DavidErikMollberg/kennsluromur huggingface dataset:
Við notum setningu fimm hér að ofan og að a er andhverfulegt bara ef ákvörðun er ekki núll
Ókei athugið ef að ákveðan er núll þá vitum við ekki hvort það sé til engin eða margar lausnir við þurfum að gá sérstaklega að því
Nú koma tvær gagnlegar setningar
setning í þremur hlutum
andhverfan af andhverfuni er fylkið sjálft
ef að a og b eru andhverfalnleg
takið eftir röðinni þarna b í mínus fyrsta fyrst svo a í mínus fyrsta
ef a er andhverflegt fylki þá er a bylt líka andhverfulegt fylki
og bylta fylkið í mínus fyrsta er það sama
og fylkið í mínus fyrsta og það bylt
Nú ætla ég að sjá fara yfir sönnunina af þessu mæli með að skoða bókina
Nú þetta eru helstu setningarnar um andhverfanleg fylki sem við ætlum að skoða í bili allavega
Tökum svo
eða tökum kannski svona saman helstu hluti sem gilda miðað við það sem við höfum gert áður
Fyrir n sinnum n fylki a eru eftirfarandi staðreyndir jafngildir a er andhverfanlegt er jafngilt því að a x jafnt og núll hefur aðeins lausnina x jafnt og núll Við sjáum að það hefur eina lausn og það hlýtur þá að vera lausnin x jafnt og núll Nú þetta er jafngilt því
og allt þetta þrennt er jafngilt því að a hefur enn vendistuðla
Nú ef ég er með n sinnum n fylki ég er með n línulega óháða einstaka vigra nú þetta er þá jafngilt því að dálkar a spanna r í n ta
Og þetta er jafngilt því að ákveðan fyrir a er ekki núll
Það er til lausn
og það er til nákvæmlega ein lausn
Ókei við ætlum að skoða í öðru myndbandi hvernig maður finnur andhverfuna þegar við erum með eitthvert fylki sem er stærra en tvisvar tveir
Við ætlum að skoða tvær aðferðir
Ókei við skulum spjalla svolítið um línulega háða og línulega óháða vigra Byrjum á skilgreiningunni
Skilgreiningin er svona við erum með set af p vigrum og vigrarnir er er UNK þá eru þeir sagðir vera línulega óháðir ef þessi jafna hér sjáið þið ég er með línulega samantekt af þeim jafnt og núll línulega samantektin hefur bara lausnina x jafnt og núll sem sagt allir fastarnir er hérna eru núll
nú til að skilgreina eitthvað vigra sé línulega háður þá gerum við það bara út frá hvort þeir séu ekki línulega óháðir Semsagt vigrar sem eru ekki línulega óháðir kallast línulega háðir Vigrar eru sem sagt alltaf annaðhvort línulega háðir eða óháðir aldrei bæði og aldrei hvorugt
Við skulum prufa að sjá dæmi við skulum sjá aðeins hvernig við getum svarað þessari spurningu
Nú okkur eru gefnir hérna þrír veigrar v einn v tveir v þrír og spurt er eru þeir línulega háðir Nú við setjum upp svona vigra jöfnu
Og við ætlum að gá eru til einhverjar aðrar lausnir á þessari jöfnu heldur en bara akkúrat lausnin x einn x tveir x þrír allir jafnt og núll
Nú við höfum séð hvernig er hægt að breyta svona vigra jöfnu í bara fylkja jöfnu ég semsagt raða hérna vigrunum mínum
í dálka vigra fylkis a svo set ég fastana mína hérna
a x jafnt og núll það sem við smíðuðum aðeins hérna fyrir ofan
en x jafnt og núll
Ef það hefur aðra lausn en x jafnt og núll
þá eru vigrarnir línulega háðir
Nú til þess að svara þessari spurningu þá setjum við jöfnunetið okkar upp í hérna aukið fylki
við röðum hérna vigrunum okkar v í aukið fylki
Við fremjum nokkrar vel valdar línuaðgerðir á fylkið og fáum hérna fylkið á stallagerð
verður svona
ókei ef við skoðum þetta fylki þá sjáum við hér er ég með vendi hérna stak og hérna er UNK stak
Og þannig að þetta hérna eru bæði vendi dálkar en
þessi hér inniheldur ekkert engan vendi stuðul vendi stuðul köllum við þetta yfirleitt þannig að við sjáum að x þrír er frjáls breyta
