DavidErikMollberg/kennsluromur huggingface dataset:
Maður þarf að skilgreina hvað maður meinar með samlagningu Þar eru bara samlagning eins og við höfum séð á vigrum Maður þarf að skilgreina hvað menn meina með margföldum fasta og þar ætlum við að nota skilgreiningunni eins og við höfum haft hana margfölduð með fasta og margfalda öll stök yfir vigra með fastana
Nú svo þarf maður að skoða hvort þetta séu þau tíu atriði gilda
Skoðum hérna til dæmis að við með tvö tvo þrjá vigra í r í þriðja þá þarf summan af þeim líka að vera r í þriðja og það gildi sannarlega má ekki skipta máli í hvaða röð ég legg saman og það gildir um sýnt að regla númer þrjú gildi fyrir þriggja staka vigra
og svo framvegis Allar þessar reglur sem gilda fyrir vigra í r í þriðja þannig þetta er vektorrúm Raunar getum við sagt að
raunar bara við getum sagt að r í ennta er vigurrúm þar sem n er einhver tala stærra eða jafnt og einn
Ókei þannig þetta er þessi klassíska vigurrúm og þetta höfum við verið að vinna svolítið með En hvað getur þetta verið annað Við skulum prófa að sjá dæmi
Skoðum hérna mengi sem ég ætla að kalla p n þar sem n er einhver tala stærra eða jafnt og núll
Þetta eru mengi á margliðum af stigi í mesta lagi n köllum getum kallað eitt stak p sem er þá a núll plús a einn sinnum t og svo framvegis upp a n sinnum t í ennta
Ókei stuðlarnir a núll af einn Við skulum láta þá bara að vera fasta í þessu tilfelli
Nú hvað er með stigið af margliðunum skoðum það aðeins betur
Nú við þurfum að skilgreina líka samlagningu og margföldun með fasta
Segjum að við séum aðra margliður q sem stuðlar að b núll b einn og svo framvegis samlagning og p og q er þá skilgreind þannig að maður leggur saman alla stuðlana á sama sem er við sama veldi á t
Þannig a núll plús b núll a einn plús b einn sinnum t og svo framvegis
Og margföldun með fasta ef ég margfalda p með einhverjum fasta c þá er ég að margfalda bara hvern lið fyrir sig með fastana
Nú þetta
þetta p n hérna sem er mengið af öllum margliðum þetta er vektorrúm
Ókei af hverju er þetta vektorrúm Þetta uppfyllir öll þessi tíu skilyrði með þessari skilgreiningu og margföldun og samlagningu þá uppfyllir þetta öll skilyrði skulum prófa að kíkja
Nú við vorum búin að sjá að þar til eitthvað núll stak
Það var bara margliðan jafnt og núll þá sjáum að við leggjum hana við aðra margliðu þá fáum við aftur sömu margliðuna
ef ég legg saman tvær margliður af stigi n nú þá áfram með margliðu af stigi n
þanng regla númer eitt gildir það skiptir ekki máli í hvaða röð ég legg margliðana saman
einfaldlega vegna þess að það skiptir ekki máli í hvaða röð ég legg rauntölur saman
nú tökum til dæmis síðasta skilyrðið hérna ef við margföldum margliðum með einum þá verð ég að margfalda alla stuðlana með einum ég sem sagt fæ sömu margliðuna aftur
Við getum það ekki til dæmis mengið af öllum raungildum föllum sem eru skilgreind á einhverjum bili
Og við skilgreinum summu tveggja falla á eftirfarandi hátt
við leggjum saman völlinn margföldurum upp fasta á þennan hátt
Nú er þetta v vektrorrúm
