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user: 3. 广义Keune 符号的若干性质 定义3.1：设R是环， K R 是由如下生成元和关系所决定的群： 生成元： 〈 a ， b ， c 〉 ，其中 a ， b ， c ∈ R 且 a + c − a b c ∈ U ( R ) ； 关系：K1) 〈 a ， b ， c 〉 − 1 = 〈 c ， b ， a 〉 ； K2) 〈 a ， b ， d 〉 = 〈 u b ， d u − 1 ， ( 1 − a b ) 〉 ； K3) 〈 a ， b + c − b a c ， d 〉 = 〈 a ， b ， ( 1 − a c ) d 〉 ⋅ 〈 a ， c ， d ( 1 − b a ) 〉 ； K4) 〈 a ， b ， c 〉 = 〈 a γ − 1 ， γ b ， c γ − 1 〉 ，其中 γ ∈ U ( R ) ； K5) 〈 A ， B ， C 〉 〈 a ， b ， c 〉 〈 A ， B ， C 〉 − 1 = 〈 a ， b ， c 〉 x ， 其中 x = ( A + C − A B C ) ( A + C − C B A ) − 1 ， 〈 a ， b ， c 〉 x = 〈 x a ， b x − 1 ， x c 〉 。称 〈 a ， b ， c 〉 为广义Keune符号。 显然存在同态 ψ : K R → K ( R ) ， τ : K R → E n ( R ) ， 〈 a ， b ， c 〉 ↦ 〈 a ， b ， c 〉 1 。令 τ = φ ψ ，即同态 τ : K R → E n ( R ) 。 定义3.2：若 a ， b ∈ R ，且 1 − a b ， u ， v ∈ U ( R ) ， β = 1 − b a 。定义 〈 a ， b 〉 = 〈 a − 1 ， − 1 ， b − 1 〉 ， { u ， v } = 〈 u ( v − 1 ) ， u − 1 〉 ，我们称 〈 a ， b 〉 为Dennis-Stein符号， { u ， v } 为Steinberg符号。 令 D R 是由所有 〈 a ， b 〉 生成的 K R 的子群， S R 是由所有 { u ， v } 生成的 K R 的子群。若 u ∈ U ( R ) ，记 a u = u a u − 1 ， { v ， w } u = { u v u − 1 ， u w u − 1 } ， 〈 a ， b 〉 u = 〈 u a u − 1 ， u b u − 1 〉 由 [ 4 ] ，我们有 命题3.3：下列结论在 D R 中成立： D1) 〈 a ， b 〉 − 1 = 〈 b ， a 〉 ； D2) 〈 b + c − b a c ， a 〉 = 〈 c ， a 〉 1 − b a ⋅ 〈 b ， a 〉 ； D3) 〈 a ， b c 〉 〈 b ， c a 〉 〈 c ， a b 〉 = 1 ； D4) 〈 a ， b 〉 〈 c ， d 〉 〈 a ， b 〉 − 1 = 〈 c ， d 〉 π ，其中 π = ( 1 − a b ) ( 1 − b a ) − 1 。 命题3.4：下列结论在 D R 中成立： S1) { u ， 1 − u } = 1 ； S2) { u ， − u } = 1 ； S3) { u ， v w } = { u ， v } ⋅ { u ， w } v ； S4) { u v ， w } = { v ， w } u { u ， w } 。 由上述命题很容易得到如下两个命题： 命题3.5：下列结论在 D R 中成立： D5) 〈 a + c ， b 〉 = 〈 c α − 1 ， b α 〉 〈 a ， b 〉 ， 〈 a ， b + c 〉 = 〈 a ， b 〉 〈 a β ， c β − 1 〉 ，其中 α = 1 − a b ， β = 1 − b a ； D6) 〈 a ， 0 〉 = 〈 0 ， b 〉 = 1 。 命题3.6：下列结论在 D R 中成立： S5) { u ， v } { v ， u } = 1 ； S6) { u ， 1 } = { 1 ， u } = 1 ； S7) { u ， v w } { v ， w u } { w ， u v } = 1 ； S8) { v ， u } = { u − 1 ， v } u = { u − 1 ， v u } ； S9) { u ， v } { u ′ ， v ′ } { u ， v } − 1 = { u ′ ， v ′ } [ u ， v ] 。 