DavidErikMollberg/kennsluromur huggingface dataset:
er þá x plús y i öðru Þetta er örugglega minna eða jafnt og lengdin af u
í öðru sinnum lengdin af v í öðru Nú hver er lengdin u
að x plús y
í öðru er minna eða jafnt og tvisvar sinnum x í öðru plús y í öðru
Og þetta gerðum við fyrir allar
fyrir öll x og y sem eru rauntölur
ekki vigra
heldur bara rauntölur
ún er alltaf svona
Þá er þetta bara spurning um að vera kreatífur og smíða réttu vigrana til að fá niðurstöðuna sem við viljum sýna
Ókei við skulum spjalla aðeins um ójöfnu Cauchy Schwarz
Ójafna Cauchy Schwarz segir að fyrir alla vigra ex ypsilon í öðru þriðja þá gildir að tölugildið af innfeldinu af vigrunum er minna að jafnt og lengd vigranna margfölduð saman
Nú samasemmerki þarna gildir þá og því aðeins að að vigrarnir ex og ypsilon séu samsíða
Nú eins og við ræddum í fyrirlestri þá er engin ástæða til að takmarka UNK err í þriðja þessi ójafna gildir fyrir errr í ennta
Nú það sem meira er er að þetta gildir fyrir alla vigra ex ypsilon í einhverjum vektorum í vaff
En ókei við ætlum að nota þetta í þessu samhengi núna bara fyrir vigra í err í ennta
Ókei við ætlum að nota Cauchy Schwartz ójöfnuna til að sýna að tölugildið af ex einn ex tveir plús ypsilon einn ypsilon tveir plús seta einn seta tveir sé minna eða jafnt og ræturnar hérna hægra megin við jafnaðarmerkið margfaldaðar saman
Köllum hann u
Sem er vigurinn ex einn ex tveir ex þrír
Og svo ætla ég að smíða vigurinn vaff sem er vigurinn já ex einn ex tveir ex þrír gengur ekki
Ég ætla að fá hérna ex einn ypsilon einn seta einn af því að þá sé ég að lengdin á honum er akkúrat það sem stendur hér
Nú svo ætla ég að smíða vigurinn vaff sem er ex tveir ypsilon tveir seta tveir þá sé ég nefnilega að lengdin á honum er vigurinn sem stendur hér
Þá sé ég að u depilfaldað við vaff tölugildi af því nú það er tölugildi af ex einn ex tveir plús ypsilon einn ypsilon tveir plús seta einn seta tveir og það er örugglega minna eða jafnt og lengdin af u sinnum lengdin af vaff samkvæmt ójöfnu Cauchy Schwarz
Og þetta er akkúrat rótin af ex einn í öðru plús ypsilon einn í öðru plús seta einn í öðru
Og lengdin af vaff er rótin af ex tveir í öðru plús ypsilon tveir í öðru plús seta tveir í öðru
Og við getum prufað annað dæmi
Nú ætlum við að nota ójöfnu Cauchy Schwarz til að sýna að ex plús ypsilon og það í öðru er minna eða jafnt og tvisvar sinnum sviginn ex í öðru plús ypsilon í öðru og þetta á að gilda fyrir allar rauntölur ex og ypsilon
Þetta eru rauntölur ekki vigrar
Ef ég er með tvo vigra ex og ypsilon eigum við að kalla þá eitthvað annað
Því að nú heita rauntölurnar okkar ex og ypsilon
Ef ég er með tvo vigra u og vaff þá er það tölugildið af innfeldinu af þeim minna eða jafnt og lengdin af u sinnum lengdin af v
Ókei þannig ég þarf að smíða u og vaff þannig að þetta hér verði niðurstaðan
Nú það fyrsta sem ég ætla að segja hérna er Ókei af því þetta eru pósitívar tölur báðum megin við ójöfnu merkið mitt hérna þá er þetta jafngilt því að segja að u depilfaldað við vaff í öðru veldi sé minna eða jafnt og lengdin af u í öðru sinnum lengdin af vaff í öðru
Þar sem þetta gildir nú þarf ég að smíða vigrana mína u og vaff
Ég ætla að smíða vigurinn u þannig að ég sé með ex og ypsilon
Ókei lengdin af honum í öðru er þá ex í öðru plús ypsilon í öðru
Akkúrat þetta hér
Nú depilfeldið af honum við einhvern vigur ætti gjarnan að gefa ex plús ypsilon
Þannig að hvernig að við veldum bara vaff til að vera vigurinn einn einn
Þá er u depilfaldað við vaff vigurinn ex sinnum einn plús ypsilon sinnum einn
