DatarrX/myanmar-Wikipedia huggingface dataset:
အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်များကို မပြောင်းလဲစေသော ကွီဗာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (quiver homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
Set: အစုများ (sets) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ် သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင်များ (functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
Top: ရပ်ဝန်းများ(topological spaces) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (continuous functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
Man: ချောမွေ့သော မန်နီဖိုးများကို (smooth manifolds) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
ချောမွေ့သော ပုံဖော်မှုများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
Meas: အတိုင်းအတာ ရပ်ဝန်းများကို (measurable spaces) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
အတိုင်းအတာ ဖန်ရှင်များကို (measurable functions) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
Poset: တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း အစဉ်ကျသောအစုများကို (partially-ordered sets) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေသော ဖန်ရှင်များ (order-preserving functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
အတန်းအစား (homotopy class) များအားလုံး ပါဝင်သည့် မိသားစုကို [X, Y] ဖြင့် ဖော်ပြသည်။
Set_{} နှင့် Top_{}: အခြေခံအမှတ် (basepoint) သတ်မှတ်ထားသော အစုများ သို့မဟုတ် ရပ်ဝန်းများကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
အခြေခံအမှတ်ကို မပြောင်းလဲစေသော (အဆက်မပြတ်) ဖန်ရှင်များ (basepoint-preserving (continuous) functions) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
Group: အုပ်စုများ (groups) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (group homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ်သတ်မှတ်သည်။
Ring: ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိနှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိတို့ ပြည့်စုံသော ကွင်းများ (associative and unital rings) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (ring homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
Field: ဖီးလ်ဒ်များ (fields) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
ဖီးလ်ဒ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို (field homomorphisms) မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
Mod_{R}: ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) R တစ်ခုအတွက် ဘယ် R-များကို (left R-modules) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
R-မော်ဂျူး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
Ch_{R}: R-မော်ဂျူးများ၏ ချိတ်တန်း ကွန်ပလက်စ်များ (chain complexes) ကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
ချိတ်တန်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
Mat_{R}: ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) R တစ်ခုအတွက် Mat_{R} သည် အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီဖြစ်သည်။
n မှ m သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် R မှ တန်ဖိုးများပါရှိသော m \times n ကိန်းအုံ (matrix) တစ်ခုဖြစ်သည်။
ပေါင်းစပ်ခြင်းကို မက်ထရစ်မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်ပြီး ထပ်တူရကိန်းအုံများသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ဆောင်ရွက်သည်။
BG (ကတ်တဂိုရီဖြစ် အုပ်စု): အုပ်စု G သို့မဟုတ် ယေဘုယျအားဖြင့် မိုနွိုက် (monoid) တစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ BG အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
အုပ်စု G ၏ အစုဝင်များသည် ကတ်တဂိုရီ BG ၏ မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြပြီး ပေါင်းစပ်ခြင်းကို အစုဝင်များ မြှောက်ခြင်းဖြင့် ပြုလုပ်သည်။
Graph: ရိုးရှင်းသော ဂရပ်များကို (simple graphs) အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
ဂရပ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီ (Discrete category): အစုတစ်ခုကို ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။
မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်နေသော ကတ်တဂိုရီကို တစ်ပိုင်းတစ်စ ကတ်တဂိုရီဟု ခေါ်သည်။
သို့သော် ကတ်တဂိုရီတိုင်းသည် ဤကဲ့သို့ ဖန်ရှင်များကိုသာ အခြေခံထားခြင်း မဟုတ်ပေ။
