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user: 3. 主要结果 T ψ D θ k 的基本性质 命题3.1 令 T ψ D θ k 是无界的广义加权复合算子，由整函数 θ 和 ψ 生成。假设 T ψ D θ k 是稠密定义的，则：(1)当 w ∈ C n ，可得 K w ∈ D o m ( ( T ψ T θ k ) ∗ ) ，且 ( T ψ D θ k ) ∗ K w = ψ ( ω ) ¯   K θ ( w ) [ k ] ，其中 ( T ψ D θ k ) ∗ 表示 T ψ D θ k 的伴随。 特别的，如果 θ ( w ) = A w + 2 D ，其中 A ， D 是复常数，设， w ∈ C n ， r ， j 是多元指标，则 K w [ k ] ∈ D o m ( ( T ψ T θ k ) ∗ ) ( T ψ D θ k ) ∗ K w [ k ] = ∑ r ≥ j ( r j )     ψ ( r − j ) ( w ) A j ¯ K θ ( w ) [ k + j ] (3.1) 证明： 1) 当 f ∈ D o m ( T ψ D θ k ) ， w ∈ C n ，我们可以得 〈 T ψ D θ k f ， K w 〉 = 〈 ψ ⋅ f ( k ) ∘ θ ， K w 〉 = ψ ( w ) ⋅ f ( k ) ( θ ( w ) ) = 〈 f ， ψ ( ω ) ¯ ⋅ K θ ( w ) [ k ] 〉 因此我们可以得到 ( T ψ D θ k ) ∗ K w = ψ ( w ) ¯ ⋅ K θ ( w ) [ k ] ，其中 w ∈ C n 。 2) 假设 θ ( w ) = A z + 2 D ， r ， j 是多元指标且 〈 T ψ D θ k f ， K w [ k ] 〉 = ( T ψ D θ k ) ( r ) f ( w ) = ( ψ ⋅ f ( k ) ∘ θ ) ( r ) ( w ) = ψ ( w ) ⋅ f ( k ) ( A z + 2 D ) ( r ) = ∑ j ≤ r ( r j )     ψ ( r − j ) ( w ) A j f ( k + j ) ( A z + 2 D ) = 〈 f ， ∑ j ≤ r ( r j )     ψ ( r − j ) ( w ) A j ¯ K A z + 2 D [ k + j ] 〉 命题3.2 极大广义加权复合算子 T ψ D θ k ， max 是闭算子。 证明：考虑域 D o m ( T ψ D θ k ) 的序列 〈 f n 〉 ，令 f ， g ∈ F 2 ( C n ) ，使得在 F 2 ( C n ) 中 f n → f ，且 T ψ D θ ， max k f n → g 因为在 F 2 ( C n ) 中范数收敛可以推出点收敛，所以我们 f n ( m ) ( z ) → f ( z ) 且 T ψ D θ ， max k f n ( z ) → g ( z ) ， z ∈ C n 。因此我们有 T ψ D θ ， max k f n ( z ) = ψ ( z ) ⋅ f n ( k ) ( θ ( z ) ) → ψ ( z ) ⋅ f ( k ) ( θ ( z ) ) ， z ∈ C n 。 于是可得： ψ ( z ) ⋅ f ( k ) ( θ ( z ) ) = g ( z ) ， z ∈ C n ，因为 g ∈ F 2 ( C n ) ，这推出 ψ ( z ) ⋅ f ( k ) ( θ ( z ) ) ∈ F 2 ， z ∈ C n ，所以 f ∈ D o m ( T ψ D θ k ) ， T ψ D θ ， max k f = g ，因此可以得到算子 T ψ D θ ， max k 是闭算子。 命题3.3 集合 Γ = S p a n { K w : w ∈ C n } 是 F 2 ( C n ) 的稠密子空间。 命题3.4 令P是线性算子， D o m ( p ) = Γ ， P K w = ψ ( w ) K θ ( w ) [ k ] ，其中 k ∈ N 。