Það uppfyllir öll þessi tíu skilyrði og þar var skoða í gegnum öll tíu atvik séu uppfyllt fyrir föll
Nú við skulum snúa okkur að öðru skyldu hugtaki sem hlutrúm
og við skulum byrja við höfum talað áður en hlutrúm við sklum ber að skilgreina hvað er meinum við með hlutrúm núna
skilgreiningu á hlutrúm Þetta er alveg eins og áður nema nú er h hlutrúm í vektorrúminu v
Og nú erum við komin með víðari skilningi hvað vektorrúm er Við skulum prófa sjá dæmi
Nú mengið af margliðum c sem sagt við erum ekki með efri mörk á hver hérna veldið var meira bara p ekki p n eins áðan með rauntölu stuðla
samlagningu og margfeldi með fasta skilgreind eins og bara fyrir föll
Þá er p hlutrúm í mengi allra raungilda falla
Þannig þarna erum við komin eitt hlutrúm í öðru vektorrúmi
Og sjáið þetta er sjálft þetta er þá sjálft vektor hlutrúmið
Ókei einnig getum við sagt að p n þar sem við erum með margliða stigi í mesta lagi n það er hlutrúm í mengið af öllum
Nú það er ágætt að skoða líka eitthvað sem er ekki hlutrúm
Nú þá er ég með hlutrúm í r í þriðja og við getum sagt að þetta hlutrúm hagi sér pínu eins og r í öðru En þetta er ekki r í öðru Þetta er hlutrúm r í þriðja Sjáið r í öðru getur ekki verið hlutrúm í r í þriðja einfaldlega vegna þess að stök r í öðru er ekki r í þriðja tveggja staka vigrar hérna
er ekki þriggja staka vigrar
Annað dæmi
nú planið r í þriðja sem ekki inniheldur núll punktinn er ekki hlutrúm r í þriðja þetta höfum við séð áður
Sömuleiðis lína sem fer ekki í gegnum núll Hún hefði ekki hlutrúm
Aftur á móti ef við sleppum þessu ekki þá myndum við sleppt þessu ekki Sem sagt planið r í þriðja sem inniheldur núllpunktinn er hlutrúm r í þriðja
Og við skulum sýna fram á þetta Nú hvað þurfum við að sýna til að þetta sé hlutrúm Í fyrsta lagi þá verður núllstakið að vera núllstakið í v
á að vera í h
Ókei er það tilfellið Ja ég má taka allar línulega samantektir sem ég vil af v einum og v tveimur þannig ég segir núll sinnum v einn plús núll sinnum v tveir Þá fæ ég núll stakið sem er sannarlega þá Í h sem er núll stakið v
Ókei þannig það fyrsta gildir
taka þau saman
og w er líka hægt að skrifa sem línulega samantekt bara einhverja aðra línulega samantekt af v einum og v tveimur
Ég ætla að kalla fastana mína a b og c d
Nú svo skulum við taka einhverja tvo fasta h og k sem eru sem bara rauntölufastar
Þá er
k sinnum u plús k sinnum h
nei k sinnum h afsakið
sinnum v einn
og k b plús h d
sinnum v tveir Nú sjáið þið þetta hér Þetta er fasti sinnum v einn plús fasti sinnum v tveir sem sagt línuleg samantekt á v og v tveimur sem sagt þetta er í span inu af v einum og v tveimur
Þannig þessi er í h
Ókei þannig við erum búnir að sýna að h er hlutrúm í v Alltaf þegar við erum með span af tveimur veigrum sem er í einhverjum vigurrúmi
En athugið v einn og v tveir verða að vera í vigurrúmi
Nú við skulum koma með enn eitt dæmi um vigurrúm
M m n við skulum hafa það nafnið á vigurrúminu Þetta eru öll m sinnum n rauntölufylkir
Og við ætlum að nota samlagningu og margföldun með fasta vera skilgreind eins og hefðbundinn hátt fyrir fylki eins og við höfum séð í vetur
