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user: 3. 系统的灭绝性和持久性 为了考虑系统(2)中感染种群的灭绝性，我们让 I ( t ) = 0 ，有 { S ′ ( t ) = μ − μ S ( t ) ， t ≠ n T ， S ( t + ) = ( 1 − p ) S ( t ) ， t = n T . 根据引理1可知，系统无病周期解为 S * ( t ) = 1 − p e − μ ( t − n T ) 1 − ( 1 − p ) e − μ T ， t ∈ ( n T ， ( n + 1 ) T ] . (3) 我们首先得到无病周期解的全局吸引性。 定理1：如果 R 1 : = β ( 1 − e − μ T ) [ 1 − ( 1 − p ) e − μ T ] [ γ + μ ] < 1 ， 那么系统(2)的无病周期解 ( S * ( t ) ， 0 ) 是全局吸引的。 证明：由系统(2)的第一个方程得 { S ′ ( t ) ≤ μ − μ S ( t ) ， t ≠ n T S ( t + ) = ( 1 − p ) S ( t ) ， t = n T 设辅助微分方程为 { S ′ 1 ( t ) = μ − μ S 1 ( t ) ， t ≠ n T S 1 ( t + ) = ( 1 − p ) S 1 ( t ) ， t = n T (4) 由脉冲微分方程的比较定理，可知 S ( t ) ≤ S 1 ( t ) ，其中 S 1 ( t ) 为满足方程(4)具初值 S 1 ( 0 + ) = S ( 0 + ) 的解。利用引理1，有则当 t → ∞ 时， S 1 ( t ) → S * ( t ) ，这里 S * ( t ) 为(4)的全局吸引的正周期解。注意到 S * ( t ) ≤ 1 − e − μ T 1 − ( 1 − p ) e − μ T : = σ ， 那么对 ，使得当 t > T 1 时，有 S ( t ) ≤ σ + ε 1 。又由系统(2)的第二个方程得 I ′ ( t ) ≤ β ( σ + ε 1 ) ∫ 0 τ f ( u ) I ( t − u ) d u − μ I ( t ) − γ I ( t ) . 令 I ′ 1 ( t ) = β ( σ + ε 1 ) ∫ 0 τ f ( u ) I 1 ( t − u ) d u − μ I 1 ( t ) − γ I 1 ( t ) . 利用脉冲型比较定理有 I ( t ) ≤ I 1 ( t ) ，其中初值 I 1 ( s ) = I ( s ) = ϕ 2 ( s ) ， s ∈ [ − τ ， 0 ] 。由 R 1 < 1 和 ε 1 任意小，不难看出 β ( σ + ε 1 ) < γ + μ 。根据引理2，有 lim t → ∞ I 1 ( t ) = 0 成立。再由 I ( t ) 非负性知 I ( t ) → 0 ， t → ∞ 。从而对 ∀ ε > 0 ，存在 T 2 > 0 ，使得 t > T 2 时，有 I ( t ) < ε 。注意到 ∫ 0 τ f ( u ) d u = 1 ，     S * ( t ) = 1 − p e − μ ( t − n T ) 1 − ( 1 − p ) e − μ T ≤ 1 − e − μ T 1 − ( 1 − p ) e − μ T : = θ > 0. 利用系统(2)的第一个方程可知，当 t > T 2 时 { S ′ ( t ) ≥ μ ( 1 − ε ) + β θ ε + μ ρ ε − μ S ( t ) ， t ≠ n T S ( t + ) = ( 1 − p ) S ( t ) ， t = n T S ( 0 + ) = S (0) 可得 S ( t ) ≥ S 2 ( t ) ，其中 S 2 ( t ) 为满足下列方程的周期解 { S ′ 2 ( t ) = μ ( 1 − ε ) + β θ ε + μ ρ ε − μ S 2 ( t ) ， t ≠ n T S 2 ( t + ) = ( 1 − p ) S 2 ( t ) ， t = n T S 2 ( 0 + ) = S (0) 再次利用引理1，可知当 t → ∞ 时，我们有 S 2 ( t ) → S ˜ ( t ) = μ ( 1 − ε ) + β θ ε + μ ρ ε μ [ 1 − p e − μ ( t − k T ) 1 − ( 1 − p ) e − μ T ] ， n T < t ≤ ( n + 1 ) T . 