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user: 3. 定理的证明 令G是一个顶点数为n的图， ，k为正整数，满足条件 。因为G有一个哈密顿圈，当 时定理1.4成立。假设 ，令 。为了证明，我们首先证明下列的断言。 断言3.1 G包含k个独立的4-团 使得 有一条哈密顿路P。并且当 时，对任意 。 证明：我们首先证明断言 的情况。由引理2.1， 时，断言是平凡的。如果 ，那么 。由定理1.1，G包含 个独立的4-团。所以当 时，由引理2.1，G包含k个独立的4-团 。令 且 。我们选择 使得 (a) D中的路尽可能的长 当 时，我们断言D包含一条边。否则，令 为D中不相邻的两点。则 ，因此存在 使得 。由引理2.2， 包含相互独立的一个4-团和一条边。这与选择(a)矛盾。这也证明断言对 时成立。 假定 。令 为D中另外一点，且 。所以 。则存在 ，使得 。 假设 且 。当 时，不妨设 。因为D中不含长度为3的路，所以点 与 不相邻。由引理2.2，则 包含一个4-团并且 ，产生一条路 ，矛盾。因此 。不妨设 ，类似地， 包含一个4-团并且 ，产生一条路 ，矛盾。证明断言对 时成立。 现在假定 。首先我们证明下列命题成立。 (*)假定 是G中l个独立的4-团且 是 的一条支撑路。则存在 ，使得 包含一条支撑路。 如果不是，则 。另外，我们可以假设 包含一个哈密顿圈。否则， ，则 。由引理2.3， 含有一个哈密顿圈。因为G是连通的，所以存在一个4-团 使得 。因此， 包含一条支撑路。 令s为正整数，使得 且 。由引理2.1和当 时的结论，我们可以找到 个点不交的4-团，设为 ，和一条长度为 的路。由 递归可知，我们得到相互独立的k个4-团和一条顶点数为r的路P。 现在我们讨论 时哈密顿路P上点的度。 由D中顶点数为r的哈密顿路P的构造过程可知， 中与 关联的点度大于等于4，与下一个4-团关联的点度大于等于4，其余两个点度大于等于3。 接下来讨论哈密顿路P中其余 个点的度， 。 当 时，由定理1.1可知，G中包含 个4-团，则这四个点可以组成一个4-团，设为 ，从 中任选两点，不妨设为 。则 因此在 的 个4-团中存在一个4-团 ，使得 ，则 中至少存在两个不同的点与 和 相连，设两条关联的边为 。因此 包含一个哈密顿圈C，且在C中 关联的四个点度大于等于4，非关联的点度大于等于3。 若 ，则在哈密顿路P上这四个点中有两个度大于等于4，两个大于等于3。若 ，则让 替换 中任意4-团 ，可以得到上述相同结果。 当 时，设为 。如果点 与 不相邻，则 所以在 个4-团中存在一个4-团 ，使得 ，则 。因此，点 与 在 中的度大于等于3，点 在 中的度大于等于4。若 ，则在哈密顿路P上这三个点中有两个度大于等于3，一个大于等于4。否则，则让 替换 中任意4-团 ，可以得到上述相同结果。如果点 与 相邻，这三个点可以组成三角形，设为 。则 所以在 个4-团中存在一个4-团 ，使得 。因此，与点 与 不相邻的情况类似，点 ， 与 在哈密顿路P上度大于等于4。 当 时，这两个点组成路T，设 。则 所以在 个4-团中至少存在一个4-团 ，使得 ，则 。因此，点 在 中的度大于等于4。若 ，则这两点在哈密顿路P上度大于等于4。否则，则让 替换 中任意4-团 ，可以得到上述相同结果。 当 时，这个点设为x。则 所以在 个4-团中至少存在一个4-团 ，使得 。因此点x在 中的度大于等于5。若 ，则这两点在哈密顿路P上度大于等于5。否则，则让 替换 中任意4-团 ，可以得到上述相同结果。 因此断言3.1成立。□ 令 ，P为D中的一条哈密顿路，不妨设两个端点为 。若 ，则存在 ，使得 ，设 。由此可知 与 在 中至少有一个共同点，设为 ，则 。