DavidErikMollberg/kennsluromur huggingface dataset:
Þannig að önnur annað eigingildið er núll komma átta plús núll komma sex sinnum i og hitti eigingildið er núll komma átta mínus núll komma sex sinnum i
Og sjáið þið alltaf þegar við fáum hérna mínus undir rótina í þessari formúlu þá erum við með tvinngild eigingildi
Takið kannski líka eftir því að við fáum alltaf samokatölu sem eigingildi útaf þessu hérna plús mínus þverhlutann
Ókei við ætlum að reikna eiginvigra ég ætla að láta nægja hérna að reikna út fyrir lambda einn er jafnt og núll komma átta plús núll komma sex i
Við reiknum fyrir þetta
Við segjum fylkið mitt er núll komma fimm mínus núll komma átta plús núll komma sex sinnum i
Ég fæ sem sagt úr efri jöfnunni þá fæ ég mínus núll komma þrír mínus núll komma sex sinnum i sinni ex einn búinn að taka hérna saman raunhlutana er jafnt og núll komma sex sinnum ex tveir
Nú ef ég einangra ex einn í þessari jöfnu þá er ég með núll komma sex deilt með þessari tvinntölu þarna
Þetta verður svo mikið sem niðurstaðan verður mínus núll komma fjórir plús núll komma átta i sisvona
Og sjáið þið þetta á að vera já sinnum ex tveir þannig ex einn er svona miðað við ex tvo
Neðri jafnan gefur okkur að núll komma sjötíu og fimm sinnum ex einn á að vera jafnt og einn komma einn mínus núll komma átta sem sagt núll komma þrír í plús  og svo mínus núll komma sex i sinnum ex tveir
Og já ókei nú er ég að kalla þetta ex einn og ex tveir við skulum breyta hérna þetta hér er ex einn og ex tveir bara svo það sé samræmi við það sem kemur á eftir
Ég ætla að einangra aftur ex einn hérna í þessari jöfnu
Fæ ég núll komma þrír mínus núll komma sex i deilt með núll komma sjötíu og fimm það er öllu auðveldara en reikningurinn hérna fyrir ofan
Ég fæ svo mikið sem mínus núll komma fjórir plús núll komma átta i
Þannig að þá passar þetta hérna við þetta það er þessi sinnum ex tveir
Þannig að þetta er að gefa mér sama sambandið þessar tvær jöfnur hérna
Lambda einn er þá núll komma átta plús núll komma sex i og lambda tveir er núll komma átta mínus núll komma sex i sisvona
Númeraröðin á þessu er svona
Þannig að pé einn er nú þegar ég læt ex tvo vera einn þá þarf ex einn að vera þessi tala hérna mínus núll komma fjórir plús núll komma átta i
Við skulum færa hana aðeins til hérna svo hann verði fínni
Nú ég gæti líka valið til að vinna með heiltölur að kalla þetta frekar pé einn er jafnt og UNK margfalda með lengja með fimm þá fæ ég mínus tveir plús fjórir i og fimm hérna sisvona
Og nú gæti ég prufað að reikna a pé einn og sé að gefur mér akkúrat lambda pé einn
Og svo á algerlega tilsvarandi hátt þá getum við fundið pé tvo
En við skulum prufa að byrja að reikna bara þetta hér við segjum bara pé einn tvo finnum bara á algjörlega tilsvarandi hátt ég ætla ekki að fara yfir þá útreikninga hér
Prufum að reikna a pé einn
Þá er ég að reikna sem sagt a fylkið mitt það birtist hér sinnum pé einn vigurinn minn mínus tveir plús fjórir i og fimm og ég reikna út úr þessu þá fæ ég svo mikið sem mínus fjórir plús tveir i og fjórir plús þrír i
Nú er þetta það sama og lambda einn sinnum pé einn Til að reik reikna finna út úr því þá þurfum við eiginlega bara að reikna það út
Það er ekki svo auðvelt að taka hérna út fyrir sviga eins og það var
Þannig ég segi lambda einn er núll komma átta plús núll komma sex i
Þá fæ ég mínus fjórir plús tveir i fjórir plús þrír i sem er akkúrat það sama og a pé einn
Ókei við skulum spjalla svolítið um línuleg jöfnuhneppi þegar við erum með línulegt jöfnuhneppi þá erum við með eina eða fleiri línulegar jöfnur
