DatarrX/myanmar-Wikipedia huggingface dataset:
တွင်၊ မျိုးစေ့သည် မဖွံ့ဖြိုးသေးသော အပင် သန္ဓေသားလောင်းဖြစ်ပြီး အစားအစာအရန်အကာတစ်ခုဖြစ်သည့် အစေ့အကာ (testa) ဟုခေါ်သော အပြင်ဘက်အကာတွင် ဖုံးအုပ်ထားသည်။
ယေဘူယျအားဖြင့် “မျိုးစေ့” ဟူသော အသုံးအနှုန်းသည် မျိုးစေ့နှင့် စပါးခွံ သို့မဟုတ် ဥပါဝင်သော မျိုးစေ့ကို နိုင်သည့် မည်သည့်အရာကိုမဆို ဆိုလိုသည်။
မျိုးစေ့ဖွဲ့စည်းခြင်းသည် အစေ့အပင်များ တွင် လုပ်ငန်းစဉ်၏ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်းဖြစ်သည်။
ယခုအခါ မျိုးစေ့အပင်များသည် ပူအိုက်အေးသော တွင် မှ အထိ ကုန်းမြေပေါ်တွင် ဇီဝဗေဒဆိုင်ရာ လမ်းကြောင်းများကို လွှမ်းမိုးထားသည်။
များတွင် မျိုးဥအိမ်သည် အစေ့များပါရှိသော အဖြစ်မှည့်လာပြီး ၎င်းကို ဖြန့်ဝေရန်အတွက် လုပ်ဆောင်သည်။
အတွင်း၌ (2, 3) ကို ညွှန်းဆို ဖော်ပြနေသည့် ဗှတ္တာပုံ]] နှင့် ရှိ ဗှတ္တာ ဆိုသည်မှာ ၁- တမျိုး ဖြစ်၍၊ ကိုင်တွယ်အသုံးပြုနေသည့် သို့မဟုတ် တို့၏ အလျောက် အသီးသီး စုတွဲထွက်ပေါ်လျက် (ဖြစ်စေ ဖြစ်စေ စသော) ရည်ရွယ်ရာတခုခုကို ဖော်ပြနေသည့် (mathematical object) ဖြစ်သည်။
သင်္ချာစကားဖြင့် ဆိုရလျှင် ဗှတ္တာများသည် ၌ ပါဝင်စုဖွဲ့သည့် သင်္ချာဝတ္ထုများ ဖြစ်သည်။
တနည်းအားဖြင့်၊ ဂျီဩမေထြီ ဗှတ္တာများ သည် သမားရိုးကျ အတွင်း၌ ပမာဏ(magnitude) နှင့်တကွ ဦးတည်ချက်(direction) လည်း ရှိနေသော အရာများ ဖြစ်သည်။
ထို့ကြောင့် ကန်းအုံ(materix)၏ ကိန်းလုံး(element) တခုစီက ဆိုင်ရာ (dimension) အတွက် အပိုင်းခွဲတန်ဖိုးကို ဖော်ပြလျက် ပုံ၌ ပုံတစ်ခု တည်ဆောက်သကဲ့သို့ ဖြစ်မည်။
ပိုမြင့်သော (high-ranked tensor) တို့ကို ဖြင့် ကိုယ်စားပြုပြီး၊ ၂-ကြောင်းဆွဲ ဖြစ်သည့် ဤ ဗှတ္တာ(vector)တို့ကိုမူ တိုင်ထီး (column vector) ဖြင့် ကိုယ်စားပြုရိုး ရှိ၏။
အတွင်း၌ ဥပမာပြ နေရာချထားသည့် အနီစက်လေးများမှာ အမှတ်(point)များ ဖြစ်သည်။
တခုခု အတွင်း၌ အမှတ်တစ်ခုစီသည် ဟူသော တည်နေရာ တစ်ခုစီကို ကိုယ်စားပြုသည်။
သင်္ချာဇာတ်ကောင် (သို့) သင်္ချာဝတ္ထု (: mathematical object) ဆိုသည်မှာ များလည်း ဖြစ်နိုင်သည်။
ထို့ကြောင့် ၏ နက်နဲကျယ်ပြန့်သော သဘောတရားဝတ္ထုများ ဖြစ်လေသည်။
မရေမတွက်နိုင်သည့် များစွာ ဆက်တိုက်ဆက်တန်း ဖွဲ့စည်းထားခြင်းသဘောလည်း ရောက်၏။
သင်္ချာတွင် အစု (set) ဆိုသည်မှာ ကွဲပြားခြားနားသော အရာများကို စုစည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။
Here: p.85 ထိုအရာများကို အစု၏ အစုဝင်များ (elements) သို့မဟုတ် အဖွဲ့ဝင်များ (members) ဟု ခေါ်သည်။
သင်္ချာပညာရပ်တွင် အစု (set) သို့မဟုတ် စုစည်းမှု (collection) ဆိုသည်မှာ မည်သည့်အရာဖြစ်ကြောင်းကို တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်လေ့မရှိပေ။
အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် အရာတစ်ခုကို အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုရာတွင် ယခင်က ကြိုတင်သတ်မှတ်ထားပြီးသား အခြားအရာများကို အခြေခံရန် လိုအပ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။
ထို့အစား အစုများကို အခြေခံ အရာဝတ္ထုများ (foundational objects) အဖြစ် အသုံးပြုကြသည်။
ယူကလစ်ဒ်သည် အမှတ် ဆိုသည်ကို အဓိပ္ပာယ်ပြည့်ဝစွာ မသတ်မှတ်ခဲ့ပေ။
ထို့အစား ယူကလစ်ဒ်သည် အမှတ်များနှင့် မျဉ်းများ မည်သို့ပြုမူသည်ဟူသော ကျွန်ုပ်တို့၏ ပင်ကိုယ်သိစိတ်အပေါ် အခြေခံထားသည့် နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) ကို ပေးခဲ့သည်။
အခြားသော သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများအားလုံးနီးပါးကို အစုများ အသုံးပြု၍ တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ကြသည်။
ထိုမှတစ်ဆင့် x နှင့် y တို့ကို အစီအစဉ်အတိုင်း ပြန်လည်ရယူနိုင်သည်။
အစုသီအိုရီ (set theory) သည် ကွဲပြားခြားနားသော နဂိုမှန်အဆို စနစ်များနှင့် ၎င်းတို့၏ အကျိုးဆက်များကို လေ့လာသည်။
ZFC ဆိုသည်မှာ ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို (axiom of choice) ပါဝင်သော ဇာမီလို-ဖရန်ကယ် အစုသီအိုရီ (Zermelo–Fraenkel set theory) ဖြစ်သည်။
သင်္ချာပညာရှင်အများစုသည် အနန္တ (infinity) ကို ဆက်လက်ဖြစ်ပေါ်နိုင်စွမ်းရှိသော အခြေအနေ (potential) အဖြစ်သာ ရှုမြင်ခဲ့ကြသည်။
အဆုံးသတ်မရှိသော ဖြစ်စဉ်တစ်ခု၏ ရလဒ်အဖြစ် ဆိုလိုခြင်းဖြစ်သည်။
ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် အနန္တအစုများ (infinite sets) ကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားရန် တွန့်ဆုတ်ခဲ့ကြသည်။
အနန္တအစုများကို ဂျော့ ကန်တာ (Georg Cantor) က သင်္ချာနည်းကျ စတင်လေ့လာခဲ့သည်။
ကန်တာသည် ၁၈၄၅ ခုနှစ်တွင် မွေးဖွားပြီး ၁၉၁၈ ခုနှစ်တွင် ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။
ထို့ပြင် မည်သည့် မျဉ်းပိုင်း (line segment) မဆိုတွင် ပါဝင်သော အစုဝင်အရေအတွက်သည် မျဉ်းတစ်ကြောင်းလုံးတွင် ပါဝင်သော အစုဝင်အရေအတွက်နှင့် တူညီနေသည်။
အစုများအားလုံးပါဝင်သော အစုတစ်ခု တည်ရှိသည်ဟု ယူဆခြင်းက ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) ဟုခေါ်သော ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု (contradiction) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေခဲ့သည်။
ထိုဖြေရှင်းချက်များအနက်မှ ယေဘုယျအားဖြင့် ဇာမီလို-ဖရန်ကယ် အစုသီအိုရီ (Zermelo-Fraenkel set theory) ကို အစုသီအိုရီနှင့် သင်္ချာပညာရပ်တစ်ခုလုံး၏ အခြေခံအဖြစ် လက်ခံကျင့်သုံးလာခဲ့ကြသည်။
သို့သော်လည်း သင်္ချာပညာရပ်၏ အစိတ်အပိုင်းအများစုသည် ထိုသီအိုရီကို အပြည့်အဝ အသုံးပြုရန် မလိုအပ်ပေ။
တစ်ချိန်တည်းမှာပင် အစုများကို သင်္ချာပညာရပ်နယ်ပယ်အသီးသီးတွင် ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် စတင်အသုံးပြုလာကြသည်။
အထူးသဖြင့် ပုံမှန်အားဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (algebraic structures) နှင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ ရပ်ဝန်းများ (mathematical spaces) ကို အစုများ အသုံးပြု၍ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ကြသည်။
ထို့ပြင် ရှေးက သင်္ချာဆိုင်ရာ ရလဒ်များစွာကိုလည်း အစုများ အသုံးပြု၍ ပြန်လည်ဖော်ပြခဲ့ကြသည်။
သင်္ချာပညာရပ်တွင် အစုများကို ဤကဲ့သို့ ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် အသုံးပြုလာမည်ကို ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) က ကြိုတင်ဟောကိန်းထုတ်ခဲ့သည်။
ကန်တာ ဖန်တီးပေးခဲ့သော နိဗ္ဗာန်ဘုံမှ ကျွန်ုပ်တို့ကို မည်သူမျှ နှင်ထုတ်နိုင်မည်မဟုတ်ပါ ဟု ၎င်းက ဆိုခဲ့သည်။
ထိုအရာများကို အစု၏ အစုဝင်များ (elements) သို့မဟုတ် အဖွဲ့ဝင်များဟု ခေါ်သည်။
အစုတစ်ခုကို စုစည်းမှု သို့မဟုတ် မိသားစု (family) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။
အထူးသဖြင့် ၎င်း၏ အစုဝင်များသည် ၎င်းတို့ကိုယ်တိုင် အစုများဖြစ်နေသောအခါတွင် ထိုသို့ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည်။
အစုတစ်ခုကို ၎င်း၏ အစုဝင်များကို စာရင်းပြုစုဖော်ပြခြင်းဖြင့်ဖြစ်စေ၊ ၎င်း၏ အစုဝင်များကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ပေးသော ဂုဏ်သတ္တိ (property) တစ်ခုခုကို ပေးခြင်းဖြင့်ဖြစ်စေ သတ်မှတ်နိုင်သည်။
အကယ်၍ x သည် အစု S ၏ အစုဝင်တစ်ခုဖြစ်ပါက x သည် S တွင် ပါဝင်သည် ဟု ဆိုကြသည်။
y သည် S တွင် မပါဝင်ပါ ဟူသော အဆိုကို y\not\in S အဖြစ် ရေးသားသည်။
အစုကျယ်ပြန့်မှု နဂိုမှန်အဆို (axiom of extensionality) အရ အစုနှစ်ခုသည် တူညီသော အစုဝင်များ ပါဝင်လျှင်နှင့်မှသာလျှင် (if and only if) ညီမျှသည် (equal) ဟု ဆိုသည်။
အစုဝင် တစ်ခုမျှမပါဝင်သော အစုတစ်ခု ရှိသည်။
အစုကျယ်ပြန့်မှု နဂိုမှန်အဆိုအရ ထိုကဲ့သို့သော အစုသည် တစ်ခုတည်းသာ ရှိသည်။
အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) ဆိုသည်မှာ အစုဝင် တစ်ခုတိတိသာ ပါဝင်သော အစုဖြစ်သည်။
အကယ်၍ x သည် ထိုအစုဝင်ဖြစ်ပါက အဆိုပါ အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုကို \{x\} ဖြင့် သင်္ကေတပြုသည်။
အစု \{\emptyset\} နှင့် \emptyset တို့သည် ကွဲပြားသည်။
အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ပထမအစုတွင် အစုဝင် တစ်ခု ပါဝင်ပြီး ဒုတိယအစုတွင် မည်သည့် အစုဝင်မှ မပါဝင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။
ပထမအစုတွင်ပါဝင်သော အစုဝင်မှာ \emptyset ပင်ဖြစ်သည်။
ပထမဆုံး သဘာဝကိန်း n ခုကို အစုတစ်ခု၏ အစုဝင်များနှင့် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (bijection) ပြုလုပ်နိုင်သော သဘာဝကိန်း (natural number) n တစ်ခု တည်ရှိနေပါက ထိုအစုကို အဆုံးရှိအစု (finite set) ဟု ခေါ်သည်။
