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user: 6. 实证分析 6.1. 基于线性回归的指数追踪模型的实证分析 我们分别考虑① λ 1 = 1 和 λ 2 = 0 ，② λ 1 = 0 和 λ 2 = 1 ，③ λ 1 = 0.5 和 λ 2 = 0.5 这三种情况。第①种情况指投资者十分看重风险，只想获得基础的收益；第②情况指投资者不考虑投资风险，只想得到跟目标指数相同的收益；第③种情况则是投资者对风险和收益同样看重。我们将会在每种情况下分别对K = 5，10，15进行分析。 1) λ 1 = 1 和 λ 2 = 0 ，我们得到如表1的结果。 Table 1 Tracking error table for different stock selections in the training set (1 K TE MINTD MAXTD TTD 最大权重选股法 5 0.00780711 −0.01406375 0.03783026 0.05189401 10 0.00437987 −0.01039402 0.01508337 0.02547740 15 0.00314657 −0.00626647 0.01773076 0.02399723 最大市值选股法 5 0.00556586 −0.01925019 0.02352433 0.04277452 10 0.00479479 −0.01686538 0.02092448 0.03778986 15 0.00450067 −0.01610522 0.01527108 0.03137629 最大相关系数选股法 5 0.00293484 −0.00828190 0.00735896 0.01564085 10 0.00518272 −0.01633555 0.01848220 0.03481775 15 0.00654416 −0.01795243 0.02240873 0.04036116 表1. 训练集中不同选股的跟踪误差表(1) 从表1中可以知道，最大权重选股法和最大市值选股法的追踪误差、最大偏差和最小偏差之间的差距都是随着K值的增加而减小的，且最大权重选股法的追踪误差比最大市值选股法的追踪误差减小的跨度更大，最大相关系数选股法得到的追踪误差、最大偏差和最小偏差之间的差距则都是随着K值的增加而变大。随着K值的增加，最大权重选股法所选的股票在上证50所占的权重越来越大，因此能够更好的拟合上证50。最大市值选股法跟最大权重选股法类似，因为上证50成分股的选取方法需要参考市值，且市值越大的越有可能所得到的权重越大，所以能够越来越好的拟合上证50。而最大相关系数选股法这是根据股票与上证50的走势相关程度选取的股票，也就是说所选出来的股票本身就跟上证50的走势非常相似，而 λ 1 = 1 ， λ 2 = 0 则只要求追踪组合注重收益，不注重走势，会出现随着K值的增加而变大的原因可能是前5只股票已经能够很好的拟合上证50，限于对单只股票的最小权重为0.01的约束，反而分散了之前的效果。 下面我们来看看在不同的选股方法下得到的 α 和 β 值，如表2所示： Table 2 Table of coefficient values for different stock selections in the training set (1 K α β 最大权重选股法 5 −1.83E−04 0.99296833 10 1.52E−14 0.93530902 15 −4.33E−13 0.80895191 最大市值选股法 5 −1.86E−13 1.05356978 10 −2.65E−14 0.96367029 15 −3.79E−13 0.90263570 最大相关系数选股法 5 −1.90E−14 0.88954092 10 −4.08E−13 0.79603920 15 −3.25E−14 0.71179569 表2. 训练集中不同选股的系数值表(1) 从表2中可以看出，三种方法的 β 值都会随着K值的增大而减小，且并不非常接近于1，而 α 值的变化与K值的关系不明显，但大部分的 α 值都达到了10 −13 级别，几乎可以认为为零了。现在来分析一下出现这种情况的原因，由于第①种情况就是完全只考虑 min | α − 0 | ，并且对 min | β − 1 | 完全不考虑，也就相当于只考虑 α = 0 ，不考虑 β = 1 ，这就导致出现了之前说的现象。 为了更直观的知道追踪组合在训练集与上证50收益的对比，同时结合表1和表2，我们分别给出在K = 15时的最大权重选股法和K = 5时的最大相关系数选股法在训练集中得到的追踪组合和上证50收益的对比图。 图1. 第①情况下最大权重选股法 图2. 第①情况下最大相关系数选股法 从图1、图2中我们可以看出这两种方法在所对应的K值下都可以很好的追踪上证50的收益。我们给出在这两种情况下追踪组合的表达式。 a) 最大权重选股法在K = 15时的追踪组合为： (6.1) 现在用该组合在测试集上进行测试，并与上证50进行比较，结果如图3所示： 图3. 