Projet ANR-13-PDOC-0031 – NoLiGeA : Géométries Non Linéaires et Applications
Programme : Retour Postdoctorants (PDOC) 2013
Année de financement : 2013
Coordinateur du projet : Monsieur Florent BAUDIER (Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche)
Partenaires : Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche
Montant : 150000.0 euros
Date de début : 2014
Durée : 24 mois
Résumé : La définition d'un espace de Banach ne nécessite que quelques notions de base en algèbre linéaire, analyse fonctionnelle et topologie. Cependant, l'analyse des propriétés géométriques de l'espace métrique associé à un espace de Banach est une tâche très difficile. Le projet à long terme du candidat est de donner une description détaillée des géométries naturelles portées par un espace de Banach, éventuellement un espace métrique, et de fournir une image claire de la relation entre ces dernières.
Il s'avère que bien comprendre comment un espace métrique peut être plongé dans un type particulier d'espace de Banach est un problème fondamental dans des domaines nombreux et variés. Il est assez remarquable que des sous-domaines fondamentaux de la physique quantique et de l'informatique théorique partagent une caractéristique commune. En effet, une description mathématique cohérente de l'espace-temps physique, à toutes les échelles et en particulier au niveau des distances ultra-petites, ou la conception d'algorithmes rapides et efficaces, reposent au niveau théorique sur une compréhension profonde des propriétés géométriques de certains espaces métriques. Les plongements métriques distordant peu les distances, des espaces métriques finis mais de grand cardinal, dans les espaces de Banach avec une géométrie (presque) Euclidienne est une pierre angulaire dans la conception d'algorithmes d'approximation efficaces.  Les informaticiens ainsi que les géomètres des espaces de Banach ont été en mesure d'utiliser la quantité importante de connaissances en géométrie Lipschitzienne des espaces de Banach, étudié pour elle-même depuis le début des années 1900. Cette partie de la géométrie non linéaire des espaces de Banach a eu une nette influence sur la conception d'algorithmes rapides. Des problèmes non linéaires ont aussi été résolus en utilisant des techniques provenant de  l'informatique théorique.
Dans le cadre des conjectures de Baum-Connes ou de Novikov, il y a eu un regain d'intérêt des géomètres des groupes et des topologistes concernant la géométrie grossière des espaces métriques, en particulier des groupes et des espaces de Banach. Malheureusement, contrairement à la géométrie Lipschitzienne ou la géométrie uniforme, la géométrie grossière des espaces de Banach n'avait pas été considérée en temps que telle par les géomètres des espaces de Banach jusqu'à ce qu'il devienne évident, au début des années 2000, qu'elle avait d'importantes applications. Une des raisons possibles pour ce moindre intérêt a l'époque est probablement le fait que les plongements grossiers sont très peu structuré. Ils ne sont pas nécessairement injectifs ou continus. Jusqu'à présent, ce que nous comprenons de la géométrie grossière des espaces de Banach provient principalement de ce que nous savons de la géométrie uniforme. L'une des préoccupations principale du projet NoLiGeA est de combler cette lacune et de mener une étude systématique, ambitieuse mais fascinante, des géométries non linéaires de certaines classes fondamentales d'espaces métriques.