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user: 3. 基于逐步MUSIC算法的谐波参数估计 文献 [ 12 ] 提出了一种实数形式的MUSIC算法，相较于常规的MUSIC算法，无需将信号转换为复频率，降低了计算量和计算复杂度。 因为 n ( t ) 与 y ( t ) 相互独立，于是可对观测向量 y ( t ) 的自相关矩阵 R y y = E { y ( t ) y T ( t ) } 做特征值分解为： R y y = C ( ω ) R s s C T ( ω ) + σ 2 I M = ∑ k = 1 M λ k μ k μ k T = U s Σ s U s T + σ 2 U n U n T (8) 其中 R s s = E { s ( t ) s T ( t ) } 是 s ( t ) 的自相关矩阵， I M 是 m × m 单位矩阵。 λ k 和 λ k 分别为 R y y 第k个特征值及其对应的特征向量，且满足 λ 1 ≥ λ 2 ≥ ⋯ ≥ λ 2 p + 1 = ⋯ = λ m = σ 2 。 Σ s 为 R y y 的前2p个特征向量构成的对角矩阵。 U s 称为 R y y 的信号子空间，由 R y y 的前2p个特征向量构成； U n 称为 R y y 的噪声子空间，由 R y y 的后 m − 2 p 个特征矢量构成。 由于特征向量相互正交，可得 U s 与 U n 正交，将式(8)右乘 U n 得： R y y U n = C ( ω ) R s s C T ( ω ) + σ 2 U n = σ 2 U n (9) 于是有： C ( ω ) R s s C T ( ω ) U n = O ⇒ U n T C ( ω ) R s s C T ( ω ) U n = O (10) 进而可以得到： C T ( ω ) U n = O (11) 即 C T ( ω ) 与 U n 正交。 将式(5)代入式(11)即有： B T ( ω ) U n = O 2 × ( m − 2 p ) ，     ω = ω 1 ， ⋯ ， ω p (12) 显然，当 ω ≠ ω 1 ， ⋯ ， ω p 时， B T ( ω ) U n ≠ O 。 将式(12)改写为标量形式，即定义如下实值MUSIC伪谱函数： P ( ω ) = 1 tr [ B T ( ω ) U n U n T B ( ω ) ] (13) 于是，若谐波模型具有p个分量，则可选取实值MUSIC伪谱函数 P ( ω ) 所对应的p个峰值点作为频率的估计。 在求解得各谐波频率的估计后，可将非线性的信号模型转为简单的线性模型，进而采用最小二乘方法估计各谐波振幅。 引入以下记号： Y = [ y ( 1 ) ， y ( 2 ) ， ⋯ ， y ( N ) ] T α = ( a 1 ， b 1 ， ⋯ ， a p ， b p ) T E = [ n ( 1 ) ， n ( 2 ) ， ⋯ ， n ( N ) ] T D ( ω k ) = [ cos ( ω k ) cos ( 2 ω k ) ⋯ cos ( N ω k ) sin ( ω k ) sin ( 2 ω k ) ⋯ sin ( N ω k ) ] T G ( ω ) = [ D ( ω 1 ) ， D ( ω 2 ) ， ⋯ ， D ( ω p ) ] m × 2 p 则谐波模型(2)可改写为如下的矩阵形式： Y = G ( ω ) α + E (14) 于是，在求解得频率 ω 的估计值 ω ^ 后，上式的最小二乘解为： α ^ = [ G T ( ω ) G ( ω ) ] − 1 G T ( ω ) Y | ω = ω ^ (15) 在实际应用中，通常会出现低信噪比、样本量小或频率差小的情形，此时信号往往会被淹没掉，导致一些谱峰消失。