Projet ANR-15-CE40-0001 – BEKAM : Au-delà de la théorie KAM
Programme : Défi de tous les savoirs (DS10) 2015
Année de financement : 2015
Coordinateur du projet : Monsieur Raphael KRIKORIAN (Analyse Géométrie et Modélisation)
Partenaires : Laboratoire public; Laboratoire public; Laboratoire public
Montant : 304449.0 euros
Date de début : 2015
Durée : 48 mois
Résumé : Le projet de recherche collaboratif ``Beyond KAM theory'' est un projet en Mathématiques. Son objectif est l'étude des systèmes dynamiques en dimensions finie et infinie et de leurs applications à l'étude des équations aux dérivées partielles et à la théorie spectrale. Plus précisément, nous nous intéresserons aux systèmes présentant des comportements quasi-périodiques en temps ou en espace. Un outil fondamental dans cette approche est la théorie KAM (pour Kolmogorov, Arnold, Moser) qui permet de démontrer, pour certaines perturbations de systèmes hamiltoniens intégrables, l'existence de tores invariants sur lesquels la dynamique de ces systèmes est quasi-périodiques. La théorie KAM est un outil puissant : son domaine d'application va de l'étude des systèmes dynamiques de dimension un (difféomorphismes du cercle) à celle des systèmes hamiltoniens de dimension infinie comme les équations aux dérivées partielles hamiltoniennes. L'application de la théorie KAM est cependant limitée par trois obstructions classiques : (a) elle ne s'applique généralement qu'à des perturbations de modèles simples ; (b) des phénomènes de petits diviseurs imposent des conditions de non-résonances quantitatives ; (c) l'existence de résonances et leur géométrie rend souvent nécessaires l'introduction de paramètres et d'hypothèses de non-dégénérescence sur la façon dont on contrôle ces paramètres. L'objectif central de notre projet est d'aller au-delà de ces obstructions toutes les fois que cela sera possible et pour différents types de systèmes. Les systèmes que nous considérerons seront les systèmes hamiltoniens de dimension finie, les difféomorphismes du cercle, du disque et du tore, les cocycles quasi-périodiques et les opérateurs de Schrödinger associés ainsi que les équations aux dérivées partielles hamiltoniennes.
Le financement de ce projet par l'Agence Nationale de Recherche, qui devrait durer 4 ans, permettra la collaboration de mathématiciens aux compétences complémentaires (systèmes dynamiques, petits diviseurs, théorie hamiltonienne, équations aux dérivées partielles, formes normales, cocycles) et qui utilisent dans leurs recherches la théorie KAM comme un outil fondamental. Les partenaires du projet sont  : (a) Partenaire Nantes, Lab. J. Leray, Univ.  Nantes : Benoît Grébert (responsable), Eric Paturel, Georgi Popov, Laurent Thomann; (b) Partenaire  Nice, Lab. J.A. Dieudonné, Univ. Nice Sophia Antipolis :   Philippe Bolle, Claire Chavaudret,  Laurent Stolovitch (responsable) ; (c) Partenaire  Paris,  Lab. de Prob. et Mod. Aléat., Univ.  Pierre et Marie Curie :   Artur Avila, Abed Bounemoura, Hakan Eliasson, Bassam Fayad, Jacques Féjoz, Sergei Kuksin, Raphaël Krikorian (coordinateur),  Laurent Niederman et Jean-Christophe Yoccoz.  L'excellence scientifique de ces experts qui partagent le même langage mathématique et le large spectre de leurs compétences devraient permettre l'émergence de résultats nouveaux et importants. Le financement permettra l'organisation d'une conférence internationale qui réunira les meilleurs experts au niveau mondial, de quatre rencontres annuelles où les membres du projet présenterons les résultats de leurs recherches et d'une école d'été ou d'hiver. Le financement permettra également des collaborations approfondies entre les membres du projet et, au travers d'invitations, avec d'autres experts mondiaux ; il permettra aux membres du projet de participer à des conférences et de cette manière de diffuser et d'approfondir leurs idées. Le support financier de missions pour les membres du projet ou leurs étudiants en thèse est un élément important du projet. Enfin, ce support nous permettra de recruter deux post-doctorants  et de les financer chacun pour un an.  L'aide financière demandée est de 305 keuros.