og þessar jöfnur hafa einhverjar sameiginlegar breytur og jöfnunar eiga allar að vera uppfylltar á sama tíma
Nú í skilgreiningunni á línulegu jöfnuhneppi kemur þetta fyrir línuleg jafna Þannig að við þurfum að vita hvað það er
Línuleg jafna þar sem að breytunar getum kallaðar x einn x tveir upp í x n það er semsagt n stykki af breytum
Það er þá jafna sem ég get skrifað sem einhver fasti a einn sinnum breytan fyrsta breytan plús einhver fasti sinnum önnur breyta og svo framvegis
plús einhver fasti a n sinnum x n er jafnt og fasti
a einn a tveir a uppi í a n og b þetta eru allt einhverja rauntölur jafnvel gætu verið tvinntölur við skulum skoða það betur seinna
þetta eru einhverjir stuðlar þetta eru þekktar tölur
Og til að tákna að þetta séu rauntölur þá segjum við hérna er stak í menginu rauntölur
Nú við skulum skoða bara dæmi um hvernig
línuleg jafna gæti litið út
og annað dæmi gæti verið
Rótin af tveimur sinnum x einn plús pí sinnum x tveir er jafnt og núll Þetta er annað dæmi um línulega jöfnu
Hérna einhver fasti sinnum breytan plús einhver fasti sinnum breytan
Dæmi um eitthvað sem er ekki línuleg jafna væri til dæmis
og sem við köllum þá ólínulega jöfnu væri þá til dæmis segjum fjórir x einn
plús x einn sinnum x tveir er jafnt og fimm
sjáðu þess að ég margfalda saman x einn og x tveir hérna þá er ég ekki lengur með línulega jöfnu ég er með ólínulega jöfnu
Ókei fleiri dæmi um ólínulegar jöfnur það gæti verið ég er með rótina af x plús ypsilon er jafnt og tveir
Þessi er ólínuleg vegna þess að hérna er sínus af ypsilon í jöfnunni
Þetta gæti verið til dæmis
einn á móti x plús ypsilon er jafnt og þrír
Þetta er dæmi um ólínlega jöfnu lengjum þetta hérna vegna þess að ég er með einn á móti x þannig að þetta er ekki lengur línuleg jafna
Eða þetta gæti verið annars stigs margliða eins og við höfum svo oft séð
Þetta er ólínuleg jafna vegna þess að hér er ég með x sinnum x
Ókei við ætlum nú að snúa okkur að því að finna lausn á jöfnuhneppi Og hvað þýðir það eiginlega þegar maður segir ég ætla að finna lausn á jöfnuhneppi
Það þýðir að maður ætli að finna eitthvað gildi á breytunum þannig að jöfnunar séu uppfylltar og þær séu allar uppfylltar á sama tíma
Og við skulum skoða nokkur dæmi til að sjá hvernig við gerum þetta
Byrjum á einföldu dæmi hérna Segjum að ég sé með tvær jöfnur
ég er með x einn mínus x tveir er jafnt og einn
Þetta jöfnuhneppi
hefur lausn
x einn er jafnt og núll
Fyrirgefðu x einn er jafnt og mínus einn
og x tveir er jafnt og mínus tveir
við segjum mínus einn mínus mínus tveir það gefa mér einn þannig að þessi jafna er uppfyllt
og mínus einn mínus tvisvar sinnum mínus tveir Þetta verður fjórir mínus einn það eru þrír og þessi jafna er uppfyllt
þetta er eina lausnin
þetta hefur ekki lausnina
ef við segjum x einn er núll og x tveir er mínus einn þá getum við sagt þetta er ekki lausn
Hvernig sjáum við það Nú aftur með innsetningu segjum núll mínus mínus einn það er einn
þannig að ókei fyrsta jafnan er uppfyllt
Svo setjum við inn í næstu jöfnu fyrir neðan þá segjum við núll mínus tvisvar sinnum mínus einn
það verður tveir sem er ekki jafnt og þrír þannig að jafnan hér er ekki uppfyllt
Þetta er ekki lausn
Nú eitt af því sem við ætlum að gera við ætlum að prufa að skoða þetta líka svolítið
Hérna einangraði ég x einn í báðum jöfnunum Þá get ég skoðað þetta hérna Þetta er þá lína með hallatölu einn
og skurðpunkturinn við ypsilon ásinnn er einn sem stuðullinn hérna af x tveir gefur mér hallatöluna
