Projet ANR-10-BLAN-0115 – HAMOT : Hauteurs, Modularité, Transcendance
Programme : Sciences de l'information, de la matière et de l'ingénierie :  Mathématiques et interactions (Blanc SIMI 1) 2010
Année de financement : 2010
Coordinateur du projet : Monsieur Yuri BILU (UNIVERSITE BORDEAUX I)
Partenaires : Institut de Mathématiques de Bordeaux; Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche; Institut Fourier
Montant : 200000.0 euros
Date de début : 2011
Durée : 48 mois
Résumé : Plusieurs universités s'unissent dans ce projet pour s'attaquer à une famille de problèmes difficiles issus de la Géométrie Diophantienne et de la Théorie de la Transcendance. Le projet est divisé en quatre tâches : 1. les problèmes du type "Lehmer et Bogomolov", 2. "Transcendance en géométrie diophantienne", 3. "Conjecture de Zilber-Pink" et 4. "Modularité et transcendance".
1. La première tâche traite de problèmes de minorations de hauteurs de points et de sous-variétés de groupes algébriques commutatifs. Deux problèmes centraux seront traités, le problème de Lehmer, pour les points d'ordre infinis et les sous-variétés, et le problème de Bogomolov sur des sous-variétés propres. Des résultats très forts ont été obtenus dans cette direction, la conjecture originale de Bogomolov a été démontrée et la conjecture de Lehmer est aujourd'hui démontrée "à un epsilon près" pour les tores et les variétés abéliennes CM. On sait de plus donner des énoncés partiels de Lehmer lorsqu'on se place sur l'extension abélienne maximale rationnelle (Amoroso, Dvornicich, Zannier). Il reste encore d'immenses zones d'ombre. Que peut-on dire du spectre (ensemble des valeurs prises) de la hauteur sur une sous-variété ? Quels sont les paramètres dont dépendent les minorants ? Peut-on obtenir des énoncés en direction de Lehmer pour une variété abélienne non CM ou pour des variétés semi-abéliennes ? Comment peut-on exhiber un minorant non-trivial de la hauteur pour une famille de variétés abélienne? (problème de Lang-Silverman, toujours ouvert) ? Que se passe-t-il en caractéristique p ? 
2. On peut d'autre part se demander comment majorer la hauteur de points, question liée avec les problèmes plus généraux de "non-densité". Bien qu'on dispose aujourd'hui de plusieurs énoncés puissants de finitude (Siegel, Faltings, Vojta et autres) ce domaine reste une des parties les plus difficiles des mathématiques. Un vent de nouveauté a soufflé avec l'idée de Corvaja et Zannier d'utiliser le théorème du sous-espaces de Schimdt et Schlickewei aux problèmes de non-densité. Nous comptons avancer dans la direction de la conjecture de Levin : les points entiers d'une variété de dimension d avec d+2 diviseurs amples à l'infini ne sont pas Zariski-dense. Ceci est aussi lié à des problèmes de transcendance, avec comme exemple notable le travail de Adamczewski et Bugeaud sur la transcendance des nombres automatiques. Nous ferons aussi des efforts sur les aspects effectifs et numériques, utilisant par exemple des résultats de Baker et autres. Un problème qui retiendra particulièrement notre attention sera l'application de méthodes effectives de géométrie diophantienne aux courbes modulaires, dans l'esprit des récents travaux de Bilu et Parent. 
3. Un ensemble d'autres problèmes du type "bornes et non-densité" remonte à l'article fondateur de Bombieri, Masser et Zannier sur l'intersection de courbes sur un groupe multiplicatif avec des sous-groupes algébriques, article qui donna par la suite naissance à la conjecture de Zilber-Pink : une sous-variété X d'une variété algébrique A qui est un groupe voit ses intersections avec des sous-groupes propres de A non Zariski-dense (hormis pour les exceptions triviales). Nous comptons étudier plusieurs cas de cette vaste et difficile conjecture.
4. Finalement, nous allons consacrer du temps à l'étude des nouveaux liens profonds entre la théorie des formes modulaires et de la transcendance. L'idée serait de développer en même temps la théorie générale de l'indépendance algébrique et la théorie des formes modulaires et fonctions hypergéométriques avec en vue des questions d'indépendance algébrique. Les méthodes seront probablement liées à celles de la Tâche 2.