ထိုကဲ့သို့သော n မတည်ရှိပါက ထိုအစုကို အနန္တအစု (infinite set) ဟု ခေါ်သည်။
ဗလာအစုသည် အစုဝင် အရေအတွက် 0 ခု ပါဝင်သော အဆုံးရှိအစု ဖြစ်သည်။
အခြားသောအနန္တအစုများ၏ ဥပမာများတွင် ကိန်းပြည့်များ \mathbb{Z} ၊ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ \mathbb{Q} ၊ ကိန်းစစ်များ \mathbb{R} နှင့် များ \mathbb{C} တို့ ပါဝင်သည်။
ထို့ပြင် သုညမဟုတ်သော ကိန်းစစ် ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (real vector spaces) ၊ မျဉ်းကွေးများ (curves) နှင့် အခြားသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ရပ်ဝန်း (mathematical space) အများစုသည်လည်း အနန္တအစုများ ဖြစ်ကြသည်။
အစုကျယ်ပြန့်မှု နဂိုမှန်အဆိုအရ အစုတစ်ခုကို သတ်မှတ်ရန်အတွက် ၎င်း၏ အစုဝင်များကို စာရင်းပြုစုခြင်း သို့မဟုတ် ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုကို ဖော်ပြခြင်းတို့ဖြင့် လုံလောက်သည်။
ထိုဂုဏ်သတ္တိသည် ပိုမိုကြီးမားနိုင်သော အစုတစ်ခု၏ အစုဝင်များထဲမှ သက်ဆိုင်ရာ အစုဝင်များကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ပေးခြင်း ဖြစ်သည်။
A. Kanamori, "[ The Empty Set, the Singleton, and the Ordered Pair]", p.278. Bulletin of Symbolic Logic vol. 9, no. 3, (2003). Accessed 21 August 2023. ဥပမာအားဖြင့် \{4, 2, 1, 3\} နှင့် \{\text{blue, white, red}\} တို့ကို တွန့်ကွင်းများဖြင့် ပိတ်ထားသောကြောင့် ၎င်းတို့သည် အစီအစဉ်များ (tuples) အဖြစ်မဟုတ်ဘဲ အစုများဖြစ်ကြောင်း တွေ့နိုင်သည်။
ဗလာအစုအတွက် သုံးသော \{\} နှင့် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုအတွက် သုံးသော \{x\} သင်္ကေတများသည် စာရင်းချ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း၏ ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။
အစုတစ်ခုကို သတ်မှတ်ရာတွင် အစုဝင်ဖြစ်နိုင်ချေရှိသောအရာတစ်ခုစီသည် ထိုအစုထဲတွင် ပါဝင်ခြင်း ရှိမရှိဆိုသည့်အချက်ကသာ အရေးကြီးသည်။
ထို့ကြောင့် အစုဝင်များကို ထပ်ခါတလဲလဲ ရေးသားခြင်း သို့မဟုတ် အစီအစဉ်ပြောင်း၍ ရေးသားခြင်းတို့ကြောင့် အစုတစ်ခု၏ သဘောသဘာဝ ပြောင်းလဲသွားမည်မဟုတ်ပေ။
စာရင်းချ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းရှိ အစက်များကို အချို့သော အနန္တအစုများကို ဖော်ပြရာတွင်လည်း အသုံးပြုနိုင်သည်။
ပိုမိုတိကျစွာဆိုရသော် P(x) သည် ကိန်းရှင် (variable) x အပေါ်မူတည်သော ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ပုံသေနည်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။
ထိုပုံသေနည်းသည် x ၏ တန်ဖိုးအပေါ်မူတည်၍ မှန်ခြင်း သို့မဟုတ် မှားခြင်းကို အကဲဖြတ်ပေးသည်။
ထိုအခါ အောက်ပါဖော်ပြချက်သည် P(x) မှန်ကန်စေမည့် x အားလုံး၏ အစုကို ညွှန်းဆိုသည်။
F = \{n \mid n \text{ is an integer, and } 0 \leq n \leq 19\} ဤသင်္ကေတအသုံးအနှုန်းတွင် ဒေါင်လိုက်မျဉ်း \mid ကို "ဖြစ်စေသော (such that)" ဟု ဖတ်သည်။
ပုံသေနည်းတစ်ခုလုံးကို "F သည် သုညမှ ၁၉ အထိတွင် ကိန်းပြည့်ဖြစ်စေသော n များအားလုံး ပါဝင်သည့် အစုဖြစ်သည်" ဟု ဖတ်နိုင်သည်။
အချို့သော ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ပုံသေနည်းများကို အစုတည်ဆောက်မှု သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းတွင် အသုံးပြု၍မရနိုင်ပေ။
အစု B ၏ အစုပိုင်းတစ်ခု ဆိုသည်မှာ A ၏ အစုဝင်တိုင်းသည် B ၏ အစုဝင်လည်း ဖြစ်နေသော အစု A ကို ဆိုလိုသည်။
အောက်ဖော်ပြပါတို့သည် တူညီသောအရာကို ကွဲပြားစွာ ဖော်ပြထားသည်။
A သည် B ၏ အစုပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။
B သည် A ၏ မူလအစု (superset) ဖြစ်သည်။
A \subseteq B နှင့် A\neq B ဖြစ်ပါက အစု A ကို အစု B ၏ အစုပိုင်းအစစ် (proper subset) ဟု ခေါ်သည်။
ထိုနည်းတူစွာ B\supsetneq A သို့မဟုတ် B\supsetneqq A ဟုလည်း ရေးသားနိုင်သည်။
သင်္ကေတ A\subset B သည် များသောအားဖြင့် A\subseteq B ကို ဆိုလိုသော်လည်း အချို့သော စာရေးသူများက A\subset B ကို A\subsetneq B ၏ အဓိပ္ပာယ်အဖြစ် အသုံးပြုကြသည်။
အဓိပ္ပာယ် ရောထွေးမှုကို ရှောင်ရှားရန် မိမိဆိုလိုသည့်အချက်အပေါ် မူတည်၍ A\subseteq B သို့မဟုတ် A\subsetneq B ဟု ရှင်းလင်းစွာ ရေးသားနိုင်သည်။
တစ်နည်းအားဖြင့် A = B သည် A \subseteq B နှင့် B \subseteq A ဖြစ်ခြင်းတို့နှင့် ညီမျှချက် (equivalent) ဖြစ်သည်။