Ókei hérna erum við með þær hérna er ég með
með látum okkur sjá
þessi lína hérna Þetta r línan ég fer einn út og tvo upp hallatalan er tveir og ég fer í gegnum ypsion jafnt og þrír hérna
og hérna er hin línan og þær skerast akkúrat í þessum hérna punkti og hvaða punktur er þetta Þetta er mínus tveir komma mínus einn Þetta sögðum við hérna fyrir ofan
að lausnin er mínus einn komma mínus tveir
þegar við hugsum þetta svona við erum með tvær jöfnur með tveimur óþekktum Við getum hugsað þær sem línur
þá sjáum við að það eru nokkrir möguleikar á hvernig lausnin gæti verið
Ef ég er með tvær línur þá annaðhvort skerast þær svona í punkti
algjörlega samsíða og ekki sama línan þá skerast þær aldrei Þá hefur jöfnuhneppið enga lausn
Það eru óendanlega margar lausnir
við skulum skoða þetta betur með að kíkja á dæmi Segjum að ég sé með hérna tvær jöfnur ég er með ypsilon mínus x er jafnt og einn og ypsilon mínus x jafnt og mínus einn
Ef ég leysi þessar tvær jöfnur segi ég ókei ein leið til að leysa þær án þess að setja upp í jöfnuhneppi eða upp í fylki eða þannig þá bara leysi ég þetta með að segja ég ætla að draga hérna neðri jöfnuna frá hinni
ef ég fæ y mínus y það er núll
og svo einn mínus mínus einn það eru tveir
þannig að ég fæ núll er jafnt og tveir sem er mótsögn
Þar af leiðandi getur þetta jöfnuhneppi ekki haft neina lausn
Nú ef við skoðum hvað við erum með hérna þegar við skoðum þetta sem línu þá get ég skrifað þetta sem ypsilon ef ég einangra ypsilon í jöfnunum þá fæ ég x plús einn og ypsilon er jafnt og x mínus einn Við sjáum að hallatalan er sú sama í báðum línunum en skurðpunktur við ypsilon ás er sitthvor
Þannig að ég er með eina línu sem að fer í gegnum mínus einn og eina línu sem fer í gegnum einn hérna en þær halla eins
hallatalan er einn
Þær munu aldrei skerast Þess vegna hefur þetta jöfnuhneppi enga lausn
Hérna fáum við gefnar tvær jöfnur og ég ætla bara að fara að vinda mér beint í að leysa þær ég ætla að taka neðri jöfnuna og leggja hana við þessa efri þannig að x einn mínus x einn það er núll
og svo fæ ég hægra megin mínus einn plús einn sem er líka núll Ókei núll er jafnt og núll það er allavega alltaf satt og alveg sama hvað x einn og x tveir er þá eru þessar tvær jöfnur
uppfylltar á sama tíma
Það að núll sé jafnt og núll er uppfyllt fyrir hvaða x einn og x tveir Prufum aðeins að sjá hvað við erum með hérna ef ég umskrifa aðeins jöfnurnar mínar þá er ég staddur hérna
x einn er jafn og tveir x tveir mínus einn ég einangra x einn í báðum jöfnunum og í neðri jöfnunni stendur x einn er jafnt og tveir x tveir mínus einn Við erum með sömu línuna það eru óendanlega margar lausnir þannig að það þýðir ekkert endilega Það þýðir ekki að það séu x einn og x tveir mega vera hvað sem er
það þýðir bara að svo lengi sem að önnur jafnan er uppfyllt þá er hin uppfyllt líka
Þetta er semsagt sama línan
og alltaf þegar ég er á þessari línu þá er ég með lausn á jöfnuhneppinu Það eru óendanlega margar lausnir
Við skulum taka saman þetta sem við erum búin að taka hvað eru margar lausnir á jöfnuhneppi
Línuleg jöfnuhneppi hafa annaðhvort enga lausn nákvæmlega eina lausn eða óendanlega margar lausnir og við sjáum dæmi um þetta þar sem að við vorum með tvær jöfnur með tveimur óþekktum en þetta gildir almennt alveg sama hvað við erum með stórt jöfnuhneppi enda eru línuleg jöfnuhneppi af hvaða stærð sem er
og á ensku heitir þetta inconsistent Aftur á móti ef það er til lausn annaðhvort er það ein þá eða óendanlega margar en í þeim tilfellum sem er til einhver lausn þá kölluðum við jöfnuhneppið okkar samkvæmt