Það þýðir að jöfnuhneppið okkar hefur margar lausnir
Þannig að svarið við spurningunni okkar hérna eru þeir línulega háðir Er já það eru semsagt til aðrir fastar heldur en bara akkúrat x einn x tveir x þrír jafnt og núll sem gera þessa jöfnu að núll þarna
Ókei þannig að við segjum vigrarnir eru línulega háðir vegna þess að x jafnt og núll hefur margar lausnir
ókei við skulum setja fram
staðhæfingu um þetta
Þannig að við segjum dálka fi vigrar fylkisins a eru línulega óháðir þá og því aðeins að jafnan a x jafnt og núll hafi aðeins lausnina x jafnt og núll
Semsagt þegar okkur er gefnir einhverjir vigrar þá getum við alltaf sett það upp í svona fylki og athugað hvort að tilsvarandi jöfnuhneppi hafi lausn á þessu formi
Við skulum skoða nokkur nokkur dæmi
Segjum að við séum með þessa tvo vigra þrír einn sex tveir og við erum spurð eru þeir línulega háðir Nú við gætum gert eins og áðan var sett upp jöfnuhneppi sett upp aukið fylki þar sem þau eru gert eina vel valda eina eða tvær velvaldar línuaðgerðir og séð að við fáum út þetta fylki hérna einn vendi
nei línulega háðir fyrirgefðu
sjáið ekki nóg að skrifa bara það sem ég skrifa hér á skjáinn
orðin verða að fylgja En sjáum nú prufum að líta aðeins á þetta öðruvísi við erum með svolítið sértilfelli þegar við erum bara með akkúrat tvo vigra Ef vi
Ef við skoðum þá við segjum
ókei ég átti sem sagt að spyrja mig ef ég væri með tvo vigra ef ég væri með tvo fasta x einn
og x tveir
og ég set svona línulega samantekt á þeim
get ég þá valið mér x einn og x tveir einhvern veginn öðruvísi heldur en núll þannig að út komi núll Og ef við horfum á þessa tvo vigra þá er það eiginlega alveg augljóst
Þá segi ég hérna segjum hvað á ég að velja mér hérna sem fasta Ja ég gæti valið mér til dæmis mínus tveir hér
hann vill ekki skrifa fyrir mig penninn
og einn hérna
Þá stendur mínus sex plús sex í efra stakinu og mínus tveir plús tveir í neðsta stakinu og ég fæ út núll
Þannig að svarið væri aftur já þeir eru línulega háðir
Þannig að við erum með svolítið sértilfelli þegar við erum bara með akkúrat tvo vigra og oft þægilegra að sjá þá hvort þeir séu línulega háðir eða óháðir
Skrifum þetta fram setjum fram reglu segjum að tveir vigrar ég ætla að kalla þá u og v þeir eru línulega háðir ef hægt er að skrifa annað af þeim sem fasta margfeldi af hinum Og athugum
ef við ætlum að álykta að þeir séu línulega óháðir þá þurfum við að athuga að u sé ekki fasta margfeldi af v og að v sé ekki fasta margfeldi af u bæði þarf að gilda
Og það sem við þurfum að vera viss um það er hérna það sem við
ókei þannig að ef við getum ekki skrifað
hvorug hvorugann er hægt að skrifa sem fasta margfeldi af hinum þá eru þeir línulega óháðir Nú ætla ég að koma með dæmi hérna ég ætla að pófa að gefa ykkur tvo dæmi tvö dæmi
eru vigrarnir núll og við verðum með ja hvað eigum við að segja sautján sjötíu og þrír sautján komma fjórir og einn eru þeir línulega óháðir
Og svarið er nei
þeir eru ekki línulega óháðir
að ef ég tek hérna þennan fína vektor sjötíu og þrír sautján komma fjórir og einn og margfalda með núll ekki með núll vigrum heldur bara núll tölunni
Þá fæ ég út núll vigurinn Þannig að svarið er nei þeir eru semsagt línulega háðir
Og sjáið hérna við fáum eru getum raunverulega dregið aðra ályktun hérna á þessu dæmi alltaf ef ég er með núll vigurinn minn núll vigurinn í menginu mínu þá er ég nauðsynlega með mengi af línulega háðum vigrum
Ef að mengið mitt inniheldur vigurinn núll