第①情况下最大权重选股法预测图 此时的追踪误差(TE)为0.003067114107119，最大误差(MAXTD)为0.013027713614942，最小误差(MINTD)为−0.005054363525322，TTD的差距为0.018082077140264。从图3中看出，所构建的追踪组合对上证50的拟合效果很好。 b) 最大相关系数选股法在K = 5时的追踪组合为： y t = 0.19268375 ∗ 招 商 证 券 + 0.21163009 ∗ 中 国 平 安 + 0.16943079 ∗ 华 夏 银 行     + 0.20324995 ∗ 中 国 建 设 + 0.22300542 ∗ 工 商 银 行 (6.2) 将模型运用在测试集上，求出结果，并与上证50进行对比，结果如图4所示： 图4. 第①情况下最大系数选股法预测图 有TE = 0.002436240507776，MAXTD = 0.004084423670680，MINTD = −0.006281093979794，TTD = 0.010365517650473，所以追踪效果比较理想。对比最大权重选股法所得到的各值，可以发现在第①情况下我们使用最大系数法得到的追踪组合(6.2)的追踪效果更好。 2) λ 1 = 0.5 和 λ 2 = 0.5 。与第①情况的解答过程相似，得到不同选股方法在训练集中的结果，具体如表3： Table 3 Tracking error tables for different stock selections in the training set (2 K TE MINTD MAXTD TTD 最大权重选股法 5 0.00771768 −0.01363604 0.02864417 0.04228021 10 0.00553070 −0.01088305 0.02299540 0.03387845 15 0.00548098 −0.01086067 0.02174927 0.03260994 最大市值选股法 5 0.00490047 −0.01724971 0.01977285 0.03702255 10 0.00534804 −0.01815251 0.02378444 0.04193696 15 0.00583722 −0.01843911 0.02298435 0.04142345 最大相关系数选股法 5 0.00397358 −0.00762612 0.01748475 0.02511087 10 0.00364280 −0.00865190 0.01731564 0.02596754 15 0.00386472 −0.00857005 0.01705887 0.02562891 表3. 训练集中不同选股的跟踪误差表(2) 从表3中可以看出，最大权重选股法的追踪误差、最大误差和最小误差之间的差距是随着K值的增加而减小的；最大市值选股法的追踪误差是随着K值的增加而变大，最大误差与最小误差之间的差距变化趋势不明显；最大相关系数选股法的追踪误差，最大误差和最小误差之间的差距的变化趋势均不明显，其中K = 10的追踪误差最小。但是总体上来看的话最大相关系数选股法是最好的，其次是最大市值选股法，最大权重选股法则最不好。接下来我们来看看不同选股方法下得到的 α 和 值，如表4所示： Table 4 Table of coefficient values for different stock selections in the training set (2 K β 最大权重选股法 5 −7.11E−04 0.9999999977 10 −5.59E−04 0.9999999963 15 −5.31E−04 0.9999999993 最大市值选股法 5 1.70E−04 0.9999999937 10 −8.00E−05 0.9999999999 15 −2.22E−04 0.9999999931 最大相关系数选股法 5 −6.37E−05 0.9999999934 10 −1.04E−04 0.9999999980 15 −1.80E−04 0.9999999999 表4. 训练集中不同选股的系数值表(2) 从表4中可以看出，三种方法的 α 值都是在10 −4 ~10 −5 级别，而 β 值都十分接近于1了，这是因为第②种情况是同样重视 min | α − 0 | 和 min | β − 1 | 的，即同等考虑 α = 0 和 β = 1 。且 α 值的变化只有最大权重法是随着K值的增加而变小，其他两种方法变化趋势不明显；而 β 值只有最大相关系数法是随着K值的增加而增加的，其他两种方法也不明显。 综合表3和表4，我们选取最大市值选股法在K = 10时与最大相关系数法在K = 15时的追踪组合，并分别做出它们在训练集与上证50收益的对比图。 图5. 第②情况下最大市值选 图6. 第②情况下最大相关系数选股法 从图5和图6中可以看出追踪组合可以很好的追踪上证50的走势，虽然某些时候收益不如上证50，但是趋势基本相同。下面我们给出这两种选股方法在对应的K值下追踪组合的表达式。 