DatarrX/myanmar-Wikipedia huggingface dataset:
TRAPPIST-1 ကြယ်စနစ်ရှိ ''b'' ''c'' ''e'' ''f'' ''g'' ဟူသောဂြိုဟ်တို့သည် ကမ္ဘာမြေနှင့်တူပြီး ''d'' ''h'' တို့သည် ကမ္ဘာနှင့် အရွယ်အစား ရှိသည်။
File:Artist’s impression of the TRAPPIST-1 planetary system.jpgTRAPPIST-1 ဂြိုဟ်စနစ်အား အနုပညာရှင်မှ ပုံဖော်ထားပုံ File:Artist's view of planets transiting red dwarf star in TRAPPIST-1 system.jpgTRAPPIST-1 စနစ်အတွင်း ဂြိုဟ်များ ဖြတ်သန်းသွားပုံအား အနုပညာရှင်၏ ပုံဖော်ချက် File:Comparison between the Sun and the ultracool dwarf star TRAPPIST-1.jpgနေနှင့် TRAPPIST-1 အား ယှဉ်ပြထားပုံ File:TRAPPIST-1 and its three planets.jpgTRAPPIST-1 ၏ ဂြိုဟ် ၃ စင်းအား အနုပညာရှင်မှ ပုံဖော်ထားပုံ File:Artist’s impression of the ultracool dwarf star TRAPPIST-1 from the surface of one of its planets.jpgTRAPPIST-1c ဂြိုဟ်မှ မြင်ကွင်းအား စိတ်ကူးပုံဖော်ချက် File:Artist’s impression of the ultracool dwarf star TRAPPIST-1 from close to one of its planets.ogvဤဗီဒီယိုသည် TRAPPIST-1 အား ဂြိုဟ်များ လှည့်ပတ်နေပုံကို စိတ်ကူးပုံဖော်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။
File:PIA21422 - TRAPPIST-1 Planet Lineup, Figure 1.jpgTRAPPIST-1 စနစ်တွင် မည်သို့မည်ပုံရှိမည်ကို NASA-JPL/Caltech ၏ အနုပညာရှင်များက ပုံဖော်ချက်ဖြစ်သည်။
File:PIA21428 - TRAPPIST-1 Comparison to Solar System and Jovian Moons.jpgSsc2017-01g Smမိမိတို့၏ နေစကြဝဠာဖြင့် နှိုင်းယှဉ်ပြထားပုံ၊ TRAPPIST-1 ၏ ဂြိုဟ် ၇ စင်းလုံးသည် မာကျူရီဂြိုဟ်ပတ်လမ်းထဲတွင် ထည့်ထားနိုင်သည်။
ကြယ်ပု ဆိုသည်မှာ အရွယ်အစားနှင့် တောက်ပမှုနည်းပါးသော ဖြစ်ပြီး ပင်မအစီစဉ်ရှိကြယ်အများစုသည် ကြယ်ပုများဖြစ်ကြသည်။
ထက် ပိုကြီးသောကြယ်၊ နေထက်ပိုငယ်သောကြယ်အဖြစ် ၂ မျိုးထပ်ခွဲလိုက်သည်။
နေထက်ပိုကြီးသောကြယ်များကို ''ကြယ်ဘီလူးများ''ဟု သတ်မှတ်၍ ပိုသေးသောကြယ်များကိုမူ ''ကြယ်ပုများ''အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
ကြယ်အများစုကို လက်ရှိတွင် ''Morgan Keenan System'' အရ အက္ခရာ O, B, A, F, G, K, နှင့် M အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
ကြယ်ပုပြာ သည် ကြိုတင်ခန့်မှန်းထားသော အမျိုးတန်းစားဖြစ်ပြီး ဖြစ်ပြီးလျင် လောင်စာ ကုန်ခမ်းပြီးသောအခါ ထွက်ပေါ်လာမည့် ကြယ်ဖြစ်သည်။
ကြယ်ပုနီများသည် ဟိုက်ဒရိုဂျင် လောင်စာအား နှေးကွေးစွာ လောင်ကျွမ်းသောကြောင့် သည် ကြယ်ပုပြာများ ဖွဲ့တည်ရန် လုံလောက်သော သက်တမ်းမရှိသေးပေ။
ကြယ်ပုနီထက် ကြီးမားသော များသည် တောက်ပရန် ပိုမိုလိုအပ်ပြီး မျက်နှာပြင်ဧရိယာသည်လည်း ပိုကြီးလာသည်။
ကြယ်ပုပြာများသည် အချိန်ကြာလာသော် များအဖြစ် ဖြစ်လာသည်။
ယင်းသည်လည်း အဖြစ် ပြောင်းသွားပေလိမ့်မည်။
နှင့် တို့ကို နှိုင်းယှဉ်ထားပုံ]] အင်မတန်အေးမြသော ကြယ်ပု သည် အပူချိန် ၂၇၀၀ ကေလ်ဘင်အောက် M-type ကြယ်အမျိုးအစားတို့၏ အမျိုးအစားခွဲတစ်ခုဖြစ်သည်။
သည် ယင်းကဲ့သို့ အင်မတန်အေးမြသော ကြယ်ပုဖြစ်သည်။
အရွယ်အစားသေးငယ်မှုကြောင့် ကမ္ဘာမြေနှင့်တူသောဂြိုဟ်၊ နှင့်တူသောဂြိုဟ်များ တည်ရှိလေ့ရှိသည်။
ဂြိုဟ် ၇ စင်းပါသည့် အား ရှာဖွေတွေ့ရှိမှု၌ ဂြိုဟ် ၃ စင်းသည် သက်ရှိများရှင်သန်နိုင်သည့်ဇုန်အတွင်း တည်ရှိသောကြောင့် မှန်းဆချက် မှန်သည်ဟု ယူဆဖွယ်ရှိသည်။
နာဂစ်မုန်တိုင်းတွင်ထိခိုက်မှု များလွန်းပြီး မြို့ပါပျက်သည်အထိဖြစ်ခဲ့သည် နာဂစ်မုန်တိုင်းကြောင့်မြို့၏တည်နေရာပြောင်းသွားခဲ့ပြီး အစိုးရမှ အိမ်များပြန်လည်ဆောက်လုပ်ပေးကာ မြို့တစ်မြို့ အဖြစ်အသက်ဝင်စေရန် ကြိုးစားခဲ့သော်လည်းမြို့သားများသည်မြို့ကို စွန့်ခွာသွားခဲ့ကြသည်ယခုအခါ ရွာသာသာ မြို့ လေးတစ်မြို့ အဆင့်သာရှိတော့၏ ရေးသားသူ — ရဲလင်းအောင်။
ဖြင့် ''ရေသည်လာသူ'' ဟုအဓိပ္ပာယ်ရပြီး သင်္ကေတမှာ (Unicode ♒) ဖြစ်ကာ ရေကို ကိုယ်စားပြုသည်။
ကိန်းသီအိုရီကို ရှေးခေတ်က ဟုခေါ်သည်။
သို့သော် ယခုခေတ်အခါတွင် ကိန်းသီအိုရီဆိုသည်မှာ ဂဏန်းများကို သာမန် အပေါင်း၊ အနုတ်၊ အမြောက်၊ အစားလုပ်သည်ထက် များစွာနက်ရှိုင်းကျယ်ပြန့်လာသည်။
