砂土质量， ρ c ， ρ f 分别为水泥和粉砂土密度。 根据图2试验结果，使用通用全局优化算法，分析浆体相对密度、粉砂土掺量和干湿循环次数的影响，建立了水泥基粉土泡沫轻质土干湿循环强度系数 K 干 湿 公式，如式(4)所示： K 干 湿 = 1 0.728 + 0.024 ( N 50 ) 2 − 7.538 φ 2 + 0.0002 α 2 (4) 其中，N为干湿循环次数， φ 为浆体相对密度， α 为粉砂土掺量。R 2 为0.921。
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user: 4. 结论 本文针对水泥基粉土气泡混合轻质土的干湿稳定性能进行了试验研究，可得到以下结论： 1) 不同湿密度及粉土掺量条件下的泡沫轻质土经过50次的干湿循环试验，其无侧限抗压强度并未发生明显衰减，表明其具有良好的季节适应性。 2) 经过50次的干湿循环后，水泥基粉土泡沫轻质土仅出现了表面的微裂缝，对其抗压强度并未产生影响。 3) 50次干湿循环后，仅湿密度为600 kg/m 3 、粉土掺量为40%的泡沫轻质土试件无侧限抗压强度低于设计规定值，其余均能满足路用性能要求。 4) 通过对试验结果进行拟合，得到水泥基粉土气泡混合轻质土干湿循环和冻融循环强度系数与浆体相对密度、粉砂土掺量和循环次数关系式。
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user: 摘要 块Toeplitz算子作为数学泛函分析中函数空间上的算子理论研究的重要内容，在物理学、量子力学等方面的模型建立、实际应用有着重要的作用。许多学者在向量值Hardy空间上研究了块Toeplitz算子的核，其正规性、亚正规性以及块复合算子。本文主要研究在向量值Hardy空间中的复对称块Toeplitz算子问题。
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user: 1. 引言 2013年Sungeun找到了几类复对称算子的矩阵并研究了其可分解性及应用。特别地， T = ( A B 0 C A * C ) ， 其中C是共轭算子，证明了如果A是复对称的则T可分解的充要条件为A也是可分解的 [ 1 ]。 2019年，Dong-O Kang利用 H 2 ( T ) 上的共轭算子 C μ ， λ ，得到结论：Toeplitz算子T关于共轭算子 C μ ， λ 复对称当且仅当T关于共轭算子 C 1 ， λ 复对称。借此他构造了一个块Toeplitz算子关于特殊的共轭算子 C : = 1 2 ( C 1 ， λ C 1 ， λ C 1 ， λ − C 1 ， λ ) 复对称的充要条件 [ 2 ]。
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user: 2. 预备知识 本文中， B ( H ) 表示复可分Hilbert空间 H 上所有有界线性算子的集合。记 H 上的恒等算子为I。 定义2.1 若算子 S : H → H 满足对于 ∀ x ， y ∈ H ， ∀ α ∈ ℂ ，且满足下列条件： 1) S ( x + y ) = S ( x ) + S ( y ) ， 2) S ( α x ) = α ¯ S ( x ) 。 则称S为共轭线性算子。 定义2.2 假设 C : H → H 是共轭线性算子，如果满足 1) C 2 = I ， 2) 〈 f ， g 〉 = 〈 C g ， C f 〉 ， 其中 f ， g ∈ H 。称C为共轭算子。 定义2.3 对于算子 T ∈ B ( H ) ，若存在一个共轭算子C使得 C T C = T * ，则称T为C-对称。如果T是C-对称，那么T也称为复对称。 令 L ℂ n 2 = L 2 ( T ) ⊗ ℂ n ， H ℂ n 2 = H 2 ( T ) ⊗ ℂ n ， ℂ n = ℂ × ℂ × ⋯ × ℂ ︸ n 。 M n 是由所有 n × n 复矩阵构成的集合。对于矩阵值函数 Φ ∈ L M n ∞ = L ∞ ( T ) ⊗ M n ，定义 T Φ 是向量值Hardy空间 H ℂ n 2 上以 Φ 为符号的块Toepliz算子，即 T Φ h = P n ( Φ h ) ，             ( h ∈ H ℂ n 2 ) 其中 P n 是 L ℂ n 2 → H ℂ n 2 上的正交射影。 特别地，如果 Φ = ( φ 1 φ 2 φ 3 φ 4 ) ， φ j ∈ L ∞ ( T ) ， j = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，那么块Toeplitz算子在 H ℂ 2 2 有如下表示： T Φ = ( T φ 1 T φ 2 T φ 3 T φ 4 ) . 