Þá uppfyllir þetta öll þessi tíu skilyrði sem þurfa væru uppfyllt og við erum með vektorrúm
öll þrisvar sinnum fjögur fylki
Öll þrisvar sinnum fjögur fylki saman gefa okkur vektorana eða öll tvisvar sinnum tveir fylki
Það gefur okkur eitt vektorrúm
og svo framvegis Þannig að við erum komin með núna eru vigrarnir okkar fylki
Til dæmis er núll stakið eða eigum við að segja að við höfum núllstakið hér En hvað er við að tala um Við erum að tala um
þrjár línur
Þetta er núll stakið í m þrír fjórir vigurrúminu
ef v einn og v tveir upp í v p eru vektorrúm v þá er span ið af v einum upp í v p hlutrúm í h Þetta er svolítið eins og í dæminu sem við sáum áðan Við köllum þetta hlutrúm hlutrúmið span nað af v einum v tveimur upp í v p
Ókei prufum að sjá hvernig við getum notað þetta
Segjum að h sé mengi allra vigra af þessari gerð hérna þetta eru sem sagt vigur í r í fjórða
Í rauninni ætti ég að setja hérna t svona
og a og b eru einhverja rauntölur Og svo er spurt er þetta hlutrúm
plús vigurinn mínus þrír einn núll og einn
Þetta er sem sagt einhver vegur u
plús einhver vigur v sinnum b línuleg samantekt af u og v Nú setningin segir að span a þessum tveimur vigrum er þá hlutrúm í r í fjórða
Þetta er línuleg samantekt á tveimur vigrum er í fjórða Þess vegna er þetta hlutrúm
Ókei það verður sem sagt það eru fleiri dæmi um
hlutrúm og vigurrúm í fyrirlestraglósunum af bókinni og ég hvet ykkur til að skoða þetta til dæmis eitt skemmtilegt dæmi um eitthvað skrýtið við hverjum sem er aðeins öðruvísi en við erum vön
Segjum þetta gott í bili hérna
Ókei í þessu myndbandi ætlum við að skoða ýmsa eiginleika sem ákveður hafa og við byrjum á að rifja upp gagnlega setningu
Sem er setning númer tvö að ef a þríhyrningsfylki sem sagt núll fyrir neðan hornalínuna þá er ákveðan af a margfeldi hornalínustaka a
Þessa setningu höfum við séð áður
Nú bætum við við setningu
Og hún fjallar um hvernig áhrif hefur það á ákveðu fylkis að við gerum þessa einföldu línuaðgerðir sem við höfum lært þegar við erum að ryðja fylki
Nú það kemur í ljós að í fyrsta lagi þá ef við erum að leggja eina línu við aðra línu þá breytum við ekki ákveðunni
Og í öðru lagi þá ef við skiptum á tveimur línum í fylki nú þá erum við að breyta formerkinu á ákveðunni
Sem sagt ákveðan af nýja fylkinu með þar sem við erum búin að býtta tveimur línum er mínus ákveðan af fylkinu sem við vorum með
Og svo í þriðja lagi ef við margföldum eina línu í fylkinu með einhverjum fasta k þá jafngildir það að margfalda ákveðuna með fasta ká
Ókei við ætlum að nýta okkur þessar setningar hérna í að reikna nokkur dæmi
Byrjum á að segja hérna erum við með með ákveðu fylkis a sem ég ætla að reikna og a er þetta fylki sem er gefið hér
Gerum þessar tvær ákveður aðgerðir þá fæ ég fylkið sem sést hér sést hér og það sem meira er að ákveðan af fylkinu mínu a er sú sama og þessa nýja fylki
Ókei svo getum við sagt ég ætla að prufa að skipta um á línu eitt tvö og þrjú í þessu fylki
Þá fæ ég ekki sömu ákveðu heldur neikvætt negatíva ákveðuna sem ég var með þannig að einn mínus fjórir tveir og svo lína númer þrjú er núll þrír tveir og núll núll fimm