Á ensku heitir þetta consistent
Ókei ég ætla að prufa sýna ykkur eitt dæmi
dæmi sem að mörg ykkar hafa örugglega leyst marg oft
segjum að við séum með x í öðru er jafnt og fjórir og ég ætla að finna allar lausnir á þessu
Ókei hvað eru margar lausnir til Nú það eru til nákvæmlega tvær lausnir
Ókei hérna fyrir ofan var ég að segja Ef það er til lausn þá er annaðhvort til bara ein lausn eða óendanlega margar lausnir en þessi jafna hér hún hefur tvær lausnir nákvæmlega tvær
Og þá getur maður spurt sig Ókei er þetta einhver mótsögn við það sem stendur hérna fyrir ofan Og svarið er nei vegna þess að lykillinn er forsendan fyrir þetta gildi er að við séum með línulegt jöfnuhneppi og þetta hér er ekki línuleg jafna
Þannig að þetta þessi hérna þetta sem ég setti upp að það sé þessi skilyrði hérna
Þetta gildir bara fyrir línuleg jöfnuhneppi þannig að engin mótsögn hér
Ókei þannig að ef við erum með línulegt jöfnuhneppi þá erum við annaðhvort með enga lausn nákvæmlega eina lausn eða óendanlega margar lausnir það eru þessir þrír möguleikar og svo eru þessir nýju orð hérna sem við þurfum að kunna segjum þetta gott í bili með þetta
Þá er það lausnarmengi línulegra jöfnuhneppa Við ætlum að byrja á að skipta þessu upp í óhliðruð og hliðruð jöfnuheppi og þurfum að skilgreina hvað það þýðir
Línulegt jöfnuhneppi kallast óhliðrað ef það er hægt að rita það á þessu formi hérna a x er jafnt og núll sem sagt ef hægri hliðin við jöfnuhneppið er núll
er að það er alltaf til lausn
Þannig að ef ég segi a sinnum núll
þá fæ ég núll þannig að x jafnt og núll er sannarlega lausn
Af því að þetta er augljóst af köllum við þetta augljósu lausnina á ensku trivial solution
X jafnt og núll
köllum við augljósu lausnina
og þegar ég segi þetta
að a x jafnt og núll hafi alltaf lausn
þá er ég að segja alveg sama hvað fylkið a er þá er til lausn nefnilega x jafnt og núll Nú
spurningin er núna áhugaverða spurningin er hvenær eru aðrar lausnir en x jafnt og núll
Við vitum almennt með jöfnuhneppi að það er engin lausn akkúrat ein lausn eða óendanlega margar lausnir þannig að ef það eru til aðrar lausnir en x jafnt og núll þá vitum við það eru óendanlega margar lausnir
og þá getum við bara nýtt okkur það sem við vitum um jöfnuhneppi almennt að til þess að það séu til óendanlega margar lausnir þá þarf
jöfnuhneppið að hafa frjálsa breytu
Þannig að við gerum eins og venjulega Við ryðjum fylkið við sjáum hvort það er frjáls breyta og þá erum við getum við séð hvort það eru aðrar lausnir en x jafnt og núll
Hérna erum við komin með jöfnuhneppi við byrjum á að skrifa upp aukið fylki
og takið eftir því ég tek núll li hérna dálkinn með hérna hægri hliðina þó það sé í raun og veru ekki nauðsynlegt Þegar ég fer að gera Gaus eyðinguna og fer að gera mínar venjulegu einföldu línu aðgerðir
þessum dálki afsakið En gerum nú nokkrar vel valdar
fylki sem lítur svona út
Við sjáum hér ég með vendidálk og hérna er hérna vendi stuðull og vendi stuðull þannig að þetta tveir eru vendi dálkar
en þessi hér er ekki vendi dálkur þannig að hér er frjáls breyta
Þannig að á þessu jöfnuhneppi sem ég byrjaði með
Ef við hugsum um þetta sem jöfnuhneppið a x er jafnt og núll þá er x hjá okkur
ja við byrjum á að skrifa upp fyrstu jöfnuna hérna
við erum með x einn mínus fjórir þriðju x þrír eru jafnt og núll
við erum með x tveir er jafnt og núll og x þrír er frjáls
Þannig að ég einangra x einn hérna ég ætla að skrifa upp vigur sem er x einn x tveir x þrír vigurinn minn