本文引入一个共轭算子 C q 作为构造共轭算子C的关键，下面对 C q 的相关内容进行介绍： 定义2.4 [ 3 ] 记q为序列 { q m } m = o ∞ ，其中 q m ∈ T 。令 C q : H 2 ( T ) → H 2 ( T ) ，即 C q ( ∑ n = 0 ∞ f ^ ( n ) z n ) = ∑ n = 0 ∞ f ^ ( n ) ¯   q n z n . 其中 f ^ ( n ) 是f的傅里叶系数。f的幂级数表示为 f ( z ) = ∑ m = 0 ∞ a m z m ，     ∑ m = 0 ∞ | a m | 2 < ∞     ( a m = f ^ ( m ) ， m = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ) 命题2.5 [ 3 ] C q 是 H 2 ( T ) 中的共轭算子。 定义2.6 [ 3 ] 对于序列 q = { q k } k = 0 ∞ ，若存在 n ∈ ℕ ，使得 q n q 0 = q n + k q k ， ∀ k ∈ ℕ . 则称这个序列为n度等比序列，且比率为 q n q 0 。所有的等比序列都被称为自然等比序列。 定义2.7 [ 3 ] 对于算子 T ∈ B ( H ) ，若存在 H 中一个共轭算子 C q 使得 C q T C q = T * . 则称算子T是 C q -对称的。 定理2.8 [ 3 ] 若Toeplitz算子 T f 是 C q -对称的，那么q是一个自然等比序列。换句话说，对于 ∀ k ≥ m ， m = 1 ， 2 ， ⋯ f ^ ( k − m ) = q k q ¯ m f ^ ( m − k ) .
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user: 4. 向量值Hardy空间的3阶复对称块Toeplitz算子 在前文的基础上，我们研究向量值Hardy空间上的3阶复对称块Toeplitz算子。本小节给出两个共轭算子，讨论关于这两类共轭算子的复对称块Toeplitz算子。 记 C 1 = ( C q 0 0 0 0 C q 0 C q 0 ) = ( C q C 00 ) ， C 00 = ( 0 C q C q 0 ) 。由前面的讨论，显然 C 1 是共轭算子。 命题4.1 假设 Φ ∈ L ∞ ( T ) ⊗ M 3 ， φ j ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ φ ^ ( n ) z n ， j = 1 ， ⋯ ， 6 ; z ∈ T ， T Φ = ( T φ 1 T φ 4 T φ 6 0 T φ 2 T φ 5 0 0 T φ 3 ) 是关于共轭算子 C 1 的复对称算子当且仅当 ( φ ^ 1 ( n ) φ ^ 4 ( n ) φ ^ 6 ( n ) 0 φ ^ 2 ( n ) φ ^ 5 ( n ) 0 0 φ ^ 3 ( n ) ) = q n q 0 ( φ ^ 1 ( − n ) 0 0 0 φ ^ 3 ( − n ) φ ^ 5 ( − n ) 0 0 φ ^ 2 ( − n ) )         n ∈ ℤ . 证明 通过划分矩阵得 T Φ = ( T φ 1 T φ 4 T φ 6 0 T φ 2 T φ 5 0 0 T φ 3 ) = ( T φ 1 T Φ 1 0 T Φ 2 ) ， 其中， T Φ 1 = ( T φ 4 T φ 6 ) ， T Φ 2 = ( T φ 2 T φ 5 0 T φ 3 ) 。 因为 T Φ 是关于 C 1 的复对称算子， T Φ C 1 = C 1 T Φ * ，得 T Φ C 1 = ( T φ 1 T Φ 1 0 T Φ 2 ) ( C q C 00 ) = ( T φ 1 C q T Φ 1 C 00 0 T Φ 2 C 00 ) ， C 1 T Φ * = ( C q C 00 ) ( T φ 1 * 0 T Φ 1 * T Φ 2 * ) = ( C q T φ 1 * 0 C 00 T Φ 1 * C 00 T Φ 2 * ) ， 对比得 { T φ 1 C q = C q T φ 1 ∗ T Φ 1 C 00 = 0 0 = C 00 T Φ 1 * T Φ 2 C 00 = C 00 T Φ 2 * 由定理2.8和定理3.3，有 即 φ ^ 1 ( n ) = q n q 0 φ ^ 1 ( − n ) ， φ ^ 3 ( n ) = q n q 0 φ ^ 2 ( − n ) ， φ ^ 4 ( n ) ≡ 0 ， φ ^ 5 ( n ) = q n q 0 φ ^ 5 ( − n ) ， φ ^ 6 ( n ) ≡ 0 ， 对 n ∈ ℤ 成立。 