DatarrX/myanmar-Wikipedia huggingface dataset:
စက်လုံးပေါ်ရှိ မည်သည့် မျဉ်းကွေးပိတ် (closed curve) ကိုမဆို အမှတ်တစ်ခုတည်းဖြစ်သွားရန် အဆက်မပြတ် ကျုံ့ယူသွားနိုင်သော်လည်း မုန့်လက်ကောက် ပေါ်တွင်မူ မျဉ်းကွေးတိုင်းကို ထိုသို့ပြုလုပ်၍ မရနိုင်ပေ။
တိုပေါ်လော်ဂျီကို နယ်ပယ်ခွဲများအဖြစ် ထပ်မံခွဲခြားထားသည်။
အစုသီအိုရီအခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology သို့မဟုတ် set-theoretic topology) ကို ဤနယ်ပယ်ခွဲများအားလုံး၏ အခြေခံအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။
တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ အရေးပါသော သဘောတရားတစ်ခုမှာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) ဖြစ်သည်။
အခြားသော သင်္ချာကတ်တဂိုရီများတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homomorphisms) ဟု အများအားဖြင့် ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည့်အရာများနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ (continuous mappings) သည် သဘောတရာကိုက်ညီမှု ရှိသည်။
တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကြားတွင် မိမိကိုယ်တိုင်သာမက မိမိ၏ ပြောင်းပြန်ဖန်ရှင် (inverse function) ပါ အဆက်မပြတ်ဖြစ်နေသော ကို ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းသည် အခြားသော ကတ်တဂိုရီများရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) နှင့် သဘောတရား တူညီသည်။
ဟိုမီယိုမောဖစ်ဖြစ်သော ရပ်ဝန်းများကို တိုပေါ်လော်ဂျီ နည်းလမ်းများဖြင့် ခွဲခြားမရနိုင်ပါ။
ပို၍ ယေဘုယျကျကျဆိုရလျှင် စိတ်ဝင်စားဖွယ် ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ တည်ရှိခြင်း ရှိမရှိ ဖြစ်သည်။
စုစည်းမှု \mathcal{T} ကို X အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး တိုပေါ်လော်ဂျီကို နားလည်သဘောပေါက်ပြီးဖြစ်ပါက (X,\mathcal{T}) အစား X ဟုသာ ရေးသားသည်။
တိုပေါ်လော်ဂျီ \mathcal{T} ၏ အစုဝင်များကို အဖွင့်စုများ (open sets) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး အစုတစ်ခု၏ ဖြည့်စွက်စု (complement) သည် အဖွင့်စု ဖြစ်မှသာလျှင် ထိုအစုကို အပိတ်စု (closed set) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။
X ၏ အစုပိုင်းအားလုံးပါဝင်သော စုစည်းမှု 2^X သည် X အပေါ် တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။
အစု သည် X အပေါ်ရှိ တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (indiscrete topology) သို့မဟုတ် အသေးအဖွဲ တိုပေါ်လော်ဂျီ (trivial topology) ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။
ကြမ်းသည် နှင့် အသေးစိတ်သည် တို့အစား အချို့က ပိုငယ်သည် (smaller) နှင့် ပိုကြီးသည် (larger) သို့မဟုတ် ပိုအားနည်းသည် (weaker) နှင့် ပိုအားကောင်းသည် (stronger)" ဟု သုံးနှုန်းလေ့ရှိကြသည်။
လက်တွေ့တွင် တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုလုံးကို ဖော်ပြမည့်အစား ၎င်းကို ထုတ်လုပ်ပေးနိုင်သည့် အရေအတွက်ပိုနည်းသော အဖွင့်စုများကိုသာ အသုံးပြု၍ ပို၍ လွယ်ကူစေသည်။
အစု X ၏ အစုပိုင်းများ ပါဝင်သော စုစည်းမှု \mathcal{B} သည် X အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုအတွက် အခြေအစု (basis) ဖြစ်ရန် အောက်ပါ အခြေအနေများနှင့် ပြည့်စုံရမည်။
အခြေအစု \mathcal{B} မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော တိုပေါ်လော်ဂျီ \mathcal{T} ဆိုသည်မှာ \mathcal{B} ကို ငုံထားသည့် တိုပေါ်လော်ဂျီများအနက် အကြမ်းဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။
အခြားတစ်နည်းဆိုရသော် U \subset X သည် အခြေအစု \mathcal{B} မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော တိုပေါ်လော်ဂျီတွင် အဖွင့်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ U အတွင်းရှိ မည်သည့် x အတွက်မဆို x \in B \subseteq U ဖြစ်စေမည့် B \in \mathcal{B} တစ်ခု ရှိနေခြင်းဖြစ်သည်။
x \in B ဖြစ်စေသော \mathcal{B} အတွင်းရှိ အစုများကို x ၏ အခြေခံ အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (basic open neighborhoods) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။