အကျဉ်းအားဖြင့် ဆိုရသော် ကိန်းသီအိုရီဆိုသည်မှာ ကိန်းပြည့်များ (integers) ကို အဓိကထား၍ လေ့လာသည့် (pure mathematics) ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခု ဖြစ်သည်။
ကိန်းသီအိုရီ ပညာရှင်များသည် ကိန်းပြည့်များထဲတွင် များကိုလည်းကောင်း၊ ကိန်းပြည့်များနှင့် ၎င်းတို့၏ဂုဏ်သတ္တိများကို အသုံးပြုတည်ဆောက်ထားသည့် သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများ (ဥပမာ၊ များ) ကိုလည်းကောင်း၊ ကိန်းပြည့်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို ခြုံငုံ၍ ယေဘုယျပြုထားသည့် ကိန်းများ (ဥပမာ၊ များ) ကိုလည်းကောင်း၊ အဆိုပါ ကိန်းပြည့်များနှင့် ဆက်စပ်၍ စားကိန်းဖန်ရှင် ၊ ဇေတာဖန်ရှင် ၊ ၏ တိုးရှန့်ဖန်ရှင် အစရှိသည့် ဖန်ရှင်များကိုလည်းကောင်း၊ နက်နက်ရှိုင်းရှိုင်း လေ့လာလေ့ရှိသည်။
ဂေါ့ဖရိဒ် ဝီလ်ဟမ် (ဗွန်) လိုက်ဘနစ် (, ; သို့မဟုတ် ; ; ဇူလိုင် ၁၊ ၁၆၄၆ – နိုဝင်ဘာ ၁၄၊ ၁၇၁၆) သည် ဂျာမန် စွယ်စုံရပညာရှင်နှင့် အတွေးအခေါ်ပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး ဒစ်ဖရန်ရှယ် နှင့် အင်တီဂရယ် ကို နှင့် အပြိုင် သီးခြားစွာ စတင်ဖော်ထုတ်ခဲ့နိုင်ခဲ့သည့် ကဲကုလပ်၏ ဖခင်တစ်ဦးအဖြစ် သမိုင်းတွင် ကျော်ကြားသည်။
Roughly 40%, 35%, and 25%, respectively.[ www.gwlb.de] . ''Leibniz-Nachlass'' (i.e. Legacy of Leibniz), ''Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek'' (one of the three Official Libraries of the German state Lower Saxony). လိုင်းဘနစ်၏ အပြည့်အစုံ ရေးသားမှုကိုမူ ရှာမတွေ့ခဲ့ပေ။
ဘန်းဟတ် ရီးမန်း သည် ဂျာမနီနိုင်ငံတွင် ၁၈၂၆ ခုနှင် စင်တင်ဘာလ ၁၇ရက်နေ့တွင် မွေးဖွားခဲ့ပြီး ၁၈၆၆ ခုနှစ် ဇူလိုင်လ ၂၀ ရက်နေ့တွင် ကွယ်လွန်သွားသော ဂျာမန်လူမျိုး ကြီးဖြစ်သည်။
သူ့သည် နံပါတ် သီအိုရီ ခေါ် နှင့် ဘာသာရပ်များအတွက် သင်္ချာသီအိုရီ အများအပြား တီထွင်ခဲ့သော သင်္ချာပညာရှင်ကြီး ဖြစ်သည်။
ဘားနတ်ဒ်ရိုင်းမင်၏ သင်္ချာသီအိုရီများသည် နောက်ပိုင်းတွင် (General Relativity )သင်္ချာပညာရပ် ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှုကို အကြီးအကျယ် အထောက်အထားပြုခဲ့သည်။
ကိန်းသေသီအိုရီ ၊ ဘာသာကို အက်ဆီယမ်များသုံး၍ စနစ်ကျအောင် ပြုပြင်ခြင်း ၊ (functional analysis) ၏ အခြေခံအုတ်မြစ်တစ်ခုဖြစ်သည့် ဟီလ်ဘတ်ရပ်ဝန်းများ အစရှိသည့် ကျယ်ပြန့်သော ဘာသာရပ်နယ်ပယ်များတွင် အရေးကြီး၍ အခြေခံကျသော စိတ်ကူးဉာဏ်တို့ကို စဉ်းစားတွေးခေါ်နိုင်ခဲ့သည်။
အမ်မီ နိုသာကို ဂျာမနီနိုင်ငံ အဲလန်ဂန် မြို့နေ ဂျူးလူမျိုးမိသားစုတစ်ခုအတွင်း ၌ ဖွားမြင်သည်။
ဖခင်ဖြစ်သူ မက်စ် နိုသာ မှာ သင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်ပြီး၊ မိခင်ဖြစ်သူ အိုင်ဒါ အမယ်လီယာ ကော့ဖ်မန် (Ida Amalia Kaufmann) မှာ ကြွယ်ဝသော ကုန်သည်မျိုးရိုးမှ ဆင်းသက်လာသူ တစ်ဦးဖြစ်သည်။
နိုသာသည် ပြင်သစ်နှင့် အင်္ဂလိပ်ဘာသာရပ်များ သင်ယူရန် ကနဦး၌ စီစဉ်ခဲ့သော်လည်း နောင်တွင် သူ၏ဖခင် သင်ကြားပို့ချသည့် အဲလန်ဂန် တက္ကသိုလ် တွင် သင်္ချာဘာသာ သင်ယူခဲ့သည်။
ဘွဲ့ယူစာတမ်းကို ပေါလ် ဂေါ်ဒန် ၏ ကြီးကြပ်မှုဖြင့် ၁၉၀၇ ခုနှစ်တွင် ရေးသားပြီးစီးပြီးနောက် အဲလန်ဂန် သင်္ချာ အင်စတီကျု (Mathematical Institute of Erlangen) တွင် အခကြေးငွေ မယူဘဲ ခုနှစ်နှစ်ခန့် လုပ်ကိုင်ခဲ့သည်။
သင်္ချာသုတေသနတွင် ထင်ရှားကျော်ကြားသည့် ဂွတ်တင်ငန် တက္ကသိုလ် ရှိ သင်္ချာဌာနတွင် လာရောက်လုပ်ကိုင်ရန် (David Hilbert) နှင့် (Felix Klein)တို့က အမ်မီ နိုသာကို ၁၉၁၅ ခုနှစ်တွင် ဖိတ်ကြားခဲ့သည်။
ဒတ်ချ် သင်္ချာပညာရှင် ဘီ၊ အယ်၊ ဗန် ဒါ ဝါဒန် သည် နိုသာ၏ သုတေသန အသိုင်းအဝိုင်းတွင်းသို့ ၁၉၂၄ ခုနှစ်တွင် ဝင်ရောက်ပါဝင်ခဲ့ပြီး နိုသာ၏ သုတေသန စိတ်ကူးအမြင်များ ပြန့်ပွားအောင် အဓိကလုပ်ဆောင်သူတစ်ဦး ဖြစ်လာခဲ့သည်။
သူတို့၏ခေတ်ပြိုင် သင်္ချာသမားများအပေါ် ဩဇာညောင်းသည့် ၎င်း၏ ၁၉၃၁ခုနှစ်ထုတ် ''Moderne Algebra'' ခေါ် (abstract algebra) ဖတ်စာအုပ် ဒုတိယတွဲပါ သဘောတရားများမှာ နိုသာ၏ စိတ်ကူးအမြင်များအပေါ် အခြေခံထားခြင်းဖြစ်သည်။
