DavidErikMollberg/kennsluromur huggingface dataset:
Og svo ef ég ætlaði að reikna svo getum við haldið áfram reiknað ex þrjá þá þarf ég að reikna a sinnum ex tveir og til að reikna eigum við að segja til að reikna ex hundrað UNK reikna a sinnum ex níutíu og níu og til að reikna ex níutíu og níu þá þarf ég að reikna ex níutíu og átta og allar þar á undan
Sjáið ef við viljum vita hvað gerist almennt þegar ká er að stækka þá er þetta svolítið seinleg aðferð að vera margfalt þetta saman aftur og aftur og aftur
Ókei hér koma aftur eigingildi og eiginvigranir sterkt inn
Við skrifum hjá okkur
Við reiknum eigingildin með að reikna þessa ákveðu finna rætur hennar
Hérna er sjáum við ekki bara út þannig að við þurfum að nota hérna formúluna lambda er jafnt og mínus b plús einn komma níu tveir plús mínus rótin af einn komma níu tveir í öðru mínus fjórum sinnum einn sinnum núll komma níu tveir
Og við fáum út annars vegar erum við með einn og hins vegar erum við með núll komma níu tvo þetta er eigingildin mín Lambda einn er einn en lambda tveir er núll komma níu tveir
Nú svo förum við í að reikna eiginvigrana
Hérna ég leyfi ykkur að eiga útreikningana á því
Nú þessir eiginvigrar eru greinilega línulega óháðir eigingildin eru mismunandi og við sjáum líka á þeim tiltölulega létt að þeir séu línulega óháðir
Og af því að þeir eru línulega óháðir og við erum með tvo vigra í r í öðru
Nú þá spanna þessir tveir vigrar allt planið
Allt r í öðru
Pé einn og pé tveir eru línulega óháðir og spanna þá allt r í öðru
Nú ef þeir spanna allt í öðru í öðru það þýðir að ég get búið til hvaða vigur sem er úr sem línulega samantekt á þessum tveimur vigrum
Munið ex núll er vigurinn sem við hérna gefur okkur einhvers konar byrjunarskilyrði í kerfinu okkar
Nú ætla ég að nota þessa jöfnu til að finna sé einn og sé tvo
Ókei ég segi sem sagt Vigurinn minn ex núll hann er jafnt og ég ætla að skrifa þetta upp sem fylkjajöfnu í staðinn pé einn pé tveir í dálkavigurinn hérna úr einhverju fylki sinnum sé einn sé tveir
Þetta gefur mér það sama sem sagt línuleg samantekt af dálkavigrunum
Nei sé einn og sé tveir í þessu
Þá fæ ég fylkið mitt pé einn pé tveir í mínus fyrsta margfaldað við ex núll Athugið við erum að margfalda hérna frá vinstri bæði megin nei frá hægri báðu megin
Já frá vinstri afsakið
Ókei reiknum nú út úr þessu finnum hvað sé einn og sé tveir eru
Sé einn sé tveir er jafnt og fylkið mitt pé í mínus fyrsta fylkið mitt pé var mínus þrír einn fimm og mínus einn
Ég ætla að hafa það í mínus fyrsta sinnum vigurinn minn ex núll núll komma sex og núll komma fjórir sem var gefinn í byrjun
UNK einn á móti mínus átta og andhverfan þá skipti ég um á þessum tveimur stökum og set UNK í mínus
Þannig að ákvæðan andhverfan lítur bara svona út og svo margfalda ég hérna með þessum vigri og fæ út að sé einn er núll komma einn tveir fimm og sé tveir er núll komma tveir tveir fimm sisvona
Öll ex káin þar á undan
Ég skrifa ex ká
Nú það er við skulum byrja á að skrifa bara hvað ex núll ex einn er og reyna að sjá hvort við sjáum eitthvað munstur
Ex einn nú það er a sinnum ex núll
