Projet ANR-13-BS02-0003 – DynA3S : Dynamique des algorithmes du pgcd : une approche Algorithmique, Analytique, Arithmétique et Symbolique
Programme : Blanc - SIMI 2 - Science informatique et applications (Blanc SIMI 2)
Année de financement : 2013
Coordinateur du projet : Madame Valérie BERTHE (Laboratoire d'Informatique Algorithmique : Fondements et Applications)
Partenaires : Groupe de Recherche en Informatique, Image, Automatique et Instrumentation de Caen; Institut de Recherche en Informatique Fondamentale
Montant : 264815.0 euros
Date de début : 2013
Durée : 48 mois
Résumé : Dynamique des algorithmes du pgcd : une approche Algorithmique, Analytique, Arithmétique et SymboliqueLe but de ce projet est d'étudier des algorithmes de calcul de pgcd (plus grand commun diviseur) du point de vue des systèmes dynamiques. On considère un algorithme de pgcd comme un système dynamique discret en se concentrant sur les entrées entières. Nous sommes en premier lieu intéressés par le problème du calcul du pgcd de plusieurs entiers, mais une motivation supplémentaire provient également de la géométrie discrète.
Algorithmes  dynamiques du pgcdLe calcul du pgcd est l'une des opérations les plus basiques  en théorie algorithmique des nombres. Si le calcul rapide du pgcd de deux entiers a été très largement étudié, la situation est plus contrastée concernant   le fait d'avoir au moins  3 entrées. Les systèmes dynamiques ont désormais prouvé leur pertinence en  informatique, à la fois pour leur capacité de modélisation, et pour leur efficacité dans l'analyse d'algorithmes arithmétiques,  typiquement,  pour les algorithmes euclidiens. En effet, trouver  une description d'un algorithme en termes de système dynamique permet une compréhension profonde du comportement probabiliste de ses paramètres, comme l'illustre l'algorithme d'Euclide (le père de  tous les algorithmes selon Knuth) associé à la transformation de Gauss des fractions continues. Nous avons deux objectifs principaux.Premièrement, nous menons une étude extensive des algorithmes de pgcd qui sont décrits par un système dynamique. Nous prévoyons de construire des algorithmes efficaces de pgcd, de mener une analyse systématique (pire cas, analyse en moyenne et en distributions), et de comparer les performances de ces algorithmes selon un point de vue transverse qui combine une approche algorithmique, analytique, arithmétique et symbolique. Deuxièmement, nous appliquons ces algorithmes en géométrie discrète pour l'étude des droites discrètes et des plans discrets, ce qui amène un point de vue supplémentaire concernant les comparaisons entre ces algorithmes.Nous allons considérer tout particulièrement deux types d'algorithmes de pgcd, tous deux étant associés à des homographies par morceaux. La première famille est produite par des algorithmes de réduction dans les réseaux qui calculent des vecteurs courts, alors que la seconde famille rassemble des algorithmes de fractions continues multidimensionnels qui calculent de bonnes approximations rationnelles (comme l'algorithme de Jacobi-Perron).
Une approche algorithmique, analytique, arithmétique et symboliqueNous allons comparer de façon systématique les algorithmes  du pgcd et décrire leur paramètres principaux quand les entrées sont soit réelles (trajectoires génériques) ou entières (trajectoires tronquées). Nous menons cette étude simultanément selon deux points de vue, un point de vue discret, correspondant aux entrées rationnelles, et un point de vue continu, correspondant aux entrées réelles. Cela produit deux cadres dynamiques considérés pour eux-mêmes, mais aussi en interaction, selon la méthodologie de l'analyse dynamique qui combine des outils qui proviennent de la théorie ergodique et de la dynamique symbolique avec des outils de la combinatoire analytique et des outils algorithmiques. Elle se décompose en 3 étapes principales. Premièrement, l'algorithme discret est étendu en un système dynamique continu, dont les exécutions sont décrites par des trajectoires particulières (les trajectoires des points rationnels). Deuxièmement, les paramètres principaux de l'algorithme sont étendus et étudiés dans ce contexte continu : l'étude des trajectoires particulières est remplacée par l'étude des trajectoires génériques. Enfin, on opère un transfert du continu au discret, où il est possible de prouver que le comportement probabiliste de la version discrète (trajectoires rationnelles) est très similaire au comportement continu (trajectoires génériques).Ce projet rassemble  des chercheurs qui  vont travailler sur les algorithmes de type Euclide selon des approches comple´mentaires et diffe´rentes : syste`mes dynamiques (ergodique, symbolique, dynamique re´elle), algorithmes de re´duction dans les re´seaux, arithme´tique informatique, et analyse d'algorithmes et géométrie discrète. Les outils  que nous utilisons sont algorithmiques (algorithmes d'Euclide,  pour la réduction dans les réseaux  et en géométrie discrète), dynamiques, issus de la combinatoire analytique, arithmétiques et diophantiens (exposants de Lyapounov) et issus de la géométrie discrète.
