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user: 1. 引言 带电粒子的运动规律通常用耦合的动力学方程(例如弗拉索夫方程或波尔兹曼方程)与泊松方程进行描述 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] 。在考虑粒子的量子隧道效应情形下，带电粒子的运动规律也可用非线性薛定谔泊松方程组来描述，这主要是因为耦合的动力学-泊松方程组可近似化简为非线性薛定谔泊松方程组 [ 3 ] [ 4 ] 。非线性薛定谔泊松方程组最早由Hatree得到。他在研究原子物理学中的电子对原子核的库伦势的自洽作用(self-consistenteffect)时，发现带电粒子的运动可由非线性薛定谔泊松方程组 [ 5 ] 来描述。后来此方程组被广泛应用到量子等离子体 [ 3 ] 、量子输运 [ 6 ] 、量子半导体 [ 7 ] 、分子链 [ 8 ] 等物理现象中。本文主要想通过非线性薛定谔泊松方程组的数值解来模拟相关量子物理现象(例如纳米级带电粒子的运动规律)。 据我们所知，前人提出了多种数值方法来求解非线性薛定谔泊松方程组。为了模拟半导体纳米结构，Chen等人提出了一种新奇的快速谱元法 [ 9 ] ，他们在求解该方程组的过程中，未知函数的空间变量由高阶勒让德多项式展开；为了计算球对称的薛定谔泊松方程组的基态和动力学现象，Dong研究了一种简化伪谱方法 [ 10 ] ；为研究一种非磁化作用的稠密热等离子的物理现象，Shaikh等人针对薛定谔泊松方程组提出了一种傅里叶谱方法，并进行了三维非线性流体在纳米级尺度下湍流的模拟 [ 11 ] ；Mauser等人为薛定谔泊松方程组提出了一个向后欧拉法和半隐式/蛙跳正弦伪谱方法，并用该方法计算相关粒子的基态和动力学 [ 12 ] ；Zhang等人为该方程组提出了一种紧致差分格式，并研究了该数值方法的最优误差估计；我们还注意到前人研究了球对称形式的薛定谔泊松方程组的稳态解 [ 13 ] 。 关于非线性薛定谔泊松方程组的数学理论研究，前人已经开展了许多工作：Ben Abdallahd等人研究了薛定谔泊松方程组的稳态解与动态解的弱解存在性 [ 2 ] ；Brezzi等人基于非线性薛定谔泊松方程组的解证明了量子Vlasov-Poisson方程组的全局经典解的存在性 [ 14 ] ；Castella等人研究了薛定谔泊松方程组在L 2 范数意义下解的存在性、唯一性 [ 15 ] ；Lange等人显示了Wigner-Poisson方程组与薛定谔泊松方程组的解在不同边界条件(周期性边界条件、混合边界条件)下的存在性、唯一性与正则性 [ 6 ] 。 本文将为非线性薛定谔泊松方程组的求解提出一种时间分裂紧致差分格式，重点讨论如何基于Sine变换实现该方法的快速求解过程，并简单讨论该方法的数值特点。本文的结构安排如下：在第1.1节至第1.3节中，对薛定谔泊松方程组的物理模型做了简单介绍，同时也对紧致差分格式的构造、离散Sine变换做了相关阐述。在第2节中，详细推导了用时间分裂紧致差分格式来求解一维、二维、三维的薛定谔泊松方程组的数值计算过程，重点讨论如何基于Sine变换实现离散系统的快速求解过程。在第3节中，通过几个具体的数值例子的计算结果，证实了在前两节中介绍的方法可实现一维、二维、三维薛定谔泊松方程组方程组的数值计算，并验证了数值方法的守恒性。 1.1. 1.1. 问题背景 多粒子量子系统是由多个粒子通过相互作用形成的微观系统，它广泛存在于半导体物理、等离子物理、凝聚态物理和分子动力学等领域，对它的科学研究具有重要意义。本文研究的薛定谔–泊松方程组是对多粒子非相对论量子系统的一种单粒子波函数近似。