Og sjáið þið hérna er ég komin með mínus ákveðuna af þessu hérna fylki
Ákveðan af a er sem sagt mínus ákveðan af þessu fylki
Ókei hér er ég búin að koma þessu á form sem er þetta er hornalínufylki þannig að ég get auðveldlega reiknað út ákveðuna ákveðan er nefnilega mínus er þessi hérna mínus og svo sinnum einn sinnum þrír sinnum fimm
Ákvarðan er sem sagt mínus fimmtán
Ókei við erum með fjórum sinnum fjórir fylki það mundi ef ég ætla að reyna að reikna ákveðuna fyrir það UNK þá að reikna fjórar þrisvar þrír ákveður sem getur tekið sinn tíma
En við reynum frekar bara að einfaldlega þetta nota aðgerðirnar setninguna sem við þekkjum
Ákveðuna fyrir fylkið a hún er sú sama og ákveðan af fylkinu þar sem ég er búinn að gera hæfilegar línuaðgerðir
Nú í fyrsta lagi þá sé ég með tveir mínus átta sex og átta hérna fyrir í fyrstu línunni
Þannig að ég ætla að taka tvistinn út fyrir sviga
Sem sagt tvisvar sinnum ákveðan af einn mínus fjórir þrír og fjórir þrír mínus níu fimm og tíu sjáið ég breyti engu í línum tvö þrjú fjögur sisvona
Ókei svo ætla ég að leggja línu eitt hæfilega oft við línur tvö þrjú og fjögur og þá enda ég með fylki sem lítur svona út
Ég smelli í þá aðgerð þá fæ ég einn mínus fjórir þrír fjórir núll þrír mínus fjórir mínus tveir núll núll mínus ex og tveir núll núll núll og einn sisvona
Og núna get ég reikna ákveðuna bara með að leggja saman margfalda saman hornalínustökin
Tvisvar sinnum einn sinnum þrír sinnum mínus sex sinnum einn
Fáum svo mikið sem mínus þrjátíu og sex sisvona
Ókei munið þið að ef maður margfaldaði með fylkið með fasta það er að segja maður margfaldaði eina línu í fylkinu með fasta að þá er það það sama og margfalda ákveðuna með fasta
Það er UNK reglan sem við notum hér
UNK segjum að nýja fylkið okkar sé bé þá erum við að hugsa hvernig er það miðað fylkið a hvernig það var þá sjáið þið að UNK margfaldað með sama fasta ká hérna
Það er einmitt það sem við gerum hérna við sögðum ákveðan af a er jafnt og ká sinnum ákveðan af bé
Æ afsakið ég ætla að halda mig við að gamla fylkið mitt hét a þetta fylki sem ég byrjaði með hét a þá UNK ká sinnum hérna ká sinnum fylkið a
Hérna vorum við í raun og vera að margfalda með fylkið hérna a með hálfum
Nú prufum við að skoða nokkrar eiginleika í viðbót
Og áður en við förum í næsta hluta þá ætla ég að benda ykkur á hérna þegar við vorum að ryðja fylki til að sjá betur út ákveðan var þá förum við ekki alla leið á línustallagerð það er að segja við þurfum ekki að láta fyrsta stak í hverri línu vera einn það má vera hvaða tala sem er margföldum við bara saman hornalínustök
Þannig að það sem við þurfum í raun og veru bara að gera er að leggja saman línurnar hæfilega oft til að komi núll hérna undir núll hér undir og hér undir
Það sem við þyrftum mögulega að gera líka er að við þyrftum að kannski að skipta á tveimur línum til að þetta væri mögulegt til að þetta gæti litið svona út
Og þetta er grunnurinn í næstu setningu næstu staðhæfingu hérna