Résumé de la soumission : Le but de ce projet est d'étudier des algorithmes de calcul de pgcd (plus grand commun diviseur) du point  de vue des systèmes  dynamiques. On considère un algorithme de pgcd comme un système dynamique discret en se concentrant sur les entrées entières. Nous sommes en premier lieu intéressés par le problème du calcul du pgcd de plusieurs entiers. Mais une motivation supplémentaire provient également de la géométrie discrète, cadre dans lequel la compréhension des primitives basiques, les droites et les plans discrets, repose sur des algorithmes de type Euclide.Nous avons deux objectifs principaux.- Premièrement, nous menons une étude  extensive des algorithmes de pgcd qui sont décrits par un système dynamique. Nous prévoyons de  construire des algorithmes efficaces de pgcd, de mener une analyse systématique (pire cas, analyse en moyenne et en distributions), et de comparer les performances de ces  algorithmes selon un point de vue transverse  qui combine une  approche algorithmique, analytique, arithmétique et symbolique.-Deuxièmement, nous appliquons ces algorithmes en géométrie discrète pour l'étude des droites discrètes et des plans discrets, ce qui amène un point de vue supplémentaire  concernant les comparaisons entre ces algorithmes.Nous allons considérer tout particulièrement  deux types  d'algorithmes de pgcd, tous  deux étant associés à des homographies par morceaux.  La première famille  est produite par des algorithmes de réduction dans les réseaux qui calculent des vecteurs courts, alors que la second famille  rassemble des algorithmes  de fractions continues multidimensionnels qui  calculent de bonnes approximations rationnelles (comme l'algorithme de  Jacobi-Perron). Nous allons comparer  de façon systématique ces algorithmes et  décrire leur paramètres principaux quand les entrées sont soit réelles (trajectoires génériques) ou entières (trajectoires  tronquées). Nous menons cette étude  simultanément selon deux points de vue, un point de vue discret, correspondant aux entrées rationnelles,  et un point de vue continu, correspondant aux entrées réelles. Cela  produit deux cadres dynamiques considérés  pour eux-mêmes,mais aussi en interaction, selon la  méthodologie  de l'analyse dynamique. Cette méthodologie   combine des outils qui proviennent de la théorie ergodique et de la dynamique symbolique avec des outils de la combinatoire analytique  et  des outils algorithmiques. Elle se décompose en  3 étapes principales.-Premièrement, l'algorithme discret est étendu en un système dynamique continu,  dont les  exécutions sont décrites par des trajectoires particulières (les trajectoires des points rationnels). -Deuxièmement,  les  paramètres principaux  de l'algorithme  sont étendus et étudiés dans ce contexte continu : l'étude des trajectoires particulières est remplacée par l'étude des trajectoires génériques.-Enfin, on opère un transfert du continu au discret, où il est possible de  prouver que le comportement probabiliste de la version discrète (trajectoires rationnelles)  est très similaire au comportement continu (trajectoires génériques). Un des  buts de ce projet est d'établir des relations fortes entre les  chercheurs  qui  travaillent dans les domaines impliqués et qui n'ont pas encore collaboré; au sein de ce projet, ils vont  travailler sur le même objet  --algorithmes de type Euclide-- selon des approches complémentaires et différentes :   systèmes dynamiques  (ergodique, symbolique,  dynamique réelle), algorithmes de réduction dans les réseaux,  arithmétique informatique, et analyse d'algorithmes.Ce projet de 4 ans rassemble 16 chercheurs  permanents,  en informatique théorique et en mathématiques, 1 postdoc et 1 doctorant, pour un  total de 320 personne.mois. Nous demandons également 2  postdocs  (36 mois).