Við vitum það Ókei ex núll það get ég skrifað sem línulega samantekt af vigrunum pé einn og pé tveir með
Þannig ég er sem sagt með a sinnum sé einn pé einn plús sé tveir pé tveir
Nú veit ég að pé einn og pé tveir eru eiginvigrar fyrir fylkið a þannig að þetta er það sama og að segja að sé einn sinnum lambda einn sinnum pé einn plús sé tveir sinnum lambda tveir pé tveir og sé einn og sé tveir eru eitthvað sem við þekkjum og lambda er eitthvað sem við þekkjum og péin eru líka eitthvað sem við þekkjum
Prufum að kíkja á næsta sem sagt á ex tvo
A sinnum sé einn lambda einn pé einn plús sé tveir lambda tveir pé tveir og svo margfalda ég lið fyrir lið og tek viðeigandi tölur út fyrir sviga
Og a pé einn er lambda einn pé einn
Sé einn lambda einn í öðru pé einn plús sé tveir a pé tveir er lambda tveir pé tveir þannig að ég fæ sé tveir og lambda tveir í öðru sinnum pé tveir sisvona
Og svona get ég haldið áfram og haldið áfram þangað til að ég sé hvert munstrið er Það er hægt að sýna að ex ká nú það er sé einn sinnum lambda einn í veldinu ká sinnum pé einn plús sé tveir sinnum lambda tveir í veldinu k sinnum pé tveir sé svona
Ókei lambda in þekkjum við og sé einn og sé tvo erum líka búnir að finna í okkar tilfelli
Þannig að hér í þessu dæmi er ex ká lambda einn var einn þannig að einn í veldinu ká verður bara einn
Og ég er með sé einn sinnum vigurinn pé einn
Skrifum það bara skrifum bara pé einn
Og skrifum inn hver talan sé einn var hún var núll komma einn tveir fimm sinnum pé einn plús sé tveir núll komma tveir tveir fimm sinnum lambda tveir sem var núll komma níu tveir í veldinu ká sinnum pé tveir sisvona
Nú sjáum við að við erum með tölu hérna núll komma níu tveir í veldinu ká
Hvað gerist með þessa tölu þegar þegar veldið ká stefnir á óendanlegt
Nú hún stefnir á núll
Sem sagt núll komma þrír sjö fimm og núll komma sex tveir fimm
Þannig kerfið mitt nær einhvers konar jafnvægi eftir sem ká stækkar og stækkar og stækkar og það stefnir á að vera akkúrat þetta hérna gildi eftir því sem ká verður stærra og stærra gildi
Hérna eigingildin og eiginvigrarnir hjálpuðu okkur þarna að greina hvað formúlan hvað er að gerast eftir því sem ká stækkar Það getur verið eftir sem tíminn líður eða eitthvað slíkt
Ókei við segjum þetta gott í bili um eigingildi og hornalínugerninga
Á ensku heitir þetta eigenvalue og eigenvector
Við erum að fara að leita eiginvektor eða eiginvigri fyrir eitthvað fylki a
Og svona eiginvektor
Það eru einhver vigur ex sem er þannig að því að margfalda a með ex þá fæ ég nýjan vigur
Þannig að vigur ex þannig að a ex er samsíða ex
Með öðrum orðum það er til tala við skulum kalla hana lambda hún alltaf kölluð lambda þannig að a sinnum ex sitthvað fasta margfeldi af ex
Það þýðir að þeir séu samsíða
Þessi tala hérna landa er þá kölluð eigingildi a
UNK lambda er eigingildi a
Ex er eiginvektor eða eiginvigur
Ókei nú er mikilvægt að þessi hérna jafna þarf að vera uppfyllt þannig að ex og lambda koma alltaf í svona pörum
Maður segir að ex lambda sé eigingildi a með tilsvarandi eiginvigur a eiginvigur ex fyrirgefðu