ဂျာမနီနိုင်ငံ တွင် ၁၉၃၂ခုနှစ်၌ ကျင်းပသည့် နိုင်ငံတကာ သင်္ချာကွန်ဂရက် ၏ မျက်နှာစုံညီအစည်းအဝေးတွင် နိုသာမိန့်ခွန်းပေးခဲ့ပြီး၊ ၎င်းအချိန်တွင် နိုသာမှာ အက္ခရာသင်္ချာ၌ စူးရှထက်မြက်သူတစ်ဦးအဖြစ် ကျော်ကြားနေပြီဖြစ်သည်။
သို့သော် ၁၉၃၃ခုနှစ် ဂျာမနီတွင် နာဇီပါတီ အာဏာရလာပြီးနောက် တက္ကသိုလ်ရာထူးများမှ ဂျူးလူမျိုးများကို အလုပ်ဖြုတ်ခဲ့ရာ ဂျူးလူမျိုးဖြစ်သည့် နိုသာမှာ အမေရိကန်ပြည်ထောင်စုသို့ ပြောင်းရွှေ့ အခြေချခဲ့ပြီး၊ ပန်ဆယ်လ်ဗေးနီးယား ပြည်နယ် ဘရင်းမော ကောလိပ်၌ ဆရာအဖြစ် သင်ကြားပို့ချခဲ့သည်။
နိုသာ၏ သုတေသန လုပ်ငန်းများကို ယေဘုယျအားဖြင့် သုံးပိုင်း ခွဲခြားနိုင်သည်။
ပထမပိုင်းကို ၁၉၀၈မှ ၁၉၁၉အထိ သတ်မှတ်လေ့ရှိပြီး၊ ၎င်းကာလတွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသေများ ၊ ကိန်းနံပါတ် ဖီးလ်များ နှင့် ပတ်သက်သည့် သုတေသနလုပ်ငန်းများကို လုပ်ကိုင်ခဲ့သည်။
သူ၏ ပြောင်းလဲလှုပ်ရှား ကဲကုလပ်ဘာသာရပ်ဆိုင်ရာ ''နိုသာ၏သီအိုရမ်'' မှာ ထင်ရှားပြီး ခေတ်သစ်ရူပဗေဒ ဖွံဖြိုးတိုးတက်မှု ဖြစ်စဉ်တွင် အဓိကကျသည့် သင်္ချာသဘောတရားတစ်ခု ဖြစ်ခဲ့သည်။
ပတ်လည်ညီ ကွင်းများ အတွင်းရှိ အိုင်ဒီးလ် ခေါ် အထူးကွင်းငယ်များနှင့် သက်ဆိုင်သည့် သီအိုရီကို ဖော်ထုတ်သည့် ''ကွင်းဒိုမိန်များ အတွင်းရှိ အိုင်ဒီးလ်သီအိုရီ'' အမည်ရ ''Idealtheorie in Ringbereichen (Theory of Ideals in Ring Domains)'' ဂန္ဓဝင်စာတမ်းကို ဤကာလအတွင်း ရေးသားခဲ့သည်။
အင်္ဂလိပ်ဘာသာဖြင့် ခေါ် ဆင့်ပွားတိုးတက်သည့် ကွင်းဆက်ဂုဏ်သတ္တိ သဘောကို အမ်မီနိုသာက ရိုးရှင်းလှပစွာ အသုံးပြုနိုင်ခဲ့ပြီး၊ သူ့ကို ဂုဏ်ပြုသည့် အနေဖြင့် ၎င်း ဆင့်ပွားတိုးတက် ကွင်းဆက် ဂုဏ်သတ္တိပါ သင်္ချာအရာဝတ္ထုများကို နိုသာရီယန် ဟု ခေါ်ဝေါ်ကြသည်။
တတိယပိုင်းကို ၁၉၂၇မှ ၁၉၃၅ အထိ သတ်မှတ်လေ့ရှိပြီး၊ ပတ်လည်ညီစရာ မလိုသည့် အက္ခရာသင်္ချာ ဘာသာရပ်နှင့် ကွန်ပလက်လွန်ကိန်းများ ကို လေ့လာခဲ့ပြီး၊ အုပ်စုများ (groups) နှင့် ပတ်သက်သည့် ရီပရယ်စန်တေးရှင်း သီအိုရီ ကို အခြား သင်္ချာအရာဝတ္ထုများဖြစ်သည့် မော်ဂျူးများ နှင့် အိုင်ဒီးလ်များနှင့် ပတ်သက်သည့် သီအိုရီနှင့် ပေါင်းစပ်ပေးနိုင်ခဲ့သည်။
သင်္ချာသန့်သန့် (pure mathematics) သည် သင်္ချာကို သင်္ချာအတွက် (mathematics for the sake of mathematics) လေ့လာခြင်း၊ တနည်းအားဖြင့် ဆိုသော် အသုံးချရန် အဓိကရည်ရွယ်၍ မဟုတ်ဘဲ အသိပညာတိုးတက်ရန် သက်သက်အတွက် သဘောတရားများကို ခြုံငုံစေ့စပ်စွာ လေ့လာခြင်းဟု အကြမ်းအားဖြင့် ဆိုနိုင်သည်။
သင်္ချာတွင် ခွဲခြားရာ၌ မိရိုးဖလာ ခွဲခြားပုံခွဲခြားနည်းတစ်မျိုးမှာ သင်္ချာသန့်သန့်နှင့် (applied mathematics) ဟူ၍ ခွဲခြားခြင်းဖြစ်သည်။
ယင်းအား ၁၈၃၄ စက်တင်ဘာ ၂၈ တွင် ဆိုသူက ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။
သူ၏ သုတေသန လုပ်ဆောင်ချက်များကြောင့် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ဂျီဩမေတြီ ဘာသာရပ်နယ်ပယ်မှာ တိုးပွားကျယ်ပြန့်လာပြီး၊ ၎င်းဘာသာရပ်၏ အခြေခံအုတ်မြစ်တွင် (commutative algebra)၊ (homological algebra)၊ ကောက်လှိုင်းစည်း သီအိုရီ နှင့် (category theory) တို့မှ အစိတ်အပိုင်းများကို ပေါင်းစပ်သုံးစွဲနိုင်ခဲ့သည်။
ဂရိုသန်ဒိခ်၏ "နှိုင်းရ" ရှုမြင်ပုံ သဘောတရားကြောင့်လည်း ဘာသာရပ်နယ်ပယ် အများအပြားတွင် တဟုန်ထိုး တိုးတက်ပြောင်းလဲမှုများ ဖြစ်ပေါ်ခဲ့သည်။
သို့သော် သူ၏ အလုပ်ဘဝ တလျောက်လုံးနီးပါးတွင် မည်သည့်နိုင်ငံ၏ နိုင်ငံသားမှ မဟုတ်ဘဲ နိုင်ငံမဲ့ တစ်ဦးအဖြစ် လက်တွေ့နေထိုင်ခဲ့သည်။
သူသည် သူ၏ပထမနာမည် "အလက်ဇန်းဒါး" အား (ပြင်သစ်လူမျိုးများ သုံးလေ့ရှိသည့် စာလုံးပေါင်းအတိုင်း) "Alexand''re''" ဟု မပေါင်းဘဲ "Alexand''er''" ဟုသာ အမြဲ ရေးတတ်ပြီး၊ မျိုးရိုးအမည်မှာလည်း သူ့မိခင်ဘက်မှ ဒတ်ချ် ဆန်သည့် မြေနိမ့်ဂျာမန် အမည် "ဂရိုသန်ဒိခ်" ကို ယူထားခြင်းဖြစ်ရာ သူ့ကို ဒတ်ချ်ဇာတိဟု တခါတရံ ထင်မှတ်မှားတတ်ကြသည်။
သူသည် ၁၉၅၈ ခုနှစ်တွင် အဆင့်မြင့် သိပ္ပံလေ့လာရေး ဌာန ( (IHÉS)) ၌ သုတေသန ပါမောက္ခအဖြစ် ခန့်အပ်ခြင်းခံရပြီး၊ ထိုဌာနတွင်ပင် ၁၉၇၀ ခုနှစ်အထိ ဆက်လက်လုပ်ကိုင်ခဲ့သည်။
နောက်ပိုင်းတွင် မွန့်ပယ်လီရေ တက္ကသိုလ် ၌ ပါမောက္ခလုပ်ခဲ့ပြီး သင်္ချာအလုပ်အချို့ကို တစ်ကိုယ်ရေ လုပ်ဆောင်ခဲ့သည်မှ အပ၊ သူသည် သင်္ချာအသိုင်းအဝိုင်းကို ဖယ်ကြဉ်၍ နိုင်ငံရေးကိစ္စများတွင်သာ နှစ်မြှုပ်နေထိုင်ခဲ့သည်။
