Projet ANR-13-BS01-0010 – ANAÉ : Analyse asymptotique des Equations aux dérivées partielles d'évolution
Programme : Blanc - SIMI 1 - Mathématiques et interactions (Blanc SIMI 1)
Année de financement : 2013
Coordinateur du projet : Monsieur Nicolas BURQ (Laboratoire de mathématiques d'Orsay)
Partenaires : Laboratoire de Mathématiques d'Orsay; Laboratoire de Mathématiques Jean Leray; Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications
Montant : 245000.0 euros
Date de début : 2014
Durée : 48 mois
Résumé : Analyse Asymptotique des équations d'évolutionLe but principal du projet est d'intégrer ensemble des idées venant à la fois des EDP, des systèmes dynamiques et des probabilités, et de les utiliser dans le contexte de l'étude des solutions d'EDP dans certains régimes asymptotiques :Temps longs,Existence, diffusionStabilités, instabilitésExplosion
EDP, DYNAMIQUE ET APPROCHES STATISTIQUESDurant les dernières décennies, l'interface entre deux domaines de recherche très actifs en mathématiques, les EDP non linéaireset les systèmes dynamiques de dimension infinie a connu une croissance rapide. En effet, les nombreuses avancées dans les équations aux dérivées partielles non linéaires permettent des perspectives qui semblaient être complètement hors de portée il y a quelques années et ouvrent la possibilité très excitante d'étudier les propriétés dynamiques profondes de solutions d'équations aux dérivées partielles. Le projet vise à rassembler un groupe de Françaischercheurs, de divers horizons, déjà impliqués dans l'étude des équations non linéaires aux dérivées partielles et les systèmes dynamiques, et à renforcer leur activité sur ces questionspar des interactions, non seulement parmi les participants à cette ANR, mais aussi avec la communauté au sens le plus large (et en particulier au niveau international).  D'importants progrès ont été réalisés sur l'étude des solutions d'évolution non linéaire exploitant la structure hamiltonienne. On peut citer la construction de solutions périodique ou quasi-périodiques, l'étude de solutions au problème de Cauchy sur des intervalles de temps longs, la découverte de nouvellesEDP ??intégrables, l'utilisation de l'aléatoire de révéler de nouveaux phénomènes surprenants. La plupart des progrès ont montré comment la fertilisation croisée des idées provenant de systèmes dynamiques, des équations aux dérivées partielles non linéaires (formes normales de Birkhoff, méthodes,microlocale et analyse semi-classique) et / ou un point de vue statistique peuvent être fructueuse. L'originalité duprésent projet consiste à mélanger ensemble des personnes ayant ces diverses expertises avec des spécialistes reconnus des équations aux dérivées partielles.
EDP, DYNAMIQUE ET APPROCHES STATISTIQUESComme présenté dans le titre de la proposition , les lignes directrices de notre projet sont l'étude de équations aux dérivées partielles  dans certains régimes asymptotiques. Les objectifs sont d'obtenir sur divers sujets des descriptions profondes du comportement dynamique des solutions ( ce qui signifie que dans certains cas, nous aurons dans une première étape à  prouver l'existence de ces solutions). L'originalité de notre projet est que nous avons l'intention de le faire en mélangeant ensemble des idées venant de différents domaines tels que les systèmes dynamiques (KAM , petits diviseurs et formes normales , par exemple) ou des probabilités , en étudiant certaines quantités statistiques plutôt que d'utiliser approche déterministe plus précise (mais moins facile )
Résumé de la soumission : Ces dernières années ont vu un développement très rapide et profond dans le domaine des équations aux dérivées partielles d'évolution (et tout particulièrement les équations dispersives). Ces avancées majeures permettent des perspectives qui auraient pu sembler complètement hors de portée il y a seulement quelques années et ouvrent la perspective très excitante de pouvoir étudier des propriétés dynamiques profondes des solutions des équations aux dérivées partielles. D'un  coté, les spécialistes des systèmes dynamiques on réussi à étendre les méthodes et les idées développées pour l'étude des systèmes de dimension finie au cadre des modèles de dimension infinie. Cette approche a conduit à des résultats spectaculaires sur le comportement en temps long de certaines solutions d'EDP, en particulier en dimension 1 d'espace. D'un autre coté, les outils développées dans le domaine des EDP  pourraient aussi permettre des avancées majeures si on les combinaient avec des propriétés dynamiques. Finallement, l'étude des EDP en présence d'aléatoire, un domaine dont les origines remontent aux idées de mécanique statistique a aussi vu récemment des développements spéctaculaires. L'objet de ce projet est de combiner ensemble des idées venant de ces différents points de vue, et de les appliquer à l'étude du comportement des solutions d'EDP dans certains régimes asymptotiques: -- Comportement en temps long-- Existence, Diffusion, -- Stabilités ou instabilités de solutions particulières-- Explosions.
