DavidErikMollberg/kennsluromur huggingface dataset:
það eru Fourier varpanirnar tvær sem að tökum seinna sem eru með samfelldu samfelldri framsetningu og það er kannski ágætt að líta á þetta bara sem svona töflu
við lítum á þetta
setja þetta aðeins upp betur
Ef við lítum á þetta sem svona töflu að þá er þá er hérna
ef við höfum
Ef við höfum þetta sem tíma
tími og þetta sem tíðni
Þá erum við auðvitað með stak samfellt
og stakrænt
og þá má segja sem sagt þá
þá erum við með
í þessum kafla sem við erum að fara í hérna þá erum við með í tíðni erum við með stakrænu framsetninguna Fourier raðir og við hérna segjum þá að þetta eru bara þessar
Fourier raðir
fyrir samfelld merki Fourier raðir fyrir stakræn merki eru stundum kallað bara
og stundum notaður fast Fourier transform algóriþminn til að til að reikna hann út En hérna en þetta er sem sagt efni í þriðja kafla og ég sit það hérna inn þriðji kafli
svo í fjórða kafla kemur þá í næsta á eftir eftir þessum þá er farið í bara hérna Fourier vörpun
Og það er farið í það í fjórða kafla
þá er auðvitað eins og eins og þið sjáið þá er tíminn samfelldur tíðnin samfelldur þá erum við einmitt að taka þetta fyrir hérna og svo í fimmta kafla þá er förum við í það sem kallað er tíma stakrænu bíddu nú við höfum þetta
tíma stakrænu Fourier vörpunin
fimmta kafla
Þannig að það er ágætt að hugsa um þetta svona
að þetta sé svona fjórar varpanir Þær eru fjórar vegna þess að við erum með tvenns konar framsetningu í tí tíma og tvenns konar framsetningu í tíðni Við getum farið úr samfellt yfir í samfellt samfellt yfir í stakrænt úr stakrænu yfir í samfellt og úr st stakrænu yfir í stakrænt og við munum fjalla um sem sagt fjalla um hérna
Hér erum við með dæmi sem að ex af té er gefið en við ætlum að reikna út
Fourier stuðlana og þar eru svo sem hérna erum við reyndar að brjóta öllum einmitt ekki að nota formúluna fyrir Fourier stuðlana heldur ætlum við bara að nota sem er líka góð aðferð og ætti bara að nota nota bara allar aðferðir sem þið getið til þess að einfalda
Við ætlum að nota Euler regluna munið að hérna að
plús e í veldinu mínus joð ex og þetta á að vera svigi hérna utan um og svo sínus af ex er
e í veldinu joð ex mínus e í veldinu mínus joð ex Þetta eru svona þetta eru svona Euler
reglurnar fyrir sínus og kósínus
Eru svona reglur sem að maður bara er með
kann bara utan af Mjög gott að kunna alltaf þannig að maður getur hoppað á milli tvinngildra veldismerkja á kósínusa og sínusa Hér erum við með sínusa og kósínusa þannig að við notum notum þessar reglur óspart og og hérna
og skrifum sem sagt upp þessa
summu aftur Þetta er einn plús einn á móti tveir joð Hérna skrifa ég bara
sínusinn e í veldinu joð
mínus e í veldinu mínus joð ómega núll té
plús Já hérna gleymdi ég reyndar þetta átti að vera tveir hérna þannig að við skulum
hafa það þannig Þetta er hérna tveir á móti tveimur Sjáum hvort þetta komi rétt út hérna hjá mér eftir
E í veldinu joð joð ómega núll té
plús e í veldinu mínus joð ómega núll té
Og svo hérna síðast en ekki síst er hérna þessi kósínus sem er hliðraður Það er þá hérna fáum við hálfan
E í veldinu joð og hérna kemur
heilmikið dæmi hérna tveir ómega núll té plús pí fjórðu næ ég þessu hérna plús
e í veldinu mínus joð og svo kemur sami svigi hérna
tveir ómega núll Té plús pí fjórðu
og við getum við getum reiknað upp úr þessu Hérna fáum við einn
Við sjáum að hérna er sem sagt e í veldinu joð ómega núll té kemur fyrir hérna tvisvar og e í veldinu mínus joð ómega núll té og e í veldinu mínus ómega núll té kemur hér fyrir tvisvar líka Þannig
