DavidErikMollberg/kennsluromur huggingface dataset:
V er vigurinn einn tveir hann er hér
Og summan er vigurinn einn tveir þrír fjórir og einn tveir þrír svona sirka hér
summan er hér
Nú hvað gerum við ef við erum að draga frá tvo vigra eða draga einn vigur frá öðrum Við getum sagt til dæmis u mínus v
Þá fæ ég þrír mínus einn og ég fæ einn mínus tveir ég fæ vigurinn tveir og mínus einn
Og þá getum við hugsað ja ég get sagt líka að þetta sé bara u plús mínus v og byrjað þá að teikna mínus v mínus v er þessi hérna vigur margfaldað af mínus einum breytist sem sagt um stefnu
þessi hérna og bæti honum við
hérna hér
og þá er summan af u og mínus v þessi hérna vigur
Sem hérna vigur að ef þarna myndin mín aðeins nákvæmari væri akkúrat sú sama eins og hérna Og græni hérna var aðeins of langur mínus v er líklega þessi hérna sirka
En hugmyndin er prufið að teikna míns v og leggja það svo saman
Hér er ég með vigurinn ja hvað eigum við að segja eigum við að segja að við séum með vigurinn einn tveir og einn
Þá fæ ég vigurinn fjórir tveir Einn tveir þrír fjórir og tveir ég fæ sem sagt vigur sem er alveg eins nema bara tvöfalt lengri
Ef ég margfalda vigurinn minn með mínustölu Þá fæ ég þá vigur sem bendir í þessa átt
Og ef ég margfalda með míns segjum að þetta sé mínus núll komma átta sinnum vigurinn minn u Næ að margfalda með mínus þremur
myndi það vera einhvern veginn svona Þannig að eitthvað fastamargfeldi sinnum vigurinn u
er k sinnum tveir og k sinnum einn
Það er sem sagt einhvers staðar á þessari hérna línu
Og hérna eru nokkrar eiginleikar sem svona vigrar hafa um þetta er setning í kafla eitt
þetta er mikilvægt að tileinka sér þessar reiknireglur gilda Það er eitt hérna sem ég þyrfti kannski útskýra það er núll vigurinn Það einfaldlega vigur sem inniheldur ekkert nema núll sísvona
af þessum reglum
og sanna að þær gilda
Þetta verður ljómandi gott heimaverkefni fyrir ykkur
Að skoða tvinntölur og fyrsta sem við ætlum að skoða bara hvað er eiginlega tvinntala
Tvinntala er tala sem er á ákveðnu formi
Hún er akkúrat á forminu a plús i sinnum bé
A og bé eru þá einhverjar rauntölur
Og a hlutinn hérna það köllum við í raunhlutann og bé hérna það köllum við þverhlutann
Og svo er þetta i og þetta i er þannig gert að i í öðru er mínus einn
Það er að segja i er jafnt og rótin af mínus einum
Og þarna eru við komin með eiginleika sem við höfum ekki með rauntölunnar vegna þess að við getum ekki tekið rót af mínustölu en það er sem sagt hægt ef við erum með tvinntölur
Nú raunhluti á ensku heitir real part þannig að ef ég segi re af tvöfaltvaff þá segja þá er ég að segja raunhluti tvinntölunnar og raunhlutinn hann er a
Og hann er bé
Við skulum taka dæmi um nokkrar tvinntölur
Við getum til dæmis verið með tvinntöluna tveir plús þrír i
Þá mundi raunhlutinn vera einn og þverhlutinn er þá mínus fimm
Nú við getum verið með raunhlutann núll eða þverhlutann núll til dæmis get ég verið með tvinntöluna tvö i
Þá er bara raunhluti tvinntölunnar er núll og þverhluti tvinntölunnar er tveir
Og svo get ég verið með tvinntölu sem hefur þverhluta núll
