system: [SYSTEM]

user: 2. 模糊数差的存在性扩展分析 本文所遇到的符号说明，“−”表示实数意义下的减法，“+”表示实数意义下的加法，“ ⊖ ”表示模糊意义下的减法，“ ⊕ ”表示模糊意义下的加法，“ ⊗ ”表示模糊意义下的数乘运算。 开始介绍模糊数的差之前，首先明确区间数的加法与减法运算，对于经典集合 A = [ a ， b ] ， B = [ c ， d ] ， A + B = [ a ， b ] + [ c ， d ] = [ a + c ， b + d ] ， A − B = A + ( − B ) = [ a ， b ] + ( − [ c ， d ] ) = [ a ， b ] + [ − d ， − c ] = [ a − d ， b − c ] ； 例如 A = [ 1 ， 2 ] ， B = [ 3 ， 4 ] ，则 A − B = [ 1 ， 2 ] − [ 3 ， 4 ] = [ − 3 ， − 1 ] ， C = A + B = [ 1 + 3 ， 2 + 4 ] = [ 4 ， 6 ] ， 反之， C − A = C + ( − A ) = [ 4 ， 6 ] + [ − 2 ， − 1 ] = [ 2 ， 5 ] ≠ B ， 由区间数减法运算可知，集合的加法运算与减法运算不是互逆的。同样，有 A − A = A + ( − A ) = [ 1 ， 2 ] + [ − 2 ， − 1 ] = [ − 1 ， 1 ] ≠ 0 ， 因此，区间数的减法运算不具备 A − A = 0 的性质，这个性质的缺失对于区间数的理论结果和应用始终是一个缺陷。 2.1. 基于Zadeh扩张原理定义的模糊差 定义2.1.1 [ 2 ] (Zadeh扩张原理)设f是从非空集X到非空集Y的点映射，则由下式可定义从 F ( X ) 到 F ( Y ) 和 F ( Y ) 到 F ( X ) 的集映射f及 f − 1 ， f ( A ) ( y ) = { sup f ( x ) = y A ( x ) ， y ∈ f ( X ) 0 ， y ∉ f ( X ) f − 1 ( B ) ( x ) = B ( f ( x ) ) ， x ∈ X 另外，若 A ∈ F ( X ) ， B ∈ F ( Y ) ，则 A × B ∈ F ( X × Y ) 由下式定义， ( A × B ) ( x ， y ) = min ( A ( x ) ， B ( y ) ) 。 基于Zadeh扩张原理定义的关于模糊集更多性质和定理请参考文献 [ 2 ]。 性质2.1.1 对 u ˜ = ( u 1 ， u 2 ) ， v ˜ = ( v 1 ， v 2 ) ∈ E 1 ，基于Zadeh扩张原理定义的加法，减法及数乘运算如下： 1) u ˜ ⊕ v ˜ = ( u 1 + v 1 ， u 2 + v 2 ) ； 2) u ˜ ⊖ v ˜ = ( u 1 − v 2 ， u 2 − v 1 ) ； 3) k u ˜ = { ( k u 1 ， k u 2 ) ， k ≥ 0 ( k u 2 ， k u 1 ) ， k < 0 。 基于Zadeh扩张原理定义的算法被称为标准模糊算法，是区间数算法的一个扩展。在此讨论两个简单模糊数的运算性质，即三角模糊数和梯形模糊数： 1) 对于三角模糊数 u ˜ = ( u 1 ， u 2 ， u 3 ) ， v ˜ = ( v 1 ， v 2 ， v 3 ) ，由性质2.1.1可得 u ˜ ⊕ v ˜ = ( u 1 + v 1 ， u 2 + v 2 ， u 3 + v 3 ) ， u ˜ ⊖ v ˜ = ( u 1 − v 3 ， u 2 − v 2 ， u 3 − v 1 ) 。 