Við erum búin að skrifa þetta hérna sem sagt eitthvað lambda eitthvað ex þannig að þessi hérna jafna sé uppfyllt
Nú prufum bara að skoða dæmi
Prufum fyrst að sjá hvort við getum séð út hvað eiginvigurinn fyrir eitthvað fylki er
Prufa hérna með einfalt dæmi
Segjum að við séum með fylkið a sem er fylkið núll einn einn núll
UNK þetta er fylki sem er þannig að það virkar á vigurinn ex og eigum við að segja að þetta sé vigurinn ex einn ex tveir
Þá fæ ég út vigurinn ex tveir ex einn
Ókei getum við látið okkur detta í hug einhver vigur ex einn ex tveir sem er þannig að hér kemur út eitthvað fasta margfeldi af því sem kom inn
Ja við getum til dæmis tekið bara einfaldan vigur vigurinn einn einn
Þá er a sinnum einn einn vigurinn nú það verður aftur bara einn einn
Og það er náttúrlega einu sinni vigurinn sem við settum inn
Við getum sagt að við setjum þetta inn í jöfnuna eða það sem við látum a virka á
Þannig að sem sagt einn einn er eiginvektor a og tilsvarandi eigingildi er einn lambda jafnt og einn
Og sjáið ég er að reyna að leysa með störun við fáum betri rútínu aðeins seinna
Ókei hvað með hvað segið þið vigurinn mínus einni einn
Munið a hann skiptir um á stökunum þannig ég fæ mínus einn ég fæ einn og mínus einn afsakið
Ókei það er sannarlega ekki þessi vigur en hann er samsíða þessum hérna vegna þess að ef ég tek mínus einn út fyrir sviga þá stendur mínus einn og einn sami vigurinn
Sem sagt fundum við hinn
Við segjum a hefur eigingildi mínus einn með tilsvarandi eiginvigur mínus einn einn
Ókei nú sjáum við að öll möguleg fastamargfeldi af þessum vigri myndu líka virka og öll möguleg fastamargfeldi af þessum hérna vigri myndu líka virka
Ef ég tek vigurinn tveir tveir
Og hvaða fasta margfeldi sem er af þessu vigri myndi virka
En við tilgreinum bara eitthvert einhvern vigur sem er þannig að hlutfallið milli ex og ypsilon eða fyrsta staks og annars staks séu rétt
Ókei nú er ég með tvisvar tveir fylki a þá veit ég að það eru til tvö eigingildi og tveir eiginvigrar
Ókei enn sinnum enn fylki hefur enn eigingildi og enn eiginvigra þó þurfa eigingildin ekki öll að vera mismunandi
Við prufum að sjá aðeins dæmi um þetta á eftir
Við höldum aðeins áfram
Ókei ég sagði sem sagt að þessi jafna ætti að vera uppfyllt a sinnum ex jafnt og lambda sinnum ex
Nú er ein augljós lausn á þessari jöfnu það er ef a er ex er jafnt og núll fyrirgefið
Þetta er núllvigurinn þá stendur a sinnum núllvigurinn það er núllvigurinn og fasti sinnum núllvigurinn það er núllvigurinn
Ókei eiginildin mega hins vegar alveg vera núll
Það er ekkert því til fyrirstöðu
Nú hvað gildir eiginlega um ex ef að við erum með eigingildi núll
Þá stendur a sinnum ex er núll sinnum ex og núll sinnum ex er núllvigurinn
Ókei hvaða vigrar eru þetta sem uppfylla þessa hérna jöfnu þeir þurfa þá að uppfylla jöfnuna a ex er jafnt og núll
Það eru allir vigrar sem eru í núllrúmi a
Ex er í núllrúmi a
Og við kunnum að finna það við leysum jöfnuna við notum við ryðjum bara fylkið a og sjáum hverjar lausnirnar verða
Ein augljós lausn á þessari hérna jöfnu
