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user: 2. 基本方程和边界条件 2.1. 基本方程的建立 S型波纹管膜片为圆环轴对称结构，取一半如图1所示，右边虚线为对称轴，a为波纹管膜片的外径，c为内径，b为对称中心到S型弧外侧的距离，d为对称中心到S型弧内侧的距离，h为对称中心到S型弧中间的距离，f为矢高，膜片的内外边界分别自由和固定。在膜片上施加一个均布载荷q，在内径边缘施加集中力P，如图2所示。因波纹管结构的膜片是内外焊接而成，相对变形可简化为一端固定一端自由。 图1. 膜片模型简化图 图2. 膜片力学模型图 初挠度为： w 01 = − f [ r − ( d + 3 R ) ] 2 R 2 ， d w 01 d r = − f 2 [ r − ( d + 3 R ) ] R 2 w 02 = f [ r − ( d + R ) ] 2 R 2 ， d w 02 d r = f 2 [ r − ( d + R ) ] R 2 S型波纹管膜片在静态载荷下的基本方程组： D 1 r d d r r d d r 1 r d d r r d w d d r = q j + 1 r d d r [ r N r j ( d w j d r + λ 1 d w 0 d r + λ 2 d w 0 d r ) ] (1) 1 E h r d d r 1 r d d r ( r 2 N r j ) = − 1 2 ( d w j d r + λ 1 d w 0 d r + λ 2 d w 0 d r ) d w d d r (2) 将S型波纹管的膜片在动静载荷作用下发生的非线性大挠度看作波纹管膜片具有的初挠度，并将惯性项与阻尼项计算其中，计算出在动静载荷下轴对称非线性基本方程。 D 1 r d d r r d d r 1 r d d r r d w d d r = q d + 1 r d d r [ r N r j d w d d r + r N r d ( d w j d r + d w d d r + λ 1 d w 0 d r + λ 2 d w 0 d r ) ] − c ′ d w d d t − γ d 2 w d d t 2 (3) 1 E h r d d r 1 r d d r ( r 2 N r d ) = − 1 2 ( d w d d r + d w j d r + λ 1 d w 0 d r + λ 2 d w 0 d r ) d w d d r (4) “ λ 1 ”和“ λ 2 ”为引入的两个关于a的阶梯函数，分别为： λ 1 ， λ 2 取值： λ 1 = { 1 ， c a ≤ x ≤ d a 0 ， 其 他 ， λ 2 = { − 1 ， h a ≤ x ≤ b a 1 ， d a ≤ x ≤ h a 0 ， 其 他 E代表杨氏模量， D = E h 3 12 ( 1 − μ 2 ) ， c ′   代表S型波纹管膜片的阻尼系数， w 0 代表初挠度， γ 代表S 型波纹管膜片的单位面积的体密度， μ 代表泊松比。 对方程(3) (4)进行哈密尔顿原理和变分可得，非线性动力学变分方程和协调方程。 ∫ t 1 t 2 ∫ c a { D 1 r ∂ ∂ r r ∂ ∂ r 1 r ∂ ∂ r r ∂ ∂ r ( w d ) − q d − 1 r ∂ ∂ r [ r N r j ∂ w d ∂ r + r N r d ( ∂ w j ∂ r + ∂ w d ∂ r + λ 1 ∂ w 0 ∂ r + λ 2 ∂ w 0 ∂ r ) ] − P 2 π + c ∂ w d ∂ t + γ ∂ 2 w d ∂ t 2 } r δ w d d r d t = 0 (5) 1 E h r ∂ ∂ r 1 r ∂ ∂ r ( r 2 N r d ) = − [ 1 2 ( ∂ w d ∂ r ) 2 + ∂ w j ∂ r ∂ w d ∂ r + λ 1 ∂ w d ∂ r ∂ w 0 ∂ r + λ 2 ∂ w d ∂ r ∂ w 0 ∂ r ] (6) 边界条件为： r = a ，   w d ( 1 ) = 0 ，   d w d ( 1 ) d r = 0 ，   d d r ( r N r ( 1 ) ) − μ N r ( 1 ) = 0 (7) 自由周边处： r = c ，   d 2 w d ( 4 ) d r 2 + μ r d w d ( 4 ) d r = 0 ，   N r ( 4 ) = 0 (8) 连续处： r = b ，   w d ( 1 ) = w d ( 2 ) ，   d w d ( 1 ) d r = d w d ( 2 ) d r ，   M r ( 1 ) = M r ( 