Projet ANR-14-CE23-0007 – MOONRISE : MOdèles, Oscillations et SchEmas NUmeriques
Programme : Fondements du numérique (DS0705) 2014
Année de financement : 2014
Coordinateur du projet : Monsieur Florian Mehats (Institut de Recherche Mathématique de Rennes)
Partenaires : Institut de Mathématiques de Toulouse; Laboratoire public; Laboratoire public
Montant : 498674.0 euros
Date de début : 2014
Durée : 60 mois
Résumé : Le projet Moonrise a pour objectif l'étude de problèmes de modélisation, d'analyse mathématique et de simulation numérique liés à la présence d'oscillations temporelles rapides dans des EDPs non linéaires provenant de plusieurs domaines de la physique : physique à l'échelle du nanomètre ou physique des plasmas.
Simuler numériquement des phénomènes très oscillants impose habituellement de sévères restrictions sur les pas de temps afin d'approcher correctement les dynamiques rapides. Usuellement, plusieurs approches peuvent être utilisées lorsque la discrétisation fine des oscillations est considérée comme trop coûteuse numériquement. Dans certaines situations précises, des méthodes numériques ad-hoc - difficilement généralisables - ont pu être développées afin de capter des effets moyennés en temps long. A l'autre bout du spectre, des techniques mathématiques permettent parfois de remplacer le problème initial par une limite asymptotique dans laquelle les effets oscillants ont été moyennés. Le projet Moonrise propose de concilier les deux types d'approches dans une démarche générale qui couplera l'analyse asymptotique et la construction de schémas numériques uniformément précis, permettant de simuler tous les régimes.
Les principaux modèles ciblés par notre projet sont les suivants :
- Des régimes hautement oscillants intervenant en physique à l'échelle du nanomètre. Parmi ceux-ci, on peut citer les équations du type Schrödinger non linéaire pour le transport quantique confiné (électrons dans des nanostructures, condensats de Bose-Einstein, transport dans le graphène) ou encore des régimes reliant entre eux plusieurs domaines de la physique, comme les limites semiclassiques ou non relativistes.
- Les modèles pour décrire le transport de particules chargées dans les forts champs magnétiques, appliqués aux plasmas magnétisés dans les Tokamaks ou encore aux plasmas spatiaux (magnétopause terrestre). Ici on peut citer les équations d'Euler ou de Vlasov, couplées aux équations de Maxwell ou, plus simplement, à l'équation de Poisson.
- Les régimes quasi-neutres pour des modèles de plasmas cinétiques, fluides ou diffusifs.
Notre objectif est donc, pour ces diverses applications, d'établir des modèles réduits (non oscillants ou de dimensionalité plus petite que celle de départ) et de construire des méthodes numériques robustes dont les pas de temps ne seront plus contraints par les oscillations rapides. En particulier, nous développerons des stratégies générales permettant de construire des schémas uniformément précis par rapport aux fréquences temporelles des oscillations. Ces schémas seront implémentés et testés sur des configurations de complexité croissante, depuis les nanostructures en plusieurs dimensions d'espace jusqu'aux configurations de Tokamaks. Pour ce faire, nous combinerons des outils d'analyse asymptotique, d'intégration numérique géométrique, des méthodes de moyennisation d'ordre élevé, ainsi que des techniques de construction de schémas numériques asymptotic-preserving.