Projet ANR-14-CE25-0002 – PerCoLaTor : PERfectoïdes, cohomologie COmplétée, correspondance de LAnglands et cohomologie de TORsion
Programme : Défi de tous les savoirs (DS10) 2014
Année de financement : 2014
Coordinateur du projet : Monsieur Pascal Boyer (Laboratoire d'Analyse, Géométrie et Applications)
Partenaires : Laboratoire public; Laboratoire public
Montant : 329680.0 euros
Date de début : 2014
Durée : 60 mois
Résumé : Le programme de Langlands a connu depuis son introduction dans les années 70, des succès retentissants accompagnés d'applications arithmétiques de premier plan (grand théorème de Fermat, conjecture de Sato-Tate...). Depuis les années 2000, sous l'impulsion des travaux de C. Breuil, on suspecte l'existence d'une version p-adique de ce programme. Grâce aux travaux de Colmez, le cas de GL(2,Q_p) est désormais connu et compatible aux instances globales d'après Emerton. 
Ces trois dernières années, des objets totalement nouveaux ont fait leur apparition: la courbe de Fontaine-Fargues, les espaces perfectoïdes de P. Scholze, le site pro-étale, les variétés de Shimura en niveau infini. Comme il y a vingt ans, les techniques de déformations des représentations galoisiennes de Wiles ont révolutionné l'arithmétique, nous sommes à l'aube de progrès retentissants et rapides. Ces sujets soulèvent des questions à la fois passionnantes et extrêmement difficiles qui requièrent une grande variété de compétences lesquelles sont largement couvertes par les domaines d'expertise des membres de notre groupe. Nous pouvons organiser les différentes directions de recherche selon cinq grands axes.
1) La théorie des représentations p-adiques des groupes p-adiques: l'objectif est d'aller au delà du cas GL(2,Q_p) traité par Colmez.
2) Les variétés de Shimura et les espaces de Rapoport-Zink en niveau infini: nous pensons que l'étude des espaces de Lubin-Tate en niveau infini devrait nous permettre tout d'abord d'obtenir une nouvelle démonstration du cas de GL(2,Q_p) de Colmez et, dans un deuxième temps, nous fournir de nouvelles pistes pour aborder le cas de GL(n).
3) Les familles p-adiques de formes modulaires: on voudrait d'un côté unifier les différentes constructions des variétés de Hecke et d'un autre s'attaquer aux cas des variétés de Shimura non PEL.
4) Le programme de Langlands global pour les corps de nombres: l'étude de la cohomologie cohérente devrait nous permettre d'explorer les relations entre les formes automorphes non cohomologiques et les représentations galoisiennes non régulières. Nous projetons aussi d'étudier la cohomologie complétée à l'aide du morphisme de période de Hodge-Tate et les stratifications de Harder-Narasimhan. Du côté automorphe nous comptons poursuivre notre programme sur les formes automorphes de niveau 1.
5) Théorèmes de comparaison pour la cohomologie cristalline et syntomique pour les espaces adiques.
L'école arithmétique française, depuis l'introduction du programme de Langlands jusqu'à ses derniers développements, a toujours été en pointe, que l'on pense par exemple aux preuves de la correspondance de Langlands locale par Laumon-Rapoport-Sthuler, Harris-Taylor et Henniart, aux correspondances globales pour les corps de fonctions par L. Lafforgue, aux preuves du lemme fondamental par Laumon-Ngô, Ngô et Chaudouard-Laumon, jusqu'à l'introduction du versant p-adique par Breuil et la preuve de Colmez pour GL(2,Q_p). Le but de ce projet est de perpétuer cette longue tradition de leadership en fournissant à notre groupe les moyens de développer des coopérations entre les membres du projet mais aussi avec des chercheurs étrangers, dans une thématique très prometteuse et certainement très concurrentielle.
Notre groupe est composé de chercheurs de renommée internationale, de mathématiciens prometteurs  en milieu de carrière et de jeunes brillants docteurs. Comme nous pensons que ces sujets sont amenés à se développer rapidement, l'aide financière apportée par l'ANR nous est nécessaire afin d'organiser régulièrement des groupes de travail, des mini-conférences bi-annuelles sur chaque site, une grande conférence de clôture, de voyager afin d'assister aux congrès sur le sujet, d'inviter des experts étrangers pour de courts séjours, d'attirer des post-doctorants (36 mois de bourse) et finalement de convaincre les meilleurs étudiants de faire leurs thèses dans nos universités.