Projet ANR-12-IS01-0001 – RMTQIT : Techniques de matrices aléatoires en théorie quantique de l’information
Programme : Blanc International II - SIMI 1 - Mathématiques & Interactions (Blanc Inter II - SIMI 1) 2012
Année de financement : 2012
Coordinateur du projet : Monsieur Ion NECHITA (Laboratoire de Physique Théorique, Université Toulouse 3)
Partenaires : Laboratoire de Physique Théorique; Universitatea Politehnica Timi<U+0219>oara
Montant : 111800.0 euros
Date de début : 2013
Durée : 36 mois
Résumé : La théorie quantique de l’information (TQI) est l’un des domaines de recherche les plus dynamiques que la science a vu naitre dans les dernières décennies. La TQI se trouve à l’intersection de plusieurs branches des mathématiques et de la physique, comme la Mécanique Quantique, la Théorie des Operateurs, et la Théorie des Probabilités. 
La Théorie des Matrices Aléatoires est l’un des domaines les plus intéressants de la théorie des probabilités. Il a été démontré récemment que des idées et des techniques de matrices aléatoires peuvent être appliques a des problèmes clés en TQI. 
Notre projet se donne comme objectif l’exploration systématique des questions théoriques de la TQI en utilisant des outils développés par la communauté mathématique et physique travaillant avec des matrices aléatoires. 
Le but principal de notre projet sur trois ans est de trouver des réponses théoriques à un certain nombre de problèmes en TQI concernant les canaux et les états quantiques aléatoires. De tels problèmes ont apparu récemment au cœur des questions fondamentales en TQI, comme la théorie de l’intrication quantique ou le calcul des différentes capacités (classiques ou quantiques) des canaux quantiques. Ces questions sont considérées par la communauté comme très difficiles et des réponses analytiques sont impossibles à obtenir, même pour des dimensions très petites. Les scientifiques se sont alors tournes vers les canaux et les états « typiques », c’est à dire aléatoires. Ces modèles se sont avérés très riches et ils ont été l’ingrédient principal pour un très grand nombre de résultats spectaculaires, comme la non-additivité de la capacité de Holevo pour les canaux quantiques ou des seuils pour l’intrication des états quantiques mélangés. Donc, des techniques de matrices aléatoires peuvent être considérées désormais comme des outils naturels pour attaquer des problèmes en TQI. 
Un autre exemple où les matrices aléatoires sont très utiles est la question de l’additivité de l’entropie minimal de sortie d’un canal quantique. Il a été démontré que cette question est équivalente à la caractérisation de l’ensemble des valeurs singulières des applications linéaires dans un sous-ensemble aléatoire des matrices rectangulaires. La solution de Hastings de cette conjecture d’additivité, dans le négatif, ne donne pas une réponse satisfaisante à un certain nombre de questions supplémentaires, comme la taille de la violation d’additivité, ou les dimensions minimales des systèmes quantiques ou ce phénomène de non-additivité peut se produire. Dans ce projet, nous tacherons d’apporter des réponses plus exactes à toutes ces questions, en essayant de donner une image plus claire, plus géométrique de ces phénomènes. Les matrices aléatoires joueront en rôle clé dans notre démarche, car toutes ces questions seront formulées dans ce langage très commode. 
Un autre problème qui nous intéresse est de trouver l’image d’un ensemble (fini) d’états par un canal quantique donne. Il existe des méthodes standard de matrices aléatoires pour résoudre ce type de question, et nous tacherons de les appliquer dans notre cadre précis. En particulier, l’un de nos objectifs sera de trouver des exemples d’états des systèmes physiques multi-parties ayant des propriétés d’intrication intéressantes pour le problème d’additivité. Il existe dans la littérature des familles d’états généralisant les états maximalement intriques (dits des états de Bell) et nous allons étudier ces états avec des outils de matrices aléatoires. 
En conclusion, notre approche sera d’étudier des problèmes importants en TQI a l’aide des outils provenant de la théorie des matrices aléatoires. C’est un projet ambitieux, demandant des compétences mathématiques diverses, des compétences que notre équipe possède dans son ensemble.