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user: 4. 公路客运量与各自变量的多元回归模型 社会经济现象是复杂的，通常一种社会经济现象与许多种现象相联系。一种社会经济现象与多种现象相联系的最简单形式，是一个被解释变量与多个解释变量的线性关系 [ 3 ] [ 4 ] 。 Table 1 Data of highway passenger volume， total population and gross domestic product， gross output value of industry and agriculture， civil passenger car ownership in 1981-201 公路客运量 (万人) 总人口 (万人) 国内生产总值 (亿元) 工农业总产值 (万元) 民用载客汽车 拥有量(万辆) 1981年 261559 100072 4891.56 1635.87 40.57 1982年 300610 101654 5323.35 1865.3 44.18 1983年 336965 103008 5962.65 2074.47 47.78 1984年 390336 104357 7208.05 2380.15 56.28 1985年 476486 105851 9016.04 2506.39 79.45 1986年 544259 107507 10275.18 2771.75 96.61 1987年 593682 109300 12058.62 3160.49 111.46 1988年 650473 111026 15042.82 3666.89 130.38 1989年 644508 112704 16992.32 4100.58 146.43 1990年 648085 114333 18667.82 4954.26 162.19 1991年 682681 115823 21781.5 5146.43 185.24 1992年 731774 117171 26923.48 5588.02 226.16 1993年 860719 118517 35333.92 6605.14 285.98 1994年 953940 119850 48197.86 9169.22 349.74 1995年 1040810 121121 60793.73 11884.63 417.9 1996年 1122110 122389 71176.59 13539.75 488.02 1997年 1204583 123626 78973.03 13852.54 580.56 1998年 1257332 124761 84402.28 14241.88 654.83 1999年 1269004 125786 89677.05 14106.22 740.23 2000年 1347392 126743 99214.55 13873.59 853.73 2001年 1402798 127627 109655.17 14462.79 993.96 2002年 1475257 128453 120332.69 14931.54 1202.37 2003年 1464335 129227 135822.76 14870.11 1478.81 2004年 1624526 129988 159878.34 18138.36 1735.91 2005年 1697381 130756 184937.37 19613.37 2132.46 2006年 1860487 131448 216314.43 21522.28 2619.57 2007年 2050680 132129 265810.31 24658.17 3195.99 2008年 2682114 132802 314045.43 28044.15 3838.92 2009年 2779081 133450 340902.81 30777.48 4845.09 2010年 3052738 134091 401512.8 36941.11 6124.13 2011年 3286220 134735 473104.05 41988.64 7478.37 2012年 3557010 135404 519470.1 46940.46 8943.01 2013年 3853463 136072 590422.4 51497.37 10561.78 2014年 3908198 136782 643974. 60165.7 14598.11 2015年 3619097 137462 685505.8 62918.7 16284.45 表1. 1981~2015年我国公路客运量、总人口、国内生产总值、工农业总产值、民用载客汽车拥有量数据 注：本表数据来自于《中国统计年鉴》，Wind资讯 基本原理：多元线性回归原理 [ 5 ] 。 设 是一个可观测的随机变量，它受到 个随机变量因素 和随机误差 的影响。若 与 有如下线性关系： (1) 该模型即为多元线性回归模型，其中 是固定的未知参数，称为回归系数； 是均值为0、方差为 的随机变量； 称为被解释变量； 被称为解释变量。 对于总体 的n组观测值 应满足上述线性关系，即 (2) 其中 相互独立，且设 ，记 则可用矩阵形式表示为 [ 6 ] ： 其中 称为观测向量； 称为设计矩阵； 称为待估计向量； 是不可观测的n维随机向量，它的分量相互独立，假定 。 4.1. 多元线性回归模型 为了确定公路客运量与总人口、国内生产总值、工业生产总值、民用载客汽车拥有量之间的关系，首先建立四元线性回归模型 [ 7 ] 。 (3) 在MATLAB中对公路客运量 和总人口 、国内生产总值 、工业生产总值 、民用载客汽车拥有量 进行拟合可得回归系数、系数置信区间与统计量见表2。 Table 2 Coefficients， confidence intervals and statistics of regression model 回归系数 回归系数估计值 回归系数置信区间 576102.7200 [−2530217.7516 3682423.1915] −1.9164 [−32.0219 28.1891] 15.1025 [8.8806 21.3224] 2.4743 [−74.3436 79.2922] 606.9620 [−916.5908 −297.3332] ， ， ， 表2. 回归模型的系数、系数置信区间与统计量 因此回归模型为 (4) 回归模型中的各系数经济学意义解释： 表示在其他条件不变的情况下，总人口每增加1万人公路客运总量会减少1.9164万人，这与事实不符合说明模型不是最优模型，有待改进； 表示在其他条件不变的情况下，国内生产总值每增加1亿元公路客运量增加15.1025万人； 表示在其他条件不变的情况下，工农业总产值每增加1万元公路客运总量增加2.4743万人； 表示在其他条件不变的情况下，民用载客汽车拥有量每增加1万辆公路客运总量增加606.9620万人。 回归模型(4)的可决系数 ， ，因此建立的回归模型有意义。 但由于 和 的置信区间包含零点，所以所建立的回归模型不是最优模型，下面对模型进行改进。 4.2. 模型的进一步改进 下面对模型进行进一步改进。 得到图形如图1所示，发现有两个异常点，剔除异常点后，重新建模。 仍有异常点继续剔除，直到没有异常点为止。剔除过程如图2~5。 删除异常点后，由残差图5可得此时没有异常点，改进回归模型系数、系数置信区间与统计量见表3。 故改进后的多元回归模型为： (5) 将表2与表3加以比较，可以发现，可决系数从0.9336提高到0.9954，F统计量从98.3696提高到1137.7580，删除异常点后的模型每个参数的置信区间进一步缩小，由此可知改进后的模型显著性提高。但是 、 的置信区间仍包含零故模型不是最优模型，再对模型的做进一步改进。 4.3. 改进后的模型与参考文献结果的比较 利用参考文献中的逐步回归法对模型检验然后再与参考文献中的结果作比较。 逐步回归基本原理：在逐步回归中，每当向模型中加入一个变量后，就对原来模型中的变量在新模型下再进行一次向后剔除的检查，直至所有已经在模型中的变量都不能被剔除，而且所有在模型外的变量都不能被加入，过程就终止 [ 8 ] 。 逐步回归模型的基本形式为 。其中， 为需求影响因子， 为需求量， 为回归参数， 为误差变量，表示除 对 的线性影响之外，其他随机因素对的影响 [ 9 ] 。 由表3知 、 的置信区间包含0，下面采用逐步回归从各个自变量中挑选变量，建立更优回归模型，逐步回归过程见图6~8。 由图8最后得到回归方程(蓝色行是被保留的有效行，红色行表示被剔除的变量)： (6) 回归方程中录用了原始变量 和 。 图8中显示了模型参数分别为 ，修正 ， ，与显著性概率相关的 ，残差均方RMSE = 238490 (在逐步回归中，均方残差逐渐减小)。 综上所述，相关参考文献中总人口是唯一的有效变量，其它3个变量即国内生产总值、工农业总产值、客车保有量被剔除。而本文中的逐步回归剔除了农业生产总值和总人口拥有量，选取的变量是国内 Table 3 Coefficients， confidence intervals and statistics of improved regression mode 回归系数 回归系数估计值 回归系数置信区间 −1984102.4262 [−2492522.9698−1475681.8826] 22.5837 [17.6682 27.4991] 7.3229 [0.9590 13.6868] −3.5319 [−30.3505 23.2866] −250.4032 [−599.3087 98.5024] ， ， ， 表3. 改进回归模型的系数、系数置信区间与统计量 图1. 残差示意图 图2. 剔除异常点后的残差示意图1 图3. 剔除异常点后的残差示意图2 图4. 剔除异常点后的残差示意图3 图5. 剔除异常点后的残差示意图4 图6. 逐步回归过程之一 图7. 逐步回归过程之二 图8. 逐步回归过程之三 Table 4 Five year value of each inde 年份 公路客运量(万人) 国内生产总值(亿元) 民用载客汽车(万辆) 2011 3286220 473104.05 7478.37 2012 3557010 519470.1 8943.01 2013 3853463 590422.4 10561.78 2014 3908198 643974 14598.11 2015 3619097 685505.8 16284.45 表4. 各项指标五年数值 Table 5 Compared with the original data values， the fitted value of highway passenger trans- port volume in recent five year 年份 2011 2012 2013 2014 2015 拟合值 3021504 3349073.7 3952553.2 3849074 3630591 原数值 3286220 3557010 3853463 3908198 3619097 相对误差 9.87610 0.06208 0.02506 0.01536 0.00316 表5. 近五年公路客运量拟合值与原数据对比 生产总值和民用载客汽车。参考文献中选取的是总人口，这是因为我国是一个人口多大国，所以这项变量与公路客运量紧密相连。