Projet ANR-13-MONU-0003 – VLASIX : Vlasov-Poisson en Six Dimensions
Programme : Modèles Numériques (MN)
Année de financement : 2013
Coordinateur du projet : Monsieur Stéphane COLOMBI (Institut d'Astrophysique de Paris)
Partenaires : Institut d'Astrophysique de Paris; Institut Jean Lamour
Montant : 363168.0 euros
Date de début : 2013
Durée : 48 mois
Résumé : VLASIX: Vlasov-Poisson en 6 dimensionsDéveloppement de solveurs directs des équations de Vlasov-Poisson en différents nombres de dimensions, avec une attention particulière accordée au cas froid en 6D
Solveurs directs dans l'espace des phases: une amélioration par rapport aux méthodes N-corpsL'objet du projet VLASIX est de développer des solveurs des équations de Vlasov-Poisson en différents nombres de dimensions pour améliorer les résultats obtenus avec les simulations à N-corps. L'objectif principal est en fin de compte de résoudre les equations de Vlasov-Poisson dans l'espace des phases six-dimensionnel et dans le cas froid, i.e. dans le cas où la dispersion de vitesse initiale du fluide dans l'espace des phases est nulle ou très petite, comme attendu dans le modèle de concordance de formation des grandes structures de l'Univers. Cependant, nous nous intéressons aussi au cas chaud, qui peut s'appliquer à la dynamique des galaxies et à la physique des plasmas. Bien qu'elle se concentre principalement sur la dynamique gravitationnelle, notre approche est en effet multidisciplinaire.
Codes, méthodes, théorie et analyseLes méthodes numériques que nous développons peuvent être classées en quatre catégories:1) Des méthodes purement Eulériennes sur grille combinant des schémas «upwind« avec un raffinement adaptatif de maille (AMR)2) Des méthodes semi-Lagrangiennes utilisant une interpolation standard de splines ou une décomposition Galerkin discontinue avec la possibilité de raffinement adaptatif de maille3) Des méthodes purement Lagrangiennes s'appuyant sur la description dynamique des contours («waterbags«) et une tessellation adaptative4) Des méthodes hybrides, qui combinent par exemple des waterbags avec des schémas semi-LagrangiensEn plus de développer des codes, nous étudions les propriétés mathématiques et la convergence de différents schémas numériques, nous comparons les solveurs directs à la méthode N-corps traditionnelle et nous appliquons nos codes à des problèmes spécifiques pour lesquels des théories analytiques peuvent être testées. L'un des objectifs du projet est par exemple de confirmer et de comprendre les propriétés universelles des halos de matière noire.
Résumé de la soumission : Dans notre vision actuelle de la formation des structures cosmiques, les objets lumineux se forment dans les puits de potentiel de halos de matière noire, dont la dynamique est régie par les équations de Vlasov-Poisson. La connaissance de la structure fine des halos de matière noire est donc essentielle pour interpréter les résultats d'expériences observationnelles en astrophysique, qui incluent entre autres la mesure des courbes de rotation des galaxies spirales, les effets de lentille gravitationelle forts et faibles, les propriétés des amas de galaxies et la détection directe/indirecte de la matière noire elle-même, Usuellement, la dynamique de la matière noire est modélisée numériquement par une approche N-corps, qui n'est pas libre de défauts à cause de l'échantillonnage de la fonction de distribution dans l'espace des phases par un ensemble discret de particules.L'objectif principal de cette demande est, au lieu de se baser sur une approche orientée particules, de développer et d'utiliser un nouveau solveur semi-­-Lagrangien direct pour étudier la formation et l'évolution de halos de matière noire et de comparer les résultats à des simulations à N-­corps. Un des objectifs de ce projet est de confirmer les profils universels des halos de matière noire mesurés avec les simulations N-­corps et de les comprendre. Nous procèderons en deux étapes: dans un premier temps, nous nous restreindrons à la géométrie sphérique. Dans ce cadre, qui réduit l'espace des phases à 3 dimensions, nous serons à même de tester divers schémas semi-­-Lagrangiens pour se préparer au défi 6D proprement dit. Avec le code sphérique, nous conduirons deux projets spécifiques: nous tenterons de comprendre comment un état quasi-­-stationnaire se construit en fonction des conditions initiales et nous étudierons les effets de relaxation à N corps et de lissage de la force sur la dynamique. Dans un deuxième temps, nous déveloperons un code 6D semi-­-Lagrangien massivement parallèle. Nous comparerons les résultats obtenus avec ce code à des simulations à N corps, tant aux grandes échelles, en accordant une attention toute particulière à la fonction de masse des halos et au spectre de puissance des fluctuations de densité,  qu'aux petites échelles, en se concentrant sur la structure fine interne des halos de matière noire.
Résultats : Codes et méthodes:
1) Méthodes Eulériennes: nous avons maintenant à notre disposition un prototype de code AMR 6D parallèle à mémoire partagée utilisant un schéma de convection adaptatif d'ordre élevé. 
