Projet ANR-12-BS01-0012 – AARG : Analyse Asymptotique en Relativité Générale
Programme : Blanc - SIMI 1 - Mathématiques et interactions (Blanc SIMI 1) 2012
Année de financement : 2012
Coordinateur du projet : Monsieur Jean-Philippe NICOLAS (Laboratoire de Mathématiques de Bretagne Atlantique)
Partenaires : Institut Fourier; Laboratoire de Mathématiques de Bretagne Atlantique; Analyse, Géométrie et Modélisation
Montant : 218920.0 euros
Date de début : 2013
Durée : 48 mois
Résumé : L'objectif de ce projet est de développer l'analyse asymptotique en Relativité Générale dans 4 directions essentielles.
1.Scattering en géométrie non stationnaire; scattering conforme
La théorie du scattering est un outil précis d'analyse de comportements asymptotiques, donnant des informations comme vitesse asymptotique, décroissance de l'énergie locale, équivalence entre champ et profils asymptotiques. Elle a été développée à un degré considérable de raffinement grâce à l'analyse spectrale, mais n'est pas à l'heure actuelle adaptée à des cas non auto-adjoints ou non stationnaires. Nous voulons développer la théorie dans ces deux directions. D'une part étudier le paradoxe de Klein et la superradiance en métrique de Kerr (un phénomène par lequel les bosons peuvent extraire de l'énergie du trou noir) par des méthodes spectrales. D'autre part développer l'approche alternative du scattering par méthodes conformes. Elle a été appliquée avec succès dans des situations non stationnaires en topologie triviale, nous voulons étendre son cadre d'application pour autoriser la présence de trous noirs et donner un traitement différent de la superradiance.
2.Stabilité
Une question fondamentale en relativité est la stabilité des univers. C'est un problème extrèmement difficile et résolu pour l'instant seulement pour l'univers plat. On s'attend à ce que comme dans le cas plat, le comportement du système complet suive celui de l'équation linéarisée. La stabilité linéaire est donc un problème essentiel et aussi plus abordable, qui revient à étudier des EDP hyperboliques sur une géométrie fixée et à comprendre leurs propriétés de stabilité et décroissance. Nous étudierons la décroissance de champs sur des métriques de Kerr ou leur perturbations. Les cosmologies branaires, liées à la conjecture de la correspondance AdS/CFT seront également considérées en vue de développer des théories de scattering pour des équations non linéaires de la théorie quantique des champs sur des univers contenant des branes.
3.Champs quantiques
L'effet Hawking prédit l'émission d'une radiation thermale par l'effondrement d'une étoile; il est une sorte de théorème "no hair" quantique puisque la radiation thermale ne dépend que de la masse, la charge et le moment angulaire du trou noir final. La première description mathématiquement rigoureuse de cet effet a été obtenue récemment et seulement dans des situations idéalisées: seuls les champs libres sont considérés; les preuves utilisent la symétrie ou la structure détaillée des modèles simplifiés d'effondrement. Notre objectif est d'aller au delà de ces idéalisations en considérant des perturbations de la métrique, en tenant compte de l'intérieur du trou noir et, ce qui est encore plus ambitieux, en allant au delà des champs libres. L'importance de ces questions est claire aux vues de l'universalité attendue de l'effet Hawking. Lié à l'effet Hawking est l'effet Unruh, plus simple, selon lequel un détecteur uniformément accéléré en espace-temps plat voit une radiation thermale s'il est couplé à un champ quantique dans son état du vide. L'analyse rigoureuse du comportement des détecteurs couplés à des champs quantiques autour de trous noirs éternels ou en effondrement est un des objectifs de ce projet.
4.Scattering inverse
La théorie du  scattering et la distribution des résonances associées encode une partie de la géométrie de la métrique. Le programme du scattering inverse initié récemment vise à déterminer la quantité d'information géométrique que l'on peut récupérer à partir de la matrice de scattering ou des résonances pour un espace-temps de type trou noir. C'est une question physiquement naturelle ayant des applications directes à l'interprétation des mesures des détecteurs d'ondes gravitationnelles, surtout pour les résonances qui sont a priori les quantités mesurables. Nous considérerons le scattering inverse à énergie fixée et le problème des résonances inverses pour les trous noirs de De Sitter-Kerr-Newman.