ယေဘုယျအားဖြင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ \mathcal{T} အတွင်းရှိ x ပါဝင်သော အစုများကို x ၏ အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (open neighborhoods) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းတို့အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို \mathcal{T}_x ဖြင့် ဖော်ပြသည်။
အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံသော ပုံဖော်မှု (mapping) d:X\times X\rightarrow\mathbb{R} ကို X အပေါ်ရှိ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်(metric) ဟု ခေါ်သည်။
မည်သည့် \varphi, \psi, \chi\in X အတွက်မဆို (M1) d(\varphi,\psi)\ge0 (အပေါင်းကိန်းဖြစ်မှု - Positivity) (M2) d(\varphi,\psi)=0 ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ \varphi=\psi ဖြစ်သည် (တိကျသေချာမှု - Definiteness) (M3) d(\varphi,\psi)=d(\psi,\varphi) (အချိုးညီမှု - Symmetry) (M4) d(\varphi,\psi)\le d(\varphi,\chi)+d(\chi,\psi) (တြိဂံ မညီမျှခြင်း - Triangle inequality) ဤကဲ့သို့ အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တပ်ဆင်ထားသော အစုစုံတွဲ (X, d) ကို အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (metric space) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။
အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း X ၏ အစုဝင်တစ်ခုဖြစ်သော \varphi နှင့် r>0 တို့အတွက် အစု B(\varphi;r):=\{\psi\in X:d(\varphi,\psi) ကို \varphi ဗဟိုပြု၍ အချင်းဝက် r ရှိသော အဖွင့်စက်လုံး (open ball) ဟု ခေါ်သည်။
အဆိုပါ စက်လုံးများဖြစ်သော \{B(\varphi;r)}\ အားလုံး၏ စုစည်းမှုသည် X အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုအတွက် အခြေအစုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။
ထိုတိုပေါ်လော်ဂျီကို အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီ (metric topology) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။
ထို့ကြောင့် အကွာအဝေး ဖန်ရှင်တစ်ခု ပါဝင်သော မည်သည့်အစုမဆိုသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။
အခြားတစ်ဖက်တွင်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီ \mathcal{T} ရှိသော ရပ်ဝန်း Y အပေါ်တွင် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် \mathcal{T} တို့ ထပ်တူကျစေမည့် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် d တစ်ခု ရှိနေပါက ထိုရပ်ဝန်း Y ကို အကွာအဝေး ဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်သည်(metrizable) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။
အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ မည်သည့် အစုပိုင်း (subset) မဆိုသည်လည်း အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။
အထူးသဖြင့် သာမန် ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (Euclidean distance function) ပါဝင်သော \mathbb{R}^n သည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်း၏ အစုပိုင်းများသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအတွက် ဥပမာကောင်းများ ဖြစ်ကြသည်။
မည်သည့် အစု X ကိုမဆို အဆုံးရှိဖြည့်စွက်စု တိုပေါ်လော်ဂျီ (cofinite topology) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။
အလားတူပင် မည်သည့်အစုကိုမဆို ဖြည့်စွက်စုသည် ရေတွက်နိုင်သောအစု (countable set) ဖြစ်နေသော အဖွင့်စုများပါဝင်သည့် ရေတွက်နိုင်သောဖြည့်စွက်စု တိုပေါ်လော်ဂျီ (cocountable topology) ဖြင့်လည်း ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။
ဗလာအစု (empty set) \emptyset နှင့် အမှတ်တစ်မှတ်တည်းပါသော အစု (one-point set) တို့သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့၏ တိုပေါ်လော်ဂျီများသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) တိုပေါ်လော်ဂျီများ ဖြစ်ကြသည်။
မည်သည့် ရပ်ဝန်း X အတွက်မဆို \emptyset \to X နှင့် X \to ဟူသော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် ဖန်ရှင်များသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြသည်။