að þannig að við tökum þá þessa liði hérna saman sem að hefur að gera með sama káið við erum að leita eftir sömu tíðni stuðlunum sem eru á sömu tíðninni Hérna erum við síðan með tvö ómega núll þannig að þeir samsvara ekki þessari tíðni hérna Þannig að þessi kósínus hér er á tvisvar sinnum hærri tíðni en kósínusinn og sínusinn hérna
En sínúsinn og kósínusinn eru af sömu tíðninni Hvernig blandast þeir saman Við sjáum hvernig það gerist Þeir blandast saman í gegnum stuðlana Við erum hérna með
út einn plús einn á móti tveir joð
e í veldinu joð ómega núll té
plús einn mínus einn á móti tveir joð
e í veldinu mínus joð ómega núll té
Sjáum hvað hvað gerðist hérna að þessi ás hérna hann kemur héðan fyrir framan þennan þátt þessi einn á móti tveir j ómega hérna það er þessi hér frá þessum hér
og svo kemur e í veldinu mínus joð mínus joð ómega núll té Ásinn hérna hann kemur héðan sem er þessi hérna Svo þessi e í veldi eða þessi mínus einn á móti tveir joð það er þessi hér sem á við hér og það er mínus hérna þannig að þess vegna kemur mínus hér Við erum búin að
afgreiða þessa tvo hérna og við eigum eftir að þá reikna út
síðasta kósínusinn og hann
skrifum við sem við skiptum honum upp Þannig að við erum með
hálfur hérna en ég ætla að
setja hérna e í veldinu joð pí fjórðu fyrir framan Vegna þess að
þessi liður er ekki háður té
Þetta er hérna þetta er hérna fasabreytingin Þessi pé fjórðu hérna hann kemur hér og hann er óháð óháður té Við tökum hann bara út fyrir hérna og hann kemur inn með stuðlinum
hálfur e í veldinu mínus joð pí fjórðu e í veldinu mínus tveir ómega núll það er té
Og hérna sjáum við að við erum komin Fourier stuðlana
Hér er a núll a einn a mínus einn a tveir þetta er a tveir hérna
og þetta er a mínus tveir
Þannig að við byrjum á að taka stakrænu línulegu tímaóháðu kerfin fyrir og sjáum síðan gerum við síð gerum þetta síðan bara aftur fyrir samfelldu kerfin
Og það se fyrsta sem við þurfum að gera er að að búa til einhverja svona framsetningu á stakrænum merkjum með impúlsum og og það kemur í ljós af hverju það er gott en en við sjáum bara til dæmis getum tekið við getum tekið hvað stakræn merki sem er sem se runu af einstökum impúlsum
Tökum sem dæmi þetta merki hérna þetta er ekkert þetta er ekkert hérna þetta er ekkert flóknasta merki í heimi þetta er bara segjum að þessi núll hérna UNK merki taki gildi núll hérna upp að núlli svo tekur það hérna einhver fjögur gildi og síðan núll eftir það þetta er bara svona til þess að ég geta teiknað þetta á einhvern hátt
Og svo og og sem sagt já það tekur hérna þessi gildi
Og svo ætla ég teikna hérna upp sem sagt hvernig við brjótum þetta merki niður í sem sagt fjóra liði þannig að við getum unnið með það betur
Það er impúls í núlli þegar það er þegar það er svona
Og hér er ex af tveir impúls í tvei hliðrað upp í tvo
En en þetta eru bara impúlsamerki þa þetta er mjög mikilvægur eiginleiki
Þannig það almennt séð þá er þá erum við með þá er þetta bara það sem kallast sigtunareiginleiki delta merkisins
Það er að segja sjáum að það er hægt að brjóta niður hvaða merki sem heitir sigta út gildin í exinu með því að margfalda hvert hvern hvert stak með með með hérna hliðruðum impúls og og hérna þetta er svo sem sáraeinfaldur eiginleiki en er mjög mikilvægur
Og sjáum að UNK kannski sjáum að þetta er hérna ef við skrifum þetta svona
Þetta er setjum svona kassa utan um þetta til þess að til þess að við munum eftir þessu hérna á eftir
