system: [SYSTEM]

user: 2. 一类非线性时滞微分系统的稳定性 考虑如下微分系统： d x d t = A ( t ) x ( t ) + f ( t ， x ( t − δ ( t ) ) ， ∫ 0 t h { s ， x ( s − δ ( s ) ) ， ∫ 0 s g [ σ ， x ( σ − δ ( σ ) ) ] d σ } d s ) (2.1) 其中： A ( t ) = ( a i j ( t ) ) n × n ， f ∈ C [ I × R n × R n × R n ， R n ] h ∈ C [ I × R n × R n × R n ， R n ] ， g ∈ C [ I × R n × R n ， R n ] 0 < δ 0 ≤ δ ( t ) ≤ δ ， A ( t ) 有界， f ( t ， 0 ， 0 ， 0 ) = 0 ， x ( t ) = φ ( t ) ，于 − δ ≤ t ≤ 0 由引理1，可得与系统(2.1)的解等价的积分系统的解： x ( t ) = Y ( t ， 0 ) φ ( 0 ) + ∫ 0 t Y ( t ， s ) f ( s ， x ( s − δ ( s ) ) ， ∫ 0 s h { τ ， x ( τ − δ ( τ ) ) ， ∫ 0 τ g [ σ ， x ( σ − δ ( σ ) ) ] d σ } d τ ) d s (2.2) 主要结论：对于系统(2.1)而言，假设下列条件于 t ≥ 0 时成立： 1) ‖ Y ( t ， s ) ‖ ≤ exp ( r ( t − s ) ) ， ( t ≥ s ≥ 0 ) ， r ≤ 0 2) ‖ f ( t ， x ( t − δ ( t ) ) ， ∫ 0 t h { s ， x ( s − δ ( s ) ) ， ∫ 0 s g [ σ ， x ( σ − δ ( σ ) ) ] d σ } d s ) ‖ ≤ a ( t ) ‖ x ( t − δ ( t ) ) ‖ + ∑ i = 1 I b i ( t ) ‖ x ( t − δ ( t ) ) ‖ α i + 1     + ∑ j = 1 J c j ( t ) ∫ 0 t exp ( r ( t − s ) ) d j ( s ) ‖ x ( s − δ ( s ) ) ‖ d s     + ∑ k = 1 K e k ( t ) ∫ 0 t exp ( r ( t − s ) ) f k ( s ) ‖ x ( s − δ ( s ) ) ‖ β k + 1 d s     + ∑ i = 1 I b i ( t ) ‖ x ( t − δ ( t ) ) ‖ α i ∫ 0 t exp ( r ( t − s ) ) ∑ l = 1 L g l ( s ) ∫ 0 s h l ( σ ) ‖ x ( σ − δ ( σ ) ) ‖ d σ d s     + ∑ i = 1 I b i ( t ) ‖ x ( t − δ ( t ) ) ‖ α i ∫ 0 t ∑ m = 1 M exp ( r ( t − s ) ) p m ( s ) ∫ 0 s q m ( σ ) ‖ x ( σ − δ ( σ ) ) ‖ γ m + 1 d σ d s 3) 其中 a ( t ) ， b i ( t )   ( i = 1 ， 2 ， ⋯ ， I ) ， c j ( t ) ， d j ( t )   ( j = 1 ， 2 ， ⋯ ， J ) e k ( t ) ， f k ( t )   ( k = 1 ， 2 ， ⋯ ， K ) ， g l ( t ) ， h l ( t )   ( l = 1 ， 2 ， ⋯ ， L ) ， p m ( t ) ， q m ( t )   ( m = 1 ， 2 ， ⋯ ， M ) 如 [ 6 ] 中定理 3.1.1 所设，且单调不增。 4) F ( t ) = M 2 a ( t ) + M 2 ∑ j = 1 J c j ( t ) ∫ 0 t d j ( t ) d t 且 ∫ 0 + ∞ F ( s ) d s < + ∞ G ( t ) = ∑ i = 1 I M 2 b i ( t ) e α i r t Щ α i − α _ + ∑ k = 1 K M 2 e k ( t ) ∫ 0 t f k ( s ) e β k r s Щ β k − α _ d s     + ∑ i = 1 I M 2 b i ( t ) e α i r t N α i − α _ ∫ 0 t ∑ l = 1 L g l ( s ) ∫ 0 s h l ( σ ) d σ H ( t ) = ∑ m = 1 M M 2 p m ( t ) ∫ 0 t q m ( s ) e γ m r s Щ γ m − α _ d s E ( t ) = 1 − α _ c α _ ∫ 0 t [ G ( τ ) + H ( τ ) ] exp ( α _ ∫ 0 τ F ( σ ) d σ ) d τ E ( t ) > 0 ，且， [ 1 − ( α _ − 1 ) c α _ ∫ 0 t G ( s ) E − 1 α _ ( s ) exp ( α _ ∫ 0 s F ( τ ) d τ ) d s ] > 0 ∫ 0 ∞ G ( s ) E − 1 α _ ( s ) exp ( α _ ∫ 0 s F ( τ ) d τ ) d s < ∞ 其中 Щ 如 [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] 中引理所设 则系统(2.1)的零解在 C 1 中一致Lipschitz渐近稳定。 