Projet ANR-07-BLAN-0250 – Equa-disp : Equations aux dérivées partielles dispersives
Programme : Blanc (BLANC) 2007
Année de financement : 2007
Coordinateur du projet : CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE - DELEGATION REGIONALE ILE-DE-FRANCE SECTEUR SUD (CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE - DELEGATION REGIONALE ILE-DE-FRANCE SECTEUR SUD)
Partenaires : Centre national de la recherche scientifique; École normale supérieure de Cachan; Université Nice - Sophia-Antipolis; Université Paris 13 - Paris Nord
Montant : 220000.0 euros
Date de début : 2007
Durée : 36 mois
Résumé : Le sujet central de notre projet est l'étude des propriétés des solutions des équations -  aux dérivées partielles dispersives. Cette catégorie représente un grand nombre -  d'EDP. Les exemples les plus connus sont les équations des ondes, de Schrödinger, -  de Korteweg-deVries, ou de Benjamin-Ono. Toutes ces équations ont en commun la -  particularité de disperser les ondes. Dans les années 80, avec les travaux de -  Ginibre-Velo, Bourgain, Kapitanski, Kato (et d'autres), la mise en évidence de ce type -  de propriétés, qui peut être vu (modulo une moyennisation en temps) comme un gain -  de régularité, s'est avérée cruciale pour la résolution de ces équations. Alors que les -  études autour de ce type d'équations se sont considérablement développées, de -  nombreux progrès restent à faire : notre projet peut être divisé en quatre volets. Il est -  cependant clair que cette division est un peu arbitraire dans la mesure ou ces quatre -  thèmes sont reliés les uns aux autres et où tout progrès dans l'un peut avoir des -  répercutions sur un autre thème. -  A: Les EDP d'ondes longues dispersives (telles que KdV, Benjamin-Ono, KP,...) sont -  des modèles universels pour décrire la dynamique en temps grand de divers -  phénomènes compliqués de propagation d'ondes, dans un régime d'ondes longues -  faiblement non lineaires. Par example, ce sont des modèles pour les ondes (de -  surface ou internes) dans l'eau), les ondes de plasma, les ondes dans les matériaux -  ferro-magnétiques, etc... Elles apparaissent aussi comme la limite des ondes -  longues (trans-sonique dans le cas de l'équation de Gross Pitaevskii) de l'équation de -  Schrödinger non linéaire. Un point important est la justification rigoureuse des -  modèles. Un autre point fondamental est la comparaison (via des méthodes BKW) -  entre les solutions du système original (après un changement d'échelle approprié) et -  les solutions du système modèle, avec des estimations d'erreur correctes. Une autre -  question importante aussi bien pour la modélisation que pour des considérations -  théoriques est celle de le théorie du contrôle pour ces modèles de longues ondes. -  Malgré les avancées récentes, de nombreuses questions restent ouvertes. -  Finalement, mentionnons que toutes ces questions ne peuvent ignorer les simulations -  numériques qui souvent restent le guide unique pour obtenir des renseignements sur -  la dynamique. -  B: L'influence de la géométrie du milieu où l'onde se propage est encore très mal -  comprise, en particulier pour les équations de type Schrödinger pour lesquelles la -  vitesse de propagation devient infinie (et donc pour lesquelles, la géométrie globale du -  milieu intervient instantanément) . Les géométries pour lesquelles on dispose de -  résultats (relativement) satisfaisants sont très particulières: les tores (travaux de -  Bourgain) ou les sphères essentiellement. L'étude des problèmes aux limites pour -  ces équations est aussi a peine défrichée: même pour l'équations des ondes, les -  résultats dont on dispose sont encore très partiels. Enfin, l'étude des équations -  semi-linéaires en présence de non linéarités sur critiques restent un vaste chantier a -  peine défriché. -  -  C: Le lien équations aux dérivées partielles/probabilités est clairement un domaine -  très important. D'une part la compréhension de l'influence de forces de type bruit -  stochastique sur le comportement des solutions reste incomplète, d'autre part, on -  peut espérer (au vu de certains résultats préliminaires) qu'une approche probabiliste -  de certaines questions d'EDP permettrait d'améliorer les résultats connus a ce jour. -  En effet, dans certains cas, les obstructions à la résolubilité sont bien connues et -  semblent être des événement rares qui pourraient être traitées par une approche -  probabiliste -  -  D: En relativité générale, on connaît par exemple des solutions particulières -  (métrique de Minkowski, de Schwarszchild, de Kerr). Néanmoins, à l'e