DavidErikMollberg/kennsluromur huggingface dataset:
hefur klifið meðal annars El
Capitan án trygginga mjög háan klett í Bandaríkjunum
fólk að ímynda sér ég meina það hljóta
allir að vera hræddir ótryggðir í mörg hundruð metra hæð hangandi utan í klettum
kíkið á þetta myndband
sem ég linka hérna inn á þetta er stutt myndband sem sem skýrir þetta
skýrir svona lauslega þær athuganir sem að
voru gerðar á Alex Honnold
Við köllum þetta vector parametric equation á ensku
V kallast þá stefnu línu vigur línunar
og t kallast stikinn
V er stefnuvigurinn
Þetta gildir hvort sem að núll og v vigurinn er í er í öðru er í þriðja eða einhverju öðru en í n ta
nú v er sem sagt að segja okkur eitthvað um stefnuna og t
Skoðum dæmi
Nú línan okkar á að fara í gegnum núll komma núll komma núll og punktinn einn komma tveir komma núll þá er línan einfaldlega gefin með formúlunni t sinnum einn tveir núll Og við sjáum sannarlega er núll þessarar línu
vegna þess að ef ég ég ætla að segja t jafnt og núll þá fæ ég núll vigurinn sannarlegar er einn tveir núll á þessari línu vegna þess að ég set t jafnt og einn þá er það í einn tveir núll vigurinn
Og til dæmis er líka ef ég læt t vera tveir
Þá fæ ég punktinn tveir komma fjórir komma núll
Við sjáum að greinilega z myndi alltaf núll
þetta er þriggja staka vigur
Nú prufum annað dæmi
Gefum nú stig finnum nú stikajöfnu fyrir línu sem fer í gegnum punktana núll komma einn og einn komma tveir við erum semsagt í x y sléttuni við erum í r í öðru og sjáið nú erum við ekki með línu sem fer í gegn um núll komma núll við skulum prufa að rissa upp mynd af þessu
þannig að getum við teiknað línu sem fer í gegnum þetta
það er beina línan sem lítur svona út
Ókei nú sjáum við kunnum við að finna jöfnu línu Við sjáum að hallatalan hérna er einn vegna þess að ég fer einn út og einn upp þannig að hallatalan er einn og svo skurðplúspunktur við y ás hérna í einum þannig að þetta er plús einn þannig að þetta er jafna línurnar
En nú ætlum við að finna stikajöfnu línunar
nú það sem við þurfum að finna fyrst er stefnan
og við sjáum að þetta hér er stefnan Þessi vigur gefur mér stefnuna
Ég gæti auðvitað er líka valið mér vigur sem er í gagnstæða átt
það skiptir ekki máli hvort ég vel
þannig segi ég ókei hver hvaða vigur er þetta hérna Munið það skiptir engu máli hvort hann er þarna staddur í planinu eða einhverstaðar annars staðar en þetta er klárlega vigurinn ef ég kalla hann v hérna
Þetta er vigurinn einn einn því að ég fer einn út á x ásnum og fer ég einn út á y ásnum
UNK þetta þarna gefur mér akkúrat stefnuna á vigrinum
er einhver fasti sinnum þessi vigur hérna Þannig að þá er ég að segja ókei þetta er einn einn þetta gæti líka verið hérna há einn og hálfur einn og hálfur
af því að ég margfalda með þarna einum og hálfum hérna fyrir t ið og hann getur lengst eins mikið yfir í þessa átt og svo get ég margfaldað með mínus tölu þá fæ ég eitthvað hérna UNK
t sinnum einn einn þá er ég með þessa grænu línu þarna
UNK t er einhver rauntala
spanið af þessum vigri einn einn
Og hvað geri ég til að breyta
hérna línuni í þetta
UNK bleika línan þarna
hún er t sinnum einn einn og svo þarf ég að hliðra mér hliðra línunni minni hérna upp
Ein leið til að gera það er að segja ég ætla að leggja við
einhvern vigur sem að gerir það að ég endi akkúrat þarna þannig að ég ætla að leggja við til dæmis vigurinn núll einn
Þannig að sjáið þið það er alveg sama hvar ég er á línunni þegar ég legg við vigurinn núll einn
þarna þá hliðrast ég alltaf upp á þessa fjólubláu frá grænu núll einn hérna upp