Sjáið þið við erum bara að tala um akkúrat tilfelli þar sem við erum með eigingildi núll
Skoðum hin tilfellin eftir
Það er ljóst vegna þess að við viljum fá finna eiginvigur sem er ekki núllvigurinn
Ókei hvað þýðir það þá fyrir þessa jöfnu
Það hljóta að vera til fleiri en ein lausn ef þetta á að vera uppfyllt
Munið að ef a var andhverfanlegt þá er því nákvæmlega ein lausn á þessari jöfnu nefnilega a í mínus fyrsta sinnum núll eða bara akkúrat núllvigurinn
Bara til nákvæmlega ein lausn á þessari jöfnu þarna
Þannig að til þess að núllrúmið innihaldi eitthvað annað en núllvigurinn þá þarf fallið nei þá þarf fylkið a að vera ekki anhverfanlegt
Það þarf að vera singular matrix
Ókei við skulum skrifa þetta niður sem hérna staðhæfingu hérna
Ef a er ekki andhverfanlegt þá hefur a eigingildi núll
Þetta gildi raunar í báðar áttir við skulum aðeins lagað þessa setningu
Segjum a er ekki andhverfanlegt þá og því aðeins að a hefur eigingildi núll
Ókei þetta getur verið gagnlegt en sjáið þið þetta er ekkert algengasta tilfellið að eigingildið sé núll
Ókei þannig við ætlum bara að leysa þessa jöfnu a ex jafnt og lambda ex og þar sem a má vera allt mögulegt með eigingildi núll eða ekki núll
Lambda er einhver tala ex er einhver vigur
Ókei það eru tvær óþekktar stærðir í þessu fylki hérna
A er fylkið sem við þekkjum
Ókei við þurfum eitthvað umskrifa þetta
Ég dreg lambda ex frá báðum megin við jafnaðarmerkið
Ég vil ekki taka draga lambda frá í hverri einustu staki ég vil draga það frá bara í hornalínunni
Ókei við sjáum að þetta sé það sama skulum skrá það hérna fyrir neðan
Skulum prufa að skoða þetta bara fyrir tvisvar tveir fylki en athugið að þetta gildir almennt
Þetta eru bara reiknireglur sem við höfum
Maður þarf að æfa sig aðeins í
Ég fæ að a ex einn plús b ex tveir mínus lambda ex einn og ég fæ sé ex einn plús d ex tveir mínus lambda ex tveir UNK svona
Sem ég get umskrifað í a mínus lambda sinnum ex einn plús b ex tveir og í d látum okkur sjá sé
Ég ætla að taka ex einn liðina fyrst plús dé mínus lambda ex tveir sé svona þessi vigur
Þetta get ég umskrifað sem a mínus lambda b sé og dé mínus lambda sinnum ex einn ex tveir sé svona
Ókei ég ætla að draga sem sagt lambda frá hornalínustökunum
Ókei þetta var bara réttlæting á að þetta hérna tvennt sé jafngilt
Við erum sem sagt að fara að leysa þessa jöfnu hérna
Ókei við ætlum að finna lausn sem er ekki núll
Við vitum sem sagt a mínus lambda i verður að vera ekki andhverfanlegt
Ókei þannig það er ekki andhverfanlegt
Það þýðir að ákveðan af a mínus lambda i verður að vera núll til að þetta sé eigingildi
Ókei þá erum við komin að jöfnu hérna sem inniheldur bara lambda og þetta er jafnan sem við notum til að finna eigingildið
Og hvarf það þarna
þarna var það aftur
Þetta er jafnan sem við notum til að finna eigingildin og þessi jafna hérna hún kallast kennijafna
Lausnin á þessari kennijöfnu þær gefa okkur sem sagt eigingildin
Fyrir enn sinnum enn fylki a þá er kennijafnan ennta stigs
Ennta stigs margliða sem hefur enn rætur sem sagt enn lausnir en sumar lausnirnar geta verið sama talan
