Projet ANR-08-JCJC-0114 – QuantumG&T : Topologie et géométrie des invariants quantiques
Programme : Jeunes chercheuses et jeunes chercheurs (JCJC) 2008
Année de financement : 2008
Coordinateur du projet : CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE - DELEGATION REGIONALE ALSACE (CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE - DELEGATION REGIONALE ALSACE)
Partenaires : Centre national de la recherche scientifique
Montant : 90000.0 euros
Date de début : 2009
Durée : 48 mois
Résumé : En 1989, Witten construisit (à un niveau de rigueur physique) une famille de TQFT basées sur un groupe de Lie quelconque G, comme intégrales de Feynman de l'action de Chern-Simons sur l'espace des connexions sur les G-fibrés principaux. Plus tard, Reshetikhin et Turaev donnèrent des constructions rigoureuses des invariants de noeuds et 3-variétés basées sur la théorie des groupes quantiques et ayant les mêmes propriétés que les invariants de Witten. Ensuite, Blanchet, Habegger, Masbaum et Vogel construisirent de façon rigoureuse une TQFT en utilisant les invariants de Reshetikhin-Turaev. Malheureusement, en passant de la définition heuristique de Witten à celle de Reshetikhin et Turaev, la géométrie et la topologie se perdent, et personne ne "comprend" vraiment les invariants quantiques du point de vue géométrico-topologique. Aujourd'hui, le défi principal pour la topologie quantique est certainement de clarifier ses relations avec les approches plus classiques à la topologie de petite dimension. Ce projet se propose de fédérer les plus jeunes chercheurs en topologie quantique autour de cette recherche, et de favoriser leur collaboration mutuelle. On étudiera les relations entre TQFT et géométrie qui, souvent, sont dévoilées par le comportement asymptotique des invariants, et entre TQFT et topologie classique qui, principalement, se révèlent dans les développements perturbatifs des invariants quantiques. Les participants à ce projet sont les cinq jeunes chercheurs en topologie quantique recrutés récemment par les institutions de recherche françaises. Ils travaillent sur trois centres différents (Grenoble, Jussieu et Strasbourg) mais sur des sujets strictement liés. Ce projet coordonnera leur activité de recherche et permettra de ne pas disperser leur expérience en topologie quantique. Ceci sera obtenu en fixant deux tâches principales. Chaque tâche sera composée d'objectifs définis de façon telle qu'au moins deux chercheurs y travailleront ensemble : 1) Étude des relations entre TQFT et géométrie. 2) Étude des relations entre TQFT et topologie classique. Le financement ANR sera utilisé pour 1) des missions et invitations d'experts internationaux, 2) l'organisation de 2 conférences internationales et de 4 rencontres périodiques de l'équipe, 3) une décharge de 96 heures d'enseignement par an à répartir entre les 4 enseignant-chercheurs de l'équipe. Tâche 1, étude des relations entre TQFT et géométrie : On se concentrera sur l'étude des relations entre géométrie et invariants quantiques (principalement pour U_q(sl_2) et pour les QHI) sur trois familles spécifiques de variétés à bord: a) Compléments de graphes trivalents dans S^3 (et plus spécifiquement, les graphes planaires). b) Cylindres d'applications. c) Compléments de noeuds fibrés et tordus. On formulera une version de la conjecture de développement asymptotique de Witten pour les invariants quantiques de type sl_2 des 3-variétés à bord colorié, et on l' étudiera pour les compléments des graphes trivalents dans la 3-sphère. Pour ce qui concerne les cylindres d'applications, on étudiera les différentes "quantifications" des espaces de Teichmüller et on les reliera à la géométrie, en se concentrant principalement sur la théorie des champs des QHI et sur l'algèbre skein de Kauffman. On cherchera une interprétation géométrique de l'algèbre skein de Kauffman d'une surface pour des valeurs génériques du paramètre de déformation. Pour les noeuds fibrés et tordus, on appliquera les informations obtenues par l'étude des cylindres d'application aux monodromies des fibres pour calculer le comportement asymptotique des invariants quantiques et les relier à la géométrie. Tâche 2, étude des relations entre TQFT et topologie classique : Les relations entre TQFT et topologie classique se révèlent principalement dans l'approche perturbative des invariants quantiques. Ainsi, nous voudrions clarifier les relations entre invariants quantiques perturbatifs et des notions plus classiques issues