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user: 2. 主要定理及其证明 引理2.1 ( [ 13 ]，引理4)对有界算子S和T，下列条件等价： (i) r a n ( S ) ⊆ r a n ( T ) ； (ii) 存在 α ≥ 0 使得 S S ∗ ≤ α T T ∗ 。 定理2.1 令 A ， B ∈ A + ，则 A ≪ B 当且仅当 r a n A ⊆ r a n B 。 证明 当 A ， B ∈ A + ， r a n ( A ) ⊆ r a n ( B ) 时，有 r a n A 1 / 2 和 r a n B 1 / 2 均有意义，此时我们有 r a n A 1 / 2 ⊆ r a n B 1 / 2 。由引理2.1知，存在 α ≥ 0 ，使得 A ≤ α B (这比A是B-绝对连续条件更强)。因此我们有A是B-绝对连续的。 反之，若A是B-绝对连续的，则由绝对连续的定义我们有，存在一个正算子序列 { A n } 和一个非负实数序列 { α n } ，满足 A n ↑ A 且 A n ≤ α n B ，即 A ≤ α n B 。由引理2.1可知 r a n ( A ) ⊆ r a n ( B ) 。 □ 定理2.2 令 A ， B ∈ A + ，则 A ⊥ B 当且仅当 r a n A 1 / 2 ∩ r a n B 1 / 2 = { 0 } 。 证明 对任意的 A ， B ∈ A + ，令 r a n A 1 / 2 ∩ r a n B 1 / 2 = { 0 } ，则显然有 A ⊥ B 。 反之，若 A ⊥ B ，定义 [ A ] B = lim n → ∞ ( n A ) : B 表示正算子A和B的平行和，正算子序列 { ( n A ) : B } n 是单调递增的，以B为上界，记作： A : B 。 由文献( [ 13 ]，引理4)我们有 r a n A 1 / 2 ∩ r a n B 1 / 2 = r a n [ ( A : B ) 1 / 2 ] 等价于 0 ≤ A : B ≤ A ， B 。因此 A ⊥ B 可以推出 r a n A 1 / 2 ∩ r a n B 1 / 2 = { 0 } 。□ 引理2.2 ( [ 13 ]，定理5)若 A ， B ∈ A + ，则 A ≪ B 当且仅当 在 H 中稠密。 定理2.3 令 A ∈ A + ，A的值域 r a n A 是闭的当且仅当 r a n A 1 / 2 闭。 证明 对任意 A ∈ A + ，则显然有 r a n A ⊂ r a n A 1 / 2 ⊂ r a n A 1 / 2 ¯ = r a n A ¯ 因此，若 r a n A 是闭的，则 r a n A 1 / 2 也是闭的。 反之，若 r a n A 1 / 2 是闭的，我们有 r a n A = A ( H ) = A 1 / 2 ( A 1 / 2 ( H ) ) = A 1 / 2 ( r a n A 1 / 2 ¯ ) = A 1 / 2 ( ( k e r A 1 / 2 ) ⊥ ) = r a n A 1 / 2 即 r a n A = r a n A 1 / 2 。故 r a n A 是闭的。 由这个定理可知，对任意的 A ∈ A + ，若 r a n A 和 r a n A 1 / 2 是闭的，则 r a n A = r a n A 1 / 2 。 □ 下面我们给出von Neumann代数上的一个双射 φ 在两个方向上保持绝对连续和奇异的等价刻画。 定理2.4 设 A 是无限维复Hilbert空间上的一个von Neumann代数。 A + 为von Neumann代数上的一个正锥。若 φ : A + → A + 是一个双射，则下列四个叙述等价： (i) φ 在两个方向上保持绝对连续； (ii) φ 在两个方向是保持奇异； (iii) 存在一个有界、可逆、线性或共轭线性算子 T : A → A ，使得对所有的 A ∈ A + 有 r a n φ ( A ) 1 / 2 = r a n T A 1 / 2 (iv) 存在一个有界、可逆、线性或共轭线性算子 T : A → A 和一族可逆正算子 { Z A : A ∈ A + } ，使得对所有的 A ∈ A + 有 φ ( A ) = ( T A T ∗ ) 1 / 2 Z A ( T A T ∗ ) 1 / 2 证明 (i) Þ (ii)：因为对所有的正算子B来说，0是 A + 上唯一B-绝对连续的元。