Projet ANR-06-BLAN-0154 – GeomEinstein : Géométrie des variétés d'Einstein non compactes ou singulières
Programme : Programme blanc (BLANC) 2006
Année de financement : 2006
Coordinateur du projet : CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE - DELEGATION REGIONALE LANGUEDOC-ROUSSILLON (CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE - DELEGATION REGIONALE LANGUEDOC-ROUSSILLON)
Partenaires : Centre national de la recherche scientifique; Centre national de la recherche scientifique; Université de Nantes
Montant : 180000.0 euros
Date de début : 2006
Durée : 36 mois
Résumé : L'objectif du projet est d'étudier les métriques d'Einstein sur les variétés non-compactes ou singulières, ou des conditions reliées, et leurs applications, motivées entre autres par des considérations de physique mathématique. Le projet se décline selon trois axes très liés : variétés asymptotiquement symétriques, variétés d'Einstein singulières et variétés Ricci plates complètes.  Les variétés d'Einstein asymptotiquement symétriques, dont un grand nombre a été mis en évidence ces dernières années, jouent un rôle important dans l'étude des géométries dites paraboliques (géométries conforme, CR, de contact quaternionien, et plus généralement toutes les géométries modelées sur une orbite du bord à l'infini d'un espace symétrique de type non-compact), mais aussi en physique (correspondances AdS ou dS/CFT ou relativité générale). On s'attachera à étudier les problèmes d'existence et d'unicité (locales, globales, au voisinage du bord ou non) des métriques d'Einstein ou vérifiant d'autres conditions de courbure (auto-duales, Bach-plates, ...) en fonction de la nature du bord (en particulier CR, quaternion-contact ou ceux issus d'espaces symétriques de rang supérieur), leurs invariants géométriques naturels, et à comprendre en quoi elles permettent de construire des invariants des géométries paraboliques situées à l'infini. Ce sujet, qui fait l'objet d'une intense activité dans le cas asymptotiquement hyperbolique réel, est beaucoup moins développé dans le cas complexe et reste largement inexploré dans le cas des autres espaces symétriques. Parmi les conditions de courbure reliées à la courbure de Ricci, le tenseur de Bach (en dimension 4) semble être un objet particulièrement intéressant ; nous souhaitons donc l'étudier plus en profondeur afin de mieux comprendre les applications possibles. Enfin, les techniques développées dans ce cadre riemannien semblent aussi avoir des applications en géométrie lorentzienne, par exemple en fournissant de nouveaux exemples de solutions des équations d'Einstein du vide à constante cosmologique négative.  L'étude des métriques d'Einstein sur les variétés singulières est profondément reliée aux considérations précédentes. Le premier pont entre les deux thématiques est bien sûr la proximité des techniques analytiques nécessaires (EDP singulières). Un deuxième point de contact est issu des motivations physiques, et plus précisément de la gravitation quantique, où interviennent naturellement des variétés d'Einstein (lorentziennes ou riemanniennes) à la fois singulières le long de sous-espaces de codimension 2 et possédant un bord conforme à l'infini (dans le futur et le passé dans le cas lorentzien). Une autre ambition de ce projet est donc d'étudier systématiquement les aspects géomériques de ces théories. En dimension 3, une motivation supplémentaire est apportée par l'identité entre métriques d'Einstein et métriques à courbure constante. Une stratégie développée pour réaliser le programme de géométrisation de Thurston repose sur les variétés hyperboliques à singularités coniques le long de courbes. Nous souhaitons essayer d'une part de généraliser certains résultats de la dimension 3 au cas des métriques riemanniennes d'Einstein sur des variétés de dimension supérieure avec singularités de codimension 2, et d'autre part développer l'étude du cas lorentzien.   Enfin, de nombreuses métriques Ricci-plates (donc Einstein) intervenant dans certaines prédictions issues de la physique théorique, en particulier les variétés hyperkähleriennes ou à holonomies exceptionnelles. Un autre aspect du projet est donc d'étudier la géométrie à l'infini de ces variétés. On pourra ensuite essayer d'interpréter la cohomologie L² de ces variétés (conjectures de Sen ou de Vafa-Witten), ou bien de démontrer des théorèmes de rigidité de telles métriques, par exemple dans l'esprit des théorèmes d'unicité de métriques autoduales Einstein de Kronheimer en dimension 4.  Sur tous ces sujets, des collaborations seront engagées ou