Nú ef ég er með fleiri en tvo vigra Þá þurfum við annaðhvort að leysa jöfnuhneppi eins og áðan og þegar við erum að leysa jöfnuhneppi þá erum við í raun og veru að sjá er hægt að skrifa einn af vigrunum sem línulega samantekt af hinum
Skulum taka dæmi um þetta
Ég tek hérna vigrana einn og núll
og tuttugu og einn sjötíu og þrír og einn
Og má ég sjá ég ætla að taka tuttugu og einn sjötíu og þrír og núll frekar svona
Þá sé ég strax að horfa á þessa þrjá vigra að þeir eru línulega háðir vegna þess að ég get skrifað margfaldað þennan með tuttugu og einum og margfaldað þennan með sjötíu og þremur og þá er ég komin með akkúrat þennan vigur Þannig að þessir eru línulega háðir
ég ætla að skipta úr þessum gula lit þetta var óvart
Við skulum skoða nokkur dæmi í viðbót
ókei segjum að okkur séu gefnir hérna tveir þriggja staka vigrar og við vitum þá að þeir saman línuleg samantekt af þeim þeir spanna plan r í þriðja Svo ætla ég að segja ókei
ég er með annan vegur w ég ætla ekki segja hvernig hann er að öðru leyti en að ég ætla að segja hann er í spaninu af u og v
u v og w
eru línulega háðir
Ókei er þetta rétt hjá mér
hvað er nauðsynlegt Það þýðir að maður má ekki skrifa einn getað skrifað einn sem línulega samantekt af hinum tveimur
Þá þurfum við að muna hvað þýðir eiginlega w sé í spaninu á þessum tveimur Það þýðir einmitt að þessi hér sé einhverskonar línuleg samantekt af þessum tveimur þannig að þetta er hárrétt fullyrðing
Ef að þessi hérna er í spaninu á þeim þá eru þessir þrír vigrar samtals línulega háðir
Ókei tökum núna eina mjög gagnlega setningu
Þessi setning segir ef við erum með mengi af p stykki af vigrum í r í n ta
þá er þetta mengi af línulega háðum vigrum nauðsynlega ef p er stærra en n Ókei til að átta okkur aðeins á hvað setningin segir þá skulum við segja ókei hvað hvað er p og hvað er n
Við segjum við erum með p stykki af vigrum þannig að ég ætla að segja að ég sé með einn tveir þrír ég er með tveir þrír fjórir ég er með fimm sex sjö ég er með einn einn þrír
já ég er með fjóra vigra Hvað þýðir það fyrir okkur hérna P er fjórir Ókei í hvaða vídd eru þessir vigrar það eru þrjú stök í þeim þannig að við erum í r í þriðja í þessu tilfelli þá er p stærra en n sem sagt fjöldi vigrana er meiri en víddina sem við erum í víddin sem við erum í þá erum við örugglega með línulega háða vigra
og tengir mjög vel við það sem við höfum verið að gera Við skulum sjá
byrjum á að búa til byrjum á að búa til fylkið a sem við röðum hérna dálka hérna vigrunum okkar í dálka vigrana
og svo ætlum við að skoða jöfnu hneppið a x er jafnt og
við ætlum að gá hvort að það séu til einhverjar aðrar lausnir heldur en x jafnt og núll
Nú hvað er þetta fylki hérna stórt Við skulum byrja á því að sjá það Nú hvað eru mörg stök í hverjum vigri Það eru n stök það eru n línur og hvað eru margir dálkar Það eru p dálkar þetta eru n sinnum p dálkar
Nú ef að p er stærra en n
þá erum við með fleiri breytur heldur en jöfnur þannig að jöfnuhneppi hefur nauðsynlega frjálsa breytu
Ókei þá eru örugglega til lausnir aðrar en x jafnt og núll á þessu
og dálka vigrarnir eru þá nauðsynlega línulega háðir
Ég ætla að láta það duga að taka þetta bara með orðum
þið getið prufað að spóla til baka og hlusta aftur
bara út af akkúrat hvað við vitum um lausnir á jöfnuhneppum þá getum við ákvarðað að þetta sé rétt setning
Ókei það gildir sannarlega ekki þannig að við segjum hérna að þetta var svona munnleg sönnun það gildir sannarlega ekki að ef n er stærra en p að þá séum við klárlega með línulega óháða vigra Til dæmis gætum við verið með vigrana einn einn einn
