DavidErikMollberg/kennsluromur huggingface dataset:
samfelldu merkin Og þau þurfa sem sagt að uppfylla til þess að þetta sé alveg skothelt hjá okkur þá þurfum við að uppfylla þessi þrjú Dirichlet skilyrði Og já
kölluð Dirichlet skilyrði og
það þarf að vera hægt að ha heilda algildið af ex af té yfir hvaða lotu sem er Það þarf að vera heildanlegt sem kallað er Og hérna
það er fyrsta skilyrðið
En en er alveg hægt að smíða eitthvað ex af té sem gerir svoleiðis Og
einnig ex af té má hafa ósamfellur það er allt í lagi en þa þær verða bara að vera
þær mega bara ekki vera en óendanlega margar Það verður að vera hægt að telja þær
Þannig að þannig að það er það er hægt að gera hérna
Og í kaflanum að þá eru sýnd dæmi svona sem er svona gaman að skoða hvernig þessi Dirichlet skilyrði eru brotin
Og það er mikilvægt að glöggva sig á því bara Ég set þessa glæru inn hérna bara til þess að hamra þetta eins mikilvæg sem sagt við erum
komin ansi langt með að reikna út impúlssvörunina en við getum skrifað þetta svona við erum að
Vegna þess að
hagar sér skynsamlega sem summu eða reyndar heildi óendanlega margar þéttra skalaðra im hliðraðra impúlsa Þetta er sigtunar eiginleikinn Við sem sagt erum með sigtunareiginleikann og
við getum líka skr UNK og önnur
við við hliðruðum impúlsum munum
muna það að við erum hérna með delta af
Við erum að setja það inn í línulegt tímaóháð kerfi Og
af tá af té
En núna gildir það hins vegar að að sem sagt að út af því að við erum með
tímaóháða eiginleikann að þá getum við skrifað þessi óm þessi
útmerki sem eru óendanlega mörg og óendanlega þétt sem bara línulegar hliðranir eða hliðranir ekkert línulegar bara hliðranir á einu þessara m
merkja sem er merkið sem við köllum
í núlli þegar há þegar tá er sama sem núll Þannig að
það er nóg fyrir okkur að að sem sagt það er nóg fyrir okkur að
láta impúls
þá vitum við að há af té mínus tá er línulegt tímaóháð kerfi er sett inn í línulegt lí tímaóháð kerfi
þessa svörun þetta útmerki
há af té Við höfum gert
há af té þá getum við skrifað útmerkið sem ypsilon af té heildið
frá mínus óendanlegu upp í óendanlegt af ex af tá há af té mínus tá Og þetta kallast földunarheildi og lýsir því hvernig hægt er að reikna út útmerki fyrir gefið innmerki Þetta er mjög mikilvægt UNK fyrir
línuleg tímaóháð kerfi þá getum við alltaf reiknað út
útmerkið ef við vitum
ef við vitum
impúlssvörunina og auðvitað innmerkið
Og þessi aðgerð þessi þetta þetta þessi
heildunarsumma heildunar földunarheildi ætlaði ég að segja þetta földunarheildi
er svo mikilvæg aðgerð Hún fær sitt eigið nafn og kölluð bara földun þar er ský skýrt út að
þessa aðgerð seinna
Og eins og ég sagði áðan eru línuleg tímaóháð kerfi fullkomlega lýst með impúlssvöruninni sinni Ef einhver
Há af té er í raun og veru fullkomleg lýsing
Efni fyrirlestrar tvö eru línuleg dím tímaóháð kerfi og við hérna fórum vel í bara eiginleika kerfa
Og tvö tveir eiginleikar þessara kerfa voru línuleiki og tímaóháði eiginleikinn og nú ætlum við
að taka fyrir þessi kerfi sem hafa þessa tvo eiginleika saman Og
þetta eru mjög mikilvægar
mikilvægt mengi af kerfum sem að restin af kúrsinum fjallar eiginlega alv eiginlega bara um En það má ekki gleyma því að að það eru auðvitað til mun fleiri kerfi sem að sem ekki hafa þessa eiginleika og og hérna til
dæmi eru mjög vinsæl kerfi í
í hérna í
sem að mikið hefur verið að fjalla um núna eru til dæmis tauganet Og tauganeta eru einmitt ekki línuleg það er þeirra helsti eiginleiki og stundum eru þau heldur ekki tímaóháð og hérna