Set ကတ်တဂိုရီတွင်ကဲ့သို့ပင် Top ကတ်တဂိုရီတွင် ဗလာအစုသည် အစ အရာဝတ္ထု (initial object) ဖြစ်ပြီး အမှတ်တစ်မှတ်တည်းပါသော အစုသည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု (terminal object) ဖြစ်သည်။
ကိန်းစစ်မျဉ်း \mathbb{R} သည် သာမန်အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီအပြင် အခြားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများကိုလည်း လက်ခံနိုင်သည်။
ယေဘုယျအားဖြင့် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသောအစု (totally ordered set) X တစ်ခုအတွက် (a, b) = \{x \in X a ပုံစံရှိ အပိုင်းအခြားများနှင့်အတူ (a, \infty) နှင့် (-\infty, b) တို့သည် အစဉ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (order topology) ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။
ကိန်းစစ်အစု \mathbb{R} သည် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသောအစုဖြစ်ပြီး ၎င်းအပေါ်ရှိ အစဉ် တိုပေါ်လော်ဂျီသည် သာမန် တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် ထပ်တူကျသည်။
သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) \mathbb{N} နှင့် ကိန်းပြည့်များ (integers) \mathbb{Z} အစုတို့ကို အများအားဖြင့် တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီများ (discrete topologies) အဖြစ် သတ်မှတ်လေ့ရှိသော်လည်း အခြားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများလည်း တည်ရှိသည်။
အထူးသဖြင့် a \in \mathbb{Z} \setminus {0} နှင့် b \in \mathbb{Z} တို့အတွက် S(a,b) = \{an+b n \in \mathbb{N}\} ပုံစံရှိ အစုများနှင့် ဗလာအစု \emptyset တို့ကို အဖွင့်စုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခု \mathbb{Z} အပေါ်တွင် တည်ရှိသည်။
R သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring with unit) တစ်ခုဖြစ်ပြီး \text{spec } R သည် R ၏ သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်များ (prime ideals) အစုဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။
ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး ဗက်တာရပ်ဝန်း (vector space) V တစ်ခုပေါ်ရှိ စံနှုန်း (norm) ဆိုသည်မှာ \cdot : V \to \mathbb{R} သို့မဟုတ် \mathbb{C} သို့ ပုံဖော်ထားသော ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။
စံနှုန်းရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတိုင်းသည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခုဖြစ်ပြီး d(\varphi,\psi) = \varphi-\psi ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။
အတိုင်းအတာအကန့်အသတ်ရှိသော (finite dimensional) ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုပေါ်တွင် မည်သည့် စံနှုန်းကို ရွေးချယ်သည်ဖြစ်စေ သက်ဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် အချင်းချင်း ဟိုမီယိုမောဖစ် (homeomorphic) ဖြစ်ရုံသာမက လုံးဝတူညီသော ရပ်ဝန်းများပင် ဖြစ်ကြသည်။
တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုကြားရှိ ဖန်ရှင် f: X \to Y တစ်ခုသည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (continuous function) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ Y အတွင်းရှိ U သည် အဖွင့်စုဖြစ်တိုင်း ၎င်း၏ မူလပုံရိပ် (preimage) ဖြစ်သော f^{-1}U သည် X အတွင်း၌ အဖွင့်စု ဖြစ်နေခြင်းဖြစ်သည်။
မည်သည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း X အတွက်မဆို ထပ်တူရ ဖန်ရှင် (identity function) id_X: X \to X သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း စစ်ဆေးရန် လွယ်ကူသည်။
ထို့အပြင် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများဖြစ်သော X ၊ Y ၊ Z တို့နှင့် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များဖြစ်သော f: X \to Y နှင့် g: Y \to Z တို့အတွက် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ဖြစ်သော gf := g \circ f: X \to Z သည်လည်း အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။
ထိုဖန်ရှင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity) နှင့်လည်း ပြည့်စုံသည်။
ထိုကတ်တဂိုရီကို သင်္ချာနယ်ပယ်တွင် Top ဟု အများအားဖြင့် သတ်မှတ်ခေါ်ဆိုကြသည်။