မော်ဖစ်ဇင်များသည် ဖန်ရှင်များ မဟုတ်သော သရုပ်မဲ့ ကတ်တဂိုရီများ (abstract categories) လည်း များစွာတည်ရှိသည်။
ထို့အတူ အုပ်စုတစ်ခုကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအဖြစ် သတ်မှတ်ပါက ထိုအုပ်စု၏ အစုဝင်များသည် မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်လာကြသည်။
မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism): ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် f: x\rightarrow y တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ (parallel morphisms) h,k: w\rightrightarrows x အတွက်မဆို fh=fk ဖြစ်လျှင် h=k ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို f ကို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။
အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism): ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် f: x\rightarrow y တစ်ခုအတွက် မည်သည့် မျဉ်းပြိုင် မော်ဖစ်ဇင်များ h,k: y\rightrightarrows z အတွက်မဆို hf=kf ဖြစ်လျှင် h=k ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်ပါက ထို f ကို အပီမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။
အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism): ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် f:X\rightarrow Y အတွက် gf=1_X နှင့် fg=1_Y ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် g: Y\rightarrow X တစ်ခု တည်ရှိပါက ထို f ကို အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။
အရာဝတ္ထု X နှင့် Y တို့ကြားတွင် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ရှိပါက ၎င်းတို့ကို အိုင်ဆိုမောဖစ်ဖြစ်သော အရာဝတ္ထုများ (isomorphic objects) ဟု သတ်မှတ်ပြီး သင်္ကေတအားဖြင့် X \cong Y ဟု ရေးသားသည်။
အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (Endomorphism): အရင်းအမြစ် နှင့် ပစ်မှတ် တူညီသော မော်ဖစ်ဇင်ကို အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။
အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (Automorphism): အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်လည်းဖြစ်သော အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်ကို အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်သည်။
အပိုင်း နှင့် ရုပ်သိမ်းခြင်း (Section and Retraction): x\overset{s}{\longrightarrow} y \overset{r}{\longrightarrow} x တို့သည် မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပြီး rs=1_{x} ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။
Set ကတ်တဂိုရီအတွင်း၌ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်များ (injective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည်။
ထို့အတူပင် Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်များ (surjective functions) နှင့် ထပ်တူညီသည်။
ထို့ကြောင့် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များ နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များကို အင်ဂျက်တစ်နှင့် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင် သဘောတရားများ၏ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ နှိုင်းယှဉ်ချက်များအဖြစ် ရှုမြင်သင့်သည်။
လက်တွေ့တွင် C သည် အရာဝတ္ထုများ၌ အခြေခံအစုများ (underlying sets) ပါရှိသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းတို့ကြားရှိ အင်ဂျက်တစ် သို့မဟုတ် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်ကို သက်ရောက်ဖြစ်ပေါ်စေသည့် မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် အပီမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။
သို့ရာတွင် ထိုသို့သော ကတ်တဂိုရီများ၌ပင်လျှင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်နှင့် အပီမော်ဖစ်ဇင် သဘောတရားများသည် ပိုမို၍ ယေဘုယျကျနိုင်သည်။
အခြေခံဖန်ရှင်သည် အင်ဂျက်တစ် မဖြစ်သော မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ (concrete categories) ရှိသည်။
ထို့အတူ ၎င်း၏ အခြေခံဖန်ရှင်သည် ဆာဂျက်တစ် မဖြစ်သော အပီမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ပါဝင်သည့် ခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီများ လည်း ရှိသည်။
ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို (axiom of choice) ကို ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းများဖြင့် တိကျစွာ ဖော်ပြနိုင်သည်။
f:x\rightarrow y နှင့် g:y\rightarrow z တို့သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် gf:x\rightarrow z သည်လည်း မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။