ဗလာအစုသည် မည်သည့်အစု၏ မဆို အစုပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။
ကွန်ဖက်ဒရေးရှင်း ( confederacy သို့မဟုတ် လိဂ် ဟုလည်း ခေါ်သည်) သည် ဘုံလုပ်ဆောင်ချက်အတွက် ရည်ရွယ်၍ စည်းလုံးသော ၏ နိုင်ငံရေးပြည်ထောင်စုတစ်ခုဖြစ်သည်။
တင်းကျပ်သောစည်းမျဉ်းများပါရှိသော အခြားသော ဖက်ဒရေးရှင်းများသည် ဆင်တူနိုင်သည်။
နိုင်ငံရေးဒဿနပညာရှင် က “အချုပ်အခြာအာဏာပိုင်ပြီး လွတ်လပ်တဲ့နိုင်ငံအများအပြားဟာ အထူးသဖြင့် ပြီးပြည့်စုံတဲ့ပြည်နယ်တစ်ခုမဖြစ်မနေဘဲ ထာဝရကွန်ဖက်ဒရိတ်ကနေ သူတို့ကိုယ်သူတို့ ပေါင်းစည်းနိုင်တယ်။
Vattel, Emmerich (1758) ''The Law of Nations'', cited in Wood, Gordon (1969) ''The Creation of the American Republic 1776–1787'', University of North Carolina Press, Chapel Hill, p.355. ဖက်ဒရေးရှင်းတစ်ခုအောက်တွင် တစ်ခုနှင့် နှိုင်းယှဉ်ပါက ဗဟိုအာဏာသည် အတော်လေး အားနည်းသည်။
McCormick, John (2002) ''Understanding the European Union: a Concise Introduction'', Palgrave, Basingstoke, p. 6. အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံများ၏ ကောင်စီတစ်ခုဖြစ်သည့် တစ်ခုတည်းသော ဥပဒေပြုလွှတ်တော်တွင် အထွေထွေအစိုးရမှ ပြုလုပ်သော ဆုံးဖြတ်ချက်များသည် အဖွဲ့ဝင်နိုင်ငံများ၏ နောက်ဆက်တွဲ အကောင်အထည်ဖော်မှု လိုအပ်သည်။
This was the key feature that distinguished the first American union, under the of 1781, from the second, under the current of 1789. , in ''Federalist 15'', called the absence of directly-effective law in the Articles a "defect" and the "great and radical vice" in the initial system. Madison, James, Hamilton, Alexander and Jay, John (1987) ''The Federalist Papers'', Penguin, Harmondsworth, p. 147. ထို့အပြင် အထွေထွေအစိုးရတွင် ဆုံးဖြတ်ချက်ချခြင်းသည် အများအားဖြင့် အများအားဖြင့်မဟုတ်ဘဲ အများသဘောဆန္ဒ (unanimity) ဖြင့် လုပ်ဆောင်သည်။
လူ့အသိုင်းအဝိုင်း၏ ပူးပေါင်းရေးသားခြင်းပရောဂျက်သည် ကဲ့သို့သော ဝဘ်ဆိုက် SCP Wikiတွင် လုပ်ဆောင်နေပြီး ထိတ်လန့်ခြင်း၊သိပ္ပံစိတ်ကူးယဉ် နှင့် မြို့ပြစိတ်ကူးယဉ်များကဲ့သို့သော အမျိုးအစားများစွာ ပါဝင်ပါသည်။
ဗိုလ်မှူးချုပ် (ငြိမ်း) ဦးအောင်သော် (၂၃ အောက်တိုဘာ ၁၉၅၃ ဖွား) သည် ၏ ဥက္ကဋ္ဌဟောင်း ဖြစ်သည်။
တပ်မတော်တွင် ဒုဗိုလ်အဆင့်မှ ဗိုလ်မှူးချုပ်အဆင့်ထိ တာဝန်ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။
သမ္မတဦးလက်ထက် ၂၀၁၁ တွင် ဒုတိယဝန်ကြီးအဖြစ် ခန့်အပ်ခဲ့ရပြီး ထိုတာဝန်ကို ၂၀၁၄ ခုနှစ်အထိ ထမ်းဆောင်ခဲ့သည်။
တွင် ကိုကိုးကျွန်းမဲဆန္ဒနယ် မှနေ၍ ရွေးကောက်ပွဲဝင်သည်။
က ၂၀၂၃ ဖေဖော်ဝါရီ ၁ ရက်တွင် ၎င်းအား ဟိုတယ်နှင့်ခရီးသွားလာရေးဝန်ကြီးဌာန ဝန်ကြီးအဖြစ် ခန့်အပ်သည်။
သုံး စက်ဝန်းလုံး ကိုဩဒိနိတ်စနစ် (Spherical Coordinate System) ၏ ကိုဩဒိနိတ် (r, \theta, \varphi)များ သရုပ်ပြပုံ။
r သို့မဟုတ် တစ်ခါတရံတွင် \rho က တာရင်းအမှတ်မှ မျဉ်းဖြောင့်အတိုင်း အကွာအဝေး ဖြစ်၏၊ \theta က ခေါင်းလှည့်ထောင့် (azimuthal angle) ဖြစ်၏၊ \varphi က ခေါင်းငုံ့ထောင့် (polar angle) ဖြစ်၏။
မိမိ ကိုင်တွယ်စဉ်းစားနေသည့် နေရာရပ်ဝန်း (space) သဘောရား၌ အရေအတွက် ပါသလောက်၊ မိမိ အသုံးပြုနေသော ကိုဩဒိနိတ်စနစ်၌ စံပြုပေတိုင် စိတ်ကူးမျဉ်းစုသဖွယ် အရေအတွက် ပါဝင်နေမည်။
သာဓကအားဖြင့်၊ ၂-တိုင်းကြောင်းပါ (2-dimensional) တွင်၊ X နှင့် Y ဝင်ရိုးတို့ဖြင့် ဆွဲသားသော် ဟူသည်မျိုး x ကို ပထမထား၊ y ကို ဒုတိယထား ရေးရိုးရှိသည်။
r က တာရင်းအမှတ်မှ မျဉ်းဖြောင့်အတိုင်း အကွာအဝေး ဖြစ်၏၊ \theta က ခေါင်းငုံ့ထောင့်(polar angle) ဖြစ်၏၊ \varphi က ခေါင်းလှည့်ထောင့်(azimuthal angle) ဖြစ်၏။
တိုင်းကြောင်း-0 မှာ (point) ဖြစ်သည်။
သာဓကအားဖြင့် ကို (ကျောင်းသားများနှင့် အရင်းနှီးဆုံးသော) နှင့် ဆိုရသော်၊ ချအမှတ် (coordinate) တခုတခုကို - (x, y) သို့မဟုတ် (x^1, x^2) ဟု ၂လုံးဖြင့် ဖော်ပြနေရလျှင် ၎င်းမှာ (အရှေ့-အနောက် x နှင့် ဘယ်-ညာ y ဟူသည်မျိုး) တိုင်းကြောင်း (ဒိုင်မန်းရှင်း) ၂ခု ရှိနေသည့် နေရာရပ်ဝန်း (2-dimensional space)'' တစ်ခုကို ကိုင်တွယ်စဉ်းစားနေခြင်း ဖြစ်၏၊ အကယ်၍ (x, y, z) သို့မဟုတ် (x^1, x^2, x^3) ဟု ကိုန်းလုံး ၃လုံးဖြင့် ဖော်ပြနေရလျှင် ၎င်းမှာ (အရှေ့-အနောက် x၊ ဘယ်-ညာ y၊ အထက်-အောက် z ဟူသည်မျိုး) တိုင်းကြောင်း (ဒိုင်မန်းရှင်း) ၃ခု ရှိနေသည့် နေရာရပ်ဝန်း (3-dimensional space)'' တစ်ခုကို ကိုင်တွယ်စဉ်းစားနေခြင်း ဖြစ်၏။