所以由(i)可知 φ ( 0 ) = 0 。现假设 φ 满足(i)但不满足(ii)，则存在 A ， B ∈ A + 使得 A ⊥ B 但 φ ( A ) 与 φ ( B ) 不垂直。特别地，在von Neumann代数中我们可以找到一个极小投影R，满足 R ≤ φ ( A ) ， R ≤ φ ( B ) ，因此 R ≪ φ ( A ) 且 R ≪ φ ( B ) 又存在非零的秩一元 a ∈ A ，使得 R = φ ( a ) ，从而 a ≪ A 且 a ≪ B 。但这表明 a ∈ r a n A 1 / 2 ∩ r a n B 1 / 2 ，因此A与B不垂直，这与假设相矛盾。 (ii) Þ (iii)：对任意 A ， B ， C ∈ A + ，假设 A ⊥ C 且 B ⊥ C ，则由定理2.2知， r a n A 1 / 2 ∩ r a n C 1 / 2 = { 0 } ⇔ r a n ( φ ( A ) ) 1 / 2 ∩ r a n ( φ ( C ) ) 1 / 2 = { 0 } r a n B 1 / 2 ∩ r a n C 1 / 2 = { 0 } ⇔ r a n ( φ ( B ) ) 1 / 2 ∩ r a n ( φ ( C ) ) 1 / 2 = { 0 } 对任意的 A ∈ A + ，定义 A ⊥ = { C ∈ A + : C ⊥ A } 我们有 A ⊥ = B ⊥ ⇔ r a n A 1 / 2 = r a n B 1 / 2 ⇔ r a n ( φ ( A ) ) 1 / 2 = r a n ( φ ( B ) ) 1 / 2 其中 A ， B ∈ A + 。 我们定义一个新的映射： ψ : L a t o p ( H ) → L a t o p ( H ) ψ ( r a n A 1 / 2 ) = r a n φ ( A ) 1 / 2 其中， L a t o p H : = { M ⊆ H : ∃ S ∈ A ， r a n S = M } = { r a n A 1 / 2 : A ∈ A + } 。 显然 ψ 有定义且是一个双射，由 r a n A 1 / 2 ∩ r a n B 1 / 2 = { 0 } 和 r a n A 1 / 2 = r a n B 1 / 2 ⇔ r a n ( φ ( A ) ) 1 / 2 = r a n ( φ ( B ) ) 1 / 2 我们可知 ψ 在这两个方向上保零交。即 M ∩ N = { 0 } ⇔ ψ ( M ) ∩ ψ ( N ) = { 0 } 其中 M ， N ∈ L a t o p ( H ) 。 接下来我们进一步看映射 ψ ，易知 M ⊆ N ⇔ { K ∈ L a t o p ( H ) : K ∩ N = { 0 } } ⊆ { K ∈ L a t o p ( H ) : K ∩ M = { 0 } } 因此 ψ 在两个方向上保包含关系： M ⊆ N ⇔ ψ ( M ) ⊆ ψ ( N ) 其中 M ， N ∈ L a t o p ( H ) 。 事实上，由以上两式我们有 ψ ( { 0 } ) = { 0 } 且 ψ ( { H } ) = { H } 。注意到 d i m M = 1 ⇔ { N ∈ L a t o p ( H ) : N ⊆ M } = { { 0 } ， M } 对任意正整数n，令 L a t n ( H ) : = { M ∈ L a t o p ( H ) : d i m M = n } ，则当 ψ 限制到 ψ | L a t 1 ( H ) 时是 L a t 1 ( H ) 到自身的一个双射。类似地，我们有： d i m M = 2 ⇔ { N : N ⊊ M } ⊆ L a t 1 ( H ) ∪ { { 0 } } 从而， ψ | L a t 2 ( H ) : L a t 2 ( H ) → L a t 2 ( H ) 也是一个双射。由以上结论我们可得 ψ | L a t 1 ( H ) 是一个射影，且 ψ 可以将任何三个共面元素映成共面元素。因此应用射影几何的基本定理可以得到：存在一个半线性映射 T : A → A 使得 ψ ( M ) = T ( M ) 其中 M ∈ ψ | L a t 1 ( H ) 。 接下来我们考虑 ψ 作用到更一般的 M ∈ L a t o p ( H ) ∖ { 0 } 。