Projet ANR-13-JS02-0007 – CombPhysMat2Tens : Physique combinatoire, des modèles de matrices aux modèles de tenseurs aléatoires
Programme : JCJC - SIMI 2 - Science informatique et applications (JCJC SIMI 2)
Année de financement : 2013
Coordinateur du projet : Monsieur Adrian TANASA (Laboratoire d'Informatique Paris Nord)
Partenaires : Laboratoire d'Informatique de Paris-Nord
Montant : 191690.0 euros
Date de début : 2014
Durée : 48 mois
Résumé : Généralisation en dimension supplémentaire de modèles de Physique CombinatoireLe but principal de ce projet est de généraliser en dimension supplémentaire les différents developments combinatoires de modèles (bidimensionneles) de matrices aléatoires
Propriétés combinatoires de modèles de tenseurs aléatoiresLes interactions entre la Combinatoire et la Physique Théorique ont considerablement augmenté dans les derniers ans. Dans ce projet, nous nous proposons de généraliser en dimension supérieure les modèles de matrices aléatoires, modèles étudiés largement à la fois par de combinatoristes et par de physiciens théoriciens. En parallèle, dans le cadre de ce projet, nous allons utiliser de techniques combinatoires pour aboutir à une meilleure comprehénsion de la conjecture jacobienne, conjecture celebre en mathématiques.
Méthodes de combinatoire (algébrique, bijective, énumerative) pour mieux comprendre des modèles de physique fondamentaleLes méthodes utilisés sont principalement combinatoires. Ainsi, nous utilisons de méthodes de combinatoire algébrique afin de donner de nouvelles preuves d'universalités de polynômes de graphes à ruban et de matroïdes (ou delta-matroïdes). De même, nous utilisons de méthode de combinatoire énumérative et analytique afin d'analyser des fonctions génératrices de certaines classes de cartes tri-dimensionnelles. Finalement, nous utilisons de méthode de combinatoire bijective afin d'aboutir à une meilleure comprehénsion des objects avec lesquelles on est aménés à travailler.
Résumé de la soumission : L'interaction entre la combinatoire et la physique théorique a considérablement augmenté au cours des dernières décennies. Ceci peut être justifié par le fait qu'une bonne connaissance de la combinatoire permet aux physiciens théoriques de proposer de meilleurs modèles, ou de mieux formuler des questions fondamentales en physique. Réciproquement, différents techniques de physique mathématique peuvent permettraient aux combinatoriciens de résoudre des problèmes ouvertes.       Notre proposition gravite autour de la notion combinatoire des graphes à ruban (ou cartes combinatoires, ou graphes plongés dans des surfaces) et leurs généralisations (les hypercartes ou les graphes tensoriels). Nous avons l'intention d'étudier ces objets intéressants par rapport au problème de la colorabilité en théorie des graphes, d'établir un lien entre la conjecture de Dixmier et les théories quantiques des champs basées sur ces types de graphes. Enfin, nous avons l'intention de généraliser les graphes à ruban en graphes tenseuriels et d'étudier leurs propriétés combinatoires.   Plus concrètement, une première tâche de notre proposition est donnée par l'étude du problème du numéro b-chromatique pour ces graphes plongés dans des surfaces. Ceci est une ligne de recherche complètement originale (pas seulement par rapport aux axes de recherche déjà existants au LIPN) ; plusieurs résultats intéressants peuvent être obtenus (par exemple, la dépendance de ce nombre b-chromatique du genre de la surface respective).      Une deuxième tâche de ce projet est représentée par l'analyse de la conjecture de Dixmier en utilisant comme outils la combinatoires des théories quantiques des champs non-commutatives (théories pour lesquelles les graphes de Feynman associé sont des graphes à ruban). Il faut rappeler ici que la conjecture de Dixmier (formulé en 1968) affirme que tout endomorphisme de l'algèbre de Weyl est un automorphisme.       Une dernière tâche pour ce projet est représentée par l'étude des diverses propriétés combinatoires des modèles des tenseurs aléatoires, généralisation naturelle des modèles de matrices aléatoires (connus pour être liées aussi aux graphes à ruban). Notre premier objectif a l'intérieur de cette ligne de recherche est un objectif de combinatoire algébrique. Ainsi, nous avons l'intention de définir une algèbre combinatoire de Connes-Kreimer décrivant la renormalisation des modèles tensoriels. Nous envisageons ensuite d'étudier un développement à grand N (N étant la taille du tenseur) pour une classe particulière de ces modèles de tenseurs. A plus long terme, nous avons l'intention de généraliser les techniques des intégrales de matrices aux techniques d'intégrales de tenseurs. Il faut souligner ici que cette étape extrêmement ambitieux dans notre programme pourrait conduire, en cas de succès, à des théorèmes de comptages en trois et en quatre dimensions pour les cartes combinatoires, tout comme les théorèmes de comptage pour les cartes à deux dimensions peuvent être obtenues par des techniques d'intégrales matricielles.        Une deuxième partie de cette thématique de recherche (la combinatoire des modèles de tenseurs aléatoires) est constitué par la généralisation en dimension trois des différents bijections existants entre cartes combinatoires et arbres étiquetés (Cori-Vauquelin-Schaeffer, Bouttier-Di Francesco-Guitter, Miermont etc.) Ces bijections sont en effet au coeur des définissions de la carte brownienne.        Ces objectifs représentent un prolongement des résultats de recherches antérieures obtenus par les différents membres de notre équipe de recherche. En cas de succès, ils vont apporter des réponses à des questions très difficiles que se posent dans la théorie des graphes, théorie des matroïdes, combinatoire algébrique ou dans combinatoire de différents modèles de théorie quantique des champs.