2) 对于梯形模糊数 u ˜ = ( u 1 ， u 2 ， u 3 ， u 4 ) ， v ˜ = ( v 1 ， v 2 ， v 3 ， v 4 ) ，由性质2.1.1可得 u ˜ ⊕ v ˜ = ( u 1 + v 1 ， u 2 + v 2 ， u 3 + v 3 ， u 4 + v 4 ) ， u ˜ ⊖ v ˜ = ( u 1 − v 4 ， u 2 − v 3 ， u 3 − v 2 ， u 4 − v 1 ) 。 例2.1.1 三角模糊数 u ˜ = ( 1 ， 2 ， 3 ) ， v ˜ = ( 3 ， 4 ， 5 ) ，有 w ˜ = u ˜ ⊕ v ˜ = ( 1 ， 2 ， 3 ) ⊕ ( 3 ， 4 ， 5 ) = ( 4 ， 6 ， 8 ) ， 反之， w ˜ ⊖ v ˜ = w ˜ ⊕ ( ⊖ v ˜ ) = ( 4 ， 6 ， 8 ) ⊕ ( − 5 ， − 4 ， − 3 ) = ( − 1 ， 2 ， 5 ) ≠ u ˜ ， 即标准模糊算法中的加法运算和减法运算是不可逆的。同样， u ˜ ⊖ u ˜ = u ˜ ⊕ ( ⊖ u ˜ ) = ( 1 ， 2 ， 3 ) ⊕ ( − 3 ， − 2 ， − 1 ) = ( − 2 ， 0 ， 2 ) ≠ 0 ，故标准模糊减法同样丢失了 u ˜ ⊖ u ˜ = 0 的性质，这个性质的缺失对于模糊数的理论结果和应用始终是一个缺陷。 为了克服基于Zadeh扩张原理定义的标准模糊算法中 u ˜ ⊖ u ˜ ≠ 0 与模糊减法始终不是模糊数加法的逆运算的缺陷，Puri和Ralescu提出将集值函数的Hukuhara差扩展到模糊情况下，目的是对模糊数的差有一个定义并使得模糊数的差存在。 2.2. H差 定义2.2.1 [ 4 ] 设 u ˜ ， v ˜ ∈ E 1 ，若存在 w ˜ ∈ E 1 ，使得 u ˜ = v ˜ ⊕ w ˜ ，则 w ˜ 称为是 u ˜ ， v ˜ 的Hukuhara差(H差)，简记为 u ˜ ⊖ H v ˜ 。 注2.2.1对于H差，有以下几点需注意： 1) u ˜ ⊖ H v ˜ = w ˜ ⇔ u ˜ = v ˜ ⊕ w ˜ (“ ⊕ ”表示标准模糊加法)； 2) 因为有加法的性质 u ˜ ⊕ 0 = 0 ⊕ u ˜ = u ˜ ，所以必有 u ˜ ⊖ H u ˜ = 0 的性质。H差的定义很好地克服了基于Zadeh扩张原理定义的标准模糊减法中 u ˜ ⊖ u ˜ ≠ 0 的缺陷；(这儿的0表示 { 0 } )； 3) 如果H差存在，则它的 α -水平截集为 [ u ˜ ⊖ H v ˜ ] α = [ u α − − v α − ， u α + − v α + ] ， α ∈ [ 0 ， 1 ] ； 4) 记 u ˜ = ( u 1 ， u 2 ) ， v ˜ = ( v 1 ， v 2 ) ∈ E 1 ，则 u ˜ ⊖ H v ˜ = ( u 1 − v 1 ， u 2 − v 2 ) ； 5) 梯形模糊数 u ˜ = ( u 1 ， u 2 ， u 3 ， u 4 ) ， v ˜ = ( v 1 ， v 2 ， v 3 ， v 4 ) ，则 u ˜ ⊖ H v ˜ = ( u 1 − v 1 ， u 2 − v 2 ， u 3 − v 3 ， u 4 − v 4 ) ，当 u 2 = u 3 ， v 2 = v 3 为三角模糊数； 6) H差最开始定义是对于集值区间而言的，经典集合A与B的H差存在的必要条件是 A ⊇ B + { c } ； 7) 通过定义2.1.1和上述6)可知，模糊减法为模糊加法的逆运算，但是两个模糊数的H差不总是存在的，存在性很弱。 