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user: 6. 不变量理论和么正变换的物理含义 前面提到，Lewis-Riesenfeld不变量理论 [ 24 ] 和么正变换方法 [ 26 ] 这个体系有很多物理意义。下面将说明这一点。Lewis-Riesenfeld不变量理论和么正变换方法与时空的微分几何具有类比或对应关系。这些类比关系包括：(i) Lewis-Riesenfeld不变量算符I好比弯曲时空度规 g μ ν ，经过么正变换后的不变量算符 I V 好比平直时空度规 η μ ν 。Lewis-Riesenfeld不变量算符有本征值方程，我们将它写为 I M N | ψ 〉 N = λ δ M N | ψ 〉 N ，这类似 g μ ν p ν = p μ 。 I V = V + I V 类似 e p μ g μ ν ϑ ν q = η p q ( V + 对应标架场 e p μ ，V对应标架场 ϑ ν q 。 ϑ ν q 与 e q ν 互为复数共轭)。由此看出，么正变换算符V类比于标架场(vierbein) e p μ 。(ii) Lewis-Riesenfeld不变量方程 ∂ I ∂ t + 1 i ℏ [ I ， H ] = 0 类比于度规的metricity条件 ∇ λ g μ ν = 0 的展开 ∂ λ g μ ν + Γ μ λ σ g σ ν + Γ ν λ σ g μ σ = 0 。从这个角 度看，Levi-Civita联络 Γ 类比于哈密顿量算符H。(iii) 哈密顿量算符H经过么正变换后变为 H V = V + H V − V + i ℏ ∂ ∂ t V ，可以看出 H V 类比于自旋仿射联络(洛伦兹联络) ω μ p q = i e p λ ∇ μ e q λ ，它的具体展开式子是 i e p λ ( ∂ μ e q λ + Γ λ μ σ e q σ ) = i e p λ ∂ μ e q λ + i e p λ Γ λ μ σ e q σ 。(iv) H V = V + H V − V + i ℏ ∂ ∂ t V 可以化为 H V V + = V + H + i ℏ ∂ ∂ t V + 或 i ℏ ∂ ∂ t V + + V + H − H V V + = 0 ，此式其实类比于标架场(vierbein) e p μ 的协变导数为 零( D λ e p μ = 0 )，其展开式为 ∂ λ e p μ − e p σ Γ σ λ μ − i ω λ p q e q μ = 0 。值得专门指出的是，严格说来， V + 对应 e p μ ，V对应 ϑ ν q 。 ϑ ν q 与 e q ν 互为复数共轭，但是在实数时空和实厄密度规约定下， ϑ ν q 与 e q ν 在数值上相等(都是实数)，不必互为复数共轭。如果选定度规可为复数(复厄密度规，即 ( g μ ν ) * = g ν μ )，那么 ϑ ν q 与 e q ν 互为复数共轭，于是上面类比关系可以写为具有完全一样的结构。如此类比很有启发性，但限于篇幅，此专题不再详细写出。 我们已经证明如下形式的 | Ψ ( t ) 〉 + 与 | Ψ ( t ) 〉 − | Ψ ( t ) 〉 + = ( cos λ ( t ) 2 sin λ ( t ) 2 e i γ ( t ) ) ， | Ψ ( t ) 〉 − = ( − sin λ ( t ) 2 e − i γ ( t ) cos λ ( t ) 2 ) 是不变量算符的本征态，它们满足 | Ψ ( t ) 〉 + + 〈 Ψ ( t ) | + | Ψ ( t ) 〉 − − 〈 Ψ ( t ) | = ( cos λ ( t ) 2 sin λ ( t ) 2 e i γ ( t ) ) ( cos λ ( t ) 2 sin λ ( t ) 2 e − i γ ( t ) )         + ( − sin λ ( t ) 2 e − i γ ( t ) cos λ ( t ) 2 ) ( − sin λ ( t ) 2 e i γ ( t ) cos λ ( t ) 2 ) = ( 1 0 0 1 ) 。 这是完备性条件。