þá er ég með fjórir þriðju x þrír sjáið ég einangra x einn hérna ég er með núll í sæti fyrir x tvo og x þrír má vera hvað sem er ég kalla það bara x þrír þannig að við getum skrifað þetta sem margfeldi af breytunni x þrír svona
Þetta er hérna lína
í gegnum til dæmis punktinn núll komma núll komma núll ef ég læt x á að vera núll
og þetta sem hér er komin með hérna
þetta köllum við stikajöfnu línu og við ætlum að tala betur um það í öðru myndbandi þetta er á ensku parametric ve vektor equation Áður en við gerum það þá skulum við skoða fleiri dæmi um um þetta efni
Við byrjuðum á að skilgreina hvað óhliðrað jöfnuhneppi er og nú skulum við tala um hliðruð jöfnuhneppi það eru jöfnuhneppi a x jafnt og b þar sem að hægri hliðin er ekki núll
er x jafnt og núll lausn
Sama og áðan að x jafnt og núll er alltaf lausn á óhliðruðu jöfnuhneppi gáum hvort það sé lausn hér Hvað þýðir að það sé lausn Það þýðir að ef ég set það inn í jöfnuna þá á jafnan að vera uppfyllt
En sjáum nú til ef við margfalda a með núll vigrinum þá fæ ég núll vigurinn og það er ekki jafnt og b þannig að svarið er nei
Prufum að taka annað dæmi
Nú ætlum við að finna allar lausnir úr þessu jöfnuhneppi við skulum kalla þetta hérna fylki a og þennan vigur hérna b þá erum við semsagt með
jöfnuhneppi sem að lítur svona út sem er hliðrað vegna þess að b ið hérna er ekki núll
Nú við leysum þetta eins og venjulega með að setja jöfn aukið fylki og Gaus eyða það
og þá fáum við þetta fylki
hér enginn vendi dálkur þannig að þetta er frjáls breyta og við skrifum upp lausnina ég er með x einn mínus fjórir þriðju x þrír er jafnt mínus einn
ég er með x tveir er jafnt og tveir og ég er með x þrír er frjáls breyta
og ég skrifa lausnarvigurinn minn
sem lítur svona út
Við erum með fjórir þriðju x þrír mínus einn tveir og x þrír
Í þessari jöfnu er x þrír bara einhver fasti þannig að við getum skrifað x þrír er rauntölur stundum kallar maður þetta líka eitthvað annað kallar þetta t eða s eða eitthvað slíkt
Ókei en hvað erum við með hérna Við erum með fasta margfeldi af þessum vigri við vitum að það er lína svo legg ég við einn vigur hérna akkúrat bara þennan vigur Og þá er ég hvað er ég þá að gera við línuna mína hérna Ég er að hliðra henni við munum sjá betur hvernig þetta virkar þegar við tölum um stikajöfnu línu
Við erum með stikajöfnu línu sem fer ekki í gegnum núll komma núll komma núll
það sem maður getur líka sagt um þessa lausn er ja
Við leystum þetta hérna jöfnuhneppi og vinstri hliðin í jöfnuhneppinu sem við vorum að leysa er alveg eins nema hægri hliðin er ekki eins Lausnin sem við fengum hér
var fastammargfeldi af vigrinum fjórir þriðju núll og einn
nú lausnin í tilfellinu þar sem við vorum ekki með núll hægra megin heldur sjö mínus einn mínus fjórir gaf okkur líka þennan hérna vigur fasta margfeldi af honum sama vigurinn en svo plús eitthvað meira hérna
Þannig að þetta hér er lausnin á a x jafnt og núll þar sem hið sama a og ég var með í byrjun hérna í a x jafnt og b vandamálinu mínu og þetta hér er bara einhver punktur á línunni
Við skoðuðum stikajöfnu plans og línu í öðru myndbandi en nú skulum við skoða tvö dæmi hérna í viðbót
Segjum að við séum bara með eina jöfnu eina línulega jöfnu þetta er jafna plans af því að við erum með þrjár breytur þarna
Ókei þetta er jafna plans og ég ætla að umskrifa hana aðeins
Ókei svo get ég hugsað ókei hver er lausnin
Eins og ég skrifa upp lausnina eins og ég gerði áðan
það er x hérna
það er a fyrirgefið þið ég fæ
x einn peninn aðeins að stríða mér x einn x tveir x þrír
