system: [SYSTEM]

user: 3. 主要结果 这一部分我们研究在不同事件触发条件下的具有时变时滞多智能体系统的平均一致性问题，并得出相应结论。 引理1. [ 17 ] 假设有向图是强连通平衡的， L ∈ R n × n 为其对应的拉普拉斯矩阵，对任意的 x ∈ R n ，有如下等式成立， x T L x ≥ α 2 ‖ x − 1 n ∑ i = 1 n x i 1 n ‖ 2 ， x T ( k h ) L T L x ( k h ) ≤ β n α 2 x T ( k h ) L x ( k h ) ， 其中 β n 是 L T L 的最大特征值， α 2 是 ( L + L T ) / 2 的最小正特征值。 定理1. 假设有向图是强连通平衡的。对所有的 k ∈ N ，如果存在 ε 0 > 0 ，使得如下条件满足， − [ ( β n 2 α 2 τ ( ( k + 1 ) h ) + σ ) ( h + τ ( ( k + 2 ) h ) − τ ( ( k + 1 ) h ) ) + ( h + τ ( ( k + 1 ) h ) − τ ( k h ) ) ( β n 2 α 2 ( h + τ ( ( k + 1 ) h ) ) − 1 + σ ) ] ≥ ε 0 ， (5) 则所有智能体将实现平均一致。 证明：考虑Lyapunov函数 V ( t ) = V ( x ( t ) ) = 1 2 x T ( t ) x ( t ) ， t ∈ [ τ ( 0 ) ， + ∞ ) . 对(3)进行积分得到 x ( t ) = x ( k h + τ ( k h ) ) − ( t − ( k h + τ ( k h ) ) ) L x ^ ( k h ) = x ( k h ) − τ ( k h ) L x ^ ( ( k − 1 ) h ) − ( t − ( k h + τ ( k h ) ) ) L x ^ ( k h ) ， k ∈ Z + . (6) 当 t ∈ [ k h + τ ( k h ) ， ( k + 1 ) h + τ ( ( k + 1 ) h ) ) ，对 V ( t ) 进行求导，结合(6)可以得到 (7) 由引理1，可以进一步得到如下不等式 | x ^ T ( ( k − 1 ) h ) L T L x ^ ( k h ) | ≤ 1 2 ( x ^ T ( ( k − 1 ) h ) L T L x ^ ( ( k − 1 ) h ) + x ^ T ( k h ) L T L x ^ ( k h ) ) ≤ β n 2 α 2 ( x ^ T ( ( k − 1 ) h ) L x ^ ( ( k − 1 ) h ) + x ^ T ( k h ) L x ^ ( k h ) ) ， k ∈ Z + . (8) 由于 | e T ( k h ) L x ^ ( k h ) | = | ∑ i = 1 n [ e i ( k h ) ∑ j ∈ N i a i j ( x ^ i ( k h ) − x ^ j ( k h ) ) ] | ≤ 1 2 ∑ i = 1 n ∑ j ∈ N i [ e i 2 ( k h ) a i j σ + σ a i j ( x ^ i ( k h ) − x ^ j ( k h ) ) 2 ]     . (9) 所以由(7)，(8)，(9)可以得到 V ( ( k + 1 ) h + τ ( ( k + 1 ) h ) ) = V ( k h + τ ( k h ) ) − ( h + τ ( ( k + 1 ) h ) − τ ( k h ) ) x ^ T ( k h ) L x ^ ( k h )     − ( h + τ ( ( k + 1 ) h ) − τ ( k h ) ) e T ( k h ) L x ^ ( k h )     + τ ( k h ) ( h + τ ( ( k + 1 ) h ) − τ ( k h ) ) x ^ T ( ( k − 1 ) h ) L T L x ^ ( k h )     + 1 2 ( h + τ ( ( k + 1 ) h ) − τ ( k h ) ) 2 x ^ T ( k h ) L T L x ^ ( k h ) ≤ V ( k h + τ ( k h ) ) − ( h + τ ( ( k + 1 ) h ) − τ ( k h ) ) x ^ T ( k h ) L x ^ ( k h )     + 1 2 ( h + τ ( ( k + 1 ) h ) − τ ( k h ) ) ∑ i = 1 n ∑ j ∈ N i [ e i 2 ( k h ) a i j σ + σ a i j ( x ^ i ( k h ) − x ^ j ( k h ) ) 2 ]     + β n 2 α 2 τ ( k h ) ( h + τ ( ( k + 1 ) h ) − τ ( k h ) ) x ^ T ( ( k − 1 ) h ) L x ^ ( ( k − 1 ) h )     + β n 2 α 2 τ ( k h ) ( h + τ ( ( k + 1 ) h ) − τ ( k h ) ) x ^ T ( k h ) L x ^ ( k h )     + β n 2 α 2 ( h + τ ( ( k + 1 ) h ) − τ ( k h ) ) 2 x ^ T ( k h ) L x ^ ( k h ) = V ( k h + τ ( k h ) ) + 1 2 ( h + τ ( ( k + 1 ) h ) − τ ( k h ) ) ∑ i = 1 n ∑ j ∈ N i [ e i 2 ( k h ) a i j σ + σ a i j ( x ^ i ( k h ) − x ^ j ( k h ) ) 2 ]     + β n 2 α 2 τ ( k h ) ( h + τ ( ( k + 1 ) h ) − τ ( k h ) ) x ^ T ( ( k − 1 ) h ) L x ^ ( ( k − 1 ) h )     + ( h + τ ( ( k + 1 ) h ) − τ ( k h ) ) ( β n 2 α 2 ( h + τ ( ( k + 1 ) h ) ) − 1 ) x ^ T ( k h ) L x ^ ( k h ) ， k ∈ Z + . 由于 V ( ( k + 1 ) h + τ ( ( k + 1 ) h ) ) = V ( τ ( 0 ) ) + ∫ τ ( 0 ) h + τ ( h ) V ˙ ( t ) d t + ∫ h + τ ( h ) 2 h + τ ( 2 h ) V ˙ ( t ) d t + ⋯ + ∫ k h + τ ( k h ) ( k + 1 ) h + τ ( ( k + 1 ) h ) V ˙ ( t ) d t ， 可以得到 V ( ( k + 1 ) h + τ ( ( k + 1 ) h ) ) ≤ V ( τ ( 0 ) ) + ∫ τ ( 0 ) h + τ ( h ) V ˙ ( t ) d t     + ∑ q = 1 k 1 2 ( h + τ ( ( q + 1 ) h ) − τ ( q h ) ) ∑ i = 1 n ∑ j ∈ N i [ e i 2 ( q h ) a i j σ + σ a i j ( x ^ i ( q h ) − x ^ j ( q h ) ) 2 ]     + β n 2 α 2 ∑ q = 1 k τ ( q h ) ( h + τ ( ( q + 1 ) h ) − τ ( q h ) ) x ^ T ( ( q − 1 ) h ) L x ^ ( ( q − 1 ) h )     + ∑ q = 1 k ( h + τ ( ( q + 1 ) h ) − τ ( q h ) ) [ β n 2 α 2 ( h + τ ( ( k + 1 ) h ) ) − 1 ] x ^ T ( k h ) L x ^ ( k h ) = V ( τ ( 0 ) ) + ∫ τ ( 0 ) h + τ ( h ) V ˙ ( t ) d t + β n 2 α 2 τ ( h ) ( h + τ ( 2 h ) − τ ( h ) ) x ^ T ( 0 ) L x ^ ( 0 )     + ∑ q = 1 k 1 2 ( h + τ ( ( q + 1 ) h ) − τ ( q h ) ) ∑ i = 1 n ∑ j ∈ N i [ e i 2 ( q h ) a i j σ + σ a i j ( x ^ i ( q h ) − x ^ j ( q h ) ) 2 ]     + ( h + τ ( ( k + 1 ) h ) − τ ( k h ) ) [ β n 2 α 2 ( h + τ ( ( k + 1 ) h ) ) − 1 ] x ^ T ( k h ) L x ^ ( k h )     + ∑ q = 1 k − 1 [ β n 2 α 2 τ ( ( q + 1 ) h ) ( h + τ ( ( q + 2 ) h ) − τ ( ( q + 1 ) h ) )     + ( h + τ ( ( q + 1 ) h ) − τ ( q h ) ) ( β n 2 α 2 ( h + τ ( ( q + 1 ) h ) ) − 1 ) ] x ^ T ( q h ) L x ^ ( q h ) ≤ V ( τ ( 0 ) ) + ∫ τ ( 0 ) h + τ ( h ) V ˙ ( t ) d t + β n 2 α 2 τ ( h ) ( h + τ ( 2 h ) − τ ( h ) ) x ^ T ( 0 ) L x ^ ( 0 )     + ∑ q = 1 k 1 2 ( h + τ ( ( q + 1 ) h ) − τ ( q h ) ) ∑ i = 1 n ∑ j ∈ N i [ e i 2 ( q h ) a i j σ + σ a i j ( x ^ i ( q h ) − x ^ j ( q h ) ) 2 ]     + ∑ q = 1 k [ β n 2 α 2 τ ( ( q + 1 ) h ) ( h + τ ( ( q + 2 ) h ) − τ ( ( q + 1 ) h ) )     + ( h + τ ( ( q + 1 ) h ) − τ ( q h ) ) ( β n 2 α 2 ( h + τ ( ( q + 1 ) h ) ) − 1 ) ] x ^ T ( q h ) L x ^ ( q h ) ， k ∈ Z + . 因为有向图是平衡的，可以得到 1 2 ∑ i = 1 n y ^ i 2 ( k h ) = − 1 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n l i j ( x ^ i ( k h ) − x ^ j ( k h ) ) 2 = − 1 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n l i j ( x ^ i 2 ( k h ) + x ^ j 2 ( k h ) − 2 x ^ i ( k h ) x ^ j ( k h ) ) = x ^ T ( k h ) L x ^ ( k h ) . (10) 由事件触发条件(4)可知 e i 2 ( k h ) ≤ ( σ 2 / ∑ j ∈ N i a i j ) y ^ i 2 ( ( k − 1 ) h ) ， k ∈ Z + . (11) 由(10)和(11)可以进一步得到 V ( ( k + 1 ) h + τ ( ( k + 1 ) h ) ) ≤ V ( τ ( 0 ) ) + ∫ τ ( 0 ) h + τ ( h ) V ˙ ( t ) d t + β n 2 α 2 τ ( h ) ( h + τ ( 2 h ) − τ ( h ) ) x ^ T ( 0 ) L x ^ ( 0 )     + σ 2 ∑ q = 1 k ( h + τ ( ( q + 1 ) h ) − τ ( q h ) ) ∑ i = 1 n y ^ i 2 ( ( q − 1 ) h )     + 1 2 ∑ q = 1 k [ β n 2 α 2 τ ( ( q + 1 ) h ) ( h + τ ( ( q + 2 ) h ) − τ ( ( q + 1 ) h ) )     + ( h + τ ( ( q + 1 ) h ) − τ ( q h ) ) ( β n 2 α 2 ( h + τ ( ( q + 1 ) h ) ) − 1 + σ ) ] ∑ i = 1 n y ^ i 2 ( q h ) ≤ V ( τ ( 0 ) ) + ∫ τ ( 0 ) h + τ ( h ) V ˙ ( t ) d t + β n 2 α 2 τ ( h ) ( h + τ ( 2 h ) − τ ( h ) ) x ^ T ( 0 ) L x ^ ( 0 )     + σ 2 ( h + τ ( 2 h ) − τ ( h ) ) y ^ i 2 ( 0 )     + 1 2 ∑ q = 1 k [ ( β n 2 α 2 τ ( ( q + 1 ) h ) + σ ) ( h + τ ( ( q + 2 ) h ) − τ ( ( q + 1 ) h ) )     + ( h + τ ( ( q + 1 ) h ) − τ ( q h ) ) ( β n 2 α 2 ( h + τ ( ( q + 1 ) h ) ) − 1 + σ ) ] ∑ i = 1 n y ^ i 2 ( q h ) . (12) 由条件(5)得 因为 0 ≤ lim k → ∞ V ( ( k + 1 ) h + τ ( ( k + 1 ) h ) ) ≤ V ( τ ( 0 ) ) + ∫ τ ( 0 ) h + τ ( h ) V ˙ ( t ) d t + β n 2 α 2 ( h + τ ( 2 h ) − τ ( h ) ) x ^ T ( 0 ) L x ^ ( 0 )     + σ 2 ( h + τ ( 2 h ) − τ ( h ) ) y ^ i 2 ( 0 ) − ε 0 ∑ k = 1 + ∞ ∑ i = 1 n y ^ i 2 ( k h ) ， 由 ∑ i = 1 n y ^ i 2 ( k h ) 非负，所以可以得到 lim k → ∞ ∑ i = 1 n y ^ i 2 ( k h ) = 0 。注意到 ，所以 lim k → ∞ x ^ T ( k h ) L x ^ ( k h ) = 0 。由(11)可以进一步得到 lim k → ∞ e ( k h ) = 0 n 。由于 lim k → ∞ x ^ T ( k h ) L x ^ ( k h ) = 0 ，由引理1可得 lim k → ∞ L x ^ ( k h ) = 0 n 。所以 lim k → ∞ L x ( k h ) = lim k → ∞ L e ( k h ) + lim k → ∞ L x ^ ( k h ) = 0 n ，进而由引理1和(6)得到 ，因此所有智能体状态达到平均一致。 当G是无向连通图，则 x T L x ≥ λ 2 ‖ x − 1 n ∑ i = 1 n x i 1 n ‖ 2 和 λ n x T L x ≥ x T L T L x 成立，其中 L ∈ R n × n 为无向图G 的拉普拉斯矩阵， λ 1 ≤ λ 2 ≤ ⋯ ≤ λ n 为对应的特征值序列。 类似于定理1的推导，可以进一步得出定理2。 定理2. 假设无向图是连通的，对所有的 k ∈ N ，如果存在 ε 0 > 0 ，使得如下条件满足， 则所有智能体将实现平均一致。 注1. 在 [ 19 ] 中，Wang等基于跟随者具有无向拓扑图研究了具有时变时滞的一阶领导者–跟随系统，所设计了的事件触发条件为 | x i ( t k i + l h ) − x i ( t k i ) | > σ | ∑ j ∈ N i a i j ( x ^ i ( t k i + ( l − 1 ) h ) − x ^ j ( t k i + ( l − 1 ) h ) ) + b i ( x ^ i ( t k i + ( l − 1 ) h ) − x 0 ( 0 ) ) | ， l ∈ Z + ， (13) 定理1和2采用事件触发条件(4)，对无领导者的具有时变时滞的一阶多智能体系统进行研究。 我们通过比较事件触发条件(4)和注1中提到的条件(13)，可以进一步提出一种混合式事件触发条件： e i 2 ( t k i + l h ) > max { ( σ 2 / ∑ j ∈ N i a i j ) y ^ i 2 ( t k i + ( l − 1 ) h ) ， σ 2 ( ∑ j ∈ N i a i j z ^ i j ( t k i + ( l − 1 ) h ) ) 2 } ， l ∈ Z + ， (14) 其中 z ^ i j ( t ) = x ^ i ( t ) − x ^ j ( t ) 。 