og tveir tveir tveir UNK þriðji en ég er bara með tvö stykki en þeir eru greinilega
línulega háðir En ég gæti líka verið með annars þann þannig að þeir væru með línulega þeir
væru línulega óháðir
Við skulum enda þetta á að taka bara nokkur dæmi safna þessu öllu saman
Ókei eru þessir vigrar línulega háðir
Já klárlega línulega háðir það eru þrír vigrar í r í öðru þeir eru línulega háðir
Ókei nýtt sett af vigrum
eru þeir línulega háðir eða óháðir Þeir eru
háðir Af hverju eru þeir línulega háðir Vegna þess að núll vigurinn er þarna þá vitum við að þeir eru línulega háðir
Ókei tveir vigrar gefnir eru þeir línulega háðir eða línulega óháðir Þeir eru óháðir
Hvernig sé ég það Ég sé að til þess að þeir eru
ekki fasta margfeldi af hvorum öðrum Til dæmis til að fá hérna ég er með mínus tvo hér þá þurfti ég að margfalda með tveimur til að fá mínus fjóra Það virkar líka hérna og það virkar líka hér En tíu sinnum tveir eru ekki sautján komma fjórir allaveganna síðast þegar ég gáði en þessir eru línulega óháðir
og þetta eru grunn vigrarnir við köllum þetta oft e einn e tveir og e þrír
Oft er þetta líka nefnt ij og k
þegar ég set svona hatt hérna ofan á í staðinn fyrir setja strik Þá er ég að segja
merkja að þetta séu eininga vigrar Þetta eru allt þrír eininga vigrar og þeir hafa allar lengdina einn
Og við sjáum að ef við myndum setja þetta upp í fylki að eina lausnin sem við hefðum á UNK jöfnua x jafnt og núll væri núll lausnin
Þessi hérna er fasta margfeldi af hinum
Þá skiptir engu máli hvernig þessi hérna er þessi þriðji
af því að það eru háðir vigrar hérna innan mengisins þá er allt mengið UNK línulega háðum vigrum Ókei þetta ættu að vera öll helstu atriði um línulega háða og óháða vigra
Ókei við ætlum að skoða hérna fylkjajöfnuna a ex jafnt og bé við erum í kafla eitt fjögur Og við ætlum að skoða sem sagt línulega samantekt af vigrum sem margfeldi fylkis og vigurs við skulum skoða hérna skilgreiningu
Við látum a vera emm sinnum enn fylki sem sagt a við getum skrifað þetta líka sem a er stak í rauntölur enn emm kross enn ég ætla að skrifa þetta skýrar
emm kross enn Það þýðir emm sinnum enn fylki og stökin í fylkinu eru rauntölur Ókei
dálkavigrarnir í a við köllum það a einn a tveir og svo upp í a enn Og við látum ex vera enn sinnum einn vigur sem sagt ég hefði getað skrifað ex er stak í err í ennta þá er þetta dálka vigurinn með enn stökum Margfeldi a á ex sem sagt a
sinnum ex er þá línuleg samantekt á tekt af dálka vigrum a þar sem
stuðlarnir í línulegu samantektinni eru stökin í ex í réttri röð og við skrifum hérna fyrir neðan a ex það er hérna læt a
einn fer á fyrsta dálkinn og a tveir vera annan dálkinn a enn vera enn ta dálkinn og þegar ég margfalda
saman svona fylki við vigur þá fæ ég ex einn fyrsta stakið hér sem er fyrsti vigur plús ex tveir sinnum a tveir og svo framvegis upp í ex enn sinnum a enn Við sjáum sem sagt að þetta hérna er línuleg samantekt af vigrunum a
Skulum prufa að sjá dæmi þar sem við margföldum saman
Maður segir
þessi lína sinnum
þessi dálkur og við fáum
einu sinni fjórir plús tvisvar sinnum þrír mínus einu sinni sjö og svo í neðri línunni segum við seinni línan sinnum dálkurinn og við fáum núll
sinnum fjórir mínus fimm sinnum þrír plús þrisvar sinnum sjö
Ókei sum ykkar hafa séð þetta ekkert endilega allir þar sem að skilgreiningin hér fyrir ofan segir aftur á móti er að ef við ætlum að margfalda saman svona fylki við vigur þá ætlum við nota hérna