a) 最大市值选股法在K = 10时的追踪组合为： (6.3) 用该追踪组合在测试集上进行测试并与上证50进行比较，结果如图7所示： 图7. 第②情况下最大市值选股法预测图 有TE = 0.002654323796411，MAXTD = 0.006012923913141，MINTD = -0.007081818650823，TTD = 0.013094742563964，预测的效果还是不错的。 b) 最大相关系数选股法在K = 15时的追踪组合为： y t = 0.02787847 ∗ 招 商 证 券 + 0.05836566 ∗ 中 国 平 安 + 0.05093911 ∗ 华 夏 银 行     + 0.03419192 ∗ 中 国 建 设 + 0.44478759 ∗ 工 商 银 行 + 0.02772875 ∗ 中 信 证 券     + 0.02798614 ∗ 方 正 证 券 + 0.02621516 ∗ 国 金 证 券 + 0.08790818 ∗ 兴 业 银 行     + 0.06640021 ∗ 光 大 银 行 + 0.02996609 ∗ 中 国 人 寿 + 0.03408309 ∗ 中 国 太 保     + 0.02776262 ∗ 海 螺 水 泥 + 0.02672472 ∗ 华 泰 证 券 + 0.02906230 ∗ 国 泰 君 安 (6.4) 将该追踪组合的模型在测试集上进行测试并与上证50进行比较，如图8所示： 图8. 第②情况下最大相关系数选股法预测图 且有TE = 0.002719254704326，MAXTD = 0.006396698582851，MINTD = −0.007275034013586，TTD = 0.013671732596436，与最大市值法的预测结果相对比略有不足。 3) λ 1 = 0 和 λ 2 = 1 通过不同的选股方法，得到了如表5的追踪误差表： Table 5 Tracking error tables for different stock selections in the training set (3 K TE MINTD MAXTD TTD 最大权重选股法 5 0.00773147 −0.01372090 0.02856605 0.04228695 10 0.00564651 −0.01088297 0.02317750 0.03406047 15 0.00553598 −0.01088118 0.02199408 0.03287526 最大市值选股法 5 0.00489974 −0.01725042 0.01977915 0.03702958 10 0.00554149 −0.01805036 0.02410933 0.04215970 15 0.00593996 −0.01837904 0.02304957 0.04142861 最大相关系数选股法 5 0.00397381 −0.00762100 0.01752080 0.02514181 10 0.00363960 −0.00839328 0.01742451 0.02581780 15 0.00386855 −0.00843413 0.01709347 0.02552760 表5. 训练集中不同选股的跟踪误差表(3) 表5告诉了我们最大权重选股法的追踪误差、最大误差和最小误差直接的差距随着K值的增加而减小；最大市值选股法和最大相关系数选股法的这两个值变化与K值的关系不明确，其中最大市值法在K = 5时各值都为最小，而最大相关系数法在K = 10时追踪误差最小。但是总体上来看的话，最大相关系数选股法是优于其余两种选股法的。下面来讨论一下各方法得到的 α 和 β 值，如表6所示。 Table 6 Table of coefficient values for different stock selections in the training set (3 K α β 最大权重选股法 5 −7.15E−04 0.999999993 10 −6.29E−04 0.999999993 15 −5.64E−04 0.999999998 最大市值选股法 5 1.71E−04 0.999999988 10 −2.36E−04 0.999999991 15 −3.06E−04 0.999999996 最大相关系数选股法 5 −6.46E−05 0.999999999 10 −1.25E−04 0.999999999 15 −1.89E−04 0.999999995 表6. 训练集中不同选股的系数值表(3) 从表6可以看出，所有的 β 值都是非常接近于1，而 α 都是在10 −4 ~10 −5 级别上的，这显然是因为第③情况导致的。第③情况是只重视 min | β − 1 | ，而不关心 min | α − 0 | ，所以会出现如此情况。但是和表4对比，两者差距并不大。也就是说，只要对 min | β − 1 | 的重视程度达到了一半以上，那么模型的 β 值都会非常接近1。因此我们选择最大市值选股法在K = 10时与最大相关系数法在K = 10时构建追踪组合，此刻省略它们在训练集上与上证50的对比图。