Nú depilfeldið í öðru veldi er þá ex plús ypsilon í öðru
Þetta er örugglega minna eða jafnt og lengdin af u í öðru sinnum lengdin af vaff í öðru
Nú hver er lengdin af u í öðru
Hún er ex í öðru plús ypsilon í öðru
Og hver er lengdin af vaff í öðru
Hún er rótin af tveir í öðru
Og þá erum við búin að sýna að ex plús ypsilon í öðru er minna eða jafnt og tvisvar sinnum ex í öðru plús ypsilon í öðru
Og þetta gerðum við fyrir allar fyrir öll ex og ypsilon sem eru rauntölur
Ekki vigra heldur bara rauntölur
Þannig að þið eruð að nota ójöfnu Cauchy Schwarz hún er alltaf svona
Þá er það bara spurning um að vera kreatívur og smíða réttu vigrana til að fá niðurstöðuna sem við viljum sýna
Við skulum aðeins skoða hana bara eins og hún er þarna
og við ætlum að láta vera með einhvern punkt á planinu
þá er sem sagt vigurinn sem ég ætla að kalla r núll
stöðuvigur þessa punkts
Til að rifja upp þá er stöðuvigur vigar sem byrjar í núll komma núll komma núll og endar í punkti
Ókei fyrir sérhvern punkt á planinu sem við getum kallað bara r
og segjum að þessi punktur hafi stöðuvigurinn r
þá er vigurinn r mínus r núll
klárlega í planinu eða samsíða planinu
Nú við skulum aðeins skoða reynum að sjá mynd
Segjum að þetta sé planið mitt p hérna þá er þetta hérna þessi punktur er punkturinn r
og hér er einhver punktur á planinu sem við köllum r núll UNK
teikna hérna stöðuvigra punktana
r mínus r núll
Ókei tökum nú einhvern vigur
sem er hornréttur á planið
Ókei þannig að það er einn til einn vigur til sem er hornréttur á planið það er að segja vigur með eina stefnu það getur náttúrlega fasta margfeldi af þessum vigri sem að er hornréttur á þetta ég ætla að kalla þennan vigur n
a b c stökin í honum kalla ég a b c
Ókei nú vitum við að r mínus r núll og n eru örugglega hornréttir þannig að r mínus r núl
r x mínus x núll
a b c er jafnt og núll
er jafnt og núll Sem sagt a sinnum x mínus x núll
plús b sinnum y mínus y núll
plús c sinnum z mínus z núll er jafnt og núll
Og ef við reiknum upp úr þessu einföldum þetta aðeins þá stendur
a sinnum x plús b sinnum y plús c z er jafnt og a sinnum a
x núll plús b y núll plús c z núll
ég umrita bara aðeins jöfnuna Þessa hérna hægri hlið köllum við fastann d
og þá erum við komin með jöfnuna okkar a x plús b y plús c z er jafnt og d
A b og c og d eru bara einhverjar rauntölur og x y z er þurfa
að uppfylla jöfnuna
til að vera á planinu
það er akkurat stuðlarnir hérna við x y og z Þannig að þegar við sjáum jöfnu plansins á þessu formi þá getum við strax lesið út að a b c er normal vigur á planið
Við skulum prufa að skoða eitt dæmi
Ókei við ætlum að finna jöfnu plans sem inniheldur þessa þrjá punkta p einn p tveir p þrír
Það er þá núll einn þrír
mínus einn mínus tveir mínus þrír
mínus p þrír vigurinn punkturinn
Núll mínus tveir og mínus tveir sé svona
og svo finn ég krossfeldið af p einn p tveir við p einn p þrír þegar ég geri það að þá er ég að finna vigur sem er hornrétt hornréttur á þessa tvo vigra p einn og p tveir
p einn p tveir og p einn p þrír
og krossfeldið af þeim er vigurinn tveir mínus tveir og tveir Nú
hvaða fastamargfeldi sem er á þessum vigri gefur okkur vigur sem er hornrétt á planið okkar Ég ætla að velja
normal vigurinn til að vera
vigurinn einn mínus einn einn Ég hefði líka getað haldið áfram bara með þennan vigur en ég ætla að velja þetta svona
Þá veit ég að jafna línunar minnar nei jafna plansins míns er
já ég hef óvart skrifað línu jæja j
afna plansins er
x mínus og nú þarf ég að velja mér