则 T ψ D θ ， max k = P ∗ ，且算子 T ψ D θ ， max k 是稠密的当且仅当算子P是闭算子。 证明：对于任意的 g = ∑ i = 1 n δ i K w i ∈ D o m ( P ) ，当 h ∈ F 2 ( C n ) ，我们计算 〈 P g ， h 〉 = 〈 P ∑ j = 1 n δ j K w j ， h 〉 = 〈 ∑ j = 1 n δ j P K w j ， h 〉 = 〈 ∑ i = 1 n δ i ψ ( ω i ) ¯   K θ ( w i ) [ k ] ， h 〉 = ∑ i = 1 n δ i ψ ( ω i ) h k ( θ ( w i ) ) ¯ = ∑ i = 1 n δ i Δ k ( ψ ， θ ) h ( w i ) ¯ 由Riesz lemma，我们计算得 h ∈ D o m ( P ∗ ) 当且仅当存在 M > 0 ，使得 | 〈 P g ， h 〉 | ≤ M ‖ g ‖ ， ∀ g ∈ D o m ( P ) 或者当且仅当 | ∑ i = 1 n δ i ¯ Δ k ( ψ ， θ ) h ( w i ) | 2 ≤ M 2 ∑ i ， l = 1 n δ i δ l ¯ K w i ( w l ) (3.2) 因此我们可以推出 Δ k ( ψ ， θ ) h ∈ F 2 ( C n ) ，所以 D o m ( T ψ D θ ， max k ) = D o m ( P ∗ ) 。 当 g ∈ D o m ( p ) ， h ∈ D o m ( T ψ D θ ， max k ) 时，可得： 〈 P g ， h 〉 = 〈 g ， Δ k ( ψ ， θ ) h 〉 = 〈 g ， T ψ D θ ， max k h 〉 这就推出了我们的结论： T ψ D θ ， max k = P ∗ 。 定理3.5 假设 θ 和 ψ 是 C n 上的两个整函数，令 T ψ D θ ， max k 是最大的广义加权算子。如果 J ( T ψ D θ ， max k ) ∗ K w ( z ) = T ψ D θ ， max k J K w ( z ) ，其中 w ， z ∈ C n ， θ ( w ) = A z + 2 D ， ψ ( z ) = C k ( ∑ | α | = k z α ) e D z ，其中A， C k ( ≠ 0 ) ，D是复常数。 证明：对任意的 w ， z ∈ C n ，且 T ψ D θ ， max k J K w ( z ) = T ψ D θ ， max k ( c K w ( z ) ¯ ¯ ) = c T ψ D θ ， max k ( e 1 2 w z ) = c ψ ( z ) ( 1 2 ) k ( ∑ | α | = k w α ) e 1 2 w θ ( z ) J ( T ψ D θ ， max k ) ∗ K w ( z ) = J ( ψ ( w ) ¯ ) K θ ( w ) [ k ] ( z ) = c ψ ( w ) K θ ( w ) [ k ] ( z ) ¯ ¯ = c ψ ( w ) ( 1 2 ) k ( ∑ | α | = k z α ) e 1 2 z θ ( w ) 当 w ， z ∈ C n ， k ∈ N 时，我们有： c ψ ( w ) ( 1 2 ) k ( ∑ | α | = k z α ) e 1 2 z θ ( w ) = c ψ ( z ) ( 1 2 ) k ( ∑ | α | = k w α ) e 1 2 w θ ( z ) (3.3) 两边对w做k次微分，得到的结果令 w = w 0 ， w 0 = ( 0 ， ⋯ ， 0 ) ，则得： ψ ( z ) = ψ ( k ) ( w 0 ) ∑ | α | = k α ! ( ∑ | α | = k z α ) e 1 2 z θ ( w 0 ) (3.4) 令 C k = ψ ( k ) ( w 0 ) ∑ | α | = k α ! ， D = 1 2 θ ( w 0 ) ，则 ψ ( z ) = C k ( ∑ | α | = k z α ) e D z ，把它们带回(3.3)式中可得： θ ( z ) − θ ( w 0 ) z = θ ( w ) − θ ( w 0 ) w = A 其中 w ， z ∈ C n / ( 0 ， ⋯ ， 0 ) ，A是复常数，因此 θ ( z ) = A z + 2 D 。