下面分别给出它们所构建的追踪组合的具体表达式。 a) 最大市值选股法在K = 10时的追踪组合为： y t = 0.14196729 ∗ 工 商 银 行 + 0.08567349 ∗ 中 国 石 油 + 0.11568688 ∗ 中 国 银 行     + 0.13745083 ∗ 农 业 银 行 + 0.06920198 ∗ 中 国 人 寿 + 0.08546269 ∗ 中 国 石 化     + 0.09877374 ∗ 中 国 平 安 + 0.09337528 ∗ 招 商 银 行 + 0.10378138 ∗ 交 通 银 行     + 0.06862643 ∗ 贵 州 茅 台 (6.5) 用该组合在测试集上进行预测，将得到的结果与上证50进行比较，如图9所示。 有TE = 0.002659695694857，MINTD = −0.007891735554979，MAXTD = 0.006239609992775，TTD = 0.014131345547754，预测的追踪效果接近第②情况下最大市值选股法预测效果，也是较好的。 b) 最大相关系数选股法在K = 10时的追踪组合为： y t = 0.04495734 ∗ 招 商 证 券 + 0.09541614 ∗ 中 国 平 安 + 0.08110983 ∗ 华 夏 银 行     + 0.05660110 ∗ 中 国 建 设 + 0.34684853 ∗ 工 商 银 行 + 0.04540740 ∗ 中 信 证 券     + 0.04516149 ∗ 方 正 证 券 + 0.04243384 ∗ 国 金 证 券 + 0.14232487 ∗ 兴 业 银 行     + 0.09973946 ∗ 光 大 银 行 将该追踪组合的模型在测试集上进行测试并与上证50进行比较，如图10所示。 且TE = 0.002416360442177，MAXTD = 0.005831475971354，MINTD = −0.006883036973713，TTD = 0.012714512945067，略好于最大市值法。 图9. 第③情况下最大市值选股法预测图 图10. 第③情况下最大相关系数选股法预测图 6.2. 基于分位数回归的指数追踪模型的实证分析 为了让读者更清晰的感受到不同的q值对模型拟合的影响，本文选取了分位数 q = 0.2 ， 0.5 ， 0.8 三个值，并将模型在训练集中的拟合结果根据选股法的不同而分别放在一起。 从表7~9可以看出，三种选股方法在相同的股票组合时，在q，K不变时，而 λ 1 和 λ 2 变化，此时各拟合结果的变化情况较小；在K、 λ 1 和 λ 2 保持不变时，q增大，TE和TTD的变化不明显，但是 α 和 β 的值变化还是比较明显的；当然，当q、 λ 1 和 λ 2 不变时，只有K变化时，各拟合结果的变化也较大。 基于分位数回归的指数追踪模型的拟合效果是不如基于线性回归的指数追踪的拟合效果的，甚至可以说差距挺大。最大权重选股法和最大市值选股法的训练集内的追踪误差大致在0.01~0.016之间，TTD更是高达0.08，同时 α 的值大多数都在10 −1 级别，远不如4.3节的10 −4 ~10 −5 级别。因此，本节不给出在测试集中的拟合结果。 Table 7 Fitting results of the maximum weight stock selection method in the training se λ 1 ， λ 2 ，q K的取值 α β 最大权重选股法 1，0，0.2 5 1.32578E−09 0.997916111 10 −0.0493879141 1.047250169 15 −0.1574067376 1.155241607 0.5，0.5，0.2 5 −0.0020825678 0.999999986 10 −0.0493879145 1.04725017 15 −0.1574067384 1.155241608 0，1，0.2 5 −0.0020835362 0.999999992 10 −0.0493880618 1.047250317 15 −0.1574068425 1.155241712 1，0，0.5 5 4.8038E−09 1.000266604 10 −0.0238495996 1.024135144 15 −0.1266058298 1.126865413 0.5，0.5，0.5 5 1.33655E−08 1.000266466 10 −0.0238496001 1.024135144 15 −0.1266058296 1.126865413 0，1，0.5 5 0.0002666993 0.999999994 10 −0.0238495856 1.02413513 15 −0.1266005911 1.126860176 1，0，0.8 5 2.77951E−09 1.002522507 10 1.52834E−09 1.002577145 15 −0.0780765879 1.080673506 0.5，0.5，0.8 5 2.38606E−09 1.002521921 10 1.2001E−08 1.002577104 15 −0.0780765879 1.080673506 0，1，0.8 5 0.0025231232 0.999999993 10 0.0025776699 0.999999992 15 −0.0780766759 1.080673594 表7. 