例2.2.1 梯形模糊数 u ˜ = ( 2 ， 3 ， 5 ， 8 ) ，三角模糊数 v ˜ = ( 1 ， 4 ， 5 ) ，有 u ˜ ⊖ H v ˜ = ( 2 ， 3 ， 5 ， 8 ) ⊖ H ( 1 ， 4 ， 4 ， 5 ) = ( 1 ， 1 ， 2 ， 3 ) ， u ˜ ⊖ H u ˜ = ( 2 ， 3 ， 5 ， 8 ) ⊖ H ( 2 ， 3 ， 5 ， 8 ) = 0 。 分别取 α = 0 ， 0.5 ， 1 ，对应的 u ˜ 和 v ˜ 的水平截集如下， [ u ˜ ] 0 = [ 2 ， 8 ] ， [ v ˜ ] 0 = [ 1 ， 5 ] ， [ u ˜ ] 0.5 = [ 3.5 ， 7 ] ， [ v ˜ ] 0.5 = [ 2.5 ， 4.5 ] ， [ u ˜ ] 1 = [ 5 ， 6 ] ， [ v ˜ ] 1 = [ 4 ， 4 ] ， 因此， [ u ˜ ⊖ H v ˜ ] 0 = [ u ˜ ] 0 ⊖ H [ v ˜ ] 0 = [ 1 ， 3 ] ， ⋮ [ u ˜ ⊖ H v ˜ ] 0.5 = [ u ˜ ] 0.5 ⊖ H [ v ˜ ] 0.5 = [ 1 ， 2.5 ] ， ⋮ [ u ˜ ⊖ H v ˜ ] 1 = [ u ˜ ] 1 ⊖ H [ v ˜ ] 1 = [ 1 ， 2 ] ， 故对于 α ∈ [ 0 ， 1 ] ，都有 u α − − v α − ≤ u α + − v α + 。以上可知 u ˜ ⊖ H v ˜ 差存在。 例2.2.2 三角模糊数 u ˜ = ( 1 ， 2 ， 3 ) ， v ˜ = ( 1 ， 3 ， 5 ) ，有 u ˜ ⊖ H v ˜ = ( 1 ， 2 ， 3 ) ⊖ H ( 1 ， 3 ， 5 ) = ( 0 ， − 1 ， − 2 ) 显然， ( 0 ， − 1 ， − 2 ) 不是三角模糊数，因为规定三角模糊数 u ˜ = ( u 1 ， u 2 ， u 3 ) ，并且 u 1 ≤ u 2 ≤ u 3 。 分别取 α = 0 ， 0.5 ， 1 ，对应的 u ˜ 和 v ˜ 的水平截集如下， [ u ˜ ] 0 = [ 1 ， 3 ] ， [ v ˜ ] 0 = [ 1 ， 5 ] ， [ u ˜ ] 0.5 = [ 1.5 ， 2.5 ] ， [ v ˜ ] 0.5 = [ 2 ， 4 ] ， [ u ˜ ] 1 = [ 2 ， 2 ] ， [ v ˜ ] 1 = [ 3 ， 3 ] ， 因此， [ u ˜ ⊖ H v ˜ ] 0 = [ u ˜ ] 0 ⊖ H [ v ˜ ] 0 = [ 0 ， − 2 ] ， ⋮ [ u ˜ ⊖ H v ˜ ] 0.5 = [ u ˜ ] 0.5 ⊖ H [ v ˜ ] 0.5 = [ − 0.5 ， − 1.5 ] ， ⋮ [ u ˜ ⊖ H v ˜ ] 1 = [ u ˜ ] 1 ⊖ H [ v ˜ ] 1 = [ − 1 ， − 1 ] ， 明显看出区间 [ 0 ， − 2 ] 和区间 [ − 0.5 ， − 1.5 ] 不存在，则 u ˜ ⊖ H v ˜ 差不存在。 由上述例2.2.1和例2.2.2可知，两个模糊数的H差很有局限性，存在范围小，比如例2.2.2。下面定义了一种新的减法——H差推广情况，即广义的H差，简称gH差，使得两个模糊数差的存在范围扩大。 2.3. gH差 定义2.3.1 [ 6 ] 设 u ˜ ， v ˜ ， w ˜ ∈ E 1 ，则 u ˜ 和 v ˜ 的gH差被定义如下 u ˜ ⊖ g H v ˜ = w ˜ ⇔ { ( 1 ) u ˜ = v ˜ ⊕ w ˜ or ( 2 ) v ˜ = u ˜ ⊖ w ˜ (1.1) 值得注意的是“ ⊕ ”，“ ⊖ ”指的是标准模糊运算。 