Résultats : For Paris-Nord partyner: Depuis le début du contrat, Jean-Marc Delort a travaillé sur l'équation de Klein-Gordon semilinéaire modifiée à données petites et régulières. 
Hatem Zaag a poursuivi plusieurs travaux ayant trait aux problèmes d'explosion pour les équations des ondes ou de la chaleur. 
Pour le partenaire Nantes : 
Thomann a travaillé sur le scattering modifié pour l'équation de Schrodinger
Il a aussi développé avec Burq et Tzvetkov  une nouvelle approche pour construire des solutions  faibles probabilistes,à l'aide d'une mesure de Gibbs. 
 Grébert a développé la méthode KAM pour des équations dispersives 
Pour le partenaire Paris-Sud
En collaboration avec Sandrine Grellier,
P. Gérard a poursuivi l'étude de l'équation de Szeg\H{o} cubique.
Ils ont obtenu deux types de résultats :
- Construction d'une transformation spectrale inverse globale, prenant en compte
les phénomènes de multiplicité spectrale, 
- Application à la turbulence faible : construction de solutions à grandes
normes de Sobolev non bornées.
H. Xu a terminé sa thèse 
Sur certains systèmes hamiltoniens liés à l’équation de Szego cubique«, et
effectuée sous la direction de  P. GÉRARD
T. Alazard, N. Burq et C.Zuily ont développé l'approche semi-classique pour obtenir des estimées de dispersion pour l'équation des water-waves 
N. Burq et C.Zuily  se sont aussi intéressés à comprendre les effets de concentrations des fonctions propres du laplacien sur les tores (ou plus généralement des quasi-modes) afin d'obtenir de nouveaux résultats de stabilization 
N. Burq (avec R. Joly) a aussi obtenu de nouveaux résultats de stabilisation pour les ondes en domaine non bornés. 
N.Burq (avec G. Raugel et W. Schlag) s'est intéressé à la dynamique en temps grand de l'équation de Klein-Gordon non linéaire amortie. 
Alazard a obtenu de nouveaux résultats de contrôle pour l'équation des water-waves.
Perspectives : 1) L'équation de Szego cubique et la présence de turbulence faible : construction de solutions à grandes normes de Sobolev non bornées. Actualités scientifiques de l'INSMI. http://www.cnrs.fr/insmi/spip.php?article1177 (Gerard, Grellier)
2) Contrôle des water-waves (Alazard, Baldi, Han-Kwan)
3) Dynamique en temps grand de l'équation de Klein-Gordon non linéaire amortie (Burq, Raugel, Schlag)
Publications et brevets : 1. arXiv:1507.02307  N. Burq, D.Dos Santos, K. Krupchyk 
2. arXiv:1505.05981 N. Burq , G. Raugel , W. Schlag 
3. arXiv:1503.05513 N Burq , C. Zuily  
4. arXiv:1503.02058 N. Burq , C. Zuily  
5. arXiv:1412.7499N. Burq , L. Thomann  Nikolay Tzvetkov 
6. arXiv:1408.6054 N. Burq, Romain Joly 
7. arXiv:1506.08520 T. Alazard 
8. arXiv:1501.06366  T. Alazard, P. Baldi, Daniel Han-Kwan 
9. arXiv:1405.1934T. Alazard, P. Baldi 
10. arXiv:1509.03520 V.T. Nguyen, H. Zaag 
11. arXiv:1506.08306 S. Tayachi, H. Zaag 
12. arXiv:1506.07708 FM., N. Nouaili, H. Zaag 
13. arXiv:1410.4079 VT. Nguyen, H. Zaag 
14. arXiv:1406.5233 VT., H. Zaag 
15. arXiv:1509.06873 T. Oh, G. Richards, L. Thomann (IECL) 
16. arXiv:1509.02093  T. Oh, L. Thomann (IECL) 
17. arXiv:1505.01698 F. Hérau (LMJL), L. Thomann (LMJL) 
18. arXiv:1502.07699 B. Grébert (LMJL), E. Paturel (LMJL), L. Thomann (LMJL) 
19. arXiv:1502.05643 Pierre Germain (CIMS), Zaher Hani (GATECH), L. Thomann (LMJL) 
20. arXiv:1501.03760 P. Germain (CIMS), Z. Hani (GATECH), L. Thomann (LMJL) 
21. arXiv:1408.6213 . Hani (GATECH), L. Thomann (LMJL) 
22. arXiv:1403.4913 R. Imekraz (IMB), Didier Robert (LMJL), L. Thomann (LMJL) 
23. arXiv:1502.07699  B. Grébert (LMJL), E. Paturel (LMJL), L. Thomann (LMJL) 
24. arXiv:1508.06814 S. Grellier , Patrick Gerard  
25. arXiv:1402.1716 . Gerard , S. Grellier  
26. hal-00945805v1 JM. Delort.