证明：由系统(2.1)的等价系统(2.2)： x ( t ) = Y ( t ， 0 ) φ ( 0 ) + ∫ 0 t Y ( t ， s ) f ( s ， x ( s − δ ( s ) ) ， ∫ 0 s h { τ ， x ( τ − δ ( τ ) ) ， ∫ 0 τ g [ σ ， x ( σ − δ ( σ ) ) ] d σ } d τ ) d s 由条件1)，2)，得到： ‖ x ( t ) ‖ ≤ ‖ φ ( 0 ) ‖ exp ( r t ) + ∫ 0 t exp ( r ( t − s ) ) a ( s ) ‖ x ( s − δ ( s ) ) ‖ d s     + ∫ 0 t ∑ i = 1 I b i ( s ) exp ( r ( t − s ) ) ‖ x ( s − δ ( s ) ) ‖ α i + 1 d s     + ∫ 0 t ∑ j = 1 J c j ( s ) exp ( r ( t − s ) ) ∫ 0 s exp ( r ( s − θ ) ) d j ( θ ) ‖ x ( θ − δ ( θ ) ) ‖ d θ d s     + ∫ 0 t ∑ k = 1 K e k ( s ) exp ( r ( t − s ) ) ∫ 0 s exp ( r ( s − θ ) ) f k ( θ ) ‖ x ( θ − δ ( θ ) ) ‖ β k + 1 d θ d s + ∫ 0 t ∑ i = 1 I b i ( s ) ‖ x ( s − δ ( s ) ) ‖ α i exp ( r ( t − s ) )   × ∫ 0 s exp ( r ( s − θ ) ) ∑ l = 1 L g l ( θ ) ∫ 0 θ h l ( σ ) ‖ x ( σ − δ ( σ ) ) ‖ d σ d θ d s   + ∫ 0 t ∑ i = 1 I b i ( s ) ‖ x ( s − δ ( s ) ) ‖ α i exp ( r ( t − s ) )   × ∫ 0 s ∑ m = 1 M exp ( r ( s − θ ) ) p m ( θ ) ∫ 0 θ q m ( σ ) ‖ x ( σ − δ ( σ ) ) ‖ γ m + 1 d σ d θ d s (2.3) 于是有： ‖ x ( t ) ‖ e − r t ≤ ‖ φ ( 0 ) ‖ ∫ 0 t a ( s ) ‖ x ( s − δ ( s ) ) ‖ e − r s d s + ∫ 0 t ∑ i = 1 I b i ( s ) ‖ x ( s − δ ( s ) ) ‖ α i + 1 e − r s d s     + ∫ 0 t ∑ j = 1 J c j ( s ) e − r s ∫ 0 s e r ( s − θ ) d j ( θ ) ‖ x ( θ − δ ( θ ) ) ‖ d θ d s     + ∫ 0 t ∑ k = 1 K e k ( s ) e − r s ∫ 0 s e r ( s − θ ) f k ( θ ) ‖ x ( θ − δ ( θ ) ) ‖ β k + 1 d θ d s     + ∫ 0 t ∑ i = 1 I b i ( s ) ‖ x ( s − δ ( s ) ) ‖ α i e − r s ∫ 0 s e r ( s − θ ) ∑ l = 1 L g l ( θ ) ∫ 0 θ h l ( σ ) ‖ x ( σ − δ ( σ ) ) ‖     d σ d θ d s     + ∫ 0 t ∑ i = 1 I b i ( s ) ‖ x ( s − δ ( s ) ) ‖ α i e − r s ∫ 0 s e r ( s − θ ) ∑ m = 1 M p m ( θ ) ∫ 0 θ q m ( σ ) ‖ x ( σ − δ ( σ ) ) ‖ γ m + 1 d σ d θ d s (2.4) 令 u ( t ) = ‖ x ( t ) ‖ e − r t ，由 e − r t = e − r ( t − δ ( t ) ) ⋅ e − r δ ( t ) ，注意到 δ ( t ) ≤ δ ，故可设 sup 0 ≤ t < + ∞ e − r δ ( t ) = M 1 < + ∞ ，由此可得： u ( t ) ≤ ‖ φ ( 0 ) ‖ + M 1 ∫ 0 t a ( s ) u ( s − δ ( s ) ) d s + ∫ 0 t ∑ i = 1 I M 1 α i + 1 b i ( s ) e α i r s u α i + 1 ( s − δ ( s ) ) d s     + M 1 ∫ 0 t ∑ j = 1 J c j ( s ) ∫ 0 s d j ( θ ) u ( θ − δ ( θ ) ) d θ   d s     + ∫ 0 t ∑ k = 1 K M 1 β k + 1 e k ( s ) ∫ 0 s e β k r θ f k ( θ ) u β k + 1 ( θ − δ ( θ ) ) d θ   d s     + ∫ 0 t ∑ i = 1 I M 1 α i + 1 b i ( s ) u α i ( s − δ ( s ) ) e α i r s ∫ 0 s ∑ l = 1 L g l ( θ ) ∫ 0 θ h l ( σ ) u ( σ − δ ( σ ) )     d σ d θ d s     + ∫ 0 t ∑ i = 1 I M 1 α i + 1 b i ( s ) u α i ( s − δ ( s ) ) e α i r s ∫   0 s ∑ m = 1 M p m ( θ ) ∫ 0 θ M 1 γ m e γ m r σ q m ( σ ) u γ m + 1 ( σ − δ ( σ ) )     d σ d θ d s (2.5) 令： φ 1 = sup − δ ≤ t ≤ 0 ‖ φ ( t ) ‖ ， φ 2 = sup − δ ≤ t ≤ 0 ‖ φ ( t ) ‖ α i + 1 φ 3 = sup − δ ≤ t ≤ 0 ‖ φ ( t ) ‖ β k + 1 ， φ 4 = sup − δ ≤ t ≤ 0 ‖ φ ( t ) ‖ γ m + 1 φ = max { φ 1 ， φ 2 ， φ 3 ， φ 4 ， φ 2 φ 4 } 令： ‖ u ( t ) ‖ = { max { φ 1 ， max ( u ( ξ ) ) } ，         0 ≤ ξ ≤ t φ 1                                                           − δ ≤ t ≤ 0 显然 ‖ u ( t ) ‖ 单调不减，且由 u ( t ) 的定义，有 u ( t − δ ( t ) ) ≤ φ 1 ，因此： u ( t ) ≤ φ + M 2 ∫ 0 t a ( s ) ‖ u ( s ) ‖ d s + ∫ 0 t ∑ i = 1 I M 2 b i ( s ) e α i r s ‖ u ( s ) ‖ α i + 1 d s     + M 2 ∫ 0 t ∑ j = 1 J c j ( s ) ∫ 0 s d j ( θ ) ‖ u ( θ ) ‖ d θ d s     + ∫ 0 t ∑ k = 1 K M 2 e k ( s ) ∫ 0 s e β k r θ f k ( θ ) ‖ u ( θ ) ‖ β k + 1 d θ d s     + ∫ 0 t ∑ i = 1 I M 2 b i ( s ) ‖ u ( s ) ‖ α i e α i r s ∫ 0 s ∑ l = 1 L g l ( θ ) ∫ 0 θ h l ( σ ) ‖ u ( σ ) ‖ d σ d θ d s     + ∫ 0 t ∑ i = 1 I M 2 b i ( s ) ‖ u ( s ) ‖ α i e α i r s ∫ 0 s ∑ m = 1 M p m ( θ ) ∫ 0 θ e γ m r σ q m ( σ ) ‖ u ( σ ) ‖ γ m + 1 d σ d θ d s (2.6) 其中 M 2 = max { M 1 ， M 1 α i + 1 ， M 1 β k + 1 ， M 1 γ m + 1 ， M 1 α i + γ m + 1 } 注意到定理条件，由引理可得; u ( t ) ≤ c exp ( ∫ 0 t F ( s ) d s ) ⋅ [ 1 − ( α _ − 1 ) c α _ ∫ 0 t G ( s ) E − 1 α _ ( s ) exp ( α _ ∫ 0 s F ( τ ) d τ ) d s ] − 1 α _ − 1 其中： c = φ ，注意到 u ( t ) 的定义，可得： ‖ x ( t ) ‖ ≤ φ e r t exp ( ∫ 0 t F ( s ) d s ) [ 1 − ( α _ − 1 ) c α _ ∫ 0 t G ( s ) E − 1 α _ ( s ) exp ( α _ ∫ 0 s F ( τ ) d τ ) d s ] − 1 α _ − 1 注意到定理的条件，有如下事实： r < 0 ， ∫ 0 + ∞ F ( s ) d s < + ∞ ， E ( t ) > 0 ， α _ ≥ 1 [ 1 − ( α _ − 1 ) c α _ ∫ 0 t G ( s ) E − 1 α _ ( s ) exp ( α _ ∫ 0 s F ( τ ) d τ ) d s ] > 0 ，且有： [ 1 − ( α _ − 1 ) c α _ ∫ 0 t G ( s ) E − 1 α _ ( s ) exp ( α _ ∫ 0 s F ( τ ) d τ ) d s ] < 1 ，于是令： M ( t ， 0 ) = e r t exp ( ∫ 0 t F ( s ) d s ) [ 1 − ( α _ − 1 ) c α _ ∫ 0 t G ( s ) E − 1 α _ ( s ) exp ( α _ ∫ 0 s F ( τ ) d τ ) d s ] − 1 α _ − 1 ≤ e r t exp ( ∫ 0 t F ( s ) d s ) 于是，对一切 t ≥ 0 时，有 lim t → ∞ M ( t ， t 0 ) = 0 一致的成立。于是，可得结论成立。