Projet ANR-15-CE40-0012 – GéoLie : Méthodes géométriques en théorie de Lie
Programme : Défi de tous les savoirs (DS10) 2015
Année de financement : 2015
Coordinateur du projet : Monsieur Nicolas Ressayre (Institut Camille Jordan)
Montant : 351000.0 euros
Date de début : 2015
Durée : 48 mois
Résumé : Ce projet relève de la théorie de Lie, un domaine bien établi où interfèrent l'algèbre, l'analyse et la géométrie. Il se situe plus précisément à l'interface des aspects algébriques et géométriques de la théorie. Les méthodes géométriques apparaissent de manières variées : géométrie algébrique complexe, calcul de Schubert, points rationnels sur les variétés, grassmanniennes affines, immeubles de Bruhat-Tits, espaces de Berkovich... Le projet vise à diffuser des idées de ces domaines variés ; il se décompose en quatre axes.
1- Points sur les groupes algébriques, immeubles de Bruhat-Tits and espaces de Berkovich.
Soit K un corps valué complet. La théorie de Bruhat-Tits aasocie à tout groupe réductif G défini sur K son immeuble, un espace métrique cellulaire muni d'un action fortement transitive de G(K). Cette construction permet une bonne compréhension des points rationnels G(K). Nous prévoyons d'étendre cela au cas des groupes pseudo-réductifs sur des corps non parfaits. La résolution du problème de Kneser-Tits pour les groupes pseudo-réductifs pourrait être une application. En apportant un point de vue utile sur la structure de l'ensemble des points entiers de G, la géométrie de Berkovich devrait être un outil utile.
2- Grassmannienne affine et groupes de  Kac-Moody.
La correspondance de Satake géométrique reconstruit un groupe réductif à partir de la géométrie de la grassmanienne affine de son dual de Langlands. Le plongement de la grassmanienne affine dans l'immeuble de Bruhat-Tits permet des calculs explicites. Certaines sous-variétés, appelées cycles MV jouent un rôle crucial dans l'interprétation géométrique de formules combinatoires et dans la construction de bases jouissant de propriétés de positivité fort agréables. Nous envisageons :
(i) d'étudier des bases du produit tensoriel de représentations compatibles à la décomposition en composantes isotipiques ;
(ii) d'étendre aux groupes de Kac-Moody la construction des cycles MV en utilisant leurs images par l'application moment (les polytopes MV).
3- Cohomology (quantique) des espaces homogènes.
Nous étudierons la cohomology et K-théorie (quantique, équivariante) des espaces homogènes. Deux approches classiques existent : trouver une présentation de ces anneaux ou un modèle combinatoire pour les coefficients de structure. Sur l'aspect combinatoire, nous chercherons un analogue de la règle de Littlewood-Richardson pour le produit de Belkale-Kumar. Sur l'aspect géométrique, nous chercherons à prouver la connexité rationnelle des variétés de Gromov-Witten, avec des applications pour la K théorie quantique.
4- Problèmes géométriques reliés à l'action (co)-adjointe.
L'étude des singularités d'adhérences d'orbites nilpotentes est un problème typique.  Leurs désingularisations sont très profondément reliées aux représentations des groupes de Weyl. Leurs déformations, réalisées par quotient et tranche (de Slodowy), jouent un rôle important dans plusieurs sujets : théorie des invariants, W-algèbres (affines), etc.  D'après Einsenbud-Frenkel, les schémas des jets fournissent un point de vue intéressant sur  les adhérences d'orbites, en relation avec les algèbres de Kac-Moody affines. D'autres variétés étudiées dans ce projet sont les orbites dans un produit de variétés de drapeaux, des variétés commutantes, des analogues des slices de Slodowy pour les algèbres 2-toroïdales...
Ces axes ont de profondes interactions. Par exemple, le problème de Horn multiplicatif relève à la fois de la théorie géométrique des invariants, du calcul de Schubert quantique, de la grassmannienne affine et de questions de semi-stabilité en dimension infinie. Le problème de conjugaison dans les algèbres de Lie de dimension infinie, tel qu'étudié par Gille et al est dans les 2 premiers items ci-dessus. Les questions de rationalité pour les espaces homogènes étudiées par  Jong-He-Starr sont à la fois intéressants pour le calcul de Schubert quantique et la cohomologie galoisienne.