þá hliðrast ég upp á fjólubláu Þannig að þetta hérna
þessi lína hérna
þetta gefur mér akkúrat fjólubláu línuna sem ég er að leita að
Akkúrat línu sem fer í gegn núll einn og einn tveir
Ókei takið eftir þetta hérna gefur mér alltaf stefnuna þetta er stefnu vigurinn þetta hér aftur á móti er bara einhver punktur á línunni
Segjum að ég hefði til dæmis í staðinn fyrir að leggja við núll einn hefði ég lagt við hérna einn tveir Hvað þýðir það hérna myndrænt Við erum á grænu línunni það er munið þið það er þessi hérna Svo leggjum við við
einn tveir þannig að ég er hérna á grænu línunni minni
ég fer einn út og tvo upp ég legg þennan hérna vigur
og sjáið þið ég lendi akkúrat á línunni
Ég er hérna fer einn út og tvo upp
lendi akkúrat á línunni minni
myndi skila mér hliðruninni upp
það eru ýmsar leiðir til að skrifa þessa línu önnur önnur leið væri að skrifa t sinnum einn einn plús einn tveir t er rauntala
Nú önnur leið til að hugsa hérna línunna
sjáum að hérna hérna fundum við formúluna fyrir hvernig þetta er eins og við erum vön að skrifa þetta
bara í greiningunni
Þá getum við sagt ja hvað erum við eiginlega að gera Við erum að hugsa bara hvernig er y miðað við x Þannig að ef ég segi hérna
þá lítur þetta svona út
þannig að x er einhver breyta þarna
Við erum alltaf að hugsa hérna erum við bara að hugsa hvað förum við mikið á x ásnum miðað við hvað við fórum mikið á y ásnum en höfum bara eina breytu til að lýsa því
Ókei þannig að í staðinn fyrir að hafa bara jafnvel fyrir hvernig við förum í gegnum núll og einhvern punkt þá getum við skrifað almennt upp hvernig stikajafna er í gegnum einhverja tvo punkta
Setningin byrjar svona látum x einn x tveir x þrír og y einn y tveir y þrír vera tvo punkta í r í þriðja og látum x og y vera stöðu vigrar þessara punkta þannig að við höldum áfram þurfum við þurfum að vita hvað stöðu vigur er
Stöðu vigur punkst það einhvers punkts sem ég ætla að kalla a b c er vigur frá núll komma núll komma núll í a b c semsagt bara vigurinn a b c
Ókei aftur að setningunni
við ætlum að semsagt að hafa þessa tvo stöðu vigra og svo ætlum við að gera ráð fyrir að þetta sé ekki sami vigurinn
Þá segir setningin þá er til nákvæmlega ein lína
ég ætla að kalla þessa línu l
sem að inniheldur punktana
þetta ætla ég að gefa mér svona mengi af punktum
vigurinn x plús y mínus x sinnum stikinn minn t og t er stikinn einhver rauntala
Þannig að sjáið við sögðum einhverntímann hérna y mínus x til að fá stefnuna þannig að ég er með hérna þessi hérna punktur á að vera á línunni og þessi hérna úps þessi hérna punktur á að vera á línunni sjáið núna teiknaði ég hérna með segjum að þetta sé núll komma núll komma núll hérna hjá mér
þessir tveir punktar eiga að vera á línunni
Munurinn á þeim er þessi hér
og allt eftir því hvort ég sagði y mínus x eða x mínus y þá er st gefur það stefnuna í sitthvora áttina
Þannig að línan sem fer í gegn
og svo legg ég við einn punkt á línunni ég lagði x ég hefði alveg eins geta lagt við y eða x plús y eða hvaða annan punkt sem er sem er á línunni
Ókei þarna höfum við almennt stikajöfnu plans nei línu næst á dagskrá er aftur á móti hvernig er stikajafna plans
Við höfum áður séð að við getum ritaði jöfnu plans á forminu a x plús b y plús c z jafnt og d
en nú ætlum við að sem sagt að hafa aðra framsetningu á planinu þessa svokölluðu stikajöfnu framsetningu
ið byrjum á að gefa okkur að við séum með þrjá