ဂရိုသန်ဒိခ်သည် ၁၉၈၈ ခုနှစ်၌ တရားဝင် အငြိမ်းစားယူပြီး၊ မကြာမီပင် ပီးရနေ တောင်တန်းဒေသသို့ ပြောင်းရွှေ့၍ တစ်ကိုယ်တည်း နေထိုင်ခဲ့ရာ ၂၀၁၄ ခုနှစ်တွင် ကွယ်လွန်သည်အထိ ဖြစ်သည်။
ဖခင်ဖြစ်သူမှာ အလက်ဇန်းဒါး "ဆာရှာ" ရှာပီးရိုး (ခေါ်) အလက်ဇန်းဒါး တနာရော့ဖ် (Alexander Tanaroff) ဖြစ်ပြီး၊ မိခင်ဖြစ်သူမှာ ယိုဟန်နာ "ဟန်ကာ" ဂရိုသန်ဒိခ် (Johanna "Hanka" Grothendieck) ဖြစ်သည်။
ဂရိုသန်ဒိခ်၏ ဖခင်ဖြစ်သူမှာ ယူကရိန်း၊ ဘီလာရုဇ်နှင့် ရုရှားနယ်စပ်ဒေသရှိ နိုဗိုဇစ်ဗ်ကော့ဗ်မြို့ဇာတိဖြစ်ကာ ဟက်စီးဒစ် ဂျူးလူမျိုးနွယ်မှ ဆင်းသက်လာသူတစ်ဦးဖြစ်သည်။
ဂရိုသန်ဒိခ်၏ မိခင်ဖြစ်သူမှာ ဂျာမနီနိုင်ငံ၊ (Hamburg) ဇာတိဖြစ်ကာ ပရိုတက်စတင့် မိသားစုမျိုးရိုးမှ ဖွားမြင်လာသူတစ်ဦးဖြစ်သည်။
ထိုအချိန်တွင် ဂျာမနီ၌ နာဇီများကြီးစိုးလာရာ ဖခင်ဖြစ်သူ ဆာရှာက ပြင်သစ်နိုင်ငံ သို့ ပြောင်းရွှေ့တိမ်းရှောင်ရပြီး၊ မကြာမီမိခင်ဖြစ်သူပါ လိုက်ပါတိမ်းရှောင်ခဲ့သည်။
ပြင်သစ်နိုင်ငံ ပါရီမြို့တွင် ဂရိုသန်ဒိခ်နှင့် မိဘနှစ်ပါး ပြန်လည်ဆုံဆည်းနိုင်ခဲ့သော်လည်း များမကြာမီတွင် သူ၏ဖခင် ဆာရှာမှာ လဗာနေး ၌ စခန်းသွင်း အကျဉ်းချခံရသည်။
စခန်းတွင်း အခြေအနေဆိုးဝါးသော်လည်း ထိုခေတ်က အခြား အကျယ်ချုပ်စခန်းများနှင့် နှိုင်းယှဉ်လျှင် အသက်သာဆုံး စခန်းတစ်ခုဖြစ်ရာ ဂရိုသန်ဒိခ်ကို စခန်းအနီး မန်းဒမြို့ ရှိ ကျောင်းတစ်ခုတွင် ကျောင်းတက်ခွင့် ပြုခဲ့သည်။
နာဇီအလိုတော်ရိ ဗီရှီပြင်သစ် အစိုးရခေတ်တွင် ဖွင့်လှစ်ခဲ့သည့် ၎င်းစခန်းတွင် နာဇီဂျာမနီမှ ထွက်ပြေးလာသော ဂျာမန်ဂျူးများ၊ စပိန်ပြည်တွင်းစစ်ရှုံး၍ ထွက်ပြေးလာသော မင်းမဲ့ဝါဒီများနှင့် ဆိုဗီယက်ရုရှားမှ ထွက်ပြေးလာသော ထရော့စကီဝါဒီများ (Trotskyites) အစရှိသည်ဖြင့် စုပေါင်းချုပ်နှောင်ထားပြီး ဂရိုသန်ဒိခ်တို့ သားအမိနှစ်ဦး ခက်ခက်ခဲခဲ နေထိုင်ခဲ့ရသည်။
ထိုသို့ ဂရိုသန်ဒိခ်နှင့် သူ၏မိခင်ဟန်ကာ တကွဲစီ နေထိုင်နေစဉ်အတွင်း ဟန်ကာကို ဂါး စခန်းသို့ ထပ်မံပြောင်းရွှေ့ခံရ၍ ထိုစခန်းတွင်ပင် စစ်ကြီးပြီးဆုံးသည်အထိ ဟန်ကာ နေခဲ့ရသည်။
ဂရိုသန်ဒိခ်လည်း ရှဘွန်းမြို့ရှိ စီဗူနယ်ကောလိပ် တွင် တက်ရောက်သင်ကြားခဲ့သည်။
ထို ၁၉၄၂ခုနှစ်တွင်ပင် ဂရိုသန်ဒိခ်တို့ သားအမိနှင့် သီးခြား၍ အချုပ်ခံနေရသည့် ဂရိုသန်ဒိခ်၏ဖခင် ဆာရှာကို နာဇီအလိုတော်ရိ ပြင်သစ်အစိုးရက ဂျာမန်တို့လက်သို့ ပြောင်းလွှဲပေးအပ်ခဲ့ရာ နာမည်ဆိုးဖြင့် ကျော်ကြားသည့် အော့စ်ရှဝဇ် အကျဉ်းထောင်တွင် အခြားဂျူးလူမျိုး အများအပြားနှင့်အတူ ဆာရှာ ဆုံးပါးခဲ့သည်။
အစပထမ၌ သူသည် တက္ကသိုလ် အတန်းများတွင် အမှတ်မကောင်းခဲ့ပေ၊ ဘာသာရပ် အတန်းတစ်ခု ကျရှုံးသည်အထိ ဖြစ်ခဲ့သည်။
သို့သော် အတန်းပြင်ပတွင် သင်္ချာပညာကို သူကိုယ်တိုင် စူးစမ်းလေ့လာ၍ လဘိတ်ဂ် အတိုင်းအတာ ခေါ် သင်္ချာ အတိုင်းအတာတစ်ခုကို သီးသန့် ပြန်လည်ရှာဖွေ တွေ့ရှိခဲ့သည်။
အစပိုင်းတွင် ဂရိုသန်ဒိခ်သည် အဆင့်မြင့် ပါမောက္ခ လေ့ကျင့်ရေးကျောင်းဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည့် အီကိုးလ် နော်မဲလ် စူပီးယား တက္ကသိုလ် ရှိ အွန်ရိ ကာတန် ၏ ဟောပြောပို့ချပွဲများကို တက်ရောက်နားထောင်ခဲ့သော်လည်း လုံလောက်သည့် သင်္ချာဗဟုသုတ အခြေခံမရှိသောကြောင့် ကာတန်၏ အဆင့်မြင့် ပို့ချချက်များကို နားမလည်ခဲ့ပေ။
ကာတန်နှင့် အခြားသင်္ချာပညာရှင်တစ်ဦးဖြစ်သည့် အန်ဒရေ ဗေးလ် တို့၏ အကြံပေးချက်အရ ဂရိုသန်ဒိခ်သည် နန်စီတက္ကသိုလ် သို့ ပြောင်းရွှေ့၍ လောဟန် ရွှ နှင့် ရောန် ဒေဒိုနီ တို့နှစ်ဦးထံတွင် ဘာသာရပ်ကို ၁၉၅၀မှ ၁၉၅၃ အထိ လေ့လာခဲ့ရာ တိုပေါ်လောဂျီဆိုင်ရာ ဗက်တာရပ်ဝန်းများနှင့် ပတ်သက်၍ ဆရာတစ်ဆူ ဖြစ်လာသည်အထိ ကျွမ်းကျင် အောင်မြင်ခဲ့သည်။
သို့သော် ၁၉၅၇ခုနှစ်တွင် ၎င်းဘာသာရပ်ကို စွန့်ခွာပြီး ဘာသာရပ်နှင့် ဘာသာရပ်များကို ပြောင်းလဲလေ့လာ၍ သုတေသန ပြုခဲ့သည်။
ထို့အတူ ဘာသာရပ်တွင် ဆရာတစ်ဆူဖြစ်သည့် အော်စကာ ဇာရစ်စကီး က သူရှိရာ သို့ ဧည့်ပါမောက္ခအဖြစ် လာရောက်သုတေသနပြုရန် ၁၉၅၇ခုနှစ်၌ ဂရိုသန်ဒိခ်ကို ဖိတ်ကြားခဲ့ရာ အမေရိကန်အစိုးရကို ဖြုတ်ချရန် မလုပ်ဆောင်ပါဟု ခံဝန်လက်မှတ်ထိုးခိုင်းရာတွင်လည်း ဂရိုသန်ဒိခ်က မထိုးဘဲနေခဲ့သည်။