þá þá þarf
aðferðir sem byggir á mjög solid stærðfræði Og við ætlum að það er í raun og veru það sem að þar sem að þessi kúrs fjallar um er að taka alla þessa stærðfræði og setja hana upp þannig að við getum notað hana í í hérna í verkfræði
viku Við ætlum að fjalla um sem sagt svona þessi línulegu tímaóháðu kerfi í tímarúminu Þannig að við ætlum ekkert að vera að fara í í hérna
tíðnigreiningu alveg strax við ætlum bara að skoða hvernig tíma framsetning merkjanna lítur út Það er mjög mikilvæg framsetning sú sem kemur eðlilegast fyrir og þá eðlilegt að að byrja á henni Og
svo svona til að einfalda þetta þetta eru sem sagt við byrjun á sem sagt tala um sem sagt tímaeiginleika línulegra tímaóháðra kerfa Við byrjum sem sagt við förum bara strax voðalega mikið í í hérna saumana á þessu og þetta gengur rosalega mikið út á það sem kallað er földun og við sjáum hvað það er bæði fyrir fyrir stakræn og samfelld kerfi Og
og við týnum okkur svolítið í smáatriðunum þannig að
á hreinu þegar að við erum í þessu þannig að ég ætla
bara að segja aðeins frá því á eftir klára kannski bara hérna yfirlitið yfir yfir yfir hérna yfir kaflann með því að
segja að sem sagt að við förum í földun fyrir stakrænt földun fyrir samfelld og svo förum við í hina eiginleikana Hvað hvað hefur það í för með sér að vitandi það kerfið er línulegt og tímaóháð hvaða hvað hefur það í för með sér varðandi hluti eins og stöðugleika orsakartengingu og fleira
áður en við förum í hérna í heila málið Þá bara
la langar mig til þess að þið hafið á hreinu hvað
hvað þetta gengur allt saman út á Við erum í raun og veru bara það er eitthvað kerfi nú
er gefið
Þetta er bara heila málið Þetta
er ekkert sjálfsagt fyrir almenn það er ekkert sjálfsagt að það sé hægt að gera þetta fyrir fyrir
öll kerfi Stundum verðum við bara að láta kerfið hafa sinn gang til þess að sjá hvað útmerkið er en stundum getum við fundið út form réttu formúluna og til dæmis með línuleg tímaóháð kerfi þá er það tiltölulega auð
einfalt En eftir að við erum búin að læra um földun það er sem sagt
leyndarmálið er að við notum földun til þess að til þess
að komast frá ex yfir í ypsilon af té
Þannig það það er það er efni vikunnar Hvernig komumst við úr ex yfir í ypsilon notum földun ef við vitum að kerfið er línulega tímaóháð
Og við byrjum að taka hérna
bara eitt svona mjög einfalt dæmi
sjö stuðlar í þessari röð hérna Og
já þeir eru
gefnir þeir eru gefnir hérna í dæminu
A núll er sama sem einn
A einn er sama sem a mínus einn
er sama sem einn fjórði
A tveir er sama sem a
mínus tveir er sama sem hálfur
Og a þrír er sama sem a mínus þrír er sama sem einn þriðji
Takið eftir því að þetta er hérna
að þetta er samfellt Við getum sett þetta fram reyndar með bara  grafi ef þið viljið Þannig að
hitinn í núlli
einn fjórði
UNK einn fjórða þetta á að vera
Svo er þetta hálfur hérna
og einn þriðji einhvers staðar hérna á milli
Þetta eru Fourier stuðlarnir
Núll einn tveir og þrír
Mínus einn mínus tveir og mínus þrír
Og já við erum búin að teikna upp hérna a ká stuðlana
fyrir ex af té
Ex af té er þá sama sem
og brjótum þá bara hérna
þessa formúlu upp Þannig að við fáum hérna einn það er a núllið taka það út fyrir Nú ætla ég að taka a einn og mínus einn fyrir líka Og við
Eftir stendur e í veldinu mínus joð
Það er einn hérna tveir pí té
Ká er sama sem einn og svo hérna er ká sama sem
joð tveir pí té
tveir eða mínus tveir
E í veldinu og bíddu nú við þetta átti að vera plús hérna
Joð fjögur pí
té og hér kemur e í veldinu
Og svo síðast en ekki síst einn þriðji