对任意小的 ε 2 ，当t充分大时，我们有 S * ( t ) + ε 1 ≤ S ( t ) ≤ S ˜ ( t ) − ε 2 让 ε 1 ， ε 2 ， ε → 0 ， t → ∞ ，可得 S ( t ) → S ˜ ( t ) → S * ( t ) 。从而得无病周期解全局吸引性。证毕。 下面，我们将研究系统(2)的持久性。 定理2：系统(2)是持久的，如果下面条件成立 R 2 = β ( 1 − p ) ( 1 − e − μ T ) [ 1 − ( 1 − p ) e − μ T ] [ γ + μ ] > 1. 证明：假设 X ( t ) = ( S ( t ) ， I ( t ) ) 是系统(2)满足初始条件 X ( 0 + ) = ( S ( 0 + ) ， I ( 0 + ) ) 的任意一个正解。我们首先将证明 S ( t ) 有正的下确界，由系统(2)的第一、三个方程，得 { S ′ ( t ) ≥ μ − ( β + μ ) S ( t ) ， t ≠ n T S ( t + ) = ( 1 − p ) S ( t ) ， t = n T 对 ∀ ε 0 > 0 ， ∃ T 0 > 0 ，使得当 t > T 0 时，有 S ( t ) ≥ S 0 ∗ ( t ) − ε ，其中 S 0 ∗ ( t ) 为下述系统 { S ′ 0 ( t ) = μ − ( β + μ ) S 0 ( t ) ， t ≠ n T S 0 + ( t ) = ( 1 − p ) S 0 ( t ) ， t = n T 全局吸引的正周期解。 S 0 ∗ ( t ) 在 [ 0 ， T ] 上的最小值为 S 0 ∗ ( 0 ) = μ ( 1 − p ) ( 1 − e − ( β + μ ) T ) ( β + μ ) [ 1 − ( 1 − p ) e − ( β + μ ) T ] . 从而，当 t > T 0 时，有 S ( t ) ≥ S 0 ∗ ( 0 ) − ε 0 = μ ( 1 − p ) ( 1 − e − ( β + μ ) T ) ( β + μ ) [ 1 − ( 1 − p ) e − ( β + μ ) T ] − ε 0 : = m s > 0. 故 lim t → ∞ inf S ( t ) ≥ m s 。 下面我们将证明 I ( t ) 有正的下确界。否则，对于任意充分小的 δ > 0 ，存在 N > 0 ，使得 I ( t ) 满足：(i) t ≥ N T 时，使得 I ( t ) < δ 成立；(ii) t ≥ N T 时，使得 I ( t ) 关于 δ 振荡。 如果(i)成立，那么 { S ′ ( t ) ≥ μ − β S ( t ) δ − μ S ( t ) ， t ≠ n T S ( t + ) = ( 1 − p ) S ( t ) ， t = n T 利用比较原理和引理1 { S ′ 3 ( t ) ≥ μ − β S 3 ( t ) δ − μ S 3 ( t ) ， t ≠ n T S 3 ( t + ) = ( 1 − p ) S 3 ( t ) ， t = n T 根据引理1，得上面系统的全局稳定周期正解 S 3 ∗ ( t ) ，它在 [ 0 ， T ] 上的最小值为 S 3 ∗ ( 0 ) = μ ( 1 − p ) ( 1 − e − ( β δ + μ ) T ) ( β δ + μ ) [ 1 − ( 1 − p ) e − ( β δ + μ ) T ] . 