သင်္ချာဘာသာရပ်သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များအောက်တွင် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများကို အဓိကထားလေ့လာလေ့ရှိသည်။
ထိုသို့သော ဂုဏ်သတ္တိများကို တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (topological properties) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ရပ်ဝန်းတစ်ခုနှင့်တစ်ခုကို ခွဲခြားရာတွင် အသုံးပြုသည်။
အကယ်၍ X နှင့် Y တို့သည် ဟိုမီယိုမောဖစ်ဖြစ်ပြီး X တွင် တိကျသော ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ရှိနေပါက Y တွင်လည်း ထိုဂုဏ်သတ္တိ ရှိရမည် (သို့မဟုတ် မရှိနိုင်ပါ)။
သို့မဟုတ် X တွင် တိကျသော ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု မရှိပါက Y တွင်လည်း ထိုဂုဏ်သတ္တိ မရှိနိုင်ပါ။
တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အစုအရွယ်အစား (cardinality) သည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ဖြစ်သည်။
အကြောင်းမှာ မည်သည့် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် f: X \to Y မဆိုသည် ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်ဖြစ်သောကြောင့် X နှင့် Y တို့ကို အစုများအနေဖြင့် ကြည့်လျှင် အရွယ်အစား တူညီရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။
အကွာအဝေး ဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်ခြင်း (metrizability) သည်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ဖြစ်သည်။
ထို့အပြင် ဆက်စပ်နေမှု (connectedness) ၊ ကျစ်လျစ်မှု (compactness) ၊ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်မှု (Hausdorff) ၊ ပထမအကြိမ် ရေတွက်နိုင်မှု (first countability) စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများသည်လည်း အရေးပါသော တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်ကြသည်။
သို့သော် ဂုဏ်သတ္တိတိုင်းသည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ ဖြစ်သည်ဟု မဆိုနိုင်ပါ။
သို့သော် ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်းဖြစ်ခြင်းသည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ မဟုတ်ပါ။
သက်သေပြရမည်ဆိုလျှင် (-1, 1) \to \mathbb{R} သို့ ပုံဖော်ထားသော x \mapsto \frac{x}{(1-x^2)} သည် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သော်လည်း \mathbb{R} သည် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး (-1, 1) သည် ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်း မဟုတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။
အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်သည် အကန့်အသတ်ရှိသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ပါက ထိုရပ်ဝန်းကို အကန့်အသတ်ရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။
သိသာထင်ရှားစွာပင် (-1, 1) သည် အကန့်အသတ်ရှိသော်လည်း \mathbb{R} သည် အကန့်အသတ်မရှိပါ။
ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများကို ခွဲခြားနိုင်သော ရပ်ဝန်းများ (separated spaces) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။
တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း X တစ်ခုရှိ မတူညီသော အမှတ်အတွဲ x, y \in X တိုင်းအတွက် x \in U နှင့် y \in V ဖြစ်စေမည့် ဘုံမပါသော အဖွင့်စုများ (disjoint open sets) U, V \subset X တည်ရှိနေခြင်းသည် ထိုရပ်ဝန်း X ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ဖြစ်သည်။
ထောင့်ဖြတ် (diagonal) \Delta(X) \subset X \times X သည် အပိတ်စုပိုင်း တစ်ခုဖြစ်နေခြင်းသည် ရပ်ဝန်း X ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။
အကယ်၍ f : X \to Y သည် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု တစ်ခုဖြစ်ပြီး Y သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက f ၏ ဂရပ် (graph) သည် X \times Y အတွင်း အပိတ် ဖြစ်သည်။
အကယ်၍ f : X \to Y နှင့် s : Y \to X တို့သည် f \circ s = \text{id}_Y ဖြစ်သော အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ ဖြစ်ပြီး X သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက ပုံရိပ် (image) s(Y) သည် အပိတ် ဖြစ်သည်။
အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများဖြစ်သော X \to Z နှင့် Y \to Z တို့အတွက် အကယ်၍ Z သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက ဖိုက်ဘာ မြှောက်လဒ် (fibre product) X \times_Z Y သည် X \times Y အတွင်း အပိတ် ဖြစ်သည်။
အကယ်၍ ထောင့်ဖြတ် \Delta : X \to X \times_Y X သည် အပိတ် ပုံဖော်မှု (closed map) တစ်ခုဖြစ်ပါက အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု f : X \to Y ကို ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဟု ခေါ်ဆိုသည်။
ပုံဖော်မှု f : X \to Y တစ်ခုသည် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ \Delta(X) \subset X \times_Y X သည် အပိတ်စုပိုင်း ဖြစ်နေခြင်းဖြစ်သည်။
ထိုအချက်သည် Y အတွင်းရှိ အမှတ်တစ်ခုတည်းသို့ ပုံဖော်ထားသော X အတွင်းမှ မည်သည့် မတူညီသော အမှတ်များ x, x' \in X မဆိုတွင် ဘုံမပါသော အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (disjoint open neighbourhoods) ရှိရမည်ဟု ဆိုခြင်းနှင့်လည်း ထပ်တူညီသည်။
အကယ်၍ အရင်းအမြစ် (domain) X သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက မည်သည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု f : X \to Y မဆိုသည် အလိုအလျောက် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်သွားသည်။
အကယ်၍ f : X \to Y သည် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်ပါက မည်သည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု Y' \to Y တစ်လျှောက်မဆိုရှိ ၎င်း၏ အခြေပြောင်းလဲခြင်း (base change) Y' \times_Y X \to Y' သည်လည်း ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်သည်။
သင်္ချာသုံးသပ်ချက်များ ဟု အနက်ဖွင့်နိုင်မည့် Mathematical Reviews အမည်ရ သင်္ချာဂျာနယ်ကို (AMS) ခေါ် အမေရိကန် သင်္ချာအသင်းမှ ထုတ်ဝေသည်။
ဂျာနယ်ပေါင်းစုံတို့တွင် ပါရှိသည့် ၊ နှင့် နယ်ပယ်များမှ စာတမ်းအမြောက်အမြား၏ အကျဉ်းချုပ်များနှင့်၊ တခါတရံတွင် ၎င်းစာတမ်းများအပေါ် အကဲဖြတ်သုံးသပ်ချက်များကိုပါ၊ စုစည်းထုတ်ဝေခြင်း ဖြစ်သည်။
ဇီဝရုပ်ကြွင်းလောင်စာများ သည် သက်ရှိများ သေကြေပျက်စီးပြီး သဘာဝအလျောက် ဖြစ်ပေါ်လာသော ပင် ဖြစ်သည်။
နှင့် ယင်းတို့၏ရုပ်ကြွင်းများသည် ယေဘုယျအားဖြင့် နှစ်သိန်းပေါင်းများစွာ ကြာမြင့်ကာ တခါတရံ၌ နှစ်သိန်းပေါင်း ၆၅၀ ကျော်လွန်သည်။
Paul Mann, Lisa Gahagan, and Mark B. Gordon, "Tectonic setting of the world's giant oil and gas fields," in Michel T. Halbouty (ed.) [ ''Giant Oil and Gas Fields of the Decade, 1990–1999''], Tulsa, Okla.: American Association of Petroleum Geologists, p. 50, accessed 22 June 2009. ရုပ်ကြွင်း လောင်စာများတွင် ၊ ၊ ဓာတ်ဆီစသော ရာခိုင်နှုန်းများစွာ ပါဝင်သည်။
တစ်နှစ်လျင် ရုပ်ကြွင်းလောင်စာမှ လောင်ကျွမ်းမှုကြောင့် တန်ချိန် ၂၁. ဘီလီယံ လေထုသို့ ရောက်စေသည်။
ကာဗွန်ဒိုင်အောက်ဆိဒ်သည် ဖန်လုံအိမ်သာနိသင် ဖြစ်စေသည့် ပင်မအချက်ဖြစ်ပြီး အား ကူညီပေးရာရောက်သည်။
သူသည် လန်ဒန် ရွိင်ယယ်အဖွဲ့အစည်းမှ အဖွဲ့ဝင်အဖြစ် ရွေးချယ်ခံခဲ့ရပြီး ၁၈၈၄ ခုနှစ်တွင် ၏ လက်တွေ့ ရူပဗေဒဆိုင်ရာ ပါမောက္ခတန်းဝင်အဖြစ် ခန့်အပ်ခံခဲ့ရသည်။
ယင်းသည် အား ရှာဖွေတွေ့ရှိမှုပင်ဖြစ်ပေသည်။
သော်မဆင်သည် အားလည်း ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည့်နေရာတွင် အမည်ရခဲ့သည်။
အငွေ့ထဲတွင် လျှပ်စစ်ဓာတ် စီးကူးမှုအား ရှာဖွေတွေ့ရှိချက်ကြောင့် သော်မဆင်သည် ၁၉၀၆ ခုနှစ်တွင် ကို အပ်နှင်းခြင်းခံရသည်။
သူ၏ တပည့် ၇ ယောက်စလုံးသည်လည်း ရူပဗေဒ မဟုတ်လျှင် ကို ဆွတ်ခူးရရှိခဲ့သည်။
သို့သော် လူသားများ အကြောင်း နားလည်မှုကို တစ်ခေတ်ဆန်းစေသည့် ကွမ်တမ် သီအိုရီ၏ ဖခင်ဖြစ်ပေသည်။
WikiSky တွင် ၊ ၊ နှင့် တို့ပါဝင်သော်လည်း မွမ်းမံနေဆဲအဆင့် ဖြစ်သည်။
တွင် တည်ဆောက်နေသော ဤကဲ့သို့ ဆောက်လုပ်ရေး စီမံကိန်းများတွင် များသည် မရှိမဖြစ် လိုအပ်သည်။
သူသည် စာရင်းအင်းဆိုင်ရာ မက္ကင်းနစ်၊ ၊ ၊ ၊ အရောင်သီအိုရီ၊ ပေါင်းစည်းစက်ကွင်းသီအိုရီနှင့် အီထက်ထရိုဒိုင်းနမစ်စသော နယ်ပယ်ပေါင်းများစွာတွင် ပူးပေါင်းလုပ်ဆောင်ပေးခဲ့သည်။
နိုင်ငံတကာ သင်္ချာသမဂ္ဂ က ကြီးမှူး၍ အများအားဖြင့် လေးနှစ်တစ်ကြိမ်ကျင်းပသည့် သင်္ချာပညာရှင်များ၏ နိုင်ငံတကာညီလာခံ တွင် ဤဆုတံဆိပ်ကို အသက် ၄၀ အောက် ထူးချွန်ပညာရှင် နှစ်ဦးမှ လေးဦးအထိအား ချီးမြှင့်လေ့ရှိသည်။