punkta og svo stöðu vigra þeirra x y og z þetta eru punktar í r í þriðja nú erum við bara með r í þriðja Og við skulum gera ráð fyrir að þeir liggi heldur ekki allir á beinni einni línu þessir þrír punktar semsagt við erum að segja x mínus y og x mínus z eru ekki samsíða
ókei þannig að þeir eru ekki á sömu línu
nákvæmlega ein lína sem inniheldur þessa punkta
afsakið auðvitað eitt plan
Ég ætla að kalla planið p og svo skrifa ég þetta upp hérna sem mengi af öllum punktunum sem eru á planinu
Og ég ætla að skrifa þetta þetta er z ég vel mér einn af þessum punktum
plús s sinnum
Og t og s eru þá stikarnir mínir núna og ætlum við að vera með tvo stika af því að við erum að finna jöfnu plans Þannig að þessir tveir vigrar hérna þeir eru að gefa mér stefnuna
á planinu hvernig það hallar og svo þessi hér við getum sagt að hann hliðrar okkur í akkúrat það plan sem hefur þennan halla og fer í gegnum þessa þrjá punkta
Þannig að þetta má náttúrlega vera bara hvaða punktur sem er á planinu og þetta þurfa bara að vera tveir vigrar sem eru í planinu sem eru ekki samsíða þannig að þeir þurfa ekkert endilega að vera x mínus z og y mínus z það gæti til dæmis verið að z mínus x og y mínus x í staðinn
Og þetta mætti vera x y eða z skiptir ekki skiptir engu máli
Ókei við þurfum bara að velja tvo sem eru ekki samsíða
Prufum nú að finna jöfnu plans stikajöfnu plans út frá þremur gefnum punktum notum okkur þetta
Okkur er gefnir þrír punktar við ætlum að finna plan sem fer í gegnum þá við segjum stikajafnan er
hún er til dæmis
Já ég bíddu nú við ég ætla aðeins að leiðrétta punktana líka
fyrst hvernig vigurinn frá a til b er
og þegar ég finn vigurinn frá a til b
þá er ég með hérna stöðu vigur a og stöðuvigur b
og þá er vigurinn hérna á milli þeirra
það myndi þá vera vigurinn b mínus a
Ókei þannig að þegar ég reyni að finna vigurinn sem er frá a til b
þá er ég að finna vigurinn
núll einn þrír mínus einn mínus tveir mínus þrír
Þá er ég tilbúin til að skrifa upp stikajöfnuna
X er jafnt og einhver punktur á planinu til dæmis einn núll einn
plús stikinn minn t
sinnum vigurinn mínus einn mínus einn núll plús stiki sem ég kalla s sinnum vigurinn núll mínus tveir mínus tveir þannig að t og s eru rauntölur
En þessi stikajafna inniheldur alla þessa þrjá punkta
nú við getum auðveldlega gengið úr skugga um að það sé sannarlega rétt við getum sem sagt prufað lausnina okkar
Og við segjum ja sannarlega er c
á línunni
Það er auðveldast að sjá það vegna þess að ég get valið
s og t til að vera núll
og þá fæ ég akkúrat vigurinn c hérna
Og svo get ég sömuleiðis sagt
Já auðvitað er a á línunni
vegna þess að ef ég vel mér látum okkur sjá
tek þenn þessi verður alltaf með svo segi ég núll sinnum vigurinn mínus einn mínus einn núll
plús mínus einn
sinnum vigurinn núll mínus tveir mínus tveir
og þá fæ ég hérna einn sjáið við erum með einn mínus núll plús núll það er núll
ég er með núll plús núll plús tveir tveir þannig að einn plús núll og mínus einn sinnum mínus tveir eru tveir þannig að ég fæ
Og já ég skrifaði sjáið nú skrifaði ég sagði einn en skrifaði núll hérna
Þetta er auðvitað hérna efsta línan er einn og núll sinnum mínus einn og hérna er svo núll
þannig að þetta verður auðvitað einn og ekki núll
Þetta er punkturinn einn tveir þrír sem var einmitt punktur a getum séð hérna
punktur a og punkturinn einn tveir þrír og punkturinn b núll einn þrír hann er líka á línunni
já ég er alltaf að segja á línunni
þvílík vitleysa við vorum að finna jöfnu plans