Ókei prufum að skoða þessa skoða hérna hvernig við notum þetta
Áður en við gerum það þá skulum við segja aðeins um hvernig við ætlum að finna eiginvigrana
Nefnilega þessi hér er fundin og þá getum við fundið þetta hérna bara með að ryðja fylkið a mínus lambda i og finna núll rúmið fyrir þetta fylki hérna a mínus lambda i
UNK núll rúmið er bara allir vigrar sem varpast yfir í núll
Nú við tökum dæmi Ókei hérna erum við með fylki a við ætlum að finna eingildi og eiginvigra
Prufum að skrifar fyrst upp bara a mínus lambda i
Það er þá tveir þrír þrír mínus sex UNK mitt mínus lambda núll núll og lambda
Þetta er einingafylki sinnum lambda
Þetta verður sem sagt tveir mínus lambda þrír þrír og mínus sex mínus lambda
Þið sjáið þessa útreikninga þar maður ekki venjulega að sýna
Ókei svo reiknum við ákveðuna
Svo margfalda ég upp úr svigunum þarna ég fæ lambda í öðru plús fjögur lambda mínus tuttugu og einn og þetta getum við þáttað með því að horfa bara á hvað þetta þáttast upp í
UNK lambda mínus þrír og lambda plús sjö sisvona
Þá sjáum við að ákveðan er núll akkúrat þegar lambda eru þrír eða lambda er mínus sjö Þannig lambda einn jafnt og þrír og lambda tveir jafnt og mínus sjö eru eigingildi
Þannig að við förum í þá vinnu og þá segjum við byrjum hérna á lambda einn jafnt og þrír
Þá segi ég ég ætla að leysa  a mínus þrír sinnum i sinnum ex jafnt og núll
Ég ætla að finna ex í þessari jöfnu
Fæ tveir mínus þrír hérna fæ þrír þrír og mínus sex mínus þrír
Þannig að við sjáum að stakið mitt hér er mínus einn upp í efra horninu
Og stakið hérna er mínus níu
Þannig að smellum því bara hérna inn UNK svona
Ókei svo ætla ég að leysa þessa jöfnu við erum orðin rútíneruð í því
Ég geri eina lauflétta línuaðgerð á þetta
Ég fæ mínus þrír mínus eitt núll mínus einn þrír og núll
Og ég legg þessa þrisvar við neðri línu og fæ núll núll og núll
Þannig að við fáum sem sagt að þetta er vendistuðull hér er frjáls breyta og ex einn er jafnt og þrír ex tveir og ex tveir er frjáls breyta
Sjáið að efsta línan gefur mér mínus ex einn plús þrír ex tveir er jafnt og núll ég var bara búin að snúa henni þarna
Þannig öll möguleg fastamargfeldi af þessum vigri eru lausnir á þessu jöfnuhneppi hérna og þetta hér er þá eiginvigur fylkisins með tilsvarandi eigingildi þrír
Ókei við gætum valið okkur hvaða fastamargfeldi sem er hérna af þessum vigri en nú valdi ég bara þrír og einn
Ókei þetta var lambda einn jafnt og þrír
Þá bregðum við okkur í lambda einn jafnt og mínus sjö
Það ætti að gefa mér fylkið fylkir mitt var tveir og svo leggjum við sjö var þrír og þrír og ég fæ mínus sex og svo leggjum við sjö mínus mínus sjö
Við sjáum að þetta strik verður níu og þetta stak hérna verður einn
Nú við setjum upp aukið fylgi við erum að leysa jöfnuhneppi
Fáum níu þrír núll þrír einn og núll
Þannig að þrisvar sinnum ex einn plús ex tveir eru núll
Vendistuðull frjáls breyta
Þannig að við fáum ef ég set vigurinn minn ex tveir til að vera eigum við að láta ex tvo vera þrjá
Þá þarf ex einn að vera mínus einn hérna
Svarandi til lambda tveir jafnt og mínus sjö sisvona