ကို သင်္ချာဆိုင်ရာ သုတေသနအတွက် သီးသန့် ချီးမြှင့်ခြင်းမရှိရာ၊ အာဘဲလ်ဆု နှင့် ဤ ဖီး ဆုတံဆိပ် နှစ်ခုကို သင်္ချာဆိုင်ရာ နိုဘဲလ်ဆုများဟု ခိုင်းနှိုင်းပြောဆိုလေ့ရှိသည်။
အာဘဲလ်ဆုနှင့် မတူသည့် အချက်မှာ ဖီး ဆုတံဆိပ်ကို အသက် ၄၀ မကျော်သေးသည့် ကိုသာ ချီးမြှင့်နိုင်သည်ဟု သတ်မှတ်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။
ပလတ်စတစ် (Plastic)သည် မော်လီကျူလာ (Molecular) ထုထည် မြင့်မားသော အော်ဂဲနစ် ပေါ်လီမာ (Organic Polymer) များ ဖြစ်ကြပြီး တခါတရံတွင် အခြား ဒြပ်နှောများလည်း ပါဝင်သည်။
ခေတ်မှီ ပလတ်စတစ်လုပ်ငန်းသည် အဓိကအားဖြင့် ဩဂဲနစ်ဒြပ်ပေါင်းတို့မှ ပုံသွင်းနိုင်သော ပစ္စည်းများကို ထုတ်လုပ်ယူသော လုပ်ငန်းပင်ဖြစ်သည်။
ဓာတ်ကော်စေးပလတ်စတစ်တို့သည် အထူးထူးအပြားပြားအသုံးဝင်ကြသည်။
ပုံသွန်းပလတ်စတစ်ပစ္စည်းတို့တွင် အဆာကို အများအပြားအသုံးပြုကြသည်။
မြန်မာနိုင်ငံ ဒုတိယကမ္ဘာစစ်ကြီးမဖြစ်မီက ပလတ်စတစ်လုပ်ငန်းမရှိသဖြင့် နိုင်ငံခြားဖြစ်ပလတ်စတစ်ကော်ဘီး၊ ဖောင်တိန်စသည်တို့ကိုအသုံးပြုခဲ့ရသည်။
ယင်းအား ၁၇၈၈ ခုနှစ်တွင် ဆိုသူက ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။
ယင်းသည် တွင် တည်ရှိပြီး ၆၀ မီလီယံ ကွာဝေးသည်။
SN 2009gj အား NGC 134 တွင် ၂၀၀၉ ခုနှစ်၌ နယူးဇီလန်မှ နက္ခတ္တပညာရှင် David Kraitzick ဆိုသူက လေ့လာတွေ့ရှိခဲ့သည်။
နက်ဗျူလာ တောက်ပမှုအား တိုင်းတာသောနည်းလမ်းဖြင့် ခန့်မှန်းရာ အကွာအဝေးသည် ၁၀.၈၉ မီလီယံ ရှိသည်ဟုဆိုသည်။
ရာစုနှစ်ဝက် ကြာသော် မှ ယင်းဂလက်ဆီအား ၁၈ လက်မအရှည် တယ်လီစကုပ်ဖြင့် ထပ်မံတွေ့ရှိခဲ့သည်။
NGC 253 သည် ပြီးလျင် ကောင်းကင်ယံ၌ ရှုမြင်ရ အလွယ်ကူဆုံး ဂယ်လက်ဆီများထဲမှ တစ်ခုဟု သုံးသပ်နိုင်သည်။
သူ၏ ထင်ပေါ်ဆုံး လုပ်ငန်းများမှာ တွေးခေါ်မှုပိုင်းနှင့် သိပ္ပံနည်းကျ စွယ်စုံကျမ်း ''The Book of Healing'' နှင့် ဆေးဘက်ဆိုင်ရာ စွယ်စုံကျမ်း ''Canon of Medicine'' ဖြစ်ကြသည်။
Edwin Clarke, Charles Donald O'Malley (1996), [ ''The human brain and spinal cord: a historical study illustrated by writings from antiquity to the twentieth century''], Norman Publishing, p.&nbsp;20 (ISBN 0-930405-25-0).Iris Bruijn (2009), [ ''Ship's Surgeons of the Dutch East India Company: Commerce and the progress of medicine in the eighteenth century''], Amsterdam University Press, p.&nbsp;26 (ISBN 90-8728-051-3). ယင်းဆေးစွယ်စုံကျမ်းသည် အလယ်ခေတ် ဆေးဘက်ဆိုင်ရာ တက္ကသိုလ်ပေါင်းများစွာ၏ သင်ရိုးညွန်းတမ်း ဖြစ်ခဲ့သည်။
အောက်ပါတို့သည် ဂူဂဲလ်ကုမ္ပဏီမှ ပြုလုပ်ထောက်ပံ့ထားသော ထုတ်ကုန်များစာရင်း ဖြစ်သည်။
Google Search Hummingbird PageRank Snapshots Google Search functionality Multiple languages Google Author Rank Experimental Search Encrypted Search Google Alerts Google Books Google Custom Search Google Finance Google Groups Google Hotel Finder Google Flight Search Google Image Search Language Tools Google China Google News Google Patent Search Google Recipe View Google Scholar Google Shopping Suggest Google Video Web History Knowledge Graph Zagat AdWords Editor Google Chrome Google Earth Google Input Tools Google Japanese Input Google Pinyin Google Toolbar Android Studio Google Web Designer Google Drive Google Photos Backup Nik Collection Tilt Brush အန်းဒရိုက် OS –လင်းနပ်ကို အ​ခြေခံကာ ပြုလုပ်ထားသော စက်လည်ပတ်မှုစနစ်တစ်ခုဖြစ်သည်။
Google Fuchsia Google Cloud Platform – ဆော့ဖ်ဝဲတီထွင်ဖန်တီးမှုအတွက် အထောက်အပံ့ပေးထားသော cloud ဝန်ဆောင်မှု ဖြစ်သည်။
death_place = ချီကာဂို၊ အီလီနွိင်း၊ အမေရိကန်။
ဖာမီသည် ၊ နယူးကလိယား ရူပဗေဒ၊ statistical မက္ကင်းနစ် ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်ရေးတို့တွင် ပါဝင်ဆောင်ရွက်ပေးခဲ့သည်။
ယင်းတွင် ၊ စိတ်ပညာ၊ ဆေးဝါးဘာသာရပ် အစရှိသည်တို့ ပါဝင်သည်။
နယူးကလိယား ဖစ်ရှင်း သည် တစ်ခုမှ ပိုသေးငယ်သော အက်တမ်များအဖြစ် ပြိုကွဲသည့်ဖြစ်စဉ်ဖြစ်သည်။
ယင်းဖြစ်စဉ်သည် အင်မတန်များပြားသော ကို ထုတ်ပေးပြီး နှင့် နယူးကလိယား ဓာတ်ပေါင်းဖိုများတွင် အသုံးချသည်။