命题3.7：下列结论在 D R 中成立： 1) { v ， v } u = { v ， v } ，其中 u ， v ∈ U ( R ) ； 2) { u v ， u v } = { u ， u } { v ， v } ，其中 u ， v ∈ U ( R ) ； 3) { v ， w } u = { v ， w } { x − 1 ， u } ，其中 x = [ v ， w ] ， u ∈ U ( R ) ； 4) 〈 a ， b 〉 u = 〈 a ， b 〉 { π − 1 ， u } ，其中 π = ( 1 − a b ) ( 1 − b a ) − 1 ， u ∈ U ( R ) ； 5) ρ u = ρ { x − 1 ， u } ，其中 x = τ ( ρ ) ， ρ ∈ D R ， u ∈ U ( R ) ； 6) { α ， α } = { β ， β } ，其中 a ∈ R 或者 b ∈ R ， α = 1 − a b ， β = 1 − b a ； 7) 〈 a ， b 〉 = { α ， β − 1 } 〈 − b α − 1 ， a 〉 = 〈 b ， − a β − 1 〉 { α − 1 ， β } ，其中 α = 1 − a b ， β = 1 − b a 。 证明：1) 由D4知， { v ， v } 属于 D R 的中心，根据S3，S4得 { v ， v } u = { u v u − 1 ， u v u − 1 } = { u v ， v u − 1 } { u − 1 ， u v v } = { u v v ， u − 1 } { v ， v } ⋅ { u − 1 ， u v v } = { v ， v } 2) 由S3，S4得 { u v ， u v } = { u v ， u } ⋅ { u v ， v } u = { v ， u } u { u ， u } { v ， v } ⋅ { u ， v } u = { u ， u } { v ， v } 3) 令 x = [ v ， w ] ，则 w v = x − 1 v w ， { u − 1 ， u w v } = { u w v ， u } u − 1 = { w v u ， u } ，于是 x − 1 v w u { u ， u − 2 } = { u ， u − 2 } = { u ， u − 1 } { u ， u − 1 } = { u ， u } { u ， u − 1 } = 1 因此由S7得 u { v ， w } = { u v u − 1 ， u w u − 1 } = { u v ， w u − 1 } { u − 1 ， u w v } = { u ， v w u − 1 } { v ， w } { w v u ， u } = { v ， w } ⋅ { u ， v w u − 1 } x − 1 { w v u ， u } = { v ， w } ⋅ { u ， v w u u − 2 } x − 1 { x − 1 v w u ， u } = { v ， w } ⋅ { u ， v w u } x − 1 ⋅ { u ， u − 2 } x − 1 v w u ⋅ { v w u ， u } x − 1 { x − 1 ， u } = { v ， w } { x − 1 ， u } 4) 令 α = 1 − a b ， β = 1 − b a ，则 β = π − 1 α ， { u − 1 ， u β u − 1 } = { u β u − 1 ， u } u − 1 = { β ， u } ，因此由D3和D4得 〈 a ， b 〉 u = 〈 u a u − 1 ， u b u − 1 〉 = 〈 u a ， b u − 1 〉 〈 b a u − 1 ， u 〉 = 〈 u a b ， u − 1 〉 〈 a ， b 〉 〈 u − 1 ( u β u − 1 − 1 ) ， ( u − 1 ) − 1 〉 = 〈 u ( α − 1 ) ， u − 1 〉 〈 a ， b 〉 { u − 1 ， u β u − 1 } = { u ， α } 〈 a ， b 〉 { β ， u } = 〈 a ， b 〉 ⋅ { u ， α } π − 1 { π − 1 α ， u } = 〈 a ， b 〉 ⋅ { u ， α } π − 1 ⋅ { α ， u } π − 1 { π − 1 ， u } = 〈 a ， b 〉 { π − 1 ， u } 5) 由S4，S9得 { w ， u } ρ { x − 1 ， u } = ρ ⋅ { w ， u } x − 1 { x − 1 ， u } = ρ { x − 1 w ， u } ，归纳可证得。 