Til dæmis sjö
Þá er ég með raunhlutann sjö en þverhlutann núll
Sem sagt hér hefði ég mátt skrifa sjö plús núll i það hefði ekki verið mikið enginn UNK munur á því
Þannig að við sjáum þarna að allar rauntölur eru tvinntölur með þverhluta núll
Sem sagt rauntölurnar eru hlutmengi af tvinntölunum
Og sjáið þið þetta er merki sem við notum fyrir tvinntölur
Þetta er merki sem táknar mengi allar tvinntalna þetta hérna c fyrir complex
Samokatala tvinntölu tvöfaltvaff jafnt og a plús i bé er skilgreind sem sama tvinntala nema bara með neikvæðum þverhluta
UNK gefa ykkur dæmi
Ef við erum með tvöfaltvaff jafnt tvöfaltvaff er jafnt og þrír plús tvö i þá er samokatala hennar þrír mínus tvö i
Og aftur ef við erum með tvinntöluna seta er jafnt og níu mínus i nú þá er samokatala seta níu mínus mínus i eða níu plús i
Nú skulum við kíkja á nokkrar frum aðgerðir við tvinntölur ég ætla að byrja á að sýna hvernig við leggjum saman tvinntölur
Þá tökum við fyrst tvær tvinntölur ég ætla að taka tvöfaltvaff er jafnt og a plús i bé og seta er jafnt og ex plús i ypsilon
Þegar ég legg saman svona tvær tvinntölur nú þá geri ég það þannig að ég legg saman raunhlutana og svo legg ég saman þverhlutana
Ef ég ætla að draga þær frá hvor annari nú þá dreg ég bara raunhlutann frá og svo UNK ég þverhlutann frá sisvona
Nú ef ég ætla að margfalda tvinntölu þá fyrsta sem ég ætlar að taka er að margfalda tvinntölu með fasta
Þá geri ég það einfaldlega með að segja ká sinnum tvöfaltvaff það er þá ká sinnum a plús i bé og þá tríta þetta bara eins og liðið hérna og margfalda fastan við hvorn lið fyrir sig
A ká plús i bé ká
Þegar við tölum um rauntölur þá tölum við um eitthvað sem heitir margföldunarhlutleysa
Það er sem sagt tala sem maður margfaldar rauntölur með og fær út sömu rauntöluna
UNK einu sinni fimm verður fimm sem sagt einn er margföldunarhlutleysa
Í tvinntölunum þá er einn líka margföldunarhlutleysa
Þannig að einnig er margföldunarhlutleysa bara fyrir tvinntölur og fyrir rauntölur
Nú prufum þá að margfalda tvær tvinntölur saman
Ég ætla sem sagt að margfalda tvöfaltvaff með seta tvöfaltvaff var tvinntalan a plús i bé og seta var tvinntalan ex plús i ypsilon
A bé ex og ypsilon eru allt bara einhverjar rauntölur
Nú þegar ég margfalda saman svona tvær tvinntölur þá margfalda ég bara eins og ég sé að margfalda upp úr sviga
UNK a sinnum ex við segjum a sinnum i ypsilon
Ég ætla að gera það fyrst
Svo segi ég i bé sinnum ex og i bé sinnum i í ypsilon
Þannig að plús i bé ex plús i sinnum i er i í öðru ypsilon
Og þegar við erum að skrifa tvinntölur þá viljum við alltaf að hafa raunhlutann sér og þverhlutann sér
Þannig að ég tek saman raunhlutana þetta er rauntala það er ekkert i og þetta er rauntala það er ekkert i
Þannig ég er með a ex mínus bé ypsilon plús i sinnum þessi liður og þessi liður fyrirgefið þið jú þessi liður
Nú gilda helstu reglur sem gilda fyrir tvinntöl tvinntölurnar nei fyrir rauntölurnar líka hér fyrir tvinntölurnar
Tengireglan gildir þannig að ég má skiptir ekki máli í hvaða röð ég margfalda þær saman