einhvern einn punkt á planinu ég ætla að velja
pun punktinn p þrír
sem var einn núll einn og ég segi x mínus einn plús
annað stak í vigrinum sem er mínus einn þannig að mínus einn sinnum y mínus núll
plús einu sinni z mínus einn jafnt og núll
Svo margföldum við uppúr og einföldum
við fáum x mínus y plús z jafnt og
þetta verður mínus einn plús núll mínus einn það eru mínus
tveir allt í allt ég le
jafnt og tveir
Þannig að þetta hérna er jafna plansins míns
heldur áfram þá er náttúrulega mikilvægt að
athuga hvort maður hafi reiknað rétt og við getum gert það með því að gá hvort að punktarnir okkar þrír p einn p tveir og p þrír séu sannarlega á planinu
Þannig að er til dæmis
einn tveir þrír á planinu Við prufum að setja inn í jöfnu og fáum x hnitið er einn
mínus y er tveir
og út kemur tveir þannig að sannarlega er þessi punktur á planinu
svo prufum við punkt númer tvö hann er núll einn þrír
við segjum x mínus y plús z
fáum akkúrat tveir þannig að sannarlega er þessi líka á planinu
við fáum x mínus y plús z
það eru tveir þannig að sannarlega er þessi líka á planinu
þannig að sannarlega er þetta jafna plans sem inniheldur þessa þrjá punkta
Okei skoðum núna aðeins þar sem að eiginleikar margfeldisins A sinnum X Við látum A vera M sinnum M Fylki aftur ég hefði getað skrifað náttúrulega bara A er R stak í R M kross N Og látum U og V vera stak í R í N ta sem sagt n staka vigur og C er einhver rauntala Þá gildir að
ef ég margfalda A við summuna af U og V þá er það sama og leggja saman U sinnum
A sinnum U og A sinnum V
og í öðru lagi ef ég margfalda A við vigurinn C U Þá er það sama og ef ég margfalda C við margfeldið A U
Við skulum sanna þetta Við skulum fara í gegnum sönnunina
Það sem ætla að byrja á að gera Ég ætla að skrifa þetta upp
sem fylki sem hefur dálka vigrana A einn A tveir og svo framvegis upp í A N
skýrum semsagt dálka vigrana í A eitthvað og svo ætla ég að leggja saman vigrana U og V
Köllum stökun U einn og V einn leggjum það saman
U tveir og V tveir og svo framvegis niður í U N plús V N
Þetta eru stökin í fylkinu U og V lögð saman
Nú þegar ég margfalda upp úr þessu þá ætlað ég að skoða þetta sem línulega samantekt af dálka vigrunum í A Þannig að ég fæ sem samt
U einn plús V einn sinnum
dálkurinn A einn og svo plús U tveir plús V tveir
sinnum dálkurinn A tveir og svo framvegis upp í
U N plús V N sinnum dálkurinn A N sé svona
Þá fæ ég fæ ég hérna þessa summu og nú get ég endurraðað stökunum aðeins Þá fæ ég ef tek saman öll U stökin Þá fæ ég
þessa summu og svo á ég eftir þá öll V stökin og fæ ég þessi hér stök og þá sjáum við að þetta hér er akkúrat línuleg samantekt af dálka vigrunum A sem að þar sem að stuðlarnir eru stökin í U
Þannig að við getum skrifað þetta sem A sinnum U
Þannig að við byrjum með A sinnum C U Það er
skrifum upp A með dálka vigrunum A einn
A tveir og svo framvegis upp í A N
Dálka vigur eitt og tvö og N Og C sinnum U er vigurinn C U einn
C U tveir og svo framvegis niður í C U N Munið þið þegar þegar maður margfaldar með fasta þá margfaldast hvert stak í vigrinum með fastanum Svo skrifum við þetta sem línulega samantekt af dálka vigrunum í A
Þannig að ég er með þetta er C U einn sinnum A einn
plús C U tveir sinnum A tveir og svo framvegis upp í C U N sinnum A N
Línuleg samantekt af
vigranum A
Og sjáum nú hérna C er sameiginlegur
þáttur hérna þannig að ég tek hann út fyrir sviga
Og þá erum við búin að sanna þessa reglu
að A sinnum C U er jafnt og C sinnum A U