在接下来的命题中，我们得到了算子 J T ψ D θ ， max K J 的明确的形式。 命题3.6 令 ψ ( z ) = C k ( ∑ | α | = k z α ) e D z ， θ ( z ) = A z + 2 D ， ψ ˜ ( z ) = C ˜ k ( ∑ | α | = k z α ) e D ˜ z ， θ ( z ) = A ¯ z + 2 D ¯ ，其中 D = 1 2 θ ( w 0 ) ，且 C k ( ≠ 0 ) 是复常数，则下面的结论成立： 1) J Δ k ( ψ ， θ ) J = Δ k ( ψ ˜ ， θ ˜ ) 。 2) J T ψ D θ ， max K J = J T ψ ˜ D θ ˜ ， max K J 。 证明：对任意的 f ∈ F 2 ，我们有 J Δ k ( ψ ， θ ) J = J Δ k ( ψ ， θ ) ( c f ( z ¯ ) ¯ ) (3.5) 其中 | c | = 1 。如果整函数f以泰勒级数展开， f ( z ) = ∑ I ∈ N 0 n a I z I ，f为k阶可导，令 I ， β 是n维多重指标 | β | = k ， I ≥ β ，即 f ( k ) ( z ) = ∑ I ≥ β I ! ( I − β ) ! a α z I − β ，令 g ( z ) = f ( z ¯ ) ¯ = ∑ I ∈ N 0 n a ¯ I z I 直接计算有： ψ ( z ¯ ) ¯ = C ¯ k ( ∑ | α | = k z α ) e D ¯ z ，且 g ( k ) ( θ ( z ¯ ) ) = ∑ I ≥ β I ! ( I − β ) ! a ¯ I ( A z ¯ + 2 D ) I − β ，进一步，我们可以得到 g ( k ) ( θ ( z ¯ ) ) ¯ = ∑ I ≥ β I ! ( I − β ) ! a I ( A ¯ z + 2 D ¯ ) I − β 则(3.5)可以推出 J Δ k ( ψ ， θ ) J f ( z ) = c ¯ J ( ψ ( z ) ) g ( k ) ( θ ( z ) ) = | c | 2 ψ ( z ¯ ) g ( k ) ( θ ( z ¯ ) ) ¯ = C ¯ k ( ∑ | α | = | k | z α ) e D ¯ z = ψ ˜ ( z ) f ( k ) ( θ ˜ ( z ) ) = Δ ( ψ ˜ ， θ ˜ ) 这就由2)推出了1)。 在接下来的定理中，我们找到了 F 2 ( C n ) 空间上共轭 ( T ψ D θ ， max k ) ∗ 的清晰的表达式，此时 θ ( z ) = A z + 2 D θ 是仿射， ψ ( z ) = C k ( ∑ | α | = k z α ) e D z ， A ， D ， C k 都是复常数。 定理3.7 令 T ψ D θ ， max k 是极大加权复合算子，其中 ψ ( z ) = C k ( ∑ | α | = k z α ) e D z ， θ ( z ) = A z + 2 D ， A ， D ， C k 都是复常数，且 D = 1 2 θ ( w 0 ) 是复常数，则 ( T ψ D θ ， max k ) ∗ = T ψ ˜ D θ ˜ ， max k ， T ψ ˜ D θ ˜ ， max k 是极大广义加权算子，且 θ ˜ ( z ) = A ¯ z + 2 D ¯ ， ψ ˜ ( z ) = C ˜ k ( ∑ | α | = k z α ) e D ˜ z 。 证明：假设 w ， z ∈ C n ， f ∈ D o m ( ( T ψ D θ ， max ) ∗ ) ，我们首先证明： ( T ψ D θ ， max k ) ∗ ≺ _ T ψ ˜ D θ ˜ ， max k 。 