အလုပ်ထွက်ပြီးနောက်တွင် ''ရှန်သန်ရေး'' ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည့် ''Survivre'' ခေါ် နိုင်ငံရေးစာစောင်ကို အခြားသင်္ချာပညာရှင် မိတ်ဆွေနှစ်ဦးနှင့် ပူးပေါင်းထုတ်ဝေ၍ စစ်ဆန့်ကျင်ရေး၊ သဘာဝပတ်ဝန်းကျင် ထိန်းသိမ်းရေးနှင့် သိပ္ပံ၊ သင်္ချာနှင့် နည်းပညာဆိုင်ရာ သုတေသန အသီးအပွင့်များကို လက်လွတ်စပယ် အသုံးချခြင်းအား ဆန့်ကျင်ရေးတို့အတွက် ဆော်ဩခဲ့သည်။
ဟိုမိုလော်ဂျစ်ကယ် အက္ခရာသင်္ချာ (homological algebra) ဆိုသည်မှာ ဘာသာရပ်ရှိ ဟိုမော်လော်ဂျီ ခေါ် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံကို ပိုမို၍ ယေဘုယျကျသည့် ဘာသာရပ်ခွဲအဖြစ် အသေးစိတ် သီးခြားကျယ်ပြန့်စွာ လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။
ဗိုင်ရာစရပ်ဖန်ရှင်၊ လစ်မစ်အတွက် တိကျခိုင်မာသည့် \epsilon-\delta အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်၊ ဘော်လ်ဇာနို-ဗိုင်ရာစရပ် သီအိုရမ် အစရှိသည့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ သင်္ချာဆိုင်ရာ သဘောတရားတို့ကြောင့် ကျော်ကြားသူဖြစ်သည်။
ဆရာတစ်ဦးအနေဖြင့် သင်ကြားရန် ကျောင်းက စေခိုင်းသည့် ၊ ၊ ၊ ၊ ၊ လက်ရေးလှပညာ (calligraphy) နှင့် ကိုယ်လက်ကျန်းမာ အားကစား (gymnastics) အထိ ဘာသာစုံသင်ကြားခဲ့ဖူးသူ ဖြစ်သည်။
ကျိုးကြောင်းပြ အဆို (conditional statement) တစ်ခုတွင် ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ် (necessary condition) ဟူသည်မှာ ''ပေးထားချက်များမှန်ပါက မလွှဲမသွေ ဧကန်မုချ မှန်ကိုမှန်ရမည့် အဆို'' ဖြစ်သည်။
ကျိုးကြောင်းပြ အဆိုတစ်ခုတွင် လုံလောက်သည့် ပေးထားချက် (sufficient condition) ဟူသည်မှာ ''နိဂုံးကောက်ချက်တစ်ခု ဆွဲရန်အတွက် လုံလောက်သည့် ပေးထားချက်အဆို'' ဖြစ်သည်။
အကယ်၍ အဆိုတစ်ခုသည် အခြားအဆိုတစ်ခုအတွက် ''ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ်'' လည်းဖြစ်၊ ''လုံလောက်သည့် ပေးထားချက်'' လည်းဖြစ်ပါက ၎င်းအဆိုနှစ်ခုကို ''(အမှန်တန်ဖိုး - truth value) ထပ်တူညီသည် (equivalent)'' ဟု ခေါ်သည်။
x သည် တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။
အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ''၄ ဖြင့်စား၍ပြတ်သော ကိန်းစစ်တိုင်းကို ၂ ဖြင့် စား၍လည်း ပြတ်သောကြောင့်'' ဖြစ်သည်။
အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ''၂ ဖြင့်စား၍ ပြတ်သော ကိန်းစစ်တိုင်းမှာ စုံကိန်းဖြစ်သောကြောင့်'' ဖြစ်သည်။
အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ''စုံကိန်းတိုင်းကို ၂ ဖြင့်စား၍ ပြတ်သောကြောင့်'' ဖြစ်သည်။
အထက်ပါနှစ်ချက် အဆို ၂ \implies အဆို ၃ နှင့် အဆို ၃ \implies အဆို ၂ ကို ပေါင်း၍ အဆို ၂ \iff အဆို ၃ ဟု နှစ်ဘက်သွားမြားကို သုံး၍ အတိုချုံး ရေးနိုင်သည်။
အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ''စုံကိန်းတိုင်းသည် ကိန်းပြည့်ဖြစ်သောကြောင့်'' ဖြစ်သည်။
အဆို ၁ \implies အဆို ၂ \iff အဆို ၃ \implies အဆို ၄ ပထဆုံးမြားနှင့် နောက်ဆုံးမြားကို နှစ်ဘက်သွားမြားများဖြင့် အစားမထိုးနိုင်ကြောင်း သတိပြုပါ။
တနည်းဆိုသော် ၂ ဖြင့်စား၍ ပြတ်သော ကိန်းစစ်တိုင်းကို ၄ ဖြင့်စား၍ ပြတ်သည်ဟု မဆိုသာ၊ ဥပမာ x သည် ၆ ဖြစ်ပါက ၂ ဖြင့်စား၍ ပြတ်၍ အဆို ၂ မှန်သော်လည်း၊ ၄ ဖြင့်စား၍ မပြတ်သောကြောင့် အဆို ၁ မမှန်ပါ။
ကိန်းပြည့်တိုင်းမှာ စုံကိန်းဖြစ်သည်ဟုလည်း မဆိုသာ၊ ဥပမာ x သည် ၁၁ ဖြစ်ပါက ကိန်းပြည့်ဖြစ်၍ အဆို ၄ မှန်သော်လည်း၊ ၁၁ မှာ စုံကိန်း မဟုတ်သောကြောင့် အဆို ၃ မမှန်ပါ။
အဆို က နှင့် အဆို ခ ဟူ၍ အဆိုနှစ်ခု ရှိသည်ဆိုပါစို့။
အဆို က မှန်လျှင် အဆို ခ မှန်ကို မှန်ရမည် (သင်္ကေတအားဖြင့် အဆို က \implies အဆို ခ) ဖြစ်ပါက အဆို ခ ကို အဆို က ၏ ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ် (necessary condition) ဟု ခေါ်သည်။
အဆို က မှန်လျှင် အဆို ခ မှန်ကို မှန်ရမည် (သင်္ကေတအားဖြင့် အဆို က \implies အဆို ခ) ဖြစ်ပါက အဆို က ကို အဆို ခ ၏ လုံလောက်သော ပေးထားချက် (sufficient condition) ဟု ခေါ်သည်။
ကိန်း x သည် ကိန်းစစ်တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟုသာ သိထားသည့် အခြေအနေတွင် အဆို ၂ မှန်သည်ဟု ကောက်ချက်ဆွဲလိုပါက အဆို ၁ မှန်ကြောင်းပြရန်သာလိုသည်။
