Projet ANR-12-BS01-0020 – WKBHJ : KAM faible au-delà de Hamilton-Jacobi
Programme : Blanc - SIMI 1 - Mathématiques et interactions (Blanc SIMI 1) 2012
Année de financement : 2012
Coordinateur du projet : Monsieur Albert FATHI (Unité de mathématiques pures et appliquées)
Partenaires : Institut de Mathématiques de Bordeaux; Unité de Mathématiques Pures et Appliquées
Montant : 288000.0 euros
Date de début : 2013
Durée : 48 mois
Résumé : Ce projet est une suite de l’ANR KAMFAIBLE.
Même si dans ce projet, certains des membres présents dans le projet précédent sont encore dans ce projet, il y a toutefois un renouvellement important : sur les 34 membres du nouveau projet seul 11 viennent du projet précédent et 10 des nouveaux membres sont des thésards. Ceci est dû à la fois à l’attractivité du sujet et au fait que le périmètre du sujet en mathématiques s’est élargi. 
Le but du projet précédent ainsi que de celui-ci est de réunir des mathématiciens d’horizons différents travaillant là où le rôle de l’équation d’Hamilton-Jacobi est crucial : systèmes dynamiques lagrangiens, EDP, contrôle, mécanique céleste et géométrie symplectique.
Pendant les 4 années du projet précédent, le sujet a été très actif, plus de 70 publications s’y rapportant on été faites par des membres. Il y a eu deux grandes conférences internationales,  à Nice en Février 2009 et à Bordeaux Décembre 2011, avec une large participation de mathématiciens étrangers. Il y a eu aussi d’autres conférences avec des participants étrangers. 
Les fonds du projet précédent ont permis de faire émerger une communauté cohérente de mathématiciens d’horizons et de pays divers où ils collaborent pour faire progresser le domaine et aussi pour étendre son périmètre.
Le projet précédent a engendré de nouveaux points de vue, ainsi que de nouveaux problèmes et directions où utiliser les outils déjà développés. Par conséquent dans cette suite, en dehors d’approfondir le domaine, nous voulons utiliser les outils obtenus dans des domaines tels que les fonctions de Lyapunov des systèmes dynamiques classiques ou multivalués, fonctions temps, les modèles multidimensionnels de Frenkel-Kontorava, les EDP d’ordre supérieur, etc…
Certains des problèmes que nous voudrions spécifiquement aborder sont : comportement en temps long des flots courbures et des équations dégénérées du second ordre, convergence des solutions escomptées de l’équation de Hamilton-Jacobi, régularité des courbes invariantes par les applications « twists », conjecture de Mañé, différentiabilité des fonctions beta, sous-solutions critiques plus régulières, aspects KAM faible des modèles de Frenkel-Kantorova, KAM faible en dimension infinie, aspects Kam faible en dynamique classique et multivaluée (non lagrangienne) avec application à la géométrie lorentzienne, hamiltoniens commutant non lisse, généralisations aux hamiltoniens non-convexes.
Nos contribution récente montre que nous sommes bien armés pour attaquer ces problèmes.
Un part importante des problèmes sera traitée en collaboration avec des étrangers (du Brésil, USA, Italie, Grande-Bretagne, Espagne, Portugal, Mexique, Uruguay).
Nous avons aussi beaucoup de contacts avec des mathématiciens travaillant en Chine, Japon, Canada, Pays-Bas, Israël et Russie.
Avec les fonds alloués nous organiserons plusieurs rencontres (au moins deux conférences internationales) et nous travailleront avec nos nombreux collaborateurs étrangers. Nous recruterons ausi 2 postdocs (dans le projet précédent nous avons recruté 2 postdocs, l’un est maintenant MdC à Nice et l’autre est Assitant Professor à Penn State). Nous recruterons aussi 2 thésards (il y a eu 6 thèses soutenues durant le projet précédent). Nous diffuserons nos connaissances dans des écoles d’été.
Grâce à la grande visibilité internationale du projet précédent, nous avons pu obtenir aussi des fonds complémentaires d’institutions étrangères (la NSF américaine, le CNR italien, des fonds de recherches pour des participants du Japon, Mexique, Brésil, Uruguay). Si les fonds attribués par l’ANR rendent possible une collaboration internationale intensive, nous prévoyons d’obtenir des fonds complémentaires pour nos conférences et collaborations.