တဖန်၊ (x) သို့မဟုတ် (x^1) ဟု ကိုန်းလုံး ၁လုံးတည်းဖြင့် ဖော်ပြနေရလျှင် ၎င်းမှာ ကို ကိုင်တွယ်စဉ်းစားခြင်း ဖြစ်တော့မည်။
သူ့အလျား၁ခုတည်း တလျှောက်သာ ပမာဏတို့ (တန်ဖိုးကြီးရာ ညာဘက်သို့) တိုးခြင်းနှင့် (တန်ဖိုးသေးရာ ဘယ်ဘက်သို့) ဆုတ်ခြင်း လုပ်နိုင်နေလေရာ၊ ကိန်းမျဉ်းသဘောသည် တိုင်းကြောင်း (ဒိုင်မန်းရှင်း) ၁ခုတည်း ရှိနေသည့် နေရာရပ်ဝန်း (3-dimensional space)'' မျိုးဟု ဆိုထိုက်သည်။
ထိုရပ်ဝန်းသဘောတရားကိုပင် ထိုသို့ ဖြင့် မဟုတ်ဘဲ၊ ဖြင့် တိုင်းကြောင်း၃ခုတွင်း တည်နေရာအမှတ်များကို ဖော်ပြလျှင်မူ အစား ဟူသည်မျိုး ဖြစ်သွားမည်။
ထို့ကြောင့် မည်သို့သော တို့ကို သုံးနေသည်က အရေးမကြီးဘဲ တိုင်းကြောင်း မည်မျှနှင့် စဉ်းစားရမည်ကသာ အရေးကြီးသော သင်္ချာချဉ်းကပ်မှုများတွင် ၎င်း နှင့် တို့ အဖုံဖုံကို ခြုံငုံဖော်ညွှန်းလိုပါက (x^1, x^2, x^3) ဟု အပေါ်တင် ''ညွှန်းကြောင်း (index)'' များဖြင့် သင်္ကေတပြုကြသည်။
ထိုသို့ တို့ချည်း ပါဝင်နေစဉ်တွင် တိုင်းကြောင်းတို့က အထက်ပါအတိုင်း (အရှေ့-အနောက်၊ အထက်-အောက်၊ ဘယ်-ညာ ဟု တိုင်းကြောင်း ၃ခုအဖြစ် ဖြစ်စေ) ရှိနေတတ်၏။
များတွင်မူ နေရာရပ်ဝန်း တိုင်းကြောင်း ၃ခု (3 spatial dimensions) အပြင် ဟူသော တိုင်းကြောင်း ၁ခု (1 temporal dimension) ထည့်ပေါင်းကာ၊ နှင့်မူ သဘောချင်း မတူတော့သော အတိုင်း ပေါင်းစည်းမှုဖြင့် တိုင်းကြောင်း ၄ခု ဖြစ်သွား၏။
စာရေးဆရာ စိုးညွန့်ဝေ (လွိုင်ကော်) ကို အဖ ဦးစိုးမြင့်အောင် နှင့် အမိ ဒေါ်ဝင်းဝင်းရီတို့မှ ၁၉၈၈ ခုနှစ် ဧပြီလ ၁၉ ရက်နေ့တွင် ၌ ဖွားမြင်သည်။
အထက(၄)လွိုင်ကော်မှ တက္ကသိုလ်ဝင်တန်းအောင်မြင်ပြီး ၂၀၀၉ ခုနှစ်တွင် မှ ဝိဇ္ဇာဘွဲ့(မြန်မာစာ)ရရှိခဲ့သည်။
ပြုလုပ်ပြီးနောက် ပင်ကိုဖှန်ရှင်၏ ဆပြောင်းရလဒ်မျိုးသာ ထွက်ပေါ်သဖြင့် အိုင်ဂန်ဖှန်ရှင် (ဆပြောင်းဖှန်ရှင်) ဥပမာတစ်ခု ဖြစ်ပေမည်။
တစ်ခုကို ကိန်းထီးဖြင့် မြှောက်ခြင်းမှာ ဆပြောင်းခြင်းပင် ဖြစ်သည်။
စကားဖြင့်လျှင် ''D'' က တည့်တိုးဆက်သွယ်ချက် ရှိသော လုပ်ဆောင်ချက် (linear operator) ဖြစ်ပြီး f က (သုည မဟုတ်သော) အိုင်ဂန်ဖှန်ရှင်တခု ဆိုအံ့၊ ၎င်းအိုင်ဂန်ဖှန်ရှင်အပေါ် ၎င်းလုပ်ဆောင်ချက် သက်ရောက်လိုက်လျှင် - Df = \lambda f ဤသို့ ထွက်ပေါ်မည်။
တွင် (wavefunction) များမှာ အိုင်ဂန်ဖှန်ရှင်ဖြစ်လျက် တန်ဖိုးအနန္တသို့ မချဉ်းကပ်သော (well-defined)၊ (bijective) စသည့် သဘောသတ္တိတို့လည်း ရှိရသည်။
အခြေခံအဆင့် သို့မဟုတ် တွင် စကေလာ (ခေါ်) ကိန်းထီး (: scalar) က နှင့် မတူစွာဖြင့် ကိန်းတစ်လုံးထီးတည်းဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သော သင်္ချာအားဖြင့် သို့မဟုတ် ရူပဗေဒအားဖြင့် ဖြစ်သည်။
အဆင့်မြင့်သင်္ချာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဗေဒတွင်မူ စကေလာ (ဆပြောင်းကိန်း)သည် (field)အတွင်း ပါဝင်သော အရာများ ဖြစ်သည်။
အဆင့် 2 နှင့် အထက်ရှိသော များကို "တာအုံ" ဟု သာခေါ်ရိုးရှိပြီး ပုံစံဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။
အဆင့်-1 သာ ရှိသော တာအုံများမှာမူ များ ဖြစ်ပြီး တိုင်ထီး ပုံစံဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။
မိမိ ကိုင်တွယ်စဉ်းစားနေသော ၏ သဘောအလျောက် ဤသို့ ကွဲပြားမှု ရှိနိုင်သည်။
ထိုအခါ တာအုံတို့ကို (matrix) တို့ဖြင့် တိုက်ရိုက် ကိုယ်စားပြု တွက်ချက်နိုင်ပေမည်။
များစွာသော အတတ် (engineering field) တို့၌ ထိုသို့ တွက်ချက်ရုံသာ ဖြစ်သည်။
အမှတ်ချအိမ်၏ တာသွားတန်ဖိုး (bases) တို့က နေရာအလိုက် ပြောင်းလဲမှု ရှိသွားလျှင်မူ ၎င်းမှာ ရှိသော (curved space) ဖြစ်သဖြင့် တာအုံကို တွဲစက်ပုံဖော်ပေးမည့် တာအုံ (metric tensor)မှာ ဆရင်းကိန်းအုံ (identity matrix) မဟုတ်တော့ချေ။
ထို့ကြောင့် အထွေထွေခြုံညှိမှု (generalization) အားဖြင့် တာအုံသီးသန့်က ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာတန်ဖိုးများကို ပြည့်စုံစွာ တိုက်ရိုက်ထုတ်မပေးဘဲ ဆိုင်ရာရပ်ဝန်း(space) ၏ သဘောသရုပ်ကို ကိုယ်စားပြုရာ (metric tensor) နှင့် တွဲလျက်သာ အဓိပ္ပါယ်ပြည့်စုံသော တို့ကို ထုတ်ပေးသည်။