X einn er þrír tíundi x tveir plús einn fimmti x þrír og x tveir og x þrír eru bara frjálsar breytur
Ókei þegar ég skrifa þetta upp svona
þá erum við með spanið af þessum tveimur vigrum spanið af vigrinum þrír tíundu einn og núll og einn fimmti núll og einn Athugið x tveir og x þrír eru frjálsar breytur
Þannig ég er með allar mögulegar línulegar samantektir af þessum tveimur vigrum hérna sem ég get kallað u og v
ég er semsagt með plan
og það sem við erum með hérna þessi jafna x er jafnt og
u sinnum x einn plús v sinnum x tveir þetta köllum við stikajöfnu plansins Línuleg samantekt á þessum tveimur vigrum er sem sagt plan sem þessir hérna plan sem þessir tveir vigrar spanna
Prufum að taka eitt annað dæmi
Og prufum að taka dæmi þar sem við erum ekki með hægri hliðina jafnt núll
Gerum alveg eins og við gerðum í í dæminu á undan við segjum ókei x er x einn x tveir x þrír
ég einangra x í jöfnuni hérna ég fæ þrír x tveir mínus tveir x þrír mínus einn x tveir og x þrír eru frjálsa breytur
og svo skrifa ég þetta upp þetta eru þrír einn núll sinnum x tveir
Þetta er mínus tveir núll og einn sinnum x þrír og svo þarf ég að bæta við til að fá þetta stak hérna
Vigrinum mínus einn núll og núll
Ókei aftur er ég hérna með stika jöfnu plans sjáið þetta er bara önnur leið til að skrifa þetta hér Þetta hérna köllum við svona almennu jöfnuna standard equation og þetta hérna köllum við stikatöfluna eða vektor parametric equation Aftur er ég með línulega samantekt af tveimur vigrum
það er að segja þessum hérna tveimur vigrum
sem er spannað af þessum tveimur vigrum
og svo legg ég þennan hérna við hvað er ég að gera við planið mitt Ég er að hliðra því
en ég tek það og ég hliðra því í einhverja átt hérna hliðra því um mínus einn á x ásnum en ekkert á y og z ás eða ekkert á x ásunum x tveir og x þrír
Þetta með stika jöfnu tökum við sérstaklega fyrir í öðru myndbandi segjum þetta gott í bili
Við skulum spjalla aðeins um vigra eða vektora Þegar við erum með vigur í r í enta Þá erum við með raðaða n und af rauntölum Við skulum taka dæmi
til dæmis ef við erum með einhvern vigur x og hanner í er í öðru
þá gæti það verið til dæmis vigurinn x einn x tveir
dæmið með tölum vigurinn einn sjö
Þá gæti það til dæmis verið vigurinn núll núll einn Þetta er vigur er í þriðja Annað dæmi myndi vera
UNK sama sem vinnan
Vigurinn einn tveir þrír
Þetta er vigur í r í þriðja
Nú við segjum að tveir vigrar séu sami vigurinn ef að öll stökin í sumum sætum eru þau sömu Skrifum þetta niður
Vigrarnir x og ypsilon eru sami vigurinn Sem sagt við skrifum x sem jafnt og y Þá er því
Þá er því aðeins að x y er jafnt og ypsilon y fyrir öll y í frá einum og upp í n í einstaka vigri Við skulum sjá dæmi
Vigurinn einn tveir eru svo sami vigurinn einn tveir En aftur
summa vigrana x og ypsilon er skilgreint til að vera x plús ypsilon
x einn plús ypsilon einn í fyrsta staki og x tveir plús ypsilon tveir í öðru staki
Ef við erum með vigur x í enta í r enta þá er algerlega tilsvarandi skilgreining á summunni
Nú ef við erum með margfeldi ef við erum með einhverja tölu c sem er rauntala og við erum að margfalda vigurinn x með tölunni c Þá er það sama við margföldum x með tölunni c í þessari röð
Og þetta er nákvæmlega c sinnum x einn og c sinnum x tveir sem sagt öll stökin í vigrunni eru margfölduð með tölunni
ef ég legg saman vigurinn einn tveir og mínus einn núll
Þá fæ ég vigurinn einn mínus einn og tveir plús núll
sem sagt núll tveir vigurinn
Eigum við að taka vigur vigra í r í fjórða til dæmis
