Projet ANR-12-BS01-0002 – REGULATEURS : Régulateurs et formules explicites
Programme : Blanc - SIMI 1 - Mathématiques et interactions (Blanc SIMI 1)
Année de financement : 2012
Coordinateur du projet : Monsieur Vincent MAILLOT (Institut de Mathematiques de Jussieu)
Partenaires : Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche; Unité de Mathématiques Pures et Appliquées
Montant : 235000.0 euros
Date de début : 2012
Durée : 48 mois
Résumé : Régulateurs et formules explicitesLe projet «Régulateurs et formules explicites« rassemble un groupe de mathématiciens s’intéressant à différents aspects de l'application régulateur : questions analytiques, problèmes motiviques et K-théoriques, formules explicites et lois de réciprocité, liens avec les fonctions L, interprétation géométrique via la théorie d'Arakelov.
Enjeux et objectifsLe but de ce projet est d'établir de nouveaux liens entre les différents domaines des mathématiques représentés par ses membres,  en espérant obtenir ainsi par ricochet une compréhension plus profonde de l'application régulateur. Cela semble d'autant plus raisonnable que chacun des membres du projet travaille sur des thématiques reliées au régulateur, mais a chaque fois d'un point de vue qui lui est propre.
Méthodes et approchesNous nous intéresserons aux questions suivantes : 1> La théorie d'Arakelov peut-elle jouer le rôle d'interface entre la cohomologie motivique et celle de Deligne-Beilinson ? 2> Les travaux de Suslin et Voevodsky sur la cohomologie motivique et leurs généralisations par Ayoub, Cisinski et Déglise peuvent-ils être mis en relation avec la description conjecturale de certains morceaux de la K-théorie des corps par les groupes de Bloch associés aux conjectures de Zagier ? 3> Les éléments construits par H. Darmon et P. Charollois peuvent-ils trouver une interprétation en théorie d'Arakelov ? 4> La nouvelle approche introduite par Suslin et Voevodsky pour construire la cohomologie motivique est-elle pertinente pour étudier la question fondamentale de la Z-finitude des groupes de cohomologie motivique ? La théorie d'Arakelov a-t'elle un rôle à jouer dans cette problématique ?
Résumé de la soumission : Le projet "Régulateurs et formules explicites " rassembleun groupe de mathématiciens s’intéressant à différents aspects de l'applicationrégulateur : questions analytiques, problèmes motiviques et K-théoriques, formules explicites et lois de réciprocité, liens avec les fonctions L,interprétation géométrique via la théorie d'Arakelov.Les thèmes principaux du projet sont : - La cohomologie motivique- La théorie d'Arakelov et les formules explicites- Les fonctions L des corps de nombres et des courbes elliptiques. Les polylogarithmes.
Résultats : Au final, nous cherchons à résoudre les problèmes suivants : 
5> Donner une nouvelle approche, complètement géométrique, aux formules du type Singular moduli // Gross-Zagier // Gross-Kudla, etc en utilisant la théorie d'Arakelov et la géométrie spectrale. 
6> Comprendre mieux, grâce à la théorie d'Arakelov, les constructions des points de Stark-Heegner et de certaines unités supérieures données par H. Darmon et ses collaborateurs. 
7> Reformuler complètement les conjectures de Bloch-Kato sur les valeurs spéciales des fonctions L dans le cadre moderne de la théorie des motifs de Voevodsky.
Perspectives : Voir ci-dessus
Publications et brevets : ...