同理可得以下推论， 推论4.2 假设 Φ ∈ L ∞ ( T ) ⊗ M 3 ， φ j ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ φ ^ ( n ) z n ， j = 1 ， ⋯ ， 7 ; z ∈ T ， T Φ = ( T φ 1 T φ 4 0 T φ 6 T φ 2 T φ 5 0 T φ 7 T φ 3 ) 是关于共轭算子 C 1 的复对称算子当且仅当
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user: 5. 向量值Hardy空间的n阶复对称块Toeplitz算子 本部分研究关于某个共轭算子 C ′ 的n阶复对称块Toeplitz算子。 记 C ′ = ( 0 C q 0 0 ⋯ 0 C q 0 0 0 ⋯ 0 0 0 C q 0 ⋯ 0 0 0 0 C q ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 0 0 0 0 0 0 C q ) n × n = ( C 00 0 0 C ″ n − 2 ) ， 其中 C ″ n − 2 = ( C q C q ⋱ ⋱ C q ) ( n − 2 ) × ( n − 2 ) 是共轭算子。显然 C ′ 也是共轭算子。 命题5.1 假设   Φ ∈ L ∞ ( T ) ⊗ M n 。 T Φ = ( T φ 11 T φ 12 T φ 13 ⋯ T φ 1 n 0 T φ 22 T φ 23 ⋯ T φ 2 n 0 0 T φ 33 ⋯ T φ 3 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ T φ n n ) 是关于共轭算子 C ′ 的复对称算子当且仅当 ( φ ^ 11 ( k ) φ ^ 12 ( k ) ⋯ ⋯ φ ^ 1 n ( k ) φ ^ 22 ( k ) φ ^ 2 n ( k ) ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ φ ^ n n ( k ) ) = ( φ ^ 22 ( − k ) φ ^ 12 ( − k ) 0 ⋯ 0 φ ^ 11 ( − k ) 0 ⋯ 0 φ ^ 33 ( − k ) 0 ⋱ ⋮ φ ^ n n ( − k ) )     ( k ∈ ℤ ) . 证明 对矩阵分块得 ( T φ 11 T φ 12 T φ 13 ⋯ T φ 1 n 0 T φ 22 T φ 23 ⋯ T φ 2 n 0 0 T φ 33 ⋯ T φ 3 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ T φ n n ) = ( T Φ 1 T Φ 2 0 T Φ 3 ) ， 其中 T Φ 1 = ( T φ 11 T φ 12 0 T φ 22 ) ， T Φ 2 = ( T φ 13 T φ 14 ⋯ T φ 1 n T φ 23 T φ 24 ⋯ T φ 2 n ) ， T Φ 3 = ( T φ 33 T φ 34 ⋯ T φ 3 n T φ 44 ⋯ T φ 4 n ⋱ ⋮ T φ n n ) 。 因为 T Φ 是关于 C ′ 的复对称算子，由于 T Φ C ′ = C ′ T Φ * ，对比可得 { T Φ 1 C 00 = C 00 T Φ 1 * T Φ 2 C ″ n − 2 = 0 0 = C ″ n − 2 T Φ 2 * T Φ 3 C ″ n − 2 = C ″ n − 2 T Φ 3 * 进而 ( φ ^ 13 ( k ) φ ^ 14 ( k ) ⋯ φ ^ 1 n ( k ) φ ^ 23 ( k ) φ ^ 24 ( k ) ⋯ φ ^ 2 n ( k ) ) = ( 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ) . 和 φ ^ i i ( k ) = q k q 0 φ ^ i i ( − k ) ，   i = 3 ， 4 ， ⋯ ， n     ( k ∈ ℤ ) . 由定理2.8和定理3.3可得 ( φ ^ 11 ( k ) φ ^ 12 ( k ) 0 φ ^ 22 ( k ) ) = q k q 0 ( φ ^ 22 ( − k ) φ ^ 12 ( − k ) 0 φ ^ 11 ( − k ) ) . 所以 ( φ ^ 11 ( k ) φ ^ 12 ( k ) ⋯ ⋯ φ ^ 1 n ( k ) φ ^ 22 ( k ) φ ^ 2 n ( k ) ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ φ ^ n n ( k ) ) = q k q 0 ( φ ^ 22 ( − k ) φ ^ 12 ( − k ) 0 ⋯ 0 φ ^ 11 ( − k ) 0 ⋯ 0 φ ^ 33 ( − k ) 0 ⋱ ⋮ φ ^ n n ( − k ) ) ， 对于 k ∈ ℤ 成立。