Ókei munið að við vorum að finna eigingildi og eiginvigur það væri eitthvað sem þyrfti að uppfylla ákveðna jöfnu
Við skulum nú gá við skulum prófa lausnina og sjá hvort að jafnan séu uppfyllt
Það átti sem sagt gilda að a sinnum ex væri jafnt og lambda ex
Nú við prufum a sinnum ex einn það er fylki mitt sinnum vigurinn
Við margföldum saman og fáum vigurinn níu þrír sem er akkúrat þrisvar sinnum vigurinn þrír einn sami vigur hérna og eigingildið mitt er þrír
Og við gerum þetta aftur fyrir ex tveir
Við margföldum þetta saman fáum við mínus sjö og tuttugu og einn sem þetta er vigur minn ex tveir
Þannig akkúrat þetta hérna er það sama og fór inn hér sinnum sjö sem eigindilið mitt
Þannig að við getum alltaf gáð hvort við séum með rétt eigingildi og eiginvigur
Og sjáið þegar þeir koma í pörum sannarlega gildir ekki að ef ég margfalda a með ex einum að ég fái mínus sjö sinnum ex einn
Sjáið ég mixa hérna eigingildum og eiginvigrum
Þeir koma í pörum
Ókei tökum nú eftir öðrum eiginleika sem gildir hérna um eigingildin eiginvigrana
Ég var með eiginvigrana sem sagt eiginvigrana þrír einn og einn mínus þrír
Sem sagt þetta eru tveir hornréttir vigrar
Það gildir núna að ef við erum með mismunandi eigingildi
Í þessu tilfelli vorum við með eigingildin þrír og mínus sjö tvö tvær mismunandi tölur
Nú hérna eru þeir líka hornréttir sem þeir þurfa ekki nauðsynlega að vera
En ástæðan fyrir að þeir eru hornréttir er að akkúrat þetta hérna fylki það er samhverft
Það þýðir að ef ég bylti fylkinu mínu þá fæ ég það sama
A er jafnt og a bylt
Ókei það eru ekkert öll fylki sem eru svoleiðis en öðru hvoru hittum við svoleiðis fylki
Þá gildir að eiginvigrarnir eru örugglega hornréttir
Við skulum skrifa niður sérstaklega þetta með hvernig þeir eru línulega óháðir það skiptir miklu máli
Við skrifum niður setningu
Nú þá eru eiginvigrarnir mínir örugglega línulega óháðir og svo var aðeins bónus þarna í síðasta dæmi að ef að að auki a er jafnt og a t sem sagt a er samhverft
Segjum að þessi innbyrðis hornréttir
Ókei prufum nú að skoða fleiri eiginleika
Ókei skoðum hérna dæmi með fylkinu a og sjáið þetta fylkir a það er sérstakt að því leitinu að þetta er þríhyrnings fylki
Sjáið undir hornalínunni eru eintóm núll
Þá ætla ég að leysa sem sagt a mínus lambda i
Það er jafnt og ákveðan af þessu hérna fylkja þar sem ég er búinn að draga lambda frá hornalínustökunum og síðan muni það með svona þríhyrnings fylki það eru núll undir hornalínunni þá er ákveðan einfaldlega margfeldi af hornalínustökunum
Lambda einn er jafnt og fimm og segjum að það sé tvöfalt eigingildi vegna þess að það kemur tvisvar fyrir hérna Það er í öðru veldi þessi hérna svigi
Ókei og lambda þrír er þá þrír og lambda fjórir eru jafnt og einn
Það skiptir engu máli hvernig við númerum eigingildin bara að við númerum eiginvigrana tilsvarandi
Ég ætla sem sagt ekki að finna eiginvigrana en við vitum ekki hvort að þeir séu línulega óháðir út frá þessum upplýsingum
Vegna þess að eigingildin eru ekki mismunandi
Athugið Ég segi líka að þeir við erum ekki viss um að þeir séu línulega óháðir það er enn þá möguleiki á því