A First Course in General Relativity by ''Bernard Schutz'' "tensor" ကို တိုက်ရိုက်ဘာသာပြန်၍ ထန်ဇော် (သို့) တန်ဇော် ဟုလည်း သုံးနှုန်းနိုင်သည်။
ကိုယ်စားပြုရေးနည်းမှာ ကိန်းအုံရေးနည်းတို့နှင့် ဆင်တူသည်။
ဆိုလိုရင်းကို လိုက်၍ တာအုံ၏ များကို T_{\alpha\beta} (သို့) T_{ij} ဟုလည်းကောင်း၊ T^\alpha_\beta (သို့) T^i_j ဟုလည်းကောင်း၊ T^{\alpha\beta} (သို့) T^{ij} ဟုလည်းကောင်း ရွေးနုတ်ဖော်ပြကြသည်။
i နှင့် j တို့မှာ ''ညွှန်းကြောင်း(index)'' များ ဖြစ်ပြီး မည်သည့် တိုင်းကြောင်း(dimension)နှင့် ဆိုင်သော ကိန်းလုံးကို ဆိုလိုကြောင်း ဖော်ပြသည်။
ထို့ကြောင့် မိမိကိုင်တွယ်နေသော ရပ်ဝန်း(အာကာသ)က တိုင်းကြောင်း ၂ခု ဖြစ်လျှင် \alpha=i=1 က X-တိုင်းကြောင်းကို ဆိုလိုပြီး \alpha=i=2 က X-တိုင်းကြောင်းကို ဆိုလိုသည်မျိုး ဖြစ်သည်။
သို့ဖြင့် ညွှန်းလုံးတို့က 1 နှင့် n တွင်း ရှိသည်ဟု ဆိုရာတွင် n က ကိုင်တွယ်ခံရပ်ဝန်း (space)၏ တိုင်းကြောင်း (dimension) အရေအတွက်ကို ဆိုလိုသည်။
အနီ၊ အဝါ၊ အပြာတို့ဖြင့် ပြထားသည်မှာ တက္ကစီကားစပေ့စ် (taxicab space) ၏ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်ဖြင့် တွက်ထုတ်ထားသော အကွာအဝေးများ ဖြစ်ပြီး အလျား 12 ရှိ၏။
ထို အကွာအဝေးကို အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric) ဟုခေါ်သော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြင့် တိုင်းတာသည်။
အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (mathematical analysis) နှင့် ဂျီဩမေတြီ (geometry) တို့ရှိ သဘောတရားများစွာကို လေ့လာရန်အတွက် ယေဘုယျကျသော မူဘောင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။
အာသာ ကေးလီ (Arthur Cayley) သည် ၎င်း၏ "အကွာအဝေးအကြောင်း (On Distance)" ဟူသော စာတမ်းတွင် အကွာအဝေး ဖန်ရှင်ဆိုင်ရာ သဘောတရားများကို ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီနယ်ပယ်မှ ကျော်လွန်၍ ပရိုဂျက်တစ် ရပ်ဝန်း (projective space) အတွင်းရှိ ကတော့ချွန် ဖြတ်ပိုင်း (conic) တစ်ခုဖြင့် ကန့်သတ်ထားသော နယ်ပယ်များအထိ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။
သူ၏ အကွာအဝေး (distance) ကို နှစ်ထပ်အချိုး (cross ratio) ၏ လော်ဂရစ်သမ် (logarithm) ဖြင့် ဖော်ပြခဲ့သည်။
ကတော့ချွန် ဖြတ်ပိုင်းကို မပြောင်းလဲဘဲ တည်ငြိမ်စေသော မည်သည့် ပရိုဂျက်တစ်ပုံဖော်မှုမဆို နှစ်ထပ်အချိုးကိုလည်း ကိန်းသေဖြစ်စေသည်။
ထို့ကြောင့် ၎င်းတွင် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှု (isometries) သဘောတရားများ သွယ်ဝိုက်ပါဝင်နေသည်။
ထို့အပြင် ဖီးလစ် ကလိုင်း (Felix Klein) သည် ကေးလီ-ကလိုင်း အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (Cayley-Klein metric) ကို အသုံးပြု၍ ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီ (non-euclidean geometry) နယ်ပယ်ကို စာတမ်းများစွာမှတစ်ဆင့် အခိုင်အမာ တည်ထောင်ခဲ့သည်။
အကွာအဝေး ဖန်ရှင် ဂုဏ်သတ္တိများ ပါဝင်သော သရုပ်မဲ့ ရပ်ဝန်း (abstract space) ဟူသော အယူအဆကို ၁၉၀၆ ခုနှစ်တွင် ရီနီ မောရစ် ဖရက်ချေး (René Maurice Fréchet) က စတင်တင်ပြခဲ့သည်။
ထို့နောက် ၁၉၁၄ ခုနှစ်တွင် ဖီးလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် (Felix Hausdorff) က ''အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (metric space)'' ဟူသော ဝေါဟာရကို တီထွင်ဖန်တီးခဲ့သည်F. Hausdorff (1914) ''Grundzuge der Mengenlehre''Mohamed A. Khamsi & William A. Kirk (2001) ''Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory'', page 14,။
ဖရက်ချေး၏ လုပ်ဆောင်ချက်များသည် ဂျီဩမေတြီမဟုတ်သော ရပ်ဝန်းများတွင် စုဆုံခြင်း (convergence)၊ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity)နှင့် အခြားသော အဓိကသဘောတရားများကို နားလည်ရန်အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ချပေးခဲ့သည်။
ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ်နှင့် စတီဖန် ဘာနက်ချ် (Stefan Banach) ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ၏ မူဘောင်ကို ထပ်မံပြုပြင်မွမ်းမံပြီး တိုးချဲ့ခဲ့ကြသည်။
ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ်သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological spaces) များကို အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ၏ ယေဘုယျပြုထားခြင်း (generalisation) အဖြစ် မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။
ဘာနက်ချ်၏ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်များသည် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တည်ဆောက်ပုံအပေါ်တွင် များစွာ မှီခိုနေခဲ့သည်။
အချိန်ကြာလာသည်နှင့်အမျှ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများသည် ခေတ်သစ်သင်္ချာ (modern mathematics) ၏ အဓိကအစိတ်အပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်လာခဲ့သည်။
အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများသည် သရုပ်မဲ့ သင်္ချာဆိုင်ရာ သဘောတရားများကို လေ့လာရာတွင် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ဆက်လက် ပါဝင်လျက်ရှိသည်။
X သည် မည်သည့် အစု (set) မဆို ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။
အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံသော ပုံဖော်မှု (mapping) d:X\times X\rightarrow\mathbb{R} ကို X အပေါ်ရှိ အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric) ဟု ခေါ်သည်။
ယေဘုယျအားဖြင့် A \times B ဆိုသည်မှာ a \in A နှင့် b \in B ဖြစ်သော အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) (a, b) အားလုံး၏ အစု ဖြစ်သည်။
ထို့ကြောင့် X \times X သည် X ၏ အစုဝင်များဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အစီအစဉ်ကျအတွဲ အားလုံး၏ အစုပင် ဖြစ်သည်။
မည်သည့် x, y, z \in X အတွက်မဆို (M1) d သည် ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိပြီး အဆုံးရှိ (finite) ကာ အနုတ်ကိန်းမဟုတ်သော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည် (အပေါင်းကိန်းဖြစ်မှု - Positivity)။
ယေဘုယျအားဖြင့် ရောထွေးမှုမဖြစ်နိုင်သော အခြေအနေမျိုးတွင် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (X, d) အစား X ဟုသာ အတိုချုံး၍ ရေးသားလေ့ရှိသည်။
d(x,y) := x-y = ကိန်းစစ်များဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) များ၏ အစုကို ယူလျှင် ယူကလစ်ဒ် ပြင်ညီဟုခေါ်သော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း \mathbb{R}^2 ကို ရရှိသည်။
ထိုအစုဝင်များကို x=(\xi_1,\xi_2) နှင့် y=(\eta_1,\eta_2) စသည်ဖြင့် ရေးသားသည်။
ထိုအစုအပေါ်တွင် ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (Euclidean metric) ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။
d(x,y)=\sqrt{(\xi_1-\eta_1)^2+(\xi_2-\eta_2)^2} အထက်ပါ အစုတစ်ခုတည်းအပေါ်တွင်ပင် အခြား အကွာအဝေး ဖန်ရှင် d_1 ကို အောက်ပါအတိုင်း ရွေးချယ်သတ်မှတ်ပါက အခြားသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။
d_1(x,y)=\xi_1-\eta_1+\xi_2-\eta_2 အစုဝင်တစ်ခုထက်ပို၍ ပါဝင်သော အစုတစ်ခုတည်းမှနေ၍ ကွဲပြားသော အကွာအဝေး ဖန်ရှင်များကို ရွေးချယ်ခြင်းဖြင့် မတူညီသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများကို ရရှိနိုင်ကြောင်း ဤဥပမာက မီးမောင်းထိုးပြနေသည်။
အကွာအဝေး ဖန်ရှင် d_1 ပါရှိသော ရပ်ဝန်းအတွက် စံသတ်မှတ်ထားသော အမည်မရှိသော်လည်း d_1 ကို တက္ကစီကား အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (taxicab metric) ဟု တစ်ခါတစ်ရံ ခေါ်ဆိုကြသည်။
ထိုအစုဝင်များကို x=(\xi_1,\xi_2,\xi_3) နှင့် y=(\eta_1,\eta_2,\eta_3) စသည်ဖြင့် ရေးသားသည်။
d(x,y)=\sqrt{(\xi_1-\eta_1)^2+(\xi_2-\eta_2)^2+(\xi_3-\eta_3)^2} = ယခင်ပြသခဲ့သော ဥပမာများသည် အတိုင်းအတာ n ခုရှိသော ယူကလစ်ဒ် ရပ်ဝန်း \mathbb{R}^n ၏ သီးခြား အခြေအနေများပင် ဖြစ်ကြသည်။
ထိုအစုဝင်များကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားသည်။
x=(\xi_1,\dots,\xi_n) y=(\eta_1,\dots,\eta_n) ထိုအစုအပေါ်တွင် ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေး ဖန်ရှင်ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။
d(x,y)=\sqrt{(\xi_1-\eta_1)^2+\dots+(\xi_n-\eta_n)^2} အတိုင်းအတာ n ခုရှိသော ယူနစ်တရီ ရပ်ဝန်း \mathbb{C}^n သည် ကိန်းထွေး (complex numbers) များဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အစီအစဉ်ကျ n-ခုတွဲများ၏ ရပ်ဝန်းဖြစ်သည်။