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user: 6. 结论与展望 本文研究了向量值Hardy空间中的复对称块Toeplitz算子问题，利用 C q 构造了不同的块共轭算子，描述出2阶、3阶和n阶复对称块Toeplitz算子 T Φ 的符号特征。 应用本文方法还会得到其他复对称块Toeplitz算子的实例。在以后的研究中，会有更复杂的共轭算子，进而可以更加深入地研究复对称块Toeplitz算子问题。
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user: 摘要 本文对一类金融混沌系统进行动力学分析，利用软件Mathematica编写程序计算不同参数下的Lyapunov指数，绘制相图，分岔图。数值模拟验证了理论分析，使分析更加全面；分析表明参数的选取对于调控金融混沌系统极其重要。本文的研究为此类经济系统的决策提供了一些参考。
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user: 1. 引言 金融系统是有关资金流动、集中和分配的一个体系，包括股票、债券和其他证券的市场，还包括银行和保险公司等金融中介机构。物价结构、供求关系与利率等因素的相互影响，使得很多金融问题变得复杂，如金融市场常会出现停滞、失控、甚至引发金融危机等现象。面对复杂的金融系统，深入地研究其内部结构，揭示金融系统发展规律和控制系统的混沌状态，这显得尤为重要。很多学者已经研究了一些非线性金融学模型，文献 [ 1 ] 提出了经典的金融系统(1)，文献 [ 2 ] [ 3 ] 给出了其动力学分析。经典金融系统数学表达式如下： { x ′ = z + ( y − a ) x y ′ = 1 − b y − x 2 z ′ = − x − c z (1) 文献 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] 分别在经典的金融系统的基础上进行了改进，并对系统进行动力学分析及控制。文献 [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] 通过建立新的金融系统，对金融系统进行了动力学分析并对控制方法进行了探索研究，使人们对金融系统得到了更深刻的认识。通过研究发现影响利率变化的因素除了投资需求、价格指数外，还与平均利润率有关，且平均利润率与利率成正比例关系，文献 [ 11 ] 基于此关系对混沌金融系统(1)进行了改进，对改进之后的系统加入控制之后的状态特性进行了讨论。 前人对此系统并未计算不同参数下的Lyapunov指数，本文计算了不同参数之下的Lyapunov指数，把Lyapunov指数、相图、分岔图结合起来对改进后的金融混沌系统进行动力学分析，并使用四阶Rung-Kutta法对系统进行离散，利用QR分解方法 [ 12 ] [ 13 ]，使用软件Mathematica编程计算Lyapunov指数 [ 14 ]，根据Lyapunov指数的正负判断系统的稳定性。最后进行数值模拟，绘制系统的相图、随着参数改变的分岔图，对系统进行多方位分析．本文的目的是通过对金融混沌系统的动力学分析之后，可以为此类的经济系统的调控提供一些参考，为经济系统的稳定运行提供新的思路。
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user: 2. 金融系统 考虑平均利润率与利率成正比例关系，文献 [ 8 ] 对系统(1)的第一个方程进行了改进，得到了改进的金融混沌系统： { x ′ = z + ( y − a ) x + k x y ′ = 1 − b y − x 2 z ′ = − x − c z (2) 其中x代表利率，y代表投资需求，z代表价格指数，a表示储蓄量，b表示单位投资成本，c表示商品需求弹性，k为控制参数。a、b、c、k均为正数。当 a = 0.6 ， a = 0.6 ， c = 0.9 ， k = 0.5 时，此系统呈现混沌。