此外，MUSIC算法需要给定准确的分量数才可以发挥其超分辨率，在分量数未知的情况下，若估计的分量数比实际的要少(即欠估计)，进行信号子空间和噪声子空间的划分时，由于部分信号子空间会被错分到噪声子空间中去，导致信号子空间的维数降低，从而也会使得一些谱峰消失。同样的，若估计的分量数比实际的要多(即过估计)，那么部分噪声子空间会被错分到信号子空间中去，导致噪声子空间的维数降低，信号子空间维数变多，此时谱峰会增加，即出现一些伪峰。 为在分量数未知的情况下也可以取得良好的凸峰效果，文献 [ 13 ] 考虑利用自相关矩阵的全部特征向量，利用权值控制不同特征向量对特征谱的作用，而适当的权系数可以减弱信号特征向量的作用，加弱权值的信号特征向量即相当于常规的MUSIC方法中只利用噪声特征向量的情形。 定义数据自相关矩阵的加权特征向量矩阵为： U = [ 1 λ 1 c μ 1 ， 1 λ 2 c μ 2 ， ⋯ ， 1 λ m c μ M ] (16) 其中，指数c用来调节加权的效果。 于是新的MUSIC空间谱表示为： H ( ω ) = 1 tr [ B T ( ω ) U U T B ( ω ) ] (17) 利用上式，我们结合Prasad等 [ 11 ] 提出的逐步LSE算法，提出了一个简单的逐步估计算法，在谐波分量数未知情况下也可以取得良好的估计效果。 对原始数据 Y 的自相关矩阵做特征值分解，并构造加权左奇异矩阵 U ( 1 ) 。接着搜索对应的MUSIC空间谱的最大峰值，并利用式(15)求解得到振幅的估计，即： ω ^ 1 = argmax ω 1 tr [ B T ( ω ) U ( 1 ) U ( 1 ) T B ( ω ) ] (18) α ^ ( 1 ) = [ D T ( ω ) D ( ω ) ] − 1 D T ( ω ) Y | ω = ω ^ 1 (19) 则有 α ^ ( 1 ) = [ a ^ 1 ( 1 ) ， b ^ 1 ( 1 ) ] T ， ( a ^ 1 ( 1 ) ， b ^ 1 ( 1 ) ， ω ^ 1 ) 是 ( a 1 0 ， b 1 0 ， ω 1 0 ) 的估计量。接着对原始数据做调整，即如下残差序列： Y ( 1 ) = Y − B ( ω ^ 1 ) α ^ ( 1 ) (20) 对调整后的数据 Y ( 1 ) 的自相关矩阵做特征值分解，并构造加权特征向量矩阵 U ( 2 ) 。接着搜索对应的MUSIC空间谱的最大峰值，即： ω ^ 2 = argmax ω 1 tr [ B T ( ω ) U ( 2 ) U ( 2 ) T B ( ω ) ] (21) 根据已有的频率估计量 ω ^ ( 2 ) = ( ω ^ 1 ， ω ^ 2 ) ，利用式(22)求解前两个分量的振幅的估计量： α ^ ( 2 ) = [ G T ( ω ) G ( ω ) ] − 1 G T ( ω ) Y ( 1 ) | ω = ω ^ ( 2 ) (22) 则有 α ^ ( 2 ) = [ a ^ 1 ( 2 ) ， b ^ 1 ( 2 ) ， a ^ 2 ( 2 ) ， b ^ 2 ( 2 ) ] T 。接着对原始数据做调整，即如下残差序列： Y ( 2 ) = Y − C ( ω ^ ( 2 ) ) α ^ ( 2 ) (23) 若谐波分量数p已知，我们将继续这一过程到第p步。加性噪声方差 σ 2 的估计给出为： σ ^ p 2 = 1 N [ Y ( p ) ] T Y ( p ) (24) 若p未知，我们将拟合到一个q阶模型，并给出对应的加性噪声方差的估计。然而q可能不等于p，且通常是一个大于p的整数。于是，我们可根据BIC准则选择分量数，针对加性高斯白噪声中的谐波模型，可给出BIC的形式如下： BIC ( k ) = N ln σ ^ k 2 + 3 k ln N (25) 对 k = 1 ， ⋯ ， q ，选取使得上式最小的k作为谐波分量数的估计。