Projet ANR-07-BLAN-0237 – SP Bayes : Statistiques bayésiennes semi-paramétriques
Programme : Blanc (BLANC) 2007
Année de financement : 2007
Coordinateur du projet : UNIVERSITE PARIS IX [DAUPHINE] (UNIVERSITE PARIS IX [DAUPHINE])
Partenaires : Centre national de la recherche scientifique; Centre national de la recherche scientifique; Université Paris-Dauphine
Montant : 153000.0 euros
Date de début : 2007
Durée : 36 mois
Résumé : L'essort des statistiques bayésiennes dans les modèles complexes date de l'émergence des méthodes performantes d'implémentation de ces procédures et en particulier des algorithmes de type MCMC (Monte Carlo par Chaine de Markov). Ceci est particulier visible dans le cadre des modèles non paramétriques ou semi-paramétriques. Parallèlement à l'utilisation grandissante des approches bayésiennes dans des modèles de dimension infinie, la littérature sur les propriétés théoriques de ces méthodes s'est développée, même si les développements théoriques restent encore en retard par rapport résultats théoriques existant dans la littérature fréquentiste. Depuis la fin des années 90, les principaux résultats sur les propriétés asymptotiques des procédures bayésiennes non paramétriques ou semi-paramétriques portent sur la consistence de la loi a posteriori et sur sa vitesse de convergence. En d'autres termes, pour un certain de modèle on sait désormais caractériser les (des) conditions sur la loi a priori et sur le vrai paramètre (typiquement une fonction) pour obtenir des vitesses (ou l'existence) de concentration de la loi a posteriori vers ce paramètre. Un grand nombre de questions reste encore sans réponse, en particulier dans les modèles semi-paramétriques. Nous voulons dans le cadre de ce projet étudier les approches bayésiennes dans de tels modèles, d'un point de vue théorique ainsi que méthodologique. Les modèles semi-paramétriques peuvent se séparer en deux grandes catégories : les modèles dits réguliers, c'est à dire lorsque le paramètre d'intérêt peut être estimé à la vitesse égale à la racine carrée du nombre d'observations et les modèles non réguliers, soit lorsque les vitesses minimaxes d'estimation de ces paramètres sont non paramétriques. Nous voulons d'une part développer la théorie sur les propriétés fines des estimateurs bayésiens dans ces modèles réguliers, en particulier étudier des conditions d'existence de théorèmes de Bernstein Von Mises qui assurent l'équivalence entre les approches bayésiennes et les approches basées sur la vraisemblance. Très peu de résultats existent dans ce cadre, et ceux existant considèrent des familles de lois a priori conjuguées permettant d'avoir une expression presque explicite de la loi a posteriori. D'autre part nous voulons étudier pour certains modèles non réguliers les vitesses de convergence des estimateurs bayésiens, ce qui permettra d'appréhender un peu mieux l'impact de la loi a priori et de comparer les approches bayésiennes aux approches fréquentistes existantes. Ces études seront des continuations de travaux effectués, soit d'un point de vue purement nonparamétrique soit d'un point de vue fréquentiste. Ces deux aspects de notre projet concernent les propriétés asymptotiques théoriques des méthodes bayésiennes semi-paramétriques. Il est aussi très important de s'intéresser à l'implémentation de ces méthodes, en recherchant des algorithmes efficaces et robustes. Cet aspect sera aussi développé dans notre projet, avec une application dans un problème complexe en collaboration avec K. Mengersen (Australie) sur des modèles de contrôle de la qualité de l'eau à partir d'images satellites.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      ...