Og dreifireglan gildir ég má margfalda inn í sviga margfaldla lið fyrir lið
Nú við skulum við skoða í staðinn fyrir að margfalda bara tvær einhverjar tvinntölur saman prufum að margfalda saman tvinntölu við samokatöluna sína
Segi tvöfaltvaff sinnum samokatala tvöfaltvaff
Nú þá er ég með a plús i bé sinnum samokatala þessarar tölu a mínus i bé
Segi a sinnum a við segjum a sinnum mínus i bé
Og ég segi i bé sinnum mínus i bé
Þannig að mínus i í öðru bé í öðru
Við sjáum að þetta verður a í öðru þessir liðir styttast út og hér er ég með i í öðru sem er mínu einn þannig að ég er með mínus mínus einn sinnum bé í öðru ég er með plús bé í öðru
Þetta er oft þægilegt að notfæra sér
Þá skulum við snúa okkur að deilingunni
Á að skoða deilingu með rauntölu ká
Ég er sem sagt með tvinntöluna mína tvöfaltvaff ég deili með einhverri tölu ká
Þá er raunhlutinn á þessari tölu er a deilt með ká plús i sinnum og þverhlutinn fyrirgefið þið er bé deilt með ká
Þannig ég má deila hérna bara eins og venjulega algebru
Nú ef að við erum að deila með tvinntölu þá horfir þetta aðeins öðruvísi við
Við erum með til dæmis seta deilt með tvöfaltvaff
Ex plús i ypsilon deilt með a plús i bé
Það sem maður gerir hérna er að segja ókei nú er ég kominn með nýja tvinntölu hérna þessi hérna nýja tvinntölu hver er þverhluti hennar og hver er raunhluti hennar
Til að komast að því þá þarf ég að reyna að skrifa þetta þannig að þetta sé ekki tvinntala fyrir ofan strik og tvinntala fyrir neðan strik
Vegna þess að við sáum hérna rétt á undan að þá fæ ég út rauntölu
Ég fæ hérna ég margfalda upp úr sviganum hér fæ a ex ég ætla að taka strax hinn raunhlutann hérna i í öðru í mínus það verður plús einn og ypsilon bé
En núna get ég sagt að ex plús ypsilon bé deilt með a í öðru plús bé í öðru skil sem sagt raunhlutann frá þverhlutanum
Þá er þetta raunhluti nýju tvinntölunnar og þetta er þverhluti nýju tvinntölunnar
Í lokin ætla ég að skoða margföldunarandhverfu fyrir tvinntölur
Einn á móti ká er þess vegna margföldunarandhverfa við ká
En þá spurningin hver er rauninhlutinn og hver er þverhlutinn í þessari nýju margföldunaranhverfur þessarar hérna tölu
Þá veit ég að ég fæ raunhluta hér og tvinntölu hérna upp á striki
Þannig að ég segi ég er með tvöfaltvaff það ætla ég að láta bara standa ég ætla að skoða hvernig þetta hérna lítur út
Ég er með einn á móti tvöfaltvaff sinnum tvöfaltvaff samoka sinnum tvöfaltvaff deilt með tvöfaltvaff samoka
Þá er ég sem sagt með a mínus i bé því að tvöfaltvaff var akkúrat tvinntalan a plús i bé
Og ég er með deilt með tvöfaltvaff margfaldað með tvöfaltvaff samokatölu þá er það a í öðru plús bé í öðru
Við skulum hafa mínusinn hér þá get ég sagt þetta er raunhlutinn og þetta hér er þverhlutinn á margföldunarandhverfunni
Þetta voru svona helstu grunn aðgerðir þegar við erum að vinna með tvinntölur
Ókei við ætlum að spjalla aðeins um ákveður fyrir n sinnum n fylki
Í fyrsta lagi þá ef við erum með tvisvar tveir fylki
þá við skulum kalla þetta fylki a og stökin í því köllum við a b c og d
Þá er ákveða þessa fylkis
er táknuð d e t af a eða þetta stendur fyrir determinant á ensku sem er enska nafnið fyrir ákveður