တနည်းဆိုရသော် ''အဆို ၂ မှန်ကြောင်း ကောက်ချက်ဆွဲလိုလျှင် အဆို ၁ မှန်ကြောင်း သိရုံမျှနှင့် လုံလောက်သည်။
အဆို က သည် အဆို ခ ၏ ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ်ဖြစ်ရုံမျှဖြင့် အဆို က သည် အဆို ခ ၏ လုံလောက်သော အကြောင်းဖြစ်သည်ဟု မဆိုသာပါ။
အထက်ပါ သာဓကတွင် အဆို ၁ မှန်ပါက အဆို ၂ မှန်၍၊ (သင်္ကေတအားဖြင့် အဆို ၁ \implies အဆို ၂ ဖြစ်၍၊) အဆို ၂ မှာ အဆို ၁ ၏ ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ် ဖြစ်သော်လည်း၊ အဆို ၂ မှန်ပါက အဆို ၁ မှန်သည်ဟု ကောက်ချက်မဆွဲနိုင်ကြောင်း၊ (သင်္ကေတအားဖြင့် အဆို ၂ \not \implies အဆို ၁ ဖြစ်ကြောင်း၊) သတိပြုပါ။
အထက်ပါ သာဓကတွင် အဆို ၃ မှန်ပါက အဆို ၄ မှန်၍၊ (သင်္ကေတအားဖြင့် အဆို ၃ \implies အဆို ၄ ဖြစ်၍၊) အဆို ၃ မှာ အဆို ၄ အတွက် လုံလောက်သော အကြောင်း ဖြစ်သော်လည်း၊ အဆို ၄ မှန်ပါက အဆို ၃ မှန်သည်ဟု ကောက်ချက်မဆွဲနိုင်ကြောင်း၊ (သင်္ကေတအားဖြင့် အဆို ၄ \not \implies အဆို ၃ ဖြစ်ကြောင်း၊) သတိပြုပါ။
အဆိုက သည် အဆို ခ ၏ လုံလောက်သော အကြောင်းဖြစ်ပြီး၊ (သင်္ကေတအားဖြင့် အဆို က \implies အဆို ခ ဖြစ်ပြီး၊) အဆို က သည် အဆို ခ ၏ ဧကန်မုချအကျိုး လည်းဖြစ်သည်၊ (သင်္ကေတအားဖြင့် အဆို ခ \implies အဆို က လည်းဖြစ်သည်၊) ဆိုပါစို့။
တနည်းဆိုသော် အဆို က \iff အဆို ခ ဖြစ်သည်ဆိုပါစို့။
ထို့ကြောင့် အဆို ၂ သည် အဆို ၃ ၏ ''လုံလောက်သော အကြောင်းတရား ဖြစ်သလို၊ ဧကန်မုချ အကျိုးရလဒ်လည်း ဖြစ်သည်''။
အထက်ပါ သာဓကတွင် ''၂ ဖြင့်စား၍ ပြတ်ခြင်း''ဟူသည်မှာ ''စုံကိန်းဖြစ်ခြင်း''၏ ''အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် ဂုဏ်သတ္တိ'' (defining property) ဖြစ်လေသည်။
အကြမ်းအားဖြင့် သတ္တု ဆိုသည်မှာ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းသော တို့၏ အပြင်ပန်းအီလက်ထရွန်များ အဖြစ် အရေအတွက် ၁ ခု၊ ၂ ခု၊ ၃ ခု ပါရှိတတ်သည့် များ ဖြစ်သည်။
ထို့ကြောင့် ဓာတုဓာတ်ပြုမှုတွင် ယင်းအက်တမ်များက အဆိုပါများကို စွန့်ထုတ်ကာ ဆောင်သော များအဖြစ် ပြောင်းလဲပါဝင်တတ်သည်။
အဆိုပါအီလက်ထရွန် ဖြန့်ကျက်မှုကြောင့် အားဖြင့် ဓာတ် ဆောင်တတ်သည့် သဘောအခြေအနေလည်း ရှိနေခြင်း ဖြစ်သည်။
ဒြပ်ထုအဖြစ် စုဝေးရာတွင် လွတ်လပ်နေသည့် အီလက်ထရွန်များ ရှိနေ၍ များ ဖြစ်နေသည်။
ရှေးခေတ်ဂရိလူမျိုးတို့၏ μέταλλον ''métallon'', "mine, quarry, metal"[ μέταλλον] Henry George Liddell, Robert Scott, ''A Greek-English Lexicon'', on Perseus Digital Library[ metal], on Oxford Dictionaries ဟူသောစကားလုံးမှ ဆင်းသက်လာပြီး မာကျော၊ တောက်ပြောင်သည့် ဟု ဆိုနိုင်သည်။
နက္ခတ္တရူပဗေဒပညာရှင်များက နှင့် ကို ဘေးဖယ်ပြီး ကျန်သောဒြပ်စင်များကို သတ္တုအဖြစ် ဖော်ပြကြသည်။
ဂန္ထဝင် မက္ကင်းနစ် သည် နယ်ပယ်၌ ပညာရပ်၏ အခွဲတစ်ခုဖြစ်သည်။
အရာဝတ္ထုတို့၏ ရွေ့လျားမှုကို လေ့လာခြင်းသည် ရှေးအကျဆုံး ၊ နှင့် တို့ပင် ဖြစ်ပေသည်။
ဂန္ထဝင် မက္ကင်းနစ်သည် သို့ မရောက်ရှိသော အမြန်နှုန်းများကို တိုင်းတာရာ၌ အင်မတန် တိကျခဲ့သည်။
သို့သော် အရာဝတ္ထုသည် အင်မတန် သေးငယ်လာပြီး အမှုန်၊ လှိုင်းသဘောဆောင်လာသည့်အခါ မက္ကင်းနစ် ပညာရပ်၏ အခြားအခွဲတစ်ခုဖြစ်သော ၏ အခန်းကဏ္ဍသည် ပါဝင်လာခဲ့လေသည်။
ပီမိုးနင်း နီတိများကို ရေးသားခဲ့သည်။
လေဟာနယ် သို့မဟုတ် ဗလာနယ် သည် အရာဝတ္ထုကွက်လပ်၏ ကြားခံနယ်ဖြစ်သည်။
လက်တင်ဘာသာစကား ''vacuus'' မှ ဆင်းသက်လာပြီး လေဖိအားထက် နည်းပါးသော အငွေ့ဖိအားသက်ရောက်ရာ နယ်မြေကို လေဟာနယ်ဟု သတ်မှတ်သည်။
ဘင်ဂျမင် ပီရာ့ (, ) (ဧပြီ ၄၊ ၁၈၀၉ – အောက်တိုဘာ ၆၊ ၁၈၈၀) သည် လူမျိုး တစ်ဦးဖြစ်ပြီး တွင် နှစ် ၅၀ ခန့် ပညာပို့ချခဲ့သူ ဖြစ်သည်။
သူသည် နက္ခတ်တာရာတို့ ရွေ့လျားမှု မက္ကင်းနစ်ပညာ ၊ ၊ နှင့် ပညာရပ်နယ်ပယ်များ တွင် ပါဝင်လုပ်ဆောင်ချက်များကြောင့် နာမည်ထင်ရှားသည်။
အင်္ဂလိပ်ဘာသာအရ "abstract algebra" ဟုလည်းကောင်း၊ တခါတရံတွင် "modern algebra" ဟုလည်းကောင်း၊ ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည့် စိတ္တဇ အက္ခရာသင်္ချာ၊ သို့မဟုတ် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ သည် ရှေးခေတ် အပေါ် မှီတည်ချဲ့ထွင်၍ တိုးတက်ပြောင်းလဲလာသည့် ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခု ဖြစ်သည်။