ဒွန်တွဲစွာဖြင့် (by duality) f:x\rightarrow y နှင့် g:y\rightarrow z တို့သည် အပီမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် gf:x\rightarrow z သည်လည်း အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်သည်။
f:x\rightarrow y နှင့် g:y\rightarrow z တို့သည် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် gf အား မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်စေသော မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်ပါက f သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် monic) ဖြစ်သည်။
ဒွန်တွဲစွာဖြင့် gf သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် ဖြစ်ပါက g သည် အပီမော်ဖစ်ဇင် (သို့မဟုတ် epic) ဖြစ်သည်။
မည်သည့်ကတ်တဂိုရီတွင်မဆို မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။
ဒွန်တွဲစွာဖြင့် C အတွင်းရှိ အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည် C^{op} အတွင်းရှိ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များနှင့် တိုက်ရိုက် သက်ဆိုင်သောကြောင့် အပီမော်ဖစ်ဇင်များသည်လည်း ကတ်တဂိုရီပိုင်း တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။
ဖီးလ်ဒ် (Field) ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သည်။
ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများ (unital rings) ၏ ကတ်တဂိုရီဖြစ်သော Ring တွင် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) i: \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q} သည် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်ရော အပီမော်ဖစ်ဇင်ပါ ဖြစ်သော်လည်း ၎င်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) မဟုတ်ပေ။
Set ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများပင် ဖြစ်သည်။
C(c,x) နှင့် C(c,y) တို့သည် ဟွမ်း-အစုများ (hom-sets) ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့သည် သတ်မှတ်ထားသော အရာဝတ္ထုနှစ်ခုကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ ပါဝင်သည့် အစုများဖြစ်သည်။
ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် ပုံဖော်မှု f_{} သည် အစုတစ်ခုမှ အခြားအစုတစ်ခုသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်သည်။
ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု x, y တိုင်းအတွက်မဆို ၎င်းတို့ကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခုမျှသာ ဖြစ်ပါက ၎င်းကို ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (locally small category) ဟု ခေါ်သည်။
ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု X မှ Y သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များ စုစည်းမှုကို သင်္ကေတအားဖြင့် C(X, Y) သို့မဟုတ် \text{Hom}(X, Y) ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။
ကတ်တဂိုရီများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် အစု (set) ဟူသော စကားလုံးအစား စုစည်းမှု (collection) ဟူသော စကားလုံးကို သတိပြု၍ အသုံးပြုထားသည်။
ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ အစုများအားလုံး ပါဝင်သော အစုဟူ၍ မရှိနိုင်ပေ။
ထို့ကြောင့် ဥပမာအားဖြင့် အစုများအားလုံးပါဝင်သော Set ကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုသည် အစုတစ်ခု မဖြစ်နိုင်ပေ။
မည်သည့် ရပ်ဝန်း X အတွက်မဆို ၎င်း၏ အခြေခံ ဂရုပွိုက် (fundamental groupoid) \Pi_{1}X သည် X ၏ အမှတ်များကို အရာဝတ္ထုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သည်။
မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ C တွင်မဆို အကြီးဆုံး ဂရုပွိုက် (maximal groupoid) တစ်ခု ပါဝင်သည်။
သို့ရာတွင် ၎င်းသည် အောက်ဖော်ပြပါ အချက်အလက်များကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- D အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ် မဆိုသည် D တွင် ပါဝင်ရမည်။
D အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု၏ ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် D တွင် ပါဝင်ရမည်။
D အတွင်းရှိ ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်စုံတွဲ၏ ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် မဆိုသည် D တွင် ပါဝင်ရမည်။
မော်ဖစ်ဇင်များသည် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (f, g): (c, d) \rightarrow (c^{\prime}, d^{\prime}) များဖြစ်ကြသည်။
ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် ထပ်တူရမော်ဖစ်ဇင်များကို ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းများအလိုက် (componentwise) အသီးသီး သတ်မှတ်သည်။
ဆိုလိုသည်မှာ g ၏ ပစ်မှတ်သည် f ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် တူညီမှသာ ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။