Eða með svona beinum línum í kring um stökin og ákveðan fyrir þetta tvisvar tveir fylki er
a sinnum d mínus b sinnum c Margföldum svona í kross drögum frá það sem er í seinni UNK
Ókei þetta er tvisvar tveir fylkið skulum skoða næst þrisvar þrír fylki
Nú erum við komin með hérna þrisvar þrír fylki og ég er búin að skíra stökin a einn einn fyrsta lína fyrsti dálkur a einn tveir fyrsta lína annar dálkur og svo framvegis Og þetta táknum við líka með d e t af a eða svona beinar línur í kring og við reiknum þetta út svona Maður segir segjum við ætlum að fara eftir fyrstu línu þá segjum við stakið a einn einn
Þetta myndi þá gefa mér ákveðuna a tveir tveir a tveir þrír og a þrír tveir a þrír þrír Ókei
Þá er það einn þarna hjá mér
sinnum ákveðan af því sem er eftir þegar ég er búin að strika út allt sem er í línu og dálki með a einn tveir Þar er eftir a tveir einn a tveir þrír a þrír einn og a þrír þrír Plús þá er ég með þetta hérna stak
og strika þá út það sem er í línu og dálki með því Þá fæ ég a einn
þrír sinnum ákveðan af a tveir einn
a tveir tveir a þrír einn og a þrír tveir sé svona
Þetta eru sem sagt þrjár tvisvar tveir ákveður og við getum reiknað út úr þessu fáum a einn
einn sinnum þessi sinnum þessi mínus þessi sinnum þessi
Mínus svo a einn tveir sinnum þessi ákveða
þessi sinnum þessi mínus þessi sinnum þessi og svo framvegis
sé svona Ókei skulum prufa að
svo við sáum eftir fyrstu línu segjum tvisvar sinnum
ákveðan af mínus nei plús einn Skulum skrifa hjá okkur bara hvernig þetta er
úps nú er strokleðrið eitthvað að stríða mér aðeins
Svo tekur maður út þetta hérna þá er eftir einn núll mínus einn einn
mínus núll sinnum ákveðan
Ó
datt aðeins á skakkan stað lögum þetta
hér hefur þetta rétt og svo plús þetta hérna stak einn
af því sem er eftir þegar ég er búin að strika út allt í línu og dálki með ásinum þarna Þannig að mínus einn einn mínus tveir mínus einn og svo
og svo reiknum við út í hverri ákveðu fyrir sig og leggjum saman O
Og niðurstaðan okkar verður fimm og við getum skoðað
hvernig maður skilgreinir þetta í Matlab og reiknar þetta út Skilgreinir fylkið sitt það er hér og svo skrifar maður d e t af a og fær niðurstöðuna fimm
Ókei prufum nú að sjá hvað við gerum við stærri fylki
og áður en við förum í stærri fylkin þá ætla ég að skoða aðeins það sem við gerðum áðan hérna við
allt sem var í línu með línu og dálki með a einn einn Sem sagt línu eitt og dálki eitt eitt
kalla þetta fylki hérna eða þessa ákveðu
ákveðuna af stóra a einn einn sem sagt má strika út línu eitt og línu dálk eitt Og hérna
þessa ákveðu ætla ég að kalla þá ákveðuna af stóra a einn tveir og ákveðuna hérna
og með þessa þennan rithátt þá ætla ég að skilgreina þetta fyrir stærri fylki
Þannig að fyrir n sinnum n fylki a þar sem n er stærra en tveir eða jafnt og tveir
þá hefur ákveðan fyrir a hún er a einn einn sinnum
ákveðan af fylkinu a einn einn mínus a einn tveir plús nei sinnum ákveðan af a einn tveir fylki
og svo framvegis Alveg upp í síðasta stakið okkar
er mínus einn í veldinu einn plús n sinnum a einn n sinnum ákveðan af fylkinu a einn n