直接计算有： T ψ D θ ， max k K w ( z ) = ψ ( z ) K w ( k ) ( z ) ( θ ( z ) ) = C k ( ∑ | α | = k z α ) ( ∑ | α | = k w α ) e D z + 1 2 ( A z + 2 D ) w ¯ = C k ( ∑ | α | = k w α ) e D w ¯ ( ∑ | α | = k z α ) K A ¯ w + 2 D ¯ ( z ) = C k ( ∑ | α | = k w α ) e D w ¯ K A ¯ w + 2 D ¯ ( k ) ( z ) 两边对f做内积，可得 〈 f ， T ψ D θ ， max k K w ( z ) 〉 = 〈 f ， C k ( ∑ | α | = k w k ) e D w ¯ K A ¯ w + 2 D ¯ ( k ) ( z ) 〉 = C ¯ k ( ∑ | α | = k w k ) e D w ¯ 〈 f ， K A ¯ w + 2 D ¯ ( k ) ( z ) 〉 = ψ ˜ ( ω ) f ( k ) ( A ¯ w + 2 D ¯ ) = T ψ ˜ D θ ˜ ， max k f ( ω ) 另一方面，通过伴随函数和核函数的定义，我们有： 〈 f ， T ψ D θ ， max k K w ( z ) 〉 = 〈 ( T ψ D θ ， max k K w ) ∗ f ， K w 〉 = ( T ψ D θ ， max k K w ) ∗ f ( w ) 这表明： ( T ψ D θ ， max k K w ) ∗ f ( ω ) = ψ ˜ ( w ) f ( k ) ( A ¯ w + D ¯ ) = T ψ ˜ D θ ˜ ， max k f ( w ) 其中 w ， z ∈ C n ， f ∈ D o m ( ( T ψ D θ ， max k ) ∗ ) 。 因此我们可以得到 ( T ψ D θ ， max k ) ∗ ≺ _ T ψ ˜ D θ ˜ ， max k 为了证明反向包含，只需要证明对于每个 f ∈ D o m ( T ψ D θ ， max k ) ， g ∈ D o m ( T ψ ˜ D θ ˜ ， max K ) 有 〈 T ψ D θ ， max k f ， g 〉 = 〈 f ， T ψ ˜ D θ ˜ ， max k g 〉 (3.6) 对于每个 f ∈ D o m ( T ψ D θ ， max k ) ， f ( z ) = ∑ v ∈ N 0 n f v z v 有 T ψ D θ ， max k f ( z ) = ψ ( z ) f ( k ) ( θ ( z ) ) = C k ( ∑ | α | = k z α ) e D z f ( k ) ( A z + 2 D ) = C k ( ∑ | α | = k z α ) ( ∑ p ∈ N 0 N ( D z ) p p ! ( ∑ v ≥ η v ! ( v − η ) ! f v ( A z + 2 D ) v − η ) ) = C k ∑ p ∈ N 0 N ∑ v ≥ η ∑ | l | = 0 v − η v ! ( v − η ) ! ( v − η l ) f v A v − η − l ( 2 D ) l D p p ! z v − l + p 其中 ( A z + 2 D ) v − η = ∑ l = 0 v − η ( v − η l ) A v − η − l ( 2 D ) l z v − l − η 令 g ∈ D o m ( T ψ ˜ D θ ˜ ， max K ) ， g ( z ) = ∑ q ∈ N 0 n g q z q ( g q 是泰勒系数) 直接的计算展开有 T ψ ˜ D θ ˜ ， max k g ( z ) = ψ ˜ g ( k ) ( θ ˜ ( z ) ) = C ¯ k ( ∑ | α | = k z α ) e D z g ( k ) ( A ¯ z + 2 D ¯ ) = C ¯ k ( ∑ | α | = k z α ) ( ∑ r ∈ N 0 N ( D z ) r r ! ( ∑ q ≥ η q ! ( q − η ) ! g q ( A ¯ z + 2 D ¯ ) q − η ) ) = C ¯ k ∑ m ∈ N 0 N ∑ q ≥ η ∑ | m | = 0 q − η q ! ( q − η ) ! ( q − η m ) g q A q − η − m ( 2 D ¯ ) m D ¯ r r ! z q − m + r 其中 ( A ¯ z + 2 D ¯ ) q − η = ∑ | m | = 0 q − η ( q − η m ) A ¯ q − η − m ( 2 D ¯ ) m z q − η − m ， q ≥ η 接下来，我们根据(3.6)来得到以下内容： 〈 T ψ D θ ， max k f ( z ) ， g 〉 = C k ∑ p ∈ N 0 N ∑ v ∈ N k n ∑ | l | = 0 v − η v ! ( v − η ) ! ( v − η l ) f v g ¯ v − l + p A v − η − l ( 2 D ) l D p p ! ‖ z v − l + p ‖ 2 (3.7) 〈 f ， T ψ ˜ D θ ˜ ， max k g 〉 = ∑ l ∈ N 0 N ∑ q ∈ N 0 n ∑ m = w 0 q − η C k q ! ( q − η ) ! ( q − η m ) f q − m + r g q A q − η − m ( 2 D ) m D r r ! ‖ z q − m + r ‖ 2 (3.8) 通过改变上式的变量： r → l ， m → p ，可得 〈 f ， T ψ ˜ D θ ˜ ， max k g 〉 = ∑ l ∈ N 0 n ∑ q ∈ N k n ∑ | p | = 0 q − k C k q ! ( q − η ) ! ( q − η p ) f q − p + l g q A q − η − p ( 2 D ) p D l l ! ‖ z q − p + l ‖ 2 = ∑ p ∈ N 0 n ∑ l ∈ N 0 n ∑ q − η = p ∞ C k q ! ( q − η ) ! ( q − k p ) f q − p + l g ¯ q A q − η − p ( 2 D ) p D l l ! ‖ z q − p + l ‖ 2 (3.9) 如果令 v = q − p + l ，可得； ∑ q − η = p ∞ C k ( v + p − l ) ! ( v + p − l − η ) ! ( v + p − l − η p ) f q − p + l g ¯ v + p − l A v − η − l ( 2 D ) p D l l ! ‖ z q − p + l ‖ 2 = ∑ v − η = l ∞ C k ( ( v + p − l ) ! ( v + p − l − k ) ! ) ( v + p − l − η p ) f v g ¯ v + p − l A ¯ v − η − l ( 2 D ) p B p l ! v ! 等价于 ∑ v − η = l ∞ C k ( ( v ) ! ( v − η ) ! ) ( v − η l ) f v g ¯ v + p − l A ¯ v − η − l ( 2 D ) l p ! D p ‖ z v − l + p ‖ 2 (3.10) 由3.9式和3.10式得： 〈 f ， T ψ ˜ D θ ˜ ， max k g 〉 = ∑ p ∈ N 0 n ∑ l ∈ N 0 n ∑ v − η = l ∞ C k ( v + p − l ) ! ( v + p − l − η ) ! ( v + p − l − η p ) f v g ¯ v + p − l A v − η − l ( 2 D ) l p ! D p ‖ z v + p − l ‖ 2 = ∑ p ∈ N 0 n ∑ v = η ∑ | l | = 0 v − η C k v ! ( v − η ) ! ( v − η p ) f v g ¯ v − l + q A v − η − l ( 2 D ) l p ! D p ‖ z v + p − l ‖ 2 = 〈 T ψ D θ ， max k f ， g 〉 因此我们可以得到： ( T ψ D θ ， max K ) ∗ = T ψ ˜ D θ ˜ ， max K 。