Ókei köllum nú fylkið u hérna þegar við erum búnir að koma sem sagt a á línustallagerð þannig að UNK af fyrsta staki í hverri línu þarf ekki að vera núll eða þarf ekki að vera einn fyrirgefið þið
Við ætlum að kalla það fylki við fáum u
Ókei ef við þyrftum að skipta r sinnum á línum til að fá fylkið u þá er ákveðan af a jafnt og mínus einn í veldinu r sem sagt mínus einn sinnum fjöldinn af skiptum sem við þurftum að skipta á línum sinnum margfeldi vendistuðla u
Ef a er andhverfanlegt
Athugið ef að a er andhverfanlegt þá er vendistuðull í hverri línu
Ókei og annars er það núll ef a er ekki andhverfanlegt sem sagt annars er ákveðan núll
Sjáðu út úr þessu fáum við líka að ef ákveðan er ekki núll þá erum við með vendistuðul í hverri einustu línu það þýðir að þá hlýtur að vera til lausn á fylkja jöfnunni a ex jafnt og núll og þar með er a andhverfanlegt
Við skulum skrifa þetta hjá okkur
Sjáið þið ef við hefðum verið með enn sinnum enn fylki a þá er það andhverfanlegt þá og því aðeins að ákveðan sé af a sé núll
Og sjáið þið ef við erum með vendistuðul í hverri línu og vendistuðullinn er í hornalínunni þá þegar margfölduðum saman vendistuðlana þá fáum við eitthvað sem er ekki núll
Sem sagt já hérna stendur óvart sama sem ekki jafnt og núll mikilvægt
Mikilvægt að hafa þetta ákveðan er sem sagt ef ákveðan er ekki núll þá er fylkið andhverfanlegt
Ókei ef það er vendistuðull í hverri einustu línu og það er þeir eru í hornalínunum þá vitum við að það er til nákvæmlega í lausn og þá vitum við líka að ef við margföldum saman hornalínustökin þá fáum við eitthvað sem er ekki núll
Helst í hendur við það hvort að þetta fylki hér er andhverfanlegt
Það er að segja í þeim tilfellum þar sem við erum með enn sinnum enn fylki
Við skulum prufa að skoða dæmi
Hérna kemur dæmi er til lausn á jöfnunni a ex jafnt og núll ef a þetta fylki sem er gefið hér
Og við ætlum að svara þessu með að spá í ákveðuna við ætlum að reikna ákveðuna fyrir fylkið a
UNK segja ákveðan af a er það sama og ákveðan af fylkinum núll einn tveir mínus einn tveir fimm mínus sjö þrír núll þrír sex tveir og svo ætla ég að taka línu tvö og þrjú og leggja saman og ég fæ núll núll mínus sjö plús fjórir mínus þrír og þrír mínus tveir eru einn
Ókei nú ætla ég að demba mér í að UNK þetta niður
Ég ætla að fara eftir fyrsta dálki af því að þar eru þrjú núll
Ég segi plús mínus tveir mínus tvisvar sinnum ákveðan af því sem er eftir er ég búin að strika allt í línu og dálkinn í tvistinum
Hafa þetta bara fjólublátt
Einn tveir mínus einn þrír sex tveir núll mínus þrír og einn sisvona
Og hér gætum við farið í línuaðgerðir aftur og af hverju skellum við okkur ekki bara í það
Mínus tveir sinnum ég ætla að draga línu eitt þrisvar sinnum frá línu tvö
Þá fæ ég einn tveir mínus einn núll núll og fimm núll mínus þrír og einn sisvona og nú getum við skellt okkur beint í að reikna
Ef við getum annaðhvort býttað á tveimur línum eða ég ætla að skrifa bara mínus tveir sinnum einn UNK þessum dálki sinnum ákveðan af þessum hérna einfalda gaur og þetta verður þessi sinnum þessi núll mínus mínus þrír sinnum fimm
Við fáum sinnum fimmtán þetta verða mínus þrjátíu