因此， 是哈密顿的。即图G含有 个4-团和一个哈密顿圈。由断言3.1可知，当 时，这个哈密顿圈上点的度大于等于3或4。下面讨论当 时哈密顿圈上的度。若 ，设这个点为x ， 是平凡的，即所得哈密顿圈上点的度大于等于3或4。若 ， ，则存在 ，使得 ，因此 和 在 中至少有三个邻点，即哈密顿圈上点的度大于等于3或4。若 ，设路P上的三个点分别为 ，因为 ，所以存在 ，使得 ，则 在 中至少有三个邻点，即哈密顿圈上点的度大于等于3或4。若 ，由断言3.1可知，P为一个4-团，即哈密顿圈上点的度大于等于3或4。综上，当 ，主要定理得证。 否则， (1) 则 。由引理2.3，D含有一个圈C，使得 。 断言3.2 如果 ，那么 ，对于任意 且 证明：首先假定D中的每条哈密顿路的端点是邻接的。令P为D中的一条哈密顿路并且令 。我们假定 。假设 ，对于任意 ，存在一条哈密顿路 。由假设可知 ，因为 的极大性，我们得到 。 相同地， 。则D是一个正则图。 令 ，则 。否则D有一条哈密顿路 ，由假设可知 产生矛盾。因此 由(1)可得， ，则 。因为D为G的正则子图，所以 对于任意 。如果D中存在一条哈密顿路使得它的两个端点u，v是非邻接的，我们有 。令 为D中的一个哈密顿圈并且假定 。现在我们构造 。假定 并且 。我们可以找到一条哈密顿路 ，对任意的 。因此，我们得到一条以 为其中一个端点的 的哈密顿路。如果 ，则 。在 中我们连接 ，所以我们有 。相同地， 。因此 ，对于 中的任意一对 。由定义可知 是一个完全图。由引理2.4，D是哈密顿连通的，也就是说对于D中的每对点 ，都存在一条以u，v为端点的哈密顿路。因此，对于D中的每对非相邻的点 ， 成立。 现在我们证明主要定理 的情形，我们选择k个点不交的4-团 和D中一条哈密顿路。 如果 ，由断言3.2可知，D为一个4-团，设为 ，从 中任选两点，不妨设为 。则 因此在H中存在一个4-团 ，使得 ，则 中至少存在两个不同的点与T中两点相连，设两条关联的边为 。因此 包含一个哈密顿圈C，且在C中 关联的四个点度大于等于4，非关联的点度大于等于3。 如果 ，D为一个三角形，设为 。则 所以在H中存在一个4-团 ，使得 ， 在 中至少存在两个邻点。显然 中存在三个不同的点分别为与T中三点相连，对应的边设为 。因此 包含一个哈密顿圈C，且在C中T中的三个点度大于等于3， 中的与 关联的三个点度大于等于4，剩余一个点度大于等于3。 如果 ，这两个点组成路P，设 。则 在H中存在一个4-团 ，使得 ，则 。即P中两点在 中的邻点至少有三个为共同点，对应的边组成的集合设为E。因此 包含一个哈密顿圈C，且在C中P中的两个点度大于等于4， 中的与E中的边关联的三个点度大于等于5，剩余一个点度大于等于4。 如果 ，D为一个点，设为x。则 在H中至少存在一个4-团 ，使得 。因此 包含一个哈密顿圈C，且在C中点的度为4。 当 时。令P为D的一条哈密顿路，其中一个端点为u，使得 ，对于某些 。不失一般性， 。 由引理2.5，D中有一个4-圈Q使得 含有一条起始于u的哈密顿路 。因为 ，所以 有一条哈密顿路 。 因为D是哈密顿的，我们可以选择在Q与 中两条互不相交的边 和 。我们称 有一条从 到 的支持路。否则，假设 。则 且 。由 ，则存在 ，使得 。由断言3.2，D是哈密顿连通的，则在 与 之间存在一条D中的哈密顿路并且 是哈密顿的，产生矛盾。用Q代替 ，则断言3.2对 仍成立。那么D是哈密顿连通的，存在一条以 和 为端点的哈密顿路。因此 是哈密顿的，产生矛盾。 现在我们讨论 时弦圈C的结构。由定理证明中弦圈C的构造过程可知， 包含哈密顿圈，即所构造的弦圈C。在C上 中与D中哈密顿路 关联的点度大于等于4，其余两点度大于等于3。弦圈C中其它点的度的情况断言3.1已证。□