Já e í veldinu joð sex pí té
plús e í veldinu mínus joð sex pí té
Og og við sjáum að þetta er auðvitað þrír kósínusar og fasti
einn plús einn fjórði
kósínus Já nú þarf ég auðvitað að margfalda með tveimur þannig að
hérna átti auðvitað að vera tveir
kósínus af
plús sem sagt tvisvar sinnum hálfur það er bara einn
þannig að þá fáum við bara kósínus af fjögur pí té og hérna
af kósínus af
sex pí té
Þannig að þetta eru kósínusar á á mismunandi tíðnum eins og þið sjáið
Eru þetta eru reyndar kósínusinn á langlægstu tíðninni sem er bara núlltíðni hérna
í einum Og svo kemur næstlægsta tíðnin sem er
grunnlotan sem er hérna
og svo svo hérna næsti næsta harmónía sem kemur hérna í tveimur káum eða
ká sama sem tveir og svo svo þriðji kósínusinn hérna sem að er á hæstu tíðninni Og þi þið sjáið þe þið sjáið mynd af af öllum þessum kósínusum og hvernig þeir leggjast saman á á blaðsíðu hundrað áttatíu og átta Það UNK geti verið plús mínus ein blaðsíða eftir eftir útgáfum En en hérna en
endilega skoðið þetta dæmi
já minnist kannski á líka að í bókinni er fjallað um svona sögulegar forsendur fyrir Fourier vörpuninni talaði um Joseph Fourier og svoleiðis og það er mjög skemmtileg
sem að við vorum að fara í í öðrum kafla Og þá er sem sagt sem sagt það sem er mikilvægt að að að taka með úr úr úr öðrum kafla eru þessir tveir þættir sem sagt að að í öðrum kafla Þá
þá sýndum við fram á bæði fyrir stakrænt og samfellt að það er hægt að setja fram bara hvaða merki sem er sem að innmerki sem er sem er svona hagar sér
reyndar já þetta hagar sér svona eðlilega
Það er hægt að setja fram sem línulega samantekt af einfaldari merkjum
og reyndar á þetta stranglega við á þetta við um stakræn merki og fyrir samfelld merki það er það er hægt
að svindla og búa til merki þar sem þetta er ekki hægt en það er
það er voðalega svona tilbúið vandamál Svona þannig að
fyrir öll bara venjuleg merki sem koma fyrir að þá þá gildir þetta bæði fyrir samfellt og stakrænt
Og og þetta kölluðum við sigtunareiginleikann þetta við hérna þið munið eftir því og við skrifuðum hérna skrifuðum hérna
merki sem
grunnur sem við notum sem eru impúlsarnir er svo einfaldur að þá voru þessar vogtölur bara stökin í
merkinu sjálfu en vegna þess að þessi framsetning
það er hægt að setja mörkin svona fram að þá hérna
þá er sem sagt erum við búin að sýna fram á alla vega það er alla vega hægt að gera þetta á einn vegu Það er hægt að búa til hérna svona grunna og setja fram merkið á einhvern ákveðinn hátt
og svo það sem við gerðum líka var að út af því að við erum með línulegt og tímaóháð kerfi að þá var hægt að
er bara sama línulega samantektin
þar sem að vogtölurnar eru þær sömu en nú erum við með impúls svaranir þessarar hliðruðu
impúlsa og út af því að við erum með línuleg
En alla vega þannig að það er hægt að nota þetta þetta línulega þennan línulega þátt fyrir fleiri grunna fyrir fleiri merki en bara impúlsa Þannig að þannig að við getum
við getum sem sagt spurt
við getum spurt sem sagt hvaða merki hérna annað en inpúls getum við búið til til þess að notfæra okkur þennan línulega eiginleika og kannski mögulega einfalda okkur greininguna á línulegum tíma og kerfum og merkjum þar af leiðandi
Og Fourier raðir fjalla akkúrat um þetta ferli þegar að inn þessi einföldu merki eru ekki impúlsar lengur heldur eru tvinngild veldismerki og þess vegna náttúrulega fjölluðum við um tvinngild veldismerki alveg sérstaklega í fyrsta kafla þetta eru merkileg merkileg merkilegt mengi af merkjum og