定理3. 假设有向图是强连通平衡的，对所有的 k ∈ N ，如果存在 ε 0 > 0 ，使得如下条件满足， − [ ( β n 2 α 2 τ ( ( k + 1 ) h ) + μ σ ) ( h + τ ( ( k + 2 ) h ) − τ ( ( k + 1 ) h ) ) + ( h + τ ( ( k + 1 ) h ) − τ ( k h ) ) ( β n 2 α 2 ( h + τ ( ( k + 1 ) h ) ) − 1 + μ σ ) ] ≥ ε 0 ， 其中 μ = max { 1 ， β n 2 α 2 } ，则所有智能体将实现平均一致。 证明: 情形1. 如果(11)成立，由定理1可以得出相关结论。 情形2. e i 2 ( t k i + l h ) ≤ σ 2 ( ∑ j ∈ N i a i j z ^ i j ( t k i + ( l − 1 ) h ) ) 2 ， l ∈ Z + . (15) 由(15)，可以得到 e 2 ( k h ) ≤ σ 2 x ^ T ( ( k − 1 ) h ) L T L x ^ ( ( k − 1 ) h ) ， k ∈ Z + ， 其中 e ( t ) = [ e 1 ( t ) ， e 2 ( t ) ， ⋯ ， e n ( t ) ] T 。 由Young不等式可以得到 | e T ( k h ) L x ^ ( ( k h ) | ≤ 1 2 ( e τ ( k h ) e ( k h ) σ + σ x ^ T ( k h ) L T L x ^ ( k h ) ) ≤ σ 2 ( x ^ T ( ( k − 1 ) h ) L T L x ^ ( ( k − 1 ) h ) + x ^ T ( k h ) L T L x ^ ( k h ) ) ≤ σ β n 2 α 2 ( x ^ T ( ( k − 1 ) h ) L x ^ ( ( k − 1 ) h ) + x ^ T ( k h ) L x ^ ( k h ) ) ， k ∈ Z + . 因此有 V ( ( k + 1 ) h + τ ( ( k + 1 ) h ) ) = V ( k h + τ ( k h ) ) − ( h + τ ( ( k + 1 ) h ) − τ ( k h ) ) x ^ T ( k h ) L x ^ ( k h )     − ( h + τ ( ( k + 1 ) h ) − τ ( k h ) ) e T ( k h ) L x ^ ( k h )     + τ ( k h ) ( h + τ ( ( k + 1 ) h ) − τ ( k h ) ) x ^ T ( ( k − 1 ) h ) L T L x ^ ( k h )     + 1 2 ( h + τ ( ( k + 1 ) h ) − τ ( k h ) ) 2 x ^ T ( k h ) L T L x ^ ( k h ) ≤ V ( τ ( 0 ) ) + ∫ τ ( 0 ) h + τ ( h ) V ˙ ( t ) d t     + σ β n 2 α 2 ∑ q = 1 k ( h + τ ( ( q + 1 ) h ) − τ ( q h ) ) ( x ^ T ( ( q − 1 ) h ) L x ^ ( ( q − 1 ) h ) + x ^ T ( q h ) L x ^ ( q h ) )     + β n 2 α 2 ∑ q = 1 k τ ( q h ) ( h + τ ( ( q + 1 ) h ) − τ ( q h ) ) x ^ T ( ( q − 1 ) h ) L x ^ ( ( q − 1 ) h )     + ∑ q = 1 k ( h + τ ( ( q + 1 ) h ) − τ ( q h ) ) [ β n 2 α 2 ( h + τ ( ( q + 1 ) h ) ) − 1 ] x ^ T ( q h ) L x ^ ( q