其中 | Ψ ( t ) 〉 + + 〈 Ψ ( t ) | = ( cos λ ( t ) 2 sin λ ( t ) 2 e i γ ( t ) ) ( cos λ ( t ) 2 sin λ ( t ) 2 e − i γ ( t ) ) = ( cos 2 λ ( t ) 2 cos λ ( t ) 2 sin λ ( t ) 2 e − i γ ( t ) cos λ ( t ) 2 sin λ ( t ) 2 e i γ ( t ) sin 2 λ ( t ) 2 ) = 1 2 ( 1 + cos λ e − i γ sin λ e i γ sin λ 1 − cos λ ) 。 又因为不变量算符可以写为 I ( t ) = l ( t ) ⋅ J = 1 2 sin λ ( t ) exp [ − i γ ( t ) ] J + + 1 2 sin λ ( t ) exp [ i γ ( t ) ] J − + cos λ ( t ) J 3 = 1 2 ( cos λ e − i γ sin λ e i γ sin λ − cos λ ) ， 现在可以看出， | Ψ ( t ) 〉 + + 〈 Ψ ( t ) | = 1 2 + I 。又可以计算 | Ψ ( t ) 〉 − − 〈 Ψ ( t ) | ，得到 | Ψ ( t ) 〉 − − 〈 Ψ ( t ) | = ( − sin λ ( t ) 2 e − i γ ( t ) cos λ ( t ) 2 ) ( − sin λ ( t ) 2 e i γ ( t ) cos λ ( t ) 2 ) = ( sin 2 λ ( t ) 2 − e − i γ ( t ) sin λ ( t ) 2 cos λ ( t ) 2 − e i γ ( t ) sin λ ( t ) 2 cos λ ( t ) 2 cos 2 λ ( t ) 2 ) = 1 2 ( 1 − cos λ − e − i γ sin λ − e i γ sin λ 1 + cos λ ) 。 我们也可以看出， | Ψ ( t ) 〉 − − 〈 Ψ ( t ) | = 1 2 − I 。所以，无论是 | Ψ ( t ) 〉 + + 〈 Ψ ( t ) | 还是 | Ψ ( t ) 〉 − − 〈 Ψ ( t ) | ，它们 其实都是不变量。它们相加，得到的量也是不变量( | Ψ ( t ) 〉 + + 〈 Ψ ( t ) | + | Ψ ( t ) 〉 − − 〈 Ψ ( t ) | = I 2 × 2 )；它们相减，得到的量也是不变量( | Ψ ( t ) 〉 + + 〈 Ψ ( t ) | − | Ψ ( t ) 〉 − − 〈 Ψ ( t ) | = I )。由此说明，不变量其实可以有很多个(在文献 [ 26 ] 中还提到构造不变量的方法，以及证明两个不变量的乘积仍旧是不变量)。但只有 | Ψ ( t ) 〉 + + 〈 Ψ ( t ) | − | Ψ ( t ) 〉 − − 〈 Ψ ( t ) | = I 才是我们要的不变量(与不变量有关的幺正变换 [ 26 ] 中的Lewis-Riesenfeld不变量)。 下面我们来研究另一个重要问题：哈密顿量参数空间的标架场vielbein与度规(包括平直与弯曲度规)。我们发现， | Ψ ( t ) 〉 + 与 | Ψ ( t ) 〉 − 可以构成标架场 e a N ， + 〈 Ψ ( t ) | 与 − 〈 Ψ ( t ) | 可以构成另一个共轭的标架场 ϑ N a ： e a N = ( | Ψ ( t ) 〉 + | Ψ ( t ) 〉 − ) ， ϑ N a = ( + 〈 Ψ ( t ) | − 〈 Ψ ( t ) | ) 。 也就是说两个vielbein可以写为 e a N = ( cos λ 2 − e − i γ sin λ 2 e i γ sin λ 2 cos λ 2 ) ， ϑ N a = ( cos λ 2 e − i γ sin λ 2 − e i γ sin λ 2 cos λ 2 ) 。 那么不变量算符内部空间度规 g M N = ϑ M a e a N 可以写为 [ g M N ] = [ ϑ M a e a N ] = ( cos λ 2 e − i γ sin λ 2 − e i γ sin λ 2 cos λ 2 ) ( cos λ 2 − e − i γ sin λ 2 e i γ sin λ 2 cos λ 2 ) = ( 1 0 0 1 ) 。 