En þetta er ekkert þetta er bara mjög almennt séð það er verið að nota ef við notum tungumál línulegrar algebru að þá er þá erum við í raun og veru að nota delta merkið sem sem grunn
Grunn fyrir merkið ex af enn
Og þetta er það þetta er það svona sjálfgefin grunnur að sem sagt stökin sem að sem að koma á vektorana eða sem sagt á merkin í þessu eru bara eru bara gildin í merkinu sjálfu
Þetta er ekkert þetta er bara alveg eins og ef við erum með hérna ef við ef við búum til vektorana ég ætlaði nú að hafa þetta svart hérna ef við búum til vektorana hérna e einn
Segjum bara þetta sé í þrívíðu einn núll núll e tveir sama sem þetta á að vera tveir hérna hjá mér núll einn núll og e þrír þetta eru vektorar
Sama sem núll núll einn
Að þá þá er hægt að skrifa vektorinn ex sem sem línulega samantekt af gildunum í ex i e i
Og svo í línulegri algebru þá lærðum við að það er hægt að nota fleiri grunna heldur en heldur en hérna eininga vektorana
Það er hægt að gera þetta aðeins meira fullorðið og vera með öðruvísi vektora hérna í grunninum og þá verður auðvitað verða þessar tölur vogtölurnar í summunni verða auðvitað öðruvísi
Og það er það sem gerir þetta svo gerir hérna gerir þetta niðurbrot meira spennandi en en þetta er sem sagt bara hérna þetta niðurbrot samt skiptir rosalega miklu máli
Þetta er bara sjálfgefna niðurbrotið á merkinu ex af enn með impúlsum
Og impúlsarnir eru þá bara svona einingavektorar einingamerki
með téið ekki ekki ennið
einfalt samt
fyrir fyrir þrepmerkið Byrjum á því að þar er það
núll þangað til það kemur að núlli og svo verður það einn
Og ég veit að það eru stundum einhverjar skilgreiningar um að þetta sé hálfur UNK
í þessum kúrsi þá er þetta skilgreint sem einn í núlli og og núll fyrir allt sem er minna en núll
Gerum ekkert mikið úr því heldur þannig að
þetta er þetta er u af té
og þar sem að þetta er núll
mikilvægt að að vita um það að það er hérna ósamfella í núlli
Það er ekkert einingaimpúlsinn er ekki svona einfaldur eins og eins og með einingaþrepmerkið En við getum samt sagt að við getum heildað u af té heildað einingarimpúlsinn
upp í té og fengið fengið hérna u af té gefins En við getum ekki diffrað til baka það er það er ekki hægt að
diffra einhvern veginn u af té og
fengið impúlsinn U af té er
einfaldlega ósamfellt í núlli og og þetta meikar einhvern veginn ekki sens að skilgreina delta af té á þennan
hátt Vegna þess að u af té
Þannig að við
höldum áfram og
við við búum til nálgun á u af té sem við
köllum u delta af té Það lítur
einhvern veginn svona út þessi nálgun Við erum með
og eitthvað delta gildi hér og
delta té vera núll fyrir öll negatív
gildi Fyrir öll gildi sem eru hærri en té látum u af té vera u af delta té vera einn og látum þetta vera bara beina línu hérna á milli Þannig að við teiknum hérna ypsilon ás
þetta er ex af delta té og
hér er einn
þá er hægt að skilgreina að delta þá er hægt
að skilgreina delta delta delta af té
sem diffrað dé af u
delta té dé té Þannig að við getum
delta delta þannig og fáum einfaldlega út hvernig
diffrum við þetta ekki bara með auganu Að við
fáum hérna núll fyrir hérna upp að núlli eftir delta fáum við núll aftur En
hér er hallatalan
hérna á milli fasti fáum hérna
núll og delta og hallatalan er einn á móti delta Þannig að við teiknum ypsilon ásinn aftur og hérna fáum
við einn á móti delta Þetta er
delta delta af té
Og þá er skilgreinum við einingar impúlsinn sem markgildi þegar að þegar að delta
stefnir á núll þegar
