Projet ANR-11-BS01-0020 – ModGroup : Actions et representations de groupes modulaires
Programme : Blanc - SIMI 1 - Mathématiques et interactions (Blanc SIMI 1) 2011
Année de financement : 2011
Coordinateur du projet : Monsieur Louis Funar (UNIVERSITE GRENOBLE I [Joseph Fourier])
Partenaires : Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche; Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck; Institut Fourier
Montant : 119995.0 euros
Durée : 42 mois
Résumé : La physique theorique a  eu depuis toujours une grande influence sur 
la recherche mathematique, en tant que source d'inspiration 
tout autant que recipient et utilisateur des nouvelles techniques
developpees par les mathematicien(ne)s.  
Le role primordial
joue par les mathematiques dans l'avenement de theories 
physiques avancees -- la theorie des cordes, par exemple -- est bien connu. 
Les theories quantiques de champs topologiques ont fait leur
apparition sur le devant de la scene mathematique 
par les travaux d'E.Witten a la fin des annees quatre-vingt. 
Auparavant M.Atiyah, N.Hitchin et 
S.Donaldson avaient considere les theories de Yang-Mills 
(le modele standard de la theorie des particules)
comme objets mathematiques dignes d'une etude approfondie, 
notamment en vue d'une autre  approche de la 
geometrie en dimension 4. Le succes de cette methode
a ete eclatant. 
Les resultats de Witten confortent en plus l'idee 
qu'on pourrait utiliser les techniques propres a  la theorie 
quantique pour obtenir de nouveaux  resultats en 
topologie de petite dimension.  
Dans une forme simplifiee le principe annonce par ces decouvertes 
nous dit une chose etonnante, que la 
topologie en dimension trois et quatre represente un chapitre 
de la physique, notamment  de la  theorie
quantique de champs. Toute une serie de resultats ont ensuite vu le jour, et de nouvelles directions de recherches se sont
developpees, formant ce qu'on appelle le monde quantique: les groupes
quantiques, les invariants quantiques etc.    
Les resultats obtenus par ces methodes sont extraordinaires 
surtout en dimension 4. La dimension 3 a \'et\'e le theatre d'autres 
developpements, notamment la geometrisation de Thurston et 
sa preuve complete par l'etude approfondie des flots de Ricci, d'apres 
Hamilton et Perelman. Les retomb\'ees des techniques quantiques 
ont ete plutot limitees dans cette dimension, en contraste 
avec ce qui s'est passe en theorie des noeuds ou en dimension 4. 
Des nouvelles directions ont emergees recemment autour de la 
conjecture du volume (enonc\'ee par Kashaev) qui stipule 
que le comportement asymptotique des invariants quantiques 
du compl\'ement d'un noeud hyperbolique 
d\'etermine son volume hyperbolique. 
Notre point de vue est de considerer l'approche quantique 
comme une m\'ethode nouvelle et puissante dans l'etude 
des actions et des representations  des groupes modulaires des 
surfaces. La pauvrete des representations 
lineaires interessantes du groupe modulaire est bien connue.   
L'etude des actions sur des espaces naturellement 
associes aux surfaces, comme les varietes de caracteres, 
ainsi que leurs quantifications, 
offre donc de nouvelles perspectives, o\`u se melangent 
geometrie et topologie avec la dynamique.