通过上边的性质，对任意的 N ∈ L a t 1 ( H ) 和 N ∈ L a t o p ( H ) ，我们有 M ⊆ N ⇔ ψ ( M ) ⊆ ψ ( N ) 和 M ∩ N = { 0 } ⇔ ψ ( M ) ∩ ψ ( N ) = { 0 } 因此，对所有的 M ∈ L a t o p ( H ) ∖ { 0 } 我们有 ψ ( M ) = ∪ T ( N ) ⊂ ψ ( M ) ， T ( N ) ∈ L a t 1 ( H ) T ( M ) = ∪     M ⊂ N ， N ∈ L a t 1 ( H ) T ( N ) = T ( ∪     M ⊂ N ， N ∈ L a t 1 ( H ) N ) = T ( M ) 进而，通过 ψ 和T的定义我们有对任意的 M ∈ L a t o p ( H ) ， φ [ R 1 / 2 ( M ) ] = R 1 / 2 ( T ( M ) ) 接下来我们的主要任务就是证明半线性映射T是有界的、线性或共轭线性的。由于T和 T − 1 将一余维线性流形映射为一余维线性流形。此外， H 的有限余维子空间是一个算子值域当且仅当它是闭的，因此我们推断定T将 L a t 1 ( H ) 映射到 L a t 1 ( H ) 上。由于 H 是无限维的，我们可以使用文献 [ 14 ] 的引理2及其推论，得出T是线性或共轭线性的。 最后，为了证明T是有界的，只需证明对于每一个有界线性泛函 y ∗ ( y ∗ ∈ A + ) 使得 K e r x ∗ = K e r ( y ∗ ∘ T ) ，这意味着存在 λ 使得 y ∗ ∘ T = λ x ∗ ，因此 y ∗ ∘ T 是有界的。用类似的方法我们可以证明T是共轭线性的。 (iii) Þ (iv)：首先，假设T是线性的。由于对任意的 S ∈ A ， r a n S = r a n ( S S ∗ ) 1 / 2 ，因此可得 r a n φ ( A ) 1 / 2 = r a n T A 1 / 2 = r a n ( T A T ∗ ) 1 / 2 其中 A ∈ A + 。 从而，由( [ 15 ]，推论1)知，存在一个可逆算子 X A ∈ A ，使得 φ ( A ) 1 / 2 = ( T A T ∗ ) 1 / 2 X A 。进而，令 Z A = X A X A ∗ ，则(iv)成立。 假设现在T是共轭线性的，考虑任意一个反酉算子 U : A → A ，则 r a n φ ( A ) 1 / 2 = r a n T A 1 / 2 = r a n T A 1 / 2 U = r a n ( T A T ∗ ) 1 / 2 其中 ∀ A ∈ A + 。 (iv) Þ (i)：由于对任意的 S ∈ A ， r a n S = r a n ( S S ∗ ) 1 / 2 ，故对任意的 A ∈ A + ，我们有 r a n φ ( A ) 1 / 2 = r a n ( T A T ∗ ) 1 / 2 Z 1 / 2 = r a n ( T A T ∗ ) 1 / 2 = r a n T A 1 / 2 = r a n T A 1 / 2 T ∗ 因此由文献( [ 15 ]，推论4)可知，存在一个可逆算子 Y A ∈ A 使得 φ ( A ) 1 / 2 = T A 1 / 2 T ∗ Y A 记 D A ， B = { x ∈ A : A 1 / 2 x ∈ r a n B 1 / 2 } 其中 A ， B ∈ A + 。 通过计算我们有： D φ ( A ) ， φ ( B ) = ( T ∗ Y A ) − 1 ( D A ， B ) 由此可知 D A ， B 稠当且仅当 D φ ( A ) ， φ ( B ) 是稠的。进而由引理2.2可知(i)成立。□ 如果 H 是有限维的Hilbert空间，那么上面的定理2.4的证明将会更简单。然而，我们需要指出的是在有限维情形下，此时T没有必要是线性或者共轭线性的。下面我们给出具体的定理： 定理2.5 设 H 是有限维复Hilbert空间且 2 < d i m H < ∞ ， A 是 H 上的一个von Neumann代数。 A + 为von Neumann代数上的一个正锥。若 φ : A + → A + 是一个双射，则下列叙述等价： (i) φ 在两个方向上保持绝对连续； (ii) φ 在两个方向是保持奇异； (iii) 存在一个半线性双射 T : A → A 使得对任意的 A ∈ A + r a n φ ( A ) = r a n T A 。 最后需要注意的是定理2.5中不包含 d i m H = 2 的情形，因此此时我们不能再应用射影几何的基本定理。