Projet ANR-15-CE40-0002 – ECOVA : Etude cohomologique des varietes algebriques
Programme : Défi de tous les savoirs (DS10) 2015
Année de financement : 2015
Coordinateur du projet : Madame Anna Cadoret (Centre de Mathématiques Laurent Schwartz)
Partenaires : Laboratoire public
Montant : 166400.0 euros
Date de début : 2015
Durée : 48 mois
Résumé : Ce projet, a l'intersection de la géométrie algébrique et de la théorie des nombres a pour objectif d'étudier certains aspects des liens entre propriétés arithmetico-geometriques et propriétés cohomologiques des variétés algébriques. 
Les théories cohomologiques sont l'aboutissement contemporain du classique `principe de linearisation' qui consiste a associer a un objet complexe (une variété algébrique, un groupe) des familles d'objets plus simples (linéaires i.e. des espaces vectoriels ou des modules munis de structures additionnelles), qui capturent une partie intéressante de l'information sur l'objet d'origine mais sont plus facile a manipuler, classifier etc. 
La cohomologie abélienne a progressivement emerge dans le cadre de la topologie et de la géométrie complexe au début du vingtième siècle, période ou sont aussi apparus - en liaison avec l'étude des twists en théorie de Galois - les ensembles cohomologiques pointes. Dans les années 50, le developpement de l'algèbre homologique a fourni le cadre conceptuel pour construire systématiquement des théories cohomologiques dans les catégories abéliennes, ce qui a entraine la diffusion de ces techniques dans tous les domaines des mathématiques. En particulier, celles-ci ont joue un rôle prépondérant dans le fulgurant développement de la géométrie algébrique moderne, ou diverses cohomologies de Weil reliées par des isomorphismes de comparaison sont apparues comme des outils puissants. Au début des années 70, ces divers avatars cohomologiques ont été unifies par Grothendieck dans sa fascinante théorie des motifs purs, qui fut ensuite englobée dans la théorie élargie des motifs mixtes. 
Ces théories - en partie conjecturelles - ouvrent sur des `conjectures horizons', comme les conjectures de Hodge et de Tate, diverses conjectures sur les cycles algébriques etc. ECOVA se propose d'étudier une série de problèmes dérives de ces `conjectures horizons' et que l'on peut classifier comme grossièrement selon trois grands axes: 
- Coefficients complexes et l-adiques: cadre absolu (cas particuliers des conjectures de Hodge et Tate), cadre variationnel (étude géométrique des lieux exceptionnels, représentations du groupe fondamental, l-independence, variétés de Shimura); 
- Coefficients entiers, finis, adeliques: cadre absolu (obstructions aux conjectures de Hodge et Tate entieres), cadre variationnel (représentations du groupe fondamental, l-independence); 
- Questions sur les cycles algébriques (applications d'Abel-Jacobi supérieures, aspects entiers, birationnels, etude des zéro-cycles et des points rationnels, motifs mixtes). 
ECOVA rassemble de jeunes mathematiciens travaillant sur certains aspects de problèmes profonds et difficiles en géométrie arithmétique afin de leur permettre de partager les techniques dont ils disposent, en acquerir de nouvelles, commencer et poursuivre des collaborations. En conséquence, l'organisation de groupes de travail réguliers et de cours invites de niveau post-doctoral le financement des missions et invitations pour collaboration ou la participation a des conférences seront les priorités d'ECOVA. Les 48 mois du projet seront structures autour de trois événements de type conference: une rencontre d'ouverture ou les membres du projet décriront les problèmes mathématiques sur lesquels ils travaillent, une rencontre de mi-projet dans l'esprit école d'ete/conference de recherche et une rencontre de clôture, dont l'objectif sera de présenter les résultats lies au projet dans le cadre d'une audience internationale.