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user: 2. 配资收益与风险模型 本文假定状态转移概率矩阵为 A = [ − a 11 a 12 … a 1 d a 21 − a 22 … a 2 d ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a d 1 a d 2 … − a d d ] ，     a i j ≥ 0 ， ∑ j = 1 ， j ≠ i d a i j = a i i ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， d 首先考虑收益模型。股民在到期日的收益支付函数可以看作股票看涨期权收益，即 h ( T ， S T ) = ( S T − k q e γ T − q ) + ， ( ⋅ ) + 表示取正部函数，而股民在任意t时刻的贴现收益期望为 V i ( t ， S t ( X i ) ) = E t ， S t ( X i ) [ e − r ( T − t ) h ( T ， S T ) ] . (2) 在Black-Scholes-Merton分析框架上(见文献 [ 6 ] [ 7 ] )，股民收益期望 V ( t ， S t = S ) 满足耦合偏微分方程组(PDEs) ∂ ∂ t V i ( t ， S ) + ( r − δ ) S ∂ ∂ S V i ( t ， S ) + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 ∂ S 2 V i ( t ， S ) − ( r + a i i ) V i ( t ， S ) + ∑ j = 1 ， j ≠ i d a i j V j ( t ， S ) = 0 ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， d (3) 这里S为哑变量，不再是时间的随机函数。同时加上终端条件 V i ( T ， S ) = ( S − k q e γ T − q ) + . (4) 考虑到合同条款(2) (3)，我们必须加上边界条件 V i ( t ， k q e γ t ) = 0 ， (5) V i ( t ， μ q ) = ( μ − 1 ) q − k q e γ t . (6) PDEs (3) (4) (5)和(6)构成多状态转移欧式看涨障碍期权。如果转移概率矩阵 A = 0 ，状态转移模型退化为文 [ 7 ] 所描述的经典布朗运动模型。 再来讨论风险度量。股民在到期日的风险支付可以看作股票看跌期权收益，即 h ˜ ( T ， S T ) = ( q + k q e γ T − S T ) + ，而股民在任意t时刻的贴现风险期望为 V ˜ i ( t ， S t ( X i ) ) = E t ， S t ( X i ) [ e − r ( T − t ) h ˜ ( T ， S T ) ] . (7) 与收益分析类似，股票风险期望 V ˜ ( t ， S t = S ) 满足PDEs ∂ ∂ t V ˜ i ( t ， S ) + ( r − δ ) S ∂ ∂ S V ˜ i ( t ， S ) + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 ∂ S 2 V ˜ i ( t ， S ) − ( r + a i i ) V ˜ i ( t ， S ) + ∑ j = 1 ， j ≠ i d a i j V ˜ j ( t ， S ) = 0 ，   i = 1 ， 2 ， ⋯ ， d (8) 和终端条件 V ˜ i ( T ， S ) = ( q + k q e γ T − S ) + . (9) 考虑到合同条款(2) (3)，我们同样加上边界条件 V ˜ i ( t ， k q e γ t ) = q ，     V ˜ i ( t ， μ q ) = 0. (10) PDEs (8) (9) (10)构成所谓的欧式看跌障碍期权。如果已知零时刻股票价格 S 0 ，并给定配资率k，股 民投入资金数量 q = 1 1 + k S 0 ，此时股民在不同状态下的收益率I、风险率R和风险收益比λ可分别定义为 I i = V i ( 0 ， S 0 ) / q ，     R i = V ˜ i ( 0 ， S 0 ) / q ，     λ i = V ˜ i ( 0 ， S 0 ) V i ( 0 ， S 0 ) ， (11) I i ， R i 和 λ i 都是无量纲的， I i 表示单位投入的收益， R i 表示单位投入的风险， λ i 则表示单位收益所面临的风险大小。 I i ， R i 和 λ i 对配资率k较为敏感，同时与借贷利率γ有关，应该是股民最为关注的数量指标。 计算收益期望的PDEs (3)~(6)可用有限差分方法来求解。定义固定时间网格 Δ t = T / M ，     t m = m Δ t ，     m = 0 ， 1 ， ⋯ ， M 和移动空间网格 Δ S m = ( μ q − k q e γ t m ) / N ，     S n m = k q e γ t m + n Δ S m ，   n = 0 ， 1 ， ⋯ ， N . 记 V m ， n i 为期权价值 V i ( t ， S ) 在状态 X i ，时刻 t m 和股价为 S n m 时的数值解。运用中心差分的隐式格式离散PDE (3)得到 V ^ m ， n i − V m − 1 ， n i Δ t + ( r − δ ) S n m − 1 V m − 1 ， n + 1 i − V m − 1 ， n − 1 i 2 Δ S m − 1 + 1 2 σ 2 ( S j m − 1 ) 2 V m − 1 ， n + 1 i − 2 V m − 1 ， n i + V m − 1 ， n − 1 i ( Δ S m − 1 ) 2 − ( r + a i i ) V i m − 1 ， n + ∑ j = 1 ， j ≠ i d a i j V m − 1 ， n j = 0 ，   m = M ， M − 1 ， ⋯ ， 1 ;   n = 1 ， 2 ， ⋯ ， N − 1. (12) 其中 V ^ m ， n i 为 V m ， n i 在时间层 t m − 1 上的插值函数。对离散系统(12)进行整理，依次关于时间节点 m = M ， M − 1 ， ⋯ ， 1 有 p i ， m − 1 ， n V m − 1 ， n − 1 i + q i ， m − 1 ， n V m − 1 ， n i + c i ， m − 1 ， n + 1 V m − 1 ， n i + ∑ j = 1 ， j ≠ i d l i ， j V m − 1 ， n j = V ^ m ， n i ，     m = 1 ， 2 ， ⋯ ， N − 1 ， (13) 其中 p i ， m − 1 ， n = ( r − δ ) S n m − 1 Δ t − σ i 2 ( S n m − 1 ) 2 Δ t 2 ( Δ S m − 1 ) 2 ， q i ， m − 1 ， n = 1 + σ i 2 ( S n m − 1 ) 2 Δ t ( Δ S m − 1 ) 2 + ( r + a i i ) Δ t ， c i ， m − 1 ， n = − ( r − δ ) S n m − 1 Δ t − σ i 2 ( S n m − 1 ) 2 Δ t 2 ( Δ S m − 1 ) 2 ，   l i ， j = a i j Δ t . 加上终端条件和边界条件 V M ， n i = ( S n M − k q e γ T − q ) + ，   V m − 1 ， 0 = 0 ，   V m ， N = ( μ − 1 ) q − k q e γ t m ， 线性方程组(13)可按时间反向演化求解。如果令矩阵和向量 B i = D i a g ( p i ， m − 2 ， n ， q i ， m − 2 ， n ， c i ， m − 2 ， n ) ， f i = [ V ^ m ， 1 i ， V ^ m ， 2 i ， ⋯ ， V ^ m ， N i − ( μ − 1 ) q − k q e γ t m ] T 则离散方程(13)有矩阵形式 同理计算风险期望的PDE (8)~(11)也可用有限差分方法来求解，方法类似，这里不再赘述。