Projet ANR-08-BLAN-0243 – PhysComb : Physique combinatoire
Programme : Blanc (BLANC) 2008
Année de financement : 2008
Coordinateur du projet : UNIVERSITE DE PARIS XIII (UNIVERSITE DE PARIS XIII)
Partenaires : Centre national de la recherche scientifique; Centre national de la recherche scientifique; Université Paris 13 - Paris Nord; Université Paris-Est Marne-la-Vallée
Montant : 240000.0 euros
Date de début : 2009
Durée : 48 mois
Résumé : Récemment, des outils d'analyse classique ont permis de découvrir des propriétés non triviales des structures discrètes. Dans le même temps, des méthodes combinatoires ont permis de résoudre des problèmes de la physique, d'où l'avènement de la "Physique combinatoire". Le programme de recherche que nous proposons vise à enrichir le dictionnaire opérateurs quantiques  combinatoire Ce programme a été restreint à trois sous-programmes étroitement liés : (A) groupes et semi-groupes à un paramètre (B) déformations, structures discrètes et opérateurs de petit degré (C) modèles probabilistes et de graphes (A) La question de base est : Comment obtenir de nouveaux/nouvelles correspondances/algorithmes/formules à partir de chemins différentiables tracés sur des espaces définis par la mécanique quantique ? Les suites de type Sheffer appartiennent de longue date à la tradition combinatoire. Elle viennent souvent d'énumérateurs bivariés de certaines classes de graphes. La formule exponentielle affirme que, dans certains "bons" cas, la série génératrice bivariée mixte est une exponentielle (de la même série restreinte aux graphes connexes). D'autre part, il est de première importance pour les physiciens, de contrôler exactement les opérateurs d'évolution provenant des opérateurs de création et d'annihilation. Une partie significative du dictionnaire, déjà complétée, peut être lue à travers la matrice de Stirling généralisée (GSM) attachée à un opérateur homogène. Une piste prometteuse consiste à examiner des troncations appropriées de ce groupe appelées "substitutions approchées". Nous prévoyons d'autres recherches : - les cas non analytiques et non unipotents - la description combinatoire de groupes algébriques de substitutions approchées - l'étude des champs de vecteurs issus de matrices combinatoires (en particulier les champs de Stirling et de Burnside.) La deuxième partie de ce problème est liée à la thermalisation des états "comprimés". Notre espoir est de dériver les les équations de Lindblad du modèle de Kraus proposé par Solomon. Le défi est de comprendre le semi-groupe de transformations défini par Solomon et d'en tirer un modèle différentiel correct. (B) Il existe une déformation classique qui permet d'interpoler entre bosons et fermions. Elle consiste à remplacer le crochet par le q-crochet [a,a^+]_q=aa^+-qa^+a=1. De nombreux aspects combinatoires restent (presque) inchangés par rapport au cas classique (en remplaçant entiers, factorielles et nombres de placements de tours par leurs q-analogues.) Ici, en dépit de l'existence de la q-dérivée, qui, avec la multiplication par x satisfait la relation ci-dessus, la richesse de la correspondance avec les champs de vecteurs manque encore. Nous avons des indices qui nous orientent dans deux directions. La première consiste à restaurer de "vrais" groupes à un paramètre, la seconde consiste à utiliser la correspondance avec les polynômes orthogonaux, et nous profiterons de cette occasion pour exploiter d'anciens travaux sur des fractions continues liées aux déformations à plusieurs paramètres de l'algèbre de Heisenberg-Weyl. Les déformations mènent à la considération de la dualité. Nous chercherons donc, sans nous éloigner de notre programme, à élucider deux problèmes : - la nature des paramètres dans le cas déformé de l'algèbre de Hopf des diagrammes de Feynman-Bender. Nous espérons que cela sera clarifié grâce à la notion de "lois duales" ; - la possibilité, grâce à la théorie des automates, de calculer efficacement dans le dual de Sweedler d'algèbre de Hopf libres, comme la version non commutative de l'algèbre de Hopf de Connes-Kreimer ou les versons déformées des algèbres de Hopf de diagrammes de Feynman-Bender. On peut remarquer que c'est essentiellement l'utilisation d'opérateurs de petit degré (la création est de degré +1, l'annihilation de degré -1, et l'opérateur nombre de degré 0) qui suffit à engendrer la richesse de la combinatoire quantique. Leur combinatoire est assez pui