Og þá getum við svarað spurningu UNK við getum ekki sagt hver er lausnin enda er ekki spurt um það hvernig við getum sagt ákveðan er ekki núll þannig að svo já til er lausn á a ex jafnt og núll sisvona
Ókei skoðum nú þrjár reiknireglur
Ókei við erum með tvö fylki a og bé sem eru enn sinnum enn fylki og við erum með einhvern fasta sé einhvern rauntölufasta þá er ákveðan af a bylt það sama og ákveðan af a og það er ljóst að ef við hugsum út frá að við getum alveg unnið eftir fyrstu línu eins og fyrsta dálki
Ákveðurnar myndu verða þær sömu
Ókei þannig að hérna þyrfti maður bara að setja upp tvö fylki og reikna út að sjáum að við fengjum það sama ef maður ætlaði að sýna fram á að þetta væri rétt
Í öðru lagi þá gildir að ef við erum með ákveðuna af margfeldi tveggja fylkja þá er það sama og margfeldi ákveðnanna
Sem sagt ákveðan af a sinnum bé er jafnt og ákveðan af a sinnum ákveðan af bé
Og hér þyrfti maður aðeins betur að skoða til að sjá þetta virkar sem regla
Og í þriðja lagi þá er ákveðan af sé sinnum a sem sagt þar sem ég er búið að margfalda a með einhverjum fannst sé er sé í ennta sinnum ákveðan af a
Við erum sér í lagi að margfalda allar línurnar með fastanum
Þannig að þetta svarar til reglunnar í setningu tvö þar sem við sögðum ef við margföldum eina línu með einhverjum fasta þá erum við á að margfalda ákveðuna í nýja fylkinu með fastanum
Þannig að við segjum hérna eru enn línur við fáum sé í ennta sinnum ákveðan af a
Ókei við fáum hérna þrjú fylki e einn og a sem er þarna ef ég margfalda það saman þá fæ ég fylkið bé
Og sjáið þið e einn er svona eitt einfalt fylki sem sagt fylki sem gerir framkvæmir eina einfalda línuaðgerð
Og getum við séð hvað línuaðgerð hún framkvæmir
Hún segir lína eitt plús mínus lína tvö má ég sjá ókei formerkin röng hjá mér
Mínus lína eitt plús lína tvö og setur það í línu tvö
Margfaldar hérna þennan hún leggur þau bara saman fyrirgefðu
Við skulum hafa þetta rétt
Lína eitt plús lína tvö nei bíddu það er mínus hérna afsakið
Ókei prufum einu sinni enn
Segjum mínus lína eitt mínus þessi hérna lína það verður plús einn mínus einn það er núll
Nú ætla ég að halda mig við þetta
Ókei þannig að hún er að gera þessa eina einföldu línuaðgerð
Prufum nú að reikna ákveðuna fyrir e einn og a og bé
Ókei þá fáum við Ákveðan fyrir e einn er einn og núll mínus einn einn og núll núll núll og einn
Við fáum sem sagt einu sinni ákveðan ég ætla að fara upp í fyrstu línu
Ákveðan af einn núll núll einn og næstu stökin hér eru núll þannig að það verður núll
Ókei ákveðan fyrir fylkið a er ákveðan er þrír
Og við reiknum ákveðuna fyrir bé
Fáum líka þrjá
Og sjáið þið þetta er fullkomlega rökrétt ef við hugsum að e einn hafi hérna akkúrat í þessu dæmi þá ef e einn gerir eina einfalda línuaðgerð þá á hún ekki að breyta neinum ákveðum fylkisins
E einn sinnum a er bé
Þannig að af því að ákveðan fyrir a og bé verður að vera sama við gerð eina einfalda línuaðgerð þar sem við lögðum eina línu við aðra margfeldi af einnig línu við aðra hlýtur þessi hér að vera einn
Og öll einföld fylki sem að gera þetta nákvæmlega sem leggja margfeldið af einni línu við aðra hafa ákveðuna einn