d(x,y)=\sqrt{\xi_1-\eta_1^2+\dots+\xi_n-\eta_n^2} အကယ်၍ n=1 ဖြစ်ခဲ့ပါက ဤရပ်ဝန်းသည် ကိန်းထွေးပြင်ညီ \mathbb{C} ဖြစ်လာပြီး ၎င်း၏ ပုံမှန်အကွာအဝေး ဖန်ရှင်မှာ d(x,y)=x-y ဖြစ်သည်။
တစ်ခါတစ်ရံတွင် \mathbb{C}^n ကို ကိန်းထွေး ယူကလစ်ဒ် n-ရပ်ဝန်း (complex Euclidean n-space) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။
အစု X အနေဖြင့် အကန့်အသတ်ရှိသော ကိန်းထွေး ကိန်းစဉ် (bounded sequences of complex numbers) များအားလုံး၏ အစုကို ယူပါမည်။
ဆိုလိုသည်မှာ X ၏ အစုဝင်တိုင်းသည် အောက်ပါကိန်းထွေး ကိန်းစဉ်များ ဖြစ်ကြသည်။
x=(\xi_1,\xi_2,\dots) အတိုချုံးအားဖြင့် x=(\xi_j) ဟု ရေးသားနိုင်သည်။
မည်သည့် j=1,2,\dots အတွက်မဆို အောက်ပါအခြေအနေကို ကိုက်ညီရမည် ဖြစ်သည်။
d(x,y)=\sup_{j\in N}\xi_j-\eta_j ဤနေရာတွင် y=(\eta_j)\in X ဖြစ်ပြီး N=\{1,2,\dots\} ဖြစ်သည်။
X ၏ အစုဝင် (အမှတ်) တစ်ခုစီတိုင်းသည် ကိန်းစဉ်တစ်ခု ဖြစ်နေသောကြောင့် l^\infty ကို ကိန်းစဉ် ရပ်ဝန်း (sequence space) ဟု ခေါ်ဆိုခြင်း ဖြစ်သည်။
d(x,y)=\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{2^j}\frac{\xi_j-\eta_j}{1+\xi_j-\eta_j} ဤနေရာတွင် x=(\xi_j) နှင့် y=(\eta_j) ဖြစ်ကြသည်။
ယခင် ကိန်းစဉ် ရပ်ဝန်း l^\infty ဥပမာတွင် သုံးခဲ့သော အကွာအဝေး ဖန်ရှင်သည် ယခုအခြေအနေအတွက် သင့်လျော်မည်မဟုတ်ကြောင်း သတိပြုသင့်သည်။
သက်သေပြချက် (Proof): နဂိုမှန်အဆို (M1) မှ (M3) အထိ ကိုက်ညီကြောင်းကို လွယ်ကူစွာ မြင်တွေ့နိုင်သည်။
ထို့ကြောင့် (M4) ကို စစ်ဆေးအတည်ပြုပါမည်။
f(t)=\frac{t}{1+t} ဆင်းသက်ချက် (derivative) ရှာလိုက်သောအခါ f'(t)=1/(1+t)^2 ကို ရရှိပြီး ၎င်းသည် အပေါင်းကိန်းဖြစ်သည်။
ထို့ကြောင့် f သည် အစဉ်လိုက် တိုးသော (monotone increasing) ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။
ရလဒ်အနေဖြင့် a+b\lea+b ဖြစ်ခြင်းက f(a+b)\le f(a+b) သက်ရောက်စေသည်။
ထိုအခါ z=(\zeta_j) ဖြစ်ပြီး a+b=\xi_j-\eta_j ဖြစ်လာသောကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။
d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y) ၎င်းသည် (M4) ကို ပြည့်စုံစေပြီး s သည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခုဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြလိုက်ခြင်းပင် ဖြစ်သည်။
အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ ရပ်ဝန်း l^p အတွင်းရှိ အစုဝင်တစ်ခုစီတိုင်းသည် \xi_1^p+\xi_2^p+\dots စုဆုံသည် (converges) ဟူသော ဂုဏ်သတ္တိရှိသည့် ကိန်းစဉ် x=(\xi_j)=(\xi_1,\xi_2,\dots) များ ဖြစ်ကြသည်။
ထို့ကြောင့် ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးနိုင်သည်။
d(x,y)=\left(\sum_{j=1}^{\infty}\xi_j-\eta_j^p\right)^{1/p} ဤနေရာတွင် p\ge1 သည် ကိန်းသေဖြစ်ပြီး y=(\eta_j) ဖြစ်ကာ \sum\eta_j^pကို ကိုက်ညီသည်။
အထက်ပါအခြေအနေများကို ကိုက်ညီသော ကိန်းစစ် ကိန်းစဉ်များကိုသာ ယူပါက ကိန်းစစ် ရပ်ဝန်း l^p ကို ရရှိမည်ဖြစ်ပြီး ကိန်းထွေး ကိန်းစဉ်များကို ယူပါက ကိန်းထွေး ရပ်ဝန်း l^p ကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။
p=2 ဖြစ်သော အခြေအနေတွင် ကျော်ကြားလှသော ဟီလ်ဘတ် ကိန်းစဉ် ရပ်ဝန်း (Hilbert sequence space) l^2 ကို အောက်ပါအကွာအဝေး ဖန်ရှင်ဖြင့် ရရှိသည်။
d(x,y)=\sqrt{\sum_{j=1}^{\infty}\xi_j-\eta_j^2} ဤရပ်ဝန်းကို အင်တီဂရယ် ညီမျှခြင်းများနှင့် ဆက်စပ်၍ ၁၉၁၂ ခုနှစ်တွင် ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) က စတင်မိတ်ဆက်ကာ လေ့လာခဲ့သည်။
ထိုဖန်ရှင်များသည် ပေးထားသော အပိတ် ကြားပိုင်း (closed interval) J=[a,b] အပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားပြီး အဆက်မပြတ် (continuous) ဖြစ်ကြသည်။
d(x,y)=\max_{t\in J}x(t)-y(t) ဤနေရာတွင် \max သည် အကြီးဆုံးတန်ဖိုး (maximum) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။
C ဟူသော အက္ခရာသည် "continuous" (အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း) ကို ရည်ညွှန်းသည်။
C[a,b] ၏ အမှတ်တစ်ခုစီတိုင်းသည် ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်နေသောကြောင့် ၎င်းကို ဖန်ရှင် ရပ်ဝန်းဟု ခေါ်ဆိုခြင်း ဖြစ်သည်။