Ókei og við erum búin að sjá við höfum áður talað um að þegar við erum með spanið af svona tveimur vigrum að þá erum við með plan og þá fer plan í gegnum núll komma núll komma núll vegna þess að ég get valið mér hérna t og s til að vera núll
og núna erum við hérna með plan sem er sannarlega spanið af þessum tveimur hérna línuleg samantekt á tveimur vigrum og svo leggjum við einn vigur hér
Þannig að nú erum við komin með almenna leið til að lýsa hvaða plani sem er í r í þriðja
Ókei svo er hérna
hægt að fara
þegar maður þekkir stikajöfnuna
þá getur maður skipt yfir í hérna stikajöfnu sem sagt þetta form á jöfnunni
skipt yfir í þetta hérna form
og öfugt auðvitað
normal inn á planið sem sagt þveril við vitum að a b og c er akkúrat þverill á planið okkar
Þannig að ég finn fylkið a ég fæ eitthvað fylki a og reyni að finna ex og lambda þannig að þessi hér jafna sé uppfyllt
Nú þetta gerum við látum okkur sjá til að finna eigingildi þá leysum við ákveðan af a mínus lambda i enn er jafnt og núll I enn er einingarfylkið
Við sem sagt þegar við leysum þessa jöfnu þá erum við að reyna að finna lambda og það er þá eigingildið
Og svo til að finna eiginvigur þá leysum við jöfnuna a mínus lambda i enn sinnum ex vigurinn jafnt og núllvigurinn
Við skulum prufa að skoða þetta með að reikna nokkur dæmi
Nú við erum beðin um að finna eigingildi og eiginvigra fyrir fylkið a sem er svona núll núll núll tveir
Til að finna eigingildin þá leysum við jöfnuna ákveðan af a mínus lambda í tveir vegna þess að a er tvisvar tveir fylkir jafnt og núll
Nú sjáum hvað gerist þegar við drögum lambda i tveir frá a
A er fylkið mitt núll núll núll tveir og ég dreg frá lambda sínum einingarfylkið einn núll núll einn
Þetta er einingafylkið þegar ég er í tvisvar sinnum tveir fylki
Og sjáið þið lambda margfaldast hérna á hvert stak fyrir sig
Lambda núll núll lambda og þegar maður dregur tvö fylkir frá hvoru öðru þá þurfa þau auðvitað að vera jafn stór
Og maður er þá að draga hvert stak frá hverju
Sem sagt núll mínu lambda hérna með öðrum orðum og núll mínus núll hér núll mínus núll hérna og tveir mínus lambda hérna
Þannig að það sem stendur hérna inn í sviganum er basically dragðu lambda frá hornalínustökunum og reiknaðu svo út hvenær ákveðan er núll
Nú það gerist þegar mínus lambda sinnum tveir mínus lambda er jafnt og núll UNK margföldum þennan með þessum og drögum frá þessi margfaldaður með þessu
Og hér er hægt að lesa bara svarið út
Tvisvar tveir fylki hefur tvö eigingildi alltaf þó að eigingildin geti reyndar alveg verið sama talan hérna
Lambda einn og lambda tveir
Og það skiptir engu máli hvor við köllum hvað lambda einn og lambda tveir þetta eru bara  einhver nöfn Þannig að helmingurinn af verkefninu er búinn við erum búin að finna eigingildin
Nú leysum við svo út fyrir finnum sem sagt eiginvigrana
Þá ætlum við að leysa jöfnuna a mínus lambda i tveir sinnum ex er jafnt og núll fyrir hvert einasta lambda
Þannig að ég byrja á ef lambda er jafnt og núll
Lambda einn sem sagt
Þá fæ ég jöfnuna núll núll núll tveir
Ég dró núll frá hornalínustökunum gerðist ekki neitt
Og sjáið nú þegar ég margfalda saman efstu línum í dálkinum þá fæ ég bara núll er jafnt og núll og það er alltaf rétt alveg sama hvað ex ypsilon eru
Og í neðri línunni stendur núll sinnum ex plús tvisvar sinnum ypsilon er jafnt og núll
Þannig að hér sjáum við berlega að ypsilon á að vera núll og ex má þá vera hvað sem er
Þannig að fyrsti eiginvigurinn er til dæmis núll og einn
Hér má í rauninni standa hvaða tala sem er einingavigurinn er sem sagt ekki er ótvírætt ákvarðaður