则 u ˜ 和 v ˜ 的gH差的 α -水平截集为： [ w ˜ ] α = [ u ˜ ⊖ g H v ˜ ] α = [ min { u α − − v α − ， u α + − v α + } ， max { u α − − v α − ， u α + − v α + } ] 同样，当 w ˜ = u ˜ ⊖ g H v ˜ 存在时，并且 [ w ˜ ] α = [ w α − ， w α + ] ，有以下两种情况( [ 9 ] )： 情况1)： { w α − = u α + − v α + ， w α + = u α − − v α − ， w α −     递 增 ， w α +     递 减 ， 且 w α − ≤ w α + . α ∈ [ 0 ， 1 ] 情况2)： { w α − = u α − − v α − ， w α + = u α + − v α + ， w α −     递 增 ， w α +     递 减 ， 且 w α − ≤ w α + . α ∈ [ 0 ， 1 ] 注意情况1)与情况2)两者只能满足其一，不可同时满足。对于gH差，有如下性质。 性质2.3.1 [ 10 ] 设 u ˜ ， v ˜ ∈ E 1 ，则 1) 若gH差存在，则唯一； 2) 只要 u ˜ ⊖ H v ˜ 存在，则 u ˜ ⊖ g H v ˜ 一定存在，即 u ˜ ⊖ H v ˜ = u ˜ ⊖ g H v ˜ ，但反之不成立。特别注意的是， u ˜ ⊖ H u ˜ = u ˜ ⊖ g H u ˜ = 0 。 3) 若 u ˜ ⊖ g H v ˜ 在情况1)中存在，则 v ˜ ⊖ g H u ˜ 在情况2)中存在。反之亦然； 4) ( u ˜ ⊕ v ˜ ) ⊖ g H v ˜ = u ˜ ； 5) 0 ⊖ g H ( u ˜ ⊖ g H v ˜ ) = v ˜ ⊖ g H u ˜ ； 6) u ˜ ⊖ g H v ˜ = v ˜ ⊖ g H u ˜ = w ˜ 当且仅当 w ˜ = − w ˜ ；而且， w ˜ = 0 当且仅当 u ˜ = v ˜ 。 例2.2.2中H差是不存在的，下面讨论一下例2.2.2中的gH差的情况。 三角模糊数 u ˜ = ( 1 ， 2 ， 3 ) ， v ˜ = ( 1 ， 3 ， 5 ) ，有 u ˜ ⊖ g H v ˜ = ( 1 ， 2 ， 3 ) ⊖ H ( 1 ， 3 ， 5 ) = ( 0 ， − 1 ， − 2 ) 明显看到H差不存在，也相当于定义2.3.1中的(1.1)式的(1)式不成立。对于2.3.1中的(1.1)式的(2)式有： v ˜ ⊖ g H u ˜ = ( 1 ， 3 ， 5 ) ⊖ g H ( 1 ， 2 ， 3 ) = ( 0 ， 1 ， 2 ) u ˜ ⊖ g H v ˜ = − ( v ˜ ⊖ g H u ˜ ) = ( − 2 ， − 1 ， 0 ) 则 [ u ˜ ⊖ g H v ˜ ] 0 = [ u ˜ ] 0 ⊖ g H [ v ˜ ] 0 = [ − 2 ， 0 ] ⋮ [ u ˜ ⊖ g H v ˜ ] 0.5 = [ u ˜ ] 0.5 ⊖ g H [ v ˜ ] 0.5 = [ − 1.5 ， − 0.5 ] ⋮ [ u ˜ ⊖ g H v ˜ ] 1 = [ u ˜ ] 1 ⊖ g H [ v ˜ ] 1 = [ − 1 ， − 1 ] 其中 α ∈ [ 0 ， 1 ] 。有 w α − = u α + − v α + ， w α + = u α − − v α − ， w α − 递增， w α + 递减，且 w α − ≤ w α + 。通过定义2.3.1中的(1.1)式的(2)式和情况2)可知， u ˜ ⊖ g H v ˜ 存在。 下面举反例说明gH差不存在的情况。 