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user: 3. 理论分析 3.1. 对称性和不变性 用 ( − x ， − z ) 替换系统(2)中的 ( x ， z ) ，方程保持不变，系统关于y轴是对称的。即若 ( x ， y ， z ) 是系统的解，则 ( − x ， y ， − z ) 也是系统的解。换言之，所有的解要么是本身，要么是其对称解。 3.2. 耗散性和吸引子 对于系统(2)，其散度为： ∇ V = ∂ x ′ ∂ x + ∂ y ′ ∂ y + ∂ z ′ ∂ z = − a + k − b − c 当散度 ∇ V = − a + k − b − c < 0 时，即 k < a + b + c 时，系统是耗散的，相空间的体积按指数形式 e ( − a + k − b − c ) t 快速缩小。保证了吸引子是存在的。 3.3. 平衡点和稳定性 求系统(2)的平衡点，令： { z + ( y − a ) x + k x = 0 1 − b y − x 2 = 0 − x − c z = 0 (3) 当 c − b − a b c + b c k < 0 时，系统有唯一平衡点E 1 ； 当 c − b − a b c + b c k > 0 时，系统有三个平衡点E 1 、E 2 、E 3 分别为： E 1 = ( 0 ， 1 b ， 0 ) E 2 = ( − − b + c − a b c + b c k c ， 1 + a c − c k c ， − b + c − a b c + b c k c 3 / 2 ) E 3 = ( − b + c − a b c + b c k c ， 1 + a c − c k c ， − − b + c − a b c + b c k c 3 / 2 ) 下面讨论其平衡点的稳定性： 在平衡点E 1 处的Jacobi矩阵为 J = ( 1 b − a + k 0 1 0 − b 0 − 1 0 − c ) 令其特征方程等于零： F ( λ ) = ( b + λ ) ( b + ( c + λ ) ( − 1 + a b − b k + b λ ) ) b = 0 对应的三个特征根为： λ 1 = − b ， λ 2 ， λ 3 是下列方程的解： b − c + a b c − b c k b + ( − 1 + a b + b c − b k ) λ b + λ 2 = 0 因为 c − b − a b c + b c k < 0 ，故 b − c + a b c − b c k b > 0 。分以下几种情况讨论平衡点的稳定性。 1) 当 c − b − a b c + b c k < 0 ， c + a − k − 1 b > 0 时，特征方程 F ( λ ) = 0 的特征根 λ 1 ， λ 2 ， λ 3 均小于0，系统有唯一平衡点E 1 ，且平衡点E 1 是稳定的汇； 2) 当 c − b − a b c + b c k < 0 ， c + a − k − 1 b < 0 时， λ 2 > 0 ， λ 3 > 0 ，结合 λ 1 = − b < 0 ，故此时平衡点E 1 是鞍点； 3) 当 c − b − a b c + b c k < 0 ， c + a − k − 1 b = 0 时， λ 2 和 λ 3 是一对纯虚根，结合 λ 1 = − b < 0 ，取 α = − ( c + a − k − 1 b ) ，则 ∂ α / ∂ a | a = a 0 ≡ − 1 ≠ 0 满足Hopf分岔的横截条件，说明当a通过a 0 时系统的轨道横穿虚轴，此时系统的平衡点E 1 发生Hopf分岔； 4) 当 c − b − a b c + b c k = 0 时，则 λ 2 = 0 ， λ 3 = − ( c + a − k − 1 b ) ，结合 λ 1 = − b < 0 ，分成两种情况： a) 若 λ 3 = − ( c + a − k − 1 b ) = ( 1 − c 2 ) / c > 0 ，即 0 < c < 1 ，此时平衡点E 1 为非双曲的不稳定平衡点； b) 若 λ 3 = − ( c + a − k − 1 b ) = ( 1 − c 2 ) / c < 0 ，即 c > 1 ，由中心流行定理可判断平衡点E 1 为渐进稳定的。 在条件(4)的情况下，平衡点E 1 由不稳定变为稳定的，所以当 c = 1 时，系统在平衡点E 1 处发生了跨临界分岔。 5) 当 c − b − a b c + b c k > 0 时，系统有三个平衡点为：E 1 ，E 2 ，E 3 ，此时平衡点的情况较复杂，由于篇幅问题，暂不展开。