delta stefnir á núll þá stefnir þe þett þetta bil hérna á að vera núll Þessi púls hérna stefnir og verður alltaf hærri og hærri einn á móti delta og verður óendanlegt og við skrifum þetta merki hérna delta té þó að það sé óendanlegt Þá þá
er hefð fyrir því að teikna delta af té
sem svona ör Látum okkur sjá látum örina vera aðeins minni
og látum hana taka gildið
teiknum hann hérna samt Þetta er delta af té
línu hérna fylgja með UNK kannski
skiptir ekki öllu
Lína hérna á milli
svo getum við
margfaldað delta af té með
með með einhverjum stuðli og þá fáum við einfaldlega hærri impúls Þannig að þetta er þá
pikkum við bara út gildið í núlli
Þetta á að vera té hérna en það skiptir svo sem jú
skiptir máli þetta þarf að vera té
en almennt gildir líka að við getum pikkað út hvaða ex af té af núll sem er með því að hliðra delta af té með um té núll
nota þetta til þess að sem sagt út af því að við getum pikkað út einf einstök gildi í merkinu að þá er hægt að
brjóta ex af té upp með með impúlsinum
Við vindum okkar kvæði í kross og tökum samfelldu línulegu tímaóháðu kerfin fyrir núna og það er mjög gott að hafa tekið stakrænu kerfin fyrir fyrst vegna þess að við sjáum þá við vitum sirkabát hvað við erum að fara að gera
Þetta er nokkurn veginn svipað að uppbyggingu nema að að hlutirnir eru aðeins flóknari fyrir samfelldu kerfin vegna þess að við þurfum að vinna með markgildi þegar við þurfum að láta hlu hlutina stefna alltaf í eitthvað
Þannig að í staðinn fyrir byrjum á að nota UNK merki sem er sem er ekki impúls strax heldur heldur látum hérna merkið sem við ætlum að nota vera þetta svona kassamerki
Þetta er kassamerkið sem að lítur bara svona út ef við ef við teiknum hérna upp ex þetta er delta delta af té og þetta er þá merki sem nær hérna upp í einn á móti delta og og út í delta er núll annars
Gerum þetta aðeins betra hérna
Og þetta tekur gildið hérna einn á móti delta hér
Og við sjáum að ef við heildum yfir þetta þá fáum við einn þannig að svæðið hérna svæðið hérna undir þessu er einn
Sem er kannski verður mikilvægt seinna
En en við ætlum að nota þetta sem svona greiningarmerki fyrst áður en að við förum að búa til impúls úr þessu
Þið sjáið auðvitað ef við látum síðan delta stefna á núll að þá verður fer þetta upp í óendanlegt og við fáum hérna inn impúls fallið eins og hérna eins og impúls merkið eins og við fengum í fyrsta kafla
En en byrjum að nota þetta
Og svo ætlum við að að nálga ex af té
Það gengur alltaf út á að að að búa til einhvers konar framsetningu á innmerkinu með línulega línulega línulega framsetningu á ex af té
Sjáið að ká delta hérna er hliðrunin og téið er hérna gildi sem að er hérna óháða breytan
Sjáum hvernig þetta er skrifum þetta hérna upp
Og ef við teiknum upp þegar við teiknum upp hérna merki látum þetta bara vera eitthvað þægilegt merki
Og hafa þetta bara grænt hérna þetta er bara eitthvað svona Þetta er ex af té
Þetta er auðvitað té ásinn eins og alltaf en svo ætluðum við að nota sem sagt nálga þetta merki sem svona kassa sem að taka gildi hérna í í ká sinnum delta
Þetta er sem sagt þetta er sem sagt allir kassarnir þeir koma hérna saman og svo ætti ég reyndar að teikna bara ex ex hatt höfum hann bara bláan
Það er þetta merki sem er hér þegar við leggjum alla impúlsana saman
Þannig að við sjáum að til dæmis UNK tökum hérna nokkur dæmi að þá erum við hérna með té hérna þetta á að vera té hér
Að hérna erum við til dæmis með púlsinn
Segjum hérna UNK hérna
Að hér erum við með sem sagt ex gildið hérna er ex af mínus tveir delta
Þetta er sem sagt ká fyrir ká sama sem mínus tveir