例1.3.1 三角模糊数 u ˜ = ( 0 ， 2 ， 4 ) ，梯形模糊数 v ˜ = ( 0 ， 1 ， 2 ， 3 ) ，则 u ˜ ⊖ g H v ˜ = ( 0 ， 2 ， 2 ， 4 ) ⊖ H ( 0 ， 1 ， 2 ， 3 ) = ( 0 ， 1 ， 0 ， 1 ) u ˜ ⊖ g H v ˜ = − ( v ˜ ⊖ g H u ˜ ) = ( 1 ， 0 ， 1 ， 0 ) 有 [ u ˜ ] 0 = [ 0 ， 4 ] ， [ v ˜ ] 0 = [ 0 ， 3 ] ， [ u ˜ ] 0.5 = [ 1 ， 3 ] ， [ v ˜ ] 0.5 = [ 0.5 ， 2.5 ] ， [ u ˜ ] 1 = [ 2 ， 2 ] ， [ v ˜ ] 1 = [ 1 ， 2 ] ， 进而有 [ u ˜ ⊖ g H v ˜ ] 0 = [ u ˜ ] 0 ⊖ g H [ v ˜ ] 0 = [ 0 ， 1 ] ⋮ [ u ˜ ⊖ g H v ˜ ] 0.5 = [ u ˜ ] 0.5 ⊖ g H [ v ˜ ] 0.5 = [ 0.5 ， 0.5 ] ⋮ [ u ˜ ⊖ g H v ˜ ] 1 = [ u ˜ ] 1 ⊖ g H [ v ˜ ] 1 = [ 0 ， 1 ] 在本例中，归纳可得 1) 当 α ∈ [ 0 ， 0.5 ] 时， w α − = u α − − v α − ， w α + = u α + − v α + ， w α − 递增， w α + 递减，且 w α − ≤ w α + 。 2) 当 α ∈ [ 0.5 ， 1 ] 时， w α − = u α + − v α + ， w α + = u α − − v α − ， w α − 递减， w α + 递增，且 w α − ≤ w α + 。 显然，1)和2)同时存在情况1)和情况2)，但是单调性产生了矛盾。故 u ˜ ⊖ g H v ˜ 不存在。 下面的例子同样说明gH差不存在的情况。 例1.3.2 考虑梯形模糊数 u ˜ = ( 2 ， 3 ， 5 ， 6 ) ，三角模糊数 v ˜ = ( 0 ， 4 ， 8 ) ，则 u ˜ ⊖ g H v ˜ = ( 2 ， 3 ， 5 ， 6 ) ⊖ H ( 0 ， 4 ， 4 ， 8 ) = ( 2 ， − 1 ， 1 ， − 2 ) u ˜ ⊖ g H v ˜ = − ( v ˜ ⊖ g H u ˜ ) = ( − 2 ， 1 ， − 1 ， 2 ) 对于 α ∈ [ 0 ， 1 ] ，有 2 = u 0 − − v 0 − ≥ u 0 + − v 0 + = − 2 − 1 = u 1 − − v 1 − ≥ u 1 + − v 1 + = 1 对于每个 α ∈ [ 0 ， 1 ] 都必须有同样方向的不等式成立，因此我们得到了一个矛盾。故 u ˜ ⊖ g H v ˜ 不存在。 两个三角模糊数的gH差一定存在。gH差解决了H差不能解决的缺陷，值得我们特别注意的是，gH差存在，则H差一定存在。但是，H差存在，gH差不一定存在。换句话说，gH差比H差存在的范围更广。如例2.2.2。但是gH差并不是对所有模糊数的差都存在，如例2.3.1和例2.3.2，其定义也有不可避免的缺陷。故将gH差进行了推广，又提出了一种新的模糊差，即g差。 2.4. g差 定义2.4.1 ( [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] )设 u ˜ ， v ˜ ∈ E 1 ，则 u ˜ 和 v ˜ 的g差通过 α -水平截集被定义如下， [ u ˜ ⊖ g v ˜ ] α = cl ( ∪ β ≥ α ( [ u ˜ ] β ⊖ g H [ v ˜ ] β ) ) ， α ∈ [ 0 ， 1 ] 其中gH差“ ⊖ g H ”表示 [ u ˜ ] β 和 [ v ˜ ] β 的区间运算，“cl”表示集合的闭包。 