Ókei nú þegar við erum að tala um þetta margfeldi A sinnum X þá er fínt að taka eitt mikilvægt fylki í leiðinni
Það er nefnilega fylkið I N
einingarfylkið ef við erum í þremur vítum
Ó úps setti óvart á strokleður hérna
UNK þá lítur einingar fylkið svona út Það er einn í hornalínunum og það er núll alls staðar annars staðar
Þetta fylki hefur þann eiginleika að þetta er einingafylkið
Þetta fylki hefur þann eiginleika ef ég margfalda vigurinn X með honum
Þá er ég að segja
Ókei fylkið einn núll núll núll einn núll núll núll einn Margfaldað með vigurinn X einn X tveir X þrír
Þetta er línuleg samantekt af dálka vigrunum
í I
og núll plús núll plús X þrír Sem sagt er þetta hérna fylki N þeim hæfileikum gætt að það breytir vigrinum X ekki neitt Þetta er
UNK við að margfalda rauntölur með einum
sem sagt I N sinnum X er jafnt og X
Ókei ef við erum nú stödd ekki bara í þremur vítum heldur í
sem að mundi þá vera einn núll núll og núll alveg út í enda hérna
núll einn núll og svo fara áfram með núllin alveg út í enda hér og hér áfram
Og það væri einn hérna í hornalínunni alls staðar
Stundum er þetta jafnvel skrifað
einhvern veginn svona
Eða við getum notað okkur rithátt fyrir fylki
þá segjum við ókei ef ég er með fylki segjum að ég sé með þrisvar þrír fylki A Þá segjum við
fyrsta stakið í fylkinu kalla ég A einn einn
Vegna þess að það er í línu eitt og dálki eitt Annað stakið hérna kalla ég
hérna stakið A einn tveir Það er í línu eitt en dálki tvö lína eitt dálkur tvö Og svo framvegis upp í A einn N sé svona
Og svo framvegis hérna niður í A N N
Þannig að einingafylkið hefur stökin
er jafnt og einn ef að það er I og J er sama talan Ef ég er í A einn einn A tveir tveir A þrír þrír og svo framvegis
en núll annars
Það er gott að þekkja þetta fylki einingafylkið
Ókei segjum þetta gott um margfeldið A X
Segjum að við séum með tvo vigra ex og ypsilon og þetta eru vigrar í err í þriðja
Ég ætla að krefjast þess að ypsilon sé ekki núllvigurinn
Ókei við ætlum núna að skrifa ex sem summu tveggja vigra
Við ætlum að skrifa það sem summu eins vigurs ex sem er samsíða ypsilon og eins vigurs ex sem er hornréttur á ypsilon
Við erum með vigurinn ypsilon við erum með vigurinn ex
Ókei ég ætla núna að deila þessum vigri ex upp í tvo vigra summan á þeim á að gefa ex
Það er þessi vigur
Athugum í fyrsta lagi að þessir vigrar svona ef ég þarf að skipta ex upp í einn sem er samsíða ypsilon og annan sem er hornréttur á ypsilon þannig að summan af þeim gefi akkúrat ex þá er bara til einn ein svona samsetning
Það er að segja að þessir tveir vigrar eru ótvírætt ákvarðaðir
Við skulum sjá núna hvernig við reiknum út hvaða vigrar þetta eru
Hvernig við finnum ofanvarpið og hornrétta vigurinn
Við sem sagt erum með tvo vigra í err í ennta ypsilon er ekki núllvigur
Ókei og ex hornréttur á ypsilon er ex mínus ex samsíða
Nú það er ekki jafn augljóst vegna þess að við getum við vitum ekki hver lengdin á þessum hérna vigri er við þurfum eitthvað sem sagt að sannfæra okkur um að við séum akkúrat með ex samsíða sé akkúrat þessi vigur
Þá klárlega getum við lagt saman þessa tvo og fengið vigurinn ex
Prufum að sjá aðeins aðrar leiðir til að skrifa ex samsíða
Þá segjum við ex samsíða ypsilon það er ex depilfaldað við ypsilon deilt með lengdinni af ypsilon í öðru
Ókei þetta getum við líka skrifað sem ex depilfaldað við ypsilon deilt með lengdinni á ypsilon og svo það sinnum ypsilon vigurinn deilt með lengdinni á ypsilon
Þá sjáum við að þetta er ex depilfaldað við ypsilon einingavigur og það sinnum svo ypsilon einingavigur