薛定谔–泊松方程组是对含时Hartree-Fock方程组的一种单粒子波函数局部近似，它的无量纲形式为 [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] i ∂ t ψ ( x ， t ) = − 1 2 Δ ψ + V ( x ) ψ + ϕ ( x ， t ) ψ + β | ψ | 4 d ψ ，     x ∈ R d ，   t > 0 ， (1.1) Δ ϕ ( x ， t ) = − | ψ | 2 ，   x ∈ R d ， (1.2) ψ ( x ， t = 0 ) = ϕ 0 ( x ) ，   x ∈ R d ， 其中d (=1， 2， 3)为空间维数，β为一已知常数，波函数 ψ ( x ， t ) 是复值函数，且满足无穷远条件 l i m | x | → ∞ | ψ ( x ， t ) | = 0， (1.3) V = V ( x ) 为外势函数，形式已知。ϕ为泊松位势，通常写成卷积形式。 薛定谔–泊松方程组(1.1)~(1.2)本身有许多守恒量，例如：粒子数N(t)，粒子冲量P(t)，粒子角动量L(t)与粒子总能量E(t)均不随时间变化而变化，其中， 粒子数 N ( t ) = ∫ ℝ d | ψ ( x ， t ) | 2 d x ， (1.4) 粒子冲量 P ( t ) = − i ∫ ℝ d   ψ * ( x ， t ) ∇ ψ ( x ， t ) d x ， (1.5) 粒子旋转量 L ( t ) = − i ∫ ℝ d   ψ * ( x ， t ) x × ∇ ψ ( x ， t ) d x ， (1.6) 与粒子总能量 E ( t ) = ∫ ℝ d [ 1 2 | ∇ ψ | 2 + V | ψ | 2 + | ∇ ϕ | 2 2 + d 2 + d | ψ | 2 + 4 / d ] d x . (1.7) 1.2. 紧致差分格式设计 有限差分法是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛使用，其主要思想就是在空间和时间两个方向上将问题离散化。传统的差分格式是显式地通过各点函数值的线性组合来表示函数的导函数，而紧致差分格式是隐式地利用网格点的函数值的线性组合来表示导函数的线性组合，需要通过求解方程组来得到每个网格点的导数值。这两种方法相比较，当达到相同精度时，紧致差分格式需要的网格点少，计算精度高。 紧致差分格式的构造最早由 紧致差分格式的构造最早由Lele提出 [ 23 ] ，在文 [ 24 ] 中也有介绍。在本节中，我们简要地叙述紧致差分格式的构成。通常把未知函数u(x)的定义区间[a， b]作M等分， h = ( b − a ) / M 称为步长， x i = a + i h   ( 0 < i < M ) 称为节点，记 u i : = u ( x i ) ， u ′ i : = ( d u d x ) ( x i ) ， u ′ ′ i : = ( d 2 u d x 2 ) ( x i ) ， u ′ ′ ′ i     : = ( d 3 u d x 3 ) ( x i ) ， u ′ ′ ′ ′ i       : = ( d 4 u d x 4 ) ( x i ) ，其中i与M是正整数，a与b是给定的区间端点。 紧致差分格式想从下式中隐式地得到函数u(x)在节点x i 处的近似值 u ′ ′ i ( i = 0 ， 1 ， ⋯ ， M )： β u ′ ′ i − 2 + α u ′ ′ i − 1 + u ′ i + α u ′ ′ i + 1 + β u ′ ′ i + 2 = c u i + 3 − 2 u i + u i − 3 9 h 2 + b u i + 2 − 2 u i + u i − 2 4 h 2 + a u i + 1 − 2 u i + u i − 1 h 2 ， (1.8) 其中α，β，a，b，c是一些待定系数。由泰勒展开式可知由下式得到的近似值 u ′ ′ i ( i = 0 ， 1 ， ⋯ ， M )具有四阶精度 1 10 u ′ ′ i − 1 + u ′ ′ i + 1 10 u ′ ′ i + 1 = 6 5 ⋅ u i + 1 − 2 u i + u i − 1 h 2 . (1.9) 上式可称为一种四阶紧致差分格式。 