Ókei hérna erum við sem sagt að hugsa þetta eins og við séum að vinna út frá fyrstu línu og sjáið þessa summu hérna getum við skrifað upp sem
einum og upp í n
þá er þetta mínus einn í veldinu einn plús j
af stóra a fylkið sem sagt a einn j
Nú það kemur í ljós að það er engin ástæða til að halda sig nauðsynlega við fyrstu línuna Við getum allt eins farið eftir línu númer tvö
skulum sjá aðeins
Ef við færum í staðinn eftir línu númer tvö þá mundi formúlan breytast á eftirfarandi hátt ég verð að fara eftir línu tvö hér og þá þyrfti ég að strika út
það sem væri í í línu tvö hér
og þessi tala hérna yrði tveir
Nú þetta gæti auðvitað líka verið lína númer þrjú eða fjögur eða fimm auðvitað og ekki auðvitað það kemur í ljós að þetta gefur það sama
Og það sem meira er að í staðinn fyrir að fara eftir
hérna erum við alltaf að telja okkur í gegnum línuna j er að stækka
hvað í hvaða dálki erum við hérna Hérna
við gætum allt eins talið okkur í gegnum einn dálk í staðinn fyrir eina línu þá mundi formúlan líta í staðinn út svona Sem sagt é
ég er að fara ég er í línu númer j alltaf
og dálkurinn er alltaf númer tvö
Hann er að fara eftir dálk númer tvö
best að sjá þetta í praxís bara meðan við gerum dæmið Athugið hérna er ég með mínus einn í einhverju veldi það sem við getum gert til að muna hvert formerkið á að vera
getum hugsað formerkjafylkið mitt er Þess vegna er stak ef ég fer eftir þessu staki er ég alltaf í plús
svo kemur mínus plús mínus plús og svo framvegis
Og niðureftir hérna mínus plús mínus plús og svo framvegis
og svo framvegis Ef ég byrja í plús hérna í þriðju línu þá er það mínus plús mínus plús og svo framvegis hérna eftir Sjáum aðeins hvernig þetta virkar í praxís
Ókei ég ætla að reikna ákveðuna fyrir fylkið a hérna ég ætla skrifa upp hérna formerkjafylkið mitt Ég er með
plús mínus plús mínus plús mínus plús
og ókei við getum fyllt út í þetta svo sem
og svo ætla ég að segja ákveðan fyrir a
plús fjórir Plús er hérna
Ókei þá er ég komin látum okkar sjá með mínus tvo hérna óvart með duttum óvart út þarna komin inn aftur
Ég var með mínus þessi aftur afsakið
Við erum komin með mínus þessi plús þessi mínus þessi sem sagt mínus mínus tveir
sinnum ákveðan Strikum út línu og dálk þarna þannig ég fæ einn tveir þrír mínus tveir núll og einn
núll mínus einn og sjö
og svo plús núll sinnum ákveðan af einhverju sem að gefur okkur núll
Þannig þetta eru tvær þrisvar þrír ákveður sem ég þarf að reikna út og við ætlum að reikna út úr þeim
Ég fæ byrja hérna á á fyrstu þannig ég fæ geri jafnt og fjórir sinnum
sinnum ákveðan strikum
mínus fimm sinnum ákveðan tveir þrír mínus einn og sjö
plús núll sinnum ákveðan sem skiptir ekki máli hver er Ó
Ókei plús fjórum sinnum nei plús tvisvar sinnum
Þá erum við komin hingað
og ég ætla að vinna mig eftir
Munum plús mínus plús mínus plús mínus plús mínus plús svona
Þannig ég er með núll sinnum eitthvað
sinnum ákveðan af einn mínus tveir þrír og einn
og plús gerum hér sjö sinnum ákveðan strikum út þetta hér fáum þennan hérna aftur Þá er þetta einn mínus