h ) ≤ V ( τ ( 0 ) ) + ∫ τ ( 0 ) h + τ ( h ) V ˙ ( t ) d t + β n 2 α 2 τ ( h ) ( h + τ ( 2 h ) − τ ( h ) ) x ^ T ( 0 ) L x ^ ( 0 )     + σ β n 4 α 2 ∑ q = 1 k ( h + τ ( ( q + 1 ) h ) − τ ( q h ) ) ∑ i = 1 n y ^ i 2 ( ( q − 1 ) h )     + 1 2 ∑ q = 1 k [ β n 2 α 2 τ ( ( q + 1 ) h ) ( h + τ ( ( q + 2 ) h ) − τ ( ( q + 1 ) h ) )     + ( h + τ ( ( q + 1 ) h ) − τ ( q h ) ) ( β n 2 α 2 ( h + τ ( ( q + 1 ) h ) ) − 1 + σ β n 2 α 2 ) ] ∑ i = 1 n y ^ i 2 ( q h ) ≤ V ( τ ( 0 ) ) + ∫ τ ( 0 ) h + τ ( h ) V ˙ ( t ) d t + β n 2 α 2 τ ( h ) ( h + τ ( 2 h ) − τ ( h ) ) x ^ T ( 0 ) L x ^ ( 0 )     + σ β n 4 α 2 ( h + τ ( 2 h ) − τ ( h ) ) ∑ i = 1 n y ^ i 2 ( 0 )     + 1 2 ∑ q = 1 k [ ( β n 2 α 2 τ ( ( q + 1 ) h ) + σ β n 2 α 2 ) ( h + τ ( ( q + 2 ) h ) − τ ( ( q + 1 ) h ) )     + ( h + τ ( ( q + 1 ) h ) − τ ( q h ) ) ( β n 2 α 2 ( h + τ ( ( q + 1 ) h ) ) − 1 + σ β n 2 α 2 ) ] ∑ i = 1 n y ^ i 2 ( q h ) ， k ∈ Z + . (16) 由(12)和(16)可以得出， V ( ( k + 1 ) h + τ ( ( k + 1 ) h ) ) ≤ V ( τ ( 0 ) ) + ∫ τ ( 0 ) h + τ ( h ) V ˙ ( t ) d t + β n 2 α 2 τ ( h ) ( h + τ ( 2 h ) − τ ( h ) ) x ^ T ( 0 ) L x ^ ( 0 )     + μ σ ( h + τ ( 2 h ) − τ ( h ) ) ∑ i = 1 n y ^ i 2 ( 0 )     + 1 2 ∑ q = 1 k [ ( β n 2 α 2 τ ( ( q + 1 ) h ) + μ σ ) ( h + τ ( ( q + 2 ) h ) − τ ( ( q + 1 ) h ) )     + ( h + τ ( ( q + 1 ) h ) − τ ( q h ) ) ( β n 2 α 2 ( h + τ ( ( q + 1 ) h ) ) − 1 + μ σ ) ] ∑ i = 1 n y ^ i 2 ( q h ) . 余下部分证明与定理1中证明类似，故省略之。 类似于定理3的推导，可以进一步得出定理4。 定理4. 假设无向图是连通的，对所有的 k ∈ N ，如果存在 ε 0 > 0 ，使得如下条件满足， − [ ( λ n 2 τ ( ( k + 1 ) h ) + μ σ ) ( h + τ ( ( k + 2 ) h ) − τ ( ( k + 1 ) h ) ) + ( h + τ ( ( k + 1 ) h ) − τ ( k h ) ) ( λ n 2 ( h + τ ( ( k + 1 ) h ) ) − 1 + μ σ ) ] ≥ ε 0 ， 其中 μ = max { 1 ， λ n 2 } ，则所有智能体将实现平均一致。 注2. 在 [ 17 ] 中，Liu等研究了具有固定时滞的一阶系统的一致性问题，分别考虑了有向图和无向图两种情形。本文在其基础上，采用周期采样和事件混合控制的方法对具有时变时滞的一阶多智能体系统进行研究。