En ef við látum bara einhverja tölu vera hér og núll hér þá erum við komin með eiginvigur
Og við getum prófað skulum prufa hvort þetta sé rétt
Og hér ef ég margfalda saman efstu línuna við dálkinn hérna fáum við núll og núll og fáum aftur núll hér
Við fáum bara núll núll vigurinn fyrirgefið þið
Sjáið þetta er tvisvar tveir vigur og þetta er tvisvar einn vigur eða þetta tvisvar tveir fylki og þetta er tvisvar einn vigur
Þessir passa saman það er hægt að margfalda saman og út kemur tvisvar einn fylki
Kemur núllvigurinn og núll sinnum þessi vigur er líka núllvigurinn
Þannig að við sjáum að þetta gengur upp sem lausn
Þá prufa ég að reikna út þegar lambda tveir er tveir
Þá tek ég aftur fylkið mitt a og dreg tvo sem sagt frá hornalínustökunum
Þannig að ég segi byrjum aftur hérna
Við segjum mínus tveir núll núll og tveir mínus tveir ex ypsilon er jafnt og núll núll
Munið þið fylkið mitt var núll núll núll tveir og ég dró tvo frá hornalínustökunum hérna
Tvo frá báðum þessu
Og við leysum þessa jöfnu þá sjáum við í hendi okkar að efsta línan gefur mér að tvö mínus tvö ex eigi að vera jafnt og núll
Sem segir okkur að ex verði að vera núll
Og neðsta línan segir okkur bara að það standi núll jafnt og núll þannig að það má vera hvað sem er ypsilon má sem sagt vera hvað sem er
Þannig að pé tveir þá verð ég að hafa ex stakið sem núll og ypsilon stakið má vera hvað sem er ég vel mér einn
Svo prófum við lausnina og athugum hvort það sé rétt
Fylkið mitt a sinnum eiginvigurinn á að vera jafnt og eigin gildið sinnum eiginvigurinn
Og við reiknum hérna hægri hliðina fyrst þá stendur núll tveir vigurinn
Og reiknum vinstri hliðina fæ ég núll núll sinnum núll plús núll sinnum einn það er núll
Og núll sinnum núll plús tvisvar sinnum einn það eru tveir
Þannig að þetta stemmir líka sem eigingildi og eiginvigur
Þannig að svarið okkar er við erum með eigingildi núll og tveir og við erum eiginvigrana einn núll og núll einn og við verðum að muna að para þá rétt
Það er ekki er hægt að setja inn í þessa hérna jöfnu nema að lambda og hérna eigingildi og eiginvigra eiginvigurinn sé parað rétt hérna
Þannig að þetta hér þessi hér eiginvigur tilheyrir þessu hérna eigingildi
Og eins þetta hér þessi hér eiginvigur tilheyrði þessu hérna eigingildi
Prufum eitt dæmi í viðbót
Finnum eigingildi og eiginvigra fyrir fylkið a er jafnt og einn tveir núll tveir einn núll og núll núll einn eins og stendur hérna
Nú við byrjum á að finna eigingildin við leysum að ákveðan af a mínus lambda í þrír þetta er þrisvar þrír einingafylkið á að vera jafnt og núll
Ég ætla að byrja á að reikna bara út vinstri hliðina og sjáum ég fæ ég dreg sem sagt þetta hér þegar ég dreg lambda frá hornalínustökunum ég dreg lambda frá alls staðar hérna
Og ég fæ fylkið einn mínus lambda tveir núll tveir einn mínus lambda og núll og núll núll og einn mínus lambda
Nú það var ein setning sem sagði okkur að ef að við reiknum ákveðuna af fylkinu a þá fáum við það sama og ef við myndum reikna ákveðuna af fylkinu a bylt
Og það hjálpar okkur kannski ekki rosalega mikið hérna en við getum líka ákveðið bara hér að fara eftir hvaða línu eða dálki sem er
Við þurfum bara að muna þegar við tókum ákváðum að fara eftir efstu línu þá sögðum við plús þessi sinnum ákveðan sem verður eftir því ég er búin að strika út allt sem er í línu við hann mínus þessi sinnum ákveðan sem ég er búin þar sem ég er búin að strika allt sem er í línu við hann
Og plús svo þessi alltaf plús og mínus til skiptis
Basically var reglan þannig við þurftum að taka plús mínus plús og hérna plús mínus plús og mínus plús mínus og plús mínus plús