Og þá erum við með merkið ex af mínus tveir delta sinnum sinnum delta delta af té mínus tveir delta delta
Og þetta tekur þá gildið hérna ex mínus tveir delta
Og svo koll af kolli við getum auðvitað teiknað upp fleiri dæmi
Við erum næsta dæmi væri hérna þá í mínus einum og svo framvegis
Plús tveimur og við erum með alla liðina hérna í summunni
Bíddu nú við hvað gerist þarna Obbosí
Smá artifact hérna
Þarna eitt sem við verðum að minnast alveg sérstaklega á er sem sagt fyrir þau merki sem eru lotubundin
og hvernig þau geta orðið sem sagt
það er þessi eiginleiki sem við þurfum að skoða
tvö pí deilt með ómega núll
og sáum að að ef að ef að
ómega núll stækkar að þá
minnkar lotan og lotan og ef að lotan er að
sveiflan að að fara hraðar og hraðar
Og hérna
og þetta gerist bara fyrir hvaða ómega núll sem er þeim hérna
ómega núll bara stækkar og stækkar og stækkar og þetta verður bara hraðar og hraðar og hraðar og ekkert meira um það að segja bara mjög eðlilegt En
þetta er ekki svona fyrir stakræna merkið Við
að þá er hérna
þá fáum við annað merki í raun og veru Við erum að bæta hérna við lotuna við fáum ekki sama merki út
ex af ex af enn er sama sem e í joð ómega núll n Það
fylgir sögunni hérna að að ex af enn er
sama sem e í veldinu joð ómega núll enn
Ef við bætum hins vegar fasta við
tvö pí fara hérna með enninu líka Þá sjáum að
út af því að enn er heiltala þá e í veldinu joð tvö pí heiltala er bara einn
Þannig að þetta styttir bara út og eftir
stendur e í veldinu joð ómega núll enn
þó að við breyttum merkjunina hækkuðum ómega núll hækkuðum það upp í tvö pí þá fengum við sama merkið út aftur og og þetta er
þetta er mjög mikilvægur eiginleiki eða að
sjá Að semsagt
það er bara ákveðin upp á ákveðið hámark á ómega núll sem við getum náð með stakrænu það er ekki hægt að sveifla stakrænum merkjum óendanlega hratt Það er bara hægt að sveifla þeim ákveðið hratt og og svo endurtekur sig endurtekur það sig En
veldinu joð ómega núll
enn plús stóra enn Þetta þarf að gilda Þetta er bara
skilgreiningin á
gildi hérna enn
af e í veldinu joð ómega núll enn sem er
sem er hér það þarf að vera einn
til þess til þess að þetta gildi Nú
þá sjáum við út af því að hérna
í sko í samfelldu er þetta ekkert mál því að þá er þá er
þá er té hérna getur verið hvaða tala sem er og við getum fundið bara út hvað té
þarf að vera gagnvart ómega núll n En hérna er enn sem sagt heiltala við þurfum á því að halda að ómega núll sinnum enn sé einhver heildi einhver heiltala sinnum tvö
pí þá þá fáum við þetta annars ekki
Og ef að ómega núll enn er sama sem emm sinnum tvö pí fyrir einhverja heiltölu emm að þá þá fáum þessa kvöð á ómega núll eða eða á ennið sem sagt ómega núll
deilt með tveimur píum þarf að vera
þarf að vera ræð tala Hérna
setjum þetta inn inn hérna
vegna þess að vegna þess að enn
er nauðsynlega heiltala emm er nauðsynlega heiltala Ef að ómega núll er eitthvað annað ef að ef að
tvö pí hérna og pí við erum með pí hérna gengur upp í Ef að ef að ómega núll
gengur ekki upp í ómega núll á einhvern hátt Þá má reyndar að fá brot út en hann má ekki fá heildi heiltölu út eða stóra tölu
ef að ómega núll dettur út fyrir það og við fáum ekki ræða tölu út að þá fái stakrænt merki sem að lítur út fyrir að vera
lotubundið en er það strangt til tekið eftir ekki Stökin
fáum alltaf einhvern veginn
lotubundið en aldrei nákvæmlega þannig að
nái ekki að
fara aftur á sama stað
Aldrei Ef að ef að hérna
er ég að reyna að gera þetta þannig að það er einhvers konar lota hérna En en en