Sem sagt ætla ég að segja fjórir sinnum einn núll vigurinn plús þrisvar sinnum þessi vigur
plús sjö sinnum þessi vigur sí svona
Og svo prufum við að margfalda vigrana með tölunum
og svo leggjum við saman vigrana og við fáum fjórir plús sex mínus sjö eru þrír og núll mínus fimmtán plús tuttugu og einn eru sex sí svona
Fáum sem sagt það sama hérna að sjálfsögðu með þessum tveimur aðferðum
Ókei setjum þetta nú í samhengi við það sem við höfum gert áður
Ókei skoðum hérna jöfnuhneppi sem okkur er gefið nú höfum við
Það mundi líta svona út með hérna dálkana hérna og
hægri hliðin hérna er síðasti dálkur stundum gerir maður svona línuna hérna á milli maður getur líka alveg sleppt því
Þannig að lausnin á þessu
Fylkjajafna myndi líta svona út a ex er jafnt og bé a er þetta fylki ex er ex einn jafnt og ex tveir þrívigurinn
og bé er hægri hliðin í vigri núll einn fjórir
Nú þetta þessi fylkjajafna a ex er jafnt og bé
eru nákvæmlega sömu lausnir og jöfnuhneppið hérna og við finnum lausnir á þessari fylkjajöfnu með að skoða lausnina hérna í aukna fylkinu
Nú önnur leið til að skoða nákvæmlega sama vandamál er að setja upp vigrajöfnu
Það myndi líta svona út
þ Fylkja vigrajafnan nei vigrajafnan lítur þá sem sagt svona út
ex einn sinnum fyrsti dálkavigur plús ex tveir sinnum annar dálkavigur plús ex þrír sinnum þriðji dálkavigur er jafnt og hægri hliðin í jöfnunni
Þetta þessi hérna framsetning þessi þetta hérna
þessi vigrajafna er fullkomlega jafngild þessari hérna línu hérna
þetta hérna jöfnuhneppi
Þá er hægt að skrifa vigurinn bé sem línulega samantekt af dálkavigrunum í a
Skulum skrifa þetta niður
Spurningin er bé
í spaninu af vigrinum a einn a tveir og svo framvegis upp í a enn
Rifjum upp hvað þýðir að vera í spaninu það þýðir er hægt að skrifa bé sem línuna samantekt af vigrinum a
er jöfnuhneppið a ex jafnt og bé fylkjajafna a ex jafnt og bé samkvæm
Ókei við skulum nú snúa okkur að annarri kannski aðeins erfiðari spurningu
Skulum prufa að skoða dæmi
Spurningin er er a ex jafnt og bé samkvæmt sem sagt er til lausn fyrir öll möguleg bé
ef a fylki lítur svona út Og sjáðu nú skrifaði ég aðeins vitlaust leiðrétta þetta hérna
A fylkið er bara svona tökum þennan út a er þessi ex þessi og bé þessi En til að leysa fylkið
Setjum einn þrír fjórir mínus fjórir tveir og mínus sex mínus þrír mínus tveir og mínus sjö bé einn bé tveir bé þrír sí svona
Ókei gerum einfaldar fylkjaaðgerðir á þessu
byrjum á til dæmis að fá núll í þessi hérna tvö sæti
Þannig að við gerum hérna aðgerðina fjórum sinnum lína eitt plús lína tvö í línu tvö og við gerum aðgerðina þrisvar sinnum lína eitt plús lína þrjú í línu þrjú
Þá fáum við jafngilt
aukið fylki sem að verður svona einn þrír fjórir bé einn núll fjórir sinum þrír eru
tólf plús tveir það eru fjórtán og fjórir sinnum fjórir eru
sextán mínus sex það eru tíu og
Og svo gerum við línu margföldum línu þrjú með nei línu eitt með þremur og þá eru þrír mínus þrír er núll níu mínus tveir er sjö
tólf mínus sjö eru fimm
og þrisvar bé einn plús
bé þrír
Þá er næst á dagskrá að fá núll hér og við gerum
og eftir þessa aðgerð þá lítur fylkið mitt svona út
Nú við getum aðeins tekið saman liði hérna í þessum hérna
Og það verður sem sagt hérna við erum með þrjú bé einn mínus hálfur sinnum fjórir sem er bé tveir og svo erum við með hérna mínus hálfur sinnum bé tveir fjórum sinnum bé einn
segi ég og ja tökum þetta bara saman
Þá lítur þetta svona út
og nú sjáum við við erum með línu hérna neðst þar sem stendur
getum valið
bé einn bé tveir og bé þrír