平直度规为 [ η a b ] = [ e a N ϑ N b ] = [ e a N g N M ϑ M b ] = ( cos λ 2 − e − i γ sin λ 2 e i γ sin λ 2 cos λ 2 ) ( 1 0 0 1 ) ( cos λ 2 e − i γ sin λ 2 − e i γ sin λ 2 cos λ 2 ) = ( 1 0 0 1 ) 。 从上面看出， [ g M N ] 和 [ η a b ] 都是单位矩阵。实际上这是因为我们选择的vielbein让内部空间(规范群空间)是平直的。我们也可以选择其它更为广义的vielbein让内部空间是弯曲的，这就导致Levi-Civita联络。例如，我们采用 | plus ， t 〉 = c e i α + | + ， t 〉 + s e i α − | − ， t 〉 与 | minus ， t 〉 = c e i α − | − ， t 〉 − s * e i α + | + ， t 〉 作为构造vielbein的素材，然后可以得到弯曲度规 [ g M N ] 。这里c和s是含时的，而 α ± 是Schrödinger方程的相位。在这样的背景下，非阿贝尔内空间的度规 [ g M N ] 不再平直，因此我们可以计算复Levi-Civita联络和复空间中的黎曼曲率张量。这将在下篇中讨论。 我们在上面已经定义了标架场 e a N 、 ϑ N a ，由此可以直接写出所谓的“自旋(仿射)联络” ω μ a b = i e a N ∂ μ ϑ N b 以及对应的曲率张量 Ω μ ν a b = ∂ μ ω ν a b − ∂ ν ω μ a b − i [ ω μ ， ω ν ] a b (Yang-Mills规范场)。这个“自 旋(仿射)联络” ω μ a b = i e a N ∂ μ ϑ N b 是前面几何相联络 − V + i ∂ ∂ t V 的推广。如果所研究的系统除了有时间上的 发展参数外，还有空间上的发展参数(如运动的二能级原子在电磁场中)，那么就需要使用上述“自旋(仿射)联络” ω μ a b 。系统得到的相位就来自曲率张量 Ω μ ν a b 的“磁”通量。 根据Lewis-Riesenfeld不变量理论， 我们应当可以写下如下式子 I a b e b N = σ e a N ， I a N = σ e a N 。 于是我们得到 I a b e b N = I a N 。这样， I a b = I a N ϑ N b = σ e a N ϑ N b = σ η a b ， I a b 就是一个与单位矩阵成正比的算符(平庸)。但是，实际上并不总是如此。我们选定 I ( t ) = l ( t ) ⋅ J = 1 2 ( cos λ e − i γ sin λ e i γ sin λ − cos λ ) ， e a N = ( cos λ 2 − e − i γ sin λ 2 e i γ sin λ 2 cos λ 2 ) 。 我们计算得到 I ( | Ψ ( t ) 〉 + | Ψ ( t ) 〉 − ) = 1 2 ( cos λ e − i γ sin λ e i γ sin λ − cos λ ) ( cos λ 2 − e − i γ sin λ 2 e i γ sin λ 2 cos λ 2 ) = 1 2 ( cos λ cos λ 2 + sin λ sin λ 2 e − i γ ( − cos λ sin λ 2 + sin λ cos λ 2 ) e i γ ( sin λ cos λ 2 − cos λ sin λ 2 ) − ( sin λ sin λ 2 + cos λ cos λ 2 ) ) = 1 2 ( cos λ 2 e − i γ sin λ 2 e i γ sin λ 2 − cos λ 2 ) 。 实际上，这个结果并不稀奇，它其实就是 I ( | Ψ ( t ) 〉 + | Ψ ( t ) 〉 − ) = ( I | Ψ ( t ) 〉 + I | Ψ ( t ) 〉 − ) = ( 1 2 | Ψ ( t ) 〉 + − 1 2 | Ψ ( t ) 〉 − ) = 1 2 ( | Ψ ( t ) 〉 + − | Ψ ( t ) 〉 − ) 这意味着 | Ψ ( t ) 〉 + 是不变量算符I的属于本征值+1/2的本征态， | Ψ ( t ) 〉 − 是不变量算符I的属于本征值−1/2的本征态。