ယင်းအတွက် Otto Hahn သည် အား ၁၉၄၅ ခုနှစ်တွင် ဆွတ်ခူးရရှိခဲ့သည်။
အက်တမ်တစ်ခုသည် အင်မတန်သေးငယ်ကြပြီး ၊ ကဲ့သို့သော ဒြပ်စင်များကို ဖြစ်စေသည်။
အနည်းငယ်မျှသာ များပြားပြီး ဖစ်ရှင်းဖြစ်စဉ်ကို ထုတ်ပေးနိုင်သည်။
Jake Tyler (Sean Faris) lowa မှ Orlando, Florida သို့ သူ၏မိခင် Margret (Leslie Hope) နှင့် ညီငယ်, Charlie (Wyatt Smith) Charlie ၏ ကျွမ်းကျွင်သော တင်းနစ်ကစားသမားဘဝကို အထောက်အပံဖြစ်စေရန် မကြာသေးမီက ပြောင်းလဲခဲ့သည်။
ပညာရပ်တွင် လျှပ်စစ်သံလိုက် ရောင်စဉ်ပျံ့နှံ့ခြင်း သည် ဟင်းလင်းပြင်၌ လျှပ်စစ်သံလိုက် ရောင်စဉ်စွမ်းအင်ပျံ့နှံ့သည့် လျှပ်စစ်သံလိုက်စက်ကွင်း၏ ဖိုတွန်လှိုင်းများကို ရည်ညွန်းသည်။
ယင်းတွင် ၊ မိုက်ခရိုလှိုင်း၊ ၊ အလင်း၊ နှင့် တို့ ပါဝင်သည်။
လျှပ်စစ်သံလိုက် ရောင်ခြည်လှိုင်းတို့သည် ဖြင့် ခရီးသွားသည်။
ကွမ်တမ် အီလက်ထရိုဒိုင်းနမစ်တွင် လျှပ်စစ်သံလိုက် ဓာတ်ပြုမှုနှင့် သက်ဆိုင်သော ၏ များ ပါဝင်သည်။
သံလိုက်စက်ကွင်း သည် ၏ ပြောင်းလဲမှုကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာသော၊ တစ်နည်းအားဖြင့် ကြောင့် ဖြစ်ပေါ်အပ်သော စက်ကွင်း ဖြစ်သည်။
တုံးများ ဖြစ်ပေါ်ရခြင်း အကြောင်းမှာလည်း ဤသံလိုက်စက်ကွင်းများ‌ေကြာင့်ဖြစ်သည်။
သံလိုက်စက်ကွင်းများကို အခြေခံကျသော ၊ ယင်းတို့၏ များနှင့် ဆက်နွယ်သည့် အခြေခံအမှုန်၏အရွေ့နှင့် ရွေ့လျားနေသော လျှပ်စစ်ဓာတ်တို့ဖြင့် ထုတ်လုပ်နိုင်သည်။
ကွမ်တမ် ရူပဗေဒ၌မူ လျှပ်စစ်သံလိုက်စက်ကွင်းသည် ကွမ်တမ်ပြုခံရပြီး လျှပ်စစ်သံလိုက် အပြန်အလှန်ဆက်နွယ်မှုများသည် များ ဖလှယ်ရာမှ ဖြစ်ပေါ်လာသည်။
data3 = အပေါ်တန်း: ၊ နီယွန်မီးချောင်းများသည် ပလာစမာအား နေ့စဉ်မြင်ရသည့်ဖြစ်စဉ်ပင်။
အောက်တန်း:ရှုပ်ထွေးသော ပလာမစာ၏ ဥပမာများဖြစ်သည်။
အခြား ၃ ခုမှာ ၊ နှင့် တို့ဖြစ်ကြသည်။
သို့သော် အပြည့်အဝ အိုင်ယွန်းနစ် ပလာစမာများကိုမူ ၏အတွင်းဘက်ပိုင်း၊ ဆိုလာ ကော်ရိုနာနှင့် ၏အတွင်းပိုင်း တို့၌သာ ဖြစ်ပွားသည်။
ရူပဗေဒတွင် လှိုင်း သည် အာကာသ ကြားခံနယ် သို့မဟုတ် ထုထည်တလျှောက် စွမ်းအင် ပြီးမြောက်ကူးပြောင်းသည့် တုန်ခါမှု ဖြစ်သည်။
သည် အချိန်၏ ထပ်ပေါင်းအဖြစ် ရည်ညွန်းသည်။
ဒုတိယတစ်မျိုးမှာ ဖြစ်ပြီး ကြားခံနယ် မလိုအပ်ပေ။
ယင်းတို့သည် လျှပ်စစ်နှင့် များဖြင့် တုန်ခါသောကြောင့် ကို ဖြတ်သန်းသွားနိုင်သည်။
ယင်းအမျိုးအစားသည် ဖြင့် ကွဲပြားသွားပြီး ၊ မိုက်ခရိုလှိုင်း၊ အနီအောက် ရောင်စဉ်ဖြာထွက်ခြင်း၊ နှင့် တို့ဖြစ်ကြသည်။
ရေအား (, "water") သည် ကျနေသောရေ သို့မဟုတ် လျင်မြန်စွာ စီးဆင်းသည့်ရေစွမ်းအင်မှ ရရှိသည့် စွမ်းအားဖြစ်သည်။
ကမ္ဘာ့ဘဏ်ကဲ့သို့သော နိုင်ငံတကာအဖွဲ့အစည်းများက ရေအားလျှပ်စစ် ဖွံ့ဖြိုးမှုအား လေထုထဲ မရောက်ရှိစေဘဲ စီးပွားရေး တိုးတက်မှုအဖြစ် ရှုမြင်သည်။
သို့သော်လည်း များသည် သဘာဝပတ်ဝန်းကျင်ဆိုင်ရာ အကျိုးသက်ရောက်မှုကို ဖြစ်စေသည်။
တောင်တန်း နှင့် တောင်တန်းအကြားတွင် တည်ရှိပြီး တို့သည် ကျောမြို့ကို ဖြတ်သန်းသွားသည်။
သည် ကျောဒေသကို မြောက်မှတောင်သို့ ဖြတ်သန်းစီးဆင်းသည်။
လူသားအစပုံတောင်က ဆိုရမည့် ကမ္ဘာ့ အစောဆုံးလူနေထိုင်ခဲ့သည့် မြန်မာ့ များ စတင်တူးဖော်တွေ့ရှိခဲ့ရာ ဒေသဖြစ်သည်။
ကျောမြို့သည် မြောက်လတ္တီတွဒ် (၂၁ဒီဂရီ၊ ၄၅မိနစ်)နှင့် (၂၂ဒီဂရီ၊ ၄၅မိနစ်)အကြား၊ အရှေ့လောင်ဂျီတွဒ် (၉၄ဒီဂရီ)နှင့် (၉၄ဒီဂရီ ၃၀မိနစ်)အကြားတွင် တည်ရှိသည်။
ကျောမြို့သည် ပူအိုက်စွတ်စိုသော ရာသီဥတုရှိပြီး အမြင့်ဆုံး အပူချိန် (43°C)နှင့် အနိမ့်ဆုံးအပူချိန်မှာ (12 °C) ဖြစ်သည်။
ကိုမူ ၆ ဒီဇင်ဘာ ၂၀၀၂ တွင် စတင် အုတ်မြစ်ချပြီး ၁၀ ဇူလိုင် ၂၀၀၄ တွင် ဖွင့်သည်။
ကျောက်ထုလေယာဉ်ကွင်းကို ဖြတ်ကျော်ပြီး သွားရသော လယ်ကွက် တကွက်ထဲတွင် ထူးဆန်းသော ကျောက်ခွက် တခု ရှိပြီး၊ ကျောက်ထုနှင့် ၂ မိုင်ခန့် ဝေးသည်။
ထိုအဆောက်အဦသည် ထရိတ်ဒါးဟော်တယ် (ယခု ဆူးလေရှန်ဂရီလာဟိုတယ်)နှင့် မျက်နှာချင်းဆိုင် ပေါ်တွင် တည်ရှိသည်။
စိန်ဂေဟာကို ၁၉၈၅ ခုနှစ်တွင် ၌ လက်လီဈေးဆိုင်အနေဖြင့် စတင်ဖွင့်လှစ်ခဲ့ပြီး ယခုအခါတွင် ရန်ကုန်မြို့၏ အဓိက လက်လီ ဈေးဝယ်စင်တာကြီးအဖြစ် ကုမ္ပဏီအား လည်ပတ်လျက်ရှိသည်။
ညနေစောင်းတွင် သူ၏ဖခင်၏နှိပ်စက်ခြင်းကို ခံခဲ့ရပြီး David Rice သည် စိတ်စွမ်းအားဖြင့် ခုန်ကာလွတ်မြောက်ခဲ့ပြီး စာကြည့်တိုက်တိုက်ထဲသို့ ရောက်ရှိသည်ကို တွေ့ရသည်။
တကောင်း နေပြည်တော်သည် တစ်ခုဖြစ်သည်။