တန်းမြင့် သင်္ချာနယ်ပယ်တွင်မူ ဤ ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာကို အက္ခသင်္ချာ ရာရှင်နယ်ကိန်းစု မဟုတ်သည့် အခြားဖီးများ အနန္တရှိလေသည်။
ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာဟူသော အမည်အရ မတိုင်မီ သင်ကြားရလေ့ရှိသည့် အက္ခရာသင်္ချာမျိုးကို နည်းလမ်းအသစ်များဖြင့် လုပ်ဆောင်ရသည့် ဘာသာရပ်ဟု ထင်စရာရှိသော်လည်း အမှန်စင်စစ်တွင် ၎င်းထက် ပိုမို ကျယ်ပြန့် နက်ရှိုင်းလေသည်။
သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို လေ့လာရာတွင် တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုနှင့်တစ်ခု တူညီသည်များ၊ ကွဲပြားသည်များကို ထင်ရှားစေရန်၊ ဤသို့လေ့လာမှုများကို ပုံစံတကျ ဖြစ်စေရန် ကို အသုံးပြုလေ့ ရှိသည်။
ပုသိမ်မြစ်သည် ဟင်္သာတမြို့အထက် မိုင်အနည်းငယ်ခန့် အကွာမှစ၍ ဧရာဝတီမြစ်၏ လက်ျာဘက်သို့ ခွဲထွက်ပြီးနောက် အနောက်တောင်ဘက်သို့ မိုင် ၂၀၀ခန့် ရှေးရှုစီးဆင်းလာကာ ၊ နှင့် အဂူအာဒါကျောက်တန်း မီးပြတိုက်တို့သို့ ဦးတည်လျက် ထဲသို့ စီးဝင်သည်။
အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ကိန်းသီအိုရီ (algebraic number theory) ဆိုသည်မှာ ကို အသုံးပြု၍ ၊ များနှင့် ၎င်းတို့ကို မှီတည်ချဲ့ထွင်ထားသည့် ယေဘုယျ သဘောတရားများကို လေ့လာသည့် ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခု ဖြစ်သည်။
ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (mathematical analysis) ဆိုသည်မှာ တန်ဖိုးပြ ဖန်ရှင်များ (real-valued functions) နှင့် ကိန်းရှုပ်ခေါ် တန်ဖိုးပြ ဖန်ရှင်များ (complex-valued functions) ကို စနစ်တကျ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ လေ့လာသည့် ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုဟု အကြမ်းဖျဉ်း ဆိုနိုင်သည်။
ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာတွင် အနန္တကိန်းစဉ်တန်းများ (infinite sequences) ၏ လစ်မစ် ခေါ် လားရာပြတန်ဖိုးသဘောကို တွင်ကျယ်နက်ရှိုင်းစွာ အသုံးပြုလေ့ရှိရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာသည် လစ်မစ်များကို လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်ဟုလည်း ဆိုကြသည်။
ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာတွင် ၊ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ ၊ ဖန်ရှင်များကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ လေ့လာခြင်း အစရှိသဖြင့် ဘာသာရပ်ခွဲများ ရှိသည်။
အခြေခံကဲကုလပ်တွင် ပါဝင်သည့် ဒရစ်ဗတစ် ခေါ် လက်ငင်းတဒင်္ဂပြောင်းလဲနှုန်း၊ အင်တီဂရယ် ခေါ် ရီးမန်ပေါင်းလဒ်၏ လားရာပြတန်ဖိုး၊ အနန္တကိန်းစဉ်တန်းများ ပေါင်းလဒ်များ (series) အစရှိသည့် သဘောတရားတို့ကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာတွင် တွေ့နိုင်သော်လည်း၊ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာဟူသော အမည်ကို ထိုအခြေခံ ကဲကုလပ် ဘာသာရပ်တွင် တွေ့ရလေ့မရှိသည့် တန်းမြင့်သင်္ချာ အကြောင်းအရာများအား ရည်ညွှန်းရန်အတွက် သီးသန့် အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။
ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာနည်းကျ ကိန်းသီအိုရီ (analytic number theory) ဆိုသည်မှာ ဘာသာရပ်ကို အသုံးပြု၍ ကို လေ့လာသည့် ဘာသာရပ်ခွဲ တစ်ခုဖြစ်သည်။
တွင် ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental theorem of arithmetic) ဆိုသည့် တွင် အခြေခံအုတ်မြစ်ဟု ဆိုနိုင်သော ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (factorization) နှင့် သက်ဆိုင်သည့် နိယာမတစ်ခုရှိသည်။
သို့သော် ပညာ ထွန်းကားကျယ်ပြန့်လာသည်နှင့်အမျှ ဤသီအိုရမ်ကို ယေဘုယျပြုထားသည့် သင်္ချာသဘောတရားများလည်း ထွန်းကားလာရာ၊ နေ့စဉ်သုံး ကိန်းပြည့်များအပြင် အခြားအက္ခရာသင်္ချာတည်ဆောက်ပုံ အမြောက်အမြား တွင်လည်း ဤသီအိုရမ် မှန်ကန်ကြောင်း ၏ ကျေးဇူးကြောင့် ယခုအခါ သိလာရသည်။
