Projet ANR-13-PDOC-0015 – TOFIGROU : Torseurs, fibrés vectoriels et schéma en groupes fondamental
Programme : Retour Postdoctorants (PDOC) 2013
Année de financement : 2013
Coordinateur du projet : Monsieur Marco ANTEI (UNIVERSITE NICE SOPHIA ANTIPOLIS)
Partenaires : Université Nice - Sophia-Antipolis
Montant : 223195.0 euros
Date de début : 2013
Durée : 36 mois
Résumé : Ce projet est constitué par deux thèmes en géométrie algébrique: les problèmes de l'extension et du soulèvement de torseurs ainsi que l'étude des fibrés vectoriels vus comme l'outil principal dans la théorie du schéma en groupes fondamental. Nos deux sujets de recherche ont étés inspirés par eux même, néanmoins le but principal du projet est précisément celui de leur interaction: les problèmes, les approches suggérées et les participants ont pour dénominateur commun la géométrie algébrique et arithmétique.
Le sujet de recherche «Torseurs » a comme but l'étude du problème de l'extension et du soulèvement de torseurs. On se donne un schéma X défini sur un anneau de valuation discrète R et on considère sa fibre générique XK sur K (où K est le corps des fractions de R). Soit G un K-schéma en groupes et Y un G-torseur sur XK. Peut-on trouver un R-schéma en groupes G’ fini et plat, modèle de G, et un G’-torseur Y’ sur X modèle du torseur donné Y sur XK? Ce problème a ces racines dans la célèbre théorie de la spécialisation du groupe fondamental de Grothendieck où l'auteur de SGA1 démontre que, après extension éventuelle des scalaires, le problème admet une solution quand R est complet de corps résiduel k algébriquement clos et de caractéristique positive p, quand X est propre et lisse sur R avec fibres geométriquement connexes mais seulement dans le cas où p ne divise pas l'ordre de G. Dans les dernières décennies il y a eu beaucoup de progrès. Symétriquement on considère la fibre spéciale Xs de X sur k=R/m, le corps résiduel de R. Soit H un k-schéma en groupes fini et Y un H-torseur sur Xs. Peut-on trouver un R-schéma en groupes H’ fini et plat, qui soulève H, et un H’-torseur Y’ sur X qui soulève le torseur donné Y sur Xs? Dans cette direction Pop a récemment prouvé la célèbre conjecture de Oort mais il y a certainement encore beaucoup a découvrir. On proposera une nouvelle approche, utilisant la déformation des fibres essentiellement finis, qu'on poussera le plus loin possible.
Pour le sujet de recherche « Fibrés vectoriels et schéma en groupes fondamental » on s'occupera principalement d'étudier les propriétés du schéma en groupes fondamental p(X,x) d'un schéma X sur un corps k pointé en un point k-rationnel x. Conjecturé par Grothendieck et construit par Nori est, quand X est réduit connexe et propre sur k, le k-schéma en groupes naturellement associé à la catégorie tannakienne neutre EF(X) dont les objets son les fibrés essentiellement finis. Alternativement il peut être construit comme la limite projective des schémas en groupes finis agissant sur les torseurs au dessus de X. En particulier quand k est un corps algébriquement clos de caractéristique nulle il n'est rien d'autre que le groupe fondamental étale p^ét (X,x). Les propriétés du schéma en groupes fondamental sont difficiles à étudier en générale puisque, par exemple, il ne commute pas au changement de base; malgré ses complications il partage quelques propriétés avec le groupe fondamental étale. C'est pourquoi il doit cacher beaucoup d'informations du schéma X même et c'est un objet qui s'insère de manière naturelle dans la philosophie abélienne. Le schéma en groupes fondamental a été généralisé sous diverses aspects (par Gasbarri, Langer, Borne and Vistoli parmi d'autres) et ses propriétés ont étés largement étudiées par Mehta, Subramanian, Biswas, Esnault, Pauly, Antei et plein d'autres mathématiciens encore. En particulier rappelons seulement que Gasbarri a construit p(X,x) dans le cas d'un schéma X sur un schéma de Dedekind S pointe en un point x dans X(S). Ça montre clairement comment une connaissance approfondie des propriétés du schéma en groupes fondamental fournisse un outil indispensable pour aborder le problème principal décrit dans la section du sujet de recherche  «Torseurs » et, bien sûr, vice-versa.
Le projet est coordonné par Marco Antei.