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user: 2. 太阳影长变化模型 2.1. 影长变化模型 本文以直杆作为研究载体探究直杆影长与各种因素的关系，直杆与其在地面投影的几何关系如图1所示： 图1. 直杆投影几何示意图 图2. 赤纬角和时角几何示意图 就固定在地面某一点的直杆而言，其投影点位置与太阳高度角有关，影子长度l为 H / tan α ，其中，H为直杆长度， α 为太阳高度角。 地球某点处的太阳高度角 α 取决于该地的纬度 φ ，某确定时刻太阳赤纬角D以及太阳时角h，其几何关系如图2所示。太阳高度角解析关系式关系如式(1)所示： α = arcsin ( sin φ sin D + cos φ cos D cosh ) (1) 首先，本文进行太阳赤纬角的推导 [ 1 ] ，赤纬角D有： sin D = sin 23 ∘ 2 6 ′ 37. 8 ″ sin σ (2) 其中 [ 2 ] ： δ = 279.9348 + d + 1.914827 sin d − 0.079525 cos d                                   + 0.019938 sin 2 d − 0.001620 cos 2 d (3) d为一年中特定日期表示的角分数，有： d = ( n − 1 ) × 360 365.242 (4) 其中，n为某日期的积日，积日为日期在年内的序列号，如1月1日的积日为1，以此类推。 其次，本文对太阳时角进行推导，时角由公式(5)导出： h = 15 ( T − M ) − l o n g i t u d e (5) 其中，T为计算时代入的GMT时间，与直杆所在点时间的换算如式(6)所示： T = t B − l o n g i t u d e + 120 15 − 8 (6) 其中longitude为该点的经度，东经取负，西经取正； t B 为北京时间，即东八区标准时间，某地时间变化是由地球自转引起的 [ 1 ] ，由于地球一天24 h内旋转360˚，则每小时旋转15˚。M为真太阳时，由式(7)得 [ 3 ] ： M = 12 + 0.123570 sin d − 0.004289 cos d + 0.153809 sin 2 d + 0.060783 cos 2 d (7) d的定义见式(4)。 至此，本文完成直杆影子长度变化模型的建立，联立公式即可得到影子长度与各个参数的函数关系式。 2.2. 各因素对影长的影响 本文建立直杆影子长度变化模型：直杆影子长度与直杆长度H，积日n，所在经度纬度以及测量时间(北京时间)有关。为分析影子长度关于各个参数的变化规律，本文以2018年10月22日北京时间9时至15时之间天安门广场(北纬39度54分26秒，东经116度23分29秒) 3米高的直杆的影长变化为例，采用控制变量的方法分别研究上述参数对影子长度变化的影响： (I) 积日、直杆所在点经纬度和测量时间一定，直杆长度变化 当直杆长度变化，其他参数不变时，由公式1可知，太阳高度角 α 保持不变。则直杆影子长度与直杆自身长度成正比。基于此关系，本文作出图3研究直杆影子长度与杆长的关系，其中日期取2018年10月22日(即积日为295)，经度为东经116度23分29秒，纬度为北纬39度54分26秒，测量时间为12:00 (北京时间)，即有： t B = 12 ， φ = 39.91 ∘ ， l o n g i t u d e = − 116.39 ∘ ， n = 295 。 利用MATLAB作出直杆影子长度–直杆长度关系图如图3所示： 图3. 影子长度与直杆高度关系图 (II) 积日、直杆所在点经度值和测量时间一定，直杆所在点纬度值变化 当直杆所在点纬度值变化，其他参数不变时，根据一般性的认识，可以得到：在其他参数相同的情况下，纬度值越高，太阳高度角越小，直杆影子长度越大。