Projet ANR-11-BS01-0011 – AMATIS : Analyse Multifractale et Applications en Traitement d’Image et du Signal
Programme : Blanc - SIMI 1 - Mathématiques et interactions (Blanc SIMI 1) 2011
Année de financement : 2011
Coordinateur du projet : Monsieur Stéphane JAFFARD (UNIVERSITE PARIS-EST CRETEIL VAL DE MARNE)
Partenaires : Laboratoire public; Laboratoire public
Montant : 225000.0 euros
Date de début : 2012
Durée : 48 mois
Résumé : L'analyse multifractale a deux composantes : sur le plan théorique, il s'agit de caractériser des singularités ponctuelles et de déterminer leurs dimensions fractionnaires; les applications ont pour but la mise en évidence de propriétés d'invariance d'échelle, caractérisées par la fonction d'échelle, et utilisées en classification et sélection de modèles. Des arguments heuristiques (de type grandes déviations et thermodynamique statistique), développés par  Parisi et Frisch au milieu des années 80, ont permis de relier ces deux composantes par une transformée de  Legendre (formalisme multifractal). Ceci a conduit à une nouvelle approche de l'étude des singularités de fonctions et de mesures, et à des outils performants pour la classification et la sélection de modèles; elles ont permis de trancher une question importante concernant la modélisation de la turbulence. Bien que la validité de ce formalisme ait été vérifiée sur des classes de fonctions d'origines diverses, son degré de généralité reste un problème ouvert. Malgré le succès de ses applications, les interactions entre  développements théoriques et applications sont insuffisantes. Ainsi, l'utilisation en traitement d'images médicales est quasi-inexistante. Ceci est dû, en partie, au manque de coordination entre des contributions théoriques reposant sur une approche d'analyse fonctionnelle et de théorie géométrique de la mesure, et des applications dont le cadre naturel est stochastique et nécessitent une approche statistique. 
	Le projet AMATIS propose la construction d'un cadre cohérent et documenté qui s'appuie sur différentes approches théoriques  et fasse le lien avec les applications. On traitera des problèmes de nature théorique, et on réalisera un site web, des logiciels et la documentation correspondante. Ce projet combine les efforts de mathématiciens, physiciens et spécialistes de traitement du signal et de l'image. La diffusion au sein de champs scientifiques divers, et leurs interactions  auront aussi lieu grâce à l'école d'été et la conférence internationale. Les principales questions traitées sont les suivantes:
	De multiples variantes du formalisme sont disponibles (construites sur des moyennes Lp d'accroissements, oscillations, coefficients d'ondelettes, sup locaux). Leurs relations, et les domaines de validité, sont des questions fondamentales et ont un impact très fort sur les applications. Comment estimer la classe (ou l'espace) auquel appartiennent des données  mesurées ? Comment traiter les problèmes spécifiques posés par les frontières fractales, ou les singularités oscillantes, et trouver les formalismes adaptés ?  
Pour réconcilier les aspects théoriques (analyse fonctionnelle et théorie géométrique de la mesure) et pratiques (stochastique et statistique), on construira et étudiera des nouveaux  processus et séries temporelles à plusieurs variables, aux propriétés multifractales prescrites, et on introduira un cadre statistique satisfaisant pour résoudre les problèmes d'estimation, et de classification. Ce dernier point fournira des intervalles de confiance pour l'estimation de paramètres multifractals, et permettra de réaliser des tests entre plusieurs modèles multifractals en compétition, de tester  mono- contre multi-fractalité,  et de déterminer si des données doivent être modélisées par des fonctions continues ou des mesures, ce qui constitue un pré-requis crucial pour une utilisation correcte des outils d'analyse multifractale.  
 Pour encourager les transferts de technologie,  la dissémination des résultats  et les collaborations, on construira un site web ouvert et convivial, dédié à l'analyse multifractale,  ainsi que des logiciels pour la synthèse de processus de référence, et l'analyse de données expérimentales; il sera fortement documenté et illustré (exemples, contre-exemples, pièges), et conçu de façon évolutive, et avec l’objectif de perdurer et de continuer à se développer au delà de la fin du projet.