Projet ANR-07-JCJC-0139 – CoNuM : Control and Numerical Methods. Applications to biology.
Programme : Jeunes chercheuses & jeunes chercheurs (JCJC) 2007
Année de financement : 2007
Coordinateur du projet : CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE - DELEGATION REGIONALE PROVENCE CORSE (CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE - DELEGATION REGIONALE PROVENCE CORSE)
Partenaires : Centre national de la recherche scientifique
Montant : 90000.0 euros
Date de début : 2007
Durée : 36 mois
Résumé : La contrôlabilité de systèmes d'équations aux dérivées partielles, -  notamment la contrôlabilité aux trajectoires, a connu un développement -  important depuis les années 90. L'obtention d'inégalités dites de -  Carleman et leur utilisation dans ce cadre ont conduit à des résultats -  nouveaux pour la contrôlabilité d'équations paraboliques -  semi-linéaires, d'équations paraboliques à coefficients discontinus, -  et de systèmes de réaction-diffusion. Ces mêmes inégalités ont permis -  également d'établir de nouveaux résultats de stabilité pour des -  problèmes inverses. -  -  La modélisation de nombreux phénomènes rentrent dans ce contexte, par -  exemple en biologie ou en imagerie médicale. Il est donc fondamental -  d'aborder ces problèmes de contrôle non seulement d'un point de vue -  théorique mais aussi d'un point de vue pratique en proposant et en -  analysant des méthodes numériques. A l'heure actuelle, l'analyse des -  méthodes d'approximation de ces problèmes de contrôle et -  d'identification est encore un problème largement ouvert. C'est dans -  cette problématique que s'inscrit notre projet. -  -  -  Il existe actuellement peu de résultats de stabilité et/ou de -  convergence de schémas numériques pour la controlabilité aux -  trajectoires. Nous comptons commencer par l'étude du cas simple d'une -  équation parabolique mono-dimensionnelle à coefficients réguliers avec -  un contrôle frontière ou interne. Nous espérons obtenir un problème -  discret contrôlable pour lequel nous saurons établir des inégalités -  d'observabilité uniformes par des méthodes explicites (au moyen -  d'inégalités de type ``Carleman discret'' pour des opérateurs -  elliptiques et paraboliques). Ceci permettra de proposer une stratégie -  de construction d'un contrôle discret uniformément borné et finalement -  de justifier la convergence vers un contrôle du problème continu. Nous -  pensons que ces méthodes explicites seront transposables à des cas -  plus généraux, notamment au cas multi-dimensionnel, au cas des -  coefficients peu réguliers ou encore aux systèmes. Cela constitue -  l'une des originalités de notre approche. -  -  On pourra par la suite s'intéresser à d'importantes questions ouvertes -  comme la convergence forte du contrôle vers un contrôle du problème -  continu, comme l'optimalité du contrôle limite, etc... Nous étudierons -  également dans ce cadre différents schémas numeriques en espace -  (différences finies, éléments finis, volumes finis...). De même, -  l'influence du choix de la discrétisation temporelle, peu étudiée dans -  ce contexte, ainsi que l'étude de sa convergence sont aussi des -  questions qu'il nous semble nécessaire d'aborder. -  -  Parallèlement à cela, des simulations numériques fiables nous -  permettrons d'avancer dans la compréhension de problèmes encore -  ouverts tels que l'influence de la localisation de la zone de contrôle -  (en particulier dans le cas de coefficients discontinus), la -  contrôlabilité des équations paraboliques semi-linéaires dans les cas -  critiques, ou encore la contrôlabilité de systèmes. -  -  Nous envisageons également d'étendre cette expertise à des problèmes -  inverses comme l'identification de paramètres et à leurs applications -  notamment dans l'étude des traitements du cancer en collaboration avec -  un laboratoire de pharmacologie marseillais. -  -  Pour atteindre ces objectifs, nous proposons de tirer profit des -  compétences de chercheurs en calcul scientifique et analyse numérique -  (F. Boyer, F. Hubert et A. Münch) et en théorie du contrôle et des -  problèmes inverses (A. Benabdallah, C. Dupaix et -  J. Le Rousseau) répartis sur les laboratoires de mathématiques de -  Marseille (LATP) et de Besançon. -  -  -  En conclusion, les objectifs principaux de ce projet sont d'une part -  d'apporter des outils nouveaux pour l'analyse de l'approximation -  numérique de problèmes de contrôle, et d'autre part le developpement -  de méthodes numériques fiables pour