Systèmes polynomiaux : que signifie résoudre ?

Le cours s'articule en deux grandes parties : les méthodes de résolution et leur application. Il commence par l'étude d'une méthode de résolution réelle de polynômes en une indéterminée et à coefficients rationnels (avec une section dédiée à l'arithmétique par intervalles). Il se poursuit par l'étude de la théorie des bases de Gröbner. Le choix de présentation peut sembler surprenant : on commence par la 'n et on termine par le début de la chaîne mais nous avons cru bon d'aborder l'étude par les polynômes en une indéterminée qui sont plus familiers aux étudiants de deuxième année de licence et d'introduire les notions propres aux polynômes en plusieurs indéterminées plus progressivement,par le biais notamment d'un mini'projet de tracé de courbes algébriques en deux indéterminées. Le chapitre 4 présente un algorithme pour le pgcd de deux polynômes en une indéterminée et à coefficients rationnels. Le calcul du pgcd de deux polynômes est une fonctionnalité nécessaire pour la partie RS. Les méthodes employées dans l'algorithme présenté s'appuient sur des techniques de calcul modulaire,qu'on retrouve,en particulier,en cryptographie. Le calcul modulaire constitue une introduction simple à la théorie des idéaux,qui se développe avec l'étude des bases de Gröbner. Le chapitre 6 présente,à titre de comparaison,la méthode de Newton pour la résolution numérique des équations. Elle constitue,de loin,la méthode la plus utilisée pour résoudre les systèmes d'équations. On la présente dans le cas d'une équation en une inconnue et dans le cas de deux équations à deux inconnues. Le cours se conclut par une introduction au logiciel Maple.

Disciplines : ,
Mots-clés : calcul formel,équation polynomiale,résolution d'équations,bases de Gröbner,fuscia
Type de ressource : lecture,exercise,jeu de données,exam
Niveau : licence
Publics visés : learner
Proposition d'utilisation : Répartition : 12h de cours, 18h de TD en salle banalisée, 18h de TD en salle équipée d'ordinateurs (logiciel MAPLE 9, sous Linux Ubuntu)
Auteurs ou éditeurs : François Boulier,Université Lille1 - Sciences et technologies