性质2.4.1 [ 10 ] g差同样也可以被定义如下， [ u ˜ ⊖ g v ˜ ] α = [ inf β ≥ α min { u β − − v β − ， u β + − v β + } ， sup β ≥ α max { u β − − v β − ， u β + − v β + } ] 。 性质2.4.2 [ 9 ] 设 u ˜ ， v ˜ ∈ E 1 ，则 1) 只要 u ˜ ⊖ g H v ˜ 存在，则 u ˜ ⊖ g v ˜ 一定存在，即 u ˜ ⊖ g H v ˜ = u ˜ ⊖ g v ˜ ，但反之不成立。特别注意的是， u ˜ ⊖ g u ˜ = 0 ； 2) ( u ˜ ⊕ v ˜ ) ⊖ g v ˜ = u ˜ ； 3) 0 ⊖ g ( u ˜ ⊖ g v ˜ ) = v ˜ ⊖ g u ˜ ； 4) u ˜ ⊖ g v ˜ = v ˜ ⊖ g u ˜ 当且仅当 w ˜ = − w ˜ ，同样的有， w ˜ = 0 当且仅当 u ˜ = v ˜ 。 注2.4.1 设 u ˜ ， v ˜ ∈ E 1 ，有 1) u ˜ 和 v ˜ 的g差一直存在并且为一个模糊数。 2) 两个模糊数的g差体现了最小模糊数的性质。 在例2.3.1中gH差不存在时，能否用g差的定义来解决，即 [ u ˜ ⊖ g v ˜ ] α = cl ( ∪ β ≥ α ( [ u ˜ ] β ⊖ g H [ v ˜ ] β ) ) ， α ∈ [ 0 ， 1 ] 当 α = 0 ，将上述式子展开得， [ u ˜ ⊖ g v ˜ ] 0 = cl ( ∪ β ≥ 0 ( [ u ˜ ] β ⊖ g H [ v ˜ ] β ) ) = ( [ u ˜ ] 0 ⊖ g H [ v ˜ ] 0 ) ∪ ⋯ ∪ ( [ u ˜ ] 0.1 ⊖ g H [ v ˜ ] 0.1 ) ∪ ⋯ ∪ ( [ u ˜ ] 0.5 ⊖ g H [ v ˜ ] 0.5 ) ︷ 情 况 1) ∪ ⋯ ∪ ( [ u ˜ ] 0.6 ⊖ g H [ v ˜ ] 0.6 ) ∪ ⋯ ∪ ( [ u ˜ ] 0.9 ⊖ g H [ v ˜ ] 0.9 ) ∪ ⋯ ∪ ( [ u ˜ ] 1 ⊖ g H [ v ˜ ] 1 ) ︸ 情 况 2) = ( [ 0 ， 1 ] ) ∪ ⋯ ∪ ( [ 0.5 ， 0.5 ] ) ∪ ⋯ ∪ ( [ 0 ， 1 ] ) = [ 0 ， 1 ] 显然，观察上述展开式得，g差包含了gH差的两种情况，通过取并运算和集合的闭包，同时考虑了定义2.3.1中的情况1)和情况2)，进而避免情况1)与情况2)同时出现时，产生矛盾。在 α ∈ [ 0 ， 1 ] 中取特殊值分别计算相应的g差如下(如图1)： [ u ˜ ⊖ g v ˜ ] 0.1 = [ 0 ， 1 ] ， ⋮ [ u ˜ ⊖ g v ˜ ] 0.5 = [ 0 ， 1 ] ， ⋮ [ u ˜ ⊖ g v ˜ ] 1 = [ 0 ， 1 ] 。 图1. 三角模糊数 u ˜ = ( 0 ， 2 ， 4 ) 和梯形模糊数 v ˜ = ( 0 ， 1 ， 2 ， 3 ) 的g差 u ˜ ⊖ g v ˜ 同样对于例2.3.2中 u ˜ ⊖ g H v ˜ 不存在时， u ˜ ⊖ g v ˜ 存在。如图2。 图2. 梯形模糊数 u ˜ = ( 2 ， 3 ， 5 ， 6 ) 和三角模糊数 v ˜ = ( 0 ， 4 ， 8 ) 的g差 u ˜ ⊖ g v ˜ 例2.4.1 梯形模糊数 u ˜ = ( 4 ， 5 ， 6 ， 8 ) ，三角模糊数 v ˜ = ( 0 ， 5 ， 10 ) ，很显然，我们可以看到 u ˜ ⊖ g H v ˜ 是不存在的，因为情况1) 与情况2) 会导致矛盾。但是 u ˜ ⊖ g v ˜ 总是存在的，如图3。 图3. 