Nú nú erum við búin að skoða dæmi og hérna annað muna ef við erum með svona hornalínufylki þá er hægt að lesa eigingildin bara út úr hornalínunni þarna
Nú við erum búin að vera að skoða dæmi þar sem við erum alltaf með raungild eigingildi og raungild raungildar tölur eða rauntölur í eiginvigrunum
En það er ekkert því til fyrirstöðu að við séum með tvinntölur þarna
Tvinntölur eru kallaðar á ensku complex numbers þetta eru tölur sem hafa tvo þætti a raunhluta og þverhluta og einhverja svona fína tölu i hérna sem hefur þann fína eiginleika að i í öðru er mínus einn
Það eru engar rauntölur sem hafa þann eiginleika að þegar maður margfaldar þær með sjálfu sér fái maður mínus tölu
Nú vonandi fáum við náum við að skoða pínulítið tvinntölu eigingildi eiginvigra aðeins seinna
Nú við höfum séð að þegar við erum að finna eiginvigrana þá erum við að leysa jöfnuna a mínus lambda i sinnum ex er jafnt og núll
Og þetta núllrúm Þetta köllum við eiginrúm a svarandi til eigingildisins lambda
Við ætlum að prufa að sjá hvernig við finnum grunn fyrir eiginrúmið og við ætlum að prufa að taka eitt dæmi
Nú okkur er gefið hérna fylki a
Og þetta fylki a hefur eigingildin níu og tveir
Við ætlum sem sagt að finna fyrst bara eiginvigurinn
Við setjum upp við setjum lambda einn er jafnt og níu setjum upp sem sagt a mínus níu i sinnum ex er jafnt og núll
Svo setjum við upp aukið fylki fyrir jöfnuna og ryðjum og svo leysum við lesum við lausnina út úr þessu
Við sjáum að hér eru vendistuðlar þetta er þá frjáls breyta ex einn er jafnt og ex þrír og ex tveir er jafnt og ex þrír
Þannig við fáum vigurinn ex einn UNK vigurinn ex einn er einn einn einn
Það eru jöfn hlutföll þarna á milli
Þannig að grunnurinn fyrir eiginrúmið í þessu tilfelli væri bara þessi eini vigur
Þannig að sem sagt grunnur fyrir eiginrúm a svarandi til eigingildisins lambda einn jafnt og níu er sú sama og grunnur fyrir núllrúm fylkisins a mínus níu i
Nú ef ég dreg tvo frá hornalínustökunum í a þá enda með þetta hérna fylki
Allar línurnar eru alveg eins þannig að það er auðvelt að ryðja þetta fylki og sjá hver lausnin er
Setjum upp aukið fylki og ryðjum leggjum drögum bara einu sinni línu eitt frá UNK
Það er sem sagt tvær frjálsar breytur ég tek ex tvo fyrst þá fæ ég hálfur einn og núll sinnum ex tveir plús mínus þrír núll og einn sinnum ex þrír
Þannig að einhver fastamargfeldi af þessum tveimur hérna vigrum gefa mér eiginvigra
UNK eru komin með tvo eiginvigra og við sjáum að þeir eru línulega óháðir
Kannski þarf maður aðeins að skoða það betur ef maður ekki alveg vanur
Sjáum líka ef við skoðum þetta nánar þeir eru báðir línulega óháðir þessum hérna vigri einn einn einn
Þannig að við erum með þrjá línulega óháða vigra
Það sem meira er við vorum að spá í eiginrúmið þannig að grunnur fyrir eiginrúmið svarandi til eigingildisins tveir er sem sagt hálfur eitt og núll og mínus þrír núll og einn
Grunnur fyrir eiginrúmið á a fyrir þetta eigingildi er sama og grunnur fyrir núllrúm fylkisins a mínus tveir i
Ókei segjum þetta gott um eigingildi og eiginvigra í bili
