Projet ANR-07-BLAN-0249 – DYNOP : Dynamique des opérateurs
Programme : Blanc (BLANC) 2007
Année de financement : 2007
Coordinateur du projet : UNIVERSITE AIX-MARSEILLE I [DE PROVENCE] (UNIVERSITE AIX-MARSEILLE I [DE PROVENCE])
Partenaires : Aix-Marseille université; Université de Bordeaux; Université Lille 1 - Sciences technologies
Montant : 192092.0 euros
Date de début : 2007
Durée : 48 mois
Résumé : Le but principal de ce projet est de regrouper des analystes de trois -  universités Aix- Marseille 1, Bordeaux 1 et Lille 1 autour des problèmes de la dynamique des opérateurs. Deux thèmes sont principalement considérés. Le premier traite la cyclicité et l'hypercyclicité des vecteurs et -  des opérateurs. Le deuxième traite les différents aspects de théorie spectrale et la dynamique associées aux opérateurs de compostion. Ces deux thèmes, en -  apparence distincts, ont en commun de poser le probème du système dynamique (X,T)$ où T est un opérateur sur un espace de Banach X. Ils ont divers interactions et applications qui vont de la physique mathématique à la mécanique quantique en passant par les équations differentielles. L'hypercyclicité, qui est une forme forte de cyclicité, signifie pour un opérateur T que l'orbite dans X formée des itérés de T d'un certain vecteur (appelé hypercylique) est dense. L'étude de l'hypercyclicité se ramène ainsi à celle du système dynamique (X,T) (G. Goedffroy et J. Shapiro en 1991). Le premier enjeu du projet sera d'analyser les liens qui existent entre la taille du spectre périphérique de T et l'hypercyclicité, étudier la structure des vecteurs hypercycliques et déterminer les opérateurs de Toeplitz qui sont -  hypercycliques (hypercyclicité simultannée). Le deuxième enjeu est de caractériser les vecteurs cycliques, hypercycliques et faiblement cycliques associés aux opérateurs naturels, issus de l'analyse complexe, qui apparaissent dans l'étude des différents espaces -  de fonctions holomorphes ou harmoniques tels que les espaces de Bergman, de Bloch, de Fock et leurs versions ponderées par un poids et de déterminer la vitesse d'approximation (problème de la fréquence). Quant aux opératurs de composition, le premier problème central est celui de la caractérisation de la continuité de l'opérateur sur un espace de Hilbert de fonctions définies dans une région de C (ou C^n en général) induit par une application de cette région dans elle-même en agissant par composition. Une fois ce problème est résolu, de nouvelles questions apparaissent naturellement. Notamment, les questions de l'étude de la croissance des normes des itérés, la compacité et l'appartenance aux classes de Schatten-von Neumann se posent. Dans ce contexte, les problémes et les difficultés sont bien mélangés. En effet, dans les quelques cas connus (espaces de Bergman et Hardy du disque unité, espaces Fock ou séries de Dirichlet), chaque propriété spectrale d'un opérateur de composition est caractérisée par un comportement au bord de l'application qui l'induit. Le passage d'un point à l'autre nécessite plusieurs outils classiques et modernes de l'analyse complexe et fonctionnelle, la théorie  géométrique des fonctions et la théorie du potentiel (on pourra consulter le lives de Mc Cluer-Kriete 1990 ou celui de J. Shapiro pour plus d'information sur le sujet). Il s'agit d'un des thèmes récents majeurs en analyse qui occupe des sessions principales de conférences internationales qu'on trouve souvent lors des rencontres de la société mathématique américaine. Les problèmes considérés dans ce  projet font appel à des recherches profondes dans diverses spécialités des mathématiques. Le groupe porteur de ce projet est formé d'experts -  complémentaires dans ces domaines de recherche. Repartis aux côtés des membres de ce groupe se trouvent plus de six étudiants en formation doctorale. -   Le groupe a déjà des collaborations existantes avec des experts d'autres pays. L'objectif principal de ce projet est de renforcer les collaborations, d'une part, parmi les membres du groupe et, d'autre part, avec d'autres experts nationaux et internationaux. Bien sûr la la priorité sera attribuée la formation des doctorants et des jeunes chercheurs. -                                                                                              ...