训练集中最大权重选股法的拟合结果 Table 8 Fitting results of the largest market value picking method in the training se λ 1 ， λ 2 ，q K的取值 α β 最大市值选股法 1，0，0.2 5 −2.0593439535 3.055988364 10 −0.0981739446 1.095987303 15 −0.1781723828 1.175936141 0.5，0.5，0.2 5 −2.0593439534 3.055988364 10 −0.0981739446 1.095987303 15 −0.1781723841 1.175936143 最大市值选股法 0，1，0.2 5 −2.0593439538 3.055988364 10 −0.0981739447 1.095987303 15 −0.1781724835 1.175936242 1，0，0.5 5 −1.9638144477 2.963855646 10 −0.0747304837 1.074998948 15 −0.1571322358 1.157368909 0.5，0.5，0.5 5 −1.9638144468 2.963855646 10 −0.0747338397 1.075002303 15 −0.1571323127 1.157368986 0，1，0.5 5 −1.9638147698 2.963855968 10 −0.0747338401 1.075002303 15 −0.1571323135 1.157368987 1，0，0.8 5 −1.5898791992 2.592302569 10 −0.0268382774 1.029396884 15 −0.1124381460 1.114995013 0.5，0.5，0.8 5 −1.9638144468 2.963855646 10 −0.0268382774 1.029396884 15 −0.1124381465 1.114995014 0，1，0.8 5 −1.9638147698 2.963855968 10 −0.0747338401 1.075002303 15 −0.1571323135 1.157368987 表8. 训练集中最大市值选股法的拟合结果 Table 9 Fitting results of the maximum correlation coefficient stock selection method in the training se λ 1 ， λ 2 ，q K的取值 α β 最大相关系数选股法 1，0，0.2 5 −0.8684075516 1.866827228 10 −0.9648677602 1.96306862 15 −1.0543569470 2.052480171 0.5，0.5，0.2 5 −0.8684089915 1.866828666 10 −0.9648677578 1.963068618 15 −1.0543569488 2.052480173 0，1，0.2 5 −0.8684089920 1.866828667 10 −0.9648677555 1.963068615 15 −1.0543569508 2.052480175 1，0，0.5 5 −1.0073057835 2.007383577 10 −0.9504963885 1.950492607 15 −1.0448375084 2.044825207 0.5，0.5，0.5 5 −1.0073072130 2.007385007 10 −0.9504963886 1.950492608 15 −1.0448375085 2.044825207 最大相关系数选股法 0，1，0.5 5 −1.0073072131 2.007385007 10 −0.9504963886 1.950492608 15 −1.0448375086 2.044825207 1，0，0.8 5 −0.8368234654 1.837963817 10 −0.9825242094 1.983748709 15 −1.0788469296 2.080165672 0.5，0.5，0.8 5 −0.8368294026 1.837969758 10 −0.9825242077 1.983748707 15 −1.0788469265 2.080165669 0，1，0.8 5 −0.8368294024 1.837969758 10 −0.9825242060 1.983748705 15 −1.0788469234 2.080165666 表9. 训练集中最大相关系数选股法的拟合结果