Nú sama sem merkið þarna þarna gildir þá og því aðeins að að vigrarnir x og y séu samsíða
Nú eins og við ræddum í fyrirlestri þá er engin ástæða til að
takmarka sig við r í þriðja Þessi ójafna gildir fyrir r í n ta
og það sem meira er er að þetta gildir fyrir alla vígra x og y í einhverju vektor með v
við þurfum semsagt ekki að vera í r í n ta en ókei við ætlum að nota þetta í þessu samhengi núna
bara fyrir vigra í r í n ta
Prufum að skoða dæmi
Ókei við ætlum að nota Cauchy Schwarz
ójöfnuna til að sýna að tölu gildið af x einn x tveir plús y einn y tveir plús z einn z tveir sé minna eða jafnt og ræturnar hérna hægra megin við jafnaðarmerkið margfaldaðar saman
Ókei og þetta þarf að gilda fyrir allar rauntölur x einn x tveir y einn y tveir z einn z tveir
Nú það til að nota
ójöfnu Cauchy Schwarz þá þurfum við bara að smíða hæfilega vigra til að við getum sýnt fram á þetta UNK ætlum við ég ætla að smíða vigurinn x eða eigum við að kalla hann u bara köllum hann u
sem er vigurinn x einn x tveir x þrír
Og svo ætla sní smíða vigurinn v sem er vigurinn
já x einn x tveir x þrír gengur ekki ég ætla að fá hérna x einn y einn z einn
af því að þá sé ég að lengdin á honum er akkúrat það sem stendur hér
z tveir
og sé nefnilega að lengdin á honum er vigurinn sem stendur hér
Þá sé ég að u depilfaldað við v tölugildið af því nú það er tölugildið af x einn x tveir plús y einn y tveir plús z einn z tveir og það er örugglega minna eða jafnt og lengdin af u sinnum
lengdin af v samkvæmt ójöfnu Schwa Cauchy Schwarz
Og þetta er akkúrat rótin af x einn í öðru
plús y einn plús z einn í öðru
og lengdin af v er rótin af x tveir í öðru plús y tveir plús z tveir í öðru
Ókei við notuðum ójöfnu Cauchy Schwarz það eina sem við þurftum að gera er að vera pínu kreatíf og smíða u og v þannig að útkoman sem við óskuðum eftir fengist
Núna ætlum við að nota ójöfnu Cauchy Schwarz til að sýna að x plús y og það í öðru er minna eða jafnt og og tvisvar sinnum sviginn x í öðru plús y í öðru og þetta á að gilda fyrir allar rauntölur x og y
sem sagt þetta eru rauntölur ekki vigrar
Við ætlum að nota sem sagt ójöfnuna
ef ég er með tvo vigra x og y æ eigum við að kalla það eitthvað annað því að nú heita rauntölurnar okkar x og y ef ég er með tvo vigra u og v
minna eða jafnt og lengdin af u
sinnum lengdin af v
Ókei þannig að ég þarf að smíða u og v þannig að þetta hér verði niðurstaðan mín
nú það fyrsta sem ég ætla að segja hérna er ókei af því þetta eru pósitívar tölur báðum megin við ójöfnu merkið mitt hérna
þá er þetta jafngilt því að segja að u depilfaldað við
v í öðru
þetta gildir vegna þess að báðar tölurnar báðu megin við ójöfnu merkið eru pósitívar
Það sem þetta gildir nú þarf ég að smíða vigrana mína u og v ég ætla að smíða vigurinn u þannig að ég sé með x og y
Ókei lengdin af honum í öðru er þá x í öðru plús y í öðru akkúrat þetta hér
Nú depilfeldið af honum við einhvern vigur ætti gjarnan að gefa x plús y þannig að hvernig væri að við veldum bara v til að vera vegurinn einn einn
Þá er u depilfaldað við v vigurinn x sinnum einn plús y sinnum einn
nú depilfeldið í öðru veldi