6) 因为 { β ， β } 属于 D R 的中心， α a = a β ， b α − 1 = β − 1 b ，由定义3.2和D3得 { α ， α } = 〈 α ( α − 1 ) ， α − 1 〉 = 〈 α a b ， α − 1 〉 = 〈 α a ， b α − 1 〉 〈 − b ， − a 〉 = 〈 a β ， β − 1 b 〉 〈 − b ， − a 〉 = 〈 a ， b 〉 〈 b a β ， β − 1 〉 〈 − b ， − a 〉 = 〈 a ， b 〉 〈 β ( β − 1 ) ， β − 1 〉 〈 − b ， − a 〉 = 〈 a ， b 〉 { β ， β } 〈 − b ， − a 〉 = { β ， β } 7) 在D5中，令 c = − a ，则 〈 0 ， b 〉 = 〈 − a α − 1 ， α b α − 1 〉 〈 a ， b 〉 = 1 ，因此由D1有 〈 a ， b 〉 = 〈 − a α − 1 ， α b α − 1 〉 − 1 = 〈 − α b α − 1 ， a α − 1 〉 = 〈 − α b α − 1 a ， α − 1 〉 〈 − b α − 1 ， a 〉 = 〈 − α b a β − 1 ， α − 1 〉 〈 b α − 1 ， a 〉 = 〈 − α ( β − 1 ) β − 1 ， α − 1 〉 〈 − b α − 1 ， a 〉 = 〈 α ( β − 1 − 1 ) ， α − 1 〉 〈 − b α − 1 ， a 〉 = { α ， β − 1 } 〈 − b α − 1 ， a 〉 同理，在D5中，令 c = − b ，得 〈 a ， 0 〉 = 〈 a ， b 〉 〈 β a β − 1 ， − b β − 1 〉 = 1 ，根据D1可证得 〈 a ， b 〉 = 〈 b ， − a β − 1 〉 { α − 1 ， β } 。 为了证明下述命题，我们在 K R 中加上一条关系： K6) 若 x ∈ U ( R ) ，则 〈 x a ， b x − 1 ， x c 〉 = 〈 a ， b ， c 〉 { v u − 1 ， x } 。 在另一篇文章中，我们需要下述命题： 命题3.8：1) 〈 a ， b ， d ′ 〉 { v ′ ， u ′ − 1 } = 〈 p ， − ( 1 − a b ) v 〉 ⋅ 〈 a ， b ， d 〉 u u ′ − 1 ⋅ { u u ′ − 1 v ， u − 1 } ，其中 a ， b ， d ， p ， d ′ ∈ R ， a ， u ， v ， u ′ ， v ′ ∈ U ( R ) ； 2) 〈 a ， b ， d 〉 = 〈 a − p ， b x − 1 ， x ( d + p − d b p ) 〉 { x v ， y − 1 u − 1 } ⋅ 〈 p ， b 〉 y − 1 u − 1 { y − 1 u − 1 ， y } { u − 1 ， v } ，其中 a ， b ， d ， p ， d ′ ∈ R ， u = a + d − a b d ， v = a + d − d b a ， x = 1 − p b ， y = 1 − b p 。 