Þannig að við getum breytt ypsilon í einingavigurinn tekin bara depilfaldið af ex og einingavigrinum og margfalda með eininga ypsilon
Þá erum við komin með ofanvarpið
Ókei bara önnur leið til að skrifa saman hlut
Skulum prufa að taka dæmi
Nú við byrjum á að reikna ypsilon einingavigur
Þá þarf ég að reikna ypsilon deilt með lengdinni af ypsilon fæ sem sagt einn á móti lengdinni af ypsilon vigrinum lengdin af ypsilon er rótin af tveir í öðru plús fimm í öðrum plús einn í öðru
Það eru þrjátíu
Þetta er einn á móti þrjátíu sinnum vigurinn einn tveir þrír
Þannig að ég fæ einn á móti rótinni af þrjátíu sinnum depilfaldið af einn tveir þrír við ó nú tók ég vitlausan vigur
Þetta hefur augljóslega verið vigurinn ypsilon
Sem að er einingavigurinn
Og sjáið hérna þetta hér er depilfelldi og hérna er margföldun við getum gert eigum við að gera hérna sviga í kring við eininga ypsilon
Depilfeldið verður tveir mínus tíu mínus þrír deilt með einn á móti rótinni af þrjátíu sinnum einn á móti rótinni af þrjátíu undir striki sem sagt bara þrjátíu
Og vigurinn tveir mínus fimm mínus einn
Nú sjáum hérna ég er búin að finna ofanvarpið af ex á ypsilon ég fæ vigur sem samsíða ypsilon en takið eftir að fastinn hérna fyrir framan er mínustala
Við skulum sjá aðeins hvernig ex og ypsilon vigrarnir liggja miðað við hvern annan
Prufum í fyrsta lagi að reikna út hvert hornið er á milli þeirra
Tek ég arc cos af depilfeldinu af ex einingar við ypsilon einingavigur
Þetta verður eitthvað svo mikið sem tveir komma núll tveir fimm
Þetta er sem sagt meira en níutíu gráðu horn þannig að ef ég væri með ypsilon vigurinn minn hér þá er hornið á milli þeirra meira en níutíu gráður getum sagt að ex væri vigurinn hérna
Þannig að ofanvarpið mitt verður þessi hér vigur
Ókei við myndum reikna svo ex hornréttur á ypsilon sem sagt ex mínus ex samsíða
Það myndum við fá akkúrat þennan hérna vigur
Þannig að fastinn UNK mínus hérna ég veit að hann hornið á milli er stærri en níutíu gráður nema akkúrat þarna
Sem sagt hvað er þessi þessi hérna fjarlægð löng
Þá getum við reikna lengdina þarna
Sem sagt lengd púnkts og línu verður auðveld ef við þekkjum
Ókei við ætlum að skoða tvær aðferðir til að finna andhverfu fylkis Þegar við erum með tvisvar tveir fylki er
er ákveðin hérna einföld formúla fyrir því en skoðum hvað við getum gert þegar við erum með til dæmis þrisvar þrír fylki Ókei þessar aðferðir gilda fyrir þrisvar þrír fjórir sinnu fjórir og öll n sinnum n fylki
einn mínus einn
einn núll einn mínus einn núll einn tveir og við ætlum að finna andhverfu fylkisins
Það er markmiðið
Ókei það sem við gerum er að við setjum upp fylki aukið fylki þar sem við erum með a
einfaldar línu aðgerðir eins og við höfum lært þangað til að fylkið er komið á formið i og þá stendur eitthvað þetta hérna þessi hér hlutir er sem sagt orðið i og þá stendur eitthvað fylki hér og þetta fylki er nefnilega akkúrat a í mínus fyrsta
Ókei við skulum sjá þetta í á dæminu hérna fyrir ofan
á þessu hérna fylki fyrir ofan
Við setjum upp fylkið okkar a i
Ókei við ætlum sem sagt að koma að þessu hérna á rudd línu stallagerð alveg þangað til að við erum komin með eininga fylki hérna vinstra megin
Þannig að við byrjum leggjum línu eitt við línu tvö
Og við höldum af áfram í þessu ég vil fá lína eitt mínu lína eitt plús lína þrjú til að fá núll í þessu hérna staki
Framkvæmum þetta semsagt lína eitt í mínus plús lína þrjú í línu þrjú
í línu þrjú
og þá vinnum við upp okkur upp við viljum fá núll í þetta stak þannig að ég segi