Þá er ég með vigurinn einn núll tveir mínus einn og legg því vigurinn tveir einn
þrír mínus fimm
Þá fæ ég vigurinn núll plús tveir einn plús einn
tveir tveir fimm og mínus sex sísvona
Nú ef við tækjum vigur eigum við að taka vigur r í þriðja og margfalda með tölu c Segjum að við tökum til dæmis
vigurinn þrír mínus einn komma fimm og fjórir
og margföldum hann með mínus tveimur með tölunni mínus tveir Nú þá fáum við
mínus tveir sinnum þrír sem eru mínus sex fáum mínus tveir sinnum mínus einn komma fimm sem eru þrír
og við fáum mínus tveir sinnum fjórir sem eru mínus átta
Þetta er dálkavigur þetta er einn dálkur í vigrinum og stærðin á honum er tvisvar sinnum einn Muniði regluna línur svo dálkar l s d Maður telur fyrsta það eru ein tvær línur og það er einn dálkur þá er það tvisvar sinnum einn vigur
Nú þetta er ekki það sama og ef við skrifum x einn x tveir sísvona vegna þess að þetta er línuvigur
Og stærðin á honum er ekki sú sama Í þessum vigri er ein lína en tveir dálkar þannig að stærðin er einu sinni tveir
Og bara til að alveg það komi skýrt fram
x einn x tveir
er það sama og x einn x tveir Hljómar eins og það sé það sama en eitt er dálkavigur og sé er línuvigur
Nú við skulum aðeins tala um hvernig við getum
skoðað vigrana rúmfræðilega Tökum bara til að byrja með vigra í r í öðru
Nú þá getum við skoðað vigurinn
Segjum að hér sé a hér sé b
Þá getum við skoðað vigurinn a b
sem punktinn a komma b sem er þessi hérna eða sem svona línur frá a til b jafnvel með svona ör setjum örina hérna og þá erum við að tilgreina einhverja stefnu
Og sjáiði ef ég fer a á x ásnum og b af ypsilon ásnum
Nú valdi ég að láta þennan hérna vigur byrja í núll komma núll Þá er ég að teikna stöðuvigur þessa vigurs
Við skulum skrifa bara frá núll komma núll sem punkt
til a komma b
en svona vigur hann getur í raun og veru byrjað hvar sem er þar sem þessar hérna upplýsingar gefa okkur a b segja bara hvað við erum að fara í hvaða stefnu við erum að fara og hvað við erum að fara langt
Þannig að allt eins gæti ég tekið þennan vigur og teiknað hann til dæmis hér Segjum að þetta sé
mínus b og hérna er áfram a og hérna er áfram a þannig að ég fer a út og b niður
Semsagt þa vigur hefur stefnu og hann hefur lengd ö Ja lengd vigursins táknum við með svona hérna tölugildi í kring
Hún er skilgreind til að vera að í öðru plús b í öðru og rótin af því er bara Pýþagóras Nú við höfum nokkrar leiðir til að
nú við getum skrifað þetta hérna margfeldi
eða depilfeldi
Við getum líka skrifað þetta sem
margfeldið af X bilt við x
Þá er þetta hérna bara venjulegt margfeldi og hvað þýðir að ég bylti vigrum x þá skipti ég í öllum línum í dálka Þannig að í raun og veru er x bylt myndi vera vigurinn a b Nú þetta er nú bara aðeins svona sidenote við komum að þessu betur seinna bæði í innfeldinu og þegar við byltum vigrum
Ókei við ætlum að sjá myndrænt hvernig sumar tveggja vigra er
Hérna erum við komin með mynd af tveimur u vigrum u og v og nú ætla ég að leggja þá saman Þá getum við sagt ég
Þá getum við sagt ég tek þetta hérna vigur v og færi hann hingað
Þá er summan ef ég nota
Og við sjáum hérna að við myndum fá nákvæmlega sama ef við myndum færa u og láta hann byrja hér
Nú prufum þetta fyrir eitthvað fyrir ákveðna vigra u og v Tökum til dæmis vigurinn u er jafnt og þrír einn og v og er jafnt og einn tveir
Þá er til dæmis u plús v
vigurinn þrír plús einn og einn plús tveir sem sagt vigurinn fjórir þrír
segjum að þetta sé skalinn minn Þá teiknaði ég vigurinn u er þrír einn hann er hérna