Projet ANR-14-CE25-0008 – SAT : Structures supérieures en Algèbre et Topologie
Programme : Défi de tous les savoirs (DS10) 2014
Année de financement : 2014
Coordinateur du projet : Bruno Vallette (Université Nice Sophia Antipolis)
Partenaires : Laboratoire public
Montant : 91936.0 euros
Date de début : 2014
Durée : 48 mois
Résumé : Ce project est un programme de recherche fondamentale en mathématiques, plus précisément en algèbre et en topologie. 
La théorie des catégories a montré qu'elle était un outil algébrique efficace pour formuler et pour organiser les résultats dans de nombreux domaines des mathématiques. De la même manière, la notion d'opérade, qui a émergé de l'étude des espaces de lacets itérés au début des années 70, joue maintenant un rôle structural important dans l'organisation des multiples opérations à plusieurs entrées mais une seule sortie qui agissent sur les divers objets in algèbre, géométrie, topologie et physique mathématique.
A la fin du siècle dernier, il est apparu clairement qu'il fallait introduire des notions algébriques supérieures pour pouvoir coder les structures supérieures apparaissant dans les problèmes mathématiques. Par exemple, la théorie de l'homotopie nous fournit des phénomènes naturels dont la description requiert des applications supérieures, c'est-à-dire une certaine notion de catégorie supérieure. De manière similaire, la notion algébrique d'opérade, déjà utilisée pour décrire les algèbres à homotopie près, s'est montré être une notion trop stricte, par exemple dans le domaine de la théorie de la déformation. 
Après une longue période de recherche en algèbre et en topologie, la théorie des structures supérieures a récemment donné naissance à des notions radicalement nouvelles et maniables, comme les infini-catégories, les algèbres à homotopie près et les opérades à homotopie près. Ces dernières ont permis de résoudre des problèmes ouverts comme des théorèmes de formalité (Kontsevich) ou l'hypothèse du cobordisme (Lurie), par exemple. 
Dans le but de fournir des définitions mathématiques des objets étudiés en théorie des champs en physique, plusieurs mathématiciens de renom ont introduit les notions de théories topologiques des champs, théories cohomologiques des champs et théories conformes des champs en utilisant les structures catégoriques ou opéradiques sur des objets géométriques : variétés à bord (Atiyah), espaces de modules de courbes avec points marqués (Kontsevich--Manin) et surfacse de Riemann avec trous holomorphes (Segal) respectivement. 
Ce projet consiste en des nouveaux développements des fondations de l'algèbre supérieure dans le but de résoudre des problèmes dans l'étude topologique des théories de champs.  
Il propose d'abord d'enrichir un cran plus en avant la théorie des structures supérieures avec de nouveaux modèles, comme des bonnes notions d'opérade symétrique à homotopie près et d'infini-coopérades. Ensuite, le but est d'appliquer ces nouvelles méthodes dans l'étude mathématique des théories de champs, comme les En-opérades, les algèbres de factorisation, les théories topologiques des champs, les théories cohomologiques des champs, les algèbres vertex et les théories conformes des champs. 
Ce project ANR JCJCJ regroupe une équipe de jeunes chercheurs, incluant des étudiants en thèse. Son but est de créer une nouvelle équipe de recherche transverse en algèbre et en topologie dans le sud de la France, où plusieurs des thèmes susmentionnés, comme les algèbres de factorisation et les théories étendues de champs, ne sont pas encore présentes.