Ókei tökum hérna annað dæmi
Hver er ákveða fylkisins i nú i er bara einingafylkið
Það er fylkið einn núll núll núll einn núll og svo framvegis hérna núll niður og einn hérna alltaf í hornalínustökunum
Við notum ákveðuna fyrir hornalínu fylki þá sjáum við strax að ákveðan fyrir einingafylkið i er einn
Og svarið er já við notum hérna að setninguna að margfeldi tveggja fylkja ákveðan af því er margfeldið af ákveðunum
Sjáið ef ég vel með bé núna hérna í þessari hérna reglu til að vera a í mínus fyrsta
En athugið að ef ákveðan fyrir a er núll þá er það fylkið a einmitt ekki andhverfanlegt og þá er ekki til nein ákveða fyrir a í mínus fyrsta
Ókei prufum tvö dæmi í viðbót
Ókei við ætlum að skoða hvernig ákveðan fyrir a öðru er miðað við ákveðuna af a
Hér notum við notum við okkur að þetta er ákveðan af a sinnum a sem sagt ákveðan af a sinnum ákveðan af a
Þetta er með öðrum orðum ákveðan af a í öðru veldi
Ókei hvað ef við margföldum ákveðuna af fylki með tveimur áður en við tökum ákveðuna
Og þá sjáum við reglu það verður ekki tvisvar sinnum ákveðan vegna þess að margfalda hverja einustu línu með tveimur heldur er þetta tveir í ennta veldi sinnum ákveðan af a
Ef a er n sinnum n fylki
Ókei allt gagnlegar setningar og reglur að kunna
Og best er að æfa sig í að reikna dæmi til að festa þær sér í minni
Segjum þetta gott
Við ætlum að skoða núna hlutrúm í r í n ta
og hugtökin vídd og myndvídd þetta eru subspace dimension og rank á ensku
Skilgreiningin á hvað er hlutrúm þá segjum að við séum með eitthvert safn h af vigrum í r í n ta
þá þarf að gilda að summan af þeim sé líka í hlutrúminu Og fyrir einhvern vigur í hlutrúminu og einhvern fasta a
þá verður nauðsynlega fasti sinnum vigurinn líka að vera í hlutrúminu
Hér er okkur gefið mengið s það eru allir vigrar í r í öðru allir tveggja staka vigrar sem eru margfeldi af vigrinum mínus tveir einn
UNK fasta margfeldið af þessum vigri og spurt er er þetta hlutrúm í r í öðru Sjáið þið a má vera hvaða rauntala sem er og svarið er já
við segjum í fyrsta lagi
núll vigurinn er sannarlega í menginu s
Og svo í öðru lagi ef ég tek tvo vigra eigum við að segja u sem er fasti c einn sinnum vigurinn minn
Hann er í s og annan vigur v sem er c tveir sinnum vigurinn minn
Nú þá er u plús v
skrifum hérna þá er u og v
þá er u plús v mundi þá gefa mér vigurinn sé einn plús c tveir sinnum mínus tveir einn semsagt eitthvað fasta margfeldi sinnum vigurinn minn og sem sannarlega er í rúminu s
Og svo í þriðja lagi
ef við segjum að ég sé með vigurinn u sem er c einn mínus tveir einn
k sinnum u nú þá er ég með k sinnum c einn sinnum mínus tveir einn vigurinn
Þannig að sannarlega er þessi í rúminu mínu s þannig að svarið er já
Við skulum taka nokkur dæmi í viðbót
en kannski áður en ég held áfram með þetta þá sjáið þig hvað við erum með hérna hvaða fyrirbæri við erum með með línu sem fer í gegnum núll komma núll UNK
línu sem hefur ákveðna hallatölu sem fer í gegnum núll komma núll
annað dæmi um hlutrúm það er enginn sem inniheldur bara núll vigurinn og þar getum við við getum sýnt það með því að fara í gegnum þessi þrjú skilyrði