tveir tveir og núll
sé svona og svo reikna ég út úr þessu
og fæ svo mikið sem
þetta væri svo mikið sem mínus hundrað fimmtíu og átta þegar við erum búin að reikna út úr öllum
ókei við erum komin með hérna
fimm sinnum fimm fylki lítur kannski
Ég ætla að fara eftir dálki númer eitt það er alveg augljóst val að taka dálk númer eitt hér vegna þess að hann svo mikið af núllum
Lína númer fimm myndi líka vera mjög fín hérna en byrjum hérna á dálki númer eitt Þá segi ég
ég fæ þrisvar sinnum ákveðan af því sem er eftir þegar ég er búin að strika allt í línu með þremur
Hvað tveir mínus fimm sjö þrír
núll einn fimm núll núll tveir fjórir mínus einn
núll núll mínus tveir núll
og svo plús núll mínus núll plús núll mínus núll plús núll sinnum eitthvað Þ
og nú ætla ég að vinna eftir dálki númer eitt aftur Útaf af þessum þremur núllum þannig að ég fæ
þrisvar sinnum tveir sinnum ákveðan einn fimm núll
tveir fjórir mínus einn núll mínus tveir núll
og þá er það þrisvar þrír ákveða Ég vinn eftir dálki númer þrjú
og við skulum passa formerkin ég er með plús mínus plús
plús mínus gefur eitthvað hérna
Þrisvar sinnum tveir sinnum mínus tveir sinnum ákveðan af einn tveir núll mínus einn
Við sjáum þetta verður þrír sinnum tveir sinnum mínus tveir sinnum mínus einn plús núll Þannig allt í allt verður þetta
plús tólf og þetta er ákveða
Já reyndar gerðum við eina formerkjavillu hérna Segjum hérna formerkin í þessu fylki eru plús mínus plús mínus plús þannig þetta hér stak ætti að vera í mínus Þessi verður í plús hérna
og sta niðurstaðan verður mínus tólf sé svona Ókei verðum að muna að hafa formerkin rétt hérna
Ókei nú komum við að gagnlegri setningu sjáið þetta hérna fylki sem við byrjuðum með í byrjun hérna
Það er nánast þríhyrningsfylki og setum þennan inn aftur
Þetta er nánast þríhyrningsfylki þríhyrningsfylki það er fylki það sem við erum með þá erum við með núll undir hornalínunni hérna Við erum ekki alveg með núll undir hornalínunni við erum með tvo hérna og mínus tvo en það er nálægt því
Ef við værum með alveg með núll undir hornalínunni þá kemur í ljós að ákveðan er bara margfeldi af hornalínustökum
Skulum skrifa þessa setningu upp mikilvæg setning
Ef a er þríhyrnings fylki á ensku heitir það triangular matrix þá er ákveðan af a margfeldi hornalínustaka a Við sjáum dæmi
hér höfum við afskaplega fínt þrisvar sinnum fjórir sinnum fjórir þríhyrningsfylki Sjáið það er núll hérna fyrir neðan hornalínuna og ákveðan af A er þá þrír sinnum mínus einn sinnum tveir sinnum einn sem er mínus sex fljótreiknað
Ókei í næsta myndbandi ætlum við að skoða alls konar eiginleika
ákveðnanna sem að hjálpa okkur að finna ákveður fyrir svona stór fylki án þess að þurfa að gera alltof marga útreikninga alltof margar arð aðgerðir
Ókei við skulum spjalla aðeins um andhverfu fylkis
alveg eins og andhverfa tölunar sjötíu og þrjú þrír
semsagt þegar við erum með rauntölu þá kölluðm við andhverfuna einn á móti sjötíu og þrír eða sjötíu og þrír í mínus fyrsta segjum við
Og af hverju er þetta andhverfan Það er vegna þess að sjötíu og þrír sinnum sjötíu og þrír í mínus fyrsta eða sjötíu og þrír einn á móti sjötíu og þrír að það gefur okkur akkúrat einn