Résultats : «Asymptotic expansion of the multi-orientable random tensor model», E. Fusy, A. Tanasa, arXiv:1408.5725, Electronic journal of combinatorics 22(1) (2015), #P1.52.
Les modèles de tenseurs à 3 indices sont associés d'une manière canoniques aux cartes 3D. Dans ce papier, nous avons étudié en détail le terme général du développement asymptotique en N (N étant la taille du tenseur). Si à 2D ce développement est implémenté par le genre, à 3D le rôle du genre est joué par ce qu'on appelle le degré d'une carte 3D. Dans ce papier ont été établi quelles sont les configurations dominantes pour chaque degré ; de même, des fonctions génératrice pour différents classes de cartes 3D ont été obtenues et analysées.
«Analyticity results for the cumulants in a random matrix model», R. Gurau, T. Krajewski, arXiv:1409.1705, Annales IHP-D, Comb., Phys. Interactions 2 (2015) 169-228.
En général, les développements en graphes de Feynman de perturbations
d'intégrales gaussiennes donnent lieu, en physique théorique, à des séries
asymptotiques non convergentes, suite à la croissance rapide du nombre de graphes en fonction de leur taille. Dans ce travail, nous avons développé une intégrale matricielle sur les arbres plutôt que sur les cartes. Cela donne lieu à une série convergente, ce qui permet de montrer que les cumulants sont des fonctions analytiques de la perturbation et de contrôler le reste lors qu'on revient à l'expansion asymptotique sur les cartes.
Perspectives : Dans le reste du projet, nous prévoyons de continuer le travail sur les thématiques initialement prévues. Nous prévoyons, par exemple, d'étudier des questions liées à la limite continue et aux aspects de combinatoire probabiliste de modèles de tenseurs aléatoires. Cela pourrait se réaliser en collaboration avec de membres de l'équipe de combinatoire du LABRI, avec lesquels nous avons lié dernièrement plusieurs contacts scientifiques. De même, nous prévoyons d'aboutir à la publication d'un 1er papier sur une ré-écriture de la conjecture jacobienne.
Publications et brevets : [1] «Asymptotic expansion of the multi-orientable random tensor model», E. Fusy, A. Tanasa, arXiv:1408.5725, Electronic journal of combinatorics 22(1) (2015), #P1.52.
[2] «Analyticity results for the cumulants in a random matrix model», R. Gurau, T. Krajewski, arXiv:1409.1705, Annales IHP-D, Comb., Phys. Interactions 2 (2015) 169-228.
[3] «The double scaling limit of random tensor models», V. Bonzom, R. Gurau, J. Ryan, A. Tanasa, arXiv:1404.7517, J. High Energy Phys. 1409 (2014) 051.
[4] «An analysis of the intermediate field theory of T^4 tensor model», V. Nguyen, S. Dartois, B. Eynard, arXiv:1409.5751, J. High Energy Phys. 1501 (2015) 013.
[5] «A Givental-like Formula and Bilinear Identities for Tensor Models », S. Dartois, arXiv:1409.5621, J. High Energy Phys. (à paraitre)
[6] «Polchinski's equation for group field theory», T. Krajewski, R. Toriumi, Fortsch. Phys. 62 (2014) 855-862.
[7] «Correlation functions of just renormalizable tensorial group field theory: the melonic approximation», D. Samary, C. Pérez-Sánchez, F. Vignes-Tourneret, R. Wulkenhaar, arXiv:1411.7213 [hep-th], Class. Quant. Grav. (à paraître)
[8] «An extension of the Bollobas-Riordan polynomial for vertex partitioned ribbon graphs: definition and universality», T. Krajewski, I. Moffat, A. Tanasa, Proceeding EuroComb 2015 (à paraître).
[9] «The double scaling limit of the multi-orientable random tensor model», R. Gurau,  A. Tanasa, D. Youmans,  Europhys. Lett. 111 (2015) 2, 21002.