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user: 5. 系统的指数稳定性 定理10 { r ∈ C | Re r > 0 或 r = i a ， a ∈ R\ { 0 } } 包含于算子A + B的预解集 ρ ( A + B ) 中。 证明 对任意 G = { g 0 ， g 1 ( x ) ， g 2 ( x ) ， g 3 ( y ) ， g 4 ( x ) ， g 5 ( y ) } ，考虑算子方程 ( r I − ( A + B ) ) P = G ，得到方程组 { ( r + λ + β ) P 0 = g 0 + ∫ 0 ∞ P 3 ( t ， y ) μ ( y ) d y d P 1 ( x ) d x + ( r + λ + α ( x ) ) P 1 ( x ) = g 1 ( x ) d P 2 ( x ) d x + ( r + λ + α ( x ) ) P 2 ( x ) = g 2 ( x ) + λ P 1 ( x ) d P 3 ( y ) d y + ( r + λ + μ ( y ) ) P 3 ( y ) = g 3 ( y ) d P 4 ( x ) d x + ( r + α ( x ) ) P 4 ( x ) = g 4 ( x ) + λ P 2 ( x ) d P 5 ( y ) d y + ( r + μ ( y ) ) P 5 ( y ) = g 5 ( y ) + λ P 3 ( y ) (5) 边界条件为 { P 1 ( 0 ) = β P 0 P 3 ( 0 ) = λ P 0 ( t ) + ∫ 0 ∞ P 1 ( x ) α ( x ) d x + ∫ 0 ∞ P 2 ( x ) α ( x ) d x + ∫ 0 ∞ P 5 ( y ) μ ( y ) d y P 5 ( 0 ) = ∫ 0 ∞ P 4 ( x ) α ( x ) d x P 2 ( 0 ) = P 4 ( 0 ) = 0 (6) 解方程组(5)可得 { P 1 ( x ) = P 1 ( 0 ) e − ∫ 0 x ( r + λ + α ( σ ) ) d σ + G 1 ( x ) P 2 ( x ) = λ x P 1 ( 0 ) e − ∫ 0 x ( r + λ + α ( σ ) ) d σ + G 2 ( x ) P 3 ( y ) = P 3 ( 0 ) e − ∫ 0 y ( r + λ + μ ( σ ) ) d σ + G 3 ( y ) P 4 ( x ) = ( 1 − e − λ x − λ x e − λ x ) P 1 ( 0 ) e − ∫ 0 x ( r + α ( σ ) ) d σ + G 4 ( x ) P 5 ( y ) = P 5 ( 0 ) e − ∫ 0 y ( r + μ ( σ ) ) d σ + ( 1 − e − λ y ) P 3 ( 0 ) e − ∫ 0 y ( r + μ ( σ ) ) d σ + G 5 ( y ) (7) 其中 G 1 ( x ) = ∫ 0 x g 1 ( τ ) e − ∫ τ x ( r + λ + α ( σ ) ) d σ d τ G 2 ( x ) = ∫ 0 x ( g 2 ( τ ) + λ G 1 ( τ ) ) e − ∫ τ x ( r + λ + α ( σ ) ) d σ d τ G 3 ( y ) = ∫ 0 y g 3 ( τ ) e − ∫ τ y ( r + λ + μ ( σ ) ) d σ d τ G 4 ( x ) = ∫ 0 x ( g 4 ( τ ) + λ G 2 ( τ ) ) e − ∫ τ x ( r + α ( σ ) ) d σ d τ G 5 ( y ) = ∫ 0 y ( g 5 ( τ ) + λ G 3 ( τ ) ) e − ∫ τ y ( r + μ ( σ ) ) d σ d τ 令 F 1 = ∫ 0 ∞ e − ∫ 0 x ( r + α ( σ ) ) d σ d x F 2 = ∫ 0 ∞ e − ∫ 0 y ( r + μ ( σ ) ) d σ d y F 3 = ∫ 0 ∞ μ ( y ) e − ∫ 0 y ( r + λ + μ ( σ ) ) d σ d y F 4 = λ ∫ 0 ∞ α ( x ) e − ∫ 0 x ( r + λ + α ( σ ) ) d σ d x F 5 = ∫ 0 ∞ α ( x ) e − ∫ 0 x ( r + λ + α ( σ ) ) d σ d x W 0 = g 0 + ∫ 0 ∞ μ ( y ) G 3 ( y ) d y W 1 = 0 W 2 = ∫ 0 ∞ μ ( y ) G 5 ( y ) d y W 3 = ∫ 0 ∞ α ( x ) G 4 ( x ) d x 将(7)代入 ( r + λ + β ) P 0 = g 0 + ∫ 0 ∞ P 3 ( y ) μ ( y ) d y 及边界条件(6)中，得到如下矩阵方程： [ r + λ + β 0 − F 3 0 − β 1 0 0 − λ F 5 − F 4 r F 2 + F 3 r F 2 − 1 0 r F 1 + F 4 + F 5 − 1 0 1 ] [ P 0 P 1 ( 0 ) P 3 ( 0 ) P 5 ( 0 ) ] = [ W 0 W 1 W 2 W 3 ] 令 K = [ r + λ + β 0 − F 3 0 − β 1 0 0 − λ F 5 − F 4 r F 2 + F 3 r F 2 − 1 0 r F 1 + F 4 + F 5 − 1 0 1 ] 下证矩阵K是非奇异的。 