Projet ANR-11-JS01-0008 – Grupoloco : Groupes polonais et Logique continue
Programme : JCJC - SIMI 1 - Mathématiques et interactions (JCJC SIMI 1) 2011
Année de financement : 2011
Coordinateur du projet : Monsieur Julien MELLERAY (CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE - DELEGATION REGIONALE RHONE-AUVERGNE)
Partenaires : Institut Camille Jordan
Montant : 70000.0 euros
Date de début : 2012
Durée : 48 mois
Résumé : Ce projet s'intéresse aux interactions entre théorie descriptive des ensembles et logique continue, et aux applications des méthodes de ces domaines à l'étude de diverses structures, en particulier des « gros » groupes polonais.
Les groupes polonais foment la classe de groupes la plus générale qui permette d'appliquer les techniques de théorie descriptive. Typiquement, le groupe de symétries d'un objet séparable est polonais; des exemples essentiels pour nous sont: le groupe S(IN) de permutation des entiers et ses sous-groupes fermés; le groupe unitaire U(l_2) d'un espace de Hilbert séparable de dimension infinie; le groupe d'automorphismes Aut(L) d'un espace probabilisé standard; le groupe d'isométries Iso(U) de l'espace d'Urysohn. Ces groupes exhibent de nombreuses propriétés fascinantes: la propriété de continuité automatique, l'extrême moyennabilité, la précompacité de Roelcke... On pourrait croire ces propriétés pathologiques; mais de nombreux exemples de groupes naturels les satisfont (pour Aut(L), cf [GP07] et [BBM*]; pour U(l_2) et Iso(U), on sait qu'ils sont extrêmement moyennables, cf [GM83] et [Pes02], et on s'attend à ce qu'ils aient la propriété de continuité automatique), et il est donc important d'approfondir notre compréhension de ces propriétés.
Il y a une longue histoire d'interactions entre théorie descriptive des ensembles et théorie des modèles, surtout via l'étude des sous-groupes fermés de S(IN). Kechris et Rosendal [KR07] ont récemment utilisé des techniques de théorie des modèles pour classifier les sous-groupes de S(IN) ayant des amples génériques; dans le même ordre d'idées, Kechris, Pestov et Todorcevic [KPT05] ont établi  un lien important entre théorie des modèles, combinatoire et dynamique topologique, en caractérisant les sous-groupes extrêmement moyennables de S(IN) en termes de théorie de Fraïssé et de Ramsey.
Récemment, il est apparu que les techniques et concepts de la logique continue, un formalisme étendant la théorie des modèles classique (voir [BU10] et [BBHU08]), peuvent jouer un rôle similaire pour l'étude des groupes polonais (cf par ex. [M10] et [BBM*]). Similairement, Tsankov a récemment utilisé des idées tirées de Olshanskii  [Ols91] pour classifier les représentations unitaires d'une vaste classe de sous-groupes de S(IN), et on peut espérer utiliser les techniques de logique continue pour trouver une classification du même type pour certains gros groupes polonais. 
Notre but est de développer des versions « continues » des techniques et concepts de la théorie des modèles classique, et de les utiliser pour améliorer notre compréhension des gros groupes polonais. En particulier, nous souhaiterions;
développer une théorie générale concernant la propriété de continuité automatique et les problèmes de reconstruction;
classifier les représentations unitaires des gros groupes polonais;
développer, et appliquer, une «théorie descriptive des ensembles continue»; une version primitive de cette théorie apparaît dans [BM] et a déjà été appliquée pour obtenir des résultats concernant les groupes polonais.
Des résultats partiels ont déjà été obtenus par les membres du projet. Il nous paraît important d'explorer activement cette direction de recherche. A cet effet, nous identifions trois besoins principaux:
libérer du temps à consacrer à la recherche sur ces questions pour les membres du projet;
développer et populariser ce domaine de recherch;
échanger avec des experts des domaines concernés par notre projet.
Pour le premier point, nous demandons le financement de décharges d'enseignement pour les maîtres de conférences membres du projet. Pour le second, notre idée est de nous rassembler régulièrement pour des groupes de travail et sessions de discussion de deux jours; et organiser deux semaines de concentration, un atelier et une conférence internationale. Enfin, nous demandons un financement pour les voyages des membres du projet, et des visites d'experts internationaux.