Projet ANR-06-BLAN-0070 – CrystalDyn : A dynamical system approach to quasi-crystals
Programme : Programme blanc (BLANC) 2006
Année de financement : 2006
Coordinateur du projet : CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE - DELEGATION REGIONALE ILE-DE-FRANCE SECTEUR OUEST ET NORD (CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE - DELEGATION REGIONALE ILE-DE-FRANCE SECTEUR OUEST ET NORD)
Partenaires : Centre national de la recherche scientifique; Université Nice - Sophia-Antipolis
Montant : 110000.0 euros
Date de début : 2006
Durée : 36 mois
Résumé : Depuis leur découverte en 1984 lors du refroidissement d'un alliage métallique d'aluminium et de manganèse, les quasi-cristaux restent des objets bien mystérieux qui ont suscité enthousiasme et déceptions. Enthousiasme : d'une part, parce qu'ils possèdent de jolies propriétés physiques, d'autre part parce que leur description mathématique aux moyens des ensembles de Delonay et des pavages a ouvert un domaine des mathématiques à l'interface entre la topologie, la géométrie non-commutative, l'arithmétique et la théorie des feuilletages. Déceptions : parce que le processus même de la formation des quasi-cristaux (comme c'est d'ailleurs en partie déjà le cas pour les cristaux) reste mal compris et la stabilité du phénomène ne fait pas l'unanimité. Ce problème existe autant au niveau de l'analyse physique de la formation d'un quasi-cristal qu'au niveau de l'élaboration d'un modèle mathématique d écrivant le phénomène.  C'est précisément ce sujet de controverse qui est au centre du projet que nous présentons.  Notre but est de développer et d'utiliser de nouvelles idées et techniques issues de la géométrie et de la théorie des systèmes dynamiques pour attaquer des problèmes de mécanique statistique tels que l'existence, l'apparition, la stabilité et les propriétés des quasi-cristaux mais aussi les problèmes voisins et parfois liés, de transition de phase et de stabilité des configurations minimales. Notre approche se fera en considérant d'abord le cas modèle des gaz sur réseau pour lequel nous possédons déjà une stratégie claire avant d'aborder le cas plus difficile des systèmes de particules soumises à un potentiel de type Lennard-Jones pour lequel nous possédons plusieurs pistes très encourageantes.  Un gaz sur réseau est la donnée d'un système de particules qui sont situées aux points de coordonnées entières de l'espace euclidien de dimension d. Chacune de ces particules est dans un état choisi dans un alphabet fini. Le groupe des translations par des vecteurs à coordonnées entières agit naturellement sur l'espace des configurations d'un gaz sur réseau définissant par ce biais un système dynamique. Dans ce contexte, un quasi-cristal est la donnée d'une configuration non périodique et néanmoins répétitive. L'adhérence de l'orbite d'un quasi-crislal sous l'action du groupe des translations s'appelle l'enveloppe du quasi-cristal.  La première partie de ce projet consiste à décrire de façon combinatoire la structure du cône des mesures invariantes associées à ce système dynamique et ceci en toute dimension. La deuxième étape consiste à montrer que ce cône des mesures invariantes le cas de la dimension 1 est tout à fait particulier. Dès que la dimension est supérieure ou égale à 2 de nouveaux phénomènes apparaissent. En particulier, nous espérons montrer que le convexe des mesures invariantes possède des points extrémaux qui correspondent à des mesures ergodiques dont le support est l'enveloppe d'un quasi-cristal. Dans un troisième temps, nous souhaitons introduire des considérations énergétiques afin de montrer l'existence d'un potentiel d'interaction entre les particules pour lequel la mesure de Gibbs associée (qui dépend de la température) converge vers une mesure dont le support est l'enveloppe d'un quasi-cristal quand la température tend vers 0.  Enfin nous souhaitons prouver que le phénomène décrit ci-dessus est stable, i.e. une petite perturbation du potentiel conduit au même quasi-cristal.