og við munum hérna skoða skoða þessi tvinngildu veldismerki
Fourier vörpunin fjallar í raun og veru um hvernig þetta er gert þetta þetta fyrsta
atriði hérna hvernig við setjum fram hvaða merki sem er með með þessum einföldu
veldismerkjum þannig að það fjallar hérna
næstu fjórar vikurnar eða svo munu fjalla bara um um þetta fyrsta atriði hérna og svo förum við í lok áfangans betur í að greina kerfin en svona áður en að við vindum okkur í þennan hluta þá ætluðum við að ætlum við að skoða þetta bara svona snöggt fyrst svo við svona vitum af þessu alla vega
á meðan við erum að sökkva okkur í þennan hluta hér
Þá er um hérna tímaóháða eiginleika kerfa að að ræða
Tímaóháð kerfi breyta sér ekki með tíma
Það er að segja ef ég set inn merki hérna í dag inn í þetta kerfi þá fa fæ ég þetta merki hérna í dag
Það er sama hliðrun á því hvort sem ég set það inn á tíma n eða tíma n mínus n núll þá þá fæ ég það sama
Sjálfu sér mjög einfaldur eiginleiki en mjög mikilvægur og það er ekkert hann er heldur ekkert sjálfsagður Það getur vel verið að að að stuðlar í kerfinu séu að breytast eitthvað með tíma og og og það eru mörg dæmi um það að að kerfi sem við erum að vinna með eru eru háð tíma
Og þá þurfum við einhvern veginn að díla við það
Og það er það er svolítið getur verið svolítið erfitt Mjög algengt í í í til dæmis fjarskiptakerfum að að þurfa að dí díla við það að kerfi séu tímaháð en það er þó gert með aðferðum sem við erum ekkert sérstaklega að fjalla um í þessum kúrsi svolítið meira advanced
En við getum mö munum munum örugglega tala um það meira í í kúrsinum En þessi eiginleiki að að að að kerfi breyti sér ekki með tíma hvort hvort sem að þú notar það núna eða á eftir eða eða í gær að fáið hérna út það sama Það þýðir að kerfið sé tímaóháð
Þá síðast en ekki síst höfum við línuleg kerfi
Og línuleg kerfi það er eiginlega besta skilja línuleg kerfi þannig að það eru um tvo eiginleika að ræða svona undireiginleika
Við þurfum að hafa þennan samlagningareiginleika það er að segja ef við ef við erum með kerfi þar sem að við erum með innmerki og útmerki x af t og ypsilon af t þá sem sagt ef við setjum x einn af t inn þá fáum við ypsilon af einn inn og ef við setjum x tveir þá fáum við ypsilon tveir út Þá ef við leggjum x einn saman við x tvo þá mundi línulegt kerfi gefa okkur samlagninguna á ypsilon einn og ypsilon tveir líka UNK ekkert það er ekkert sjálfsagt að þetta gerist en línulegt kerfi lætur þetta gerast
Þannig það er samlagningareiginleikinn það er að segja ef við leggjum innmerki saman þá fáum við fáum við hérna útmerkin lögð saman líka
En einnig þarf margföldunareiginleikinn að gilda þetta er líka kallað einsleitni eða homogeneity
Það er að segja ef við skölum innmerkið ef við skölum innmerkið þá fáum við bara sömu skölun á útmerkinu
Ef við skölum með a inu þá skalast ypsilon af t líka
Og þá ef að þessi þessir tveir eiginleikar gilda að þá er kerfið línulegt
Við getum sett sem sagt þessa tvo eiginleika saman í einni eiginleika þannig að það sé svona línulegt línulegt kerfi þannig að við skölum x einn með a og skölum x tveir með b leggjum saman að þá fáum við a ypsilon einn út plús b ypsilon tveir
Og og þá þá hérna þá er kerfið línulegt
Og áður en ég skil ykkur eftir hérna með með lokaspurningu hvort að þetta sé línulegt kerfi að þá hérna þá getum við útvíkkað UNK gera hérna loka útvíkkun á línuleikanum bara til þess að sýna ykkur hvað hvað hérna hversu hversu öflugt þetta er
Látum i bara ganga hérna frá einum og upp í n til dæmis