Þannig að við eigum að gera þetta eftir hvaða línu og hvaða dálki sem við viljum
Ég ætla að velja mér af því sjáið þið þessi hér er með svo mörgum núll þá ætla ég að velja mér þennan dálk hérna
Þá segi ég núll sinnum ákveðan af UNK skiptir ekki máli það veðrur núll mínus núll sinnum ákveða eitthvað sem skiptir ekki máli af því að hún verður núll plús einn mínus lambda sinnum ákveðan af öllu því sem er eftir því ég er búin að strika út það sem er í línu við þetta hér
Og þetta er jafnt og einn mínus lambda við reiknum upp úr sviganum hérna fáum lambda í öðru mínus tvö lambda plús einn mínus fjórir sem sagt mínus þrír
Og þá sjáið þið að það er þægilegt að þátta það sem er inni í sviganum hérna
Ég er með einn mínus lambda ég er með lambda mínus þrír og lambda plús einn
Og þetta á að vera jafnt og núll það er ákveðan hérna þannig finnum við eigingildin
Þannig að ég sé að ég er með þrjú eigingildi lambda einn er einn lambda tveir er þrír og lambda þrír er mínus einn
Ókei þá er ég kominn eigingildin mín öll og ég þarf að finna einn eiginvigur fyrir hvert einasta af þessum eigingildum
Og þá reiknum við
Þannig að ég segi sem sagt a fylki mitt UNK þetta hér þar sem ég er búið að draga lambda frá hornalínustökunum hérna
Og ef ég dreg einn frá hornalínustökunum þá er ég bara með núll alls staðar Þannig ég er með fylkið núll tveir núll tveir núll núll og núll núll núll sisvona
Svo er ég með vigurinn minn sem er þá þriggja staka vigur á að vera jafnt og núllvigurinn
Og hvaða lausnir eru þetta
Þegar ég margfalda saman hérna efstu línuna við dálkinn þá fæ ég tveir ypsilon er jafnt og núll
Svo margfalda ég næstu línu þá fæ ég tveir ex er jafnt og núll og í neðstu línu stendur bara núll er jafnt og núll sem er alltaf satt
Þannig að við sjáum ex og ypsilon þurfa bersýnilega að vera núll en zeta má vera hvað sem er
Þannig með einingavigurinn til dæmis núll núll einn
Og við prófum hvort þetta geti nú staðist sem eiginvigur fyrir eigingildið einn
Skrifum upp fylkið okkar a afsakið einn tveir núll tveir einn núll og núll núll einn
Og núll sinnum núll núll plús núll plús einn sisvona
Og þetta á að vera jafnt og einu sinni vigurinn núll núll einn
Sem stenst sannarlega
Ókei hérna er eigingildi með tilsvarandi eiginvigur með tilsvarandi eigingildi
Þá er það bara endurtökum við bara leikinn fyrir næsta eigingildi
Sjáum lambda tveir er jafnt og þrír
Þá er ég að draga þrjá frá öllum hornalínustökunum a fylkið mitt er hér
Mínus tveir tveir og núll tveir mínus tveir núll núll núll og mínus tveir sisvona
Sinnum ex ypsilon zeta vigur á að vera jafnt og núllvigurinn
Og í næstu línu fyrir neðan fæ ég tvö ex mínus tveir ypsilon afsakið efstu línu fæ ég mínus tveir ex plús tvö ypsilon
Í næstu línu fæ ég mínu tveir ex nei plús tveir ex mínus tveir ypsilon er jafnt og núll
Og í þriðju línu mínus tveir zeta er jafnt og núll
Út úr þessu fæ ég að zeta verður að vera núll og út úr þessu hérna fyrir ofan þessum tveimur jöfnum gefið sama að ex verður að vera jafnt og ypsilon
Ex og ypsilon má vera hvað sem er svo lengi sem það er það sama þannig ég vel mér bara einn og einn og zeta verður alltaf að vera núll
Þá er þetta hér er eigingildið eiginvigurinn sem svarar til þessa hérna eigingildis
Fæ einn plús tveir það eru þrír ég fæ tveir plús einn það eru þrír og ég fæ núll plús núll plús núll sem eru núll og þetta á að vera jafnt og eigingildi mitt sinnum eiginvigurinn
Og sannarlega passar það
Þannig að við höfum reiknað rétt þarna í þetta skiptið