hvaða fylki er þannig að ef ég margfalda það við annað fylki að þá fái ég einn ókei og hvað þýðir einn þegar talað er um fylki Það þýðir eininga fylki
Ókei nauðsynlega þá til a sinnum c og c sinnum a séu bæði skilgreind þá verður a að vera n sinnum n fylki og sé er þá líka n sinnum n fylki
Ókei þetta c þetta köllum við andhverfu fylkisins og við skrifum a í mínus fyrsta við skrifum ekki einn á móti a
við skrifum a í mínus fyrsta
Ókei athugið þið að andhverfa a nauðsynlega ótvírædd ákvörðun
Ókei það þýðir ef andhverfan er til sem er ekki endilega tilfellið en ef hún er til þá er bara ein andhverfa Ókei til að sýna fram á það þá getum við þá gerum við eftirfarandi við gerum ráð fyrir að við séum með aðra andhverfu segjum að a
Nú þetta gildir vegna þess að það c er andhverfa a
Þá gildir að c sinnum a er jafnt og i ókei þannig að i hérna er a sinnum c ókei ég skrifaði reyndar c sinnum a en það gildir líka a sinnum c sé svona
svo vitum við bara út frá því hvernig við margföldum saman fylki að við megum segja b sinnum a það sama sem c Þetta er setning tvö í tvö eitt
Ókei við þurfum ekki að muna númerið á setningu við þurfum bara að muna þessa reiknijöfnu
Ókei b sinnum a nú við vorum að segja að b væri andhverfa a þannig að þetta hlýtur þá að vera i sinnum c nú i sinnum c er bara eins og í rauntölum og margföldað með einum þannig að ég fæ bara c Og hvað stendur þá hérna b er nauðsynlega jafnt og c
Þannig að það er bara til ein andhverfa ef anhverfan er til
Nú skulum við fara að spá í hvenær andhverfan er til og hvernig andhverfan er Nú tökum fyrst bara tvisvar tvö fylki
segjum að stöki mín heiti a b c og d þá segir setningin ef a sinnum d mínus b sinnum c er ekki núll þá er a andhverfulegt
Nú andhverfan í þessu tilfelli úps UNK sjá
hún er einn á móti a d mínus b c
sinnum d og a skipta um svæði um pláss
Ókei þetta er andhverfa tvisvar tveir fylki
Aftur á móti ef að a d mínus b c er núll
þá er a ekki andhverfulegt
Á ensku segjum við þegar fylki a er ekki andhverfulegt þá segjum við að það sé singular matrix
og aftur á móti ef það er andhverfulegt þá er það non singular
Nú við skulum sjá aðeins dæmi um hvernig við reiknum andhverfuna
þá er andhverfa þessa fylkis a í mínus fyrsta það er einn á móti a við segjum tvisvar sinnum sjö mínus mínus þrír sinnum fimm svona
sinnum sjö og tveir skipta um pláss og mínus fimm og mínus mínus þrír sé svona Þetta er andhverfa
Nú í dæminu átti að vera mínus sjö hérna mínus sjö hér það er þá mínus sjö líka tvisvar sinnum sjö hérna
Ókei þannig að andhverfan er
tökum þetta hérna fáum
Andhverfan er sem sagt mínus sjö mínus fimm þrír og tveir
og við getum prófað hvort þetta sé sannarlega andhverfan
Prufum að margfalda saman a við a í mínus fyrsta við fáum einn núll núll og einn og svo getum við prufað að margfalda a í mínus fyrsta við a
þannig að þetta fylki hér er andhverfa fylkisins a
Nú smá innskot um þessa stærð hérna
sem segir okkur um hvort fylkið sé andhverfulegt þetta köllum við ákveðu fylkisins a