从而，对任意给定 ε ≪ 1 ，当 t ≥ T 1 时(T 1 为充分大的常数)，有 S ( t ) ≥ S 3 ∗ ( 0 ) − ε = μ ( 1 − p ) ( 1 − e − ( β δ + μ ) T ) ( β δ + μ ) [ 1 − ( 1 − p ) e − ( β δ + μ ) T ] − ε : = ω > 0. 构造函数： W ( t ) = I ( t ) + β ∫ 0 τ f ( u ) ∫ t − u t S ( θ ) I ( θ ) d θ d u     . 根据方程(2)，我们计算 V ( t ) 导数 W ′ ( t ) = I ′ ( t ) + β ∫ 0 τ f ( u ) ( S ( t ) I ( t ) − S ( t − s ) I ( t − s ) ) d u = β ∫ 0 τ f ( u ) S ( t ) I ( t ) d u − [ γ + μ ] I ( t ) = [ γ + μ ] [ β S ( t ) ∫ 0 τ f ( u ) d u γ + μ − 1 ] I ( t ) = [ γ + μ ] [ β S ( t ) γ + μ − 1 ] I ( t ) (5) 将 S ( t ) ≥ ω 代入得 W ′ ( t ) ≥ [ γ + μ ] [ β ω γ + μ − 1 ] I ( t ) . 令 m = min t ∈ [ T 1 ， T 1 + τ ] I ( t ) > 0 ，则对于所有 t > T 2 ， I ( t ) ≥ m 成立。否则存在 T 2 > 0 ，使得当 t ∈ [ T 1 ， T 1 + τ + T 2 ] 时，有 I ( t ) ≥ I l m 且 I ( T 1 + τ + T 2 ) = m ， I ′ ( T 1 + τ + T 2 ) ≤ 0 。由系统(2)有 I ′ ( T 1 + τ + T 2 ) ≥ [ γ + μ ] [ β ω γ + μ − 1 ] I l > 0 矛盾。故对于所有 t > T 2 ，有 I ( t ) ≥ I l > 0 。由于 R 2 > 1 ，且 ε ， δ 任意小，我们不妨设 β ω γ + μ > 1 ，那么 W ′ ( t ) ≥ [ γ + μ ] [ β ω γ + μ − 1 ] I l > 0 ， 从而这与 W ( t ) 的有界性矛盾。故情况(i)不成立。 若(ii)成立，即 I ( t ) 在 δ 1 处震荡，即存在无穷序列 t 1 < t 2 < ⋯ < t 2 k − 1 < t 2 k < t 2 k + 1 < ⋯ 有： I ( t 2 k − 1 ) = I ( t 2 k ) = δ ， I ( t ) < δ + ε ， t ∈ [ t 2 k − 1 ， t 2 k ] ; (7) I ( t 2 k ) = I ( t 2 k + 1 ) = δ ， I ( t ) ≥ δ ， t ∈ [ t 2 k ， t 2 k + 1 ] . (8) 如果 sup k { t 2 k − t 2 k } = ∞ ，即对任意大的 l > 0 ，存在k，使得 I ( t ) < δ + ε ， t ∈ [ t 2 k − 1 ， t 2 k − 1 + l ] ⊂ [ t 2 k − 1 ， t 2 k ] ， 利用情形(i)的证明思路，不难得到矛盾。因此， L : = sup k { t 2 k − t 2 k + 1 } < ∞ ，注意到 I ′ ( t ) ≥ − [ γ + μ ] I ( t ) ， t ≥ 0. 那么对任意k，有： I ( t ) ≥ I ( t 2 k − 1 ) e − [ γ + μ ] ( t − t 2 k − 1 ) ≥ δ e − [ γ + μ ] L ， t ∈ [ t 2 k − 1 ， t 2 k ] . 再结合(8)式，我们有 I ( t ) ≥ δ e − [ γ + μ ] L ， t ≥ t 1 。这与系统解不存在正的下确界矛盾。 注意到上述 δ 的选取与系统(2)的正解选取无关。故存在充分大的t和 δ 0 使得 I ( t ) ≥ δ 0 成立。因此，当 R 2 > 1 时，系统(2)是持久的。