由于 | − β | + | − λ | = λ + β < r + λ + β | F 5 − F 4 | + | r F 1 + F 4 + F 5 − 1 | = 1 − r F 1 = ∫ 0 ∞ α ( x ) e − ∫ 0 x ( r + α ( σ ) ) d σ d x < 1 | − F 3 | = F 3 < r F 2 + F 3 | r F 2 − 1 | = 1 − r F 2 = ∫ 0 ∞ μ ( y ) e − ∫ 0 y ( r + μ ( σ ) ) d σ d y < 1 所以矩阵K不可约且按列对角占优， det K ≠ 0 。从而得到方程组 ( r I − ( A + B ) ) P = G 有唯一的解，说明 r I − ( A + B ) 是满射。又 r I − ( A + B ) 是闭的，且有定理3，所以根据逆算子定理， [ r I − ( A + B ) ] − 1 是存在的而且是线性有界的。因此 { r ∈ C | Re r > 0 或 r = i a ， a ∈ R\ { 0 } } 时， r ∈ ρ ( A + B ) 。 定理11 0是 A + B 的本征值，而且几何重数为1。 证明 K的行列式 | K | = | r + λ + β 0 − F 3 0 − β 1 0 0 − λ F 5 − F 4 r F 2 + F 3 r F 2 − 1 0 r F 1 + F 4 + F 5 − 1 0 1 | = r | 1 F 1 F 2 F 2 − β 1 0 0 − λ F 5 − F 4 r F 2 + F 3 r F 2 − 1 0 r F 1 + F 4 + F 5 − 1 0 1 | = r β [ r 2 F 1 F 2 ( F 1 − F 2 ) + F 3 ( F 1 F 4 + F 1 F 5 − F 2 F 4 − F 2 F 5 ) + F 2 ( F 3 + F 4 + F 5 )   + r ( F 1 2 F 3 + F 1 F 2 F 4 + F 1 F 2 F 5 + F 2 2 − F 1 F 2 F 3 − F 2 2 F 4 − F 2 2 F 5 ) ] + r [ ( r + λ ) F 2 + F 3 ] 令 | K | = 0 ，则上式中 r = 0 或者 β [ r 2 F 1 F 2 ( F 1 − F 2 ) + F 3 ( F 1 F 4 + F 1 F 5 − F 2 F 4 − F 2 F 5 ) + F 2 ( F 3 + F 4 + F 5 ) + r ( F 1 2 F 3 + F 1 F 2 F 4 + F 1 F 2 F 5 + F 2 2 − F 1 F 2 F 3 − F 2 2 F 4 − F 2 2 F 5 ) ] + r [ ( r + λ ) F 2 + F 3 ] = 0 因此0是系统算子的本征值， P = ( P 0 ， P 1 ( x ) ， P 2 ( x ) ， P 3 ( y ) ， P 4 ( x ) ， P 5 ( y ) ) 是对应本向量。令 P ^ = P ‖ P ‖ ， P ^ = ( P ^ 1 ( x ) ， P ^ 2 ( x ) ， P ^ 3 ( y ) ， P ^ 4 ( x ) ， P ^ 5 ( y ) ) 是A + B本征值所对应的非负的本征向量，而且是系统的非负稳态解，显然0在X中的几何重数为1。 定理12 A + B的本征值是0，代数重数是1，而且 ( 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ) T 是0对应的特征向量。 证明 用反证法：想要得到0的代数重数是1，要证明0的代数指数为1。假定0在X中的代数指数是2，那么存在Z使 ( A + B ) Z = P ^ 。因此讨论 ( A + B ) ∗ Q = 0 。根据定理5有 { − ( λ + β ) Q 0 + β Q 1 ( 0 ) + λ Q 3 ( 0 ) = 0 ( d d x − λ − α ( x ) ) Q 1 ( x ) + λ Q 2 ( x ) + α ( x ) Q 3 ( 0 ) = 0 ( d d x − λ − α ( x ) ) Q 2 ( x ) + α ( x ) Q 3 ( 0 ) + λ Q 4 ( x ) = 0 ( d d y − λ − μ ( y ) ) Q 3 ( y ) + μ ( y ) Q 0 + λ Q 5 ( y ) = 0 ( d d x − α ( x ) ) Q 4 ( x ) + α ( x ) Q 5 ( 0 ) = 0 ( d d y − μ ( y ) ) Q 5 ( y ) + μ ( y ) Q 3 ( 0 ) = 0 (8) 解上述方程组有 Q 0 = Q 1 ( x ) = Q 2 ( x ) = Q 3 ( y ) = Q 4 ( x ) = Q 5 ( y ) ，容易验证 Q ∈ D ( ( A + B ) ∗ ) ，而且0为 ( A + B ) ∗ 的本征值，令 Q ∗ = ( 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ) ，有 Q ∗ 为0对应的本向量，并且几何重数是1，即 ( A + B ) ∗ Q ∗ = 0 ， 〈 P ^ ， Q ∗ 〉 = 〈 ( A + B ) Z ， Q ∗ 〉 = 〈 Z ， ( A + B ) ∗ Q ∗ 〉 = 0 ，但是 〈 P ^ ， Q ∗ 〉 = 1 ，存在矛盾，因此0是本征值，而且代数重数为1。 定理13 系统(1)的时间依赖解是有强收敛性的，并且收敛于稳态解，也就是 lim t → ∞ P ( t ， ⋅ ) = P ^ ，而且 ‖ P ( t ， ⋅ ) − P ^ ‖ ≤ M e − λ t ，其中M为某个适当的常数。