þannig að bé þrír plús bé einn mínus hálfur bé tveir
er ekki jafnt og núll Svo a ex jafnt og bé
er ekki samkvæmt
fyrir öll bé
Þannig að svarið okkar við upprunalega spurningunni er a ex jafnt og
nei En við erum sem sagt búinn með að svara upprunalegu spurningunni en sjáum nú hvað við getum fengið meira út úr þessu hérna dæmi Við getum séð að nú vitum við hvaða skilyrði bé einn bé tveir og bé þrír þurfa að uppfylla til þess að sé til lausn Nefnilega þarf þessi hérna stærð að vera núll þá vitum við að það er til lausn
Við skulum skrifa þetta hjá okkur Við sem sagt skilyrðin sem þurfa að gilda í bé einn bé tvo bé þrjá
eru að bé einn mínus hálfur bé tver plús bé þrír verður að vera jafnt og núll Þá er er hérna jöfnuhneppið
samkvæmt Þá er til lausn Ókei þetta segir okkur svo líka
dálkavigrunum í a þau spanna nákvæmlega þetta hérna plan
þetta er jafna plans Þannig að
allar mögulegar
línulegar samantektir
a einn a tveir a þrír skulum kalla það það
að a einn er þessi dálkavigur
og a tveir er þessi
og a þrír er þessi þriðji
Við segjum að vigrarnir a einn a tveir a þrír spanni þetta plan
Ókei við erum nú tilbúin til að eftir þetta spjall getum við sett fram
Við skulum umrita hana niður hérna
Við erum með eitthvert fylkir a sem er rauntölufylki af stærð emm sinnum enn þá er eftir það eftirfarandi staðhæfingar jafngildar í fyrsta lagi fyrir sérhvern vigur bé í err í ennta
hefur jafnan a ex jafnt og bé lausn Þessi staðhæfing er sem sagt jafngild staðhæfingunni Sérhvert bé í err í ennta er línuleg samantekt af dálkum a
og svo er þetta aftur
En við skulum prufa fyrst að sjá hvort þessar tvær gildi um dæmi sem við vorum með hérna fyrir ofan
Í fyrsta lagi hvað vorum við með stórt fylki
Við vorum með a fylkið okkar er einn tveir þrír sinnum einn tveir þrír það er þrisvar þrír fylki
Þannig hjá okkur í dæminu
Og svarið við þeirri spurningu er nei það er ekki hægt að búa til hvaða vigur bé
úr dálkum fylkisins a
Skoðum þá næstu staðhæfingu
Dálkar a spanna err í ennta hjá okkur í dæminu ætti þá a að dálkarnir í a að spanna err í þriðja en það gerir þeir ekki vegna þess að þeir spanna plan sem liggur err í þriðja en þeir spanna ekki allt rúmið
Þannig að svarið hjá okkur er nei miðað við dæmið sem við tókum hérna á undan Þá er það fjórða staðhæfingin
a hefur vendistuðul í sérhverri línu og við skulum aðeins skoða fylkið færum okkur hérna til Hérna er fylkið komið á
rudda
línustallgerð
eða bara á línustallagerð afsakið í hverri línu ef má ég sjá í þessu línu er þetta vendistuðull vegna þess að þetta er fyrsta stakið sem er ekki núll og það er núll hérna fyrir neðan
Í annarri línu er þetta vendistuðull vegna þess að það er núll fyrir neðan þetta er fyrsta stakið sem er ekki núll og það er enginn vendistuðull fyrir ofan
Og í þessari línu er enginn vendistuðull
Þannig að hérna er enginn vendistuðull
Þannig að a hefur ekki í okkar dæmi fyrir ofan vendistuðul í sérhverju línu
Ókei þannig að þessar fjórar staðhæfingar eru alltaf annaðhvort sannar allar saman í einu eða engin af þeim er sönn
Þetta verður þetta getur verið gagnlegt í því sem við skoðum í framhaldinu segjum þetta gott í bili
Ókei við ætlum að spjalla um hornrétt mengi og hornrétta grunna skilgreininguna á hvað það þýðir
Nú mengi af vigrum í er í ennta er sagt vera hornrétt ef að allir vigrarnir eru innbyrðis hornréttir
Sem sagt depilfeldi af tveimur mismunandi vigrum í menginu er alltaf núll
Við erum með þennan hérna vigur u einn u tveir og u þrír þá er mengið af þessum þremur vigrum sagt vera hornrétt mengi vegna þess að ef ég depilfelda u einn við u tvo þá fæ ég núll