ပထမဆုံး မြန်မာ့သက်ဦးဆံပိုင် မင်းနေပြည်တော် တည်ရှိခဲ့မှုကို ကုန်းဘောင်ခေတ် ၁၈၃၂ ခုနှစ်တွင် တွင် စတင်ဖော်ပြခဲ့သည်။
မှန်နန်း အတွဲ ၁ (၂၀၀၃): ၁၅၃–၁၅၄ သမိုင်းကြောင်း တကောင်းကို မင်းက စတင်တည်ထောင်ပြီး မင်း ( ၃၃ ) ဆက်မြောက် ဘိန္နက မင်းလက်ထက်တွင် ပထမ တကောင်း ပျက်စီးခဲ့သည်။
သားငယ်ဖြစ်သော သည် တကောင်းထီးနန်းကို ဆက်ခံလာသောအခါ၊ သားကြီးမှာ အလုံးအရင်းနှင့် တကောင်းမှ ဧရာဝတီမြစ်ကို စုန်ခဲ့၍၊ ချင်းတွင်းမြစ်ကို ဆန်တက်ကာ၊ ကလေးကျေးတောင်ညိုအရပ်၌ ရာဇဂြိုဟ် အမည်ပေး၍ ခြောက်လ ဗိုလ်ဝင်ခံသည်။
ထိုနောက် ကစ္ပနဒီမြစ် အရှေ့ဘက်၌ ကို တည်ထောင်စိုးစံသည်။
ယင်းအတွက် သူသည် ၁၉၂၂ ခုနှစ်တွင် ကို ရရှိခဲ့သည်။
ကွမ်တမ် မက္ကင်းနစ်ကို ဖန်တီးပေးခဲ့သည့်အတွက် သူအား ကို အပ်နှင်းခဲ့သည်။
This source explains that Heisenberg actually received his Nobel Prize for 1932 one year later, in 1933. သူသည် ကာလအတွင်း ဂျာမနီ နယူးကလိယား စီမံကိန်း၌ ခေါင်းဆောင် သိပ္ပံပညာရှင်ဖြစ်ခဲ့သည်။
ယင်းသည် ကိုယ်ကျိုးမယူသော အဖွဲ့အစည်းဖြစ်ပြီး ၊ ကယ်လ်ဖိုးနီးယားပြည်နယ်၊ ဆန်ဖရန်စ္စကိုမြို့တွင် တည်ရှိသည်။
Wayback Machine သည် ၁၉၉၆ ခုနှစ်ကတည်းက များ၏ cached စာမျက်နှာများကို သိမ်းဆည်းလာခဲ့ကာ ဖန်တီးသူ၏ ရည်မှန်းချက်မှာ အင်တာနက်ရှိ ဝဘ်ဆိုဒ်စာမျက်နှာအားလုံးကို သိမ်းဆည်းရန်ဖြစ်သည်။
စွမ်းအင်နိမ့် ပေါ့ဇစ်ထြွန်များ စွမ်းအင်နိမ့် အီလက်ထရွန်များဖြင့် ထိတိုက်မိသောအခါ နှစ်ခုထက်ပိုသော များကို ထုတ်လုပ်ပေးသည်။
ပေါ့ဇစ်ထြွန်များကို ဖြင့် ဖန်တီးယူနိုင်သည်။
နှင့်အတူ တည်ရှိကာ လက်ပတွန်၏ ပထမမျိုးဆက်ဖြစ်သည်။
အောက်ပါ ကြော်ငြာဆောင်ပုဒ်များမှာ ပက်စီ အချိုရည်၏ လက်ရှိအချိန်အထိ အသုံးပြုနေဆဲ ကြော်ငြာဆောင်ပုဒ်များ ဖြစ်သည်။
ယင်းသည် အချင်းအားဖြင့် ၇၀၀၀ ခန့်ရှိပြီး"Magellanic Cloud." Encyclopædia Britannica. 2009. Encyclopædia Britannica Online. 30 Aug. 2009 ထုထည်စုစုပေါင်းသည် ထက် အဆပေါင်း ၇ ဘီလီယံ ကြီးမားသည်။
သေးငယ်သော မစ်ဂျစ်လန်နစ် တိမ်တိုက်သည် တချိန်က ဖြစ်သည်ဟု တွက်ချက်ထားပြီး ကြောင့် ပုံစံမမှန်သော ဂလက်ဆီဖြစ်ခဲ့သည်။
သေးငယ်သော မစ်ဂျစ်လန်နစ် တိမ်တိုက်သည် ၏ အဖွဲ့ဝင်ဖြစ်သည်။
နှင့် ဆင်တူပြီး တန်ဖိုး ၁/၂ ရှိသည်။
အခြား များကဲ့သို့ မျူယွန်တွင် ပိုငယ်သောအမှုန်ခွဲများ မရှိဟု ယုံကြည်ထားသည်။
မျူယွန်သည် မတည်ငြိမ်သော ဖြစ်ပြီး သက်တမ်း ၂.၂ µs ရှိကာ အခြားအက်တမ်အောက်အမှုန်များထက် ပိုကြာသည်။
မျူယွန် ပြိုကွဲပါက အီလက်ထရွန် ၁ ခုနှင့် မတူညီသော ၂ ခုကို အမြဲတမ်းဆိုသလို ထုတ်ပေးသည်။
ယခင်က မျူယွန်အား ''မျူ မေဆင်''ဟု ခေါ်ခဲ့သည်။
နှင့်အတူ ဖွဲ့တည်ပြီး ၏ ဒုတိယမျိုးဆက်ဖြစ်သည်။
ရှာဖွတွေ့ရှိမှုအား ၁၉၈၈ ခုနှစ်တွင် ပေးအပ်ခံခဲ့ရသည်။
အမှုန်ရူပဗေဒတွင် ဖာမီယွန် သည် အား ဂုဏ်ပြုသောအားဖြင့် အမည်ပေးခြင်းဖြစ်ပြီး Fermi–Dirac statistics နှင့် သက်ဆိုင်သည့် မည်သည့် ကိုမဆို ခေါ်ဆိုသည်။
ယင်းအမှုန်များသည် (Pauli Exclusion Principle)ကို လိုက်နာပြီး ဖာမီယွန်တွင် နှင့် လက်ပတွန်များ ပါဝင်သည်။
ဖာမီယွန်သည် ကဲ့သို့ များဖြစ်နိုင်သည်၊ သို့မဟုတ် ကဲ့သို့ ပါဝင်အမှုန်များ ဖြစ်နိုင်သည်။
ကွမ်တမ်စက်ကွင်းသီအိုရီထဲတွင် ကိန်းပြည့် ရှိသော မည်သည့်အမှုန်မဆို ဘိုဇွန်များဖြစ်ပြီး ကိန်းပြည့်ဝက် စပင်ရှိသော အမှုန်များသည် ဖာမီယွန်များဖြစ်ကြသည်။
ယင်းသည် ဘာယွန် သို့မဟုတ် ကွမ်တမ်နံပါတ်ကို ပိုင်ဆိုင်ကြသည်။
Physical Review D volume 87, page 0550003, year 2013, author Weiner, Richard M., title "Spin-statistics-quantum number connection and supersymmetry" arxiv:1302.0969 ပရိုတွန်နှင့် ကဲ့သို့သော ပါဝင် ဖာမီယွန်များသည် ဘာယွန်းနစ်ဒြပ်များအတွက် အချက်အချာကျသော အပိုင်းများဖြစ်ကြသည်။
ပိတောက်ပန်း ကဗျာကို အမျိုးသားစာဆို ဆရာ ရေးဖွဲ့ခဲ့ပြီး ၁၉၂၈ ခုနှစ် တက္ကသိုလ် နှစ်လည်မဂ္ဂဇင်းတွင် ပထမဆုံး ပုံနှိပ်ဖော်ပြခံခဲ့ရသည်။
မခူးချင်စမ်းပါနဲ့ နှစ်ဆန်းခါတော်မီမို့ ဇမ္ဗော်ရည် ပြေပြေလိမ်းကာပါ့ ခပ်သိမ်းနယ်စုံစုံသို့ ပွင့်ငုံကို လင့်ကုန်ကြတော့လို့ ခေါင်းကြွကာ ဆာဝေဝေနဲ့ သူလည်းလေ လောကီသားလိုပါ့ ကြွားချင်လှပေလိမ့်မယ်။
ထိုသာသနာပြုအဖွဲ့၏ ဦးဆောင်ပုဂ္ဂိုလ်တစ်ဦးဖြစ်သော သည် မြန်မာနိုင်ငံတွင် ၁၈၁၃ ခုနှစ်မှ ကွယ်လွန်ချိန် ၁၈၅၀ ခုနှစ်အထိ နေထိုင်သွားခဲ့သည်။
ယခုအခါ ဘုရားကျောင်းသည် ရန်ကုန်မြို့တော် စည်ပင်သာယာရေးကော်မတီမှ သတ်မှတ်သော တွင် ပါဝင်ခဲ့သည်။