证明：1) 令 u ′ = a + ( 1 − a b ) d ′ ∈ U ( R ) ， v = a + d ( 1 − b a ) ， v ′ = a + d ′ ( 1 − b a ) ，则 p = ( 1 − b d ′ ) u ′ − 1 − ( 1 − b d ) u − 1 = v ′ − 1 ( ( 1 − d ′ b ) u − v ( 1 − b d ) ) u − 1 = v ′ − 1 ( d − d ′ ) u − 1 = v − 1 ( d − d ′ ) u ′ − 1 且 1 − p ( − ( 1 − a b ) v ) = 1 + p ( 1 − a b ) v = 1 + v ′ − 1 ( d − d ′ ) u − 1 ( 1 − a b ) v = 1 + v ′ − 1 ( d − d ′ ) ( 1 − b a ) = 1 + v ′ − 1 ( ( v − a ) − ( v ′ − a ) ) = v ′ − 1 v ∈ U ( R ) ，同理得 1 − ( − ( 1 − a b ) v ) p = u u ′ − 1 由于 〈 p ， − ( 1 − a b ) v 〉 = 〈 p ( 1 − a b ) ， − v 〉 〈 − v p ， 1 − a b 〉 = 〈 ( 1 − v ′ − 1 v ) ( − v ) − 1 ， − v 〉 〈 − v p ， 1 − a b 〉 = { v ′ − 1 v ， − v } 〈 − v p ， 1 − a b 〉 = { v ， − v } v ′ − 1 { v ′ − 1 ， − v } 〈 − v p ， 1 − a b 〉 = { v ′ − 1 ， − v } 〈 − v p ， 1 − a b 〉 另注意到 − v p − 1 − a b + ( v p + 1 ) a b = − 1 − v p ( 1 − a b ) = − v p − 1 + v p a b = − 1 − v p ( 1 − a b ) = − 1 − ( d − d ′ ) u ′ − 1 ( 1 − a b ) = − ( v ′ + ( d − d ′ ) ( 1 − b a ) ) v ′ − 1 = − v v ′ − 1 因此 〈 − v p ， 1 − a b 〉 = 〈 − v p − 1 ， − 1 ， − a b 〉 = 〈 v v ′ − 1 ， a b v ′ v − 1 ， − v p 〉 于是只需证明 { − v ， v ′ − 1 } 〈 a ， b ， d ′ 〉 { v ′ ， u ′ − 1 } = 〈 v v ′ − 1 ， a b v ′ v − 1 ， − v p 〉 ⋅ 〈 a ， b ， d 〉 u u ′ − 1 { u u ′ − 1 v ， u − 1 } 由于 { − v ， v ′ − 1 } 〈 a ， b ， d ′ 〉 = 〈 a ， b ， d ′ 〉 ⋅ { − v ， v ′ − 1 } v ′ u ′ − 1 ，且 { − v ， v ′ − 1 } v ′ u ′ − 1 { v ′ ， u ′ − 1 } = { − v ， v ′ − 1 } v ′ u ′ − 1 ⋅ { u ′ − 1 ， v ′ − 1 } v ′ = ( { − v ， v ′ − 1 } u ′ − 1 { u ′ − 1 ， v ′ − 1 } ) v ′ = { − u ′ − 1 v ， v ′ − 1 } v ′ = { v ′ ， − u ′ − 1 v } 因此只需证明 〈 a ， b ， d ′ 〉 { v ′ ， − u ′ − 1 v } = 〈 v v ′ − 1 ， a b v ′ v − 1 ， − v p 〉 ⋅ 〈 a ， b ， d 〉 u u ′ − 1 { u u ′ − 1 v ， u − 1 } 由K6，有 〈 a ， b ， d 〉 u u ′ − 1 = 〈 a ， b ， d 〉 { v u − 1 ， u u ′ − 1 } ，注意到 v v ′ − 1 − v p + v p a b v ′ v − 1 v v ′ − 1 = 1 ， 〈 v v ′ − 1 ， a b v ′ v − 1 ， − v p 〉 〈 a ， b ， d 〉 = 〈 v v ′ − 1 a ， b v ′ v − 1 ， − v p u + v v ′ − 1 d 〉 = 〈 v v ′ − 1 a ， b v ′ v − 1 ， v v ′ − 1 d ′ 〉 = 〈 a ， b ， d ′ 〉 v v ′ − 1 = 〈 a ， b ， d ′ 〉 { v ′ u ′ − 1 ， v v ′ − 1 } 所以最终只需证明 { v ′ ， − u ′ − 1 v } = { v ′ u ′ − 1 ， v v ′ − 1 } { v u − 1 ， u u ′ − 1 } { u u ′ − 1 v ， u − 1 } = { v ′ u ′ − 1 ， v v ′ − 1 } { v ， u ′ − 1 } 根据S3和S7，其中 { v ′ u ′ − 1 ， v v ′ − 1 } = { v ′ ， u ′ − 1 v v ′ − 1 } { u ′ − 1 ， v } = { v ′ ， − u ′ − 1 v } ⋅ { v ′ ， − v ′ − 1 } − u ′ − 1 v { u ′ − 1 ， v } = { v ′ ， − u ′ − 1 v } ⋅ ( − v ′ − 1 { − v ′ ， v ′ } ) − u ′ − 1 v { u ′ − 1 ， v } = { v ′ ， − u ′ − 1 v } { u ′ − 1 ， v } 2) 因为 a − p + x ( d + p − d b p ) − ( a − p ) b x − 1 x ( d + p − d b p ) = u y ， 1 − ( a − p ) b x − 1 = ( x − ( a − p ) b ) x − 1 = ( 1 − a b ) x − 1 ，且 y b = b x ， p y − 1 = x − 1 p ， ( 1 − a b ) ( 1 − d b ) = 1 − ( a + d − a b d ) b = 1 − u b ，于是有 〈 a − p ， b x − 1 ， x ( d + p − d b p ) 〉 = 〈 u y b x − 1 ， x ( d + p − d b p ) y − 1 u − 1 ， ( 1 − a b ) x − 1 〉 = 〈 u y b ， ( d + p − d b p ) y − 1 u − 1 ， ( 1 − a b ) 〉 = 〈 u y b ， d y − 1 u − 1 ， ( 1 − u y b p y − 1 u − 1 ) ( 1 − a b ) 〉 〈 u y b ， p y − 1 u − 1 ， ( 1 − a b ) ( 1 − d b ) 〉 = 〈 u b ， d u − 1 ， 1 − a b 〉 u y u − 1 〈 u b x ， x − 1 p u − 1 ， ( 1 − u b ) x − 1 x 〉 = 〈 a ， b ， d 〉 u y u − 1 〈 u b ， p u − 1 ， ( 1 − u b ) x − 1 〉 = 〈 a ， b ， d 〉 { v u − 1 ， u y u − 1 } 〈 u b ， p u − 1 〉 且 { x v ， y − 1 u − 1 } ⋅ 〈 p ， b 〉 y − 1 u − 1 = { x v ， y − 1 u − 1 } 〈 p ， b 〉 { y x − 1 ， y − 1 u − 1 } = 〈 p ， b 〉 ⋅ { x v ， y − 1 u − 1 } y x − 1 { y x − 1 ， y − 1 u − 1 } = 〈 p ， b 〉 { y v ， y − 1 u − 1 } 注意到 〈 u b ， p u − 1 〉 〈 p ， b 〉 = 〈 u ， b p u − 1 〉 = 〈 ( u − 1 ) − 1 ， u − 1 ( 1 − u y u − 1 ) 〉 = { u y u − 1 ， u − 1 } 所以只需证明 1 = { v u − 1 ， u y u − 1 } { u y u − 1 ， u − 1 } { y v ， y − 1 u − 1 } { y − 1 u − 1 ， y } { u − 1 ， v } = { v u − 1 ， u y u − 1 } { u y u − 1 ， u − 1 } ⋅ { v ， y − 1 u − 1 } y { y ， y − 1 u − 1 } { y − 1 u − 1 ， y } { u − 1 ， v } = { u − 1 v ， y } u ⋅ { y ， u − 1 } u ⋅ { v ， y − 1 u − 1 } y { u − 1 ， v } = { u − 1 v ， y } u ⋅ { y ， u − 1 } u { y ， v } { v ， u − 1 } { u − 1 ， v } = { u − 1 v ， y } u { u ， y } { y ， v } = { v ， y } { y ， v }