og þetta er þessi sinnum þessi mínus þessi sinnum þessi
þá er mikilvægt innskot að það er hægt að reikna ákveðuna fyrir öll n sinnum n fylki það er bara
gert á aðeins aðeins annan hátt þegar við erum komin með stærra fylki
Tökum aðeins um innskotum a ákveður Segjum að ég sé með tvisvar tveir fylki þá skrifum við determinant af a d t d t af a eða við gerum svona bein strik í kringum og þetta er þá a d mínus c b sem svona
til dæmis þetta þrisvar þrír fylki hérna
þá er ákveðan af því
mínus þetta hérna stak
Og svo segjum við plús þetta hérna stak
a þrír einn og a þrír tveir og þetta eru þrjár tvisvar tveir ákveður sem við reiknum eins og hérna fyrir ofan
Nú punturinn er að fyrir hvaða n sinnum n fylki getum við reiknað út ákveðuna og það er ákveðan sem segir okkur eitthvað um hvort að fylkið sé andhverfulegt
n sinnum n fylki a er sem sagt andhverfulegt þá og því aðeins að ákveðan sé ekki núll
Nú við skulum sjá hvað þetta með að hverju ákvöðrun andhverfunnar hefur hvaða áhrif það hefur á lausnir á jöfnuhneppi
Ef a er andhverfulegt fylki þetta eru þá n sinnum n fylki
þá hefur jafnan a x jafnt og b nákvæmlega eina lausn nefnilega lausnina a í mínus fyrsta sinnum b fyrir sérhvert b sem er í r í n ta
Ókei pössum okkur á því að það að þessi setning segir tvennt hún segir í fyrsta lagi lausnin er til
þetta er semsagt spurning um tilvist lausnar
og hún segir í öðru lagi það er aðeins ein lausn til
Ókei þannig að ef við erum með andhverfulegt fylki þá vitum við að jöfnuhneppið a x jafnt og b hefur nákvæmlega eina lausn og við vitum hvernig lausnin er Og fyrir sönnun á þessu tvennu hérna getið þið skoðað fyrirlestrar glósurnar í bókinni Við skulum prufa að taka dæmi
Ókei við ætlum að finna allar mögulegar lausnir á jöfnuhneppinu þrír x einn plús fjórir x tveir jafnt og þrír og fimm x einn plús sex x tveir jafnt og sjö við skulum prófa að nota það sem við erum búin að læra
Nú í fyrsta lagi get ég skrifað þetta sem fylkja jöfnu
ókei þannig að ég er með eitthvað fylki a sinnum vigur x er jafnt og vigur b Nú ég ákveð að reikna fyrst ákveðuna af a
þá segi ég þrisvar sinnum sex mínus fimm sinnum fjórir
og ég fæ mínus tveir Þetta er ekki núll
þannig að þá veit ég að það er til lausn og ég veit að það er til nákvæmlega ein lausn
Ókei ég veit líka hver lausnin er hún er a í mínus fyrsta sinnum b ókei ég þarf að reikna semsagt andhverfuna
það er einn á móti mínus tveimur sinnum fylkið sex þrír mínus fjórir mínus fimm sísvona og ég margfalda með vigrinum b
ég er komin með lausnina og ég veit að þetta er eina lausnin
Nú við prófum að sjálfsögðu lausnina
ókei okkur er gefið jöfnuhneppi og spurt er einfaldlega er til lausn Ef svo er eru margar eða eða bara akkúrat ein Semsagt eru til margar ein eða engin lausn
Og við ákváðum að reikna bara ákveðuna
Við segjum tvisvar sinnum ákveðan af einn sjö fjórir núll ákveðan af a semsagt
svo eru þessi hérna tvö stök eru núll þannig að þetta verður öll ákveðan
Þannig að ég fæ tvisvar sinnum núll
mínus fjórir sinnum sjö
ég fæ mínus fimmtíu og sex sem er sannarlega ekki núll þannig að til er lausn