Projet ANR-15-CE23-0017 – NonLocalDD : Méthodes non-locales en décomposition de domaines pour l'électromagnétisme
Programme : Données massives et calcul intensif : enjeux et synergies pour la simulation numérique (DS0708) 2015
Année de financement : 2015
Coordinateur du projet : Monsieur Xavier Claeys (Inria - Centre de recherche Paris - Rocquencourt)
Montant : 456893.0 euros
Date de début : 2015
Durée : 48 mois
Résumé : Ce projet porte sur l'analyse numérique et le calcul scientifique pour la simulation de la propagation d'ondes électromagnétiques sur calculateurs parallèles, et cherche à mettre au point ou à perfectionner des méthodes de décomposition de domaines (DMM). Ce projet, qui se concentre surtout sur la DDM sans recouvrement, tire sa spécificité du recours aux opérateurs intégraux non seulement pour résoudre localement (sous-domaine par sous-domaine) les équations du problème, mais aussi pour assurer le couplage entre sous-domaines. Nous proposons un travail complet de mathématiques appliquées, comprenant la mise au point de nouveaux algorithmes, l'implémentation et le test de ces algorithmes dans des codes de calcul, ainsi que leur analyse mathématique et numérique. 
Rappelons que la DDM sans recouvrement consiste tout d'abord à partitionner le domaine de calcul en sous-domaines, dans chacun desquels on résout indépendamment les équations, les résolutions locales étant distribuées sur une architecture parallèle. Ceci réduit le problème à un ensemble d'équations écrites sur les interfaces qui traduisent les couplages entre sous-domaines, et que l'on résout par un algorithme itératif qui préserve le parallélisme. La mise au pointd'une DDM efficace repose sur un choix judicieux 1) de solveurs locaux, 2) de conditions de couplage entre sous-domaines, et 3) d'un algorithme itératif global pour résoudre les couplages (solveur global). Ce choix doit minimiser le coût de calcul global, ce qui inclut le coût des résolutions locales ainsi que le nombre d'itérations du solveur global. 
Une première partie de ce projet s'intéressera au cas particulier de milieux de propagation homogènes par morceaux, où on développera une DDM reposant entièrement sur les opérateurs intégraux. Nous nous appuieront pour ceci sur le formalisme multi-trace récemment développé par le porteur du projet avec deux collaborateurs. Ce formalisme extrêmement modulaire s'adapte à une grande variété de configurations géométriques et de matériaux composant le milieu de propagation. De plus, il permet un traitement propre des points de jonctions (i.e. les points où trois sous-domaines ou plus sont adjacents), et se prête à des techniques de préconditionnement à la fois classiques et robustes. La décomposition de domaines reposant sur ce formalisme est une question encore largement inexplorée. 
Une autre partie de ce projet considérera des milieux de propagation hétérogènes généraux, et développera une nouvelle génération, plus efficace, de méthodes de Schwarz optimisées c'est-à-dire des stratégies de DDM dans lesquels le couplage entre sous-domaine fait intervenir des opérateurs de trace de type Robin. Dans les approches que nous souhaitons développer, les coefficients d'impédance intervenant dans les traces Robin seront des opérateurs intégraux. Des travaux préliminaires de participants du projet montrent clairement que cette approche mènerait à une convergence exponentielle des solveurs globaux. Puisque les DDM actuelles pour les équations d'onde ne convergent au mieux qu'algébriquement, ceci constituerait une avancée majeure en décomposition de domaines pour la propagation d'ondes. 
Les approches des deux premières parties du projet sont complémentaires, et une troisième partie du projet s'attachera à mettre au point des stratégies de DDM mêlant les deux approches pour profiter des avantages de chacune d'entre elles. On utilisera le formalisme multi-trace pour traiter les points de jonctions, et des conditions de Schwarz optimisées non-locales pour accélérer le solveur global.