Lambda tveir er jafnt og mínus einn
Kíkjum aftur á fylkið a
Það er hér
Ég ég dreg mínus einn frá ég legg sem sagt einn við í hornalínuna þannig að hornalínustökin verða núna tveir
Það er bara akkúrat í þessu dæmi sem þau eru það sama þurfa ekkert að vera það
Það vildi bara svo til að þannig var fylkið okkar hérna
Og við leysum út úr þessu við sjáum hérna efsta lína sinnum dálkurinn það er tveir x plús tveir ypsilon er jafnt og núll
Næsta lína gefur nákvæmlega það sama og engin ástæða til að skrifa það aftur
Þannig að ex og ypsilon má vera hvað sem er bara að ex sé jafnt og mínus ypsilon
Þannig að ég vel mér til dæmis einn og mínus einn og þá er zeta og zeta er alltaf núll
Ég ætla að kalla þetta pé þrjá
Þá er þessi eiginvigur að vera eiginvigur svarandi til eigingildisins mínus einn UNK sem stóð hérna var þriðji og síðasti möguleikinn hérna uppi
Segjum afsakið einn tveir núll tveir einn núll núll núll einn þetta er a fylkið mitt óbreytt sinnum eiginvigurinn
Og reiknum bara út úr þessu fáum einn mínus tveir það er mínus einn tveir mínus einn það er einn og núll plús núll plús núll sisvona
Og við sjáum að þegar við margföldum UNK hérna fáum við akkúrat sama hérna
Þannig að einmitt þetta var líka rétt
Og við erum komin með þrjú eigingildi og þrjá eiginvigra
Byrjum á að skilgreina hvaða vektor rúm er
Þannig ef að þetta gildir þá erum við með er vigurrúm
Nú nokkrar athugasemdir um þetta
í fyrsta lagi þá
er fjórði liðurinn hérna segir að það sé alltaf til einhver núllvigur sem er þannig að ef ég legg hann við stak u þá fæ ég aftur bara u
Það er hægt að sýna fram á að nú sé ótvírætt ákvörðun
Það er líka hægt að sýna fram á að mínus u er ótvírætt ákvörðun fyrir hvert
Af þessum tíu frumsemdum leiða þrjár mikilvægar reglur
Í fyrsta lagi að ef ég margfalda eitthvað stak í vigurrúminu með núll að þá fæ ég núll vigurinn Í öðru lagi
ef ég margfalda stakið núll með fasta nú þá fæ ég núllvigurinn og í þriðja lagi þá
Þessar þrjár reglur leiða sem sagt beint af þessum hérna tíu frumsendum Við skulum prufa sjá aðeins hvernig við getum sýnt fram á að þetta hér gildi með því að nota þessar tíu frumsendur
Ókei við ætlum að sýna k sér núll fasti sem núll sé núll stakið byrjaði með hérna fasti sinnum núll ókei byrja á að nota reglur númer fjögur
hún segir að ef ég legg við núll stakið þá er ég ekki breyta neinu þannig að k sinnum núll tók k sinnum núll prósenta toll til reglna númer fjögur
nú þá
beitum við fyrir okkur reglur númer fimm sem segir að nú er þetta skrifað sem summu af tveimur stökum u og mínus u
Þannig að seinna núllið hérna
þetta hér get ég skrifað sem k sinnum núll plús mínus k sinnum núll
Þannig ég legg þetta hérna við nú regla númer þrjú segir mér að það skiptir ekki máli í hvaða röð ég legg þetta saman þannig ég segi k sinnum núll plús k sinnum núll og legg svo við það mínus k sinnum núll
Þetta er regla númer þrjú
og regla númer sjö segir mér að ég má taka fasta út úr sviga hérna í fyrri sviganum þannig ég segi k sinnum núll plús núll
plús mínus k sinnum núll
og þá stendur hérna k sinnum núll plús mínus k sinnum núll það er einmitt núll samkvæmt reglu fimm
Þannig við erum búin að sýna að fasti sinnum núll sé núllstakið Alveg sama hvaða stak þetta er hvaða vigur þetta er í hvaða vigurrúm sem er
Við skulum prufa sjá dæmi um hvernig svona vigurrúm getur litið út
Nú eitt dæmi vigurrúm alveg klassískt dæmi er r í þriðja þetta er vigurrúm er þriðja eru allir þriggja staka vigrar og við eigum að vinna með þetta mikið í vetur