另外由泰勒展开式可知由下式得到的近似值 u ′ ′ i ( i = 0 ， 1 ， ⋯ ， M )具有六阶精度 2 u ′ ′ i − 1 + 11 u ′ ′ i + 2 u ′ ′ i + 1 = 3 4 ⋅ u i + 2 − 2 u i + u i − 2 h 2 + 12 ⋅ u i + 1 − 2 u i + u i − 1 h 2 (1.10) 上式可称为一种六阶紧致差分格式。 1.3. 一维的离散Sine变换与逆变换 为了实现高效的数值算法，首先看一维的离散Sine变换： u i = ∑ k = 1 M − 1   u ^ k sin ( i k π M ) ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， M − 1 ， (1.11) 一维的离散Sine逆变换： u ^ k = 2 M ∑ i = 1 M − 1 u i sin ( i k π M ) ，   k = 1 ， 2 ， ⋯ ， M − 1 ， (1.12) 其中，记 u ( x i ) = u i 通过方程(1.11)，我们可写出 u i + 1 ， u i − 1 ， u ′ ′ i ， u ′ ′ i + 1 ， u ′ ′ i − 1 的Sine变换： u i + 1 = ∑ k = 1 M − 1   u ^ k sin ( ( i + 1 ) k π M ) ，   u i − 1 = ∑ k = 1 M − 1   u ^ k sin ( ( i − 1 ) k π M ) ， u ′ ′ i = ∑ k = 1 M − 1 u ^ ′ ′ k sin ( i k π M ) ， (1.13) u ′ ′ i + 1 = ∑ k = 1 M − 1 u ^ ′ ′ k sin ( ( i + 1 ) k π M ) ，   u ′ ′ i − 1 = ∑ k = 1 M − 1 u ^ ′ ′ k sin ( ( i − 1 ) k π M ) . 把上述等式带入与四阶紧致差分格式相关的方程(1.9)，得 ∑ k = 1 M − 1   u ^ ′ ′ k { 1 10 sin ( ( i − 1 ) k π M ) + sin ( i k π M ) + 1 10 sin ( ( i + 1 ) k π M ) } = 6 5 h 2 ∑ k = 1 M − 1   u ^ k { sin ( ( i − 1 ) k π M ) + sin ( ( i + 1 ) k π M ) − 2 sin ( i k π M ) } . 利用三角公式化简为： ∑ k = 1 M − 1   u ^ ′ ′ k ( 1 5 cos ( k π M ) + 1 ) sin ( i k π M ) = 6 5 h 2 ∑ k = 1 M − 1 u ^ k ( 2 cos ( k π M ) − 2 ) sin ( i k π M ) . 根据对应项分别相等， 得 u ^ k = − u ^ ′ ′ k ( 24 s i n 2 ( k π 2 M ) h 2 ) − 1 ( c o s ( k π M ) + 5 ) ，   k = 1，2， ⋯ ， M − 1. (1.14) 方程(1.14)显示了 u ^ k 与 u ^ ′ ′ k 之间的联系。而式子(1.11)与(1.13)建立了函数u(x)在节点x i 处的值与二阶导数 u ′ ′ ( x ) 在节点x i 处的值之间的联系。 重要的是，上述离散Sine变换(1.11)与离散Sine逆变换(1.12)可借助快速的离散傅里叶变换实现，快速的离散傅里叶变换将离散Sine变换(1.11)与逆变换(1.12)的计算量从 O ( M 2 ) 减少至 O ( M log ( M ) ) 。 同理，如果把相关等式代入与六阶紧致差分格式相关的方程(1.10)，那么也可得与(1.14)类似的等式： u ^ k = − u ^ ′ ′ k 24 h 2 ( cos ( k π / M ) − 1 ) + 6 4 h 2 ( cos ( 2 k π / M ) − 1 ) 4 cos ( j π / M ) + 11 ，   k = 1 ， 2 ， ⋯ ， M − 1. (1.15) 方程(1.15)也显示了 u ^ k 与 u ^ ′ ′ k 之间的联系。