梯形模糊数 u ˜ = ( 4 ， 5 ， 6 ， 8 ) 和三角模糊数 v ˜ = ( 0 ， 5 ， 10 ) 的g差 u ˜ ⊖ g v ˜ 两个模糊数的g差总是存在并且是一个模糊数，从定义2.4.1下面的展开式可知，在计算g差时比较复杂。但是相比于gH差，g差存在范围扩大，扩展了两个模糊数的gH差不存在的情况。 2.5. gr差 本小节中为了区分隶属度与相对距离测度变量(RDM)，将隶属度记为 μ 。 定义2.5.1 [ 8 ] 设模糊数 u ˜ : [ a ， b ] ⊆ ℝ → [ 0 ， 1 ] ， u ˜ ( x ) 的水平隶属函数 u g r : [ 0 ， 1 ] × [ 0 ， 1 ] → [ a ， b ] ，即 u g r ( μ ， α x ) = x ，其中“gr”表示 x ∈ [ a ， b ] 的信息粒， μ ∈ [ 0 ， 1 ] 表示x在 u ˜ ( x ) 中的隶属度， α u ∈ [ 0 ， 1 ] 表示RDM变量(相对距离测度变量)，并且 u g r ( μ ， α u ) = u _ μ + ( u ¯ μ − u _ μ ) α u 。 注2.5.1 [ 8 ] u ˜ ( x ) ∈ E 1 的水平隶属函数被定义为 H ( u ˜ ( x ) ) = u g r ( μ ， α u ) ，而且，使用 H − 1 ( u g r ( μ ， α u ) ) = [ u ˜ ] μ = [ inf β ≥ α min α u u g r ( β ， α u ) ， sup β ≥ α max α u u g r ( β ， α u ) ] 。 表示 u ˜ ( x ) ∈ E 1 的垂直隶属函数的 μ -水平截集，实际上可以得到信息粒的生成跨度。 在定义2.5.1中提到了水平隶属函数 [ 12 ]，但垂直隶属函数的映射为 x → μ ，即 [ a ， b ] → [ 0 ， 1 ] 。也就是说，给定一个x，对应一个 μ ，但给定一个 μ ，则会有不确定的x对应。反之，水平隶属函数的定义通过引入一个RDM变量“ α u ”，使得对于一个给定的 μ ，则会有唯一确定的x对应，即 [ 0 ， 1 ] × [ 0 ， 1 ] → [ a ， b ] 。通过水平隶属函数取的每一个x被我们称作“信息粒”。用以下例子来说明。 例2.5.1 三角模糊数 u ˜ = ( 1 ， 2 ， 3 ) ，垂直隶属函数表示如下： μ ( x ) = { x − 1 ，   if   x ∈ [ 1 ， 2 ) 1 ， if   x = 2 x + 3 ， if   x ∈ ( 2 ， 3 ] 0 ，                   if   x ∈ otherwise 当 μ = 0.5 时，则 [ u ] 0.5 = [ 1.5 ， 2.5 ] 。通过定义2.5.1，关于 u ˜ 的水平隶属函数表示为 H ( u ˜ ) = u g r ( μ ， α u ) = 1 + μ + 2 α u ( 1 − μ ) ， μ ∈ [ 0 ， 1 ] ， α u ∈ [ 0 ， 1 ] (如图4)。 图4. 蓝色区域表示 u ˜ = ( 1 ， 2 ， 3 ) 的水平隶属函数，黑色箭头表示其 α u 变化方向 对于 H ( u ˜ ) ，当 μ = 0.5 时， H ( u ˜ ) = u g r ( 0.5 ， α u ) = 1.5 + α u ，将 α u ∈ [ 0 ， 1 ] 中的值都取到可得， α u = 0 ， H ( u ˜ ) = u g r ( 0.5 ， 0 ) = 1.5 ， ⋮ α u = 0.1 ， H ( u ˜ ) = u g r ( 0.5 ， 0.1 ) = 1.6 ， ⋮ α u = 0.2 ， H ( u ˜ ) = u g r ( 0.5 ， 0.2 ) = 1.7 ， ⋮ α u = 0.5 ， H ( u ˜ ) = u g r ( 0.5 ， 0.5 ) = 2 ， ⋮ α u = 1 ， H ( u ˜ ) = u g r ( 0.5 ， 1 ) = 2.5 。 