mínus lína þrjú plús lína tvö í línu tvö
sem sagt hér erum við komin með eininga fylkið hérna og hér er þá a í mínus fyrsta
Prufum lausnina sem sagt
Ókei einföld fylki eru fylki sem framkvæma eina einfalda línu aðgerð
Þessi það eru þessar þrjár línu aðgerðir leggja margfalda af einni línu við aðra margfalda eina línu með fasta eða skipta um á tveimur línum
Ókei við erum með fyllkið a
Fyrsta ég ætla að hugsa þetta bara eins og þegar ég
er að framkvæma línu aðgerðirnar ég ætla að hugsa hvaða aðferð þarf ég að gera
Nú fyrsta sem ég myndi gera hér væri að skipta um á línu eitt og línu tvö
Ókei þegar við erum að forma einföldu fylkin okkar ég ætla að kalla þetta e einn
þá þarf ég að hugsa hvaða fylki er þannig að þegar ég margfalda það við a
Þetta gefur sem sagt ekki þetta hérna ennþá
Af því að þegar ég margfalda þennan hér
þá er það stak númer tvö sem er margfaldað með einum þá er ég að tína út aðrar línur svo að segja Þannig að í staðinn fyrir að týna fyrst út fyrstu línuna þá vil ég týna út aðra línuna Þannig að ég segi
ég skipti einfaldlega um á línu á eitt og tvö í fylkinu e þannig að núll einn núll fyrst og einn núll núll sísvona
Þetta fylki er þannig að það skiptir um á línu eitt og tvö í fylkinu sem ég margfalda við
þannig að núna gildir þetta hérna samasem merki Nú svo tökum við útgangspunkt í þessu fylki og við hugsum hvað þarf ég að gera til að koma þessu á línu stallagerð Ég þarf að losna við þennan hér
við viljum fá núll þarna
það þarf auðvitað að vera mínus fjórum sinnum lína eitt ekki fjórum sinnum
Ókei við ætlum að breyta línu þrjú við ætlum að nota línu eitt tökum útgangspunkt í eininga fylkinu segjum hérna ég er að búa til fylkið e tveir
ég ætla að margfalda það við e einn sinnum a já akkúrat í þessari röð Þetta sem er óþekkt
e einn sinnum a var ég búinn að reikna út hérna fyrir ofan
og ég ætla að segja ókei ég ætla að að taka útgangspunkt í eininga fylkinu
og svo ætla ég að hugsa ég ætla þegar ég er að marg er að plokka út línu fjögur þá er ég að nota þetta hérna
Þannig að ég ætla að segja
það sem kemur í línu fjögur hefur áhrif á þetta
Ég ætla að segja ef ég segi mínus fjórum sinnum akkúrat í þetta sæti
þá er ég að segja að ég ætla að breyta einhverju í línu
þrjú og ég ætla að nota til þess línu eitt ég ætla að margfalda sem sagt það stak með margfalda hérna með margfaldast á þessi hérna þrjú stak stök þannig að ég segi
akkúrat þarna
set ég töluna mínus fjórir
Af því að ég ætla að breyta einhverju í línu þrjú þá er þetta í línu þrjú
ætlum við að nota línu eitt þá er þetta í dálki eitt Og ég reikna út úr þessu og ég prufa hvort þetta virki og ég fæ
einn núll þrír
ég fæ núll einn tveir
og ég fæ núll mínus þrír mínus fjórir
Ég ætla að taka tvi þrisvar sinnum línu tvö og leggja við línu þrjú til að fá núll þarna
Við ætlum að breyta einhverju í línu þrjú
þannig að við þurfum að setja inn eitthvað í þessa línu
og við ætlum að nota línu tvö þannig að við ætlum að breyta stakinu akkúrat þessu hérna staki
þristur þarna og þá fáum við akkúrat fylkið einn núll þrír núll einn tveir og núll núll tveir sísvona
Nú ætlum við aftur á móti að margfalda
ef við ætlum að margfalda hérna
og út úr þessu kemur einn núll þrír núll einn tveir breytist ekkert og svo núll núll einn
Og svo getum við unnið okkur upp
UNK upp þannig að þetta verði eininga fylki þannig að ég þarf að leggja við mínus tvisvar sinnum línu þrjú við línu tvö til að fá núll þarna
og svo þarf ég að leggja við mínus þrisvar sinnum línu þrjú við þessa línu eitt hérna