gildið sem er hér verður ekki alveg nákvæmlega sama gildi og er hér og er hér og það nær því aldrei
þetta er ekki ræð tala hérna á milli gengur ekki upp í Leyfðu mér að
skoða þetta svolítið í dæmunum Þetta er
Og í þannig að fyrir stakræn merki þá eru hlutirnir svona nokkuð svipaðir en kannski ekki alveg eins og mikilvægt að fara kannski bara í gegnum þá á annan hátt en þið takið eftir því hvernig hvernig þetta er líkt og hvernig þetta er ólíkt
Við erum með hérna ég gleymi að búa til hérna formúluna fyrir fyrir en þetta við erum með sé sem er sama se ex merkið er sama sem sé alfa í ennta veldi
Og og þegar að sé og alfa eru rauntölur að þá gerist tvennt
Við getum sem sagt það fer hérna byrjum á því að segja að alfa sé bara stærra en núll
Og þá þá er einfaldlega munurinn á fáum við samt sátt sem sagt tvenns konar merki stækkandi og minnkandi
Bíddu nú við þetta á að vera líka grænt sjá fáum hérna ekki svona hratt vaxandi líka þetta er þetta er sem sagt vaxandi
Verður hér alltaf minna og minna
UNK umslagið er svona eins og er svona veldisvísisfall en en þetta er þetta er þetta er stakrænt merki ex af enn og og og það er vaxandi ef að ef að já ef að alfa er stærra en núll en en í þessu tilviki þarf alfa einnig að vera stærri en einn
Alfa er stærri en einn hérna í þessu tilviki
Ef að hins vegar alfa er er minni en einn en enn þá stærri en núll þá fáum við minnkandi runu
Byrjum hátt og fáum hérna hérna átti að vera í núlli líka og svo framvegis
En hún er skiptir alltaf um formerki
Þannig að við fáum svona tvöfalda átti að vera þarna í núlli passar ekki alveg bilið en hún er að hún er að skipta um UNK formerki og minnka þannig að þessi runa
Og svo sem sagt fyrir fyrir alfa segjum bara minna en mínus einn hreinlega að þá erum við með með vaxandi runu en er alltaf að skipta um formerki
Og svo framvegis
En fyrir sem sagt stakræn sínus merki sem er þá svona næst næsta tegund af af stakrænum veldis merkjum að þá er alfa í raun og veru sama sem e í veldinu joð ómega núll
Það er að segja við erum við erum með alfa getur verið hvaða hvar sem er á einingahringnum
Alfa getur verið einhvers staðar á einingahringnum
Og við getum sem sagt táknað þá bylgjuna stakrænu bylgjuna náum okkur hérna í penna
A kósínus ómega núll enn plús einhver einhver fasaliðurinn við getum táknað það sem A deilt með tveir e í veldinu joð þeta e í veldinu joð ómega núll enn plús A deilt með tveir e í veldinu joð þeta mínus e í veldinu mínus joð ómega núll enn
Og já ekkert svo sem meira um það að segja en þetta kemur auðvitað líka oft fyrir þetta eru bara bara stakræn sínus
Og svo almennt séð þá höfum við stakræn tvinngild veldismerki þá getur sé verið hvaða tvinntala sem er Alfa getur verið hvaða tils tvinntala sem er við getur táknað ex af enn sem bro brotið ex af enn upp sem að er hér upp í kósínusþátt og sínusþátt
Og sjáum hvernig fasinn kemur hérna inn í gegnum séið og og umslagið hérna kemur inn í gegnum stærðina á A
Þannig að ég ætla ekkert að hafa fleiri orð um þetta ég gæti svo sem teiknað upp einhver dæmi en ég fór nokkuð vel í samfellda dæmið með ykkur og það er svipað svipað með stakrænu veldis veldismerkin
Þannig að sem sagt
til þess að þetta ferli sem að við þessi greining sé gagnleg
að þú veist til hvers erum við að þessu við erum að reyna ge ná einhverju ná einhverju fram Við erum sem sagt
að setja inn við erum að taka eitthvað almennt merki inn í inn í eitthvað kerfi
eins og eins og svo oft áður þetta er línulegt tímaháð kerfi þannig að það er með impúls svörun og og lítur svona út og til þess að þessi greining