ကတ်တဂိုရီတစ်ခုနှင့်ပတ်သက်သော မည်သည့်အဆိုကိုမဆို ၎င်းကတ်တဂိုရီ၏ နဂိုမှန်အဆိုများမှ ကောက်ချက်ချနိုင်ပါက ၎င်း၏ ဒွန်တွဲအဆိုကိုလည်း ကောက်ချက်ချနိုင်မည်ဖြစ်သည်။
ကတ်တဂိုရီ c/C တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် C အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် f: c \rightarrow x တစ်ခုဖြစ်ပြီး f: c \rightarrow x မှ g: c \rightarrow y သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် g = hf ဖြစ်စေမည့် C အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် h: x \rightarrow y တစ်ခုဖြစ်သည်။
ကတ်တဂိုရီ C/c တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုသည် C အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် f: x \rightarrow c တစ်ခုဖြစ်ပြီး f: x \rightarrow c မှ g: y \rightarrow c သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် f = gh ဖြစ်စေမည့် C အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် h: x \rightarrow y တစ်ခုဖြစ်သည်။
c/C သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်သည်ဟူသော အချက်မှနေ၍ C/c := (c/(C^{op}))^{op} ဟူသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို အသုံးပြုခြင်းအားဖြင့် C/c သည်လည်း ကတ်တဂိုရီတစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။
ကတ်တဂိုရီ C နှင့် D ကြားရှိ ဖန်တာ (functor) F: C \rightarrow D တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အချက်အလက်များ ပါဝင်သည်- C အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု c \in C တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် D အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု Fc \in D C အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် f:c \rightarrow c^{\prime} \in C တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် D အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် Ff:Fc \rightarrow Fc^{\prime} \in D ဤတွင် Ff ၏ အရင်းအမြစ် နှင့် ပစ်မှတ် တို့သည် F ကို f ၏ အရင်းအမြစ် သို့မဟုတ် ပစ်မှတ်အပေါ် အသီးသီး သက်ရောက်ထားခြင်းနှင့် ညီမျှသည်။
နဂိုမှန်အဆိုများ အထက်ပါအချက်အလက်များသည် အောက်ဖော်ပြပါ ဖန်တာဖြစ်တည်မှု နဂိုမှန်အဆို (functoriality axioms) နှစ်ခုကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- C အတွင်းရှိ ပေါင်းစပ်ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲ f, g အတွက်မဆို Fg \cdot Ff = F(g \cdot f) ဖြစ်သည်။
C အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု c တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် F(1_{c}) = 1_{Fc} ဖြစ်သည်။
ဖန်တာများသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များကို ထိန်းသိမ်းထားသည် (Functors preserve isomorphisms)။
ကတ်တဂိုရီ C အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် f သည် ပြောင်းပြန်မော်ဖစ်ဇင် g ရှိသော အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်ဆိုပါစို့။
ထိုအခါ မည်သည့် ဖန်တာ F: C \rightarrow D မဆိုအတွက် ၎င်း၏ပုံရိပ် Ff သည် ကတ်တဂိုရီ D အတွင်း၌ ပြောင်းပြန်မော်ဖစ်ဇင် Fg ရှိသော အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်လာမည်ဖြစ်သည်။
ပြည့်ဝဖန်တာ (Full functor): ဖန်တာ F \colon \mathsf{C} \to \mathsf{D} တစ်ခုအတွက် \mathsf{C} အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထုတွဲ x, y \in \mathsf{C} တိုင်းအတွက်မဆို ပုံဖော်မှု f \mapsto Ff \colon \mathsf{C}(x,y) \to \mathsf{D}(Fx, Fy) သည် (surjective) ဖြစ်ပါက ထိုဖန်တာကို ပြည့်ဝဖန်တာဟု ခေါ်သည်။
အရာဝတ္ထုများအပေါ် အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ (Essentially surjective functor on objects): ဖန်တာ F \colon \mathsf{C} \to \mathsf{D} တစ်ခုအတွက် \mathsf{D} အတွင်းရှိ မည်သည့် အရာဝတ္ထု d \in \mathsf{D} တိုင်းအတွက်မဆို d နှင့် Fc တို့ အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်စေမည့် အရာဝတ္ထု c \in \mathsf{C} တစ်ခု တည်ရှိပါက ထိုဖန်တာကို အရာဝတ္ထုများအပေါ် အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာဟု ခေါ်သည်။
ထည့်သွင်းခြင်း (Embedding): အရာဝတ္ထုများအပေါ် အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော သစ္စာရှိဖန်တာတစ်ခုကို ထည့်သွင်းခြင်း ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းသည် အရင်းအမြစ် ကတ်တဂိုရီအား ပစ်မှတ် ကတ်တဂိုရီ၏ ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