Og ef ég læt þetta merki legg saman mörg merki hérna sköluð til inni í línulegt kerfi þá fæ ég bara sömu línulegu samantektina út af þeim útmerkjum sem ég hefði annars fengið hefði ég sett inn í sitthvoru lagi A i ypsilon i af  t þannig hérna er ég með mörg mörg mismunandi innmerki fyrir sem að mundu gefa mörg mismunandi útmerki ef ég legg þau öll svona saman með línulegri samantekt að þá fæ ég sömu línulegu samantektina út
Og þetta er mjög öflugur eiginleiki og við munum nota hann mikið
dæmið Að þá sjáum við að að hérna
við erum með svona runu af impúlsum þetta er lotubundið og við teiknum þetta hérna upp hérna til hliðar að þá sjáum við að við erum með bara hérna
margar lotur hérna marga impúlsa sem koma hérna svona í röð
Einn þeirra fer hérna er í núlli
við teiknum imp samfelldu impúlsana svona og við erum bara að
hér erum við með segjum núll og svo er hérna té og tveir té
mínus té mínus tveir té og svo framvegis Þetta endurtekur sig hérna með lotunni té
og og við getum
skoðað þetta þannig að það er í raun og veru inni í hverri lotu fyrir sig er bara í raun og veru ein
einn impúls
þetta á að vera hálf hálfur mínús té hérna og plús
hálfur té
Og þannig að við erum að ta í raun og veru bara að tala um einn impúls En út af því að við þurfum að hafa hlutina lotubundna í þegar við tölum um Fourier stuðla að þá þurfum við að búa til svona runu En en en þetta er í raun og veru bara svona fyrir fyrir þetta tilfelli erum við að tala um um
um impúlsinn hvernig hvernig við gerum það og við skulum finna finnum bara Fourier stuðlana með því að
stinga beint inn í
einn á móti tá
heildið frá
við getum heildað einmitt frá mínus tá hálfum upp í té hálfan
mínus joð ká
tveir pí deilt með
stóra té
sinnum té Það sem við heildaði
heildum yfir té
Af hverju Það er vegna þess að
vegna þess að fyrir öll gildin hérna fyrir ut
sem ekki eru núll
tekur impúlsinn bara núll þannig að það margfaldast hérna bara við e í veldinu eitthvað En það er bara núll sinnum eitthvað það er núll Þannig að við þurfum eiginlega bara að heilda yfir impúlsinn og impúlsinn hérna í núlli tekur bara veld gildið e í veldinu
skiptir í raun og veru ekki máli hvað þetta er Té hérna verður núll e þá fáum við e í veldinu núll svo það er einn Þannig að við fáum
bara heildið yfir við getum alveg skrifað það hérna upp en þetta er sama sem
heildið eða einn á móti té gleymi ég hérna
té deilt með tveimur té deilt með tveimur delta
té dé té og þetta heildið yfir impúlsinn er bara einn
einn á móti té
sama hvað káið er og hérna
við erum með merki í tíma sem er merkið ex af té sem er takmarkað við bara eitt gildi í tímanum
þannig að það er alveg takmarkað í í í í núlli
lotu eftir lotu en það er ekkert í annars staðar í lotunni að gerast og þá gerist í tí það er tíðni að það flest allt út það er
sam fyrir sama hvaða gildi á ká er
Og þannig að
þannig að það er einhvern veginn eins og upplýsingarnar sem eru í tímanum
eru eru hérna
flast út yfir allar tíðnir Og þetta er eitthvað svona þetta er svona eiginleiki sem við munum sjá reglulega í í tíðnigreiningu er að ef við erum með eitthvað sem er vel afmarkað í tíma að þá
verður að ver ák afmarkað í tíðni og öfugt Ef við erum með eina tíðni að þá
þá verður þetta að bylgju og verður illa ákvarðað eða sem sagt
upplýsingarnar smyrjast yfir yfir allt tímabilið Þannig að þetta er svona
go gott dæmi sem sýnir þetta impúls og bylgjur eru góð dæmi
Og sem sagt við þurfum að athuga svolítið bara út af því að við ætlum að leyfa okkur að vinna með tvinngild merki líka en bara út af því að við erum að vinna með raungild merki svo mikið að við þurfum að svona átta okkur á því hvað hvað hvað þýðir að vinna með raungild merki