仔细观察上述每一个式子，随着 α u 从0逐渐变化到1的过程中， H ( u ˜ ) 同样在逐渐变化。换句话说，当 α u 将 [ 0 ， 1 ] 中的每个值都取到时，对应的 H ( u ˜ ) 是带有隶属度 μ = 0.5 时的水平截集 [ 1.5 ， 2.5 ] 中每一个值。则将每一个 H ( u ˜ ) 可以被称作“信息粒”(图5表示 α u 从0逐渐变化到1的过程)。 图5. 绿色实线表示 α u 从0逐渐变化到1的过程，箭头表示其方向。黑色实线表示多个“信息粒” H ( u ˜ ) 构成的水平截集[1.5， 2.5] 定义2.5.2 [ 8 ] 设 u ˜ ， v ˜ ∈ E 1 ，分别对应的水平隶属度函数 [ 12 ] 为 u g r   ( μ ， α u ) 和 v g r   ( μ ， α v ) ，并且，“ ⊙ ”表示四则运算，即加法，减法，乘法和除法。因此， u ˜ ⊙ v ˜ 是模糊数使得 H ( m ˜ ) = u g r   ( μ ， α u ) ⊙ g r v g r   ( μ ， α v ) 。值得注意的是当“ ⊙ ”表示除法时， 0 ∉ v g r ( μ ， α v ) 。 定义2.5.3 [ 8 ] 在定义2.5.2中定义的两个模糊数的差被称作粒差，简称gr差。有以下运算性质： 1) u ˜ ⊙ g r v ˜ = − ( v ˜ ⊙ g r u ˜ ) ； 2) u ˜ ⊖ g r u ˜ = 0 。 例2.5.2 模糊数 u ˜ = ( 2 ， 3 ， 5 ， 6 ) ， v ˜ = ( 0 ， 4 ， 8 ) ，则其分别对应的水平隶属度函数为 H ( u ˜ ) = u g r ( μ ， α u ) = 2 + μ + ( 4 − 2 μ ) α u ， H ( v ˜ ) = u g r ( μ ， α v ) = 4 μ + 8 ( 1 − μ ) α v ， 则 [ w ˜ ] = H − 1 ( w g r ( μ ， α u ， α v ) ) = H − 1 [ 2 + μ + ( 4 − 2 μ ) α u − 4 μ − 8 ( 1 − μ ) α v ] = [ inf β ≥ α min α u ， α v ( 2 − 3 μ + ( 4 − 2 μ ) α u − 8 ( 1 − μ ) α v ) ，     sup β ≥ α max α u ， α v ( 2 − 3 μ + ( 4 − 2 μ ) α u − 8 ( 1 − μ ) α v ) ] = [ − 6 + 5 μ ， − 5 μ + 6 ] 被算出的粒差如图6所示。 图6. 梯形模糊数 u ˜ = ( 2 ， 3 ， 5 ， 6 ) (绿色实线)和三角模糊数 v ˜ = ( 0 ， 4 ， 8 ) (红色实线)的gr差 u ˜ ⊖ g r v ˜ (黑色虚线) 将例2.5.2中的 u ˜ ⊖ g v ˜ 与 u ˜ ⊖ g r v ˜ 在图7中进行比较。可以清楚看到g差具有最小模糊数的性质。 图7. u ˜ ⊖ g v ˜ 用红色实线表示， u ˜ ⊖ g r v ˜ 用蓝色虚线表示，绿色实线表示 u ˜ ⊖ g v ˜ 与 u ˜ ⊖ g r v ˜ 重合的部分 两个模糊数的gr差总是存在的并且也是一个模糊数，相比较g差而言，gr差的计算比g差要简单一些。粒差的运算是将模糊数化为相应的水平隶属函数，借助于对应的水平隶属函数进行相减，也就相当于函数的运算。迄今为止，模糊数的gr差相比较于其他的差有很大的优势。