R í n ta inniheldur klárlega núll vigurinn og summa af tveimur vigrum ef þú leggur saman tvo n staka vigra þá ertu ennþá í með n staka vigur og ef þú margfaldar n staka vigur með fasta þá ertu sannarlega ennþá með n staka vigur þannig r í n ta er hlutrúm í r í n ta
Sjáið þetta mengi hérna
með UNK kallast stundum núll hl hlutrúmið við skulum ekki rugla því saman við núll rúmið
Nú við tökum fleiri dæmi
Nú kannski er einhver sem veltir fyrir sér af því við vorum með línu áðan og línan var hlutrúm hvort að allar línur séu hlutrúm Þannig að ég ætla gefa ykkur hérna aðr annað dæmi um línu tveir einn sinnum k plús einn einn
þar sem k er rauntala þetta er lína
Og þá er spurning er þessi lína hlutrúm Og þá er ég að spyrja er þetta hlutrúm í r í öðru
Og svarið er nei vegna þess einfaldlega að núll vigurinn er ekki á línunni þannig að svarið er nei
því núll
er ekki á línunni
Ég get ekki valið mér fasti k hér þannig að út komi
þá fæ ég núll vigurinn Nú í öðru lagi þá er þetta línuleg samantekt af þeim þannig að fasti sinnum einn vigur og summan af tveimur vigrum er klárlega í hlutrúminu
Okei Nú bætum við nýjum hugtökum við bætum við dálkarúmum og núllrúmum
Nú dálkarúm fylkis a það er mengið af öllum línulegum samantektum á dálkavigrum fylkisins við táknum þetta col a col fyrir collumn space
núllrúm fylkisins a er aftur mengi allra lausna á jöfnu a x jafnt og núll Þurfum að finna núllrúmið UNK semsagt að finna þá vigra sem a varpar yfir í núllÞetta táknum við null af a null fyrir nullspace
Nú dálkar rúmfylkisins og reyndar núllrúm fylkisins eru bæði hlutrúm
Nú segjum að við séum með m sinnum n fylkið a
þá eru allir dálkavigrarnir hérna í a m staka vigrar og þá segjum við spanið
Við UNK að spana svona vigrum það eru alltaf hlutrúm
það var í hérnadæmi hérna á undan
þannig að spanið af þessum hérna
Þetta er hlutrúm
Og hlutrúm hvað í hvaða vídd Ja vigrarnir hér allir m staka vigrar þetta er m sinnum n fylkið það er m línur UNK
í hlutrúm í r í n ta
Okei og það er hægt að sýna að þetta sé hlutrúm bara eins og hérna maður hefði gert í dæminu á undan
hér rétt á undan okei núllrúm fylkisins a
við erum með m sinnum n fylki við erum að hugsa
Hvaða vigrar x varpast yfir í núll það er þetta hér sem er lykillinn og af því að a er m sinnum n fylkið þá er þetta örugglega n sinnum einn vigur
þannig að núllrúmið
það er hlutrúm
og það hefur n stök hver vigur hver vigur þannig að hlutrúm í r í n ta
Munið þið núllrúm fylkisins a er mengi allra lausna á þessari hérna jöfnu semsagt
Nú hvernig gæti maður sýnt að núllrúmið sé alltaf hlutrúm Ja í fyrsta lagi er núll í menginu
Spyrjum við okkur
Og svarið er já ef ég margfalda a með núll þá fæ ég núll
og svo getum við athugað
í núllrúminu er hún ennþá í núllrúminu Segjum að að u sé í núllrúminu þá er a sinnum u núll og segjum að einhver vigur v sé í núllrúminu þá er a sinnum v jafnt og núll Er þá a sinnum u plús v
og þá eru þetta sjö sinnum núll vigurinn sem er einmitt núllvigurinn
sé sannarlega alltaf hlutrúm núllrúm svona sé alltaf hlutrúm