其中日期取2018年10月22日(即积日为295)，经度为东经116度23分29秒，直杆长度为3 m，测量时间为12:00 (北京时间)，有： t B = 12 ; φ = 0 ∘ ， 15 ∘ ， 30 ∘ ， 45 ∘ ， 60 ∘ ; l o n g i t u d e = − 116.39 ∘ ; n = 295 本文利用MATLAB作出直杆影子长度—纬度变化图如图4所示： 图4. 影子长度与所处纬度关系图 从图4可以发现，随着纬度值的增大，直杆影子长度一直增大，且增大的速度越来越快。 (III) 积日、直杆所在点纬度值和测量时间一定，直杆所在点经度值变化 时间变化是由地球的自转引起的，不同时区在同一太阳时所处的时间必然不同，例如当北京时间为9:00时，GMT时间为1:00，此时北京处于白天，格林尼治没有太阳照射，太阳高度角显然为0˚，此时的直杆影子长度趋于无穷大。则在其他参数相同的条件下，经度不同，所在地的白昼情况不同。日期取2018年10月22日(即积日为295)，纬度为北纬39度54分26秒，直杆长度为3 m，测量时间为12:00 (北京时间)，有： t B = 12 ; φ = 39.91 ∘ ; l o n g i t u d e = − 20 ∘ ， − 30 ∘ ， − 60 ∘ ， − 80 ∘ ， − 100 ∘ ; n = 295 本文利用MATLAB作出直杆影子长度与直杆所在经度值关系图像如图5所示。 从图5可看出，在其他条件相同的前提下，东经0˚到40˚左右范围内，直杆影子长度都在0左右或是很大的异常值，则此地区在北京时间12:00正处于黑夜。为更精确反映二者关系，本文将经度取值范围缩小并作出图6。 从图中可以看出，在有光照的范围内，直杆影子长度随经度的增大而减小，而取得异常值的区域大致为东经30˚到东经40˚，根据世界时区与经度的关系，此区域在北京时间12:00时大概处于6点，在10月份正处于黑夜状态，符合实际。 (IV) 直杆所在点经纬度值和测量时间一定，积日变化 积日这一参数反映的是日期(即月日)对太阳高度角的影响，根据前文定义，本文发现在其他参数一定的条件下，太阳高度角随积日的增加应先增加后减小。且由于本文中的地点天安门广场处于北半球，则 图5. 影子长度与经度关系图 图6. 修正经度后的影长与经度关系图 其他参数一定的情况下，太阳高度角在夏至日(2018年6月21日)取得最大值，则此时直杆影子长度取最小值。利用MATLAB计算得到相应的直杆影子长度，其中纬度为北纬39度54分26秒，经度为东经116度23分29秒，直杆长度为3 m，测量时间为12:00 (北京时间)，有： t B = 12 ; φ = 39.91 ∘ ; l o n g i t u d e = − 116.39 ∘ ; n = 40 ， 100 ， 170 ， 230 ， 290 本文利用MATLAB作出直杆影子长度–积日关系图如图7所示。 所作图7符合上文提到的影长随积日变化的趋势，本文研究图7得到直杆影子长度取最小时，积日为172。查阅资料得到今年2018年的夏至日为6月21日，对应的积日为173，则本文求得直杆影子长度最小时的积日误差大约为： η = n x i a − n min n x i a = 173 − 172 173 ≈ 0.578 % (8) 证明模型有相当好的精度。 图7. 影子长度与积日关系示意图 (V) 直杆所在点经纬度值和积日一定，测量时间变化 当其他参数一定时，即对于特定的一天(10月22日)，测量时间不同必然会对直杆影子长度产生影响。根据一般的生活经验，太阳高度角在早上和晚上很小，在中午一般会达到最大值，直杆影子长度会随着一天时间的推移先减小后增大。与上文类似，本文取日期为2018年10月22日，纬度为北纬39度54分26秒，经度为东经116度23分29秒，直杆长度为3 m，积日为295。利用MATLAB作出太阳高度角以及直杆影子长度随时间推移的变化示意图如图8，图9所示： 图8. 太阳高度角与时间关系示意图 从图9可以得到，直杆影子在11时45分左右取得最小值3.6560 m。