2)  Méthodes semi-Lagrangiennes: 
- nous avons développé VlaSolve, un code semi-Lagrangien en symétrie sphérique amélioré. 
- nous avons développé des schémas numeriques adaptatifs combinant un raffinement adaptatif de maillage par multi-ondelettes et des schémas Galerkin-discontinu pour résoudre les equations de Vlasov-Poisson en 2D dans l'espace des phases.
3) Méthodes purement Lagrangiennes: 
- nous avons développé VlaPoly, un solveur de Vlasov-Poisson en 1D utilisant la méthode du waterbag. 
- nous avons développé ColDICE, un code public Vlasov 6D massivement parallèle dans le cas froid utilisant une technique de tessellation adaptative. 
4) Méthodes hybrides: nous avons participé au développement de codes parallèles semi-Lagrangiens et utilisant le schéma Galerkin-discontinu pour des modèles réduits de type waterbag (waterbag gyrocinétique, waterbag-{Poisson, Maxwell, quasineutre}). 
Théorie et analyse:
- Nous avons conduit avec succès une comparaison détaillée du code VlaSolve à un code N-corps dans le cas de systèmes sphériques.
- Des simulations numériques, des études de stabilité du modèle waterbag-­gyrocinétique en géométrie cylindrique et l'application à l'étude de la turbulence plasma engendrée par des instabilités ITG ont été réalisées. 
-­ Une analyse mathématique du modèle de Vlasov-Dirac-­Benney a été conduite.
- Une dérivation et analyse mathématique du modèle waterbag-gyrocinétique-alpha à Lagrangien moyenné a été conduite.
- Une analyse numerique de schémas Galerkin discontinus pour le modèle waterbag-gyrocinétique a été réalisée.
Perspectives : Le code Vlasov 6D froid ColDICE est maintenant en cours d'exploitation sur la machine Occigen du CINES. Des comparaisons aux méthodes N-corps seront réalisées ainsi qu'une étude fine de la structure dans l'espace des phases des premiers halos de matière noire. 
Nous avons l'intention de développer un nouveau solveur hybride semi-lagrangien massivement parallèle pour le cas 6D tiède. 
Nous sommes en train d'étendre nos schémas Galerkin-discontinu semi-Lagrangiens adaptatifs au cas Vlasov-Maxwell relativiste 2D et l'extension des codes actuels est envisagée dans le cas 4D. 
Nous sommes en train d'étudier l'implémentation de schémas semi-Lagrangian d'ordre très élevé pour le cas Euler incompressible 3D sur un domain borné ainsi que Vlasov-Poisson 2D à 6D en se basant sur de nouvelles formulations Lagrangiennes.
Publications et brevets : Publications du projet VLASIX:
1) The Baryonic Self Similarity of Dark Matter, Alard C., 2014, ApJ, 788, 171
2) The Cauchy problem for the Vlasov-Dirac-Benney equation and related issues in fluid mechanics and semi-classical limits, Bardos C., Besse N., 2013, Kinetic and Related Models, 6, 893-917
3) Vlasov-Poisson in 1D: waterbags, Colombi S., Touma J., 2014, MNRAS, 441, 2414
4) Vlasov-Poisson in 1D for initially cold systems: post-collapse Lagrangian perturbation theory, Colombi S., 2015, MNRAS, 446, 2902
5)  Lagrangian averaged gyrokinetic-waterbag continuum, Besse N., 2016, Commun. Math. Sci. 14, 593
6) Vlasov versus N-body: the Hénon sphere, Colombi S., Sousbie T., Peirani S., Plum G., Suto Y., 2015, MNRAS 450, 3724 
7) Semi-Classical limit of an infinite dimensional system of nonlinear Schrödinger equations, Bardos C., Besse N., 2016, Bull. Inst. Math. Acad. Sin., 11, 43
8) Discontinuous Galerkin finite element methods for the gyrokinetic-waterbag equations, Besse N., IMA Journal of Numerical Analysis, accepté
Articles soumis:
1) A high-order scheme for six-dimensional convection simulations, Deriaz E., soumis à SIAM. 
2) ColDICE : a parallel Vlasov-Poisson solver using moving adaptive simplicial tesellation, Sousbie T., Colombi S., soumis à Journal of Computational Physics
3) Asymptotic and spectral analysis of the gyrokinetic-waterbag integro-differential operator in toroidal geometry, Besse N., Coulette D.
4) Numerical resolution of the global-eigenvalue problem for the gyrokinetic-waterbag model in toroidal geometry, Coulette D., Besse N.
5) Adaptive multiresolution semi-Lagrangian discontinuous Galerkin methods for the Vlasov equations, Besse N., Deriaz E., Madaule E., soumis à Journal of Computational Physics
6) On the spectral problem for the gyrokinetic-Vlasov equation in toroidal geometry, Besse N., Coulette D.