အပြည့်အဝ ထည့်သွင်းခြင်း (Full embedding): အရာဝတ္ထုများအပေါ် အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (fully faithful functor) ကို အပြည့်အဝ ထည့်သွင်းခြင်း ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်း၏အရင်းအမြစ်သည် ပစ်မှတ်၏ ပြည့်ဝသော ကတ်တဂိုရီပိုင်း (full subcategory) တစ်ခုအဖြစ် ဖွဲ့စည်းသည်။
နဂိုမှန်အဆိုများ အထက်ပါအချက်အလက်များသည် အောက်ဖော်ပြပါ ဖန်တာဖြစ်တည်မှု နဂိုမှန်အဆို နှစ်ခုကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်- C အတွင်းရှိ ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်စုံတွဲ f, g အတွက်မဆို Ff \cdot Fg = F(g \cdot f) ဖြစ်သည်။
ဒွန်တွဲစွာဖြင့် (dually) ဖန်တာ C(-, c) သည် x \in C ကို အစု C(x, c) သို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။
ဖန်တာ C(c, -) သည် မော်ဖစ်ဇင် f: x \rightarrow y ကို နောက်ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်း ဖန်ရှင် (postcomposition function) f_{}: C(c, x) \rightarrow C(c, y) သို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။
ဒွန်တွဲစွာဖြင့် ဖန်တာ C(-, c) သည် မော်ဖစ်ဇင် f ကို ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်း ဖန်ရှင် (precomposition function) f^{}: C(y, c) \rightarrow C(x, c) သို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။
အရာဝတ္ထုစုံတွဲ (x, y) ကို ဟွမ်း-အစု (hom-set) C(x, y) သို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။
မော်ဖစ်ဇင်စုံတွဲ f: w \rightarrow x နှင့် h: y \rightarrow z တို့ကို အောက်ပါ ဖန်ရှင်သို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်- C(x, y) \xrightarrow{h \cdot - \cdot f} C(w, z) g \mapsto hgf ၎င်းသည် g: x \rightarrow y ကို ယူ၍ f ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် h ဖြင့် နောက်ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်း တို့ကို ပြုလုပ်ကာ hgf: w \rightarrow z ကို ရရှိစေသည်။
အခြေခံအမှတ်ပါသော ရပ်ဝန်းများကြားရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် f:(X,x)\rightarrow(Y,y) တစ်ခုသည် အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် f_{}:\pi_{1}(X,x)\rightarrow \pi_{1}(Y,y) တစ်ခုကို သက်ရောက်ဖြစ်ပေါ်စေသည်။
အုပ်စုသက်ရောက်ချက်များ (Group actions): အုပ်စု G ကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ BG အဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။
ဖန်တာ X: BG \rightarrow C တစ်ခုသည် ကတ်တဂိုရီ C အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု X အပေါ် G ၏ ဘယ်သက်ရောက်ချက် (left action) ကို တိကျစွာ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။
ထို့အတူ ညာသက်ရောက်ချက် (right action) ကို ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ X: BG^{op} \rightarrow C အဖြစ် သတ်မှတ်နိုင်သည်။
ဖန်တာဖြစ်တည်မှု၏ ဂုဏ်သတ္တိများအရ ဤသက်ရောက်ချက်များရှိ အုပ်စုဝင်များသည် အရာဝတ္ထု X၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ (automorphisms) အဖြစ် မဖြစ်မနေ သက်ရောက်ရမည် ဖြစ်သည်။
ချိတ်တန်း ကွန်ပလက်စ်များ (Chain Complexes): ချိတ်တန်း ကွန်ပလက်စ်များ၏ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ f_{\bullet}:C_{\bullet}\rightarrow C_{\bullet}^{\prime} တွင် မည်သည့် n\in\mathbb{Z} အတွက်မဆို df_{n}=f_{n-1}d ဖြစ်စေမည့် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် f_{n}:C_{n}\rightarrow C_{n}^{\prime} များ စုစည်းပါဝင်သည်။
ယင်းအပေါ်အခြေခံ၍ အောက်ပါ ဖန်တာများကို ထပ်မံသတ်မှတ်နိုင်သည်- စက်ဝိုင်းပုံများ (Cycles, Z_n): ဖန်တာ Z_{n} သည် Z_{n}C_{\bullet}=\ker(d:C_{n}\rightarrow C_{n-1}) အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော n-စက်ဝိုင်းပုံ (n-cycle) များကို တွက်ချက်ပေးသည်။
နယ်နိမိတ်များ (Boundaries, B_n): ဖန်တာ B_{n} သည် B_{n}C_{\bullet}=\text{im}(d:C_{n+1}\rightarrow C_{n}) အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော n-နယ်နိမိတ် (n-boundary) ကို တွက်ချက်ပေးသည်။
ဟိုမိုလော်ဂျီ (Homology, H_n): ဖန်တာ H_{n} သည် n ကြိမ်မြောက် ဟိုမိုလော်ဂျီ (nth homology) ကို H_{n}C_{\bullet}:=Z_{n}C_{\bullet}/B_{n}C_{\bullet} အဖြစ် တွက်ချက်ပေးသည်။
ပါဝင်မှု နှင့် မေ့လျော့ ဖန်တာများ (Inclusion and Forgetful Functors): ဖွဲ့စည်းပုံများကို ထည့်သွင်းခြင်း သို့မဟုတ် ချန်လှပ်ခြင်း ပြုလုပ်သော အောက်ပါ အခြေခံ ဖန်တာများလည်း ရှိသည်- I: Ab \rightarrow Group (ပါဝင်မှု ဖန်တာ - inclusion functor) U: Ring \rightarrow Ab (မြှောက်ခြင်းကို ချန်လှပ်ထားသော မေ့လျော့ ဖန်တာ - forgetful functor) (-)^{\times}: Ring \rightarrow Group (ယူနစ်များ၏ အုပ်စုထုတ်ယူသော ဖန်တာ) I: Ring \rightarrow Rng (ထည့်သွင်းမှု ဖန်တာ) I: Field \rightarrow Ring (ထည့်သွင်းမှု ဖန်တာ) ကဲကုလပ်စ်မှ ဆင်းသက်ချက် (Derivative): ကိန်းရှင်တစ်ခုထက်ပိုသော ကဲကုလပ်စ် (multivariable calculus) မှ ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (chain rule) သည် ဖန်တာဖြစ်တည်မှု၏ သရုပ်ပြချက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။
ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်းအရ ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ ဂျေးကိုဘီယန် ကိန်းအုံသည် မူလဖန်ရှင်များ၏ ဂျေးကိုဘီယန် ကိန်းအုံများကို မက်ထရစ်မြှောက်ခြင်းဖြင့် ရရှိနိုင်ကြောင်း ဖော်ပြထားခြင်းသည် ဖန်တာ၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းဂုဏ်သတ္တိကို တိုက်ရိုက် ကိုယ်စားပြုနေခြင်း ဖြစ်သည်။
အစုအဖွဲ့ခွဲခြားခြင်း ဖန်တာ (Clustering functor): တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ အချက်အလက်များကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာရာတွင် (topological data analysis) အစုအဖွဲ့ခွဲခြားခြင်း အယ်လ်ဂိုရီသမ် (clustering algorithm) များကို ဖန်တာများအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။
အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ (metric spaces) မှ အစုအဖွဲ့ ကတ်တဂိုရီ (cluster category) သို့သွားသော သင့်လျော်သည့် ဖန်တာများကို ရှာဖွေခြင်းဖြင့် ဒေတာများကို ပိုမိုထိရောက်စွာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာနိုင်ရန် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီက ကူညီပေးသည်။
ထင်ရှားသော ဥပမာတစ်ခုမှာ ဘရောင်းဝါး အထိုင်မှတ် သီအိုရမ် (Brouwer Fixed Point Theorem) ကို သက်သေပြခြင်းဖြစ်သည်။
အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော အပိတ်ပြား (2-dimensional disk) D^2 ၏ မည်သည့် အဆက်မပြတ် မဆိုတွင် အထိုင်မှတ်တစ်ခု အနည်းဆုံး ပါရှိရမည်ဟု အဆိုပါသီအိုရမ်က ဆိုသည်။
အခြေခံအုပ်စု (\pi_1) ဖန်တာကို အသုံးပြု၍ ပုံစံတကျ ရုပ်သိမ်းခြင်း (retraction) မဖြစ်နိုင်ကြောင်းကို ချေပသက်သေပြခြင်းအားဖြင့် ဖန်တာများ မည်မျှစွမ်းအားကြီးကြောင်းကို ဤသီအိုရမ်က မီးမောင်းထိုးပြသည်။
ပုံမှန်အားဖြင့် ပုံကြမ်းတစ်ခုသည် ဖန်တာတစ်ခုသာ ဖြစ်သော်လည်း လက်တွေ့တွင်မူ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် ပစ်မှတ် ကတ်တဂိုရီထက် ပိုမိုသေးငယ်သောအခါ ထိုဖန်တာကို ပုံကြမ်းအဖြစ် ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။
အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီသည် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ (small category) ဖြစ်ပါက ထိုပုံကြမ်းကို သေးငယ်သော ပုံကြမ်းဟု သတ်မှတ်သည်။
သဘာဝကျမှု (naturality) ကို ထင်ရှားသော ဥပမာတစ်ခုဖြင့် ရှင်းပြနိုင်သည်။
အတိုင်းအတာအကန့်အသတ်ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်း V တစ်ခုသည် ၎င်း၏ ဒွန်တွဲ ဗက်တာရပ်ဝန်း V^ နှင့် လည်းကောင်း ဒွန်တွဲနှစ်ထပ် V^{} နှင့် လည်းကောင်း အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်။
သို့သော် V \cong V^ ဟူသော အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်အတွက် အခြေအစု (basis) တစ်ခုကို အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ရန် လိုအပ်သောကြောင့် ၎င်းသည် သဘာဝမကျပေ။
ယင်းနှင့်ဆန့်ကျင်ဘက်အားဖြင့် V \cong V^{} ဟူသော အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် မည်သည့် အခြေအစုကိုမျှ ရွေးချယ်ရန် မလိုအပ်သောကြောင့် ၎င်းကို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
ကတ်တဂိုရီ C နှင့် D တို့ကြားရှိ မျဉ်းပြိုင် ဖန်တာများ (parallel functors) F,G: C \rightrightarrows D တို့အတွက် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း \alpha: F \Rightarrow G တွင် အောက်ပါအချက်များ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်- C အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု c \in C တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် D အတွင်းရှိ မြား (arrow) \alpha_c: Fc \rightarrow Gc တစ်ခုစီ ရှိသည်။
ထိုမြားများ စုစည်းမှုသည် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း၏ အစိတ်အပိုင်းများ (components) ဖြစ်သည်။
C အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် f: c \rightarrow c' အတွက်မဆို D အတွင်းတွင် မော်ဖစ်ဇင်များ၏ စတုရန်းကို အောက်ဖော်ပြပါအတိုင်း ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေသည် (commutes)။
တစ်နည်းအားဖြင့် D အတွင်းတွင် \alpha_{c'} \cdot Ff = Gf \cdot \alpha_c: Fc \rightarrow Gc' ဟူသော ဘုံတူညီသည့် ပေါင်းစပ်မော်ဖစ်ဇင် (common composite) တစ်ခု ရှိသည်။
ထိုသဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ကို \alpha: F \cong G အဖြစ် ရေးသားနိုင်သည်။
ထိုဖန်တာနှစ်ခုကြားရှိ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခုသည် G-အချိုးညီ ပုံဖော်မှု (G-equivariant map) တစ်ခု တိကျစွာဖြစ်သည်။
ဂဏန်းသင်္ချာအား ကတ်တဂိုရီအသွင်ပြောင်းခြင်း (Categorification of arithmetic): သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာကို ရှင်းပြနိုင်သည်။
ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီသည် အခြေခံသင်္ချာအတွက် မည်သို့ အုတ်မြစ်ချပေးနိုင်ကြောင်း ပြသသည့် ဥပမာတစ်ခုဖြစ်သည်။
ကတ်တဂိုရီ၏ ဗဟို (Center of a category): မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ C တွင်မဆို ၎င်း၏ ထပ်တူရဖန်တာမှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့သွားသော သဘာဝအန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များအားလုံး (1_C \Rightarrow 1_C) ပါဝင်သည့် စုစည်းမှုသည် ဖလှယ်ရ မိုနွိုက် (commutative monoid) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။
ကတ်တဂိုရီ C မှ D သို့သွားသော ဖန်တာများအားလုံး ပါဝင်သည့် စုစည်းမှုကို ဖန်တာ ကတ်တဂိုရီ (functor category) အဖြစ် တည်ဆောက်နိုင်သည်။
ကြီးမားသော ကတ်တဂိုရီများ (large categories) နှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်တာများကို မော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည့် ကတ်တဂိုရီကို \text{CAT} ဟု သတ်မှတ်ခေါ်ဝေါ်သည်။
ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) အရ \text{CAT} သည် ၎င်းကိုယ်တိုင် ပါဝင်နေလောက်အောင် ကြီးမားနေခြင်းမျိုး မဖြစ်သင့်သဖြင့် \text{CAT} ရှိ အရာဝတ္ထုများသည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီများဖြစ်ရန် လိုအပ်သည်။
ပါဝင်မှု ဖန်တာ \text{Cat} \hookrightarrow \text{CAT} တစ်ခု တစ်ဖက်တွင် ရှိသော်လည်း အခြားတစ်ဖက်သို့ ပြန်သွားသည့် ဖန်တာ မရှိပါ။
အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် C ၏ အရာဝတ္ထုများနှင့် D ၏ အရာဝတ္ထုများကြား ဘိုင်ဂျက်ချင်း (bijection) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။
ထိုနည်းတူစွာ ၎င်းတို့၏ မော်ဖစ်ဇင်များကြားတွင် ဘိုင်ဂျက်ချင်း ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။
ထို့ကြောင့် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှု (equivalence of categories) ဟူသော သဘောတရားကို ပိုမိုအသုံးပြုကြသည်။
ကတ်တဂိုရီ C နှင့် D တို့ကြားတွင် ထပ်တူညီမှု ရှိသည်ဆိုသည်မှာ ဖန်တာများဖြစ်သော F: C \rightarrow D နှင့် G: D \rightarrow C တို့အပြင် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော \eta: 1_C \cong GF နှင့် \epsilon: FG \cong 1_D တို့ တည်ရှိနေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။
အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ကဲ့သို့ GF = 1_C ဟု တိကျစွာ ညီမျှရန် မလိုအပ်ဘဲ သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် ညီမျှနေခြင်းက လုံလောက်ပါသည်။
ဖန်တာတစ်ခုသည် ကတ်တဂိုရီများကို ထပ်တူညီစေခြင်း ရှိ မရှိကို အောက်ပါ သီအိုရမ်ဖြင့် အလွယ်တကူ စစ်ဆေးနိုင်သည်။
ဖန်တာ F: C \rightarrow D တစ်ခုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (fully faithful functor) လည်းဖြစ်၍ အရာဝတ္ထုများအပေါ် အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ (essentially surjective functor on objects) လည်းဖြစ်ပါက ၎င်းဖန်တာသည် ကတ်တဂိုရီများ၏ ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။
အလားတူပင် ထပ်တူညီမှုကို ဖြစ်ပေါ်စေသော မည်သည့် ဖန်တာမဆိုသည် ပြည့်ဝသစ္စာရှိပြီး အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်ရမည်။
ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုအရ ဤအချက်နှစ်ခုသည် အပြန်အလှန် မှန်ကန်သည်။
ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများသည် အချင်းချင်း အိုင်ဆိုမောဖစ် မဖြစ်ပါက ထိုအရာဝတ္ထုများသာ ပါဝင်သော ပြည့်ဝသည့် ကတ်တဂိုရီပိုင်း (full subcategory) ကို မူလကတ်တဂိုရီ၏ အရိုးစု (skeleton) ဟု ခေါ်သည်။
အရိုးစု ကတ်တဂိုရီတစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထုနှစ်ခု အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်နေပါက ၎င်းတို့သည် အတိအကျ တူညီသော အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်ရမည်။
အရေးပါသော သီအိုရမ်တစ်ခုမှာ မည်သည့် ကတ်တဂိုရီမဆိုသည် ၎င်း၏ အရိုးစုနှင့် အမြဲတမ်း ထပ်တူညီသည် (equivalent) ဟူသောအချက် ဖြစ်သည်။
သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို ၎င်းပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အခြားအရာဝတ္ထုများနှင့် ဆက်သွယ်မှုများကို လေ့လာခြင်းဖြင့် အကောင်းဆုံး နားလည်နိုင်သည်။