og sem sagt ef við gerum ráð fyrir ex af té sé raungilt þá
þýðir það auðvitað að að það það að gera ráð fyrir að eitthvað sé raungilt þýðir að samokatalan
af merkinu sé sé það sama Þannig að við erum með þessa kvöð Það er jafngilt því að segja ex af té sé raungilt er jafngilt því að segja Merkið er sama og samokamerkið Þetta er
ekki satt fyrir tvinngild veldismerki þá þá geta getur þverþátturinn á ex af té tekið
mismunandi gildi og þá fengjum við alltaf út annað merki hérna sem hefði mínus þverþáttinn
Ef að þverþátturinn er núll þá gildir þetta og raunþátturinn er sá sami og þverþátturinn núll að þá þá gildir þetta Og hvað gerist þá fyrir
Fourier vörpunina sem er sem að lítur svona út Við getum þá sett inn í staðinn fyrir a ká
Við getum tekið bara sem sagt
við getum skrifað þá
Þetta við getum þá tekið samoka af þessu vegna þess að það er það sama Ex af samoka af té er samasem ex af té eins og við vorum búin að segja og þá getum við tekið samoka af a ká
og við getum tekið samoka af e í veldinu joð ká ómega núll té Öll í einu hérna
Svo þurfum við að skoða hvað hvað það þýðir að taka samokatölu af e í veldinu joð ká ómega núll té
Þessi tvinntala sem er hér
Hún hefur lengdina einn og lengdin hérna
breytist ekki hornið á ef maður tekur samoka af tvinntölu að þá breytir setur maður mínus á hornið þannig að við getum bara sett mínus hérna í staðinn þannig að út kemur hérna
Teiknum upp eða skrifum formúluna upp eiginlega aftur A ká samoka er samasem og svo er
svo geri ég þessa samokaaðgerð á tvinntöluna þá fæ ég hérna mínus joð ká ómega núll té
Nú læt ég nú læt ég hérna breytuskiptin
svindla svolítið aðeins hérna bara ég ætla að láta
ká vera samasem mínus ká Ég veit að þetta er svolítið óstærðfræðilegt að gera þetta svona en ég ætla bara að skipta um hérna
skipta um röð hérna það skiptir ekki máli hvort að ég
summi í hvaða átt ég summa summera og þá fæ ég út að sem sagt að þetta hérna er samasem ká samasem
mínus óendanlegt upp í óendanlegt Af a
samoka en nú er ég með mínus ká hérna og
e í veldinu joð og hérna er ég kominn aftur með jákvætt ká ómega núll té núll té
Og við sjáum þá að sem sagt út frá þessu hérna
hér erum við komin með Fourier röð aftur Fourier röðin af ex af té er annaðhvort annaðhvort þessi Fourier röð sem hefur með þessum Fourier stuðlum a ká eða þessi Fourier röð sem er með þessum Fourier stuðlum og þar af leiðandi hlýtur a ká að
vera samasem a ká a mínus ká Samoka
Sem að segir okkur að sem sagt að hérna Fourier stuðlarnir a ká eru
jafnstæðir í lengd og oddstæðir í fasa eða þannig að þeir eru svona
speglaðir um Að þá þarf maður bara að taka hérna
Þá þarf maður þeir speglast og ef þeir þetta eru þeir geta verið sem sagt tvinntölur
speglast um núllásinn og sáum til dæmis í dæminu áðan að við vorum með raungilt fall ex af té og við sáum að fyrir fyrir þau föll að þá gilti að a ká
a mínus ká Sem að sem að það passar þá
við þetta hérna þetta er svona
eitt dæmi um það hvernig þetta getur virkað
Einmitt eins og ég hef haldið áfram að segja þetta er svo mikilvæg aðgerð að hún fær sitt eigið nafn þetta er kallað földun og tákn vi
Við tölum um að exið innmerkið sé faldað saman við impúlssvörunina
Falda ex við við há Og línulegt tímaóháð kerfi og þetta er mjög mikilvægt er fullkomlega lýst með impúlsvöruninni sinn Ef við vitum impúlssvörun línulegs tímaóháðs kerfis þá vitum við allt sem þarf að vita um um
