Projet ANR-07-BLAN-0234 – ORACLE : Approche d'oracle en statistique mathématique / Oracle approach in mathematical statistics
Programme : Blanc (BLANC) 2007
Année de financement : 2007
Coordinateur du projet : CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE - DELEGATION REGIONALE PROVENCE CORSE (CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE - DELEGATION REGIONALE PROVENCE CORSE)
Partenaires : Centre national de la recherche scientifique
Montant : 200000.0 euros
Date de début : 2007
Durée : 48 mois
Résumé : Les recherches proposées se rapportent aux domaines de la statistique mathématique suivants : théorie de l'estimation et théorie des tests. Nous étudierons les propriétés de procédures non-paramétriques, c'est-à-dire nous nous intéresserons aux modèles statistiques qui sont décrits par des paramètres de dimension infinie (i.e. Par des éléments de classes fonctionnelles). Les outils principaux de ces recherches sont la théorie minimax (surtout l'adaptation) ainsi que l'analyse fonctionnelle (théorie de l'approximation). Et la théorie des probabilités (grandes déviations pour les processus aléatoires). L'objectif principal du projet est de construire, pour plusieurs modèles statistiques, des procédures minimax et adaptatives minimax. Afin d'obtenir ces résultats nous utiliserons l'approche d'oracle qui consiste à établir les inégalités d'oracle comme une majoration de la précision des méthodes considérées. En particulier, nous obtiendrons des estimateurs et des tests adaptatifs, atteignant les vitesses de convergence sur des échelles d'espaces fonctionnels. En outre, sachant les défauts de l'approche minimax, qui est actuellement l'unique critère d'optimalité au sein de la statistique théorique, nous aurons l'intention de proposer un autre critère universel. L'approche d'oracle et l'approche maxisets doivent former la base de cette nouvelle méthodologie. Malgré l'aspect théorique du projet, nous construisons des méthodes implémentables en pratique et qui se révèlent souvent très compétitives. Certains de ces idées sont déjà réalisées en imagerie, cryptographie et télécommunications. Les études faisant l'objet de ce projet peuvent être partagées en trois grands thèmes : l'approche d'oracle ponctuelle dans le cas multidimensionnel, l'approche d'oracle dans les problèmes inverses et l'approche d'oracle dans les problèmes de tests. -  1.Inégalités d'oracle ponctuelles dans le cas multidimentionnel. Nouvelles méthodes d'agrégation de procédures linéaires. Etude de leurs performances d'après la théorie minimax et l'adaptation. Des estimateurs adaptatifs par rapport à une structure inconnue (adaptation structurelle). Etude des liens entre l'approche maxiset et l'approche d'oracle. Résultats attendus. Nous nous intéressons à obtenir l'inégalité d'oracle ponctuelle ainsi que celle dans la norme uniforme pour une famille de procédures linéaires. Nous utiliserons ces résultats pour construire des estimateurs et des tests adaptatifs dans les modèles structurels tels que le Modèle Single-index , le modèle Multi-index , le Modèle Projection-pursuit et le Modèle de fonctions composées . L'intérêt d'utiliser et d'étudier ces modèles est expliqué par le fait qu'ils permettent de réduire considérablement l'influence de la dimension sur la qualité d'analyse statistique (dimension reduction). Dans le cadre d'un modèle abstrait, nous avons l'intention d'inventer un nouveau critère d'optimalité permettant de comparer toutes les procédures statistiques. Cette méthodologie se base sur un mélange de l'approche d'oracle et celle des maxisets. Pour différents problèmes d'estimation et de tests, nous trouverons les espaces maximaux (maxisets) pour plusieurs procédures adaptatives. -  2.Inégalités d'oracle dans les problèmes inverses. Développement d'une nouvelle technique (enveloppe du risque) afin d'obtenir ces inégalités pour diverses méthodes de régularisation (sprectral cut-off, Tikhonov, etc). Etude de l'influence d'une bruit dans l'opérateur sur la qualité de l'estimation. Résultats attendus. Nous considérerons les problèmes inverses mal-posés ainsi que l'estimation de fonctionnelles linéaires dans le cas d'observations indirectes. Pour ces problèmes, nous établirons les inégalités d'oracle et nous en déduirons les propriétés adaptatives des estimateurs obtenus. Nous étudierons des problèmes inverses où l'opérateur est inconnu et supposerons que ses valeurs propres sont observées avec un bruit additionnel. Nous décrirons l'influence de ce br...