Projet ANR-13-BS01-0003 – DYFICOLTI : DYnamique des Fluides, Couches Limites, Tourbillons et Interfaces
Programme : Blanc - SIMI 1 - Mathématiques et interactions (Blanc SIMI 1) 2013
Année de financement : 2013
Coordinateur du projet : Monsieur David LANNES (Institut de Mathématiques de bordeaux)
Partenaires : Département de Mathématiques et Applications de l'ENS; Divers public; Institut de Recherche Mathématique de Rennes; Institut Fourier
Montant : 199357.0 euros
Date de début : 2014
Durée : 48 mois
Résumé : Le projet s'organise autour de quatre aspects importants de la mécanique des fluides: les  surfaces  et interfaces libres, les couches limite, la dynamique des tourbillons et l'interaction fluide- structure. Les motivations mathématiques et physico-environnementales du projet sont en lien avec les activités du programme 2013, Mathématiques de la Terre  qui devrait aussi initier de nouvelles directions de recherche. Les quatres sujets sont étroitement connectés, à la fois parce qu'ils coexistent très souvent dans le même problème physique et parce que les outils mathématiques (comme l'analyse multi-échelle, les développements asymptotiques, la théorie de la stabilité) nécessaires  pour les analyser sont très similaires. Nos directions principales de recherche seront:
-Surfaces et interfaces libres. On va  s'intéresser à des situations singulières soit à cause d'un manque de régularité (déferlement de vagues, description des littorals,  influence de topographies rugueuses dans les modèles d'eau peu profonde)  soit à cause de la présence de petits paramètres (modèles bi-fluides avec des stratifications continues mais à variations rapides,  modèles multi-échelles qui décrivent le spectre d'énergie dans le déferlement de vagues,  fluides compressibles à surface libre et à petit nombre de Mach). On attend des améliorations dans la modélisation et la simulation numérique de ces phénomènes grâce à l'obtention de modèles asymptotiques plus précis. On prévoit aussi de développer des outils mathématiques  adaptés pour traiter ces situations singulières rigoureusement.
-Couches limite. On s'intéressera à la fois à la construction de développements couches-limite et à l'étude de leur stabilité. Pour le premier aspect, on étudiera la construction de couches limite dans des situations dégénérées, par exemple, en présence de bords rugueux  ou dans des situations où des couches limites de tailles différentes doivent être recollées (c'est crucial pour comprendre la circulation océanique). On étudiera aussi le caractère bien posé d'équations de type Prandtl venant de modèles d'océanographie. Pour le second aspect, on prévoit  de progresser dans la compréhension des instabilités de couches limite soit dans la situation classique de la limite non-visqueuse de l'équation de Navier-Stokes incompressible avec condition de Dirichlet en étudiant les effets destabilisants de la viscosité soit dans des situations légèrement régularisées  comme le cas de conditions de Navier critiques ou les équations de type  alpha-Euler
-Dynamique des tourbillons. On étudiera à la fois les fluides parfaits et les fluides visqueux en utilisant principalement l'équation du tourbillon. On s'intéressera à des domaines singuliers (flots autour d'obstacles rugueux) ou singulièrement perturbés (flots autour de petits obstacles). Dans le cas bi-dimensionnel, on analysera le comportement en temps long. Une autre importante direction de recherche sera l'étude des filaments de vorticité, la question à long terme étant la compréhension rigoureuse du mouvement des filaments de vorticité dans la limite non-visqueuse (le modèle asymptotique attendu est l'évolution par flot binormal).
-Interactions fluides-structure.  On prévoit d'abord d'arriver à une meilleure compréhension du comportement qualitatif des interactions fluide-structure sur les modèles les plus simples (fluides  incompressibles avec solides rigides). Des questions significatives qui seront étudiées sont l'unicité des solutions faibles en 2D pour les fluides visqueux et l'étude de la régularité des trajectoires des particules. Des limites singulières comme la limite non visqueuse, la limite  petites particules ou la limite de champs moyen seront aussi étudiées. Finalement, nous envisageons de progresser dans la compréhension de modèles plus complets prenant en compte par exemple des solide déformables ou des fluides compressibles.