línulegt tímaóháð kerfi Bara svona í svona í
smá framhjáhlaupi ég mun kannski taka þetta framhjáhlaup stundum en þá með línuleg tímaóháð kerfi
þá þá við tengjum þetta
bráðum við við diffurjöfnur og annað Sem sagt um
diffurjöfnur lýsa í raun
kerfinu ekki alveg fullkomlega vegna þess að við þurfum alltaf upphafsgildi Og og hérna við þurfum sem sagt diffurjöfnu og og eitthvað einhver einhver einhver
gildi þar sem að exið tekur í í einhverjum tíma oftast núlli En en hérna en
En en en impúlssvörunin er það
við erum bara að spyrja hvernig framkvæmum við þessa földun Og
eitt sem við sem sagt þegar við skoðum földunarsummuna þá fáum við hérna út við skoðum
þetta í fljótu bragði
Við er þá erum við með ex af ká
há af enn mínus ká Að þegar
byrjum á því að spyrja hvaða gildi tekur útmerkið í
í gildi í í staki en
og við sko þannig að
þegar við erum að kafa ofan í þessa summu hérna þá er enn fasti Vegna þess að
við ætlum að reikna út bara eitt gildi í einu og svo ætlum við að skoða hvernig þessi summa virkar Þannig að það
Svo þurfum við að skoða þessi tvö merkin Við erum sem sagt með gefið ex af enn og há af enn
það að reikna út sem sagt há af enn mínus ká er aðeins flóknara Þá notum við þarna það sem við
töluðum um í fyrsta
í fyrstu vikunni hvernig vörpun
að breytast enn er hins vegar fasti Enn gæti til dæmis ef við erum að reikna út ypsilon af af enn fyrir enn sama sem einn til dæmis að þá værum við að reikna út hérna há af einn mínus ká Og þá sjáum við að við þurfum sem sagt að að spegla um ká
og hliðra um einn Þannig að þannig að
tökum dæmi hérna rétt á eftir En en sem sagt
höfum við þá fáum við merkið há af enn mínus ká
Nú næsta sem við þurfum að gera er að er að margfalda þessi merki saman stak fyrir stak Bara framkvæma þessa þessa margföldun hérna þannig að hvert stak ex af ká
margfaldast við há af enn mínus ká Við getum ímyndað okkur að þetta er nýtt merki gé af ká og við þurfum að reikna það þá út fyrir hvert stak á ká ásnum
En svo þurfum við að að sem sagt að láta summuna ganga yfir ká ásinn Káið
er hérna að summerast frá mínus óendanlegu upp í óendanlegt og við leggjum þá öll stökin í rununni gé af ká saman til þess að fá út útmerkið fyrir fyrir þetta gildi sem við vorum að velja
Og svo þurfum við að endurtaka þetta fyrir fyrr nýtt gildi á enn þetta er svona ítrunar ítrunar ítrunar
prósess
Það er komið að þriðja fyrirlestri og hann fjallar um Fourier raðir á þessum tímapunkti í kúrsinum
þá erum við á svolitlum vegamótum
Niðurstöður úr öðrum kaflanum eru svolítið merkilegar línuleg tíma og kerfi eins og við erum búin að stúdera
í að tala um þessi vegamót það er að segja við munum
skoða af hverju við förum í að skoða Fourier fyrst og förum síðan í Laplace og seta vörpunina seinna í kúrsinum og skýrum það út En það væri möguleiki að snúa þessu við
og það er skýrt út hérna fyrst en svo sem sagt
tökum við fyrir og skiptum svo sem svo oft áður upp umfjölluninni í samfelld og stakræn merki það er að segja Fourier raðir fyrir samfelld merki og Fourier raðir fyrir stakræn merki Og það er kannski best bara á þessum tímapunkti að skýra út svona þessar Fourier varpanir og og sem sagt
eins og sum ykkar kannski áttu áttið ykkur á að við erum búin að læra um kannski Fourier áður í stærðfræði er að Fourier fjallar um tíðni og þetta getur þó skipt við erum þá að
fara á milli
tíðni og
og Fourier raðir raðir þýðir að
framsetningin í tíðni er stakræn og þar af leiðandi getum við talið tíðnirnar þær eru teljanlegar
þær eru ekki svona óendanlegar Það eru Fourier hérna