ပိုင်းစသီးခြားသင်္ချာ (discrete mathematics) ဆိုသည်မှာ တဆက်တည်း ရှိနေသော၊ သို့မဟုတ် တဆက်စပ်တည်း ပြောင်းလဲနေသော ကဲ့သို့ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို လေ့လာခြင်းမဟုတ်ဘဲ၊ တစ်ပိုင်းတစ်စ (သို့မဟုတ်) တဆက်တည်းရှိမနေသည့် ၊ များ၊ ဂရပ်များ အစရှိသည့် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများကို လေ့လာသည့် ဘာသာရပ်ဟု အကြမ်းဖျဉ်း ဆိုနိုင်သည်။
ကွန်ဘိုင်နတိုးရစ် (combinatorics) ဆိုသည်မှာ ရေတွက်၍ရသော (countable) ဆိုင်ရာ တည်ဆောက်ပုံများကို လေ့လာသည့် ဘာသာခွဲတစ်ခုဟု အကြမ်းအားဖြင့် ဆိုနိုင်သည်။
ကွန်ဘိုင်နတိုးရစ် ဂျီဩမေတြီ (combinatorial geometry) သည် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ တည်ဆောက်ပုံအချို့၏ ကွန်ဘိုင်နတိုးရစ် ဆိုင်ရာဂုဏ်သတ္တိများ (combinatorial properties) (ဥပမာ - ဂျီဩမေတြီဝတ္ထုများအကြား ဆုံမှတ် (intersections) အရေအတွက် မည်မျှရှိသနည်း၊ ဝတ္ထုငယ်များသုံး၍ ဝတ္ထုကြီးများကို မည်သို့ ဖုံးလွမ်းနိုင်သနည်း၊ အစရှိသည့် မေးခွန်းများ) ကို လေ့လာသည့် ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုဖြစ်သည်။
နှင့် သင်္ချာတို့၏ ဘုံဆုံမှတ်ဟု တနည်းအားဖြင့် ဆိုနိုင်သည်။
ယင်းသည် များတွင်မူ ပြောင်းပြန်ဖြစ်သည်။
တင်မောင်ဝင်း အမည်ရှိ လူပုဂ္ဂိုလ်များမှာ - ခေတ်ပြိုင်ဂျာနယ် ထုတ်ဝေသူ ဦးတင်မောင်ဝင်း (၁၉၃၈–၁၉၉၉) - ၁၉၉၀ အထွေထွေ ရွေးကောက်ပွဲ အနိုင်ရ အမျိုးသားဒီမိုကရေစီအဖွဲ့ချုပ် ပါတီဝင် ဦးတင်မောင်ဝင်း (၁၉၄၀–၁၉၉၁) - ဧရာဝတီတိုင်းဒေသကြီးအစိုးရအဖွဲ့-ဝန်ကြီးချုပ်။
C. Bottomley, [ Milla Jovovich: Building a Perfect Action Star] , March 2, 2006, VH1. သူမကို ဆိုဗီယက်ပြည်ထောင်စု၊ Kiev အရပ်တွင် မွေးဖွားခဲ့ပြီး မိဘများက ၁၉၈၇ ခုနှစ်တွင် အမေရိကန်ပြည်ထောင်စုသို့ ပြောင်းရွေ့ခဲ့သည်။
အသက် ၁၂ အရွယ်တွင် မော်ဒယ်လုပ်ငန်းများ ဆောင်ရွက်ခဲ့ပြီး ''Lei'' ဟူသော အီတလီ မဂ္ဂဇင်းတွင် မျက်နှာဖုံးအဖြစ် ပါဝင်ခဲ့သည်။
ဂျိုးဗစ်သည် ၂၀၀၂ ခုနှစ်တွင် နာမည်ကြီးသိပ္ပံရုပ်ရှင် ''Resident Evil'' အား စတင်ရိုက်ကူးခဲ့သည်။
တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology) သည် ရပ်ဝန်း(space) အတွင်းရှိ ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များ၏ တည်နေရာနှင့် အစီအစဉ်ကို လေ့လာသော ပညာရပ်ဖြစ်ပြီး သင်္ချာဘာသာရပ်၏ အခြေခံကျသော အဓိကနယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။
တိုပေါ်လော်ဂျီသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) နှင့် အစုသီအိုရီ (set theory) တို့၏ သဘောတရားများမှ ဆင်းသက်ပေါက်ဖွားလာခြင်း ဖြစ်သည်။
ဆယ်စုနှစ်များစွာတိုင်အောင် တိုပေါ်လော်ဂျီကို အခြေခံကျသော ဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် အသိအမှတ်ပြုခဲ့ကြသည်။
ထို့ကြောင့် ၎င်းကို အက္ခရာသင်္ချာ (algebra) နည်းတူ အခြားသော သင်္ချာနယ်ပယ်များစွာအတွက် ဒုတိယမြောက် မဏ္ဍိုင်ကြီးတစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။
တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ အခြေခံအကျဆုံး သဘောတရားမှာ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည်။
သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံ အများအပြားကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအဖြစ် ယူဆနိုင်သည်။
တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း၏ တည်ဆောက်ပုံပေါ်တွင်သာ မူတည်နေသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ခေါ်ဆိုခြင်းဖြစ်သည်။
စက်လုံး (sphere) တစ်ခုနှင့် ကုဗတုံး (cube) တစ်ခုကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရှုထောင့်မှကြည့်လျှင် ခွဲခြား၍မရနိုင်ပေ။
ထို့အတူ မုန့်လက်ကောက်အခဲ (solid torus) နှင့် လက်ကိုင်ကွင်းတစ်ခုပါသော ခွက်တို့သည်လည်း ဟိုမီယိုမောဖစ် ဖြစ်ကြသည်။
အကြောင်းမှာ ၎င်းတို့အနက်မှ တစ်ခုကို အခြားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြတ်တောက်ခြင်းမရှိဘဲ အသွင်ပြောင်းနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည် (ပုံတွင် ကြည့်ပါ)။
သို့သော်လည်း မုန့်လက်ကောက် (torus) ၏ မျက်နှာပြင်သည် စက်လုံး၏ မျက်နှာပြင်နှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီသဘောအရ ကွဲပြားခြားနားသည်။