við ætlum að skoða greina hérna þessi merki þessar svaranir hérna eitthvað eitthvað betur Og til að þessi greining og þessar varpanir sem við ætlum að fara að skoða hafa séu eitthvað gagnlegt er mikilvægt að þessi einföldu merki sem við ætlum að brjóta ex upp í það þessi
grunnur sem að þessir grunnar
sem við erum að fara að skoða hafi tvo eiginleika það err að segja það sé hægt að búa til öll merk þau merki sem við þurfum á að halda til að til að hérna
til þess að búa til þessi einföldu merki Þannig að það það þarf í raun grunnurinn þarf í raun og veru að vera þannig að það sé hægt að hann sé raunverulegur grunnur að þessi merki myndi grunn fyrir fyrir öll mengi þeirra merkja sem við viljum skoða og svo
viljum við auðvitað líka að svörun línulega tímaóháðs kerfis á þessum merkjum þessum einföldu merkjum sé nógu góð og einföld til þess að hægt sé að byggja upp útmerkið aftur þannig að við getum hérna
gert þessa við getum sent þessa þennan grunn yfir merki yfir
línulega tímaóháða kerfið okkar og út komi eitthvað sem er sem er
einfalt líka Og sem sagt þetta gildir sem sagt um um tvinngild veldismerki eða tvinngild veldisföll eins og ég kalla þau hérna
Veldismerkið er á þessu formi fyrir ss fyrir samfellt og fyrir stakrænt við notum ekki e í veldinu ess hérna fyrir stakrænan höfum bara tvinntölu hérna setu hérna beint en en tvinntalan hérna ess er í samfelldu Og og sem sagt við ætlum að skoða þetta er í raun og veru annar þátturinn sem við ætlum að taka
fyrir hérna áður en við vi vindum í okkur í Fourier áður en við hérna vindum okkur í Fourier vörpunina
Sem sagt við skoðum sem sagt annað atriði svolítið fyrst Eða sem sagt
hvernig er við þu spyrjum hvernig er svörun línulegs tímaáskerfis við veldisföllum Hvað hérna og sem sagt hér set ég þetta bara fram að það kemur í ljós að að ef að
ef að innmerkið í línulega tímaóháða kerfið er tvinngilt veldismerki segjum að ég sé hérna með
línulegt tímaóháð kerfi
og ég fæ hérna út útmerki Ef set inn ef ég set inn hérna innmerkið í sem er línulegt tvinngilt veldismerki þá fæ ég hérna út
nema það er skalað það er skalað með einhverjum fasta sem ég ákvað að kalla hérna há af ess Og hérna
bara svona til þess að benda á af hverju kalla ég þetta fasta þetta er fasti vegna þess að þetta er fasti með tilliti til té Við erum að ta við erum
enn þá að skoða um þett skoða þetta í me hérna
sem merki sem að sem þar sem óháða breytan er té
Og há af ess er alveg óháð téinu Þannig að fyrir öll té
fáum við bara eina tölu út Það skiptir reyndar máli hvaða hvaða tvinntölu við veljum á veldismerkið hérna en ef við erum búnir að velja essið e í veldinu ess ess er bara fasti Að þá er
og téið er breytan að þá getum við bara reiknað út þennan fasta hérna og hann og hann
hann er háður essinu en en að öðru leyti er þetta bara fasti og við fáum hérna skalaða út
útgáfu út og að sama skapi ge gengur
fyrir hérna
stakrænu
kerfin líka Þar heitir þetta þá há af seta
og e ekki e heldur heldur seta í veldinu enn Og við sjáum hvernig hérna
sama merkið og settir inn tvinngilt veldismerki fer bara í gegnum línulegt tímaóháð kerfi
fylkinu sem að þeir eru eiginvektorar af Við erum með sem sagt eitthvað fylki a munið þið úr línulegri algebru
einhvern vektor og
með einhverjum eiginvektor sem er stundum kallaður vaff bara
Þeir eru margir en einn einn þeirra er
til dæmis kallaður vaff einn að þá fáum við út bara skalað gildi
á vektornum þannig að
þannig að eiginvektorinn sem að sem að margfaldast hérna við a
Að hann hann