Og ef ég depilfalda u einn við u þrjá þá fæ ég núll og ef ég depilfalda u tvo við u þrjá þá fæ ég líka núll
Ókei þannig að allir vigrarnir þarna eru innbyrðis hornréttir
Nú ef það gildir að auki að þessir vigrar eru línulega óháðir þá erum við með hornréttan grunn
Nú kemur í ljós í setningu fjögur að alltaf ef við eru með hornrétta vigra þá eru þeir línulega óháðir
Ókei við skulum reyna að sannfæra okkur um að þetta hérna sé rétt
Við skulum skoða alla vega hluta af sönnuninni
Nú við ætlum sem sagt sýna að vigrarnir séu línulega óháðir
Forsendan okkar er að þeir eru hornréttir
Nú ef þeir eru línulega óháðir þá er til þegar ég tek línulega samantekt á þeim þá vitum við að þetta er núllvigurinn fyrir einhverja fasta sé einn upp í sé pé
Ókei ef þeir eru línulega óháðir þá þurfa allir þessir fastar sem sagt að vera núll til að ég fái út núllvigurinn
Þannig að það er markmiðið okkar að sýna það
Þannig að ef þeir eru hornréttir hvor við annan sýnum að þá verði sé einn sé tveir upp í sé pé að vera nauðsynlega núll
Nú við segjum það ókei
Ef ég tek núll og depilfalda við einn af vigrunum ég ætla að taka u einn
Nú þá er það sama og að segja núll það er þessi hérna fyrir ofan ég get skrifað hann sem þennan þarna
Þannig ég segi sé einn u einn plús sé tveir u tveir og svo framvegis upp í sé pé u pé og ég ætla að depilfalda það við u einn
Þannig að ég segi sé einn u einn depilfaldað við einn plús sé tveir u tveir depilfaldað við u einn
Og sjáið þið ég er að taka fasta út fyrir sviga það er líka reikniregla
Nú ég veit forsenda mín er að allir vigrarnir eru innbyrðis hornréttir þannig að þetta hér gefur mér núll þetta hér gefur mér núll og allir UNK mér núll
Alltaf þegar ég depilfalda u einn við einhvern vigur þá fæ ég núll nema auðvitað þegar ég depilfalda hann við sjálfan sig
Þannig að út úr þessu kemur einfaldlega sé einn sinnum u einn depilfaldað við u einn
Þá stendur hérna sé einn sinnum depilfeldið af einhverju sem er ekki núll er núll vegna þess að núll depilfaldað við eitthvað er auðvitað núll
Ekki núllvigurinn heldur núll talan núll
Nú af þessu sjáum við að sé einn hlýtur að vera núll
Ókei svo getum við sagt þannig að ég veit að fyrsti fastinn minn er núll ég veit að þessi hérna er núll
Ókei ef þeir eru línulega óháðir þá þurfa allir fastarnir að vera núll nauðsynlega til að út geti komið núll þarna
Þannig að hvað geri ég
Ég segi ókei ég ætla að prufa sama sömu rök nema ég ætla ekki að depilfalda með við u einn heldur við u tvo
Þannig að inn í hérna stendur u tveir hér stendur u tveir og hér stendur u tveir
Þá veit ég að sé tveir verður að vera núll
Og svo held ég svona áfram depilfalda af UNK og kemst að því að allir verða þeir að vera núll fastarnir
Þannig að nauðsynlega eru vigrarnir línulega óháðir ef þeir eru hornréttir hvor annan
Ókei þannig að við erum búin að sýna fram á öll séin verða að vera núll þá eru þeir línulega óháðir
Við skulum skoða aðeins skilgreiningu á hvað meinum við með hornréttur grunnur
Hornréttur grunnur fyrir eitthvað hlutarúm tvöfaltvaff í err í ennta það er bara grunnur þar sem allir vigrarnir í grunninum eru hornréttir
Og nú kemur þægileg setning
Setning númer fimm sem segir eitthvað um svona grunna
Ókei þetta gildir alltaf
Þannig að það er það sem er nýtt ef að þetta er hornréttur grunnur þá er formúla fyrir hvernig séin eru eru ypsilon depilfaldað við u joð deilt með u joð depilfaldað við u joð
Það eru öll joð frá einum upp í pé það eru pé vigrar