Projet ANR-08-BLAN-0264 – DynNonHyp : Dynamique globale qualitative : au-delà de l'hyperbolicité uniforme
Programme : Blanc (BLANC) 2008
Année de financement : 2008
Coordinateur du projet : CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE - DELEGATION REGIONALE CENTRE-EST (CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE - DELEGATION REGIONALE CENTRE-EST)
Partenaires : Centre national de la recherche scientifique; Centre national de la recherche scientifique
Montant : 165745.0 euros
Date de début : 2009
Durée : 48 mois
Résumé : Un des objectifs fondateurs de la théorie des systèmes dynamiques est celui de leur classification. Deux classes de systèmes dynamiques ont été bien décrites : les systèmes de dimension 1 (endomorphismes du cercle ou de l'intervalle) et les systèmes hyperboliques. Toutefois il a été découvert qu'en dimension supérieure, le complémentaire des hyperboliques, bien que formé des dynamiques structurellement instables, n'est pas réduit à des pathologies fragiles mais contient des ouverts fondés sur des obstructions comme les tangences homoclines et les cycles hétérodimensionnels. Ainsi, la plupart des dynamiciens se sont tournés durant les années 1980/1990 vers l'analyse très précise d'exemples dont le plus célèbre est l'application de Hénon (modélisant le phénomène local des tangences homoclines) ou de classes particulières comme les dynamiques dilatantes, par morceaux ou non-uniformément. La plupart de ces résultats combinent les techniques apparues lors de l'étude des dynamiques unidimensionnelles et des dynamiques non-uniformément hyperboliques, notamment la théorie de Pesin (étude abstraite des systèmes différentiables mesurés sans exposants nuls). A la fin des années 1990, l'étude des dynamiques génériques par l'utilisation de lemmes de perturbations a connu un renouveau. En effet, cette technique, initiée par Pugh (1967), a été en partie renouvelée par le lemme de connexion de Hayashi à ce moment. De nouveaux outils permettent d'aborder l'étude de classes de systèmes beaucoup plus générales. Ils ont de plus amené la renaissance des efforts vers la description d'un « panorama global » des dynamiques C1 génériques avec des succès comme la preuve toute récente de la conjecture de densité de Palis (version faible). Ces deux approches sont restées séparées pour l'essentiel jusqu'à aujourd'hui. On le constate en particulier en France, puisque les chercheurs français qui participent très activement à ces différents sujets n'ont pas ou peu de travaux communs : ils ont surtout développé des collaborations internationales. Nous pensons pourtant que ces deux tendances des systèmes dynamiques ont suffisamment mûri à présent pour être fructueusement combinées. Dans ce projet, nous voulons tout d'abord approfondir la description de ce « panorama global ». Il s'agit de découper l'espace des systèmes en régions correspondant à des propriétés dynamiques caractéristiques (comme l'existence de structures partiellement hyperboliques). Leur union couvre un ouvert dense pour la topologie C^1. Certains outils font encore défaut et plusieurs lemmes de fermeture avec contrôle du support, de l'indice ou des exposants peuvent être conjecturés. Nous espérons également préciser la structure dominée ou partiellement hyperbolique sous différentes hypothèses (e.g., loin des tangences homoclines). Par ailleurs, on peut espérer obtenir une connaissance plus détaillée de la dynamique des pièces élémentaires de ces systèmes par l'étude de leurs propriétés ergodiques ou combinatoires, comme cela a été réalisé pour des systèmes plus réguliers. Ces propriétés peuvent également éclairer les résultats précédents (e.g., les pièces apériodiques de la décomposition spectrale sont-elle d'entropie nulle?). D'autre part, nous souhaitons entreprendre des analyses plus fines, requérant plus de régularité, pour les systèmes des différentes régions du panorama global, c'est-à-dire dans des cadres tels que décomposition dominée ou hyperbolicité partielle. Les sujets proposés concernent 1°) la théorie ergodique (ou plus exactement des « mesures physiques » à construire et analyser); 2°) l'entropie et plus généralement la combinatoire (mesures d'entropie maximale, existence et nature de « bonnes » dynamiques symboliques en lien avec la régularité, notions d'hyperbolicité faible); 3°) la dynamique conservative (exposants, ergodicité, réalisation). De nombreux chercheurs très actifs et de premier plan dans toutes ces questions se trouvent en France avec toutefois plus de collabora