2 ) ，   N r ( 1 ) = N r ( 2 ) ，   N θ ( 1 ) = N θ ( 2 ) (9) r = h ，   w d ( 2 ) = w d ( 3 ) ，   d w d ( 2 ) d r = d w d ( 3 ) d r ，   M r ( 2 ) = M r ( 3 ) ，   N r ( 2 ) = N r ( 3 ) ，   N θ ( 2 ) = N θ ( 3 ) (10) r = d ，   w d ( 3 ) = w d ( 4 ) ，   d w d ( 3 ) d r = d w d ( 4 ) d r ，   M r ( 3 ) = M r ( 4 ) ，   N r ( 3 ) = N r ( 4 ) ，   N θ ( 3 ) = N θ ( 4 ) (11) 2.2. 基本方程和边界条件的无量纲化 x = r a ，   W = w h ，   S = 12 a ( 1 − μ 2 ) r N r a E h 3 ，   β Q = 12 a 4 ( 1 − μ 2 ) q E h 4 ，   k = f 2 a 2 R 2 h ，   ϕ 1 = f 2 a ( d + 3 R ) R 2 h ， ϕ 2 = − f 2 a ( d + R ) R 2 h ，   c ″ = 12 a 4 ( 1 − μ 2 ) E h 3 c ′ ，   γ 1 = 12 a 4 ( 1 − μ 2 ) E h 3 γ ，   α = 6 ( 1 − μ 2 ) 把以上量纲带入(5) (6)，计算求出无量纲变分方程(12)： ∫ 0 2 π ∫ c a 1 { L 1 ( W d ) − Q − 1 x ∂ ∂ x [ S j ∂ W d ∂ x + S d ( ∂ W j ∂ x + ∂ W d ∂ x + λ 1 ( ϕ 1 − k x ) + λ 2 ( k x − ϕ 2 ) ) ]   + c ″ ∂ W d ∂ τ + γ 1 ∂ 2 W d ∂ τ 2 } x W d d x d τ = 0 (12) 无量纲变形协调方程： L 2 ( x S d ) = − [ α ( ∂ W d ∂ x ) 2 + 2 α ∂ W j ∂ x ∂ W d ∂ x + 2 α ∂ W d ∂ x ( λ 1 ( ϕ 1 − k x ) + λ 2 ( k x − ϕ 2 ) ) ] (13) 其中 L 1 = 1 x ∂ ∂ x x ∂ ∂ x 1 x ∂ ∂ x x ∂ ∂ x ， L 2 = x ∂ ∂ x 1 x ∂ ∂ x 。 由无量纲表示的边界条件为： 固定周边处： x = 1 ，   W d(1) = 0 ，   d W d ( 1 ) d x = 0 ，   d S d ( 1 ) d x − μ S d ( 1 ) = 0 (14) 自由周边处： x = c a ，   d 2 W d ( 4 ) d x 2 + μ x d W d ( 4 ) d x = 0 ，   S d ( 4 ) = 0 (15) 连续处： x = b a ，   W d ( 1 ) = W d ( 2 ) ，   d 2 W d ( 1 ) d x 2 + μ x d W d ( 1 ) d x = d 2 W d ( 2 ) d x 2 + μ x d W d ( 2 ) d x ， d W d ( 1 ) d x = d W d ( 2 ) d x ，   S d ( 1 ) = S d ( 2 ) ，   d d x ( x S d ( 1 ) ) = d d x ( x S d ( 2 ) ) (16) x = h a ，   W 2 ( 2 ) = W d ( 3 ) ，   d 2 W d ( 2 ) d x 2 + μ x d W d ( 2 ) d x = d 2 W d ( 3 ) d x 2 + μ x d W d ( 3 ) d x ， d W d ( 2 ) d x = d W d ( 2 ) d x ，   S d ( 2 ) = S d ( 3 ) ，   d d x ( x S d ( 2 ) ) = d d x ( x S d ( 3 ) ) (17) x = d a ，   W d ( 3 ) = W d ( 4 ) ，   d 2 W d ( 3 ) d x 2 + μ x d W d ( 3 ) d x = d 2 W d ( 4 ) d x 2 + μ x d W d ( 4 ) d x ， d W d ( 3 ) d x = d W d ( 4 ) d x ，   S d ( 3 ) = S d ( 4 ) ，   d d x ( x S d ( 3 ) ) = d d x ( x S d ( 4 ) ) (18)