Ókei þannig að þær eru komnar hérna þessar tvær aðgerðir sem við áttum eftir og sjáið þið núna er afraksturinn af margfeldunum okkar orðin akkúrat eininga fylki
Nú athugið að þetta hérna margfeldi e sex e fimm e fjórir e þrír e tveir e einn sinnum a gefur mér eininga fylkið Það þýðir
margfeldið af þessum
sex fylkjum hérna
gefur mér akkúrat eininga fylkið Það er að segja þetta margfeldi er akkúrat a í mínus fyrsta þannig að til þess að finna a í mínus fyrsta
þá get ég einfaldlega reiknað einfaldlega einfaldlega þau eru svolítið mörg hérna en
Ef ég margfalda þessa saman þá fæ ég andhverfuna ég fæ
mínus níu aðrir sjö og mínus þrír aðrir ég fæ mínus tveir fjórir og mínus einn og ég fæ þrír aðrir mínus tveir og hálfur
Allar tegundir aðgerða
Þannig að þetta er önnur leið til að finna andhverfuna finna andhverfu fylkis sem að koma fylk fylkinu okkar á línu stallagerð með margföldun
látum þessar tvær aðferðir duga
Fylkisins a
Ókei nú er ljóst að það geta ekki öll eigingildi haft svona vigur fyrirgefðu geta ekki öll fylki haft svona eiginvigur
Segjum til dæmis að við séum með þennan þetta hérna fylki
Nú þetta fylki könnumst við kannski við sem fylkið sem tekur vigur ex og varpar yfir a ex
Og það sem gerist þegar þú varpar honum yfir hann snýr vigrinum rangsælis um níutíu gráður
Þannig við erum með vigur einhvern vigur ex hérna þá er a ex níutíu gráðu snúningur
Nú það er ljóst af þessu að við getum ekki tekið einhvern raungildan vigur og látið a virka á hann og fengið út fastamargfeldi af vigrinum sem við byrjuðum með vegna þess að hann er alltaf snúa níutíu gráður
En hvað ef við leyfum tvinntölur Nú þá er hægt að sýna fram á ef við segjum tökum til dæmis vigurinn núll mínus einn einn og núll er fylkið mitt
Hvað ef ég margfalda þetta með vigrinum einn og mínus i Margfalda ég upp úr sviganum þá fæ ég núll mínus mínus i sem sagt i og einn plús núll í og einn
Munið að i í öðru er mínus einn
Nú sömuleiðis er hægt að finna annað eigingildi og annan eiginvigur og það kemur í ljós að þetta er alltaf samokatala hins eiginvigursins þannig þetta er einn og i
Margfalda þetta saman þá fæ ég mínus i ég fæ einn sem er sem sagt mínus i sinnum einn i sisvona
Og þetta er eigingildi og eiginvigur fyrir fylkið a
Nú þetta þessi það eru ákveðnar upplýsingar í þessum eigingildum og eiginvigrum alveg eins og UNK og við finnum þau með því að leysa nákvæmlega sömu jöfnur og þegar við erum að finna raungild eigingildi og eiginvigra
Og við skulum prufa að sjá bara dæmi
Hérna er ég með fylki það er núll komma fimm mínus núll komma sex núll komma sjötíu og fimm og einn komma einn og við ætlum að finna eigingildi og eiginvigra
Við ætlum að byrjað á að taka hérna núll komma fimm mínus lambda og mínus núll komma sex
Núll komma sjötíu og fimm og einn komma einn mínus lambda
Tökum  þessa ákveðu þá fæ ég núll komma fimm mínus lambda sinnum einn komma einn mínus lambda plús núll komma sjötíu og fimm sinnum núll komma sex
Nú þetta er jafnt og núll ef lambda er jafnt og mínus b það er einn komma sex plús mínus rótin af b í öðru mínus fjórir sinnum a sinnum c a og c eru bæði einn deilt með tvisvar sinnum a sem er einn
Og hérna fæ ég þá einn komma sex plús mínus rótin af mínus einn komma fjörutíu og fjórir sem við getum náttúrulega ekki gert ef þetta á að vera rauntala en við leyfum tvinntölurnar
Og rótin af mínus einum er i
Þá fæ ég einn komma sex plús mínus i sinnum rótin af einn komma fjórir fjórir deilt með tveimur og þetta verður svo mikið sem núll komma átta plús mínus núll komma sex sinnum i