ကတ်တဂိုရီ C အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု c သည် အစ အရာဝတ္ထု (initial object) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ လားရာတူ ဖန်တာ C(c,-): C \rightarrow Set သည် ကိန်းသေ ဖန်တာ (constant functor) နှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမောဖစ် (naturally isomorphic) ဖြစ်ခြင်းဖြစ်သည်။
အရာဝတ္ထု c သည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု (terminal object) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ C(-,c): C^{op} \rightarrow Set သည် အရာဝတ္ထုတိုင်းကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ကိန်းသေ ဖန်တာနှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမောဖစ် ဖြစ်ခြင်းဖြစ်သည်။
ဖန်တာ F အတွက် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက် (representation) ဆိုသည်မှာ အရာဝတ္ထု c \in C နှင့် သတ်မှတ်ထားသော သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (natural isomorphism) တစ်ခုတို့ ပေါင်းစပ်ပါဝင်ခြင်းဖြစ်သည်။
F သည် လားရာတူ ဖန်တာဖြစ်ပါက ကိုယ်စားပြုဖော်ပြချက်သည် c \in C နှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် \alpha: C(c,-) \cong F ဖြစ်ပြီး F သည် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာဖြစ်ပါက သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် \alpha: C(-,c) \cong F ဖြစ်သည်။
လားရာတူ ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် c မှနေ၍ အခြားအရာဝတ္ထုများဆီသို့ သွားသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အပြင်သို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping out universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။
ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာကို ကိုယ်စားပြုခြင်းသည် အခြားအရာဝတ္ထုများမှနေ၍ c ဆီသို့ လာသော မြားများကို သတ်မှတ်ပေးသည့်အတွက် ယင်းကို အတွင်းသို့ စကြဝဠာ ဂုဏ်သတ္တိ ပုံဖော်ခြင်း (mapping in universal property) ဟု မှတ်ယူနိုင်သည်။
သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) \mathbb{N}၊ နောက်ဆက်တွဲ ဖန်ရှင် (successor function) s: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} နှင့် အစုဝင် 0 \in \mathbb{N} တို့သည် စကြဝဠာ တစ်ပိုင်းတစ်စ ဒိုင်းနမစ်စနစ် အဖြစ် တည်ရှိကြသည်။
ထပ်တူရ ဖန်တာ (Identity functor) တွင် I_{Set}: Set \rightarrow Set ကို အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည်။
မည်သည့်အစု X အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် \text{Set}(, X) \cong X တစ်ခု ရှိသည်။
ယင်းက အစုဝင် x \in X များနှင့် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုမှ အစုဝင်ကို x ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသော ဖန်ရှင် x: \rightarrow X များကြားရှိ ဘိုင်ဂျက်တစ် ကိုက်ညီမှု (bijective correspondence) ကို သတ်မှတ်ပေးသည်။
မေ့လျော့ ဖန်တာ (Forgetful functor) တွင် U: Group \rightarrow Set ကို အုပ်စု \mathbb{Z} ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည်။
မည်သည့်အုပ်စု G အတွက်မဆို သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် Group(\mathbb{Z},G) \cong UG တစ်ခု ရှိသည်။
ထိုအိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်သည် အစုဝင် g \in UG တိုင်းအတွက် ကိန်းပြည့် 1 ကို g ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) g: \mathbb{Z} \rightarrow G ကို ဆက်စပ်ပေးသည်။
မေ့လျော့ ဖန်တာ U: Ring \rightarrow Set ကို ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) \mathbb{Z}[x] ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည်။
ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (unital ring homomorphism) \phi: \mathbb{Z}[x] \rightarrow R တစ်ခုကို x ၏ ပုံရိပ်အားဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်အောင် သတ်မှတ်နိုင်သည်။
ဆန့်ကျင်ဘက် ပါဝါအစု ဖန်တာ (Contravariant power set functor) တွင် P: Set^{op} \rightarrow Set ကို အစုဝင်နှစ်ခုပါဝင်သော အစု \Omega = \{\top, \bot\} ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည်။
ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ၎င်း၏ အဖွင့်စုများ (open subsets) ပါဝင်သော အစုဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည့် ဖန်တာ O: Top^{op} \rightarrow Set ကို ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း (Sierpinski space) S ဖြင့် ကိုယ်စားပြုသည်။
ချဲ့ပင်းစကီး ရပ်ဝန်း ဆိုသည်မှာ အပိတ်မှတ်တစ်ခုနှင့် အဖွင့်မှတ်တစ်ခု ပါဝင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည်။