Projet ANR-15-CE23-0021 – BECOSE : Au delà de l'échantillonnage compressé : algorithmes d'approximation parcimonieuse pour les problèmes inverses mal conditionnés
Programme : Fondements du numérique (DS0704) 2015
Année de financement : 2015
Coordinateur du projet : Monsieur Charles SOUSSEN (Centre de Recherche en Automatique de Nancy)
Montant : 490462.0 euros
Date de début : 2015
Durée : 48 mois
Résumé : Au cours de la dernière décennie, la communauté du traitement du signal et des images a connu un intérêt immense pour le concept de représentation parcimonieuse. L'une des principales raisons est l'émergence de l'échantillonnage compressif (compressive sensing), un nouveau paradigme défiant les limites théoriques établies soixante ans plus tôt par Shannon. De nombreux chercheurs se sont intéressés à la prise en compte de la parcimonie pour résoudre des problèmes inverses relativement bien conditionnés. C'est le cas de l'échantillonnage compressif où les mesures sont indépendantes et aléatoires. Dans de nombreuses applications, le dictionnaire reliant les observations au signal inconnu est déterministe et mal conditionné. Les algorithmes les plus classiques ne donnent alors pas satisfaction, ni les outils d'analyse théorique. Le projet BECOSE propose d'étendre le spectre des techniques parcimonieuses bien au delà du contexte des dictionnaires aléatoires et bien conditionnés. Trois types de résultats sont attendus.
1. Conception de nouveaux algorithmes
Les problèmes inverses exploitant la nature parcimonieuse de la solution conduisent à traiter le problème de la minimisation L0. Ce problème étant NP-complet dans la plupart des situations, de nombreuses méthodes de résolution sous-optimales ont été proposées. La conception de nouveaux algorithmes pour les problèmes inverses mal conditionnés reposera sur des formulations non convexes avec des dictionnaires discrets ou continus. La littérature récente souligne en effet la pertinence de l'approche non-convexe pour des problèmes inverses difficiles et le potentiel des algorithmes reposant sur des dictionnaires continus. Proposer des algorithmes à la fois efficaces et rapides reste un enjeu important pour les problèmes de grande dimension.
2. Analyse théorique des algorithmes.
L'analyse théorique vise à caractériser la performance des algorithmes heuristiques de reconstruction parcimonieuse. Les conditions au pire cas sont connues pour être pessimistes car elles reflètent mal le comportement moyen des algorithmes. Néanmoins, des conditions nécessaires et suffisantes ne sont pas encore disponibles pour un certain nombre d'algorithmes de minimisation L0. Nous nous intéresserons aux algorithmes gloutons bidirectionnels (forward-backward) qui sont très bien adaptés aux problèmes mal conditionnés. Ils conduiront vraisemblablement à des garanties de bonne reconstruction largement plus intéressantes que les algorithmes de minimisation L0 plus simples. Nous proposons ensuite de mener une analyse en moyenne des algorithmes gloutons pour les dictionnaires déterministes, qui reste un problème ouvert majeur.  
3. Cadre applicatif.
Les algorithmes proposés seront appliqués à la PIV tomographique (Particle Image Velocimetry), une technique de mécanique des fluides en pleine expansion dont l'impact sera crucial dans différents secteurs industriels comme l'environnement et les industries automobile et aéronautique. Cette technique a pour but de déterminer le déplacement 3D de particules ensemencées dans un fluide à partir de l'acquisition d'un nombre limité d'images caméra 2D. Ce problème inverse met en jeu des données de grande dimension. En effet, une séquence temporelle de volumes 3D hautement résolus doit être reconstruite. Les méthodes actuelles de reconstruction 3D et de suivi de fluide sont restreintes à de petits volumes ce qui constitue, avec les limites de précision et de résolution, les principaux verrous à lever. L'approche parcimonieuse est la clé pour aborder les problèmes de plus grande dimension. Les solutions proposées seront validées grâce à des simulateurs réalistes et des données réelles expérimentales.